ОГЛАВЛЕНИЕ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ		8
От редакции 		8
Глава 1. Аналитическая геомегрия на плоскости 		9
§ 1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние
между двумя точками		9
§2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треуголь-
треугольника и многоугольника		11
§3. Уравнение линии как геометрического места точек ....	12
§ 4. Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом, 2) об-
общее, 3) в отрезках на осях		14
§5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, прохо-
проходящих через данную точку. Уравнение прямой, прохо-
проходящей через две данные точки. Точка пересечения двух
прямых 		16
§ 6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до
прямой. Уравнения биссектрис. Уравнение пучка пря-
прямых, проходящих через точку пересечения двух данных
прямых 		19
§7. Смешанные задачи на прямую		21
§ 8. Окружность		22
§ 9. Эллипс		24
§ 10. Гипербола		26
§ 11. Парабола		29
§ 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго
порядка 		32
§ 13. Преобразование декартовых координат. Параболы у =
= ах2 + Ъх + с и х = ay2 + by + с. Гипербола ху = к . . .	35
§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка		38
§ 15. Общее уравнение линии второго порядка		40
§ 16. Полярные координаты 		44
§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков . .	48
§ 18. Трансцендентные кривые 		49
Глава 2. Векторная алгебра		51
§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр ....	51
§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора
в пространстве 		53
§ 3. Скалярное произведение двух векторов		55
§ 4. Векторное произведение двух векторов 		58
§ 5. Смешанное произведение трех векторов		60

Оглавление
Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве 		62
§ 1. Уравнение плоскости 		62
§ 2. Основные задачи на плоскость 		63
§3. Уравнения прямой		65
§ 4. Прямая и плоскость		68
§5. Сферические и цилиндрические поверхности		70
§6. Конические поверхности и поверхности вращения ....	72
§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды		74
Глава 4. Высшая алгебра 		78
§ 1. Определители		78
§ 2. Системы линейных уравнений		80
§ 3. Комплексные числа		83
§ 4. Уравнения высших степеней и приближенное решение
уравнений		86
Глава 5. Введение в анализ		90
§ 1. Переменные величины и функции		90
§ 2. Пределы последовательности и функции. Бесконечно ма-
малые и бесконечно большие		93
§ 3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей
вида - и —		97
О оо
§ 4. Предел отношения 	 при a —у 0 		98
a
§ 5. Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо		99
§6. Смешанные примеры на вычисление пределов		100
§ 7. Сравнение бесконечно малых		101
§ 8. Непрерывность функции		102
§ 9. Асимптоты 		105
§ 10. Число е 		106
Глава 6. Производная и дифференциал 		108
§ 1. Производные алгебраических и тригонометрических
функций		108
§2. Производная сложной функции		110
§3. Касательная и нормаль к плоской кривой		111
§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции . .	113
§5. Производные логарифмических и показательных функций	114
§6. Производные обратных тригонометрических функций . .	116
§7. Производные гиперболических функций 		117
§ 8. Смешанные примеры и задачи на дифференцирование .	118
§9. Производные высших порядков		119
§ 10. Производная неявной функции		121

Оглавление
§11.	Дифференциал функции		123
§ 12.	Параметрические уравнения кривой		124
Глава	7. Приложения производной 		127
§ 1.	Скорость и ускорение		127
§ 2.	Теоремы о среднем 		128
§ 3.	Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя ....	131
§ 4.	Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум	133
§ 5.	Задачи о наибольших и наименьших значениях величин	136
§ 6.	Направление выпуклости и точки перегиба кривой.
Построение кривых		138
Глава	8. Неопределенный интеграл		140
§ 1.	Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением	140
§ 2.	Интегрирование подстановкой и непосредственное ....	142
dx f dx	f dx
§ 3. Интегралы вида
и к ним приводящиеся		145
§ 4. Интегрирование по частям		147
§5. Интегрирование тригонометрических функций		148
§6. Интегрирование рациональных алгебраических функций	150
§ 7. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраиче-
алгебраических функций		152
§8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций	155
§9. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболи-
Гиперболические подстановки		156
§ 10. Смешанные примеры на интегрирование		157
Глава 9. Определенный интеграл 		160
§ 1. Вычисление определенного интеграла		160
§ 2. Вычисление площадей 		163
§ 3. Объем тела вращения		165
§ 4. Длина дуги плоской кривой		167
§ 5. Площадь поверхности вращения		169
§ 6. Задачи из физики		170
§ 7. Несобственные интегралы		172
§ 8. Среднее значение функции		175
§ 9. Формула трапеций и формула Симпсона		176
Глава 10. Кривизна плоской и пространственной кривой ....	178
§ 1. Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны.
Эволюта		178
§ 2. Длина дуги кривой в пространстве		180

Оглавление
§3. Производная вектор-функции по скаляру и ее механиче-
механическое и геометрическое значение. Естественный трех-
трехгранник кривой 	 180
§ 4. Кривизна и кручение пространственной кривой 	 183
Глава 11. Частные производные, полные дифференциалы
и их приложения 	 185
§ 1. Функции двух переменных и их геометрическое изобра-
изображение 		185
§2. Частные производные первого порядка 		187
§3. Полный дифференциал первого порядка		189
§4. Производные сложных функций 		191
§5. Производные неявных функций		192
§ 6. Частные производные и полные дифференциалы высших
порядков		194
§ 7. Интегрирование полных дифференциалов		198
§8. Особые точки плоской кривой		199
§9. Огибающая семейства плоских кривых		200
§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности		201
§11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней.
Производная в данном направлении. Градиент		203
§ 12. Экстремум функции двух переменных		205
Глава 12. Дифференциальные уравнения 	 207
§ 1. Понятие о дифференциальном уравнении	 207
§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделя-
разделяющимися переменными. Ортогональные траектории . . . 208
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка:
1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли	 211
§ 4. Дифференциальные уравнения, содержащие дифферен-
дифференциалы произведения и частного	 213
§ 5. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных
дифференциалах. Интегрирующий множитель 	 213
§6. Дифференциальные уравнения первого порядка, не раз-
разрешенные относительно производной. Уравнения
Лагранжа и Клеро	 215
§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допус-
допускающие понижение порядка	 217
§ 8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами	 218
§ 9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами	 219
§ 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов 221
§ 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера жпу(п) +
V") + • • • + а„_1Ж2/ + апу = f(x) 	 222

Оглавление
§ 12. Системы линейных дифференциальных уравнений с по-
постоянными коэффициентами 		223
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения в частных про-
производных второго порядка (метод характеристик)		224
Глава 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы . .	226
§ 1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла . .	226
§ 2. Центр масс и момент инерции площади с равномерно рас-
распределенной массой (при плотности /i = 1)		228
§ 3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла . . .	230
§4. Площади кривых поверхностей		231
§5. Тройной интеграл и его приложения 		232
§6. Криволинейный интеграл. Формула Грина		234
§ 7. Поверхностные интегралы.
Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса 		238
Глава 14. Ряды		242
§ 1. Числовые ряды		242
§2. Равномерная сходимость функционального ряда		245
§ 3. Степенные ряды		247
§ 4. Ряды Тейлора и Маклорена		249
§ 5. Приложения рядов к приближенным вычислениям ....	251
§ 6. Ряд Тейлора для функции двух переменных		254
§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье		255
Ответы 		260
Приложение. Некоторые кривые (для справок) 		332

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем «Сборнике» подобраны и методически распреде-
распределены задачи и примеры по аналитической геометрии и математи-
математическому анализу.
В начале каждого параграфа приведены формулы, определения
и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения
последующих задач.
В конце каждого параграфа «Сборника» приведены (после чер-
черты) задачи для повторения, составляющие около одной трети всего
материала «Сборника». Эта особенность поможет преподавателю в
подборе задач для работы в классе и для домашних заданий или
для повторений перед контрольными работами. Кроме того, при
таком распределении задач легко определить минимум, необходи-
необходимый для усвоения курса, который можно рекомендовать заочни-
заочникам или для работы на вечерних факультетах.
«Сборник» может быть использован как для работы под ру-
руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения
курса высшей математики во втузах, так как почти все задачи
имеют ответы, а некоторые и решения и, кроме того, ко многим
задачам в тексте или в ответах даны указания к их решению.
Этому же способствуют краткие пояснения теории.
ОТ РЕДАКЦИИ
Издание настоящего «Сборника» осуществлено в связи с много-
многочисленными заявками, поступившими в наш адрес от математи-
математических кафедр, библиотек, студентов и преподавателей различных
втузов России.
В связи с тем, что автора, Василия Павловича Минорского,
увы, давно уже нет с нами, редакция предельно бережно отнеслась
к тексту, осуществив лишь новый набор, верстку и оформление, не
внося при этом никаких существенных изменений в текст, кроме
исправлений замеченных опечаток.
Мы считаем своим приятным долгом подарить новому поколе-
поколению учащихся этот широко известный в математическом образо-
образовании «Сборник», тем более, что его предыдущее издание было в
1987г.

Глава 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Координаты точки на прямой и на плоскости.
Расстояние между двумя точками
1°. Расстояние d между точками А(х\) и В(х2) на оси:
d=\x2- хг\ = \J{x2 - xiJ.	A)
2°. Величина АВ (алгебраическая) направленного отрезка на
оси:
АВ = х2-Х1.	B)
3°. Р асстояние d между точками А(х\; у\) и В(х2; у2) на плос-
плоскости:
xlJ + {y2-yl)\	C)
4°. Проекции на оси координат направленного отрезка, или век-
вектора АВ на плоскости с началом А(х\\ у\) и концом В(х2\ у2):
пр^АВ = X = х2 - xi, пруАВ = Y = у2-у1.	D)
1.	Построить на числовой оси точки А( — 5), В(-\-А) и С( — 2) и
найти величины АВ, ВС и АС отрезков на оси. Проверить, что
АВ + ВС = АС.
2.	Выполнить предыдущее упражнение для точек А(+1), В(—4)
иС(+5).
3.	Построить треугольник с вершинами А{—4; 2), -6@; —1) и
СC; 3) и определить его периметр и углы.
4.	Доказать, что треугольник с вершинами А( — 3; —2),_В@; —1)
и С( — 2; 5) прямоугольный.
5.	Построить точки А{—4; 0), Б( — 1; 4) и точки А\, В\, сим-
симметричные данным относительно оси Оу. Вычислить периметр
трапеции ABBiAi.
6.	Точка В симметрична АD; —1) относительно биссектрисы
первого координатного угла. Найти длину АВ.

10	Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
7.	Найти точку, удаленную на 5 единиц как от точки АB; 1),
так и от оси Оу.
8.	На оси ординат найти точку, удаленную от точки АD; —1) на
5 единиц. Пояснить построением, почему получается два решения.
9.	На оси абсцисс найти точку, удаленную от точки А(а; Ъ) на
с единиц. Исследовать решение при с > \Ь\, с = \Ь\ и с < \Ь\.
10.	На оси Ох найти точку, одинаково удаленную от начала
координат и от точки А(8; 4).
11.	Найти центр и радиус круга, описанного около треуголь-
треугольника с вершинами АD; 3), В( — 3; 2) и СA; —6).
12.	Даны точки АB; 6) и -6@; 2); построить вектор /Ш, его
компоненты на осях и вычислить пр^Ао, пруАо и длину /Ш.
13.	В точке АB; 5) приложена сила, проекции которой на оси
координат равны: X = 3 и У = 3. Определить конец вектора Ао,
изображающего силу, и величину силы.
14.	В точке А( — 3; —2) приложена сила, проекция которой У =
= — 1, а проекция X положительна. Определить конец вектора
А~В, изображающего силу, если ее величина равна 5-\/2-
151). На числовой оси построить точки АA), В( — 3) и С( — 2)
и найти величины АВ, ВС и С А отрезков на оси. Проверить, что
АВ + ВС + С А = 0.
16.	На плоскости построить точки А{ — 7; 0) и -6@; 1) и точки
А\ и -Bj, симметричные точкам А и В относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов. Вычислить периметр тра-
трапеции ABBiAi.
17.	На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от на-
начала координат и от точки А{ — 2; 5).
18.	На оси абсцисс найти точку, удаленную от точки А{ — 2; 3)
на Зу/5 единиц.
19.	Определить центр и радиус круга, описанного около тре-
треугольника с вершинами А( — 3; —1), ВE; 3) и СF; —4).
20.	Даны точки А(х\; у\) и В(х2; j/г)- В начале координат при-
приложены силы, изображаемые векторами О А и О-В. Построить их
равнодействующую ОС и доказать, что проекция равнодействую-
равнодействующей на координатную ось равна сумме проекций составляющих
на ту же ось.
21.	Даны точки АA; 2), ВC; 5), СE; 2) и L>B; -2). В точке
А приложены силы АВ, АС и AT). Найти проекции на оси коор-
координат равнодействующей силы и ее величину.
]) В каждом параграфе после черты приведены задачи, которые рекоменду-
рекомендуются для задания на дом или для повторений.

§ 2. Деление отрезка в данном отношении	11
§ 2. Деление отрезка в данном отношении.
Площадь треугольника и многоугольника
1°. Деление отрезка в данном отношении. Даны точки
A] У\) и В(х2', 2/г)- Координаты точки М(х; у), делящей отрезок АВ
в отношении AM : MB = А, определяются по формулам:
В частности, при делении пополам, т. е. в отношении А = 1 : 1 = 1,
х\ +х2	2/i + 2/2
х=	У=
2°. Площадь многоугольника с вершинами А[х\; у\), В[х2',
J/2), С(х3; у3), . . ., F(xn; yn) равна
s-±1-
b~±2
Выражение вида
¦\xi
]Х2
Xl
х2
телем второго порядка
г/i
г/г
г/i
г/г
х).
х2
х3
равно i
г/г
г/з
Si2/
W
равно х\у2 — х2у\ и называется определи-
22.	Построить точки А{ — 2; 1) и -6C; 6) и найти точку М(х; у),
делящую АВ в отношении AM : M_B = 3:2.
23.	Даны точки А( — 2; 1) и -6C; 6). Разделить отрезок АВ в
отношении AM : MB = —3:2.
24.	В точках А(х\) и В(х2) оси Ож помещены массы rrej и То2-
Найти центр масс этой системы.
25.	В точках A(xi), В(х2) и С(ж3) оси Ож помещены соот-
соответственно массы nil, m2 и тз- Показать, что центр масс этой
т1х1+т2х2 + т3х3
системы будет в точке ж = 	.
т1+т2 + то3
26.	На концы однородного стержня длиной 40 см и массой 500 г
насажены шары массой 100 г и 400 г. Определить центр масс этой
системы.
27.	В точках А( — 2; 4), -6C; —1) и СB; 3) помещены соответ-
соответственно массы 60 г, 40 г и 100 г. Определить центр масс этой си-
системы.
28.	Определить середины сторон треугольника с вершинами
АB;-1),ВD;3)иС(-2;1).
29.	В треугольнике с вершинами О@; 0), А(8; 0) и -6@; 6)
определить длину медианы ОС и биссектрисы OD.
) Об определителях подробно изложено в гл. 4, § 1.

12	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
30.	Найти центр масс треугольника с вершинами АA; —1),
5F; 4) иСB; 6).
Указание. Центр масс треугольника находится в точке пересече-
пересечения его медиан.
31.	Вычислить площадь треугольника с вершинами АB; 0),
5E; 3) иСB; 6).
32.	Показать, что точки АA; 1), 5( — 1; 7) и С@; 4) лежат на
одной прямой.
33.	Вычислить площадь четырехугольника с вершинами АC; 1),
5D; 6), СF; 3) и L>E; -2).
34.	В точках А{ — 3; —1) и -6D; 6) приложены параллельные
силы, соответственно равные ЗОН и 40Н. На отрезке АВ найти
точку приложения равнодействующей.
35.	В точках О@; 0), АB; —5) и -6D; 2) помещены соответст-
соответственно массы 500 г, 200г и 100 г. Определить центр масс этой си-
системы.
36.	В треугольнике с вершинами А( — 2; 0), -6F; 6) и СA; —4)
определить длину биссектрисы АЕ\
37.	Найти центр масс треугольника с вершинами A(xi; yj),
5(ж2; ?/2) и С(ж3; у3)-
38.	Найти центр масс четырехугольной однородной доски с вер-
вершинами А(-2; 1), 5C; 6), СE; 2) и ?>@; -6).
Указание. По формулам, полученным в задаче 37, найти центры
масс треугольников ABC и ADC и разделить расстояние между ними
в отношении, обратном отношению площадей треугольников.
39.	Даны точки АA; 2) и -6D; 4). На оси Ох определить точку
С так, чтобы площадь ААВС была равна 5, и построить ААВС.
40.	В треугольнике с вершинами А( — 2; 2), 5A; —4) и СD; 5)
каждая сторона продолжена в направлении обхода периметра про-
против часовой стрелки на одну треть своей длины. Определить
концы М, N и Р продолжений сторон и найти отношение к пло-
площади AMNP к площади ААВС.
§ 3. Уравнение линии как геометрического места точек
Уравнением линии называется уравнение с переменными х и
у, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и
только они.
Входящие в уравнение линии переменные х и у называются теку-
текущими координатами, а буквенные постоянные — параметрами. На-
Например, в уравнении окружности (задача 41) ж2 + у2 = Я? переменные
х ж у — текущие координаты, а постоянная R — параметр.
Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек,
обладающих одинаковым свойством, нужно:

§3. Уравнение линии как геометрического места точек	13
1)	взять произвольную (текущую) точку М(х; у) линии;
2)	записать равенством общее свойство всех точек М линии;
3)	входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через теку-
текущие координаты точки М(х; у) и через данные в задаче.
41.	Показать, что уравнением окружности с радиусом й i с
центром в начале координат будет ж2 + у2 = R2.
42.	Написать уравнение окружности с центром СC; 4) и радиу-
радиусом R = 5. Лежат ли на этой окружности точки А( — 1; 1), -6B; 3),
О@; 0) и ?D; 1)?
43.	Написать уравнение линии, по которой движется точка
М(ж; у), равноудаленная от точек А@; 2) и -6D; —2). Лежат ли
на этой линии точки С(-1; 1), D(l; -1), E@; -2) и FB; 2)?
44.	Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая
при своем движении остается втрое дальше от точки А@; 9), чем
от точки -6@; 1).
45.	Написать уравнение траектории точки М(ж; у), которая
при своем движении остается вдвое ближе к точке А{ — 1; 1), чем
к точке -В(-4; 4).
46.	Написать уравнения биссектрис координатных углов.
47.	Написать уравнение геометрического места точек, сумма
расстояний от каждой из которых до точек FB; 0) и Fi{ — 2; 0)
равна 2^/Ъ. Построить линию по ее уравнению.
48.	Написать уравнение геометрического места точек, равно-
равноудаленных от точки F{2; 2) и от оси Ох. Построить линию по ее
уравнению.
49.	Написать уравнение линии, по которой движется точка
М(х; у), оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от оси Оу.
50.	Построить линии: 1) у = 2х + 5; 2) у = 7 — 2ж; 3) у = 2ж;
4) у = 4; 5) у = 4-х2.
51.	Определить точки пересечения линии у = х2 — Ах + 3 с
осями координат и построить ее.
52.	Определить точки пересечения с осями координат линий:
1) Зж — 2у = 12; 2) у = ж2 + 4ж; 3) у2 = 2ж + 4. Построить эти
линии.
53.	Написать уравнение геометрического места точек, равно-
равноудаленных от оси Оу и от точки FD; 0), и построить линию по
ее уравнению.
54. Написать уравнение линии, по которой движется точка
М(х; у), равноудаленная от начала координат и от точки А(—4; 2).
Лежат ли на этой линии точки В( — 2; 1), СB; 3), -D(l; 7)?

14	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
55.	Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая
при своем движении остается вдвое ближе к точке А@; —1), чем
к точке -6@; 4). Построить траекторию движения.
56.	Определить точки пересечения с осями координат линий:
1) 2х + Ъу + 10 = 0; 2) у = 3 - 2х - ж2; 3) у2 = 4 - х. Построить
линии.
57.	Написать уравнение геометрического места точек, равно-
равноудаленных от оси Ох и от точки F@; 2), и построить линию по
ее уравнению.
58.	Написать уравнение геометрического места точек, разность
расстояний от каждой из которых до точек Fi( —2; —2) и FB; 2)
равна 4. Построить линию по ее уравнению.
§ 4. Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом,
2) общее, 3) в отрезках на осях
1°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b.	A)
Параметр к равен тангенсу угла а наклона прямой к оси Ох (к =
= tg а) и называется угловым коэффициентом, или иногда наклоном
прямой. Параметр Ь — величина отрезка на оси Оу, или начальная
ордината.
2°. Общее уравнение прямой
Ах + Ву + С = 0.	B)
Особые случаи:
А
а)	при С = 0 у =	х — прямая проходит через начало координат;
В
С
б)	при 5 = 0 х = — — = а — прямая параллельна оси Оу;
в)	при А = 0 у =	= Ь — прямая параллельна оси Ох;
В
г)	при В = С = 0 Ах = 0, х = 0 — ось Оу;
д)	при А = С = 0 By = 0, у = 0 — ось Ох.
3°.Уравнение прямой в отрезках на осях
где а и & — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
59.	Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок Ь =
= 3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 135°. Написать
уравнения этих прямых.
60.	Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок Ь =
= — 3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 60°; 2) 120°. Написать
уравнения этих прямых.

§4. Уравнение прямой	15
61.	Написать уравнение прямой, проходящей через начало ко-
координат и составляющей с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 60°; 3) 90°;
4) 120°; 5) 135°.
62.	Построить прямую, проходящую через начало координат и
через точку ( — 2; 3), и написать ее уравнение.
63.	Определить параметры к и Ь для каждой из прямых:
1) 2ж - Зу = 6; 2) 2ж + Зу = 0; 3) у = -3; 4) - + | = 1.
4 о
64.	Построить прямые:
1) Зж + 4у = 12; 2) Зж - 4у = 0; 3) 2ж - 5 = 0; 4) 2у + 5 = 0.
65.	Определить параметры к и b прямой, проходящей через
точку АB; 3) и составляющей с Ох угол 45°. Написать уравнение
этой прямой.
66.	Уравнения прямых: 1) 2х — Зу = 6; 2) Зж — 2у + 4 = 0
привести к виду в отрезках на осях.
67.	Даны точки 0@; 0) и А{ — 3; 0). На отрезке О А построен
параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке -6@; 2).
Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
68.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку АD; 3)
и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, рав-
равной 3.
69.	Прямые у = — 2 и у = 4 пересекают прямую Зж — 4у — 5 = 0
соответственно в точках А и В. Построить вектор АВ, определить
его длину и его проекции на оси координат.
70.	Лежат ли точки АC; 5),БB; 7),С(-1; -3) и D(-2; -6) на
прямой у = 2ж — 1 или же они «выше» или «ниже» этой прямой?
71.	Каков геометрический смысл неравенств:
1) у > Зж + 1; 2) у < Зж + 1; 3) 2ж + у-4 ^ 0; 4) 2ж + у-4 < 0?
72.	Построить области1), координаты точек которых удовле-
удовлетворяют неравенствам:
1) у < 2 - ж, ж > -2, у > -2;
2)у>2-ж, ж < 4,	у<0;
3) | + | ^ 1, у^ж + 2, О -4.
73.	Точка М(х; у) движется так, что разность квадратов рас-
расстояний от нее до точек А{ — а; а) и В(а; —а) остается равной 4а2.
Написать уравнение ее траектории.
]) Слово «область» здесь означает часть плоскости хОу, координаты каждой
точки которой удовлетворяют некоторым условиям (например, неравенствам).
Область называется замкнутой, если в нее включены точки, лежащие на гра-
границе области. В противном случае область называется открытой.

16	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
74. Написать уравнение траектории точки М{х; у), проекция
которой на ось Ох движется со скоростью тел/с, а на ось Оу —
со скоростью п ед/с. Начальное положение точки М0(а; Ъ).
75.	Построить прямые, заданные параметрами: 1) Ь = — 2, <р =
= 60° и 2) Ь = —2, (р = 120°, и написать их уравнения.
76.	Определить параметры к и Ь прямой, проходящей через
точку ( — 2; 3) и составляющей с Ох угол 45°. Построить прямую
и написать ее уравнение.
77.	Равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 2 см имеет
острый угол 45°. Написать уравнения сторон трапеции, приняв за
ось Ох большее основание и за ось Оу — ось симметрии трапеции.
78.	Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10 см
и 6 см, приняв большую диагональ за ось Ох и меньшую — за
ось Оу.
79.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—4; 6)
и отсекающей от осей координат треугольник площадью 6.
80.	Написать уравнение линии, по которой движется точка
М{х; у), оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от прямой х = — 3.
81.	Прямые х = — 1 и ж = 3 пересекают прямую у = 2х + 1 в
точках А и В. Определить длину вектора АВ и его проекции на
оси координат.
§ 5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых,
проходящих через данную точку. Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.
Точка пересечения двух прямых
1°. Угол if, отсчитанный против часовой стрелки от прямой у =
= к\х + Ъ\ до прямой у = &2Ж + &2; определяется формулой
Для прямых, заданных уравнениями
формула A) примет вид
_ А\В2 — А2В\
А\А2 + В\В2
Условие параллельности: к\ = к2 или —— = —.
А2 В2
Условие перпендикулярности: к2 =	или А\А2 + В\В2 = 0.
кл

§5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых
17
2°. Уравнение пучка прямы х, проходящих через данную точ-
точку А(х1; j/i):
У~У\= k{x-xi).
B)
3°. Уравнение прямой, проходящей через две данные
точки A(xi; j/i) и В(х2; г/г):
У~У\
X — Х\
Х2 — Х\
C)
4°. Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых
А\х + В\у + С\ = 0 и А2Х + В2у + С2 = 0, нужно решить совместно их
уравнения. Получим:
-с\ в,
—С2 5г
А, В,
А2 В2
У =
А! -С,
А2 -С2
А2 В2
82. Определить угол между прямыми:
1) у = 2ж-3, у=-х + 1;
2)
3)
4)
5)
6)
5ж
2ж
Зж
Зж
ж
а
-у +
+ У =
+ 2у =
-4у =
У
ff =
7 =
о,
= о,
= 6,
1,
о,
У =
6ж
8ж
ж
~Ъ +
2ж-
Зж-
+ 4у
+ 6у
У_ _
а
Зу + 1 =
4;
+ 9 = 0;
= 11;
1.
83.	Среди прямых Зж —2у+7 = 0, 6ж—4у—9 = 0, 6ж+4у—5 = О,
2ж + Зу — 6 = 0 указать параллельные и перпендикулярные.
84.	Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точ-
точку АB; 3). Выбрать из этого пучка прямые, составляющие с осью
Ох углы: 1) 45°; 2) 60°; 3) 135°; 4) 0°, и построить их.
85.	Построить точку А{ — 2; 5) и прямую 2ж — у = 0. Напи-
Написать уравнение пучка прямых, проходящих через А, и выбрать из
пучка: 1) прямую, параллельную данной; 2) прямую, перпендику-
перпендикулярную к данной.
86.	В точках пересечения прямой 2ж — Ъу — 10 = 0 с осями
координат восставлены перпендикуляры к этой прямой. Написать
их уравнения.
87.	Написать уравнение прямой, проходящей через точки
А(-1; 3) и 5D; -2).

18	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
88.	В треугольнике с вершинами А{ — 2; 0), -6B; 6) и СD; 2)
проведены высота BD и медиана BE. Написать уравнения сто-
стороны АС, медианы BE и высоты BD.
89.	Найти внутренние углы треугольника, стороны которого
заданы уравнениями ж + 2у = 0, ж + 4у — 6 = 0, ж — 4у — 6 = 0.
Указание. Чтобы найти внутренние углы треугольника, нужно
угловые коэффициенты сторон выписать в порядке убывания: к\ > к2 >
,	,	ki - к2 к2 - к3
> к3, затем вычислять тангенсы углов по формулам	——,	——,
1 + к\к2 1 + к2к3
	:——. Убедиться в этом из чертежа, поместив одну из вершин в
начале координат.
90.	Написать уравнения прямых, проходящих через начало ко-
координат под углом 45° к прямой у = 4 — 2х.
91.	Написать уравнения прямых, проходящих через точку
А{ — 1; 1) под углом 45° к прямой 2ж + Зу = 6.
92.	Из точки АE; 4) выходит луч света под углом <р = arctg2
к оси Ох и от нее отражается. Написать уравнения падающего и
отраженного лучей.
93.	Определить вершины и углы треугольника, стороны кото-
которого заданы уравнениями х + Зу = 0, х = 3, х — 2у + 3 = 0.
94.	Отрезок прямой Зж + 2у = 6, отсеченный осями коор-
координат, служит гипотенузой равнобедренного прямоугольного тре-
треугольника. Найти вершину прямого угла, если известно, что она
лежит «выше» данной прямой.
95.	Дан треугольник с вершинами А{ — 2; 0), -6B; 4) и СD; 0).
Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты
AD и найти длину медианы АЕ.
96.	Написать уравнения сторон и найти углы треугольника с
вершинами А@; 7), -6F; —1) и СB; 1).
97.	Прямая 2ж — у + 8 = 0 пересекает оси Ох и Оу в точках
А и В. Точка М делит АВ в отношении AM : MB = 3:1. На-
Написать уравнение перпендикуляра, восставленного в точке М к
прямой АВ.
98.	Построить треугольник, стороны которого заданы уравне-
уравнениями ж + у = 4, Зж — у = 0, ж —Зу —8 = 0; найти углы и площадь
треугольника.
99.	Найти точку пересечения медиан и точку пересечения вы-
высот треугольника, вершины которого А{—4; 2), -6B; —5) и СE; 0).
100.	Из точки А{ — 5; 6) выходит луч света под углом <р =
= arctg( —2) к оси Ох и отражается от оси Ох, а затем от оси
Оу. Написать уравнения всех трех лучей.

§6. Нормальное уравнение прямой	19
§ 6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние
от точки до прямой. Уравнения биссектрис.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку
пересечения двух данных прямых
1°. Нормальное уравнение прямой
х cos/3 + j/sin/3 — р = О,	A)
где р — длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала коор-
координат на прямую, а /3 — угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох.
Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + By + С = 0 к нормаль-
нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель
М = ± , 	, взятый со знаком, противоположным знаку свобод-
л/А2 + В2
ного члена С.
2°. Расстояние d от точки (xq; уо) до прямой найдем,
если в левую часть нормального уравнения прямой на место теку-
текущих координат подставим координаты (жо; Уо) и полученное число
возьмем по абсолютной величине:
d= \x0cos/3+yosm/3 — p\,	B)
или
4т„ 4- Riin 4- П
B')
VA2 + В2
3°. Уравнения биссектрис углов между прямыми Ах + By +
+ С = 0 к AlX + В1У + С\ = 0:
Ах + By + С = А1Х + В1У + d
VA2 + В2 ~	у/А2 + В2 '	( '
4°. Уравнение пучка прямы х, проходящих через точку пере-
пересечения двух данных прямых:
а{Ах + Ву + С) + /3{А1х + В1У + С\) = 0.	D)
Можно положить а = 1, исключив этим из пучка D) вторую из дан-
данных прямых.
101.	Привести к нормальному виду уравнения прямых:
1) Зж - 4у - 20 = 0; 2) х + у + 3 = 0; 3) у = кх + Ъ.
102.	Построить прямую, если длина нормали р = 2, а угол
/3 наклона ее к оси Ох равен: 1) 45°; 2) 135°; 3) 225°; 4) 315°.
Написать уравнения этих прямых.
103.	Найти расстояния от точек АD; 3), -6B; 1) и СA; 0) до
прямой Зж + 4у — 10 = 0. Построить точки и прямую.

20	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
104.	Найти расстояние от начала координат до прямой 12ж —
- 5у + 39 = 0.
105.	Показать, что прямые 2ж — Зу = 6 и 4ж — 6у = 25 парал-
параллельны, и найти расстояние между ними.
Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и найти
расстояние от нее до другой прямой.
106.	Найти к из условия, что прямая у = кх + 5 удалена от
начала координат на расстояние d = л/5.
107.	Написать уравнение геометрического места точек, удален-
удаленных от прямой 4ж — Зу = 0 на расстояние d = 4.
108.	Составить уравнение прямой, удаленной от точки АD; —2)
на расстояние d = 4 и параллельной прямой 8ж — 15у = 0.
109.	Написать уравнения биссектрис углов между прямыми
2ж + Зу = 10 и Зж + 2у = 10.
110.	Написать уравнения биссектрис углов между прямыми
Зж + 4у = 12 и у = 0.
111.	Написать уравнение траектории точки М(ж; у), которая
при своем движении остается втрое дальше от прямой у = 2ж — 4,
чем от прямой у = 4 — 2ж.
112.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку М
пересечения прямых 2ж + у + 6 = 0иЗж + 5у— 15 = 0и через
точку NA, —2) (не находя точки М).
113.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку М
пересечения прямых 5ж — у+10 = 0и8ж + 4у-|-9 = 0и парал-
параллельной прямой ж + Зу = 0 (не находя точки М).
114.	Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами
А(-3; 0), 5B; 5)и СC; 2).
115.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
АB; 4) и удаленной от начала координат на расстояние d = 2.
116.	Проверить, что точки А(-4; -3), В(-5; 0), СE; 6) и
-D(l; 0) служат вершинами трапеции, и найти ее высоту.
117.	Через начало координат проведена прямая на одинаковом
расстоянии от точек АB; 2) и -6D; 0). Найти это расстояние.
118.	Написать уравнения геометрического места точек, удален-
удаленных от прямой ж + 2у — 5 = 0 на расстояние, равное \/5.
119.	Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая
при своем движении остается вдвое дальше от прямой у = ж, чем
от прямой у = —ж.
120.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку М
пересечения прямых 2ж — Зу + 5 = 0иЗж + у — 7 = 0 и перпенди-
перпендикулярной к прямой у = 2ж (не находя точки М).

§ 7. Смешанные задачи на прямую	21
§ 7. Смешанные задачи на прямую
121.	Через начало координат провести прямую, образующую с
прямыми ж+у=аиж=0 треугольник площадью а2.
122.	Даны точки А( —4; 0) и -6@; 6). Через середину отрезка
АВ провести прямую, отсекающую на оси Ох отрезок, вдвое боль-
больший, чем на оси Оу.
123.	Даны точки А( — 2; 0) и -6B; —2). На отрезке О А построен
параллелограмм OACD, диагонали которого пересекаются в точке
В. Написать уравнения сторон, диагоналей параллелограмма и
найти угол CAD.
124.	Найти углы и площадь треугольника, образованного пря-
прямыми у = 2ж, у = —2х и у = х + Ь.
125.	Из начала координат проведены две взаимно перпендику-
перпендикулярные прямые, образующие с прямой 2х + у = а равнобедренный
треугольник. Найти площадь этого треугольника.
126.	Найти внутренние углы треугольника, если даны уравне-
уравнения его сторон: (АВ) х — Зу + 3 = 0 и (АС) ж + Зу + 3 = 0и
основание D( — 1; 3) высоты AD.
127.	Даны уравнения боковых сторон равнобедренного тре-
треугольника Зж + у = 0иж — Зу = 0и точка E; 0) на его основании.
Найти периметр и площадь треугольника.
128.	В треугольнике ABC даны: 1) уравнение стороны (АВ)
Зж + 2у = 12; 2) уравнение высоты (ВМ) ж + 2у = 4; 3) уравнение
высоты (AM) 4ж + у = 6, где М — точка пересечения высот.
Написать уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ.
129.	Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у =
= х — 2 и 5у = ж + 6. Диагонали его пересекаются в начале коор-
координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма
и его диагоналей.
130.	Дан треугольник с вершинами А@; —4), -6C; 0) и С@; 6).
Найти расстояние вершины С от биссектрисы угла А.
131.	Написать уравнение траектории точки М(х; у), движу-
движущейся так, что сумма расстояний от нее до прямых у = 2ж и
у = —ж/2 остается постоянной и равной л/5.
132.	Построить области, координаты точек которых удовлетво-
удовлетворяют неравенствам:
1)ж-2<у<0иж>0; 2)-2^у^ж^2;
3J<2ж + у<8, ж>0иу>0.
133.	Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями
2ж — у+ 5 = 0 и ж — 2у + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке
МA; 4). Найти длины его высот.
134.	Найти вершины прямоугольного равнобедренного тре-
треугольника, если дана вершина прямого угла СC; —1) и уравне-
уравнение гипотенузы Зж — у + 2 = 0.

22	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
135.	Даны две вершины треугольника А{—4; 3) и -6D; —1) и
точка пересечения высот МC; 3). Найти третью вершину С
136.	Вычислить координаты вершины ромба, если известны
уравнения двух его сторон: ж + 2у = 4 и ж + 2у = 10, и уравнение
одной из его диагоналей: у = ж + 2.
137.	Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину А@; 2) и уравнения высот: (ВМ) х + у = 4 и (СМ)
у = 2ж, где М — точка пересечения высот.
138.	Даны прямая ж + 2у — 4 = 0и точка АE; 7). Найти:
1) проекцию В точки А на данную прямую; 2) отражение С точки
А в данной прямой.
Указание. Написав уравнение перпендикуляра АВ и решив его
совместно с уравнением данной прямой, найдем точку В, которая есть
середина АС.
139.	Дана прямая 2ж + у — 6 = 0 и на ней две точки А и В с
ординатами уд = 6 и ув = —2. Написать уравнение высоты A_D
треугольника АОВ, найти ее длину и ZDAB.
§ 8. Окружность
Уравнение окружности с центром в точке С (a; b) и радиусом,
равным R:
(x-aJ + (y-bJ = R2.	A)
Если в уравнении A) раскрыть скобки, то оно примет вид
х + у + nix + ny + р = 0.	B)
Чтобы от уравнения B) опять перейти к уравнению вида A), нужно
в левой части уравнения B) выделить полные квадраты:
140. Написать уравнение окружности с центром С(—4; 3), ра-
радиусом Д = 5и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки
()()()
141.	Дана точка (—4; 6). Написать уравнение окружности, диа-
диаметром которой служит отрезок О А.
142.	Построить окружности: 1) ж2 + у2 — Ах + Qy — 3 = 0;
2) ж2 + у2 - 8ж = 0; 3) ж2 + у2 + 4у = 0.
143.	Построить окружность ж2 + у2 + 5ж = 0, прямую ж + у = 0
и найти точки их пересечения.
144.	Написать уравнение окружности, касающейся осей коор-
координат и проходящей через точку АA; 2).

§8. Окружность	23
145.	Найти угол между радиусами окружности ж2 + у2 + 4ж —
—	6у = 0, проведенными в точки пересечения ее с осью Оу.
146.	Написать уравнение окружности, проходящей через точки
А(-1; 3), 5@; 2) и СA; -1).
Указание. Написать уравнение искомой окружности в виде х2 +
+ у2 + пгх + пу + р = 0, подставить в него координаты каждой точки и
затем найти га, пир.
147.	Написать уравнение окружности, проходящей через точки
пересечения окружности х2 + у2 + 4ж — 4у = 0 с прямой у = —ж и
через точку АD; 4).
148.	Определить область расположения кривой у = —у—ж2 — 4ж.
Построить кривую.
149.	Написать уравнение касательных к окружности ж2 + у2 —
—	8ж — 4у + 16 = 0, проведенных из начала координат.
150.	Дана точка А(а; 0). Точка М движется так, что в АОМА
угол ОМА остается прямым. Определить траекторию движения
точки М.
151.	Даны точки А( — 6; 0) и -6B; 0). Найти геометрическое
место точек, из которых отрезки О А и ОВ видны под равными
углами.
152.	Определить траекторию точки М(х; у), движущейся так,
что сумма квадратов расстояний от нее до точек А( — а; 0), -6@; а)
и С(а; 0) остается равной За2.
153.	Определить траекторию точки М(х; у), движущейся так,
что сумма квадратов расстояний от нее до биссектрис координат-
координатных углов остается равной а2.
154.	Дана окружность ж2 + у2 = а2. Из ее точки А(а; 0) про-
проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место
середин этих хорд.
155.	Даны точки А( — 3; 0) и -6C; 6). Написать уравнение ок-
окружности, диаметром которой служит отрезок АВ.
156.	Найти центры и радиусы окружностей: 1) ж2 + у2 — 6ж +
+ Ау - 23 = 0; 2) ж2 + у2 + 5ж - Ту + 2, 5 = 0; 3) ж2 + у2 + Ту = 0.
Построить окружности.
157.	Окружность касается оси Ох в начале координат и про-
проходит через точку А@; —4). Написать уравнение окружности и
найти точки пересечения ее с биссектрисами координатных углов.
158.	Написать уравнение окружности, проходящей через на-
начало координат и через точки пересечения прямой ж + у + а = 0с
окружностью ж2 + у2 = а2.

24
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
159.	Написать уравнения касательных, проведенных из на-
начала координат к окружности, проходящей через точки АA; —2),
5@; -1) иС(-3; 0).
160.	Найти угол между радиусами окружности ж2 + у2 — 4ж +
+ 6у — 5 = 0, проведенными в точки пересечения ее с осью Ох.
161.	Показать, что точка АC; 0) лежит внутри окружности ж2 +
+ у2 — 4ж + 2у + 1 = 0, и написать уравнение хорды, делящейся в
точке А пополам.
Указание. Искомая хорда перпендикулярна к С А, где С — центр
окружности.
162.	Точка М(х; у) движется так, что сумма квадратов рассто-
расстояний от нее до начала координат и до точки А( — а; 0) остается
равной а2. Определить траекторию движения точки М.
163.	Дана окружность ж2 + у2 = 4. Из точки ее А( — 2; 0) про-
проведена хорда АВ и продолжена на расстояние ВМ = АВ. Опре-
Определить геометрическое место точек М.
164.	Отрезок AM = а перемещается по плоскости хОу, оста-
оставаясь параллельным Ох, так, что левый конец его А скользит
по окружности
точки М.
с2 + у2 = а2. Определить траекторию движения
§ 9. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма рас-
расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F\ (фоку-
(фокусов) есть постоянная величина 2а, большая F\F.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса
У_
&2
= 1.
A)
Эллипс, заданный уравнением A), симметричен относительно осей
координат (рис. 1). Параметры а и & называются полуосями эллипса.
Рис. 1
Пусть а > Ь, тогда фокусы F и F\ находятся на оси Ох на расстоянии
с = \/а2 — &2 от центра. Отношение — = е < 1 называется эксцентри-
а

§9. Эллипс	25
ситетом эллипса. Расстояния от точки М(х; у) эллипса до его фокусов
(фокальные радиус-векторы) определяются формулами
Если же а < Ь, то фокусы находятся на оси Оу, с = л/Ь2 — а2, е = -,
о
г = а — ex, 7*i = а + ex.	B)
< Ь, то фо!
г = b ± еу.
165.	Построить эллипс ж2 + 4у2 = 16, найти его фокусы и экс-
эксцентриситет.
166.	Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:
1)	расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось 6=3;
2)	большая полуось а = 6, а эксцентриситет е = 0, 5.
167.	Найти малую полуось Ь и эксцентриситет е эллипса, име-
имеющего большую полуось а = 5 и параметр с, равный: 1) 4,8; 2) 4;
3)	3; 4) 1,4; 5) 0. Построить каждый из эллипсов.
168.	Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого
находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца
равно приблизительно 147,5 млн км, а наибольшее 152,5 млн км.
Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.
169.	Эллипс, симметричный относительно осей координат, про-
проходит через точки М{2; у/Щ и -6@; 2). Написать его уравнение и
найти расстояния от точки М до фокусов.
170.	Эллипс, симметричный относительно осей координат,
фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку
М(—4; -\/2Т) и имеет эксцентриситет е = —. Написать уравнение
4
эллипса и найти фокальные радиус-векторы точки М.
171.	Найти длину хорды эллипса ж2 + 2у2 = 18, делящей угол
между осями пополам.
172.	Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между
фокусами равно расстоянию между концами большой и малой по-
полуосей.
173.	В эллипс ж2 + 4у2 = 4 вписан правильный треугольник,
одна из вершин которого совпадает с концом большой полуоси.
Определить координаты двух других вершин треугольника.
Указание. Написать уравнение одной из сторон, имеющей наклон
k = tg30°, и найти точки ее пересечения с эллипсом.
174.	На эллипсе 9ж2 + 25у2 = 225 найти точку, расстояние от
которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее
до левого фокуса.
175.	Ординаты всех точек окружности ж2 + у2 = 36 сокращены
втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
176.	Определить траекторию точки М, которая при своем дви-
движении остается вдвое ближе к точке F( — 1; 0), чем к прямой
ж = -4.

26	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
177.	Отрезок АВ постоянной длины a + Ь движется так, что
его конец А скользит по оси Ох, а конец В — по оси Оу. Опре-
Определить траекторию движения точки М отрезка, делящей его на
части ВМ = а и МА = Ь (эллиптический циркуль Леонардо да
Винчи).
178.	Даны окружности х2 + у2 = Ь2 и х2 + у2 = а2 (Ь < а).
Произвольный луч ОБА пересекает их соответственно в точках В
и А, из которых проведены прямые, параллельные осям коорди-
координат, до пересечения их в точке М. Определить геометрическое
место точек М.
179.	Написать простейшее уравнение эллипса, у которого рас-
расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.
180.	Эллипс, симметричный относительно осей координат, про-
проходит через точки МBуЗ; \/б) и А{%; 0). Написать его уравнение,
найти эксцентриситет и расстояния от точки М до фокусов.
о	о
XZ 1JZ
181.	Найти длину хорды эллипса —- + -— = 1 направленной
az bz
по диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса.
182.	Найти общие точки эллипса х2 + 4у2 = 4 и окружности,
проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его «верх-
«верхней» вершине.
183.	На прямой х = —5 найти точку, одинаково удаленную от
«левого» фокуса и от «верхней» вершины эллипса х2 + by2 = 20.
184.	На эллипсе х2 + Ъу2 = 20 найти точку, радиус-векторы
которой перпендикулярны.
Указание. Искомые точки суть точки пересечения с эллипсом
окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в на-
начале координат.
185.	Абсциссы точек окружности х2 + у2 = 4 увеличены вдвое.
Определить полученную кривую.
186.	Определить траекторию точки М, которая при своем дви-
движении остается втрое ближе к точке АA; 0), чем к прямой х = 9.
§ 10. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность
расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F\ (фо-
(фокусов) есть постоянная величина 2а @ < 2а < F\F).
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы

§ 10. Гипербола
27
Гипербола, заданная уравнением A), симметрична относительно осей
координат (рис. 2). Она пересекает ось Ох в точках А(а; §) ш А\(—а; 0) —
вершинах гиперболы и не пересекает ось Оу. Параметр а называется ве-
вещественной полуосью, Ъ — мнимой полуосью. Параметр с = л/а2 + Ъ2
Рис. 2
есть расстояние от фокуса до центра. Отношение — = е > 1 называется
а
эксцентриситетом гиперболы. Прямые у = ± —ж называются асимп-
а
тотами гиперболы. Гасстояния от точки М(х; у) гиперболы до ее фо-
фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами
г =
ех — а\,
= \ех
B)
Гипербола, у которой а = Ь, называется равносторонней, ее уравне-
„.2
ние х2 — у2 = а2, а уравнения асимптот у = ±х. Гиперболы — — — = 1
у2 х2
и —	 = 1 называются сопряженными.
bz az
Ь2
187.	Построить гиперболу ж2 —4у2 = 16 и ее асимптоты. Найти
фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.
188.	На гиперболе х2 — 4у2 = 16 взята точка М с ординатой,
равной 1. Найти расстояние от нее до фокусов.
189.	Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что:
1) расстояние между фокусами 2с = 10, а между вершинами 2а =
= 8; 2) вещественная полуось а = 2-^/5, а эксцентриситет е =
190.	Гипербола симметрична относительно осей координат, про-
проходит через точку МF; — 2-\/2) и имеет мнимую полуось 6 = 2.
Написать ее уравнение и найти расстояния от точки М до фоку-
фокусов.

28
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
191. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фо-
кусах, а фокусы
1
= 1.
в вершинах эллипса	1
25 9
192.	Написать уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет
е = \/2, проходящей через точку Bа; а\/3) и симметричной отно-
относительно осей координат.
193.	Построить гиперболу у2 = а2 + ж2, найти координаты ее
фокусов и угол между асимптотами.
194.	Написать уравнения касательных к гиперболе х2 — Ау2 =
= 16, проведенных из точки А@; —2).
X	11
195.	Найти расстояние от фокуса гиперболы — — — = 1 до ее
or bz
асимптот и угол между асимптотами.
х2
196.	Найти сторону квадрата, вписанного в гиперболу — —
or
У2
— — = 1, и исследовать, в какие гиперболы можно вписать квадрат.
bz
197.	Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой со-
составляет с вещественной осью угол: 1) 60°; 2) а.
198. Определить область расположе-
расположеПостроить
ния кривой у = —л/9
кривую.
199.	Определить траекторию точки
М(х; у), которая при своем движении
остается вдвое ближе к прямой х = 1,
чем к точке FD; 0).
200.	Даны точки А(-1; 0) и ВB; 0).
Точка М движется так, что в ААМВ
угол В остается вдвое больше угла А.
Определить траекторию движения.
201.	Дана точка А(а; 0). По оси Оу
движется точка В. На прямой BE, па-
параллельной Ох, откладываются отрезки
ВМ и ВМ\, равные АВ. Определить
геометрическое место точек М и М\.
202. Даны прямые х = ±6 и х = ±а (Ь < а). Произвольный
луч О А (рис. 3) пересекает прямую х = Ь (или х = —Ъ) в точке В
и прямую х = а (или х = —а) в точке А. Радиусом О А описана
дуга, пересекающая Ох в точке С. Из точек В и С проведены
прямые, параллельные соответственно Ох и Оу, до пересечения в
точке М. Определить геометрическое место точек М.
У'
0
/
< а
?
У
л
У
с
ч
Рис. 3
203. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что
расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

§11. Парабола
29
204.	Найти точки пересечения асимптот гиперболы х2 — Зу2 =
= 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы
и проходящей через начало координат.
205.	Гипербола проходит через точку МF; Зл/5/2), симметрич-
симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось
a = 4. Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из ле-
левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.
206.	На гиперболе 9х2 — 16у2 = 144 найти точку, расстояние
от которой до левого фокуса вдвое меньше, чем до правого.
207.	На гиперболе х2 — у2 = 4 найти точку, фокальные радиус-
векторы которой перпендикулярны (см. указание к задаче 184).
208.	Точка М делит расстояние между фокусами гиперболы
9х2 - 16у2 = 144 в отношении FXM : MF = 2:3, где F\ — левый
фокус гиперболы. Через точку М проведена прямая под углом 135°
к оси Ох. Найти точки пересечения этой прямой с асимптотами
гиперболы.
209.	Определить траекторию точки М, которая движется так,
что остается вдвое дальше от точки F( — 8; 0), чем от прямой
х = -2.
210.	Даны точки А{ — а; 0) и ВBа; 0). Точка М движется так,
что угол МАВ остается втрое меньше внешнего угла AM С тре-
треугольника АМВ. Определить траекторию движения точки М.
§ 11.Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, одинаково
удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1)	у2 = 2рх — парабола симметрична относительно оси Ох (рис. 4);
2)	х2 = 2ру — парабола симметрична относительно оси Оу (рис. 5).
У'
-ро;
Рис. 4
Директриса
Рис. 5
'М(х; у)
В обоих случаях вершина параболы, т. е. точка, лежащая на оси
симметрии, находится в начале координат.

30
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
Парабола
у2 = 2рх
p
p
имеет фокус F ( -; 0) и директрису х = — -; фокальный радиус-вектор
Р
точки М(х; у) на ней г = х + -.
Парабола
х2 = 2
= 2ру
Р
Р
;
имеет фокус F @; - ) и директрису у = — -; фокальный радиус-вектор
точки М(ж; у) на ней г = у + -.
211.	Составить уравнение геометрического места точек, одина-
одинаково удаленных от точки F@; 2) и от прямой у = 4. Найти точки
пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
212.	Составить уравнение геометрического места точек, одина-
одинаково удаленных от начала координат и от прямой х = —4. Найти
точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
213.	Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у2 = Ах;
2) у2 = —4ж; 3) ж2 = 4у; 4) ж2 = —4у, а также их фокусы и
директрисы и написать уравнения директрис.
214.	Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки
@; 0) и A; —3) и симметричной относительно оси Ох; 2) прохо-
проходящей через точки @; 0) и B; —4) и симметричной относительно
оси Оу.
215.	Канат подвесного моста имеет форму параболы (рис. 6).
Написать ее уравнение относительно указанных на чертеже осей,
если прогиб каната О А = а, а длина пролета ВС = 26.
216.	Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе
параболы у2 = 2рж и касающейся ее директрисы. Найти точки
пересечения параболы и окружности.
217.	Написать уравнение параболы и ее директрисы, если па-
парабола проходит через точки пересечения прямой ж + у = 0 и
Рис. 6
окружности х2 + у2 +4у = 0 и симметрична относительно оси Оу.
Построить окружность, прямую и параболу.

§11. Парабола
31
218.	На параболе у2 = 6ж найти точку, фокальный радиус-
вектор которой равен 4,5.
219.	Зеркальная поверхность прожектора образована враще-
вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см,
а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы
нужно поместить источник света, если для отражения лучей па-
параллельным пучком он должен быть
в фокусе параболы?
220.	Определить область располо-
расположения кривой у = —\J—x. Постро-
Построить кривую.
221.	Из вершины параболы у2 =
= 2рж проведены всевозможные хор-
хорды. Написать уравнение геометриче-
геометрического места середин этих хорд.
222.	Определить геометрическое
место центров окружностей, касаю-
касающихся окружности ж2 + у2 = 2ах и
оси Оу.
223.	Даны точки А@; а) я В (а; а).	Рис.7
Отрезки О А и АВ разделены на п
равных частей точками Ах, Аг, Аз, ... и Вх, -Е?2, В$, ... (рис. 7).
Пусть М^ — точка пересечения луча OBk с прямой AkMk\\Ox. По-
Показать, что такие точки Mk лежат на параболе у2 = ах. Построить
этим приемом параболы у2 = 4ж, у2 = 5ж, у2 = Зж.
224.	Составить уравнение геометрического места точек, одина-
одинаково удаленных от начала координат и от прямой ж = 4. Найти
точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
225.	Составить уравнение геометрического места точек, оди-
одинаково удаленных от точки F{2; 0) и от прямой у = 2. Найти
вершину параболы, точки пересечения ее с Ох и построить ее.
226.	Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки
@; 0) и ( —1; 2) и симметричной относительно оси Ох; 2) прохо-
проходящей через точки @; 0) и B; 4) и симметричной относительно
оси Оу.
227.	Написать уравнение параболы и ее директрисы, если па-
парабола проходит через точки пересечения прямой у = ж и окруж-
окружности ж2 + у2 + 6ж = 0 и симметрична относительно оси Ох. По-
Построить прямую, окружность и параболу.
228.	В параболу у2 = 2ж вписан правильный треугольник.
Определить его вершины (см. указание к задаче 173).
229.	Написать уравнения касательных к параболе у2 = 8ж,
проведенных из точки А@; —2).

32	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
230. Через фокус параболы у2 = —Ах проведена прямая под
углом 120° к оси Ох. Написать уравнение прямой и найти длину
образовавшейся хорды.
§ 12. Директрисы, диаметры и касательные
к кривым второго порядка
х2 у2
1°. Директрисами эллипса — -\—- = 1 (при a > Ь) и гиперболы
az bz
х2 у2
—	 = 1 называются прямые, параллельные оси Оу и отстоящие от
az Ь1
а
нее на расстояние -, где е — эксцентриситет кривой.
е
Уравнения директрис:
х = ±^.	A)
Свойство директрис: отношение расстояний от точки кри-
кривой до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентри-
эксцентриситету кривой
1 = G	B)
2°. Диаметром кривой второго порядка называется гео-
геометрическое место середин параллельных хорд. Диаметрами эллипса
и гиперболы оказываются отрезки и лучи прямых, проходящих через
центр, а диаметрами параболы — лучи, параллельные ее оси.
Уравнение диаметра, делящего пополам хорды с наклоном
tga = k, будет
х2 у2
для кривых — ± — = 1:
а1 Ь1
Ъ2
У = Т^тх;	C)
azk
для параболы у2 = 2рх:
Два диаметра эллипса и гиперболы, из которых каждый делит по-
пополам хорды, параллельные другому, называются взаимно сопряжен-
сопряженными. Их угловые коэффициенты к и к\ связаны зависимостью кк\ =
=	о (у эллипса) и кк\ = —- (у гиперболы).
а1	а1
3°. Уравнения касательной:
(х2 у2 Л хх0 щ/о
к эллипсу — + — = 1 —— + —— = 1;
\сг bz J az bz
(х2 у2 \ хх0 уу0
к гиперболе [—---— = 1 ) —	—- = 1;
\az bz ) az bz
к параболе (у2 = 2рх) 2/2/0 = р(х~\~хо), где (х$\ 2/о) — точка касания.

§ 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым 2-го порядка 33
о	о
231.	Построить эллипс	|	= 1, его директрисы и найти
расстояния от точки эллипса с абсциссой х = —3 до правого фокуса
и правой директрисы.
о	о
232.	Построить гиперболу	= 1, ее директрисы и найти
16 9
расстояния от точки гиперболы с абсциссой х = 5 до левого фокуса
и левой директрисы.
233.	Написать каноническое уравнение эллипса, директрисами
которого служат прямые х = ±—= и большая полуось которого
V3
равна 2.
234.	Написать уравнение гиперболы, асимптоты которой у =
= ± х, а директрисы х = ±\/б.
X
235.	Построить эллипс х2 + 4у2 = 16, диаметр у = — и сопря-
сопряженный ему диаметр и найти длины а\ и 6j построенных полу-
полудиаметров.
236.	Построить гиперболу х2 — Ау2 = 4, диаметр у = —х и
сопряженный ему диаметр и найти угол между диаметрами.
о	о
X	У
237.	Найти длину того диаметра эллипса — И—- = 1, который
равен своему сопряженному диаметру.
о	о
238.	Асимптота гиперболы —	 = 1 составляет с осью Ох
а2 Ъ2
угол 60°. Написать уравнение диаметра, сопряженного с диамет-
диаметром у = 2х. Выбрав произвольно отрезок а, построить кривую,
диаметры и хорды, параллельные данному диаметру.
239.	Определить геометрическое место середин хорд параболы
у2 = 4ж, составляющих с Ох угол 45°.
х2 у2
240.	Дан эллипс	1	= 1. Через точку ( — 2; 1) провести
хорду, делящуюся в этой точке пополам.
241.	Дана парабола у2 = —Ах. Через точку ( — 2; —1) провести
хорду, делящуюся в этой точке пополам.
242.	На примере задачи 235 проверить теорему Аполлония:
а2 + Ь\ = а2 + Ь2 и a\bi sin <p = ab, где а\ и b\ — длины со-
сопряженных полудиаметров, а и b — полуоси эллипса, а (р — угол
между сопряженными диаметрами.
243.	Написать уравнения касательных к кривым:
1) ж2 + 4у2 = 16; 2) Зж2-у2 = 3; 3) у2 = 2х в точке с абсциссой
х0 = 2.

34	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
244.	Показать, что если прямая Ах + By + С = 0 есть каса-
о	о
Ж	У
тельная к эллипсу — -\—- = 1, то А2а2 + В2Ь2 = С2.
Указание. Из пропорциональности коэффициентов уравнений
nri nri	t\ it} I
—-—h —— = 1 и Ax + By + С = 0 определить xq и vq и подставить
х2 у2 1
их в уравнение — + —- = 1.
245.	Написать уравнения касательных к эллипсу ж2+4у2 = 20,
параллельных биссектрисе первого координатного угла.
246.	Написать уравнения касательных к эллипсу х2 + 2у2 = 8,
проведенных из точки @; 6).
о	о
X	У
247.	Написать уравнение касательной к эллипсу — -\—- = 1,
а2 Ъ2
отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.
248.	Показать, что если прямая Ах-\-Ву-\-С = 0 есть касатель-
о	о
X	У
ная к гиперболе —	 = 1, то А2а2 — В2Ь2 = С2 (см. указание
а2 Ъ2
к задаче 244).
249.	Написать уравнения касательных к гиперболе 4ж2 — 9у2 =
= 36, перпендикулярных к прямой х + 2у = 0.
250.	Доказать, что нормаль к эллипсу есть биссектриса угла
между радиус-векторами соответствующей точки эллипса.
251.	Доказать, что касательная к гиперболе есть биссектриса
угла между радиус-векторами точки касания.
252.	Доказать, что лучи, выходящие из фокуса параболы, от-
отражаются от параболы по прямым, параллельным ее оси.
Указание. Нужно написать уравнение нормали MN, найти точку
N пересечения ее с осью параболы и доказать, что FM = FN, где F —
фокус параболы.
х2 у2
253.	Найти точки пересечения асимптот гиперболы	= 1
16 9
с ее директрисами.
254.	Построить эллипс ж2 + 4у2 = 16, его диаметр у = ж и
сопряженный ему диаметр и найти угол между этими диаметрами.
255.	Определить геометрическое место середин хорд гиперболы
ж2 — 4у2 = 16, составляющих угол 45° с осью Ох.
256.	Дана гипербола 4ж2 — у2 = 4. Через точку B; 2) провести
хорду, делящуюся в этой точке пополам.
257.	На эллипсе ж2 + 2у2 = 6 взята точка М с ординатой 1
и отрицательной абсциссой. Найти угол касательной к эллипсу в
точке М с прямой ОМ.

§ 13. Преобразование декартовых координат
35
258.	Показать, что если прямая Ах + By + С = 0 есть каса-
касательная к параболе у2 = 2рж, то В2р = 2АС (см. указание к
задаче 244).
259.	Написать уравнение касательной к параболе у2 = 8х, па-
параллельной прямой х + у = 0.
§ 13. Преобразование декартовых координат.
Параболы = 2+ +и = 2+ +.
Гипербола =
1°. Координаты (х; у) в данной системе преобразуются к координа-
координатам (X; Y) в новой системе по формулам:
1)	при параллельном сдвиге осей и перенесении начала координат
в точку 0\{а; /3)
х = Х + а, y = Y + /3;	A)
2)	при повороте осей на угол <р
х = X cos <p — Y sin <p, у = X sin <p + Y cos ср.
B)
2°. Уравнение у = а(х — аJ + /3 переносом начала координат в
точку 0\{а; /3) приводится к виду У = аХ2 и, следовательно, опреде-
определяет параболу с вершиной О\(а; /3) и осью симметрии, параллельной
Оу (рис. 8). Уравнение у = ах2 + Ъх + с выделением в правой части
полного квадрата приводится к предыдущему и поэтому тоже определяет
параболу. При а > 0 парабола от вершины направлена «вверх», при
а < 0 — «вниз».
3°. Уравнение ху = к при повороте осей координат на угол
<р = 45° приводится к виду X2 — Y2 = 2к и, следовательно, определяет
\
о
Y
<\
¦	v	'
а
"О-1
¦Л /
^ /
д
si 1
5/
" /
V
1 х
Г
X
ху = к
X
Рис. 8
Рис. 9
равностороннюю гиперболу, асимптотами которой служат оси коорди-
координат (рис. 9). Уравнение (х — а)(у — /3) = к переносом начала координат
в точку О\(а; /3) приводится к виду XY = к и поэтому тоже определяет
равностороннюю гиперболу.

36	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
260.	1) Точка АC; 1) при параллельном сдвиге осей координат
получила новые координаты B; —1). Построить данные и смещен-
смещенные оси координат и точку А.
2) Найти острый угол поворота осей координат, при котором
точка АB; 4) получит новую абсциссу 4. Построить обе системы
координат и точку А.
261.	Перенесением начала координат упростить уравнения:
3) (у + 2J = 4(ж-3);	4Jу = -(ж + 2J;
5) х2 + 4у2-6х + 8у = 3; 6) у2 - 8у = 4ж;
7) х2 - Ау2 + 8ж - 24у = 24; 8) х2 + 6ж + 5 = 2у.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
262.	Поворотом осей координат на 45° упростить уравнения:
1) Ъх2 - бху + by2 = 32; 2) Зж2 - Южу + Зу2 + 32 = 0.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
263.	Построить по точкам кривую ху = — 4 и поворотом осей
на угол <уэ = —45° преобразовать уравнение.
264.	Переносом начала координат привести к виду ху = к урав-
уравнения кривых:
1) ху - 2х = 6;	2) ху - 2х - у + 8 = 0;
3) ху — х + 2у = 6; 4) жу + 2ж = Зу.
Указание. Уравнение ху + Аж + By + С = 0 можно написать в
виде (х + В) (у + А) = АВ - С.
265.	Построить параболы:
1)у=(ж-2J; 2)у=(ж-2J + 3;
3)у=(ж + 2J; 4)у=(ж + 2J-3.
266.	Построить параболы:
1)у = ж2-4ж + 5; 2)у = ж2 + 2ж + 3;
3) у= -ж2 + 2ж-2,
выделив в правых частях уравнений полные квадраты.
267.	Построить параболы:
1) у = 4ж - ж2 и 2) 2у = 3 + 2ж - ж2,
найдя их точки пересечения с осью Ох.
268.	Струя воды фонтана достигает наибольшей высоты 4 м на
расстоянии 0,5 м от вертикали, проходящей через точку О выхода
струи. Найти высоту струи над горизонталью Ох на расстоянии
0,75м от точки О.

§ 13. Преобразование декартовых координат	37
269.	Составить уравнение параболы, симметричной относитель-
относительно оси Оу и отсекающей на ней отрезок Ь, а на оси Ох — отрезки
а и —а.
Указание. В уравнении параболы вида у = Ах2 + Вх + С под-
подставить координаты данных на параболе точек {—а; 0), (а; 0) и @; Ь) и
затем найти А, В я С.
270.	Парабола у = ах2 + Ьх + с проходит через точки О@; 0),
А( — 1; — 3) и -В( — 2; —4). Написать уравнение окружности, диамет-
диаметром которой служит отрезок оси Ох, отсеченный параболой.
271.	На какой угол нужно повернуть оси координат, чтобы ис-
исчез член, содержащий ху, в уравнениях:
1) х2 - ху + у2 - 3 = 0;	2) Ъх2 - Аху + 2у2 - 24 = 0?
Построить старые и новые оси координат и кривые.
272.	Определить траекторию движения пули, брошенной под
углом (р к горизонту с начальной скоростью v0. Определить также
дальность полета пули и наивысшую точку траектории (сопроти-
(сопротивлением воздуха пренебречь).
273.	Написать уравнение геометрического места точек М(х; у),
отношение расстояний от которых до точки FD; 0) к расстояниям
до прямой х = — 2 равно 2.
274.	Показать, что переносом начала координат в левую вер-
х2 у2
шину эллипса — + — = 1 или в правую вершину гиперболы
X	11
— — — = 1 оба уравнения приводятся к одинаковому виду: у2 =
= 2рх + qx , где р = —, a g = е — 1.
275.	По результатам задачи 274 определить эксцентриситет и
тип кривой: 1) у2 = х	ж2; 2) у2 = ж + -ж2; 3) у2 = ж. Построить
кривые, найдя для первых двух точки пересечения их с осью Ох
и параметры а и Ь.
276. Выделением полных квадратов и переносом начала коор-
координат упростить уравнения линий:
1)	2ж2 + by2 - 12ж + Юг/ + 13 = 0;
2)	ж2 - у2 + 6ж + 4у - 4 = 0;
3)	у2 + 4у = 2ж;
4)	ж2 - Юж = 4у- 13.
Построить старые и новые оси и кривые.

38	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
277.	Поворотом осей координат на 45° упростить уравнение
Зж2 — 2жу + 3у2 — 8 = 0. Определить координаты фокусов в старой
системе координат.
278.	Написать уравнение окружности, диаметром которой слу-
служит отрезок, отсекаемый на оси Ох параболой у = 3 — 2ж — х2.
Построить обе кривые.
279.	Написать уравнение окружности, диаметром которой слу-
служит отрезок прямой х + у = 6, отсеченный гиперболой ху = 8.
Построить все три линии.
280.	Точка А — вершина параболы у = ж2 + 6ж + 5, В — точка
пересечения параболы с осью Оу. Написать уравнение перпенди-
перпендикуляра, восставленного из середины отрезка АВ.
281.	Составить уравнение параболы, симметричной относитель-
относительно оси Ох и отсекающей на ней отрезок —4, а на оси Оу — отрезки
4 и -4.
Указание. Уравнение параболы должно иметь вид х = ay2 + с
(почему?).
282.	Построить по точкам пересечения с осями координат па-
параболы:
1Kу = 9-ж2; 2)у2 = 9-3ж;
3) у2 = 4 +ж; 4) ж2 = 4 + 2у.
283.	Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у),
отношение расстояний от которых до точки FD; 0) к расстояниям
до прямой ж = 10 равно 1/2.
§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка
284.	Написать уравнение окружности, диаметром которой слу-
ж у
жит отрезок прямой —|— = 1, отсеченный осями координат.
a b
285.	Найти расстояние от центра окружности ж2 + у2 + ay = 0
до прямой у = 2(а — ж).
286.	Через центр окружности ж2 + у2 = 2аж проведена прямая,
параллельная прямой ж + 2у = 0 и пересекающая окружность в
точках А я В. Найти площадь ААОВ.
287.	Показать, что геометрическое место точек М, которые уда-
удалены в m раз дальше от данной точки А, чем от другой данной
точки В, есть прямая при то = 1 и окружность при то / 1.
288.	Отрезок АВ разделен на части АО = а и ОВ = Ь. Пока-
Показать, что геометрическое место точек, из которых отрезки АО и
ОВ видны под равными углами, есть прямая при a = Ь и окруж-
окружность при а фЬ (аполлониева окружность).

§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка	39
289.	Определить траекторию точки М(ж; у), движущейся так,
что сумма квадратов расстояний от нее до прямых у = кх и у =
= — кх остается постоянной и равной а2.
290.	Эллипс, симметричный относительно оси Ох и прямой
х = —5, проходит через точки ( — 1; 1,8) и ( — 5; 3). Написать урав-
уравнение эллипса и построить его.
291.	Найти площадь равностороннего треугольника, вписан-
вписанного в гиперболу х2 — у2 = а2.
292.	Найти угол между диагоналями прямоугольника, вершины
которого находятся в точках пересечения эллипса ж2 + Зу2 = 12/2
и гиперболы ж2 — Зу2 = б/2.
293.	Окружность с центром в начале координат проходит че-
через фокусы гиперболы ж2 — у2 = а2. Найти точки пересечения
окружности с асимптотами гиперболы.
294.	Построить гиперболы жу = —4 и ж2 — у2 = 6 и найти
площадь ААВС, где А и В — вершины двух пересекающихся
ветвей гипербол, а С — точка пересечения двух других ветвей
гипербол.
295.	Доказать, что произведение расстояний любой точки ги-
аЧ2
перболы от ее асимптот есть величина постоянная, равная ——.
296.	Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного
ж2
из фокуса параболы у =	на прямую, отсекающую на осях
8
координат отрезки а = Ъ = 2.
297.	Построить эллипс ж2 + 4у2 = 4 и параболу ж2 = 6у и
найти площадь трапеции, основаниями которой служат большая
ось эллипса и общая хорда эллипса и параболы.
298.	Из фокуса параболы у2 = 2рж, как из центра, описана
окружность так, что общая хорда кривых одинаково удалена от
вершины и от фокуса параболы. Написать уравнение окружности.
299.	Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного из
вершины параболы by = х2 + 2ах + а2 + Ь2 на прямую, отсекающую
на осях координат отрезки а и Ь.
300.	Построить по точкам пересечения с осями координат па-
параболы 4у = 12 — ж2 и 4ж = 12 — у2 и найти длину их общей
хорды.
301.	Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках
пересечения параболы у = 4 — ж2 с осью Ох и с прямой у = Зж.
302.	Написать уравнение окружности, проходящей через на-
чало координат и через точки пересечения параболы у = — —
а
— 2ж + а с осями координат.

40	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
303.	Дан эллипс ж2 + 4у2 = 16. Из его вершины АD; 0) про-
проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место
середин этих хорд и построить кривые.
304.	Определить траекторию точки М(ж; у), движущейся так,
что разность квадратов расстояний от нее до биссектрис коорди-
координатных углов остается равной 8.
305.	Составить уравнение геометрического места центров ок-
окружностей, проходящих через точку АC; 4) и касающихся оси Ох.
306.	Выделением полных квадратов и переносом начала упро-
упростить уравнение линии ж2 — у2 — Ах — Qy — 9 = 0. Построить старые
и новые оси координат и кривую.
307.	Найти геометрическое место середин фокальных радиус-
векторов, проведенных из правого фокуса ко всем точкам гипер-
о	о
XL yL
болы	= 1.
9 16
308.	Написать уравнение эллипса, проходящего через точку
А(а; —а), если фокусы его находятся в точках F(a; а) и Fi( — a; —a).
Упростить уравнение поворотом осей координат на 45°.
309.	Поворотом осей координат на угол (р = arctg — упростить
уравнение линии Зж2 + 8ху — Зу2 = 20. Построить старые и новые
оси координат и кривую.
310.	Написать уравнение геометрического места точек, раз-
разность квадратов расстояний от которых до прямой Зж + 4у = 0
и до оси Ох остается постоянной и равной 2,4.
311.	Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у),
отношение расстояний от которых до точки F ( 	; 0 ) к рас-
\е + 1 )
Р
стояниям до прямой ж =	;	 равно е.
е(е+1)
312.	Построить области, координаты точек которых удовлетво-
удовлетворяют неравенствам:
1)	Д2 < Х2 + у2 < Ш2 ЯХ2> д2/4;
2)	ж2 - у2 > а2 и ж2 < 4а2;
3)	ху > а2 и |ж + у\ < 4а;
4)	2ж < у2 + 4у и ж2 + у2 + 4ж + 4у < 0.
§ 15. Общее уравнение линии второго порядка
1°. Линией второго порядка называется линия, определяемая
уравнением 2-й степени, которое в общем виде можно написать так:
Ах2+ 2Вху + Су2+ 2Dx + 2Ey+F = 0.	A)

§ 15. Общее уравнение линии второго порядка
41
Составим из коэффициентов уравнения A) два определителя:
8 =
А =
А
В
D
В
С
Е
D
Е
F
Определитель А называется дискриминантом уравнения A), а 8 —
дискриминантом старших его членов. В зависимости от значений 8 и
А уравнение A) определяет следующий геометрический образ:
8> 0
8 < 0
8 = 0
А^О
Эллипс (действительный или
мнимый)
Гипербола
Парабола
А = 0
Точка
Пара пересекающихся пря-
прямых
Пара параллельных прямых
(действительных или мни-
мнимых)
2°. Преобразование уравнения A) к центру. Если 8 =
А В
В С
из уравнений
О, то линия имеет центр, координаты которого находятся
Ф'х(х,у)=0, Ф'у(х,у) = 0,
B)
где Ф(х, у) — левая часть уравнения A). Перенеся начало в центр
Oi(xq; 2/о) (рис. 10), приведем уравнение A) к виду
где
Ах\ + 2Вх1У1 + Су\ + -Fj = 0,
—.
8
C)
D)
3°. Преобразование уравнения C) к осям симметрии.
Поворотом осей О\Х\ и О\у\ на некоторый угол <р (рис. 10) уравнение
C) приводится к каноническому виду:
АгХ2
C\Y2
гХ2 + C\
Коэффициенты А\ и С\ являются корнями уравнения
Х2-(А + С)Х + 8 = 0.
Угол поворота <р находится по формуле
В
E)
F)

42
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
4°. Преобразование уравнения линии второго поряд-
порядка, не имеющей центра. Если S = О, то линия не имеет центра
или не имеет определенного центра. Ее уравнение можно тогда записать
в виде
{ax + (]yJ + 2Dx + 2Ey + F = 0.	(8)
Случай 1. D и Е пропорциональны а и C: D = ma, Е = т/3.
Уравнение B) примет вид (ах + (ЗуJ + 2т(ах + (Зу) + F = 0, откуда
ах + /Зу = —т ± \/т2 — F — пара прямых.
Случай 2. D и Е яе пропорциональны а и /3. Уравнение (8) можно
переписать в виде
(ax + l3y + nJ + 2m(l3x-ay + q) = 0.	(9)
Параметры га, п и q найдутся сравнением коэффициентов в уравне-
уравнениях (8) и (9). Далее, приняв за ось О\Х прямую ах + (Зу + п = 0, за
ось O\Y прямую (Зх — ay + q = 0 (рис. 11), найдем: У =
X = 	,	После этого уравнение (9) примет вид Y2 = 2рХ, где
О
Л
Рис. 10
га
-.. Ось О\Х направляется в ту полуплоскость, в которой
/Зх — ay + q имеет знак, противоположный знаку га, как это следует из
уравнения (9).
313. Выяснить геометрический смысл уравнений:
1Lж2-у2 = 0; 2Lж2 + у2 = 0;
3)	ж2 + у2 + 2ж + 2 = 0;
4)	ж2 + у2-6ж - 8у + 25 = 0; 5) ж2 + ху = 0;
6) у2 -16 = 0; 7) ж2-Зжу + 2у2 = 0.

