Текст
                    ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Я.С.Бугров, С.М.Никольский
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ВУЗОВ


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Я. С. БУГРОВ С. М. НИКОЛЬСКИЙ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования РФ в качестве учебного пособия для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ. С ДОПОЛНЕНИЕМ А Д. КУТАСОВА Ростов-на-Дону «Феникс» 1997
ББК22.1 Б 90 В серию учебников по высшей математике авторов Я. С. Бугрова, С. М. Никольского вошли книги: 1. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного', 2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии; 3. Дифференциальное и интегральное исчисление; 4. Сборник задач по высшей математике. Данная серия получила высокое признание в нашей стране и за рубежом, была удостоена государственной премии в 1987 году. Все книги серии переведены на английский, французский, испанский и португальский языки. За короткий срок эти книги выдержали три издания и сегодня пользуются огромным спросом и популярностью у студентов вузов России. Б 90 Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. С дополнением А. Д. Кутасова. — Ростов н/Д: изд-во «Феникс» 1997. — 352 с. Задачник составлен применительно к учебникам тех же авторов "Дифференциальное и интегральное исчисление", "Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии" и "Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного". Для студентов инженерно-технических специальностей вузов. ISBN 5-222-00250-0 © Бугров Я.С., Никольский СМ., 1997 © Оформление, изд-во «Феникс», 1997 Предисловие к третьему изданию В 1987 г. авторы данного комплекса учебников получили за него Государственную премию СССР. С грустью отметим, что Я. С. Бугров теперь уже скончался. Третье издание задачника существенно расширено. Добавлено почти 500 задач. Добавление принадлежит известному методисту по высшей математике А. Д. Кутасову. Задачи А. Д. Кутасова составляют отдельное приложение II. Предисловие ко второму изданию Второе издание отличается от первого рядом изменений. Добавлено приложение, содержащее задачи повышенной трудности. Последовательность расположения задач в нем, как правило, иная, чем в основном тексте, поэтому читателю необходимо приложить некоторые усилия, чтобы распознать тип задачи и уяснить, какую теорию данной главы надо привлечь для успешного ее решения. Авторы считают, что задачи и примеры в приложении можно использовать для работы со студентами, успешно занимающимися высшей математикой. Авторы выражают благодарность С. Г. Кальнею, Ю. П. Лисовцу и другим читателям за отмеченные опечатки и ценные конструктивные предложения, которые способствовали улучшению задачника. Авторы выражают также глубокую благодарность рецензентам задачника профессору В. А. Ильину и руководимой им кафедре за тщательное рассмотрение пособия и ценные замечания. 3
В 1983 г. первое издание задачника удостоено Диплома почета ВДНХ СССР, а в 1984 г. комплекс учебников по высшей математике, состоящий из трех книг (учебников) и данного задачника, удостоен премии MB и ССО СССР и ЦК профсоюзов работников просвещения, высшей школы и научных учреждений. Предисловие к первому изданию Задачник составлен применительно к нашим учебникам по высшей математике. При этом принято следующее обозначение учебников: [1] — Я. С. Бугров, С. М. Никольский. «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление». [2] — Я. С. Бугров, С. М. Никольский. «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии». [3] — Я. С. Бугров, С. М. Никольский. «Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного». В начале каждого параграфа задачника указаны глава и параграф из названных учебников, где можно найти соответствующий теоретический материал. Как правило, число задач по разделу минимально и соответствует числу учебных часов, отведенных на изучение данного материала. Можно рекомендовать задачи с нечетными номерами решать в аудитории, а задачи с четными номерами давать студентам для самостоятельного решения. На практических занятиях можно также использовать задачи, вошедшие в учебники [1]—[3]. В задачник эти задачи не включены. Глава 1 Введение в анализ § 1. Действительные числа. Множества Применяя метод математической индукции, доказать следующие соотношения: 1. 1 + 2 + 3 + ... + п = п{п + 1)/2. 2. I2 + 22 + ... + п2 = п(п + 1)(2п + 1)/6. 3.(1+х)п>1 + пх,х>-1. Для решения нижеследующих задач необходимо изучить главу 1 из [1]. О. Пусть множество Л состоит из юношей данной группы, а В — из девушек той же группы. Найти Л U В, А П В, А\В. Рассмотреть также случаи, когда А или В — пустые множества. 6.ПустьА={2л},£={2гс+1}.НайтиА + £,АВ,А\£ (п — натуральное). 5
7. Какое число больше, а или Ь: а =1,(1234512), Ъ= 1,(12345); а -1,(12302), 6=1,(123); о=1,(123412), 6=1,(1234). 8. Выяснить, к какому числу а стабилизируется последовательность действительных чисел: о1 = 0,1010101010..., а2 = 0,1100110011..., а3 = 0,111000111000..., а4 = 0,111100001111..., а„ = 0,11 ... 100 ... 01 ... 10 ... 0 ... . п раз п раз 9. Найти сумму действительных чисел а - 0,(12) и Ь=0, (13). 10. Даны множества А = [2, 5], В = (3, 6). Найти А + В> АВ,А\В. 11. Решить неравенства: а)|х + 3|<0,1; б)|*-3|^ 10 в) ДО > |х + 3|; г)|Зх-1|<|х-1); х-2 Д) <1 Зх + 11 12. Какое из чисел больше: а или (-а)? 13. Пусть а ^ 0. Для каких чисел Ъ имеют место соотношения: а) \а + Ъ\ = \а\ + \Ь\; б) \а - Ь\ = \а\ + \Ъ\\ в) \а + Ъ\< \а\ + \Ь\; г) \а - Ь\ < \а\ + \Ь\. 14. Найти модуль числа: a) In (1/е); б) sin (Зя/2); в) cos (7я/4). 6 § 2. Предел последовательности (см.[1], глава 2) 15. Доказать, что lim^±l = l п-х. П и определить для каждого 8 > 0 число л0 - л0(е) такое, что л + 1 < е, если л > л0 Заполнить таблицу: £ л0 од 0,001 0,00001 Найти пределы: 16. lim-l^L. 17. lim^11^ (0 < а <1 п~х л+1 л-ж 71 + 1 18ЛшДг + 4 + .» + -?Цг и—\п л л^ 19. lim з +-3+...+ ^Г" уП П П 20. Доказать, что переменная ал есть бесконечно малая, если 1 а„ = п ;ап = Л;аг п л3 + 1' п л!' ""7л1 +1 21. Доказать, что переменная (Зп является бесконечно большой, если pn = (-l)V;P„ = 2^;p>ln(W+l). 22. Будет ли последовательность бесконечно большой? *„ = л(-1)% 7
Доказать равенства: 23. lim(V3n + 10-^3n) = 0. 24. lim—1^-±5™ = 3 п-* 2п +3/г + 1 2 Пользуясь теоремой существования предела монотонной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей: 25.^(1-1)(1-1)-{1-Й. 26 „ 2 3 4 5 Л + 1 13 5 7 2п-\ 27. Найти наибольший элемент последовательностей: х =—• х л/^+Т 2" " 10 + га 28. Найти наименьший элемент последовательностей: * =(l + i)B; л£п = п2-9л- 10. v л' 29. Найти inf xn, sup xn (n e N), lim xn, lim л; , если 30. Какие числа являются частичными пределами последовательности 1 ! _i I i -I 1 i -1 1 Под частичным пределом произвольной ограниченной последовательности мы понимаем предел ее сходящейся подпоследовательности. Существование таких подпоследовательностей у ограниченной последовательности вытекает из теоремы Больцано—Вейерштрасса. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательностей: о-* sinl sin2 sinn v^sinfe § 3. Функция. Предел функции (см. [1), глава 3) Найти область Е задания функции у = f{x) и образ Е1 = = f(E) множества Е при помощи функции /: 34.y = -L. З5.у = ^2+3х-х2. 1 + х 36. Найти /(0), /(* + 2), /(1/jc), /(*) + 1, 1/Дх), если 1 + х Построить графики функций: 37. у = 8х- 2х2. 38. у = i^. 1 + х 39.1/ = -х2 + 2х - 1. 40. у = 1^* . 1 + х 41. г/=3*±1. 4х-3 42. Определить нижнюю и верхнюю грани множества значений функции f(x), если /(*) = х2 на [-2, 5]; ф(х) - х + 1 на (0, 3]. х
Указание. На множестве (0, 3] (р(х) > 2. 43. Построить графики функций: f{x) = sup {sin t}; ф(х) = inf {sin t}. Найти пределы функций: 44. a) lim х -1 ; 6) lim ^--±—; *-° 2x -x-1 «-1 2x -x-1 ... дМ Ч1. (l + x)3-(l + 3x) в) hm—у—±—; r) lim - ^—Ц '-; *-«2x -x-1 *-° x2 + 3x3 д) lim ^+2^-3. e) iimf-4±3^1_Y; *-* Vx-2 *~+42x ~x + 4^ ^c)limVxTT^2^TI з)Ит^Е±2. j;-3 и) iim^^ + ^; K) iimrsin7^iT-sin^1. ylx -a I~+ooL J ле 4i-™sin3x _ ,. l-cos2x ... tg4x 45. a) lim ; 6) lim 3 ; в) hm-^—. x-0 X x~0 X x-0 X 46. lim^ inVx лг-О+О X ■2x 47. a) lim fl + Щ ; 6) lim (1 + 3x)v*; в) lim (sinx)tg*; x— oo \ X/ x~0 x~n/2 48.a)limln(1 + 4jc); 6) lim^# (a > 0). *-o х х~ь x-b Исследовать на непрерывность, изобразить графичес ки функции и определить характер точек разрыва: 2 -, 49.f(x) = \x-l\. 50.Л*) = |Х_1 [а, х=г. .2 о.. оч КО .. 1 + Х 51./(x) = sign (х2-2х-3). 52.i/ 1 + х 10 53. и = —^- . 54, г/ - sign (cos x). 1 + х -- [2х, 0<х<1, _.fi fcosx, х^О, ЪЪ.ц=-< Db.f(x)=< у [2-х, 1<х<2. v [а + х, х>0. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на [а, Ъ], если Vs > 0 35 (е) > 0 (не зависящее от точек промежутка) такое, что \f(x,) - f(x2)\ < £, как только |Xj - х2\ < 5. Доказать, что функции f{x) равномерно непрерывны на [a, b]: 57. т = ^' °^2' 20-8х, 2<х<3. 58. f(x) = x\ 0<х<£2. 59. Найти обратную функцию для функции у = ax±b (ad „ЪсФ 0^ cx + d Пусть х —► 0. Выделить главный член вида Ах'": 60. f{x) = Зх + х\ 61. Дх) = л/ГТ^ --Jl^x~ . § 4. Производная (см. [1], глава 4) 62. Найти /'(0), f (2), если f(x) = 2 - 2х + х\ 63. Найти /'(0), Г(1). если ftx) = x arcsin-—-. х + 1 Найти производные функций: 64. у = -^4. 1-х 11
65. а) у = х + ifx; X {1-х) {1 + х) гЛ тг % МУ- 1 2 2 > va -х ж) у = Ух2 —j=\ vx ч sinx-xcosx и) у = ; cosx + xsmx н) у - ха + а (а> 1 г о) г/ = arcsin -—=~; 1 + х 6)f/ = г)г/ = 3)2/= к)г/ = м) у = 0); n)i/ = L+J_+J_. X yfx yfx ' xvl + x2; \x + \x+Jx ; tgf-ctg|; 1 . COS X = с + e ; : arccosvl-x2 66. y = tgx + ^tg3x. 67.y = e~x\ 68. а) у - sin x ; 6) i/ = sin2 x; в) i/ = sin x ; r) i/ = cos (sin x); д) у = cos x ; е) у = cos2x4. 69. а) у = arcsin (x/a); б) у = arctg (яг/а); в) t/ = ln(x+Va2 + x2J; r)t/ = arcsin (sin x); д) г/ - arccos (x/a); e) у = е*"+*. 70. у = In tg (x/2). 71. a) y = x arctg x; 6) i/ = In3 x2; в) y= In (In (In x)); r)y = jln-V^l; 4 x +1 д) у = Vx + l-ln(l + Vx + l); 12 ж) у = -- fln3x + 3ln2x + 61nx + 6j; 3)y = ^{l-ill + x1) + 31n(l + ;Vl + x2); yi)y=yfx- arctg л/х; .l + x. к) t/ = arctg 1-х' 12 (^ + 1)2 -Д- arctg Y ; ^F *2x2-l' м) У = , i2 + arctgx ; l + x h) i/ = arctg (tg2 x); о) у = x arctg x - 0,5 In (1 + x2) - 0,5(arctg x)2; п) у = arctg (x + vl + x2j. p) Имеет место формула dx ojx) aJx) n =1 *=1 o^x) . ai(*) • anl(x) . • aj*) ■ й» где элементы определителя ai;(x) — дифференцируемые функции. Таким образом, производная определителя п-го порядка равна сумме п определителей и-го порядка, каждый из которых отличается от исходного определителя тем, что в нем соответствующая строка заменена строкой из производных элементов этой строки. Доказать формулу дифференцирования для определителей второго и третьего порядков. 13
Найти производные и построить графики функций и их производных: ( 1-х, —2 <лс< 1, 72. у = 1 (1-х)(2-х), 1<х^2, [-(2-х), 2<х<4. 73. у Л*', ч *<0' \ln(l + x), x>0. Найти логарифмические производные (т. е. у'/у) функций у: 7±.у = х^\^. 75.y = ch2 х. Найти производные от гиперболических функций: 76. а) у = sh (х2 + 1); б) у = sh3 x\ 77. у = ch2 (х2 + х + 1). 78. а) у = th2 х; б) у = th x2. 79. а) у = th (In x + 1); б) у - Arshx; в) i/ = Archfjc + VI + дс2); г) у =ln shx; д) i/ = ch In х, е) у = е* *; ж) у = (sh x)ch * (* > 0); з) у = -4-; ch x H)y=th|-cth|. 80. Для функции Я*) = # + л" + 1 определить дифференциал и приращение в точке х = 1 для Азе = 0,1. Найти дифференциалы функций: 81. d(xe). 82. d(sh x). 14 83. d(sh x - х ch x). 84. d(ln (1 - х% 85. Найти производные второго порядка от следующих' функций: а) у = ех = ехр(-*2); б)у^х^1 + х2. 86. Пусть дан определитель (Вронского) У&) - £„(*) W{x) {n-D n-l). y\ (x) ... y\ \x) где функции i/1(jc), ..., yn(x) непрерывны на (a, b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Доказать, что ух{х) ... уп(х) У[{х) - у№ dW dx уТ%) У?(х) Уп (*) Уп (Х) 2t ~t2,y = 3t- t3. 87. у = х°, найти d4*/- 88. i/ = е* In х, найти d у. Найти производные^ и у'' от функций у = у(х), заданных параметрически, если: 89.x 90. х = 2 cos t, у = 2 sin t. 91. x = f(t), у = tf(t)-№- 92. x - t - sin £, i/ = 1 - cos t. 93. а) Написать уравнения касательной и нормали к кривой у-2л- х - х в точке А = (2, -4). 15
б) Выяснить, имеют ли общую касательную графики функций у -sh х и у = In (1 + 2х) в точке (0, 0). Углом между кривыми у - /г(х) иу = f2(x) в их точке пересечения с абсциссой х — х0 называется угол ф между касательными к этим кривым в этой точке. y=f,(x) Поэтому tg ф = tg (ф2 - фх) = ^ёф^ф^ где ф-,, ф2 — углы, образован- 0 ные указанными касательными с осью х (рис. 1). 94. Под каким углом пересекаются кривые у =sinx и у = cos* (0 < х < я)? 95. Под каким углом пересекаются кривые y-xaw.y = = xla (0 < а < 1) в точке (1, 1)? 96. Под каким углом кривая у = ln(l + [xjv3j) пересекает ось х? 97. а) Проверить справедливость теоремы Ролля для функции у = (х - 1)(л: - 2) на [1, 2]. б) Многочлен Р4(лг) = л; - jc + л; - х имеет корень х - 1. Доказать, что многочлен -7-Р,(#) имеет действительный коал: рень, принадлежащий интервалу (0, 1). in в) Доказать, что все корни многочлена Рп(х) - -~^ (1 - dx 2чл х ) действительны и принадлежат интервалу (-1, 1). 98. Проверить справедливость теоремы Лагранжа f(b) - f(a) = f(c)(b - а) для функций: а) у = 1 + х + х ' 16 б) f(x) = х° + Ах + Вх + С, А, В, С — действительные числа; о в) f(x) =Ах + Вх + С; на [0, 1]. Найти точку с. 99. Доказать, что если функция f(x) имеет ограниченную производную на (a, b) (\f(x)\ < М), то: а) f(x) равномерно непрерывна на (а, Ь). б) Если а и Ъ — конечные числа, то f(x) ограничена на (а, Ь). Указание. Пусть х — произвольная точка, ajc0 — фиксированная точка (а, Ъ). Тогда |Я*)| = |Я*) - f(xQ) + f(x0)\ < \f(x) - f(x0)\ + \f(x0)\ = \f'(c)\ \x - - *0I + \ftxo)\> где с находится между точками х и х0. в) Если интервал (а, Ъ) бесконечный, то функция f{x) может быть неограниченной. Рассмотреть функцию f(x) - = In л: на (1, оо). 100. Определить промежутки монотонности у функций: а) у =3 + х - х2; б) у = 4х - х4. Если функция Ц)(х) непрерывна на [а, Ъ] и имеет положительную (отрицательную) производную на (а, Ъ), то она возрастает (убывает) на [а, Ь]. Этот факт можно использовать при доказательстве неравенств. Например, функция ф(х) = ех - 1 - х непрерывна на [0, оо). Она возрастает на [0, оо), так как ф'(яг) = ех - 1 > 0 на (0, оо). Далее ф(0) = 0, поэтому V х е (0, оо) ех - 1 - х > 0. На (-оо, 0) функция ц>(х) убывает, поэтому ех ~ 1 - х > > ф(0) = 0. Таким образом, V хФ О ех > 1 + х. Доказать неравенства: з 101. х - ^- < sin х < х (х > 0). 17
2 102. cos x > 1 - ^ (x > 0). Вычислить пределы по правилу Лопиталя: 103. 105. 106. 108. ,. sinax lim -—. *-о sinox ,. arcsin2x-2arcsinx llrn — л - *-° x ,. tg2x-sin2x lim-5 з -. lim xx. x-+0 104. 107. ,. tg2x lim-5—. *-o x lim*2 J2* *-°° 4jc +1 109. a) lim^f"; 6) limf*^f *\ ч ,. shax. ч r th3x # в) lim-——; r) hm- ; *~° shbx x-° tgx ч ,. xctgx-1 ч ,. thx-x д) hm ^ > e) hm r—; *-o xz *-o x-shx ж) lim^^; з) lim(cthx-i); x-Tt/2 fo-Г ДГ-0 \ V/ x-rc/2 tgX и) limx1 x; к) limfln—] ; x-1 x-+0\ X' x a a -x н) lim^-^^ (a > 0); *-<* x-a ra/l _i_ v _ 1 o) lim —- {n — целое число); *-0 X ч ,. ^l + ax-!{/l + Bx , ч п) lim * t^- (m, n — целые числа); х-0 X p)lim^^±; *-1 Vx-1 18 с) lim |Vx + v х + vx ~vxj. Указание. Умножить и разделить на сопряженное выражение; . ,. н и лд: \ 1- tgx-sinx т) hm(l -х)tg ^ ; у) hm-^ - 3 — • х-1 I х-0 sjn' х 110. Выяснить возможность применения правила Лопиталя в примере ,. x-sinx hm . *-°° x + sinx Написать разложения следующих функций по степеням х: 111. /(х) - tg х до члена х'\ 112. f(x) = е2* *" до члена х'. 113. у - In cos х до члена х . 114. у = sin (sin x) до члена х'. Найти пределы, применяя разложение по формуле Тейлора: cosx-exp(-x2/2) /1 1 v 115. hm Р '-1. 116. lim(i-^M. *-о х *-° ух sinx' .,- ,. x-shx -no т l-ch#" 117. hm 1—. 118. hm -,—. х-0 х х^0 х* 119. С помощью формулы Тейлора вычислить: а) число е с точностью до 10 ; б) число sin 1° с точностью до 10" ; в) число v5 с точностью до 10 ' г) числа 1п2 и 1пЗ с точностью до 10 ° (см. [1], § 9.14, (8)). 120. Исследовать на локальный экстремум функции: а) у = 2 ~ х - х ; б) г/ = |х|; в) у = 2х~ - х , г) у - х + —; х д) у = ех sin х (0 < х ^ 2л); е) у ~ 1/(4 + х ); ж) у - х/(1 + 4х ); з) у - х - 6х + 9х - 4; и) у =cos х + 0,5 cos 2х; к) у =sin х + 0,5sin 2x. 19
121. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: а) у = 2* на [0, 5]; б) у = х + 1- на [1, ю]. 122. Найти расстояние от кривой у - х до прямой у-х+ 2 = 0. 123. Найти sup и inf следующих функций: [1, 0<х<1, а)У_[4-2д:, 1<*<2;' б) = !+*_ на (0) оо^ 1 + х 124. Найти промежутки вогнутости и точки перегиба следующих функций: а) у = Зх - х3', б) у = ехр (- х2). 125. Найти асимптоты графиков функций: а) у = х + -!; б) у = е1А; в) г/ = ехр (- х2); r) i/ = In (1 + ех). 126. Построить графики функций, проведя полное исследование их поведения (экстремум, перегиб, нули функции, направление вогнутости, асимптоты): \ х—3 л, ех 127. Построить графики функций, заданных в параметрическом виде (см. [1], § 4.22): а) х - 2t - t , у = 3t - t ; 128. а) В эллипс 20 К+У- = 1 а Ьс вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, наибольшей площади (рис. 2). а Рис. 2 Рис. 3 б) Дан квадратный лист жести со стороной а. Из него в его углах вырезают одинаковые квадраты (рис. 3) со стороной х и, загибая лист по штриховым линиям, делают прямоугольную коробку. При каких размерах квадратов объем коробки будет наибольший? в) Корабль К (рис. 4) стоит в 9 км от ближайшей точки В прямолинейного берега. С корабля нужно послать курьера в лагерь L, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (считая по берегу) от точки В. В каком пункте Р берега курьер должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время, если он идет пешком 5 км в час, а на веслах — 4 км в час? m Рис. 4 Рис. 5 г) Из круглого бревна диаметром d надо вырезать бал- 21
ку прямоугольного сечения с основанием а и высотой h (рис. 5). При каких значениях а и h прочность балки будет наибольшей, если известно, что прочность балки пропорциональна ah ? 129. В параболу, заданную уравнением у — 3 - х , вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала на оси х, а две вершины на параболе (рис. 6). Рис. 6 Рис. 7 130. Два корабля А и В плывут с постоянными скоростями и и v по прямым линиям, составляющим угол9 между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент времени расстояния их от пересечения путей были соответственно равны а и Ъ (рис. 7). 131. Определить радиус кривизны кривых: а) у2 = 2рх, 6)4 + ^ = 1; а о в) У ~ 7, (1 ~ cos t), x = — (1 - sin t) (циклоида). 132. Составить уравнение эволюты циклоиды: х = a (t - sin t), у = а (1 - cos t). Глава 2 Интегралы § 1. Неопределенный интеграл (см. [1], глава 5) Применяя табличные интегралы, найти: 133. JV(5 - xf dx. 134. J(l - x2)2 dx. 135. \^Щ. 136. J(l +sin x + cos x)dx. J 1 + x 137. j^~dx- 138. JV x dx. 139. Jth2 x dx. 140. Jcth2 xdx. 141. \£^lJk3-dx. 142. /(2* - 3)" dx. yJl-x 143. a) 1^4, 6) J(l - x) (1 - 2*) (1 - 3*) dx; 23
ж) J-^Ц dx; з) Jt-^S dx; Jl + x J 1-х H)j4±7<**; k)J(2x + 3")2^; л) J (a shx + Ъ chx) dx; м) J (2x - 9)10 dx; „\ f dx Л f dx n)j^j; p) J (e-2* + «*) «fa. Преобразовывая надлежащим образом подынтегральное выражение или применяя подходящие подстановки, найти: 146. J 2dx. 2-. 147. f- d* J one v oin v J . cos2xsin2x" * ^ VI + x + -Jx -1 148. Jtg л; dx. 149. f-r-^f (l + x)Vx"' 150. JxV2-5xdx. 151. J 2*3*dx 9*-4* x -2 152. a) f-^£-; 6) fx2^77dx; f xdx rx3dx и) Г <** - e) f ,dx ж) J^-^dx; з) Jctg x dx; 24 и) f-^-; к) Г-—; J shx ' J chx ' л) [а С , dx; m) J sh2 x dx; J 1 + x h) J ch2x dx; o) J 2 * 2-; J sh x ch x n) J^_g ; P) J*3 $ll + 3?dx; J 1 + e Применяя метод интегрирования по частям, найти: 153. Г arctg x dx. 154. Г x e~x dx. 155. Гх sh x dx. 156. Гх sin x dx. 157. farcsin x dx. 158. Гх cos x dx. 159. J arctg Vx dx. 160. a) fx sin 2x dx; б) Гх arctg x dx; в) Гх e" x dx; г) Гх e x dx; д) Jin x dx; e) Гх" In x dx (n* -1); ж) Гх ch 3x dx; з) Гх sh x dx; и) Jsinx In (tgx) dx. Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интегралы от рациональных функций: 161. a) J, У g dX; 6)f ^±1 dx. ;j(x-2)(x + 5) 'J(x-2)3(x + 5) dx Лч г dx 162-а>Ы^; 6>I x£-2x + 2' 'Jx2-2x + l 25
)f ^z2.._dx J x - 2x + 2 163. a) f Ux ; б) f $f- J (* + !)(*-+1) M(^ + l)2(^ + 2) dx -4 r xdx 164. a) f <** , ; 6) f ^ ; J (x + l)(l-x/ ^ J {x + l)(x + 2){x + 3)' J X +1 Интегрирование дробно-линейных иррациональностей: 165. M* Jl + Vx 166. a) f d^T—; 6) f , d£ „~; R^i f dx гч fVx+l-Vx-1 ^. )J^(i+^r r)-U+iw*-id*' ч f dx 6) J J? J?, fc4-i (" ~ натуральное число). Найти интегралы от квадратических иррациональностей: 167. j ,dx 2 . 168. fVx2-2x + 2dx vl + X + X J 26 Интегрирование тригонометрических функций: 169.a)W*d*; М^Ь' 170.a)Jcos3xdx; 6)f^os2x' 171. j^—^ A^^fj- J 2smx-cosx-lv I' 172. a) f 2 , 2 d* r- (* = tg x); J a sin x + o cos x J 1 + cosx J 1-cosx r) f dx ; д) J [th (2x+l) + cth (2x-l)]dx. J 1 + sinx § 2. Определенный интеграл (см.[1], глава 6) 173. Доказать, что функция Дирихле [О, х — иррационально, \\, х — рационально, не интегрируема на любом промежутке [a, b]. 174. Не вычисляя интегралы, выяснить, какой из них больше: л/2 я/2 я/2д 1 1 а) Jsinxdx, \xdxy \^dx; б) \exdx; }{l + x)dx. о о о п оо Вычислить определенные интегралы при помощи формулы Ньютона-Лейбница: 175. а) J -^_; б) Jsin2xdx; , Д 1 + X о 27
л/2 в) jcosxdx; о -1/2 VI - X 2 ж) j|l-x|<ix; л/2 176. J dx j 2 . 2 ,2 2 о a sin x + b cos x 177. Jxsinxdx. 179. )xf"{x)dx. (fit, л/4 г) Jtgxdx; 0 sh2 e)J shl 3)J* 0 b>0). 178. Vl + x2 ' lnxdx. In 2 \xe~x dx. 180. Доказать, что при натуральных fe и /: ч г . , . , , fO, если &*Z, a) sm/ex smtx dx = < JQ [к, если k = l; 2л ? , 7 , {0, если &*Z, 6) cos/excos/x<zx = ^ J0 [я, если /e = f; 2л в) Jcos&xsinZxdx = 0 V&, Z. о Указание. Преобразовать подынтегральное выра жение в сумму тригонометрических функций. 181. Найти производные от интегралов: a)-£-]sint2dt; 6)^-\Jl + ?dt; dx{ da{ , b в) -— [sinx2 dx. dx{ 28 182. Проверить выполнение теоремы о среднем )f{x)dx = №(b-a) а для функции f(x) = х на [0, 1]. 183. Вычислить определенный интеграл от функции 1, O^x^l, № 4-2*, 1<х<2. § 3. Приложения определенного интеграла (см. [1], глава 7) Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми: 184. у = х\ у = 2 - х. 185. у = h(l-^-\ y = 0(h>Q,b>0) (рис- 8). 186.4 + 4 = 1. а Ь Рис.8 Рис. 9 187. г = а (1 + cos ф), г, ф — полярные координаты (рис. 9). 29
188. Вычислить длину дуги кривой у= х -Чпх (1 < х < е). 189. Найти длину дуги астроиды (рис. 10) 2/3 , 2/3 2/3 х ' + у = а . 2-ка зс Рис. 10 Рис. 11 190. Найти длину дуги одной арки циклоиды (рис. 11) x = a(t- sin t), у = а (1 - cos t) (0 < t < 2я). 191. Вывести формулу длины дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением р - /(9). 192. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением (рис. 12) з ш г = a cos — в полярных координатах. Рис. 12 Рис. 13 30 193. Найти длину дуги кардиоиды (см. рис. 9) г = а (1 + cos ф). 194. Найти объем: а) конуса (рис. 13) с образующей у = ' х У h (0 <: <: h); б) конической бочки с радиусами оснований гх и г2 и высотой /г (рис. 14); в) тела, образованного вращением одной арки синусоиды у - sin х (0 < л; < 7i); .<™J Рис. 14 Рис. 15 г) тела, образованного вращением параболы у - 2рх вокруг оси х (0 < х < а) (рис. 15). 195. Вычислить площади поверхностей, образованных вращением кривых: a)x-a(t-sint), y-a(l-cost)(0^ t < 2п) вокругоси симметрии кривой; б) 9у2 = х(3 - xf (0 < х < 3) вокруг оси Ох; в) у - х (0 < х < 1) вокруг оси Ох, 3 3 г) х - a cos £, i/ = a sin £ (астроида) вокруг оси Ох. 196. Вычислить интегралы по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона и оценить погрешность: а>1т77<п = 8* б) J-^з (п=12). 0 А + Х 01 + Х 197. Построить интерполяционный многочлен Лагран- жа третьей степени для функции f(x), если /(0) = 0, /(1) = 1, /(2) = 2, /(3) = 0. 31
§ 4. Несобственные интегралы (см. [1], глава 6) 198. Вычислить интегралы: а)№; 6)U«--(a>0); il+x i(l-x) о о Vl-jc2 ' Г i*b*' 199. Исследовать сходимость интегралов, применяя признак сравнения: dx a) \exp(-x2)dx; 6) j-M^; a OVl + X I X OVI-X 200. Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по частям: a) jxe~xdx; б) \е'ах cosbxdx (a > 0); о о л в) jex sinxdx. о 201. Исследовать сходимость интегралов: cosax dx , ^ „. _ч °r sin* dx с cosax ax rsmxax , ^ ПЛ ) Jf-^ (» > о). о 1 + Л 32 Гл ава 3 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии § 1. Определители и матрицы (см. [2], § 1-3) Вычислить определители: 202. 204. 206. 5 3 6 4 8 5 3 2 cosa sina sinp cosp 203. 205. 207. 1 2 3 4 ■ cosa -sina sina cosa a + b a-b a-b a + b - 208. X 1 + x -1 l + x 2x + l 1 + л: X 1 + X 209. 2 1 1 1 2 1 1 1 2 210. 0 X 0 x 0 1 X x 0 33
211. Выяснить четность или нечетность перестановок: а) 1,2, 4,3, 5; 6)5, 1,2,3,4; в) 1,3, 2, 5, 4; г) 1,4, 3, 2, 5. 212. Найти адъюнкты всех элементов определителя и проверить, что Д = а х х х Ъ х X X С Л=2ХА*- 213. Вычислить определители путем накопления нулей в строке или столбце: а) 114 1 2 13 0 3 12 1 4 110 б) 214. Вычислить определители Вандермонда: а) 1 2 22 23 1 3 З2 З3 1 5 52 53 1 6 б2 б3 б) 1 1 1 а Ъ с 2 а Ъ2 2 С 215. Перемножить определители Ai = 1 2 3 3 3 2 2 3 2 = 5 и А2 = = 7 всеми четырьмя возможными способами (т.е. умножением строк или столбцов Лх на строки или столбцы А2). Проверить, что во всех случаях произведение определителей А = = АХА2 равно 35. 34 216. Пусть даны матрицы Найти матрицу С = \А + [хВ, если: а) А, = 1, ц = 2; б) А, = - 5, ц= 2. 217. Для матрицы А = '2 2 1 3 ^2 2 1\ 1 У найти сопряженную с ней матрицу А* и определить ранг А. § 2. Системы линейных уравнений (см. [2], § 4) Решить системы уравнений по правилу Крамера: [3jCj + х2 = 4, 218. 220. АХ-* "т" €>ЭСл — 1 ? 3Xj + Ъх2 = 4. х + у = 1, х-у = 2. 219. 221. 2Xj+ 4*2 = 1. 2x-y + 3z = 9, 3x-5y + z = -4, 4x-7y + z = b. {x-y + 3z = 9, 3x-5y + z = -4, 4x-7y + z = 5. 223. Путем преобразования расширенной матрицы В выяснить, разрешима ли система '2x+7y + 3z + t = 5, x + 3y + 5z-2t = 3, x + oy~9z + St = l, эх+18у + 4z +Ы = 12. 35
224. Найти ранги матриц '2 14 5^ 10 12 ,12 4 0, в = (\ 1 1 \Л 12 12 3 13 1 v0 1 1 Qj путем преобразования строк и столбцов матриц (накапливая нули). § 3. Векторы (см. [2], § 5) 225. а) Найти проекцию вектора а = (1, 4) на направление, определяемое векторомЬ = (l/v2, \j-J2). б) Вычислить проекции х, у, z вектораа на оси координат, если|а| = 2,а =7t/4,p =к/3,у = 2п/3, гдеа, р,у —углы, которые составляет вектора с осями х, у, z соответственно. в) Найти проекции вектора а из пункта б) на направленную прямую L с единичным ортом Ь = (1/2, 1/2, l/j/2). 226. Пусть даны векторы а = (1, 2, 2), Ь - (2, 1, -1). Найти модули этих векторов, расстояние между точками а и Ъ (если векторы а иЪ отложены из начала координат) и скалярное произведение ab. 227. Найти косинус угла между векторами: а) а = (2,-4, 4), Ь = (-3,2,6); б)а = (^2, 1,-1), Ь = (1,0,0); в) а = (1,3, л/б ),Ъ = (1,1,0). 228. Может ли вектор а - (х, у, г) составлять с осями координат углы а = тг/6, Р = тг/4? 229. Найти координаты вектораа, если \а\ = 3, а = р = у. 230. Даны векторы а и b такие, что \а\ = 13, |bj = 19, |а + Ь\ = 24. Найти \а - Ь\. 36 231. Даны векторы аиЬ такие, что \а\ = 11, |Ь| = 23, |а - Ь\ = 30. Найти |а + Ь\. 232. Найти угол между векторами а = (1, 1, 1, 1), 6- (0, 1,0,1). 233. Пусть векторы аиЬ^О ортогональны. При каком значении параметра А, вектор а + %Ь ортогонален к вектору а + Ь? § 4. Деление отрезка в данном отношении (см. [2], § 7) 234. Найти на отрезке, соединяющем точки О = (0, 0, 0) и А = (1, 2, 2) трехмерного пространства #3, точкуМ = (#, i/, 2), делящую этот отрезок в отношении 2:3. 235. Найти координаты центра масс М = (х, у) системы двух материальных точек А = (3, -5), В ~ (-1, 1), в которых сконцентрированы массы q=p= 1. 236. В условиях задачи 235 пусть q = 3, р = 5. Найти координаты центра масс. 237. Отрезок с концами А = (1, -5), Б = (4, 3) разделен на три равные части. Определить координаты точек деления. § 5. Прямая линия (см. [2], § 8) 238. Выяснить, какие из точек Мх = (3, 1), М2 = (2, 3), М3 = (-2, 1) лежат на прямой 2х + Зг/ - 13 = 0. 239. Записать уравнение прямой 2х + Зу - 13 = 0 как уравнение прямой с угловым коэффициентом и как уравне- 37
ние прямой, проходящей через некоторую точку в данном направлении. 240. Дана прямая х + 2у + 1 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0 = (2, 1): а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой. 241. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2х-Зу+Ь = 0, Зх + 2у-7 = 0 и одна из его вершин О = (0, 0). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника. 242. Привести уравнения прямых: а) 2х + Ъу + 4 = 0; 6)jc + i/-1 = 0;b)2x-i/+3 = 0k нормальному виду. 243. Найти расстояние от точки А = (1, 2) до прямых: а) 2х + Ау - 5 = 0; б) 2х + By + 1 = 0, в) х + у ~ 0. § 6. Плоскость (см.[2],§9) 244. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 = (1, 2, -3) и перпендикулярной вектору V=(l,-2, 3). 245. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: (1, 1, 1), (1, -1, 0), (2, 1, 3). 246. Написать уравнение плоскостей, проходящих через точку (1, 1, 1): а) перпендикулярно и б) параллельно плоскости 2х + Ay + z - 5 = 0. 247. Какие из плоскостей параллельны друг другу: а) Ах + 2у - Az + 5 = 0, 2х + у - 2z ~ 1 = 0; б) х - Sz + 2 = 0, 2х - dz - 7 = 0; b)2x-3i/+52-7 = 0, 4л:-6у+Юг-14 = 0; т)2х-Зу+5г-7 = 0, 4х - Зу + Юг - 14 = 0. 38 248. Привести уравнения плоскостей: а) 2х - Зу + Qz - 7 = 0, б) Ах - у + 8г - 14 = 0 к нормальному виду. 249. Найти расстояния от точки А = (1,2, 1) до плоскостей: а) 2х - Зу + 62 - 7 = 0, 6)2x + y-2z-l = 0. 250. Найти угол между плоскостями задачи 248. 251. Написать уравнение шаровой поверхности с центром в начале координат, касающейся плоскости 2x + 3i/ + 4z-12 = 0. 252. Записать уравнение 2лг+1/-52-6 = 0 как уравнение плоскости в отрезках. 253. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку (2, -1, 1) перпендикулярно плоскостям: 2x-y + 3z- 1 =0, х + 2у + z = 0. 254. Определить углы а, р, у, которые составляет нормаль к плоскостям с осями координат: а) х + yJ2 +«г-1 = 0; б) х>!3 + у + 1 = 0. 255. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями: а) х - 2у - 2z - 1 = 0; х - 2у - 2z - 6 = 0; б) 2х - Зу + 62 - 1 = 0, 4х - 6у + 122 + 1 = 0. § 7. Прямая в пространстве (см. [2], § 10) 256. Найти точки пересечения прямой 2x+i/-2-3 = 0, x + y + z-~l = Q с координатными плоскостями. 39
257. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты прямой 'Аре + В1у + (\г + Д = О, Ар, + В2у + C22 + D2 = Q, для того чтобы она: а) пересекала ось абсцисс и б) совпадала с ней. 258. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (1, 0, -1) параллельно вектору а — (2, -3, 5). 259. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (1, -1, -3) параллельно вектору а = (2, 1, 5). 260. Составить канонические уравнения прямых: f x-2y + 3z~4 = 0, (5x + y + z = 0, а) [Sx+2y~5z-4 = 0; } {2x + 3y-2z+5 = 0. 261. Найти угол (р между прямыми х~2 = у-3_ z х + 1 = У-2^ г+5 1 -1 72' 1 -1 ~Ж' 262. Даны прямые х + 2 = У =г-1 дг-3 _У-1 = 2-7 2-34' Z 4 2 При каком значении I они пересекаются? 263. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1, -1, 0) и перпендикулярной плоскости 2х - 4у + z = 3. § 8. Ориентация системы векторов. Векторное и смешанное произведение векторов (см. [2], § 10—13) 264. Заданы векторы: а) а = (1, 2), Ь = (3, 5); б) а = (1, 2), Ь = (3, 7). Выяснить их ориентацию относительно системы хОу. 40 265. Пусть векторы а иЬ образуют угол со =п/6, кроме того, \а\ - 7, \Ь\ - 6. Найти \аХ Ь\. 266. Выяснить, коллинеарны ли векторы а - (1, 0, 3) иЬ = (2, 0, 6). 267. Какому условию должны удовлетворять векторы а, Ъ, чтобы векторы а + Ь и а - Ь были коллинеарны? 268. Доказать, что если а + Ь + с = 0, то а X Ь = b X с = с X а. 269. Вычислить синус угла, образованного векторами а = {-2, 2, 1)иЬ = (6, 3, 2). 270. Найти площадь S параллелограмма, построенного на плоских векторах а = (1, 2), Ь = (3, 4). Замечание 1. Если в плоскости хОу задан треугольник с вершинами А = {хх, ух), В = (х2, у2), С = (х3, у3), то площадь этого треугольника, очевидно, равна половине площади параллелограмма, построенного на векторахЛВ = -(х2- хх,у2- у^и. АС = (х3 - xv y3 - ух). Таким образом, площадь треугольника ABC равна -1, I ix2-xi у2-ух Это равенство можно также записать в виде 1 S_l2 х, Ух Уг Уя Последний определитель третьего порядка равен определителю второго порядка, записанному выше. Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить первую строку определителя третьего порядка на (-1) и сложить со второй и третьей строками и затем разложить определитель по элементам третьего столбца. В качестве примера вычислить площадь треугольника ABC с вершинами А = (1, 2), В = (2, -1), С = (0, 1). 41
271. Проверить, компланарны ли векторы: а) а = (2, 3, -1), Ъ = (1, -1, 3), с = (1,9, -11); б)а = (1, 1,0),Ь = (0, 1,0),с = (1, 1, 1). 272. Доказать, что четыре точкиА=(1,2,-1),Б=(0,1, 5), С = (-1, 2, 1), D = (2, 1,3) лежат в одной плоскости. Замечание 2. Взаимное расположение прямых. Зададим две прямые Ll и L2: х-х, = у~ул =z-zx «i Pi Yi ' №i) X~X2 = y-y2 = Z-Z2 «2 P2 Y2 №2) где af + p^ + y^ = 1 (i - 1, 2). Введем (единичные) векторы a1 = (c^, px, yx), a2 = (a2> p2 y2), и точки A: = (xu ylt zx)y A-2 = (^2» УГ2» 22/' Расстоянием d между прямыми Lx и L2 называют минимум расстояний между произвольными точками A е Lx и В е L2. Может быть три случая расположения прямых Lx и L2. I. Прямые Lx и L2 пересекаются в некоторой точке. В этом случае, очевидно, d = 0. П. Прямые Lx и L2 скрещивающиеся, т. е. они не пересекаются и не параллельны между собой. В этом случае векторы а1 и а2 не коллинеарны и расстояние g? между Lx и L2 вычисляется по формуле х2~хх Уг~У\ . . a, P\ Yt - (1) а2 Р2 У2 В самом деле, пусть Ylx есть плоскость, проходящая через прямую Lx параллельно прямой L2, и П2 — плоскость, проходящая через L2 параллельно Lr Очевидно, что плоскости П: и П2 параллельны между собой и перпендикулярны вектору а1 X а . Поэтому расстояние между прямыми Lx и L2 равно расстоянию между плоскостями П} и П2. Так 42 d = АА (а х а2) ! 1 21 а ха 1 1 2 а ха как точка Aj е Lx с Пр а точка А2 е L2 с: П2, то расстояние d между П, и П2, очевидно, равно абсолютной величине про- —*" 1 2 екции вектора АХА2 на вектор a X а : d = °р ^ АА что равно правой части (1) (см. [2], § 5, с. 37). III. Прямые Lx и L2 параллельны. В этом случае можно считать (изменив, если нужно, знак в уравнениях прямой L.2), что а = a . Расстояние d между Lx и L2 вычисляется по формуле (рис. 16) А ч лр^АА Рис. 16 d = АА - пр ЛА\ = АА - АА>а = 7(^2 ~ *S + 0/2 " У/ + (22 - ^ - [(Х2 ~ Xl) ttl + +(l/2-I/1)P1+(22-22)Y1]' (a;+pf+yiz=i). Замечание 3. Принадлежность двух прямых к одной плоскости. Покажем, что для того, чтобы две прямые Lx и L2 принадлежали к некоторой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство *2"*1 Уг~У\ z-i~zx a, a., 0. (2) Pi Yi P2 Y2 В самом деле, это равенство можно записать в векторной форме следующим образом: АХА2 (а1 X а2) = 0. Но это 43
есть условие принадлежности трех векторов АгА2, а , а к одной плоскости (см. [2], § 13), а следовательно, и условие принадлежности прямых L, и L2 к одной плоскости. Замечание 4. В случаях I и III прямые Lx и L2, очевидно, находятся в одной плоскости. Поэтому для них выполняется равенство (2). В случае же П прямые Lx и L2 заведомо не принадлежат ни к какой одной плоскости, и поэтому для них в этом случае равенство (2) не выполняется. В качестве упражнения найти расстояние между следующими прямыми: 4 5 4 * x-l_y-2_z-6 4 5 4 ' x-l_y-2_z-l 4 5 3 ' х-2 _y + l _z х- 5 6 3 х _ у-1_2-2. 12 1 ' лг-5 _ у-3 _ 2 + 1 8 10 6 -2_1/ + 2_2 + 1. м х + 1 = У + 1_ } 1 2 1 (ответы: а) 0; б) ЗД/2 ; в) V33/2; г) V3/14 ; д) 7Д/2 ; е) 0). Приведем решение задачи б). В данном примере Аг = = (1, 2, 6), А, = (0, 1, 2). Векторы (4, 5, 4) и (1, 2, 1) не являются единичными. Умножая уравнения прямых на модули этих векторов, получим уравнения прямых в требуемом для нас виде: *-!_ = У~2 = 2~Л- *= У~}- = 2~Я 4Л/57 5/л/бТ 4/^57' 7^ ?^ 7^Г' т. е. аг = 4/л/5Т, р! = 5/л/57 , уг = 4/^57 , а2 - l/л/б , Р2 = 2Д/6 , у2 = l/л/б . Легко проверить, что условие (2) не выполняется, т. е. наши прямые скрещивающиеся. Поэтому искомое 44 расстояние будем находить по формуле (1). Найдем векторное произведение единичных векторов а - (ост, р\, уг), а2 = (а2, р2, у2): \i j k а1 X а2 = |а, р, Yi 1 [-3i + 3fe]. л/6-57 |а2 Pa Y2 Отсюда |а X а' | = l/vf9. Теперь по формуле (1) получаем d = Jl9 -1 -1 -4 4 5 4 1 2 1 _3_ -J2 Замечание 5. Объем тетраэдра. Пусть в пространстве задан тетраэдр (треугольная пирамида) ABCDс вершинамиА= (xv ylt 2^), В = (х2, у2, z2), С - - (х3, у3, z3), D - (хА, у4, 24). Требуется найти объем этого тетраэдра (рис. 17). 1л ' &\ /•' л ч -V 1 1 1 " '•' / I 1 f i J Рис. 17 Из рисунка видно, что объем тетраэдра ABCD равен 1 /6 объема параллелепипеда, построенного на векторах АВ, AC, AD. Но нам известно (см. [2], § 13), что объем этого параллелепипеда равен абсолютной величине векторно-ска- лярного (смешанного) произведения векторовAB,AC,AD. Поэтому объем V треугольной пирамиды ABCD равен V=\~ (АВХ AC)AD\ = 45
х2-х, у2-уг г2-г, Хз-Ъ Уг-Ух 2з-21 хл-х, у4-у} zA-zx хх х2 х3 *4 Vi У-2 Уз У, 21 22 23 24 1 1 1 1 Задачи. Найти объем тетраэдра, заданного вершинами: а) А = (0,0,0), Б = (1,1,0), С = (2, 1,0),D = (0,0, 6); б) А = (0,0,0), В = (4, 1,1), C = (1,1,0),D = (0,0, 8) (ответы: а) 1; б) 4). § 9. Зависимые и независимые системы векторов (см. [2], § 14) 273. Выяснить, будут ли векторы: а) а1 = (1, 1, 1, 1), а2 = (1, 2, 1, 2), а3 = (3, 1, 3, 1), а4 = (0, 1,1,0); б)а! =(1,0,1), о2 = (1,1,2), а3 = (2, 1,2) линейно зависимы или линейно независимы. 274. Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима. 275. Найти все значения X, при которых вектор Ъ = = (7, -2 Д) линейно выражается через векторыа =(2,3, 5), а2 = (3, 7,8), а3 = (1,-6, 1). § 10. Линейные операторы. Базис (см. [2], § 15-17) 276. Вычислить произведение матриц АВ и ВА: а)А = 3 -2 5 -4 Б = 3 4 2 5." б)А = 1 2 3 4 В = 1 Г 0 1, 46 в)А = '5 8 -4^ 6 9-5 U 7 -3J , в = (3 2^ 4 1 [\ 2) 27 а) в) 7. и и Вычислить эг !Т ■е (/г> !) 3). выражения: е 1> ,0 1 б) 1 1 0 1 278. Найти все матрицы В = | |, перестановочные (коммутативные) с матрицей А: а)А=Л 2> 3 4Г 6)А = 1 2 0 1 279. Найти матрицы, обратные данным: (2 5 а)А = в)А = 1 2 3 4 fcosa -sina б)А = 6 3 4 \Ъ -2 -3 l^sina cos a 280. Решить матричное уравнение 1 2\ (Ъ 5 3 4Х~U 9 гдеХ = х у z t Решение. Найдем матрицу, обратную к матрице А = |* 2|:Лп = 4, А12 = -3, А21=-2, A22=l, A = 1 2 3 4 = -2; А~х = А А ^2 ^22 V А А У 47
Умножая слева обе части уравнения на А , получаем Х=А~ "С -4 (А1 А = Е) '3 5Л = (-1 -Г .5 9J I 2 3, 1281. Решить матричное уравнение -2^| М 2N Чтобы найти матрицу А , обратную к матрице А, можно решить систему у =Ах относительно х. Пусть х = By. Тогда А71 - В, потому что АВу = Ах = у, т. е. АВ = Е, ВАх - By = x, т. е. ВА = Е, где Е — единичная матрица, т. е. АВ - ВА = Е. Найдем этим способом обратную матрицу для матри- 1 2' цыА = 3 4 Составим линейную систему Ах = у или хх + 2х2 ■■ [Зх1 + 4х2 Решая эту систему, получим х1 = - 2ух + у2, У* :Уг * = \Уг Отсюда А~х = (-2 3 2 I 2) 282. Найти А указанным способом для матриц: (\ 1 0\ а)А = 1 2 1 О б)А = 0 1 1 О 283. Выяснить, какие из преобразований (операторов) Ах являются линейными и для линейных операторов найти их матрицу: а) Ах = (х2 + х3, 2х1 + х3, Зх1 - х2 + х3); б) Ах = (лгр х2 + 1, xs + 1). 48 284. Пусть в базисе i , i , V заданы линейно независимые векторы a , a ,a . Найти линейное преобразование, переводящее векторы а , а", а соответственно вЬ1, Ь2, Ъ , если а1 =(2, 3, 5), Ь! = (1, 1,1), а = (0, 1,2), Ъ2 = (1,1,-1), а =(1,0, 0); Ь3 = (2,1, 2). Указание (см. [2], § 16). Если заданы системы векторов а = (ап, а21, а31), а = (а12, а22, а32), а = (а13, а23, а33); Ь = (Ьи> &21, b3l)» fo2 = (&12» &22» fe32). fo3 = (&13> 623> &3з)> то линейный оператор, порожденный матрицей А = ам ам О V"31 а22 а., Чг *22 -23 а,, а33; отображает базис i , i , i соответственно в а , а2, а3. Следо- —1 1 2 *3 1^*3 вательно, А отображает а ,а,а соответственно в i ,i,i. Далее, оператор В, порожденный матрицей (К Ь-п Ai К Кг К, К*) К* К^ в = отображает базис i ,i ,i соответственно в Ъ , Ъ , Ъ . Следовательно, ВА' отображает а , а', а соответственно в Ь1, Ь2, Ь3. 285. Найти линейное преобразование, переводящее векторы о1 = (2, 0,3), а2 = (4, 1,5), а3 -(3,1,2) соответственно в векторы Ьх = (1,2,-1), Ь2 = (4, 5, -2), Ь3 = (1,-1,1). 286. Линейное преобразование А в базисе i1, i2, i3, i4 имеет матрицу 0 1^ -1 2 3 1 12 13, П 2 3 0 2 5 49
Найти матрицу этого же преобразования в базисе: ч .1 -3 .2 .4. a) i , i , i , i ; б)?,?+ i2,ii+i2 + i*,i1+i*+ ? + (*• 287. Линейное преобразование А в базисе а =(1,2), а2 - (-1, 1) имеет матрицу A J 1 ~Г (-1 -3 Найти матрицу этого преобразования в базисе Ь = (1, -2), Ь2 = (3,-1). 288. Пусть преобразование А в базисе а , а (см. задачу 287) имеет матрицу А = I. Найти матрицу этого преобразования в базисе Ь , Ь . 289. Проверить, какие из пар векторов ортогональны: а) ж-(1,2,3), у = (0,-3, 2); б)* = (1, 2, 1),у = (0,1,2); в)* = (1,0, 1),у = (0, 2, 1). 290. Показать, что система векторов й* = (1,2,3), е =(0,-3, 2), <?3 = (13,-2,-3) есть ортогональный базис в R3. Найти координаты вектора х = (1, 0, 0) в этом базисе. 291. Пополнить ортонормированную систему векторов x = 0jJ2,Otl/J2,O), y = (0,~l/>/2,Q,l/J2) до ортонормированного базиса в i?4 векторами г и t. 292. Выяснить ориентацию ортогонального базиса по отношению к основному базису i = (1, 0, 0), i = (0, 1, 0), i3 = (0, 0, 1): ,i/22 1\ 2/2 1 2\ з/ 1 2 2\. а)а = (з- з' "з)' а = 1з' "з' з)' а " Гз' з' з)' б)а =l2'2'"T"J' " "U'2' 2>a "l 2 ' 2 'UJ- 50 293. Пусть новый ортогональный базис Ь , Ъ задается ортогональной матрицей ,ГД/2 угЛ " L-l/2 V3/2J- Записать формулы, связывающие координаты (хг, х2) вектора а в старом базисе с его координатами (х[, х^) в новом базисе. 294. Пусть базис а , а задан матрицей '1 Г А \2 1 Записать формулы перехода от координат вектора а в старом базисе к координатам в новом базисе и наоборот. §11. Линейные подпространства (см. [2], § 20) 295. Является ли линейным подпространством совокупность векторов: а) имеющих нечетные целые координаты; б) имеющих четные целые координаты; в) лежащих на прямой, проходящей через начало координат; г) лежащих на оси х или оси у, д) концы которых лежат в первой четверти системы координат (начало вектора предполагается совпадающим с началом координат); е) концы которых лежат на данной прямой; ж) концы и начало которых лежат на данной прямой; з) являющихся всевозможными линейными комбинациями векторов х , х х в Rn (k < я)? 296. Перечислить все линейные подпространства В2. 51
297. Пусть L — подпространство R2 (т. е. совокупность векторов, лежащих на прямой х2 - kx:). Найти ортогональное к нему подпространство L'. 298. Найти размерность и базис линейных подпространств, являющихся линейными комбинациями векторов (или, как говорят, натянутых на данную систему векторов): а)а1 = (1, О, 0,-1), а2 = (2, 1, 1, 0), а3 = (1, 1, 1, 1), а4-(1, 2, 3, 4), а5 = (0, 1, 2,3); б)о1 = (1, 0, 1), а2 = (1, 1, 1), а2 = (2, 1, 2), а4 = (3, 2,3). 299. Пусть L — подпространство в Я4, натянутое на векторы а1 = (1,0, 0,-1), а ={2, 1, 1,0). Найти подпространство I/, ортогональное к L. Пусть вектор а ортогонален к V. Доказать, что он есть линейная комбинация векторов а , а (а = аа + [За ). 300. Пусть е , е — ортонормированный базис плоско- « л е .11-212 сти и линейный оператор А в базисе/ = е , / = е +е имеет матрицу (| _2J. Найти матрицу сопряженного оператора А* в том же базисе / , / . 1 2 Решение. В базисе е , е матрица оператора А* является сопряженной к матрице оператора А. Найдем сначала матрицу оператора А в базисе е , е . Имеем A(e1)=A(f1)=f+f = 2e1+e2; А(е2) =A(f - f)=A(f)-A(fl) = f-2f = -e1 - 2е\ Таким образом, матрица оператора А в базисе е , е имеет вид 1 -2/ 1-1 -2 1 2 Найдем теперь значение оператора А* на векторах/ , / : А*/1 = А*е1 = 2е - е2 = З/1 - f; A*f = А*(е1 + е2) = А*е1 +А*е2 = З/1 -f + e1- 2е = б/1 - З/2. 52 Таким образом, матрица А* в базисе f, f имеет вид 3 6^ -1 -3. 301. Пусть в задаче 300 матрица оператора А в базисе / , f равна . Найти матрицу А* в том же базисе. 302. Линейный оператор А в базисе /1 = (1,2, l),f = (1,1, 2),f = (1,1,0) задан матрицей (\ 1 3\ 0 5-1 ,2 7 -3, Найти матрицу А* в том же базисе, считая, что координаты векторов даны в некотором ортонормированием базисе (например, f =е1 + 2е2 + е3). § 12. Самосопряженные операторы. Квадратичные формы (см. [2], § 22, 23) 303. Найти наибольшее собственное значение самосопряженного оператора, определяемого матрицей: 304. Пользуясь теоремой Сильвестра, выяснить, будет ли квадратичная форма строго положительной: а) х\ + х2 + 3х^ + 4ххх2 + 2xxxz + 2х2хА; б) 2хгх2 + 2хгх3 + 2хгх4 + 2х2х3 + 2х2х± + 2х3хА; в) 2xY +х2 + З^з + 2ххх2 + 2хххг + 2х2х3. 305. Находя собственные значения, выяснить тип квадратичной формы: а) / = х2 + Аху - у2; 6)f=x2 + 2Ъу2 + Юху; в) f = х2 +3у2 + 2^3 ху. 53
306. Привести квадратичную форму к каноническому виду: а) Зх2 +3лг3 + 4ххх2 + 4хгх3 - 2х2хг; б) 7^ + 7^+7^ + 2хгх2 + 2хххг - 2х2х3. 307. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид: а) 6л:,2+ 5*2+ 7*3 - 4дс1х2 + 4ххх2; б) 17х,2 +14^ + 14^3 - 4ххх2 - 4xxxz - 8x2x3. § 13. Кривые второго порядка (см. [2], § 24) Общее уравнение кривой второго порядка записывается: Ах2 + 2Вху + Су2 + Dx + Ey + F= 0, (1) где А, В, С одновременно не равны нулю. Считаем, что В > 0. Иначе к этому можно свести уравнение (1), полагая х - x'f у = -у'. Соответствующее ортогональное преобразование приводит уравнение (1) к виду Х£2 + Х2ц2 + 2dZ, + 2ег| + g = 0, (2) где ^Д2 — собственные значения линейного самосопряженного оператора, порожденного квадратичной формой Ах2 + 2Вху + Су2 (3) и d, e, g — некоторые числа. При В = 0 уравнение (1) имеет вид (2). Поэтому считаем далее В > 0. Координаты^, Г) рассматриваются в новой прямоугольной системе (новом ортонормированном базисе), единичными ортами которой являются собственные векторы указанного самосопряженного оператора. При этом, если первый собственный вектор л: (единичный), соответствующий собственному значению Xlt имеет координаты (х0, у0), то за второй собственный вектор (при В > 0) берем вектор (-г/0, л:0) или (у0, -х0). Отметим, что векторы (л:0, у0), ( -у0, х0) ориентированы так же, как исходный базис i = (1, 0), j - (0, 1). 54 Векторы же (х0, у0), (у0, ~х0) ориентированы противоположным образом (Д Уо = -1 < 0). Уо "*о Итак, если В > 0, то преобразование координат имеет вид 1х = х£+у0г\, [у = у£±х0ц. В двумерном случае собственные значения и собственные векторы можно вычислять по формулам, которые были получены в [2], § 24: Х2 = ^-^4В2 + (А-С)2; *-JF А-С 2 ' 2д/4В2 + (Л-С)2 ' и = /1 А-С ° V2 2V452 + (A-C)2 = 0, Конечно, можно каждый раз находить собственные числа как корни характеристического уравнения А-Х В I В С-Х\ а координаты собственного вектора х как решение системы (А-Хх)хо-Вуо = 0, Вх0 +(С-\)у0 = 0. Уравнение (2), если оба числа Хх и Х2 не равны нулю, можно записать так: Х& - а)2 + Х2(ц - р)2 = у, а = -f, р = -f-, (4) где у — постоянная, откуда, полагая и = 2; - a, i> = rj-p, получим Ххи2 + X2v2 = у. (5)
