Текст
АТЕМАТИК
КОМУСИЙ
ЛУГАТИ
Нима уциш керак
469
Салтыков А. И., Семашко Г. Л. Программиро-
вание для всех.— М.: Наука, 1980.—160 сах,ифа.
Сараев М. С. Элементар математикадан маса-
лалар туплами.— Тошкент: «Уцитувчи», 1977.
Сараев М. С. Мактабда функция ва графиклар-
ни урганиш.— Тошкент: «Урта ва олий мак-
таб», 1963.
Сирожиддинов С. X- ва бошкалар. Абу Райхон
Беруний асарлари. Математика ва астроно-
мия.— Тошкент: «Фан», 1973.
Сабиров М. А. Математикадан русча-узбекча
лугат.— Тошкент: «Уцитувчи», 1973.
Содицов С. 7-синфда математикадан тугарак
машгулотлари.— Тошкент:— «Удитувчи», 1979.
Сорокин П. И. Математикадан кизикарли ма-
салалар.— Тошкент:—«Удитувчи», 1970.
Стройк Д. Я. Краткий очерк истории матема-
тики.— М-: Наука, 1984.—184 сахифа.
Стьюарт Я. Концепции современной математи-
ки.— Минск: Вышэйшая школа, 1980.—384
сахифа.
Узоцов Ю. Тошкент математиклари.— Тош-
кент: — «Ук,итувчи», 1969.
Утирбеков А. У., Шоабдалов Ш. Ш. Матема-
тикани такрорлаш — Тошкент: «Укитувчи»,
1989.
Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг
нас.— М.: Мир, 1977.—161 сахифа.
Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музы-
кальной шкалы.— М.: Наука, 1980.—24 сахифа
(Математикадан оммавий маърузалар).
Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М.
Избранные задачи и теоремы элементарной
математики. Арифметика и алгебра.— М.: Нау-
ка, 1976.—384 сахифа).
Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп.—
М.: Наука, 1981.—160 сахифа.
Элементар математикадан мосламалар.— Тош-
кент: «Укитувчи», 1970.
Юсупов А. Е. Математик кечалар.— Тош-
кент: «Удитувчи», 1977.
Ягудаев Б. Я. Ажойиб сонлар сламида.— Тош-
кент: «Удитувчи», 1979.
Хикматов A. F. Мактаб математика курсида
экстремал масалалар.— Тошкент, «Укитувчи»,
1987.
МАТЕМАТИК
Русча нашрининг та^рир хайъати:
ГНЕДЕНКО Б. В. (бош мухдррир)
БЕЛОУСОВ В. Д.
БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ О. М.
БОЛТЯНСКИЙ В. Г.
ВАСИЛЬЕВ Н. Б.
ВАСИЛЬЕВ Ю. В.
ЕРМОЛАЕВА Н. А.
ЖУРАВЛЕВ Ю. И.
КОЛМОГОРОВ А. Н.
КУДРЯВЦЕВ Л. Д.
ПИГОЛКИНА Т. С.
ФИРСОВ В. в.
ХЕЛЕМЕНДИК В. С.
шкондин В. в.
Тузувчи:
САВИН А. П.
КОМУСИЙ ЛУГАТИ
УРТА BA КАТТА
ЁШДАГИ МАКТАБ
УЦУВЧИЛАРИ УЧУН
22
Ё83
Махсус мухаррир
АЪЗАМОВ А., математика фанлари доктори
Масъул мухаррир
ФОЗИЛОВ т.
Ёш математик комусий лутати: У рта ва катта ёшдаги мактаб укувчилари
учун (Махсус мухаррир: Аъзамов А.). Т.: К,омуслар Бош тахририяти, 1991,
480 б.
Энциклопедический словарь юного математика: Для среднего и старше-
го школьного возраста (Спец, редактор: Агзамов А.). Т.: Главная редакция
энциклопедий, 1991, стр. 480.
Лугат укувчига математика фанининг ривожланиш тарихи, уни амалда татбик килишнинг
асосий йуналишлари хакида маълумот олишга ёрдам беради, уни асосий математик тушунча-
лар билан таништиради.
Китобнинг асосий вазифаларидан бири — бу кадимги ва хозир хам жуда мухим булган
фанга укувчининг кизикишини ошириш, унда мантикий фикрлаш кобилиятининг усишига,
унинг укув программасини узлаштириб олишига ёрдам бериш. Лугатда машхур математик олим-
лар хакида хикоя килинган, кизикарли математик масалалар келтирилган.
Лугатнинг русча (Энциклопедический словарь юного математика — М.: Педагогика,
1985)дан таржима килинган ушбу узбекча нашрида математиканинг ривожланишига уз хис-
саларини кушган узбекистонлик олимлар хакида хам маълумотлар берилди. Айрим макола-
лар иложи борича махаллийлаштирилди. Китоб рангли ва ок-кора расмлар, фотосуратлар,
схемалар билан безатилган.
Лугат урта ва катта ёшдаги мактаб укувчилари учун мулжалланган.
„ 4302060000 „ ,
Ё 358=9i 91-6
ББК22Я2
ISBN 5 — 89890 — 015 — X
iO Издательство «Педагогика», 1985 г.
ГС) К,омУслаР Бош тахририяти, 1991 й.
КИТОБХОНЛАРИМИЗГА
Математика асосий тушунчалари — натурал сон, арифметик амаллар, тугри
-.•зик кесмаси, айлана каби геометрик тушунчалар инсоният тарихининг
тк давридаёк пайдо булган. Математика фанининг вужудга келиши ва ри-
жланиши бевосита амалий эхтиёждан — нарсаларни санаш, хужалик
хисоб-китоби, масофаларни улчаш, буюмларнинг шаклини белгилаш, куёш
ва юлдузлар вазиятига караб дунё томонларини аниклаш каби тирикчилик
ун зарур масалалардан келиб чиккан. Дехкончилик, меъморчилик иншоот-
ари курилиши, денгизда сузиш тараккий этиши билан математик билимлар-
нг ахамияти хам ортиб борган.
Математика ёшларнинг мантикий фикрлаш кобилиятини устирувчи
эосита сифатида мактабларда кадимги Юнонистонда укитила бошланган,
;оф фан тарзида хам ривожлантирилиб, геометрияда аксиоматик метод
таб чикилган. Янги эра бошларида Хитойда сонлар назарияси, Х1индис-
ж нда унли санок системаси, Урта денгиз сохилларида тригонометрия
яратила бошланган. VIII асрдан илм-фан тараккиётининг маркази Урта
Шарк мамлакатлари, хусусан, Урта Осиёга кучади. Бу даврда давлат тили
лган араб тилида ижод килган олимларнинг катта кисми бизнинг юртдош-
jpHMH3 эди. Мухаммад Мусо ал-Хоразмий, Ахмад Фаргоний, Абу Райхон
Беруний, Абу Али Ибн Сино, Абу Наср Форобий, Исмоил Бухорий номлари
н бутун дунёга маълум. Инсоният тараккиётида мухим урин тутувчи
ти санок системаси билан европаликлар асосан ал-Хоразмийнинг «Хинд
исоби» рисоласи оркали танишганлар. Унинг «Ал-жабр вал-мукобала» аса-
1ан алгебра фан сифатида шаклланган. Ал-Хоразмий ишлаб чиккан баён
ли — лунда ва изчил коидалар олим номи билан алгоритм деб аталган.
X-XI асрларда Хоразмда, XIV-XV асрларда Самаркандца машхур ил-
академиялар («Байт ул-хикмат») иш олиб борган. Урта Осиёлик
ларнинг бой меросини урганиш сохасида хали катта вазифалар турибди.
Шарк математикларининг ишлари XIV-XVI асрларда Европада илм-
_-ч ривожига асос булди. Соат, тукув дастгохи каби дастлабки техника ку-
рклмалари ихтиро килиниши механикани ривожлантирди, механика масала-
'ни ечиш эса математика тараккиётининг янги боскичга кутарилишига —
гл аналитик геометрия ва алгебраик символиканинг, сунг дифференциал
интеграл хисобнинг яратилишига олиб келди. Математика тарихининг
. нги даври XVIII-XIX асрлардаги техника инкилоби билан бевосита
лик. XX аср бошларида табиатни урганиш сохасидаги инкилобий узгариш
- _ тематикада хам уз аксини топди. Айни пайтда математика ютуклари бу
• згаришлар учун замин хозирлади.
1920 йилдан жумхуриятимизда математиканинг ривожланиши учун ку-
шароит вужудга келди — Урта Осиё Давлат дорилфунуни (хозирги
- И. Ленин номидаги ТошДД) очилди.
6 Еш математик цомусий лугати
XX аср урталаридан бошланган илмий-техника инкилоби математика-
нинг амалий ахамиятини янада кучайтирди, электрон хисоблаш машинала-
рининг пайдо булиши эса уни хаётга янада якинлаштирди. Бу даврда жумху-
риятимизда аввалрок шаклланган эхтимолликлар назарияси мактаби
(В. И. Романовский, Т. А. Саримсоков, С. X,. Сирожиддинов, Т. А. Азларов
ва б.) каторига дифференциал тенгламалар назарияси (И. С. Аржаних,
И. С. Куклес, М. С. Салохиддинов, Т. Ж. Жураев, Н. Ю. Сатимов, Н. А. Бон-
даренко, Ш. А. Алимов ва б.), математик анализ (Т. А. Саримсоков, Ж. Х,о-
жиев, Ш. А. Аюпов, А. Саъдуллаев ва б.), хисоблаш математикаси (В. Кабу-
лов, F. Н. Солихов, Ф. Б. Абуталиев ва б.), сонлар назарияси (Н. П. Рома-
нов, А. Ф. Лаврик ва б.), математика тарихи (С. X,. Сирожиддинов, Г. П. Мат-
виевская ва б.) илмий мактабларига асос солинди.
Бугунги кунда математиканинг амалий ахамияти хеч кимда шубха туг-
дирмайди. Математик методлар механика, физика каби анъанавий фанлар-
дан ташкари иктисод, биология, медицина, ижтимоий ва дунёвий фанларга
хам жадал кириб бормокда. Табиат ва жамият ходисаларини урганишда
бенихоя имкониятга эга воситалардан бири — математик моделлаштириш-
дир. У турли жараён билан боглик номаълумларни топиш, унинг келгуси-
даги табиатини олдиндан хисоблаш имконини беради. Математиканинг бу
турли татбики айникса табиатни мухофаза килиш, зилзила ва б. табиий
офатлар билан курашишда мухим ахамиятга эга.
Математиканинг бевосита амалий татбикдаридан ташкари ёш авлодни
хар тарафлама ривожланган етук кишилар килиб тарбиялашда унинг ало-
хида уринга эгалигини таъкидлаш зарур. Тахдилий мулохаза, мантикий му-
шохада, фазовий тасаввур, абстракт тафаккур инсон фаолиятининг барча
сохаси учун зарур кобилиятки, булар математикани урганиш жараёнида
шаклланиб, чукурлашади.
Математикага кизикадиган, уни чукур узлаштиришга интиладиган укув-
чиларимиз оз эмас. Ватанимизда улар етук илм сохиблари булиб етишув-
лари учун барча шароит мавжуд. Аммо ёшларимиз орасида математик бу-
лишни ният килган укувчигина уни чукур узлаштириши керак, деган фикр
учрайди. У бугунги хаётдаги кундалик тасаввурдан четга чикабилмаслик,
истикболни курабилмаслик окибатидир. 2000-йиллар бусагасида бундай ха-
то фикрга йул куймаслик зарур.
Математикани урганишни хохдовчи, аммо уни мураккаб фан деб хисоб-
лайдиган укувчилар хам куп. Аммо бу англашилмовчилик натижасидир.
Албатта, математикани узлаштириш учун, бошка фанлардаги каби, кунт,
мехнатсеварлик, интилиш даркор. Аммо мактаб математика программаси-
ни узлаштириш учун хар ун укувчидан камида туккизтасининг кобилияти
етарли. Энг мураккаб мавзу хам бир неча машкдан сунг осонлаша бошлай-
ди, мунтазам машгулот эса хотирани мустахкамлайди, зехнни чархлайди.
Математика дарсликларида машк ва масалаларга куп эътибор берилиши-
нинг хам асосий сабаби шу. Лекин кетма-кет машкдар математиканинг жо-
зибасини сусайтириши, ундаги гузаллик, нафосатни хис килишга халакит
бериши мумкин. Холбуки, математика энг жозибали, нафис фан эканлиги
яхши маълум. Укувчига такдим этилаётган ушбу китоб — «Ёш математик
комусий лугати» бу кухна ва хамиша навкирон фаннинг ана шу томонларини
ёркинрок курсатиш, асосан, унинг гоявий жихатларини очиш учун мулжал-
ланган. Лугат хар бир укувчининг, айникса, математикага кизиккан укув-
чиларнинг кундалик китоби булиб колади, деб умид киламиз.
УзССР Фанлар Академиясининг академиги М. С. Салохиддинов.
Еш математик комусий лугати
7
ТАХРИР ХАЙЪАТИДАН
\зиз болалар! Бу китобда математиканинг асосий тушунчалари ва татби-
клга багишланган 200 га як,ин макола жамланган.
Лугатнинг «Группа», «Геометрик алмаштиришлар», «Топология» каби
• зтор маколалари математиканинг кейинги ун йилликларда гуркираб ривож-
.инаётган янги сохалари билан таништиради. Шу билан бирга, математик
<аклар, жумладан машхур венгер кубчаси хам унутилмаган.
Бизнинг мамлакатимизда математикага истеъдодли угил ва кизлар уз
• обилиятларини ривожлантиришлари учун куп ишлар амалга оширилмок-
са. Математик олимпиадалар утказилмокда, ёзги математика мактаблари
-ашкил этилмокда. Сиз лугат маколаларидан шулар хакида хам укий оласиз.
Китоб сизни хамма даврнинг буюк математиклари, жахон, узбек ва рус
- _тематикларининг хаёти ва фаолияти билан таништиради.
Лугат текстни тулдирувчи куп сондаги схема ва расмлар билан беза-
тнлган. Масалан, «Алгебра», «Арифметика», «Геометрия», «Математик ана-
огз», «Функция» маколаларига берилган ранг-баранг расмлар макола-
рнинг мазмуни билан узвий боглик, лекин уларни факат маколаларни укиб
чиккандан кейин тулик тушуниш мумкин.
Китобда маколалар номлари алифбо тартибида жойлаштирилган. Агар
сизни кизиктираётган тушунча лугатда алохида макола килиб берилмаган
б'тса, уни китоб охиридаги алифбо курсаткичдан караш керак.
Текстдаги баъзи сузлар курсив билан терилган. Ьу лугатда шундай ном-
макола берилганлигини билдиради. Бир катор маколалар, хусусан, олим-
)нинг биографиялари алифбо тартибида эмас, балки улар ишларига бог-
к маколаларга илова тарзида берилган. Бу хил маколаларни топиш учун
хам алифбо курсаткичдан фойдаланиш кулай — унда бу маколалар берилган
^ахифалар курсатилган. Китоб охирида тавсия этиладиган адабиётлар руй-
хати берилган.
Айлана ва дойра
9
лар — марказдан утувчи ватарлар.
Улар дойра ва айлананинг диаметрла-
ри дейилади.
Агар тугри чизик дойра маркази-
дан d масофада ётса, d> R булган
холда, тугри чизик доирани кесмай-
ди; d<zR булса, доирани ватар
буйича кесади, бу холда тугри чи-
зик кесувчи деб аталади; d—R бул-
са, у дойра ва айлана билан битта
АЙЛАНА ВА ДОИРА
Биз дойра ва айлананинг шакли-
хамма жойда учратамиз: бу ма-
инанинг гилдираги, горизонт
>фк) чизиги, Ой гардиши. Матема-
-’.'.клар геометрик фигура — текис-
•кдаги дойра билан жуда кддимдан
утулланишади.
Текисликнинг О нуктасидан R дан
iira булмаган масофагача узоклаш-
~ан нукталари туплами О марказли, R
-лиусли дойра дейилади. Дойра О
уктадан аник R масофага узоклаш-
ан нукталардан иборат айлана билан
араланган. О марказни айлананинг
- .кталари билан туташтирувчи кесма-
_ > R узунликка эга ва улар хам дои-
анинг, хам айлананинг радиуслари
5 аталади. Доиранинг икки раду-
билан ажраладиган кисмлари дои-
-_ = ,'й секторлар дейилади (1-расм).
Айлананинг икки нуктасини туташ-
эувчи кесма ватар дейилиб, у доира-
нккита сегментга, айланани эса ик-
. а ёйга ажратади (2-расм). Марказ-
— • ватарга туширилган перпендику-
' ватарни ва у тортиб турган ёйни
е иккига булади. Ватар канчалик
- -'казга якин жойлашган булса, шун-
_ к узун булади; энг узун ватар-
2-расм.
умумий нуктага эга булади ва урин-
ма деб аталади. Уринма уриниш
нуктасига утказилган радиусга пер-
пендикулярлиги билан характерлана-
ди. Доирага ундан ташкарида ётган
нуктадан иккита уринма утказиш
мумкин, бунда уларнинг берилган
нуктадан уриниш нуктасигача булган
кесмалари тенг.
Айлананинг ёйларини унинг бур-
чаклари сингари градуслар ва унинг
улушларида улчаш мумкин. Бутун
1 «
айлананинг кисми градус деб
360
олинади. Марказий АОВ бурчак (3-
расм) узи тираладиган АВ ёйдаги гра-
дуслар сони билан улчанади, ички чи-
зилган АСВ бурчак АВ ёйнинг ярми
билан улчанади (3-расм). Агар АР В
бурчакнинг Р учи дойра ичида ётса, у
холда бу бурчакнинг градуси улчови
АВ ва А^В' ёйлар (4-расм) йигинди-
сининг ярмига тенг. Р учи доирадан
ташкарида булиб, айланадан АВ ва
А В' ёйлар ажратувчи бурчак (4, б-
расм) А'В' ва АВ ёйлар айирмасининг
ярми билан улчанади. Нихоят, уринма
билан ватар орасидаги бурчак улар
орасидаги ёйнинг ярмига тенг (4, в-
расм).
10
Еш математик комусий лугати
Айлана ва дойра
11
Дойра ва айлана чексиз куп сим-
метрия удига эга. Бурчакларни ул-
_ ва учбурчакларнинг ухшашлиги
тиюаги теоремалардан доирадаги
р -орционал кесмалар дадидаги ик-
теорема келиб ч и да ди. Ватарлар
кмидаги теоремада, агар М нудта
: - : а ичида ётса, у долда бу нудта ср-
ыли утувчи ватар кесмалари узунлик-
,инг купайтмаси МА-МВ узгар-
булади дейилади. 5, а-расмда
Ц-1-МВ = МА'-МВ'. Кесувчи ва
- ма (бу тугри чизидларнинг дисм-
э-.'-кесмаларининг узунлиги назарда
- т» тали) дадидаги теоремада, агар М
утла дойра ташдарисида ётса, у дол-
ла W4 кесувчи ва унинг ташди МВ
весмаси купайтмаси дам узгармас бу-
- уринма МС нинг квадратига тенг-
тасдидланади (5, б-расм).
Калим замонларда дойра билан 6of-
лк масалалар айлананинг узунлиги
еа унинг ёйининг узунлигини топиш,
- а ёки сектор ва сегментларнинг
1 ини дисоблаш масалаларини
а уринишган. Улардан биринчи-
гж соф «амалий» ечимга эга: айлана
аб ип дуйиб чидиш, кейин уни
чизгичга дуйиш, ёки айланада
• а белгилаб, уни чизгич буйича
ы л_татиш» (ёки аксинча, чизгични
L л на буйлаб «думалатиш») мумкин.
Клклай дилманг, улчашлар айлана
• -лиги L нинг унинг диаметри
= _/? га нисбати дамма айлана-
f гчгун айни бир сон эканини кур-
. 1 Бу нисбатни юнон дарфи
*-.тан белгилаш дабул дилинган
— юнонча perimetron сузи-
5-расм,
нинг бош дарфи, бу суз «айлана»ни
билдиради), яъни: ^- = л.
а
Бирод дадимги юнон математик-
ларини айлана узунлигини бундай эм-
пирик, тажриба йули билан анидлаш
даноатлантирмаган: айлана — бу чи-
зид, яъни Евклид таърифига кура «эн-
сиз узунлик», ундай ипнинг эса узи
йуд. Агар биз айланани чизгич буйи-
ча думалатсак, «нега биз айлана узун-
лигини досил диламиз, бошда бирор
бир катталикни досил дилмаймиз?» —
деган савол тугилади. Бундан ташда-
ри, ана шундай усул дойра юзасини
анидлаш имконини бермаган.
Бу муаммодан дутилишнинг дуйи-
дагича йули топилган: К доирага ички
чизилган мунтазам и-бурчакли М„ да-
ралса, у долда п чексизликка интил-
ганда Мп охири-нидояда К га интила-
ди. Шу сабабли дуйидаги катъий таъ-
рифни бериш табиий: айлананинг
узунлиги L — айланага ички чизилган
Rn мунтазам n-бурчаклар периметрла-
ри кетма-кетлигининг лимита, дои-
4-расм,
12
Еш математик цомусий лутати
ранинг юзаси S эса улар юзалари
Sn кетма-кетлигининг лимити. Х,озир-
ги замон математикасида на фа кат
айлана ва дойра учун, балки бошда
эгри чизидларга ёки эгри чизидли кон-
тур билан чегараланган сохдларга
нисбатан дам ана шундай йул тутила-
ди: мунтазам купбурчак урнига учлари
эгри чизидларда ёки содаларнинг кон-
турларида ётувчи синик. чизидлар кет-
ма-кетлиги даралади, лимит эса си-
нид чизиднинг энг катта дисмининг
узунлиги нолга интилган шартда оли-
нади.
Айлана ёйининг узунлиги дам шун-
га ухшаш анидланади: ёй п та тенг
булакка булинади, булиниш нудталари
синид чизид билан туташтирилади.
Шундай синид чизидлар периметрла-
ри кетма-кетлиги In нинг п чексизлик-
ка интилгандаги лимити ёй узунлиги
/ деб дабул дилинади. (Юнонлар каби
биз дам лимит тушунчасининг узини
анидлаштириб утирмаймиз, чунки бу
тушунча энди геометрияга тааллудли
эмас, у фадат XIX а. га келиб бутун-
лай датъий киритилган).
л сонининг таърифидан айлана
узунлигининг формуласи досил бу-
лади:
L = nd = 2nR
Ёйнинг узунлиги учун дам ана шун-
ТУККЙЗ НУКТА Хар бир УчбУРчак
~ нуктадан утадиг
АИЛАНАСИ
учун туддизта зилган (улар учбурчакнинг бир
нудтадан утадиган ягона айлана' томонига ва бошда икки томони-
мавжуд. Бу туддиз нудта учтадан
уч турда (J-расм): учбурчак ба-
ландликларининг асослари £),, D,
ва D,', учбурчак медианаларининг
асослари Di, D& ва De, да мда ба-
ландликларнинг улар кесишган
нудтадан учбурчак учларига бул-
ган кесмалари урталари Dj, D-e
ва D,,
Бу айланани XVIII а.да буюк
математик Л. Эйлер топган (шу-
нинг учун у Эйлер айланаси дам
дейилади), сунг кейинги асрда
чекка кишлод мактаб удитувчиси
томонидан дайта очилган. Бу уди-
тувчининг исми Карл Фейербах
эди (таникли файласуф Людвиг
Фейербахнинг акаси). К. Фейер-
бах душимча килиб туддиз нуд-
та айланасида исталган учбурчак
геометрияси билан узвий боглид
яна туртта нудта борлигини анид-
лади. Улар туддиз нудта айлана-
сининг турт алодида айланаларга
уриниш нукталаридир (2-расм).
Бу айланалардан биттаси учбур-
чакка ички чизилган, долган учта-
си — учбурчакка ички-ташди чи-
нинг давомига уринувчи айлана-
лардир). Бу турт айлананинг туд-
диз нукта айланаси билан уриниш
нудталари D}0, £)ц, £)|2, ва Du
Фейербах нудталари деб аталади.
К,уйидаги икки хоссасини бил-
ган таддирда туддиз нукта айлана-
сини ясаш жуда осон. Биринчи-
дан, туддиз нудта айланасининг
маркази учбурчакка ташди чизил-
ган айлана маркази билан орто-
центрнинг уртасида ётади (учбур-
чак ортоцентри — унинг баланд-
ликлари кесишадиган Г! нудта).
Иккинчидан, дар бир учбурчак-
да туддиз нудта айланасининг ра
диуси ташди чизилган айлана ра
диусининг ярмига тенг.
2-расм,
О,
Айният
13
формула ёзиш мумкин: умумий
«j казий бурчакли икки Г ва Г* ёй
н ухшашлик мушодадасидан
= R.Rl пропорция досил булади,
ан эса ln:R=lln:Rl, лимитга ут-
гэндан сунг ёйнинг радиусига боглид
г.лмаган /:/?=/’:R1 — а нисбатни до-
диламиз. Бу нисбат фа к. ат АОВ
азий бурчак билан анидланади ва
бурчакнинг хамда маркази О да
' 'лган унга мос келувчи дамма ёйлар-
радиан улчови дейилади.
Шу билан ёй узунлигининг фор-
ласи хосил булади: l = aR, бун-
. а — бурчакнинг радиан улчови.
ва / катталиклар учун ёзилган
г- г чулалар кайта ёзилган таъриф ёки
гилар холос, аммо уларнинг ёрда-
а оддий белгилашлардан анча
», г к булган дойра ва сектор нинг
« 1си формулалари хосил булади:
= л/?2, Sc=^-a/?2
Биринчи формулани хосил ди-
учун доирага ички чизилган мун-
-нам н-бурчакнинг
= X-Pnhn
z> ‘ лчласида лимитга утиш етарли.
фга кура формуланинг чап то-
доиранинг юзаси S га, унг то-
. эса
—_ = |-2л/?-/?=л/?2
интилади (hn — апофема, ал-
R га интилади). Сектор юза-
формуласи s хам худди шун-
а хосил дилинади:
= S„ = lim (^—ln'hn)=
— лимит деб удилади). Шу би-
'’нрга АВ ватарли сегментнинг
• кин и топиш масаласи хам ечилади,
• у мос сектор ва А О В учбурчак
юзаларининг айирмаси ёки йигиндиси
каби (1, 2-расм) топилади.
АЙНИЯТ
Айният — А — В куринишдаги ёзув,
ундаги Л ва В ифодалар уларда
датнашган узгарувчиларнинг бирор М
тупламдан олинган барча дийматлари-
да бир хил дийматлар дабул дила-
ди. Масалан,
(m2 —n2)2+ (2m«)2 = (т2 + «2)2
тенглик (барча дадидий сонлар туп-
ламида) айниятдир. Бу айният томон-
лари бутун сонлардан иборат булган
чексиз куп тугрибурчакли учбурчак-
лар ясаш имконини беради. Масалан,
т = 2, п=1 учун 324-42 = 52 тенг-
лик, т = 3, д = 2 учун 52+122=132
тенгликни оламиз.
m3-]-n3= (m+n)(m2-mfi + n2)
тенглик хам барча хадидий сонлар
тупламида айниятдир; ундан, хусу-
сан т ва п бутун сон булганда
т3 — п3 сонининг гп-рп га долдидсиз
булиниши келиб чидади.
А = В тенгликнинг айният булиш-
булмаслиги узгарувчиларнинг диймат-
лари дайси тупламдан олинишига
боглид. Масалан, \fx^=x тенглик
барча номанфий дадидий сонлар туп-
ламида айниятдир, бирод у барча да-
дидий сонлар тупламида айният эмас.
Одатда, узгарувчиларнинг мумкин
булган дийматлари туплами М сифа-
тида узгарувчиларнинг А ва В ифода-
Еш математик цомусий лугати
14
ларнинг хар иккиси маънога эга бул-
ган барча кийматлари туплами кд-
ралади. Бу келишув айниятлар билан
муомала кил и ш да маълум даражада
хушёрлик зарурлигини айтиб утамиз.
Масалан, бу келишувга кура, \Гх2 =
= (у/ х f ва (V х)~х тенгликлар
айниятдир, у/ х2 = х тенглик эса ай-
ният эмас. Агар Л ва В ифодалар
айнан тенг булса, купинча буни А = В
формула оркали ёзишади.
АКСИОМА
Дастлабки геометрик маълумот-
лар бизга кух,на даврлардан етиб
келган. Масалан, Кддимги Мисрнинг
математикага оид папирусларида,
эрамиздан олдинги 2000 й. га мансуб
Кддимги Бобилнинг миххат усулида-
ги жадвалларида тугри туртбурчак,
учбурчак, трапеция шаклидаги ер
майдонларининг юзини х,исоблаш
формулалари келтирилган".
Бошлангич геометрик билимларга
тажриба йули билан эришилган.
Мулохдзалар ёрдамида (исботлаш
йули билан) янги геометрик фактлар-
ни очиш Кддимги Юнон олими Фа-
лесдан бошланган (эрамиздан олдин-
ги VI а.). Тенг ёнли учбурчак хоссала-
рини аникдаш, вертикал бурчаклар
тенглигининг исботи, айланага ички
чизилган диаметрга тиралувчи бурчак-
нинг тугри бурчак булиши ва бошца
далил унинг номи билан боглик,. Тах-
мин цилинишича, Фалес шакл булак-
ларини буриш, чизма (шаклни) бу-
киш каби, яъни бугунги кунда силжи-
тишлар ёки харакатлар деб аталувчи
усулларни куллаган (к. Геометрик
алмаштиришлар).
Вакт утиши билан исботларнинг
геометриядаги ахамияти орта борди.
Эрамиздан олдинги III а. га келиб
геометрия дедуктив фанга, яъни куп-
чилик фактлари исботлаш, мулохаза
билан келтириб чикариш (дедукция)-
га асосланган фанга айланди. К,адим-
ги юнон олими Евклиднинг «Негиз-
лар» китоби шу даврга мансуб (к.
Евклид ва унинг «Негизлари»). Унда
параллелограмм ва трапецияларнинг
хоссалари исботланади, Пифагор тео-
ремаси келтирилади (к,. Пифагор тео-
ремаси), купбурчакларнинг ухшаш-
лиги урганилади ва бошца куплаб
геометрик далиллар царалади.
Китобда Евклид геометрияга аксио-
матик нуктаи назарини сингдиради.
Евклиднинг нуктаи назари куйидаги-
ча булган. Бирор теоремани олиб,
уни келтириб чицаришда аввал исбот-
ланган теоремаларнинг цайсиларидан
фойдаланганлигини куриб чицамиз.
Аввал исботланган бундай теорема-
ларнинг хар бири учун хам уз навба-
тида аввалрок келтириб чикарилган
содда далилларни ажратиш мумкин
ва б. Шу йулдан борилса, нихоят гео-
метриянинг урганилаётган барча тео-
ремаларини исботлашга имкон берув-
чи айрим далиллар туплами хосил
цилипади. Ажратиб олинган бу туп-
ламдаги далил шу цадар соддаки,
уларни хам исботлашга зарурият
колмайди. Улар аксиома (юнонча
«муносиб, кабул цилинган низом»ни
билдиради) лар деб аталди. Аксио-
маларнинг бутун туплами (система-
си) аксиоматика дейилади. Шундай
кили б, аксиомалар — геометриянинг
бошлангич далиллари, улар исботсиз
кабул килинади ва бу фаннинг бош-
ка барча натижаларини келтириб
чикаришга имкон беради. Аксиома-
лардан келтириб чикариладиган тас-
дикдар теоремалар деб аталади.
Евклид таърифлаган аксиомалар
орасида, масалан, куйидагилар бор:
«икки нукта оркали тугри чизик
утказиш мумкин»; «хар бири учинчи-
сига тенг нарсалар узаро тенг»; «агар
текисликда тугри чизик билан бу тугри
чизик ташкарисида ётувчи нукта бе-
рилган булса, текисликда бу нукта
оркали берилган тугри чизик билан
кесишмайдиган купи билан битта туг-
ри чизик утказиш мумкин» (аксиома-
лардан сунггиси — параллеллик ак-
сиомаси, у Евклидда бошкача таъриф-
ланган).
Аксиомалар геометриядагина эмас,
алгебрада ва бошка математика фан-
Аксиоматика
15
гарида кам мавжуд. Масалан, кушиш
за купайтириш хоссаларини ифо-
ааловчи
.~Ь — Ь фо,
- — (/?4-с)= (o4-fe)4-c,
.. — 0 = 0,
- — ( —о)=о,
..? = Ьа,
..1 bc)= (ab)c,
.-1=0,
• <' ) = 1, (а о),
и
. < •’> 4- с) = ab ос
генгликлар алгебрада аксиомалардир:
лар исботсиз кабул килинади ва
=нги далилларни келтириб чикариш
георемаларни исботлаш)да ишлати-
лади. Масалан, бу аксиомалар ёрда-
мида йигинди ва айирманинг квад-
?ат формулалари, купкадларни ку-
лайтириш коидалари, геометрик про-
грессия х,адларининг йигиндиси фор-
муласи ва б. исботланади.
Хар бир математика фанида аксио-
малар узок ва мураккаб тарихий
эивожланиш жараёнида вужудга ке-
лади. Дастлабки далиллар кишилар-
-:инг амалий фаолияти натижасида
тупланиб боради. Уларни текшири-
_1ади, аниклаштиришади, тартибга
„олишади. К,олган бошлангич далил-
лардан келтириб чикариш мумкин
?\лганларини чикариб ташлашади.
Баъзан эса энг содда фактлар (аксио-
малар) нинг тузилган руйхати чала,
чъни барча теоремаларни исботлаш
. чун етарли эмаслиги аникланиб ко-
лади. Бундай колларда руйхатга етма-
ётган аксиомалар кушилади. Натижа-
ла аксиомаларнинг туда туплами
аксиоматика) тузилади.
Евклиддан сунг математикларнинг
-.уплаб авлодлари унинг геометрия
аксиоматикасини такомиллаштириш-
~а. тулдиришга интилганлар. Бу со-
сала Евклиднинг замондоши Кддимги
-анон олими Архимеднинг ишлари
• атта роль уйнади. У геометрик мик-
лорларни улчашга оид аксиомаларни
таърифлаб берди. Евклид аксиомала-
рини Шарк олимлари, хусусан, Абу
Наср Форобий (X—XI а.), Умар
Хайём (X—XI а.) атрофлича тек-
ширди. Кейинги давр олимларидан
рус математиги Н. И. Лобачевский,
француз математиги М. Паш, итальян
математиги Д. Ж. Пеано геомет-
рия аксиоматикасининг такомилла-
шувига мух,им кисса кушди. Манти-
кий жихдтдан бекаму-куст геомет-
рия аксиомалари руйхатини XIX а.
охири ва XX а. бошида немис мате-
матиги Д. Гильберт курсатиб берди.
АКСИОМАТИКА ВА
АКСИОМАТИК МЕТОД
Аксиоматика — у ёки бу матема-
тика фанининг аксиомалари систе-
маси. Мисол учун, элементар гео-
метрия аксиоматикаси йигирмага
якин, сонлар майдонининг аксио-
матикаси 9 аксиомани уз ичига ола-
ди. Булар билан бир каторда замо-
навий математикада группа аксио-
матикаси, метрик ва вектор фазо-
лар (к. Вектор) аксиоматикалари ва
б. жуда мух,им роль уйнайди. Эх,ти-
моллар назариясини аксиоматик баён
килишда совет математиклари С. Н.
Бернштейн ва А. Н. Колмогоров хиз-
мати катта. Замонавий математика-
нинг унлаб йуналишлари кам аксио-
матика, яъни мутаносиб аксиомалар
системаси (аксиоматика) асосида ри-
вожланмокда.
Борликни урганишда аксиоматик
метод фан учун муким илмий асбоб-
дир. Х,озирги даврда математика, на-
зарий механика ва физиканинг купчи-
лик булимлари аксиоматик метод асо-
сида курилган. Математиканинг узида
аксиоматик метод тугал, мантикий
пухта илмий назария яратишга имкон
беради. Шунингдек, аксиоматик усул-
да яратилган математик назария ма-
тематиканинг бошца сокаларида, та-
биатшуносликда кайта-кайта татбик,-
к,а эга.
Замонавий математиканинг талай
ёш математик цомусий лугати
16
содаларида ихтиёрий табиатли эле-
ментлардан ташкил топган метрик фа-
золар дулланилади. Метрик фазода
дар бир а ва b элементлар жуфти
учун b) сони анидланган. У
а ва b орасидаги масофа деб аталиб,
дуйидаги уч аксиомадан иборат аксио-
матикани даноатлантиради:
1) jj(a, b)=j)(b, а)-,
2) ур(а, Ь)^о, бунда а = Ь булганда
ва фадат шу долдачр(а, Ь)=о;
3) р(а, b)^jj(a, c)+fi(b, с).
Математиканинг татбидларида
«нудталари» чизидлар, фигуралар,
космик кеманинг траекториялари,
заводнинг план топширидлари ва б.
булган метрик фазолар курилади.
«Аксиомалар энг олий на дамма нарсанинг ибти-
умумийликка моликдир досидир».
Аристотель
Метрик фазолар дадида бирор теоре-
ма исботланса (аксиомалар асосида),
айтиш мумкинки, у геометрия, алгеб-
ра, космонавтика, идтисод фани, уму-
ман, дайси содада метрик фазе учра-
са, у теорема яродлидир.
Маълум аксиоматик назарияни ри-
вожлантирар эканмиз, мулодазаларни
такрорлаб утирмай назариямизнинг
барча хулосаси аксиомалар уринли
булган дар бир долда кучга эга, деб
айта оламиз. Шу туфайли аксиоматик
метод аксиоматик усулда ривожлан-
тирилган бут-бутун назарияларни
илмнинг дар хил содаларига татбид
дилишга имконият яратади. Аксиома-
тик метод кучи дам худди шунда.
Хозирги даврда математиканинг би-
рор содасини аксиоматик тузишга
булган нудтаи назар дуйидагидан
иборат: биринчидан, бошлангич (таъ-
Аксиоматика
17
рифланмайдиган) тушунчалар санаб
чидилади; иккинчидан, аксиомалар
руйхати баён дилинади, улар ордали
бошлангич тушунчалар орасидаги
айрим боглидлик ва муносабатлар
урнатилади; учинчидан, таърифлар ёр-
дамида янги тушунчалар киритилади
ва туртинчидан, аксиомаларда
жамланган бошлангич фактлардан
махсус мантидий система билан янги
фактлар — теоремалар исботланади,
келтириб чидарилади. Бошлангич ту-
шунча ва аксиомалар тажрибадан
1-расм.
Уйинчи
Партия
. Партияда цатнашиш
олинади. Шунинг учун равшанки, бу-
лардан келтириб чидарилган кейин-
ги фактлар гарчанд соф мулодаза,
дедукция йули билан чидарилса-да,
даёт билан узвий богланган, уларни
кишилар амалий фаолиятида дуллай
олади.
Аксиомалар системасига дуйилади-
ган энг мудим талаб унинг зиддият-
сиз булиш шартидир. Буни шундай
тушунмод керак: мазкур аксиомалар-
дан данча теорема келтириб чидар-
майлик, улар орасида бир-бирига зид
икки теорема булмайди. Зиддий
аксиоматика мазмундор назария ду-
риш учун асос була олмайди.
Х,озирги замен математикасида
зиддиятсизлик масаласи дандай да-
ралишини туларод тушунтириш мад-
садида мисол келтирамиз. Бир неча
удувчи дуйидаги содда схема буйича
шахмат мусобадаси утказишга дарор
дилишди: дар бир датнашчи бошда-
лари билан роппа-роса уч партия
уйнаши керак (од ёки дора доналар
дуръа (чек) ташлаб танланади).
Мусобада жадвалини тузишни сира
уддалаша олмай, болалар удитувчига
ёрдам сураб мурожаат дилишди.
Удитувчининг илтимоси билан ёш
шахматчилар датнашчиларнинг уму-
мий сонини санашди: у тод сон бу-
либ чидци. Шунда удитувчи удувчи-
ларнинг мусобадага дуйган талабла-
рини аксиомалар тарзида баён дилиш-
ни масладат берди. Бунинг учун
учта бошлангич (таърифланмайди-
ган) тушунча: «уйинчи», «партия»,
«уйинчининг партияда датнашуви» ке-
рак булдй. Аксиомалар эса туртта
булиб чидди:
1-аксиома. Уйинчилар сони тод.
2-аксиома. Х,аР бир уйинчи уч
партияда датнашади.
3-аксиома. Х,ар бир партияда икки
уйинчи датнашади.
4-аксиома. \ар икки уйинчи узаро
фадат бир партияда датнаша олади.
Бу аксиомалардан датор теоремалар
чидариш мумкин. Улардан биринчиси-
ни намуна таридасида удитувчининг
узи таклиф дилди.
18
ёш математик цомусий лугати
1-теорема. Уйинчилар сони камида
бешта.
Исбот. Ноль жуфт сон булгани
учун, 1-аксиомага кура уйинчилар
сони нолдан фаркли, яъни кеч бул-
маганда битта А уйинчи мавжуд.
Бу уйинчи 2-аксиомага мувофик учта
партияда катнашади ха мда хар бир
партияда А дан ташкари яна бир
уйинчи иштирок этади (3-аксиома).
Бу партияларда катнашган А дан бош-
ка уйинчилар В, С, D булсин.
4-аксиомага кура В, С, D уйинчилар
бир-биридан фаркли (акс холда, маса-
лан, В —С булса, А уйинчи билан
В = С уйинчи катнашган партия икки-
та булар эди). Демак, биз турт уйин-
чи А, В, С, D ни топдик. Лекин
бу холда 1-аксиомага кура уйинчи-
лар сони камида бешта.
Куйидаги теоремани укувчилардан
бири исботлади. Бунинг учун у янги
тушунча киритди: агар q — бирор
партия, А эса унда катнашган уйин-
чидан бири булса, (q, А) жуфтликни
катнашув деб атаймиз.
2-теорема. Барча катнашувлар сони
жуфт сон дир.
Исбот. Агар q партияда Л ва В
уйинчи катнашса, биз иккита катна-
шув: (q, А) ва iq, В) ни хосил киламиз,
яъни хар бир партия бизга роппа-
расо иккита катнашувни беради
(3-аксиома). Демак, барча катнашув-
лар сони жуфт, зеро у барча партия-
лар сонидан икки марта катта.
Бирок бошка укувчи юкоридагига
зид теоремани исботлади.
3-теорема. Х,амма катнашувлар со-
ни ток сондир.
Исбот. 2-аксиомага биноан А уйин-
чи айнан уч партияда катнашади,
айтайлик, q\, q2, qs- Бу эса учта кат-
нашув хосил килади: (qt, Д), (q2, А\
(qs, Д). Бу ердан барча катнашув-
лар сони Зп га тенглиги ' келиб
чикади (п— уйинчилар сони). 2-ак-
сиомага кура п ток булгани учун
Зп хам ток сондир.
Шундай килиб, кабул килинган
аксиоматика катор теоремаларни
исботлашга имконият беради, лекин
улар орасида бир-бирига зиддари бор.
Бу эса каралаётган аксиоматика зид-
дий эканлигини, яъни мусобака таш-
килотчиларининг талаблари бирга-
ликда бажарилиши мумкин эмасли-
гини билдиради (1-расм). Болалар
мусобака жадвалини туза олмаган-
лиги ажабланарли эмас: бунака жад-
вал мутлако булиши мумкин эмас.
Шундан сунг укитувчи мусобака
утказишнинг бошка системасини так-
лиф килди. Унда хар бир катнашчи
бошкалар билан уч эмас, турт партия
Аксиоматика
19
уинаши керад. Илмий тилда айтилса,
у бошлангич тушунчалари аввалги-
ча, аксиомалари эса куйидагича бул-
ган «назария»ни дуришга уннади:
1-аксиома. Уиинчилар сони ток,.
2-аксиома. Х,ар бир уйинчи турт
партияда датнашади.
3-аксиома. Х,ар бир партияда икки
уйинчи иштирок этади.
4-аксиома. Хар икки уйинчи узаро
фадат бир партияда учрашади. Энди
укувчилар яна зиддиятга йулидмас-
лик учун бу аксиомалардан теорема-
лар чидаришга шошмадилар. Удитув-
чи эса болаларни шунга ишонтир-
лики, бу аксиомалардан данча теоре-
ма келтириб чидарманг, деч дачон
зиддият досил булмайди. Бунга уди-
тувчи мана бундай дилиб эришди.
Туддизбурчак олиб, унинг томонла-
рини дамда биттадан учини ташлаб
утказиладиган туддизта диагоналини
чизамиз (2-расм). Туддизбурчак уч-
лари — «уйинчилар», утказилган кес-
малар (томонлар ва диагоналлар)-
ни — «партиялар», бу кесмалар учла-
ри — уйинчининг партияда «датнашу-
ви» деб дисоблаймиз. Натижада биз-
ни дизидтираётган мусобаданинг мо-
дели (ёки схемаси) ни досил диламиз.
Бу ерда турт аксиоманинг барчаси
уринли булишини текшириш енгил.
Хуллас, барча даралаётган аксиома-
«Математика аксиомала- гафаккур таърифлари-
ри — математикада бош- дир».
лангич пункт сифатида Энгельс
iapyp булгаи оз сонли
лар бажариладиган модель куришга
муваффад булдик. Шу билан бирга,
бу модель геометрия, яъни зиддий
эмаслиги биз учун шубдасиз булган
фан «материали»дан дурилди.
Энди курилаётган турт аксиомадан
бир-бирига зид икки теорема чидарил-
ди, деб фараз дилайлик. У долда бу
идки теореманинг исботларини дурил-
ган моделда дам такрорлаш мумкин
(равшанки, бу моделда туртала
аксиома дам уринли). Натижада
мунтазам туддизбурчак дадида муло-
даза юритиб, биз узаро зид икки
теорема досил дилган булардик. Бу
эса геометрия — зиддий фан, дейишга
олиб келарди, бундай хулосага рози
20 Еш математик
була олмаймиз. Шундай килиб, биз
кураётган турт аксиомадан бири-би-
рига зид икки теорема келтириб
чикариш мутлако мумкин эмас, деб
эътироф этишимиз лозим.
Умуман, иккита — Р ва Q наза-
риялар курилаётган булсин хамда
Р назария аксиоматик тарзда берил-
ган булиб, унинг зиддий эмаслиги-
га олдиндан ишонмайлик, Q эса бизга
яхши таниш назария булиб, унинг
зиддий эмаслиги биз учун шубхасиз
булсин. Агар Q назариянинг «мате-
риали»дан Р назариянинг барча
аксиомалари бажариладиган модель
кура олсак, шу билан Р назариянинг
зиддий эмаслиги хам урнатилди, деб
хисоблаймиз.
Х,озир математикада геометрия (Р
назария) нинг зиддиятсизлиги худди
шу йул — модель куриш билан урна-
тилган, бунда хакикий сонлар наза-
рияси (Q) нинг зиддиятсизлигига
асос килиб олинган. Сунг, хакикий
сонлар назариясининг зиддий эмас-
лиги рационал сонлар назарияси зид-
дий эмас деган фараз билан, ва ни-
хоят, рационал сонлар назарияси
зиддиятсизлиги эса натурал сонлар
назарияси зиддиятдан холи деган фа-
раз билан исбот килинган.
АЛГЕБРА
Алгебра — математиканинг бир
кисми ва у турли микдорлар устида
амалларни хамда ана шу амаллар би-
лан бог-лик булган тенгламаларни
ечишни ip’ ьиади.
Ушбу ма . 'зни ечайлик: «Уч ога-
ининиш ’ . ;•! 30, 20 ва 6 да. Неча
йилдан суш эяг каттасининг ёши
иккала уклеи ёшларининг йигиндиси-
га тенг булади?». Изланаётган йиллар
сонини х билан белгилаб, тенглама
тузамиз: 30 -ф х = (20 -ф х) Ц- (6 -фх),
бундан х = 4. Масаланинг келтирилган
ечимига якин усул э. а. икки мингии-
чи йилларда Кддимги Мисрда маъ-
лум эди (аммо улар харфий белги-
цомусий лугати
лардан фойдаланишмаган). Бизгача
етиб келган математик папируслар-
да ога-иниларнинг ёшлари билан бог-
лик булган биринчи даражали тенгла-
маларга олиб келадиган масалаларги-
на эмас, балки ах2 = Ь (к- Квадрат
тенгламалар) куринишдаги тенглама-
ларга олиб келувчи масалалар хам
бор.
Э. а. II мингйиллик бошида кадим-
ги бобилликлар янада мураккаброк
масалаларни еча олишган. Сополдан
ясалган тахтачаларга миххат билан
ёзилган математик текстларда квад-
рат ва биквадрат тенгламалар. икки
номаълумли тенгламалар системала-
ри, хатто содда кубик тенгламалар
хам бор. Бобилликлар. хам харфий
белгилардан фойдаланишмаган. Улар
«типик» масалаларнинг ечимларини
келтиришган. Ухшаш масалаларнинг
ечимлари олдинги ечимдаги сонларни
алмаштириш билан хосил килинган.
Айний алмаштиришларнинг баъзи
коидалари эса сонлар ёрдамида бе-
рилган. Агар тенгламани ечишда аник
квадрат булмаган а сонидан квадрат
илдиз чикариш лозим булса, х илдиз-
нинг такрибий кийматини топиш-
ган: х ни а га булиб, х ва а/ х сонлари-
нинг урта арифметигини олишган.
Айний алмаштиришлар хакидаги
биринчи умумий тасдиклар э. а. VI а.
бошларида яшаган кадимги юнон ма-
тематикларида учрайди, улар барча
алгебраик жумлаларни геометрик
куринишда ифодалашар эди. Сонлар-
ни кушиш урнига кесмаларни кушиш-
ни, икки соннинг купайтмасини тугри
гуртбурчакнинг юзи деб, учта соннинг
купайтмасини эса тугри бурчакли па-
раллелепипеднинг хажми деб тушун-
тирар эдилар. Алгебраик формулалар
юзалар ва хажмлар орасидаги муно-
сабатлар куринишини оларди. Маса-
лан, икки кесманинг йигиндисига
ясалган квадратнинг юзаси шу кесма-
ларга ясалган квадратлар юзалари
йигиндисини уша кесмаларга ясалган
тугри туртбурчак юзининг икки бара-
варга орттирилганига тенг, дер эдилар.
«Соннинг квадрати» (яъни микдор-
нинг уз-узига купайтмаси), «Соннинг
Алгебра
21
Итальян олимлари А.-М.
Фяоре ва Н. Тарталья
ьртаскдаги бадснн шун-
_ан тасаввур килиш мум-
чн.
куби», «Урта геометрик» терминлари
. ша даврдан колган. Юнонларда квад-
рат тенгламани ечиш дам геометрик
шакл олган: тугри туртбурчак томон-
ларининг периметри ва юзаси буйича
унинг томони изланган.
К,адимги Юнонистонда купгина
масалалар циркуль ва чизгич ёрдами-
да ясаш йули билан ечилар эди (к.
Геометрик ясашлар). Аммо дамма ма-
салаларни дам ана шундай йул билан
ечиб булмас эди. Масалан, кубни
иккилаш, бурчак трисекцияси, мун-
тазам еттибурчак ясаш (к. Крдим-
ги классик масалалар) каби масала-
лар «ечилмас» эди. Улар мос равишда
х3 = 2, 4х3— Зх=а ва х3фг— 2х—
—1=0 куринишдаги кубик тенгла-
маларга келтирилар эди. Бундай маса-
лаларни ечиш учун конус кесимлари
(эллипс, парабола ва гипербола) нинг
кесишиш нукталарини излаш билан
боглид булган янги метод ишлаб чи-
К.ИЛДИ.
Алгебраик муаммоларга геометрик
ёндошув фаннинг кейинги ривожини
чегаралаб дуярди, масалан, турли ул-
чамли микдорлар (узунлик ва юзани
ёки юза ва дажм)ни душиш мумкин
эмас эди, учтадан ортид купайтув-
чи дадида гапириб булмас эди ва б.
Геометрик баённи рад этиш III а. да
яшаган Искандариялик Диофантда
учрайди. Унинг «Арифметика» номли
китобида дарфий белгиларнинг ибти-
доси ва 6-даражагача номаълумлар
учун махсус белгилар бор. Унда
манфий курсаткичли даражалар, ман-
фий сонлар, шунингдек, тенглик, мус-
бат ва манфий сонларни купайти-
риш доидаларини дисдача ёзиш учун
белгилар бор эди (аммо дали душиш
учун махсус белги йуд эди).
Алгебранинг дейинги ривожига
Диофант урганган алгебраик тенгла-
маларнинг мураккаб системаларига
олиб келувчи мисоллар кучли таъсир
курсатди.
Бу системалар орасида тенгламала-
рининг сони номаълумларининг сони-
дан камлари дам бор эди. Диофант
бундай тенгламаларнинг фадат мусбат
рационал ечимларини излади (д.
Диофант тенгламалари).
VI а. дан бошлаб математик
таддидларнинг мардази Хиндистон
ва Хитой, Ядин Шард ва Урта
Осиё мамладатларига кучди. Хитой-
лид олимлар чизидли тенгламалар
системасини ечиш учун номаълумни
кетма-дет йудотиш (д. Номаълумни
йуцотиш) методини ишлаб чидишди
дамда юдори даражали тенгламалар-
ни тадрибий ечишнинг янги методини
баён дилишди. Хинд математиклари
манфий сонлардан фойдаландилар
ва дарфий белгиларни мудаммал-
22
Еш математик цомусий лугати
лаштирдилар. Аммо алгебра тенгла-
маларни ечиш масалалари билан бог-
лик, муаммоларни баён этувчи мате-
«Алгебра микдорлар ора-
сидаги ннсбатни белги-
лашга мослаштирнлган
математик тилдан узга
парса эмас».
И. Ньютон
матиканинг махсус тармоги сифатида
Я к,ин Шарк ва У рта Осиё олим-
лари ишларида шаклланди. IX а. да
узбек математиги ва астрономи
Мудаммад Ибн Мусе ал-Хоразмий
«Ал-жабр вал-мукобала» рисоласини
ёзди. Бу асарида Хоразмий чизикли
тенгламаларни ечишнинг умумий кои-
дасини берди ва квадрат тенглама-
ларни синфларга ажратиб, дар бир
синф учун ечиш йулларини курсатди.
«Ал-жабр» (тиклаш) сузи тенглама-
даги манфий дадларни унинг иккин-
чи дисмига ишорасини узгартириб
олиб утишни билдиради. Янги фан
«Алгебра»нинг номи уша «ал-жабр»
сузидан олинган. Шарк олимлари гар-
чанд илдизлари учун умумий формула
топа олмаган булсалар-да, куб тенгла-
маларни ечишни дам урганганлар.
Барбий Европада алгебра XIII а. да
Алгебра
анила бошлади. Уша даврнинг
р ик математиги — италиялик Лео-
ардо Пизанский (Фибоначчи) (тах.
1170—1228 й.) эди. Унинг «Абак ки-
эби» (1202) номли рисоласида ариф-
метика ва алгебрадан (квадрат тенг-
лаларгача) маълумотлар берилади
<к. Фибоначчи сонлари). XVI а. да
арбий Европа олимларининг бирин-
йирик мустакил ютуги куб тенг-
_маларни ечиш формуласининг
_шф этилишидир. Бу итальян алгеб-
: зчилари — С. дель Ферро, Н. Тар-
талья ва Ж. Карданоларнинг хизма-
та. Карданонинг шогирди Л. Ферра-
и туртинчи даражали тенгламани
хам ечди (к,. Алгебраик тенглама).
Куб тенглама илдизлари билан бог-
лик. баъзи масалаларни урганиш
итальян алгебрачиси Р. Бомбеллини
мплекс сонларни кашф этишга
олиб келди.
Кулай ва яхши такомиллашган
бе лги л ар нинг йудлиги алгебранинг
ейинги ривожланишига тусдинлик
килар эди, энг мураккаб формулалар
хам сузларда ифодаланар эди. XVI а.
охирида француз математиги Ф. Виет
номаълумлар учунгина эмас, балки
ихтиёрий узгармаслар учун дам дар-
фий белгиларни киритди.
Виетнинг белгилари купгина олим-
лар томонидан мукаммаллаштирил-
ган. XVII а. бошларида француз фи-
лософи ва математиги Р. Декарт
бу белгиларни дозирги куринишга
келтирди, датто даража курсаткичи
учун (дозир дам ишлатилаётган)
белгилашларни киритди.
Шундай дилиб, аста-секин амаллар
бажариш мумкин булган сонлар гам-
ламаси кенгайиб борди. Манфий
сонлар уз дудудига эга булди, кейин
эса комплекс сонлар уз дудудини
топди, олимлар иррационал сонларни
татбид дила бошладилар (д. Сон).
Сонлар гамламасининг кенгайиши-
га дарамай, улар учун олдин урна-
тилган алгебраик алмаштириш дои-
далари уз кучида долган эди. Нидоят,
Декарт алгебрани унга хос булмаган
геометрик шаклдан халос этди. Бу
23
тадбирларнинг даммаси тенгламалар-
ни ечиш масаласини энг умумий
долда к^фиш, тенгламаларни геомет-
рик масалаларни ечишга татбид ди-
лиш имконини яратди. Масалан, икки
чизиднинг кесишиш нудталарини из-
лаш чизидларнинг ана шу нудталари
даноатлантирадиган тенгламалар сис-
темасини ечишга келтирилди. Геомет-
рик масалаларни бундай ечиш методи
аналитик геометрия номини олди.
Х,арфий белгиларнинг ривожлани-
ши алгебраик тенгламаларга тегишли
умумий доссаларни урганиш имко-
нини берди, масалан: Р{с) купдаднинг
х — а икки дадга булиниши дадидаги
Безу теоремаси (бунда а — купдад-
нинг илдизи), тенглама илдизлари
билан унинг коэффициентлари ора-
сидаги Виет муносабати; тенглама
дадидий илдизлари сонини бадолашга
имкон берувчи доида; тенгламалар
системасидаги номаълумларни йудо-
тишнинг умумий методи ва б.
XVIII а. да чизидли тенгламалар
системаларини ечиш айнидса илгор-
лаб кетди. Улар учун ечимни коэффи-
циентлар ва озод дадлар ордали ифо-
да этишга имкон берувчи формула-
лар яратилди. Бундай системаларни
урганиш натижаси матрицалар ва
детерминатлар назариясини яратишга
олиб келди.
XVIII а. охирида комплекс коэффи-
циентли ихтиёрий алгебраик тенгла-
ма деч булмаганда битта комплекс
илдизга эга булиши исботланди.
Бу тасдид алгебранинг асосий теоре-
маси деб юритилади.
Икки ярим аср давомида алгебра-
чиларнинг диддат-эътибори бешинчи
даражали умумий тенгламани ечиш
формуласини келтириб чидариш маса-
ласига даратилди. Арифметик амал-
лар ва илдиз чидариш ёрдамида бу
тенглама илдизларини унинг коэффи-
циентлари ордали ифодалаш (тенгла-
мани радикалларда ечиш) лозим эди.
XIX а. бошида италиялик П. Руффини
ва норвегиялик Н. Абель бир-биридан
хабарсиз бундай формуланинг мавжуд
эмаслигини исботладилар. Бу тад-
24
Еш математик цомусий лугати
кикларни француз математиги Э. Га-
луа якунлади. Унинг методи берил-
ган х,ар бир тенгламани радикаллари-
да ечиш мумкинми ёки йук,ми де-
ган саволга жавоб беришга имкон
беради. Йирик математиклардан бири
К. Гаусс кандай шартларда циркуль
ва чизгич ёрдамида мунтазам п —
бурчак ясаш мумкинлигини аниклади.
Бу масала хп= 1 тенглама илдизла-
рини урганиш масаласи билан боглик
экан. Агар п Ферманинг туб сони ёки
турли Ферма туб сонларининг купайт-
масидан иборат булсагина масала
ечимга эга экан. (22"Г1 куринишда
ифодалаш мумкин булган туб сонлар
Ферма туб сонлари дейилади; хозир
ана шундай бештагина туб сон маъ-
лум: 3. 5, 17, 257, 65537.) Шундай
килиб, ёш студент (бу вацтда Гаусс
19 ёшда эди) олимлар икки минг
йилдан ортик, самарасиз шугулланган
масалани хал килди.
XIX а. бошида тараккиётининг
биринчи минг Йили давомида алгеб-
ра олдида турган асосий масалалар
хал килинади. У геометрик тушунча-
ларга таянмайдиган мустакил асосга
эга булди. Бундан ташкари, алгебраик
методлар геометрик масалаларни
ечишга татбик этила бошлади.
Рационал ва иррационал ифодалар-
ни харфий хисоблаш коидаси ишлаб
чикилди, тенгламаларни радикалларда
ечишнинг мумкин ёки мумкин эмас-
лиги масаласи хал этилди ва комплекс
сонларнинг катъий назарияси яратил-
ди. Юзаки Караганда, энди матема-
тиклар алгебраик тенгламаларнинг
янги-янги синфларини ечишлари,
янги алгебраик айниятларни исбот-
лашлари ва б. лозимдек туюлиши
мумкин эди. Аммо, алгебра ривожи
бошка йулдан борди: у харфий хи-
соблашлар ва тенгламалар хакидаги
фандан амаллар ва уларнинг хос-
салари хакидаги умумий фанга айлан-
ди.
Комплекс сонлар назарияси яра-
тилганидан кейин «гиперкомплекс
сонлар» — бир неча «мавхум бирлик-
ли» сонларнинг мавжудлиги хакидаги
масала пайдо булди. a-\-bi-\-cj-\-dk
(бунда i2 = j'2 = k'2 = — 1) куриниш-
даги ана шу сонлар системасини
1843 й. ирландиялик математик У.
Гамильтон тузди ва уларни «кватер-
нионлар» деб атади. Кватернионлар
устидаги амаллар оддий алгебрадаги
коидаларни эслатади, аммо уларни ку-
пайтириш коммутативлик (урин ал-
маштириш) коидасига эга эмас:
масалан, ij = k, ji——k.
Хоссалари жихатидан айрим хол-
лардагина арифметика хоссаларини
эслатувчи амаллар билан XIX а.
математиклари бошка масалаларда
хам дуч келишди. 1858 й. англия-
лик математик А. Кэли матрица-
ларни купайтиришнинг умумий ама-
лини киритди ва унинг хоссаларини
текширди. Илгари урганилган жуда
куп амалларни хам матрицаларни
купайтиришга келтириш мумкин экан.
Англиялик мантик олими Ж. Буль
XIX а. урталарида берилган икки
мулохазадан учинчи мулохазани ту-
зишга имкон берувчи амалларни ур-
гана бошлади. XIX а. охирида эса
немис математиги Г. Кантор туп
ламлар устида бирлашма, кесиш-
ма ва б. амалларни киритди. Муло-
хазалар устида амаллар хам, туп-
ламлар устида амаллар хам коммута-
тивлик (урин алмашувчанлик), ассо-
циативлик (группалаш) ва дистрибу-
тивлик (таксимот) хоссаларига эга
экан. Аммо уларнинг баъзи хоссала-
ри сонлар устидаги амалларнинг хос-
саларига ухшамайди.
Шундай килиб, XIX а. давомида
математикада турли алгебралар ву-
жудга келди: одатдаги сонлар алгебра-
си, комплекс сонлар, кватернионлар,
матрицалар, мулохазалар, тупламлар
ва б. алгебраси. Уларнинг хар бири
уз коидаларига, уз айниятларига
эга, тенгламаларни ечишнинг уз ме-
тодларига эга эди. Бунда баъзи хил
алгебралар учун коидалар жуда ух-
шаш эди. Масалан, рационал сон-
лар алгебрасининг коидалари хаки-
кий сонлар алгебраси коидалари-
дан фарк килмайди. Шу сабабли хам
Алгебра
харфларнинг рационал кийматлари
учун VI синфда аникланган формула-
лар уша харфларнинг хар кандай
хакикий (хатто хар кандай комплекс)
кийматлари учун хам тугри экан. Му-
лохазалар алгебрасининг коидалари
билан тупламлар алгебраси коида-
лари бир хил экан. Буларнинг хам-
маси абстракт композиция тушунча-
сини, яъни бирор х тупламнинг
хар бир (т, Ь) жуфтига уша туплам-
нинг учинчи с элементики мос ку-
ювчи амални яратишга олиб келди.
Натурал сонларни, шунингдек ихти-
ёрий бутун сонларни, рационал, ха-
кикий хамда комплекс сонларни ку-
25
шиш ва купайтириш, матрицаларни
купайтириш, бирор U туплам кием —
тупламларининг кесишмаси ва бир-
лашмаси ва б. хам композициялар-
дир. Натурал сонлар тупламида айи-
риш ва булиш композиция эмас,
чунки айирма ва булинма натурал сон
булмаслиги мумкин.
Турли хил композицияларнинг
хоссаларини урганиш натижасида
алгебранинг асосий вазифаси —амал-
ларнинг хоссаларини, улар татбик
этилаётган объектларнинг табиатидан
катъий назар, урганишдан иборат
деган, фикрга олиб келди.
Бошкача килиб айтганда алгебра
Еш математик цомусий лугати
26
композициялар конунларининг хос-
салари, амаллар хоссалари хакидаги
умумий фан сифатида к,арала бош-
ланди. Бунда кар бири компози-
ция билан таъминланган икки туп-
лам орасида композициянинг бир ко-
нунини иккинчи конунга утказувчи
узаро бир кийматли мослик урнатиш
мумкин булса, алгебра нуктаи-наза-
ридан бу тупламлар айний (яъни
«изоморф») деб саналадиган булди.
Агар композицияли икки туплам изо-
морф булса, у холда биз улардан
бирини урганиб, иккинчисининг хам
алгебраик хоссаларини биламиз.
Композиция конунлари билан таъ-
минланган турли хил тупламлар
мажмуи жуда куп булганидан, бир-
бирига изоморф булмаса хам компо-
зициянинг умумий хоссаларига эга
буладиган турлари ажратилган. Маса-
лан, рационал, хакикий ва комплекс
сонлар тупламларида кушиш ва ку-
пайтириш амалларининг хоссаларини
урганиб, математиклар умумий май-
дон тушунчасини яратдилар. Май-
дон — юкоридаги икки амал аник-
ланган ва уларнинг одатдаги хосса-
лари бажариладиган туплам.
Матрицаларни купайтириш амали-
ни текшириш алохида группа тушун-
часини ажратишга олиб келди. Бу
тушунча хозир на факат алгебрада,
балки бутун математикада мухим ту-
шунча хисобланади.
Х,озирги кунда алгебра фанларнинг
Алгебрами тенглама
бутунлай назарий сохалари билан бир
каторда купгина амалий масалаларга
хам татбик, этиладиган математика-
нинг мухим кисмларидан биридир.
АЛГЕБРАИК ТЕНГЛАМА
Р (хц ...хп ) = 0 куринишидаги
тенглама, унда Р бир ёки бир неча
х , ...хп узгарувчиларнинг купхади.
v , ...х„ лар номаълумлар дейилади.
Агар А'1 нинг урнига а.\, х2 нинг урнига
д. ва х- к- куйганда тугри тенглик хо-
сил булса, fli,..., ап сонларнинг тартиб-
ланган ( й2, —ап ) термаси Р ( хь
.... хп ) = 0 тенгламани каноатланти-
ради дейилади (масалан, тартиблан-
ган учлик (3, 4, 5) х2 + у2 = г2 тенг-
ламани каноатлантиради, чунки З2 -ф
— 4" = 52). Бир номаълумли алгебра-
ик тенгламани каноатлантирувчи сон
ту тенгламанинг илдизи дейилади.
Берилган тенгламани каноатлантирув-
чи барча сонлар термалари туплами бу
тенгламанинг ечимлари туплами дейи-
лади. Агар иккита алгебраик тенгла-
манинг хар бир ечими иккинчисининг
ечими ва аксинча булса, ёки иккала
тенглама ечимга эга булмаса, бу тенг-
ламалар тенг кучли дейилади. Р куп-
хаднинг даражаси Р (х\, ...хп ) — О
тенгламанинг даражаси дейилади.
Масалан, Зх — 5у -ф z = 0 — бирин-
чи даражали тенглама, х2 ф у2 = z2—
иккинчи даражали, х4 — Зх2 ф- 1=0
эса туртинчи даражали тенгламадир.
Биринчи даражали тенгламалар чи-
зикли тенгламалар дейилади. Бир но-
маълумли алгебраик тенгламанинг ил-
дизлари сони чекли. Алгебраик тенг-
ламада номаълумлар сони икки ёки
ундан ортик булса, бундай тенглама
ечимлари туплами сонлар термалари-
нинг чексиз тупламини ташкил кили-
ши мумкин. Шунинг учун, одатда,
номаълумли алгебраик тенгламалар
алохида каралмасдан, бундай тенгла-
маларнинг системаси каралади ва
берилган системанинг барча тенгла-
маларини бир вактда каноатлантира-
27
диган сонлар термалари кидирилади.
Шундай барча термалар туплами
системанинг ечимлари тупламини хо-
сил килади. Масалан, х2 ф у2 = 10,
х2 — у2 = 8 тенгламалар системаси-
нинг ечимлари { (3; 1), (3;—1), (—3;
1), (—3;—1) }. Кддимги Миер ва Бо-
билда биринчи даражали бир номаъ-
лумли алгебраик тенгламаларни еч-
ганлар. Бобиллик мирзалар квадрат
тенгламаларни хам, чизикли ва иккин-
чи даражали тенгламаларнинг энг сод-
да системаларини хам ечишни билиш-
ган. Улар махсус жадваллар ёрдами-
да баъзи учинчи даражали тенглама-
ларни, масалан, х3 -ф х = а тенгла-
мани еча олишган. Кддимги Юнонис-
тонда квадрат тенгламаларни геомет-
рик ясашлар ёрдамида ечишган. Юнон
математиги Диофант (III а.) куп но-
маълумли алгебраик тенгламаларни ва
бундай тенгламалар системасини ра-
ционал сонларда ечиш методларини
ишлаб чикди. Масалан, х4 — у'Ь
ф г4 — п2 тенгламани, у' -ф х2 =
= и2, z~ -ф х2 = v2 тенгламалар
системасини рационал сонларда ечган
(к- Диофант тенгламалари). Кубни
иккилантириш, бурчак трисекцияси
(К- К,адимий классик масалалар),
мунтазам еттибурчак ясаш каби гео-
метрик масалалар куб тенгламани
ечишга келтирилиб, конус кесимлари
(эллипс, парабола, гипербола)нинг
кесишиш нукталарини топиш талаб
килинади. У рта аср Шаркининг ма-
тематиклари геометрик методлардан
фойдаланиб, куб тенгламалар ечим-
ларини тадкик килганлар. Бирок куб
тенгламалар ечимлари формуласини
келтириб чикаришга улар муваффак
булмадилар. Барбий Европа матема-
тикасининг биринчи йирик кашфиёти
куб тенглама илдизларини топиш
формуласи булди. Бу формула XVI
а. да олинди. У вактларда хали ман-
фий сонлар математикада кенг тар-
калмагани учун х3 ф рх = q, xa ф
ф q = рх каби тенгламаларни алохи-
да тахлил килишга тугри келди.
Итальян математиги С.дель-Ферро
(1465—1526) х3 рх — q тенглама-
ни ечди ва ечимни уз куёви ва
28 Еш математик
шогирди А.-М. Фиорега маълум к,ил-
ди, у эса ажойиб математик Н. Тар-
тальяни (1499—1557) математик тур-
нирга (мусобадага) чадирди. Тар-
талья математиками мустакил урган-
цомусий лутати
ган эди. Турнирдан бир неча кун ол-
дин Тарталья куб тенгламаларни
ечишнинг умумий методини топди ва
турнирда берилган 30 та масаланинг
хдммасини ечиб, ютиб чикди. Бирок,,
Алгебраик тенглама
29
— рх + Я — 0 тенгламанинг ечими
. <ун Тарталья топган _
— формула унинг узи
томонидан чоп этилмади. Бу форму-
лани Тартальядан сураб билган италь-,
Еш математик цомусий лугати
30
ян Ж. Кардано (1500—1576) чоп
эттирди. Уша вактларда Карданонинг
шогирди Л. Феррари (1522—1565)
туртинчи даражали тенгламанинг ечи-
мини топди.
Алгебраик белгиларнинг яратилиши
ва сон тушунчасининг комплекс сон-
ларгача умумлаштирилиши XVII-
XVIII а.да юкори даражали алгебраик
тенгламаларнинг хамда бир ва бир не-
ча узгарувчили купхадларнинг умумий
хоссаларини тадкик килиш имконини
берди; алгебраик тенгламалар наза-
риясининг энг мухим масалаларидан
бири — 5-даражали тенглама ечими
формуласини топишга уриниш булди.
Алгебрачилар куп авлодининг изла-
нишлари натижасиз булди. XVIII а.
француз олими Ж. Лагранж (1736-
1813), итальян олими П. Руффини
(1765-1822) ва норвег математиги
Н. Абель тадкикотларида 5-даражали
ихтиёрий тенглама илдизларини шу
тенгламанинг коэффициентлари ор-
кали — факат арифметик амаллар ва
илдиз чикариш амалидан фойдаланиб
ифодаловчи формула мавжуд эмасли-
ги исботланди. Тадкикотларга Э. Га-
луа назарияси якун ясади, Бу назария
ихтиёрий тенглама учун унинг илдиз-
лари шу тенглама коэффицентлари
оркали радикалларда ифодаланадими
ёки йукми деган са волга жавоб бера
олади. Бундан аввалрок К. Ф. Гаусс
х"—1 тенглама илдизларини квадрат
радикалларда ифодалаш муаммосини
хам хал килган эди. Мунтазам л-бур-
чакни циркуль ва чизгич ёрдамида
ясаш масаласи х" — 1=0 тенгламага
келтирилади. Хусусан, бу сабаблар
ёрдамида мунтазам етти бурчак, тук-
киз бурчак ва х-к- ясаш мумкин
эмас — бундай ясашлар п сони 2 /г ’н
куринишидаги турли туб сонлар ку-
пайтмасидан иборат булсагина мум-
кин.