§ 15. Общее уравнение линии второго порядка	43
314.	Найти центры и преобразовать к центру уравнения линий:
1)	2ж2 + Зу2 - 4ж + 6у - 7 = 0;
2)	ж2 -у2 -4ж + 2у-4 = 0;
3)	2х2 + Ъху + 2у2 - 6ж - Зу - 8 = 0.
315.	Поворотом осей координат преобразовать уравнения к ка-
каноническому виду и построить кривые:
1) Ъх2 - 4ху + 2у2 = 24; 2) 2ж2 + 4жу - у2 = 12.
316.	Преобразовать к каноническому виду уравнения и постро-
построить кривые:
1)	Зж2 - 2жу + Зу2 - 4ж - 4у - 12 = 0;
2)	ж2 - бжу + у2 - 4ж - 4у + 12 = 0.
317.	Преобразовать к каноническому виду уравнения линий:
1)	ж2 + 4жу + 4у2 - 20ж + Юг/ - 50 = 0;
2)	ж2 - 4жу + 4у2 - 6ж + 12у + 8 = 0
и построить их.
318.	По дискриминантам 6 и А определить геометрический
смысл уравнений:
1)	ж2 - 4жу + Зу2 - 8ж + 14у + 15 = 0;
2)	ж2 + 2жу + 4у2 - 2ж + 4у + 4 = 0;
3)	ж2 + 4жу + 4у2 + Зж + 6у + 2 = 0.
Решив первое и третье уравнения относительно у, построить ли-
линии, определяемые этими уравнениями.
319.	Привести к каноническому виду уравнение кривой у =
Зж2- 12ж + 4
= 	 и построить ее.
4ж -8
320.	Написать уравнение кривой второго порядка, имеющей
центром точку Oi(l; 2) и проходящей через начало координат и
через точки @; 4) и A; —1).
321.	Показать, что уравнение у/х + у/у = у/а определяет дугу
параболы, построить параболу и найти ее вершину.
Указание. Повернуть оси координат на угол <р = —45°.
322.	Написать уравнение геометрического места точек М(х; у),
отношение расстояния от каждой из которых до точки F(m; n)
к расстоянию от нее до прямой ж cos а + у sin а — q = 0 равно
е. Обозначив коэффициенты полученного уравнения через А, В,
С, ..., определить инварианты А + С и 8
А В
В С

44	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
323.	Выяснить геометрический смысл уравнений:
1)	Ж2_4у2 = о.
2)	ж2 + 2у2 + 4ж - 8у + 12 = 0;
3)	ж2 + 5ху -6у2 = 0.
324.	Преобразовать к каноническому виду уравнения и постро-
построить кривые:
1)	х2 - ху + у2 - 2х - 2у - 2 = 0;
2)	Зж2 + Юху + Зу2 - 12ж - 12у + 4 = 0.
325.	Преобразовать к каноническому виду уравнения:
1)	ж2 - 2жу + у2 - Юж - 6у + 25 = 0;
2)	ж2 + 2жу + у2 - 4ж - 4у + 3 = 0
и построить линии, изображаемые ими.
326.	По дискриминантам 8 и А определить геометрический
смысл уравнений:
1)	ж2 - 2жу + у2 - 4ж + 4у + 3 = 0;
2)	ж2 - 2жу - Зу2 + 6ж + Юу - 7 = 0.
Решив каждое уравнение относительно у, построить линию, опре-
определяемую им.
327.	Написать уравнение геометрического места точек М(ж; у),
отношение расстояний от которых до точки FC; 3) к расстояниям
до прямой ж + у = 0 равно: 1) е = —; 2) е = 2.
328.	Написать уравнение геометрического места точек М(х; у),
одинаково удаленных от точки F(a/2; а/2) и от прямой ж + у = 0,
и привести его к каноническому виду.
329.	Написать уравнение геометрического места точек, раз-
разность квадратов расстояний от которых до прямой х — 2у = 2
и до оси Ох остается постоянной и равной 3,2. Преобразовать его
к каноническому виду и построить кривую.
§ 16. Полярные координаты
Пусть на плоскости дана точка О — полюс и луч ОР — полярная
ось (рис. 12). Тогда положение точки М на плоскости определится:
1)	полярным углом Lp = ZMOP;
2)	длиной г радиус-вектора ОМ: г = \ОМ .
При изучении уравнений, связывающих г и <р, бывает полезно рас-
рассматривать полярные координаты ср И г принимающими какие угодно
положительные и отрицательные значения. При этом отрицательные
углы tp отсчитываются по часовой стрелке, а отрицательные г отклады-
откладываются не по лучу, а по его продолжению за полюс.

§ 16. Полярные координаты	45
Если принять полюс за начало декартовых прямоугольных коорди-
координат, а полярную ось ОР — за ось Ох, то декартовы координаты (х; у)
точки М и ее полярные координаты (if; г) бу-
будут связаны зависимостью	i	м, . -
x = rcos(p, y = rsin(p;
Если принять фокус эллипса, гиперболы и
параболы за полюс, а фокальную ось симме-
симметрии за полярную ось, направленную в сто-
сторону, противоположную ближайшей вершине, то уравнение всех трех
кривых в полярных координатах будет одинаковым:
1-е cos ip'
где е — эксцентриситет, ар — параметр. Для эллипса и гиперболы
Ь2
330.	В полярной системе координат (</?; г) построить точки
А@; 3), Б(тг/4; 2), С(тг/2; 3), ?(тг; 2), ?(Зтг/2; 3).
331.	Построить точки А(тг/2; -2), В(-тг/2; 3), С(-7г/4; -4),
L>Btt/3; -3).
332.	Построить линию г = 2 + 2 cos ip.
Указание. Составить таблицу значений г для if = 0; ±тг/3; ±тг/2;
±2тг/3; тг.
333.	Построить линии (см. с. 334 и 335, рис. 80, 81 и 86):
1)	г = (кр	(архимедова спираль);
2)	г = аA — cos у?)	(кардиоида);
3)	г2 = a2cos2(,o	(лемниската);
4)	г = a/ip	(гиперболическая спираль);
5)	r = a(l + 2 cos ер)	(улитка Паскаля).
334.	Построить линии: 1) г = а; 2) <р = —; 3) г = —	.
4	sin ip
335.	Написать в полярных координатах уравнения: 1) прямой,
отсекающей от полярной оси отрезок а и перпендикулярной к ней;
2) прямой, проходящей через точку А(а; а) и параллельной по-
полярной оси.
336.	Написать в полярных координатах уравнение прямой, про-
проходящей через точку А(а; а) и составляющей с полярной осью
угол /3.
337.	Написать в полярных координатах уравнение окружности
с центром в точке С@; а) и радиусом, равным а.

46	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
338.	Построить кривые:
1) г = 3 — 2 sin 2(р; 2) г = 2 + cos 3</j;
3) г = 1 — sin 3(p.
Указание. Определить углы, при которых имеем rmax и rmjn.
339.	Построить линии (см. с. 334, рис. 82 и 83):
1)	г = asm3</J (трехлепестковая роза);
2)	г = asm2tp (четырехлепестковая роза).
340.	Преобразовать к полярным координатам уравнения ли-
линий:
1) х2 - у2 = а2;	2) х2 + у2 = а2;
3)	ж cos а + у sin а — р = 0; 4) у = ж;
5)	ж2 + у2 = аж;
6)	(ж2 + у2J = а2(ж2-у2).
341.	Преобразовать к декартовым координатам уравнения ли-
линий и построить линии:
1) г cos ip = a; 2) г = 2a sin </?;
3)	r2sin2v? = 2a2;
4)	r sin (if -\	j = a-\/2;
V 4 /
5)	r = a(l + cost/?).
342.	Написать канонические уравнения кривых второго по-
порядка:
о	о
1)г=	; 2)г=	;
5 — 4 cos <уэ	4 — 5 cos <p
1 — COS (f
343.	Конхоида. Через точку A(ir/2] а) проведена прямая,
параллельная полярной оси. Произвольный луч ОВ пересекает
эту прямую в точке В. На луче от точки В по обе ее стороны
отложены отрезки ВМ = ВМ\ = Ь. Определить геометрическое
место точек М и Mj в полярных координатах и построить кривую.
344.	Строфоида. Прямая х = а пересекает ось Ох в точке А
и произвольный луч ОВ в точке В. На луче от точки В по обе ее
стороны отложены отрезки ВМ\ и ВМ2, равные АВ. Написать
уравнение геометрического места точек М\ и М2 в полярных и
декартовых координатах (рис. 84, с. 335).

§ 16. Полярные координаты	47
345.	Овал Кассини. Точка М((р; г) движется так, что про-
произведение расстояний от нее до точек F@; a) и Fi{n; a) остается
равным b2. Написать уравнение траектории движения точки М в
полярных координатах.
346.	Кардиоида. На произвольном луче О А от точки А пе-
пересечения его с окружностью г = acosip откладывается по обе
стороны отрезок AM = АМ\ = а. Составить уравнение геометри-
геометрического места точек М и Mj в полярных и декартовых координа-
координатах.
347.	Кардиоида (эпициклоида). Круг диаметра а ка-
катится без скольжения по кругу такого же диаметра снаружи его.
Написать уравнение кривой, описанной точкой М катящейся ок-
окружности, если за полюс и начальное положение точки М принять
точку касания кругов, а полярную ось провести через центры кру-
кругов (в начальном положении).
348.	Построить кривые: 1) г = 3 + 2cos2(,o; 2) г = 3 — sin 3</j;
3) г = acos2(p (см. указание к задаче 338).
349.	Построить:
1) г = 4A + cos ф); 2) г = 2 — sin (p.
350.	Написать в полярных координатах уравнение прямой, про-
проходящей через данные точки А(а; а) и В(/3; Ъ).
Указание. Рассмотреть зависимость между площадями треуголь-
треугольников АОМ, ВОМ и АОВ, где М(ср; г) — произвольная точка прямой.
351.	Написать канонические уравнения кривых второго по-
порядка:
1) г =
2) г =
2 — V3 cos <
1
3)г=7
2 — \/Е cos t
1
2 — 2 cos if
352. Лемниската Бернулли. Точка М((р;г) движется
так, что произведение ее расстояний от точек F@; с) и Fi{n; с)
остается равным с2. Написать уравнение траектории движения в
полярных и декартовых координатах.
Указание. По теореме косинусов FM2 = г2 + с2 — 2rccosLp и
F\M2 = г2 + с2 + 2rccosLp, причем по условию FM2 ¦ F\M2 = с4.

48	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
353.	Улитка Паскаля. На произвольном луче О А от точки
А пересечения его с окружностью г = acostp по обе стороны отло-
отложены отрезки AM = АМ\ = Ь. Составить уравнение геометриче-
геометрического места точек М в полярных координатах.
354.	Четырехлепестковая роза. Концы отрезка АВ =
= 2а скользят по осям декартовых координат. Из начала коор-
координат опущен на АВ перпендикуляр ОМ. Написать уравнение
геометрического места точек М(х; у) при всевозможных положе-
положениях отрезка АВ.
§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков
355. Построить кривые (см. с. 332, рис. 66-69):
1)	у = ж3/3	(кубическая парабола);
2)	у2 = ж3
.	(полукубическая парабола);
3)	у6 = х2
4)	у2 = х{х — 4J (петлевая парабола).
356.	Построить кривые:
1)	ж2'3 + у2'3 = а2'3 (астроида равносторонняя);
/Ж\2/3 /ух 2/3
2)	— + т = 1, Ь ф а (астроида неравносторонняя).
Указание. Найти точки пересечения кривых с осями Ох и Оу и
Ъ
первой кривой с прямыми у = ±ж, а второй — с прямыми у = ± — х
a
(рис. 78 на с. 334).
357.	Построить на отрезке [—1; 1] кривые: 1) у = ж2п+1; 2) у =
= х2п; 3) ж2п + у2п = 1 при п = 1, 2, 4. К каким ломаным
приближаются эти кривые, когда п —> со?
Указание. Найти точки пересечения первой кривой с прямой у =
х	1
= —, второй кривой с прямой у = — и третьей кривой с прямой у = х.
2п	2п
За единицу масштаба принять 10 клеток клетчатой бумаги.
358.	Астроида. Концы отрезка АВ = а скользят по осям
декартовых координат. Прямые АС и ВС, параллельные осям
координат, пересекаются в точке С. Из С опущен на АВ перпен-
перпендикуляр СМ. Написать уравнение геометрического места точек
М(х; у) при всевозможных положениях отрезка АВ.

§ 18. Трансцендентные кривые	49
359.	Построить кривые:
х3
1)	у2 = 	 (циссоида, рис. 85, с. 335);
8а3
2)	у = —~	~ (локон, рис. 76, с. 333).
х + 4а
360.	Каждая точка Р(х0' Уо) параболы у2 = 2рх смещена па-
параллельно оси Ох на расстояние РМ = ±ОР. Найти геометри-
геометрическое место точек М.
361.	Стержень О А = а вращается вокруг начала координат О.
В точке А к нему прикреплен шарниром стержень АВ = 2а, конец
которого скользит по Ох. Написать уравнение линии, которую
будет описывать при этом середина М отрезка АВ.
362.	Циссоида. Произвольный луч О А (рис. 85, с. 335) пе-
пересекает окружность х2 + у2 = ах в точке А и прямую х = а в
точке В. На луче откладывается отрезок ОМ = АВ. Составить
уравнение геометрического места точек М.
363.	Произвольный луч ОВ (рис. 85) пересекает прямую х = а
в точке В. С — проекция точки В на ось Оу и М — проекция
точки С на прямую ОВ. Показать, что геометрическое место точек
М есть циссоида.
364.	Если из вершины параболы у2 = —4ах опускать перпенди-
перпендикуляры на касательные к этой кривой, то геометрическим местом
оснований перпендикуляров будет циссоида. Доказать.
365.	Локон. Произвольный луч О А пересекает окружность
х2 + у2 = 2ау и прямую у = 2а в точках А и В, из которых
проведены прямые, параллельные соответственно оси Ох и оси
Оу до пересечения в точке М. Определить геометрическое место
точек М.
366.	Декартов лист ж3 + у3 — Заху = 0. Показать, что это
уравнение поворотом осей координат на 45° приводится к виду
Х3(ЗЪ-Х)	а
У = 	;	—, где о = ——. Построить кривую, определив в
3F + X)	^2
новой системе координат область расположения кривой и ее сим-
симметрию, точки пересечения с прямой у = х (т. е. с новой осью
ОХ) и асимптоту. Показать, что уравнение асимптоты в новой
системе координат будет X = —Ь, а в старой х + у + а = 0 (см.
рис. 79, с. 334).
§ 18. Трансцендентные кривые
367.	Циклоида. Круг радиуса а катится по прямой ОХ без
скольжения. Составить параметрические уравнения кривой, опи-
описанной точкой М окружности, приняв за параметр t угол поворота

50	Гл.1. Аналитическая геометрия на плоскости
катящегося круга и положив, что при t = 0 точка М находится в
начале координат.
368. Развертка круга. Нить, намотанная на окружность
х2 + у2 = а2, разматывается, оставаясь натянутой. Составить па-
параметрические уравнения кривой, описанной концом нити, если
вначале конец нити находится в точке (а; 0). За параметр t при-
принять длину смотанной дуги (в радиусах).
368. Квадратриса. Произвольный луч ОМ, составляющий
с осью Оу угол t (в радианах), пересекает прямую х = at в точке
М. Написать уравнение геометрического места точек М.
370.	Эпициклоида. Круг радиуса г катится без скольжения
по кругу радиуса R снаружи его. Составить параметрические урав-
уравнения кривой, описанной точкой М катящейся окружности. (При
г = R эпициклоида обращается в кардиоиду. См. задачу 347.)
371.	Гипоциклоида. Круг радиуса г катится без скольже-
скольжения по кругу радиуса R > г внутри него. Составить параметриче-
параметрические уравнения кривой, описанной точкой М катящейся окружно-
окружности. (При г = R/4 гипоциклоида обращается в астроиду ж2'3 +
+ у2/3 = а2/3.)

Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр
1°. Определения. Вектором называется направленный отрезок
An (рис. 13), в котором точка А рассматривается как начало, а точка
В — как конец. Вектор обозначается или указанием его начала и конца
АЁ со стрелкой наверху, или одной какой-нибудь буквой, выделенной по-
полужирным шрифтом, например а. Модуль (длина) вектора обозначается
АВ\, или |а|, или АВ, или а. Векторы, параллельные одной прямой,
называются коллинеарными. Векторы, параллельные одной плоскости,
называются компланарными. Два вектора а и b (рис. 13) называются
равными, если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) на-
направлены в одну сторону.
2°. Умножение вектора на скаляр. Произведением век-
вектора а на число (скаляр) т называется новый вектор, имеющий длину
а\т\ и направленный одинаково с а (при т > 0) или противоположно а
(при га < 0).
3°. Сложение векторов. Суммой векторов a+b + с называется
вектор R = ОС (рис. 14), замыкающий ломаную О ABC, построенную
Рис. 13
из данных векторов. В частности, в параллелограмме, построенном на
данных векторах О А = а и О В = Ь, одна вектор-диагональ ОС есть
сумма а + Ь, а другая В А есть разность а — b данных векторов.
4°. Проекция вектора на ось. Пусть вектор а составляет угол
if с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется форму-
формулой	^___^
пржа = |а| cos ip = a cos (a, Ох).

52
Гл.2. Векторная алгебра
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций составля-
составляющих векторов на ту же ось:
372. По сторонам О А и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены
единичные векторы i и j (рис. 15). Выразить через i и j векторы
ОА, АС, СВ, ВО, ОС и ВА, если О А = 3 и
Рис. 15
373.	Пусть на рис. 15 М — середина ВС
и N — середина АС. Определить векторы
оЙ, oft и Mft при о а = з и ов = 4.
374.	На плоскости даны точки А@; — 2),
_ВD; 2) и СD; —2). В начале координат при-
приложены силы ОА, On и ОС. Построить их
равнодействующую ОМ, найти ее проекции
на оси координат и величину. Выразить си-
лы О А, ОВ, ОС и Ом через единичные век-
векторы i и j координатных осей.
375.	Даны три компланарных единичных вектора т, пир,
причем (трп) = 30° и (прр) = 60°. Построить вектор u = m +
+ 2п — Зр и вычислить его модуль.
Указание. В ломаной, построенной из векторов т, 2п и —Зр,
продолжить первое звено до пересечения с третьим.
376.	Проверить аналитически и геометрически векторные тож-
тождества:
b — a a + b	a + b a — b
1)а+ —= —; 2)*- — = ^г-
377.	На трех некомпланарных векторах О А = а, ОВ = b и
ОС = с построен параллелепипед. Указать те его вектор-диагонали,
которые соответственно равны а + b — с, а — b + с, а — b — с и
b — а — с.
378.	С помощью чертежа задачи 377 проверить переместитель-
ное свойство векторной суммы
a + b — c = a— c + b = b + a— c = b — c + a.
379.	Даны векторы О А = а и ОВ = Ъ. Вектор ОС = с — меди-
медиана АОАВ. Разложить аналитически и геометрически: 1) вектор
с по векторам а и Ь; 2) вектор а по векторам b и с.
380.	В прямоугольнике ОАСВ (рис. 15) М и N — середины
сторон ВС = 3 и АС = 4. Разложить геометрически и аналити-
аналитически вектор ОС = с по векторам ОМ = а и ON = b.
Указание. В условие с = гаа + пЪ подставить выражения a, b и
с через i и j и сравнить коэффициенты слева и справа при i и j.

§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора в пространстве 53
381. Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной
О А = 3. Обозначив единичные векторы направлений О A, An,
ВС через m, n и р, установить зависимость между ними (напри-
(например, рассмотрением трапеции О ABC). Выразить затем через m
и п векторы OB*, B~t, Шб, О~Ь и ~dX.
382.	В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 16) угол BOA =
= 60°, OB = ВС = С А = 2, М и N — середины сторон ВС
и АС. Выразить векторы АС, Ом,	в м
—X 	v	'
ON и MN через тип — единич-
единичные векторы направлений О А и ОВ.
383.	Даны векторы а и Ь, угол
между которыми 120°. Построить век-
вектор с = 2а — 1,5Ь и определить его
модуль, если a = 3 и Ь = 4.	Рис. 16
384.	На плоскости даны точки
АC; 3), В{ — 3; 3) и С( — 3; 0). В начале координат приложены
силы О А, ОВ и ОС. Построить равнодействующую ОМ, найти
ее проекции на оси координат и величину. Выразить силы ОА,
ОВ, ОС и ОМ через единичные векторы i и j координатных осей.
385.	1) В трапеции ОАСВ имеем ВС = ОА/3 и ВС\\ОА. Раз-
Разложить геометрически и аналитически вектор О А = а по векторам
0^! = с и О~Й = Ь.
Указание. Из АО ВС можно с выразить через b и а и затем
решить полученное уравнение относительно а.
2) Точка В делит дугу окружности АС= 90° в отношении 1 : 2.
О — центр окружности. Разложить вектор ОС = с по векторам
О~Х = а и Ш = Ъ.
§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора
в пространстве
1°. Определение. Пусть даны три взаимно перпендикулярные ко-
координатные оси с общим началом О и дана точка М (рис. 17). Проекции
ее радиус-вектора ОМ = г на оси координат ОМ\ = х, ОМ2 = у и
ОМз = z называются прямоугольными координатами точки М или
вектора г = ОМ.
2°. Радиус-вектор точки в пространстве. Модуль или
длина радиус-вектора ОМ = г:
Г= у/х2 + у2 + г2.	A)

54
Гл.2. Векторная алгебра
Единичные векторы координатных осей i, j и к называются ортами.
Радиус-вектор выражается через орты:
г = XI
yj
zk.
B)
Рис. 17
рх = X = х2 - х\,
пРуАВ = Y = г/2 - 2/1,
пр2АВ = Z = z2 - z\.
причем
3°. Вектор, заданный коор-
координатами начала и конца. Пусть
даны точки А(х1; уг; z{) и В(х2; у2; z2).
Проекции вектора и = АЁ на оси коор-
координат будут:
C)
D)
E)
F)
G)
Можно написать формулы, аналогичные формулам A), B):
Если а, /3 и 7 — углы вектора и = АВ с осями координат, то
X	п Y	Z
cosa= —, cosp= —, cos 7 = —,
и	и	и
cos a + cos /3 + cos 7 = 1,
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна 1.
Из формул D)-F) следует, что вектор и вполне определяется тремя
числами: X, Y ж Z — его проекциями или его координатами. Поэтому
иногда пишут или говорят: дан вектор и{Х; Y; Z].
386.	Построить точку МE; —3; 4) и определить длину и на-
направление ее радиус-вектора.
387.	Построить вектор г = ОМ = 2i + 3j + 6k и определить
его длину и направление (проверить по формуле cos2 a + cos2 /3 +
+ cos2 7 = 1)-
388.	Вектор составляет с осями Ох и Oz углы 40° и 80°. Найти
его угол с осью Оу.
389.	Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45° и
с осью Оу угол 60°. Длина его г = 6. Определить координаты
точки М, если ее координата z отрицательна, и выразить вектор
ОМ = г через орты i, j, k.
390.	Даны точки АA; 2; 3) и -6C; —4; 6). Построить вектор
АВ = и, его проекции на оси координат и определить длину и на-
направление вектора. Построить углы вектора и с осями координат.

§3. Скалярное произведение двух векторов	55
391.	Построить параллелограмм на векторах О А = i+j и ОВ =
= к — 3j и определить его диагонали.
392.	В точке АB; 1; —1) приложена сила R = 7. Зная две
координаты этой силы X = 2 и У = —3, определить направление
и конец вектора, изображающего силу.
393.	На плоскости хОу даны точки АD; 2V БB; 3) и С@; 5)
и построены векторы ОА = а, ОБ = b и ОС = с. Разложить
геометрически и аналитически вектор а по векторам b и с.
394.	Даны точки АB; 2; 0) и -6@; —2; 5). Построить вектор
АВ = и и определить его длину и направление.
395.	Вектор ОМ = г составляет с осями координат равные
острые углы. Определить эти углы и построить вектор г, если его
длина равна 2л/3.
396.	Вектор составляет с осями Оу и Oz углы 60° и 120°. Какой
угол он составляет с осью 0x1
397.	Даны три последовательные вершины параллелограмма
АA; —2; 3), -6C; 2; 1) и СF; 4; 4). Найти его четвертую вер-
вершину D.
Указание. Из равенства Аи = ВС следует, что равны и их коор-
координаты: х — 1 = 6 — Зи т. д.
398.	На плоскости хОу построить векторы О А = а = 2i, On =
= b = 3i + 3j и ОС = с = 2i + 6j. Разложить геометрически и
аналитически вектор с по векторам а и Ь.
§ 3. Скалярное произведение двух векторов
1°. Определение. Скалярным произведением двух векторов на-
называется произведение их модулей, умножен-
умноженное на косинус угла между ними.
Скалярное произведение вектора а на век-
вектор b обозначается а • Ь. Итак,
а • b = ab cos (p.	A)
Из рис. 18 видно, что bcosip = npab. Поэтому
a • b = ab cos <p = a npab = b npba. B)
2°. Свойства скалярного произве-
произведения:	Рис.18
I. a • b = b • а — переместителъный закон.
П. а • (Ь + с) = а • b + а • с — распределительный закон.
III. Если а||Ь, то а-b = ±а6. В частности, а2 = а-а = аа cos 0° = а2;
остюда
а = л/^г.	C)

56	Гл.2. Векторная алгебра
IV.	Если a _L b, то а • b = ab cos 90° = 0.
V.	Скалярное произведение ортов:
i-j = 0, j • к = 0, i - к = 0, i-i=l, j j = 1, kk=l.
VI.	Если векторы а и b заданы координатами &{ах, ау, az} и
Ъ{ЬХ, by, bz}, то
а • b = axbx + dyby + azbz.	D)
3°.Угол между векторами:
a-b	axbx + avbv + azbz
cosip = 	= —	E)
ab Jl l ljl l *
.,	,	bx by bz
Условие параллельности: b = ma или — = —— = — = т.
ax ay az
Условие перпендикулярности: а • b = 0 или axbx + ayby + azbz = 0.
399.	Определить угол между векторами а = -i+j и b = i -
- 2j + 2k.
400.	Определить углы ААВС с вершинами АB; —1; 3), -6A; 1; 1)
и С@;0;5).
401.	Даны точки А(а; 0; 0), -6@; 0; 2а) и С (а; 0; а). Построить
векторы ОС и АВ и найти угол между ними.
402.	На плоскости дан треугольник с вершинами О@; 0),
АBа; 0) и В(а; —а). Найти угол, образованный стороной ОВ и
медианой ОМ этого треугольника.
403.	Найти угол между биссектрисами углов хОу и yOz.
404.	Из вершины квадрата проведены прямые, делящие проти-
противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
405.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, постро-
построенного на векторах a = 2i+jnb= —2j + k.
406.	Даны векторы a = i+j + 2kHb = i— j+ 4k. Определить
пр6а и npab.
407.	Раскрыть скобки в выражении
Bi-j).j + (j-2k)-k+(i-2kJ.
408.	Вычислить: 1) (m+nJ, если m и п — единичные векторы
с углом между ними 30°; 2) (а — ЬJ, если а = 2-\/2, 6 = 4 и
(apb) = 135°.
409.	Раскрыть скобки в выражениях:
1)(а+ЬJ; 2) (a + bJ + (a-bJ
и выяснить геометрический смысл полученных формул.
410.	Даны компланарные векторы a, b и с, причем а = 3, Ь = 2,
с = 5, (а, Ь) = 60° и (Ь, с) = 60°. Построить вектор u = a + b — с

§3. Скалярное произведение двух векторов	57
и вычислить его модуль по формуле
411.	Найти величину равнодействующей четырех компланар-
компланарных сил, приложенных к точке О, если величина каждой силы
равна ЮН, а угол между двумя последовательными силами ра-
равен 45°.
412.	Определить длины диагоналей параллелограмма, постро-
построенного на векторах а = 2m + n и b = т — 2п, где тип —
единичные векторы, угол между которыми 60°.
413.	Дан вектор а = 2т — п, где тип — единичные векторы
с углом 120° между ними. Найти cos (a7"m) и cos (а^п).
414.	Определить угол между биссектрисами двух плоских углов
правильного тетраэдра, проведенными из одной его вершины.
Указание. Если m, n и р — единичные векторы ребер, то m + п
и m + р — векторы, направленные по биссектрисам.
415.	На осях Ох, Оу и Oz отложить равные отрезки a = 4 и
на них построить куб. Пусть М — центр верхней грани, а N —
центр правой боковой грани куба. Определить векторы ОМ и ON
и угол между ними.
416.	Даны векторы О А = а и ОВ = Ь, причем a = 2, Ь = 4, а
(а, Ь) = 60°. Определить угол между медианой ОМ треугольника
АОВ и стороной ОА.
417.	Из вершины прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см
проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам.
Найти угол (р между ними.
418.	Даны три последовательные вершины параллелограмма:
А(-3; -2; 0), БC; -3; 1) и СE; 0; 2). Найти его четвертую вер-
вершину D и угол между векторами АС и ВТ).
419.	Даны точки АC; 3; -2), Б@; -3; 4), С@; -3; 0) и
D@; 2; —4). Построить векторы АВ = а и Си = b и найти
nPab.
420.	В равнобедренной трапеции ОАСВ (см. рис. 16) М и
N — середины сторон ВС = 2 и АС = 2. Острый угол трапеции
60°. Определить угол между векторами ОМ и ON.
421.	Найти угол между векторами а = 2т + 4п и b = т — п,
где тип — единичные векторы, образующие угол 120°.
422.	Показать, что угол между диагоналями прямоугольника,
построенного на векторах а и b (a I b), определяется формулой
а
-Ъ2

58	Гл.2. Векторная алгебра
423.	Проекции перемещения s движущейся точки на оси коор-
координат sx = 2 м, sy = 1м, sz = —2 м. Проекции действующей
силы F на оси координат равны Fx = 5Н, Fy = 4Н и Fz = 3 Н.
Вычислить работу А силы F (А = F • s) и угол между силой F и
перемещением s.
424.	К вершине правильного тетраэдра с ребром а приложены
три силы, изображаемые его вектор-ребрами. Определить вели-
величину равнодействующей.
Указание. Искомая величина равна a^/(m. + n + рJ, где m, n и
р — единичные векторы данных сил.
425. Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и за-
затем свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между
двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диа-
диагональю квадрата.
§4. Векторное произведение двух векторов
1°. Определение. Векторным произведением вектора а на век-
вектор b называется такой третий вектор с (рис. 19), который:
1)	имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, по-
построенного на векторах а и Ь;
2)	перпендикулярен к плоскости параллелограмма;
3)	направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение от
а к b рассматривается совершающимся против часовой стрелки. Такое
расположение векторов a, b и с называется
правой связкой.
Векторное произведение обозначается
а х Ь. Итак,
а х b = с,
если:
1) с = |а х b| = absmip,
Рис 19	2)с1аис1Ь,
3) а, Ь, с составляют правую связку.
2°. Свойства векторного произведения:
I. а х b = —b x a.
П. ах (b + c)=axb + axc — распределительный закон.
III. Если а||Ь, то а х b = 0; в частности, а х а = 0.
3°. Векторные произведения ортов:
ixj = k, jxk = i, kxi = j.	A)
Вообще произведение любых двух смежных векторов в последова-
последовательности
—» +
ijkij
дает следующий вектор со знаком +, а в обратной последовательности —
со знаком —.

§4. Векторное произведение двух векторов	59
4°. Выражение векторного произведения через коор-
координаты сомножителей а{ах, ау, az] и Ъ{ЬХ, by, bz}:
a x b =
ax ay a
bx by b
B)
5°. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
а и Ь:
Sb=|axb|,	C)
а площадь т ре у г о ль ник а, построенного на векторах а и Ь:
3* = \\**Ъ\.	D)
426.	Определить и построить вектор с = а X Ь, если: 1) а = 3i,
b = 2k; 2) а = i + j, b = i - j; 3) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k.
Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного
на векторах а и Ь.
427.	Вычислить площадь треугольника с вершинами АG; 3; 4),
L; 0; 6) и СD; 5; -2).
428.	Построить параллелограмм на векторах a = 2j + knb =
= i + 2k и вычислить его площадь и высоту.
429.	Раскрыть скобки и упростить выражения:
1)	ix (j + k) -j x (i + k) + kx (i+j + k);
2)	(a + b + с) X с + (a + b + с) X b + (b - с) X a;
3)	Ba + b) X (c - a) + (b + c) X (a + b);
4)	2i-(jxk) + 3j-(ixk)+4k-(ixj).
430.	Доказать, что (a — b) X (a + b) = 2a X b, и выяснить
геометрическое значение этого тождества.
431.	Векторы а и b составляют угол 45°. Найти площадь
треугольника, построенного на векторах а — 2Ь и За + 2Ь, если
а| = |Ь| = 5.
432.	Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого
служат векторы 2т — пи 4т — 5п, где тип — единичные
векторы, образующие угол 45°.
Указание. Имеем а + b = 2m — п и а — b = 4m — 5п, где а и b —
векторы-стороны параллелограмма. Перемножив, найдем вектор 2b x а,
модуль которого и равен удвоенной искомой площади.
433.	Построить векторы а = 3k —2j, b = 3i —2j и с = axb. Вы-
Вычислить модуль вектора с и площадь треугольника, построенного
на векторах а и Ь.
434.	Построить треугольник с вершинами А{1; —2; 8), -6@; 0; 4)
и СF; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.

60	Гл.2. Векторная алгебра
435.	Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, по-
построенного на векторах а = k — j и b = i+j + k.
436.	Доказать, что Bа + Ь) X (а + 2Ь) = За X Ь.
437.	Найти площадь параллелограмма, построенного на векто-
векторах а=т + 2пиЬ = 2т + п, где тип — единичные векторы,
образующие угол 30°.
§ 5. Смешанное произведение трех векторов
1°. Определение. Смешанным произведением векторов a, b и с
называется выражение вида (а х Ь) • с.
Если векторы a, b и с заданы своими координатами, то
ах ау az
(а х Ь) • с = bx by bz .	A)
ах
ьх
сх
ау
by
Су
az
Ь2
Cz
2°. Свойства смешанного произведения.
I. От перестановки двух любых сомножителей смешанное произве-
произведение меняет знак:
(а х Ь) • с = —(а х с) • b = —(с х Ь) • а.	B)
П. Если два из трех данных векторов равны или параллельны, то
их смешанное произведение равно 0.
III. Знаки операций «точка» и «крест» можно поменять местами,
(а х Ь) • с = а • (Ь х с); поэтому смешанное произведение принято
записывать в виде abc, т. е. без знаков действий и без скобок.
3°. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с.
V = ±abc (+ при правой связке, — при левой связке).
Объем пирамиды, построенной на векторах а, Ь, с:
V — -I- — я1~»с
'ПИР — -i- <л.иу^.
О
4°. Условие компланарности. Если a, b и с компланарны,
то abc = 0, и обратно. При этом между a, b и с существует линейная
зависимость вида с = та + пЪ.
438.	Построить параллелепипед на векторах а = 3i + 4j, b =
= — 3j + к, с = 2j + 5k и вычислить его объем. Правой или левой
будет связка векторов (а, Ь, с)?
439.	Построить пирамиду с вершинами О@; 0; 0), АE; 2; 0),
_ВB; 5; 0) и СA; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани ABC
и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
440.	Показать, что точки АB; -1; -2), ВA; 2; 1), СB; 3; 0) и
-DE; 0; —6) лежат в одной плоскости.
441.	Показать, что векторы а = — i + 3j + 2k, b = 2i — 3j — 4k,
с = —3i+12j + 6k компланарны, и разложить вектор с по векторам
а и Ь.

§ 5. Смешанное произведение трех векторов	61
442.	Показать, что:
1)	(а + Ь) • [(а + с) X b] = -abc;
2)	(а + 2Ь - с) • [(а - Ь) X (а - b - с)] = ЗаЬс.
443.	Найти объем тетраэдра, построенного на векторах О А,
On и ОС, если эти векторы направлены по биссектрисам коорди-
координатных углов и длина каждого вектора равна 2.
444.	Построить пирамиду с вершинами АB; 0; 0), -6@; 3; 0),
С@; 0; 6) и D{2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опущенную
на грань ABC.
445.	Построить векторы а = i+j+4k, b = i—2j и с = 3i—3j+4k,
показать, что они компланарны, и найти линейную зависимость
между ними.
446.	Показать, что объем параллелепипеда, построенного на
диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному
объему данного параллелепипеда.
единичные векторы m, n и р. Угол (т^п) =
= а. Доказать, что тогда (т X п) X р = - sin 2a.
448.	При любых векторах a, b и с векторы а — b, b — с и с — а
компланарны. Доказать это аналитически и геометрически (рас-
(рассмотрением параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с).
449.	Вычислить объем параллелепипеда ОАВСО\А\В\С\, в
котором даны три вершины нижнего основания О@; 0; 0),
А{2; —3; 0) и СC; 2; 0) и вершина верхнего основания -BiC; 0; 4),
лежащая на боковом ребре BBi, противоположном ребру ОО\.

; В; С}
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнение плоскости
1°. Уравнение плоскости, проходящей через точку М\[х\; у\; z\)
и перпендикулярной к вектору N{A; В; С}.
Пусть М(х; у; z) — произвольная
точка плоскости (рис. 20). Тогда ~М\М _1_
1 Nino условию перпендикулярности
векторов
А(х - хг) + В{у - У1) + C{z - Zl) = 0.
A)
2°. Общее уравнение плос-
плоскости:
Ах + By + Cz + D = 0.	B)
Вектор N{A; В; С} называется нор-
нормальным вектором к плоскости B)
Рис. 20	или A).
3°.Особые случаи уравнения
Ах + By + Cz + D = 0:
I. D = 0, Ax + By + Cz = 0 — плоскость проходит через начало
координат.
П. G = 0, Ах + By + D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.
III.	С = D = 0, Ах + By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.
IV.	В = С = 0, Ах + D = 0 — плоскость параллельна плоскости
yOz.
V.	Уравнения координатных плоскостей: х = 0, у = 0, z = 0.
4°. Уравнение плоскости в отрезках на осях:
х у z
- + { + - = 1.
а о с
C)
450.	Построить плоскости: 1) 5ж — 2у + 3z — 10 = 0; 2) Зж +
+ 2у - г = 0; 3) Зж + 2,г = 6; 4) 2z - 7 = 0.
451.	Построить плоскость 2ж + Зу + 6z — 12 = 0 и найти углы
нормали к плоскости с осями координат.
452.	Даны точки Mi@; —1; 3) и М2A; 3; 5). Написать уравне-
уравнение плоскости, проходящей через точку Mj и перпендикулярной к
вектору N = МхМ2.

§2. Основные задачи на плоскость	63
453.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М(а; а; 0) и перпендикулярной к вектору ОМ. Построить плос-
плоскость.
454.	Написать уравнение геометрического места точек, равно-
равноудаленных от точек А(а; —а/2; а) и -6@; а/2; 0).
455.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и
проходящей через точки Mi@; 1; 3) и М2B; 4; 5) и построить ее.
456.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох
и точку Mi@; —2; 3). Построить плоскость.
457.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz
и точку Mi B; —4; 3). Построить плоскость.
458.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оу и
отсекающей на осях Ох и Oz отрезки а и с. Построить ее.
459.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
МB; —1; 3) и отсекающей на осях координат равные отрезки.
460.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Mi (—4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки а = 4 и
6 = 3.
461.	Построить плоскости: 1) 2х + у — z + 6 = 0; 2) x — y — z = 0;
3) у - 2z + 8 = 0; 4) 2ж - 5 = 0; 5) х + z = 1; 6) у + z = 0.
462.	Построить плоскость 2ж — 2у + ,г — 6= 0 и найти углы ее
нормали с осями координат.
463.	Через точку М( — 1; 2; 3) проведена плоскость, перпенди-
перпендикулярная к ОМ. Написать ее уравнение.
464.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оу
и через точку D; 0; 3). Построить плоскость.
465.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и
проходящей через точки Mi B; 2; 0)иМ2D; 0; 0). Построить плос-
плоскость.
466.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Mi(l; —3; 5) и отсекающей на осях Оу и Oz вдвое большие от-
отрезки, чем на оси Ох.
§ 2. Основные задачи на плоскость
1°.Угол, образованный двумя плоскостями:
N-Nj AAj + BBj + СС\
iv iVi	iV iVi
где N и Ni — нормальные векторы к плоскостям Ах + By + Cz + D = 0
лА^ + B^ + dz + D! =0.
Условие параллельности:

64	Гл.З. Аналитическая геометрия в пространстве
Условие перпендикулярности:
ААг + ВВг + СС\ = 0.	C)
2°. Р ас ст ояние от точки Mq(xq; уо; zq) до плоскости Ах +
+ By + Cz + D = 0:
Ах0 + Ву0 + Cz0 + D\
N
3°. Уравнение пучка всех плоскостей, проходящих через
линию пересечения двух данных плоскостей:
a(Ax + By + Cz + D)+ р(Агх + В1У + C\z + D{) = 0.	E)
Можно положить а = 1, исключив этим из пучка E) вторую из данных
плоскостей.
467.	Найти угол между плоскостями:
1) ж- 2у + 2,г-8 = 0 и ж + ,г-6 = 0;
2)x + 2z-6 = 0	и ж + 2у-4 = 0.
468.	Найти плоскость, проходящую через точку B; 2; —2) и
параллельную плоскости х — 2у — 3z = 0.
469.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
( —1; —1; 2) и перпендикулярной к плоскостям х — 2у + z — 4 = 0
и х + 2у - 2,г + 4 = 0.
470.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
@; 0; а) и перпендикулярной к плоскостям х — у — z = 0 и 2у = х.
471.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Mi( —1; —2; 0) и М2A; 1; 2) и перпендикулярной к плоскости ж +
+ 2у +2^-4 = 0.
472.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Mj(l; -1; 2), М2B; 1; 2) и М3A; 1; 4).
473.	Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плос-
плоскостью 2ж + у — \/bz = 0 угол 60°.
474.	Найти расстояние от точки E; 1; —1) до плоскости ж —
- 2у-2^ + 4 = 0.
475.	Найти расстояние от точки D; 3; 0) до плоскости, прохо-
проходящей через точки Mj(l; 3; 0), М2D; -1; 2) и М3C; 0; 1).
476.	Найти расстояние между параллельными плоскостями
4ж + 3у-5,г-8 = 0 и 4ж + 3у-5,г+ 12 = 0.
Указание. Взять на первой плоскости любую точку, например
B; 0; 0), и найти ее расстояние от другой плоскости.
477.	1) Написать уравнения плоскостей, параллельных плос-
плоскости ж — 2у + 2,г — 5 = 0и удаленных от нее на расстояние,
равное 2.

§3. Уравнения прямой	65
2) Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугран-
двугранный угол, образованный плоскостями 2ж + 2у = z и z = 0, и
построить данные и искомые плоскости.
478.	1) Написать уравнение плоскости, проходящей через ли-
линию пересечения плоскостей 2ж — у + 3z — 6 = 0, ж + 2у — ,г + 3 = 0
и через точку A; 2; 4).
2) Найти две взаимно перпендикулярные плоскости, проходя-
проходящие через прямую пересечения плоскостей ж = у и z = 0, если
одна из искомых плоскостей проходит через точку @; 4; 2). По-
Построить прямую и искомые плоскости.
479.	Найти точку пересечения плоскостей 2х — у + 3z — 9 = 0,
480.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
B; —1; 1) и перпендикулярной к плоскостям Зж + 2у — ,г + 4 = 0 и
х + у + z — 3 = 0. Построить ее.
481.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
@; —5; 0) и @; 0; 2) и перпендикулярной к плоскости х + Ъу +
+ 2z — 10 = 0. Построить ее.
482.	Найти угол плоскости, проходящей через точки 0@; 0; 0),
Mi(a; —a; 0) и M2(a; a; a), с плоскостью хОу.
483.	Найти расстояние от начала координат до плоскости, про-
проходящей через точки Mi(a; 0; 0), Мг@; а; 0) и Мз(а; а; а).
484.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох
и составляющей угол 60° с плоскостью у = х.
485.	Найти расстояние от точки (а; Ь; с) до плоскости, отсека-
отсекающей на осях координат отрезки а, Ь и с.
486.	Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости
2х -\- 2у -\- z — 8= 0 и удаленных от нее на расстояние d = 4.
487.	Написать уравнение плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей Ах — у -\-3z — 6 = 0иж + 5у — 2:+10 = 0
и перпендикулярной к плоскости 2ж — у + bz — 5 = 0.
§ 3. Уравнения прямой
1°. Уравнения прямой, проходящей через точку А(а; Ь; с) и па-
параллельной вектору Р{т; п; р}. Пусть М(х; у; z) —произвольная точка
прямой (рис. 21), тогда AM || P и по условию параллельности векторов
х -а _ у -Ъ _ z - с
т	n	p
Уравнения A) называются каноническими уравнениями прямой. Век-
Вектор Р{т; п; р) называется направляющим вектором прямой.

66
Гл. 3. Аналитическая геометрия в пространстве
2°. Параметрические уравнения прямой получим, прирав-
приравняв каждое из отношений A) параметру t:
х = mt + а, у = nt + b, z = pt + с.
B)
3°. Уравнения прямой, прохо-
проходящей через две точки:
A(a; b; с)
Р{т; п; р)
у-
z - z1
C)
Х2 - xi г/2 - У\ z2 - zi
4°. Общие уравнения прямой:
Рис. 21
Ах + By + Cz + D = О,
Мх + В1У + C\z + ?>i =0.
D)
5°. Уравнения прямой в проекциях получим, исключив из
общих уравнений D) один раз у, другой раз х:
x = mz + а, у = nz + b.
Уравнения E) можно записать в канонической форме:
х — а у — Ъ z — О
E)
т	п
488. Найти следы прямых:
1) х = z + 5, у = 4-2z и 2)
1
х-3 у-2
-3
1	2	1
на плоскостях хОу и xOz и построить прямые.
Указание. Положить в уравнениях прямой: 1) z = 0; 2) у = 0.
489.	Уравнения прямой х + 2у + 3z — 13 = 0, Зж + у + Az — 14 =
= 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти
следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и
ее проекции.
490.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
АD; 3; 0) и параллельной вектору Р{ —1; 1; 1}. Найти след пря-
прямой на плоскости yOz и построить прямую.
491.	Построить прямую ж = 4, у = 3 и найти ее направляющий
вектор.
492.	Построить прямые: 1) у = 3, z = 2; 2) у = 2, z = х + 1;
3) ж = 4, z = у и определить их направляющие векторы.
493.	Написать уравнения прямой, проходящей через точки
А{ — 1; 2; 3) и -6B; 6; —2), и найти ее направляющие косинусы.
494.	Построить прямую, проходящую через точки А{2; —1; 3)
и -6B; 3; 3), и написать ее уравнения.

§3. Уравнения прямой	67
495.	Написать уравнения траектории точки М(ж; у; z), кото-
которая, выйдя из точки АD; —3; 1), движется со скоростью v{2; 3; 1}.
496.	Написать параметрические уравнения прямой:
1) проходящей через точку ( — 2; 1; —1) и параллельной вектору
2) проходящей через точки АC; —1; 4) и -6A; 1; 2).
497.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
(а, Ь, с): 1) параллельно оси Oz; 2) перпендикулярно к оси Oz.
498.	Найти угол прямой ж = 2z — 1, у = —2z + 1 с прямой,
проходящей через начало координат и через точку A; —1; —1).
499.	Найти угол между прямыми: х — у -\- z — 4 = 0, 2ж + у —
-2,г + 5 = 0иж + у + ,г-4 = 0, 2ж + Зу-,г-6 = 0.
Указание. Направляющий вектор каждой из прямых можно опре-
определить как векторное произведение нормальных векторов плоскостей
(P = N х Nj).
X	У	Z
500.	Показать, что прямая — = - = - перпендикулярна к
А	о	X
прямой х = z -\- 1, у = 1 — z.
501.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
(—4; 3; 0) и параллельной прямой х — 2у + z = 4, 2ж + у — z = 0.
502.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
B; -3; 4) на ось Oz.
Указание. Искомая прямая проходит еще через точку @; 0; 4).
ж + 1
503.	Найти расстояние от точки МB; —1; 3) до прямой	=
_ у+ 2 _ z- 1
~ 4 ~ 5 '
Указание. Точка А(—1; —2; 1) лежит на прямой; Р{3; 4; 5} —
направляющий вектор прямой. Тогда
, ... .	АМ\РхАЙ\ \РхАЙ\
d = AM sin a =	—
P ¦ AM	P
504. Найти расстояние между параллельными прямыми
ж-2 _ у+1 _ z + З	х- 1 _ у-1 _ z+1
1~2~2 И 1~2~2'
ж — 4 у — 2 z
505.	Найти следы прямой 	 = 	 = — на координат-
координатных плоскостях и построить прямую.
506.	Уравнения прямой 2ж + у + 8z — 16 = 0, ж — 2у — z + 2 =
= 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти
следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и
ее проекции.

68	Гл.З. Аналитическая геометрия в пространстве
507.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
А@; —4; 0) и параллельной вектору Р{1; 2; 3}, найти след пря-
прямой на плоскости xOz и построить прямую.
508.	Построить прямую ж = 3, z = 5 и найти ее направляющий
вектор.
509.	Найти направляющий вектор прямой ж + у — z = 0, у = х
и углы прямой с осями координат (см. указание к задаче 499).
510.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
B; -3; 4) на ось Оу.
511.	Найти угол между прямыми 2х — у — 7 = 0, 2х — z + 5 = 0
и Зж -2у + 8 = 0, z = Зж.
512.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
( —1; 2; —2) и параллельной прямой ж — у = 2, у = 2z + 1.
513.	Найти расстояние от точки МC; 0; 4) до прямой у = 2ж +
+ 1, z = 2ж (см. задачу 503).
§4. Прямая и плоскость
х — а у — Ь
10 ^г __ _ __		j__	У
1°. Угол между прямой 	 = 	 = 	 и плос-
т	п	р
костью Ах + By + Cz + D = 0:
sin. =
|N-P| _ \Am + Bn + Cp\
A)
NP	NP
Условие их параллельности (N||P):
Am + Bn + Cp = 0.	B)
Условие их перпендикулярности (N _L P):
± = ^ = ?.	C)
m n p
2°. Точка пересечения прямой и плоскости. Написав
параметрические уравнения прямой х = mt + а, у = nt + &, z = pt + с,
подставим в уравнение плоскости _4ж + By + Cz + D = 0 вместо ж, у,
z их выражения через t. Найдем to, а затем xq, уо, zq — координаты
точки пересечения.
3°. Условие расположения двух прямых в одной плос-
плоскости:
а — а\ Ъ — Ъ\ с — с\
т	п	р
т1	п1	р1
= 0.	D)
514. Найти угол прямой у = Зж — 1, 2z = —Зж + 2 с плоскостью

§ 4. Прямая и плоскость	69
ж + 1 у+1 z -Ъ
515.	Показать, что прямая 	= 	= 	 параллельна
о , п х + 1 у+1 z + 3
плоскости 1х + у — z = 0, а прямая 	= 	= 	 лежит
в этой плоскости.
516.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
( — 1; 2; —3) и перпендикулярной к прямой ж = 2, у — z = 1.
517.	Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
ж-2 у-3 z + 1	,* Л п\
	= 	= 	 и точку [6] 4; U).
L	Zi	о
518.	Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
х-1 У+1 z + 2	„
и перпендикулярной к плоскости 2ж + 3у —
A	A	А
— z = 4.
519.	Написать уравнение плоскости, проходящей через парал-
х — 3 у z — 1 ж + 1 у—1 -г
лельные прямые 	= - = 	 и 	= 	= -.
F	2	12	2	12
520.	Написать уравнения прямой, проходящей через начало
координат и составляющей равные углы с плоскостями 4у = Зж,
у = 0 и z = 0. Найти эти углы.
521.	Найти точку пересечения прямой ж = 2? — 1, у = ? + 2,
z = 1 — ? с плоскостью Зж — 2у + z = 3.
х у — 1 z + 1
522.	Найти точку пересечения прямой — = 	 =
Zj	X	Zj
с плоскостью ж + 2у + 3z — 29 = 0.
523.	Найти проекцию точки C; 1; —1) на плоскость ж + 2у +
+ 3,г-30 = 0.
524.	Найти проекцию точки B; 3; 4) на прямую ж = у = z.
525.	Найти кратчайшее расстояние между непараллельными
прямыми:
х-а у-Ъ z-c	х - ах у - Ъх z - сх
1) 	= 	 = 	 и 	= 	= 	;
m	n	p	mi	rii	Pi
ж + 1 у z- 1	ж у+1 z-2
2)—=1 = — И 1= — = —-
Указание. Предполагая прямые в общем случае скрещивающи-
скрещивающимися, нарисуем параллельные плоскости, в которых они расположены.
Из точек А(а; Ь; с) и A\(ai; Ъ\; с\) проведем векторы АИ = А\В\ =
= Р{т; п; р) и АС = A\C\ = Pi{mi; n\; Pi}¦ Высота призмы
АВСА\В\С\ и равна искомому расстоянию.
526.	Показать, что прямые
ж-2 у - A z-2
x = z-2, y = 2z+l и —-— = —-— = —-—
пересекаются, и написать уравнение плоскости, в которой они рас-
расположены.

70	Гл.З. Аналитическая геометрия в пространстве
527. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
B; 1; 0) на прямую ж = 3z — 1, у = 2z.
528.	Построить плоскость х -\- у — z = Ои прямую, проходя-
проходящую через точки А@; 0; 4) и -6B; 2; 0). Найти точку пересечения
прямой с плоскостью и угол между ними.
529.	Построить плоскость у = z, прямую х = —z +1, у = 2 и
найти: 1) точку их пересечения; 2) угол между ними.
530.	Найти проекцию точки C; 1; —1) на плоскость Зж + у +
+ г-20 = 0.
^ 	 1	W
531.	Найти проекцию точки A; 2; 8) на прямую	= — = z.
532.	Написать уравнение плоскости, проходящей через парал-
ж - 1 у+1 z -2 х у+1 z - 1
лельные прямые 	= 	= 	 и — = 	= 	.
ж_|_3 у+1 z -\- 1
533.	Показать, что прямые	= 	= 	 и ж = 3z — 4,
Л.	Zl	Л.
у = z -\-2 пересекаются, найти точку их пересечения.
534.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
ж + 1 у — 1 z
A; 0; -1) на прямую —— = —-— = —.
535.	Найти кратчайшее расстояние между прямыми ж = —2у =
= Z Ж X = у = 2.
§ 5. Сферические и цилиндрические поверхности
1°. Уравнение сферической поверхности с центром
C(a, b, с) и радиусом R:
(x-aJ + (y-bJ + (z-cJ = R2.	A)
2°. Уравнение F(x, у) = 0, не содержащее z, определяет цилин-
цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Анало-
Аналогично каждое из уравнений: 1) F(y, z) = 0 и 2) F(x, z) = 0 опреде-
определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной: 1) Ох;
2)Оу.
3°. Уравнение цилиндрической поверхности с напра-
направляющей F(x, у) = 0, z = 0 и с образующей, параллельной вектору
Р{т; п; р). Уравнение произвольной образующей будет 	 =
га
= 	 = —, где («о; 2/0; U) — точка на направляющей.
п	р
Определив отсюда хо и г/о и подставив их в уравнение направляющей,
получим уравнение цилиндрической поверхности:
F(x-™z,y-n-z)=0.	B)
V р р )

§5. Сферические и цилиндрические поверхности	71
536.	Найти центр и радиус сферы:
1)	ж2 + у2 + z2 - Зж + Ъу - Az = 0;
2)	х2 + у2 + z2 = 2az
и построить изображение второй сферы.
537.	Написать уравнение сферической поверхности, вписанной
в тетраэдр, образованный плоскостями
Зж - 2y + 6z- 18 = 0, ж = 0, у = 0, z = 0.
538.	Написать уравнение геометрического места точек, распо-
расположенных вдвое ближе к точке АB; 0; 0), чем к точке В{—4; 0; 0).
539.	Написать уравнение сферической поверхности, проходя-
проходящей через окружность х2 + у2 + z2 = а2, х + у + z = а и через
точку (а; а; а).
Указание. Искомое уравнение должно иметь вид
х2 + у2 + z2 - а2 + \{х + у + z - а) = 0.
540.	Построить в левой системе координат поверхности:
1) у2 + z2 = 4; 2) у2 = ах; 3) xz = 4; 4) ж2 + у2 = ах.
541.	Написать уравнение геометрического места точек, одина-
одинаково удаленных от прямой ж = а, у = 0 и плоскости уОг. Постро-
Построить поверхность.
542.	Написать уравнения трех цилиндрических поверхностей,
описанных около сферы ж2 + у2 + z2 — lax = 0 с образующими,
параллельными соответственно: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) оси Oz.
543.	Нарисовать в первом октанте левой системы координат
кривую Вивиани:
ж2 + у2 + г2 = 16, ж2 + у2 = 4ж,
построив ее точки при ж = 0; 2 и 4. Показать, что проекция кривой
на плоскость xOz есть парабола.
544.	Найти центр и радиус окружности
ж2 + у2 + ^2 = Юу, ж + 2у + 2,г- 19 = 0.
Указание. Центр окружности есть проекция центра шара на плос-
плоскость (см. задачу 530).
545.	Написать уравнение цилиндрической поверхности с на-
направляющей у2 = 4ж, г = 0ис образующей, параллельной вектору
Р{1; 2; 3}.
546.	Построить в первом октанте поверхность (x-\-yJ-\-az = a2
по сечениям плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, z = h^.an
показать, что эта поверхность цилиндрическая с образующими,
параллельными прямой ж + у = a, z = 0.

72	Гл.З. Аналитическая геометрия в пространстве
547. Шар ж2 + у2 + z2 = Az освещен лучами, параллельными
прямой ж = 0, у = z. Найти форму тени шара на плоскости хОу.
Указание. Нужно написать уравнение цилиндрической поверхно-
поверхности, образованной лучами, касательными к шару. За ее направляющую
принять линию сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара
и перпендикулярной к лучам.
548.	Написать уравнение плоскости, проходящей через центр
С поверхности х2 + у2 + z2 — 2х + у — 3z = 0 и перпендикулярной
к прямой ОС.
549.	Написать уравнение геометрического места точек, удален-
удаленных вдвое дальше от начала координат, чем от точки @; —3; 0).
550.	Найти проекцию на плоскость z = 0 сечения шаровой
поверхности х2 + у2 + z2 = 4(ж — 2у — 2z) плоскостью, проходящей
через центр шара и перпендикулярной к прямой х = 0, у + z = 0.
551.	В левой системе координат построить поверхности:
1) z = 4 - ж2; 2) у2 + z2 = 4z; 3) у2 = ж3.
552.	Построить в первом октанте левой системы координат кри-
кривую пересечения цилиндров ж2 + z2 = а2 и ж2 + у2 = а2.
Указание. Построив в плоскостях xOz и хОу четверти направля-
направляющих окружностей, разделить их приближенно на равные части (напри-
(например, на 4) и через точки деления провести образующие цилиндров до их
пересечения (см. рис. 60, с. 320).
553.	Написать уравнение цилиндрической поверхности с обра-
образующей, параллельной вектору Р{1; 1; 1}, и с направляющей ж2 +
+ у2 = 4ж, z = 0.
554.	Построить тело, ограниченное поверхностями у2 = ж,
z = 0, z = 4, ж = 4, и написать уравнения диагоналей грани,
лежащей в плоскости ж = 4.
§ 6. Конические поверхности и поверхности вращения
1°. Конические поверхности. Пусть коническая поверхность
имеет вершину в начале координат, а направляющую F(x, у) = 0 на
х	у z
плоскости z = п. Уравнение образующей будет: — = — = —, где
х0 г/о п
(жо; 2/о! h) — точка направляющей. Определив отсюда хо и 2/о и подста-
подставив их в уравнение F(x, у) = 0, получим уравнение конической поверх-
поверхности с вершиной в начале координат:
A)

§ 6. Конические поверхности и поверхности вращения
73
Если вершина конуса будет в точке (а; 6; с), то уравнение примет
вид
B)
Уравнение A) однородно относительно х, у, z, а уравнение B) од-
однородно относительно х — а, у — b и z — с. По однородности уравнения
можно узнать уравнение конической поверхности.
2°. Поверхности вращения:
Уравнения
F(x, у)
F(x, z)
У
F(y, z)
X
кривой
о" о
II II
о" о
II II
= 0,
= 0
Ось вращения
Ох
Оу
Ох
Oz
Оу
Oz
Уравнение поверхности
вращения
F(x
F(V
F{x
F(v
F(y
'x2 + z2, y)
'x2 + y2, z)
'x2 + y2, z)
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
555.	Написать уравнение конической поверхности с вершиной
в начале координат и направляющей ж2 + у2 = a2, z = с. Постро-
Построить изображение поверхности.
556.	Написать уравнение конической поверхности с вершиной
в точке А@; —а; 0) и направляющей ж2 = 2ру, z = h. Построить
изображение поверхности.
557.	Определить вершину конуса ж2 + (у — аJ — z2 = 0, его
направляющую в плоскости z = а и построить конус.
558.	Определить вершину конуса ж2 = 2yz, его направляющую
в плоскости z = h и построить конус.
559.	Исследовать поверхность коноида1) или клина (а2 — ж2)х
Ху2 = h2z2 по сечениям плоскостями z = 0, у = /г, ж = ±с (с ^ а)
и построить коноид в области z ^ 0.
560.	Написать уравнение поверхности, образованной враще-
вращением кривой z = ж2, у = 0: 1) вокруг оси Oz; 2) вокруг оси
Ох. Построить обе поверхности.
]) Коноидом называется поверхность, образованная движением прямой, па-
параллельной данной плоскости и пересекающей данную кривую и данную прямую.

74	Гл.З. Аналитическая геометрия в пространстве
561.	Написать уравнение поверхности, образованной враще-
_ 2	4
нием вокруг оси Oz: 1) кривой z = е ж , у = 0; 2) кривой г = —,
у = 0. Построить обе поверхности (в левой системе координат).
562.	Написать уравнение конической поверхности с вершиной
О@; 0; 0), направляющей ж2+(у—6J+z2 = 25, у = 3 и нарисовать
поверхность.
563.	Написать уравнение конической поверхности с вершиной
С@; — а; 0), направляющей х2 -\- у2 -\- z2 = 25, у = 3 и нарисовать
поверхность.
564.	Написать уравнение поверхности, образованной враще-
вращением прямой z = у, х = 0: 1) вокруг оси Оу; 2) вокруг Oz, и
нарисовать обе поверхности.
565.	Показать, что сечение конуса z2 = ху плоскостью х + у =
= 2а есть эллипс, и найти его полуоси.
§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды
1°. Канонические уравнения. Кроме цилиндрических, су-
существуют шесть основных видов поверхностей второго порядка, опре-
определяемых следующими каноническими (простейшими) уравнениями:
о	о	о
X	У	Z
I. Эллипсоид: — + — + — = 1.
а1 Ь1 с1
х2 у2 z2
—2 + тг"	2 = 1 — однополостный,
П. Гиперболоиды: { ¦> •> •>
х у z
—о -\- ^т	о = — 1 — двуполостный.
а о с
х2 у2 z2
III.	Конус второго порядка: — -\—	 = 0.
az bz cz
х2 у2
	h — = 2z — эллиптический,
IV.	Параболоиды (прирд > 0): I
X	У
	— = 2z — гиперболический.
р q
2°. Прямолинейные образующие. Через каждую точку од-
нополостного гиперболоида проходят две его прямолинейные образу-
образующие:
(х z | я
а \ —I— = р
"if-t =«'-! ' f-tH 1+f

§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды
75
Через каждую точку гиперболического параболоида тоже проходят
две его прямолинейные образующие (при р > 0 и g > 0):
* + JU =
= 2/3,
S(JL_JL)=
VV /У
3°. Круговые сечения. На всех поверхностях, имеющих эллип-
эллиптические сечения, имеются также и круговые сечения. Наибольшие
9	9	9
X	У	Z
круговые сечения эллипсоида — + —- + —- = 1 (при а > Ь > с) на-
а1 Ь1 с1
ходятся на сфере х
2
„.2
у2
Ь1
z2 = Ъ2. Круговые сечения эллиптического
параболоида
= 2z, проходящие через вершину, находятся на
сфере х + у + z = 2pz (при р> q).
566.	Написать уравнение поверхности, образованной враще-
X2 Z2
нием эллипса — -\—0=1, У = О вокруг оси Oz.
X	11	Z
567.	Построить поверхность	1	1	= 1и найти площади
ее сечений плоскостями: 1) z = 3; 2) у = 1.
568.	Написать уравнение поверхности, образованной враще-
X2 Z2
нием кривой —	 = 1, у = 0: 1) вокруг
оси Oz; 2) вокруг оси Ох. Построить обе
поверхности (в левой системе координат).
569.	Построить поверхности:
2) х2 - у2 + z2 + 4 = 0.
570. Построить гиперболоид
¦Л
о	о
X	У
	1
16 4
36
= 1 и найти его образующие, прохо-
проходящие через точку D; 1; —3).
571. Нитяная модель цилиндра «закру-
«закручена» поворотом верхнего круга на а0
(рис. 22). Определить уравнение получен-
полученной «линейчатой» поверхности, если ок-
Рис. 22

76	Гл.З. Аналитическая геометрия в пространстве
ружности ее оснований лежат в плоскостях z = ±с, их центры —
на оси Oz, а их радиусы равны 2а. Рассмотреть частные случаи
при а = 90°, 120°, 180°.
Указание. Точка М(х; у; z) делит расстояние между точками
ABacost; 2а sint; —с), ВBа cos (t + а); 2а sin (t + а); с)
в отношении AM : MB = (с + z) : (с — z).
572.	Написать уравнение поверхности, образованной враще-
вращением параболы az = ж2, у = 0 вокруг оси Oz. Построить по-
поверхность по сечениям плоскостями: z = а, ж = 0, у = 0.
573.	Построить поверхности:
о у2	( х2 у2
574.	Построить (в левой системе координат) поверхность ж2 —
— у2 = Az и найти ее образующие, проходящие через точку C; 1; 2).
575.	Написать уравнение геометрического места точек, отно-
отношение расстояний от каждой из которых до плоскости ж = 2а
к расстояниям до точки F(a; 0; 0) равно у/2. Построить поверх-
поверхность.
576.	Написать уравнение геометрического места точек, отно-
отношение расстояний от каждой из которых до точки F@; 0; 2а) и до
плоскости z = а равно \/2. Построить поверхность.
577.	Написать уравнение геометрического места точек, одина-
одинаково удаленных от точки F( — a; 0; 0) и от плоскости х = а. По-
Построить поверхность.
ж2
578.	Найти наибольшие круговые сечения эллипсоида 	 +
169
у2 z2
579.	Определить круговые сечения эллиптического параболоида
о	о
Ж	У
	1	= z, проходящие через начало координат.
580. Назвать и построить каждую из поверхностей:
1)	х2 + у2 + z2 = 2az; 6) х2 = 2az;
2)	ж2 + у2 = 2az;	7) ж2 = 2yz;
2)x2 + z2 = 2az;	8) z = 2 + ж2 + у2;
4)	х2 -у2 = 2az;	9) (г - аJ = жу;
5)	ж2 - у2 = z2-	10) (г - 2жJ + 4(г - 2ж) = у2.

§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды	77
581.	Написать уравнения прямолинейных образующих гипер-
гиперболоида х2 — у2 + z2 = 4, проходящих через точку B; 4; 4).
582.	Написать уравнение геометрического места точек, одина-
одинаково удаленных от точки F@; 0; а/2) и от плоскости z = —a/2.
Построить поверхность.
583.	Написать уравнение геометрического места точек, одина-
одинаково удаленных от точки F@; 0; а/2) и от плоскости z = За/2.
Построить поверхность.
584.	Найти наименьшие круговые сечения гиперболоида
х2 у2 3z2
	Ь	= 1.
25 9 25
585.	Написать уравнения прямолинейных образующих гипер-
о	о
XL yL
болического параболоида	= 2z, проходящих через точку
16 9
D; 3; 0).

Глава 4
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Определители
1°. Определители. Определителем второго порядка называ-
ется число, обозначаемое символом
0-2
и определяемое равенством
«1
а2
- а2Ъ\.
A)
символом
а2 Ъ
аз Ь
oi Ъ
а2 Ъ
аз Ь
2 S
з с3
1 Cl
2 С2
з с3
Ьз с3
-&1
02 С2
аз с3
+ С1
^2 ^2
«3 ^3
Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое
и определяемое равенством
B)
Определители второго порядка, входящие в правую часть равенства
B), получаются из данного определителя третьего порядка вычеркива-
вычеркиванием одной строки и одного столбца и называются его минорами. Фор-
Формула B) называется формулой разложения определителя третьего по-
порядка по элементам первой строки.
2°. Свойства определителей:
I. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
П. Величина определителя от перестановки двух любых параллель-
параллельных его рядов меняет знак на обратный.
Из свойств I и II следует, что определитель можно разложить по
элементам любого ряда, так как этот ряд можно сделать первой строкой.
III.	Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами ра-
равен нулю.
IV.	Общий множитель элементов одного ряда можно вынести за знак
определителя.
V.	Величина определителя не изменится, если к элементам одного
ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на произ-
произвольное одинаковое число. Например:
а\ + тс\ Ь\ + пс\ с\
а2 + тс2 Ъ2 + пс2 с2
а3 + тс3 &з + "с3 с3
01
02
аз
h
ь2
Ьз
с\
С2
сз
=

§ 1. Определители
79
С помощью этого свойства можно в любом ряду определителя третьего
порядка сделать два нуля, чем упростится разложение определителя по
элементам этого ряда.
3°. Площадь треугольника с вершинами А[х\; у\), В(х2', j/г);
С{х3; у3):
уг 1
(з)
Вычислить определители:
586.
589.
591.
3	-2
4	6
587.
2
3
6 -10
588.
3 -2
-4 5
-1
590.
sin a
— cos a
cos a
sin a
sin2 a
cos2 a
sin
/3 cos2 /3
Вычислить определители, разложив их по элементам первого
столбца:
592.
2 3
5 -2
1 2
593.
а
-1
а
1
а
-1
Вычислить определители, разложив их по элементам того ряда,
который содержит наибольшее число нулей:
594.
b
b
0
1
0
-b
595.
-x 1 x
О -ж -1
ж 1 —ж
Упростить и вычислить определители:
а —а а	12
596. а а -а .	597. 3 -4
а —а —а	—3 12
598.
600.
601.
-15
12
6
3
-4
4
8
599.
XL
У2
Z2
X
У
Z
1
1
1
1 + cos a
1 — sin a
1
1 + sin a
1 + cos a
1
2 cos2 тт- sin а 1
2 cos2 ту sin /3 1
1	0 1

80
Гл.4. Высшая алгебра
602.	Найти площадь треугольника с вершинами
АB; 3), 5D; -1) и СF; 5).
603.	Лежат ли на одной прямой точки
АA; 3), 5B; 4) и СC; 5)?
604.	Написать с помощью определителя третьего порядка урав-
уравнение прямой, проходящей через точки:
1) (Ж1; У1) и (ж2; у2); 2) B; 3) и (-1; 5).
Упростить и вычислить определители:
605.
607.
2
6
2
ах
ау
az
-3
-6
-1
а2
а2
а2
1
2
2
+
+
+
X2
у\
Z
i
1
1
1
606.
то + а
га + а
а
608.
то -
2га-
sin За
sin 2а
sin а
а
а
а
cos
cos
cos
а
а
а
За
2а
а
1
1
1
Указание. В задаче 607 вынести а за знак определителя, затем
из первой и второй строк вычесть третью и вынести (х — z) и [у — z) за
знак определителя.
609. Доказать, что
У\ + У2
2
Ж1 —
2
Х\
ж2
2
2/1 ~~
2
2/1
2/2
1
1
1
~ 2
2/1
2/2
610. Найти ж из уравнений:
с2 4 9
1)
ж
2 3
111
= 0; 2)
о
3 2
-1 1
1 4
= 0
и проверить подстановкой корней в определитель.
§ 2. Системы линейных уравнений
1°.Система двух линейных уравнений с двумя неиз-
неизвестными
a1x + b1y = сь
С12Х + &2J/ = С2
A)

§ 2. Системы линейных уравнений
81
имеет решение
С2
о.\
0-2
h
ъ2
h
ъ2
У =
al C\
a2 c2
02
B)
при условии, что определитель системы А =
2°. Система двух однородных линейных уравнений с
тремя неизвестными
о\х + Ъ\у + c\z = О,
a2x + b2y + c2z = О
имеет решения, определяемые формулами
х = к
У = ~
«1
02
«1
«2
C)
D)
где к — произвольное число.
3°. Система трех однородных линейных уравнений с
тремя неизвестными
о\х + Ь\у + c\z = О,
а2х + Ъ2у + c2z = О,
огх + b3y + c3z = О
имеет отличные от 0 решения, если определитель системы
E)
Д =
а2 Ь2 с2
аз °з сз
= О,
и обратно.
4°.Система трех линейных уравнений с двумя неиз-
неизвестными
aix + biy = сь
а2х + Ь2у = с2,
огх + Ь3у = с3
F)
совместна, когда А =
а2 Ь2 с2
= 0 и система не содержит попарно
аз »з
противоречивых уравнений.
5°. Система трех линейных уравнений с тремя неиз-
неизвестными
а\х + Ь\у + c\z = di,
а2х + b2y + c2z = d2,	G)
аъх + b3y + c3z = d3

82
Гл.4. Высшая алгебра
при условии, что определитель системы
А =
a2
a3
с3
имеет следующее единственное решение:
A '
У =
A '
А '
(8)
где
&1
&2
b3
cl
C2
сз
, Ay =
«i
0-2
a3
d\
d2
d3
ci
C2
сз
, A2 =
ai
«2
a3
h
&2
b3
d\
d2
d3
6°. Несовместные и неопределенные системы. Обозна-
Обозначим левые части уравнений G) через Х\, Х2 и Х3. Пусть определитель
системы G) А = 0. При этом возможны два предположения.
I. Элементы двух строк определителя А пропорциональны, например
°2 Ь2 с2
— = — = — = т. 1огда Л2 = тХ\ и:
Ol	6i	Cl
1)	если с?2 7^ т<^1, то система несовместна (первые два уравнения
противоречивы);
2)	если с?2 = mdi, то система неопределенна (если первое и третье
уравнения не противоречивы).
П. В определителе А нет строк с пропорциональными элементами.
Тогда существуют отличные от 0 числа тип такие, при которых тХ\ +
+ пХ2 = Х3, и:
1)	если md\ + nd,2 ф d3, то система несовместна;
2)	если md\ + пс?2 = с?3; то система неопределенна.
Числа тип можно подобрать или же найти их из уравнений
+ а2п = а3, b\m + b2n = 63, cim + c2n = c3.
Решить с помощью определителей системы уравнений:
' ах — Зу = 1,
v- \4ж-5у = 4>
614.
Решить системы уравнений:
Bх-3у+ z-2 = 0,
615. <^ х + 5у - 4z + 5 = О,
I 4ж+ у- 3^ + 4 = 0.
617.
Г2ж - 5
\ ж + 4
= О,
— 2у = 2.
тож — пу = (то — п)'
2ж — у = га (при то
616.
618.
2га).
ж
Зж
Зж
2ж
ж
— 2у
- у
+ 2у
— у
+ Зу
+ Az
+ 5г
- z
+ Зг
— Az
= з,
= 2.
= о,
= о,
= 0,

§3. Комплексные числа	83
Г3ж + 2у- z = 0,	( x + 2y + 3z = 4,
619. ^ 2ж - у + 3z = 0, 620. <^ 2x + 4y+6z = 3,
{ х+ у - z = 0.	[Зж+ у- ,г=1.
Г ж + 2у + 3,г = 4,	Г ж + 2у + 3,г = 4,
621. ^ 2ж + у - z = 3, 622. ^ 2ж + у - z= 3,
[Зж + 3у + 2,г = 7.	[Зж + 3у + 2,г= 10.
623. Пересекаются ли в одной точке прямые:
1Jж-3у = 6, Зж + у = 9, ж + 4у = 3;
2) 2ж - Зу = 6, ж + 2у = 4, ж - 5у = 5?
Выполнить в обоих случаях построение.
Решить системы линейных уравнений:
Bх- у+ z= 2,
624. <3x + 2y + 2z=-2, 625.
{ х-2у+ z= 1.
Bх- y + 3z = 0,	( x-2y + z= 4,
628. < ж + 2у - 5г = 0, 629. < 2ж + Зу - г = 3,
[Зж+ у-2,г = 0.	[Ах- y + z=ll.
§ 3. Комплексные числа
1°. Определения. Комплексным числом называется выражение
вида х + yi, в котором х и у — вещественные числа, а г — некоторый
символ, если при этом приняты условия:
1)	х + 0г = х, 0 + yi = yi и 1г = г, (—1)г = —г;
2)	ж + г/г = х\ + y\i тогда и только тогда, когда х = х\ и у = у\\
3)	{х + yi) + {хг + Vli) = {х + хг) + {у + yi)i;
4)	(х + yi){xi + yii) = {xxi - 2/2/1) + {xyi + xiy)i.
Из условий 1) и 4) получаются степени числа г:
i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i5 = i и т. д.	A)
Комплексное число х + yi, в котором у ф 0, называется мнимым
числом. Число i называется мнимой единицей.
2°. Действия над комплексными числами. Сложение,
вычитание, умножение и возведение в степень комплексных чисел можно
выполнять по правилам этих действий над многочленами с заменой сте-
степеней числа г по формулам A).
Деление комплексных чисел и извлечение корня из комплексного чи-
числа определяются как действия обратные.

84	Гл.4. Высшая алгебра
3°. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Комплексное число x + yi определяется парой вещественных чисел (х, у)
и поэтому изображается точкой М(х; у) плоскости или ее радиус-векто-
радиус-вектором г = ОМ (см. рис. 12). Длина этого вектора г = \/х2 + у2 называ-
называется модулем комплексного числа, а угол его ip с осью Ох называется
аргументом комплексного числа. Так как х = rcoscp, у = г sin у, то
х + yi = r (cos ip + г sin ip).	B)
4°. Действия над комплексными числами в тригоно-
тригонометрической форме:
r(cos if + г sin if)r\(cos ip\ + г sin ip\) =
j	\ Г	j ,	\ i * * /	i	\1	/9\
— i YY\ I COS \lf-\-lf\\ ~\~ Ъ 81П l^-r^il	I O I
r (cos if+ i sin if)	r r	. .	i
= — [cos (if — fi) + г sm (ip — tpi)\,	D)
[r(cos f + i sin ijc)] = rn(cos nif + г sin nip),	E)
л/r(cos ip + г sm ip) = y/r cos	\- г sm	 , F)
V	n	n )
где к = 0, 1, 2, . . ., n — 1.
Формулы E) и F) называются формулами Муавра.
5°. Формула Эйлера:
elcp = cos if + г sin у.	G)
6°. Логарифм комплексного числа:
lnz = lnr + ifO + 2km,	(8)
где у о — значение аргумента ip, удовлетворяющее неравенствам —тг <
< if <C тг. Выражение In r + г'^о называется главным значением лога-
логарифма.
630.	Выполнить действия: 1) B + Зг)C-2г); 2) (а + 6г)(а-6г);
3)C-2гJ; 4) A + гK; 5) [±^; 6) ^
631.	Решить уравнения: 1) ж2 + 25 = 0; 2) ж2 - 2ж + 5 = 0;
3) ж2 + 4ж + 13 = 0 и проверить подстановкой корней в уравнение.
Следующие комплексные числа изобразить векторами, опреде-
определить их модули и аргументы и записать в тригонометрической
форме:
632.	1) z = 3; 2) z = -2; 3) z = Зг; 4) г = -2г.
633.	1) z = 2 - 2г; 2) z = 1 + 1\Д; 3) z = -\Д - i.