Если АС -В > О, то ХХХ.} > 0 и из (5) непосредственно получается каноническое уравнение эллипса (действительного или мнимого) или точки. Если же АС -В < 0, то Хгк2 < 0 и из (5) легко получается каноническое уравнение гиперболы или пары пересекающихся прямых. Если же АС - В2 = 0, то ХХХ2 = 0. Однако одно из чисел Хх или Х2, пусть, например А.р отлично от нуля. Тогда уравнение (2) записывается в виде Х& - а)2 + Ьц = со. (6) Если 5 = 0, то уравнение (6) определяет пару прямых (действительных или мнимых). Если же8 Ф 0, то, полагая и = £; - а, и = г| -^г и, возможно, v - — v', получим каноническое уравнение параболы. 308. Установить тип кривых и привести их уравнения к каноническому виду: а) Зх2 + Зу2 ~6х- \2у +3 = 0; б) Зх2 + 2у2 - 6л: - 12у +15 = 0; b)x2-2/ + 4i/-4 = 0; г) Зх2 -6х + Зу2 - 12у +15 = 0; д)л:2-2г/2 + 41/-2 = 0, е)4х-3у2 + 12у- 12-0; ж) Зх2 + 2у2 -6х- \2у + 22 = 0. 309. Установить тип кривых и привести их уравнения к каноническому виду. Записать преобразования системы координат. Изобразить системы координат и кривые: а) Зх2 + 10ху + Зу2 ~2х- Uy -13 = 0; б) 25л:2 - Uxy + 25у2 + 64* - 64у - 224 = 0; в) 9л:2 - 24л;у + 16у2 - 20л: + 110у - 50 = 0. 310. Дано уравнение кривой 4л;2 - 4ху + у2 + 6л: + 1 = 0. Определить, при каких значениях k прямая у - kx а) имеет одну общую точку с кривой; 56 б) пересекает кривую в двух точках; в) не имеет общих точек с кривой. 311. Выяснить, при каких значениях k прямая y = kx касается кривой (х+у)2 + 2 = J2(y - х). 312. Записать уравнение кривой второго порядка, проходящей через точки: (0, 0), (1, 0), (1, 1), (-2, 1), (0, 3). § 14. Поверхности второго порядка (см. [2], § 25) Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид anxi + а22*2 + азз*з + 2а12ххх2 + 2а13ххх3 + 2а23х2х3 + + 2А1х1 + 2А>х, + 2А3лт3 + В = 0. (1) Если в уравнении (1) отсутствуют смешанные произведения переменных (т. е. а12 = а13 = а23 = 0), то приведение уравнения поверхности к каноническому виду осуществляется путем образования полных квадратов относительно переменных xv x2, х3 вида ап(хх - о^)2 + а22(х2 - а2)2 + а33 (х3 - а3)2 и параллельного переноса начала координат в точку (сц, а2, а3). Если же смешанные произведения присутствуют, то сначала приводим к каноническому виду симметрическую квадратичную форму 3 3 II Zj 2^аМХкХ1 Собственные значения оператора, порожденного данной квадратичной формой, находим как корни характеристического уравнения 57
11 a22-X a33~x = 0. а координаты собственных векторов x (k = 1, 2, 3) находим из систем '(an-Xk)Xl+ а^2хг + а13*3 =0, ' а2Л +(а22-^>2 + а23Л;3 = 0> «ЗЛ +а32Л:2 +(a33-^>3=0' которые, как показано в [2], § 25, всегда имеют решения (три попарно ортогональных вектора х , х , х ). 313. Привести к каноническому виду уравнение поверхности и указать ее название: а) х2 + у2 + z2 + 2х + Ау - 4 = 0; б) х2 + 2у2 + г2 + 2х + Ау - 1 = 0; в) х2 + 2у2 - z2 + 2х + Ау - 1 = 0; г) х2 + 2у2 + 2х + Ау - 2z + 3 = 0; д) х2 - Ау2 - z2 + 8z/ - 2z - 9 = 0; е) х2 + 2у2 - 2х - Ау - 1 = 0. 314. Привести к каноническому виду уравнение поверхностей и указать соответствующие преобразования координат: а) И*,2 + Ъх\ + 2*з + 16^*2 + Ахххъ - 20*2*3 + 2хх + + 2л;2 + 2*3 + 1 = 0; б) 3*2 + 3*з + 4*!*2 + 4*!*3 - 2*2*з + 4*г + 1 = 0. 315. Найти кривую пересечения плоскости * = 2 с эллипсоидом 2 ,,2 2 16 12 4 316. Записать каноническое уравнение однополостно- 58 го гиперболоида, проходящего через точки (1,0, 0), (0, 4, 0), (1,1,1). 317. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида 2 , 2 у + z - х плоскостью * + 2у - z = 0. 318. Какая линия определяется уравнениями 2- + М--9? 4 + 3 "^' [х2-2у + 2 = 0? 319. Найти уравнение касательной плоскости к одно- полостному гиперболоиду 2 2 2 2 ,2 + 2 L а о с в точке (0,0, с). 320. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса 2 i 2 ~ 1, г = 0 вокруг оси *. Решение. Возьмем произвольную точку Р = (х, у, 0) на указанном эллипсе. При вращении эллипса вокруг оси * точка Р опишет окружность радиусом у. Пусть М = (*, у, z) — любая точка на этой окружности (а следовательно, и на искомой поверхности). Ясно, что (рис. Щ СР = \у\ = СМ = = ^у2 +z , х = *. Так как точка Р лежит на эллипсе, то п , 0 Рис. 18 59
2 —2 а о Подставляя в это уравнение вместо уихих. значения, получаем 2 2 , ^ 2 -г 2 - х . а о Это и есть искомое уравнение поверхности. Замечание 1. Кривую f(x, у) = 0 мы вращали около оси х, тогда в уравнении кривой координата у заменяется П г на уу +2 , в результате получается уравнение поверхности вращения около оси х: Очевидно также, что уравнение f(ylx2 + /,y) = 0 есть уравнение поверхности вращения вокруг оси у. 321. Составить уравнение поверхности, образованной вращением кривой: 2 Х —^Zj Л\ J 2 ' 2 2 I 1" Й) I „ = 0; вокруг оси z. 322. Найти точки пересечения поверхности и прямой: яч *L + ,g!._. Z-i *-3^?/-4^z+2. j81 36 9 ' 3 -6 4 ' R\xt + JL-9 x + l_y~2_z+3 } 5 3 " ' 2 " -1 " -2 " 323. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, образующие которого касаются сферы (х + 2)2 + {у- I)2 + (г- З)2 = 9. Решение. Данная сфера радиусом 3, ее центр имеет координаты С - (-2, 1, 3). Таким образом, плоскость хОу каса- 60 ется шара в точке Р - (-2, 1, 0) (рис. 19). Луч ОР является образующей. Направляющая конуса лежит на сфере и в плоскости, проходящей через точку Р перпендикулярно прямой ОС. Уравнение прямой ОС -2 13' Уравнение плоскости, проходящей через точку Р, перпен- Рис. 19 дикулярно ОС: ~2(х + 2) + (у - l) + 3z = 0. Поэтому направляющую конуса можно задать в виде системы f(* + 2)2 + Q/-l)2+(z-3)2 = 9, -2x + y + 3z-5 = 0. Пусть теперь (х, у, г) — произвольная точка на направляющей и (X, Y, Z) — произвольная точка образующей (а следовательно, и точка конуса). Уравнение образующей можно записать как уравнение прямой, проходящей через точки (0, 0, 0) и (х, у, z): х у z ' Исключая х,у,гиз системы и последних трех уравнений, получим уравнение конуса. Зафиксируем z = с и выразим х, у через X, У, Z: х=сХ cY Подставляя эти значения в систему и исключая параметр с, получим после элементарных преобразований уравнение конуса 6YZ = 0. X2 + 4Y2 - 4Z2 + 4XY + 12XZ 324. Составить уравнение конуса с вершиной S = (5,0,0), 2 2 2 образующие которого касаются сферы х + у + z =9. 61
Глава 4 Функции многих переменных (см. [1], глава 8) § 1. Основные понятия 325. Найти и изобразить области существования функции: a)u = Vi~*2-V; 6)" = V1~^+^; в) и = Jy2-4x ; г) и = 2 2; * +£/ д) u = In (л; + у); е) и = arcsin—. х 326. Найти и изобразить области существования функций трех переменных: a)u = Jl-V^- V а Ъ 2 Z- • 2 ' С , у' 2 6)u = Ji-4-M; V а Ъ с в) и = In (-я2 - у' + 2z); r)u = Jl+^г + ^г-нг; V а & с д) u = arcsin;c + arcsini/ + arcsinz. 62 327. Найти частные значения функции f(x,y) = x2 + £ X в точках (1,0), (1, 1), (2, 1). 328. Найти f(x, у), если f(x + 2у, х ~ 2у) = ху. 329. Линией уровня функции и = /(я;, у) называется множество точек области ее определения, в которых она принимает заданное постоянное значение: f(x, y)=c. Последнее равенство, таким образом, является уравнением линии уровня. Геометрически это означает, что мы произвели сечение поверхности определяемой функцией (ее графика) плоскостью и = с и полученную в сечении линию спроектировали на плоскость хОу. Эта проекция сечения и есть линия уровня. Найти линии уровня функций: а) и= 1-^-^2-; б)и = 4- а Ъ х 330. Найти расстояние р между точками (1, 0, 1) и (2, 1, 0) пространства R3. 331. Найти предел последовательности точек 332. Пусть множество Е = {\х\ < 1, \у\ < 1}. Какие точки этого множества являются внутренними? 333. Будут ли связными множества: [cab J в) £ = {х2 + у2 * 1}? 63
§ 2. Предел функции. Непрерывность (см. [1], §8.2, 8.3) Число А называется пределом функции / в точке х , о если она определена на некоторой окрестности точки х , за исключением, быть может, ее самой, и если \imf(xk)=A, k О X — X *^ О X * X какова бы ни была стремящаяся к х последовательность k о точек х из указанной окрестности, отличных от х . Однако бывают случаи, когда функция f определена не на всей окрестности, а только на некотором ее подмножестве Е. В этом случае возникает понятие предела функции в точке х по множеству Е. Число Л называется пределом функции f в точке х е е Е(Е — замыкание!?, см. [1], § 8.1 \)помножествуЕ, если lim /(**)= А, х**х" х еЕ.х *х какова бы ни была последовательность точек х е Е, сходящаяся к х . Это определение эквивалентно следующему: число А называется пределом функции / в точке х е Е по множеству Е, если V £ > 0 3 5 = 5(£, х°) > 0 такое, что \f(x)-A\<z VxeE, 0<|*-*°|<5. Пример 1. Функция f{x) = f(Xlt X2) = J*f + x]sill 21 2> Xl+x2 определена на всей плоскости R2, за исключением начала координат. Очевидно, что в любой окрестности начала координат функция f удовлетворяет неравенству \f(x)\ = JZ72sin-T^ ^Jx2l+x^\x\=\x-0\<E(x*0) xl+x2 64 при условии, что \х\ <5 =8. Таким образом, обычный предел функции / в точке 0 = (0, 0) существует и равен нулю: lim f(x) = 0. дг—О х*0 Пример 2. Функция fix,, x2) = (x^ + ^)sin-L хгх2 определена на множестве Е> представляющем собой плоскость R2 без координатных осей. Обычного предела в точке 0 = (0, 0) функция f не имеет, но предел / в этой точке по множеству Е существует и равен нулю: lim fix,,x2) = 0. (*,, х,)бЕ Задачи. Рассмотреть вопрос о существовании предела у функций: sin(x2+y2) а) fix, у) = —|—2—1- в точке (0, 0); х +у l~cos(x2+y2) б) fix, у) = . \ ' в точке (0, 0); (х +у )ху в) fix, у, z) - ехр(-1/(д:2 + у2 + z2))/ix4 + у4 + z4) в точке (0, 0, 0). 334. Найти пределы функции: a) lim^^ ix * 0); б) lim^^. 335. При каком значении с функция [ с, х +4у >1 будет непрерывной на всей плоскости х, у? 65
336. Выяснить: а) будет ли непрерывной в точке (0, 0) функция f(xty) = -\x* + y' 0, х = у = 0; б) будет ли она непрерывной на луче в направлении любого вектора® & 0, выходящего из начала координат. 337. Доказать, что множество точек (х, у), удовлетворяющих неравенству 1 - х2 - у > с, открыто. § 3. Частные производные. Дифференциалы (см. [1], §8.4, 8.5, 8.8) Найти частные производные функций и их полные дифференциалы: 2 3 339. и = хгу б)и = ху + ±; г) и = sh (x + у); 338. и = х + у - 2ху. 340. и = In (х + Jx2+y2). 341. а) и = arctg ^; х в) и = х?; д) и = ch (x2y + shy). 342. Вычислить определитель Д = 2 2 если: a) x = r cos <p, i/ = г suup; б) л: = г + ф, i/ = г + ф . 343. Найти частные производные от сложных функций по переменным t и т: а) и = -Jx + y, где дг = еш:, у = 1п£; б) и = xz/, где я = cos (£+ т), у- sin (£ - т). дх дг ду дг дх дц> & д<р 66 344. Найти и построить градиент функций в точке а) и = х у; б) и = 2х - 3z/ . 345. Найти в точке Р = (1, 1) производные функций ц по направлению вектора п = (V3~/2, 1/2): а) и = In yjx2 + y2; б) ц = 2л;2 - 3i/2. 346. Найти производную от функции и = 2х - Зу в точке Р = (1, 1) в направлении градиента. 347. Найти углы, которые составляет градиент функции в точке Р = (1, 1) с осями координат: Ч Л5 --Ч ч/З а) и = я: +1/; б) ц = # + i/ . § 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков (см. [1], §8.4, 8.5, 8.9) 348. Найти частные производные и дифференциалы второго порядка от функций: а) и = In (х2 + у); б) и = yj2xy + у2. 349. Показать, что функции а) и = arctg (у/х); б)и = -\n^J(x-af+(y-bf удовлетворяют уравнению (Лапласа) дх ду 350. Показать, что функция и = ф(х - at) + у(д; + at), гдеф, \|/ имеют производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению О U _ fl2 Q~U _ dt дх 67
351. Найти производные и дифференциалы второго порядка от сложных функций (х, у — независимые переменные): а)и = Д^, г]), £ = ах, ц = by; б) и = /(£, ц), £ = х + у, ц = х - у. Предполагается, что /(^,г|) имеет производные до второго порядка включительно по всем переменным. § 5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (см. [1], § 8.7) 352. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхностям в указанных точках: а) к параболоиду вращения и = х +у в точке (1, 2, 5); 2 б) к поверхности и = ~ - у в точке (2, -1, 1). § 6. Формула Тейлора (см. [1], §8.10) 353. Найти приращение, получаемое функцией: а) и = х2 - у2 + ху при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям хг = 1 + h, уг = 2 + k; б) и = х2у при переходе от %= 1, i/= 1 к значениям хг = 1 + h, у1 = 1 + k. 354. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (0, 0) до членов третьего порядка включительно функцию f(x, у) - е sin у. 355. Разложить функцию f(x, у) =ехр (х + у) по формуле Тейлора в окрестности точки (1, -1) до членов третьего порядка включительно. 356. Найти значение параметра G в формуле Лагран- жа для функций двух переменных (см. [1], § 8.10): 68 Ах)-КхЦй) в-0+(Й (*г-*2°)(о<е<1); а) / (х) = х, + х, относительно точек д:0 = (0, 0), х = (1, 1); б) / (х) = х1 + х2 относительно тех же точек. § 7. Экстремумы (см. [1], §8.13) Исследовать на экстремум функции: 357. z = (х - 2)2 + 2у2. 358.z = (x-2)2-2y2. 359. г = х* + Аху - 2у2. 360. z = хА + у* - 2х2 + Аху - 2у2. 361. и = х2 + у2 + г2 - ху + х - 2г. 362. Выяснить, имеют ли функции наибольшее значение; если имеют, то найти его: а) г А г' 0**<1. 0«у«1, [2(2-1/), 0<х^1, 0<у^2; § 8. Неявные функции. Условный экстремум (см. [1], §8.15—8.17) 363. Найти производные у'х, у", от неявной функции у(х), заданной уравнением а о 364. Найти &- и &., если дх ду х cos у + ycos z + z cos я = 1. 69
365. F {x, у, z) = 0. Доказать, что ду дх ' dz дх ду 366. Функции и, v переменных х, у заданы неявно системой уравнений \x-<p(utv) = Q, [y-\\f{utv)-0. Найти &, Mt dvt до. дх ду дх ду 367. Найти -^-, ^, если х = и cosl\ у = и sinu, z = cv. дх ду 368. Написать уравнение касательной плоскости к поверхностям: а) х2 + 2z/2 + 3z2 = 21 в точке (V3 , 0, 6); 2 2 2 б) К ЭЛЛИПСОИДУ ^J+2+^ = 1 В вГО ТОЧКв (XQt y0, ZQ). а Ъ с 369. К поверхности х2 + 2у2 + Sz2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости х + 4у + Qz = 0. 370. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Sxyz - z =a в ее точке (0, а, -а). 371. Найти прямоугольник наибольшей площади, имеющий заданный периметр I. 372. Найти оси эллипса Ъх2 + 8ху + Ъу2 = 9. 373. Из всех треугольников данного периметра 21 найти тот, который имеет наибольшую площадь. 70 Глава 5 Ряды (см. [1] глава 9) § 1. Числовые ряды (см. [1],§ 9.1—9.7) 374. Пользуясь определением, выяснить сходимость рядов и найти их суммы: a) J_ + -JL + _1_+ + I . . 1-2 2-3 3-4 п(п+1) "" 2-5 3-6 (л+1)(л + 4) *)Г Йп(л + 1)(л+2) " 375. Доказать расходимость гармонического ряда со 1 I1' и» пользуясь интегральным признаком и критерием Коши. 376. Используя интегральный признак сходимости ряда, выяснить, при каких а > 0 сходится ряд £?Га. я=1 Доказать, что ^ = f~=0(b(^+l)), N>2; (l) 71
s>Si-0f(N + l)lal, 0<a<l, N>\; (2) J5=Zi- = 0(iV1-e),a>l, TV^l. (3) k=NK V / Решение. Так как функция Дя) = х-0 (а > 0) монотонно убывает к нулю на (0, оо) при х— со, то ряд ^k^ и со несобственный интеграл [аГ11 dx одновременно сходятся или 1 расходятся. Как известно, этот несобственный интеграл сходится при a > 1 и расходится при 0 < a < 1, следовательно, и ряд ]Г k~° сходится при a > 1 и расходится при 0 < a < 1. Оценим теперь порядок роста 5^ (0 < a < 1). Пусть a = 1. Тогда 1 X k=i k X *=i « (N > 1); Отсюда In (ЛГ + 1) < Si < 1 +ln (АГ + 1) < 21n (N + 1), N> 2. Неравенство \s\,\ < 21n (N + 1) и доказывает свойство (1). Используя равенство (0 < a < 1) [N + l) ]_= r d*= у f dx 1-a 1-a j *a £{ *a ' аналогичным образом получим (2). Отметим, что постоян- 1 — (X ные, входящие в символ О (N ), зависят от а. Оценим теперь остаточный член Я^ (а > 1): *+i 1 _ f dx _ у Г а* < у 1 _d« . (a-l)Af JN x k=N k x *=nR 72 —1 >y_X_ = у _L = 7?«_J_ (a-ljAT1 ft(ft + l)e *£♦.*' N Na' N (a-l)*""1 Na a-1 C j> т. е. имеет место (З). Отметим, что на самом деле мы доказали больше: 1 <ffa< a 1 Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения и необходимый признак: 377.^ + | + ... + -р±1+.„. 378.Х 3 5 2д+1 ~'"'^я2 + 2л* 379. а) ±£fc; б) Ё^Ц-. П=1*П +1 £ifc +1 380.a)f>(l + I); 6)£lnfl + il; С помощью признаков Даламбера или Коши исследовать сходимость рядов: 381. ±Ш. 382. !+£+•-+4+-■-£< ™{Щ 3 9 3" £з" Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака: 385. £_—L_. 386. f —1_ (е > о). 73
387. У-21—• 388. Исследовать сходимость рядов с общим членом: v? 4x dx йч Fsinxdx Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость: (1 \ rt+l оо 00„.1__T__...TJd2_+.„. 390. Z (-1)' л+1 3 5 "" " 2п-1 ~ л2 391. Показать, что ряд^^А сходится абсолютно, если оо оо ряды £a2, Yj>k сходятся. § 2. Функциональные ряды (см. [1], §9.8, 9.9) 392. Найти область сходимости рядов: а)£Л: 6)£(-l)"-L; " П п=1 Л B)f;sB*S; r)j>-*. *=1 « п=1 393. Исследовать последовательности на равномерную сходимость: а)/я(х) = -^,0<*<оо; я + п 6)fn(x) = xn,0<x <1/2; в) £,(*) = ж"-х"*1, О <ж <1; гШ*) = *п-*2п,0 <ж <1. 74 394. Убедиться, что данные ряды равномерно сходятся на всей оси х: 395. Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти сумму рядов: г2 " &)х + ±- + ... +^+ ...; 2 гс б) 1 + 2*+... + (" + 1)лг" + ...; в) 1 - Зх2 + 5х4 - ... -К-1)" " !(2п -1)х2п ~ 2 + ... . § 3. Степенные ряды (см. [1], §9.11, 9.12) 396. Определить радиус и интервал сходимости рядов и исследовать сходимость в граничных точках интервала сходимости: *) £4; б) f>*)n; в) £(п-1)3"-V"1. п=1 Л rt=l n=2 397. Написать два первых, отличных от нуля члена разложения в ряд по степеням х функций: а) tg x, б) th x; в) exp (cos x). 398. Выразить в виде рядов интегралы: а)]ехр(-*2)А; 6)Jarctgtd^ 399. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл \е'Ц. ОД Х 400. Разложить функцию ех по степеням (х ± 2). 75
Глава б Дифференциальные уравнения (см. [3], глава 1) § 1. Общие понятия (см.[3],§ 1.1, 1.2) 401. Составить дифференциальные уравнения семейства кривых: а) у2 = 2Сх; б) у = Схх + С2; в) у = Сех; г)х2 + у2 = С2; йу^С^ + С^*. 402. Построить изоклины дифференциальных уравнений и нарисовать эскизы интегральных кривых: а) у' = х; б)у'=1+ у2; в) у' = -х. § 2. Уравнения первого порядка (см. [3],§ 1.3) Решить уравнения с разделяющимися переменными: 403. ху dx + (x+ 1) dy = 0. 404. ^ + 1 dx -xydy = 0. 405. e"s(l + ^) = 1. 406. y' - xy2 = 2xy. 407. y' = 3y2/\ y{2) = 0. 408. y' ctg x + y = 2,y(0)=l. 76 *nr 409. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2/3 абсциссы точки касания (рис. 20). 410. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющейся жидкостью. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через один час? 411. Тело охлаждается за 10 минут от 100° до 60°. Температура окружающей среды поддерживается 20°. Когда тело остынет до 25°? Рис. 20 Решить уравнения, приводящиеся к виду (1) (при а = 1 — однородное уравнение): 412. {х + 2у) dx - х dy = 0. Указание. Замена у = tx. 414. у2 + х2у' = хуу'. 9 413. (у2 - 2ху) dx + x2dy = 0 415. x4dy = y2dx 416. x4dy = (y2 + ~x6) dx. 417. x dy = (x2 cos2Jy + 2y) dx. x 418. Найти кривую, касательная к которой отстоит от начала координат на величину, равную модулю абсциссы точки касания. Уравнение вида у' + а{х)у + Ъ{х)у2 = с(х) называется уравнением Риккатщ оно в общем случае не решается в квадратурах. Некоторые из них являются уравнениями типа (1). Решить уравнения Риккати: 419. х2у' + ху + х2у2 = 4. 420. а) Зу' = -у2 - 4; б) у' = ±аУ'ха^>. 77
Решить линейные уравнения: 421. у' + 2у = 4х. 422. ху' - 2у = 2х\ 423. х(у' -у) = ех. 424. ху' + у = е*, 1/(1) = 1. 425. i/ = x(i/ - х cos x). 426. (sin2z/ + х ctg у)у' = 1. Решить уравнения Бернулли: 427. у' = у4 cos х + у tgx. 428. у' = ^- + i. л l/ 429. д^ - 2x2Jy~ = 4у. 430. $!L + Jt = _ -q,2. art д: § 3. Метрические пространства. Сжимающие операторы. Теорема существования решения (см. [3], § 1.4—1.7) 431. Будет ли n-мерное пространство Rn метрическим пространством, если расстояние между точками* = {хх,...,хп) лу = (у1У...,уп) определить равенствами: а)р(ж, y)=max{|*,-i/J}; б) р(*, y)=ln 7 г=1,_. л ^U, Х = у I 432. Выяснить, будет ли множество всех непрерывных функций, заданных на [а,Ъ], метрическим пространством, если p(f,g) = \][f(x)-g(x)fdx\ . 433. Пусть \п\ 0<х<Уп,а>0, При каких а последовательность fn{x) сходится к нулю в смысле метрики задачи 432? 434. Будет ли полным метрическое пространством = = [2, 3) с метрикой р(х, у) = \х - у\? 78 435. Будет ли оператор (функция) F(x)=х2 сжимающим: а) на полном метрическом пространстве М = [-1 /3,1/3]; б) на полном метрическом пространстве М = [-1, 1]? В случаях а) и б) метрика р(х, у) = \х - у\. 436. Построить итерационную последовательность для оператора F{x) = х2, если х0= 1/2. 437. а) Найти неподвижные точки оператора F(x) = = 1/(1 + х) на [1/2, 1]. Будет ли оператор F{x) сжимающим на [1/2, 1]? б) Пусть оператор F(x) (х = (хг, х2)) действует в двумерном метрическом пространстве R2 по закону F(x) = (xlt-хг) (зеркальное отображение относительно оси х2 = 0. Какие точки являются неподвижными для этого оператора? в) Пусть F(x) = (xlf x,), х g R2 Какие точки плоскости R2 являются неподвижными точками оператора F? 438. На основании теоремы существования решения дифференциального уравнения исследовать, в каком промежутке [х0-д, х0+ 8] гарантируется существование решения уравнения j/ = /(*» У), если: а) xQ = 1, у0 = у(1) - 2, f{x, у) = 2ху на множестве Ь-2|<1 = ЬГ б) х0 = 1, у0 = у(0) = 1, f(x, у) = 2ху2 на множестве D[ |*|<Л/4 = а1 \у-\\<1 = Ь J 439. Для уравнения у' = ±ху,у(0)=1, найти приближенно у(1), используя метод Эйлера. За шаг вычисления принять h = О,1. 440. Методом Эйлера для уравнения у' = х + у найти приближенно 1/(2), если у{1) = 1. За шаг вычисления принять h - 0,1. 79
§ 4. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения (см. [3], § 1.8—1.10) 441. Найти все решения уравнений; выделить особые решения, если они есть; дать чертеж: а) у'2-у2 = 0; б)у'2-4у* = 0; в)Л'2+1)=1; г)у'2 = 4у\1-у); д) ху'2 - 2уу' + х = 0; е) у(ху' -у)2 = у- 2ху'. 442. Решить уравнения методом введения параметра: ь)х = у'* + у'; б)у = у'2 + 2у'3; в)х = у'^йу. 443. Уравнение вида у = х<р(у') + Ч>0/)> где (ф, \|/ — некоторые функции, называется уравнением Лагранжа. В частности, если фО/) = у', то уравнение называется уравнением Клеро. Эти уравнения также решаются введением параметра: y'=p,dy=p dx; у = х<р(р) + \\>(р); dy = ф(р) dx + хц>'(р) dp + \j/'(p) dp, или, учитывая, что dy =pdx, получим [р - ф(р)] dx = [х(р'(р) + у'(р)] dp. Последнее уравнение является линейным относительно х. Решать его мы умеем (если р Ф(р(р)): х = Cf(p) + Цр), где f,g — известные функции. Система x = Cf(p) + g(p), У = х<р{р) + у(р) дает параметрическое задание решения. Если же р = (р(р) (в этом случае мы имеем уравнение Клеро), то [*фЧр) + у'(р)]ф> = 0, откуда: 1) dp = 0, р = С и у = х<${С) + у(С) = хС + \|/(С) — общее решение уравнения Лагранжа (Клеро). Это семейство прямых. Формально общее решение получается заменой в уравнении у' на произвольную постоянную С; 80 2) хф'(р) + \\i(p) = 0. Тогда из системы \у = х<р(р) + у(р), \о = хц>'(р)+у'{р) исключением параметра р получим у = х(*)« Если эта функция является решением уравнения Лагранжа и нарушена единственность решения, то она является особым решением уравнения Лагранжа (Клеро). 444. Решить уравнение Клеро , 1 ,2 У = ху -±у' . 4 445. Решить уравнение у = ху' + Jl+y>2. § 5. Понижение порядка дифференциального уравнения (см. [3], §1.14) 446. Решить уравнения: а) у" = cos х; б) у'" = х. Решить уравнения: 447. хV = У'2 • 448. у'" = 2(у" - 1) ctg x. Ы9.у'" = у"2. 450.у" = 2уу'. 451. ху" = 2уу' - у'. 452. уу" + / = 1. 453. 2уу" = у'2 + у2. АЬА.уу" = у'\ 455. уу" = у'г + y2i/. 456. хуу" - ху'2 - уу' = 0. 457. х2уу" = (у- ху')2. 81
§ 6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами (см. [3], §1.16) Решить уравнения: 458. у" - 2у' - Зу = 0. 46O.i/4)-y = 0. 459. у'" ~ 5у" + 6у' = 0. 461. у'" - 5у" + 8у' - 4у = 0. 462. a) y(i) + 2у" + у = 0; б) у" + Зу' -4у = 0. 463. Доказать, что определитель Вронского у№ yJA W Ы-Х) ~ п (*) PnW, W(f) = W\yx yj = <Г"(«) системы решений у ft), ..., yn(t) уравнения y{n\t) +Pi(0 у{п"1} (0 + - +Pn (0 у (0 = о, с непрерывными на (а, Ь) коэффициентами px(t), удовлетворяет уравнению ^ = -P,(W)- Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому, интегрируя это уравнение в пределах от х0 до х, получаем 1п 1^)1 L=~ JPi(')d*. *) W(x) = W(x0)exp\]p1(t)dt Последняя формула носит название формулы Остроградского—Лиувилля; из нее, между прочим, следует, что если Щх0) Ф 0, то определитель Вронского не равен нулю во всех точках (а, Ъ). В этом случае, как мы знаем, решения yx(t) yjt) линейно независимы на (а, Ь). Указание. См. задачу 86, б). Использовать тот факт, что yfit)--Plit)yt (t)-...-pn(t)yk(t) (*=!,..., n). 82 где: где: 464. Решить неоднородные уравнения у'" - 5у" + Ну'- 4у = f (х), a) f(x) = 2е3х; б) Я*) = 4е*; в) f(x) = Зе2х. 465. Найти частное решение уравнений 1/(4) + 2г/"+ !/ = /(*), a) f(x) = ех\ б) f(x) = sin я; в) fix) = sin л: + cos х; г) Дх) = sin 2x. 466. Решить уравнение у" + 2z/ -Зу = sin лг. 467. Написать форму частного решения неоднородных уравнений: у"' - 5у" + 6у' = f(x), где 2х a)f(x) = ex; 6)f(x) = xe' в) f(x) = sin л:; г) f(x) = xVx; д) Дл:) = х2 + х + 1; е) / (я) = хех sin л:. § 7. Уравнение Эйлера. Уравнения с переменными коэффициентами (см. [3], §1.15, 1.16) 468. Выяснить, какие системы функций являются линейно независимыми на [0, 1]: а) 1, sin2re, cos 2х; б) 4 - х, 2х + 3, 6х + 8; в) х + 2, (х + 2)2; г) х2, х3, х4. 469. Решить уравнения Эйлера: а) х2у" - Аху' + 6у = 0; б) х2у" - Зху' +3у = 0; в) х2у" - Зху' + 4у = 0; г) х2у'" - 2у' = 0. 470. Решить уравнение (частный случай уравнения Бесселя при v = 1/4, см. [3], § 1.24) х2у" + ху' + (х2 - -) у = 0; Решение. Введем замену у =aix)z и подберем функцию aix) так, чтобы исчез член с первой производной г'. Имеем 83
у' = a'z + az', у" = a"z + 2a'z' + az"; x2az" + z'[2a'x2 + ax] + z[a"x2 + a'x + ax2 - ~] = 0; 2a' + ^ = 0, a = ±,a'=--±r, x Jx 2x л/х a' 4л:2 -Jx* 2 x2a" + xa' + x2a - ~ = -Ц-. 4 Vx Окончательно получаем ■ф2" + Л=г = 0, z" + z = 0. *JX six Последнее уравнение с постоянными коэффициентами, его общее решение 2 = Сх cos х + С2 sin х. Общее решение исходного уравнения У - -p-fCi cos x + С2 sin x). 471. Решить уравнение у" - 2ху' + х2у = 0. Указание. См. задачу 470: а(х) - ехр(я: /2). 472. Решить уравнение х2у" + ху'-у = f(x)> где: а) /(л:) = х ; б) /(х) = х . § 8. Метод вариации постоянных (см. [3], §1.17) 473. Решить уравнения; 6)i/" + 4£/ = 2tg х; в)у"Ч£/' = г)у" + 2у' + у=±ех. 84 cosre § 9. Системы дифференциальных уравнений (см. [3], § 1.19—1.22) 474. Решить систему путем сведения ее к одному дифференциальному уравнению: а) в) dx dz .dx dx dt -х + -У--г = 0, dt -x-y + ^ = 0; * dt + 2y + 4z = 4x, + y-z = x2; -y-z = 0, 6)1 dy_ dx dz ~dx = 2, r)i du —&— ? = dx 2 = 1, dz ~+y = x. Idx 475. Решить однородные системы, не переходя к одному дифференциальному уравнению: \у1=2ух+у2, (х = х-у, а) у2 = 3у{+4у2; у~4х; в) -ft = y+5z, dx dx *(t) = y(t), г)Ш*) = 2(*)> 476. Решить неоднородные системы: x = x-y + \, а) y = y-4x + t; x=x-y+e, 6) i . A 3t y = x-4y + e . § 10. Решение уравнений с помощью степенных рядов (см. [3], §1.24) 477. у" + у'- ху2 = 0, у(0) = 2, уЩ = 1. 478.у" + ху = 0, у(0)=1, i/(0) = 0. Решение. Будем искать решение у(х) в виде степенного ряда 85
y(x) - aQ + агх + а2х2 + ... Находя z/, у", ху и подставляя их в уравнение, мы получим ряд соотношений, связывающих коэффициенты щ (а0 = 1, ах = 0), из которых и находим значения этих коэффициентов. Однако можно рассуждать и следующим образом. Степенной ряд является в то же время рядом Тейлора функции у(х), поэтому мы можем записать: у(х) = уф) + у'(0)х + ^х2 + ^х> + ... Значения у(0) = 1, у'ф) = 0 известны по условию. Значение других производных от решения у(х) в точке х = 0 мы можем найти, используя дифференциальное уравнение. Из уравнения478 имеем у"ф) = - 0 X у(0) = 0. Дифференцируя уравнение, получаем у'" + у + ху' = 0, откуда !Г(0) = -у(0) = -1. Аналогично у(4) + 2у' + ху" = 0, i/(4)(0) = - 2у'(0) = 0, у(5) + Зу" + ху'" = 0, у(5)(0) = - Зу"ф) = 0, f> + 4у" + ху4 = 0, у(6)ф) = - 4у"Щ = 4, у(п) + (п ~ 2)у1п ~ 3) + у(п)ф) = - (л - 2)1/(п " 3)(0), Подставляя значение упф), получаем УК } 31 6! 9! Полученный ряд сходится на всей оси равномерно и абсолютно. 479. у" + уех = 0, уф) = 2, у'ф)=1. 480. у' -у + хеу, уф) = 0. Найти первые три члена ряда. 86 § 11. Устойчивость по Ляпунову (см. [3], § 1.25, 1.26) 481. Исследовать на устойчивость с помощью функции Ляпунова нулевое решение системы: а) {* = -*> б))*-*'-? 5 [у = х~у ; [у = -х-у +у ; \у = х + у . Замечание. Если существует функция v(x, у) такая, что в достаточно малой окрестности начала координат существует область, где v > 0, причем v = 0 на части границы области (v > 0) и 4^ = ^г~- + |^ > 0 в области v > 0, то точка покоя неустойчива (теорема Четаева). 482. Исследовать на устойчивость нулевое решение у систем с симметрической матрицей: = х-2у, = -2х+4у; е=х+3у, = 3х + 8у. в) 483. Исследовать на устойчивость системы; Гх = 3х, (х = х + 3у, )\у = 2х + у\ \у = -6х-5у; Л* = *. Г± = -2х-5у, ;]у = 2х-у; '\у = 2х + 2у;
Глава 7 Кратные интегралы (см. [3], глава 2) § 1. Интегралы, зависящие от параметра (см. [3], § 2.4) 484. Найти область определения функции F(x)= J——У-йу (т. е. значений х, где интеграл существует). Исследовать ее на непрерывность и дифференцируе мость. 485. Исходя из равенства о вычислить интеграл ь }-^4 = Iarctg±, J x+a a a !; dx J I 2 , 2Y ' о[х +а J 486. Вычислить производную F'(x), если a) F(x) = X\exyidy; б) Fix) = ]^±^-dy (x > 0); i о У 88 X b)F(x) = jf(y + x, y-x) dy, о где f(u, v) непрерывна вместе со своей частной производной f'u. 487. Найти интеграл от функции F(x) на [0, 1], если 1 I a) F(x) =\(y- 2x) dy; б) F{x) = } (х + у) dy. х2 § 2. Кратные интегралы (см. [3], §2.1—2.5) Вычислить двойные интегралы: 488- \\f^%* где /) = {3 < х < 4, 1 < */ < 2}. 489. \\{х + 2у) dx dy, где D = \у2-^*^\ Вычертить области интегрирования и изменить порядок интегрировалия в следующих двойных интегралах: 491./= )dy ( f(x,y)dx. 492. / = jdx j f(x,y)dy. -6 (y2-4)/4 0 х/Л 493./ = jdx) f(x,y)dy. 494./ = jdx)f(x,y)dy. 1 Mr О v< ^ ^ 495. / = j dy j f(x, y) dx. 0 y2/2c' 89
Переменить порядок интегрирования и найти двойной интеграл: 496.1 = ]dx](x + у2) dy + \dx J (x + у2) dy. 0 0 10 497. /= \dx] xy2dy. 0 x Вычислить тройные интегралы: а Ь с I х У 498. \dx\dy\ (x + y + z) dz. 499. )dx\dy) xyz dz. 0 0 0 0 0 0 500. \dz\\xyzdxdy, D={x2 + y2^ 4,x>0,y>0}. 0 D 501. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле \\\f(x, у, z) dx dy dz, V где 2 2 а) V — общая часть параболоида 2az ^ х + у и шара х2 + у + г2 < За2 (а > 0); 222 2222 6)V—общая часть шаров л: +у +z <R , х +у +z ^ < 2Rz. § 3. Замена переменных в кратном интеграле (см.[3],§ 2.6—2.10) 502. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл ^^a-x2~y1dxdy, s rzeS={x2 + y2 <а2,у>0}. 503. Вычислить тройной интеграл 2 2 2 где V — эллипсоид ^j + ^j + ~^ ^ 1. a b с 90 504. Вычислить двойной интеграл о т/а*-*' _ \dx [ л]хг + у2 dy. о о 505. Вычислить двойной интеграл W: ^■-^2-^2 dxdV* а о 2 2 где 5 — эллипс —j + % < 1. a b 506. Переходя к сферическим координатам, вычислить Ш"**2 + У2 + г2 dx dy dz, где V — шар радиусом R с центром в начале координат. 507. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл 2 ч2х-х2 а , I = jdx jdyjz^x2 + y2 dz. 0 0 0 508. Вычислять двойной интеграл jj(x2 + у2) Jtf -хг-уг dx dy, s где S — круг радиусом R с центром в начале координат. § 4. Применение кратных интегралов (см. [3], §2.11, 2.12) 509. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у2 = 10x + 25, у2 = -6х + 9, и сделать рисунок. 510. Нарисовать тело, объем которого выражается двойным интегралом 1 1-х \dx J (1 - х - у) dy, о о и вычислить его объем V. 91
511. Найти объем V тела, ограниченного цилиндром 2 2 2 х + z = а и плоскостями у = 0, z = 0, у- х и находящегося в первом октанте. Сделать рисунок. 512. Вычислить объем V части цилиндра х2 + у2 = 2ах, 2 2 содержащийся между параболоидом х + у = 2az и плоскостью 2 = 0. Сделать рисунок. 513. Найти площадь части плоскости * + £+*=!, а Ъ с находящейся в первом октанте {х > О, у > 0, z > 0). 514. Найти площадь части поверхности шара х + у2 + z2 - 2 = а , вырезанной эллиптическим цилиндром 4 + 4 = 1(Ь<а). а о 515. Найти центр масс верхней половины эллипса D = Ur + Kr<X y>o\, заполненного массой с плотностью р = 1. 516. Найти объем: а) тела, образованного вращением половины эллипса D (см. задачу 515) около оси х, б) эллипсоида 2 2 2 2 ^ ,2 ^ 2 ^ L• а о с 517. В полушаре Q={x2 + y2 + z2 <a2,z>0} плотность распределения масс пропорциональна расстоянию точки от центра шара: р{х, у, z) = Сл]х2+у2 + zz. Найти центр масс этого тела. 518. Найти центр масс однородной фигуры (рис. 21) S={0 <у< 4-х2, -2 < х ^2}. 92 519. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции S (см. задачу 518) около оси х. Рис. 21 Рис. 22 520. Найти момент инерции однородного цилиндра, высота которого h и радиус основания а, относительно оси, служащей диаметром основания цилиндра. Решение. Пусть ось z направлена по оси цилиндра, основание цилиндра находится на плоскости г=0и центр основания совпадает с началом координат. Момент инерции будем искать относительно оси у (т. е. относительно плоскостей х = 0, z = 0) (рис. 22): I{Z = \(x2 + z2)dxdydz, Где G — рассматриваемый цилиндр. Вычисляя интеграл, получаем С= )dx [ dy](**+2?)dz = 4h]Jtt(*? + £)dx = = (x = asmt) = 4a2hj cos2tl a2 sin2 t+~\dt = = 4a^hU]^f^dt+fp-±^dt =^М(За2 + 4Л2). 93
§ 5. Несобственные интегралы (см. [3],§ 2.13) 521. Вычислить интегралы: Ooll + X+I/J 00i + x+i/ оооо в) J jxy exp (- х2 - у2) dx dy. 00 Вычислить с помощью дифференцирования по параметру интегралы: 522. }l^y-dx=F(y) (*/>-!). о хв fyx' о х г 1 ~УХ 523. j^r-dx=F(y) Q/>0). о х 524. Используя равенство jxydx = -±- (у>-1), о У вычислить \x^j£dx (Р>-1,сх>-1). о 1п* 525. Исследовать сходимость несобственного интеграла jjlnyjx2 + y2 dxdy, s где S — круг х + у < 1. 526. Исследовать на равномерную сходимость интегралы: a)F(y) = ]^^dx (~co<y<coy, 00 б) F(y) = jjy exp(-yx2) dx (0 <у< оо). 94 Глава 8 Векторный анализ (см. [3], глава 3) § 1. Криволинейные интегралы первого рода (см. [3], § 3.2) Вычислить криволинейные интегралы: 527. J , где Г — отрезок прямой, соединяющей г * У точки А = (0, -2) и В = (4, 0). 528. J ху ds, где Г — контур тре- г угольника с вершинами А = (-1, 0), Б = (1,0),С = (0, 1). Решение. Уравнение прямой АВ: у = 0; прямой ВС: х + у=1; прямой АС: у - х = 1 (рис. 23). j xy ds = 0; jxy ds = jxy ds = УЬ -1 0| Рис. 23 В 95
1 = jx(l -x)J2 dx = V2/6; 0 0 jxy ds = jxy ds = jx(l + x) л/2 dx = - V2/6 ; CA AC -1 \xyds = J ...+ J ...+ J ... = 0 + ^-^=0. Г АВ ВС CA DO 529. J xy ds, где Г — контур прямоугольника с верши- г нами А = (0, 0), В = (4, 0), С = (4, 2), D = (0, 2). 530. J лгу ds, где Г — часть эллипса, находящаяся в г 2 2 первом квадранте: ~ + ^т = ^t x> 0ty> 0. а Ъ 531.} I/ <is, где Г — часть параболы у = 2 Jx , находяща- г яся в верхней полуплоскости 0 < х ^ 1. 532. J (х - у) ds, где Г — окружность х2 + у2 = lax. г 533. Найти массу т части эллипса х = a cost, y = b suit, расположенной в первой четверти, если плотность в каждой его точке равна ординате этой точки. 534. Найти площадь S боковой поверхности параболи- 8 3 2 ческого цилиндра у=~гх , ограниченной плоскостями z - 0, х = 0, z = х, у - 6. Решение.С геометрической точки зрения криволинейный интеграл 96 J f(x, у) ds, где f(x,y) >■ 0, можно интерпретировать как площадь цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси z, основанием контуром интегрирования Г и вы- у сотами, равными значению функ- Рис. 24 ции f(x,y). Поэтому искомая площадь (рис.24) S = J xds, г 3 2 где Г — часть параболы у = — х (0 < х < 4). Вычисляя, о получаем S = )xJl+(^x)dx = -±-]yJl6+9x2d(l6+9x2) = 108 = ^-(l6 + 9*2f =16(10^10-1). 27' 535. Найти площадь боковой поверхности кругового цилиндра, находящейся под первым витком винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt (0 < t < 2л) и выше плоскости z = 0. 536. Найти координаты центра масс однородной полуарки циклоиды х = a{t - sin t), у =а(1 - cos t) (0 < t < л). 537. Найти момент инерции относительно оси z (относительно плоскостей х = 0, у = 0) первого витка Г винтовой линии х = a cos t,y = a sin t, z = bt (0 < t < 2тс). 97
§ 2. Интеграл от вектора вдоль кривой (см. [3], § 3.3) 538. Вычислить криволинейный интеграл второго рода \ {у2 dx + x2 dy), г где Г — верхняя половина эллипса х = a cos t, у = b sin t, пробегаемая по часовой стрелке (рис. 25). Решение. При движении точки по кривой Г в указанном направлении параметр * изменяется от к до 0. Поэтому } (у2 dx + х2 dy) = г о = J [b2 sin2* (- a sin *) + a2 cos2t • b cos t] dt = л л =ab) [b sin3* - a cos3*] dt = = ab -Jb (1 - cos *) d cost - j a(l - sin *) d sin* l о *~x Рис. 25 539. Вычислить Рис. 26 jxdy, где Г — контур треугольника, образованного осями координат и прямой х + у = 2, проходимый в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки). 98 540. Вычислить j (у dx + x dy), г где: а) Г — дуга параболы у = 4 - х , находящаяся в верхней полуплоскости и проходимая по часовой стрелке; б) Г — ломаная линия, соединяющая точки (-2, 0), (0, 4), (2, 0); в) Г — отрезок [-2, 2] оси х. 541. Вычислить \{xdy + ydx\ г где а) Г — дуга параболы у = л/х;б)Г — отрезок прямой; в) Г — дуга параболы у = х2, соединяющие точки (0, 0) и (1,1) в направлении, указанном стрелками (рис. 26). § 3. Потенциал. Ротор вектора (см. [3], § 3.4) 542. Найти градиент функции и = х2 + 2у2 + Sz2 + xy - 62. 543. В каких точках пространства градиент поля и = х3 + у3 + z3 - Sxyz а) перпендикулярен оси z? б) равен нулю? 544. Найти ротор вектора a = {х, у, z), т. е. радиус- вектора, точки (х, у, z). 545. Найти ротор вектораа= {z + у, х, у). 546. Выяснить, имеют ли векторы а) a = x i + у j + z k; б) a = yzi + xzj + xyk; в) a = zi + xzj + xyk потенциал во всем пространстве R3. 547. Найти потенциальную функцию для вектора а = {х , у , z } в пространстве R3. 99
Решение. Ротор вектора а равен нулю в R3, Кроме того, пространство R3 представляет собой односвязную область. Поэтому вектор о имеет потенциал, который находим по формуле U(x, y,z) = j(Pdx + Qdy + R dz), г где за кривую Г можно принять ломаную (рис. 27), соединяющую точки (0, 0, 0), (*, 0, 0), (х, у, 0), (х, у, г). Интеграл второго рода в данном случае не зависит от пути интегрирования. Вычисляя, находим U(x,y,z) = ±(x3 + y3 + z3). г/ / X / t&yj У .. л / У Рис.27 § 4. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах (см. [3], § 3.5) 548. Какие из уравнений являются уравнениями в полных дифференциалах: а) (2х + Зу) dx + (Зх - 4у) dy = 0; dx б) У xdy _п, 2 — и» У в) (2-y)dx + xdy = 0? Реп1ить уравнения: 549. (2х + Зх2у) dx + (х3 - Зу2) dy = 0. 550. 2ху dx + (х2 - у2) dy = 0. 551. ёу dx - (2у + хеу) dy = 0. „ео Зх +у , 2х +Ъу , „ 552. 2 - dx - з-^ dy = 0. У У 100 553. yz dx + xz dy + ху dz = 0. 554. (д: + 2) dy + (у + z) dx + (x + у) dz = 0. 555. 2xy dx + (x2 + z2) dy + 2yz dz = Q. § 5. Формула Грина (см. [3], §3.7) Преобразовать криволинейные интегралы по замкнутым (положительно ориентированным) контурам Г в двойные по областям Q, ограниченным этими контурами: 556. J((l - х2)у dx + х(1 + у2) dy). г 557. J ((еху + 2х cos у) dx + (еху - х2 siny) dy). г 558. Вычислить j ((ху + x + y)dx + (ху + х - у) dy), г 2 2 X U где Г — эллипс =^ + ^т = 1. a b 559. Вычислить разность между интегралами Л= !((x + y)2dx-(x-y)2dy), h = к(х + У)2 dx-(x- у)2 dy), 9 где Гх — дуга параболы у = х , а Г2 — отрезок прямой, соединяющие точки (0, 0), (1, 1). 560. Вычислить интеграл J (-x2y dx + xy2dy\ г где Г — окружность х2 + у2 = R2, ориентированная положительно. 101
561. Найти площадь фигуры Q, ограниченной астроидой (рис. 28): х = a cos3*, у = a sin t. 562. Показать, что работа силы а = {2ху, х } при перемещении точки массой т зависит только от начального и конечного ее положения и не зависит от формы пути. Вычислить величину работы А при перемещении из точки (1, 1) в точку (2, 5). "V •V У 7 / \ -а \. \ \ та ъ X Рис. 28 § 6. Интеграл по поверхности первого рода (см. [3], §2.11, 3.8) 563. Если поверхность задана параметрически x = x(u,v), y = y (и, и), z = z (и, и) или в векторной форме: г (и, v) = x (u, v)i + у (и, v)j + z(u, v)k, где (иу v) E Q, функции х, у, z имеют непрерывные частные производные на замыканииО, то площадь S этой поверхности выражается двойным интегралом S = j\JEG-F2du dv = \\4Kf\rv\2-{ru>r)2du dv, где •-мЧЙ И дг\2 ди) ' F=s(r гл= ted*. + <%.<?£ dz_te к "' "; ди dv ди dv ди dv 102 В самом деле, как мы знаем (см. [3], § 2.11), S = jj\ruXrJidudv, но г.. X г.. = i j k fa ду_ dz_ ди ди ди dx_ ду_ dz_ dv dv dv поэтому lr„ X r j = D(u, v)_ D(z, x)]2+\p{x, yf2 D{u, v)j [D{u, v)_ Раскрывая якобианы под знаком корня, возводя их в квадрат и проводя необходимые алгебраические преобразования, получим искомую формулу. Данная формула для вычисления площади удобна в ряде случаев, особенно когда векторы ги и rv ортогональны ((ru,O = 0). В этом случае S = jj\ru\-\ru\dudv. а Найти площадь поверхности х = и cosu, у -и sin v, z = 4v (0 < и < 3, 0 < v < я). В данном случае ru = (cos v, sin v, 0), г = (-и sin v, и cos v, 4); (ru> rv) = 0, |r/=l,|rJ = 16 + M2. Поэтому S= jjl-Jl6 + ududv = ]dv]Jl6 + udu = njJl6 + udu = О 0 0 о |Vl6 + u2+81n(m-Vl6 + u2)]|3 = ! (15 + 16 Ui2). = к 103
564. Вычислить J (х2 + y2)ds, где S — сфера х2 + у + S , 2 2 + z =а . 565. Найти массу части сферы х +у +г = а , находящейся в первом октанте (х> 0, i/ ^ 0, z> 0), если плотность распределения масс на сфере равна -^х +у . 566. Вычислить J 2 dS, где S — часть поверхности ге- s ликоида: х = и cosu, у = и sinv, z - v (0 < iz <a, 0< v< 2л). § 7. Поток вектора через ориентированную поверхность (поверхностный интеграл второго рода) (см. [3], §3.12) Поток вектора а = (Р, Q, Я) через ориентированную поверхность S* \(a,dS*) = j(a,n)dS = s* s - J (Р cos (л, х) + Q cos (л, у) + Я cos (л, г)) dS S равен поверхностному интегралу первого рода от скалярного произведения (а, п), где п — единичная нормаль, определяющая ориентацию S*. Если поверхность задана уравнением г (u, v) = x(u,v)i + y (и, v)j + z (и, v) к {{и, v) e П), то dS = |г X г J du dv, п = ± ,ГцХГу, , |rHxrJ поэтому J (о, dS*) = ± /(а, г„ X r„) du dv. s* n 104 Отсюда видно, что разным сторонам поверхности S отвечают поверхностные интегралы второго рода вектора а, отличающиеся знаком. Если поверхность S задана неявным уравнением F(x, у, z)= = 0, то направляющие косинусы нормали определяются по формулам cos (п, х) = |£/D, cos (ti, у) = ~/D, ox oy cos (nf2) = |£/Df где D = ± |grad F\ = ± tJ^+fI +F2, . Знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности S. Поверхностный интеграл второго рода обозначают еще символом j(a, dS*) = j(Pdydz + Qdxdz + R dx dy). s* s* Эта запись удобна для случая явного задания поверхности. Если поверхность S одновременно определяется уравнениями x = f1(y,z), (y,z)eQ1; у = f2(x, z), (x, z) е П2; 2 = /3(*. У), (X, у) Е П3> то {(Р dydz + Qdxdz + R dx dy) = s* = ± jjPif, ((у, z), у, z) dy dz ± ± j\Q(x, f2 (*. г), z) dx dz ± jJR (x, y, f3 (*, y)) dx dy, где знак берется в зависимости от ориентации поверхности (например, перед первым интегралом ставится знак + или — в зависимости от того, образует ли нормаль к S острый или тупой угол с осью х). 105
567. Вычислить jz dx dy, где S* — внешняя сторона s* эллипсоида Решение.Способ 1. Поверхность S задана явным уравнением z = ±cJl-^r- х У 2 ,2 а о Косинус острого угла внешней нормали с осью z для верхней половины эллипсоида определяется по формуле cos (п, z)= l/Jl + z2x + z2y (а для нижней надо взять знак минус). Поэтому берем знак + в соответствующей формуле для верхней половины Я* эллипсоида: J' 22 1-^j-^jdxdy. s a ^ Аналогично для нижней половины эллипсоида S* '2 2 -^г-^dxdy. "Л V пI h 'Л Ч Таким образом, \г dx dy = -jj-cJl-4-^dxdy = c\\ Jl-4-fJ \z dx dy ^ 2c \\Jl-^j-Kfdxdy, s* n V a b гдеQ = \^2+^j^l\. Вычисляя последний интеграл, полу- la ь J чаем \z dx dy = — nabc Способ 2. Перейдем к параметрическому заданию эллипсоида: 106 л; = a cos u cos и, Г 0<1><2л| y = bcosusinvt А = \_п^и^к\ . [z = csinu, I 2Ч ^2J Здесь ги - {- a sinu cosi>, - b sinu sinu, с cosu}, rv= {- a cosu sinu, b cosu cosu, 0}. В правой системе координат внешняя нормаль к эллипсоиду определяется равенством п = - Ц V I Г., х Г. Рис. 29 Для примера возьмем точку х — а, у = 0, z = 0 на эллипсоиде. Эта точка соответствует параметрам и = v = 0. В этой точке ги = {0, 0, с}, rv = {0, Ъ, 0} (рис. 29). Векторное произведение ru X rv совместно с векторами ги и rv должно образовывать правую тройку (быть ориентированным так же, как система координат), т. е. вектор ru X rv направлен в сторону отрицательной оси х (см. рис. 29). Итак, \z dxdy - -jj (a, ru X rv) du dv = = -\\z»^dudv = -\\z\du d» ^ D(u, v) Ji I дх дЦ dv dv du dv = n/2 = abc J J sin u cos и dudv - 2nabc J sin2u cosudu = -л/2 л/2 f 2 4 = 4izabc I sin u d sin u = — nabc. о 6 568. Вычислить J (x2dydz + y2dxdz + z2dxdy), где S* — внешняя сторона полусферы х +у +z2 = a2 (z> 0). 107
569. Вычислить J {yz dy dz + xz dx dz + xy dx dy), s* где S* — внешняя сторона тетраэдра, ограниченного плоскостями х = О, у = О, 2 = 0, х + у + z = а (рис. 30). Рис. 30 § 8. Формула Гаусса—Остроградского (см. [3], §3.13) 3 3 3 570. Найти дивергенцию вектора а = {х ,у ,z). 571. Найти дивергенцию вектора а = / (г)—, где г = \г\, г = xi + yj + zk, f — дифференцируемая функция. 572. Пусть и = х2 + у2 + z2. Найти div (grad и). 573. Вычислить rot а, если: а) а - г; б) а = f(r)c, где c = cxi + с^ + c3k — постоянный вектор, r=\r\ = \xi + yj + zk\. 574. Пользуясь формулой Гаусса—Остроградского JjJ div a dG = J (a, n) dS, G S где 71 — единичный вектор внешней нормали к поверхности S, являющейся границей тела G, преобразовать поверхностные интегралы второго рода; а) J [xy dx dy + yz dy dz + xz dx dz); s б) | (x2 dy dz + y2 dx dz + z2 dx dy); s 108 •>J xcosa-f ycosp + zcosy f* 2 2 2 + y +z dS r)JMucosa+^cosJ3 + ^coSy | dS. i{dx dy H dz rJ С помощью формулы Гаусса—Остроградского вычислить поверхностные интегралы: 575. J (x dy dz + у dx dz + z dx dy), где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями х = 0, у = 0, 2 = 0, X + у + Z = 1. 576. )z dx dy, где S — внешняя сторона эллипсоида 2 2 2 ^+^0+^ = 1. 577. j z dx dy, где S — внешняя сторона эллипсоида из задачи 576. § 9. Формула Стокса (см. [3], §3.15) Формулу Стокса, устанавливающую связь между циркуляцией вектора а = (Р, Q, R) по контуру Г и потоком вектора rot а через ориентированную поверхность S* (с краем Г), можно записать в следующем развернутом виде: j(adl) = j(Pdx + Qdy + R dz) = -J cos a cosp cosy Л. А- А. dx dy dz P Q R dS=j (n, rot a) dS, 109
zk <5f Рис. 31 где cos a, cos p, cos у — направляющие косинусы нормали п к поверхности S. Контур Г ориентирован соответственно ориентации S* (рис. 31). 578. Вычислить по формуле Стокса криволинейный интеграл (циркуляцию) J (у dx + z dy + х dz), где Г — окружность хг + у2 + г1 = Ьг, х + у + z = О, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной оси х. Решение. Данный обход контура Г соответствует ориентации куска плоскости х + у + z = 0, лежащей внутри сферы х2 + у2 + г2 = Ь , нормалью, направленной вправо вверх (рис. 32): cos a = cos p = cos у = 1/V3 Рис. 32 (F(xty,z) = x + y + z = О, F^ = Fry = F's=l,\gradF\ = ^). Для вектора а в данном случае Р = у, Q = z, R - х, поэтому J (у dx + z dy + х dz) = -J (cos a + cos p + cos y) dS - г s 3, s -Mds- где S — круг радиуса b, лежащий в плоскости x + y + z = 0. Поверхностный интеграл первого рода от единичной функции, очевидно, равен площади поверхности, поэтому 110 ](у dx + z dy + х dz) = —j= Kb2 = -Js Kb2. 579. Вычислить по формуле Стокса и непосредственно циркуляцию \{(y~z)dx + (z- x) dy + (x- у) dz), г где Г — эллипс х2 +у2=1, х + z = 1 (рис. 33), пробегаемый против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной оси z. Рис. 33 580. Вычислить по формуле Стокса интеграл \((y+z)dx + (x + z) dy + (x+ у) dz), г где Г — окружность х + у + z = b , x + у + z = 0 (см, задачу 578).
