СБОРНИК
ЗАДАЧ
и
УПРАЖНЕНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ОБЩИЙ КУРС
СБОРНИК
ЗАДАЧ
И
УПРАЖНЕНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ОБЩИЙ КУРС
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов
экономических специальностей высших учебных заведений
МИНСК
ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА»
1994
ББК 22.11я73
С23
УДК 51 (076.1) (075.8)
А в т о р ы: А. В. Кузнецов, Д. С. Кузнецова, Е. И. Шилкина,
И. В. Рыбалтовский, В. В. Косьянчук, В. Н. Аксень, Л. П. Мин-
ченкова, Н. Н. Яшина, А. Ф. Корзюк, А. И. Яблонский,
Л. Ф. Янчук
Рецензенты: кафедра менеджмента Латвийского государ-
ственного университета; д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Бухвалов
Сборник задач и упражнений по высшей матема-
С23 тике: Общий курс: Учеб. пособие/А. В. Кузнецов,
Д. С. Кузнецова, Е. И. Шилкина и др.— Мн.: Выш.
шк., 1994.— 284 с.: ил.
ISBN 5-339-00954-8.
Включает задачи по всем разделам высшей математики,
которые входят в программу общего курса высшей математики
для студентов экономических специальностей вузов. Содержание
задач и примеров отражает специфику экономической и произ-
водственно-плановой практики.
Для студентов экономических специальностей вузов, будет
полезно и экономистам-практикам.
5100000000— 041
Г_______________1 Q_ОД
С М304(03)-94
ББК 22.11я73
ISBN 5-339-00954-8
© Коллектив авторов, 1994
ПРЕДИСЛОВИЕ
В данный сборник включены задачи и упражнения по
всем разделам и темам общего курса дисциплины «Выс-
шая математика», изучаемой студентами общеэкономи-
ческих специальностей высших учебных заведений. Сбор-
ник составляет единый комплекс с учебником «Высшая
математика: Общий курс», подготовленным коллективом
авторов под редакцией профессора А. И. Яблонского.
Цель сборника — помочь изучающим дисциплину
осмыслить основы математической теории и приобрести
навыки в применении ее к решению различных приклад-
ных вопросов в экономике и планировании. Поэтому при
подборе примеров и задач основное внимание уделялось
не формально-математическим аспектам дисциплины
«Высшая математика», а ее прикладному содержанию.
При подготовке сборника авторы, исходили из того,
что наиболее эффективной формой обучения является
самостоятельная работа студентов под наблюдением и
контролем преподавателя. При систематизации материала
пособия авторы стремились сохранить достаточное коли-
чество упражнений для выработки навыков решения
типовых примеров и задач; задач, дополняющих лекцион-
ный курс и содействующих расширению математического
кругозора; простейших задач производственного и эконо-
мического содержания, развивающих навыки применения
математических знаний в практических ситуациях. Вместе
с тем авторы стремились составлять задачи так, чтобы
они не требовали большой затраты времени на вычисления.
Незначительная часть зддач имеет теоретический ха-
рактер.
В конце книги приводится список литературы, в кото-
рый вошли все источники, использованные авторами в
той или иной степени при составлении данного сборника.
В начале каждой главы сборника приводятся краткие
сведения из теории, носящие лишь справочный характер,
поскольку предполагается, что, прежде чем приступать
3
к решению задач, студент изучит необходимый теорети-
ческий материал по учебнику. Далее рассматривается
решение нескольких типовых примеров для иллюстрации
наиболее рациональных приемов и способов решения.
После разбора и анализа приводимых решений студент
самостоятельно решает по указанию преподавателя или
по своему выбору определенное количество примеров и
задач из данного сборника, достаточное для понимания
и усвоения соответствующей темы.
Материал сборника распределен следующим образом:
гл. 1—6 и 10 написали А. В. Кузнецов и Д. С. Кузнецова,
гл. 7 и 8 — Е. И. Шилкина, гл. 9 — И. В. Рыбалтовский,
гл. И — В. В. Косьянчук, гл. 12 — В. Н. Аксень, гл. 13—
Л. П. Минченкова, гл. 14 — Н. Н. Яшина, гл. 15 —
А. Ф. Корзюк, гл. 16 — А. И. Яблонский, гл. 17 —
А. Ф. Янчук.
Рукопись сборника обсуждалась на заседании ка-
федры высшей математики Белорусского государствен-
ного экономического университета, за что авторы весьма
благодарны сотрудникам кафедры. Авторы пособия вы-
ражают также глубокую благодарность рецензентам —
коллективу кафедры менеджмента Латвийского государ-
ственного университета, особенно ее заведующему доктору
экономических наук, профессору И. Л. Акуличу, и профес-
сору кафедры высшей математики Санкт-Петербургского
университета экономики и финансов доктору физико-ма-
тематических наук А. В. Бухвалову за ряд ценных советов
и замечаний, способствовавших улучшению содержания
книги.
Все отзывы и рекомендации по сборнику авторы при-
мут с благодарностью и просят направлять по адресу:
220048, Минск, проспект Машерова, И, издательство
«Вышэйшая школа».
Авторы
I.	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОСТЕЙШИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ
1.1.	Экономические задачи, сводящиеся
к системам линейных уравнений
Чтобы интерпретировать математически закономерности реальных
явлений (в том числе и в экономике), формируют соответствующие им
математические модели относительно одной или нескольких переменных.
Ни одна модель не может полностью отражать все многообразие дейст-
вительного мира и является лишь некоторым его приближением. Широ-
кое распространение в экономических исследованиях получили линейные
модели. Они нередко с достаточно высокой точностью соответствуют
описываемым ими явлениям. Почти все линейные модели сводятся к
системам алгебраических линейных уравнений или неравенств.
Уравнение относительно переменных Xi, х2, ...» хп называется ли-
нейным, если его можно записать в виде
fli*i + а2х2 + ... + апхп = Ь,	(1.1)
где а\, а2, ..., ап—произвольные вещественные числа, называемые
коэффициентами уравнения; b — произвольное вещественное число,
называемое свободным членом уравнения.
Упорядоченная совокупность п вещественных чисел (аь а2, ..., а„)
называется решением уравнения (1.1), если в результате подстановки
этих значений вместо соответствующих переменных уравнение обратит-
ся в арифметическое тождество.
Системой m линейных уравнений с п переменными называется
система
1X1 + 012*2 + ••• 4“ а 1 л*л = bi, Л
021*1 4-022*2 + ••• 4" а2л*л = b2, I
Omi*i + ат2х2 4- ... 4~ О/пп*л — Ь т, J
где at/, bi	/=1, о)—произвольные вещественные числа.
В частности, т может равняться п. Коэффициенты а,/ снабжены двумя
индексами: первый указывает номер уравнения, второй — номер пере-
менной.
Упорядоченная совокупность п вещественных чисел (ои, а2, ..., ап)
называется решением системы (1.2), если в результате подстановки
этих чисел вместо соответствующих переменных *ь х2, ..., хп каждое
уравнение системы обратится в арифметическое тождество.
Система (1.2) называется совместной или разрешимой, если она
имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной
или неразрешимой, если она не имеет решений. Совместная система
может иметь одно или более одного решения. Если система совместна,
то будем говорить, что система определенная, если она имеет единствен-
5
ное решение, и неопределенная, если она имеет более одного решения.
Неопределенная система имеет бесчисленное множество решений.
Пример 1.1. Из некоторого листового материала не-
обходимо выкроить 360 заготовок типа Л, 300 заготовок
типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять
три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых
из каждого листа при каждом способе раскроя, указано
в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Тип заготовки	Способ раскроя		
	1	2	3
А	3	2	1
Б	1	6	2
В	4	1	5
Записать в математической форме условия выполнения
задания.
Решение. Обозначим через Xi, х2, х3 количество
листов материала, раскраиваемых соответственно первым,
вторым и третьим способами. Тогда при первом способе
раскроя Xi листов будет получено 3xi заготовок типа Л,
при втором — 2х2, при третьем — 1х3. Для полного выпол-
нения задания по заготовкам типа А сумма 3xi +2х2 + х3
должна равняться 360, т. е.
3xi + 2х2 + х3 = 360.	(1.3)
Аналогично получаем уравнения
Xi + 6х2 + 2х3 = 300,	(1.4)
4xi + х2 + 5х3 = 675,	(1.5)
которым должны удовлетворять неизвестные хь х2 и х3
для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В.
Система линейных уравнений (1.3) — (1.5) и выра-
жает в математической форме условия выполнения всего
задания по заготовкам А, Б и В.
Пример 1.2. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна,
4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно
производить как непосредственно в железнодорожные
вагоны для последующей доставки потребителям, так и
на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т,
6
а остаток груза придется направить на склады. Необхо-
димо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены
для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны
составляет соответственно 4,30; 5,25 и 2,20 ден. ед., при
отправке на склад — 7,80; 6,40 и 3,25 ден. ед. Записать
в математической форме условия полной разгрузки судов,
если затраты на нее должны составить 58 850 ден. ед.
Решение. По условию задачи доставленные в порт
чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя
способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в порто-
вые склады. Обозначим через хц количество груза (в тон-
нах) i-ro вида (/ = 1, 2, 3), которое предполагается раз-
грузить /-м способом (/=1, 2). Таким образом, задача
содержит шесть неизвестных.
Условие полной разгрузки чугуна можно записать
в виде
хи + xi2 = 6000,	(1.6)
где Xi 1, Х12 — части чугуна, разгружаемого соответственно
в вагоны и склады.
Аналогичное условие должно выполняться и для же-
лезной руды:
х21 + Х22 = 4000.	(1.7)
Что же касается апатитов, то их можно разгружать
только на склады, а поэтому неизвестная x3i = 0 и условие
полной разгрузки апатитов принимает вид
х32 = 3000.	(1.8)
Условие полной загрузки всех поданных в порт ваго-
нов запишется так:
Хц+х21 = 8000.	(1.9)
Затраты на разгрузку по условию определены в
58 850 ден. ед., что можно выразить записью:
4,3xi 1	7,8X12 4" 5,25x21 4" 6,4х22 4“ З,25х32 =
= 58850.	(1.10)
Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия
полной разгрузки прибывших судов выражаются в мате-
матической форме системой линейных уравнений (1.6) —
(1.10).
1.1.	Из Минска в Могилев необходимо перевезти обо-
рудование трех типов: I типа — 95 ед., II типа — 100 ед.,
7
Ill типа —185 ед. Для перевозки оборудования завод мо-
жет заказать три вида транспорта. Количество оборудо-
вания каждого типа, вмещаемого на определенный вид
транспорта, приведено в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Тип оборудования	Вид транспорта		
	Тх	т2	Тз
I	3	2	1
II	4	1	2
III	3	5	4
Записать в математической форме условия перевозки
оборудования из Минска в Могилев.
1.2.	На приобретение оборудования для нового произ-
водственного участка выделено 20 ден. ед.. Оборудование
должно быть размещено на площади 42 м2. Предприятие
может заказать оборудование трех типов: машины А
стоимостью 3 ден. ед., требующие производственной пло-
щади в 6 м2 (с учетом проходов) и обеспечивающие
производство 7 тыс. ед. продукции за смену; машины Б
стоимостью 2 ден. ед., занимающие площадь 4 м2 и даю-
щие за смену 4 тыс. ед. продукции; машины В стоимостью
1 ден. ед., требующие 3 м2 площади и дающие за смену
2 тыс. ед. продукции. Записать в математической форме
условия приобретения оборудования при полном использо-
вании выделенных средств, производственной площади
и гарантирующие выпуск за смену 42 тыс. ед. продукции.
1.3.	Предприятие выпускает продукцию трех видов:
А, Б и В. Уровень выпуска лимитируется ограниченностью
ресурсов. Все числовые данные приведены в табл. 1.3.
Записать в математической форме условия, которым
Таблица 1.3
Ресурсы	Запас ресурса	Нормы затрат на единицу продукции		
		А	Б	в
Сырье, кг Материалы, кг Оборудование, ед.	24	5 '	7	4
	75	10	5	20
	10	5	2	1
8
должен удовлетворять план выпуска продукции, предпо-
лагая полное использование ресурсов.
1.4.	Для сохранения здоровья и работоспособности
человек должен потреблять в сутки определенное коли-
чество питательных веществ Вь В2 и Вз- Используется
пять видов пищи. Содержание питательных веществ в
единице пищи, суточная норма их потребления и цена
единицы пищи указаны в табл. 1.4.
Таблица 1.4
Питательное вещество	Суточная норма	Содержание питательных веществ в единице пищи				
		л.	Л1	Лз	л4	л8
В\	12	2	1	0	4	1
Bz	10	0	3	1	2	2
Вз	20	2	1	2	0	0
Цена единицы пищи		10	5	6	8	10
Каким условиям должен удовлетворять вариант диеты
стоимостью в 100 ден. ед., содержащий суточную норму
питательных веществ?
1.5.	На станции А[ находится 20 т, а на станции А2—
30 т некоторого однородного груза. Этот груз следует
доставить в пункты Bi, В2 и Вз в количествах 10,30 и Ют
соответственно. Стоимость перевозки 1 т груза из пункта
А। в пункты Bi, В2 и Вз равна соответственно 4, 9 и 3 ден. ед.,
а из А2 — 4, 8 и 1 ден. ед. Записать в математической
форме условия полного удовлетворения потребностей в
грузе при транспортных затратах в 300 ден. ед.
1.6.	На предприятии освоено четыре технологических
способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья.
В табл. 1.5 указано количество изделий, которое может
Таблица 1.5
Издел ие	Выход из единицы сырья			
	I	II	ш	IV
А	2	1	7	4
Б	6	12	2	3
9
быть произведено из единицы сырья каждым из техноло-
гических способов. Записать в математической форме
условия выбора технологий при производстве из 94 ед.
сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.
1.7.	На товарные станции А и Б прибыло по 45 комп-
лектов мебели. Перевозка одного комплекта со станции
А в магазины Mi, Мг и Мз обходится соответственно
в 1,3 и 5 ден. ед., а перевозка комплекта со станции Б в те
же магазины — в 3,5 и 4 ден. ед. В каждый магазин надо
доставить одинаковое количество мебели. Записать в ма-
тематической форме условия доставки мебели в магазины,
если транспортные расходы определены в 270 ден. ед.
1.8.	Для откорма свиней на ферме в ежедневный ра-
цион каждого животного включается 6 ед. питательного
вещества Л и 7 ед. питательного вещества Б. При этом
используются корма /G, К2 и К3. Данные о содержании
питательных веществ в одной весовой единице корма и ее
стоимости приведены в табл. 1.6. Записать в математи-
ческой форме условия составления недельного рациона
стоимостью 7 ден. ед., содержащего норму питательных
веществ.
Таблица 1.6
Корм	Содержание питательного вещества		Стоимость единицы корма, ден. ед.
	А	Б	
	2	1	5
к2	1	2	1
Кз	3	1,5	3
1.9.	Для перевозки пассажиров, отправляющихся в
летние месяцы из Минска в Крым, еженедельно форми-
руются дополнительные поезда. Данные о количестве
резервных вагонов, составе поезда и вместимости вагонов
приведены в табл. 1.7.
Записать в математической форме условия, учитываю-
щие резерв вагонов и количество дополнительных скорых
и пассажирских поездов, еженедельно вывозящих из
Минска 7722 пассажира.
1.10.	Трикотажная фабрика использует для производ-
ства продукции два вида сырья. Все необходимые данные
приведены в табл. 1.8.
Записать в математической форме условия выпуска
ю
Таблица 1.7
Показатель	Тип вагона			
	ресторан	мягкий	купейный	плацкартный
Наличный парк вагонов Состав поезда:	12	22	58	81
скорого	1	3	6	5
пассажирского	1	1	4	8
Количество пассажиров в ва- гоне	—	32	40	58
Таблица 1.8
Сырье	Запас сырья, кг	Затраты на единицу изделия
		свитер	пуловер	костюм
Чистая шерсть Силон	160 60	0,4	0,2	0,8 0,2	0,1	0,2
Прибыль за изделие, ден. ед.		16	15	22
готовой продукции, если сырье расходуется полностью,
а прибыль составляет 6800 ден. ед.
1.11.	При подкормке посева надо внести на 1 га почвы
69 ед. химического вещества Л, 84 ед. вещества Б и 39 ед.
вещества В. В единице массы удобрения У1 содержится
3 ед. химического вещества Л, 21 ед. вещества Б и 3 ед.
вещества В, а в единице массы удобрения У 2 содержится
соответственно 16, 4 и 6 ед. химических веществ А, Б и В.
Цена удобрения У1 составляет 4 ден. ед. за единицу массы,
удобрения У2—12 ден. ед. Записать в математической
форме условия закупки удобрений, обеспечивающие под-
кормку посева с соблюдением указанных норм, если на
приобретение удобрений отпущено 64 ден. ед.
1.12.	Для выполнения полевых работ сельскохозяйст-
венное предприятие может купить тракторы марок Т\ и Т2.
Все необходимые данные приведены в табл. 1.9.
Записать в математической форме условия выполне-
ния всего комплекса полевых работ приобретенными тра-
кторами, если на их покупку отпущено 53 ден. ед.
и
Таблица 1.9
Вид работ	Объем работы	Производительность трактора	
		Т|	т2
Р\ Р2	60 40	4	3 8	1	
Цена трактора, ден. ед.		7	2	
1.2. Экономические задачи, сводящиеся
к системам линейных неравенств
Два числа или два алгебраических выражения, соединенных между
собой знаком > или С, или образуют неравенство.
Линейное неравенство относительно переменных Xj, х2, хп можно
записать в виде
01X1 4- а2х2 + ... 4- С1пХп Ь.
(111)
Решением неравенства (1.11) называется, множество значений пе-
ременных Xi, х2, ..., хп, при которых данное неравенство становится
верным числовым неравенством.
Системой m линейных неравенств с п переменными называется
система
011X1 4“ Я12*2 4" ... 4“ CL\nXn Ь1,
021X1 4“ а22Х2 4“ ••• 4“ а2пХп />2,
(1-12)
OmlXi 4“ Д/п2Х2 4“	4“ QmnXn bm.
Решением системы (1.12) называется множество значений перемен-
ных хь х2, ..., хп, при которых каждое неравенство системы становится
верным числовым неравенством.
Пример 1.3. Механический цех может изготовить
за смену либо 600 деталей Д, либо 1200 деталей Б, либо
любую их комбинацию в пределах своей мощности. Произ-
водственная мощность термического цеха, куда эти детали
поступают на закалку, позволяет обработать за смену
либо 1400 деталей Д, либо 800 деталей Б, либо любую
допустимую их комбинацию. Детали А поступают затем
в третий цех, пропускная способность которого не более
400 деталей. Записать в математической форме условия,
которые необходимо учитывать при составлении плана
выпуска деталей Д и Б.
Решение. Обозначим через Xi и х% соответственно
количества деталей Д и Б, планируемых к выпуску за
смену. Анализуя возможности механического цеха, мощ-
12
ность которого примем за единицу, необходимо учесть,
что при одновременном выпуске и тех, и других деталей
должно выполняться условие пропорциональности коли-
чества деталей данного вида доле производственной мощ-
ности цеха, занятой ее выпуском. Так что на изготовление
одной детали А будет приходиться 1/600 всей мощности
цеха, а одной детали Б — 1/1200 всей мощности. Для
реализации плана (хь Хг) потребуется занять l/600xi +
+ 1/1200x2 всей мощности цеха, что, естественно, не
может быть более, чем вся наличная производственная
мощность цеха, принятая за единицу. Это условие можно
записать так:
1/600X1 + 1/1200x2 < 1.
Аналогичное условие необходимо соблюсти и для
термического цеха:
1/1400X1 + 1/800x2 <1.
Ограничение по пропускной способности третьего цеха
запишется в виде Xi 400.
Из практических соображений ясно, что Xi и х2 выра-
жаются неотрицательными числами, т. е. Xi 0 и Хг 0.
Таким образом, множество допустимых планов описы-
вается следующей системой линейных неравенств:
1/600Х1 + 1/1200x2 < 1,
1/1400X1+ 1/800х2 < 1,
Xi	400, >
Xi	> 0,
х2 > 0.
(113)
Говоря иначе, именно условия (1.13) необходимо учи-
тывать при составлении любого реального (в том числе
и оптимального) плана выпуска деталей А и Б в рассма-
триваемом производстве.
Пример 1.4. Для строительства домов на 100 строитель-
ных площадках выбраны пять типовых проектов. По
каждому из проектов известны продолжительностьзаклад-
ки фундаментов и строительства остальной части дома
(табл. 1.10). Одновременно можно вести закладку не
более 10 фундаментов и строительство не более 15 домов.
Записать в математической форме условия, которым дол-
жен удовлетворять годовой план (300 рабочих дней)
строительства домов при дополнительном требовании, что
домов II типа должно быть построено не менее 10.
13
Таблица 1.10
Вид работы	Продолжительность работ (ди.) для проекта				
	I	п	ш	IV	V
Закладка фундамента	20	30	35	30	40
Остальные работы	40	20	60	35	25
Решение. Обозначим через Xi, Х2, Хз, х4, Х5 количе-
ство домов каждого типа, планируемых к строительству
в течение года. По условию должно быть построено 100
домов. В принятых обозначениях этот факт можно выра-
зить следующей записью:
х 1 -|- Х2 -р *з “h х4 -|- Х5 = 100.	(1.14)
Поскольку одновременно можно вести работы по за-
кладке не более 10 фундаментов, годовой фонд времени
по этому виду работ ограничен величиной 300- 10 рабо-
чих дней. Для реализации плана (xi, Х2, Хз, х4, Х5) только
на закладку фундаментов потребуется (20xi + ЗОхг +
+ 35хз + 30х4 + 40xs) рабочих дней. Это количество не
может превышать имеющегося фонда времени, предусмо-
тренного для данного вида работ, поэтому должно вы-
полняться неравенство
20xi + 30х2 + З5х3 + 30х4 + 40х5 < 3000.	(1.15)
Фонд времени на строительство остальной части до-
мов составляет 300- 15 = 4500 рабочих дней. На этот вид
работ фактически будет потрачено (40xi + 20хг + 60хз +
+ 35х4 + 25xs) рабочих дней. Ясно, что это количество
не должно превышать имеющегося фонда времени, т. е.
40xi + 20х2 + 60х3 + 35х4 + 25х5 < 4500.	(1.16)
И, наконец, учитывая последнее требование задачи,
приходим к неравенству
х2>10.	(1.17)
Остается присоединить естественное условие неотри-
цательности для остальных переменных:
Xi 0, х3^0, х4^0, х5^0.	(1.18)
Итак, любой реальный годовой план строительства
домов должен удовлетворять смешанной системе, состоя-
14
щей из линейного уравнения (1.14) и линейных неравенств
(1.15)-(1.18). ’
1.13.	Трикотажное ателье изготавливает женские коф-
точки видов Л и Б. Запас пряжи, ее расход на одно изделие
и цена готового изделия приведены в табл. 1.11.
Таблица 1.11
Пряжа	Расход на изделие, кг		Запас, кг
	А	Б	
Бежевая	0,05	0,1	20
Салатовая	0,1	0,2	60
Коричневая	0,3	0,1	50
Цена, ден. ед.	250	300	
Каким условиям должен удовлетворять план выпуска
изделий, при котором расход пряжи не превышает имею-
щегося запаса, а сумма от реализации готовой продукции
не меньше 60 000 ден. ед.?
1.14.	Цех выпускает трансформаторы видов А и Б.
На один трансформатор вида А расходуется 5 кг трансфор-
маторного железа и 3 кг проволоки, а на трансформатор
вида Б — 3 кг железа и 2 кг проволоки. От реализации
трансформатора вида А прибыль составляет 12 ден. ед.,
вида Б—10 ден. ед. Сменный фонд железа — 480 кг,
проволоки — 300 кг. Записать в математической форме
условия, которым должен удовлетворять план выпуска
трансформаторов, если расход ресурсов не превышает
выделенных фондов, а прибыль не менее 900 ден. ед. за
смену.
1.15.	Цех производит изделия А и Б. Сменный плано-
вый выпуск составляет 90 изделий А и 70 изделий Б. За
смену не может использоваться более 540 ед. оборудова-
ния, более 550 ед. сырья и более 405 ед. электроэнергии.
Расход ресурсов на одно изделие указан в табл. 1.12. От
реализации изделия А прибыль составляет 80 ден. ед.,
изделия Б — 70 ден. ед. Каким математическим условиям
должен удовлетворять выпуск сверхплановой продукции,
при котором выполняются ограничения на общий расход
ресурсов и обеспечивается не менее 2800 ден. ед. прибыли?
1.16.	На приобретение оборудования для нового про-
изводственного участка выделено 36 ден. ед. Оборудование
15
Таблица 1.12
Ресурсы	Изделия	
	А	Б
Оборудование	2	3
Сырье	1	4
Электроэнергия	2	L5
должно быть размещено на площади в 126 м2. Предприя-
тие может заказать машины типа А стоимостью 6 ден. ед.,
занимающие площадь (с учетом проходов) в 6 м2 и вы-
пускающие 7 ед. продукции за смену, и машины типа Б
стоимостью 3 ден. ед., занимающие площадь в 18 м2 и
обеспечивающие выпуск 10 ед. продукции за смену. При
этом следует учесть, что машин типа А можно заказать
не более 5 штук. Записать в математической форме усло-
вия приобретения оборудования, учитывающие, что денеж-
ные затраты и производственная площадь, занимаемая
купленным оборудованием, не превышает указанных зна-
чений, а сменный выпуск продукции новым участком —
не менее 35 ед.
1.17.	На предприятии для изготовления продукции
А и Б используется оборудование четырех групп. Все
данные приведены в табл. 1.13.
Таблица 1.13
Группа оборудования	Количество оборудования, ед.		
	в группе	занятого выпуском продукции	
		А	Б
I	12	2	2
II	8	1	2
III	16	4	—
IV	12	—	4
Записать в математической форме условия выпуска
продукции, учитывающие, что можно использовать не
более того оборудования, что имеется на предприятиии
по каждой группе.
1.18.	Для сохранения здоровья и работоспособности
человек должен потреблять в сутки определенное коли-
16
чество питательных веществ Вь В2, Вз и В4. Для упро-
щения примем, что используется только два вида пищи:
П\ и Пъ Все необходимые данные приведены в табл.
1.14. Записать в математической форме условия содержа-
ния в суточном рационе из двух видов пищи указанных
питательных веществ в количествах, не меньших мини-
мальных норм потребления.
Таблица 1.14
Питательное вещество		Содержание питательных веществ в I кг пищи	
вид	минимальная норма	ГЦ	п2
В1	4	2	1
в2	6	0	3
Вз	9	1	3
В.	6	3	2
1.19.	Трикотажная фабрика производит свитеры и
пуловеры. Все данные приведены в табл. 1.15.
Таблица 1.15
Пряжа		Затраты на 10 изделий, кг	
вид	запас, кг	свитеры	пуловеры
Шерсть	900	4	2
Силон	400	2	1
Нитрон	300	1	1
Записать в математической форме ограничения, нала-
гаемые на любой реальный план выпуска изделий и со-
стоящий в том, что расход пряжи не превышает ее запаса.
1.20.	В хозяйстве установлено, что откорм животных
выгоден лишь тогда, когда они будут получать в суточном
рационе не менее 8 ед. питательного вещества Д, не менее
14 ед. вещества Б и не менее 3 ед. вещества В, которое
содержится в кормах I и II. В табл. 1.16 указано, сколько
единиц каждого вещества содержится в 1 кг корма.
Записать в математической форме условия, которым
должен удовлетворять суточный рацион.
1.21.	Со станции ежедневно можно отправлять пасса-
жирские и скорые поезда. Данные приведены в табл. 1.17.
17
Таблица 1.16
Вещество	Корма
	I	II
А Б В	1	1 2	3 0	4
Таблица 1.17
	Количество вагонов в составе
Тип поезда	плацкартных	купейных	мягких
Пассажирский Скорый	5	6	3 8	4	1
Резерв вагонов	80	72	21
Записать в математической форме условия, не позво-
ляющие превысить наличный парк вагонов при формиро-
вании пассажирских и скорых поездов, ежедневно от-
правляемых со станции.
1.22.	На судно грузоподъемностью 1000 т и емкостью
трюмов 2400 м3 необходимо погрузить товары АиБ. Объ-
емные коэффициенты товаров составляют соответственно
Зм3/т и 1,2 м3/т. На складе имеется 800 т товара Б и боль-
шое количество товара А. Записать в математической
форме ограничения на количество погружаемых на судно
товаров, не позволяющие превысить грузоподъемность
судна, емкость его трюмов и запас товара Б.
1.23.	Предприятию задан план производства по вре-
мени и номенклатуре: не более чем за 6 ч необходимо
выпустить ровно 30 ед. продукции вида I и ровно 96 ед.
продукции вида II. Машина А за час производит либо 6 ед.
продукции I, либо 24 ед. продукции II, а машина Б — со-
ответственно 13 и 13 ед. Записать в математической
форме условия, которым должно удовлетворять время
работы каждой из машин по выпуску продукции при точ-
ном выполнении плана по отдельным ее видам.
1.24.	В хозяйстве нужно организовать производство
картофеля и ячменя. Для этого можно использовать не
18
более 1000 га пашни, не более 900 тракторо-смен механи-
зированного и не более 8000 чел.-дн. ручного труда. За-
траты труда на 1 га указаны в табл. 1.18.
Записать в математической форме условия, которым
должны удовлетворять затраты ресурсов при выполнении
задания.
1.25.	В торговом зале необходимо выставить для про-
дажи товары Т\ и Г2. Рабочее время продавцов не превы-
шает 360 ч, а площадь торгового зала, которую можно
занять, не превышает 120 м2. Каждая реализованная
единица товара приносит прибыль соответственно в 50
и 80 ден. ед. Нормы затрат ресурсов на единицу продан-
ного товара приведены в табл. 1.19.
Таблица 1.18	Таблица 1.19
Ресурсы	Карто- фель	Яч- мень
Механизированный труд, тракторо-смен Ручной труд, чел.-дн.	2,1 20,0	0,6 2,0
Ресурсы	Товары	
	Ti	т2
Рабочее	0,4	0,6
время, ч Площадь, м2	0,2	0,1
Записать в математической форме условия, которым
должна удовлетворять структура товарооборота, обеспе-
чивающая прибыль не менее 40 000 ден. ед.
1.26.	При изготовлении изделий А и Б расходуются
сталь и цветные металлы. Изделия обрабатываются на
токарных и фрезерных станках. В табл. 1.20 приведены
необходимые данные.
Записать в математической форме условия, которым
должен удовлетворять план выпуска изделий, обеспечи-
вающий прибыль не менее 60 000 ден. ед. при затратах
ресурсов, не превышающих запасы. Таблица 1.20
Ресурсы	Запасы	Удельные затраты на изделие	
		А	Б
Сталь, кг Цветные металлы, кг Время работы станков, ч:	700	10	70
	600	20	25
токарных	5600	300	400
фрезерных	3400	200	100
Прибыль, ден. ед.		8	10
19
1.27.	В табл. 1.21 указаны запасы и нормы расхода
фруктов при изготовлении компотов I и II (в расчете на
одну банку) и цена реализации.
Таблица 1.21
Фрукты	Запас, кг	Компоты	
		I	II
Яблоки	84	1,2	0,8
Вишня	18	0,6		
Слива	80	—	1,0
Цена, ден. ед.		14	9
Записать в математической форме условия, которым
должен удовлетворять план заготовки компотов, обеспечи-
вающий выручку не менее 800 ден. ед. и гарантирующий,
что расход фруктов не превысит их запаса.
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1.	Метод Гаусса
Метод Гаусса является наиболее распространенным точным мето-
дом решения и исследования систем линейных уравнений. Сущность
его состоит в том, что посредством элементарных преобразований система
приводится к треугольному или трапецеидальному виду, из которого
все решения системы усматриваются непосредственно.
К элементарным преобразованиям системы относятся следующие:
1) перестановка любых двух уравнений системы; 2) умножение любого
уравнения системы на отличное от нуля число; 3) вычеркивание уравне-
нения, все коэффициенты которого равны нулю; 4) вычитание из любого
уравнения системы любого другого, умноженного на отличное от нуля
число.
Любое элементарное преобразование приводит к системе, равно-
сильной данной.
Практическое применение метода Гаусса состоит в следующем.
Пусть в системе m линейных уравнений с п неизвестными
0,11X1 4" 012*2 4“ 013*3 4“ ••• 4" 01л*л = <*10>
021*1 4“ 022*2 4“ 023*3 4" ••• 4- 02л*л = 020,
0/1*1 4- 0/2*2 4- 0/3*3 4- ••
4“ 0/л*л = 0/0,
(2-1)
0ml*l 4“ 0/л2*2 4“ 0/лЗ*3 4" ••• 4" 0гпл*л = 0тО
коэффициент оц=#=0. Если бы было Оц = 0, то на первое место в системе
(2.1) мы поставили бы уравнение, в котором коэффициент при Х\ отличен
от нуля. Пусть, далее, в i-м уравнении ап =#=0. Умножим обе части первого
20
уравнения на ац/ац и вычтем его из /-го уравнения. В результате в по-
лученном уравнении
(0110/1 — 0j 10/1) Xi -|- (ai 10/2 — <212<2х1)Х2 4” (#110/3 — 0130/1)*3 4" ••• 4”
4- (О11О/л — О1лО/1)хл = ацаю — 0100/1	(2.2)
коэффициент при Xi равен нулю.
Преобразовав таким образом все уравнения системы, в которых
а{1 =/= 0 (/ = 2, о), получим систему
011X1 4" 012 *2 4" ••• 4" а1л-*л = 010,
I I G22 |Х2 4" ••• 4" 02лХл = 020, J
L —2—XL~L —
(2.3)
в которой рамкой выделена так называемая остаточная часть системы.
Преобразование системы (2.1) в систему (2.3) выполнено с помощью
первого уравнения, называемого разрешающим на данном шаге. При
этом исключалась переменная хь называемая разрешающей', коэффи-
циент Оц при ней называется разрешающим, столбец коэффициентов
при разрешающей переменной — разрешающим столбцом.
Если в системе (2.3) встретится уравнение вида 0«х24-0*хз4-
4- ... 4- 0 • хл = a's0, где а$о =#= 0, то система (2.1) несовместна. Если этого
не произойдет, то, предполагая, что а?2 =#= 0, из всех уравнений остаточ-
ной части системы (2.3), кроме первого, исключим аналогично преды-
дущему неизвестную Хг.
Продолжая процесс преобразования остаточных частей получаю-
щихся систем, приходим к одному из двух случаев:
1)	либо в ходе преобразований получаем уравнение вида 0 • х* 4-
4- 0 • Xk+1 4- • • • 4- 0 • хл = b (Ь =#= 0), и тогда система (2.1) несовместна;
2)	либо приходим к системе без остаточной части
011X1 4- 012X2 4- 013X3 4" ... 4- 01лХл = Ою,
022X2 4" 023Хз 4" ... 4" 02лХл = 020,
033X3 4" ••• 4" 03лХл = Озо,
(2.4)
ЬггХг 4" ... 4" ЬгпХп = bro,
где оц, ом, 033, .., brr отличны от нуля. Возможное уменьшение числа
уравнений по сравнению с исходной системой (г т) связано с тем,
что в процессе преобразований вычеркиваются уравнения вида 0 • X/ 4-
4- 0 • Х/+1 4- ... 4- 0 • хл = 0.
Процедуру преобразования системы (2.1) к виду (2.4) называют
прямым ходом метода Гаусса.
Если в системе (2.4) г = п, то она имеет треугольный вид. Из послед-
него уравнения Ьппхп = сп находим хл, из предпоследнего — хл_1 и т. д.,
и, наконец, из первого — Xi и, тем самым,— единственное решение
системы (2.1). Описанный процесс называют обратным ходом метода
Гаусса.
Если же г < п, то в результате обратного хода г неизвестных можно
выразить линейно через остальные п — г неизвестных. Эти г неизвестных
будут базисными, а остальные п — г — свободными. В результате по-
лучим общее решение системы
21
*1 = ^10 -h 61,r+ lXr+ 1 4" ••• 4“ Ь1пХп,
x2 = ^20 4“ ^2, r+ l*r+ 1 4" ••• 4“ ^2nXn,
Xr = brO 4“ br, r+ l*r+ 1 4“	4“ brnXri’ 7
Группу базисных неизвестных назовем базисом системы неизвестных.
Общее решение (2.5) записано относительно базиса Xi, хг,...» хг. Понятно,
что общее решение можно записать относительно и других базисов,
которых может быть не более Сгп.
Чтобы получить какое-нибудь частное решение, достаточно придать
свободным неизвестным некоторые числовые значения. Ясно, что при
г <. п система (2.1) имеет бесконечное множество решений.
На практике элементарным преобразованиям подвергают не си-
стему уравнений, а ее расширенную матрицу. Применительно к матричной
зиписи вычислительная процедура гауссовых исключений формали-
зуется посредством простых правил. Первый шаг (исключение неиз-
вестной Xi) прямого хода выполняется с разрешающим элементом аи,
второй шаг (исключение хг) — с элементом а'ц и т. д. (разрешающими
являются диагональные элементы матрицы). Пересчет же элементов
матрицы выполняется по следующим правилам: 1) элементы разрешаю-
щей строки и всех выше расположенных строк остаются неизвестными;
2) элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешаю-
щего элемента, обращаются в нули; 3) все прочие элементы матрицы
вычисляются по правилу прямоугольника: преобразованный элемент
равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей
(см. рис. 2.1).
О о О О о	о о
Рис. 2.1
Пример 2.1. Решить систему
Xi — 2х2 + Хз =	5, I
— 2%1 И- Зхз = — 1, с
Xi + 4х2 + Зхз =	1. J
Решение,
стемы:
Составляем расширенную матрицу си-
|Т] -2 1	5
-2	0	3	—1
1	4	3	1
22
Элемент ац = 1=/=0 принимаем за разрешающий.
Выполняем шаг гауссова исключения: разрешающую
строку переписываем без изменения, в разрешающем
столбце ниже разрешающего элемента записываем нули,
остальные
угольника
дробно):
'1
О
О
элементы пересчитываем по правилу прямо-
(все эти операции записаны в матрице по-
-2
1 -0 —(—2)( —2)
1-4-	1(-2)
‘1
= О
О
1
1-3- 1(—2)
1 - 3 — 1 - 1
-2
6
5
1(—1) —5(—2)
1 - 1 — 1 • 5
5'
9 .
— 4
разрешающим является
Во втором шаге исключений
элемент 022= —4. Первые две строки переписываем без
изменения, под
нуль, остальные
угольника:
'1
О
О
разрешающим элементом записываем
элементы находим по правилу прямо-
1
5
-4-2 —5-6
-2
-4
О
— 4( —4) —9-6
1
5
-38
5
9
—38
— 2
— 4
О
1
О
О
1
5
2
5
9
По последней матрице записываем систему уравнений,
равносильную данной:
Xi — 2хг + Хз= 5, 1
— 4хг + 5хз =	9, >
— З8х3= — 38. J
Решая ее, находим: хз= 1, —4хг + 5 • 1 = 9=Ф-Хг =—1,
Х| — 2(—1) + 1 = 5=>Х| = 2. Итак, (2; —1; 1) — единст-
венное решение данной системы.
Пример 2.2. Решить систему
2xi — х2 + х3 — х4 = 3, 'I
4xi — 2х2 — 2х3 + Зх4 = 2, >
2xi — х2 + 5х3 — 6х4 — 1. J
23
P e iii е н и е.
матрицы:
Последовательно получаем следующие
[2] -1	1	— 1	3		2	-1	8	-1	3
4 —2	-2	3	2		0	0		10	-8
2 -1	5	-6	1		0	0	8	-10	—4
3
-8
96
Заключительной матрице соответствует система урав-
нений:
2X1—х2+ *з — х4 = 3,
— 8хз+ Юх4 = —8, >
0*х4 = 96. J
Последнее уравнение противоречиво. Система урав-
нений несовместима.
Пример 2.3. Решить систему
2xi -|-	7хг	+	Зхз -|- х4 =	5,	Ч
Xi +	Зх2	+	5х3 — 2х4 =	3,	I
Xi +	5х2	—9хз + 8х4=	1,	|
5xi +	18х2	+	4х3 + 5х4 =	12.	)
Решение. Последовательно получаем следующие
матрицы:
|2| 7	3	1 13	5-2 15-9	8 5 18	4	5 2	5* 3 1 12 7	2	7	3	1	5 0-1	7-5	1 ~	0	3 —21	15 —3 0	1-7	5-1 3	1	5*
0	-1	7 -5	1
~ 0 0	1 1	-7	5 —1 ’ -7	5-1
Третья строка предпоследней матрицы разделена на 3.
Выполнив еще одно гауссово исключение, приходим к
матрицам
24
2	7	3
0-17
0	0	0
О	0	0
1
-5
О
О
5
1 Г2
О ~|_0
О
7 3	15
-17—51
Последней матрице соответствует система уравнений
2xi7хг + Зхз*4— 5, 1
—х2 7х3 —— 5%4= 1. /
Найдя х2 из второго уравнения: х2 = — 1 + 7х3 — 5х4,
и подставив это выражение в первое уравнение, получим
общее решение системы:
Х| = 6 — 26х317х4,|
Хг = — 1 “Н 7хз — 5X4,/
где Хз, х4 — любые вещественные числа.
В рассмотренном примере обратный ход выполнен без использова-
ния матричной записи. При большом количестве уравнений и неизвест-
ных в системе матричная запись заметно упрощает выкладки. Если при
прямом ходе разрешающими выбирались последовательно диагональные
элементы матрицы, то при обратном ходе таковыми будут элементы той
же диагонали, но выбираемые в обратном порядке. Пересчет же элемен-
тов матрицы при обратном ходе выполняется по следующим правилам:
1) элементы разрешающей строки остаются неизменными; 2) элементы
разрешающего столбца, расположенные выше разрешающего элемента,
обращаются в нули; 3) все прочие элементы вычисляются по правилу
прямоугольника.
Для примера 2.3 обратный ход реализуется матрицами:
Из последней матрицы следует общее решение си-
стемы:
Х| =	6 — 26хз+ 17X4,1
х2 = — 1 + 7х3 — 5х4.)
Для контроля вычислений в ходе гауссовых исключений можно
использовать следующий прием. Составим сумму коэффициентов и сво-
бодных членов уравнения (2.2) и преобразуем ее:
1Ф1 — 1 Qi 1 4- fll lfli2 — 0120»! + Ф 10*3 — О13Ф1 4" ••• 4"
4"allflin — OlnOil 4" fliofll 1 — OloOil =
= О1 1 (о<1 4“ ai2 4“ а13 4" ••• 4" ain 4" aio) —
— Qu (oi i 4-^12 4- Д13 4- ••• 4" ain 4" aio).	(2-6)
25
В первых скобках получена сумма элементов i-й строки расширен-
ной матрицы (обозначим ее <ь), во вторых — первой строки (oi). Равен-
ство (2.6) принимает вид
она/ — апаь	(2.7)
Таким образом, в результате гауссова исключения сумма о, преоб-
разовывается в выражение (2.7), получаемое по правилу прямоуголь-
ника, т. е. так же, как и все прочие элементы расширенной матрицы.
Поэтому если к расширенной матрице справа приписать столбец S,
составленный из сумм о, элементов соответствующих строк, и преобра-
зовывать его по правилам гауссовых исключений, то после каждого
шага сумма элементов i-й строки расширенной матрицы должна рав-
няться соответствующему г му элементу преобразованного столбца S.
Описанный контроль можно осуществлять как при прямом, так и при
обратном ходе.
Пример 2.4. Решить систему уравнений
3%1 Ч- 2%2 Ч” х3 Ч” 4x4 Ч” 6x5 = 2,
4X1 Ч” Х2 Ч” Хз -|- 6X4 -|- 7X5 = 10, z
Xi 4“ 9x2 -|- Зхз Ч~ Х4 -J-- Х5 = 7, J
используя прямой и обратный ходы с контролем вычи-
слений.
Решение. Дополним расширенную матрицу системы
столбцом 2, элементами которого являются суммы элемен-
тов соответствующей строки. Так, первый элемент сп =
= 3 4“ 2 4“ 1 Ч" 4 Ч- 6 Ч- 2 = 18, 02 = 28, оз = 22. Этот стол-
бец отделен от матрицы двойной линией:
В результате первого гауссова исключения с разре-
шающим элементом ац = 3 получаем матрицу
	'з	2	1	4	6	2	18'
	0		-1	-1	-3	22	12
	0	25	8	-1	— 3	19	48
Элемент о2 = 28 преобразовался в 02 = 3 • 28 — 18-4 =
= 12. Суммируя элементы второй строки ( — 5—1 — 1 —
— 3 4-22= 12), приходим к тому же результату. Значит,
вычисления выполнены верно.
Продолжая исключения, получаем матрицу
26
3	2	1	4	6	2	18
0	-5	-1	-1	-3	22	12
.0	0	^1.	2	6	-43	-36.
завершающую прямой ход. С нее же начинается обратный
ход, открывающийся гауссовым исключением с разрешаю-
щим элементом азз = — 1:
-3
О
. О
-2	0 -6
[б]	0	3
0-1	2
-12	41	18
9	-65	-48
6	-43	-36
— 15	0	0	-24	-42	75	-6
0	5	0	3	9	-65	-48
0	0	-1	2	6	— 43	-36
По последней матрице записываем общее решение
системы:
Xi = — 5 —	8/5%4	—	14/5x5,	|
х2 = —13 —	3/5x4	—	9/5x5,	?
Хз = 43 4"	2x4	4"	6x5,	J
где х4, xs — любые вещественные числа.
В задачах 2.1—2.13 решить системы.
2.1. 2xi — х2 — х3= 4Л 2.2. Xi + х2 + 2х3 = — 1,1
3xi + 4х2 — 2х3 = 11, ?	2xi — х2 -j- 2х3 = — 4, f
3xi — 2х2 + 4х3 = 11. J	4xi + х2	4х3 = — 2 J
2.3. 3xi-|-2x24- х3 = 5,1 2.4. Xi-р 2х2-р 4хз = 31,1
2xi 4" Зх2 -j- Хз = 1, ?	5xi -j" Х2	-j- 2хз = 29, г
2х 14" Х2 4“ Зхз = 11. J	Зх 1 — х2	-|- Хз = 10. J
2.5. 2X1— х2 —х3 = 2Л 2.6.2Х1 — Зх24-5хз4" 7х4=1,^
3x14- Х2 — Хз = 0, > 4xi — 6х2 4-2х3 + Зх4 = 2, I
— 4x1 — Зх24-*з= 1J 2xi — Зх2— 11х3 — 15х4= 1.|
2.7.	Xi 4~ Зх2 4" 2хз = 0, '
2xi — х2 + Зхз = 0, k
3xi — 5х2 + 4х3 = О,
Xi 4~ 17х2 4" 4хз = 0. ,
2.8.	3xi 4"	4х2 — 5х3	4~	7x4 == 9,
2xi —	Зх2 4- Зхз	—	2х4 = 0,	I
4xi 4~	11^2 — 13хз	4“	16x4 = О,	I
7xi —	2х2 4- • хз	+	Зх4 = 0.	)
27
2.9.	Xi — 2x2 + X3 — *4 + *5 = 0, Л
2%1+ Х2 — Х3 +2х4 —3X5 = 0, I
3X1 — 2х2 —Хз+ Х4 — 2х5 = 0, I
2xi — 5х2 + х3 — 2х4 + 2х5 = 0. )
2.10.	3x1+ х2 — 2хз+ х4 — х5=1,Л
2x1— х2 + 7х3 — Зх4 + 5х5 = 2, I
Xi + Зл'2 — 2хз + 5х4 — 7x5 = 3, j
3xi — 2х2 + 7хз — 5х4 + 8x5 = 3. )
2.11.	Xi+3х2+ 5х3 — 4х4	=	1/
Xi + 3X2	+	2хз —	2х4 + Х5 =	— 1,
Х1	— 2X2	+	Хз—	Х4 — Х5=	3,	►
Х1	— 4х2	+	Хз +	х4 — х5 =	3,
Х1	+ 2х2	+	Хз —	х4 + х5 =	— 1. >
2.12.	4X1—Зх2 + 2хз— х4 = 8,
3x1—2хг + Хз —Зх4 = 7, „
2xi — Х2 — 5х4 = 6,
5xi — Зхг + хз — 8х4 = 1. >
2.13.	2xi + Зхг — Хз + х4 = 1,"\
8xi + 12хг — 9хз + 8х4 = 3, I
4xi + 6x2 + Зхз — 2х4 = 3, |
2xi + 3x2 “|~ 9хз — 7х4 = 3. ✓
2.2.	Метод полного исключения
Для решения ряда задач линейной алгебры достаточно выполнения
операций прямого хода. Что же касается решения систем линейных урав-
нений, то выше для этой цели выполнялись и прямой, и обратный ходы,
в результате чего в расширенной матрице выделялась диагональная под-
матрица и цель достигалась.
Диагональную подматрицу можно, оказывается, выделить в резуль-
тате только прямого хода, если пользоваться приведенным ниже алго-
ритмом.
Первый шаг (соответствует исключению неизвестной Xi) вы-
полняется с разрешающим элементом ац#=0 по правилам прямого
хода.
Общий шаг (соответствует последовательному исключению неиз-
вестных Х2, Хз, ...) выполняется по следующим правилам:
1)	назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при
исключаемой неизвестной;
2)	элементы разрешающей строки остаются неизменными;
3)	все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего
элемента) заменяются нулями и остаются таковыми до конца преобра-
зований;
4)	все прочие элементы матрицы пересчитываются по правилу
прямоугольника.
Метод, реализуемый этим алгоритмом, назовем методом полного
исключения. Контроль вычислений остается неизменным.
28
Пример 2.5. Решить систему уравнений
Х| -р 2X2 “р Зхз —Х4	1,
3X1 -р 2X2 “р Х3 — Х4 = 1, |
2X1 “1“ 3X2 "р ХЗ -р Х4 1, |
5X1 -р 5x2 -р 2х3	= 2. )
Решение. Воспользуемся алгоритмом метода полного
исключения (попутно будем вести контроль правильности
вычислений):
1
О
О
_1_
3
2
5
2
2
3
5
3
1
1
2
1
1
1
2
6
6
8
14
' 1
О
О
. О
' — 4
О
О
О
3
-8
— 5
-13
-1
2
3
5
О
— 4
О
О
4
-8
12
12
О
2
-10
-10
0-1
2 4
О
-1
-5
О
12
О
1
—2
— 1
-3
О
— 2
2
2
2
— 1
— 5
О
1
— 1
1
О
О
6
2
6
О
О
По последней матрице записываем общее решение
системы уравнений: х( — 1/6 + 5/6х4, Хг=1/6 — 7/6x4,
’ х3 = 1/6 + 5/6x4, где Х4 — любое вещественное число.
В задачах 2.14—2.30 решить системы методом полного
исключения.
2.14.	Х|—Хг + Хз = 6, I
2Х| -р ^2 “р Хз — 3, |
Xi -р Хг -р 2хз = 5. J
2.15.	Х|-р Хг —3x4— *5 = О, Л
Xi— Хг-Р2хз— х4 = 0,1
4Х| — 2хг -р 6X3 -р 3X4 — 4X5 = 0, [
2xi -р 4хг — 2хз -р 4х4 — 7x5 = 0. ✓
29
о
nd	nd	nd
nd	nd	nd
р	Р1	Iй
ND	СЛ ND ND СО ND СЛ СО ю
ND	ND	to
ND	ND	ND
СО	ND	**
4^ СО ND CD ND	СЛ CO
ND	ND	ND	ND
C©	QO	M	p
CO CO ND ND ND 4^ ND
>ч>ч>ч>чН>ч>ч
++ I I ++ I ++ I I I + I
4^ CO ND *O ND >< >4 к — —
2.27.	2%i 4" 7x2 4~ Зхз 4~ Х4 = 5,
х । 4" 3x2 4~ 5хз — 2x4 = 3, I
Xi 4- 5x2 — 9x3 4~ 8x4 =
5xi 4” 18x2 4” 4хз 4” 3x4 = 12. J
2.28.	2xi — х2 4~ *з — х4 = 3, Л
4xi — 2х2 — 2х3 4- Зх4 = 2, I
2x1— х2 4- 5х3 — 6х4= 1, |
2xi — х2 — Зхз 4~ 4x4== 5. )
2.29.	2xi 4” 7х2 4” Зхз 4” #4= 6,
3xi 4“ Зх2 4” 2хз 4~ 2x4 = 4, z
9xi 4~ 4х2 4” *з 4” 7x4= 2. J
2.30.	3xi 4- 4х2 4” *3 4” 2x4 = 3,
6xi 4~ 8х2 4” 2хз 4~ 5x4= 7,
9xi 4” 1.2х2 4” Зхз 4” 10x4 = 13.
2.3.	Нахождение базисных решений
системы линейных уравнений
Особую роль в приложениях, в частности в математическом програм-
мировании, играют базисные решения неопределенной системы линейных
уравнений. Базисное решение неопределенной системы линейных урав-
нений (2.1) получается из общего решения (2.5) этой системы, если
свободным неизвестным придать нулевые значения, т. е. положить
xr+i = 0, хг+2 = 0, ... хп = 0. В этом случае базисные неизвестные будут
равны соответствующим свободным членам, а именно: xi=610, х2 =
= b2o,..., хг = bro. Полученное базисное решение (6ю; Ь20;	0; 0;...; 0)
соответствует базису (% 1, х2, .... хг}. Если общее решение записать в дру-
гом базисе, то получим и другое базисное решение. Поскольку из систе-
мы п неизвестных можно образовать не более Сгп базисов, то и базисных
решений у системы линейных уравнений (2.1) может быть не бо-
лее Сгп.
Пример 2.6. Найти все существующие базисные реше-
ния системы
Х\ 4“	2х2 4“ Зхз — 2x4	4“ Х5	=	4, Л
3xi +	6х2 4- 5х3 — 4х4	4- Зх5	=	5, I
Xi +	2х2 + 7х3 — 4х4	+ х5	=	11, |
2xi 4~	4х2 4~ 2хз — 3x4	4” Зхй	==	6. J
Решение. В результате прямого хода расширенная
матрица данной системы приводится к виду
Xi х2 Хз х4 х5
12 3-2	1	4
0	0 -4	2	0	-7
0 0 0	1	-1-5
(2-8)
31
которому соответствует система трех уравнений с пятью
неизвестными (г = 5, и = 5). Так что в общем решении
системы три базисные неизвестные линейно выражаются
через две свободные, а потому каждое базисное решение
содержит две нулевые компоненты, соответствующие сво-
бодным неизвестным.
Возможными парами свободных неизвестных могут
быть следующие: хь х2; Xi, х3; Xi, х4; xj, х5; х2, х3; х2, х4;
х2, х5; х3, х4; х3, х5; х4, х5.
Пусть Х| = 0, х2 = 0. Тогда матрица (2.8) приобретает
вид
3 —2	1 — 4	2	0 0	1-1	4 — 7 -5
Применяя к ней алгоритм полного исключения, получаем	
матрицу Хз	Х4	х5 '2	0	0 0	2	0 0	0	2	—9' -25 , -15
из которой следует, что Хз = = —15/2.	— 9/2, х4=—25/2, х5 =
Таким образом, в базисе {х3, х4, xs} базисное решение
имеет вид (0; 0; —9/2; —25/2; —15/2).
Аналогичным образом получаем базисные решения:
(0; -9/4; 0; -7/2; 3/2), (0; —25/8; 7/4; 0; 5), (0; -15/8;
— 3/4; -5; 0), (3/2; 0; 0; —7/2; 3/2), (-25/4; 0; 7/4;
0; 5), (-15/4; 0; -3/4; -5; 0).
При х3 = 0, х4 = 0 имеем матрицу				
Х1		х2	х5	
	1	2	1	4
	0	0	0	—7
	0	0	-	-1	-5
из которой видно, что второе уравнение противоречиво.
Следовательно, набор неизвестных Xi, х2, х5 базиса не об-
разует, а потому и нет соответствующего базисного реше-
ния. По той же причине не существуют базисные решения,
соответствующие наборам неизвестных Xi, х2, х4 и хь х2, х3.
32
В задачах 2.31—2.40 найти все существующие базис-
ные решения.
2.31.	xi + Зх2 =14,)
2xi — Зх3 = 7, >
2хг “И Хз = 7. J
2.32.	3xi 4“ х2 — 9хз = 4, |
xi — Зх3 + х4 = 2 J
2.33.	Xi 4~ х2 Хз 4~ Зх4 = 16, |
— Х14“Х2 4“ЗХз— х4 = 8.)
2.34.	Xi 4“ х2 4“ 5х3 4“ ^4 = 24, |
3X1 — Х2 — Зхз 4» х4 = 0. J
2.35.	7xi — 4х2 — 4х3 4~ х4 = — 1,1
5xi — 4х3 — х4=	5, ?
— Xi 4“ 2x2	— х4 =	3. J
2.36.	4xi 4-*2—12хз4-*4 = 6,1
2xi + х2 — 6х3 — х4 = 2. J
2.37.	2X14* ^2— Хз 4“ х4 = 9/
— Xi -|- х2— Хз 4” х4 = 3, >
3X1— х24“ Хз— х4=1,
Xi — 2х2 4- Зхз 4“ 2х4 = 5. >
2.38.	2xi 4“ Зхг — Хз 4“ х4 = 1, )
8xi 4“ 12x2 — 9хз 4~ 8х4 = 3, I
4xi 4“ 6x2 4“ Зхз — 2х4 = 3, J
2xi + Зх2 4“ 9хз — 7х4 = 3. у
2.39.	Х\ 4~ Х2 4“ Хз = 5,1
2xi4“ Хг 4“ Хз = 8, ?
Х| 4“ 2х2 4“ 2хз = 7. )
2.40.	5xi 4“ х2 — Хз = 2, )
lOxi 4-2х2 —х3 = 7, >
5xi 4“ Х2 4“ Хз = 8. )
2.4. Опорные решения системы
линейных уравнений
В приложениях важную роль играют базисные решения, в которых
базисные неизвестные принимают неотрицательные значения. Такие
решения называют опорными. Чтобы получить опорное решение неопре-
деленной системы уравнений, необходимо с самого начала гауссовых
исключений выбирать разрешающие элементы по определенному пра-
вилу. Установим его.
Без ограничения общности рассуждений можно считать, что все
элементы а,0 столбца свободных членов исходной расширенной матрицы
системы неотрицательны, ибо если это не так, то обе части соответствую-
щего уравнения следует умножить на —1.
2 А. В. Кузнецов и др.
33
Предположим, что гауссово исключение выполняется с разрешаю-
щим элементом a*s. В результате свободный член al0 примет вид a/о =
= aioUks — aisako и будет неотрицательным, если
aioaks atsak0.	(2.9)
Пусть aks > 0. Если при этом als < 0, то неравенство (2.9) выпол-
няется и a/о 0. Если же ais > 0, то из (2.9) получаем ам/а^ а^/а^
т. е. чтобы a/о был неотрицательным, надо, чтобы отношение свободного
члена к разрешающему элементу не превышало отношений других сво-
бодных членов к соответствующим положительным элементам разрешаю-
щего столбца.
Пусть aks < 0- Если при этом ats >> 0, то неравенство (2.9) неверно,
т. е. в этом случае отрицательным разрешающий элемент быть не может.
Если же все a/s < 0, то неравенство (2.9) будет справедливым при
условии, что |a*o/a*sl |a«o/a«l, т. е. если для разрешающей строки
модуль отношения свободного члена к разрешающему элементу будет
не меньше модулей отношений других свободных членов к соответст-
вующим отрицательным элементам разрешающего столбца.
Объединяя проведенные рассуждения, приходим к следующим пра-
вилам:
1) если в разрешающем столбце есть положительные и отрицатель-
ные элементы, то в качестве разрешающего элемента выбирается такой
положительный элемент, для которого отношение свободного члена
строки к этому элементу будет наименьшим из всех отношений свободных
членов к соответствующим положительным элементам разрешающего
столбца;
2) если в разрешающем столбце только неположительные элементы,
то в качестве разрешающего выбирается такой отрицательный элемент,
для которого абсолютная величина отношения отрицательного свобод-
ного члена строки к этому элементу будет наибольшей из всех абсолют-
ных величин отношений отрицательных свободных членов к соответст-
вующим отрицательным элементам разрешающего столбца.
Пример 2.7. Найти все существующие опорные реше-
ния системы
2%1 “F	%2 —	Хз -р	Х4 = 9,
— Xi -р	Х2 —	Хз -р	Х4 = 3,	I
3xi —	х2 +	Хз —	Х4 = 1,	Г
Xi — 2х2 -р Зхз -р 2x4 = 5.	J
Решение. Выделим в расширенной матрице системы
единичную подматрицу, выбрав в ходе полных гауссовых
исключений разрешающие элементы по установленным
выше правилам. Для первого исключения примем за раз-
решающий, например, первый столбец. Разрешающую
строку определим из условия min (9/2; 1/3; 5/1)= 1/3.
Ею будет третья строка, а разрешающим — элемент 3.
В результате придем к матрице с двумя пропорциональ-
ными строками, одну из которых отбросим:
34
2	1 - — 1	1 - [з] -1 1	-2	-1	1 -1	1 1 -1 3	2 ‘о	[Т] 3 -1 0 —5	9 3 1 5	-1 1 8	0 0 3 - 0 - 1 -1 7	5 2 -1 -5 5' 1 14	— 5 5 — 2 2 1 1 8 7	25 10 1 14
Если теперь в полученной матрице взять разрешающим
второй столбец, то разрешающим в нем будет элемент 1,
поскольку он является единственным положительным эле-
ментом этого столбца. Выполняя исключение, после упро-
щений приходим к матрице
01—115
10	0	0	2
0 0	[Т] 4 13
(2.Ю)
Преобразовав эту матрицу с третьим разрешающим столб-
цом (разрешающим в нем будет элемент 1), получим
матрицу
0 1 0 5 18
10 0 0	2
0 0 1 4 13
(2.П)
с единичной подматрицей. Матрице (2.11) соответствует
система трех уравнений с четырьмя неизвестными (г = 3,
и = 4), общее число базисных решений которой не превы-
шает С4 = С} = 4. При этом базисами системы переменных
могут быть наборы хь х2, хз; х2, х4; Xi, хз, х4; х2, х3, х4.
На основе матрицы (2.11) при х4 = 0 находим базисное
решение (2; 18; 13; 0), которое является опорным.
Подвергнем матрицу (2.10) преобразованию с четвер-
тым разрешающим столбцом. Разрешающую строку вы-
берем из условия min(5/l; 13/4)= 13/4. Ею будет по-
следняя строка, а разрешающим — элемент 4. Получим
матрицу
04—50	7
4 0	0 0	8
00	1 4 13
35
по которой при %з = 0 найдем в базисе {xi, х2, х4} еще одно
опорное решение: (2; 7/4; 0; 13/4).
Если теперь в матрице (2.11) выбрать в качестве раз-
решающего четвертый столбец с намерением перейти к
базисному решению в базисе {хь х3, х4}, то для этого раз-
решающим должен быть элемент 5 первой строки. Он,
однако, разрешающим быть не может, поскольку не удов-
летворяет минимальному отношению для четвертого столб-
ца. Значит, базисное решение в указанном базисе опорным
не будет.
Анализируя эту же матрицу (2.11), можно заключить,
что набор х2, х3, х4 базиса не образует, так как для вы-
деления соответствующей единичной подматрицы разре-
шающим следовало бы взять элемент второй строки чет-
вертого столбца. Но этот элемент равен нулю, а потому
разрешающим быть не может.
Таким образом, система уравнений имеет только два
опорных решения: (2; 18; 13; 0) и (2; 7/4; 0; 13/4).
В задачах 2.41—2.46 найти все существующие опорные
решения.
2.41.	X| + х2 “р х4 = 2, |
3xi — х2 — 2х3 + х4 = 0. J
2.42.	xi — 7х2 + хз + х4 = 28, ]
5xi — 9х2 — хз + х4 = 20. J
2.43.	2xi + х2 — 2х3 — х4 = 4,
5x2 — 2хз — Зх4 = 10,?
— 3xi + х2 + 2хз = — 1. J
2.44.	15х1 — 10х2 + 2хз= 0,"|
5x2 — 4хз = 15,?
5xi — 2хз = 10. )
2.45.	2xi — х2 + Зхз + х4 = 9,
х 1	-|- Хз + х4 = 7, >
Xi + х2 — 2х3 + х4 = 13. J
2.46.	— 2xi + Зх2 + хз = 9, 1
2xi + 5x2	+ х4 = 31, ?
3xi— х2 +xs = 21.J
В задачах 2.47—2.50 найти опорное решение в указан-
ном базисе.
2.47.	7xi — 4х2 — 4х3 + х4 = —' 1Д
5xi — 4х3 — х4 =	5, ? в базисе {хь х2}.
— Xi + 2х2	—х4 = 3 J
36
2.48.
2.49.
2.50.
4xt j- x2 - 12хз + x4 - 6,1 базисе (	}
2%1+%2— 6x3 —x4 = 2 J	1 J
— 2xj И- 3x2 X3	=9,^
xi + x2 + *4	=8, >в базисе {xb x2, x3).
3xi —2x2	+x5=9J
2xi “И 3x2 — X3 -p x4 = I,'1
8x1 -|- 12x2 — 9хз -j- 8x4 = 3,
4xi -|- 6x2 “H Зхз — 2x4 = 3,
2xi И- 3x2 -p 9хз — 7x4 = 3 у
в базисе {x2, x3}.
2.51.	По условиям задачи 1.1 установить, сколько еди-
ниц транспорта каждого вида потребуется для перевозки
оборудования из Минска в Могилев.
2.52.	По условиям задачи 1.2 определить, сколько
единиц оборудования каждого типа должно заказать
предприятие.
2.53.	По условиям задачи 1.3 найти план выпуска
продукции.
2.54.	По условиям задачи 1.4 определить количество
пищи каждого вида, включаемой в суточную диету.
2.55.	По условиям задачи 1.5 найти объемы поставок
груза со станций в указанные пункты.
2.56.	По условиям задачи 1.6 определить, какое коли-
чество сырья следует перерабатывать по каждой техно-
логии, чтобы выполнить плановое задание по выпуску
изделий.
2.57.	По условиям задачи 1.7 найти план перевозки
мебели со станций в магазины.
2.58.	По условиям задачи 1.8 определить состав еже-
недельного рациона для откорма свиней.
2.59.	По условиям задачи 1.9 установить, сколько
дополнительных скорых и пассажирских поездов можно
еженедельно отправлять из Минска.
2.60.	По условиям задачи 1.10 найти план выпуска
изделий трикотажной фабрики.
2.61.	По условиям задачи 1.11 определить количество
удобрений, которое следует приобрести.
2.62.	По условиям задачи 1.12 установить, сколько
тракторов той ц другой марки следует приобрести сельско-
хозяйственному предприятию для выполнения запланиро-
ванного объема полевых работ.
37
3.	ВЕКТОРЫ
3.1.	Линейные операции над векторами
Упорядоченную совокупность (хь х2;	х„) п вещественных чисел
называют п-мерным вектором, а числа х, (i— 1, п)—координатами
вектора.
Правило сложения двух векторов: a = (xi; у^ Zi) и b = (x2; //2; z2):
а + b = (xi + х2; yi + у2, z\ 4- z2); правило вычитания: а — b = (xi — х2;
yi — у2\ 21—z2); правило умножения на число: aa = (axi; au/ь azj).
Ненулевые векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда
Ь = Ха(Х=#0), что через координаты записывается следующим образом:
X2/Xi =У1/У\ =z2/zx.
Линейной комбинацией векторов а, b и с называется вектор d =
= Xia 4- l2b 4- Хзс, где хотя бы одно из Xh Х2, 13 отлично от нуля.
Пример 3.1. На векторах ОЛ=(5; 10; 15) и ОВ =
= (0; 10; 5) построить треугольник ОАВ. Точка М делит
сторону АВ в отношении 2:3. Найти координаты векто-
ра ОМ.
Решение. На рис. 3.1 построен треугольник ОАВ.
Из рисунка видно, что вектор АВ = ОВ — О А =( — 5;
0; — 10). Из треугольника ОАМ следует, что вектор ОМ =
= ОА +АМ = ОА + 2/5АВ = (5; 10; 15) + 2/5(—5; 0;
-10) = (5; 10; 15) + (-2; 0; — 4) = (3; 10; 11). Итак,
-------------------->-
искомый вектор ОМ имеет координаты (3; 10; 11).
38
3.1.	Найти линейную комбинацию 3ai + 5а2 — аз векто-
ров ai =(4; 1; 3; — 2), а2 = (1; 2; — 3; 2), а3 = (16; 9; 1; -3).
3.2.	Найти вектор х из уравнения 3(ai—x)4-2(a2 +
-|-х) = 5(а3 + х), если ai = (2; 5; 1; 3), а2 = (10; 1; 5; 10),
а3 = (4; 1; -1; 1).
3.3.	Даны точки Л(— 1; 5; — 10), В(5; —7; 8), С(2; 2;
— 7) и £)(5; — 4; 2). Проверить, что векторы АВ и CD
коллинеарны. Установить, во сколько раз один длиннее
другого.
3.4.	Даны три вершины параллелограмма: А (1; —3; 3),
В(3; 2; 1) и С(6; 4; 4). Найти четвертую вершину D. По-
строить параллелограмм.
3.5.	Векторы АВ = (2; 6; — 4)иДС = (4; 2; —2) совпа-
дают со сторонами треугольника АВС. Определить коорди-
наты векторов, совпадающих с его медианами АМУ BN
и CD.
3.2.	Скалярное произведение векторов
Пусть даны векторы:
a = (xi; t/i; zi), b(x2; yz', z2).
Определение скалярного произведения:
a • b = I a| Ib| cos(a, b).
Выражение скалярного произведения через координаты векторов:
а • Ь = Х1Х2 + У1У2 + 2122.
Косинус угла между векторами:
cos(a, Ь) = а• Ь/|а| |Ь|.
Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда векторы ортогональны. Условие ортогональности векторов в ко-
ординатной форме записывается так: х\х2 + У1У2 + 2122 = 0.
Длина вектора а находится по формуле
I а| = -\/xi+ 1/1 4-z?.
Проекция вектора а на ось е определяется по формуле
преа = | а| cos(a^e)-
Направляющие косинусы вектора а находятся по формулам:
cos а = cos (а, Ох) = xi/-^/xf +	+ 2?,
cos ₽ = cos (а, Оу) = y\/-\Jx\ + #? + sf,
cos у = cos (a, Oz) = zi/-\/x? + #? + z\.
39
Пример 3.2. Построить треугольник с вершинами Л(2;
— 3; 1), В(4; 11; 6), С(4; —4; 3). Найти длины сторон АС
и АВ и угол ВАС.
Решение. Треугольник АВС построен на рис. 3.2.
Находим длины сторон АС и АВ:
I АС | = У(4-2)2-|-(-4 + 3)2 + (3- I)2 =	3,
\АВ | = 15. Для определения угла ВАС найдем координаты
векторов АС и АВ, образующих его: АС= (2; -1; 2),
АВ=(2; 14; 5). После этого определяем cos(/l С АВ)) =
= (4 — 14 + 10)/(3 • 15) = 0, откуда ВЛС = 90°.
Пример 3.3. Построить параллелограмм на векторах
► ' >
ОА = i + j и ОВ = 3j + к. Определить острый угол между
диагоналями параллелограмма.
Решение. Строим точки Л(1; Г, 0) и В(0; 3; 1), затем
векторы ОА и ОЙ, а по ним — параллелограмм ОАСВ
>
(рис. 3.3). Находим векторы ОС и АВ-.
ОС = ОА + OB = i + j + k + 3j = i + 4 j + k,
Afi = 0B-O4 = 3j + k-i-j= -i+2j + k.
40
Теперь можно найти искомый угол а по его косинусу:
cos а = cos(OC, АВ) —
= (- 1 + 8 + 1)/(V1 + 16+ 1 V1+4+1) =
= 4/(3~\/з), а = arccos(4/3"\/5).
Пример 3.4. Даны векторы а = (3; —2; 1) и Ь = (— 1;
1; —2). Найти вектор г = (х; у\ z), ортогональный векто-
рам а и Ь, если его длина равна
Решение. По условию ортогональности векторов
имеем Зх —2r/ + z = 0 и — х + у — 2z = 0. Кроме того, по
условию х2 + У2 + 22 = (~у/з5)2. Решая систему этих трех
уравнений, находим: х=±3, у=±5, z=±l. Итак,
П=(3; 5; 1), г2 = (-3; -5; -1).
3.6.	Даны векторы а = (—-2; 1; 1), Ь = (1; 5; 0), с =
= (4; 4; —2). Вычислить прс(3а — 2Ь).
3.7.	Найти пр^ЛВ, если Л(1; —2; 3), В(4; —4; —3),
С(2; 4; 3), £>(8; 6; 6).
3.8.	Найти направляющие косинусы вектора а =
= (1; -2; 2).
3.9.	Даны векторы а = (1; 1; 2), Ь = (1; —1; 4) и с =
= (1; —2; 8). Найти прь-са.
3.10.	Даны векторы а = (3; —5; 8) и Ь = (— 1; 1; —4).
Найти |а + Ы и |а — Ь|.
3.11.	Вектор а составляет с осями координат равные
углы. Вычислить его координаты, если |а| =3.
3.12.	Векторы а и Ь образуют угол ф = л/6, |а| =
— д/з^ |Ь| = 1. Вычислить угол а между векторами р =
= а + Ь и q = а — Ь.
3.13.	Найти угол между диагоналями параллелограм-
ма, построенного на векторах а = (2; 1; 0) и b = (0; — 2; 1).
3.14.	Доказать, что сумма квадратов диагоналей па-
раллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
3.15.	Доказать, что квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без удвоен-
ного произведения этих сторон на косинус угла между
ними.
3.16.	Найти вектор а = (х; у; z\ зная две его коорди-
наты у = 2, z = — 3 и длину |а| = д/з&
3.17.	Найти единичный вектор р, одновременно пер-
пендикулярный к вектору а=(3; 6; 8) и оси Ох.
41
3.18.	Найти углы треугольника АВС с вершинами
А (2; —1; 3), В(1; 1; 1) и С(0; 0; 5). Построить тре-
угольник.
3.19.	Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами
треугольника ЛВ=(1; 2; 2) и вб = (2; — 2; 1), найти
внутренние углы треугольника.
3.20.	Даны векторы а, b и с, удовлетворяющие условию
а + Ь + с = 0. Вычислить a-b + b-c + c-a, если |а| = 1,
1Ы=2, |с| =3.
3.21.	Найти вектор с, коллинеарный вектору а= (2; 1;
— 1) и удовлетворяющий условию с-а = 3.
3.22.	Даны векторы а= (5; 2; 0) и Ь= (7; —3; 0). Най-
ти вектор с, удовлетворяющий условиям а-с = 38 и
Ь-с = 30.
3.23.	Найти вектор с, зная, что он перпендикулярен к
векторам а= (2; 3; — 1) и b= (1; —2; 3) и что с- (2; — 1;
1) = -6.
3.24.	Вычислить косинус тупого угла между медиана-
ми, проведенными из вершин острых углов равнобедрен-
ного прямоугольного треугольника.
3.25.	Найти вектор Ь, коллинеарный вектору а= (2; 1;
— 1) и удовлетворяющий условию а«Ь=12.
___> >
3.26.	Вектор ОМ составляет с осями координат равные
углы. Определить эти углы, если его длина равна
2д/3. Построить вектор.
3.27.	Вектор а составляет с осями координат равные
углы. Найти координаты вектора, если |а|=3д/3.
3.28.	Даны единичные векторы а, b и с, удовлетворяю-
щие условию а+Ь + с = 0. Вычислить a«b + b*c-|-c • а.
3.29.	Проверить, что точки Д(3;—1;2), В(1;2;3),
С( —3; 4; 6) и £)(3; — 5; 3) служат вершинами трапеции
DABC, Определить длину средней линии трапеции. По-
строить трапецию.
3.30.	Вектор х, перпендикулярный к векторам а= (3;
 >
2; 2) и Ь= (18; —22; —5), образует с осью Оу тупой угол.
Найти его координаты, если |х| = 14.
42
4.	СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
4.1.	Линейная зависимость
и независимость векторов.
Базис и ранг системы векторов
Система xi, хг, ..., хт n-мерных векторов называется линейно зави-
симой, если найдутся такие числа Лг, ..., Лот, из которых хотя бы одно
отлично от нуля, что Mxi -I-X2X2-I-... Н-ЛтХот = 0; в противном случае
данная система векторов называется линейно независимой, т. е. указан-
ное равенство возможно лишь в случае, когда все Xi = 0 (г= 1, т).
Базисом данной системы векторов называют такую подсистему, век-
торы которой линейно независимы, а любой другой вектор системы явля-
ется их линейной комбинацией.
Рангом системы векторов называется максимальное число линейно
независимых векторов этой системы, т. е. число векторов в базисе.
Диагональной системой векторов называется следующая система:
Х1 = (ац; агь <231;	аЯ1),
Хг= (0;	Я22', <332; ..-J <3л2),
х3=(0; 0; а3з; ап3),
Х/л— (0; 0;	0;	...*, агг, •••> Qmn),
где ам=/=0; а22=/=0; ...;
Диагональная система векторов линейно независима.
Для вычисления ранга системы векторов нужно составить матрицу
из координат этих векторов и привести ее к диагональному виду. Число
оставшихся линейно независимых строк и равно рангу системы векторов.
Пример 4.1. Показать, что векторы xi = (1; 2; 1; 2),
х2 = (— 1; 3; 2; 1), х3 = (—13; — 1; 2; —11) линейно за-
висимы. Найти эту зависимость.
Решение. Составим линейную комбинацию: Х1Х1 +
+ Х2х2 + ^3X3 = 0 или
Это векторное уравнение эквивалентно следующей системе
уравнений:
К j— Х2—13Х3 = 0,
2 К j ЗХ2 — Х3 = 0,
Кj -|- 2Х2 -J- 2Х3 = 0,
2Aq-|- А<2—11Х3 = 0.
43
Решая ее,находим: X1==8X3, ^2=—5Х3. Составленная вы-
ше линейная комбинация принимает вид 8x1 —5х2 + х3 = 0.
Это равенство и свидетельствует о линейной зависимости
данной системы векторов.
Пример 4.2. Для системы векторов из примера 4.1 най-
ти все базисы.
Решение. Матрицу, составленную из координат век-
торов, приводим к диагональному виду:
И 2 1	21 [*
-1	32	1 ~ О
-13 -1 2 -11 ] [о
2	1	2
5 3 3
ООО
Из последней матрицы видно, что ранг данной системы
векторов равен 2. Следовательно, любой базис этой си-
стемы содержит два вектора. Из той же матрицы следует,
что один из базисов образуют векторы Xi и х2. Проверим,
образуют ли базисы пары xi, х3 и х2, х3. Для этого соста-
вим матрицу из координат векторов, например Xi и х3, и
приведем ее к диагональному виду:
Г 1	21	21	Г1 2	1	2‘
[ — 13	—1	2	—И]	.0	25	15	15	*
Отсюда следует, что векторы xi и х3 линейно независимы
и, значит, образуют базис. Аналогично устанавливаем,
что и векторы х2, х3 образуют базис.
Пример 4.3. Определить ранг системы векторов х> = (1;
2;3;4), х2= (2; 3; 4; 1), х3= (3; 4; 1; 2), х4= (4; 1; 2; 3).
Решение. Обычным путем матрица из координат дан-
ных векторов приводится к диагональному виду					
	1	2	3	4’	
	0	-1	— 2	— 7	
	0	0	4	— 4	
	0	0	0	-160	
по которому устанавливаем, что ранг системы векторов
равен 4, а поскольку система содержит четыре вектора,
то она линейно независима.
44
4.1.	Показать, что система векторов xi = (4; 3; 2; 1),
х2 = (1; 2; 3; 4), Хз= (5; 6; 5; 0) линейно независима.
4.2.	Показать, что система векторов xj= (4; 3; 2; 1),
х2 = (2; 3; 4; 5), х3 = (6; 6; 6; 6) линейно зависима. Найти
эту зависимость.
4.3.	Дана система векторов xj = (1; 2; 3; 4), х2= (4; 3;
2; 1), х3={1; 1; 1; 1). Проверить наличие линейной зави-
симости.
4.4.	Проверить наличие линейной зависимости системы
векторов xi = (1; 1; 1; 1), х2= (1; — 1; 1; — 1), х3= (2; 3;
1; 4), х4=(2; 1; 1;3).
4.5.	Определить ранг системы векторов Х| = (0; 1; 1;
2), х2= (1; 2; 3; 1), х3=(1;2;3; —4), х4=(0;2; 1; 1).
4.6.	Определить ранг системы векторов Х|= (2; —1; 3;
— 2; 4), х2=(-4; -2; 5; 1; 7), х3= (2; -1; 1; 8; 2).
4.7.	Определить ранг и все базисы системы векторов
Х1 = (3; 5; 7), х2=(1;2;3), х3=(1;3; 5), х4=(1; 1; 1).
4.8.	Определить ранг и все базисы системы векторов
Х1 = (4; -1; 3; -2), х2=(8; —2; 6; -4), х3= (3; -1;
4; -2), х4=(6; -2; 8; -4).
4.9.	Найти все базисы системы векторов xi = (l; 2;
0; 0), х2= (1; 2; 3; 4), х3= (3; 6; 0; 0).
4.10.	Найти все базисы системы векторов xi = (1; 2; 3;
4), х2=(2; 3; 4; 5), х3=(3; 4; 5; 6), х4=(4; 5; 6; 7).
4.11.	Дан базис ei, е2, ез. Показать, что векторы 3ei,
ei — е2, е3 — е2 также образуют базис.
4.12.	Даны векторы a = 2ei — ае2-|-5е3 и b = ei + 4e2 +
+ Рез, где ei, е2, ез — базис. При каких значениях аир
векторы а и b коллинеарны?
4.13.	Даны векторы a = 3ei+ ае2 + е3 и b = aei + 5e2 +
+ 4ез в базисе ei, е2, е3. При каком значении а они орто-
гональны?
4.14.	Дан базис в пространстве R3: (1; 0; 0), (0; 1; 1),
(0; 1; 0). Какие векторы можно удалить из базиса и за-
менить вектором а= (4; 3; 3) так, чтобы оставшиеся век-
торы все еще составляли базис?
4.15.	Пусть n-мерные векторы а, b и с линейно незави-
симы. Показать, что а + b, Ь-|-с, а + с тоже линейно неза-
висимы. Что можно сказать о векторах а —b, b-f-c, а-|-с?
4.16.	Образуют ли следующие векторы базис простран-
ства R3:
а)	х,= (3;	0;	2), х2=(7; 0;	9), х3=(4; 1; 2);
б)	Х1=(1;	1;	0), х2=(3; 0;	1), х3=(5; 2; 1);
в)	xi= (1;	5;	7), х2= (4; 0;	6), х3= (1; 0; 0)?
45
4.17.	Доказать, что система векторов, содержащая два
равных вектора, линейно зависима.
4.18.	Доказать, что система векторов, два вектора ко-
торой различаются скалярным множителем, линейно за-
висима.
4.2.	Разложение вектора по базису
Пусть векторы ai, аг, ая образуют базис п-мерного пространства,
а b — произвольный вектор этого пространства. Тогда b может быть
разложен по векторам базиса, и притом единственным образом, т. е.
найдутся такие числа ои, аг, ..., ая, что
b = aiai -|-агЯг4- ...аяая.
Пример 4.4. Векторы aj=(l; 2; —1), а?= (3; 6; 1),
а3 = (3; 9; 3) образуют базис пространства R3. Разложить
по этому базису вектор Ь=(2; 5; 0).
Отсюда получаем следующую систему уравнений:
а1 + За2 + За3 = 2,'
2а j + 6а2 + 9а3 = 5,
— aj+ а2 + За3 = 0,
решая которую, находим: ai = 1, аг = 0, а3=1/3. Таким
образом, искомое разложение имеет следующий вид:
b = 1 • а 1 -|- 0 • Я2 ”р 1 / 3 • а3.
Второй способ. Из координат данных векторов со-
ставляем матрицу и методом последовательного исключе-
ния приводим ее к трапецеидальному виду:
1 2
3 6
3 9
2 5
46
1	2	-1
0	3	6
0	0	4
ai
аз За,
а2 За,
0 1	2 | b — 2а,
12-1	а,
0	3	6	а3—За,
0	0	4	а2—За,
0	0	0	|	ЗЬ — 6а, — а3 + За,
Из последней строки последней матрицы находим иско-
мое разложение:
ЗЬ —6а, — а3 + За, = 0 или b= 1-а,+0-а2-|-1/3-а3.
4.19.	Даны четыре вектора a, b, с, d в некотором бази-
се. Показать, что векторы а, Ь и с образуют базис, и разло-
жить вектор d по этому базису, если:
а)	а= (4; 5; 2), Ь= (3; 0; 1), с=( —1; 4; 2), d=(5;
7; 8);
б)	а= (3; -5; 2), Ь= (4; 5; 1), с=( —3; 0; -4),
d=(— 4; 5; —16);
в)	а=( —2; 3; 5), Ь=(1; -3; 4), с=(7; 8; -1),
d=(l; 20; 1);
г)	а= (1; 3; 5), Ь= (0; 2; 0), с= (5; 7; 9), d= (0;
4; 16).
4.20.	Даны пять векторов х,, х2, х3, х4, хе в некотором
базисе. Показать, что векторы х,, х2, х3, х4 образуют базис
этой системы векторов, и найти координаты вектора xs
в этом базисе, если:
а)	х,= (2; 4; 8; 3), х2= (2; 3; 5; 3), х3=(-1; -1;
-3; -2), х4 = (1; 2; 4; 2), х5=(4; 6; 12; 6);
б)	х,= (2; 1; 2; 1), х2= (3; 1; 1; 1), х3=(11; 5; 3; 3),
х4=(5; 2; 2; 4), х5=(2; 1; -3; —3);
в)	х,= (2; 1; 2; 3), х2=(5; 3; 10; 8), х3=(4; 2; 9; 9),
х4= (1; 1; 7; 2), х5=(20; 11; 40; 37);
г)	х, = (3; 3; 6; 3), х2= (4; 5; 8; 5), х3=(1; 3; 1; 3),
х4=(2; 5; 5; 7), х5=(-3; -6; -8; -8);
д)	х,= (3; 2; 1; 1), х2=(-2; -3; 2; -1), х3=(-5;
1; 0; -4), х4= (1; 5; —4; 9), х5= (3; -3; -3; 22);
е)	х,= (4; 1; 3; 2), х2=(-3; -2; -1; 3), х3=(1;
— 2; 2; 2), х4=(5; —3; 0; —8), х5=(7; 3; —1; —7).
4.21.	Даны векторы а=е, -j-e2-|-e3, Ь = 2е, —е2, с = Зе3
47
в базисе ei, е2, е3. Показать, что векторы а, Ь, с также
образуют базис. Найти координаты вектора 6ei — Зе2 + е3
в базисе а, Ь, с.
4.3.	Ортогональные системы векторов
Особую роль среди систем n-мерных векторов играют ортогональ-
ные системы, т. е. такие системы ненулевых векторов, в которых каждый
вектор ортогонален любому другому. Ортогональная система п п-мерных
векторов образует базис евклидова пространства. Такой базис называ-
ется ортогональным. Если при этом длины векторов равны единице, то
базис называют ортонормированным. Простейшим и наиболее важным
ортонормированным базисом является базис, составленный из единичных
векторов ei, ег, ..., ея.
Ортогональные базисы интересны потому, что в них координаты век-
тора находятся очень просто: если ai, аг, ..., аЛ — ортогональный базис
и a = XiaiН-Х2а2-|“...-|“Хлал, то Х,= а-а< (i=l, п).
Пример 4.5. Показать, что векторы а=(1; 2; —2; 1)
иЬ=(1; —1; —1; —1) ортогональны. Дополнить систему
а, b до ортогонального базиса. Найти координаты вектора
w=(l; 2; 3; 4) в этом базисе.
Решение. Вычислим скалярное произведение данных
векторов: ab = 1 • 1 +2(- 1) + (-2) (- 1) + 1 (- 1) =0.
Оно равно нулю, следовательно, векторы ортогональны.
Пусть с = (хп у\\ zr, ui), d= (х2; «/2, z2, и2) — векторы,
дополняющие систему а, b до ортогонального базиса. То-
гда а-с = 0 и Ь«с = 0, или в координатной форме
Xi + 2yi — 2zi + ul = 0fy
*1“ У\~ 2, —«! = ().)
Решая эту систему, находим одно из частных решений
(4; 1; 3; 0). Итак, с= (4; 1; 3; 0).
Теперь, когда есть три попарно ортогональных вектора
а, Ьис, выбираем четвертый вектор d из условия a-d = 0, .
b-d = 0, c d = 0, или в координатной форме
х2 + 2у2 2z2 -f- ^2=
Х2 У 2	^2	^2==^»
4x2-f- У2Л~^2	=0.
Одним из частных решений этой системы будет (3; —9;
— 1; 13). Тем самым найден и вектор d=(3; —9; —1;
13), а вместе с этим — и один из ортогональных базисов
а, Ь, с, d. Остается найти в этом базисе координаты век-
тора w: w = Xia+X2b + Л3с +X4d. Координаты равны
48
скалярным произведениям вектора w на соответствующие
векторы базиса: Xi = w-a = (1; 2; 3; 4) • (1; 2; —2; 1) = 3,
X2 = w-b=—8, Х3 — w-c=15, X4 = w-d = 34.
4.22.	Проверить, что следующие пары векторов ортого-
нальны, и дополнить системы до ортогональных базисов:
а)	а= (1; —2; 2; —3), Ь=(2; — 3; 2; 4);
б)	а= (1; 1; 1; 2), b= (1; 2; 3; —3).
4.23.	Найти векторы, дополняющие следующие систе-
мы до ортонормированных базисов:
а)	(2/3; 1/3; 2/3), (1/3; 2/3; -2/3);
б)	(1/2; 1/2; 1/2; 1/2), (1/2; 1/2; —1/2; —1/2).
4.24.	Пользуясь особенностью ортогонального базиса,
найти координаты вектора и = (3; 6; —9) в базисе
а= (2/3; 1/3; 2/3), Ь= (1/3; 2/3; -2/3), с=(-2/3;
2/3; 1/3).
4.25.	Даны ортонормированные векторы а= (1/д/З;
1/д/З; 1/д/з) и Ь=(1/д/2; 0; —1/д/5~). Подобрать
третий вектор с так, чтобы система а, Ь, с образовала
ортонормированный базис.
4.26.	Является ли базис а= (1/2; 1/2; 1/2; 1/2),
Ь= (1/2; 1/2; -1/2: -1/2), с=(1/2; -1/2; —1/2;
1/2), d — (1/2; —1/2; 1/2; —1/2) ортонормированным?
5. МАТРИЦЫ
5.1.	Арифметические операции над матрицами.
Ранг матрицы
Матрица — это прямоугольный массив чисел, записанный по стро-
кам и столбцам.
Для матриц одинаковой размерности определены операции сложения
и вычитания, которые сводятся к сложению и вычитанию соответствую-
щих элементов матриц.
При умножении матрицы на число каждый элемент умножается
на это число. Для того чтобы матрицу А умножить на матрицу В, нужно,
чтобы они были согласованы для умножения: число столбцов матрицы А
должно равняться числу строк матрицы В. В результате умножения полу-
чается матрица, у которой столько строк, сколько их у матрицы А, и столь-
ко столбцов, СКОЛЬКО ИХ у матрицы В, Т. е. A mXkBkXn = CmXn- При этом
элемент матрицы С равен сумме произведений элементов х-й строки
матрицы А на элементы /-го столбца матрицы В (i = 1, m\ / = 1, л).
Операция умножения матриц обладает некоторыми особенностями.
Например, для произведения матриц не всегда справедлив коммутатив-
ный закон: АВ=£ВА\ произведение АВ может оказаться нулевой мат-
рицей, хотя ни А, ни В не являются нулевыми; А2 есть нулевая матрица,
хотя А не является нулевой; 4Х = ВХ, хотя А=^В.
49
Рангом матрицы называют максимальное число ее независимых
вектор-строк. Ранг матрицы находят приведением ее к треугольному
(трапецеидальному) виду с помощью элементарных преобразований, к
которым относятся: 1) перестановка любых строк матрицы; 2) умноже-
ние на число А,=#0 любой строки; 3) вычеркивание строки, состоящей
сплошь из нулей; 4) вычитание из любой строки любой другой, умножен-
ной на число, отличное от нуля. Две матрицы называют эквивалентными,
если одна из них получена из другой с помощью конечного числа эле-
ментарных преобразований. Эквивалентные матрицы имеют одинаковые
ранги.
Элементарные преобразования над квадратными матрицами можно
осуществить с помощью умножения на данную матрицу некоторой эле-
ментарной матрицы, получаемой из единичной того же порядка, что
и данная матрица. Например, мы хотим переставить в матрице
’ 1
Л= 4
2 3
5 6
8 9
7
первую и третью строки. Для этого матрицу А нужно умножить слева
на матрицу
Если мы хотим из третьей строки матрицы А вычесть вторую, умно-
женную, например, на 4, то надо матрицу А слева умножить на матрицу
'1	0 0“
0	10,
0	—4	1
полученную вычитанием из третьей строки единичной матрицы второй ее
50
Решение. Матрица А имеет размерность 3X3, мат-
рица В — 3X2. Они согласованы для умножения. Матри-
ца АВ будет иметь размерность 3X2.
2-3 + 3-1 Ч-2( —1)	2-2 + 3-0 + 2-1 ’
— 4-3+1 • 1+3( —1) -4-2+Ь0 + 3-1
2-3+ 1 -1 +2(- 1)	2-2+1-0+2-1
7	6'
-14	-5
5	6
Пример 5.2. Найти ранг матрицы
Решение. С помощью элементарных преобразований
приводим матрицу к трапецеидальному виду (практически
выполняя прямой ход метода Гаусса):
3
2
1
2	1
3	1
-1 0
1
~ 0
о
3 1
БИ -1
-8 1
2	1 ’
-1 -1
— 7	-3
13	1	2 Г
0 — 4 -1 -1 -1
0	0 —12 20	4
Последняя матрица имеет трапецеидальный вид и со-
держит три строки, поэтому ранг данной матрицы равен
3, т. е. г(Л)=3.
5.1.	Определить размерность следующих матриц:
51
1 21 Г2 2
3 7’03
-31 гз
1 j’ [б
[2
-4 5 6].
5.2.	Дана матрица
Г 3 9	-2’
— 6	1	0
4 3	5
Чему равны элементы a2z, Язь Я|з? Какие элементы обра-
зуют главную диагональ, какие — побочную?
5.3.	Указать, какие из следующих матриц являются
диагональными:
О О’
-1 О
О 3
D =
0 О’
1 О
О 1
5.4.	Найти А —В, если:
5.5.	Найти 2Л + ЗВ, если:
, Г2 6	—41 „ Г2 1 3
А =	, В —
3-1	0	213
5.6. Найти матрицу X из уравнения:
5.7.	Какие из следующих матриц относятся к числу
диагональных, верхних треугольных, нижних треугольных:
52
3
о
о
7
3
О
6]	Г7 О О
0,050
1	0 0^2
7	0	-4‘
2,3	0	12 ?
О 0—7
5.8.	Найти АВ, если:
Г 1	0 21
5.9.	Найти АВ и установить, существует ли ВА, если:
5.10. Найти А2, если
1
2	5‘
4	10
— 2	—5
5.11.	Найти CD и DC, если:
5.12.	Показать, что АВ = ВА, если:
5.13.	Показать, что ЕА=А, и установить, существует
ли АЕ, если:
л fl 2 -41 Г1 01
[9 7	2J’ “[О 1]'
5.14.	Пусть
53
2
1
Показать, что:
а) ЛВ=Р
-6 3 12'
-1 5	5]’
— 1
г) Л2-4Л-9£ =
О'
1
Найти С2.
5.15. Дано: С =
Найти Л2, АВ, ВА, В2 и показать, что
(А + В)2=(А+В)(А + В)=А2 + АВ + ВА+В2 =
54
40	5	44'
-28	13 —33
-1	-62	88
5.18.	Дано:
1
0
Показать, что:
б)	(А + АТ)В^АВ+АТВ;
в)	ХТВТВХ = 5; г) YTATAY=10.
5.19.	Даны матрицы:
Г1 1 1
л 1 0 И „	2 2 2
Л =	, В =
-1	7 5]	3 3 3
Logo
-И г-1
1,0 =	2
1	1
Определить размерность следующих матриц: AC, DA, AD,
ВС, СВ, DAC, BCD А. Найти: 1) элемент, стоящий во вто-
рой строке и втором столбце матрицы АС; 2) элемент,
стоящий в четвертой строке и пятом столбце матрицы ВС;
3) элемент, стоящий в последней строке и последнем
столбце матрицы DA; 4) элемент, стоящий в первой строке
и первом столбце матрицы ВС.
5.20.	Предположим, что функция, характеризующая
валовой доход предприятия, имеет вид yt = aA-bqt + cqb
где yt — валовой доход; qt — выпуск продукции за период
/. Наблюдения охватывают лишь два периода, значения
qt и yt для которых приведены в табл. 5.1.
55
Таблица 5.1
Период t	Qt	Qt
1	10	100
2	20	150
1. Исходя из матричной формы представления функции
валового дохода:
А[а b c]T=yt,
где Л=[1 qt </?], составить основывающуюся на данных
проведенных наблюдений, помещенных в табл. 5.1, систе-
му уравнений для определения параметров а, b и с и ре-
шить ее.
2. Определить всю совокупность функций валового
дохода, которые удовлетворяют упомянутой в п. 1 системе
уравнений.
5.21.	В табл. 5.2 в надлежаще выбранных единицах
указано содержание витаминов в пищевых продуктах /71,
/?2 И /73.
Таблица 5.2
Продукты	Витамины			
	А	Б	в	Г
л.	0,5	0,5	0	0
п2	0,3	0	0,2	0,1
Л3	0,1	0,1	0,2	0,5
1.	Сколько витаминов каждого вида содержится в ра-
ционе, включающем 5 ед. продукта П\, 10 ед. продукта
/72 и 8 ед. продукта Z73?
2.	Учитывая только стоимость витаминов в каждом
продукте из расчета соответственно 10, 20, 25 и 50 ден. ед.
за единицу каждого витамина, установить стоимость еди-
ницы каждого вида продуктов.
3.	Подсчитать стоимость рациона, состав которого
приведен в п. 1.
5.22.	Решить матричные уравнения:
ч ГЗ	-1]	Г5	61	[14	161
а)	X =1	;
_5	“2J	I7	8J	L9	10.
56
5.23.	В табл. 5.3 указано содержание витаминов А, Б и
В в единице массы каждого из продуктов /71, /72 и /73.
Для поддержания здоровья необходимо потреблять 11 ед.
витамина А, 9 ед. витамина Б и 20 ед. витамина В.
Таблица 5.3
Продукты	Витамины		
	А	Б	в
/71	1	3	4
/72	2	3	5
/7з	3	0	3
1.	Найти все возможные варианты диеты, включающие
продукты /71, /72 и /7з и содержащие указанное количество
витаминов А, Б и В.
2.	Пусть цена единицы продукта П\ составляет 60 ден.
ед., продукта П2 — 10 ден. ед., продукта /73 — 10 ден. ед.
Составить диету стоимостью 100 ден. ед.
5.24.	На некотором заводе выпускаются изделия И\,
И2 и /73. В процессе изготовления они проходят штампов-
ку, сборку и окраску. Фонд рабочего времени (в часах)
на указанных операциях задан матрицей В = [40 40 80]г,
а затраты времени на каждой операции при изготовлении
единицы каждого изделия приведены в табл. 5.4.
1.	Обозначив через А матрицу удельных затрат вре-
мени, а через X = [xi х2 х3]г— матрицу выпуска изделий
И1, И2, Из, записать в матричной форме условия полного
использования фонда рабочего времени по каждой опера-
ции при реализации плана X.
2.	Определить объемы выпуска изделий И\, И2 и Из
при условии полного использования фонда рабочего вре-
мени по всем операциям.
57
Таблица 5.4
Операция	Изделие
	Я1	И2	И3
Штамповка Сборка Окраска	2	2	1 1	4	1 1	6	4
3.	Допустим, что выпускать изделие И\ предприятию
выгоднее, чем Я2 и Я3. Исходя из этого допущения, найти
максимально возможный объем выпуска изделия И\.
5.25.	В табл. 5.5 указано количество единиц продук-
ции, отгружаемой ежедневно на заводах 1, 2 и 3 в пункты
назначения I, II, III и IV, причем доставка единицы про-
дукции с каждого завода в пункт I стоит 90 ден. ед., в
пункт II — 110, в пункт III — 120, в пункт IV — 140 ден.
ед. Составить матрицу затрат на перевозки.
Таблица 5.5
Завод	Пункт назначения			
	I	п	ш	IV
1	10.	15	9	7
2	14	8	12	8
3	6	14	22	17
5.26.	Взять произвольную
третьего порядка и убедиться,
квадратную матрицу А
что умножение матрицы
1	0	О'
0 0 1
0	1	0
на матрицу А равносильно перестановке второй и третьей
строк матрицы А.
5.27.	По аналогии с задачей 5.26 установить, какую
матрицу надо умножить на произвольную матрицу Л, что-
бы поменять в ней местами:
а)	первую и вторую строки;
б)	первую и третью строки.
5.28.	Взять произвольную квадратную матрицу А чет-
58
вертого порядка и убедиться в том, что умножение
матрицы
Г1 О О О'
2	10 0
0 0	10
0 0 0 1
на матрицу А равносильно прибавлению ко второй строке
матрицы А удвоенной первой строки.
5.29.	По аналогии с задачей 5.28 установить, какую
квадратную матрицу надо умножить на произвольную
матрицу А того же порядка, чтобы:
а)	от третьей строки матрицы А отнять утроенную
вторую;
б)	от четвертой строки отнять первую.
5.30.	Определить ранг следующих матриц:
Г1 5	41 Г1 5 11
10 3
15 5
1	1—3	2
0	-1
1	3
2	0
5.31.	Предприятие производит изделия И\, и Я3. За
рассматриваемый промежуток времени плановый выпуск
характеризуется вектором х= (10; 7; 4). Для изготов-
59
ления изделий используется сырье Сь С2, Сз, С4 и С5.
В табл. 5.6 приведены нормы расхода сырья на единицу
каждого изделия. Вектор с=(7; 4; 5; 10; 2) задает стои-
мость единицы сырья каждого вида, а вектор t= (3; 2; 3;
6; 3) — стоимость перевозки единицы сырья каждого
вида.
Таблица 5.6
Изделие	Расход сырья				
	Ci	с2	Сз	с4	С,
И\	5	10	3	9	2
и2	4	8	5	6	8
Из	6	12	4	3	10
1.	Сколько единиц сырья каждого вида потребуется
для выполнения плана?
2.	Установить стоимость сырья, расходуемого на еди-
ницу изделия каждого вида.
3.	Определить стоимость сырья, необходимого для вы-
полнения плана.
4.	Найти стоимость всего сырья с учетом его транс-
портировки.
5.2. Обратная матрица и способы ее нахождения
Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной),
если ранг ее равен порядку. Квадратная матрица В называется обратной
для матрицы Л, если ВА~АВ = Е. Обратная матрица обозначается
Л-1. Если матрица А невырожденная, то она имеет обратную матрицу
Л_|, и притом только одну.
Существует несколько способов нахождения обратной матрицы. Ука-
жем два из них. Рассмотрим систему уравнений
AX=Y,	(5.1)
где А — квадратная невырожденная матрица, для которой необходимо
найти обратную матрицу Л-1; X — матрица-столбец неизвестных xi,
Х2, ..., хп\ Y — матрица-столбец неизвестных у\, y2t ..., уп. Умножив обе
части уравнения (5.1) слева на Л-1, получим
Х = Л-‘У.	(5.2)
Из равенства (5.2) видно, что коэффициенты при неизвестных у\,
у2, ..., уп в решении системы (5.1) относительно неизвестных xi, Х2, ..., хя
и являются элементами искомой матрицы Л-1.
Другой способ нахождения обратной матрицы Л-1 состоит в сле-
дующем. Если в системе (5.1) положить Y=E\ =[1 0 0... 0]г, получим
уравнение АХ\—Е\, решив которое, найдем первый столбец коэффициен-
тов обратной матрицы. Если теперь в системе (5.1) положить У=£2 =
60
= [0 1 0 ... 0]г, то в результате решения уравнения АХ2 = Ег получим
второй столбец обратной матрицы, и т. д. Итак, для нахождения обрат-
ной матрицы А необходимо решить п систем линейных уравнений вида
AXi — Et (i — 1, п). Однако вместо раздельного решения п указанных
систем можно решить все их одновременно, записав в расширенной
матрице системы (5.1) вместо одного сразу п столбцов свободных чле-
нов, т. е.
ан	61|2	ain	1	0	0	О'
а?1	а22	агл	0	1	0	0
ani ап2 ... апп 0 0 0	1
(5.3)
После этого матрица подвергается преобразованиям по алгоритму пол-
ного исключения и слева от вертикальной черты получается единичная,
а справа — обратная матрица Л-1. При расчетах желательно вести
контроль вычислений по известной методике (см. гл. 2).
Пример 5.3. Показать, что матрица
невырожденная, найти обратную матрицу А 1 и прове-
рить, что АА~' =А~'А = Е.
Решен		и е.	Находим			ранг	матрицы:				
д =	р 1	3 2	4 5		2 0	3 □	4" 6		2 0	3 1	4’ 6
	4	7	6		0	2	— 4		0	0	-16
г(А)=3.
Поскольку ранг совпадает с порядком матрицы, то
матрица невырожденная.
Найдем обратную матрицу.
Первый способ. Составляем систему вида (5.1):
2xj 4- Зх24- 4х3 = f/i,
%, 4-2х2 + 5хз =	.
4х1 + 7х2 + 6х3 = //3.
Решаем ее методом
полного исключения:
0 3 4
1 2.5
4 7 6
61
’2
О
О
О -14
1	6
О ЕНб]
4У1 — бу 2
— У1+2у2
— 2у( —4у2+2у3
— 32	О 0	— 92у1 + 40у2 + 28у3‘
0—16 О 2&У1— 8у2—12у3
О	0	—16	— 2у|— 4у2+ 2у3
1 О О
О	1	О
О	0	1
92/32у! — 40/32у2—28/32у3'
-28/16у,+ 8/16у2+ 12/16у3
2/16уг+ 4/1б1/2— 2/164/3
По последней матрице получаем
= 23/8у j —10/8i/2—7/8i/3,
х2= — 14/8t/! + 4/8у2 + 6/8у3,
*з=	1/8^1+ 2/8у2— 1/8у3-
Отсюда
	• 23/8	-10/8	-7/8’
А~' =	— 14/8	4/8	6/8
	1/8	2/8	- 1/8.
	- 		23	10	7‘
=		 1	14	—4	-6 .
		-1	-2	1
Второй способ. Составляем расширенную матрицу
вида (5.3) и, используя алгоритм полного исключения,
последовательно получаем
[2] 3
11	2
4	7
4	10 0
5	0 10
6	0 0	1
10
9
18
s
2 3	4	1 0 Oil 10
0 [Т|	6—1208
0 2 —4 —4 0 2 —4
62
2 0	-14
0	1	 6
О О Рйб]
4	—6 0	—14
-1	20	8
-2	—4 2	II	—20
-32	0	0	-92	40	28	-56
0	-16	0	28	— 8	-12	-8
0	0	-16	-2	— 4	2	— 20
1	0	0
О	1	О
О	0	1
92/32
-28/16
2/16
-40/32
8/16
4/16
-28/32-
12/16
-2/16
Справа от вертикальной черты
рицу.
Итак,
пол учили
обратную мат-
-10/8
4/8
2/8
-7/8‘
6/8
-1/8.
	23/8
А~1 — -14/8
.	1/8
63
-46+104-28 —69 + 20 + 49 — 92 + 50 + 42'
28— 4 — 24	42— 8 — 42	56 — 20 — 36
.— 2- 2+ 4 - 3— 4+ 7 - 4-10+ 6.
5.32.	Показать, что матрица А невырожденная. Найти
обратную матрицу А-1 и проверить, что АА~‘ =А~'А—Е:
1
2
4
а)
в)
А =
А =
б) А =
6
3
5
Г
1
2
1
2
1
-1
— 4
-2
Д)
5.33. Найти
ГЗ I
О
О (
О I
матрицы,
0
7
0
О
0
0
1
0
О'
о
о
5
обратные матрицам:
1
2
1
1
2
3
1
О
3
1
1
-2
2'
2
4
Г
1 ,
2
4'
2
-1
-6
А =
А =
В =
Проверить, что АА~' — Е, ВВ~' = Е.
5.34.	В экономике и хозяйственной деятельности важ-
ную роль играет предположение, что механизм рыночной
конкуренции сдвигает цену на продукт, при котором спрос
и предложение становятся равными друг другу. Предпо-
ложим, что функция спроса на холодильники для неко-
торого периода времени имеет вид х> = 12000 — 0,2хг, где
%1 — цена холодильника, а хг — соответствующее их коли-
чество. Пусть функция предложения имеет вид Х|=300 +
+ 0,1x2. При каких значениях xi и хг наступает рав-
новесие? Решить систему методом обратной матрицы.
5.35.	Методом обратной матрицы решить следующие
системы уравнений:
64
a)	Xj — x2+ x3= 5/
2xj + x2 + x3=10, •
Xi + %2 + 2x3=20;
b)	Xj + x2+ x3=	3/
2xi —x2 + 2x3= —6,
4x! + x2 + 3x3= 9;
6) 6X| —x2+ x3=10;
3xj+x2+ x3=15, >
5x1 + x2 + 2x3=20;
r) 2xj— x2 + x3=	8,'
3Xj + 4x2—x3= — 16,
3Xj —2x2+x3=	24.
6. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
6.1.	Свойства определителей.
Способы вычисления определителей
Определителем п-го порядка называют число, обозначаемое
Ди Д12	ain
021 022	Д2п
Оя2	Одд
и равное алгебраической сумме л! членов. Каждый член определителя
равен произведению п элементов определителя, взятых по одному и
только по одному из каждой строки и каждого столбца определителя.
Знак члена равен (— 1)*, где t — число инверсий в перестановке вторых
индексов элементов, если первые индексы записаны в натуральном
порядке.
Минором Мц элемента а^ определителя п-го порядка называется
определитель (л—1)-го порядка, полученный из данного определителя
вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный
элемент.
Например, минором Мъз элемента агз = 4 определителя
2—13
1	1 4
2	О	1
является определитель второго порядка
I 2 ~1 I
I 2 0 I
Алгебраическим дополнением Aq элемента определителя называ-
ется его минор, взятый со знаком ( —1)‘+/: Aij= ( —	В приве-
денном примере
^з=(-')2+Чз=-|2	| = -(2-О+2.1) = -2.
3 А. В. Кузнецов и др.
65
Укажем свойства определителей, которыми пользуются при решении
примеров.
1.	Величина определителя не изменится, если строки заменить столб-
цами с теми же номерами (транспонировать определитель). Значит, все
свойства остаются справедливы и для столбцов.
2.	Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо
строки на их алгебраические дополнения.
3.	Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то опреде-
литель равен нулю.
4.	При перестановке двух строк определитель меняет знак.
5.	Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.
6.	Общий множитель элементов любой строки можно вынести за
знак определителя.
7.	Если каждый элемент некоторой строки представляет собой сумму
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в
каждом из которых все строки, кроме упомянутой, такие же, как в дан-
ном определителе, а в упомянутой строке первого определителя стоят
первые слагаемые, второго — вторые.
8.	Если в определителе две строки пропорциональны, то он ра-
вен нулю.
9.	Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки
прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на
одно и то же число.
10.	Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя
на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой стро-
ки равна нулю.
Определители второго порядка вычисляются по определению, третье-
го порядка — обычно по правилу треугольника (Саррюса), более высо-
кого порядка — разложением по строке или столбцу. Наиболее рацио-
нальный способ вычисления — приведение к треугольному виду, так как
определитель треугольного вида равен произведению диагональных
элементов.
Метод приведения к треугольному виду такой же, как для матриц,
с той лишь разницей, что на каждом шаге определитель делится на раз-
решающий элемент с показателем степени, равным числу преобразуе-
мых строк.
Пример 6.1.	Вычислить определитель			
	— 1	1	1	1
	1	-1	1	1
	1	1	— 1	1
	1	1	1	-1
Решение. Приводим. определитель к треугольному
виду, осуществляя операции прямого хода метода Гаусса.
Операция деления определителя на степень разрешающе-
го элемента соответствует умножению на множитель вида
l/(a*s)\ где aks — разрешающий элемент; t — число пре-
образуемых строк. В ходе преобразований будем пользо-
ваться свойствами определителя (в данном примере —
перестановкой строк):
66
( —1) ( —2)4>32
(_1)3(_2)241
Пример 6.2. Пользуясь свойствами определителей, вы-
числить
sin a cos a sin (а+ 6)
sin р cos р sin (Р + 6) .
sin у cosy sin (у + 6)
Решение. Используя формулу синуса суммы двух
углов, получаем
sin a	cos а	sin	а cos	6 +cos а sin 6
sin р	cos р	sin	р cos	6 +cos р sin 6
sin у	cosy	sin	у cos	6 +cos у sin 6
67
На основании свойства 7
сать:
определителей можно запи-
sin a cos а	sin a cos 6	
sin р cos р	sin p cos 6	+
sin у cos у	sin у cos 6	
sin а cos	a cos a sin 6	
+ sin р cos р cos р sin 6		
sin у cos	у cos у sin 6	
Вследствие пропорциональности первого и третьего
столбцов первого определителя и второго и третьего столб-
цов второго определителя оба определителя по свойству
8 равны нулю. Следовательно, равен нулю и данный опре-
делитель.
Пример 6.3. Установить, с каким знаком входит в опре-
делитель пятого порядка член а4за21аз5а12а54-
Решение. Перепишем данный член в виде
ai2a2ia35a43a54- Теперь первые индексы записаны в нату-
ральном порядке. Выпишем перестановку вторых индек-
сов: (2 1 5 3 4) и подсчитаем в ней число инверсий. Оно
равно 3. Следовательно, данный член входит в определи-
тель со знаком (—I)3, т. е. с минусом.
В гл. 5 рассматривалось нахождение обратной матрицы для данной
невырожденной матрицы А. Используя теорию определителей, можно
доказать, что если |Д | =# 0, то матрица А имеет обратную, и притом
только одну, и	’
Дн Д21 Ani
Ащ А 2п А пп
Пример 6.4. Для матрицы
найти обратную матрицу, если она существует.
Решение. Вычисляем определитель матрицы: |Л| =
= —8=#0. Значит, для данной матрицы существует об-
ратная. Находим алгебраические дополнения: Лц=—23,
68
Д12=14, А 13 = — 1,	Д21 — 10, Дг2 =—4, ^23= —
Дз1 = 7, Дз2= —6, Дзз=?= 1. Остается использовать формулу
обратной матрицы (6.1):
Д-1
"—23	10	7'
14 . —4	—6
-1-2	1
6.1.	Выяснить, какие из приведенных произведений вхо-
дят в определители соответствующих порядков и с какими
знаками:
а) #61 #23#4 5#36# 1 2#54 J	б) #27#36#51 #74#25#43#62 i
В) #33# 16#72#27#55#61 #44 j	Г) #62#55#33#14#46#21 •
6.2.	Как связаны |2Д|, |— Д|, |Д2| с |Д|?
6.3.	Если В = М~1ДМ, то почему |В| = |Д|? Указа-
ние. Использовать теорему о том, что определитель произ-
ведения матриц равен произведению их определителей.
6.4.	Пользуясь определением определителя, найти чле-
ны определителя
5х 1 2 3
х х 1 2
12x3’
х 1 2 2х
содержащие х4 и х3.
6.5.	С каким знаком входит в определитель n-го поряд-
ка произведение элементов главной диагонали?
6.6.	Пользуясь только определением, вычислить опре-
делитель	Л	Л	А
«1100 о
#21	#22	о	о
#31	#32	#зз	о
#nl #п2 #пЗ	#пи
6.7. Не вычисляя определителей, доказать следующие
тождества:
#1 +&1Х	а\—Ь\х	С\		#1	Л1	С1
#2 + ^2Х	0,2 — Ь2Х	С2	= —2х	#2	^2	с2
#3 + Ь3х	аз — ЬзХ	Сз		#3	Ьз	Сз
69
б)
а2
аз
b\
Ь2
Ьз
сцх+Ьху + сх
а2х -f- &2*/4“£2
а3х-}~ Ь3у с3
а\	Ь\	С\
а2	Ь2	с2
аз	Ьз	Сз
1
1
1
а Ьс
в)
са = (Ь — а) (с —а) (с — Ь).
ab
6.8.	Объяснить, почему определитель треугольной мат-
рицы равен произведению ее диагональных элементов.
Привести примеры.
6.9.	Пользуясь свойствами определителей, вычислить
следующие определители:
	sin2 а	1 cos	2 ~ а		• 2 sin	а	cos 2а cos2	а	
а)	sin2 р	1 cos	20	; б)	sin2	0	cos2p cos2	0	
	sin2 у	1 cos	2y		sin2	Y	cos2y cos2	Y	
	а-}-Ь	с 1			x ;	Ki	ax-}-bxx		
в)	Ь-}-с	а 1		г)	У I	У1	ay + byx		
	с-}-а	b 1			z ;	21	az-}-bzi		
	2sin а	3cos а		sin (а-рб)					
д)	2sin р	3cos р		sin (PH- 6)					
	2sin у	3cos -		sin (y+ 6)					
6.10. Пользуясь свойствами					[ определителя, вычислить				
		а		b		С	1		
		b		с		а	1		
		с		a		b	1 		
	(& + с)/2		(а4-с)/2		(а + 6)/2 1				
6.11. Вычислить определители по правилу Саррюса и
приведением к треугольному виду:
1	5	-5
3	2—5
6	— 2	-5
-3	2	-6
-3	5	-7
-2	3	-4
6.12.	Показать, что оба следующих определителя рав-
ны — 16:
70
16 4 3
2	8	5	4
3	8	7	5
4	9	7	7
1 -1 -1 -1
-1 1 -1 -1
-1 -1 1 -1
— 1 -1 —1 1
6.13.	Представить определитель
6 —X 3	1
2	4 —X 2
1-	5	7 —X
в виде многочлена третьей степени относительно X.
6.14.	Представить определитель
2—X	—2	3
10	—4 —X	5
5	—4	6—X
в следующем виде:: —(X—1)2(Х — 2).
6.15.	Решить уравнения:
в)
= 0.
6.16.	Найти определитель
1	2	3
2	5	1
1	3	4
0
и все девять алгебраических дополнений его элементов.
6.17. Вычислить определитель матрицы
1	1	Г
0	1	1
1	0	1
1	1	0
1
71
приведением к треугольному виду. Найти определители
матриц Аз и Л2 меньшей размерности того же вида, т. е.
с нулями вдоль главной диагонали и единицами на осталь-
ных местах. Можно ли предсказать, чему равен |Лл|?
6.18.	Вычислить определители приведением к треуголь-
ному виду:
Можно ли предсказать, чему равен определитель Дл?
6.19.	Приведением к треугольному виду убедиться, что
определитель Вандермонда четвертого порядка
= (х2 —Х1) (Хз — Х1) (х4 — Х1) (х3 — Х2) (х4 —Х2) (х4 — Х3).
6.20.	Вычислить определители:
а	3	0	5
0	&	0	2
1	2	с	3
0	0	0	d
0 2 а
0 & 0
с 4 5
ООО
в)
х а b 0 с
0 у 0 0 d
0 е z 0 f
g h k и I
0 0 0 0 v
6.21.	Вычислить определители:
72
-1111
111-1
4 3	0	0
12	0	0
5 4	3	2’
13	14
6.22. Приведением
определитель
12 3 4
2	3 4	1
3	4 12
4	12 3
к треугольному виду вычислить
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными
£11*1 Ч-Д 12*2
^21X1 -р а22Х2 4“ ••• Ч~ d2nfln=sb2,
ап\Х\ Ч-ап2х2Ч" ••• Ч" dnnXn ев Ьп~
Если определитель А данной системы отличен от нуля, то систе-
ма имеет единственное решение, определяемое формулой Xi«A//A
(i®l, п), где А,— определитель, полученный из А заменой i-го столбца
столбцом свободных членов (теорема Крамера).
Пример 6.5. Решить систему уравнений
73
3xi + 4x2 — 2х3 =	4,
— — х2 + Зх3 ——	6,
%1 — 7х2 + х3=—2.
Решение. Устанавливаем, что
		3	4	— 2	
	д=	-1	-1	3	= 60,
		1	-7	1	
поэтому система имеет единственное решение. Вычисляем
Д1, Д2, Дз*
	4	4	— 2	
А> =	6	— 1	3	= 120,
	— 2	— 7	1	
	3	4	-2	
Д2 =	-1	6	3	= 60,
	1	-2	1	
	3	4	4	
Д3=	1	-1	6	= 180.
	-1	— 7	—2	
Отсюда Х1 = Д1/Д = 2, х2 = Д2/Д=1, Хз = Дз/Д = 3. Таким
образом, система имеет единственное решение (2; 1; 3).
6.24. Пользуясь теоремой Крамера, решить следующие
системы уравнений:
а)	2* + %= 1,1
Зх + 7*/ = 2; J
в) 4х + 7*/+13 = 0, |
5х+8*/+ 14 = 0; J
Д) Х1 + Х2 + %Х3—	1»
2Х1~х2+2х3= —4,
4xj + x2 + 4x3=	2;
б)	2х — 3*/= 4, |
4х — 5*/= 10; J
г) 2Xi— х2 — х3= 4,'
Зх । + 4х2 — 2х3 = 11 ,
3%! —2х2 + 4х3= 11;
е) 3xi + 2x2+ х3= 5,
2xj + 3x2+ хз== 1,
2xi+ х2+Зх3=И1;
74
ж) х1 + 2х2 + 4х3=31,
5xj+ х2 + 2х3=29,
3%!— х2+ х3=10.
6.25. Установить, при каком условии данная система
уравнений имеет единственное решение, и найти его:
a) -^2 4“ %з== 1 б) -|- х2-|“ хз~|“ х^== 1,
^з==1»	“F Хх2 “F ^з“1“	==
“1“ “F ^3 — 1 ’	-Xi “F %2 “F ^*^3 “F == 1,
*1+ *2 + Х3 + Хх4=1.
7.	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
7.1.	Характеристическое уравнение матрицы
Всякий ненулевой вектор-столбец x(L называется собственным век-
тором линейного преобразования (квадратной матрицы А), если найдет-
ся такое число X, что будет выполняться равенство
Лх = Хх.	(7.1)
Число X называется собственным значением линейного преобразова-
ния (матрицы А), соответствующим вектору х.
Замечание. Если пространство L вещественное, то собственные
значения X должны быть вещественными; если L комплексное, то собст-
венные значения могут быть и комплексными числами.
Так как Хх = Х£х, где Е — единичная матрица, уравнение (7.1)
перепишется в виде (Л—Х£)х = 0 или в координатной форме
(ац — X)%i4-	#12*2 4" •••4" ai„xn = 0,'
#21*14" (#22— Х)Хг4"---4"	#2п*л = 0,
#nl*14"	#п2*г4" ••• 4" (апп — Х)хп = О.
Ненулевые решения системы (7.2) существуют тогда и только тогда,
когда определитель этой системы равен нулю, т. е.
#н—X	ai2	#in
#nl	#n2	#nn — X
Уравнение (7.3) называется характеристическим уравнением матри-
цы А, многочлен | А — Х£ | —характеристическим многочленом матри-
цы А, а его корни — характеристическими числами или собственными
значениями матрицы А.
75
Совокупность всех характеристических чисел матрицы А называется
ее спектром, причем каждое характеристическое число входит в спектр
столько раз, какова его кратность в уравнении (7.3). Если характеристи-
ческое уравнение (7.3) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А
называется простым. Если собственные векторы хь х2, ..., х* отвечают
попарно различным собственным значениям М, Х2, •••, kk, то они линейно
независимы.
Пример 7.1. Найти спектр матрицы
1
-2	Г
4 -I
2	I
Решение. Составим характеристическое уравнение:
1-Х	-2
О 4 — X
О	2
1
-1
1-Х
Тогда (I — X) ((4 —X) (1 —X) +2) =0 или (1 —X) (X2 —
— 5Х + 6)=0. Корни этого уравнения (спектр матри-
цы Л): Xi = l, Х2 = 2, Х3 = 3.
7.1.	Доказать, что матрицы А и А' имеют одинаковые
собственные значения.
7.2.	Непосредственным вычислением для матриц Аи В
размером 2X2 убедиться, что матрицы АВ и В А имеют
тождественные характеристические уравнения.
7.3.	Показать, что произведение собственного вектора
на любой скалярный множитель, кроме нуля, есть собст-
венный вектор, следовательно, всегда можно выбрать соб-
ственный вектор х так, что (х, х) = 1.
7.4.	На примере матриц размеров 2X2 показать, что
собственные значения матрицы А-}~В не могут быть по-
лучены в общем случае как сумма собственных значений
матриц А и В.
7.5.	Для случая матриц размеров 2 Х2 доказать, что:
1) сумма собственных значений равна сумме диагональ-
ных элементов матрицы (следу матрицы); 2) произведение
собственных значений равно определителю матрицы.
7.6.	Для случая матрицы размеров 2X2 получить соот-
ношение собственных значений матриц:
а) Л и Л2; б) Л и Л-1.
7.7.	Пусть заданы матрица Л и векторы xi, х2, хз. Уста-
новить, какие из данных векторов являются собственными
76
векторами матрицы А, и найти их
если:
а)
б)
в)
г)
собственные значения,
А =
А =
А =
А =
характеристический многочлен
и
спектр
7.8. Найти
матрицы А:
а)
в)
А =
А =
О
О
О
О
1
1
О
о
О
-1
О
о
б)
г)
Д)
— Г
-1
О
1
е)
А =
А =
А =
А =
собственные числа и собственные
векторы
7.9.	Найти
матрицы А (ограничиться вещественными собственными
числами):
а) А =
'1
2
б) А =
— Г
4 ’
3
4
=з!;
ь
а
в) А =
1
О
— Г
О
1
с
ь
г) А =
а
с
b
1
1
с
а
77
ООО
ООО
ООО
0 0 3
— г
о
— 1 ’
3
1
— 2
2
з) А =
— 2	2'
-2	4
4	-2
7.10.	В математической экономике большую роль игра-
ют так называемые продуктивные матрицы. Доказано,
что матрица А является продуктивной тогда и только тог-
да, когда все собственные значения матрицы А по модулю
меньше единицы. Проверить' является ли матрица А про-
дуктивной, если:
ч л 0,125 0,125]	_ л Г 1	0 1
Э)	“ [ 1,125 0,125]’	>	~[ 1/10 1/2 J
7.11. Известно, что матрицы А и Д' имеют одни и те же
собственные значения (см. задачу 7.1). На примере матри-
цы А =
'2
0
убедиться, что собственные векторы мат-
риц А и Д', соответствующие одному и тому же значе-
нию X, могут сильно различаться.
7.2. Приведение матрицы к диагональному виду
Пусть квадратная матрица А п-го порядка имеет п линейно неза-
висимых собственных векторов, а матрица S имеет столбцами эти собст-
венные векторы. Тогда матрица A = S-1/4S имеет диагональный вид,
причем на диагонали стоят собственные значения матрицы А, т. е.
Xi 0
0
0
д _ 0 Хг
(7.4)
0	0
Если квадратная матрица
значения Хь Хг, ..., Xs кратности
А п-го порядка имеет собственные
mi, гп2у rns соответственно, причем
78
s
£ mk=n, то для представления матрицы А в диагональном виде
k = \
A = S~'AS необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
rang (Л —1*Е) =п — mk (£=!,$).	(7.5)
При выполнении условий (7.5) можно построить mk линейно незави-
симых собственных векторов, отвечающих каждому кратному корню
Kk уравнения (7.3). Если же условие (7.5) нарушается хотя бы для одно-
го индекса k, то матрица А неприводима к диагональному виду, хотя
и имеет собственные значения.
Вещественная квадратная матрица А называется ортогональной,
если ее столбцы представляют собой ортонормированную систему векто-
ров (длина каждого вектора равна единице, все попарные скалярные
произведения векторов равны нулю). Для того чтобы квадратная матри-
ца А была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
одно из условий: А'А=Е; АА' = Е; Л' = Л_|. Заметим, что определитель
ортогональной матрицы равен ±1.
Пусть А — вещественная симметрическая матрица (0^=0^). Тогда:
1)	все собственные значения матрицы А вещественны;
2)	собственные векторы матрицы Л, отвечающие различным собст-
венным значениям, ортогональны;
3)	произвольная матрица Л приводится к диагональному виду с по-
мощью ортогональной диагонализирующей матрицы S, причем в этом
случае преобразование $-1Л$ = Л превращается в преобразование
S\4S = A и отпадает необходимость находить обратную матрицу S-1.
Столбцами матрицы S являются ортонормированные собственные век-
торы.
Пример 7.2. Найти собственные векторы матрицы
1	1	Г
А=	1	2	О
О	1	2
Приводима ли эта матрица к диагональному виду?
Решение. Составим характеристическое уравнение:
1-Х	1
1	2-Х
О 1
1
О
2-Х
= 0
или (1—X) (2 — Х)24-1 — 1(2 — Х)=0. После упрощений
получим уравнение X3 — 5Х2 + 7Х—3 = 0. Легко проверить,
что Х= 1 —корень этого уравнения. Тогда оно перепишет-
ся в виде (Х-1) (X2-4Х + 3)=0 или (X —1 )2(Х—3) =0.
Отсюда заключаем, что Х| = Х2=1, Хз = 3— собственные
значения матрицы А. Для нахождения собственных векто-
ров, соответствующих Х| = Хг= 1 и Хз = 3, составим систе-
му (7.3), которая примет вид
79
(1 —МХ1 Ч"*2Ч"*3=0>
(2 —X)x2 = 0, .
хг+ (2 — Х)х3 = 0.
Подставив сюда Х3 = 3, получим систему
— 2xi + x2 + x3 =0/
х{ — х2 =0, >
*2 —*3 =0,
которая имеет решение Xi = c, х2 = с, Хз = с, где cgR.
Отбросив г = 0, получим, что собственный вектор матри-
цы А, соответствующий значению Х = 3, имеет вид
х=(с; с; с), где с — любое число, отличное от нуля.
Подставив значение 1=1, будем иметь систему
*2 + *3 =0/
Xj-4-%2	=0,
х2 + *з =0»
которая имеет решение Xi = c, х2==—с, х3 = с (cgR);
тогда собственный вектор, соответствующий значению
Х! = Х2=1, есть х==(с; —с; с), где с=#0.
Проверим условие (7.5). Для этого при X = Xi = X2=l
вычислим rang (Д —ХЕ). Имеем
т. е. rang (Д — КЕ) = 2, но n — mk = n — 2=1 (здесь
mk — 2 — кратность корня Х=1), следовательно, условие
(7.5) нарушается. Матрица А неприводима к диагональ-
ному виду.
Пример 7.3. Найти матрицу S, приводящую к диаго-
нальному виду матрицу
Д =
Г2
[1
— 4
— 3
80
Решение. Составим характеристическое уравнение:
2 —X — 4
1	—3—X ~
или (2 —X) ( —3 —X)+4 = 0. Отсюда Х2 + Х—2 = 0, Xi = 1,
Х2=—2 — собственные значения матрицы А. Находим
собственный вектор х, соответствующий Xi = l. Система
(7.2) примет вид
%! —4х2 = 0,
Xj — 4*2 = 0,
откуда *2 = с, *i=4c, где cfR. Тогда собственный вектор
х=(4с; с), где с#=0. Выбирая, например, с=1, имеем
х=(4; 1). Аналогично при Х=—2 получаем собственный
вектор х = (1; 1). Составляем матрицу
(ее столбцами служат собственные векторы матрицы А).
Находим
S-’=xf 1/3 ~1/31
“[-1/3	4/3]
Убедимся, что матрица S-IAS имеет диагональный вид
(7.4). Действительно,
Пример 7.4. Привести к диагональному виду симметри-
ческую вещественную матрицу
1 1
А = 1 5
3 1
3'
1
1
81
Решение. Составим характеристическое уравнение:
1—X	1
1	5-Х
3	1
3
1
1-Х
= 0
или (1 - Х)2(5 - X) + 3 + 3 - 9(5 —X) - (1 - X) —
— (1 —X) = 0<>Х3 —7Х — 36 = 0. Замечая, что Х = —2 яв-
ляется корнем данного уравнения (согласно следствию
из теоремы Безу, целые корни данного уравнения следует
искать среди делителей свободного члена), получаем
(Х + 2)(Х^ —9Х+18)=0, откуда Xi = —2, Х2 = 3, Х3 = 6.
Находим собственные векторы, соответствующие значе-
нию Х| = — 2. Решая систему (7.2)
Зх,+ Х2 + Зхз = 0,
*i + 7*2+ *з=0> 
Зх । + Х2 + Зх = 0,
находим первый собственный вектор х=( — с; 0; с), где
с=/=0. Нормируя его, получаем нормированный собствен-
ный вектор Vi = х/|х| = ( — 1 /^/2”; 0; 1/^/2). Аналогич-
но получаем нормированные собственные векторы матри-
цы А, соответствующие собственным значениям Х2 = 3 и
Х3 = 6: v2 = (l/V3; -1/п^; 1/д/з), v3=(l/^; 2/-^;
1 /д/б). Из нормированных собственных векторов как
столбцов формируем ортогональную матрицу
-1/V2 1/V3
о —1/Уз
1/V2 1/V3
1/V6
2/<6
1/V6
Тогда