§3. Комплексные числа	85
634.	1) -^2 + г^2; 2) sin а + гA - cos a).
635.	Числа, данные в задачах 632-634, записать в форме revt
(при —7Г < <уЭ ^ 7г).
636.	Построить области точек z по условиям:
1) \z\ < 3; 2) \z\ < 2 и 7г/2 < </? < 7г;
3)	2 < |z| < 4 и -7Г < V? < -тг/2.
637.	Показать, что \zi — z2\ есть расстояние между точками
z\ и z2.
638.	Дана точка z0 = —2 + Зг. Построить область точек г, для
которых \z — zo\ < 1.
639.	Число, сопряженное с z, обозначается через ~z. Доказать,
что z ¦ ~z = |z|2.
640.	Вычислить по формуле Муавра:
1) A + гI0; 2) A-г^ЗN; 3) (-1 + гM;
4)	(l + cos^ + isin^) ; 5) (^3 + гK.
641.	Выразить sin За и cos За через функции угла а, используя
тождество (cos а + г sin аK = cos За + г sin За.
642.	Найти все значения z = yl и изобразить их радиус-
векторами, построив круг радиуса, равного 1.
643.	Найти: 1) \/l; 2) \/i; 3) ^Т; 4) л/-2 + 2г.
644.	Найти: 1) лД; 2) ^-1 + г; 3) \/-8
645.	Решить двучленные уравнения: 1) ж3+8 = 0; 2) ж4+4 = 0.
646.	Найти главное значение логарифма: 1) In ( — 2); 2) In A + г);
3) In г; 4) 1п(ж + уг); 5) In B - 2г).
647.	Найти сумму sin х + sin 2х + sin Зж + ... + sin nx.
хг 	 р — хг
Указание. По формуле Эйлера заменить sin ж = 	—	 и т. д.
648.	Найти сумму cos ж + cos 2ж + cos Зж + ... + cos nx.
649.	Доказать тождество
ж5- 1 = (ж - 1)(ж2- 2жсоз72о + 1)(ж2-2жсо8 144° + 1).
650. Вычислить:
1) 5лЗг	з _ / Ы\з
1 4 + Зг" 7 V	7 V	7
Следующие комплексные числа изобразить векторами, опреде-
определить их модули и аргументы и записать в тригонометрической
форме и в форме revt (при —7г < (р ^ 7г):

86	Гл.4. Высшая алгебра
651.	1) z = 4 + 4г; 2) z = -1 + г'^3; 3) z = 1 - г.
652.	1) г = 5; 2) z = -г; 3) г = ->/2 - V3^-
653.	Построить область точек z по условиям
1 < \z\ < 3 и тг/4<(р < Зтт/4.
654.	Дана точка z0 = 3 — 4г. Построить область точек z, для
которых \z — zo\ < 5.
655.	Вычислить по формуле Муавра:
1) A - гN; 2)B + г^12M; 3) (l + cos | + ism |
656.	Выразить sin 4a и cos 4а через функции угла а, используя
тождество (cos а + г sin аL = cos 4а + г sin 4а.
657.	Найти все значения корней: 1) -у/— 1; 2) \/Т и изобразить
их радиус-векторами.
658.	Решить уравнения:
1) х3 - 8 = 0; 2) ж6 + 64 = 0; 3) ж4 - 81 = 0.
659.	Найти сумму (см. задачу 647)
cos ж + cos Зж + cos 5ж + ... + cos Bга — 1)ж.
§ 4. Уравнения высших степеней и приближенное
решение уравнений
1°. Кубическое уравнение:
x3 + ax2 + bx + c= 0.	A)
Если х\, Х2, хз — корни уравнения A), то уравнение можно записать
в виде (х — х\)(х — Х2){х — жз) = 0. Отсюда a = —{х\ + «2 + хз),
Ъ = Х\Х2 + х\х$ + Ж2Ж3, с = —х\Х2Хз-
Уравнение х3 + ах2 + &ж + с = 0 приводится к виду z3 + pz + q = 0
подстановкой х = z	. Уравнение z -\- pz + g = 0 решается по формуле
Кардано:
3/G
g2 p3 «1 + г>1
I. Если А = — + — > 0, то z\ = «i + vi, z2K =	 ±
t:	Zi {	Zi
, «1 - Vl ¦ /o
± 	iv о, где «i и i>i — вещественные значения корней пин.
П? Л д2 , Р3 п	Зд	3t Z!
П. Если А = - + — = 0, то ZJ = -, z2 = z3 = -- = --.

§4. Уравнения высших степеней
87
III. Если А = 4-
— < 0, то zi =2,/-f cos|,
xcos -±120° , где cos ш = -- / \ - — .
V3	/	2/ V 27
2°.Отделение вещественного корня уравнения f(x) =
= 0. Между а и Ъ содержится единственный корень уравнения f(x) = 0,
если f(a) и /(&) имеют разные знаки, a f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и внутри него имеет производную f'(x) ф 0. Будем считать еще,
что на этом отрезке и f"(x) ф 0.
3°. Способ хорд приближенного решения уравнения
f(x) = 0. Пусть «о — тот из концов отрезка [а, Ь], отделяющего корень,
на котором /(ао)/"(оМ < 0. Твгда приближением к корню
а\ пересечения с Ох хорды АИ (рис. 23):
-Да)
[с. 23
у-fix)
где к =
Ъ — а
4°. Способ касательнь! х/(сшв**бТ1ьютона). Пусть /?о — тот из
концов отрезка [а, Ь], на KOTQjb«gi*^f(po)/"(A)) > 0- Тогда приближением
к корню х будет точка j3\ пересечения с Ох касательной к кривой у =
f{x) в точке [/?„, /(А))] (рис. 23):
/?1 = А) -
ДА)
дх /(А>)
Применяя повторно способ хорд и касательных, можно составить таб-
таблицу
(]\f(a)\f((])\k\k
Аа\А0
B)

88	Гл.4. Высшая алгебра
где к и к\ — наклоны хорд и касательных, а
Л	/И	ЛЯ
к	к\
Последовательности получаемых в таблице B) значений а и /3 схо-
сходятся к искомому корню.
5°. Способ итераций. Если уравнение f(x) = 0 можно привести
к виду х = <р(х), причем в некоторой окрестности корня |у'(ж)| < 0 ^ 1 и
xq — любое число в этой окрестности, то сходящаяся последовательность
приближенных решений будет
х1 = <р(х0), х2
В уравнениях задач 660, 661 среди целых множителей свобод-
свободного члена подобрать один корень, разделить левую часть на ж — х\
и затем найти остальные корни:
660. 1) ж3 - 4ж2 + х + 6 = 0; 2) ж3 - 4ж2 - 4ж - 5 = 0. Решение
проверить составлением выражений
661.	1) ж3 - 5ж2 - 2ж + 24 = 0;
2)	ж4 + ж3 + 2ж -4 = 0;
3)	9ж3 + 18ж2 - ж - 2 = 0; 4) 4ж3 - 4ж2 + ж - 1 = 0.
Решить по формуле Кардано следующие уравнения:
662.	1) z3 - 6z - 9 = 0; 2) z3 - 12z - 16 = 0.
663.	1) z3 - 12z - 8 = 0; 2) z3 + 6z - 7 = 0.
664.	ж3 + 9ж2 + 18ж + 9 = 0.
665.	Дано уравнение /(ж) = ж4 — ж — 10 = 0. Составив таблицу
знаков /(ж) при ж = 0, 1, 2, ..., определить границы положитель-
положительного корня и вычислить его с точностью до 0,01 по способу хорд и
касательных.
ж3
666.	Построить график функций у = —, определить графиче-
о
ски границы корней уравнения ж3 —бж + 3 = 0 и вычислить корни
с точностью до единицы третьего знака.
667.	По способу итераций (последовательных приближений)
найти вещественные корни уравнений: 1) ж3 + 60ж — 80 = 0;
2) 2х = 4ж; 3) ж3 + /2ж + /3 = 0; 4) ж4 - 2ж - 2 = 0.
668. Подбором одного корня среди целых множителей свобод-
свободного члена решить уравнения:
1) ж3 + 8ж2 + 15ж + 18 = 0; 2) ж3 - Зж2 + 4 = 0.
Для проверки составить выражения ^ж«1 ^2xixj и Ж1Ж2ж3.

§4. Уравнения высших степеней	89
669.	По формуле Кардано решить уравнения:
1) zs + 18z- 19 = 0; 2) z3 - 6z - 4 = 0;
3) z3 -3^ + 2 = 0; 4) ж3 + 6ж2 + 9ж + 4 = 0.
ж4
670.	Построив график функции у = —, определить границы
о
корней уравнения ж4 + 3ж —15 = 0 и вычислить корни с точностью
до 0,01.
671.	Найти с точностью до 0,01 положительные корни уравне-
уравнений: 1) ж3 + 50ж - 60 = 0; 2) ж3 + ж - 32 = 0.
672.	По способу итераций найти вещественный корень уравне-
уравнения ж3 + 2ж — 8 = 0, вычисляя последовательные приближения по
формуле ж =

Глава 5
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Переменные величины и функции
1°. Отрезки и интервалы. Множество чисел х, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, называется интервалом и обозначается
(а, 6). Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а <; х <; Ь,
называется отрезком и обозначается [а, 6].
Эквивалентные неравенства (при а > 0)
х < а , или \х\ < а, или — а < х < а
определяют интервал, симметричный относительно нуля.
2°. Переменные величины и фу нкции. Если каждому зна-
значению переменной х поставлено в соответствие одно число, то перемен-
переменная у, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначной
функцией х. Переменная х называется при этом аргументом, а данная
совокупность значений аргумента — областью определения функции.
То, что у есть функция х, символически записывают в виде у =
= f(x), или у = F(x), или у = (р(х) и т. п. Символ f(x) или F(x) и
т. п. обозначает закон соответствия переменных х и у, в частности, он
может означать совокупность действий или операций, которые нужно
выполнить над х, чтобы получить соответствующее значение у.
673.	Построить области изменения переменной ж, удовлетворя-
удовлетворяющей неравенствам:
1) \х\ <4; 2) х2 <: 9; 3) \х - 4| < 1;
4) -1 < х - 3 ^ 2; 5) х2 > 9; 6) (ж - 2J ^ 4.
674.	Записать неравенствами и построить интервалы измене-
изменения переменных: [—1, 3]; @, 4); [—2, 1].
675.	Определить область изменения переменной х = 1	, где
t принимает любое значение ^ 1.
В задачах 676-678 построить по точкам на отрезке \х\ <i 3
графики указанных функций:
676.	1)у = 2ж; 2)у = 2ж + 2; 3) у = 2ж - 2.
677.	1)у = ж2; 2)у = ж2 + 1; 3) у = ж2 - 1.
3	3	3
678.	1) у =^-; 2)у=^- + 1; 3) у = ^ - 1.

§ 1. Переменные величины и функции
91
679.	Построить графики функций: 1) у = —; 2) у = 2х; 3) у =
х
= log2a;. Какую особенность в расположении этих кривых отно-
относительно осей координат можно заметить?
680.	Построить на одном чертеже графики функций: 1) у =
= sins; 2) у = cos ж по точкам, в которых у имеет наибольшее,
наименьшее и нулевое значения. Сложением ординат этих кривых
построить на том же чертеже график функции у = sin ж + cos ж.
681.	Найти корни х\ и ж2 функции у = 4ж — ж2 и построить ее
график на отрезке [х\ — 1, ж2 + 1].
682.	Построить графики функций:
1) у = |ж|; 2) у = -\х - 2|; 3) у = \х
- ж.
В задачах 683-686 найти области определения вещественных
Значений функций и построить их графики.
683.	1) у = л/х~Т2; 2) у = л/% - ж2; 3) у = л/Ах - ж2.
х — 1
684.	1) у = \J—х + -^/4 + ж; 2) у = arcsin
685. 1) у =
2)У=-
686.	1) у = — \J2 sin ж;	^7 у —
687.	1) /(ж) = ж2 - ж + 1; вычислить /@), /A), /(-1), /B),
/(а+1); 2) <уэ(ж) = 2 ; вычислить <уэ(О), <уэ(-
+ 1
1
?>(*)"
688.
= ж2; вычислить:
Ь — а
689. /(ж) = ж2,
-F
= ж3; вычислить
а — h
2
/(«О - /(«)
690.	F(x, у) = ж3 - Зжу - у2; вычислить FD, 3) и FC, 4).
691.	Функция /(ж) называется четной, если /( — ж) = /(ж);
нечетной, если /( — ж) = —/(ж). Указать, какие из следующих
функций четные и какие нечетные:
; 2)
; 3)
4) Ф(ж) = аж-—; 5) Ф(ж) = ж sin2 ж -ж3; 6) Л(ж) = ж + ж
2

92	Гл.5. Введение в анализ
692.	Середина любой хорды графика некоторой функции /(ж)
лежит выше графика этой функции. Записать это свойство функ-
функции неравенством. Проверить, что этим свойством обладает функ-
функция /(ж) = ж2.
693.	Какая из элементарных функций обладает свойствами
/A) = 0, /(а) = 1, f(xy) = /(ж) + /(у)?
694.	Какая из элементарных функций обладает свойствами
()	() = а, /(ж + у) = /()()
695.	Построить области изменения переменной ж, удовлетворя-
удовлетворяющей неравенствам:
1) |ж| < 3; 2) ж2 <С 4; 3) |ж - 2| < 2; 4) (ж - IJ <С 4.
696.	Определить область изменения переменной ж = 2 -\—, где
t принимает любое значение ^ 1.
697.	Построить графики функций:
ж3
1)	у = 4	на отрезке |ж| ^ 2;
ж2
2)	у = 3, 5 + Зж	между точками пересечения с осью абсцисс.
698.	Построить графики функций:
1)	у = ж — 4 + |ж — 2| на отрезке [—2, 5];
2)	у = 1 — cos ж на отрезке |ж| ^ 27г.
699.	Построить графики функций:
1) у=--; 2) у = 2-.
ж
700.	Найти области определения вещественных значений функ-
функций:
1) у = v/4-ж2;	2) у =
4
3) у = 1 — у 2 cos 2ж; 4) у =
1 +V^2-4
и построить их графики.
2ж + 1
701. 1) Для функции /(ж) = —	 вычислить /@), /( — 2),
/(-1/2),/(ж-1),/A/2);
2)	для функции </з(ж) = ж3 вычислить —	—-—	-;
3)	для функции /(ж) = 4ж — ж2 вычислить /(а + 1) — /(а — 1).

§ 2. Пределы последовательности и функции	93
§ 2. Пределы последовательности и функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие
1°. Числовая последовательность. Пусть каждому нату-
натуральному числу п=1,2,3,...по некоторому закону поставлено в со-
соответствие число ж„. Тогда говорят, что этим определена последова-
последовательность чисел х\, Х2, жз, • • • или, короче, последовательность {хп} =
= {х\, Х2, жз, • • •}• Отдельные числа последовательности {хп} называ-
называются ее элементами. Говорят еще, что переменная хп пробегает значе-
значение последовательности {жп}.
2°. Предел последовательности (предел переменной).
Число а называется пределом последовательности {хп}, или пределом
переменной хп (обозначается хп —У а), если для всякого е > 0 найдется
зависящее от е число «о такое, что |ж„ — а\ < е для всех натуральных
п > по- Интервал (а — е, а + е) называется е-окрестностью числа а
(или точки а). Таким образом, хп —У а обозначает, что для всякого е > О
найдется такое число «о, что для всех п > «о числа хп будут находиться
в е-окрестности числа а.
3°. Предел функции. Пусть функция /(ж) определена в некото-
некоторой е-окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а.
Говорят, что число Ъ является пределом функции /(ж) при х —У а (пишут
fix) —у Ъ при х —У а или Km fix) = b), если для любого е > 0 существует
х-уа
зависящее от е число 8 > 0 такое, что |/(ж) — Ь\ < е при 0 < \х — а\ < 8.
Аналогично, Km fix) = b, если для всякого е > 0 существует завися-
х—уа
щее от е число N такое, что |/(ж) — Ь\ < е при |ж| > N. Употребляется
также запись Km fix) = оо, которая обозначает, что для всякого числа
х—уа
А > 0 существует зависящее от А число 8 такое, что |/(ж)| > А при
О < |ж - а\ < 8.
Если х —У а и при этом х < а, то пишут х —у а — 0; аналогично,
если х —У а и при этом х > а, то пишут х —У а + 0. Числа f(a — 0) =
= Km f(x) и f(a + 0) = Km f(x) называются соответственно пре-
х—уа—О	х—fa+O
делом слева функции f(x) в точке а и пределом справа функции f(x)
в точке а. Для существования предела функции f(x) при х —У а необхо-
необходимо и достаточно, чтобы было f(a — 0) = f(a + 0). Вместо х —У 0 — 0 и
х —У 0 + 0 пишут х —т- —0 и х —т- +0 соответственно.
4°. Бесконечно малые. Если Km a (ж) = 0, т. е. если |а(ж)| < е
х—?а
при 0 < |ж — а| < 8(е), то функция а(ж) называется бесконечно малой
при ж —т- а. Аналогично определяется бесконечно малая а(х) при ж —?¦ схэ.
5°. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно боль-
большого числа N существует такое 8(N), что при 0 < |ж — а\ < <5(^V) вы-
выполнено равенство |/(ж)| > N, то функция /(ж) называется бесконечно
большой при ж —т- а. Аналогично определяется бесконечно большая /(ж)
при ж —у оо.

94	Гл.5. Введение в анализ
702. Полагая га = 0, 1, 2, 3, ..., написать последовательности
значений переменных:
1	1	/ 1ХП
Начиная с какого га модуль каждой из переменной сделается и бу-
будет оставаться меньше 0,001, меньше данного положительного el
703.	Написать последовательность значений переменной ж =
(-1)п
= 1-\	. Начиная с какого га модуль разности ж —1 сделается и
2га + 1
будет оставаться меньше 0,01, меньше данного положительного el
704.	Прибавляя к 3 (или вычитая из 3) сначала 1, затем 0,1,
потом 0,01 и т. д., записать «десятичными» последовательностями
приближения переменной к пределу: хп —> 3 + 0, хп —> 3 — 0.
705.	Записать «десятичными» последовательностями прибли-
приближения переменных к пределам: хп —> 5 + 0, хп —> 5 — 0, хп —>
-> - 2 + 0, хп -> - 2 - 0, хп -> 1 + 0, хп -> 1 - 0, хп -> 1, 2 + 0,
хп -> 1,2-0.
706.	Доказать, что lim ж2 = 4. Пояснить таблицами значений
х-?2
х и ж2.
707.	Доказать, что lim Bж — 1) = 5. По данному числу е > 0
найти наибольшее число S > 0 такое, чтобы при любом ж из
^-окрестности числа 3 значение функции у = 2ж — 1 оказалось в
е-окрестности числа 5. Пояснить графически.
708.	Доказать, что lim C — 2ж — ж2) = 4. Из какой наиболь-
ХЧ--1
шей ^-окрестности числа —1 нужно взять значение ж, чтобы зна-
значение функции у = 3 — 2ж — ж2 отличалось от ее предела меньше
чем на е = 0,0001?
709.	Доказать, что sin а есть бесконечно малая при а —> 0.
Указание. Сделать чертеж и показать, что |sina| < \а .
710.	Доказать, что lim sin ж = sin a.
х—^а
Указание. Положив х = а + а, составить разность sin ж — sin а и
затем положить а —у 0.
Зж + 4
711.	Доказать, что lim 	 = 3. Пояснить таблицами зна-
ж-»-со ж
Зж + 4
чений ж и 	— при ж = 1, 10, 100, 1000, ...
ж
д~ 	 о
712.	Доказать, что lim 	 = 2. При каких ж значения
хЧ-со 2ж + 1
функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001?

§ 2. Пределы последовательности и функции	95
1 - 2ж2
713.	Доказать, что lim	 = —0,5. При каких ж значения
ж-s-co 2 + 4ж2
функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01?
714.	Доказать, что lim 0, 333.. .3 = —, составив разности — —
nЮо ч	-	' 3	3
- 0,3; ^ - 0,33; ^ - 0,333; ...; ^ - 0, 333^3.
пзнаков
715.	Написать последовательности:
га	га	(-1)пга
1 хп = —-; 2 хп =	—; 3 хп = ^—;
га+1	га+1	га+1
_ 8cosnGr/2).	_2п+(-1)".
' п~ п+4 ' j n"	n
6) жп = 2~nacosra7r.
Существует ли lim xn в каждом примере и чему он равен?
3	3
716.	Найти lim 	 и lim 	 и пояснить таблицами.
ж->-2+О Ж — 2 ж-»-2-0 Ж — 2
717.	Найти lim 21/ж и lim 21/ж и пояснить таблицами.
718.	Выяснить точный смысл «условных» записей:
1) — = 0; 2) | = ±оо; 3) 3е0 = оо; 4) 3"°° = 0;
со	0
5) lgO = -оо; 6) tg90° = ±оо.
719.	Показать, что lim sin ж не существует, составив последо-
X—>-СО
вательности значений sin ж:
1) при ж = И7г; 2) при ж =	\- 2ттщ 3) при ж =	\- 2ттп
(п = 0, 1,2,3,4, ...).
720.	Показать, что lim sin — не существует.
ж-Ю	Ж
721.	Показать, что lim ж sin — = 0 при любом способе прибли-
ж-Ю	Ж
жения ж к 0.
722.	В круг радиуса R вписан правильный многоугольник с
числом сторон п и стороной an. Описав около круга квадрат, по-
показать, что an < е, как только n > 8R/e, т. е. an —> 0, когда
п —т- оо.
723.	Пусть гп — апофема правильного, вписанного в круг га-
угольника. Доказать, что lim rn = R, где R — радиус круга.

96	Гл.5. Введение в анализ
724. Вершина В треугольника ABC перемещается по прямой
ВЕ\\АС, неограниченно удаляясь вправо. Как будут при этом
изменяться стороны треугольника, его площадь, внутренние углы
и внешний угол BCD?
725.	Написать «десятичные» последовательности приближений
переменных к пределам: хп —> 4 + 0; хп —> 4 — 0; хп —> —1,5 + 0;
хп^ -1,5-0.
726.	Доказать, что:
1) Нш х3 = 27; 2) lim (ж2 + 2ж) = 3.
5х + 2
727. Доказать, что lim 	 = 2,5, показав, что разность
хЧсо 2х
2х
5ж + 2
	 — 2,5 есть бесконечно малая при х бесконечно большом.
2ж
Пояснить таблицей, полагая ж = 1, 10, 100, 1000, ...
728. Доказать, что lim cos ж = cos а (см. задачу 709).
хЧа
729. Написать последовательности значений переменных:
1
3)жп=(-1П2п+1); 4)жп=
Какая из последовательностей имеет предел при п —> +оо?
730. Найти: 1) lim 21^х~1) ; 2) lim 2
ж-И-0	ж-»-1+О
3) lim №2x; 4) lim №2x; 5) lim	2
/40	/4+О	/2
6) lim	—: 7) lim 	.
' хЧ-к/2-0 1 + 2^х	' a;-S- + co 1 + ах
731.	Доказать, что lim 0, 666.. .6 = -, составив разности
П-»-СО	Ч	V	'	3	3
пзнаков
- 0,6; ^ -0,66; ...; ^ -0,666^.
пзнаков
732.	Пусть ап — внутренний угол правильного га-угольника.
Доказать, что lim an = п.
n—tco
733.	На продолжении отрезка АВ = а справа взята точка М
AM
на расстоянии ВМ = ж. Найти lim 	.
хч-со ВМ

§3. Свойства пределов	97
§ 3. Свойства пределов.
О	оо
Раскрытие неопределенностей вида — и	—
О	оо
1°. Предел постоянной равен самой постоянной.
2°. Km (и + v) = limu + Ктг>, {	,•	,•
оо г / \ г	г	Г если limu и hmo существуют.
3 . Km(ui>) = Km u • Kmi>,	J
4°. Km— = 	, если limu и limi> существуют и limi> ф 0.
5°. Если для всех значений х в некоторой окрестности точки а,
кроме, быть может, х = а, функции f(x) и (р(х) равны и одна из них
имеет предел при х —У а, то и вторая имеет тот же предел.
Это свойство применяется при раскрытии неопределенностей вида
П оо	т 	о
- и —. Например, 	 = х + а при любых х, кроме х = а. По свой-
0 со	х — а
х2 -а2
ству 5° Km	 = Km (x + а) = 2а.
х-уа X — а	х-уа
Найти пределы:
ж2-4ж + 1	l + sin2s
734. 1) Km 	: 2) Km
xi2 2x + 1	/
: 2) Km
2x + 1	ж-;-7г/4 1 - cos4a;
ж2-4
735.	Km 	 (пояснить таблицей).
x-*2 Ж — 2
ж — 2	ж2 — 9
736.	Km —г	. 737. Km
ж-»-2 ж — Зж + 2	ж-»-з ж — 2ж — 3
Указание. Решить задачу 736 двумя способами: 1) полагая х =
= 2 + а; 2) разлагая знаменатель на множители.
738. lim-^-.	739. Km !_1пж"СО8Ж
741. Km ^Х~Х.
743. Km
x-i-a X — а
3/1 + тх - 1
ж-Ю	Ж
Указание. В задаче 742 положить х = te, а в задаче 743 1 +
mx = t3.
744.	Km
745.	Km
sin 2ж

98
Гл.5. Введение в анализ
746. 1) lim -
2ж2-1
ж-Юо Зж2 — 4ж '
2) lim
5ж3 — 7ж
ж-юо 1 — 2ж3
Указание. Можно решить двумя способами: 1) разделив числи-
числитель и знаменатель на ж в высшей степени; 2) положив х = I/a.
747. lim
Зж - 1
748. lim
x—Yoo Ж
Ж3-1
„2
ж-Юо Ж2 + 1
749. lim
'ж — 6ж
ж->-со Зж + 1
750. lim
Зга
/о 2 1
751. lim ^—^——. 752. lim
n->-co 2ra — 1	п-к»
n->-co 1 — 2ra
1 + 2 + 3 + ...-
Найти пределы:
Зж + 6
753. lim
755. lim
757. lim
x—yc<
759.	lim
X—»¦»
760.	lim
n—к
761.	lim
Д _2 жз + 8 •
2-ж-2
+ 1
bxz - Зж + 2
21/*].
2ж2 + 4ж
/ 5ж2
ж->-со у 1 — Ж2
-3 + 5+...+ Bга- 1)
n^'So 1 + 2 + 3+... + га
754.
756.
7Z.R
lim -
ж-»-3 -,
lim
9- :
Vi
0
Зга
с2
|со
+ COS Ж
sin ж
+ 1
762. lim
sin 2ж — cos 2ж — 1
ж-цг/4	COS Ж — Sin Ж
§ 4. Предел отношения
sin
Если угол а выражен в радианах, то
при
sin а	а
lim 	 = 1; lim 	 = 1.
«->о а	a-O
->¦ о

§ 5. Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо	99
Найти пределы:
sin4ж sin (ж/3)
763. lim 	.	764. lim 	^-Л
ж-Ю Ж	ж-Ю	Ж
Указание. В задаче 763 умножить числитель и знаменатель на 4
(или положить Ах = а).
tgx sin2 (ж/2) 1-соз2ж
765. lim -5—. 766. lim 	\г~^- 767- Ит 	:	•
ж-Ю Ж	ж-Ю	X2	ж-Ю Ж Sin Ж
sin Зж	sin (ж + /г) — sin (ж — /г)
768. lim , 	= . 769. lim V	;	V	;
ж-ю л/ж + 2 - л/2'	' ь-ю	/г
ч ,. arctga: . ,. arcsin A — 2ж)
770. 1) lim 	—; 2) lim	v	'
ж-Ю Ж
Указание. Положить в примере 1) arctg x = а, а в примере 2)
arcsin A — 2ж) = а.
ж-Ю
Найти пределы:
ж	sin 4ж
773. lim	.	774. lim
ж-ю sin Зж	ж-ю д/ж 4- 1 — 1
775. lim V1C°S2". 776. lim
х	ж-ю sec ж — 1
1 — cos тож 1 — cos 2ж + tg
777. lim	. 778. lim 	.
ж-Ю	Хг	ж-Ю	Ж Sin Ж
779.	lim ^Ч^	^ + г-1/^-2^ (положить ж = 2 + а).
ж-*-2 [ Ж2 - 4	J V	^
cos (ж + fe) - cos (ж - h)	arcsin (ж + 2)
780.	1) lim	—	-; 2 lim 	г—^
lim	; 2 lim	r
h-?O	h	x-?-2 X2 + 2Ж
781. lim
ж-ю л/1 + ж sin ж — cos ж
§ 5. Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо
Найти пределы:
1	2
783. lim
lim ,
ж-И V Ж — 1 X2 — 1

100
Гл.5. Введение в анализ
784.
785.
786.
787.
lim
x—у+аэ
lim (
lim (
lim
n—?co
(Vж2
1
ж - 2
1
sin2 ж
1 + 3
+ Ж + 1-
12
жЗ-8
1
4sin2(
+ ... + (:
га+ 3
-л/ж2-
У
ж/2)/
2га- 1)
- ж).
788. lim A — a;)tg —ж (положить ж = 1 — a).
ж-п	2
790. lim
-2 \ Ж + 2
Найти пределы:
-4
791. lim (ж - л/ж2 - ж + 1). 792. lim (ж-
ж-»-+о-	- ' ¦ --
793. lim
794. lim
п—Уоэ
/ sin ж
	2	*§"
ycos^ ж
1 + 2 + 3 + .. . + га га
га + 2
2
795. lim A	) tg ж (положить ж = —\- а).
ж->-тг/2 V 2 /	2
§ 6. Смешанные примеры на вычисление пределов
Найти пределы:
796.1) Пг
ж + 4 — 2 .	1 + ж sin ж — cos 2ж
7	; 2) Ипа —^
sin 5ж
sin2 ж
797. 1) lim
хЧ-1 л/Х — 1
2) lim
798. lim (л/ж2 + ах - л/ж2 - аж).

§7. Сравнение бесконечно малых	101
799.1) lim ' ^ -" --*1 ~ч - x~smx
800. 1) lim — .
x-t-l Sin (Ж + 1)
801.1) lim 1"С°8Ж
802. 1) lim Sln A " X) ¦
803. 1) lim
lim
х-И л/Ж - 1
Зж4
-2ж4
л/1 + cos 2ж
804. 1) km
ж->-7г/2+О л/тг — л/2ж
2)
2)
2)
2)
0^1
X—ЮО
km
ж-»--2
km -
lim
lim
1 -
ж2-
X'
OS (
ж -
1
з 1-
3
5 2-
-5ж
-f ж -2
2 + 2ж
ж/2)
- 7Г
- 10п
f 10n+!¦
- 10n
f 10n+!¦
7г(ж+1)
§ 7. Сравнение бесконечно малых
1°. Определения. Пусть при х —У а функции ct(x) и /?(ж) являются
бесконечно малыми. Тогда:
I. Если km — = 0, то /3 называется бесконечно малой высшего
х-*-а а
порядка относительно а.
П. Если km — = А (конечен и отличен от 0), то /3 называется
х—уа схп
бесконечно малой n-го порядка относительно а.
III. Если km — = 1, то C и а называются эквивалентными беско-
х-уа а
нечно малыми. Эквивалентность записывается так: C к, а.
2°. Свойства эквивалентных бесконечно малых:
1)	Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно
малая высшего порядка относительно каждой из них.
2)	Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков
отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, на-
называемая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые
могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относи-
относительной погрешностью. Поэтому знак Pd мы применяем как для обозна-
обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближен-
приближенного равенства их достаточно малых значений.
805. Определить порядки бесконечно малых: 1) 1 — cos ж;
2) tga; — sin ж относительно бесконечно малой ж. Показать на чер-
чертеже, что при уменьшении угла ж вдвое величина 1 — cos ж умень-
уменьшается приблизительно в четыре раза, а величина tg ж — sin ж —
приблизительно в восемь раз.

102	Гл.5. Введение в анализ
806.	Определить порядки бесконечно малых:
1Jзт4ж-ж5; 2) \/sm2 х + х4; 3) л/1 + ж3 - 1
относительно бесконечно малой ж.
807.	Определить порядок малости «стрелы» кругового сегмента
относительно бесконечно малой дуги сегмента.
808.	Доказать, что при ж —> 0:
1) sin тх рй тож; 2) tgmx рй тож; 3)
809.	Коэффициент объемного расширения тела принимается
приближенно равным утроенному коэффициенту линейного рас-
расширения. На эквивалентности каких бесконечно малых это осно-
основано?
810.	По теореме lim — = lim —, если a ps a>i, /3 ps /3\ и один из
a	a\
пределов существует, найти пределы:
sin 5ж	sin ax + ж2	Зж + sin2 ж
1) lim —	; 2) lim	; 3) lim —	-;
ж-ю sin 2ж ж-ю tg ож	ж-ю sin 2ж — ж3
811.	Капля воды испаряется так, что ее радиус стремится к
нулю. Определить порядки бесконечно малых поверхности и объ-
объема капли относительно ее радиуса.
812.	Определить порядки бесконечно малых:
1) л/1 + ж2 — 1; 2) sin 2ж — 2 sin ж; 3) 1 — 2 cos (x-\
V	о
относительно бесконечно малой х.
813.	Доказать, что при х —> 0: 1) arctgmx ^ тх]
§ 8. Непрерывность функции
1°. Определение. Функция f(x) называется непрерывной при
х = а, если она определена в некоторой окрестности а и
lim f(x)=f (а).
х—?а
Это определение содержит такие четыре условия непрерывности:
1)	f(x) должна быть определена в некоторой окрестности а;
2)	должны существовать конечные пределы lim f(x) и lim f(x);
ж—fa—0	х—fa+0
3)	эти пределы (слева и справа) должны быть одинаковыми;
4)	эти пределы должны быть равны /(а).

§ 8. Непрерывность функции
103
Функция называется непрерывной на отрезке [х\, х2], если она не-
непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его границах Km f(x) =
X —f Ж1 + О
= f(xi) и lim f(x) = f(x2).
x-yx2 — 0
Элементарные функции: степенная xn, показательная ax, логариф-
логарифмическая, тригонометрические и им обратные, а также их сумма, про-
произведение, частное непрерывны при всяком х, при котором они имеют
определенное значение.
2°. Разрывы функции. Функция имеет разрыв при х = а, если
она определена слева и справа от а, но в точке а не соблюдено хотя бы
одно из условий непрерывности. Различают два основных вида разрыва.
1)	Разрыв I рода — когда существуют конечные пределы lim fix)
х-уа—О
и lim f(x), т. е. когда выполнено второе условие непрерывности и не
x-t-a+0
выполнены остальные (или хотя бы одно из них).
х — а
Например, функция у = 	, равная —1 при х < а и +1 при
х — а
х > а, имеет при х = а разрыв I рода (рис. 24), так как существуют
пределы lim у = — 1 и lim у = +1, но эти пределы не равны.
х-уа—О	х-уа+0
2)	Разрыв II рода — когда lim f(x) слева или справа равен ±оо.
Например, функция у = f(x) =
х — а
(рис. 25) имеет при х = а
разрыв II рода. Все дробные функции, знаменатель которых при х = а
У
1
6
равен 0, a 4hcj
Функция f(x) *
[с. 24
814. Указать точку разрыва функции у =
lim у, lim у и построить кривую по точкам
х = -2, 0, 1, 3, 4 и 6.
итель не равен О, имеют при х =
211Х (задача 819, рис. 38 на с. 271

104	Гл.5. Введение в анализ
815.	Найти точки разрыва и построить графики функций:
6	4
1)У=--; 2)y = tga;; 3) у =	^.
ж	4-х2
816.	Построить график функции
{ж/2 при х ф 2,
0 при х = 2
и указать точку ее разрыва. Какие из четырех условий непрерыв-
непрерывности в этой точке выполнены и какие не выполнены?
х + 1
817.	Построить графики функций: 1) у =	 и 2) у =
| х -\- 1
= ж + г	г. Какие из условий непрерывности в точках разрыва
\х + 1|
этих функций выполнены и какие не выполнены?
818.	Построить график функции
sin ж	,
,, , , 	 при ж Ф О,
= /(ж)= <( ж	^
2 при ж = 0
и указать точку ее разрыва. Какие из условий непрерывности в
ней выполнены и какие нет?
819.	Указать точку разрыва функции у = 21'ж, найти lim у,
ж-»--0
lim у, lim у и построить график функции. Какие условия не-
^+О ж-»-±со
прерывности в точке разрыва не выполнены?
820. Построить график функции
0,5ж2	при |ж
У = f(x) = { 2,5	при |ж
3	при |ж
< 2,
= 2,
> 2
и указать точки ее разрыва.
821.	Найти точки разрыва и построить графики функций
1	(I	X — Ж
1) V = 	71~; 2) у = arctg	; 3) у = —	.
7 у 1 + 21/*' 7 у	ж - а' 7 У 2|ж- 1
822.	Сколько однозначных функций задано уравнением ж2 —
— у2 = 0? Определить из них: 1) четную функцию; 2) нечетную
функцию так, чтобы они имели конечные разрывы (I рода) при
ж = ±1, ±2, ±3, ..., и построить их графики.

§9. Асимптоты	105
ж
823. Указать точку разрыва функции у =	, найти lim у,
Ж + 2	ж-»—2-0
lim у, lim у и построить график по точкам х = —6, —4, —3,
»2+О	»±
- 1, 0, 2.
824.	Построить график функции
{2	при х = 0 и ж = ±2,
4 - ж2 при 0 < |ж| < 2,
4	при |ж| > 2
и указать точки разрыва. Какие условия непрерывности выпол-
выполнены в точках разрыва и какие нет?
825.	Найти точки разрыва и построить графики функций:
3)у=1-21/а;;
1)
4)
У =
У
2-
ж3 +
2|ж
ж '
ж
"р
2)
5)
У =
У"
21/
4
|4ж
,-2).
-ж2
-ж3
826.	Сколько однозначных функций задано уравнением ж2 +
+ у2 = 4? Определить из них: 1) две непрерывные на отрезке
ж| ^ 2; 2) ту из них, которая отрицательна на отрезке |ж| ^
^ 1 и положительна для всех остальных допустимых значений ж.
Построить график и указать разрывы последней функции.
§ 9. Асимптоты
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограни-
неограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кривой в беско-
бесконечность.
I. Если lim f(x) = ±оо, то прямая х = а есть асимптота кривой
х—?а
у = fix). Например, кривая у = 	 имеет асимптоту х = а (рис. 25).
х — а
П. Если в правой части уравнения кривой у = f(x) можно выделить
линейную часть у = f(x) = кх + Ь + а(х) так, что оставшаяся часть
ct(x) —т- 0, когда х —т- ±оо, то прямая у = кх + Ь есть асимптота кривой.
х3 + х2 + 1	1
Примеры: 1) кривая у =	 = х + 1 + — имеет асимптоту
х1	х1
у = х + 1 (и асимптоту х = 0); 2) кривая у = 	 = 0 -\	имеет
х — а	х — а
асимптоту у = 0 (рис. 25).
III. Если существуют конечные пределы	lim		 = к и
X—f+ООИЛИ— ОО X
lim	[f(x) — кх] = к, то прямая у = кх + Ь есть асимптота.
X—f+OO ИЛИ —ОО
4
827.	Определить асимптоты кривой у = 1	 и построить
ж2
кривую по точкам ж = ±1, ±2, ±4.

106	Гл.5. Введение в анализ
В задачах 828-830 найти асимптоты кривых, выделив из дроби
линейную целую часть; построить асимптоты и кривые:
™2 _|_ 1	2	2
828. 1 y=^-ti; 2 у=-^-;	з у=-Д-.
Ж	Ж + 1	х + 1
829-
2	ч	ж2 - ж - 1 ч	аж
! 2K)
ж ' '	тх + га'
3	4ж - ж3
830.1)у=т—тг1; 2)у=^г—; з)у = ^5
1 у 1 + 2ж' >у ж2 + 1'	>У ж2+ 4
Найти асимптоты кривых и построить кривые:
831. 1) ж2 - у2 = а2;	2) ж3 + у3 = Заху;
3) у = х — 2 arctgж; 4) у = arctg
а — ж
832. 1) у = л/х2 + 1 - ^ж2 - 1;
- 1; 3) у = х	-.
ж4 + 1	ж3 + ж2 — 2
833. Построить кривые: 1) у = 	; 2) у = 	 и
F	F	7 У	Зж ' ' У	ж + 1
параболы, к которым эти кривые асимптотически приближаются.
Л2
834.	Найти асимптоты кривых: 1) у = 1	;2)у= —ж
V ж/
Н	^ и построить кривые по точкам ж = ± —, ±1, ±2.
ж"*	2
835.	Найти асимптоты кривых и построить кривые:
§ 10. Число
Числом е называется предел
/ 1\п	/ 1\п
lim 1+- = lim 1+- = lim A + аI/а = е.
n-fTO у	п)	n-f-то у	п)	a-fO
Это число иррациональное и приближенно равно е = 2,71828. . . Ло-
Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются
loge х = In х.
Десятичный логарифм: Igx = Minx, где М = 0,43429. . .

§ 10. Число е	107
Найти пределы:
/ 5\п 5
836. lim A	) (положить	= а).
пЧсо \	п)	П
( П	4
837.	1) lim 1	;	2) lim I + -
n-Юо у Зга/	n-f-co у П
838.	1) lim A + 2жI/а;;	2) lim A -
п	/2т1х2а;
/ га \п	/2т-1
839.1) Нт (-^-) ; 2) lim (
пкх> у га + 1/	ж>со \
n-S-coyra + 1/	' a;-S-co у2ж + 1/
840.	1) lim ra[ln (ra + 3) - In ra]; 2) lim A + 3tg^)cts4
n—»-co	x—}0
841.	lim (со8ж)с*ё х (положить sin2 ж = a).
In A + a) .	e~x - 1 .	a2x - 1
842.	1) lim V	;; 2 lim 	; 3 lim 	.
a-»-0	a	x^>-0 X	ж-»-0 X
Указание. В примере 2) положить е~х — 1 = а.
843.	Найти последовательные целые числа, между которыми
содержится выражение 6A — 1,О1~100).
Найти пределы:
/ 9 \ 3n	/ ra - 3 \ n/
844. 1) lim 1 + - ;	2) lim 	 *
n->-co у ray	n->-co у га
чт _ 9\ 2x	P-3x _ i
т \
845.	1) lim —		; 2) lim .
хч-со у Зж + 1)	x^-0 X
846.	lim (sin 2ж) s x	(положить cos2 2ж = a).
х-^-тг/4
847.	1) lim —	-;	2) lim ra[ln ra - In (ra + 2I.
> 4_ю In A + Xt)'	' «-ЮО L V Ji

Глава 6
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 1. Производные алгебраических
и тригонометрических функций
1°. Определения. Производной функции у = /(ж) в точке ж на-
называется предел
Km /(* + **)/(*) = llm А».	A)
Ах-Ю	Дж	До;—fO Дж
Если этот предел конечный, то функция /(ж) называется дифферен-
дифференцируемой в точке х; при этом она оказывается обязательно и непрерыв-
непрерывной в этой точке.
Если же предел A) равен +оо (или — оо), то будем говорить, что
функция /(ж) имеет в точке х бесконечную производную, однако при
дополнительном условии, что функция в этой точке непрерывна.
Производная обозначается у' или fix), или —, или —)—?-. Нахо-
ах	ах
ждение производной называется дифференцированием функции.
2°. Основные формулы дифференцирования:
1)(с)' = 0; 2) (жп)' = пх"-1; 3) (сиI = си';
4) (u + v)' = u' + v'; 5) (uv)' = u'v + uv';
, /«V u'v — v'u	1
6 (-) =	2	5 7 /5)'
\vJ	vA
)	2
8) (sin ж)' = cos ж;	9) (cos ж)' = —sin ж;
10)(tga:)'=^-; 11) (ctg ж)' = --Д-
sin
sin ж
Ay
848. Вычислением lim 	 найти производные функций:
Д^о Дж
I) у = ж ; 2) у = ж ;	3) у = y^j	4) у = sin ж;
5)У=~; 6)у=^;	7)у=—-	8)y = tgж;
•*-	уж	ж
9) у = —;	10) у =

§ 1. Производные алгебраических и тригонометрических функций 109
Найти по формулам производные функций:
849. 1) у = ^- - 2ж2 + 4ж - 5; 2) у = *"~
850. I) v =
5 2ж3
851. 1) у = ж + 2^ж;	2) у = (у^ - v^J .
853. 1) у = х + — -—-
854. 1) у = 6^ -4^;	2) у = A -
855.	1) у = —2	з'	2) У = 1	г
856.	1) у = ж — sin ж;	2) у = ж — tg ж.
857.	1) у = ж2 cos ж;	2) у = ж2 ctg ж.
cos ж	% ж2
860.	1) /(ж) = Л COSX ;	2) ^(ж) = -
' J v ' 1 - sin ж'	' rv 7
V - ¦ —
861.	l)s=^-;	2) ж = a(t-smt).
х3
862.	/(ж) =	ж2 + ж; вычислить /'@), /'A), /'(-1).
О
863.	/(ж) = ж2 - -L; вычислить /'B) - /'(-2).
864. /(ж) = —	'—; вычислить 0, 01 • /'@, 01).
Найти производные функций:
865. 1) у = (а - 6ж2K; 2) у = A + Щ2.

110	Гл.6. Производная и дифференциал
867.	1) у = ж + sin ж;	2) у = ж + ctg ж.
868.	1) у = ж2 sin ж;	2) y = x2tgx.
869.	1) у = ^жсовж;	2) s = | - |.
9	1	Ж2 — 1
870.	1) у = Ж--2)
871.1) у=Л+ ^V; 2)у=Л "°8Ж ¦
V v^/	I + 2sina;
872.	/(ж) = л/^2; найти /'(-8).
873.	/(ж) = ^-j; найти /'@), /'B) и /'(-2).
§ 2. Производная сложной функции
Если у = /(«), а « = у (ж), то г/ называется функцией от
или сложной функцией от ж. Тогда
rf2/ rf2/ du
— = —¦— или у' = /' « • «'.	1
dx du dx
Формулы предыдущего параграфа примут теперь общий вид:
1) («")' = n«"-V;	2) (sin и)' = cos и ¦ и';
3) (cos«)' = -sinu-u'; 4"
5) (tg «)' = ^^;	6) (ctg «)' = -^-.
cosz и	sin «
Найти производные функций:
874.	1) у = sin 6ж;	2) у = cos (а — 6ж).
ж	ж	ж
875.	1) у = sin —\- cos —; 2) у = 6 cos —.
876.	1) у = A - 5жL;	2) у = ^/D+ЗжJ.
877.	1) у =	—; 2) у = у/1 - ж2; 3) у = ^со84ж.
I — Т I
878. у = у/2х - sin2a:.	879. у = sin4 ж = (sin жL.
880.	1) у = sin2 ж; 2) у = cos2 ж; 3) у = sec2 ж.
881.	у = sin3 ж + cos3 ж. 882. у = tg3a: - 3 tg ж + Зж.
883. у = \Д + соз2ж. 884. у = sin у/х.

§ 3. Касательная и нормаль к плоской кривой	111
885.
886.
888.
eon
У =
У =
У =
\J\ + sin 2ж -
1
A + соз4жM
sin2 ж
cos ж
^/2х~^\
. 887. y = ctg3-.
У 5 3
889. у = х\]х2 - 1.
891. s = a cos2 -.
ж	а
892.	1) г = a^cos 2<р; 2) г = * 2<р + cos2 B(р + -) .
у	V	4 /
893.	f{t) = л/а2 + Ь2 — 2abcost' вычислить
894. /(ж) = ^Л + 2^/х; найти /'(I).
Найти производные функций:
895. у = V^x + smix. 896. у = ж2\Д - ж2.
897. у = sin4 х + cos4 x. 898. у = ^1 + cos6a;.
2	1
899.	1) у = tg ж + - tg3a; + - tg5ж; 2) у = sin2 ж3.
900.	у = ; + S?nf.	901. e = ./--sin-.
у 1 - sin 2ж	у 2	2
902. г = cos2 (\ - |V
904. f(t) = Vl + cos2i2; найти /'(—).
§ 3. Касательная и нормаль к плоской кривой
Угловой коэффициент касательной к кривой у = f(x)
в точке кривой (жо; J/o) равен значению производной функции f(x) в
точке Х[)\
y'\x=Xo.	A)
Число к называют иногда наклоном кривой в точке (жо; J/o)-
Уравнение касательной в точке М(жо; J/o) на кривой (рис. 26):
у - у0 = к(х - ж0).	B)

112
Гл.6. Производная и дифференциал
у
равнение нормали:
У~Уо =
--(х-х0)
C)
где к определяется формулой A).
Отрезки ТА = yoctgip, AN = yotgf (рис. 26) называются соот-
соответственно подкасателъной и поднормалью, а длины отрезков МТ и
MN — длинами касательной и нор-
У
905.	Найти наклоны параболы
= ж2 в точках ж = ±2.
906.	Написать уравнение каса-
тельной и нормали к параболе у =
= 4 — ж? в точке пересечения ее с
3^ (при ж > 0) и построить
параболу, касательную и нормаль.
В задачах 907-910 написать
строить кривые и касатель-
0908. К фивой у2 =
909. К локону у =
8
= 0 и
в точке ж = 2.
4 +ж2
910.	К синусоиде у = sin ж в точке ж = тт.
911.	Под каким углом кривая у = sin ж пересекает ось Ох?
912.	Под каким углом пересекаются кривые
2у = х2 и 2у = 8 — ж2?
913.	Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и
нормали кривой: 1) у = ж2; 2) у2 = ж3 в точке ж = 1.
914.	Доказать, что подкасательная параболы у2 = 2рх равна
удвоенной абсциссе точки касания, а поднормаль равна р.
915.	В уравнении параболы у = ж2 + Ьх + с определить бис,
если парабола касается прямой у = ж в точке ж = 2.
916. Написать уравнения касательных к гиперболе ху = 4 в
точках Ж1 = 1 и ж2 = —4 и найти угол между касательными.
Построить кривую и касательные.

§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции 113
В задачах 917-919 написать уравнения касательных к кривым
и построить кривые и касательные к ним:
917.	у = 4ж — ж2 в точках пересечения с осью Ох.
918.	у2 = 4 — х в точках пересечения с осью Оу.
919. у2 = D
в точках пересечения с осями Ох и Оу.
920.	Найти расстояние вершины параболы у = ж2 — 4ж + 5 от
касательной к ней в точке пересечения параболы с осью Оу.
921.	Под каким углом прямая у = 0,5 пересекает кривую
у = cos ж?
922.	В какой точке касательная к параболе у = ж2 + 4ж парал-
параллельна оси 0x1
923.	В какой точке параболы у = ж2 — 2ж + 5 нужно прове-
провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе
первого координатного угла?
924.	Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и
2
нормали кривой у =	 в точке ж = 1.
1 + ж2
ж2
925.	Какие углы образует парабола у = — с ее хордой, аб-
4
сциссы концов которой равны 2 и 4?
§ 4. Случаи недифференцируемости
непрерывной функции
1°. Угловая точка. Точка А(х\; у\) кривой у = f(x) (рис. 27)
называется угловой, если в этой точке производная у' не существует,
но существуют левая и правая различ-
различные производные: Km —— = ki и
Дж-f-o Ах
Km -— =
Дж
&2- Из угловой точки вы-
ходят два касательных луча с наклонами
к\ и кч-
2°. Точка возврата с верти-
вертикальной касательной. Точка
В{х2] 2/2) (рис. 27) называется точкой
возврата с вертикальной касательной,
если в этой точке производная у' не су-
существует, но существуют левая и пра-
правая бесконечные производные разного
знака (+оо и — оо). Такая точка является частш
нее выходит один вертикальный касательный л
что из нее выходят два слившихся касательных
3°. Точка перегиба с вертикальной
ка С(хз', Уз) (рис. 27) называется точкой пе
касательной, если в ней существует б
:м
Ч ИЛИ, МО
луча.
ч касательной. Точ-
гиоа с вертикальной
онечная _дшоизводная

114	Гл.6. Производная и дифференциал
у' = Km 	 = Km 	 = +00 (или — оо). В такой точке сущест-
дзг_>._о Ах Дж-f+o Ах
вует вертикальная касательная.
В точках А и В функция у = f(x) не имеет производной; в точке
С она имеет бесконечную производную. Во всех трех точках функция
непрерывна, но недифференцируема.
926.	Построить график функции у = ух2 (или у = |ж|) и найти
левую у'_ и правую у'+ производные в угловой точке графика.
927.	На отрезке [0, 4] построить график функции у = 0,5х
X \/(х — 2J и найти левую у'_ и правую у'+ производные в угловой
точке графика функции.
928.	На отрезке [—7Г, 7г] построить график функции у = Vsin2 x
и написать уравнения касательных в угловой точке кривой.
929.	На отрезке [0, 27г] построить график функции у =
написать уравнения касательных в угловой точке кривой и найти
угол между ними.
930.	На отрезке [—2, 2] построить график функции у = ух2 и
написать уравнение касательной в точке х = 0.
931.	На отрезке [0, 4] построить график функции у = 1 —
— у (ж — 2J и написать уравнение касательной к ней в точке
х = 2.
932.	На отрезке [—2, 2] построить кривую у3 = 4ж и написать
уравнение касательной к ней в точке ж = 0.
933.	На отрезке [0, 4] построить кривую у3 = 4B — ж) и напи-
написать уравнение касательной к ней в точке ж = 2.
934.	На отрезке [0, 7г] построить график функции у = 1 —
— Vcos2 ж и написать уравнения касательных к кривой в угловой
точке.
935.	На отрезке [—2, 0] построить график функции у =
= \/(х + IJ — 1 и написать уравнение касательной к кривой в
точке ж = — 1.
936.	На отрезке [—1, 5] построить график функции у = |4ж —ж2
и написать уравнения касательных в угловой точке ж = 0 и найти
угол между ними.
§ 5. Производные логарифмических
и показательных функций
Основные формулы:

§ 5. Производные логарифмических и показательных функций 115
Найти производные функций:
937.	1) у = ж1пж; 2) у = + пх ¦ 3) у = lg Eж).
ж
938.	1) у = In х	-; 2) у = In (ж2 + 2ж).
х 2хг
839. 1) у = In A + cos ж); 2) у = In sin ж	sin2 ж.
940. у = In (у
a2 _|_ x2
942. у = In
945.	у = In (ж
946.	у = 2^ж-41пB
947.
О
COS Ж	Ж	X
lt	2) l
^^+lntg; 2)y ln=^.
siri	2	V1 - аж4
948.	Написать уравнение касательной к кривой у = In ж в точке
пересечения ее с осью Ож. Построить кривую и касательную.
ж2
949.	Показать, что парабола у = — касается кривой у = In ж,
и найти точку касания. Построить кривые.
Найти производные функций:
950.	1) у = ж2 + 3х; 2)у = х2-2х; Ъ)у = х2ех.
951.	1) y = asinx-1 2)у = е-х2-1 3) у = х2е~2х.
ЪЬ2.у = 2{ех12-е-х12). 953. у = фсе^.
954. у = + е .	955. у = e^cos-.
У 1 - еж	У	a
956.	1) у = e-^sini + cosi); 2) у = In {е~х + же-ж).
957.	у = In —	.	958. у = (еах - е"^J.
У	ж2 + 1	У V	;
959.	/(?) = In (I + a~2t); найти /'@).
960.	Под каким углом кривая у = е2х пересекает ось Oyl
961.	Доказать, что длина подкасательной в любой точке кривой
у = ех'а равна а.

116
Гл.6. Производная и дифференциал
962. Предварительным логарифмированием найти производ-
производные функций: 1) у = хх; 2) у = xsmx.
Найти производные функций:
1 ,
963.	у = In cos ж	cos ж.
964.	у = In (у/х - л/х - 1). 965. у :
966. у
.J	\ v	v	/
6. у = In (sin ж + v I + sin2 ж).
ж	1
967. у = In	968. у = -lntga; + In cos ж.
V1 — ж2	2
/ sin 2ж
969. у = In J	. 970. у = In A ¦
У	V 1 - sin 2ж	У	V
971.	у = a In (д/ж + а + л/х) — \/х2 + ах
972.	у = ае"
ех + е
+ же
—ж
•~х1а. 973. у=-
974. у = ^——.
976. у = In \, ——
У е4х
978. f(t) = In 2
2
4т
975. у
977. у =
; найти f'(n/3).
;
2 — tg t
979. Написать уравнение касательной к кривой у = 1 — ех12 в
точке пересечения ее с осью Оу. Построить кривую, касательную
и асимптоту кривой.
§ 6. Производные обратных тригонометрических функций
arcsm« =
arccos « = —-
(arctgu)' = 	-; (arcctg «)'
Найти производные функций:
980. у = у/1 — х2 + arcsin ж.
— «z
п,1

§ 7. Производные гиперболических функций
117
981. у = х — arctg ж.	982. у = arcsin \/l — 4ж.
Ж
983. у = arcsin —.
а
X
984. у = arctg —.
а
985. w = arccos A — 2х). 986. у = arcct
1 + х
987. 1) у = ж\А — х2 + arcsin ж; 2) у = arcsin
988. у = arctg ж + In
1
989. у = arccos —=
/ж
990. у = ж arctg	In (ж2 + а2).
Найти производные функций:
991. у = arcsin у/х. 992. у = arctg-^/бж — 1.
993.	1) у = arccos A — ж2); 2) у = arcctg ж	.
994.	у = ех\/1 — е2х + arcsin еж.
995.	у = ж arccos ж — Vl — ж2.
996.	у = arctg e2x + In
997. s
- t2 + 4 arcsin
998.	у = arccos -^/1 — 2ж + \/2х — Ax2.
999.	f(z) = (z+ l)arctge-2^; найти /'(О).
§ 7. Производные гиперболических функций
1°. Определения. Выражения
ех _ е
и их отноше-
отноше2	2
ния называются соответственно гиперболическими синусом, косинусом,
тангенсом и котангенсом и обозначаются
ех — е~х	ех + е~х	sh ж	ch ж
sh ж = 	, ch ж = 	, th ж = 	, cth ж = 	.
2	2	ch ж	sh ж
2°. Свойства гиперболических функций:
1)	сЬ2ж-вЬ2ж = 1;	4)sh0 = 0, chO=l;
2)	ch ж + sh ж = ch 2ж; 5) (sh ж)' = ch ж, (ch ж)' = sh ж;
3) 8Ь2ж = 28
Q) (thx)' = -^-, (cthi)' =	\-
ch ж	sh ж

118	Гл.6. Производная и дифференциал
Найти производные функций:
1000.	1) у = зЬ2ж; 2) у = х -thx; 3) у = 2 Vch ж - 1.
1001.	/(ж) = sh - + ch -; найти /'@) + /@).
1002.	1) у = 1п[сЬж];	2) у = th ж + cth ж.
1003.	1) у = ж - cth ж; 2) у = In [th ж].
1004.	1) у = arcsin [th ж]; 2) у = у 1 + sh2 4ж.
1005.	Линия у = — {exla + е~ж'а) = ach — называется цепной.
Zj	(Ji
Написать уравнение нормали к этой линии в точке ж = а. Постро-
Построить кривую и нормаль.
1006.	Написать уравнение касательной к кривой у = sh ж в
точке ж = —2. Построить кривую и касательную к ней.
1007.	Доказать, что проекция ординаты любой точки цепной
линии у = ach— на ее нормаль есть величина постоянная, рав-
а
ная а.
§ 8. Смешанные примеры и задачи
на дифференцирование
Найти производные функций:
^ж2 - 1	1 .	tg2z
1008.	1) у =	Ь arcsin —; 2) у =	\- In cos ж.
ж	ж	2
1009.	у = л/4х - 1 + arcctg ^4ж - 1.
1010.	ж = In (e2f + 1) - 2 arctg (ef).
1011.	у = 4 In (y/x - 4) + V»2 - 4ж.
1012.	s = - tg4i - - tg2t - In (cos t).
4	2
1013.	/(ж) = (ж2 + a2) arctg - - аж; найти f'(a).
Г а2]
1014.	1)у = 1пж	; 2)у = ж (cos In ж + sin In ж).
L x J
ж — 1
1015.	/(ж) = arcsin	; найти /'E).
ж
1016.	<f(u) = e~u'a cos —; показать, что у@) + acp'(O) = 0.

§9. Производные высших порядков	119
1017. /(у) = arctg - - In {/у4 - а4; найти /'Bа).
\	F () 3F' (
1018.	Flz) =	\ ; показать, что F (-) - 3F' (-) = 3.
V ' 1 + sin2^	V4/	V4/
1019.	Показать, что функция s = —	 удовлетворяет диффе-
i In ct
ds	,
ренциальному уравнению t	\- s = —ts.
at
t - e~t2
1020.	Показать, что функция х =	— удовлетворяет диф-
dx	,2
ференциальному уравнению t——\-2х = е .
(JjV
§ 9. Производные высших порядков
Пусть мы нашли для функции у = f(x) ее производную у' = f'(x).
Производная от этой производной называется производной второго по-
d2y
рядка функции f(x) и обозначается у" или fix) или —-. Аналогично
dxz
определяются и обозначаются
d3y
производная третьего порядка у'" = f'"(x) = -j—s>
74
производная четвертого порядка ylv = /IV(x) = ~г^,
и вообще
dny
производная п-го порядка у^п> = f'"'(i) = 	.
dxn
1021.	Найти производную второго порядка функции:
1) у = sin2 ж; 2) у = tg ж; 3) у = л/1 + ж2.
1022.	Найти производную третьего порядка функции:
I) у = cos2 ж; 2) у = —; 3) у = ж sin ж.
1023.	Найти производную третьего порядка функции:
ж
1) у = ж In ж; 2) s = ?е~*; 3) у = arctg —.
f 		f	rl3a
1024.	s = -\/2 — t2 + arcsin ^^; найти
Найти производную га-го порядка функции:
1025.	1) е-х1а; 2) In ж; 3) фс.
1026.	1) хп; 2) sin ж; 3) cos2 ж.

120	Гл.6. Производная и дифференциал
1027.	Последовательным дифференцированием вывести фор-
формулы Лейбница:
(uv)" = u"v + 2u'v' + uv";
(uv)'" = u'"v + 3u"v' + 3u'v" + uv'";
(uv)IV = ulvv + 4u'"v' + 6u"v" + 4u'v'" + uvlv и т. д.
1028.	По формуле Лейбница найти производную второго по-
порядка функции:
1) у = ех cos ж; 2) у = ажж3; 3) у = ж2 sin ж.
1029.	По формуле Лейбница найти производную третьего по-
порядка функции:
1) у = е~ж sin ж; 2) у = ж2 In ж; 3) у = ж cos ж.
1030.	/(ж) = xexla; найти /'"(ж), /<п)(ж), /<п)@).
1031.	/(ж) = A + ж)т; найти /@), /'@), /"@), /'"@), ...
1032. /(ж) =
; показать, что при га
п_11-3-5-...-Bга-3)
2n-\
1033. /(ж) = —-—-; показать, что
О при га = 2т — 1.
Указание. Применить тождество
— х2 2 \1 + ж 1 —
1034. Продифференцировав тождество (ж — 1)(ж2 + ж3 + ...
... + хп) = хп+1 — ж2 три раза по ж и положив затем ж = 1, найти
п	(га + 1)га(га — 1)
сумму ^2 к (к — 1) = 	 и затем сумму квадратов
к=1	3
чисел натурального ряда
п	,
1035. Найти производную второго порядка функции:
1)у = е~х2; 2)у = ^ж; 3) у = arcsin-.

§ 10. Производная неявной функции	121
1036.	Найти производную га-го порядка функции:
l)y = ax; 2) у= 1 + 2ж; 3)y = sm2x.
1037.	/(ж) = arcsin -; найти /B), /'B) и /"B).
ж
1038.	По формуле Лейбница найти производную третьего по-
порядка функции:
1)у = х3ех; 2) у = ж2 sin-; 3) у = xf'(a - х) + 3/(а - ж).
1039.	Показать, что функция у = е^соэж удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению yIV + 4у = 0.
1040.	Показать, что функция у = хе~х1х удовлетворяет уравне-
уравнению х3у" — ху' + у = 0.
1041.	/(ж) = х2е-х1а; показать, что /(п)@) = П^П ~п_2	•
1042.	/(ж) = е~ж ; показать, что
= -2(га - 1)/(п)@), /Bт-!)@) = 0,
/2m@) = (-2)mBm - l)Bm - 3) • ... • 5 • 3 • 1.
1043. /(ж) = жп; показать, что
f"(
f(l) f(D
/(l) + tf1 + ^г + • • •
§ 10. Производная неявной функции
Если уравнение F(x, у) = 0, неразрешенное относительно у, опреде-
определяет у как однозначную функцию х, то у называется неявной функцией
х. Чтобы найти производную у' этой неявной функции, нужно обе части
уравнения F(x, у) = 0 продифференцировать по х, рассматривая у как
функцию от х. Из полученного уравнения найдем искомую производную
у'. Чтобы найти у", нужно уравнение F(x, у) = 0 дважды продиффе-
продифференцировать по ж и т. д.
Найти у' из уравнений:
ж2 и2
1044.	1) ж2 + у2 = а2; 2) у2 = 2рж; 3) -^ - ^ = 1.
аг ог
1045.	1) ж2 + ху + у2 = 6; 2) ж2 + у2 - ху = 0.
1046.	1) ж2/3 + у2/3 = а2/3; 2) еу - е~х + ху = 0.
1047.	еж sin у — е-!/ cos ж = 0.

122	Гл.6. Производная и дифференциал
1048.	ж = у + arcctg у.
1049.	еху - ж2 + у3 = 0; найти — при х = 0.
аж
1050.	Найти у" из уравнений:
1) х2 + у2 = а2; 2) аж + бу-жу = с; 3) жтуп = 1.
ж2 у2
1051.	— И—- = 1; найти у" в точке @; Ь).
а2 о2
1052.	Написать уравнения касательных к кривой ж2 + у2 + 4ж —
— 2у — 3 = 0 в точках пересечения ее с осью Оу.
1053.	Найти точки пересечения нормали гиперболы ж2 —у2 = 9,
проведенной из точки E; 4), с асимптотами.
1054.	Написать уравнение касательной в точке (жо; Уо) к кри-
кривой:
1055.	Написать уравнения касательных к астроиде ж2/3+у2/3 =
= а2'3 в точках пересечения ее с прямой у = ж.
1056.	Под каким углом пересекаются кривые
х2 + у2 = 5 и у2 = 4ж?
1057.	Найти у' из уравнений:
!) ^2 + |г = !' 2) ж3 + у3 - Зажу = 0.
1058.	Найти у" из уравнений:
1)ж2-у2 = а2; 2) (x-aJ+(y-CJ = R2;
3) arctgy = ж + у; 4) ж2 + жу + у2 = а2.
1059.	Написать уравнения касательных к окружности ж2 + у2 +
+ 4ж — 4у + 3 = 0в точках пересечения ее с осью Ох. Построить
окружность и касательные.
1060.	Написать уравнение касательной к эллипсу ж2 + 4у2 = 16
в точке, в которой делится пополам отрезок касательной, отсечен-
отсеченный осями координат, и которая лежит в первой четверти.
1061.	te~sl2 + se"f/2 = 2; найти -^ при t = 0.
at
dx
1062.	tlnx - xlnt = 1: найти — при t = 1.
dt
1063.	ж2 sin у — cos у + cos 2y = 0; найти у' при у = 7г/2.

§11. Дифференциал функции	123
§11. Дифференциал функции
Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, т. е. имеет в
й точке конеч
Ах —т- 0; отсюда
этой точке конечную производную у', то —— = у' + а, где а —у 0 при
Ау = у' Ах + аАх.	A)
Главная часть у1 Ах приращения Ау функции, линейная относи-
относительно Ах, называется дифференциалом функции и обозначается dy:
dy = у'Ах.	B)
Положив в формуле B) у = х, получим dx = х'Ах = 1 • Ах = Ах, и
поэтому
dy = у' dx.	C)
Формула C) верна и в том случае, если х есть функция новой пере-
переменной t.
Из A) следует, что Ау к, dy, т. е. при достаточно малом dx = Ах
приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.
В частности, для линейной функции у = ах + Ъ имеем: Ay = dy.
Найти дифференциалы функций:
1064.	1) у = хп;	2) у = х3-3х2 + 3х.
i		at1
1065.	1) у= VI + ж2;	2)s = y—.
1066.	1) r = 2(p- sin 2ср; 2) х = —.
1067.	1) d(sm21);	2) d(l - cos и).
1068.	1) d (- + arctg -) ; 2) d(a + lna);
\x	a/
3) d (cos — J ;	4) d I arcsin —
1069.	Нахождением дифференциала каждого члена уравнения
найти —— из уравнении:
dx
1) х2 + у2 = а2; 2)ху = а2; 3) х2 - ху - у2 = 0.
1070.	1) у = ж2; найти приближенно изменение у (Ау рй dy),
когда х изменяется от 2 до 2,01; 2) у = у/х; найти приближенно
изменение у, когда х изменяется от 100 до 101.
1071.	1) Сторона куба х = 5м±0,01м. Определить абсолют-
абсолютную и относительную погрешность при вычислении объема куба.

124	Гл.6. Производная и дифференциал
( 2/2\
2) Длина телеграфного провода s = 26 A4	jw I, где 26 —
V ЪЬ )
расстояние между точками подвеса, а / — наибольший прогиб.
На сколько увеличится прогиб /, когда провод от нагревания удли-
удлинится на dsl
1072.	1) С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой
у = х2л/х при ж ^ 1, чтобы при вычислении ее ординаты допу-
допустить погрешность не более 0,1?
2) С какой относительной точностью нужно измерить радиус
шара, чтобы при вычислении объема шара допустить погрешность
не более 1 %?
1073.	Определить приближенно: 1) площадь кругового кольца;
2) объем сферической оболочки. Сравнить с их точными значени-
значениями.
Найти дифференциалы функций:
1074. 1) у =	-; 2) г = cos (a - bip); 3) s = VI - t2.
1075.	1) у = In cos x; 2) z = arctgV^tt _ i; 3) s = e 2t.
1076.	1) d(y/x + l); 2)d(tga-a);	3) d(bt - e~bt).
1077.	1) у = ж3; определить Ay и dy и вычислить их при
изменении ж от 2 до 1,98.
2)	Период колебания маятника Г = 27г^///980с, где / — длина
маятника в сантиметрах. Как нужно изменить длину маятника
/ = 20 см, чтобы период колебания уменьшился на 0,1с?
3)	С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой ху =
= 4 при ж ^ 0,5, чтобы при вычислении ее ординаты допустить
погрешность не более 0,1?
§ 12. Параметрические уравнения кривой
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями х = f(t) и
у = ip(t). Обозначая точками производные по параметру, найдем:
dy_ _ у_ (Ру_ _ d(y/x) _ ух-icy
dx x' dx'1	dx	x3
1078.	Построить кривые по параметрическим уравнениям:
1	t3
l)x=t2, y=^t3; 2)x = t2, y=--t.
Исключив из уравнений t, написать уравнение каждой кривой в
обычном виде: F(x, у) = 0.

§ 12. Параметрические уравнения кривой	125
Привести к виду F(x, у) = 0 (или у = /(ж)) уравнения кри-
кривых, заданных параметрически:
1079. 1) ж = a cost, у = 6sin?;
2) ж = acos3?, у = asin3?.
ef + e"f	ef - e"f
1080. 1) ж =	, у =
2 ' "	2 '
2) ж = tg?, у = cos2t.
1081.	Построить «развертку», или «эвольвенту», круга (см. за-
задачу 368)
х = a(cos ? + ? sin ?), у = a(sin ? — ? cos ?),
давая ? значения: 0, 7г/2, 7Г, 37г/2, 27г.
1082.	Положив у = ж?, получить параметрические уравнения
«декартова листа» ж3+у3 —Зажу = 0 (см. задачу 366) и исследовать
движение точки по кривой при монотонном изменении ?: 1) от О
до +оо; 2) от 0 до —1; 3) от —со до —1.
1083.	Написать уравнение касательной к циклоиде (см. задачу
367) ж = a(t — sin ?), у = a(l — cos?) в точке, где ? = 7г/2. Построить
кривую и касательную.
1084.	Написать уравнение касательной к гипоциклоиде (астро-
(астроиде) ж = acos3?, у = asin3? в точке ? = 7г/4. Построить кривую и
касательную.
Указание. Для построения кривой составить таблицу значений х
и у при t = 0; тг/4; тг/2; Зтг/4 и т. д.
1) ж = a cost, у = asint;
?3
2) ж = ?2, у = у-^;
3) ж = а(? — sin ?), у = аA — cos ?).
1086. Построить кривые, заданные параметрическими уравне-
уравнениями:
1)ж = 2?-1, у=1-4?2; 2) ж = ?3, у = ?2 - 2,
найдя точки пересечения их с осями координат и заметив, что для
dy
второй кривой — = со при ? = 0. Написать уравнения кривых в
ах
виде F(x, у) = 0.

126	Гл.6. Производная и дифференциал
1087.	Написать уравнение касательной к циклоиде
х = a(t — sin ?), у = a(l — cos ?)
в точке ? = 37г/2. Построить кривую и касательную.
1088.	Написать уравнение касательной к развертке круга
х = a(cos t + t sin i), у = a(sin ? — ? cos ?)
в точке ? = 7г/4.
!•». Н.Й. Й „з уравнения:
axz
l)a; = 2cos?, y = sin?; 2) x = t2, у = t + ?3;

Глава 7
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Скорость и ускорение
Пусть точка движется по оси Ох и в момент t имеет координату
х = f(t). Тогда в момент t
Ах dx
скорость v = lim 	 = —,
Д«->-0 At dt
Av dv d2x
ускорение w = lim —— = — = ——.
д«->-о At dt at*
1090.	Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с началь-
начальной скоростью а м/с. На какой высоте х он будет через t се-
секунд? Определить скорость и ускорение движения снаряда. Через
сколько секунд снаряд достигнет наивысшей точки и на каком рас-
расстоянии от земли?
1091.	Тело движется по прямой Ох по закону х =	2t2 + St.
о
Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты
тело меняет направление движения?
1092.	Колебательное движение материальной точки соверша-
совершается по закону х = acosojt. Определить скорость и ускорение
движения в точках х = ±а и х = 0. Показать, что ускорение
d2x
—— и отклонение х связаны «дифференциальным» уравнением
dt2
d2x
1093.	Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом,
за t секунд поворачивается на угол <р = а + bt — ct2, где а, Ь и
с — положительные постоянные. Определить угловую скорость и
ускорение вращения. Когда колесо остановится?
1094.	Колесо радиуса а катится по прямой. Угол <р поворота
t2
колеса за t секунд определяется уравнением (р = t-\—. Определить
скорость и ускорение движения центра колеса.
1095.	Пусть v — скорость и w — ускорение точки, движущейся
по оси Ох. Показать, что w dx = v dv.

128	Гл.7. Приложения производной
1096. Точка движется прямолинейно так, что v2 = 2ах, где v —
скорость, х — пройденный путь и а — постоянная. Определить
ускорение движения.
1097.	Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с началь-
начальной скоростью 20 м/с. На какой высоте х оно будет через t секунд?
Определить скорость и ускорение движения. Через сколько секунд
тело достигнет наивысшей точки и на какой высоте?
1098.	Сосуд в форме полушара радиуса i?CM наполняется водой
с постоянной скоростью ал/с. Определить скорость повышения
уровня на высоте уровня hсм и показать, что она обратно пропор-
пропорциональна площади свободной поверхности жидкости.
Указание. Объем шарового сегмента V = тг/г2 ( R — — ). Обе
dV
части этого равенства нужно продифференцировать по t, причем 	 = а
dt
(по условию).
1099.	Зависимость между количеством х вещества, получае-
получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается
уравнением х = А{1 — е~ ). Определить скорость реакции.
dip	duj
1100.	Пусть угловая скорость -— = и. угловое ускорение -— =
at	at
d(u>2)
= е. Показать, что —-— = 2е.
dip
§ 2. Теоремы о среднем
1°. Теорема Ролл я. Если f(x): 1) непрерывна на отрезке [а, 6],
2) имеет производную внутри него, 3) /(а) = /(&), то между а и & най-
найдется такое х = с, при котором
Г (с) = 0.	A)
2°. Теорема Лагранжа. Если f(x): 1) непрерывна на отрезке
[а, 6], 2) имеет производную внутри него, то между а и & найдется такое
х = с, при котором
f(b)-f(a) = (b-a)f'(c).	B)
3°. Теорема Кош и. Если f(x) и <р(х): 1) непрерывны на отрезке
[а, &], 2) имеют производные внутри него, причем <р'(х) ф 0, то между а
и Ъ найдется такое х = с, при котором
№ - f(a) = fW _	C)
<р(Ь)-<р(а) <р'(с)'

§2. Теоремы о среднем	129
Эти теоремы носят название теорем о среднем потому, что в них
говорится о некотором значении х = с, среднем между а и Ъ.
Геометрически теоремы Ролля и Лагранжа утверждают, что на дуге
АВ непрерывной кривой у = f(x), имеющей в каждой точке определен-
определенную касательную и не имеющей точек возврата, найдется внутренняя
точка, касательная в которой параллельна хорде АВ.
На дугах, содержащих угловые точки или точки возврата, условия
теорем о среднем, очевидно, не выполнены.
Теорему Ролля в частном случае при f(b) = f(a) = 0 формулируют
так: между двумя корнями ашЬ функции f(x) найдется по крайней мере
один корень ее производной f (х), если f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]
и имеет производную внутри него.
1101.	Проверить, что между корнями функции /(ж) = ж2 —4ж +
+ 3 находится корень ее производной. Пояснить графически.
1102.	Применима ли теорема Ролля к функции /(ж) = 1 — л/х2
на отрезке [—1, 1]? Пояснить графически.
1103.	Построить дугу АВ кривой у = | sin ж | на отрезке
[—7г/2, 7г/2]. Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде
АВ? Какое из условий теоремы Ролля здесь не выполнено?
1104.	В какой точке касательная к параболе у = ж2 парал-
параллельна хорде, стягивающей точки А{ — 1; 1) и -6C; 9)? Пояснить
графически.
1105.	Написать формулу Лагранжа для функции /(ж) = ж2 на
отрезке [а, Ь] и найти с. Пояснить графически.
1106.	Написать формулу Лагранжа для функции /(ж) = у/х на
отрезке [1, 4] и найти с.
1107.	Показать, что на отрезке [—1, 2] теорема Лагранжа не-
неприменима к функциям — и 1 — ¦\Ух~2. Пояснить графически.
ж
1108.	Построить АВ кривой у = |созж| на отрезке [0, 2я"/3].
Почему на дуге нет касательной, параллельной хорде АВ? Какое
из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?
ж| < 2,
1109. Пусть /(ж) = {хл При
J J v > у 1 при
Построить график этой
Ж| jj Л.
функции и, взяв на нем точки О@; 0) и -6B; 1), показать, что
между О и -В на этом графике нет точки, касательная в которой
была бы параллельна ОВ. Какие условия теоремы Лагранжа для
этой функции на отрезке [0, 2] выполнены и какие нет?
1110. Поезд прошел расстояние между станциями со средней
скоростью Vq = 40 км/ч. Теорема Лагранжа утверждает, что был
момент движения, в который истинная (а не средняя) скорость
движения — была равна 40 км/ч. Показать это.