Тайин тенгламаларнинг ечимлари
формулаларини излаш билан бирга,
ихтиёрий алгебраик тенглама илдиз-
ларининг мавжудлиги хакидаги маса-
ла хам тадкик килинди.
XVIII а.да француз философи ва
математиги Ж. Д’Аламбер даражаси
нолдан катта комплекс коэффициент-
ли ихтиёрий алгебраик тенглама ка-
мида битта комплекс илдизга эга бу-
лишини исботлади. Д’Аламбер исбо-
тидаги мавжуд камчиликларни кейин-
чалик Гаусс тузатди. Бу теоремадан х
нинг п-чи даражали ихтиёрий купхади
п та чизикли купайтувчининг купайт-
масига ёйилиши келиб чикади.
Хозирги вактда алгебраик тенгла-
малар системаси назарияси математи-
канинг алгебраик геометрия деб ата-
ладиган мустакил сохасига айланди.
Алгебраик геометрияда алгебраик
тенгламалар системаси ёрдамида бе-
риладиган чизиклар, сиртлар ва юкори
улчамли курама фазолар урганилади.
АЛГОРИТМ
Алгоритм — берилган маълумот-
лардан изланаётган натижага утиш
жараёнини курсатиб берувчи аник
коида (курсатма). К,оида алгоритм
булиши учун куйидаги учта хоссага
эга булиши зарур:
аниклик, яъни ихтиёрийликка урин
колдирмайдиган, хаммага тушинарли
ва тайинлилик хоссаси; оммавийлик,
яъни берилган маълумотлар маълум
чегараларда узгариш имкониятига эга
булиш хоссаси; самарадорлик, яъни
изланаётган натижага эришишга
йуналганлик хоссаси.
Берилган муайян коида алгоритм
булиш-булмаслигини аниклаш учун
санаб утилган хоссалар бутунлай
етарли. «Бориб кур; йук булса, топ;
бор булса, олиб кел» кабилидаги жум-
лалар алгоритм эмаслиги равшан.
Ошпазлик китобидан олинган турли
хил рецептлар математик характерда
булмаса хам алгоритмга мисол була
олади. Бутерброд тайёрлаш алгорит-
мини караймиз. Дастлабки маълумот-
лар: нон (ок, кора), егулик (яхна
гушт, пишлок, колбаса, сариёг). Ку-
тилган натижа: бутерброд (устига
сариёг ёки орасига бошка егулик ку-
йилган нон булаги). Фармойиш:
а)егулик булагини олиш; б) нон була-
Алгоритм
гини олиш; в) егулик булагини нон бу-
лагининг устига куйиш. Бу фармойиш
алгоритмнинг учала хоссасига хам эга
булишига осонгина ишонч хосил к,и-
лиш мумкин:
аникдик (бир булак олиш ва уни ик-
кинчи булак устига куйишни бажариш
хаммага маълум);
оммавийлик (нон ок ёки кора були-
ши, махсулот — колбаса, пишлок, ях-
на гушт, сариёг булиши мумкин);
самарадорлик (курсатма бажарил-
са, кутилган натижа — бутерброд ко-
сил булади).
Бунда а) ва б) пунктларнинг кай
тартибда бажарилиши мухим эмас:
а)—б)—в) хамда б)—а)—в) холлар-
да хам айни бир хил бутерброд косил
булади. Бу а) ва б) пунктларнинг уза-
ро боглик эмаслиги билан изохлана-
ди. в) пункт фадат а) ва б) пунктлар
бажарилганидан сунг бажарилиши ке-
рак, яъни в) пункт а) пунктга хам,
б) пунктга хам боглик.
Агар курсатма пунктлари тугри
туртбурчаклар куринишида, улар ора-
сидаги богланиш — мос томонига
йуналган стрелка билан тасвирланса,
холда бутерброд тайёрлаш алгорит-
мига расмда тасвирланган схема тугри
келади. Шуниси кизикки, агар иккита
пичок ва етарлича мос кул мавжуд
булса, у холда а) ва б) пунктларни их-
тмёрий тартибда эмас,балки бир вакт-
нинг узида бажариш ва бутерброд
тайёрлаш вактини анчагина кискарти-
иш мумкин.
Математик характердаги алгоритм-
тарга мисол килиб куп хонали сонлар
31
учун арифметик амаллар (кушиш,
айириш, купайтириш, булиш)ни («ус-
тун» шаклида) бажариш коидаларини,
худди шу амалларни оддий касрлар
устида бажариш коидаларини, Евклид
алгоритмини, геометриядаги ясашга
дойр турЗ.л масалалар ечимининг баё-
нини ва б. ни келтириш мумкин.
Оддий касрларни булишнинг алго-
ритмини караймиз.
Дастлабки маълумотлар: биринчи
каср (булинувчи) ва иккинчи каср
(булувчи).
Изланган натижа: каср — булинма.
Курсатма:
а) биринчи касрнинг сурати иккин-
чи касрнинг махражига купайтирил-
син;
б) биринчи касрнинг махражи ик-
кинчи касрнинг суратига купайтирил-
син;
в) сурати а) пунктнинг натижаси-
дан, махражи б) пунктнинг натижа-
сидан иборат каср ёзилсин.
Бутерброд тайёрлаш алгоритмида
айтилган пунктлар бажарилишининг
кетма-кетлиги бу алгоритмга хам та-
аллукли.
Алгоритмларнинг умумий хоссала-
рини урганиш, алгоритмлар хакидаги
теоремалар'ни исботлаш мумкин були-
ши учун бу терминнинг катъий мате-
матик таърифини билиш лозим. Совет
олимлари А. Н. Колмогоров ва
А. А. Марковлар якиндагина шундай
таърифни ифодалаб бердилар.
Алгоритм тушунчаси билан боглик
булган масалалар охирги пайтларда
йирик «алгоритмлар назарияси»га ай-
ланди. Бунда эхтиёж электрон хисоб-
лаш машиналари, сонли программали
бошкарилувчи станоклар, саноат ро-
ботлари, автоматик линиялар ва
б. нинг пайдо булиши туфайли тугил-
ди. Санаб утилган хамма холларда у
ёки бу амални машиналар керакли
натижага олиб келадиган тартибда ба-
жариши учун алгоритмлар яратиш та-
лаб килинади. Купинча, бу алгоритм-
лар тузилиши буйича хаддан ташкари
мураккаб ва бир неча минг амаллар-
дан иборат булади.
32
Еш математик цомусий лутати
Агар алгоритм дисоблаш машина-
сида бажаришга мулжалланган булса,
у уша машина тушунадиган тилда ёзи-
лиши лозим. Алгоритмни бундай ёзиш
дисоблаш машинаси учун программа
деб аталади, программа ёзиладиган
тил эса программалаш тили дейилади.
Алгоритмлар назариясининг ри-
вожланиши жараёнида ечимининг
умумий алгоритмини тузиб булмайди-
ган математик масалалар дам мав-
жудлиги анидланди. Бундай масала-
лар алгоритмик ечилмайдиган масала-
лар номини олди. Бу содадаги энг му-
дим натижалар совет математиги
П. С. Новиковга тегишли.
АНИК.ЛОВЧИ
Анидловчи — квадрат матрицага маъ-
лум доидалар буйича мос дуйилган
сон. Иккинчи тартибли квадрат
матрица
А = (G" 0,2 )
О21 О22
НИНГ аНИДЛОВЧИСИ деб ОцО22—O)2O2)
сонга айтилади. Уни det А ёки
|Оц O12I
|О21 О22|
каби белгилашади.
Купинча, «аникловчи» сузи урнига
«детерминант» дейишади, det А белги
шундан олинган.
Учинчи тартибли аникловчини ик-
кинчи тартибли аникловчилар ордали
таърифлаймиз:
011012 0131 022 023 021 023
021 022 023 ! = Oil’ —012"
Оз, 032 Озз^ 032 Озз 031 Озз
021 1022
Оз1 |оз2
Ишоралари алмашиб келувчи бу
йигиндидаги биринчи купайтувчилар
биринчи даторнинг сонлари, иккинчи
купайтувчилар эса биринчи купайтув-
чи тегишли булган сатр ва устунни
учириш натижасида досил булган
матрицаларнинг анидловчиларидир.
Анидловчининг тартибини яна дам
ошириш мумкин. (и—1)-тартибга-
ча булган матрицаларнинг анид-
ловчилари таърифланган булсин. У
долда п -тартибли
|Оц
= 021
lo„i
012 О1и|
022 О2п
С1п2 ... Clnn |
det А = ан
матрицанинг анидловчиси деб
022 023 О2п
(%п2 #пЗ ^пп
— о|2
#21 #23 #2п
#п] #иЗ #пп
+ ...+(-!)"+• О|„
1 #21#22«--#2('t— Il |
I #n 1 #n2 #w (ч — 1) J
Арифметик прогрессия
33
сонига айтилади. Яна купайтмалар-
нинг ишора алмашинувчи йириндиси-
га эга булдик, унда купайтувчилар-
дан бири биринчи датор дади, иккин-
чиси шу дад турган сатр ва устунни
учиришдан хосил буладиган (п—1)-
тартибли матрицанинг анидловчиси-
дир. Масалан, учинчи тартибли анид-
ловчини дисоблайлик:
3 2 11
4 5—7
2—1 31
4—7
5—71
3 • — 1 3 — 2-2 3|+
+ 1 -|2_1|= 3 (5 • 3 - (-7)
хил булиши мумкин). Бошдача дилиб
айтганда, арифметик прогрессия —
Qi ва d берилиб, учун ап+1 =
= an-\-d доидага буйсинувчи кет-
ма-кетликдир.
Арифметик прогрессиянинг иккин-
чисидан бошлаб дадлар олдинги ва
кейинги икки даднинг арифметик ур-
тасига тенг:
__ О-п—\ + Gn-f-1
ап---------g
Бу хосса кетма-кетлик — арифметик
прогрессия номида аксини топган.
Умумийрод хосса дам тугри:
(—1) ) —2 (4-3— (—7)-2) + 1 (4
(—1)—5-2) = 24—52—14 = —42.
n^k
учун ап =
an—k + an~^k
2
Анидловчилар чизицли тенгламалар
системасини ечишда мудим роль
уйнайди. К,изиги шундаки, иккита
а — (щ, а2) ва b — (bi, b2) вектор
I а\ аг 1
координата лари дан Ь2\ анидлов-
чи тузилса, унинг сон диймати, ишора
анидлигида, шу векторларга дурилган
параллелограмнинг юзига тенг (1-
У
раем). Фазодаги учта а= (at, а2, аз),
b = (bi, b2, Ьз), с = (сь с2, Сз)
вектор координаталаридан тузилган
I Cl с2 сл
анидловчининг диймати, яна ишора
анидлигида, шу векторларга дурил-
ган параллелепипеднинг дажмига
тенг (2-расм).
АРИФМЕТИК ПРОГРЕССИЯ
Арифметик прогрессия деб иккин-
чисидан бошлаб дар бир дади олдин-
ги дадцан узгармас d сонига ортиб
(ёки камайиб) борувчи кетма-кет-
ликка айтилади. Бу d сони арифме-
тик прогрессиянинг айирмаси дейи-
лади (у турли прогрессия учун дар
Куйидаги формулалар уринли (Sn
ордали арифметик прогрессиянинг
бошлангич п та дади йигиндиси бел-
гиланган), яъни:
ап = di + (2 — 1) d, (1)
s. = 2a'+*-')dn, m
е di -(-a*
= —?----n (3)
(3) формула немис математиги
К. Ф. Гаусс (1777—1855) даётидан
дизид бир лавда билан боглид. У 9
ёшлигида удитувчи бошда синф удув-
чиларининг дафтарларини текшириб
чидиш ниятида дарсда дуйидаги маса-
лани ечишни буюради: «1 дан 40
гача булган барча натурал сонлар
йигиндисини дисобланг:
1 + 24-34-4 + 5 + .„+ 40».
Орадан бир дадида утар-утмас удув-
чилардан бири (Гаусс) хитоб дила-
ди: «Мен ечиб булдим».
Удувчиларнинг купчилиги узод ди-
соб-китобдан сунг нотугри натижа
чидаришди. Гаусснинг дафтарида эса
фадат биргина, аммо тугри сон ёзил-
ган эди.
2—4826
34
Еш математик цомусий лутати
Мана унинг мулохазалари схема-
си. Х,аР бир жуфтдаги сонлар йигин-
диси 41:
1, 2, 3, 20
+ 40, 39, 38, ..., 21
41, 41, 41, ..., 41
Бундай жуфтлар 20 та, шунинг учун
изланаётган йигинди 41-20 = 820 га
тенг.
Арифметик прогрессиялар ва улар-
нинг хоссаларини математиклар ка-
дим замонлардаёк ургана бошлашган.
Юнон математикларини купбурчакли
сонлар (к. Шаклдор сонлар), юзалар
ва кажмларни х,исоблаш хамда
1 = I2 1 = I3
1 + 3 = 22 3 + 5 = 23
1 + 3 + 5 = З2 7 + 9+11 = З3
1 + 3 + 5 + 7 = 42
13 + 15 + 17+19=4’
каби ажойиб муносабатлар билан
прогрессиялар орасидаги алока кизик-
тирган. Х^атто бизнинг кунларда хам
сехрли квадратлар (к- Сехрли ва ла-
тин квадратлари) анча машхур- Бун-
дай квадратларнинг х,ар бир катаги-
га сонлар шундай жойланадики,
натижада исталган горизонтал, вер-
тикал ва диагоналлардаги сонлар
йигиндилари узаро тенг булади (1-
расм). Худди шундай сехрли квад-
рат немис рассоми А. Дюрернинг
«Меланхолия» гравюрасида тасвир-
Арифметик прогрессияга дойр
кейинчалик исботланган мух,им хос-
са намунаси сифатида француз ма-
тематиги П. Л. Дирихле теоремаси
(1837) ни келтириш мумкин: агар
арифметик прогрессиянинг 1-хади а,
ва айирмаси d узаро туб натурал сон-
лар булса, бу прогрессия хадлари
ичида чексиз куп туб сон учрайди.
Бу теореманинг кизик хусусий холи-
ли — 3,7, 11, 15, ..., 4м+3,... прогрес-
сияда чексиз куп туб сон мавжуд-
лигини укувчилар мустакил исботлаш-
лари мумкин.
АРИФМЕТИКА
Бизнинг математика билан танишу-
вимиз сон хакидаги фан — арифмети-
кадан бошланади. Арифметикадан би-
ринчи рус тилида 1703 й. ёзилган
А. Ф. Магницкий дарслиги куйидаги
сузлар билан бошланади: «Арифмети-
ка ёки сон хакидаги фан (числитель-
ница) — халол, тоза, хамма учун ту-
шуниш кулай, куп фойдали ва мактов-
га сазовор, энг янги давргача яшаган
машхур арифметикачилар кашф цил-
ган ва баён этган санъат». М. В. Ломо-
носов айтганидек, «биз олимлик дар-
возасига» арифметика оркали кира-
миз ва узимизнинг узок хамда огир,
аммо дунёни англашдаги кизикарли
йулимизни шу фандан бошлаймиз».
«Арифметика» юнонларнинг «сон»-
ни англатувчи arithmos сузидан косил
булган. Бу фан сонлар устидаги амал-
ларни, улар билан бажариладиган
турли коидаларни урганади, кушиш,
айириш, купайтириш ва булишга олиб
келадиган масалаларни ечишни урга-
тади. Купинча, арифметика матема-
тиканинг кандайдир биринчи боскичи,
унга асосланиб математиканинг му-
раккаброк булимлари — алгебра, ма-
тематик анализ ва б. ни урганиш мум-
кин деб тасаввур килишади. Х,атто
арифметиканинг асосий объекти —
бутун сонларни, уларнинг умумий хос-
салари ва конуниятларини урганиш-
Арифметика
35
,JIP фани деганда
»*жта фан тушунилади:
хам назарий. Ама-
•* фан санаб бу ла диган
хакида суз юри-
тилганда шу сонларни ур-
ганади. Бу фанни савдо-
сотид ва му лк тацсимлаш-
да куллайдилар. Сонлар
хадидаги назарий фан эса
сонларни мутлад маъно-
да, и дрок воситаси. билан
жисмлардан, санаш мум-
кин булган хар кандай
нарсалардан ажратган
холда урганади».
ал-Фаробий
Д/Ккмткд или числителнифА, ^дож/ciw
n/ttWMj ^ЛКНСГАОб, и оудойЛИТНОЬ,
/MNoronoxlyftuuiaj и лмог^кдлиЪмша, Фд/к-
й urorftiwM)^ Ш /л^мад ^eeWHA
МВЛШИДО «уЙДОСТИкОВЗ,
TfNNOe, И MJAOKfWMM .
Г6ОЛ
-г алий арифметика ёки сонлар на-
-сига киритишади. Албатта,
| метикага бундай карашнинг асо-
. оор. у х,акик,атан хам «хисобнинг
жжфбоси», аммо «куп фойдали» ва
«"ушуниш кулай» алифбоси булиб ко-
Арифметика ва геометрия инсон-
энг кадимги йулдоши. Бу фан
-дметларни санаш, ер майдонлари-
тчаш, бойликни булиш, вактни
шсоблашга зарурат ту ей л га н вакдда
»*льудга келган.
А ; >фметика кддимги Шарк мамла-
<*т--^ри — Бобил, Хитой, Х,индистон,
Еш математик цомусий лугати
36
Мисрда вужудга келган. Масалан,
мисрликларнинг Ринд папирусы (па-
пирус эгаси Г. Ринд номи билан ана
шундай аталади) э. а. XX а. га таал-
лукди. Купгина маълумотлар катори
унда берилган касрни сурати бирга
тенг касрлар йигиндисига ёйиш хаки-
да хам маълумот бор, масалан:
A = ± + J_+_L_+_1_
73 60 219 т 292 365
(хозирги кунда хам хар бир укувчи
бундай ёйилмани осонгина топа олма-
са керак!)
К,адимги Шарк мамлакатларида
тупланган математик билимлар хази-
наси Кддимги Юнонистон олимлари
томонидан ривожлантирилди ва давом
эттирилди. Тарих антик даврда ариф-
метика билан шугулланган куплаб
олимларнинг номини саклаб колган.
Анаксагор ва Зенон, Евклид ва Архи-
мед, Эратосфен ва Диофант шулар
жумласидан. Бунда Пифагор (э. а.
VI а.) нинг номи ёруг юлдуз каби чак-
наб туради. Пифагорчилар (Пифагор-
нинг шогирдлари ва унинг ишини да-
вом эттирувчилар) бутун дунёнинг
гармонияси сонларда мужассамлаш-
ган деб, сонга сигинишар эди. Айрим
сонлар ва сон жуфтлари махсус
(илохий) хоссаларга эга деб эътикод
килишган. 7 ва 3 сони алохида хурмат-
га сазовор эди. Мукаммал сонлар,
инок сонлар деб аталувчи ва б. сонлар-
га уша вактдаёк эътибор берилган.
Арифметиканинг урта асрлардаги
ривожланиши Шарк: Х,индистон,
араблар забт этган мамдакатлар ва
Урта Осиё билан хам боглик. Узбек
математиги Ибн- Мусо ал-Хоразмий-
нинг «Х,инд хисоби хакида китоб»
номли асари оркали хозир биз ишла-
тадиган ракамлар — ноль ва хисоб-
лашнинг позицион системаси хинд-
лардан Урта Осиёга, кейин эса ‘бутун
Европага таркаган. Улугбек (1396—
1449) нинг Самарканддаги расадхона-
сида ишлаган буюк олим Ёиёсиддин-
Жамшид ал-Кошийнинг «Арифмети-
ка калиди» асари оркали арифмети-
кага унли каср кириб келган.
Сонлар назарияси билан Урта Осиё-
лик буюк олйм Абу Али Ибн Сино
(980—1037) хам шугулланган. У
узининг «Шифо» китобининг ариф-
метикага дойр кисмида натурал сон-
лар ва уларнинг хоссаларини карайди.
Ибн Сино натурал сонлар устида
амалларнинг бажарилишини 9 ёрда-
мида текширади, яъни у сонларни
туккиз модулига кура таккослайди.
Савдо-сотикнинг ривожланиши ва
Шарк маданиятининг таъсири остида
XIII а. дан бошлаб Европада хам
арифметикага кизикиш усди. Бунда
италиялик олим Леонардо Пизанский
(Фибоначчи) нинг номини эслаш ло-
зим. Унинг «Абак китоби» номли аса-
ри европаликларни Шарк математика -
сининг асосий ютуклари билан таниш-
тирди ва арифметика хамда алгебра-
дан куплаб тадкикотларнинг дебочаси
булди.
Китоб чоп этиш (XV а. урталари)
кашф этилиши билан математикадан
биринчи босма китоблар пайдо булди.
Арифметикадан биринчи босма китоб
Италияда 1478 й. нашр этилди. Не-
мис математиги М. Штифелнинг
(XVI а. боши) «Тулик арифметика»-
сида манфий сонлар бор, хатто лога-
рифмлаш гояси учрайди. Манфий сон-
лар Штифелдан олдин Еиёсиддин
Жамшид ал-Коший томонидан кири-
тилган.
Тахминан XVI а. дан бошлаб соф
арифметик саволларнинг ривожлани-
ши алгебрага кушилиб кетди. Бу со-
хадаги мухим боскич сифатида фран-
цуз олими Ф. Виетнинг ишларини
курсатиш мумкин: уларда сонлар
харфлар билан белгилана бошланган.
Уша вактдан бошлаб асосий ариф-
метик коидалар каътиян алгебра нук-
таи назаридан курила бошлади. Ариф-
метиканинг «олий» масалалари эса
сонлар назариясининг объектига ай-
ланди.
Арифметиканинг асосий объекти —
сон. Натурал сонлар, яъни 1, 2, 3, 4,...
ва х- к- муайян предметларни санаш-
дан хосил булган. Одамлар иккита
тустовук, иккита кул, иккита одам ва
Арифметика
L к_ларни айни бир — «иккита» суз
*_тан ифодалаш мумкин эканини анг-
унча неча минг йиллар утган.
* глфметиканинг мух,им вазифаси —
саналаётган предметлар номларининг
г .айян маъносини сокит кила олиш-
37
га, уларнинг шакли, улчами, рангидан
воз кеча олишга урганишдир. Фибо-
наччида куйидагича масала бор: «Етти
кампир Римга кетаяпти. Уларнинг кар
бирида еттитадан хачир бор, кар бир
хачирга еттитадан коп юкланган, х;ар
38
Еш математик цомусий лугати
бир допда еттитадан нон бор, хар бир
нонда еттитадан пичок, хаР бир пичод
эса еттитадан динга солинган.
Хаммаси данча?» Масалани ечиш
учун кампирларни хам, хачирларни
Хам, допларни хам, нонни хам бир-би-
ри билан душишга тугри келади.
Сон тушунчасининг ривожлани-
ши — ноль, манфий сонлар, оддий ва
унли касрларнинг диритилиши, сон-
ларни ёзиш усуллари (радамлар, бел-
гилар, санод системалари) нинг барча-
си бой ва дизид тарихга эга.
Арифметикада сонлар душилади,
айрилади, купайтирилади ва булинади.
Бу амалларни ихтиёрий сонлар усти-
да тез ва бехато бажариш санъати
узод вадт арифметиканинг мухим ва-
зифаси хисобланарди. \озир энг
содда хисоблашларни ёддан ёки до-
гозда бажарамиз. Мураккаброд хи-
соблаш ишларини эса аста-секин чут,
арифмометр, логарифмик линейка ка-
би дурилмалар урнини эгалЛаётган
микрокалькуляторларга юклаймиз (д.
Хисоблаш техникаси).
Аммо дамма содда ва мураккаб
Хисоблаш машиналарининг асосида
энг содда амал — натурал сонларни
душит ётади. Энг дийин хисоблаш-
ларни хам душишга келтириш мумкин
экан, фадат бу амални миллион мар-
талаб бажариш лозим булади. Аммо
бу уринда биз математиканинг бошда
булими — ибтидоси арифметика бул-
ган хисоблаш математикаси сохасига
дуч келамиз.
Сонлар устидаги арифметик амал-
лар турлича хоссаларга эга. Бу хосса-
ларни сузлар билан ифодалаш мум-
кин. Масалан: «К,ушилувчиларнинг
урни алмашгани билан йигинди узгар-
Арифметика
майди», — деган доидани дарфларда
-—b — b-{- а куринишда ёзиш ёки
ыахсус терминларда ифодалаш мум-
кин. Масалан, тилга олинган душиш
хоссасини урин алмаштириш ёки ком-
wyi ативлик донуни деб аташади. Биз
• зимиз купинча англаб-англамай
i гиф метик донунлардан фойдаланиш-
г урганиб кетганмиз. Купинча удув-
ч илар мактабда «Бу урин алмашти-
риш ва группалаш донунларини урга-
иппнинг нима кераги бор? Сонларни
купаитириш ва душиш шундай дам
давшан-ку?» — деб сурашади. XIX
•срда математика олдинга мудим да-
дам дуйди — у нафадат сонларни,
тки векторлар, функциялар, сил-
жишлар, сонлар жадваллари, матри-
ш арни ва б. купгина нарсаларни,
хатто дарфлар ва белгиларни, улар-
инг муайян маъноси дадида унча-
жк ташвишланмасдан мунтазам ра-
ппда душа ва купайтира бошлади.
Мана шу ерда бу амаллар дайси до-
39
нунларга буйсунишини билиш жуда
мудим экан. Ихтиёрий объектлар
устида (сонлар устида булиши шарт
эмас) амалларни урганиш масаласи,
гарчанд арифметика ва унинг донун-
ларига асосланган булса-да, алгебра-
нинг содасидир.
Арифметика масалалар ечишнинг
жуда куп доидаларига эга. Эски ки-
тобларда «учлик доида», «пропорцио-
нал булиш», «тарози методи», «ёлгон
доида» ва б. доидаларга дойр купгина
масалаларни учратиш мумкин. Бу ме-
тодлар билан ечилган масалаларни эс-
кирган деб дисоблаб булмаса-да, бу
доидаларнинг купчилиги дозир эскир-
ган. Бир неча дувур ордали тулдири-
ладиган довуз дадидаги машдур маса-
ланинг ёши икки минг йилдан ортид
булса дам, дозиргача у мактаб удув-
чилари учун осон эмас. Аммо эски
вадтда бу масалани ечиш учун махсус
доидани билиш лозим булса, дозир-
ги кунда кичик ёшдаги удувчиларга-
40
Еш математик ^омусий лутати
ча бундай масалани изланаётган кат-
талик учун х карфий белги киритиб
ечишга ургатилади. Шундай килиб,
арифметика масалалари кам бизни
тенгламалар ечиш заруратига олиб
келди — бу эса яна алгебрага таал-
лукли.
АСИМПТОТА
Эгри чизикнинг асимптотаси шун-
дай тугри чизикки, эгри чизик чексиз-
ликка узокдашган сайин унга якинла-
шиб боради. Туппа-тугри йулда гизил-
лаб кетаётган автомобиль ва худди
шундай тезлик билан майдонда отда
чопаётган чавандозни куз олдингиз-
га келтиринг. Чавандознинг тезлиги
вактнинг кар бир дакикасида авто-
мобиль томонга йуналган дейлик.
2-расм.
Бундай колда чавандознинг йуналиши
трактриса деб аталувчи эгри чизик-
дан иборат булади ва автомобиль
кетаётган туппа-тугри йул бу чизик
учун асимптота булади. Агар y = f[x]
тенглама билан берилган эгри чизик
х чекли а нуктага якинлашганда чек-
сизликка интилса, у колда х — а тугри
чизик У = эгри чизикнинг вертикал
1
асимптотаси деиилади. у=— гипер-
бола учун х = 0 тугри чизик, y = ctgx
функция учун x=kn |/г = 0, ± 1,±2...]
тугри чизикларнинг кар бири вертикал
асимптоталар булади (1-расм).
у = ^-гипербола х = 0 вертикал
асимптотадан ташкари яна у=0 гори-
зонтал асимптотага кам эга, у=*е~х-
sinx функция графиги кам у = 0 го-
ризонтал асимптотага эга, аммо ги-
перболадан фаркли бу функция гра-
Асимптота
41
гиги уз I горизонтал асимптотасини
сиз куп нуктада кесиб утади (2-
расм).
Тенгламаси х3 + </3 —1Заху = 0 кури-
•гишда булган ва «Декарт япроги» деб
. галадиган эгри чизикнинг огма (кия)
асимптотаси бор (3-расм). у=х-|-^-
эгри чизик хам огма асимптотага эга
—раем). Аргумент плюс ёки минус
-ексизликка узоклашганда У = Д>]
эгри чизикнинг огма асимптотаси бул-
~ан y = kx-\-b тугри чизик тенглама-
сидаги k ва b коэффициентлар куйи-
-гича топилади:
Ь = Ит^-^- . b — lim [Дх]—kx],
X-*- ОО X Х—r оо
Горизонтал асимптота огма асимпто-
танинг /г = 0 даги хусусий колидан
иборат. Асимптоталарни тадкик ки-
лиш функция графиги табиатини
аникрок тасаввур килиш имконини
беради, чунки функциянинг хоссала-
ри асимтотаси якинидаги асимптота-
ни ифодаловчи чизикли функциянинг
хоссаларига жуда якин, холбуки чи-
зикли функциянинг хоссалари яхши
урганилган. Бу хоссани мунтазам кул-
лаш хозирги замон математикасида
«тадкикотнинг асимптотик методла-
ри» деб аталадиган бутун бир йуна-
лишни вужудга келтирди. Шундай ки-
либ, кадим ги Юнонистонда пайдо бул-
ган тушунча бизнинг давримизда узи-
нинг иккинчи умрини яшаяпти.
Чексизликка узоклашувчи хамма
эгри чизикнинг хам асимптотаси бу-
лавермайди. Масалан, сизларга маъ-
лум эгри чизик — парабола асимпто-
тага эга эмас.
42
Еш математик цомусий лугати
БЕРНУЛЛИ
ЛЕМНИСКАТАСИ
Лемниската — куйидаги хосса билан
ифодаланадиган чизик: унинг ихтиё-
рий нуктасидан берилган икки нукта-
гача (фокусларгача) масофалар ку-
пайтмаси доимий ва бу икки нукта
орасидаги масофа ярмининг квадра-
тига тенг. Унинг шакли саккиз рака-
мини эслатади (расмларга каранг).
У ни биринчи бор урганган швейца-
риялик математик Якоб Бернулли
(1654—1705) бу чизикка шоирона
«лемниската» номини берган. Кддим-
ги Римда спорт уйинларида голиб-
нинг бошига кийдириладиган гулчам-
барнинг богичи шундай аталган.
Лемнискатани ясашнинг икки усу-
лини келтирамиз. Улардан бири —
иккита гуния ва когоз варагига чизил-
ган айланадан фойдаланиш. Гуния-
лардан бирининг уткир бурчакли учи
айлана марказита жойланади, иккин-
чи гуниянинг тугри бурчаги эса айла-
нага тугри келтирилади. Гуниялар-
нинг биттадан катетлари бир тугри чи-
зик буйлаб йуналтирилса, биринчи
гуния т}три бурчаги лемниската нук-
тасини беради. Бошка усулда икки учи
маккамланган шарнирли курилмадан
фойдаланилади.
Лемнистиканинг тугри бурчакли
координаталардаги тенгламаси:
[х2+у2]2 — 2а2[х2—у2]=0, кутб
координаталаридаги тенгламаси:
р2—2а2 cos2q>.
БИРЛИК
Бирлик — натурал каторнинг биринчи
сони, шунингдек унли санок система
ракамларидан бири.
Х,ар кандай хона бирликларини
айни бир (козиргига якин) белги
билан ифодалаш биринчи марта тах-
минан э. а. 2000-й. ларда кадимги Бо-
билда вужудга келган деб кисоблана-
ди.
Сон деб факат натурал сонларни
тушунган кадимги юнонлар хдр бир
сонни бирликлар йигиндиси сифатида
карашган. Бирликка эса алох,ида урин
берилган: у сон деб х,исобланмаган.
(Мас., бу Евклидни пропорциянинг
кадларидан биттаси бирга тенг бул-
ганда унинг хоссасини алокида исбот-
лашга мажбур килган).
Аммо И. Ньютон: «... сон деб бир-
ликлар йигиндисини эмас, балки бир
микдорнинг биз бирлик деб кабул
килган иккинчи микдорга мавкум нис-
батини тушунамиз» деб ёзган эди.
Шундай килиб, у вактда бирлик бошка
сонлар орасида узининг конуний ур-
нини эгаллаган эди.
1 сонини ифодалайдиган асосий
хосса куйидагича: ихтиёрий а учун
а • 1 =а. 1 нинг бу хоссаси купайтириш
Бурчак
43
амали аникланган баъзи бир матема-
тик объектлар учун хам тааллукли
(К. Группа).
БУРЧАК
Бурчак — нук,та, тугри чизик, нур ва
кесмадан кейинги энг содда геомет-
рик фигура. Агар текисликдаги О нук-
тадан иккита турли ОА ва ОВ нур
-раем.
чикарилса, у холда бу нурлар текис-
тикни икки киемга ажратади. Улар-
нинг кар бири учи О нуктада, томон-
ари О А ва ОВ булган бурчак деб
аталади. 1-расмдаги I бурчак каварик
<к. К,авариц фигуралар), II бурчак
каварик эмас. Агар О А ва ОВ нурлар
бир-бирини тугри чизиккача тулдирса,
• холда косил буладиган иккала бур-
тах кам каварик булиб, улар ёйик бур-
таклар деб аталади. Ёйик бурчаклар
еометрик фигура сифатида АВ тугри
чизик текисликда ажратадиган ярим-
екисликлар билан устма-уст тушади
2-расм). Агар ёйик бурчакларнинг
бири АОВ да ОС нур утказилса, бу
нур АОВ бурчакни иккита каварик
-ОС ва СОВ бурчакка ажратади —
улар кушни бурчаклар деб аталади
(2-расм). О нуктада кесишувчи икки-
та АВ ва CD тугри чизиклар текис-
ликни икки жуфт узаро вертикал деб
аталувчи АО С ва BOD, AOD ва ВОС
бурчакларга ажратади (3-расм). Вер-
тикал бурчаклар, мае., АО С ва BOD
узаро тенг: улардан бирини О нукта
атрофида буриб иккинчиси билан уст-
ма-уст тушириш мумкин.
Бурчакни тенг иккига булувчи, бо-
ши бурчакнинг учида жойлашган нур
бурчакнинг биссектрисаси дейилади.
Ёйик бурчакнинг биссектрисаси уни
4-расм. .
\
тугри бурчак (90°) деб аталувчи икки-
та кушни бурчакка ажратади. Бур-
чакнинг биссектрисаси чизгич ва цир-
куль ёрдамида осон ясалади (4-расм).
Ёйик бурчакнинг трисектрисасини
ясаш, яъни ёйик бурчакни тенг уч
киемга ажратиш хам осон. Ихтиё-
рий бурчакнинг трисекцияси хакидаги
масала э. а. V а. да таърифланган эди
(К- К,адимги классик масалалар).
Аммо математиклар бу масалани уму-
мий холда факат циркуль ва чизгич
ёрдамида ечиб булмаслигини XIX
аердагина исботладилар.
Албатта, бу трисектриса мавжуд
эмаслигини билдирмайди. 5-расмда
АОВ бурчакнинг трисекцияси циркуль
ва белгиланган иккита Р ва Q нуктали
3-расм.
5-расм.
44
Еш математик цомусий лутати
чизгич ёрдамида кандай бажарилиши
курсатилган: дастлаб PQ радиусли S
айлана ясалади, сунгра чизгичнинг
кирраси В ордали утадиган Q нукта
S да; Р нукта эса ОА ни тулдирувчи
ОА нурда ётадиган килиб жойлашти-
рилади (OPQ ва BOQ тенг ёнли уч-
бурчакларнинг бурчакларини содда
кисоблаш АР В бурчак А О В бурчакдан
уч марта кичиклигини курсатади).
Назария ва амалиёт учун бурчак-
нинг катталигини ёки улчовини аник-
лаш катта ахдмиятга эга. Бурчак улчо-
вининг асосий хоссаси — тенг бурчак-
ларнинг улчови кам бир хил булиши
керак. Бурчакларнинг умум кабул ки-
линган иккита улчови бор: 1) градус
улчови, бундан бурчаклар градуслар-
да (таърифга кура 1° ли бурчак —
1
180
ёйик бурчакнинг
кисми)
унинг улушлари (градуснинг
кисми — бурчак минути, минутнинг
— кисми — бурчак секунди) да ул-
чанади; 2) радиан улчови, бунда АО В
бурчакнинг радиани О марказли их-
тиёрий айланадан бу бурчак ажрата-
диган ёйнинг шу айлана радиусига
нисбати каби аникланади. Ёйик бур-
чак 180°га ёки лг/ г = л радианга
тенг, бундан бурчакнинг градус ва
радиан улчовларини богловчи форму-
лалар косил булади:
а Д
арад= (—. 180)°, = -лрад.
л 180
Жумладан,
1рад=(-^- )° = 57° 17'44,8"...
Л
1°=-^ =0,017453...
1 o(J
(Охирги колда биз «рад» бирлигини
ёзмадик. Таърифга кура радиан ул-
чамсиз микдор эканлигига асосан ана
шундай килинади). Радиан улчови
математик анализда (масалан, триго-
нометрик функцияларнинг сон кийма-
тини аниклашда), механикада (нук-
та ёки ук атрофида айланишлар ка-
ралганда, тригонометрик функциялар
билан ифодаланувчи бошка жараён-
лар — тебранишлар, тулкинлар ва б.
каралганда) кулланилади. Градус ул-
чови элементар геометрияда (кар бир
киши чизмадаги бурчакни улчайдиган
асбоб — транспортир билан таниш
ва
1
60
8-расм.
булса керак), геодезияда, ер устида
улчашлар утказишда ишлатилади
(сунгги колда анча аник асбоб — тео-
долит кулланади). Баъзан бурчаклар
тугри бурчакнинг улушларида улчана-
ди, бунда тугри бурчак катталиги d би-
лан белгиланади. Денгизда сузишда
< 1
доимо еиик бурчакнинг—- га тенг
16
рубм бирлиги ишлатилади. К,искалик
учун«бурчакнингкатталиги (улчови)»
сузлари урнига оддийгина килиб «бур-
9-расм.
Бурчак
45
чак» дейилади. Масалан, учбурчак
нчки бурчакларнинг йигиндиси 180°
5 ёки л, ёки 2б/)га тенг деган маълум
теоремада хусусан бурчакларнинг кат-
"аликлари кузда тутилади.
Тугри бурчакдан кичик бурчаклар
) т к и р, тугри бурчакдан катта, аммо
иик бурчакдан кичик бурчаклар
\ т м а с бурчаклар деб аталади.
Каварик, бурчакнинг улчови 0е ва 180°
еки 0 билан л) орасида, к,аварик, бул-
чаган бурчакларники — 180° билан
560 (ёки л ва 2л) орасида. Тулик
бурчак —О А нурни О нукта атрофида
бир марта туда айлантиришдан косил
булган бурчак, шунингдек, ноль бур-
ак — устма-уст тушувчи иккита нур-
_ан косил булган бурчакни караш
_игай. Бу бурчаклар мос равишда
'60 =2л рад ва 0° — 0 рад улчовга
эга. Баъзан градусни тулик, бурчак-
нинг --- - кисми сифатида х,ам таъ-
360
гифлашади.
Планиметрияда яна бир хил бурчак-
тар — буриш бурчаклари каралади.
Биринчидан, уларнинг ишоралари:
_тар буриш соат стрелкаси харака-
-нга тескари булса, ишора плюс, агар
?уриш соат стрелкаси х,аракати буйи-
-а булса, ишора минус булади. О нукта
~рофида а бурчакка буриш билан
елгиланади. Агар а, р буриш бурчак-
ри булиб, уларнинг сх + р йигинди-
си — 360° дан -|- 360° гача орали к, да
булса. у \олда буришлар кетма-кет
'ажарилганда (композициясида)
ирнинг бурчаклари кушилади (6-
госм):
./?₽ = /?“+₽
Бу кулай формулани ихтиёрий а ва
ларда сахлаб колиш хамда айланиш-
- <нг механик жараёнини караш мак-
лтида тулик (360°) га айланишларни
хам киритиш максадга мувофикдиги
я исланди ва ихтиёрий катталикдаги
J60 дан катта, —360°дан кичик) бу-
-ип бурчаги тушунчасини аниклашга
•три келади. У вактда, масалан, Р
•ла О нукта атрофида ш (рад/се-
• -и) узгармас тезлик билан айланса,
Р нуктанинг t ондаги холати Pt=
= R$‘(P)
формула билан берилади (7-расм).
Шу йул билан киритилган ихтиёрий
буриш бурчаги сон аргументнинг три-
гонометрик функцияларини аникдаш
имконини беради: Оху координата
системасида ихтиёрий t сон учун Pt —
= Rf0 (Ро) нуктанинг координатаси
(cost, sint) деб кабул килинади, бун-
да Ро — координатаси (1; 0) булган
нукта, буриш бурчаги t радианларда
олинади.
Стереометрияда иккиёкди бурчак—
фазонинг умумий тугри чизик (бур-
чакнинг кирраси) билан чегараланган
икки яримтекислик (бурчакнинг ёкда-
ри) ажратган кисми каралади (8-
расм). Купёкли (п-ёкли, бунда д^З)
бурчаклар — фазонинг умумий учли,
бир-бирига кетма-кет ёндошган ясси
бурчаклар билан чегараланган кием.
9-расмда учёкди бурчак ОА1А2А3 тас-
вирланган. О унинг учи, OAt, ОА2, ОА3
нурлар — кдрралар хамда AjOA2,
А2ОА3 ва А3ОА1 — ёкдари.
Икки ёкли бурчак унта мос чизикди
бурчак катталиги билан улчанади: бу
чизикди бурчак иккиёкли бурчакни
унинг кирраларига перпендикуляр
текисликлар билан кесганда косил
булади (8-расм). Купёкли бурчаклар
учун ясси бурчакларнинг радиан ул-
човига ухшаш фазовий улчов кирити-
лади. Бу улчов стерадиан (кискача
стер) ларда улчанади. У купёкли бур-
чак билан маркази бурчакнинг бошида
булган сферанинг кесишувидан косил
булган сферик купбурчак юзасининг
сфера радиуси квадратига нисбатига
тенг (9-расмга к.). Масалан, хо-
нанинг бурчаги сферадан октант——
О
К.ИСМИНИ «кдркдди», шунинг учун
унинг фазовий улчови (4л1?2/8):/?2
(стер) га тенг. д-ёкли OAtA2... Ап бур-
чакнинг фазовий бурчаги, XVII а.да
яшаган нидерланд математиги А. Жи-
рар формуласига кура, иккиёкди бур-
чакларнинг радиан улчови билан ифо-
даланар экан; бунга диктат билан
эътибор берайлик:
Еш математик цомусии лугати
46
Q = АI -f-Az• --Ап — (а 2) л,
бунда А, — купёкли бурчакнинг О А,
киррасидаги иккиёклик бурчак кат-
талиги (радианларда), i = l, 2, п.
Иккита а ва b айкаш тугри чизиклар
орасидаги бурчак деб, а ва b тугри
чизикдарга бирор нуктадан параллел
килиб утказилган тугри чизикдар ора-
сидаги бурчакка айтилади. Кесишувчи
тугри чизиклар орасидаги бурчак эса
улар кесишувидан косил булган ясси
бурчаклардан (яъни нурлар орасидаги
бурчаклардан) энг кичиги. Кесишувчи
текисликлар орасидаги бурчак кам
шунга ухшаш аникланади. Текислик
билан тугри чизик орасидаги бурчак
деб, тугри чизик билан унинг текис-
ликдаги тугри бурчакли проекцияси
орасидаги бурчакка айтилади; агар
тугри чизик текисликка перпендику-
ляр булса, улар орасидаги бурчак
90°га тенг деб кисобланади. Параллел
ёки устма-уст тушувчи тугри чизикдар
ва текисликлар орасидаги бурчак 0°га
тенг деб кисобланади. Шу туфайли
кам бу сунгги санаб утилган бурчаклар
0° билан 90° чегарасида булади.
БУЛИНУВЧАНЛИК
Булинувчанлик — сонлар назария-
cz/да урганиладиган асосий тушун-
чалардан бири. Агар а = Ьс булиб,
с бутун сон мавжуд булса, «а бутун
сон b бутун сонга булинади» дейилади.
Масалан, 54 сони 6 га булинади, чунки
54=6 • 9; 273 сони 21 га булинади, чун-
ки 273=21 • 13. Булинувчанликнинг
таърифидан 0 кар кандай сонга (0 га
кам) булиниши, нолдан фаркли би-
рорта кам сон нолга булинмаслиги ке-
либ чикади.
Купинча, а сонининг b сонига були-
ниши какидаги тасдик унга тенг кучли
куйидаги сузларга алмаштирилади:
«а сони b га каррали», «Ь сони а нинг
булинувчиси», «Ь сони а ни булади».
а нинг b га булинувчанлигини белги-
лаш учун одатда а/b (баъзан а:Ь)
ёзувдан фойдаланилади.
Хар кандай бутун а сон кеч булма-
ганда туртта: а,—а, 1,— 1 сонга були-
нади. Агар а—туб сон булса, у бошка
бирорта кам булувчига эга булмайди.
Булинувчанликнинг бир неча хосса-
сини келтирамиз:
а) агар а ва b сонлари с га булинса,
у колда а-\~Ь кам, а—b кам с га були-
нади:
б) агар а сони Ь га булинса, с эса их-
тиёрий бутун сон булса, у колда ас ку-
пайтма Ьс га булинади;
в) агар а сони b га, Ь эса с га булин-
са, у колда а кам с га булинади.
а ва b сонларнинг туб купайтувчи-
ларга ёйилмасини билган колда, а со-
ни Ь га булиниш-булинмаслигини
осонгина кал килиш мумкин. а сони
b сонига булиниши учун b сонининг
туб купайтувчиларга ёйилмасига кир-
ган кар бир купайтувчи а сони туб ку-
пайтувчиларга ёйилмасида кам були-
ши зарур ва етарли; бунда агар туб ку-
пайтувчи b сонининг ёйилмасида к
марта катнашса, у колда бу купайтув-
чи а нинг ёйилмасида кам энг камида
к марта учраши лозим.
Агар о ва ft сонлари унли санок сис-
темасида ёзилган булса, у вактда би-
ринчи сонни иккинчи сонга «устун»
усулида булиб, булинмани топишимиз
мумкин, демак, а сони ft га булинади-
ми, йукми?— деган саволга жавоб бе-
ра оламиз.
Сонларнинг булиниш аломатлари
анча илгари топилган, улар маълум
Колларда сонларни бевосита «устун
буйича» булишга мурожаат килмасдан,
бири иккинчисига булиниш-булинмас-
лигини тез аниклаш имконини беради.
Улардан куйидаги аломатлар (сон-
нинг унли системасида ёзилиши билан
боглик) амалий жикатдан анча кулай:
а) сон 2 га булиниши учун унинг
охирги раками 2 га булиниши керак;
б) сон 3 га булиниши учун ракам-
ларининг йигиндиси 3 га булиниши
керак,
в) сон 4 га булиниши учун охирги
икки ракдмни ифодаловчи сон 4 га бу-
линиши керак, бунда сонлар, асосан
жуфт сонлардир.
Вектор
47
г) сон 5 га булиниши учун унинг
охирги раками 0 ёки 5 булиши керак,
д) сон 8 га булиниши учун унинг
охирги учта радамини ифода дилган
сон 8 га булиниши керак,
е) сон 9 га булиниши учун радамла-
рининг йигиндиси 9 га булиниши
керак,
ж) сон 10 га булиниши учун унинг
охирги радами 0 булиши керак,
з) сон 11 га булиниши учун унинг
жуфт уриндаги радамлари йигиндиси
билан тод уриндаги радамлари йигин-
диси орасидаги айирма 11 га булини-
ши керак.
Булинувчанлик гоясининг ривож-
ланиши таццослама тушунчасига олиб
келдики, ундан фойдаланиш сонлар
назариясига алгебраик методларни
киритишга ва улар ёрдамида купгина
дизидарли натижалар олишга имкон
яратди.
В
ВЕКТОР
Вектор — геометриянинг асосий ту-
шунчаларидан бири. Вектор дам сон
(узунлик), дам йуналиш билан харак-
терланади. Кургазмали булиши учун
уни йуналтирилган кесма куринишида
тасаввур дилиш мумкин. Аслида век-
тор дадида гапирганда, даммаси узаро
параллел бир хил узунлик ва бир хил
йуналишга эга булган йуналтирилган
кёсмаларнинг бутун бир синфини на-
зарда тутиш тугрирод булади.
Вектор тушунчаси XIX а. немис ма-
тематиги Г. Грассман ва ирланд ма-
тематиги У. Хамильтон асарларида
киритилди; кейинчалик у куплаб мате-
матик ва физиклар томонидан мамну-
ният билан дабул дилинди. Х,озирги
замон математикаси ва унинг татбид-
ларида бу тушунча мудим роль уйнай-
ди. Векторлар Галилей-Ньютон клас-
сик механикасининг замонавий
баёнида, нисбийлик назарияси, квант
физика, математик идтисод ва табиат-
шуносликнинг бошда куп булимлари-
да дулланади. Табиийки, улар мате-
матиканинг турли содаларида дам му-
дим урин тутади.
Векторни ташкил дилувчи йуналти-
рилган кесмалар (1-расм) синфидан
олинган дар бир элементни шу вектор-
нинг вакили дейиш мумкин.
1-расм. 2-расм.
48
Еш математик цомусий лугати
Вакили А нуктадан В нуктага борув-
чи йуналтирилган кесма-вектор
АВ оркали белгиланади. 1-расмдан
курамизки, AB=CD, яъни АВ ва
CD — айнан бир векторнинг узи
(1-рас мда курсатилган йуналтирилган
кесмаларнинг дар бири унинг вакил-
ларидир). Баъзан векторни устида
стрелкаси бор кичик дарф билан бел-
гиланади. at
Боши ва охири устма-уст тушувчи
йуналтирилган «кесма» оркали ифода-^
ланадиган вектор ноль дейилади; у О
каби белгиланади, яъни АА=0. Бир
хил узунликка, аммо карама-карши
йуналишга эга иккита параллел вектор
карама-карши вектор дейилади. Агар
вектор а оркали белгиланган булса,
унга карама-карши вектор (—~S) каби
белгиланади.
Вектор устидаги асосий амалларни
курайлик. >
I. Векторни нуктадан куйиш. а —
бирор вектор, А эса бирор нукта бул-
син. а векторнинг вакиллари булган
йуналтирувчи кесмалар орасида А
нуктадан бошланадигани бор. Бу
йуналтирилган кесманинг охири В
нукта А нуктадан бошлаб а векторни
куйиш натижасида косил булган нук-
та дейилади (2-расм). Бу амал куйи-
даги хоссага эга:
Б. Ихтиёрий А нукта ва ихтиёрий
вектор а учун АВ = а булган битта
ва факат битта В нукта мавжуд. >
-^Векторларни кушиш. Иккита а ва
b вектор берилган булсин. Ихтиёий
А нуктани оламиз ва А нуктадан бош-
лаб "а векторни куямиз, яъни шундай
В нуктани топамизки, бул-
син (3-расм). Сунгра В нуктадан
бошлаб b векторни куямиз, яъни шун-
дай С нуктани топамизки, ВС = Ь
булсин. АС вектор а ва b векторлар-
нинг йигиндиси д^йилдди ва а -ф b ка-
би белгиланади. а -ф b йигинди А нук-
танинг танланишига боглик эмаслиги-
ни, яъни А ни бошка Л, нукта билан
алмаштирилса, АС векторга тенг AiCi
вектор косил килинишини исботлаш
мумкин (3-расм). Векторлар йигин-
дисининг таърифидан ихтиёрий учта
А, В, С нукталар учун
12: АВ -ф ВС = АС
тенгликнинг тугрилиги келиб чикади
(«уч нукта коидаси»), Агар нолдан
фаркли а ва b векторлар параллел
булмаса, у колда уларнинг йигиндиси-
ни параллелограмм коидаси ёрдамида
j топиш кулай (4-расм).
5-расм.
6-расм.
Вектор
49
II. Векторлар йигиндисининг асосий
хоссаларини ихтиёрий а, Ь, с вектор-
лар учун уринли булган ушбу туртта
-енглик ифодалайди:
—> —> —> —
II . а 4^6 =^Ь +_а. у у >
II.. с) = (а + ь) + с-
п . <Г+ сГ= т
II . а + (—а) = О
Бир неча векторлар йигиндисини
топиш учун аввал иккитаси кушилади,
сунг йигинди учинчиси билан, бу нати-
аэни эса туртинчи вектор билан ку-
лилади ва \.к. Масалан,
-* + b + с + d— ((а + Ь) + c)A~d.
Берилган векторларни кайси тартибда
кушмайлик, II1 ва Па пунктлардаги
хоссалардан камма вак,т бир хил на-
-тика оламиз. Масалан,
Г-ь- ((^+^Н-4= (<Г+а)+ (Н-И
Бир неча а...a.k векторларнинг йи-
гиндиси геометрик усулда куйидагича
хосил к,илиниши мумкин; бу вектор-
тарнинг вакиллари булмиш йуналти-
гилган кесмаларни бирини бошкдси-
чинг охирига кетма-кет куйиш керак
яъни иккинчи йуналтирилган кесма-
нинг боши биринчисининг охири би-
лан устма-уст тушса, учинчисининг
боши иккинчисининг охири билан
.стма-уст тушсин ва к-к-) 5 У колда би-
эинчи векторнинг бошидан сунгги век-
орнинг охирига ( караб йуналган
«ёпувчи» кесма ai —а* вектор-
нг вакили булади (5-расм). (Агар
">ндай кетма-кет куйишда «ёпи^ век-
тор синик, чизик,» хосил булса, <2i +
— дк=0 эканлигини эслатамиз).
__111. Векторни сонга купайтириш.
ноль булмаган вектор, к — нолдан
- лркли сон булсин. ка оркали куйида-
ги икки шарт билан аникланадигаи
екторни белгиланади: а) ка вектор-
-•«нг узунлиги |к| • |а| га тенг; б) ка
вектор а векторга параллел, шу билан
jjpra, к > 0 булганда унинг йуналиши
векторнинг йуналиши билан устма-
»ет тушади ва к<^0 булганда эса ка
- нг йуналиши а нинг йуналищищ.
•-рама-карши (6-расм). Агар а = 0,
к = 0 тенгликлардан камида биттаси
уринли булса, ка купайтма 0 га тен^
деб кисобланади. Шундай_£илиб, ка
купайтма ихтиёрий вектор а ва ихтиё-
рий сон к учур ^никланган.
Ихтиёрий а, b векторлар ва ихтиё-
рий к, I сонлар учун тугри булган ку-
йидаги туртта тенглик векторни сонга
купайтириш амалининг асосий хосса-
ларини ифодалайди:
Шь к(/о|= (к1)^
Ш2. (к-\М)а = ка_^\- 1ск
Шз. к(4г +_£)= ка-\-кЬ.
III4.1 - а = а.
Бу хоссалардан векторлар устида
каралаётган амалларга оид турли ху-
лосалар (фактлар) келиб чикади. Шу-
лардан баъзиларини — масалалар
ечишда куп ишлатиладиганларини
келтирамиз:
а) М нукта АВ кесманинг | МА |
/\MB\-k тенгликни каноатланти-
рувчи нуктаси булсин. У колда ихтиё-
рий О нукта учун ОМ = (О А + k О В)/
(fe + 1) тенглик уринли; хусусан, агар
М нукта А В кесманинг уртаси булса,
у колда ОМ=^-(ОА-\- ОВ).
б) Агар АВС учбурчак медиана-
ларининг кесишиш нуктаси М булса, у
Колда МА -\-MB-\-MC = Q; шу бцлан
бирга, ихтиёрий О нукта учун ОМ =
=1—(О А + О В Ц- ОС) тенглик уринли
О
(тескари тасдиклар кам тугри).
в) М — берилган / тугри чизикдаги
бирор нукта, а шу тугри чизикка па-
раллел нолдан фаркли вектор булсин.
Агар MA = ka (k — бирор сон) булса
ва факат шу колдагина А нукта I туг-
ри чизикка тегишли булади.
г) М — берилган а текисликка те-
гишли бирор нукта, а, b шу текислик-
ка параллел, нолдан фаркди ва узаро
параллел булмаган векторлар булсин.
Агар МА вектор а ва b векторлар ор-
кали ифодаланса, яъни МА = ka +
A-lb булса ва факат шу колдагина А
нукта а текисликка тегишли булади.
50
Еш математик цомусий лугати
Нихоят, фазонинг уч улчовли экан- 8-Расм.
лигини ифодаловчи фактни — улчам-
дорлик хоссасини келтирамиз.
IV. Фазода шундай учта а, Ь, с век-
торлар мавжудки, улардан бирортаси
Хам колган иккитаси орхали ифода-
ланмайди; ихтиёрий туртинчи Р век-
тор бу учта вектор орхали ифодала-
нади:
——>- —>- >
P=ka-{-lb-\-mc.
Масалан, агар а, Ь, с параллелепипед-
нинг бир учидан чихувчи хирралари
буйлаб йуналган учта нолдан фа^хли
векторлар булса, у холда бу а, Ь, с век-
торлар IV хоссага эга булади
(7-расм).
V. а ва b векторларнинг скаляр ку-
пайтмаси (a, хуйидаги тенглик би-
лан аникланади:
а=/=0, 6*^=0 булса, (аГ t)= Iа? |М
cos а, бунда а билан а ва b векторлар
орасидаги бурчак белгиланган; а ва
b векторлардан бири ёки иккаласи 0 га
тенг булса (а7^У=0.
Ихтиёрий а, Ь, с векторлар ва их-
тиёрий к сон учун уринли булган ушбу
туртта муносабат векторлар скаляр
купайтмасининг асосий хоссаларини
ифодалайди:
Vi. (а( b^= (b( ci).
VL>. (k-а( b*j= k (а( b*j.
V,. (аГ(5*4-сТ)= (аГИ+ (act
V4. Агар а#=О булса, у холда ?>0
( бу ерда t? векторни уз-узига скаляр
купайтмаси белгиланган).
V4 хосса муносабати билан шуни
эслатиб утамизки, б? сон вектор узун-
>
лигининг квадратига тенг, яъни ае =
| а |2 ортогоналлик тушунчаси ска-
ляр купайтгуа тушунчаси билан^бог-,
лик: агар (a, b)=Q булса, икки а ва b
вектор ортогонал дейилади. Бошкача
айтганда, а ва b векторлар ортогонал
булса, у холда: ёки бу икки вектор
нолдан фаркли ва улар орасидаги бур-
чак тугри бурчак, ёки бу векторлардан
камида биттаси 0 га тенг (сунгги хол-
да икки вектор орасидаги бурчак аник-
ланмайди).
Векторлар устидаги амалларнинг
юкорида санаб утилган хоссалари,
куп жихатдан, сонларни хушиш ва ку-
пайтириш хоссаларига ухшаш. Айни
вактда вектор — геометрик объект ва
векторлар устида амалларни таъриф-
лашда узунлик ва бурчак каби геомет-
рик тушунчалардан фойдаланилади,
векторларнинг геометрия учун фойда-
си, унинг физика ва билимнинг бош-
ха сохаларидаги татбихлари шу билан
изохланади. Бирох, геометрик масала-
ларни векторлар ёрдамида ечиш учун,
о аввало, геометрик масала шартини
векторлар «тилига» утказиш («таржи-
ма» хилиш)ни урганиб олиш керак.
Мана шундай «таржима»дан кейин,
Вектор
51
векторлар устида алгебраик хисоблар
амалга оширилади, сунгра хосил к,и-
линган векториал ечим яна геометрия
тили»га таржима килинади. Геомет-
лик масалаларни векторлар ёрдамида
ечишнинг мох.ияти шундан иборат.
Мисоллар келтирайлик.
1-масала. М ва А/ нукта лар A BCD
туртбурчак АВ ва CD томонларининг
урталари булсин. ВС, MN, AD томон-
ларнинг урталаридан иборат Р, К,
у нукталар битта тугри чизикда ёти-
_:и исботлансин.
Ечиш. Ихтиёрий О нуктани олай-
,-.ик ва а = ОА, b — ОВ, с —ОС век-
"орларни карайлик (8-расм). Шартга
-.ура, М нукта АВ кесманинг уртаси
бинобарин юкоридаги III а хоссага
•ура), ОМ=^- (ОА-\-ОВ)=-^- (?Ь
— 9). Худди шунингдек, ON = ? (с +
— (5р = cTq = 5-(«+
—ОК= (OMA-ON). Шундай
•..'.либ, масала шартларини вектор
-;<ли»га утказдик.
Энди векторлар устида х,исоб бажа-
хмиз: = (ОМ + ОЛ')=-^-[у
- :-1(а + ^| = 4 (OP+OQ).
-/хоят, векторлар «тилидан» яна гео-
::?ик «тилга» утамиз. Х,осил килин-
х- 0К = -^- (OP-j-OQ) тенглик К
у та PQ кесмасининг уртаси эканли-
билдиради; демак, Р, К, Q нукта-
г бир тугри чизикда ётади.
2-масала. Туртбурчакли параллеле-
ледда (7-расм) АВ, AD, АА\ кир-
т адар, мос равишда, 2, 3, 5 узунликка
а .4 С ва DC\ кесмаларнинг узун-
ликлари ва АС хдмда DC\ тугри чи-
зиклар орасидаги бурчак топилсин.
Ечиш. а, Ь, с,— каралаётган кирра-
лар буйлаб йуналган бирлик векторлар
булсин. Параллелепипед туртбурчакли
булгани учун (а, b ) = (а, с ) =
с ) —0, а = b = с =1. Равшанки,
ЛВ = 2а, Л О = 36, АА'=5с, бино-
барин, АС = АВ, + ВС = АВ +
+ AD = 2_Z+ 3^ ~DC} = ~DC
+ C^Ct В + ~АА ) =2^+ 5с*
Масала шартларини векторлар «тили-
га» утказиш шу билан тугалланди.
Энди векторлар устида х,исоб бажа-
рамиз:
АС2 ~ (2а + 36 )'2 = 4а2 +
+ 12^6 + 962 = 4+9=13;
ОС? = (2а*+ 5с*)2 = 4? +
+ 20ас + 25? = 4+25=29;^
АС • 1йС\ = (2а*+ 3?+ (2?+
5?) = 4? + Юас + баб 4-
+15? = 4
(нукта билан скаляр купайтма бел-
гиланган).
Них,оят, олинган векторий тенглик-
ларни яна «геометрик тилга» утказа-
миз. АС2 =|ЛС|2 булгани учун АС=
= ^АС2 — уО1. Худди шунингдек,
DCi=y29. АС ва OCt векторлар ора-
9-раем.
D
А
О
О
В
52 Еш математик
сидаги бурчакни <р дейлик. AC-DCi =
=[4С| pCi(cos<[ булганидан, 4=
= у13- \/25cosqj, бу ердан cosif> =
= 4/y'13 \/29. Жадваллардан (ёки
микрокалькулятор ёрдамида) <рл=
»78°7' эканини топамиз.
3-масала. Агар ЛС = ВС ва AD =
= BD (9-расм) булса. (AB)L(DC)
булиши исбртлануин. ~,
Ечиш. А С = ВС тенгликдан АС2 —
ВС2 лиги_ келиб чикади. Шунингдек,
AD2 = BD2. Шу билан масала шарти
вектор «тилига» утказилади. Энди
векторлар устида хисоблашларни ба-
жарамиз:
А~С2 — ВС'2 = (). (АС-ВС) (АС +
+ ВС)=0
ABJAC-^BC)=(); AD'2 — BD'2 = 0.
(AD — BD) (A~D-)-BD)=0,
AB (AD + BD)=(). AB катнашган
тенпузлик^арни, айириб. AB(AC~C
4 ВС — AD — BD)=(> ни х,осил к,ила-
миз. Бундан,ДВ(DC ±DC)=0, бино-
барин, АВ • DC — 0. Них,оят, векторий
«тил»дан геометрик «тил»га утамиз:
АВ-D('=0 тенглик АВ ва DC век-
торларнинг ортогоналлигини билдира-
ди, яъни (71B)J_ (DC).
Мактаб геометрия курсининг баёни-
да вектор аникданадиган (к. Таъриф)
тушунча сифатида берилади ва шу-
нинг учун х,ам геометриянинг мактаб
дарслигида кабул к,илинган аксио-
матикаси (к- Аксиоматика ва аксио-
матик метод) векторларнинг хоссаси
хакида хсч нима «демайди», яъни бу
хоссаларнинг хдммаси теорема сифа-
тида исботланиши лозим. Аммо, гео-
метрияни баён килишнинг бошка йули
хам бор. унда вектор ва нукта даст-
лабки (таърифланмайдиган) тушун-
чалар деб хисобланади, юкоридаги 1|,
I2, Hi—IE. Ill, —III4, IV. Vi —V4 хос-
салар эса аксиома сифатида кабул ки-
линади. Геометрияни куришнинг бун-
дай йули 1917 й.да немис математиги
Г. Вейль томонидан таклиф килинган.
цомусий лутати
Бунда тугри чизик, текисликлар таъ-
рифланадиган тушунчалардир.
Геометрияни мана шундай куриш-
нинг афзаллиги унинг кискалигида
ва хам математиканинг узида, хам би-
лимнинг бошка сохаларида замонавий
геометрия тушунчаси билан узвий
алокасидадир. Хусусан, II1—II4, III । —
— III4 аксиомалар ёрдамида хозирги
замен математикаси, физика, матема-
тик иктисод ва х- к.ларда ишлати-
ладиган вектор фазе деб аталувчи
фазе киритилади.
ВИВИАНИ ЭГРИ чизиги
(ВИВИАНА)
Расмда тасвирланган фазовий эгри
чизик — «саккизлик» вивиана дейила-
ди, чунки уни XVII а. да яшаган ита-
лиялик олим В. Вивиани ургангап.
Бу эгри чизик сфера билан радиуси
шу сфера радиусидан икки марта ки-
чик ва унинг маркази оркали утган
цилиндр сирти кесишганда косил бу-
лади. Вивиана сфера сиртидан юза-
ларининг йигиндиси сфера диаметри-
га ясалган квадрат юзасига тенг икки-
та булак ажратади. Математик анализ
фанинипг асосчилари Г. В. Лейбниц,
И. Бернулли ва б. анализ методлари-
нинг кучини вивианага татбик килиб
синаб куришган. (Расмга караш).
Гармоник цат op 53
S, = 1, s2 = I + у,
S4 = S2 4- (-Q- + -r- ) > s2 +
О i
+ <4+4} = 1 + 4 -
S 8 = S4 + (-g- +-g-+^- +
+4)>S4 + (4+i +
+4+4}> 1+4
ГАРМОНИК К,ATOP
, , 1 , 1 ,
. армоник к,атор — 1 -j—4—х- +
Z о
1 , 1 ,
-------Ь ...----к ... — сонли к,атор.
4 п
Гармоник каторнинг иккинчисидан
'ошлаб кар бир х,ади иккита кушни
хадининг урта гармонигига тенг бул-
~ани учун кам шундай аталади (к- Ур~
га к,ийматлар). Гармоник каторнинг
хадлари номери ортиши билан камая-
ва нолга интилади, аммо
' = 1 + ... + J_ хусусий
лгиндилар чексизликка интилади.
5\нга ишонч косил килиш учун ушбу
•уносабатларни караш етарли:
Бу мулоказаларни давом эттириб, гар-
моник каторнинг 2* та кади йигин-
, , k
диси 1 4” дан катта деган хулоса-
га келамиз. Бундан эса, гармоник ка-
торнинг хусусий йигиндилари чек-
ланмай усиши, яъни гармоник катор-
нинг узоклашувчилиги келиб чикади
(к- К,атор). Аммо, бу усиш жуда се-
киндир. Гармоник каторнинг хоссала-
рини урганган Л. Эйлер Siooo~7,48,
Sioooooo~ 14,39 эканлигини топган.
Бундан ташкари, Эйлер гармоник ка-
тер хусусий йигиндилари учун ажойиб
богланишни урнатди, Sn — 1пп айирма-
нинг лимити узгармас эканини курсат-
ди: Um (Sn — l„n) = С. Бу тенгликда-
ги У^Эрмас С Эйлер доимийси дейи-
лади, у тахминан 0,5772 га тенг
(Эйлернинг узи, бошка мулоказалар-
дан келиб чикиб, С ни 15 та хона аник-
лигида кисоблаган).
п та бир хил гиштдан куйидагича
ясалган «зина»ни тасаввур этайлик:
иккинчи гишт биринчисининг тагига
шундай куйилганки, биринчисининг
огирлик маркази иккинчисининг унг
четига тугри келади, сунгра бу иккита
гишт тагига учинчи гишт шундай ку-
йилганки, биринчи икки гиштнинг
умумий огирлик маркази учинчи
гиштнинг унг четига тугри келади
ва к- к. (1-расм). Бундай «зина»нинг
огирлик маркази А нуктага проекция-
ланади, демак, «зина» йикилмайди.
Агар гиштнинг узунлиги I булса, у
колда биринчи гишт иккинчисига нис-
54
Еш математик цомусий лугати
батан -% га сурилган булади, иккин-
чиси учинчисига нисбатан — га,
(&-(-1)-гишт /г-си га нисбатан
га ва хамма «зина» унгга А„ =
га сурилган булади.
К,авсдаги ифода гармоник катор-
нинг Sn-i хусусий йигиндисидир. Де-
мак, курсатилган усул билан унг то-
монга исталганча сурилиб, айвон х,о-
сил киладиган «зина» куриш мумкин.
Аммо, айтиб утилганидек, Д„-жуда
секин усади. Масалан, агар 1000 та
гишт тахланса, у холда Аюоо катталик
гишт узунлигининг хаммаси булиб
3,8%ини ташкил килади, холос.
ГЕОМЕТРИК
АЛМАШТИРИШЛАР
Текисликни геометрик алмашти-
риш — текисликнинг уз устига узаро
бир кийматли акслантиришидир. Энг
мухим геометрик акслантиришлар —
харакатлар, яъни масофани саклай-
диган акслантиришлардир. Аникрок
килиб айтганда, агар f — текислик-
нинг харакати булса, бу текисликнинг
ихтиёрий икки А, В нуктаси учун
f(A) ва /(В) нукталар орасидаги ма-
софа | АВ | га тенг.
Х,аракат фигураларнинг тенглиги
(конгруэнтлик) тушунчаси билан бог-
лик: агар а текисликнинг F ва G фи-
гураларидан бирини иккинчисига ут-
казадиган текислик харакати мавжуд
булса, бу фигуралар тенг деб атала-
ди. Амалда бу таърифни Евклид хам
куллаган (к- Геометрия). Агар бир
фигурани иккинчисининг устига барча
нукталари утма-уст тушадиган килиб
куйиш мумкин булса, Евклид бу фи-
гураларни тенг деб атаган; бу ерда
фигурани бутун каттик жисм сифати-
да (масофаларни узгартирмай) кучи-
ришни устма-уст тушириш деб, яъни
харакатни тушуниш керак.
Укка нисбатан ва марказий симмет-
рия, параллел кучириш, буриш текис-
лик харакатининг намуналари булади.
Мисол сифатида параллел кучириш-
нинг таърифини эслаймиз. Айтайлик
а текисликнинг бирор век тори н бул-
син. Х,ар бир А^а нуктани АА‘=а
булган А1 нуктага утказувчи геомет-
рик алмаштириш (1=расм) а вектор-
1-расм.
га параллел кучириш дейилади. Па-
раллел кучириш харакатдир: агар А ва
В нукталар А1 ва В1 га утса,
яъни АА1=а, В В1 =а булса, у холда
А = AjA ф АВ + В*В = о + АВ +
-\-а = АВ, шунинг учун | А1 В11=| АВ |
Х,аракатлардан фойдаланиб геомет-
рик масалаларни ечишда купинча ке-
сишманинг сакланиши хоссаси кул-
ланилади: ихтиёрий f харакатда фи-
гураларнинг кесишмаси улар образ-
ларининг кесишмасига, яъни Р, Q их-
тиёрий фигуралар булса, Р П Q фи-
гура f харакат натижасида f(P)Pf{Q)
фигурага утади (шунга ухшаш хосса
бирлашма учун хам уринли).
1-масала. Маркази бурчакнинг бис-
сектрисасига тегишли айлана унинг
томонларини А, В, С ва В нукталар
да кесади (2-расм). | АВ |=| CD | экан-
лигини исботланг.
Ечиш. Бурчакнинг томонларидан
бирини Р билан, каралаётган айлана
билан чегараланган дойра ни Q би-
лан белгилаймиз. Бурчакнинг бис-
сектрисасига нисбатан s симметрик
алмаштиришда Р нур бурчакнинг ик-
кинчи томони булган В* нурга утади,
Q дойра эса узига аксланади: s(B)=
В1, s(Q)=Q. Кесишманинг сакла-
ниш хоссасига кура B|"]Q фигура
Геометрик алмаштиришлар
55
s(/’)ns(Q) фигурага, яъни Р' П Q га
утади. Бошкача айтганда АВ кесма
CD кесмага аксланади, шу туфайли
|ЛВ| = |СВ|
2-масала. Ёйик. бурчакдан кичик
бурчакнинг ичида А нукта берилган.
Бурчакнинг томонлари орасидаги кес-
маси шу нуктада тенг иккига були-
надиган тугри чизик утказинг.