’-1/V2
1/7з
1/Уё
о
-1/V3
2/V6
1/V2'
1/V3
1/V6.
31
1
1
3
1
5
1
1 X
1
-1/V2 1/V3
о -i/Уз
1/V2 1/V3
i/V6‘
2/V6
1/V6,
82
2/<2
з/уз
6/V6
0	-2/V2
-3/V3
12/V6
з/л/з
6/V6
X
-1/V2 1/V3 1/V6’
О -1/V3 2/V6
1/V2 1/УЗ 1/д/б
-2 О О'
0 3 0
0 0 6
7.12. Выяснить, какие из следующих матриц можно
привести к диагональному виду. Найти диагонализирую-
щую матрицу и записать диагональный вид исходной
матрицы с точностью до расположения диагональных эле-
ментов:
6
3
2
1
0
0
1
•1
4‘
1 Г
-5	-3’
— 2	—2
-2	0
0 0 01
0 0 0
0 0 0’
0 0 2
1	1	1 Г
1 1-1-1
1-1 1-1
1-1-1 1
7.13. Выяснить, является ли матрица А ортогональ-
ной, и если да, то найти обратную ей матрицу:
а)
83
А =
О
1
О
Д)
1
О
-1
1/Уё
А= -2/уё
1/Уё
1/л/з
л = i/Уз
О’
о ;
-1
О
1/V5
2/V5
1/Уб
1/Уб
I/Уз -2/Уб
"Уз/уТо
Уз/уГо
2/уТО
7.14. Каким условиям
(а, 6, cgR), чтобы матрица А =
’1/У2 -1/У21
1/У2	1/У2^;
5/У30’
2/УЗО ;
-1/УЗО
1/У2 '
-1/У2 ;
о
1/У2
-1/У2
О
А =
ж) А =
1/V6-
1/Ув
— V3/V6
должны удовлетворять a, Ь, с
была ортого-
а Ь'
с а
нальной?
7.15. Найти ортогональную матрицу S, диагонализиру-
ющую симметрическую матрицу А, и записать диагональ-
ный вид этой матрицы, если:
-2'
5 ’
Л =
А =
Д)
А =
2
-2
; б) А =
2
6
о
2
1
О
-2
О
г) А =
2‘
О ; е)
6
А =
О
д/З
1
— 1
-3
о
о
4
О
О
О
2]’
-1
1
-3
4‘
О .
6
-3’
-3
-3
7.16. Построить ортогональную матрицу, два первых
столбца которой совпадают со столбцами:
1/V51
а)
2/3"
— 2/3
1/3.
и
’ 2/3'
1/3 ; б) -2/V5
. - 2/3
О
и
’2/V6’
1/Уё .
1/V6
84
7.17.	Очевидно, что целочисленная матрица является
ортогональной тогда и только тогда, когда в каждой стро-
ке и каждом столбце имеется только один отличный от
нуля элемент, равный ±1. Доказать, что всего имеется
2лп! целочисленных ортогональных матриц порядка п.
7.18.	Доказать, что всякая ортогональная матрица
второго порядка с определителем, равным единице, име-
ет вид
А =
cos а
sin а
— sin а
cos а
7.19.	При каких условиях диагональная матрица явля-
ется ортогональной?
8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
8.1.	Приведение квадратичной формы
к каноническому виду
Квадратичной формой п переменных хь х2, хп называется одно-
родный многочлен второй степени от этих переменных:
Q(xp х2,	*„)= £ X V6’	(8Л)
<=1 ,-1
где aij = aji— вещественные числа, называемые коэффициентами квадра-
тичной формы. Если ввести в рассмотрение матрицу А и столбец X:
Ранг матрицы А называется рангом квадратичной формы.
Пример 8.1. Квадратичная форма Q(xi, *2, *з)=*1 —
— 4*1*2 + 2х2Хз —Зх! + Юхз имеет матрицу
-2 О’
-3	1
1	10
а матрице В =
соответствует квадратичная
форма Q(*i, *2) = *? —6*1*2 —2*i.
85
Квадратичная форма (8.1) называется канонической, если ai/ = 0
для всех i=£j, т. е. каноническая квадратичная форма имеет вид
Q(xi, х2 .... Хп) =011X1 + 022X2 + ...+ аппх2.
Матрица канонической квадратичной формы является диагональной:
4 = diag (оц, 022, ...» олп). Вопрос о приведении квадратичной формы
к каноническому виду имеет важное значение для исследования кривых
и поверхностей второго порядка. Любая квадратичная форма с помощью
ортогонального преобразования может быть приведена к каноническому
виду:
Q(l/1> У% ...» Уп) =Х‘1|/? + ^2^/1+ ... +А,л1/п,
где Xi, Кг ...» Кп—собственные значения матрицы А квадратичной фор-
мы. Поскольку матрица А симметрическая, то все ее собственные значе-
ния вещественные и квадратичная форма в базисе, состоящем из орто-
нормированных собственных векторов матрицы А, приводится к канони-
ческому виду.
Квадратичная форма (8.1) называется нормальной, если она пред-
ставляет собой сумму квадратов нескольких переменных с коэффициен-
тами + 1 или —1. Всякую вещественную квадратичную форму (8.1)
можно привести невырожденным линейным преобразованием к нормаль-
ному виду:
Q(Z1, 22, .... Zn) =21+22 + ...A-z2k — z2k+i— zl+2 — ... — z2n,
причем общее число входящих сюда квадратов равно рангу формы.
Справедлив закон инерции вещественных квадратичных форм: чис-
ло положительных и число отрицательных квадратов в нормальном
виде, к которому данная квадратичная форма с вещественными коэффи-
циентами приводится вещественным линейным преобразованием, не за-
висит от выбора преобразования.
Число положительных квадратов в той нормальной форме, к кото-
рой приводится данная квадратичная форма Q, называется положитель-
ным индексом инерции этой формы, а число отрицательных квадратов —
отрицательным индексом инерции. Разность между положительным и
отрицательным индексами инерции называется сигнатурой формы Q.
Две квадратичные формы от п переменных с вещественными коэффи-
циентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденны-
ми вещественными линейными преобразованиями, когда эти формы име-
ют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры. Приведение квадратичной
формы к каноническому виду можно осуществить с помощью преобразо-
вания
x = Sy,
где S — ортогональная матрица, приводящая матрицу А квадратичной
формы к диагональному виду (напомним, что столбцами матрицы S слу-
жат ортонормированные собственные векторы матрицы Л); х, у — век-
тор-столбцы размерности п.
Другими способами приведения квадратичной формы к каноническо-
му виду являются метод Лагранжа, состоящий в последовательном
выделении в квадратичной форме полных квадратов, и метод Якоби,
который применим в том случае, когда все главные миноры матрицы
квадратичной формы отличны от нуля: Ai=/=O, Аг=#О, ..., Ал=/=0. Тогда
преобразование
86
*1	+ а21!/2+а41(/з + ... + аЛ1(/л,
х2=	!/2+аз2!/з + ... + аЯ2«/я,
хз=	1/3	+ СК,пЗУп,
(8.2)
приводит квадратичную форму к каноническому виду
М?+М+- + РХ	(8.3)
где pi = Ai; ^2 = ^2/А г, рз = Аз/Аг;	рл = Ая/Ап-1.
Коэффициенты ац преобразования (8.2) находятся по формулам
«/<=(-l)'+/A/-i,//A/-i,	(8.4)
где через otj-i, < обозначен минор матрицы А, расположенный на пересе-
чении строк этой матрицы с номерами I, 2, j— 1 и столбцов с номера-
ми 1,2, ..., I— 1, 4-h L •••» /•
Пример 8.2. Привести квадратичную форму Q(xi,
х2, хз) = — х? + 2х1Х2 + 6х1Хз + 4х2хз—8x1 к каноническо-
му виду методом Лагранжа.
Решение. Представим данную квадратичную форму
в виде Q(xi, х2, хз) = —(х1 — 2х!х2 —6x1X3)+4х2хз —
—.8x3 = — (x2i — 2xi (х2-|-Зхз) -р (х24“Зхз)2 — (х 2 -р
+ Зхз)2) + 4х2Хз — 8x3 = — (xj — (х2+ Зхз))2 + (*2-|“
~h Зхз)2 -|“ 4х2хз — 8х2 = — (xi — х2 — Зхз)2 + х2 + 6х2хз -|-
+ 9хз + 4х2хз —8x3= — (х 1 — х2 — Зх3)2 + х2+ 10х2х3 +
+ х2з = - (Xi - х2 - Зхз)2 + (х2 + 5х3)2 — 24хз.
Невырожденное преобразование
У\ = *\ — х2 — Зх3,'
У2=	*2 + 5*з, >
*/з=	*з
приводит данную квадратичную форму к каноническому
виду
Q(y\, У 2, Уз) = — yi+yi — 24//I.
Пример 8.3. Методом Лагранжа найти нормальный вид
и невырожденное линейное преобразование, приводящее
к этому виду, для квадратичной формы Q(xi, х2, Хз) =
= Х1Х2 + х2Хз + ^зХ1.
Решение. Так как в записи данной квадратичной
формы отсутствуют квадраты переменных, вначале осу-
ществим вспомогательное невырожденное линейное преоб-
разование
87
с матрицей
=	—«/2.
х2=У\+Уъ
Хз—Уз
в результате которого квадратичная форма примет вид
Q(«/i, Уч, Уз) = у2— у1 + 2у\уз. Далее поступаем аналогично
предыдущему примеру: Q(yt, у2, Уз)=у2 + 2у}у3 + у1 —
—уз—у2=(у\ + уз)2—у2—уз- Тогда невырожденное ли-
нейное преобразование
г1 = У1+//з/
г2=У2,
г3=Уз
с матрицей
1
О
1
приведет исходную квадратичную форму к нормальному
виду Q(zi, z2, z3)=zi — zi —z3. Для того чтобы записать
матрицу D линейного преобразования x — Dz, приводяще-
го квадратичную форму Q(xi, х2, Хз) к нормальному виду,
найдем произведение ВС-1 матриц В и С-1.
	1	-1 O'		1	0 —г
D«BC-' =	1	1 0		0	I	0
	.0	о 1		0	о 1
		1 -1		-г	
	=	1	I		-1	»
		.0	0		1	
т. e. преобразование					
X| = Z[ — z2—z3,
x2=z1 + z2—z3,
*зв*з
88
приводит квадратичную форму Q(xi, *2, *з) к нормально-
му виду.
Пример 8.4. Привести квадратичную форму Q(xi, Х2,
хз) =х? — Х2 + ЗХ3 +4xiX2+ 2хгХз к каноническому виду
методом Якоби и записать соответствующее преобра-
зование.
Решение. Матрица данной квадратичной формы
имеет вид
1
А = 2
О
2 0“
-1 1
1	3
Найдем ее главные миноры:
Поскольку все главные миноры отличны от нуля, метод
Якоби применим, и с помощью соотношения (8.3) нахо-
дим 01 = 1, 02=—5/1 = —5, 0з= — 16/ —5 = 3,2. В на-
шем случае преобразование (8.2) примет вид
Х\=У\ + <*2\У2 + аз\Уз,'
*2 =	У2+<*32УЗ, 
*з =	Уз>,
где числа 0С21, азь азг находим согласно формулам (8.4):
а21=(-1)2+,47 = -| = -2.
-Г °1
«32= (- 1)3+2> = - - 2 5 1  =0,2.
Итак, преобразование
xl = yl — 2y2—0,4y3,'
x2=	У2 + 0,2уз,
x3 =	Уз ,
приведет данную квадратичную форму к каноническому
виду
Q(f/1. у2. Уз)=У? — 5у|+3,21/|.
Пример 8.5. Найти ортогональную матрицу, приводя-
щую квадратичную форму Q(xi, Х2, *з) = 6х? + Зх| + 3x1 +
+ 4xiX2 + 4х1Хз — 8x2X3 к каноническому виду, и записать
канонический вид квадратичной формы.
Решение. Матрица данной квадратичной формы
имеет вид
’6	2	2'
2	3	-4 .
2-4	3
Составим и решим характеристическое уравнение:
X3—12Х2 + 21Х + 98 = 0, откуда М = —2, Х2 = Хз = 7.
Найдем собственные векторы, соответствующие значе-
нию Х=—2; получим систему
8Xi + 2х2 + 2х3=0,'
2xi+ 5x2 — 4х3 = 0, .
2х! — 4х2 + 5х3=О,
которая равносильна системе
4xj + х2 + х3 = 0,
х2 — х3=0,
откуда найдем: хз = 2с, Хг = 2с, Xi= — с. Собственный
вектор, соответствующий Xi = —2, имеет вид Xi=( — с;
2с; 2с), где с=/=0. Положив, например, с= — 1, получим
собственный вектор Xi= (1; —2; —2). Пронормировав
его, будем иметь v^Xj/lxJ = (1/3; —2/3; —2/3).
90
Теперь найдем собственные векторы, соответствующие
Х2 = Хз = 7. Система для нахождения координат собствен-
ного вектора примет вид
— х 1 И- 2*2 “I” 2*з = О,
2xj—-4*2 — 4х3 = 0, loxj — 2%2 —2*3 = 0.
2*!—4*2—-4*3 = 0
Полагая *3 = сь *2 = с2, имеем *1 = 2t?i + 2c2. Таким
образом, множество собственных векторов, соответствую-
щих значению Х2 = Хз = 7, представляет собой двухпара-
метрическое семейство:
х2= (2Ci + 2c2;	с2),
где Ci + с2=+0. Из этого семейства выделим два ортого-
нальных вектора. Положив, например, Ci = 0, с2 = 1., будем
иметь х2 = (2; 0; 1). Собственный вектор x3 = (2?i + 2с2;
й; с2) найдем так, чтобы векторы х3 и х2 были ортогональ-
ными, т. е. решим уравнение 2(2й+2с2) + О • й+ с2 = 0
или 4ci + 5c2 = 0. Положив, например, Ci = 5, с2=—4,
получим х3 = (2; 5; —4). Нормируя векторы х2 и
х3, получаем ортонормированные собственные векторы
v2 = (2/л/б; 0; 1/^5) и ?3 = (2/(3 ^/б); 5/(3 ^/б);
— 4/ (3 д/"5)) • Тогда ортогональная матрица, приводящая
квадратичную форму к каноническому виду, примет вид
	1/3	2/^	2/(Зл/б) '
s=	-2/3	0	5/(Зд/5)
	-2/3	1/V5	-4/OV5)
Применив невырожденное линейное преобразование
*i=	+ 2/ д/1) у2-\-2/ (3 д/б" ) t/з,
х2= 2/3t/!	—|—5/ (3 д/^5 ) t/3, •
*з= —2/Зг/! + 1/ л/5 у2 + 4/ (3 д^б ) t/з,
получим искомую каноническую форму Q(t/i, 1/2,
Уз) =—2t/i +7t/2 + 7t/3.
8.1.	Записать матрицу каждой из квадратичных форм:
a) Q(*i, *2, *3) =*1+2*2—-*з + 4*i*2 + 6*1*3 + 12*2*3;
91
6)	Q(xi, х2, х3, Ха) = 4х?4*хз —2x44-xix2-f-8xix4 —
— 10x2*3;
в)	Q(xi, х2) =3xix2; г) Q(xi, х2, хз) =xi—2х(х2 + х2.
8.2.	Записать квадратичную форму по заданной матри-
це А:
0	10‘
7	8
5	-3
—3	1
8.3.	Найти ранг квадратичной формы Q(xi, х2, хп),
если:
a)	Q(xb х2) =х?4-6х|4-6х1х2;
б)	Q(xb х2) =xf+16х24-8Х|Х2;
в)	Q(xb х2, х3) =х?—2х?2 + х2з—4х1х24-6х1х3;
г)	Q(xb х2, х3, х4) =x2i— х^+х3.
8.4.	Найти ортогональное преобразование, приводящее
к каноническому виду квадратичную форму Q(xi, х2,
хп) ; записать соответствующий канонический вид квадра-
тичной формы; указать положительный и отрицательный
индексы инерции и сигнатуру, если:
a)	Q(xb х2) =2х?+Зх24-2д/2х1х2;
б)	Q(xb х2, х3) =Х|4-5х2—4х3+2х1х2—4х!Х3;
в)	Q(xb х2, х3) =х1х24-х2х3;
г)	Q(xb х2, х3) =х?4-х|+х|4-4х|х2 + 4х|х3+4х2х3;
д)	Q(xb х2, х3, х4) =х?4-2х1х24-х2 —2хз —4х3х4 —2х4;
92
e)	Q(x1? х2, х3, х4) =2х1х2 — 6х1х3 —6х2^ +2х3х4;
ж)	Q(xi, х2, хз, х4) =2х? +9%2+ 3x1+ 8x1X2 —4х1%з —
— 10х2Хз.
8.5.	Привести квадратичную форму к каноническому
виду методом Якоби (если возможно) и записать соот-
ветствующее преобразование:
a)	Q(xh х2) =3xf+ 6xjX2 + 3x2;
б)	Q(xb х2) =4xjX2;
в)	Q(xh х2, х3) =2х? + 5х2 + 5хз—4XjX3;
г)	QUi, Х2, х3) =xf + 5x|+x|+2x1x2+6x1x3+2x2x3;
д)	Q(xh х2, х3) =х? + х2+х|+4х1х24-4х1х34-4х2х3.
8.2.	Знакоопределенные квадратичные формы
Квадратичная форма (8.1) называется положительно (отрицатель-
но) определенной, если для любого x=(xi; х2; хл) (х=/=0) выпол-
няется неравенство Q(x) >0 (<0). Соответственно матрица А называ-
ется положительно (отрицательно) определенной матрицей. Для того
чтобы квадратичная форма ф(х)=х'Лх была положительно (отрица-
тельно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы
А состоял только из положительных (отрицательных) чисел. Справед-
лив критерий Сильвестра: для того чтобы квадратичная форма
Q(x) =х'Лх была положительно определенной, необходимо и достаточно,
чтобы все главные миноры матрицы А были положительными: Ai > 0,
А2>0, ..., А«>0. Матрица А отрицательно определена тогда и только
тогда, когда главные миноры матрицы А имеют чередующиеся знаки:
А, <0, А2>0, ..., (- 1)лЛл>0.
8.6.	Определить, являются ли следующие матрицы по-
ложительно определенными:
’3
в) 0
0
0 О'
5 0
0 8
8.7.	Исследовать на знакоопределенность квадратич-
ную форму Q(xi, Х2, ..., хп), если:
a)	Q(xh х2) =2xi + x2 — 2xjX2;
б)	Q(xb х2) =xf + 2x2—12х!Х2;
в)	Q(xh х2, х3) =Xj + 2х2 — 4xjX2;
г)	Q(xb х2> х3) = —ЗХ|+х| + Зх|—х^г + гх^з;
д)	Q(xi, х2, хз) =3х? + 6x1+ 5хз +2x1X2 — 2х|Х3+ 4x2X3;
е)	Q(xi, х2, хз) =—Х1+5x1 +Зхз —4х1Х2+ 2xix3;
93
ж)	Q(%i, Х2, хз, х4) = х2 —2xi +Зх2 — 4х2 +2x2X4+ 4х 2X3.
8.8.	При каких значениях k квадратичная форма Q(xi,
Х2, хл) является положительно определенной:
a)	Q(xi, Х2, хз) —kxi+2xi + 3х2;
б)	Q(xi, Хз, хз) =3x? — fex2 —4х]Хг;
в)	Q(xi, Х2, Хз) = xf + 2x1 + 4xi+2xiX2 + 2fexix3;
Г) Q(Xi, Х2, Хз) =2Х?+ 4Х2 + 5Хз + 4ЙХ1Х2 + бХ2Хз?
9. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА R"
9.1.	Уравнение линии в R2
Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение отно-
сительно х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки этой
линии,и только они. Для составления уравнения линии как некоторого
множества точек, удовлетворяющих общему геометрическому свойству,
необходимо: 1) взять произвольную точку линии с текущими координа-
тами х и у\ 2) записать общее свойство точек данного множества в виде
равенства; 3) выразить входящие в это равенство величины с помощью
текущих координат.
Пример 9.1. Составить уравнение линии, определяемой
как геометрическое место точек, равноудаленных от точек
4(2; 3) и В( — 2; 5).
Решение. Пусть М(х; у) — произвольная точка дан-
ной линии. Равенство
МА = МВ	(9.1)
выражает общее свойство всех точек этой линии. Для со-
ставления уравнения линии выразим расстояния МА и МВ
через координаты точки М и полученные выражения под-
ставим в равенство (9.1). Получим
V (х-2)2+ (у—З)2 = V (х + 2)2+ (у —5)2.
Это и есть уравнение данной линии. После преобразований
приходим к уравнению t/=2x-|-4.
9.1.	Составить уравнение окружности радиусом R = 5
с центром в точке С(3; 6).
9.2.	Составить уравнение геометрического места то-
чек, сумма квадратов расстояний от которых до точек
Л( —3; 0) и В(3; 0) равна 50.
94
9.2.	Прямая в R2
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx-}-b.
Угловой коэффициент £ = tga, где a—угол, образованный прямой
с положительным направлением оси Ох\ b — ордината точки пересече-
ния прямой с осью Оу.
Общее уравнение прямой: Ах-}- By-}-С=0.
Уравнение прямой в отрезках: х/а-\-у/Ь=- 1, где а — абсцисса точки
пересечения прямой с осью Ох\ b — ордината точки пересечения прямой
с осью Оу.
Нормальное уравнение прямой:
х cos ф + t/ sin ф—р = 0.
Здесь р — длина перпендикуляра, проведенного из начала координат
на прямую; ф — угол, образованный этим перпендикуляром с положи-
тельным направлением оси Ох.
Чтобы привести общее уравнение прямой Ах-}-By-}- С = 0 к нормаль-
ному виду, нужно все его члены умножить на нормирующий множитель
н= I /±-7л2+в2- причем знак перед радикалом выбрать так, чтобы вы-
полнялось условие цС<СО.
Расстояние d от точки М(х0; уо) до прямой Ах-}-Ву-}-С = 0 находит-
ся по формуле
d=\Ax0 + By0+C\/y/А2 + В2 .
Угол ф, отсчитанный против часовой стрелки от прямой y = k\x-}~ Ь\
до прямой y = k2X-}-b2, находится по формуле
1§ф=(*2-*1)/(1+М2).
Условие параллельности: &2 = £ь
Условие перпендикулярности: kik2= — 1.
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей
через точку M(xi; yi):
y—yl = k(x—xl).	(9.2)
Уравнение прямой, проходящей через точки Mi(xr, yi) и Af2(x2; У2):
(У — У^)/(У2 — У\) = (х—Х1)/(х2—xi).
Угловой коэффициент этой прямой находится по формуле
k = (У2 — У\)/(*2 — Х1).	(9.3)
Пример 9.2. Даны вершины треугольника Л (6; —6),
В (2; —3), С(8; 5). Составить уравнение высоты треуголь-
ника, проведенной из вершины В.
Р е ш е н и е. По формуле (9.3) найдем угловой коэффи-
циент стороны AC: k= (5 + 6)/(8 — 6) = 11/2. В силу
условия перпендикулярности угловой коэффициент высо-
ты, проведенной из вершины В, равен —2/11. Исполь-
зуя формулу (9.2), запишем уравнение этой высоты:
у+3=(— 2/11) (х — 2) или 2x4-11^ + 29 = 0.
9.3.	Составить уравнение прямой:
95
а)	образующей с осью Ох угол 60° и пересекающей
ось Оу в точке (0; 4);
б)	параллельной оси Ох и пересекающей ось Оу в точке
(0; -6);
в)	параллельной биссектрисе первого координатного
угла и отсекающей на оси Оу отрезок, величина которого
6=-2.
9.4.	Определить параметры k и b для следующих
прямых:
а) 2х + 5//—1=0; б) 7х + 2// = 0; в) 2у — 5 = 0.
9.5.	Привести к уравнениям в отрезках данные уравне-
ния прямых и построить их:
а) Зх —4г/—12 = 0; б) 5х + 2// — 10 = 0;
в) Зх — 2у — 1=0.
9.6.	Написать уравнение прямой, проходящей через
точку Л4(1; 2) и отсекающей на координатных осях отрез-
ки равной длины.
9.7.	Построить прямые, заданные уравнениями:
а) 2х —5// + 20 = 0;	б) 2х + 3// + 8 = 0;
в) 2х —3£/ = 0;	г) // + 4 = 0.
9.8.	Дан треугольник с вершинами Л(1; 2), В( — 2; 4),
С(4; 8). Написать уравнения сторон этого треугольника.
9.9.	Найти угол между двумя прямыми:
а)	//=2х + 3 и // + 3х —2 = 0;
б)	у — 5х+1=0 и 4у — Зх+12 = 0;
в)	х —4// + 4 = 0 и 2х—3 = 0.
9.10.	Найти внутренние углы треугольника с верши-
нами Л (2; 1), В(3; 1), С(1; 2).
9.11.	При каких значениях а прямые ах — 4i/ = 6 и
х — ау = 3:
а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают?
9.12.	Найти точку пересечения медиан треугольника с
вершинами Л(2; 0), В(5; —6), С(8; 3). Задачу решить
двумя способами.
9.13.	Найти уравнение прямой, которая проходит через
точку (—2; 3) и:
а)	перпендикулярна к прямой 2у — х — 8 = 0;
б)	образует угол в 45° с прямой // = 2х + 3.
9.14.	Точка (2; 0) является вершиной правильного
треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на
прямой х + у—1=0. Составить уравнения двух других
сторон.
9.15.	Даны стороны треугольника: х + Зу — 8 = 0 (ЛВ),
у — х = 0 (ВС), 7х + 5// —8 = 0 (ЛС). Найти уравнение
высоты этого треугольника, проведенной из вершины В.
96
9.16.	На прямой 2х-\~У— 4 = 0 найти точку, равноуда-
ленную от точек Д(3; 5) и В(7; 1).
9.17.	Определить, какие из следующих уравнений пря-
мых являются уравнениями прямой в нормальном виде:
а)	(3/5)%+(4/5)у —2 = 0;
б)	(3/5)х-(4/5)£/ + 2 = 0;
в)	(1/2)%+(1/3)у —6 = 0; г) х + 2 = 0;
Д) У — 3 = 0;	е) у — х = 0.
9.18.	Написать уравнение прямой, если известно, что
расстояние от нее до начала координат равно 5 и перпен-
дикуляр, проведенный на нее из начала координат, состав-
ляет с осью Ох угол в 60°.
9.19.	Привести к нормальному виду уравнения следую-
щих прямых:
а) Зх + 4//— 10 = 0; б) 8% + 6// + 5 = 0.
9.20.	Найти расстояние от точки (2; 1) до прямой
Зх + 4// —5 = 0.
9.21.	Даны уравнения двух сторон квадрата: 5х —
—12// + 26 = 0 и 5х —12//—13 = 0. Найти его площадь.
9.22.	Через точку М (1; 2) проведена прямая так, что
расстояние от нее до точки Р(6; 2) равно 4. Найти угло-
вой коэффициент этой прямой.
9.23.	Даны точка Л1(2; 3) и прямая х — у = 2. Найти
координаты точки N, симметричной М относительно дан-
ной прямой.
9.24.	Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения медиан треугольника с вершинами
Д(2; 1), В(7; 6), С(3; 8) параллельно прямой % + // —
-1=0.
9.25.	Через точку М(3; 5) провести прямую так, чтобы
отрезок ее, заключенный между осями координат, делился
в этой точке пополам.
9.26.	Найти уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых 3% + 5// — 13 = 0 и х — 4// + 7 = 0 и де-
лящей отрезок АВ между точками Д(1; 0) и В (7; 3)
в отношении 2:1.
9.27.	Составить уравнение прямой, симметричной пря-
мой // + 2% + 4 = 0 относительно прямой у — х — 2 = 0.
9.28.	На прямой у — х — 2 = 0 найти точку, равноуда-
ленную от точек А (2; 2) и В (6; 6).
9.29.	Даны вершины треугольника А (4; 4), В(0; 1),
С( — 2; —4). Найти уравнения высоты, медианы и бис-
сектрисы, проведенных из вершины А.
9.30.	Стоимость у перевозки груза на расстояние х
автотранспортом задается формулой у = а\х-\-Ь\, а вод-
4 А. В. Кузнецов и др.
97
ным транспортом — j/=a2x-|-&2. Каким видом транспорта
выгоднее осуществлять перевозки, если ^ = 0,5; fei=2,
а2 = 0,25, fe2 = 3?
9.31.	Даны две вершины треугольника Л (5, — 3),
В(7; 5) и точка Р(6; —3) пересечения его высот. Соста-
вить уравнения сторон треугольника и найти его площадь.
9.32.	Составить уравнения сторон треугольника, если
даны одна из его вершин Л (0; 2) и уравнения высот
х-^-у = 4 (ВМ) и у = 2х (СМ), где М — точка пересечения
высот.
9.33.	Даны две вершины А ( — 1; 0) и В (7; 9) паралле-
лограмма ABCD и точка Л1(8; 6) пересечения его диаго-
налей. Найти координаты вершин С и D.
9.34.	Даны уравнения сторон треугольника х-\~У—
— 1=0 (ЛВ), у+ 1=0 (ВС) и точка М( —1; 0) пересе-
чения его медиан. Найти уравнение третьей стороны АС.
9.3.	Кривые второго порядка
Окружность. Если R — радиус окружности, а точка С(а; Ь) —ее
центр, то уравнение окружности имеет вид
(x-a)2-h(f/-6)2 = /?2.
9.35.	Составить уравнение окружности, если извест-
но, что:
а)	окружность проходит через точку М(5; —2) и ее
центр совпадает с точкой С (3; — 1);
б)	центр окружности совпадает с началом координат и
прямая 8х-\-6у — 20 = 0 является касательной к окруж-
ности.
9.36.	Составить уравнение окружности, диаметром ко-
торой является отрезок прямой 5x4-6// — 30 = 0, заключен-
ный между осями координат.
9.37.	Найти уравнение окружности, касающейся осей
координат и проходящей через точку Л4(2; 1).
9.38.	Составить уравнение окружности, касающейся
прямых 2х-|-1/ — 5 = 0, 2х-|-у + 15 = 0, причем одной из
них — в точке Л (2; 1).
9.39.	Найти координаты центра и радиус каждой из
окружностей, заданных уравнениями:
а)	(х-1)2+ (у+3)2= И
б)	х2 + «/2 + 6х —4у —3 = 0;
в)	2x2 + 2y2-6x+10i/-17 = 0;
г)	х2+у2 + у=0.
9.40.	Составить уравнение хорды окружности х 4-
4-//2 = 25, делящейся в точке (— 1; 4) пополам.
98
9.41.	Составить уравнение касательной к окружности
х2 + //2 —2%+4// —20 = 0 в точке М(5; 1).
9.42.	Вывести условие, при котором прямая y = kx-\-b
касается окружности x2 + y^ = R2.
9.43.	Составить уравнения касательных к окружности
х2 + у2-\-2х— 19 = 0, проведенных из точки (1; 6).
Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,
сумма расстояний от которых до двух данных точек Fi и F2, называемых
фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают 2а), причем эта
постоянная больше расстояния между фокусами. Расстояние между
фокусами обозначают 2с.
Если за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусы Fi и Г2,
а за ось Оу — перпендикуляр к оси Ох в середине отрезка F\F2, то про-
стейшее (каноническое) уравнение эллипса примет вид
х2/а2 + у2/Ь2 = \,
где Ь2 = а2 — с2; а — большая полуось эллипса; b—малая полуось
(рис. 9.1). Отношение с/а = е< 1 называется эксцентриситетом эллипса.
Если а<Ь, то фокусы находятся на оси Оу, с2 = Ь2— а2, ъ = с/Ь.
9.44.	Составить уравнение геометрического места то-
чек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний
до точек У7! ( —3; 0), F2(3; 0) равна 10.
9.45.	Составить каноническое уравнение эллипса, фо-
кусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относи-
тельно начала координат, если:
а)	расстояние между фокусами равно 8 и большая ось
равна 10;
б)	малая ось равна 10 и эксцентриситет равен 12/13.
9.46.	Определить полуоси, фокусы и эксцентриситет
каждого из следующих эллипсов:
а) х2/16+//2/9= 1; б) 4х2 + е/2=16; в) x2 + 4i/2 = 36.
9.47.	Вычислить площадь четырехугольника, две вер-
шины которого лежат в фокусах эллипса х2 + 5//2 = 20,
две другие совпадают с концами его малой оси.
99
9.48.	Определить эксцентриситет эллипса, если извест-
но, что малая ось его видна из фокуса под прямым углом.
9.49.	Показать, что уравнение 5x24-9t/2 — 30x4- 18(/ +
4-9 = 0 представляет собой уравнение эллипса. Найти
центр, оси, вершины, фокусы и эксцентриситет этого
эллипса.
9.50.	Составить уравнение эллипса, длина большой оси
которого равна 20, а фокусами служат точки F\( — 1; 0)
и F2(5; 0).
9.51.	Определить, при каких значениях т прямая
i/=—x4-/n:
а)	пересекает эллипс х2/204-*/2/5= 1;
б)	касается его; в) проходит вне эллипса.
9.52.	Составить уравнение касательной к эллипсу
х2/а2 + y2/b2 = 1 в его точке Af(%i, у}).
Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек
плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух
данных точек Fi и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная
(ее обозначают 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между
фокусами. Расстояние между фокусами обозначают 2с.
Если за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусы F\ и
F2, а за ось Оу— перпендикуляр к оси Ох в середине отрезка то
простейшее (каноническое) уравнение гиперболы примет вид
х2/а2 — у2/Ь2= 1,
где Ь2 = с2 — а2; а — действительная полуось; b — мнимая полуось гипер-
болы (рис. 9.2).
Отношение с/а=е>1 называется эксцентриситетом гиперболы.
Прямые г/=± —х называются асимптотами гиперболы,
а
Гипербола, у которой а = Ь, называется равносторонней.
Уравнение х5/а2 — г/2/Ь2 = — 1 (или i/2/62 —х2/а2= 1) также являет-
ся уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы слу-
жит отрезок оси Оу длиной 2Ь.
100
9.53.	Написать каноническое уравнение гиперболы,
фокусы которой расположены на оси Ох симметрично от-
носительно начала координат, если:
а)	действительная полуось равна 5, мнимая 4;
б)	расстояние между фокусами равно 16 и эксцентри-
ситет равен 4/3.
9.54.	Определить полуоси, фокусы и эксцентриситет
следующих гипербол:
а) 16х2-9(/2+144 = 0; б) 4х2 — 5t/2 — 100 = 0.
Построить указанные линии.
9.55.	Составить уравнения прямых, проходящих через
точку М( — 5; 2) параллельно асимптотам гиперболы
9х2 —4i/2 = 36.
9.56.	Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллип-
са x2/25 + i/2/9= 1. Составить уравнение гиперболы, если
ее эксцентриситет е = 2.
9.57.	Показать, что уравнение 16х2—-§у2—-64х —-54t/ —
—161=0 представляет собой уравнение гиперболы. Най-
ти координаты центра, вершин, фокусов, эксцентриситет
и асимптоты гиперболы.
9.58.	Составить уравнение гиперболы, зная, что рас-
стояние между ее вершинами равно 24 и фокусы находят-
ся в точках А(--10; 2) и /72(16; 2).
Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, рав-
ноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой,
называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси
Ох и проходящей через начало координат, имеет вид у2 = 2рх, где р —
расстояние от фокуса параболы F(p/2; 0) до ее директрисы х——р/2
(рис. 9.3).
101
Когда вершина параболы находится в начале координат и парабола
симметрична относительно оси Оуу каноническое уравнение параболы
имеет вид х2 = 2ру. В этом случае В(0; р/2) — фокус, у= — р/2 — урав-
нение директрисы.
9.59.	Составить уравнение параболы, вершина которой
находится в начале координат, если:
а)	парабола симметрична относительно оси Оу и про-
ходит через точку (1; 1);
б)	фокус параболы находится в точке F(— 3; 0).
9.60.	Найти координаты фокуса и записать уравнение
директрисы каждой параболы, заданной уравнением:
a) i/2=12x; б) г/2=—8х; в) х2= — Sy.
9.61.	Показать, что уравнение 4x24-4x4~3t/— 2=0
представляет собой уравнение параболы. Найти вершину,
фокус, уравнения оси и директрисы этой параболы.
9.62.	Составить уравнение параболы, вершина которой
находится в точке (4; —1), а фокус — в точке (4; 2).
9.63.	Вершина параболы, проходящей через точку
(3; 5), совпадает с центром окружности х24-(/2 — 4х—
— бу — 3 = 0. Составить уравнение этой параболы, если ее
ось параллельна оси Ох.
9.4.	Плоскость в R3
Общее уравнение плоскости:
Ax + By+Cz + D = Q,	(9.4)
где Л24-В24-С2=/=0. Вектор п= (Л; В; С) перпендикулярен к плоскости
и называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку М (х0, Уо,	и перпен-
дикулярной к вектору п = (Л; В; С):
Л (х—хо) 4-В(г/ —r/о) 4-C(z —Zo) =0.
Уравнение плоскости в отрезках на осях:
x/a + y/b+z/c=\,
где а, Ь, с —длины отрезков, отсекаемых на координатных осях, взятые
с соответствующими знаками.
Нормальное уравнение плоскости:
х cos а+у cos P4-z cos у — р = 0,	(9.5)
где cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы перпендикуляра, про-
веденного из начала координат к данной плоскости; р — его длина.
Для приведения общего уравнения плоскости (9.4) к нормальному
виду (9.5) следует умножить все его члены на нормирующий множитель
и=1/± л/л2+в2+с2;
где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D
в общем уравнении плоскости.
102
Расстояние от точки М (хо; Уо', £о) до плоскости Ax-\-By-\-Cz-\-D = 0
находится по формуле
d = | А Хо 4“ By о 4“ Czq 4-^1/ ~\[ А% В% 4~ .
Пример 9.3. Составить уравнение плоскости, проходя-
щей через точки Afi(2; 1; 3), Af2 (6; 2; 1) и перпендикуляр-
ной к плоскости 4х-[-2у— z-|-4 = 0.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через
точку М (2; 1; 3), можно записать в виде
Д(х —2) + S(i/-l) + C(z-3) =0.	(9.6)
Так как плоскость проходит через точку Л1 (6; 2; 1),
то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (9.6),
т. е. Д(6-2)+В(2-1)+С(1-3) = 0 или 4А + В-
-2С = 0.
Искомая плоскость перпендикулярна к данной плоско-
сти, поэтому 4Д-|-2В —С = 0. Для определения коэффи-
циентов Д, В, С получили систему уравнений
4А+ В —2С = 0,|
4Д + 2В- С = 0, J
решение которой имеет вид В= —С, А = С. Подставив
эти значения в уравнение (9.6), получим искомое уравне-
ние плоскости Зх—4у-\-4—14 = 0.
9.64.	Построить плоскости:
a) 2x-|-3i/-|-z —6 = 0; б) x4-2z —4 = 0;
в) 2z-H*/ = 0;	г) 2z —9 = 0.
9.65.	Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку Af(l; 2; 3) и перпендикулярной к оси Оу.
9.66.	Написать уравнение плоскости, проходящей че-
рез ось Ох и точку М(—2; 3; 5).
9.67.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси
Оу и проходящей через точки Afi(2; 4; —1) и Л42(6; 1; 5).
9.68.	Написать уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку Л4(2; 3; —4) и перпендикулярной к вектору
п=(1; -2; 5).
9.69.	Написать уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку Л4(3; —1; 4) и отсекающей на координатных
осях равные отрезки.
9.70.	Написать уравнение проходящей через точку
Л4 (2; 1; —2) плоскости, нормальный вектор которой обра-
зует с осями Ох, Оу, Oz прямоугольной декартовой систе-
мы координат углы а = 60°, 0 = 45°, у=120°.
103
9.71.	Найти расстояние от точки Л1 (1; 5; —2) до плос-
кости 2x4-2z/4-z —7 = 0.
9.72.	Найти расстояние между параллельными плоско-
стями 2x--3f/4-6z—-14 = 0 и 4х—-	12z4-21 =0.
9.73.	Найти угол между двумя плоскостями:
а)	4х — 5f/4-3z— 1 =0, % —4// —z4-9 = 0;
б)	2x4-1/ — 2z4-6 = 0, 2х — 2i/4-z4-8 = 0.
9.74.	Найти угол между плоскостями, проходящими
через точку Л4( —1; 1; —1), одна из которых содержит
ось Оу, а другая — ось Oz.
9.75.	Написать уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку Л4( — 1; —1; 2) и перпендикулярной к плоско-
стям х — 2y-\-z — 4 = 0 и x4-2f/--2z—-4 = 0.
9.76.	Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки Mi(l; — 1; — 2) и Мг(3; 1; 1) перпендикулярно
к плоскости х — 2f/-|-3z — 5 = 0.
9.77.	Две грани куба лежат соответственно на плоско-
стях Зх — 2j/4-6z--7 = 0, 3x--2f/4-6z—-35 = 0. Вычислить
объем этого куба.
9.5.	Прямая и плоскость в R3
Уравнения прямой, проходящей через точку Л4о(хо; t/o; zo) и па-
раллельной вектору s= (/; т\ п), записываются в виде
(х —х0)//= (У — y0)/m=(z — z0)/n.	(9.7)
Уравнения (9.7) называются каноническими уравнениями прямой,
а вектор s=(Z; т\ п) —направляющим вектором прямой.
Если каждое из отношений (9.7) приравнять параметру /, то полу-
чим параметрические уравнения прямой:
х=хо-|-//, y=yo-\-mt, z=zo + nt.
Уравнения прямой, проходящей через две точки A4i(xi; yr, Zi) и
М2(х2; У2; z2):
х — хх У~У\	z — zx
Х2~Х\ ~ У2~У\ ” Z2~ Z1
Общие уравнения прямой:
Л ,х4-Вху-f- C\Z 4-= 0,
Л <jx 4- B^y 4- C2z 4- D2 = °- J
9.78.	Составить канонические уравнения прямой, про-
ходящей через точку Л4( — 1; 3; 2) параллельно:
а)	вектору s=(2; —3; 5);
б)	прямой (х-|-2)/1 = (t/ —3)/2 = г/ —4;
в)	оси Ох; г) оси Оу; д) оси Oz.
104
9.79.	Составить уравнения прямой, проходящей через
две данные точки М\ (1; 6; —4) и Мг(3; 5; 1). Найти точки
пересечения этой прямой с координатными плоскостями.
9.80.	Написать канонические уравнения следующих
прямых:
а)	Зх — 2y-\-z — 4 = 0, |
5x + 2t/ — 3z — 4 = 0; J
б)	x + 2t/+ z — 4 = 0,|
2x — t/ + 2z — 3 = 0. J
Л 1T о	x y-\-2	z4-5
9.81.	Наити угол между прямыми у =	= —у-
и х = /-|-3, y = t^[2 4-2, z = t.
9.82.	Составить уравнения прямой, проходящей через
точку М(3; 1; —4) перпендикулярно к плоскости 5х — у +
4-2z —3 = 0.
9.83.	Найти уравнение плоскости, проходящей через
параллельные прямые (х —3)/2 = t//l = (z4-2)/ — 3,
x/2=(y4-2)/l = (z-3)/-3.
9.84.	Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез точку (2; 1;0) и прямую (х4-2)/1 =#/—3= (z4-2)/l.
9.85.	Найти точку пересечения прямой (х—1)/2 =
==!//— 1 = (z —5)/3 и плоскости 2х — y-j-z-j- 1 =0.
9.86.	Найти расстояние между параллельными пря-
мыми:
x-f-2 у z — 5 х у — 2 z— 1
3 “ ~2 ~ —1 ’ Т 2	“ —1 ’
9.87.	Составить уравнение плоскости, проходящей че-
х—1	#4-2 z
рез прямую —_4~ = Т параллельно прямой
x = i/ = z.
9.88.	Найти координаты точки Q, симметричной точке
Р(1;0;— 2) относительно прямой х = 3/—1, t/ = 5/4-2,
z = t+\.
9.6.	Поверхности второго порядка в R3
Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяе-
мая алгебраическим уравнением второй степени относительно декарто-
вых координат х, #, z.
Приведем канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Эллипсоид (трехосный)
х2/а2 -f- у2/Ь2 4- z2 / с2 = 1.
При a = b =c=R получается уравнение x2 + y2-]-z2 = R2. Это урав-
нение сферы радиусом R с центром в начале координат.
105
Однополостный гиперболоид
х7а24-//2/62-22/с2=1.
Двуполостный гиперболоид
х2/^^//2/^2 —z2/c2 = — 1.
Конус второго порядка
х2/а2 4- у2/Ь2 — г/с2 = 0.
Эллиптический параболоид
х2/а2+ у2/b2 = 2z.
Гиперболический параболоид
х2/а2 — у2/b2 = 2z.
Эллиптический цилиндр
х2/а2 + у2/Ь2=\.
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр
х2 = 2ру.
Пара пересекающихся плоскостей
х2/а2-у2/Ь2 = Ь.
Пара параллельных плоскостей
х2/а2=1.
Пара совпадающих плоскостей
х2 = 0.
9.89.	Составить уравнение сферы, если:
а)	центром сферы является точка С(1;2;4) и плос-
кость 2x-|-4t/ — 4z 4-12 = 0 касается сферы;
б)	сфера проходит через точки Afi(3; 1; —3), Л12(— 2;
4; 1), Л4з( — 5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2x4“
+ У— z 4-3 = 0.
9.90.	Определить координаты центра С и радиус сфе-
ры, заданной каждым из следующих уравнений:
a)	(x + 2)2+(i/-4)2+(z-1)2 = 25;
б)	?4-/+z2- 2*4-4#4-6г—2 = 0.
9.91.	Составить уравнение плоскости, проходящей че-
рез центр сферы х2 -\-у2 -\-z2 -\-2х —у-\-5z = 0 и перпенди-
кулярной к прямой, проходящей через точки Л41 (2; 5; — 1)
и Л42(4; 6; 0).
9.92.	Составить уравнение плоскости, касательной к
сфере (х — 3)24- (#—1)24- (*4-2)2 = 24 в точке
М(-1; 3; 0).
106
9.93.	Найти площадь сечения сферы x2 + #2 + z2= 100
плоскостью 2% + 2z/ — z — 18 = 0.
9.94.	Найти центр и длины полуосей эллипсоида:
a)	(x-n2 + 4(z/-3)2 + 4(z + 2)2=16;
б)	x2 + *r + 4z2 + 4x — 2z/+ 16z + 5 = 0.
9.95.	Построить поверхность х2/4 + z/2/4 + z2/25 = 1 и
найти площадь ее сечения плоскостью z = 3.
9.96.	Выяснить, какие поверхности определены уравне-
ниями, и построить их:
a) 4x2 + 9f/2 + z2 = 36;	б) х2 + 12t/2 — 4z2 + 48 = 0;
в)	2(х—1)2+12(t/ + 2)2 —3(z —5)2 —24 = 0;
г)	4х2 + 9#2 — 32х + 36# + 64 = 0;
д)	2х2 — 5у2 — 8 = 0;	е) 4х2 — 9z2 — 72z/ = 0;
ж) x2 + 6x + 4z —7 = 0; з) х2 + #2 —z2 —2z/ + 2z = 0;
и) z/ = 5x2 + 3z2.
9.97.	Написать уравнение эллиптического параболои-
да, имеющего вершину в начале координат, осью кото-
рого является ось Oz, а точки Afi(l; —2; 2) и Л12(1; 1; 1)
лежат на его поверхности.
9.98.	Найти точки пересечения поверхности и прямой:
а)	х2/16+у2/9 —22/4= 1 и (х-4)/4=(у + 3)/3 =
= (г-2)/2;
б)	4х2-9у2 = 36г и х/3 = (у — 2)/—2 =(г+1)/2;
в)	Зх2 + 5у2- 152 = 0 и (х+1)/2=(у-2)/-1 = (г +
+ 3)/-2.
9.99.	Составить уравнение эллиптического цилиндра,
образующая которого параллельна оси Oz, если малая
ось направляющей совпадает с осью Ох и равна 6, а
эксцентриситет ее равен 3/4.
10. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
10.1.	Решение линейных неравенств в R2
Пусть задано некоторое линейное неравенство относительно перемен-
ных xi, х2, ...» хп:
aiXi+a2X2 + --- + anXn^b.	(10.1)
Переменные xi, х2, ...» хп будем толковать как координаты точки
n-мерного пространства.
Совокупность точек n-мерного пространства, координаты которых
удовлетворяют неравенству (10.1), называется областью решений данно-
го неравенства. Областью решений линейного неравенства является
полупространство.
Область решений системы линейных неравенств
107
Ql 1 Xi-,“012 Х2~Ь ...-j-ain Хп^ Ь1,
021 Xi -+"022 X2 ~b ••• 4“O2n Хп Ьг,
(Ю.2)
OmlXi -j-am2X2 ~|“ ••• ~t~amnXn Ь«
есть пересечение некоторого числа полупространств.
Полупространство — это выпуклое множество, выпуклым является
и пересечение выпуклых множеств. Отсюда следует, что областью реше-
ний совместной системы линейных неравенств (10.2) является выпук-
лый многогранник (выпуклая неограниченная многогранная область),
ограниченный гиперплоскостями, уравнения которых получаются из не-
равенств системы заменой в них знаков неравенств на знаки равенств.
Сам многогранник представляет собой пересечение полупространств,
ограниченных указанными гиперплоскостями.
Для двухмерного пространства неравенство (10.1) принимает вид
aiXi Ч-агХг^Ь.	(10.3)
Областью решений неравенства (10.3) является одна из полуплоско-
стей, на которые граничная прямая aiX\ -J-a2X2 = b делит плоскость Х1ОХ2.
В другой полуплоскости выполняется противоположное неравенство
aiXi -+-а2Х2^Ь. Точки граничной прямой удовлетворяют обоим нера-
венствам.
Областью решений совместной системы линейных неравенств с двумя
переменными
aiixi -j-012X2^ bi,
021 Xi -j- 022 Х2 Ьг,
OmlXi -f- Оги2X2	Ьт
является выпуклый многоугольник или выпуклая многоугольная неогра-
ниченная область, ограниченная прямыми, уравнения которых получают-
ся из неравенств системы заменой в них знаков неравенств на знаки
равенств. Сам многоугольник (многоугольная область) представляет
собой пересечение полуплоскостей, ограниченных указанными прямыми.
Пример 10.1. Построить на плоскости Х1ОХ2 область
решений неравенства 2*14-5*2^10.
Решение. Построим прямую 2*14-5*2=10 (рис. 10.1).
Она делит плоскость *10*2 на две полуплоскости. Та из
них, которая содержит начало координат, и есть область
108
решений данного неравенства (координаты точки 0(0; 0)
удовлетворяют данному неравенству). Полуплоскость над
граничной прямой соответствует неравенству 2xi +
+ 5*2^ Ю. Итак, областью решений данного неравенства
будет множество точек граничной прямой и полуплоскости,
указанной на рисунке стрелками. Во второй полуплоскости
лежат все решения неравенства 2xi + 5x2^10.
Пример 10.2. Найти область решений системы не-
равенств:
a) 2xj — 5х2^ — 10,
б) — Х14- х2< 6, '
3xj 4-5х2^ 15,
x2j> 1;