130	Гл.7. Приложения производной
1111.	Дано, что /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет про-
производную в каждой точке внутри него. Применив теорему Ролля
к функции
ж /(ж) 1
Ф(ж) = Ь f(b) 1 ,
a f(a) 1
получить теорему Лагранжа. Выяснить геометрическое значение
функции Ф(ж).
1112.	Написать формулу Коши ——	—— = —— для функ-
<р(Ъ) - <р(а) <р'(с)
ций /(ж) = ж3 и <р(х) = ж2 и найти с.
1113.	Геометрически теорема Коши утверждает, что на дуге
кривой ж = ?>(?), у = f(t) для значений t на отрезке а ^ t ^ Ь
найдется внутренняя точка, в которой касательная параллельна
хорде, если функции <p{t) и f(t) на отрезке [а, Ь] удовлетворяют
условиям теоремы Коши. Доказать это.
1114.	Написать формулу Лагранжа в виде /(ж + Аж) — /(ж) =
= Аж/'(ж + в Ах), где 0 < в < 1, для функций: 1) /(ж) = ж2;
2) /(ж) = ж3, и показать, что для первой функции в не зависит от
ж, а для второй зависит от ж и Аж.
1115.	Показать, что л/Ш = 10 Ч	;	и 10, 05.
2^100 + в
1116.	С помощью формулы Коши доказать, что если
то
/(ж)
где 0 < в < 1.
1117.	Написать формулу Лагранжа
f(b)-f(a) = (b-a)f(c)
для функции /(ж) = ж3 и найти с.
1118.	Написать формулу Лагранжа и найти с для функций:
1)	/(ж) = arctgж на отрезке [0, 1];
2)	/(ж) = arcsin ж на отрезке [0, 1];
3)	/(ж) = In ж	на отрезке [1, 2].

§3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя	131
1119. Написать формулу Коши и найти с для функций:
1)	sin ж и cos ж на отрезке [0; 7г/2];
2)	ж2 и д/ж	на отрезке [1, 4].
1120.	Построить график функции у = |ж — 1| на отрезке [0, 3].
Почему здесь нельзя провести касательную, параллельную хорде?
Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?
1121.	В какой точке касательная к кривой у = 4 — ж2 парал-
параллельна хорде, стягивающей точки А{ — 2; 0) и -6A; 3)? Пояснить
графически.
§ 3. Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя
1°. Неопределенность -. Первое правило Лопиталя.
f(x)	f'(x)
Если Km fix) = lim fix) = 0, то lim	= lim —)—!-, когда послед-
x-ya	x-ya	x-ya <p[X) x-ya (p (x)
ний существует.
oo
2°. Неопределенность —. Второе правило Лопиталя.
оо
т? г ti \ у I \	у $(х) у f'(x)
Если lim j(x) = lim <p(x) = схэ, то lim —-—- = lim —-—-, когда послед-
х-ya	х-Уа	х-Уа <р[х) х-Уа <р'(х)
ний существует.
3°. Неопределенности 0- схэ, схэ — схэ, 1°° и 0° сводятся к не-
0 схэ
определенностям - и — путем алгебраических преобразований.
0 схэ
1123. lim
Найти
1122.
1124.
11ОЙ
л. ±^и.
1128.
пределы:
lim
lim
lim
lim
sm3i
ж
ж — a
xn - an'
1 — cos ax
ж - lZlX
ж3 ¦
lim
х-?О S1I1 2ж
1125. lim %^.
х-*1 Щ Ж
1127. lim ^
1129. lim	&
x^-0	X — Sin .
XX	1
1130.1) lim \; 2) lim \. 1131. lim
; )	^
ж	ж-»- —оо Ж	ж->-оо ж
1132. lim —.	1133. lim
г;-^•OctgЖ	ж-^•7r/

132	Гл.7. Приложения производной
1134. lim (я--a;)tg-. 1135. Нтжшж.
хч-тт	2	27-Ю
1136. Нт хп-е~х. 1137. Нт хх.
х-^+оо	ж-Ю
( ъ\х
1138. lim (sina;)tg:E. 1139. Нт 1 + - .
27-Ю	27-Юо у	ж/
1140.	Определить порядок бесконечно малой хех — sin x отно-
относительно х —> 0.
1141.	Доказать, что при х —> 0:
1) х — arctg х рй —; 2) аж — 6Ж рй ж In —;
3	о
3) е2х - 1 - 2ж и 2ж2; 4) 2ж - In A + 2ж) и 2ж2.
ж3
1142.	Доказать, что (при ж —> 0) ж — sin ж ps — и отсюда sin ж рй
ps ж с погрешностью, приближенно равной ж3/6. Вычислить sin 1°
и sin 6° и оценить погрешность.
1	а2
1143.	Доказать, что (при а —> 0) -\/1 + а — 1 — —а рй
2
. вычислить
и отсюда v 1 + а рй 1 + —а с погрешностью
1,006, </0,991, V65, V210 и оценить погрешность.
Найти пределы:
ЬХ	1145. Нт
1144.
1146.
1148.
Hm -
lim
Hm
li m
sin ж
1 — sin
'.a Bax —
1 - 2 sin
; cos Зж
e2x_1
ax
ТгJ'
Ж
ах — Iх
1147. Нт
1149. Нт
х^ит/
1151. Нт
1111	•
-ю tga;
1 — tg ж
COS 2ж
In ж
x-To In A + 2ж)'	----- —^ ^ _ жз •
1152. Hm A - е2ж)^ж. 1153. Hm
Ж-Ю	27-»-1
. Нт (—:	-). 1155. Нт (е2х + х)х1х.
27-Ю у Ж Sin Ж Хг J	27-Ю
1154
ж
1156. Доказать, что при ж —> 0 arcsin ж — ж рй —.
6

§4. Возрастание и убывание функции	133
2
1157. Доказать, что (при a —> 0) л/1 + a — 1 — — к,	и
2	8
.		a	a2
отсюда V1 + a ~ 1 Н— с погрешностью, приближенно равной —.
2	8
Вычислить 07006, 07004, уЩШ, \ЩШ, л/65, л/%Ь и оценить
погрешность.
§ 4. Возрастание и убывание функции.
Максимум и минимум
1°. Определения:
I.	Функция f(x) называется возрастающей в точке хо, если в не-
некоторой е-окрестности этой точки
f(x0 - К) < f(x0) < f(x0 + h)
при любом положительном h < е.
II.	Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [а, 6], если
для любых х\ и Х2 на этом отрезке f{x\) < /(^2), когда х\ < «2-
Аналогично определяется убывание функции в точке и на отрезке.
III.	Функция f(x) называется имеющей экстремум (максимум или
минимум) в точке xq, если /(жо) является наибольшим или наименьшим
значением функции в некоторой двусторонней окрестности этой точки.
2°. Достаточные признаки возрастания и убывания
функции у = f(x) (в точке и на отрезке):
если у' > 0, то функция возрастает;
если у' < 0, то функция убывает.
3°. Необходимое условие экстремума. Функция у = f(x)
может иметь экстремум только в точках, где у' = 0 или не существует.
Такие точки называются критическими. В них касательная или гори-
горизонтальна (у' = 0), или вертикальна (в точке возврата), или нет опре-
определенной касательной (например, в угловой точке). В двух последних
случаях у' не существует.
4°. Достаточные условия э кс трем у ма. Если функция/(ж)
непрерывна в точке хо и имеет в некоторой окрестности хо, кроме, быть
может, точки xq, конечную производную и если при переходе х через xq:
у' меняет знак с + на —, то f(xo) = j/max,
у' меняет знак с — на +, то /(жо) = J/mim
у' не меняет знака, то экстремума нет.
Третий случай имеет место в обыкновенной точке (при у' > 0 или
у' < 0), а также в точке перегиба и в угловой точке.
Итак, чтобы найти экстремум функции, нужно:
1)	Найти у' и критические точки, в которых у' = 0 или не суще-
существует.
2)	Определить знак у' слева и справа от каждой критической точки,
составив таблицу, например, вида

134
Гл.7. Приложения производной
X
Jb 7
У
О
не суще-
существует
О
Дал!
эе можно найт:
юстроез
J/min и построить
кривую! На pi
У
с. 28
а е
, убывает
убываем
об i
ссле-
экстремума (второй ch&o
дования).
Если в некоторой точке х =1 жц:
перегиб
1) г/' = 0, а г/" < 0, то f(x0) =
= 0, а г/" > 0, то /(го) =
у" = 0, то вопрос
ным и нужно обра-
иться к! первом^ способу исследова-
исследования. I	^
чИсследова№возрастание и|убывание функций:
О 1158. 1) ^ ж2; 2) у = $2 3) уЩ-; Щц =&х.
1159. 1) y = tgx-1 2)у = ех; 3) у = Ах - х2.
Найти экстремум функции и построить ее график1):
1160. у = х1
1161. у = 4ж	.
У	3
1162. у =	ж2-3ж. 1163. у=1 + 2ж2	.
3	4
1164. у =	ж-\
1166. у = л/х2 - 1.
ж2-6ж + 13
1165. у =
1167. у =
х 2
2 + ж'
1
2'
1168. у =
1170. у = 1 -
-3
1169. у = ж2A -ж).
-4J. 1171. у = е-*.
]) В задачах 1165, 1168, 1173 и некоторых других для построения кривой
нужно найти ее асимптоты (см. гл. 5, §9).

§ 4. Возрастание и убывание функции
135
1172. у = ж + cos 2ж в интервале @, 7г)
' 7Г 7П
1173. ж = 4ж — tga; в интервале (	, —
iii—,
1 +In
= ж — arctg2ж.
1177.1) у
1178. у = sin4 ж + cos
1180. у
ж + 2'
ж2 1
ж5
1184. у =	ж4 + ж;
1181. у
ж
1183. у = ж2/3+ (ж -2J/3.
1185. у = ж3(ж + 2J.
1187. у =-^—.
х2 - 3
= ж + In (cosж).
1186. у = 2
\ж ж2У
1188. у = 2tgж - tg2ж. 1189. у
1190.	1) у = In л/1 + ж2 - arctg ж; 2) у
1191.	у = ж2е-ж.
1192.	у = 3{/(х + IJ- 2ж.
с|(ж + 2).
Найти экстремум функции и построить ее график:
1193. у = 4ж -
1194. у = ж2 + 2ж - 3.
ж
1195. у =
О
1196. у = ж3 + 6ж2 + 9ж.
1197. у =
ж-2
™4
1198. у = ж3Н	.
4
1199. у =	2ж2. 1200. у = 2ж - 3
4
1201. у
~ '
. 1202. у = хе~х212.
1203. у = ж -2 In ж. 1204. у = ж2/3(ж-5).

136	Гл.7. Приложения производной
1205.	у = sin 2ж — ж в интервале ( —7г/2, 7г/2).
1206.	у = 2ж + ctga; в интервале @, 7г).
1207.	у = ж + arcctg2s.
1208.	у = 1 + {/(ж - IJ.
1209.	у = 2 sin ж + cos 2ж в интервале @, 7г).
1210.	у = Зж4- 8ж3 + 6ж2. 1211.?/=—.
ж
3- ж2	1
1212. у = 	. 1213. у = ж+-.
ж + 2	ж
1214. 1) у = ае~х cos ж (при ж > 0); 2) у = Зж5 — 5ж3.
D-жK
1215. у = -Ц	V 1216. у =
1217. у =
1219. у =
1221.1) у =
9B
2ж2
ж
1 +
1-
_ (
-
-
4
Ж
Ж
ж
ж
1
+
+
+
)¦
ж2
ж2'
ЗK
-f- L)
1218.
1220.
2)У =
У =
У =
= л/1
A
ж-
—
ж^ + 8
-Ж2)A-Ж3
COS Ж.
§ 5. Задачи о наибольших и наименьших
значениях величин
1222.	Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую к
дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить
размеры прямоугольной площадки.
1223.	Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произ-
произведение их было наибольшим.
1224.	В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямо-
прямоугольник наибольшей площади. Определить площадь прямоуголь-
прямоугольника.
1225.	Из квадратного листа картона со стороной а вырезаются
по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается
прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого
квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
1226.	Определить размеры открытого бассейна с квадратным
дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло
наименьшее количество материала.
1227.	Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны
10 см. Определить ее большее основание так, чтобы площадь тра-
трапеции была наибольшей.

§5. Задачи о наибольших и наименьших значениях величин 137
1228.	В полукруг вписана трапеция, основание которой есть
диаметр полукруга. Определить угол трапеции при основании так,
чтобы площадь трапеции была наибольшей.
1229.	Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завер-
завершенного полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе
полукруга площадь сечения будет наибольшей?
1230.	Вблизи завода А проводится по намеченной прямой к
городу В железная дорога. Под каким углом а к проектируемой
железной дороге нужно провести шоссе с завода А, чтобы доставка
грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость 1 тонно-
километра при перевозке по шоссе в т раз дороже, чем по желез-
железной дороге?
1231.	Два источника света расположены в 30 м друг от друга.
На прямой, соединяющей их, найти наименее освещенную точку,
если силы света источников относятся, как 27 : 8.
1232.	Два самолета летят в одной плоскости и прямолинейно
под углом 120° с одинаковой скоростью v км/ч. В некоторый мо-
момент один самолет прилетел в точку пересечения линий движения,
а второй не долетел до нее на а км. Через какое время расстояние
между самолетами будет наименьшим и чему равно это расстоя-
расстояние?
1233.	Балка прямоугольного сечения со свободно опертыми кон-
концами равномерно нагружена по всей длине. Стрела ее прогиба
обратно пропорциональна моменту инерции сечения балки / =
ж у3
= 	, где хну — размеры балки. Определить размеры балки
при наименьшей стреле прогиба, если балка вырезана из круглого
бревна с диаметром D.
1234.	Во сколько раз объем шара больше объема наибольшего
цилиндра, вписанного в этот шар?
1235.	Два коридора шириной 2,4м и 1,6 м пересекаются под
прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, кото-
которую можно перенести (горизонтально) из одного коридора в дру-
другой.
1236.	В конус с радиусом 4 дм и высотой 6 дм вписан цилиндр
наибольшего объема. Найти этот объем.
1237.	В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей
площади. Определить его размеры.
1238.	На параболе у = х2 найти точку, наименее удаленную от
прямой у = 2х — 4.
1239.	Картина повешена на стене. Нижний ее конец на 6см, а
верхний на а см выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии
от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину
под наибольшим углом?

138
Гл.7. Приложения производной
1240.	Общая длина стен изображенного на плане дома (рис. 29)
должна быть равна 90 м. При какой ширине х коридора площадь
трех остальных комнат будет наибольшей?
1241.	В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом
60° вписан прямоугольник, основание которого расположено на ги-
гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы
его площадь была наибольшей?
1242.	Даны точки А@; 3) и -6D; 5). На оси Ох найти точку
М так, чтобы расстояние S = AM + MB было наименьшим.
1243.	Сопротивление балки продольному сжатию пропорцио-
пропорционально площади поперечного сечения. Определить размеры балки,
вырезанной из круглого бревна диаметром D, так, чтобы сопроти-
сопротивление ее сжатию было наибольшим.
1244.	Из круга вырезается сектор, содержащий угол а, а затем
сектор свертывается в конус. При каком значении угла а объем
конуса будет наибольшим?
1245.	Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости,
нужно сдвинуть приложенной к нему силой F (рис. 30). Под каким
углом а -шгт
наимешйшэй
й.
Рис. 29
хижлтту нгужтти
Коэффициент трения
§6. Направление в?|Йуклости и
Пост
роений"
Рис.
ить силу F,
ц = 0,25.
net
гавых
30
чтобы она была
гиба кривой.
1°. Выпуклость. Кривая называется выпуклой «вверх» («вниз») в
точке х = xq, если в некоторой окрестности этой точки (слева и справа)
кривая расположена «ниже» («выше») касательной в этой точке. Если в
точке х = хо:
1)	у" > 0, то кривая выпукла «вниз»;
2)	у" < 0, то кривая выпукла «вверх».
2°. Точкой перегиба называется точка, в которой кривая пере-
переходит с одной стороны касательной на другую (и, следовательно, меняет
направление выпуклости). Необходимым условием точки перегиба явля-
является то, что в ней у" = 0 или не существует, а достаточным — то, что
у" при этом меняет знак.
R
7777777777777/
7/777777,
wi

§6. Направление выпуклости и точки перегиба кривой	139
3°.Для построения кривой рекомендуется определить: ^сим-
^симметрию; 2) область расположения; 3) точки пересечения с осями Ох и
Оу; 4) точки разрыва функции у = (р(х) или х = f(y) и асимптоты;
5) возрастание или убывание у или х и экстремальные точки; 6) напра-
направление выпуклости и точки перегиба.
1246.	Исследовать направление выпуклости и построить кри-
кривые:
1) у = х2' 2) у = ж3; 3) у = ех'
4) у = In ж; 5) у = ж5/3.
1247.	Определить экстремальные точки и точки перегиба кри-
кривых и построить кривые:
Применяя некоторые из правил п. 3°, построить кривые, за-
заданные в задачах 1248-1262 уравнениями:
1248.	у2 = 2ж + 9.	1249. у = -ж2 - 4ж.
Указание. В задаче 1248 определить симметрию, область располо-
расположения и точки пересечения с осями, а в задаче 1249 — точку экстремума
и точки пересечения с Ох.
1250. у = sin ж, у = cos ж. 1251. y = shx, y = chx.
Указание. В задачах 1250, 1251 определить точки экстремума и
перегиба.
1252. у = In (ж + 2).	1253. у = е~х.
Указание. В задачах 1252, 1253 определить область расположения
точки пересечения с осями, асимптоту и направление выпуклости.
1254. 1) у2 = ж3;	2) у2 = (ж + ЗK.
1255. 1)
1256. 1)
1257. 1)
1258. 1)
1259. 1)
У = 2
е
У =
у = х
у = х
У =
ж
+
In
ж
+
-
ж
3 .
12
ж2-
ж
4
ж +
In ж;
4
- 1 '
4'
2'
2)
2)
2)
2)
2)
У
У
У
У
У
3 1
ж ж3
= еже~ж.
1 2
~~ т4 т2'
	 _/ „xj'a _i_
4 1
1
X X4
1260.	1) у2 = 2ж2 - ж4; 2)ж(у-жJ = 4.
1261.	у = (ж + 2J/3 - (ж - 2J/3.
1262.	у2 = хе~х.

Глава 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование
разложением
1°.Неопределенным интегралом J f(x) dx называется функ-
функция F(x) + С, содержащая произвольное постоянное С, дифференциал
которой равен подынтегральному выражению f(x) dx, т. е.
f(x) dx = F{x) + С,
J
если
d[F(x) + C] = f(x)dx.
2°. Таблица основных интегралов:
f	x"+1	f
1.	I xn dx =	\- С 6. / sin x dx = — cos x + С.
J	n + 1	J
(пф-l).
2.	/^=1
x
J OS^ X
/n	f dr
axdx=^ + C.	8. ^^ =
in a	J sin x
f	f dx farctgx + C
4.	/ ex dx = ex + С	9. /	 = <^ или
/	/ 1 + xz \ , . r,
¦'	I -arcctga; + C\.
..	.. . ( arcsin x + С
5.	/ cos x dx = sin x + C.	10. / = < или
J	J VI - x у _ arccos x _|_ (
3°. Свойства неопределенного интеграла:
f	f
I. d I udx = и dx.	II. / du = и + С.
f	f	f	f	f
III. / Audx = A / udx. IV. (u + v) dx = udx + v dx.
J	J	J	J	J

§ 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением 141
Интегрирование разложением есть приведение данного интеграла
(по свойству IV) к сумме более простых интегралов.
1263. В следующих равенствах заполнить пропущенные места:
1) d( ) = 2ж dx; 2) d( ) = ж3 dx;
dx
3) d( ) = cos ж dx; 4) d( ) = —;
5)d() = -^-; 6) d( ) = -^-,.
COS Ж	1 + Xz
f	f
Найти затем интегралы / 2xdx, / ж dx и т. д.
Найти интегралы:
1264.1) / ж2 + 2ж + -йж;	2) /
1265.1) ^-dx;	2)	3 da
J х	J x
f r-	r-	/"/11.
1266.1) {^c + ^)dx;	2) [—=--—] dx.
1268.1) I ex (l-e—^\ dx;	2) f ax (l+^) dx.
1269.1) —S^—dx;	2) ctg2xdx.
J cos2 ж sin ж	7
. f dx	. f 3 -
1270.1) /^-2	—;	2) /
j sin ж cosz ж	j
cosz ж
1271.1) fsm2-dx;	2) fcos2-dx.

142	Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы:
127J. 1) Г <^i? <fa;	2)
'хг XVх
1274.1) lX-^rdx-	2)
1275-'> / (i + P + i) ^ 2)
. 1 — sin ж
1277. / —г^	dx. 1278.
sin ж
§ 2. Интегрирование подстановкой и непосредственное
Положив х = if {u), dx = if'{u) du, получим
f(x)dx= f f[f(u)]f'(u)du.	A)
Такое преобразование интеграла называется интегрированием под-
подстановкой.
В простых случаях введение новой переменной и рекомендуется вы-
выполнять в уме, применяя следующие преобразования дифференциала dx:
dx = — d(ax + 6); 2х dx = d(x );
(It
cos x dx = rf(sina;); — = d(lni) ит. п.,
и обозначая мысленно выражение в скобках через и. Такой прием инте-
интегрирования называют непосредственным.
Найти интегралы:
1279. / cos3xdx.	1280. / sin - dx.
Указание. Задачу 1279 можно решить двумя способами: 1) по-
положив Зх = и, х = и/3, dx = du/3; 2) приведя интеграл к виду
- / cos Зх dCx).

§2. Интегрирование подстановкой и непосредственное
143
1281.
1283.
3~3xdx.
1282.
dx
1285. fC-2xLdx.
1287.
1289.
cos2 5ж
dx. 1284. / \/4x - ldx.
1286.
f
1288. / sin (a - bx)dx.
1290.
ж
xA
Указание. Задачи 1289-1298 решаются по формуле
u' dx f du
— = In и + С,
т. е. если числитель подынтегральной дроби есть производная от
знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя.
1291.
dx
1- Юж
1292.
e2xdx
1293. / ctgxdx.
1295.
1294. / tgxdx.
1297.
sin ж cos ж
cos ж
¦cto. 1296.
sin ж йж
1 + 3 cos ж
cto. 1298.
+ 2 sin ж
r
1299. / sin xcosxdx. 1300. / cos xsrnxdx.
Указание. Задачу 1299 можно решить подстановкой sin ж = и или
непосредственно, заменив cos x dx через d(smx).
1301.
cos ж dx
sin4 ж
1302.
sin ж dx
cos3 ж
, 1 - 2 cos ж	/"
1303. / 	r^	йж. 1304. / sin ж cos ж tb.
sin ж	/

144
Гл.8. Неопределенный интеграл
1305. / ecosxsmxdx. 1306. / ех x2dx.
Указание. Задачу 1306 можно решить подстановкой х3 = и или
непосредственно, заменив ж2 dx через — d(x3).
о
1307. / е~х xdx.
1308.
1309.
lxdx. 1310.
r3 _ cT2 л™
b	OX fJjtb .
Указание. Задачу 1309 можно решить подстановкой ж2 + 1 = и
или непосредственно, записав интеграл в виде — /(ж2 + II'2 й(ж2 + 1).
1311.
1313.
х2 dx
sin x dx
1312.
1314.
x dx
l\ + In x dx
J л/l + 2 cos x '
r	r
1315. / Vl+ 4 sin ж cos ж da;. 1316. / \/1-6ж5ж4йж.
Найти интегралы:
г	г
1317. / (ex + e~xJdx. 1318. / sin3 ж cos ж dx.
1319.
1321.
1323.
1325.
1327.
dx
f
1320. / cos (a - bx)dx.
•J
3xdx. 1322.
ж dx
л/1 + х2'
1 + sin 2ж
sin2 ж
ж2 dx
1-х3'
1324.
dx. 1326.
1328.
1 — 2 sin ж
dx.
(a — bxK

% 3. Интегралы специального вида
145
§ 3. Интегралы вида
2± 2' V 2- 2'
и к ним приводящиеся
1329. Показать, что:
1)
2)
3)
dx	1	х
= - arctg —\-С, положив х = atgt;
a
a2 + ж2 а
а'ж	. ж
-^=^= = arcsin —\-С, положив ж = а sin i;
/а2 - ж2	а
1 ,
= — In
ж
2 - а2 2а
ж — а
ж + а
1
1 а + ж + а —
ж2 — а2 2а ж2 — а2
dx
С, разложив
1/1
1
2a V ж — a ж + a
4) / —^=^= = In |ж + ух2 + к\ + С, положив \/ж2 +
с2 + к
= i —ж.
1330.	1)
1331.	1)
1332.	1)
1333.	1)
1334.	1)
1335.	1)
1336.	1)
1337.	1)
dx
ж2 -25'
dx
dx
x2 -4'
/6 - ж4
5ж-2 ,
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
а'ж; 2)
ж2+ 9
dx
Vx2 +
dx
ж2 + 3
ж2 а'ж
4 +ж6
dx
Ь2х2-
х3 dx
Vxs-
Зж-4
ж2-4
5
а2'
1
а'ж.

146
Гл.8. Неопределенный интеграл
1338.
ж2 dx
1339.
х4 dx
Указание. В задачах 1338, 1339 нужно из подынтегральной
неправильной дроби исключить целое выражение.
1340.
dx
1341.
dx
ж2 + 6ж + 13'
Указание. В задачах 1340-1347 нужно из квадратного трехчлена
выделить полный квадрат.
1342.
1344.
1346.
1343.
1345.
. 1347.
dx
J л/1 - 2ж - ж2
6?Ж
ж2 + 3ж + 3'
dx
J л/3ж2-2ж- Г
Найти интегралы:
1348.
1349.
+
6
ж2 + 3 ж2-3
1	1
dx.
f^lc2 V2 + ,
Ах- 5
1350.
1352.
1354.
1356.
1358.
/ ж2
[X*
1 ж2
[
1 ж4
г
1 ж2
/¦.
	dx.
+ 5
6?Ж
+ 2'
ж йж
+ 0,25'
6?Ж
-2ж + 5'
ж йж
1351.
1353.
1355.
1357.
1359.
Ж2 + Ж + 1'
dx.
х2 dx
ж2-2'
ежйж
л/1-е2а;'
6?Ж
ж2 + 4ж + 29'
6?Ж
л/5-4ж-ж2'
6?Ж
л/4ж2 + 4ж + 3

§4. Интегрирование по частям
147
§ 4. Интегрирование по частям
Из формулы дифференциала произведения d(uv) = u dv + v du полу-
получается формула интегрирования по частям
! dv = uv —
du.
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом
имеется произведение алгебраической и трансцендентной функций, на-
например J х2ех dx или J х2 In x dx. При этом за и принимается функция,
которая дифференцированием упрощается, а за dv — та часть подын-
подынтегрального выражения, содержащая dx, интеграл от которой известен
или может быть найден.
Из трансцендентных функций за и обычно принимаются In x, arctg x
и arcsin х.
Например, в интеграле j x2lnx dx за и нужно принять In x (а не х2),
а в интеграле J x2ex dx за и нужно принять х2 (а не ех).
Найти интегралы:
Г
1360. \nxdx.
Г
1361. x\n(x-l)dx.
1363. / xarctgxdx.
xe2xdx.
г
2cosxdx. 1365. / exsinxdx.
1366. Показать, что
Найти интегралы:
/
(\nxJdx.
/In x dx
1368.
1370.
7
sinz x
arcsin x dx
1371. / arcsin x dx. 1372. / x3e~x dx.
/r
In(x2 + l)dx. 1374. /cos(lna;

148	Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы:
/г
^/xlnxdx.	1376. / x2e~x/2dx.
г	Г х dx
1377. / arctgzcto.	1378. / 	—.
J	J cos2 ж
/f arcsin (x /2)
excosxdx.	1380. / 	, v ' ' dx.
J V2^^
f x cos x dx	f	,
1381. / 	5	.	1382. / arctgV2a: - Idx.
J sin13 ж	J
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы от квадратов и других четных степеней си-
синуса и косинуса находят, применяя следующие формулы пониже-
понижения степени:
. ,	1 — cos 2х	,	1 + cos 2х .	sin 2x
sin х = 	; cos x = 	; sin x cos x = 	.
2	2	2
2°. Интегралы от кубов и других нечетных степеней синуса
и косинуса находят, отделяя от нечетной степени один множитель и
полагая кофункцию равной новой переменной и.
Интеграл J cos™ x sin" x dx находится по правилу 1°, если тип оба
четные, и по правилу 2°, если m или п нечетно.
Найти интегралы:
1383. sin23xdx.	1384. / A + 2 cos жJ dx.
•J	J
Г	(
1385. (l-sm2xJdx. 1386. cos4xdx.
•J	J
/r
sin2 ж cos2 ж dx. 1388. / sin4 ж cos4 ж dx.
1389. / sin2 ж cos4 ж tb. 1390. sm5xdx.
f	f
1391. / зш2жсо83жбгж. 1392. / sin3 ж cos3
1393. cos7xdx.	1394. I {1+ 2cosxf dx.
•J	J
cos3 ж йж	/" sin3 ж йж
1395. / 	s	.	1396.
Sin2 Ж	./ COS2 ;

§5. Интегрирование тригонометрических функций	149
/dx f sin2 ж + cos2 x
	 = / 	г—	dx = ?
sin 2x J 2 sin x cos ж
2) ' **
J sin ж	J cos ж
. cos ж + sin ж	f	dx
1399. / 	—	«to. 1400.
sin 2ж	J sin ж — cos ж
1401. / tg3zcto.	1402. / ctg3жrfж.
Указание. В задаче 1401 положить tgx =t, х = arctgt.
Г	Г
1403. / sin Зж cos ж dx. 1404. / cos mx cos nx dx.
Указание. В задачах 1403-1406 применить формулы
sin a cos j3 = к [sin (a + /3) + sin (a — j3)\,
cos a cos /3 = T [cos (a + /3) + cos (a — /3)],
sin a sin /3 = -~ [cos (a — /3) — cos (a + /3)].
1405.1) / sin Зжэш 5ж dx;	2) / sin ии sin nx dx.
1406.	/ sin Eж - - ) cos (ж + - ) йж.
J V	4/ V 4/
1407.	Интегрируя по частям, вывести формулы «понижения
степени»:
/1 Л Г
sinn х dx =	cos ж sin™ ж -\	/ sinn~2 ж dx;
п п J
/1 Л Г
cosn х dx = — sin ж cos™ ж Н	/ cos
п п J
cosn 2xdx
и по этим формулам найти: 1) / sin ж da;; 2) / cos xdx.
f dx	f dx
1408. Найти интегралы: 1) / -г-^—, 2)
sin ж	j cos° ж
Указание. Применить формулы задачи 1407 к интегралам
sin ж
dx
и

150	Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы:
/г
A + Зсо8 2жJ^ж. 1410. sm4xdx.
г
1411. / sin4 ж cos2 x dx.	1412. / cos^xdx.
/r
sin3 ж cos2 ж (к.	1414. (l + 2smxfdx.
f (sin ж — cos жJ	f
1415. / -	:	—dx.	1416. / sin Зж sin ж da;.
sin 2ж	J
, sin3 ж + 1	f / 7Г\
1417. /	tb.	1418. /sin i+- cosidi.
^ ж	/ V 6 /
§ 6. Интегрирование рациональных
алгебраических функций
1°. Если подынтегральная дробь неправильная, то нужно исключить
из нее целое выражение.
2°. Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида
(х — а)а и (ж2 + рх + q)P, а правильная дробь разлагается на сумму
элементарных дробей следующим образом:
Р(х)	А, А2 , Аа ,
(х — а)а(х2 + рх + q)!3 . . . х — а (х — аJ	(х — а)
Мгх + Ni	М2х + N2	p + p
х2 + рх + q (x2 + рх + qJ	(х2 + рх + q)!3
где Р(х) — полином степени ниже степени знаменателя.
Найти интегралы:
/3	г	4	/*	5
-^-dx; 2) -?—dx;	3) ^-
ж — 2 J xz + az	J x6 —
1420. [-	tzA	 dx. 1421. / O2X + 7 dx.
J (ж_2)(ж-3)	J ж2 + ж-2
1422. I3x2+32x~3dx. 1423. f^-dx.
1424. l4^1_2dx. 1425.

§ 6. Интегрирование рациональных алгебраических функций 151
f 5ж + 2	Г 4ж-2,4
1428. / —	dx.	1429. / —	dx.
У ж2 + 2ж + 10	J ж2-0,2ж + 0,17
Указание. В задаче 1428 выделить в знаменателе полный квадрат
и затем положить х + 1 = t.
2ж2 + ж + 4	Г 7ж - 15
^	1431 У ^
1432. /^.	1433.
38
ж3 + 8'	У (ж + 1J(;
dx
62J'
2)
Указание. Положить ж = btgt и затем (во втором примере) ис-
использовать формулу 2) задачи 1407.
(ж2 + 2ж + 5J'	' У (ж2-6ж + 10K'
1436. /	Д—^——.	1437. /—-1*4"
Найти интегралы, не применяя общего метода неопределенных
коэффициентов:
1438. / , " , .	1439.
ж(ж + а)	У (ж + а) (ж + Ъ)
Указание к задачам 1438-1442. В числителе подынтегральной
дроби написать разность множителей знаменателя, разделив интеграл
на соответствующее число.
Г dx	i44i> f	dx
1440.
1442.
/ж2
[
/ ж4
—
dx
_
2х
ж2'
1443.
(ж2-3)(ж2 + 2)'
dx
жз _i_ 4Ж'

152	Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы:
2ж-1	,		 Г Зж + 2
1446' / з 57\\jX.	1447. /
ж3 - ж2 - 4ж + 4	J (ж
5ж — 8	Г ж + 2
1448. / —		da;.	1449. /
3 42 4
da;. 1449. / о 2 , о ^.
ж3 - 4ж2 + 4ж	J х3 - 2ж2 + 2ж
. ж — а
1450. / —	^йж. 1451.
f dx	f	x dx
1452. / —	.	1453.
У ж3-8
В задачах 1454-1457 выполнить интегрирование, не прибегая
к методу неопределенных коэффициентов:
/dx	Г d"r
—	.	1455.
dx f dx
1456. / —	-.	1457. / —
§ 7. Интегрирование некоторых иррациональных
алгебраических функций
1°.Интеграл / R [х, у ах + & j dx, где R(x, у) — рациональная
функция, находится подстановкой ах + Ъ = tn, а интеграл более общего
вида / R (xm, л/ахт + b) xm~l dx — подстановкой ахт + b = tn.
2°. Интеграл / 		dx находится подстановкой
J (х — а)\/ах2 + Ъх + с
1
х — а = —.
t
3°. Тригонометрические подстановки. К рациональному
тригонометрическому виду приводятся интегралы
R ух, у а2 — х2) dx — подстановкой х = asmt,
I R [х, у а2 + х2 j dx — подстановкой х = atgt.

§ 7. Интегрирование иррациональных алгебраических функций 153
4°. Из интеграла
aox
л/ax2 + Ъх + с
лить алгебраическую часть по формуле
¦ dx можно выде-
I аох™+^.. + ат ^ = ^^^ + + Ат_^)цг + ^ j dx^
где W = \/ах2 + Ъх + с. Коэффициенты А находятся после дифферен-
дифференцирования равенства и освобождения его от знаменателя сравнением ко-
коэффициентов слева и справа при одинаковых степенях х.
5°. Интеграл от дифференциального бинома
Г
/ хт(а + Ьх")р dx берется в конечном виде в трех случаях: 1) когда
„.	т+1
р — целое число, разложением; 2) когда	целое число, подста-
п
новкой а + Ъхп = ts; 3) когда	\- р — целое число, подстановкой
ах~п + Ь = ts, где s — знаменатель дроби р.
Используя подстановки п. 1°, найти интегралы:
1462.
1463.
Используя подстановку п. 2°, найти интегралы:
dx	f	dx
1465.
1467.
2ж
dx
,	1467. .
х\/2ах - х2	J (x + 1)Vx2 + 2х + 2
Найти интегралы, используя подстановки п. 3°:
dx
1469.
1471.
ж - x2dx. 1473.
х2 dx
х2 dx

154
Гл.8. Неопределенный интеграл
Найти интегралы, применяя правило п. 4°:
1474.
1476.
ж2 + 4ж
2х + 2
¦.dx. 1475.
х dx
3 - 2ж - ж
2
1477.
Найти интегралы от дифференциальных биномов:
dx		 f dx
1478.
1480.
Найти интегралы:
ж - 1 .
1482.
1484.
1486.
1488.
1490.
1492.
х dx
+ 1
>г _ о
Ж I
: 6?Ж.
ж^ж2 + 2ж
ж2 dx
1479. i
•J
1481. i
1483.
1485.
1487.
. 1489.
1491.
1493.
(а-6ж2K/2'
/Зж + 1 - 1
ж
/a — х
х3 dx
1 - 1
2 + л/А - х2
dx
(х-_
¦ dx.
2-ж
Указание. В задаче 1493 положить ж = 2sin2t.
1494.
1496.
1498.
dx
J жVl + х2
dx
жл/l — ж3
1495.
1497.
1499.
+ 4ж -ж2
dx
dx
J хл/3х2-2х- 1

§8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций 155
§ 8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций
К рациональному алгебраическому виду приводятся интегралы:
/R(ex) dx — подстановкой ех =t, х = hit, dx = —;
j R(tgx) dx — подстановкой tgx = t, x = arctgt, dx =	-;
f ,	x	2t
/ Л (sin x, cos x) dx — подстановкой tg — =t, sin x =	-, cos x =
1 - t2 , 2 dt
= -,	nr, dx =	—.
Найти интегралы:
O2x
1500. /%	—dx. 1501. tg4xdx.
J e2x + 1	J
f e3x dx	f dx
1502. / 	.	1503.
ex + 2	J sin x
1504. / dX . 1505. f	dX
5 + 3 cos x	J 3 sin x + 4 cos ж
, dx	f dx
1506. / —-r-.	1507.
sin4 ж	J 1 + 3 cos2 ж
Указание. В задачах 1506, 1507, 1512, 1513, где под интегралом
sin ж и cos ж содержатся только в четной степени, лучше применять под-
подстановки
tgx = t, sm2x= ——-г, cos2x= ——-г, dx=——-r.
Найти интегралы:
/e2x
/e2x gx	i-
—	-.	1509. / tg5xdx.
f e3x dx	f dx
1510. / —	.	1511. /
Zx 1
.	1511. /	.
Zx — 1	J 3 + cos x
1511. /-^-.	1513. /	2 .
4	J 1 + 3 sin x

156
Гл.8. Неопределенный интеграл
1514.
1516.
dx
2 sin ж + sin 2ж
ex + 1 ,
	dx.
, 1 + COS X
1515. / 	^	dx.
1517.
sin x
sm/ж
§ 9. Интегрирование гиперболических функций.
Гиперболические подстановки
1. / ch ж dx = sh ж + С. 2. / sh ж йж = ch ж + С.
йж
dx
3. / —-s— = tax
4.
= - cth ж + С.
Интегралы от квадратов и других четных степеней ch ж и sh ж находятся
применением формул:
, , ch 2ж + 1 2 ch 2ж — 1 sh 2ж
sh ж = 	, вЬжсЬж= 	.
Интегралы от нечетных степеней sh ж и ch ж находятся тем же спо-
способом, что и интегралы от нечетных степеней sin ж и cos ж.
Гиперболические подстановки иногда применяются при нахождении
интегралов вида
R ( ж, уж2 — а2 ) dx — подстановкой ж = a cht;
R (ж, ух2 + a2) dx — подстановкой ж = a sht.
При этом: если ж = a cht, то t = In
если ж = a sh t, то t = In
Найти интегралы:
ж + \/х2 + а1
1518.1) /вЬ2Зжйж; 2) f A + sh2xJ dx.
1519. ch3xdx.	1520. thxdx.
1521.
ch ж + 1'
1522.
йж
Шж- Г

§ 10. Смешанные примеры на интегрирование
157
1523.
1525.
dx
1526.
dx
Найти интегралы:
1527. sh33xdx.	1528. / sh2 x ch2 x dx.
1533.
dx.
§ 10. Смешанные примеры на интегрирование
Найти интегралы:
arctg х dx
1535.
1537.
1539.
л/1 + х dx
х
dx
х3 + ax2
dx
1536.
1538.
1540.
y.2 ¦
dx
1 + sin x
/x(l-x)
1541. / x cos2 x dx. 1542.
dx
sin2 x/a2 + cos2 ж
'1-х
1543. / д/	dx. 1544.
;x +
sin4 x
1545. fxtg2xdx.	1546. Л
1547.
1549.
b2 + cos2 x
ax-b
1548.
с/ж. 1550.
sin»
с/ж
dx
2'

158
Гл.8. Неопределенный интеграл
1551.
1553.
1555.
1557.
dx
(sin ж + cos ж
ж2 dx
2
1552.
dx
1554. I \/l-2x- x2dx.
arctg ж йж
1581.
1580.
1582.
ж4-ж2-2'
arctg ^fx dx
л/х
In (ж2 + 1) dx
V3
1 — sin -

§ 10. Смешанные примеры на интегрирование
159
1583.
1585.
1587.
1589.
hx + if
V (x - iJ
dx
х2л/х2 — 1
x — a
\/c2ax + x2
cos3 x + 1
V-r.
1584.
1586.
1588.
1Г.0П
f x arcsin x dx
I угз^2
f x2dx
Г 4х+1
1 2x3 + x2 — x
f dx
dx.
sin2 x

Глава 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Вычисление определенного интеграла
Пусть на отрезке [а, 6] определена функция f(x). Разобьем отрезок
[а, 6] на п частей точками а = хо < х\ < Х2 < ¦ ¦ ¦ < хп = Ъ. Из каждого
интервала (ж8_1, ж8) возьмем произвольную точку ?8 и составим сумму
п	п
Y2 f{?i)Axi, где Axi = Xi — Xi_\. Сумма вида ^ /(^8-)Аж8- называется
8 = 1	8 = 1
интегральной суммой, а ее предел при max Ах{ —> 0, если он существует
и конечен, называется определенным интегралом от функции f(x) в
пределах от а до & и обозначается
b
f(x)dx= Km У2/(Ь)Ах{.	A)
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[а, Ь].
Для интегрируемости достаточно, чтобы на отрезке [а, 6] функ-
функция была непрерывна или же имела конечное число конечных разры-
разрывов.
Пусть f(x) непрерывна на [а, &]. Тогда на этом отрезке существует
неопределенный интеграл
f(x) dx = F(x) + С	B)
J
и имеет место формула
ъ
f(x) dx = F(b) - F(a) = I f(x) dx\"a,	C)
т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности
значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при
верхнем и нижнем пределах. Формула C) называется формулой Нью-
Ньютон а-Л е й б н и ц а.

§ 1. Вычисление определенного интеграла	161
1591. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу
найти интегралы:
1) / xdx; 2) / х dx; 3) / ех dx; 4) / s'mxdx.
оооо
Указание. При решении второго и четвертого примеров восполь-
воспользоваться результатами задач 1034 и 647.
1592. Вычислить «нижнюю» и «верхнюю» интегральные суммы
2
С	Г dX	с	г, о1
s5 и д5 Для интеграла / —, разбив отрезок II, 21 на пять равных
J х
1
частей. Сравнить с точным значением интеграла.
5	5
Указание. s$ = ^ ггцАх, S5 = X] Mi Ах, где га8- — наименьшее,
8 = 1	8 = 1
a Mi — наибольшее значение подынтегральной функции в г'-м частичном
промежутке.
dx.
Вычислить:
1593.
1595.
1597.
1599.
1601.
3
/ x3dx.
J
l
4
/ \fxdx.
J
l
ал/3
/ ax
1 n2 _|_ ™2 '
j a -\- x
a
1
/ ax
1 /—2 _|_ 1 '
0
9
/" ЙЖ
4
1594.
1596.
1598.
1600.
1602.
2
/* /
/
j \
i
i
J
0
3
/e
0
tt/4
ж2 + -^|
аж
/4 - т2'
' т: t(y
С/3 7
j
/ з1п4жб?ж.
J
0
tt/3
У (
тг/4
1 i Л- „.2
—I— т (У 'Т
;i + tga;J
Указание. В задаче 1601 нужно применить подстановку х = t2;
при этом пределы интеграла изменятся, что записывается в виде таб-
х I 4 I 9
лицы —j	. Аналогично в задаче 1602 при интегрировании подстанов-
кой tgx = t нужно соответственно изменить пределы.

162
Гл.9. Определенный интеграл
1603.
dx
1 + л/2х + 1
x2 dx
1605.
dx
а/2
1606.
о
тг/2
О
2
1607. / sinzcos^zcfo. 1608. \x2\]a-x2dx.
J	J
о	о
1609.
1611.
„2\3
1610.
1612.
з
dx
X + X2
1 v x	'	1
1613. Из формулы задачи 1407 получить, что
тг/2
тг/2
га — 1 /"
sin™ х dx = 	 / smn~2xdx,
га J
о	о
и вычислить:
тг/2	7г/2	тг/2
/Г	f
sm2 х dx; 2) / sin4 x dx; 3) / sin6xdx.
ooo
Вычислить:
1614. (x2-ax)dx. 1615. / —.
„,2
1616.
1618.
х dx
/4^2'
dx
tt/6
1617.
dx
cos2 2ж
тг/8

§ 2. Вычисление площадей
163
1620.
х dx
/4ж
. 1621. / л/2- x2dx.
1
тг/2	тг/4
f	f	г,
1622. / xcosxdx. 1623. / tgJa;rfa;.
о	о
1624. Из формулы задачи 1407 получить, что
тг/2	тг/2
и 7	П—lf	2
cos x dx = 	 / cos xdx,
0
0
и вычислить:
т/2
тг/2	тг/2	тг/2
/Г	Г
cos жйж; 2) / cos	xdx; 3) / cos xdx.
•J	J
§ 2. Вычисление площадей
1°. Площадь криволинейной трапеции А\АВВ\, приле-
прилежащей к оси Ох (рис. 31):
S = Km у уА.х = I ydx.
А0/^у	J y
A)
Дифференциал переменной площади А\АММ\ равен dS = ydx.
Если кр
Рис. 32
'(t) и у = f{t), то

164	Гл.9. Определенный интеграл
2°. Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к
оси Оу:
У2
{•
S = Km V^ жДг/ = х dy.	B)
ДЮ-^	J
Дифференциал переменной площади dS = x dy.
3°. Площадь сектора ОАВ (рис. 32) кривой, заданной в
полярных координатах:
Ч>2
S= 1™У^2Л^= fl^dip.	C)
Дифференциал переменной площади rfS' = —r2 dip.
Вычислить площадь, ограниченную линиями:
X2 V2
1625. у = 4- ж2, у = 0. 1626. — + ^-= 1.
а2 б2
1627. у2 = 2рх, х = h.	1628. у = 3 - 2ж - ж2, у = 0.
1629. жу = 4, ж = 1,	1630. у = In ж, ж = е, у = 0.
ж = 4, у = 0.
1631. у2 = 2ж + 4, ж = 0. 1632. у2 = ж3, у = 8, ж = 0.
1633. у2 = D - жK, ж = 0. 1634. Петлей кривой
4(у2-ж2)+ж3 = 0.
1635. у = ж2, у = 2 - ж2. 1636. у = ж2 + 4ж,
у = ж+ 4.
1637. а2у2 = ж3Bа - ж). 1638. (у - жJ = ж3, ж = 1.
1639.	Петлей строфоиды у2Bа — ж) = ж(ж — аJ.
1640.	Цепной линией у = -(exla + е-ж/а), ж = ±а и у = 0.
1641.	Одной аркой циклоиды ж = a(t — sin t), у = a(l — cos?) и
осью Ox.
1642.	Астроидой ж = acos3i, у = asin3i.
1643.	Лемнискатой г2 = a2cos2(,o.
1644.	Кардиоидой г = аA — costp).
1645.	г = 3 + sin2(,o между смежными наибольшим и наимень-
наименьшим радиус-векторами.
1646.	г = 2 — cos 3<y? между смежными наибольшим и наимень-
наименьшим радиус-векторами.

§3. Объем тела вращения	165
1647. г = a cos 2<р.	1648. г = a sin 3<р.
1649. г = a(sin р + cosр). 1650. г = -, - ^ ip ^ 27г.
V? 4
1651.	г = asm —, лежащей ниже полярной оси.
1652.	Петлей декартова листа ж3 + у3 — Заху = 0 (см. рис. 79
на с. 334) (перейти к полярным координатам).
/sin ip cos2 if dip
о	—— положить tgcp = «,
(sin if + cos3 ifJ
разделив сначала числитель и знаменатель на cos6 if.
Вычислить площадь, ограниченную линиями:
1653.	у = 6ж - ж2, у = 0.
1654.	у = ж3, у = 8, ж = 0.
1655.	у2 = 1 - ж и ж = -3.
1656.	у2 + ж4 = ж2.
1657.	у = ж + 4ж + 5, ж = 0, у = 0 и минимальной ординатой.
1658.	Одной полуволной синусоиды у = sin ж и у = 0.
1659.	4у = ж2 и у2 = 4ж.
1660.	жу = 6иж + у-7 = 0.
1661.	Петлей кривой ж3 + ж2 — у2 = 0.
1662.	г = 3 — cos 2(p между смежными наибольшим и наимень-
наименьшим радиус-векторами.
1663.	г = 2 + sin3(,o между смежными наибольшим и наимень-
наименьшим радиус-векторами.
1664.	г = a sin 2</j.	1665. г = a cos Зу.
1666.	г = aev от (р = —7Г до <р = п.
9	9	9	9
Ж	W	Ж	W
1667.	Общей части эллипсов —И—- = 1 и —Н—- = 1 (перейти
а2 Ъ2	Ъ2 а2
к полярным координатам).
1668.	г = аA + sin2 2<р) и г = а.
§ 3. Объем тела вращения
1°. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволи-
криволинейной трапеции А\АВВ\ (рис. 33), где АВ — дуга кривой у = f(x),
определяется формулой
V= Km V\у2Ах = iry2dx.	A)
Дж-КЗ^—'	J
xi
Дифференциал переменного объема dV = try2 dx.

166
Гл.9. Определенный интеграл
2°. Объем тела, образованного враще-
вращением вокруг оси Оу криволинейной трапе-
трапеции, пцилеращей к оси Оу, определяется
У2
ттх^Ау = / irxz dy. B)
J
3/1
переменного объема dV =
1669. у1 = 2px и х
1670.
b вращением фигуры, огра-
ж.
/оси Оу.
/вокруг оси Ож.
1671.	жу = 4, ж =Д,_\ж = 4,
1672.	у2 = (ж + 4K и ж = 0 вокруг оси Оу.
1673.	ж2 + у2 = а2 вокруг прямой ж = 6 > а.
Указание. ЙУ = тг(& + жJс?г/— тг(& — хJ dy = АттЬх dy.
ж
1674.	у = ach —, ж = ±а, у = 0 вокруг оси Ож.
а
1675.	у2 = 4 — ж, ж = 0 вокруг оси Оу.
1676.	(у — аJ = аж, ж = 0, у = 2а вокруг оси Ож.
1677.	у = cos ж и у = — 1 вокруг прямой у = — 1 при —7Г
1678.	у = ху/—х, ж = —4 и у = 0 вокруг оси Оу.
тт.
1679.	у = cos (ж	), ж = 0, у = 0 (при ж > 0) вокруг оси Ож.
ж2
1680.	у = a	иж + у = а вокруг оси Оу.
Определить объем тела, образованного вращением фигуры, огра-
ограниченной линиями:
1681.	у = sin ж (одной полуволной), у = 0 вокруг оси Ож.
1682.	ж2 — у2 = 4, у = ±2 вокруг оси Оу.
1683.	у = 	-, ж = ±1, у = 0 вокруг оси Ож.
1 + х2

§4. Длина дуги плоской кривой	167
ж2 у2
1684.	— И—- = 1 вокруг оси Оу.
а2 о2
1685.	ж2/3 + у2/3 = а2/3 вокруг оси Ох.
1686.	у = ж3, ж = 0, у = 8 вокруг оси Оу.
1687.	х2 — у2 = а2, х = ±2а вокруг оси Ож.
1688.	у = ж2, у = 4 вокруг прямой ж = 2.
Указание. dV = тгB + хJ dy — тгB — хJ dy.
1689.	Одной арки циклоиды ж = a(t — sini), у = а{1 — cost)
вокруг оси Ож.
1690.	(у - ЗJ + Зж = 0, ж = -3 вокруг оси Ож.
§ 4. Длина дуги плоской кривой
1°. Длина дуги АВ кривой у = f(x):
A)
Дифференциал дуги ds = \/\ + у12 dx = \/dx2 + dy2.
2°. Длина дуги АВ кривой x = f(t), у = p(t):
tB
s= [ л/х2 + у2 dt.	B)
tA
3°. Длина дуги АВ кривой г = f(cp):
VB
s= I \/r2 + r12 dp.	C)
Ч>А
Определить длину дуги кривой:
1691.	у2 = ж3, отсеченной прямой ж = 4/3.
1692.	Всей кривой ж2 + у2 = а2.
1693.	Всей кривой ж2/3 + у2/3 = а2/3.
1694.	у2 = (ж + IK, отсеченной прямой ж = 4.
1695.	Одной арки циклоиды
ж = a(t — sin t), у = а{1 — cos t).
t6	t4
1696.	x = —, y = 2	между точками пересечения осями
6	4
координат.

168	Гл.9. Определенный интеграл
ж2
1697.	у =	1, отсеченной осью Ох.
г ,
Указание. / \/l-\-x2dx можно или найти по частям, или напи-
написать по формуле задачи 1366.
1698.	у = —{exla + e~xla) = ach — между прямыми х = ±а.
2	a
1699.	у = In х от х = 3/4 до х = 12/5.
Г л/1 + х2 dx
Указание. Интеграл / 	 находится подстановкой
J	х
l + X2=t2.
1700.	у = In B cos ж) между смежными точками пересечения с
осями координат Оу и Ох.
1701.	1) 9у2 = х{х — ЗJ между точками пересечения с осью Ох.
2) е2у th х = 1 от х = 1 до х = 2.
1702.	1) Кардиоиды г = аA — cos<^).
2) Первого завитка спирали г = <кр.
1703.	Всей кривой г = a sin3 -.
о
1704.	Гибкая нить подвешена в точках А и В, находящихся
на одной высоте на расстоянии АВ = 26, и имеет стрелу прогиба
/. Считая форму нити параболой, показать, что длина нити s рй
~ 26 I 1 И	 I при достаточно малом —.
\ 3 о1 )	о
Указание. Применить приближенную формулу \/1 + a Pd I + -a
задачи 1157.
Определить длину дуги кривой:
4
1705.	у2 = —B — жK, отсеченной прямой ж = —1.
1706.	у = In (sin ж) от ж = 7г/3 до ж = 27г/3.
1707.	у = In A - ж2) от ж = -1/2 до ж = 1/2.
1708.	у2 = 2рж, отсеченной прямой ж = р/2.
1709.	х = t2, у = -{t2 — 3) между точками пересечения с
О
осью Ох.

§5. Площадь поверхности вращения	169
§ 5. Площадь поверхности вращения
1°. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
Ох дуги АВ кривой у = f(x):
г
Рх = 2тг / yds, где ds = \/dx2 + dy2.
J
АВ
2°. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
Оу дуги АВ кривой х = <р(у):
г
Ру = 2тг / х ds, где ds = \/dx2 + dy2.
АВ
Определить площадь поверхности, образованной вращением кри-
кривой:
1710.	х2 + у2 = R2 вокруг оси Ох.
1711.	у = ж2/2, отсеченной прямой у = 1, 5, вокруг оси Оу.
X
1712.	у = ach — между х = ±а вокруг оси Ох.
a
1713.	Ах2 + у2 = 4 вокруг оси Оу.
Указание. Приняв у за независимую переменную, получим, что
2
г
искомая площадь Р = тг / у/16 — Зу2 dy. Далее применяем подстановку
1714.	Одной полуволны кривой у = sin x вокруг оси Ох.
1715.	Одной арки циклоиды х = a(t — sini), у = a(l — cost)
вокруг оси Ох.
1716.	Петли кривой х = t2, у = -{t2 — 3) вокруг оси Ох.
О
1717.	х2 + у2 = о2 вокруг прямой х = Ь > а.
Указание. dP = 2тг(& + х) ds + 2тг(& — х) ds.
Определить площадь поверхности, образованной вращением во-
вокруг Ох:
х3
1718. Дуги кривой у = — от х = —2 до х = 2.
о

170	Гл.9. Определенный интеграл
1719.	Дуги кривой у2 = 4+ ж, отсеченной прямой ж = 2.
1720.	Всей кривой ж = acos3t, у = asin3t.
t3	t2
1721.	Дуги кривой х = —, у = 4	между точками пересе-
пересечения с осями координат.
§ 6. Задачи из физики
1722.	Определить силу давления воды на вертикальный пря-
прямоугольный шлюз с основанием 8м и высотой 6м. Определить
также силу давления на нижнюю половину шлюза.
1723.	Определить силу давления воды на вертикальную тре-
треугольную площадку, основание которой а расположено на поверх-
поверхности воды, а высота равна h.
1724.	Определить силу давления воды на вертикальный полу-
полукруг, диаметр которого 2R расположен на поверхности воды.
1725.	Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием
20 м, нижним 10 м и высотой 6 м. Определить силу давления воды
на плотину.
1726.	Найти моменты инерции относительно осей Ох и Оу
площади прямоугольника, ограниченного линиями ж = 0, ж = а,
у = 0 и у = Ь.
Указание. Разбив прямоугольник на горизонтальные площадки,
умножим каждую площадку на квадрат ее расстояния от оси Ох, т. е.
на у2. Суммируя и перейдя к пределу, получим
ъ
Ег
аАуу = I ay dy.
о
а
Г
Аналогично Jy = Ъх2 dx.
о
1727.	Найти момент инерции относительно осей Ох и Оу пло-
площади треугольника, ограниченного линиями ж = 0, у = 0 и
- + - - 1
а Ь
1728.	Найти момент инерции относительно оси Оу площади,
ограниченной линиями ж = 2, у = х и у = 0.
1729.	Найти статические моменты относительно Ох и Оу и
координаты центра масс треугольника, образованного линиями
ж = 0 у = 0иж + у = а.
а	а
f	f
Указание. Статические моменты: Мх = / xydy, Му = / xydx.
о	о
Му	Мх
Координаты центра масс: хс = —рг, ус = ~рг, гДе Ь — площадь фигуры.

§6. Задачи из физики	171
1730.	Найти центр масс площади, ограниченной линиями а2у =
= Ьх2, х = а и у = 0.
1731.	Найти центр масс полукруга ж2 + у2 = а2, отсеченного
осью Ох.
1732.	1) Вычислить работу, которую нужно затратить на выка-
выкачивание воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания
0,5 м, если в начальный момент уровень воды в бассейне равен
2,8 м и на 0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.
2) Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачива-
выкачивание воды из полушара радиусом Дм.
1733.	Определить работу, которую нужно затратить, чтобы под-
поднять массу т с поверхности земли на высоту h.
Указание. Сила F земного притяжения на расстоянии х от центра
земли определяется из пропорции F : тд = Я? : ж2, где R — радиус
земного шара.
1734.	Котел имеет форму параболоида вращения глубиной Н =
= 0,5 м и радиусом основания R = 0,4м. Определить работу,
которую нужно затратить на выкачивание воды из такого напол-
наполненного котла.
1735.	В цилиндре под поршнем находится воздух объемом Vq =
= 0,1м3 с давлением р0 = 1, 033 • 105 Па. Определить работу изо-
изотермического сжатия воздуха до объема V\ = 0,03м3. (По закону
Бойля-Мариотта pV = PqVq.)
1736.	Вычислить работу растяжения на 0,001м медной прово-
проволоки длиной 1м с радиусом сечения 2 мм.
Указание. Сила F Н натяжения проволоки длиной /ми площадью
сечения s мм2 при удлинении ее на х м определяется формулой F =
SX
= Е — , где Е — модуль упругости. Для меди можно принять Е к,
к, 1,2- 105Н/мм2.
1737.	За какое время вода, наполняющая цилиндрический со-
сосуд с площадью основания S = 420 см2 и высотой Н = 40 см,
вытечет через отверстие на дне площадью s = 2 см2?
Указание. Скорость истечения жидкости при уровне ее на высоте
ж см определяется по формуле v = /1л/2дх, где /л — коэффициент, зави-
зависящий от вязкости жидкости, формы сосуда и отверстия. Мы примем
здесь, как и в задаче 1738, // = 0,6.
1738.	За какое время вода вытечет из конической воронки вы-
высотой Н = 40 см, радиусом нижнего основания г = 0,3см и верх-
верхнего R = 6см (см. указание к задаче 1737)?
1739. Определить силу давления воды на вертикальную тре-
треугольную площадку высотой h, основание которой а параллельно

172	Гл.9. Определенный интеграл
поверхности воды, а противоположная вершина находится на по-
поверхности воды.
1740.	Определить силу давления воды на вертикальный пара-
параболический сегмент, основание которого равно 4м и расположено
на поверхности воды, а вершина находится на глубине 4 м.
1741.	Найти глубину х, на которой прямоугольный шлюз вы-
высотой h разделится горизонтально на такие две части, величина
силы давления на которые одинакова.
1742.	Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью напо-
наполовину наполнена маслом (плотность 0,9). Определить силу давле-
давления масла на каждую из плоских стенок цилиндра, если радиус ее
равен 2 м.
1743.	Определить момент инерции относительно Ох площади
четверти круга х = a cost, у = asmt.
1744.	Найти координаты центра масс площади, ограниченной
линиями у = 4 — х и у = 0.
1745.	Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды
из ямы, имеющей форму конуса (с вершиной на дне), высота ко-
которого Н = 2 м, а радиус основания R = 0, 3 м.
1746.	Определить работу адиабатического сжатия воздуха объ-
объемом Vo = 0,1м3 и с давлением ро = 1,033 • 105 Па до объема
V\ = 0, 03 м3. (Адиабатическое сжатие происходит по закону Пуас-
Пуассона: pV1 = PqVq, где 7 ~ 1,4.)
1747.	За какое время вода, наполняющая чашу формы по-
полушара радиусом 40 см, вытечет из отверстия на дне площадью
2 см ? (См. указание к задаче 1737; положим коэффициент вязко-
вязкости fi = 0, 8.)
§ 7. Несобственные интегралы
1°. Определения:
+со	Ь
f	f
I. Интегралом / f(x) dx называется Km / f(x) dx, если этот
J	Ь-Ц-оо J
a	a
предел существует и конечен. Аналогично определяются интегралы
Ь	+со
f(x)dxn I f(x)dx.
— со
П. Если f(x) непрерывна для всех значений х отрезка [а, 6], кроме
точки с, в которой f(x) имеет разрыв II рода, то интегралом от f(x) в
пределах от а до & называется сумма
С —?	Ь
Г	Г
Km / f(x) dx + Km / f(x) dx,
г-fO J	<5-f0 J
c+8
если эти пределы существуют и конечны.

§ 7. Несобственные интегралы
173
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных
(неограниченных) функций называются несобственными.
Если приведенные выше пределы конечны, то говорят, что несобст-
несобственные интегралы сходятся, если нет, — то расходятся.
2°. Сходимость несобственного интеграла часто устана-
+ СО
f
вливается методом сравнения: если при х > а|/(ж)| <С ф{х) и / <р(х) dx
а
+со
f
сходится, то сходится и / f(x) dx. Аналогичный признак сходимости
а
можно указать и для интеграла от разрывной функции.
Вычислить интегралы:
dx
dx
dx
ОО	ОО	ОО
1749.1) fe-xdx;	2) /' хе~^ dx; 3) /-^Ц;
J	J	J 1 + х
4)
dx
dx
оо	оо
Л—; 2) /
х\/х1 — 1	J
1751. 1)
dx
X2 + X '
arctg x dx
dx
6)
; з)
dx
(Ж2 + 1J-
dx
2	0	0
1752. Исследовать сходимость интегралов:
1)
/7т
/7т
р~х di*
4)
sin x dx
——;
/х dx	I
Vx^Ti'1 6) J
2	О

174	Гл.9. Определенный интеграл
1	Ь
/dr	С dr
—;	2) / ,". (при 6 > а).
жп'	7 7 F- ж)п v F 7
О	а
Указание. Рассмотреть три случая: п = 1-а<1, и=1и
и = 1 + a > 1.
1754. Вычислить площадь, заключенную между локоном у =
1
и асимптотой этой кривой.
1 + ж2
1755.	Вычислить площадь, заключенную между кривой у =
= хе~х '2 и ее асимптотой (при ж > 0).
1756.	Вычислить площадь, заключенную между циссоидой у =
ж3
и ее асимптотой.
2а — х
Указание. Положив х = 2а sin t, перейти к параметрическим
уравнениям.
1757.	Найти объем тела, образованного вращением циссоиды
ж3
у2 = 	 вокруг ее асимптоты (см. задачу 1756).
2а — ж
1758.	Определить площадь поверхности, образованной враще-
вращением вокруг оси Ох бесконечной дуги кривой у = е~х при поло-
положительных ж.
1759.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох бесконечной ветви кривой у = 2 (	 ) при ж ^ 1.
Vж х2)
1760.	Показать, что при m целом и положительном х):
оо
f
1) /
1
J
0
1761.
ОО
11 /
e-xxmdx =
Вычислить
dx- 2) J
9 ) L) /
x2 J
0
ml; 2)
интегралы
x2e~x dx;
oo
/«
,J
0
3)
-*Vm+1da;
OO
f Inx dx
J x2 '
1
rra!
~ ~~2'
4)/
dx
ж In ж
^Функция / е~хх ~ dx = F(t) называется гамма-функцией от t. Прицелом
о
t > 1, как это следует из задачи 1760, 1), T(t) = (t — 1)! Полагая здесь t = 1,
оо
получим условно 0! = ГA) = / е~хх dx = 1. Поэтому принято считать 0! = 1.

§8. Среднее значение функции	175
111 X
Указание. В примере 3) при нахождении Km 	 применить
Ж-ЮО X
правило Лопиталя.
оо	оо	оо
, f dx	. f dx	. f dx
1762. 1) / —==; 2) / -===; 3)
V	{	f
1	0 V	1
1763.	Вычислить площадь, заключенную между кривой у =
= е~2х и осями координат (при х > 0).
1764.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Оу площади бесконечной длины, заключенной между линиями:
ху = 4, у = 1, х = 0.
1765.	Определить объем тела, образованного вращением кри-
кривой у = хе~х12 (при х > 0) вокруг ее асимптоты.
§ 8. Среднее значение функции
Теорема о ере дне м. Если на отрезке [а, 6] функция f(x) непре-
ъ
Г
рывна, то между пределами интеграла / f(x) dx найдется такое х = с,
a
при котором
ь
j f(x)dx = (b-a)f(c).	A)
a
Значение функции
ъ
J f(x) dx
Ут = f(c) = п b_a	B)
называется средним значением функции f(x) на отрезке [а, 6].
1766. Определить среднее значение функции:
1)	у = sin х на отрезке [0, 7г];
2)	у = tga; на отрезке [0, 7г/3];
3)	у = In х на отрезке [1, е];
4)	у = х2 на отрезке [а, 6];
5)	у = 	77 на отрезке [—1, 1].
1 + х1
Указать на чертеже среднее значение функции в каждом примере.

176
Гл.9. Определенный интеграл
§ 9. Формула трапеций и формула Симпсона
1°. Формула трапеций:
f(x) dx к, h
Уо + Уп
ra-l
+
8 = 1
(I)
где h = (b — a)/n, a j/o, 2/1, 2/2, ¦ ¦ ¦, Уп — равноотстоящие ординаты кривой
у = f{x) на отрезке [а, 6]. Погрешность формулы (I):
A)
2°. Параболическая формула Симпсона для двух полос:
о
/7
/(ж) dx к, -(г/о + 4j/i + г/2),
(П)
где h=(b- a)/2.
3°. Формула Симпсона для 2и полос:
2/0 + J/2n + 4 ^ J/2i-l + 2
8 = 1	8 = 1
где h = (b — a)/2n. Погрешность формул (II) и (III):
180
(III)
B)
т. е. формула (II) является точной для парабол второй и третьей степе-
степеней: у = a + Ьх + еж2 + йж3.
2
Г dx
1767.	Вычислить по формуле трапеций In 2 = / — и оценить
/ т
1
погрешность по формуле A).
5
Г
1768.	По формуле Симпсона (III) вычислить интегралы / х3 dx
•J
1
2
Г
и / х dx, оценить погрешность по формуле B) и результаты срав-
о
нить с точными значениями интегралов.

§ 9. Формула трапеций и формула Симпсона	177
1769. По формуле Симпсона (III) вычислить интегралы:
тг/2
Г
3dx Bга = 4); 2) / л/3 - cos 2ж ^ж Bга = 6);
•У
/ЙЖ
	 Bга = 4) и оценить погрешность, полагая в фор-
о
муле B) приближенно /i4|yIV|max рй |Д4у|тах.
1770.	Найти по формуле Симпсона (II) объем бочки высотой
50 см с диаметром каждого дна 20 см и с диаметром среднего сече-
сечения 30 см.
1771.	Вывести формулы объема пирамиды и шара из формулы
Симпсона (II).
2
г dx
1772.	Вычислить In 2 = / — по общей формуле Симпсона (III)
IT
1
(при 2га = 10) и оценить погрешность по формуле B).
1773.	Найти длину дуги эллипса ж = 5cos?, у = 3sin?, при-
применив к интегралу, определяющему первую четверть всей дуги,
формулу Симпсона (II).
1
[ dx
1774.	Вычислить приближенно 7Г = 6 / / о=, применив к
интегралу формулу Симпсона (II).
1
7г f dx
1775.	Вычислить — = /	 по общей формуле Симпсона
4 J 1 + ж2
о
(III) (при 2га = 10) и оценить погрешность, полагая в формуле B)
приближенно /i4|yIV|max Рй |А4у|тах.
1776.	Рассматривая площадь части круга, ограниченного кри-
4
вой ж2 + у2 = 32, показать, что / у 32 — ж2 dx = 4к + 8; найти к,
о
вычисляя интеграл по формуле Симпсона (при 2га = 4).
1777.	Вычислить по формуле Симпсона (III) длину дуги полу-
полуволны синусоиды у = sin ж, разбив отрезок [0, 7г] на шесть равных
частей.

Глава 10
КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ
И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
§ 1. Кривизна плоской кривой.
Центр и радиус кривизны. Эволюта
1°. Кривизна:
dip	у"
2°. Радиус кривизны:
A + У'2?'2
W'\	\ух-ху\ ¦
3°. Координаты центра кривизны:
1 + у12	х2 + у2
у"	у ух-ху
Геометрическое место центров кривизны С(Х; Y) называется эво-
эволютой. Уравнения C) и будут параметрическими уравнениями эво-
эволюты.
4°. Радиус кривизны кривой г = f((p), где г и <р — полярные
координаты:
(г2 + г'3K/2
_
|r2 _|_2r'2 - rr"|'
Определить радиус кривизны и построить кривую и круг кри-
кривизны кривой в ее вершине:
1778. у = 4х - х2. 1779. у = е~х2.
1780. х2 + 4у2 = 4. 1781. ж = a(i-sini),
1782.	у = же7.	у = аA-cosi).
Определить координаты центра кривизны и построить кривую
и круг кривизны кривой:
1783.	ху = 4 в точке ж = 2.

§ 1. Кривизна плоской кривой	179
1784.	у = In ж в точке пересечения с Ох.
ж3 + 1
1785.	у =	в точке пересечения с Ох.
Написать уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее
эволюту:
х2
1786.	у = 1	. 1787. ж = 2cos?, у = sini.
1788.	х2 - у2 = а2 (или х = acht ш у = asht).
1789.	ж = a(cos t -\-1 sin i), у = a(sin t — t cos t).
1790.	Найти максимальную кривизну кривой у = ех.
х
1791.	Доказать, что радиус кривизны цепной линии у = ach —
а
У2
в любой точке равен — и равен отрезку нормали между кривой и
а
осью Ож.
1792.	Определить радиус кривизны в произвольной точке кри-
а2
вой: 1) г = аA — cost/?); 2) г2 = a2cos2(f1 3) г2 =
cos2g
Определить радиус кривизны и построить кривую и круг кри-
кривизны кривой в ее вершине:
1793. у = 	-. 1794. ж2 - у2 = 4.
1 + xz
1795. у = sin ж. 1796. 2у = ж2 + 4ж.
Определить координаты центра кривизны и построить кривую
и круг кривизны кривой:
1797.	у = ех в точке пересечения ее с Оу.
ж3
1798.	у = — в точке (-1; -1/3).
О
1799.	у2 = ж3 в точке A; 1).
7Г
1800.	у = cos ж в точке ж = —.
У	4
Написать уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее
эволюту:
?3
1801.	у2 = 2(ж + 1). 1802. ж = ?2, у = —.
О
1803. жу = 4.	1804. х = a cos31, у = a sin3 i.

180	Гл. 10. Кривизна плоской и пространственной кривой
1805. Показать, что в любой точке астроиды ж2/3 + у2/3 = а2/3
радиус кривизны равен 3уа|ж?/|.
§ 2. Длина дуги кривой в пространстве
Дифференциал дуги: ds = у1'dx2 + dy2 + dz2, или
ds = \Jx2 + у2 + z2 dt.
r 	.
Длина дуги: s = / \/x2 + y2 + z2 dt.
Найти длину дуги кривой:
2t3
1806.	х = t, у = t2, z = — от t = 0 до t = 3.
3
1807.	ж = 3 cost, у = 3 sin t, z = At от t = 0 до произвольного t.
1808.	у = —, z = — от ж = 0 до ж = 3.
2	6
Найти длину дуги кривой:
1809.	х = t — sin t, у = 1 — cos i, z = 4 sin - от t = 0 до t = n.
1810.	ж = е*, у = e"*, z = i^2 от i = 0 до t = 1.
1	ж2
1811.	у = — In ж, z = — от ж = 1 до ж = 2.
§ 3. Производная вектор-функции по скаляру
и ее механическое и геометрическое значение.
Естественный трехгранник кривой
Радиус-вектор г = х'\ + j/j + zk точки кривой х = x(t), у = y(t), z =
= z(t) есть вектор-функция скаляра t. Производная г = xi + yj + zk есть
тангенциальный вектор и имеет модуль |r| = \Jх2 + у2 + z2 = s = —.
Поэтому, если t — время, а кривая — траектория движения, то г = v
есть вектор скорости, г = w — вектор ускорения.
Через точку М(х; у; z) кривой (рис. 34) проведем три плоскости:
1)	перпендикулярную к г; она называется нормальной;
2)	содержащую гиг; она называется соприкасающейся;
3)	перпендикулярную к первым двум.
Они образуют естественный трехгранник (триэдр) кривой.

§ 3. Производная вектор-функции по скаляру
181
В пересечении плоскостей имеем три прямые: касательную, бинор-
бинормаль и главную нормаль, определяемые векторами:
1)	г — тангенциальный,
2)	В = г х г — бинормальный,
3)	N = В х г — главный нормальный.
Единичные векторы этих направлений обозначим т, /3, ь>; они свя-
dr
заны зависимостью — =
as
dr
ds
v и /3 = т
Пусть М\(Х; Y; Z) — точка касательной (рис. 34). Тогда MMi||r и
из условия параллельности векторов получим уравнения касательной
X -х _ У -у _ Z -z
х	у	z
(I)
Пусть Мг(Х; Y; Z) — точка
на нормальной плоскости.
Тогда ММ2 _L r и из усло-
условия перпендикулярности векторов
получим уравнение нормальной
плоскости:
х{Х -х) + y{Y -y) +
+ z{Z-z) = 0.
(И)
Уравнения бинормали и глав-
главной нормали получим, заменив в	Рис. 34
уравнениях (I) х, у, z соответст-
соответственно на Вх, Ву, Bz или на Nx, Ny, Nz. Уравнение соприкасающейся
плоскости получим, заменив в уравнении (II) х, у, z на Вх, Ву, Bz.
1812.	Радиус-вектор движущейся точки в момент t задан урав-
уравнением г = 4ti — 3tj. Определить траекторию, скорость и ускоре-
ускорение движения.
1813.	Уравнение движения г = 3ti+Dt — t2)j. Определить тра-
траекторию и скорость движения. Построить траекторию и векторы
скорости в моменты t = 0, 1, 2 и Зс.
1814.	В задаче 1813 определить ускорение w движения и его
dv	г^	=-
тангенциальную wT = — и нормальную wn = у wz — w^ соста-
составляющие в любой момент t и при t = 0.
1815.	Уравнение движения г = a cost ¦ i + bsint ¦ j. Определить
траекторию, скорость и ускорение движения и построить векторы
скорости и ускорения в точках t = 0, 7г/4, 7г/2.
В задачах 1816-1818 написать уравнения касательной прямой
и нормальной плоскости кривой:
1816.	х = ?, у = ?2, z = ?3 в любой точке и при t = 1.

182	Гл. 10. Кривизна плоской и пространственной кривой
1817.	у = х2, z2 = ж в любой точке (ж ^ 0) и при х = 4.
1818.	х2 + у2 = 10, у2 + z2 = 25в точке A; 3; 4).
Указание. Взяв дифференциал от левой и правой частей каждого
уравнения, найти затем отношения dx : dy : rfz.
1819.	Найти тангенциальный г, бинормальный В и главный
нормальный N векторы кривой х = 1 — sin?, у = cos?, z = t в
точке ? = 0. Найти также т, /3 и v в той же точке.
1820.	Написать уравнения главной нормали, бинормали и со-
соприкасающейся плоскости к кривой х = ?, у = ?2, z = ?3 в точке
? = 1.
1821.	Написать уравнения главной нормали и бинормали кри-
кривой х = е*, у = е~*, z = ? в точке ? = 0.
1822.	Показать, что уравнения ж = tcost, у = ?sin?, z = t
определяют коническую винтовую линию, и написать уравнения
главной нормали, бинормали и касательной к ней в начале коор-
координат.
1823.	Написать уравнения касательной к винтовой линии ж =
= a cos t, у = a sin t, z = bt в любой точке и при t = 7г/2. Показать,
что винтовая линия пересекает образующие цилиндра х2-\-у2 = а2
Ъ
под одинаковым углом у = arccos
Ь2
1824.	Найти углы с осями координат тангенциального вектора
кривой ж2 = 2az и у2 = 26^ в точке z = \/а&-
1825.	Плоскость у = 0, на которой дана кривая 2,г = ж2, у = 0,
накручивается на цилиндр ж2 + у2 = 2у. Написать параметриче-
параметрические уравнения образованного кривой винта и определить бинор-
бинормальный вектор кривой в любой точке и в точке t = 7г/2, где ? —
угол поворота плоскости.
1826.	Радиус-вектор движущейся точки в момент t задан урав-
уравнением г = a(t — smt)i + а{1 — cost)}. Определить и построить
векторы скорости и ускорения при t = 7г/2 и t = тт.
В задачах 1827-1829 написать уравнения касательной к кри-
кривой:
1827.	у = ж, z = 2ж2 в точке ж = 2.
1828.	ж2 + у2 + z2 = 14, ж + 2у - г = 2 в точке A; 2; 3) (см.
задачу 1818).
1829.	ж = 2?, у = In ?, z = ?2 в точке ? = 1.