Ечиш. А нуктага нисбатан сим-
метрияни z билан, бурчак томонлари
ётган тугри чизикларни Р ва Q билан
белгилаймиз (3-расм). г симметрия
натижасида Р тугри чизик унга парал-
лел Р' тугри чизикка утади. Р' тугри
чизик бурчакнинг иккинчи ^омонини
С нуктада кесади. С е /^булгани учун
С га нисбатан симметрии D нукта
Р1 га симметрик тугри чизикка тегиш-
ли: D^P. Шундай килиб, D^P ва
С е Q нукталар А га нисбатан симмет-
рик, бинобарин CD кесма А нуктада
тенг иккига булинади, яъни CD — из-
ланган тугри чизик-
Нима учун 1-масалада укка нисба-
тан симметрия, 2-масалада эса марка-
зий симметрия кулланганини тушу-
ниш кийин эмас. Бурчакнинг биссект-
рисаси — унинг симметрия уки, шу-
нинг учун 1-масалага укка нисбатан
симметрияни куллаш айни муддаодир
(шу каби 2-масалада марказий сим-
метрия кулланиши табиий: CD кесма
.4 нуктада тенг иккига булиниши,
яъни изланаётган С ва D нукталар
.4 га нисбатан марказий симметрик
булиши керак). Бошка х,олларда х.ам
масала шартининг таклили ечимни то-
пишда кулланадиган йуналишни аник-
лашга имкон беради.
3-масала. АВС учбурчакнинг АВ
ва ВС томонларида учбурчакка нис-
батан ташки ABMQ ва ВС PH
квадратлар ясалган. MN кесма АВС
учбурчакнинг BD медианасига тик
ва ундан икки марта узун булишини
исботланг.
Ечим. 90° га буришни куллаб ку-
рамиз, аникроги, текислик В нукта
атрофида 90° га бурилса (соат мили
йуналишида), МН кесма BD га па-
раллел ва ундан икки марта узун кес-
мага угишига ишонч косил килишгд
уннаймиз^ Буриш натижасида^МВ
вектор НВ га утади (4-расм), ВН эса
ВСга утади. Демак, MN = МВ +
-\-ВН вектор НВ + ВС йигиндига,
яъни НС га утади. Аммо НВ = ВА
эканлиги учун НВ + ВС=ВА +
А~ ВС — 2BD. Хуллас, 90° га бурил-
—>- —>-
ганда МН вектор НС га утадики, у
2BD га тенг. Бундан МН _L BD ва
| МН |= 21BD | эканлиги келиб чикади.
Х,аракатларнинг йуналиш билан
алокаси гоят муким. 5-расмда куп-
бурчак контурини мусбат (соат мили-
га тескари) йуналишда айланиб чи-
киш тасвирланган. Параллел кучи-
рилганда яна аввалгидек йуналишдаги
купбурчак косил килинади, яъни па-
раллел кучириш айланиб чикиш йуна-
лишини, ёки кискача килиб айтганда,
йуналишни саклайди. Буриш кам (ху-
сусан, 180° га буришдан иборат мар-
казий симметрия) йуналишини сак-
лайди (6-расм). Аксинча, укка нисба-
тан симметрия айланиб чикиш йуна-
лишини, яъни йуналишни тескарисига
узгартиради (7-расм). Йуналини уз-
гартирадиган каракатнинг бошка ми-
56 Еш математик цомусий лутати
4-масала. Уклари узаро кесишади-
ган иккита (ук,ка нисбатан) симмет-
рияларнинг композицияси буришдан
иборат булишини исботланг.
Ечим. si ва S‘2 — укка нисбатан
симметриялар булиб, уларнинг укла-
ри (/, ва /2 тугри чизикдар) О нуктада
кесишсин. Х,ар икки si, s2 харакат
йуналишни узгартирганлиги учун
уларНИНГ КОМПОЗИЦИЯСИ S2°S| (олдин
Si, кейин S2 бажарилади) йуналишни
саклайдиган харакат булади. Шаль
теоремасига кура S2°si ё параллел ку-
чириш, ёки буришдан иборат. Лекин
Si, S2 харакатларнинг хар бирида О
нукта кузгалмайди, шу сабабли, улар-
нинг композициясида хам О нукта
соли — сурилма симметрия, у бирор /
тугри чизикка нисбатан симметрия
билан I га параллел вектор буйича
параллел кучиришнинг композици-
сидан иборат (8-расм).
XIX а. француз механиги ва гео-
метри М. Шаль куйидаги теоремани
тавсифлаган: текисликнинг йуналиш-
ни саклайдиган хар цандай харакати
ё параллел кучириш, ёки буришдан
иборат; текисликнинг йуналишни уз-
гартирадиган хар цандай харакати ё
укка нисбатан, ёки сурилма симмет-
риядир.
урнида колади. Демак, s2-Si харакат О
нукта атрофида буришдир. Буриш
бурчаги кандай топилиши 9-расмдан
тушунарли: агар h ва 12 тугри чизик-
лар орасидаги бурчак <[ булса, S2°Si
харакат О нукта атрофида 2<р бурчак-
ка буришдан иборат (чиндан Ас1{
булгани учун si нукта харакатда уз
урнида колади, s2 харакатда эса 1\ га
нисбатан симметрик В нуктага утади,
Sjosi эса А ни В га утказади). Текис-
ликни геометрик алмаштиришлари-
нинг ахамияти жихатидан навбатдаги
группасини ухшаш алмаштиришлар
ташкил этади. Улардан энг соддаси —
гомотетия. К,уйидаги таърифни олай-
лик: ихтиёрий олинган А нуктани
О А1 = kOA шартни каноатлантирув-
чи А1 нуктага утказадиган геометрик
алмаштириш О марказли ва Л(/г^О)
коэффициентли гомотетия дейилади
(10-расм). Гомотетия хар бир тугри
чизикни унга параллел тугри чизикка,
хар бир айланани яна айланага ут-
Геометрик алмаштиришлар
57
10-расм,
тахминан уч марта катта эканлигини
хисобга олиб мурининг баландлигини
топиш мумкин).
5-масала. Берилган секторга ички
12-раем»
казади. Гомотетия бурчакларни сак-
лайди, узунликларни эса k марта кат-
талаштиради: агар гомотетияда А, В
нукталар А1, В'га утса, |Л1В'| =
= | k | • | ЛВ | булади. Бундан гомоте-
тия фигураларнинг шаклини саклаши
(улчамини эмас) келиб чикади; маса-
лан, агар k > 1 булиб, О марказли, k
коэффициентли гомотетияда F фигу-
рани F' га утказса, F1 фигура F нинг
катталашган нусхаси булади (10-
расм), холда эса F1 фигура
F нинг кичиклашган нусхасидир.
Гомотетияда барча узунликлар бир
хил сон мартага узгарсада, узунлик-
лар нисбати узгармайди. Масофаларни
чизилган квадрат ясанг (квадратнинг
икки учи бир радиусда, учинчи учи
бошха радиусда, туртинчиси эса сек-
тор ёйида ётади).
Ечим. ABCD ва A\B\C\D\ квад-
ратлар MON бурчакка ички чизил-
ган булсин (12-расм). О марказли
гомотетияда В нукта В, га утади
(гомотетия коэффициенти эса
k — | О В11 /1 ОВ | га тенг), АВ кес-
ма Д|В| га, демак, ABCD квадрат
A\B\C\D\ квадратга утади (бурчак-
лар ва кесмаларнинг нисбатлари
сакланиши туфайли). Бундан С ва
Ci учлар О нуктадан чикадиган
битта нурда ётади, деган хулосага ке-
11 -раем.
чамалашнинг хар хил усуллари мана
шунга асосланган; масалан, кул ва
бош бармок узунлигини билган холда,
кулни олдинга узатиб, куринаёт гаи
предмет тасвирида бош бармок неча
марта жойланиши чамаланса, предмет
баландлигининг предметгача булган
масофага нисбатини топиш мумкин
ill-расмда |ЛВ | / | ВО | = IА 'В1 | / |
В О|, бундан курина^ики, | ВО | ни
члчаб, | АВ | ни топиш, сунг | АВ | дан
линади. Энди ечим осон: MOi\ бур-
чакка ички чизилган ихтиёрий ABCD
квадрат ясаб, ОС нур утказилса, изла-
наётган квадратнинг С учини (яъни
юкоридагидек ОС нур билан сектор-
нинг Al N ёйи кесишган нуктани) топа
оламиз, сунг талаб этилган квадрат-
нинг узини ясаймиз (13-расм).
Агар а текисликнинг ихтиёрий А,В
нукталари учун f (А) билан f (В) нукта-
лар орасидаги масофа k • |ЛВ |га тенг
58
Еш математик цомусий лугати
13-расм.
булса, текисликнинг f алмаштириши
kZ>0 коэффициентли ухшашлик деб
аталади. Хар кандай ухшашлик
(унинг хусусий холи—гомотетия син-
гари) бурчакларни хамда узунликлар-
нинг нисбатини, яъни фигураларнинг
шаклини саклайди. Бирок гомотетия-
дан фаркли равишда ухшашлик I туг-
ри чизикни унга параллел булмаган /'
тугри чизикка утказиши мумкин.
14-расмда тасвирланган айнан бир
жойнинг икки Р ва Pi плани турли
масштабда чизилган ва улар текислик-
да турли холатда ётибди. Бу планлар
ухшаш, аммо гомотетик булмаган фи-
гуралардан иборат; масалан, АВ чизик
билан унга мос А\В\ чизик параллел
эмас. Р пландан Pi планни хосил ки-
14-расм.
лиш учун шундай йул тутиш мумкин:
аввал Р план томонлари Pi план то-
монларига параллел булгунча бурила-
ди, сунг гомотетия кулланади. Бошка-
ча айтганда Р дан харакат (буриш)
композицияси ва гомотетия ёрдамида
Р га ухшаш Pi план хосил килинади.
Келтирилган холат умуман тугри,
яъни хар кандай g ухшашлик h°f ком-
позиция куринишида ифодаланади,
бунда f — харакат, h. эса — гомоте-
тия. Шу сабабли, равшанки, ухшаш-
лик методи билан масалалар ечганда
фацат гомотетия билан (бирор хара-
катни кушиб) чекланиш мумкин. Бу
маълум кулайликлар тугдиради: хар
хил жойлашган ухшаш учбурчаклар-
нинг томонлари нисбати тенглигини
ёзиш учун уларнинг мос томонларини
катта эътибор билан излашни эслай-
лик; гомотетик учбурчаклар учун эса
бу нисбатлар анча осон ёзилади.
8-масала. АВС учбурчакнинг то-
монлари а2 = с(ЬА~с) муносабат би-
лан богланган. А бурчак С бурчакдан
икки марта катталигини исботланг.
Ечим. D нукта АВ тугри чизикнинг
| AD |= b шартни каноатлантирувчи
нуктаси булсин ва А нукта В билан D
орасида ётсин (15-расм). Бу холда
ACD учбурчак — тенгёнли, шунинг
учун Z- 1 = Z. 2; бундан ташкари,
[В£)]= b -1-с. В бурчакнинг биссек-
Геометрик алмаштиришлар
59
6-расм.
рисасига нисбатан симметрияда А ва
” нудталар шундай А1 ва С1 нукдалар-
га утадики, |ВЛ'|=|В/4 |=с, |ВС'|=
= ВС |= а хамда /13 = /14 булади.
а = с (b + с) тенгликни
!>+с __ а
а с »
яъни
|во|_|вс'|
|вс| |вдЧ
куринишда ёзиш мумкин. Бу ердан В
марказли ва k =| BD | /1 ВС' | коэффи-
диентли гомотетияда D, С нудталар
? , А' га утади. Демак, ВСЦС'Л1, шу
сабабли, 2.2 = /14,яъни Z. 1 = /12 =
' раем.
= /13=/14. ВАС бурчак ACD уч-
'рчакнинг ташки бурчаги булгани
учун у Z_ 1 ва /12 бурчакларнинг
। игиндисига, яъни С бурчакнинг ик-
киланганига тенг.
Ухшаш алмаштиришлар хакида хи-
коямизнинг якунида улар алмашти-
ришлар группасини ташкил этишини,
шунинг учун Эрланген программасига
мувофик «уз» геометриясини аникла-
шини таъкидлаймиз. Бурчак, икки
кесма узунликларининг нисбати, икки
тугри чизикнинг параллеллиги ва б. бу
группанинг инвариантларидир (яъни
барча ухшаш алмаштиришларда сак-
ланадиган ва ухшашлик геометрияси-
да урганиладиган хоссалардир). Гар-
чанд кесма узунлиги сакланиши шарт
булмасада, ухшашлик геометриясида
узунликлар нисбати саклангани учун
тенгёнли учбурчак хакида гапириш
мумкин (чунки ён томонларининг
нисбати 1 га тенглиги учбурчак-
нинг тенгёнли эканлигини билдира-
ди). Тенгёнли учбурчакнинг асосидаги
бурчаклари тенглиги хакидаги теоре-
ма ухшашлик геометриясида саклана-
ди. Пифагор теоремаси хам ( а/с)2 +
+ (В/с)2 = 1 (а/с ва Ь/с — катетлар
узунлигининг гипотенуза узунлигига
нисбати) шакли да уз кучи ни саклайди
ва б.
Бирок ухшашлик геометрияси Евк-
лид геометриясидан баённинг шакли-
дан бошка хеч нимаси билан фарк
килмас экан, деб уйламаслик лозим.
Бу икки геометрияни фарклайдиган
фактлар мавжуд. Масалан, L чизик
куйидаги хоссага эга булсин: бу чи-
зикнинг ихтиёрий икки А,В нуктаси
учун каралаётган геометрияни аник-
ловчи f алмаштириш топилади. Бу
хоссага эга булган чизик хакида у узи
буйлаб силжий олади дейишга кели-
шамиз. Евклид геометриясида (яъни
текислик харакатлари группаси аник-
лайдиган геометрияда) факат икки
хил туташ (яъни яхлит булакдан ибо-
рат) чизиклар, масалан, тугри чизик-
лар ва айланалар узи буйлаб силжий
олади. Ухшашлик геометриясида эса
тугри чизиклар ва айланалардан бош-
ка узи буйлаб силжий оладиган чи-
зиклар мавжуд; улар — кутбий коор-
динаталар системасида у = /)оек{1
тенглама билан аникланадиган лога-
рифмик спираллардир (16-расм).
ёш математик цомусий лугати
60
Ухшашлик геометриясининг бир
гаройиб факти g = h.°r куринишдаги
алмаштиришлар билан боглик, бунда
г — О нукта атрофида (р0 бурчакка бу-
рит, h эса — О марказли ва k0 > О
коэффициентли гомотетия. А—г,
A-ь Ап, Ai, А2, ...— нукталар кетма-
кетлиги g алмаштиришда бир-бирига
утсин, яъни ихтиёрий бутун i учун
g(A)=A + i булсин (17-расм). Бу
нукталар битта логарифмик спираль
устида ётади хамда i нинг исталган бу-
тун кийматида AOA+i бурчакнинг
киймати айнан (р0 га тенг. Бу нукта-
ларни кетма-кет туташтириб, ...Л_2
А_ i Ав Ai А2... чексиз синик чизик
хосил киламиз. У g алмаштиришда
узига утади, хар бир А учи эса кушни
Ад1 учга кучади.
Курилган g = h°r ухшаш алмашти-
риш (уни чузма буриш деб аташади)
комплекс сонлар билан узвий боглик
эканлигини таъкидлаймиз. z=x-\-iy
комплекс сонни координата боши-
дан (х; у) нуктага борувчи йуналти-
рилган кесма шаклида тасвирлаш
мумкин. Комплекс сонлар бу каби
геометрик тасвирланганда векторлар
каби кушилади (18-расм). Комплекс
сонларни купайтириш амалига гео-
метрик маъно бериш учун эса юкорида
курилган g = h°r чузма буриш кулай.
Чунончи, z = x-\-iy — бирор комплекс
сон, р — унинг модули (яъни тасвир-
ловчи кесма узунлиги), <р эса аргумен-
та (яъни йуналтирилган кесманинг
абсцисса укининг мусбат кисмига
огиш бурчаги) булсин. Агар, биринчи-
18-расм.
дан, 1 сонини тасвирловчи вектор р
марта чузилса, сунг, иккинчидан, век-
тори 1 га мос вектордан g = h°r = r°h
алмаштириш билан хосил килинади,
бунда h — маркази координата боши-
да ва коэффициенти р булган гомоте-
тия, г эса координата боши атрофида
<р бурчакка буриш. Хуллас, z = g(l).
Энди zl =x2-\-iyl бошка комплекс сон
булса, g алмаштиришни (яъни тасвир-
ланувчи векторни р марта чузиб, <р
бурчакка буриш) кулланганда z1 сони
zz1 га утади (19-расм).
Бошкача айтилса, 19-расмдаги уч-
бурчаклар ухшашдир. Мана шу хол
комплекс сонларни купайтиришнинг
20-р«к '«
Геометрик алмаштиришлар
61
геометрик изохини беради. Айтилган-
лардан равшанки; барча комплекс сон-
арни тайин бир z сонига купайтириш,
барча комплекс сонлар текислигини
чузма буришга олиб келади. Хусусан,
ихтиёрий учта z0, 21, 22 комплекс сон-
лари учун биз 22 — 2о = 2 (21 — 20) ТСНГ-
тикни ёза оламиз, бунда 2 — модули
г.—20 ва 2|—20 векторлар узунлик-
арининг нисбатига, аргументи эса бу
векторлар орасидаги бурчакка тенг
вектор (20-расм).
9-масала. А2, А3 учбурчакнинг
томонларида унга нисбатан ташки
4 В1Л2, А2В2Л3, А3В3Л1 узаро ухшаш
чбурчаклар ясалган. В]В2В3 учбур-
акнинг медианалари кесишган нукта
А41Д2Ло медианалари кесишган нук-
та билан устма-уст тушишини исбот-
лаш. > }
__рчим. ОА], ОА2, ОАз, ОВ\, ОВ2,
ОВз векторлар билан тасвирланадиган
комплекс сонларни а\, а2, а3, Ь\, Ь2, Ь3
билан белгилаймиз У холда а2 — Ь\ =
=z(ax — b\),a3 — b2=z(a2 — b2\ а} —
— b3 = zfy3 — b3) булиб, бунда 2 —
модули каралаётган ухшаш учбурчак-
лар ён томонларининг нисбатига, ар-
гументи эса <р га тенг комплекс сон
(21-раем). Сунвги тенгликларни куш-
сак, маълум соддалаштиришлардан
кейин
2 — 1) (£>1-|-б2 + 6з)=(2 — 1) (О1 +
— Ог + ^з)
хосил киламиз. 2 1 булгани учун
( z сонининг аргументи <р нолдан
фарклилиги сабабли) бу ер дан bi +
— £>2 + b3 = О] +02 + ^3 келиб чикади.
Вектор белгилашларга угиб, 3 га бул-
-ак
1/ 3 (ОВ1 + ОВ2 + ОВз)=1/3 (ОЛ1 +
-|- О А 2 -)- О А о)
хосил киламиз. Бу эса АВХВ2В3 ва
АЛ1Л2А3) медианаларнинг кеси-
шиш нукталари устма-уст тушишини
билдиради. (%. Вектор).
Х,озирги замен геометриясида му-
\им роль уйнайдиган бошка алмашти-
ришлар хакида уам кискача хикоя
Киламиз. Агар Евклид текислигининг
алмаштириши хар бир тугри чизикни
яна тугри чизикка утказса, узаро
параллел тугри чизикларни эса яна
параллеллигича колдирса (22-расм),
у аффин алмаштириш дейилади. Агар
текисликка координаталар системаси
киритилса, аффин алмаштириш чи-
зикли муносабатлар билан берилади,
яъни А(х; у} нукта утадиган A’(x‘;
1/1 ) нукта
pc1 = ах -|- by + р
УУ= cxA-dy + q
62
Еш математик цомусий лугати
формулалар билан аникданади, бунда
ad — bc=^=Q (ва аксинча: бу каби фор-
мулалар бирор аффин алмаштириш-
ларни беради). Агар А, В, С текис-
ликнинг бир тугри чизикда ётмайди-
ган уч нуктаси, А1, В1, С1 эса бир туг-
ри чизикда ётмайдиган бошка уч нук-
таси булса, у колда А, В, С нукталарни
мос холда А1, В1, С’ га утказадиган
аффин алмаштириш мавжуд ва факат
битта. Аффин алмаштиришларда
узунликлар ва бурчаклар узгариши
мумкинлигини эслатамиз. Кесмалар
узунлигининг нисбати хам (ухшаш
алмаштиришлардан фаркли уларок)
сакланмайди. Бирок парраллел икки
кесма узунликларининг нисбати их-
тиёрий аффин алмаштиришда сакла-
нади. Хусусан, кесманинг уртаси
аффин алмаштиришда яна кесманинг
уртасига, учбурчак медианаси '— ме-
дианага, параллеллограмм — парал-
леллограммга утади ва б. Аффин
алмаштиришда дойра эллипсга утади
ва бунда аффин алмаштиришларнинг
юкорида келтирилган хоссаларидан
куйидаги факт равшан булади: эл-
липснинг узаро параллел ватарлари-
нинг урталари эллипс марказидан
утади ган бир кесмада ётади (23- А
раем).
23-расм.
Текисликнинг барча аффин алмаш-
тиришлари, бирга олиб каралганда,
алмаштиришлар группасини ташкил
этади ва шу сабабли улар маълум
геометрияни аниклайди. У аффин гео-
метрия деб аталади. Бу группанинг
инвариантлари (яъни фигураларнинг
аффин геометрияда урганиладиган
хоссалари): нукталарнинг бир тугри
чизикда ётиши, параллеллик, парал-
лел кесмалар узунликларининг нис-
бати ва улардан келиб чикадиган бош-
ка хоссалар (масалан, фигуранинг
симметрия маркази мавжудлиги). Бу
геометрия хакида батафсилрок тухтаб
утирмай, мисоллар оркали аффин
алмаштиришларнинг юкорида келти-
рилган хоссалари масалалар ечишга
кандай кулланишини курамиз.
10-масала. Ихтиёрий трапецияда
асосларининг урталари, диагоналла-
рининг кесишиш нуктаси ва ён томон-
лари давом этт и рил ганда кесишади-
ган нукта бир тугри чизикда ётишини
исботланг.
Ечиш. Тенг ёнли трапеция учун бу
равшан (чунки тенг ёнли трапеция
асосларининг уртасидан утувчи тугри
чизикка нисбатан симметрик). Энди
А1В'С'Р'—исталган трапеция,
ABCD эса худди шундай асосларга
эга тенгёнли трапеция булсин (24-
расм). А, В, С нукталарни мос тар-
тибда А\ В\ С' нукталарга утказа-
диган аффин алмаштиришни карай-
лик. Бу алмаштиришда AD, ВС тугри
чизиклар AlD\ В'С' га утади (чунки
ДОЦВС тугри чизикларнинг парал-
леллиги сакланади). Сунг, |Д£)|/
/ | ВС?| = | Л'£>‘| / IB'C'I булгани
учун, D нукта О1 га утади (чунки
параллел кесмаларнинг нисбати сак-
ланади). Бошка ибора билан айтсак,
АВ CD трапеция A'B'C'D' га утади.
Демак, М, N, Р, Q нукталарнинг бир
тугри чизикда жойлашиши сакланади,
яъни /РВ’С1/)1 трапецияда М*. А1,
Р', Q' нукталар хам бир тугри чизикда
ётади.
11-масала. учбурчакка эл-
липс ички чизилган ва хар бир уч кара-
ма-карши томоннинг эллипсга урин-
Геометрик алмаштиришлар
63
ан нуктаси билан туташтирувчи кес-
малар утказилган. Бу уч кесма бир
-уктада кесишишини исботланг.
Ечиш. f — бирор айланани кара-
•ётган эллипсга утказувчи аффин
-тмаштириш булсин ва бу алмашти-
тишда АВС учбурчак Л'В'С1 учбур-
кка утсин. Ички чизилган айлана
125-расмнинг чап булаги) учун урга-
лаётган хосса (исботлаш к,ийин
?час) уринли булгани учун у ички чи-
тган эллипс (25-расмнинг унг була-
ги) учун хам тугри.
•Проектив геометрия» маколасида
«лндай килиб текислик хосмас («чек-
-тгз узокдашган») нукталар билан тул-
лирилганда у проектив текисликка
ланиши хакида хикоя килинади.
Нукталарнинг бир тугри чизикда жой-
ашишини сакдайдиган проектив те-
«исликнинг алмаштиришлари проек-
- в алмаштиришлар дейилади.
1роектив алмаштиришлар координа-
-пар оркали каср чизикди формула-
тар билан берилади:
ах + Ьу + р
mx + пу + г ’
(1)
cx-\-dy + q
тх + пу + г '
Бундан ташкари, агар л — координа-
алар системаси билан таъминлан-
.IH евклид текислиги, л* эса л га хос-
*с элементларни бириктириб хосил
килинган проектив текислик булса, у
холда л* текисликнинг хаР кандай
проектив алмаштириши координата-
ларда (1) формулалар тарзида ёзи-
лади. Факат бунда А (х; у) нукта хам,
у утадиган А' (х1; у1) нукта хам хос-
мас нукталар була олмайди.
Проектив алмаштиришлар проектив
текислик алмаштиришлари группаси-
ни ташкил этади. Эрланген програм-
масига мувофик бу труппа бирор гео-
метрияни аникдайди — у проектив
геометриядир. Проектив алмашти-
ришларнинг инвариантлари (яъни
фигураларнинг проектив геометрияда
урганиладиган хоссалари): нукталар-
нинг бир тугри чизикда ётиши, бир
тугри чизикда ётувчи турт нуктанинг
ангармоник нисбати ва б.
А, В, С, D проектив текисликнинг
турт нуктаси булиб, улардан хеч кайси
учтаси бир тугри чизикда ётмасин,
А1, В1, С1, D1.— шу текисликнинг
бошка турт нуктаси булиб, улардан
Хам хеч кайси учтаси бир тугри чизик-
да ётмасин. Бу холда А, В, С, D нук-
таларни мос тартибда А1, В', С', D' га
утказувчи проектив алмаштириш мав-
жуд ва факат битта булади. Проектив
алмаштиришларнинг санаб утилган
хоссаларидан фойдаланиб хар хил
геометрик масалаларни ечиш мумкин.
12-масала. 26-расмдаги Af1, Nl, Р1,
Q1 нукталар бир тугри чизикда ётиши-
ни исботланг.
Ечиш. К1 ва L1 хосмас нукталарни
чексиз узокдашган нукталарга утка-
зувчи р проектив алмаштириш ола-
миз; натижада 26-расмнинг унг тара-
фидагидек нукталарнинг жойлашуви-
га (евклид текислигига) эга буламиз.
Унда, равшанки, М, N, Р, Q нукталар
бир тугри чизикда (Л ва /2 тугри чи-
зикдар оралигининг урта чизигида)
ётади. Энди тескари р~1 алмашти-
ришни куллаб, 26-расмнинг чап та-
рафидаги Af1, A1, Р', Q1 нукталар хам
бир тугри чизикда ётади, деган хуло-
сага келамиз (чунки р-1 проектив
алмаштириш нукталарнинг бир тугри
чизикда ётиш хоссасини сакдайди).
Юкорида курилган алмаштириш-
ларнинг хдммаси нукталарнинг бир
тугри чизикда (ё евклид текислигида,
ёки проектив текисликда) жойлаши-
шини саклайди. Бошка суз билан,
текисликдаги барча тугри чизикдар
системаси яна шу чизикдар система-
сига утказилади. Чизикларнинг бошка
бир синфига нисбатан худди шундай
хоссага эга булган кизикарли алмаш-
тиришлар мавжуд. Чунончи, евклид
текислигидаги барча тугри чизикдар
ва барча айланалардан иборат систе-
мани курайлик. Чизикдарнинг шу
системасини яна узига утказувчи
алмаштиришлар доиравий алмашти-
ришлар дейилади. Бошкача айтганда
тугри чизик доиравий алмаштиришда
яна тугри чизикка ёки айланага утади
(айлана учун хам худди шундай).
Евклид текислигига дойр бир битимга
аникдик киритамиз. У куйирокда
доиравий алмаштиришларни мухока-
ма килишда керак булади. Хрзирча
доиравий алмаштиришларнинг бир
мухим мисоли — инверсия деб юри-
тилувчи алмаштиришни караймиз.
Текисликнинг бирор О нуктаси ва
бирор R мусбат сон берилган булсин.
Текисликнинг О дан фаркди хар бир
А нуктасини О А нурнинг | О А | •
• | О Аl\ = R2 шартни каноатланти-
рувчи А' нуктасига утказадиган гео-
метрик алмаштириш О марказли ва R
радиусли инверсия дейилади (27-
расм). Инверсиянинг «радиуси» деган
номнинг сабаби шуки, О марказли ва
R радиусли айлананинг хар бир нук-
таси бу алмаштиришда кузгалмай уз
урнида колади (бу факт тугрилиги
равшан). Бу айлана инверсия айлана-
си дейилади. Унинг ичидаги нукталар
ташкарисида ётадиган нукталарга
утади ва аксинча. Мана шунга асосла-
ниб инверсияни купинча айланага
нисбатан симметрия хам дейишади.
Инверсия доиравий алмаштиришдир:
хар бир тугри чизик ва айлана яна
тугри чизик ёки айланага утади
(28-расм). Энди шунга эътиборингиз-
ни тортамиз: О нукта (инверсия мар-
кази) бу алмаштиришда образга эга
эмас, лекин А нукта О га якинлашиб
(у билан устма-уст тушмай) борса,
унга мос А' нукта О дан чексиз узок-
лашади. Шунга асосланиб текисликда
Геометрий прогрессия
битта хосмас нукта (белгиси со ) бор
хамда О марказли инверсияда О нук-
*а со га утади, со эса О га утади деб
келишилган. со нукта билан тулди-
-‘илган текислик доиравий текислик
деб юритилади (проектив текислик-
дан фаркди равишда: унда факат бит-
та эмас, чексиз куп хосмас нукта ку-
шилади). Натижада инверсия доира-
зий текисликнинг узаро бир кийматли
алмаштириши булиб колади.
Инверсия барча тугри чизик ва ай-
аналар системасини узига утказиш-
дан ташкари яна катор ажойиб хос-
аларга эгаки, у бир канча геометрик
масалаларни ечишда мух,им курол
.лади. Бу хоссалардан асосийси:
инверсия бурчакларни саклайди; яъни
агар икки I ва т чизиклар <р бурчак
ида кесишса (чизиклар кесишиш
-уктасидаги уринмалар орасидаги
урчак <р га тенг), бу чизикларнинг
ва т1 образлари х,ам уша <р бурчак
*стида кесишади. Агар, хусусан, I ай-
4на инверсия айланасига ортогонал
5,'лса, яъни уни тугри бурчак остида
хесса, инверсияда бу I айлана узига
аксланади (факат унинг инверсия
танаси ичкарисидаги ва ташкари-
тидаги кисмлари уринларини алмаш-
иради; бундай курилган каби айлана-
-Р хакида Лобачевский геометрияси
«дколасининг охирида суз боради).
Лнверсия доиравий алмаштиришлар-
нг энг мухимидир: текисликнинг
сталган доиравий алмаштириши ё
-версия, ёки ухшашлик, ёинки ин-
зерсия ва ухшашликнинг компози-
сидан иборат эканлигини исбот-
мумкин. Доиравий алмаштириш-
-р бирга олинганда алмаштиришлар
группасини ташкил этади, у доиравий
-екисликнинг узига хос геометрияси-
- («доиравий геометрия» ни) аник-
лайди.
Биз текисликнинг энг мухим гео-
«•-трик алмаштиришлари хакида хи~
• я килдик. Уч улчовли фазо, Лоба-
вский текислиги (ёки фазоси) ва б.
«метрик объектларнинг геометрик
-’маштиришларини хам Караш мум-
• • - Хусусан, агар f — уч улчовли
65
/?3 фазонинг харакати булиб, у а те-
кисликни р текисликка утказса, р эса
р текисликни бирор О (а ва р текис-
ликларга тегишли булмаган) нукта-
дан утказувчи марказий проекция
булса, у холда pof композиция а те-
кисликнинг проектив алмаштириши
булади (чунки / хам, р хам тугри чи-
зикни яна тугри чизикда утказади).
а текисликнинг исталган проектив
алмаштиришини шундай куринишда
тасвирлаш мумкин хам экан.
Геометрик алмаштиришлар билан
танишув ва уларни татбик кила би-
лиш математика маданиятининг му-
Хим элементидир.
ГЕОМЕТРИК ПРОГРЕССИЯ
Геометрик прогрессия деб иккинчи-
сидан бошлаб хар бир хади олдинги-
сидан узгармас q =#= 0 сонига купай-
тириб хосил килинадиган (fen) кетма-
кетликка айтилади. Бунда q сони про-
грессиянинг махражи дейилиб, у тур-
ли прогрессия учун хар хил була ола-
ди. Бошкача килиб айтганда, геомет-
рик прогрессия — Ь\ ва q берилган,
п^1 учун bn+l = q-bn коидага буй-
сунувчи кетма-кетликдир. Агар bi = О
булса, факат ноллардан иборат кетма-
кетлик хосил булиб, эътиборга лойик
эмас. Шу туфайли, геометрик про-
грессия таърифига одатда Ь\ #= О
шартни хам кушишади.
Х,адлари мусбат геометрик прогрес-
сиянинг хар бир хади (иккинчисидан
бошлаб) олдинги ва кейинги хаддар-
нинг геометрик уртасига тенг: Ь„_ =
= \Ьп_\ Ьп + \. Бу факт суз юрити-
лаётган кетма-кетлик геометрик
прогрессия номида акс этган. Уму-
мийрок хосса хам тугри: п > k учун
Ьп \'Ь п—k bn-{-k*
Куйидаги формулалар уринли (S„
оркали геометрик прогрессиянинг
дастлабки п та хади йигиндиси бел-
гиланган):
bn = b>qn-1, (1)
— -26
66
Еш математик цомусий лугати
с Ml— qn) bi—bnq
•Эп —------ = -------
i— q 1—q
(бунда ^#=1). (2)
Arap q= 1 булса, геометрик прогрес-
сия айни пайтда арифметик прогрес-
сия хамдир, бу холда Sn = nb\.
I q I < 1 холда геометрик прогрес-
сия дастлабки п та хадининг йигинди-
си оо булганда лимитга интилади.
Бу лимит чексиз камаювчи прогрес-
сиянинг йигиндиси деб аталади.
(2 ) формуладан бу лимит
s=<3>
кийматга тенглигини куриш кийин
эмас.
Кддимги юнон олими Архимед узи-
нинг асарларида прогрессиялар
йигиндисини хисоблашга куп марта
мурожаат килган. Масалан, «Парабо-
ла квадратураси хакида» рисоласида
махражи 1/ 4 га тенг a, b, с, d, ...чек-
сиз камаювчи прогрессия йигиндиси-
ни топишга эквивалент масалани ка-
ра йди. Архимед уни куйидагидек еча-
ди: прогрессия таърифига кура а = 4Ь,
b = 4с, c=4d, ..., демак, b^-c-\-d-\-
+ е+ .. + 1/ 3(fe+c + d + e +
4
+ ...) = y(ft + c + d + e + ...) =
= 1/3 (4b+4c + 4d'+4e + ...) = |
(cz +b-|-с + d +...), бу ердан Ь-\-с-\-
+d+e + ...=-^-a ва а+Ь + с +
, 4
-\-d-\-e-\-...—-у а.
Агар q > I булса, геометрик про-
грессия хадлари тез усади. Натижада
п номернинг нисбатан кичик киймат-
ларида хам улкан сонлар хосил була-
ди. Кухна замонлардан bn = 2" 1
геометрик прогрессия хадларининг
бир карашда ишониш кийин даража-
да тез усиши билан боглик масалалар
ва ривоятлар маълум. Энг машхур
ривоятлардан бири — шахмат ихти-
рочиси хакидаги афсонадир. Х,ин-
дистон шохи Шерам шахмат ихти-
рочисини хузурига чакириб (унинг
исми Сета эди), унта уйлаб топган
кизидарли ва доно уйини учун муко-
фотни узинг танла деб таклиф килади.
Ихтирочи сураган илтимосини эши-
тиб, шох унинг камтарлигидан тааж-
Геометрик ясашлар
67
жубга тушади: у шахмат тахтасининг
биринчи катагига бир дона, иккинчи
катагига икки дона, учинчисига икки
марта куп — турт дона, туртинчи ка-
такка яна икки марта купрок — сак-
кизта ва х,. к. бугдой беришни сураган
эди. Бу масала Л. Н. Толстой эътибо-
рини х,ам жалб килган. Унинг кисоби-
дан бир булагини келтирамиз: «Тах-
танинг бир томонида 8 та, иккинчи
томонида 8 та катак, 8 тадан 8 ка-
тер — 64 та.
1-катакка 1,
2-катакка 2,
3-катакка 4,
4-катакка 8,
33-каттакка 4 294 967 296
34-катакка 8 589 934 592
35-катакка 17 179 869 184
^6-катакка 34 359 738 368
62-катакка 2 305 843 009 213 693 952
63-катакка 4 611 686 018 427 387 904
64-катакка 9 223 372 036 854 775 808
Агар 40 000 бугдой донаси бир пуд
чикса, охирги каттакка 230 584 300
921 369 пуд тугри келади. Бугдой
доналарининг умумий микдори 18 446
"44 073 709 551 615 сонини ташкил
килади.
(1), (2), (3) формулалар комплекс
сонлардан тузилган геометрик про-
грессиялар учун х,ам тугрилигича кр-
ади. Масалан, (3) формул ада
— Ь [ = cos (р isi п (р
деб олиб Муавр формуласи
<cos<p + msinq>)n — costup-f-isinq)
ёрдамида куйидаги формулаларни чи-
кариш осон:
cosy + cos2q> + cos3tp + ... + cosntp =
. (2n -f- 1 Xp . <p
sin ---2— -----sin 2
2sin
sinqi-\-sin2q>-\-sin3q>-]- sinn<p —
w (2n -f- 1 )<p
cos ----cos ------—
2sin
ГЕОМЕТРИК ЯСАШЛАР
Циркуль ва чизгич ёрдамида ясаш.
Циркуль ва чизгичнинг вазифаси
барча укувчиларга маълум: чизгич
билан тугри чизикдар (аникроги кес-
малар) утказилади, циркуль билан эса
айланалар ясалади хамда берилган
узунликдаги кесмалар ажратилади
(бугунги кунда бу сунгги максадда
купрок улчагич — икки учига нина
биркитилган циркуль купрок ишлати-
лади).
Мактабда бир томонли, булинма-
сиз чизгич ва циркуль билан ясашга
дойр бир катор энг содда масалалар
урганилади: берилган нуктадан утиб,
берилган тугри чизикка перпендику-
ляр ёки параллел тугри чизиклар
ясаш, берилган кесмани бир неча тенг
булакка булиш, берилган бурчакни
тенг иккига булиш ва б.
Куйидаги эса анчайин мураккаб ма-
сала: «Бир учидан чиккан баландлик,
биссектриса ва медианаси буйича уч-
бурчак ясанг».
Баландлик узунлиги h, биссектриса-
ники b ва медиана узунлиги т учун
муносабат бажарилса, та-
лаб этилган учбурчакни ясаш мумкин-
лигига ишонч косил килиш осон: акс
колда бундай учбурчак мавжуд бул-
майди.
68
Еш математик цомусий лутати
Агар текисликда ихтиёрий I тугри
чизик, утказиб, унинг бирон Н нук,та-
сидан перпендикуляр тикланса, сунг
бу перпендикуляр да узунлиги h. га тенг
АН кесма ажратилса, А нукта учбур-
чак учларидан бири булади, I тугри чи-
зик эса унинг асосидан утади. Марка-
зи А нуктада, радиуси эса навбат би-
лан b ва т булган айланалар утказа-
миз. Уларнинг I тугри чизик билан ке-
сишиш нукталари А ва М булсин (1-
расм). А К ва МА кесмаларни утказиб
учбурчакнинг биссектриса ва медиа-
наси топилади. (Биссектриса доим
медиана билан баландлик орасида
ётишини таъкидлаймиз).
Эндиги кадамлар куйидаги содда,
бирок камдан-кам эслатиладиган
фактга асосланади: учбурчак бурчаги-
нинг биссектрисаси ва бу бурчак кар-
шисидаги томоннинг уртасидан чика-
рилган перпендикуляр учбурчакка
ташки чизилган айланада (р нуктада)
кесишади. Бунинг сабаби: уларнинг
иккиси кам ташки чизилган айлана-
нинг шу томонга тиралган (лекин А
учни уз ичига олмаган) ёйини тенг
иккига булади (2-расм).
Энди ясаш жунгина якунланади:
М нуктадан / тугри чизикка перпенди-
куляр утказиб, биссектриса у билан
кесишгунча (D нуктада) давом этти-
рилади (3-расм). Шундай килиб, А ва
D нукталар изланаётган учбурчакка
ташки чизилган айланада ётади. Рав-
шанки, унинг маркази О кам АВ то-
моннинг урта перпендикулярида, кам
AD кесманинг урта перпендикулярида
ётади (чунки AD бу айлананинг вата-
ридир). О нуктани бу тугри чизиклар-
нинг кесишиш нуктаси сифатида ясаб,
ташки чизилган айланани утказиш
мумкин: унинг маркази кам, ОА ра-
диуси кам энди маълум. Бу айлана-
нинг I тугри чизик билан кесишиш
нукталари В ва С биз излаётган учбур-
чакнинг колган икки учини беради.
Никоят, ВС кесма учларини А нукта
билан туташтириш колади.
Геометрик фигураларни циркуль ва
чизгич ёрдамида ясаш санъати К,а-
димги Юнонистонда олий даражада
ривож топган эди. Уша пайтдаёк ечи-
ми топилган ясашга оид энг кийин ма-
салалардан бири — берилган уч айла-
нага уринувчи айлана ясаш масаласи.
Уни Пергалик юнон геометри Апол-
лоний (эрамиздан аввалги 200-й.
атрофида яшаган) номи билан Апол-
лоний масаласи деб аташади.
Бирок кадимги геометрлар факат
циркуль ва чизгични куллаб бажариш
лозим булган айрим ясашларни сира
уддалай олмаганлар. Улар бошка чиз-
мачилик асбоблари ёрдамида бажа-
рилган ясашларни геометрияга хос-
мас деб кисоблашган. Ана шундай ма-
салалар турига учта машкур кукна
классик масала киради: дойра квадра-
тураси, бурчак трисекцияси ва кубни
иккилаш, яъни берилган доирага тенг-
дош квадрат ясаш, ихтиёрий бурчакни
учта тенг булакка булиш ва кажми бе-
Геометрик ясашлар
69
70 Еш математик цомусии лутати
рилган куб да жми да и икки марта кат-
та кубни ясаш.
Бу уч масала асрлар давомида буюк
математиклар эътиборини жалб кил-
ган. Фадат утган асрнинг урталарида
уларни ечиб булмаслиги, яъни цир-
куль ва чизгич ёрдамида айтилган
ясашларни бажариб булмаслиги ис-
ботланди. Бу натижалар геометрия
воситалари билан эмас, балки алгебра
воситалари билан дул га киритилдики,
математиканинг яхлитлиги дайта бор
тасдидланди. Шунга дарамасдан до-
зиргача курсатилган масалаларни цир-
куль ва чизгич ёрдамида ечишга дара-
кат диладиган одамлар учраб туради.
МОРЛИ
ТЕОРЕМАСИ
Кадимги машдур уч масаладан
бири — ихтиёрий бурчакни тенг
уч булакка булиш масаласи. Бур-
чакни бундай булиш циркуль ва
чизгич ёрдамида доим мумкин бу-
лавермаслиги исботланганига
нисбатан дали куп вакт булгани
йуд. Балки шу туфайли фадатги-
на 1899 й.да топилган дуйидаги га-
ройиб факт б-н изодланар: агар
исталган учбурчакда дар бир бур-
чак тенг учта булинса, булувчи
нурлар кесишган уч нудта тенг
томонли учбурчакнинг учлари бу-
либ чидади (1-расм).
Таърифланган теорема америка-
лик математик номи билан Франк
Морли (баъзи китобларда Мор-
лей) теоремаси дейилади. Кейин-
род, исталган учбурчакнинг ташди
бурчакларини тенг учта булувчи
нурлар кесишган нудталар дам шу
хоссага эга булиши анидданган
(2-расм).
2-расм,
Геометрия
71
Циркуль ва чизгич ёрдамида ясашга
дойр энг кизик, масалалардан яна бири
томонлари сони берилган мунтазам
купбурчак ясашдир. К,адимги юнонлар
мунтазам учбурчак, квадрат, беш бур-
чак ва унбешбурчак хамда уларнинг
сонини иккилантириб хосил килина-
диган барча купбурчакларни ясай
олишган, бошка мунтазам купбурчак-
ларни ясай олишмаган.
Бундай масалаларни ечишда 1801
йилда немис математиги Н. Гаусс ян-
ги кадам куйди. У циркуль ва чизгич
ёрдамида мунтазам унеттибурчак
ясаш усулини очди хамда шу восита-
лар билан мунтазам n-бурчак ясаш
мумкин булган п нинг барча циймат-
ларини курсатиб берди. Бундай куп-
бурчаклар томонларининг сони туб
Ферма сонидан, яъни 22 +1 курини-
шидаги туб сонлардан иборат (к- Фер-
манинг кичик теоремаси) ёки турли
туб Ферма сонлари купайтмасига тенг
хамда бундай купбурчаклар томон-
ларини иккилантириб хосил килинар
экан. Шундай килиб, циркуль ва чиз-
гич ёрдамида мунтазам етти, туккиз,
ун бир, ун уч ва хоказо бурчакларни
ясаб булмас экан.
Бошка геометрик я с а ш-
л а р. Юкорида каралган ясашлардан
фаркли амалий масалаларни ечиш
учун математик асбоб танлашда бизни
хеч ким чеклай олмайди. Бундай ас-
боблар кадимги юнон математиклари-
дан бошлаб хозиргача саноксиз мик-
дорда яратилган. Ясашларнинг асосий
купчилигини катта аникдикда бажа-
риш учун булинмалари куйилган чиз-
гич ва транспортир кифоя. Шуни на-
зарда тутиш лозимки, калам билан ко-
гозга куйилган нукта мутлако идеал
математик нукта булаолмайди, балки
маълум улчамга эга булади. Шунинг-
дек каламда чизилган икки тугри чи-
зикнинг кесишиш нуктаси хам, айник-
са улар орасидаги бурчак кичик бул-
ганда, идеал нукта чикмайди.
Такрибий ясаш усулларидан баъзи
бирлари жуда ажойибдир. Масалан,
доиранинг такрибий квадратурасини
олиш учун радиуслардан бири (ОВ)-
нинг учи билан бу радиусга перпен-
дикуляр ОС радиус уртасидан утувчи
ватарни квадрат томони сифатида ка-
бул килинади (4-расм). Бу ясашга
л ~ 3,2 киймат мос келади.
Циркуль ва чизгич ёрдамида ясаш-
лар назарияси XIX а. охирида айник-
са атрофлича ривож топди. Масалан,
циркуль ва чизгич ёрдамида бажари-
ладиган хар кандай ясашни ёлгиз чиз-
гичнинг узи билан хам бажариш мум-
кин булиши учун текисликда бирор
айлана берилган ва унинг маркази
курсатилган булиши етарли эканлиги
исботланди.
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия — энг кадимги матема-
тик фанлардан бири. Биз геометрияга
тааллукли биринчи фактларни Бобил-
нинг миххатли жадвалларидан ва
мисрликларнинг папирусларидан
(э.а. III а.), шунингдек, бошка ман-
балардан топамиз. «Геометрия» фани-
нинг номи кадимги юнон тилидан
олинган. У кадимги икки юнон сузи
(ge—«Ер» ва metreo — «улчайман») -
дан олинган.
Геометрик билимларнинг вужудга
келиши одамларнинг амалий фаолия-
ти билан боглик- Бу купгина геомет-
рик фигураларнинг номларида уз ак-
сини топган. Масалан, трапециянинг
номи юнонча trapezion — сузидан
олинган ва «столча»ни билдиради
(русча «трапеза»—«тамадди» ва унга
якин сузлар шундан келиб чиккан).
«Линия»—«чизик» : термини лотинча
linum —«зигир, зигир ип» сузидан
хосил булган.
Кддимдаёк геометрия аксиомалар
системасига асосан тузилган катъий
мантикий дедуктив фанга айланган
(К- Аксиоматика ва аксиоматик ме-
тод). У узлуксиз ривожланган, янги
теоремалар, гоялар ва методлар билан
бойиб борган. Геометрларнинг кизи-
кишлари ва илмий тадкикотларнинг
йуналишлари вакти-вакти билан узга-
риб курган. Шу сабабли хозирги гео-
72
Еш математик цомусий лугати
1-расм
«Геометрия — барча та-
факкур изланишлари ма-
ликасидир.
М. В. Ломоносов.
метриянинг предмета, мазмуни х,амда
методларини камраб олувчи аник таъ-
рифини бериш кийин.
Ф. Энгельс узининг «Табиат диа-
лектикаси» номли ажойиб китобида
геометрияни бизни ураб турувчи реал
борликнинг фазовий формаси, яъни
математиканинг фазе хоссаларини
урганувчи кисми сифатида таъриф-
лайди. Геометриянинг бу фалсафий
таърифи унинг Ф. Энгельс яшаган
даврдаги холатини тула-тукис акс эт-
тиради. Аммо биз нинг даврда геомет-
риянинг янги мух,им булимлари косил
булди ва таркиб топди. Бу булимлар-
нинг кар бири уз хусусиятига эга, бу
хусусиятлар камма вакт кам утган
аерда геометрияга Ф. Энгельс берган
таърифга сига бермайди. Йирик со-
вет геометри академик А. Д. Александ-
ров, геометрия борликнинг фазовий ва
фазосимон форма ва муносабатлари-
ни урганади, деб таърифлаб, Энгельс
таърифининг куламини анча кенгай-
тирди. Маълумки, А. Д. Александров
геометриядан ташкари математика-
нинг фалсафий масаларига тааллук-
ли ишлари билан кам маълум. Ушбу
маколада бу таъриф нимани англати-
шини ва у мактаб геометриясида кан-
дай акамиятга эга эканини очишга ка-
ра кат киламиз.
Э.а. III а.да кадимги юнон олими
Евклид «Негизлар» номли асар езди
(к,. Евклид ва унинг «Негизлари»).
Евклид бу китобида шу давргача туп-
ланган геометрик билимларни жамла-
ди ва бу фаннинг тугалланган аксио-
матик баёнини беришга каракат кил-
ди. Китоб шунчалик яхши ёзилган
эдики, 2000 йил давомида камма жой-
да геометрия уша китобнинг таржи-
масидан ёки унчалик катта фарк кил-
майдиган кайта ишланган нусхала-
ридан укитилди. Масалан, А. П. Ки-
селевнинг совет мактабларида асри-
мизнинг урталаригача фойдаланиб
келинган укув кулланмаси шулар
жумласидан эди.
Евклид китобида пухта уйланиб,
чукур мантикийлик билан баён этил-
ган геометрия математикларни, Ев-
клид геометриясидан бошкача геомет-
рия мавжуд булмайди, деган фикрга
олиб келди. XVIII а. немис фило-
соф — идеалиста И. Кант ва унинг
купгина утмишдошлари Евклид гео-
метрияси мумкин булган ягона, катто
илокий геометриядир, унинг тушун-
чалари ва гоялари кали бирор нарсани
урганмасидан олдин инсон идрокига
жойлаб куйилган, деб кисоблашади.
Агар биз геометрик тушунчаларнинг
бола идрокида вужудга келиши жа-
раёнини кузатиб борсак, Кантнинг бу
фикрга’келиши аён булади. Масалан,
болалар каётида тугри чизикнинг об-
разини неча минг марталаб кура ди:
уйнинг бурчаги, китоб варагининг че-
ти, таранг тортилган ип ёки ёруглик
нури, стол ёки эшикнинг кирраси. Бу-
ларнинг каммаси бола тасаввурида ко-
либ, уни «тугри чизик» тушунчасини
кабул килишга мантикан тайёрлайди.
Бу изок биз болаликдан каР бир ка-
дамда учрайдиган бурчак ва перпен-
дикулярна, айлана (гилдирак, тугма,
К,уёш диски, ликопча ёки лаганнинг
Г еометрия
73
2-расм.
чети) га, параллелограмм ва бошка
фигураларга хам тааллукли. Идрокда
уз аксини топган бу тасаввурлар гео-
метрик тушунчаларни кабул килишга
тайёрлайди.
Укитувчи эса бу тасаввурларни тар-
тибга солади, укувчиларга тушунча
хосил булишини тугал ва мустахкам-
ловчи мос терминни беради.
XIX а.дагина, биринчи навбатда
улуг рус математиги Н. И. Лобачев-
сышнинг ишлари туфайли, Евклид
геометрияси мумкин булган ягона
геометрия эмаслиги аникланди. Ун-
дан сунг математиклар купгина турли
«геометрия»лар яратдилар ва уларни
ургандилар. Бизнинг мумкин булган
геометрик фазолар хакидаги тасав-
вурларимизнинг кенгайишида XIX а.-
да яшаган немис математиги
Г. Ф. Б. Риманнинг хизматлари айник-
са катта. У чексиз куп «геометрия»-
лар курит усулини кашф этди. Улар-
нинг «кичик» булаклари деярли Ев-
клид геометрияси сингари тузилган,
аммо бу геометрия фазосининг кат-
тарок кисмлари каралганда «эгри-
лик»ка эга булиши юзага чикади. Ри-
воятларга Караганда, Риманнинг ил-
мий докладидаги гоялар математика-
ни (жумладан геометрияни хам) куп-
лаб буюк кашфиётлар билан бойитган
К. Ф. Гауссни гангитиб куйган, у док-
лад тугагач, чукур уйга ботиб чикиб
кетган.
Геометриянинг хозирги замон фи-
зикаси билан богланишини кузатиш
гоят кизикарли. Купинча, математи-
кани бойитадиган янги тушунчалар,
74
Еш математик цомусий лугати
методлар физика хамда химия ва та-
биатшуносликнинг бошка булимлари-
дан келади. Механикадан математика-
га келган вектор тушунчаси бунга ти-
пик мисол була олади. Аммо, ноевклид
геометрияларда масала томоман бу-
нинг акси: математиканинг ички тала-
би ва узига хос мантидий ривожлани-
ши натижасида унинг ичида вужудга
келган бу янги геометрик тушунчалар
замонавий физикани яратиш учун из
солиб берди. Хусусан, Лобачевский
геометрияси махсус нисбийлик наза-
риясига татбик этилди ва бу фаннинг
назарий асосига айланди, Риман гео-
метрияси эса Эйнштейннинг умумий
нисбийлик назариясининг асоси бу-
либ хизмат килади. Х,атто, умумий
нисбийлик назариясини физикадан
кура купрод геометрия деб аташ мум-
кин. Бу ерда А. Эйнштейн уз назария-
сини яратаётганида немис математиги
Д. Хильберг хамкорлиги, унинг гоя-
ларининг таъсири кузга ташланади.
Риман геометрияси эластиклик наза-
рияси, физика ва техниканинг бош-
ка булимларида хам мухим татбикка
эга.
Х,озирги замов геометриясининг
бошка булими — каварик анализ би-
лан хам шунга ухшаш ходиса юз бер-
ди. К,аварик фигуралар назариясига
XIX а.да немис математиги Г. Мин-
ковский асос солган. У кулга кирит-
ган бир неча чиройли теоремалар ма-
тематиклар диккатини яш и назарияга
тортди. Аммо, у математиканинг бош-
ка булимларида айникса, табиатшу-
носликда кулланилмаганидан. уша
вактда Минковский жуда нозик, ле-
кин бутунлай бефойда математик
уйинчок кашф этди, деган фикр туг-
дирди. Аммо бир неча ун йиллик ути-
ши билан каварик тупламлар хакида-
ги теоремалар бутунлай тасодифан,
аввал математиканинг узида (геомет-
риянинг экстремал масалаларини
ечишда), су игра математик иктисод-
да, бошкарув назарияси ва бошка
амалий сохаларда куллана бошланди.
Х,озирги замон геометрияси жуда
куп йуналишларга эга. Улардан бири
геометрияни сонлар назарияси билан,
иккинчиси квант физикаси билан,
учинчиси эса математик анализ билан
якинлаштиради. Х,озирги замон мате-
матикасининг баъзи булимлари шун-
дайки, унда геометрия купрокми ёки
алгебрами, ёки анализми айтиб бериш
кийин.
Геометрия узи катта булган бе-
шик — Евклид геометриясидан анча
узок булган йуналишлар билангина
бойиб колмади. Евклид замонидан
буён Евклид геометриясининг узида
хам купгина янгиликлар пайдо булди.
XVII а.даёк француз математиги ва
философи Р. Декартнинг ишлари ту-
файли, бутун математикани, хусусан
геометрияни инкилобий кайта кур-
ган координатлар методи вужудга
келди.
Алгебраик тенглама (ёки тенгсиз-
ликлар)ни геометрик образ (график)
оркали талкин килиш ва, аксинча,
геометрик масалаларнинг ечимини
аналитик формулалар, тенгламалар
системалари ёрдамида излаш имко-
нияти пайдо булди. Евклид геомет-
рияси доирасида геометрик образлар-
ни тадкик этишнинг кучли куроли бул-
ган янги тармок — аналитик геомет-
рия вужудга келди. Масалан, коорди-
натлар методи иккинчи тартибли эгри
чизик (эллипс, гипербола, парабола)-
ларнинг асосий хоссаларини тез ва
унчалик кийин булмаган хисоблаш-
лар оркали келтириб чикариш имко-
нини беради. Бу чизиклар хакидаги ка-
димги юнон геометри Аполлоний топ-
тан ва уз вактида геометриянинг чук-
киси хисоблаш ан теоремалар хозирги
кунда аналитик метод ёрдамида олий
укув юртлари ва техникумларда урга-
нилади.
XIX а. математиклари У. Х,амиль-
тон, Г. Грассман ва бошкаларнинг иш-
ларида векторлар киритилди. Олдин
векторлар Архимед, Галилей ва фан-
нинг бошка дахолари ишларида ме-
ханик маънода ишлатилар эди, энди
эса математикага тенг хукукли булиб
кирди. Асримизнинг 60-йилларидан
векторлар мактаб геометрияси курси-
Геометрия
75
дан мустахдам урин олди. Евклид гео-
метрияси куламида кулланиладиган
векторлар методи купгина теорема-
ларни исботлашни ва масалалар ечиш-
ни анча соддалаштиради. Масалан,
косинуслар теоремаси, уч перпендику-
ляр хдк,идаги теорема ва илгари ис-
ботлаш анча кийин булган бошка тео-
эемалар векторларнинг скаляр ку-
лайтмасини татбик этишга дойр осон
машкдар булиб колди. Бирок, вектор-
ларнинг роли факат мактаб курсининг
кийин жойларини соддалаштириш-
дангина иборат эмас. Энг мухими век-
торларнинг хозирги замен математи-
касининг турли булимларидан ташка-
ри физика, химия, иктисод ва биоло-
тияда татбик этилишидир. Масалан,
куч векторининг силжиш векторига
скаляр купайтмаси — иш, ток вектори
билан магнит майдони кучланганлиги
векторининг вектор купайтмаси бу
майдоннинг утказгичга таъсир кучи-
::ир ва х.К. Куриб турибсизки, бу ерда
хам геометрия физикага янги тушун-
чаларни киритишни буюрмокда —
аксинча эмас. Кейинчалик куп улчов-
ли фазолар каралганда (бу хакда ку-
йирокда суз боради), скаляр купайт-
ма янада катта салмок ва маъно касб
?тди ва математиканинг хамда унинг
-атбикларининг айнан хамма сохала-
?ида кулланиладиган мухим аппарат-
ов айланди.
Геометрия бойлигининг ортишига
XIX а.да кушилган яна бир мухим
>.исса геометрик алмаштиришлар, ху-
сусан харакат (силжиш) лар назария-
сининг яратилишидир. Евклидда ха-
такат ошкормас холда мавжуд эди.
Масалан, у: «Бир учбурчакни иккинчи
. чбурчак устига шундай жойлашти-
гамизки»,— деганида хакикатан хам
"ап харакат хакида, учбурчакни сил-
'китиш хакида боради. Бирок, Евклид
чун харакат математик тушунчалар
-л мласига кирмаган. Х,аракатларнинг
''атематик назарияси яратилиши ва
• -инг геометриядаги ролини тушиниб
г тиш XIX—XX а.да яшаган немис ма-
-ематиги Ф. Клейн номи билан бог-
ик. У Эрланген шахар университета
геометрия кафедрасининг профессор-
лиги вазифасига утишда геометрияда
харакатларнинг роли хакида лекция
укийди. У олга сурган гоя — геомет-
рияни харакатлар назарияси асосида
кайтадан англаб етиш Эрланген про-
граммам номини олди. Клейн гояси-
ни куйидагича тушунтириш мумкин.
Геометрия фигураларнинг харакат-
ларда сакланадиган хоссаларини ур-
ганади. Бошкача айтганда, агар бир
фигура иккинчисидан харакатланти-
риш билан хосил килинса (бундай
фигуралар тенг ёки конгруэнт деб ата-
лади;, у холда бу фигураларнинг гео-
метрик хоссалари бир хил булади. Ма-
на шу маънода харакатлар геометрия-
нинг асосини ташкил килади. Улар
куйидаги хоссаларга эга булади: их-
тиёрий икки f ва d харакат компози-
циям f -d (яъни уларни кетма-кет ба-
жариш натижаси) хам харакат була-
ди. Ундан ташкари, агар f — ихтиё-
рий харакат булса, у холда унга теска-
ри акслантириш f - 1 хам харакат бу-
лади. Бу хосса кискача куйидагича
ифодаланади: харакатлар группа таш-
кил килади. Шундай килиб, харакат-
лар группаси алмаштиришларнинг
бизга маълум булган ягона группаси
эмас. Масалан, хамма параллел кучи-
ришлар группа хосил килади, хамма
ухшаш алмаштиришлар группа хосил
килади ва х-к. Клейннинг фикрича,
хар бир алмаштиришлар группаси
«уз геометрия»сини аниклайди. Маса-
лан, хар бир тугри чизикни бошка туг-
ри чизикка узаро бир кийматли акс-
лантирувчи аффин алмаштиришларни
Караш мумкин, аммо бунда (харакат-
дан фаркли) масофалар хам, бурчак-
лар хам, хатто юзалар хам сакланиши
шарт эмас. Текислик (ёки фазо)нинг
барча аффин алмаштиришлари тупла-
ми группа хосил килади. Бу группа
аффин геометрия деб аталувчи гео-
метрияни беради. Геометрияга груп-
па нуктаи назардан караш, турли хил
геометриялар — Евклид, Лобачев-
ский, аффин, проектив ва бошка гео-
метрияларни ягона позициядан караш
имконини беради.
76
Еш математик цомусий лугати
1-расм
3-расм
Клейн Эрланген программасининг
адамияти геометрия кулами билан
чегараланмайди. Фигураларнинг гео-
метрик хоссасига группа нудтаи на-
зардан дараш физикада хам кенг тат-
бид этилади. Рус математиги ва крис-
таллографи Е. С. Федоров Клейн гоя-
сидан фойдаланиб, кристаллография
группаларни кашф этди. Бу группа
дозир унинг номи билан аталади. Улар
дозирги кунда бутун кристаллогра-
фиянинг асоси булиб долди. Группа-
вий ёндошув ядро физикасида дам му- -
хим татбидда эга; симметрия ва жуфт-
лик принциплари — группавий нудтаи
назар намоён булишининг ёрдин ми-
соли. Махсус нисбийлик назарияси-
нинг асоси — Лоренц группаси; уз мо-
хиятига кура, бу назария Лоренц груп-
паси анидлайдиган «турт улчовли фа-
зо-вадт» геометриясини намойиш ди-
лади. Группавий нудтаи назар физика
ва химиянинг бошда булимларида хам
мухим татбидка эга.
Группавий ёндошувни мактаб гео-
метриясида хам куриш мумкин. Х,аР
бир F фигура бирон бир харакатлар
группасини анидлайди; бу группага
F фигурани уз-узига утказувчи барча
харакатлар киради. У F фигуранинг
узини-узига жойлашлар группаси де-
йилади. F фигуранинг узини-узига
жойлашлар группасини билишни куп
холда шу фигуранинг геометрия хос-
саларини анидлайди. Масалан, уму-
мий куринишдаги, яъни тугри турт-
бурчак дам, ромб куринишида дам
булмаган параллелограммни оламиз
(1-расм). Бу параллелограммни узи-
ни-узига утказувчи иккита хаРакат
мавжуд: е айний (текисликнинг барча
нудталарини уз урнида долдирувчи)
алмаштириш ва параллелограммнинг
диоганаллари кесишган О нудтага
нисбатан г симметрия. Текисликнинг
F фигурани узини-узига утказувчи
бошда харакати йуд. Шундай дилиб,
параллелограммнинг узини-узига
жойлаш группаси иккита элемент е
ва г дан иборат. Параллелограммнинг
узини-узига жойлаш группаси г —
марказий симметриянинг борлигидан
параллелограммнинг дамма хоссалари
досил булади. Масалан, параллело-
граммнинг дарама-дарши бурчаклари
О нудтага нисбатан симметрия булга-
ни учун бу бурчаклар тенг. Паралле-
лограмм дарама-дарши томонлари
симметриклигидан бу томонларнинг
тенг ва параллел экани келиб чидади
ва х-Д-
Ромбнинг узини-узига жойлаш
группаси е ва г дан бошда яна иккита
удда (ромбнинг диагоналлари жой-
лашган тугри чизидларга) нисбатан
симметрия — Si ва S2гаэга (2-расм).
Бу группада (умумий куринишдаги
параллелограм билан таддослаганда)
душимча Si ва S2 харакатлар борли-
гидан ромбнинг (дар дандай паралле-
лограммга хос хоссаларидан ташда-
ри) махсус душимча хоссалари: диа-
гоналларининг перпендикулярлиги,
диагоналлар бурчаклар биссектриса-
лари билан устма-уст тушиш ва д-к,.
келиб чидади. Яна битта мисол сифа-
тида тенг томонли булмаган тенг ёнли
учбурчакнинг узини-узига жойлаш
группаси иккита е ва s элементдан
иборат эканини дайд диламиз (3-
расм), бунда s — уд симметрия. Тенг
ёнли учбурчакнинг узини-узига жой-
лаш группасида s даракатнинг борли-
гидан бу учбурчакнинг асосий хосса-
Геометрия
77
ари — асосидаги бурчакларининг
-енглиги, асосига утказилган баланд-
лиги, биссектрисаси ва медианасининг
ьстма-уст тушиши, ён томонларига ут-
казилган медианаларининг тенглиги
ва х.д. хосил булади. Мунтазам куп
ёклилар (ёки бирор симметрикликка
эга бошда купёдликлар) хоссаларини
уларнинг уз-узига жойлаш группаси-
дан фойдаланиб исботлаш дула ирод.
Сфера, цилиндр, конусларнинг хос-
аларини хам бу фигураларнинг уз-
(зига жойлаш группасини дарашдан
хосил дилиш афзал. \ар бир муайян
еометрик фигура учун унинг хосса-
арга бойлиги энг аввало фигуранинг
уз-узига жойлашлар группаси билан
анидланади.
Х,аракатнинг татбид дилиниши ма-
тематикани физика, химия, биология
ва техника гояларига ядинлаштиради
хамда математиканинг дунёни тушу-
нишдаги илгор характерига мос ке-
лади.
Шундай дилиб, XIX а. Евклид гео-
метриясига жуда куп янгиликлар, энг
аввало векторлар методи ва группа-
вий ёндошувни олиб кирди. XIX а.да
Евклид геометрияси доирасида ву-
жудга келган геометрия ривожлани-
шининг яна битта йуналиши куп ул-
човли фазолардир. Улар текисликда-
ги ва уч улчовли фазодаги геометрия-
га ухшаш хосил булади. Текисликдаги
координаталар системасида хар
бир нудта иккита сон — нудтанинг
координаталари оркали, фазода эса
учта координата билан берилади. п-
улчовли фазода эса нудта п та коор-
дината билан берилади, яъни ушбу ку-
ринишда ёзилади:
А(Х1, х2,..., хп), бунда Х1, х2...хп—
ихтиёрий хадидий сон (а нудтанинг
координаталари). Текисликда коор-
динаталар системаси иккита удда, фа-
зода — учта, п — улчовли фазода эса
п та удда эга, эга булганда хам бу уд-
лардан хар иккитаси бир-бирига пер-
пендикуляр! Албатта, бундай фазо ма-
тематиклар ва бу математик абстрак-
циядан фойдаланувчи бошда илмий
соха мутахассисларининг тасаввури-
дагина мавжуд. Биз яшаётган борлид
уч улчовли (Евклид ёки Риман фазо-
си, аммо айнан уч улчовли) фазо би-
лан математик жихатдан жуда яхши
тавсифланади. Фигураларни физик
маънода турт улчовли (долаверса, куп
сонли улчовдаги) фазода куришга хеч
ким, хдтто энг гениал математик хам
додир эмас; уларни фадат тафаккур
билан идрок дилиш мумкин.
Турт улчовли фазо хддида биринчи
марта эшитган киши «Бунинг булиши
хеч мумкин эмас, ахир, узаро перпен-
дикуляр булган туртта тугри чизик
мавжуд эмас-ку!»— деб эътироз бил-
диришга хозир. Туртинчи улчовнинг
78
Еш математик цомусий лугати
бошка парадокслари хам бор. Маса-
лан, агар текисликда халда булиб
унинг ичида дойра ётган булса, у хол-
да биз бу доирани текислик буйлаб
кандай харакатлантирсак хам, далда-
ни йиртмасдан доирани чикара олмай-
миз.. Аммо учинчи улчовга утиш би-
ланок доираНи текисликдан юдорига
кутариб, уни халдадан осонгина чи-
дарамиз. Фазода дам иш ана шунга
ухшаш.
Агар сфера (добид шаклида) булиб,
унинг ичига шар солинган булса, до-
бидни йиртмасдан шарни чидариб
булмайди. Агар туртинчи улчов мав-
жуд булса, у долда шарни туртинчи
улчов йуналишида «уч улчовли фазе»
устига кутариш, сунгра яна уч улчов-
ли фазога дайтариб, кобиднинг таш-
дарисига куйиш мумкин булар эди.
Бу ишни деч ким бажара олмаганидан,
уни туртинчи улчовнинг мавжуд эмас-
лигига далил килиб келтиришади. Би-
рок далил хато, чунки унда икки савол
аралаштириб юборилган.
Биринчи савол: дадидий фазода
туртинчи улчов борми? Бу саволга
рад жавоб бериш лозим.
Иккинчи савол: турт улчовли фазо-
ни абстракт, математик тарзда караш
мумкинми? Жавоб ижобий.
Сонлар туртлиги (Xi, Хг, Хз, Х4) ни
дараш, бу «турт улчовли нудгалар»-
нинг хоссаларини текшириш, улардан
фигуралар досил дилиш, теоремалар
исботлаш, шундай килиб, аста-секин
турт улчовли (умуман, п-улчовли)
фазонинг геометриясини яратишда
деч дандай номантидийлик ёки дара-
ма-даршилик йуд. Бирок, п-улчовли
геометрияда математик дарама-дар-
шиликнинг йудлиги бу назариянинг
диммати хакида дукм чидариш учун
етарли эмас. Куп улчовли фазолар-
нинг фойдаси нимада? Улар даерда
дулланилади? Х,адидий уч улчовли фа-
зодан шунчалик абстракт йирок, ид-
рокка дарров сингмайдиган фазе да-
дидаги тасаввурларни кенгайтириш
нима учун зарур булиб колди?
Бу саволларга жавоб бериш учун
бизни n-улчовли геометрияга олиб
4-расм,
борадиган иккита мисолни курамиз.
1-мисол. п та соннинг йигиндиси
бирга тенг. Бу сонлар квадратлари-
нинг йигиндиси энг кичик булиши
учун сонлар кандай танланиши ло-
зим?
Ечиш: Куйилган саволга аввал
и = 2 долни куриб чидиш ва нидоят,
п~^3 долатни мудокама дилиш билан
геометрия ёрдамида жавоб бера-
миз.
Шундай килиб, и = 2 булсин. Бош-
дача айтганда, x-j-y=l шартни ка-
ноатлантирувчи х ва у сонлари дарал-
модда ва кандай долда х2—|—г/2 йигин-
ди энг кичик булишини топиш талаб
дилинмодда.
Координаталар текислигида х +
+у = 1 тенглама I тугри чизидни
тасвирлайди (4-расм). Маркази коор-
динаталар бошида ва I — тугри чизид-
да (Л-нудтада) уринувчи 5 айланани
дараймиз. Агар тугри чизикнинг
Геометрия
79
И (х, у) нуктаси А дан фаркди булса,
Холда бу нукта S айланадан таш-
карида ётади, шу сабабли | ОМ | кесма
бу айлана радиуси г дан катта, яъни
+У2>г2.
Агар М=А булса, у холда
+у2 = г2, яъни мана шу А нукта
учун йиринди энг кичик кийматни ка-
5ул килади. А нуктанинг координа-
галари х=у=—; бу куйилган алгеб-
т<аик масаланинг (п = 2 учун) ечими-
лир.
Дейлик, энди д = 3 булсин, x-|-t/4-
— 2=1 тенглама фазода а текислик-
ни тасвирлайди. Маркази координа-
галар боши 0 да булган ва а текислик-
ка бирор А нуктада уринадиган S сфе-
зани караймиз (5-расм). а текислик-
нг А дан фаркди хар кандай М нук-
таси учун у О гача масофа S сфепанинг
радиуси г дан катта, | ОМ |2 > г2,
_iy сабабли х2 + у2 -f- 22 > г2. Агар
= А нукта олинадиган булса,
г ‘ у2 Д- 22 = г2. Шундай килиб, А
яукта учун x24-y24~z2 йиринди энг
кичик кийматни кабул килади. А нукта
р хил координаталарга эга:
= y = z (чунки координата укдари-
-мнг урнини алмаштирувчи, масалан,
-►у; y-+z\ 2-+х фазони буриш нати-
жасида сс текислик хамда S сфера
.'з-узига утади, шунинг учун хам улар-
- нг умумий нуктаси кузгалмайди).
х — y-\-z = 1 булганидан, А нинг коор-
-янаталари x=y=z=^--------бу ку-
тган масаланинг (п = 3 даги) ечи-
милир.