3xi4-2x2^
*14-2*2^ — 2;
в) 3%! —2х2<—6,
— %|4"5х2^	5,
Xj >	0,
х2^ 0.
Решение, а) Строим граничные прямые 2xi — 5х2 =
= —10(/i), х, = 3 (/2), 3x1+2x2=12 (/3), Х1 + 2х2=—2
(/4), соответствующие данным неравенствам (рис. 10.2).
Стрелки указывают полуплоскости, являющиеся областя-
ми решений данных неравенств. Пересечение отмеченных
109
полуплоскостей — многоугольник ABCD — область реше-
ний данной системы.
б) На рис. 10.3 построены граничные прямые, соот-
ветствующие данным неравенствам, и стрелками указаны
полуплоскости, точки которых удовлетворяют данным не-
равенствам. Областью решений системы является выпук-
лая многоугольная неограниченная область.
в^-Судя по рис. 10.4, на котором приведено решение,
ни одной точки, общей для всех трех полуплоскостей,
соответствующих данным неравенствам, не существует.
Следовательно, область решений пуста. Система нера-
венств несовместна.
Пример 10.3. Построить область планов выпуска дета-
лей по условиям примера 1.3.
Решение. Построив на рис. 10.5 граничные прямые
ВС, АВ и CD, соответствующие первым трем неравенст-
вам системы
110
i/6ooxi+i/i2oox2< 1/
1/1400%!+1/800 x2< 1,
xt	<400,
%!	> 0,
X2^>	0
и учитывая условия неотрицательности переменных, полу-
чаем многоугольник OABCD, являющийся искомой об-
ластью планов выпуска деталей.
10.1.	Построить область решений следующих систем
неравенств:
а) 2хх — х2<6,
Х| + 4Х2	8;
в) 3%i + 2x2^8,
3xi + 2x2<6;
д) 2х! + 5х2<10,'
2%i+ х2< 6,
Xi + 2x2^ 2;
ж) 3xj+ х2^8,
2xj — Зх2<6,
Xj^O, х2^0;
б) 2х1-х2>4,'|
2Х| —х2<8; J
г) 2xj —Зх2< — 13,'
%i+ х2>	6,
4%1+ х2	16;
е) 2xj —Зх2<—13,
%1+	х2<	6,
4xj—	х2^	16;
з) ЗХ]	-^2^^	8,
2X1 —Зх2<	6,
%1^0, х2^0;
111
и) 2x1 + 3x2<12,
%!^0, х2^0.
10.2.	По условиям задачи 1.13 построить на плоскости
Х\Ох2 область допустимых планов выпуска продукции.
10.3.	По условиям задачи 1.14 построить на плоскости
Х\Ох2 область допустимых планов выпуска трансформа-
торов.
10.4.	По условиям задачи 1.15 построить на плоскости
Х\Ох2 область допустимых планов выпуска изделий сверх
установленного задания.
10.5.	По условиям задачи 1.16 построить на плоскости
Х[Ох2 область допустимых вариантов приобретения обору-
дования.
10.6.	По условиям задачи 1.17 построить на плоскости
Х\Ох2 область допустимых планов производства про-
дукции.
10.7.	По условиям задачи 1.18 построить на плоско-
сти Х\Ох2 область допустимых рационов.
10.8.	По условиям задачи 1.19 построить на плоскости
Х\Ох2 область допустимых планов выпуска изделий.
10.9.	По условиям задачи 1.20 построить на плоскости
Х\Ох2 область допустимых суточных рационов при откорме
животных.
10.10.	По условиям задачи 1.21 построить на плоскости
Х\Ох2 область допустимых вариантов формирования
поездов.
10.11.	По условиям задачи 1.22 построить на плоско-
сти Х\Ох2 область допустимых вариантов загрузки трюма
судна.
10.12.	По условиям задачи 1.23 построить на плоско-
сти Х[Ох2 область допустимых вариантов использования
времени работы машин для выполнения плана выпуска
продукции.
10.13.	По условиям задачи 1.24 построить на плоско-
сти Х\Ох2 область допустимых вариантов использования
площади пашни для выращивания картофеля и ячменя.
10.14.	По условиям задачи 1.25 построить на плоско-
сти Х\Ох2 область допустимых вариантов товарооборота.
10.15.	По условиям задачи 1.26 построить на плоско-
сти х\Ох2 область допустимых планов выпуска продукции.
10.16.	По условиям задачи 1.27 построить на плоско-
сти х\Ох2 область допустимых планов изготовления
компотов.
112
10.2.	Смешанные системы линейных уравнений
и неравенств
В приложениях часто приходится находить решение систем линейных
неравенств или смешанных систем, состоящих из линейных уравнений
и неравенств с большим числом неизвестных. В этих случаях построить
графическое изображение множества решений нельзя. Но задачу можно,
оказывается, свести к решению эквивалентной системы, содержащей
только линейные уравнения, а такие системы решаются, например, мето-
дом Гаусса. Основанием указанного преобразования служит следующее
утверждение: всякому решению ai, аг, ..., ап неравенства aiXi-|-
+ a2*2 + ... + anXn{ > соответствует вполне определенное решение
аь аг, ..., an, a„+i уравнения ai*i+агХг + ... + апХл{±|хл+1 = а, где
Xn+i>0. В связи с этим систему (10.2) можно заменить эквивалентной
системой линейных уравнений с п + т неизвестными, в которой будет
т дополнительных неотрицательных неизвестных:	(i=l,zn).
Пример 10.4. Найти какое-нибудь опорное решение
системы
— 2%! — 2х2 + Зх3	‘ + х5 = 5, '
2х1-}- х2— х3 + 4х4	2^6,
Зх2 + 2х3+	х5 8.
Решение. В левую часть первого неравенства вводим
дополнительную переменную х6 со знаком плюс, а в левую
часть второго — дополнительную переменную Xi со знаком
минус. Присоединяя условие неотрицательности для до-
полнительных переменных, получаем следующую систему,
эквивалентную данной:
— 2%! — 2х24-Зх3 Н-х5 =5/
2xt+ х2 — х3Н-4х4	+ х6 =6, ,
Зх2 + 2хз+ х4Н-х5	— х7 = 8,
Хб^О, х7^0.
Для полученной системы уравнений составляем расши-
ренную матрицу
— 2 —2	3 0 [Г] 0	0	5
2	1—14	0	1	0	6 .
0	3	2110-1	8
Используя алгоритм полного гауссова исключения, вы-
деляем диагональную подматрицу, выбирая разрешающие
элементw так, как это делается при поиске опорных ре-
113
шений (см. гл. 2). Примем за разрешающий, например,
пятый столбец. Разрешающую строку находим из условия
min (5/1; 8/1) =5/1. Ею будет первая строка, а разре-
шающим— элемент 1.
Выполнив первое исключение, получим матрицу
—2—2	3010	0
2	1—1401	0
2	[5] -1	1 0 0	-1
5’
6
3
Второе исключение выполним, например, со вторым
столбцом. Для него min (6/1; 3/5) =3/5. Значит, раз-
решающей будет третья строка, а разрешающим — эле-
мент 5. В результате получаем матрицу
 -6	0	13	2	5	0	— 2	ЗГ	
8	0	— 4	19	0	5	1	27	1
2	5	- 1	1	0	0	— 1	3	
Xi	Х2	хз	Х4	х5	х6	х7		
переставляя в которой пятый, шестой и второй столбцы,
соответствующие базисным переменным х2, х$ и х6, можно
при желании образовать диагональную подматрицу. Ре-
шение практически закончено, так как на основании по-
следней матрицы при нулевых значениях свободных пере-
менных xi, хз, Х4 и Ху сразу определяются значения ба-
зисных переменных: х2 = 3/5, Х5 = 31/б, Хб = 27/5.
Итак, одним из опорных решений данной смешанной
системы является (0; 3/5; 0; 0; 31/5; 27/5; 0).
В задачах 10.17—10.20 найти какие-нибудь опорные
решения смешанных систем линейных уравнений и нера-
венств.
10.17.	—х1 + 2х2—Зх3> 1,
3xi
+ 4х3>-2,
3xi+ х2	4.
10.18.	Xi —2х2 + х4 =— 3,
х3 — 2х4	=	2,
Зх2 — х4 + х5^	5,
х2	+*5^	—3.
114
10.19.	2%!— х2+ хз+ Х4=5»
Xi+ х2— Х3+ х4<2,
5xi — 8х2 + 2хз+4х4^ 3.
10.20.	Зх! + 2х2+ х3^СЗ, '
4х1 + 5х2 + 2х3^ 1, -
2xj+ х2 + 4х3=6.
10.3. Эквивалентные преобразования
систем линейных уравнений
и неравенств
Переход от системы линейных уравнений к эквивалентной системе
неравенств осуществляется на основе следующего утверждения: всякому
решению аь а2, ...» ал, а„ + 1 уравнения atxi -j-a2x2-j-... + аяхл{±)хл + 1 = а
и неравенства хл+|^0 соответствует единственное решение ai, a2, ...»
ал неравенства a\Xi + a2x2-|-...-|-anxJ la.
Пример 10.5. Привести систему линейных уравнений
Xj —2х2+ х3+х4= 5,
2Xj+ х2 + Зх3—х4=10
с условиями неотрицательности для переменных х,^0
(/=1, 4) к эквивалентной системе неравенств.
Решение. Составив для данной системы расширен-
ную матрицу, преобразуем ее в соответствии с алгоритмом
полного исключения переменных до выделения единичной
подматрицы:
3 -1
1
~ 0
51 Г1 —2 1	1
ю] [о 5 [TJ —з
-7 0	4	5‘
51-3 О’
5'
0
Последней матрице соответствует система линейных
уравнений
Xi —7х2	-|-4х4 = 5,
5х2+х3 — Зх4 = 0.
115
Опуская в уравнениях системы неотрицательные сла-
гаемые xi и хз, приходим к системе неравенств
— 7х2 + 4х4^5,
5х2—-Зх4^0.
Присоединяя к полученным неравенствам неиспользо-
ванные условия неотрицательности для переменных хг и
х4, получаем систему неравенств
— 7х2-|-4х4^ 5,'
5х2 — Зх4 О,
х2 >0,
Х4>0,
эквивалентную данной системе уравнений.
В задачах 10.21 —10.26 системы линейных уравнений
преобразовать в эквивалентные системы линейных нера-
венств.
10.21.	х j-j-х2-j-х3-j-х4-j-х5 = 4,
Xi + х2
2xj
+ х5 — 2,
+ x4-j-x5 = 3,
ху>0 (/ = 1,5).
10.22.	x1-j-2x2-j-5x3 — х4 = 4, |
Xj— х2— x3-j-2x4= 1, |
ху>0 (/=174).
10.23.	5Х) —11х2	—2x4-f-x5= 10,
— Xj+ х2 — х3+ х4	= 4,
4Х)+ х2 — х4	=80,
ху>0 (/ = Г5).
10.24.	2xj — х2-|-х3 — х4=	3,'
2Xf — х2	—1~ х4 =	2, ►
ЗХ)	—х3 — х4= — 1,
ху>0 (/ = 174).
116
10.25.	2х,+ х2-|-х3— х44-5х5— х6=3,'
— Х| -|- х2—х34-2х4— х3— х6=3,
х,-|-2х2—х3+ х4 —Зх5—2х6=6, •
*1+ Х2—х3— х44-2х5— х6=1,
ЗХ|4-Зх2	2х3—Зх6—9,,
х(>0 (/=Гб).
10.26.	2Xj —Зх2—. х34-4х4+ х5—2х6+х7=1,
Х[ —Зх2+Зх3— х4 + 2х5— х6+х7=6,
*1+ х2— х3+2х4— х5+ х6—х7=2,
х;>0 (/=177).
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
11.1. Числовые последовательности
и действия над ними
Числовой последовательностью называется функция f:	опре-
деленная на множестве натуральных чисел. Ее значение f (п) называется
п-м членом последовательности и обозначается хп. Формула xn = f (п) на-
зывается формулой общего члена последовательности.
Суммой, разностью, произведением или отношением двух последо-
вательностей {х„} и (#«} называются последовательности, члены которых
образованы соответственно по правилам: 2п=хп-\-Уп, 2п = хп — уп>
гп = хпуп и 2п — хп/Уп при £/л=/=0. Произведением последовательности
{хп) на число с называется последовательность с общим членом zn = cxn.
Последовательность {хл} называется ограниченной сверху (снизу),
если существует такое число с, что для всех хп выполнено неравенство
Хп^с (Хп^с). Последовательность, ограниченная сверху и снизу, на-
зывается ограниченной.
Пример 11.1. Написать первые пять членов последо-
вательности хп=1 + (— 1)п/п и показать, что она огра-
ничена.
Решение. Используя общий член последовательно-
сти, получаем: xi=0, Хг = 3/2, хз = 2/3, х4 = 5/4, Хб = 4/5.
Так как 0^хп^З/2 для любого п, устанавливаем, что по-
следовательность ограничена.
11.1.	Написать первые пять членов последовательности:
а) хп=(-1)п/п; б) хп = п (1 + ( - 1)");
в) xn = sin (лм/6); г) хп= (4м+ l)/(2n — 1).
11.2.	Написать формулу общего члена последователь-
ности:
а)	-1/2, 1/3, -1/4, 1/5, ...;
б)	-1, 3, -1, 3, -1, 3, ...;
в)	2, 4/3, 6/5, 8/7, ...;
г)	-3, 5/3, -7/5, 9/7, -11/9, ...;
д)	1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...;
е)	1/2, 1/6, 1/12, 1/20, ...;
ж)	0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, ... .
11.3.	Определить, является ли данная последователь-
ность ограниченной сверху (снизу), и найти наибольший
(наименьший) член этой последовательности:
118
a) x„ = n2+n;	6) x„=100n — n2;
в) хп = 2д/п/(1+n); r) x„=12/(n2-12n+37);
д) x„ = 2n/2n;	e) x„= 1 + (—l)"n.
11.2. Предел последовательности.
Бесконечно большие
и бесконечно малые последовательности
Число а называется пределом последовательности (хл}, если для
любого е>0 существует целое положительное число W, зависящее от е,
такое, что для всех членов последовательности с номерами n^N выпол-
няется неравенство |хя— а|<е. Предел обозначается a— lim хп или
п -> ОО
хп-+а.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в
противном случае — расходящейся.
Последовательность {хп) называется бесконечно малой, если
lim хп = 0, и бесконечно большой, если для любого числа Л>0 суще-
п —ОО
ствует номер W, такой, что |х„|>Л для всех n>N.
Пример 11.2. Показать, что последовательность
хп=\/п является бесконечно малой.
Решение. Покажем, что limxrt = 0. Пусть е>»0.
П-*- ОО
Найдем номер Af(e), такой, что |хпI <е для всех n>> 2V (е).
Для этого решим неравенство 11 /п | <е. Отсюда получим
п>1/е. Следовательно, в качестве М(е) можно взять
W = [l/g]-|- 1, где через [а] обозначена целая часть числа а.
Пример 11.3. Показать, что последовательность
xrt=( —1)л расходится.
Решение. Предположим обратное. Пусть а — предел
этой последовательности. Возьмем е=1/2. Тогда сущест-
вует номер 2V, такой, что |хп —а|<1/2 для всех n^N.
Это равносильно неравенству —1/2<хп —	1/2 или
а— 1 /2<хп<а+ 1 /2 для всех n^N. Но тогда — 1/2<
<xrt_|_j —-хп< 1/2 для любых n+1 (n>Af). С другой
стороны, |Х„+1 —хп| = | (— 1 )л+1 — (— 1 )л| =2. Получи-
ли противоречие. Следовательно, последовательность
расходится.
11.4.	Пусть хп = п/(п+1). Доказать, что limxrt= 1,
ОО
определив для каждого е>0 номер W = 2V(g), такой,
что |хп — 11 <е для всех n>N(е). Заполнить следующую
таблицу:
119
е	0,1	0,01	0,001	0,0001
				