§4. Кривизна и кручение пространственной кривой	183
1830.	г = e*i + e~*j + t\/2k. Найти углы с осями координат
бинормального вектора b в точке t = 0.
1831.	Написать уравнения главной нормали и бинормали кри-
кривой у = ж2, z = у2 в точке ж = 1.
1832.	Написать уравнения главной нормали и бинормали кри-
вой ж = ? — sin t, у = 1 — cos ?, z = 4 sin - в точке t = тт.
§4. Кривизна и кручение пространственной кривой
Кривизна 1/R есть предел отношения угла <р поворота касательной
к длине дуги As, когда As —)> 0. Кручение 1/р есть предел отношения
угла в поворота бинормали к As, когда As —)> 0. Так как <р Pd |Ar| и
9 Pd ±|A/3|, то 1/R и 1//9 численно оказываются модулями векторов:
dr I	dj3	I
as R as	p
Если кривая задана уравнением г = v(t), то
1 |г х г| 1 г г г'
R
Р
B)
1833.	Продифференцировав равенство v = vr no t, с помощью
первой формулы A) получить разложение ускорения w на танген-
тангенциальное и нормальное:
V2
W = VT -\	V.
R
1834.	Точка движется по параболе х = t, у = t — t2, где t —
время движения. Определить кривизну 1/R траектории и танген-
тангенциальное и нормальное ускорения в момент t и при t = 0.
1835.	Точка движется по эллипсу ж = 4cos?, у = 3sin?, где
t — время движения. Определить кривизну 1/R траектории и
7Г
тангенциальное и нормальное ускорения при t = —.
4
1836.	Для движения с уравнением г = t'\ + t2j -\—t3k опре-
определить кривизну 1/R траектории и тангенциальное и нормальное
ускорения в любой момент t и при t = 1.
Определить кривизну 1/Д и кручение 1/р кривой:
1837.	ж = ?, у = t2, z = ?3 в любой точке и при ? = 0.
1838.	ж = е*, у = е~*, z = t\/2 в любой точке и при ? = 0.
ж2	ж3
1839.	у = —, z = — в любой точке и при ж = 1.

184	Гл. 10. Кривизна плоской и пространственной кривой
1840. Показать, что на правом винте (ж = a cost, у = asint,
z = bt) кручение положительно, а на левом (ж = a cost, у =
= — asint, z = bt) — отрицательно.
Определить кривизну 1/R и кручение 1/р кривой:
1841.	ж = 2t, у = \nt, z = t2 в любой точке и при t = 1.
У2
1842.	ж = —, z = ж2 в любой точке и при у = 1.
1843.	ж = е* sin ?, у = ег cos ?, z = е* в точке t = 0.

Глава 11
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ПОЛНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Функции двух переменных
и их геометрическое изображение
1°. Определение. Переменная z называется однозначной функ-
функцией переменных х и у, если каждой паре значений х и у в некоторой
области их изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функ-
Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде
z = F(x,y).	A)
2°. Геометрическое изображение. Уравнение A) геометри-
геометрически определяет некоторую поверхность. Пара значений х и у опреде-
определяет на плоскости хОу точку Р(х; у), a z = F(x, у) — аппликату соот-
соответствующей точки М(х; у; z) на поверхности. Поэтому говорят, что z
есть функция точки Р(х; у), и пишут z = F(P).
3°. Предел функции Km F(P) = А, если разность F(P) — A
Р-уРо
есть бесконечно малая, когда р = Р$Р —ь 0 при любом способе прибли-
приближения Р к Ро (например, по любой линии).
4°. Непрерывность функции. Функция F(x, у) называется
непрерывной в точке Ро, если Km F(P) = F(Po). Иначе говоря, функ-
Р-уРо
ция F(x, у) непрерывна в некоторой точке (х; у), если
Km F(x + Ax, y + Ay) = F(x, у).
Ах—уО
Ду-fO
1844. Указать области изменений ж и у, для которых следую-
следующие функции имеют вещественные значения:
I)z = x2 + y2; 2) az = a2 -х2 -у2; 3) z =	;
х2 + у2
4) z = л/а2 - х2 - у2; 5) z =
6) z =	=; 7) z =
л/1-х2- у2	у-х
и построить геометрические изображения функций по сечениям
поверхностей плоскостями ж = 0, у = 0, z = 0 и z = h.

186	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
1845.	Дан периметр 2р треугольника. Определить площадь S
треугольника как функцию двух его сторон ж и у. Определить и
построить область возможных значений ж и у.
1846.	Для функции F(x, у) =	- вычислить FC,1),FA, 3),
F(l, 2), FB, 1), F{a, a), F{a, -a).
1847.	Доказать, что если F(x, у) = уж4 + у4 —2жу, то F(tx, ty) =
= t2F{x, у).
1848.	Для z = ж2 — ху = у2 определить Axz, Ayz и Az.
Вычислить Axz, Ayz, Az, если ж изменяется от 2 до 2,1, а у
изменяется от 2 до 1,9.
1849.	Показать, что уравнение ж2 — у2 — z2 = 0 определяет
z как бесчисленное множество однозначных функций ж и у, из
которых две непрерывны. Указать область определения всех этих
функций и построить геометрическое изображение положительной
непрерывной функции. Привести пример однозначной, но раз-
разрывной функции z = F(x, у), определяемой тем же уравнением
9	9?
х2 -у2 = zz.
1850.	Построить линии уровней (при z = 0, 1, 2 и т. д.) функ-
функций:
-Xl-y2. 2)z = x2-y1
3) z = x2 - у2;	4) z = xy.
у
1851. Показать, что при ж —> 0 и у —> 0 выражение и =
ж - у
может стремиться к любому пределу. Привести примеры такого
приближения точки (ж; у) к точке @; 0), при котором lim и = 3,
lim и = 2, lim и = 1, lim и = 0, lim и = —2.
Указание. Рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у = кх.
1852. Показать, что:
1 lim	 =	; 2 lim	—- = 1;
1	л,,,	/I '	'	rr.n,	'
У-Ю	у-Ю
sin (жу)
3j lim 	= 0
ж->-0	х
у-Ю
при любом способе приближения точки (ж; у) к точке @; 0).
Указание. Положить ху = а.

§2. Частные производные первого порядка	187
1853. Изобразить геометрически функцию
{1 при ху > О,
О при ху = О,
— 1 при ху < О
и указать линии ее разрыва.
1854. Указать области определения функций:
4	7	/	Т2	?/2
1) z-x + y, Z)z- х + у, 6) с- yi
4) - = 1 - ^ " Й; 5) г = я
с	а2 б2
6) уД= ^/х + ./у
и построить геометрические изображения этих функций.
х
1855.	Доказать, что если F(x, у) =	, то F(a, b)+F(b, a) = 1.
х - у
4
1856.	Показать, что уравнение z2 =	 определяет z
4 — xz — yz
как бесчисленное множество однозначных функций ж и у, из ко-
которых две непрерывны. Указать область определения всех этих
функций и построить геометрическое изображение функции, по-
положительной в области х2 + у2 ^ 1 и отрицательной вне ее.
1857.	Построить геометрическое изображение однозначной
функции z = F(x, у), определяемой уравнением x2-\-y2-\-z2 = a2,
9 9 а2
положительной в области ж + у ^ — и отрицательной вне ее.
4
Указать линию ее разрыва.
§ 2. Частные производные первого порядка
Производная функции z = F(x, у) по х, найденная в предполо-
предположении, что у остается постоянным, называется частной производной z
по ж и обозначается —— или F^.(x, у). Аналогично определяется и обо-
значается частная производная z по у: -— = F'(x, у).
ду у
Найти частные производные функций:
1858.	z = ж3 + Зж2у - у3. 1859. z = In (ж2 + у2).
1860. z=-.	1861. z = arctg -.
ж	ж
1862. z =^У—.	1863. и = In (
(
х-у	\гх

188	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
1864.	с = Va2 + b2 -2abcosa.
1865.	и= - + ---.	1866.u = xe~yx.
х у z
2x-t
1867. u = 	.	1868. a = arcsin
x + 2t
1869.	Доказать, что если z = In [yfx + л/у), то
dz dz _ 1
9ж 9у 2 '
1870.	Доказать, что если z = Jlcsm —, то
ж
dz d
7	7
1871.	Доказать, что если и = еж'* , то
du du
2ж-—\- t—- = 0.
dx dt
1872.	Доказать, что если и = ху, то
ж 9и 1 9и
у dx In ж 9у
1873.	Ниже, в задаче 1898, будет доказана следующая теорема
Эйлера:
Если z = F(x, у) — однородная функция степени га, то
dz dz
Х7Г + У7Г = nz-
dx dy
Проверить эту теорему Эйлера для функций:
1 \ у 	 ™3 _|_ ™,.2 95/3- О\ -у 	 /т.2 _|_ т». j_ ,,2.
i-1 Z — Ж -\- Ху — Zi/ , ZI2- — у Ж т ly т У j
Найти частные производные функций:
У
1874. z = cos (ax — by). 1875. z = arcsin —.
x
1876. z =	.	1877. u = In sin (x - 2t).
6y — 2x
1878. u = sin2 (ж + у) — sin2 ж — sin2 у.

§3. Полный дифференциал первого порядка	189
1879.	Доказать, что если и = \] х2 + у2 + z2, то
та) ШШ
1880.	Доказать, что если z = ex/ylny, то
dz dz z
Х7Г + У7Г = ]	•
ox ay In у
[Г	дТ дТ
1881.	Доказать, что если Т = К\ —, то / ——|- а^— = 0.
V 9	91 од
1882.	Доказать, что если z = exl2 sin (	), то
+ ) ±^1
дх ду) 2	2
1883. Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (см.
задачу 1873) для функций:
х^	1	у
1) z = 	; 2) z = ———-; 3J: = arctg-.
х - у	х2 + у2	х
§ 3. Полный дифференциал первого порядка
Если функция z = F(x, у) имеет в точке (х; у) непрерывные частные
производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде
A)
А\
где е —т- 0 при р = \/\Ах\2 + IАир —> 0. Тогда выражение —Ах-\	Ау
ох	ду
есть главная часть полного приращения Az; она называется полным
дифференциалом функции и обозначается dz:
dz = — Ах + — Ау.	B)
ох	ду
Полагая в формуле B) z равным: 1) х; 2) у, найдем: dx = Ax, dy = Ay.
Поэтому
dz = ^-dx+ ^-dy.	C)
дх	ду

190	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
Из A) следует, что
Az ъ dz,	D)
т. е. при достаточно малых Ах и Ау полное приращение функции при-
приближенно равно ее полному дифференциалу (гл. 5, §7).
Функция F(x, у) называется дифференцируемой в точке (х; у), если
она имеет в этой точке полный дифференциал.
1884.	Найти полные дифференциалы функций:
1) z = х2у; 2) z = -^-; 3) и = е5/*; 4) z = Jx2 + y2.
ж - у
1885.	Найти значение полного дифференциала функции:
у
1)	z = — при х = 2, у = 1, dx = 0,1, dy = 0, 2;
х
2)	и = еЖ2/ при ж = 1, у = 2, йж = —0,1, <iy = 0,1.
1886.	Вычислить dz и Д,г для функции z = ху при ж = 5,
у = 4, Да; = 0,1, Ау = -0, 2.
1887.	Подсчитать приближенно изменение функции <р = arctg —,
когда ж изменяется от 2 до 2,1, а у — от 3 до 2,5.
1888.	При деформации цилиндра его радиус R увеличился с
20 см до 20,5см, а высота Н уменьшилась со 100 см до 98 см.
Найти приближенно изменение объема V по формуле AV ~ dV.
1889.	Катеты прямоугольного треугольника, измеренные с точ-
точностью до 0,1см, оказались равными 7,5 см и 18 см. Определить
абсолютную погрешность при вычислении гипотенузы.
1890. Найти полные дифференциалы функций:
1 \	У	Х .	П\„	,!„
); M = ж1п?; 3) и = Jx2 + y2 + z2.
х у
1891.	Найти значение dz и Az для функции z = In (ж2 + у2),
когда ж изменяется от 2 до 2,1, а у — от 1 до 0,9.
у
1892.	Подсчитать приближенно изменение функции z = arcsin —,
ж
когда ж изменяется от 5 до 4,5, а у — от 3 до 3,3.
1893.	При деформации конуса его радиус R увеличился с 30 см
до 30,1см, а высота Н уменьшилась с 60 см до 59,5см. Найти
приближенно изменение объема по формуле AV ~ dV.

§4. Производные сложных функций	191
§4. Производные сложных функций
1°. Если z = F(x, у), х = f(t), у = <f{t), то z называется сложной
функцией от t. При этом
dz dz dx dz dy
dt ~ dx dt dy dt '	'
если функции F, f и <р дифференцируемы.
2°. Если z = F(x, у), где x = f(u, v), у = ip{u, v), и если функции
F, f и <р дифференцируемы, то
dz _ dz dx dz dy dz _ dz dx dz dy
du dx du dy du' dv dx dv dy dv
dz
1894.	Найти по формуле A) — из уравнений:
dt
1)	z = x2 + xy + y2, x = t2, y = t;
2)	z = \Jx2 + y2, x = sini, у = cost.
Проверить предварительной подстановкой значений ж и у в выра-
выражение для функции z.
dz	и
1895.	Найти —, если z = —, х = е* у = 1 — e2t.
dt	x
1896.	Найти —, если z = uv, где и и v — функции от х.
dx
1897.	Найти —, если z = хеу, где у — функция от х.
dx
1898.	Функция z = F(x, у) называется однородной, если
F(xt, yt) = tn ¦ F(x, у). Дифференцируя обе части этого равен-
равенства по t и полагая в результате t = 1, доказать теорему Эйлера об
dz dz
однородных функциях: х——\- у^— = nz.
ох ду
dz dz	x
1899.	Найти —— и —-, если z = —, где х = и — 2v, у = v + 2u.
аи ov	у
dz dz	dz dz
1900.	Пусть z = Fix, у). Выразить —— и —— через -j— и ——,
dx dy	du dv
если:
1) и = mx + ny, v = px + qy; 2) и = xy, v = y/x.
1901.	Пусть и = F(x, у), где х = r cos ip, у = r sin (p.
du du	du du
Выразить —— и —— через -j— и —— и показать, что
dr dip	dx dy
du\2 fldu\2 fdu\2	2
dr J \rdtp) \dx I ' \dy

192	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
1902.	Пусть z = у + F(u), где и = ж2 — у2. Доказать, что
у——Ь ж-— = ж для любой дифференцируемой функции Fiu).
Ох оу
1903.	Найти — из уравнений:
at
1)	z = Ах2 + 2Вху + Су2, х = sin t, у = cost;
2)	z = arctg -, ж = e2i + 1, у = e2i - 1.
1904.	Доказать, что если z = жу + xF(u), где и = у/ж, то
<9ж <9у
1905.	Доказать, что если z = yip[u), где и = ж2 — у2, то
	1	= ~^-
х ох у оу у2
dz dz	dz dz
1906.	Пусть z = Fix, у). Выразить -j— и -7— через -j— и -7—,
dx dy	du dv
если: 1) и = ж + 2y, v = x — у; 2) и = у/жу, и = ж + у.
§ 5. Производные неявных функций
1°. Уравнение F(x, у) = 0, имеющее решение (жо; J/o); опреде-
определяет в окрестности xq переменную у как непрерывную функцию х при
условии, что производная —- ф 0 и непрерывна в некоторой окрестно-
оу
сти точки (жо; уо).
Если сверх того, в окрестности точки (жо; Уо) существует и непре-
dF	dy
рывная производная ——, то неявная функция имеет производную ——,
dx	dx
определяемую формулой
dy dF/dx
dx dF/dy'
A)
2°. Уравнение F(x, у, z) = 0 при аналогичных условиях опре-
определяет z как неявную функцию х и у, имеющую частные производные
dz _ dF/dx dz _ dF/dy
~dx~~~ dF/dz' &y~~dF/dz'	()
Найти — из уравнений:
ах
1907. ж2 + у2 - 4ж + 6у = 0.

§5. Производные неявных функций	193
1908.	1) ж2/3 + у2/3 = а2/3; 2) хе2У - уе2х = 0.
1909.	Ах2 + 2Бжу + Су2 + 2?ж + 2Еу + F = 0.
Найти угловой коэффициент касательной к кривой:
1910.	ж2 + у2 = 10у в точке пересечения ее с прямой х = 3.
1911.	ж3 + у3 — 2ажу = 0 в точке ж = у = а.
1912.	Найти точки, в которых касательная к кривой ж2 + у2 +
+ 2ж — 2у = 2 параллельна: 1) Ох; 2) Оу.
Найти —— и —— из уравнений:
ох оу
1913.	ж2 + у2 + г2 - 6ж = 0. 1914. г2 = ху.
1915.	cos (аж + by — cz) = k(ax + by — cz).
1916.	Доказать, что если xyz = а3, то
dz dz
ох оу
1917.	Показать, что дифференциальному уравнению
dz dz
х7Г + у1Г = z
ох оу
удовлетворяет неявная функция z, определяемая уравнением (ко-
(конических поверхностей) z/x = <р(у/х).
dy
Найти — из уравнений:
dx
1918. ж2 - 4у2 = 4. 1919. ху + In у + In ж = 0.
1920. ж + у = еу1х. 1921. 2 cos (ж - 2у) = 2у - ж.
1922.	Найти угловой коэффициент касательной к кривой у2 —
— ху = 4 в точках пересечения ее с прямой ж = 3.
1923.	Пусть ж2 + у2 + z2 - 2zx = а2. Найти — и —.
Ох оу
1924.	2 sin (ж + 2у — 3z) = ж + 2у — 3z. Показать, что
dz_ д^_
дх ду
1925.	Показать, что дифференциальному уравнению
dz dz
т— + п— = 1
ох оу
удовлетворяет неявная функция z, определяемая уравнением (ци-
(цилиндрических поверхностей): ж — mz = <р{у — nz).

194	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
§ 6. Частные производные и полные дифференциалы
высших порядков
Пусть дана функция z = F(x, у), имеющая частные производные
OF OF тт
—— и ——. Частные производные от этих производных называются част-
Ох Оу
ными производными второго порядка. Они обозначаются:
d{dF/dx) 82F d{dF/dx) 82F
dx	dx2 '	dy	dx dy'
d(dF/dy) _ d2F d(dF/dx) _ 32F
dx	dydx'	dy	dy2
Аналогично определяются и обозначаются частные производные
третьего порядка и других высших порядков.
Смешанные производные, отличающиеся только порядком диффе-
дифференцирования, равны, если они непрерывны:
32F 32F 33F	33F	33F
и т. д.
dx dy dydx' dx2dy dxdydx dydx2
Получим следующую таблицу производных высших порядков:
82F d2F d2F
второго порядка -^-^, -г—?—, -тг^\
ох1 ох оу оу1
d3F d3F d3F d3F
третьего порядка ——,	,	, -jr^ и т. д.
Охй охгоу ох оуг Оуй
Полные дифференциалы высших порядков определяются так:
,2 d2z ;2 32z , , 32z
dd +2dd+
2
3z ,
dx2	^xdyW2 V
Символически это равенство можно записать так:
,2 f d , d , V
d z = [ — dx+ — dy ) z.
\дх	ду )
Аналогично	, „	„ -, з
d3z= ( — dx+—dy) z
\дх	ду )
и т. д.
1926.	Найти частные производные третьего порядка функции
z = х3 + х2у + у3.
d2z d2z
1927.	Проверить, что ———- = ——-— для функций:
ох оу оу ох
1) z = Sm{ax-by); 2)z = x2/y2; 3) z = In {x - 2y).

§6. Частные производные высших порядков	195
1928.	Найти частные производные четвертого порядка функции
и = ж4 + Зж2у2 - 2у4.
1929.	Найти частные производные третьего порядка функции
и = у/ж.
, (\ 1\	92s 92s 1
1930.	Пусть s = In I	; проверить, что ——— + -—— = —.
1931. Найти частные производные второго порядка функции
У
= arctg-.
(х tj \
	), то
а Ы
8 д\2	(\ Iх2
—	7.
ду)	\а Ъ,
1933. Доказать, что если u = arctg Bж — t), то
84 д2и
+ ~d~Wt
1934. Доказать, что если s = \/ах + Ы, то
8 8\2	2s
1935. Показать, что функция и = хе у1х удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению
д2и	/ ди ди\ д2и
2
дх ду \дх ду) ду
1936. Доказать, что если z = F(x, у) — однородная функция
га-го измерения, то
2d2z o d2z 2d2z . л.
Т 	 -I- /T1I	 -I- 11 	 — 11111 — 1 I 7
дх1	дх ду ду1
или символически
д , д\2
;- + y-j z = n{n-l)z.
дх д z
Указание. Равенство х	Ь у— = nz (см. задачу 1898) продиф-
dz ду
ференцировать: 1) по х; 2) по у, и результаты, умноженные соответ-
соответственно на ж и на у, сложить почленно.

196	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
д 9х2
1937. Проверить равенство ж-—\- у—- z = n(n — l)z для
V дх ду)
II
однородных функций: 1) z = х2 + ху + у2; 2) z = —; 3) z =
х1 — у1
2
1938.	Найти d2u, если: 1) и = ^-; 2) и = х In -.
Ж	X
1939.	Доказать, что если z = cos (mx + ny), то Й2,г =
= —z(mdx + ndyJ.
1940.	Доказать, что если z = In (аж + 6y), то:
1) d3z = 2dz3-1 2) rfn^= (-l)»-i(n- l)!^n.
1941.	Доказать, что если г = -F(m, и), где и = тож + пу и и =
д д\2 d2z ( д д
= рж+gy, то —— = то — + p— z,	= то — + p— X
<9ж2 \ ди dv J ox oy \ ди dv '
д д\ d2z ( д д
i	h q— z, —r- = n	h q —
ou dv J oy2 \ ou dv
d2z d2z d2z
1942.	Преобразовать выражение —— —4——-—ЬЗ^—-^ к новым
<9ж2 ох ду ду2
переменным и = 3ж + уии = ж + у (см. задачу 1941).
d2z d2z d2z
1943.	Преобразовать выражение ¦——- —4-—-—1-4--— к новым
дх2 дх ду ду2
переменным и = 2ж + уии = у (см. задачу 1941).
1944.	Доказать, что если z = F(u, v), где и и v — функции от
ж и у, то
d2z _ Л./ д , ../ д\\ , ..// dz , ..// 9г
d2z d2z
Определить аналогично ——— и —-—.
ox oy oyz
d2z d2z
1945. Преобразовать выражение ж2^—— — y2^—^; к новым пере-
<9ж2 ду2
менным и = ху и v = у/ж (см. задачу 1944).
д2 z I d2z I dz
—— -\—^тг^ Н—тг
or; r; OLpZ r ог
переменным ж = rcostp и у = rsmtp (см. задачу 1944).
д z I dz I dz
1946. Преобразовать выражение —— -\—^тг^ Н—тг- к новым
or; r; OLpZ r ог

§6. Частные производные высших порядков	197
1947. Найти частные производные второго порядка функции
х2
1-2у
1948. Найти частные производные третьего порядка функции
х
ху
1949. Доказать, что если z = 	, то
х - у
$h	82z 82z	2
дх2 дх ду ду2 х — у
1950. Доказать, что если s = In (ax — bt), то
д д\3
х	\-1— s = 2.
дх at I
1951. Доказать, что если z = 2 cos2 I ж	], то
d2z d2z
2 +	()
1952.	Доказать, что если z = ех/у, то у———- = —	——.
ох ду ду дх
1953.	Пусть u = In х. Найти d2u и d3u.
d2z 9d2z
1954.	Преобразовать выражение —— — a -^—^ к новым пере-
дх2	ду2
менным u = ax-\-ynv = ax — у (см. задачу 1941).
d2z	d2z
1955.	Преобразовать выражение х—— + у——— к новым пере-
oxz ох оу
У
менным и = у и v = — (см. задачу 1944).
xf(x)	/у\
1956.	Показать, что функция и =	\- <р — при любых
у	\xJ
дважды дифференцируемых функциях / и <р удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
д2и 2°2и ои	ои
хуя я + у тгч + х— + 2у— = 0.
ох оу oyz ох оу

198	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
§ 7. Интегрирование полных дифференциалов
1°. Чтобы выражение Р dx + Qdy, где Р и Q — дифференцируе-
дифференцируемые функции х и у, было полным дифференциалом du, необходимо и
dP 8Q
достаточно выполнение условия —— = -^—.
ду дх
ди	ди
Для нахождения и из условий —— = Р и —— = и получим и =
дх	ду
= JPdx + ipi(y), и = J Q dy + ip2{x). Выписав из первого выражения
все известные члены, а из второго — члены с у, недостающие в первом,
получим функцию и.
2°. Чтобы выражение Р dx + Q dy + Rdz, где Р, Q и R — диффе-
дифференцируемые функции от х, у и z, было полным дифференциалом du,
необходимо и достаточно выполнение условий:
дР _dQ dP_dR 3Q_dR
ду дх dz дх' dz ду '
Для нахождения и имеем:
и= Р dx + ipi(y, z), u= Qdy + ip2{x, z), и = Rdz + (p3(x, у).
Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго и
третьего — недостающие члены с у и z, получим функцию и.
Нахождение функции по ее полному дифференциалу называется ин-
интегрированием полного дифференциала.
Проверить, что следующее выражение является полным диф-
дифференциалом du, и найти и:
1957.	Bх + у) dx + (ж - 2у - 3) dy.
1958.	х sin 2y dx + ж2 cos 2y dy.
t' х	\
1959.	(ж + In у) dx + - + sin у) dy.
\У	)
х dy — у dx
1960. 	1	^—.
ж2 + у2
1961.	(yz - 2ж) dx + (xz + y)dy+ (xy - z) dz.
Проверить, что следующее выражение является полным диф-
дифференциалом du, и найти и:
1963.	(у2 -l)dx+ Bжу + Зу) dy.
1964.	(sin 2y — ytg ж) dx + Bж cos 2y + In cos ж + 2у) <iy.

§8. Особые точки плоской кривой	199
,	sin y\	( sin 2w \
1965. у	^- dx + ж Н	 + 1 dy.
х1	\	х	/
1966.t
I x
1967.	(In у -cos2z)dx+ (- + z) dy+(y + 2x sin 2z) а\г.
dx — 3 dy 3y — z
1968.	 + * 2 а\г.
§ 8. Особые точки плоской кривой
Точка кривой F(x, у) = 0 называется особой, если в этой точке
dF	8F
— = 0 и — = 0.
а ж	а ?/
Угловой коэффициент к = у' касательной в такой точке находится из
уравнения А + 2Вк + Ск2 = 0, где А, В и С — значения производных
д2р д2р д2р
„ _ , ——;— и „ _ в этой особой точке. Лри этом возможны три случая:
ох1 ох ду ду1
1)	В2 — АС > 0 — две касательные; точка называется узлом;
2)	В2 — АС < 0 — нет касательной; точка изолированная;
3)	В2 — АС = 0 — или изолированная точка, или точка возврата,
или точка самосоприкосновения; в точках возврата и самосоприкосно-
самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям кривой.
Чтобы в третьем, сомнительном, случае решить вопрос окончательно,
нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестно-
окрестности исследуемой точки.
Определить области расположения, точки пересечения с осями
координат, особые точки кривых и построить кривые:
1969. х3 + х2 - у2 = 0. 1970. у2 = (х + 2K.
1971. х3 - х2 - у2 = 0. 1972. у2 + ж4 - х2 = 0.
1973. (у- хJ = х3.	1974. у2 = х(х - 2J.
Определить области расположения, особые точки и асимптоты
кривых и построить кривые:
1975. (ж + 2аK + ху2 = 0. 1976. ж3 - у3 - Ъу2 = 0.
1977. ж3 + у3 - Заху = 0. 1978. у2(х2 - а2) = ж4.

200	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
Определить области расположения, точки пересечения с осями
координат, особые точки кривых и построить кривые:
1979. у2 + ж3 - 2ж2 = 0. 1980. а2у2 = x2Bax - ж2).
1981. у2 = ж(ж + 2J.	1982. ху2 = (ж + аK.
1983. Ау2 = х5 + 5ж4.	1984. у2 - ж4 + х2 = 0.
1985.	Найти точки пересечения с осями координат, утах, осо-
особую точку и асимптоту кривой 4ж2 — у2 + ж3 — у3 = 0 и построить
кривую.
Определить области расположения, особые точки и асимптоты
кривых:
1986.	1) у2Bа — ж) = ж(ж — аJ (строфоида);
2)	а2(ж2 + у2)=ж2у2.
1987.	1) ж(ж2 + у2) = а(х2 - у2); 2) а(ж2 + у2) = ж(ж2 - у2).
§ 9. Огибающая семейства плоских кривых
Кривая называется огибающей семейства кривых F(x, у, а) = 0,
если: 1) она касается каждой кривой семейства; 2) каждая ее точка явля-
является точкой ее касания с кривой семейства, отличной от нее самой.
Огибающая семейства кривых F(x, у, а) = 0, если она существует,
находится исключением параметра а из уравнений
F(x, у, а) = 0 и F'a{x, у, а) = 0.
Может, однако, случиться, что полученная этим способом кривая бу-
будет не огибающей, а геометрическим местом особых точек кривых се-
семейства (см. ответ к задаче 1990, 2)).
Найти огибающую семейства кривых и построить огибающую
и кривые семейства:
1988.	1) у = ах + а2;	2) у = ах2 + -.
1989.	1) (ж - аJ + у2 = R2; 2) 4ау = (ж - аJ.
1990.	1) у - 1 = (ж - аJ; 2) (у - IK = (ж - аJ;
3)	(у - IJ = (ж - аK; 4) 9(у - аJ = (ж - аK.
1991.	Отрезок постоянной длины а скользит своими концами
по координатным осям. Найти огибающую семейства таких от-
отрезков.
1992.	Найти огибающую семейства окружностей, проходящих
через начало координат и имеющих центр на параболе у2 = Ах.
1993.	Найти огибающую семейства окружностей, имеющих диа-
диаметрами радиус-векторы точек гиперболы ху = а2.

§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности	201
1994. Из начала координат выпускается снаряд с начальной
скоростью Ь под углом а к оси Ох. Найти огибающую семейства
траекторий при различных а.
1995.	Найти огибающую: 1) семейства прямых х cos ot-\-y sin a —
— р = 0 при постоянном р; 2) семейства прямых у = ах -\	;
а
3) семейства кубических парабол у — 1 = (ж — аK.
1996.	Найти огибающую семейства окружностей с центрами на
оси Ох, радиусами которых служат соответствующие ординаты
параболы у2 = Ах.
1997.	Найти огибающую семейства эллипсов — -\—- = 1 при
а1 Ь1
условии, что сумма полуосей имеет постоянную длину /.
1998.	Найти огибающую семейства парабол, имеющих ось сим-
симметрии, параллельную оси Оу, и проходящих через точки ( — а; 0);
(За; 0) и @; За2) при различных а.
§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением F(x, у, z) = 0; возьмем на ней
точку М(х; у; z).
Уравнения нормали к поверхности в этой точке будут
Х-х = Y -у = Z-z
dF/дх dF/dy dF/dz'	[ '
Уравнение касательной плоскости:
дх	ду	dz
В уравнениях A) и B) X, Y, Z — текущие координаты нормали или
касательной плоскости.
^т Г OF OF OF X
Вектор N < -7—; ^—: —— > назовем нормальным вектором поверхно-
LОх оу oz )
сти.
Если на поверхности есть точка, в которой ^— = 0, ^— = 0,
Ох	оу
-—- = 0, то она называется особой. В такой точке нет ни касательной
Oz
плоскости, ни нормали к поверхности.
Написать уравнения касательной плоскости к поверхности:
1999.	z = х2 + 2у2 в точке A; 1; 3).

202	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
2000.	ху = z2 в точке (ж0; Уо! zo)-
2001.	xyz = а3 в точке (ж0; Уо! ^о)-
2	2	2
2002.	—т + тт	о = х в точке (ж0; у0; ^о) и в точке (а; Ь; с).
or bz cz
2003.	Определить плоскость, касательную к поверхности ж +
+ 4у2 + z2 = 36 и параллельную плоскости х -\- у — z = 0.
2004.	Написать уравнения нормали в точке C; 4; 5) к поверх-
поверхности конуса х2 -\- у2 = z2. В какой точке конуса нормаль неопре-
неопределенна?
2005.	Найти углы с осями координат нормали к поверхности
х2 + у2 — xz — уг = 0в точке @; 2; 2).
2006.	Написать уравнения нормали к поверхности x2z+y2z = 4
в точке ( — 2; 0; 1). Построить нормаль и поверхность.
2007.	Показать, что касательные плоскости к поверхности xyz =
= а2 образуют с плоскостями координат пирамиды постоянного
объема.
2008.	Показать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на
осях координат плоскостью, касательной к поверхности ж2/3 +
+ У2/3 + z2l3 = а2!3, равна постоянной величине а2.
2009.	Найти расстояние начала координат от касательной плос-
кости к геликоиду у = ж tg — в точке (а; а; тга/4). Построить по-
поверхность по сечениям: z = 0; тга/4; тга/2; тга.
2010.	Написать уравнение касательной плоскости к поверхно-
поверхности az = х2 + у2 в точках пересечения ее с прямой х = у = z.
х2
2011.	Показать, что касательная плоскость к поверхности — +
аг
у2 z2
+ — Н—- = 1 в точке на ней (ж0; Уо; z0) определяется уравнением
	 	 zzo ,
а2 ^ Ь2 ^ с2
2012.	Написать уравнения нормали к поверхности ж2 + у2 —
— {z — 5J = 0 в точке D; 3; 0). Построить в первом октанте по-
поверхность и нормаль.
2013.	Найти углы с осями координат нормали к поверхности
2z = х2 — у2 в точке B; 2; 0).
2014.	Найти расстояние начала координат от касательной плос-
плоскости к коноиду Bа2 — ^2)ж2 — а2у2 = 0 в точке (а; а; а).

§11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней	203
2015.	Показать, что сумма отрезков, отсекаемых на осях коор-
координат плоскостью, касательной к поверхности ж1/2 + у1/2 + zll2 =
= а1'2, равна постоянной величине а.
2016.	В какой точке касательная плоскость к поверхности z =
= 4 — ж2 — у2 параллельна: 1) плоскости хОу; 2) плоскости 2ж +
+ 2у + z = 0? Написать уравнения этих касательных плоскостей.
§ 11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней.
Производная в данном направлении. Градиент
Уравнение « = F(x, у) определяет « в каждой точке (х; у) некоторой
области, которая называется полем скаляра и. Вдоль каждой из линий
F(x, у) = «1, F(x, у) = «2; • • •; гДе ыъ U2, ¦ ¦ ¦ — постоянные, скаляр «
остается постоянным и меняется только при переходе точки (х; у) с од-
одной линии на другую. Эти линии называются изолиниями (изотермами,
изобарами и т. п.) или линиями уровней.
Уравнение и = F(x, у, z) определяет поле скаляра и в некоторой
части трехмерного пространства. Изоповерхностями, или поверхно-
поверхностями уровней будут
F(x,y, z) = «i, F(x, у, z) = «2, •••
Пусть точка (х; у; z) перемещается по прямой х = хо + I cos а, у =
= 2/о + /cos/3, z = zq + /cos7 со скоростью — = 1. Тогда скаляр
at
и = F(x, у, z) будет изменяться со скоростью
du
v = — =
dt
du
— —
dl
dF

dx
cos a -j
dF
-
dy
cos /3
dF
-J-
dz
cos 7 =
^л Г dF dF dF \
где IN •; ——; ——; —— > — нормальный вектор изоповерхности, а
Lox ay oz J
lojcosa; cos/3; cos7} — единичный вектор направления 1.
Производная
du dF	dF o dF	^ ,
—- = —— cos a + —— cos /3 + —— cos 7 = JN • l0
dl dx	dy	dz
называется производной от функции и = F(x, у, z) в данном напра-
направлении lojcosa; cos/3; cos7}-
Градиентом скаляра и = F(x, у, z) называется вектор grad « =
du. du. du1
= —— 1 + -—-j + -—-k. 1 радиент есть вектор скорости наибыстрейшего
dx dy dz
изменения скаляра и.
2017. Пусть z = 4 — ж2 — у2. Построить линии уровней и grad z
в точке АA; 2).

204	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
У
2018.	Пусть z = arctg —. Построить линии уровней и gvadz:
х
1) в любой точке прямой у = ж; 2) в любой точке прямой
у = — ж, в частности в точках A/2; ±1/2), A; ±1), ...
2019.	Горизонтали возвышенности определяются уравнением
х2
h = 20	у2. Построить горизонтали, соответствующие от-
отметкам h = 20 м, 19 м, 18 м, 16 м и 11м. Направление grad/i
определяет здесь направление линии наиболее крутого ската, а ве-
величина — крутизну этого ската возвышенности. Построить grad/i
в точке х = 2 и у = 1.
2020.	Найти наибольшую крутизну поверхности z2 = xy в
точке D; 2).
2021.	Найти производную функции u = In (ех + еу) в напра-
направлении, параллельном биссектрисе координатного угла.
2022.	Найти производную функции и = х2 + у2 + z2 в точке
A; 1; 1) в направлении I{cos45°; cos60°; cos60°} и найти gradM
в той же точке и его длину. Построить поверхности уровней.
2023.	Построить поверхности уровней скаляра и = х2 + у2 —
— 2z и найти и построить gradM в точках пересечения оси Ох с
поверхностью и = 4.
ж2 у2 г2
2024.	Найти производную функции и=—-|—- Н—-в точке
а2 Ъ2 с2
(а; Ь; с) в направлении радиус-вектора этой точки.
2025.	Пусть z = —^	тт. Построить линии уровней и gr&dz в
ж2 + у2
точке ( —1; 2) и найти |grad,2 .
du
2026.	Пусть и = xyz. Найти производную —- в направлении,
al
составляющем с осями координат равные углы, в любой точке и
в точке A; 2; 1).
2027.	Построить поверхности уровней скаляра и = х2 -\-у2 — z2,
определить gradM на поверхности, проходящей через начало коор-
координат, и построить его в тех точках этой поверхности, в которых
у = 0 и z = 2.
2028.	Пусть и = уж2 + у2 + z2. Найти gradM и его длину.
о	9
2029.	Построить изоповерхности поля функции и =	-
с а2 Ъ2
и найти производную от и в точке (а; Ь; с) в направлении радиус-
вектора этой точки.

§ 12. Экстремум функции двух переменных	205
§ 12. Экстремум функции двух переменных
1°. Необходимые условия. Функция z = F(x, у) может иметь
dF	OF
экстремум только в точках, в которых —— = 0 и —— = и. <3ти точки
ох	оу
называются критическими.
2°. Достаточные условия. Обозначим через А, В ж С значения
d2F d2F d2F
производных	, ——— и	в критической точке (xq; уо).
ох1 ох оу оу1
Тогда, если:
1)
i A
2)
> 0, то F(x0, ?/о) = zma,x при А < 0, F(x0, у0) = z,
mm
< 0, то экстремума нет;
= 0, то экстремум может быть, а может и не быть (сомни-
А В
В С
при А > 0;
А В
В С
А В
В С
тельный случай).
3°. Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции
z = F(x, у) при условии, что х ж у связаны уравнением (р(х, у) = 0,
составим вспомогательную функцию и = F(x, у) + \<р(х, у).
Координаты экстремальной точки (х; у) должны удовлетворить трем
ди	ди
уравнениям: ср(х, у) = 0, — = 0, — = 0, из которых и находятся А,
х и у.
Найти экстремум функции:
2030.	z = ж2 - ху + у2 + 9ж - 6у + 20.
2031.	z = у^/х - у2 - ж + 6у.
2032.	z = х3 + 8у3 - бжу + 1.
2033.	z = 2жу - 4ж - 2у.	2034. z = ех12{х + у2).
2035.	z = sin ж + sin у + sin (ж + у) при 0 ^ ж ^ 7г/2 и 0 ^
^ У ^ тг/2-
2036.	z = - + - при ж + у = 2.
ж у
2037.	г = ж + у при — + — = -.
ж2 у2 2
2038.	Определить размеры прямоугольного открытого бассейна,
имеющего наименьшую поверхность при условии, что его объем
равен V.
2039.	Построить эллипс ж + 4у = 4 и прямую 2ж + Зу — 6 =
= 0 и на эллипсе найти точки, наиболее и наименее удаленные от
прямой.
2040.	На гиперболе ж2 — у2 = 4 найти точку, наименее удален-
удаленную от точки @; 2).

206	Гл. 11. Частные производные, полные дифференциалы
2041.	Определить размеры цилиндра наибольшего объема при
условии, что его полная поверхность равна S = б7гм .
2042.	1) В эллипс ж2 + Зу2 = 12 вписать равнобедренный тре-
треугольник с основанием, параллельным большой оси, так, чтобы
площадь треугольника была наибольшей.
2) Ось Ох расположена на границе двух сред. По какому пути
должен пройти луч света из точки А@; а) в точку В(с; —Ь), чтобы
затратить на прохождение этого расстояния наименьшее время
(а> 0, Ь> 0, с> 0)?
Указание. Нужно найти минимум функции Т =	1
v\ cos a V2 cos р
при условии a tg а-\-Ъ tg /3 = с, где djh^ — скорости света в двух средах,
а а и /3 — углы падения и преломления.
Найти экстремумы функций:
2043.	z = Зж + 6у - х2 - ху - у2.
2044.	z = х2 + у2 - 2х - А^/ху - 2у + 8.
2045.	z = 2х3 - ху2 + 5х2 + у2.
2046.	z = Зж2 - 2ж^у + у - 8ж + 8.
2047.	z = ху при условии, что ж2 + у2 = 2.
2048.	Найти наибольший объем прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда при условии, что длина его диагонали равна 2\/3.
2049.1) На параболе у2 = 4ж найти точку, наименее удаленную
от прямой ж — у + 4 = 0.
2	2
Ж	у
2) В эллипс —- + -— = 1 вписан прямоугольник наибольшей
az bz
площади. Найти эту площадь.
2050. Определить размеры конуса наибольшего объема при усло-
условии, что его боковая поверхность равна S.

Глава 12
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Понятие о дифференциальном уравнении
1°. Обыкновенным дифференциальным уравнением
п-т о порядка называется уравнение вида
F(x,y,y',y",...,yW)=0,	A)
где у = у(х) — искомая функция. Любая функция у = <р(х), обращаю-
обращающая уравнение A) в тождество, называется решением этого уравнения,
а график этой функции — интегральной кривой. Если решение за-
задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно называется интегралом
уравнения A).
Функция у = ip{x, С\, . . ., С'п), содержащая п независимых произ-
произвольных постоянных, называется общим решением уравнения A), если
она является его решением при любых значениях постоянных С\, ...
. . ., Сп. Если эта функция задается в неявном виде выражением
Ф(ж, у, С\, . . ., Сп) = 0, то это выражение называется общим инте-
интегралом уравнения A). Придавая в выражении у = <р(х, С\, . . ., Сп)
или в выражении Ф(ж, у, С\, . . ., С'п) = 0 определенные значения по-
постоянным С\, . . ., С'п, получаем частное решение или соответственно
частный интеграл уравнения A).
Обратно, имея семейство кривых, задаваемых уравнением
Ф(ж, у, С\, . . ., С'п) = 0, и исключая параметры С\, . . ., С'п из системы
уравнений
ЙФ	в,пФ
Ф = 0, — = 0, ... , -г—= 0,
ах	ах"
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида A), для ко-
которого Ф(ж, у, С\, . . ., С'п) = 0 является общим интегралом.
2°. Дифференциальное уравнение первого порядка
имеет вид
И}!
Решив уравнение B) относительно — если это возможно, получим
ах
C)

208	Гл. 12. Дифференциальные уравнения
flfj
Уравнение C) определяет наклон k = tg а = — = fix, у) инте-
dx
тральной кривой в точке (х; у), т. е. определяет поле направлений ин-
интегральных кривых.
Если в некоторой области функция f(x, у) непрерывна и имеет огра-
ограниченную частную производную f'y{x, у), то оказывается, что через каж-
каждую внутреннюю точку (xq; Уо) этой области пройдет единственная ин-
интегральная кривая.
В такой области уравнение C) имеет общее решение у = (р(х, С),
или общий интеграл Ф(х, у, С) = 0, из которого можно найти единст-
единственное частное решение, или единственный частный интеграл, удовле-
удовлетворяющие начальным условиям: у = у0 при х = Xq.
2051.	Проверить подстановкой, что функция у = Сж3 является
решением дифференциального уравнения Ъу — ху' = 0. Построить
интегральные кривые, проходящие через точки:
1) A; 1/3); 2) A; 1); 3) A; -1/3).
2052.	Проверить подстановкой, что дифференциальные уравне-
уравнения 1) у" + 4у = 0 и 2) у'" — 9у' = 0 имеют соответственно общие
решения: 1) у = С\ cos 2x + C*2 sin 2х и 2) у = С\ +С'2?3х + С^е~3х.
2053.	Построить параболы у = Сх2 при С = 0, ±1, ±2 и со-
составить дифференциальное уравнение семейства таких парабол.
2054.	Построить изображения семейства: 1) окружностей ж2 +
+ у2 = 2Сж, 2) парабол у = ж2 + 2Сж и составить их дифферен-
дифференциальные уравнения.
2055.	Построить изображения полей направлений, определяе-
определяемых каждым из уравнений:
l)df=y-, 2)d-l = y-x-1 3)d-l = y + x2.
ах х	ах	ах
2056.	Построить изображение поля направлений, определяе-
определяемого уравнением — = л/ж2 + у2, с помощью окружностей, вдоль
ах
dy 1 1 о q тт	f.
которых — = —; 1; 2; 3; ... Нарисовать приближенно интеграль-
ах 2
ную кривую, проходящую через начало координат.
§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка
с разделяющимися переменными.
Ортогональные траектории
1°. Дифференциальное уравнение первого порядка
Pdx + Qdy = 0,	A)
где Р и Q — функции х и у, называется уравнением с разделяющимися
переменными, если коэффициенты Р и Q при дифференциалах разлага-
разлагаются на множители, зависящие только от х или только от у, т. е. если

§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка	209
оно имеет вид
f(x)<p(y)dx + f1(x)<p1(y)dy = O.	B)
Разделив оба члена уравнения B) на <p{y)f\{x), получим
f(x)dx ipi{y)dy _
+	"	( '
Общим интегралом уравнения C), а следовательно, и B) будет
f(x)dx [ <pi(y)dy r,
D)
2°. Ортогональными траекториями семейства линий
F(x, у, а) = 0 называются линии, пересекающие линии данного семей-
семейства под прямым углом. Продифференцировав уравнение F(x, у, а) = О
по ж и исключив а из полученного и данного уравнений, получим диф-
дифференциальное уравнение линий данного семейства у' = f(x, у). То-
Тогда дифференциальным уравнением ортогональных траекторий будет
f{x, у)
В следующих дифференциальных уравнениях: 1) найти об-
общий интеграл; 2) построить несколько интегральных кривых;
3) найти частный интеграл по начальным условиям у = 4 при
х = -2:
2057. ху' -у = 0. 2058. ху' + у = 0.
2059. уу' + ж = 0. 2060. у' = у.
Найти общие интегралы уравнений:
2061. ж V + у = 0.	2062. ж + жу + у'(у + жу) = 0.
2063.	cp2dr+ (r -a) dip = 0.
2064.	2st2 ds = A + i2) <ft.
В следующих уравнениях найти общий и частный интегралы
по начальным условиям:
2065.	2у'фс = у, у = 1 при ж = 4.
2066.	у' = Bу + 1) ^ж, у = 1/2 при ж = 7г/4.
2067.	ж2у' + у2 = 0, у = 1 при ж = -1.
2068.	Построить интегральные кривые каждого из уравнений:
1) у'(ж2 — 4) = 2жу; 2) у' + ytgж = 0, проходящие через точки:
1) @; 1); 2) @; 1/2); 3) @; -1/2); 4) @; -1).
2069.	Найти кривую, проходящую через точку A; 1/3), если
угловой коэффициент касательной к ней в любой точке кривой
втрое больше углового коэффициента радиус-вектора точки каса-
касания.

210	Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2070.	Кривая проходит через точку А@; a), MN — произволь-
произвольная ордината кривой. Определить кривую из условия, что площадь
OAMN = as, где s — длина дуги AM.
2071.	Найти кривую, проходящую через точку (а; а), если под-
касательная в любой точке ее равна удвоенной абсциссе точки ка-
касания.
2072.	Найти кривую, проходящую через точку ( —1; — 2), если
поднормаль ее в каждой точке равна 2.
2073.	За какое время тело, нагретое до 100 °С, охладится до
25 °С в комнате с температурой 20 °С, если до 60 °С оно охлажда-
охлаждается за 10 мин? (По закону Ньютона скорость охлаждения пропор-
пропорциональна разности температур.)
2074.	Нагрузка на канат висячего моста (см. рис. 6) от каждой
единицы длины горизонтальной балки равна р. Пренебрегая весом
каната, найти его форму, если натяжение каната в низшей точке
принять за Н.
Указание. Возьмем на дуге ОС (рис. 6) произвольную точку М.
На часть каната ОМ будут действовать три силы: горизонтальная Н
(влево от точки М), вертикальная — вес рх и тангенциальная сила на-
натяжения Т (вправо от точки М). Для равновесия сумма проекций сил
на Ох и Оу должна равняться 0.
2075.	Определить и построить кривую, проходящую через точку
Р( — а; а), если отрезок АВ любой касательной к ней, заключен-
заключенный между осями координат, делится точкой касания М пополам.
2076.	Найти ортогональные траектории семейства парабол ау =
= ж2. Построить их.
2077.	Найти ортогональные траектории семейства гипербол
ху = с.
2078.	Найти ортогональные траектории семейства полукубиче-
полукубических парабол ау2 = ж3.
2079.	Найти ортогональные траектории семейства эллипсов
Решить уравнения:
2080. у'х3 = 2у.	2081. (ж2 + х)у' = 2у+1.
2082. у'л/а2 + ж2 = у. 2083. A + ж2)у' + 1 + у2 = 0.
2084.	dr + r tg <~р dip =0; г = 2 при (р = тт.
2085.	у' = 2yfy\n ж; у = 1 при ж = е.
2086.	A + ж2)у' + ул/1 + х2 = ху; у =1 при ж = 0.
2087.	Определить кривую, проходящую через точку А( — 1; 1),
если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой ра-
равен квадрату ординаты точки касания.

§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка	211
2088.	Кривая проходит через точку А@; a), MN — произволь-
произвольная ордината кривой. Определить кривую из условия, что площадь
OAMN = a(MN -a).
2089.	Определить и построить кривую, проходящую через точку
( — 1; —1), для которой отрезок ОТ, отсекаемый на оси Ох каса-
касательной к кривой в любой ее точке, равен квадрату абсциссы точки
касания.
2090.	Найти ортогональные траектории семейства гипербол ж2 —
- 2у2 = а2.
2091.	Определить кривую, радиус-вектор любой точки которой
равен отрезку нормали между кривой и осью Ох.
2092.	Определить линию, если площадь, ограниченная осями
координат, этой линией и произвольной ее ординатой, равна 1/3
площади прямоугольника, построенного на координатах конечной
точки кривой.
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка:
1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли
1°. Однородное уравнение. Уравнение Р dx + Q dy = 0 назы-
называется однородным, если Р и Q — однородные функции от х и у оди-
г>	dy	(у\
накового измерения, Оно приводится к виду — = ш 1 — 1 и решается
dx	\х)
подстановкой — = « или у = их.
X
2°. Линейное уравнение. Дифференциальное уравнение назы-
называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функ-
функции у и всех ее производных. Линейное уравнение первого порядка
имеет вид у' + Ру = Q. Оно сводится к двум уравнениям с разделя-
разделяющимися переменными подстановкой у = uv. Другой способ решения
(вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала ре-
решаем уравнение у' + Ру = 0; получаем у = —Ae~Jpdx. Подставляем
это решение в данное уравнение, считая А функцией х, и затем находим
А' и А.
3°. Уравнение Бернулли у' + Ру = Qyn решается так же,
как и линейное, подстановкой у = uv или вариацией произвольной по-
постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой
z = y1~n.
Решить дифференциальные уравнения:
2093.	уу' = 2у - х.	2094. х2 + у2 - 2хуу' = 0.
ds s t	, Зу
2095. — =	.	2096. у' - — = х.
at t s	x
2097.	у' +21 = —.
х	х
2098.	у1 cos x — у sin x = sin 2ж.

212	Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2099. у'х + у = -ху2.	2100. у' - ху = -у3е~х2.
2101.	ху' cos — = у cos	х.
X	X
2102.	х2у' = у2 + ху.	2103. ху' + у = In x + 1.
2104.	ж2у2у' + уж3 = 1.
В задачах 2105-2107 найти частные интегралы по данным на-
начальным условиям:
2105.	у + л/ж2 + у2 - жу' = 0; у = 0 при ж = 1.
2106.	t24- = 2ts-3; s = 1 при t = -1.
at
2107.	жу' = у A + In -V у=—р при ж = 1.
V	ж/	л/е
2108.	Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке
которых есть среднее арифметическое координат точки касания.
2109.	Найти ортогональные траектории семейства окружностей
ж2 + у2 = 2аж.
2110.	Сила тока г в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией
L и электродвижущей силой Е удовлетворяет дифференциальному
уравнению
dt
Решить это уравнение, считая R и L постоянными, а электро-
электродвижущую силу Е линейно нарастающей: Е = Ы. Начальные
условия: г = 0 при t = 0.
2111.	Найти форму зеркала, отражающего все лучи, выходя-
выходящие из данной точки, параллельно данному направлению.
Указание. Рассматривая плоское сечение зеркала, примем в нем
данную точку за начало координат, а данное направление — за ось Оу.
Касательная к искомой кривой в точке М образует равные углы с ОМ и
осью Оу, т. е. отсекает на оси Оу отрезок ON = ОМ.
Решить дифференциальные уравнения:
2112. жу + у2 = Bж2 + жу)у'. 2113. (а2 + ж2)у' + жу = 1.
2114. жу' + 2^жу = у.	2115. Bж + 1)у' + у = ж.
2116. у' - у tgж = ctg ж.	2117. tds-2sdt = t3 In t dt.
2118. у' + жу = жу3.	2119. у' + у cos ж = sin 2ж.
У
2120. у' =У- --; у = 1 при ж = -1.
Xz X
2121. Зу2у' + У3 = ж + 1; у=-1 при ж = 1.

§4. Уравнения с дифференциалами произведения и частного 213
2122.	A - х2)у' - ху = ху2; у = О, 5 при х = О.
2123.	Определить кривую, проходящую через точку А(а; а),
если расстояние от начала координат до касательной в любой точке
кривой равно абсциссе этой точки.
§ 4. Дифференциальные уравнения, содержащие
дифференциалы произведения и частного
(у\ xdy-ydx ,{x\ ydx-xdy
d(xy) = x dy + у dx; d I- 1=	; d - = 	7}	.
\xJ	x2	\yj	y2
Такие уравнения иногда легко решаются, если соответственно поло-
«	У
жить ху = и, у = — или — = «, у = их.
X	X
Решить дифференциальные уравнения:
2124.	х2 dy + xydx = dx.	2125. у2х dy - у3 dx = х2 dy.
Указание. В примере 2125 уравнение приводится к виду
у d ( — ) = dy или у du = dy.
\xJ
2126.	у dx + (ж - у3) dy = 0.
2127.	ydx- (x- ys)dy= 0.
2128.	у cos x dx + sin x dy = cos 2x dx.
2129.	t-^- - s = s2 In t.	2130. ж V + 1 + x3yy' = 0.
2131. t2s dt + t3ds = dt. 2132. x dy - ydx = x2 dx.
2133. жу' + tg у = 2ж sec у. 2134. у {ye~xl2 + l) = жу'.
§ 5. Дифференциальные уравнения первого порядка
в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
1°. Если в дифференциальном уравнении
Р dx + Q dy = 0
dP 3Q
^— = -^—, то оно приобретает вид аи = 0 и его общий интеграл будет
ду ох
и = С.
2°. Если —— ф ——, то при некоторых условиях существует функция
ду дх
ц{х, у) такая, что цР dx + /j,Q dy = du. Эта функция ц{х, у) называется
интегрирующим множителем.

214	Гл. 12. Дифференциальные уравнения
Интегрирующий множитель легко найти в случаях:
1)	когда 			 = Ф(ж), тогда In// = /Ф(ж) dx;
Q
„.	dQ/дх-ЗР/ду ...	f.n,
2)	когда	 = Ф\{у), тогда In// = J ФДг/) ay.
Дифференциальные уравнения § 4 являются частными случаями урав-
уравнений, рассматриваемых в настоящем параграфе.
Решить следующие дифференциальные уравнения «в полных
дифференциалах»:
/ V2\	2у
2135.	4 - ^- dx + — dy = 0.
V x2j	х
2136.	Зж V dx + (х3еу - 1) dy = 0.
2137.	е~у dx + (l- xe~y) dy = 0.
2138.	2ж cos2 у dx + By - ж2 sin 2y) dy = 0.
Найти интегрирующие множители и решить дифференциаль-
дифференциальные уравнения:
2139.	(ж2 -y)dx + xdy = 0.
2140.	2ж tg у dx + (ж2 - 2 sin у) dy = 0.
2141.	(е2ж - у2) dx + ydy = 0.
2142.	A + Зж2 sin у) dx - ж ctg ydy = O.
Показать, что левые части следующих дифференциальных урав-
уравнений суть полные дифференциалы, и решить уравнения:
2143.	(Зж2 + 2у) dx + Bж - 3) dy = 0.
2144.	(Зж2у - 4жу2) dx + (ж3 - 4ж2у + 12у3) dy = 0.
2145.	(ж cos 2у + 1) dx - ж2 sin 2y dy = 0.
Найти интегрирующие множители и решить уравнения:
2146.	у2 dx + (уж - 1) dy = 0.
2147.	(ж2 - Зу2) dx + 2xydy = 0.
2148.	(sin ж + еу) tb + cos xdy = 0.
2149.	(ж sin у + у) dx + (ж2 cos у + ж In ж) <iy = 0.

§ 6. Уравнения Лагранжа и Клеро	215
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка,
не разрешенные относительно производной.
Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. Если уравнение F(x, у, у1) = 0 второй степени относительно у',
то оно имеет два решения относительно у': у' = f\(x, у) и у' = /г(ж, у),
непрерывных относительно х и у в некоторой области, а геометрически
определяет в любой точке (х^; г/о) этой области два направления инте-
интегральных кривых.
Такие дифференциальные уравнения F(x, у, у') = О, кроме общего
интеграла Ф(ж, у, С) = 0 и частных интегралов, иногда имеют еще осо-
особый интеграл, не содержащий произвольной постоянной и в то же время
не получающийся из общего ни при каком значении постоянной.
Особый интеграл, если он существует, можно получить, исключив
р = у' из уравнений F(x, у, р) = 0 и Fp(x, у, р) = 0 или же исключив
С из общего интеграла Ф(ж, у, С) = 0 и Ф^ = 0. Геометрически особый
интеграл определяет огибающую семейства интегральных кривых1).
2°. Уравнение Лагранжа
A)
где р = у', интегрируется следующим образом.
Продифференцировав A) по х, найдем:
dx
Это уравнение линейное относительно х и —. Решив его, получим:
ар
х = СА(р) + В(р).	B)
Уравнения A) и B) будут параметрически определять общий инте-
интеграл. Исключив из них параметр р (если это возможно), получим общий
интеграл в форме Ф(ж, у, С) = 0.
3°. Уравнение Клеро
у = рх + <р(р)	C)
является частным случаем уравнения Лагранжа. Оно имеет общий ин-
интеграл у = Cx-\-ip(C) и особый, получающийся исключением параметра
р из уравнений у = рх + ip(p) и х = —ip'(p).
2150. Построить несколько интегральных кривых уравнения
у'2 = 4у. Какие две интегральные кривые проходят через точку
()
) См. определение огибающей на с. 200

216	Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2151.	Построить интегральные кривые уравнения у'2 + у2 —
—	1 = 0. Какие две интегральные кривые проходят через точку
М(тг/2; 1Д/2)?
2152.	Показать, что интегральные кривые уравнения ху'2 —
—	2уу' + 4ж = 0 содержатся внутри острого угла между прямыми
у = ±2ж. Построить интегральные кривые, полагая в общем ин-
интеграле постоянную С = ±-, ±1, ±2 и т. д.
2153.	Решить уравнения:
1) УУ12 + У'(х - у) - х = 0; 2) ху12 + 2жу' - у = 0
и построить интегральные кривые.
2154.	Решить уравнения, не содержащие явно одной из пере-
переменных:
1) у = 1 + у'2; 2)х = 2у' - -^.
Указание. Обозначив у' через р, продифференцировать первое
уравнение по ж, а второе — по у.
2155.	Найти общие и особые интегралы уравнений Лагранжа:
1)у = ху'2 + у12; 2)у = 2ху'+\- 3) 2у = ^—.
У12	У'+ 2
2156.	Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и
построить интегральные кривые:
1) у = ху' -у12; 2) у = ху1 - a
2157.	Построить интегральные кривые уравнения у'2 + у = 1.
Какие две интегральные кривые проходят через точку М{1; 3/4)?
2158.	Решить уравнения, не содержащие явно одной из пере-
переменных: 1) у = у'2 + у'3; 2) х = пУ
* +У12
„2
2159.	Решить уравнение у = 2у'х
2160.	Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и
построить интегральные кривые:
1
у'1
2161.	Найти кривую, касательные к которой образуют с осями
координат треугольник постоянной площади, равной 2а2.
2162.	Найти кривую, касательная к которой отсекает на осях
координат отрезки, сумма которых равна а.

§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков	217
§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
1°. Уравнение вида у(п> = f(x) решается последовательным
n-кратным интегрированием правой части. При каждом интегрирова-
интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном ре-
результате — п произвольных постоянных.
2°. Уравнение F(x, у', у") = О, не содержащее у в явной форме,
подстановкой у' = р, у" = — приводится к виду
ах
*(*¦'¦?)=»¦
3°. Уравнение F(y, у', у") = 0, не содержащее х в явной форме,
„ ,	„ dp dp
подстановкой у = р, у = —— = р— приводится к виду
ах ау
F (,,,?) =0.
Решить уравнения:
2163. 1) у"' = —; начальные условия: у = 2, у' = 1, у" = 1
х6
при х = 1; 2) у" = 4cos2a;; у = 0, у' = 0 при ж = 0; 3) у" =
1
1 + ж2'
2164. ж3у" + ж2у' = 1.	2165. уу" + у'2 = 0.
2166. у"+у^ж = sin2a;. 2167. у"+2у(у'K = 0.
2168. у"ж1пж = у'.	2169. y"tgy = 2(у'J.
2170.	1) жу" - у' = ехх2;	2) у" + 2жу'2 = 0.
2171.	Определить кривую изгиба горизонтальной балки, один
конец которой наглухо заделан, а на другой действует сосредото-
сосредоточенная сила Р (весом балки пренебречь и считать изгиб настолько
малым, что 1 + у'2 рй 1).
2172.	Определить кривые, у которых радиус кривизны вдвое
больше длины нормали.
2173.	Определить кривые, у которых радиус кривизны равен
длине нормали.
2174.	На отрезке [0, 1] определить кривую, касающуюся оси
Ох в начале координат, если кривизна ее к = ж, т. е. равномерно
нарастает вдоль оси Ох [переходная кривая). Принять прибли-
приближенно, что 1 + у'2 рй 1.

218	Гл. 12. Дифференциальные уравнения
Решить уравнения:
1	1 О
2175.	у" = 	—; у = ^—, у' = 1 при х = j.
cos x	2	А
2176.	A + х2)у" + 2ху' = х3. 2177. у"у3 = 1.
d s ds
2178. 2уу" = (у1J.	2179Л—- + —+ J
-* -*	V'-' '	-74-У	-74-
2180. 2уу" = 1 + у'2.	2181. y"tgx = y'+l.
2182.	Определить кривые, у которых радиус кривизны равен
кубу длины нормали.
2183.	В интервале ( —7г/2, 7г/2) определить кривую, касающу-
касающуюся оси Ох в начале координат, если кривизна ее в любой точке
к = cos х.
§ 8. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Однородное линейное дифференциальное уравнение
у{п)+р1у{п-1) + ... + рпу = О,	A)
где pi — функции х, имеет общее решение вида
У = Сгуг +С2у2 + ¦¦¦ + Спуп,	B)
где ?/1, г/2, • • •, Уп — линейно независимые частные решения уравнения
A), а С\, С'2,, ¦ ¦ ., Сп — произвольные постоянные.
Если коэффициенты р\, р2, ¦ ¦ ., рп уравнения A) постоянны, то част-
частные решения 2/1, 2/2, • • •, Уп находятся с помощью характеристического
уравнения
rn+Plrn-1 + ...+pn = 0.	C)
1)	Каждому вещественному корню г = а уравнения C) кратности т
соответствуют т частных решений еах, хеах, . . ., хт~1еах.
2)	Каждой паре мнимых корней г = а ± /3i кратности т соответ-
соответствуют т пар частных решений:
eaxcos/3x, xeaxcos/3x, ..., хт~1еах cos/Зх,
eaxsml3x, xeaxsml3x, ..., хт-1еах sin/Зж.
Решить уравнения:
2184.	у" - V + Зу = 0.	2185. у" - Ау' + Ау = 0.
2186. у" - Ау' + 13у = 0.	2187. у" - Ау = 0.
2188. у" + Ау = 0.	2189. у" + Ау1 = 0.
d?x dx	d?p
2190. — + 3— - Ах = 0. 2191. 4-^ +/о = 0.
dtz dt	difz

§9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 219
2192.	-4 + 2-^ + 2s = 0; при t = 0 s = 1, s' = 1.
2193.	у'" - 5y" + 8y' - Ay = 0.
2194.	yIV - 16y = 0. 2195. y'" - Sy = 0.
2196.	y'" + Ъау" + 3a2y' + a3y = 0.
2197.	yIV + 4y = 0.	2198. 4yIV - 3y" - у = 0.
2199.	Определить уравнение колебаний маятника, состоящего
из массы то, подвешенной на нити длиной / (сопротивлением пре-
пренебречь и положить, что при малом угле а отклонения sin a рй a).
Определить период колебания.
2200.	Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Под
действием одного груза пружина удлиняется на а см. Определить
движение первого груза, если второй оборвется (сопротивлением
пренебречь). Определить период колебания.
2201.	Решить задачу 2200 с учетом сопротивления, пропорци-
пропорционального скорости движения.
Решить уравнения:
2202. у" + Ъу' + 2у = 0. 2203. у" + 2ау' + а2у = 0.
d х dx
2204. у" + 2у' + Ъу = 0. 2205. — - 2— - Зж = 0.
d2x „	d2s ds
2206. — + uj2x = 0.	2207. — + a— = 0.
a?J	(«^ ai
2208. ж« + 2if + Зж = 0. 2209. у'" - Ъу" + 4y = 0.
2210. yIV - Ъу" - 4y = 0. 2211. yIV + 8y" + 16y = 0.
2212. Найти интегральную кривую уравнения у" — у = 0, ка-
касающуюся в точке @; 0) прямой у = ж.
§ 9. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
1°. Основное свойство. Пусть даны уравнения:
?/") + Pij/"^ + • • • + РпУ = f{x) — неоднородное,	A)
") + Pij/™^ + • • • + РпУ = 0 — однородное	B)
и пусть « — общее решение уравнения B), а j/i — частное решение
уравнения A). Тогда общее решение у уравнения A) будет
у=и + у1.	C)

220
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2°. Метод неопределенных коэффициентов. При посто-
постоянных pi, P2, ¦ ¦ ¦, Рп частное решение у\ находится методом неопреде-
неопределенных коэффициентов в следующих случаях:
1)	f{x) — многочлен;
2)	f(x) = emx (a cos nx + Ъ sin nx);
3)	f(x) есть сумма или произведение предыдущих функций.
В этих случаях частное решение у\ имеет тот же вид, что и f(x),
отличаясь от нее только коэффициентами.
Исключения составляют особые случаи, когда:
1)	f(x) — многочлен, но г = 0 — корень характеристического урав-
уравнения кратности к;
2)	f(x) = emx (a cos nx + b sin nx), но г = m ± ni есть корень харак-
характеристического уравнения кратности к.
В этих особых случаях у\ отличается от f(x) не только коэффициен-
коэффициентами, но еще и множителем хк.
3°. Метод вариации произвольных постоянных. Более
общим приемом решения неоднородного линейного уравнения является
метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных.
Если 2/i и ?/2 — независимые частные решения уравнения у" + ру' +
+ qy = 0, то решение уравнения у"+ру' + qy = f(x) по методу Лагранжа
находится в виде у = Ау\ + Ву2, где А и В — функции х, удовлетворя-
удовлетворяющие системе уравнений
А'ух + В'у2 = 0,
A'y'1+B'y'2 = f(x).
Отсюда
A' = -b-
w =
2/i 2/2
Решить уравнения:
-"-2у' + у =
е2х
л^х«. у -ijyj-t, .	2214. у" - Ау = 8ж3.
2215.	у" + Зу' + 2у = sin 2ж + 2 cos 2ж.
2216.	у" + у = ж + 2ех.	2217. у" + Зу' = 9ж.
2218.	у" + 4у' + 5у = 5ж2 - 32ж + 5.
2219.	у" - Зу'+2у = ех.
d2x
2220.	—- + Рж = 2к sin &?.
ей2
2221.	у" - 2у = же-ж.	2222. у" - 2у' = ж2 -
2223.	у" + by' + 6у = е-ж + e~2:E.
2224.	ж + 2?;ж + 2А;2ж = Ък2 sin kt.

§ 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов 221
2225. у'" + у" = 6ж + е~х. 2226. yIV - 81у = 27е-3ж.
2227. х' + х = М2.	2228. у'" + 8у = е~2х.
2229. 1) ж + 4ж + 4ж = e~2t; 2) а3ж + аж = 1.
?
2230. у" + Ау = —i—.	2231. у" - 4у' + Ъу=	.
sin 2ж	cos ж
2232. у" -2у'+у = х~2ех. 2233. у" + у = tg ж.
1	e~2:E
2234. 1) у" +	" '
+ у; 2)у + 4у + 4у^.
2235. Единица массы движется по оси Ох под действием по-
постоянной силы а, направленной по оси, при сопротивлении дви-
движению, численно равном скорости движения. Найти закон дви-
движения, если при t = 0 имеем ж = 0 и скорость v = 0.
Решить уравнения:
2236. у" + у' - 2у = бж2.	2237. у" - by' + 6у = 13 sin Зж.
2238. у" + 2у' + у = еж.	2239. у" + у' + 2, 5у = 25 cos 2ж.
2240. 4у" - у = ж3 - 24ж.	2241. у" - у = е~х.
2242.	^ + 2j + 2S = 2i3-2.
dtz at
2243.	1) у" - 2my' + m2y = sin ни; 2) n3y" - 4ny = 8.
2244.	yIV + by" + 4y = 3 sin ж.
2245.	y'" - 3y" + 3y' - у = ex.
Следующие уравнения решить методом вариации произволь-
произвольных постоянных:
2246.	у" + Ay' + Ay = e~2x In ж.
2247.	1) у" + у=—1—-1 2)у" + 4у=^-.
cos^ ж	sin ж
2248. у" - 2у' + У =
ех
§ 10. Примеры дифференциальных уравнений
разных типов
Определить тип дифференциального уравнения и решить его:
2249. у'Н	^— = е-х.	2250. у' + у tgz = tgz.
1 + ж
2251. (ж - ж3)у' + Bж2 - 1)у = ж3.

222
Гл. 12. Дифференциальные уравнения
2252.	A + х2)у' + у(х - л/1 + ж2) = 0.
2253.	t2 ds + 2ts dt = ef dt. 2254. xy' = 4(y +
2255.	2жуу' = 2y2 + уУ +
2256.	жу" + у' = In ж.
2258. y" - m2y = e~mx
2260. жу' + у In - = 0.
' = ж2
2262. у'" - 2у" + у' = ж
<i3s (is
2264. -— - 3	2s =
й3 d?
2257. yy" - 2y'2 = 0.
2259. y'x In ж + у = 2 In ж.
2261. 2у' + у = у3(ж - 1).
2263. у" = у' + у'2.
2265.	1) sintds= D?sin2-
2266.	1) жy/+y(жtgж +
2267.	1) у" - Зу' + 2у =
=зес
dt; 2) уу'ж - у2 = 1.
; 2) у1" + у = е~х.
1 + е2ж	2) у^у = у'У-
2268.	Цилиндр радиуса а дм и массой то = а3 кг плавает в воде
при вертикальном положении оси. Найти период колебания, ко-
которое получится, если цилиндр немного погрузить в воду и затем
отпустить. Сопротивление движению принять приближенно рав-
равным нулю.
2269.	Полый железный шар с радиусами поверхностей а и 2а
имеет постоянную температуру внутренней поверхности 100 °С и
наружной 20 °С. Определить температуру внутри стенки на любом
расстоянии г от центра (а <^. г <^. 2а) и при г = 1, 6а.
Указание. Скорость падения температуры —— в проводнике со
аг
стационарным распределением температуры обратно пропорциональна
площади поперечного сечения.
§ 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера
п (п) _|	та—1 (та—1) _i_	_i_	l _\_		 ( \
+ 1	v ' +	+ та-1	+ п — { )
Частное решение однородного уравнения (при f(x) = 0) можно найти
в виде у = хг, где г — постоянное число. Для нахождения г нужно под-
подставить у = хт в однородное дифференциальное уравнение и решить
полученное характеристическое уравнение относительно г. При этом:
1)	каждому вещественному корню г = а кратности т соответствует
т частных решений ха, ха In ж, ха(\пхJ, . . .;
2)	каждой паре мнимых корней г = а±/3г кратности т соответствует
т пар частных решений:
ха cos (/3 In x), xa cos (/3 In x) In x, ...;
ха sin (p In x), xa sin (p In x) In x, ...

§ 12. Системы линейных дифференциальных уравнений	223
Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера решается мето-
методом вариации постоянных.
Решить уравнения:
2270.	1) х3у'" - Зжу' + Зу = 0; 2) ж2у" - 2у = 0;
3) х2у" + 2жу' - п(п + 1)у = 0.
2271.	1) х2у" + 5жу' + 4у = 0; 2) х2у" + ху' + у = 0.
2272.	1) жу" + 2у' = Юж; 2) ж2у" - 6у = 12 In ж.
2273.	1) х2у" - 2ху' +2у = 4ж;
2) ж3у" + Зж2у' + ху = 6 In ж.
2274.	1) ж2у" - 4жу' + 6у = ж5;
2) ж2у"+ жу' + у = ж.
§ 12. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Решить уравнения:
dx	dx dy
2275.	— + у = 0, — - -| = Зж + у.
dt	dt dt
dx	. dy	.
- + x-y = e\Jt-x + y = e<.
Указание к задаче 2275. Продифференцировав первое из уравне-
dy
ний по t, исключаем из трех уравнений у и —.
dt
2278. ж - 4ж + 4ж - у = 0,
У + 4у + 4у - 24ж = 16е*.
Решить уравнения:
2279.	ж + Зж + у = 0,
у-ж + у = 0, ж = 1, у = 1 при t = 0.
2280.	ж = у, у = ж + 2sh?.