Нихоят, масалани ихтиёрий п учун
караймиз, мулохазани нукталари п та
какикий сондан тузилган (xi, х2> ....
.) кетма-кеТликлардан иборат д-ул-
вли фазо устида юритамиз.
—- х2 -j- ... -f- х„ = 1 тенглама
— 1)—улчовли а «текислик» ни
далайди (масалан, п = 3 да, яъни
улчовли фазода, бундай тенглама
кки улчовли, яъни улчови асосий
г азо улчовидан бир бирлик кам те-
- яс.1 икни ифодалайди). Математик-
6-расм,
лар (и — 1) -улчовли текисликни
д-улчовли фазодаги гипертекислик
деб атайдилар. Маркази координа-
талар боши О да ётган, а гипертекис-
ликка бирор А нуктада уринувчи S
сферани караймиз. а гипертекислик-
нинг А дан бошка барча нукталари S
сферадан ташкарида ётади, яъни улар
координата боши О дан S сферанинг
радиуси г га нисбатан каттарок масо-
фада булади, А нукта эса О дан роппа-
роса г масофада ётади. Бинобарин,
х2+ х2+...х2 йиринди А нуктада а
гипертекисликнинг бошка нукталари-
га нисбатан энг кичик киймат кабул
килади. Энди А нуктанинг барча коор-
динаталари узаро тенг эканини кайд
киламиз: х\=х%= ...хп (укдарнинг
урнини Х1-*-Х2,...,Х„_1 -► Хп, Х„->Х1
алмаштирувчи фазони буриши а ги-
пертекисликни хамда S сферани уз-
узига утказади, шу сабабли А нуктани
кузгалишсиз колдиради), бундан
1
Х| =х2 = х3 = ... =Х„_1 = х„ = — .
п
Хуллас, Х| -|-хг 4~ -.-Хп = 1 бул ганда
X? -f- х2 + — 4~ х2 квадратлар йигинди-
си узининг энг кичик кийматига
х 1 = х2 =.. .х„ =1 /„ сонларда эришади.
Бу геометрик ечимни укувчи п-ул-
човли фазога тааллукди тушунчалар
билан таниш булган холдагина кор-
рект (тугри) деб тан олиши мумкин,
аммо карал га н алгебраик масала учун
п-улчовли геометрик тасвирнинг фой-
даси ва ечимни хосил килиш жараёни
оч ик- ой дин.
2-мисол. Зь Зг, Зз — заводларга
икки С|, С г омборларда сакданувчи
бир хил хом ашёни жадвалда келти-
рилган маълумотларга мос килиб та-
Еш математик цомусии лугати
80
шиш лозим (б-расм).Вазифа куйида-
гилардан иборатдир.
Мавжуд хом ашё Хом ашёга эхтиеж
С. С 3, 3 3.
20 т 25 т 10 т 15 т 20 т
Ташиб келишнинг энг арзон варианти-
ни, яъни умумий тонна-километр кур-
саткич энг кичик буладиган вариантни
топиш талаб килинади.
Ечиш: Ci омбордан мос равишда
3|, З2 заводларга ташилиши лозим
булган хом ашё микдорини х ва у ор-
кали белгилаймиз. У холда иккинчи
омбордан бу заводларга 10 — х ва
15 — у тонна хом ашё ташилиши ло-
зим. Омборларда мавжуд барча хом
ашё микдори заводларнинг эхдиёжла-
ри билан бир хил булганидан, яъни
омборлардаги хамма хом ашё завод-
ларга ташилиши лозимлигидан, 3, ва
3-2 заводлар танланганлигидан сунг
омборларда колган барча хом ашёни
Зз заводга элтиш кераклиги равшан,
яъни Зз заводга С\ омбордан
20—х — у, С2 омбордан 25 -ф
+ (10 —х) — (15 — у) =х + у тонна
хом ашё ташилади. Масофаларни
(6-расм) хисобга олиб, тонна-кило-
метрнинг умумий сонини топамиз:
5х 4-7у+ 10 (20 —х —у ) + 3 (10 —
—х)-|-4 (15 — у) + 6 (х -\-у ) = 290 —
— 2х — у.
Турли йуллар оркали ташиб кетилади-
ган хом ашё микдорини ифодаловчи
Хамма катталиклар манфий эмаслиги-
ни кайд киламиз:
х 0, у 0, 20 — х — у 0,
10 — х > 0, 15 — у 0, х + у 0
х, у координаталар системасида бу
тенгсизликларнинг х,ар бири ярим
текисликни, барча тенгсизликлар сис-
темаси эса бу ярим текисликларнинг
кесишмасини, яъни бирор Q каварик
купбурчакни аниклайди (7-расм).
Охирги тенгсизлик дастлабки икки
тенгсизликнинг натижаси булгани
учун, уни ташлаб юбориш мумкин-
лигини кайд киламиз.
Шундай килиб, ташишнинг энг ар-
зон вариантини топиш масаласи мате-
матика тилида Q купбурчакнинг
290—2х — у функция энг кичик кий-
матга эришадиган М (х, у ) нуктасини
топишга келтирилади. Бу функция
урнига — 2х — у функцияни караса
хам булади. Хдкикатан, агар — 2х — у
функциянинг Q купбурчакдаги энг
кичик киймати топилса, у холда бу
кийматга 290 ни кушиб, 290—2х — у
функциянинг энг кичик кийматини
хосил киламиз.
8-расмдан Q купбурчакда каралаёт-
ган — 2х — у чизикли функция энг
кичик кийматига С нуктада эришиши
куринади. Бошкача айтганда, ташиб
олишнинг энг фойдали варианта
С (10; 10) нуктага мос келади, яъни
х= 10, у= 10. Изланаётган х, у лар-
нинг бу кийматлари учун тонна-кило-
метрнинг умумий микдори: 290—2 •
•10—10 = 260. Геометрик модель
куйилган-» масалани туда х,ал этиш
имконини берганини кураяпмиз.
Кдралган масалада омборлардан
заводларга ташиладиган хом ашёнинг
барча хджмини иккита х, у узгарувчи
оркали ифодалаш мумкин булади. Бу
эса косил буладиган тенгсизликлар
системасини координата текислигида
геометрик тасвирлаш имконини бер-
ди. Дейлик, омборлар иккита-ю, за-
водлар туртта ва уларнинг хом ашёга
талаблари мос равишда 8, 10, 12 ва
15 тонна булсин. У колда С, омбор-
дан биринчи учта заводга ташиб ке-
тиладиган хом ашё микдорини белги-
ловчи учта х, у, z узгарувчи киритиш
лозим булади. Агар омборлардан
заводларгача булган масофалар бе-
рилса, у холда умумий тонна-кило-
метр сони учун ифода тузиш, сунг
омборлардан заводларга ташиб кети-
ладиган хом ашё микдори манфий
эмаслигини ифодаловчи тенгсизлик-
ларни ёзиш мумкин. Энди бу тенгсиз-
ликлар учта х, у, z узгарувчига бог-
лик булади. Бу тенгсизликларнинг кар
Геометрия
81
бири ярим-фазони тасвирлайди, хам-
ма тенгсизликлар системаси эса ярим-
фазоларнинг кесишмасини, яъни уч
улчовли фазода бирор каварик купёк,-
ликни аниклайди. Шундай к,илиб,
туртта завод учун хом ашё танлаш
хакидаги масала математик жихат-
дан чизик,ли функциянинг уч улчовли
каварик купёцликдаги энг кичик к,ий-
матини топиш каби ифодаланади.
Икки омбор ва бешта завод учун
(хамма хом ашё ташиб кетилиши
шарти билан) Ci омбордан биринчи
туртта заводга ташиб кетиладиган
хом ашёни белгиловчи туртта узгарув-
чи талаб кцлинади. Энди турт узгарув-
чили тенгсизликларга эга буламиз ва
геометрик тасвирни косил кцлиш учун
турт улчовли фазе талаб килинади.
Заводлар ва омборлар сони ортган
сари каттарок улчовли фазога муро-
жаат килишга тугри келади.
Чизикли функцияларнинг каварик
купёкликлардаги энг катта кийматини
топишга, бир Караганда купёкликлар-
га кеч хам алокаси йукдек туюлувчи
бошка амалий масалалар хам олиб
келади. Бунга на факат юк ташишнинг
энг афзал вариантини топиш хакида-
ги масалалар, балки газлама ва бошка
материалларни энг фойдали усулда
бичиш, ишлаб чикаришнинг энг сама-
рали ишлаш режимини топиш, ишлаб
чикариш планининг энг оптимал пла-
82
Еш математик цомусий лугати
ни ни тузиш хакидаги ва бошка маса-
лалар хам киради. Бундай масалалар
чизикли программалаш деган ном
олган янги илмий йуналишга бирлаш-
тирилади. Чизикли функцияларнинг
купёкликлардаги (унда, одатда фазо-
нинг улчови учдан ортик булади) энг
катта ёки энг кичик кийматларини
топишдан иборат бундай масалалар
геометрия ёрдамида ечилиш фактини
биринчи марта академик Л. В. Канто-
рович пайкаган.
п > 3 булганда л-улчовли фазони
караш зарурати математик физика,
химия, биология ва билимнинг бошка
сохаларига дойр масалалардан хам
вужудга келади. Шундай килиб,бизни
ураб турувчи борликнинг фазовий
хоссалари уч улчов билан яхши тас-
вирланса-да, кишиларнинг амалий
фаолияти ихтиёрий п улчовли фазо-
ларни карашга эхтиёж тугдиради.
Энди биз геометрия нима деган
саволга кайтишимиз мумкин. Куп
улчовли фазо шубхасиз геометрия
сохасига тааллукли, чунки математик-
лар унда текисликлар, тугри чизик-
лар, векторлар, бурчаклар, масофа-
лар, скаляр купайтмалар, перпенди-
кулярлик ва х- к, яъни асл геометрик
тушунчаларни карашади. Куп улчовли
фазолар ва улардаги гипертекислик-
лар, купёкликлар ва бошкаларни
объектив борлик фазовий формалари-
нинг акси (инъикоси) дея олмаймиз.
Х,ар кандай амалий ахамиятидан
Геометрия
83
8-расм.
Еш математик цомусий лутати
84
катъий назар материалларни бичиш,
транспорт ва бошкалар хакидаги ма-
салалар хамда улар олиб келадиган
куп улчовли геометрияга дойр ту'шун-
чалар «фазовий ухшаш»ликка эга, хо-
лос, улар биз реал фазода курадиган
шаклларга ухшаш, аммо реал уч ул-
човли борликнинг фазовий формала-
ридан анча юкори боскичдаги абст-
ракциялар сифатида намоён булади.
Геометриянинг тушунчалари ва
фактлари амалий масалалар ечишда
доим татбик этилади. Бу ерда ran биз
алгебрадан, математик анализдан ёки
математиканинг бошка сохаларидан
масалалар ечганимизда купинча гео-
метрик чизма ясашимизда ёки геомет-
риянинг формула ва теоремаларидан
фойдаланишимиздагина эмас. Алгеб-
раик ёки бошка формулаларни гео-
метрик фактлар билан солишти-
риб, купинча биз масаланинг геомет-
рик ечимини кура олишимиз, соф
алгебраик формулалар калашиб ётган
ифодаларга караб куриш мумкин бул-
маган фикрлаш йулларини топа оли-
шимиз гоят мухим.
Буни юкорида келтирилган икки
мисол тасдиклайди. Умуман, хозирги
замен математикаси ривожининг
характерли томони шундан иборатки,
геометрия математиканинг деярли
хамма сохалари ва татбикларида
фикрлаш методи, тушуниш воситаси
ва математик маълумотларни уюшти-
риш ролини эгалламокда.
Геометриянинг экстремумга оид масалалари
85
ГЕОМЕТРИЯНИНГ
ЭКСТРЕМУМГА ОИД
МАСАЛАЛАРИ
Бирор микдорнинг энг катта ва энг
кичик кийматини топиш ва бундай
хийматлар мавжуд булиши шартла-
'"ини аниклаш талаб килинган маса-
аларни «экстремумга оид» масала-
лар дейиш раем булган (латинча ext-
тит — «чекка»), Улар «максимум
ва минимум» (латинча maximum ва
nimum — мос холда «энг катта»
ва «энг кичик»)га оид масалалар хам
дейилади. Бу каби масалалар техника
ва табиатшуносликда, кишиларнинг
«> ндалик фаолиятида тез-тез учрайди.
Думалок ёгочдан кандай килиб
-угри, туртбурчак кесимли тусин
иунилса, чикинди энг кам булади?
Берилган материалдан ясалган кути-
чинг ха жми энг катта булиши учун
нинг улчамлари кандай танланиши
•ерак? Икки шахарни туташтирувчи
ул энг киска булиши учун куприкни
дарёнинг кайси жойида куриш лозим?
Бу масалалар (уларни геометрик
куринишга кучириш енгил) катта
малий ахамиятга эга. Улар ёрдамида
хар кандай ишда мухим саволга, рус
математиги П. Л. Чебишев ибораси
силан айтганда «имкони борича куп
оойдага эришиш учун мавжуд воси-
талардан кандай фойдаланиш керак»
деган муаммога жавоб топиш мумкин.
Шунга ухшаш масалаларни еча билиш
«уда мухим. Шунинг учун улар мате-
матикларнинг чукур эътиборини жалб
этиб келади.
Энг содда ва, эхтимол, энг кадимий
еометрик экстремум масаласи мана
еундай: периметри маълум тугри турт-
сурчаклар орасида кайси бири энг
катта юзага эга? Унинг ечими К,адим-
гн Юнонистон математикасида маъ-
лум булган. Евклид «Негизлари»нинг
У I китобида унинг баёни берилган.
Баёнда бир хил периметрли тугри
ургбурчак ва квадрат каралса, квад-
латнинг юзи каттарок булиши исбот-
танади. Исбот жуда содда, у юзалар-
и солиштиришга асосланади (1-
расм). Тугри туртбурчак юзаси So +
-|-Si га, квадратнинг юзаси S0+S2
га тенг. Агар тугри туртбурчакнинг
бир томони (уни а билан белгилай-
лик) иккинчи томонидан (1-расмдах)
кичик, яъни х<_а булса, S, < S2.
Демак, периметри берилган барча туг-
ри туртбурчаклар орасида юзаси энг
каттаси квадратдир. Евклиднинг ечи-
мида, биринчидан, жавоб курсатилган
(квадрат), иккинчидан у бошка барча
курилаётган фигуралар (периметри
тайин тугри туртбурчаклар) юзаси
жихатидан ортик. Математикада экст-
ремум масаласини ечиш худди шундай
тушунилади: жавобни бериш хамда
унинг экстремал хоссасини исботлаш.
1-расм.
Курилган масала изопериметрик
масалалар деб юритиладиган геомет-
рик масалаларнинг кенг синфига ман-
суб. Бу каби масалаларда периметри
тенг фигуралар орасида бирор экстре-
мал хоссага эга булгани изланади.
Изопериметрик масалаларни эрамиз-
дан аввалги II—-I а. да яшаган кадимги
юнон математиги Зенодор урганган.
Хусусан, куйидаги тасдикларнинг
исботи унга тааллукли:
периметрлари хам, томонлари сони
хам тенг барча купбурчаклардан мун-
тазам булгани энг катта юзага эга;
бир хил периметрли икки мунтазам
купбурчакдан бурчаклари сони куп
булгани каттарок юзага эга.
Шунингдек, Зенодор доирани нг хам
изопериметрик хоссасини баён кил-
ган: бир хил периметрли барча текис
фигуралар орасида дойра энг катта
юзага эга. Лекин бу хоссанинг тула
исботига юнон математикаси эриш-
86
Еш математик цомусий лугати
маган. К,атъий исбот факат XIX а. да
берилди.
Изопериметрик масалалар «Дидона
масаласи» номи билан хам бирлашти-
рилади. Бу ном Карфаген шахрининг
афсонавий асосчиси ва биринчи мали-
каси исми билан боглик,. Ривоятга
кура уз она шахридан кувилган Дидо-
на йулдошлари билан Африканинг
шимолий хиргогига келиб тушади. У
янги манзилгох учун махаллий ахо-
лидан ер олмохчи булади. Улар б$нга
розилик билдиришади, фахат ажрати-
ладиган ер майдони хукиз териси кам-
райдиган михдордан куп булмасин,
деб шарт куйишади. Тадбиркор Дидо-
на терини ингичка кайишчаларга
хийиб чидади, сунг уларни ёйиб, хукиз
териси билан хоплаш мумкин булган
ерга нисбатан анча катта майдонни
чегаралай олади.
Агар Дидона танлаган майдон ден-
гиз хиргогига туташишини эътиборга
олсак, у тухнашган математик масала-
ни бундай баён хилиш мумкин: узун-
лиги I га тенг чизикнинг шакли кандай
булганда бу чизих билан берилган Г
чизих (денгиз хиргоги) орасидаги
фигуранинг юзи энг катта булади?
(2-расм).
2-расм,
Баъзи хусусий холларда Дидона
масаласи содда ечимга эга. Масалан,
хиргох тугри чизих куринишида,
ажратиладиган майдон тугри туртбур-
чак шаклида булса (3-расм), томон-
ларининг узунлиги 1/ц ва 1 / % булган,
узун томони билан киргокка ёпишган
тугри туртбурчак энг катта юзага эга
булади. Бу масалани, хусусан, квадрат
учхад хоссасидан фойдаланиб ечиш
мумкин.
Умумий холда — изланаётган чи-
зих ва хиргохнинг шакли Г ихтиёрий
булганда Дидона масаласи жуда
мураккаб, у математик анализ тушун-
чалари ва методларини куллаб ечила-
ди (д. Дифференциал уисоб). Ечим
олий математиканинг вариацион хи-
соб дейиладиган махсус булимига
дойр булади.
Шуни таъкидлаймизки, математик
анализда экстремумга оид масалалар-
ни ечиш (функциялар экстремумла-
рини топиш) нинг асосли умумий
усуллари ишлаб чидилган. Экстремум-
га оид геометрик масалаларни алгеб-
раик масалаларга келтириб, матема-
тик анализ методлари билан ечиш
мумкин. Лекин баъзан бу масалалар-
ни элементар усуллар ёрдамида ечиш-
га муваффак булинади. Бундай хол-
ларда ечим гоят нафис ва ибратли
булади.
Экстремумга оид геометрик маса-
лаларни ечишнинг асосий усуллари-
дан бири тенгсизликларни, хусусан,
урта арифметик ва урта геометрик
хахидаги тенгсизликни (х- Урта ций-
матлар) куллашдир. Мисол учун шун-
дай масалани курамиз: сиртининг
юзаси берилганда хажми энг катта
Героя формуласи
87
' | эадиган к,ути (тугри бурчакли па-
аллелепипед) нинг улчамлари кандай
гнланиши керак? а, Ь, с — кирра-
1нинг узунлиги (4-расм), S — туда
-жрт юзаси, V — х;ажм булсин. Рав-
анки, S = 2 (ab + Ьс-\- ас ) ва
=abc. Агар ab, Ьс, ас катталиклар-
ннг йигиндиси S/2 га, купайтмаси
эса V2 га тенглигини пайдаб, урта
|фметик ва урча геометрик хак,и-
1ги тенгсизликни дулласак, дуйида-
’чга эга буламиз:
г ,, abA-bc-Pac
ab-bc-ac «С------------, яъни
J-ёки (f-)3'2
О 6
Урта дийматлар хакидаги теоремадан
дакат ab — Ьс = ас, яъни а = Ь = с
.лганда тенгсизлик белгиси тенглик-
ка айланиши келиб чидади ва худди
аэу холда V хажм энг катта кийматни
кабул килади. Бундан туда сиртининг
юзаси берилган кутилар ичида хажми
энг каттаси куб шаклидаги кути була-
ди. деган хулосага келамиз.
Яна айрим экстремумга оид геомет-
?ик масалаларни ечишда самарали
'\лган симметрия усулини тилга ола-
миз. Унинг мазмуни равшан булиши
учун куйидаги содда масалани дарай-
чиз: а тугри чизикда шундай М нукта
топингки, ундан а тугри чизикдан
гир томонда ётувчи Л ва В нудталар-
ача масофалар йигиндиси энг кичик
кийматга эришсин (5-расм).
.4* нукта а тугри чизикка нисбатан
4 нуктага симметрик булсин, М эса
А1 В ва а тугри чизидларнинг кеси-
шиш нудтаси булсин. У холда М изла-
наётган нудтадир. Х,адидатан хам
|МЛ| + |МВ| = |ЛМ’| + |МВ| =
= I Л'В|
а тугри чизиднинг бошда ихтиёрий
Р нудтасини олсак,
|ДР| + |РВ| = |А‘РЦ-|РВ|>
> |Л'В|
тенгсизлик уринли (сунгги тенгсизлик
берилган кесманинг учларини туташ-
тирувчи синид чизид кесмадан узун-
родлигидан келиб чидади).
Бу масаланинг ечими I а. да яшаган
юнон математиги искандариялик
Герои Александрийскийга тааллудли
деб хисобланади. Аслида у физикага
оид масалани ечган: агар Л нудтада
ёруглик манбаи, В нудтада эса куза-
тувчи кузи жойлашган булса, ёруглик
нури текис кузгунинг дайси нудтасида
аксланади? (Тушиш бурчаги дайтиш
бурчагига тенг деб хисобланади);
(Оптиканинг бу ходисаси Герондан
анча аввал маълум булган).
Юдорида курилган М нудта ёруг-
лик нурининг аксланиш нудтаси, яъни
МА ва а тугри чизидлар орасидаги
бурчак МВ ва а тугри чизикдар ора-
сидаги бурчакка тенг булади.
Бу масала ечимидан Герои шундай
хулоса чидарган: аксланаётган нур
ёруглик манбаи билан куз орасидаги
энг киска йулни танлайди. Фанда
табиат додисаларини тавсифлашда
табиат доим энг тежамли йул танлаш-
га интилади, деган «минимум прин-
ципи» кенг дулланади. Шуни таъкид-
лаш керакки, Героннинг хулосаси фан
тарихида «минимум принципини»
дуллашнинг энг дастлабки намунала-
ридан биридир.
ГЕРОИ ФОРМУЛАСИ
Бу формула учбурчакнинг юзаси
ни унинг учта а, Ь ва с томе ял ,и
буйича хисоблаш имконин . бе’ эди:
5 = /р (р-а ) (р — Ь )(р — с ),
88
Еш математик цомусий лугати
бунда р — учбурчакнинг ярим пери-
метри, яъни р= (« + & + с)/2. Форму-
ла кадимги юнон математиги Герои
Александрийский (тах. I а.) шарафига
ана шундай аталган. Герои томонлари
бутун сонлардан иборат, юзалари хам
бутун сон чикадиган учбурчакларни
караган. Бундай учбурчаклар Герои
учбурчаклари деб аталади. Масалан,
томонлари 13,14, 15 ёки 51,52, 53 бул-
ган учбурчаклар ана шу хоссага эга.
Туртбурчаклар учун хам Герои фор-
муласига ухшаш формулалар мав-
жуд. Берилган турт а, Ь, с ва d томони
буйича туртбурчакни ягона усулда
ясаб булмагани туфайли туртбурчак-
нинг юзасини хисоблаш учун умумий
холда томонларининг узунликларини
билишнинг узи етарли эмас. Бунда
кушимча параметрлар киритиш ёки
чегаралар куйишга тугри келади. Ма-
салан, айланага ички чизилган турт-
бурчакнинг юзаси ушбу формуладан
топилади:
S = V(P —°) (Р — b) (р^-с )(p — d)
(Бу формула VI—VII асрда яшаган
Хинд математиги Брахмагупта (598—
660) номи билан аталади). Агар турт-
бурчак бир вактнинг узида хам ички
чизилган, хам ташки чизилган булса,
у холда унинг юзаси куйидаги анча
содда формуладан топилади:
S=\iabcd
1-расм.
нинг симметрия уклари булиб хизмат
килади. Бу тугри чизикларнинг кеси-
шиш нуктаси гиперболанинг симмет-
рия маркази булиб, у гиперболанинг
маркази дейилади. Агар симметрия
уклари координата уклари деб кабул
килиниб, абсцисса уки сифатида
Fi(c, 0) ва Гг(—с, 0) фокуслар ор-
кали утувчи ук танланса, у холда ги-
2
перболанинг тенгламаси —у — = 1
а b
куринищда ёзилади, бу ерда
Ь=^с^-а2. (а, 0) ва (—а, 0) нукта-
лар гиперболанинг учлари дейилади.
Гипербола ордината укига нисбатан
турли ярим текисликларда ётган ик-
2-расм.
ГИПЕРБОЛА
Гипербола — конус кесимлардан би-
ри. Уни текисликдаги М нукталарнинг
геометрик урни булиб, бу нукталар
билан берилган икки Ft ва /д нукта-
гача масофалар айирмаси узгармас
2 а булган фигура сифатида таъриф-
лаш мумкин (Fi ва F? нукталар ги-
пербола фокуслари дейилади).
Фокуслардан утувчи тугри чизик
(1-расм) ва фокуслардан тенг узок-
ликда F\F? тугри чизикка перпенди-
куляр утувчи тугри чизик гипербола-
Г ипербола
89
гга тармокдан иборат. Гипербола-
характерли хусусияти унинг
асимптота тугри чизикларига —
, b b
. = 4--х ва у =---------х) эга-
а а
•аир; гиперболанинг нукталари
«арказдан узокдашган сари бу тугри
«зикларга якинлашади.
Асимптоталар орасидаги бурчак
->гри бурчак булган холда гипербола
-енг ёнли дейилади. Агар тенг ёнли
' ербола асимптоталарини коорди-
ата уклари деб танланса, у холда
> 1ерооланинг тенгламаси у=-ку-
хнишда, яъни яхши маълум тескари
опорционал богланишнинг тенгла-
«зси куринишида ёзилади.
Гипербола таърифидан фойдаланиб
<чи чизиш учун соддагина асбоб
. лёрлаш дийин эмас. Чизгич, ип ва
•тга пистон олиш керак. Иккита
пистон бир варак, кргозга босилади —
С* нукталар гиперболанинг фокуслари
>лади, сунг уларга ипнинг учларини
лаш керак (2-расм). Учинчи пис-
н чизгичнинг чеккасига як,ин жойи-
. ботирилади ва унга ип уртасига
жинрок, жойидан (аммо уртасидан
жаэс) -богланади. Энди ипни калам-
-инг учи билан чизгичнинг четига
*. ниб, ипни х,амма вахт таранг холат-
тутиб, каламни харакатлантирсак,
•нинг учи когозда гиперболанинг шо-
•?чаларидан бирини чизади. Агар ип
чинчи пистонга ипнинг роппа-расо
фтасидан богланса, у холда гипербо-
» тугри чизикка — F\F<2 кесимнинг
фгга перпендикулярига айланади.
"ипербола, бошка конус кесимлари
-лби, оптик хоссага эга. Бу хосса
i тшдагича баён килинади: гипербола-
винт фокусларидан бирида жойлаш-
1н ёруглик манбаидан чикаётган нур
иперболадан акс этган гуё бошка
гокусдан чикаётгандек харакат кила-
(3-расм). Агар ойнадек силлик-
анган металл варакни гиперболанинг
-йи буйича эгиб кузгу ясалса ва ги-
пербола фокусига мос тугри чизикда
иам жойлаштирилса, у холда шам
лшадан кайси томондан турган булса,
3-расм,
уша томонда турган кузатувчи шам-
нинг аксини гуё — худди текис ойна-
дан акс этганидек — бир хил жойда
куради (4-расм) (тугри чизик гипер-
боланинг хусусий холи эканини ва
тугри чизикка мос ойна текис були-
шини эслайлик). Яна бир мисол —
учиб кетаётган самолёт овозининг
эшитилиш зонасидир. Агар самолёт
товуш тезлигидан катта тезликда учса,
у холда эшитилиш зонаси хавода ко-
нус ташкил килади (5-раем). Ер сир-
ти, тахминан, шу конусни кесувчи
текислик деб хисобланиши мумкин;
кесимда гипербола хосил булади. Агар
самолёт тезлиги товуш тезлигидан
кам булса хам самолёт товушининг
эшитилиш зонаси ерда гипербола
шаклида булади; тугри, бу холда эши-
тилиш зонаси бошкача куринишда бу-
лади. Зонанинг чегарасини хосил ки-
лиш учун гипербола шохобчаларидан
бирини унинг фокуслар оркали утувчи
уки атрофида айлантириш керак. Хо-
сил буладиган сирт икки паллали ги-
перболоид дейилади, чунки у иккита
4-расм.
90
Еш математик цомусий лутати
5-расм.
палладан иборат: бири — биз хосил
килган палла, иккинчиси эса гипер-
боланинг иккинчи шохобчасини ай-
лантиришда пайдо булади.
Агар гипербола иккинчи уки атро-
фида айлантирилса, у холда бир пал-
лали гиперболоид деб аталувчи сирт
хосил килинади. Москвадаги Шабо-
ловка радиоминорасининг секциялари
ана шундай шаклга эга.
А. Н. Толстойнинг «Инженер Га-
риннинг гиперболоиди» китобида тас-
вирланган асбобнинг кузгуси аслида
гиперболоид эмас, балки параболоид
(К- Парабола) булишини айтиб ута-
миз. А. Н. Толстой «гиперболоид»
деган номни hyperbole сузи юнонча-
дан таржима килинганда «бурттириш»
деган маънони англатгани учун тан-
лаган булса керак.
Агар гиперболанинг асимптоталари
координата уклари деб кабул килинса,
k <
унинг тенгламаси у= — каби езилади.
ГИПЕРБОЛИК
ФУНКЦИЯЛАР
Гиперболик функциялар — shx =
ех — е~х . ех + е~х ,
= -----— ’ chx =-------2----Ф°Р'
мулалар билан аникданадиган функ-
циялар; мос равишда, гиперболик
синус ва гиперболик косинус дейила-
ди. 1- ва 2- расмда гиперболик функ-
цияларнинг графиклари келтирилган.
Гиперболик синус — усувчи, ток
функция, х = 0 да нолга тенг, х > 0
да мусбат ва. х < 0 да манфий
Гиперболик косинус функцияси х = 0
да узининг энг кичик цийматини
кабул килади. Аргумент чексиз орт-
ганда (х —оо), бу и ккал а функция
жуда тез усади. Бунда етарлича
катта аницлик билан уларни ех
курсаткичли функцияга алмаштириш
мумкин. Ихтиёрий х лар учун ушбу
сй2х — s/i2x = 1 тенглик уринлигига
ишониш кийин эмас.
Гиперболик функциялар тригоно-
метрик функцияларнинг хоссаларига
ухшаш купгина хоссаларга эга. Маса-
лан, куйидаги формулалар уринли:
s/i(x-|-t/) = shx-chy~\-chx-shy,
ch (х-\-у) = chx-chy-\-shx-shy,
sh2x = 2shx • chx,
ch2x = ch2x + sh2y:
shx ва chx функциялардан ташкари.
thx ва cthx каби белгиланувчи гипер-
1-расм.
2-расм
График
91
болик тангенс ва гиперболик котан-
генс функциялари кам кдралали, улар
thx =
shx
chx
ех — е~х .
ех + ех ’
cthx =
ех + е~х
ех — е~х
формулалар оркали аникланади. Бу
функцияларнинг графиклари 3-расм-
да тасвирланган. Синус ва косинус
функциялари бирлик х2 + у =1
айлана билан кандай богланган булса,
гиперболик функциялар х2 — у2 = 1
тенг ёнли гипербола билан шундай
богланган, шу сабабли кам улар гипер-
болик функциялар номини олган (4-
ва 5-расмлар). Агар М нукта бирлик
айланада ётса, унинг абсцисса ва
ординатаси, мос равишда, х = cost,
у == sint га тенг. х2 — у2 = 1 гипербо-
лада ётувчи М нукта учун абсцисса ва
ординатани х = cht, у = sht курини-
шида тасвирлаш мумкин. Айлана учун
t аргумент АОМ бурчакка тенг, аммо,
бундан ташцари, t ни АОМ сектор
юзининг иккилангани деб олса кам
булади. Бу кейинги факт гипербола
учун кам тугри, яъни агар I аргумент
АОМ гиперболик секторнинг иккилан-
ган юзига тенг булса, у колда М нук,та-
нинг координаталари х = cht ва
у = sht булади.
Гиперболик функциялар электро-
техника, курилиш механикаси, мате-
риаллар каршилиги ва бошка сокалар-
да уз татбикини топган. Масалан,
гиперболик функция ёрдамида дор
(занжир, сим, аркон)нинг салкилили-
ги тасвирланади; бундай эгри чизик
занжир чизиц дейилади.
ГРАФИК
Функциянинг графиги — уни тасвир-
лаш усулларидан бири. У ёки бу
функцияни турлича, масалан, ran
билан тавсифлаш мумкин. Физикадан
маълумки, текис каракатда утилган
йул каракатнинг бошланиш онидан
кетган вактга тугри пропорционал. Бу
ran йулни вактнинг чизикли функция-
си сифатида ифодалайди.
Электрикнинг кулида турли диа-
метрли симлар учун ток кучининг
жоиз энг катта кийматлари курса-
тилган жадвални, укувчи партасида
эса логарифмик ва тригонометрик
функцияларнинг жадвалларини ку-
риш мумкин... Буларнинг каммаси
функцияларни жадвалда тасвирлашга
мисоллардир. Х,исоб-китобларда
функцияларни, одатда, формулалар
ёрдамида беришади.
Функцияни кар бир тасвирлаш
усулининг уз афзалликлари бор. Агар
функцияни оддий гаплар билан тав-
сифлашга эриша олинса, бу усул
функция берилишининг албатта энг
соддаси ва тушунарлиси булади.
Функциянинг формулалар ёрдамида
Еш математик цомусий лугати
92
1-расм.
берилишидан куп фойдаланилади,
чунки формулалар билан хисоблаш
кулай, функциянинг хоссаларини
аникдаш максадида формулаларни
анализ килиш, улар устида турли
алмаштиришлар бажариш мумкин.
Функция кийматани хисоблаш кийин
булганда ёки у факатгина бир неча
алох,ида кийматларни кабул килиши
мумкин булганда, функцияни жадвал-
да берилиш усулини афзал куришади
(бу ерда «симларга оид» мисол
ишонарлидир: саноатда ишлатилаёт-
ган стандартларга кура, симларнинг
диаметрлари факат бир нечагина
маълум улчамли булиши мумкин).
Функция тасвирининг график усули
энг яккол усулдир. Функция графи-
ги — унинг аргумента узгара бориши-
да функциянинг узгариш характери
х,акида яхлит тасаввур берувчи чизик-
У = f(x) функция графиги координа-
та текислигидаги (х, у) нукталар
тупламидир, бу ерда х га функциянинг
аникланиш сохасидан мумкин булган
барча кийматлар берилади ва ана шун-
2-расм.
дай хар бир х учун у = ffr) функ-
ционал богланиш у ордината аникла-
нади. Функционал богланиш функция
аникланиши сохасидан олинган х нинг
битта ва факат битта киймата мос
куйшини эслатамиз. Бундан функ-
ция аникланиш сохасининг кайси
нуктасидан абсциссалар укига пер-
пендикуляр тикламайлик, у функция
графигини факат битта нуктада кесиб
утиши келиб чикади. Шунинг учун
кам, 1-расмда тасвирланган чизиклар
кеч кандай фунииянинг графиклари
була олмайди, 2-расмда тасвирланган
чизик эса бирор функциянинг графи-
гидир.
Узининг кургазмали характери би-
лан функцияни график усулда бериш
купинча бошка усулларга хамрок бу-
либ келади. Тадкикотчи бирор функ-
ционал богланиш формуласини чикар-
гач, богланиш графигини тузади.
Купгина электрон хисоблаш машина-
ларида хисоб натижаларини ракамлар
устуни куринишида чикариб беради-
ган босиш курилмасидан ташкари,
уша натижаларни график куринишида
тасвирловчи график чизгич бор. Куп
асбоблар курсаткичларни график
куринишида беради. Масалан, баро-
граф атмосфера босими графигини
вактнинг функцияси сифатида чизиб
беради, кардиограммани юрак иши-
нинг графиги дейиш мумкин.
Куп функцияларнинг графиклари
шу функцияларга монанд номга эга.
Синус функциясининг графиги сину-
соида, тангенс функциясининг графи-
График
93
Еш математик цомусий лутати
94
ги тангенсоида, логарифмик функция-
нинг графиги логарифмика дейилади
ва x-к-
Функция графигининг эскизини
чизиш учун функция устида дастлаб-
ки тадк,ик,от олиб борилади, сунг
боскичма-боскдч куйидаги йул тути-
лади.
Функциянинг аникданиш со^аси ва
кийматлар сохдси топилади, бу эса
график кдерда жойланиши, коорди-
ната укдарида масштаб танланишини
белгилайди.
Функциянинг узлуксизлик оралик,-
лари топилади ва унинг узилиш нукта-
лари аникданади. Узилиш чексиз бул-
ган нук,таларда ёрдамчи (масалан,
пунктир) тугри чизикдар — асимпто-
талар утказилади. функция графиги
+ оо ёки —оо ка узоклашганда бу
График
тугри чизик (асимптота )ларга як,ин-
ташади.
Графикнинг узилиш нукталаридаги
бундай табиати эскизда курсатилади.
Сунгра функциянинг биринчи тартиб-
ли хосиласи кисобланади ва косила
мавжуд булмаган ёки нолга тенг бул-
ган нукталар (критик нукталар) изла-
нади, шунингдек, функциянинг усиш
ва камайиш ораликлари топилади.
95
Агар бирор ораликда функция хосила-
си мусбат булса, у колда бу ораликда
функция усади, агар манфий булса,
функция шу ораликда камаяди.
Функциянинг экстремумлари топи-
лади. Экстремум нукталар критик
нукталар тоифасига киради. Сунгра,
критик нуктанинг иккала томонида
хосилага эга узлуксиз функциялар
учун хосиланинг ишораси текширила-
96
Еш математик цомусий лутати
ди. Агар косила критик нуктадан чап
томонда мусбат, унг томонда манфий
булса, у холда функция шу нуктада
максимумга эришади. Агар х°сила
критик нуктадан чапда манфий, унгда
мусбат булса, у холда функция бу
нуктада минимумга эга булади.
Функция юкорига ва пастга каварик
булган ораликлар топилади (к. К,ава-
риц функциялар). Агар бирор оралик-
да функциянинг иккинчи тартибли
хосиласи манфий булса, у холда
функция шу ораликда юкорига кава-
рик, агар иккинчи хосила мусбат
булса, функция уша ораликда пастга
каварик булади. Функцияни текшира-
ётиб, унинг кайрилиш нукталари хам
топилади — бундай нуктанинг иккала
томонида функция кавариклигининг
йуналиши хар хилдир. Агар функция-
нинг асимптоталари мавжуд булса,
уларнинг тенгламалари топилади ва
координата текислигида бу асймпто-
талар утказилади. Энди графикнинг
узини чизиш колди. Координата
текислигида белгиланган нукталар-
ни — функциянинг усиши ёки ка-
майиши, юкорига ёки пастга каварик-
лигини хисобга олиб чизик билан
бирлаштириш, агар асимптоталар бор
булса, график шохларини асимпто-
таларга якинлашиб борадиган килиб
чизиш керак. Графикни аникрок
чизиш учун, купинча, кандайдир нук-
таларда функция кийматларини
хисоблашади, графикнинг координата
уклари билан кесишиш нукталарини
топишади ва х- к. Булардан ташкари
графикларни ясашда функциянинг
жуфтлиги, токлиги, даврийлиги каби
хоссаларидан хам фойдаланишади.
Жуфт функциянинг, масалан, коси-
нуснинг графиги координаталар укига
нисбатан симметрик, ток функция-
нинг, масалан, синуснинг графиги
координаталар бошига нисбатан сим-
метрикдир. Т даврли даврий функция-
нинг графиги абсциссалар уки буйлаб
даврга каррали масофаларга параллел
кучирганда узи-узига утади. Шунинг
учун даврий функция графигини
аввал узунлиги даврга тенг ораликда
чизиб олиш, сунгра уни бу ораликдан
унг ва чап томонларга жойлашган
ва ушандек узунликка эга ораликдар-
да кетма-кет такрорлаш етарли.
ГРАФИК Х,ИСОБЛАШЛАР
Конкрет масалаларнинг такрибий
ечимини график усулда топиш мумкин.
Ечимнинг бу усули геометрик ясаш-
ларга асосланган. Аммо, изланаётган
катталикларнинг сонли кийматлари
такрибий булади. Бундай усуллар
ечимга жуда аник якинлашишга олиб
келмаса хам содда ва якколдир. Ку-
пинча, хисоблашнинг аналитик усу-
лини куллаш учун бошлангич якин-
лашишни топишда график. хисоблаш-
лардан фойдаланилади (к- Тацрибий
%исоблашлар).
Алгебраик ифодаларни график хи-
соблашга оид бир неча усул билан
танишамиз. Узунлиги а ва b га тенг
икки кесма берилган булсин (улчаш-
лар узунлик бирлиги — кесма ёрда-
мида олиб борилади). У холда узун-
лиги а-\-Ь, а — b, ab, а/b булган кес-
маларни ясаш осон. a-f-b кесмани
куриш учун (1-расм, а) биз сон укида
циркуль билан ОА=а ва АВ = Ь
кесмаларни ажратамиз, шунда
ОВ = а-}-Ь. Худди шу сингари а — b
ни топиш учун (а>Ь) 04 =а ва
4В = бни куямиз (1-расм, б), факат
бу сафар АВ ни ОА га тескари йуна-
лишда ажратамиз, шунда 0В=а—Ь.
Узунлиги а/b кесмани ясаш учун
(2-расм, а), О учли ихтиёрий бурчак
томонларида ОВ = Ь ва 04 = а кес-
маларни ажратиб, сунг [ О В) нурга
0D = 1 кесмани куямиз. D нукта
оркали АВ га параллел тугри чизик
утказамиз. У [04) нурни С нуктада
1-расм.
График хисоблашлар
97
кесса, Фалес теоремасига кура ОС =
=а/Ь. Узунлиги ab кесмани ясаш
2,6-расмда курсатилган, унда ВС
тугри чизик В нукта оркали утади ва
AD га параллел.
Узунлиги а га тенг кесма ват, п на-
ТП
турал сонлар буйича —а кесмани
ясаш учун, яъни кесманинг узунли-
гини берилган нисбатда улчаш учун
3-расмда тасвирланган ясаш куллана-
ди. Бу расмда О нуктада кесишадиган
икки тугри чизикда узунлиги т ва п
га тенг кесмалар куйиб чикилади; сунг
С нукта оркали Л В га параллел CD
тугри чизик утказилади. О АВ ва О DC
учбурчаклар ух шаш лиги дан
Бу геометрик гоя махсус асбоб —
пропорционал циркуль ясашга асос
булган (4-расм). Асбоб бир хил узун-
ликдаги уртаси уйилган 2 оёцчадан
иборат. Уйиклар уларни махкамловчи
винт х,олатини узгартиришга имкон
беради. Оёкчаларнинг юкори учлари
орасидаги масофанинг купи учлари
орасидаги масофага нисбати оёкчада
винт ажратган мос кесмалар нисба-
тига тенг. Шунинг учун оёкчаларнинг
юкори ва куйи кесмалари берилган
нисбатга тенг буладиган килиб винт
махкамлангач, циркулнинг куйи учла-
ри берилган кесма буйича олинса,
юкори учлари изланган кесма хосил
килади.
Кушиш, айириш, купайтириш ва бу-
лишни амалга оширувчи операциялар
турли комбинацияда олиниб коэффи-
циентлари ва х нинг киймати берил-
ганда Pn(x)=aoxnA-aixn~1 ---ап
купх,аднинг кийматини график хисоб-
лаш мумкин. Буни, масалан,
{[(a0x-|-ai)x-|-a2]x + ---l* + a,1
куринишга келтириб, график хисоб-
лашларни ички кавслардан бошлаб
бажариш мумкин.
Мусбат сондан чикарилган квад-
рат илдизни график тасвирлаш мум-
кинми? Узунлиги -\1а га тенг кесмани
4-расм.
пл т
OD= —а
п
4-4826
98
Еш математик цомусий лугати
ясаш учун ихтиёрий тугри чизикда
DA =а ва АВ = 1 кесмаларни ажра-
тамиз (5-расм); сунг BD диаметрли
айлана утказамиз ва А нуктадан BDra
перпендикуляр утказамиз; у айланани
С нуктада кесиб утсин. Тугри бурчак-
ли DAC ва С АВ учбурчаклар ухшаш-
лигидан, АС=у[а га эга буламиз.
Тенгламалар, тенгсизликлар, улар-
нинг системалари, параметрли маса-
лаларнинг график ечиш усули коор-
динаталар текислигида берилган тенг-
лама ва тенгсизликларни каноатлан-
тирувчи чизикларни ясашга асослан-
ган. Масалан, х2 + рх + <7 = 0 квадрат
тенгламани ечиш учун график йули
билан у = х2 парабола ва у = —рх— q
тугри чизиклар кесишган нукта топи-
лади (6-расм). х3+рх+д = 0 тенгла-
мани ечиш учун эса </=х3 кубик па-
рабола билан у = —рх — q тугри чи-
зик кесишган нукта изланади (7-
расм). Бунинг учун аввалдан милли-
метрли когозга у = х2 ва у = х3 функ-
цияларнинг графикларини пухта чи-
зиб олиш, сунг зарур тугри чизиклар-
ни утказиб (ёки шунчаки чизгичнинг
киррасини куйиб) мос графиклар ке-
сишиш нукталарини изласа булади (6-
6-расм.
расмда х2 + 0,9х— 2,52 = 0 тенглама,
7-расмда эса х3—х-|-2=0 тенглама
ечилиши тасвирланган).
График усулда икки чизикли тенг-
ламанинг системаси
atx-]-b\y = C\
a2x + b2y = c2
Хам жунгина ечилади, чунки бу сис-
теманинг хар бир тенгламаси коор-
дината текислигида тугри чизикдан
иборат. Бу тугри чизикларни утказиб,
кесишиш нуктасининг координатала-
ри топилса (у мавжуд булган холда),
изланаётган ечим хосил килинади
(8-расм).
f(x)^>g(x) тенгсизликнинг график
усулда ечилиши f(x) функциянинг
графиги g(x) функция графигидан
юкорида ётадиган х нукталарни из-
лашга келади. Масалан, </=||х|— 1|
ва у = х2—1 функицияларнинг гра-
фикларини ясаб (9-расм), ||х|—1|>
> х2 — 1 тенгсизликнинг ечими абс-
График хисоблашлар
99
цисса укининг ]—1; 1[ ораликдаги
нукталари булишини курамиз.
Тенгламаларни график усулда
ечишнинг бошка баъзи усуллари ха-
кида «Номография» маколасида ки-
ком килинади. Биз бу ерда юзаларни
график хисоблаш масаласига тухта-
ламиз; у айни пайтда сонли интеграл-
лаш масаласи хамдир (к- Такрибий
х,исоблашлар ).
Абсцисса уки, х = а, х = д тугри
чизиклар (a<zb) ва узлуксиз y=f(x)
функция графиги билан чегаралан-
ган фигурани нг юзасини купинча
y = f(x) функциянинг факат графиги
берилиб, унинг аналитик ифодаси но-
маълум булган шароитда кисоблашга
тугри келади. Мана шундай холларда
график интеграллаш методидан фой-
даланилади. У куйидагидан иборат.
Аввал f(x)= const = с булган холни
карайлик (10-расм); бунда изланган
аАВх тугри туртбурчак юзаси с{х— а)
га тенг. Бу функция тугри чизикни
тасвирлайди. У (а, о) нуктадан утади
ва абсцисса укининг мусбат йунали-
шига tg<$ = c булган ср бурчак о стида
10-расм,
огади. <р бурчакни ясаш учун О нукта-
дан чапда | OP |= 1 булган Р нукта
олиш етарли: СРО учбурчакдан tgip =
= с эканлигини топамиз. Энди РСга
параллел (aD) тугри чизик утказсак,
у = с (х — а) функция графигини косил
Килам из. Шундай килиб, курилаётган
хусусий холда изланаётган юза [bd |
кесманинг узунлигига тенг сон билан
ифодаланади.
Умумий холда эгри чизикли тра-
пециялар юзасини хисоблашда берил-
ган y — f(x) узлуксиз функцияни зи-
насимон функция билан алмаштириш-
га асосланади (11-расм). Х,ар бир туг-
ри туртбурчак баландлиги шундай
танланадики (чамалаб), унинг юзаси
тахминан эгри чизикли трапецияча
юзасига тенг булсин. Сунг изланаёт-
ган юза
п
ук (Л'А Хк—1)
k=\
га тенг деб фараз килинади. Бу ифо-
дани график усулда хисоблаш 11-
расмда курсатилган. Абсцисса укида
ётган а = Хо нуктадан бошлаб aAtA2
А3А4А5 синик чизик куриб чикилади.
Унинг кесмалари мос тартибда PCi,
РС2, РС3, PC4, РС5 кесмаларга па-
раллел; S юзанинг катталиги такри-
бан Л 5 нуктанинг ординатасига тенг.
Ясси фигуралар юзасини такрибан
хисоблаш учун (масалан, карта ва
планлар билан иш курганда, мате-
риалларни бичишда ва б.) планиметр
дейиладиган асбоб ихтиро килинган.
Худди шу максадда Архимед куйида-
ги кизик усулни таклиф этган: берил-
Еш математик цомусий лутати
100
ган фигурани бир жинсли материал-
да чизиб, киркиб, сунг аник, тарозида
унинг вазни тортилади; сунг шу таро-
зида шу материалдан ясалган томони
1 га тенг квадрат тортилади; биринчи
вазнни иккинчи вазнга булинса, бу-
линма изланган юза булади. Хусусан,
шундай йул билан радиуси маълум
дойра юзасини топса булади.
ГРАФЛАР
Математикада граф деб баъзилари
узаро чизикдар билан туташтирилган
чекли сондаги нукталар мажмуига
айтилади: бу нукталар графнинг уч-
лари, туташтирувчи чизиклар эса кир-
ралари дейилади. География харита-
сига нигох, ташлаш биланок темир
йул тармокдари куринади. Бу типик
графдир: кичкина доирачалар стан-
цияларни — графнинг учларини,
уларни туташтирувчи йуллар эса кир-
раларни белгилайди.
1 -расмнинг юкоридагиси граф М, А,
Б, В ва Г кишлоклар орасидаги йул-
лар схемасини тасвирлайди. Бу ерда
учларнинг \ар бир жуфти кирра билан
узаро туташтирилган. Бундай граф ту-
лик дейилади. Расмдаги сонлар киш-
локлар орасидаги йуллар масофалари-
ни курсатади. М кишлогида почта
жойлашган булиб, почтачи хатларни
Колган турт кишлокка таркатиши ло-
зим булсин. Почтачи турли маршрут
1-расм,
9 5 13 9
6 13 6 9 13 9 11 5 11 9 5 9 7 5 7 13 5 13 7 11 7 6 11 6
фффффффффффффффффффффффф
, 6 4 10 6 Ю 4 64 7 6 74 10 4 7 10 7 в Ю 6 7 /
М М М (м)(м)®(м)(м)(м ( м) J)®®®®
30 42 44 50 37 37 41 37 36 37 4Б 50 41 45 26 37 37 42 28 36 41 44 41 30
7
Г рафлар
буйлаб сафар килиши мумкин. Улар-
дан энг к,иск,асини кандай танласа
булади? Энг соддаси — х,амма ва-
риантларни караб чикиш. Буни амалга
ошириш учун янги граф ёрдам беради
(1-расмнинг куйи дисми). Унда мум-
кин булган барча маршрутлар кури-
ниб турибди. Юдоридаги учи — ма-
рштрутлар бошланиши. Ундан турт
хил усулда йулга чидиш мумкин: А, Б,
В ва Г га томон. К,ишлокдардан бири-
га ташриф буюрилгач, яна маршрутни
давом эттириш учун уч имконият к,о-
лади, сунг икки имконият, кейинги
охирги кишлокда йул, них,оят М га
кайтиш колади. Жаъми 4 • 3 • 2 • 1 =24
хил вариант. Уларнинг барчаси шу
графда намоён.
Граф дирраларига дишлокдар ора-
сидаги масофаларни куйиб чидамиз,
х,ар бир маршрут охирига эса бу масо-
фалар йигиндисини ёзамиз. Х,осил
дилинадиган 24 та сондан энг кичиги
иккита 28 км ли масофа булиб, унга
М-В-Б-А-Г-М ва М-Г-А-Б-В-М марш-
рутлар мувофик келади. Бу эса икки
101
йуналишда утиладиган айнан бир йул
эканлигини эслатамиз. Юкоридагига
ухшаш масалалар молларни магазин-
ларга, курилиш материалларини объ-
ектларга ташишнинг энг мадбул вари-
антини топишда куп учрайди.
Графлардан курилиш ишларини
планлаштиришда х,ам фойдаланилади.
2-расмда тасвирланган граф курилиш-
нинг турли графиги дейилади. Бу ерда
турар жой курилиши учун турли гра-
фик тузилган. Унинг учлари курилиш-
нинг алох,ида иш турларини белги-
лайди: бундан ташдари курилиш бош-
ланиши ва якунига мос иккита уч мав-
жуд. Агар граф кирраларида йуна-
лишни курсатувчи миллар куйилган
булса, у йуналтирилган граф дейила-
ди. 1-расмда тасвирланган графни
почтачи даракати йуналиши буйлаб
юкоридан пастга миллар билан йунал-
тириш мумкин.
2-расмдаги графда А ишдан В ишга
йуналтирилган мил А иш тугамасдан
туриб В ишни бошлаб булмаслигини
билдиради. Пойдевор битмасдан де-
Еш математик цомусий лугати
102
ворлар монтажини бошлаб булмайди,
пардозлашга киришиш учун водопро-
вод утказилган булиши керак, пай-
вандлаш ишлари электр олиб кели-
нишини такозо килади ва х- к.
Граф учлари ёнидаги сонлар — кур-
сатилган ишни бажариш учун кета-
диган кунлар микдори. Граф асосида
курилишни якунлаш мумкин булган
энг киска муддатни аниклай оламиз.
Бунинг учун графнинг миллар йуна-
лишидаги барча йулларидан шун-
дайини танлаш керакки, унинг учла-
ридаги сонлар йигиндиси энг катта
булсин. Бундай йул критик йул деб
аталади (2-расмда у кизгиш рангда).
Бизнинг мисолда бу йигинди 170 кун.
Айтайлик, электр утказиш муддати
40 кундан 10 кунга туширилса, ку-
рилиш муддати кам 30 кунга камая-
дими? Йук. Бу холда критик йул бош-
ка учлардан: хандак курилиши, пойде-
вор куйилиши ва б. ишларга мос уч-
лардан утади. Курилишнинг умумий
муддати эса 160 кунни ташкил этади,
яъни атиги 10 кунга кискаради.
Графлар купинча вариантларни
бирма-бир саралаб чикиш билан бог-
лик мантикий масалаларни ечишда
Кул келади. Мисол тарикасида мана бу
масалани олайлик. Пакирда 8 л сув
хамда 5 ва 3 л хажмли иккита сатил
бор. Беш литрли сатилга 4 л сув куйиб,
пакирда 4 л сув колдириш, яъни сувни
пакир билан катта сатилга Тенг бу-
лиш талаб килинади.
Хар бир ондаги холатни учта сон
(х, у, z) билан аниклаш мумкин, бунда
х — пакирдаги, у — катта сатилдаги,
z эса кичик сатилдаги сув микдори.
Бошлангич ондаги холатга (8, 0, 0)
учлик мос келади, ундан биз икки
холатдан бирига ута оламиз: агар кат-
та сатилни сув билан тулдирсак, (3,
5, 0) холатга, борди-ю кичик сатилни
тулдирсак, (5, 0, 3) холатга утамиз.
Шу усулда давом этиб иккита ечим
хосил киламиз: бири 7 кадамли, ик-
кинчиси 8 кадамли.
Шу сингари ихтиёрий позицион
уйиннинг графини тузиш мумкин:
шахмат, шашка, нард ва б.— бунда
позициялар графнинг учлари, уларни
туташтирувчи йуналишли кесмалар
бир позициядан иккинчи позицияга
утказадиган юришга мос келади.
Бирок шахмат, шашка каби уйинлар
учун бундай граф жуда катта булади,
чунки бу уйинларда миллионлаб пози-
ция бор. 3X3 улчовли катак когозда
уйналадиган «плюслар ва ноллар»
уйини учун эса мос графни чизиб чи-
киш у кадар кийин эмас, гарчанд
унинг хам унлаб (харкалай миллион-
лаб эмас) учи булса хам.
Учлар кесмалар билан туташтирил-
ганми ёки эгри чизиклар биланми —
графларнинг хоссалари бунга боглик
эмас. Бу эса уларнинг ёш фан соха-
ларидан бири — топология ёрдамида
урганишга имкон беради.
Графлар назариясининг асослари
биринчи бор Л. Эйлер ишларида пай-
до булди. У бошкотиргич ва кунгил-
ёзар математик масалалар ечимини
баён килиб берган. Кибернетика ву-
жудга келиши ва хисоблаш техника-
си тараккиёти билан боглик равишда
XX а. 50-йилларидан графлар наза-
рияси жадал ривожлана бошлади.
ГРУППА
Группа — математиканинг асосий ту-
шунчаларидан бири булиб, алгебра,
геометрия, физика ва б. фанларда
кулланади.
Диалектик билиш назарияси нук-
таи назаридан группа тушунчаси ик-
кинчи боскич абстракциясидир. Мате-
матиканинг биринчи боскич абстрак-
цияларини реал дунё объектлари ва
жараёнларининг нусхалари деб аташ
мумкин, яъни улар учун бизни ураб
турган борликда «прототиплар» топи-
лади. Масалан, одам иккита элемент:
икки кул, икки куз ва б. дан иборат
тупламни куп марта кузатган. Бу туп-
ламларга кирган элементларнинг кон-
крет хоссалари аста-секин сокит ки-
линиб, янги тушунча — 2 сони пайдо
булган.
Математиканинг биринчи боскич
абстракциялари жуда кадим замон-
Группа
103
ларда вужудга келган. Айтайлик, икки
минг йилдан купрок. аввал яшаган
Евклид сонлар ва улар устидаги амал-.
лар х,акидаги, геометрик чизиклар,
сиртлар ва жисмлар хдкидаги тугал
тушунчалардан фойдаланган. Архи-
медда эса куч, тезлик каби механик
микдорларнинг вектор табиати хамда
уларни параллеллограмм коидаси бу-
йича кушиш хакида тасаввур борли-
гини учратамиз.
XIX а. да математиклар ихтиёрида
бир неча конкрет амаллар: хакикий
сонларни кушиш, сонларни купайти-
риш, векторларни кушиш, геометрик
алмаштиришларни купайтириш (ёки
аникроги, композицияси), урин ал-
маштиришлар . (яъни чекли туплам-
ларнинг алмаштиришлари)ни купай-
тириш ва б. амаллар булган. Бу бо-
рада шу математик амалларнинг хос-
салари ухшашлиги куринган. Маса-
лан, сонларни кушиш амали хам, век-
торларни кушиш хам, сонларни ку-
пайтириш хам, геометрик алмашти-
ришларнинг композицияси хам ассо-
циативлик (уюшиклик) хоссасига эга.
\ста-секин иккинчи боскич абстрак-
цияси, яъни аввалрок шаклланган би-
ринчи боскич математик тушунчалар-
ни абстрактлаш вужудга келди: ма-
тематиклар кушилаётган (ёки купай-
тирилаётган) элементларнинг конкрет
куринишини, яъни нима кушилаётга-
нини эътибордан четга чикариб, фа-
кат кушиш бирор тупламда аниклан-
гани ва бу амал тайин хоссаларга
(ассоциативлик ва б.) эга эканлигига
эътибор бердилар. Бу группа тушун-
часи пайдо булишига олиб келди.
Бу тушунча хакида батафсилрок
хикоя килайлик. Хакикий сонларни
кушишнинг хоссалари яхши маълум:
1) ихтиёрий а, Ь, с учун (о + 6)+
— с = о+(6-|-с) (ассоциативлик ёки
мошиклик);
2) ихтиёрий а, b учун а-\-Ь = Ь-\-а
(коммутативлик);
3) шундай 0 сони мавжудки, ихти-
ерий а учун а-|-0 = с (нолнинг мав-
жудлиги);
4) ихтиёрий а учун шундай — а сони
мавжудки, о+(—а)=0 булади (ка-
рама-карши элемент мавжудлиги).
Векторларни кушиш хам худди шун-
дай хоссага эга:
1) (о+^)+ =^о+ (t+c);
2) a^-b^=b^-a,
3) oj-0 = a, )
4) ц-|- ( — о)=0.
Агар купайтириш амали нолдан
бошка барча хакикий сонлар тупла-
мида каралса, юкоридагига ухшаш
хоссаларга эга булади:
1) (ab)c = a(bc) (ассоциативлик);
2) ab = ba (коммутативлик);
3) шундай 1 сони мавжудки, ихтиё-
рий а учун а-1 =о;
4) ихтиёрий а учун (ц=/=0) шундай
а~1 сони мавжудки, а а~1 = I булади.
Харакатларнинг композицияси
амалига келсак (к. Геометрия), у фа-
кат бу хоссалардан учтасини кано-
атлантиради:
1) ихтиёрий _f, g, h харакатлар учун
h°(g°f) = (hog) f-,
2) шундай e харакат (айний алмаш-
тириш) мавжудки, ихтиёрий f харакат
учун f о е = f ап е ° f = f;
3) ихтиёрий f харакат учун f о f~' = е
ва f ~'° f = е муносабатларни каноат-
лантирувчи f~' тескари харакат мав-
жуд. Харакатлар учун коммутативлик,
яъни f og = go j тенглик, умуман ол-
ганда, уринли эмас.
Энди куйидаги таъриф берилиши
тушунарли: G туплам берилган булиб,
унинг ихтиёрий икки а, b элементига
шу G тупламнинг а^Ь элементини
мос куювчи амал аникланган ва куйи-
даги хоссалар уринли булса, G туплам
группа деб аталади:
1) G дан олинган ихтиёрий а, Ь, с учун
II) G да шундай е элемент (бирлик
ёки G группанинг нейтрал элемента)
мавжудки, ихтиёрий a^G учун
а^е=а ва е^а=а\
III) ихтиёрий a<=G учун шундай
а~'^G элемент (а га тескари эле-
мент) мавжудки, а а~1 = е ва
а~' ^f.a=e.
Еш математик цомусий лугати
104
Бундан таи।кари, бнинг ихтиёрий
а, b элементлари учун
IV) a^.b = b^ca
тенглик уринли булса, G группа
коммутатив (ёки Абель группаси) де-
йилади.
Юкорида айтилганга мувофик, куйи-
дагилар равшан:
1) барча хакикий сонлар туплами
R к,ушиш амали билан карал ганда
группа (Абель группаси) булади;
2) текисликдаги барча векторлар
туплами R2 ундаги кушиш амали би-
лан бирга Абель группаси булади;
3) барча нолдан фаркли сонлар
туплами купайтириш амали билан ка-
ралганда Абель группаси булади;
4) текисликнинг барча харакатлари
туплами композиция амали билан
каралганда группа булади, лекин у
Абель группаси булмайди (яъни ком-
мутатив эмас).
Группа сингари «иккинчи боскич
абстракцияси» ни киритишдан нима
фойда? Жавобни шундай баён килиш
мумкин. 1—4-аксиомалар асосида
Абель группалари назариясининг би-
рор теоремасини исботласак, биз бу
теорема хакикий сонлар учун хам,
векторлар учун хам, бошка ихтиёрий
Абель группаси учун хам тугри булади
деб айта оламиз. Бу эса Абель груп-
палари хакидаги теоремаларни бир
карра исботлаб, уларни нисбийлик
назариясида, кристаллографияда,
ядро физикасида, яъни группалар
пайдо булиб турадиган барча соха-
ларда куллашга имкон беради.
Группа тушунчаси узининг дастлаб-
ки татбикларини алгебрада топди.
Айникса, француз математиги Э. Га-
луа яратган назария диккатга сазовор.
Геометрияда фигураларни узини-
узига устма-уст туширишлар груп-
палари мухим роль уйнайди. Агар F
текислик (ёки фазо)даги бирор фи-
гура булса, шу фигурани узига утка-
задиган текисликнинг (ёки фазонинг)
барча харакатлари туплами G/ ни
урганиш мумкин. Бу туплам группа
булади (к- Геометрик алмаштириш-
лар). Масалан, тенг томонли учбур-
чак Т учун уни узига утказадиган те-
кисликнинг харакатлари группаси ол-
тита элементдан ташкил топади: 0, 2л
/ 3, 4л/ 3 бурчакларга О нукта атро-
фида буришлар ва учта тугри чизик-
ка нисбатан симметриялар (улар 1-
расмда кизил чизикдар билан тасвир-
ланган). Мунтазам учбурчакнинг уз-
узига устма-уст туширувчи харакат-
лар группасининг элементлари бош-
кача берилиши хам мумкин. Буни
тушунтириш максадида Т мунтазам
учбурчакнинг учларини 1, 2, 3 сонла-
ри билан номерлаб чикамиз. Т учбур-
чакни узига-узини устма-уст туширув-
чи хар кандай f харакат 1, 2, 3 нук-
таларни яна шу нукталарга, факат
бошка тартибда утказади, яъни f уст-
ма-уст тушириш шартли равишда
А 2 3\ Z1 2 Зх
(2 3 17, (1 3 2?,
! 2 Зх
( 3 2 1 7 ваб. (1)
каби кавсларнинг бири оркали ёзиш
мумкин. Бунда каралаётган харакат
натижасида учбурчакнинг биринчи
сатрдаги ракамга мос учи уз остидаги
ракамга мос учга утади. Мисол учун
кавслардан биринчиси 2л/3 бурчак-
ка буришнинг шартли ёзувини ифо-
далайди, иккинчи жуфт каве эса 1
учдан утувчи тугри чизикка нисбатан
симметрияни белгилайди.
Группа
(1) куринишидаги кавслар учта 1, 2,
3 элементли уринлаштиришлар дейи-
лади. Уринлаштиришлар (каракат-
ларнинг композициясига мос) кандай
купайтирилишини кузатиш енгил. Ма-
салан, (1) уринлаштиришларнинг би-
ринчисида 1 уч 2 га утади, иккинчи
уринлаштиришда эса косил булган 2
уч 3 га утади, яъни шу икки урин-
лаштиришни кетма-кет бажариш на-
тижасида 1 уч 3 га утади. Буни бошка
учлар учун кам кузатиб, (1) уринлаш-
тиришлардан биринчиси ва иккинчи-
сининг купайтмасини топамиз; уларни
кетма-кет бажариш натижаси учинчи
жуфт каве билан ёзилган уринлаш-
тиришдан иборат.
Чекли группаларнинг яна бир ми-
соли сифатида Zm группаси хизмат
кила олади, унинг элементлари — т
модуль буйича чегирма (колдик)лар-
дир (к. Таццослама).
Масалан, Z2 группаси иккита эле-
ментдан иборат, биттаси — барча
жуфт сонлар туплами, бошкаси —
барча ток сонлар туплами. Агар бу
элементларнинг биринчисини 0 билан,
иккинчисини 1 билан белгиласак
(яъни 0—«жуфтлик», 1 —«токлик»),
у колда 2 модули буиича кушиш кои-
дасига мувофик: 0-|-0=0, 0-1-1 = 1,
1+0=1, 1 + 1=0. Бу тенгликларни
2-расм.
105
Z2 группасининг «кушиш жадвали»
тарзида ёзиш мумкин:
+10 1
0 0 1
1 *1 о
Турли группаларни тавсифлаш
усуллари какида кикоя килайлик.
Улардан энг куп маълум булгани
группани ясовчилар ва муносабат-
лар ёрдамида курсатишдир. G груп-
панинг куйидаги хоссага эга булган
кием туплами ясовчилар системаси
дейилади: G группанинг исталган
элементини шу кием туплам элемент-
лари (ясовчилари)нинг у ёки бу да-
ражалари купайтмаси куринишида
ёзиш мумкин. Масалан, 2-расмда тас-
вирланган накшни курайлик ва G би-
лан бу накшнинг барча уз-узига уст-
ма-уст туширишлари группасини бел-
гилайлик (рангдорлигини хисобга ол-
май). Хусусан, G группада А нуктага
нисбатан s симметрия ва В атрофи-
да 2л/3 бурчакка-буриш g тегишли.
Куйидагини текшириш мумкин: кури-
лаётган накшнинг ихтиёрий уз-узига
устма-уст туширилиши s ва g эле-
ментларнинг бирор даражалари ку-
пайтмасига (композициясига) ёйила-
ди (масалан, D нукта атрофида 2л/3
Еш математик цомусий лугати
106
бурчакка буриш g.s-gGs-g курини-
шида, А К векторга параллел кучириш
эса sog2°s°g куринишда ёзилади).
Бошка суз билан, s ва g элементлар
G группанинг ясовчилар системаси-
ни ташкил этади. Бу ясовчилар ора-
сида улар кдноатлантирадиган s2 = e,
g3 = e ва б. тенгликлар бор. Алгеб-
раик нукдаи назардан G группа курса-
тилган s, g ясовчилар ва улар орасида-
ги муносабатлар билан туда аникдана-
ди.
Топологияра, масалан, кар хил ту-
гунлар урганилади (3-расм) ва х,ар
бир тугун учун махсус группа аник,-
ланади. У тугуннинг группаси дейила-
4-расм, 5-расм.
3-рас м-
Группа
ди. Тугун 4-расмдагидек тасвирланган
булсин дейлик (тугун иплари кисм-
ларининг бир-бирига нисбатан фазода
жойлашуви узилишлар билан курса-
тилган). У колда тугун группасининг
ясовчилари системаси сифатида тас-
вирда узлуксиз крлган ai, а2, аз, а^,
as ёйларни кабул к,илиш мумкин. Бу
ясовчилар орасидаги муносабатлар
эса тугуннинг иплари бир-бирининг
устидан утадиган хар бир нукта учун
ёзиб чикилади (бунинг учун тугунни
Ъ-расм.
107
айланиб чикишнинг бирор йуналиши-
ни танлаш, сунг 5-расмда курсатилган
коида билан муносабатларни ёзиб
чикиш керак). Чунончи, энг содда
тугун учун (6-расм, уни учяпроклик
деб аташади) мос группа учта а\, а2,
аз ясовчиларга эга, улар орасида
а2аз~1а2~' =е, а3а1~'аз~'а2 = е,
а\а2~'а1~1аз = е
муносабатлар мавжуд. Бу группа
108
Еш математик цомусий лутати
7-расм.
8-расм.
9-рас м.
алгебраик жихатдан 7-расмдаги ту-
гуннинг группасидан фарк дилиши ур-
натилган. Бу группалар орасидаги ма-
на шу фарк, 6-расмдаги тугун «ёзил-
маслигининг», яъни унинг шаклини
узгартириб тугунсиз чизикка айланти-
риб булмаслигининг математик исбо-
ти булиб хизмат килади, 8 ва 9-расм-
ларда 2 ёки 3 ёпик, (учлари узаро ту-
гилган) иплардан таркиб топган ту-
гунлар тасвирланган. Бу холларда хам
тугун группасини текшириб расмдаги
тугунларнинг «чигали» ёзилмаслиги-
ни, яъни тугунларни ташкил этган ип-
ларни узмасдан ажратиб булмаслиги-
ни исботлаш мумкин.
Биз группа тушунчасини алгебра ва
геометриянинг турли масалаларга
баъзи татбиклари хакида хикоя кил-
дик, группалар учрайдиган исталган
билим сохасига группалар хакидаги
теоремаларни (улар аксиомалар асо-
сида бир карра исботланган) куллаш
мумкинлигини эслатиб утдик. Бу тео-
ремалар нималардан иборат? Улардан
бирини курайлик.
Аввало кием группанинг таърифини
келтирамиз. G — бирор группа ва
Н—G тупламнинг кием туплами бул-
син. Агар Н нинг узи хам группа бул-
са (бутун G группадаги купайтириш
амалига нисбатан), HG группанинг
кием группаси дейилади. Масалан,
Z (барча бутун сонлар туплами) ку-
шиш амали билан олинган барча ха-
кикий сонлар группаси R нинг кием
группаси булади. Яна бир мисол: 2-
раемдаги накшнинг уз-узига устма-
уст туширишлари группаси G текис-
лик барча харакатлари группасининг
кием группаси булади. Бу кристал-
лографик группа деб аталадиган груп-
па мисолидир. Текислик барча хара-
катлари группасининг бирор G1 кием
группасини олайлик ва куйидаги хос-
сани курайлик: шундай М купбурчак
мавжудки, G' группага тегишли ха-
ракатлар таъсирида М дан хосил бу-
ладиган барча купбурчаклар бутун
текисликни коплайди ва кушни куп-
бурчаклар умумий ички нуктага эга
булмайди. Мана шу хосса уринли
булган харакатларнинг G1 кием груп-
паси кристаллографик группа дейи-
лади (М купбурчак G1 группанинг
фундаментал сохаси дейилади). 10-
раемдаги накшга мос G группа учун
фундаментал сохалар параллелло-
граммлардан иборатки, улар крис-
таллчалар каби бутун текисликни тул-
диради.
Кристаллографик группаларни фа-
зода хам куриш мумкин. XIX а. рус
кристаллографи Е. С. Федоров группа
тушунчасига асосланиб, фазодаги
10-расм,
Группа
109
кристаллографик группаларнинг фун-
даментал сохалари була оладиган
кристаллар шаклига мос барча ка-
варик купбурчакларни тула санаб бер-
ди. Энди бирор т модуль буйича че-
гирмалар кандай аникланишини эс-
лайлик (к. Таццослама). Барча бутун
сонлар туплами Z нинг т га булина-
диган сонлардан ташкил топган кием
тупламини Нт билан белгилаймиз.
Агар икки а\ ва а2 бутун сонларнинг
айирмаси т га колдиксиз булинса,
яъни (а2 — ct\)<=Hm булса, улар т га
булганда бир хил колдик берувчи сон-
лар дейилади. т га булганда айнан
бир хил колдик берадиган барча сон-
лар Hm^Z кием группага нисбатан
бир кушнилик синфини ташкил этади.