11.5.	Найти а= lim хп и определить номер Af(e), та-
П оо
кой, что |хл —а|<8 для всех n>Af(e):
а)	хл = 0, 222...2, 8 = 0,001;
б)	хп = ~\j п2+п /п, 8 = 0,01;
в)	xn = cos (лп/2)/п, 8 = 0,02;
г)	хп=(Зп2-1)/(5и2+1), 8=0,001.
11.6.	Доказать, что хп есть бесконечно малая, указав
для всякого 8 > 0 число Л/ = Л^(8), такое, что |хд| <8
для всех м 2V(e). Заполнить таблицу
е	0,1	0,01	0,001	0,0001
N				
для следующих бесконечно малых:
а) хп= (- 1)п+1/(п + 2); б) хп= (п + 1)/(п2 + 2);
в) х„= (- 1)п(1/3)л.
11.7.	Доказать, что последовательность хп является
бесконечно большой, определив по заданному числу Е но-
мер N = N(E), такой, что |хд| >Е при n>N(E), и запол-
нить таблицу
Е	10	100	10 000
N			
для следующих бесконечно больших:
а) хд=(—1)пп;	б) хд = 2п;
в) хд = 1пп;	г) хп = п sin (лп/2).
11.8. Показать, что последовательность хл = п(“1)Я не
ограничена, однако не является бесконечно большой.
120
11.9.	Показать, что если последовательность {хл} явля-
ется бесконечно большой, то последовательность {//л}=
= {1/хл} — бесконечно малая.
11.10.	Показать, что если {хп} бесконечно малая, то
f/rt = ln (14-Хп) —тоже бесконечно малая.
11.3. Свойства бесконечно малых последовательностей.
Свойства сходящихся последовательностей
Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Произ-
ведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть по-
следовательность бесконечно малая.
Пример 11.4. Показать, что последовательность
11,1.
хп=--------г Н----sin п
п п п—1	1 п
является бесконечно малой.
Решение. Представим хп в виде хп = //л + -гп. После-
11	к
довательность у=---------г является бесконечно малой,
так как представляет собой произведение двух бесконечно
малых последовательностей 1/и и l/(n—1). Последова-
тельность wn = sin п ограничена, так как | sin п \	1, следо-
вательно, последовательность zn=(l/n) sin п бесконечно
малая. Отсюда заключаем, что искомая последователь-
ность хп бесконечно малая, так как она является суммой
двух бесконечно малых последовательностей.
Если последовательность {хя} сходится, то она имеет предел, причем
только один, и ограничена.
Если последовательности (хя) и \уп] сходятся и имеют конечные
пределы lim хя=а, lim yn = b, то:
п—»-оо	П-»-оо
1) lim (хп±уп) = lim хп± lim yn = a±b;
П—+ оо	П —► оо	п—оо
2) lim (схп)=с lim хп = са-
П —► оо	П —оо 3
3) lim (*„{/„)= lim хп lim yn=ab\
П -*• ОО	П<30	п-*- оо
4) lim ——
п-^ оо У п
lim хп
Поо
lim У»
и п
П-+ оо
= (если &=/=0).
b
Предел постоянной последовательности хп = с равен с, т. е.
lim с=с.
П —* оо
121
Пример 11.5. Найти предел последовательности
n2 + 5n — 1
Хп~~ 2п2 + 3
Решение. Из условия
..	<.	п2+5п — 1
lim хп= lim ----—--.
П —► оо	п —► оо	2п2 + 3
Поскольку числитель и знаменатель дроби являются
многочленами, разделим их на старшую степень п (в дан-
ном случае на и2) и, использовав свойства сходящихся
последовательностей, получим
lim ‘+5/"-1/
г оо	2 + 3/п
lim (1 + 5/п — 1/п2)
—оо
lim (2+3/п2)
П оо
lim 1+5 lim (l/n) — lim (l/n) lim (l/n)
Л —oo	л oo	П-+- OO	Л “*• OO
lim 2 + 3 lim (l/n) lim (l/n)
Л —oo n~*~ oo	n~*~ oo
2‘
Пример 11.6. Найти предел последовательности
l+2 + ... + n	n
n+2	2 *
Решение. Так как (1 +2-|-...-|-n) = n(n + 1)/2 (сум-
ма п членов арифметической прогрессии), получим
п1™» (2(«+2) г) Л™
= - у lim
х П ос
(»/2) (-1)
п + 2
1 _
14-2/п “
«+2	2
2’
lim 1
1	л-> оо
2	lim 1 + lim (2/n)
П оо п оо
В задачах 11.11 —11.43 вычислить пределы.
11.11.	lim л оо	6п + 4 7 —9п‘	11.12.	lim л-»- оо	100п п2+3’
11.13.	lim	4п	11.14.	lim	л2 — 2п4-2
	л оо	3 + 2п		л -+- OO	2п+1+2п2'
11.15.	lim	2п2 —Зп + 5	11.16.	lim	п3 + 2п2 + Зп + 4
	Л оо	3 + 5п — 6п2		П-*~ ОО	п3 —п2 + п —1
122
11.17. lim	1U8. lim
n-oo 1— n + 2nJ	n-oo 2n4
11.19. lim (и + 1)!+(и + 2)! 11.20. lim f- -l+2A.
n-»> oo (n-|-3)!	’	n-t- oo у ъп~\~7	2-j-5n j
11.21. lim ( д/п + 2 —	) 11.22. lim 1
n~x	n^“ v«3+«-V^
11.23. lim (д/п3 + п2 — n). 11.24. lim (га(д/п4-|-л — n2)).
П —► oo	Л —к oo
11.25.
lim (V^
11.26.
lim (д/п2
Я —oo
..	/ n3
lim I —5—
!-► oo у 2n — 1
1 •	/ "2 +1
lim (——
n-»> oo \ Л-|-2
ОЯ I 4»
11.29. lim i +
„-ОО 2 — 4
11.27.
11.28.
n2 \
2n+l )
n2-l\
n + 3 )'
11.30.
5“—3
lim , r
11.31.
lim in^ + ^+l)
l-»- oo In (Зл2+Л— 1)
11.33.
.. 1g (8»7+6n5+ 1)
.-oo 1g (3nl0 + n®+1) 
n2—n — 1 ) .
11.32.
11.34.
..	( —2)Я + 3Л
lim — -----—!.
(_2)"+'+Зя+1
11.35.
n— 1
"V
11.36.
lim 1 + 1/2+1/4+...+1/2"
.-oo 1 +1/3+ l/32 + ...+ 1/3"
11.37. lim
fl-^ oo
l+2 + ... + n
l+4 + 9 + ... + n2
n(n+l) (2n+l)
6
n
i.	,e lim l+4 + 9 + ... + n2 '
11.38. lim --------------.
П-»> ОО	П
11.39.	lim (> + '+...+ n *	\
n —► oo \ *	3	n(n+ 1) /
123
11.40.
11.41.
11.42.
11.43.
lim 1+*+*>+<
n-^oo	4-... -f-6
IfrKl).
(2n— 1 )2
n3
11.4. Предельный переход в неравенствах.
Монотонные последовательности
Если, начиная с некоторого номера У, для последовательностей
{хп) и {уп} выполнено неравенство хп^уп, то lim хп^ lim уп.
П сю	П оо
Если для последовательностей {хп}, {уп} и {гп} выполнены неравенст-
ва хп^уп^гп и lim хп= lim zn = a, то предел последовательности
Л —оо	П —>- оо
[уп] существует и равен а.
Последовательность {%„) называется возрастающей, если Х\<
Cx2<Z.. <Zxn < Хл+i <..., неубывающей, если Х\ хг ...хп
<хл+1 <убывающей, если xi > х%>... >хл>* хл+1 > ..., невозрастаю-
щей, если xi ^хг^ ...^Хп^Хл-bi ^... Такие последовательности назы-
ваются монотонными.
Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она
сходится. Если невозрастающая последовательность ограничена снизу,
то она сходится. Если монотонная последовательность ограничена, то
она сходится.
Пример 11.7. Показать, что последовательность
xn = qn (0<<7<1) сходится к нулю.
Решение. Последовательность xn = qn является убы-
вающей, так как хл_н = ^л+1 <zqn = xn, если 0<Zq<Z 1. Она
ограничена, поскольку 0<хл<1 и, следовательно, схо-
дится. Покажем, что ее предел равен нулю. Возьмем
е>0. Из неравенства |хл| = |^п|<е найдем n^log^e.
Таким образом, для каждого е>0 в качестве N можно
взять [log,, е] + 1.
В задачах 11.44—11.46 доказать равенства.
пП
11.44.	lim (п/2я)=0.	11.45. lim =0.
11.46.	lim 7а =1 (а>1).
га оо
11.47.	Доказать, что всякая сходящаяся последова-
тельность ограничена.
124
11.48.	Пусть lim хп = 0 и {уп} —произвольная
П—►- оо
последовательность. Можно ли утверждать, что
lim (хпуп)=0? Привести примеры.
П оо
11.49.	Пусть lim (хпуп)= 0. Следует ли отсюда, что
П —оо
либо limx„ = 0, либо lim уп= 0? Рассмотреть пример:
11.5. Числовое множество. Предельные точки
числового множества
Числовым множеством называется любое подмножество множества
вещественных чисел. Множество чисел, принадлежащих интервалу
(а — е; а-|-е), называется е-окрестностью точки а. Точка а называется
предельной точкой числового множества X, если в любой е-окрестности
точки а находятся точки множества X, отличные от а. Точка а£Х называ-
ется изолированной точкой числового множества X, если существует
е-окрестность этой точки, не содержащая других точек из X.
11.50. Найти все предельные точки последователь-
ности:
ч 3+(-1)л	лп
а) хп=——------—;	б) x = cos——;
’ п 3-(-1)л	7	4
X	(-1)"
в) xn = arccos	2-—.
11.51. Пусть а — предельная точка числового множе-
ства X. Доказать,что в любой е-окрестности точки а нахо-
дится бесконечное множество элементов множества X.
11.52. Пусть а — предельная точка числового множе-
ства X. Доказать, что из элементов множества X можно
выбрать последовательность, сходящуюся к а.
12. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
12.1. Предел функции
Пусть дана функция f(x) и пусть х0 — предельная точка области
определения этой функции D(f), т. е. такая точка, любая окрестность
которой содержит точки множества D(f), отличные от Xq. Точка xq может
принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Число А называется пределом функции f(x) в точке х0 (или при
х->х0), если для любого е>0 существует такое число 6>0, что для
125
всех x£D(f), удовлетворяющих условию 0< |х—х0|<6, выполняется
неравенство \f(x) — Л|<е.
Если число А является пределом функции f(x) в точке Хо, то этот
факт символически записывают следующим образом:
lim f(х) =А или f(x)-+A при х-*-Хо.
Используя логические символы, данное определение можно записать
в виде
lim f (х) = А о Ve > 0 36 > О Vx£D(f)
(0< |х — х0| <6=>|f(x)-A | < е).
Это определение называют определением предела функции по Коши
или «на языке е—6>.
Определение предела функции по Коши равносильно следующему:
число Л называется пределом функции f(x) в точке хо (или при х—>-хо),
если для любой последовательности (хл), стремящейся к Хо, с членами,
принадлежащими D(f) и отличными от хо, соответствующая последо-
вательность (f (хл)) значений данной функции стремится к числу Л. Дан-
ное определение символически записывается так:
lim f (х) = Л oV(xn) ((хл-^х0, x„ED(f), хл#=х0)=>/ (хл) -+А).
х-^х0
Его называют определением предела функции по Гейне или «на языке
последовательностей».
Аналогично можно сформулировать определение предела функции
при х—>-|-оо, х-> — оо, х->оо.
Прямая у = А называется горизонтальной асимптотой графика функ-
ции f(x) при х—>--|-оо, если lim f(x)=A.
X -+ + сю
Аналогично определяется горизонтальная асимптота графика функ-
ции при х—>— оо.
Если в определении предела функции по Гейне условие хл=/=х0 заме-
нить условием хл<хо (хл>»хо), то получим определение левого (правого)
предела функции в точке х0, который обозначается lim f(x) или
х + Хо-0
f(xo-O) ( lim f(x) или/(хо + О)\.
\х-*хо + °	)
Если хо = О, то вместо х-+0—0 пишут х->-—0, вместо х->-0 + 0 пи-
шут х-> +0.
Правый и левый пределы называются односторонними пределами
функции в точке.
Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке
устанавливает следующая теорема: для того чтобы функция f (х) в точке
хо имела предел А, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она
имела левый и правый пределы и чтобы оба этих предела были равны А.
Функция f(x) называется бесконечно малой в точке Хо (или при
х->хо), если lim f(x)=O.
х-^х0
Аналогично определяются бесконечно малые функции при х->- + «>,
х—>---оо, х->оо, х->хо — 0, х->Хо + О.	'
Бесконечно малые функции обладают свойствами, аналогичными
свойствам бесконечно малых последовательностей.
126
Функция f(xj) называется бесконечно большой в точке х0 (или при
х-+х0), если имеет место одно из равенств:
lim f(x) = -{-oo, lim f(x) = — oo, lim f(x) — oo.
X Xo	X Xo	X Xo
Первое из этих равенств понимают следующим образом:
lim f(x) = +*оо о У(хя) ((хя->х0, xn£D(f), хп =# *о)=>/ (хя)-> + оо).
х-ьх0
Аналогично можно разъяснить смысл остальных двух равенств.
Точно так же определяются бесконечно большие функции при
Х->--{-оо, х->-— оо, х—>оо, %->х0 — 0, Х-*-Хо4~О.
Прямая х = хо называется вертикальной асимптотой графика функ-
ции f(x) при х->Хо + О, если lim f(x) = -{-oo или lim f(x) =
х-*х04-°	ж-*-хо4-О
— — оо.
Аналогично определяется вертикальная асимптота графика функции
при х->х0 —0.
Приведем ряд утверждений, которые используются при вычислении
пределов.
1.	Если f(x) —бесконечно малая функция при х->х0, то \/f(x) —
бесконечно большая функция при х-*-Хо, и наоборот.
2.	Предел суммы, разности, произведения и частного функций f(x)
и <р(х) равен сумме, разности, произведению и частному пределов этих
функций:
lim (f(x) ±ф(х)) = lim f(x)± lim <p(x),
X X0	x “* x0	x “* x0
lim (f(x) • <p(x)) = lim f(x) lim <p(x),
X -* X0	x ”* x0 x “* xo
lim (cf(x)) =c lim f(x),
x“*'xo	x-*xo
lim f(x)
x-*x0 <₽(*) lim <p(x)
x-*xo
(последнее при условии lim <p(x) =# 0). При этом предполагается,
Х-*-Хо
что пределы функций f(x) и <р(х) в точке Хо существуют.
3.	Предел элементарной функции в точке Хо, принадлежащей ее
области определения, равен значению данной функции в рассматривае-
мой точке, если только х0 является предельной точкой области опреде-
ления функции.
Элементарными функциями называются такие функции, которые
получены из основных элементарных функций с помощью конечного
числа арифметических действий, а также образованием сложной
функции.
Основными элементарными функциями называются следующие
функции: постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, три-
гонометрические (sin х, cos х, tgx, ctgx) и обратные тригонометри-
ческие.
4.	Имеют место следующие равенства:
127
sinx	,	..	arcsin x
lim ---=1,	lim --------= 1,
x0 X	x—>- 0 X
tg* it. arctgx
lim —— = 1, lim ------=— = 1,
;	x->0 X	x-4) X
lim (1-|-l/x)x=e, lim (1-}-x) 1/x = e.
X-*- OO	X —0
Первое из этих равенств называют первым замечательным пределом,
а последние два — вторым замечательным пределом.
5.	При нахождении пределов вида
lim (fW)’’<x)	(121)
необходимо иметь в виду следующее:
1)	если существуют конечные пределы lim f(x)=A>»0 и
х~^х0
lim ф(х) = В, то	lim (f(x))ф<х) =АВ\
х—>х0	х~*"хо
2)	если lim f(x)=A=/=l и lim <р(х) = ± оо, то вопрос о нахож-
х-*х0	х->х0
дении предела (12.1) решается непосредственно;
3)	если lim f(x) = l и lim ф(х) = оо, то выражение (/(х))ф<дс>
х-^х0	х->х0
называется неопределенностью вида 1 00 при х->-хо. В этом случае при
нахождении предела (12.1) пользуются вторым замечательным пре-
делом.
Говорят, что отношение двух функций f (х)/<р(х) при х-*-х0 является
неопределенностью вида 0/0, если f(x)->-0 при х-*-хо и ср(х)-*-0 при
х->хо. Аналогично определяются неопределенности следующих видов:
оо/оо, оо — оо, 0*оо, 0°, оо°.
Пример 12.1. Пользуясь определением предела функ-
ции по Коши, доказать, что lim (Зх+1)=7.
х~» 2
Решение. Рассмотрим функцию f (х) = 3х + 1. Точка
2 является предельной точкой множества £>(/) = (—оо;
-1- оо ), поэтому можно ставить вопрос о существовании
предела этой функции в точке 2. Докажем, что рассматри-
ваемый предел равен 7.
Возьмем произвольное число е>0. Требуется доказать
существование такого числа 6 > 0, чтобы для всех xg D (j),
удовлетворяющих условию 0<|х — 2|<6, выполнялось
неравенство |(Зх-|-1)—7|<е. Заметим, что последнее
неравенство равносильно следующему:
31 х — 21 <8о|х — 2| <е/3.
Возьмем какое-нибудь число 6^е/3. Оно искомое,
128
так как для всех xg £>(/), удовлетворяющих условию
|х —2| <6, выполняется неравенство
|х-2| <е/3о| (Зх+ 1) — 7| <е.
Рассматриваемое равенство доказано.
Пример 12.2. Найти Нпкр(х), если
х-»-2
z ч (Зх+ 1 при х=/=2,
У Х [5 при х=2.
Решение. В определении предела функции в точке
не участвует значение данной функции в рассматриваемой
точке. Так как <р(х) =Зх-|-1 для всех х=/=2, то, учитывая
предыдущий пример, получим lim<p(x)=7.
х —► 2
Аналогично рассуждая, получаем lim ф(х) =7, где
х —2
ф(х) —функция, заданная следующей формулой:
ф(х) =
т v '	х—2
Пример 12.3. Используя определение предела функции
по Коши, доказать, что limx2=4.
х-» 2
Решение. Возьмем произвольное число е>0. Тре-
буется доказать существование такого числа 6>0,
чтобы для всех x£D(f), удовлетворяющих условию
0<|х —2|<6, выполнялось неравенство |х2 — 4|<е.
Исследуем величину |х2 —4| = |х —2||х-|-2|. Рассмот-
рим какую-нибудь окрестность точки 2, например окрест-
ность радиусом 1, и произведем в ней оценку сверху
величины |х-|-2|. Получим |х-|-2| <5, если |х —2| <1-
Используя эту оценку, получаем следующее неравенство
для исследуемой величины: | х2 — 41 = |х-2||х-|-
+ 2| < |х—2|5, если |х—2|<1. Отсюда видно, что
Г |х —2|5<е,	( |х-2| <е/5,
если | X — 2 |	1	I X — 2 |	1
о|х — 2| С min {е/5,1}.
Возьмем какое-нибудь число 6^ min {е/5, 1}. Это число
искомое, так как для всех x^D(f) и удовлетворяющих
условию 0<|х —2|<6, выполняется неравенство
|х— 2| < min{e/5, 1}=>|х2 —4| <е.
> А. В. Кузнецов и др.
129
Таким образом, мы доказали следующее: для любого
е > 0 существует такое 6 > 0, что для всех x£D(f), удовле-
творяющих условию 0< |х — 2|<6, выполняется нера-
венство |х2 — 4|<е. Это означает, что lim х2 = 4.
х-> 2
Пример 12.4. Используя определение предела функции
по Гейне, доказать, что:
a)	lim (Зх2 + 2х- 1) = 15;
х—2
б)	lim cos х не существует.
ж-* 4-<ю
Решение, а) Рассмотрим функцию f(x) = Зх2 +
4~2х — 1. Возьмем произвольную последовательность (хп),
сходящуюся к 2, с членами, принадлежащими D(f) и
отличными от 2: хл->2, хл££>(/), хп=£2.
Рассмотрим соответствующую последовательность
значений данной функции (f(хл) = 3х2 + 2хп —-1). Дока-
жем, что эта последовательность сходится к 15:
lim f(x„) = lim (Зх2 + 2х„—1) =
П —► оо	л —► оо
= 3 ( lim хп\2+2 lim х„—1 = 15.
у п-► оо /	доо
Отсюда по определению предела функции по Гейне имеем
lim f(x) = lim (Зх2 + 2х— 1) = 15.
х —2	х—2
б) Рассмотрим последовательность (хп = пл). Она
стремится к +°°. Соответствующая последовательность
значений функции cos х такова: cos л, cos 2л, cos Зл, ...,
т. е. —1, 1 — 1, ... . Она расходится. Не выполняется тре-
бование определения предела функции по Гейне. Поэтому
не существует lim cos х.
х-* 4- оо
Пример 12.5. Найти lim (x2-f-5x—3).
х-► 2
Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах
суммы, разности, произведения и тем, что lim с = с,
Х-*Х0
lim х0 = х0, получим
Х-*Х0
lim (х2 + 5х — 3) = lim х2-^ lim 5х—lim3 =
х-*2	х-»-2 х—2	х-^2
= /limx\2+5 lim х—lim 3 = 22 + 5*2 — 3=11.
\х-*-2	/	х-*2	х-+2
130
Короче этот предел можно вычислить следующим спо-
собом. Так как данная функция элементарная, то ее пре-
дел в точке 1 равен ее значению в этой точке (по теореме
о пределе элементарной функции):
lim (х2+5х—3)=22+5-2 —3=11.
Пример 12.6. Найти lim 2х~*~5.
х—3 х~6
Решение. Теорему о пределе элементарной функции
здесь применить нельзя, так как в точке 3 знаменатель
рассматриваемой дроби обращается в нуль. Поскольку
в этой точке числитель рассматриваемой дроби в нуль
не обращается, то легко находится следующий предел:
.. х—3 А
lim  =0.
х-+з 2x4-5 '
Отсюда, используя теорему о связи бесконечно малой и
бесконечно большой функций, получим
г 2x4-5
lim —Нт- = оо.
х-з х~3
Пример 12.7. Найти lim ——г--------
х—1 х3 —х24-4х —4
Решение. Теорему о пределе элементарной функции
здесь применять нельзя, так как в точке 1 знаменатель
рассматриваемой дроби обращается в нуль. Изученный
выше прием также применить нельзя, поскольку числитель
рассматриваемой дроби в точке 1 обращается в нуль.
Имеем неопределенность вида 0/0. При х=1 числитель
и знаменатель рассматриваемой дроби обращаются в
нуль, поэтому многочлены Зх2 —х —2 и х3 — х54~4х — 4 де-
лятся без остатка на х—1. Выполним это деление:
Зх2- х—2 х—1
Зх2 —Зх	Зх + 2
_2х —2
2х —2
0
_х3 — х24-4х — 4 х—1
х3 —х2	х24~4
__4х —4
4х— 4
б"
Получим
|im »d=I=£_=|lm 3£+i_L
Отметим, что указанное выше деление можно выпол-
нить, предварительно разложив числитель и знаменатель
на множители.
Пример 12.8. Найти lim  5* +\+4 .
Решение. Теорему о пределе частного здесь приме-
нить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби ко-
нечного предела не имеют. В данном случае имеем неопре-
деленность вида оо/оо. Разделим числитель и знамена-
тель дроби на высшую степень' х (в данном случае на х3),
а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:
Ит 5х33+<+4 = lim A+JA+4/х* в 5
х->со 7х3 + 4х2-3 х->оо 74-4/х-З/х3	7
Здесь мы воспользовались следующим равенством:
lim (а/х)=0 (а — любое число).
Х-> оо
Пример 12.9. Найти lim х(~\] х2+ 1 —х).
X -> + оо
Решение. При х-> + оо выражение, стоящее в
скобках, есть неопределенность вида оо — оо. Умножим и
разделим функцию, стоящую под знаком предела, на
д/х2+ 1 +х. Получим
lim х(V%2+ 1 ~х) =
х-* 4- оо
х(	-х) ( Vx2+1 +х)
= lim ----------,   --------=
+°°	V х24-1 4-х
..	х(х24-1—-х2)	..	х
= hm —..	г.— == hm ----------.	---------=
х->+оо \Х\\ + \/Х2) 4-х х->+оо |Х|
..	X	..11
= lim -----=====-----= lim	---- = - .
х-^+оо х( у 14-1/х2 4-1)	х-^ + оо yi i/x24- 1	2
Пример 12.10. Найти lim ---1п	- -
Решение. Здесь имеем неопределенность вида 0/0.
Для ее раскрытия применим подстановку и = х—1 и вос-
пользуемся первым замечательным пределом. Получим
.. sin (х— 1) I U = X—1,	I sin и .
lim---v	i = lim------=1.
x->i х~1 J u->0 при х-> 1 J и->0 и
132
В простейших случаях подстановку делают в уме.
Пример 12.11. Найти lim —-------$.
х->0 X
Решение. Мы имеем неопределенность вида 0/0.
Избавимся от иррациональности в числителе:
.. cosx—1	..	— 2 sin2 (х/2)
= hm -т——=-------= lim ——	 - =
х—^0 X ( ycos X 4- 1)	х-> о х ( у cos х 4-1)
lim
sin (х/2) х2
х/2 )
_L 12 _L
2	2
£
4 ’
Здесь мы воспользовались первым замечательным преде-
лом и теоремой о пределе элементарной функции.
Пример 12.12. Найти lim (2 — х) tg (лх/4).
х->2
Решение. Мы имеем неопределенность вида 0*оо.
Находим
lim (2-х) tg(^) =
u = 2— х, х=2 — и,
u-^Q при х —> 2
= 1™, “'в (т - т) =(т
4 .. ли/4 .	4,4
— lim , ,	= — •!=—.
л U-.0 tg (ли/4) п "
Пример 12.13. Найти lim
Х-+- 00
х4-5ч2х + 7
х-з)
Решение. Имеем неопределенность вида ^.Выра-
жение, стоящее под знаком предела, преобразуем к такому
виду, чтобы можно было воспользоваться вторым замеча-
тельным пределом:
ух + 7
lim
Х-+- ОО
/х4-5\2* + 7
= lim
х->оо
1 + Л±5
1 X —3
= lim
Х-+- 00
(! +
2х + 7
।	= lim
X —► о©
х~3 =е16
8(2х+7)
8
х —3
При этом мы воспользовались тем, что
133
x —3 )
8
=£Z’
О при x-> oo
= lim (l+u)1/u=e, lim -8<2x+7) =16.
u-> 0	x -* oo	% 3
Пример 12.14. Доказать, что:
ч .. loga(l+x) .	ax—1	.
а)	lim---------= logae; 6) lim-------= lna.
x-*-0 x	x-*0 x
Решение, а) Для нахождения предела преобразуем
данную дробь:
log (1 +х)	1
lim	—> = ]im 2.10go (1 +х) =
х->0	х	х->0 х
Г 1	/1. М/Х I “ = (1+*)1Л, I
= lim loga (1+х)|/х= I	=
х-о	| и —► е при х —► 0 |
= lim log0 u = loga е.
u —e
б)	Имеем
u = ax— 1, ax=u+l,
lim-Ц—= x = loga (u+1),	=
x->0 x
u -> О при x -> 0
.. и	1 Ina ,
— lim “i ~	.  —	~	— in cl,
u-0|Oga(“+1) ioSae lne
При a=e доказанные выше равенства принимают вид:
lim	=1. lim^=L = l.
х->- О х	х О х
__j
Пример 12.15. Найти lim . . /оч.
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби
на х:
.. е3х— 1	..	/ е3х—\
-Ы—
= 6 lim е ~1 lim у2
Х^о Зх х-о tg (х/2)
1g (х/2) )
==6-Ы=6.
Пример 12.16. Найти односторонние пределы функции
134
,U1=(X-2 ”P" *<'•
[ In X при 1
в точке x= 1.
Решение. Находим:
lim f(x)= lim (x —2) = lim (x —2) = — 1.
x-»-l—0	х->1—0	x —1
lim f(x)= lim In x= lim In x = 0.
x-*-l-|-0	x->l+0	x —1
Отметим, что рассматриваемая функция в точке 1 не
имеет предела, так как lim f(x)=/= lim f(x).
х->1-0	х->1+0
Пример 12.17. Найти горизонтальные и вертикаль-
ные асимптоты графика функции f(x)=e'/x и построить
график.
Решение. Найдем односторонние пределы функции
в точке х = 0:
lim е1/х= I	U' 1 = 1™ е“=0,
х-> -О	J U —►- — ОО ПрИ X	—О J - оо
lim е1/х=	U'	1 = 1™ в“=4-оо.
х-^+0	+ ОО ПрИ Х->4-0| ц->+оо
Следовательно, прямая х = 0 является вертикальной
асимптотой при х->4-0.
Так как lim е1/х= 1, прямая у= 1 является горизон-
X-*- + ОО
тальной асимптотой при x-^-h°°- Она является так-
же горизонтальной асимптотой и при х->- — оо.
(рис. 12.1).
135
Пример 12.18. Найти горизонтальные и вертикальные
асимптоты графика функции f (х) = (2х —3)/(x-f-2) и по-
строить график.
Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Исполь-
зуя прием, изученный "при решении примера 12.6, по-
лучаем
..	2х—3
lim ——- = оо.
_-2 х+2
Так как для всех х< —2, достаточно близких к —2,
имеем f(x)> 0, то
lim
х — -2-0
2х —3
х4-2
= 4-00.
Аналогично рассуждая, получаем
.. 2х —3
lim ——-
„-2 + 0 х + 2
= — оо.
Из последних двух равенств следует, что прямая
х = — 2 является вертикальной асимптотой при
х->—2 — 0 и при х->—2-f-0.
Выясним, существует ли горизонтальная асимптота.
2х_____________3
Так как lim ——- =2, то прямая # = 2 является гори-
х-*- Ч-оо X-f-2
зонтальной асимптотой при х-> + оо. Она будет гори-
зонтальной асимптотой и при х->—оо.
Используя горизонтальную и вертикальную асимптоты,
строим график данной функции, предварительно найдя
точки пересечения графика с осями координат (рис. 12.2).
В задачах 12.1 —12.4 доказать данные равенства, ис-
пользуя определение предела функции по Коши.
12.1. lim (2х —1)=5. 12.2. lim (Зх2-2) = 10.
х-+3	х->2
12.3. lim-^—-~=2.	12.4. lim д/5*4-4 =3.
В задачах 12.5—12.10 провести доказательство, ис-
пользуя определение предела функции по Гейне.
12.5. lim с = с. 12.6. lim х = х0.
X —ХО	Х-^Х0
12.7. lim 5х3-2х+1	±	12 пт ,2^+х-3 =2
х->1	Зх24-2	5	%->оо х2 —2x4-3
136
12.9.	lim cos2 (1/x) не существует,
x —О
12.10.	lim sin (л/х) не существует,
х —► 0
В задачах 12.11 —12.56 найти пределы.
12.11.	lim -sinx-t-2c;g^-.
х-п/2 (Ж—лс) sin (х/2)
12.12.	lim х=~3х+-
х-*2 X — Х4-1
х3—3x4-2
__Л ~ _1_ Q
12.12. lim
12.14. lim
12.13. lim -4±^---1
x —► i x2 —3x4-2
12.15. lim
,3’
12.16. lim —	—
x —— 1 3x — 2x — 7x—2
12.17. lim ----
х —1 2х2 —5x4-3
12.18.
lim
х —► -8
2+д/1
12.19. lim
12.20.
lim
V1+2I-H
д/24-х 41^
12.21. lim 4-. Указание. Положить х—и12.
Х-1 V^-l
12.22. lim
x->0
12.24.
lim
x2 —5x
(.+ l>‘(3-4.)^ |2.25. |jm
12.23. lim
x —► л/2
C0SX4-tg (л —x)
2х(л/2 —x)
l-HOx
12.26.
lim
(2x-l)4
.3 v2
12.27.
lim
^x41 3x+iy
2<273x~4. 12.28.
lim
2x —3
2+ |x| ’
12.29.
lim
2x+Vx2-!
12.30. lim (Vx2+2 -x).
12.31. lim (^№ + 2 —x).
x — OO
12.32.
12.33.
12
x3 + 8
.. sin22x
lim —7—z—.
x-^0 *tg3x
137
12.35.
2 arctg (x+2) '
12.36. lim 1 .co-—.
x-o xtg2*
12.37. lim
X —0 cosx— cosJx
12.38.	lim х-+-0	д/2 —tgx — у2 — sin 2х	sin Зх
12.39.	lim - х —► 0	3- <9+1 arcsin 2х	12.40. lim ТП05х\7аГСХ5х. х->о tg 2х—3 arctg 4х
12.41.	..	д/2 cosx—1 lim -J			. X -> л/4	1 — tg X		<	..	1 — sin х 12.42. lim 	т-. х->л/2 (л/2 —Х)2
12.43. lim x(arctg x—л/2). У к аз а н и е. Положить
X + ОО
u = arctg х.
12.44.	lim ctg 2х ctg (л/4 — х). Указание. Поло-
де -► л/4
жить и = л/4 —х.
12.45.	lim X-*- ОО	/ 5х '		12.46.	lim 4-е	
12.47.	lim X—► оо	(1+3/х)\		12.48.	lim х-*- 0	(1 +tgx)c,gx.
12.49.	lim Х-+- оо	/ Зх+2 - \3x-l	^2х+3	12.50.	lim X-*- 0	(1 -I-Sin 2x)1/arc,g3x.
12.51. lim (cos x)ctg’x. 12.52. lim (sinx)tg4
x->0	х->л/2
12.53.	lim	12.54. lim	+<
x->0	x	x-*-0 ^x	V1 । x)
2х —r2	e~x— 1
12.55.	lim-—12.56. lim °
x-*2 x~2	x-*-0 Ч'+х
(1 1
12.57.	Доказать равенство lim-----------= a.
x-+-0	x
В задачах 12.58—12.60 найти односторонние пределы
функций.
12.58.	f(x)=(e ПРИ в точке х=0.
(Зх + 2 при х>0
12.59.	f (х) =arctg в точке х=2.
12.60.	f(x)= ———— в точке х=1.
х2—1
138
В задачах 12.61 —12.64 найти горизонтальные и вер-
тикальные асимптоты графиков функций и построить
графики.
12.61.	f (х) =	12.62. f (х) =-
12.63.	f (х) =31/(х-3).	12.64. f (х) = 1+‘?/х.
12.65. Доказать, что функция
{хcos (1/х) при х<0,
cos (1/х) при х>0
в точке 0 не имеет правого предела, но имеет левый предел.
12.2. Сравнение бесконечно малых функций
Пусть функции а(х) и Р(х) являются бесконечно малыми при х-+хо.
Тогда:
сс (х)
1) если lim ——— =0, то а(х) называется бесконечно малой
х->х0 ₽(*)
функцией более высокого порядка, чем 0(х) при x-^xq. При этом пишут:
а(х) = о(0(х)) при х->-х0;
пч	1- а W л л
2) если lim =А, где А — конечное число, отличное от нуля,
Х-+Х0
то а(х) и Р(х) называются бесконечно малыми функциями одного поряд-
ка при х-*-х0.
3) если lim **=1, то а(х) и Р(х) называются эквивалентны-
х-*х0 р(*)
ми бесконечно малыми функциями при х->-х0. При этом пишут:
а(х)~р(х).
Аналогичные определения можно сформулировать и при х-^-!"00»
х—— оо, х—>-ОО, X-^-Xq — 0, Х-*-Хо4"О.
При вычислении пределов пользуются следующей теоремой: предел
произведения или частного бесконечно малых функций не изменится,
если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой
функцией.
Пусть а(х) —бесконечно малая функция при х-+хо. Имеют место
следующие эквивалентности (при х—>-хо):
1) sin а (х) ~а (х);
3) tga(x)~а(х);
5) 10go(l+a(x))~-^-;
7) аа — 1 ~а (х) 1п а;
9) (1+а(х))‘-1~аа(х).
2) arcsin а (х) ~а (х);
4) arctg а (х) ~а (х) ;
6) 1п (1+а(х))~а(х);
8) еа(х)-1~а(х);
139
Пример 12.19. Доказать, что sin Зх = 0 (д/х) при
х->-0.
Решение. Найдем предел:
..	sin Зх о . sin Зх г~
lim —т=— =3 lim —-— у) х =
х-*0 Vх х-*о Зх v
= 3 lim -5!^- lim Vx =3-1 -0 = 0.
x -* 0 dx x -+ о
Отсюда заключаем, что sin3x = 0(y/x) при х—>-0.
Рассматриваемый предел можно вычислить также,
используя эквивалентные бесконечно малые функции:
.. sin Зх sin 3х~3х I Зх
lim —=	= lim =
х + о ух при Х->0| х + о ух
= 3 lim д/х =3-0 = 0.
х —* 0
Пример 12.20. Доказать, что функции д/4 + *— 2 и
х являются бесконечно малыми функциями одного поряд-
ка при х-^0.
Решение. Найдем предел:
lim
х-»- 0
^4 + х —2
х
= lim
х —> 0
4 4-х — 4
х( V4 + x +2)
= lim
х-^0
^44-х 4"2	4 *
1
1
Так как этот предел конечен и отличен от нуля, то рассмат-
риваемые функции являются бесконечно малыми одного
порядка при х—>0.
Пример 12.21. Доказать эквивалентность бесконечно
малых функций In (1-|-5х) и е5х—1 при х-^0.
Решение. Найдем предел:
Нт 1Ц1±М
х —0 е5х—1
In (1 +5х) ~5х,
е5х-1~5х
при х —0
= lim -Д
х~о 5х
Так как этот предел равен 1, то In (1 +5х) ~е5х — 1 при
х-»-0.
Пример 12.22. Используя эквивалентные функции, най-
ти следующие пределы:
140
. ..	x2 —5x + 6	.. Inx—1
a)	lim--------6) lim----------.
x-^2 tg (4 —X2)	x^e x~~e
Решение, а) Находим
tg (4 —x2) ~4 — x2
при x —2
..	3-x	1
= lim —— = —.
x-^2 2 + x	4
..	x2—5x4-6
lim---------y- =
x-^2 tg (4 —x2)
= lim
x-^2	4 —X
б)	Так как l = lne, то
lim	= Iim	= iim
x—► e x & x-+e x &	x-*-e x €
In (1 + (x/e—1))
= lim
x—e
In (l + (x/e-l))~x/e-l
при x —e
..	x/e — 1	1 .. x — e	1
= lim —----= — lim----= —.
r .	x — e	e x — e	e
В задачах 12.66—12.71 доказать равенства при х-^0.
12.66. х3 arcsin2 Зх=о (х3).
2х2 + х tg 2х =± о (х).
3sinx-l
——-— ~arcsin х.
In 3
Доказать, что функции In cos х и х2 являются
бесконечно малыми функциями одного порядка при х—>-0.
В задачах 12.73—12.80 найти пределы, используя свой-
ства эквивалентности бесконечно малых функций.
1- cos4x — cos 2х
12.74. lim
х-^0
12.68.
12.70.
12.72.
Л _Л .. x sin x
12.73. lim--------------x-.
x-^o (arctg 2x)
2tgx—1
12.75. lim -r y —.
x-0 ‘g4*
.. Inx3—3
12.77. lim------------.
r—►	x e
12.67. Зх2 sin у =о(х).
12.69. In (l+4x)~sin 4х.
12.71. д/Т+х — 1~ех/2—1.
12.76. lim
х-*0
12.78. lim
х->- л/3
.2
sin 2x
sin (х —л/3)
1—2cosx
,2
. _ __ ..	1—	1- arcsin 2х
12	.79. lim—, v	—. 12.80. hm
X_^Q 1— COS X
12.3. Непрерывность функции
Непрерывность функции определяется в точках, принадлежащих
области определения функции.
141
* Функция f(x) называется непрерывной в точке xo£D(f), если
lim f(x)=f(x0).
х-^х0
Это определение дано для случая, когда точка хо не только принадлежит
множеству D (/), но и является предельной точкой этого множества.
Если же точка х0 принадлежит множеству D(f), но не является пре-
дельной точкой этого множества (такая точка называется изолирован-
ной точкой множества D(f)), то функцию /(х) считают непрерывной
в такой точке по определению.
Пусть точка х0 принадлежит множеству D(f) и является двусторон-
ней предельной точкой множества D(f). В этом случае определение
непрерывности можно сформулировать следующим образом.
Функция f(x) называется непрерывной в точке хо, если в точке хо
существуют односторонние пределы функции, они равны между собой и
равны значению данной функции в точке хо, т. е. если
f(xo-O)=f(xo+O)=f(xo).
Те точки области определения функции, в которых функция не явля-
ется непрерывной, называются точками разрыва функции.
К точкам разрыва относят также такие точки, которые не принад-
лежат области определения функции, но являются предельными точками
этой области.
Если точка разрыва функции f(x) принадлежит множеству D(f) и
является двусторонней предельной точкой этого множества, то разли-
чают разрывы двух видов.
1. Условимся говорить, что функция f(x) в точке хо имеет разрыв
первого рода, если в этой точке существуют односторонние пределы
функции, но по крайней мере один из них не равен значению данной
функции в точке хо. При этом возможны следующие случаи:
f(xo-O)=f(xo-hO)^f(xo)	(12.2)
(в этом случае говорят, что функция f(x) в точке хо имеет устранимый
разрыв);
f(xo-O)^/(xo-FO)
(в этом случае говорят, что функция f (х) в точке хо имеет разрыв с конеч-
ным скачком. При этом число \f (хо + 0) — f (х0 — 0) | называют скачком
функции f(x) в точке хо).
2. Условимся говорить, что функция f(x) в точке хо имеет разрыв
второго рода, если в этой точке по крайней мере один из односторонних
пределов бесконечен или вовсе не существует.
Классификация точек разрыва сохраняется и для тех точек, которые
не принадлежат области определения функции, но являются двусторон-
ними предельными точками этой области. Только в случае устранимого
разрыва требование (12.2) заменяется следующим: f (хо — 0) =f (хо + 0).
Отметим важнейшее свойство элементарных функций. Элементарная
функция непрерывна в каждой точке своей области определения. Это
свойство элементарных функций мы использовали при вычислении пре-
делов функций (см. теорему о пределе элементарной функции).
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а; 6], если она
непрерывна в каждой точке этого отрезка, причем в точке а она непре-
рывна справа (f(a + O) =f (а)), а в точке b — слева (f (b — 0) =f (b)).
Непрерывные на отрезке функции обладают рядом важных свойств.
Приведем одно из них.
142
Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; 6] и на концах этого
отрезка принимает значения разных знаков. Тогда на интервале (а; Ь)
существует такая точка с, в которой данная функция равна нулю.
Пример 12.23. Исследовать на непрерывность функцию
f (х) — V—X2.
Решение. Эта функция является элементарной, по-
этому она непрерывна в каждой точке своей области
определения, т. е. в точке х=0.
Пример 12.24. Исследовать на непрерывность функцию
С / ч х2 COS X
1 4-Sin X
Решение. Эта функция является элементарной, по-
этому она непрерывна в каждой точке своей области
определения D(f)= R.
Пример 12.25. Исследовать, в каких точках и какого
рода разрывы имеют следующие функции:
f 9-l/x2 а) /(Х)=12 _ ч Г sin х б> ,w=U в) =	при х=/=0, при х = 0; при |х| <л/2, при | х | > л/2;
Решение. Имеем D(/)==(—оо; +оо). При х=/=0
данная функция совпадает с элементарной функцией
y = 2~i/x? и поэтому непрерывна. Выясним, будет ли рас-
сматриваемая функция непрерывна в точке х = 0. По усло-
вию f(0)=2. Найдем левый и правый пределы функ-
ции в точке х = 0:
lim f(x) = lim 2“|/?= I ~	’	=
х->-0	х—►—О	J U — ОО При Х-^0.
= lim 2“=0.
Аналогично получаем lim f(x) = lim 2 1/х2=0.
х-ь 4-0	х —+• 4-0
Таким образом, /( — 0) =f( + 0) #=f(0). Следователь-
но, в точке х = 0 данная функция имеет устранимый
разрыв.
143
График данной функции приведен на рис. 12.3. При
этом учтено, что прямая г/=1 является горизонтальной
асимптотой графика функции при x->ztoo, так как
lim 2)-‘/х2= lim 2~,/х2=1.
6) При х< — л/2 и х> л/2 данная функция совпадает
с элементарной функцией у =1/2', поэтому она непрерыв-
на. При — п/2<х< л/2 данная функция совпадает с эле-
ментарной функцией z/ = sinx, поэтому она непрерывна.
Исследуем данную функцию на непрерывность в точ-
ках х=±л/2. Найдем односторонние пределы функции
в точке х = л/2:
lim f (х) = lim sinx=l,
х-»-л/2—О	х->л/2 —О
lim f(x) = lim (1/2) =1/2.
х-* л/24-0	х->л/24-0
Таким образом, f(л/2 — 0) =/=/(л/2-j-O). Следователь-
но, функция в точке х = л/2 имеет разрыв первого рода.
Скачок функции в этой точке
\f (л/2 + 0)-f(л/2 —0) | = |1/2-1| = 1/2.
Аналогичные исследования можно провести и для точ-
ки х=—л/2. График данной функции приведен на
рис. 12.4.
в) Данная функция определена во всех точках х=/=0,
поэтому х=0 — точка разрыва функции. Выясним, какого
рода этот разрыв. Заметим, что:
о
/(*)={
— 2/х
при х>0,
при х<0,
lim f(x) = lim 0 = 0,
х—4-0	х-. 4-0
lim f(x) — lim (— 2/x) =-|-oo.
x-> — 0	X-»-—0
144
Следовательно, х = 0 — точка разрыва второго рода
(рис. 12.5).
Пример 12.26. Исследовать на непрерывность и постро-
ить график функции
Решение. Если |х| < 1, то lim хл = 0, поэтому
П—► оо
Если |х|>1, то lim хл=оо, поэтому
Л -► оо
= lim -------— = 1.
л->оо 1/Z-F1
При х= 1 имеем
Таким образом,
/(*)= ‘/2
при |х|<1,
при х= 1,
при |х| > 1.
При х= — 1 функция не определена, так как при нечет-
ных п знаменатель рассматриваемой дроби обращается
в нуль.
Данная функция в точках х= zt 1 имеет разрывы пер-
вого рода (с конечным скачком). В остальных точках чис-
ловой прямой функция непрерывна (рис. 12.6).