224	Гл. 12. Дифференциальные уравнения
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения
в частных производных второго порядка
(метод характеристик)
2281. Найти общее решение (содержащее две произвольные
функции) уравнений:
дх ду	oyz	дхду х ду
дхду у
ди
Указание. Положить —— = z.
ду
d2z
2282.	Найти частное решение уравнения —— = 0 по началь-
oxz
о OZ	2	т
ным условиям: z = у , ^— = у при х = 1.
ох
2283.	Преобразовать уравнение
д2и д2и д2и
Ох2 Ох Оу Оу2
к канонической форме и найти его общее решение.
2284.	Преобразовать уравнение
од2и	д2и од2и
ж2— + 2ху—- + у2— = 0
oxz	ох оу oyz
к канонической форме и найти его общее решение.
В следующих дифференциальных уравнениях найти общие ре-
решения, а если даны начальные условия, то и частные решения:
998Г; d*U л д2и , А94 п
2285* а~Т ~ 4я я + 4 я^" = U-
аж аж оу oyz
д2и д2и	. ди
2286.	—^ - —— = 0; и = sin у, — = у при ж = 0.
ox1* oyz	ох
д2и д2и	ди
2287.	ж—- + Утг^Г = 0; и = 2у + 1, — = у при ж = 1.
dxz дх ду	дх

§ 13. Метод характеристик	225
2288. t2—^- - х2 —4 = 0: u = 2х2, —^ = х2 при i = 1.
dt2	ox2	at
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
d2u д2и ди	ди
2289. -— + —-— + — = 0; и = 0, — = -х - I при i = 0.
dt2 dxdt dt	dt	F
o 9и 9и	О9и	9и
2290. 4а2ж7—- - -— + 2а2-- = 0; и = 0, -— = аж при t = 0.
9ж2 от2	ox	at

Глава 13
ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Вычисление площади с помощью
двойного интеграла
1°. Двойным интегралом от непрерывной функции F(x, у), распро-
распространенным на ограниченную область (S) плоскости хОу, называется
предел соответствующей двумерной интегральной суммы:
F(х, у) dx dy = Km У^У^-^Ь yk)AxjAyk,
max Axt—f О ¦ ,
(S)	тД	' ft
где Axi = xi+i - Xi, Ayk = yk+i - yk и сумма распространена на те
значения г и к, для которых точки (ж8; ук) принадлежат области (S).
Площадь S области (S) определяется формулой
г г
S = I I dx dy.
2°. Если область (S) определяется неравенствами а ^ х ^ Ь, у\{х) <1
^ У ^ 2/2(ж), причем каждая из непрерывных кривых у = у\(х) и у =
= У'2,{х) пересекается с вертикалью х = X [х\ < X < жг) только в одной
точке, то
Ь	У2(х)
F(x,y)dxdy= I dx I F(x,y)dy,
(S)	о, У1(Х)
где при вычислении интеграла / F(x, у) dy величину х полагают по-
постоянной.
3°. Если область (S) определяется неравенствами h <^ у <С /, х\[у) ^
^ х ^ Х2(у), причем каждая из непрерывных кривых х = х\(у) и х =
= Х2(у) пересекается с горизонталью у = Y (у\ < У < г/г) только в
одной точке, то
f f
F(x, у) dx dy = I dy / F(x,y)dx,
(S)	h	Xl(y)

§ 1. Вычисление площади с помощью двойного интеграла 227
Г
где при вычислении интеграла / F(x, у) dx величину у полагают по-
Xl(y)
стоянной.
4°. Если область (S) определена в полярных координатах неравен-
неравенствами tpi <С tp <С ip2, fi(ip) <С г <С Г2(<р), то площадь этой области
S = I I r dr d<p = I d<p / r dr.
(S)	Vi ri(tp)
Записать с помощью двойных интегралов и вычислить пло-
площади, ограниченные линиями:
2292.	ху = 4, у = ж, ж = 4.
2293.	1) у = ж2, 4у = ж2, у = 4; 2) у = ж2, 4у = ж2, ж = ±2.
2294.	у2 = 4 +ж, ж + Зу = 0.
2295.	ау = х2 — 2ах, у = х.
2296.	у = 1пж, ж-у=1иу=-1.
2297.	Построить области, площади которых выражаются инте-
интегралами:
ах	а	Л/а ~У	а	\/2а2 — х2
1) j dx j dy; 2) j'dy j dx; 3) j dx j dy.
0	0	О	а —у	О	x
Изменить порядок интегрирования.
Указание. Чтобы получить уравнения линий, ограничивающих
область, нужно пределы интеграла по dx приравнять х, а пределы инте-
интеграла по dy приравнять у.
2298.	Построить области, площади которых выражаются ин-
1	2-х2	О	О
Г Г	Г Г
тегралами: 1) dx / dy; 2) dy / dx. Изменить порядок
О	х	—2 у2-А
интегрирования и вычислить площади.
2299.	Вычислить площадь, ограниченную линиями г =
= аA — coscp) и г = а и расположенную вне круга.
2300.	Вычислить площадь, ограниченную прямой rcosip = a
и окружностью г = 2а.
Вычислить площади, ограниченные линиями:
а2	„ж
2301.	жу = —, жу = 2а , у = —, у = 2ж.
Указание. В задаче 2301 выгодно перейти к новым координа-
координатам ху = и и у = vx, после чего площадь определяется по формуле

228
Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
! dv, где J =
и называется якобианом. В задаче 2302
дх ду
ди ди
дх ду
dv dv
положить у'2 = их, vy'2 = х3, а в задаче 2303 перейти к обобщенным
полярным координатам х = г cos3 ср и у = rsin3<?>.
2302.	у2 = ах, у2 = Wax, ay2 = ж3, Way2 = ж3.
2303.	ж2/3 + у2/3 = а2/3.
Вычислить площади, ограниченные линиями:
2304.	у = х2, у = х + 2.
2305.	ах = у2 - 2ау и у + ж = 0.
2306.	у = sin ж, у = cos ж и ж = 0.
2307.	у2 = а2 - ах, у = а + ж.
2308.	г = 4A + cos </?), г cos </? = 3 (справа от прямой).
2309.	г = а{1 — coscp), r = а и расположенную вне кардиоиды.
2310.	жу =1, жу = 8, у2 = ж, у2 = 8ж.
2311.	Построить области, площади которых выражаются инте-
интегралами:
Ь	х	a	\Jia?-y2	4	%-х
l)jdxjdy; 2) j dy j dx; 3) j dx j dy.
а	а
О	y^7	О
Изменить порядок интегрирования и вычислить площади.
§ 2. Центр масс и момент инерции площади
с равномерно распределенной массой
(при плотности =1)
Координаты центра масс площади S с равномерно распределенной
на ней массой:
S
Моменты инерции площади S:
JJ x dx dy	JJ у dx dy
Ус =
S
Jx =
у dx dy, Jy = I I x dx dy, Jo =
A)
¦dy. B)
(S)
(S)
(S)

§ 2. Центр масс и момент инерции площади	229
Определить центр масс площади, ограниченной линиями:
2312.	у = 0 и одной полуволной синусоиды у = sin ж.
2313.	у = ж2, ж = 4, у = 0. 2314. у2 = ах и у = ж.
2315.	ж2 + у2 = а2 и у = 0.
2316.	Определить центр масс площади, ограниченной астрои-
астроидой ж2'3 + у2'3 = а2'3 и осью Ох.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам
х = г cos ip и у = г sin у.
2317.	Определить моменты инерции Jx, Jy и Jo площади пря-
прямоугольника, ограниченного линиями ж = 0, ж = а, у = 0и
У = Ь.
2318.	Определить момент инерции относительно оси Ох пло-
площади, ограниченной линиями у = ж/2, х = а, у = а.
2319.	Определить момент инерции относительно оси Оу пло-
площади треугольника с вершинами А@; 2а), В (а; 0) и С(а; а).
В задачах 2320-2323 определить полярный момент инерции
площади, ограниченной линиями:
2320.	ж + у = а, ж = 0, у = 0. 2321. г2 = а2 cos 2(p.
2322.	Окружностью г = а.
2323.	у2 = ах, х = а.
Определить центр масс:
2324.	Полусегмента параболы у2 = аж, ж = а, у = 0 (при
у>0).
ж2 у2
2325.	Полуэллипса — + —г = 1, отсеченного осью Ож.
а2 о2
2326.	Определить момент инерции относительно оси Оу пло-
ж2
щади, ограниченной линиями у = а -\	, у = 2жиж = 0.
а
2327.	Определить момент инерции относительно оси Ох пло-
площади треугольника с вершинами АA; 1), -6B; 1), СC; 3).
Определить полярный момент инерции площади, ограничен-
ограниченной линиями:
2328.	- + - = 1, ж = 0, у = 0.
а о
2329.	у = 4-ж2иу = 0. 2330. г = аA - cos <p).

230	Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
§ 3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = F(x, у), сни-
снизу — плоскостью z = 0 и с боков — цилиндрической поверхностью,
вырезающей на плоскости хОу область (S), равен
ее	г г
V = I I z dx dy = II F(x, у) dx dy.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
2331.	z = ж2 + у2, х + у = 4, х = 0, у = 0, z = 0.
2332.	z = х + у + а, у2 = ах, х = a, z = 0, у = 0 (при у > 0).
2333.	(ж + уJ + az = а2, х = 0, у = 0, z = 0 (поверхность
построить по сечениям: х = 0, у = 0, z = 0, z = h ^ а; см.
задачу 546).
2334.	ж2 + у2 = а2, х2 + z2 = а2 (см. задачу 552).
2335.	z2 = ху, х = а, ж = 0, у = а, у = 0.
2336.	az = х2 - у2, z = 0, ж = а.
2337.	г2 = жу, ж + у = а.
2338.	ж + у + г = За, ж2 + у2 = а2, z = 0.
Указание. В задачах 2338-2344 перейти к полярным координа-
координатам.
2339.	z = тпх, х2 + у2 = а2, г = 0.
2340.	az = а2 - ж2 - у2, г = 0.
2341.	ж2 + у2 + z2 = 4а2, ж2 + у2 = а2 (вне цилиндра).
2342.	ж2 + у2 + z2 = а2, ж2 + у2 ± аж = 0 (внутри цилиндров).
2343.	Первым завитком геликоида у = ж tg - внутри цилиндра
а
ж2 + у2 = а2 и плоскостью z = 0.
2344.	г2 = 2аж, ж2 + у2 = аж.
z	х2 v2
2345.	- = 1- — - f-, г = 0.
с	а (И
Указание. В задачах 2345 и 2346 перейти к обобщенным (элли-
(эллиптическим) полярным координатам: х = ar cos <р, у = Ъг sin (p.
2346.	г = се(-2/а2)-0/2/ь2) И 4 + 4 = 1-
а2 б2
2347.	ж2/3 + у2/3 + z2/3 = а2/3 (положить ж = rcos3</?, у =
= г sin3 if).

§ 4. Площади кривых поверхностей	231
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
2348.	z = a - ж, у2 = ах и z = 0.
2349.	z = х2 + у2, у = ж2, у = 1, г = 0.
2350.	у2 + z2 = 4ах, у2 = ах, х = За (вне цилиндра).
™2	2	2	2
2351.	^+*1,^+*1.
а2 б2	а2 б2
2352.	Коноида ж2у2 + h2z2 = а2у2 при 0 ^ у ^ h (см. задачу
559).
2353.	ж2/3 + ^2/3 = а2/3, ж2/3 + у2/3 = а2/3.
2354.	4z = 16 — х2 — у2, z = 0, ж2 + у2 = 4 (вне цилиндра).
Указание. В задачах 2354—2358 перейти к полярным координа-
координатам.
2355.	z2 = (ж + аJ, ж2 + у2 = а2.
4
2356.	г = —	-, z = 0, ж2 + у2 = 1, ж2 + у2 = 4.
ж2 + у2
2357.	az = х2 + у2, г = 0, ж2 + у2 ± ах = 0.
2358.	az = а2 — х2 — у2, z = 0, ж2 + у2 ± аж = 0 (внутри
цилиндров).
ж2 у2 z2
2359.	— + и— + — = 1.
а2 б2 с2
Указание. Положить х = ar cos <p, у = br sin (р.
§ 4. Площади кривых поверхностей
Площадь а части поверхности F(x, у, z) = 0, проекция которой на
плоскость z = 0 определяет область (<тг), равна
V(/ЭхJ + (8Fjdyf + (9F/9^ л
о- = I I	,»^ ,»	ах dy =
\dF/dz\
N
Аналогично при проектировании на две другие координатные плос-
плоскости получим
[[ N	ff N
(Т= // T^TTTT^dz, <т= // .а„1а dydz.
Л |

232	Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
Вычислить площадь:
2360.	Поверхности цилиндра 2z = ж2, отсеченной плоскостями
у = х/2, у = 2х, х = 2лД.
2361.	Поверхности конуса z2 = 2xy, отсеченной плоскостями
х = а и у = а, при х ^ 0 и у ^ 0.
2362.	Поверхности конуса у2 -\- z2 = ж2, расположенной внутри
цилиндра ж2 + у2 = а2.
2363.	Поверхности а,г = ху, расположенной внутри цилиндра
х2 + у2 = а2.
2364.	Поверхности конуса ж2 + у2 = z2, расположенной внутри
цилиндра z2 = 2рх.
Вычислить площадь:
2365.	Поверхности цилиндра ж2 + z2 = а2, расположенной вну-
внутри цилиндра ж2 + у2 = а2.
2366.	Поверхности шара ж2 + у2 + ,г2 = а2, расположенной вну-
внутри цилиндров ж2 + у2 ± ах = 0.
2367.	Поверхности параболоида ж2 + у2 = 2az, расположенной
внутри цилиндра ж2 + у2 = За2.
2368.	С помощью двойного интеграла определить площадь ча-
части земной поверхности, ограниченной меридианами 0° и /3°, эква-
экватором и параллелью а°. Рассмотреть частный случай при а = 30°,
/3 = 60°.
§ 5. Тройной интеграл и его приложения
Тройным интегралом от функции f(x, у, z), распространенным на
область (V), называется предел соответствующей трехмерной интеграль-
интегральной суммы:
F(x, у, z) dx dydz= Km 7,7,7 yF(xi, Uj, zk)AxjAyjAzk,
max Дж, —f 0 . . ,
(V)	тахДщ->0 * J
max A^t—fO
где Axi = xi+i - X{, Ayj = yj+1 - yj, Azk = zk+1 - zk и сумма распро-
распространена на те значения j и к, для которых точки (жг-; yj\ zk) принадле-
принадлежат области (V).
Если область (V) определена неравенствами
а ^ х ^ Ъ, г/1 (х) ^ г/ ^ г/2(ж), ^(ж, г/) ^ z ^ г2(ж, г/),
то
f V 2 /*
F(x, у, z) dx dydz = dx dy / F(x,y,z)dz.
(V)	a	yi(x) Z!(x,y)

§ 5. Тройной интеграл и его приложения	233
При F(x, у, z) = 1 получаем объем V. Координаты центра масс одно-
однородного тела объемом V вычисляются по формулам:
1 [гг	1 [гг
хс= —	xdxdydz, ус = —	ydxdydz,
* J J J	* J J J
(У)	(У)
1 Г Г Г
Zc = 77 III zdxdydz.
v .1.1.1
(У)
2369. Определить объем тела, ограниченного поверхностями
у2, 2az = a2 — х2 — у2.
az = х2
2370.	Определить объем тела, ограниченного поверхностями
х2 + у2 - z2 = 0, х2 + у2 + z2 = а2, внутри конуса.
2371.	Показать, что поверхность конуса х2 + у2 — z2 = 0 делит
объем шара х2 + у2 + z2 = 2az в отношении 3 : 1.
2372.	Определить массу пирамиды, образованной плоскостями
х + у + z = а, ж = 0, у = 0, z = 0, если плотность в каждой ее
точке равна аппликате z этой точки.
Определить центр масс однородного тела, ограниченного по-
поверхностями:
2373.	х + у + z = а, ж = 0, у = 0, z = 0.
2374.	az = а2 - х2 - у2, z = 0.
Определить момент инерции относительно оси Oz тела, огра-
ограниченного поверхностями (плотность ц = 1):
2375.	х = 0, у = 0, у = a, z = 0, ж + z = а.
2376.	ж + у + г = алД, х2 + у2 = a2, z = 0.
2377.	Определить объем тела, ограниченного замкнутой по-
поверхностью:
¦\\ (-т2 J- ,,2 J- у2J — л3-т- 9\ (г2 _|_ „2 _|_ У2^2 _ ny(Jl _|_ „2\
I) (х -\- у -\- z ) —ах, ^) (х -\- у -\- z ) — az(x -\- у ).
Указание. Перейти к сферическим координатам по формулам х =
= г sin в cos <р, у = г sin в sin <p, z = r cos <p; элемент объема dV =
= г2 sin в dr dtpdO.
Определить объемы тел, ограниченных поверхностями:
2378.	az = х2 + у2, ж2 + у2 + z2 = 2а2.
2379.	ж2 + у2 - z2 = 0, z = 6 - ж2 - у2.
2380.	az = х2 + у2, z2 = ж2 + у2.
2381.	Определить массу тела, ограниченного поверхностями
ж2 + у2 — z2 = 0 и z = h, если плотность в каждой точке его
равна аппликате этой точки.

234	Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
2382.	Определить массу тела, ограниченного поверхностями
2ж + z = 2а, ж + z = а, у2 = аж, у = О
(при у > 0), если плотность в каждой его точке равна ординате у
этой точки.
2383.	Определить центр масс однородного полушара х2 + у2 +
+ г2 = а2, г = 0.
2384.	Определить момент инерции относительно оси Oz тела,
ограниченного поверхностями z2 = 2ax, z = 0, ж2 + у2 = ax.
2385.	Определить объем тела, ограниченного поверхностью
(ж2 + у2 + ,г2J = axyz (перейти к сферическим координатам) (см.
задачу 2377).
2386.	Определить массу сферического слоя между поверхно-
поверхностями ж2 + у2 + z2 = а2 и ж2 + у2 + z2 = 4а2, если плотность
в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию от точки
до начала координат (перейти к сферическим координатам).
§ 6. Криволинейный интеграл. Формула Грина
1°. Определение криволинейного интеграла. Пусть на
дуге АВ, спрямляемой кривой, определена непрерывная функция P(x,y,z).
Разобьем дугу на части точками А(хо; уо; zq), M\(x\; y\; z\), ...
..., Mn_i(a;n_i; ?/„_!; zn_i) иВ(хп; уп; zn) и пусть ж8--ж8-_1 = Аж8-. То-
п
гда Km Y] P(xi, ?/8, zAAxi называется криволинейным интегралом,
Ax,-yOi = 1
взятым по дуге АВ, и обозначается J Р(х, у, z)dx. Аналогично опреде-
АВ
ляются интегралы j Q(x, у, z) dy, j R(x, у, z) dz и j P dx + Q dy +
AB	AB	AB
+ Rdz как сумма предыдущих интегралов. Наконец, встречается еще
криволинейный интеграл вида
/ Р(х, у, z)ds = Km ^Р(ж8, yi, Zi)As{, где As; = M8_iM8.
AB
2°. Вычисление криволинейного интеграла. Пусть кри-
кривая АВ задана уравнениями х = f(t), у = <p{t), z = rp{t), а параметр t
при перемещении точки M(t) по дуге АВ в одном направлении изменя-
изменяется монотонно; тогда
IB
I P(x,y,z)dx = jp[f(t),
AB	tA

§6. Криволинейный интеграл. Формула Грина	235
т. е. все переменные и дифференциалы под знаком криволинейного ин-
интеграла нужно выразить через одну переменную (t) и ее дифференциал
(dt) из уравнений кривой.
3°. Механическое значение криволинейного интегра-
интеграла. Интеграл вида J Р dx + Q dу + Rdz определяет работу при переме-
АВ
щении единицы массы по дуге АВ в поле, образованном силой F{P; Q; R].
4°. Случай полного дифференциала. Если в некоторой обла-
области (V) Р dx + Q dy + Rdz = du, то j P dx + Q dy + Rdz = ив — и a,
АВ
т. е. равен разности значений функции и(х, у, z) в точках В ж А ж не
зависит от пути интегрирования АВ, взятого в области (V).
5°. Формула Грина
Pdx + Qdy= [[ (^- - —\ dx dy
JJ \дх ду J
(С)	(S)
преобразует криволинейный интеграл от Р dx + Q dy, взятый (против
часовой стрелки) по замкнутому контуру (С), в двойной интеграл по
области (S), ограниченной этим контуром.
6°. Площадь, ограниченная контуром (С):
1 Г
S = - Ф xdy-ydx.
(С)
Г
2387. Даны точки АB; 2) и ВB; 0). Вычислить / (ж + у) dx :
(С)
х2
х
1) по прямой О А; 2) по дуге О А параболы у = —; 3) по ломаной
ОБА.
2388.	Даны точки АD; 2) и ВB; 0). Вычислить
Г
/ (ж + у) dx — х dy :
•J
(С)
1) по прямой ОА; 2) по ломаной ОБА.
2389.	Решить задачу 2388 для интеграла
у dx + ж dy.
(С)
Почему здесь величина интеграла не зависит от пути интегриро-
интегрирования?

236	Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
2390.	Даны точки А(а; 0; 0), В (а; а; 0) и С (а; а; а). Вычи-
Вычислить интеграл
г
у dx + z dy + х dz
по прямой ОС и по ломаной О ABC
2391.	Поле образовано силой F{P; Q}, где Р = х — у, Q =
= х. Построить силу F в каждой вершине квадрата со сторонами
х = ±а и у = ±а и вычислить работу при перемещении единицы
массы по контуру квадрата.
2392.	Поле образовано силой F{P; Q}, где Р = х + у, Q =
= 2х. Построить силу F в начале каждой четверти окружности
х = a cost, у = a sin t и вычислить работу при перемещении еди-
единицы массы по окружности.
Решить эту же задачу при условии Р = х + у, Q = х. Почему
здесь работа равна 0?
2393.	Поле образовано силой F{y; а}. Определить работу при
перемещении массы m по контуру, образованному полуосями ко-
координат и первой четвертью эллипса х = a cost, у = bsmt.
2394.	Поле образовано силой F{a;; у; z}. Вычислить работу при
перемещении единицы массы по ломаной ОАВСО, соединяющей
точки О@; 0; 0), А@; а; 0), В (а; а; 0), С(а; а; а).
2395.	Написать и проверить формулу Грина для
(ж + у) dx — 2х dy
(С)
по контуру треугольника со сторонами х = 0, у = 0, х + у = а.
2396. Вычислить интегралы:
/г
2ху dx + х2 dy; 2) / cos 2y dx — 2х sin 2y dy;
АВ	АВ
г
3) / tg у dx + х sec у dy
АВ
по любой линии от точки АA; 7г/6) до В{2; 7г/4).
2397. Применив формулу Грина, вычислить интеграл
y2dx+ (x + yJdy
(С)
по контуру ААВС с вершинами А(а; 0), В(а; а) и С@; а).

§6. Криволинейный интеграл. Формула Грина	237
2398.	Определить криволинейным интегралом площадь элли-
эллипса ж = a cos t, у = b sin t.
2399.	Определить криволинейным интегралом площадь петли
кривой ж3 + ж2 — у2 = 0 (см. рис. 48 на с. 304).
Указание. Перейти к параметрическим уравнениям, положив у =
= xt.
2400.	Определить криволинейным интегралом площадь петли
декартова листа ж3 + у3 — Ъаху = 0 (см. указание к задаче 2399 и
рис. 79 на с. 334).
2401.	С какой силой притягивает масса М, равномерно рас-
распределенная по верхней полуокружности х2 + у2 = а2, массу то,
сосредоточенную в начале координат?
Указание. Пусть ц — линейная плотность, ds — элемент длины
полуокружности, 9 — угол радиус-вектора с осью Ох, а X и Y — про-
проекции силы притяжения. Тогда
kmjj, cos 9 ds	f ктц sin 9 ds
(с)	(с)
где к — гравитационная постоянная.
2402.	Даны точки А( — а; а) и В(а; а). С какой силой масса М,
равномерно распределенная по отрезку АВ, притягивает массу то,
сосредоточенную в точке @; 0).
2403.	Даны точки А(а; 0), -6@; а) и С ( — а; 0). С какой силой
масса М, равномерно распределенная по ломаной ABC, притяги-
притягивает массу то, сосредоточенную в начале координат.
2404.	Даны точки А@; 1), ВB; 5) и С@; 5). Вычислить
Г
/ (x + y)dx - 2ydy :
•J
(С)
1) по прямой АВ; 2) по дуге АВ параболы у = х2 + 1; 3) по
ломаной АСВ.
2405.	Даны точки А( — а; 0) и -6@; а). Вычислить работу силы
F{-P; Q}, где P = ynQ = y — х, при перемещении единицы
массы: 1) по прямой АВ; 2) по ломаной АОВ; 3) по дуге АВ
х2
параболы у = а	.
2406.	Показать, что
у dx + (ж + у) dy
(С)

238	Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив
интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями у = х и
у = 4.
2407.	Написать и проверить формулу Грина для интеграла
dx dy
у х '
(С)
взятого по контуру ААВС с вершинами АA; 1), -6B; 1) и СB; 2).
2408.	С помощью криволинейного интеграла определить пло-
площадь фигуры, ограниченной астроидой х = acos3i, у = asm3t.
2409.	С помощью криволинейного интеграла определить пло-
площадь, ограниченную кривой у2 + ж4 — х2 = 0. (Перейти к параме-
параметрическим уравнениям, положив у = xt.)
§ 7. Поверхностные интегралы.
Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса
1°. Поверхностные интегралы. Пусть F(x, у, z) — непре-
непрерывная функция и z = <р(х, у) — уравнение поверхности S, причем
д<р(х, у) д<р(х, у)
существуют 	^	 и 	^	 •
ох	ду
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой предел
интегральной суммы:
п
F(x, у, z) dS = lim у F(xi, yi, Zi)ASi,
n—foo -f—J
(S)	i = 1
где ASi — площадь г'-го элемента поверхности S, точка (ж8-; г/г-; z8) при-
принадлежит этому элементу, причем максимальный диаметр элементов
разбиения стремится к нулю. Если проекция а поверхности S на плос-
плоскость хОу однозначна, т. е. всякая прямая, параллельная оси Oz, пере-
пересекает поверхность S лишь в одной точке, то соответствующий поверх-
поверхностный интеграл первого типа может быть вычислен по формуле
F(x, у, z)dS =
(S)
F[x,y,<p{x,y)\\ll+
gy
Если Р = Р(х, у, z), Q = Q{x, у, z), R = R{x, у, z) — непре-
непрерывные функции и S+ — сторона поверхности S, характеризуемая на-
направлением внешней нормали n{cos a; cos/3; cos 7}, то соответствующий

§ 7. Поверхностные интегралы	239
поверхностный интеграл второго рода выражается следующим образом:
P dy dz + Q dz dx + Rdx dy = (P cos a + Q cos /3 + Rcos 7) dS.
(S + )	(S)
2°. Формула О ст ро г р а д ског о—Г ay cc a:
(Р cos а + Q cos 0 + R cos 7) ^S1 = / / / ( —	Ь -т;	h тг~ ) <^ж <^V <^,
УУУ \<9ж % dz J
где а, /3 и 7 — углы внешней нормали замкнутой поверхности S и осями
координат, а V — объем тела, ограниченного этой поверхностью. Пер-
Первый интеграл можно записать в виде
дх ' ^ ду ' dz
где F(x, у, z) = 0 — уравнение поверхности, a Sz — проекция S на
плоскость хиу.
3°. Формула Стокса:
Р dx + Q dy + R dz =
(с)
OR dQ\	(дР dR\ a (dQ dP\ 1 JO
	— cos a +	-— cos /3 +	— cos 7 \ dS,
dy dz J	\oz ox J	\ox ay J J
где a, /3, 7 — углы, образованные осями координат с нормалью к по-
поверхности S, направленной в ту ее сторону, с которой обход контура С
рассматривается происходящим против часовой стрелки.
2410.	Вычислить
(ж cos a + у cos /3 + z cos 7) dS
(S)
по верхней поверхности плоскости ж + у + z = а, расположенной в
первом октанте.
2411.	Вычислить
г г
/ / [ж2 cos (n, i) + у2 cos (n, j) + z2 cos (n, k)] dS
•J J
(S)
по верхней поверхности параболоида ж2 + у2 + 2az = а2, располо-
расположенной во втором октанте (где ж < 0, у > 0, z > 0).

240	Гл. 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы
f f ч ч	., dx dy
Указание. Приведя интеграл к виду / / (х + у + az )	 пе-
.).)	a
рейти к полярным координатам. Угол <р будет изменяться от тг/2 до тг.
2412.	Написать и проверить формулу Остроградского для ин-
интеграла
г г
[х cos (n, i) + у cos (n, j) + z cos (n, k)] dS,
(S)
взятого по поверхности шара x2 + у2 + z2 = a2.
2413.	Написать и проверить формулу Остроградского-Гаусса
для интеграла
г г
/ / [ж2 cos (n, i) + у2 cos (n, j) + z2 cos (n, k)] dS,
взятого по наружной поверхности тела, ограниченного поверхно-
поверхностями х2 + у2 + 2az = a2, x = 0, у = 0, z = 0, внутри первого
октанта.
Указание. Двойной интеграл по плоским граням тела равен 0,
ибо, например, на плоскости z = 0 и cos (n, i) = 0 и cos (n, j) = 0.
2414.	Полагая в формуле Остроградского-Гаусса Р = х, Q = у,
R = z, получить формулу для объема:
1 [ [
V = - [х cos a + у cos /3 + z cos 7] rfS*.
(S)
Вычислить по этой формуле объем эллипсоида
™2	2	^2
Ж	I/	2-
	Ь — Н	= 1
а2 Ь2 с2
ди
2415.	Полагая в формуле Остроградского-Гаусса Р = ——, Q =
аж
= — ий= —— (т. е. полагая вектор {Р; Q; R} равным
доказать, что
Audxdydz= // —dS,
J J dn
(V)	(S)
д2и д2и д2и
где Ди = ——т + -—г + -—г — оператор Лапласа.
дх2 ду2 dz2

§ 7. Поверхностные интегралы	241
2416.	Проверить полученную в предыдущей задаче формулу для
функции и = ж2 + у2 + z2 на поверхности х2 -\- у2 -\- z2 = a2.
2417.	Показать с помощью формулы Стокса, что
yz dx + xz dy + жу <1г
(С)
по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить это вы-
вычислением интеграла по контуру АОАВ с вершинами О@; 0; 0),
АA; 1;0) и 5A; 1; 1).
2418. Написать и проверить формулу Стокса для интеграла
(z - y)dx+ (х - z) dy+ (у - ж) dz,
(С)
взятого по контуру ААВС с вершинами А(а; 0; 0), -6@; а; 0) и
С@; 0; а).
Указание. Двойной интеграл можно взять по любой поверхности,
проходящей через периметр треугольника ABC, например по плоскости
х + у + z = а.
2419.	Написать и проверить формулу Остроградского-Гаусса
для интеграла
f f
/ / [ж3 cos (n, i) + у3 cos (n, j) + z3 cos (n, k)] dS,
(S)
взятого по поверхности шара ж2 + у2 + z2 = а2.
Указание. Тройной интеграл преобразовать к сферическим коор-
координатам.
2420.	Написать и проверить формулу Стокса для интеграла
x(z-y)dx + у(х - z)dy+ z(y - ж) dz
(С)
по контуру треугольника с вершинами А(а; 0; 0), -6@; а; 0) и
С@; 0; а) (см. указание к задаче 2418).
2421. С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить
ж3 dy dz + у3 dx dz + z3 dx dy,
(S)
взятый по наружной поверхности пирамиды, образованной плос-
плоскостями ж + у + z = а, ж = 0, у = 0, z = 0.

Глава 14
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
1°. Ряд Mi + и2 + из + • • • + ип + . . . называется сходящимся, если
сумма Sn его п первых членов при п —у оо стремится к конечному пре-
пределу S: Km Sn = S. Число S называется суммой сходящегося ряда.
П-УСО
Несходящийся ряд называется расходящимся.
Для сходимости ряда необходимо (но не достаточно), чтобы ип —у О
при п —у оо.
2°. Интегральный признак сходимости ряда с положитель-
положительными убывающими членами:
Если ип = f(n), где f(x) — убывающая функция, и
оо
(А, то ряд сходится,
fix) ах = <
v '	[оо, то ряд расходится.
1
3°. Признак Даламбера сходимости ряда с положительными
членами: если
{< 1, то ряд сходится,
> 1, то ряд расходится,
= 1, то вопрос остается нерешенным.
4°. Сравнение рядов с положительными членами:
Hi + и2 + и3 + . . . + ип + . . . ;	A)
v1+v2 + v3 + ... + vn + ...	B)
1)	Если ип ^ vn и ряд B) сходится, то сходится и ряд A).
2)	Если ип ;> vn и ряд B) расходится, то расходится и ряд A).
5°. Ряд с чередующимися знаками и\ — и2 + из — и$ + . . .
сходится, если и\ > и2 > из > . . . и Km un = 0.
n—f оо
6°. Аб со л ют н ая сходимость. Ряд
Щ +и2 +и3+. . . + ип +. . .	C)
сходится, если сходится ряд
\щ\ + \и2\+\и3\ +...+ \ип\ +...	D)

§ 1. Числовые ряды
243
В этом случае ряд C) называется абсолютно сходящимся. Если же
ряд C) сходится, а ряд D) расходится, то ряд C) называется условно
(неабсолютно) сходящимся.
Выполняется ли необходимое условие сходимости ряда:
6 8
Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:
2425.	1 + \ + \ + \ + ...
3 5 7
2426.	1 + -4= + А= + А= + ¦¦¦
2427
2428.
1 2
1
1 + 12 + 1 + 22 + 1 + 32
1	2	3
1
1
11
12 + х + 22 + 1 +
111
2430.	 +	 +	 + ...
2431.
З2 - 1 52 - 1 72 - 1
111
21п22 31п23 41п24 ¦"
Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда:
2 4 6 8
1-2 1-2-3
2434-1 + Гз + ПГ5 + -
3	З2	З3
2435.1+
2-3 ' 22-5
1	3!	5!
2436. - Н	1
2	24
+
7!
+ ...
2 2-4 2-4-6 2-4-6-8
1 5 9 13
2437. -= + ,	_ + ,	_ + ,	 + ...
/2 • З2 V3 • З3
/4-34

244	Гл.14. Ряды
Сравнением с гармоническим рядом или с убывающей прогрес-
прогрессией исследовать сходимость ряда:
111
1
^2 ПГз ^4 ^5
2441. Методом сравнения рядов показать, что ряд	 +
1 + xz
+	 +	 + ... при \х ^ 1 расходится, а при х\ > 1
1 + ж4 1 + хь
сходится.
Указание. Для сравнения в первом случае заменить х2, х4, х6, . . .
единицами, во втором случае отбросить в знаменателях единицы.
Найти сумму ряда:
Указание. Разложить ип на элементарные дроби.
2443.	1	1	Ь ...
1.44-77-10
Исследовать сходимость ряда:
2444. l-^L + ^L-L
V2 V3 \/4
111
2446. —- - —- +
2 In 2 3 In 3 4 In 4
sin a sin 2a sin 3a
2448. Показать, что сумма S условно сходящегося ряда 1	\-
1 1
Н	h • • • уменьшится вдвое, если после каждого положитель-
положительного члена ряда поместить два последующих отрицательных, и
увеличится в полтора раза, если после каждых двух положитель-
положительных членов поместить один отрицательный.

§2. Равномерная сходимость функционального ряда	245
Исследовать сходимость ряда:
2449. 1 + -*-= + -^-= + ...
3^3 5^5
1 + + + +
2451.	—Ц + —?-, + —^-j + ...
1 + I4 1 + 24 1 + З4
2452.	1 + | + | + ^ + ...
2455.| + 11 + «1
2 4 6
2456. - + - + - +
2457. 1 - 4= + 4=
7О	-«О	/I О
111
2459. 1 - — +
2 or
Найти сумму ряда:
2460. l	l	l
1-3 3-5 5-7
111
2461. —— + —— +
1-2-3 2-3-4 3-4-5
§ 2. Равномерная сходимость функционального ряда
1°. Совокупность значений х, при которых функциональный ряд
и1(х) + u2{x) + . . . + ип(х) + . . .	A)
сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Функция S(x) = Km Sn(x) называется его суммой, а разность
n—f оо
Rn(x) = S(x) — Sn(x) — остатком ряда.

246	Гл.14. Ряды
2°. Ряд A) называется равномерно сходящимся на отрезке [а, Ь],
если для всякого е > 0 можно найти такой номер N, что при п > N и
любом х на отрезке [а, 6] будет выполнено неравенство |Д„(ж)| < е.
3°. Признак равномерной сходимости. Ряд A) сходится
абсолютно и равномерно на отрезке [а, Ь], если существует числовой
сходящийся ряд с положительными членами
с\ + с2 + с3 + . . . + с„ + . . .
такой, что |и„(ж)| <С с„ при а <; х ^Ь.
2462.	Определить при |ж| < 1 сумму и остаток ряда 1 + ж +
+ ж2 + ж3 + ... и показать, что он сходится равномерно на отрезке
[О, 1/2]. При каком га остаток |_йга(ж)| < 0,001 для любого ж на
этом отрезке?
2463.	Показать, что ряд
ж + жA - ж) + жA - жJ + жA - жK + ...
сходится неравномерно на отрезке [0, 1] и равномерно на отрезке
[1/2, 1]. При каком га остаток |_йп(ж)| < 0,01 для любого ж на
отрезке [1/2, 1]?
9	"-1
Ж Ж	Ж
2464.	Показать, что ряд	1	... сходится равномерно
X А о
на отрезке [0, 1]. При каких га и любом ж на этом отрезке |_йп(ж)| <
< 0,1?
ж	ж
2465.	Показать, что ряд ж3 -\	 +	—— + ... сходится
1 + Xs A + ж3J
неравномерно при ж > 0 и равномерно при ж ^ 1. При каком га
остаток |_йп(ж)| < 0,001 для любого ж ^ 1?
2466.	Показать, что ряд
1 + ж Зл/1 + Зж
... сходится равномерно в интервале 0 ^ ж < со.
3V1 + 7ж
При каком га (и любом неотрицательном ж) остаток ряда |_йга(ж)| <
< 0,01?
Указание. Сравнить данный ряд с числовым сходящимся рядом.
1111
2467. Показать, что ряд	-	+	-	+...
ж"* + 1 ж"* + 4 xz + 9 xz + 16
сходится равномерно на всей числовой оси. При каком га (и любом
ж) остаток ряда |_йга(ж)| < 0,0001?

§ 3. Степенные ряды
247
2468. Показать, что ряд
1	1
х(х
2)(ж
сходится равномерно к — в интервале 0 < х < со. При каком п (и
х
любом х > 0) остаток ряда |_йп(ж)| < 0,1?
2469. Показать, что ряд
111
сходится равномерно в интервале 0 ^ х < со. При каком п остаток
ряда \Rn{x)\ < 0,01?
§ 3. Степенные ряды
Пусть дан степенной ряд
ао +агх + а2х
'2
апх
A)
Число R называется радиусом сходимости ряда A), если при \х\ < R
ряд сходится, а при \х\ > R — расходится. R можно найти или иссле-
исследованием абсолютной сходимости ряда A) по признаку Даламбера, или,
когда все cij отличны от нуля, по формуле R = Km
. В частности,
если этот предел равен оо, то ряд A) абсолютно сходится на всей оси Ох.
Степенной ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно на
любом отрезке [а, Ь], лежащем внутри интервала сходимости (-R, R).
Определить интервал сходимости ряда и исследовать его схо-
сходимость на границах интервала:
2	о
2470.1+ ''
2471.1 -
2472.1+
3-2
х
З2 • 3 З3 • 4
2х
4х
2
8х
„з
-. 2474.
со <_Т\п-1
п=\
2475.
on п

248
Гл.14. Ряды
2476. 1) J2 ж™
n=\
2)
9478
2478.
2-4 ' 3-42 ' 4-43
Bж - ЗK
+
+	...
Определить интервал сходимости ряда и найти его сумму:
2479. 1 + 2ж + Зж2 + 4ж3 + ...
Г
Указание. Для нахождения суммы S найти сначала / S dx.
J
о
2480. х-—+ — -— +
Указание. Найти сначала
dS_
dx
2481. 1 + Зж + 5ж2 + 7ж3 + ...
начив
уемого
т(т —
Указание. Обозначив сумму ряда через S, составить выражение
S — Sx в виде суммируемого ряда.
т
2482. Ц	ж
1
1-2
о т(т—1)(т — 2) ,
ж2 Н	^	^ж3 + ...
1-2-3
S' S'x
Указание. Показать, что	1	= S, и решить это дифферен-
т т
циальное уравнение.
Определить интервал сходимости ряда и исследовать его схо-
сходимость на границах интервала:
2ж	4ж2	8ж3
2483. 1 + ,	+
2484.1 -
2485.
+
3 • 2^2 З2 • ЗУЗ З3 •
2487.
1 -2
3-22
5-23

§4. Ряды Тейлора и Маклорена	249
14	7
Определить интервал сходимости ряда и найти сумму:
2489.	1 - Зж2 + 5ж4 - 7ж6 + ...
X
Указание. Для нахождения суммы S найти сначала / S dx.
о
X	X
2490.	ж +—+ — + ...
?	о
Указание. Найти сначала ——.
dx
2491.	1 - 4ж + 7ж2 - Юж3 + ...
Указание. Составить выражение S + Sx.
§4. Ряды Тейлора и Маклорена
1°. Формула Маклорена:
A)
где Rn{x) = ^г/(п\вх), 0 ^ в < 1.
2°. Формула Тейлора:
f(x) = f(a) + tH(x-a) + Щ^(х - aJ + . . . + Rn(x), B)
где Rn(x) = (Ж~,а)"/(га) [a + в{х - a)].
3°. Ряды Маклорена и Тейлора. Если в формулах A) и B)
Rn{x) —т- 0 при п —> оо, то из этих формул получаются бесконечные
ряды:
, +
/(г) = /(а) + ?МA _ „) + Q^(i - аJ + . . . ,	D)
сходящиеся к /(ж) при тех значениях х, при которых Km Rn(x) = 0.

250
Гл.14. Ряды
4°. Разложение в ряды элементарных функций:
х х2
6 =1 + П+2
Smx = x -—+ —
Т	Т
COSx=l-- + -
сходятся к соответствующей
функции при всех значениях х;
m mini — 1) „
A + ж) = 1 -\	х -\	-х + . . . — биномиальный ряд; он
сходится к биному A + х)т при \х\ < 1;
х2 х3
In A + ж) = ж	?Г + ^>	'•• СХ°ДИТСЯ к In A + ж) при — 1 < ж ^ 1;
L	О
х3 х5
arctg х = х	1	... сходится к arctg х при |ж| ^ 1.
о	О
2492.	Разложить в ряд по степеням ж функции: 1) cos (ж — а);
2) sin2 ж; 3) хех' 4) sin Imx -\	) и написать и исследовать фор-
формулу остаточного члена.
2493.	Написать первые три члена разложения в ряд функции
/(ж) =\пA + екх).
2494.	По формуле Маклорена написать разложение в ряд по сте-
степеням ж бинома A И— ) и показать, что полученный ряд схо-
дится при
< а.
2495. С помощью биномиального ряда показать, что при |ж| < 1
п(п +
v
= 1-Зж + 6ж2-Юж
п=\
2
-ж
2496. С помощью биномиального ряда получить разложение в
ряд функции
1
1-3
ж4-
1-3-5
^ГТ^2	2	22-2!	2^-3!
2497. Разложить в ряд по степеням ж функции:
при
ж| < 1.
1) In ii^; 2) In B - Зж + ж2); 3) In A - ж + ж2).
2498. Интегрированием полученного в задаче 2496 ряда напи-
написать ряд для In (ж + \/1 + ж2).

§ 5. Приложения рядов к приближенным вычислениям	251
2499.	Разложить ех1а в ряд по степеням ж — а; написать и ис-
исследовать формулу остаточного члена ряда.
2500.	Разложить функцию /(ж) = ж3 — Зж по степеням ж — 1.
2501.	Разложить ж4 по степеням ж + 1.
2502.	Разложить в ряд по степеням ж + 2 функцию /(ж) = — и
исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера.
ж
2503.	Разложить в ряды функции: 1) /(ж) = cos — по степеням
ж	; 2) /(ж) = sin Зж по степеням х -\	.
2504.	Разложить в ряд по степеням ж + 1 функцию /(ж) = у/х и
исследовать по признаку Даламбера сходимость полученного ряда.
2505.	Разложить в ряд по степеням ж функции: 1) 2х;
2) cos ( rax -\	) и написать и исследовать формулы остаточных
V	4 /
членов разложения.
2506.	Разложить функцию /(ж) = ж4 — 4ж2 по степеням ж + 2.
2507.	Разложить в ряд по степеням ж	функцию /(ж) = cos2 ж
и написать и исследовать формулу остаточного члена ряда.
2508.	Разложить в ряд по степеням ж — 1 функцию /(ж) =
7ГЖ
= sin —.
2509.	Разложить в ряд по степеням ж — 4 функцию /(ж) = у/х и
исследовать по признаку Даламбера сходимость полученного ряда.
2510.	С помощью биномиального ряда показать, что
1	1 2 1-3 4 1-3-5 о
= 1+2Ж +2^?ж +^^ГЖ +••• приИ<1.
2511.	Почленным интегрированием ряда, полученного в задаче
2510, написать ряд для агазтж.
§ 5. Приложения рядов к приближенным вычислениям
2512.	Написать биномиальный ряд для yj\ + ж и вычислить
д/1, 004, д/0, 992, v90, ограничившись двумя членами ряда. Оце-
Оценить погрешность.
2513.	Написать биномиальный ряд для \/1 + ж и вычислить
^/1, 006, ^/0, 991, л/130, ограничившись двумя членами ряда. Оце-
Оценить погрешность.

252	Гл.14. Ряды
2514.	Вычислить sin 12°, ограничившись двумя членами ряда
для sins, и оценить погрешность.
Указание, х = 12°, в радианах х = тг/15 = 0,2094. Верхнюю
границу погрешности определить из условия х < 0,3.
2515.	Делением числителя дроби	 на ее знаменатель по-
1 + xz
I	со
лучить разложение	 = У2 ( — 1)п~1х2п~2 и, проинтегрировав
1 + ж2 п=1
почленно полученный ряд, написать разложение в ряд arctg ж.
1	со (_]\п-1х2п-1
2516.	Полагая ж = —= в разложении arctg ж = ^	,
V3	п=\ 2га - 1
получить ряд для вычисления 7г:
B„1K
2517.	Вычислить 7Г, взяв пять членов ряда задачи 2516.
2518.	С помощью полученного в задаче 2497 ряда
, 1 + ж Г ж3 ж5
In-	= 2 ж + — + — + ...
1 - ж [ 3 5
вычислить In 2, In 3, In 4, In 6.
Указание. Положив 	 = 2, найти ж и т. д.
1-х
/'	Р Т
sin ж I e
	ах и — ах.
X J X
х
2520.	Определить в виде ряда функцию Ф(ж) = / е~х dx и
о
вычислить ФA/3), взяв столько членов, сколько нужно для того,
чтобы погрешность была меньше 0,001.
х
2521.	Определить в виде ряда функцию Ф(ж) = / у 1 + х2 dx
о
и вычислить ФA/5), взяв столько членов, сколько нужно для того,
чтобы погрешность была меньше 0,00001.
2522.	Найти в виде ряда решение уравнения у" = х2у с на-
начальными условиями: при ж = 0, у = 1, у' = 1.
2523.	Найти первые четыре члена ряда, определяющего реше-
решение уравнения (Риккати) у1 = 1 + ж —у2 с начальными условиями:
у = 1 при ж = 0.

§ 5. Приложения рядов к приближенным вычислениям	253
2524. Написать в виде ряда решение уравнения Бесселя ху" +
+ у' + ху = 0 с начальными условиями: у = 1, у1 = 0 при ж = 0.
2525.	Вычислить д/МЩ ^1,0012, ^0~7993, </0~7997, л/По,
у70, л/40, ограничившись двумя членами биномиального ряда
m(m — 1)ж2
A + х)т = 1 + тх -\	j	\- ..., и оценить погрешность.
2526.	Вычислить cos 12°, ограничившись двумя членами раз-
разложения в ряд cos ж. Оценить погрешность.
2527.	Полагая в разложении в ряд arcsin ж (задача 2511) ж =
= 1/2, вычислить я", ограничиваясь тремя членами ряда.
Указание. Сначала вычислить первый из отброшенных членов,
затем выразить десятичной дробью каждый из первых трех членов с
погрешностью не больше первого отброшенного члена.
тг	1	1
2528.	Пользуясь тождеством — = arctg—\- arctg-, написать
выражение для 7Г через сумму двух бесконечных рядов.
2529.	Полагая ж = 1/N в разложении In A + ж) в ряд, получить
формулы:
1) In (iV + 1) = In iV + [i- - -^ +
37V3
37V3 '
2530.	Зная In 2 = 0,6931, вычислить In 5 и In 10 и показать,
что модуль М = 	рй 0, 4343.
In 10
2531.	Вычислить lg 101 и lg 102.
2532.	Определить в виде ряда длину дуги эллипса.
0,5
г I
2533.	Вычислить / у 1 + ж3 dx, взяв столько членов ряда, сколько
о
нужно для того, чтобы погрешность была меньше 0,001.
х
[	X2
2534.	Определить в виде ряда функцию Ф(ж) = / cos — dx и
о
вычислить Ф I — ) с точностью до 0,000001.

254
Гл.14. Ряды
2535.	Написать первые три члена ряда, определяющие решение
уравнения у' = ж2 + у2, удовлетворяющее условию: у = 0 при
ж = 0.
2536.	Написать в виде ряда решение уравнения у" + ху = 0 с
начальными условиями: при х = О, у = I, у' = 0.
2537.	Написать в виде рядов уравнения переходной кривой,
вдоль которой кривизна к нарастает пропорционально длине дуги s.
Указание. Из условия — = —, где С — постоянная, найти <р и
as С
затем решить уравнения dx = ds cos <р и dy = dssimp.
§ 6. Ряд Тейлора для функции двух переменных
Формулу Тейлора для функции двух переменных можно написать в
трех следующих видах:
F(x + h, y + l) =F(x, y) +
F(x, у) = F(a, 6) + I L _ а) А +
1
dz d'2z
_ b) A
dnz
^ b) +
..., (II)
(III)
2538.	Написать разложение функции F(x + h, y + l) no формуле
Тейлора (I), если F(x, у) = ж2 + ху + у2.
2539.	Разложить функцию F(x, у) = ж3 + 2жу2 по степеням
ж — 1 и у — 2 (формула (II)).
2540.	Разложить функцию F(x, у) = In (ж — у) по степеням ж
и у + 1, написав члены 1-го и 2-го порядков и остаточный член
(формула (II)).
2541.	Разложить функцию F(x, у) = sin (тх + ray) по степеням
ж и у, написав члены 1-го, 2-го и 3-го порядков и остаточный член
(формула (II) при а = Ь = 0).
2 2
2542.	Разложить по степеням ж и у функцию е~х ~у (формула
(II) при а = Ь = 0).
2543.	Определить приращение Az функции z = ж2 — жу + у2
(формула (III)) и вычислить его при условии, что ж изменяется с
2 до 2,1, а у изменяется с 3 до 2,8.

§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье	255
2544. Определить приращение Az функции z = cos (ax — by),
написав два члена формулы (III) и остаточный член.
2545.	Функцию F(x, у) = х2у разложить по степеням х — 1 и
у+1 (формула (II)).
у
2546.	Функцию Fix, у) = arctg — разложить по степеням х — 1
х
и у, ограничившись членами 1-го и 2-го порядков.
2547.	Разложить функцию z = ух по степеням х — 2 и у — 1,
написав члены 1-го и 2-го порядков, и вычислить 1Д2'1.
2548.	Определить приращение Az для функции z = х2у — у2 и
вычислить его с точностью до 0,0001 при условии, что х изменя-
изменяется от 2 до 1,99, а у — от 5 до 5,02.
§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье
1°. Определение. Функция f(x) называется удовлетворяющей
условиям Дирихле на отрезке [а, Ъ], если она на этом отрезке:
1)	имеет конечное число разрывов, причем все они первого рода;
2)	имеет конечное число экстремумов;
^ ,, , /(ж - 0) + /(ж + 0)	, м
Л) }[х) = 	 во всех точках (а, о).
2°. Функция f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке
[—/, /], может быть определена во всех точках этого отрезка рядом Фурье:
ао v~^ Г	П7ТХ	¦ птгх
f\x) = у + 2^ [ап cos ~ +hn sm ~
где
1 f ft \ n7TX j i. 1 f ft \ ¦ n7TX j	tn\
an = у / /(ж) cos——dx; bn = - I f(x) sm —— dx.	B)
-I	-I
Если f(x) = f(—x), т. e. f(x) — функция четная, то bn = 0 и
Если f(x) = —f(—x), т. e. f(x) — функция нечетная, то а„ = 0 и

256	Гл.14. Ряды
Если функцию f(x), определенную рядом A) на отрезке [—/, /], про-
продолжить по периодическому закону с периодом 21, потребовав, чтобы
,m f(l ~ 0) + f(l + 0)	«-	m
j(l) = 	, то она будет определяться рядом A) и на
всем своем продолжении.
3°. Если функция f(x) абсолютно интегрируема в промежутке
+ СО
(	f	\
(—оо, оо) I т. е. / \f(x)\dx сходится) и удовлетворяет условиям Ди-
\	J	/
— со
рихле на всяком конечном отрезке, то она может быть представлена ин-
интегралом Фурье:
+ СО	+СО
f(x) = - [da [ f(t) cos a (x-t)dt =
it J	J
[a(a) cos ax + b(a) sin ax] da, E)
о -co
+ CO
о
где
+ OO	+OO
1 /¦	If
a (a) = - / f (t) cos at dt и	b(a) = - / f(t)sinatdt. F)
7Г J	7Г J
Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции с
периодом 27г:
2549.	/(ж) = 1 при 0 < х < 7г и /( — ж) = —/(ж). С помощью
полученного ряда показать, что
111	тг
1-3 + 5 + ---=4-
2550.	/(ж) = ж при 0 ^ ж ^ 7г и /( — ж) = /(ж). С помощью
полученного ряда показать, что
111	тг2
2551. /(ж) = ж2 при —7Г ^ ж ^ 7Г. С помощью полученного ряда
показать, что
1 1 1	_ тг2
j22 + 322+'"~12;
111	тг
2
2552./(ж) = {	!
v 7	I 7Г — Ж При	О ^ Ж ^ 7Г.

§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье
257
Разложить в ряд Фурье периодические функции с периодом 21:
2553.	/(ж) = 1 при 0 < ж < / и /(-ж) = -/(ж).
2554.	/(ж) = 1 - ж при 0 ^ ж ^ 1, /(-ж) = /(ж), / = 1.
ГО при -/ < ж < О,
2555.	/ж = <^	V n /	,
J у ' \х при 0 ^ ж < /.
2556.	/(ж) в области @, 2] задана графиком (рис. 35) и про-
продолжена: 1) по четному; 2) по нечетному периодическому закону с
периодом 2/ = 4. Разложить каждую из этих функций в ряд Фурье.
2 х
-2
Рис. 35
Рис. 36.
2557. Распространение тепла в стержне длиной / определяется
уравнением
1 ди д2и
где и(ж, t) — температура, и условиями
1) граничными: и = 0 при ж = 0 и при ж = /;
ж	при ж < 1/2,
2) начальными: и = ¦{ ,	г	' при ? = 0.
7	\/-ж при ж >//2 F
Определить методом Фурье функцию и(х, t).
2558. Продольные колебания стержня длиной /, у которого один
конец (при ж = 0) закреплен, а другой (при ж = /) свободен, опре-
определяются уравнением
где и(ж, t) — продольное смещение, и условиями
ди
1)	граничными: и = 0 при ж = 0; -j— = 0 при ж = /;
2)	начальными: и = /(ж), —— = 0 при ? = 0.
Определить методом Фурье функцию и(х, t).

258	Гл.14. Ряды
2559. Поперечные колебания стержня длиною / с закреплен-
закрепленными концами определяются уравнением
1 д2и д4и _
и условиями
д2и
1) граничными: и = 0 и -—— = 0 при ж = 0 и ж = /;
oxz
2) начальными: и = /(ж) и ^— = 0 при t = 0.
Определить методом Фурье функцию и(ж, ?).
В задачах 2560-2562 написать интеграл Фурье для функции:
2560.	/(*) = {; ПРИ °<Ж<!' и/(-*) = -/(*).
J v > \ 0 при	ж > 1 J v 7 J v 7
2561.	/(ж) = е-^ при ж > 0 и /(-ж) = /(ж).
2562.	/(ж), заданной на отрезке [—2; 2] графиком на рис. 36 и
равной нулю вне этого отрезка.
Разложить в ряды Фурье функции:
2563.	/(ж) = 	 при 0 < ж ^ 7Г,
2564.	/(ж) = | sin ж|; с помощью полученного ряда показать, что
111	1
2565.	/(ж) = \	%
J V ' \ 7Г - Ж При 7Г/2 ^ Ж ^ 7Г
2566.	/(ж) = ж при 0 ^ ж ^ /,
/(-ж)=/(ж), /(ж+ 2/) =/(ж).
2567./(ж) = {1 ПРИ -^Ж<?' и/(ж+ 2) =/(ж).
17 v 7 | ж при 0<ж^1 </v	7 </V7
2568. /(ж) = еж при -/ < ж < / и /(ж + 2/) = /(ж).

§ 7. Ряд Фурье. Интеграл Фурье	259
2569. Методом Фурье решить уравнение
82и д2и
при условиях:
ди
1)	и = 0 при ж = 0, — = 0 при ж = 7г;
ох
2)	и = /(ж) и -^ = 0 при i = О.
2570. Написать интеграл Фурье для функции
1 при —1 < ж < 1,
О при

ОТВЕТЫ
1. АВ = 9, ВС = -6, АС = 3, 9-6 = 3. 3. 5B + ^2), 90°, 45°. 5. 20.
6. 5лД. 7. E; 5), E; -3). 8. 5@; 2) и 5@; -4). 9. ж = а ± л/с2 - Ь2;
при с > |6| две точки, при с = |6| одна, при с < |6| ни одной. 10. М(Ь; 0).
11. Центр A; -1), R = 5. 12. пР:сА5* = -2, пруА5* = -4, |А^| = 2лД>.
13. 5E; 8), \АЙ\ = ЗлД. 14. 5D; -3). 15. -4, 1, 3. 16. 18лД.
17.@; 2,9). 18.5D; 0), 5^-8; 0). 19. Центр B; -1), R = 5. 21.Х = 7,
У = -1; 5v^. 22. МA; 4). 23. МA3; 16). 24. ж = т1ж1 + т2Ж2.
mi + m2
26. В 26см от центра шара массой 100г. 27. A; 2,5). 29. ОС = 5,
OD = —У—. 30. C; 3). 31. 9. 33. 13. 34. A; 3), если силы напра-
направлены в одну сторону, и B5; 27), если — в разные стороны. 35. A; —1).
,fi 10V^ „	_ ^1 + ^2 + ^3	_ У1+У2+ УЗ	/37 13
~3~'	~	3	' У ~	3	'	V27' 27
39. CiC; 0), С2(-7; 0). 40. МB; -6), ЛГE; 8), Р(-4; 1), к = 7/3.
42. ж2 + у2 — 6х — 8у = 0, А и О лежат на окружности. 43. х — у — 2 = 0,
х2
D и Е лежат на линии. 45. х2 + у2 = 8. 46. у = ±х. 47. — + у2 = 1.
ж2
48.г/=	ж+2. 49.г/ = ±2ж. 51. A; 0), C; 0), @; 3). 53. г/2 = 8(ж-2).
54. 2х — у + 5 = 0. Точки В и D лежат на линии. 55. х2 + у2 = 4.
57. у = Х— + 1. 58. ^(ж + 2J + (г/ + 2J - ^(ж - 2J + (у - 2J = 4
или ху = 2; при ж = ±1/2, ±1, ±2, ±4, у = ±4, ±2, ±1, ±1/2; по этим
точкам можно построить кривую. 59. 1) у = х + 3; 2) у = —х + 3.
60. 1) г/ = жУЗ - 3; 2) у = -хлД - 3. 62. у = -1, Ъх. 63. 1) к = 2/3,
b = -2; 2) к = -2/3, & = 0; 3) А: = 0, Ь = -3; 4) к = -3/4, & = 3.
65. к = 1, & = 1, у = х + 1. 66. 1) | + -^ = 1; 2) -|- + | = 1-
67. г/ = 0; 4ж - Зг/ = 0; г/ = 4; 4ж - Зг/ ± 12 = 0. 68. - - - = 1 или
_| + -1 = 1. 69. прОхА~Й = 8, прОуА^ = 6, \А~Й\ = 10. 70. А и
С — на прямой, 5 — «выше», a D — «ниже» прямой. 71. Неравенства
определяют: 1) все точки, лежащие «выше» прямой у = Зж + 1 (по-
(полуплоскость); 2) все точки, лежащие «ниже» прямой у = Зж + 1; 3) все
точки, лежащие «выше» прямой у = 4 — 2ж и на самой прямой; 4) точки,

Ответы	261
лежащие «ниже» прямой у = А — 2ж. 73. ж — у = ±а. 74. Через t
секунд координаты точки М будут ж = а + mt, у = Ь + nt. Исключив
t, получим уравнение траектории: 	 = 	. 75. 1) у = хл/3 — 2;
m	n
2) у= -хлД-2. 76.^ = 1,6 = 5. 77. х + у-А = О, х-у + А = 0; г/= 3,
j/ = 0. 78.|±|=±1. 79.| + | = 1и-^+-^ = 1. 8О.г/ = ±2(ж + 3).
81. АВ = Ал/Ъ, прОхА~Й = 4, прОу~А~Й = 8. 82. 1) arctg -; 2) 45°; 3) 45°;
а2 - Ъ2
4) 0°; 5) 90°; 6) arctg	—. 86. 5ж + 2у + 4 = 0, Ъх + 2у = 25.
Lab
88. х - Ъу + 2 = 0, Ъх - у = 4, Зж + у = 12. 89. 28°, 12°30' и
139°30'. 90. у = Зх и у = --х. 91. х - Ъу + 6 = 0, Ъх + у = -4.
92. у = 2х-6, у = -2х + 6. 93. C; -1), C; 3), (-9/5; 3/5); 45°, 71°34',
63°26'. 94. E/2; 5/2). 95. АЕ: 2х - Ъу = -4, AD: x - 2у = -2;
^29. 96. А = 18°26', В = 26°34', С = 135'. 97. х + 2у - 11 = 0.
98. tgA = 4/3, tg5 = tgC = 2; 5 = 16. 99. A; -1), (8/3; -2).
100. 2х + у = -4, 2х - у = -4, 2х + у = 4. 103. 2, 8; 0; 1,4. 105. л/п/2.
106. к = ±2. 107. Две прямые, параллельные данной: Ах — Зг/ ± 20 = 0.
108. 8х - 1Ъу + 6 = 0, 8ж - 1Ъу = 130. 109. ж-г/ = 0иж + г/-4 = 0.
110. Ъх - у = 12 и ж + Ъу = 4. 111. ж + г/ = 2 или Ах + у - 8 = 0.
112. 31ж + 26г/=-21. 113.ж + Зг/ = 2. 114. УШ. 115. Зж - 4г/+10 = 0;
ж = 2. 116. h = 18/^34. 117. Прямые: ж + г/ = 0иж-Зг/ = 0;
расстояния: c?i = 2у2, с?2 = 0, 4л/10- 118. Пара прямых: ж + 2г/ = О
и ж + 2у = 10. 119. ж + Зг/ = 0 и Зж + г/ = 0. 120. Иж + 22г/ = 74.
121. г/ = -ж/2 и г/ = -Зж/2. 122. ж + 2у = А. 123. у = 0, 2ж + Ъу = -А;
у = -А, 2ж + 3г/ = 0; х + 2у = -2; у = -ж, tga = -. 124. 18°26', 108°27';
5Д = 262/3. 125.а2/5. 126. А = 36°52', В = 127°52'. 127.4(^10 + ^5);
20. 128. 2ж-г/+6 = 0, ж-4г/= 4, 2ж-Зг/+2 = 0. 129. г/ = ж+2, х-Ъу = 6,
у = —ж, 2г/ = ж. 130. ^П). 131. Точка движется по сторонам квадрата,
ограниченного прямыми ж —Зг/ = ±5, Зж + г/ = ±5. 133. /ij = /г2 = 6/v5-
134. C/5; 19/5), (-9/5; 17/5). 135. D; 5). 136. @; 2), D; 0), B; 4),
(-2; 6). 137. у - х = 2, ж + 2у = 4, 2ж + у = 8. 138. 1) 5B; 1);
2)С(-1;-5). 139. у = 2х + 6; 12/^5; ZDAB Pd 53°. 140. ж2 + г/2+8ж -
— 6?/ = 0; А и О — на окружности, В — вне ее. 141. х2 + у2+Ах — 6у = 0.
143. @; 0), (-2, 5; 2, 5). 144. (ж-1J + (г/-1J = 1 или (х-ЪJ + (у-ЪJ =
= 25. 145. tga = -2,4, а = 112°37'. 146. (ж + 4J + (у + IJ = 25.
147. х2 + у2 - 8у = 0. 149. у = 4ж/3 и у = 0. 150. г/2 = х(а - ж).

262
Ответы
151. (ж - ЗJ + у2 = 9. 152. ж2 + (у - -) = —. 153. ж2 + у2 = а2.
154. ж2 + у2 = ах. 155. ж2 + у2 - 6у - 9 = 0. 156. 1) C; -2), R = 6;
2) (-5/2; 7/2), R = 4; 3) @; -7/2), R = 7/2. 157. х2 + у2+4у = 0; @; 0),
B; -2), (-2; -2). 158. ж2 + у2 + ах + ау = 0. 159. у = 0, 15ж + 8у = 0.
160.90°. 161. ж + 1/ = 3. 162. ж2 + у2 + ах = 0. 163. (ж - 2J + г/2 =
= 16. 164. х2 + у2 = 2ах. 165. а = 4, Ъ = 2, с = 2^3, е = v%/2.
2	2	2	2
166. 1) — + — = 1; 2) — + — = 1. 167. Ъ = 1, 4; 3; 4; 4, 8; 5; е = 0, 96;
25 9	оЬ 21
х2 у2
0,8; 0,6; 0,28; 0. 168. а = 150млн км, е = 1/60. 169. — + ^- = 1,
/Q	Ж2	2
е = —, г = 4 - УЗ, ri = 4 + УЗ. 170.	Ь — = 1, г = 11, п = 5.
2	64 28
171. 4^3. 172. л/ОД 173. B/7; ±4^3/7). 174. (-15/4; ±УбЗ/4).
2 9	*>
II	I3 11^	/vj-^ iti^
1'5. —¦ + —	= !. 176. —- + —- = 1. 178. —- + -— =
36 4	4 3	a2 b2
x2 v2	x2 v2	x2 v2
179.	h — = 1 или	h — = 1. 180.	h — = 1; e =
q c;	c; q	4R q '
| +4 =
Ъ2 2
9
П = 9. 181.
r — О
5 ' 9 "' 	36 ' 9 "' " v "'"'
182. (±4^2/3; 1/3) и @; -1). 183. (-5; 7)
184. (±У15; ±1). 185. ж2 + Ay2 = 16. 186.	h — = 1. 187. e =
9 8
53°08'. 188. r = 1, n = 9. 189. 1) ^ - ^ = 1; 2) ^ - У- = 1.
2	2	2	2
190.	— = 1; 2^3 и бУЗ. 191.	— = 1. 192. ж2 - у2 =
12 4	16 9
= а2. 193. @; ±аУ2); 90°. 194. у + 2 = ± —ж. 195. 6, 2arctg-.
2	а
196. "	& > а. 197. 1) е = 2; 2) е = sec а. 198. г/ ^ -3, у < -
л/Ь2 — а2
2	2	2
199. ^- -У— = \. 200. ж2 - ^- = 1 (при ж > 0). 201. ж2 - у2 =
= а2. 202. С У1 =
2	2	/	2	2
203. — - — = 1 ( или	— = -1
16 9	V	9 16
204. @; 0) и F; ±2^3). 205. у = ±\{х + 5). 206. (-9, 6; ±ЗУШ/5).
2	2
207. (±Уб; ±У2). 208. (-4; 3) и (-4/7; -3/7). 209. Х— - У— = 1.
2	2	2
210. ^ - ^ = 1 (при ж > 0). 211. у = 3 - ^-. 212. г/2 = 8(ж + 2).
214. 1) у2 = 9ж; 2) г/ = -ж2. 215. у = ^х2. 216. (ж - |J + г/2 = р2;
ж2
- 217. г/ = -у. 218. C; ±3^2). 219.40см. 221. г/2 =
рж.

Ответы	263
х2
222. у2 = Аах и у = 0. 224. у2 = 8B - х). 225. у = х	, 0iB; 1).
226. 1) у2 = -Ах; 2) у = х2. 227. у2 = -Зж. 228. @; 0), F; ±2^3).
229. ж = 0, х + у + 2 = 0. 230. у = -хД(х + 1); 16/3. 231. г = 7,4,
d = 9,25. 232. Директриса х = ±3,2, е = 1,25, г = 10,25, d = 8,2.
х2
233.	Ь г/2 = 1. 234. х2 - у2 = 12. 235. Сопряженный диаметр
г/ =	, ai = &i = л/10- 236. Сопряженный диаметр Ау + х = 0; 81°.
237. Уравнение диаметра у = -ж, его длина \j2(a2 + Ъ2). 238. у = 1, 5ж.
239. у = 2. 240. 8ж-9г/±25 = 0. 241. г/ = 2ж±3. 243. 1) х±2лДу = 8;
2) 2ж ± у = 1; 3) ж ± 2г/ = -2. 245. ж - у = ±5. 246. г/ = ±2ж + 6.
247. х + у = л/а2 + Ь2. 249. у = 2у ± 4^2. 250. Уравнение нор-
нормали MN: а2уох — Ъ2х$у = с2жо?/о- Положим у = 0, найдем абсциссу
точки N пересечения нормали MN с осью Ох: х\ = е2жо- Тогда
FN = с — е2жо = er, _Fi7V = с±е2жо = ег\, т. е. нормаль MN делит FF\
в отношении г : г\ш поэтому есть биссектриса. 252. Нормаль к параболе
у2 = 2рх имеет уравнение у^х + ру = уо{р + жо). Положив у = 0, найдем
xi = р + ж0, FM = ж!-- = -±жо = FM, т. е. ZFMN = ZFNM.
2 2
253. (±3,2; ±2,4). 254. Диаметры у = х и у = -ж/4, угол 59°02'.
255. у = ж/4. 256. 4ж - г/= 6. 257. arctg3 « 71°ЗГ. 259. ж ± г/± 2 = 0.
260. 1) 0i(l; 2); 2) tg<p = -. 261. 5) X2 + AY2 = 16; 6) У2 = АХ;
7) X2-AY2 = A; 8) У = Х2/2. 262. 1) Х2±4У2 = 16; 2) X2-AY2 = 16.
263. X2 - У2 = 8. 264. 1) XY = 6; 2) XY = -6; 3) XY = A; A) XY =
= — 6. 268. Уравнение струи: у = 16(ж — ж2); у = 3 м при ж = 0,75м.
269. у = Ъ[у	 . 270. ж2 + У2 + Ах = 0. 271. 1) 45°; 2) arctg 2.
ах2
272.y = xtgip	1	. 273. у2 = 24ж ± Зж2 (гипербола). 275. 1) Эл-
2v^ cos ip
X2 У2
липе; 2) гипербола. 276. 1)	Ь — = 1, OiC; -1); 2) X2 - У2 = 9;
3) У2 = 2Х; А) X2 = AY. 277. X2 + 2Y2 = А. Фокусы в старой системе
A; 1) и (-1; -1). 278. (ж + IJ + У2 = 4. 279. (ж - ЗJ + (у - ЗJ =
= 2. 280. ж + Ъу = 0. 281. г/2 = 4(ж + 4). 283. ^ ~ ' + — = 1.
v	/	16	12
284. х2 + у2 - ах - by = 0. 285. ^-. 286. Основание АВ = 2а, высота
OZ) = —р, площадь —т=. 287. За начало примем точку О, делящую АВ
V5	V5

264	Ответы
в отношении АО : ОВ = га, а за ось Ох — прямую ОВ; пусть ОВ = а,
тогда координаты точек А и В будут: А(—та; 0), В(а; 0). Уравнение ис-
искомой линии: (га— 1)х2 + (т — 1)у2 = 2тах;щ>штф 1 окружность: х2 +
у2 = 	х; при т = 1 прямая: ж = 0. 288. Точку О примем за начало,
га — 1
а 05 — за ось Ож. Уравнение искомой линии: (а — Ъ)(х2 + у2) = 2abx;
при а ф Ъ окружность: х2 + у2 = 	-ж; при а = Ъ прямая: х = 0.
а — о
289. 2(&2ж2 + г/2) = а2(к2 + 1); эллипс при к ф 1, окружность ж2 + г/2 = а2
при к =1. 290. —	h — = 0. 291. За2лД. 292. arctg - Pd 36°52'.
293. (±а; ±а). 294. А(Уб; 0), 5B; -2), С(-2У2; ^2); SAABC =
. 296.2^2; у = х-2. 297. + . 298.^--) +г/2 =
9„
= —. 299. аж - by + а2 + Ъ2 = 0; d =
16
. 298.^
300. Вычитая урав-
Ь2
нения почленно, получим 4(г/ — х) = (у + х)(у — х), отсюда: 1) у = х;
2) х + у = 4; следовательно, точки пересечения парабол лежат на прямой
у = х или на прямой х + у = 4; найдем «i = 2, «2 = ~6; длина хорды
(х - 2J
8лД. 301. 30. 302. х2 + у2 = а(х + у). 303. ^	— + у2 = 1 (эллипс с
х'2 — Р,х _|_ 25
центром B; 0)). 304. жг/ = 4. 305. г/=	. 306. X2 - Y2 = 4;
8
(ж — 2 5J г/2
OiB; -3). 307. V	' '	— = 1 (гипербола с центром B,5; 0)).
308. Пусть М(ж; г/) —точка эллипса. Тогда FM + F1M = AF + AF1 или
^(ж - аJ + (у- аJ + у/(х + аJ + (у + аJ = 4а; Зх2-2ху + 3у2 = 8а2;
после поворота осей на 45°: X2 + 2Y2 = 4а2. 309. cos <p = -
= —=, simp = —=; новое уравнение X2 — Y2 = 4. 310. Зж2 + 8ху —
V5	V5
— 3j/2 = 20; поворотом осей на угол <р = arctg A/2) приводится к виду
X2 - Y2 = 4 (см. 309). 311. у2 = 2рх + (е2 - 1)ж2. 313. 1) Пара пря-
прямых у = ±2х; 2) точка @; 0); 3) мнимая окружность; 4) точка C; 4);
5) пара прямых х = 0, у = —х; 6) пара прямых у = ±4; 7) пара
х	X2 Y2
прямых у = х и у = -. 314. 1) A; -1), — + — = 1; 2) B; 1),
X2 Y2
X2 - Y2 = 9; 3) 2Х2 + 5XY + 2Y2 = 8. 315. 1) — + — = 1;
/4 4
X2 Y2	X2 Y2	X2 Y2
2)--т = 1.316.1)- + т = 1;2)--т = 1. 317.1) У2 =
= 2\/5Х; 2) пара прямых х - 2у = 3 ± 1. 318. 1) Зу = 2х - 7 ± (х - 2);

Ответы	265
2) точка B; -1); 3) Ay = -2х - 3 ± 1. 319. АХ2 - У2 = 8; центр
B; 0); tgip = -1/2. 320. 5(ж - IJ + (у - 2J = 9. 321. Повернув оси
X2	а
на —45°, получим У = —— + —-=. Уравнение у/х + у/у = \fa опре-
ал/2 2у2
ал/2
деляет дугу АВ этой параболы (рис. 87), на которой х <С а и у <С а.
322. (х-пгJ + (у-пJ -e2(xcosa + ysma + qJ = 0; А + С = 2 - е2;
E = 1 - е2. 323. 1) Пара прямых х ± 2г/ = 0; 2) точка (-2; 2); 3) пара
X2 Y2	X2 Y2
прямых у = х, х + 6у = 0. 324. 1) — + — = 1; 2) — - — = 1.
325. 1) У2 = Ал/2Х; 2) прямые х + у = 2 ± 1. 326. 1) у = х - 2 ± 1;
2) Ъу = х - 5 ± 2(х + 1). 327. 1) 7х2 - 2ху + Ту2 - 48ж - 48г/ + 144 = 0;
2) х2 + Аху + у2 + 6х + 6у - 18 = 0. 328. (х - уJ - 2а(х + у) + а2 = 0;
У2 = алДк. 329. х2 - Аху - у2 - Ах + Ну - 12 = 0; X2 - У2 = 3, 2л/Е.
335. 1) г = ^; 2) г = п-^. 336. г = "**}? °) . 337. г =
COS if	Sill if	SHI (p — ijCj
= 2a cos ip. 338. 1) rmax = 5 при ip = 135°, 315°; rmm = 1 при ip = 45°,
225°; r = 3 при ^ = 0°, 90°, 180°, 270°; 2) rmax = 3 при ip = 0°, 120°,
240°; rmin = 1 при <р = 60°, 180°, 360°; 3) rmax = 2 при ^ = 90°, 210°,
330°; rmin = 0 при ip = 30°, 150°, 270°. 339. 1) rmax = а при ip = 30°,
150°, 270°; r = 0 при ip = 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°; 2) r = а при
<p = 45°, 225°; r = -а при <p = 135°, 315°; r = 0 при <р = 0°, 90°,
a2
180°, 270° (см. с 334, рис. 83). 340. 1) г2 = 	; 2) г = а; 3) г =
cos 2<?>
= 	¦;	-; 4) tg <р = 1; 5) г = a cos tc; 6) г2 = а2 cos 2<,s>. 341.1) х = а;
cos (<?> - а)
2) ж2 + г/2 = 2ау; 3) гу = а2; 4) х + у = 2а; 5) {х2 + у2-ахJ = а2{х2 + у2).
342. 1) g + ^ = 1; 2) ^ - ^ = 1; 3) у2 = 6х. 343. г = — ± Ь.
25 9	16 9	sirny?
344. г = 05 ± А5 = —	 или в декартовых координатах у2 =
cos ip
2а — х
FM2 ¦ FiM2 = (г2 + a2J - Ar2a2 cos2 ip = b4, отсюда r4 - 2a2r2 cos 2<p =
= b4 - a4. 346. r = a(l + cos^); (x2 + y2 - axJ = a2(x2 + y2).
347. Пусть С — центр неподвижного круга, С\ — центр смещенного
круга и М(ср; г) — текущая точка. Так как /LOCC\ = АМС\С = ср
и СО = С\М = -а, то ОМ \\СС\. Спроектировав ломаную СОМС\
на СС\, получим — cos <р + г + — cos <р = а. Отсюда г = аA — cos cp).
348.1) гтах = 5 при <р = 0°, 180°; гтш = 1 при <р = 90°, 270°; 2) гтах = 4

266	Ответы
при <р = 90°, 210°, 330°; гтш = 2 при <р = 30°, 150°, 270°; 3) г = а при
^ = 0°, 180°; г = -а при ip = 90°, 270°; г = 0 при ip = 45°, 135°,
225°, 315°. 350. г = . . "^"^ V 351" V Т + ^ = ^
asm (<?> - а) + 6sm(/3 - ср)	4
2) у-г/2 = 1;3) у2 = х. 352. г2 = 2с2 cos 2^; (ж2 + г/2J = 2с2(ж2 - у2).
На рис. 80 положено слД = а. 353. г = & + acos^>. 354. Из АО AM:
г = ОМ = OAcoscp, но из АОАВ: О А = 2a sin у, откуда г = a sin 2cp.
358. Пусть точка А на оси Ож, точка В на оси Ог/ и Z0A5 = t. То-
Тогда х = В М cost = ВС cos2t = acos3t, у = AM sin t = AC sin21 =
= a sin t; итак, x = acos3t, у = a sin t, откуда x2'3 + y2'3 = a2'3.
2
360. y2 = J™—. 361. Cy2 + ^2^2 _ 4г,2^2 _ y2y 362_ g полярных
p ~\~ x
координатах r = OM = AB = ВD simp = atgipsimp; в декартовых
x3
у2 = 	 (рис. 85). 365. Обозначив через t угол луча О А с Ох, най-
а х
2	8fl
дем х = 2actgt, у = 2a sin t. Исключив t, получим у = —	-.
х1 + Аал
367. х = a(t - sint), у = аA - cost). 368. х = a(cost + tsint), у =
= a(sint-tcost). 369. у = zctg-. 370. х = (R+r) cost-r cos	—,
у = (R + r) sint — rsin	—, где t — угол поворота линии центров.
1, у = (R — r) sint — rsin
371. х = (R — г) cost + г cos
г
374.	X = J2xi = 8; Y = J2Yi = -2; ОМ = л/64 + 4 = 2л/ГГ.
375.	^8 + 2^3. 379. 1) с = ^-^; 2) а = 2с - Ь. 380. с = -(а - Ь).
_>	2 —	—	3
381. m + р = п; ОБ = 3(т + п), 5С = 3(п - т), ЕО = 3(т - п),
3Bn-m), 1Й = 6(m-n). 382. Ж? = 2(n - m), ш! = 2n + m,
O/l = 3m + n, M7^ = 2m - n. 383. 6^3. 384. X = Хг + X2 + X3 =
= - 3, Y = Y^Yi = 6, ОМ = У9Т36 = 3^5. 385. 1) а = 3(c - b);
2) с = 2b - алД. 386. ОМ = r = 5^2; cos a = 0, 5лД, cos j3 = -0, 3^2,
cos 7 = 0,4^2". 387. r = 7; cos a = 2/7. 388. C к, 52° или 128°.
389. М(Зл/2; 3; -3), г = 3(V2i + j - k). 390. u = 2i - 6j + 3k, и = 7.
391. ОС = i - 2j + k, ОС = л/б; А~В* = k - 4j - i, A5 = 3^2.
392. Конец 5D; -2; 5) или 5iD; -2; -7), cos a = 2/7; cos/3 = -3/7;
r- 2
C0S7 = ±6/7. 393. а = 2b - 0,8c. 394. и = 3V5, cosa =	-=.
395. cosa = cos/3 = cos7 = 1/y/b. 396. 45° или 135°. 397. D{A; 0; 6).
398. с = 2b - 2а. 399. 135°. 400. В = С = 45°. 401. cos^ =

Ответы	267
= 1/л/Ш = 0, 316; <р = 71°35'. 402. cos <р = 2/л/Ь = 0, 894; <р ъ 26°37'.
403. 60°. 404. arccosO,8. 405. 90°. 406. прьа = 4^2/3. 407. 2.
408. 1) 2 + лД; 2) 40. 409. (а + ЬJ = а2 + Ъ2 + 2аЪ cos <p (теорема коси-
косинусов); (а + ЬJ + (а — ЬJ = 2а2 + 2&2 (свойство диагоналей параллело-
параллелограмма). 410.7. 411. R = ^/(а + b + с + dJ = 10^4 + 2^2 ъ 25, ЗН.
!- .				Bт - п)т	5
412. V7 и л/13. 413. cos (а, т) = v	;=— = —=; cos (aph) =
= - 2/^7. 414.5/6. 415. O~U = 2(i+j + 2k), О~Й = 2(i + 2j + k);
cos в = 5/6. 416. cos^ = 2/л/7. 417. cos^ = 0,26^10; <p ъ 34°42'.
418. D(-l; 1; 1); ip = 120°. 419. npab = A * = -6. 420. OM =
0M.0N
17	1T 0,891,^ = 27°. 421. 120°. 423. 80 Дж, cos 6»=
9 ATT 19 f)S	' —*-^-" • —-. «« ^,-", "«" «	^ _ •
424. а^б. 425. cos ^ = -1/4. 426. a x b равно: 1) -6j; 2) -2k;
3) 6i - 4j + 6k. Площадь равна: 1) 6; 2) 2; 3) 2y/22. 427. 24, 5. 428. л/21,
h = л/4^. 429. 1) 2(k - i); 2) 2а х с; 3) а х с; 4) 3. 430. Пло-
Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного паралле-
параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма. 431. 50л/2-
432. 1, 5лД. 433. Зл/17, ^д = Зл/17/2. 434. SA = 7л/5, BD = 2лД!/3.
435. |а + Ь| = |а - Ь| = ^5, S = л/б- 437. 1, 5. 438. У = 51, левая.
439. У = 14, Я = 7V5/3. 441. с = 5а + Ь. 443. 2^2/3. 444. V = 14,
Н = л/п. 445. с = а + 2Ь. 446. V = |(а + Ь) • [(b + с) х (а + с)]| = 2|abc|.
447. (т х п) • р = |т х п| • 1 • cos a = sin a cos а = 0, 5 sin 2a. 449. 52.
451. cos а = —, cos/3 = —, cos7 = ~- 452. х-\-Ау—2z = 2. 453. х-\-у = 2а.
454. x-y + z = а. 455. 2t/-3z + 7 = 0. 456. 3t/ + 2z = 0. 457. 2х + у = 0.
458.- + - = 1. 459. x + y + z = 4. 460.- + - + - = 1. 462. cosa=-,
ас	4 3 2	3
cos/3 = —, cos7 = -; а = 48°11', j3 = 131°49', j = 70°32'. 463. х -
- 2y-3z + U = 0. 464. 3x-4z = 0. 465. ж + г/ = 4. 466.- + - + - = 1.
467. 1) 45°; 2) 78°30'. 468. х - 2у - 3z = 4. 469. 2ж + Ъу + 4z = 3.
470.2x+y+z = a. 471.2x-2y+z = 2. 472.2x-y+z = 5. 473. Зж-г/= 0
иж + Зг/ = 0. 474.3. 475.^6. 476.2^2. 477. 1) ж - 2г/+ 2z = И,
a;-2t/ + 2z = -1; 2) x + y-2z = 0 и « + t/ + z = 0. 478. 1) x-8y + 9z = 21;
2)x-y + 2z = 0nx-y-z = 0. 479. A; -1; 2). 480. Зх - 4y + z = 11.
481. 2j/ — bz + 10 = 0. 482. Уравнение плоскости х + у — 2z = 0; угол

268	Ответы
ее с плоскостью z = 0: cos ip = л/б/3 & 0,8165, <p = 35°15'. 483. ±j=.
2abc
484.y = ±z. 485	— 486.2ж + 2i/+ z = 20 и 2ж + 2i/+
\/a2b2 + a2c2 + b2c2
+ z+4 = 0. 487. 7ж+14г/+24 = 0. 488.1) E; 4; 0) и G; 0; 2); 2) @; -4; 0)
и B; 0; 2). 489. x = -z + 3, у = -z + 5; ^^ = ^^ = -^-.
490. —p = ^-^ = y. 491. P{0; 0; 1}. 492. 1) P = i; 2) P = i + k;
3) P=j + k. 493. 3-^- = У-^- = Z-^-; cos a = 0,3^2, cos /3 = 0, 4^2,
3	4	—5
cos7 = —0,5^2- 494. x = 2, z = 3. 495. Через t секунд координаты
x — 4 1/ + 3 z — 1
точки М будут ж = A + 2t, у = -3 + 3t, z = 1+f; 	 =	 = 	.
Zi	О	_L
496.	1) x = -2 + t, у = l-2t, z = —l + 3t; 2) x = l+t, y=l-t,z = 2 + t.
x—ay—bz—c
497.	1) 	 = 	 = 	, что значит х = а, у = 6; 2) z = с и
	 = 	. 498. cos<?> = —т=. 499. cos cp = —. 501. Направляющий
m	n	^3	26
вектор P = NxNi = i + 3j + 5k. Уравнения прямой: —-— = —-— = —.
1	о	О
502. Зх + 2у = 0, z = 4. 503. 0,3^38. 504. 4^2/3. 505. D; 2; 0),
C; 0; 2), @; -6; 8). 506. х = 6 - 3z, у = -2z + 4; ^ = ^ = "-¦
следы: F; 4; 0), @; 0; 2). 507. - = ^i = -. 508. Р{0; 1; 0}.
509. Р{1; 1; 2}; а = j3 = arccos^. 510. у = -3, 2х - z = 0.
V6
511. Приведем уравнения к канонической форме: — = 	 =
_L	Zi	Zi
х у — A z	20
и - = ^-— = -¦ cosip = — ъ 0,952, <р = 17°48'. 512. Напи-
Z	о	0	^1
х-2 у z-1/З
сав уравнения данной прямой в виде 	 = - = 	, получим
уравнение искомой прямой: —-— = —-— = —-—. 513. А@; 1; 0),
Z	Z	_1_
~АМ{?у, -1; 4}, Р{1; 2; 2}, d = л/U. 514. sin в = 1/лД. 515. Для обеих
прямых Am + Вп + Ср = 2 • 2 + 1(—1) + (—1) • 3 = 0, но точка пер-
первой (—1; — 1; 3) не лежит на плоскости, а точка второй (—1; — 1; —3)
лежит на плоскости. 516. у + z + 1 = 0 ( уравнения прямой можно
х — 2	у — 1	z\
записать в виде —-— = —-— = — I. 517. х — 2j/ + z + 5 = 0.