Шундай килиб, бу кием группа буйича
хаммаси булиб т та кушнилик синфи
бор.
Юкорида айтилганларни бирор Н
кием группаси берилган бошка ихти-
ёрий группа Gra хам куллаш мумкин.
G группанинг а,, а2 элементлари айир-
маси а2 — at (ёки группанинг амали
купайтириш булса, си-'а2 элемент)
Н кием группага тегишли булса, улар
Н кием группа буйича битта кушни-
лик синфига тегишли хисобланади.
Окибатда бутун G группа Н кием груп-
па буйича кушнилик синфларига «кат-
лам-катлам» булиб ажралади. Барча
кушнилик синфлари бир хил (чекли
ёки чексиз) сондаги элементлардан
таркиб топади — Н группада нечта
элемент булса, хар бир кушнилик син-
фида хам элементлар худди шу сонда.
Шунинг учун агар G — чекли группа
булиб, g та элементни уз ичига олса,
g = kh ~ тенглик уринлидир, бунда
h — И кием группанинг элементлари
сони, k — кушнилик синфлари сони.
Группалар назариясининг энг содда
теоремаларидан бири мана шундан
иборат.
Масалан, К — бирор куб, Ск —
унинг уз-узига устма-уст тушишла-
ри группаси булсин. А учни узига ут-
казадиган f^Gk харакатларни уз
ичига олган G* нинг кием группасини
На билан белгилаймиз. Нл кием груп-
панинг 6 та элемента бор: ACt диаго-
наль атрофидаги учта буриш (11-
расм) ва учта кузгу симметрияси
(яъни текисликка нисбатан симмет-
рия, 12-расм). Икки gi, gi^Gk эле-
мент А учни айнан бир учга утказган-
да: £|(Л)=£2(Л) ва факат шу холда
улар кием группа буйича битта куш-
нилик синфига тегишли булади. Шу
сабабли, жами булиб саккизта кушни-
лик синфи бор (учлар сонига мос).
Уларнинг хар бирида 6 тадан эле-
мент борлиги туфайли (На кием груп-
пада нечта булса — шунчадан) бутун
Gk группа 6-8=48 та элементга эга.
Хуллас, фазонинг К ни узига утка-
задиган 48 та харакати мавжуд.
Шунга ухшаш бошка мунтазам
11 -раем.
12-расм
110
Еш математик цомусий лугати
купёдликларнинг уз-узига устма-уст
тушишларидан тузилган группаларда
нечтадан элемент борлигини санаш
мумкин. Масалан, мунтазам икосаэдра
битта учни дузгалишсиз долдиради-
ган 10 та уз-узига устма-уст туши-
ришларга эга (бу 10 та устма-уст ту-
шириш барча устма-уст туширишлар-
нинг дисм группасини ташкил этади).
Икосаэдрада 12 та уч бор. Демак, мун-
тазам икосаэдранинг уз-узига устма-
уст тушишлари группаси 120 та эле-
ментдан иборат. Бу уч улчовли фазо
даракатларидан ташкил топган чекли
группалардан энг каттасидир. Шуни
таъкидлаймизки, мудим алгебраик
факт — 5-даражали умумий тенгла-
манинг радикалларида ечилмаслиги
мана шу группанинг хоссалари билан
чамбарчас боглид.
МАСАЛАЛ АР
1-масала. Богбон богидаги муъжизали
олма дарахтида 25 та банан ва 30 та
апельсин етиштирди. У дар куни икки
дона мева узади. Шу куни узилган
мевалар урнида битта янги мева ети-
лади. Агар богбон иккита бир хил ме-
ва узса, урнига апельсин, агар дар хил
мева узса, урнига банан пайдо булади.
Дарахтдаги охирги мева дай турда
булади?
2-масала. Одатдаги домино уйини 28
та тошдан иборат. Агар тошлардаги
нудталар 0 дан 6 гача эмас, 0 дан 4 га-
ча булса эди, тошлар сони атиги 15 та
чидар эди. (Тедшириб дуринг). Тош-
лардаги нудталар 0 дан 12 тагача уз-
гарса, домино домплекти нечта тош-
дан ташкил топарди?
3-масала. Ота-бола дуёш тутилишини
кузатишар, шу сабабли уларнинг суд-
бати К,уёш ва Ой ху суси да борарди.
«Ота,— суради угил,— К,уёш биздан
Ойга дараганда неча марта узод?»
«Агар ёдимда булса,— жавоб берди
отаси,— 387 марта».
«Энди мен К,уёшнинг дажми Ой
дажмидан неча марта катта эканлиги-
ни дисоблашим мумкин».
«Бунга ишонса булади»,— бир оз
уилаб жавоб дилди ота.
Хуш, К,уёшнинг дажми Ой дажми-
дан неча марта датта эдан?
4-масала. Олим 1-синфда удийдиган
синглисининг 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
радамли дарточдаларидан биттадан
олиб, уларни стол устида бир датор-
га жуфт-жуфт дилиб териб чидди.
Х,осил булган сонларга назар ташлаб,
улар узаро 1:2:3:4:5 нисбатда эканини
пайдади. Кечдурун у бу дизид натижа-
ни отасига дурсатиш ниятида дараса,
0 радамли дарточда урнида йуд. Шун-
дай булса дам у бир оз уйлаб, долган
карточдалардан узаро нисбати аввал-
гидед 1:2:3:4:5 булган янги 5 та сон
тузди. Олим дарточдаларни биринчи
ва иддинчи сафар дандай терган?
Даврий функция
111
д
ДАВРИЙ КАСР
Даврий каср — чексиз унли каср,
бирор жойдан бошлаб, аник, бир ра-
хамлар группаси даврий такрорлана-
ди. Масалан, 2,51313... Одатда бундай
касрни к,иск,ача 2,5 (13) куринишида
ёзишади, яъни такрорланадиган ра-
хамлар группасини к,авсга олиб, «давр-
да 13» дейишади. 0,1010010001... каср
даврий булмаган касрга мисол булади,
унда бирлар орасидаги ноллар мик,-
дори хамма вахт ортиб боради. Дав-
рий булмаган касрга ихтиёрий ирра-
ционал сонни, масалан, \!з ни тасвир-
ловчи каср хам мисол була олади.
Агар даврий касрда такрорланувчи
рахамлар группаси бевосита вергул-
дан кейин бошланса, бунда касрни
соф даврий каср деб, акс холда эса
аралаш даврий каср деб аталади. Х,ар
хандай даврий касрни оддий касрга
айлантириш мумкин, яъни даврий
касрлар — рационал сондир. Бирдан
кичик соф даврий каср суратида давр,
махражида эса каср даврида нечта
радам булса, ушанча 9 рахами булган
тугри оддий касрга тенг.
Мисол учун 0,(12) = 12/99=4/33.
Энди ихтиёрий даврий касрни оддий
касрга айлантириш хийин эмас. Бу
хандай бажарилишини мисолда курса-
тамиз:
зд (3)=з+о,1 +о,о (3)=з+|о+
]_ 3_= 47
+ 10 9 “ 15
Бу хоидани чихариш чексиз геомет-
рик прогрессия хадларининг йигинди-
си формуласига асосланган. Тескари
масалани ечишда (оддий касрни унли
касрга айлантиришда) хамма вахт ё
чекли, ёки даврий унли каср хосил
булади. Бунда агар хисхармайдиган
оддий касрнинг махражи 2 ва 5 дан
бошха хеч хандай туб купайтувчи-
ларга эга булмаса, чекли унли каср
хосил булади; агар хисхармайдиган
оддий касрнинг махражи 2 га хам,
5 га хам хисхармаса, соф даврий каср
хосил булади; холган барча холларда
эса аралаш даврий каср хосил булади.
ДАВРИЙ ФУНКЦИЯ
Табиат ходисаларини урганиб, техник
масалаларни ечар эканмиз биз даврий
жараёнларга дуч келамиз; бундай жа-
раёнлар махсус куринишдаги функ-
циялар ёрдамида тавсифланади.
y = f(x) функциянинг аникданиш со-
хаси D булсин. Агар дуйидаги икки
шарт;
1) ихтиёрий х е D учун х + Т,
х — Т нухталар анихланиш сохаси D
га тегишли;
2) D дан олинган ихтиёрий х учун
f(x)=f(x+ T)=f(x—Т) муносабат
уринли; бажариладиган ахалли битта
Т> 0 сон мавжуд булса, f (х) функция
даврий дейилади. Т сон f(x) даври
деб аталади. Бошхача айтилганда,
хийматлари бирор оралихдан сунг
такрорланадиган функция даврий
функциядир. Масалан, у = sinx даврий
функция булиб, унинг даври 2л
(1-расм).
Агар Т сони Цх) функциянинг дав-
ри булса, у холда 2Т сон хам, шу-
нингдек 37, 47 ва х. к. сонлар хам
f (х) нинг даври булади, яъни даврий
функциянинг чексиз куп турли давр-
|-расм.
У У - sinx
о S
112
Еш математик цомусий лутати
лари борлигини айтиб утамиз. Агар
улар орасида энг кичиги мавжуд бул-
са (нолдан катта), даврий функция-
нинг бошка камма даврлари шу сонга
карралидир. Х,ар кандай даврий функ-
ция кам ана шундай энг кичик мус-
бат даврга эга булавермайди; маса-
лан, /(х)=1 функция шундай даврга
эга эмас. Шуни кам назарда тутиш
мукимки, энг кичик мусбат даври бит-
та: Го сондан иборат иккита даврий
функциянинг йигиндиси учун То яна
энг кичиги мусбат давр булиши шарт
эмас. Масалан, f = sinx ва g(x)=
= — sinx функцияларнинг йигиндиси
умуман энг кичик мусбат даврга эга
эмас. f (х)= sinx + sin2x ва
^(х)=—sinx функцияларнинг энг
кичик даврлари 2л га тенг, аммо улар
йигиндисининг энг кичик мусбат дав-
ри л га тенг.
Агар иккита f(x) ва g(x) функция-
лар даврларининг нисбати рационал
сон булса, у колда бу функциялар
йигиндиси ва купайтмаси кам даврий
функциялар булади. Агар камма ерда
аникланган ва узлуксиз f ва g функ-
циялар даврларининг нисбати ирра-
ционал сон булса, энди бу колда
f-\-g ва f-g функциялар даврий бул-
майди. Масалан, cosx sinyZx ва
cosy[Zxsinx функциялар даврий
эмас, ваколанки, sinx ва cosx функ-
циялар 2л даврга, siny]2x ва cos\]2x
функциялар д/2л га эга даврий функ-
циялардир. Агар /(х) Т даврий функ-
ция булса, у колда F(/(x)) мураккаб
функция к^м (у маънога эга булса,
албатта) Т даврли даврий функциялар
булади. Масалан, y=sin2x, y=\!cosx
(2,3-расмлар) — даврий функциялар
(бу ерда: Fi (z)=z2 ва /72(z)=^/z? Би-
рок f(x) функция энг кичик мусбат
То даврга эга булса, у колдаF(f(x))
функция кам худди уша энг кичик
мусбат даврга эга булади деб уйлаш
ярамайди; масалан, y~sin2x функция
j(x)=sinx функцияга Караганда икки
марта кичик булган энг кичик мусбат
даврга эга. Агар Т даврли функция
какикий сонлар (укининг кар бир нук-
тасида аникланган ва дефференциал-
ланувчи булса, у колда fl (х) функция
/(х)нинг косиласи) кам Т даврли дав-
рий функция булишини курсатиш
кийин эмас, бирок /(х) учун бошлан-
гич функция F(x) (к- Интеграл %и-
соб) факат F(T)—F(0)=\f(x)dx = 0
булсагина даврий функция булади.
ДАРАЖАЛИ ФУНКЦИЯ
Даражали функция — у = ха кури-
нишдаги функция булиб, бунда а —
даража курсаткичи дейиладиган уз-
гармас сон. Баъзан бироз умумий-
рок куринишдаги у = аха функция
кам даражали функция деб юрити-
лади.
Купгина функционал богланишлар
даражали функция оркали ифодала-
нади. Масалан, кубнинг кажми V кир-
раси узунлиги х нинг даражали функ-
циясидир: V=х3; математик маятник-
нинг тебраниш даври Т маятник
узунлиги хнинг (1/ 2) — даражасига
пропорционал, аникроги T—2n^jx/gl
Агар газ ташки мукит билан иссик-
лик алмашувисиз кенгайса ёки торай-
са, унинг босими Р билан кажми V
узаро V • Рь = С формула билан богла-
нади (хусусан, хдво учун a = k =
=—1,4). Сунгги икки мисолда кур-
саткич бутун сон эмаслигини таъкид-
лаймиз.
Даражали функция
113
а курсаткичнинг дийматидан датъий
назар у = х“ даражали функция
харкдлай мусбат ярим укда аниклан-
ган. Умуман эса, даражали функция
хоссалари а нинг дийматига дараб
урличадир. Агар а — натурал сон
булса (а = п), у = хп функция бутун
сон укида аникланади, х = 0 булганда
нолга айланади, п нинг жуфт дийма-
тида жуфт, ток, дийматида ток, функ-
ция булади; аргумент х нинг диймати
бенидоя ортганда функция хам чексиз
усади. 1 ва 2-расмларда типик даража-
4-расм,
ва унинг диймати х нинг нолдан бош-
ка барча дийматларида мавжуд була-
ди. Графиги икки шохобчадан иборат
ли функциялар — У = х3 (кубик пара-
бола) ва у = х4 (туртинчи даражали
парабола) нинг графиги келтирилган.
Даражали функция п = 1 булганда
=х чизидли функциядан, п = 2 да
эса у = х2 квадратик функциядан
иборат.
Агар а — манфий бутун сон (а =
= —п) булса, даражали функция
= 1/ хп тенглик билан аникланади
- раем.
булиб, координата удларидан иборат
асимптоталарга эга графикни тасвир-
ловчи чизиклар бу удларга чексиз
ядинлашади. Типик вакиллар — у =
= 1 /х ва у = 1 /х2 функциялар, улар-
нинг графиклари 3 ва 4-расмларда бе-
рилган.
а = 0 булганда, таъриф буйича
х°=1. Агар а=1/ п булса, у=хх/п
функция (у = ух1 каби хам ёзилади)
у=х" функцияга тескари функция
сифатида таърифланади. п жуфт бул-
ганда у факат х > О сохада, п тод хол-
да эса бутун укда анидланган. Бун-
114
Еш математик цомусий лугати
дай функциялардан у=д/Т'ва у =
нинг графиклари 5 ва 6-расмларда
тасвирланган.
Курсаткичнинг рационал <x = p/q
дийматида ( p/q — дисдармас каср)
даражали функция у = х₽/‘? = (х1 /<?)₽
формула билан анидланади. Рационал
курсаткичли функциялардан типик-
ларининг графиклари 7, 8, 9-расм-
ларда келтирилган.
ДИОФАНТ ТЕН ГЛ AM АЛ АРИ
Бутун коэффициентли алгебраик
тенгламалар ёки алгебраик тенглама-
лар системалари Диофант тенглама-
лари дейилади ва бунда уларнинг бу-
тун ёки рационал ечимларини топиш
кузда тутилади. Шу билан бирга, тенг-
ламадаги номаълумлар сони иккита-
дан кам булмаслиги лозим. Одатда,
Диофант тенгламаларининг ечими куп
булади, шу сабабли, уларни анидмас
тенгламалар дам деб аташади. Бундай
тенгламаларга намуналар: Зх-|-5у=7;
x2+y2=z2; 3x3+4y3=5z\
Улар III а. да яшаган юнон матема-
тиги Диофант шарафига шундай ном-
ланган. Унинг «Арифметика» китоби-
да купгина дизидарли масалалар бул-
ган. Бу китобни дамма даврларнинг
математиклари урганганлар. Китоб
бизгача етиб келган, унинг рус тилига
таржимасини кутубхоналардан топса
булади.
Бутун ва рационал ечимларни то-
пиш масалалари, одатда, узаро ядин-
дан боглид.
Зх3-|-4у3=5г3 тенгламанинг бутун
3 з
сонлардаги ечими билан —и -|-
4 з 5
+ —V = 1 тенгламанинг рационал
ечими орасида дандай богланиш бор-
лигини пайдаш дийин эмас
. х У ,
(и=—, v=y~).
Z Z
Мазмунига кура номаълумларнинг
диймати фадат бутун сон буладиган
масалалар Диофант тенгламаларига
олиб келади.
Тенгламаларни бутун сонларда
ечиш жуда дизидарли масала. К,адим
замонлардан бошлаб тайин Диофант
тенгламаларини ечиш нинг купгина
усуллари йигилиб долган, бирод улар-
ни текширишнинг умумий усуллари
фадат бизнинг асримизда пайдо бул-
ди. Тугри чизидли ва иккинчи дара-
жали Диофант тенгламаларини ечиш-
ни анча илгари урганишган.
Масалан, х=4-|-5(, у=—1—3t
(t — ихтиёрий бутун сон) формула-
лар Зх-\-5у=1 тенгламанинг барча
бутун ечимини беришини осонгина
исботласа булади. Тугри бурчакли уч-
бурчакнинг бутун сонли томонларини
топиш (яъни x2-\-y2=z2 тенгламани
бутун сонларда ечиш) дадимги динд-
ларга маълум эди: x=2uv, у=и2—и2,
z=u2-)-v2 (и ва и — бутун сонлар.
и > и).
Юдори даражали Диофант тенгла-
малари ва тенгламалар системаларини
ечиш анча дийин булган. Диофант-
нинг «Арифметика» китоби садифаси-
нинг четига ёзилган П. Ферманинг
машдур тенгламаси: хп уп =
= znlfi>2) уч юз йилдирки, дали дам
'ечилган эмас (д. Ферманинг катта
теоремаси).
Х,атто, учинчи даражали Диофант
тенгламалари катта дийинлик билан
ечилади, бунда жавоблар дам бутун-
лай дар хил табиатли булиши мумкин.
Масалан, Зх3+4y3=5z3 тенглама
нолдан бошда бирорта дам бутун сон-
даги ечимга эга эмас. x3-\-y3=2z3
тенглама чекли сондаги бутун ечим-
ларга эга (уларни топиш дийин эмас).
x3+y3=9z3 тенглама эса бутун сон-
лардаги чексиз куп ечимга эга, аммо
ечимлар учун умумий формула ёзиш
осон иш эмас.
Тугри, куб тенгламалар муайян
маънода алодида урин тутар экан.
Асримизнинг 20-й. да англиялик ма-
тематик Е. И. Морделл учдан юдори
даражали Диофант тенгламаси, одат-
да, чекли сондаги бутун сонли ечимга
эга булиши лозим, деган фаразни ур-
тага ташлади. Бу фаразни голландия-
лик математик Г. Фалтингс 1983 й. да
Дифференциал тенгламалар
115
сбот килди. Шу билан п >2 учун
Ферманинг хп -ф у" — zn тенламаси
-екли сондаги бутун (умумий купай-
тувчисиз) ечимга эга булиши хам тас-
дикланди. Бирок, хамон уша ечимлар-
топиш усулининг узи йук.
Узок, вакт хар кандай Диофант
енгламасини ечиш учун умумий усул
>пишга умид богланган. Аммо,
:970 й. ленинградлик математик
Ю. В. Матиясевич бундай умумий
усул булиши мумкин эмаслигини ис-
ботлади.
Тенгламаларни бутун сонларда
-чиш математиканинг чиройли булим-
ларидан бири. Бирорта хам йирик ма-
-ематик Диофалт тенгламалари наза-
иясини четлаб утган эмас. Ферма,
Эйлер ва Лагранж, Дирихле ва Гаусс,
Чебишев ва Риманлар хам кизик на-
зария сохасида учмас из колдирган-
-ар.
ДИРИХЛЕ ПРИНЦИПИ
Бу принцип куйидаги тасдикдан
борат: агар N элементли туплам п та
заро кесишмайдиган кисмларга пар-
-аланган ва N>n булса, у холда бу
кисмлардан хеч булмаганда биттаси-
да бирдан ортик элемент булади.
Принцип уни арифметика теоремала-
эининг исботига самарали куллаган
чемис математиги П. Г. Л. Дирихле
(1805—1859) шарафига аталган.
Оммабоп адабиётда анъанага кура
Дирихле принципи «куёнлар ва катак-
лар» мисолида тушунтирилади: агар
\ та куён п та катакда утирган ва
\ > п булса, у холда камида битта ка-
такда бирдан ортик куён утирган була-
ди. Купинча, умумлашган Дирихле
принципи кулланади: агар куёнлар со-
ни N>nk булса, камида битта катак-
да k дан ортик куён утиради. Дирихле
принципининг тугридан-тугри татби-
кига дойр энг машхур масала: Ер юзи-
да 5 млрд, ахоли яшайди, хаР бир одам
бошидаги соч миллиондан куп эмас
(ракамлар шартли). Сочлари сони
бир хил булган камида икки киши
“опилишини исботлаш керак. Сочлари
сони бир хил булган нечта киши мав-
жудлигига кафолат бериш мумкин?
К,уйидаги фактнинг исботи хам шу
гояга асосланган: р/ q оддий касрни
(бунда p<Zq,q>Q) унли касрга ай-
лантирганда ё чекли, ёки чексиз дав-
рий унли каср хосил килинади, бунда
даврнинг узунлиги q — 1 дан ошмайди.
р ни q га «бурчак» усулида буламиз
ва колдикларни кузатамиз. Агар бирор
кадамда колдик ноль чикса, чекли
каср хосил килинади. Бордию колдик
доим нолдан фаркли булса, кечи билан
(q—1)-кадамда колдикдар такрор-
лана бошлайди, улар билан изма-из
булинманинг ракамлари хам такрор-
ланади.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАР
Математик анализ узгарувчи катта-
ликлар анализи сифатида пайдо бул-
ган даврдан бошлаб табиатшунослик,
хусусан, физика ва механика билан
чамбарчас боглик равишда ривож-
116
Еш математик цомусий лутати
ланиб келмодда. Физика фанларини
ривожлантириш эдтиёжи, даракатни
ва узгарувчан жараёнларни миддорий
жидатдан урганиш зарурати диффе-
ренциал ва интеграл дисобнинг асосий
тушунчалари пайдо булишига ва
шаклланишига олиб келди. Диффе-
ренциал тенглама — асосий тушунча-
лардан бири. У ни яддол тушунтириш
учун бирор физик жараённи урганиш
нималардан таркиб топишини куриб
чидайлик. Бу — тажрибага асослан-
2-расм
ган физик фаразни яратиш, физик фа-
разни математик шаклда ёзиш, бу ма-
саланинг математик ечимини олиш ва.
нидоят, олинган ечимнинг хулосала-
рини физика нудтаи назаридан талдин
дилиш. Табиат додисаларини урга-
нишга ана шундай ёндошувни бирин-
чи марта итальян олими Г. Галилей
Дифференциал тенгламалар
117
(1564—1642) таклиф к,илган. Уни ма-
тематик анализнинг асосчиларидан
бири И. Ньютон мох,ирона куллаган.
Физика конунларини математик усул-
да тавсиф (баён) к,илиш фак,ат мате-
матик анализ вужудга келгач мум-
кин булди, математик анализнинг ти-
ли бунга имкон берди. Деярли барча
холда физика конунлари урганилаёт-
ган жараённи характерловчи микдор-
лар ва уларнинг узгариш тезликлари
орасидаги муносабатларни тасвирлай-
ди. Бошкдча айтганда, бу к,онунлар
номаълум функциялар ва уларнинг
хосилалари катнашган тенгликлар би-
лан ифодаланади. Ана шундай тенг-
шклар дифференциал тенгламалар
дейилади. Улар к,атор физика цонун-
ларининг математик ифодаси сифати-
да пайдо булди. Шу каби конунлар
орцали тавсифланадиган жараёнларни
урганиш дифференциал тенгламалар
ечимларининг хоссаларини урганишга
олиб келинади. Буни мисолларда ту-
шу нтирайлик.
Х,арорати у0 градусга кутарилган
жисм (масалан, металл пластинка)
/=0 вакт моментида ноль градусли
хаво билан тулдирилган жуда катта
идишга солинади. Маълумки, жисм
совий бошлайди ва унинг хдрорати t
вактнинг функцияси булади. Бу функ-
цияни y(t) билан белгилаймиз.
Ньютоннинг совиш конунига кура
118
Еш математик цомусий лутати
жисм хароратининг узгариш тезлиги,
яъни dy/ dt хосила жисм ва уни ураб
турган мухит температуралари айир-
масига — бизнинг холда у (t) га про-
порционалдир. Шунга асосан, вакт-
нинг хар бир онида
I = <”
муносабат уринли булишини курамиз
(k — жисмнинг материалларига бог-
лик мусбат коэффициент, харорат ка-
майиб боргани учун «минус» ишора-
си олинган).
Дифференциал тенглама курини-
шидаги (1) муносабат совиш конуни-
нинг математик ифодасидир. У вакт-
нинг айнан бир онидаги функция (ха-
рорат) ва унинг хосиласи орасидаги
богланишни ифодалайди. (1) муноса-
бат каралаётган жараённинг матема-
тик модели деб хам юритилади.
Дифференциал тенгламани ечиш —
тенгламани айниятга айлантирадиган
барча i/(() функцияларни топиш де-
макдир. Юкорида келтирилган диф-
ференциал тенгламанинг барча ечим-
лари у = Се~к‘ формула билан берила-
ди (бунда С—ихтиёрий узгармас),
яъни бу унинг умумий ечимидир. Диф-
ференциал тенглама ечимини топиш
Дифференциал тенгламалар
хар доим интеграллаш амали билан
оглик, шу туфайли «ечиш» сузи урни-
I купинча дифференциал тенгламани
«интеграллаш» феъли кулланади.
Биз урганаётган жисмнинг совиш
араёнида бизни факат /=0 вак,т
нида у0 кий матни кабул киладиган
ечимгина кизиктиради. Юкорида кел-
ирилган формулага / = 0 ни куйиб
'=у0 эканлигини топамиз. Демак,
_овиш конунига
ь ;]=yoe~kl
119
якуний ифода бериш мумкин. Бундан
куринадики, жисмнинг карорати вакт
утиши билан курсаткичли (экспотен-
циал) конун буйича пасайиб атроф-
мукит хароратига интилар экан (1-
расм).
у (0 )=«/<> шартни бошлангич шарт
дейиш кабул килинган, у ечимларнинг
чексиз тупламидан биттасини ажра-
тишга имкон беради.
Юкорида курилган дифференциал
тенглама (1) функциянинг узгариш
120
Еш математик цомусий лутати
тезлиги функциянинг узига пропор-
ционал (—k коэффициент билан) де-
ган фактни ифодалайди. Бу каби бог-
ланиш табиатнинг бошка ходисаларида
хам кузатилади, масалан, атмосфера
босимининг денгиз сатхидан баланд-
ликка боглик равишда пасайиши бо-
сим катталигига пропорционал. Яна
бир мисол — радиоактив парчаланиш:
радиоактив модда массасининг кама-
йиш тезлиги шу модданинг микдорига
пропорционал. Демак, атмосфера бо-
сими у денгиз сатхидан баландлик
I нинг функцияси сифатида ва радио-
актив модданинг массаси вакт t нинг
функцияси сифатида (1) тенгламани
каноатлантиради. Айнан битта диф-
ференциал тенглама мутлако хар хил
математик ходисаларнинг модели бу-
либ хизмат кила олишини курамиз.
т массали кичкина шарчани курай-
лик, унга горизонтал жойлашган пру-
жина биркитилган булсин, Пружина-
нинг иккинчи учи эса махкамланган
(2-расм). Ох укини пружина уки буй-
лаб йуналтирамиз, шарчанинг муво-
занат холатини координата боши деб
кабул киламиз. Агар шарча ук буй-
лаб бироз силжитилса, уни мувозанат
холатига кайтаришга интилувчи F та-
ранглик кучи пайдо булади. Гук ко-
нунига кура бу куч силжиш каттали-
ги х га пропорционал, яъни F = — kx
(% — пружинанинг эластиклик хосса-
сини характерловчи мусбат константа,
«минус» ишораси кучнинг таъсири чу-
зилиш йуналишига тескари эканлиги-
ни курсатади). Ныотоннинг иккинчи
конунига мувофик т массали жисмга
таъсир килаётган куч массанинг тез-
ланишга купайтмасига тенг:
F = та.
Агар x(t)— шарчанинг t вакт онидаги
холати булса, унинг тезланиши иккин-
чи хосила х" (() билан ифодаланади.
Шундай килиб, шарчанинг эластик
кучлар таъсири остидаги харакатини
тп" = — kxty)
Дифференциал тенгламалар
дифференциал тенглама оркали ифо-
далаш мумкин. У купрок х" (О +
— со2(() = 0, (бунда со2 = k/ т)
> .-ринишда ёзилади. Бу тенглама гар-
моник тебранишларнинг дифферен-
циал тенгламаси дейилади. Унинг их-
иёрий ечими куйидагича ёзилиши
мумкин:
тИ)=Лсох(и(-|-ф),
' ерда А ва ср — ихтиёрий узгармас-
iap. Шундай тенглама билан харак-
_ рланувчи харакатлар гармоник теб-
^анишлар деб аталади. Улар даври
= 2л/ со га тенг даврий харакатдан
«борат; А коэффициент тебраниш
гмплитудаси дейилади (3-расм).
Равшанки, хи(()-|-со2х(()=О диф-
ференциал тенглама шарчанинг хара-
хатини тулик аникламайди. Бу хара-
*ат t = 0 вакт онидаги шарчанинг сил-
киши х„ га ва кандай v — х' (0) тезлик
билан туртиб юборилганлиги, яъни
бошлангич кийматларга караб турли-
Ja кечиши мумкин. Масалан, агар
Аошлангич тезлик 0 га тенг булса,
шарчанинг харакати
V)=XoCOS(Dt
конунга буйсунади.
Юкорида келтириб чикарилган
дифференциал тенглама факат элас-
тиклик кучи таъсири остидаги хара-
кат конунининг математик шаклдаги
ифодаси (математик модели) дир.
Агар шарчанинг каршилик курсатув-
чи мухитдаги харакати каралса ва
шарчага эластиклик кучидан ташкари
тезликка пропорционал булган кар-
шилик кучи хам таъсир килади деб
Лэараз килинса, у холда бундай хара-
хатнинг дифференциал тенгламаси
ix" (t) + ex’ (Г) + kx (t) = 0
куринишда булади. Бу тенгламанинг
ечимлари энди даврий функциялар
булмасдан, узгарувчи амплитудали
тебранишлардан иборат. Улар сунувчи
тебранишлар деб аталади (4-расм).
Агар номаълум функция факат бир
.згарувчига боглик булса, дифферен-
121
циал тенглама оддий дейилади; юко-
рида курилган тенгламалар шундай-
дир. Дифференциал тенгламанинг
тартиби деб, унда катнашган хосила-
тарнинг энг юкори тартибига айтила-
ди. dy/ dt = — ky тенглама биринчи
тартибли, х" (()+co2x(Z)= 0 тенглама
иккинчи тартибли эканлигини кура-
миз.
Агар номаълум функция бир неча
узгарувчига боглик булса, дифферен-
циал тенглама хусусий хосиласи диф-
ференциал тенглама дейилади. Бундай
тенгламалар, масалан, мембрана (юп-
ка эластик пластинка)нинг тебрани-
ши, иссикликнинг бирор мухитда тар-
калиши, сунъий йулдош харакатини
ифодалайди.
Дифференциал тенгламалар та-
биатшуносликнинг асосий математик
аппаратидир. Улар физика, астроно-
мия, аэродинамика, эластиклик наза-
рияси, химия, иктисод, биология ва
медицинада татбик килинади.
Биринчи тартибли dx/ dt = f^c,t)
куринишдаги дифференциал тенглама
содда геометрик талкин килиниши
мумкин. Агар x = cp(if)—унинг ечими
булса, тенгламамиз х = <[(/) чизикнинг
хар бир нуктасида хосиланинг кий-
матини, яъни уринма огиш бурчаги
тангенсининг кийматини беради.
Шундай килиб, функция аникдаш со-
хасининг хаР бир нуктасида ечим
уринмасининг бурчак коэффициента
берилади; бу холат йуналишлар май-
дони берилган деб айтилади. Геомет-
рик нуктаи назардан йуналишлар май-
дони одатда бирлик векторчалар
билан тасвирланади. 5-расмда
dx/ dt = t2 + х2 дифференциал тенг-
ламанинг йуналишлар майдони курса-
тилган.
Дифференциал тенгламанинг ечими
узининг хар бир нуктасида майдон
йуналишига уриниб утувчи чизикдир.
У интеграл чизик дейилади. 5-расм
хозир курилган тенгламанинг интег-
рал чизикдари кандай эканлигини
яккол куз олдига келтиришга имкон
беради.
XVIII а. да дифференциал тенгла-
122
Еш математик цомусий лугати
малар назарияси математик анализ-
дан мустакил математик фан сифати-
да ажраб чикди. Унинг ютуклари
швейцариялик олим И. Бернулли,
француз математиги Ж. Лагранж,
айникса Л. Эйлер номлари билан бог-
ланган. Дифференциал тенгламалар
назарияси ривожининг бошлангич
даври дифференциал тенгламаларга
келтириладиган айрим муким амалий
масалаларни ечишдаги ютукдар, турли
куринишдаги дифференциал тенгла-
маларни ечиш методларини ишлаб
чик,иш х,амда интегралланувчи тенг-
ламалар синфларини излаш билан
боглик (тенглама интегралланиши
учун унинг ечими квадратураларда,
яъни элементар функциялар ва улар-
нинг бошлангичлари оркали топи-
лиши керак). Бирок тез орада инте-
градланувчи тенгламалар жуда оз
эканлиги ошкор булди. Х,атто жуда
содда куринишдаги биринчи тартиб-
ли тенгламалар кам квадратураларда
интегралланмаслиги мумкин Маса-
лан, йуналишлар майдони 5-расмда
тасвирланган тенглама чексиз куп
ечимга эга, лекин улар квадратура-
ларда ифодаланмайди.
Шундай фактларнинг аникланиши
дифференциал тенгламалр назарияси-
нинг узига хос ривожланишига туртки
булди. Бу назйрия дифференциал
тенгламалар хоссалари буйича унинг
ечимлари хоссаларини ва характерини
аниклашга имкон берувчи методлар
яратиш билан шугулланади.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ Х.ИСОБ
Дифференциал кисоб — математик
анализнинг, асосан, функция косила-
си ва дифференциали тушунчалари
билан боглик булган булими. Диффе-
ренциал кисобда косилаларни кисоб-
лаш коидалари (дифференциаллаш
конунлари) ва косиланинг функция-
лар хоссаларини текширишга татбик-
лари урганилади.
Дифференциал кисобнинг марка-
зий тушунчалари — косила ва диф-
ференциал табиатшунослик ва мате-
«Чексиз кичиклар хд-
собининг очилиши мате-
матикларга жисм харака-
ти конунларини аналитик
тенгламаларга олиб ке-
лишга имкон берди».
Ж. Л. Лагранж
Дифференциал х,исоб
123
«Фацат дифференциал
х,исобгина та биат шун ос-
лик да ^олатнинг узини-
гина эмас, балки жараён-
лар — хдракатни х,ам ма-
тематик нфодалаш имко-
нини беради»
Ф. Энгельс
124
Еш математик цомусий лугати
матиканинг бир хил тоифадаги ли-
(митларни дисоблашга олиб келган жу-
да куп масалаларини караш натижа-
сида пайдо булди. Улардан мудим-
лари — нотекис даракат тезлигини
аниклашга дойр физик масала ва эгри
чизикда уринма утказишга оид гео-
метрик масаладир. Шу масалалар-
нинг дар бирини муфассал курайлик.
Итальян олими Г. Галилей изидан
бориб, жисмларнинг эркин тушиш
конунларини урганайлик. Кичик бир
тошни кутариб, сунгра уни тинч дола-
тидан ташлаб юборайлик. t — тош ту-
ша бошланишидан эътиборан дисоб-
ланадиган вадт, s (?) — t вадт онигача
утилган йул булсин. Галилей тажриба
йули билан s(?) богланиш дуйидаги
соддагина куринишда булишини топ-
Ди: s(?)=|-^?2,
бу ерда t — седундларда дисобланган
вадт, — тадрибан 9,8 м/с2 га тенг
булган физик доимий.
Эркин тушаётган жисмнинг дарака-
ти нотекис булиши равшан. Тушиш
тезлиги v аста-секин усиб боради. Ле-
кин v (?) богланиш кандай куринишда
булади? Равшанки, s (?) богланишни,
яъни тушаётган жисмнинг даракат
донунини билган долда, биз принцип
эътибори билан, v (?) тезликни вадт-
нинг функцияси сифатида ифодалаш
имкониятига эга булмогимиз лозим.
v нинг ? га дандай боглидлигини
топишга уриниб курамиз. Куйидагича
мулодаза юритамиз: v (?) тезликнинг
дийматини билмодчи булган ? онни
белгилаб оламиз.
? ондан кейинги кичик вадт орали-
ги h булсин. h вадт оралигида тушаёт-
ган жисм s(t-\-h)—s(t) га тенг йул
утади. Агар h жуда кичик булса, h вакт
оралигида жисмнинг тезлиги сезилар-
ли даражада узгаришга улгура олмай-
ди, бинобарин, h нинг кичик диимати-
да тадрибан
s(t + h)—s(t)^v(t)-h
ёки
------~h----
(1)
(2)
деб дисоблаш мумкин. Кейинги так-
рибий тенглик h данчалик кичик булса
( h нолга данчалик ядин булса), шун-
чалик аник булади. Демак, v(t) тез-
ликнинг ? ондаги катталигини ? ондан
t-^h онгача булган вадт оралигидаги
уртача тезликни ифодаловчи (2) так-
рибий тенглик чап томонидаги нисбат-
нинг h нолга интилгандаги лимити деб
дараш мумкин. Бу айтилганларни ма-
тематик «тилда»
... s(? + ft)— s(?)
h-~0 п
куринишда ёзишади.
(3) муносабатда курсатилган ди-
собларни Галилей топган s(?)=|- ^?~
богланишдан келиб чидиб бажарай-
лик. Аввало, содда дисобларни дила-
миз: <
s(t + h)-s(t)=r^(t + h)2-
^2 = f~ + 2?/г + ?г2)-
энди h га булиб, — =
1 К
— qt-\--^qh
тенгликни досил диламиз. h нолга ин-
тилганда унг томонда ёзилган йигин-
дининг иккинчи кушилувчиси дам
нолга интилади биринчиси эса узгар-
маслигича долади, анидроги, h катта-
ликка боглик булмайди, шунинг учун
бизнинг долда
о(о=/.-т 4'+^-24
h
Шу билан биз эркин тушаётган жисм
тезлигининг узгариш донуни v(t)=^t
эканини топдик. (3) формула бир
вадтнинг узида s(?) функция узгари-
шининг оний тезлиги v(t) нинг дам
таърифини, дам дисоблаш доидасини
беришига эътиборингизни жалб дила-
миз.
Дифференциал х,исо6
v(t) тезликнинг узи вактнинг
функцияси булгани сабабли унинг
узгариш тезлиги хакидаги масалани
куйиш мумкин эди. Физикада тезлик-
нинг узгариш тезлиги тезланиш дейи-
лади. Шундай килиб, агар v(t) тез-
лик вактнинг функцияси булса, у хол-
ла (3) формулани чикаришдаги каби
мулохаза юритиб, t вахт онидаги оний
тезланиш a(t) учун ушбу
... .. v (I + й)— v (t) .
a(t)—lim —-—!/------— (4)
л—о п
ифодани оламиз.
Жисмнинг эркин тушиш тезлиги
эканини хисоблаган эдик.
(4) формула бу хол учун нима бери-
шини курайликчи:
-(^ + й) — о(0=д(^ + й)— gt=gh,
vty-]-h)—v(t)
оундан ---------- = а.
й
j—доимий булгани сабабли, (4) дан
д (()=#. эканини топамиз, яъни эркин
тушаётган жисмнинг тезланиши уз-
гармас булиб, у Ер сирти яхинида
эркин тушиш тезланишини ифодалов-
чи д физик доимийнинг худди узидир.
(3), (4) ифодаларнинг туда ухшаш-
лигини сезиш ва биз узгарувчи мицдор
у згаришининг оний тезлиги учун уму-
мий математик ифода топганимизни
тушуниш кийин эмас. Ишонч хосил
килганимиздек, (3), (4) формулалар
буйича хисоблар натижаси, албатта,
s(/) ва и (0 функцияларнинг конкрет
куринишига боглик, аммо бу функция-
лар устида (3), (4) формулаларнинг
унг томонларида ёзиб куйилган амал-
лар бир хилдир. К,илинган бундай ку-
затувларни умумлаштириб, математик
анализда ихтиёрий у = / (х) функция
учун ушбу
W=lim (5)
h-*-0 Й
мухим катталик царалади, у f функ-
циянинг х°силаси дейилади.
Шундай килиб, хосила эрксиз уз-
гарувчи у нинг эркли узгарувчи х га
нисбатан узгариш тезлиги ролини уй-
125
найди; эркли узгарувчи х нинг физик
маъноси энди вахт булиши шарт эмас.
f'(х) хосиланинг хиймати аргумент
х нинг хийматига боглих, шунинг учун,
тезлик холида булгани каби, бирор
f (х) функция f'(х) хосиласининг узи
узгарувчи х нинг функцияси булади.
Масалан, агар f(x)~x3 булса, у холда
f(x-}-h)—f(x) (х-)-й)3 —х3
й й
= 3х2+ (Зхй-фй2);
сунгра, й нолга интилганда охирги
цавслар ичидаги катталик нолга ин-
тилгани учун унг томоннинг хаммаси
Зх2 га интилади. Шундай килиб, агар
f(x)=x3 булса, f' (х)=3х2 булишини
топдик. (5) форму лада (х-рй)—х
айирманинг катталиги й функция ар-
гументининг орттирмаси дейилади ва
купинча Ах символ билан белгиланади
(дельта икс деб ухилади). f(x-]-h)—
— f(x) айирмани одатда А/ (ёки ту-
ликрок булиши учун А/(х, Ах) оркали
белгилашади ва аргументнинг берил-
ган орттирмасига мос функция орт-
тирмаси дейилади. Бу белгилашларда
(5) ифода куйидаги куринишни олади:
f'(x)=lim
Дх—>о
ёки
f' (x)=lim
АХ-*0
Шундай килиб, /(х) функциянинг х
нуктадаги хосиласининг хиймати —х
нуктадан Ах га силжитишга мос функ-
ция орттирмаси А/(х, Ах) нинг аргу-
мент х орттирмаси Ах га нисбати Ах
нолга интилгандаги лимити.
Функция хосиласини топиш амали
дифференциаллаш дейилади. Энди ту-
шунганимиздек, физик нуктаи назар-
дан, дифференциаллаш — узгарувчи
микдорнинг узгариш тезлигини то-
пиш.
Дифференциал хисобда асосий эле-
ментар функцияларнинг хосилалари
келтириб чикарилади. Масалан, х“,
sinx, cosx функцияларнинг хосилала-
)(х-ф Ах)—)(х)
Ах
Д/
Ах
126
Еш математик цомусий лутати
ри, мос равишда, ax“-t, cosx ва
— sinx булишини курсатиб утамиз.
Дифференциал х,исобда дифферен-
циаллашнинг дуйидаги умумий ко и да-
лари хам келтириб чицарилади:
(cfY=cf
(A f2)l=f\h+f^
(h
И---
/2 /2
(узгармас ку-
пайтувчини чика
риш);
(функциялар
йигиндиси ва
айирмасини
дифференциал-
лаш);
(функциялар
купайтмасини
дифференциал-
лаш);
(функциялар
нисбатини диф-
ференциялаш);
Нихоят, мураккаб функцияни диф-
ференциаллашнинг ушбу мухим кои-
даси уринли: агар y = f (и) ва и = <р(х)
булса, у холда Др(х)) функциянинг хо-
силаси f‘(w)-<pl(x) га тенг ёки
(И'р(*))1=/1('р(х))-ф| (*)
Дифференциаллашнинг умумий ко-
нунлари хосилаларни топишни ни-
хоятда енгиллаштиради. Элементар
функцияларнинг ихтиёрий комбина-
цияси учун бу конунлар купайтириш
жадвалини биладиган одам учун диф-
ференциаллаш амалини арифметик
амаллар каби осон килади. Масалан,
f(x)=a0-j-alx-j-a2x27j-...-i-anxn куп-
хад учун fl (х)= ^oxo+aix1+02X2 + ...
... + цпх "У == (яох0)‘+ (a ix ‘)'+
+ (агх2) (апхл)^=ао(х°у_|_
+01 (-*1)1 +<2г(х )’ -|-... + ап (хп) =
= ao(O-x°'')-|-ai (1 .х‘_,)4-
а2(2х2-|)+. .. + «„• (лхи-1)=
= О| + 2а2х +... папхп~1.
Ёки, агар 4>(x)=sZnx2 булса, у хол-
да f(u)=sinu, и = (р(х)—х2 деб,
ф(х)=/(<р(х)) ни хосил киламиз ва
демак-.- ср' (х)= f1 (и)-<pl (x)=cosu-
• 2х = 2xcosx2.
(3), (4), (5) куринишдаги лимит-
ларни хисоблашга, яъни энди айтиш
мумкинки, купгина масалаларни хо-
силани хисоблашга олиб келишини
куриб чикдик.
Энди бошка бир классик мисолни
курайлик. Бу — соф геометрик ма-
сала — эгри чизикка уринма утказиш
масаласи булиб (к. Уринма), у ко-
сила тилида хал килинади.
f = f(x) функция графигидан ибо-
рат эгри чизикка А нуктада уринади-
ган Т тугри чизик (1-расм) ясаш та-
лаб килинади.
Оний тезликни таърифлаш холида-
ги каби, уринмани утказиш хам урин-
ма тушунчасининг узини аниклашти-
риш билан бирга олиб борилади. А
нуктанинг координаталари (хо, у0)
булсин. Маълумки, А нуктадан утувчи
вертикал булмаган ихтиёрий тугри чи-
зик y = yu-\-k(x — х0) тенглама билан
берилади, бу ерда k = ,
k — тугри чизикнинг бурчак коэффи-
циента деб аталади ва унинг горизон-
тал укка киялигини характерлайди.
Бизнинг холда у>=1(хй\ бинобарин,
А нуктадан утувчи тугри чизик тенгла-
маси y = f(xi)+^-(х — хо) куриниши-
ни олади. Биз k коэффициент кийма-
тини шундай танламокчимизки, бу
тугри чизик У =f (х) эгри чизикка ило-
жи борича яхши «жипслашсин», яъни
эгри чизикни А нукта атрофида энг
яхши якинлаштирсин. Демак, биз k ни
шундай танлашни хохлаймизки.
f (x)wf (xo)A-k(x — хо) такрибий тенг-
d et f(x)~f(xo)
лик еки, барибир, ----— w
X ”X Q
wk такрибий тенглик х нинг хо га
якин кийматларида иложи борича
аник булсин.
Лекин бу бизга таниш холат ва
х—Xo = h, х = Хо + Л кайта белгилаш
аниклигида, (5) формуладан бизга
таниш булган муносабатдир, демак,
, f(x~ f(xo)
k == hm -!-x-—' — =
x—>0 X —Xq
f(*o + /i)— f(x0) ,
— н -----------Г---------— / ( Хо ). (о)
п
Дифференциал хисоб
Лундай килиб, (х0, f (х0)) нукта атро-
.гида у = /(х) эгри чизикни энг яхши
-чинлаштирадиган тугри чизикнинг
пенгламаси
= f(x0)+f' (хо)- (х — х0) (7)
-.эпилди.
Бу тугри чизикни каралаётган нук-
ала берилган эгри чизикка утказиш
’алаб килинган уринма деб хисоблаш
-абиий.
Масалан, агар у = х2, яъни
•(х)=х2 парабола олинса, у холда
(1; 1) нуктада унга утказилган урин-
ма (7) га кура у= 1-ф-2(х—1)
тенглама билан берилади. Ихчамлаш-
тмрилгач, бу тенглама у = 2х — 1 ку-
гинишга келади.
Юкорида биз хосиланинг оний тез-
~ик сифатидаги физик шархини бер-
лик, энди уринманинг (7) тенглама-
ги асосида хосиланинг геометрик
•алкинини бериш мумкин. f (х) функ-
ция /'(х) хосиласининг тайин х = Хо
- уктадаги f'(х0) киймати t/==f(x)
рункция графигига рсо, f (хо)) нуктада
тказилган уринманинг бурчак коэф-
дициентидир.
Бу, хусусан, узгарувчи х нинг
• (х)>0 буладиган ораликларгуга
х) функциянинг усишини билдира-
:ш; f^c)CO буладиган ораликларда
(х) камаяди; функциянинг локал
максимум ва минимум нукталарида
• нинг хосиласи нолга айланади, чун-
ки бу нукталарда уринма горизонтал
холатда булади. Агар бирор х 5= а нук-
ала хосила ноль булса, у холда бу
нукта (1, б-расмдаги ац нуктани ка-
ранг) максимум ёки минимум нукта-
сидир, деган хулоса чикаришга шоши-
тиш керак эмаслиги хам равшан, чун-
ки х бу нукта оркали утганда хосила-
нинг ишораси узгармаслиги мумкин
ва функция усиш ёки камайишда да-
вом этаверади. Лекин агар хосила х бу
нукта оркали утганда уз ишорасини
. згартирса (гц, п2, ал нукталарга ка-
оанг), яъни ишоранинг алмашиниши
• -•-» дан «—» га булса (2г, Оз нукта-
зардаги каби), х = а да функция локал
максимумга эга; агар ишоралар «—»
127
дан « + » га алмашса fa нуктадаги ка-
би), х = а да функция локал мини-
мумга эга булиши равшан.
Хосиланинг ишораси ёки ноллари
билан функция монотонлигининг
(усиш, камайиш) характери ёки унинг
экстремумлари (максимумлари, ми-
нимумлари) орасидаги богланиш ха-
кида чикарган хулосаларимиз куплаб
татбикдарга эга.
Куйидаги масалани ечишга уриниб
курамиз: берилган узунликдаги сим
билан утлокнинг шундай тугри турт-
бурчак майдонини ураш керакки, на-
тижада моллар учун иложи борича
кенг кура хосил булсин, яъни берил-
ган 2р периметрли тугри туртбурчак-
лар (яъни изопериметрик тугри турт-
бурчаклар) ичида энг катта юзага эга
булгани топилсин.
Агар х тугри туртбурчак томонла-
ридан бирининг узунлиги булса, у хол-
да, курсатилган шартда, бошка томон-
нинг узунлиги р— х, тугри туртбур-
чакнинг юзаси эса х-(р—х) булади.
f(x) = x-(p — х) функциянинг
О^х^р ораликдаги максимал кий-
матини топиш керак. х = 0 ёки х=р
да функциянинг нолга айланиши рав-
шан (бу холда тугри туртбурчак кес-
мага «айланади»), бинобарин, х нинг
О ва р орасида ётувчи бирор киймати-
да максимумга эришилади. Бу кий-
матни кандай топиш керак?
Юкорида чикарилган хулосаларга
мувофик, f(x) функция кийматлари-
нинг максимуми f'(ro)=O да, яъни
х нинг функция узгаришининг тезли-
ги нолга тенг буладиган Хо киймати-
дагина булиши мумкин.
Аввал бажарилган хисоблашлар-
дан фойдаланиб, функциямизнинг хо-
силасини топамиз. f(x)=px — х2 бул-
гани учун, бу холда f'(x)—p — 2х,
демак, х0=^-р да f (х0)=р — 2хо = О.
Масаланинг мазмунига кура, аргумент
х нинг топилган кийматида функция
роппа-роса максимумга эга булиши
шарт. Буни расман текшириб куриш
128
Еш математик цомусий лугати
хам мумкин:
fl (ко)>О ва х>
агар х < —р булса,
[—paaf' (х)<0. Шун-
1 л
—р булган квадратдан иборат
дай килиб, изланаётган юзаси энг кат-
та тугри туртбурчак томонининг узун-
лиги
экан.
Функцияларнинг максимал ва ми-
нимал кийматларини топишга оид
турли масалалар (математикада улар-
ни экстремумларни топиш масалала-
ри деб аташ кабул килинган) ни ягона
метод билан ечиш математик анализ-
нинг дастлабки, ва шу билан бирга,
энг оммавий ва чукур таассурот кол-
дирувчи ютукларидан биридир (к-
Экстремумга оид геометрик масала-
лар) .
Шу вактгача дифференциал хисоб-
нинг асосий тушунчаси сифатида биз
И. Ньютонга эргашиб хосилани ажра-
тиб курсатдик. Математик анализнинг
бошка асосчиси Г. В. Лейбниц даст-
лабки тушунча сифатида дифферен-
циал тушунчасини танлади. Бу тушун-
ча мантикан хосила тушунчасига тенг
кучли (биз буни кейинчалик кура-
миз), аммо у билан устма-уст тушмай-
ди. Лейбниц хосилаларни топиш кои-
даларига тенг кучли булган диффе-
ренциалларни хисоблаш коидаларини
топди ва узи ривожлантирган хисоб-
ни дифференциал хисоб деб атади.
Бу ном эса сакланиб колди. Юкорида
курилган мисоллар бутун дифферен-
циал хисобнинг биринчи карашда
расман, аммо жуда мухим куйидаги
таърифларини етарлича тез идрок ки-
лишимизга ёрдам беради.
Агар х аргумент орттирмаси h =
(x-\-h)—x = hx га мос функция орт-
тирмаси dyf—f (х-\-h)—f(x) ни ушбу
f(x-\-h)— f(x)=k(x)-h-\-a-h, (8)
куринишда тасвирлаш мумкин булса
(бу ерда k(х)— факат х га боглик
коэффициент, ос катталик h нолга
интилганда нолга интилади), у —
= f(x) функция уз аргументи х нинг
(бунда х аргумент узгарувчидир)
мос кийматида дифференциалланувчи
дейилади. Шундай килиб,
f(x-\-h)—f(x)xk(x)-h, (9>
яъни аргумент орттирмаси х га нисба-
тан кичик а • h хатолик аникдигида
х нуктада дифференциалланувчи
функциянинг орттирмасини h га нис-
батан чизикли k(x)-h катталик билан
алмаштириш мумкин.
h буйича чизикди бу k(x)-h якин-
лашиш функцияси дастлабки f(x
функциянинг х нуктадаги дифферен-
циали дейилади ва df ёки туларок.
df(x) символи билан белгиланади.
Х,ар бир х нуктада якинлаштирувчи
чизикди k(x)-h функция, умуман айт-
ганда, хар хил, бу холат k(x) коэф-
фициентининг х га богликлиги билан
ифодаланган.
(8) тенгликнинг иккала кисмини
h га булиб ва h нолга интилганда а
микдорнинг хам нолга интилишини
хисобга олиб,
(10)
Л->0 и
муносабатни оламиз. Бу муносабат
дифференциал коэффициенти k(x) ни
хисоблаш имкониятини беради ва
k(x) функция f(x) нинг х нуктадаги
хосиласи f1 (х) билан устма-уст туши-
шини курсатади.
Шундай килиб, агар функция х нук-
тада дифференциалланувчи булса, у
холда бу нуктада (10)да курсатилган
лимит мавжуд, яъни бу нуктада
fl (х) хосила мавжуд ва k(x)=f‘ (х).
Аксинча, агар х нуктада f (х) функ-
циянинг (5) тенглик билан аникдан-
ган хосиласи бор булса, у холда
Нх+А)-Нх)=/1(х)+К1
бу ерда h нолга интилганда а тузатма
нолга интилади. Бу тенгликни h га
купайтириб,
f(x-\-h)~ f(x)=f'(x)-h + ah (11)
муносабатни оламиз, демак, функция
х нуктада дифференциалланувчи.
Дифференциал х,исоб
129
Шундай к.илиб, агар функция
(х) хосилага эга булса, ва факат
шу холда, функция df (х)= k (x)h диф-
ференциалга эга, шу билан бирга,
df (x)=f' (х). Аммо дифференциал h
буйича чизикди функция k(x)h сифа-
тида k(x)=fl (х) коэффициент оркали
туда аникланади, бинобарин, функция
дифференциалини топиш унинг хо-
силасини топишга тамомила тенг куч-
лидир. Мана шунинг учун хам бу ик-
кала амални купинча битта — «диф-
ференциаллаш» термини билан ата-
шади, хисоблашни дифференциал хи-
соб дейишади.
Агар h урнига Ах ёзилса, у холда
df=f'(x)h урнига df=fl(x)\x ни
ёзиш мумкин. Агар /(х)=х деб ол-
сак, у холда fl (х)= 1 ва dx=l-Ax,
шунинг учун эркин узгарувчининг орт-
тирмаси Ах урнига купинча dx диф-
ференциални ёзишади. Бу белгилаш-
тарда функция дифференциалининг
чиройли ёзуви df = f'(x)dx хосил бу-
лади. Бу ёзувдан Лейбниц fl (х) хоси-
df .
ла учун белгига келган. У хосила-
ни функция ва унинг аргументи диф-'
ференциалларининг нисбати сифати-
да караган. Х,осиланинг f1 (х) белгиси
1770 й. дагина француз математиги
Ж. Л. Лагранж томонидан киритил-
ганлигини эслатамиз.
п < df df(x) с,
Дастлабки = еки —— белги-
dx dx
ташлар Г. Лейбницники булиб, улар
куп жихатдан шунчалик кулайки,
хозиргача кенг фойдаланилади.
Дифференциал такрибий хисоб-
. ашларда кандай ишлатилишини кур-
сатишдан аввал унинг геометрик ва
физик талкинини куриб чикайлик.
Агар (8) тенгликда х урнига Хо
езилса, у холда 1-расмда (8) тенглик-
нинг чап кисмига BD кесма мос ке-
тади (у функциянинг А/ орттирмаси
еки y = f(x) эгри чизик ординатаси-
нинг орттирмаси), df = f" (х) А.х
орттирмага — CD кесма (и А нукта
атрофида бизнинг эгри чизикни якин-
аштирувчи уринма ординатасининг
орттирмаси), ah колдикка эса ВС
кесма мос келади, деб хисоблаш мум-
кин. Аргумент орттирмаси Ах канча-
лик кичик булса, ВС кесма SD кесма
билан солиштирилганда ВС шунча ки-
чик булади. (11) муносабат ва
Afxzdf эканини билдирувчи такри-
бий (9) тенглик худди мана шу хо-
латни акс эттиради. Физика тилида
fl(х) хосила, х ондаги тезлик
f(x-}-h)—f(x) эса х ондан бошлаб
h вакт оралигида утилган йул сифа-
тида талкин килинганда f(x-f-h)—
— f(x)mfl (x)-h такрибий тенглик
кичик вакт оралиги h да тезлик кам
узгаришини билдиради, шунинг учун
утилган йулни (1)даги каби, доимий
f' (х) тезликка эга тугри чизикди те-
кис харакатни ифодаловчи f1 (x)h фор-
муладан такрибан топиш мумкин.
(11) тенглик ва ундан кайта белги-
лашлар ёрдамида келиб чикадиган
f(x)«f(xo)+/‘(xo)-(х—хо) (12)
муносабат f(x) функциянинг бирор
Хо нуктага якин х нукталардаги кий-
матларини такрибан топиш имконини
беради | (Го нуктада функциянинг
f(x0) киймати ва функция хосиласи-
нинг f’(xo) киймати маълумдир)].
Масалан, f(x)=xa ва х0=1 булсин.
У холда f (1)= 1“= 1, f (х) =
= ах“ *, f'(l)=al“ *=а, биноба-
рин, х = 1 4-Д деб (12) дан такрибий
хисоблашлар учун унгай (1 -|-А))а«
« 1 + а • А формулани оламиз. Агар
А микдор кичик булса, бу формула-
нинг ихтиёрий (нафакат бутун) кий-
матлари учун тугри. Бу формулага
мувофик
/о7= (1 +0,07)7^ 1 + 1 .0,07 =
= 1,01; _
д^96= (1 + (—0,04)f» 1 4-Ь
• (—0,04)=0,98; 2
(1,05 )7 = (1 +0.05)7» 1 + 7 • 0,05 ='
= 1,35.
--4826
ёш математик цомусий лугати
130
Агар юкорирок, тартибли хосила-
ларни катнаштирсак, мухим (12) фор-
мулани янада аникдаштириш мумкин.
Шу максадда юкори тартибли хоси-
лаларни таърифлаймиз.
f(x) функция fl (%) хосиласининг
узи хам х аргументнинг функцияси
булгани учун f1 (%) функциянинг хоси-
ласини, яъни (/')' (%) функцияни то-
пиш масаласини куйиш мумкин. Бу
функция flt (%) символ билан белги-
ланади ва дастлабки f(x) функция-
нинг иккинчи тартибли хосиласи де-
йилади. Масалан, агар s(t) харакат
конуни булса, v (t)=sl (t) унинг тезли-
ги, a(t)=vl (/) эса тезланиши булади.
Демак, a(/)=s'(() тезланиш s(t)
функциянинг иккинчи хосиласидир.
Умуман ихтиёрий тартибли хосила-
ларни аницлаш мумкин: функциянинг
n-тартибли хосиласи унинг (п— 1) -
тартибли хосиласининг хосиласидир.
п -тартибли хосилани белгилаш учун
t(n), ... dnf(x)
одатда f ’ ’(%) еки символлардан
фойдаланишади. Факат кичик тартиб-
ли (1, 2, 3) хосилалар учун f (%), f" (х),
f"1 (х) белгилар ишлатилади. ха, sinx,
cosx функцияларнинг хосилаларини
билган холда бу функцияларнинг п-
тартибли хосилалари мос равишда
а(а—1)... (а —п+1
sin(x-\-n—), cos(x + n- —)
га тенг булишини индукция буйича
текшириш осон.
Энди (12) формулага кайтайлик. Бу
формулада f(x) функция унг томон-
Дифференциал кисоб
131
даги к—х0 га нисбатан 1-даражали
купхдд билан такрибан алмаштирила-
ди. (12) муносабат Тейлор форму-
ласи деб аталувчи ушбу
f(x)=Hxo)+^-o)(x-Xo)+...+
+ Ц^(х-х°)'1 + ги+1 (13)
умумий тенгликнинг хусусий хрлидир.
гя+1 катталик Тейлор формуласининг
колдик кади дейилади. Уни куйидаги
куринишда тасвирлаш мумкин:
(Mo)n+1
Бу эса Тейлор формуласининг аввал-
ги х,адлари куринишига ухшайди, фа-
кат бу ерда f и+1)(х) косила х0 нук-
тада эмас, балки Хо ва х орасида
ётувчи бирор Е, нуктада кисобланади.
Х,исоблаш максадлари учун одатда шу
информациянинг узи етарли булади.
Агар f(x)=sinx, хо = О булса, у колда
sin in> (x)=stn (х + п • эканини эсга
муносабатни косил киламиз.
Демак, масалан, | х |=С 1, п = 6 булса,
у колда |< 10 ', бинобарин, (13)
формулага f №>(0)=srn-g- ни куйиб,
ушбу
sinx^x-^ + ^ (15)
формулани оламиз, бу эса (—1,1)
кесмадан олинган ихтиёрий х учун
sinx кийматини 10-3дан кам булма-
ган аникликда кисоблаш имконини
беради.
Кдралаётган мисолда п чексиз уси-
ши билан гп+1->0 булишини текши-
132
Еш математик цомусий лугати
риб куриш мумкин, шунинг учун х,ам
куйидаги ёзувни (ёйилмани) таклиф
кила оламиз:
уЗ у5 _,7
’(2^+1)!+- (16)
Бу тенгликнинг унг томонида чексиз
куп кушилувчилар, яъни математик-
лар тилида катор турибди. (16) тенг-
лик (умуман, каторнинг йигиндиси
х,ам) куйидаги маънода тушунилади:
х нинг ихтиёрий кийматида катор-
нинг бирин-кетин олинган чекли сон-
даги кушилувчилари йигиндиси билан
sinx орасидаги айирма кушилувчилар
сони чексиз орта борганда нолга инти-
лади.
(15), (16) куринишдаги формула-
ларнинг киммати шундаки, улар му-
раккаб функция кийматларини хи-
соблашни уни якинлаштирувчи куп-
\ад кийматларини хисоблаш билан
алмаштириш имконини беради. Куп-
хад кийматларини хисоблаш эса фа-
кат арифметик амалларга келтирила-
ди, буларни, масалан, электрон хисоб-
лаш машиналарида бажариш мумкин.
(16) катор эса чексиз дифферен-
циалланувчи ихтиёрий f(x) функция
учун ёзиш мумкин булган ушбу
f(x0) +-^.(х-х0) + +
I- ~j—(x—Хо) +- (17)
каторнинг хусусий холидир. Бу катор
f(x) функциянинг Тейлор катори де-
йилади (Б. Тейлор (1685—1731) —
инглиз математиги).
Тейлор каторининг йигиндиси хам-
ма вакт хам шу каторни вужудга кел-
тирган [ (х) функцияни беравермайди,
шунинг учун Тейлор каторининг
йигиндиси хакидаги масала хар гал
маълум бир тадкикотни талаб килади.
Дифференциал кисоб
133
Масалан, г„+| к,олдик, катталигини
'ахолаётиб, биз юкорида шундай кил-
ан эдик. Шу каби мулохазалар ёрда-
чида х нинг ихтиёрий хиймати учун
. X2 х4
v2k
— (— 1 ) k—-|_
4 (2/г)!+"
'улишини курсатиш мумкин. Аммо
«шоу
w , , а , «(а — 1)2,
• I + %)“ = 1 +-jp»H-Чу—-х2+-+
тенглик (а бутун ва мусбат булмаса)
|х|<1 да, а = п бутун мусбат сон
булганда эса ихтиёрий х да уринли.
Бирок, а=п булганда т>п учун
а(а— !)...(« — т)=п(п— 1)...
...(п — т)=0. Демак, бутун мусбат п
ларда, хусусан, математикада Ньютон
биноми номи билан маълум булган
ушбу
(l+x)"=l+l-x + n-^_l)x2+...+
, п(п— !)...(«-п+1) „
+ и! Х
муносабат хосил булади.
134
Еш математик цомусий лугати
Е
ЕВКЛИД АЛГОРИТМИ
Евклид алгоритми — иккита бутун
соннинг энг катта умумий булувчиси-
ни топиш, шунингдек иккита улчов-
дош кесманинг умумий улчовини то-
пиш усули.
Иккита мусбат бутун соннинг энг
катта умумий булувчисини топиш
учун аввало катта сонни кичик сонга
булиш, сунгра кичик сонни катта сон-
нинг колдигига, кейин эса биринчи
к,олдик,ни иккинчи к,олдик.к.а ва X- к.
булиш лозим. Бу процессдаги нолдан
фаркли охирги колдик, берилган сон-
ларнинг энг катта умумий булувчиси
булади,
Дастлабки сонларни а ва b билан,
булиш натижасида косил буладиган
мусбат колдикларни и, Гг, Гз, —Гп би-
лан, оралик булинмаларни q\, q2, ...qn
билан белгилаб, Евклид алгоритмини
куйидаги тенгликлар занжири курини-
шида ёзиш мумкин:
a = bqi + n,
b = r\qz + r2
г = Г2<?3 + Гз
rn-2 = rn-l+rn
rn-t = rnqn+\.
Мисол келтирамиз, а = 777, Ь = 629
булсин. У холда 777 = 629- 1 + 148;
629=148-4 + 37; 148 = 37-4. Охирги
нолдан фаркли колдик 37 булиб, у
777 ва 629 сонларининг энг катта
умумий булувчисидир.
Икки кесманинг энг катта умумий
улчовини топиш учун х,ам ана шундай
йул тутилади. Бунда колдикли булиш
амали унинг геометрик аналоги билан
алмаштирилади: кичик кесма катта
кесмага неча марта жойлашса, ушан-
ча марта куйилади, катта кесманинг
Колган кисми («булишдан колган кол-
дик» сифатида кабул килинадиган >
кичик кесмага куйилади ва х- к. Агар
а ва b кесмалар улчовдош булса, у хол-
да охирги нолдан фаркли колдик 6s
кесмаларнинг энг катта умумий улчо-
вини беради. Кесмалар умумий улчов-
га эга булмаган холда нолдан фаркли
колдиклар кетма-кетлиги чексиз да-
вом этади.
Мисолни куриб чикамиз. Дастлабки
кесмалар сифатида бурчаклари А =
= С = 72°, В = 36° булган АВС тенг
ёнли учбурчакнинг АВ ва АС томон-
ларини оламиз. Биринчи нолдан фарк-
ли колдик сифатида AD кесмани хо-
сил киламиз (CD кесма — С бурчак-
нинг биссектрисаси). Нолдан фаркли
колдиклар кетма-кетлиги чексиз б>-
лишини куриш кийин эмас. Демак.
АВ ва АС кесмалар улчовдош, яъни
умумий улчовга эга эмас.
Евклид алгоритми кздимдан маъ-
лум. Унинг ёши 2 минг йилдан ортик.
У Евклиднинг «Негизлари»да таъриф-
ланган. Евклид бу алгоритмдан фои-
даланиб туб сонлар, энг кичик умумии
булинувчи ва бошка хоссаларни кел-
тириб чикарган. Евклид алгоритми
иккита кесманинг энг катта умумии
улчовини топиш усули сифатида (баъ-
зан у навбатма-навбат айириш х,ам деб
аталади) пифагорчиларга х,ам маълуч
эди. XVI а. урталарида Евклид алго
ритми бир узгарувчили купх,адларга
хам татбик этилди. Кейинчалик Ев-
клид алгоритмини баъзи бир бошка
алгебраик объектлар учун хам аник-
лашга муваффак булинди.
Евклид алгоритми куп татбикларга
эга. Уни аникловчи тенгликлар а ва
сонларнинг энг катта умумий булувчи-
си булган d сонини d = ax-\~by к\
ринишида ифодалаш имконини бера-
ди (х; у — бутун сонлар), бу форм} -
ла эса икки номаълумли биринчи да-
ражали Диофант тенгламалари ечим-
ларини топишга асос булади. Евклид
алгоритми рационал сонни узлуксиз
каср сифатида ‘тасвирлаш воситас*
Евклид ва унинг «негизлари»
135
хамдир (к,. Календарь). У купинча
электрон хисоблаш машиналари
программаларида дулланилади, сон-
лар назариясида хам адамиятли.
ЕВКЛИД ВА УНИНГ
«НЕГИЗЛАРИ»
Икки минг йил давомида геоме-
трияни ё Евклиднинг «Негизлариодан,
ёки унга асосланиб ёзилган дарслик-
лардан билишган. Фадат профессио-
нал математиклар бошда дадимги
юнон математиклари — Архимед,
Аполлоний хамда кейинрод яшаган
геометрикларнинг йшларига мурожа-
ат дилишган. XIX а. да вужудга келган
«ноевклид геометрияодан фард дили-
ши учун классик геометрияни Евклид
геометрияси деб атайдиган булдилар.
Бу ажойиб инсон дадида тарих шун-
чалик кам маълумот садлаганки, баъ-
зан шундай одам булганми, каби шуб-
ха йугрилган фикрлар дам айтилади.
Бизгача нималар етиб келган? Эра-
мизнинг V а.да яшаган византиялик
Прокл Диадохнинг юнон геометрия-
лари дадидаги каталоги — юнон гео-
метрияси дадидаги маълумотларнинг
биринчи хадидий манбаи. Каталогдан
Евклид э.а. 306—283 й.да хукмронлик
килган шод Птолемей I нинг замон-
доши экани куринади.
Евклид Архимеддан катта булиши
керак, чунки Архимед уз ишларида
•Негизлар»га мурожаат дилади. Биз-
гача Евклид Птолемей I нинг пойтах-
ти, эндигина илмий марказлардан би-
рига айланаётган Искандарияда уди-
тувчилик дилгани дадидаги маълумот
етиб келган. Евклид дадимги юнон
философи Платоннинг издоши булиб,
у Платоннинг фикрига мувофид дар
бир киши философия билан шугул-
ланишдан олдин билиши лозим бул-
ган турт фан — арифметика, геомет-
рия гармония назарияси, астрономия
китган булиши эдтимол. «Негизлар»-
дан ташдари Евклиднинг гармония ва
астрономияга багишланган китоблари
ам бизгача етиб келган.
Евклиднинг фанда тутган урни эса
унинг уз илмий текширишлари билан
эмас, балки педагогик хизматлари би-
лан белгиланади. Евклид бир неча
теорема ва уларнинг исботини кашф
этган дейишади, аммо уларнинг ада-
миятини буюк юнон геометрлари —
Фалес ва Пифагор (э.а. VI а.), Евдокс
ва Теэтет (э.а. IV а.) ларнинг ютудла-
ри билан солиштириб булмайди. Ев-
клиднинг буюк хизматлари щундаки,
у геометрия тузишни якунлади ва
уни баён этишга шунчалик мукаммал
шакл бердики, натижада «Негизлар»
икки минг йил давомида геометрик
домус булиб долди.
Евклид баён дилинадиган материал-
ни 13 та китобга шундай буюк бир
санъат билан, бирор дийинчилик ву-
жудга келмайдиган килиб жойлади.
Кейинрод юнон математиклари «Не-
гизларога бошда муаллиф томонидан
ёзилган XIV ва XV китобларни душ-
ганлар.
Евклиднинг биринчи китоби 23 та
«таъриф»дан бошланади, улар ораси-
да дуйидагилар бор: нудта — дисм-
ларга эга булмаган нарса; чизид —
энсиз узунлик; чизид нудталар билан
чегараланган; тугри чизид — уз нуд-
таларигй нисбатан бир хилда жой-
лашган чизид, нидоят агар битта те-
кислидда ётган идки тугри чизид дар
данча давом эттирилганда дам учраш-
маса, улар параллел деб аталади.
Булар асосий объектлар дадидаги
тасаввурлар. Х,озирги тушунчадаги
«таъриф» сузи Евклид ишлатган
юнонча «хорой» сузининг анид маъ-
носини бера олмайди (яъни Евклид-
нинг юдоридаги «таъриф»лари аслида
тушунишни енгиллатувчи тавсифлар-
дир).