Глава 9 Ряды и интеграл Фурье (см. [3], глава 4) § 1. Тригонометрические ряды (см. [3], §4.1, 4.2) 581. Построить графики частичных сумм S^jc), S2(x) ряда у1 cosfejc к k 582. Показать, что функция непрерывна и имеет непрерывную производную на (- оо, оо). 583. Выяснить, в каких точках периода сходится ряд JcO£fe(a>0) 584. Сколько раз можно дифференцировать ряд Z00 sinkx 9 о* * 585. Найти область сходимости ряда sinfex 112 § 2. Ряд Фурье (см. [3], §4.3, 4.4,4.6) 586. Разложить в ряд Фурье периода 2тс функцию f(x), если: a) f(x) = х на (-л, тс); б) f(x) = в) f(x) = 1*1 на (-л, тс); г) f(x) = п-х на (0, 2тс); 0,-л<л;<0, х, 0 < л: < л; Д) fix) = х, -л <*<0, е) /(х) = sin ax, -я < х < тс; О, 0<х<л; ж) /(*) = сп я*» -тс < д: < тс. 587. Исследовать сходимость ряда Фурье для периодической функции f(x) = \ n (см. задачу 586, г)). [ х, 0 < * < л Решение. Данная функция на [0, 2тс] ограничена, кусочно непрерывна и кусочно монотонна. В точке разрыва х =7Сонанеопределена(рис. 34), т. е. она не удовлетворяет условию Дирихле. Однако значение коэффициентов Фурье не зависит от того, какие значения функция f(x) принимает в отдельной точке. Поэтому доопределим функцию f(x) в точке х = тс, полагая Рис. 34 №) = /(тС+0)+/(тС-0) _ Q + 7I _ Л 2 2 2 Тогда ряд Фурье этой функции (см. задачу 586, г)) 4~я£0 (2*+1)2 + ЙГ } k сходится во всех точках х е [0, 2я] к доопределенной функции, в частности сходится к л/2 в точке х = л, т. е. 113
я я , 2 2 4 л^0(2/г + 1)2 откуда 2 оо л 8 £0(2й + 1)2' 588. Разложить в ряд Фурье по синусам и по косинусам функции: a) f(x) - х, О < х < к; 6)f(x) = ^^,0<x<Ti. 589. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2Z, заданную на (-Z, I) формулой f(x) = \х\. § 3. Ортогональные системы функций (см. [3], §4.5, 4.8, 4.9) 590. Найти скалярное произведение функций: а) f(x) = х, (р(х) = sin х, 0 < х < к; б) f(x) - sin jc, (р(х) = sin x, 0 *? х < 71/2. 591. Найти норму \У2 \\f\\ = \Jjf(x)fdxj функций f{x) (а < х < Ь): а) Дх) = х2, 0 < х < 1; б) Дх) = cos х, О < х ^ тс; в) f(x) = е*, 0 < х < 1; г) Дх) = 1 - х, О < х < 1. 592. Пусть дана последовательность ^ i функций (рис. 35) п -п х, O^x^l/n, О, 1/jkx^I. При каком а > 0 эта последовательность сходится к нулю в смысле среднего квад- ратического? Рис. 35 114 593. Исследовать на равномерную и среднеквадрати- ческую сходимость последовательность Jsinrcnax, 0 ^x^ri*, f»№={ 0, п°<х<п. 594. Доказать, что многочлены Лежандра Ря(*) = —— (x2-lf (п = 0, 1, .») "V ' ?п\ dxn ортогональны между собой на (-1, 1), т. е. 1 \Pm(x)Pn(x)dx = 0 (то* и), -1 и удовлетворяют условию fato-dri- Решение. Отметим, что из определения многочлена Лежандра Рп(х) следует, что его коэффициент при хп равен (п+1)...(2п-1)2па 2-и! dnPn{x) _ (у1 + 1)(га + 2)...2га dxn 2Г Далее, очевидно, что если k < n, то j£;(x2-l)n = (x2-lf"A(x), dx где А(х) — некоторый многочлен. Поэтому при k < п ~^(х2-1)п = 0. dx *=±i Пусть для определенности т> п. Интегрируя по частям п раз, имеем )рп(х) PJx) dx = c)pa{x)-fz (x2 - l)mdx = _i _i dx 115
jllt-l = cP(x)^—;- (x2 - 1)" " dxml 1 1 -c\m~^ix2-i)mdx= •ml o, где = (-l)c}p;(*)^ (x2 -l)"d* = ... _i ax ... = (-l)"c fi>(n)(x)-^~r (л:2 - l)mdx = V dxm~n jm-n-l = c1-J=——r (x - 1) 2mm! * " w m!^" Совершенно аналогично получаем -I 1!^ -l (n + l)...2n I - Вычислим интеграл i /n = J(l-x2)ndx(n = 0, 1, ...). 0 Очевидно, I0 = 1, /j = 2/3. Интегрируя по частям, получим следующую рекуррентную формулу: т = 2n 7 " 2л+1 "-1' Отсюда /„ = 2-4-6... 2п 2Гп\ 22п(п!)2 "" 35-7...(2тг+1) 3-5...(2га + 1) (2л)!(2л+1) Таким образом, 116 )р2(х) dx = 2(ra+1)-(2yl~1)2n = **&$ = _2_ _J, " г2"»! (2n)! (2/1+1) 2л+ 1 * § 4. Интеграл Фурье (см. [3], §4.12, 4.14) 595. Найти косинус-преобразование Фурье функции /м = |1.0<*<а, [0, х>а. 596. Найти функцию, определенную на (0, оо), косинус-преобразование которой равно Л- sin as 597. Найти косинус-преобразование функции cosjc, 0<х<а> f(x)~\ 0, х>а. 598. Найти синус-преобразование функции f{x) = esx/x. 599. Вычислить интегралы: ч 7 shuts dx , п ^ Л. а) I -Г2 2V (">0,s> 0); i х[а +д: j 00 б) J е~ х sin Зле cos 2x dx; о 00 в) J е~3х cos Зле cos 4x dx. 117
Глава 1 О Уравнения математической физики (см. [3], глава 5) 600. Пусть функция /"(0) периода 2% задана на (-тг, тг) равенством /(0) = |0|. Построить гармоническую в единичном круге функцию, порожденную этими граничными значениями, и выяснить, с какой скоростью, в смысле среднего квадратического, функция и(р, 0) стремится к своим граничным значениям f(Q) при р -» 1 - 0. 601. Найти решение уравнения теплопроводности du = dju (0< x<Ut t>Q) dt дх2 при начальном условии и(х, 0) = f(x) = ^^- (0 < х < тг), 4 и граничном условии u(0, t) = u(n, t) = 0. Оценить интеграл У/2 Л = И|и(*, t)-f{x)fdx при t —• +0, т. е. выяснить характер средней квадратичес- кой сходимости решения и(х, t) к f(x) при t ~* +0. 602. Найти решение уравнения колебания струны dt2 дх 118 при начальных условиях dt * \-\х> 0<х< 7t/2, [к-х, п/2< х <п, и при краевых условиях и(0, t) = и(п, 0 = 0. 603. Решить уравнение колебания бесконечной струны с? и __ с¥и dt2 дх2 при начальных условиях и(х, 0) = и[(х, 0) = * 2 (-оо < х < оо). 1 + х 604. Пусть и(х, у) — гармоническая в верхней полуплоскости функция, принимающая значения f{x) при1/=0. Доказать, что если \/х f(x) удовлетворяет условию \f(x +t)-f(x)\ ^Щаф<а<1), то \u(x,y)-f(x)\ <cya (у>0), где с — некоторая постоянная, не зависящая от х и у. 605. Найти стационарное распределение температуры и(ху у) в верхней полуплоскости и изотерму (линию уровня) и = 1/2, если на оси х поддерживается температура '1, |*|</, Я*)_ [0, |*|>Z. Указание. Функция и{х, у) является гармонической в верхней полуплоскости. 606. Найти распределение температуры в бесконечном стержне, если начальное распределение температур было /(х) = ехр (-х2) (в уравнении теплопроводности считать а = 1). 607. Доказать, что многочлены Лежандра у= Рп(х) (см. задачу 594) удовлетворяют дифференциальному уравнению 119
Глава 1 1 Функции комплексного переменного (см. [3], глава 6; [1], глава 5) § 1. Общие понятия (см. [1], §5.3) 608. Найти модули комплексных чисел: а) г - 4 + Si; б) z = cos a - i sin а; в)г = -2 + 2л/Зг. 609. Записать в тригонометрической форме следующие комплексные числа: a)z = -l-iV3; 6)z = -V2 + b/2. 610. Представить в показательной форме комплексные числа: a) z = -2; б) z = i; в) z = -1 - i>/3 ; г) z = sin а - i cosa (я/2 < а < я). 611. Вычислить (-1 + i>/3 )60. Решение. Представим число z = -1 + i V3 в показательной форме -1+/V3 =2ехр(Йр). 120 Отсюда (-1 + *л/3 )60 = 260 ехр (40тй) = 260. 612. Вычислить: а)(л/з-3i)G; 6>(Н)4- 613. Найти все значения корней: а) Vl-i; б) VI. 614. Пусть Re ш = jc, Im ц> = у (w*0). Найти w, 1/w. 615. Доказать равенства: а) г + 2 =2 Re z; б) z -z = 2ilm z, B)\Z\ = \Z\. 616. Какие кривые заданы уравнениями: а) \z - г0\ = г, г > О, б) |z + с| + \z - с\ = 2а, а> с — действительные числа; в) Re( 1/w) = 1/2, Im (1/w) = 1/4, w = x + 2yi; г)1тг2 = 2; д)1т(Х) = 1? 617. Найти образы точек z0 при указанных отображениях: а) w = z , г0 = i; б) ш = z /z, z0-2 + 3L 618. В какую кривую отображается окружность \z\ ~ V2 с помощью функции w = г2? Решение. Имеем Rew-x -у2, Im ш = 2*1/. Исключая х и I/ из системы 2 2 Ч и = х -у , Х2+У2 = 2,; получаем 2 2^2 2Ч2 л и +v ={х л-у) =4, т. е. это окружность радиусом 2 с центром в начале координат в плоскости uOv (в плоскости w). Отметим, что окруж- 121
ность |ш| = 2 описывается дважды, когда точка z пробегает полную окружность \г\ - л/2 , так как Argw = 2 Argz + 2k%. Данную задачу можно решить и другим методом. Уравнение окружности \z\ = л/2 можно записать в виде z = л/2 е'ф, где 0 < ф < 2тг. Поэтому w = z2 = (yf2eu?)2 = 2ei2,?. Отсюда следует, что окружность |zj =V2 при отображе- нии w = z переходит в окружность |и>| = 2, причем окружность |ц>| = 2 описывается дважды, когда точка z пробегает окружность \z\ = -4/2 один раз в положительном направлении (против часовой стрелки). 619. Установить, на какие линии плоскости w отображаются с помощью функции w - 1 /г следующие кривые в плоскости z: a) \г\ = 1/2; б) arg z = л/4; в) Rez = 0. § 2. Предел функции. Производная (см. [3], §6.1, 6.2) 620. Найти предел функции ц> = z в точке z = i. 621. Выяснить, существует ли предел функции w -z /z в точке О = (0, 0). 622. Будет ли непрерывной на плоскости г функция w = Rez? 623. Выяснить, какие из функций имеют производную: a) w = z2; б) w = Rez; в) w = z; r) w = z • z . 122 624. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении w = sinz в точке zQ = 0. 625. В каких точках отображение w = f(z) является конформным: a) w = z3; б) w = cosz; в) w = ze2? § 3. Условия Коши—Римана. Гармонические функции (см. [3], §6.3, 6.4) 626. Выяснить, какие функции являются аналитическими: a) w = zez; б) w = z z ; в) w = sin3z; r) w = ch2z. 627. Восстановить аналитическую функцию f{z) =u + iv по известной ее действительной части и(х, у): а) и = х2 - у2 + 2х\ б) и = х2 - у2 + ху, в) и = гф cos ф + rln r sin ф (г = ге'ф). 628. Найти все гармонические функции вида и = ф (х2 + у2). Решение. Имеем и"2 = 4х2 ф V + у2) + 2ц>'(х2 + у2), х и"2 = 4у2 ф"(*2 + у2) + 2ф'(*2 + у\ У откуда Аи = 4 (jc2 + у2) ф"(*2 + у2) + 4ф'(х2 + у2). Таким образом, чтобы функция и была гармонической (Аи = 0), должно выполняться равенство (х2 + у2) ц>"(х2 + у2) + ф'(*2 + у2) = 0. Полагая х + у =t, получаем фЧ0 = _1 дПпФ'(*)= 1 ф'(*) Г ctt Г 123
ф'ф = С ft, ф(*) = C\nt + Cv Итак, гармонические функции имеют вид и = С In (х2 + у2) + Сх, где С и Сх — произвольные константы. 629. Найти все гармонические функции вида и =<р(у/х). § 4. Простейшие конформные отображения (см. [3], §6.2, 6.15) 630. Найти конформное отображение, переводящее верхнюю полуплоскость на себя. 631. Отобразить единичный круг \z\ < 1 на верхнюю полуплоскость так, чтобы точки zx=-i, z2 = 1, z3 = i перешли соответственно в точки wx = —1, w2 - 0, w3 = 1. Решение. Данное отображение осуществляет дробно-линейная функция w + 1 1+1 z+i i+i i(l-z) • х^ж — * т* • ь^* или it» = ш-0 1-0 z-i i-\ Обратная функция 1 + 2 Z - 1-W w + i отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг так, что wk переходят в zb (k = 1, 2, 3). 632. Отобразить конформно угол 0 < ф < я/4 на верхнюю полуплоскость (рис. 36). Рис. 36 124 633. Отобразить конформно полосу 0 < у < п: а) на верхнюю полуплоскость; б) на всю плоскость. 634. Отобразить вертикальную полосу 0 < х < я/4 на единичный KDvr |ш| < 1 (рис. 37). Рис. 37 Решение. Переведем вертикальную полосу в горизонтальную. Для этого сделаем поворот на я/2, который осуществляется функцией z* = z exp [i-pA = iz. В плоскости z* = х* + iy* мы получаем горизонтальную полосу 0 < у* < я/4. Расширим эту полосу в четыре раза: z' \z* = 4iz. В плоскости z' мы получили горизонтальную полосу 0 < у' < я. Эту полосу отображаем на верхнюю полуплоскость с помощью показательной функции z = е = е . Теперь эту полуплоскость отображаем на единичный круг Н < 1, например, с помощью функции из задачи 631: j~z" = i-exp(4/z) z" + i t+exp(4iz) w = 635. Найти целую линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в точках 0, 1, i в плоскости z на 125
треугольник соответственно с вершинами 1 + i, О, 2 в плоскости ю. 636. Найти конформное отображение круга |jc| < 5 на круг \ю\ < 1 так, чтобы точки 5, 4 + Si, -5 перешли в точки 1, i, -1. § 5. Интегрирование функций комплексного переменного (см. [3], § 6.6); 637. Вычислить интеграл \(l + i-2z)dz с по линиям, соединяющим точки zx = О, z =$**Г— *1 *х z2=l +i а) по прямой; б) по параболе у - х ; в) по ломаной z1zsz2, где z3 = 1 Рис. 38 (Рис- 38). 638. Вычислить J г ch z dz. о 639. Вычислить J 2 chztte. о Если функция f(z) аналитическая в односвязной области £>, то функция *о также является аналитической в D, причем F'(z) = f(z). В самом деле, г z+h г+h = liml /№) + л(«К=/(2) + Шп1 J4(^=/(z), г г 126 где Г|(^) -* 0 при ^ —* z, в силу непрерывности f в точке г. При малых Л|г|(^)| < е, поэтому для таких h I г+Л I г+Л ■ й| = е. Здесь мы считаем, что интегрирование производится по прямой, соединяющей точки z и z + h. Это можно делать, так как f(z) аналитична, и, следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования. Итак, мы доказали, что F{z) = f(z). Функцию F(z) называют первообразной для f(z). Так же как в случае действительного переменного, можно установить, что две произвольные первообразные для функции f(z) отличаются на постоянное слагаемое. Отсюда вытекает, что если Ф(г) — первообразная для f(z), то }/(^)^=Ф(2)-Ф(20) го — формула Ньютона—Лейбница. 640. Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить интегралы: 2 + t i a) J (3z2 + 2г) dz; б) J z sinzdz. § 6. Формула Коши (см. [3], §6.7, 6.8) Как нам известно, если f(z) аналитическая в области D, ограниченной кусочно гладким контуром С, то имеет место интегральная формула Коши 2mJc %-z ' (г е D). 127
641. Вычислить интеграл r_ f exp(z2)dz Т~1 z2-6z ' если: а) С: jz - 2| = 1; 6)C:|z| = l; в) С: \г - 6| = 1 (рис. 39). 642. Вычислить интегралы: о 1 exp(z2) dz . 6) J exp(z)<iz VA ^^0-4-0 Рис. 39 Рис. 40 643. Вычислить интеграл '-J SlI17tZ Решение. Функция f(z) = sinTt^ является аналити- (z+1) ческой на круге |z - 1| < 1 (рис. 40). Поэтому, используя формулу „I f f(z)dz (л) г>0) 2n4(z-z0)" (2) при /1 = 1, где С — окружность jz - lj = 1, получаем /= I Уз i аъ - н f smnz „_{м (2 + 1/(2-1)' [(Z + 1) г=1 = 2ni п (z+l)cositz - 2sin nz (2 + 1)- b.i 4 2 644. Вычислить интеграл / вдоль окружности |z| = 2 128 /= f chzdz J=2{z + lf(z~l)' Указание. Построить контуры Сх и С2, включающие в себя соответственно точки г = -1 и г = 1 и лежащие внутри окружности |г| = 2. Тогда J ... = J... + J..-, а затем |z| = 2 С, Сз применить формулы (1) и (2). § 7. Ряды в комплексной области (см. [3], §6.9, 6.10) Найти радиусы R сходимости рядов: ю к 645. Xf-. 646. 2>z\ со . 2*+1 °° ь _2* 647. £ (-1)* V • б48' 2 (-1) — * = 0 ft! ' to" (2ft)! 649. £ (-l)V. 650. £ Л". *=0 л=0 651. £ (л + i)zB. Разложить в ряд Тейлора в окрестности z = 0 следующие функции: 652. —Ц,. 653. -—±7—=-. (1 + z)2 (l + z)(z-2) 654. Разложить по степеням (z - 3) функцию 129
Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом: 1 1 = 1 =_1_ 1 5 + 2г 5 + 2(2-3 + 3) 11 + 2(2-3) 11 1 + _2_(2_3) ' Заменяя в разложении 1 =1-2 + 22-... + (-l)V+... 1 + 2 О г на гг(2 - 3), получаем Последний ряд сходится при -^-|2-3|<1или|г-3|<~. Таким образом, радиус его сходимости R = 11/2. 655. Разложить по степеням (г - 3) функцию /(2)= 1/(3-22). 656. Определить область сходимости рядов: л=1 2 и=1 4 (2 + 1) 657. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию (2-1)(2-2) в областях: а) 0 < \z\ < 1; б) 1 < \z\ < 2; в) \z\ > 2. 658. Разложить в ряд Лорана в кольце 0 < \z - 11 < 2 функцию 130 Разложить в ряд Лорана в окрестности 2 = 0 следующие функции: 659. Ш^. 660. 23ехр (1/г). 2 § 8. Изолированные особые точки. Вычеты (см. [3], §6.11—6.13) 661. Определить характер особой точки 2 = 0 для функций: a) f(z) = (ег - 1)/г; б) f(z) = I/24; в) f(z) = ехр (1/г2). 662. Найти все особые точки и определить их характер у следующих функций: a) z ; б) cos —; в) 2 sin —; r) th 2. sin2 2 2 663. Найти вычет функции А z-a в точке 2 = оо. Решение. Имеем А _ А _ А у (а\ _ А [ Аа | z-a z(l--|) z£z\z) 2 i -> следовательно, Выч^- =-А. 2=» z-a 664. Найти вычеты функции Л»)—^т в ее особых точках. 131
Решение. Легко видеть, что конечными особыми ТОЧКаМИ фуНКЦИИ ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ 2 = 0,2= 71/4. Найдем пределы функции f(z) в этих точках: lim/(2) = lim^^ lim—^-y- = -±, г-0 ,-о z2 г-0 2 -(я/4) Л \imf(z) = оо. 2~п/4 Таким образом, 2 = 0 — устранимая особая точка и Выч /(2) = 0. Далее 2 = 71/4 — полюс и Выч т = limf(2)(z-f) = lirn^ = If sin^ . г=л/4 г-V4 *' г-л/4 2 7t 16 Точка 2 = оо также является особой, она существенно особая точка. Для нахождения вычета f{z) в этой точке надо разложить функцию в ряд Лорана по степеням г: i ео . .п оо 2(2А+1) Перемножая ряды и группируя члены с одинаковыми степенями 2, получаем 4 8 12 П ' г\ 443! 485! 4I27! J t-x т. е. ВычЯ2) = -|1—tL- + J?—-\ = } \ 4!3! 485! ) .2/2 0 Ю N , ~ 2 7t2U2 463! 4105! ) п2 16 Этот же результат мы получим, если воспользуемся основной теоремой о вычетах, согласно которой вычет функции f(z) относительно г = оо равен сумме вычетов относительно конечных особых точек, взятой со знаком минус (см. [3], § 6.13, теорема 1). Укажем еще один способ нахождения вычета функции f(z) в точке z-oo. функцию -^ sin 2 можно считать анали- 2 тической на плоскости 2, если считать, что она равна 1 при 132 2 = 0. Поэтому она разлагается в степенной ряд по степеням \~~~X}* сходящийся на всей плоскости г: sin22_sin(n/4)2 ,f^ / 7t\* Но тогда z~J Ш г-Щ (ФУ £о 4 4 где степенной ряд справа сходится для всех z. Ведь \{/(г) — аналитическая функция на плоскости 2, и она разлагается в сходящийся на этой плоскости степенной ряд. Теперь, учитывая задачу 663, получим Выч f(z) = Выч Sin(7t/f -^L = - Sin^f . — (л/4) г-| (л/4)2 665. Найти вычеты функций в их особых точках: а) /(2) = 22 sin(l/22); б) f(z) = 22exp (1/2); § 9. Вычисление интегралов с помощью вычетов (см.[3],§6.14) Основной теореме о вычетах молено придать еще такой вид: интеграл от функции f{z) по контуру Г, проходимому против часовой стрелки, равен сумме вычетов относительно всех особых точек zx, ..., zn, находящихся внутри Г, умноженной на 2ni: j f(z) dz = 2m£Выч f(z,). (1) 133
666. Вычислить интеграл J |2h2 ф+1) z 1 Решение. В области \г\ < 2 функция f(z) = -е. ~ z(z+l) аналитична всюду, кроме точек г = 0, г = -1. Найдем вычеты f(z) в этих точках. 2 = 0 — устранимая особая точка, поэтому Выч/(г) = 0. В точке г = -1 функция f(z) имеет 2 = 0 простой полюс, поэтому ВычДг) = Km (2 + 1) f{z) = Jim^fi = 1 - е-1. Согласно (1) получаем f -^Цг««г = 2я1(1-е-1). i2iL2z(2+1) 667. Вычислить интегралы: ч Г z dz r>. х , У 1. а)!(1-г)г(г-з)'гдеГ:Т+¥ = 1' 668. Вычислить интеграл /=IttS? (а>0)- Решение. Введем функцию f(z) = 2Z 22 комплекс- (z +а) ного переменного z. Она удовлетворяет условию теоремы 1 § 6.14 [3] при т = 4 и имеет в верхней полуплоскости полюс второго порядка в точке z = ai: Выч/(2) = lim-f (2 - ai)2 /(2) = lim-£—?—у = -Ц. г=ш г-ш cf2 2~at dz (z+ai) Aai 134 Тогда / = 2тпВыч/(2) = ^, г=ш 2a 669. Вычислить интегралы; 00 JC +1 х4+1 dx dx\ со 6)1 00 djc вч Г dx . ll + x6' 4 0+^ 670. Вычислить интегралы: " я sin* (х+а*)(х2 + Ьг) dx (a>0,b> 0); (п=1,2, ...). a)j*r4dx(a>0); 6) J о * +a jj, 671. Вычислить интеграл JC COSJC j —„ 4i> dx. (*2 + l)2 W S1I1JC 2 „dx (a>0). 0 jc(x +a) Указание. Рассмотреть функцию ( 2, 2^ z\z +a ) и контур ГЕ,Д (рис. 41). При малом 8 и большом R функция f(z) имеет один полюс внутри контура Ге,д. Отметим, что f(z) имеет особенность в точке z = 0 на действительной оси. Затем перейти к пределу: lim f f(z)dz. Я-00 ГЕ.Я R * Рис. 41 672. Вычислить интеграл 00 I - \ exp (-ax2) cos bx dx (a > 0, b > 0). —00 Решение. Как нам известно, 00 Г ехр (-л;2) dx= Vn , 13
поэтому J exp (-ax2) dx = J~ . Введем в рассмотрение функцию f(z) =exp (-az ) и контур Г в виде прямоугольника со сторонами 2R и Ь/(2а) (рис. 42). Внутри контура Г функция ехр (-аг2) аналитическая, поэто- —R му J exp (-az2) dz - 0, О Рис. 42 Я * т. е я Я Ь/2а J exp (-ax2) dx + | юхр [-а(Д + /у) ] dy + Я , .2 О + [exp -afx+iy-j dx + J iexp [-a(-J? + iyndy = 0. -Д L J ty2a Второй и четвертый интегралы стремятся к нулю при R-* оо за счет множителя exp (-air). Поэтому в пределе при R -► оо получаем во -оо 2 f exp (-ax2) dx + Г ехр (-ах2) ехр (—£Ьдс) exp Ц-dx = 0. J J 4a -со оо Отсюда, выделяя действительную часть во втором слагаемом, имеем С 2 \ со оо I -£- ] | ехр (-ах2) cos bxdx= J exp (-ax2) dx = J— или J exp (-ax2) cos bxdx = i J— exP ~T~ • 136 Глава 12 Операционное исчисление (см. [3], глава 7) § 1. Изображения простейших функций (см. [3], §7.1, 7.2) 673. Пользуясь определением, найти изображение Лапласа функций: a) f(t) = e2t, б) /(*)=sin3L 674. Может ли функция ф(р) - 1/sinp быть изображением некоторого оригинала? 675. Используя свойство линейности изображения и свойство подобия, найти изображения функций: a) f(t) = t + 2, б) f(t) = 2sin 3t + e2t (t > 0). 676. Является ли функция [ О, t<0 оригиналом? 677. Найти изображение функции f(t) = cosmt cosnt. 678. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала L[f;p]=pL[f;v]-f(0)t 137
найти изображения следующих функций: a) f(t) = cos23*, б) f(t) = cos4*. 679. Найти изображение функций, пользуясь теоремой о дифференцировании изображения (F'(p) = - tf(t)): a) fit) = t2 cost, 6) f(t) = t sh3t. 680. Используя теорему об интегрировании оригинала о у найти изображения следующих функций: a) f(t) = J т sh Зт dx; б) f(t) = j x2 cos т dx. о о 681. Используя теорему об интегрировании изображения !& =]F(q)dq, найти изображения функций: a)*fl; б)^; в) =£. 682. Пользуясь теоремой смещения изображения, найти изображения функций: а) е sin*; б) е t cost. 683. Пользуясь теоремой запаздывания оригинала f(t-t0) = e-pt0 F(p), найти изображения функций: a) sin (t - Ъ) a0(t - b); б)е<-3а0(*-3),гдеа0(0 = {*' ^£ 138 684. Найти изображения следующих функций: t, 0<*<1, а>л*)=|2:,м"<;<2;л'+2)=Л')У'>0; б) fit) = |sin t\. 685. Найти изображение сверток: t t а) | е'" т sinx dx; б) J (t - т)2сЬтйт. § 2. Отыскание оригинала по изображению (см.[3], § 7.2) 686. Найти оригинал fit), если Fip) = 1 - cos (1/р). )игина 687. Найти оригинал для функции 1 pip-l)ip2 + l) 688. Найти оригинал для функций: a) Fip) = р2+4р + 3 6)Fip) = pV+1) 689. Найти оригинал для функции Fip) = 1Д/1 + р2. Решение. Разложим функцию F(p) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки: / 1 3 >t РК Р -V2 2 О! 4 Р 2!р =z (-Щ2*)1 £S(*!)2V На основании теоремы 11 (см. [3], § 7.2) где с/0(0 — функция Бесселя нулевого порядка (см. [3], § 1.25, 5.9). 139
690. Найти оригинал для рациональных функций F(p), используя равенство гдерр ..., рт — полюсы функции F(p): рг + 4р + Ъ р3(р2 + 2р + 2) § 3. Приложения операционного исчисления (см. [3], § 7.3) 691. Решить дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях: а) х' + х = е-', jc(0)=l; б) х" + х = 2cos*, х(0) = 0, л;'(0) = -1; в) х" + 2х' + 5х = 3, х(0) = 1, х'(0) = 0. ния: 692. С помощью формулы Дюамеля решить уравне- &)х" = ^~, хф) = хЩ = 0; 6)y" + y = smx, у(0) = у'(0)=0; в) у'" + у' = 10е2х, у(0) = у\0) = у'Щ = 0. 693. Решить систему Х', + У = °'х(0)=1,у(0) = -1. у +х = 0, Решение. Пусть Х(р) .== x(t), Y(p) f y{t). Составим операторные уравнения <рХ(рУх(0) + ¥(р) = 0, {X(p) + pY(p)-y(0) = 0 или (pX(p) + Y(p) = lt \X(p)+pY(p) = -l. 140 Решая эту систему относительно Х(р) и У(р), имеем ад-^.у*)-^1 Отсюда x(t) = e\y(t) = -e. 694. Регпить системы: а)\Х + Х' = У + е) х(0) = у(о)=1; б) у + у =х + е, x"=3(y-x+z), у"=х~у, z" = -2, х(0) = х'(0) = 0, у(0) = 0, у'(0) = -1, г(0)= 1, z'(0) = 0; ,V = 3z~i/, в) dt. z' = y + z + e\ y(0) = z(0) = 0. 695. Вычислить интегралы: ч т/ ч °f COSXt j. --ч т/„ч 7 Sill ЛГ* COS £ i a +t J t
Приложение I Глава 1 696. Доказать неравенство |* + *! + ... + Хп\> \Х\ - (1^1 + ... + |ХЯ|). 697. Доказать неравенство Бернулли (1 + xj ... (1+х^>1 + хг + ... + хп> где х}>- 1 (j = 1, ..., л) и все числа xlt ..., хп одного знака. 698. Пусть 0 < X] <я (/ = 1» .-., ri). Доказать, что п \sin(xl + ... + лг„)| < sin xl + ... + sin xn = 2sin */• hi 699. Доказать равенство l3 + 23 + ... + n3 = ( l + 2 + ... + n)2. 700. Решить неравенство ||jc + a\ - \x - a\ \ < 1, где а — любое положительное действительное число. 701. ПустьQ — множество всех рациональных чисел, а / — множество всех иррациональных чисел. Найти QUI, Qnl,Q\L Доказать равенства: 702. lim п2~п = 0. 703. lim nqn = 0 (Id < 1). Л—оо л —оо Найти пределы: п~™\п п п ) 142 705. a) lim 1-2 2-3 л(п+1) ^Н)Н\-Н} 706. Пользуясь теоремой существования предела монотонной последовательности, доказать сходимость последовательности *--и+Д^ 1 + 2" Указание. Воспользоваться неравенством In (1 + х) <х(х> 0). 707. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности *»а=1 + 4г + ». + Л(а> 2) и расходимость последовательности х =1 + ^ + ... + -. 2 п 708. Последовательность {хп} называется последовательностью с ограниченным изменением, если ЗМ > 0 такое, что 1*2 - *ll + 1*3 ~ *21 + - + К ~ Xn-l\ < М при любом натуральном п > 2. Доказать, что последовательность с ограниченным изменением обязательно сходится. п Решение. Обозначим уп - £ \xi - х^х\. Если последо- 7=2 вательность {jcn} с ограниченным изменением, то последовательность {уп} будет ограничена сверху числом М и не убывает. Поэтому последовательность {уп} сходится. По критерию Коши V е > 0 \уп - ут\ <г при п,т> п0(е). Далее, х„ - xj = Z (х, - хн) ^ £ \*j - х;л\ = \Уп ~ Ут\ (п > тУ j=m+l /=m+l 143
Отсюда снова по критерию Коши заключаем, что {хп} сходится. Отметим, что если последовательность {хп} сходится, то она не обязательно является последовательностью с ограниченным изменением V П 1=2 }.\ J J 709. Выяснить, существует ли предел последовательности \ (, если lim хп = а. 710. Что можно сказать о пределе последовательности {хпУп)> если хп —■ О, а уп — произвольная последовательность? Привести примеры. 711. Если {хпуп} — бесконечно малая последовательность, то следует ли отсюда, что одна из последовательностей {хп} или {уп} бесконечно малая? Рассмотреть пример *B = i + H)", yn = l-(-if. 712. Если хп -> а, то£, = — (хх + ... + х ) -* а. Обратное п утверждение неверно. Рассмотреть пример хп = (-1)л. 713. Привести пример последовательности: а) имеющей в качестве своих частичных пределов данные числа а и Ь; б) не имеющей конечных частичных пределов; в) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся; г) имеющей в качестве своего частичного предела любое действительное число. 714. Доказать, что: а) lim (xn + yn) < lim xn + lim уп; б) lim (*д + yn) > lim xn + lim yn. 144 Привести примеры, когда в этих соотношениях стоят знаки строгих неравенств. Найти область Е задания функции у - f(x) и образ Ех = f(E) множества Е при помощи функции /: 715. у = х2/(2 + х2). 716. у = у1ах'-х" . 717. у = vcoso:2. 718. у = arcsin (2 - х). 719. у = \g (1 - 2cos x). 720. у = (-If. Найти образ Ех = f(E) множества Е при помощи функции f, если: 721. у = х2, Е = [-3, 2]. 722.у = 2\х\, £ = (-1,3]. 723.у = 2\х\,Е = {1<\х\ <3}. 724. y = Jx-x\E = (0, 1). 725. Найти Д1), /(2), f(x + 1), если: a)f(x) = ±-X; 6)f(x) = x-x2; B)f(x) = sin^. l + X X 726. Найти f(x), если: a) f(x +l) = x2~3x+ 2; б) f(-^) = х2. Построить графики функций: 727. у - х + — (гипербола). х 728. у = 1/(1 + х2) (кривая Аньези). 729. у = х2 + — (трезубец Ньютона). х 730. у = х + \. 731. у = ± хЛ~ . х 145
732.y = sin a*,a = 2, 3, \, \ (0 < x < 2ти). 733. у = sin x2. 734. i/ = arcsin* (|jc| < 1, \y\ < я/2). 735. i/ = arccosx (|x| < 1, 0 < у < я). 736. у = arctgx (- oo < x < oo, \y\< я/2). 737. у = arcsin^. 738. z/ = arctg ^. x x Исследовать на равномерную непрерывность на задан ных множествах следующие функции: 739. f{x) = -*-г (-1 <х < 1). 3-х 740. f{x) = -*-; (-3 < х < 3). 3-х 741./**) = —(0<*<я). х 742. f(x) = х sin х (0 < дс < oo). 743. Я*) = х (О < х<оо). Найти производные функций: 744. и = х А ""*'-. 745. г/ = cos Зл; - 3 sin х. 1 + ;е 2 746. у = ех (1 + ctg |). 747. у = arctg ^-. 748. у = logx е. 749. у = In (ch *) + ^^. 146 750. у = arctg (thx). 751. у = 752. у = X 1 0 л: 2х 2 л; Зл:' 6л: 753. у = х-1 1 -3 л: -2 -3 2 3 ДС X 2х Зхг 2 6х 2 3 х + 1 4 4х3 12а:2 754. Найти f (а), если /(#) = (л: - а)ср(дс), где ф(л:) непрерывна при х = а. Решение. Так как по условию ф(д:) только непрерывна в точке х =а, то формально дифференцировать функцию /(л:) как произведение нельзя. Будем исходить из определения производной: *и \ 1- f(x)-f(a) т (х-а)т(х)-0 ,. , у. , ч Г (а) = lim w w = lim- l^xj. = \1т т(х)= ф (а). *-" лг-а х-а х-а х-а 755. При каких натуральных п функция x"sin^, x*0, fix)-\ о. , = о а) непрерывна при х = 0; б) дифференцируема при х = 0; в) имеет непрерывную производную при х = О? 756. Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями? 757. При каких коэффициентах а,Ъ,с парабола у = ах +Ьх + с касается оси Ох? 758. При каком значении а парабола у = ах2 касается кривой у = 1пдс? Найти производную у'х от функций, заданных параметрически: 759. х-а cost, у = Ъ sinf. 760. х = a cht, у = b sht. 147
Вычислить пределы по правилу Лопиталя: 761. limch*-,cos* . 762. Iimcos(sin^)-cosx O.I VTAd. Ulll a x *-o x fArsh.x^Vx 763. lim f-± Ц. 764. lim l ^ Замечание. Если lim In z{x) = k, то lim z(x) = e . x—а x—a 765. lim f*^f'. Найти производные и дифференциалы указанного порядка: 766.1/ = хл!\ + х\ найти у". 767.1/ =tgx, найти У 768. у = In f(x), найти у". Здесь f(x) > 0 — дважды дифференцируемая функция. 769. у = х2/(1 - х), найти ут. 770. у = x2/(l - х\ найти у"'. 771. у = ех cosx, найти у{4\ 772. г/ = хъ, найти d у. 773. у = ch дс • cos дс, найти d°i/. 774. у = [u(x)f, найти d3y, считая функцию и(х) достаточное число раз дифференцируемой. 775. у = \пи(х), найти d у. 776. у = f(x), где х = cp(f). Найти d2y. 777. y = 5*±bf найти j/">. cx + d 148 778.у = -^—,найти*/'г). Замечание. Представить функцию в виде у—~- +~— 779. f(x) = (x- а)"ф(л:), найти f(n\a), где ср(дс) имеет непрерывную производную (я - 1)-го порядка в окрестности точки а. 780. Доказать, что многочлены Лежандра £п\ dxn удовлетворяют уравнению (1 - х2) Рп"(х) - 2хРп'(х) + п(п + 1) Рп(х) = 0. Указание. Если и(х) = {х - 1)", то имеет место равенство (х2 - 1)4^ = 2пхи. dx Продифференцировать п + 1 раз данное равенство. 781. Доказать, что многочлены Чебышева Тп(х) = -^~cos (n arccos х) (п = 1, 2, ...) удовлетворяют уравнению (1 - х2) Г' (х) - хГ(х) + п2Тп(х) = 0. 782. Проверить, что функции 1 + х f(x) = arctg ~— и g(x) = arctg x 1-х имеют одинаковые производные на множестве!? = {-оо < х < оо, х Ф 1}. Установить связь между этими функциями. 783. Доказать тождество 3 arccos х - arccos (Зх - 4л:3) = п (\х\ < 1/2). Разложить в ряд Тейлора функции: 784. у = shx. 785. у = char. 149
786. При каких х справедливо, с точностью до 0,001, приближенное равенство cosx=l -^-? 787. Используя разложения по формуле Тейлора, найти пределы: ч ,. sh(tgx)-x ЙЛ ,. sin(sinx)-x>/l-x2 a) hm v ъ> ; б) hm - '— • Определить участки строгой монотонности следующих функций: 788. у = -4£j (а > 0). 789. у = —f^r ф > 0). 1 + х l + bx xz 790. у = а2х- b2Y (а > 0, 6 > 0). 791. у - хеах +bx+e ,a,b,c — произвольные действительные числа. Найти участки выпуклости и точки перегиба для функций: з 792. у = а2х - Ь2^г (а>0,Ъ>0). 793. у =хеЬх (Ь* 0). Исследовать на экстремум функции: 794. у = ах + -\~ (а>0,Ь> 0). Ь х 795. у = -^т (Ь>0). 1 + Ь х 796. у = (х - а)2 (х -bf (0 < а < Ь). Построить графики функций: 797. у = ^К. 798.у = (х-а)е1/х (а>0). 1 + х 150 Глава 2 Найти интегралы: 799. (-^-. J ax + b 801. f dx . J 2..2 . t2 803. j ax+b dx 1,2 2 2 ^Jb -ax 800. J d* 802. J ■Jax + b dx 2 2,2 a x -o 805-J Tm 807. J x2+l x4 + l dx. 804. | 806. J (<f * + <f2l> dx. 808. f^^d*. J x4+l 809. [ a/4+b2dx (a*0. &*0). J ax +& 2 . a+-^- Решение./= f *»* +& dy = f Z-^dx -j4t^-k*=»w du аЧ + К и +2ab Если числа аиЬ одного знака, то I = -J^arctg-JL- = -f— V2a& у/2аЪ Sob 1 arctg^"5 Если числа а и b разных знаков, то '-J- du _ f du _ 1 a2-2|ab| J и2-(ДЩ2 2j2\ab\ In xJ2ab' u-x*j2\ab\ u+x-j2\ab\ 2yj2\ab In ax -x^2\ab\-b ax +xj2\ab\~b 151
810. J xjax + bdx (a*0,b± 0). 811. J sin2* dx. 812. J cos2jc dx. 813. J cos4* dx. 814. J ch4x dx. 815. f-i = — (ad - be Ф 0, а, с — поло- J ^(ax-b\cx-d) жительные числа, b, d — произвольные действительные числа). Решение. Применим подстановку ах- b = fu , где f = (bc- ad)/с. Отсюда л: = — +—и2, dx = 2—u du, ex - d = — f(l + и2). a a a a Поэтому г dx _ 2/ г и du = J J(ax+b)(cx-d> aJ ifu2(£(l + u2) = 1 sign/ f d» = 2 8ign/j d^ = = -J-sign/Arshu = -Д-sign/Arsh J^f^. vac vac V / В качестве первообразной для функции ; можно так- VI + и же взять функцию In \и + vl + и21. 816. J x2shjc d*. 817. J arcsin jc d* 2 л: 818. J (arcsin jc)2 dx. 819. J e d*. 820. f Щ -. 821. [ )-x + x\ dx. J (l-x)2Vl-x2 J Jl + x-x2 152 822. J r-^—^—g- (замена tg x = t). (sin л:+ 2 cos x\ Вычислить определенные интегралы: 8 я/2 823. J yfx^4 dx. 824. } sin3xdx. 4 -л/2 л/4 i 825. Jcos2ada. 826. J cost dt. -л/4 n/2 Найти предел суммы с помощью определенного интеграла: 827. Щпр-- + -Ц + ...+-М. я-» т+1 п+2 п + п/ Решение. Указанную сумму представим в виде г 1 1 П 1 П п Отсюда видно, что данная сумма является интегральной суммой для функции у = -i- на [0, 1] при дроблении [0, 1] 1 + х на равные части и при выборе точек £,k = —. Функция —— на [0, 1] является непрерывной, а еле- 1 + х довательно, она интегрируема по Риману. Но тогда любая интегральная сумма функции —-— стремится к определен- 1 + х ному интегралу от этой функции, т. е. к 1 [ Ш- = In (1 + х) Таким образом, = 1п 2. о limt^- = f — =ln 2 153
828. lim(l|2+... + n-l , 2^2 829. limf V4 830. lim]^. 831. lim— Уш o+~ (b-du, где ф(л:) — непрерывная (или просто интегрируемая) функция на [а, 6]. Вычислить несобственные интегралы: 00 СО , 832. J^f. 833./-^. | X J 1 Т X 00 00 834. J SJ (a > 1, а > 0). 835. Je~* cos ax dx. Исследовать сходимость несобственных интегралов. 1 X (1 + X J 00 a , 837. f* arctBg* d* (P> 0). 1 1 + ЛГ Глава 3 Вычислить определители: 838. 840. 2 , 2 ale а Ь с 1 Ь2 1 1 1 1 1 1 + a l 1 1 1 + & 839. 841. 2,2, ал: а +х 1 2 2 ау а +у 1 az a +z 1 1+а 1 1 1 1 1+& 1 1 1 1 1+с 1 111 1+d 154 842. * + У У X х х + у у У У х + у 843. Доказать равенство 1 + ад 1 + х#2 1 + лу/3 1 + зд 1 + х2у2 1 + х2у3 1 + х3у1 1 + х3у2 1 + лу/з 844. Найти л: из уравнения = 0. г X X 0 3 -1 1 2 1 a = 0. Решить системы уравнений: 845. х+ у+ z = a, x+(l+a)y+ z = 2a, 846. х+ y + (l+a)z=0. [Ъх+ 4z + 2t = 3, x-y+2z+ t = l7 4x + y + 2z =1, x+y+ z + t-0. f jc- 4y+ 2z= 1, 847. J 2x+ 3y- 2 = 13, [33x-77y-41z = 88. #+2i/ + 32 = 5, 848. \2x- y- 2 = 1, ;c + 3i/ + 4z = 6. 849. Найти ранг матрицы (О -a -b -d\ А = а Ь d 0 с е -с 0 0 -е 0 0 850. Вычислить произведения матриц АВ и ВА: (\ г ъ\ a 1 2^1 А = О 1 О \1 3 1, Б = 2 1 1 1 3 1 155
851. Найти матрицу, обратную матрице ГА 12 7^| А- 1 1 1 U 7 6, 852. Решить матричное уравнение где ГА 12 7" 1 1 1 U 7 6J х = а 1 2^ 2 1 1 [1 3 1) х = ' X У Y *11 "Чг ^З лг2] л;22 х23 Глава 4 Определить области существования функций: 853. и = l/yjx2 + y2-l. 854. и = ^sm(x2+y2) 855. и =1п (л: + у2). 856. и = l/ J4+4 + 4 -1 • / Va be Найти линии уровня функций: 857. г = х2 + i/2. 858. г = \/{х2 + 2у2). 859. z = y- 2х2. 860. Найти расстояние между точками плоскости (1, 7) и (4, 3). 861. Найти предел последовательности точек ^fe- И)>=1.2,...). 862. Пусть а л { h У>°> Rx'y)~\l + x + y, у^О. 156 Выяснить, по каким множествам существуют пределы в точках (х0, 0), где х0 — любое действительное число. 863. По каким направлениям ф существует конечный предел lim expf 2Х 2 , если х = р cos ф, у = = р sin ф? 864. По какому множеству Е существует предел lim-r^-J-? х-о sin;e sin и у~о я 865. Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости R2 функцию z = yjx^ + х\ . Найти частные производные первого и второго порядков от следующих функций: 866. и = х3 + у3 - 3*У. 867. и = х sin (х + у2). 868. Проверить равенство ^ = а " , если: а) и = х2 - 2ху - Зу2; б) и = arccos yjx/y . 869. Существует ли f"y (0, 0), если Г^г, х> + у2>0, f(x,y) = \x2 + y { 0, х = у = 0? 870. Функция fix, у у г) называется однородной степени (или измерения) т, еслиV t > 0 /"(fx, ty, tz) = tmf (jc, y, z). Доказать, что дифференцируемая функция /, удовлетворяющая уравнению xfx+y%+z%=mf, обязательно является однородной функцией степени т. 157