Рис. 12.5
Рис. 12.6
145
Пример 12.27. Имеет ли уравнение х4 —Зх2 + 2х—-1 =0
хотя бы один корень на отрезке [1; 2]?
Решение. Положим f(х) = х4 — Зх2 + 2х — 1. Эта
функция непрерывна на отрезке [1; 2] и на его концах
принимает значения разйых знаков: f(l) =—1<0,
f(2)=7>0. Поэтому, согласно известной теореме, суще-
ствует по крайней мере одна точка с (1<с<2) в кото-
рой функция равна нулю. Число с и является корнем
данного уравнения.
12.81.	Используя определение непрерывности функции
в точке «на языке е —6», доказать, что функция f(x) =
= 2х2 — 3 непрерывна в точке х=3.
12.82.	Используя определение непрерывности функции
в точке «на языке последовательностей», доказать, что
функция /(х)=5х2 —7х + 4 непрерывна в точке х=1.
В задачах 12.83—12.88 выяснить, в каких точках не-
прерывны данные функции, используя теорему о непре-
рывности элементарной функции.
12.83.	/ (х) = х2 + sin Зх.
12.84.	f (х) = У —х2+%+2 +ех^/х2+ х — 6.
12.85.	f (х) = arctg-^—
12.86.	f(x) =arcsin (1 — x) +lg (Igx).
12.87.	f (x) = arcsin , 2* .
12.88.	f(x) = д/9-х2 + 1g
В задачах 12.89—12.98 исследовать, в каких точках
и какого рода разрывы имеют данные функции.		
12.89.	Х3+1	
	1	—	х+1 •
12.90.	?(*)=	Г х34-1	,	. х+1 ПРИХ^
		0	при х= — 1.
12.91. f(x) = arctgу. 12.92. f(x)=log2|x—2|.
12.93.	f(x) = —12.94. f(x) =
(х + 2)2	jT + x
146
12.95. f(x)=|	fex	при x^0, I 2x — 1 при x>0.
12.96. f(x)=j	[ x2 при |x| < 1, [2 при |x| 1. x	при x<0,
12.97. f(x) =	1 —x	при 0<x^ 1/(1 —x) при x> 1. x3 при x<0,
12.98. f(x) =	2x при 0^х^л/2, k tg x при x> л/2.
В задачах 12.99—12.102 исследовать на непрерывность
и построить графики функций.
12.99.	f (х) = lim arctg их.
П —оо
12.100.	f(x) = lim 12Л01. f(x)= lim x+e "
' V ’	l+x*n	n-oo 24-e~2
12.102.	f(x) = lim n*~n~*
П-* oo п 4-П
В задачах 12.103—12.105 выяснить, существует ли зна-
чение А, при котором данные функции непрерывны в
точке Хо.
12.103. f(x)=]	[ (x2—4)/(x + 2) при х/ —2,	_ [А	при x= —2, X°
12.104. f(x) = |	[ |x —3|/(x —3) при x=#3,	_ [Л	при x = 3,
12.105. f(x)=|	(cos x	при x^0, [Л(х—1) при x>0, X°
12.106.	Привести пример функции, имеющей в точке 0
разрыв второго рода, а в точке 1 разрыв первого рода.
12.107.	Привести пример двух функций, разрывных в
точке 1, сумма которых в этой точке:
а) непрерывна; б) разрывна.
12.108.	Существует ли на отрезке [1; 2] такая точка,
в которой функция f(x) =х5 — Зх+1 имеет значение, рав-
ное нулю?
147
12.109.	Доказать, что уравнение 8х —3-2Х—16 = 0
имеет корень на отрезке [0; 2].
12.110.	Имеет ли хотя бы один корень уравнение
sin х—х+ 1 =0?
13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
13.1.	Производная, ее геометрический
и физический смысл.
Непосредственное нахождение производной
Приращением функции у = 1(х) называется разность
Ai/ = f(xo4-Ax)— f(x0),
где Ах — приращение аргумента х.
Из рис. 13.1 видно, что
Ai//Ax = tg 0.
(13.1)
(13.2)
Рассмотрим предел
Др ..	f(x0+^x)-f(x0)
lim —— = lim -------------------.
Дхч-о Ax дх-^о Ax
Если он существует и конечен, то его называют производной функции
y=f(x) в точке хо.
Производная имеет несколько обозначений: i/x, fx(xo), dy/dx,
df(x)/dxf D„, D(f(x)).
Иногда, чтобы уточнить, по какой переменной взята производная,
эту переменную указывают в виде значка внизу: у'х, fx(xo). Следова-
тельно:
Нахождение производной функции y—f(x) называется дифференци-
рованием этой функции. Функция, имеющая производную в точке хо,
называется дифференцируемой в этой точке.
Из равенства (13.1) и определения производной (13.2) следует,
148
что производная в точке хо есть угловой коэффициент касательной к
графику этой функции.
Как видно из рис. 13.1,
Ди
tga= lim tgP= lim —2-=/'(x0).
Дх-»0 Дх —о Д*
Заметим, что если касательная параллельна оси Ох, то ее угол а
с положительным направлением оси Ох равен нулю, и тогда tga =
= f'(x0) =0; если же f'(xQ) = оо, то касательная в точке Мо(х0; у0) па-
раллельна оси Оу (бесконечная производная).
Если существуют односторонние пределы
f(x0 + Ax) — f (х)	f(x0 + Ax) — f(x)
lim --------т--------, lim -------------------,
Ax->-4-0	Ax	Дх->-о	&х
не равные между собой, то говорят, что существуют односторонние про-
изводные функции в точке хо, а точку Хо называют угловой точкой гра-
фика функции. Очевидно, что если в точке хо существует производная,
то существуют и односторонние производные и они равны между собой.
С физической точки зрения производная / = f'(x0) определяет мгно-
венную скорость движущейся точки при прямолинейном движении в
момент /о, т. е.
t ч As
v(Z0)= Ит -Гт-
А/ 0 А*
Производную можно определить, используя ее определение. Для
этого необходимо: 1) дать аргументу х приращение Ах и найти соот-
ветствующее значение функции у4- Ai/; 2) определить приращение функ-
ции &y = f(х4-Ах) — f(х); 3) составить отношение Аг//Ах; 4) найти пре-
дел lim (А«//Ах).
Ах-»-0
13.1. Найти производные следующих функций, воспользовавшись
определением производной:
a) r/ = sinx; б) у=7х2\
в)	г) </ = Зх+д/2;
д) i/ = cosx; е) «/ = Зх3 —2х2-|-Зх—1.
13.2.	Установить, будет ли функция у= д/х непрерывной и диффе-
ренцируемой в точке х = 0.
13.3.	Показать, что следующие функции не имеют конечных произ-
водных в указанных точках:
а) У— л/х в точке х=0; б) у= д/х —2 в точке х=2.
13.4.	Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к пара-
боле у = х2:
а) в начале координат; б) в точке (1; 1); в) в точке (—2; 4).
13.5.	В какой точке касательная к кубической параболе у=х3:
а) параллельна оси Ох;
б)	образует с осью Ох углы: 30°; 45°?
13.6.	Пройденное материальной точкой за время t с расстояние
4	3
(s — в метрах). Найти скорость движения данной точки в моменты
времени / = 0; 1; 2 с.
149
13.7.	Тело движется вдоль прямой Os по закону s = /-|-sin/, где
s — расстояние (в метрах); t — время (в секундах). Найти скорость
движения при /=л/2.
13.2. Правила и формулы дифференцирования.
Производная сложной и обратной функций
Если с — постоянное число и и = и(х), v = v(x) —некоторые диф-
ференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифферен-
цирования:
(с)' = 0, (х)'=1,
(ц± v)' = w'zbv', (си)' = си\
(uv)' = u'v + v'u, (u/v)' = (u'v—v'u)/и2,
f (c/v)' = —cv'/v2.
Если y = f(u), м = ф(х), т. e. t/ = f(<p(x))—сложная функция, со-
ставленная из дифференцируемых функций, то у'^уШ или
dy __ dy du
dx du dx ’
Если для функции y — f(x) существует обратная дифференцируемая
функция x = g(y) и dg/dy = g'(y) =/=0, то f'(x) = l/g'(y).
На основании определения производной и правил дифференцирова-
ния можно составить таблицу производных основных элементарных
функций.
1. (иа)'=аиа хи'	2. (аи)' = аи Inа»и'.
3. (еи)' = еии'.	4. (logaM)' = w7(wlna).
5. (1пм)' = м7м.	6. (sin i/)' = cosu>u'.
7. (cos u)'= — sin и-и'.	8. (tg u)'= 1/cos2 u-u'.
9. (ctg и)' = — w'/sin2 и.	10. (arcsin н)' = н7 V 1 — w2
11. (arccos u)'= — н'/у 1 — н2 .	12. (arctg u)' = u'/(\H-w2).
13. (arcctg и)г— — и'/(1 Ч-u2).	14. (sh i/)' = ch u*u'.
15. (ch i/)'==sh и-и'.	16. (th u)'= 1/ch2u-u'.
17. (ch u)'= — 1/sh2 и- и'.
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке Л40(х0; f(x0)):
у — f (х0) = Г(хо) (х—Хо).
Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y=f(x) в точке
Л4о(хо; f(x0)):
y-f(x0) = - —- (х-х0)-
I (*о)
При f'(xo)=O уравнение нормали имеет вид х = хо.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между
касательными к кривым в этой точке.
150
Пример 13.1. Найти производную функции у =
= sin(cos5x), т. е. y = sinu, где u = cos5x.
Решение. Находим у'= cos и • u' = cos(cos5x) X
X (cos 5х)' = — 5 sin 5х cos(cos 5х).
13.8. Используя формулы и правила дифференциро-
вания, найти производные данных функций:
а) у = 5х4—Зд/^+7/х5 + 4; б) y=x3sinx;
в) у = (х4+1)/(х4 —1);	г) у = Зх3 + 5^/х3-4/х3;
д) y = 4-\/x + 4/"\/*H-3x2;	е) y=x3sinxlnx;
ж) у =	вычислить f'(4).
- В задачах 13.9—13.50 найти производные, применив
правило дифференцирования производной сложной функ-
ции.
13.9. у = (3^2)3/(х + 1)3.	13.10. у=(1+3х)8.
13.11. у = 9х191пх.	13.12. y = 103x’+x+1.
13.13. i/ = 6arcsinx.	13.14. y = sinx3.
13.15. y = cos4x.	13.16. t/ = ln3x.
13.17. y = sin(cosx2).	13.18. у =sin(x3+4x).
13.19. у = 2COS<	13.20. у = 1п((3х2 + а2)/^2 -х2)).
13.21. ln-\A?3x/(4 +e3x).	13.22.	y = tg(4x +1)3.
13.23. y = lg(5x2+x+ 1).	13.24.	у =tg(cos3 x).
13.25. y = 95X>.	13.26. у = In (x + ~^a2 + x2).	
13.27. y = ln^27(l+^x)-	13.28.	y = e-^+\
13.29. y = cos(4x4-4-x).	13.30.	y=(x9+ l)3cos 5x.
13.31. y=((x4+l)/(x4-x))3.	13.32.	y=x3sin2x • Inx.
13.33. t/=(x2+l)3tg5x-e2x.	13.34.	у =Vx4+sin4x.
13.35. y=(x2+ l)4ctg7x.	13.36.	y=(sin25x)/(x3+l)3.
13.37. y = e_^x’+2x+2.	13.38.	y=2-cos<5x.
13.39. y = ln5(x—2~x).	13.40.	£/==2x/lnx.
151
13.41.	y=(2‘g3jt + tg3x)2.	13.42. у = (2X< - tg4x)3.
13.43.	y = earctgA 13.44. y=xsin33x + log5(x4 —1).
13.45.	y = (2cos3j, + sin Зх)3. 13.46. t/=x3e,g3x.
13.47.	у = 1п-\/х2/(х2+ I))3. 13.48. y = sin(x5—tg2x).
13.49.	y—x sin2x • 2*’.	13.50. y=x3sin 7x • tg2x.
13.51.	Записать уравнения касательной и нормали
к кривым в указанных точках:
а)	у=х2 + 4х —3 в точке (1; 2);
6)	ф(х) = 1/х в точке х0=1;
в)	i/ = lnx в точке пересечения с осью Ох.
13.52.	На кривой у = х3 найти точку, в которой каса-
тельная параллельна биссектрисе первого координатно-
го угла.
13.53.	Точка движется прямолинейно по закону
$==3/2 + ^+1. Найти скорость и ускорение для моментов
времени /о = О, Л = 1, t2 = 2 (s — в метрах, t — в се-
кундах).
13.54.	Найти производную обратной функции для
y=sin3x + x и вычислить х£(л/2).
13.3.	Применение понятия производной в экономике.
Эластичность функции
Издержки производства К однородной продукции есть функция
количества продукции х. Поэтому можно записать: К = /((х).
Предположим, что количество продукции увеличивается на Дх.
Количеству продукции x-f-Ax соответствуют издержки производства
К(х4-Дх). Следовательно, приращению количества продукции Дх со-
ответствует приращение издержек производства продукции
ДК=К(х+Дх)-К(х).
Среднее приращение издержек производства есть ДК/Дх. Это при-
ращение издержек производства на единицу приращения количества
продукции.
Предел
называется предельными издержками производства.
Если обозначить через м(х) выручку от продажи х единиц това-
ра, то
lim	=u'(x)
Дх-И) Дх
называется предельной выручкой.
152
С помощью производной можно вычислить приращение зависимой
переменной, соответствующее приращению независимой переменной.
Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное
приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту при-
роста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластич-
ности функции (иногда ее называют относительной производной).
Итак, пусть дана функция y=f(x), для которой существует произ-
водная у' = f'(x). Эластичностью функции у = f(x) относительно перемен-
ной х называют предел
lim	lim — /'(*)'
Дх-Ч) &Х /X	Дх-»-0 У
Его обозначают
Эластичность относительно х есть приближенный процентный
прирост функции (повышение или понижение), соответствующий при-
ращению независимой переменной на 1 %.
Пример 13.2. Рассчитать эластичность следующих
функций:
а)	у = 3х — 6; б) у=1+2х—х2.
Решение, а) Находим:
у' = 3, Ех(у)= — у' =	-3= —Ц-
зг	х\^/ у и	Зх —6	х-—2
Если, например, х=10, то Ех(у) = 10/(10— 2) = 1,25.
Это означает, что если х возрастет на 1 %, то у увели-
чится на 1,25%.
6)	Имеем:
Пусть, например, х=1, тогда эластичность составит
(2-1 - 2-12)/(1 +2-1 - 1) =0.
Это означает, что если независимая переменная возрастет
на 1 % (с 1 до 1,01), то значение зависимой переменной
не изменится (в приближении).
Если предприятие производит х единиц какого-либо товара и опреде-
лена функция полных затрат, то эластичность полных затрат
х dK dK/dx
153
Следовательно, эластичность полных затрат есть отношение предель-
ных издержек к средним издержкам. Эластичность средних издержек
<р=К/х
с с х d<p х2 xdK/dx — l _	.
£х(ч>)=£Ф= — -г-=v —--------------е«_ 1 •
<р dx К х
Таким образом, эластичность средних издержек на единицу меньше
эластичности полных затрат.
Если Е^=1, то Еф=0. Это означает, что средние затраты постоян-
ны. Отсюда следует, что xdK/dx — К = 0 или dK/dx=-K/x, т. е. если
эластичность полных затрат равна 1, то полные предельные издержки
равны средним полным издержкам.
13.55.	Рассчитать эластичность данных функций и най-
ти значения показателя эластичности для заданных х:
a)	i/ = x3+l, х=1, х = 5;
б)	у = еЪх, х=1, х = 0, х=2;
в)	i/ = 51nx, х=10, х = е, х = е4.
13.56.	Рассчитать эластичность функций:
a)	i/ = ax-|-ft, где а и b — постоянные;
б)	у = ахт, где а и т — постоянные.
13.57.	Кривая полных затрат имеет вид i/ = /( =
= 6 log (1 4-Зх). Определить кривую предельных издер-
жек.
13.4. Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной функции y = f(x) называется произ-
водная от логарифма этой функции, т. е.
(\nf(x))' = f'(x)/f(x).
Последовательное применение логарифмирования и дифференциро-
вания функций называют логарифмическим дифференцированием. В не-
которых случаях предварительное логарифмирование функции упроща-
ет нахождение ее производной. Например, при нахождении производной
функции y=uv, где и = и(х) и v = v(x), предварительное логарифми-
рование приводит к формуле
y' = uv In u-v' + vu9 xu'.	(13.3)
Пример 13.3. Найти производную функции у =
= (sin2x)x3.
Решение. Логарифмируем данную функцию и по-
лучаем
In у = х3 In sin 2х.
Дифференцируем обе части последнего равенства
по х:
154
(In y)'= (x3)' In sin 2x4- (In sin 2x)'x3.
Отсюда
y'/y=3x2 in sin 2x-f-x3/sin 2x-2 cos 2x.
Окончательно имеем
y' = y(3x2 In sin 2x4-2x3 ctg 2x) = (sin 2x)x’x
X (3x2 in sin 2x4-2x3 ctg 2x) = (sin 2x)x’x2(3 In sin 2x4-
4- 2x ctg 2x).
Легко убедиться, что такой же результат можно полу-
чить, воспользовавшись формулой (13.3). Действительно,
У'= (sin 2Х)*3 in sin 2x-3x2-|-x3(sin 2х)Гх3-2 cos 2x=
= (sin 2x)x’(3x2 In sin 2x-f-2x3 ctg 2x) = (sin 2x)*3x2X
X (3 In sin 2x-f-2x ctg 2x).
13.58.	Найти производные указанных функций:
a)	у= (sin Зх)соз5х; б) у= (х3-)- l)tg2x.
в)	y = (tg3x)x<;^	г) у= (ctgSx)^-1;
д)	у = (1 4- х4)tg 7х;	е) у = Xх*;
ж)	у= (sin х)|пх;
з)	У= (x4-l)3Vx—2/V (х—TF;
и)	i/=(x+l)2(x-l)3V (х+2)4;
к)	y—xsmx.
13.5.	Производная неявной функции .
Если зависимость между х и у задана в неявном виде уравнением
F(x, у)=0, то для нахождения производной у' = у'х в простейших слу-
чаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F(x, у) =0,
считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относи-
тельно у', найти производную.
Пример 13.4. Найти производную функции у', если
х34-у3 —Зху=0.
Решение. Дифференцируем обе части данного урав-
нения, считая у функцией от х:
Зх2 4-3//V— Зу—Зху' = 0.
155
Отсюда находим
/== 3x2-3t/ = х2-у
Зх —3t/2	х —у2
В задачах 13.59—13.70 найти производные от неявных
функций.
13.59.	е^ — х4+/ = 5.
13.60.	у? + х2—sin (х2у2)=5.
13.61.	х2+у2 = 5ех.	13.62. х2 —5/+ 4x1/—1=0.
13.63.	i/=sin (х + 2у).	13.64. х3 + у3 — Заху—0.
13.65.	х2/а2+у2/Ь2=\. 13.66. х2 + ху + у2 = 3.
13.67.	x=y+siny. 13.68. eX!Z+x2 + t/3 = 2.
13.69.	у3 — Зу + 2ах = 0.
13.70.	х2 + 3ху+у2+ 1 =0.
13.6.	Производные высших порядков
Производной второго порядка или второй производной функции
r/ = f(x) называется производная от ее первой производной, т. е. (#')'•
Обозначается вторая производная следующим образом: t/", f"(x),
d2y/dx2.
Если s = s(t) — закон прямолинейного движения материальной точ-
ки, то s' = ds/dt — скорость, a s" = d^s/dt2 — ускорение этой точки.
Производной п-го порядка функции y=f'(x) называется производ-
ная от производной (п — 1)-го порядка данной функции. Для п-й про-
изводной применяются следующие обозначения: у^п\ f(n)(x), dny/dx\ Та-
ким образом, у^ = (у^п-^)' = dy^-^/dx.
Пример 1,3.5. Вычислить значение второй производ-
ной функции" у=(2х — I)4 в точке х = 1.
Решение. Находим первую производную: у' = 8 (2х —
— I)3. Далее:
у" = 48(2х-I)2, /'(1)=48.
13.71.	Найти вторую производную функции г/=(1-|-
+ 4х2) arctg 2х.
13.72.	Найти значения производных любого порядка
функции у = х3 — 5х2 + 7х — 2 в точке х = 2.
13.73.	Дано уравнение движения точки по оси Ох:
х = ЮО — 5t — 0,001 /3 (х измеряется в метрах, t — в секун-
дах). Найти скорость и ускорение этой точки в моменты
времени /0 = 0 с, /1 = 1 с, /2=10 с.
13.74.	Вычислить значение второй производной функ-
ции, заданной уравнением х4—ху +у4= 1, в точке Л4(0; 1).
13.75.	Показать, что функция у = С\е2х -\-С23х при лю-
156
бых постоянных Ci и С2 удовлетворяет уравнению у".—
— 5/ + 6i/ = 0.
13.76.	Вычислить значение второй производной функ-
ции, заданной уравнением еу + у — х = 0, в точке М\ (1; 0).
13.77.	Найти вторую производную функции, заданной
уравнением x3 + i/3 — ху = 1.
13.78.	Найти производные указанного порядка от дан-
ных функций:
a) у = Зх2+х + 7, у(3) = ?; б) i/ = cos2x, г/4)=?;
в) £/ = sinx2, у(3) = ?;	г) £/=23х+5, п(п) = ?;
д) у = е5х+3, х/3>(0) = ?;	е) y = lgx, у®=?;
ж) t/ = sin5x, у(4)=?;
з) t/ = log3(x3+l), у(2) = ?.
13.7. Дифференциал функции.
Применение дифференциала
в приближенных вычислениях
Пусть функция y = f(x) в точке х имеет конечную производную,
т. е. существует предел
lim дг/_= Пт лх+дх)-/(х)
Дх о Ах Дх —о Ах
Тогда по определению предела следует, что
Ьу/Ьх=у' + а,	(13.4)
где а — бесконечно малая величина, т. е. а->0 при Ах->0.
Из формулы (13.4) получаем
Az/ = t/'Ax = aAx.	(13.5)
Линейная часть приращения функции относительно Ах называется
дифференциалом и обозначается dy = y'dx или df(x) =f'(x)&х.
Учитывая, что дифференциал независимой переменной х равен ее
приращению, можно записать: dy=y'dx.
Из рис. 13.2 видно, что приращение функции At/ есть приращение
ординаты кривой (отрезок CN), а дифференциал функции есть прираще-
157
Из равенства (13.5) следует также (см. рис. 13.2), что для достаточ-
но малых |Дх| kyxtdy или f(x-hДх) — f (х) ^f'(x)dx, откуда
f (х+Дх) »f (х) +f'(x)dx.
Полученная формула часто применяется для приближенного вычис-
ления значений функции при малом приращении Дх независимой пере-
менной х.
Пример 13.6. Найти приближенно sin 31°.
Решение. Полагаем х = л/6, тогда Ах = 1°х
X л/180 = 0,017, sin 31° « sin (л/6) + cos(n/6) • 0,017 =
= 0,5 + 0,017д/3/2 «0,515.
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную по-
грешность функции 8У, если известна абсолютная погрешность ех аргу-
мента. В практических задачах значения аргумента находятся с по-
мощью измерений и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть требуется вычислить значение функции y = f(x) при некотором
значении аргумента х, истинное значение которого неизвестно, но дано
его приближенное значение х0 с абсолютной погрешностью ех: х = х0-|-
4-dx, \dx\ <8. Тогда
If (х) -f (хо) I « \ffM/\dx\ < IГ(хо) I ex.
Отсюда видно, что гу = If'(xo) |ех.
Относительная погрешность функции выражается формулой
’•-ТТм -I Яёг1 -I
Так, если в примере 13.6 принять ех = 0,017, то
еу=| cos^l -0,017 = 0,015, 6,=	• 100 % = 3 %.
I в I	0,5
Дифференциалом п-го порядка функции y=f(x) называется диф-
ференциал от дифференциала (п—1)-го порядка этой функции, т. е.
dn(l/)=<i(dn-1(l/)).
Если дана функция y=f(x), где х—независимая переменная, то
d2y = y"dx2, d3y = y"'dx3, ...» dny=y^dxn.
Если y=f(u), где u = <p(x), то d2y = y" (du)2-}-y'd2u, где диффе-
ренцирование функции у выполняется по переменной и (это имеет место
и для дифференциалов более высоких порядков).
13.79.	Найти дифференциалы первого порядка следую-
щих функций:
a)	t/=xtg3 х;
б)	у= Уarctg х + (arcsin х)2;
в)	у=1п (х+УТ+х2) ; г) у = е-*3;
158
д) У= (*2+1) arctgx.
13.80.	Найти дифференциалы второго порядка функций:
a) f/ = sin22x; б) у=1пх/х; в) e-3xcos2x.
13.81.	Даны функция у=х3 — 2х2 + 2 и точка х0=1.
Для любого приращения независимой переменной Ах вы-
делить линейную часть приращения функции. Оценить
абсолютную величину разности между приращением фун-
кции и ее дифференциалом в данной точке, если: а) Ах =
= 0,1; б) Ах = 0,01. Сравнить эту разность с абсолютной
величиной дифференциала функции.
13.82.	Вычислить приближенное значение функции
у = х3— 4х2 + 5х + 3 при х= 1,03 с точностью до двух зна-
ков после запятой.
13.83.	Вычислить приблйженно д/х2 — 7х + 10 при
х = 0,98 с точностью до двух знаков после запятой.
.-- 3 ,-- 5 ,---
13.84.	Вычислить приближенно: \24 ; у 126; д/33 ;
д/82; cos 91 °; tg44°; In (в 4-0,1); arctg0,98; (3,03)4;
In 0,96.
13.85.	Найти приближенные значения функций:
а)	у=х34-х2 при х=2,01;
б)	у=х/д/х2-|- 16 при х = 2,9;
в)	у = -\]$—х /-\]\ -\-х при х=3,02;
г)	у = д/х2 —5x4-12 прих = 1,3.
13.8. Теоремы о среднем.
Правило Лопиталя — Бернулли
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; 6], дифференци-
руема внутри этого отрезка и f(a)—f(b)y то существует по крайней
мере одна точка с (а<с<Ь), такая, что f'(c)=O (теорема Ролля).
Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а; 6] и дифферен-
цируема внутри этого отрезка, то существует по крайней мере одна
точка х = с (а<с<Ь), такая, что
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
Эта формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных
приращений.
Если функции y — f(x) и у = у(х) непрерывны на отрезке [а; 6] и
дифференцируемы внутри него, причем ф'(х)=/=0 нигде при a<Zx<Zb,
то найдется хотя бы одна точка х = с (а<с<Ь), такая, что
f(b)-f(a) = Г (с)
ф(/>)—ф(а)	ф'(с) ’
Эта теорема называется теоремой Коши.
159
Рассмотрим правило Лопиталя — Бернулли (для раскрытия неопре-
деленностей вида 0/0 и оо/оо ). Если функции у = f(x) и у=у(х) удовле-
творяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки х = хо,
Г(х)
стремятся к нулю (или ± оо) при x-^xq и существует lim -  -	,
Х-ХО <₽'(*)
то существует также lim 	 и эти пределы равны, т. е.
х-»х0 <р(х)
limlW
:-х0 Ф(Х)
lim
х0
f'W
ф'(х) ’
Пример 13.7. Применив правило Лопиталя — Бернул-
о	,.	tg 9х
ли, наити предел lim .
х->о эх
Решение. Имеем
г tg9x 1	9	9	. о
lim — = —1 im —-— = — = 1,8.
х—0 ЭХ	Эх_+ц COS29x &
Пример 13.8. Применив
предел
правило Лопиталя, найти
cos х
х-л/2	л/2 ’
Решение. Находим
1. COS х
lim -----—
-л/2 Х-л/2
= — lim sin х = — 1.
х — л/2
Правило Лопиталя справедливо и при хо=±оо. Если частное
f' (х)/ч>'(х) вновь дает в предельной точке неопределенность одного
из двух названных видов и функции f'(x), <р'(х) удовлетворяют всем
требованиям, ранее указанным для функций f(x) и <р(х), то можно пе-
рейти к отношению вторых производных и т. д. Однако следует помнить,
что предел отношения самих функций может существовать, в то время
как отношение производных не стремится ни к какому пределу.
Пример 13.9. Показать, что функция f(x)=x — х3 на
отрезке [0; 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Решение. Функция непрерывна на отрезке [0; 1] и на
концах этого отрезка принимает равные значения: f(0) =
= f(1) = 0. Находим f'(x)= 1 — Зх2 = 0, х = ± 1 /д/З. Зна-
чит, соответствующее значение с= ±1 /"д/3.
Пример 13.10. Найти lim * + sin- .
к н	х-оо x + cosx
Решение. Имеем
«• x-|-sinx .. 1+sinx/x .
lim -------= lim	= 1.
x-oo x-hcosx x^(Xj 1+cosx/x
160
Но предел вида
lim !*+sinx); = lim (1+C°S4
x+oo (x + cosx)' x->oo (1— SHI x)
не существует, так как при оо числитель и знамена-
тель дроби могут принимать любые значения на отрезке
[0; 1], а само отношение производных принимает любые
неотрицательные значения. Следовательно, правило Лопи-
таля в этом случае неприменимо.
рЗх_1
Пример 13.11. Найти lim
х+оо Sin 5х
Решение. Числитель и знаменатель дроби непрерыв-
ны, дифференцируемы и стремятся к нулю. Это означает,
что можно применить правило Лопиталя:
х^0 sin 5х х-*о 5 cos 5х 5	’
Неопределенность вида 0-оо получается из произведения
в котором lim fi (х) =0 и/^(х) = <». Это произведение лег-
х-х0
ко преобразуется в частное вида
f2(x)
1/М*) ИЛИ !//,(*)’
что дает неопределенности вида 0/0 иди оо/оо. Если же lim f j (х) =
х->- х0
= оо и lim f2(x) = оо, то разность fi (х)—f2(x) дает неопределенность
х-и х0
вида оо — оо. Но
f, (х) - f2 (х) = f | (X) (1 - f2 (x)/f, (X) ) .
Тогда, если lim f2(x)/f1 (x) = 1, приходим к неопределенности вида
х-^х0
0 • оо.
Пример 13.12. Вычислить lim№-e х (неопределен-
Х-*-оо
ность вида 0* оо).
Решение. Находим:
lim х3-е~х= lim — = lim =
X —оо	х-»- оо 6х х—* оо 6х
— lim —- = lim — =0.
х оо ех х о© ех
6 А. В. Кузнецов и др.
161
Рассмотрим функцию вида (Их))ф(х).
Если lim f(x)=O, lim ф(х) = 0, то имеем неопределенность вида
х *0	х “* хо
0°.
Если lim (х)=1, lim ф(х) = оо, приходим к неопределенности
Х-^Х0	Х-^Х0
вида 1°°.
Если lim f(x) = oo, lim ф(х) =0, получаем неопределенность ви-
х-*х0	х-+х0
да оо°.
Для раскрытия этих неопределенностей применяется метод лога-
рифмирования, который состоит в следующем. Пусть
lim (/(л-))<р(х)=Л.
х->- х0
Так как логарифмическая функция непрерывна, то
lim lnt/ = ln lim у.
х^хо	х^хо
Тогда 1пЛ= lim (ф(х) In f (х)) и неопределенности трех рассматрива-
емо
емых видов сводятся к неопределенности вида 0-оо.
Пример 13.13. Вычислить lim (ех+^)1/х
х->- 0
Решение. Имеем неопределенность вида 1°°. Обоз-
начим искомый предел через А. Тогда
In Л = lim (— In (ех4“*)^ = lim	—
х->(Д*	J х->0 х
= lim е — =2, А = е2.
х->о ех-\-х
Пример 13.14. Вычислить lim (l/x)s,"2x.
х —0
Решение. Имеем неопределенность вида оо°. Про-
логарифмировав, получаем
In A = lim (sin2 х In —А== lim =
х-»-0\	Х) х—о l/sin2x
. 2
.. Sin X .. Sin X .. Sin X rx л 0 i
= lim---------= hm---------lim-------=0, Л = е =1.
x о X COS X x 0 x x-»-0 cos x
Замечание. Здесь использовали формулу первого замечательного
предела lim sinx/x=l.
х->- о
162
13.86.	На дуге параболы у = х2, заключенной между
точками Л(1; 1) и В(3; 9), найти точку, касательная в
которой параллельна хорде АВ.
13.87.	Проверить справедливость теоремы Ролля для
следующих функций:
а)	I/= х3 + 4х2 — 7х = 10 на отрезке [— 1; 2];
б)	t/ = 4sinx на отрезке [0; л].
13.88.	Функция у=\/х2 принимает одинаковые значе-
ния на концах отрезка [—1; 1]. Убедиться, что производ-
ная этой функции в интервале (—1; 1) нигде в нуль не
обращается. Объяснить это отклонение от теоремы Ролля.
13.89.	Из теорем Лагранжа определить значение с для
следующих функций:
a)	f(x) = 4х2 —-5х + 1 на отрезке [0; 2];
б)	i/=lnx на отрезке [1; а] при а>1.
13.90.	Можно ли к функции f(x) = 2 —- -д/х* приме-
нить на отрезке [ — 2; 2]: теорему Ролля; теорему Лаг-
ранжа?
13.91.	Найти пределы:
a) lim *3—7х2+4*4-2 .	xcosx —sinx
' x-Ki	X3 —5x4-4 ’	' х-ьО X3
v	t.	е7х—1	ч	..	1— cos7x
*	г)
д)	|ira	Че <"/«>;	е)	lim (-ij. -	J-A;
x-*-2	X“2	х-ь1\х“ 1	In X у
ж) lim ^2— —j tg лх/(2а).
13.92. Найти указанные пределы:
a) lim (tgx)2x л; 6)
x —* л/2
в) lim (cos2x)1/x2;	г)
x —► 0
д) lim х1/(1-х);	е)
X —1
ж) lim (ctg х)1/lnx; з)
х-кО
lim (2/х+1)х;
х-+- 0
г /	• 3\
lim (х sin —i;
х+оД
i- /2	\1/х
lim (—arccosx) ;
x-*-0\ n	)
lim x3/(1+lnx).
x->0
13.9. Исследование поведения функций
и их графиков
Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчис-
ления является разработка общих приемов исследования поведения
функций.
163
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некото-
ром интервале, если большему значению аргумента из этого интервала
соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е. при Х1<хг
выполняется неравенство f(xi) Cf(x2) (f(xi) >f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [а; д] возраста-
ет (убывает), то ее первая производная на этом отрезке неотрицательна
(неположительна), т. е. f'(x)^0	(f(x)<0).
Если непрерывная на отрезке [а; д] и дифференцируемая внутри
него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то
она возрастает (убывает) на этом отрезке.
Функция y = f(x) называется неубывающей (невозрастающей) в не-
котором интервале, если для любых xi<x2 из этого интервала
f(X|)<f(X2) (f(Xl) >f(x2)).
Интервалы, в которых функция не убывает (или не возрастает),
называются интервалами монотонности функции. Характер монотонно-
сти функции может изменяться только в тех точках ее области опреде-
ления, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых
первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв,
называются критическими.
Пример 13.15. Найти интервалы монотонности и крити-
ческие точки функции у = 2х2— In х.
Решение. Данная функция определена при х>0.
Находим ее производную: у' = 4х—1/х=(4х2—1)/х. В об-
ласти определения функции у' = 0 при 4х2—-1=0, т. е.
при х0 = 1/2. Найденная точка разбивает область опреде-
ления функции на интервалы (0; 1/2) и (1/2; -f-oo); в
первом из них г/'<0, а во втором у'>0. Значит, в интер-
вале (0; 0,5) данная функция убывает, а в интервале
(0,5; + оо ) возрастает.
Точка называется точкой локального максимума функции y = f(x),
если для любых достаточно малых |Лх|=/=0 выполняется неравенство
f (х, 4-Дх) </(%1).
Точка х2 называется точкой локального минимума функции y = f(x),
если для любых достаточно малых |Лх|у=0 справедливо неравенство
/(х2 + Дх) >Дх2).
Точки максимума и минимума называют точками экстремума функ-
ции, а максимумы и минимумы функции — ее экстремальными значе-
ниями.
Если функция y = f(x) имеет в точке х = хо экстремум, то /'(хо) =0
или f'(х0) не существует (необходимый признак локального экстремума).
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику параллельна оси Ох.
Для отыскания экстремума функции находят все критические точки,
а затем исследуют каждую из них (в отдельности), чтобы выяснить,
есть в этой точке экстремум или нет.
Пусть функция y = f(x) непрерывна в некотором интервале, содер-
жащем критическую точку х = х0, и дифференцируема во всех точках это-
го интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если при переходе
(слева направо) через критическую точку Хо производная f'(x) меняет
знак с плюса на минус, то в точке хо функция y — f(x) имеет максимум;
если же с минуса на плюс,— то минимум; если знака не меняет, то экстре-
мума нет (первый достаточный признак локального экстремума).
164
Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выпол-
няться в достаточно малой окрестности критической точки хо.
Пусть функция y~f{x) дважды дифференцируема и f'(x0) =0. Тог-
да в точке хо функция имеет локальный максимум, если f"(x0) <0, и ло-
кальный минимум, если /"(хо)>О. В случае, когда f"(xo)=O, точка
х = х0 может и не быть экстремальной (второй достаточный признак
локального экстремума).
На отрезке [а; 6] функция y = f(x) может достигать наименьшего
i/наим или наибольшего 1/наиб значения либо в критических точках функции,
лежащих в интервале (а; Ь), либо на концах отрезка [а; Ь].
Кривая, заданная функцией y = f(x), называется выпуклой в интер-
вале (а; 6), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной
в этом интервале, и вогнутой в интервале (а; Ь), если все точки этой кри-
вой лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.
Точка кривой Л1о(хо; t/o), отделяющая выпуклую ее часть от вогну-
той (или наоборот), называется точкой перегиба кривой. Предпола-
гается, что в точке Мо существует касательная.
Если во всех точках интервала (а; Ь) вторая производная функции
y = f(x) отрицательна (положительна), т. е. f"(х) <0	(f"(x)>0), то
кривая y = f(x) в этом интервале выпукла (вогнута). В точке перегиба,
отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая
производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая
производная или обращается в нуль, или не существует (достаточное
условие выпуклости (вогнутости) графика функции).
Если в точке х = хо f" (хо) =0 или f" (хо) не существует и при пере-
ходе через эту точку производная f"(x) меняет знак, то точка с абсцис-
сой х = х0 кривой y = f (х) — точка перегиба (достаточный признак точки
перегиба).
Прямая L называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние
от точки М данной кривой до прямой L при удалении точки М в бесконеч-
ность стремится к нулю.
Из определения следует, что асимптоты могут существовать только
у кривых, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные»
кривые).
Если существуют числа х = х, (/ = 1, п), при которых
lim f(x) = ±oo, т. е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые
х —► х^
x = xt называются вертикальными асимптотами кривой y = f(x).
Если существуют пределы
k = lim *-)-, b = lim (f(x) — kx\
Х± ОО X	х->- ± ОО
то прямые y = kx-\-b — наклонные асимптоты кривой (при k = 0 горизон-
тальные) .
При х-> ± оо можно прийти к двум значениям k. Если имеем одно
значение для ky то при х->- ± оо можно получить два значения Ь.
13.93.	Найти интервалы монотонности функций:
а) у=х4 — 2х2 + 5; б) t/ = x/(x2 — 6х — 16);
в) у=х3 — Зх2 — 9х + 7.
13.94.	Исследовать на экстремум функции:
165
а)	у=д/ (x2 —6x-]-5)2; б) у = х — In (1 4-х);
в)	y = xln2x;	г) у= (х2— I)2.;
д)	у=х4 + 4х3—2х2—12х + 5; е) y = e3~6z~*‘;
ж)	у = х2/3—х;	з) у=х3—6х2+ 12х;
и)	у= д/Зх —7 ;
к)	t/ = 2x3—6х2 — 18x4-7.
13.95.	Найти наименьшее и наибольшее значения
функций:
a)	i/ = 2x2-|-3x2 —12х-|-1 на [—1; 5];
б)	у=х 4-Зд/х на [—1; 1];
в)	у = 2х— д/г на [0; 4];
г)	у=х2 —4х-|-1 на [—3; 3];
д)	y=tgx — х на [ — л/4; л/4];
е)	у = х4 — 8х2-|-3 на [ — 2; 2].
13.96.	Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и
вогнутости кривых:
a)	y = arctgx —х; б) t/ = ln (1 4-х2);
в)	У=л/Л	г) у=*34-1;
д)	у = 3х2—2;	е) у = Зх3—х.
13.97.	Найти асимптоты кривых:
а>»=тетт7;	б)у=^Йт:
в)	г) в'";
2х— 1
д) у = arctg х; е) у= - 3~;
ж) у = 1п (х— 1); з) t/=4^L
.	Зх2	.1
и> У=	к> У =7=Г
13.10.	Схема полного исследования функции
и построение ее графика
Для полного исследования функции и построения ее графика мож-
но рекомендовать следующую схему:
1)	указать область определения функции;
166
2)	найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика
с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3)	определить четность (нечетность), периодичность функции;
4)	исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5)	определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки пере-
гиба;
6)	найти асимптоты графика функции;
7)	произвести необходимые дополнительные вычисления;
8)	построить график функции.
В задачах 13.98—13.112 провести полное исследование
заданных функций и построить их графики.
13.98.	t/=x3 —Зх2.	13.99. у=х2 + 2/х.
13.100.	у=х3/(3 —х2).	13.101. г/ = 1п (х2 + 2х + 2).
13.102.	у= (2х—1 )/(х—1 )2.
13.103.	у= — In (х2 —4х + 5).
13.104.	(/== 1/(1 —х2).	13.105. у=1/(1-д/1-х).
3 Г-7Т
13.106.	у = 3д/х7 +2х.
13.107.	i/=(x3-6x2 + 25)/5.
13.108.	у = 2/(х2 + х+1). 13.109. у=х+1/х.
13.110.	у=х/(х2 — 1).	13.111. у = е2х-^.
13.112.	(х—1)/(х2 —4).
13.11. Задачи на экстремум
В этом параграфе по условию задачи необходимо составить функ-
цию и затем исследовать ее на экстремум.
Пример 13.16. Сечение оросительного канала имеет
форму равнобедренной трапеции, боковые стороны кото-
рой равны меньшему основанию (рис. 13.3). При каком
угле наклона а боковых сторон этой трапеции сечение
канала будет иметь наибольшую площадь?
Решение. Определим площадь сечения канала как
функцию угла а, считая, что боковые стороны и меньшее
основание равны а. Тогда, как видно из рис. 13.3,
с \AB\ + \DC\ lz>c4	(2a + 2acosa)
S =-------| СЕ I =----------------------a sin a =
2
= a2/sin a + у sin 2a
Рис. 13.3
167
Исследуем S как функцию аргумента а на экстремум.
Имеем
S' = a2(cos а + cos 2а).
В критических точках S' = 0, т. е.
За а
cos а + cos 2а = О, 2 cos — cos — = 0.
Так как 0<а<л/2, то cos (а/2)У=0. Поэтому, если
cos (За/2)=0, то За/2 = л/2 или а = л/3.
Докажем, что при а = л/3 функция S достигает наи-
большего значения на отрезке [0; л/2]. Действительно,
S" = a2 (-sin а — 2 sin 2а), 5"(л/3) = -а2-3V3/2 <0.
Поэтому при а = л/3 имеем локальный максимум
S(n/3)=SmM=3V3/4.a2,
который на отрезке [0; л/2] будет также наибольшим зна-
чением функции S, поскольку S(0) = 0, S(n/2) = a2<Smax.
13.113.	Каковы должны быть размеры (радиус основа-
ния R и высота Н) открытого сверху цилиндрического
бака максимальной вместимости, если для его изготовле-
ния отпущено S = 27л«84,82 м2 материала?
13.114.	Требуется изготовить коническую воронку с об-
разующей, равной 20 см. Какой должна быть высота Н во-
ронки, чтобы ее объем был наибольшим?
13.115.	Требуется изготовить закрытый цилиндриче-
ский бак вместимостью К=16л»50 м3. Каковы должны
быть размеры бака (радиус R и высота //), чтобы на его
изготовление пошло наименьшее количество материала?
13.116.	Через точку М(1; 4) провести прямую так,
чтобы сумма величин положительных отрезков, отсекае-
мых ею на осях координат, была наименьшей. Записать
уравнение этой прямой.
13.117.	Кривая полных издержек имеет вид К = х3—
— 6х24-15х (х—объем производства). Рассчитать, при
каком объеме производства средние издержки мини-
мальны.
13.118.	В треугольник с основанием b и высотой h впи-
сать прямоугольник с наибольшей площадью.
13.119.	Окно имеет форму прямоугольника, завершен-
ного полукругом. Периметр задан. Каковы должны быть
размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее коли-
чество света?
168
13.120.	Из прямоугольного куска жести шириной 50 см
и длиной 80 см делают ящики: в углах вырезают квадраты,
затем закрывают выступающие края и паяют кромки. Рас-
считать, какова должна быть сторона вырезаемого квад-
рата, чтобы изготовить ящики возможно большей емкости.
13.121.	Промышленное предприятие необходимо раз-
местить на берегу реки (прямая AiBj на рис. 13.4). Сырь-
евая база предприятия находится в точке Л, а пункт сбы-
та— в точке В. Даны расстояния АВ\=а, А\В\ = с и
ВВ\ = Ь. Рассчитать, в какой точке следует разместить
предприятие, чтобы транспортные расходы были мини-
мальны.
А
А1	М
Рис. 13.4
13.122.	Сахарный завод производит х единиц продук-
ции в месяц, а суммарные издержки производства
/( = х/50+ 15х + 800. Зависимость между удельной ценой
р и количеством единиц продукции х, которое можно про-
дать по этой цене, такова: р = 50 —х/10. Рассчитать, при
каких условиях прибыль будет максимальной (выручка
и = хр).
13.123.	Консервная банка данного объема имеет фор-
му цилиндра. Каково должно быть соотношение ее разме-
ров (высоты Н и диаметра £)), чтобы на изготовление
пошло минимальное количество жести?
13.124.	В результате измерений некоторой величины
получено п чисел xi, Х2, ..., хп. Найти такое число х, чтобы
сумма квадратов отклонений данных чисел от х была ми-
нимальной.
13.125.	Мотком проволоки длиною 20 м требуется ого-
родить клумбу, имеющую форму кругового сектора. При
каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей?
14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
14.1.	Понятие функции нескольких переменных
Пусть D(x, у) —некоторое множество точек плоскости хОу. Если
каждой упорядоченной паре чисел (х, у) из области D соответствует
169
определенное число z £ Е cz R, то говорят, что z есть функция двух пере-
менных хну. Переменные х и у называются независимыми переменными
или аргументами, D — областью определения или существования функ-
ции, а множество Е всех значений функции — областью ее значений.
Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде
z = f(x, у) или z=z(x, у), z = F(x, у) и т. д.
Частное значение с функции z=f(x, у) при x=xQ, у=уо обозна-
чается так: c = f(xQ, у0).
Геометрически область определения функции D представляет собой
конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную линиями, ко-
торые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом
случае область D называется замкнутой и обозначается £), во вто-
ром — открытой.
Аналогично определяется функция п независимых переменных.
Пример 14.1. В экономических исследованиях часто
используется производственная функция Кобба — Дуг-
ласа
// = а0х11х22,
где у — величина общественного продукта; х\ —затраты
труда; %2 — объем производственных фондов (обычно у и
х2 измеряются в стоимостных единицах, х\ — в человеко-
часах или количестве среднегодовых работников). Найти
значение функции j/ = 0,85x?/4%2/3 в точке (625; 216).
Решение. Находим
у (625, 216) = 0,85 • 6253/4 • 2161/3=637,5.
Пример 14.2. Найти области определения следующих
функций:
a)	z =	1 — х2—t/2; б) z = arcsin (x + t/).
Решение, а) Область определения функции состоит из
всех точек (х; у) плоскости, для которых 1—х2 —//2^0,
т. е. х2 + //2^ 1. Таким образом, искомая область есть круг
с центром в начале координат и радиусом 1. Область явля-
ется замкнутой, так как включает свою границу — окруж-
ность х2 + //2 = 1.
б)	Областью определения функции является множест-
во точек плоскости хОу, координаты которых удовлетворя-
ют неравенствам — 1 ^х-\-у^ 1, что равносильно системе
*+у> — 1, 1
* + У^ 1.J
Эта область представляет собой полосу, ограниченную
параллельными прямыми х-|-#-|-1=0 и х-\-у — 1=0.
14.1.	Вычислить частные значения функций:
170
a)	z=(2x—у)/(x — 2y) при x = 3, y=l; при x=\,
y=3;
6)	z=x2cosy в точке M(2; л/3);
в)	z= ху2-|-х+1 в точках М (1/2; 1), Р(2; —1).
14.2.	Найти области определения функций и сделать
чертежи:
a) z=l/(y — Зх);	б) z = ln (х+у);
в) z= д/у2 —2х+4 ;	г) z = 1 / д/х24-у2 — 16 ;
д) г=1/д/х-|-у + д/х—у; е) z=-\[xy;
ж) z=arccos (2—х2 —у2); з) z = a2 —х2 —2у2;
и) z=l/(x2—у2);	к) г=у+д/7.
14.3. Периметр треугольника равен 8. Выразить пло-
щадь треугольника S как функцию двух его сторон х и у.
Определить и построить область возможных значений
хиг/.
14.4. Указать область определения функции, выражаю-
щей объем V кругового конуса через образующую х и ра-
диус основания у.
14.2.	Предел и непрерывность функции
многих переменных
Число А называется пределом функции z = f(x, у) в точке Мо (х0; у0),
если для любого е>0 существует 6(e) >0, такое, что для всех точек
М (х; у), отстоящих от Мо меньше, чем на 6 (р (Л4, Мо) <6), выполня-
ется неравенство \f(x, у)— Д|<е.
Если А — предел функции f(x, у) в точке Мо(х0; Уо), то пишут:
А= lim f(x, у) = lim f(x, у).
х->х0	M^MQ
Функция z = f(x, у) называется непрерывной в точке М0(х0‘, уо),
если выполняется равенство
lim f(x, y)=f(xQ i/0),
X-Xo
У-^Уо
или lim Az = 0.
Др—0
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называ-
ется непрерывной в данной области.
Если в точке Л4(х; у) не выполняется условие непрерывности, то
такая точка называется точкой разрыва функции z = f(x, у). Точки раз-
рыва могут образовывать некоторую линию разрыва.
Пример 14.3. Найти пределы:
a)	lim^t	б)	lim 4=4
х—0 х	х —0 X -j- у
у^2	у-^0
171
Решение, а) Находим
.	sin ху	..	..	sin ху	п
lim-— = lim у lim-— = 2,
х-*-0	х	х-*0	х->0	ХУ
У—2	у + 2	у-*-2
«. sin а .
так как lim-----= 1.
х—>0 а
б)	Возьмем две последовательности точек, стремящих-
ся к точке О (0; 0): Мп (0; 1 /п) и М'п (1 /п\ 0), для которых:
^м") = -5ТТ^- = -1’ Лт„ал<") = _1’
^M") = 47fey = 1>	=
Для различных последовательностей точек получили
разные пределы. Значит, данная функция не имеет
предела.
В задачах 14.5—14.10
14.5. lim-—х.у- 
х-0 3— т]ху+9
у— О
14.7. lim (х3 +1/3) sin-
найти пределы функций.
14.6 lim (1 +х2+у2) |/'?+Л
х->0
У~+ о
14.8.
1
х3 + </3’
lim--------.
х->о х + у
J/ — 0
у
14.9. lim -to.
х-* 0 х
у-^4
14.10. lim-to-.
х-0
У— 1
В задачах 14.11 —14.14 найти точки разрыва функций
двух переменных.
14.11	. z=l/((x—1)2+(у+1)2)-
14.12	. z = l/(sin х sin у).
14.13	. z = 8/(4-x2-/).
14.14	. z=(x + 3f/)/(2t/-x).
14.3.	Частные производные
Частной производной функции нескольких переменных по одной из
этих переменных называется предел отношения соответствующего част-
ного приращения функции к приращению данной переменной, когда
последнее стремится к нулю.
Для функции двух переменных z — f(xty) частной производной по
аргументу х называется производная этой функции по х при постоян-
ном у. Аналогично частной производной функции z = f(xt у) по аргу-
менту у называется производная этой функции по у при постоянном х.
Частные производные обозначаются следующим образом:
z'x, dz/dx, z'y, dz/dy.
172
Частными производными второго порядка функции z = f(x, у) назы-
ваются частные производные от ее частных производных первого по-
рядка.
Пример 14.4. Найти частные производные следующих
функций:
a)	z = 2x3 —6x2t/ + t/3; б) u = zxy2.
Решение, а) При нахождении частной производной
по х будем рассматривать у как величину постоянную.
Получим
dz/дх = 6х2 — 12ху.
Аналогично, рассматривая х как величину постоянную,
найдем частную производную по у:
dz/dy= —6x2 + 3t/2.
б)	Здесь и есть функция трех независимых перемен-
ных х, у, z. При определении частной производной по
каждой из этих переменных две другие следует считать
постоянными величинами. Следовательно,
=y2zx^ In z, = 2xyzxy2 In z, —xy2yxy2~x.
Пример 14.5. Пусть z = 2x2y+ 3x//2-f-x3—производст-
венная функция, где х — затраты живого труда, у — затра-
ты овеществленного труда. Найти Ex(z) и Ey(z) в точке (1; 1).
Решение. Приближенный процентный прирост функ-
ции z, соответствующий приращению независимой пере-
менной х на 1 %,
а приближенный процентный прирост функции z, соответ-
ствующий приращению независимой переменной у на 1 %,
Найдем частные производные по х и у:
77 = 4ху + Зу2 + Зх2,	= 2х2+бху.
Тогда
р _ x(4xt/+3i/2 + 3x2)	р , _ {/(2х2 + 6ху)
'	2х2у+ Ъху2+ х3 ’ у' '	2х2у + %ху2+х3 ’
173
В заданной точке Ex(z) = 10/6«0,67, Ey(z) = 8/6«
« 1,33. С увеличением затрат живого труда на 1 % объем
производства увеличится на 0,67 %, а с увеличением за-
трат овеществленного труда на 1 % объем производства
увеличится на 1,33%.
В задачах 14.15—14.24 найти частные производные
функций.
14.15.	г=х3-|-6х«/2—4у3 — 2ху.
14.16.	z=(y-2x)/(x + 2y).
14.17.	z=/.	14.18. z=x/y.
14.19.	z=x2cos (х + Зу).
14.20.	z = ln (Зх2—у4).	14.21. z = sin д/ x—у3 .
14.22.	z = arcsin (2x3y). 14.23. z = e2j'2-!'5.
, л	. Зх—у2
14.24.	z = tg—
14.25.	Дано f (x, у) =x2 sin2 у, вычислить f'x и f'y в точ-
ке (—1; л/4).
14.26.	Дано f(x, у) = arctg х^_у , вычислить /ДЗ;
— 4), f'(—12; 5).
14.27.	Дано f(x, у) = х3у + ху2 — 2% + 3//— 1, вычис-
лить f'x и f'y в точке (3; 2).
В задачах 14.28—14.34 найти все частные производные
второго порядка от указанной функции.
14.28.	z = x4 — 5х2у — 2у3. 14.29. z= (х — у) / (х + у).
14.30.	z = sin (х2 + */3)-	14.31. z=sin у In х + ех In у.
14.32.	z= д/2ху + у2.	14.33. z = xy-\-y/x.
14.34.	z = tg (ху2).
14.35.	Показать, что функция z = ln (x2-j-t/2) удовлет-
воряет уравнению
+А=0
дх2 ду2
14.36.	Показать, что функция z = exly удовлетворяет
уравнению
d2z   dz	dz
У дхду	ду	дх ‘
174
14.4. Полный дифференциал функции
Полным приращением функции z = f(x, у) в точке Мо(хо; Уо) на-
зывается разность
&z = \f(xQ, у0) =f(xo + &x, yo + &y)—f(xo, Уо).
Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке Мо(хо; уо)
функции z = f(x, у) называется главная линейная относительно Дх и
At/ часть полного приращения этой функции в точке Мо, т. е.
dzlMo=fx<xo> г/о)Дх+4(хо« Уо^У-
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их прираще-
ниями, т. е. dx=&x, dy = \y.
Полный дифференциал функции z=f(x, у) находится по формуле
dz= -^-dx+ ^-dy.	(14.1)
дх	ду	'	'
Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функ-
ции любого числа переменных.
При достаточно малых Дх и Д(/ для дифференцируемой функции
z = f(x, у) имеет место приближенное равенство Azt&dz или
/(х + Дх, y + h.y)^f(x, у) +-^ Дх-f-Ду. (14.2)
дх ду
Формула (14.2) применяется для приближенного вычисления зна-
чения функции z = f(x, у) в точке (х-|-Дх; у + &у) по известным зна-
чениям функции z(x, у) и ее частных производных dz/дх и dz/dy в дан-
ной точке (х; у).
Пример 14.6. Найти полный дифференциал функции
z= д/х2—у2.
Решение. Находим частные производные:
dz __________ х	dz _ —у
~д~й~ ^х2-у2'
Таким образом, по формуле (14.1) получим:
xdx — ydy
Ч^-У2'
Пример 14.7. Вычислить приближенное значение
У (4,03)2+ (3,05)2.
Решение. Искомое число будем рассматривать как
значение функции z(x, у) = д/ х2 +t/2 при х = 4 + 0,03,
у = 3 + 0,05. Значение функции в точке (4; 3) равно
175
г(4, 3) = ^42 + 32 =5. Найдем значения частных произ-
водных dz/дх и dz/ду в точке (4; 3):
dz   х	dz(4,3)   4
Vx2+</2’ дх ~ У’
dz   у	dz(4,3)   3
ду ~Т'
По формуле (14.2) получаем при Дх = 0,03, Дг/ = 0,05
V(4 + 0,03)2+(3 + 0,05)2 «z(4, 3) +	Ах +
+	ЛУ = 5+ у -0.03+ у -0,05 = 5,05.
Следовательно, У (4,03)2+ (3,05)2 «5,05.
В задачах 14.37—14.46 найти полные дифференциалы
функций. 14.37. 14.38.	z = 2х4 +1/4—х2у3 4- 5ху. z = sin2x-)-cos2i/. 14.39. z=yxv.	
14.40.	z = ^~xv.	14.41. u=x2i/z4.
14.42.	u=y/(xz).	14.43. г=д/3х2-у2+х.
14.44.	2 = arctg (2х-— у).	14.45. z = ctg(t//х). 14.46.	z = 5xt/4 + 2%V. 14.47.	Найти полный дифференциал функции: a)	z = arctg (у/х) при х = 2, z/ = 3, dx = 0,l, dy= — 0,2; б)	z = e*y при х = 1, t/ = 2, dx = — 0,1, dz/ = O,l. В задачах 14.48—14.53 найти приближенные значения. 14.48.	sin 32° cos 59°.	14.49. (l,O2)406.		
14.50. V2,ОЗ2 + 5е0,02 .	14.51. arctg - 1).
14.52. 1,03-9,98.	14.53. 1,942е0’12.
14.54.	Закрытый ящик, имеющий наружные размеры
10 см, 8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной 2 мм. Опре-
делить приближенно объем затраченного на изготовление
ящика материала.
14.55.	Радиус R основания цилиндра равен 3 дм, а его
высота Н равна 10 дм. Как изменится объем V цилиндра,
если R увеличить на 0,05 дм, а Н уменьшить на 0,4 дм?
14.56.	Цилиндрический стакан имеет следующие внут-
ренние размеры: радиус основания /? = 2,5 м, высоту
176
Н — Ь м и толщину стенок /=1 дм. Найти приближенно
объем материала, затраченного на изготовление стакана.
14.57.	В усеченном конусе радиусы оснований R =
= 20 см, г =10 см, высота Л = 30 см. Как приближенно
изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, г — на
3 мм и h уменьшить на 1 мм?
14.5.	Экстремум функции нескольких переменных
Точка Мо называется точкой максимума (минимума) функции f (М),
если существует такая окрестность точки Мо, что для всех точек
М из этой окрестности, отличных от Мо, выполняется неравенство
Функция многих переменных может иметь максимум или минимум
(экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения
функции, в которых все ее частные производные первого порядка рав-
ны нулю или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называются
критическими. Названные условия являются необходимыми условиями
экстремума, но еще недостаточными (они могут выполняться и в точках,
где нет экстремума). Чтобы критическая точка была точкой экстремума,
должны выполняться достаточные условия экстремума.
Сформулируем достаточные условия экстремума для функции двух
переменных. Пусть точка Мо (хо; Уо) — критическая точка функции
z = f(x, у), т. е. f'x(x0, уо)=О и ^(х0, */о)=О, и функция z = f(x, у)
имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности
точки Мо(хо; Уо) -
Обозначим: zxx(x0, у») = Д, гху(х0, у0) = В, z^xo, у0) = С,
& — АС— В2. Тогда:
1)	если Л>0, то функция z имеет экстремум в точке Мо: максимум
при Л<0 (или С<0), минимум при Д>0 (или С>0);
2)	если Л<0, то экстремума в точке Мо нет;
3)	если Д = 0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 14.8. Найти экстремумы функции z=—х2 —
— ху — у2 + 3х + 6у.
Решение. Найти частные производные:
zi=— 2х —1/ + 3, z'y= -х — 2у-\-6.
Для отыскания критических точек составим систему
уравнений	у + 3 = 0 |
,	—х —2r/ + 6 = 0.J
Решив ее, получим х=0, у = 3. Критическая точка
Мо(0; 3). Находим вторые частные производные:
z"=-2, z"=--2, zi;= —1.
Имеем: Д=—2, В= —1, С=—2, откуда Л = ДС —
— В2 = 3>0. Так как Л<0 всегда, то в точке Мо(О; 3)
функция имеет максимум. Значение функции в точке мак-
симума zmax(0, 3)=9.
177
В задачах 14.58—14.67 исследовать функции на эк-
стремум.
14.58.	z = x2-f-t/2H-2x-f-4i/ —6. 14.59. z=2xy — 2х—4у.
14.60.	z=x2-\-xy-\-y2 — 6х — 9у.
14.61.	z=x3-\-3xy2—15х—12у.
14.62.	z = xy[y — х2 — 4/—6х —3.
14.63.	z=2/x-\-x2/y + y.
14.64.	z = 2 — "\/ х2+у2.
14.65.	z = x2-\-y2 — 2 In х—18 In у.
14.66.	z = ex,2(x-\-y2).
14.67.	z= (1 +2х-2у)/д/ 1 +x2+y2.
14.6.	Наибольшее и наименьшее
значения функции
Если функция f(M) дифференцируема в ограниченной замкнутой
области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значе-
ния или в критической точке, или в граничной точке области.
Пример 14.9. Найти наибольшее и наименьшее значе-
ния функции 2 = x2z/(2 — х — у) в треугольнике, ограничен-
ном прямыми х = 0, t/ = 0, x-|-t/=6.
Решение. Найдем критические точки, лежащие внут-
ри данного треугольника. Получим одну критическую точ-
ку Af0(l; 1/2) (см. пример 14.8). Значение функции в этой
точке 2=1/4.
Исследуем функцию на границах области. На сторонах
х = 0 и t/ = 0 треугольника значения функции z равны
нулю. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения
на стороне x-|-z/ = 6. На ней z/ = 6— х (0^'х^б) и
z = 2(x) = —4х2(6 —х). На концах интервала z(0) =
= z(6)=0. Критические точки находим из уравнения
zz (х) =0, — 48х+ 12х2 = 0, 12х (х —4) =0. Отсюда х=4
(так как х = 0— граничная точка). При этом t/ = 2,
z=-128.
Итак, наибольшее и наименьшее значения функции
2 в данном треугольнике надо искать среди следующих
ее значений: 2= 1/4 внутри треугольника в точке (1; 1/2);
2 = 0 на сторонах х=0 и t/ = 0 (в том числе и в вершинах);
2= — 128 на стороне x-|-t/ = 6 в точке (4; 2). Отсюда вид-
но, что наибольшее значение 2=1/4 данная функция
принимает внутри треугольника, в точке (1; 1/2), а
наименьшее 2= — 128 — на его границе, в точке (4; 2).
14.68.	При каких размерах открытая прямоугольная
ванна вместимостью V имеет наименьшую поверхность?
178
14.69.	Стоимость сооружения 1 м2 стен фасада равна
р, а 1 м2 остальных стен — q, стоимость крыши за 1 м2 ее
основания — s. Каковы должны быть соотношения между
длиной, шириной, высотой для углового дома объемом
V м3, чтобы стоимость его стен и крыши была мини-
мальной?
14.70.	Определить, каковы должны быть размеры пря-
моугольного бассейна, чтобы при данной площади его по-
верхности S объем был наибольшим.
14.71.	Палатка имеет форму цилиндра с насаженной
на него конической верхушкой. При каких соотношениях
между линейными размерами палатки для ее изготовле-
ния потребуется наименьшее количество материала при
заданном объеме?
14.72.	Сечение канала имеет форму равнобочной тра-
пеции данной площади. Как выбрать его размеры, чтобы
омываемая поверхность канала была наименьшей?
14.73.	Указать наружные размеры открытого (без
крышки) ящика, имеющего форму прямоугольного парал-
лелепипеда с заданной толщиной стенок р и объемом V,
чтобы на него пошло наименьшее количество материала.
14.74.	Найти стороны прямоугольного треугольника,
имеющего при заданной площади S наименьший периметр.
14.75.	Определить размеры конуса наибольшего объ-
ема при условии, что его боковая поверхность равна S.
В задачах 14.76—14.79 найти наибольшее и наимень-
шее значения функций.
14.76.	z = 3w в круге х2 + //2^2.
14.77.	2 = х24-^2 — 6% + 4г/-|-2	в прямоугольнике
1^х^4, — З^г/^2.
14.78.	z = x2 + 3r/2 + x — у в треугольнике х^О,
у — х^ 1.
14.79.	z = x-\-y в круге х2 + //2^4.
14.7.	Метод наименьших квадратов
Пусть требуется установить зависимость между двумя величина-
ми х и у, например между количеством внесенных удобрений и урожай-
ностью. Результаты п измерений или наблюдений зависимых величин
можно представить в виде табл. 14.1.
Таблица 14.1
X	Х\	Хч	Хз	Хп
У	У\	У2	Уз	Уп
179
Предполагается, что зависимость у от х имеет вид
z/ = f(x, ah a2, ат),
где ai, a2, ..., ат — подлежащие определению параметры.
По методу наименьших квадратов искомые значения параметров
а\, а2, ..., ат дают минимум функции
п
S= Z («/<-/(*;. О], а2... ат))2.
1=1
Если функция f(x, ai, a2, ат) имеет непрерывные частные произ-
водные по всем своим параметрам, то необходимое условие минимума
функции S представляет собой систему т уравнений с т неизвестными;
^-=0,^=0............-^=0.
да, ийп	да
1	2	т
Эта система называется нормальной системой метода наименьших квад-
ратов.
Для функции у = а\Х-\-а2 нормальная система уравнений имеет вид
ai z xt+a2 z *.= t x‘yi'
i=n i=l 'z'		(i4-3)
ai Z */+a2«	= Z yi-
/=1	i=l
Для квадратичной зависимости у — a\x2 + a2x + a^ нормальная систе-
ма записывается так:
ai Z х<+а2 Z х?+аз Z *<= Zу^’
»=1	1=1	1=1	i=l
а> Z х^+а2 Z х<2+аз Z х< = Zу^
1=1	*=1	1=1	/=1
al Z ^ + а2 Z x< +a3n = Z У‘-
1=1	i = 1	1=1
Некоторые функции, нелинейные относительно параметров, путем
логарифмирования можно свести к линейным. Например, у = abx, у — ахь
и т. п. Так, прологарифмировав первую функцию, получим lnz/=lna-|-
H-xlnft. Обозначив T = lnt/, ai = ln6, a2 = lna, будем иметь функцию
T = aiX-|-a2, линейную относительно ai и а2. Эти параметры можно оп-
ределить из системы (14.3), а затем найти а и Ь: а = еа2, Ь = еО{.
Пример 14.10. Рост производства химволокна по годам
представлен табл. 14.2.
180
Т а б л и ц а 14.2
Год х	1-й	2-й	3-й	4-й
Количество химволок- на у, тыс. т	623	676	746	829
Предполагая, что у = ах-\-Ь, найти параметры этой за-
висимости по методу наименьших квадратов.
Решение. Для составления нормальной системы
(14.3) необходимые результаты вычислений занесем в
табл. 14.3.
Таблица 14.3
i	Xi	yi	X?	Xiyi
1	1	623	1	623
2	2	676	4	1352
3	3	746	9	2238
4	4	829	16	3316
	10	2874	30	7529
Нормальная система уравнений (14.3) в этом случае
примет вид
30а +Ю6 = 7529,1
10а+ 46 = 2874.)
Решая эту систему, получаем а = 68,8, 6 = 546,5. Следо-
вательно, искомая эмпирическая формула имеет вид
f/ = 68,8x +546,5.
Не существует общего правила для выбора подходящего вида эм-
пирической формулы. Для наиболее часто встречающихся зависимостей
с двумя параметрами эмпирическую формулу можно выбрать с помощью
табл. 14.4.
Для проверки пригодности выбранной эмпирической формулы, ис-
пользуя исходные данные, находят значения xs и ys. Затем сравнива-
ют ySt соответствующее xs в исходных данных, со значением ys. Если
xs не находится среди исходных данных xif то соответствующее значение
можно определить с помощью линейной интерполяции
y^yi+ !'+!~7'
Xi+\—Xi
где х^ х,+\_— промежуточные значения, между которыми содержится
х$ (х,.<х5<х/+1).
181
Таблица 14.4
Вид эмпирической формулы	X,	Ух
У=ах+Ь (I)	(х,+х„)/2	(</14-</«)/2 У=ахь	(П)	-\/х1Х„	V у ii/n y = ab\ y=aef‘ (P = lnd) (III) (х,+х„)/2	-^/у1у„ У=у+Ь (IV) X	Xi Хп	Z 		1	Xi хп	2у\Уп У~ ах + Ь	' ’	2	У^+Уп X	2Х|Х„ У	ах + Ь	1	xi+x.	yi+Уп y — a\gx + b (VII)	-\jxixn	(.Ух+Уп)/^		
Если величина |£s — Z/s | большая, то соответствующая эмпирическая
формула непригодна.
Рекомендации, изложенные для выбора эмпирических формул
I — VII, пригодны только в том случае, когда в исходных данных xl+l —
— х,->0, a yi+\—yi обладает постоянным знаком.
14.80.	Данные опыта приведены в табл. 14.5.
Таблица 14.5
X	0	1	1,5	2,5	5
У	0,2	0,8	1,6	2,4	5,0
Полагая, что х и у связаны зависимостью у — ах-\-Ь,
найти а и Ь способом наименьших квадратов.
14.81.	Имеются данные о выпуске меховой продукции
на фабрике за 7 лет (табл. 14.6). Найти параметры функ-
ции у=ах-\-Ь, выражающей динамику роста за каждый
год.
Таблица 14.6
Год, х	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й
у, млн р.	6,3	9,5	13,9	16,1	20,2	24,1	26,8
182
14.82. В табл. 14.7 приведены результаты измерений
значения признака у при различных значениях при-
знака х.
Таблица 14.7
X	2,7	4,6	6,3	7,8	9,2	10,6	12,0	13,4	14,7
У	17,0	16,2	13,3	13,0	9,7	9,9	6,2	5,8	5,7
Предполагая, что у = ах-\-Ь, найти а и Ь по методу
наименьших квадратов.
14.83.	Темпы роста у производительности труда по
годам в промышленности республики приведены в табл.
14.8.
Таблица 14.8
X	1	2	3	4	5	6	7	8
У	100	156	170	184	194	205	220	229
Предполагая, что зависимость у от х линейная:
у =	+ найти а и Ь.
14.84.	Данные опыта приведены в табл. 14.9.
Таблица 14.9
X	0	2	4	6	8	10
У	5	-1	0,5	1,5	4,5	8,5
Полагая, что хну связаны зависимостью у = х2-\-
А-Ьх-{-с, найти а, &, с методом наименьших квадратов.
14.85.	При исследовании некоторой химической реак-
ции через каждые 5 мин определялось количество А веще-
ства, оставшегося в системе. Результаты измерений приве-
дены в табл. 14.10, где t—время после начала реакции
(в минутах), А — количество вещества (в процентах).
Таблица 14.10
t	0	7	12	17	22	27	32	37
А	100	87,3	72,9	63,2	54,7	47,5	41,4	36,3
183
Полагая, что t и А связаны между собой зависимостью
A = at2-\-bt-\-c, найти параметры а, Ь и с методом наи-
меньших квадратов.
В задачах 14.86, 14.87 найти параметры эмпирической
формулы у = ах2А~ЬхА-с по результатам измерений.
X	1	2	3	4	5
У	2,9	8,9	19,1	33,2	50,8
14.87.	X	— 2	— 1	0	1	2	3
	У	-2	-3	-3	— 1	3	7
14.88. Подобрать показательную кривую, отвечающую
данным следующей таблицы:
X	0	1	2	3	4	5	6
У	45,5	48,5	55,8	65,7	86,0	96,3	105,0
III. ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И РЯДЫ
15.	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
15.1.	Первообразная, неопределенный интеграл
и их свойства
Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (а; Ь). Если
функция F(x) имеет производную на интервале (а; Ь) и для всех
хЕ (а; Ь) выполняется равенство F'(x)=f(x), то функция F(x) назы-
вается первообразной функции f(x) на интервале (а; Ь).
Если F|(x) и F2(x) —любые две первообразные функции f(x) на
интервале (а; Ь), то для всех х£ (а; Ь) выполняется равенство F2(x) =
= Fi(x)+C, где С — некоторая постоянная.
Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале (а; Ь)
называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интер-
вале и обозначается Jf(x)dx, т. е.
J f(x)dx = F(x) -f-с (а<х<6),
где С — произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1)	\fMdx) = f(x)dx;
2)	\d(F(x))=F(x)+C-,
3)	J (f(x) ±g(x))dx — \f(x)dx±\g(x)dx;
4)	J af (x)dx—a J f (x)dx (a = const; a=#0).
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов.
с	•+1
1.	\xadx=----—+С (а=^-1).
J	а +1
Sdx
— =ln|xl+C (х=/=0).
X
3(а>0> а=#=1; ^xdx=ex+c).
4.	sin х dx= — cos х-|-С.
5.	cos х dx = sin x + C.
6.	(—=tgx + C fx=#-£-+nn;nez\.
J coszx	\	2	/
7.	( —ctgx + C	n£Z).
J sin x
185
8.	( —г	- = arcsin —Д—|-С= — arccos —:—|-С (а#=0;
J д/а2_х2	|а|	|а|
— |а| <х< |а|).
9.	(	= — arctg — +С=------f-arcctg—4-С (а#=0).
J х +а а а	а а
,п f dx 1	| х—а |
J TZ^ = ^7lnl 7+У| +C (“#=0; |х|=#=|а|).
11. ( —-----=ln|л + л/*24~а I 4-C (а=#0; д^+оО).
J Ух2+а
Пример 15.1. Найти интеграл \ ——dx.
J хг— 1
Решение. Имеем
( ~^dx= \ ^ll+Ldz = (	+
J X2—1 J x2-l	J *4-1
+ у In I 4тт| +C= у- + у ln I^4*11 +
Xi	| Л “у 1	|	1	X	X
1	y2 i
+ yln|x-l|+C=^- + yln|x2-l|+C.
Можно привести и другое решение:
S?^=[x’:<x!-1)=x+-?h-]=
“ 5 (Jt+ ?гг) $"'*+ т J =
Пример 15.2. Найти интеграл j cos Axdx.
Решение. Находим
cos 4xdx= у cos 4x-4dx =
= у ( cos 4xd (4x) = y sin 4x + C.
• 186
Пример 15.3. Найти интеграл			x3dx
		' Vl—x8	
Решение. Запишем:			
	x3dx 	С	x3dx			1 r	4x3dx 	
) дЛ-х8	} л/1 —(X4)2		4 J	Vl-(x4)2
		If d(x4)	_ 2	-arcsin x4H-C.	
	4 J лЛ-(х4)2	4		
В задачах 15.1 —15.64 найти		интегралы.	
15.1.	J V*	15.2.	
15.3.		15.4.	f 3x+1 — 5	. \ 	dx. J	15х
15.5. 1	* dx | х + 5-	15.6.	tg2 xdx.
15.7.	ctg2xdx.	15.8.	sin2ydx.
15.9.	i cos2 у dx.	15.10.	J(2x-3)"dx.
15.11.	Г	dx	15.12.	Г	dx
	j V3-4*’		J (2x+1)3/2‘
15.13.	3 - .	— Г У'-2. + /^	15.14.	C
			
	J	1 —x		J l+4x2
15.15.	f	dx	. \ —г		 dx. J V 4x2 — 1	15.16.	( d*
			J V 1 — 4X2
15.17.	j (e~x + e~3x)dx.	15.18.	sin 5xdx.
15.19.	Г dx	4	15.20.	Г	dx
	J sin22x				J 1+cosx
			
15.21.	Г	dx	15.22.	Г dx
	j 1— cosx’		j l+sinx‘
			
15.23.	Г xdx	15.24.	^xy[ 1 +x2 dx.
	J V*24-l		
15.25.	Г xdx	15.26.	Г xdx
	J 3—5x?'		J (x2—I)3
15.27.	f x2dx	15.28.	Г	dx
	J Vx6-1		J (1+х)д/х‘
187
15.29.	Г	1 dx	15.30.	Г	dx
	\ COS	-.		
	J	X X2		J x у * + 1
15.31.	Г	dx	15.32.	f	xdx
			J (1-x2)3/2’
	J л! 2	1		
	J x V x — 1		
15.33. '	'	x3dx	15.34.	tg xdx.
	J (8x4+ 125)2/3‘		
15.35.	ctg xdx.	15.36.	Г	dx
			J	+x)
15.37.	r e*dx	15.38.	f dx
	j 2 -|- ex		J X In X
			
15.39.	sin3 x cos xdx.	15.40.	cos4 x sin xdx.
15.41.	r sin x-1-cos x	. \ —r=== dx. J л/sinx — cosx		
15.42.	f	sin x cos xdx		
	J V a2 sin2 x — b2 cos2 x f	sin x . \	)	dx.	15.44.	C dx
15.43.			
	J \ cos 2x		j sin x ’
15.45.	f dx	15.46.	Г	dx
	J cos x ’		' V 1 — x2 arcsin x
			