Биринчи китобда учбурчаклар, туг-
ри туртбурчаклар, параллелограмм-
ларнинг асосий хоссалари даралади,
уларнинг юзалари таддосланади. Уч-
бурчак бурчакларининг йигиндиси да-
дидаги теорема дам мана шу ерда
берилади. Сунгра бешта геометрик
постулат келтирилади: икки нудта ор-
дали битта тугри чизид утказиш мум-
136
Еш математик цомусий лутати
кин; хар бир тугри чизидни исталган-
ча давом эттириш мумкин; маркази
берилган нудтада маълум радиусли
айлана чизиш мумкин; барча тугри
бурчаклар тенг; агар икки тугри чизик,
шундай утказилсаки, улар учинчи туг-
ри чизик, билан хосил килган бурчак-
лар йигиндиси икки тугри бурчакдан
кичик булса, учинчи тугри чизиднинг
шу томонида учрашади. Бу постулат-
ларнинг биридан бошда хаммаси хо-
зирги замон геометрия асослари кур-
сига кирган. Постулатлардан кейин
умумий фаразлар ёки аксиомалар —
тенгликлар ва тенгсизликлар хадида-
ги саккизта умумматематик жумла-
лар келтирилади. Китоб Пифагор
теоремаси билан тугайди.
II китобда геометрик алгебра баён
дилинади, квадрат тенгламаларга кел-
тириладиган масалалар геометрик
чизмалар ёрдамида ечилади. У вадтда
алгебраик белгилар йуд эди.
III китобда дойра, уринма ва ва-
тарларнинг хоссалари, IV китобда
мунтазам купбурчаклар даралади,
ухшашлик таълимотининг асослари
учрайди. VII—IX китобларда энг кат-
та умумий булувчинм топишнинг Ев-
клид алгоритмита асосланган сонлар
назариясининг негизлари баён этил-
ган, булинувчанлик назарияси ва туб
сонлар тупламининг чексизлиги ха-
дидаги теорема хам шу китобларга
кирган.
Охирги китоблар стереометрияга
бдгишланган. XI китобда стереомет-
рия асослари, XII китобда дамраш
усули ёрдамида икки дойра юзала-
рининг нисбати, пирамидалар ва приз-
малар, конус ва цилиндрлар хажм-
ларининг нисбати баён этилади. Ев-
клид геометриясининг энг юдори чуд-
диси — мунтазам купёдликлар наза-
рияси: «Негизлар»га юнон геометрия-
сининг буюк ютудларидан бири —
конус кесимлари назарияси кирмай
долган. Улар хакида Евклид «Конус
кесимлари негизи» номли алохида ки-
тоб ёзган, аммо бу китоб бизгача етиб
келмаган. Архимед уз асарларида
бу китобдан цитаталар келтиради.
Евклиднинг «Негизлари» бизгача
асл нусхада етиб келмаган. Х,озир
маълум энг дадимги кучирмалар Ев-
клидданун икки аср кейин, «Негизлар»
хадидаги унча-мунча муфассалрод
маълумотлар эса етти аср кейин ёзил-
ган.
Урта асрларда математикага дизи-
диш йудда чидди, «Негизлар»нинг
баъзи китоблари йудолди. Кейин улар
арабча ва лотинча таржималаридан
базур тикланди. Бу даврда текст ке-
йинги шардловчиларнинг «пардозла-
ши» билан семириб борди.
Европа математикасининг Уйгониш
даврида (XVI а.) «Негизлар»ни урга-
нишди ва дайта тиклашди. «Негиз-
лар»нинг мантидий тузилиши, Евклид
аксиоматикаси XIX а.ларгача, мате-
матика эришган ютудларга тандидий
дараш бошланган давргача матема-
тиклар томонидан мукаммал деб да-
бул дилинди. Бу давр Евклид геомет-
риясининг янги аксиоматикаси —
Д. Гильберт аксиоматикаси билан
якунланади. «Негизлар»даги геомет-
риянинг баёни намунавий саналар,
математик булмаган олимлар хам ун-
га эргашишга интилар эдилар.
Езги физика-математика мактаблари
Е
ЁЗГИ ФИЗИКА-
МАТЕМАТИКА
МАКТАБЛАРИ
Ёзги таътил вактида мамлакати-
мизнинг турли улка ва вилоятларида-
ги минглаб говори синф укувчилари
ёзги физика-математика мактаблари-
да яна парталарга утирадилар. Бу
мактаблар олий укув юртлари ва ил-
мий-тадкицот институтлари цошида
ташкил килинади. Физика ва матема-
тикага кизиккан болалар уз билим-
ларини чукурлаштиришлари ва кен-
гайтиришлари, тенгкур хамфикрлари,
студентлар, олимлар билан танишиш-
лари мумкин.
Купгина ёзги мактабларда укув жа-
раёни лекция ва семинарлардан ибо-
рат, лекин, баъзида (масалан, Ленин-
град ва Красноярск университетлари
кошидаги мактабларда булгани каби)
математик тугараклар ва факульта-
тивлар х,ам ташкил килинади. Одат-
да, ёзги мактабларда математиканинг
мумтаълим мактаби программасида
етарлича ёритилмаган анъанавий бу-
лимлари урганилади. К,римдаги Кичик
Фанлар академиясида, СССР ФА Си-
бирь булимининг Х,исоблаш маркази
кошидаги Ёш программачилар бутун-
нттифок ёзги мактабида программа-
лаш ва кисоблаш математикасига
укитиш биринчи булиб бошланди. Ёз-
ги мактаблар программасида факат-
гина семинар ва тугаракларда маса-
залар ечиш эмас, балки олимпиада-
ларга, махсус практикумларга тайёр-
заниш х,ам урин эгаллайди. «Матема-
тик жанглар», масалалар ечиш буйича
конкурслар кенг таркалган.
Ёзги мактаблар йирик илмий мар-
ка злар ва олий укув юртлари томони-
137
дан ташкил этилгани учун даре бе-
ришга етакчи мутахассислар жалб ки-
линадилар. Бу ерда уцувчилар китоб-
лар ва телекурсатувлар оркали таниш
булган олимлар билан бемалол гап-
лашишлари мумкин. Ёзги физика-ма-
тематика мактаблари нинг укувчилари
илмий марказларда ва олий укув юрт-
ларида тез-тез экскурсияларда булиб
турадилар. Йирик илмий марказлар-
нинг якинлиги болаларга илмий та-
раккиётнинг замонавий йуналишлари-
дан хабардор булиб туришларига им-
кон беради. Ёзги физика-математика
мактаблари машгулотларнинг мазму-
ни буйича х,ам, ташкилий принцип-
лари буйича х,ам турличадир, аммо
х,амма мактабларда хам юкори савия-
даги ижодий мукит косил килинади,
хам машгулотлар, хам буш вактни ма-
даний утказиш, хам дам олиш, хам
мулокотлар узвий богланган укитиш
программаси амалга оширилади. Ил-
мий ходимлар ва мактаб укувчила-
рининг мулокоти нихоятда фойдали-
дир. Одатда, мактаб муаллимлари —
ёш олимлар, студентлар — укитиш ва
тарбия ишларини биргаликда кушиб
олиб боришади. Улар тарбияланувчи-
лар билан осонгина умумий тил то-
пишади ва укишдаги мулокот узаро
дустона муносабатга асосланади. Шу-
нинг учун хам кизикишлар доира-
сига факат фаннинг узигина эмас,
балки ижтимоий хаёт, маданият ма-
салалари хам киради.
Ёшлик спорт билан ажралмасдир;
спорт мусобакалари, секциялари, ту-
ристик сафарлар ва, албатга, эрта-
лабки бадан тарбия болалар саломат-
лигининг гаровидир.
Купгина ёзги мактабларнинг уз
анъаналари таркиб топа бошлади:
масалан, Новосибирск давлат универ-
ситета кошидаги ёзки мактабда маш-
хур «фантастик лойихалар симпо-
зиума», Красноярск ёзки мактаби-
да — спорт-математика мусобакалари
ва «Математиклар куни»нинг байрам
килиниши, Ботуми шахридаги ёзги
мактабда — математик КВН (кувнок-
лар ва топцирлар клуби), К,римда.
.138
Еш математик цомусий лутати
«Искатель» Кичик Фанлар академия-
сининг умумий йигилиши.
Ёзги мактабларнинг муваффакия-
ти, куп жихдтдан, мактаб укувчила-
рининг мустакиллиги, физика ва мате-
матикага кизикишлари туфайлидир.
Болаларнинг бутун коллектив каётида
фаол к,атнашишлари, ёш илмий хо-
димлар билан дустлик купинча шунга
олиб келадики, мактабни якиндагина
битириб, олий укув юртларининг фи-
зика-математика сох,алари буйича
студент, аспирант булган ёшлар уз-
ларининг ёзки мактабларига яна —
энди муаллим ва тарбиячи сифатида
кайтиб келадилар.
Ёзги мактаблар математикадан
синфдан ташкдри ишларнинг бошка
шакллари — укувчиларнинг илмий
жамиятлари, математик сиртки мак-
таблар билан чамбарчас богланган.
Купгина юкори синф укувчилари учун
ёзги мактабда укиш булажак касб-
ларини эгаллаш йулида куйилган би-
ринчи кадам булиб колади.
Таассуф билан айтиш лозимки,
республикамизда Ёзги физика-мате-
матика мактаби ташкил килиш хозир-
ги даврларгача кийинчиликка учраб
келмокда. Республика математика
олимпиадасида муваффакият билан
катнашган укувчилар Новосибирск
Давлат университетининг ёзги физика-
математика мактабида мунтазам иш-
тирок этиб келадилар. УзЛКСМ МК
ташаббуси билан ташкил этилган Ма-
тематика Кичик Фанлар академияси
1984—89 йилларда математикага ки-
зикувчи лаёкатли укувчилар билан бир
йилда 2 марта — кишки ва ёзги илмий
сессиялар давомида (3—4 кундан)
шугулланди.
ЁЙИЛМА
1-расм.
Т ьтраэдр
Купёклик — куп киррали сиртни
бир нечта кирраси буйича киркиб те-
кислик устига ёйиб булади, деб фараз
килайлик. Натижада купёклик нинг
ёйилмаси косил булади. Ёйилма ки-
чикрок купбурчаклар — дастлабки
2-расм
Ейилма
139
• ? булса тортинмай-нетмай шу замон
’ итак, енг, ёкани сукди чокидан.
| иг эса сийпалаб чивди кар томон
_ гнда хамма нарса булди намоён:
Худди бир текислик, квадратлар — ямок,
Гуё Евклиднинг рисоласидан
Йиртиб олинмишдир чалкаш бир варак».
Л. Кэррол
140
Еш математик цомусий лугати
Турли купёдликларнинг моделлари-
ни тайёрлашда ёйилма (ёки унинг
кисмлари) ишлатилади. Мисол — сут
солинадиган «учбурчакли» (тугрироги
«тетраэдрик») пакет (халтача)ларни
елимлаш. Бу пакетлар мунтазам тет-
раэдрлар эмас: мунтазам тетраэдрлар
саватларга яхши жойлашмайди. Сут
4-расн-
6-расм
купёдликнинг ёдларидан тузилган яс-
си купбурчаклардан иборат булади.
Масалан, 1-расмда мунтазам купёд-
ликлардан бешала турининг хам ёйил-
маси тасвирланган. Ёйилмалар буйи-
ча у мос купёдликни тиклаш, ёпиш-
тириш осон; одатда, дастлабки куп-
ёдликни хосил дилиш учун ёйилма-
нинг кайси жуфт томонларини елим-
лаш лозимлиги курсатилади. Айни
бир купёдлик бир неча хил ёйилмага
эга булиши мумкин. Масалан, мунта-
зам тетраэдр учбурчакли ёйилмага
эга, бу эса тетраэдрни елимлаш учун
анча дулай бурчакларда жойлашган
учта учбурчакни букиш етарли
(2-расм). Ихтиёрий тетраэдрнинг
шунга ухшаш ёйилмаси умумий хол-
да жуфт-жуфт душни томонлари тенг
булган олтибурчакдан иборат булади
(3-расм).
солинадиган пакетлар туртта дирра-
си тахминан 17 см дан, иккита дир-
раси 13 см дан булган турли ёдли
тетраэдрларддн иборат. Диддат би-
лан дарасангиз, у тетраэдрни икки
кичик дирраси ва бир ёгининг катта
баландлиги буйича дирдишда досил
буладиган тугри туртбурчакдан елим-
ланганлигини курасиз. Тескари жа-
раённи куз олдимизга келтириш осон-
род: 4-расмда курсатилгандек, аввал
тугри туртбурчакдан цилиндр (тугри-
роги цилиндрнинг ён сирти), сунгра
асоснинг узаро перпендикуляр диа-
метрлари буйича тетраэдр шаклидаги
пакет елимланади. Албатта, бу техно-
логия жидатидан учбурчаклардан па-
кет елимлашдан осон, чунки елим-
лаш учун деч дандай допдодлар та-
лаб дилинмайди.
Ёйилмалар бир нудтадан иккинчи
Занжир чизиц
141
нуктагача энг киска масофаларни
(фигуралар сирти буйлаб) излашга
дойр масалаларни ечишга ёрдам бера-
ди. Масалан, кубнинг сиртида учидан
унга карама-карши ётган В учига
(5, а-расм) олиб борувчи АКБ кури-
нишдаги барча йуллардан энг киска-
сини танлаш учун иккита кушни ёкни
ёйиш, сунг Л ва В нукталарни тугри
чизик кесмаси билан туташтириш ке-
рак (5, б-расм). Энг киска йул CD
кирранинг уртаси М оркали утади
(бундай йуллар 6 та булади, чунки
кирралардаги Л ва В нукталарни аж-
ратиб турувчи кирралар сони шунча).
Эътибор беринг: кар кандай иккиёкли
бурчакнинг кирраси оркали энг киска
йул билан «ошиб утиш» какидаги ма-
сала кам худди ана шундай ечилади
(6-расм).
Сут пакетини караб, биз цилиндрик
сиртни кам текисликка ёйиш мумкин-
лигини курдик. Бу конус сирти учун
кам тугри: уни асосининг айланаси
ва битта ясовчиси буйича кирккандан
сунг текисласак, бир-бирига уринувчи
дойра ва доиравий сектор (7, а-расм)
Косил киламиз.
Цилиндр ва конуснинг ёйилмасидан
уларнинг ён сиртлари юзаларини
(2nRH — цилиндр учун ва л/?/ — ко-
нус учун) кисоблашда фойдаланила-
ди. Бирок юзаларни бундай анидлаш
методи универсалликдан анча йирок,
чунки эгри сиртларнинг купини улар-
нинг устидаги узунлик ва юзаларини
саклаган колда текисликка ейиб бул-
майди. Жумладан, чармдан туп тайёр-
лашдаги кийинчиликлар шу билан
боглик.
"-раем.
Р
3
ЗАНЖИР ЧИЗИК
Занжир чизик — ясси эгри чизик-
лардан бири булиб, биз унинг шакли-
ни беихтиёр куп марта кузатганмиз.
Унинг номи учлари махкамланган
ихтиёрий занжир ёки кар кандай элас-
тик огир ва чузилмайдиган тор, маса-
лан, электр узатувчи сим занжир чи-
зикнинг кисми шаклида осилиб тури-
шидан олинган.
1-расм-
Занжир чизикнинг тенгламасини
ёзиш учун унинг симметрия уки орди-
наталар уки сифатида кабул килина-
ди. Шунда мос абсцисса уки танлан-
гач (1-расм), занжир чизикнинг тенг-
ламаси куйидаги куринишни олади:
а(еа +Л
У 2
р I
а
142
Еш математик цомусий лугати
2-расм.
Бу функция элементар функциялар-
дан бири, чунончи у= ach (-^-) форму-
ла билан ифодаланади.
Занжир чизиднинг иккинчи ажойиб
хоссасини 1744 й. Л. Эйлер топди. У
берилган икки нуктадан утувчи ва бе-
рилган тугри чизик атрофида айлан-
тиришдан х,осил булган айланма сирт-
ларни караб, юзаси энг кичик булади-
ган айланма сирт берувчи эгри чизик-
ни излагай. Бундай чизик занжир чи-
зик экан; унга мос сирт катеноид (зан-
жирсимон) деб аталди. Агар битта
укда жойлашган иккита калкага совун
купигининг пардаси тортилса, айнан,
катеноид шаклини олади (2-расм).
бу гапни куйидагича ифодалаш кабул
килинган: АС-\-СВ~>АВ тенгсизлик
уринли булиши учун С нуктада АВ
тугри чизикдан ташкарида ётиши
етарли.
Умуман, агар бирор Р тасдик Q учун
етарли дейилган булса, бунинг маъно-
си: шарти Р, хулосаси Q булган теоре-
ма тугри булади демакдир.
Юкорида курилган теоремани яна
шундай тушунтириш хам мумкин: агар
(ЛВ) булса, АС-рСВ^>АВ тенг-
сизлик бажарилиши зарур. «Зарур»
сузи катнашган бу иборани хам ма-
тематикада бошкачарок ифодалаш ка-
бул килинган: С нукта АВ тугри чи-
зикдан ташкарида ётиши учун А С +
СВ>АВ тенгсизликнинг бажарили-
ши зарур.
2-расм.
P=>Q
Р - Q. учун етарли шарт
___ Р учун зарурии шарт
ЗАРУРИЙ ВА ЕТАРЛИ
ШАРТЛАР
Зарурий ва етарли шартлар — ма-
тематик теоремаларнинг бир курини-
ши, теоремаларни ёзиш ва талкин ки-
лиш шаклйдир. Масалан, «агар С нук-
та А В тугри чизикда ётмаса, АС +
-\-СВ>АВ булади» деган теоремани
(1-расмга к-) шундай тушунтириш
мумкин: С нукта АВ тугри чизикда
ётмаслигини билсак етарли, биз А С +
СВ~>АВ деб тасдиклай оламиз. Ма-
тематикада «етарли» сузи катнашган
1-расм. с
А В
Умуман, агар бирор Q тасдик Р
учун зарур дейилган булса, бу шарти
Р, хулосаси эса Q булган теорема
уринли демакдир. Бошкача килиб айт-
ганда, (,..)Р=>-0 куринишдаги кар бир
теоремани (бунда куп нукта теорема-
нинг изохловчи кисмини, Р — шарти-
ни, Q — хулосасини белгилайди) ку-
йидаги усуллардан бири билан баён
килиш мумкин (2-расм):
1) агар Р тугри булса, Q хам туг-
ри;
2) Q уринли булиши учун Рнинг
бажарилиши етарли;
3) Р уринли булиши учун Q бажа-
рилиши зарур.
Агар бирор теорема билан бир пайт-
да унга тескари теорема дам уринли
Зарурий ва етарли шартлар
143
булса, унинг баёнини «зарур ва етар-
ли» деган сузлардан фойдаланиб уз-
гартириш мумкин. Масалан, (3-расм),
(Д АВС берилган (АС = ВС)=>
=>(АА = АВ) теорема ва унга тес-
кари
( /\АВС берилган) ( АА=АВ)=^-
=>(АС = ВС)
теоремаларнинг хар иккиси хам туг-
ри. Яъни учбурчак тенг ёнли булиши
учун бу учбурчакнинг иккита бурча-
ги тенг булиши зарур (дастлабки тео-
рема) ; бундан ташкари, учбурчак тенг
ёнли булиши учун бу учбурчакнинг
иккита бурчаги тенг булиши етарли
(тескари теорема). Уларнинг хар ик-
киси бирлаштирилиб,
( /\АВС берилган) (АС = ВС)о
о(АА=АВ)
куринишда ёзилади ва куйидагича
укилади: учбурчак тенг ёнли булиши
учун бу учбурчакнинг иккита бурчаги
тенг булиши зарур ва етарли.
Зарурий ва етарли шартларга яна
бир неча мисол берайлик.
1) Иккита бурчак вертикал булиши
учун улар тенг булиши зарур.
2) Туртбурчак параллелограмм були-
ши учун унинг хамма бурчаги тугри
булиши етарли.
3) Икки тугри чизик параллел були-
ши учун улар бирор нуктага нисбатан
узаро симметрии булиши зарур ва
етарли.
4) Параллелограмм ромб булиши учун
унинг диагоналлари перпендикуляр
булиши хам зарур, хам етарли.
5) Туртбурчакнинг диагоналлари пер-
пендикуляр булиши учун у ромб бул-
са етарли.
6) ABCD туртбурчак тугри бурчакли
туртбурчак булиши учун унинг диаго-
наллари тенг булиши зарур: AC=BD.
7) х0 сони /г(х)=х"+а1х"'1+
-)-ci2Xn 2-ф...-|-ап — ап
купхаднинг илдизи булиши учун бу
f(x) купхад х— хо га колдиксиз бу-
линиши зарур ва кифоя.
8) [а, 6] кесмада дифференциалла-
нувчи f(x) функция бу кесманинг би-
рор ички Хо нуктасида максимумга
(минимумга) эришиши учун функ-
ция хосиласи шу нуктада нолга ай-
ланиши зарур: f1 (хо)=О.
9) Икки номаълумли иккита чизикли
тенгламалар системаси ягона ечимга
эга булиши учун бу системанинг де-
терминанта нолдан1 фаркли булиши
зарур ва етарли.
10) а тугри чизик а текисликка пер-
пендикуляр булиши учун а тугри чи-
зик бу текисликдаги иккита бир-би-
рига параллел булмаган тугри чизик-
ларга перпендикуляр булиши етарли
(5-расм).
/>
144
Еш математик цомусий лутати
«Зарур ва етарли» деган сузлар ку-
пинча» .„холда ва факат шу холда
...«ёки,» ...булса ва факат шу шарт-
да...» каби жумлалар билан алмаш-
тирилади. Масалан, туртбурчакнинг
диагоналлари кесишиб, кесишиш нук-
тасида тенг иккига булинса ва факат
шу холда у параллелограмм булади.
Баъзан «етарли шарт», «зарурий
шарт» дейиш урнига «етарлилик ало-
мати», «зарурийлик аломати» (ёки
белгиси) сузлари хам кулланади. Ай-
рим холларда эса шунчаки «аломат»
(«белги») деб хам кета берадилар.
Бунда ran зарурий белгими ёки етар-
лилик белгиси хакидами — матн маз-
мунидан англашилади. Масалан, «сон
9 га булиниши учун унинг ракамлари
йигиндиси 9 га булиниши зарур ва
кифоя» деган теорема 9 га булиниш
белгиси дейилади. Икки тугри чизик
учинчиси билан кесишганда хосил
буладиган карама-карши жойлашган
бурчаклар хакидаги бир неча теорема
умумий ном билан «параллеллик ало-
мати» деб юритилади.
И
ИНТЕГРАЛ ХИСОБ
Интеграл хисоб — математик ана-
лнзнинг интеграллар, уларнинг хосса-
лари, хисоблаш усуллари ва татбик-
ларини урганадиган булими. У диф-
ференциал $исоб билан биргаликда
математик анализ иш куролининг
асосини ташкил килади.
Интеграл хисоб табиатшунослик
ва математиканинг жуда куп масала-
ларини урганиш натижасида пайдо
булди. Булардан энг мухимлари —
харакатнинг маълум, аммо узгарувчи
тезлигига кура берилган вакт орали-
гида утилган йулни аниклашга оид
физик масала ва геометрик фигура-
ларнинг юзалари ва хажмларини
(К- Экстремумга оид геометрик маса-
лалар) хисоблашга оид янада кади-
мийрок масаладир.
Интеграл хисобнинг марказий ту-
шунчаси — интеграл, бирок бу ту-
шунча, мос равишда аникмас ва
аник интеграл тушунчаларига
олиб келувчи иккита турли талкинга
эгадир.
Дифференциал хисобда функция-
ларни дифференциаллаш амали кири-
тилган эди. Интеграл хисобда карала-
диган дифференциаллашга тескари
математик амал интеграллаш ёки.
аникроги, аникмас интеграл-
лаш дейилади. Бу тескари амал ни-
мадан иборат ва унинг аникмаслиги
нимада?
Дифференциаллаш амали берилган
F(x) функцияга унинг хосиласи
F1 (x)=f (х)ни мос куяди. Фараз ки-
лайлик, биз берилган f(x) функция-
дан келиб чикиб, шундай /'(х) функ-
цияни топмокчимизки, унинг хосила-
си f (х), яъни f (x)=F' (х) булсин. Бун-
Интеграл хисоб
145
дай функция f(x) функциянинг бош-
.’ангич функцияси дейилади.
Демак, дифференциаллашга теска-
эи амал — анидмас интеграллаш —
берилган функциянинг бошлангичини
топишдан иборат. F(x) функция билан
бирга Д(х)дан доимий (узгармас)
кушилувчи С га фарк киладиган их-
тиёрий ^x)=F(x)-{- С функция хам
Чх) функция учун бошлангич були-
ни равшан, чунки <F'\x)=Fl (х)=
= f(x). Шундай килиб, дифферен-
диаллаш амали функцияга бошка бир
ягона функция — функциянинг хоси-
ласини мос куйса, ундан фаркли ула-
рок, анидмас интеграллаш битта кон-
крет функцияга олиб келмай, функ-
цияларнинг бутун бир мажмуасини
беради, унинг анидмаслиги хам шун-
да.
Аммо бу аникмаслик даражаси ун-
чалик катта эмас. Агар бирор функ-
диянинг хосиласи кандайдир оралик-
нинг хамма нукталарида нолга тенг
булса, у холда бу функция даралаёт-
ган ораликда узгармас булишини эс-
латиб утамиз (узгарувчи микдорнинг
узгариш тезлиги оралиднинг хамма
жойида нолга тенг булса, у узгар-
майди). Демак, агар бирор a<x<6
ораликда ^(х)=/7' (х) булса, у холда
бу ораликда •J’(x)— F(x) функция
узгармасдир, чунки унинг хосиласи
J’(x)—F1 (х) оралиднинг хамма нук-
таларида нолга тенг.
Шундай килиб, битта функциянинг
иккита бошлангичи тайин ораликда
фадат узгармас душилувчига фарк
килиши мумкин.
f (х) функциянинг бошлангичларини
\f(x)dx
символ билан белгилашади, бунда 5
белги интеграл деб удилади. Бу —
анидмас интеграл. Исботланганига
кура, анидмас интеграл даралаётган
ораликда битта конкрет функцияни
эмас, балки
$f(x)dx = F(x)4-C (1)
Еш математик цомусий лугати
146
куринишидаги ихтиёрий функцияни
тасвирлайди, бу ерда F(х) берилган
f{x) функциянинг тайин ораликдаги
бирор бошлангичи, С — ихтиёрий уз-
гармас.
Масалан, бутун сон укида
J 2xdx=x2-]- С; \cosydy = siny-\-C;
$ sin zdz = — cosz + С.
Биз бу ерда интеграл остидаги функ-
циянинг аргументларини атайлаб
турли символлар: х, у, z билан белги-
ладик. Максад — бошлангичнинг
функция сифатида унинг аргументи-
ни белгилаш учун ишлатиладиган
хдрфни танлашга боглик эмаслигига
эътиборни каратишдир.
Ёзилган тенгликларни текшириш
уларнинг унг томонларини оддий диф-
ференциаллаш билан амалга ошири-
лади, бунинг натижасида, мос равиш-
да, чап томонларда интеграл белгиси
остида турган 2х, cosy, sinz функция-
лар олинади. Бошлангич, х,осила, диф-
ференциал ва аникмас интеграл таъ-
рифи ва (1) муносабатдан бевосита
келиб чикадиган куйидаги очик-ой-
дин муносабатларни хдм назарда ту-
тиш фойдали:
(\f(x)dx)'=f(x\ d(\f(x)dx)=f(x}:
5 Fl (x)dx=F (x)+ C, ]dF(x)=
= F(x)+C.
Аникмас интегралнинг баъзи ум>-
мий хоссалари, купинча, бошлангичнн
топишни осонлаштиради:
5 cf(x)dx = c\f(x)dx
(узгармас купайтувчини чикариш);
\(f(x)+^.(x))dx=\f(x)dx+\g(x)dx
(йигиндини интеграллаш);
агар \f(x)dx = F(x)-FC булса, у х,ол-
Да 5/((р(Офс (t)dt = F((p(t))-FC
(узгарувчини алмаштириш).
Бу муносабатлар хам тегишли диф-
ференциаллаш коидалари асосида бе-
восита текширилади.
Бушликда эркин тушаётган жисм-
нинг хдракат конунини топайлик. Бун-
147
Интеграл хисоб
в биз ягона факт — каво булмаганда
ин тушиш тезланиши Ер сирти
*кинида узгармас ва тушаётган жисм-
| хусусиятларига боглик эмаслиги-
вн келиб чикамиз. Вертикал коорди-
-»та укини белгилаймиз; унда йуна-
лшни Ерга томон танлаймиз. s(t) —
аисмнинг t ондаги коориданатаси
• лсин. Шундай килиб, бизга
I (t)=g тенглик ва д нинг узгармас-
шги маълум. s (/) функция — х,ара-
Кгг конунини топиш талаб этилади.
g = v'(t), v(t)=s'(t) булгани учун
• етма-кет интеграллаб, куйидагилар-
оламиз:
; ) = \gdt = • dt = gt + C\,
}=\v(t)dt = \^t + Ci)dt = \gtdt +
— \Ctdt = g\tdt -f- Ci$l • dt = y^24~
— C\t 4- C2.
Ш\ндай килиб, биз s(t)= %-(ft2-\-
-C4 + C2 (3)
^канлигини топдик, бу ерда C\, C> -—
«хтиёрий узгармас микдорлар. Пекин’
-ушаётган жисм, кар калай, харакат-
инг битта конкрет конунига буйсуна-
лики, бу конунда кеч кандай ихтиё-
гийликка урин булмайди. Демак, кали
биз фойдаланмаган кандайдир шарт-
ар бор; улар барча «ракобатлашув-
чи» (3) конунлар орасидан конкрет
харакатга мосини танлаб олиш имко-
нини беради. Агар С\ ва С2 узгармас-
ларнинг физик маъносига етолсак, бу
шартларни курсатиш осон. Агар t = О
бчлганда (2) муносабатнинг икки то-
«онидаги кадлари солиштирилса,
= п(0) экани ойдинлашади, (3)
_,ан эса / = 0 да С2 = 0 келиб чикади.
Шундай килиб, математиканинг узи,
згар жисмнинг бошлангич к°лати
= s(0) ва бошлангич тезлиги По =
= с (0) курсатилса, изланаётган кара-
кат конуни s(t)=^-^t2-]-Vot4*So та-
момила аникланишини бизга эслат-
ди. Хусусан, агар у = 0 ва s = 0 бул-
са, s(t)=^-^t2 формулани оламиз.
Х,осилани топиш амали (дифферен-
циаллаш) ва бошлангични излаш ама-
ли (аникмас интеграл) орасида, юко-
рида курсатилганлардан ташкари,
яна катор принципиал фарклар бор-
лигини энди айтиб утамиз. Хусусан,
элементар функциялар ихтиёрий ком-
148
Еш математик цомусий лугати
бинациясининг хосиласи элементар
функциялар оркали ифодаланса, яъни
у яна элементар функция булса, эле-
ментар функциянинг бошлангичи хар
доим хам элементар функция була-
вермаслигини эътиборга олиш керак.
.. , sinx
Масалан, элементар функция ——
sinx
нинг бошлангичи \---- dx ни исбот-
х
лаш мумкинки, элементар функция-
ларда ифодалаб булмайди (бу бош-
лангич интеграл-синус дейилади ва
махсус символ si(x)) билан белгила-
нади). Шундай килиб, аввалдан бе-
рилган функциянинг бошлангичи мав-
жудми деган принципиал математик
масалани бу бошлангични элементар
функциялар орасидан кидириш да-
кидаги хамма вадт хам ечилавермай-
диган масала билан аралаштириш ке-
рак эмас. Интеграллаш, купинча, му-
хим ва кенг фойдаланиладиган махсус
функцияларни киритиш манбаидир.
Бу махсус функциялар элементар
функциялар руйхатига кирмасада, х2
ёки sinx каби «мактаб» функцияла-
ридан кам урганилган эмас.
Нихоят, шуни айтиб утамизки, бош-
лангични топиш, даттоки у элемен-
тар функцияларда ифодаланган так-
дирда хам, дифференциаллашга ух-
шаб хеч бош котирмай дулланадиган
алгоритмни эмас, балки купрод санъ-
атни эслатади. Шу сабабга кура, тез-
тез учраб турадиган функцияларнинг
топилган бошлангичлари анидмас ин-
тегралларнинг жадваллари куриниши-
да тупланган. Ана шу турдаги куйи-
даги жажжи жадвал тегишли асосин
элементар функциялар хосилалари-
нинг мос жадвалчасига тенг кучли:
1
п +1
\ xndx =
(n=^ —It
$ cosxdx — sinx + С;
J sinxdx = — cosx + C;
dx
cos2x
tgx + C;
dx
sin2x
= -ctgx-\-C.
Биз, хозирча, дифференциаллаш
амалини агдариш (яъни унга теска-
ри амал) хакида суз юритдик ва шу
муносабат билан бошлангич, аник-
мас интеграл тушунчаларига келдик
ва бу тушунчаларнинг дастлабки таъ-
рифини бердик.
Энди интеграл тушунчасига бошца-
ча, жуда хам дадимий ёндошувни кур-
сатамиз. Бу ёндошув интеграл ди-
собнинг асосий дастлабки манбаи
булиб хизмат килди ва анид интеграл,
ёки бу сузнинг том (узига хос) маъ-
носидаги интеграл тушунчасига олиб
келди. Бу ёндошув дадимги юнон ма-
тематиги ва астрономи Евдокс Книдс-
кий (тахминан э. а. 408—355 й.) ва
Архимед асарларида анид кузатилади,
яъни у дифференциал дисоб ва диф-
ференциаллаш амалининг пайдо бу-
лишидан анчагина аввал вужудга кел-
ган.
Евдокс ва Архимед дараган муам-
мо эгри чизидли фигураларнинг юза-
сини дисоблаш муаммосидир. Бу
муаммони ечишда улар интеграл ту-
шунчасининг дуртаги деса буладиган
метод — «дамраш методи»ни яратди-
Интеграл кисоб
лар. Биз у муаммони куйирокда кура-
миз. Хозирча эса И. Ньютоннинг изи-
дан к,уйидаги масалани куямиз:
вак,т оралигидан олинган их-
тиёрий t онда v(t) тезлиги маълум
булган жисмнинг шу вак,т оралигида
кандай масофага силжиши топилсин.
149
Агар харакат конуни, яъни жисм ко-
ординатасининг вактга богликлиги
маълум булса эди, у колда, равшанки,
масаланинг жавоби s(b)—s(a) айир-
ма билан ифодаланар эди. Агар v(t)
функциянинг [ а,Ь ] ораликдаги бирор
бошлангичи s (t) ни билганимизда
Еш математик цомусий путати
150
дам, у s(t)=s (()-]- С булгани учун
(С — доимий) изланаётган силжиш
катталигини s(b) — s(a) айирма ку-
ринишида топиш мумкин булар эди, у
эса s(b)—s(a) айирма билан устма-
уст тушади. Бу кузатув гоят фойдали,
аммо берилган v (t) функциянинг бош-
лангичини топишга муваффад була
олмасак, бутунлай бошдача йул ту-
тишга тугри келади.
Куйидагича мушодада юритамиз.
Агар [а, Ь] оралик а = to<t\<....
...tn = b шартларни даноатлантирув-
чи to, ti,... tn онлар билан жуда кичик
1; tt\ (i = 1, 2, 3,..., п) вадт ора-
лидларига булинса, у долда бу диска
оралидларнинг дар бирида жисмнинг
v(t) тезлиги сезиларли узгаришга ул-
гурмайди. Ихтиёрий он т, е ।ни
тайин белгилаб олиш ва [б—i; ti] вадт
оралигида харакат узгармас ъ (г,) тез-
лик билан кечади, деб дисоблаш мум-
кин. Бу долда [6-i; 6] вадт оралиги-
да утилган йул катталиги учун тадри-
бий у(т;)-А6 дийматга эга буламиз;
бу ерда А/, = Ь — ti—\.
Бу катталикларни душиб, оралиддаги
якуний силжиш учун
Ц(л)\ti + V(т2)А(2 +... + V(тп)-Д(„ (4)
тадрибий дийматни досил диламиз.
[а, Ь] оралидни данчалик майда бу-
лакларга ажратсак, яъни [а, Ь] ора-
лид парчаланган /,] булаклар-
дан энг каттасининг узунлиги А дан-
чалик кичик булса, топилган тадрибий
диймат дам шунчалик анид булади. ;
Демак, излаётган силжиш каттали-
ги (4) куринишдаги йигиндиларнинг
А миддор нолга интилгандаги
п
litnlL ^i}\ti (5)
Д->О £ = 1
лимитидан иборат.
Махсус (4) куринишдаги йигинди
[a, ft] оралидда v(t) функция учун
интеграл йигинди дейилади. Булиниш-
лар чексиз майдалашганда интеграл
йигиндилардан досил дилинадиган
(5) лимит v(t) функциянинг [a, ft]
орал ид буйича интеграли (ёки анид
интеграли) дейилади. Интеграл
ь
$ v(t)dt
а
символ билан белгиланади. Бу символ-
даги а, b сонлар интеграллаш чегара-
ларидир (а — интеграллашнинг дуйи,
ft — юдори чегараси). 5 белгиси ости-
да турган v(t) функция интеграл ости
функция, v(t)dt интеграл ости ифода-
си, t эса интеграллаш узгарувчиси
дейилади.
Шундай дилиб, таърифга кура
Ь п
J v(t) dt = lim£ ц(т,)-А/£ (6)
47 = 1
Демак, харакат тезлиги v (/) маълум
булганда жисмнинг [a, ft] вадт орали-
гидаги изланаётган силжишининг кат-
талиги v(/)функциядан [a, ft] оралид
буйича олинган (6) интеграл билан
ифодаланади. Бу натижани шу мисол-
ни дарай бошлаганимизда бошлангич
функция тилида курсатилган натижа
билан таддослаб, агар v(t)=s'{t)
булса, машхур муносабатга келамиз:
ь
J v(t) dt = s(b)—s (а) (7)
47
(7) тенглик Ньютон-Лейбниц фор-
муласи дейилади. (7) нинг чап дисми-
да (6) лимит каби тушуниладиган ин-
теграл, унг дисмида эса интеграл ости
функцияси v (()нинг бошлангич функ-
цияси s(t) (интеграллаш оралигининг
ft ва а учларидаги) дийматлари айир-
маси турибди. Шундай дилиб, Нью-
тон-Лейбниц формуласи (6) интег-
рал билан бошлангични боглайди. Де-
мак, бу формуладан иккита дарама-
дарши йуналишда фойдаланиш мум-
кин: бошлангични топиб интегрални
дисоблаш ёки (б) муносабатдан ин-
тегрални топиб, бошлангич орттирма-
сини олиш. Ньютон-Лейбниц форму-
ласини дуллашнинг бу иккала йуна-
лиши дам нидоятда мудимлигини
дуйида курамиз.
(6) интеграл ва (7) формула биз-
нинг мисолда дуйилган масалани
принцип жидатидан ечади. Х,адида-
Интеграл хисоб
151
тан хам (ц (0) == 0 дан, яъни тинч хо-
татдан бошланадиган эркин тушуш у
мисоли каби), агар булса,
* Холда (7) формуладан v(t)=gj
функциянинг бошлангичи s(t) =
, + С ни топиб, а ондан b онгача ут-
ан вак,т оралигидаги силжиш катта-
ь 11
лиги экани"
ни хосил циламиз.
Х,озиргина тахлил дилинган физик i
масала бизни интеграл ва Ньютон-
Лейбниц формуласига олиб келди.
Энди шу масала асосида олинган ку-
затувларимизни умумлаштириб, куйи-
дагиларни айта оламиз: агар бирор
ораликда /(х) функция бе-
рилган булса, у холда [а, Ь] оралиц-
ни а - хо<Х(<...х„ = b нукталар
ёрдамида булиб,
i Si )• Ах( Ц- f (£г)- Д-^2 4“ - + f )• Дх„
(4J
(бу ерда g,- е [х/ _!; Х(], Ах,-=х, — х, _ i)
интеграл йигиндилар тузгач, Д-»0 да
лимитга утсак (бу ерда
А = max (Дхь Дх2,...,Дхп), биз таъ-
рифга кура [а, Ь] оралик буйича f(x)
функциядан олинган
f(x)dx=limY, f (&) A*/ (б1)
А->0 - _ ,
интегрални хосил киламиз. Агар бунда
F' (х)=[(х) булса, яъни F(x) функция
[а; 6] ораликда [ (х)нинг бошлангичи
булса, у холда Ньютон-Лейбниц фор-
муласи
j f(x)dx=F(b)—F(а) (71)
уринли булади.
Шундай килиб, интеграл хисобнинг
энг мухим тушунчалари аницланди
1-расм.
хамда интеграллаш ва дифференциал-
лашни богловчи Ньютон-Лейбниц
формуласи олинди.
Дифференциал хисобда факатги-
на харакатнинг оний тезлигини аник-
лаш масаласи хосила тушунчасига
олиб келмай, балки уринма утказиш
масаласи хам олиб келгани каби,
интеграл хисобда факатгина харакат-
нинг берилган тезлиги буйича утилган
йулни аниклашга оид физик масала
эмас, балки жуда куп бошка масала-
лар, жумладан, юза ва хажмларни хи-
соблашга дойр кадимий геометрик ма-
салалар хам интеграл тушунчасига
олиб келади.
1-расмда тасвирланган эгри чизик-
ли трапеция деб аталмиш аАВЬ фи-
гуранинг юзасини топиш талаб килин-
ган булсин. Бу трапециянинг юкори
АВ «томони» [а; Ь] кесмада берил-
ган y = f(x) функциянинг графигидан
иборат. а = хо<Х1<...<х„ = й нук-
талар ёрдамида [а; Ь] кесмани кичик
[x,_i; Х(] кесмачаларга ажратамиз
ва уларнинг хар бирида бирор
lx, —i; Xi] нуктани белгилаб куямиз.
[x,-i; х,] кесмачага мос эгри чизикли
’трапеция юзасини такрибан асоси
[x,_i;x,] ва баландлиги булган
тугри туртбурчакнинг f(g,) (х,—
— Xi^i)=f(^i)Axt юзаси билан ал-
маштирамиз. Бу холда бутун аАВЬ
фигура юзасининг такрибий киймати
бизга таниш интеграл йигинди
152
Еш математик цомусий лутати
£ /'(£,-) Ах,- ни беради, изланаётган S
i= 1
юзанинг анид киймати эса шундай
йигиндиларнинг булиниш кесмачала-
ри [х, ь X,] дан энг каттасининг узун-
лиги нолга интилгандаги лимити си-
фатида олинади. Шундай килиб,
ь
S — \f{x)dx (8)
а
муносабатини косил киламиз. Архи-
мед изидан бориб, у=х2 парабола
2-расмда тасвирланган бирлик квад-
рат юзасини кандай нисбатда були-
шини аниклайлик. Бунинг учун (8)
формуладан келиб чикиб, пастки па-
эканини топиш мумкин. Демак, пара-
бола квадрат юзини 2:1 нисбатда бу-
лади.
Интегралларга мурожаат килганда,
айникса, Ньютон-Лейбниц форму-
ласини татбик килиш жараёнида
аникмас интегралларнинг маколамиз
бошида санаб утилган умумий хосса-
ларидан фойдаланиш мумкин. Хусу-
сан,
а = (р(а),Ь = ф(Р) шартлардааник-
мас интегралда узгарувчини алмаш-
тириш коидаси, Ньютон-Лейбниц
формуласини хисобга олганда,
ь
\f(x) dx = F(b) — F(a) =
a
= F((p(P)) — F((p(tz)) =
=f/(q>(O)<p1(0d/
a.
дейишга имкон беради ва, шундай
килиб, аник интегралда узгарувчини
алмаштиришнинг жуда х,ам фойдали
\f(x)dx = lf((f(t))4)'(t)dt (9)
a лЯ"
функциянинг бошлангичи
экани маълум, бинобарин,
Лейбницнинг (71) формуласидан фой-
даланиш ва осонгина
раболик учбурчакнинг S юзасини жун
хисоблаймиз. Бизнинг колда [а; Ь] =
[0; 1] ва f(x)=x2. Бизга
f(x)=x2
О
Ньютон-
S = $ x2dx = ^--13— —о3 = 1
у 0 3 «э
3-расм.
Интеграл ^исоб
153
«Бочкалар дойра, конус
ва цилиндр — тугри фи-
гура лар'билан богланган-
ки, шу туфайли геомет-
рик улчаш имконига эга-
миз».
И. Кеплер
«Сону харф ораси, д би-,
лан ф ораси.
Интеграл бор жойда
асл маъно сараси»
В. Я. Брюсов
154
Еш математик цомусий лугати
4-расм.
формуласи хосил булади. Жисмлар-
нинг хажмлари \ам интеграллар
ёрдамида хисобланади. Агар 1-расмда
тасвирланган аАВЬ эгри чизикли
трапецияни Ох уки атрофида айлан-
тирсак, у холда айланма жисм хосил
киламиз. Уни тахминан мос тугри
туртбурчакларнинг айланишидан хо-
сил булган юпка цилиндрлар (3-расм)
дан тузилган, деб хисоблаш мумкин.
Аввалги белгилашларни сакдаган хол-
да, бу цилиндрлардан хар бирининг
хажмини nf2(£,)-Ax£- (асос юзаси
нинг Ах,- баландликка ку-
пайтмаси) куринишида ёзамиз.
nf2 (£<) Д*1 + л/2 (£2) Ахг + ... +
+ Ах„ йигинди каралаётган
айланма жисм V хажмининг тахми-
ний кийматини беради. V хажмининг
аник киймати шундай йигиндиларнинг
А -► О даги лимита сифатида олинади.
Демак,
ь
V = n\f2 (x)dx. (10).
а
Хусусан, 4-расмда тасвирланган
конуснинг хажмини хисоблаш учун
(10) формулада а = 0, b = h ва
f(x) = kx дейиш етарли, бу ерда k
айлантирилаётган тугри чизикнинг
бурчак коэффициента. f2(x) = fe2x2
функциянинг бошлангичини топиб ва
Ньютон-Лейбниц формуласидан
фойдаланиб,
V = л \k2x2dx = л (^-ft2ft2 — ^-/г2 •
о □ Л
.О3)=л(/гй)2.^-=^
тенгликка эга буламиз, бу ерда
S = n(khf — конус асосида ётган
дойра юзаси. Тахдил килинган мисол-
ларда биз геометрик фигурани юза-
лари ёки хажмларини хисоблай
олишимиз мумкин булган фигуралар
билан камрадик, сунгра лимитга ут-
дик. Евдоксдан бошланган ва Архимед
ривожлантирган бу усул камраш усули
дейилади. У интегралнинг куплаб
татбикдарида жуда кенг таркалган
мулохаза усулидир.
Яна бир мисол сифатида тамомила
конкрет «космик» масалани карай-
лик.
Жисм (ракета) тезлигини шундай
ошириш керакки, у сайёрадан радиус
буйлаб узоклашиб, кейин хеч качон
сайёранинг тортишига карамай, орка-
га кайтмасин. Биз ана шу v тезликни
хисобламокчимиз. Бу тезлик биринчи
космик тезликдан фаркли булиб,
иккинчи космик тезлик дейилади.
Сайёра сиртидан унча узок булмаган
орбитага чикариладиган йулдош
эришиши керак тезлик биринчи кос-
мик тезлик дейилади. т — жисмнинг,
М — сайёранинг массаси булсин.
Сайёранинг тортиш майдонидан чикиб
кетиши учун жисмга бериладиган
I 2
— mv кинетик энергия тортишиш
кучига карши иш бажаришга етарли
булмоги шарт. Сайёра марказидан
г масофада бу кучнинг катталиги,
Ньютон кашф килган бутун олам
, _ тМ
тортишиш конунига мувофик G •
га тенг, бу ерда G — гравитацион
доимий. Шундай килиб, бу куч шундай
узгарадики, сайёрадан узокдашган
сари сусаяди. Сайёра марказидан
хисоблаганда 7?о баландликдаги
жисмни R баландликка кутариш учун
бажариш керак булган Адо ишни
хисоблайлик. Агар куч узгармас бул-
ганда эди, биз унинг катталигини
кучнинг таъсир йуналиши буйлаб
утилган йул узунлиги R — Ro га
купайтириб, бажарилган ишни топар
Интеграл кисоб
155
эдик. Аммо, куч узгаради, шунинг
учун биз бутун [/?,.;/?] ораликни
Ro = го</'1< ... <Гп = R нукталар
ёрдамида кичик ораликчаларга ажра-
тамиз, бу ораликчалар ичида эса
кучнинг узгаришини эътиборга олмас-
лик мумкин. Хар бир ораликчаларда
бажарилган
_ тМ
G ‘ 2
тМ .
—j--An
г,
элементар ишларни топиб, уларни
кушиб чиксак, асосий ораликда изла-
наётган ишнинг такрибий кийматини
оламиз:
Аникрок килиб айтганда, нинг
киймати ушбу
.r (r „ тМ
G- —р— аг
интеграл ёрдамида ифодаланади, бу
интегралда интеграллаш узгарувчиси
ролини г уйнаяпти. G, т, М микдор-
лар доимий, г~2 функция эса — г~1
бошлангичга эгалигини билиб, Нью-
тон — Лейбниц формуласига биноан,
R 11
Ar. = — —) булишини
А, о
топамиз.
Агар R чексиз усса, яъни бошкача
айтганда жисм чексизликка узоклаш-
са, R-*-oo деб лимитга утиш керак.
Натижада
Ar. = G
тМ
ТГ
тенгликни косил киламиз, бу ерда
оо — «чексиз» деб укиладиган сим-
вол.
Агар охирги формулада Ro —
сайёра радиуси деб кисобланса, у
5-расм.
Л-
r„ жисм сайера сиртидан
чексизликка кетиши учун тортишиш
кучларига карши бажариши лозим
булган ишнинг микдоридан иборат.
Агар Ньютоннинг бошка конуни —
F = та ни эсласак, А X учун олинган
ифодани соддалаштириш мумкин. Бу
конун F куч билан т массали жисмга
шу куч берган а тезланишни боглай-
ди. Сайёрага эркин тушаётган жисм
унинг сирти якинида а = д, тезла-
нишга эга, бу тезланишни тортишиш
кучи F = GffyM- беради, бу ерда
Ro
Ro — сайёранинг радиуси. Демак,
тМ г
бу ердан
АО
G-
М
R2o
бинобарин, Л^"-т(>/го лиги келиб чи-
кади.
Бу сайёранинг тортишиш майдони-
дан чикиб кетиши учун зарур булган
ишни кисоблаш формуласи. Сайёра-
дан инерция буйича «кетиш» учун v
вертикал тезликка эга булиш керак,
. 1 2
бу тезликда жисмнинг то кинетик
энергияси сайёранинг тортишини
енгишга кетадиган Ar. ишдан кам
булмаслиги, кеч булмаганда, шу ишга
тенг булиши лозим.
Шундай килиб, mv2 = mg,Ro
Еш математик цомусий лугати
156
тенгликдан олинадиган иккинчи кос-
мик тезлик v = yj2<bR0 куринишда
ифода ла на ди.
Хусусан, Ер учун § «10 м/ с2, Ro=
= 6400000 м, бинобарин, v х 8000.
•\^ м/ с ёки v х 11,2 км/ с.
Шу вадтга кддар тахлил килинган
мисолларнинг хаммасида бизни ки-
зиктирган (71) интегрални Ньютон-
Лейбниц формуласига кура хисоблаш
учун бошлангич функциядан фойда-
ландик. Лекин, худди шу Ньютон-
Лейбниц формуласи бошлангични
топишда бизни хеч булмаса унинг
мавжудлиги хакидаги принципиал
масалани ойдинлаштириш учун инте-
гралнинг узидан фойдаланиш гоясига
ундайди. Бошлангич ва аникмас
интегралга багишланган булимда биз
бу масалани тилга олиб утдик. Энди
унга жиддийрок карайлик. [a, ft]
ораликда графиги 5-расмда АВ чизик
билан тасвирланган f функция берил-
ган булсин. Бутун аАВЬ эгри чизикли
трапециянинг юзаси (8) интеграл
билан ифодаланишини биламиз.
Унинг [а, х] кесмага мос кисми
юзасини F(x) билан белгилайлик. У
холда
У(х) = $ (11).
а
Бу ерда биз интеграллаш узгарувчи-
сини интегралнинг юкори чегараси х
билан адаштирмаслик учун t билан
белгиладик. fix) катталик х е [а; Ь]
нуктага богликлиги равшан. У [a; AJ
ораликда f (г) функциянинг бошланги-
чидир, яъни ХЕ [а; Ь] учун
У1 (х) = f (х).
Хакикатан хам, 5-расмдан куриниб
турганидек,
[У(х + А) — сГ(х)«/(х)-Л
|бу эса
У(х + А)-у(х) .
-------Тг----- «Г(х)
такрибий тенгликка тенг кучлидир.
h микдор кичрая борган сари бу
муносабат факат аниклашиб боради,
бинобарин,
- f м
h-ro П
демак, З"1 (х) = / (х). Шундай килиб,
юкори чегараси узгарувчи х булган
(11) интеграл бизга f (х) функциянинг
бошлангичини беради. f (х) функция-
нинг [а; Ь} ораликдаги бошка хамма
бошлангичлари орасида бу бошлангич
тугрилиги очик-ойдин У(а) — 0 шарт
билан ажралиб туради. Интегрални,
унинг (6*) таърифига мувофик, аввал-
дан берилган исталган аникликда
Хисоблаш мумкин булгани учун
f(x) функциянинг (11) бошлангичи
<Г(х) нинг кийматини хам ихтиёрий
хе|а; А] нуктада исталган аниклик-
да топиш мумкин, хаттоки бунда
*Г(х) нинг аналитик ифодаси ёки J(x)
элементар функция буладими деган
савол билан кизикмаса хам булади.
Интеграллашнинг квадратура фор-
мулалари деб аталадиган содда ва
жуда самарали такрибий методлари
мавжуд. Улар аник интеграллар кий-
матларини электрон хисоблаш маши-
наларида секунднинг улушларида
олиш имконини беради. Бу холат (11)
формулани бошлангични аниклаш
воситасига айлантиради. Масалан,
замонавий сув ости кемалари, баъзи-
да, ойлар мобайнида катта чукурлик-
да узок масофаларга сузиб юради:
ташки олам билан деярли алокада
булмайди, лекин шунга карамай, бе-
рилган квадратга аник етиб боради.
Кеманинг координаталарини хохла-
ган вактда аниклаш имконини беради-
ган навигацион курилма (11) форму-
ланинг техник амалга оширилишидир
ва у куйидаги физик принципга
асосланган. Хдрзкэтлзнэётган ёпик
хона (товушдан яхши изоляция
Килинган юмшок вагон, самолёт ва
X- к.) да туриб, биз хаРакат тезлигини
Хис килмаймиз, лекин тезликнинг
Исбот
157
узгариши — тезланишни аник, сеза-
миз. Тезлик катталашганда — масса
сизни самолёт уриндигига боса бош-
лаганда бу узгариш мусбат, тормоз-
лаш жараёнида эса, сизни х,атто баъ-
зан камар белингиздан тортабошла-
ганда — манфий булади. т массанинг
а тезланиши ва уни вужудга келтирув-
чи F куч орасида тугри пропорционал
богланиш F = та булгани учун тез-
ланишнинг а катталигини борлигича
улчаш мумкин. Бунинг учун харакат
йуналиши буйлаб жойлашган пружи-
нанинг озод учига т масса богланади
ва унинг иккинчи учи, масалан,
харакатланаётган хонанинг орка
девори билан махкам бирлаштирила-
ди. Агар пружинанинг чузилиши ва
кисилиши унга таъсир килаётган
кучга пропорционал булса, у холда т
массанинг мувозанат холатидан чет-
ланиш катталиги буйича вактнинг
ихтиёрий / онида берилган йуналишда
буладиган а(/)тезланишнинг каттали-
гини билиб олиш мумкин.
Агар харакатнинг бошлангич тез-
лиги ноль булса, a(t) ни билган
холда, (11) формула буйича аввал
харакатнинг v(t) тезлигини топиш,
v(t) ни билгандан сунг t онга кадар
шу йуналишдаги s(t) силжишни хам
топиш мумкин, чунки
v(t) = \‘oa(u)du, s(t) = \‘ov(u)du.
Асбобларнинг курсаткичларидан
олинган маълумотларни кайта ишлаш
ва бу интегралларни хисоблаш элект-
рон хисоблаш машиналарида бажари-
лади. Тезланишнинг учта датчиги бор
булса, сиз уларни учта узаро перпен-
дикуляр йуналишда (масалан, гирос-
коплар ёрдамида) тутиб туришингиз
мумкин. Натижада сиз курсатилган
хар бир йуналиш буйича хохлаган
онда уз силжишингизни билишингиз
мумкин. Шу билан узингизнинг бирор
координата системасидаги (коорди-
ната боши эса старт нуктаси —
база, аэродром, космодром булади)
учала координатангизни аниклай ола-
сиз.
ИСБОТ
Исбот — берилган тасдикнинг тугри-
лиги аникланадиган мушохада (бир
фикрдан иккинчи фикрни келтириб
чикариш)лар занжири.
Саралаш усули — энг содда исбот-
лаш методларидан бири. Масалан, бе-
рилган сон, айтайлик, 103 туб сон
эканлигини аниклаш учун у узининг
квадрат илдизидан катта булмаган
бирорта хам туб сонга, бизнинг хол-
да 2, 3, 5, 7 га булинмаслигини исбот-
лаш кифоя.
Бирок объектлар микдори чексиз
булганда хамма вариантларни бирма-
бир саралаб чикиш мумкин эмас. Бу
ерда математик индукция метода ёр-
дам бериши мумкин, бу метод билан
тасдакларни чексиз куп микдордаги
объектлар учун исботласа булади.
Исботлаш методларидан яна би-
ри — Дирихле принципи.
Исбот — классик математикада
фикр тугрилигини урнатишнинг ягона
усулидир. У математикада узининг
бундай алохида ролини тезгина эгал-
лаган дейиш ярамайди. Масалан, Кд-
димги Миер ва Бобил математикаси-
да хис°блаш формулалари, яъни ма-
салаларни ечишнинг «рецептлари» у
ёки бу йул билан чамалаб топилган,
тажрибада текшириб курилган, сунг
кеч бир тушунтиришсиз тайёр тас-
диклар куринишида баён килинган.
Исбот юнон геометриясида хам бир-
дан пайдо булган эмас. Архимед (эра-
миздан олдинги III а.) аввал «топил-
ган, лекин исботланмаган» натижа-
лар хакида эслатади. Эрамиздан ол-
динги V а. дан файласуфлар (Парме-
нид ва унинг шогирди Зенондан бош-
лаб) куп жихатдан нотиклардан урга-
ниб, бир тугри тасдакдан бошкалари-
га утишнинг турли коидаларини ажра-
тишади. Парменид «учинчи хол истис-
но» конунини (яъни узаро карама-
карши тасдикдан бири ва факат битта-
си тугри деган мантик конунини) таъ-
рифлаган, Зенон эса зиддиятга олиб
келиш методадан фойдаланган.
158
Еш математик цомусий лутати
Аммо бу коидалар бирданига фанга
сингиган эмас: чамаси, эрамиздан ол-
динги V—IV а. да яшаган Демокрит
исбот тушунчасисиз х,ам каноатлан-
ган. Эрамиздан олдинги IV а. да ман-
тик, математикага кириб келди. Шуб-
касиз, дастлабки пайтларда исбот —
тугрилиги бевосита куринмайдиган
тасдикдарни равшан ёки тугрилиги
аввал курсатилган фактларга манти-
кий йул билан келтиришдан иборат
булган.
Тугрилиги равшан булган, исбот
учун асос килиб олиш х,акида кели-
шилган ва улардан бошка хулосалар
соф мантикий йул билан келтириб чи-
кариладиган тасдиклар (аксиома-
лар) деб аталган (к- Аксиоматика ва
аксиоматик метод). Аксиомаларнинг
сонини имкони борича чеклаш гояси
тарихан кандай пайдо булганлигини
тарихчиларимиз аник тиклаб бера ол-
ганлари йук. Евклиднинг (эрамизга-
ча III а.) «Асослари»да геометрияни
аксиомалаштиришнинг улкан про-
граммаси туда х,ал этилган эди. Ев-
клиднинг коидаларига биноан исбот-
лар аксиомалардан чикарилган соф
мантикий хулосалар булиши шарт.
Якуний геометрик текстлар «куриниб
турибди», «очик-ойдин» каби кушимча
даъволардан жуда пухта эх,тиёт к,и-
линган. Евклиднинг биринчи шарх,-
ловчиси Прокл Диадох (V а.) ёзади:
«...биз бу фаннинг пионерларидан гео-
метрия фанига кириши лозим булган
мулох,азалар бобида тугри булиб ту-
йилган хулосаларни мутлако х,исобга
олмасликни ургандик». Шу билан бир
пайтда Аристотель хулоса чикариш
коидаларини расмийлаштириш ва тар-
тибга солиш ишларини олиб борди.
Унинг мантик коидалари чеклилиги
ва камраш мумкинлиги х,ак,идаги фик-
ри аксиомалар тупламининг чеклили-
ги какидаги фикрга нисбатан х,ам
ажаблирокдир. Бу икки руйхатнинг
тулалиги х,акида XIX а. гача шубх,а
килинмай келинди.
Биз мантикий мулохдзалар (исбот-
лар)да фойдаланадиган коидалар
мантикнинг содда амаллари доираси-
дан четга чикмайди. Бирор туплам
(айтайлик, барча параллеллограммлар
туплами) учун уринли булган тасдик
унинг кисми (масалан, тугри турт-
бурчаклар) учун кам уринлидир. Агар
А х,амда «А дан В келиб чикади» тас-
диклар уринли булса, В кам уринли-
дир. «А дан В келиб чикади» (бунда
А — берилган, В — исботланиш ло-
зим фикрлар) куринишидаги теорема-
ларни исботлашда А ва аввал исбот-
ланган теоремалар ёрдамида турли
натижалар чикарилади, сунг улар ком-
бинациялаштирилади ва бу комбина-
циялардан янги хулосалар олинади ва
б., бу натижада В косил булгунча да-
вом эттирилади.
«А дан В келиб чикади» каби теоре-
мани тескарисини фараз килиш мето-
ди билан исботлаганда А тасдикнин
узи ва В тасдикнинг инкоридан бир
жуфт узаро зид хулоса чикарилади.
масалан, ё А нинг инкори ёки В фикр-
нинг узи исботланади. Тескарисини
фараз килиб исботлашнинг классик
намуналаридан бири — туб сонлар
туплами чексизлигининг Евклид кел-
тирган исботини эслайлик. Агар б\
сонлар туплами чекли деб фараз ки-
линса ва pi, р2, —Pk — уларнинг туда
руйхати булса, у колда р\, Р2, --Pk-\-1
сони мураккаб булиши мумкин эмас:
чунки у pi туб сонлардан бирортасига
кам булинмайди; аммо у туб сон бу-
лиши кам мумкин эмас: чунки у pt
ларнинг каР биридан катта.
Математик тасдиклар тугрилигини
аниклашнинг бошка йуллари кам мав-
жуд. Чунончи, Архимед эгри чизик
билан чегараланган фигураларнинг
юзалари ва жисмларнинг кажмлари-
га оид ажойиб теоремаларидан куп-
чилигини даставвал огирлик маркази.
ричагларнинг мувозанати ва б. меха-
никага хос мулоказаларга асосланиб
кулга киритган. Кейинчалик геомет-
рик тасдикларнинг куплаб «механик»
исботлари пайдо булди. Мана улар-
дан энг ажойиб биттаси. Купёклик-
нинг ички нуктасидан унинг ёкларига
перпендикулярлар туширилади. Х,еч
булмаганда ёклардан бири учун пер-
Исбот
159
пендикуляр шу ёднинг узига (яъни да-
вомига эмас) тугри келишини исбот-
лаш керак. «Механик» мулохдза куйи-
дагича. Зичлиги текис таксимланма-
ган шундай купёклик ясаладики,
унинг огирлик маркази олинган ички
нуктага тугри келсин. Агар хамма пер-
пендикулярлар ёкларнинг давомига
тушса эди, купёклик бирор ёгида хам
тура олмас ва биз абадий двигателга
эга булар эдик. Мана шу мулохазани
исбот деб хисоблаш мумкинми? Гео-
метрияда кабул килинган нуктаи на-
зардан — йук, албатта. Кол аверса,
«механик» исботларни геометрик ис-
ботларга айлантирувчи расмий усул
мавжуд эмас. Архимед бу масалани
уддалай олган, у узи топган фактлар-
нинг соф геометрик исботини хам бер-
ган.
Теореманинг исботи, одатда, аслида
бу теоремага кандай килиб келиш
мумкинлиги хакида бирон-бир инфор-
мация бермайди. Узи нинг ижодий ла-
бораториясига бегоналарнинг кири-
шига йул куйган камдан-кам буюк
математиклардан бири Л. Эйлер эди.
Эйлернинг матнлари бизга унинг
фикрлашини кетма-кет кузатиш учун
имкон беради. Масалан, у
sin х _ , х2 ( х ,
~ ~ F3 + 2-3-4-5 + "
чексиз каторни карайди.
Сунг х = kn учун (/jrfzO) sinx/
/ х = Q эканлигидан фойдаланиб,
юкоридаги катор гуё купхад булгани-
дай, чизикли купайтувчиларга ёйиш
хакидаги теоремани куллайди:
кавсларни очиб ва х2 олдидаги коэф-
фициентни хисоблаб,
формулани хосил киламиз. Албатта,
Эйлер узининг бу дадил мулохазаси
исбот эмаслигини тушунган. У теоре-
масини асослаш максадида билвосита
фактлар излайди: хосил килинган
тенгликнинг унг ва чап томонидаги
сонларни катта аникликда такрибан
хисоблайди, бошка шунга ухшаш
тенгликларни, жумладан, Лейбниц ав-
валрок исботлаган
формулани хосил килади. Гарчанд та-
лаб килинган катъий исботни утказа
олмаса хам, уз мулохазаларининг
тугрилигига ишонч хосил килади. Ян-
ги фактларни гипотезалар холида
очиш, гипотезаларнинг хакикатга
якинлигини текшира олиш — катъий
исботларни келтира билиш махорати
каби математик ижоднинг энг мухим
компонентларидир.
XVII а. дан бошлаб математиклар
бошка фанлар вакилларидан фаркли
равишда хакикатни аниклашнинг
ишончли йули — исботлашга эга
эканликларини англай бошладилар.
Исботни математика чегарасидан
ташкарисига олиб утиш учун куплаб
уринишлар сабаби хам шудир.
И. Ньютон механикани Евклиднинг
«Асослари» намунаси буйича аксиома-
лар асосида куради. XVII а. нидер-
ланд философ-материалисти Б. Спи-
ноза этикани аксиомалаштиради.
Француз математиги ва физиги
П. С. Лаплас (1749—1827) дан бош-
лаб куплар математик мулохазаларни
Хукукшунослик амалиётига олиб ки-
ришга уринганлар. Одамлар орасида-
ги муносабат муаммоларини матема-
тика ёрдамида ечиш учун сон-санок-
сиз уринишлар килинган. Лекин би-
ринчи навбатда математиканинг узи-
да исботлар энг мухим роль уйнай
бошлади.
Асримиз бошига келиб аксиома-
тик метод геометрия чегараларидан
четга чикди. Евклид замонидан маъ-
лум булган сонлар хакидаги куплаб
фактлар умумлаштирувчи теорема
эмас, конкрет сонлар устидаги хусу-
сий кузатишлар характерида эди.
XVI а. да алгебрада (Ж. Кардано),
XVII а. да сонлар назариясида
160
Еш математик цомусий лугати
(П. Ферма) теоремалар пайдо булди.
Бирок, математиклар аксиоматик на-
зариялар билан иш куришмаган, ис-
ботни тушуниш Евклидгача булган
даражада эди, яъни тугрилиги, очик-
ойдин тасдиклар руйхати тайин кур-
сатилмас эди. XIX а. да бутун мате-
матикани аксиомалаштириш бошлан-
ди. Келтириб чикариш — бир фикр-
дан бошка фикрга утиш коидалари
хам янги олий даражада расмийлаш-
тирилади ва бирма-бир курсатиб чики-
лади. Бу айрим тасдикларни аксио-
малардан келтириб чикариш мумкин
эмаслигини исботлашга имкон берди.
Немис математиги К. Геделнинг му-
шохадаси хдммани таажжубга солди:
арифметикада ва умуман арифметика-
ни уз ичига оладиган кар кандай ак-
сиоматик назарияда узини хам, инко-
рини хам аксиомалардан чикариб
булмайдиган теорема мавжуд.
ташки чизилган дейилади. Эгри чизик
сифатида купинча айлана каралади.
Масалан, хар бир учбурчак битта ич-
ки, битта ташки, учта ички-ташки чи-
зилган айланага эга булади (2-расм).
ИЧКИ ВА ТАПЩИ
ЧИЗИЛГАН ФИГУРАЛАР
Агар купбурчакнинг хамма учлари
каварик эгри чизикда ётса, у холда
купбурчак эгри чизикка йчки, эгри
чизик эса купбурчакка ташки чизил-
ган дейилади (1-расм). Агар купбур-
чакнинг хар бир томони каварик эгри
чизикка уринса, у холда купбурчак
эгри чизикка ташки, эгри чизик эса
куп бурчакка ички чизилган дейилади.
Агар эгри чизик купбурчакнинг то-
монлари ётган тугри чизикларга урин-
са ва бунда баъзи уриниш нуктала-
ри купбурчакнинг томонига тегишли
булмаса, у холда эгри чизик ички-
1-расм,
Ички ва ташци чизилган фигуралар
161
5-раем.
Аммо, кар кандай туртбурчак кам
ички ёки ташки чизилган айланага
эга эмас. Туртбурчакнинг карама-
карши ётган бурчаклари йигиндиси
180° га тенг булган колдагина турт-
бурчакка ташки айлана чизиш мум-
кин. Унга ички айлана чизиш мум-
кин булиши учун бир жуфт карама-
карши томонлари узунликларининг
йигиндиси иккинчи жуфт карама-кар-
ши томонлари йигиндисига тенг були-
ши зарур ва етарли.
^ар кандай мунтазам купбурчак-
нинг ички ва ташки чизилган айлана-
си мавжуд (3-расм). Бу фактдан ка-
димда айлана узунлигининг радиусга
нисбатини топишда фойдаланишган.
7-расм.
Агар текисликда ёпик эгри чизик G ва
тенг томонли учбурчак берилган бул-
са, у колда томонлари берилган уч-
бурчак томонларига параллел G га
ташки тенг томонли учбурчак чизиш
мумкинлиги фактини куриш кийин
эмас (4-расм). Х,аР кандай ёпик эгри
чизик атрофига ташки квадрат чизиш
мумкин, деган теорема унчалик очик-
ойдин эмас.
Ички ва ташки чизилган фигуралар
фазода кам каралади. Бу колда куп-
бурчак урнига купёклик, каварик эгри
чизик урнига каварик сирт, купинча
сфера каралади.
Агар куп ёкликнинг камма учлари
сферада ётса, сфера куп ёкликка таш-
ки чизилган, купёклик эса сферага
ички чизилган дейилади. Агар куп-
ёклик камма ёкларининг текисликла-
ри сферага уринса, сфера купёкликка
ички, купёклик эса сферага ташки
чизилган дейилади.
Мунтазам купёкликларнинг учлари
унинг марказидан баравар узокликда
ётгани учун улар ички ва ташки чи-
зилган сфераларга эга (5-расм). Бош-
ка купёкликлар учун ташки ва ички
1 чизилган сфералар мавжуд булиши
учун маълум шартлар талаб килинади.
Масалан, агар тугри призма ёки пи-
рамиданинг асосига ташки айлана чи-
зиш мумкин булса, уларга ташки сфе-
ра чизиш мумкин (6-расм).
Баъзан сферага ички чизилган ко-
нус; цилиндр ва бошкаларга ички
чизилган сфера каралади (7-расм).
6—4826
162
Еш математик цомусий лугати
К
КАВАЛЬЕРИ ПРИНЦИПИ
XVII а. да интеграл х,исоб даври бош-
ланди. Математиклар эгри чизикди
фигураларнинг юзалари ва «эгри»
жисмларнинг хажмларини хисоблаш
хакидаги масалаларга кайтдилар. Бу
масалаларда кадимда Архимед катта
муваффакиятга эришди.
Бу муаммо билан италиялик рохий
Бонавентура Кавальери (1598—1647)
хам кизиккан. У Болонья универси-
тета математика кафедрасида шугул-
ланди. Астроном ва математик Г. Га-
лилей (1564—1642) билан ёзишма-
ларда улар турли-туман механик ва
математик муаммоларни, хусусан,
«булинмаслар» методини мухокама
килишди. Галилей бу метод хакида
китоб хам ёзмокчи булган эди, аммо
ёзолмай колди. 1635 й. да Кавалье-
рининг «Узлуксиз микдорларнинг бу-
линмас кисмлари ёрдамида янги усул-
да баён килинган геометрия» китоби
чикди.
Купбурчакларнинг юзаларини хи-
соблашда фигуралар юзаларини уз-
гартирмай геометрик алмаштириш
фойдали булади. Масалан, фигура-
1-расм
ларни кисмларга ажратиб, янгидан
тузиш мумкин (к. Тенгдош ва тенг ту-
зилган фигуралар). Хусусан, асослари
ва баландликлари тенг булган учбур-
чаклардан бирини иккинчисига айлан-
тириш мумкин.