Найти дифференциалы первого и второго порядков от функций: 871. и = ху + у2. 872. и - ху + yz + xz. 873. Доказать, что если и - yjx2 + у2 + z2, то d2u > 0. Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанных точках к следующим поверхностям: 874. х2 + у2 + z2 = 169 в точке М0 = (3, 4, 12). 875. ах2 + by2 + cz = 1 в ее точке М0 = (xQ, y0, zQ) (т. е. ах20 + byl + cz\ = 1). 876. Данное положительное числор разложить на три положительных сомножителя так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей. 877. Разложить данное положительное числор на три положительных сомножителя (р = xyz) так, чтобы сумма х + у + z была наименьшей. 878. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема F, имеющий наименьшую площадь поверхности. 879. Пусть дан параболоид вращения Z = А - X ~ у . Вписать в параболоид (в первом октанте) прямоугольный параллелепипед наибольшего объема, если: а) нижнее его основание находится на плоскости хОу с вершиной в начале координат; б) грани параллелепипеда параллельны координатным плоскостям; в) верхнее основание имеет одну вершину на поверхности данного параллелепипеда. 880. Пусть дан эллиптический параболоид а 2 1 2 z = 6~x ~-£у . Вписать в этот параболоид (в первом октанте) прямоуголь- 158 ный параллелепипед наибольшего объема. Расположение параллелепипеда такое же, как в задаче 879. 881. Найти прямоугольник данного периметра 2р, который вращением вокруг своего основания образует тело наибольшего объема. 882. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и кривой у = Ъ2 - ах2 (0 <х < Ъ/а). Найти криволинейную трапецию указанного вида с b + — =р (р — заданное число), которая при вращении около оси Ох образует тело наибольшего объема. 883. Функцию х на [1, 3] приближенно заменить линейной функцией ах + b так, чтобы абсолютное отклонение А = maxlx - ах - Ъ\ было наименьшим. Решение. Найдем наибольшее значение функции f(x) = x2-ax-bna[l,3]. Имеем Д1)= 1-а-Ь, Я3) = 9-За-Ь; f(x) = 2*-a = 0nPH* = | (2< а < 6); /(|) = - ^ - Ъ. Ясно, что А = max {|/(1)|, |ЛЗ)|, |/(а/2)|}. Так как нам необходимо минимизировать величинуА в зависимости она и Ь, то подберем числа а и Ъ так, чтобы /(1) = /(3), т. е. 1-а-Ь = 9-За-Ь, а = 4. Теперь А = тах {|3 + Ь|, |4 + 6|}. Отсюда видно, что минимальное значение А будет тогда, когда |3 + Ъ\ =|4 + Ц, т. е. при Ъ = -3,5 (Amin = 1/2). Итак, линейная функция у=4х - 3,5 приближает функ- цию у = х на [1, 3] наилучшим образом среди всех линейных функций вида у = ах + Ь. 884. Решить задачу, подобную задаче 883, для функции д:3 на [1, 4]. 159
Глава 5 885. Доказать, что переменная х„ = У — - 1пл имеет предел. Решение. Вначале докажем неравенство х + In (1 - х) < О (0 < х < 1). В самом деле, функция ц>(х) = х + In (1-х) имеет производную ф'(дс) = ^^ ^ О (0 =^ х < 1 ). Поэтому функция ц>(х) 1-х убывает и так как ф(0) = 0, то (р(х) < 0 (0 < х < 1). На основании доказанного неравенства последовательность {хп} не возрастающая: п + 1 п л+1 п + 1 л + 1 v n+V (л = 1,2, ...). Далее (см. задачу 376), последовательность {д:д} ограничена снизу нулем: х = У ! - In л 2* In (л + 1) - In л = ln^±i > 0 Ул. Поэтому на основании теоремы о существовании предела монотонной ограниченной последовательности заключаем, что limx = lim п—оо ™ л~« я -I yi-lnn = с или ^1 Z— = C + ln л + а„, где ап — 0. Предел С называют постоянной Эйлера(С=0,577216...). Найти суммы рядов: Me-1-|+i-s+-+t^+- 160 887. 1 + 4 + 4 + - .. + ^=1 + -.. 2 22 2 2 Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов: 888. fJ^^Щ^. 889. Sf-^1)". п=1 п п^2п-У 890. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость гармонического ряда 2 3 л Решение. При всяком л > 1 2л 2Л -I *=п+1 к 1 +...+J_^ J_ + ...+J_= л л+1 " 2л 2л '■' 2л 2л 2* Поэтому на основании критерия Коши заключаем, что гармонический ряд расходится. 891. Доказать, что ряд ]Г k^hi^ k: *=2 а) сходится при а > 1 и любом р; б) сходится при а = 1 и Р > 1; в) расходится при а < 1 и любом Р; г) расходится при а = 1 и р < 1. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость рядов на указанных множествах: 892. У -^~j (-00 < х < оо). 1 Х +Л 00 893. Zt^tt- (х 2* 0). Указание. —^ = 1 1 + лл ^ 1 + nV УлУ < vl + л4*2 < 1 ^ J_ л2(1 + лУр л2(1 + лУр „Vl + »V" «2* 894. S7^-fr (М < оо, р > 2 (а + 1), а^ 0). 1 1 + ЛДС 161
„ а Л p 2\_1 _, / (3 2\№ a/, , p 2\_1 -p/2 _, Указание, n x\l + nx J < [n x J n \l + nx J xn < <л 2(l + nV) < n 2. 895. £ n"f (ас > 0, a ^ 0, p > 0, p > 0, q > 0, q < p, l 1 + 71 X P>|(l+a)). Указание. aV(l + Af = (nV^l + nV['^. 896. f>V"*(0<*<oo). i Решение. Для того чтобы воспользоваться признаком Вейерштрасса, мы должны найти точную верхнюю границу функции у(х) = х ё~пх > 0 на [0, со). Ясно, что у(0) = 0, limy(x) = 0. Найдем стационарные точки функции £/(#). Имеем у'(я) = (2* - nx2)e"n* = 0 при х = 0, х = %■; у[Ц = \е2. п vny п Поэтому sup 1/(д:) = -%е . номерно Ряд 4^-^з е 2 сходится, поэтому ряд ^х епх сходится рав- 1 П 1 897.f>rctg^_(|*|<oo). 1 П +Х Разложить в ряд Тейлора по степеням х следующие функции: 898. ехр {-х\ 899. ехр (х2). 900. а) cos 2x; б) cos x ; в) -f- \-х 162 Глава 6 Составить дифференциальное уравнение для семейства кривых: 901. а) у = сх2, 6)у = схп, п — натуральное. 902. у = хп + сх. 903. х2 + ау2 = 2сх, где а — произвольное фиксированное число. Найти частное решение дифференциальных уравнений при начальном условии z/(2) = 4: 904. ху'-у = 0. 905. ху' + у = 0. 906. х2у' + у = 0. 907. 2ух2 dy = (l+ х2) dx. Решить уравнения Бернулли: 2 908. У' = У—У- при у (-1) = 1. 909. у' + ху = ху\ X X 910. Определить кривую у= f(x), проходящую через точку А = (а, а), если расстояние от начала координат до касательной к кривой в точке (дс, f(x)) равно модулю абсциссы этой точки. Пользуясь методом Ньютона (методом касательных), определить с указанной точностью корни следующих уравнений: 911. f(x)= х2 + \ - Юх = 0 с точностью до 0,001. X 912. f(x) = x + ex = 0c точностью до 0,00001. Решить уравнения: 913. у{А) - Зу" -4у = 0. 914. у'" - Зу" + 4у = 0. 163
915. Найти интегральную кривую уравнения у" -у-О, касающуюся в точке (0, 1) прямой у = 2х + 1. Решить неоднородные уравнения: 916. у"-у = ех. 917. у'" - Зу" + 4у = 2е\ 918. у" + Ьу' + 6у = е~3х + е~2х. Решить методом вариации постоянных следующие уравнения: 919. у" + 4у = -^—. 920. у" + у = tg *. sin2x Решить системы уравнений: 921.1 *+У = °> [х-у-3х-у = 0. 922 /*+3* + у = 0, L [ у-х+у = 0. 923. ^ „.,,., ? п' x = x(t),y = y(t),a>0. х"-4х' + 4х-у = 0, у"+4у' + 4у~агх = 0, Решение. Будем решать систему путем сведения ее к одному дифференциальному уравнению относительно одной из функций, скажем, x(t). Дифференцируя первое уравнение системы два раза и подставляя значения у, у", у"1 во второе уравнение, получаем дс(4) - 8х" + (16 - а2)х = 0. Характеристическое уравнение для данного уравнения АО 9 имеет вид г - 8г + 16 - а =0. Решая это уравнение, находим rx 2 = ±V4 + a , r3 4 = ±л/4-а . Если 0 < а < 4, то все корни характеристического уравнения действительны и различны, поэтому общее решение ,,. -(V4+o rV4+a -t-Ji-a t-JT-a х (t) = c,e + c2e + c3e + c4e 164 Если a = 4, то rh 2 = ±Js , r3 = r4 = 0 и r(*) = c^ + + c2e + c3 + c4t. При a > 4 корни г3 4 =±V4-a комплексные, r3 = iVa-4 , r4 = -iVa-4 . В этом случае #(£) = с5е 4+a' + c2e" 4+a' + + с3 cos £va - 4 + с4 sin t-Ja-4 . Функцию y(t) находим из первого уравнения системы: y(t) = х" - 4х' + 4х. Глава 7 924. Исследовать на непрерывность функцию г yf(x)dx - . 2 » 0 X +У 0 X +> где f(x) непрерывна и положительна на [0, 1]. 925. Доказать, что 45 \J W*+ Л> - Л*)] Л = Пх) - №, если /(я) непрерывна на [А, В], где А < а < х < В. 926. Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл f(y)=t^ctgfrtgx)d*. о tg* Решение. Функция Дх, у), стоящая под знаком интеграла, непрерывна на множестве D={0< х< я/2, -а^у <а] при всяком конечном а > 0. Частная производная 1 f = 1 + Z/ tg * непрерывна в D. Поэтому законно дифференцирование под знаком интеграла: dx ™т№-* tg х 165
Вычислим последний интеграл. Полагая и =tg x, имеем 2 Ц1+уи)(1 + и) у -1Ц\+уи 1 + и _ 2 оо _ У г ац я y2-lll + y2u2 2(y2-l) Пусть у > О, тогда, полагая и = —, имеем Если i/ < 0, то СО , -1 -°° 7 [_du__ _ 1 f дц я_ |l+yV"j/J0l + l>2~ 2j,- Итак, f"rv) =—5— (у>0), F'{y) = —-— (у<0). КУ) 2(i/ + l) УУ } УУ> 2(1/-1) ^ ' Учитывая, что F(Q) = 0, после интегрирования получаем F(y) = ^signy\n(l+\y\). 00 927. Пусть Г(х) = J f~le* dt — гамма-функция, о 1 B(tf, у) = J f~ \l -if'1 dt — бета-функция. о Доказать, что rwrq,) Доказательство. Имеем 00 00 Г(х) Г(у) = J J Г WM dt dx. о о Сделаем замену переменных t = u(l - и), т = и ■ v. Якобиан данного преобразования -; '--■- = и > 0. D(u, l») 166 Далее, t + x = u(0<u< оо), у = —^— (0 < и < 1). Поэтому оо 1 Г(х) Г(у) = J J u*~ \l - v)x~* u*-x\?-xeuudu dv = о о оо 1 = J ихлу~ l eu du j v?~ \l - vf~ l dv = T(x + y) B(y, x) = о о = T(x + у) В(х, у), так как легко проверить, что В(х, у) = B(z/, x). 928. Доказать, что r(n+l) = 1-3-5 (2д-1)^ V 2> 2" Доказательство. Для гамма-функции мы установили соотношение (см. [3], § 2.15) Г(* + 1) = *Г(л:), Применяя это равенство, получаем r(n+i)__r(n_i+lHn_i)r(n_i)= = („_I)(„_|)r(n_|) = ....(n_I)(n.|)...(re_2¥I)r(I). Далее, Г(I) = /Л"dt = (* = и2) = ] 2e-2du = 2 • ^ = ТтТ . 2 о о 2 Подставляя это значение, получаем требуемое равенство. Вычислить интегралы: 929. lj xy2 dx dy, если область D ограничена парабо- D лои у = 4х и прямой х = 1. 930. J [ |лсг/|с?л: dy, где Z) — круг радиусом 4 с центром в D начале координат. 167
931. jjjxi/z dx dy dz, где D — область, ограниченная D 2 2 2 2 поверхностями x = 0, у = 0, z = 0, x + у + + z = a . 932. fffJl-^T-^2"--% dx dydzy где Z> — внутренность JiJ V а Ь с 2 2 2 эллипсоида ^ + г + ~T = 1 • a Ь с 933. Найти площадь, ограниченную кривыми у2=р2 + + 2рх, у2=р2-2рх (р>0). 934. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2, y = x2, у=1, 2 = 0. 935. Найти координаты х0, у0 центра масс однородной пластины, ограниченной кривыми л; -ayt у-х = 2а (а>0). Глава 8 Вычислить криволинейные интегралы: 936. J (х2 + у2) ds, где с — кривая х = a (cos t +1 sin i), с у = a(sin t - t cos t) (0 ^ t < 2n). 937. J xi/ ds, где с — дуга гиперболы х = achf, i/ = ash* с (0<t< tQ). 938. j(x2 f a2y2)ds, где с — окружность х = cos t, с у = sint (0 < t < 2ti). 939. Найти длину дуги пространственной кривой Г x = at>y = Mabt2,z = bt* (a > 0, Ь > 0) от точки (0, 0, 0) до точки А = (a, J^a&» &)• 168 Решение. Из определения криволинейного интеграла (см. [3], § 3.2) видно, что в случае, если подынтегральная функция равна 1, криволинейный интеграл равен длине дуги кривой, вдоль которой вычисляется этот криволинейный интеграл. Поэтому 1 Г~- : 1 \Г\ = jds = JVa2+6abf + 9b2t4 dt = J (a +3bt2) dt = a + b. г о о 940. Найти длину кривой х - е~* cost, у = еч suit, z = еч (0<t< oo). 941. Вычислить криволинейный интеграл j(xdy-y dx), г где: а) Г — отрезок прямой, соединяющей точки О = (0, 0) и А = (2, 4); б) Г — дуга параболы у = х, соединяющая точки О я А. Вычислить криволинейные интегралы, предварительно убедившись, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал: (2,4) (0.2) , , 942. } (xdy + y dx). 943. J У**-хйу ^ (-12) (2,1) Х 944. J f{x + y)(dx + dy), где / (t) — дифференцируемая (0.0) функция. (а.п/4) 945. J ex (cosydx - sinydy). (0.0) 946. Вывести формулы: a) grad (cxf + С20) = с1 grad f + с2 grad g, где cv c2 — постоянные; 6)gradU) mSMT>df-f g»d9 (4K^o,* = (*I *„)); v<py ф в) grad \\f[f] = \j/'(/) grad /, где \\i(t) — дифференцируемая функция одного переменного. 169
947. Найти grad Щх, у, z), если: a) U = г; б) U = f(r), где г = ^x*+y2 + z2, f — дифференцируемая функция. 948. Найти величину и направление градиента поля Щх, у) = ах2 + by2-dxy (а > О, Ъ > О, d > О) в точке А = (2, 1). Определить, в каких точках grad U равен нулю и в каких точках он перпендикулярен оси Оу. 949. Вывести формулы: а) div (с^ + с2а2) = сг dival + с2 diva2, где cv с2 — постоянные: б) div (f ■ с) = grad f ■ с, где с — постоянный вектор. 950. Вычислить div (^), где г = Jx2 + y2 + z2 ,r-(xt у, г). 951. Вывести формулы: а) rot (с^ + CgOg) = сг rot аг + с2 rot а2, где cv c2 — постоянные; б) rot (Uс) = grad U X с, где с — постоянный вектор. 952. Вычислить rot г и rot re, где г = (х, у, z), г = Jx2 + y2 + z2 ,с = {сх, c2, с3) — постоянный вектор. 953. Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал U, и найти U, если потенциал существует: а) о = (Ьх2у - 4xy)i + (Зх2 - 2у)у, б) а = (у + z, х + z, х + у). 954. Какие из уравнений являются уравнениями в полных дифференциалах: а) (2х2 + y)dx + (Зх + 4у) dy = 0; б) {ах2 + by2) dx + (2сух + у2) dy = 0? Решить уравнения: 955. (х + y)dx + (x + Зу) dy = 0. 956. (х2 + у2 + 4х) dx + 2xy dy = 0. 170 957. (у + z)dx + (x + 2z) dy + (х + 2у) dz = 0. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы: 958. J [(ex + y)dx-(x + dy) dy], где Г — эллипс х = a cost, г у = Ь smt, с, d — произвольные числа. 959. J [(х + су) dx + (у + dx) dy], где Г — эллипс (см. г задачу 958), с, d — произвольные числа. 960. Найти интеграл J [у2 dx + (1 + 2ху) dy], если АтВ точки А и Б лежат на оси Ox, aD — область, ограниченная путем интегрирования АтВ и отрезком АВ. 961. Найти площадь S фигуры, ограниченной кривой С: (~) +(\) = 1 (а > 0, b > 0, и > 0) и осями координат. Решение. Легко видеть, что х = acos2/n(p, у = bsin2/nq> (0 < ф < тт/2) есть параметрические уравнения кривой С. Поэтому S = 1J (x dy - у dx), где Г — контур, состоящий из кривой С и отрезков осей координат. Далее, S = \\{х dy - у dx) + I j(0dy-y-0) + + \ ]{x-0-0dx) = \\{xdy-ydx) = 2jV , 2c = \ jf2^-cos"+19-sinn_19 + ^sin"+Ycos"~'(p]dcp = л/2 = — J [coscp-sincp]" dy 171
Сделаем замену переменного: sin (р = г, dip — $%■ ,■■ VI-2Г Тогда S = Л*J*-"1 (1-г^Л = (г2 . О = fM<» ' (i- ^' д = " о Л*"о = аЬяП 1\ = Qb r2(V^) 2в In'n) 2л Г(2/т1) (см. задачи 027, 925). Заметим, что при п = 2 мы получаем четвертую часть площади эллипса (nab/4). Глава 9 Разложить в ряды Фурье следующие функции: 9Ь2. fix) = {, п ^ где а, о — постоянные. /v ' \Ьх, 0^х<л, 963. /(jc) = х sinx в интервале (-71, к). 964. Периодическую функцию /(*) = (sin x\. Найти сум- муряда1^+з15 + 517 + - 965. Периодическую функцию f(x) — |cos x\. 966. Найти скалярное произведение функций f(x) = sin2x, ф(дс) = cosjc (О ^л: < тт). 967. Найти норму функции f(x) = 1 - х2 (0 < х < 2). Исследовать на равномерную и среднеквадратическую сходимость последовательности функций: 96S.fn(x) = xn-x2n (0<х<1). 9в9./„(*)=-^ (0«*<1). 1 + х Решение. Легко видеть, что последовательность fn(x) сходится к функции 172 , ч Г 0, 0<х<1, ^Ml/2, х = Ь Сходимость будет неравномерная, так как SUP fn - тг^О при п — оо. Покажем, что данная последовательность сходится к функции \\!(х) в смысле среднеквадратического. Так как значение интеграла не зависит от значения функции в одной точке, то достаточно показать, что fn(x) сходится к нулю в смысле среднеквадратического: 1£(*)-0|ы} X" 1 + х" 2 \ dx ЛУ2 V2 = (Хп = z) = {lna+гу) 7Z{l(i+zf) ~ж u,n 970. Найти функцию ф(х), если: <» а) f ф(1/) cos xy dy = --Ц; о 1 + * 00 б) J Ф(у) cos xy di/ = ехр (-д:2). Глава 10 971. Решить методом Фурье уравнение поперечных колебаний балки 0+§ =° «><*<'. *>°> при условиях «(о.о=В(1.о-о,^а>^й>о. ох дх которые выражают тот факт, что оба конца балки закреплены; u(x.0) = f(x),^^^F(x). (1) 173
Решение. Будем искать решение в виде и(х, t) = T(t) ■ Х{х). Подставляя эту функцию в уравнение, получаем X Т Таким образом, для функций Х(х) и T{t) мы получили обыкновенные дифференциальные уравнения. Для уравнения Х<4) - fX = 0 (2) характеристическое уравнение имеет вид г4=Х\ Решая это уравнение, получаем четыре различных корня гг = - X, г2 = X, г3 = -iX и г4 = iX. Поэтому общее решение уравнения (2) запишется в виде Х(х) = ах ch Хх + а2 sh Xx + bjcos Xx + Ъ2 sin Xx. Исходя из условий задачи, функция Х(х) должна удовлетворять условиям X(0) = XW = ^f^ = 0. (3) Используя (3) для х = 0, получим b1=-al, Ъ2 = -а2. Итак, Х(х) = a, (ch Xx - cos A*) + a2 (sh Адг - sin Xx). Далее, используя (3) при х = U получим al(chXl-cosXl)+a2(shXl-sinXl) = QA ,^ Xal(shXl + sinXl) + Xa.J(chXl-cosXl) = Q.} K ) Таким образом, для определения коэффициентов ах, а2 мы получили линейную однородную систему. Чтобы систе- 174 ма (4) имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы определитель системы равнялся нулю: chA,Z-cosA/ shXZ-sinXZ A(shA7+sinAZ) X{chXl-cosXJ) = 0 или chAi ■ cos Xl = 1. (5) Уравнение (5) имеет счетное число положительных решений Теперь для определения коэффициентов ах, а2 достаточно рассмотреть одно из уравнений системы (4). Считая аг произвольным, находим а2 (при X = Хп). Тогда значению Хп будет соответствовать функция Хп(х) = (sh Xnl - sin Xnl) (ch Xnx - cos Xnx) - - (ch Xnl - cos Xnl) (sh Xnx - sin Xnx). (6) Итак, числаА,п являются собственными значениями, а Хп(х) — собственными функциями (соответствующими Хп) краевой задачи (2), (3). Функции Х^х),..., Хп(х),... образуют ортогональную систему на (0,1). В самом деле, х?-х*пхп = о] Умножая первое уравнение на Xk1 а второе — на Хп и вычитая из первого уравнения второе, имеем или ^[ХД13>-Х„Х13>]--^[ХЖ-ХЖ'] + fa-tyX^ = 0. Интегрируя это уравнение на [0, Г|, в силу условий (3) получим i jXk(x)Xn(x)dx = 0 фФп). 175
Вычислим еще интеграл от квадрата функции Хп(х): \x2n(x)dx = X~:jXn(x)X^(x)dx = - К Xn{x)X'"{x)i-\X'n{x)X:'(x)dx = -гУ\Х'п.Хух = X'n(x)X"(x)\l0-][X'r;(x)fdx = Xt\[X;;(x)fdx. Далее, \[X';{x)fdx = x[X:{xjfi-2\xX';{x)X':{x)dx о L о i Вычислим интеграл: jxX^xWMdx = о = \{^X:(x)X:Xx)]-X'n(x)X':(x)-xX'n(x)Xy}dx = = -jX'nX':dx-Xin\xX'nXJx = о о - ~][£[KKHKf}dx - X\\xXnX'ndx = о ax о = \[X'$dx-X\\xXnX'ndx. о о Далее, jxXnX'ndx = 4XJ2 f0 - \xn[Xn + xX'n]dx = о о = -][Xn]2dx-\xXnX'ndx, откуда ]xnX'ndx=-±j[xrfdx. 176 Теперь l[Xjdx = lk-;[X'M - 2X; J[X»]2d*+i*.<J[X fdx о Lo о = 1Х-;[Х'М-з][Хп(х)]^х. Отсюда / i-4| 0 ^ Продолжим решение исходной задачи. При данном X = Хп решение уравнения T\t) = -X\T{t) запишется в виде Tn(t)=cncosX2nt + dnsinX2nt (л =1,2, ...). Общее решение исходной задачи можно теперь записать так: и(х, i) = £ (сп cos X\t + dn sin X2nt) Xn (x). Коэффициенты сп и dn находим из условий (1): \f(x)Xn(x)dx AX\\f(x)Xn{x)dx c„ = " 0j[x.(,)]'«f« '« jfWX,(i)fc 4k\\F(x)Xn(x)dx 0 Естественно, мы предполагали, что функции f(x) и F(x) удовлетворяют условиям теоремы Стеклова ([3], § 5.10). Отметим, что [Х'М2 = 4X4n(shXnl-smXnl)2. 972. Решить задачу 971 при условии, что fix) = 2Х2(х) + 3X3(jc), F(x) = 0 (0^х<1). 177
973. Найти решение уравнения теплопроводности ди=ЁЦ. (_тг<л;<я, *>0) Ы дх2 при начальном условии и(х, 0) = f(x) = ах (- ж х < я) и граничном условии и{± пу t) = 0. Глава 11 974. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел: а) г = (2 + 30 (3 - 20; б) z = (а + Ы) (с + di)\ 1 + ZI 975. Построить множество точек 2, удовлетворяющих неравенствам: а) \г\ < 3; б) \г - i\ < 1; в) |z| < 3, | < arg z < я; г) \г\ = 3; д) 2 < |z - *| < 3. 976. Найти главное значение логарифма: a) In (-2); б) In (1 + i); в) In (x + yi). 977. Найти суммы: а) sin х + sin2x + ... + sinnx; б) -^ + cos x + cos 2x + ... + cosnx; в) cos* + cos3x + ... + cos (2л - l)x; г) sinx + sin3x + ... + sin (2л - l)x. 978. Пусть f(z) = u(x, y) + iv(x, у) — аналитическая функция. Проверить, что имеет место равенство -fi\f(z)\2+^j\№f=4\f(zf- дх ду 178 979. Найти сумму ряда Решение. Данный ряд сходится равномерно на всей комплексной плоскости. Этот ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, и все получающиеся ряды снова будут равномерно сходящимися. Имеем: 5'(г)=зТ+7Т+ш+-'5'<0) = 0: 2 G 10 S'"(2) = fj + |j + ^+...,S'"(0) = 0; &4\z) = l + ^ + ^ + ...=S(z). Таким образом, функция S(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению S(4)(2) = S(2) и начальным условиям S(0) = 1, S'(0) = S"(0) = S"'(0) = 0. Решая это уравнение, получим S(z) = ~ [ch 2 + cos z]. La 980. Найти сумму ряда S(*) = 1+37+f7+fr- 981. Найти сумму рядов у suuix^ у cosnx (0<х< 2пу ^ п ~у п Решение. Согласно формуле Эйлера етх = cos пх + i sin nx, поэтому достаточно исследовать ряд оо 1 1± 179
Так как п J0 то л=1 Л л=1 о ~"°° 1 О = lim f У rle,axdt = lim f У (^iJT~ ndt i'^-K) ^_1:Jei(-tV№ lim f V^^d* = lim fe^L *-°°0 l-te" * *-°°0 1- <2f = *e lim lim e -te„ dt = lim Г-^_ = J-^ = -ln(l-*e'*)|0 = ~ln[l-cos*-isin*] = = -lnll-cosx-isin*! - iarctg; -sin* 1-cos* = -iln4sin2| - iarctg(tg^p) = = -iln4 sin2£ + i^^ (0 < x < 2n). 2 2 2 Выделяя действительную и мнимую части в ряде ~е , получим i л fcosnx = „Iin4sin2^, £sin^ = tlzX i л 2 2 i ra 2 Замечание. Можно сразу выделить действительную и мнимую части из интеграла Г eixdt = \_dt_ = ll-te* \eix-t = f cos*-* ,rft+isin* Г— £l-2tcos*+* £l- dt 2tcosx+t После вычисления интегралов получим прежний результат. 180 982. Найти суммы рядов S(x) = £ ^* , s (*) = £sinn* (0 < x ^ 2n)m n=2 Л -1 „=2 Л -1 Указание. —~— = = — — - n -1 (л+1)(л-1) 2U-1 n+U 1 f - 2 *" 1 = — I (tn - tn) dt. Необходимо исследовать ряд У—^—е' *0 я=2 Л - 1 983. Найти суммы рядов ее со cos л* о /~\ V sinn* £(*) = £, cos"x 0,> ВД = £ ^(п+а)(п + Р) ^(п + а)(л+р) (а>-1, р>-1,а*Р). 1 1 Указание. - (л+а)(л + Р) Р~а|_п + а л+Р_ ±-)[tn+a-x-tn^l]dt. 984. Используя теорию вычетов, показать, что: xdx _ я? т _ 1 xdx _ я2 Jo г _ г *a* _ 7f 6' 2 {«.' + 1 12' л/2 л/2 73 = J In sin xdx- -^ In 2, I4 = J In cos * d* = -— In 2. 0 ^ 0 ^ Решение. Рассмотрим интеграл от функции f(z) = = г~— по контуру Г, составленному из отрезка [0, К] оси е -1 О*; отрезка z = R + iy, 0 <у < я; отрезка z = * + 7ti, 0 < * < R; отрезка z = iy, 0 ^ i/ ^ я. Будем считать, что контур Г мы обходим против часовой стрелки. Функция f(z) будет аналитической внутри Г, и поэтому или ]xdx }(R + iy)idy Ux+ni)dx Uyidy n 181
(R + iy)i R+iy Так как 2 Д +у Д +у eR+iy-l I (елcosy-1)2 + /лsin2у eZR-2eRcosy + \ R+y eR(eR -2cosy) + l 0, R - oo (0 < у ^ тс), TO о e l Переходя в (1) к пределу при Я — оо и разделяя действительную и мнимую части, получаем '.♦'.♦ft*-». «Ш-!йй>- Отсюда /1 + /2 = я2/4, Г ysinydy _ ? dx _ „7 dz J02(l-cosy) Jg* + 1 fz(* + l) z + l'1 Очевидно, что o« -1 2 Je -1 2 = 7tln2. откуда /,4л- Из равенства 1г + 12 = я /4 находим, что /х = тс /6 и I2 = n /12. Далее, Г ysinydy cos £ г у siny ay = f J0 2(1-cosy) J0 gsin^ dy = = 2 fy ^г-^cfy =(y = u,ctg ydy = dv) о smy = 2 л/2 "1 я/2 у In siny \q2- J Insiny dy = -2 J In sin у dy. 182 Итак, мы получили, что я/2 /3 = J In sin у dy = - — In 2. о Замена переменной х = ^ - t в 14 показывает, что /4 = 73. 985. Доказать, что f лс ^ тс [X dx _ 7 4 Глава 1 2 986. Найти изображение Лапласа функции /(*)= *а(а>-1). Решение. (р(р) = £[/; р] = J е~р*£а d£. Полагая р* = у, о получаем ф(Р) = 4т|е-у^=4тГ(а+1), Р о Р где Г(£) — гамма-функция. В частности, если ос = п — натуральное, то Т{п + 1) = л! Иф(р)=длр]=4- 987. Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения, найти изображение функции f(t) = t chat • cosbt. Пользуясь теоремой интегрирования изображения, найти изображения функций: -ах . i 988./(*) =е smkx. х Решение. sin kx == 2 2, с ~ах sin kx = ^2 2» р +А СР + а) +А 183
-ax . , e smfex x TO Ada , q + a\o= f—у = arctg-—— I = iq + af + k2 k \p £ - arctg^^ = arctg -*- 2 k p + a 989. f(x) = cos a.r - cos bx X Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих начальным условиям: 990. у' + ау = Ь, у(0) = 0. 991.y' + ay = f(x),y(0)=A. Решение. Введем функцию z(x) = у(х) -А. Эта функция удовлетворяет уравнению z' + a(z + А) = f{x) и начальному условию z(0) = 0. Данное уравнение будем решать с помощью формулы Дюамеля. Решаем сначала уравнение z;+az, = l, 2гг(0) = 0. Пусть \ (p) — изображение решения гг(х). Тогда pz1(p) + az1(p) = ^, ^(p) = l р р + а , 2l(x) = i(l-0. a Далее, г(р)=рг,(р) F(p)-±A Р J где F(p) — изображение функции f(x). По формуле Дюамеля F(p)-^A Р . 2{P)=PZX(P) = [f{x) - оА] 2l(0) + } [/(т) - оА] z\ ix - x)dx = о = J[«T)-aA]e-fl(M)dT. 184 Отсюда z(*) = J Ят) е~а(х ~х) dx- Ае'ах{еах - 1) о и yix) = Ae-a* + J е^/С* - T)dr. о 992. у" + 2у' + 2у = 0, у(0) = А, г/'(0) ^.Указание. Вспомогательное уравнение имеет вид (р + 2р + 2)i/(p)- = (А + В)р2 + 2А, jfo,) = -^Л- + --A±B (р+1) +1 (р+1) +1 993. Найти общее решение уравнения у'" - Зу' + 2у = (4х2 + 4х- Ще~х. Решение. Составим операторное уравнение: p3yip) - p2yi0) - руЩ - у'Щ - Spyip) + 3у(0) + 2yip) = _. 8 + 4 10 (р + 1)3 ip + lf р + 1' Отсюда т = рУ(0) + РУ(0) + у"(0)-Зу(0) + 2-16р-10р2 (р-1)2(р + 2) (р-1)2(р + 2)(р + 1)3' Так как у нас начальные условия отсутствуют, то у(0), z/'(0), y"(0) — произвольные числа. Разлагая правую часть последнего равенства на простейшие дроби, получим У(Р) = -£кг + —^-г + Сз ' 2 ■ * р-1 (р-1)2 р + 2 Оэ + 1)3 (р + 1)2 р + 1' Согласно таблице изображений находим yix) = схех + с2хе~х + с3е'2х + ix2 + х - 1)е~х. 994. Найти общее решение уравнения z/4)+z/'" = cos x. 995. Показать, что сумма ряда S=£(±l)B«p(n) п-т равна s-j±i)nlfWemXdx I 1 + е'х где f(x) = ф(р). 185
Решение. S = ± (±1)" ф(л) = ± (±l)n )enxf{x) dx = J m t (±DB e'nx dx = Jfl*)^rH^dz Найти сумму рядов: 996. S = 2—1i7- Решение. Будем использовать задачу 995. В данном случае m = 1, <р(л) = ^-— = — Ц- ■ Следовательно, п(тг+1) п п+1 Дл:) = 1 - е~х. На основании формулы из задачи 995 получаем S = ]{l-e-*)-^dx = -e-*\; = l. о 1-е ю 1 со ^ 1\л+1 in \ п 1 П Решить системы уравнений: y'=3z-y, 999. \ ~ *> }^(0) = г(0) = 0. z =y+z+e, woo.v'.-2y-4z=cosx'} m=m = o. z -y + 22 = smx, J y' = 2-t, Л 1001. z' = t-2y, t' = 2y-z, y" + 2z = Q, 1002- ' О. П 2 -2y = 0, \y(0)=l,z(0) = t(0) = 0. i/(0) = z(0) = 0, i/(0)=l,z'(0) = 0. 186 Приложение II *) Глава 1 Дифференциальное и интегральное исчисление § 1. Последовательности Выяснить, является ли последовательность ограниченной: 1003.*n = ^tff 1004.xn = n(lf. on — 1 1007. Найти sup хп, inf дсп для последовательностей, указанных в задачах 1005,1006. 1008. а) Для каждогое (е = 1, е = —, s = — ,£= —-—) v 5 10 10 000' указать такое N, что , " -1 < £ для любого п > N. In +п б) Доказать, пользуясь только определением предела последовательности, что Автор приложения II — А. Ф. Кутасов. 187
Исследовать на сходимость последовательность: 1009.*„ = 4-sin^. ■Jn 2 1011. хп = *±1 cos2 Ш п 4 (-и" 1010. хп = ri 1012.*в = «Д|д|<1. 1014. lim^ его: Найти пределы: 1013. lim^,a>0. 1015. limVn". Л->00 Найти пределы: 1016. Ит(л/л2 + 1-л/л2-1). 1017. limfl + Л Доказать, что последовательность имеет предел, и найти 1018. хх = 13, xMl = Vl2 + jcn. 1019. д^О,*^^^, a>0. 1020.^ = ^,^ = 1-^. 1021. Верны ли утверждения: а) Каждая бесконечно большая последовательность неограничена; б) Каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Выяснить, является ли последовательность фундаментальной: 1 nf)o ,. __ п + 1 Зя + 2' 1023. х„ = nCQSnn-1 2л 188 1024. *я = 2-^. 1025. * = У1. Найти lim*rt, limxrt, sup xn, inf xn: 1 + (1 + (-1)л)2л 1026. * =—^-Ц^~. 3 + 2" 1027. x =^ sin ^, л>1. " n-1 3 1028. Построить последовательность, множество частичных пределов которой: а) состоит из трех чисел; б) счетно. § 2. Функция. Предел функции. Непрерывность Найти область задания функции: 1029. у = lg(l - 2 cos x). 1030. у =arccos(2sin х). Найти множество значений функции: 1031 • У = лР^1 - 1032. у = arccos £-+!. * * 2* 1033. Найти функции а)Ш, б) я (Л, B)f(f),r)g(g), , [0, *<0, J °> *<0> если Г = ■< л # = I 2 г* [х, х>0, 1-х , х>0. Найти обратную функцию для функции у = f (x): 1034. у = М 1-х+А-2х-Зх* 1035.i/ = etgjr, xe [2;3]. 189
Выяснить, является ли функция периодической; найти ее наименьший период (если он существует): 1036.y(*) = tg^+tg^. 1037. у(х) - sin 4x + 5 cos 6x. 1038. у(х) = sin VW- 1, если д: — рациональное число, 1039. у(х)=, п [О, если х — иррациональное число. Найти пределы: 1040. um^'-,l°0to+1100-■ Ю41. Um^&i. 1042. lim (V4*4+13x2-7 - 2л:2). X—со 1043. Ит^^^ • 1044- М-3 2ztgx). *-° sin(2x) «^cosjc > Х 2 1045. Um?11008^ ■ 1046. lim (In (e + x)f* \ *~olncos4x *~o 1047. lim (Vx2+8* + 3 - Vx2 + 4* + з). 1048. Найти / (x0 - 0) и f (x0 + 0), если a) / (x) = sign cos x, x0 = ^. 6)/(*) = lim^f,x0=l. n^°° x -1 1049. При каких а и Р функция f(x)- yJ4x2+x-l -ax-p является бесконечно малой при х —■ +оо? 1050. Найти lim f (x) и lim / (x), если *-0 х-0 а) f (х) = sin 1; б) / (х) = е™*7. х 190 Исследовать на непрерывность функцию / (я) и определить характер точек разрыва: 1051. f (х) = 1=смдс 1052> ^ (je) = Ja^lj ~- --23 1053. f (х) = —L-. 1 + 2^ 10^4 f ( \ - J "*"' если х — рациональное число, 0, если х — иррациональное число. Г 0, если х — иррациональное число, 1055. f(x) = i 1 Р -я ы v ' 1 i если х = ^, ре£,?£М, I 9 Ч где ^ — несократимая дробь. Ч 1056. Функция / (х) непрерывна на [а; +оо), существует конечный lim / (х). Доказать, что f (x) ограничена на [а; +оо). 1057. Доказать, что функция f(x)=i sin ~x * еСЛИ * * °' ^ -1, если х = О на любом отрезке [0; а] принимает все промежуточные значения между f (0) и f (a), но не является непрерывной на [0; а]. 1058. Функция f (x) непрерывна и периодична с периодом Т. Доказать, что существует точка х0 такая, что f(xo+j)=f(*o)- 191
§3. Производная Указать область существования производной функции у = у(х) и вычислить ее: 1059. у = arccpsx 1060 = х* arcsinx 1061. Найти dy в точке х0: у = arctg -^. а) дс0 = ^ . б) *0 = е. 1062. Вычислить производную функции у(х), если: а) у = хх . б)у = х2*. в) у = 2* . 1063. Исследовать на дифференцируемость функцию у(х), если: . _ I! ял j х2> если * — рациональное число, \ О, если х — иррациональное число. 1064. Найти производную обратной функции х(у), если 2 а) у(х) = —^-^, х < 0, б) у(х) = ch х, х > 0. 1 + х Указать область ее существования. 1065. Найти у'х, если х- a cos t, у = b sin £, 0 < £ < я. 1066. Найти у'х, если функция у(х) задана неявно уравнением: 2 2 а о 1067. Найти в точке (1; 2) дифференциал функции у{х), заданной неявно уравнением у -у = Ьх. 1068. Написать уравнения касательной и нормали к кривой у4 - 4л:4 - бху = О в точке (1; 2). 192 § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 1069. Найти производную второго порядка для функции = arcsinx в точке х = q VI-*2 1070. Найти второй дифференциал функции у = Ху](х-5) в точке х = -3. 1071. Найти в точке (0; 4) производную j2 2 2 dx" t-1 ' * *-Г 1072. Найти ^Ц, если х = In tg ^, i/ = In tg *. 1073. Найти в точке (0; 1) дифференциал d у, если 2 1п(у - х) + sin дф = 0. Найти у(п): 1074. у = -3—Z . 1075. у = 1п(ж - I)2*. х -4*-12 1076. у = , * . 1077. у = (х2 + х) cos2 х. VI -5* 1078.1/ = /* sin2 *. 1079. Найти i/20) (|), если у = 2(х- ctg л:) sin2 x. 1080. Определить, какого порядка производными обладает в точке х = О функция , ч f sh x - х, если д: < О, [ х - sin я, если х > 0 и вычислить в этой точке все существующие производные. 1081. Найти кривизну кривой: a) x3 + i/3 = а3; б) х = t-sin *, i/= l -cos i, 2 = 4 sin jr. 193
§ 5. Теоремы о среднем 1082. Записать формулу Лагранжа для функции: a) f (х) = -Уз д:3 + Зх на отрезке [0; 1]; {^^, если 0 < х^1, 2 —, если х > 1 на отрезке [0; 2], и найти х соответствующее значение £,. 1083. Доказать, что если функция f (х) дифференцируема п раз на отрезке [а; Ъ] и обращается на нем в нуль в (п + 1) точках, то существуете, е (а; Ъ) такое, что fn) (£,) = 0. 1084. Доказать, что если функция дифференцируема на интервале, а ее производная принимает значения разных знаков, то на этом интервале существует точка, в которой производная функции обращается в нуль. Указание: используйте теорему Ферма. 1085. Пусть f (х) — дифференцируемая на [0; 1] функция, /(0) = /(1). Доказать, что существует точка £, е (0,1) такая, что /® + |f (&W(0). Указание: примените теорему Ролля. 1086. Пусть функция / (х) дифференцируема на отрезке [0; 1], / (0) = 0,jf (*)|^ ~\f (х)|для всеххе [0; 1]. Доказать, что/0;) = 0, х е [0; 1]. Указание: воспользуйтесь теоремой Лагранжа. 1087. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ъ), где а > 0. Доказать, * / кч af{b)-bf{a) что существует точка с, е (а; о) такая, что ——— = Указание: запишите теорему Коши для функций Ми1. X X 194 § 6. Формула Тейлора Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х - х0 до о ((х - х0)п) функцию: 1088. у = —Ц-, х0 = 0. 1089. у = f-5y + 7 , x =з. 1090.1/ = J—, *0 = 0. VI -X 1091. у = (х2 + 4х + 2)е~2х, х0 = -2. 1092. у = 1п(2*2 + 7* + 5), х0 = -3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = х0 до о((х - х0) ") функцию: 1093. у= j 2Х~2 , х0 = 2. 1094. у = arctg х, х0 = 0. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х0 до о ((х - д?0)2"+1) функцию: 1095. у = sin2 x cos2 x, x0 = 0. 1096. у = (2*2 + 4х - 1)/+2*, х0 = -1. 1097. С помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа с точностью до 10 вычислить arctg 0,8. 195
§ 7. Раскрытие неопределенностей Применяя правило Лопиталя или формулу Тейлора, найти пределы: *~1 1099. ПтЩ^. 1098. lim 3 *-12* -х-1 10 1100. lim* Г10*+9- 1Ю1. Iim^a>°-P>0 х_*1 х -5дс + 4 ЛГ-+ссе Р* 1102. ИтЦ^,а>0,|3>0. 1103.Ип^-^),аР*0. 1104. lim (^ arctg х] . 1105. Ит 1106. Кт^х-хЧп^ + Ц. . e'sinx-jcfl + x) 1107. lim х-0 1108. lim 3cosx + arcsina:-3>/l + j: ln(l-*2) e2*-ch2x-2* *-o tg 2jc-2sinx 1109. lim е2-сЦх-л/ь^)-^ *-*° ln(l + x arctg x)-sin лг 1110. lim x-0 tf arctg * 2) (чЬ 4л; — tff 3x^incos5jr 1111. lim - g ' 196 § 8. Исследование функций и построение их графиков. Построение кривых Найти интервалы возрастания и убывания функции: 1112. у = -е-. 1113. у = -JS-. х * х+50 Найти максимумы и минимумы функции: Ш4.л = М. 1115.^1^. {х ~ 1) дс 1116. у = х*. 1117. у = №\2-х\. 1118. Найти экстремумы, наименьшее т и наибольшее М значения функции y(x) = (x-3f^lltxe [-2; 4]. 1119. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции 3 12 + х Исследовать функции и построить их графики: 1120. у = £^. 1121. у = sin2*2. (x-2f У (1-cosx)" 1122. у = Ух2 + х3 . 1123. у = VK* + 2)|. Построить кривые: 1124.* = £=3_ y = t+±. t-2 y t 1125. х = 2t + In j* - 1|, у = t + In |* - 1|. 1126. Найти наибольшую кривизну кривой У 6 2х 197
§ 9. Неопределенный интеграл О о 1127. Для функции у = — --%, х е (-оо;0) найти пер- X X вообразную, график которой проходит через точку (-1; 1). Найти интегралы: 1128. ИЗО. 1131. 1132. 1134. 1136. 1138. 1140. xdx 1129. J dx (i-хг • sh x , -re- dx. ch х еах sin bx dx, a2 + b2* 0. x2ylxz -1 2 i x e (x+2Y dx. x-2x+b x4-2x3 + 5x2 dx. dx 6V(x-7)7(*-5)5 3Jxdx Jl+Vx' ' da: 1133. J з 1^ , J x -x-x+l 1135. f-£*-. J * +1 1137. [ . *dx 2 • JVl+2z-z2 1139. J d* sin a: cos # 4-sin ас 1141. Найти все первообразные функции / = ew. §10. Определенный интеграл Вычислить интегралы: 1142. *jJe?-ldx. ЮОп 1143. jVl-cos2x dx. 198 1144. \ylct-x2dx. 1145. Jarcsin Jx dx. о о 1146. Вычислить ^JVl + ^cft. Доказать неравенства: 200 ~$xj 1147.0< |^<0,01, 0 400 1148. 0 < J^^-dx < 0,02. 100 vX 1149. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t), t e [0; 2я] и отрезком [0; 2яа] оси абсцисс. 1150. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой г2 = 2а2 cos 2ф. 1151. Найти длину дуги кардиоиды r= a(l -cos ф). 1152. Найти длину кривой 3x-ch3y = 0fye [0; я]. 1153. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми у = sin2 х, у = х sin х, х е. [0; я]. 1154. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры arcsinx2 < у < 5, х е [-1; 1]. 1155. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой y = Vl-2*,*e[-l;l] вокруг оси Ох. 199
§11. Несобственные интегралы Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 1156. Мт-. 1157. J-pk J0x + -Jx b*ln x 1158. jtgxd*. 1159. ) ff . 0 -oo X V X — 1 1160. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей листа Декарта х3 + у3 = Ъаху. 1161. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением кривой у = ——^ вокруг ее 1 + х асимптоты. Исследовать на сходимость интегралы: 1162.}/ d\ . 1163.1^£. +00 1164. J (x + 3)dx ,x2J2x + 3 ' 1165. Доказать неравенства +ю о г 1 0,25 < \^rr±±dx< 0,35. \ х + 1 Найти все значения параметра а, при которых сходится интеграл: 1166. l^dx. 1167. J xa-101 arctg" -*-dx. i ха n 1+* 200 Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы: 1168. Г Щ£ cos х dx. 1169. f ™* cos 4- dx. +oo 1170. Может ли сходиться интеграл J / (*) dx, если о f (x) непрерывная и неограниченная на любом промежутке [а; +00), а > О функция? §12. Числовые ряды Исследовать на сходимость ряд: 1171. У(Я=1) . 1172. У^- 2 1173. Vf^=i Й^ + 1^ 1174. У cos cos—-cos chi) . ^v n n> 1175. yarctf^+2. 1176. у smn 1177. Zt-^T • 1178- £ r-Sln" • Найти все значения а, при которых ряд сходится: а) абсолютно, б) условно: 1179. £Н£. 1180. t/r-{~ir ч,- 201
§ 13. Функциональные последовательности и ряды 1181. Найти предельную функцию / (л:) последовательности fn (х) = (х - 1) arctg xn, х>0. Найти предельную функцию / (л:) последовательности и исследовать ее на сходимость и равномерную сходимость на заданных множествах: 1182. fn (х) = -f4r, a) [0; 1], б) [1; +оо). 1 + п х 1183. fn (х) = nspx , (0; 1). nx + Jxsmx 1184./„(*)= 2"1?" . (!;+«>)• п +ш х 1185. fn (х) = arctg (--л2), а) (0; 1), б) (1; +оо). пх, если* е 0; — , 1186. fn (х) = \пН^-х\ если* е (i; ■% 0, если* е —; 1. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд на заданных множествах: 1187. >—3У * ^ 0. 1188. £f arctg «ИХ, а) (0; 1), б) (1; +оо). 1189. £-^вш1, а) (0; 1), б) (1; +оо). 202 1191. Исследовать на непрерывность функцию л=1 VX + n 1192. Является ли функция 11=1 л непрерывно дифференцируемой? со 1193. Можно ли ряд £ arctg -^ почленно дифферен- цировать на IR? 1194. Вычислить интеграл 2л/ со 2 \ 0Vn=l П +П ) § 14. Степенные ряды Найти радиус сходимости R и интервал сходимости. Исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости: ^ (2 + (-1)")Л »-1 л 1195. X 1196. J^t. Найти радиус сходимости R ряда: П97. ±^г\ 1198. ±^(2 - 1)4\ 1199. У ^"О-н-О*" ^ £i^ + 3n+2 203