15.47.	f	dx	15.48.	f cos xdx
	J sin x-yctgx		j -^2-|-cos2x*
			
15.49. 1	Г x2dx	15.50. '	3 p—— ix2y 1 +x3 dx.
	J >+*		
15.51.	f	xdx	15.52.	f	dx
			 —
	J x4 + 2x2 + 2		J x2 + x —2
15.53. 1	Г	xdx	15.54. |	i sin x sin 3xdx.
	) (x+2)(x + 3) ’		
15.55.	cos 5x sin 2xdx.	15.56.	sin3 xdx.
15.57.	cos3 xdx.	15.58.	J sin4 xdx.
15.59.	cos4 xdx.	15.60.	cos 4x cos 2xdx.
15.61.	\ cos cos dx.	15.62.	Г	dx
			1.9	2
	J	2	3		J sin X COS X
15.63.	C	dx	15.64.	Г	dx
	Ж	—	ж		\	. 9
	j sin x cos2 x		J COS X sin X
188
15.2. Основные методы интегрирования
Интегрирование заменой переменной (подстановкой). Пусть
функция / = <р(х) определена и дифференцируема на множестве |х}, пред-
ставляющем собой либо интервал, либо открытую полупрямую, либо
прямую, и пусть {/} обозначает множество значений этой функции. Тогдэ
если для функции g(t) существует на множестве (/} первообразная
функция G(t), т. е. J g(t)dt = G (/) + G, то на множестве {х} для функ-
ции g(q>(x) )<р'(х) существует первообразная функция, равная
G(<p(x)), т. е.
jg(<pW)q>'(*M.v=G(<p(x)) +С.
Интегрирование по частям. Если функции и(х) и у(х) дифференци-
руемы на множестве (х) и, кроме того, на этом множестве сущест-
вует интеграл J vdu, то на нем существует и интеграл J udv, при-
чем \ udv = uv — \ vdu.
Пример 15.4. Найти интеграл J х2 д/ 1 — х dx.
Решение.
Jх21 — х dx = [\/l —х =t, 1—х=/3, х=1—/3,
dx = — 3t2dt] =j(l -Z3)2 t( — 3t2)dt=—3\ (/3-2/6+
/ 3 f7 /|0\
+ /9)Л==_30__22_ + 2_) +с=
=- 4 Vu-*)4+7 V(‘-*)7 - 4 Vo-*)10+
+ С=--^\Г(Д-х)< (35-40(1 -Х) +14(1 —х2)) +
+ С=--^^ (1-хГ (9+ 12х+ 14х2) +С.
Пример 15.5. Найти интеграл J cos 4xdx.
Решение.
cos 4xdx = ^4x = t, 4dx = dt, dx—-±-dQ =
= ( cos t4~dt= 4- cos tdt= 4-sin t-\-C= 4"sin 4% + C.
J 4	4 J	4	4
SxP'dx
Vl—x6
Решение.
( —= Гх3 = /, 3x2dx = dt, x2dx= A-d/l =
j V7Z7 L	3 J
189
— (
3 J
—f^~	= 4гarcsin t-\-C = 4~ arcsin x3-f-C.
V1-?	3	3
Пример 15.7. Найти интеграл ( ——dx.
' 1+fc
Решение.
Пример 15.8. Найти интеграл j sin5 х cos5 xdx.
Решение.
sin5 х cos5 xdx = sin5 x cos4 x cos xdx =
= sin5x(l —-sin2*)2cos xdx=[sin x = t, cos xdx = dt] =
Se	r	/6	,8 ПО
/5(1 -t2)2dt = ( (/5-2/7 + /9)Л= -L -24- + 4- +
j	О	О	1U
+ C= ±sin6x-----^-sin8x+ -4- sin,ox+C.
o	4	10
Пример 15.9. Найти интеграл (	—.
1 о sin X
Решение.
( о— =ftg 4 =^> х—2 arctg t, dx= -М.-,
J 3+sinx |_ s 2	&’	1+/2.
-in x==	2 tg (x/2)	2t -| Г	2dt_________
1+tg*(x/2) i-И J (1+?)^3+2L)
190
— ( 2dt —AC dt —
~~ J 3/24-2/4-3 ” 3 J /2+ (2/3)/4-1
_	_____dt________ 2_	3	.	3(Z-|-1/3)
3 j (/-|-1/3)2-|-8/9	3 2V2arCg 21/2
=Aarctg^A+c= A arctglll^f±1
Пример 15.10. Найти'интеграл }x2e~xdx.
Решение.
x2e~xdx = \u = x2, dv = e~xdx, du = 2xdx, v =—e~x] =
= —x2e~* + 2^xe~xdx = [u = x, dv = e~xdx, du = dx,
v = —e~x]= — x2e~x—2xe“x+2^ e~xdx = — x2e~x—
— 2xe-x—2e~x+C=—e-x(x2 + 2x + 2)+C.
Пример 15.11. Найти интеграл
Решение.
С 2i 1—*
\ х In ——
dx.
u=ln , 7-, dy = x2dx,
, l-|-x —2dx	2dx	x3
du =------------ =------r, v= v
1—X (1+x)2	1—x2	3
x3 .	1—x . Г x3 2dx
= TTln
x3
= —In
3
x3 .	1 —X
=V,n T+x
=4,n4^-P- 4inix2-n+c.
Пример 15.12. Найти интеграл д/ a2-^x2 dx.
Решение.
2 Г x3dx
3 J x2-l
dx —
a2 — x2 dx =
a2 — x2, dv = dx, du=--------
v = x
9	2
a —x
a2 — x2
191
+ a2 arcsin + С (a =#= 0).
В задачах 15.65—15.109 найти
интегралы, применив
подходящие подстановки.
15.65.	Q С J sin X	15.66.	Г	In xdx
			J x V1 —4 In x — In2 x
15.67.	sin6 х cos xdx.	15.68.	f 	In xdx
			J x-\/l+lnx‘
15.69.	C dx	15.70.	д/ l — jc2 dx.
	J Vl+e*		
15.71.	Г	dx	15.72.	Г dx
	У (x2 + a2)3'2'		J x д/х— 1 *
15.73.	~\j a2+%2 dx.	15.74.	f	dx
			J xV*2+l
15.75.	J д/24-х—x2 dx.	15.76.	д/24-х4-х2 dx.
15.77.	C	dx	15.78.	f 1-V7TT , \	*	dx. J i + Vt+t
	j xVx2—1		
15.79.	f dx	15.80.	x—x2 dx.
	j 1 + V*’ Г xdx		
15.81.		15.82.	^х2д/х34-1 dx.
	J (l-x2)2'		
15.83.	^x3"\/x2 — 1 dx.	15.84.	C dx
			J l+д/х+т'
15.85.	Г	д/х dx	15.86.	f	dx
	j *(v* + V*)		J x2 V*2 — 1
15.87.	xe~x2dx. f dx	15.88.	f dx
			J l+e3x‘
15.89.		15.90.	^хд/l +x dx.
	j		
15.91.	Г	dx	15.92.	Г e2xdx
	J +		Vl+ex
192
15.93. J	In 2xdx	15.94. J	dx
	х In 4х *		x In x In In x ’
15.95. J	dx	15.96.	dx
	cos x *		sin x ‘
15.97. J	sin 2xdx 25 sin2 x 4- 9 cos2 x	.15.98. J	cos In xdx X
15.99.	Г arctg д/х dx	15.100.	f sin xdx
	j (1+*) v*		J 1 4- cos x ’
15.101.	I tg xdx.	15.102.	ctg xdx.
15.103.	[ ctg3 xdx.	15.104.	SV
15.105.	Г	dx	15.106.	Г	dx
	J 2 sin x — cos x4-5 ’		j 3 sin x4-4 cos x4-5 ’
15.107. 1	[ tg5 xdx.	15.108.	Г dx
			j 2 4-sin x ’
15.109.	Г	dx		
	j 2-p cos x *		
В задачах 15.110—15.142 найти интегралы, применив
метод интегрирования по частям.
15.110.	J In xdx.	15.111.	j x2 In xdx.
15.112. 1	Г In x , ( —T^-dx. J x3	15.113.	^д/х In2 xdx.
15.114. 1		15.115.	jxe~xdx.
15.116.	x2e3xdx.	15.117.	^xe-2xdx.
15.118.	x sin xdx.	15.119.	x2 sin 2xdx.
15.120.	x cos 3xdx.	15.121.	J (x2+ l)sin 2xdx.
15.122.	arctg xdx.	15.123.	arctg д/х dx.
15.124.	Je^dx.	15.125.	J arcsin xdx.
15.126.	cos (In x)dx.	15.127.	sin (In x)dx.
15.128.	\ x arctg xdx.	15.129.	\ x2 arcsin xdx.
7 А. В. Кузнецов и др.
193
15.130.	j (arcsinx)2dx.	15.131.	j x sin д/5с dx.
15.132.	J arcsin y[x dx.	15.133.	д/ 16 —x2 dx.
15.134.	J V *2 + a dx.	15.135.	e2x sin xdx.
15.136.	(ex—cosx)2dx.	15.137.	g" cos bxdx.
15.138.		15.139.	Г In X J \ —r“X.
	J cos2 X		J x2
15.140.	ex/2 sin 2xdx.	15.141.	r arcsin д/х j \ —dx.
			J ^\—x
15.142.	(ex-\-x)2dx.		
15.3. Определение определенного интеграла,
его свойства.
Формула Ньютона — Лейбница
Пусть на отрезке [d; ft] определена некоторая функция f(x).
Будем говорить, что задано разбиение отрезка [a; ft], если заданы
точки хо, Xi, х«, такие, что a=x0<xi < ...<xn-i <xn = b. Разбиение
отрезка [a; ft] будем обозначать {xj. Отрезки [x*_i; xj называются
частичными отрезками. Число d= max Дхь, где Дх* = х* —x*_i, назы-
k = 1, п	•
вается диаметром или мелкостью разбиения (х*).
На каждом частичном отрезке выберем произвольные точки
£*€[**—и л].
По данному разбиению (х*) построим сумму
°(х*. U = Z
6=1
которая называется интегральной суммой или суммой Римана.
Число А называется пределом интегральных сумм ст (х*, £*), если для
любого е>0 существует такое б = б(е) >0, что для любого разбиения
(х*), мелкость которого d<6, и при любом выборе £*€[х*_1; х*] выполня-
ется неравенство
t Н5*)ДХ*-Л| <е.
Для обозначения предела интегральных сумм применяют запись
Л= lim о(хл, lk).
d->0
Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на отрезке
[a; ft], если для данной функции на указанном отрезке существует предел
А ее интегральных сумм о.
194
Число А называется определенным интегралом от функции f(x) на
ь
отрезке [а; Ь] и обозначается ^f(x)dx.
а
b
Выражение ^f(x)dx читается так: «интеграл от а до b f(x)dx*\
а
х называется переменной интегрирования, f (х) — подынтегральной функ-
цией, а — нижним, а b — верхним пределами интегрирования, отрезок
[а; <>] — промежутком интегрирования. Значит,
ь
f(x)dx— lim a(xk,
J	d-»-0
a
Свойства определенного интеграла:
ь	ь	b
1)	\f(x)dx=\f(t)dt=
a	a	a
2)	\f(x)dx=0;
b
a	b
3)	\f(x)dx=-\f(x)dx-,
b	a
b	b	b
4)	$ (af(x)+pg(x))dx=a $ f (x)dx+fi^ g(x)dx, (a€R; ₽£R);
a	a	a
b	c	b
5)	\f(x)dx= \f(x)dx+ \f(x)dx\
a	a	c
b
6)	\f(x)dx=f£)(b-a) (5e[a; ft])-
a
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; д] и F(x) —какая-
нибудь первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива форму-
ла Ньютона — Лейбница
ь
^f(x)dx==F(x)\b — F(b) — F(a).
а
л/2
Пример 15.13. Найти интеграл j cos 3xdx.
о
Решение.
л/2	л/2
о л 1
cos 3xdx = —
о
1	.	। л/2
cos Зха(Зх) = у sin Зх
195
1.3л	1 • n 1
= Ts,n^--Tsin0=-T
1
Пример 15.14. Найти интеграл ( -- -d~-.
j xz —x — 2
Решение.
i	i
C	dx ____ Г	dx _____
J x2 —x —2 ~ J (x—1/2)2 —9/4 —
__ 1 2 , I x—1/2 —3/2 I । J  1 . I x— 2 I I * 
"ТУ1П| x-1/2 4-3/2 I I o~ Т1П I x+1 I I o“
= 4- In v — V ln 2= — V ln 2-
o z <5	о
В задачах 15.143—15.167 найти интегралы.
15.143.	8 С Зг~ \ ух dx.	15.144.	Л sin xdx.
15.145.	-1 1 3 J (V* + y[x^)dx.	15.146.	0 0 f \	2
15.147.	0 1/2 Г	dx	15.148.	J COS X — л/4 2 ^2xdx.
	1	г	 •		
15.149.	J Л/1-х2 -1/2 V Г x2dx	15.150.	0 е3 Г dx
15.151.	J 1+х6‘ Я cos2 xdx.	15.152.	j х In х * е2 л sin2 xdx.
15.153.	— я 1 Г	dx	15.154.	— л [ х2 + 3 . \ 	~тгах.
15.155.	J 4х24-4х-|-5 3 Г	dx	15.156.	j х — 2 2 Г 2х—1 . \ 	7~dx.
	J х2—2х—в’ 1		J 2x4-1 2
15.157.	Г	dx	15.158.	Г	dx
	' V*2 4-2x4-2		3)4 V2+3X-2X2'
196
15.159.	f cos(lnx) dx. J x	15.160. J	dx
			x (1 -|-In2 x)
15.161.	1 f dx	л/4 15.162. J 0 л/2	cos3 xdx.
	J 0 i		
15.163.	Г xdx	15.164. J 0 л	sin x cos2 xdx.
	о Vl-x2' 6		
15.165. 15.167.	—2 dx. \ sin2 x cos xdx.	15.166. j	tg2ydx.
о
15.4. Замена переменной и интегрирование
по частям в определенном интеграле
Если <р: [а;	— непрерывно дифференцируемое отображение
отрезка	в отрезок а^х^Ь, такое, что ф(а)=а и ф(р)=6,
то при любой непрерывной на отрезке [а; д] функции f(x) функция
/(ф(О)ф'(О непрерывна на отрезке [а; р] и справедливо равенство
ь	?
\f(x)dx=\f(<p(t))<p'(t)<it.
а	а
Если функции и(х) и у(х) имеют непрерывные производные на
отрезке [а; д], то справедлива следующая формула интегрирования
по частям:
b	ь
I f
udv=(uv) — \vdu.
а	а
Пример 15.15. Вычислить интеграл
1
х15"\/ 1 +3х8 dx.
о
Решение.
1
$х,5д/1+Зх8 е/х=[лЛ+3*8 = /, 1+Зх8 = /2,
О
24x7dx — 2tdt, x7dx = -±rtdt, х8=	(t2 — О.
1Л	о
197
2
x=O=^=l, x=i=>t=2]= ( у (/2—1) t- ~^t<it =
1
— 1 /25	23 _____L I _L\ — 29
36 \ 5	3	5 *” 3/	270*
16
Пример 15.16. Вычислить интеграл -\[x In xdx.
1
Решение.
16
д/х In xdx = £u = ln x, б/и=д/х dx, du=—dx9
16
v= -^-x3/2l= ^-x3/2lnx I 16— — (x3/2 — dx=
3 J 3	113 1 x
16
=	(163/2ln 16-In 1) -	( x'/2dx = -|-43ln 16—
О	О 1	о
_/|ухз/2|-=_1211п16_|(16з/2_1) =
128 . 1С 4 со 128 ,	'
= —z-ln 16— — -63= -т— In 16 — 28.
о	У	о
1/2
Пример 15.17. Вычислить интеграл \ arcsin xdx.
о
Решение.
Y2
J arcsin xdx=[«=arcsin х, dv = dx,
j	1 j
du= —dx, v=x
X arcsin x I у2+ V1 —x2 | ‘/2=
= ±arcsin4 + A/|	=	+
I 1/2
= x arcsin x
I 0
198
В задачах 15.168—15.200 вычислить интегралы.
1
15.168.	*2 dx.
о
л/3
15.169.	(х2 sin 5%4-cos у +tg3x) dx.
— л/Ъ
in 2		П./А	
15.170.	j xe~xdx. 0 i	15.171.	\ x sin 2xdx. 0 2
15.172.	arccosxdx. 0 2л	15.173.	xex*dx. 0 3
15.174.	J x2 cos xdx. 0	15.175.	arctg -y/x dx. i
15.176.	e Г	dx	15.177.	J e2x+1 4
	\ X д/ 1 -|- In x ’ л/2		
15.178. 15.180.	f	dx	15.179.	f	dx
	\ 2 — sin x * л/2 f	dx		хд/25—JC2
а
15.181. jx2ya2-x2 dx	(a>0).
0 -2	л/2
15 182 ( 		 - -	1^1	1 Ч1П Y <Jn 9 ¥</ Y
1 Me 1	•	1	r— -  - • J3 xVx2—I	lUilOu. 1 Olli X olll 0
2	
15.184. ^x2 In xdx.	15.185. \ x arctg xdx.
15.186.	J ex cos2 xdx. 0 1	—-	15.187. 1 -1 2 15.189. j	xdx
			x2 + x-|- 1
15.188.	Г V 1—x2 . ) г dx- V2/2		V*2—1 j —	dx. X
199
5	2л
15.190.	Г	dx	15.191.	f	dx
	1 2х+73х+Г		j 5 — 3 cos x *
	1		л/2
15.192.	j x3e2xdx.	15.193.	x cos xdx.
	4		Л
15.194.	Г dx	15.195.	sin xdx. 0
	J i + V^’ 0		
15.196.	1 f dx	15.197.	4 Г xdx
	ex4-e~x		) V2+4x‘
	In 2		1 	
15.198.	y[ex— 1 dx.	15.199.	л/4—x2 dx.
15.200.	4	9 r	x2dx		
16-х2
15.5.	Приложения определенного интеграла
в геометрии и экономике
Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах
уравнением y = f(x) (f(x)^O), то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя прямыми х = а и х=Ь и отрезком
оси абсцисс а^х^б (рис. 15.1), определяется формулой
ь
S=\f(x)dx.
а
Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y = f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х — Ь,
вокруг оси Ох (рис. 15.2), выражается формулой
ь ь
V=л J y2dx=л J f2(x)dx.
200
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, огра-
ниченной кривой x—g(y), осью Оу и двумя прямыми у —с и y=d, можно
определить по формуле
d	d
V=n J x2dy = n J g2(y)dy.
c	c
Длина дуги гладкой кривой y=f(x) между двумя точками с абсцис-
сами х=а и х = Ь
* .------
/= J V 1 +/2 dx.
а
Пример 15.18. Найти площадь фигуры, ограниченной
параболой t/ = x2 — 2x + 3, касательной к ней в точке (3; 6),
и осями координат (рис. 15.3).
Решение. Найдем уравнение касательной к пара-
боле в точке (3; 6). Угловой коэффициент касательной
k = y' (3) =4. Воспользуемся уравнением прямой у~Уо =
— k(x — хо). Значит, уравнение касательной имеет вид
г/ —6 = 4(х —3)=>г/ = 4х—-6.
Найдем координаты точки с:
у = 4х — 6, (х = 3/2,
t/ = 0	=
Определим площадь заштрихованной фигуры:
S = \(x2-2x + 3)dx— $ (4х—6)dx=
= (х3/3 —х2+3х) I 3- (2х2—6х)|3/2=
= 9—94-9-184-18 + 9/2-9=9/2 (кв. ед.).
201
Пример 15.19. Найти объем тела, образованного при
вращении астроиды х2/3 + */2/3 = я2/3 вокруг оси Ох
(рис. 15.4).
Решение. Астроида симметрична относительно осей
Ох и Оу, поэтому искомый объем равен удвоенному объ-
ему тела, получаемого при вращении заштрихованного
криволинейного треугольника ОАВ вокруг оси Ох. На-
ходим
V=2л (а2/3 —- х2/3) 3dx=2л (а2х — За4/3 -|- х5/3 +
+ 3aWix”’-	I =!»(«- |<?+
।	9 з 1 з\ 32 з /	\
+ Та - -за ) = юГла <кУб-ед )-
Пример 15.20. Найти длину астроиды x2/3 + t/2/3 = a2/3.
Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, име-
ем у'= —у[/3/х[/3. Найдем четверть длины астроиды, т. е.
а
^l^l+y^/x2'3 dx=
о
al/3x-l/3jx= $_а
Значит, Z = 6a.
Пример 15.21. Найти среднее значение издержек
К(х) =2х2 + 3х+1, выраженных в денежных единицах,
если объем продукции х меняется от 0 до 4 единиц. Ука-
зать объем продукции, при котором издержки принимают
среднее значение.
Решение. Согласно теореме о среднем значении,
ь
а
называется средним значением функции на отрезке
[а; Ь]. В нашем случае
/(g) = | J (2х2+3х+l)dx= ±(х3+ ±х2+х) | ;=
= ±(64 + 24 + 4) =23 (ден. ед.),
202
т. е. среднее значение издержек равно 23. Определим,
при каком объеме издержки принимают это значение.
Для этого решим уравнение
2х2+3х+1=23ч>2х2 + 3х — 22 = 0.
Учитывая, что объем продукции не может быть отри-
цательной величиной, из последнего уравнения имеем
£ = х =---------- (единиц продукции).
Пример 15.22. Определить объем продукции, произве-
денной рабочим за второй час рабочего дня, если произ-
водительность труда характеризуется функцией
2
37+4 +3-
Решение. Если непрерывная функция f (/) характери-
зует производительность труда рабочего в зависимости от
времени /, то объем продукции, произведенной рабочим
за промежуток времени от t\ до /2, будет выражаться
формулой (согласно определению определенного инте-
грала)
В нашем случае
2
V=j(^+3)<«=(4ln|3(+4l+3f)|;=
= тг 1п Ю-— In 7-1-6 — 3= — In ——1-3.
о	о	о /
В задачах 15.201 —15.223 найти площадь фигуры, огра-
ниченной заданными кривыми.
15.201.	t/ = sinx, у = 0 (О^Сх^Сл).
15.202.	у=\/ху у = 0, х = а, х = Ь	(а> Ь>0).
15.203.	у = е~х, х = 0, t/ = 0, х = а.
15.204.	у= ух2, у = 2 — у х.
15.205.	у=2х—х2, у=х.
15.206.	у = х—л/2, y = cosx, х=0.
15.207.	y = sinx, y=cosx (0^х^л/4).
15.208.	у = ах, у —а, х=0	(а>1).
203
15.209.	у = |logax|, y = 0, x—l/a, x=a (a>l).
15.210.	u = tgx, y=(2/3) cosx, x=0.
15.211.	y=-x\ y=x*-2x-4.
15.212.	y= —, y=|x|, x>—2.
15.213.	i/ = sin2x, i/ = sinx	(л/З^х^л).
15.214.	y=p,
15.215.	2i/=x2, x2 + i/2 = 4(/, 2г/^x2.
15.216.	t/ = xa, (/==x-a, x = a	(a>0; 0<a<l).
15.217.	t/=xa, i/ = x1/a (x>0; a>l).
15.218.	i/2 + x = 4, r/2 —3x=12.
15.219.	1/=д/х, i/ = x —2, x = 0.
15.220.	x2 + i/2 = 2, i/2 = 2x—1, x>1/2.
15.221.	y = arcsin x, (/=arccosx, y = 0.
15.222.	i/ = 2x-3+ 1, (/ = 23"x+l, t/=l,5.
15.223.	y= In (x + 6), i/ = 31nx, x = 0, t/ = 0.
15.224.	Найти площадь фигуры, ограниченной астрои-
дой x2/3 + t/2/3 = a2/3.
15.225.	Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой i/ = x2 + 4x + 9 и касательными к ней, проведенными
в точках с абсциссами Xi=—3 и Хг = 0.
15.226.	Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой t/ = 4x—х2 + 1 и касательными к ней, проведенными
в точках с абсциссами Xi = 0 и Хг = 3.
15.227.	Найти площадь фигуры, ограниченной эллип-
сом х2/а2 + у2/Ь2 = 1.
15.228.	К параболе в ее вершине А проведена каса-
тельная. Из точки В параболы проведен перпендикуляр
ВС на эту касательную. Доказать, что площадь парабо-
лического прямоугольного треугольника АВС равна аЬ/3,
где а = АС, Ь = ВС.
15.229.	В каком отношении парабола j/2 = 2x делит
площадь круга х2 + (/2 = 8?
15.230.	К эллипсу х2/а2 А-у2/Ь2=1 проведена каса-
тельная в точке С(а/2; Ьд/3/2). Найти площадь кри-
волинейного треугольника ЛВС, где Л (а; 0) —вершина
эллипса, а В — точка пересечения касательной с осью Ох.
15.231.	Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой у = х2 и нормалью к ней, проведенной через точку
параболы с абсциссой х=1.
15.232.	Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой у2 = 2х и нормалью к ней в точке (2; 2).
204
15.233.	Найти площадь криволинейного четырехуголь-
ника, ограниченного дугами эллипсов
х2 । у2 . х2 . у2 . z -V
15.234.	Найти площадь фигуры, ограниченной гипер-
болой ху = 3 и прямой, проходящей через точки (1; 4),
(0,5; 6).
15.235.	Круг х2 + (/2^75 разделен гиперболой х2/12 —
— (/2/100=1 на три части. Найти площадь средней части.
В задачах 15.236—15.251 найти объем тела, образо-
ванного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограни-
ченной данными кривыми.
15.236.	у2 = 2рх, t/ = 0, х—а.
15.237.	xt/ = a2, г/ = 0, х = а, х = 2а.
15.238.	i/ = sin2x, 0^х^л/2, i/ = 0.
15.239.	у= 1/(а2 + х2), t/ = 0, х = 0, х = а.
15.240.	t/ = x, i/=l/x, t/ = 0, х = 2.
15.241.	i/ = sinx, i/ = cosx, t/ = 0	(0^х^л/2).
2	2	2
15-2«- К + ,9 =1^'- ’5='	(*>»)•
15.243.	2ру = х2, 2qy=(x—а)2, у=0.
15.244.	у = 2х, у = 2 — log2 х, х=0, у = 0.
15.245.	-4 —-4 = 1, x = a + h.
а	b
15.246.	4- 4 = -1> \x\=h-
аг	bz
х?	и2
15.247.	^ + 4=1.
а	b
15.248.	(x-R)2+(y — R)2 = R2, х = 0, у = 0 (x^R,
y<R).
15.249.	y2 — 2xt у = 2, х = 0.
15.250.	i/ = x, i/=l/x, х=3.
^2	,.2	л л
В задачах 15.252—15.260 найти объем тела, образо-
ванного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограничен-
ной данными кривыми.
15.252.	xy = k\ у = 0, x=at х = Ь (Ь>а>0).
15.253.	у = 2х — х2, (/ = 0.
15.254.	i/ = sinx, 0^х^л/2, t/=l, х = 0.
15.255.	i/ = cosx, 0^х^2л, у=\.
205
15.256.	у2 = 4х, у=х.
15.257.	у = arcsin х, У = 0, х=1.
15.258.	2ру=(х — а) , 2ру=а2.
2	2
15.259.	-^- + Л- = 1-
а2	Ь2
15.260.	у = ех + 6, у = е2х, х=0.
15.261.	Плоскость, перпендикулярная к оси параболои-
да вращения, отсекает от него сегмент, радиус основания
которого г и высота h. Найти объем сегмента.
15.262.	Выпуклая линза ограничена двумя соосными
параболоидами вращения. Диаметр линзы по линии пере-
сечения параболоидов равен Z), толщина по оси — Л. Най-
ти объем линзы.
15.263.	Выпукло-вогнутая линза ограничена двумя со-
осными параболоидами вращения. Диаметр линзы по ли-
нии пересечения параболоидов равен Z), толщина по оси —
h. Найти объем линзы.
15.264.	Вогнутая линза ограничена соосными парабо-
лоидами вращения и цилиндром, радиус основания кото-
рого г. Толщина линзы по оси равна Л, на краю — Н.
Найти объем линзы.
15.265.	Определить объем бочки, высота которой равна
Л, диаметр каждого из оснований — d, диаметр среднего
сечения — D. Осевые сечения боковой поверхности явля-
ются параболами с вершинами на окружности среднего
сечения.
В задачах 15.266—15.279 найти длину дуги кривой.
15.266.	у = 2х3/2	(0<х<11).
15.267.	*=4л/(У-1)3 (0<x<2V3)
15.268.	у=^2х—х2 — 1	(1/4<х<1).
15.269.	О V/ * V/ о *1“» II
15.270. 15.271. 15.272.	II II II 1	* 1	* I — 4- р	О _/Л ~ W/A /Л 2^ *  • /Л 's'
15.273. 15.274. 15.275. 15.276.	у = \пх (2 у/2 <х<2д/б ). у = ех (0<лг<1п7). i/ = lnsinx (л/3^х^2л/3). у=arcsine* (— In 7	In 2)
15.277.	V/ И V/ о 1 OJ *1* II
206
15.278.	у =д/х —х2 —arccos^/1 —х (11/36 <х< 15/16).
15.279.	у = д/ 1 — х2 + arcsin х (0<х<9/16).
15.280.	Доказать, что длина эллипса x2/a2 + y2/b2 = 1
(а>Ь), равна длине синусоиды у = -д/а2 —fc2 sin (x/b)
(0^х^2л6).
15.281.	Найти длину цепной линии
у= | (е^ + е-^),
содержащейся между точками х=0 и х = а.
15.282.	Найти среднее значение издержек К(х) =
= Зх2 + 4х + 2, выраженных в денежных единицах, если
объем продукции х меняется от 0 до 3 единиц. Указать
объем продукции, при котором издержки принимают сред-
нее значение.
15.283.	Найти среднее значение издержек К(х) =
= 6х2 + 4х+1, выраженных в денежных единицах, если
объем продукции х меняется от 0 до 5 единиц. Указать
объем продукции, при котором издержки принимают сред-
нее значение.
15.284.	Определить объем продукции, произведенной
рабочим за пятый час рабочего дня, если производитель-
ность труда характеризуется функцией
15.285.	Определить объем продукции, произведенной
рабочим за третий час рабочего дня, если производитель-
ность труда характеризуется функцией
f^ = 1ГП+4-
15.286.	Определить запас товаров на складе, образуе-
мый за два дня, если поступление товаров характери-
зуется функцией f (/) =3/2 + 3/ + 4.
15.287.	Определить количество тракторов, выпущен-
ных за 5 лет, если годовой выпуск рос в арифметической
прогрессии f(t)=ao-]-bot.
15.288.	Найти полные издержки производства, если
объем продукции равен 42 единицам, а зависимость издер-
жек от объема имеет вид Л(х) =х3 — 2х2 + х.
207
15.6. Приближенное вычисление интеграла
по формуле трапеций
Формула трапеций имеет вид
ь	1
f . . b-а /У0+У„ , v \
\ f(x)dx» —(------j--+ £ М’
а	X	•=' /
где п — число частей, на которые разбивается отрезок [а; 6]; а=хо<
<xi<хп = Ь; yi=f(xi) (i = 0, п)—значения подынтег-
ральной функции в точках разбиения отрезка [а; 6].
Если подынтегральная функция f(x) имеет непрерывную вторую
производную f" (х) на отрезке [а; 6], то абсолютная погрешность форму-
лы трапеций выражается неравенством
Д(л)< (b~af
12л2
где
М2=* max |/"(х)|.
2
Пример 15.23. Зная, что	= In 2, вычислить при-
ближенно значение In 2, воспользовавшись формулой тра-
пеций при п = 10. Оценить абсолютную погрешность полу-
ченных результатов.
Решение. Находим:
=0,1, х0=1, Х! = 1,1, х2=1,2, х3=1,3, х4=1,4,
х5=1,5, х6=1,6, х7=1,7, х8=1,8, х9=1,9, х10 = 2,
1.1 1 1 1
//= у, ^0=1’ ТГ ^2== ТУ* ^3= ТУ* ^4== ТУ*
__ 1 __ 1 __ 1 _ 1 _ 1
1,5’	1,6* У7~~ 1,7*	1,8*	1,9*
^/10= ~2~ =0,5.
Согласно формуле трапеций, имеем
2
j = In 2» 0,1	+0,9091 +0,8333 + 0,7692 +
+ 0,7143 + 0,6667 + 0,6250 + 0,5882 + 0,5556 +
+ О,5263)=0,Ь 6,9377=0,6938.
208
Находим:
f(х) = 1 /х, f'(x) =-I/х2, f"(x) = 2/x3, f'"(x) = -6/x4,
т. e. критической точки на отрезке [1; 2] функция 2/х3 не
имеет.
Найдем значения f"(x)=2/x3 на концах отрезка:
f"(l)=2, /"(2) = 1/4. Значит, наибольшим значением
функции |f'(*)l на отрезке [1; 2] будет 2, т. е.
М2= max |f" (х) | =2.
xell; 2]
Тогда
Д(Ю) <	-2=	«0,0017 <0,01.
С учетом найденной погрешности In 2 «0,69.
В задачах 15.289—15.291 вычислить приближенно по
формуле трапеций интегралы, которые не могут быть най-
дены в конечном виде с помощью элементарных функций.
3
15.289.	J VT + x3 dx, п = 6.
о
л/3
15.290.	J Vcos х dx, п = 10.
о
2
15.291.	Je-?dx, Д<0,01.
о	5
15.292.	Зная, что j-^-= In 2,5, вычислить прибли-
женно значение In 2,5, воспользовавшись формулой трапе-
ций при п = 8. Оценить абсолютную погрешность полу-
ченных результатов, j
15.293.	Зная, что ( —= 4-, вычислить прибли-
*+х 4
женно число л, воспользовавшись формулой трапеций
при п — 10. Оценить абсолютную погрешность полученных
результатов.
15.294.	На сколько частей нужно разбить промежуток
2
Sdx
чтобы вычислить его с
точностью до 0,001 по формуле трапеций?
209
15.295.	На сколько частей нужно разбить промежуток
1
dx
—чтобы вычислить его
1
интегрирования интеграла
с точностью до 0,001 по формуле трапеций?
15.296.	На сколько частей нужно разбить промежуток
з ____________________________
интегрирования интеграла $ yl+x3dx, чтобы вычис-
о
лить его с точностью до 0,001 по формуле трапеций?
15.7. Несобственные интегралы
Интеграл на бесконечном промежутке. Пусть функция f (х) определе-
на и непрерывна на промежутке [а; 4~°°) и интегрируема на любом
отрезке [а; £]с[а; 4-оо). Величина
f(x)dx= lim \f(x)dx,
J	E-> 4-00 J
a	*	'
если указанный предел существует, называется несобственным интегра-
лом Римана или просто несобственным интегралом от функции f (х) по
промежутку [а; 4-оо). Иногда этот интеграл называют несобственным
интегралом первого рода.
Аналогично определяются несобственные интегралы на проме-
жутках (—оо; 6] и (—оо; - Первый из этих интегралов опреде-
ляется как
ь
lim J f(*)dx
П-^-оо п
Ь	4-°°
и обозначается J f(x)dx, второй интеграл J определяется
-ОО	-°°
как предел
lim \f(x)dx
при не зависящих друг от друга стремлениях —оо и £->-4-оо.
Если пределы существуют, то говорят, что интеграл сходится, в про-
тивном случае — расходится.
Интеграл на конечном промежутке. Пусть функция f(x) определена
на конечном промежутке [а; Ь) и интегрируема на любом отрезке
[a; £]с=[а; b). Величина
ь	I
\f(x)dx= lim \f(x)dx,
J	oJ
a	b	a
если указанный предел существует, называется несобственным интегра-
210
лом от функции f(x) по промежутку [а; 6]. Иногда этот интеграл назы-
вают несобственным интегралом второго рода.
ь
В случае существования конечного предела ^f(x)dx называется
а
сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Если функция f(x) определена на конечном промежутке (а; 6],
интегрируема на любом отрезке [4; 6]cz (а; Ь], то по определению
г	ь
\ f(x)dx= lim f(x)dx.
"~а+0 ч
Если функция f(x) определена на отрезке [а; Ь], за исключением
точки с £ (а; Ь), интегрируема на любых отрезках [а; £] cz [а; с),
[т); 6]cz (с; Ь], то несобственный интеграл от функции f (х) на [а; Ь] обо-
ft
значается ^f(x)dx и определяется равенством
а
ft	Е	ft
\f(x)dx= lim \f(x)dx+ lim \f(x)dx.
a	^c+° J
Если оба предела в правой части существуют и конечны, то интеграл
называется сходящимся и
ь	с	ь
J f (x)dx= J f (x)dx+ J f(x)dx.
a	a	c
Пример 15.24. Вычислить интеграл
или
установить его расходимость.
Решение. Находим
lim
4- оо
ё-i
5+1
-1п1) = т1п3-
Значит, несобственный интеграл сходится и равен
41п3-
1
Пример 15.25. Вычислить или установить его
расходимость.
211
Решение. Имеем
— = lim ( — = lim In x I
x t|-* -}~0 J x t]->- 4-0	*
n
= lim (In 1 — In tj) = + oo.
л-* 4-0
Конечный предел не существует, следовательно, данный
интеграл расходится.
В задачах 15.297—15.313 вычислить интегралы или
установить их расходимость.
4- оо	4- оо	
15.297. (	15.298. \ sin 2xdx.	
У х2		
2	0	)
-3	4-оо	
15.299. (	15.300. (	2х-|-5	, 	!	ах.
J х-|-2	5 х	+ 3х— 10
— со		
4-00	4-00	
15.301. (	15.302. J е"3	Kdx.
J х2 + 4		
0	1	
0	4- оо	
15.303. ( Ar^-dx.	15.304.	dx
J х2 + 1		2х2 —5х-|-7
— оо	— оо	
4- °о	4- оо	
15.305. (	15.306. х	• 2~xdx.
J X In X		
е	0	
4-00	4- оо	
15.307. (	15.308.	dx
J х Vх	е	X In2 X
-4-00	4- оо	
1 QHQ С	1^410 С	dx
1 Э.оиУ. \	п .	10.01 и. 1	
J 1+х2		x2+x+l
— оо	— оо	
4-00	4- оо	
15.311. С ^-dx.	15.312.	dx
J 1+х		x^jx— 1 ’
4-00		
__ _ Г	dx		
15.313.	\ -г-=			
212
В задачах 15.314—15.338 вычислить интегралы или
установить их расходимость.
1 15.314. (		dx V*'	15.315.	4 л	dx y/x -|-x *
	0,5				
15.316.		dx х In2 X	15.317.	h	xdx.
	0			0	
	1			0	
15.318.		arcsin x . —==dx.	15.319.		dx
		Vl-x2		1	(x+l) v'T+T’
1 490	3	x2dx	15.321.	1	dx
1		V9-X2			t ln2x
15.322.	е	dx	15.323.	1	2~TX-x3dx.
		ex—1			5 1	 -x 3
					V x
	л/2			1	
15.324.		xdx 9 *	15.325.	\sin (In x)dx.	
		COS X			
	0 1			0 1	
15.326.	\ In xdx.		15.327.		2 In xdx.
	0			0	
	а			3	
15.328.		adx	15 .429		3xdx
		Va2—x2			2xj №—4
	2а			л/2	
15.330.		V2a j V*	15.331.	ctg xdx.	
	0			0	
	1			3	
15.332.		dx			dx
			1 0,000,		
		x2 + 5x			(x—l)2'
	2			3	
15.334.		dx	15.335.		dx
	— 1	X 1			(x—2)2’
	2			0	
15.336.		dx	15.337.	c	arccos x —r	dx.
		д/х — 1		-1	Vl-x2
1
15.338. \ — (agR).
J xa
213
15.8. Двойные интегралы
Пусть на ограниченной замкнутой области EczR2 определена функ-
ция f(x, у). Предполагается, что множество Е имеет площадь, и в этом
случае множество Е будем называть квадрируемым.
Замкнутые подмножества {Е*} (fc=l,n) называются разбиением
множества Е, если U Ek составляет Е и никакие два замкнутых подмно-
жества Ek не имеют общих внутренних точек. Площадь Ek будем обо-
значать mes Ek или AS*.
Диаметром разбиения {Ek} называется величина
d{Ek}=max (diam Ek],
k
т. e. максимальное расстояние между точками границ Ek.
На каждом замкнутом подмножестве выберем произвольные точки
№(?**>
По данному разбиению {Ek} строим сумму
а= £
k=\
которая называется интегральной суммой или суммой Римана.
Если интегральные суммы о при d{Ek}->-0 имеют предел I, т. е. если
для любого е>0 существует такое б(е) >0, что для любых разбиений
{Ел}, диаметр которых и при любом выборе Mk^Ek выполняется
неравенство
I I	-/I <е,
I Л = 1	I
то функция f называется интегрируемой в смысле Римана на Е, а число
I — двойным интегралом от f по Е и обозначается
l=\\f(M)dS=\\f(x, y)dS.
Е	Е
Можно показать, что V= JJf(x, т- е- объем тела, ограничен-
Е
ного поверхностью z = f(x, у), плоскостью z = 0, цилиндрической поверх-
ностью, направляющей для которой служит граница Е, а образующи-
ми — прямые, параллельные оси Oz, равен двойному интегралу от
f(x, у) по Е.
Вычисление двойного интеграла может быть произведено путем све-
дения к повторному. Если область Е задана неравенствами О^х^б,
(pi (х) ^t/^<j>2(x), то двойной интеграл может быть вычислен по формуле
Ь Ф2^
\\f(x, y)dS= \dx J f(x, y)dy,
E	a <pj(x)
<P2(*)
где при вычислении J f(x, y)dy величину x полагают постоянной.
<₽1 (x)
214
Если область интегрирования Е задана неравенствами c-^y-^d,
xpi(r/)^xто верна формула
d (у)
y)dS=^dy f(x, y)dx,
E	с (y)
M>2(y)
где при вычислении интеграла J f(x, у) dx величина у считается по-
“j (у)
стоянкой.
Пример 15.26. Вычислить двойной интеграл
dxdy
а2 — х2 — у2
где Е — часть круга радиусом а с центром в точке
0(0; 0), лежащая в первой четверти.
Решение. Строим область Е (рис. 15.5). В данном
случае О^х^а, 0^//^ д/а2 —х2. Находим
Рис. 15.5
В задачах 15.339—15.344 вычислить двойные ин-
тегралы.
15.339.	\\xdxdy, где Е — треугольник с вершинами
Е
0(0; 0), Л(1; 1), В(0; 1).
215
15.340.	\\xdxdy, где область интегрирования Е огра-
£
ничена прямой, проходящей через точки А (2; 0), В(0; 2),
и дугой окружности радиусом 1 с центром в точке С(0; 1).
15.341.	\\ex/ydxdy, где Е — криволинейный треуголь-
£
ник, ограниченный параболой у2 = х и прямыми х = 0,
y=l. 15.342.	гг xdx du	_	o и —2— 2-, где E — параболический сегмент,
ограниченный параболой у = ^/<1 и прямой у=х.
15.343. \\xy2dxdy, если Е — область, ограниченная па-
£
раболой у2 = 2рх и прямой х=р.
15.344.	ГГ dxdy	г. U 	, где E — круг радиусом а, касаю-
щийся осей координат и лежащий в первом квадранте.
В задачах 15.345—15.347 вычислить интегралы и на-
чертить области, на которые они распространены.
15.345.	я	1-l-cosx	л/2	1 \dx J у2 sin xdy. 15.346. j dx J y4dy. 0	0	0	cos	x л/2	3 cos у
15.347.	\ dy \ x2 sin2 ydx. -л/2	0
15.348. Вычислить двойной интеграл ЭД (x2 + y2)dxdy,
Е
если Е — параллелограмм со сторонами у = х, {/ = х + а,
у = а, у = 3а (а>0).
16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
16.1. Общие понятия
Уравнение
F(x, у, /)=0,
где х—аргумент; у(х)—искомая функция; /(х)—ее производная,
называется дифференциальным уравнением первого порядка, не разре-
шенным относительно у'. Уравнение yf = f(xt у) называется дифферен-
циальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно у'
(или дифференциальным уравнением).
Уравнение
Р(х, y)dx+Q(xt y)dy=0,
216
где х и у имеют тот же смысл, что и выше; dx, dy — соответственно диф-
ференциалы аргумента и функции, называется уравнением, записанным
в дифференциалах. В последнем случае у можно принять за аргумент,
х(у) — за функцию, dy, dx = x'(y)dy — соответственно за дифференциа-
лы. Функции F(x, у, у'), f(x, и), Р(х, у), Q(x, у) заданы в некоторых
областях Dcz R3 для F, Docz R* для f (х, у), De 1г для Р(х, у), Q(x, у),
где Р2 + <?2#=0.
Функция (/ = ф(х), для которой имеет место соответственно F(x,
<р(х), <р'(х))е=0, (х, <р(х), <p'(x))f DcR3, <p'(x)=f(x, <р(х)), (x<p(x))g
fDocR2, Р(х, <p(x))4-Q(x, <p(x))<p'(x)=sO, (x, ip(x))fDcR!, назы-
вается решением соответствующего дифференциального уравнения. В по-
следнем случае можно рассматривать решение в виде
*=Ъ(у),	yW(y)+Q(V(y), У)=0, (♦(«/). y)6O<=R2.
Функция 1/ = ф(х, С) называется общим решением дифференциаль-
ного уравнения, если:
1) для любых С С G, где G — некоторая область, у = у(х, С) являет-
ся решением;
2) для любых хо, l/о из соответствующей области существует Со€ G,
такое, что i/o = <p(xo, Со).
Аналогичным образом дается определение общего решения в случае
x=t(R. С).
Решение </ = ф(х, Со) называется частным для любого Со€ С. Функ-
ция Ф(х, у, С)=0 называется общим интегралом уравнения y'=f(x, у)
или соответственно Р(х, y)dx+Q{x, y)dy = O, если:
дФ дФ
1) —---1- ——f(x, у) =0 и Ф(х, у, С)=0 выполняются совмест-
но тождественно для соответствующей области Do или D и С£ G;
2) существует Со, такое, что Ф(х0, i/о» Со) =0 для (х0; i/o) €D0 (D) и
J/6 = /(xo, Уо).
Функция Ф(х, у, Со)=О для любого СоС G называется частным
интегралом.
Если известно однопараметрическое семейство функций, то для него
можно построить дифференциальное уравнение, решениями которого
будут все функции семейства. Может' оказаться, что семейство функций
задает общее решение, или общий интеграл дифференциального урав-
нения. Область G может содержать + оо, — оо или С= zE оо, т. е. при
С —> Ч- оо.
Пример 16.1. Дано семейство функций у =х + Сд/1 +*2,
где С — параметр. Найти дифференциальное уравнение
с заданным семейством решений.
Решение. Из семейства функций легко увидеть, что
г— у~х
V1 +*2
Продифференцировав у + Сд/1 +х2 и использовав
значение С, получим
у'=1 + х(у х) или у'
1 -j- X
1 +ХУ
л/ч-*2
217
Это и есть искомое уравнение; его общее решение у = х-\-
+ С~\/1 +х2.
Пример 16.2. Для семейства функций у = С/(х — 1)
найти дифференциальное уравнение.
Решение. Продифференцировав исходное уравнение,
получим у' = — С/(х — 1) . Подставив в это уравнение
значение С=у(х— 1), будем иметь у' + у/(х— 1) = 0. Это
и есть искомое уравнение.
Пример 16.3. Для семейства х—у — Сех^у~х^=0
найти дифференциальное уравнение.
Решение. Находим из семейства функций С=
= (х—у)е~х/(у~х\ Продифференцировав х — у = Сех^у~х^
и подставив значение С, имеем
l-y'+±JZ^=0.
Тогда у — х — у'у+ху' + у— ху' = 0, уу'—2у+х = 0 —
искомое дифференциальное уравнение. Семейство функ-
ций — общий интеграл уравнений.
Пример 16.4. Для семейства функций х2-\-у2 — Сх=0
найти дифференциальное уравнение.
Реше н и е. Из условия задачи находим С== (х2+у2)/х.
Дифференцируем уравнение х2-\-у2 — Сх=0 и в получен-
ное уравнение подставляем значение С. Тогда 2х2 +
+ 2хуу' —х2—у2 = 0, т. е. 2хуу'+х2 —у2 = 0— искомое
дифференциальное уравнение, х2+у2 — Сх = 0 — его об-
щий интеграл.
Пример 16.5. Для семейства функций х+у + С(1 —
—xf/) = 0 найти дифференциальное уравнение.
Решение. Из исходного уравнения определим
С= (х + у) / (ху — 1). Продифференцируем исходное урав-
нение и в полученное уравнение подставим значение С.
Тогда ху — 1 + хуу' — у' — (х + у) (у + ху') = 0, ху— 1 +
+ хуу' — у'—ху—х2у' — у— хуу' = 0. Отсюда
В задачах 16.1 —16.8 составить дифференциальные
уравнения заданных семейств функций.
16.1. lny = Ctg (х/2).	16.2. (1+х2)(\+у2) = Су2.
16.3. VP — у[х=С. 16.4. у = Се^~^.
16.5. у= (С—х2)/(2х). 16.6. arcsin (у/х) +х=С.
16.7. (х-С)2+у2=\.	16.8. y = sin Сх.
218
16.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида г/ = Л (x)f2(«/), а также вида
Pi(x)P2(y)dx-{-Q\(x)Q2(y)dy=0
называются уравнениями с разделяющимися переменными. Метод их
решения состоит в нахождении множителя для записи уравнения с раз-
деленными переменными. Для первого уравнения
dx
это , , ч , для вто-
f2(y)
1
рого-----	-	- Тогда уравнения запишутся
Qi (х)Р2\У)
так:
Лу I ! \ J	I ^2^
ад-
dy—O.
Используя инвариантность формы дифференциала, получаем общие
решения:
QiM
Q2(y)
р2(у)
dy = C.
Но при умножении можно потерять соответственно решение = где
^2(t/o)=O, для первого уравнения, или х=х0, где Q1(xo)=O, и у=у^
где Р2(*/о)=О,— для второго. Эти случаи следует рассматривать от-
дельно. А именно: найти у^ такие, что fi(yk) =0, и проверить, являются
ли y = yk решениями уравнения и заключены ли они в общем интеграле
при каком-то значении С*; аналогично поступить для второго уравнения.
Пример 16.6. Найти общий интеграл дифференциаль-
ного уравнения х(1 +//2) +//(1 +*2)i/' = 0.
Решение. Умножим данное уравнение	на
----Переменные разделяются:
-хгт + 4й-=о« ln (x2+l)+ln (у2+1) =1П С,
*4-1 {Г 4-1
(х2+1)(у2+1)=С.
Пример 16.7. Проинтегрировать уравнение у' = ху2 +
+ 2ху.
Решение. Умножим данное уравнение на у^Чу ’
Будем иметь
+ xdx = 0.
у(у+%)
Решив, получим
[ dy
у У(У+Ъ)
219
2 Се*?
или £/ =--------- — общее решение. Так как уравнение
умножалось на выражение £/(£/+2), найдем корни этого
выражения. Получим £/ = 0, £/=—2, причем у = 0 полу-
чается из общего решения при С = 0, а у=— 2 — при
С-> + оо, так как
2С	2	о
У=----1---=----1-------> —2
е-^—С	е~*/С—\
при С-> + оо. Это частные решения.
Пример 16.8. Проинтегрировать уравнение х2(1 +
+y)dx+ (х3 — 1) (y—\)dy = O.
Решение. Умножим уравнение на —----------------, по-
(х3-1)(1/+1)
лучим
—----dx+ ---dy = Q.
х3-1	!/+1
Проинтегрировав, будем иметь -!_1п |х3— 11 +// — 2 In |у +
з
+ 11 =С — общее решение.
Из х3—1=0 и £/ + 1=0 имеем х = 1, £/ =— 1. Это
частные решения. Действительно, общее решение можно
записать в виде
з у--
V X3—1 =С1(г/+1)2е-у.
Отсюда х= 1 получится при С\ = 0, £/ = — 1 — при Ci = оо.
Пример 16.9. Проинтегрировать уравнение у' =
= Чу~\ /*
Решение. Умножив_________данное уравнение на
dx/д/у— 1 , получим dy/ijy—1 =rfx/x. Проинтегриро-
вав, будем иметь 2 д/у —\—1п|х|=С—общее решение
в области £/^ 1, — оо<сх<с + оо,6=( — оо, + оо). Есть
решение £/=1, которое не получается из общего. Его
называют особым.
В задачах 16.9—16.29 проинтегрировать уравнения,
в отмеченных случаях найти частное решение.
16.9.	xydx-\- (х+ l)d£/ = 0.	16.10. (х2 —1)/ = 2ху2.
16.11.	х2у' = 1 + cos2у.	16.12. у'^е*-*.
220
16.13.	dx — л/ 1 —х2 dy = Q.
16.14. 16.15.	2хд/ 1—у2 dx + ydy = 0, у(0) = 1. х(у2— l)dx+y(x?— l)dy=0.
16.16.	У(2) =5
16.17.	sin у	/ n\ Л 9= ,+^^(4)=0-
16.18. 16.19.	y'-==.ev/x, y(l)=0. yx2—1 dy— dx = 0.
16.20.	y' — 2xe~^, y(0) = l.
16.21. 16.22. 16.23. 16.24. 16.25. 16.26.	xdx— 1 —x2 dy = 0, у (0) = 1. У'—У In y. xy' — lyfy, x=l, y=0. (y2 + xy2)dx+ (x2 —yx2)dy = 0. (3x — 1) dy+y2dx=0. 3x2ydx + 2 4 — x3 dy = Q.
16.27.	16-28- (2xy-x)y'=2y. 1+x^
16.29.	e*+vdx-\-ydy = (}.
16.3. Однородные уравнения
и простейшие, приводящиеся к ним
Дифференциальное уравнение вида y'=f(x, у) называется одно-
родным, если z = f(x, у) —однородная функция нулевой степени, т. е.
для любых t f(tx, ty)=f(x, у). Аналогично дифференциальное урав-
нение
Р(х, y)dx-\-Q(x, y)dy = 0
называется однородным, если Р(х, у) и Q(x, у) —однородные функ-
ции одной степени, т. е.
P(tx, ty)=tmP(x, у), Q(tx, ty)=tmQ(x, у).
Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися
переменными заменой у=хи, где и — новая искомая функция. Действи-
тельно, положив t = l/x (х#=0), будем иметь
221
или
р( *> -Ц=4гр<х> «Г1- =4tq<x’ уу
Л х) хт	Л х) хт
Получим у' =	С -=^бЙ/ = О ИЛИ
Р{ dx+Q{ dy—Q. Учитывая -^- =ц-|-х-^-, имеем соответ-
ственно х^ =ф(ц)—и или dy = udx + xdu и Pi (u)dx+ Qi (и) (udx-j-
-]-xdu)=0 или (Pi (u) H-uQi (u) )dx-|-xQi (u)du = 0. Это уравнения с
разделяющимися переменными.
Пример 16.10. Проинтегрировать уравнение
ху+у2е~х/!/
У	х1
Решение. Уравнение однородное. Положим у=хи.
Тогда и-^-хи'= и-\-и2е~1/и или -^-е|/в= —. Проинтег-
и2	X
рировав, получим —ei/u = ln|x| — С, т. е. е?,у +
4-1п|х|=С— общий интеграл.
Пример 16.11. Решить уравнение
(х—У cos	dx-\-x cos у dy=Q.
Решение. Полагаем у=хи. Тогда (х — хи cos u)dx-\-
+ их cos udx+х2 cos udu = 0. Разделив полученное урав-
нение на %, будем иметь dx-\-x cos udu = 0, что дает
dx/x + cos udu = 0. Получим общее решение 1п|х| +
4-sin (у/х) =С.
Пример 16.12. Решить уравнение
,	у+л/^-у2
X
Решение. Положим у = хи. Тогда и-\-хи' =
= «+ дЛ — и2 или —, т. е. sin — = In | х | +
+ С при х>0, sin у = —ln|x| +С при х<0. Кроме то-
го, есть решения y = xt у= —х, которые из общего не
получаются ни при каком С. Эти решения особые.
222
К однородным уравнениям сводятся также уравнения вада
1х “Ь ^2^ + ^2 у
Ial а2 I
=/=0. Для сведения их к однородным достаточно решить ।
Ь2 I	I
систему линейных уравнений
ajX-|-a2i/= — 'J
bxx+b2y= — С2. J
Если ее решение (аго, £/о), то, сделав преобразования X —х — х0, У —у— Уъ,
будем иметь однородное уравнение
dY =f{a'X + b'Y\
dX '(bjX + ^r)
Пример 16.13. Решить уравнение (2x—4y+6)dx +
+ (х +1/ —3)rft/ = 0.
Решение. Составляем систему:
2х—4у + 6 = (Ц
х+ у — 3 = 0. j
Ее решение х0=1, г/о = 2. Делаем замену х = 1 4-Х, у =
= 2 +У. Получаем
dY __ 2Х-4У
dX ~ Х + У ’
Теперь полагаем Y=Xu. Имеем
(2-3u-\-u2)dX-\-Х (I +u)du = 0.
Интегрируя, получаем
1п|Х| + 1п-^^=1п Сь
(и —I)2
Отсюда общее решение (z/ —2x)3 = C(z/ —х—I)2.
Кроме того, имеем еще два решения: z/ = 2x и z/ = x4- 1,
первое получаем из общего при С = 0, второе — при
С= 4- оо.
В задачах 16.30—16.56 найти общие решения уравне-
ний, а там, где заданы начальные условия, определить
частное решение.
16.30. x(x + 2z/)dx+(x2 — y2)dy=0.
16.31. ху' = £/ —2х—2 д/xz/—х2.
223
16.32.
16.34.
16.35.
16.33. dx=^y
х—2у	х/Н-х	у — х
/= T,nV’ =
/ = е-^4-Х у(1)=0.
xdy— (x4-t/)dx=0, у(1)=2.
х/= д/х24-у2 4- у.
16.36.
16.37.
16.38. (y2— 3x2)dy-\-2xydx=Q.
16.39. ху'=у cos fin у\.		
1 е дп		 У*	1А41	ху-у2
1 и.*ти.	ху—х2	у-	X2 •
16.42.	У=	|6-43-	xy2dy= (x3+y3)dx.
16.44.	16.45.	(x+y)dx+ (y—x)dy=0.
16.46.	,= ~^х‘+у1 у V	X	
16.47.	(— х) dx + ydx	= 0.
16.48. (x2 + xy+y2)dx—x2dy=0.
16.49. у'=	(1 -+-1п у — In х).
16.50.	y'=-!L + ± у(-1)=0.
16.51.	(х + 2у+ l)dx+ (3-2x)dy=0.
16.52.	(х — 2)dx-\- (у — 2x4- l)dy=O.
16.53.	'
16.54.
16.55.
(6x+y—l)dx+ (4x+y—2)dy=0.
(12y —5x—8)/ —5t/4*2x4-3=0.
(3x-7y-3)/+ (7x-3«/-7) =0.
16.56.
16.4. Линейные уравнения, уравнение Бернулли
Уравнения, которые можно записать в виде f + p(x)y = q(x) или
—j— (у)х — q(y), называются линейными, первое — относительно у,
ay
второе — относительно х, Если q(x)=0	(q(y) s0), то
ах	ay
уравнение называется линейным однородным, если q(x) 0
(q(y)^O),— линейным неоднородным. Линейное однородное — это
уравнение с разделяющимися переменными.
224
Неоднородное линейное уравнение может быть сведено к решению
двух уравнений с разделяющимися переменными. Сделаем подстановку
у(х) =и(х) v(x); тогда u'v-\- (v'+p(x)u)u = q(x). Решим два уравне-
ния: и'-|“р(х)у = 0 и u'v = q(x). Для первого достаточно найти частное
решение с условием для второго — общее решение. Тогда у(х) =
— v(x}u(xf С) даст общее решение исходного уравнения.
Уравнением Бернулли называется чуравнение
У'+Р(х)у=д(х)ул
(а=#0, а ф 1 —произвольное число). Подстановку i/ = u|_e приводит
это уравнение к линейному неоднородному, но его можно решать также
подстановкой y = uv. Записав уравнение в виде
и'и+ (v' + p(x)v)u = q(x) uava,
решим два уравнения с разделяющимися переменными: и'-}-р(х)и = 0
(берем одно решение у^О) и и'= q(x)uaua~l (общее). Получим об-
щее решение уравнения Бернулли.
Пример 16.14. Решить уравнение у' + у cos х = e“s,nx.
Решение. Полагаем у = uv. Тогда u'v + u(v' +
+ v cosx) = e“s,nx, v' + v cosx = 0, v = e-slnx, u'e“s,nx =
= e-sinx или и' = 1, т. e. и = x + С. Общее решение и =
= (x + C)e“sinx.
Пример 16.15. Проинтегрировать уравнение ху' — 2у =
= 2х\
Решение. Полагаем y = uv, xvu'-\-u(xv' —2v) =2x4.
Из xv' — 2^ = 0 имеем u=x2, а из xx2u, = 2x4— u' = 2x по-
лучаем u = x2-\-C. Общее решение y = Cx2 -\-x4.
Пример 16.16. Найти общее решение и частное реше-
ние, ограниченное при х->л/2, уравнения t/'sin2x =
= 2 (z/ + cosx).
Решение. Полагаем y = uv, тогда
u'v sin 2x + u(y,sin 2х — 2v) =2 cos x.
Из y'sin 2x — 2v = 0 получаем v = tg x, а из
2u'sin x cos x tg x = 2 cos x или u' = cos x/sin2 x имеем
u~ — l/sinx-J-C. Общее решение y = C tg x— 1/cos x.
Найдем, при каком значении С решение ограничено
при х-^л/2:
lirn (t/(x)cosx)= lim (Csinx—1)=0
х-л/2	х-+-л/2
только при С= 1. Если же 1, то lim (у (х) cosx) =
х—л/2
= С— 1 и функции у(х) при х->л/2 неограниченны.
Искомое частное решение:
.	1	__	1— sin х
i/ = tgx------, у=------------.
Ь COS X	cos X
8 А. В. Кузнецов и др.
225
Пример 16.17. Найти общий интеграл уравнения
dy
dx
2(* + */)
Решение. Рассмотрим уравнение-—- + 2*+2- = О
dx , 2х о ~	dx
или ——-----= —2. Оно линейно относительно —, х.
dy у	dy
(2	\
v'-\-—v\=—2 име-
1	п 2	2 з . п С 2
ем и = и = —2у\ ц=— уу+С	— у у —
общий интеграл.
Пример 16.18. Найти общее решение уравнения ху' +
~\~У—У2 1пх.
Решение. Это уравнение Бернулли. Полагаем y = uv,
тогда уравнение запишется так: xuv'-\-v (хи'-\-и) =
= Л21пх. Из хи'-}-и = 0 имеем и=\/х, а из xv' =
w2lnx dv In х ,
= —-— или ~^2~ = dx получим
___	X
V 1 -|-Сх-|-1п х ’
Общее решение у=	
Пример 16.19. Найти общий интеграл уравнения
ху'(х2 sin у— 1) + 2у = 0.
Решение. Рассмотрим уравнение относительно
dx/dy. Имеем
п dx	з .
2 г/ --х = — х sin у.
Это уравнение Бернулли. Полагаем x = uv, тогда
2yu'v + (2ур' — v)u = — sin у, u2= с_\0'8у^ и2 — У>
Следовательно, x2= —— ------или x2 cos t/4-i/ = Cx2 — об-
C — cos у	z/ \ zj
щий интеграл.
В задачах 16.57—16.86 найти общее и частное реше-
ния, удовлетворяющие начальным условиям.
16.57.	у'+	У(1) = 1-
226
16.58.	xy' + (x+ l)y = 3x2e x, y(l)=O.
16.59.	x2y' + 2xy= In x, y(e) = l.
16.60.	y + y'=e"x, y(0) = l.
16.61.	y' sin x—y = l—cos x, y(n/2)=l.
16.62.	у'+у = ц^, y(0)=2.
16.63.	xy'— 3y = xiex, y(i)=e.
16.64.	у' — у sin x=e-C0SX sin x, y(n/2) =3.
16.65.	y' cos x—2y sin x = 2, y(0)=3.
16.66.	y' ctgx+y=2, y(0) = —1.
16.67.	(xy'—1) lnx=2y, y(e)=0.
16.68.	x(y' —y)=e\ 16.69. y' = 2x(x2+y), y(0) = l.
+ y), y(0) = l.
16.70.	y' + 2xy = xe ~x>. 16.71. y' + y tg x = sin 2x.
16.72.	y'sin x cos x = y + sin3 x.
16.73.	x2y'—y=x2ex-l/x.
16.74.	y' — 4	= —.	16.75. y'+	=xex/2.
X X	U X
16.76.	y' — 2y = e2x.	16.77. y' +	—r
y a	a т *2+1	(? + l)4
16.78.	у’ + у=3. 16.79. y'=x2+y.
XT
16.80.	(x-\-y2)dy-\-dx=0. 16.81. y'+y=x^Jу.
16.82.	у'=x3y3 - xy.	16.83. y' +
x COS X
16.84.	xy'— y2 In x= — y.	16.85. xy'+y = xy2.
16.86.	------------—-------.
dx	xz cos у 4-a sin 2y
16.5. Линейные дифференциальные уравнения
и системы второго порядка
с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида
a0(x)i/w+ai(x)y<"_‘) + ... + a._i(x)/4-a„(x)i/=/(x),
гдеаДх) (/ = 0, и), f (х), aQ (х) #=0 — непрерывные на (а; Ь) функции,
называется линейным дифференциальным уравнением. Оно всегда име-
ет общее решение, но нахождение его при затруднительно. При
п = 2 уравнение можно записать так:
у" + 2р(х)/ + q(x)y = f(x).
При f(x)==O уравнение называется линейным однородным, при
227
f(x) =0=0 — неоднородным. Общее решение линейного однородного диф-
ференциального уравнения имеет вид
y = Ciyi (х) + C2t/2(x),
где у\(х), i/2(х) —два линейно независимых частных решения.
Решения являются линейно независимыми, если----------(или
У2<Х)
------С), т. е. их отношение — не постоянное число.
У1 (х)
Для неоднородного линейного уравнения общее решение имеет вид
t/ = С11/1 (х) +Ciy2(x) +ф(х),
где у\ (х), t/2(x)—линейно независимые частные решения линейного
однородного уравнения, соответствующего неоднородному; <р(х) — част-
ное решение неоднородного уравнения.
Все частные решения получаются из общего при фиксированных
Ci, С2. Частное решение может быть задано начальными условиями
(Коши) Хо, t/о, у'о, где %о£ (а; Ь), уо, уо— произвольные, причем фикси-
рованные Ci и С2 находятся из системы линейных алгебраических урав-
нений
Ci^i(x0)+C2i/2(x0)=i/0,
( Xq) "ЬС2^2(Хд) —I/q
ИЛИ
С{у{ (x0) + C2y2(x0) +<p(x0) =y0,
Cty\ (x0) + C2y'2 (x0) + q>' (x0) =y'o
для однородного и неоднородного уравнений соответственно. Разреши-
мость систем обеспечивается линейной независимостью i/i(x), z/2(x), при-
чем у\(х), t/г (х), (р(х), а также все другие частные решения существуют
для всех (а; Ь). В случае переменных р(х), q(x) нахождение z/i(x),
/	(х)	\
i/2(х) I ——— ^С| в общем случае затруднительно, но если р(х) = р,
q(x)=q — постоянные, то t/i(x), t/2(x) —линейно независимые и нахо-
дятся просто.
Линейное дифференциальное уравнение
y" + ‘2py' + qy = f(x),
где р, q — постоянные, называется линейным дифференциальным уравне-
нием с постоянными коэффициентами. Для нахождения t/i(x), р2(х)
этого уравнения при f(x) = 0 составляют квадратное уравнение
л1 2 + 2рХ + р = 0, называемое характеристическим. Для этого уравнения
возможны три случая.
1. D=p2 — р>0, корни уравнения Х2 вещественные различные,
у{ (%) =еХ,Х, у2(х) — е^Х, ух (x)/t/2(x) =e(Xl	Общее решение
у = Схе{Х+С2е2Х.
228
2. D — p2 — q=Q, корни Xi = X2 = X вещественные, yl(x)=eKx,
yz(x)=xeKx, yz(x) /у\(х) — x^=C. Общее решение y = eKx(C} -J-C2 x ) .
3. Z)=p2 —<?<0. Обозначив a=— p, fi=^/q —p2, будем иметь:
yl(x)= = елх sin |3x, t/2(x) =eax cos px, yi (x) /yz(x) =tg px^ С. Общее
решение y = eax(Ci sin px4-C2 cos px).
Пример 16.20. Проинтегрировать уравнение //" + //' —
— 6r/ = 0 и найти его частное решение, если хо = О, г/о = 5,
//о = О.
Решение. Составляем характеристическое уравне-
ние: %2 + Х —6 = 0. Нахолим £)= 1/44-6 = 25/4>>0; корни
Xi = 2, Х2=—3. Общее решение у = С1в2х + С2е~3х.
Для нахождения частного решения решим систему
Ci+ С2 = 5, |
2Ci-3C2 = 0.J
Получим С\ =3, С2 = 2. Частное решение г/=3е2х + 2е-3х.
Пример 16.21. Проинтегрировать уравнение у" — 6/ +
+ 9t/ = 0.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
%2 —6%+ 9 = 0. Вычислим D = 9 —9 = 0Д=Х| = %2 = 3. Об-
щее решение r/==e3x(Ci + С2х).
Пример 16.22. Проинтегрировать уравнение у" — 6г/'+
+ 13г/ = 0 и найти частное решение при %о = О, г/о = О, г/о = 2.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
л2 — 6%+13 = 0. Здесь £) = 9—13<0, а = 3, 0 = 2. Общее
решение у = е3х(Ci sin 2% + С2 cos 2х).
Для нахождения частного решения решим систему
С2=0,|
2C1 + 3C2 = 2J
откуда Ci = l, С2 = 0. Частное решение r/ = e3xsin2x.
Пример 16.23. Проинтегрировать уравнение у"—у' = 0
и найти частное решение, если %о=1, //о = О, 1/6=1.
Решение. Запишем характеристическое уравнение:
X2 —Х = 0. Тогда D = 1	>0, корни Xi=0, Х2=1. Общее
решение z/ = Ci + C2ex.
Для нахождения частного решения решим систему
С* । + С*2в = о,
C2e=l,J
откуда Ci= —1, С2 = е \ Частное решение r/ = ex ! — 1.
229
Для нахождения частного решения неоднородного дифференциаль-
ного уравнения (при f (х) ^0 на (а; Ь)) можно сначала решить систему
уравнений
u'i(x)yi(x) + и'2(х)у2(х) =0,	|
“1 (*)</! M+u'2(x)yi(x) =f(x),J
где у\, у2 — линейно независимые частные решения однородного урав-
нения относительно и\(х), и'2(х) на (а; Ь). Затем взять одну первообраз-
ную для U\(x), и2(х): uio(x), н20(х) на (а; Ь). Тогда общее решение
запишется так:
y = Ciyi(x) +С2у2(х) +uio(x)yi(x) +и20(х)у2(х).
Этот метод называется методом вариации произвольных постоянных.
Пример 16.24. Проинтегрировать уравнение
у"—у=ех/(ех+1).
Решение. Для этого уравнения у\ = ех, = е х. По-
лучаем систему
и\ (х) ех+ и2 (х) е~х=0,
и\(х)ех— и2(х)е~х= —-— .
ех + 1	♦
Находим:
// \ 1 2(е*-Ы) е2х и2(х) =	, 2(ex+l) Общее решение	«1= у - у1п (^+1), «2=-4 + т1п (еХ+‘).
у=±((х-1п (^+1))^+ (-ех+1п (ех+ 1))е-‘) +
+ Ciex+C2e-x.
Если же функция f(x) имеет вид Рп(х), Рп(х)еах или
(Рп\ (х) sin рх + Рл2(х) cos рх)еах,
где Рп(х), Pni(x), Рп2(х) —полиномы степени п или не меньше п, то
частные решения можно найти в виде Qn(x), Qn(x)eax, eax(Qn\ sin px-|-
+ Qn2 cos px), где Qn(x), Qn\(x), Qn2(x)—полиномы той же степени,
что и Рп(х), Рп\(х), Рп2(х) с неопределенными коэффициентами или в та-
ком же виде, но с множителем х или х2 в зависимости от соотношения
корней Xi, Х2 характеристического уравнения и а, а±*’р. Если Х1=/=а
Х2=/=а, множитель х отсутствует, если Xi =/= Х2, но один из корней, напри-
мер Xi = a, то появится множитель х; если же Xi=X2 = a, то будет мно-
житель х2. Если корни Xi, 2 = Хц ±&2i =#а±/р, то множитель отсутству-
ет, при Хц=а, X2i = P имеется множитель х.
230
Пример 16.25. Проинтегрировать уравнение у"—-
—/=2х.
Решение. Характеристическое уравнение X — Х = 0
имеет корни Xi = 0, Х2=1. Частное решение ищем в виде
ф = х(а1х-ра2). Тогда 2ai —-2а\х — а2 — 2х или — 2ai=2,
2oi—-а2 = 0, т. е. сц = — 1, а2=—2. Общее решение
у==С1 + С2ех-х(х + 2).
Пример 16.26. Проинтегрировать уравнение у" — 2у' —
— Зу = 4е~х.
Решение. Характеристическое уравнение X2 —2Х —
— 3 = 0 имеет простые корни М= — 1, Х2 = 3, причем
Xi = a= — 1. Частное решение ищем в виде у(х)=хае~х.
Тогда — 4а = 4, а = — 1. Общее решение y = Cie$x+ (С2 —
— х)е~х.
Пример 16.27. Проинтегрировать уравнение у" + у =
= 2 sin х.
Решение. Характеристическое уравнение'Х2+1 =0
имеет корни М, 2=±7, причем а = 0, р=1, а±р/=±/.
Частное решение ищем в виде ф(х) = ха\ sin х-{-а2х cos х.
Тогда — 2ai=0, — 2а2 = 2 или ai = 0, а2= — 1. Частное
решение ф(х) = —xcosx. Общее решение i/ = Cisinx +
+ С2 cos х — х cos х.
Пример 16.28. Проинтегрировать уравнение £/" — 4г/' +
+ 44/ = е2х.
Решение. Характеристическое уравнение X2 —4Х +
-}-4 = 0 имеет двукратный корень Xi=X2 = 2. Частное ре-
шение ищем в виде ф(х) = ах2е2х. Получаем ф(х) =
= 0,5х2е2х. Общее решение у= (Ci + G* + 0,5x2)e2x.
Пример 16.29. Проинтегрировать уравнение
у" — у= 10х sin Зх+ 14 cos Зх.
Решение. Характеристическое уравнение X2—1=0
имеет корни Xi, 2= ± 1, Х1У=Х2=И= ±ЗЛ Частное решение
ищем в виде
ф= (ajx-pa2) sin Зх-j- (&iX-j-^2) cos Зх.
Подставив частное решение в уравнение, будем иметь
а\ = — 1, а2 = 0, Ь\ =0, Ь2 = — 2. Частное решение ф(х) =
= —х sin Зх —2 cos Зх. Общее решение у = С\вх-{-С2е~х —
— х sin Зх —2 cos Зх.
Пример 16.30. Найти’ общее и частное решения при
*о = О, 4/о = О, 4/6 = 5 дифференциального уравнения
у" — 4у' — 5у=1 0е2х sin х.
Решение. Характеристическое уравнение X2 —4Х —
231
— 5 = 0 имеет корни Xi = 5, Х2= —1, li =/=K2=/=2zb*. Част-
ное решение неоднородного уравнения ищем в виде
Ф (х) = е2х (a sin х + b cos х).
Подставив ф в уравнение, получим а= — 1, Ь = 0. Част-
ное решение ф (х) = — е2х sin х. Общее решение у = С[е5х-\-
+ С2е-Х — е2х sin х. Частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям, найдем, решив систему
Ci + C2 =0,|
5Ci-C2-1=5,J
откуда С] = 1, С2= —1. Искомое частное решение
у = е5х — е~х — е2х sinx.
Если линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет
вид у"-\-2py' + qy=f\ (х) -ЬМх) на (а‘> 6), то можно найти частное ре-
шение ф1(х) для y" + 2py' + qy = fi(x) и ф2(х) для y" + 2py' + qy =
= f2(x), тогда частное решение для исходного уравнения запишется
так: ф(х) =ф1(х)+ф2(х).
Два уравнения
—— =aix + 6it/ + fi (/), —= a2x-\-b2y + М0,	(16.1)
at	at
где x = x(t), y=y(t) — неизвестные функции; f\ (/) ^0, f2(t) ^0 — фун-
кции, заданные на (а; Ь);	а2, Ь\, Ь2 — постоянные числа, называются
неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами. В случае fi(/)==0, f2(t)^O
система называется однородной.
Если 61=0 или а2=0, система решается как два линейных уравне-
ния первого порядка. Например, при 61=0
х = С|ва1/ + еа,/^ е Uytf{(t)dt\
для нахождения у следует решить уравнение
b2y = a2x(t)+f,2(t)
известным методом. Таким образом найдем общее решение. Оно будет
иметь вид x = x(t, Ci), y = y(t, Ci, C2).
Аналогично решается система при а2 = 0, но тогда общее решение
находится в виде х = х(/, Ci, С2), y = y(t, С2), причем сначала нахо-
дится y = y(t, С2), затем x = x(t, Ci, С2).
Если же 6ja2=#0, то систему можно свести к одному линейному
дифференциальному уравнению — однородному для однородных и неод-
нородному (при дифференцируемости fi (/) или f2(t)) для неоднородных.
Пусть 0, тогда
н2х dx	df ।
^-=a^+b'{a^+b^+f^}} + ^r-	(162)
Из первого уравнения системы (16.1) находим
232
*	_ dx 1 aix fi
У~ ~сН~Ь\	~b[
и подставляем в уравнение (16.2):
- (01 +м + (a162-a2/>,)x = 61f2(0-bJi (0 -
(16.3)
Эго уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, при
fi(t) ==f2(t) =0 оно однородное.
Решив уравнение (16.3), получим общее решение и, подставив его
в выражение для y(t), будем иметь второе двухпараметрическое семейст-
во решений: x=x(t, Ci, Сг), y = y(t, Ci, Сг), что и дает общее решение
системы.
Пример 16.31. Найти общее решение системы
=	Ъх + 2у + С
^. = -4х- у + е‘.
Решение. Так как Ь\ = 2у=0, систему можно решать
сведением к одному уравнению второго порядка:
^=5^-8х-2у+2е'+1.
Из первого уравнения системы имеем
тогда
^г-44г+3х=2е'-/+1-
dt1 dt
Характеристическое уравнение X2 — 4Х + 3 = 0, его кор-
ни Xi = l, ^2 = 3. Частное решение неоднородного уравне-
ния ищем в виде <pi (/) = аЛе*у ф2(/) =At-\-B. Здесь а= — 1,
4 = В=-1/3, т. е. Ф(/) =ф1(/)+ф2(/) = -/е/-(/+1)/3.
Общее решение уравнения второго порядка
х = С{е* + С2е3/ — tel-Ц-!-.
Из формулы (16.4) с учетом полученного выражения
х(/) имеем
233
У= -2С}е‘-С2е3‘+ ^-е‘+
Общее решение данной системы имеет вид
х(/, Cb С2) = Ciet+c2e3t—tet----
y(t, Сь С2) = -2Схе‘-С2е3,+	44-
Пример 16.32. Найти общее решение системы
4? = *х+«-
%=-*+»'
и частное решение при начальных условиях х(0) = 1,
4(0) =0.
Решение. Здесь b\ = 1 У= 0. Система сводится к урав-
нению второго порядка
d2jc. —4 — _р4х = 0
dt2 dt +
Характеристическое уравнение имеет вид X2— 4Х-4-
4-4 = 0, его корни Х1 = Хг = 2. Значит, х= (Ci 4-С20е ,
у = (С2 — Ci — Сг/)е2/. Общее решение
х = (G 4- С2) е2/, у = (- С\ 4- С2 (1 - /)) е2/,
частное решение для заданных начальных условий
х=(14-/)е2/, у= — te2t.
Пример 16.33. Найти общее решение линейной системы
Решение. Сводим систему к уравнению второго по-
рядка, получаем —4-р5х = 0. Характеристичес-
кое уравнение X2 — 4X4-5 = 0, его корни Xi,2 = 2 + Z. Об-
щее решение
х(/) ==e2/(Ci sin /4-С2 cos /),
234
Теперь
С,-С.	\
sin -----g—cos tj.
Общее решение системы
x(t) =e2t(Ci sin t + C2 cos t),
I у (f) = — e2'( C| tC2 sin /+ C-2 -2-C'- cos /)
В задачах 16.87—16.103 найти общее решение линей-
ных дифференциальных уравнений.
16.87.	у" + 5у' + 6у = 0.	16.88.	у"+9у=0.
16.89.	у" —7у'+10у = 0.	16.90.	у" — 6у' + 8у = 0.
16.91.	у" + 6у' + 9у = 0.	16.92.	у" + Зу' = 0.
16.93.	у"-4у' + 4у=0.	16.94.	у" —у' —2у = 0.
16.95.	у" + 2у'+17у = 0.	16.96.	у"—у'+у=0.
16.97.	у" — 6у'+Юу = 0.	16.98.	у" + 4у' + 4у = 0.
16.99.	у"-12у' + 36у = 0.	16.100.	у"+10у' + 25у = 0.
16.101.	у"- 25у = 0.	16.102.	у"-7у' + 6у=0.
16.103. у" + 6у' + 10у=0. В задачах 16.104—16.107 проинтегрировать уравнения			
методом вариации произвольных постоянных.
16.104.	у"+4у-
16.105.	у"-2у' + у =
16.106.	у" — у = 4^/х +	16.107. y" + y = tgx.
В задачах 16.108—16.119 найти общие решения урав-
нений.
16.108.	у" + 2у'—8у = 3х.	16.109. у" — 4у = 5х.
16.110.	у" — Зу'— 4у = х2 + 1.16.111. у" + у'=х3'
16.112.	у"+у' — 2у = е~х.
16.113.	у" — 9у' + \4у=е2х.
16.114.	у"-Ъу’ + 4у = ех.
16.115.	у" + 2у'+у = e~x.
16.116.	у"+у' —6у = е2х(х2—1).
16.117.	у" + 4у' + 4у = 2ех.
16.118.	у" + 2/+10у=—х2 + 3х.
16.119.	у"—4у' + 3у=3хе2х.
В задачах 16.120—16.126 найти общие решения урав-
нений вида
у" + ру' + qy = P(cos тх, sinmx).
235
16.120.	t/" + 2t/' + 2t/ = sin x.
16.121.	y" + 6y' + 25t/ = sin 2x.
16.122.	t/"+9f/ = sin 3x-j-x cos 3x.
16.123.	y" + 2y'+l0y= — sin 2x.
16.124.	— 6/ + 9i/ = cos 3x.
16.125.	t/"H-2#' —8i/ = 3 sin x-}-4 cos x.
16.126.	y" — 5z/ + 6i/ = 2 cos x.
В задачах 16.127—16.137 найти решения, удовлетво-
ряющие начальным условиям.
16.127.	у" +4t/' + 4t/ = 3e 2х, t/ = 0, у' = 0 при х = 0.
16.128.	у"+у = х, t/=l, t/' = 0 при х = л/2.
16.129.	y"-3y' + 2y = x2-x+l,y(0) = l,y'(0)=3.
16.130.	у"—y=sin хе2х, у(^Х = О, y'f^\ = l.
16.131.	у"-Зу' + 2у = х2е3х, 1/(0) =0, у'(0)=0.
16.132.	у"+Ьу' + 8у = 5е2х+х2.
16.133.	у"—у' = х2 — е3х.
16.134.	y"+y = ex + cosx.
16.135.	f/"4-*/ = cos x + cos 2х.
16.136.	у"4-у = 2 sin х+4х cos х.
16.137.	у" — 2у' -\-2у = хех sin х.
В задачах 16.138—16.151 найти общие решения линей-
ных систем.
16.138.
4f=2x+ ’
4-ЗХ + 4;,.
16.139.
dx
~di
5х 4~ Зу,
16.140.
16.141.
16.142.
16.143.
236
16.144.
dx	с J.
—гг — У — 5 cos /,
at v
^=2х+я-
16.145.
-^=2x+4t/-8,
-g-=3x+6i/.
16.146.
16.147.
16.148.
• 16.149.
16.150.
^=2х-4</,
4f = х-3у + 3е'.
dx л
тг-2х- я-
я~2х+<&1.
^=2х-«-
ai
-g- = 2у — х—5?.
^Г=3х—4у+ е~2‘,
~тг = x — 2y—3e~2t.
dt
' dx	,
w= у-cost,
— = — x + sin t.
16.151.
~гг— x~ i/+4cos2/,
dt	v 1
=3x—2t/+8 cos 2/H-5 sin 2t.
17.	РЯДЫ
17.1.	Сходимость числовых рядов
Числовым рядом называется выражение
al+°2+ - +on + -= Е ап’
п= 1
(17.1)
237
где числа аь аг, ..., ап называемые членами ряда, образуют числовую
последовательность; an = f(n) (/i=l, 2, ...) называется общим или
п~м членом.
Сумма конечного числа п первых членов ряда (17.1) называется
его п-й частичной суммой: Sn = ai + аг + •• • + ап.
Ряд (17.1) называется сходящимся, если последовательность (Sn) его
частичных сумм сходится к числу S, которое называется суммой этого
ряда, т. е. если lim Sn = S.
П —оо •
Если lim Sn не существует или равен бесконечности, то ряд назы-
П оо
вается расходящимся.
Ряд
*	оо
a + aq + aq*...-\-a(f 1 + ...= aqn \	(17.2)
п=1
составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем
q, называется геометрическим рядом.
Ряд (17.2) сходится тогда и только тогда, когда |<?| < 1, и его сумма
в этом случае выражается формулой
S = a/(l-<7).	(17.3)
Ряд
,+1+1+...+±+..^±.
<	п = 1
называемый гармоническим рядом, расходится.
Если в ряде (17.1) отбросить первые п членов, то получится ряд
оо
<2л +1 + Ол+гН- ••• -\-dn+m +... =	ak = rn,	(17.4)
Л=л 4-1
который называется остатком ряда (17.1) после п-го члена или п-м
остатком.
Если сходится ряд (17.1), то сходится и любой из его остатков (17.4);
наоборот, из сходимости остатка (17.4) следует сходимость ряда (17.1).
Если ряд (17.1) сходится и его сумма равна S, то и ряд
оо
са\ +са2 + ... + сал + ...= £ (сап) (c = const)
п = 1
также сходится и его сумма равна cS.
Если ряды
оо	оо
ai Ч-агЧ- —Ч-Дл + ...=	+ &2Н-... + 6л + ...= Ьп
n=l	n=l
сходятся и их суммы равны соответственно S и а, то ряд
(fli ±^1) + (О2±62) +...+^Ол±6л) +•••=	(Ол±6л)
п = 1
238
также сходится и его сумма равна Sdba.
Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (17.1) сходится,
то его п-й член стремится к нулю при п->оо, т. е. lim сл = 0.
П оо
Следствие: Если п-й член ряда не стремится к нулю при п->-оо,
то ряд расходится.
Пример 17.1. Написать первые пять членов ряда, п-й
член которого задан формулой
Решение. Полагая в данной формуле п=1, 5, по-
лучаем:
_ 1 + 1 _ 2	__ 2 + 1 _ 3 _ 1	__ 3+1 _ 4
а,~	1-3'	3’ й2~ 2-32 ~ 2-9	— 6’	3	З-З3	81’
_	4+1 _ 5 _ 5+1	_	6	2
04 “	4.34 — З24’а5— 5-35	— 1215 —	405’
и ряд можно записать в виде
— + — + — Ч—-—|—-—h —+
3 ' 6 ~ 81 ~ 324 ' 405
 п+1 |	_ у п+1
г п-3"	п-З" ’
п = 1
Пример 17.2. Найти формулу п-го члена ряда
q_.1i_2L_.LL.
Решение. Каждый член данного ряда, начиная со
второго, представляет собой дробь, числитель которой —
степени числа 3, а знаменатель — третья степень числа
п. Первый член 3=у = ^з. Таким образом, а„ = Зл/п3.
Пример 17.3. Найти общий член ряда
1.1г1.1 .
3 З2 З3 З4
Решение. Числители образуют арифметическую про-
грессию 1, 3, 5, 7, ..., п-й члены которой находятся по форму-
ле bn = &i+d(n— 1). Здесь b\ = 1, d = 2, поэтому
Ьп = 2п — 1. Знаменатели образуют геометрическую про-
грессию 3, З2, З3, З4, ..., п-й член которой 6л = Зп. Следова-
тельно, п-й член ряда имеет вид
ап= (2п —1)/Зл.
239
Пример 17.4. Найти сумму ряда
1 +	— ч—-—I—-—н
“ 5 ’ 25 “ 125 ’ 625
Решение. Данный ряд есть гармонический ряд со
знаменателем <7=1/5. Так как q<Z 1, то ряд сходится, и по
формуле (17.3) получим
s=—1—= А
1-1/5	4’
Пример 17.5. Пользуясь определением, установить схо-
димость ряда
_! . .1- j_____1_ j________!_______|_
1-3 “ 3-5	5-7 '	' (2п—1) (2n-|-1)
и, если ряд сходится, найти его сумму.
Решение. Общий член ряда а„= —-------J———т—
г	(2п — 1 ) (2п +1)
представим в виде
1 __ л в
(2n-l)(2n+l) ““ 2п — 1 + 2п+1
и найдем числа А и В методом неопределенных коэффи-
циентов:
1	_ А	В _ 2Ап + А + 2Вп — В
(2п-1)(2п + 1) ““ 2п— 1 “* 2n-H “ (2п—Г) (2л-|-1’
Отсюда
1=2Ап+А + 2Вп-В, 2Л+2в = 0Л=>
А— В = 1 /
л 1 о	1
=> А=—, В=-т.
~	1/2	1/2
Тогда ап = —-----9 "г  и, следовательно,
В этой сумме все слагаемые, кроме первого и послед-
него, уничтожаются, поэтому
е - ± _
2 2п+Г
240
Следовательно,
Hm Sn = lim /Ц----= V»
n->-oo	n->oo у 2	2/i -|“ 1 /	2
т. e. ряд сходится и его сумма равна 1/2.
Пример 17.6. Исследовать сходимость ряда
7 + 4 + 1+-4-7Г+6 +-
Решение. Данный ряд получен из гармонического
отбрасыванием первых семи членов, следовательно, он
расходится.
Пример 17.7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Так как
lim ап = lim -5-—-
т. е. общий член не стремится к нулю при п->оо, то ряд
расходится (на основании следствия из необходимого при-
знака сходимости ряда).
В задачах 17.1 —17.6 написать первые 5 членов ряда
по заданному общему члену.
17.1.	ап—
17.2.	ал=^-(п! = 1.2.3.--л).
17.3.	а„ =	17.4. ап =
fl	п\
«те	( — I)"-1	2п2 + 1
17.5.	ап— („+3)5»-1- 17-6. ап —
В задачах 17.7—17.12 написать формулу общего члена
ряда.
17-7-	4 + 4 + I + 4+-
17.8.	±-± +А_±+...
О	*т	□
In 2 , lri\3 . In 4 In 5 .
17-9- — +-9-+-jT + “2Г+•”
1 (л/2)	, sin (n/4)	, sin (n/6) . sin (n?
IT ~
241
17.11. 1— — + — —
2! ‘ 3!	4! “
17.12. arctgy +arctgy 4-arctg-^- +arctg+„.
В задачах	17.13—17.18	найти сумму	ряда.
оо	1	оо	14
17 14 У		17 14 У .	
п= 1	"(п + 2) ’	п— 1	(7п-3)(7п + 4) '
оо	1	оо	1
17.15. У	1	. 17.16. у	1
п = 1	(Зп-2)(Зп4-1)	L-t п = 1	п(п+1) (п+2) 
оо 17 17 У	3-п	оо 17 1Я У	2п+1
.4 = 1	п(п + 1)(п + 3) '	1 /.1 О. Д п = 1	Л2(п4- I)2 '
В задачах 17.19—17.24 исследовать сходимость ряда,
используя следствие из необходимого признака сходи-
мости.
17.21. X у-	17.22. Z(1+-Y-
„=, «(«-о ДА
17.23. £ п sin	17.24. £ п2-п+2
71 = 1	п =1
17.2. Признаки сходимости и расходимости рядов
Первый признак сравнения: пусть даны два ряда с положительны-
ми членами:
оо
У О'п — а\ 4-^2 4"°з4"4"Дл4“•••»
п= 1
оо
У bw = di4"^г4"^з4"•••4"6«4"•••
п = 1
(17.5)
(17.6)
и выполняется неравенство ап^.Ьп (для всех п или с некоторого номера
n = N). Тогда если сходится ряд (17.6), то сходится и ряд (17.5); если
расходится ряд (17.5), то расходится и ряд (17.6).
Второй признак сравнения: если существует конечный и отличный
от нуля предел
lim ^-=/=/=0,
П -> ОО О Л
то ряды (17.5) и (17.6) одновременно сходятся или одновременно рас-
ходятся.
242
Признак Д'Аламбера: если для ряда (17.5) существует предел
lim ^±L=l,
n » an
то при I < 1 ряд сходится, а при / > 1 расходится.
Признак Коши: если для ряда (17.5) существует предел
lim ^=Z,
то при /<1 ряд сходится, а при />1 расходится.
Интегральный признак Коши — Маклорена: пусть члены ряда (17.5)
не возрастают (ai ^а2^...^ая^...) и существует функция f(x), кото-
рая определена для х^1, непрерывна, не возрастает и f(n)=an
(п=1, 2, ...), тогда для сходимости ряда (17.5) необходимо и доста-
оо
точно, чтобы сходился несобственный интеграл J f(x)dx.
1	1
РЯД	оо
Z i = 1 + F + F+- + i + ”
п = 1
называется обобщенным гармоническим или рядом Дирихле, он сходится
при а>1 и расходится при а^1.
Пример 17.8. Исследовать сходимость ряда
Z т4;гг = 1+Тз +т!зг + т!зг+-"+^4=г+"-
п — 1
Решение. Сравним данный ряд с геометрическим
рядом
qrt-i = 1 -h y ’Ь V -Ь чз -h • • • -h nn-г +•••
О	ООО	о
п — 1
11	°°
Так как   у-, Си ряд X zzzr сходится (гео-
метрический ряд со знаменателем q = 1 /3 < 1), то на осно-
вании первого признака сравнения заключаем, что данный
ряд также сходится.
Пример 17.9. Исследовать сходимость ряда
у. 2п + 1
n3 + 3n- 1 ’
п — 1
Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармо-
ОО 1
ническим рядом £ —, который сходится, так как
п — 1
а = 2> 1. Имеем
243
lim £ = Hm	= lim	= 2.
t-^oobn n^ rt3 + 3n —1 n_^oo n3(l-4-3/n2—1/Z23)
Так как / = 2#=0, то на основании второго признака
сравнения заключаем, что исследуемый ряд сходится.
Пример 17.10. С помощью признака Д’Аламбера ис-
оо
Zn\
р+Г-
м = 1
Решение. Поскольку а„=ап+1=	и
г а-+1 г	(«+1)!2'1+1	1 ..	. , ,.
lim -J-= lim — = v 1,m (n + 1) = <»>!,
1-к оо ип	Пею Z	' п
данный ряд расходится.
Пример 17.11. С помощью признака Коши исследовать
сходимость ряда
у
L 4п ( п ) '
п = 1	'	'
Решение. Имеем
Так как I— у < 1, то ряд сходится.
Пример 17.12. Исследовать сходимость ряда
Решение. Применим интегральный признак Коши —
Маклорена. По виду общего члена найдем функцию f(x):
fM =
14-х3'
Вычислим несобственный интеграл:
оо	оо	2
( f(x)dx=	{ ——~dx= lim-
J	J	14-Х3 Д-оо
i	i
x2dx
14-х3
244
= Д- lim (In (1 Н-Л3) — In 2) = oo.
A-+ oo
Интеграл расходится, следовательно, и ряд расхо-
дится.
В задачах 17.25—17.32 с помощью признаков сравне- ния исследовать, сходится или расходится ряд.			
17.25.	у	2"	00	1 17	V *
	L, п — 1	1+22я‘	1 / .zv. /
			