Ответы	269
518. 8х - Ъу + z - 11 = 0. 519. х + 2у - 2z = 1. 520. - = - = -;
17°33'. 521. E; 5; -2). 522. F; 4; 5). 523. E; 5; 5). 524. C; 3; 3).
>	2 - У " l ?
_д	g	п-
528. A; 1; 2); 70°. 529. (-1; 2; 2); 30°. 530. F; 2; 0). 531. C; -1; 1).
532. x-y-z = 0. 533. (-1; 3; 1). 534.^— = ^-=^—. 535. Точки
на прямых: 0@; 0; 0) и АB; 2; 0); направляющие векторы прямых:
Р{0; 0; 1} и Р!{2; -1; 2},d= ^ *** = А. 536. 1) СA,5; -2,5; 2),
Д = 2, 5^2; 2) С@; 0; а), Д = а. 537. (ж - IJ + (у + IJ + (z - IJ = 1.
538. х2 + у2 + z2 = 8х. 539. х2 + у2 + z2 - а(х + у + z) = 0. 541. у2 =
= 2ах-х2. 542. х2 + у2 = 2ах, x2 + z2 = 2ax, y2 + z2 = а2. 544. A; 7; 2),
Д = 4. 545. (W-2ZJ = ЩЪХ-Z). 546. 1) у = 0, х2 = a2 -az (пара-
(парабола); 2) х = 0, у2 = a2 — az (парабола); 3) z = h, x + y = ±^/а(а — К) —
прямая, параллельная х-\-у = а (см. рис. 59 на с. 320). Цилиндрическая
х2 (у_|_2J
поверхность 2ж2 + (у — z + 2J = 8, форма тени ——\- -—-—— = 1 —
4	8
эллипс. 548. 2х - у + 3z - 7 = 0. 549. х2 + (у + 4J + z2 = 4.
550. ii^l! + iH±3l = l. 553. (х - zJ + (y- zJ = A{x - z).
554. x = A, z±y = 2. 555. X \ У =Z—. 556. h2x2 = 2pz[h(y + a) - az].
557.	@; a; 0), направляющая — окружность z = a, x2 + (y — aJ = a2.
558.	Вершина @; 0; 0), направляющая — парабола z = h, x2 = 2hy.
559.	При z = 0 x = ±a; при у = h x2 + y2 = a2; при x = ±c пря-
прямые z = ±	у, т. е. поверхность образована движением пря-
h
мой, параллельной плоскости yOz и пересекающей окружность ABC
(см. рис. 65 на с. 321) и ось Ох. 560. а) z = х2 + у2; б) ^Jу2 + z2 =
= х2. 561. 1) z = e-(^W); 2) z = 2 4 2. 562. 9{х2 + z2) = 16у2.
563. х2 + z2 = z{y + а). 564. а) х2 + z2 = у2; б) z2 = х2 + у2.
565.	Повернув оси Ох и Оу вокруг оси Oz на 45°, получим уравнения
поверхности и плоскости в виде 2Z2 = X2 — Y2, X = ал/2. Отсюда
У2 Z2
сечение: X = ал/2, —^ -\	тг = 1 — эллипс с полуосями ал/2 и а.
2аА аА
г2 _|_ ?;2 z'i	45	т2 -I- ii2 z2
566.	V + — = 1. 567. а) 3, 84^; б) — тт. 568. а) \У - — = 1
а1	с1	4	а^	с^
(однополостный гиперболоид); б) — —	— = 1 (двуполостный ги-
ал	с1

270
Ответы
,	ж z 1 / у\ ж z	( у\ х z
перболоид). 570. - + - = - (l + |) , - - - = 3 (l - |) и ? + - =
|. 571. ж = ^ [(с - z) cost + (с+ z) cos
г/ = - [(с — z) sin t + (с + z) sin (t + a)], откуда
x2 + y2 z2
= 1 + cosa; при a = 90°
x2 + y2
2a2
	-A - cos a) =
2cr
	 = 1, при a = 180°
4a2
	 = 1, при a = 120°
z2
	 = 0 (конус). 572. ж2
у2 = az.
574. x + y = 4, x-y = z:x + y = 2z,x-y = 2. 575. —-
2az
z2
576. ж -\-y — z = —2a (двуполостный гиперболоид). 577. ж =	.
578. 9ж = ± 13z. 579. 4у = ±3z. 580. 1) Сфера с центром @; 0; а) и
радиусом R = а; 2) параболоид вращения вокруг Oz; 3) цилиндр; 4) ги-
гиперболический параболоид; 5) конус; 6) параболический цилиндр; 7) ко-
конус; 8) параболоид вращения; 9) конус; 10) цилиндр. 581. ж + у = 2 + z,
х - у = 2 - z; х + у = Цг - 2), Цу - ж) = z + 2. 582. ж2 + у2 =
= 2az. 583. z = а -
2а
584. 2у = ±32. 585. Зж + 4у = 24,
Зж - 4у = 12z; z = 0, Зж = 4у. 586. 26. 587. -38. 588. 7. 589. 2а.
590.1. 591. sin (a +/3) sin (a -/3). 592.-10. 593.4а. 594. -2&2.
595. -2ж. 596. -4а3. 597. 144. 598. 72. 599. (ж - у)(у - z)(x - z).
600. 1. 601. sin(/3-a). 602. 10. 603. Лежат на прямой у = ж + 2.
604. 1)
х у 1
Ж1 г/1 1
Х2 2/2 1
= 0; 2)
ж у 1
2 3 1
-1 5 1
= 0. 605. 10. 606. апгп.
607. а(х - z)(y- z)(y-x). 608. 4 sin a sin2-. 610. 1) Xl = 2, x2 = 3;
2) Ж1 = 0, x-2 = -2. 611. ж = 5, у = -4. 612. ж = -, у = 1. 613. ж = 0,
а
у = 2. 614. х = т, у = 2т- п. 615. 5; 6; 10. 616. -1; 0; 1. 617. 7к,
8к, Ш. 618. Ък, -Ilk, -7к. 619. ж = у = z = 0. 620. Несовместна.
621. Неопределенна: ж = 	, у = 	. 622. Несовместна. 624. 2;
-1; -3. 625. 1; -1; 2. 626. 2к, к, -4к. 627. ж = у = z = 0. 628. -к,
Ш, Ък. 629. Неопределенна: у = 7 - Зж, z = 18 - 7ж. 630. 1) 12 + Ы;
2) а2 + &2; 3) 5-12г;4) -2 + 2i; 5) г; 6) 1 + г. 634.1) 2 (cos — + г sin—
2) 2 sin- (cos- + г sin-V 640. 1) 32г; 2) 64; 3) 4A-г); 4) 2C+ .
5) 8г. 641. sin За = 3 sin a cos2 a — cos3 a, cos За = cos3 a — 3 sin2 a cos a.

Ответы
271
3	3	2
3) ±i, Ц ± г i 4) X + г'' -1' Зб + °> 365i> °> 365 " X> 36i- 644- !)
= 45°, 165°, 285°; 3) ±2(^3 +г), ±2(-1
¦ ттг; 2) -In 2 + -
2
sin (nx/2) sin [(n
л/2
2) (	)	) (
645. 1) -2, 1±глД; 2) ±1 ± г. 646. 1) 1п2 + тп'; 2) - In 2 + —; 3) —;
2	4	4
4)
648.
'2J-iarctg -; 5) - In 2	i. 647.
ж 2	4
sin (nx/2) cos [(n + 1)/2]ж
sin (ж/2)
7 — 24?
650. 1)	; 2) 2&Ca2 - b2)i.
sin (ж/2)
651. 1) 4У2е"/4. 2) 2е2"/з. 3) уДе-™1*. 652. 1) 5(cosO + isinO);
2) e"/2; 3) 2e-37"/4. 654. Точки внутри круга с центром C(z0) и г = 5.
655. 1) 8г; 2) 512A -г-^З); 3) -27. 657. 1) 	-=Л; 2) cos^ + isin^, где
л/2
<р = 0°, 72°, 144°, 216°, 288°. 658. 1) 2, -1±г'УЗ; 2) ±2г, ±УЗ±г'; 3) ±3,
±3г. 659. Sm ПХ. 660. 1) -1, 2, 3; 2) 5, ± . 661. 1) хх = 3,
2 sm ж	2
ж2 = 4, жз = —2; 2) Ж1 = 1, ж2 = —2, жз,4 = Ну/2; 3) Ж1 = —2,
ж2K = ±1/3; 4) Ж1 = 1, ж2K = ±i/2. 662. 1) А = 49/4 > 0, гц = 2,
-1	-9	_ -3 ± г'^3 0N а _ п	_ /I	_	_
V\ — 1, Z\ — о, z2j з — 	~	; z) l\ — и, Z\ — 4, z2 — z3 —
= -2. 663. 1) A < 0, <p = 60°, zi =4cos20°, z2>3 = 4cosB0° ±120°).
665.
a
1
1,71
P
2
1,87
/(«)
-10
-3,2
/(/3)
4
0,36
к
14
22
fci
31
26
Да
0,71
0,14
A/3
-0,13
-0,01
1,85 < x < 1,86.
666. 2,15; 0, 524; -2, 66. 667. 1) 1, 305; 2) 4 и 0, 310; 3) -0, 682/; 4) хг =
= 1,494, ж2 = —0,798 I х\ найдено по формуле х = л/2х + 2, а ж2 —
по формуле ж = -
669. 1) A = 1225
0,
668. 1) -6, -1 ± ?V2; 2) -1; 2; 2.
о	о	i	-1±5глД
= 3, vi = -2, z\ = 1, z2 з =
2) А = -4 < 0, ^ = 45°, zi = 2^2 cos 15° = 1 + лД, z2 = -2, z3 =
= 1 — л/3; 3) А = 0, z\ = —2, z23 = 1; 4) положив х = z — 2, получим
z3 - 3z + 2 = 0; А = 0; zx = -2, z2 = z3 = 1; хх = -4, х2 = х3 = -1.
670. 1,76 и -2,15. 671. 1) 1,17; 2) 3,07. 672. 1,67. 675. 0 ^ х < 1.
681. X! = 0, х2 = 4. 683. 1) х ^ -2; 2) -3 ^ ж ^ 3; 3) 0 ^ х ^
^ 4. 684. 1) -4 ^ ж ^ 0; 2) -1 ^ х ^ 3. 685. 1) ж ^ 0; 2) ж ^ 4.

272
Ответы
686. 1) 2ктт ^ х ^ Bk + 1)тг; 2) -4 ^ ж ^ +4. 687. 1) /@) = 1, /A) = 1,
/(-1) = 3, /B) = 3, f(a + 1) = а2 + а + 1. 688. 1) Ъ + а; 2) 2ah.
689.
, /
. 690. FU; 3) = 19, FC; 4) = -25. 691. 1) Четная;
о2 + ab + а2
2) нечетная; 3) четная; 4) нечетная; 5) нечетная; 6) и не четная, и не
нечетная. 692.
2
> j
2
х
. 693. loga x. 694. а .
696.2 < х ^ 3. 700. 1) \х\ ^ 2; 2) -1 ^ х ^ 3; 3) -- + &тг ^ х ^ - + &тг;
4) \х\ ^ 2. 701. 2) 6х2 + 2/г2; 3) 4B - а). 702. |а| < 0, 001, как только
3	3	lg(V?)
п > 	 или п > 	 = 10; а\ < е. как только п > 	. 703. х = 2;
Ig2	0,3	Ig2
-; 1т; у! 1q! • • • —^ 1; k - 1| < 0, 01, как только и ^ 50; \х - 1| < е,
1-е
как только и > 	. 704. ж = 4; 3,1; 3, 01; ...->¦ 3 + 0; ж = 2; 2, 9;
2, 99; ... -^ 3 - 0.? 705. х = 6; 5,1; 5, 01; ... -> 5 + 0; х = 4; 4, 9;
4,99; ... -> 5-0; х = -1; -1,9; -1,99; -1,999; ... ->¦ -2 + 0; ж = -3;
-2,1; -2, 01; -2, 001; ... -> -2 - 0. 707. E = е/2. 708. E = 0, 01.
712. При |ж| > 2500,5. 713. При |ж| > 7,036. 715. Km x в первом
п—)-оо
примере равен 1, во втором —1, в четвертом 0, в пятом 2, в шестом 0, в
третьем не существует.
716.
X
3
X —
2
3;
3;
2,1;
30;
2,01; ...
300;
->2 + 0
->+oo
X
3
X —
2
1;
-3;
1,9;
-30;
1,99;
-300; . . .
-> 2 - 0
—? —oo
Km
с->2+0 ж — 2
3
Km
2-0 X - 2
= +оо;
= — оо.
717.
a;
2l/x
X
1;
2-
-i;
0
2
i;
10.
-0
0
2
i;
01
100
;
-0
01;
->+o
-? +oo
... -
у -0
1/2; 1/210; 1/2
,100.
Km
Km
1Х = +оо;
= 0.
2	2	2
718. 1) Km - = 0; 2) Km - = +oo; Km - = -oo; 3) Km ?/ = oo;
x—xxi x	x—>+0 X	x—>0 ж	ж—>-+оо
4) Km 3X = 0; 5) Km Igx = -co: 6) Km tgx = +oo;
Km tg« = -oo. 724. A5 -^ oo, С В -» oo, ZBCD -» 0,
ZAC5 -^ 180°.

Ответы	273
725. ж = 5; 4,1; 4, 01; 4, 001; ... -> 4 + 0;
ж = 3; 3,9; 3,99; 3,999; ... -> 4 - 0;
ж = -0,5; -1,4; -1,49; -1,499; ...^-1,5 + 0;
ж = -2,5; -1,6; -1,51; -1,501; ...-^ -1,5-0.
729. Только первая последовательность имеет предел: Km x = 1.
п—)-оо
В остальных примерах Km х не существует. 730. 1) 0; 2) оо; 3) оо;
4) 0; 5) 2; 6) 0; 7) 0 при а > 1, 1/2 при а = 1, а при 0 < а < 1. 733. 1.
734. 1) -0,6; 2) 1. 735. 4. 736. 1. 737. 3/2. 738. 1/2. 739. — 1/л/2.
740. 2/3. 741. -1/2 при а > 0 и оо при а < 0. 742. 2/3. 743. т/3.
744. 1. 745. -1/2. 746. 1) 2/3; 2) -2,5. 747. 0. 748. оо. 749. -2.
750. -3/2. 751. 1/лД. 752. 1/6. 753. 1/4. 754. -12. 755. -1.
756. Km	lSma;l	= -1/лД. 757. 2,5. 758. лД. 759. -4.
х->ж+О sin Хл/1 — COS Ж
760. 2. 761. -1/56. 762. -л/2. 763. 4. 764. 1/3. 765. 1. 766. 1/4.
767. 2. 768. 6^2. 769. 2 cos ж. 770. 1) 1; 2) -1/2. 771. 1/2. 772. 1/2.
773.1/3. 774.8. 775. Km v2|sn^| = _^ 11&л 777.т2/2. 778.3.
х->-0	X
779. 1/4. 780. 1) -2 sin ж; 2) -1/2. 781. 1. 782. 1,5. 783. 1/2. 784. 1.
785. 1/2. 786. 1/4. 787. -3. 788. 2/тг. 789. -2. 790. -1/4. 791. -.
792. 0. 793. 1/2. 794. -1/2. 795. -1. 796. 1) 1/20; 2) 3. 797. 1) 3/4;
2) 2 [положить в примере 1) ж = t12, а в примере 2) 1 + 2ж = t4]. 798. —а.
799. 1) -1; 2) -0,2. 800. 1) 3; 2) 3/2. 801. 1) 1; 2) -1/2. 802. 1) -2;
2) -0,1. 803. 1) -2,5; 2) 1,5. 804. 1) -лД^; 2) -1. 805. 1) 2; 2) 3.
806. 1) 4; 2) 1; 3) 3. 807. 2. 809. При ачО A + аK - 1 Pd За.
810. 1) 2,5; 2) а/6; 3) 1,5. 811. 2 и 3. 812. 1) 2; 2) 3; 3) 1. 815. 1) При
2га - 1 .
ж = 0; 2) при ж = 	тг; 3) при ж = ±2. 816. При ж = 2 выполнены
первые три условия и не выполнено четвертое.
{—1 при ж < — 1,	[ж—1 при ж < — 1,
2) У = {
1 при ж>—1;	[ж+1 при ж > — 1.
При ж = — 1 функции имеют разрыв I рода (выполнено только второе
условие непрерывности). 818. При ж = 0 не выполнено только четвертое
условие (рис. 37). 819. Разрыв при ж = 0, Km у = оо, Km у = 0,
Km у = 1 (рис. 38). 820. Разрывы при ж = ±2. 821. 1) Разрыв I рода
х—)-оо
при ж = 0, при этом Km у = 0, Km у = 1, Km у = —, Km у =
х—>+0	х—у — 0	х—>+оо	2 х—> — оо

274
Ответы
= — (рис. 39); 2) разрыв I рода при ж	= а, при этом Km у =	,
2	х —уа — 0	2
тг . ж2	х2
Km у = —, Km у = 0; 3) у = —	при х > 1 и	при ж < 1;
х —уа+О 2 ж—>±оо 2	2
при ж = 1 — разрыв I рода, причем	Km у =	, a Km у = —.
х—и — о	2 ж—и+о	2
Рис. 37
1/2
Рис. 38	Рис. 39
822. Уравнение ж2 — у2 = 0 определяет у как бесчисленное множество
однозначных функций ж. Из них две: у = ж и у = —ж непрерывные.
Остальные (разрывные) на одних участках оси Ох определяются урав-
уравнением у = х, а на других — уравнением у = —ж. Четную с разрывами
при ж = ±1, ±2, ±3, . . . можно определить так:
при 2п — 1 < ж < 2п,
У =
при 2п
х
: 2п-
нечетную так:
Г —ж при 2п — 1 < ж < 2п,
У= <
где п = 0, ±1, ±2, ±3, ...
ж при 2п < х < 2п + 1,
823. Разрыв II рода при х = —2; Km у = +оо, Km г/ = — оо,
Km у = 1. 824. При ж = 0 не выполнено только четвертое условие
х—)-±оо

Ответы
275
непрерывности; при ж = ±2 — еще и третье. 825. Точки разрыва: 1) ж =
= 0; 2) х = 2; 3) х = 0; 4) х = 0; 5) х = ±2 и х = 0. 826. Бесчисленное
множество. Из них: 1) непрерывные у = л/4 — х2 и у = —л/4 — ж2;
2) искомая разрывная:
У =
ч+V4 - ж2 при 1 < |ж| ^ 2.
827. ж = 0 и у = 1. 828. 1) ж = О и у = ж; 2) ж = -1 и у = х- 1; 3) у = 1.
829.	1) ж = О, г/ = —1; 2)ж = 0иг/ = ж — 1;3)ж = —п/т и г/ = а/т.
830.	1) ж = -1/2 и г/ = -2; 2) г/ = ж; 3) г/ = -ж. 831. 1) г/ = ±ж;
2)	ж + г/ = -а; 3) г/ = ж ± тг; 4) г/ = -тт/4. 832. 1) г/ = 0; 2) у = ±2ж;
3)	ж = 0 и г/ = ж. 833. Параболы: 1) у = ж3/3; 2) г/ = ж2. 834. 1) ж = 0 и
у = 1; 2) ж = 0 и г/ = -ж. 835. 1) ж =
3)	ж = 2, ж = -2, г/ = 1 (рис. 40);
4)	ж = 1, ж = -1 и г/ = -ж. 836. 1/е5.
837. 1) е/3; 2) е4. 838. 1) е2; 2) е.
839. 1) е; 2) е. 840. 1) 3; 2) е3.
841. 1/^ё~. 842. 1) 1; 2) -1; 3) 21па.
843. 3 и 4. 844. 1) е6; 2)
845. 1) 1/е2; 2) -3. 846.
1
847. 1) 1/ж; 2) -2. 848. 1) Зж2; 2) 4ж3;
Рис. 40
=. 849. 1) (ж - 2J; 2) -. 850. 1) (ж2 - IJ;
1 + ж2	а
30 „ч ж2 + 2ж
2) ж3 - 2ж. 851. 1) 1 + -^=; 2) 1 - J-. 852. 1) -^; 2) -
/х	уж	ж4
х
ж4
853. 1)
1
; 2) 3 1--==). 854. 1)
1х)	' л/х
1 1
?; 2)
Зж
855. 1)
ж4
l; 2) i
ж
/ж
/ж
856. 1) 2sin2-;
,	„	. .	. . ж(в1п2ж —ж)	. ж sin ж
2)-tg2ж. 857.1) жBсо8ж-жвтж); 2) —	=	'-. 858.1)	Ь
i	хА
4ж-вт2ж
sin ж
2 cos ж
; 2)
2ж
1)
2 '
859. 1)
г; 2)
ж

276
Ответы
860. 1)	:	; 2)	861. 1) <tf; 2) 2asin2-. 862. 1;
1-smi	2уж(уж+1)	2
0; 4. 863.8,25. 864.-90. 865. 1) -6bx(a - Ъх2J; 2) -?-= (-^ + 1).
О /X \ /Ж	J
868. 1) x{2smx + ж cos ж); 2)
ж(вш2ж
=
О \/X
" 2cos^; 2) -ctg2'
. cos ж — 2ж sin ж
. 869. 1)
dt 2 t2'	' ж4	(xz + l)z	' ХхУх \ xjx/
2) -^2ЛТ-ЖЛ2- 872- -1/3- 873- -1' -1/^, -1/25. 874. 1) бсовбж;
1 / ж	ж\	ж
875. 1) - f cos	sin-j;	2) -2sin-.
2) &sin(a —
876. 1) -20A - 5жK; 2)
2
г. 877. 1)
Юж
/1-ж2
/4 + Зж
3) -21г4ж^сов4ж. 878.	879. 4 sin3 ж cos ж. 880. 1)вт2ж;
л/2х — sin 2ж
2) -вт2ж; 3) 2 tg ж sec2 ж. 881. —= sin 2жвт (ж - -V 882. Зtg4ж.
883. -
— sin 2ж
884. ^. 885.
знак «+» при cos 2ж > 0, знак «—» при cos 2ж < 0, а при cos 2ж = 0 у' не
20 sin 4ж
существует ( Km у1 = -\/2, a Km г/ = —л/2)- 886. —	r~TF-
887.-
sin2 (ж/3)
). 889.
=. 890.
. 2t . dr a sin 2ш . rfr
891. -sin—. 892. 1 —- =	 y ¦ 2 — =
a	dip	^cos2ip dip
896.
ж2- 1	ж2^2ж - 1
2
2 sin2 2tc
+ cos2 B<p + тг/4)
8„3. /' (^) =
894. —=. 895.
Уз
898.
; + в1п4ж	у/\ — ж"
899. 1) sec6 ж; 2) Зж2вт2ж3. 900.
897. -вт4ж.
901.
ds
sin2 (t/A)
A-вт2жK'
2(Зж + 1)
dr 1
, - .	. 902. —- = -cos^. 903. - ,
dt 2y/t/2-sm(t/2)	dp 2	x3y/4x + 1
904. -A/-. 905. к = tga = ±4. 906. j/ = 8 - Ax, x - Ay = 2.

Ответы
277
2 1 ж
907. у = х + -. 908. у = О, у = ±-(Зж - 1). 909. у =	\- 2.
О	Z	Z
910. г/ = тг - ж. 911. 45° и 135°. 912. arctg -. 913. 1) -, 2, —, лД;
9 Я /1Я /Л Я
2) —, —, 	, 	. 915. у = х2 — ?>х + 4. Параметр 6 находится из
О Z	о	Z
условия у' = 2ж + & = 4 + & = 1, ас — из условия, что B; 2) — точка ка-
1	15
сания. 916. у = -Ах + 8, у = --ж - 2; ip = arctg — Pd 62°. 917. у = Ах,
А	8
г/=-4ж+16. 918. ж±4г/ = 8. 919. г/ = ±Cж + 8) и у = 0. 920.4/^17.
921. 40°54' или 139°6'. 922. (-2; -4). 923. A/2; 17/4). 924. 1; 1; лД;
лД. 925. 11°20' и 7°7'. 926. у'_ = -1, у'+ = 1. 927. у'_ = - 1/2;
у' = 1/2. 928. у = х и у = -ж. 929. г/ = ±^Д; 109°30'. 930. ж = 0.
V2
931. ж = 2. 932. ж = 0. 933. ж = 2. 934. у-1 = ±1х	). 935. ж = -1.
936. у = ±4ж; 28°. 937. 1) 1пж + 1; 2)—^; 3)	. 938. 1) ^-t_J_;
ХА	X	Xs
= . 941.
942.
943. 	. 944.
жA — ж2)	cos ж
1-4ж2
. 945.
2 _|_ ™2
/а2 + ж
946.
2 + лД'
947. 1)	——; 2) -
sin ж	ж — aid
948. у = х — 1. 949. Касаются в
точке (^ё~; 1/2). 950. 1) 2ж + 3ж1п3; 2) Bж + х2\п2Jх; 3) жB + х)ех.
951. 1) а8Ш:ссо8ж1па; 2) -2хе~х2; 3) 2жA - х)е~2х. 952. 6^/2 + 6-^/2.
953. -(
954.
955. -е^/61 fcos- — sin — I.
956. 1) -2е-гяпж; 2) -
1 + ж'
A-е^J'
957. ^ ~ ^ . 958. 2а(е2^ - е^).
959.-In а. 960. 26°35'. 962. 1) жжAпж + 1); 2) xsmx cos ж1пж +
2- "с"	Х . 965.	-i	 966. C°SX
ж J
963.-tg ж sin2 ж. 964.--
2л/х" - х
967.
968.
— xz
х
969.
х\/\ + ж2
ctg2ж
971.	"	972.	е~х1а.
у ах + ж2	а
975. ,	976.
л/е4х + 1
= -?. 980. /Т3?
1
2^'
1
х/
— sin 2a
970.
1 + sin2 ж
1 + cos ж
4
ех — е
-х\2 '
е4х
977. xll
x
978. 16. 979. у =
1 + ж2
982.--
1
-4ж2
983.

278
Ответы
984.
985.
1
а2 + ж2'
Зе3х 2
2)	988.-	-. 989.
986.
1
1 + ж2
1-х'
2х\/х
2ж
^=. 990. arctg-. 991.—,
- 1	а	2л/ж - ж2
г;2) is
995. агссовж. 996.
4е^
Ж2 + Ж4
-. 997. Д/--1. 998. W--4. 999. (тг - 4)/4.
1000. 1) вп2ж; 2) Ш2ж; 3) УсЬж+ 1. 1001. 1,5. 1002. 1) thi;
2) -4/вЬ22ж. 1003. 1) сШ2ж; 2) 2/вЬ2ж. 1004. 1) 1/сЬж; 2) 4вЬ4ж.
1005. ж + 1,175?/= 2,815а. 1006. у = 3, 76ж + 3, 89. 1008.1) —'¦
/4ж- 1	а"ж 2е*(е*-
1-х
2) tg3». 1009.
2ж
1010.
е2*
ж2 + а2
1017.
	.
3a
1021. 1) 2cos2;c; 2) 2 tg ж sec2 ж; 3)
1011. — 2
; 2) 2 cos (Inж). 1015.—.
' ;	l ;	15
1
(	+ x)Ai2
24	1
1022. 1) -4вт2ж; 2)	-; 3) -(x cos x + Звтж). 1023.	1)	-;
ж5	xA
. 1024.-
(-l)"-1^-!)!. з) НГ'ЬЗ-5,.,Bп-3)
2^
™2п-1
1026. 1) п\;
2) sin^ + n-V 3) 2" cos hx + n-V	1028. 1) -2ex smx;
2) жаж(ж21п2а + 6ж1па + 6); 3) 2 sin ж + 4ж cos ж — ж2 sin ж.
1029. 1) ге-^втж + cos ж); 2) 2/ж; 3) ж sin ж - Зсовж. 1030. /'"(ж) =
Ю31. 1, т,
/а f(n){x) =
f{)	/() =
a3 v ; а"	у ' а"
m(m — 1), т(т — 1)(т — 2), . . .,	т(т — 1) ... (т — п + 1).
1035. 1) 2е"* Bж2 - 1); 2) —|-; 3)	_„3/,. 1036. 1) a"(Inа)";
sin2 ж' ; D-ж2K/2'
1037.
6' 6 ' 36
1038.1) еж(ж3 + 9ж2 + 18ж + 6); 2) — 6а2 cos - - бажвт - - ж2 cos - ;
а V	а	а	а/
/ i\n
3) -ж/1У(а-ж). 1041. По формуле Лейбница/<")(ж) = х2е~х1а [--) +
V а I
п-2хе-х/а(
\ a
П{П ХJе~х1а (-- ) . Отсюда /(»)@) =
1-2	V а

Ответы
279
Ю42.
Далее по формуле Лейбница /("' (ж) = [—2ж/(ж)]	и т. д. 1044.1)	;
2) ?; 3) ^. 1045. 1) -^ + ^; 2) Hi^.	/» ^±»
' у' ' а2у	' х + 2у' ' х-2у
1046.
-{/»; 2)
\jx' '
io47 ex sin у + e ^ sin ж
еж cost/ + е~У cos ж
( - a)	ra(ra + n)j/
1
2)
X — i
12' °
1048. — + 1. 1049. 1/3. 1050. 1)	-;
. 1051.- — . 1052. у = 3 - ж и у = х - 1.
1053. D0/9; 40/9) и D0; 40). 1054. 1)
жж0
УУо
Ъ2
= 1; 2) г/г/о =
&2ж
= р(х + ж0). 1055. ж + у = ±-/=- Ю56. arctg3. 1057. 1) -
аж — у*
. 1058.
	• 2)	—
г/3' ' (у-Р
6а2
2г/K'
1059. 2у = -ж-Зи2г/ = ж+1. 1060. ж + 2г/ = 4^2. 1061. 1	.
1062. е(е - 1). 1063. ±2. 1064. 1) dy = пх"'1 dx; 2) dy = 3(ж - IJ dx.
1065. 1) dj/ =
; 2) rfs = gtdt. 1066. 1) rfr = 4si
; 2) dx =
А + х2
= -2-^. Ю67.1) sin 2tdt; 2) sin и du. 1068.1)- "*dx , • 2) (a+1)rfa;
t3	ж2(а2 + xA)	a
. 1070. 1) 0,04; 2) 0,05. 1071. 1) dV =
= Зж2с/ж = 0,75; % = 0,006 или 0,6%; 2) d = Щ^-. 1072. 1) dx ^
ж-5	8/
0,1-2
^ 	-= < 0,005; 2) радиус нужно измерить с погрешностью не более
5жл/ж
]-%. 1073. 1) S = тгД2, AS к dS = 2тгДс/Д; 2) V = ^тгД3, AV к
dV = 4тгД2 dR. 1074.1)
; 2) &sin (a - Ь<р) d<p; 3) -
t?L
1075. 1) - tg ж dx; 2)
; 3) -2et dt. 1076. 1) —-; 2) tg2 a da;
2^ж
3) 6A + e~bt)dt. 1077. 1) Ay = Зж2Аж + ЗжАж2 + Аж3 = -0,2376,
= 3x2dx = -0,24; 2) dl = -— Pd 4,46см; 3) \dx\
7Г
^2
0,006.
1078. 1) Ay2 = ж3; 2) y2 = x - - 1 . 1079. 1) — + |- = 1; 2) ж
V3 /	aA bA
+ y2/3 = a2/3. 1080. 1) ж2 - y2 = 1; 2) у =	-. 1082. ж = -
_L "T" x	_L

280	Ответы
. 1084.* + ,,= -?=. 1085.1)-
1 + td	2	V2	a sin15t
^	\	1086- !) г/ = -*2 - 2^; 2) (j/ + 2K = x3.
, • \ulnV
4a sin (t/2)
1087. x + у = я I — + 2 ). 1088. у = х - ^^=. 1089. 1) -
2)И^.3)_3_ 1
4*1*	4e*	2 at	at"
a	a2	dx „
* = — ж = — (высшая точка). 1091. — = * — At + 3; *i = 1, *2 = 3.
g	2g	dt
dx dv	dv	dx
1095. v = ——; —- = w; перемножим почленно. 1096. 2v — = 2a— =
dt dt	dt	dt
dv	at dx
= 2av, откуда w = — = a. 1097. x = 10 + 20* — ^—; — = 20 - gt;
dt	2 dt
—тг = —а. В наивысшей точке —- = 0; * = — Prf 2,04c. 1098. —- =
dt2	dt	g	dt
- x). 1100. d(ui ) = 2uidui)
dlu) )	duj	duj dt	1
——- = 2ui— = 2ui	= 2uie— = 2s. 1101. Корни функции 1; 3.
dip	dip	dt dip	uj
Корень производной f'(x) = 2x — А равен 2; 1 < 2 < 3. 1102. He при-
применима, ибо при х = 0 нет производной. 1103. Потому, что точка х = О
9—1
угловая (две касательные). 1104. Наклон хорды (АВ): к = 	 = 2;
f'(x) = 2х = 2, х = 1; в точке х = 1 касательная параллельна хорде.
1105. /(&) = b2, f(a) = а2, /'(с) = 2с; подставим это в формулу Ла-
гранжа Ъ2 — а2 = (Ь — а) ¦ 2с; откуда с = 	. 1106. с = —. 1108. На
Zi	т:
7Г
дуге есть угловая точка при х = —, в которой функция не имеет про-
производной. 1109. Функция непрерывна и имеет производную внутри от-
отрезка [0; 2], но разрывна на его правом конце. 1110. Пусть s = /(*) —
уравнение движения, а *i и *2 — начальный и конечный моменты дви-
движения. По теореме Лагранжа между *i и *2 найдется *з, при котором
—-—	—- = /'(*з), т. е. 40 = /'(*з) = —г в момент *з-
h~h	1 /'(*) о
1111. Ф'(х) = Ъ f(b) 1 . Так как ФF) = Ф(а) = 0 и в интервале
a /(a) I
(a, b) имеется производная Ф'(ж), по теореме Ролля между а и & найдется

Ответы
281
ж = с, при котором Ф'(с) = 0, т. е.
1 Г (с) О
ь
1
= 0, откуда f(b) —
a f(a) 1
— Да) = (b — a)f (с). Функция Ф(ж) есть удвоенная площадь /\АМВ,
' ' Зс2
откуда с =
где М — любая точка на дуге АВ. 1112.
_ а3
о2 - а2
2с
2(а + ab + b)	dy fit)
= 	;	—	.	1113. Угловой коэффициент касательной —- = ——,
3(а + б)	dx tf'(t)
,	,	f'(c) v	, ,	„ , 2/2 - 2/1
а в точке t = с к =	. Угловой коэффициент секущей к\ = 	 =
№ - /(а)
; по теореме Коши между ашЪ найдется t = с, при котором
f(b) - if {a)
к\ = к, т. е. касательная параллельна хорде. При этом так как f'(t) ф О,
то if {a) < if [с) < if{b) (или наоборот), и точка касания находится внутри
дуги. 1117. с = \Г '--'-. 1118.	^
1119. 1) -; 2)
2,4. 1120. Функция у = \х — 1| не имеет
производной при х = 1. 1121. В точке х = -1/2. 1122. 3. 1123. 1/2.
1124. 	-. 1125. 1. 1126. а'2/Ь'2. 1127. 1/2. 1128. 1/6. 1129. 3.
па"-1	'	'	'
ИЗО. 1) оо; 2) 0. 1131. 0. 1132. 0. 1133. 3. 1134. 2. 1135. 0. 1136. 0.
1137. 1. 1138. 1. 1139. е3. 1140. 2-го порядка. 1144. а-Ъ. 1145. 1/3.
1146. 1/8. 1147. \п°-. 1148. 1/УЗ. 1149. 1. 1150. 1. 1151. -1/3.
1152. -2. 1153. 1/е. 1154. 1/6. 1155. е3. 1160. При х = -2 ymm = 1.
1161. При х = —2 j/min = —16/3; при х = 2 j/max = +16/3; точки
пересечения с Ох: х\ = 0, «2,3 = ±2уЗ Prf ±3,4. 1162. При х = —1
j/max = 5/3, при х = 3 j/min = —9; точки пересечения с Ох: х\ = 0,
Ж2,з рй 1, 5 ± 3, 3. 1163. При ж = ±2 j/max = 5, при ж = 0 j/min = 1, при
г/ = 0 х Pd ±2, 9. 1164. При х = 0 J/ = 0 — перегиб; при ж = 3 j/min =
= —27/4. 1165. При х = — 2 j/max = —2, при ж = 2 j/min = 2; асимптоты
ж = 0 и г/ = ж/2. 1166. При ж = 0 j/min = —1 (точка возврата) точки
пересечения с осью Ох: ж = ±1. 1167. При ж = 0 j/max = 1, при ж —У со
у —У 0, т. е. у = 0 — асимптота. Кривая симметрична относительно
оси О у (почему?). 1168. При ж = 1 j/max = -4, при ж = 5 г/тп1 = 4;
асимптоты ж = 3иг/ = ж — 3. 1169. При ж = 0 j/min = 0, при ж = 2/3
г/тах = 4/27. 1170. При ж = 4 j/max = 1, при у = 0 ж = 3 или ж = 5, при

282	Ответы
у = — 3 ж = —4 или ж = 12. 1171. При х = 0 j/max = 1; асимптота у = 0.
Симметрична относительно Oj/. 1172. При х = — J/max =	1	^
рй 1,1, при х = — ymm рй 0,4. 1173. При х = - j/max = —	Уз Prf
Pri 2,45, при ж =	J/min = v3 — — Pri —2,45. Асимптоты х = ± —.
о	о	Z
1174. При х = 1 j/max = 1, при ж —т- 0 у —т- —оо; при х —у оо у —у 0.
Асимптоты х = 0 и г/ = 0. Точка пересечения с осью Ож: 1 + In ж = 0,
In ж = -1, ж = е рй 0,4. 1175. При ж = - г/тш = - - ^ рй -0,28,
при ж = — J/max р^ 0, 28. Асимптоты у = х ± —. 1176. 1) При ж = 2
J/max = 2/е. Асимптота j/ = 0. 2) При ж = 1/е j/min = -1/е; Km у =
= 0 — концевая точка; при ж = 1 у = 0. 1177. 1) При ж = 0 j/min = 0
/4га + 1
(угловая точка), при ж = ±л/—-—тг j/max = 1; 2) при ж = 0 j/min = 0
(угловая точка). 1178. j/min = 1/2 ПРИ ж = тг/3; Зтг/4; 5тг/4; . . .; j/max = 1
при ж = 0; тг/2; тг; Зтг/2; . . . 1179. Область расположения кривой ж ^ 1;
j/max = —— при ж = -; J/ = 0 при Ж1 = 0 и Ж2 = 1. 1180. При ж = 2
2v 2	2
j/max = ^2; область расположения кривой ж > 0. 1181. Асимптоты ж = 1
и ж = 4 (разрывы) j/min = —1/9 при ж = —2, j/max = —1 при ж = 2.
1182. При ж = 1 j/min = 1,5. Кривая асимптотически приближается к
параболе у = ж2/2 и к оси Оу. 1183. При ж = 0 и ж = 2 j/min = Л^4 рй 1, 6,
при ж = 1 j/max = 2 (в точках минимума точки возврата). 1184. При
X = 0 J/neper = 0, При Ж = 1 J/max = 0, 2, При Ж = 3 J/min = ~5, 4.
1185. При Х\ = —2 J/max = 0, При Ж2 = —1,2 J/min РЙ —1, 1, При Ж = 0
J/neper = 0. 1186. При ж = 2 j/max = ~, при J/ = 0 ж = 1; асимптоты —
оси координат. 1187. При ж = —3 j/max = ~4, 5, при ж = 0 j/neper = 0,
при ж = 3 j/min = +4,5; асимптоты у = ж, ж = ±л/3- 1188. При
ж = —Ь/гтг j/max = 1, при ж = —\-ктт — разрывы. 1189. При ж = —\-2ктг
J/max = - + 2&тг--1п2. 1190. 1) При ж = 1 j/mm = - In 2 - -; 2) приж =
= — 1 j/max = 1, при ж = 0 j/min = 0 (угловая точка с наклонами к = ±2).
1191. При ж = 0 j/min = 0; при ж = 2 j/max = 4/е2 рй 1/2; асимптота
у = 0. 1192. При ж = —1 точка возврата j/min = 2, при ж = 0 j/max = 3,
при у = 0 ж рй 4. 1193. При ж = 2 j/max = 4; при у = 0 жх = 0, Ж2 = 4.

Ответы
283
1194. При ж = -1 утт =
х = 0 утт = 0, при ж =
1196. При ж = -1 утт =
-4; при у = О Ж1 = 1, ж2 = -3. 1195. При
-2 j/max = 4/3; при у = О Ж1 = О, ж2 = -3.
—4, при ж = —3 г/тах = 0. 1197. При ж = О
У max
ж = 4 г,
г/ = ж + 1
_ п „„„ ™ _ о „. _
у,. I
-2 .
12
Рис. 41
Рис. 42
27/6^.
J/min = -6, 75, при ж = 0 г/перег = 0; при у = О xi = О, ж2 = -4 (рис. 42).
1199. При ж = ±2 j/min = -4, при х = О г/тах = 0; при г/ = О «i = О,
х2K = ±^8 Pd ±2, 8. 1200. При ж = 0 точка
возврата г/тах = 0, при 1201. При х = 1 г/т;п =
= —1; при у = О «1 = 0, «2 = 27/8 (рис. 43).
х = -I г/тах = 2, при ж = 1 j/min = 0, при
х = 0 у = 1. Асимптота г/ = 1. 1202. При
х = — 1 j/min = —1/^/ё Pd —0,6, при х = 1
J/max ^ 0, 6; ось Ож — асимптота. 1203. При
х = 2 г/т;п = 2A - In 2) Pd 0, 6; ось Ог/ —
асимптота при х = 1 г/ = 1; при х = е2 рй 7, 4
г/ Рй 3,4. 1204. При ж = 0 точка возврата
J/max = 0, при ж = 2 j/min = -3-^4 ^ -4,8,
Рис. 43
при ж = 5 г/ = 0. График подобен графику на рис. 43. 1205. При ж = + —
6
J/max « 0, 34, при ж = - - г/тш Pi -0, 34, при ж = ±- г/ = =р- = =pl, 57.

284	Ответы
1206. При ж = - ymm = - + 1 Pi 2,57, при ж = —- j/max = +3,71;
4	/	4
аСИМПТОТЫ X = О И Ж = 7Г. 1207. При Ж =	J/max =	+ 	 &
Pi 1,85, при х = - j/min рй 1,28, при х = 0 у = тг/2. Асимптота
у = х. 1208. При х = 1 точка возврата j/min = 1, при ж = 0 у = 2,
при ж = 2 у = 2. 1209. При ж = тг/6 и ж = 5тг/6 j/max = 1,5, при
ж = тг/2 ymm = 1. 1210. При ж = 0 ymm = 0, при ж = 1 уперег = 1.
1211. При ж = е j/max = 1/е Pi 0, 4, при г/ = 0 ж = 1. Асимптоты ж = О
и у = 0. 1212. При ж = —3 j/min = 6, при ж = —2 j/ = oo (разрыв), при
ж = —1 j/max = 2. Точки пересечения с осями: ж = О, J/ = 1, 5; у = О,
ж = ±v3 рй ±1, 7. Асимптоты ж = —2 и j/ = 2 — ж. 1213. При ж = 1
J/min = 2, при ж = —1 j/max = —2, при ж = 0 — разрыв. Асимптоты
у = х и ж = 0. 1214. 1) При ж = 0 у = а. Точки пересечения с осью
Ох: х = — + ктт. Экстремум: при х\ = ——\- 2ктт — минимум, при
Ж2 =	V 2ктг — максимум. Кривая — график затухающих колеба-
4
ний; она вписана в кривые у = ±ае~х, на которых и находятся точки
экстремума. Построение нужно начать с кривых у = ±ае~х. Ось Ох —
асимптота. 2) При ж = —1 j/max = 2, при ж = 0 — точка перегиба, при
ж = 1 j/min = —2; при у = О Ж1 = 0, Ж2,з ^ ±1,3. 1215. При ж = 1
j/min = 3, при ж = 2 у = оо (разрыв), при ж = 4 j/neper = 0, при ж = О
у рй 3,6. 1216. При ж = —2 j/min = 0, при ж = —4 j/max = 0,8, при
ж = 1 j/max ^ 2,8; ось Ох — асимптота. 1217. При ж = ±1 j/max = 1;
при у = 0 ж = ±1/у2 рй ±0, 7. Асимптоты — оси Ож и Oj/. 1218. При
ж = 0 j/max = 1, при ж = 1 j/min = 0; при j/ = 0 ж = ±1. 1219. При
ж = —1 j/min = 1/3, при ж = 1 j/max = 3, при ж = 0 j/ = 1; асимптота
j/ = 1. 1220. При ж = —1 j/max = 1; при J/ = 0 жх = 0, Ж2 = —4; область
расположения кривой ж <J 0. 1221. 1) При ж = —2 у = оо (разрыв),
при ж = —3 j/neper = 0, при ж = 0 j/min ^ 27/4; асимптоты ж = —2
и j/ = ж + 5; 2) j/min = 0 при ж = 2птг, j/max = V2 при ж = Bп + 1)тг.
В точках минимума у' не существует (угловые точки). 1222. ЗОмхбОм.
1223. 5 и 5. 1224. ah/4. 1225. а/6. 1226. 4мх4мх2м. 1227.20см.
1О	1
1228. 60°. 1229. 	 Pi 2,5. 1230. cos а = — (однако при усло-
тг + 4	га
1 а
вии, что — < 	 где а — проекция АВ на направление железной
га А5

Ответы	285
дороги). 1231. В 18м от более сильного источника света. 1232. Через
— часов наименьшее расстояние будет равно а/2 км. 1233. ж = D/2,
у = БлД/2. 1234. В лД к, 1,7 раза. 1235. / к, 5,6м; определяется
2,4 1,6	128тг „
как максимум функции I = —	1	. 1236. vmax = 	дм при
sin a cos a	9
высоте ж = 2дм. 1237. Smax = Я? при высоте ж = —=. 1238. A; 1).
V2
1239. \/~аЬ. 1240. При х = 2 м. 1241. 4см и лД к 1, 7см. 1242. ж =1,5.
1243. Сечение — квадрат со стороной D/y/2. 1244. При а = 2тг^2/3
иР
радианов & 294°. 1245. F =	; tg а = /л = 0, 25, а & 14°.
cos a + /j, sin a
1246. 1) у = х2, у" = 2 > 0, кривая всюду выпукла «вниз»; 2) у = х3,
у" = 6ж, кривая выпукла «вниз» при х > 0 и «вверх» при х < О,
ж = 0 — точка перегиба; 3) у = ех, у" = ех > 0, кривая всюду вы-
выпукла «вниз», @; 1) — точка пересечения с Оу; 4) у = In х (х > 0),
у" =	 < 0, кривая всюду выпукла «вверх», A; 0) — точка пере-
х1
сечения с Ох; 5) @; 0) — точка перегиба. 1247. Точки перегиба кри-
кривых: 1) B; -8/3); 2) (±1/^2; е/2); 3) {±лД; ±лД/2) и @; 0); 4) при
х =	рй —0,35. 1252. Область расположения х > —2. Точки пе-
пересечения с осями (—1; 0) и @; 1п2). у всюду взрастает, кривая вы-
выпукла «вверх». Асимптота х = —2. 1253. у > 0, у = 0 — асимптота.
1254. 1) Симметрична относительно Ох. Область расположения х ^> 0.
Верхняя ветвь выпукла «вниз», нижняя — «вверх». Обе ветви касаются
Ох в точке @; 0). Кривая называется «полукубической параболой» (вме-
(вместе с осью Оу образует букву К); 2) такая же, как предыдущая кривая,
но сдвинута влево на 3 единицы. 1255. 1) При х = 0 yma,x = — 1, асимп-
асимптоты х = —2, х = 2 и у = 0 (три ветви); 2) при х = 1 yma,x = 2,
при х = —1 ymm = —2, пересекается с Ох при х = ±v3, перегиб при
х = ±v2, асимптоты — оси Ох и Оу. 1256. 1) Область расположе-
расположения х > 0, при у = 0 х = 1, асимптоты — оси Ох и Оу, при ж = е
2/тах = 1; 2) При X = 1 J/max = 1, При X = 2 t/neper = 2/е Pd 2/3, ОСЬ
Ож — асимптота, при ж = 0 у = 0. 1257. 1) При ж = 0 j/min = 2,
асимптоты ж = —2 и ж — г/ = 0; 2) симметрична относительно Ог/, при
у = 0 ж = ±л/2/2 Рй ±0, 7, при ж = ±1 j/min = —1, асимптота —ось
Оу. 1258. 1) Область расположения ж > 0, при ж = 1 j/min = ^вы-
^выпукла «вниз»; асимптота — ось Оу; 2) Оу — ось симметрии, при ж = 0

286
Ответы
j/min = а, всюду выпукла «вниз»; кривая называется цепной линией.
1259. 1) При ж = 0 j/max = О, при ж = \fi рй 1,6 j/min Prf 2,1, при
x = —\/2 Prf —1,3 j/перег ^ —0,8, асимптоты ж = 1 и г/ = ж; 2) при
x = —1 j/min = —3, при г/ = 0 x = —\/0, 25 Pri —0,6, асимптоты —
оси Ох и Oj/. 1260. 1) Симметрична относительно Ох и Oj/, область
расположения \х\ < л/2, при ж = ±1 г/э = ±1, при г/ = 0 ж = 0
2
или ж = ±^2; 2) на ветви у = х -\	-= j/min = 3 при х = 1, ветвь
Vх
у = х	— пересекает Ох при х = \fi рй 1,6, обе ветви имеют асимп-
Vх
тоты г/ = х и ж = 0. 1261. При ж = —2 j/min = —\/Тб рй —2,52,
при ж = 2 j/max Pri 2,52 (обе точки возврата), ось Ох — асимптота,
8ж
Иб° У = (ж + 2L/з+(ж2-4J/з+(ж-2L/з "> °' К°ГДа Ж ^ ±О°-
1262. Симметрична относительно Ож, область расположения ж J> 0, асимп-
асимптота — ось Ож ( lim г/ = 0), при ж = 1 экстремум уэ = ±1/е рй ±0,3.
х—)-оо
1264. 1) ^- + ж2 + In |ж| + С; 2) 2ж5 - \ + С. 1265. 1) ^—^ + С;
3	ж-5	х1
2) у + 21п|ж| - ^ + С. 1266. 1) ж (|л/?
-4^+С. 1267.1)
1
1268.1)е:с + -+С;2)
+ С; 2) 2
2
а 2
	^+С. 1269.1) -ctg ж-tgж+C; 2) -ctgz-
Ш 6f Y Ж
dx
sin ж cos^ ж
sin ж + cos2 ж
sin ж cos^ ж
= tg Ж - Ctg
С. 1271.1) | - ^
ж3
С; 2) —-ж + arctg
4= + С. 1274.1) ^ ~t
С; 2) | + ^ + С.
ж4 - 1
1273.1) ——
C; 2) 4 In	А
1272.1) г
-21п|ж| + С;2) 3
	h С. 1275. 1) In ж	 + С; 2) ж + cos ж + С. 1276. 1) е^
ж	ж 2ж2
аж	1
+ tgж + С; 2)	 + С. 1277. cos ж - ctg ж + С. 1278. tg ж -
In а 4ж4
-х + С. 1279. -втЗж + С. 1280. -2 cos - + С. 1281. —е~3х + С.
о	Z	о
1282. ^ tg 5ж + С. 1283. 2{ех/2 - е~х/2) + С. 1284. ^Dж - IK/2 + С.

Ответы
287
1285.-^—2^- + C. 1286.--E-6жL/3+С. 1287. -V3 - 2ж + С.
10	8
1288. - cos (a - bx) + C. 1289.1n (ж2 - 5ж + 7) + С. 1290. - In (ж2 + 1) + С.
О	Z
1291.-0,1 In|1 - 10ж| + С. 1292.--ln|l-3e2:c
1293.1n | втж| + С.
1294.-
| + С. 1295.
| + С. 1296. — In
3 совж| + С.
sin ж
1297. -In 11 + 2 sin ж| + С. 1298. In |1 + 1пж| + С. 1299.
Z	о
1300.
1303.
1307.
1310.
2
1
4
cos ж
4
— cos ж
sin ж
vV-
+ С. 1
+ С. 1304.
+ с. i:
¦8L + С.
1301.
sin2 ж
2
1308. 2
1
+ С.
3 sin ж
7. 1305.-ecos:c
1302.
1
2 cos2 ж
+ С.
+ С.
1306. -е^3
С. 1309. -^(ж2+ IK + С.
- 1311. О, 5^/A + ж3J + С. 1312. -VI - ж2 +
+ С. 1313. -л/1 + 2 cos ж + С. 1314. -
С. 1315. -A +
C. 1316.- —A-6ж5L/3+С.	1317.2ж+-(е2:с-е-2:с)+С.
S111 X	1	1
1318.	Ь С. 1319. —VI-4ж + С.	1320. —sin (а - Ъх) + С.
4	2	& v	;
1321.
1324.
sin ж — 2
ЗжL/3 + С. 1322.--A-2ж3O/6 + С. 1323. л/1 + ж2 + С.
/	7
+ С. 1325. 2 In
+ С. 1326. esln:c + С.
ж-5
: + С. 1330.1) 0,1 In
ж + 5
+ С; 2) - arctg - + С. 1331. 1) arcsin - + С; 2) In (ж + V*2 + 5) + С.
о	о	Z
/ж2 - 4| + С; 2) --= arctg ^= + С. 1333.1) arcsin -
V3	V3	л/5
1332.1) In
^з
^2
2) 1 arctg у + С. 1334. 1) 1 arcsm ^= + С; 2) ^ In
Ъх — а
Ьх + а
С.
1335. 1) - arcsin -^ + С; 2) - In (ж4 + л/х8 - 1) + С. 1336. 1) 2, 5х
2	V3	4
3
. 1337.1)
х1п(ж2+4)-агйё-+С;2) -1п|ж2-4|-1п
Z	Z
+ In (ж + V*2 + 1) + С*; 2) -VI - х'1 + arcsin х + С. 1338. ж - arctg ж +
ж-2
С. 1339. — + Зж
3V3
In
ж —
С. 1340. arctg (ж + 2) + С.

288
Ответы
1 х — 3
1341. - arctg	 + С.
1343. arcsin ^—=- + С. 1344. arcsin	h С. 1345. —= arctg =
л/2	2	л/3	л/3
43	1
1342. In (ж + 1 + л/ж2 + 2ж + 3) + С.
. х-2 „ „._ 2 , 2ж + 3
2
1
С. 1346. — arcsin —	\-С. 1347. -4=1п|3ж- 1 + л/9ж2 - 6ж
л/2	5	лД
+ С. 1348. л/3 ( arctg —= +
In
-л/3
+ С. 1349. arcsin -^
л/2
+ С. 1350. 2 In (ж2+ 5) - л/5 arctg —= + С.
/5
+ С. 1352.	2ж + 2л/2 arctg — + С.
1351. ж Н	^=1п
л/2
1353. arcsin (е*) + С. 1354. arctg Bж2) + С. 1355. О, 2 arctg '^-^ + С.
1	ж—1	ж+2	1
1356. - arctg	\-С. 1357. arcsin	\-С. 1358. - In (ж2 + ж + 1) -
Z	Z	о	Z
- —= arctg -^—=	h С. 1359. - In Bж + 1 + л/4ж2 + 4ж - 3) + С.
v 3	л/3	2
хА	1 /ж
1360. ж1п|ж| - х + С. 1361. —1п|ж- 1| - - [ — + ж + 1п
Z
z \ Z
¦с.
1 / 1\	ж2 +
1362. -е2х I х - - ) + С. 1363. ^—-
1
¦ arctg ж	h С 1364. ж2 sin ж +
+ 2жсовж - 2 sin ж + С. 1365. -ех (sin ж - cos ж) + С. 1367. ж [(In |ж| -
Z
- IJ + 1] + С. 1368. -жЫ^ж + 1п|втж| + С. 1369.-
1п|
+ С.
1370. 2л/1 + ж arcsin ж + 4л/1 — ж + С. 1371. ж arcsin ж + л/1 — ж2 + С.
1372. -е"* (ж3 + Зж2 + 6ж + 6) + С. 1373. ж In (ж2 + 1) - 2ж + 2 arctg ж +
+ С. 1374. ^ (cos In ж + sin In ж) + С. 1375. ^лЛ?3 (In |ж| - ^ ) + С.
2	5	3
2
In |ж| - ^
3
1376. -2е":с/2(ж2 + 4ж + 8) + С. 1377. ж arctg ж - - In A + ж2) + С.
1378. жtgж+ln|cosж| + Cl. 1379. О, бе^втж + совж^С 1380. 4л/2 + ж -
— 2л/2 — ж arcsin — + С
+ ^ж + С.
1382.
1381. - -
+ С. 1384. Зж + 4 sin ж + sin 2ж + С.
Зж	в1п4ж	Зж в1п2ж вш4ж	„ж
1385.	Ьсов2ж	\-С. 1386.	1	1	\-С.	1387.
2	8	8 4	32	8
вш4ж	Зж в1п4ж sin 8ж	ж вш4ж	sin 2ж
-+С. 1388.-—	Т7^ + ^77Т+С 1389.— —
32
128
1024
16 64
48

Ответы
289
2 cos
+ С. 1390. - cos ж + - cos3 ж
С.
3
11 3 1
1392. - sin4 ж	sin6 x + C. 1393. sin ж - sin3 ж + - sin5 ж	sin7 ж + С.
4	6	5	7
1394. 7ж + 14 sin ж + Звт2ж	\- С. 1395.	sin ж + С.
3	sin ж
1396.	|-cosi + С. 1397. -In tea?! + С. 1398. 1) In
cos x	2
+ C; 2) In
1400.
/Ж	7Г
42 + 4
dx
С. 1399. - [in tg -
ж
tg2
In
1
Ж	7Г
¦C.
sin ж — cos ж 7 sin ж — sin (тг/2 — ж) ^/2 7 sin (ж — тг/4)
Ж	7Г
tgB"8
С. 1401.
- 1п|8тж| + С. 1403.--(со84ж + 2
8
+ ln I cos ж +С. 1402. --
1404.-
2
га + и
sm m — и ж
1
+ С
+ С при га ф п и	1	вш2гаж + С при т = п.
т — п \	2 4га
11	1 о]л I 7TJ 	 11 1 7*	41П I 7TJ —I— 71
X	,_.	. X I olll \ fft	ft } -lu	olll \ fft	ft
1405. 1) - sin 2ж	sin 8ж + С; 2 - 	^	'-	^——
;4	16	;2[ra-n	m + n
при т ф п и	вш2гаж + С при т = п. 1406.	совбж —
2 4га	12
1 . , _,	_ ,. 5	/sin5 ж 5 sin3 ж 5 sin ж \
	вт4ж + G. 1407. 1) —ж - cos ж	1	1	+ С.
8	16	V 6	24	16
1408. 1) —
Пж
^ + 1 In
2 sin ж /
ж
tg2
С; 2)
sin ж	1
2 cos2ж 2 П
Ж	7Г
С.
1409. —- + 3 sin 2ж + - sin 4ж + С. 1410. -ж	sin 2ж Н	sin 4ж + С.
х sin 4ж sin 2ж 2 sin ж sin ж
1411. —	—	h С. 1412. sin ж	1	h С.
16
64
1413.
cos5 ж cos3 ж
48			3
-С. 1414. 7ж- 14 cos ж - 3 sin 2ж
8 cos3 ж
О	о	о
1415. - In I tg ж - х + С. 1416. -Bsin2a;-sin4a;) + С. 1417.
2	8	cos ж
+ cosж + tgж + C. 1418. -- cos Bж + - ) + -х + С. 1419. 1) — + ж2
4 V	6 / 4	3
о	о	о
¦С.
4ж+81п|ж-2|+С;2) — -а2ж+а3 arctg -+С; 3) у + у1п|ж3-а3|
Сж3(ж - 1
+ С. 1420. In
ж-3
1423.	h 4ж + In
. 1421. In
+ С.
ж + 2
+ С. 1422. In
ж + 1
1424. - + In
ж
ж-2
+ С.

290
Ответы
1425. —In
а2
x — a
1426. 1пСж(ж- 1) +
ж- 1
1427. In
ж-2
x + 1
ж + 1
	 + С. 1428. - In (ж2 + 2ж - 10) - arctg ^—— + С.
X ~т" Л-	Zi	О
1 От — 1
1429. 2 In (ж2 - 0, 2ж + 0,17) - 5 arctg	+ С.
1430.
1431. 31n
O\2
+ С. 1432.1 ln Ji+2)
24 ж2 - 2ж -
+
|ж|
ж- 1
7* 	 1
+2 arctg	 +
С. 1433. In
/х~2+~1
ж + 1
2)gF
+ arctg ж + С.
жE&2 + 3ж2) 3
14341) i
Ьх
+ г -ctg ^ i + с i«5. i)
х2 + Ь2^
ж + 9	1
8(ж2 + 2ж + 5) 16'
ж + 1	1 Г(ж-3
arctg -^ + С; 2) - [1
1436. In
32)
1437.
2)
arctg -f + С.
^2
1438. - In
1441.
х + а
In
+ С. 1439.
-л/3
а — Ь
In
ж + i
ж + а
7. 1440. - In
1 1
5л/2
arctg —= + С. 1442. - + - In
С. 1443. -
4
= 1 In
4
жD + ж2)
1445. InС(х - 1)У2ж + 3. 1446. In
2 С(х — 2)
	.	1448. 21п—	'-
х + 2	х
+2 arctg (ж - 1) + С.
1 ж + II	1	ж
1451. - In	+ —^ arctg -p + С.
3 У^Т^ з^2	Д
ж 2
С. 1444. In
ж- 1
ж + 1
C(x-2f
х- 1
2J(ж-2)
. 1447. 3 In-
х + 2
ж-2'
1449. In —
\/х2 - 2ж + 2
1, (ж-2J
1452. — In -^——!—
24 ж2 + 2ж + 4
1	ж + 1
	 arctg —r=- + С.
3	УЗ
1453. -
It2^^ + arctg (ж + 1I + С. 1454. \ In
ж
ж + 5
+ С.
. . ж2 + 3-ж2 1 1	ж
1455. - / -^г-^	г- dx =	 arctg —= + С.
ж2(ж2 + 3)
	—
Зж 3^3

Ответы
291
1456.
" (^ " 1)
dx = - In
х- 1
X + 1
	arctg x + С.
1 Г r2 _i_ i _ (r2 _ o\	l
1457. - / ——	—^-	-^ dx = —= In
(ж2 + 1)(ж2-2)
ж —
1458.
ж + 2
с.
1459.
ж + л/2
2ж + 1
12
	arctg x -\- С.
+ 1 - 3) + С.
1460. 6
/ж л/ж
+ С.
1461. — (Зж2 -аж- 2a2)y/a^rx + С.
15
1462.
1463.
- лУж4+1 + In (Ух4 + 1 + 1)
С.
1
h С. 1464. =F arcsin	\- С (- при х > 0 и
х + 1 + л/2х2 + 2х + 1
. 1468. - [aVa2 - ж2 + а2 arcsin -I +C.
2 L	J
при ж < 0). 1465. In
+ С. 1467. In
+ С 1470. 2 arcsin	B - ж2)л/4 - ж2 + С.
4л/4Т^2	2 4V	;v
1469.
1471.
кой ж — 1 = 2 sint,
г
-- + С. 1472. / л/4 — (ж — IJ dx решаем подстанов-
1	J
//	 ж — 1
V 4 - 4 sin2 t 2 cos tdt = 2 arcsin
ж-1 (ж- 1)л/3 + 2ж-ж2
С.
1473. ,	- arcsin —p= + C.
л/2-ж2	л/2
1
1474. -(ж + 5)л/ж2 + 2ж + 2 - 3, 5 In (ж + 1 + л/ж2 + 2ж + 2) + С.
1475. —л/3 — 2ж — ж2 — arcsin	Ь С.
1477.
х — а
- ж2 + ^-
. х — а
arcsin
Ь С .
1478. - In
лУ1 + ж3 - 1
лУ1 + ж3 + 1
1479.
\УB - ж3J
4ж2
+ С.

292
Ответы
га + 1	-2+13	_, 1
1480.	\-р =	1— равняется целому числу; положив ж +1 =
п	2	2
= t2, получим
1 Ат-	г +'2 — 1	и 2ж2
	- + С.
1
-— от =
t2
1481.
га+1 3+1
и
равняется целому числу; положив а
с2 = t2,
получим
1483.
п|(Зж+ II/3- 1| + С.
+ 2 In (^ + 1) + С. 1485. -О, 3Bж + За) ^(а - хJ + С.
1Х _ 2
1486.
2
С.
1488. In A + VI + ж2) + —
С.
1489.	х2 + —\/D — ж2K + С; в этом примере выгодно сначала освобо-
о
диться от иррациональности в знаменателе.
1490.	Т\ ~	\-С (- при х > 0 и + при ж < -2). 1491. arccos	Ь
Ух	х — 1
. ж ж
/ж
С. 1492. 2 arcsin - - -л/4 -х2 + С. 1493. 2 arcsin ,/--^2ж - ж2 + С.
Zi Zi	\! Zi
2 + ж
1494. ^— V4ж + ж2 - 2 In |ж + 2 + V4ж + ж2| + С.
ж + 6 /^—	^ 17
1495.
2
4ж — ж2 + —- arcsin —	\- С.
L	О
1496. -
¦^+21П
+ С.
Vl + ж2
1497.	Ь С. 1498. Положив 1 - ж3 = t2, найдем
! dx
dt
t2-! 3
- ж3 - 1
/1-ж
3
1499. Положив ж = 1/t, найдем
dt
V3 - 2t - t2
4 - (t + IJ
= arccos
C.
2ж

Ответы
293
1500. - In (e'2x + 1) - 2 arctg (ex) + С. 1501. - tg3 ж - tg ж + ж + С.
Z	о
1502. —- - 2ex + 4 In (ex + 2) + C. 1503. In
z
2
+ С.
1504. - arctg ( - tg - ) + С. 1505. - In
2	V 2 2 /	5
2tg(z/2)
tg(*/2)-2
¦ c.
1506.
1508.,
ctg3 ж
1
- ctg ж + С. 1507. - arctg I -2-
e^- 1| + C. 1509.
- In | cos x\ + С 1510. ex
- 1
1
+ С. 1511. — arctg
v2
+ C. 1512.
+ tgж + C. 1513. -arctg B tg ж) + С. 1514. - In
2	4
+ C. 1515. iln tg^ -i
1517.^(t
C. 1519. l)sh«
1522.
1525.
+ С
ж
tg2
. 1518.1) ^-^+C; 2) ^
I	Z	Z
+ C. 1523. и 1524. См. задачу 1366.
ch3 Зж ch Зж
9	3
С. 1530. x - cthx + С.
1531. 2усЬж—Т + С (под интегралом умножить сначала числитель и
s\i х — 2	3
знаменатель на л/ch х — 1). 1532.	|-С. 1533. — In |ж + л/х2 — 31 +
сп ж	2
+ С. 1535. 2
. 1537.
1
In
х + а
x
+ С. 1538. tg (	J + С. 1539. 2arcsin-0; + С (положить
ж = sin t). 1540. ab arctg ( — tg ж ) + С.
1541
. - ( ж2 + ж sin 2ж + - cos 2ж ) + С. 1542. In С(ех + 1) - ж - е~х.
dx = arcsin ж + у 1 — ж2 + С.

294
Ответы
1544.-
^
+ С. 1545. ж tg ж + In | cos x
2
+ C. 1546. In
2
+ cos ж + С. 1547. --arctg ^^ + С. 1548. Зж1/3 -
b	b
+24 In (ж1/6+ 2) + С. 1549. —	°^— + С (положить ах + b = t).
6а(ах + Ъ)А
1550.	+ arctgz + C. 1551.
ж	tg ж + 1
(разделить числитель и
2
знаменатель на cos2 ж и положить tg ж = t). 1552. — л/а + &1пж + С
1553-
^ + ^ при п ^ 1 и -lln|a-6*3| + С
при п = 1. 1554. Выделив под корнем полный квадрат, положить х +
+ 1 = y2sint (или же решить методом неопределенных коэффици-
- 2х - ж2 + arcsin
+ С. 1555. -
ж+1J
, + С.
. 1557. 1 arctg у " ^+ J In D
1558. In
1560. -
Сл/2ж
1 + У2ж + 1
ctg3 ж
. 1559. ж + с^ж	%	hC
1
— arcsin	h С 1561. 1) —-
2	2лЛ
1
2^3
In
sin (ж + тг/6)
sin (ж — тг/6)
С; 2)
2^3
In
2^3
tea;
In
+ ctg ж
с =
л/3-tg:
2
^3 - ctg ж
С. 1562. 1) Осво-
Освободиться от иррациональности в знаменателе; — И ж + а) ' — ж ' 1 + С:
За
1					Ж2	1
2) - [хл/х2 + 1 + In (ж + V«2 + 1) + х2] + С. 1563.	Ь ж +	h
+ 1пС(ж~1J.	1564. -- (^^) + С (^положить ж = - ].
ж	3 V * J	V
2
1565.	- arctg л/х3 — 1 + С (положить ж3 — 1 = t2).
1566.	О, 5[ж + In | sin ж + cos ж|] + С. 1567. 2 [л/ж arcsin л/ж + л/1 — х\ + С.
1568. tg2 ж + С или	Ь d.
1569.
ctg3 ж
cos ж — sin ж
: 4
sin ж
/г
ctg ж <i(ctg ж) + / d(ctg ж) = ctgж—
+ С. 1570.-ctgжln|cosж|-ж+C. 1571. 6"^ + -In
- 1
+С.
1572. - tg4 ж + С (положить tgx = t). 1573. In |ж| -	In |ж + 1| + С.

Ответы
295
1574. / л/l — sin ж dx =
cos x dx
л/1 + sin ж
> 0 и - при cos ж < 0). 1575. — arctg (лДtgx) + С.
при
1576.
d{x2
1 f x'2+ 1- (ж2-2)
(ж2 + 1)(ж2-2) 6 7 (ж2 + 1)(ж2-2)
(х2) =
¦С. 1577. -2е"
+ 1) + С. 1578.
arctg
- In |1 + ж| + С. 1579. y/tgx + С (положить tg ж = t). 1580. In
t
- 	^—1п(ж2 + 1) + С. 1581. 	arctg (ах) + С. 1582. 2(л/ж +
2ж^	'" "
+ cos л/ж) + С. 1583. -^—^л/ж
3	л/ж ¦
ложить ж + 1 = t2). 1584. ж — л/1 — *2 arcsin ж + С. 1585.
Зж2^4-^ 1
(
положить ж = -
V	t
1586.
3(ж
+ С (положить ж + 1 =
= t). 1587. л/2,
1588. In
2 - 2а In |ж + а + л/2ах + ж2| + С (с. 153, п. 4°).
+ С. 1589. -
С(ж
2
sin ж
2ж
+ С.
, „^^„ь	(знаменатель разлагается на
iu	ж — /ж + 2 8	2 — ж^
множители так: ж4 + 4 = ж4 + 4ж2 + 4 — 4ж2 = (ж2 + 2J — 4ж2 и т. д.).
1592. s5 = 0,646, S5 = 0,746,
— = 0,693. 1593. 20. 1594. —.
x	8
1595. —. 1596. -. 1597. —. 1598. 3(е - 1). 1599. 1пA
3	6	12а
1600. — • 1601. Положив ж = t2 и изменив соответственно пределы, полу-
чим
—. 1603.2 -
- In2. 1604. \-^г- 1605. In——. 1606. -^-	'- (положить ж =
= а sin21). 1607.-. 1608.—
;	3	16
е + 1
1609. 2 In 2-1. 1610.