Разложить в ряд по степеням х функцию f (x) и найти радиус сходимости полученного ряда: 1200. f(x)= 25"2* . х -5л:+ 6 1201. /(*) = cos2 х. 1202. f{x) = x In (x2 + V9 + *4). 1203./(*) = arctg^f. l+2x 1204. Найти сумму ряда ^ оа 2п л=1 Я 1205. Вычислить с точностью до 10 интеграл о * § 15. Функции многих переменных 1206. В л-мерном евклидовом пространстве дан куб с ребром а. Найти: а) длину диагонали куба, б) число вершин куба. 1207. Является ли открытым в Кп, п > 1 множество всех точек круга х* + х\ < 1, хх = 0, i = 3, 4,..., га? 1208. Является ли множество, на котором определена функция z = arccos(2i/ + 21/л: - 1), а) замкнутым, б) открытым в Ш2, в) областью, г) связным? 1209. Найти линии уровня функции (x-lf + y2 (x+lf + y2' 204 1210. Найти 1) limlimz, 2) limlimz, 3) limz, j,-0 если: a) z - jc + i/ sin —, 6) z = x sin — + у sin — x У x B)Z=Ktg X x x + y 1211. Вычислить: a) lim/1 + х)х+х2у . 6) lim xy sin ~. дг-СГ ' *-№ XU 1212. Найти точки разрыва, указать точки устранимого разрыва функции / (*; у) = т-г;—2 . 21 • In 1-Я -41/ 1213. Пусть функция f непрерывна и принимает как положительные, так и отрицательные значения на открытом множестве Еа Ш.п. Является ли множество точек хе Е, в которых / (х) Ф 0: а) открытым в Кп множеством, б) областью? 1214. Исследовать функцию на дифференцируемость в точке (0; 0), если о) z = i/xy , б) z = cos tfxy . 1215. Найти все значения а, при которых функция 2 4-. *+У*0, 2 = < X +у 0, я2 + 1/2 = 0 дифференцируема в точке (0; 0). 205
1216. Найти дифференциал указанного порядка в заданной точке для функции z{x,y)t если: а)г = -е' , (0; 1), п = 2; б) z = х cos у -vy sin х, (0, 0), п = 3; в) 2 = cos х ch у, (тс; 0), л = 6. 1217. Найти dz и d22, если ■^ = 1п^ + 1. 2 i/ 1218. Найти степень однородности т (см. задачу 870) для функций: чЙ 2 2 + Х, a) u = ^* 2., Ж1 > 0; б) и = у]х2 + х1 + х23-х1 ; в)ы = 2>кх п-1 k+1 § 16. Формула Тейлора. Экстремумы функций многих переменных 1219. Разложить функцию и = xfi+y по формуле Мак- 2 I 2 2 лорена до о(р ), р = v* +У ', записать остаточный член 2-го порядка в форме Лагранжа. 1220. Разложить функцию и = arctg ~ + х по формуле Маклорена до о(р2), /2 , 2 Р = yjX +y , 1221. Разложить по формуле Тейлора в точке (0; 2) до о(р ), р = д/х +(j/-2) , функцию u =sin x In i/. Исследовать на экстремум функцию: 1222. и = х2у2 - 2х2у + \2ху. 1223. и = Зх2 - 2xjy + y-Sx. 206 1224.и = хуу1\2-4хг-у2. 1225.u = (l + ey)cosx-yey. 1226.и = х + У-+^- + ^. 4х у 2 1227. Исследовать на экстремум непрерывно дифференцируемую функцию и = и(х,у), заданную неявно х2 + 4у2 + 9и2 -Qx + Sy~ 36u = 0, и > 2. Исследовать функции на условный экстремум при заданных уравнениях связи: 1228. и = hi(xy), х* + ху + у* = 0. 1229. и = х - у + 2г, х2 + у2 + 2z2 = 16. 1230. и = (х - I)2 + (у - 2)2 + (г - З)2, х2 + у2 + г2 = 21, 3x + 2y + z = Q. 1231. Методом множителей Лагранжа найти экстремумы функции и = 1 - 4х - Sy при уравнении связи х -Sy =8. 1232. Найти наибольшее и наименьшее значения функции и = ху(6 -х-у) на множестве х + у < 12, х > 0, у > 0. Глава 2 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы §17. Кратные интегралы 1233. Выразить двумя способами двойной интеграл jjf(x,y)dxdy D через повторные интегралы, если D — трапеция с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (1; 2), (0; 1). 207
1234. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 2 -iti jdx J f(x,y)dy. 1235. Вычислить интеграл \\y2dxdyy D где D — область, ограниченная осью абсцисс и одной аркой циклоиды х = t - sin t, у = 1 - cos t. 1236. Найти якобиан ~—-, если и = ch х cos у, v = sh x sin x. 1237. Найти якобиан ~—-—~, если д(х,у,г) и = xyz, v = xy- xyz, w = y-xy.. Вычислить интегралы: 1238. jj sin tJx +y dx dy, где D — область, ограниченная окружностями 2 2 2 2 2 л 2 X + у =71 , Х +у =4П . 1239. jj(x+y) dx dy> где D — область, ограниченная D линиями у2 = 2х, х + у = 4, х + у=\2. 1240. Найти площадь области, ограниченной кривыми у2 = 4(х + 1), у2 = 4(1-*). 1241. Найти площадь области, заданной неравенствами Л4 x + M] 4 з; X2 2 < ^- + у\ х > 0, у > 0. 208 1242. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2=l,x + y=l,z = x +у2 - 4ху - 2jc, 2 = х + у - бху - 2х. 1243. Найти площадь части сферы 2 2 2 2 х +у + z = г , расположенной вне цилиндров х2 + гх + у2 = 0, х2 - гх + у2 = 0. 1244. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривой г = a sin 2<p, расположенной в первом квадранте, и осями координат. 1245. Определить момент инерции однородного тела, ограниченного поверхностями *! + iL=22 * + ]/ = z а2 Ьг с ' а Ъ с относительно плоскости 2 = 0. 1246. Перейти в интеграле I 2~У У** jdy jdx \f (x, у, z)dz 0 1 -ух к следующему порядку интегрирования: вначале по у, потом по z и затем по х. Вычислить интегралы: 1247. fГf dxdydx ^ область D ограничена плоско- JJDJ {1 + х+у + г) стями x + y + z=l, x = 0, i/ = 0, z = Q. 1248. JJ J Vx +i/ +2 dxdj/ dz, область Z> ограничена сферой 2 2 2 x +y +z =z. 209
1249. Jjj [x + y)dxdy dz,область!)ограниченаповерх- D ностями x2 + у2 = 2z, 2 = 2. 1250. Найти объем тела, ограниченного поверхностями г = х + у ^ z = xi/, х + у= I, x = 0, i/ = 0. 1251. Найти массу тела, ограниченного поверхностями: л:2 + у2 - z2 = a2, z = 0, 2 = а, а > О, если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате г и в плоскости z = а равна у0. 1252. Найти объем: XXX а) четырехмерной пирамиды лг1 + "rf + if+ ~r ^ 1» Сл О ft *, ^0,i = l, 2, 3,4. 2 2 2 2 б) четырехмерного шара хл + х2 + х3 + х4 < 1. §18. Криволинейные интегралы 1253. Вычислить интеграл \ч]х2 + у ds, Г — окружность х + у = ах. г 1254. Вычислить криволинейные интегралы: a) jx2ds, б) jx3ds, г г Г — окружность х + у2 + z = 1, х + у + 2 = 0. 1255. Найти массу, распределенную с плотностью Г~2 2 „2222 р = ijy +z по кривой х + у + z = а , у = z. 1256. Вычислить интеграл J У dx + z2 dy + x2 dz, 210 Г — кривая: л; + у +z -a , х +у =ах, z> 0, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной части (х > а) оси Ох. 1257. Вычислить интеграл j(3x2y+y)dx + (х3 + х) dy, г Г — простая кривая, идущая от точки А(1; -2) к точке 5(2; 3). 1258. Вычислить интеграл rxdy-ydx I 2 2» г х +У Г — простая замкнутая кривая, не проходящая через точку (0; 0). 1259. Определить силу, с которой масса М, равномерно распределенная по полуокружности х + у = ВТ у > 0, притягивает материальную точку (0; 0) массы т. §19. Поверхностные интегралы. Формулы Гаусса и Стокса Вычислить поверхностный интеграл первого рода: 1260. f f -———-у, Q — граница тетраэдра J4(l + x+y) x + y + z^l,x>0, y>0, z>0. 1261. 11-j=5—Щ—=r ■> Q — часть цилиндрической по- « V* +У +z верхности х = г cos и, у = г sin ц,г = у,цб [0; 2п], v e [0; 1]. 1262. [Гг ds, Q — полная поверхность конуса Q V* +у < z < 2. 211
1263. Определить массу, распределенную по части эллиптического параболоида х2 + у2 = 2г, z < 1 с плотностью р = р0г. Вычислить поверхностные интегралы второго рода: 1264. jjx dy dz, s+ — внешняя сторона сферы + 2 2 2 г»2 X +у +2 =ВГ. 1265. jJ [x* + zj dy dz, s~ — часть внутренней стороны s сферы х2 + у2 + z2 = Я2, z < 0. 1266. \\z dx dy + {Ьх + у) dy dz, если 8 а) s — внешняя сторона полной поверхности конуса х2 + у2 < z2, 0 < z < 4; 2 2 X U 2 б) s — внутренняя сторона эллипсоида — + ~ + z =1, 4 9 в) s — внешняя сторона границы области 1 < х2 + у2 + г2 < 4. 1267. Вычислить интеграл \jyz dx dy + zx dy dz + xy d2 dx, + a s+ — часть внешней стороны цилиндрической поверхности х + у2 = п, выделяемая условиями: х < 0, у > 0, 0 < х < R. 1268. Используя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл J(i/2 - 22) dx + (z2 - х2) dy + (х2 - у2) dz, если: 212 а) Г — кривая пересечения поверхности куба 0 ^ х<а, О^у <а, 0 < z < a с плоскостью х + у + z = —, ориентированная положительно относительно вектора (1; 0; 0); т*ч 2 2 б) Г — кривая пересечения параболоида х + у + z = 3 с плоскостью х + у + z - 2, ориентированная отрицательно относительно вектора (1; 0; 0). § 20. Скалярные и векторные поля 1269. Найти div grad f (г), r = jx2 +уг + z2. 1270. Найти поток вектора г(х, у, г) через: а) боковую поверхность конуса х + у2 < z , z e [0; Л]; б) основание этого конуса. 1271. Найти циркуляцию поля -yi +xj +ck ,c =const, вдоль окружности: а) х2 + у2 ~ 1, z = 0; 6)(x-2)2 + i/2=l,z = 0. 1272. Найти потенциал поля yz(2x + у + z)i + xz(x + 2y + z)j + xy{x + у + 2z)k. 1273. Найти работу поля 2(y+zy2i-x(y + zy(] + k) вдоль пути от точки (1; 1; 3) к точке (2; 4; 5), расположенном в первом октанте. 1274. Найти: a) rot cf (r); 6)rot[c,f(r)r]; B)div[r,[c, r]], с — постоянный вектор. 213
Глава 3 Ряды Фурье. Интегралы, зависящие от параметра. Интеграл Фурье и преобразование Фурье §21. Тригонометрические ряды Фурье Разложить в ряд Фурье по тригонометрической системе, ортогональной на заданном промежутке, функции: 1275. у - sign я, х е (-я; я). 1276. и = I 2' если * е ^~п' 0)' I 5, если х € [0; я]. 1277. у = cos2 х, х е [-я, я]. 1278. у = хг, х е [-я, л]. 1279. Найти сумму ряда Лейбница f (-1)" &2п+Г используя разложение задачи 7275. 1280. Разложить в ряд Фурье по системе {sin nx,neN} функцию i/ = лг(тг - лг), х е [0; я]. 1281. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом Т. = 10 функцию _ Г10 - я, если * е (5; 15), I 0, если * = 0. 1282. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме функцию у = ех, х € (-тс; я). Найти значение суммы s(x) ряда при х = я. 214 1283. Используя разложение задачи 1278, почленным интегрированием получить разложение в ряд Фурье функции у = х3, х е [-я; я]. 1284. Как следует продолжить заданную на интервале (0; -^) интегрируемую функцию f (х) на интервал (-я; я), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид со ftx) = Za2n-i cos(2ra - 1)х, х е (-я; я)? п=1 1285. Разложить в ряд Фурье функцию У = 1п sin^ 1286. Найти сумму ряда ^SinZl^ Х€(0;2Я). 1287. Показать, что: а) система функций {sin х, sin 2 х, sin 3*,...} не является полной в пространстве функций, непрерывных на [-я; я] и удовлетворяющих условию / (-я) = f (я), с нормой ||Л|= sup \f(x)\. л:е[-л; л] б) система функций {sin x> sin Зх, sin 5л:,...} является полной в пространстве функций, непрерывных на [0, — ] и удовлетворяющих условию / (0) = 0, с нормой Ц/11 « sup |/(*)|. «htl 1288. Разложив функцию у = х2 в ряд Фурье на (-я; я), » 1 вычислить 2_,—т с помощью равенства Парсеваля. 215
1289. Просуммировать методом средних арифметических ряд 1 + 1-2+1 + 1-2+... § 22. Интегралы, зависящие от параметра 1290. Доказать, что функция Бесселя целого индекса п Jn (х) = — J cos (шр - х sin ф) с?ф по удовлетворяет уравнению Бесселя х2у" + ху' + (х2-п2)у = 0. Вычислить интегралы: л/2 1291. J In (a2 sin2 x + р2 cos2 x) dx, а > 0, р > 0. о 1292. j^^dx.coO.pX). 1293. Доказать, что интеграл ■к» о сходится неравномерно на интервале (0, +оо) и сходится равномерно на промежутке [е; +°°), £ > 0. Исследовать на заданном множестве на равномерную сходимость интегралы: +w , a г 1 1294. Г %£ dx, a е [0; 2]. j xvx 1295. f ™^ dx a) a e [0; 1], 6) a € [1; +oo). о * -mo 2 1296. Je** dx, a e (0; +oo). 216 Вычислить интегралы: +" . +0O . 1297. |e p'sinax dXf p > 0 1298< J sinax ^ 0 Л' 0 * +°° +oo , 1299. f ^£ dx. 1300. f дашу dx. I 1 + x* { 1 + x2 1301. J e~x cos 2ax dx. 0 *5? -our2 -pi2 1302. /^—=^~ dx, a > 0, p > 0. 0 * 1303. Вычислить с помощью функций Г(р) и В(р; q) интегралы: а) (-£*- б) fsSEZ dx 1304. Выразить через функцию В(р; q) интеграл я/2 Jsinm х cos" x dx, m > -1, я > -1. о § 23. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье Представить функцию / (х) интегралом Фурье: 1305. /(*) = { ЬеслиМ<а I 0, если |х| > а. 1306. / (х) = sign(x - 1) - sign(x - 2). 13О7./(х)=|е_Л:'еслих>0' I 0, если х < 0. 1308. Продолжив функцию /(*) = 2 - Зх, х е 0;|' о, *>4, 3 нечетным образом на интервал (-оо; 0), представить ее интегралом Фурье. 217
Найти преобразование Фурье функций: 1309. f(x) = e~aM, a>0. 1310. /W-H1- а) еСЛиМ<а' [0, если|л;|>а,а>0. Найти преобразование Фурье обобщенных функций: 1313. (1,ф). 1314.(5(х-а),ф). 1315. №-а)Щх+а)Л т6 ^ ф)_ 1 1317. (ж, ф). 1318. (х2, ф). Глава 4 Функции комплексного переменного § 24. Комплексные числа. Элементарные функции 1319. Представить комплексное число ' (3 + 20 -(2 + i) в алгебраической форме. 1320. Найти модуль и аргументы числа z = sin(fe)+i(l+cos(f)). 1321. Записать число z в тригонометрической форме: 5t(cosl00o+isinl00°) ^Z (cos40°-isin40°)n ' 218 6)l+cos^-isin±^. 9 9 1322. Записать в алгебраической и в тригонометрической форме число z = (V3-f96. 1323. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием: HfH^' 6)|z-2|+|2r + 2|=4, в) \г - 2|2 + \г + 2|2 = 346? 1324. Решить систему уравнений: z-12i_5 ^=4=1 2-8l ' г —8i I 3 1325. Найти наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках zl = 1, z2 = 2, z3 = z, если z удовлетворяет уравнению \z-l\ = 2\z-2\. Решить уравнение: 1326. z2 + 7 + 24i = 0. 1327. z4-(l + 20z2 + 2i=0. 1328. 24 + 1 + iV3 = 0. 1329. г4 - 4z3 + 7z2 - 16г + 12 = 0. 1330.|2 + biz - z2\+ z2 + 3 = 0. 1331. Представить многочлен P{z) = z7 + z6 + 64z + 64 в виде произведения: а) линейных множителей, б) линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами. 219
1332. Определить кратность корня 2=2 многочлена 25 - 5г4 + 723 - 2г2 + Az - 8. 1333. Найти сумму коэффициентов многочлена (4z2-2z-l)13. 1334. Найти образ кривой Г при заданном отображении: а) Г: Im г = 1,1^ = ^4; б)Г:|2 + 1|= 1, w = ^; 2+1 2 в)Г:1т2 = 1, ш = 22; г) Г:]2|= 2, ц> = ^(гД). 1335. Найти образ области D при заданном отображении: a)D: Rez>0, ы> = ^4; 2-1 б)1):|<аг8г<&,ш = 1(г+1). 1336. Решить уравнения: a) sh 2 = 0; б) sin z = ~. о §25. Условия Коши—Римана. Гармонические функции 1337. Исследовать на дифференцируемость функцию: a) w = г Re 2. б) w = \z\ . 1338. Выполняются ли для функции u){z)=Jxy\, z = x + iy, в точке 2 = 0: а) условия Коши—Римана, б) дифференцируема ли функция в этой точке? 220 1339. Восстановить аналитическую функцию / (г), если: а) Re f (2) = х3 + 6х2у - Зху2 - 2у*, f (0) = 0; б) Im f (2) = у cos у ch x + х sin у sh x, f (0) = 0; в) arg f (2) = ху, 2 = x + iy, f (0) = 1. 1340. Найти все гармонические функции и(х, у) вида: а) и = ср(х2 - у2); б)и = <р(^- § 26. Ряды Лорана. Особые точки однозначных функций Разложить в ряд Лорана в окрестности точки 20 функцию f (2) (указать область сходимости полученного ряда): 1341. f (2) = -^-, если: 2-2 а)г0 = 0, б)20=оо, в)20 = 2. I 1342. / (г) = 22ег, если а) 20 = 0, б) 20 = оо. 1343. Выяснить, разлагается ли функция f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0, если: а) / (2) = cos -, 20 = 0, 20 = оо; 2 6)/(2)=ctg2, 20 = OO; B)/r(2)=-j-,20 = 0. 1344. Найти главную часть ряда Лорана для функции f (2) в окрестности точки 20, если: а) / (2) = -*=±, 20 = 0; б) /> (2) = Ц—f-. zo = °° • Sin 2 2+4 Указание: Главной частью ряда Лорана в окрестности точки 20 называется совокупность тех членов этого ряда, которые стремятся к бесконечности при z — 20. 221
1345. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию /(z)--/±i-, 1<N<2. Z + 2-2 1346. Разложить функцию 2+2 z-2z в ряд Лорана по степеням г, сходящийся в точке z - —. Указать границы кольца сходимости. Найти и исследовать все особые точки функции / {г): г 1347. / (z) = -§—. 1348. f (г) = ze* г + 1 1349. / (z) = , * _л. 1350. f (z) = ctg z - i г(1-е ) 2 JLCOS^Jz 1351. / (2) = sin-J-y. 1352. / (2) = е-1 *— COS^ COS-^2 2 ^ § 27. Вычеты и теорема Коши Найти вычет функции / (г) относительно точки z0: 1353.^) = ^; а) 20 = 0, б) 20 = Зг, в) 20 = -3i, Г)20=ОО, Д)20=1. 1354. /(2) = sin-^r 2+1 а)20 = -1; б)20 = 1355./(г) = ctg10 2; a) z0 = 2тс; б) z0 = оо. 222 1356./(*) = -i*-e'-1f20 = oo. 2 -1 Применяя теорию вычетов, вычислить интегралы: 1357. f -^—Sin^-dz. 1358. f -±-e^dz. 2 j„ IQftfk f d.Z 1359. J—S-^-dz. 1360. J l*hil + sin-± |/и (2-1) (1-е ) z 1361. f -jLe^dz. 1362. f 7—^ • 1г/=22-1 |г4и(22-я)с032 1363. 7(6-*)sin*^ 1364. 7(* + 4)cos3*rf:*;. 1365. T*'ain*d*. Л, jcz + 4jc + 20 i* +5* +4 1366. [; ■--*—-J .Указание: положить е1х = z. о (5 + 4созл:) § 28. Конформные отображения 1367. Найти конформное отображение w = f (z) полосы {О <Im 2<7i} накрут|ц;|<2 такое, 4To/(~i) = 0,arg /*(—!) = 0. 1368. Найти конформное отображение w = f (z) полосы [Re z\ < — на область \w\ < 1, переводящее точку z = 0 в точку Li Зл, w = 0, а точку 2 = -— в точку z = е . 1369. Найти дробно-линейное отображение области: а) |2 - 3| > 9, \z - 8| < 16; б) |2 - 5| > 4, Re 2 > 0 на некоторое кольцо вида 1 < \w\ < R. 223
Глава 5 Дифференциальные уравнения § 29. Уравнения 1-го порядка 1370. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых: а) синусоид у = sin(:r + С); б) окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой у = 2х. 1371. Составить дифференциальное уравнение траек- торий, пересекающих параболы у = х - Сх под прямым углом. 1372. Найти все решения уравнения: а) у'= ху2 + 2ху, б) (/'л/l-jc2 -1 +у2, в) у' = cos (у - х). 1373. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию (решить задачу Коши): ь)ху' + у = у\ у(1) = 0,5;б)(х + 2у)у' = 1, у(0) = -1. 1374. Найти решение уравнения х у' - cos 2у = 1, 971 удовлетворяющее условию у(х) — —- при х — +оо. 1375. Найти ортогональные траектории семейства па- рабол у = Сх . 1376. Скорость распада радия пропорциональна его количеству. В течение года из каждого грамма распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия? Решить уравнение: 1377. (х2 + 2ху - у2) dx + (у2 + 2ху - х2) dy = 0. 1378. {х + у - 2) dx + (х - у + 4) dy = 0. 1379. у' = у2 - 4 - 1380. х(у' -у) = е\ х 224 1381. (х + у2) dy = y dx. 1382. у' = у4 cos x + ytgx. 1383. (ху + х2у3)у' = 1. 1384. х dx = (х2 - 2у + 1) dy. 1385. Найти интегральную кривую уравнения ху' + у = у2 In х, проходящую через точку (1; 1). 1386. Решить уравнение Риккати у' = -у + 1 + х . Указание: Подобрать частное решение уравнения и свести его к уравнению Бернулли. Решить уравнения: 1387. (Зх2 + бху2) dx + (6х2у + 4у3) dy = 0. 1388. 2х cos2 у dx + (2у - х2 sin 2y) dy = 0. 1389. (х2 + y2 + y)dx-xdy = 0. Найти общее и особые решения уравнения: 1390. у' - In у' = у - х. 1391. у'2 + Аху' = Ъх2 + 9у. 1392. у'2 - 2уу' + 4е2х = 0. 1393. (у + х)2 + у'\3у' + 5)2 = 0. 1394. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник с площадью 2а . 1395. Найти кривую, отрезок касательной к которой, заключенный между осями координат, имеет постоянную длину а. § 30. Уравнения, допускающие понижение порядка Решить уравнение: 1396.х*у" + х2у' = 1. 1398. уу" + у'2 = х. 1400. хуу" = ху'2 + уу'. 225 1397.1/" + 1/'2 = 2еЛ 1399. у"2 = 4(у' -1). 1401. х4у"= (у-xy'f.
Решить задачу Коши: 1402. у" = ^ + f£, */(2) = 0, у'(2) = 4. 1403. 2уу" - Зу'2 = 4у2, у(0) = 1, у'(0) = 0. 1404.xyy'' + x(21n:*:-l)y'2 = yy', у(1)=1, </(!) =-2. 1405.(1 -sin л:)1/1/" + (cos x)yy' = y'\ у(0)=2, у'(0)=1. 1406. у(у" +у') = у'2(ху2-1), i/(0)= 1, у'(0)=1. §31. Линейные уравнения и системы уравнений с постоянными коэффициентами Решить уравнение: 1407. у" - Зу' + 2у = 0. 1408. у" + 2у' + 2у = 0. 1409. у'" - Зу" + Зу' - у = 0. 1410. yw + 2у" + у = 0. 1411. yv + 8у'" + 16у' = 0. 1412. yv - у = 0. Решить неоднородное уравнение: 1413.у"-2у'-3у = е4х. 1414. у" + Зу' + 2у = (вх - 1)ех. 1415. у" + у = х sin jc. 1416. у'" + 4у' = ch2 x. 1417. у" + у' - 2у = 2*е~2* + 5 sin *. 1418. yw + 2у" + у = 9 sin 2* + х2. 1419. а) Составить линейное однородное уравнение наименьшего порядка Ly = 0 с постоянными действительными коэффициентами и коэффициентом при старшей производной равным единице, имеющее решения sin хиех. б) Решить уравнение Ly = x + 2e~x. Решить уравнение: 1420. у" + 2у' + у + \ех = 0. х 1421. у" + 2у' + 2у - ^— = 0. sin* 1422. х3(у"~у) = х2~2. Решить задачу Коши: 1423. у"-у = х, у(0)=1, у'(0) = -1. 1424. у" + 4у' + 4у = Зе"2*, у(0) = у'(0) = 0. 1425. у" + 4у = sin 2*, у(0) = у'(0) = 0. 1426.yw-y = Se\ у(0) = -1, i/(0) = 0, у"(0)=1, у"Щ = 0. 1427. Решить краевую задачу у"+Ху = 0,у(0) = у(я) = 0. Решить систему уравнений: 1429. J у = Зу - 2х. 1428. { * " х ~ у' 1429 { * ~ ? + у' [у =у-4х. \ 1430 i * = 2у ~ 3*' 1431. { * = 3* + 2у +4е°'' ' \ у = у - 2х. ' \ у = х + 2у. 1432. | * =x + 2i/' 1433. { * =y + tg2 *- h [ у = x - 5 sin £. [ у = -а: + tg £. {± = 2x - у - 2, f x = 3jc - 2y + 22, у = \2x - 4y - 122, 1435. I y =2x + z, z = -Ax + у + bz. li= -2x + 2y - 22. {£ = ~3x + у - 2z, ( x =2x-y - z, у = 4x + y, 1437. j у = 2x - у - 22, 2 = 4x + z I z = -x + у + 2z, Ix = -9x + 3y+72+2, 1438. < у =x + y-z + 4, l г = -llx + 3y + 92. Г x = 2x + у - 32 + 2c2', 1439. у =3*-2у-32-2е2', I 2 = X + у - 2Z. 227
1440. Решить задачу Коши г х =y-z, J у =z-y, [ z =x-z, x(0) = y(0) = 0, 2(0) = 1. Решить операционным методом задачу Коши: 1441. х + Ах = 2 cos 2t; х(0) = 0, х(0) = 4. 1442. х + х = 10е2'; х(0) = х'ф) = х'Щ = 0. {х = 2х - у + г, У =Х + 2, z =-3x + y-2z, x(0) = i/(0)= 1, 2(0) = 0. §32. Линейные уравнения с переменными коэффициентами Решить уравнение Эйлера: 1444. х3у"' + ху'-у = 0. 1445. (2х + 3)V" + 3(2* + 3)1/' - 6у = 0. 1446. х2у"-6у=12\пх. Исследовать на линейную зависимость систему функций, вычислить вронскиан: *t а агг х 2х Зх 1447. ух = е , у2 = е , у^ = е . 1448. ух =71, у2 = arcsin х, уг = arccos x. 1449. ух = х2, у2 = х\х\. 1450. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение наименыпего порядка, решениями которого являются функции ух = sin х, у2 = cos х, уа = е2х. Найти общее решение уравнения: 1451. (2х + 1)у" + 4ху' - 4у = 0. 1452. х2(1п х - 1)у" - ху' + у = 0. 228 1453. (1 - х2)у" - 2ху' + 2у = 0. 1454. (х2 + х)у" + (Ах + 2)у' + 2у = 6(х+1), х>0. 1455. ху" - 2(х +1)1/' + (х + 2)у = Зхех, х>0. 1456. х2у" - х(х + 2)у' + (х + 2)у = x3cos x. U57.(l + x2)y" + xy'-y = j^. 1458. {х In х)у" - у' = In2 х. § 33. Элементы теории устойчивости Исследовать на устойчивость решение уравнения с заданным начальным условием: 1459. х - tx = -t, x(0) = 1. 1460. х - ах = 0, а е R, х(0) = 1. Исследовать на устойчивость решение системы с заданными начальными условиями: х = х + у, у =х-у, х(0) = 1/(0) = 0. х = -2х - Зу, у =х + у, х(0) = 1/(0) = 0. х - ах-у, у =ay-z, z = az - х, а е Ш, х(0) = у(0) = 2(0) = 0. Определить характер точки покоя системы: 1464.{*=3* + 2у' { у = х + у. им-Ц:хА 1466. {* = 1Х~1У' у =2х- Зу. 229 1463.
1467 J*=2*+3J>> [У =х-у. Исследовать на устойчивость точку покоя (0; 0) системы: 1468. х = -х + 2у - Зл: , у = Зх - 2у + 2х2 + у4. 1469. х = -Зх + Ay + sin3 х - у2у у = - 2х + sin у + е?х . 1470. Г х = 2jc + 8 sin у, \ у = 2 - ех - Зу - cos z/. Найти точки покоя системы и определить их характер: 1471. i* = 2lf-v-V' { у = sh(* + у - 1). Г х = arcsin(x2 - 2х - у), 1472-U=in(i—f). Найти точки покоя и определить их характер: 1473. х + х = 1п(1 -Зх + х2- х). 1474. х + х + 1 = Vl + re + x2-:*:. Построив функцию Ляпунова, исследовать на устойчивость точку покоя (0; 0) системы: 1475. j*^^ [у =-х + у . \х=у + х2у2-^, 1476. 4 з [у=-2х-2х3у-^. 230 Ответы Глава 1 8. а = 0,(1) = 1/9. 9. а + Ь = 0,(25) = 25/99.10. А + В = [2, 6), AB = (3f 5],A\B = [2, 3J.11. а)-3,1<х<-2,9;б)л; <-7,х^ 13; в) х < -3/2; г) 0 < х < 1/2; д) х < -3/2, ж > 1/4.12. а > - а, если а > 0, - а > а, если а < 0. 13. а) Ь S* 0, б) Ь < 0; в) b < 0; г) 6 > 0. 14. а) 1; б) 1; в) л/2~/2. 16. 0. 17. 0. 18. 1/2 (см. задачу 1). 19. 1/3 (см. задачу 2). 22. Не будет. Она просто неограничена. 27. 9/8; 1/6. 28. 2; -30. 29. 0, 1, 1, 1; -1/6, 4/3, 1/3, 1. 30. -1, 0, 1.32. Указание. Воспользоваться неравенством Ь к гт - \ (к > 2)- k k-1 k 34. Е = (-оо, оо ); Ех = (0, 1]. 36. 1, - Х2 + 4АХ*1 , -f(x)t 2/(1 + х2), (1 + х2)/(1 - х2). х +4лг+5 42. 0, 25; 2, со. 48-Ях)"{ 1. *>Я/2(РИ°-43): Г 0, 0^x^71, (р(л:)= jsinx, л<*<Зп/2, (рис. 44). [ -1, x>3ti/2 231 35. Е = 3--Л7 3 + >07 , iEj =
44. a) 1; б) 2/3; в) 1/2; г) 3; д) 4/3; е) 0; ж) -1/16; з) 1/144; и) l/V2a ; к) 0. 45. а) 3; б) 2; в) 4. 46. оо. 47. а) е\ б) е3; в) 1. 48. а) 4; б) аь\п а. 49. Непрерывна всюду (рис 45). 50. Если А = 2, то f{x) непрерывна всюду. Если А * 2, то х = 1 — устранимая точка разрыва (рис. 46). 51. х = -1, х = 3 — точки разрыва первого рода (рис. 4 7). 52. х = -1 — устранимая точка разрыва (рис. 48). 2А+1 53. х = -1 — точка разрыва второго рода. 54. х = ——к (к = 0, + 1, ...) — точки разрыва первого рода (рис. 49). 55. х = 1 — точка разрыва первого рода (рис. 50). 56. х = 0 — точка разрыва первого рода, если а Ф \ (рис. 51). 57. 5 < £/8. 58. 5 < £/12. 59. ф-ф)/(су-а).60. 3x.61.x.62. f = 3x2-2,f(0) = - 2,f(2)=10. 63. f{x) = arcsin -^~ + *й т (х > - - I; ' х+1 (x + l)v2x + l V 2) ir 1 2(1+ x2) 65-a>1 + ^7 (x*0); 6)-Ь~^-Ш;(х>оу- 1-ж+4х2 , l + 2x . а л i i i4 B> n V»n % (W " 1): Г) 7Г~¥*; Д) T^"^2" (W < |fli): (1-х) (1 + x) V + x) [a ~x) л l + 2-Jx+4Jx-Jx + Jx ,„^п\. *л —— + -Д= (х > 0V 8vx Vx + Vx vx+vx + vx 2 9 X з) —2— (* * fe7r» * = °»± Ь—); и) 7 :—?; sinx (cosx + xsinx) nsinx ( 2k-\ , V „ч 01,«Г-Л lY'ln2- к) ^Н^ **^±,cf fe-целое ; л) -2 cos cos x I 2 ) \ xJ x м) е е ll + e I; н) а х + ах а та; Z^igM(x^0); п)-SS2* (0 < М < 1). о)—;—г * -■ - h * 1+х VI -х 66. -V- (х * —л, /г = 0, ± 1,...). 67. - 2х ехр (- х2). cos х 2 232 У" J t ^ — О Зтг' Л. £ Рис. 43 Рис. 44 1 X > 1 -1: ; 0 :3 i -1 > Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47 П_Мг у* 1 о -1 = 2 V2 Рис. 48 Рис. 49 *х Рис. 51 233
68. a) 2x cos x2 6) sin 2x\ в) 21x6 cos x sin2 x7; r) -cos x x x sin (sin x); д) -2x sin x ; e) -4x sin 2x . 69. a)l/Va2-x2 (a>0); 6)a/(a2 + x2); B)l/V?7?; r)signcos x, x * 2Л+1 ^ ft __ цедое; д) _Jja*_x* (a > o); e) (3x2 + 1) e*3+x. 2 70. sinx (0 < x - 2kn <n, k — целое). 71. а) _£_ + arctg x; 6) - In2 x2 (x * 0); 1+x x B) i i1 /, ч <* > <* г) -П <M > 1): xlnxln(lnx) x -1 д): 1 2(l + Vx+l) (x > -1); e) 1/cos x (|x- 2kn\ <n/2, k — целое); 2x ж)-^#(х>0); з)—^ -, x 1 + Vl + x и) ^#т (x > 0); 2(l + x) k)-L_<**1); л)-^(|х|*-У; M)-i^_; 1+x2 * +1V V2J (\ + x12) н) 4sin2*4 Гх^2^1тс> *-целое); о) -^ arctg*; sinx+cosxv 2 / 1 + x n) 1 2(1 + **)' f -1, -2<x<l, 72.f(x) = 2x-3, l«x<2, (рис. 52). [ 1, 2<x<4 f 1, *<0, 73.f(x) = b (рис.53). ll + x Рис. 53 234 74.^ = l~,?~t. 75. 2th x. у x(l-x-) 76. a) 2x ch (x2 + 1); 6) 18x5 ch2 x6 ch xe. 77. (2x + 1) sh 2 (x2 + x + 1). 78. a) 2 th x/ch2 x; 6) 2x/ch2 x2. 79. a) * . .; 6)1/7177; в) ^!^g ; xchz(l + lnx) V2(l + xJ r) cth x (x > 0); д) -sh In x (x > 0); e) ~- ethx; ■* Cil л ж) (sh x)ch * [sh x In sh x + ch x cth x]; з) -(3sh x)/ch4 x; и) 2ch x/sh2 x (x * 0). 80. df(x) = (2x + 1)Лх; df(l) = ЗДх; Д/(1) = ЗДх + (Дх)2; при Дх = 0,1 df(\) = 0,3, Д/(1) = 0,31. 81. е\\ + х) dx. 82. ch x dx. 83. - х sh x dx. 84. -f^ (W < 1). 2 ,* х(г+2х2) 85. a) (-2 + 4x2) «Г; 6)— dx' (l+*f~- 87.120xdx4. 88-е"[1пл:+|"^ + ^] 90. y' = - ctg *, j/" = - 1/(2 sin3 t) (t *kn,k — целое). 91.y' = t,y"=l/f,(f). 92' »' = T^ofe' y" = 4sirf#2) (' * 2fe71' * _ ЦеЛОе)- 93. а) у + 1 lx - 18 = 0, 1 \y - x + 46 = 0; б) не имеют. 94. ф = arctg 2^2. 95. <р = л/4. 96. л/6. 98. a)c = l/73; б)с=^Щ±Ё5 VB,C; о в) с = 1Д/3 VA, В, С. 100. а) Функция возрастает на (-со, 1 /2) и убывает на (1/2, -со); б) функция возрастает на (-со, 1) и убывает на (1, со). 103. а/Ъ. 104.2. 105.1.106.4. 107.1/4. 108.1. 109.а)е"1/6; б) е1/3; в) а/Ъ; г) 3; д)-1/3; е) 2; ж) 1/3. з)0; и)еч; к) 1; л) 1; м)е-1; н)аа(-1 +1п а); о) 1/л; п)-^-~^; р) п/т\ с) 1/2; т) 2/я; у) 1/2. 235
111. tgx^x+~+~x5 + o(xe). О 10 112. f(x) = 1 + 2x + x2 - nyX3 + o(x3). Указание. Использовать разложение по формуле Тейлора для функции ех. 113. In cos х =—гр -— +Ых'3). 114. sin (sin х) = х--гг- + о(х4). 2 12 3 115.-1/12. 116.0. 117.-1/6. 118.-1/2. 119. а) 2,718281; 6)0,017453; в) 2,236. Указ ание . Представить число Jb в виде у/5 = 2-Jl + j и воспользоваться формулой Тейлора для функции (1 + х)т при х= 1/4, т - 1/2; г) In 2 = 0,69315, In 3 = 1,09861. 120. а) При х - -1/2 максимум, у{~ 1/2) = 9,4; б) при х = 0 минимум, 1/(0) = 0; в) при х = 0 минимум, у(0)=0; при х = ±1 максимум, у(± 1) = 1; г) при х = - 1 максимум, у(- 1) = - 2; при х - 1 минимум, 1/(1) = 2; д) при х = Зтг/4 максимум, £П-тЧ = -тг^4; при х = -?- минимум, jn-ф-1 = —^-е7п/4; е) при х = 0 максимум, у(О) = 1/4; ж) при х = 1/2 максимум 1/(1/2) = 1/4; при х = - 1/2 минимум, i/(- 1/2) = - 1/4; з) при х = 1 максимум, 1/(1) = 0; при х = 3 минимум, 1/(3) = - 4; и) при х = ftrc (ft = 0, ±1, ...) максимум, if(ftjt) = (-1)* + А; при х = ±-^ + 2ft7i (ft = 0, ± 1, ...) минимум, у(±^ + 2йти) = -т-; к) при х = -„ + 2ft7t (ft = 0,± 1, ...) максимум, у(~ + 2кк) = ^jl; при х = —| + 2ft7t (ft = 0, ± 1, ...) минимум, 121. а) 32; б) 10,1; 2. 122. d = 7V2/8. У к а з а н и е . Исследовать на экстремум функцию у =-п-\хг - х + 2\. 123. а) 2; 0; б) (1 + V2)/2 > 1; 0. 124. а) х = 1 — точка перегиба; график направлен выпуклостью вниз на (- оо, 1); на (1, со) график выпуклый кверху, б) х=± 1/-н/2 —точки перегиба: на(- 1/V2 ,1/V2) график выпук - 236 лый кверху: на интервалах |х| > 1/V2 график направлен выпуклостью вниз (рис. 54). Рис. 54 Рис. 55 К- 01 X Рис. 56 125. а) Наклонная асимптота у = х; вертикальная — х = 0 (рис. 55); б) горизонтальная асимптота у=1, вертикальная — х = 0 при х — + 0 (рис. 56); в) горизонтальная асимптота у = 0 (см. рис. 54); г) наклонная асимптота у = х при х — со; горизонтальная асимптота у = 0 при х —• - со (рис. 57). 126. а)х = - 1/3 — точка минимума, у (- 1/3) = --*/Й7;х = - 1, х = 1/2 — точки перегиба; у = - 1 — горизонтальная асимптота при х — -оо, а у = 1 — при х — + со (рис. 58); б) х = 0 — точка минимума; х = -1 — вертикальная асимптота: у = 0 — горизонтальная асимптота при х — - со; график выпуклый вверх на (- со, - 1) и вниз на (- 1, со) (рис. 59). 127. а) См. рис. 60, Г; it > 1), Г2 (- 1 < t < 1), Г3 (t < - 1); б) см. рис. 61, Г\ (t > 0), Т2 (t < 0). 128. а) Стороны прямоугольника aJ2 и &V2 ; б) х = а/6; б) РВ = 12 км; г) а - d/V3, h = йЛЩ. 129. Прямоугольник есть квадрат со стороной 2. 237
Рис. 59 Рис. 60 Рис. 61 238 ion |at>±afr|sin6 ld0' ylif + i?-2uvcosQ ■ У Ка3 а Н И е • Расстояние межДУ кораблями (см. рис. 7) в произвольный момент времени t, согласно теореме косинусов, равно r\t) = (а + utf + ф + vtf - 2(а + ut)(b + vt) cos 9. Момент времени, когда корабли были на расстоянии а и b от места встречи, считаем равным нулю. Далее исследуем функцию г (t) на экстремум. ldl.a)pll + ^J ;б)-^ -^ '—;в)2^у. 132. £ = a(f - 3 sin t), ц = 3a(l - cos *). Глава 2 Для краткости записи в ответах пропускается постоянная С. 133. ^р х3 - 125х4 + ЗОх5 - ^ х6 + ^х7. 134.*-§х3 + ±х5. 136. х — cos x + sin x. 138. -x + tg л:. 140. x - cth x. 142. з$д(2* -ад». 135. x - arctg x. 137.Х+1П ^ 1+x 139. x - th x. 141. arcsin x + In x+vl + x2! 143. a) ^ arctg J* x; 6) x - 3x2 + ^x3 - |x4; i)a In |*| - | - £; r) |xVx" - ff xtf? + |x^?; О 1 о _ Д)-* + 31п|*| + !--^; e)|Vx"(* + 6): ж) -j In (1 + x4); з) -x + ^ In и) х + 2 In ^4 7 x+1 л) a ch x + b sh x 1 + xl 1-х • K; ln4 +^ln6 + ln9* M)^ (2x-9)n; 239
н) Л- arcsin f х j| J; о) Л- In (J3x+V2 + 3X7); n) -jU ln|xV3+V3x^2|; p)™^(3e-2jc + 2e-ljr). 144. -^1?. 145. In (2 + ex). 146. tg x - ctg x. 147. \[{x+\f -{x-lf ]. 148. -In |cos x|. 149. 2arctg Vx . 150.-^±f^(2-5x)3/2. 151. 2Qn3-ln21 -Указание. Разделить числитель и знаменатель на 2*3* и положить t = (3/2)х. 152. а) §л/х^2 + ln|x+Vx^2~|; б) ^(l + x3f; в) ^Ы5 Г)8^2 In 2 х4-л/2 х4 + >/2 ; д) arctg ех; е) х - In (l+ve^+l); ж) ^ In х; з) In |sin х|; и) In |th (х/2)\; к) 2arctg ех; л) -~ (arctg x) ; м) -| + \ sh 2х; н) | + ^sh 2х; о) -2 cth 2х; п) -^р(1 - Зх)2/3; р) ^(1 + х2)4/3 (4л:2 -3); с) х - In (1 + ех). 153. х arctg х - ~ In (1 + х2). 154. -(х + 1)е"*. 155. х ch х - sh x. 156. -х cos x + sin x. 157. -Jl-x2 + x arcsin x. 158. х sin x + cos x. 159. -л/х + (1 + х) arctg Vx . 160. а) | sin 2х - ^~± cos 2х; б) -| + ^~ arctg x; в) -| е-2* (хЧх + ~); г) -^ (1 + х2) е_х'; д) х(-1 + In х); | + ^lch3x; э)^ (^г+Ш*); «)(| + ^)ah3«-( з) х2 ch х - 2х sh х + 2ch х; и) In tg 2 Х+5 161. a)In |x-2|+ln |х+5|;б)тщ In ^f| cos х In tg х. 9 49(x-2) 14(^-2)" 240 162. a) arctg (x - 1); 6) 1/(1 - x); в) In |x2 - 2x + 2|. 163. a) | In |x + 1| - ~ In |x2 + 1| + ~ arctg x; 6) 50 5(2x+l 21n!x + 2j-]n(x;! + l) + 14arctgx + ^ii ЛГ + 1 (*+2)' 164-а)2оЬ)+71п 1 + x 1-х ; 6) ±ln (x + l)(x + 3f Xй x8 , 3x7 ox6 , llx5 21x4 . 43X3 . 85x* B)T"t+ 7 1,-1 x-l d I (* + 2) 6 + 5 + 171x + л 1 . (x+1)2 i 2x-l г)б1пх^Т + 7з-а^^- . 1 , (x-l)2 1 2x+l , liJx-1 1 1 .xVxV^ + l :>/2 ж) 4^21п^:^2+;+ 2^2 arctgs 165. 24x~ -2 1n(l + Vx). 166. a) ~n- + 4 In (1 + Vx~); 1 + vJC «3,. *V* 3 „,„+„. 4^-1 6) 4ln(i+^(i_^+2^ " 277arctg-^T-; „\ 2 4 v x2 ху/х2-1 1, I rrj—ri в) -—-=-2 - -—-j—; г) -л- s + тг1п х+л/лг-1 ; (l + Vx) 1 + Vx '22 21 I' д) ^[x+2Vx - Jx(l+x) - ln(Vx + Vl + x)]. Указание. Умножить числитель и знаменатель на выражение Vl+x - 1 - -Ух ; ' fe-aVx-a * 167.1n|l+2x + 2 Vl + x+x'j. 168. x~Jx?-2x + 2+hn\x-l+<Jxi-2x+2\. 241
169. a) ^-«i^ + ^; б) \ ln|tg4 170. a) sin x - Щ^\ б) |ln|tg(x+J 171. jln 2tg^-l . 172. a) ^arctgfj^tgx); 6) tg f; в) -ctg f; r) -tg(f-§); 1 д) ±ln [sh (2x - 1) ch (2x + 1)] (x>- 174. а) Так как 2х/к < sin x < x [0, л/2], то f 2* f f J — dx < Jsinx dx<\xdx-t 1 1 б) так как е* > 1 + x [0, 1], то J e* dx > J (1 + x) dx. о о 175.a)rc/6; 6)1/2; в) 1; г)1п^2; д)те/3; e) 1; ж) 1; з) — + In 4. 4 176.7t/(2a&) (см. задачу 172). 177. я (см. задачу 156). 179.Г(1)-Д1) + Я0). 1 е 178. — In— (см. задачу 154). 181. a) sin х\ б) -Vl+a2; в) 0. 183.2. 184.4,5. 185. 2ЬЛ/3. 186. nab. 187. Зтш2/2. 188. (е2 + 1)/4. 189. 6а. 190. 8а. 191. Принимая 9 за параметр, имеем х ~ р cos 8 = /(9) cos 6, у = р sin 0 = /(0) sin 0, iri = lVrte)+(/'(e))2de. 192. Зтга/2. См. задачу 191; одна половина кривой описывается при изменении <р в пределах от 0 до Зя/2. 193. 8а. Верхняя половина кардиоиды описывается при изменении ф от 0 до тт. 194. а) ~nr2h; б) — [rf + r'+r^; в) я2/2; г) про2. 195. а) 8тс U--) а2; б) Зя; в) -Ь[103/2 - 1]; г) \ 242 *яа2. 196. а) По методу прямоугольников искомый интеграл 8Sl+t t»=-LjJ*L,xk = Z{k = 0,l 8). Подставляя значения £,fe, получаем /«2£-^-я 0,6927. Остаток До< Л— = — < 0,0027. 8 8 12 384 По методу трапеций 1 * Л <Л*о) + 2Л*1> + - + 2/(*7) + Л*8)} * 0,6941 1о с такой же погрешностью, как и для метода прямоугольников. По методу Симпсона 7 * 7Г7<Л*о) + 4^i} + 2Л*2> + 4fe) + - + 4Л*7) + Л*в)} * 24 «0,69315 с остатком квадратурной формулы К - -^ ^4^8^0"<510"^10 • Таким образом, метод Симпсона дает для значения интеграла первые три знака точные. Точное значение интеграла dx г ах {l + x = In 2 = 0,693147 б) По методу прямоугольников / я 0,8358, а по методу трапеций / « 0,8352 с остатком R12 < 0,004. По методу Симпсона остаток R6 < 4 < 10 °. Поэтому, вычисляя значение I по 2оо0о формуле Симпсона, получаем четыре точных знака: /я 0,83565. 197.L3(x) = -|(x-3)*2. 198. а) я/4; б) —^—, 0 < a < 1; оо, a > 1; в) я/2; г) с». 1-а 199. Все интегралы сходятся. 243
200. a) 1; б) -т~-г\ в) - (е + 1). а +Ь 2 201. а) Сходится при р > 0, а Ф 0; при а = 0 сходится при р > 1; б) сходится, если р или g больше нуля; в) сходится при т > -1, л - т > 1. Глава 3 202.2. 203.-2. 204.1. 205.1. 206. cos (а + Р). 207. АаЪ. 208. 1. 209. 4. 210. 0. 211. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная. 212. Ап = Ъс - хг, А12-х2 - сх, Ап = х -Ъх, А21 А22 - ас-х , А23 = х - ах, А31 = х - Ьх, А32 = х - х2, А = апАп + а12А12 + а13А13 - 2х ~ х (а + Ь + с) + abc -сх, 213. а) 0; б) - 4. 215. Д = Л, • Д2 = строки на строки: столбцы на строки: столбцы на столбцы: 214. а) 72; б) (с - а)ф - а)(с - Ь). строки на столбцы: 7 11 9 7 11 9 7 12 7 12 10 14 13 10 14 13 10 14 11 10 14 11 9 10 9 9 10 9 10 11 9 10 11 9 = 35; = 35: = 35; = 35. —К 9">с- U -1Э 244 (2 2 1д 1 3 1 21 2 lj 217. Ранг А =2, А* 218. хг=-7,х2 = 5. 219. х, = 3/2, х2 = - 1/2. 220. x = 3/2,i/ = -l/2. 221. Система решений не имеет. 222. х = -84,у = - 93/2, г = 31/2. 223. Система имеет бесконечное множество решений: в = => '2 7 3 15' 13 5-2 3 15-9 8 1 ,5 18 4 5 12, (0 1-7 5 -Г 13 5-2 3 0 0 0 0 0 ^00000; Отсюда => '0 1-7 5 -Г 13 5-2 3 0 2 -14 10 -2 ,0 3 -21 15 -3; => (0 1 -7 5 -Г| (0 1-7 5 ЛД 3 5-2 ЗЛ\1 0 26 -17 -1 6 х = 6 - 26z + I7t, у~-\ + 1г-Ы, где z, t — любые вещественные числа. 224. Ранг А = 3; ранг В = 3. 225. a) 5/V2; б) х = 42 , у = 1, г = - 1; в) 1/2. 226.3, Jq ; VlT;2. 227. а) 5/21; б) 1/V2; в) 1/V2. 228. Не может, потому что в данном случае cos2 a + cos2 Р + + cos у^ cos а + cos P = 5/4 > 1, чего быть не может. 229.x = y = z = Jz. 230. \а-Ь\ = 22. Указание. \а ± Ь\ = yl\af + \bf ±2(о, Ъ). 231. |о + Ь| = 20. 232. ш = я/4. 233.Х = -^4 = -|Щ1- 234.* = 2/5,» = * , . -,-. „ - 4/5. 235. (1, -2). Указание. Данная задача эквивалентна делению отрезка АВ на две равные части. 236. х= 1/2, у = -5/4. 245