17.27.	оо у	1	00	1 		17 9ft V	:	
	Zu п = 1	(п + 1)2"	17,“8‘ 2. 1П (п+1)- п = 1
			
17.29.	оо у	2« + 1	17 зо У	1
	/	п 1/п +3	жж eOvFe	/	_	f— • Зп + д/7г п = 1
	/1 = 1		
17.31.	оо у	п — yfn	оо	о 17.32. У -^±1.
	/	п2—п	
	п = 2		
В задачах		17.33-	17.38 исследовать сходимость ряда
с помощью признака Д’Аламбера.			
17.33.	оо у	п.	- 17 34 У —
	L п— 1	2"(3п —1	1 / .От. / )	3я
			
17.35.	оо у	п2	17.36. У -5—.
	L-л п — 1	5"’	п=. п-зя
•7.37.x п— 1	17.38. у n!V2^+5 Z-J	9П /1=1	z
В задачах 17.39—17.44 исследовать по признаку Коши
сходимость ряда.
17.39.	оо у / 2п \п	17.40.	У (—Зп	V
	ДД3л+‘л 00	1 у	—		ДДп+^+5^ У arcsin"—.
17.41.		17.42.	
17.43.	1пЯ(л+1) У arctg” у. п— 1	17.44.	п п= 1 У 1 /” + iy2 бЛ « ) '
В задачах 17.45—17.50 исследовать сходимость ряда
с помощью интегрального признака.
245
17.46.	£ ----------L-------
(n-bl)ln2 (n+1)
• oo	oo
17.47.	У . , ,.,1 .	. 17.48. У
(n4-l)ln (n4-1)	ь
n=l	n=l

17.3. Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд, членами которого являются действительные числа произволь-
ного знака, называется знакопеременным.
Знакопеременный ряд
оо
I \=61+*2 + ... + *п + ...	(17.7)
п = 1
сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т. е. ряд
оо
X |6n| = |&1l + |i2|+...+ |6n|+...	(17.8)
п = 1
В этом случае ряд (17.7) называется абсолютно сходящимся. Если ряд
(17.7) сходится, а ряд (17.8) расходится, то ряд (17.7) называется ус-
ловно или неабсолютно сходящимся.
Вопрос о сходимости ряда (17.8) как ряда с положительными чле-
нами исследуется с помощью признаков, рассмотренных в § 17.2.
Знакопеременный ряд, у которого любые два соседних члена имеют
разные знаки, называется знакочередующимся.
Рассмотрим знакочередующийся ряд
оо
X (-l)n+4 = ai-a2+a3-a4+-+(-l)n+4 + - (17.9)
п= 1
где ал>0 (п = 1, 2, 3, ...).
Признак Лейбница: если для знакочередующегося ряда (17.9) вы-
полняются условия ai	.^an^an+i lim an = fy то ряд
П->- оо
сходится и его сумма не превосходит первого члена, а остаток ряда гп
удовлетворяет неравенству |rrt|^art+i.
Таким образом, при замене суммы сходящегося знакочередующего-
ся ряда суммой п его первых членов погрешность (ошибка) не превы-
шает абсолютного значения первого из отброшенных членов.
Пример 17.13. Исследовать сходимость ряда
оо sin /-j- (2п — 1)\
246
Решение. Данный ряд является знакопеременным.
Составим ряд из абсолютных величин его членов, т. е. ряд
Так как | sin (у (2п — 1))|	1, то каждый член ряда
(17.10) не превосходит соответствующего члена геометри-
ческого ряда
оо
Z
п = 1
1
5П—1

который сходится (<7=1/5<1). Следовательно, согласно
первому признаку сравнения, ряд (17.10) сходится. По-
этому сходится и данный ряд, причем абсолютно.
Пример 17.14. Исследовать сходимость ряда
Л/л
Решение. Этот ряд является знакочередующимся.
Исследуем его по признаку Лейбница. Так как
1> -U- > -U- >...> -4= >..., lim ап= lim =0
У 2	уЗ	у п	п->оо	п—»- оо \ я
(т. е. выполняются условия признака), то данный ряд
сходится.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин
членов исследуемого ряда:
Это обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), ко-
торый расходится (а=1/2<1). Таким образом, данный
знакочередующийся ряд сходится условно.
Пример 17.15. Сколько членов ряда
247
i (—о" !—^+^3 — ^+-+
n = l
+ (-l)n~'^+-
нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до
0,0001?
Решение. Ряд является знакочередующимся рядом,
удовлетворяющим условиям признака Лейбница:
1 1 _1_ 1_ 1
22 З3 44	*” пп
lim а== lim — =0.
и	fl
П —► ОО	п _* ОО П
Следовательно, данный ряд сходится, причем абсолют-
но, поскольку ряд
Ё I <-)-'?! - 1 i
п = 1	п=1
является сходящимся (по признаку Коши
lim д/ |а„| = lim д/ 1 /п" — 0< 1).
П оо	п —ОО	(
Чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью,
необходимо найти такой, член, абсолютная величина кото-
рого меньше 0,0001, т. е.	Это неравенство
выполняется, когда п = 6 (и при п > 6), так как
а6= ;g-Lz~ < .лLn • Следовательно, для вычисления с за-
4о bob 10 UUU
данной точностью нужно взять пять первых членов ряда:
1---— 4- — 4- 4- (— I)"-1 — 4- «
22 t- зз +	Пп Т-~
« 1-4- + А--4- + -Т = 0,78345 « 0,7835.
22 З3 44	55
В задачах 17.51 —17.59 исследовать, сходится абсо-
лютно или условно или расходится знакопеременный ряд.
17.51.	У	п.52. У sin <«+»..
248
(1 ) »(»+ 0/2
17.53. X
п = 1
17.55.
( — 1)"3П
(5л 4-1)!'
17.57. £(— 1)пд/«(«2+1)-
п — 1
|7И- Z
Л=1
17.56.
п = \ уп
17.58. У
Зп2 + 7л+1
1
17.60.	Сколько членов ряда £ -----*--нужно взять,
п = 1
чтобы вычислить его сумму с точностью до: 0,01; 0,001?
V1 (— 1 )п
17.61.	Сколько членов ряда )	3- нужно взять,
чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01?
В задачах 17.62—17.65 с точностью до 0,01 вычислить
сумму ряда.
17.62.	У
п4
. 17.63. У -Ц-
2п2
17-64- Z -Цгг— ,7-65- Z
(2п)!
(-1)п
п2-2п
17.4.	Функциональные ряды
Ряд вида
оо
U] (х) -hu2(x) -h...-hun(x) 4-...= £ Un(x),
n= 1
(17.11)
где ut(x) (/=1, 2, ..., n, ...) —функции, определенные на некотором
множестве X, называется функциональным рядом.
Сумма
Sn(x) (х) 4-м2(х) -h...-hun(x) = £
Л = 1
называется п-й частичной суммой, а выражение
оо
rn(x) = urt+1(x)4-un+2(x)-|-...= £ Uk(x')
k = n+ 1
249
называется остатком ряда.
При каждом конкретном xq^X функциональный ряд (17.11) превра-
щается в числовой ряд
оо
и\ (х0) -|-И2(хо) + ••• 4"ИЛ (хо) 4~...= Нл(хо), (17.12)
п= 1
который может оказаться сходящимся или расходящимся. Если число-
вой ряд (17.12) сходится, то говорят, что функциональный ряд (17.11)
сходится в точке х0, и хо называется точкой сходимости. Если ряд (17.12)
расходится, то хо называется точкой расходимости функционального
ряда (17.11).
Совокупность значений х£ X, при которых функциональный ряд
(17.11) сходится, называется областью сходимости этого ряда, а суммой
ряда — функция
п
S(x)= lim Sn(x)= lim У и&(х).
п—^оо
Для сходящегося ряда справедливо равенство S(x) =Sn(x) -j-rn(x),
причем lim rn(x)=0.
It-*- OO
Функциональный ряд (17.11) называется абсолютно сходящимся
оо
если сходится ряд £ | ип (х) |.
п= 1
Для определения области сходимости функциональных рядов можно
использовать признаки сравнения, Д’Аламбера, Коши, считая х фикси-
рованным. С помощью этих признаков функциональный ряд исследу-
ется на абсолютную сходимость. Так, например, если
lim I —+	1 =L(x) или lim ^ \un(x) | = L(x),
П —OO I Un(x) I	tl —► OO
то ряд (17.11) сходится абсолютно для х, удовлетворяющих неравенству
Л(х)<1, и расходится для тех х, для которых Л(х)>1.
Пример 17.16. Найти область сходимости ряда
оо
1
п — 1
1
п(х + 3)п’
Решение. Считая х фиксированным, применим при-
знак Д’Аламбера к ряду, обставленному из абсолютных
оо
величин данного ряда, т. е. У I ----------1 . Так как
I П(Х + 3)П |
| п(х + 3)” I ’ lUn+‘(X) I — I (п + 1)(х + 3)'
lim I,“-+'(*) | = lim I__________+ ____________l =
u„(x) |	n"" | (n + l)(x + 3)"+1 I
250'
П^ао I (fl 4" 1) (Х Н“ 3) I
= -—— lim —= -—Ц— = L(x),
|x -f- 3| n->-oo n -f- 1 |x -f- 3|
ряд абсолютно сходится, когда
Цх) = Т7ТзГ<1^ 1Х + 31 >1^х+3<-1,
х + 3> 1=> — оо <Х< — 4, — 2<Х< + ОО.
Точки х =—4 и х =—2, для которых L(x)=l и при-
знак Д’Аламбера не решает вопрос о сходимости ряда,
исследуем отдельно. При х=—4 получаем числовой ряд
у 1 = у
L п(-\у	L	п ’
п= 1	п=1
который сходится по теореме Лейбница; при х=— 2 по-
ОО I
лучаем числовой ряд £ — (гармонический), который
п = 1
расходится. Следовательно, область сходимости данного
функционального ряда состоит из промежутков (—оо;
— 4], ( — 2; + оо), т. е. (— оо; —4]U(—2; +«>).
Пример 17.17. Найти область сходимости ряда
X П(Х2+1).
П=1
Решение. Зафиксировав произвольным образом х,
получим числовой ряд с общим членом ип(х) =м(х2+ 1).
Вычислим
lim |un(x)|=lim n(x2+l) = oo
при любом х. Таким образом, необходимый признак сходи-
мости не выполняется, поэтому при любом х исследуемый
функциональный ряд расходится, т. е. область сходимости
ряда — пустое множество.
Пример 17.18. Найти область сходимости ряда
Z
хп sin пх
п\
Решение. Зафиксируем х и рассмотрим ряд, состав-
ленный из абсолютных величин членов данного ряда, т. е.
251
Z|^|-
n = 1
К этому ряду применим признак сравнения, взяв в каче-
стве сравниваемого ряда сходящийся при любых значени-
ях х ряд | “т| • Действительно, по признаку
п— 1
Д’Аламбера
lim I	_ iim I *	„ I = |x| lim ^0< 1
„-„I u„(x) |	„^«,1 (п + 1)!хл|	^»n+i
при любом %y=0. При x=0 очевидно, что ряд
00
ш
Л = 1
сходится.
Так как |sinx|<l, то | *	|	| £_| Отсюда
по первому признаку сравнения, следует, что ряд
у I хп sin пх I
I '
Л = 1
оо	.
Zx sin пх
——— сходится абср-
п = 1
лютно при любом х, т. е. область сходимости данного
ряда — интервал (— оо; оо).
В задачах 17.66—17.71 найти область сходимости функ-
ционального ряда.
17.66.	00	1 У —	17.67.	00	1 у	!_	
	х • Я=1 п		П = 1 (Sn-ljx2"-
17.68.	ОО	. и у 'g * L п п—1	17.69.	ОО Z s,n — л = 1
17.70.	у п!	17.71.	оо У 2
	7"”’ л=1 Х		
252
17.5.	Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
оо
а04-а1 (х— хо) +а2(х— х0)2 +... + а«(х — х0)* + ...= £ ап(х — х0)п,
п = 0
(17.13)
где Оо, Qi az, ая, ...— действительные числа, называемые коэффициен-
тами ряда.
При хо = О степенной ряд принимает вид
оо
(io4“	4“ОаХ2 -р ••• 4"&пХп 4”... = &лХЛ •
п = 0
(17.14)
Степенной ряд (17.14) всегда сходится по крайней мере в точке
х = 0, а ряд (17.13) —в точке х = хо. Ряд (17.14) называется рядом по
степеням х, а ряд (17.13) —по степеням х — х0. Ряд (17.13) сводится
к ряду вида (17.14) заменой переменной по формуле х — х0 = у.
Теорема Абеля: если степенной ряд (17.14) сходится при х = хо
(Хо5^-О), то он сходится абсолютно при всех х, удовлетворяющих усло-
вию |х I < IХо I. Если же ряд расходится при х = хь то он расходится при
всех х, удовлетворяющих условию |х| > |xi|.
Радиусом сходимости степенного ряда (17.14) называется неотрица-
тельное число R, такое, что при |х| </? ряд сходится, а при |х| >/? рас-
ходится. Интервал ( — 7?; R) называется интервалом сходимости ряда.
Если степенной ряд (17.14) сходится на всей числовой оси, то R= оо,
если он сходится только при х=0, то R = 0.
Радиус сходимости можно вычислить по одной из следующих
формул:
Л = Пт |-±-1, Л=-----------1-----.
n_oo|a„ + l|	)im
П~> оо ’
Этими формулами выражается и радиус сходимости ряда (17.13); ин-
тервалом сходимости этого ряда является (хо — /?; х04-Я)«
Всякий степенной ряд вида (17.14) имеет свой радиус сходимости R
и интервал сходимости ( — R; R). На концах интервала сходимости,
т. е. при x——R, x = R, ряд может либо сходиться, либо расходиться.
Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда отдельно. Следо-
вательно, областью сходимости степенного ряда (17.14) будет являться
его интервал сходимости (—7?; R) с возможно присоединенной к нему
одной или двумя точками в зависимости от того, как ведет себя ряд на
концах интервала.
Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно диф-
ференцировать и интегрировать, при этом полученный степенной ряд
имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
Пример 17.19. Найти область сходимости ряда
Л = 1
253
Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда.
Имеем:
ап= ап+‘= („+1)^3" ,/?=Лтоо1	=
= lim|2^| =3 Ит-^=3.
Значит, ( — 3; 3)—интервал сходимости.
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходи-
п	о	V ( —1)"3
мости. При х=—3 получаем числовой ряд / -—/—,
п = 1
который сходится по признаку Лейбница, при х = 3—
ОО з
числовой ряд £ —, который сходится (см. обобщенный
п = I
гармонический ряд). Следовательно, область сходимости
данного степенного ряда — отрезок [ — 3; 3].
Пример 17.20. Найти область сходимости ряда
у (Х-Н)п
L>	—го ‘
п = 0 7Л + 2
Решение. Этот ряд является степенным рядом вида
(17.13), где ап = -г—, х — х0 = х+ 1,-хо = — 1. Сдела-
ем замену х-)-1=у, тогда исходный ряд примет вид
оо	п
У ------. Найдем его радиус и интервал сходимости:
n=o Vn + 2
з____
/?= lim I -^1 = lim I -^±11 =1,
т. е. /?=1 и (—1; 1) —интервал сходимости.
Исследуем поведение ряда У апуп на концах интер-
л= 1
вала сходимости. При у = — 1 получаем числовой ряд
/	---—, который сходится по признаку Лейбница; при
п = 0 V" + 2
ОО
у= 1 — числовой ряд У - который расходится по
n = 0 Vn + 2
254
второму признаку сравнения (сравниваем его с расходн-
ое
щимся обобщенным гармоническим рядом У —^.Та-
п = 1
ким образом, областью сходимости ряда
Z
п=0
яв-
ляется промежуток [—1; 1).
Так как z/ = %4-l, получим —	или
— 2<х<0, т. е. область сходимости данного ряда —
полуинтервал [ — 2; 0).
Пример 17.21. Определить область сходимости ряда
оо
£ п"хп.
п= 1
Решение. Найдем радиус сходимости:
1
Пт п
П-+ оо
= 0.
Следовательно, область сходимости данного ряда —
одна точка х = 0.
В задачах 17.72—17^80 найти область сходимости сте- пенного ряда. 17.72. £п!(х—3)л. 17.73. £ -£. п=1	П—1			
17.74.	у (х— 1)"	17.75. £ П=1	хп
	Zj	пП п = \	Z		п(п + 1) 
17.76.	у (х + 2)"	17.77. £ П=1	хп +2
	Д п(5л+1)’		2п24-1 ’
17.78.	у (х—2)лп!	оо 17.79. £ п = 1	2п-1х2п-1
	А (2п)! ’ п = 1		(4n —З)2 ’
(х-1)2п
, 32п(Зп + 2)
17.80. £
п =
17.6.	Ряды Тейлора и Маклере на.
Разложение функций в степенные ряды
Если функция f(x) в некоторой окрестности точки х0 имеет произ-
водные любых порядков, то степенной ряд
255
/(*о) + (х-хо) +	(х-хо)2 + ...+
+ ^Ц^(х-Хо)л + ...= у [^)(х_хо)«	(17.15)
я!	а-* п\
п = О
называется рядом Тейлора функции f(x) в точке х0. Если хо = О, то ряд
,(о)+т,+ £1»1лЧ...+1“№>Л.+..._ у т*.
1!	2!	п\	п\
н=0
называется рядом Маклорена.
Ряд (17.15), составленный для функции /(х), как всякий степенной
ряд будет иметь интервал сходимости и сумму, причем сумма может
быть и не равной f(x). При каких условиях ряд Тейлора функции f(x)
сходится к f (х) в некоторой окрестности точки хо, т. е. сумма ряда (17.15)
будет совпадать с функцией /(х)?
Для сходимости ряда Тейлора (17.15) к функции f(x) необходимо
и достаточно выполнения условия
lim /?я(х)=0,
П ОО
f(« + I) (Ь\
где Rn(x) ==	——- (х — х0)л+1; Ь = хо4~0(х —х0)	(0<0<1) и х
I * Н
принадлежит некоторой окрестности точки хо.
Если функция f(x) является суммой степенного ряда в каком-либо
промежутке, то говорят, что f(x) в этом промежутке разлагается в сте-
пенной ряд.
Практически важное достаточное условие разложения функции в
ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого
порядка функции /(х) ограничены в окрестности U(хо) точки х0 одним
и тем же числом С, т. е. \f{n) (х) i (n = 1, 2, 3, ...), то ряд Тейлора
этой функции сходится к f(x) для любого х из этой окрестности.
Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение
единственное.
Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена) некоторых
элементарных функций:
X х2 х3	хп
еХ=1 + 1Т + -2Г + -зГ+-+-лГ+- (—<*< + ").
_ X х3 х5 X7 , / 1Чл X2n+1
s,nx=T! +	+ -+(-0 (2n+1)! +•••
( — OO <X< 4- oo),
„2	4	6	2n
— •--гг + ^Г+	-w+-
(— oo<C%0-}-oo),
x2 x3 x4	1 xn
In (1+x)=x- — + -----------+...+ (-1)'’-' -:-+...
2	3	4	n
(- 1 <x< 1),
256
<> +,)--! + " « ( 2*5=0./+	?+...+
1!	41	о!
, т(т — 1) • • • (т —«4-1) л ,
+	-	х +...
Последнее разложение имеет место при любом действительном числе
т, если — 1 <х< 1.
Пример 17.22. Разложить в ряд Тейлора функцию
f(х) = х3 — Зх24-8х — 2 в окрестностях точки х0=1.
Решение. Вычислим значения функции и ее произ-
водных при х=1:
f(x)=x3—Зх2 + 8х-2,	f(l)=4,
f'(x) =3х2 —6х-)-8,	Г(1)=5,
Г(х)=6х—6,	Г(1)=о,
Г(х)=6,	Г(1)=6,
Г(х)=Л(х)=...=/(п)(х)=0.
Очевидно, что производные данной функции в окрест-
ности точки хо=1 ограничены одним и тем же числом,
следовательно, функция может быть представлена в виде
суммы ряда Тейлора:
хЗ_3х2_8х_2 = 4+	(х-1)+ 1 (Х-1)Ч
+ 4 (х- 1)3+0 + ... = 4 + 5(х-1) + (х-I)3.
Пример 17.23. Разложить в ряд Тейлора функцию
f(x) = l/x2 в окрестности точки х0= — 1. Найти область
сходимости полученного ряда.
Решение. Вычислим значения функции и ее произ-
водных при х= —1:
/(-!) = !; Г(х) = -4. Г(1)=2; Г(х) = 4>
х	х4
f"(-l)=6; Г(х) = -4, Г(-1)=24;
X	X
f'v( — 1) = 120; ...
Составим ряд Тейлора (17.15) для данной функции:
i + £(x+i) + ^-(x+i)2+4u+i)3+
+	(*+1)4 + ..-= 1 +2(х+ 1)+3(х+ 1)2 +
+ 4(х+ 1)3+5(х+1)4 + ...= £ (n+l)(x+l)n. (17.16)
л=0
Найдем радиус сходимости полученного ряда:
9 А. В. Кузнецов и др.
257
ап
R = lim I -^-1 = lim = 1.
n^ool an+l I n_^oo n + 2
Тогда интервалом сходимости будет |x-j-l|<l или
— 2<х<0. На концах интервала сходимости, т. е. при
х = —2 и х = 0, ряд расходится. Следовательно, ряд Тей-
лора (17.16) сходится к функции /(х) = 1/х2 при
— 2<х<0.
Пример 17.24. Разложить функцию (1+х)е-х в ряд
по степеням х.
Решение. В разложении функции е* заменим х на
— х2. Получим
е~^
х4	х6 . х8
2!	"зГ + ТГ
Двучлен 1 -j-х рассматриваем как степенной ряд, у ко-
торого коэффициенты всех членов, кроме двух первых,
равны нулю и который сходится на всей числовой оси.
Умножив этот ряд на ряд Маклорена для функции
е”*2, получим искомое разложение в ряд данной функции:
2	/ х2 х4 х6 х8 \
(Ц-х)(1 +х)( 1 -	+ ^-+...) =
__ .    х2	х3  х4 . х5	х6	х7
—	fi	[f + ~2Г -Г ~2!	зГ	"зГ -Г
х8 х9
+ 1Г + 1Г +•••’
которое справедливо, т. е. сходится к данной функции,
при всех значениях х.
Пример 17.25. Разложить в ряд Маклорена функцию
Дх) = 1п4±£
1 I X
Решение. Имеем In = In (1 +х) — In (1 —х).
Воспользуемся разложением функции In (l-j-х). Тогда
1/1	\	/	\	(— х)2 I (— х)3	( — х)4
1П ( 1 -X) = ( —X) - ' 2	4-	----------h
.	(— X)5 .	х2 х3 х4 х5
+ хт^+-=-х-т-у-т-т--
(-1 <х< 1).
258
Следовательно,
In =ln (1 +*) — In (1—*)=(* — ~ + у —
“*e+4+^+-)=2^ (-><«»
'	4 * * 7 n = l
В задачах 17.81 —17.86 разложить данные функции в
ряд Маклорена.
17.81. ?(х)=х2е~\
17.83. f (х) = cos 5х.
17.85. / (х) = 1/д/ 1 Н-х3.
17.82.	f(x)=ln (х+3).
17.84.	f(x)=sin (х/4).
17.86.	/(х) = д/1—х3.
17.87.	Разложить функцию f(x) = х3 — 2х2 — 5х — 2 в
ряд по степеням х-]-4.
17.88.	Разложить функцию f(x)=cosx в ряд по сте-
пеням х — л/2.
В задачах 17.89—17.92 разложить в ряд Тейлора функ-
цию в окрестности точки хо. Найти область сходимости
полученного ряда.
17.89.	f(x)=lnx, х0=1.	17.90. f(x)=ex, х0=—2.
17.91.	f(x) = l/(l — х),х0 = 2. 17.92. f (х) =^/х, х0 = 4.
17.7. Применение рядов в приближенных вычислениях
Разложение функций в степенные ряды позволяет применять эти
ряды для приближенного вычисления значений функций, определенных
интегралов, решения дифференциальных уравнений. Для вычисления
приближенного значения функции в ее разложении в степенной ряд
сохраняют первые п членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы
получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оце-
нить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный,
то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно
убывающей геометрической прогрессией. Если ряд знакопеременный и
члены его удовлетворяют признаку Лейбница, то используется оценка
А< | ип-j. 11, где ип+1 — первый из отброшенных членов, т. е. ошибка
приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины перво-
го из отброшенных членов.
4 ,-
Пример 17.26. Вычислить д/17 с точностью до 0,0001.
Решение. Преобразуем данное выражение:
!Д7 = V16+T = \/|б(1+4) =2(1 + 4),Я
259
Для его приближенного вычисления применим разложение
функции (1+х)т в ряд Маклорена (см. § 17.6), полагая
т=Т’ х=4г (x=-iVe<-1;
Л 4- —\‘/4 = 1 4-	1________ЬЗ_____
Л 16 J	Н-4-16	2! -4.4-162
+ . Ь3‘7________...= 1+ -J__________LA.
31-4-4-4-163	4-16	4-8-162
----!-3-7	_...= 1 + 0,01562—0,000374-0,00001—...
4-8-12-163
Полученный ряд является рядом Лейбница. Четвер-
тый член этого ряда по абсолютной величине меньше
0,0001 /—1 3*7--- ~ 0,00001 <0,0001\ поэтому его и
\4-8-12.163	/
следующие за ним члены можно отбросить. Отбросив
четвертый член, мы допустим ошибку А <0,0001. Сле-
довательно,
^/17 «2(1+0,01562-0,00037) «2,0305.
Пример 17.27. С точностью до 0,001 вычислить In 1,2.
Решение. В разложении функции In (1+х) в ряд
Маклорена положим х = 0,2. Получим
О о2 n 93 О 94
In 1,2=In (1+0,2) =0,2-	+...«
Z	О	т*
« 0,2 - 0,02 + 0,00266 - 0,0004 +...
Абсолютная величина четвертого члена этого ряда меньше
0,001, поэтому достаточно взять сумму трех первых
членов:
In 1,2 «0,2-0,02+ 0,0026 «0,183.
1
Пример 17.28. Вычислить S1”-dx с точностью до
0,0001.
Решение. Неопределенный интеграл	не
выражается в элементарных функциях, поэтому при вы-
числении данного определенного интеграла формулу Нью-
тона — Лейбница применить нельзя. Воспользуемся раз-
ложением функции sinx в ряд Маклорена:
260
Так как -Д— <0,0001, для вычисления интеграла
оо 2о0
с заданной точностью нужно взять три первых члена раз-
ложения:
+<йо»> 0,9461.
В задачах 17.93—17.106, пользуясь соответствующими			
рядами, провести вычисления с точностью до 0,0001.			
17.93.	V26-	17.94.	д/1.06. 17.95. -/130-
17.96.	In 1,5.	17.97.	In 3.	17.98. l/Ve.
17.99.	sin 12°.	17.100.	cos 25°. 17.101. sin 20°
	1/4		1
17.102.	Г	dx	17.103.	fl • x J \ — sin — dx.
	5 Vl+x3 1	1	J x	4 i
17.104.	e~xidx. 0	17.105.	cos x2 dx.
1/4
17.106. J V 1 +x3dx.
о
ОТВЕТЫ
Глава 2
2.1. (3; 1; 1). 2.2. (1; 2; -2). 2.3. (2; -2; 3). 2.4. (3; 4; 5). 2.5. Система
несовместна. 2.6. xt — 1/16(8 + 24х2 — х4), х3 =—11/8x4. 2.7. xi —
= — 1 1/7х3,х2= —1/7х3.2.8.Х1 = 1 /17(Зх3 — 13х4),х2= 1 /17(19х3 —
— 20х4). 2.9. X, = 1/8 (-4х4 + 7х5), х2 = 1/8 (-4х4 + 5х5), х3= 1/8(4х4-
— 5хб). 2.10. Система несовместна. 2.11. xi = —l/2xs, х2 = — 1 — l/2xs,
хз = 0, х4 = — 1 — 1/2x5- 2.12. Система несовместна. 2.13. Х\ = 1/10(6 —
— 15х2 —х4), х3= 1/5(1 +4х4). 2.14. (1; —2; 3). 2.15. х\ = —Хз+ 7/6xs,
х2 = хз + 5/6x5, х4= 1/3x5. 2.16. xi = 1/3 (2-|-xs), х2 = 1/6 (1-j-Зх3 —
— Зх4 + 5х5). 2.17. (3; —1; 1). 2.18. Xi = 0, х2 = 0, хз = 0, x4 = xs.
2.19. xi — 1/5(11 — хз), х2 = 1,5 ( —2 + 2х3). 2.20. Система несовместна.
2.21. X!) — 16 + хз + х4 + 5*5, х2 = 23 —2х3 — 2х4 — блб. 2.22. Система
несовместна. 2.23. xi — 1/3 (1 + х5), х2 = 1/3 (1 + Зх3 + Зх4 — 5х5). 2.24.
Система несовместна. 2.25. Xi = 1/6 (1 + 5х4), х2 = 1/6 (1 — 7х4), х3 =
= 1/6(1+5х4). 2.26. Система несовместна. 2.27. xt = 6 — 26х3 + 17х4,
х2 = — 1 -|-7хз — 5х4. 2.28. Система несовместна. 2.29. х\ = 1/11 ( — 2 +
+ Хз — 9х4),	х2= 1/11 (10 —5хз + х4). 2.30. х3 — 1 — 3xi	— 4х2, х4=1.
2.31. (14; 0;	7), (7/2; 7/2;	0),	(0; 14/3; -7/3). 2.32. (0; 4;	0; 2), (2; -2;
0; 0), (4/3; 0; 0; 2/3), (0; -2; -2/3; 0), (0; 0; -4/9; 2/3). 2.33. (4; 12;
0; 0), (10; 0; 6; 0), (0; 10; 0; 2), (0; 0; 4; 4), (0; 20; -4; 0), (-20; 0; 0; 12).
2.34. (0; 12;	0; 12), (6; 18;	0;	0), (4; 0; 4; 0), (0; 0; 3; 9), (0; -36; 12; 0),
(—12; 0; 0;	36). 2.35. (1;	2;	0; 0), (-3; 0; -5; 0), (1/3;	0; 0; -10/3),
(0; 3/2; —5/4; 0), (0; -1; 0; -5), (0; 0; -1/2; -3). 2.36. (0; 4; 0; 2),
(2; —2; 0; 0), (4/3; 0; 0; 2/3), (0; 0; -4/9; 2/3), (0; -2; -2/3; 0).
2.37. (2;	18; 13; 0), (2;	0; —7/5; 18/5), (2; 7/4; 0; 13/4).	2.38. (0;	0; 5;	6),
(5/8; 0;	0; -1/4), (0;	2/5; 1/5; 0), (3/5; 0; 1/5; 0), (0;	5/12; 0;	—1/4).
2.39. (3;	2; 0), (3; 0; 2).	2.40. (0; 5; 3), (1; 0; 3). 2.41. (0; 1;	0; 1), (0;	0; 1;	2),
(2; 0; 3;	0), (1/2; 3/2;	0; 0). 2.42. (0; 0; 4; 24), (0; 4; 0;	56), (8; 0; 20;	0).
2.43. (1; 2; 0; 0). 2.44. (2; 3; 0). 2.45. Система несовместна в области
неотрицательных значений неизвестных. 2.46. (0; 0; 9; 31; 21), (7; 0; 23;
17; 0), (8; 3; 16; 0; 0), (3; 5; 0; 0; 17), (0; 3; 0; 16; 24). 2.47. (1; 2; 0; 0).
2.48. (4/3; 0; 0; 2/3). 2.49. (5; 3; 10; 0; 0). 2.50. (0; 2/5; 1/5; 0). 2.51.
(15; 20; 10). 2.52.(2; 6; 2). 2.53. (1; 1; 3). 2.54.(29/6; 1/3; 5; 0; 2). 2.55. (10;
10; 0; 0; 20; 10). 2.56. (0; 14; 80; 0). 2.57. (15; 30; 0; 15; 0; 30). 2.58. (1/3;
8/3; 8/9). 2.59. (5; 7). 2.60.(100; 200; 100). 2.61. (7; 3). 2.62. (3; 16).
Глава 3
3.1. (1; 4; —7; 7). 3.2. (1; 2; 3; 4). 3.3. ЛВ = 2СР. 3.4. D (4; -1; 6).
3.5. ЛМ = (3; 4; -3), BN = (0; -5; 3), СР = (-3; 1; 0). 3.6. -11.
3.7. — 4/7.3.8. cos а =1/3, cos 0= —2/3, cos у = 2/3.3.9. — 7/п/Гт73.10. 6;
14. 3.11. (—-у/З; —-\/3; —\/3), (-д/З; д/З; д/З). 3.12. со5а = 2/д/7. 3.13. 90°.
262
3.16. (-5; 2; -3),	(5; 2; —3). 3.17. (0; —4/5; 3/5),	(0; 4/5; —3/5).
Л	Л	Л	л л л
3.18.4=90°,	В = С = 45°.	3.19. В = 90°, 4 = С =	45°.	3.20.	—7.
3.21. (1; 1/2; -	1/2).	3.22. (6; 4;	г), где г — любое число.	3.23.	( — 3;	3; 3).
3.24. cos<p=—4/5. 3.25. (4; 2; —2). 3.26. cos а — cos р = cos у =
= — 1/д/з или cos а = cos Р = cos у = 1/-\^ 3.27. (— 3; —3; —3),
(3; 3; 3). 3.28. —3/2. 3.29.	3.30. (—4; —6; 12).
Глава 4
4.2. хз = xi + х2. 4.3. xi -J- х2 — 5х3 = 0. 4.4. Система линейно не-
зависима. 4.5. 4. 4.6. 3. 4.7. 2; любая пара векторов образует базис.
4.8. 2; xi, х3; xi, х4; х2, хз; х2, х4. 4.9. хь х2; х2, хз. 4.10. Любая пара векто-
ров образует базис. 4.12. —8; 5/2. 4.13. —1/2. 4.14. (0; 1; 1), (1; 0; 0).
4.15. Линейно зависимы. 4.16. а) Да; б) нет; в) да. 4.19. а) (—1; 4; 3);
б) (1; 2; 5); в) (2; -2; 1); г) (5; -2; -1). 4.20. а) (1; 1; -1; -1);
б) ( —2; 0; 1; -1); в) (1; 2; 2; 0); г) (2; -2; 1; -1);д)(-1;3; -2; 2);
е) (2; 1; —3; 1). 4.21. (0; 3; 1/3). 4.22. а) Например, с = (—1; 6; 8; 1),
d = ( —37; -16; 7; 3); б) с = (1; -2; 1; 0), d = (-59; 64; -17; 6).
4.23. а) Например, ( — 2/3; 2/3; 1/3) или (2/3; —2/3; —1/3); б) на-
пример,(1/2; -1/2; 1/2; — 1 /2)и(1/2; -1/2; - 1/2; 1/2).4.24.(-2; 11;
-1). 4.25. ± 1/^/6 •(!; -2; 1). 4.26. Да.
Глава 5
5.1. 2X2; 2X3; 2X1; 1X4. 5.2. 1; 4; -2; 3,1,5; -2,1,4.
о
о
о
о
о
о
5.3. А, С,
5"[-2
° 5,[ю
-П [S
14	9
10 19
0
0
I; не существует. 5.10.
I
J 5.13. Не существует. 5.15. £Q
0
0
0
I. 5.19.1) —7;
2) такого элемента нет; 3) а33 = 6; 4) ац = 0. 5.20. 1) а = 50 + 200с,
b = 5- 30с; 2) ^= 50 + 200с + (5-30с)^ + с<7?. 5.21. 1) (6,3; 3,3;
3,6; 5,0);2) (15; 13; 33); 3) 469. 5.22. а) ^1; б) решения не существует;
. Г-1 -П J3 — 21 \ Г(2 + 3*з)/2 (3+Зх4)/21
B)L 2 3j г> L5 -4Д)[ хз х4
любые числа. 5.23. 1) Xi = Зх3 — 5, х2 = 8 — Зх3; 2) набор продуктов
(1; 2; 2). 5.24. 1) АХ = В, где X = [xi х2 х3]г, В = [40 40 80]г; 2) (10; 5; 10);
3) 20.. 5.25. [4610 4700 7100]г. 5.30. а) 3; б) 1; в) 2; г) 3; д) 3; е) 3;
ж) 1; з) 2; и) 4. 5.31. а) х-Л=(102; 204; 81; 144; 116); б) А • сг =
= [184 161 160]г; в) х«Л«сг = 3607; г) (х • Л)сг + (х • Л)1Г = 3607 +
+ 2169 = 5776. 5.34. (4200; 39 000). 5.35. а) (-1; 3; 9), б) (3; 7; -1)
в) (8; 4; -9); г) (5; -11; -13).
Глава 6
6.1. а) С плюсом; б) не входит; в) с минусом; г) с плюсом.
6.2. |2Л | =2Я|Л|, | — Л | = (-1)л|Л|, |Л2| = |Л |2. 6.3. |В| = |М-1ЛМ| =
= |Л4 Ч |Л| |Л4| = |Е| |Л| = 1|Л|. 6.4. 10х4; — 5х3. 6.5. Со. знаком
263
плюс. 6.6. аца22 -аЛЛ. 6.9. а) — д) 0. 6.10. 0. 6.11. —5, —5. 6.15. а) х—
любое; б) Xi = —2, х2 = 2; в) х= —2. 6.17. |Л2| = — 1, |Л3|=2,
|Л4| = —3, .... |ЛЯ| = (—1)я-1(п — 1). 6.18. Д2 = (а — 1) (а 4-1), Дз =
= (а — 1)2(а 4~ 2), Д4 = (а — 1)3(а 4-3), .... Дя = (а - If^a + п - 1).
6.20. a) abed; б) abed; в) xyzuv. 6.21. а) —16; б) 160; в) 50. 6.22. —16.
6.24. а) (3; -1); б) (5; 2); в) (2; -3); г) (3; 1; 1); д) (1; 2; -2); е) (2;
— 2; 3); ж) (3; 4; 5). 6.25. а) (X- 1)2(Х 4-2)^= 0, Xi = х2 = х3 = 1/(Х4-2);
б) (X- 1/(Х4-3)=#0, Х1=х2 = х3 = х4= 1/(Х + 3).
Глава 7
7.6. а) Собственные значения матрицы Л2 равны квадратам собст-
венных значений матрицы Л ; б) собственные значения матрицы Л -I об-
ратны собственным значениям матрицы Л. 7.7. a) xi, Xi = l; б) хь
Xi = 1; Хг, Х2 = — 1 в) xi, Xi = 1; Хг, Х2 = 1; r) xj, Х| = 0; х2, Хг = 0.
7.8. а) -X3 -h 6Х2 - 5Х - 12, Xj = -3, Х2 = 3, Х3 = 4; б) -X3 4- 2Х2 4-
4-х-2, Х1 = -1, Х2=1, Хз = 2; в) -X3 4- 12Х2 - 35Х 4- 24, Xi = 1,
Х2 = 3, Х3 = 8; г) - X3 4-6Х2-12X4-8, X, = Х2 = Х3 = 2; д) X4 —X3,
Xi = Х2 = Х3 = 0, Х4 = 1; е) X4 — 4Х3 — 6Х2 4* 4Х 4* 5, Xi = Х2 = — 1,
Х3 1, Х4 = 5. 7.9. а) Х| 2, х i = (с; — с), с 0; Х2 = 3, х 2 = (— с; 2с),
с =# 0; б) Xi = 1, Х| = (с; с), с Ф 0; Х2 = — 1, х2 = (2с; с), с =# 0; в) X! = 0,
xi=(c; 0; с), с =#= 0; Х2=1, х2 = (с; с; с), с=#=0; Х3 = 2, ^3 = (с; 0; —с),
с=#0; г) Х = а4-д4-с, х = (с; с; с), с=#0; д) Xj = — 2, Xj=(c; с;
с; с), с=#0; Х2=—2, х2 = ( —с; с; —с; с), с=#0; е) Xi = X2 = 0,
х = (0; Ci; с2; 0), e^-j-el^O; Х3=1, х3 = (с; —с; 0; —с), с=#0;
Х4 = 3, Х4 = (0; 0; 0; с), с=#0; ж) Xi=l, xi=(c; 0; 0; 0), с=#0; Х2 =
= Х3 = Х4 = 2, х = ( — с2; с2; — cr, Ci), с?4-^2=#0; з) Xi = X2 = 2, Xi =
= (2ci—2с2; с2; Ci), с24-с2#=0; Х3 = — 7, х2 = (с; 2с; —2с), с=#0.
7.10. а) Да; б) нет. 7.12. а) Г * {П; б) Г ^1; в) неприводима;
		"-3
г)	неприводима; д) “о 0 0 о’ 0 0 0 0	0 0
3)	0	0	10’ 0	0 0 2 1	2/д/ЁГ	и)
	2/-ДГ —1/V^	; б)
0 0
0	0	; е)	неприводима; ж)	неприводима;
0	0			
				
				
2	0	1 0	0	
0	2	: о	0	
0	С	1 2	0 • 7-,3‘ а>	Да; Л"‘ =
0	0	1 0	-2J	»
				1/д/2 1/дД|
нет;	в)	нет;	г) да, Л-1 =	1/^ 1/л/2] ’
д) да, Л 1 =	’1/д/б 0	-2/д/б 1/д/5	1/д/б ' 2/д/5	; е) да, Л 1 =
	5/д/зо" 	2/д/зо"	-1/д/зо"	
"1/д/з 1/д/з	1/дД”
1/д/2-1/д/2	0
ж)да,Л * =
3/д/нГ З/дДо" 2/дДо"
1/д/2 -1/д/2 О
1/д/б	1/д/б -д/з/д/б
264
7.15. Ответ неоднозначен: а)
2/л/5	1/-\/5 г! 0-1
1/^5 -2/^5 ’ “ L° 6J
“р л=[2 -Т
г) Л= 0 2
О . 7.16.а)
2/3 2/3 1/3*
— 2/3	1/3 2/3 ; б)
1/3 -2/3 2/3
1/-\/5 2/^6 2/V30
-2/-д/5 1/7б 1/V30
О 1/^6-5/д/з0
S =
2 0
О О
О
5
Глава 8
8.1. а)	'1 2	2	3“ 2	6	б)	‘ 4 0,5	0,5 0	0 4" 6 0	в)	’ 0 1,5	1,5‘ 0 ’
г) Г 1 -1	3 о’	6 -1 8.2. а)	Х| — 6л	-о 3 4- ° $ 	I ст		о ~	1 1 ° - 5г	Н 4xiX2	; в)	4х?-
-1	10
О 0 0
— 8xiX2 + Эх? — Юх2хз + хз; г) х? — 2х1Хз + Зхг + ЮхгХз + 2x1; д) 2x1 +
+ 6х2хз + *з; е) — 2х? + 6xix2 + 20xix4 + 4x1 + 14х2х3 + 16х2х4 + 5x1 —
— 6хзХ4-|-х4. 8.3. а) 2; б) 1; в) 3; г) 3. 8.4. Ответ определяется не-
однозначно: a) t/i4-4«/l; б) 1/1—1/1; в) у? + у2 — 9^; г) 5i/? — «/1 — (/?;
д) у2 — 21/1. 8-5. а) Не приводится; б) не приводится; в) 2«/2 4- 51/1 + 3«/з,
xi = t/i + «/3, x2 = i/2, х3 = 1/з; г) «/? + 4i/1 — 9i/3, xi = yi — y2 — 3,5«/3,
x2 = У2 + 0,5«/3, x3 = уз', Д) у2 — 31/1 — 5/Зуз, xi = i/i — 2y2 — 2/3t/3, x2 =
= y2 — 2/3</з, x3 = i/з- 8.6. а) Да; б) нет; в) да. 8.7. а), д) Положительно
определенная; б) — г) не являются знакоопределенными. 8.8. а) /г>0;
б) ни при каких k\ в) |/г| <^2; г) |/г|
Глава 9
9.1. х2 4- у2 - 6х - 121/ 4-20 = 0. 9.2.x2 4" У2 = 16. 9.3. а) 1/ = ->/Зх4-
4-4; б) //=-6. 9.4. a) k =-2/5, b = 1/5; в) b = 5/2, k = 0. 9.5.
a) x/4 4-f//(-3)= 1.9.6.х/3 + «//3= 1. 9.8.2х4-3«/-8 = 0, 2х-«/ = 0,
2х-3«/4- 16=0. 9.9. а) 45°; б) arctg(17/19); в) л/2 - a ret g( 1/4).
9.11. а) а=£ ±2; б) а= —2; в) а = 2. 9.12. (5; —1). 9.13. а) «/4-2x4-
4-1=0; б) Зу — х — 11 =0; г/±Зх±3 = 0. .9.14. х = 2 4- у(2 ± -уб).
9.15. 7у — 5х —4 = 0. 9.16. (2; 0). 9.17. а); г). 9.18. х + ^Зу — 10 = 0.
9.19. а) 3/5 х 4-4/51/— 2 = 0; б) — 4/5 х — 3/5 у — 1/2 = 0. 9.20. 4 = 1.
9.21. 9. 9.22. ±4/3. 9.23. JV(5; 0). 9.24. х + у — 9 = 0. 9.25. 5х±3у —
— 30 = 0. 9.26. у — 2 = 0. 9.27. х±2у±2 = 0. 9.28. (3; 5). 9.29. 5у ±
+ 2х — 28 = 0, Их — 1 Оу — 4 = 0, у = х. 9.30. Если х < 4, то выгоднее
осуществлять перевозки автотранспортом, если х > 4 — водным.
9.31. х 4-81/4-19 = 0, х = 7, I/ —4x4-33 = 0, S = 8,25. 9.32. у — х —
— 2 = 0, x4-2i/ — 4 = 0, 2x4-1/ — 8 = 0. 9.33. С(17; 12), D(9; 3). 9.34.
У = х ± 3. 9.35. а) (х - З)2 4- (</ 4- I)2 = 5; б) х2 ± у2 = 4. 9.36. (х- З)2 ±
265
+ (у - 5/2)2 = 61/4. 9.37. (х - 5)2 + (у - 5)2 = 25, (х - I)2 + (у - I)2 = 1.
9.38. (х+2)2 + (|/+ 1)2 = 20. 9.39. б). (-3; 2), Я = 4; в) (3/2; -5/2),
R - т/17? 9.40.4у — х — 17 = 0. 9.41. Зу + 4х - 23 = 0. 9.42. 62/(1 + fe2)=
— R2. 9.43. 2х + 0 = 8, 2у — х=11. 9.44. х2/25 + у2/16 = 1. 9.45.
а) х2/25 + у2/9 = 1; б) х2/169 + у2/25 = 1.9.46. а) а = 4, 6 = 3, F, ( — -д/Г;
0),	0), е=-\/7/4; в) а = 6, Ь = 3, Ft( — З-д/З; 0), В2(3д/3; 0),
е = -\/з/2. 9.47. 16. 9.48. -д/2/2. 9.49. (х — 3)2/9 + (у + 1)2/5 = 1, 0,(3;
-1), а = 3, 6=^5, Л,(0; -1), Л2(6; -1), В,(3; --д/б-1), В2(3;
-д/б - 1), F,(l; -1), F2(5; -1), е = 2/3. 9.50. (х - 2)2/100 + у2/91 = 1.
9.51. a) | т| < 5; б) т = ±5; в) |т| > 5. 9.52. х,х/а2 + у\у/Ъ2 = 1.
9.53. a) х2/25 —02/16 = 1; б) х2/36 — у2/23 = 1. 9.54. а) а = 3, 6 = 4,
F,(0; —5), F2(0; 5), е = 5/4. 9.55. Зх —20+19 = 0, 3x + 2i/+ll=0.
9.56. х2/4 — у2/\2= 1. 9.57. 0,(2; —3), Л,(—1; —3), Л2(5; -3), F( —3;
- 3), F2(7; - 3), е = 5/3, у = ± 4/3 х. 9.58. (х - З)2/144 - (у - 2)2/25 = 1.
9.59. а) х2 = у, б) у2 = — 12х. 9.60. a) F(3; 0), х = -3; в) F(0; —2),
0 = 2. 9.61. 0,( —1/2; 1), F( — 1/2; 13/16), х=-1/2, 0=19/16. 9.62.
(х — 4)2 = 12(0 + 1). 9.63. 02 — 60 — 4х + 17 = 0. 9.65. 0 = 2. 9.66. 50 —
— 3z = 0. 9.67. Зх—2z —8 = 0. 9.68. х — 2у + 5z + 24 = 0. 9.69. х +
Ч-04-z-6 = 0. 9.70. х+^2у-г — 4— -д/2 = 0. 9.71. 1. 9.72. 3.5.
9.73. a) arccos 0,7; б) 90°. 9.74. 60°. 9.75. 2х + Зу + 4z — 3 = 0. 9.76.
4х - 0 — 2z - 9 = 0. 9.77. 64 куб. ед. 9.78. а) (х + 1)/2 = (у — 3)/( — 3) =
= (z —2)/5; в) (х+1)/1 =(0-3)/O = (z-2)/O. 9.79. (х-1)/2 =
= (!/ —6)/(—l) = (z + 4)/5, (0; 6,5; -6,5), (13; 0; 26), (2,6; 5,2; 0). 9.80.
а) х/2 = (у + 4)/7 = (z + 4)/8. 9.81.60°. 9.82. (х — 3)/5 = (у — 1)/( — 1) =
= (z + 4)/2. 9.83. x + 0 + z—1=0. 9.84. 7х — 2у - 13z — 12 = 0.
9.85. (—1; 1; 2). 9.86. -д/10^ 9.87. 5х + и — 6z — 3 = 0. 9.88. (—4,2; 2; 3,6).
9.89. б) (х—1)2 + (0 + 2)2 + (z-3)* = 49. 9.90. б) С(1; —2; -3),
R = 4. 9.91. 2х 4-1/4-24-4 = 0. 9.92. 2х — у — 24-5 = 0. 9.93. 64л кв. ед.
9.94. б) ( — 2; 1; — 2), а = 4, b = 4, с = 2. 9.95. 2,56л кв. ед. 9.96. а) Эл-
липсоид; б) двуполостный гиперболоид; в) однополостный гиперболоид;
г) эллиптический цилиндр; е) гиперболический параболоид; ж) пара-
болический цилиндр; з) конус; и) эллиптический параболоид. 9.97.
32 = 2х2 4- У2- 9-98. а) (4; —3; 2) и (12; 3; 6); б) прямая принадлежит
поверхности; в) общих точек нет. 9.99. 7#2/144 4- ху9 = 1.
Г л а в а 10
10.2—1.16. См. рис. 1 —15 соответственно. 10.17. (0; 1/2; 0). 10.18. (0;
2; 4; 1; 0). 10.19. (0; 7/6; 37/6; 0). 10.20. (0; 6/7; 9/7).
266