Эгри чизикди фигураларни хам
шунга ухшаш алмаштириш мумкин-
ми? Кавальери, узича, уларни чексиз
куп юпка, параллел, ясси катламлар-
дан — «булинмаслар»дан ёки «ип»-
лардан ташкил топган деб тасаввур
килади (1-расм) ва бу катламларни
бир-бирига нисбатан сурганда юза
узгармайди, деб тасдикдайди. Бошка-
ча айтганда, Кавальери принципи ку-
йидагидан иборат: агар фигурани бе-
рилган тугри чизикка параллел бул-
ган барча тугри чизиклар оиласи би-
лан кессак, у холда кесишмаларнинг
узунликлари фигура юзасини тула
аниклайди. Хусусан, агар иккита фи-
гурада бу узунликлар бир хил булса,
у холда улар тенгдошдир. Кавальери
уз принципини катъий асослаб берма-
ди, аммо унинг куп сонли татбик-
ларини курсатди. Масалан, асослари
ва баландликлари тенг булган учбур-
чакларнинг тенгдошлиги бу принцип
асосида осонгина келиб чикади. Ка-
вальери принципининг энг хайратла-
нарли татбикдаридан бирини француз
математиги Ж. Роберваль (1602—
1675) курсатди; у циклоиданинг
(к- Циклоида) битта ёйи билан чега-
раланган сегмент юзасини топди.
Вактнинг хар бир онида Роберваль
циклоида буйлаб харакатланаётган
нуктани думалаётган доиранинг вер-
тикал диаметрига проекциялади. На-
тижада янги эгри чизик косил булди,
уни Роберваль циклоиданинг йулдоши
деб атади (2, а-расм). Аммо, кейинча-
лик аникландики, у синусоида экан—
бу синусоиданинг математикада би-
ринчи марта (1634) намоён булиши
эди. Синусоида ёйи остидаги юзани
унга таркибдош — юзаси 2л булган
тугри туртбурчак ёрдамида хисоблаш
кийин эмас (2,6-расм). К,олган иккита
фигураларнинг хар бирини Роберваль
гулбарглари деб аташди — Кавальери
принципига кура, улар вертикаль
Календарь
163
ярим доирага тенгдош, яъни умумий
юзаси Зя га тенг.
Жисмларнинг хджмларини топиш-
да Кавальери принципи яна х,ам са-
маралирокдир. У хуйидагидан ибо-
рат: жисмнинг \ажми унинг берил-
ган бирор текисликка параллел «бар-
ча текисликлар» билан кесишмала-
рининг юзалари ёрдамида аницлана-
ди. Бу принципдан тенгдош асосли
ва тенг баландликка эга булган пира-
мидаларнинг тенгдошлиги х,ак,идаги
теорема келиб чик,ади, х°лбуки, бу
пирамидалар, аксарият холда, таркиб-
дош эмаслар (х. Тенгдош ва тенг ту-
зилган фигуралар). Пирамида хажми-
ни топиш формуласи шу теоремага
асосланади. Кавальери принципи ду-
малок жисмларнинг, айтайлик, шар-
нинг хажмини хисоблаш формула-
ларини олиш учун хам жуда хулай.
Радиуси г ва баландлиги 2г булган
доиравий цилиндрга шар чизамиз.
Шарни цилиндргача тулдирувчи
жисм, Кавальери принципига кура,
учи шарнинг марказида, асослари эса
цилиндрнинг устки ва остки асос-
ларидан иборат булган иккита конус-
дан таркиб топган жисмга тенгдош-
дир. Бу ердан V =
4л з
тг- г келиб чи-
О
хади. Интеграл хисоб юза ва хажм-
ларни хисоблашнинг умумий метод-
ларини уз ичига олади. Шу билан бир-
га, Кавальери принципи топхирлик
талаб хиладиган жойларда интеграл
хисобнинг одатдаги хисоблашлари
муваффахиятга олиб келади ва Ка-
вальери принципи аста-секин тарихий
фактгина булиб холади. Бирох Ка-
вальери принципига кура, мактабда
урганиладиган барча фигураларнинг
хажмлари ва юзаларини хисоблаш
осон булгани учун мактаб геометрия-
сида Кавальери принципини аксиома
деб кабул хилиш бир неча бор таклиф
этилган. Бу принципга оид материал-
ни мактаб дарсликларидан топиш
мумкин.
КАЛЕНДАРЬ
Бир Караганда вахтни хисоблашнинг
хеч муаммоси йукда ухшайди. Сутка-
дан сунг сутка, йил кетидан йил кела-
веради. Аммо йил дегани нима? Бу Ер
уз орбитаси буйича Куёш атрофини
тулих айланиб чихиш вакти. Астро-
номлар йил 365 сутка 5 соат 48 минут
46 секунд ёки 365,242199 сутка экани-
ни хисоблашган. Бирох бундай мурак-
каб сонни ищлатиш жуда нохулай.
Йилда бутун сондаги су ткала р бул-
гани маъхул. Дейлик, йилнинг даво-
мийлиги 365 кунга тенг булсин. Аммо
у вахтда хар бир йилнинг тугаши ор-
164
Еш математик цомусий лугати
лендари тузиш комиссия-
сининг аъзоси.
X. Кл'авийнииг янги ка-
лендарга багишлаиган ки-
тоби сарвараги. 1603 йил-
да чоп этилгаи. Бу асар
Рим папаси Григорий
XIII курсатмаси билан
ёзилган.
XII а. астроиоми ва
математиги Христоф
Клавин — Григорий ка-
R О MANI
calendarii
A GREGORIO XIII-
Р. М. RESTITVTI
Explicate
S D N CLEMENTIS VIII-
P.M. IVSSV EDITA
Аийоге
CHRISTOfHORO CLAVIO
BAMBER.GENSI SOCIETATIS IESV.
Accefiitconfirtatio eorum ,quiCalendarrum alrter inftau-
randum effe eontenderunt.
битада янги-янги нукдаларга тугри
келар, улар бир-биридан Ер тахминан
6 соат ичида утадиган йулга фарк,
килар эди. Бундан кутилишнинг
иложи борми? Вактни хисоблаш би-
лан шугулланган КдцимГи Рим кох,ин-
лари календарь кунларини табиатнинг
фаслий х,одисалари билан мослашти-
риш учун айрим йилларни ихтиёрий
узайтириб туришган. Вакт х,исобига
тартибни биринчи марта э. а. 1а; да
Рим императори Юлий Цезарь кирит-
ган. У куйидаги коидага кура баъзи
йилларни 365 сутка, баъзиларини эса
366 сутка деб хисоблансин,. деган
карор чикарган: учта кетма-кет келган
йиллар киска, туртинчиси узун. Бу
системами Цезар'Гайа алексаНдриЯлик
астроном. Созиген тйклиф килган эди.
Созцгеннй РиМра" Цезарь календарь
тузиш. учун атайлаб таклйф килган.
Кейинрок эса христиан ,йил хисоби
киритилиши билан тартиб .но мери 4 га
булинадиган x,ap бир йилни кабиса
йили (узайтирилган йил) деб хисоб-
лайдиган булишган.
Бу календарь Юлий Цезарь шара-
фига юлий календари дейилган. Унда
йилнинг уртача давомийлиги 365 сут-
ка 6 соат, бу хакикий йилдан 11 минут
14 секундга ортик- Аммо бу вакт хи-
соблаш масаласининг ечими хам
коникарсиз чикди, чунки XVI а. га
келиб хатолар йигилиб, 10 суткага
етиб колди.
Календарнинг кейинги ислохини
Рим папаси — Григорий XIII утказди.
У махсус комиссия тузди. Комиссия
бахорги тенгкунлик нуктаси 21 мартга
тугри келадиган, бундан буён эса шу
муддатдан оркада колмайдиган сис-
тема тузиши лозим эди. Папа Григо-
рий XIII. нинг бундай карорига сабаб
юлий календаридан черков байрам-
лари кунларини хисоблашда фойда-
ланишнинг кийинлиги эди. Комиссия-
Календарь
165
Голландия календари
(Лейден, 1516).
нинг Григорий XIII 1582 й. да тасдик-
лаган дарори анчайин содда эди: сана-
лар 10 кунга сурилсин, оддий ва каби-
са йиллари алмашиниши узгаришсиз
долсин, фадат бунда йилни ифода-
ловчи сони иккита ноль билан тугаса,
аммо юзликлар сони 4 га булинмаса,
бу йил оддий йил деб дисоблансин.
Масалан, бу доидага кура 1900 йил
оддий, 2000 йил кабиса Йили. Хрзирги
кунда юлий календари билан Григорий
календари орасидаги фарк 13 кунга
тенг, чунки унга яна тупланган 3 кун
кушилган (1700, 1800 ва 1900 йиллар
дисобига). Григорий календари Евро-
пада XVI—XVII а. да киритилган,
Россияда эса Улуг Октябрь револю-
циясигача юлий календари ёки дозир
айтилишига кура «эски стиль» буйича
дисоблашдан фойдаланилган. Григо-
рий календари 1918 й. Совет дукума-
тининг декрети билан киритилган,
шунингдек 1 февраль 14 февраль деб
дисобланган. Юлий календаридаги
400 йилдан 100 таси кабиса, Григорий
календари буйича эса — 97 таси, шу
сабабли Григорий йилининг давомий-
лиги 365 , ёки 365,2425 суткага,
ёки 365 сутка 5 соат 49 секундга тенг,
яъни у дадидий йилдан 26 секундга
ортид. Х,осил килинган анидлик жуда
юдори ва амалий эдтиёж учун бутун-
лай етарли.
Урта Осиёлик шоир ва математик
Умар Хайём (тах. 1048—1122) так-
лиф этган календарь системаси дам
жуда дизид; унда 33 йилдан 8 таси
кабиса дисобланади. Умар Хайём
g
буйича йилнинг давомийлиги 365 —
суткага тенг. Бундай календарь хатоси
йилига 19 секундни ташкил килади.
1864jp. рус астрономи И. Медлер Рос-
сияда XX а. дан бошлаб, юлий кален-
дарига куйидаги тузатишни киритиш-
ни таклиф дилди: дар 128 йилга тугри
келадиган 32 кабиса йилидан биттаси
оддий йил деб дисоблансин. Бу кален-
дарь санаб утилган календарлардан
энг аниги. Уларда йил давомийлиги
турлича.
166
Еш математик цомусий лугати
Бу календарь буйича йилнинг ур-
31
тача давомийлиги 365 — сутка ёки
128
365 сутка 48 минут 45 секундга тенг.
Бунда хато 1 секундга тенг. Аммо
И. Медлернинг календари кабул ки-
линмади, сабаби, эхдимол, 128 йиллик
даврнинг «думалок» сон эмаслигида-
дир.
Юкорида курсатилган календарь
системалари астрономик йилнинг да-
вомийлигини занжирли каср кури-
нишда ёзилиши билан боглик экан:
365,242199 = 3654——
4+— 1
7+-г-
*5'-\
20 +-----
6+12
Давомийлиги 365 суткали йил бу
занжирли касрда нолинчи муносиб
каср, 365 --юлий йили — биринчи
7 8
муносиб каср, 365 —, 365 — ва
31
365 — — иккинчи, учинчи ва тур-
12о
тинчи муносиб касрлар, чунончи:
365—= 3654--—
4+±
365^=365+---Ц—
4+7+Т
змй-3®—т-
4+ттт
з
Иккинчи муносиб касрга тугри ке-
лувчи системада 29 йилдан 7 таси
кабиса, ундан фойдаланишни кеч ким
таклиф килмади, чунки учинчи мос
каср ундан у кадар мураккаб булмаса
кам аниклиги ундан анча юкори (бу
система Умар Хайёмнинг системаси
эканини эсланг), туртинчи муносиб
касрга И. Медлер системаси тугри
келади.
Ерда йил, сутка вактларининг алма-
шинишидан ташкари яна битта дои-
мий даврий жараён — Ой фазалари-
нинг алмашинуви мавжуд булиб, у
йилни 12 ойга булишни келтириб чи-
каради. Хозир кам купгина араб мам-
лакатларида ишлатиладиган мусул-
мон ой календари мана шу кодисага
асосланган. Бир ойдаги кунлар сони
унинг биринчи санаси янги ой билан
мос келадиган килиб танланади, шу
сабабли ой календарида йил хар бири
29 ва 30 кундан иборат 12 ой ойга
тенг, йилнинг давомийлиги 354 ёки
355 суткадан иборат, бу эса астроно-
мик йилдан 10 суткага киска. Ой фаза-
сининг алмашинуви 29,5306 суткада
юз беришини, бу эса факат йилнинг
давомийлиги билангина эмас, катто
сутканинг давомийлиги билан кам
яхши богланмаслигини кайд киламиз.
Яна битта вакт бирлиги — кафта
(таърифга кура унда 7 та сутка бор).
Ихтиёрий сана учун хафтанинг куни-
ни хисоблаш формуласини келтира-
миз:
(d + [L(13m- 1) ]+ Y + [|-]+
+ [ — 2с) modi.
Бунда d — ойнинг куни, т — би-
ринчи ой мартдан хисоблагандаги ой
номери (кадимги римликлар шундай
килишар эди: март — 1, апрель — 2,
..., январь— 11, февраль— 12),
Y — йилнинг мос асрдаги номери,
с — асрлар сони.
Урта (квадрат) кавсларга олинган
(х) сони, «х нинг бутун кисми» деб
укилади ва х дан ортиб кетмайдиган
энг катта бутун сонни билдиради. Ма-
салан, (2,57) =2, (3)=3. mod 7 деган
белги унинг олдида турган сонни 7 га
булганда коладиган колдикни олиш
лозимлигини билдиради (к. Тсщкрс-
лама). Агар натижада 1 чикса, унга
мос кун — душанба, 2 — сешанба,
Кардиоида
3 — чоршанба, 4 — пайшанба, 5 —
жума, 6 — шанба, 0 — якшанба.
Кейинги вадтларда дафта ва ой
давомийлигини узгартириш билан
боглик, календарь ислодати дадида
турлича таклифлар киритилди. Улар-
да дар бир ойдаги дафталар сони бир
хил булиши кузда тутилади. Бирок
улар турли сабабларига кура кабул
дилинмайди.
КАРДИОИДА
Агар текисликда бирор айланани
мадкамлаб, у буйлаб худди шундай
радиусли айланани сирпантирмасдан
167
Кардиоида маркази берилган айла-
нада ётувчи ва берилган айлананинг
белгиланган нудтасидан утувчи дамма
айланага уринадиган эгри чизик сифа-
тида дам тасвирланиши мумкин.
Ана шундай айланалардан бир неч-
таси ясалса, кардиоида уз-узидан
досил булиб колади (3-расм).
Кардиоидани жуда нафис дамда
кутилмаган тарзда намойиш дилиш
усули дам бор. Сиз расмда ёруглик-
нинг айланага жойлашган нудтавий
манбасини кураяпсиз. Ёруглик нури
биринчи марта айланадан акслангач,
кардиоидага уринма буйлаб тарда-
лади. Энди айланани пиёланинг чети,
3-расм.
гилдиратсак, у долда даракатланувчи
айланадаги М нудта ёпид траектория
чизади (1-расм). Бу ясси эгри чизик
кардиоида (юнонча Kardia — «юрак»;
eidos — «куриниши») деб аталади.
Кардиоидани бошдача дам досил
дилиш мумкин. Айланада О нудтани
белгилаймиз ва у ордали нур утказа-
миз. Агар бу нурнинг айлана билан
кесишган А нудтасидан айлананинг
диаметрига тенг МА кесма дуйилса
(2-расм) ва нур О нудта атрофида
айлантирилса, у долда М нудта кар-
диоида буйлаб даракатланади.
168
Еш математик цомусий лугати
4-расм.
унинг битта нуктасида эса ёруг лам-
почка аксланаяпти деб тасаввур ки-
линг. Пиёлага аксланган ёруглик нур-
ларини курсатадиган кора кахва
Куйилган булса, натижада ёруглик
нурлари куюклашган чизик кардиоида
булади (4-расм).
Кардиоиданинг кутб координата-
ларидаги тенгламаси жуда содда:
= 2а (I ± cosy),
бунда а — айлана радиуси.
Декарт координаталаридаги тенг-
ламаси эса анча мураккаб:
(х2 + у2 — 2ах)2 = 4а2 (х2 + у2).
(1)
КАСР-ЧИЗИКЛИ ФУНКЦИЯ
Бу функция иккита чизикли функция-
нинг нисбатидан иборат ва куйидагича
ах-\-Ь
У ~ cx-\-d
берилади.
Каср-чизикди функция с = 0 бул-
ганда чизикди функцияга, ad=bc
булганда эса узгармас сонга айланади.
Каср-чизикли функциянинг
a = d=0 булгандаги хусусий холи
нихоятда мухимдир, чунки бу холда у
У =Т (2)
тескари пропорционал богланиш ко-
нунини ифодалайди.
Тескари пропорционал богланиш,
масалан, узгармас температурада газ
босими р ва унинг хажми v ни бог-
лайди, чунки Бойль — Мариотт кону-
нига кура pv = const. Текис харакатда
берилган s йулни утишга сарф булган
вакт t тезлик v га тескари пропорцио-
s
нал, яъни (=—
v k
k нинг турли кийматларида у=—
х
функцияларнинг графиклари 1-расм-
да тасвирланган: k>0 га туташ чи-
зикдар, k < 0 га эса пунктир чизиклар
мос келади. Бу эгри чизикларнинг
хаммаси тенг ёнли гиперболалар де-
йилади, улар аргумент х чексиз усган-
да ва чексиз камайганда Ох укига, х
чапдан ва унгдан нолга интилганда эса
Оу укига «интилади».
Умумий (1) каср-чизикли функ-
k
циянинг графиги У=— функция гра-
фигидан параллел кучириш ёрдамида
о 2х+3
хосил булади. 2-расмда у=---------
х —1
функциянинг графиги келтирилган.
5
Бу функция у = 2 -|—-—-—курини-
шида тасвирланиши мумкин, унинг
5
графиги у=— тенг ёнли гипербола
графигидан параллел кучириш
мида олинишини тушуниш
5
у = 2Ц-----функция графиги
ёрда-
осон.
х —1
ва у = 2 тугри чизикдар орасида жой-
лашган булиб, бу чизикдарга чексиз
якинлашади.
Квадрат тенглама
169
КВАДРАТ ТЕНГЛАМА
Иккинчи даражали алгебраик тенг-
лама, яъни
ах2 + Ьх + с = О
куринишдаги тенглама квадрат тенг-
лама деб аталади, бунда а=#О.
D = b2 — 4нс ифода ах2 -\-bx-\-c
квадрат учхаднинг дискриминанта
дейилади.
(1) тенглама иккита илдизга эга:
— b±^b2—4ac
Бунда D > 0 булса, илдизлар хаки-
к,ий ва хар хил, /3 = 0 холда илдизлар
устма-уст тушади (бу холда, «тенг-
лама икки каррали бир илдизга эга»
дейишади), £)<0 да илдизлар комп-
лекс булади (бир илдиз иккинчиси-
нинг комплекс кушмасига тенг).
Келтирилган квадрат тенглама
х2 -|- рх -|- q — 0 учун илдизлар форму-
ласи куйидаги куринишда булади.
ах2 ф 2Ьх -\-с = о тенглама учун (яъни
х нинг олдидаги коэффициент жуфт
булса) илдизлар формуласи
— b±^b2—ас
куринишда булади.
(1) тенгламанинг коэффициент-
лари ва илдизлари учун ушбу муноса-
батлар бажарилади:
। ь с
Х\-\-х2 = Х|Х2=—•
а а
Бу муносабатлар француз матема-
тиги Ф. Виет (1540—1603) номи би-
лан Виет теоремаси деб аталади.
Теорема келтирилган квадрат тенг-
лама учун айникса кулай:
Xi+x2= —р, X\-X2 = q.
К,адимги бобилликлар 2-даражали
тенгламаларни э. а. икки мингинчи
йилда еча билишган. Кддимги юнон
математиклари квадрат тенгламани
геометрик усулда ечганлар, масалан,
Евклид кесмани урта ва чет нисбат-
ларда булиш ёрдамида ечган. Купгина
кадимги кулёзмалар ва рисолаларда
квадрат тенгламага олиб келувчи ма-
салалар учрайди. «Туккиз китобдан
иборат математика» (тахминан, э. а.
II а.) номли хитой рисоласидан олин-
ган масалани келтирайлик.
«Чегараси квадрат шаклида, томон-
ларининг улчами номаълум, хар бир
томоннинг марказида дарвозаси бул-
ган шахар бор. Шимолий дарвозадан
20 бу (1 бу = 1,6 м) масофада (шахар
170
Еш математик цомусий лугати
ташкарисида) устун турипти. Агар
жанубий дарвозадан тугрига 14 бу
юриб, сунг гарбга караб 1775 бу юрил-
са, устунни куриш мумкин. Шах,ар
чегарасининг томони кандай экани
суралади?» Квадратнинг томонини х
билан белгилаймиз. BED ва АВС уч-
бурчакларнинг ухшашлигидан (1-
расм)
k k —|— X + I
0,5х d
муносабат косил киламиз.
Бундан квадратнинг номаълум то-
монини топиш учун квадрат тенглама
косил киламиз:
х2 + (kA~l)x — 2kd = 0.
Масаланинг шартларида бу тенглама
х2 + 34х —71000 = 0
куринишда булади, бундан х = 250
(бу).
2-расм,
«Г 4*
¥ X2
/Ю2 Ах 2 * (О2
Бу рисолада манфий сонлар устида
бажарилган амаллар булса-да, Хитой
математиклари манфий илдизни (бе-
рилган масалада х =—284) караш-
майди.
Квадрат тенгламанинг илдизлари
формуласи бир неча марта «кайта
кашф этилган». Бу формулани кел-
тириб чикаришнинг бизгача етиб кел-
ган энг дастлабки усули кинд мате-
матиги Брахмагупта (тах. 598) га
тегишли. Урта Осиёлик атокли олим
ал-Хоразмий узининг «Ал-жабр ва-л-
мукобала» рисоласида бу формулани
геометрик тасвир ёрдамида тулик
квадрат ажратиш методи билан косил
килади. Ал-Хоразмий мулоказасининг
мазмуни 2-расмдан куриниб турипти
(у х2 + 10х = 39 тенгламани карайди).
Катта квадратнинг юзаси (х-ф-5)2 га
тенг. У юзаси х2 +1 Ох га, яъни тенгла-
манинг чан томонига тенг каво ранг
фигура билан умумий юзаси 25 га
тенг туртта квадратдан ташкил топ-
тан.
Шундай килиб,
(хф-5)2 = 39ф-25; х + 5=±8;
х, =3; Х2 = —13.
Купгина тенгламалар кам номаъ-
лумни алмаштириш билан квадрат
тенгламага келтирилади. Баъзи ми-
соллар келтирамиз:
1. ах4 + Ьх2 + с = 0 биквадрат тенг-
лама х2 ни у га алмаштириш билан
квадрат тенгламага келтирилади.
2. (х + 1)2----~ = —4
х +2х
тенглама у = х2 + 2х алма штириш
билан t/2 + 5y — 6 = 0 квадрат тенгла-
мага келтирилади, унинг илдизлари
t/i = l, t/г = — 6. Бу кийматлар урнига
куйилгач косил буладиган х2 + 2х = 1
ва х2 + 2х = — 6 иккита тенгламадан
факат биринчиси какикий илдизга эга:
х = -— 1 Ч— д/2
3. 4х — 2х+1—3 = 0, cos2x = sinx-\-1,
/g2(x2) +/gx=l
Квадрат
тенгламалар мос равишда у — 2х,
у = sinx ва y = lgx алмаштиришдан
сунг
лади.
квадрат тенгламага келтири-
4.
3 л-2 (3 + X ’
х 4
тенглама у = ——| алмаштириш би-
лан квадрат тенгламага келтирилади
(бунда
т
=3y2-S-,
—8=
Зу2-10у-8=0; у1 = -|-,
У2 = 4).
Сунг
х , 4 2 х , 4 .
Г + Г + Г'4
тенгламалардан фак,ат иккинчиси ил-
дизга эга: х = 2(3±д^).
W , k
Умуман, у=х-\--алмаштириш ер-
дамида (аввал тенгламанинг иккала
кис мини х,ам х2 га булиб олгач)
ах4 + Ьх3 + cx2*kbx + k2a = 0 g)
куринишдаги тенглама квадрат тенг-
ламага келтирилади. Одатда, (2) тенг-
лама цайтма ёки умумлашган-симмет-
рик тенглама деб аталади.
5. 9х = 6х + 2 • 4х ва 2sin2x +
-\-5sinxcosx + 2cos2x = 0 бир жинсли
тенгламалар биринчи тенгламани 4х
га, иккинчисини эса cos2x га булиб,
3
у = ( —4 х ва у = tgx мос алмаштириш-
лар билан квадрат тенгламаларга кел-
тирилади. (Иккинчи тенгламада
cosx = 0 буладиган х нинг к,ийматлари
тенгламани к,аноатлантирмаслиги
равшан: акс х,олда х,ам cosx = 0, х,ам
sinx=0 булар эди, бу эса cos2x-\-
+ «ш2х=1 га зид).
6. х4 + (х + 2)2 = 82
тенглама х +1 га нисбатан «симмет-
рик», у у=х -f-1 алмаштириш билан
УЧМД 171
у4 + бу2 = 40 биквадрат тенгламага
келтирилади, шунга ухшаш (х-|-1)-
(х+2) • (х-|-4) • (х+5) =40 тенгла-
ма х+3 га нисбатан «симметрии»
булиб, у= =х-|-3 алмаштириш би-
лан (у — 1) (у2 — 4) = 40 биквадрат
тенгламага келтирилади. Иккинчи
тенглама учун у = х2+6х алмашти-
риш х,ам яродли эканини кайд к,ила-
миз, чунки бунда (х-|-1) (х-|-5) =
=у+5; (х+2) (х—|—4) =у-\~8
булади.
КВАДРАТ УЧХ,АД
ах2 + Ьх + с формула билан аницла-
надиган купхрд ана шундай аталади
(а^о).д Ь ва с квадрат учхдднинг
коэффициентлари, одатда а ни катта,
b ни иккинчи ёки урта коэффициент
деб, с ни эса озод х,ад деб аташади.
у —ах2 -j-bx-j-c куринишидаги функ-
ция квадратик функция дейилади.
Квадрат функция чизицли функ-
улядан кейин энг содда ва мухим
элементар функциядир. Купгина фи-
зик богланишлар квадратик функция
билан ифодаланади, масалан, vo тез-
1-расм.
172
ёш математик цомусий лугати
2-расм.
лик билан юкорига отилган тош вак,т-
нинг онида ердан
масофада булади (бунда —- огирлик
кучининг Тезланиши); каршилиги
R га тенг утказгичдан ток утганда
ажраладиган иссиклик микдори Q,
ток кучи I оркали Q = RJ2 формула
билан ифодаланади.
Квадрат функциянинг энг содда
хусусий коли у = ах2 функциядир.
1-расмда у = ах2 функциянинг а нинг
турли кийматларидаги графиги тас-
вирланган. у = ах2 функциянинг гра-
фиги парабола деб аталади.
Бу параболалар каммасининг учи
координаталар бошида жойлашган;
а > 0 да у графикнинг энг куйи
нуктаси (функциянинг энг кичик кий-
мати), а<0 да аксинча, графикнинг
энг юкори нуктаси (функциянинг энг
катта киймати). Оу ук бу парабола-
ларнинг каР бири учун симметрия
укидир.
а > 0 да парабола юкорига, а < 0 да
эса пастга йуналгани куринади.
Агар у = ах2 параболанинг учидан
фаркди яна бир нуктаси маълум бул-
са, кисоблашлар утказмасдан унинг
исталган сондаги нукталарини ясаш
имконини берувчи содда ва кулай гра-
фик усули мавжуд. Дейлик, М fro,У о)
нукта у = ах2 параболада ётсин (2-
расм). Агар биз О ва М нукталар
орасида яна кушимча п та нукта яса-
мокчи булсак, ON абсциссалар уки-
ни п +1 та тенг булакка ажратамиз
ва булиниш нукталарида Ох укка
перпендикулярлар утказамиз. NM ни
Хам ана шунча тенг булакларга
ажратамиз ва булиниш нукталарини
координата боши билан туташтира-
миз. Параболанинг изланаётган нук-
талари перпендикулярлар билан но-
мерлари бир хил булган нурлар ке-
сишган жойларда ётади (2-расмда
булиниш нукталари 9 та). у = ах2 -\-
Ьх-\-с функциянинг графиги у = ах2
нинг графигидан узининг холати би-
лангина фарк килади ва эгри чизик-
ни чизмада оддий силжитиш билан
3-расм.
4-расм.
I
Кесма ва интервал
173
хосил к,илиш мумкин. Бу факт квад-
рат учхддни
ax2+t>x + c=a(x + ^ )г —
Ь-^С <1>
4а
куринишда ифодалагач равшан булиб
колади. Демак, ах2 + Ьх + с функция-
нинг графиги учи
QI- )
{ 2а 4а
нуктага кучирилган у = ах2 парабола,
симметрия уки Оу укига параллел-
лигича колар экан, деган хулоса чи-
кара оламиз (3-расм). Квадрат учхад
учун хосил килинган (1) ифодадан
унинг барча асосий хоссалари келиб
чидади. D = b2— 4ас ифода ax2-j-
Ьх-\-с квадрат учхаднинг хамда у
билан боглик ах2 + Ьх + с = 0 квадрат
тенгламанинг дискриминанти дейила-
ди. Квадрат учхаднинг графиги абс-
циссалар укини кесадими ёки унинг
бир томонида ётадими? — бу дискри-
минантнинг ишорасига боглик.
Хдкикатан, агар О<0 булса, па-
рабола, Ох уки билан умумий нук-
тага эга эмас; бунда агар а>о булса,
парабола Ох укининг юдорисида,
а < 0 булганда эса Ох укининг остида
жойлашган (4-расм). О>0 булган
холда учхаднинг графиги абсцисса-
лар укини иккита Xi ва Хг нукталар-
да кесади, улар ах2 + Ьх -|- с = 0 квад-
рат тенгламанинг илдизлари булади.
Бу илдизлар мос равишда куйидаги-
ларга тенг:
л- L (-6-л/о),
0 = 0 булса, парабола Ох укига
Ь
х =—нуктада уринади.
Квадрат тенгсизликларни ечиш
асосида хам квадрат учхадларнинг
хоссалари ётади. Буни мисолда ту-
шунтирамиз. Айтайлик, Зх2 — 2х —
— 1 <0 тенгсизликларнинг барча
ечимларини топиш талаб килинсин.
Тенгсизликнинг чап кисмидаги квад-
рат учхаднинг дискриминантини то-
памиз: 0=16. О>0 булгани учун
Зх2 — 2х—1=0 мос квадрат тенгла-
ма иккита турли илдизга эга ва
улар олдин келтирилган формула-
1
лардан топилади: Xi=—— ва Х2=1.
О
К,аралаётган квадрат учхадда а =
3>0, демак, графигининг тармок-
лари юкорига йуналган, квадрат уч-
хаднинг кийматлари факат илдизлар
оралигида манфий. Шундай килиб,
тенгсизликнинг барча ечимлари
—<<х<1 шартни каноатланти-
ради.
Турли тенгламалар кайси алмашти-
риш билан квадрат тенгламага келти-
рилса, шу алмаштиришлар ёрдамида
турли хил тенгсизликларни хам
квадрат тенгсизликларга келтириш
мумкин.
КЕСМА ВА ИНТЕРВАЛ
Кесма — асосий геометрик фигура-
лардан бири. Тугри чизикнинг Л ва В
нукталари орасидаги ва шу нукталар-
ни кушиб хисоблагандаги кисми кес-
ма дейилади. Кесма [Д, О] каби
белгиланади. А ва В нукталар унинг
учлари дейилади. Кесманинг учлари
орасида ётувчи ихтиёрий нукта унинг
ички нуктаси дейилади. Кесманинг
узунлиги унинг учлари орасидаги
масофага тенг ва |ДВ| каби белгила-
нади.
Агар курилаётган тугри чизик сон
укидан иборат хамда унинг А ва В
нукталарига а ва Ь сонлар мос келса
(а<.Ь), у холда а^х^В тенгсизлик-
ларни каноатлантирувчи барча хаки-
кий х сонлар туплами кесма була-
ди ва у [а, Ь] каби белгиланади.
а < х < Ь тенгсизликларни каноатлан-
тирувчи барча х нукталар туплами
интервал дейилади ва [а, Ь] ёки
(а, Ь) каби белгиланади. Кесма ва
интервалнинг узунлиги Ь — а сонига
тенг. Барча сон уки чексиз интер-
174 Еш математик цомусий лугати
вал ] — оо, оо [ каби белгиланади,
] — оо,а[ва]Ь, -|- оо [ чексиз интер-
валлар нурлардир. Уларнинг биринчи-
си а дан кичик булган барча сон-
лардан, иккинчиси эса b дан катта
булган барча сонлардан иборат.
Гарчи кесма ва интервал орасида-
ги фарк унчалик катта эмасдек туюл-
са-да, бирок узлуксиз функция-
ларнинг хоссалари биз функцияларни
кесмада ёки интер вал да карашимизга
боглик равишда фаркланади. Хусусан,
узлуксиз функция кесмада чегара-
ланган булиши шарт, интервалда эса
чегараланган булмаслиги мумкин.
КЕТМА-КЕТ ЛИК
Кетма-кетлик — математиканинг асо-
сий тушунчаларидан бири. Кетма-кет-
лик сонлар, нукталар, функциялар,
векторлар ва д. к. дан тузилган були-
ши мумкин. Х,ар бир натурал сон
п га бирор тупламнинг х элементи-
ки мос куядиган конун курсатилган
булса, кетма-кетлик берилган дисоб-
ланади. Кетма-кетлик Xi, Хг—., хп ёки
дисдача (г„) куринишда ёзилади.
Х|, х2...х„ элементлар кетма-кетлик-
нинг кадлари, к, — биринчи, х2 —
иккинчи, хп — умумий (n-чи) дади
дейилади.
Сонли кетма-кетликлар, яъни дад-
лари сонлардан иборат кетма-кетлик-
лар энг куп каралади. Аналитик
усул — сонли кетма-кетликни бериш-
нинг энг содда усули. Унда кетма-
кетликнинг и-дади хп ни унинг но-
мери п оркали ифодалайдиган форму-
лада курсатилади. Масалан,
2n —1
Хп==^т~2 булса’ у х'олда
. 19
Х2=^, Хз=1, Х|0 = — .
Бошка усул — рекуррент
recur rens «кайтма», «кайтарма») усул
булиб, бунда кетма-кетликнинг бир
неча биринчи дадлари берилади ва
дар бир кейинги дадни олдингилари
буйича дисоблаш имконини берувчи
доида курсатилади. Масалан:
агар
1
%! —3 ,
(латинча
£
х 1 — ~\l 2j хп -|~ । — 2 Ц— Хп
(1)
Арифметик прогрессия ва геомет-
рик прогрессия сонли кетма-кетлик-
ларнинг мисолларидир.
п номер чексиз усганда кетма-
кетлик дадларининг табиатини куза-
тиш кизидарлидир (л нинг чексиз
усиши «п->оо» куринишида ёзила-
ди ва «л чексизликка интилади»
деб укилада).
Умумий дади х„=1/и булган кет-
ма-кетликни курайлик: х, = 1, х2 =
1 1 !/
-Q-, Хз == -Q- Xioo= /loo-,,, Бу кет-
Z О
ма-кетликнинг барча дадлари нолдан
фаркли, аммо л к,анча катта булса,
х„ нолдан шунча кам фарк килади.
Бу кетма-кетликнинг дадлари л
чексиз усганда нолга интилади. Ноль
сонини бу кетма-кетликнинг лимити
дейишади.
Бошка мисол: хп = (— 1) п/п форму-
1 1 *
ла Xi = — 1, х2=—, х3=—— , х4 =
1
=4-кетма-кетликни аниклайди.
Бу кетма-кетликнинг кадлари кам
нолга интилади, лекин кадлар нол-
дан — уз лимитидан гок катта, год
кичикдир.
ГТ й 1 .
Яна бир мисол: xn=^—j—р Агар хп ни
Xn=|_^+i (2)
куринишда ёзиб олсак, у колда бу
кетма-кетликнинг 1 га интилиши ту-
шунарли булади.
Кетма-кетлик лимитининг таъри-
фини берамиз. Агар ихтиёрий мусбат
е сон учун шундай N номер курса-
тиш мумкин булсаки, барча п > N
лар учун | хп—а| <е тенгсизлик ба-
жарилса, а сони (хп) кетма-кетлик-
нинг лимити дейилади.
Кетма-кетлик
175
«Табиатни цунт билан чу- сул математик кашфиёт-
кур урганиш энг сермах;- лар манбаидир».
Ж. Фурье
176
Еш математик цомусий лугати
Агар (хп) кетма-кетликнинг лими-
ты а булса, у колда хп-+а ёки
а = Нт хп деб ёзишади (Нт — латин-
ча limes^— «чек», «чегара» сузининг
биринчи учта карфи). Агар бу таъриф-
га геометрик маъно берилса, у ту-
шунарлирок булади. а сонни уз ичига
олган (а — е, а-|-б) интервални ка-
райлик (1-расм). Агар (а — с, а-|-б)
интервал канчалик кичик булмасин,
кетма-кетликнинг номерлари бирор
N дан катта камма кадлари шу интер-
валда ётадиган булса, а сони (хп)
Кетма-кетликнинг лимити булади.
Бошкача айтганда, ихтиёрий (а — с,
а-|-б) интервалдан ташкарида кет-
ма-кетликнинг факат чекли сондаги
кадлари булиши мумкин.
Юкорида курилган хп = (— 1 )п/п
кетма-к^тлик учун нолнинг с атро-
фига е—уф булганда кетма-кетлик-
нинг биринчи унта кадидан бошка
камма кадлари, е= булганда
эса биринчи юзта кадидан бошка
Камма кадлари келиб тушади.
Лимитга эга булган кетма-кетлик
якинлашувчи, лимитга эга булмаган
кетма-кетлик узоклашувчи дейилади.
Узоклашувчи кетма-кетликнинг ми-
соли хп=(—1)" Унинг кадлари нав-
батма-навбат — 1 ва +1 га тенг
булиб, кеч кандай лимитга интилмай-
ди.
Агар (хп) кетма-кетлик якинлашув-
чи булса, у колда (хп) чегаралан-
ган булади, яъни шундай с ва d
сонлар мавжудки, кетма-кетликнинг
барча кадлари с х„ d шартни
каноатлантиради. Бу ердан барча
чегараланмаган кетма-кетликларнинг
узоклашувчилиги келиб чикади:
(л2), (2"Х (---+<~1Г)
кетма-кетЛиклар ана шундайдир.
Нолга интилувчи кетма-кетлик чек-
сиз кичик дейилади. Чексиз кичик
тушунчаси кетма-кетлик лимитининг
умумий таърифига асос килиб олини-
ши мумкин, чунки (гп) кетма-кет-
лик хп = а -|- ап йигинди куриниши-
да тасвирланганда ва факат шу кол-
да а лимитга эга (бу йигиндида
ап — чексиз кичик микдор).
Юкорида бир неча чексиз кичик
микдордан иборат кетма-кетликлар
каралди. (2) дан келиб чикадики,
(п — 1)/ (п -1- 1) кетма-кетлик 1 дан
чексиз кичик микдор 2/(n-|-1) га
фарк килади ва шунинг учун кам бу
кетма-кетликнинг лимити 1 га тенг.
Чексиз катта кетма-кетлик тушун-
часи кам математик анализда муким
акамиятига эга. Агар (1 /хп) кетма-кет-
лик чексиз кичик булса, (гп) кетма-
кетлик чексиз катта дейилади. Чек-
сиз катта кетма-кетликни хп-+ °°
ёки Нтхп = оо куринишда ёзишади
ва у «чексизликка интилади» дейи-
шади. Чексиз катта кетма-кетлик ми-
соллари:
(п2), (2"), (Vn + 1), (п - п2).
Чексиз катта кетма-кетлик лимитга
эга эмаслигини таъкидлаб утамиз.
(хп) ва (уп кетма-кетликларни
курайлик. Умумий кадлари х„ +
+ уп, хп — уп, Хп-уп ва (агар у*=И=О
(гп) ва (уп) кетма-кетликларни
аниклаш мумкин. К,уйидаги теорема
уринли (уни, купинча, лимитлар
устидаги арифметик амаллар хдкида-
ги теорема деб аташади): агар (х„)
ва (уп) кетма-кетликлар якинлашувчи
булса, у колда (хп + уп), (хп — уп),
&п-Уп), (хГ1/ уп) кетма-кетликлар кам
якинлашувчи ва куйидаги тенглик-
лар уринли:
Нт + Уп) = Нт хп + Нт уп ,
Нт (х„ — уп) = Нт х„ — Нт уп
п-^- оо ' ос п-*- оо
Нт (х„ • уп) = Нт хп- Нт цп ,
П-+-ОО ' п->оо п-^оо 'S
v Нт хп
цт Хп = я >о°
п—>- оо у п Н т у п
факат охирги колда (уп) кетма-кет-
ликнинг барча кадлари нолдан фаркли
булишидан ташкари, Нт ун^=О шарт
Комбинаторика
177
бажарилишини хам талаб килиш за-
рурдир.
Бу теоремани куллаб, куплаб ли-
митларни топиш мумкин. Масалан,
умумий хади
— 2”2 — 1
Зп п'2
булган кетма-кетликнинг лимитини
топайлик. хп ни
куринишда тасвирлаб, сурат ва мах,-
ражнинг лимити мавжудлигини урна-
тамиз:
Пт (2—-^*=//т2 — Пт-—
И—*• оо /7 п—>оо П-^оо/7
• Пт 4- = 2 ,
п—>оо П
3 1
lim(— + 1) = ЗПт — + Нт 1=1,
П->оо' It ' Л->оо П П-*-оо
демак,
Пт х„
П->оо
Кетма-кетликларнинг мухим син-
фини монотон кетма-кетликлар таш-
кил этади. Усувчи (ихтиёрий п да
х„ + 1 > хп), камаювчи (х„ + г < хп),
камаймовчи (x„_|_i х„) ва усмовчи
(хп+1 х„), кетма-кетликларни
шундай деб аташади. (м — 1)/ + 1)
кетма-кетлик усувчи, (1/н) кетма-
кетлик камаювчидир. Рекуррент усул-
да берилган (1) кетма-кетликнинг
монотон усувчилигини исботлаш мум-
кин.
Фараз килайлик, (хп) кетма-кетлик
камаймовчи булсин, яъни Xi хг...
... X п X п 4- ।...............
тенгсизликлар бажарилсин, бундан
ташкари бу кетма-кетлик юкоридан
чегараланган булсин, яъни барча хп
лар бирор сондан ошиб кета олмасин.
Равшанки, бундай кетма-кетлик ёки
d дан кичик, ёки d га тенг булган
бирор сонга интилади. Математик
анализ курсида куйидаги теорема
исботланади: камаймовчи ва юк,ори-
дан чегараланган кетма-кетлик лимит -
га эга (шунга ухшаш тасдик, усмовчи
ва куйида чегараланган кетма-кетлик
учун хам уринли). Бу ажойиб теорема
лимит мавжудлигининг етарли шарт-
ларини беради. Бу теоремадан, маса-
лан, бирлик айланага ички чизилган
мунтазам л-бурчаклар юзалари кетма-
кетлиги лимитга эга булиши келиб
чикади, чунки бу кетма-кетлик моно-
тон усувчи ва юкоридан чегараланган.
Бу кетма-кетликнинг лимити л га тенг.
л сонини айланага ички чизилган
мунтазам п бурчаклар периметрлари-
нинг айлана диаметрига нисбатидан
тузилган кетма-кетлик лимити деб
таърифлаш мумкин ва бу лимит
мавжуддиги хам (яъни л нинг мав-
жудлиги!) юкоридаги теоремадан
келиб чикади.
Математик анализда катта роль
уйнайдиган е сони — натурал лога-
рифм асоси — кам монотон, чегара-
ланган кетма-кетликнинг лимити
сифатида аникланади:
е = Пт (1 + ±)"
п—>-оо ' 71
(1) кетма-кетлик, таъкидлаб утил-
ганидек, монотон ва бундан ташкари,
юкоридан чегараланган, демак у
лимитга эга. Биз бу лимитни осонлик-
ча топамиз. Агар бу лимит а га тенг
булса, а сон а = д/2 + а тенгликни
каноатлантириши керак. Бу тенгла-
мани ечиб, а = 2 эканини курамиз.
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика — математиканинг
берилган объектлардан у ёки бу шарт-
ларни каноатлантирувчи нечта комби-
178
Еш математик цомусий лугати
нация тузиш мумкинлигини урганув-
чи булими.
Инсон фаолиятининг деярли барча
сохдларида объектларни танлаш ва
уларни маълум тартибда жойлаш би-
лан шугулланишга тугри келади. Ма-
салан, конструктор механизмнинг
янги моделини яратишда, олим-агро-
ном дишлок, хужалик экинларини бир
неча ер майдонига экишни планлаш-
тирганда, кимёгар берилган атом тар-
кибли органик молекулалар тузили-
шини урганганда комбинаторикага
Комбинаторик деб аталган масала-
ларга одамлар жуда кадимдаёк йулик,-
канлар. Бир неча минг йил бурун
Кддимги Хитойда сехрли квадратлар
тузишга кизикканлар (к,. Сеурли ва
латин квадратлари). Сехрли квадрат-
да сонлар шундай жойланадики,
натижада хар бир горизонтал, верти-
кал ва диагоналдаги сонлар йигинди-
лари бир хил булади. К,адимги Юно-
нистонда шеър улчовидаги узун ва
киска бугинларнинг х;ар хил комби-
нацияларини ва фигурали сонлар
назариясини, квадратни махсус усул-
да киркканда хосил буладиган булак-
лардан тузиладиган фигураларни
урганишган.
Комбинаторик масалалар шашка,
шахмат, домино, карта, шашкол каби
уйинлар туфайли х,ам вужудга келган.
Масалан, саккиз фарзинни шахмат
тахтасида бир-бирини уролмайдиган
килиб жойлаш, шахмат тахтасиннг
хамма катагини асп (от) билан бир
карра айланиб чикиш ва б.
Комбинаторика факат XVII а. га
келиб, эхтимоллар назарияси яралган
даврда фанга айланди. Эхтимоллар
назарияси масалаларини ечиш учун
у ёки бу шартга буйсунувчи хар хил
Комбинаторика
179
сохасиким, улар бирга
барча математик гоя л ар-
ии камрай олади».
Ж. Сильвестр
мис
исм
СИМ
«Сон, макон ва комбина-
ция — тафаккурнинг бир-
бирнга кнришган, лекнн
. узаро фарк килувчи уч
комбинациялар сонини санай билиш
керак булган. XVI а. итальян олим-
лари Ж. Кардано, Н. Тарталья ва
Г. Галилейнинг дастлабки ишларидан
сунг айтилган масалалар билан фран-
цуз математиклари Б. Паскаль ва
П. Ферма шугулландилар. Комбина-
торикани мустакил фан тармоги сифа-
тида биринчи булиб Г. Лейбниц
урганди. У 1666 й. «Комбинаторика
санъати х,ак,ида» асарини бостиради
(унда биринчи булиб «комбинатори-
ка» сузи кулланади). Комбинаторика
Еш математик цомусий лутати
180
сохдсида ажойиб ютуклар Л. Эйлерга
тегишли. Шифрларнинг сирини очиш,
кух;на кулёзмаларни урганиш билан
шугулланувчи математиклар х,ам ком-
бинаторик масалаларга кизикканлар.
Эндиликда комбинаторика куплаб
фан сох;аларида: биологияда ок.сил
ва ДНК (дезоксирибонуклеин) моле-
кулалари таркибини урганишда,
химияда, мураккаб иншоотлар меха-
никасида ва х,. к. да татбик. этилмокда.
Комбинаториканинг ривожланиши
борасида шу нарса маълум булдики,
у урганадиган куп масалалар ташки
тафовутига карамасдан бир хил
математик мазмунга эга ва чекли
туплам ва уларнинг кисм-тупламлари-
га оид масалаларга келтирилади.
Аста-секин масалаларнинг бир неча
асосий турлари аникланди. Комбина-
ториканинг куп комбинаторик муам-
моларни камраб олувчи мух,им сох,аси-
ни саналмалар назарияси ташкил
килади. Унинг ёрдамида турли ком-
бинаторик масалалар ечимлари сони-
ни х,исоблаш мумкин. Бу назария
асосида «жамлаш коидаси» ва «купай-
тириш коидаси» ётади. «Жамлаш
коидаси»: агар А туплам т та элемент-
дан, В туплам эса п та элементдан
иборат булиб, бу икки туплам узаро
кесишмаса, уларнийг бирлашмаси
A U В, яъни А ва В нинг барча элемент-
ларидан иборат туплам т-\-п та эле-
ВЕНГР ШАРНИРЛИ
КУБЧАСИ
1975 й. архитектура удитувчиси
Эрнё Рубик студентларнинг фазо-
вий тасаввурларини ривожланти-
риш учун ихтиро килган
бошкотиргич — Рубик кубчаси
гоят оммалашиб кетди (1-расм).
Рубик кубчаси 27 та бир хил (хар
бири янада кичикрок кубча
булган) кисмлардан иборат. Бош-
лангич холатда кубчанинг хар
бир ёги 6 рангдан бирига буял-
ган. «Ажойиб» механизм кубча-
нинг бир ёгига ёндошган 9 та ки-
чик кубчадан иборат хар бир кат-
ламни унинг маркази атрофида
буриш имконини беради (1-расм-
да устки катлам бироз бурилган);
буриш натижасида ёкдарнинг
ранглари аралашиб кетади. Маса-
ла кубчанинг ёдлари хар хил ранг-
ли булиб колган холатдан бош-
лангич холатига кайтаришдан
иборат.
Бу масалани ечиб берадиган
куп сонли алгоритмлардан бирини
баён киламиз. У иккита боскични
уз ичига олади: биринчи боскичда
куб кирралари урталарига жойла-
шувчи кичик кубчалар (кискача
Кирра кубчалари — уларнинг хар
бири 2 рангда) уз урнига йигила-
ди, иккинчи боскичда бурчакда
жойлашувчи кичик кубчалар
йигилади. Х,ар бир кичик кубча
битта жойнинг узида хар хил
(киррадагиси икки хил, бурчакда-
гиси уч хил) холатда булиш мум-
кин. Шунга мос равишда хар
Кайси боскич иккита кадамга
булинади: биринчи кадамда кичик
кубчалар фадат уз уринларига
олиб келинади, иккинчи кадамда
эса, агар бу зарур булса, улар уз
уринларида ранглари тугри кел-
гунча бурилади. К,иррадаги ва бур-
чакда ги кичик кубчаларнинг тугри
вазиятини анидлашда катта куб
ёдларининг марказидаги квадрат-
ча ориентир вазифасини утайди:
ёдлар (катламлар) кандай бурил-
масин бу квадратчаларнинг узаро
жойлашувлари узгармайди, улар-
1-расм 2-расм
Комбинаторика
181
ментга эга; «Купайтириш коидаси»:
барча (а, Ь) жуфтликлар туплами
(бунда а элемент А тупламга тегишли,
b эса — В тупламга) тп та элементни
уз ичига олади.
Жамлаш коидаси билан Л ва В
кесишганда кам A J В тупламнинг
элементлари нечталигини кисоблаш
мумкин. Агар Л ва В нинг умумий
(кар иккисига тегишли) элементлар
тупламини A f] В деб белгиласак, A U В
нинг элементлари сони п(А) +
+ п(В) — n(Af]B) га тенг, бунда
п(А) билан А туплам элементлари
сони белгиланган. Бу тасдик комби-
наториканинг анча умумий формула-
нинг ранглари эса куб ёкларининг
булажак рангларини беради.
Амаллар тартибини курсатиш-
да 1-расмдаги белгилашлардан
фойдаланамиз; масалан, ФП' —
бу иккита буришдан иборат кетма-
кетлик: аввал кубча юзини (кубча-
ни тутиб турган одамга караган
ёгини) соат стрелкаси буйича 90°
буриш, сунг унг ёкни соат стрелка-
сига тескари йуналишда 90° бу-
ришни билдиради.
Бутун йигиш процесси F—
= ПВФВ'Ф'П'Ф амал ва унга
тескари F1 = Ф'ПФВ Ф'в'П'
амалга асосланади (F хам 7 та
буришдан иборат).
1-боскич. К,иррадаги кубчалар-
ни йигиш
1. К,ирра кубчаларини уз урнига
келтириш учун F (ёки F') амали-
ни (зарур булганда такроран)
кулланиш етарли, чунки бу опера-
ция роппа-расо иккита кичик
кубча урнини олмаштиради.
(К,ирра кубчаларига бу амал
таъсири 2-расмда курсатилган).
си — бостирмалар формуласининг
хусусий колидир.
Купинча, п та элементга эга бирор
А туплам элементларидан тузилган,
узунлиги т га тенг кетма-кетликлар
сонини санаб чикишга тугри келади.
Бунда кетма-кетлик элементлари ора-
сида такрорланадиганлари бор булган
кол ва бу элементларнинг барчаси
кар хил булиши зарур кол алокида
каралади. Биринчи колда кетма-кет-
ликлар п та элементдан т тадан
такрорли уринлаштиришлар деб ата-
либ, уларнинг сони А билан, иккин-
чи колда эса такрорсиз уринлашти-
ришлар дейилиб, уларнинг сони А™
2. К,ирра кубчасини буриш учун
F2=F-F амали кулланилади; на-
тижада иккита кубча (2-расм-
да, а ва Ь) уз урнида агдарила-
ди.
2-боскич. Бурчак кубчаларини
йигиш.
1. Бурчак кубчаларини жойига
келтириш учун FB'F'B амал
(унинг хдракати 3-расмда стрел-
ка лар билан курсатилган) ва худ-
ди шу кубчаларни тескари тартиб-
да алмаштирувчи B'FBF' тескари
амалдан фойдаланилади.
2. Бурчакдаги кубчаларни уз
урнида айлантириш учун F4 ама-
лидан (унинг харакати 4-расмда
курсатилган) ёки унга тескари
амал (F1)4 Дан фойдаланилади
(тескари амал уша учта кубчани
тескари йуналишда айлантира-
ди).
Курсатилган амаллардан ечим-
нинг бошка умумий схемаларида
хам фойдаланиш мумкин. Маса-
лан, битта ёкда ётган турт кирра
кубчасидан ташкари хамма кирра
4-расм
182
Еш математик цомусий лугати
билан белгиланади. Бу икки микдор
учун формулалар куйидагича:
Ап = пт, А™ = nip — fr-2)...
(и — т + 1).
п та элементни п тадан такрорсиз
уринлаштиришларни олайлик. Бундай
уринлаштириш, равшанки, бир-бири
билан факат элементларининг урин-
лари билан фаркданади. Улар п эле-
ментли уринлаштиришлар деб юрити-
лади. Бундай уринлаштиришлар сони
Рп айнан и! га тенг (к,. Факториал)-.
Рп = А" = п! = 1-2... п.
Агар элементлар тартиби назардан
сок,ит к,илинса, шундай масала хосил
булади: п та элементли туплам берил-
ган булсин; ундан т та элементли
х.ар хил нечта кисм-туплам ажратиш
мумкин? Комбинаторикада бундай
кисм-тупламлар п та элементдан т
тадан бирикмалар (комбинациялар)
дейилади, уларнинг сони С™ (баъзан
( т ) ) каби белгиланади. Куйидагини
исботлаш мумкин:
Ст / п \
п — \ т
ml (п — т)\
К,атор комбинаторик масалалар
тупламни к,исмларга булганда (парча-
лаганда) пайдо булади: агар булаклар
сони k га тенг булса, булаклаш усул-
лари сонини топинг: неча усул билан
п сонини k та кушилувчининг йигин-
диси шаклида ёзиш мумкинлигини
топинг; п та нарсани k та кутига неча
усулда жойлаш мумкинлигини топинг
ва х.. к. Одатда, булаклаш ва жойлаш-
тириш назарияларининг масалалари
бостирмалар формуласига ва юкорида
мухокама килинган асосий комбина-
торик масалаларни ечишга келади.
Худди шу йул билан чекланган комби-
наторик масалалар хам ечилади.
Масалан, хеч бир элемента ёнма-ён
икки марта учрамайдиган такрорий
ури глаштиришлар сонини топиш ва
X. J -
^Змбинаторик масалаларни ечишда
ку шнча график методлардан фойда-
ланилади, масалан, сонни кушилувчи-
лар йигиндисига ёйганда граф деб
аталувчи диаграмма, яъни нукталар
ва кесмалардан иборат геометрик
фигурага мурожаат килинади. Граф-
лар назарияси хозирги кунда комби-
наториканинг энг жадал ривожлана-
ётган сохасига айланди. Комбинато-
:кубчаларини тугри териш кийин
эмас. Шундан кейин алгоритм-
нинг биринчи боскичини бажа-
ришга киришилса, буришларнинг
умумий сони анча кискаради. Ле-
кин шунга карамай, барибир, бу-
ришлар сони кали катталигича
колаверади. Буришлар сонини
янада кискартириш учун стандарт
амаллар (F каби) мажмуини кен-
гайтириш керак (бундай амаллар
«Наука и жизнь» журналининг
1984—88 йиллардаги сонларида
туплаб борилган). Ечимнинг прин-
ципиал бошка схемалари хам
мавжуд. Бу схемаларнинг энг ях-
шилари 50 тагача буриш билан
Рубик кубчасини ихтиёрий холат-
дан иигиш имконини беради, аммо
назарий жихатдан кубчани кар
кандай холатидан бошлангич
холатга энг купи билан 23 юришда
кайтариш мумкин. Рубик кубчаси-
ни тез йигишнинг рекорд вакти
1989 й. жахон чемпионатида хам-
маси булиб 22,95 секундга тенг
булган.
Оптимал алгоритмни излаш
масаласи (буришлар сони буйича)
Рубик кубчаси билан боглик
булган хозиргача хал килинмаган
энг кийин масаладир. Ёкларни
маълум буришлар вужудга келти-
радиган группаларни урганиш хам
кизикарлидир. Рубик кубчаси эр-
мак булибгина колмай, балки ал-
гебрадан, комбинаторикадан, про-
граммалашдан ажойиб кургазма-
ли курол булиб хизмат килиши
мумкин.
Комплекс сонлар
риканинг куп умумий теоремаларини
графлар тилида баён килиш унгай.
Комбинаторика фак,ат у ёки бу
кисм-тупламлар ва кетма-кетлар мик,-
дорини санашдан иборат эмас. Комби-
наторик муаммоларни ечишда баъзан
куйилган муаммо ечимга эга эканли-
гини, ёки аксинча, ечим мавжуд
эмаслигини исботлаш кифоя булади.
Мисол учун куйидаги тасдик, (Рамсей
теоремаси)ни олайлик. Ихтиёрий т
ва п сонлари учун шундай N топила-
дики, N та нук,та ва уларнинг \ам-
масини узаро туташтирувчи кесма-
лардан иборат граф каралса ва бу
кесмалардан х,ар бири т та рангдан
бирига буялган булса, у холда п та уч
ва уларни туташтирувчи барча кесма-
лардан иборат, факат бир рангдаги
дисм-граф топилади.
Агар куйилган шартларни бир неча
конфигурация (элементларнинг узаро
жойлашуви) каноатлантирса, яъни
комбинаторик масала бирдан ортик
ечимга эга булса, бу ечимлар орасидан
бирор курсаткич буйича оптималини
(энг афзалини) танлаш масаласи
тугилиши табиий. Масалан, кар икки-
си ха во йули билан туташтирилган
бир неча шахар хакида суз юритилса,
шундай масала вужудга келади:
саёхатчи кандай килиб кар бир
шахарда бир мартадан булиб чиккан-
да, у энг киска масофа босади?
Авваллари хисоблаш сермашаккат
булганлиги туфайли, ечилмасдан ко-
лаётган физика, химия, биология, ик-
тисод ва бошка фанларнинг комбина-
торик масалалари ЭХ.М ларда муваф-
факият билан ечила бошлади. Окибат-
да тадкикотнинг комбинаторик метод-
лари фан ва техниканинг куп сохала-
рига тобора чукуррок кириб бораяпти.
1970—80 й. да комбинаторика янги
ютукларни кулга киритди. Хусусан,
ЭХ.М ёрдамида «турт буёк муаммоси»
Хал килинди: кар бир харитани уму-
мий чегарали давлатлардан кеч бир
жуфти бир хил рангда булмайдиган
килиб турт рангдаги буёк билан
буяш мумкинлиги исботланди.
183
КОМПЛЕКС СОНЛАР
а-\-Ы куринишдаги сонлар комп-
лекс сонлар дейилади, бу ерда а ва
b — хакикий сонлар, I — алохида тур-
даги сон булиб, унинг квадрати — 1 га
тенг, яъни z2 = — 1. Комплекс сонлар
устидаги амаллар купуадлар устидаги
амалларни бажариш коидалари буйи-
ча утказилади, бунда z‘2 хар сафар —
1 га алмаштирилади, масалан:
(2 +3z)+ (4-8z)=6-5z; (2 + 3z)-
. (4 -8z) = 8— 16z + 12z —24z2 =
= 32- 4i;
2 + 3z = (2 + 3z)(4 + 8z)
4 —8z (4-8z)(4 + 8z) ~
1 . 7 . ,3 ,2 .
5 +20г’ * 1 * * * * * * VIII ~l 'l~ r’
z4=z2-z2=(-l)-(-l)=l.
abi = cdi тенглик a = c ва b=d
эканини билдиради.
К,адимги юнон математиклари фа-
кат натурал сонларни «хакикий» деб
хисоблашган, аммо К,адимги Миер ва
Кадимги Бобилда янги эрадан икки
минг йиллар мукаддам амалий хи-
соб-китобларда каерларни куллай
бошлашган. Сон хакидаги тушунча
тараккиётидаги навбатдаги мухим
боскич — манфий сонлар булди.
Уларни хитой математиклари янги
эрадан икки аср олдинрок киритиш-
ган эди. Янги эранинг III а. да кадим-
ги юнон математиги Диофант манфий
сонларни ишлатган. У бу сонлар усти-
даги амаллар коидаларини хам бил-
ган. Кинд олимлари эрамизнинг
VIII а. да манфий сонларни муфассал
урганишди, улар бу сонларни «карз»
деб талкин килишган. Манфий сонлар
ёрдамида микдорларнинг узгаришини
ягона усулда баён килиш мумкин эди.
Эрамизнинг VIII а. даёк мусбат сон-
нинг квадрат илдизи иккита — мус-
бат ва манфий кийматга эгалиги, ман-
фий сонлардан эса квадрат илдиз чи-
кариш мумкин эмаслиги, масалан,
184
Еш математик цомусий лугати
х2 = — 9 булган х сонини топиб бул-
маслиги анидланган эди.
XVI а. да куб тенгламаларни урга-
ниш муносабати билан манфий сон-
лардан х,ам квадрат илдиз чикариш
зарурати тугилди. Куб тенгламалар-
ни ечиш формуласида (к. Алгебраик
тенглама) куб ва квадрат илдизлар
катнашади. Бу формула тенглама бит-
та х,акдкий илдизга эга булса, (маса-
лан, х3-|-Зх — 4 = 0 тенглама учун)
бекам-куст ярайди, тенглама учта х,а-
к,ик,ий илдизга эга булган холда эса
(масалан, х3— 7х+6 = 0) квадрат ил-
диз остида манфий сон хосил була-
веради. Натижада тенгламанинг бу уч-
«У ёки бу математик-
нинг хохиш иродасндан
ташкари, хатто унга кар-
ши, хнсобларда мавхум
сонлар кайта-кайта пайдо
б^лаверади; факат аста-
секин к^ллаган да келади-
гаи наф ошкора б^ла
борган сари улар кеигрок
ва яна кеигрок таркала
бошлади».
Ф. Клейн
та илдизини топиш йули тацицланган
амал — манфий сондан квадрат илдиз
чикариш амали оркали утарди. Х,осил
булган парадоксни тушунтириш учун
итальян алгебрачиси Ж. Кардано
1545 й. да янги табиатли сонларни
киритишни таклиф килди. У какикий
сонлар тупламида ечимга эга булмаган
х+у = 10, ху = 40 тенгламалар систе-
маси x=5±V— 15, у = 5±д/— 15 ку-
ринишдаги ечимларга эгалигини кур-
сатди, факат бундай ифодалар билан
одатдаги алгебранинг коидалари бу-
йича ва \—а • V-о = — а Деб хисоб-
лаб ишлашни келишиб олиш (шарт-
лашиб олиш) керак. Кардано бундай
микдорларни «соф манфий» ва хатто-
ки «гайри-мантикий манфий» деб ата-
ди, уларни фойдасиз деб хисоблади
ва татбик килмасликка интилди. Би-
рок 1572 й. даёк итальян алгебрачиси
Комплекс сонлар
185
Р. Бомбеллининг бундай сонлар усти-
да арифметик амалларнинг дастлабки
коидалари берилган китоби чивди.
Китобда бундай сонлардан куб илдиз
чицариш коидаси хам келтирилган
эди. «Мавхум сонлар» номини 1637 й.
да француз математиги ва философи
Р. Декарт киритди, 1777 й.да эса
XVIII а. нинг йирик математиклари-
дан бири Л. Эйлер— 1 сонни («мав-
хум» бирликни) белгилаш учун фран-
цузча „imaqinaire" («мавхум») сузи-
нинг биринчи харфидан фойдаланиш-
ни таклиф этди; бу символ К. Гаусс
туфайли кенг таркалди (1831).
XVII а. давомида мавхумликнинг
«Гарчи мавхум сонлар
Курук, алгебраик шакл,
бемаъни микдорларнинг
ишораларидангина нбо-
рат б^лса кам, мавкум
микдорлардаи фойдала-
ниб бажарилган хисоблар
натижаларининг аникли-
гига энди хеч ким шубха
килаётгани й^к» ахир».
Л. Карно
арифметик табиати, уларга геомет-
рик талкин бериш имкониятининг му-
Хокамаси давом эттирилди.
Комплекс сонлар устида амаллар
бажариш техникаси аста-секин ри-
вожлана борди. XVII ва XVIII а. чега-
расида, аввал, манфий сонлардан п-чи
даражали илдизларнинг умумий наза-
рияси, кейинчалик эса инглиз матема-
тиги А. Муаврнинг
(coscp + isin<p)n=cosnq>-{- isinntp
формуласига асосланиб ихтиёрий
комплекс сонлардан гс-чи даражали
илдиз назарияси яратилди (1707).
Бу формуладан фойдаланиб каррали
ёйларнинг косинус ва синуслари учун
хам тенгликлар келтириб чикариш
мумкин (к- Геометрик прогрессия).
1748 й. да Л. Эйлер курсаткичли функ-
186
Еш математик цомусий лугати
цияни тригонометрик функциялар би-
лан яхлит богловчи ажойиб =
= cosxisinx формулани чикарди.
Эйлер формуласи ёрдамида е сонини
ихтиёрий комплекс даражага кутариш
мумкин. Масалан, е1л— — 1 эканлиги
дик,катга сазовор. Комплекс сонлар-
нинг синус ва косинусларини топиш,
бундай сонларнинг логарифмларини
хцсоблаш, яъни комплекс узгарувчи-
нинг функциялар назариясини куриш
мумкин.
XVIII а. охирида француз мате-
матиги Ж. Лагранж мавхум микдор-
лар энди математик анализни кий-
намай куйди, деб айта олган. Матема-
тиклар узгармас коэффициентли диф-
ференциал тенгламалар ечимларини
комплекс сонлар ёрдамида ифода-
лашни урганиб олишди. Бундай тенг-
ламалар, масалан, моддий нуктанинг
каршилик курсатувчи мух,итдаги теб-
раниш назариясида учрайди. Ундан
аввалрок швейцариялик математик
Я. Бернулли комплекс сонларни ин-
тегралларни х,исоблашга татбик кил-
ди.
XVIII а. давомида комплекс сонлар
ёрдамида куплаб муаммолар, жумла-
дан, картография, гидродинамика ва
х,. к. лар билан боглик, амалий маса-
лалар кам х,ал этилган булса-да, бу
сонлар назарияси кали катъий манти-
кий асосланмаган эди. Шунинг учун
х,ам француз математиги П. Лаплас
мавхум сонлар ёрдамида олинадиган
натижалар — факат йулланма, улар
бевосита катъий исботлар билан тас-
диклангандан кейингина чин х,акикат
характерини олади, деб кисоблаган.
XVIII а. охири ва XIX а. бошида
комплекс сонларнинг геометрик тал-
кини топилди. Даниялик Г. Бессель,
француз Ж. Арган ва немис К. Гаусс
бир-бирларидан мустакил равишда
z — а ^-Ы комплекс сонни координата
текислигида М (а, Ь) нукта билан тас-
вирлашни таклиф килдилар. Кейинча-
лик маълум булдики, сонни М нукта-
нинг узи билан эмас, балки координа-
Комплекс сонлар
та бошидан шу М нуктага борувчи 0Л1
вектор билан тасвирлаш яна х,ам ку~
гайрок экан. Комплекс сонларнинг
бундай талкинида уларни кушиш ва
айиришга векторлар устидаги худди
шу амаллар мос келади. (Ум векторни
фадатгина унинг координаталари а
ва b билан эмас, балки векторнинг
чзунлиги г ва унинг абцисса ук,и мус-
бат йуналиши билан ташкил килган <р
бурчаги орк,али х,ам бериш мумкин.
Бунда a=rcosq), b=rsiny ва z сон
г = r^os(p+rstn<p) куринишни олади.
с нинг бу куриниши комплекс соннинг
тригонометрик формаси дейилади. г
сон z комплекс соннинг модули дейи-
лади ва | z | каби белгиланади. <р сон
z нинг аргумента дейилади ва Argz ка-
би белгиланади.
Агар z =0 булса Argz нинг кий ма-
ги аникланмаган, z #= 0 да эса у 2л га
каррали киймат анидлигида топилади.
Эйлернинг юкорида эслатиб утилган
формуласи z сонни z = r-e^ (комп-
лекс соннинг курсаткичли формаси)
куринишида ёзиш имконини беради.
Курсаткичли формадаги комплекс
сонларни купайтириш жуда кулай
бажарилади. У г i el<fl • г= г\-г?-
187
;.е‘(<и+ч)2> формула буйича амалга
оширилади, яъни купайтиришда
модуллар купайтирилади, аргумент-
лар эса кушилади.
Комплекс сонларнинг геометрик
талкини комплекс узгарувчининг
функциялари билан боглик купгина
тушунчаларни аниклаш имконини
беради, уларнинг кулланиш содасини
кенгайтиради. Комплекс сонлар те-
кисликда векторлар ёрдамида тасвир-
ланадиган катталиклар билан иш ку-
риладиган купгина муаммоларда:
суюклик окимини урганишда, элас-
тиклик назарияси масалаларида фой-
даланиш мумкинлиги равшан булди.
Комплекс узгарувчининг функция-
лари назарияси тараккиётига совет
олимлари катта хисса кушдилар.
Н. И. Мусхелишвили уларни элас-
тиклик назариясига, М. В. Келдиги,
М. А. Лаврентьев аэро- ва гидроди-
намикага, Н. Н. Боголюбов ва
В. С. Владимиров майдоннинг квант
назарияси муаммоларига татбиклари
билан шугулландилар. Узбекистонлик
математик И. С. Аржаних комплекс
сонларни майдонлар назариясига кул-
лади.
Еш математик цомусий лугати
188
КОНУС
Тугри доиравий конус (юнонча
Konos — «карагай ёнгоги») — тугри
бурчакли учбурчакни унинг катетла-
ридан бири атрофида айлантиришдан
хосил булган фигура. 1-расмда АВС
учбурчак АС катет атрофида айлан-
тирилади; А — нукта конуснинг учи,
АС — тугри чизик Унинг уки, АС
кесма (ва унинг узунлиги) — конус-
нинг баландлиги дейилади. Конус АВ
гипотенузани айлантиришдан косил
булган ён сирт билан ва иккинчи
ВС катетни айлантиришдан косил
буладиган дойра (конус асоси) билан
чегараланган.
К,адим даврлардан бошлаб берил-
ган тугри чизик (ук)ни битта нукта
(уч)да кесиб, у билан тугри бурчакдан
фаркли берилган бурчак косил килув-
чи фазонинг барча тугри чизиклари-
дан тузилган конус сирт каралган.
Конус сирт косил килувчи тугри
чизиклар унинг ясовчилари дейилади.
Улар битта ясовчини ук атрофида
айлантиришдан косил булади. Шу
сабабли бундай конус сирт купинча
айланма (доиравий) конус дейилади
(2-расм). А уч конусни икки паллага
ажратади. Тугри доиравий конусни
конус сиртнинг бир палласи ва бу
паллани конус укига перпендикуляр
кесувчи текислик билан чегараланган
фазо кисми дейиш мумкин (2-расмда
юкорида). Конуснинг бир палласи
камда унинг укига перпендикуляр
иккита текислик билан чегараланган
фазонинг кисми кесик конус (тугри
доиравий) дейилади (2-расмда паст-
да). Конус сиртни текислик билан
кесганда айланадан ташкари, эллипс,
парабола, гипербола (к- Конус кесим-
лари) косил булиши мумкин. Конус-
нинг А учидан утувчи текислик
кесимда иккита ёки битта (бу колда
текислик конусга уринма дейилади)
Конус кесимлари
189
ясовчи ёки биргина А нуктанинг
• зини косил к,илиши мумкин.
Асоси ихтиёрий ясси фигура М,
учи М да ётмаган А нуктадан иборат
умумлашган конус — бу А нуктани
1 асоснинг барча X нукталари билан
туташтирувчи АХ кесмалар тулдира-
диган фигурадир (3-расм). Агар М
дойра булиб, А учи бу доиранинг
марказига ортогонал проекцияланса,
> холда биз тугри доиравий конусга
эга буламиз. Умумлашган конуснинг
хусусий коли — пирамида: у М асос
сифатида купбурчак олинганда косил
д 4-расм.