237. Пусть точки деления Мх = (г1Уг2), у М2 = (zl, г2) (рис. 62). Определим числа 3' [X и X (см. [2], § 7) для точки Мг: |Af,A| _ 1 ц Р |АВ| 3 Поэтому |MtB|=2 LABI 3 z, = 1 -Х + 4ц = — + — 3 3 2, г2 = - ЪХ + 3(1 = - + 1=-- 3 10 М1 = 12, - Аналогично z"j = 3, г2 = 1/3 (ц = 2/3, k= 1/3), М2 = (3, 1/3). 238. Mj и М2 не лежат на данной прямой, М2 лежит на этой прямой. 2 13 239. у = —х+—. Точка М2 = (2, 3) лежит на прямой, по- о о этому I/ (х - 2). Если за точку, лежащую на прямой, взять другую точку, например М0 = (0, 13/3), то уравнение при- 13 2 мет вид: и = —х. 3 3 240. а) ~х - 2у + 4 = 0; б) - 2х + у + 3 = 0. 241. 2х-3у = 0, Зх + 2у = 0. -2х 5у _ 4 242. а) V29 Ш Ш = 0;б) + г - ~г = 0; в) —^ J2 J2 J2 ♦*-*-* „,« w I2-1+4-2-51 243. a) d = J—т- r /22 + 4 V5 ;6)d 1 — 2-1—8-2—11 V68 V5 19 V68; B)d [1-1 + 1-2| V2 _3_ V2 244. (x - 1) - 2fo - 2) + 3 (z + 3) = 0. 245. - 4* - i/ + 2z + 3 = 0. 246. a) A(x - 1) + B(y - 1) - 2(A + 2£)(z - 1) = 0, где А, В произвольные числа, одновременно не равные нулю; б) 2 (х - 1) + 4(1/ - 1) + (г - 1) = 0. 246 247. а), б), в) определяют параллельность плоскости. В случае в) мы даже имеем совпавшие плоскости. В случае г) плоскости не параллельны. oaq ч2 3 61ЛЙЛ4 1,8 14 Л 248. а) -х-—у г -1 = 0; б) - х у + —z =0. ' 7 7*7 9 9 9 9 249.a)d = -|2- 1 -3 ■ 2 + 6 ■ 1 - 7| = -; б) d = -|2 • 1 + 1 • 2 - 7 7 3 -2-1-1| = -. 3 250. cos ф = 59/63. 251. хЧуЧг2 = 144^9. Y расстояние от начала координат до данной плоскости (d =12/729~). 252. ^ + ^+-V = l- 3 6 -6/5 253. -7(х - 2) + (у + 1) + 5(г - 1) = 0. У к а з а н и е . Из условий ортогональности плоскостей найти отношенияА/С, В/С, где А, В, С — коэффициенты искомой плоскости. 254. а) а = л/3, Р = те/4, у = л/3; б) а = те/6, J3 = те/3, у = 0. 255. а) 5/3; б) 3/14. Указание. Взять точку на одной из плоскостей и найти ее расстояние до другой. 256. (2, -1, 0); (4/3, 0, -1/3); (0, 2, -1). 257. a)A1D2=A2Di;6)A1=D1=0i A2 = D2 = Q. 258.^=^=^. 2—3 5 259. х = 1 +2*, у = - 1 + t, z = - 3 + Ы. oat\ ч x-2 w + 1 2 x y+1 г-1 ,r 260. a) =—=■ = ^— = —; 6) — = *— = .Указание. ' 2 7 4-5 12 13 В случае а) разрешаем систему относительно х и у, а в случае б) относительно z ку. ос., 11-11 + V2V2 1 те 261. cos ф = = - , ф = —. Y 2-2 2 3 262.2 = 3. Указание. Перейти к параметрическому заданию прямых. Предполагая, что прямые пересекаются в некоторой точке, получаем систему '2^,-^=5, <3*0-4«, = -1, 4t0-2t( = 6, из которой и находим значения I, t0, tv 247
263. X-l y+1 2-0 Указание. Вектор (2, -4, 1) 2 -4 1 коллинеарен вектору а = (ар а2, а3), лежащему на прямой. 264. а) Векторы а и Ъ ориентированы противоположно системе координат; б) векторы а и Ъ ориентированы так же, как си- 12 стема координат (определитель из координат векторов = 1 > 0). о i 265. |а х Ь| = 21. 266. Да (а х Ъ = 0). 267. Векторы а и Ь должны быть коллинеарны. 269. sin ф \axb\ bJll 270. S 1 2 3 4 = 2. а\-\Ъ\ 21 271. а) Компланарны; б) нет. 273. а) Линейно зависимы (см. задачу 224, матрица В); б) линейно независимы, ранг матрицы из координат векторов равен трем. 275.Х =15. 5 2^| „, Г29 -22^ 7 0, (43 ЮЛ 49 11 276. а) АВ = ВЛ = |; б) АВ = 1 3 3 7 /Ч 6 , ВА= * ;в)АВ U 4 31 -24/ ; произведение ВА не имеет смысла. 277. а) 1 2 0 1 37 9, 1 3 0 1 2Ь б) в) 1 п 0 1 (п > 3). 278. а) В = If2*1 2V3& 36+2а б)В = 279. а) А-1 = в) А-1 - cos a sin а sin а cos а (~2 3 < 2 = А*. 1Л 1 2) б) А-1 = 281. X = 282. а) А-1 = (0 I <2 П 1 2> б) А1 = Г 1 2 1 2 1 V 2 ' 1 38 27 3 5 1^ 2 _1_ 2 j_ 2^ -1 41 -29 -2> -4, -34 24 248 283. а) Оператор А линейный. Его матрица имеет вид '0 1 V А= 2 0 1. ,3 -1 1, Указание. В столбцах А стоят координаты образов базисных векторов. Например, для е1 - (1, 0, 0). Ае~1 = (0, 2, 3); б) оператор А не является линейным: А(х + у) = (*i + у и х2 + у2 + 1, *3 + г/3 + 1) ^ Ад: + Ау = = (*! + У], *2 + ^2 + 2> *3 + Уз + 2)' f2 -11 6^ ( -6 11 -^ 284. ВА1 286. а) 1 -7 4 ^2 -1 0 '1 0 2 П 2 3 5 1 3-102 \Д 12 3 285. ВА~' = ~ 3 -12 13 10 6 -5 -5 . Указание. В старом базисеAi1 +поэтому первый столбец новой матрицы будет состоять из элементов 1, 2, 3, 1. Затем также преобразуем Ai3, Ai2, Ai4; ,'-2 0 1 0^ 1 -4 -8 -7 ! б) .Указание. Преобразование Ai к не- ,13 4 7; обходимому виду приводит нас к решению системы: Ail = il + 3i2 + 2i3 + i4 = ai1 + pti1 + i2) + + y(il + i2 + i3) + 8(il +i2+i3 + i4). Затем аналогично преобразуем A(i} + i2), A(il + i2 + i3), A(i! + i2 + + i3 + i4). . Указание. Имеем a1 = i1 + 2£2, a2 - 287. 1 :2 tl = - i1 + i4, b1 = i1 - 21", У" = 3iJ - i^, где (£', i^) — исходный базис пространства. Выражение а1 и а2 через Ь1, Ь2: а1 = —Ь1 + — Ь2, 5 5 а2 = —Ь1 —Ь2. Далее находимАЬ\АЬ2, выраженные через Ъ1, Ьг. 5 5 Эту же задачу можно решать в матричной формо. Пусть а-(а1, а2), Ь = (Ь\ Ь2), Т — матрица перехода от базиса Ьк базису 249
1 5 4 5 -21 5 _1 5^ а, причем в столбцах Г стоят координаты векторов а , а в базисе Ь1, Ь2. Тогда в матричной форме можно записать а = ЪТ, (1) где в данном случае Г = Теперь пусть линейное преобразование ср в базисе а задается матрицей Л и в базисе b матрицей В: ф(а) = аА, ф(&) = ЪВ, (2) где в столбцах матрицА и В стоят координаты образов базисных векторов в соответствующем базисе, ср(а) = (ф(а ), (ф(а )), (ф(&) = = (фф1), (Ф(Ь2)). Очевидно, что ф(о) = Ф(Ь)Т. (3) Поэтому из (2) и (1) имеем <р(Ь)Т = ЬВТ и <р(а) = ЪТА, откуда в силу (3) имеем ЬВТ - ЪТА. Таким образом, ВТ = ТА, В = ТАТ~\ (4) Найдем теперь матрицу В по формуле (4). Легко подсчитать, что Т" = (Л 3 _! . 5 -1 3 _1 3v AT"1 = -1 _ f 7 ™1 3 3 13 19 V~3 3J ( - 1, 3 ^ Г 1 98Л 5 15 2 „11 3 15' В = TAT1 = -5 -10' 1 3y 288. В = ТАГ"1 = 289. а) Векторы ортогональны; б), в) не ортогональны. 290. Векторы е1, е2, е3 образуют ортогональный базис в R3, так как ранг матрицы из координат векторов равен трем (т. е. е , е2, е3 линейно независимы) и векторы попарно ортогональны; 1 1 1 з X = 14 14 250 V2 2 2 2) У2 2 2 2 292. а) Базис ориентирован противоположно основному базису; б) базис ориентирован так же, как i1, i1, i3 (Д = 1). опо v3 » 1 / 1 > , v3 г i > i\ 286. jcj = —x, --*,, x2 = -*E + — x2, т.е. переход от (я,, xj к (jclf #2) осуществляется с помощью строк матрицы Л*. 294. Переход от координат (хх, х2) к координатам (х[, х'г) в новом базисе производится с помощью строк матрицы (А*)-1, а переход от координат (х^, х'2) к (xlf x2) совершается с помощью строк матрицы А*. Имеем поэтому х1=х[ + 2х2, \х[ = -ху + 2х2, Х^ 1 2 * I 2 — 1 2" 295. а) Не является; б) не является; в) является; г) не является; д) не является; е) не является, если прямая не проходит через начало координат; ж) является; з) является. 296. Вся плоскость; векторы, лежащие на любой прямой, проходящей через начало координат; начало координат. 297. Совокупность векторов, лежащих на прямой х2 = —L k (k * 0); xl = 0 при k = 0. 298. а) Размерность равна 3 (ранг матрицы из координат векторов равен 3). Базис образуют, например, векторы а1, а2, а4; б) размерность равна 2. Базис образуют любые два вектора системы. 299. Подпространство V состоит из векторов v = {xx,x2,xz, дс4), для которых (и, а) = (v, а ) = 0, т. е. координаты векторов v удовлетворяют условию xt = xlt 2x1 + х2 + хг = 0. Вектор а = (yv у2, у3, у4) ортогонален ко всем векторами € L', поэтому его координаты удовлетворяют условию <JJi + У а ~ 2Уз) xi + (Уг - Уз) х2 = ° V*j, х2. Отсюда у2 = у3, у{+у4- 2у3 = 0. Для чисел а и J3 получаем систему а + 23 = у,, Р = у2, Р = у3, -а = у4. Эта система разрешима при 251
указанных ух, y2, y.d, уА, а именно, а = -у4, $ = у2 = у.А (равенство а. + 2(3 = у1 автоматически выполняется). (-36 -37 — 15Л 301. 3 6 о 1 302. A*(f) = 30 30 14 ^ 26 27 9) 303. a) A.J = 2. Указание. Исследовать на экстремум квадратичную форму и = х2 + у2 + 2ху на единичной окружности х2 + у = 1; б) Хх = 3. 304. а) Форма неопределенная по знаку, так какА2 = -3 < 0; б) форма неопределенная по знаку (А2 - -1 < 0); в) форма строго положительная (At = 2 > 0, А2 = 1 > 0, Д3 = 2 > 0). 305. а) X, = - \au + a22+yl4al2 + (au-aj = -[l-l+V4-4 + 4] = >/5, Х2 = ~ [an+a22~yl4au + K-aj] = -^• _ , 27 + %/725~ форма гиперболического типа; б) Хх = -=— > О, 27-V725 Хг - > 0, форма эллиптического типа; в) Хх - 4 > 0, Х2 = 0, форма параболического типа. 306. а) Характеристическое уравнение имеет вид •X 2 2 2 '3-Х -1 =0. 2 -1 3-Х Корни уравнения Xj = Х2 = 4, Х3 = -2. Канонический вид формы: 4^ + 4^-2^; б) 8^ + 8^ + 5£,3 — канонический вид формы. 307. а) Характеристическое уравнение 6-Х -2 2 -2 5-Х 0 2 0 7-Х или (6 - Х)(5 - Х)(7 - X) - 4(5 - X) - 4(7 - Ь) = 0, (6 - Х)(5 - Х)(7 - X) - 8(6 - А,) = 0. имеет корни X., =9, Х2 = 6, Х3 = 3. Собственный вектор х находим из системы 252 -Зле;-2*2 + 2*3=0/ -2*1-4*2 =0, - 2*, -2*3=0., Отсюда х3 = хх, -2х2 = х,. Вектор у1 = х,, - — , х, является решением системы. Нормируя этот вектор, получаем ~ |г,11 _L3' 3' 3/ Аналогично получаем J J-1,2, 1), ^=f2.2 П l з з 3J 1з з з; Канонический вид формы: 9^ + 6^ + 3^. Ортогональное преобразование *--1*--Ь+Ь- -=-^+1«-+1^ '»=1«-+!«.-К 2*2=Hhnh+§^ W^i^f^ 308. а) АС - В = 9 > 0 — кривая эллиптического типа; 3(х- 1)2 + 3(«/~2)2=12; % = х- 1, л = У-2; 3£2 + 3П2 = 12 — окружность радиусом 2; б) АС - Б = 6 > 0 — кривая эллиптического типа; З^2 + 2г)2 = = 6 — эллипс с полуосями a-J2,b = л/3~; в) АС~В = -2<0 — корни гиперболического типа:^2-2г|2 = 2 — гипербола с полуосями а = -J2, Ъ = 1; г) АС - Я^ = 9 > 0 — кривая эллиптического типа; З^2 + 3rj2 = 0 — точка (0, 0); д) АС-В - -2<0 — кривая гиперболического типа; ^2- 2г|2 - 0 — пара пересекающихся прямых £, — -s/2 г\ = 0, £, + >/2 Г) = 0; е) АС - В = 0 — кривая параболического типа; 4£, - 3rj2 = 0 — парабола с осью симметрии £,; ж) АС - Вт = 6 > 0 — кривая эллиптического типа; З^2 + 2г|2 = = - 1 — мнимый эллипс. 253
309. a) AC - В2 - - 16 < 0 — кривая гиперболического типа; *Л1?1^' xZ Л' Я)' 8^2- 2n2 - -|ft - n) - ^|й + 11) - 13 = 0 — уравнение кривой в системе (Ъ,, Г|). Это уравнение можно записать так: (<-*М п+ V2 Рис. 63 Параллельный перенос с 1 3 приводит уравнение к виду 2 2 U л U = 1. 4 Это гипербола (рис. 63) с действительной осью и. Общее преобразование координат имеет вид 1 / 4 ч х = —(и - и + -^), 7Г 1 б) АС - В2 = 576 > 0 — кривая эллиптического типа: X,, = 32, к2 = 18, В < 0; 1 1 х =\J2' ЯУ x*~i Л' 4гУ 1 *=Л (4_Т1)' y-j=2 Й+Л); 64 64 32^ + 18л* + т| ft - Ti) + njft + Л) " 224 ^ 0, Л V2 254 32(£ + л/2 )2 + 18т12 = 288. ~ + тг = 1 — эллипс с полуосями а - 3, Ь = 4 (рис. 64); ц и Рис. 65 в) АС - В* = 0 — кривая параболического типа; А^ = 25, 0, Б<0; ЧИ)"Ч!-!> о * = -± (44 + ЗпЗ; о 2э£ ПО 2_ 20 5 — " 5 (3£ - 4л) - -~(4£, + Зц) - 50 = 0, (£, - 2)2 = 2(Л + 3); и - £, - 2, v = г\ + 3; и = 2v — парабола с осью симметрии v (рис. 65); х = -(3и-4и+ 18), у = —(4u + 3v - 1). о 5 310. АС - В - 0 — кривая параболического типа; решая совместно уравнение прямой и кривой, получим уравнение х\г - kf + бх +1 = о. 255
Дискриминант этого уравнения имеет вид 9 - (2 - kf = (1 + k)(o -к) {кФ 2). а) Поэтому при k = -l, к - 5 прямая имеет по одной общей точке с кривой. При k = 2 также будет одна общая точка у прямой у = 2х и нашей кривой; б) -1 < к < 5, к Ф 2; в) k < - 1, к > 5. 311. k = -3,k = - 1/3. 312. х2 + 2ху + у2 - х — Зу = 0 (парабола, АС - В2 = 0). 313. а) (х + I)2 + (у + 2)2 + z2 = 9; х + 1 = \, у + 2 = Г|, г = С,; * + ц +4 =9 — поверхность шара радиусом 3; 1 — эллипсоид с полуосями а - 2, Ъ = V2 , 4 2 4 с=2; в) V + IL-- = 1 4 2 4 однополостный гиперболоид с полуосями а = 2, b = ^2, с = 2; г) ^2 + 2г|2 = 2^ — эллиптический параболоид (р = 1, д = 1/2); ' 4 ' 4 а = 2, 6=1, е=2; „2 2 двуполостный гиперболоид с полуосями 4 4 эллиптический цилиндр (уравнение не содержит переменной Q. 314. а) Характеристическое уравнение имеет вид 11-Х 8 2 8 5-Я. -10 =->,*+18>,2 +81),-1458 = 2 -10 2-Х = Х2(18 - X) + 8ЦХ - 18) = (X2 - 81X18 - А.) = 0. Его корни Х} =18, Я-2 = 9, А,3 = -9. Найдем собственный вектор из системы '(11-*.,)*,+ 8jc2+ 2ле, = 0, 8лс1 + (5-А.1)де2- 10*3 = 0, 2х,- lOx^ + ^-X-Jx^O, 7х,+ 8х2 + 2х3 = 0, 8xI-13x2-10^ = 0, 2х-Юх-16* =0. 256 Ранг матрицы из коэффициентов системы равен двум (все три собственных числа различны). Поэтому решаем систему двух уравнений (в данном случае любых двух). -7*,+ 8х2 = -2х3, _ 8x,-13x2 = 10jc3, ] Вектор v = (- 2х3, - 2х3> х3) — решение системы; нормируя его, получаем собственный вектор ж1 = (2/3, 2/3,-1/3). Аналогично находим х2 = (2/3, - 1/3, 2/3), х3 = (-1/3, 2/3, 2/3). Линейное ортогональное преобразование *3 = ~з^1+з^+з^ приводит квадратичную форму к виду Уравнение поверхности относительно £lf £2, ^3 принимает вид 18^ + 9^-9^+2^ + 2^ + 2^3+1=0. Канонический вид поверхности (Ui =£,!+ —, "2 = S2 + 77' 1о 9 -18«,z-9uJ + 9u£ = 17/18 — двуполостный гиперболоид. б) Характеристическое уравнение -Х(к - 4) (А, - 2) - 8(4 -Х) = = 0, или (4 - Х)2(Х + 2) = 0 (разлагаем определитель по элементам первого столбца). Собственные значения Х1 = Х2 = 4, Х3 = -2; собственные векторы * ={ JE' Je' Я У 257
Ортогональное преобразование Каноническое уравнение поверхности п 2 ~ 2 2 . -2U, -2u2+u3 = 1 — двуполостный гиперболоид вращения. 2 2 315. Эллипс — + — = 1 с полуосями а = 3, b = V3~ в плоско- 9 о сти х = 2. Его вершины имеют координаты в пространстве: (2, 3, 0), (2, - 3, 0), (2, 0, V3), (2, 0,-V3). 316. х2 + JL- - ±- = 1. 16 16 317. а) ^ ~ ^ z'—уравнение проекции на плоскость { х = 0 yOz. Это уравнение окружности. {jc — 2x2 + 5i? 4jc=0 ' — уравнение проекции на плос- у = 0 кость хОг. Это уравнение эллипса (АС -В = 4 > 0). в) J ~ ХУ У -х- ■> — уравнение проекции на плоскость [ 2 = 0 Оху. Это также уравнение эллипса. 318. Парабола: [у-~) = з(г + -1. 319. г = с. Указание. Рассматриваем уравнение поверхности как неявное: а с о Тогда уравнение касательной плоскости в точке (х0, у0, г0) имеет вид 321. а) х'г + у2 = 2г — параболоид вращения или эллиптический параболоид; б) г~ + --г = 1 — эллипсоид вращения. 258 322. а) (3, 4, -2), (6,-2, 2). У к а з а н и е . Перейти к параметрическим уравнениям прямой. б) Прямая и поверхность не имеют общих точек. 324. 9Х2-16У2-1622-90Х + 225 = 0.Указание.Всилу симметрии ясно, что направляющая есть окружность, получающаяся в сечения сферы плоскостью х = а. Значение а найти как абсциссу точки касания прямой, проходящей через точку S и касающейся большого круга х2 + у = 9 в плоскости xOz. Гл ава 4 325. а) х + Ау ^ 1 — внутренность эллипса с полуосями 2 2 х у а = 1, Ъ = 1/2, включая его границу (рис. 66); б) —-£- ^ 1 — 9 4 область между ветвями гиперболы с полуосями а = 3, Ъ = 2, включая сами ветви гиперболы (рис. 67); в) у2> 4х — внешность параболы, включая саму параболу (рис. 68); г) вся плоскость, кроме начала координат (0, 0); д) х + у > 0 — полуплоскость выше прямой у = -х (рис. 69); е) \у/х\ < 1, х ^ 0. Часть плоскости, примы - Рис. 66 Рис. 67 Рис. 68 Рис. 69 259
кающая к оси х между прямыми у = ±х, не включая начало координат (рис. 70). 326. а)^ + ^ + ^-<1 a b с часть пространства внутри эллипсоида с полуосями а,Ь, с, включая саму поверхность эллипсоида (рис. 71); Рис. 71 ,. х и г ^ „ б) —F + г —г ^ 1 — часть пространства, находящаяся внут- а о с ри однополостного гиперболоида, включая его поверхность (рис. 72); в) х + у < 2z — часть пространства, находящаяся внутри параболоида вращения (рис. 73); Рис. 72 Рис. 73 .2 X у ^ , г)—j —2"~тт ^ 1 — часть пространства, находящаяся вне cab двуполостного гиперболоида, включая его поверхность (рис. 74); д) |х| < 1, \у\^ 1, |z|< 1 — внутренность куба с центром в 260 начале координат с ребром равным 2, включая его грани. Этот куб ограничен плоскостями х = ±1, у = ±1, г - ±1 (рис. 75). О ГУ : 1 л* Рис. 74 Рис. 75 327. /(1, 0) = 1; /(1, 1) = 2; Д2, 1) = 9/2. 328. Яде, у) = (х' - Л/8. У к а з а н и е . Ввести новые переменные и = х + 2t/, и = л: - 2i/. 2 2 329. л)~2+2 = 1 -с — эллипсы (с < 1); прис= 1 — начало а Ъ координат; при с > 1 — мнимые эллипсы, что означает, что плоскость и = сне пересекает графика функции; 2 б) у = сх — параболы с осью симметрии Оу. При о 0 параболы находятся в верхней полуплоскости, а при с < 0 — в нижней. При с = 0 получаем ось х. 330. р = V(l-2)2 + (0-l)2 + (l-0)2 = ^3 . 331. Точка М° = (0, 1); р(М*, М°) = 1 -т + - 1 -о, [<1+*У (fc2+i)' А — со. 332. Все точки множества £j = {|лг| < 1, \у\ < 1} <z Е внутренние. 333. а) Будет, Е — внутренность квадрата, ограниченного прямыми ±у = ±х + 1; б) не будет; Е — внутренность двуполостного гиперболоида. Поэтому нельзя соединить две точки, находящиеся в верхней и нижней частях гиперболоида, непрерывной кривой, принадлежащей к Е; в) не будет. 334. а) 2; б) не существует; рассмотреть пути подхода к точке (0, 0) х ~ у; х * 0, у = 0. 261
335. с - 0. Предел функции ^\-х -4у , когда точка (х, у) стремится к границе эллипса х2 + 4уг = 1, равен нулю. 336. а) Нет; б) предел функции в направлении вектора 2 со со. ГО = (со,, оо2) равен 2 ' \ ; поэтому функция будет непрерывной в (0, 0) только в направлении векторовго = (1,0)иго = (0,1), т. е. в направлении осей координат. Таким образом, эта функция непрерывна в (0, 0) по переменным х и у в отдельности и не является непрерывной по совокупности переменных. 337. Указание. Функция и = 1 - х - у непрерывна на всей плоскости. 338. и[ = Зх2 - 2у, и =2у- 2х, du = (Зх2 - 2y)dx + 2(у - x)dy. 339. их = 2хуъ, и = Зх2у2, du = 2xy3dx + 3x2y2dy. 34°- <= / 21 2 ' u'v= /2 г(¥ I 2 гу Vjc +у л]х + у [х + у1х +у ) , du ydy du = -j- т+-п—ft П 2Т- •Jx +y V* + У (x + ijx +y J плч х ' -У ' х j -ydx+xdy 341. а) и = —г"2". Ц, = ~2—г. du = -3—2—r~^ '■> х +у " х +у х +у б)и'=у + -, и=х-^, du = \y + —\dx + x\\—j\ dy; У " У К У) К У) в) их = ух"~ \ и = х"1п х, du = ух?~х dx + х"1п xdy; г) и'х - ch (л: + у), и = ch (х + у), du = (dx + dy) ch (x + у); д) и = sh [х2у + sh у) • 2ху, и - (х2 + ch у) sh (x у + sh у), х У du = [2xy dx + (х2 + ch у) dy] sh (х2у + sh у). 342. а)Д = г;б)Д=4пр-1. 343. а) дц _ с?ц да: ди ду _ e'+t 1 dt dx dt dy dt 2jx + y 2jx + y-t e +t _ du 1 <+t _ e 262 5u 6) — = -y sin (* + x) + x cos (t - x) = -sin (* - x) sin (* + x) + + cos(* +x) cos(* -x) =cos 2t, — = -ysin (t +x) -xcos (f -x) = -cos 2x. ox 344. a) grad и = {2, 1} (рис. 76); 6)grad и = {4, -6} (рис. 77). 345. a) ^ = (grad u,/t) = ^l; 6)|^ =(grad u,n) = 2V3 -3. on. 4 1 grad и *-► Рис. 76 Рис. 77 346. grad и- {4, -6}. Единичный вектор этого направления 2 -3 1 ди . 2 . -3 26 Пг, = -з 1 _du_ = _2_ _ ^з_ >/Тз~' yi3~J' эл0 Лз" ,Дз УТз" 5м = 2^/13. Можно сразу записать, что — = |grad и| = 2 л/l^ — это макси- мальная производная по направлению. 347. а) Пусть аир — углы, которые составляет градиент функции с осями х и у соответственно. jgradu(P)| 2 |gradu(P)J 2 б) а = я/3, р = тс/6. 348^)^=27^-^,^.= -1 -2х (Х* + У)< * (X*+yf d'u = [2(у - хг) dx2 - 4х dx dy - dy2]/(x2 + у)2. б) и" =* -У „» _ *У ,, _ -дс (2ху + у) \2ху+у) * (2ху+уг) dcu = -(у dx~x dyfl(2xy + уУ'\ 263
qki л ди of 2 о и , д f ди ,2df 351. а) —2~~-Ча » = ab——-, —2=ь —т» дх д£, дхду д£,дц ду дх\ d2u = a2f[dx2 + 2abQdx dy + b2f\dy2\ б д2и = aV | 2 a2/ [ а2/ Л _aV а2/ a2u = a2/ ax2 a^2 + a^ ал + an2' s* ay a^2 an2' au2 a^2 - 2^t + !?■ rf2" = $ <d* + ^>2 + 2/t^2 - d& + d\ dr\ dr\ dt, dt, дц + ^{dx-dyf. dr\ 352. а) и - 5 = 2{x - 1) + 4(y - 2), ^ = ^ = Mzl; 2 4-1 6)u-l = 2(x-2) + 2(j/+1), £z2=i^±l=^. 353. а) По формуле Тейлора Ди = и (1 + h, 2 + k) - и (1, 2) = - du + ~ d2u - Ah - 3k + h2 - k2 + kh (производные порядка выше второго равны нулю); б) Аи = 2h + k + h2 + 2hk + h2k. 354. y + xy + — (3x2y -i/3).Замечание. Можно восполь- o I зоваться одномерными формулами Тейлора для функций 2 3 3 х л XX. у 355 1 , К*-1)^*1)] , [(^-tf+ 2(^-1)(У + 1)+(У + 1)2] t 1! 2! | [(x-lf+3(x-lf(y + l) + 3(x-l)(y + lf + (y + l)3] _ 3! _ 1 + (* + У) + {x+yf_ + (x + yf 1! 2! 3! 356. а) 0 = 1/2; б) 302 + 20 = 2, 9 = (>/7-l)/3. 357. (2, 0) — стационарная точка; zx\ =2, z'^> =4, z"y = 0; аи = г;. (2, 0), а22 = <г(2, 0), а12 = г^(2, 0), опо22 - <£ = 8 > 0, аи - 2 > О, значит, в точке (2, 0) функция имеет минимум, zmin = 0. 264 358. Стационарная точка (2, 0); аиа22 - а - -8, экстремума нет. 359. Стационарная точка (0, 0); ап = 0, а22 = -4, а]2 = 4, ана22 - в12 = - 16 < 0, экстремума нет. 360. Стационарные точки (0, 0), (±72, +Щ; С = *2х2 - 4, *; = 12/ - 4, <; = 4; *;: (+Л, +V2) = 20,*;: (±Л, +v§) - 20, апа22 ~ а\2 ~ 396 > 0. В точках (Л, -V2), (-VI, Л) локальный минимум. В точке (0, 0) ап = -4, а22 = - 4, а12 = 4, аиа22 - at2 = 0. Вопрос об экстремуме открыт. Исследуя приращение функции на прямых у = 0иу = х, убеждаемся, что экстремума в точке (0,0) нет. 361. umin = -4/3 при х = -2/3, у = -1/3, z=l. 362. а) Функция не имеет наибольшего значения; sup 2=2. Функция разрывна; б) имеет. Область задания |д:| < 1, \у\ < 1 замкнута и функция г непрерывна на этой области, поэтому она имеет наибольшее значение; (0, ±1) — стационарная точка; г(0, ±1) =± 1/2; на границе квадрата в точках х = ±1, у - V3 - 1 функция достигает наибольшего значения, равного (1 + V3~)/4. 363. F(x, й = ij + if - 1 - о, г. = Щ, f; = f, fx = — р' ~ 2 » 364.^ ад; 366. ^ = 5л: аи _ ду где ^(ф' V) = D{u, v) а б2 ,2 — 2 3' ах а у zsin^-cosi/ cosx-i/sinz ' ду /D(<P, у) аи/ J3(m, v) * а<р //)(ф, у) аи/ £>(и, и)' ф! ф^ аг ЗУ " аи _ ах dv ду "1-х 2 1 а х sin у - cos г cos*-1/sin г ay /#(ф, у) ди/ D{u, v) dtp /D(cp, у) аи/ D(u, и) 367. -i =—sin и, -^ =~со8 и. Указание. -^ = c^ дх и ду и дх дх Производную — находим из первых двух уравнений, рассматривая и, v как неявные функции от х и у. 265
368. a) x + 6 V3 z - 37V3 = 0; б) Щ- + Ц- + Ц- = 1. a b с 369. x + 4y + 6z = ±21. 370. x + z + a = 0,~= У-*. = z+a 1 0 1 371. Квадрат (S = xy, 2x + 2y = l, функция Лагранжа L = xy + X{2x + 2y - I). 372. С п о с о б 1. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Собственные значения Хг = 9, Х2 = 1; 9£, + г| =9, 2 ^2 + JL = 1ш Значит, полуоси эллипса а = 1, Ь - 3; 2а = 2, 2d = 6. Способ 2. Данный эллипс расположен симметрично относительно начала координат, поэтому квадрат расстояния от начала координат до точки эллипса (х, у), равный х + у , достигает наибольшего (наименьшего) значения, когда точка (х, у) попадает на большую (малую) ось эллипса. Поэтому необходимо исследовать функцию и - х + у на условный экстремум при связи Ъх + 8ху + Ъу - 9. 373. Равносторонний треугольник. Указание. S = Jl(l-x)(l-y)(l-z), х + у + z = 21, х, у, z — стороны треугольника. Если в S подставить значение l-z = x + y-l, то полученную функцию исследуем на обычный экстремум. Можно также исследовать задачу, составляя функцию Лагранжа: L(S, X) = S + Цх + у + z - 21). Глава 5 374. a) S = 1. Указание 1 1 л(л + 1) п п+1 «ч с 13 v 1 If 1 1 ^ о) S = ~ • Указание. = — — , ; 36 (я + 1)(я + 4) з1л+1 п+4) s _f 1 =1Г111!1 1 - —1- N £(л + 1)(л + 4) 31.2 3 4 iV + 2 N+3 N+4I b)S= 1/4. Указание. —- — = — + . л(л+1)(л+2) 21п п+1 п+21 266 375. Указание. При доказательстве расходимости гармонического ряда по признаку Коши рассмотреть 2" "' п+1 п+2 2л 377. Расходится [-*+!—1*0 \2п + 1 2 378. Расходится, ■ >■ Jn+2n ' у!п+2п nyf3 ' 379. а) Сходится, J-^— < -4r; б) сходится, —— < —. V л +1 л k +1 k 380. а) Расходится; б) и в) сходятся. Указание. Применить теорему 1 § 9.4 из [1]. 381. Сходится. 382. Сходится. 383. Сходится. 384. Сходится. 385. Расходится. 386. Сходится при е > 1; расходится при 0 < £< 1. 387. Сходится. 388. а) Сходится, ип ^ —щ; б) сходится, ип < \ х3 dx = —т. Зл i 4л 389. Сходится условно. 390. Сходится абсолютно. а+Ьг 391. Указание. \акЪк\ < -*—*-. 392. а)х> 1; 6)jc>0; в)-оо <jc<oo; г)-1 <л:<0, 0<х< 1. 393. а) Сходится равномерно к нулю; б) сходится равномерно к нулю; б) сходится равномерно к нулю; г) сходится неравномерно к нулю [ max/(jc) = --A0 1. ^ (к*<1 яК 4 ) 395. а) Данный ряд сходится при -1 < х< 1. Продифференцированный ряд £*"' сходится равномерно на множестве 1 [-§, 5] при любом 5 < 1. Поэтому почленное дифференцирование законно на указанном множестве. Пусть S(x) = ^хп/п, то- 1 » _ 1 гда S'(x) = £*" = 1/(1 - х). Интегрируя, получаем 1 S(x) = J—— = - In (1 - t)\* = - In (1 - x) (-1 <x< 1); 01 -1 1 267
б) данный ряд равномерно сходится для |jc| < 5 < 1, что можно проверить по признаку Даламбера. Поэтому его можно почленно интегрировать: j S(i)dt = [t + *2 + ... + *"+1 + ...]!* = £х" = -^- (\х\ <5< 1). и |0 «=i 1-Х Дифференцируя последнее равенство по х, получаем S{x) (1-*Г (\х\ < 1); в) S(x) 1-х (i+4 ^2 (М < 1). 396. a) R = 1, (-1, 1), при х = ±1 ряд сходится; б) R = О, * = 0; в) J? = 1/3, (-1/3, 1/3), при х = ±1/3 ряд расходится. 3 3 /2 397. а) х + — + ...; б) * - — + ...; в) е 1- — + . 3 3 12 398. а) £(-1)" £их ' (2л+1)д! (~оо < х < оо); б)х-Дг+Дг-... + (-1)п+1^ 7 + ...(-К^1).Указание 3 о (2тг + 1) Разложить в ряд Тейлора по степеням х функцию arctg x. 399.32,831. 400. е 1 + 1 (*±2£ л! \х\ <оо). Указание. ех = е+2ехs2. Глава 6 401. а) у - 2ху' = 0; б) у" = 0; в) у' = у, г) х + t/i/ = 0; Я)у"-у'-2у = 0. 402. а) Изоклинами являются прямые х - k (прямые, па- 2 X раллельные оси у) (рис. 78). Точное решение уравнения у = — + + С; б) 1 + y2 = k — изоклины, k> 1. Это прямые, параллельные оси х (рис. 79); в) изоклины х = -k (рис. 80). 268 Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80 403. у = Cix + 1)е~х, х = -1. 404. ln|x| = C + Jy+\ . 405. 1 - е~* = Се1. 406. у = -2/(1 + С ехр(-*2)). 407.1/ = ix - 2)3. 408. у = 2 - cos x. 409.1/ = Сх3, Зу = ху' — дифференциальное уравнение семейства кривых. 410. 0,5 кг. Указание. Составим дифференциальное уравнение нашей задачи. Пусть yit) — количество соли в баке в момент времени t. Выясним, как изменится содержание соли за времяА^ (от момента t до t +At). Так как по условию задачи в минуту поступает 5 л воды без соли, то за время А* поступит 5At л воды, содержащей в себе 5At • 0 = 0 кг соли. В одном литре y(t) раствора содержится ^-^ кг соли, значит, в вытекающей смеси соли будет приблизительно (с точностью до бесконечно малой высшего порядка чем At) 5 At 100 кг = 0,05 At yit) кг. 269
Итак, в растворе, втекающем за время At, содержится 0 кг соли, а в вытекающем 0,05 At y{t) кг. Приращение количества соли за это время y(t + At) - y(t) « 0 - 0,05 At y(t). Деля на At и переходя к пределу при At — 0, получим дифференциальное уравнение y'(t) = - 0,05 y(t). Общее решение этого уравнения имеет вид у = Сехр (-0,05*). По условиям задачи у(0) = 10 кг, значит, С = 10. Через t = 1 ч = = 60 мин получаем (при выводе уравнения мы считали изменение времени в минутах) у(Щ = 10 ехр (-3) * 1/2 кг. 411. t0 = 40 мин. Указание. Если Q(t) — температура тела в момент времени t, то дифференциальное уравнение задачи запишется: d6 dt = -k [Q(t) - 20]. Общее решение этого уравнения 9(f) = 20 + С ехр {-kt). Значение постоянной С и коэффициента пропорциональности k находим из условий: 6(0) = 100, 0(10) = 60, С = 80, к = 0,1 In 2. Далее, 9(*0) = 25, т. е. 25 = 20 + 80 ехр (-0,110 In 2). 412. х2 + С(у + х) = 0;х = 0. 413. у = 0;х(у~х) = Су. 414. у = Сехр (у/х). 415. Общее решение: хг(у + С) = Су. ' 2xs 416. х = С ехр л 417. Уравнение приводится к виду y' = xL 2 У 2у cos-^+Чг V х х 2 т. е. а = 2, f(t) = cos t + 2t. Решение проводится путем замены y = tx . Можно также воспользоваться готовой формулой, полученной в [3], § 1.3, (7): Рис. 81 х = С ехр [< dt М-*. - С ехр Г_**_] = С ехр (tg t) = С ехр ftg-^ J cos d V x 270 418. Указание. Составим дифференциальное уравнение задачи (рис. 81). Пусть М = (х, у) — точка касания; MN — касательная; ON _L MN; по условию ON = OP = \х\. Если Y-y = y'(X-x) — уравнение касательной, то \-у+у'х\ ON= ' , V — расстояние точки (0, 0) до прямой MN. Таким образом, V1+» откуда (х2 - у2) dx + 2xy dy = 0. Это однородное уравнение. Его общее решение Сх = у2 + х2. 419. Уравнение приводится к виду y'=\(4-xy-y2x2) = \f(xy), т. e.a = -l,f(t) = 4-t-t2. Общее решение i/= - +—~—, у=-. х Сх -х х 420. а) Уравнение приводится к виду у' = ^\ (2 + х2у\ Зх т. е. а = -1, f(t) = -~(2 + t ). Уравнение можно решать заменой ху = t или по формуле (7) § 1.3 [3]: (J/(f) + tJ U-2J Uy-2 (положим С3С = 1), 2С/3-1 _1 С/3 ,1 1 U_ 1 ^ /^ V3 .\ _ + /^ itt—IT - — + — al, ^ - х(Сх*-1) х " *(C*W-1) " * " £?%^ I "С^; б) замена улГ" = t. 421. у = Се~2х + 2* - 1. 422. i/ = Сх2 + х\ 271
423. у = ех (In |*l + С). 424. у = — + — . х х 425. у = х(С + sin x). 426. х = sin y(C - cos у). Уравнение линейное относительно функции х = х(у): dx . г , -—- = sin у + х ctg у. dy 427. y = 0ty3 = - l/[3 cos3 x{C + tg x)]. 428. у2 = Сх2 - 2х. 429. у = 0, у = x4ln2 |Сх|). 430. у = 0, у=1/(х2 + Сх). 431. а) Будет. Все аксиомы расстояния легко проверяются; б) будет. Первая и вторая аксиомы очевидны. Проверим неравенство треугольника: р(х, у) < p(xt z) + р(г, у). Если х = у = г, то 0 =^ 0 + 0; если х = у, г Ф х, то 0 < 1 + 1 = 2; если х Ф у, х = г, то 1 =^ 0+ 1 = 1; если х Ф у, х Ф г, у Ф z, то 1 < 1 + 1 = 2. 432. Будет. Первая аксиома: если f(x) = #(х), то p(f, #) = 0. Обратно, пусть р(Д g) = 0. Тогда ] [/(*) - g(x)]2dx = 0. Так как [f(x) - g(x)f — неотрицательная непрерывная функция яа[а, Ь], то [f(x)-g{x)f = 0, т. e.f(x) = g(x)(cM.[l]),§ 6.2, теорема 8). Вторая аксиома: p(f, g) = p(g, f) — очевидна. Третья аксиома: имеем } [f(x) + Xg(x)fdx > 0 V X, т. е. квадратный трехчлен относительно X j f(x)dx + 2Х\ f(x)g(x)dx + X2 J g2(x)dx > 0. Последнее возможно, если дискриминант уравнения неположителен: (]f(x)g(x)dx) - ) f(x)dx ) g2(x)dx< 0, Vo /о а 272 откуда W* fflx^dxdj/V)^ М*)<** (неравенство Буняковского для интегралов, см. также [3], § 4.8). Далее, применяя неравенство Буняковского, имеем J [f(x) + g(x)fdx < ) \f(x) + gix)\ \f(x)\dx + J \f(x) + g(x)\ I g(x) dx\< \l/2 j[f(x) + g(x)ldx\ 1/2 \f{x)dx\ +\jg\x)dx\ \l/2- * \"/2 /ft Nl/2 /„ 41/2 i[f(x) + g(xjfdx\ <\lfix)dx\ +Ug2ix)dx\ (неравенство Минковского для интегралов). Теперь по неравенству Минковского получаем V2 P(f,g) = \\[f(X)-g(XjfdX\ = = {]№*) -ф(*)]+[ф (х) -*(*)]}2 <**] = = Ш(х)~Ф)]2 dx\ +I jM*)-£(*)f dx\ =Piftф) +р(ф,g) для любой непрерывной на [а, Ь] функции <р(х). 433. а < 1/2. Указание. р(/п, 0) = \п dx\ = л""2. 434. Нет. Фундаментальная последовательность ^3 У сходится к числу 3, которое не принадлежит М. 435. а) Будет, р (F (ж), F (у)) = \ F(x) - F (у) | = \х2 - у2\ = 2 = |* - у\-\х + у\< \х - у\ {\х\ + \у\) < - \х - у\ = ар (х, у), где а = 2/3 < 1; О б) не будет. Если х= \,у = 0,то \F(x) - FЩ = 1 = 1\х-у\ (а= 1). 436. х0 = 1/2, х, = F(x0) = 1/22, х2 = 1/24 хп = 1/22", ... 273
437. a) x = 2/(1 + л/5). Будет, так как maxJF'(x)l = max r = — <1; №«*«i' " V^>(i + ;t)2 9 б) ось х2 = 0; в) прямые х2 = 0, а;2 = 1. 438. а) 5 < 1/36. Указание. Согласно теореме существования решения 6<min {a, 1/N, Ъ/М), где N = sup , М = max\f(x, y)\. К В данном случае М = 36, N - 24. Решение данной задачи имеет вид у = 2/(3 - 2л:2). Таким образом, при х — Jij/2 решение у(х) —• оо. Значит, фактически решение существует в интервале (О, 73/2), который больше интервала (1-5, 1 + 8) (5 < 1/36). Отметим, что во всем интервале (0, 2) = (1 -а, 1 + а) решение данной задачи (с указанными начальными условиями!) не существует; б) 5 < а = V2/4. В данном случае а = — = — = — . М N 8а Таким образом, решение существует в предельно возможном промежутке [-5, 8] (8 <а), т. е. теорема существования дает неулучшаемый результат в смысле размера промежутка, где существует решение для данной правой части f(x, у). 439. у(1) и 1,248. Указание. При приближенном решении уравнений всегда рекомендуется определять интервал (х0 - 5, х0 + 8), где существует решение у{х). Число 5 находится из теоремы существования. Если точка, в которой нас интересует значение решения, входит в указанный интервал, то можно применять метод Эйлера. Данный пример носит иллюстративный характер для метода Эйлера. Уравнение можно решить. Его решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид у =ехр(л: /4), т. е. решение существует на всей действительной оси, и поэтому метод Эйлера можно применять без всяких ограничений. По методу Эйлера о y(l)*yQ + h £/(xA, i/J, гдех0 = 0,л1 = 0,1>.„>дс!) = 0,9,дс,0 = 1;у0=1;1/1= = у0 + АЛдс0,у0) 274 Ус, = Уя + hf(x8> У*)> Ую = Уо + А/(*9» Уэ)- Таким образом, 1/(1) Все эти вычисления можно свести в таблицу: Ухо- к 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ч 0 од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Ун 1 + 1 -•■ 1,005-*""* 1,015 1,030 1,051 1,077 1,109 1,148 1,194 1,248 hf(xk, У к) -* ° 0,010 0,015 0,021 0,026 0,032 0,039 0,046 0,054 — Истинное значение решения у(1)= ехр(1/4) я 1,284, т. е. приближенное значение решения мы получили с точным первым десятичным знаком. 440. у{2) ж 4,781 (точное значение 1/(2) = 3(е - 1)). Указание. Решение уравнения существует на всей оси. Общее решение уравнения у - Сех - х- 1. 441. а) у - С ехр (±х) (рис. 82). Особых решений нет; б) у{х + С}2 = 1; у = 0 (рис. 83). Особых решений нет; С=0 Рис. 82 Рис. 83 275
в) (х + С)2 + у2 = 1; у = ±1 — особые решения (рис. 84). Интегральных кривых у = ±1 в каждой их точке касается еще одна интегральная кривая (окружность); г) у[\ + (х - С) ] = 1; у = 0; у = 1 — особое решение (рис. 85). Отметим, что у - 0 не является особым решением. Ук 1 А 0 >SRO ^- X Рис. 84 Рис. 85 Рис. 86 Рис. 87 Другие интегральные кривые не касаются этой интегральной кривой; д) х + С = 2Су — параболы; у = ±х — особые решения (рис. 86); е) (Сх + I)2 = 1 - у2 — эллипсы; у - ±1 — особые решения (рис. 87). Указание. Особые решения можно искать различными способами. Например, в случае д), разрешив уравнение , у±4у -х относительно уу получаем однородное уравнение у = z—^ х (х&0). Если частная производная по у от правой части последнего уравнения обращается в бесконечность вдоль гладкой кривой, то эта кривая может быть особым решением. В данном случае 276 при у =±х. Проверкой убеждаемся, что у=±х — решения нашего уравнения. Легко установить, что этих прямых касается в каждой точке еще одна интегральная кривая семейства х2 + С2== 2Су. Значит, у = ±х — особые решения. Эти же решения можно находить из системы х> + Сг-2Су = 0,) я. + с._2С|,.01 ^(^ + С2-2С!/) = 0,| С-у = 0,\ Дальнейшее исследование проводится, как и выше. 442. а) Данное уравнение не содержит явно переменной у. Вводим параметр —" = р, х = р + р, dy - р dx = р (Зр2 + 1) dp; dx ix=p*+p, \y=—p +~+c Г 4У 2 — параметрическое задание решения; б) данное уравнение не содержит явно переменной х. Вводим параметр —^ = р, у =р2 + 2р3, dx = — = (2 + 6p)dp, dx P х = 2р + Зрл+С, р +2р — параметрическое задание решения; у = 0 — также решение уравнения; в) данное уравнение также не содержит у. Параметру можно ввести по формуле —^ = р. Тогда х = p^jl + p2, dy = p dx = dx { , 2 > = Р Vl + P"' + ,Р г dp, By = (2p2 - 1) -Jl + p* + С. Здесь также Vl + P ) можно ввести параметр по формуле —У- = sh p, dx х = shpvl + sh1 р = -sh 2p, dy = sh p ■ dx = shp ■ ch 2pdp = (2ch'p-l)dchp, y = - ctfp-chp + C. о 277
I x = pjl + p* \зУ = (2р2-l)Vuy+C или < ;t =—sh2p, 2 y = —s}ip-shp+C — параметрическое задание решения. 444. у- хС С2 — общее решение; особое решение нахо- 4 дим из системы у-хС + ~С2 = 0,\ 4 _д_ ее у-хС + -С? =о, y-xC+-(f = 0, У 4 -х + -=0, 2 С = 2xt у = х2. Проверкой убеждаемся, что у = х является решением уравнения Клеро, следовательно, это особое решение (рис. 88). Рис. 88 Рис. 89 Из рис. 88 видно, что парабола у - х является огибающей для семейства прямых у = хС С . 4 445. у=Сх Wl+C2 — общее решение. При х = 0 у 5= 1. Особое решение х2 + у2 = 1. Учитывая, что прямые у = Сх + 278 пересекают ось у в точках с ординатой 3* 1, то особым решением является верхняя половина окружности (рис. 89). Это огибающая семейства прямых. 446. а) у = - cos х + Схх + С2; 2 6)у=-^+С1х2 + С2х + С3. 447. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию у. Понижение порядка достигается введением новой функции г{х) - у'. Имеем г'(х) = у"; х г' = г . Таким образом, мы получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Легко видеть, что г{х) = 0 является решением уравнения, тогда у'(х) = 0, у{х) = С — решение исходного уравнения. Пусть 2^0; тогда, разделяя переменные, получаем г х г х dy x y=j-^- = ^-~\n\ClX+l\ + C2 (C^O). 2 х Если Cj = 0, то г = х, у' = х, у = — + С. 448. 2у = (1 + 2Сг)хг + Сл cos 2x + Сгх + С3. Указание. г(х) = у"(х). 449. у = - (х + Ст) In |С2 {х + C^l + х + С3; у = Сгх + С2. 450. Данное уравнение можно решить заменой у'(х) = г(х). Однако легко видеть, что 2уу' -(у )', поэтому уравнение можно записать в виде (у')' = (у2)', откуда у' = у2 +р, х = \^—- У +Р Рассматривая случаир = 0,р<0,р>0, получаем х = -- + С2; 2Схх + С2 = In У y = C1tgC1(x-C2) (p = -Cf). 279