267
Глава 11
11.1. а) —1, 1/2, —1/3, 1/4, —1/5; б) 0, 4, О, 8, 0; в) 1/2,
^Д/2,1,-\/з/2,1/2; г) 5,3,13/5,17/7,21 /9.11.2. а) х„ = (- 1)"/(п + 1);
б) х„= 1 4-(—1)"-2; в) х„ = 2п/(2п-1); г) х„ = (-1)"(2л + 1)/(2л -
— 1); д) х„ = 1/2"; е) хп = 1/(п(п 4- 1)); ж) х„ = cos(nn/2). 11.3. а) х, =
= 2(min); б) х50 = 2500(тах); в) xt = 1(тах); г) х6= 12(тах); д) х\ =
= 1 (max); е) не ограничена. 11.4. Л^(е) = [1/е—1]. 11.5. а) а = 2/9,
№ = 3; б) а=1, tf = 50; в) а = 0, N = 50; г) а = 3/5, ^ = 320. 11.6.
а) ЛГ(е) = [1/е-2]; б) ЛГ(е) = [1/е 4-Ц в) ЛГ(е) = [-log3 е|. 11.7.
а) JV (£) = [£] 4-1; б) Af(£) = [log2£]4- 1; в)	r) tf(£)=
= [£]+!. 11.11. -2/3. 11.12. 0. 11.13. 2. 11.14. 1/2. 11.15. -1/3.
11.16. 1. 11.17. 2. 11.18. 0. 11.19. 0. 11.20. 0. 11.21.0, 11.22. —1. 11.23. 1/3
11.24. 1/2. 11.25. оо. 11.26. 1. 11.27. 1/4. 11.28. 1. 11.29. —1. 11.30. 1/5.
11.31. 2. 11.32. 7/10. 11.33. 1. 11.34. 1/3. 11.35. 1/2. 11.36. 4/3. 11.37.0.
11.38. 1/3. 11.39. 1. 11.40. 1/6. 11.41.(1 —*)/(! — а). 11.42.4/3. 11.43. 1.
11.48. Нет, например: х„=1/п, </„ = (—1)"п. 11.49. Нет. 11.50. а) 1/2,
2; б) ±^2/2, 0, ±1; в) я/3, 2л/3.
Г л а в а 12
12.11. 2-^2/п. 12.12. 0. 12.13. —8. 12.14. 1/2. 12.15. —4/3.
12. 16. —1/3. 12.17. —1. 12.18. —2. 12.19. 1/4. 12.20. 4/9. 12.21. 4/3.
12.22.0. 12.23. оо. 12.24. 1. 12.25.5. 12.26. оо. 12.27.2. 12.28.2. 12.29. —2.
12.30. 0. 12.31. 4-00. 12.32. 1. 12.33. —1/2. 12.34. 4/3. 12.35. —4.
12.36. 9/4. 12.37. —1/2. 12.38. 1. 12.39. —1/12. 12.40. —4. 12.41. 1/4.
12.42. 1/2. 12.43. —1. 12.44. 2. 12.45. оо. 12.46. 0. 12.47. е3. 12.48. е.
12.49. е2. 12.50. е2'3. 12.51.	12.52.	12.53. —3. 12.54. 2.
12.55. 4 In 2—4. 12.56. —2. 12.58./( — 0) = 1,/(-|-0) = 2. 12.59./(2 — 0)=
= —л/2, /(2 4-0) = л/2. 12.60. /(1—0) = 0, /(1 4-0)= 1. 12.61. i/ = 2,
х = 1. 12.62. у = 0, х = 2. 12.63. у = 1, х = 3. 12.64. у = 1/2. 12.73. 1 /4.
12.74. —6. 12.75. In 2/4. 12.76. 1. 12.77. 3/е. 12.78. 1/-J3. 12.79. —1.
12.80. 4. 12.83. 0. 12.84. 2. 12.85. х=#= ±2. 12.86. х € (1; 2]. 12.87. х£
£ [— 1 /3; 1]. 12.88. х £ [—3; — 1) U (2; 3]. 12.89. х = — 1 — точка устра-
нимого разрыва. 12.90. х= — 1—точка устранимого разрыва. 12.91.
х = 0— точка разрыва первого рода. 12.92. х = 2— точка разрыва
второго рода. 12.93. х= —2 — точка разрыва второго рода. 12.94. х =
= 0 — точка разрыва первого рода. 12.95. х = 0 — точка разрыва
первого рода. 12.96. х= ±1 — точки разрыва первого рода. 12.97. х =
= 0 — точка разрыва первого рода, х = 1 — точка разрыва второго
рода. 12.98. х = я/2 + пп (п = 0, 1, 2, ...) — точки разрыва второго
рода. 12.99. х = 0 — точка разрыва первого рода. 12.100. х=±1 —
точки разрыва первого рода. 12.101. х=0 — точка устранимого раз-
рыва. 12.102. х = 0 — точка разрыва первого рода. 12.103. А = — 4.
12.104. Не существует. 12.105. А—— 1. 12.108. Существует. 12.110.
Имеет.
Глава 13
13.1. a) cosx; б) 14х; в) 1/(2^х); г) t/' = 3; д) / = — sin х;
е) 9х2 — 4х-|- 3. 13.2. Функция в точке х = 0 непрерывна, но не диффе-
ренцируема. 13.4. а) 1/'(0) = 0; б) </'(!) = 2, у'(—2)= —4. 13.5. а) 0(0;
0); б)	±-\/з-\/з/27); в) Л42(±1/^/3; ±1/3-^). 13.6.
268
2 м/с, 2 м/с, 6 м/с. 13.7. 1 м/с. 13.8. а) у' = 20х3 — 9/7^/? — 35/х6;
б) у' — х2(3 sin х + х cos х); в) у' = — 8х3/(х4 — 1); г) у' — 9х2 +
+ 25/3^/?+ 12/х4; д) у' = 2(Зх2-\/х~+х — 1)/(х-\/х); е) у’ =
= х2((3 + In x)sin х + xcos х In x); ж) у' = I/(2^Jx(~y/x + l)2), y'(4) =
= 1/36. 13.9. / = 81х5(х + 2)/(х+I)4. 13.10. / = 24(1+3x7. 13.11.
y’ = In 9 • x2(3 sin x + x cos x)9x’sinx. 13.12. у' = 103x’+“+1 In 10(6x + 1).
13.13. / = 6arcsinxln 6(l/-\/l—x2). 13.14. y' = 3x2 cos x3. 13.15. / =
— — 4 cos3 x - sin x. 13.16. y' = 3 In2 x/x. 13.17. y’ = — 2x cos (cos x2)sinx2.
13.18.	/ =cos(x3 + 4х) (Зх2 + 4х In 4).	13.19.	/=-31n2-x2X
X 2C0SX’ sin x3.	13.20. y' = 8a2x/((3x2 + a2) (a2 - x2)).	13.21. y' =
= 3/(2(l + e3x)). 13.22. y' = 12(4x + l)2/(cos2(4x + I)3). 13.23. y' =
= l/ln 10-(10x+l)/(5x2 + x+1). 13.24. / = 3cos2x( — sinx)/(cos2(cos3x)).
13.25. / = 95x’ln 9 • 5x’ln 5 • 2x. 13.26. /= 1/д/а2 + х2. 13.27. / = 2/(3(1 +
+ e2x)). 13.28. / = — 6xe-3x’+1. 13.29. у' = — sin (4х + 4~x) (4х —
— 4-x)ln 4. 13.30. / =(х? + I)2 (27л8 cos 5х — 5(л® + l)sin 5х). 13.31. / =
= — 24х3(х4+l)2/(x4—I)4. 13.32. j/'=x2((3sin2x + 2cos2x)lnx+sin2x).
13.33. у' = (х2 + 1)2е2х(6х tg 5х + 5/cos2 5х + 2(х2 + l)tg 5х). 13.34. у’ =
= 4/3 • 1 /V(x3 + sin4 х)2 (х3 + sin3 х cos х). 13.35. у'=2ctg7x(4xctg7х\
Х(х2+ I)3 — 7/sin2-7x). 13.36. /=(5(х3+ l)sin 10 х — 9х2 sin2 5х)/(х3 +
+ I)4. 13.37. у' = —е'^“+2«+2(х+ 1)/-^// + 2х + 2. 13.38. у' = — 20X
X 2-cos*5x cos3 5х sin 5х. 13.39. у' = 5 1п4(х — 2~х) (1 4- 2~х in 2)/(х— 2-х).
13.40. /=2Х,ПХ 1п2(1пх- 1)/1п2 х. 13.41. у' = 6(2tg3x4- tg3x)(2tg3xln24-
4- l)/cos2 Зх. 13.42. у' = 12(2х* — tg4 х)2(2х* In 2 • х3 - sin3 x/cos5 х). 13.43.
у' = 0,5еагс‘^ • 1/(л/х(1 4- *))•	13.44. у' = sin2 Зх (1 4- 9х cos Зх) 4-
4- 4х3/((х4 — 1)In 5). 13.45. у' = 9(2соз3х 4" sin 3x)2(cos3x—2cos3xin2sin3x).
13.46. у' = 3x2etg3x(x 4- cos2 3x)/cos2 Зх. 13.47. 3/(2x(x2 4- 1)). 13.48. у' =
= cos (x5 — tg2 x)(5x4 — 2 sin x/cos3 x). 13.49. y' — 2х’ sin x(sin x 4-
4- 2x cos x 4- 3x2 sin x In 2). 13.50. y' = x2 tgx(3 sin 7xtgx4-2x3/cos2x)4-
4-7 cos 7xx3 tg2 x. 13.51. a) 6x — y— 4 = 0 — уравнение касательной,
x 4-бу —13 = 0— уравнение нормали; б) х-\-у — 2 = 0 — уравнение
касательной, х — у=0— уравнение нормали; в) х—у—1=0 —
уравнение касательной, х -j- у — 1 = 0 — уравнение нормали. 13.52.
М(±1/-\/3; ±1/3^). 13.53. 1 м/с, 7 м/с, 13 м/с, 6 м/с2. 13.54. 1.
13.55. а) Е,(у) = Зх3/(х3 + 1), £,({/)= 1,5, Е-Лу)^ 2,97; б) Е,(у) = 5х,
Et(y) = 5, £<>(/ = 0, £2(у)=10; в) Е„(у) = 1/1п х, £10(/ = (1п 10)"' =
= 0,4343, Ее(у)=1, £>(/= 1/4 = 0,25. 13.56. а) Е„(у) = ах/(ах + Ь);
б) Et(y) = m. 13.57. К' = 18(1 + 3х)“‘ loge. 13.58. а) у' = (sin3)cos5xX
X (3 ctg Зх cos 5х — 5 sin 5х in sin Зх); б) у' = (х3 4- l)tg2x((2 1п(хэ 4"
+ l))/cos2 х + (Зх2 tg 2х)/(х3 + 1)); в) у' = (tg Зх)х (41ntg3x + 3x/cos23x);
г) У' — (ctg 5х)х’_|(3х2 Inctg 5х — 10(х3 — l)/sin 10х); д) у' = (1 +
+ x4)'e7x(7/cos2 7х In(1 +х4)+4х3 tg 7х/(1 +х4)); е) у'=х‘‘+'(2 In х +
+ 1); ж) у' = (sin x)lnx(ln sin х/х + In х ctgx); з) у' = (х + 1)2Ух — 2/
/(б-^(х-1)2) . (5Х2 - 14х + 17)/((х + 1)(2-х)); и) /=(х+ 1)(х- 1)2Х
X (29х2 + 55х + 6)/(5^/х + 2); к) / = (xsinx)(ln х cos х 4- sin х/х). 13.59.
/ = (2х3 — ехУхг/2)/(г/(ехУх24-2//2)). 13.60. у' = (х/у2 cos(xV)— 1))/(24-
269
+ x2y cos(x2//2)). 13.61. у' = (5е* - 2х)/(2у). 13.62. //' = (х 4- 2у)/(5у - 2х).
13.63. у' = cos(x 4- 2у)/{\ — 2 cos(x 4- 2у)). 13.64. у' = (ау — хг)/(уг — ах).
13.65. у' = — Ь2 х/(а2у). 13.66. у' = — (2%4- у)/(х-\-2у). 13.67. у' =
= 1/(1 4- cos у). 13.68. у' = -(2х^-ехуу)(Зу2-^-ехух). 13.69. у' =
= 2а/(3(1 -/)). 13.70.//'= —(2x4-3//)/(Зх 4-2//). 13.71.//" = 8(arctg 2x4-
4- 2х/(1 4-4JO). 13.72. 0. 13.73. —5 м/с; —5,003 м/с; —5,3 м/с; 0 м/с2;
-0,006 м/с2; -0,06м/с2. 13.74.//"(0; 1) = 0,25. 13.76.//"(1; 0) = -0,125.
13.77. //" = ху(ЗЬху - 2 - 54(х3 4- у3))/(Зу2 - х)3. 13.78. а) 18; б) 16cos2x;
в) — 4х(3 sin х2 4- 2х2 cos х2); г) Зл(1п 2)л23х+5; д) 125е3; е) — 1 /(х21п 10);
ж) 625 sin 5х; з) Зх(2 — х3)/((х3 4- I)21п 3). 13.79. a) ch/ = (tg3x4-
4-3xsin2x/cos4x); б) d// = (l/(2-^/arctgx)(l 4-х2))4-2аresinх/-\/1 —x2)dx;
в) dy = dx/^J4 4- х2; г) dy = — 3^e~xi dx\ д) dy = (2x arctg x 4- \)dx.
13.80. a) (ry = 8 cos 4xdx2; 6) d2y = (2 In x — 3)dx2/x3; в) d2y =
= e-3x(5 cos 2x-J-12 sin 2x)dx2. 13.81. a) 0,011; 11 %; 6) 0,000101;
1,01 %. 13.82. 5,00. 13.83. —1,25. 13.84. 4,9; 5,013; 2,012; 3,009; —0,017;
0,966; 1,037; 45,30; 85,32; —0,04. 13.85. a) 12,16; 6) 0,587; в) 0,494;
г) 1,925. 13.86. M(2; 4). 13.89. а) с = 1; б) с = (а— 1)/1п а. 13.90. Нельзя,
так как в точке х = 0 функция не имеет конечной производной. 13.91.
а) 3,5; б) —1/3; в) 7/3; г) 0; д) — л/4; е) 0,5; ж) 2/л. 13.92. а) 1;
б) 1; в) е~2\ г) 3; д) е-1; е) е~1; ж) е~1; з) е3. 13.93. а) Убывает в
(—оо; —1), (0; 1), возрастает в (—1; 0), (1; 4-оо); б) монотонно убы-
вает в (—оо; —2), (—2; 8) и (8; 4-°°); в) возрастает в (—оо; —1),
(3; 4“°°), убывает в (—1; 3). 13.94. a) ymin = 0 при х=1 и х = 5,
Утах = 2^2 при х = 3; б) //min = 0 при х = 0; в) утз* = 4/е2 при х= 1/е2,
//тт = 0прих= 1; г) //mtn = 0 при х = 1, //max = 1 при X = 0; д) i/min = —4
прих= 1, //max == 12 При X = — Г, //min = “4 При Х = —3; е) i/max = в12
при х = —3; ж) i/min = 0 при х = 0, //тах = 4/27 при х = 8/27; з) экстре-
мума нет; и) экстремума нет; к) //min = —47 при х = 3, утзх = 17 при
X =	1. 13.95. а) i/на им = //(1) =	12, //наиб — У( 1) = 8; б) //найм =
= //(—!)=—4, //наиб = 4/(1) = 4; в) 1/иаиб =//(4) = 6, //иаим = //(1 / 16) =
= —0,125; г) //иаим= — 3 при х = 2, //наиб = 22 при х= — 3; д) //наим =
= (л — 4)/4 при х= — л/4, //наиб = ( —Л 4-4)/4 при х = л/4; е) //иаИб = 3
при х = 0, //наим =—13 при х= ±2. 13.96. а) (—оо; 0) — выпуклость,
(0; 4-°°)—вогнутость, 0(0; 0) — точка перегиба; б) (—1; 1)—вогну-
тость, (—оо; —1) и (1; 4-°°)— выпуклость, Af(O; 1) — точка перегиба;
в) (— оо; 0) и (0; 4- °°) — выпуклость, точек перегиба нет; г) (— оо; 0) —
выпуклость, (0; 4- 00) вогнутость, М(0; 1) — точка перегиба; д) (— оо;
4-оо) — вогнутость, точек перегиба нет; е) (—оо; 0) — выпуклость,
(0;, 4-°°)—вогнутость, 0(0; 0) — точка перегиба. 13.97. а) х = — 1 —
вертикальная, //= 1/2х— 1 — наклонная; б) х= ±1 — вертикальные,
//= ±х — наклонные; в) х= 1—вертикальная, у = 2 — горизонталь-
ная; г) х = 0 — вертикальная, //=—1—горизонтальная; д) // =
= ±л/2 — горизонтальные; е) у = 2/3—горизонтальная, х = 0 —
вертикальная; ж) х = 1 —вертикальная; з) //=1 — горизонтальная,
х= ±2 — вертикальные; и) // = 3—горизонтальная; к) // = 0 — гори-
зонтальная, х=3—вертикальная. 13.98. 0(0; 0) — max, В(2; —4) —
min, точек перегиба нет, асимптот нет. 13.99. Л(1; 3) — min, M( — -д/ЁГ;
0) — точка перегиба, х = 0 — вертикальная асимптота, х = 0 — точка
разрыва второго рода. 13.100. Точки разрыва х= ±-\/з, Л( — 3; 4; 5) —
min, В(3; —4,5) — max, 0(0; 0) — точка перегиба, асимптоты х =
= и У=—х. 13.101. Л( — Г, 0)—min, М\( — 2; 1п 2) и Л4г(0;
1п 2) — точки перегиба. 13.102. Л (0; — 1) — min, М(—1/2; 8/9) — точка
270
перегиба, асимптоты х=1 и у = 0. 13.103. Л(2; 0) — max, Mi(l; In 2)
и Af2(3; In 2) — точки перегиба. 13.104. Функция определена в (— оо;
— 1), (—1; 1), (1; + °°), х=±1— вертикальные асимптоты, //=0—
горизонтальная; Л(0; —1) — точка пересечения с осью Оу\ В(0; —1) —
max, В(—оо; —1) и (1; -|-оо)— вогнутость, (—1; 1) — выпуклость.
13.105. Область определения (—оо; 0), (0; 1); критических точек нет,
асимптоты х=0, I/ = 0; В(— оо; 0) и (0; 1) — функция убывает. 13.106.
утах = 1 при х = —1, //min = 0 при х = 0; точек перегиба нет, асимптот
нет; 0(0; 0) и (— 27/8; 0) — точки пересечения с осями координат.
13.107.	14 при х = 4, утах = 5 при х = 0; Л4(2; 18) — точка
перегиба; асимптот нет; (0; 5), (5; 0), ((1 +^21)/2; (Л, ((1 — ^/2!)/2; 0) —
точки пересечения с осями координат. 13.108. Область определения
( — оо ; -|- оо); (0; 2) — точка пересечения с осью Оу, утах = //(—1 /2) =
= 8/3; М1 (0; 2), М2(— 1; 2) — точки перегиба; асимптота у = 0.
13.109. Область определения ( — оо; 0), (0; + оо); j/max = у(\) = 2,
//min = У(— О = — 2; х = 0—вертикальная асимптота; (0; 4-°о) —
вогнутость; (—оо; 0)—выпуклость. 13.110. Область определения
(—оо; —1), (—1,1), (1; -|-оо); функция монотонно убывает в области
определения, точек экстремума нет; 0(0; 0) — точка перегиба; асимптоты:
х=±1 и //= 0. 13.111. Область определения (—оо; + оо); утах —
= £/(1) = е, точки перегиба М(\ ±-\/2/2; -\/ё); асимптота i/ = 0; х =
= 1 — ось симметрии. 13.112. Область определения ( — оо; —2), (—2; 2),
(2; + °0); х = ±2 — вертикальные асимптоты, у = 0 — горизонтальная;
(1; 0) и (1; 1/4) — точки пересечения с осями координат; точек экстре-
мума и точек перегиба нет; функция монотонно убывает во всех интер-
валах области определения. 13.113. R = 3 м, /7 = 3 м. 13.114. Н =
= (20-\/3)/3 см. 13.115. /? = 2 м, Я = 4 м. 13.116. х/3 + у/6=1.
13.117. х = 3. 13.118. Л/2, Ь/2. 13.119. Радиус полукруга R = Р/(л + 4),
где Р — заданный периметр. 13.120. 10 см. 13.121. х = ас/(а + Ь).
13.122. х«146 ед. 13.123. Н = 2R = D. 13.124. х=1/л- 2 хк.
Л=1
13.125. 5 м.
Глава 14
14.1. а) 5; 1/5; б) 2; в) -д/2;	14.2. а) Вся плоскость хОу, исклю-
чая прямую z/ = 3x; б) часть плоскости хОу, лежащая выше прямой
у= — х; в) внешняя по отношению к параболе i/2 = 2x —4 часть
плоскости хОу без границы; г) внешняя часть круга х2 + у2 = 16 (за
исключением границы круга); д) расположенная в правой полуплоскости
между прямыми у =—х и у = х (исключая прямую у——х) часть
плоскости хОу, ж) кольцо между окружностями х2 + у2 = 1 и х2 + у2 = 3
(включая границы); е) точки первого и третьего координатных углов
и точки на осях координат; з) вся плоскость хОу; и) плоскость хОу,
исключая прямые у — х и у= —х; к) правая относительно оси Оу полу-
плоскость плоскости хОу. 14.3. S = 2~\/(4—х)(4 — у)(х-\-у— 4), область
определения функции 0 < х < 4, 0<i/<4, х+//>4, т. е. множество
точек внутри треугольника, ограниченного прямыми х = 4, у = 4 и
х-\-у = 4. 14.4. V = Jiy2~\jx2 — I/2/3, область определения функции
х > 0, у > 0, х >> у, т. е. точки первой координатной четверти плоскости
хОу, которые лежат ниже прямой у = х, границы области у = 0 и у = х
в область D не входят. 14.5. —6. 14.6. е. 14.7. 1. 14.8. Предел не сущест-
271
вует. 14.9. 4. 14.10. 1. 14.11. (1; —1). 14.12. Линии разрыва — прямые
х = £л и у=тл, где ky m£Z. 14.13. Окружность х2 + у2 = 4. 14.14.
Прямая у = х/2. 14.15. zx = Зх2 + бу2 — 2у, z'y = \2ху — \2у2 — 2х.
14.16. z'x = — 5у/(х -j- 2у)2, z'y = 5х/(х 4- 2у)2. 14.17. z'x = y*\n у, z'y =
= х/“1. 14.18. z'x=\/y> z'y= —х/у2. 14.19. z£ = 2х cos(x + 3//) —
— х2 sin(х 4-3//), zj = — Зх2 sin(х 4-3//). 14.20. zx = 6х/(3х2 — //4), zy =
= — 4//3/(Зх2 — //4).	14.21. zx = cos^Jx — y3/(2^jx — у3), zy =
= — З//2 cos^/x — //3/(2-\/х —//3).	14.22. zx = 6х///-д/1 — 4///2, zy =
= 2х3/д/ 1 — 4х6//2. 14.23. z'x = 4хе2х’“Л z'y = — 5y4e2x*~yi. 14.24. zx =
= i/2/(xz cos2((3x — //2)/x)), z'y = — 2y/(x cos2((3x — y‘2)/x)). 14.25. /£( — !;
л/4)=—1, fj(-l; л/4)=1. 14.26. fi(3; -4) = 4/25, /'(—12; 5) =
= -12/169. 14.27. fi(3; 2) = 56, /'(3; 2) = 42. 14.28. z'x'x = 12x2 - 10//,
z'y'y= -12//, z'x'y = z"x= -lOx. 14.29. z£= -4///(x + //)3, z" =4x/(x +
4- y)\ z"y = zj'x = 2(x - y)/(x + y)3	14.30. z?x = 2 cos(x2 4- ?) -
— 4x2 sin(x2 4- У3), z'yу ~ ty cos(x2 4- y3) — 9v sin(x2 4- У )> zxy = zyx =
= — бх//2 sin(x2-j-//3). 14.31. zxx = —sin ///x24-ex In //, z%y= —sin//lnx—
— eV//2, z% = zj'x = cos y/x 4- e*/y.	14.32. z'!x = —y2/^J(2xy 4- y2)3,
z'y'y = — x2/V(2x// 4- У2)3, zxy = z" = xy/((2xy 4- у2\ф*У 4- y2\ 14.33.
Zxx = 2///x3,z^ = 0,z^ = z;'x=(x2—l)/x2.14.34.z;,x=//4sin(2x//2)/cos4(x//2),
z^ = (2x cos2(x//2)4-2x2y2 sin(2x//2))/cos4(x//2), Zxy = z;x=(2//(cos2(x//2)4-
4- xy2 sin (2x//2)))/cos4(x//2). 14.37. dz = (8x3 — 2xy3 4~ 5//)dx + (4//3 —
— 3x2//2 4- 5x)d//. 14.38. dz = sin 2xdx — sin 2ydy. 14.39. dz = y2xy~ {dx 4-
4-x*(l 4-//In x)d//. 14.40. dz = e^"^((2//-x)d//-//dx). 14.41. du =
= 2xyz4dx 4- x2z4dy 4- 4x2yz3dz. 14.42. du = — (y/(x2z))dx 4- dy/xz —
- ydz/(xz\ 14.43. dz = ((6x 4- V)dx - 2ydy)/(2-\j3x2-y2 + x). 14.44. dz =
= (2dx — dy)/(\ 4- (2x — y)2). 14.45. dz = (ydx — xd//)/(x2 sin2(t//x)). 14.46.
dz = (5//4 4- 4xy7)dx 4- (20x//3 4- 14x2//6)d//. 14.47. a) — 7/30 « —0,054;
6) -0,le2«-0,74. 14.48. 0,273. 14.49. 1,08. 14.50. 3,037. 14.51. 0,75.
14.52. 10,28. 14.53. 4.24. 14.54. 75 cm3. 14.55. Уменьшится на 0,6л дм3.
14.56. 8,2 м3. 14.57. Увеличится на 617,5 см3. 14.58. zmin(—1; — 2)= —11.
14.59. Нет экстремума. 14.60. zmin(l; 4)= —21. 14.61. В точках Afi(— 1;
— 2) и А42(1; 2) нет экстремума; zmax( — 2; —1) = 28, zmiri(2; 1)= —28.
14.62. zmax(4; 4)=15. 14.63. zmin(l; 1) = 4, zmax(2; 1)=-28. 14.64.
гтах(0; 0) = 2. 14.65. zmin(l; 3)= 10- 18 In 3. 14.66. zmin( —2; 0)= -2/е.
14.67. zmax(2; —2) = 3.14.68.^2У,^2У, 0,5 Д/2У. 14.69.Основание дома—
квадрат со стороной -д/(р -|- q)/s • V. 14.70. -^S/3, ~\Js/3, 0,5^S/3.
14.71. Если R — радиус основания палатки, Н — высота цилиндрической
части, h — высота конической верхушки, то должны иметь место следую-
щие соотношения: R = ft-^5/2, Н = h/2. 14.72. Если / — боковая сторона
трапеции, b — основание и а — угол наклона боковой стороны, то
должны иметь место следующие соотношения: 1 = Ь =	а =
= л/3, где А — данная площадь сечения; при этом омываемая поверх-
ность и = 2^/з-л/а « 2,632-д/д. 14.73. Стороны основания равны каждая
2pH--^2V, высота вдвое меньше: pH-0,5-^2V. 14.74. -y/2S, ~\/2S, 2~\/s.
14.75. R=^]s/{n-y/3). 14.76. zK.,.6 = z(l; l) = z(-l; -1) = 3, гмим =
= z(l; —l)=z(—1; l)=-3. 14.77. гваиб = г(1; 2) = 9, zMHM = z(3;
-2)=-ll. 14.78. гваяб = г(0; 1) = 2, zBaBM = z(-l/2; 1/6)= —1/3.
272
14.79. zBa«e = z(-^; т/2) = 2-\fi, гааим - г ( - 7?; - -^) = - 2^2.
14.80. «/ = 0,98x4-0,04. 14.81. «/ = 3,46x4-2,86. 14.82. «/=—l,06x-f-
4-20,33. 14.83. «/= 15,93x 4- 110,57. 14.84. у = 4 — 2х 4- 0,25х2. 14.85.
А = 0,022/2 — 2,58/4- 101,4.14.86.1/= 1,936х2-f-0,394х 4-0,502.14.87.
«/ = х24-х-3. 14.88. у = 43,1 • 1,17х.
Глава 15
15.1. 2-\/х((2/3)х-|-3)4-с. 15.2. -4/х2-|- 12/x-f-6 In |х| 4- С. 15.3.
(4/(7-Тх))(х24-7)4-С. 15.4. — 3(1/5)х/1п 5 4-(1/ЗУ7(5 In 3)4-С. 15.5.
In |х 4-514- С. 15.6. tgx — х-|-«-• 15.7. — ctgx —x-f-C. 15.8. (х —
— sinx)/2-|-C. 15.9. (х 4-sin х)/2 4-С. 15.10. (2х — 3)|2/24 4- С. 15.11.
7з - 4х/2 4- С. 15.12. -1/72x4-1 4-С. 15.13. -З-^О -х)г/2 + С.
15.14. arctg2x/2-f-C. 15.15. In|х4--^х24-0,25| /2 -f- С. 15.16. arcsin2x/2-f-
4-С. 15.17. — е~‘—е-^/З+С. 15.18. — cos5x/5-f-C. 15.19. —ctg2x/2-f-
4- С. 15.20. tg(x/2)4-C. 15.21. — ctg(x/2) 4- С. 15.22. — tg(n/4 —
— х/2)4-С. 15.23.-^х2 4- 1 4-С. 15.24.7(1 -f-x2)3/3 4-C. 15.25. — 1п|3 —
— 5х2|/10 4- С. 15.26. — 1/(4(х2 — I)2) 4- С. 15.27. In lx3 4--^х6 — 11/З-f-
4-С 15.28. 2 arctg-\/x 4-С. 15.29. — sin(l/x)-|-С. 15.30. —ln|(l 4-
4--^/х24-1)/х| 4-С- 15.31. — arcsin(l/|x|)-f-С. 15.32. 1/71 — х24-С.
15.33. Зд/8х4 4- 125/32 4- С. 15.34. —ln|cosx| 4- С. 15.35. In|sinxl4-C.
15.36. In |х4-0,54-Л/х(1-|-х)| 4- С. 15.37. In(2 4-e*)-|-C.15.38. In |Inх I -|-С
15.39. sin4 х/4 4- С. 15.40. — cos5x/5-f-C. 15.41. 2-^sin х — cos x-f-C.
15.42.	-у/a2 sin2 x — b2 cos2 x/(a2	b2) -f- C. 15.43.	— In | cos x -f-
4- "д/cos2 x — 0,5| /^/2 4- C. 15.44. In |tg(x/2)| 4- C. 15.45. ln|tg(x/2-f-
4-л/4)|4-С. 15.46. in-1arcsin x|-f-C. 15.47. —5-^ctg4x/4 4- C. 15.48.
arcsin(-^2/3 sin x)/-^-f- C. 15.49. x2/2 — x-f- In |x 4- 11 + C. 15.50.
7(1 4-x3)4/4 4-C. 15.51. 0,5arctg(x2-f-1)4-C. 15.52. In |(x—l)/(x4-
4- 2)1/3 4- C. 15.53. ln(|x 4- 313/(x 4- 2)2) 4- C. 15.54. sin 2x/4 - sin 4x/8-f-
C. 15.55. — cos 7x/14 — cos 3x/6 -f- С. 15.56. — cos x -f- cos3x/3 -f- C.
15.57. sin x — sin3 x/3 4- С. 15.58. 3x/8 — sin 2x/4 -f- sin 4x/32 -j- C.
15.59. 3x/8 4-sin 2x/4 4-sin 4x/32 4-C. 15.60. sin 2x/4 4-sin 6x/12 4-C.
15.61. 3 sin(x/6) 4-0,6 sin(5x/6) 4-C. 15.62. tgx —ctg x-f-C. 15.63.
I/cos x 4- In I tg(x/2)| 4- C. 15.64. — 1/sin x-f- In |tg(x/2 -f- n/4)| 4- C.
15.65. In I sin x|—0,5 sin2 x-|-C.
— 2 a resin ln * + 2 4-C.	15.67.
75
— 2)7> + In x/34-C. 15.69. In —
15.66.	-71 — 4 In x — In2 x —
sin7 x/7 -|- C. 15.68.	2 (In x —
4-C. 15.70.0,5x71—x2 4-
4-0,5aresinx4-C. 15.71. x/(a2-^a2+x2)+C. 15.72. 2arctg7x-l-f-C.
15.73. 0,5x7a24-x24-0,5a2In |x-f-7«2-|-*2| 4-C. 15.74. In |x/(7*4-1 4-
4-1)1 4-C. 15.75. 0,25(2x - 1)72 4- * - *2 + (9/8)a rcsi n ((2x -1 )/3) 4- C.
273
15.76. (2х + 1)л/2 + х + х2/4 + 7 In |0,5 + х + д/2 + х + х2|/8 + С. 15.77.
arctg^/x2—I +С. 15.78. 6Z—3Z2 + 3Z4/2 — 2Z3 + 6Z5/5 — 6Z7/74~31п(1 +
+ /2) —6 arctgZ + C,Z=-Vx + 1. 15.79. 2д/х — 2 1п(1 +^/х) + С. 15.80.
(2х - 1)д/х —х2/4 + a resin (2х - 1)/8 + С.	15.81. 1 /(2(1 — х2)) + С.
15.82. 2д/(х3 + 1)3/9 + С. 15.83.	д/(х2 - 1 )5/5 + д/(х2 - 1)3/3 + С.
15.84.	1,5 д/(х + I)2 - З-^х + 1 + 3 in 11 + Vх + 1 I + С. 15.85.
1п(х/д/х + 1)6)+ С. 15.86. д/х2—1/х + С. 15.87. — е~х!/2 + С. 15.88. х—
— 1п(1 +е3х) + С. 15.89. 2arctg^jex-i +С. 15.90. 2д/(1 +х)5/5-
— 2д/(1+х)3/3 + С. 15.91. 2д/х — 4^/х + 41п(1 + д/х) + С.
15.92. 4д/(1 +ех//7 - 4^(1 + 6х)3/3 + С. 15.93. In л - In 2 In 11 п х +
+ 2 In 21+С. 15.94. In | In In х| + С. 15.95. In |tg(x/2 + л/4)| + С.
15.96. In |tg(x/2)| + С. 15.97. д/25 sin2 х + 9 cos2 х/8 + С. 15.98. sin lnx +
+ С. 15.99. (aretg-^x)2 + С. 15.100. — in(l + cos x) + C. 15.101.
— In |cosx| + C. 15.102. In |sin x| + C. 15.103. —0,5 ctg2 x — In |sin x| +
+ c. 15.104. 2(arcsinx)3/2/3 + C- 15.105. arctg((3tg(x/2)+ 1)/д/5)/д/б + С.
15.106.-2/(3 + tg(x/2)) + C. 15.107.0,25 tg4 x — 0,5 tg2 x — In |cos x | + C.
15.108. 2arctg((2tg(x/2)+	+	15.109. 2arctg(tg(x/2)/2)/^/3 +
+ C. 15.110. x —xlnx+C. 15.111. x3 In x/3 — x3/9 + C. 15.112.
— inX/(2x2)— 1/(4x2)+C. 15.113. (2/3)x3/2(ln2 x — 4 in x/3 + 8/9) + C.
15.114. — (In3 x + 3 In2 x/2 + 3 In х/2 + 3/4)/(2x2) + C. 15.115. — (x +
+ l)e-x + C. 15.116. e3x(x2 —2x/3 + 2/9)/3+C. 15.117. — e~2x(2x +
+ l)/4 + C. 15.118. sin x —x cos x + C. 15.119. 0,5x2 cos 2x + 0,5xsin2x+
+ 0,25 cos 2x + C. 15.120. x sin 3x/3 + cos Зх/9 + C. 15.121. — (2x2 +
-|- l)cos 2x/4 4- x sin 2x/2 4- C. 15.122. x arctg x — 0,5 ln(l 4- x2) 4- C.
15.123. — д/х + (1 + x)arctg-\/x + C. 15.124. 2е^(д/х — 1) + C. 15.125.
x arcsin х + д/l — x2 + C. 15.126. 0,5x(sin(ln x) + cos(ln x)) + C. 15.127.
0,5x (sin (In x) — cos (In x)) + C. 15.128. — 0,5x 4- 0,5(1 4- x2) arctg x 4- C.
15.129. x3 arcsin 2x/3 + (2x2 -|- 1)д/1 — 4x2/36 4- C. 15.130. x(arcsinx)24-
-J-2^T—-x2 arcsin x—2x-|- C. 15.131.2(6 — x)-^/xcos^/x — 6(2 —x)sin-^/x4-C.
15.132. x arcsin -yjx 4- 0,5 n/x — x2 — 0,25 arcsin (2x — 1) + C. 15.133.
0,5хд/16 — x2 4- 8 arcsin(x/4) 4- C. 15.134. 0,5x^x2 4- a 4- 0,5a In | x 4-
4-л/х2 4-a| 4- C. 15.135. 0,2(2 sin x — cos x)e2x 4- C. 15.136. 0,5x4-
-|- 0,25 sin 2x — 3х (cos x 4~ sin x) + 0,5e2x 4~ C. 15.137. (a sin bx —
- b cos bx)eax/(a2 + b2) + C. 15.138. x tg x 4-In |cos x| + C. 15.139.
0,25x2 (2 In2 x - 2 lnx4- 1) + С. 15.140. 2e*/2(sin 2x - 4 cos 2x)/17 + C.
15.41. 2(V* —VF — x arcsin д/х) + С. 15.142. 0,5e2x + 2(x - l)ex +
+ x3/3 + C. 15.143. 11,25. 15.144. 2. 15.145. 19/15. 15.146. 1. 15.147. n/3.
15.148. 3/ln 2. 15.149. я/12. 15.150. In 1,5. 15.151. л. 15.152. л. 15.153.
0,25 arctg(4/7). 15.154. 11/2+ 7 In 2. 15.155. ln(2/5)/6. 15.156. 2—In 5.
15.157. 1п(2+д/5)—ln(l+д/5). 15.158. л/(2д/2). 15.159. sin 1.
15.160. л/4. 15.161. arctg е — л/4. 15.162. 5д/2/12. 15.J63. 1. 15.164. 1/3.
15.165. 16/3. 15.166. Зд/З —л. 15.167. 1/3. 15.168. л/16. 15.169. 6 sin (л/9).
274
15.170. 0,51n(<?/2). 15.171. 1/4. 15.172. 1. 15.173. 0,5(e4- 1). 15.174. 4л.
15.175. л/6-^+1. 15.176. 2(-^—1). 15.177. 2 arctgе + 0,5 1п((е2 +
+ 1)/2). 15.178. 2лпД/9. 15.179. 0,51п 1,5. 15.180. (arctg(l/-\^)—
— аг^(1/т/б))/д/2. 15.181. ла4/16. 15.182. arcsin(l/3) — л/6. 15.183.
1/6. 15.184. 8 In 2/3 —7/9. 15.185. 2л/3—\/з/2. 15.186. 3(е”-1)/5.
15.187. In 3/2 — л/(2-\/з). 15.188. 1 — л/4. 15.189. д/з — л/3. 15.190.
0,2 In 112. 15.191. л/2. 15.192. (е2 + 3)/8. 15.193. л/2—1. 15.194. 4-
— 2 In 3. 15.195. (е”+1)/2. 15.196. arctg е —л/4. 15.197. Зд/2/2.
15.198. 2 —л/2. 15.199. д/з/2 + л/3. 15.200. 4л. 15.201. 2. 15.202. 1п(а/Ь).
15.203. 1 — е~а. 15.204. 125/12. 15.205. 1/6. 15.206. 1 — л2/8. 15.207. д/2 —
— 1.	15.208. а + (1—а)/1па.	15.209. (а2 — 1)/а — (а — 1)2/(а In а).
15.210. 1/3 + 1п(д/з/2). 15.211. 9. 15.212. 6 In 2 —2,5; 15.213. 9/4.
15.214. л/2 — 1/3. 15.215. 16/3 +2л. 15.216.2<х/(1 — а2) + а'+а/(а + 1) +
+ а‘“в/(а—1). 15.217. (а— 1)/(<х + 1). 15.218. 32д/б/3. 15.219. 16/3.
15.220. л/2 — 1/3. 15.221.-72— 1. 15.222. (1 — In 2)/1п 2. 15.223. 12!п2 —
— 6 In 3+1. 15.224. Зяа2/8. 15.225. 9/4. 15.226. 9/4. 15.227. яаЬ.
15.229. (Зл + 2):(9л — 2). 15.230. а&(3д/з — л)/6. 15.231. 125/48. 15.232.
125/12.	15.233. 2а&(л — arcsin ((а2 — 62)/(а2 + Z?2)) = 4ab arctg (b/d).
15.234. 4 — 3 In 3. 15.235. 25л + 40д/з In 2. 15.236. яра2. 15.237. ла3/2.
15.238. л2/4. 15.239. л(л + 2)/(8а3). '15.240. 5л/6. 15.241. я(л — 2)/4.
15.242. 20л. 15.243. яа5/(20(-у/р + д/р)4). 15.244. л(6/1п2 2 - 5/(2 In 2) —4).
15.245. л*2Л2(й + 3а)/(3а2). 15.246. 2лй*й(Л2 + 3а2)/(3а2). 15.247. 4лай2/3.
15.248. лР3(10 — Зл)/6. 15.249. 4л. 15.250. 8л. 15.251. 70л. 15.252.
2nk2(b — а). 15.253. 8л/3. 15.254. л(я2 — 8)/4. 15.255. 4л3. 15.256. 128л/15.
15.257. л2/4. 15.258. 4ла4/(3р). 15.259. 4ла26/3. 15.260. Зл(2 In 3— 1)1пЗ.
15.261. лг2й/2. 15.262. лй+/8. 15.263. л£>2й/8. 15.264. лг2(Я + й)/2.
15.265. лй(8£)2 + 4£)d + 3d2)/60. 15.266. 74. 15.267. 14/3. 15.268.
arcsin(3/4). 15.269. 232/15. 15.270. д/2 + ln(-^+ 1). 15.271. 6д/2 +
+ In (3 + 2~/i). 15.272. 4 + (In 3)/4. 15.273. 2 + ln(4/3)/2. 15.274. 4д^+
+ ln((9 + 4-^)/7). 15.275. In 3. 15.276. 1п(2 + д/з). 15.277. (л+1)/4.
15.278. 7/6. 15.279. \/^2. 15.281. a(e—e~')/2. 15.282. 17; 5/3. 15.283. 61;'
(— 1 + д/эГ)/3. 15.284. In(17/14) + 5. 15.285.3 In(17/13)/4 + 4.15.286.22.
15.287.5 (2a0 + 5Z>0)/2.15.288.729 414.15.289.7,395.15.290.0,302л « 0,949.
15.291. 0,882. 15.292. 0,916. 15.293. 3,139926; 1/600. 15.294. n > 13.
15.295. n>13. 15.297. 1/2. 15.298. Расходится. 15.299. Расходится.
15.300. Расходится. 15.301. л/4. 15.302. 1/(Зе3). 15.303. Расходится.
15.304. 2л/д/зГ 15.305. Расходится. 15.306. 1/1п2 2. 15.307. 2. 15.308. 1.
15.309. л. 15.310. 2я/д/з. 15.311. л2/8. 15.312. л/3. 15.313. л. 15.314. 2.
15.315. 2 In 3. 15.316. 1/ln 2. 15.317. Расходится. 15.318. л2/8. 15.319.
Расходится. 15.320. 9л/4. 15.321. Расходится. 15.322. Расходится.
15.323. 625/187. 15.324. Расходится. 15.325. Расходится. 15.326. —1.
15:327. —1/9. 15.328. ла/2. 15.329.-^125. 15.330. 4а. 15.331. Расходится.
15.332. Расходится. 15.333. Расходится. 15.334. Расходится. 15.335. Рас-
ходится. 15.336. 0. 15.337. Зл2/8. 15.338. 1/(1 — а)(а < 1); расходится
275
(<х> 1). 15.339. 1/6. 15.340.1/3. 15.341.0,5. 15.342. In 2.15.343.8^/2p5/21.
15.344. 8a-J2a/3. 15.345. 4/3. 15.346. (15л — 16)/150. 15.347. 7/5.
15.348. 14a4.
Глава 16
16.1. у' sin x = у In y. 16.2. (1 + x2)y' = xy(\ + y2). 16.3. y' =
=	Ю.4.	+ xydx = 0. 16.5. xdy + (x + y)dx = 0. 16.6.
x//' — // 4- x-yjx2 — y2 = 0.	16.7. yy' + -д/l — i/2 = 0.	16.8. xy' =
= arcsin y^/\ — y2. 16.9. у = Ce*/(x + 1). 16.10. у = — 1/ln C(x2 — 1).
16.11. у = arctg(Cx — 2)/x). 16.12. у = In(ex + C). 16.13. у = arcsinx-J-C.
16.14. x2—-^1 — y2=C, y = ±-71 — x4. 16.15. (x2— l)(i/2 — 1)=C.
16.16. у = C (x2 4- 1), i/ = x2+l. 16.17. tg(i//2) = arctg x 4-C, y = 0,
tg(i//2) = arctg x — 1. 16.18. In |x| 4- e~y = C, In x = 1 — e~y. 16.19. у =
= In C(x + д/х2 — 0- 16.20. y = C— e x\ у =—e x\ 16.21. у =
= C — -\/l—x2, y = 2 — ^l—x2. 16.22. y = eCe‘. 16.23. -Jy = C + ln|x|,
y = (ln|x|)2, y = 0. 16.24. yt^+M™ = Cx. 16.25. у = 1/ln С-^|Зх - 1|.
16.26. y=Ce^4-7. 16.27. y = (x4-C)/(l — Cx). 16.28. x3y=Ce2!l.
16.29. e" — (y + V)e-y= C. 16.30. y3 — 3yx2 — x3 = C. 16.31. y = x +
4-x(Cx4-l)2. 16.32. 2y2 — 2xy + x2 = C. 16.33. arctg у 4-у In (x2 4-
+ y2)=C. 16.34. у = хеСж+1, y = xe'~‘. 16.35. y = x ln(C + In |x|),
y = x ln(l 4- in x). 16.36. у = x(ln |x| 4- C)t у = x(ln x 4- 2). 16.37. у +
+ -^j/2 + x2= Cx2. 16.38. y3 = C(y2 — x2). 16.39. In Cx = ctg(y In y).
16.40. y = Cey/x. 16.41. y(C+ In |x|) = x. 16.42. ye"* = C. 16.43. y3 =
= 3(ln |x+ C|). 16.44. y = x— 2x/ln|Cx|. 16.45. x2 + y2 = Ce2arc,eto/x).
16.46. у =(C2 —x2)/(2C). 16.47. y=Ce~2^. 16.48. x = Ce‘Ki^‘\
16.49. у = хеСк. 16.50. у2 = 2x2 In |Cx|. 16.51. In |2x — 3| = (4y + 5)/(x —
r_________________________________________________9
— 3) + C. 16.52. Inly — x — 11 = C-----------_ x _ | - ,6-53- (1/ + 2x — 3)2 =
= C(6x + 2y - 5). 16.54. x4((2y + 2)/(x + 4) - 1)’1 = C((3y + 3)/(x 4-4)-
— I)18. 16.55. у2 = Ce_2arc,8((s+2)/('-3)).	16.56. (y — x 4-I)2 X
X(y +x-l)s = C. 16.57. x3y = 2x4-C. 16.58. xefy = x3 4- C, xex =
= x3 — 1. 16.59. y=lnx/2— 1/4 4-С/х2, у = In x/2 — 1/4 4- 3e2/(4x2).
16.60. y = (x4-C)e-', y = (x4-l)e-'. 16.61. у = (x 4- C)tg(x/2), y =
= (x-b 1 — n/2)tg(x/2). 16.62. y = e '(arctg x -|- C), y = e '(arctg x-|-2).
16.63. y=x3(e'4-C), y = xV. 16.64. y= y(C —cos2x)e-£OS', C = 5.
16.65. у cos2 x = 2 sin x 4- С, у cos3 x = 2 sin x 4- 3. 16.66. у = 2-|- Ccosx,
y = 2 — 3cosx. 16.67. y=Cln2x— In x, y=ln2x —inx. 16.68. y =
= (In X 4- Qe'. 16.69. у = Се'’ — (x2 4- 1), у = 2^’ — (x2 4- 1). 16.70. у =
= e-''(C 4-x2)/2. 16.71. у =—2 cos 2x4-Ccosx. 16.72. y = Ctgx —
— sinx. 16.73. y = e-1/'(e'4-C). 16.74. y=Cx4—1/4. 16.75. y =
= 2(x — 4 4- e/xje"'2 4- С/х. 16.76. у = Ce2’ -k xe2'. 16.77. y(x2 4- 1 j3 =
= arctgx-|-C. 16.78. у = Cx4el/'4-3(x24-2xi4-2x4). 16.79.«=Ce' —
— x2 — 2x — 2. 16.80. x = Ce-» — y2 -|- 2y — 2. 16.81. у = (Се~‘^+x—2)2.
16.82. y= 1/Л/Се'’4-х24- I- 16.83. y = (tgx-|- ln|cos^1 +C)2. 16.84.
276
y= l/(lnx+ 1 4-Сх). 16.85. \/у — х(С — 1п|х|). 16.86. x2 = Cesin> —
— 2a(sinj/+ 1). 16.87. у = Cie~2x + С2е~3ж. 16.88. j/=Cisin3x-|-C2cos3x.
16.89. {/ = С,е2х4-С2е5х. 16.90. у = C,eu + С2е4х. 16.91. у = (С> +
+ С2х)₽“3х. 16.92. у = Ci + С2е-Зх. 16.93. у = (С, + С2х)е2х. 16.94. у =
= С,₽~х + С2е2х. 16.95. у = (Ci sin 4х + С2 cos4x). 16.96. у =
=	sin-\/5x/2 + С2 cos-\/5x/2). 16.97. у = e3x(Ci sin х 4- Ci cos x).
16.98.	i/ = (Ci + C2x)e-2x. 16.99. j/ = (C, +C2x)e6x. 16.100. у = (C, +
+ C2x)e-5x. 16.101. у = Cie-5x + C2e5x. 16.102. у = Cte* + C2e6'. 16.103.
y=e~3‘(Cisin x-|-C2 cosx). 16.104. i/=0,5xsin2x4-0,25cos2xln|cos2xl +
+ Ci sin 2x+C2 cos 2x. 16.105. y= l/x + (Ci 4- C2x)^. 16.106. y =
= —4-\/x+Ciex + C2e-X. 16.107. y = 0,5cosxln|(sinx—l)/(sinx +
4-1)1 4-C, sin x4-C2 cosx. 16.108. y= C,<?-4X + Cue2' — 3x/8 — 3/32.
16.109. y= Cie“2x+ C2e2x — 5x/4. 16.110. y = C,e-X+ C2e4x — x2/4 +
4-3x/8 — 21/32. 16.111. y=C, -|-C2e“x —x4/4 —x3 —3x2 —6x. 16.112.
i/=C1e-2x + C2ex-0,5e-x. 16.113. y= С,е2ж + C2e7x - xe2x/5. 16.114.
у=С1еж + С2е,ж — хеж/3. 16.115. у = (С, + C2x + 0,5x2)e~x. 16.116. y =
= Cie-3x+C2e2x + (x3/12 —91x2/68+llx/34)e2x.	16.117. у = (C, +
+ C2x)e-2X + 2e*/9. 16.118. у = (С, + C2x)e“2x — x2/10 + 17x/50 —
-12/25.	16.119. i/=C1e,+C2e3x —3xe2x. 16.120. i/ = (Cisinx +
4-C2cosx)e-x+0,2sinx—0,4cosx. 16.121. y=(C\ sin4x+ C2cos4x)e-3x+
4-7sin2x/195— 4cos2x/195.	16.122. i/=Cisin3x + C2cos3x +
4-x2 sin 3x/12 — 5 cos 3x/36. 16.123. </ = e~x(Clcos3x-|-C2sin3x)-|-
+ (2 cos 2x — 3 sin 2x)/26. 16.124. y = е3ж(С\ 4- C2x) — sin 3x/18. 16.125.
у = Cie-4X + C2e2x - (19 sin x 4- 42 cos x)/85. 16.126. у = Cie2x + C2e3x +
+ 0,2(cos x — sin x). 16.127. у = (Ci + C2x 4- (3/2)x2)e-2x, у = 3x2e-2x/2.
16.128. у = Ci sin x + C2 cos x + x, i/ = cosx-|-(l—n/2)sinx-|-x.
16.129. y=Clex+C2e2x + x2/2 + x/3+ 1/2, j/= (3x2 4-2x 4-3 - Юе'-Ь
4-13e2x)/6. 16.130. у = Cte* + C2e-X + 0,le^x(sin x — 2 cosx). 16.131.
y = Ciex + C2e-x+0,25e3x(2x2—6x+7), y=0,25ex —2e2x + 0,25e3x(2x2 —
— 6x4-7). 16.132. I/= Cie-4x-|-C2₽-2x-|-(5/24)e2x-|-x2/8 — 3x2/16 4-
4-7/64. 16.133. i/= С, 4-C2ex —e3x/6 —x3/3 —x2 —2x. 16.134. y =
= Ci sinx-|- C2 cos x — 0,5x cos x 4- 0,5ex. 16.135. y = Cisinx-|-C2cosx4-
+ 0 ,5x sin x — cos2x/3. 16.136. y= Ci sin x-|- C2 cosx 4- x2 sin x. 16.137.
у = ex(Ci sin x -|- C2 cos x) 4- ex(0,25(2x2 4- x)sin x — 0,25(x2 — 2x)cos x).
16.138.	x=Cle'4-C2₽5', y= — Cie'-I-3C2e5'. 16.139. x = (Ct + C2t)e21,
y = ( — Ct + Ci/3 — Cttje21. 16.140. x = Ct-|-C2₽5', у = 3C2e5' — 2Cb
16.141. x=Cle'4-C2e-'4-te' —<2 —2, y = Cte‘ — C2e-' 4- te' — e‘ — 2t.
16.142. x = le2'4-Ci₽2'4-C2e3', у = 2(1 — t)e21 — 2Cie2' — C2e3'. 16.143.
x = (Ci 4-C2i)«?' — 3, i/ = (2Ci4-C24-2C2/)? —4. 16.144. x=Cte-‘ +
4- C2e2' — 2 sin t — cos t, y= —Cie~‘ -|- 2C2e2' — 4 sin t — 2 cos t. 16.145.
x = Ci 4- C2e*' — 61, у = l,5C2e8' — 0.5C, 4- 314- 0,5. 16.146. x = Cte~2,+
4-C2e' — 4te', y=Cle~2, + Cie,/4 + (l—t)e‘. 16.147. x = C, + C2₽3'4-
4-3124-21, у = 2C> — C2e3' 4- 6t2 — 21 - 2. 16.148. x = C,^ 4- C2e3' —
— 2,51₽', у = Cte‘ — C2e3‘ — 2,5te' + 2,5e'. 16.149. x = C,e~‘+ 4C2e21 +
4- Зе~2',у = Ge-'4- C2₽2' 4- 4e~2'. 16.150.x = Ci sin 1 4- C2cost — t cost,
у = Ci cos t — C2 sin 1 4- t sin t. 16.151. x = ₽-'/2(Ci 005(1-^3/2)-|-
4- C2 sin(l-^3/2)) 4- 3 sin 21 4- 2 cos 21, у = e“'/2((3Ci/2 —\/зС2/2) X
X cos (1-^/2) 4-(3C2/2 4-д/зС1/2)5т (1-\/з/2)) 4- 7 sin 21.
277
Глава 17
П’7’ ап 2и+ Г 17’8‘ а„ = ( 1)л+‘ sin •	—. л/2п	а„=(-1Г-1..17.9.о„=^+;).17.,0. п + 1	Jn + I)2 17.11. а„ = (-ly-'X—. 17.12. а„ = п\
= arctg17.13.5 = 3/4. 17.14. S= 1/2. 17.15. S= 1/3. 17.16.5 =
2/r
= 1/4. 17.17. S=—1/6. 17.18. S = l. 17.19. Расходится. 17.20. Расхо-
дится. 17.21. Необходимый признак выполняется. 17.22. Расходится.
17.23. Расходится. 17.24. Расходится. 17.25. Сходится. 17.26. Сходится.
17.27. Сходится. 17.28. Расходится. 17.29. Расходится. 17.30. Расходится.
17.31. Расходится. 17.32. Расходится. 17.33. Сходится. 17.34. Расходится.
17.35. Сходится. 17.36. Расходится. 17.37. Сходится. 17.38. Расходится.
17.39. Сходится. 17.40. Расходится. 17.41. Сходится. 17.42. Сходится.
17.43. Расходится. 17.44. Сходится. 17.45. Расходится. 17.46. Сходится.
17.47. Расходится. 17.48. Сходится. 17.49. Сходится. 17.50. Сходится.
17.51. Сходится абсолютно. 17.52. Сходится абсолютно. 17.53. Сходится
абсолютно. 17.54. Расходится. 17.55. Сходится абсолютно. 17.56. Схо-
дится условно. 17.57. Расходится. 17.58. Сходится условно. 17.59. Сходит-
ся условно. 17.60. 99; 999. 17.61. 4. 17.62. 0,96. 17.63. —0,26. 17.64. 0,46.
17.65. -0,45. 17.66. (1; + <ю). 17.67. (-оо; -1). 17.68. [0,1; 10).
17.69, (—2; 2). 17.70. Расходится всюду. 17.71. (0; 1 /ё) U (е; -f- оо).
17.72. Точка х = 3. 17.73. (—оо; +оо). 17.74. (1; 3). 17.75. [—1; 1].
17.76.[—7; 3). 17.77.[—1; 1]. 17.78.(— <х>; + <»). 17.79. [—1/-\/2; 1 /д/2].
00 гл+2
17.80.	[—2; 4). 17.81. 2 —— ( — оо < х < 4- оо). 17.82. In 3 +
п = 0 п'
°° (  1Y1-1 / Y \ П	°°	Г2п
+ 2	---(4) (-3<х<3). 17.83. 2 (_1)»52"-2- (-оо<
„=1	п \3/	п=0	(2п)!
-<+->•	(тУ +
... (-оо<х<+оо). 17.85. 2 (-1)"	2)х3" (-1 <х<
п = 0	о • Ь • У  о/?
< 1). 17.86. 1-5— х3------1—х6-----Ц-х9 — ... (— 1 < х < 1).
1!-2	2!-22	3! - 23
17.87.	—78 + 59(х + 4)—14(х + 4)2 + (х + 4)3 (—оо<х<+оо). 17.88.
2	(—оо <х<-I-оо). 17.89. S (_1у—
л=1	1)1	Я = 1	П
(0<х<2). 17.90. е~г( 1+ 2 (*+,2П (|х|<оо). 17.91. 2 (-1)"+*Х
\	Л=1 п- /	л = 0
Х(х —2)" (1<х<3). 17.92.2 + —- + 2 ( —1)',~11'3‘--^2П—3)(Х,
7	4	п=2	• 4-6-8-2п-22л
(0<х<8). 17.93. 5,099. 17.94. 1,0196. 17.95. 5,0676. 17.96. 0,4055.
17.97. 1,0986. 17.98. 0,7788. 17.99. 0,2079. 17.100. 0,8063. 17.101. 0,3421.
17.102.0,2497. 17.103. 0,2491. 17.104.0,7468. 17.105.0,9045. 17.106. 0,2505.
278
ЛИТЕРАТУРА
1.	Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.—
М.: Наука, 1964.
2.	Бугров С. Я., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения.
Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.— Мн.:
Наука, 1985.
3.	Гусак А. А. Задачи и упражнения по высшей математике.—
Мн.: Выш. шк., 1988.
4.	Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая матема-
тика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк.— Ч. 2.—1986.
5.	Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математи-
ческому анализу.— М.: Наука, 1977.
6.	Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.:
Выш. шк.— Ч. 3.—1985.
7.	Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/
Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред.
Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1970.
8.	Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математи-
ческому анализу.— М.: Высш, шк., 1964.
9.	Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический
анализ.— М.: Наука, 1979.
10.	Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 2 т.— М.:
Высш, шк.—Т. 1.—1981; Т. 2.—1983.
11.	Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач
по высшей математике, теории вероятностей и математической статисти-
ке.— Мн.: Выш. шк., 1969.
12.	Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным
дифференциальным уравнениям.— Мн.: Выш. шк., 1987.
13.	Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике.— М.:
Наука, 1969.
14.	Подольский В. А., Суходский А. М. Сборник задач по матема-
тике.— М.: Высш, шк., 1978.
15.	Сборник задач по курсу высшей математики/П. Е. Дюбюк,
Г. И. Кручкович, Н. Н. Глаголева и др.; Под ред. П. Е. Дюбюка и
Г. И. Кручковича.— М.: Высш, шк., 1965.
16.	Сборник задач по математическому анализу. Интегралы, ря-
279
ды/Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин;
Под ред. Л. Д. Кудрявцева.— Мн.: Наука, 1986.
17.	Справочник по математике для экономистов/В. Е. Барбаумов,
В. И. Ермаков, Н. Н. Кривенцова и др.; Под ред. В. И. Ермакова.— М.:
Высш, шк., 1987.
18.	Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным урав-
нениям.— М.: Наука, 1965.
19.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: В 3 т.— М.: Наука, 1969.
20.	Щипачев В. С. Курс высшей математики: В 2 т.— М.: Изд-во
МГУ.— Т. 2.—1982.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.	3
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.	Математическое моделирование простейших экономических
ситуаций ................................................. 5
1.1.	Экономические задачи, сводящиеся к системам линейных
уравнений ............................................ 5
1.2.	Экономические задачи, сводящиеся к системам линейных
неравенств........................................... 12
2.	Системы линейных уравнений	. .	20
2.1.	Метод	Гаусса........ 20
2.2.	Метод	полного	исключения........................ 28
2.3.	Нахождение базисных решений системы линейных урав-
нений	........................................... 31
2.4.	Опорные решения	системы	линейных уравнений ...	33
3.	Векторы............................................... 38
3.1.	Линейные операции над векторами................. 38
3.2.	Скалярное произведение векторов................. 39
4.	Системы векторов	  43
4.1.	Линейная зависимость и независимость векторов. Базис
и ранг системы векторов.............................. 43
4.2.	Разложение вектора по базису.................... 46
4.3.	Ортогональные системы векторов.................. 48
5.	Матрицы........................................ ....	49
5.1.	Арифметические операции над матрицами. Ранг матрицы 49
5.2.	Обратная матрица и способы ее нахождения	60
281
6.	Определители	...	65
6.1.	Свойства определителей. Способы вычисления определи-
телей ................................................   65
6.2.	Правило Крамера . .	73
7.	Собственные значения и собственные векторы . .	75
7.1.	Характеристическое уравнение	матрицы	75
7.2.	Приведение матрицы к диагональному виду	78
8.	Квадратичные формы ...	85
8.1.	Приведение квадратичной формы к каноническому виду 85
8.2.	Знакоопределенные	квадратичные формы............... 93
9.	Геометрия пространства	Я”	94
9.1.	Уравнение линии в	R2	94
9.2.	Прямая в R2......................................... 95
9.3.	Кривые второго порядка	98
9.4.	Плоскость в R3 . .	102
9.5.	Прямая н плоскость в R3 . . . .	104
9.6.	Поверхности второго порядка в R3	105
10.	Системы линейных неравенств	107
10.1.	Решение линейных неравенств в R2 . . .	107
10.2.	Смешанные системы линейных уравнений н неравенств 113
10.3.	Эквивалентные преобразования систем линейных урав-
нений и неравенств..................................... 115
II.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11.	Предел числовой последовательности...................... 118
11.1.	Числовые последовательности и действия над ними 118
11.2.	Предел последовательности. Бесконечно большие и
бесконечно малые последовательности ................... 119
11.3.	Свойства бесконечно малых последовательностей. Свой-
ства сходящихся последовательностей.................... 121
11.4.	Предельный переход в неравенствах. Монотонные после-
довательности ......................................... 124
11.5.	Числовое множество. Предельные точки числового мно-
жества . .	............................ 125
12.	Предел и непрерывность функции	125
12.1.	Предел функции . .	125
282
12.2.	Сравнение бесконечно малых функций	139
12.3.	Непрерывность функции . .	141
13.	Дифференциальное исчисление функции одной переменной 148
13.1.	Производная, ее геометрический и физический смысл.
Непосредственное нахождение производной ....	148
13.2.	Правила и формулы дифференцирования. Производная
сложной и обратной функций........................... 150
13.3.	Применение понятия производной в экономике. Эластич-
ность функции........................................ 152
13.4.	Логарифмическое дифференцирование	154
13.5.	Производная неявной функции . .	155
13.6.	Производные высших порядков..................... 156
13.7.	Дифференциал функции. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях............................. 157
13.8.	Теоремы о среднем. Правило Лопиталя —	Бернулли 159
13.9.	Исследование поведения функций и их	графиков	163
13.10.	Схема полного исследования функции и построение ее
графика .............................................. 166
13.11.	Задачи на экстремум	167
14.	Дифференциальное исчисление функции нескольких пере-
менных ................................................... 169
14.1.	Понятие функции нескольких переменных ....	169
14.2.	Предел и непрерывность функции многих переменных	171
14.3.	Частные производные ....	. .	172
14.4.	Полный дифференциал функции..................... 175
14.5.	Экстремум функции нескольких переменных .	177
14.6.	Наибольшее и наименьшее значения функции	178
14.7.	Метод наименьших квадратов . .	.	179
111.	ИНТЕГРАЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И РЯДЫ
15.	Интегральное исчисление .	............... 185
15.1.	Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства 185
15.2.	Основные методы интегрирования .	.......... 189
15.3.	Определение определенного интеграла, его свойства.
Формула Ньютона — Лейбница........................... 194
15.4.	Замена переменной и интегрирование по частям в опре-
деленном интеграле................................... 197
15.5.	Приложения определенного интеграла в геометрии и
экономике............................................ 200
283
15.6.	Приближенное вычисление интеграла по формуле тра-
пеций .................................................208
15.7.	Несобственные интегралы.........................  210
15.8.	Двойные интегралы .	214
16.	Дифференциальные уравнения........................216
16.1.	Общие понятия...............................216
16.2.	Уравнения с разделяющимися переменными .	.	.	219
16.3.	Однородные уравнения и простейшие, приводящиеся к
ним..............................................221
16.4.	Линейные уравнения, уравнение Бернулли ....	224
16.5.	Линейные дифференциальные уравнения и системы вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами .	.	.	227
17.	Ряды .	237
17.1.	Сходимость числовых рядов...................237
17.2.	Признаки сходимости и расходимости рядов ....	242
17.3.	Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходи-
мость .................................................246
17.4.	Функциональные ряды	. . ,. . . .	249
17.5.	Степенные ряды..............................253
17.6.	Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в
степенные ряды...................................255
17.7.	Применение рядов в приближенных вычислениях	.	.	259
Ответы .
Литература
262
279
Учебное издание
Кузнецов Альберт Васильевич,
Кузнецова Дина Сергеевна,
Шилкина Елена Ивановна,
Рыбалтовский Иван Викторович,
Косьянчук Виктор Васильевич,
Аксень Вера Николаевна,
Минченкова Лариса Павловна,
Яшина Наина Николаевна,
Корзюк Адольфина Федоровна,
Яблонский Анатолий Иосифович,
Янчук Леонид Федорович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Общий курс
Редактор Е. В. Малышева
Художник переплета и
художественный редактор А. Г. Звонарев
Технический редактор И. П. Тихонова
Корректор Г. В. Вагабова
Сдано в набор 02.09.93. Подписано в печать 03.06.94.
Формат 84Х 108/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура
литературная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 15,12.
Усл. кр.-отт. 15,12. Уч.-изд. л. 15,78. Тираж 10 000 экз.
Заказ 500.
Издательство «Вышэйшая школа» Министерства
культуры и печати Республики Беларусь. Лицензия
ЛВ № 5. 220048, Минск, проспект Машерова, 11.
Минский Ордена Трудового Красного Знамени по-
лиграфкомбинат МППО им. Я. Коласа. 220005,
Минск, ул. Красная, 23.