296	Ответы
1614. - —. 1615. -. 1616. 1. 1617. ~ . 1618. 2In 1,5	.
6	6	2	3
1619. arctge - - w 0,433. 1620. —. 1621. ^-^—. 1622. - - 1.
1-1п2 ч1тг . 1-3 тг . 1 -3-5 тг	32
1623. 	. 1624. 1 - -; 2 	 -; 3 	 -. 1625. —.
2	; 2 2 ; 2-4 2 ; 2-4-6 2 3
1626. ттаЬ. 1627. - произведения основания Bл/2рК) на высоту h.
32	16
1628. —. 1629. 8 In2. 1630. 1. 1631. —. 1632. 19,2. 1633. 25,6.
19Я Я 19^
1634. 	. 1635. -. 1636. 	. 1637. тга2 (см. рис. 56 на с. 309).
15	3	6
1638.0,8 (см. рис. 53 нас. 307). 1639.	; положить х = 2аsin t
(рис. 84, с. 335). 1640. 2a2shl = a2(e - е) к, 2,35а2. 1641. Зтга2.
1642. -^-. 1643. а2. 1644. -^-. 1645. rmax = 4 при 2<р = 90° +
+ 360°п, т. е. при р = 45° + 180°п = 45°, 225°; гтш = 2 при 2<р =
= - 90° + 360°п, т. е. при р = -45° + 180°п = 135°, 315°. Смеж-
Смежные экстремальные радиус-векторы при 45° и 135°. Искомая площадь
Зтг/4
If,	n9	19тг	Зтг	тга2	тга2
равна - / C + sm2^>JaV= -—. 1646. —. 1647. —-. 1648. ——.
2 J	8	4/4
тг/4
1649. г = a(sin ip + cos ip) = ал/2 cos [ip	); rmax = ал/2 при у	=
V 4 /	4
7Г	7Г	7Г	7Г	ЗТГ
= 0, р = -; rmin = 0 при <,?.-- = ±- у? = -- и —. Площадь
Зтг/4
а2
1	/" г 0 9 / тг \	тга2
о = - / (avij cos [p — — \ dp = ——. Ответ получается проще, если
2	J	V 4/	2
-ж/А
перейти к декартовым координатам: х'2 + у'2 = а(х + у) — окружность.
1650. 1^. 1651.A0" + 27^а2. 1652.^!. 1653.36. 1654.12.
4тг	64	2
1655. —. 1656. - (см. рис. 52 на с. 307). 1657. —. 1658. 2. 1659. —.
о о	о	о
О
307).
г .		8
1660. 17,5- 6 In6. 1661. 2 / -хл/x + ldx = — (см. рис. 49 на с. 3
-1
1662. гтах = 4, когда 2р = 180°+360°п, р = 90° + 180°гг = 90° или 270°;
гтш = 2, когда 2р = 0° + 360°п, р = 180°п = 0° или 180°. Площадь

Ответы	297
тг/2
С 1 [to ,	о 12,	19?Г 1СС, 3?Г 1СС/( ^Я2 iccr Жа'2
Ь = — I C + cos 2(p) dip = 	. 1663. —. 1664. 	. 1665. 	.
о
1666. — (е2п - е-'1ж) = — sh27r. 1667. 4a&arctg-. 1668. — тга2.
4	2	по
1669. тф/г2. 1670. Л^_. 1671. 12тг. 1672. 58,5тг. 1673. 2тг2а2&.
1674. тга3 Г — + Л. 1675.—. 1676. -тга3. 1677. Зтг2. 1678.—.
V 2 у	15	6	7
тг /бтг л/з\	тга3	тг2	64тг	(тг + 2)
+ ^	1680	1681	1682	1683
тг
1679.-— + ^-. 1680.-—. 1681.—. 1682.—-. 1683. . ¦
т: \ О ^ /	D	D	О	т:
1684. -тга2&. 1685. ™ . 1686. 19,2тг. 1687. -^-. 1688. У =
= 	-. 1689. 5тг2а3. 1690. 72тг. 1691. 	. 1693. 6а. 1694. 	.
3	27	27
1695. 8а. 1696. Точки пересечения с осями при ti = 0 и t-i = \^8,
\/t4+l-t3dt= —. 1697. л/6 + 1п(У2 + Уз). 1698. 2ashlPd
3
о
12/5 		13/5
Pd2,35a. 1699. s= / 	— dx; полагаем 1+ж2 = t2; s =
t2-\
3/4	5/4
Г 1 г-ll2'6
= k + - In		= 1, 35 + In2 Pri 2, 043. 1700. Точки пересечения с
|_ 2 t + 1J j 25
7Г
осями при «i = 0 и «2 = тг!
7г/3	7г/3	7г/3
S =
/dx f cos x dx f dSsin x)	,	/-.
	= / 	2—= / 1 l . 2' =ln 2 + л/З
cos ж 7 cos ж 7 1 - sin ж
0	0	0
1701. 1) 4^3; 2) 0, 5 In B ch 2) Pi 1,009. 1702. 1) 8a; 2) тга^1 + 4тг2 +
+ ^1пBтг +V1 + 4tt2). 1703.-^. 1705.—. 1706. In 3. 1707. 2 In 3-1.
1708. р[лД + In A + лД)] Pi 2,29p. 1709.4^3. 1711.—. 1712. тга2х
/ 4тг \	64
x(sh2+2). 1713. 2тг 1 + —= . 1714. 2тг[У2+1п A + лД)]. 1715.-х
V 3v3/	-J
хтга2. 1716. Зтг. 1717. 4тг2а&. 1718. ——	^тг. 1719. —-.
1720. 2,4тга2. 1721. 29, бтг. 1722. 1,44 • 106Н; на нижнюю половину
сила давления 1,08 • 106Н. 1723. —. 1724. -R3. 1725. 2,4 • 106Н.
6	3

298	Ответы
1726. Jx = ^,Jy = -3-. 1727. Jx = -, Jy =a_. 1728. 6,4.
1729. Mx = My = —; xc = yc = -. 1730. M* = \V-ydx = 0, la&2,
о
a	a
1,2.., /" , a&	3
My = / жг/йж = -6сГ; 5 = / j/cfe = —; xc = -a, yc = 0,3b. 1731. xc =
J	4	J	3	4
о	ь
2f(y/2)ydx
= 0, yc = —	^	 = —а к -a.	1732. 1) 1,12 • 104тгДж;
Зтг 9
R+h
2) 2,5-KM Дж. 1733. [ ^ dx = ^. 1734.
J xz	R+h
R+h- 6
я
210 Дж. 1735. 12410 Дж. 1736. 0, 24тг Дж. 1737. t =
о
H+h
И	С
= 100 с. 1738. t =	—-—-= I x\fxdx, где h Pd 2 — высота допол-
\),ъглН2^/2д J
h
нительного конуса. Вычислив, получим t к, 42 с. 1739. 	. 1740. 17 — .
а
1741. —=. 1742. 2,4 • 104Н на каждую стенку. 1743. 1Х = / у'1 х dy =
v2	J
о
2
7г/2	Г ||2 Jjj
/л ¦> ¦> ка4 п	8
a4 sm^ cos^ eft = —.	1744. хс = 0, ус = —	 = -.
о	2 J у dx
о
н
1745.^——	 (Н - xJxdx& ЗООтгДж.1746.-^-^
о
15980Дж. 1747. t = ^^ М = ^ ^ 419с. 1748. 1) 1;
15 • s • 0, 8 у 1д	3
оо
/7 1
— = 	 при п > 1; расхо-
1
дится при и ^ 1. 1749. 1) 1; 2) 1/2; 3) тг/4; 4) 1; 5) In 2; 6) 16.
1750. 1) -; 2) - + —; 3) ^-^—. 1751. 1) 6^2; 2) расходится; 3) 6.
6 4 2	8

Ответы
299
1752. 1)
dx	11
сходится, ибо ,	< . , а
™3
'1 + х3
dx
Z3J2
СХОДИТСЯ
(см. задачу 1748); 2)
dx I
^=^= расходится, ибо —
> -, а
х
(}>Х	I	б "^ иТ	Р "^
— расходится;	3) /		 сходится, ибо		 < е~х при х > 1, а
X	J X	X
2	О
е ах сходится (см. задачу 1749); 4)
абсолютно сходится,
1
| sin ж |	1	/" dx	[ xdx
ибо	— < —, а / —^ сходится	см. задачу 1748 ; 5) / .
ж2	ж2 У ж2	У V«4+ 1
1	2
расходится, ибо
х
>
X
/хА + 1 л/х4 + xz
при х > 1, a
dx
расходится;
6) I e x dx = e x dx + e x dx сходится, ибо e x <^. e x при
OO	1
/f dx 1
e~x dx сходится. 1753.1) / — = 	при п < 1, расходится
J xn \-n
при п ^> 1; 2)
dx
(b-x)n
\-n
при n < 1, расходится при n ^ 1.
1754. тт. 1755. 2. 1756. Зтга2. 1757. 2тг2а3. 1758. тг[У2 + In A + лД)] ¦
1759. —. 1761. 1) -; 2) -; 3) 1; 4) расходится. 1762. 1) In A
о	Z
о
;
о
2) 2; 3) 1 - ^. 1763. i 1764. 16тг. 1765. 2тг. 1766. 1) -; 2) ^
4	2	7Г	7Г
3) ^; 4)
; 5) J. 1768. 1) ф) = 0; 2)
± < 0,3.
1770. утг Pd 28,8дм3. 1772. In2 = 0,6932; \s(h)\ ^ 2 ' |° < 0,001.
1773. 8,16тг. 1777. Приближенно 1,22тг. 1778. R = -. 1779. R = -.
1780. В вершине B; 0) i?i = -; в вершине @; 1) R2 = 4. 1781. R =
= 4а. 1782. г/тах = - при х = 1; R = е. 1783. D; 4). 1784. C; -2).

300	Ответы
1785. @; 1). 1786. 27Х2 + 8У3 = 0. 1787. BХJ/3 + У2/3 = З2/3.
1788.Х2/3-У2/3 = BаJ/3. 1789. X = а cost, У = asint или X2 + Y2 =
= а2. 1790. к = ех{\ + е2х)~3/2; кта,х = —-= в точке х = -— Pi
Зл/3	2
2 а2 г3 1
рй - 0,347. 1792. 1) R = -\fbTr; 2) —; 3) —у 1793. -. 1794. 2.
О	Of (I	L
1795. 1. 1796. 1. 1797. (-2; 3). 1798. @; —). 1799. (	; — ).
V зу	\ 2 з у
1800. X = - - - ъ -0,7; У = -лД w -1,4. 1801. 8Х3 - 27У2 = 0.
4 2
( t2\ ( t2\
1802. X = —t2 ll-|	J, У = 4tll-|	J; для построения кривой и
V 2 У	V 3 У
эволюты составить таблицу значений х, у, X, У для t = 0; ±1; ±3/2.
1ЙП1 I V_l_V"|2/3 (v \а\2/3 	 и 1ОП/1 / Yj_V^2/3 i /у \а\2/3 	 0^,2/3.
loUo. \л -\-1 ) ' — \л — I ) ' — 4. loU4. \л -\-1 ) ' -\- \л — I ) ' — Ли ' ,
при повороте осей на 45° это уравнение примет вид хх' +уг = BаJ/3,
т. е. эволюта астроиды есть тоже астроида с увеличенными вдвое раз-
размерами и повернутая на 45°. 1806.21. 1807. 5t. 1808.7,5. 1809. 2тг.
1810. 2shl Pi 2,35. 1811. + П . 1812. Зж ± 4г/ = 0; — = 4i - 3j.
4	х dv	d y
1813. у = -x - -; - = 3i + 2B - t)j. 1814. w = - = -2j,
4|t-2|	6
wT = —,	wn = —	; при t = 0 wT = l,b;
V4t2 - 16t + 25	V4t2 - 16t + 25
x2 v2
wn = 1,2. 1815. — + 7T7 = 1; v = -asinti + &costj, w = -r.
1818. °-^- = ^^- = Z-^. 1819. r = -i + k, В = i + k, N = -2j;
1/	—4	3
r = "'"t1^; /3 = Ц=^, i/ = -j. 1820. В = r x r = 6i - 6j + 2k,
у 2	V2
N = (r x г) х г = —22i — 16j + 18к, уравнения главной нормали:
х — 1 у — 1 z — 1	х — 1 у — 1 z — 1
——— = —-— = 	—; бинормали: —-— = 	— = —-— и соприкаса-
11	8	—9	3	—3	1
ющейся плоскости: 3x-3y + z = 1. 1821. N = 3(i + j), В = -i + j + 2k.
Уравнения главной нормали: х = у, z = 0; бинормали: 	 = 	 =
= -. 1822. Исключив t, получим х2 + у2 = z2 — уравнение кониче-
конической поверхности, г = (cost — tsint)i + (sint + tcost)j + k = i + k;
r = (-2sint - tcost)i + Bcost - tsint)j = 2j; В = r x r = 2i + 2k,
N = 4j. Касательная: x = z и у = 0; главная нормаль: ось Оу; би-

Ответы
301
нормаль:
у = а. 1824. cosa = ±
ж x	z — Ьтт/2
1823. При 2 =	= 	—!—;
2 —а	о
, cos \3 = ±
л/Ь
, cos 7 = ±
=, cos \3 = ±=, cos 7 = ±	у=;
/а + л/о	\/а + V о	л/а + л/о
выбор знака зависит от выбора направления на каждой ветви кривой.
1825. Уравнения винтовой линии: х = sin 22, у = 1 — cos 2t, z = 2t2,
где t — угол поворота (рис. 44). Единичный бинормальный вектор /3
в точке С (при t = тг/2): /3 =
= a(i + j), w = ai. 1827.
и z = 3. 1829.
1826. При t = - v =
1
x - 2
1828.
x- 1
-1
2
	 I
2
8 '	2
1830. 120°, 60°, 45°.
1831. N = -26i - 31j + 22k, В = 16i - 12j + 2k;	 =	 =	-,
x-1 y-\ z-\
. 1832. N = -4j - 4k, В = 2j - 2k. Уравнения
8	-6	1
главной нормали: х = тг, z = у + 2; бинормали: х = тг, у + z = 6.
1834. v = г = i + A - 22)j, w = г = -2j, - =
42-2
v x w\
2
г; = л/2 - At + At2; wT = v =
- = -уД, Wn = V— = - = л/2.
2-At + At1	R v
-4i + 3i 4i + 3i
1835. v = r = -4sin2i + 3cos2j = 	^^, w = r =	^^;
1 _ 12
— = —r-, v = v 16 sin2 2 + 9 cos2 2, v =
7 sin 22	тг	5
	; при 2 = — v = —=,
2v	A	y/2

302
Ответы
WT = V =
v2-V2-V2^ = 2,iV2. 1836. v =
R v	5
= r = i + 2*j + 2*2k, w = 2j + 4*k; i; = 2*2 + 1,
_ 2 _2 ... _,_,,_, ... _,2_2B*2 +
v x w
= 2 (в любой
точке). 1837. Сначала составим матрицу координат векторов
г
г
г
г'
г х г
0 2 6*
0 0 6
б*2 -6* 2
Затем найдем: 1) |г| = л/1 + At2 + 9t4; 2) |r x r| = 2^9*4 + 9*2 + 1;
1 2\/9t4 + 9t2 + 1	1	12
3) rr'r = 12; 4) — = ,,	= 2; 5) - = ,,п.Л . ».„ . ^ = 3.
К
1838. I =
R
1
P
1
ъ	l	&
«правой» винтовой линии: - = —	-, на «левой»: - =	-.
р а1 + о1	р	а1 + о1
1 2t 2 1 2t	2	у2.
1841. — = 	= - - =	= — 1842. г = — 1 + г/1 +
Д B*2 + IJ 9' р Bt2 + IJ 9'	2 тшт
г/4 1 9г/4 + 4г/6 + 1 14 1	3	1 лД 1	1
+ Т ' Д2 = (г/2 + 1 + г/6K = 27> = ~7' 1843" Д = ~> = ~3'
1844. 3) Вся плоскость, кроме точки @; 0); 4) х2 + у2 <J a2; 5) ху > 0
(первый и третий квадранты); 6) х2 + у2 < 1; 7) вся плоскость, кроме
прямой у = х. Уравнения 1) и 2) определяют параболоиды вращения;
4
3) — поверхность вращения вокруг оси Oz кривой z = —- и у = 0
х
(рис. 45); 4) полусферу; 5) конус, для изображения которого возьмем
сечения: х = a, z2 = ay и у = b, z2 = Ъх — параболы (рис. 46); 6) по-
верхность вращения кривой z =
кх
1
, у = 0 вокруг Oz; 7) конус
с образующими у = кх, z =
к- 1
/1-х2
и направляющими
равносторон-
равносторонними гиперболами у = h, (х — h)(z + h) = —h2, имеющими вершины
на оси Оу и одну из асимптот на плоскости у = х (х = h, у = К); та-
такие же гиперболы получаются в сечениях х = h или z = h (рис. 47).

Ответы
303
1845. s = \Jp{p — x) (p — y) (x + у — p). Область существования функ-
функции: 0 < x < p, 0<у<рих + у>р, т. е. множество точек внутри
треугольника, ограниченного линиями х = р, у = р и х + у = р.
Рис. 45
Рис. 46
1848. Axz = Bх - у + Аж)Аж = 0, 21, Ayz = Bу - х + Ау)Ау = -0,19,
Az = Axz + Ayz — АхАу = 0, 03. 1849. Непрерывные и однозначные
Рис. 47
в области
функции z =
бражаются верхней и нижней поверхностями кругового конуса (с осью
Ох). Примером разрывной функции, определяемой уравнением z =

304
Ответы
iх2 — у2, может служить функция
х < 1,
х < 2,
х < 3
и т. д. Прямые х = 1, ж = 2 и т. д. — линии разрыва. Изображе-
Изображением будут чередующиеся полосы верхней и нижней поверхностей ко-
конуса. Область определения этой функции \у\ <С \x\, т. е. множество
точек внутри острого угла между прямыми у = ±х и на этих прямых.
1854. 2) Вся плоскость, кроме прямой у = —х; 3) точки внутри эллип-
х2 у2
са — + —- = 1 и на эллипсе; 4) вся плоскость; 5) точки внутри угла
а1 о1
\у\ ^ \х\ и на его сторонах; 6) квадрант плоскости i ) 0 и t/ ) 0.
Поверхность 2) цилиндрическая с образующими z = h, x + у = A/h и
направляющей z = 4/ж, у = 0 (рис. 48). Поверхности 5)-6) конические;
x+y
Рис. 48
У 1
поверхность 4)—параболоид. 1858. Зж(ж+2г/), 3(ж2 — у2). 1860.	-, —.
х1 х
1861.
-у
х2 + у2 ' х2 + у2
1862.
(х-уJ' (х-у)
-. 1863.
дс а — Ъ cos а дс Ъ — а соя а дс ab sin a
'	' 5^ ~	с ' ~дЪ ~	с ' 5^ ~ с
1866. ^
1867. ^
(ж + 2

Ответы
305
5ж
2tJ'
да	t	da
д 7
дх 2V'х - x2t2 ' dt
д 7
= — asm (ах — by), — = Ъsin (ах — by).
Ту
1876.
дх
1877. ^ = ctg(x-2t), ^ = -2ctg(:c-2<).
= 2sinj/x
xcosBx + y), -^ = 2 sin ж cos (ж + 2у). 1885. 1) 0,075; 2) -0, le2 Pd
к -0,739. 1887.-0,1. 1888. 1,2тг дм3. 1889.0,13см. 1890. 1) dz =
v
1 ж \	.	х dt
- + -^ ) dy: 2) ds = Int dx -\	. 1891. Az =
x y2)	t
dz
= 0,0431, dz = 0,04. 1892.0,15. 1893.-ЗОтгсм3. 1895. ^ = -(eJ +
dt
;"*) = -2cht. 1897. — =
dx
dz
же
dx
dzdu
2x
У
1899.
du у \ Уу
dz	x ( x\	dz dz du dz dv	dz dz
7Г =	4+" • 190°- ! 7Г = 7Г7Г+ 7Г7Г = т1Г +PJT'
dv у \ у J dx du dx dv dx du dv
dz dz dz dz dz у dz dz dz 1 dz du
~K~ = nT. I" 4~K~) ^) ~K == УТ.	^ TT~; ~n~ = X~> I	n~ ¦ 1901. —— =
dy du dv dx du xz dv dy du x dv dr
du	du . du ( du .	du	\	dz
= — cos if + — sin <p, -— = - -- sin f + -- cos if \ r. 1903. 1) —- =
dx	dy	dip \ dx	dy	J	dt
= 2[(Ax +By) cos t-(Bx + Cy)smt] = (A-C) sm2t + 2B cos2t; 2) -j- =
1906. 1) |i = |i + |i, |? = 2|i _ |?; 2) d*
2e/
e4t
du
dz
du dv' dy	du
^ d_z_	7%_2^ж
+dv' dx~ y +
dv' dx
'' dy du 2.
2ue2x — e2y	3
—	^. 1910. ±-. 1911. -1. 1912. 1) (-1; 3) и (-1; -1);
^ 2же2У - e
2) A; 1) и (-3; 1).
1913.
dz
3-ж dz
dz x	dz
dy 2z	dx
y_
z
1914.
dz
dx
1919. -
1920.
2/
жг/
dx	z ' dy
a dz b	dy x
-, — = -. 1918. -f- = —.
с dy с	dx 4j/
1921. -. 1922. -, -. 1923. -^ = 1, ^ = -
у_
2z'
У_
х
ь ь
2
1926. 6; 2; 0; 6. 1929.	1; —; 0; 0. 1931.
2ху
x — z
y2 — x2
„3'
(x
2
у2J'
х2
2J'
—2xu	2
—	y—. 1938.1) —Cy2dx2-Axydxdy + x2dy2);2)-
(xz + у1I	ж4
у2J' (х2 + у
y(dx -xdyJ
ху'

306
Ответы
1942.
дх2
дх ду
ди dv
+
ди dv
ди dv
ду2 \ ди dv)
ди2
9^?
ди2
ди dv dv2 '
*2~ d2z
¦ +
dv2 '
d2z
ди dv dv2
-4
4+3
9a;2 9a; ду ду2
= -4
д2
ди dv
1943. Записывая так же, как и в задаче 1942, получим
1945.
" У d2z
d2z
ovz
дх2
ду2
= У
ди2
ди2
- 2
+ 2
| y2d2z | 2ydz
х2 ди dv х4 dv2 хг dv
d2z \d^z
ди dv
x2 dv2
-У
>d2z
>d2z
d2z
дх2	ду2	ди dv
82z
dz dz
1946. —^ + -T.
ox1 ay1
Hx2
= n—Т1з- 1948-
(l-2t/K
1947.
2у dz
+ ——•
х dv
2
32z
-2у' дхду
d2z
1953. d2u = —y-dx2
У
1954.4a
ди dv
1955.-?;
d2z
ди dv
2 , ,	,ч 2?/ , о 3 , 9
Н	dx ay, аи = —^ dx	 dx
X	Xй X1
v2 dz	x2 x 1
-\	— . 1959. и =	\- х\пу - cosy + C. 1962. и = - -\	\-\ny-
и ov	2 z х
— arctg z + С 1963. и = ху2 — х +	Ь С. 1964. и = х sin 1y +
+ у In cos x + у2 + С. 1965. и = xy
sin2 у
y+C. 1966. и =
x(l + \/t2 + 1) + C. 1967. и = x\ny - xcos2z + yz + С. 1968. и =
	h С. 1969. у = ±x\/l + x; область расположения: 1 + x ^> 0;
x ^> — 1. Точки пересечения с Ох: у = 0, ж = 0 или х = —1. Особая точка
2	2	2
0@; 0) — узел. Экстремум у при х = — — , уэ = =р—г= Pd =p- (рис. 49).
о	Зл/3	5
1970. у = ±(ж + 2)V« + 2; ж ^ —2 — область расположения. Особая
точка: (—2; 0) — точка возврата. Точки пересечения с осями: при х = 0
у = ±2л/2; при у = 0 ж = -2 (рис. 50). 1971. у = ±х^/х - 1. Область

Ответы
307
расположения х^>1,х = 0,у = 0 — особая изолированная точка. При
х = 1 у = 0, при х = 2 г/ = ±2. Точка перегиба: ж = — у = ±
(рис. 51). 1972. у = ±хл/1 — х2; область расположения \х\ ^ 1, или
У
У2= (х + 2K
-2\ О
Рис. 49
Рис. 50
Рис. 51
— 1 <J х <J 1. Точки пересечения с осями: при у = 0 х\ = О, Х2 = 1, жз =
= — 1. Особая точка 0@; 0) — узел. Экстремумы при х = ±—= Pd ±0, 7
1	V2
г/э = ±- (рис. 52). 1973. у = х ±
i x
У =
ТОЧ]
ВОГ(
у*= х2- х4
Рис. 52
4/9
Рис. 53
4	4
тремум имеет функция у = х — х-^/х; при х = — j/max = — (рис. 53).
1974. у = ±(ж — 2)л/ж; область расположения ж ^ 0; при г/ = 0 ж = 0 или

308
Ответы
x = 2; особая точка B; 0) — узел. Кривая имеет такой же вид, как и
/ х + 2а
на рис. 52, но сдвинута вправо. 1975. у = ±(ж + 2а)\	; кривая
V	х
расположена в той области, где х и х-\-2а имеют разные знаки, т. е. при
—2а <С х < 0. Особая точка (—2а; 0) — точка возврата; х = 0 — асимп-
асимптота. Кривая — циссоида, такая же, как на рис. 85, но смещенная на 2а
~^7
влево. 1976. у = ±]
-; область расположения у <С х. Точки пере-
пересечения с осями: при х = 0 у = 0 или у = —3. Особая точка @; 0) —
точка возврата. Найдем асимптоту вида у = кх + Ь. Разделим члены
(V \3	/ ?/ \ 2 1	V
— ) — 3 ( — ) — = 0. Отсюда к = Km — = 1,
Х>	\х) X	х^са х
-Ъу'1
Ъ = Km (у — х) = Km —	 = — 1. Итак, асимптота у = х — 1.
ж-Юо	х^сю X1 + Ху + у2
Экстремум функции х = <р(у) = \/у3 + Зг/2: при у = —2 хэ = -\fi Pd I, 6;
при х = 0 у = —3 — перегиб (рис. 54). 1977. х3 + у3 — Заху =0 —
декартов лист (см. задачу 366). Особая точка О@; 0) — узел с каса-
касательными у = 0 и х = 0. Найдем асимптоту у = кх + Ъ. Приведем
уравнение к виду 1 + ( — ) — За ( — ) — = 0; откуда к = Km ( — ) = — 1,
\Х/	УХ/ X	x^rco \X/
Зу2= х3-
vj
\
y? x4 \
/
л
4
\
\
\
/
/
/
/
/
/
\
\
\
\
u
/
/
/
X
Рис. 54
Рис. 55
= Km (у + х) = Km —
Заху
xz - xy + y
X
— = —а. Итак, у = —ж — а — асимп-
асимптота (рис. 79). 1978. у = +_	^=. Симметрична относительно Ож
л / /у. Z 	 ,-1 Z

Ответы
309
и Оу. Область расположения \х\ > а и \у\ > \х\. 0@; 0) — особая
изолированная точка. При х = ±ал/2 экстремум у = ±2а. Асимптоты
х = ±а и у = ±х (рис. 55). 1979. у = ±хл/2 — х; область расположе-
расположения х ^ 2. Точки пересечения с осью Ох: при у = 0 «i = О, Х2 = 2.
Особая точка @; 0) — узел. Экстремумы у: при х = — уэ = ±—у= =
3	3V3
= ± 1,08. (Кривая имеет такую же форму, как на рис. 49.) 1980. у =
= ± — \/а2 — (х — аJ; область расположения \х — а\ ^ а, или —а ^
<i х — a <i а, или 0 <i x <i 2а. При у = 0 х\ = 0, x-i = 2а. Точка @; 0)
х(а — х)
особая (точка возврата). При у' = 0, т. е. \/2ах — х2 +
За
= 0, х = —, уэ = ±
Z
±-а (рис. 56). 1981. у = ±(ж +
4
Область расположения ж ^ 0 и еще изолированная точка (—2; 0). Точка
перегиба при х = 2/3. Кривая такая же, как на рис. 51, но смещена влево.
а За/2
\а2у2=х3Bа—х)
2а х
Рис. 56
1982. Две области расположения: 1) х > 0; 2) х < —а. Асимптоты:
у = х -\	, у = —х	и х = 0. Точка возврата (—а; 0). Экстремумы
Zi	Zi
а	Зл/За
у при х = — уэ = ±—-—
х
±2, 6а. 1983. у = ±—
Z
Ь; область
расположения х J> —5. Особая точка @; 0) — точка самоприкосновения.
Экстремумы у: при х = -4 |г/|тах = 8, при ж = 0 \y\mm = 0 (рис. 57).

310	Ответы
1984. у = ±хл/х2 — 1. Области расположения \х\ ^> 1 с изолированной
точкой О@; 0). График такой же, как и на рис. 51, с добавлением еще до
симметрии кривой слева. 1985. При у = 0 ж1 = 0иж2 = —4; при х = О
у1 = 0, 2/2 = — 1- Особая точка @; 0) — узел с наклоном касательных
к = ±2. При х = —8/3 2/тах = 1, 8 и при х = 0 2/min = ~1- Асимптота
2/ = ж + 1. Кривая пересекает асимптоту при х = —0, 4 и затем описывает
петлю, пройдя через @; 0) и @; —1). 1986. 1) у = ±(х — а)<-	; кри-
кривая расположена там, где х и 2а — х имеют одинаковые знаки, т. е. при
0 <i х <i 2а. Точка (а; 0) особая — узел с наклоном касательных к = ±1.
ах
Асимптота х = 2а (рис. 84). 2) у = +	; область расположения
л/х2 — а2
х\ > а и \у\ > а с изолированной точкой @; 0). Асимптоты х = ±а и
у = ±а. Между каждой парой этих асимптот точек кривой, кроме особой,
нет, ибо \х\ > а и \у\ > а. Кривая состоит из четырех симметричных
ветвей, приближающихся к асимптотам х = ±а и у = ±а. 1987. 1) у =
I Q 	 гг.
= ± Хл 	; область расположения —а < х ^ а. Точки пересечения с
у х + а
осью Ох: у = 0, х\ = 0, x-i = а. Особая точка @; 0) — узел. Асимптота
х = —а. Кривая — строфоида и получается перегибанием рис. 84 по оси
Оу и смещением затем оси Оу влево на а. 2) Области расположения:
х ^> а; х < —а и х = 0. Точка @; 0) изолированная. Асимптоты х = —а,
а(л/5 + 1)
у = а — х и у = х — а. При х =	Pd — 1,оа уэ Pri ±3,3а.
1988. 1) у = -х2/А; 2) у = ±2х. 1989. 1) у = ±R; 2) у = 0 и 2/ = -х.
1990. 1) ?/ = 1; 2) ?/ = 1 — геометрическое место точек возврата, но не
огибающая; 3) у = 1 — и геометрическое место точек возврата и огибаю-
огибающая; 4) у = х — 4/3 — огибающая, у = х — геометрическое место точек
возврата. 1991. х2/3+у2/3 = я2/3. 1992. у2 =	—. 1993. (х2+у2J =
х -\- z
о
ОХ
= Аа2ху. 1994. Семейство траекторий у = xtga — —	—. Их
2b2cos2 a
огибающая (парабола «безопасности») у =	"оГг"* 1995. 1) х2 -\- у2 —
ZiCj	ZiO
= р2; 2) у2 = Ах; 3) у = 1. 1996. 2/2 = 4(ж + 1). 1997. ж2/3 + 2/2/3 =
= /2/3. 1998. у = -4ж2/3. 1999. 2ж + Ау - z = 3. 2000. Ж2/О + ух0 =
= 2zz0. 2001. xyozo + yxozo + zxoyo = За3. 2002. ^ + ^ - ^ = 1.
а^ (И c^
2003. x + у - z = ±9. 2004. ^^ = ^— = Z-^—; в точке @; 0; 0).

Ответы
311
2005. cos a = - cos/3 = cos 7 = —/=¦ 2006. у = О, x + z + 1 = 0;
v3
поверхность изображена на рис. 45, с. 303. 2009. Касательная плос-
тга	тга
кость ж — у + 2z = —. Ье расстояние от начала равно ——. 1ели-
2	2у6
коид — поверхность «линейчатая». Прямые линии получаются в сече-
тта	тга
ниях z = п. При z = 0 у = 0, при z = — у = х, при z = —
4	2
х = О, при z =
Зтга
у = —х, при z = тга у = 0 (рис. 58). 2010. z =
г/-3 z	2
^— = -. 2013. cos а = -;
о	О	о
а	ж — 4
= 0, x + у - z = -. 2012. ——
cos/3 =	; cos7 =	. 2014. Плоскость z
2016.1) z = 4; 2) 2
2018. 1) gradz = ~1+J; 2) grad z =
2ж
х = а,Р=-.
z = 6. 2017. gradz = -2xi-2yj = -2(i + 2j).
l. 2019. grad h = -Ji - 2j.
2020.
gradz =
2022. —- = 2 + лД\ grad и = 2i + 2j +
dl
+ 2k, |grad«| = 2^3. 2023. grad и =
= ± 4i.	2024.
2025. grad z = 0, 32i-0, 64j, |gradz
dl	Уз
. 2027. gradu = 2(«i + г/j - zk), |grad
/y> 1 I 7/"|
и
, Igradul = 1 в любой точке. 2029.	,
1В	'	V2
Геликоид у = x tg |
Рис. 58
2. 2028. grad« =
V + &2 + с2
= 12 при х =
2030. zmin = -1 при ж = -4, у = 1. 2031. zmax
= у = 4. 2032. zmm = 0 при ж = 1, у = --. 2033. Нет экстре-
Z
мума. 2034. zmin =	при ж = —2, г/ = 0. 2035. z
е
О /о"

2
при
х = у = —. 2036. zmin = 2 при ж = у = 1. 2037. zmax = —4 при
ж = у = -2 и zmin = 4 при ж = у = 2. 2038. х = у= л/W, z = 0, 5^21/.
2039. (8/5; 3/5), (-8/5; -3/5). 2040. Нужно найти минимум функции

312	Ответы
z = d2 = x2 + (у — 2J при условии х2 — у2 — А = 0. Искомая точка
(±л/5; 1)- 2041. R = 1, Я = 2. 2042. 1) Вершины (±3; -1) и @; 2);
2) луч должен пройти так, чтобы sin a : sin/3 = v\ : г>2, как это и проис-
происходит в природе. 2043. zm\n = 9 при х = 0 и г/ = 3. 2044. zmin = 0 при
х = у = 2. 2045. zmjn = 0 при х = 0 и г/ = 0. 2046. zmjn = 0 при х = 2,
г/ = 4. 2047. zmax = 1 при х = у = ±1, zmin = -1 при х = -у = ±1.
2048. V = 8. 2049. 1) Нужно найти минимум с? = 	—	 или мини-
мум z = х — у + 4 при условии Ах — у2 = 0; искомая точка A; 2); 2) 2ab.
П5~	х3
2050. R = 4 /—у=. 2051. Уравнения интегральных кривых: 1) у = —;
V 7tV3	3
х3
2) у = х3; 3) у = - — . 2053. ху' = 2у. 2054. 1) у2 - х2 = 2хуу';
2) х2 + у = ху'. 2057. у = Сх, у = -2х. 2058. ху = С, ху = -8.
2059. х2 + у2 = С2, х2 + у2 = 20. 2060. у = Сех, у = Аех+2. 2061. у =
= Се11х. 2062. х + у = ЫС(х + 1)(у+1). 2063. г = Ce^v + a. 2064. s2 =
2об5_ у с^^ у ^ 2066_ y
у = 2 sin х — —. 2067.	1— = С; у = —х. 2068. Общие интегралы:
2	х у
1) у = С(х2 — 4); 2) у = С cos ж. Все интегральные кривые первого урав-
уравнения пересекают ось Ох при х = ±2, а второго — при х = Bп — 1) —
X	X
3{.	{.
(особые точки). 2069. у = —. 2070. / у dx = а I у 1 + y'2dx, откуда
о	о
у = а\/1-\-у'2, у' = ±д/—г-— 1; положим у = а спи, тогда a sh и х
V я2
х и' = ±s1im. Отсюда: 1) sh и = 0, спи = 1, у = а; 2) a du = ±dx,
х + С
аи = ±(х + С), у = a ch и = a ch	; при х = 0 у = а и С = 0. Итак,
а
X
или у = a ch — — цепная линия, или у = а — прямая. 2071. у2 = ах.
а
2072. у2 = А(х + 2). 2073. За 40мин. Решение. Пусть через t секунд
7Г7~1
температура тела будет Т; —— = —к(Т — 20 °С), где к — пока неизвест-
dt
ный коэффициент пропорциональности; In (Т — 20 °С) = —Ы + С; при
80 ° С
( = 0Г= 100 °С, поэтому С = 1п80°С, Ы = In-———-; подставив
сюда Т\ = 25 °С и Тч = 60 °С и разделив почленно, исключим неизвест-
неизвестное к: -^- = ^^, t = 40 мин. 2074. ТХ{ = -Н + Tcosa = 0,
к ¦ 10 In 2

Ответы
313
v-v	, г ¦	n	+	dy px	p 2
2^ *i = -рт + Tsina = 0, откуда tg a = — = —, у = wjTx + ^
(парабола). 2075. Уравнение касательной Y — у = у'(X — х). Поло-
Положив У = 0, найдем абсциссу точки А пересечения касательной с осью
У У
Ох: Ха = х — —. По условию Ха = 2х, х =	; решив это диффе-
У'	У'
ренциальное уравнение, найдем искомую кривую ху = —а2 (гипербола).
2076. х2 + 2у2 = С2. 2077. у2 - х2 = С. 2078. 2х2 + Зу2 = За2.
Сх2
2079. у = Сх4. 2080. у = Се~х1х . 2081. 2у =	— - 1. 2082. у =
С
= С(х + \/х2 + а2). 2083. у =
. 2084. г = С cos ip, r = -2 cos ip.
2085.
= х\пх - х + С, ^/у = х\пх - х + 1. 2086. у =
У = —
2087. ху = -1. 2088. у = аех1а. 2089. у =
1-х
2090. х2у = С. 2091. Радиус-вектор ОМ =
мали MN =
У
cos a
yz, отрезок нор-
= y\/l + tg2 a = y\J\ + у'2. Искомая кривая или
х2.
. 2094. х2 - у2 = Сх. 2095. s2 = 2t2ln—.
х2 + у2 = С2 (окружность), или х2 — у2 = С (гипербола). 2092. у = Сх
2093. у - х = CW<:
2096. у = Сх3 - x2. 2097. у =
2х2
2098. у =
t
7 — cos 2x
2 cos x
2099. у =
———. 2100. у2 = ——-. 2101. sin-+In ж = С. 2102. у =
хшСх	2х + С	х
=	. 2103. у = \пх + —. 2104. у3 =	Ь —. 2105. у =
С — \пх	х	2х Xs
х2 - 1	1	1
= 	. 2106. s = Ct2 + -, s = 2t2 + -. 2107. у = хеСх, у = хе~х12.
2	t'	t	У	' У
kt kL
2108. (х-уJ = Су. 2109. х2 + у2 = 2Су. 2110. г = — + —(e-RtlL - 1).
2111. Положив X = 0 в уравнении касательной Y — у = у'(X — х),
найдем Yo = -ON = у - ху', ON = ху' - у = ОМ = \/х2 + у2.
х2 -С2
Отсюда у = ———. Зеркало должно быть параболоидом вращения.
2112. у2 = Схе~У1х. 2113. у =
In С(
. 2114. При х > О
С
— = In— при х < 0 л — = 1пСх. 2115. у =
2116. у =
COS X
. 2U7.S = t3(\nt-l)
2118. у2 =
2 =

314	Ответы
1	2ж
. 2119. у= 2(sinж- 1) + Ce~smx. 2120. у = 	~,У =
. 2121. г/3 = х+Се~х,у3 = х-2е1~х. 2122. у =
+ Се
2ж
2123. (ж - аJ + у2 = а2. 2124. у = 	. 2125. у2 = х(Су - 1).
v4 х v2 С
2126. ху = — + С. 2127. - + — = С. 2128. у = cos ж +	.
4	у 2	sin ж
2129. s = —	—-—. 2130. х2у2 + 21пж = С. 2131. s = %~ .
С	х
2132. у = х2 + Сх. 2133. sin г/ = ж -\	. 2134. у = 	т-.
ж	С + 2е~х'2
2135. 4ж2 + у2 = Сх. 2136. ж3е^ - у = С. 2137. у + хе'У = С.
2138. ж2 cos2 у + у2 = С. 2139. и, = —; ж+ - = С. 2140. In и, = In cos у;
хА	х
х2 sin у + 0,5 cos 2у = С. 2141. ц = е~2х; у2 = (С - 2х)е2х. 2142. ц =
Х	Q ----- ,3,п„, о,. _ г< ЧЛАА ^3,,_о„2,,2 | о,,4 _
	Ьж3 = С. 2143.ж3+2жг/-Зг/ = С. 2144. хАу-2х2у2+?>у4 =
sin j/ sin 2/
ж2сов2г/	1	1
= С. 2145.	^ + Ж = С. 2146. ц = -; а?г/ — In у = 0. 2147.//=—;
2	у	ж
2/2 = Сж3 + ж2. 2148.// = e"y; е-усо8ж = С + ж. 2149. In// = - In ж, /л =
= —; ж sin y + ylnx = С. 2150. у = (С ± жJ. Через точку М{\; 4) прохо-
проходят кривые у = A + жJ и у = C —жJ. 2151. у = sin (С ± ж). Через точку
. /тг л/2 \	. / тг\	. /Зтг
Ml—; 	 I проходят кривые у = sin 1ж	I и у = sin I	ж
2152. у = Сж2 + —; особые интегралы у = ±2ж. 2153. 1) у = ж + С
, I		N 2
и ж2 + у2 = С2; 2) ж L /l + - ± 1 ] = С или B/ - СJ = 4Сж. Осо-
Особые интегралы ж = 0 и у = —ж. Область расположения парабол: при
ж > 0 у ^ ~ж) ПРИ ж < 0 у < ~ж- Параболы касаются оси Оу и
(ж- СJ
прямой 2/ = —ж. 2154. 1) у = 1 +	—; особый интеграл у = 1;
1	2
2)	ж = 2р	-, 2/ = Р2	V С. 2155. 1) у = (С + л/ж + 1J; осо-
р2	р
бый интеграл у = 0; 2) ж = СЧ2 - 2t3, у = 2СЧ - Ы2, где t = -;
Р
3)	Су = (ж — СJ; особые интегралы у = 0 и у = —Ах. 2156. 1) у =
= Сх — С2; особый интеграл у = —; 2) у = Сх — ал/1 + С2; особый
интеграл ж2 + у2 = а2; 3) у = Сх + ттт^г! особый интеграл у = 1, 5ж2/3.

Ответы
315
(х -\- СJ	( 3
2157. у = 1 —	—; через Mil;-] пройдут две кривые: у = 1 —
hj/ = i-j. 2158. 1) ж = 2
х2
„.2
= р2+р3; 2) х2 + (у+СJ = а2.
х х	1
2159. у=	\-Сх + С2; у=	. 2160. 1) у = Сх + —; особый инте-
(х + IJ
грал у2 = Ах; 2) у = С(х + 1) + С2; у = —	—. 2161. Отрезки каса-
У
тельной Y — у = у'(Х — ж) на осях координат: Хд = х	Yb = у — ху'.
У1
По условию
V" у

= 2а2; (у — ху1J = —Аа2у', у = ху' ± у— Аа2у' —
уравнение Клеро. Любая прямая семейства у = —Сх ± 2ал/С, а также
кривая, определяемая особым интегралом ху = а2, дает решение задачи.
2162. Парабола (у - ж - аJ = Аах. 2163. 1) у = 31пж + 2ж2 - 6ж + 6;
2) у = 1 — cos 2ж; 3) у = С\х + ж arctg ж — In \/1 + ж2 + С2. 2164. у =
= - + С\1пх + С2. 2165. у2 = -С\х + С2. 2166. у = С\ sin ж - ж -
ж
--8ш2ж + С2. 2167.2/3 + Ci2/ + C2 = Зж. 2168. г/ = С*1жAпж - 1) + С2.
2169. ctgy = С2 - dx. 2170. 1) у = ех(х - 1) + Саж2 + С2; 2) г/ =
+ С2 (при
= -= arctg -?= + С2 (при d > 0), —^
1	_Р
Ci < 0), С2 - - (при Ci = 0). 2171. у" = —A-х). При ж = 0 у = 0 и
/ /	ж3\
г/' = 0, г/ = 	 I /ж2	) — уравнение кривой изгиба. 2172. Cij/ =
2?7 V	3 /
(С\х
1. 2173. j/ = a ch
2174. г/ =
6
2175. г/ = Ci;e + С2 — In cos ж; частный интеграл у =
з
= -1псовж. 2176. у =	Ь Clarctgж + С2. 2177. Cij/2 =
12 4
t2
= 1 + (С\х + С2J. 2178. г/ = (С\х + С2J. 2179. s = -- + С\ In* +
+ С2. 2180. 4(Ci?/ - 1) = (С1Ж + С2J. 2181. у = С2 - d cos ж -
- ж. 2182. См. 2177. 2183. у = -In cos ж. 2184. у = Схех + С2е3х.
2185. у = (Сг +С2х)е2х. 2186.y = e2x(Acos3x + Bsm3x). 2187. у =
= С\е2х + С2е~2х = A ch 2ж + В sh 2ж. 2188. у = A cos 2ж + В sin 2ж =
= asmBx + ip). 2189. у = С\ + С2е~4х. 2190. ж = С\ег + C2e~4t.
2191. р = Acos- + В sin-. 2192. s = e'^Acost + Bsint); s =

316	Ответы
= e-*(cost+2sint). 2193. у = dex + (C2+C3x)e2x. 2194.у = d ch2х +
+ C2sh2a; + C3cos2a; + C4siii2a;. 2195. у = de2x + е~х(С2 cos хлД +
+ C3sinxV3). 2196. у = (С1+С2х + С3х2)е-ах. 2197. у = A sin x sh x +
+ В sin х ch x + С cos x sh x + D cos x chx. 2198. у = Achx + В shx +
+ С cos — + Dsin—• 2199. Отклонение х = asm, -(t — to), период
Zi	Zi	V
ГТ	Га	Га
Т = 2тгд/-. 2200. х = acosj-t, период Т = 2тг./-. 2201. ж =
V 5	V а	V #
е~х
v
2203. у = (dx + C2)eax. 2204. у = е "^icus^-i-^siii^.
= de3t + С2е~ь. 2206. х = Cicoswt + C2sinujt. 2207. s
+ C2e~at. 2208. x = е~*(Лcos2-^2 + 5 sin 2^2). 2209. г/ =
= (Ci + С2ж)cos2ж + (C3 + C4x)sm2x. 2212. г/ = <—^~— = sh«.
2214. у = de2x + C2e~2x - 2x3 - Зж. 2215. у = de~x + C2e~2x +
+ 0,25лДcos (j-2x\. 2216. у = dcosx + C2smx + x + ex. 2217. г/=
= C\ + C2e~3x + -x2 - x. 2218. у = e-2x(C\cosx + C2sin;c) + x2 -
- 8ж + 7. 2219. y = de2x + (C2-x)ex. 2220. x = Asm k(t - to)-t cos kt.
r-	T3
2221. у = dexV2 + de~xV2 - {x - 2)e~x. 2222. у = d + d2e2x	.
2223. у = -e~x + xe~2x + de~2x + C2e~3x. 2224. x = e-kt(dcoskt +
+ C2smkt)+smkt-2cosM. 2225. у = C\ +C2x + (C3 + x)e~x +x3-3x2.
2226. у = de3x+ (c2- j) e:c + C3Cos3a; + C4sm3a;. 2227. ж = d +
+ C2cost + C3smt + t3-6t. 2228. у = (d + —) e~2x + (C2cos хлД +
/	^2\	^
+ С3втхлД)ех. 2229. 1) x = [d + C2t + — e~2t; 2) x = Acos- +
V	^ /	a
t \	x
+ В sin - + -. 2230. Здесь y1 = cos2«, y2 = sin2x, w = 2; A =	\-C\;
a a	2
В = — In sin 2x + C2 и у = (C\ — — ) cos 2x + ( C2 + — In sin 2x I sin 2ж.
4	V	2 /	у	4	у
2231. у = [(Ci+lncosa;)cosa; + (C2 + a;)sina;]e2:c. 2232. у = (C\-lnx +
+ С2х)ех. 2233. у = Cicos«+C2sma;-cosa;lntg (- + - ). 2234.1)?/ =
\2 4 /
= d + de~x - A + е-ж) In A + ех) + х; 2) у = е~2х [С1 + d2x + ^- J .
2235. ж = а(е"* + t - 1). 2236. г/ = Cie^ + С2е:с - 3(ж2 + х + 1, 5).

Ответы
317
3a;-sm3a;). 2238. у = (С\х + С2)е~х +
-ех. 2239. у = e~xl2 (c\ cos — + С2 sin
8sin2;c.
Xs
2237. у = С
l-ex
2240. у = dexl2 + C2e~xl2 - х3. 2241. у = Схех + (С2 - '^) е
2242. s = e-t(C1cost + C2smt) + (t-lK. 2243. 1) у = em:c(Ci+ С2ж) +
+ 	—; 2) у = Схе2х1п + С2е~2х1п	. 2244. у = A cos x + В sin x +
2тА	п
1	(	х3\
+ Ccos2a; + _Dsin2a;- -ж cos ж. 2245. у = [d + С2х + С3х2 + — ) ех.
2246. у =
+ С2 cos х +
1
2 cos x'
. 2247. 1) у = ClSmx +
; 2) у = (С\ —In | sinж|) cos 2х-\- ( С2 — х	ctg х ) х
sin2«. 2248. у = 1С\ + л/А - х2 + х arcsin - + С2х\ ех. 2249. у =
С-{х + 2)е _^ 2250. г/= l + Ccosx. 2251. у = хA + Сл/1 - х2),
х + 1
(	X	\
линейное. 2252. у = С I 1 + —^=^ ) • 2253. s =
= Сх2-1. 2255. 2Су2 = х(С2х2-1). 2256. у = х\пх-'.
-. 2254.^ =
2257. у(С2 - С\х) = 1. 2258. у = С\етх + [С2	е~тх. 2259. у =
V	2га/
С 1
= In ж +	. 2260. у = хес1х~1. 2261. у2 = 	-—. 2262. у =
mi	x + Cex
mi
Cex
. 2265.1) s = (?
х. 2264. s =
*-; 2) у2 = Сх2-\.
2266. I) у =
Ccosa;
; 2) у = е~х (d + - j + C2ex>2 cos —
+ C3ex/2sm^-^-. 2267. I) у = (C\ - In л/l + e2x)ex + (C2 + arctg ex)e2x;
2 j2
2) у = CieV^ + C2e-V^ и у = C\x + C2. 2268. -—-f + ЮООж = О,
5 ^2
ж = A
Ажг2
и Ю0°С =
/Щ	. Юл/Щ	па	dT
	-t + 5 sin —-—-t, период Т = —^=. 2269. -— =
а	а	5л/10(/	dr
к	к	к
; Т =	\-С; к и С находим из условий: 20 °С =	— + С
к
8тгг
С^ 2270.
8тг • а	г
>х~1 + С3х3; 2) у = — + С2х2- 3) у = С\хп + С2х-(-п+1\

318	Ответы
2271.1) у = х-2(С1+С2\пх); 2) у = d cos\nx + C2 sin In ж. 2272.1) y =
= Ц- + Сгх-1 + С2; 2) у = Схх3 + ^f - 21пж + |. 2273. 1) у =
= Clx + С2х2 - 4ж1пж; 2) у = ^ + С2\пх+ Хп3 х
ж
Ь С\х + С2)х2: 2) у = —\-С\ cos In x+C2 sin In x. 2275. х = С\е* +
6	)	2
dr
+ C2e-3t, у = -— = С\ег-ЗС2е-зг. 2276.x = е* + C\+C2e-2t ,y = е* +
+ Ci-C2e-2t. 2277. х = 2е~*+С\е*+C2e~'2t, у = Зе~*
2278. х = е* + Cie3t + C2e-3t + C3cos (t + <p). 2279. ж = et(l - 2f).
2280. ж = С1е* + С2е-*+гсЫ 2281. 1) и = (р(х) + ф(у); 2) и = yip{x) +
+ ф(х)\ 3) и = х<р(у) + ф(х); 4) и = ax2lny+bxy+ip(x) + ij(y). 2282. z =
с) it	с) it с) it
= y2(x+y-i). 2283. Чтобы уравнение А——+25-—-—\-С—— = F при-
дх ду
вести к каноническому виду, нужно решить характеристическое уравне-
уравнение Ady2 — 25 dx dy + С dx2 = 0; в двух его интегралах <р(х, у) = ?
и ф(х, у) = ту произвольные постоянные ? и ту принять за новые пере-
переменные и преобразовать к этим новым переменным данное уравнение
(см. задачи 1941 и 1942). В нашем примере нужно решить уравнение
dx2 + Adx dy + ?idy2 = 0, откуда dy + dx = 0, dy + Зйж = 0, j/ + ж = ?,
у + Зж = 77. В новых переменных уравнение примет вид ——— = 0.
о? дт]
Отсюда и = (р(?) + ф(г)) = <р(у + ж) + ф(у + Зж). 2284. Характеристиче-
Характеристическое уравнение ж2 dy2 — 2ху dx dy + у2 dx2 = 0, или (ж dy — у dxJ = 0,
(у \	у
- =0; — = ?. Решения равные; за ту принимаем г/. Итак,
ж/	ж
характеристики: — = ? и г/ = ту. Уравнение примет вид (см. задачи
1944 и 1945) —j = 0; и = г]<р(?) + ф(?), или и = у<р(у/х) + ф(у/х).
228Ь.и = ур(у + 2х) + ф(у + 2х). 2286. и = ху + sin у cos ж. 2287. (См.
-) + ф(х1)\ част-
частное решение и = —	-. 2289. и = е~хср(х — t) + ф(х); част-
частное решение и = (ж — t)e~b — ж. 2290. Частное решение и = xat +
+ -a3t3. 2291. и = ^Х ~а '	——— -\	/ F(z) dz. 2292. 6 -
3	2	2а J
x-at
32 125 9а2 1 1
- 41n2 Pd 3,28. 2293. 1) —; 2) 4. 2294. 	. 2295. 	. 2296.	.
о	D Z Z 6

Ответы
319
а	х
а	а
2297. 1) dx dy = dy dx = —;
о о
О	у
а	л/а-1 — х^
2) I dy
dx = I dx I dy = a
а-у
1	2-х2
0	a-x
1	У
7Г-2
f	f	f	f	f	f	1
2298. 1) dx / dy = dy dx + dy / dx = 1-;
J	J	J	J	J	J	'
Ox 0 0 10
0 0 0 0
dy dx= dx / dy=—. 2299. (- + 2^ a2. 2300. Пло-
-2 у2-4	-4	л/4+Б
щадь меньшего сегмента I	л/3 I a2 Pd 2,457a2. 2301. 	In2.
\ 3	/	2
2302.	a2. 2303. -тга2. 2304.4,5. 2305.—. 2306.^2-1. 2307.-a2.
15	8	6	2
6	X
2308. 8тг + 9^3. 2309. ^2 - -) a2. 2310. 7In2. 2311.1) dx dy =
-a
= dy dx =
J J *
а у
ал/2 \/2а2-х2
f
dx / rfj/ =
о
2) dy
а2(Зтг-2)
12 :
8 H-y
+ fdy f dx=^. 2312. (|;|). 2313. C; 4,8). 2314.
a	a
2	a	x21 a
f	f
dx = I dx / dy+
J	J
ay	0	0
4	H-x	4	y2/4
f	f	f	f
3) dx dy= dy dx+
о 2,/x-	о о
2a aN
2315. 0;
4a
256a \
тга
тга4
88a4
2321. -—. 2322. —. 2323. ^—. 2324. —; — . 2325. 0; —
8
2326. —. 2327. 3. 2328.
oU
.2 	 79
105
За За
12
5 ' 8
. 2329. 47,5. 2330.
35тга4
16
2 79
2331. 42-. 2332. —a3. 2333. Сечение плоскостью z = h, x + у =
о	uU
= ± ya(a — h) — параллельные прямые, т. е. поверхность цилиндри-

320
Ответы
а	а — х
ческая (рис. 59). Искомый объем V = 2 / dx I	z dy = —.	2334. —а3
J J	2	3
о	о
(рис. 60). 2335. (См. рис. 46, с. 303.) -а3.	2336. —.	2337. —.
У	о	\- Zi
yJ=a(a-z)
Рис. 59
Рис. 60
тг/2	а
/г 4т3
mcosipdip / r'2dr = 	 (рис. 61)
7ГС
о
4а3
2340. ^-. 2341.4тг^3а3. 2342. -^-(Зтг - 4) (рис. 62). 2343.тг2а3 (рис. 58)
х2+ у2= а2
2344.1^а3. 2345.^. 2346. ,abc (l - IV 2347. ^. 2348 Да».
15	2	V е	35	15
х2+ у2+ z2= a2
х2+ у2= ах
Рис. 61
Рис. 62

Ответы
321
/с яя
dx zdy= 	 (рис. 63).
J 105
О	х2
За 2-Jax
dx / \J\ax -y2dy = 3a3D?r - 3^3) (рис. 64).
;2= 4ax
Рис. 63
Рис. 64
a	h
(b/ а)л/а2 — х2
2 L
— v a2 — x2 dy = 	равен площади основания ко-
h	2
о о
У Коноид (a2-x2)y2= h2z2
Рис. 65
128
ноида, умноженной на половину высоты (рис. 65). 2353.	а3. 2354.18тг.
2355. 2тга3. 2356. 8тг In 2 (см. рис. 45, с. 303). 2357.—тга3. 2358.-^.

322	Ответы
2359.-^Д 2360.13. 2361. -^— а2. 2362. 2тга2. 2363.-^B^2-1).
О	О	О
2364. 2тгр2лД. 2365. 8а2. 2366. 4а2(тг - 2). 2367. — па2.
о
Г Г л/т2 4- v2 4- z2	ттв
2368. а = / / +	'ту — dx dy = —R2 sin а; при /3 = 60° и а = 30°
JJ	z	180
(S)
а = -—. 2369. — (радиус сечения г = -^= ). 2370.
6	12 \	л/З/	3
2372. jdx Jdy п~] yZdZ=^. 2373. (?; ?; ?). 2374. (о; 0; |).
0	0	О
9171 а5 917К ?Га5 9177 ЛЛ ^ <)\ ^ 917» ^ (Я /9 71
2375. —. 2376. —-=-. 2377. 1) —-; 2) ——. 2378. -— (8V2 - 7).
4	лу2	о	OU	и
оо	3	l4	4	/Q
2379. —тт. 2380. —. 2381. ^^. 2382. —. 2383. @;0; —
32л/2а5 а3
2384. 	.	2385. 	. 2386. бктта2, где к — коэффициент пропор-
135 360
циональности.
2387. (х + у) dx =
4 по прямой О А,
— по дуге О А,
2 по ломаной ОБА.
Г
2388. 1) 8; 2) 4. 2389. / (х dy + у dx) = 8 в обоих случаях. Это потому,
что здесь -О- = —. 2390. 1) 1,5а2; 2) а2. 2391. 8а2. 2392. тга2.
дх ду
2393. ^. 2394. 0. 2396. 1) ^; 2) -1; 3) 2 - -i=. 2397. ^.
2398. тга&. 2399.—. 2400. -а2. 2401. X = 0, У = "\ . 2402. У =
15	2	тга^
^. 24O3.y=^f. 2404.1) -16; 2)-f; 3) -12. 2405.1)^;
2) —; 3) ——. 2408. -тга2. 2409. -. 2410. —. 2411. —. 2412. Каж-
2	6	8	3	2	48
дая из частей формулы равна 4тга3. 2413. Каждая из частей формулы
а4 /4 тг\	12 .
равна — I - + — 1. 2419. Каждая из частей формулы равна —тга .
о у о Id J	о
2421. 0, 15а5. 2422. Нет. 2423. Да. 2424. Да. 2425. Расходится.
оо
/х dx	3
	— = —. 2428. Сходится,
(ж + 1K 8
1

Ответы	323
оо	оо
ибо /	 = —. 2429. Расходится, ибо /	 dx = оо. 2430. Схо-
J 1 + х2 A	J Hi2
1	1
оо
/1 Г 1	1 °°	1
ах 1 х \	1
	—	 = — ш	 = — ш 2. 2431. Сходится.
Bж +1J-1 |_4 ж + ljj 4
1
2432. Сходится. 2433. Сходится. 2434. Сходится, ибо Km —— = - <
п-юо ип	2
< 1. 2435. Расходится. 2436. Расходится. 2437. Сходится. 2438. Расхо-
Расходится. 2439. Сходится. 2440. Расходится. 2442.1. 2443.-. 2444. Схо-
Сходится не абсолютно. 2445. Сходится абсолютно. 2446. Сходится не
абсолютно. 2447. Сходится абсолютно. 2448. После первой переста-
Л Л 1 A Л 1
новки членов напишем ряд в виде II	I — — + I	I — — +
V 2/ 4 \3 6/ 8
Л 1\ 1
+ I	I	Ь • • • Выполнив действия в скобках, получим ряд, члены
которого вдвое меньше членов данного ряда. После второй переста-
1	1	1
новки членов преобразуем п-ю тройку членов:	1	=
An — 3 An — 1 2n
= L 2, 3, ...
первые четыре члена образуют данный ряд с суммой S, а последние
два — ряд с суммой —. 2449. Сходится.	2450. Расходится, ибо
оо	оо
dx	f x dx тг
2451. Сходится, ибо /	 = —. 2452. Расхо-
100ж-99 "" -—-"—" ' —" j l + x4 8
1	1
оо
/2х — 1
	— dx = схэ. 2453. Сходится. 2454. Сходится, ибо
1
1
г Un+1 Х/1 оакк г	a v Un+1 v
пт 	 = — < 1. 2455. Сходится, ибо пт 	 = lim	=
n->oo un	2	n->oo un	n->oo 3B0n + 1)
= - < 1. 2456. Сходится. 2457. Сходится не абсолютно. 2458. Сходится
абсолютно. 2459. При а > 1 сходится абсолютно, при а = 1 сходится
не абсолютно, при а < 1 расходится. 2460. —. 2461. —. 2462. Сумма
2	4
1	хп
ряда SYa;) = 	 при х < 1, остаток Дп = S — Sn = 	. На от-
1-х	1-х
резке [0; 1/2] |ДП| < ——^ < 0,001, как только п- 1 > —	; п ^ 11.

324	Ответы
2463. Ряд имеет
ж	[ 1 при 0 < ж ^ 1,
сумму S = -	 = i
I О при ж = О
и остаток Rn =
О	при ж = 0.
При любом п остаток Rn будет больше, например, 0,9, как только ж < 1 —
— д/0,9, т. е. на отрезке [0; 1] ряд сходится неравномерно. Но на отрезке
[1/2; 1] он сходится равномерно, ибо тогда при любом ж|Дп| < — < е,
-lge
как только п > ———; в частности, \Rn\ < 0, 01 при п J> 7. 2464. Оста-
Остаток знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного
жп+1	1
члена. Поэтому на отрезке [0; 1] |Дп(ж)| < 		< 	 < 0,1, как
п + 1 п + 1
только п + 1 J; 10 или п J; 9. 2465. Ряд имеет
{1 + ж3 при ж > 0,
0 при ж = 0
3^п_1 при ж > 0,
и остаток Rn = ' ' ' ""
0	при ж = 0.
При любом п остаток Rn будет больше, например, 0,1, как только ж3 <
<	"~у10 — 1; т- е- ПРИ ж ^ 0 ряд сходится неравномерно. Но при
ж ^ 1 он сходится уже равномерно, ибо тогда при любом ж ^ 1 \Rn\ ^
1	-lge
<J Г)п_1 < ?, как только и — 1 > ———; в частности, \Rn\ < 0,001 при п ^
^11. 2466. При любом неотрицательном ж члены данного ряда меньше
i	\	.,1,1,1,
(или равны) членов числового сходящегося ряда l+TT+cT^+q3"--
Следовательно, ряд сходится равномерно для всех ж J> 0, Д„(ж) меньше
A/3)"	1
остатка числового ряда, т. е. Rn(x) < -^	гТч = о—Q < 0,01, как
1 — LI О	Z • О
только З" > 50, или п ^> 5, при любом ж J> 0. 2467. |Дп(ж)| < — ^
<	0,0001, как только п > 100, при любом ж. 2468. ип = 	 —
ж + п — 1
-. Поэтому 5n =	; S = Km 5n = — при любом ж ^ 0.
X -\- П	X X + П	п->оо	ж

Ответы	325
В частности, при ж > 0 Rn(x) = 	 < — < 0, 1, как только п > 10.
X + П	П
2469. При любом неотрицательном ж члены данного ряда меньше (или
1 1 1
равны) членов числового сходящегося ряда 1 + ^ + Т + ^ + - • • Поэтому ряд
A/2)"	1
сходится равномерно для всех ж ^ 0, Rn(x) < 	— = ——г < 0,01,
как только 2" > 100, или п ^ 8. 2470. -3 ^ ж < 3. 2471. -л/1 ^
^ ж <J л/Ь. 2472.	— ^ ж ^ -—. 2473. Абсолютно сходится на всей
\/2	л/2
числовой оси. 2474. -1 < ж ^ 1. 2475. -^— < ж < ^—. 2476.1) R = 0;
2) R = е. 2477. -5 < ж < 3. 2478.1 < ж < 2. 2479.	— при |ж| < 1.
A-жJ
1 + ж
2480. arctgж при |ж| < 1. 2481.	— при |ж| < 1. 2482. A + ж)т.
A-жJ
2483. -— < ж ^ —. 2484. —>Д ^ ж ^ лД- 2485. -0,1 ^ ж < 0,1.
1-ж2
2486. -1 < ж < 1. 2487. -1 < ж < 3. 2488. -1 < ж < 0. 2489.	^г
A + х2J
при |ж| < 1.2490.-1пA - ж)при-1 < ж < 1.2491.-	^-при|ж| < 1.
A + ж)
2492. 1) cos (ж - а) = sin а (^ - |у + |у - . . . J +
+ COS « ^1 -— + — + ...
2 • ж2 23 • ж4
2) sin2 ж = —	— +
4) sin (тж + -) = —-!-
т2х2 т4х4
+
3/ 2 V	2! ' 4!
1 (тх т3х3 гп5х5
2 V 1	3!	5!
fx Jb	fx Jb	fx Jb

326
Ответы
2) In B - Зж + ж2) =1пA-ж)B-ж) =1п2-
3) 1пA-ж + ж2) =1п-
2 2х3 х4
х2 2х3 х
	1	1
45
2х6
3 4 5 6
Zv ТГП X
cos	.
3 п
n = l
2498. In (х
На	2!а2
3!а3
2500.	x3 - Зж = -2 + 3(ж - IJ + (x - IK.
2501.	ж4 = 1 - 4{x + 1) + 6{x + IJ - 4{x + IK + {x + IL.
2502.
X
2)/2)
х-тт/2)п-1 Bга-1)тг
	cos
^ (п- П12"-1	4
п = 1 ч	'
принимая 0! условно равным 1 (см. сноску на с. 174 к задаче 1760);
2) sin3;c = N (—1^
Bп- 1)!
2504.
33-3! ¦•••--¦ з
2-5-8-...-(Зп-1)
l)n+1 при -2 < х < 0.
2505. 1) Т = 1
ж In 2 ж2 In2 2
Чпп2
1!
2!

Ответы
327
) —
ТП Т I ^	тг
/ -.	 cos Bn — 1)— (полагая 0! = 1).
2506.	х4 - Ах2 = (х + 2L - 8(ж + 2K + 20(ж + 2J - 16(ж + 2).
2507.	cos2 х =
_1 УЗГж-тг/3 22(ж-тг/3K 24(ж-тг/3M
~ 4 ~ " [ 1!	3!	+	5!	'
2(ж-тг/3J 23(ж-тг/3L 25(ж-тг/3N
7ГЖ
2 [ 2!	4!
^ тг"(ат - 1)" . /тг , тг
6!
. 7ГЖ	v^ 7Г(ж 1)	/7Г	7Г\ .	,
2508. sin — = V \п . ' sin - + п- (полагая 0! = 1).
V
О
п=0
8509. V^= 2
ж-4 (ж-4J 1-3(ж-4)
4K
2» ¦ 3!
1 -3-5(ж-4
212-4!
2511.
2 3
^~ + i^~ + ... 2512.^07992 =
= VI-0, 008 Pd 1 - 0, 004 = 0, 996; V90 = л/81 + 9 = 9\/1 + -
У
9 1 + — =9,5. 2513. V079ln = VI-0, 009 « 0, 997; V130 =
18,
5 = 5А3/1 +
25
М1 + 1 =|. »».
5
= 1,814V3 w 3,142. 2519. 1)
2) feldx = C-
dx = С + х - ^-+ ^-
х	3!3 5!5
Л „,з
... 2520. Ф(х) = / е~х dx =
J
о
1\ 1 1
погРешностью

328
Ответы
1
2430'
2-5
X
f
2521. Ф(ж) = /
J
о
:__ ¦ ф|:| м !4
33-3! 7 '"' V 5 / 5 3-3-53
1
3 3 322! 5
0,2008 с погрешностью
1
32-56
< 0, 0001. 2522. Продифференцировав уравнение п раз и под-
п	(п+2)	I	т, (п-2) м	//	/// п
ставив ж = 0, получим у^0 ' = п(п — ljy^ '. Отсюда у^ = у^ = О,
j/qV = 2-1,2/^ = 3-2, yj'1 = 0 и т. д. Подставив эти значения в формулу
у'	у"	х ж4
Маклорена у = у0 + —-ж + ~^гх2 + • • -, находим у = 1 + — + -—- +
Т5	ТН	'	Х2 Х3 Х4
	h	... 2524. Реше-
Реше...2523. ,=
нием является «функция Бесселя нулевого порядка»: /о(ж) = 1 — — +
4	6
+ 7^—^ ~ о, ,, „ + • • • 2525- 71^005 к 1,0025; ,^^0012 к 1,0004;
/0^993 Pd 0,9965;
0,999; л/Ш = УТООТТО w 10 1 + — =
V 20У
1 \
= 10,5; ^/70 рй 4 ( 1 + — ) = 4,125; ^^40 «2A+-) =2,1.
3/ /	V 20
1
1-3
3A + 0,0417+0,0047) « 3,14.
2528. тг = 2 11-
1
1
3-22 5-24 7-26
4 Г. 1.1
f3
З-З2 5-34 7-36
+ ... =
9n -3
2532
тг/2	тг/2
		/*
Va2 sin21 + &2 cos2 tdt = Aa I \/\ - e2 cos2 t dt =
= 2ira
l-3\2 e4
l-3-5\2 e6
.2-4/ 3 V2-4-6; 5
где e — эксцентриситет эллипса, а a — его большая полуось (см. N- 1624

Ответы	329
г 	 г Х4 Х7	-|°.5 i
и его ответ). 2533. / \J 1 + ж3 dx = ж -\	 +	. . . = - +
J [ 2-4 22-2!7	Jo 2
о
Н— •-• — — ... рй 	Рй 0, 508 с погрешностью < 	—.	2534. Ф(ж) =
1 ж5 1 ж9	т /1\ 1	1
1	х3 х7	2 • ж11
с погрешностью < ^т^- 2535. у = — + — + g2 ? n + . . .
2536. Продифференцировав уравнение и раз и подставив х = 0, получим
п и/	1
0, у0 = -1, t
1 • 4 • ж6 1 • 4 • 7 • х9
(п+2)	(« — 1)	1 / п и п и/	1 tv
Уо = ~пУо ; отсюда г/0 = 1, г/0 = 0, у0 = 0, у0 = -1, t/ov =
v VT ж 1 4 ж 1 4 7 х
= 1/2Г = 0, i/У1 = 1 ¦ 4, ...,„=!-_ + —	 + ...
о
s2	s3 Г1
У = ^ Sin 2C* rfs = 2C* 3 ~ oi^^9 >т + • • • |, где постоянная С = R-L,
о
R — радиус круговой кривой и L — длина переходной кривой. Кривая
называется клотоидой (рис. 88, с. 336). 2538. F(x + h, у + /) = х'2 +
+ ху + у'2 + hBx + у) + 1{2у + х) + К2 + Ы + I2. 2539. х3 + 2ху2 =
2J	^	{у + Х)
+ 2(ж-1)(г/-2J. 2540. In (я - у) = х-(у+1)- ^-+х(у+1)
R3, где Д3 =
— ^Г +D13
"УK+("»» +"УL ^^^„У). 2543.^ = 0,1, ^=-0,2,
4!
3!	4!
Az = Bж - ?/) с/ж + Bг/ - ж) rft/ + йж2 - dx dy + dy2 = -0, 63. 2544. Az =
= — (a dx — Ъ dy) sin (ax — by) — —(adx — Ъ dyJ cos (ax — by) + Дз, где
Д3 = —(adx-Ъ dyK sin [а(ж + 9 dx) - b(y + 9 dy)]. 2545. x2y = -1 -
- 2(ж-1) + (г/+1)-(ж-1J+(ж-1)(г/+1). 2546. arctg - = y-(x-l)y+. . .
x
2547. y* = 1 + 2(j/ - 1) + (ж - 2)(j/ - 1) + (г/~Х) + ...; 1Д2-1 w
0 I2
Pd 1 + 2 • 0,1 + 0,1 • 0,1 + -— = 1, 215. 2548. dx = -0, 01, dy = 0, 02;
Az = 2yx dx + (ж2 - 2y) dy + у dx2 + x dx dy - dy2 + -dx2 dy Pd -0, 1407.

тт
n=l
330	Ответы
4 х—\ sin (In — l)x	тт x—v cos (In — l)x	тт'2
2549. -V	^	'—. 2550.	4 V —±	-/-. 2551.	h
^ 2n-l	2 ^ 2n-l2	3
n=l ч	'
Зтг [sin ж sin2« sin3«	1 2
T-	2- + —"•• +^x
n = l	L	J
[cos ж совЗж cos 5x	1	4 [ . и 1 . Зтгж
^+^^ + ^^ + ...j.	2553. -[-т + -81п—+
1 . 5тгж	1	14 Гсовтгж совЗтгж
+ -sin-— + ... . 2554. -+——-— +
5	I	T	2 ' ^2 [ I2	32 ' •
/ 2/ Г ттх 1 Зтгж	1 /Г ттх 1 2тгж
3 4 Г ттх 2 2тгж 1 Зтгж
2556- !) 4 + ^2 [cos "у " 22 C°S T" + 3^ C°S ~T
1 5тгж 2 бтгж
2 Г тгж 1 2тгж 1 Зтгж
тг ГШ ^ + 2 Sm Y + 3
4 Г . ттх 1 . Зтгж 1 . Ъттх
— sin—-- sm -^- + — sin ¦
тт1
2557. „«Vlsm^.si
тг2 ^-^ и2 2
1
2558.	и = у ап cos	—airt sm	—ттх,
2 Г	. 2п + 1
где ап = - / дЛ sin———:
I J	2/
о
•s—*, . пттх атт п г	2 /	. птт^
2559.	и = у bn sm —-— cos ———, где bn = — I /(Л sm —-— at;.
n = l	JQ
2560. f(x) = - I 1~cosX sin Xx dX.
tt J	A
о

Ответы	331
oo
„, . 4 f A — cos A) sin A . ,
2562.	f(x) = - ±	—-!¦	sin Xx dX.
о
7Г	4 Г	COS Зж	COS Ьх
2563.	- + - cosx + -^r- + —^r- + ...
2	7Г
. 2 4 Гсов2ж сов4ж cos6x
2564. 1^*1 = ---[_ + _ + _
2565.1 [cos,-^ + ^
тг [	з^ bz
I Al [cosGra;//) cos (Зтгж//)
2566.	 	—	h
2	тг2 [ 12	32
3	2 [совтгж cos Зтгж	] 1 [вштгж cos 2тгж
2567.
4 тг2 I2	32	тг 1	2
окна ul1 о? (cos(ttx/1) cosBttx/1)
2568. Sh / у - 2/ 	г-—г2	о2 2 i /2 + • • •
1 • sin (тгх/1) 2 sin Bтгх/1)
^л 2п + 1 . 2п + 1
2569. и = у ап cos	1 sin	х,
п=0
2 Г	. 2n+l
где ап = — I fit,) sin
тт J	2
о
тт
о

Приложение
Некоторые кривые (для справок)
а2у = х3
Рис. 66. Кубическая парабола	Рис. 67. Полу кубическая парабола
У2= х(х — аJ
Рис. 68. Полукубическая парабола	Рис. 69. Петлевая парабола
У
У
Рис. 70. Логарифмика
Рис. 71. Экспонента

Приложение
333
Рис. 72. Тангенсоида
Рис. 73. Цепная линия
О	х
Рис. 74. График гиперболического синуса
x = a(t- sin О y = a(l-c
Рис. 75. Циклоида
Рис. 76. Локон
Рис. 77. Кривая «вероятностей»

334
Приложение
-а\
\а х
I
2 2 2
х3+ у3= а3
Рис. 78. Астроида
\
-a
,0	x
х3+у3-Ъаху = 0
Рис. 79. Декартов лист
'а Р
r2= a2cos 2<p
Рис. 80. Лемниската Вернупли
r=a(\ -cos 2<p)
Рис. 81. Кардиоида
r = asin3<p	r = asin2<p
Рис. 82. Трехдепестковая роза Рис. 83. Четырехлепестковая роза

Приложение
335
г = a tg <p sin ^>
Рис. 84. Строфоида
Рис. 85. Циссоида
Асимптота_
Рис. 86. Гиперболическая спираль
4	-¦ -
О	ах
Рис. 87. Дуга параболы,
вписанной в угол хОу

336
Приложение
ds
Рис. 88. Клотоида