451. у In \Схх\ = 1; у = С, tg (С, In |C2x|); С2х = \y+ct l/(2C,( Указание. Уравнение сводится к виду (ху')' = {у )'. 452. у2 = (С, + xf + С2. У к аз ан и е. до" + z/'2 - (до')'. 453. Данное уравнение не содержит явно аргумента х. Понижение порядка достигается введением новой функции г(у) = у'(х). Отсюда y"(x)=zy(y)y,I = z'yz. Уравнение принимает вид п dz 22 2у — z = г + I/ . Это однородное уравнение. Решая его, получаем (i/ * 0) Далее, z = ±Jy+Cly. dx л/У +cJf = ±dx, ±х + С, = In у+-£+&у+у* Функция у(х) = 0 также является решением. 454. у In \у\ + х + Cji/ + С2 = 0; z/ = С. Указание t/'(x) = *(*)• 455. х = —In С. у »+с, + С2; у = С. Указание. После введения новой функции г(у) - у'х относительно z(y) получим линейное уравнение. 456. Данное уравнение содержит х и у. Однако оно является однородным относительно у, у', у" второй степени. Понижение порядка достигается введением новой функции z{x) по формуле у' = yz (у Ф 0). В этом случае у" = у(гг + г') и уравнение принимает вид хг' = z. Решая это уравнение, получаем z = Схх. Заменяя г на у'/у, получаем дифференциальное уравнение пер- 280 вого порядка у' = Схху. Интегрируя, получаем у = С2 ехр (С,х2/2). Это решение включает в себя и решение у = 0. 457. у = С2х ехр (-С,/х). Указание, у' = yz(x). 458. у = Сх е" + С2 е3х. 459. у = Сх + С2е2* + С3ег\ 460. Характеристическое уравнение имеет вид ft4 - 1 =0. Его корни можно найти, извлекая корень четвертой степени из единицы. Однако можно левую часть разложить на множители: (ft ~ l)(ft + 1) = 0, откуда fej = -1, k2 = 1, k.A = -i, ft4 = i. Поэтому общее решение исходного уравнения будет у = С1 е~х + С2ех + С3 cos x +C4 sin x. 461. Корни характеристического уравнения kx - 1, k2 = - к3 = 2; у = Схех + е2х(С2 + С3 х). 462. а) Характеристическое уравнение ft4 + 2ft2 + 1 = 0 легко 2 2 приводится к виду (ft +1) =0. Таким образом, оно имеет корни kx = k2 = i, ft3 = fc4 = -i. Общее решение можно записать так: у = eix (Сх + С2х) + eix (C3 + С4х). Если воспользоваться формулами Эйлера, то у = (CjX + С2) cos л: + (С3х + С4) sin х; б) у = Cje' + С2е4х. 464. Общее решение однородного уравнения уже нам известно (см. задачу 461). Остается найти частное решение неоднородного уравнения. а) Правая часть f(x) = 2е3х имеет специальный вид (см. [3], § 1.16), где ft0 = 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение - л 3* У =Ае , где А = —— = 1, RJk) = ft3 - 5ft2 + 8fc - 4. ад Значит, общее решение неоднородного уравнения имеет вид у = Схех + егх(С2 + С3х) + е3х; б) ft0 = 1 является простым корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение нужно искать в форме 281
у = Ахех. Находя производные от у и подставляя их в уравнение, найдем, что А = 4. Вообще, можно доказать, что если f(x) = a exp (k0x) и k0 — простой корень характеристического уравнения. Общее решение неоднородного уравнения запишется у = Схех + е2х(С2 + Csx) + 4хех; в) kQ = 2 — корень кратности 2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде у=Ах2 е2х. Находя необходимые производные от у и подставляя их в исходное уравнение, найдем А = 3/2. Вообще, можно доказать, что если дх) = ae и &0 — корень кратности 2 характеристического уравнения, то А= а В данном случае R"{k) = 6k- 10, а = 3. Итак, y = Clex + e2\C2 + C3x)+~xVx. 465. См. задачу 462. а) у = —ех, б) перейти к функциям е±1Х 4 согласно формулам Эйлера; k0 = ±i — корни кратности 2 характе- - 1 2 ристического уравнения; У=~~х sin х\ в) у = -— (cos x +sin x); 8 8 г) у= — sin 2x. У 9 лес *-% х „ -зх cosx sinx 466.у = С,е +С>е -- -. У l l 10 5 467. а) £ = Аех; б)у = (Ах2 + Вх)е2х; в)у=А cos x + В sin х; г)у = (Ахх +А2х2 +А3хг +А4х4 + Аъх°)еАх; д) у =Агх+А2х2 + А3х3. Здесь правая часть Р(х)е '*, &0 = 0 является корнем характеристического уравнения; е) у = ех [(А1 + А2х) sin х + (А^ + А4х) cos x]. 468. а) Линейно зависимы: а • 1 + Р sin2h + у cos 2x = 0 при а = -1,р = 2,у=1; б) линейно зависимы; в) линейно независимы, так как их определитель Вронского не равен нулю; г) линейно независимы (W[x2, х3, х4] = 2х6 Ф 0 , х Ф 0). 282 469. а) у = Схх2 + C2x\ У к а з а н и е . Частные решения ищем в виде у - х . Функции х2 и х3 являются частными линейно независимыми решениями уравнения, поэтому их линейная комбинация дает общее решение уравнения; б) у = С,х + С2х ; в) ищем решения в виде у = хк, характеристическое уравнение k - 4k + 4 = (k - 2)2 = 0 имеет двукратный корень kx-k2-2\ у = х — частное решение уравнения. Второе решение ищем в форме у = Ах2 In х. Легко убедиться, что при любых А это есть решение уравнения Эйлера. Итак, общее решение у = (Сх + С21п х)х2, г) уравнение переходит в уравнение Эйлера после умножения на х левой и правой частей уравнения; у = Сх + С2х3 + С3 In x. 471. у = е (Сх cos x + С2 sin x). у-| 2 р 10 472. а) у = Схх + -* + —; б) у = Схх + -* + —. х 3 х 99 473. Правые части уравнений не имеют специального вида еах (Рт(х) cos рх + Qm (х) sin px). Поэтому частное решение неоднородного уравнения надо искать методом вариации произвольных постоянных; а) общее решение однородного уравнения имеет вид у = Сх cos x + С2 sin x. Считая Cj(x), С2(х) функциями от х, найдем их так, чтобы функция у(х) = Cj(x) cos x + С2(х) sin x была частным решением неоднородного уравнения. Для этого надо решить систему (см. [3], § 1.17) {Сх(х) cosx+С2'{х) sinx=0, -Cf(x)sinx+C!(x)cosx = ——. sinx Определитель этой системы есть определитель Вронского W[cos х, sin x] = 1 -ф- 0. Решая систему, находим с;(х) =-i,c;<x) = ctgx. Интегрируя, получаем Cj(x) = -х, С2(х) = Jctg х dx = J—^— = In |sin x|. sinx Значит, у = -x cos x + sin x In |sin x|. 283
и общее решение неоднородного уравнения запишется: у-Сх cos х + С2 sin х - х cos x + sin x In |sin x\. Теперь находим постоянные Сх и С2 по начальным условиям: у(п/2) = С2 = 1, у'(п/2) = - С, + к/2 = О, С, = я/2. Итак, решение задачи Коши будет и = — cos х + sin x - х cos х + sin x lnlsin х|; 2 6) i/ = Cj cos 2x + C2 sin 2x - x cos 2x - sin 2x + sin 2x ln|cos x|; в) у = Cj + C2 cos x + C3 sin x + In telr-J\ - x cos x + sin x ln|cos x|; г) у = (Cl+C2x)e~x + (-x + x In \x\)e~x= (a + bx)e'x + xe'x ln|x|. 474. а) у = C,e2x + C2e~3x + -x2 + -x - —, 71 2 3 9 27 n 2x C, -3« x2 2 2 2 = -C,e + —Le -— + —x . 1 4 3 9 27 Указание. Дифференцируя первое уравнение, получаем y + 2y+4z = 4. (1) Из первого уравнения находим функцию z = х у у. Про- 4 2 изводную г находим из второго уравнения: 2 2 1 ■ 3 z = z-y + x = х + х --У--У- Подставляя это значение г в (1), получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом относительно функции у(х): у + у - 6z/ = 4(l -х-х2); б) данную систему можно решать так же, как и систему а). Однако можно применить теорию § 1.22 из [3]. Приведем систему к виду 284 о+--|у-г=о, у + \0 + ~\г = 0. dy, Это однородная система, поэтому она сводится к одному и тому же уравнению относительно любой из функций у или г. Составим определитель системы: D(X) = 0 + Х -1 , 1 0 + А.1 = хг + 1 х= dx Искомое уравнение относительно функции у имеет вид d[ — ] у = 0 d'y или —j +у = 0. Общее решение этого уравнения — у = Cj cos х + С2 sin x. Функцию г находим из первого уравнения: dy _ z = —- = - Cj sin x + С2 cos x. Так как функция г удовлетворяет такому же дифференциальному уравнению, как и функция у, то сразу можно было написать, что г - a cos х + Ъ sin x и затем подобрать числа аиЬ так, чтобы функции у иг удовлетворяли нашей системе (т.е. мы подставляем функции у и г в систему и выражаем постоянные а и 6 через С, и С2 или наоборот); X -1 -1 = (А. - 2ХХ + I)2. в) ДА.) = -1 А -1 -1 -1 X Дифференциальное уравнение относительно функции x(t) имеет вид (s-')(H«°-°- а его характеристическое уравнение будет (к - 2№ + If = О, А,=А2 = -1,АЯ = 2. 285
Общее решение дифференциального уравнения — x(t) = (Сх + C2t)e4 + C3e2t. Функции y(t) и z(t) выражаются подобным образом: y{t) = (а + bt)e~l +de2t, z(t) = (а + |3f) е-1 + ye2'. Подставляя эти функции в систему, найдем, что b = (3 = С2 = О, d = у = С3, а + а = - Сх, где а можно считать произвольным, тогда а = -Сх - а. Итак, х(*) = Сге~* + С3е2', i/(f) = ае1 + С3ем, z(t) = -(Сх + а)е"' + С3е2'; г) данная система неоднородная, поэтому для каждой функции у и г будет свое уравнение: *(£)»=ф,м. где Мад ^— — алгебраическое дополнение элемента Ь . определи- Чах теля т. е. D(X) = X -1 1 X dx Мхх(к) = X, М21(Х) = 1, М12(Х) = -1, Мп{Х) = А,. Таким образом, Фт(х) = — ■ 1 + 1 • х = х. dx Окончательно получаем следующее дифференциальное уравнение относительно функцииу(х): у +у = х(функция z удовлетворяет уравнению z + z = 0). Решая эти уравнения, получаем у - Сх cos х + С3 sin х + х, 2 = С2 cos x - Cj sin x. 286 475. а) Решение. Способ 1. Составим характеристическое уравнение \2~Х 1 |=А2-бА + 5 = 0. | 3 4-А.| Его корниХх -1Д2=5. Найдем собственные векторы а1 = (а, , а2 J и а = (а, , а2 J, соответствующие собственным числам ^, = 1и Х2-Ъ: (2-l)o1»+a,n.0la1»+a1B.0.a,»-a,». где а2 — произвольное число. Для простоты записи положим а[ = -1, тогда а{* = 1. Итак, а1 = (1, -1). Аналогично из уравнения (2-5)af' + af = 0 находим а2 = (1, 3). Решения системы запишутся следующим образом: Y\t) = {e\-e% Y\t)={e"\ Зе5'}. Общее решение — Y(t) = Cj Y\t) + С2 Y\t) = {С,е( + С2еы ~ Схе1 + ЗС2е5'}. В развернутом виде yx(t) = Схе' + С2еъ\ y2(t) = - Схе + 3C2e3t. Способ 2. После того как мы нашли корни характеристического уравнения Хх= 1, Х2 = 5, можно сразу написать общее решение: yx(t) = С/ + C2ebt, y2(t) = - Схе + ЗС2е5'. Подставляя эти функции в нашу систему, мы найдем а и 6, выраженные через Сх и С2. Здесь мы минуем процесс нахождения собственных векторов а и a ; б) x(t) = Схе~( + С2е\ y(t) = 2Схе~' - 2C2e3t; в) у = е~х (Cj cos x + С2 sin x). 1 -г г= -е [(С2 - 2Cj) cos х - (Сх + 2С2) sin x]; 5 r)D(k) = -\3+l=0;k1 = l,k2 = --(l+iJ3), Х3 = —(l-i^3) — корни характеристического уравнения; 287
x = Cie+et/2\c2cos(—t) + C3sm(—t\\, t -t/2 у - Cxe + e г - C{e + e ■*-■- ^cos —t —l ism —t , V 2 -*/2 a ^-COS 1 + —i 2-Sin t 2 {2 ) 2 {2 476. Решение однородной системы нам уже известно (см. задачу 475, б)): х = Cje"' + С./\ у = 20^"' - 2С2е3'. а) Считая Сх(0| С2(0 функциями от *, подберем их так, чтобы функции х = С^)е~1 + С2(г)е3', у = 2C,(t)e~' - 2C2(t)e3' были решениями неоднородной системы (метод Лагранжа вариации постоянных). Дифференцируя эти функции и подставляя в систему, получаем с;(*)с'+с;(*у=1, 2C[{t)et+2C'2{t)el = t, <*® = Ц±е', C'(t) = ^e 4 4 Интегрируя, получаем C,(t) = \(1+ t)e\ C2(t) = ±(- 5 + ЗОе"3'; 4 оо _ 1 t - 7 t X- —+-,у= —+—. 9 3 9 3 Общее решение неоднородной системы имеет вид х = С.е-* + С./* + - + -, и = 2С,е"' - 2С2е3' + - + -; 1 2 9 3 ' 2 9 3 б)С,(*) = -^(4е2< + е4'), C2(t) = ~(* + е~2*У> 16 4 ж = —(1 - 4*)е3', у = е + -- (1 + 4*)е3', 16 8 288 x = C,e + С.е + e , 16 у = 2Схё~* - 2C./1 + e' + -(1 + 4t)e3'. 1 477. у = 2 + x - -— + — x3 + —x4... Указание. Решение 2 6 8 ищем в виде ряда у = а0 + fltjX + а2х + где в силу начальных условий а0 = 2, at = 1. 479.i/ = 2+x-x2-™ - — + ... 2 12 480. !/ = — + — + — + ... У 2 6 6 481. а) Функцию Ляпунова можно взять в виде v = х + у ; dv=evdx + dvdy=2x4_2y^^ dt дх dt ду dt Точка покоя устойчива; б) функция Ляпунова в виде квадратичной положительно определенной формы не подходит для данного примера. Будем искать ее в виде а В V = X + уУ с четными показателями а и (3. Найдем полную производную от v (вдоль решения х, у): % = ах-1 (2у3 - х") + р^-! (-х - у3 + х% at Чтобы эта функция была «3 в окрестности начала координат, нужно, чтобы отсутствовали члены вида ха у3 и у x. Таким образом, должно быть a = 2, р = 4, В этом случае ~ = -2х6 - 4у« + 4у8 = - 2[х6 + 2/(1 - у2)] < О at в достаточно малой окрестности начала координат. Кроме того, v = х +у ^Ов окрестности начала и v = 0 только при х = у = 0. Поэтому по теореме Ляпунова решение x(t) = y(t) = 0 устойчиво; в) для функции v = х2 + у1 ~- = 2х(х3 - у) + 2у(х + у3) = 2х4 + 2у4 > О at 289
вне начала координат. Значит, нулевое решение неустойчиво по теореме Четаева. 482. а)А-\ 1 _1 ; аХ1а22-а^2 = 1 > 0, система эллиптическая; аи < 0, а22 < 0; точка покоя — устойчивый узел; б) А = _р . ; а,,^-^ = 0, система параболическая; Aj = ап + а22 = 5 > 0; точка покоя неустойчива; в) А = „ „ ; а11а22-а^2 = - 1 < 0, система Гиперболическая; точка покоя неустойчива. 483. а) Характеристическое уравнение 3-А 0 2 1-Х = (3 - А) (1 - А) = 0 имеет положительные корни Ах = 1, А2 = 3, поэтому точка покоя есть неустойчивый узел; б) характеристическое уравнение 1_* с3, =А2 + 4А+ 13 = 0 -о -5-А имеет корни Хг = -2 -3i, А2 = -2 + 3i. Действительная часть этих корней отрицательна, поэтому нулевое решение — устойчивый фокус; в) характеристическое уравнение = А2 - 1 = 0 (1-А 0 I 2 -1-А имеет корни Хг = ~ 1, А2 = 1 разных знаков, значит, точка покоя — седло; г) характеристическое уравнение -2-Х -5 2-Х = Г + 6 = 0 имеет комплексные корни Aj = 1л/б , А2 - i-JE с действительной частью р = 0, поэтому точка покоя — центр; д) характеристическое уравнение Vi-xb1-1''-0 имеет кратный положительный корень Хг = А2 = 1, значит, точка покоя — неустойчивый узел. 290 ГЛАВА 7 484. -оо < х < оо; Дх) непрерывна и дифференцируема F'(x) = —(sin 2тгх - sin их). 485" 2а2(аа+&2) + ~Ъ£ arctg д -Указание. Продифференцировать равенство по параметру а. 486. a) Г(х) = 2х ехр (-хэ) - ехр (- х2) - Jy2 exp (-xy2) dy, х б)Пх)=|1п(1 + х2); х в) J" = -Дх, -х) + 2jf' (и, и) dy, где и = i/ + х, v = у - х. о Указание. В начале в интеграле сделать замену г — у - х. 487. а) -1/10; б) 1/2. 488. In (25/24). 489. 50,4. 490. 12/5. 0 -ДхЦ 8 2-х 491.7= \dx $ f(x, y)dy + jdx J /(*, y)dy (рис. 90). -I —fix+A 0 —/4ir+4 1 3ji 6 3 492. / = Jdi/ J f(x, j/)dx + jdy j f(x, y)dx (рис. 91). 0 y/2 1 j,/2 y*=4x+4 Рис. 90 291
493. I=jdy]ftx,y)dx + ]dy ]f(x, y)dx (рис. 92). 1/2 1/» 1 У 1 Щ 494.1 = \dy \ f{x, y)dx (рис. 93). и Jy 1 V3 Рис. 94 495. / = jdx j ftxt y)dy + \dx \ f(x, y)dy (рис. 94) 496. I = \dy ](x + y2)dx = -. 497./= j dy f xy* dx =-^ О у ° о si 40 1 498. - abc (а + b + с) 2 499.1/48. 501. а) \ dx \ dy \ 'f(x, у, z)dz; 500. 16. J' -a-fi JoJ* .kJ.J.J 'За -г -у 2 2 2, i -•J2a -i J +tf у/Л -* -J/ 2 V4 . 6) J <*x j dy J fix, y, z)dz. 292 502.-яа3. 3 4 503.1 = — nabc. Указание. В силу четности подынте- 5 тральной функции по всем переменным данный интеграл в восемь раз больше интеграла по части эллипсоида, находящейся в первом октанте. Вводим замену: х = ar cos t cos х, у = 6г cos t sin x, z = cr sin £ (0 < г < 1, 0< t< к/2, 0< т*£ я/2). Якобиан данного преобразования \P(x, У, z)\ D{r, t, t) к/2 */2 = abcr cos t, поэтому / = 8abcj r dr j dx j cos t dt. 0 0 0 504. na3/6. 505. 2nab/3. Указание. Учесть четность подынтегральной функции и ввести обобщенные полярные координаты: х = ar cos t, у = br sin t (0 < г < 1, 0 < г < тс/2). Якобиан **&Л± = аЬГг 506. пЛ4. D(r, t) 507. 8а/9. У к а з а н и е . Область интегрирования есть половина цилиндра высоты а, в основании которого лежит полукруг (х - I)2 + у2< 1 (у > 0). Уравнение полуокружности (х - 1)2 + + i/2 = 1 (у > 0) в полярных координатах имеет вид р = 2 cos (p (0< < (р< к/2) (рис. 95). Поэтому я/2 2«мф Рис. 95 293
508. 4rcR5/l 5. Указание. Перейти к полярным координатам. 509. -^^15 (рис. 96). 510. V = - (рис. 97). у*= 10х+25< Рис.96 Рис.97 Рис. 98 Рис. 99 511. V=a3/S (рис. 98). 512. V=Sna3/4. Замечание. Для вычисления соответствующего интеграла удобно ввести полярные координаты'(рис. 99). Уравнение полуокружности (х - а)2 + у2 = а2 (у > 0) в полярных координатах будет р = = 2а cos ф (0 < ф< я/2). 513. isi « ]\Ji+{z$+{z$dxdy = \\^ЩЩахау = 1 1~23 2~2 ,2 2 = —ylab +ac +OC , 2 294 где D — треугольник |0«у«(а-х)-Г 514. \S\ = 8а2 arcsin (Ь/а). Указание.В силу симметрии искомая площадь равна восьми площадям, вырезанным на поверхности шара и находящимся в первом октанте. IS, = ваЯу^Ч" = Ч** Т L. % - d у]а -х -у о о v<* xr-yr = 8а f arcsin —dx = 8a arcsin —, la a где D — часть эллипса, i> = {£+£<i.*>o,y>o}. 515. Пусть (xc, ye) — центр масс. В силу симметрии ясно, что хе = 0. Площадь D половины эллипса, равная nab/2, численно равна массе фигуры, поэтому 516. а) ^ nab2. Указание. Воспользоваться первой те- 4 оремой Гюльдина и задачей 515; б) -~nabc. Указание. V = jjjdxdydz = 2cjj^l-^-^dxdyf гдеS — эллипс^?+у < 1; далее см. задачу 505. о 517. хс = ус = 0, гс = ^ а. У к а з а н и е . См. задачу 506. Вводя сферические координаты х = г cos у cos ф, i/ = г cos у sin ф, (0 < г < а, 0<\|/< тс/2, 0 < ф < 2я), г = г sin у получаем 2 2х ч№ ■ 4 "^ 2С = —f J J J г сое у sin у dy Ар dr =■=■*» J sin у d sin у. ПО 0 у 0 "о 295
518. xc - 0, yc = 8/5. Указание. Площадь фигуры |S| - 32/3; yc=h\\ydxdy=Mdx jydy 512 519. -гё" п. Указание. См. задачу 518 и первую теорему Гюльдина. 521. а) тс/4; б) оо; в) 1/4. 522. F(y) = In (1 + у). Указание. Интеграл F(y) сходится для любых у>-1. F'(y) = le-x(y + 1)dx = ^-j { У + 1 равномерно сходится при любых у^ у0> -1, поэтому дифференцирование под знаком интеграла по параметру у законно в указанном промежутке. Учитывая, что F(0) = 0, получаем F(y) = \n(y + 1). 523. F(y) = -Jny (у > 0). У к а з а н и е . Как нам известно: [ exp (-t2) dt- -ц л/п , F'{y) = J exp (-yx2) dx=X]exp {-t2) dt = \^. Последний интеграл равномерно сходится при у > у0 > 0. 524. Интегрируя \ х" dx = т- по параметру у в пределах о У i от Р до а, получаем j[j*"d*Ur = }|VcJd* = \^\; dx = )^fdx. а + 1 №=ьа, + 1>С-ь.|й Значит, }*^d*=ln-a + 1 lnx (3 + 1 Отметим, что в области 0 < х < 1, -I <$ < у <а исходный интеграл сходится равномерно. 525. Сходится.У к а з а н и е. Рассмотреть круг с выброшенной из него е-окрестностью начала координат £/£(0) и перейти к полярным координатам: 296 JJ Injxu^dx dy = j jr In rdrdy = 2n\r \nrdr = S\UC(0) 0 t , 526. а) Сходится равномерно в силу признака Вейерштрасса |cos xy\ < 1, dx г cosxy , ^ г dx i» тг б) сходится неравномерно. Замена лс^ = и показывает, что J у/у ехр (- ух2) dx = \ ехр (- и2) du, и о т. е. он не зависит от параметра у. При у = 0 интеграл равен нулю. Итак, интеграл F(y) есть разрывная функция при 0 < у < оо. Значит, интеграл сходится неравномерно. Его сходимость будет равномерной, если 0 < i/0< у < со. ГЛАВА 8 527. V5 1n 2; уравнение ЛВ: у = \(х - 4). 529. 24. а&(а2 + а&+Ь2) ЗТаТь) " Указание- Уравнение дуги эллипса у = —>!а -хг (О < х <^ а). Принимая х за параметр, получаем J *</ ds = ]x^J7^L(b*Jdx = г о а V yaja2-x4 = -^1хт]а+(Ь*-а}хЫх. a 0 531./у ds = 2/^ Jl~+Tdx =Л(2л/2-1). г о V X 3 532. Перейдем к полярным координатам: х = р cos <p, у = = р sin (р. Уравнение окружности х2 + i/2 = 2ax или (х - of + у2 = а2 в полярных координатах имеет видр = 2а cos ф (-л/ 2 «5 ф < я/2). Дифференциал дуги этой окружности будет ds = ylf((p)2 + f((p)2 d(p - yJ4a sin2 <p + 4a2 cos2 q> d^ = 2a dtp. 297
Поэтому j (x - у) ds = j (2a cos ф - 2a cos <p sin cp) 2a dcp = Г -я/2 n/2 = 4a2 J cos2cp d<p - 2a л. -«/2 ,2 2, /~2 7? ,-r.r. 6 a 0 va — о , ,ч 533. m = ^ + ■ , . arcsrn (a > b). a 24a-Ъ a 535. 2л2Ьл/а2 + Ь2. 4 4 циклоиды 536. xc=— a, j/c=— а. Указание. Длина дуги полуарки о о |r| = jVx'(*)2 + i/'(*)2^ = 4a; о *c=^JxVx'(tf + y'(*),* = :|«. |1 | 0 *> yc=-^yylx(tf+y'(tfdt = ^a. \1 | 6 537. 2na2va +Ьг. Указание. г 539. 2.Указание. Воспользоваться свойством интеграла J =j + J,r = r1 + r2. г г, г2 540. а) 512/15; б) 64/3; в) 0. 541. а) 1; б) 1; в) 1. 542. grad и = {2х + у, 4у + х, 6г - 6}. 543. a) z2 = ху\ б) х = у = г. 544. rot а = {0, 0, 0}. 545. rota ={1, 1,0}. 546. а) Имеет, так KaKrot a =0 и пространство Я3 — односвяз- ная область; б) имеет, rot а = 0; в) не имеет, rot а = {0, 1 - у, г) * 0 Bi?\ 548. а) Является; б) является; в) не является (rot {2 - у, х} * 0 или -|-(2-у)* -|-х). 549. х2 + х3у - у3 = С. 550. Зх2у - у3 = С. 298 SSl.xe-'-V^C. х3 5 552. х+^т + -=С. У к а з а н и е . Потенциальную функ- У У цию Щх,у) для вектора а = J 2- 2х +5у находим как ин- Ут fa,y) У У теграл второго рода от вектора а. За путь интегрирования берем любую кривую, не пересекающую ось х. Например, можно взять ломаную (рис. 100), соединяющую точки (1, 1), (х, 1), (х, у) (х > 0, у > 0). Если точка (х, у) лежит в нижней полуплоскости, то за начальную точку берем любую точку ниже оси х, например точку (0, -1). 553. rot {yz, хг, ху} = 0; U(x, у, г) = хуг. Общее решение хуг = С. Любую из переменных можно рассматривать как функцию от двух других независимых переменных. 554. ху + хг + уг = С. е" -/-2 • -2ч 1 Рис. 100 556. JJ(x2 + у2) dxdy. 555. у(х" + г2) = С. 557. \\еху (у - х) dx dy. 558. 0. 559. - 1/3. 560. яД4/2. Указание. Применить формулу Грина и перейти к полярным координатам. 1 1 2* 561. mCl - — J(- у dx + x dy) = — j (а sin3 * - 3a cos2 t sin t + 2Jr 2 J + a cos3 t ■ 3a sin2 £ cos t) dt = — па2. 8 562. rot а = 0. Значит, на плоскости вектор а имеет потенциальную функцию. Работа вектора а есть криволинейный интеграл второго рода, который не зависит от пути интегрирования, следовательно, и работа не зависит от формы пути перемещения: А = j (а ds) = \ (2ху dx + хг dy), где Г— любая кривая, соединяющая точки (1, 1) и (2, 5). Вычисляя интеграл по конкретной кривой, мы и получаем величину работы. Здесь лучше найти потенциальную функцию, решая уравнение в полных дифференциалах: 2ху dx + x2 dy = 0, которое является уравнением с разделяющимися переменны- 299
ми. Решая, получаем U (х, у) = х2у. Теперь работа А = С/(2, 5) - «7(1, 1) = 20 - 1 = 19. 564. -па4. 565. т = jJx+ydS О о = \\^хг + у2 tJI + z2x + z* dx dy, где Q, — часть круга x2 + у2 < а2, и находящаяся в первой четверти, z - -\а -х -у , т = — л а3. о 566. п2 [aVl + a2 + In (a + Vl + a2)]. Указание. Элемент площади геликоида dS = jru| -|r J du dv = \1 + и du dv. 568. na4/2. Указание. Каждое слагаемое сводить к двойному интегралу по соответствующей проекции на координатные плоскости. 569. 0. Указание. Вычисление провести для каждой из четырех граней отдельно. Например, на нижней грани S, , (ориентированный треугольник) внешняя нормаль п(А) = - k, 2 = 0. Поэтому J (yz dy dz + xz dx dz + xy dx dy) = s.* 4 = f xy dx dy = - f xy dx dy = , где fO<x«a, 1 [0 < у < a - x Аналогично для других граней, лежащих в координатных плоскостях. Для грани S4, лелсащеи в плоскости х + у + z = a, косинус угла внешней нормали с осью z определяется равенством cos (п, г) = 1/^1 + г* + z\ , поэтому J {yz dy dz + xz dx dz + xy dx dy) = = f[yz dy dz + j\xz dx dz + jjxy dx dy = —a4. Д3 Д2 Л, 8 Окончательно, J...-J...+ J...+f...+ J...--£+4=o. 300 570. div a = 3 {x2 + y2 + z\ 571. div a = ~ f(r) + f(r) r 572. div {grad u) = 6. 573. a) rot a = 0; 6) rot (/(г) ■ с) = f(r) i j k JL A JL dx dy dz f(r)ct f(r)c2 f(r)c3 cxr, r 574. a) 0. Вектор a = {yz, zx, xy}, поэтому div a - 0; б) 2 \\\{x + y + z)dxdy dz\ здесь a = {x2' y2, z2}; G в) 2/Я *"»*, ■ здесь* = {*. * «1, r= V*%A»'; r) JjJ Au dx dy dz, здесь а = grad u, div (grad и) = Au, где с dx' dy dz i i-i i-x-y 575. 1/2; div a = 3; JJJ3 dx dy <fe = 3 jdx j'dy )"dz. G 0 0 0 576. 0 (см. задачу 567). 577. 0. 579. - 4л. Указание. a= {у ~ z, z - x, x~ y}, n = {l/J2,0, 1/V2}. | ((j/ - z) dx + (2 - x) dy + (x~ y) dz) = j-^dS, г s v2 где S — эллипс, лежащий в плоскости х + z = 1. Из рис. 33 видно, что его большая полуось равна V2, а малая полуось равна 1. Площадь этого эллипса равна Лл/2. При непосредственном вычислении следует записать уравнение эллипса в параметрическом виде, принимая за параметр z (0 < z < 2): х = 1 - z, у = ±v2z-z . Далее, интеграл по Г разбиваем на две части для у>0иу<0. Отметим, что в первом случае z изменяется от 0 до 2, а во втором случае — от 2 до 0. 580. 0. 301
ГЛАВА 9 583. V х, если а > 1; 0 < д: < 2я, если О < а < 1. Указание, При О < а15* 1 применить признак Дирихле (aft = k~a, Pft(x) = cos /где). 584. Сколько угодно. 585. -со < х < со. чП+1 sinnx 586. а) 2£(-1) в) - П ;б)Х Ay cos(2ft + l)x пк (2А + 1)2 г) sinnx п 4 J2 у cos(2fe + l)x ^>=„ (2fc + l)2 I (-1) ,jm sinfoc . я 2 ^ cos(2n+l);c , х-1 / iv д) -у + -X —£—d~ + I И) 4 л п=о „+i sinn* е) если a ж) —shan я (2п + 1) я=о п целое, то sin ax; если а — не целое, то 2sinan; ^ / ,чп пsinnx IH) а -п f+SH)" a cos nx 2 2 a +n coo л л^/ iv+i sinnjc я 4^,cos(2A + l)x 588. а)22,(-1) »T--L ,9bj«* ' „=i n 2 я*=о (2« + l) Указание. При разложении в ряд по синусам мы продолжаем функцию f{x) на (-я, 0) нечетным образом и затем периодически на всю числовую ось (рис. 101). Далее см. задачу586, а). При разложении в ряд по косинусам мы продолжаем функцию f(x) на (-я, 0) четным образом (рис. 102). Затем см. задачу586, в). Отметим, что продолженная периодически функция в данном случае непрерывна на всей оси. Ряд Фурье сходится равномерно на всей оси; Рис. 101 Рис. 102 302 6)1 sin2n3c 2п (рис. 103);^ £ 2 ^ cos(2n + l)x я „=о (2п +1) (рис. 104). Рис. 103 589.-£-4£(2п+1)"8сов 2 я „=и Рис. 104 2/1+1 I ■кх ¥^¥-- 590. а) тс; б) я/4. 591. а) \\f\\=№\ б) ||/||=]Д/5?2; в) г) ||/||=1/^3". 592. 0 < a < 1/2. 593. При любом a > 0 сходится к нулю неравномерно (ц?^ fn(x) = !)• При любом a > 0 сходится к нулю в смысле среднего квадратического. 595. F(s) = Д f/(f) cos tsdt = M fcos *s d* = Д jmae ^ 596./(*)=*' "'У к а з а н и е . Воспользоваться по- [0 х>а. вторным интегралом Фурье /(*) = —jcosxsds jf(t) costs dt, я о о верным для функции f(x) кусочно непрерывной и абсолютно интегрируемой на (0, со) (см. задачу 595). 303
597. F(s) = * rsin(l + ^)a + 3in(S-l)al V2^L 1 + s s-1 J ч [2°r->x sinrx , /2 V 7Г о л: lit 598. Q(s, , г arctg — s Указание. Дифференцируя по параметру г, получаем ([3], §4.14,4)) —- = /— I е cos гх аде = I 5—j дг \л „ Vn s +г Отсюда Q ■л arctg- + C,Q(s, 0) = 0, С = 0. 599. а) -^(1 - О (см. задачу 598 и [3], § 4.14, 6)); 2а б) 63/697; в) 51/290. ГЛАВА 10 600. As Jju(p, e)-/(e)fde < -?^(i-p)-* опри p-*i—о. Указание. Ряд Фурье функции Дб) имеет вид (см. задачу 586, в)) f(0)-n 4fcos(2k + l)Q 2 nh (2k+lf Гармоническую функцию (в единичном круге), порожденную функцией /(G), можно записать в виде ([3], § 5.3): / m л 4-A am cos(2A+l)0 2 я*=о (2А+1) Отсюда на основании равенства Парсеваля получаем Чф-т^Ы 4£{i-p)2(i+p+-+p2*)2 Л"2 (2fe + l)4 < (1-Р) Ux о (2fe + l)2 304 = (1 - р) I 4~ I = -~(1 - р) (см. задачу 587). Замечание. Гармоническая функция u(p, G) стремится к ДО) вдоль каждого радиуса (рис. 105) при р — 1 - 0, также в обычном смысле, но скорость сходимости будет немного хуже, чем (1 - р). Рис. 105 В самом деле, при фиксированном р (1/2 < р < 1) подберем натуральное число N так, чтобы 1/(ЛГ +1)<1-р< 1/ЛГ, тогда (см. задачу 376) «р. в)-да» < ^-п]тТ+ТА * к о v ' (2Л + 1) N -I _ 2*+1 1 ЛГ -t Т(2А + 1)' ~(2£ + 1) с =< Г2Л+1 ЛГ + 1 < с (1 - р) In N + —^- < с (1 - р) In ЛГ + 1 1-р + с(1-р)< < с (1-р) In — 0, р-1-0, 1-р где постоянные с в различных неравенствах, вообще говоря, различны. 601. Разложим функцию f{x) в ряд по синусам (см. задачу 588, б)) Л*)«Е sin2nx 2п Решение поставленной задачи имеет вид (см. [3], § 5.5, (11)) 305
u(x, t) = £~~ exP {-4n20 sin 2nx. i 2n Используя равенство Парсеваля, имеем Л = I^-« pH"'))! Зафиксируем f(0<f<l)H подберем натуральное число N так, чтобы 1/(JV + I)2 < t < 1/N2. Тогда V2 А< ЕЛ(1-ехР(-4^))Ч|:-1, Vn=i4n v w+i4n * Применяя теорему Лагранжа и используя оценки задачи 376, получаем < c(t2N3 + —!—) 2 ^ ct1/4 -* 0, t - 0. I N + lJ sin(2n+l)x 7C n=0 cos(2n + l)f sin(2n + l)f (2rc + l)L> + (2n + lf (см.[3],§5.5,(8),(11)). 603. Используя формулу Даламбера, имеем и(х, t)= 2 1 l + (x-tf l + (x + tf + - [arctg (x+t)- arctg (x -1)]. e06.«(».,).i-j7i^.it|—^-t-*7^t- 71 Л. (X ~ t) + £/ К -i (X- t) + у 71 _/-* С, + у if j. '-* , . l + x = — arctg —+ arctg nl У У , Если и = 1/2, то arctg ((I - х)/у) + arctg (I + x)/y) = я/2, т. е. (f - х2)/у2 = 1 — полуокружность (у > 0) радиусом I с центром в начале координат. еов'*,)=таыр(т4 306 ГЛАВА 1 1 608. а) \г\ = 5; б) \г\ = 1; в) |г| = 4. 609. а) г = 2[cos(- 2тт/3) + i sin (-2я/3)]; б) 2[cos(3tc/4) + i sin (Зтг/4)]. 610. a) 2eiJt; б) 1 • ei7l/2; в) 2*f2lli/3; г) 1 ■ exp (a-f )*. 612. а) 1728; б) 1. 613. а) ^ехг/~я^я/) (fe = 0, 1, 2, 3); б) ±1, ±*. С1> — . 2 l й x-iu 614. ц? = jc - iy , — = -==■ = j- ■ -gr . w ww xr+y 616. а) Окружность радиусом г с центром в точке z0; ДСГ Ц 2 2 2 б) эллипс —j +^г = 1, Ь = а -с. Указание. |г - с| — от 6 расстояние от точки (с, 0) до z = (х, у). По определению эллипс это геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных есть величина постоянная; \w) x2+4y2 2 ywj x2+4y2 4 эллипсы: (x~\f + 4y2 = l,f+(y+lf= 1; г) ху = 1 — гипербола; д) у = хг — парабола. 617. а)-1:6)-(5+ 120/13. 619. а) Окружность \w\= 2 или и2 + v2 = 4. При z = pellp w = — с'^и, следовательно, окружность \w\ = 2 проходится по ча- Р совой стрелке, еслиz пробегает окружность \z\ = 1/2 против часовой стрелки; б) луч, идущий по биссектрисе четвертой четверти из со в 0; в) ось Ov за исключением точки О = (0,0). Если точка z движется по оси у от - оо до + оо, то точка w движется сначала от 0 до + оо, затем от - оо до 0. 620. limz = - L x—i 621. Не существует, так как Re w = —>—^ н© имеет преде- ХГ+У ла при х —* 0, у — 0. 307
622. Будет. 623. a) w' = 2z; б) производная не существует ни в одной плоскости г; в) не имеет; г) имеет производную, равную нулю только в точке 0. 624. f(z) =cos z, |f(2)U= |cos 0| = 1, \arg f(z\^\arg cos 0| = 0. 625. a) z - 0; w' = 3z ; б) в точках г, не являющихся нулями функции sin г, т. е. z* (kn7 0) (k = 0, ±1, +2, ...); в) г Ф -1. 626. а) Является; б) не является; в) является; г) является. 627. a) f(z) = z2 + 2z + Ci, где Ira С = 0; б) f(z)= = z\2 - i)/2 + + Ci, где Ira С = 0; в) f(z) = u + iv = (C - zln z)i, где v = гц> sin q> - - rlncos ф + C, Im С = 0 и In z = In r + icp. 629. w = С arctg M. +C,. л«л U^-Ш W.-UX 2-2. 2L-2. box). --!■ : —^—-1 =—-L ; _•*—n, где2р22,23иц>р ш2, w3 w-w2 щ-щ 2-z2 z,-z, — любые тройки действительных чисел, идущих в возрастающем порядке. 632. w = z\ 633. a)w = е; б) w = e2z. 635. w = (l+ i)(l - г). 636. w = Щр±. 10—2 637. Подынтегральную функцию можно записать в виде 1 + i ~ 2z = (1 - 2х) + »(1 + 2у). a) 2(i - 1); б) -2 + - i; в) -2. 638.2. 639. 1 +ch л -тс(1 + i)sh я. Указание. Функция w = zch z аналитична на всей плоскости, поэтому можно интегрировать по любому пути, соединяющему точки 0 итс(1 + i). Воспользоваться формулами ch iz - cos z, sh iz = i sin г. 640. a) 7 + Ш; 6) -i/e. 641. a) / = 0, так как подынтегральная функция аналитична в круге \z - 2|< 1; б) / = —i; в) I - —е . о о 642. a) 2ni; б) 2ni(- e~l). Указание. [... = J... + [..., где С С, Сг С[ иС2— контуры, описанные вокруг особых точек z--\ и z = 0, целиком лежащие внутри контура С и не пересекающиеся между собой. 644.-|?. 648. со. 645. со. 649. 1. 646.0. 650. 1. 647. со. 651. 1. 308 652. £(- 1)" (п + \)гп (|г| <1). Указание. Продифферен- о цировать разложение 653. \ £ [(-1)" * ' - г'" "'] г" (|г| < 1). У к а з а н и е . Сначала "5 о разложить функцию на простейшие дроби. 655.-1 + |(2-3)-|(г-3)2+... (|z-3|<§). 656. а) |г| > 2; б) |г + 1| > 1/4. 657.a)-|l(fT+|:^=|;(i-2-"-V;6)-S^-SA; B)±(2n-l)z-"-\ о = Zb^-Sr^- 1)"(0<|2- 1|< 2). Указание. Можно вос- п = -2 2 пользоваться формулой для коэффициентов ряда Лорана <, = hU&-, dz 2ni J'v '(a-l)-4' где у — любая окружность с центром в точке z0 = 1, лежащая в кольце 0 < \г - 1|< 2. Функция /(г) = 1/(г2 - I)2 аналитична в этом кольце. Можно также использовать метод разложения f(z) на простейшие дроби: Л2)"^_1)а "4U-1 г + lJ ~ _ 1 1 4(z-lf 4(2-1) 4(2 + 1) Цг + lf При разложении функций —— и -—~~т по степеням (г - 1) мож- 2+1 (2+1) но использовать прием задачи 654. 660. z3 + zl + г + — + J_ + ... (Ы > 0). 2! 3! 4!z ч ' ' 309
661. а) Устранимая особая точка; б) полюс четвертого порядка: в) существенно особая точка. 662. а) г = 0 — устранимая особая точка, г = оо — существенно особая точка; б) z = 0 — существенно особая точка, 2 = оо — устранимая особая точка; в) г = 0 — существенно особая точка, г = оо — устранимая особая точка: г) гп- I n+-~ \ni — простые полюсы (л= 0, ±1, ±2, ...). Указание. Числа гп являются нулями функции w = ch г. Функцию th 2 в окрестности гп можно представить в виде ,, ch(2-zj th 2 = и/ —г* , , Sh(2-2J (г-2„)— ■■ n/ z = oo — существенно особая точка, так как предел th 2 при г — оо не существует: при 2 = х th x -* 1,2— со; при г = iy th г = _ smy _ isiny = j tg i/ и при у -+ оо предел не существует. chii/ cost/ 665. а) Выч/(г) = 0, ВычДг) = О г=0 z-oa б)Вь1ч/(2)^-,ВычЯ2) = -^; в) Выч/(г) = -^, Выч/(2) = f^, Выч/(2) = ~jrl *=-1 54е 2=2 27 Г=0° 54е 27 г) Выч/(г)= 1/2, Выч/(г) = - 1/2. Здесь мы воспользова- лись основной теоремой о вычетах. Разложение функции (г - 2) ехр(1/(г - 2)) по степеням г — довольно громоздкая задача. о 667. а) —та; б) ni; в) -ni/J2; г) тп. 669. а) к /л/2 ; б) л/ob (а + Ь); в) 2я/3; г) 1'3'5"^?l~1^ n = 2 ■ 4 • 6... 2 л _ я(2п)1 -.2» 2s" (ni) 670. а) ке~а/2; б) 0. Указание. Рассмотреть функцию г . (г +1) 671./=Л(1-0. 2а 310 ГЛАВА 12 673. а) -^ ; б) 3 р - 2 ' ' р' + 9 674. Нет, так как ф(р) — периодическая. 675.а)А + 1:б)2.^3— + ^-. р р р +9 р + 2 676. Не является, так как порядок роста функции exp (t ) выше любой показательной функции exp (s0t) (при любом постоянном s0) при t —- оо. /2 2 2\ р{р +пг +п J 677. /2 2 2\z . 2 2 (р + m + л I -4m л 67S.a)F(p) = ~f^.;6)F(p) = f>16^24 Указа. p(p +36) p(p + 4)(p +16) н и e . f(t) = cos4 t, ДО) = 1, F(p) = f(t); f(t) = - 4 cos3 * sin * = - 2 cos2* sin 2t = - (1 + cos 2t) sin 2i = = - sin 2t - — sin At; 2 Kf p2 + A 2/ + 16 679. a) 3elz6£ p+1 it COS* ;б) 6p (p-9) 680. a) —$-j; 6) |f—^ (см. задачу 679). (p-9) (*+1) 68!. a) ln_Z_. 6) Iinj£±i. B) IlnZ±i. p-l 2 p 2 p-1 682. a) sin t = -J—, e3' sin t = —г—; сч 20>-1)2-6(р-1) 2(р-1)(р-4) , ___. б) -*7— ' % = vi— У (см. задачу 679) [{p-lf + 1] (p-2p + 2) 683. а) Для функции f(t) = sin t - ar0(t) имеем /(f) = —g—> P +1 311
поэтому по теореме запаздывания sin (t - b) a0(t - b) = e —3— P +1 6) p-1 684. a) -jjllL; 6) * I±«Z p(l + e *J p +1 1-е p Указание (А+1)л L[|sin *|; p] = £ 1 e"1" Ип *| Л = " Art -<2A+1)* J e^'shud*- J e'p'sintdt (2*+2b J (a+i)ii = Z-^-7[^+ ,-(2А+1)ря _~2*ря , -2(*+1)рт , -p(2*+l)7t 0 P +l '+<? ~*"Ч-е + e~ p + 1L 0 1 -pkn 685. а) -Ц-Лт; б) 4-£- ~ P-I j» +l P p "I p(p -l) 686. /(*) = -- - -— + -- - ... 2!1! 4!3! 6!5! 687. fit) = -1 + —e + —cost sin£. Указание. Разло- 2 2 2 жить рациональную функцию F(p) на простейшие дроби и воспользоваться таблицей изображений. 688. а) ДО = - (е ' - e~zt); б) f(t) = t - sin t. J 690. a) e~2' sin t;G)~ + 2e"'sin t. 2 691. a) x(t) = (t + 1) e"f; 6) x(t) = (t - 1) sin t; в) *(*) = f + 5 + — e"'cos2< + — e~'sin2f. 5 5 312 692. a) x(t) = t arctg t - 7 In (1 + *2). Указание. Рассматриваем сначала задачу х" = 1, лг(0) = лг'(О) = 0. Ее решение xx{t) - t2/2. По формуле Дюамеля x(t)=j~-j(t~x)dx; о 1 + t б) 1/ = (sin х - х cos x)/2; в) у = е2х + 4 cos x - 2 sin x - 5. 694. a) x(t) = /, i/(0 = е'; б) *(*) = -Ц - 0 - -cos 2t + -sin 2f, 4 4 8 3 11 »m = — (l - t) + —cos It sin 2t - cos t, tfW 4 4 8 2(f) = cos £; ч , > 3 2j 1 -2i 1 - ч 3 2* 1 -2r 2 J в)у(;с)=—е + —e -e,z(;c) = ~ e e —e. 4 4 4 12 3 695. a)—e '"". Указание. 2a L[I{x), p] = Tje-'-cosxtdx)-^ = J_£_._«!L_ = 2 2'J a -p I 2 ,2 22 P +t a +t a -p —arctg—— arctg- P pa a = K P a~P __ JL 1 2 a - p ap 2a a + p Отсюда /(x) = ~ exp (-ал:). 2a 6) L [I(x); p] = J[ je^'sin** dx \c^dt = 0 vo ) t cost t_ COSt 1} p2 + t2 t costdt n -p ~~ e . о р +* 2p Согласно таблице изображений I(x) = — ст0 (л: -1), x & 1. Если 1 Tsinu x = 1, то 1(1) = IJ sinarff = l r ^Rdu = n 2 0 t 2 0 u 4 313
ПРИЛОЖЕНИЕ I ГЛАВА 1 700. Если 0 < а < 1/2, то решением неравенства являются любые действительные числа х. Если а > 1/2, то решением неравенства являются числа х е (-1/2, 1/2). 701. Q U / = R — множество всех действительных чисел: Q П J = 0; Q\I = Q. 702. Указание, л < 2П/2 при л > 4. Поэтому п2~п^ < 2~п/г < е при л >2 log2 -. е 704.1/4. 705. а) 1;б) 1/2. Указание. 1-Дг = (A~1)(fe + 1). /г А 707. Указание. "V^ — < ——гг (а^2). л n л(л—1) 709. Если а & 0, то lim —— = — = 1. Если а = 0, то предел последовательности <—^f может не существовать, если же он I*. J существует, то он принадлежит [-1, 1]. Рассмотреть примеры: ха = 1/л; хп = (-1)7»; ^=2+иг.Хп = дп(|д|<1)_ л 710. Предел может существовать, а может и не существовать: х„ = 1/п, у„ = (-1)7 *я=1/л, уя = (-1)яп. 314 713. а) -|а + 1, 6 + 1, а + —, & +—, а + —, & + —, ..1; 1 2 2 3 3 J б) {-I2, 2, -22, 3, -З2, .... -л2, л + 1, ...}; в) <1, 2, —, 3, —, ..., л, —, ...[■; г) множество всех рацио- 12 3 п ) нальных чисел, мы знаем, счетно. Далее, любое действительное число с является пределом последовательности рациональных чисел (с = Ит с ). Таким образом, искомая последовательность состоит из всех рациональных чисел {гп}. 714. а) Обозначим М, = lim хп, М2 = Ит уп, М = lim (хп + уп). Пусть подпоследовательность !хп +уп\ сходится и такова, что подпоследовательности \хп \ и \уп \ также сходятся и M=lim(*#+ig. Тогда М = lim хп + lim уПк < М, + М2. Теперь рассмотрим случай, когда подпоследовательности 1х\ и lyn \ расходящиеся. Выберем сходящуюся подпоследовательность из 1х\ и обозначим ее через \хп 1. Тогда, так как у нас последовательность \хп + уп\ сходится (к числу М), то подпоследовательность \уп 1 также будет сходящейся. Поэтому М = lim [хПк+уПк) = lim U +у\ = Um дц + lim у% < М, + М2. В качестве примера можно рассмотреть последовательности хп = (-1)", уп = (-1)" +1. В этом случае Mj = М2 = 1, М = 0. б) Доказательство проводится так же, как в случае а). 715. Е = (- оо, оо), £, = (0, 1). 716. Е = [-2, 2]; Я, =[0,2]. 717.£ = j|x|< J^; J-~ + 2kn < |дг| < J- + 2kn, ft = l, 2, ...1. 718. £ = [1, 3], £] = [- л/2, тг/2]. 315
719. £ + 2кк < х < — + 2kn k = О, ±1, ±2, ..Л, .3 3 J £г = (-oo, lg3]. 720. E = {p/(29 + 1), p, q — целые числа}, Ех = {±\). 721. £1= [0, 9]. 722. £, - [0, 6]. 723.£г = (1,6]. 724. £,=(0, 1/2]. 725.а)Л1) = 0,Л2) = -^,Дд:+1) = -5-;б)Л1) = 0,Л2) = -2, 3 д- + 2 /(л + 1) = -x -д:2; в) Д1) = 0, f{2) =l,f(x+l) = sin л х + 1 726. а) /(х) = х2 - 5х + 6; б) f(x) = Ах (1-*) 739. Равномерно непрерывна. 740. Не является равномерно непрерывной. 741. Равномерно непрерывна. 742. Не является равномерно непрерывной. 743. Равномерно непрерывна. 744. у' = *' (1~*/' \p-{q+i)x-(p + q- 1)хг] х*-1. (1 + х) 745. у' = -3 (cos х + sin Зх). 746. у' = gVnx-cosx) (x ^ 2feK> k __ целое)_ 2sin — 747. у' = -J 2а * (а * 0). 748. i/ = 1 (х > 0, х * 0). х +а xln"x 749. г/' - th3x. 750. у' = 1/ch 2х. 751. у' = Зх2 + 15. 752. у' = 6х2. 753.1/' = 12л:5. 755. а) п > 0; б) п > 1; в) п > 2. 756. Вообще нельзя (sin х < cos х при 0 < х < 7t/4, но (sin x)' > cos л*)'). 1 757. Ъ - 4ас = 0. Ь 758. а = 759.j/;=--ctgf (0<|*|<7C). а 2е 760. y'=~ctht (\t\>0). х а 761. 1. 766. у" = 762.1/6. 763.1/2. 764. е ■г/б 765. -1/3 х(3 + 2х2) (1 + х) 767. у'" -4 cos х + 6 cos х 316 768. у" = МЩ^Ш.. 769. </8) = _*L_. Л*) (1-х)9 770. у'" - 24x-^L. 771. y(i) = -4ех cos х. (1-4 772. dby = 120 dx\ 773. rfV = 8 sin x ■ sh x dxb. 774. d3j/ - 2[3 du d2u + u d3u]. 775. d у = —dii —jdud*u + —d^u. и и и 776. d2y = Г (x) dx2 + f (x) d2x. 777. f> = t^lnl^lMlM (ad _ bc * 0). (cx + d)n+i r . 778. yln) = nl x 779. fn) (a) = n\ ф(а). 782. Если функции имеют одинаковые производные, то они отличаются друг от друга на постоянную величину: Ух f(x) - g{x) - с. Значение постоянной с можно найти, придавая х значения, для которых функции f(x) и g(x) известны. Например, пусть х < 1. Полагая х - 0, получим /(0) - g(0) = с, arctg 1 - arctg 0 = с, 0 = с, с = —. 4 4 Итак, для х < 1 , 1 + х , к arctg arctg х = —. 1-х 4 Для установления связи между функциями Дх) и g(x) при х > 1 перейдем в равенстве /(х) - g(x) = с к пределу при я: —* +оо; arctg (-1) - arctg (+co) = с, =с,с- . 4 2 4 Итак, для х > 1 . 1 + х , Зя arctg arctg x = . 1-х 4 784.shx=Y-^- . 785.chx= Y-^-. h (2k+1)1 h(2k)i 317
786. |jc| < 0,39. Указание. Необходимо оценить остаточный член формулы Тейлора для функции у = cos x при п- 4. 787. а) 1/2; б) 19/90. 788. При |jc| < 1 функция возрастает; при |л:| > 1 функция убывает. 789. При \х\ < 1/Ь функция возрастает; при |л:| > 1/Ь функция убывает. 790. При |jc| < a/b функция возрастает; при \х\ > а/Ь функция убывает. 791. Если а > 0 и Ь2 < 8а, то функция всюду возрастает. Если а - 0, то при х>-1/Ь функция возрастает, а при х<-1/Ь — убывает. Если а > 0 и Ь2 > 8а, то при -£-Vb2-8a -Ь + у1ъ2-8а < х < 4а ,, 4а функция убывает, а при -Ь~у1ъг-8а ^ -Ъ+т1ъ*-8а X < И X > 4а . 4а возрастает. Если а < 0, то Ъ > 8а, и в этом случае при -b + vb2-8a -b-vb2-8a < х < 4a 4a функция возрастает, а при -b+Vb2-8a -b-Vb2-8a х < и х > 4a 4a убывает. 792. х = 0 — точка перегиба; на (-со, 0) кривая направлена выпуклостью вниз, а на (0, со) — вверх. 793. х - -2/Ь — точка перегиба; на (-со, -2/Ь) кривая направлена выпуклостью вверх, а на (-2/Ь, со) — вниз. 794. При х = 1/(аЬ) — минимум, y(l/(ab)) = 2а/Ь; при х = -1/(аЬ) — максимум, y(-l/(ab)) = -2а/Ъ. 795. При х = 1/Ь — максимум, у(1/Ь) = 1/(2Ь); при х = = -1/Ь — минимум, у(-1/Ь) = -1/(2Ь). 796. При х = а, х= — минимум, у(а) = 0, 5 За + 2гЛ 108 , ,j> (а-b) . 5 ) 3125 797. у(± 2) = 0; при х = 0 — максимум, у(0) = 4;х = ±l/V3 — точки перегиба, y(±l/>/3 ) = 11/4; у = — 1 — горизонтальная асим- 318 птота; на (-со, 0) функция возрастает, а на (0, оо) — убывает; на (-]/-ч/з~, 1Д/з~) график выпуклый кверху, а на (-£», -l/V3~), (l/л/З, оо) — выпуклый книзу. 798. Если 0 < а < 1/4, то х = — точка перегиба, 1-а а Л 2d /т\ _ l-Jl-4a \1-а) ~ 1~2а€ ' ПРИ ** 9 _ максимУм» а ПРИ х2 = — — минимум; на (-со, 0) функция возрастает и выпукла кверху; на 0, -—— кривая выпукла кверху, а на V 1—2а/ , оо — выпукла книзу; на (0, хг) функция возрастает, на (jCj, x2) — убывает, на (х2, оо) — возрастает; прямая у = х+1-а является наклонной асимптотой, если а 5* 1/4, то функция возрастает на (-со, 0) и (0,оо); х - -—- — точка перегиба; на (0, oo)f 1-a 10, кривая выпукла кверху, а на I , оо — выпукла V l-2a/ Vl-2a ) книзу, х~0, у = х+ 1 ~а — асимптоты; у(0 + 0) = -со, y(Q - 0) = 0. ГЛАВА 2 799. Iln \ax + Ь|. 800. ^JalTb. а а ах-Ь\ ax+b\ 801. —arctg-*. 802.-J-ln ab b 2ab 803. -arcsin-x. 804. -ln|ax+VaV-b2|. a b a I I 805. -Arsh-*. S06.-€x~-e"2x. a b 2 1 x2-l 807.-^arctg^-^. У к a з a н и е . Разделить числитель и v2 xv2 знаменатель на дг и сделать замену и = х , I х + —j \dx = dlx—I. 319
808. 810. 811. 813. 814. 816. 817. 1 , X —ЛС-ч/2 —1 , олгг\ In — f=— (см. задачу 807), 2 л/2 '"x2 + xJ2+l ?{ах + 26). Указание. х= (ах + b) — 15а а а a:_sin2* 2 4 812. -+- 2 3 1 . 0 1 . . 8 4 32 — х+—sh2x+—sh4;c. 8 4 32 х2 ch x - 2* sh jc + 2 ch jc. arcsinx In +VT7 818. x (arcsin xf + 2 VI-л;2 arcsin л: - 2x. 819. 821. 822. 823. 826. 829. 831. 833. Лзх*-6*£ + б|. 820. -iz* V^ L J 3(1-*)2 1 л о ч £ й 11 . 1-2д: -~[1-2х)\1 + х-х arcsm -- —. 4 8 л/5 —т & , . + —p-arctg-^-. 4(2 + tg x) 4/2 J2 16/3. 824.0. -1 + sin x. л/4. 1 fc ——-Jq>(x)dx. 71/4- 1 825. *+^ 4 2 828. 1/2. 830.-^- 1 + р 832.1/2. 834. (P*-l). 835. 837. Сходится при а>-2,р>1+а It + а (а-1)а 836. Сходится при 2Р + а > 1. ГЛАВА 3 838. (а - с){аЪ + Ьс - аЬ2с -1). 839. а (г - x)(z - у) (у- х). 840. ab. 841. а&сс? + bed + acd + abef + abc. 842. 2(х3 + у3). су г\ 844. л; = 0, х , а Ф -1; если а = -1, то я = 0 — един- 1 + а ственный корень уравнения, 845. х = а, (/=1,2 =-1. 846.х=1,у = -1, г = -1, f = 1. 2 5 847. дс = 5 — -— 2, v = 1 +—2, 2 — любое. 11 у 11 848.2=1, у = -l,z=2. 849. Ранг А = 4, если бе - ccf ^ ^ 0; ранг А = 2, если be-cd- 0. (8 12 7' 850. АВ= 2 1 1 .8 7 6, ГЛАВА 4 853. х + у > 1. 854. 2Лтг < х2 + у2 < (2k + 1)7г, А — целое. 855. у > -х (часть плоскости, находящаяся вне параболы у2 = -х). 2 2 2 856. -у + ~ + — > 1 (внешность трехосного эллипсоида). 857. х + у -с — окружности радиусом 4с (с>0) при с = О — начало координат; при с < 0 — мнимые окружности, что означает, что плоскость 2 = с не пересекает графика функции (ее поверхности). 321
858. x2 + 2y2 = 1/c — эллипсы (с > 0) с полуосями a = JlJc, Ъ = л1Щ2с). 859. у = с + 2х — параболы (V с) с осью симметрии Оу и вершинами в точках (0, с). Ветви параболы направлены вверх. 860. р = -V(4-l)4(3-7)2 = 5. 861. HmM*=M° = (l,e). *-» 862. Если xQ = 0, то в точке (0, 0) существует обычный предел (по всей плоскости, из которой выброшена точка (0, 0)) функции, равный единице: \f(x, у) - 1| = |1 - 1| = 0 < £, для у > 0 и V £ > 0; \f{x, у) - 1| = |1 + х + у - 1| = \х + у\< \х\ + \у\ < 2jx+y < £ V(x, у), у < 0, при V*2 + У2 < 5 = £/2. Если х0 ^ 0, то предел функции / (х, у) не существует при рассмотрении всех точек из окрестности точки (х0, 0). Однако очевидно, что f(x, у) имеет предел по множеству £ = {(х, у), у > 0} в каждой точке (х0, 0), х0 ^ 0, и этот предел равен 1. Если рассматривать множество Ех = {(х, у), у ^ 0}, то функция Дл:, у) имеет предел по Ех в точках (хь, 0), равный 1 + х0. Более того, f(x, у) непрерывна в точках (xQ, 0) по множеству Ех. 863. тс/2 ^ ф< Зтс/2. 864. Е = R2 \{{х = 0} + {у - 0}}, т. е. множество £ есть плоскость, из которой выброшены оси координат. Соответствующий предел равен единице. 865. Будет равномерно непрерывной. /I ГТ~ 2 ГТ~1 Т\\ ^ \х,-у.\-(\х,\ + \у1\) + \х-у.,\(\хА + \у„\) \\у1х1 +х2 ~vyi +у* \) < 2 ; i% ' < Jxt+xl+ily** у; < \хг - yj + |*2 - у2\ < 2,]\xl-ylf + \x.i-y,\2 = = 2р(х, у), х = («j, х2), у = (У!, У2). 866. и'х = З*2 - 6ху\ и'у = Зу2 -6дЛ/; и" = 6* - 6у\ и" = бу - 6*Л и" = -12ху = и" . х у ХУ У* 867. и'х = sin (х + у2) + х cos (x + у2), и'у= 2ху cos (х + у2), 2 cos (х + у2) - х sin (x + у2), и fl и. ц" = и" - 2у cos (л: + yd) - 2ху sin (x + у*). = 2х cos (х + у2) - 4ху2 sin (x + у2), 322 889. Не существует. 870. Рассмотреть функцию F(t) = f(tx, ty, tz) и показать, что она постоянна. 871. du-ydx + (x+ 2y)dy, d2u = 2dx dy + 2dy2. 872. du - (y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz, d u= 2{dx dy) + dx dz + dy dz). —^[(y dx-x dyf + (z dy-y dzf + (z dx- 873. d2u = (*2 + y2+22)' - x dz)% 874. 3x + 4y + 12z = 169 — уравнение касательной плоскости; x-3 y-4 2-12 ; = ^ = уравнение нормали. x-xn 875. axxQ + byyQ + czz0 =1 — касательная плоскость ax( ,JL — нормаль. 4 'о "и 876. Все сомножители равны между собой. 877.x=j2p~, y = z = *J£. 878. Куб. 879. V = xyz = 2, z = 2, д: = у = 1 (рис. 106). 880, V= хуг =9, л: = /- , у = J&, г = 3. 881. х = £, у = |р, V= ^-тф3 (рис. 107). ,2 2 26 2D62/ ! „ОЛ & =—р, а =—, у =-с- д: (рис.108). 3 р 3 р Ук У\ =&-а*х Рис. 106 Рис. 107 Рис. 108 323
884. a = 21, Ь = -10 -7^7, Д^^ 7>/7 - 10. 887.3. Указание. -S = S- -S = - + (4-Л| + 2 " 2 л 2 V2" 2 (Ъ Ъ\ (2п-\ 2п-$\ 2п-1 1 (1 1 ^ 1 _ 2га-1 2Л+' отсюда о 1 м 1 1 "I 2га-1 1 i"2'"" З^"1 S = 1 + 1+-+... + -Г7Г -Т— = 1 + 2 """' 2""; 2" !_1 2" 2 888. Указание. \<—-— (га > 2). га га(га-1) 889. Указание. ~^±^<- (га > 5). 2га-1 3 891. Применить интегральный признак. 898. 1 - х2 + — - — + ... (|зс| < оо). 2! 3! 899. 1 + х2 + ?- + — + ... (|х| < оо). 2! 3! 900. а) 1 - ■—- + —--... (|х| < оо); б) 1 + Iy(_i)"(^L (Ы< оо). Указание, cos2 л: = -[1 + 2Й (2га)! 2 + cos 2л:]; в) £*" (|*| < 1). ГЛАВА 6 901. а) у'х = 2у; б) ху'= пу. 902. ху' = у + (га - 1)х" 903. ai/2 - л;2 - 2а*до'. 904. у = 2х. 905. ху = 8. 906. у = 4ех 2. 324 907. и2 = — "2"29х . 908. у = —^ 2х У 1-Зх2 909. i/2 = 1 1 + сх 910.1/ +(x~aj -а — окружность радиусом о с центром в точке (а, 0). Указание. Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение, решением которого является искомая кривая у - f(x). Как нам известно, уравнение касательной к кривой в точке (х, f (x)) имеет вид Y~f(x) = f(x)(X-x). Приводя это уравнение к нормальному виду, получим, что расстояние от начала координат до этой касательной будет d=\f(x)-f"(x)x\ Согласно условию задачи это расстояние должно равняться |дс|. Поэтому получаем у- ху' = ±xjl + y'* — искомое дифференциальное уравнение. Возводя в квадрат обе части уравнения, будем иметь 2ху dy - {у2 - х2) dx. Кроме того, по условию задачи кривая у — f(x) проходит через точку А(а, а), т. е. у(а) = а. Решая однородное дифференциальное уравнение 2ху dy = - (у - х ) dx при начальном условии у(а) = а, мы и получим ответ, который приведен выше. 911.^ =0,472, х2= 9,999. Итерационная последовательность метода Ньютона определяется равенством *п., = *п-7тЦ (* = 1.2,...). Оценка погрешности — на основании неравенств (9), (10) из учебника [3], § 1.5. 912. х = -0,56715. Замечание. Единственный корень функции находится на [-1, 0]. 325
F{x) = x-№-=x-^Y; f'(x) (l + e'Y П*)=£^.тах*'(*)Л. (l + e) l***a 4 913. у = сге x + сгё~ x + c3 cos x + c4 sin x. 914. у = cxex + (c2x + c3)e2jc. 1 -* 3 X 915. у =—e +—e . У к а з а н и е . Из условий задачи ясно, что у(0) - 1, у'(0) - 2. Это начальные условия. 916.у = с1е-х + с2ех+-ех. 917. у = (с, + -ас1е~* + (с2х + с3) ех. 918. у = (с, + х)е2х + (с2 - х)е~3\ 919. у = (^ cos2ac + с2 + —In sin 2a: sin 2a:. 920. у = сх cos д; + с2 sin л: - cos ас ■ In tg I — + — I. 921. ас = сге + c2e , у - —— = cxe - 3c2e . dt 922. x = (1 - 2f)e~2(, z/ = (1 + 2t)e2t. ГЛАВА 7 924. F{y) имеет разрыв при у = 0. 925. Функция Дас) =jf(t)dt является непрерывной и дифференцируемой (F'(x) = f(x)). Далее, !}[/(* + h) - f(t)]dt = 1[*Гд*)Л-ад = - [F(x + h)- F{a + h) - F(x)]. h 326 Так как F(a) = 0, то последнее отношение представляет собой неопределенность вида I — I ■ Применяя правило Лопиталя, получаем limlj[/(f + h) - f(t)]dt = limnx+h)-na + h)-F(x) = = НтУ(х + /1)-/(аи) = \im[f(x + h)-f(a + h)] = f(x) - f(a). 929.1/21. 930.128. 931.—a6. 48 932. — abc (см. задачу 503). 933. - p2. 4 3 9M.V=]dybx2 + y2)dx = -~. 935.*0 = ^, % = ?a. о -л 1иэ 2 о ГЛАВА 8 936. 2tcV (1 + 2n2). 937. ^[(ch 2*0)3/2 - 1]. 6 938. n(l+a2). 940. л/3. 941. а) 0; б) 8/3. 942. 10. n+A 943.1/2. 944. jf(t)dt. о 945. ^V-l. 2 947. a) grad U = -; 6) grad 17 = /"V)-^, где r = (*, г/, г). 948. grad U (A) = (4a - d,2b - 2d) = (4a - d)i + 2(b - d)y, |grad U(A)\ = V(4a-d)2 + 4(b-d)2; grad 17 = 0 в точке (0, 0), если d * 4ab; grad 17 = 0 на прямой у = J—x, если d2 = 4a&. Градиент //у U перпендикулярен оси Оу в точках прямой у = —. 2Ь 950. 2/г. 952. rot г = 0; rot re = ^^. г 327
953. a) He имеет, rot a ^ 0; U ~ xy + xz + yz + c. 954. a) He является; б) является при b = с. 955. x2 + 2xy + Зу2 = с. 956. — + 2х2 + ху2 = с. О 957. ху + xz + 2уг = с. 958. -2паЬ V с, d. 959. n(d - с) аЪ. 960. 0. У к а з а н и е . J [у2 dx + (1 + 2xi/)dz/] = 0. ГЛАВА 9 962. *(а - ft) - 1(а-Ь)±^^^- + (e + ft)f (-l)"*1 *™*. 4 я о 2&+1 ] а 963.1—cosx + 2£ ^-^—cosnx. 2 л=а п -1 964. |sin дг| = £—2 • Полагая х = О, получаем я я 1 4& -1 л 2 4v_L_ 1^1 я nV4tf-l """ 2 Й(2А-1)(2А + 1) 965. |cos х| = - + -£ ^—cos2fex. я я 1 4А; -1 966.4/3. 967. V46/15. 968. Сходится в смысле среднеквадратического к нулю и сходится неравномерно к нулю (см. задачу 393, г)). 970. а) ф(зс) = е~х(х > 0); б) <р(х) = ~ехр (-х2/4) (\х\ < оо). я ГЛАВА 10 972. и(х, t) = 2cos\22tX2(x) + 3cosX*3tX3(x). 973. и(х, t) = 2af,(-lflexp(-nt)?~^ (см. задачу 962). 328 ГЛАВА 1 1 974. a) Re г = 12, Im г = 5; б) Re г - ас - brf, Im z = = be + ad; в) Re z = a3 - 3ab, Im z = 3a2ft - ft3; r) Re г = 8/5, Im z = -1/5. 975. а) Открытый круг радиусом 3 с центром в начале координат; б) открытый круг на плоскости хОу с центром в точке (0, 1) и радиусом 1; в) открытая четвертая часть круга радиусом 3 с центром в точке (0, 0), находящаяся во второй четверти; г) окружность радиусом 3 с центром в начале координат; д)за- мкнутое кольцо, находящееся между концентрическими окружностями радиусами 2 и 3 с центром в точке (0, 1). 976. a) In 2 + ni; 6)lnV2+-i; 4 в) In ^х* + уг + i arg z = lnyx2 + y + /arctg — {z - x + iy). x . ПХ . 71 + 1 sin — sin x 977. a) sin 6) Sin П + — \X a (n+l)*< iLJ . Указание, ^е =■ 2 sin *=i 1 Выделить действительную и мнимые части, использовать формулу Эйлера ех1 - cos х + i sin x; , sin2nx . sin nx B) ;Г)^_ 2sinx sin* sin nx (cos nx + i sin nx) sin* Указание. £е (2n+l)jt< xl (2* i)*/ e -e г , 0 -г/2 -ч/З e +2e cos—z 980. S(z) = - 3 982.S(x)4 + ^^~5"JC • sinx, S^ac) =sinxf~-log2sin-j. U 2) i '(f-cosxjff -t)dt 983. S(x) = -1- P K { p-a J l-2fcosx + f 0 / ч sinx r 5i(*)=«—J 7 (f"-fP)^ -2fcosx + f 329
Отметим, что при целых неотрицательных а, В данные интегралы могут быть вычислены в элементарных функциях, как интегралы от рациональной функции. ГЛАВА 12 {р2 + а2)\р* + 2ргЬ2 + 2а Ъ2 + а + Ь4 - 2рга\ 987. L[f; р] = £ >f- - =-i--l [p\(a' + b')\2p\b'-a')J j2T * j 2 2 л 2.2 n 2.2 4 -Л b Ip + 4p a + 2p 6 + 2a Ь +a +61 [/ + (а2 + 62)2 + 2У(Ьг-аг)]2 в частности, если a = В, то ВДр]=/(р4-2а4)/[р4 + 4а4]2. 089.± In V4- 990.у(*) = Ц\-еах). 2 р +b a 992. у{х) = е~*[А cos x + (А + B)sin x]. 994. у(х) сххг + с2х + с3 + с4е~х + — (cos х - sin х). 997. S = 7i2/6, S, = я2/12 (см. задачу 984). 998. S = я4/90, S = — я4 (см. задачу 985). 720 nnn ,v 3 2i 1 -2i jc/ч 3it 1 -2x 2 i 999. u(x) = ™e +-e -е,г(д:) = -е e e, 4 4 4 12 3 1000. у = Ax + 2 - 2cos x - 3sin x, z = 2 sin x - 2x. 1001. y= — + — соэдгл/б , 5 5 2 2 с- 2 . /f г = cos* V5 ;= sin* V5 , 5 5 V5 ,22 /E" 2 • /к f = cos*v5 + -=sinjcV5 . 5 5 л/5 1002. у - - cos jc sh л: + sin x ch #, 2 г = — sin x ch x - cos x sh x. 2 330 Приложение II 1003. Ограничена. 1004. Неограничена. 1005. Ограничена. 1006. Ограничена. 1007.1;!. 1008. N=ltN = 2,N=50,N=5000. 1009. Сходится. 1010. Расходится. 1011. Расходится. 1012. Сходится. 1013. 1. 1014. 0. 1015. 1. 1016. 0. 1017. е. 1018. 4. 1019. л/а". 1020. Др±. 1021. а) да, б) нет. 1022. Да. 1023. Нет. 1024. Да. 1025. Нет. 1026. 2; 0; 2; 0. 1027. ^; -^; 2л/3 ; -V3 . 1028. а) 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,... б) 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,.... 1029. (| + 2*n;^ + 2ici»),#i6Z. 1030. [тот--|;л + |], л е Z. 1031. [л/6; +оо). Ю32. {0; тг}. 1033. а) 0, б) g, в) Д г) 0. 1034. 1+*+^ , * е [-1; 1]. 1035. п + arctg In х, х е [е*2; е* 3]. 1036. 105л. 1037. п. 1038. Непериодическая. 1039. Каждое рациональное число является периодом, наименьший период не существует. 1040. 5050. 1041. 3. 1042. Ц-. 4 1043. -jig. 1044. 2. 1045. Щ. 1046. е'. 1047. -2. 1048. а)1;-1;б)3;2. 1049. а = 2; В = \. г 4 331
1050. а) 1;-1;б)е; К 1051. х = 0, устранимый разрыв. 1052. х = 0 — точка разрываII рода; х - 1 — точка разрыва I рода. 1053. х = 1 — точка разрыва I рода. 1054. х Ф 0 — точки разрыва II рода. 1055. Непрерывна в каждой иррациональной точке, разрывна в каждой рациональной, точки разрыва II рода. 1059. -гтг^г—г-7". 1*1 < 1. * * 0. 2V1 - х arcsin х 1060. зс*(1 + In х\ х > 0. 1061. a) ~j~dx; б) 0. 1062. a)xI+I'(l + 21п х); 6)ex^(^- + lnxJ; B)(ln 2)22'x'(l +ln х). 1063. а) дифференцируема всюду; б) дифференцируема только в точке х = 0. 1064. а) x'Q/) = J^, 0< I/ < 1; б) х'&) = -г—»-, У > 1. 2у Vy -1 1065. -^ctg*. а 2 1066. а) ~, \х\ > а; б) 1 - Л=, 0 < ж < 4. а у *х 1067. l|dx. 1068. 14* - 13у +12 = 0, 13х + 14у -41=0. 1069. 0. 1070. -\dx2. 1071. |. 1072. -sin21 cos *. 1073. -\dx\ 4 1074. -Ы^Л1 (3(х - б)-"-1 + (х + 2р_1). 1075. (-1)и2(л - 2)! (х - п)(х - 1)Л л > 1. 5я~'(2л-3)" 2n*i 1076. * . }"(2п - Ъх) (1-5хр~, п>1. 1077. 2"~3((4x2 + 4x-n2+n)cos(2x+^) + 2n(2x+l)sin(2x + + -£-)), л > 2. 1078. 2nV*(l-2'cos(2x + ^Y). 1079. тг219. 332 1080. i/"(0)=0, л = 1, 2,4, г/"(0) = 1;при л >4 не существует. 1081. а) 'ШИ; 6)^ + sin'|. 1082. a)$ = -^;6K=|f$ = V2. 1088. I(-l)\lx*+o(xn). 1089. | + Z(3-^r)(x-3)*+o((x-3)"). Ю90. i + |M^_^ + 0(^. i* 4o*-2 1091. -2е< + 4е<(* + 2) + gt^|:^^_j (ж + 2)* + + (о(х + 2)"). 1092. In 2 - i~~(x + 3)" + о((х + 3)"). 1093. Z^(^J +<*(x-2?n). 1094- nty?£i+°^l095- l^w1^^^1)- 1096. |^(*+1)2Чо«*+1)2п+1). 1097. 0,765. 1098. 1. 1099. 0. 1100. f. 1101. 0. 1102. 0. 1103. ^. 1104. е"«. 1105. |. 1106. 2- 1Ю7. 1. 1108. |. 1109. -\. 1100. ;jk 1111. А 1112. (-оо; 0), (0; 1) — инт. убывания; (1; +оо) — инт. возрастания. 1113. (-оо; -50), (-50; 25) — инт. возрастания; (25; +оо) — инт. убывания. 32 1 1114. у(0) = 0, у(А)-— минимумы;у(-1) = максимум. 3 4 1115. у{\) = 0 — минимум, у(е2) - — — максимум. € 333
1116. у минимум. 1117. у\ g-J = —%f4 — максимум, уф) = у(2) = 0 — минимумы. 1118. у(0) = -27е — минимум, у(-1) = -64 — максимум, m = -125e, М = е5. 1119. (-оо; -6), (0; 6) — инт. выпуклости вниз; (-6; 0), (6; +оо) — инт. выпуклости вверх; точки перегиба: 0; -6; 6. 1120. Асимптоты: у - х + 1, х = 2. A j 4; — | — минимум, У 0 J/* ,у у •£f: ;2 ' :г В(1; 0) — перегиб (рис. 109). У* Рис.109 Рис.110 1121. Асимптоты: х = 2тгп, (/г е Z). А —; j= — минимум, В(к; 0) — перегиб, „ f 4ти 2 "I С -—■;—j= — максимум. Функция периодическая с периодом 2тг (рис. 110). 1122. Асимптота у - х + —. У 3 А(-1; 0) — перегиб с вертикальной касательной, ( 2 л/4^1 В —; — — максимум, I з г) О(0; 0) — угловой минимум, касательная вертикальна (рис. 111). 1123. Асимптоты: у = -х - 1 (х — -сю), у = х + 1 (х —■ +оо). 334 А(-2; 0) — угловой минимум, касательная вертикальна, В(-1; 1) — максимум, О(0; 0) — угловой минимум, касательная вертикальна (рис. 112). Рис. 111 1124. Асимптоты: у = х + 4; 9 5 х = —;у = — 2 2 A\-f,-2 Рис. 112 максимум, Б(-4; 2) — точка возврата, угловой коэффициент касательной -1. С I 0; — I — касательная вертикальна (рис. 113). .-9- А 2.' В / Рис. 113 335
1125. Асимптота у = х - 1; О(0; 0) — максимум; А (1 - In 2; In 2) — касательная вертикальна (рис. 114). Рис. 114 1126. 1128. ИЗО. 1131. 1133. 1134. 1135. 1136. 1137. 1138. 1139. ^Vl35 8 (1-х)-" (1-х)- 11 10 + с. -th3*-~ th5x + C. 3 5 asinbx-bcosbx In a +b x + 1 x-1 **-l) ax y-, e +C. + C. 1 1127. 2 In |*| + - + 4. x 1129. ^^1+C. 1132. iL_2 + c< x + 2 x-1 x + ln(x - 2x + 5) - 2 arctg + C. x 2 1 . хг + л/2х + 1 41 . xfL „ —-^m—,—== + —arctg 7 + C. 4V2 x-42x + \ 4 1-х Vx-' + C. 2x + 5x + 19 /I I 2 . . x-1 ^ vl+2x-x + 4 arcsin—;=- + C. 6 л/2 7/2 18 j/2 ,3/2 1/2 „и-" - — uJ/iS + 6u*" - 6ц,/г + С, где и = 1 + 3Vx . 7 5 - tg3x + 2tgx- — + С. 3 tgx 1140. 1141. F(x) = 1142. 2--. 2 1145. 7. 4 1150. 2a2. 1153. ;r2^^ 24 1156. 2 1n3. 7Г 2 4tgf-l arctg J=— +C. 2 - ex + C, x < 0, x>0. 1143. 200>/2. 1144. яа 1146. 2xVl+7 1151. 8a. 1154. n. 1157' TnT 1149. Зяа2. 1152. \ sh 3n. о 1155. Ц*. О 1158. Расходится. 1159. - 6 1160. 3a 1161. 1162. Сходится. 1166. a>l, 1163. Сходится. 1164. Расходится. 1167. a е (50; 100). 1168. Сходится условно, абсолютно расходится. 7 1169. Абсолютно сходится приа < 2, условно при 2 < а < —. о 1170. Может, например J x cos x dx. о 1171. Расходится. 1172. Сходится. 1173. Сходится. 1174. Сходится при a > —. 1175. Сходится. 1176. Сходится. 1177. Расходится. 1178. Расходится. 1179. а)д> 1;б)0<а < 1. 1180. а) а > 2; б) 1 < а < 2. {0, если х<1; — (х-1), если х>1. 2 1182. f(x) = 0, а) неравномерно, б) равномерно. 1183. f (х) = , равномерно. 1184. f (х) = 0, неравно- х мерно. 1185. f (х) = —, а) равномерно, б) неравномерно. 337
1186. f(x) = Q, неравномерно. 1187. Равномерно. 1188. а)Рав- номерно, б) неравномерно. 1189. а) Равномерно, б) неравномерно. 1190. а) Равномерно, б) неравномерно. 1191. Непрерывна. 1192. Да. 1193. Да. 1194. п. 1195. R - —, в концах интервала сходимости —; — — о V 3 3/ расходится. 1196. R - 1; (0; 2); при х = 0 сходится абсолютно при а > 1 и условно при 0 < а < 1; при х = 2 сходится абсолютно при а > 1 и расходится при а ^ 1. 1197. R = 4. 1198. R= 4=. 1199. Л = * V2' ""4У2- £jl2"+1 3"+V v!n-l 1201. i+ £(-!)• !_**•, л =«>. п-i (2rt)! 1202. an з)*+^ + i i:tf(2rt;1)!!- x4-3, л=л 7 3 £ГЗЛ (2п + 1Х2п)Н 1203. arctg2 + S^-^2"+1 л=о 2/t + l 1204. -ln(l - x2). 1205. 0,946.1206. a) 4^a; 6) 2". 1207. Только в пространстве DS2. 1208. а) да, б) нет, в) нет, г) да. г4с 1209. Окружность радиуса ~ ~ с центром в точке п+1 гГ",Н=\. 1-С ) \\-с\ если С > О, С * 1; ось i/, если С = 1; точка (1; 0), если С = 0; 0, если С < 0. 1210. 1) а) 0, б) не существует, в) 0; 2) а) не существует, б) не существует, в) 1; 3) а) 0, б) 0, в) не существует. 1211. а) е; б) тс. 1212. Все точки эллипсов х2 + 4у2 = 1, х2 + 4у2 = 2 и точка (0; 0); в точках эллипса х + 4у = 1 разрыв устранимый. 1213. а) да; б) нет. 1214. а) не дифференцируема, б) дифференцируема, dz(0, 0) = 0. 1215. a е (1; 4). 1216. a) -2dxdy; б) Sdxdy2; в) dx6 -15dx4dy2 + 1 bdx2dy* - dy6. 338 yzdx + zdy 2 (yzdx-xzdy) lZn. dz = — ,dz = T ~i . y(x + z) y(x + z) 1218. a) m = 0, 6) m = 1, в) т = 2. 1219. u = x + -xy + o(p2); r2 = - — xi/2(2 + fy)(l + 9y)1, 0 < 9 < 1. 2 16 1220. ц = Л+^-^+0(р2). 4 2 4 1221. B „, ln 2 + «je=a _ i^ _ &$. _ ^е=э + 2 6 8 12 x(u-2) . 4. + -^ '— + o(p ). 24 1222. Максимум u(l;3) = 9. 1223. Минимум и(2; 4) = -8. 1224. Два минимума u(±l; +2) = -4; два максимума u(±l; 2 a ±2) = 4; нестрогий экстремум и = О в точках эллипса — + -**- = 1, О 1 ^ минимум при яг/ > 0, максимум при ху < 0. 1225. Максимумы u(2nk; 0) = 2, & е Z. 1226. Минимуми[-; 1; 11 = 4; максимумы!--; -1; -ll=-4. 1 3 1227. Максимум ц(3; -1) = —. о 1228. Максимум и —; — = -2 In 2. 1229. Минимум и(-2; 2; -2) = -8; максимум и(2; -2; 2) = 8. 1230. Минимум и(-2; 1; 4)= 11; максимум и(2;-1; -4) = 59. 1231. Максимум и(4; -1) = -7; минимум и(-4; 1) = 9. 1232. 8; -216. I ж+1 II 2 1 1233. \dx\ fdy = jdyjfdx + jdyjfdx. и о оо 1 v-i 1234. j Hl-y J f(x,y)dx+ j f(x,y)dx > \ 7 V T 2 2 dy+ jdyj f(xty)dx. 1235. ття 1236. -(ch2jt-cos2y). 1" 2 1237. xy2. 1238. -6л2. 1239. ^jjp 339
1240. 16 1241. 26. 1242. 1243. 8r2. 1245. ~%abc\ 1244. x = y 128fl 105 л 2 (x\l -r) 2-х 0 2-х "\ 1246. |d* J cfzj /<fy + J dz\ fdy I V 0 ^ x{x-2) -z/дг 1247. In2 16 1248. — . Указание: перейти к сферическим координатам. 16л 1249. .Указание: перейти к цилиндрическим координатам. 1250. —. 24 1253. 2а2. 1256. -7«3- 4 1251. -Л70аэ 4 1252. а)1;б)—. ' 2 1254. а) -л, б) 0. 1255. 4а' О 1257. 34. 1258. 2л, если точка (0; 0) лежит внутри кривой; 0, если точка (0; 0) лежит вне кривой. 1259. ^. 1260. (V3-l)fln2+ nR 1261. 2лМп >/3 1+л!г+. 1262. 8л(2+л/2). 1264. 0. 1266. а) 128л, б) -48л, в) 56л 1263. ^(1 + 6л/3)р0. 15 1265. ~~R\ 1267. U 3J д4 1269. Г(г) + -/'(г). г 1268. а)--а3; б) 2л. 1270. а) 0; б) лЛ3. 340 1271. а) 2л; б) 2л. 1272. xyz(x + y + z) + C. 1273. |. О 1274. а) f-^-[r, с];б)2/(г)с + ^-^(с(г, г)- г(с, г)); г г в)-2(г, с). 197Ч 4ySin(2n-l)* 7 6 у sin(2/i-l)* 1275- *£ 2д-1 ■ 12?6- 2 + *£ 2л-1 ■ 1277. - + - cos 2*. 1278. ^ + 4£(-1)л^|^. 2 2 3 ti n п 8^sin(2n-lb: 1279. -. 1280. л^-^Г^- 1281. ^I^sin^. 1282. ^ £ -В)1е^, s(n) = ch л. п *=-«. 1 - ift 1283. 2хЫ^С-|-я2]зтЛл:. 1284. /> (4) = / (х), f(n-x) = -f (х). cosnx ^по« п-х 2 1285. -In 2 - JT^2^. 1287. n=l П 4 1288. —. 1289. 0. 90 1291. л ln^. 1292. ln£±l. 2 a + 1 1294. Сходится равномерно. 1295. а) Сходится неравномерно, б) сходится равномерно. 1296. Сходится неравномерно. 1297. arctg^1. 1298. ^ sign a. 1299. |еНа|. 1300. | sign ae^. 1301. —cV. 1302. -hA 2 2 2 1303. a) ^j=, б) -^. 1304. Ы^ 7 3V3 ' 3^08 2 V 2 + 1 л+Г 341
2 Tsinas Я о S 1306. ftx)=Z Jsins(x-J)-Sms(x~2) ^ 1305. f (x) = — J cos xs ds Я о S я „ s 1307. /(*)=!?sin**s+(P>rfs, Ф = arctgi . я о Vl + s2 s 2s-3 sin — 1308. /(*) = -J ^S-sin xsds Я о S 1309. Д-^-т. 1310. Л ^У^, a > 0. Vnl + s 7t"as 1311. 1313. 1315. 1317. 1319. 2 2 1_3s л/2я~5. V2*-SinaS" тШ&'. а) .22.—5_ б) 159 318 ./я" V2 ,3--W 1312. -L-sV 1314. r— cos as. V2tc 1316. ~^is. 1318. -л/2я~5". 42 29' 1320. |г| = -2 cos —, arg z = —• + 2nn, n e Ж. 5 6 10 1321. a) -(cos 230° + i sin 230°), я сч n 5я ( 4я . . 4я б)-2 cos— cos— + isin— 9 V 9 9 1322. -2199S - i21995V3 ; 21996(cos^ + isin^ 1323. а) Замкнутый круг радиуса 2 с центром в точке 8i б) Отрезок [-2; 2] действительной оси. в) Окружность радиуса 13 с центром в точке 2 = 0. 1324. 6 + 8», 6 + 17». 1325. ~ кв. ед. 1326. 1 + i; -1 - и 1327. 1; -1; 1 + Ц -1 - L 1328. V2~(cos| + isin-|l, V2~f оя . . эя cos )-isin— 6 6 342 V2(cos^-Hsm^l V2fco8i^ + iBin^l I 3 3 J \ 6 6 ) 1329. 1; 3; 2i; -2i. 1330. a + /3 i. 4 1331. P(2) = (2+1X2-V3 -0(2-^/3 +iXz + ^3 -iX2 + V3 +i)X X(2 - 20(2 + 2i) - (2 + IX22 - 2^3 2 + 4X22 + 2л/3 2 + 4Хг2 + 4). 1332. 3. 1333. 1. 1334. а) окружность \w - 1 - i\ = 1, б) прямая Re u> = --; и* и v 1 в) парабола и = l,w = u + iv;r) эллипс ■—+—=—-, ш= u + iu. 4 25 9 16 1335. а) |ш| < 1, б) область, заключенная между двумя вет- 2 2 1 вями гиперболы и - v = —. 1336. а) 2 = Ш, k g Z; б) 2 = - + 2fc7t + i In 3, fe e Z. 1337. а), б) дифференцируема только в точке 2 = 0. 1338. а) да; б) нет. а 1339. a) f = (1 - 2i)23; б) f = 2 ch 2; в) е2. 1340. a) C,(x2 + у2) + С2; б) С, arctg ^ + С2. 1341. a) f(z) = --%,(-) , И < 2; б) f (г) = f "It, |г| > 2; B)f(z) = -~,z*2. 2-2 1342. а),б)/(г) = ^+г + 22 + 1~-,0ф|<оо. 1343. а) да; б), в) нет. 1344. а)-- —;б)22. 2 2 10.. ,; v 2 ^ * 1 5 72 17 А (-1)* * 1345. f(x)=-T г +-+ —г + —г - — > *—г~г . ' v ' 3*£» б 12 24 6 £з 2 1346. пх)=±Ц££ + iС; и = ^• м =2- *=о 2 *=0 С 1347. г = ±i — полюсы 1-го порядка; г - оо — существенно особая точка. 343
1348. z = oo — полюс 1 -го порядка; z = 0 — существенно особая точка. 1349. г = О — полюс 2-го порядка; zk- 2kni (k = ±l, ±2, ±3,...) — полюсы 1-го порядка; 2 = со — точка накопления полюсов, неизолированная особая точка. 1350. zk -kn{k-±\, ±2, ±3,...) — полюсы 1-го порядка; 2 = 0 — устранимая особая точка; z = оо — неизолированная особая точка, точка накопления полюсов. 1351. zk = —, к — целое — существенно особые точки; (2k+\)n г = 0 — неизолированная особая точка, точка накопления существенно особых точек; z = оо — устранимая особая точка. 1352. z = 1 — существенно особая точка; zk = 2k-t I, кФО — полюсы 1-го порядка, если гк Ф (21 + 1) ; г{ = (2/ + 1) , / Ф О — устранимые особые точки; z -оо — неизолированная особая точка, точка накопления особых точек. iq«q \1 *cos3-sin3 1353. а)~; б)- — 9 э4 1354. a) -cos 1; б) cos 1. 1356. -е. 1358. 2ne2i. 1 1360. in 1362. ш. sh'l -1 1364. 1366. — е (cos 6 + 2 sin 6) 22 -icos3-sin3 sin3-3 в) £ irt-^-srtO. 1355. a) 0; б) не существует. 1357. 2Ш. 1359. 2m. 1361. 7ni. 1363. яе"3 (sin 1 -cos 1). "(4e~2 - e\ II 1365. 1367. Ve 1368. w = e 1369. a) w = e 2 + 24 , a g OH; 6) w = 2e" = 2 2-3 2 + 3, e ~i e+i a € 1370. а) уг + у'г = 1; б) (у - 2*)V + 1) = (2jT + 1)\ 1371. Q/ + *V + a: = 0. 1372. а) (Ce* -\)y^2,y = 0; 6) arctg у - arcsin x-C, x = ±1; 344 B)ctg 1373. 1374. 1376. 1377. — =jc + C, и = x + 2nn, n e Ж. 2 &)y(l +x)=l;6)x + 2y + 2 = 0. у = arctg ^^ + 2k. 1375. x2 + 2y2 = C. x Через 1575 лет. *"2 + "~2 =T 1378. x' + 2xy - у - Ax + 8j/ = C. 1379. 1 - л# = Cx3(2 + xy), xy + 2 = 0. 1380. t/ = ex(ln |xj+ C). 1381. x = y2 + Cy,y = 0. 1382. —j = С cos x - 3 sin x cos x, i/ = 0. У 1383. 1385. 1386. 1387. 1389. 1390. 1391. 1392. 1393. 1394. 1396. 1398. 1399. 2-y+Ce 1384. x£ = Ce* + 2y - =lnx+l. У y = x + e~*(c+je" dx) 3 о 2 2 4 n x + Зх у + у -С. 1388. x2 cos2 y + y2 = C. x + arctg — = C. i/ = ex~° + C,y = x+1— особое. у = —(x - С)2 С2, i/ = ~x — особое. у = Ce2x +-,j/ = ±2ex — особые. Уз , у = -х ± 2 — особые. 1395. х2/* + у2/3 = а2/3. у = С-3,х + СГ ху = ±а . у = - + С, In л: + С2. 1397. е* + ^ = (х + С2)2 у2 = — х3 + С,х + С9. 3 '2 I/ = х + — (х + С,)3 + С2, у = х + С. О 34
1400. y = C,e*' . 1401. x sin U -c) = C2. 1402. y= -x2J2x~-—. 5 5 1403. i/=l+tg2x, *e(-|;|). 1404. y=l-2)nx. 1405. у = (1 + cos x)e *2. 1406. у = ^l + \n(x + lf . 1407. i/ - C:ex + C2e2x. 1408. у = e~x(C, cos x + C2 sin л:). 1409. у = ex(Cx + C2x + C3x2). 1410. у = (Cj + C2x) cos x + (Ca + C4x) sin x. 1411. i/ = Ct + (C2 + C3x) cos x + (C4 + C5x) sin x. 1412. i/ - C^* + eC°STfc, cos sin 2^ + C3 sin sin 2^1 + + e C°^(c4 cos sin 2^ + C. sin sin *™L\. v 5 5 / 1413. С^ + С/'Ч-е4*. 1 2 5 1414. i/ = C^ * + C2e'2x + (x - 1) e\ 1415. у -Сг sin x + C2 cos я + —(sin x - x cos x). 4 # 1 1416. у = С, + C9 cos 2x + C- sin 2x + — + — sh 2x. 12 3 8 32 1/41-7 /-> a* i n „-Z* (x*2x\-2x 3sinx-cosx 1417. y-C,e +C9e h— e . 1 2 U 9j 2 1418. i/ = (Cj + C2x) cos л: + (C3 + C4x) sin л: + sin 2x - x -A. 1419. а) у'" + у" + у' + у = О, б) у = Cx cos л: + C2 sin x + C3e"x + + x - 1 + xe~x. 1420. у = (С, + C2x + In \x\)e~x. 1421. у = (Cj cos x + C2 sin x + (sin x) In |sin x|- x cos x)e~x. 1422. i/ = C^* + C2ex - -. 1423. у = ch x - x. 1лол 3 2-x lyioK sin2x xcos2x 1424. t/ = — x e . 1425. u = . 2 8 4 1426. i/ = cos x + 2 sin x + e x - 3ex + 2xex. 346 1427. у = 0, A, — любое; t/ = sin пх, если Я. = n , n — целое. 1428. x = C,e~' + C2e3', у = 2C,e~* - 2C./\ 1429. x = (Cj cos f + C2 sin t)e2tt у = ((С, + C2) cos * + (C2 - Cj) sin t)e . 1430. x = (Cl + 2C2t)e'\ y = (Cx+C2 + 2C2t)e~l. 1431. x = C/ + 2C2eil + Зе5', у = -C,e' + C2e4t + e5'. 1432. x = C^"' + 2C2e2' - cos t + 3 sin *, i/ = -Схё~1 + C2e2i + 2 cos t - sin t. 1433. x = Cj cos t + C2 sin £ + tg t, y = -C1 sin £ + C2 cos £ + 2. 1434. 1435. J/ У К*) -с, = сх 3 vl. о -2j + С, е + С, U ^ 2cosf 2sin*+cos£ ^ sin f- cos t J e + + C, ( 2s\nt Л sin(-2cosf - sin t - cos tj 1436. 1437. 1438. 1439. 1440. (x\ У UJ = Cx (°) 2 UJ e' + C2 r-n 2 UJ e"' + С ГхЛ У \z) (x~\ У = C, = CX о viy 0 ezt + C, 1 1 e' + C ef + C (x) У UJ = ct m -l uJ e-2' + c, 0 el + С У У2 J f-sint^ sin* у cos t 1441. x = 2 sin 2t + - sin 2f. 2 347
1442. x = e2t + 4 cos t - 2 sin t - 5. 1443. x = 2-el, у = 2- e\ г = 2e~l. 1444. у = x(C, + C2 In |*|+ C3 In2 |jc|). 1445. y = Cj + C2J\i\ + C3A/(7f, где t = 2x + 3. 1446. у = Сгх3 + С2х~2 - 2 In x + - . «5 1447. Линейно независимы, W (x) = 2e x. 1448. Линейно зависимы, W (x) - 0. 1449. Линейно независимы, W (x) = 0. 1450. y'" - 2y" + y'-2y = 0. 1451. у = Сгх + C2e2x. 1452. i/ = Cxx + C2 In x. 1453. y = C1x + c/-xln л: + 1 дг-1 1. 1454. у = Ct- + C2-^- + x + 2. д; or+l 1455. i/ = Cje^ + C2xe - - *V 1456. у = Cxx + Сгхех o;(sin x + cos x). 1457. i/ = Сгх + C2Jl + x2 -2-х arctg x. 1458. у = С, + C2x(ln л - 1) + x(ln2 ж - 2 In x + 2). 1459. Неустойчиво. 1460. Асимптотически устойчиво, если а < 0; устойчиво, но не асимптотически устойчиво, если а - 0; неустойчиво, если а > 0. 1461. Неустойчиво. 1462. Асимптотически устойчиво. 1463. Асимптотически устойчиво, если а < -0,5; устойчиво, если а = -0,5; неустойчиво, если а > -0,5. 1464. Неустойчивый узел. 1465. Устойчивый фокус. 1466. Центр. 1467. Седло. 1468. Неустойчива. 1469. Устойчива. 1470. Асимптотически устойчива. 1471. (1; 0) — неустойчивый фокус. 1472. (0; 0) — седло; (3; 3) — неустойчивый узел. 1473. (0; 0) — устойчивый фокус; (3; 0) — седло. 1474. (0; 0) — седло; (-1; 0) — устойчивый узел. 1475. Неустойчива, v = х2 + у2. 1476. Устойчива, v = 2х + у . 348 Оглавление Предисловие к третьему изданию 3 Глава 1. Введение в анализ 5 § 1. Действительные числа. Множества , 5 § 2. Предел последовательности 7 § 3. Функция. Предел функции 9 § 4. Производная , 11 Глава 2. Интегралы 23 § 1. Неопределенный интеграл 23 § 2. Определенный интеграл 27 § 3. Приложения определенного интеграла 29 § 4. Несобственные интегралы , 32 Глава 3. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 33 § 1. Определители и матрицы 33 § 2. Системы линейных уравнений 35 § 3. Векторы, 36 § 4. Деление отрезка в данном отношении 37 § 5. Прямая линия 37 § 6. Плоскость 38 § 7. Прямая в пространстве 39 § 8. Ориентация системы векторов. Векторное и смешанное произведение векторов 40 § 9. Зависимые и независимые системы векторов 46 § 10. Линейные операторы. Базис 46 §11. Линейные подпространства 51 § 12. Самосопряженные операторы. Квадратичные формы ... 53 § 13. Кривые второго порядка 54 § 14. Поверхности второго порядка 57 Глава 4. Функции многих переменных 62 § 1. Основные понятия 62 § 2. Предел функции. Непрерывность 64 § 3. Частные производные. Дифференциалы 66 § 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков 67 § 5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 68 § 6. Формула Тейлора 68 349
§ 7. Экстремумы 69 § 8. Неявные функции. Условный экстремум 69 Глава 5. Ряды 71 § 1. Числовые ряды 71 § 2. Функциональные ряды 74 § 3. Степенные ряды 75 Глава 6. Дифференциальные уравнения 76 § 1. Общие понятия 76 § 2. Уравнения первого порядка 76 § 3. Метрические пространства. Сжимающие операторы. Теорема существования решения 78 § 4. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения 80 § 5. Понижение порядка дифференциального уравнения .... 81 § 6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 82 § 7. Уравнение Эйлера. Уравнения с переменными коэффициентами 83 § 8. Метод вариации постоянных 84 § 9. Системы дифференциальных уравнений 85 § 10. Решение уравнений с помощью степенных рядов 85 § 11. Устойчивость по Ляпунову 87 Глава 7. Кратные интегралы 88 § 1. Интегралы, зависящие от параметра 88 § 2. Кратные интегралы 89 § 3. Замена переменных в кратном интеграле 90 § 4. Применение кратных интегралов 91 § 5. Несобственные интегралы 94 Глава 8. Векторный анализ 95 § 1. Криволинейные интегралы первого рода 95 § 2. Интеграл от вектора вдоль кривой 98 § 3. Потенциал. Ротор вектора 99 § 4. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах 100 § 5. Формула Грина 101 § 6. Интеграл по поверхности первого рода 102 § 7. Поток вектора через ориентированную поверхность {поверхностный интеграл второго рода) 104 § 8. Формула Гаусса—Остроградского 108 § 9. Формула Стокса 109 Глава 9. Ряды и интеграл Фурье 112 § 1. Тригонометрические ряды 112 § 2. Ряд Фурье 113 § 3. Ортогональные системы функций 114 § 4. Интеграл Фурье 117 Глава 10. Уравнения математической физики 118 Глава 11. Функции комплексного переменного 120 § 1. Общие понятия 120 § 2. Предел функции. Производная 122 § 3. Условия Коши—Римана. Гармонические функции .... 123 § 4. Простейшие конформные отображения 124 § 5. Интегрирование функций комплексного переменного 126 § 6. Формула Коши , 127 § 7. Ряды в комплексной области 129 § 8. Изолированные особые точки. Вычеты 131 § 9. Вычисление интегралов с помощью вычетов 133 Глава 12. Операционное исчисление 137 § 1. Изображения простейших функций 137 § 2. Отыскание оригинала по изображению 139 § 3. Приложения операционного исчисления 140 +Приложение II 187 Ответы 231
Яков Степанович Бугров Сергей Михайлович Никольский Высшая математика СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Художник Т. Неклюдова Корректоры: О. Милованова, Н. Пустовойтова Лицензия ЛР № 065194 от 02 июня 1997 г. Сдано в набор 04.12.97. Подписано в печать 12.12.97. Формат 84x108/32. Бум. офсетная. Гарнитура CG Times. Печать офсетная. Усл. п. л. 18,48. Тираж 5000 экз. Зак. № 973. Издательство «Феникс» 344007, г. Ростов-на-Дону, пер. Соборный, 17 Изготовлено с готовых диапозитивов в АПП «Джангар» 358000, г. Элиста, ул. Ленина, 245