Тугри доиравий конуснинг ён
сирти Sen = nRl формула билан
Кисобланади, бунда R — асоснинг
радиуси, I — конус ясовчисининг
узунлиги. Кесик (тугри доиравий)
конус учун Зён — л (/? + г) I, бунда
R ва г — асосларнинг радиуслари,
I — кесик конус ясовчисининг узун-
лиги.
КОНУС КЕСИМЛАРИ
Конус кесимлари — доиравий
конусни (тугрироги конус сиртни)
унинг учидан у™айдиган текислик
билан кесганда косил буладиган эгри
чизиклар.
Бунда косил буладиган чегаралан-
ган фигуралар (1-расм) эллипслар,
чегараланмагани эса. (агар кесувчи
текислик конуснинг иккала палласини
кам кесса) гиперболалар ва парабола-
лар (агар кесувчи текислик конуснинг
факат битта палласини кесса) косил
булади. Чунтак фонарини текис юзага
булади. Умумлашган конусни М
асосига параллел текислик билан
кесгандаги кесими — М1 булса, у
конусни М' асосли кичкина конус
хамда М ва А41 асосли умумлашган
кесик конусга ажратади. (4-расм).
Х,ар кандай конуснинг (жумладан,
тугри доиравий конус ва пирамида-
нинг) кажми ушбу формула билан
хисобланади:
1-расм.
бунда 3 — асоснинг юзаси, Н —
конуснинг балагфлиги, яъни А учдан
асос текислигигача булган масофа.
Ихтиёрий кесик конуснинг кажми
— V
а тенг, бунда S, ва Зг мивдорлар —
М ва Л11 асосларнинг юзалари, Н —
асос текисликлари орасидаги масофа-
дан иборат баландлик. \
v =
190
Еш математик цомусий лугати
турли хил бурчак остида йуналтириб,
конус кесимларининг барча турларини
осонгина косил килиш мумкин. Тугри,
бунда гиперболанинг факат битта тар-
моги пайдо булади. Унинг иккинчи
тармогини хам куриш учун фонарнинг
укини 180°га буриш лозим.
Турли конус кесимларини косил
килишнинг бир хил усули бу эгри
чизидларни тасвирловчи тенглама-
ларнинг ухшашлигини таъминлайди.
Кесувчи текисликда координаталар
системасини конус кесимининг тенг-
ламаси у1 2 = 2рх + Хх2 куринишни
оладиган килиб танлаш мумкин, бун-
да р ва Z узгармас сонлар. Z = 0 да
р =£ 0 булса, бу тенглама параболани,
X < 0 да эллипсни, Z > 0 гипербо-
лани аниклайди. Конус кесимлари-
нинг келтирилган тенгламадаги хосса-
си кЗДимги юнон олимларига хам
маълум эди. Аполлоний Пергский
(э. а. II а.) га конус кесимларининг
Хар хил турларига бизнинг кунларгача
сакланиб колган номларни бериш
учун худди шу хосса асос булган:
юнонча «парабола» сузи «тираш»ни
билдиради (чунки юнонлар геомет-
2 v
риясида юзаси у га тенг тугри турт-
бурчакни берилган 2р асосли унга
тенгдош тугри туртбурчакка алмаш-
тириш амали берилган тугри туртбур-
чакни берилган асосга «тираш» деб
аталар эди), «эллипс» сузи «ками
билан» дегани (яъни ками билан ти-
раш), «гипербола» сузи «ортиги би-
лан» (яъни ортиги билан тираш) ни
билдиради.
Конус кесимларининг кутбий коор-
динаталардаги тенгламалари хам
жуда ухшаш. Агар эгри чизикнинг
фокуси кутб учун, эгри чизикнинг
фокуси оркали утувчи уки кутб уки
учун кабул килинса, у холда ушбу
формулани косил киламиз:
1 — Е cos <р
Бу формула 0 Е 1 булса, эл-
липснинг (Е = 0 да айлананинг)
тенгламаси булади, Е = 1 да парабо-
лани, Е > 1 да эса гиперболани
тасвирлайди. Е сони конус кесими-
нинг эксцентриситети, р эса фокал
параметри дейилади.
К,адимги юнон математиклари фа-
кат конуснинг бирор ясовчисига пер-
пендикуляр кесимни карашган, турли
хил эгри чизикларни эса конус ясов-
чилари орасидаги бурчакни узгарти-
риш билан косил килишган. Жумла-
дан, улар айланадан бошка кар кандай
конус кесими учун унинг текислигида
куйидаги хоссага эга тугри чизикнинг
мавжудлигини топишган: конус кеси-
ми нукталаридан фокусигача булган
масофанинг шу тугри чизиккача бул-
ган масофага нисбати уша конус
кесимининг эксцентриситетига тенг
(2-расм). Бундай тугри чизик конус
кесимининг директрисаси деб аталган.
Бошкача айтганда, конус кесимининг
ихтиёрий М нуктаси учун di‘. di нисбат
узгармас булади. Бу нисбатнинг кий-
мати е конус кесимнинг эксцентри-
3-расм.
Конус кесимлари
191
\
192
Еш математик цомусий лугати
ситети дейилади. di — М нудтадан
конус кесимининг фокуси F гача, с?2
эса директрисаси I гача булган масофа
(д. Парабола).
Конус кесимларига математиклар-
нинг бунчалик дизидиб долишларига
сабаб, агар кесувчи текисликдаги
ихтиёрий Декарт координаталар сис-
темасида конус кесимининг тенглама-
си ёзилса, у долда бу тенглама дамма
вадт иккинчи тартибли алгебраик
тенглама, яъни
ах2 + Ьху + су2 dx + еу + f = О
куринишда булади.
Аксинча, бу тенглама ифодалайди-
ган эгри чизид дар доим, коэффи-
циентлари маълум шартлар билан
богланган баъзи доллардан ташдари,
конус кесими булади.
К,уёш системасидаги дамма жисм-
лар Куёш атрофида эллипс буйлаб
даракатланади. К,уёш системасига
бошда юлдузлар системасидан кириб
долган осмон жисмлари, агар улар-
нинг даракатига К,уёш системасининг
сайёралари сезиларли таъсир этмаса,
Куёш атрофида гиперболик орбита
буйлаб даракатланади ва Куёш систе-
масини уша орбита буйича ташлаб
кетади. Ернинг сунъий йулдошлари
ва табиий йулдоши — Ой Ер атрофида
эллипс буйлаб даракатланади. Бошда
сайёраларга юборилган космид кема-
лар двигателлари ишлаб булганидан
сунг (тезлигига боглид равишда)
бошда сайёралар ёки Куёшнинг тор-
тиш кучи Ернинг тортиш кучи билан
тенглашгунча парабола ёки гипербола
буйлаб даракатланади (3-расм).
КОНХОИДА
Учта дадимги классик масалалар —
бурчак трисекцияси, кубни иккилан-
тириш ва дойр квадратурасини ечиш-
да юнон математикларининг уриниш-
лари зое кетди, бу масалалар уларга
«буйсунмади» (д. Геометрик ясаш-
лар). Улар бу масалаларни циркуль
1-расм.
ва чизгич ёрдамида ясаш билан дал
дилишга муваффад булмадилар.
Уларни ечиш учун бошда усуллар:
янги асбоблар, эгри чизидлар таклиф
дилиш йулини тутишди. Янги эрадан
тахминан 200 йилча аввалрод яша-
ган дадимги юнон математиги Нико-
мед бурчак трисекцияси ва кубни
иккилантириш масалаларини дал
этиш учун махсус эгри чизиддан
фойдаланди. У бу эгри чизидни кон-
хоида деб атади (конхоида юнонча
Konchoeides — «чиганодсимон»).
Конхоидани ясаш учун текисликда
тугри чизид ва ундан а масофада
ётувчи О нудта оламиз. О нудтадан
тугри чизидни бирор N нудтада кесув-
чи нур утказамиз: N нудтадан аввал-
дан танланган (берилган) d масофада
ётувчи Afi ва М2 нудталарни белгилай-
миз. ОАнурни турли йуналишда утка-
зилганда Mi, М2 конхоиданинг нудта-
лари булади. Бошдача айтганда кон-
хоида — тугри чизиднинг дар бир нуд-
тасининг радиус-векторини бир хил
d миддорга орттириш ёки камайтириш
натижасида досил буладиган текис
эгри чизид. Бу ердан конхоиданинг
дутб координаталаридаги тенгламаси
келиб чидади: р = ± d -|- а/ cos(p.
Унинг декарт координаталаридаги
тенгламаси (х — а)2 (х2 -|- у2) —
-d2x2 = 0 куринишга эга. Конхоида
шакли d сонига жуда дам боглид;
Координаталар
193
2-раем.
агар бу сон О нуктадан танланган
тугри чизиккача булган масофадан
катта булса, конхоидада сиртмок
х,осил булади (1-расм).
Француз олими Б. Паскалнинг ота-
си Э. Паскаль юкорида ги каби
ясамани айланага ва унда ётувчи
нуцтага нисбатан цуллади. Х,осил бул-
ган эгри чизик, айлана конхоидаси
ёки Паскаль чиганоги (2-раем)
номини олди. Унинг шакли кам d
сонига гоятда боглик, аммо бу сафар
сиртмок, d сони айлана диаметридан
кичик булганда косил булади. d сони
айлана диаметрига тенг булган колда
Паскаль чиганоги кардиоидага айла-
нади.
КООРДИНАТАЛАР
Х,озир бу координаталар абсцисса
ва ордината номи билан маълум.
Бу янгилик фавкулодда сермах,сул
чикди. У нинг асосида геометрияни
алгебра билан богловчи янги коорди-
наталар методи пайдо булди. Геомет-
рик объект булган текислик нукта-
лари сонлар жуфти (х; у), яъни
алгебраик объект билан алмашади.
Нуктанинг берилган чизикка мансуб-
лиги энди х ва у бирор тенгламани
каноатлантиришига мос келади. Хусу-
сан, маркази берилган (а; Ь) нуктада
булган /? радиусли айлана нуктаси-
нинг координаталари (х — а)2 +
+ (у — b)2 = R2 тенгламани каноат-
лантиради (1-расм). Координаталар
методини яратишдаги асосий хизмат
Р. Декарт номи билан боглик. Бундай
координаталар системасини декарт
координаталари системаси деб аташ
раем булган. У текисликда узаро тик
маълум йуналишдаги икки тугри
чизик утказишдан бошланади. Улар
кесишган О нукта координаталар
боши деб, тугри чизикларнинг узлари
эса координата уклари деб аталади,
х, у сонлари (х; у) нуктанинг декарт
координаталари дейилади.
Нуктанинг фазодаги урнини аник-
лаш учун учинчи ук — аппликаталар
уки(z)ни киритиш талаб этилади
(2-расм). Шундай килиб, нуктанинг
фазодаги колати учта сон билан бери-
лади.
Декарт координаталари системаси-
нинг математика тараккиёти ва тат-
бикларидаги роли бебах,одир. Ечиш
Эрамиздан 100 й. дан х,ам аввалрок
юнон олими Гиппарх ер шарини
(тасаввурда) параллел ва меридиан-
лар билан ураб, кенглик ва узунлик —
х,озир яхши маълум географик коор-
динаталарни киритишни ва уларни
сонлар билан белгилаб чикишни так-
лиф этган.
XIV а. да француз математиги
Н. Оресм географик координаталарга
ухшатиб текисликда координаталар
киритди. У текисликни тугри бурчакли
тур билан коплаб, уларни кенглик ва
узунлик деб аташни таклиф килди.
7 — 4826
194
Еш математик цомусий лугати
3-расм.
учун аввал геометрик интуиция (таж-
рибадан ташкари), махсус усуллар
талаб цилган геометриянинг сон-
саноксиз масалаларини ечиш алгеб-
раик х,исоблашларни пухта бажариш-
дангина иборат булиб колди.
Аввал геометрик усулда аниклана-
диган чизиклар ва сиртлар формула-
лар куринишида таърифланди. К,ола-
верса, хар хил тенгламалар ва улар
тасвирлаган чизик, ва сиртларни
к,араб, математиклар янги геометрик
образлар очишди. Бундай образлар,
масалан, гиперболик функциялар тат-
бикларида жуда фойдали булиб чикди.
Текисликда бошка координаталар
системалари, масалан, кутб коорди-
наталари системаси хам мавжуд. Уни
киритиш учун кутб деб аталадиган
О бошлангич нукта танланади (шу
сабабли кутбий система дейилади).
Бу нуктадан кутбий ух дейиладиган
нур чикарилади. Текислик нуктаси-
нинг координаталарини аниклаш учун
бу нукта ва кутб кесма билан
туташтирилади, сунг бу кесма узун-
лиги хамда у билан кутбий ук ораси-
даги бурчак улчанади (3-расм).
Шундай килиб, текисликнинг кар
бир М нуктасига бир жуфт сон
(/>, <р) мос куйилади. Лекин декарт
координаталари системасида бундай
жуфтлик ягона тарзда аникланса,
кутб координаталари системасида
<р сони бир кийматли аникланмайди:
п нинг исталган бутун кийматида
(р, <р -|- 2пл) жуфтликларга айнан
бир нукта мос келади. Амалда кутб
укини ихтиёрий танлаш мумкин.
Чунончи, географлар кутб укини
шимолга йуналтиришни афзал кура-
дилар ва кутбий бурчакни азимут деб
атайдилар, артиллериячилар эса
азимутни жанубий йуналишдан хи-
соблайдилар.
Факат битта сон билан берилувчи
координаталар хам мавжуд. Бу тугри
чизикдаги координаталардир. Т^гри
чизикда нуктанинг вазиятини курса-
тиш учун биргина сон — ундан коор-
дината бошигача масофани курсатиш
кифоя.
Фазода нуктанинг вазияти нечта
сон билан берилади? Табиийки, учта
сон билан. Бу уч сонни, хусусан,
шундай хосил килиш мумкин. Нукта-
мизни Ер маркази билан нур оркали
туташтирамиз (тасаввурда), сунг бу
нур Ер сирти билан кесишган жой-
нинг кенглиги ва узунлигини хамда
нуктамиздан Ер марказигача масофа-
ни оламиз. Мана шундай координата-
лар системаси сферик система дейи-
лади. Бошкача иш тутиш хам мумкин.
Бирор текислик танлаб унда кутбий
координаталар системаси киритамиз,
сунг нуктамизга унинг танланган
текисликдаги проекциясининг кутбий
координаталарини хамда ундан текис-
ликкача масофани мос куямиз; бу
масофа нуктамиз текисликнинг бир
томонида ётганида «плюс» аломати
билан, иккинчи томонида ётса «ми-
Координаталар
нус» аломати билан олинади; шунда
биз цилиндрик координаталар систе-
масига эга буламиз.
Координаталарнинг сферик систе-
масидан одатда аэродромларда фой-
даланилади. Аэродром ёнига радиоло-
катор урнатилади. Бу ускуна самолёт-
195
гача масофани, самолёт горизонтга
нисбатан кандай бурчак остида кури-
нишини дамда самолётга томон йуна-
лиш билан шимолий йуналиш ораси-
даги бурчакни, яъни самолётнинг
сферик координаталарини анидлайди.
196
Еш математик цомусий лугати
КОСИНУСЛАР КУБ
ТЕОРЕМАСИ
Косинуслар теоремаси — учбурчак-
нинг томонлари ва бурчаклари ораси-
даги богланишни ифодаловчи триго-
нометриянинг теоремаси. Унга биноан
хар кандай учбурчакда бирор томен
квадрати колган икки томен квадрат-
лари йигиндисидан шу томонлар
узунликлари билан улар орасидаги
бурчак косинуснинг иккиланган ку-
пайтмаси айрмасига тенг, яъни АВС
учбурчакда (расмга к,.):
с2 = а2 + Ь2 — 2abcosC
муносабат уринли, бунда а, Ь, с —
учбурчак томонларининг узунликлари,
С эса с томен каршисидаги бурчак-
нинг катталиги. Агар С тугри бурчак
булса, косинуслар теоремаси Пифагор
Куб ёки гексаэдр (олтиёкдик) —
тенг улчамли тугри бурчакли парал-
лелепипед, мунтазам купёкдиклар-
нинг бир тури. У ни ёйилмасидан
елимлаб тайёрлаш осон (1-расм).
Куб — бирини иккинчисига ёнма-ён
териб фазони тулдириб буладиган
ягона мунтазам купёкликдир. Худди
шунинг учун кирраси бирга тенг куб
ха ж ми бирлик хажм сифатида кабул
теоремасига айланади, зеро тугри
бурчакнинг косинуси нолга тенг.
Косинуслар теоремаси купинча икки
колда кулланади: 1) икки томон
узунликлари ва улар орасидаги бурчак
маълум булиб, учинчи томон узунли-
гини билиш керак булганда; 2)
томонларининг узунликлари маълум
учбурчакнинг бурчаклари катталик-
ларини билиш керак булганда.
Теоремани кадимги юнонлар хам
билган, унинг исботи Евклид «Негиз-
лари»нинг II китобида келтирилган
(к. Евклид ва унинг «Негизлари»).
Сферик учбурчаклар учун, сферик
учбурчак бурчаклари учун хам коси-
нуслар теоремаси мавжуд, уларга
формулалар чикарилган.
2-расм.
Куб
197
килинган. Х,айратли тарзда куб бошка
турт хил мунтазам купёкликлар
билан богланган. Айтайлик, куб
ёкларининг марказлари октаэдр уч-
лари булади ва, аксинча, октаэдр
ёкларининг марказлари айнан куб
учларидир (2-раем).
3-расм.
Кубга ички тетраэдр чизиш мум-
кин — унинг учлари кубнинг икки
параллел ёгидаги айкаш диагоналлар
учларидан иборат (3-расм). Кубнинг
колган турт учи иккинчи ички чизил-
ган тетраэдр учларини ташкил килади.
Кубни додекаэдрга куйидагича ички
жойлаш мумкин: куб кирралари доде-
каэдр ёкларининг диагоналлари була-
5-расм.
6-расм
4-расм.
7-расм.
198
Еш математик цомусий лугати
ди (4-расм). Бунда додекаэдр ёкдари-
дан бирининг исталган диагонали
ички ясалган куб кирраси булиши
мумкин, шу туфайли, додекаэдрга
курсатилган усулда 5 та бир хил куб ни
жойлаш мумкин. Нихоят, куб олти
ёгининг кар биридан бир жуфтдан
шундай нукталар танлаш мумкинки,
танланган 12 нукта икосаэдр учлари
булади — 5-расмга к- (ок ранг билан
ажратилган кирралар куб ёкларида
ётади).
Кубнинг бошка диккатга сазовор
хоссаларидан бири — унинг роппа-
роса туртта кесими мунтазам олти-
бурчакдан иборатлигида, бунда кесув-
чи текисликлар кубнинг марказидан
турт диагоналга перпендикуляр утади
(6-расм).
Куб — текисликдаги квадратнинг
фазовий ухшашидир. Агар координа-
талардан фойдаланилса, бу ухшашлик
айникса равшанлашади. Оху текисли-
гидаги квадратни
О < х С 1, OsCys^l
тенгсизликлар билан бериш мумкин,
бунда унинг учлари (0; 0), (0; 1),
(1; 0) ва (1; 1) координаталарга эга
булади. Куб эса фазодаги Oxyz коор-
динаталар системасида
о х 1, о у i,o^z^ 1
тенгсизликлар билан берилиб, унинг
8 та учи (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 0),
(0; 1; 1), (1;0; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 0) ва
(1; 1; 1) координаталарга эгадир.
Квадратнинг 4 томони булиб, улар
х = 0, у = 0, х = 1 ва у = 1 тугри
чизикларда ётади. Куб 6 та текис (ёки
икки улчовли) ёкдарга эга ва улар
х = 0, у — 0, 2 = 0, х = 1, у = 1
ва 2 = 1 тенгламалар билан берилади-
ган текисликларда ётади. Бу ухшаш-
ликни икки йуналишда давом эттириш
мумкин.
Куб ва квадратнинг бир улчовли
ухшаши — бу, албатта, Ох укининг
0 CZ х -С 1 кесмасидир. Турт улчовли
фазода эса т$фт улчовли куб
8-рас м.
о «с х с 1, о «с 1, о 2 1,
о с t с 1
тенгсизликлар системасини каноат-
лантирувчи (х; у, 2, I) сонларнинг
тартибланган барча туртликлари маж-
муи деб тушунилади. Турт улчовли
куб, ёки гиперкуб энди 16 учга эга
булади (х, у, z ва I нинг кар бири ё 0
га, ёки 1 га тенг (х; у, z\ t) нукталар)
хамда 8 та уч улчовли ёкдарга эга
булиб, уларнинг кар бири оддий (уч
улчовли) кубдан иборат, бу оддий
кубларнинг барча 8 учи х = 0, у = 0,
2 = 0, t - 0, х = 1, у = 1, 2=1,
t = 1 тенгламалардан биттасини
каноатлантиради. Гиперкубнинг икки
улчовли ёклари —квадратлар жами
24 та, бу квадрат учлари 4 координата-
9-раем.
Купбурчак
сидан иккитаси мадкамланган (0 ёки
1 га тенг). Ни доят, гиперкуб дирра-
лари, яъни бир улчовли ёдлари 32 та.
Оддий куб текис, яъни икки улчов-
ли ёйилмага эга булгани каби (1-
расм), гиперкуб дам уч улчовли
фазога «ёйилиши» мумкин. Бундай
ёйилма 8 та уч улчовли ёдлардан —
оддий кублардан ташкил топади ва
7-расмда курсатилгандек тасвирлани-
ши мумкин. Турт улчовли фазода бу
кублардан хар бири 6 та бошда куб
билан чегарадошдир. 8-расмда гипер-
куб уч улчовли «тасвири»нинг текис
чизмаси берилган (бу «тасвир»нинг
узини эса гугурт чуплари ёки пласти-
линдан тайёрлаш осон). Гиперкуб-
нинг фазовий проекцияси (сояси)ни
9-расмдаги чизмаси буйича тасаввур
этиш ва тайёрлаш мумкин.
КУПБУРЧАК
Текисликнинг узини-узи кесадиган
нудталарга эга булмаган ёпик. Л,Л2
синид чизид билан чегаралан-
ган дисми купбурчак, анидроги и-бур-
чак (п^З) деб аталади. Синид чизид-
ни ташкил этувчи Л1Л2, А2А3, ...AnAt
кесмалар купбурчакнинг томонлари,
At, Л2, ...Л„ нудталар — учлари, дар
бир учдан душни учларга утказилган
нурлар орасидаги бурчак купбурчак-
нинг бурчаги (анидроги ички бурчаги)
дейилади (1-расм).
н-бурч аклар нинг умумий хосса-
си — ички бурчакларининг йигиндиси
узгармас катталик:
А, + Л2 + ... + Ап = (и—2) • 180°=
= (п — 2) л.
1-расм.
199
Кадим замонлардан купбурчаклар-
ни симметрик ва мунтазамлик дара-
жасига мос равишда синфларга ажра-
тиш ва номлаш дабул дилинган.
Учбурчаклардан тенг ёнли (битта
симметрия удли) ва тенг томонли ёки
мунтазам (учта симметрия укди) лари
ажратилади (2-расм). Туртбурчак-
лардан симметрия марказига эга бул-
ганлари параллелограмм деб аталади.
Албатта, бундай таъриф мактаб таъ-
рифи билан эквивалент (тенг кучли):
параллелограмм — дарама-дарши
томонлари жуфт-жуфти билан парал-
лел булган туртбурчак. Икки томони
(асослари) параллел, икки долган
(ён) томонлари параллел булмаган
туртбурчак трапеция деб аталади.
Купбурчак биттадан ортид симмет-
рия марказига эга булмаслигини
исботлаш мумкин, аммо унинг сим-
метрия уди жуда куп булиши мумкин.
Ягона симметрия удига эга булган
туртбурчаклар икки хил: тенг ёнли
трапециялар ва дельтоидлар (ёки
ромбоидлар) (3-расм). Симметрия
удига эга булган параллелограммлар
ромб (томонлари тенг булган парал-
лелограмм) лар, тугри туртбурчак
(бурчаклари тенг ва тугри булган
параллелограмм)лар ва квадрат (туг-
ри бурчакли ромблар ёки тенг томон-
ли тугри туртбурчак) ларга булинади,
уларнинг симметрия удлари 2 ёки 4
та (4-расм).
Ихтиёрий п ^3 учун мунтазам
купбурчаклар даралади: уларнинг бар-
ча томонлари ва барча (ички) бур-
чаклари тенг. Айланани п та тенг ёйга
ажратиб, душни булиниш нудталари
туташтирилса, мунтазам п бурчак до-
2-расм.
200
Еш математик цомусий лугати
сил булади (5-расм). Бунда айлана
ташки чизилган дейилиб, унинг мар-
кази мунтазам n-бурчакнинг кам мар-
кази дейилади. Марказ оркали м-бур-
чакнинг п та симметрия уки утади.
4-расм.
казий бурчакнинг биссектрисасини
ясаш билан тенг иккига булиш
осон. Шунинг учун кам мунтазам к
бурчакка кура 2к — бурчак, сунгра
4к — бурчак, умуман, ихтиёрий
п = к • 2т учун Мп купбурчак ясаш
енгил. Бинобарин, юкорида эслатил-
ган ясашлардан п = 3 • 2т ва п = 4 • 2т
учун икки серия мунтазам п-бурчак-
лар ясаш имконини беради, бунда
т 0. Мп ни умумий колда ясаш
масаласини кал килиш учун п ток
булган коллар каралса бас.
Евклид узининг «Негизлари»да кур-
сатилган икки серия купбурчаклардан
5-расм.
Агар п 5 берилганда айлананинг
кушни булиниш нукталарини эмас,
балки т та ёйдан сунг келадиган
нукталари туташтирилса, (бунда
1 < гп у колда утказилган ва-
£
тарлар {—} символ билан белгила-
нувчи фигурани косил килади. 6
п (5 .
7-расмларда пентаграмма {5—}
Л ,
октаграмма {у-} тасвирланган.
ва
ва
Энг кддимда циркуль ва чизгич
ёрдамида Мп мунтазам п-бурчак ясаш
какида амалий масала куйилган эди
(К- Геометрии ясашлар). М-з, Ма ва М&
ни ясаш жуда содда — улар 8-расмда
курсатилган. Мп ни ясаш, албатта,
айланани п та тенг ёйга ажратиш
билан тенг кучли. Ёйни унга мос мар-
ташкари, мунтазам бешбурчакларни
ва унбеш бурчаклар (улар билан
бирга яна икки серия Мп купбурчак-
лар: п = 5-2т ва п = 15-2т)ни ясаш
усулини келтиради. Бешбурчак ёки
унбурчакни куриш кесманинг «олтин
кесими»ни ясашга келтирилади.
Mi о ни куриш учун ташки чизилган
айлананинг маълум R радиуси буйича
унбурчакнинг х томонини ясаш етарли
экани равшан. Томонлари О А =
О В = R, АВ = х ва бурчаклари
АО В = 36°, А = В = 72° булган унта
учбурчакдан бирини кд раб (Л1к: шун-
дай учбурчаклардан тузилган), ВС
биссектрисани утказсак (9-расм).
О АВ ва АВС учбурчакларнинг ух-
шашлиги ва АВ, ВС, ОС кесмаларнинг
тенглигидан х / (R — х) = R/ х
пропорцияни косил киламиз, у про-
порция жуда кадим замонлардан буён
«олтин пропорция», деб аталади.
Купбурчак
201
Бунда С нукта О А кесмани шундай
буладики, катта булакнинг кичик
булакка нисбати бутун кесманинг
катта булакка нисбати билан тенг.
Кесманинг худди шундай булиниши
«олтин кесим» дейилади. Бу про-
порция
х2 + Rx — R2 - 0
тенглама шаклида ёзилади, ундан
V5 — 1 D
X = --- R.
&
6-расм. 7-расм.
8-расм.
ни, шу билан бирга 20° = 60°/ 3
бурчакни берар, яъни 60° ли бурчак-
нинг трисекциясидан иборат булар
эди. Х,олбуки, буни циркуль ва чизгич
ёрдамида амалга ошириш мумкин
Албатта, R кесмага кура R \х> кесма-
ни ясаш осон (10-расм), кейин эса х
кесма ясалади. К,искача ясаш 11-
расмда курсатилган: ОЕ кесма мунта-
зам унбурчакнинг томонини, BE эса
О марказли айланага ички чизилган
мунтазам беш бурчакнинг томонини
беради. Мп ни куриш 360°/ п бурчак-
ни ясашга эквивалентлиги туфайли
60° = 360°/ 6 ва 36° = 360°/ 10
бурчакларни ясашларни билганимиз-
дан, улар буйича 60° — 36° = 24° =
= 360°/ 15 бурчакни, демак, мунта-
зам унбешбурчакни хдм ясай оламиз.
Евклиднинг n-бурчаклар х,акидаги
руйхатини тулдиришгунча икки минг
йилдан ортик вакт утди. Буни 1796 й.
немис математиги К. Ф. Гаусс бажар-
ди: у алгебраик гоялардан фойдаланиб
мунтазам унеттибурчак ясаш усулини
курсатди х,амда факат циркуль ва
чизгич билан п — 7, п — 9 киймат-
ларда мунтазам п бурчак ясаб булмас-
лигини исботлади. Мунтазам туккиз-
бурчак ясаш 360°/ 9 = 40° бурчак-
эмас (к. К,адимги классик масалалар).
Бундан ташкари, К. Ф. Гаусс агар п
ток сон булса, факатгина п сони
Fk = 22 +1 куринишдаги (Ферма
сонлари деб аталувчи) ана шундай
бир нечта кар хил туб сон сонларнинг
купайтмасидан иборат булган х,олда-
гина Мп ни ясаш мумкинлигини
исботлади. Х,озирги вактда, бир неча
аср авалдагидай, Ферманинг фадат
бешта туб сони маълум: Fo = 3,
202
Еш математик цомусий лутати
F, =5, F2 = 17, F3 = 257 ва Л =
= 65537. П. Ферма бу сонларнинг
х,аммаси туб деб уйлаган эди. Аммо
Л. Эйлер бешинчи Ферма сони мурак-
каб, яъни F5 = 22 = 1 = 641.6700417
эканлигини курсатди. К,арийб 50 бет-
ни эгаллайдиган мунтазам 257-бур-
чакни ясашни Гаусснинг узи баён
к,илиб берган.
КУПЁКЛИК
Купбурчаклар текисликдаги энг
содда фигуралар булганидек, купёк-
ликлар фазодаги энг содда жисмлар-
ни намоён килади. Купёклик шакллар-
ни биз кар куни курамиз: гугурт
Кутиси, китоб, хона, куп каватли
уй (текис томли) — тугри бурчакли
параллелепипедлар, сут солинадиган
халтачалар — тетраэдр, киррадор
каламлар, гайкалар-призлш (колабер-
са, параллелепипед кам турт бурчакни
призма) хдкида тасаввур беради.
Купгина меъморлик иншоотлари
пирамида ёки кесик пирамидани тас-
вирлайди. Машкур Миер экромлари
ёки Кремль минораларининг куббаси
пирамида шаклида. Талайгина купёк-
ли шакллар, масалан, 1-расмдаги
«уйча» ёки 2-расмдаги «думалок уй»-
нинг махсус номи йук.
Соф геометрик нуктаи назардан
купёклик-фазонинг ясси купбурчак-
лар-ёкдар билан чегараланган кисми.
Ёкдарнинг томонлари ва учлари
МУНТАЗАМ
КУПБУРЧАКЛИ
ПАРКЕТЛАР
Агар текислик 1,а-расмда
курсатилганидек тенг квадратлар-
га булинса, энг оддий, аммо хеч
бир жозибасиз паркет косил була-
ди. Бунда иккита квадрат ё уму-
мий томонга, ё умумий учга эга
булади, ёки умумий нукталарга
мутлако эга булмайди. Мунтазам
учбурчак ва олтибурчаклардан ту-
зилган паркетлар хам жуда содда
(1, б ва 1, в расмлар).
Агар текисликни купбурчаклар
билан копланганда иккита
< купбурчак умумий томонга ёки
умумий учга эга, ёинки биронта
Хам умумий саккизбурчаклар ва
квадратлардан тузилган наркетни
курган булсангиз керак (2,
а-расм). Мунтазам олтибурчак-
лар, квадратлар, тенг томЬнли
учбурчаклардан чиройли паркет
тузиш мумкин (2, б-расм). /'
Агар паркет етарлича симмет-
рик булса, у кишида яхши таассу-
рот колдиради. Агар фигурани
узини-узига «тривиаль» (яъни
Купёцлик
купёкликнинг кмрралари ва учлари
дейилади. Ёдлар купёкли сирт косил
килади. 3-расмда тасвирланган фигу-
раларга ухшаш фигураларни (уларни
купёклик деб аташ кабул к,илинма-
ган) купёкликлар к,аторидан чикариб
юбориш учун одатда купёкли сиртга
куйидаги чеклаш куйилади:
1) кар бир кирра икки ва факат
икки ёк учун умумий булсин (бундай
ёклар кушни деб аталади);
2) кар бир икки ёкни кетма-кет
кушни ёклар занжири билан туташ-
тириш мумкин булсин;
3) кар бир уч учун ёкларнинг шу
учга тегишли бурчаклари бирор бир
куп ёкли бурчакни чегараласин.
203
Купёклик ихтиёрий ёгидан утувчи
текисликнинг бир томонида ётса, у
каварик купёклик дейилади. Бу шарт
куйидаги икки шартнинг кар бирига
эквивалент: 1) учлари купёкликнинг
ихтиёрий икки нуктасидан иборат
кесма бутунлай уша купёкликда ёта-
ди; 2) купёкликни бир неча ярим
фазонинг кесишмаси каби тасвирлаш
мумкин.
Хар кандай каварик купёклик учун
унинг учлари сони У, кирралари сони
К, ва ёдлари сони Ё орасидаги богла-
нишни урнатувчи Эйлер формуласи
(К- Топология) уринли:
У — К. + Ё = 2
Бу муносабат, умуман олганда,
хамма нукта уз урнида коладиган)
булмаган усулда устма-уст куйиш
мумкин булса, у холда фигура
симметрик фигура дейилади.
Масалан, 2, б-расмдаги паркет
хосил килувчи олтибурчаклар,
квадратлар ва учбурчакларнинг
учлари ва томонларидан иборат
бутун турни олтибурчаклардан бй-
рининг маркази атрофида 60° га
бурсак, биз худди уша турнинг
узига эга буламиз.
Симметрия нуктаи назаридан
паркетнинг биз берган таърифи
унчалик мувофик эмас. Унда хеч
кандай симметрияга эга булмаган
паркетларга йул куйилади. Маса-
лан, олтибурчаклардан тузилган
паркетдаги (1, е-расм), олтибур-
чаклардан баъзиларини олтита
учбурчакка ажратиб уни «бузит»
мумкин. Аммо бунда яна биз
юкорида берган таъриф маъноси-
да паркет хосил булишини ту-
шунмок осон. Хусусан, учта олти-
бурчакни 3-расмда курсатилгани-
дек булиб, бошка колган фигура-
ларни бутунича колдирсак, сим-
метриядан мутлако махрум паркет
хосил булишини исботлаш мум
кин (уриниб куринг!). Жозибасиз,
етарлича симметрик булмаган
паркетларни истисно килиш учун
бундай таърифни киритамиз: агар
паркетни узини-узига !нг бе-
рилган хар кандай у .и бошка
исталган учи билан устма-уст
тушадиган килиб куйиш мумкин
булса, у холда паркет мунтазам
дейилади. Мунтазам паркетлар-
нинг турли-туман хилларининг
хаммасини тавсифлаш мумкин
экан. Агар паркет купбурчаклари
томонининг узунлиги h берилган
булса, факат 11 та хдр хил (бир-
бири билан устма-уст тушмайди-
ган) мунтазам паркет мавжуд
Буларнинг хаммаси 1, 2, 4-расм-
ларда тасвирланган.
204
Еш математик цомусий лугати
Купёклик 205
каварикмас купёкликлар учун уринли
эмас, масалан, 2-расмда тасвирланган
купёк,лик сиртда У = Ё = 24, К, = 48,
шунинг учун X = У — К, + Ё сони
купёкдикнинг Эйлер характеристика-
си дейилади, у 2, 0, —2, —4, —6,... га
тенг булиши мумкин. К,уполрок килиб
айтганда, Эйлер характеристикаси
купёклик нечта «тешик»ка эга эканини
курсатади. Тешиклар сони р = 1 —
%
— у-(ёки X = 2 — 2 р).
Купёкликларни уларнинг учлари
(бурчаклари, ёкдари) буйича содда
классификациялаш самарали эмас.
Энг содда купёкликлар — турт учлик-
лар ёки туртёкликлар — камма вакт
туртта учбурчакли ёк билан чегара-
ланган. Аммо бешёкликлар бутунлай
бошка-бошка турда булиши мумкин,
масалан; турт бурчакли пирамида
туртта учбурчак ва битта туртбур-
чак билан чегараланган (4, а-расм),
учбурчакли призма иккита учбурчак
ва учта туртбурчак билан чегаралан-
ган (4, б-расм). Беш учликларга
туртбурчакли пирамида билан учбур-
чакли диэдр (4, б-расм) мисол
булади.
Албатта, бизни ураб турувчи бор-
ликдаги ;>нг куп таркалган купёклик-
ларнинг махсус номлари бор. Маса-
лан, н-бурчакли пирамиданинг асоси
и-бурчакдан, ён ёклари учлари битта
нуктада учрашувчи п та учбурчакдан
иборат (4, а-расм, бунда п=4), п-бур-
чакли призма иккита тенг, параллел
ва узаро бир хил жойлашган л-бурчак-
ли — асослар ва уларнинг мос томон-
ларини туташтирувчи п та параллело-
грамм — ён ёклар билан чегараланган
(4, б-расм, л=3).
Пирамида билан призма орасида
оралик уринни эгаллайдиган фигура-
4-расм.
5-расм.
6
6
Еш математик цомусий лугати
206
6-расм,
лар — кесик пирамидалар. Улар тулик,
пирамидалардан уларнинг асосларига
параллел текисликлар билан кичик
пирамидалар кесиб ташлаганда хосил
булади (5-расм). Кристалларнинг
табиий шакллари орасида умумий
асосли икки пирамидадан тузилган
диэдрлар ёки бипирамидалар учрай-
ди (4,в-расм). Архимед и-бурчакли
антипризмаларни хам карата н. Анти-
призмалар 6-расмда курсатилгандек,
узаро 2п та учбурчак билан туташ-
тирилган, иккита параллел, аммо бир-
бирига нисбатан сурилган п-бурчак-
лар билан чегараланган (п нинг сони
анча катта булса, антипризма пионер-
лар барабанига ухшайди — 6-расм).
Купбурчаклар каби купёкликлар
хам уларнинг симметриклик даража*-
ларига караб синфларга булинадй.
Пирамидалардан тугри пирамидалар
ажратилади: уларнинг асослари мун-
тазам купбурчак, баландликлари —
учидан асос текислигига утказилган
перпендикулярлар пирамида асоси-
нинг марказига тушади.
Параллелепипед параллелограмм-
га ухшайди: параллелограмм каби
параллелепипед хам симметрия мар-
казига эга, унинг туртта диагонали
(битта ёгида ётмаган учларини туташ-
тирувчи кесмалар) шу марказда
кесишади ва тенг икки кисмга булина-
ди. Мунтазам призмаларнинг асос-
лари хам мунтазам купбурчаклардан
иборат булади, купбурчаклар улар-
нинг марказлари оркали утувчи тугри
чизик асос текислигига перпендику-
ляр буладиган холатда жойлашади.
Мунтазам н-бурчакли антипризма-
нинг асослари хам ана шундай жой-
лашиши лозим, аммо битта асоси
иккинчисига нисбатан 180° : п = л : п
бурчакка буралган. Хамма мунтазам
купёкликлар жуда куп уз-узига жой-
лаш, яъни купёкликни уз-узига
алмаштирувчи буришлар ва симмет-
рияларга эга. Хамма уз-узига жой-
лашлар туплами айний уз-узига жой-
лаш билан биргаликда купёкликни нг
симметрия группасини ташкил кила-
ди.
Кристаллографияда симметрия
группалари буйича, одатда, купёклик
шаклга эга булган монокристаллар
классификацияланади.
7-расм.
Купёцлик
207
а
Юкорида курилган купёкликлар-
нинг симметриклиги, мунтазамлиги у
кадар тула эмас, уларда тенг булма-
ган ёклар, турли купёкли бурчаклар
мавжуд булиши мумкин. Бундан учта
купёклик истисно: мунтазам тет-
раэдр — туртта мунтазам учбурчак
билан чегараланган, тенг киррали уч-
бурчакли мунтазам пирамида (7, а-
расм), куб ёки мунтазам гексаэдр —
олтита квадрат билан чегараланган,
тенг киррали мунтазам туртбурчакли
призма (7, б-расм), никоят, окта-
эдр — саккизта мунтазам учбурчак
билан чегараланган, тенг киррали
мунтазам туртбурчакли диэдр (7, в-
расм), октаэдрни тенг киррали мунта-
зам учбурчакли антипризма каби таъ-
рифлаш кам мумкин. Мунтазам пира-
мидалар, призмалар, диэдрлар ва
антипризмалардан фаркли равишда
тетраэдр, куб, октаэдр шундайки,
уларнинг ихтиёрий икки ёгидан (ва
ихтиёрий икки куп ёкли бурчагидан)
бирини купёкликнинг бирор уз-узига
жойлашуви ёрдамида иккинчисига ут-
казиш мумкин. Бундан ташкари, улар-
нинг купёкли бурчаклари мунтазам-
дир, яъни уларнинг текис бурчаклари
кам, иккиёкли бурчаклари кам узаро
тенг.
«Умуман» мунтазам купёкликларни
текисликдаги мунтазам купбурчаклар
сингари таърифлаш мумкин: булар
/ 6
тенг мунтазам купбурчаклар билан
чегараланган ва тенг мунткзам купёк-
ли бурчакларга эга булган каварик
купёкликлардир. Юкорида айтилган
учта мунтазам купёклик — мунтазам
тетраэдр, куб ва октаэдрдан ташкари
яна иккитагина мунтазам купёклик
мавжуд экан: додекаэдр (униккиёк-
лик) ва икосаэдр (йигирмаёклик).
Улар мос равишда 12 та мунтазам
бешбурчак ва 20 та мунтазам учбур-
чак билан чегараланган (8, а ва б-
расмлар). Бу иккала купёклик кам куб
ва тетраэдр сингари (к- Куб) узаро
боглик: додекаэдр ёкларининг марка-
9-расм.
ёш математик цомусий лугати
208
зи икосаэдрнинг учлари булади ва
аксинча (9-расм).
Хаммаси булиб бештагина мунта-
зам купёклик мавжудлиги ажойиб
фактдир, ахир текисликдаги мунтазам
купбурчаклар эса чексиз куп.
Хамма мунтазам купёкликлар К,а-
димги Юнонистонда маълум эди.
Евклиднинг машхур «Негизлар»ининг
XIII китоби ана шуларга батошлан-
ган. Бу купёкликларни купинча Пла-
тон жисмлари деб аташади. Кддимги
Юнонистоннинг буюк олими Платон
баён килган оламнинг идеалисток
тасвирида бу жисмлардан турттаси
оламнинг турт элементига ухшатил-
ган: тетраэдр — слов, куб — ер,
икосаэдр — сув, октаэдр — каво,
бешинчи купёкдик — додекаэдр эса
бутун олам тузилишининг белгиси,
уни латин тилида quinta essentia
(«бешинчи мох,ият») деб аташган.
Мунтазам тетраэдр, куб, октаэдрлар-
ни топиш унчалик кийин булмаган,
колаверса, табиий кристаллар кам ана
шундай шаклга эга, масалан: ош тузи
(ХаС1)нинг монокристали — куб,
алюмо-калий аччидтоши (KAlSOjg-
• 12N2O) нинг монокристали — окта-
эдр. Додекаэдрнинг шаклини кадимги
юнонлар пирит (олтингугурт колче-
дани ЕеS)нинг кристалини урганаётиб
топишган деган тахмин бор. Додека-
эдрдан икосаэдр ясаш кийин эмас:
чунки олдин айтганимиздек, доде\-
коэдр уникки ёгининг марказлари
унинг учлари булади (9-расм). /
КУПХДД
Битта узгарувчи х нинг Р(х) купхдди
деб
Pty) = а0 + а\х + а2х2 + ...а„хп,
а„ =£ 0 (1)
куринишдаги ифодага айтилади. п со-
ни купкаднинг даражаси, а„ — бош
коэффициент, ао — озод х,ад дейила-
ди. Купхддалар амалларини курамиз.
Купкадларни кушиш ва купайтириш
амаллари куйидаги коидаларга муво-
фик аникланади:
(<2О + 4~ а2х2 -|- ...) -|- (6О b\х -|-
4" Ь2х2 ) = (ао 4-ta) +
4- (°i 4- Ь।)л: 4~ (2)
(ао + atx-ty а2х2 (bo + bix-ty
4" Ь2х2 4-...) = аоЬо 4- (aobi ty-a\bo) •
-х-\-(aob2ty-aib\ty-a2bo)x2(3)
Купкадлар устидаги амалларнинг хос-
салари хдкикий сонлар устидаги
арифметик амаллар хоссаларига ух-
шашлигини текшириш кийин эмас:
P(x)4-Q(x)=Q(x)4-P(x); Pty)-
Qty)=Qty)-P(x\
(P(x)+Q(x)+R(x)=P(x) +
4-(Q(x)+/?(%));
(P(x)Q(x))R(x)=P(x)(Q(x)R(x))-,
P(x)(Q(x)+R(x)=P(x)Q(x) +
+ P(x)R(x)
P (х)ифода x нинг д-чи даражали куп-
кади булсин. Р(х)=0 куринишдаги
тенглама n-чи даражали алгебраик
тенглама деб аталади. Р(хо) = 0 бул-
са, хо сони купкаднинг илдизи дейи-
лади. 1799 й. да немис математиги
К. Ф. Гаусс «купх,адлар алгебрасининг
асосий теоремаси» номини олган тео-
ремани исботлади: даражаси ноль
булмаган комплекс коэффициентли
ихтиёрий купкад камида битта комп-
лекс илдизга эга.
XVIII а. охирида француз матема-
тиги Э. Безу куйидаги теоремани таъ-
рифлади ва уни исботлади: хакикий
коэффициентли Р(х) купкадни х — а
иккикадга булишдаги колдик Р (а) га
тенг. Бу ердан, хусусан, агар а сони
Р(х) купкаднинг илдизи булса, Р(х)
купкад х — а га колдиксиз булиниши
келиб чикади. Р (х) купкад (х — а)к га
булинадиган энг катта k даража а
илдизнинг карралилиги дейилади.
д-чи даражали купкадни х — а икки
кадга булганда (п—1) -чи даражали
купкад косил булгани учун, алгебра-
нинг асосий теоремасини кисобга
олиб, ушбу хулосага келамиз: агар кар
бир илдизни унинг карралилиги канча
Купцад
булса, шунча марта хисобласак, и-чи
даражали комплекс коэффициентли
купхад роппа-роса п та илдизга эга
булади. Бундан ташхари, бу купхадни
чизихли купайтувчиларга ажратиш
мумкин:
ао ф а\х + а2х2 +... ф апхп = а„
•(г —Х1)1 (г — Х2) ...(X — xs)s, (4)
бу ерда Х\, х2, ... xs— купхаднинг
илдизлари, k, эса xt илдизнинг карра-
лилиги, k\ ... -ф ks = п. Агар а-\-Ы
хакихий коэффициентли купхаднинг
илдизи булса, у холда а — Ы хам унинг
илдизи эканини исботлаш мумкин.
(4) ёйилмадаги (х— а — Ы) ва
(х— а-\-Ы) купайтувчиларни узаро
купайтириб, хахихий коэффициентли
иккинчи даражали купхадни оламиз:
(х — а — Ы) (х — а Ы) =
= (х — а)2 -\-Ь2.
Бу ердан, хакихий коэффициентли
купхадни хакикий коэффициентли
биринчи ва иккинчи даражали купай-
тувчиларга ажратиш мумкинлиги ке-
либ чикади.
Француз математиги Ф. Виет
(1540—1603)
хп + а1хп~1 +a2x'I“2 + -..an-ix +
4* ап = 0
тенгламанинг Xi, Х2,...хи илдизлари
билан унинг коэффициентлари ора-
сида куйидаги муносабатларни ур-
натди:
х> +х2 +... +хи = —а\,
Xix2 4~Х1Х3 4~ + хп_ 1 хп = ct2,
Х1Х2Хз...Х„ = ( — 1)" • а„
Бу тасдик Виета теоремаси дейилади.
х2 4 рх 4- q квадрат учхад учун юко-
ридаги муносабат
Xi 4-х2= — р,
Х|Х2 = q
куринишда булади, бу ерда Xi ва х2 —
учхаднинг илдизлари.
209
Математикада купхадларнинг роли
нихоятда катта. Купхадлар анчайин
содда функциялар хисобланади.
Уларни дифференциаллаш ва ин-
теграллаш осон. Ихтиёрий узлуксиз
функцияни берилган кесмада куп-
хадлар билан исталганча аникликда,
масалан, кийматлари орасидаги фарк
0,001 дан камрок килиб якинлашти-
риш мумкин экан.
Функцияни бу функция аникланган
бирор нуктанинг кичик атрофида куп-
хад билан якинлаштириш шу нукта
якинида функция «узини кандай тути-
шини» — усищи ё камайиши ёки шу
нуктада экстремумга эга булишини
(К- Функция экстремумы) — ойдин-
лаштирйшга имкон беради. Функция-
ларни купхадлар билан якинлашти-
риш назариясига немис математиги
Вейерштрасс К. Т. В. (1815—1897),
П. Л. Чебишев катта хисса кушган.
210
Еш математик цомусий лугати
ЛИМИТ
Лимит — математиканинг энг мух,им
тушунчаларидан бири. Агар узгарувчи
миддор узининг узгариш жараёнида
а сонга чексиз ядинлашса, а сони
х узгарувчи микдорнинг лимити дейи-
лади. Буни мисоллар ордали тушун-
тирайлик.
Тенг ёнли учбурчакка ички айлана
чизамиз (1-расм), бу айлана диамет-
рини Х| билан белгилаймиз. Айлана
устига учбурчак асосига параллел
дилиб уринма утказамиз ва берилган
учбурчакка ухшаш учбурчак досил
диламиз. Бу учбурчакка яна ички
айлана чизамиз, унинг диаметрини
%2 билан белгилаймиз, асосга параллел
дилиб бу айланага уринма утказамиз
ва досил булган кичик учбурчакка
яна ички айлана чизамиз. Бу жараён-
ни шу йусинда давом эттирамиз. Бун-
дай ясашларни чексиз узод давом
эттириш ва натижада борган сари
ичиклашиб борувчи ички чизилган
айланалар кетма-кетлигини дамда
уларга мос диаметрлар узунликлари-
нинг Д|, %2, х?.,.. кетма-кетлигини олиш
мумкин.
Диаметрлар узунликларининг бу
кетма-кетлиги узининг узгариш жа-
раёнида, яъни п номер усиши билан
нолга чексиз ядинлашадиган хп узга-
рувчи катталик мисолини беради. Бу
кетма-кетликнинг лимити нолга тенг:
а = 0.
Кдралаётган ички чизилган айлана-
лар кетма-кетлиги бошда узгарувчи
микдор — диаметрлар йигиндилари
кетма-кетлиги уп билан боглид:
У\ = Xi,
У2 = Xl+%2
Уз = Xi + X? + х3,
Бу узгарувчи микдор бирор лимитга
интиладими? Агар биз 2-расмга дара-
3-расм.
сак, дарров ижобий жавоб оламиз
(бу ерда дамма диаметрлар 1-расмда-
гига нисбатан 90° ли бурчакка бурил-
ган): уп кетма-кетликнинг лимити h
га, яъни тенг ёнли учбурчак баландли-
гига тенг: а = h.
Энди яхшилаб осиб куйилган маят-
никни тасаввур этайлик (3-расм).
Уни мувозанат долатидан чидарайлик,
бошдача айтганда, вертикал тугри
чизиддан огдириб, сунг дуйиб юборай-
лик. Маятник мувозанат долатига
нисбатан тебрана бошлайди, ишдала-
ниш ва давонинг даршилиги туфайли
тебраниш дул очи (амплитудаси) аста-
секин кичрая бошлайди. Агар маятник
Лимит
211
холатини унинг вертикал тугри чизик-
дан четлашиши х билан характер-
ласак ва маятник вертикалдан унгда
булса, х ни мусбат, чапда булса —
манфий хисоблаймиз. Натижада узга-
риш жараёнида нолга интиладиган
узгарувчи катталик намунасини хосил
хиламиз. Унинг лимити а нолга
интилади. Узгарувчи х вактнинг функ-
цияси эканини айтиб утамиз, вахт
эса узлуксиз кечгани учун бундай
функция узлуксиз аргументнинг
функцияси дейилади.
Бу мисолларнинг хаммаси узгарув-
чи микдорнинг уз лимитига яхинла-
шиши турлича булиши мумкинлигини
курсатади. Диаметрлар кетма-кетлиги
хп хамма вахт нолдан катта була
туриб, нолга интилади. Диаметрлар
йигиндилари кетма-кетлиги уп, аксин-
ча, узи интиладиган баланддик узун-
лиги h дан хамма вахт кичик. Узгарув-
чи микдор х эса ’гох нолдан катта,
гохо нолдан кичик, гохо эса уз лимити
(яъни 0) га тенг булади. Бу мисоллар-
даги умумийлик шуки, узгарувчининг
хийматлари билан унинг лимити
хиймати орасидаги фархнинг абсолют
хиймати, яъни |х — о| михдор хар бир
Холда хам исталганча кичик мусбат
сондан кичик булиб колади.
Лимит тушунчаси узгариш ва чек-
сиз якинлашиш жараёни хакидаги
интуитив (ички туйгуга хос) тасаввур-
га таянади ва бу куринишида у
математик жихатдан катъий эмас,
албатта.
4-расм.
Математикада лимитнинг аник
математик таърифи XIX а. бошидаги-
на шаклланди. Шу муносабат билан
функция тушунчасини ойдинлашти-
риш хамда хакикий сонлар назария-
си ни тараккий эттириш талаб килин-
ди. Бунгача математикада икки аср
мобайнида лимит тугрисида интуитив
тасаввургина мавжуд булди, бирок у
хам фавкулодда самара берди, чунки
у математикага бутунлай янги муло-
хазалар методи — Лимитлар методи-
ки олиб кирди. Унинг татбик ва
ривожи дифференциал цисоб ва
интеграл эцисобнинг яратилишига,
математик анализнинг вужудга кели-
шига олиб келди.
Бу методнинг мохияти шундан
иборатки, номаълум катталикни аник-
лаш учун унинг якинлашишлари топи-
лади, бундай якинлашишлардан бир-
иккита эмас, балки чексиз куп топила-
ди. Агар, бу якинлашишлар аникрок
була борса, аникланаётган микдордан
фарки тобора кичиклашаверса, у
холда микдорнинг узи якинлашиш-
ларнинг лимити сифатида топилади.
Бунга ухшаш мулохазаларни ка-
димги юнон математикаси билмаган.
Агар уша даврда, масалан, Евдокс ва
Архимеднинг юза ва хажмларни аник-
лашда куллаган «камраш» методида-
ги каби, якинлашишлар каралган бул-
са хам, бу якинлашишлар сони куп
булмаган. Бундан ташкари, изланаёт-
ган ва маълум юза (ёки хажм) ораси-
да тенглик элементар геометрия ме-
212
Еш математик цомусий лугати
тодлари билан урнатилган (д. Ка-
вальеры принципы). Лимитлар мето-
дида чексиз куп ядинлашишлар хосил
Килинади ва номаълум микдор лимит
сифатида анидланади.
Лимитлар методи хадида тасаввур
Хосил килишингиз учун элементар
математика методлари билан ечиб
булмайдиган бир масалани курайлик.
Абсциссалар уди, тенгламаси у = х2
булган парабола ёйи ва х = а тугри
чизид билан чегараланган фигуранинг
юзасини анидлаш талаб дилинсин
(4-расм). [0; а] кесмани узунлиги
h = булган п та тенг дисмга
ажратамиз, бу кисмларнинг дар бири-
ни асос килиб, юдори чап учи парабо-
лада ётган тугри туртбурчак ясаймиз.
Ана шундай барча тугри туртбур-
чаклар юзалари йигиндисини, яъни
расмда яшилга буялган фигуранинг
юзасини топамиз:
S„ = 0-h + h2-h + (2hf-h +„.+
+ ((n- l)h)2h = h3 (1 + 22 + -.+
+ („_|)’_ 4»<n-D-<2n-l)
n3 6
(бу ерда биринчи k та натурал сон
квадратларининг йигиндиси учун
формуладан фойдаланилади, бу фор-
мула Архимедга хам маълум эди).
Sn учун топилган ифода шаклини
узгартирамиз:
„ _ а3 а3 1 а3 1
" ~ з ' n2 — Т ’ 7Г
Кейинги иккита душилувчининг
йигиндиси п чексиз катталашганда
нолга интилишини тушуниш осон,
а3
демак, S„ кетма-кетлик —миддорга
интилади. 4-расмдан куринадики,
буялган тугри туртбурчаклар юзала-
рининг йигиндиси бундай тугри
туртбурчаклар сони п чексиз катта-
лашганда эгри чизидли фигуранинг
юзасига интилади. Демак, изланаёт-
а3
ган юза дам —га, яъни Sn кетма-
кетликнинг лимитига тенг.
Математикада лимитлар методи
уз-узидан пайдо булмади, у уз замо-
насида элементар методлар билан
ечилмайдиган янги масалаларни кура
бошлашган куплаб математикларнинг
меднати натижасида аста-секин
шаклланди. Бу масалалар жисмлар-
нинг улчамлари, огирлик марказини
аниклаш, эгри чизидларнинг узунлик-
ларини топиш, эгри чизидларга урин-
малар утказиш, нотекис харакатда
оний тезликни топиш масалаларидир.
Аста-секин тажриба йигиб борилди
ва юдоридаги ухшаш масалаларни
умумий долда ечиш усуллари ишлаб
чида бошланди. Масалан, оний тез-
ликни берилган конкрет харакат учун
эмас, балки, босиб утилган йулнинг
вадтга ихтиёрий боглид булган хара-
кат учун анидлаш талаб дилинадиган
масалани ечиш усули топилди. Бу —
лимитга утишга асосланган янги
тушунчалар — интеграл ва досила-
нинг шаклланишига, математик ана-
лизнинг яратилишига олиб келади.
Лимитлар методининг татбид кили-
ниши, равшанки, лимитларни дисоб-
лаш усулларини тараддий эттиришни,
лимитлар устида амаллар бажариш
коидаларини урнатишни, яъни лимит-
лар назариясини яратишни талаб
этди. Бу назариядаги асосий тушунча
чексиз кичик — лимити нолга тенг
булган узгарувчи тушунчаси булиб
долди. Бу даврда математик анализ
чексиз кичиклар анализи деб аталар-
ди-
Агар х узгарувчи миддорнинг лими-
ти а булса, у долда х -+ а («ха га
интилади» деб удилади) ёки Нтх = а
(«х нинг лимити а га тенг» деб удила-
д) каби ёзиш дабул килинган;
Нт — «чегара, чек» маъносини англа-
тувчи латин сузи «limes» нинг биринчи
учта дарфи. Лимитни белгилаш учун
limes сузини биринчи булиб И. Нью-
Лимит
213
тон ишлатган, Нт символини француз
олими С. Люилье 1786 й. да киритган,
Нт ифодани биринчи булиб анг-
П—> оо
лиялик У. Гамильтон 1855 й. да ёзган.
Одатда, кетма-кетлик учун лимит бел-
гиси остида и —► оо символни кули-
шали, яъни НтХп деб ёзишади, бу
/7-* ОО
«п чексиз усганда хп нинг лимити»
деган маънони англатади. Функция
учун лимит белгиси остида аргумент
Кайси цийматга интилишини курсати-
шади, яъни limx(t) реб ёзишади. Бу
Г ^1О
«х (/) функциянинг t аргумент to га
интилгандаги лимити» деб укилади.
Лимитлар назариясида лимитлар-
нинг хоссалари текширилади, узгарув-
чи лимитининг мавжуд булиш шарт-
лари урнатилади, бир неча содда
узгарувчи микдорларнинг лимитлари-
ни билган холда мураккаб функция-
лар лимитларини х,исоблашга имкон
берадиган цоидалар топилади.
Лимитлар назариясининг баъзи
теоремаларини келтирайлик.
1. Узгарувчи берилган узгариш
жараёнида факат битта лимитга эга
булиши мумкин.
2. Узгарувчи х нинг лимити а га
тенг булиши учун х — а айирманинг
чексиз кичик булиши зарур ва етарли-
дир.
х, у, г узгарувчилар битта уз-
гариш жараёнида каралаётган бул-
син (бу узгарувчилар х„, уп, zn кетма-
кетликлар ёки x(t), y(t), z(i) функ-
циялар булиши мумкин), у холда:
3. Агар Нт х = Нт у = а ва узга-
ришнинг х,ар бир онида х <2 z у
булса, Hmz = а тенглик хам уринли.
4. Агар Нт х = а. Нт у = Ь, с —
узгармас булса, у холда х + у, х — у,
сх, ху узгарувчилар лимитга эга ва
Ит(х + у) = а. + в, Нт(х — у) =
= а — b, lim(cx) = са, Um(xy) =ab
булади. Бундан ташцари, агар b О
булса, у холда Нтх / у = а/ Ь.
Парабола ёйи ва абсциссалар уки
орасидаги юзани аникдаш мисолида
Sn юза
а3 ,а3 1 а3 1 а3
•5л — 3—г ‘ —2 — Т“‘ ~— 5—г '7-
3 6 и 2 п 3
куринишда тасвирланган эди.
Нт1/ п = 0 эканлиги равшан, бун-
П —>- ОО
дан ва 4-теоремадан фойдаланиб,
lima,_ = 0 эканини курсатиш мум-
П —► оо
кин. Хдкикатан хам,
Нт
П—>оо
„а1
Энди г>п — у-= а„ аиирма
чексиз
кичик булганига асосланиб, Нт S,, =
П-+ оо
= а3/ 3 деган хулосага келамиз. 1-
расмга кайтайлик.
Агар ён томони асосидан 2 марта
катта булган тенг ёнли учбурчак
олсак, у холда хп диаметр узунлиги-
нинг киймати ва диаметрлар узунлик-
лари йигиндиси уп учун
х — —( —) п~' и — h h (3 )
Хп — у , уп — fl ti у
ифодаларга эга буламиз. Агар мусбат
q сон 1 ан кичик булса, <7" —О
булиши лимитлар назариясида исбот-
ланади. Шунга кура
Нт хп = Нт —(-=-) п =
П^оо п-^-оо 3
2ft,. ,3 .
= ^-ltm (—)
О п->-оо □
" = о,
214
Еш математик цомусий лугати
3
Нт уп — Нт (h — h (-=-)") =
П —*• оо П —*- оо О
+ h — h Нт( — )n=h
П-*~ ОО J
эканлиги келиб чикади. Иккала х, г
узгарувчи бир вактда нолга интилган-
да уларнинг х/ z нисбатини караш
алох,ида эътиборга лойик — бу холда
/о куринишдаги аникмаслик хакида
суз юритишади. у = sinx/ х функ-
цияни карайлик. Агар х радианларда
улчанади деб хисобласак, бу функция
нолдан фаркли барча х ларда аник-
ланган, х нолга интилганда °/ о кури-
нишдаги аникмасликка эгамиз. Бур-
чакнинг нолга якин бир неча киймат-
ларини оламиз: 10°, 5°, 2°, 1°, 30'.
Тригонометрия жадваллар буйича
синуснинг мос кийматларини топиб,
бу бурчакларни радиан улчовда хисоб-
лаб чикамиз (ф бурчакнинг градус
улчови ф нинг радиан улчови х билан
куйидагича богланган:
х = -^гф= 0,0174ф),
сунг (sin х) / х нисбатнинг киймат-
ларини топамиз. Олинган маълумот-
ларни жадвал куринишда тасвирлай-
лик (кийматлар 0,0001 аникликда
берилган):
Бурчакнинг градус улчов- даги катталиги Бурчакнинг радиан улчов- да ги катталиги sin х sin х
10” 0,1745 ©,1736 0,9948
5” 0,0873 0,0872 0,9988
2й 0,0349 0,0349 1
1" 0,0175 0,0175 1
30' 0,0087 0,0087 1
олинган барча мусбат х учун уринли.
Тенгсизликнинг чап томонидан
(sinx) / х < 1, унг томонидан эса
cosx < (sinx) / х булиши келиб
чикади. Шундай килиб, cosx <
< (sinx) / х < 1 эканини хосил
киламиз.
у = (sinx) / х функциянинг жуфт-
лигини айтиб утамиз, бинобарин,
сунгги тенгсизлик манфий х лар учун
хам уринли.
sinx/ х ифода cosx ва 1 орасида
жойлашган экан, демак, 1 билан cosx
орасидаги фаркка Караганда 1 билан
(sinx) / х орасидаги фаркдан кичик-
рок- х нолга интилганда cosx функция
1 га интилгани учун
sin х ]
X
Нт
х->-0
sin X___
тенглик ажойиб ли-
мит дейилади ва ундан куплаб бошка
лимитларни хисоблаш учун фойда-
ланилади. Лимитлар назариясида 0/0
куринишдаги аникмасликка олиб
келадиган нисбатлар лимитини топиш
(аникмасликларни очиш) методлари
ишлаб чикилганлигини айтиб утамиз.
Лимитлар назариясининг тарак-
киётида И. Ньютон, Г. Лейбниц.
Ж. Даламбер, Л. Эйлер иштирок этди-
лар. Лимитнинг О. Коши (француз
математиги, 1789—1857) томонидан
берилган катъий таърифига асослан-
ган хозирги замон лимитлар назария-
си XIX а. математиклари К. Вейер-
штрасс хамда Б. Больцано (чех
математиги, 1781 —1848) ишларида
етук даражага кутарилган (кетма-
кетликнинг лимити хакида к- Кетма-
кетлик).
Бу жадвалдаги маълумотлар х
нолга интилганда sin х/ х нисбатнинг
лимити 1 га тенг булса керак деган
фикрга олиб келади. Бунинг исботи
sinx < хС tyx тенгсизликка асосла-
нади; бу тенгсизлик, 5-расмдан кури-
ниб турганидек, биринчи чоракдан
ЛОБАЧЕВСКИЙ
ГЕОМЕТР ИЯСИ
Лобачевский геометриясининг ярати-
лиш тарихи айни пайтда Евклиднинг
бешинчи постулатини исботлашга
Лобачевский геометрияси
215
уринишлар тарихидир. Бу постулат
Евклид томонидан геометрия баёнига
асос килиб олинган аксиомалардан
биридир. Бешинчи постулат — гео-
метрия аксиоматикасига Евклид
киритган сунгги ва энг мураккаб
тасдик. Бешинчи постулатнинг таъри-
фини эслайлик: агар бир тугри чизик
бошка икки тугри чизикни кесса
ва ундан бир томондаги ички бурчак-
лар йигиндиси икки тугри бурчакдан
кичик булса, тугри чизиклар жуфти
шу томонда узаро кесишади. Маса-
чак хисобида) фарк килса, h ва 1>
тугри чизиклар т дан 200 км дан
ортик масофада кесишувини айтиш
кифоя.
Евклиддан сунг яшаган куп матема-
тиклар бу аксиома (бешинчи посту-
лат) — ортикча, яъни у бошка аксио-
малар асосида теорема сифатида ис-
ботланиши мумкин, деб кисоблашган
ва уни исботлашга уринишган. Чунон-
чи, V а. математиги Прокл (Евклид
асарларининг биринчи шархловчиси)
ана шундай уриниш муаллифи. Бирок
лан, агар 1-расмда а — тугри бурчак,
(’> эса тугри бурчакдан озгина кичик
булса, /| ва /2 тугри чизиклар албатта
кесишади, кесишганда кам т тугри
чизикнинг унг томонида кесишади.
Евклиднинг куп теоремалари (маса-
лан, «тенг ёнли учбурчак асосидаги
бурчаклар тенг») бешинчи постулатга
нисбатан гоят содда фактларни ифо-
далайди. Бунинг устига бешинчи
постулатни тажрибада текшириш анча
мураккаб. Агар 1-расмдаги АВ масо-
фани 1 м га тенг, (3 бурчак эса
тугри бурчакдан бир секундга (бур-
3-расм,
Прокл узи сезмасдан исботида куйи-
даги тасдикдан фойдаланган: бир
тугри чизикка утказилган икки пер-
пендикуляр кар икки томонга давом
эттирилганда кам бир-биридан чекли
масофада жойлашади (яъни бир тугри
чизикка перпендикуляр икки тугри
чизик 2-расмдагига ухшаб бир-бири-
дан чексиз узоклашиб кета олмайди).
Бу тасдикнинг «очик-ойдин» куриниб
туришига карамасдан, у геометрия-
ни нг катъий аксиоматик баёнида
асосланишга муктож. Хакикатда эса
Прокл фойдаланган тасдик бешинчи
постулатга эквивалент; бошкача айт-
ганда, агар у яна бир аксиома сифати-
да Евклиднинг колган аксиомаларига
кушилса, бешинчи постулатни исбот-
лаш мумкин (Прокл худди шу ишни
килган), агар бешинчи постулат кабул
4-расмя
216
Еш математик цомусий лугати
5-расм.
килинса, у холда Прокл томонидан
берилган тасдикни исботлаш мумкин.
Бешинчи постулатни исботлаш
йулидаги кейинги уринишларнинг тан-
к,идий анализи курсатдики, Евклид
аксиоматикасидаги бешинчи посту-
латни алмаштириш мумкин булган
шунга ухшаш куплаб «очик,-ойдин»
тасдикдар мавжуд. Мана бешинчи
постулатнинг шундай эквивалентла-
рига бир неча намуна: 1) Ёйик, бур-
чакдан кичик булган бурчакнинг ичи-
даги нуктадан доим унинг томонлари-
ни кесувчи тугри чизик, утказиш
мумкин, яъни текисликда тугри чизик,-
лар 3-расмдагидек жойлаша олмайди.
2) Узаро тенг булмаган иккита ухшаш
учбурчак мавжуд. 3) I тугри чизикдан
бир томонда ва ундан бир хил масофа-
да жойлашган уч нукта (4-расм) бир
тугри чизикда ётади. 4) Х,ар кандай
учбурчак учун ташки чизилган айлана
мавжуд.
«Исботлар» борган сари аста-секин
нозиклашиб, уларда бешинчи посту-
латнинг эквивалентлари пайкаш
кийин даражада чукуррок яширина
бошлади. Математиклар бешинчи
постулатни нотугри деб фараз килиб,
мантикий зиддиятга келишга уринди-
лар. Улар бизнинг геометрик интуи-
циямиз (ички туйгумиз) га мутлако
зид булган тасдикдарга келдилар,
лекин мантикий зиддият косил булма-
ди. Балки, «биз бу йулда умуман
кеч качон зиддиятга келмасмиз?
Евклиднинг бешинчи постулатини
унинг инкори билан алмаштирсак
(Евклиднинг бошка аксиомаларини
сакдаган колда), биз янги, ноевклид
геометрияга, бизнинг одатдаги яккол
тасав) /рларимиз билан куп жикатдан
ному офик, лекин шунга карамасдан
кар кандай мантикий зиддиятдан
холи геометрияга келишимиз мумкин
масми?». Бу содда, лекин жуда дадил
фикрга математиклар Евклиднинг
«Негизлари» яратилгандан кейинги
икки минг йил давомида машаккат
билан келмасликлари мумкин эмас
эди.
Бешинчи постулат узининг инкори
билан алмаштирилган ноевклид гео-
метрия мавжуд булиши мумкин,
деган олим биринчи булиб математик
К. Ф. Гаусс булди. Гаусс ноевклид
геометрия гояларига эга булганлиги
факатгина олимнинг улимидан сунг,
унинг архивини ургана бошлангач
маълум булди. Гениал Гаусс, гарчанд
унинг фикрига камма кулок солса
кам, замондошлари тушунмаслиги ва
баксга жалб килинишидан чучиб,
узининг ноевклид геометрияга оид
натижаларини босиб чикаришга
журъат килмаган. XIX а. бешинчи
постулат топишмогининг ечимини
берди. Бу ихтирога Гауссдан мустакил
равишда бизнинг ватандошимиз —
Козон университетининг профессори
Н. И. Лобачевский кам эришди.
У зидан аввал утган математиклар
сингари Л обачевский эрта ёки кеч
зиддиятга келиш умидида бешинчи
Лобачевский геометрияси
постулат инкоридан х,ар хил натижа-
лар чикаришга уннади. Бирок, у унлаб
теорема исботласада, мантикий зид-
диятга дуч келмади. Шунда Лобачевс-
кийнинг хаёлига бешинчи постулат
инкори билан алмаштирилган геомет-
рия зиддиятдан холи, деган фикр кел-
ди. Лобачевский бу геометрияни
хаёлий деб атади. У узининг тадки-
217
котларини 1829 й. дан бошлаб катор
асарларида баён этди. Лекин мате-
матиклар олами Лобачевский гояла-
рини кабул килмади. Олимлар Евклид
геометриясидан фаркли геометрия
мавжуд булиши мумкин, деган фикрга
тайёр эмас эдилар. Биргина Гаусс рус
олимининг илмий жасоратига уз
муносабатини билдирди: у 1842 й. да
218
Еш математик цомусий лугати
7-расм,
Н. И. Лобачевскийнинг Гёттинген
дироллик жамиятининг мухбир аъзо-
лигига сайланишига эришди. Бу Лоба-
чевский даётлигида унга берилган
ягона дурмат нитону (илмий эдти-
ром) эди. У уз гояларининг тан
олинишига эришмай оламдан утди.
Лобачевский геометрияси дадида
дикоя дилар эканмиз, ноевклид
геометрияни очиш шарафини Гаусс ва
Лобачевский билан тенг буладиган
яна бир олимни курсатмай утиш
мумкин эмас. У венгр математиги
Я. Бойяи (1802—1860) эди. Унинг
отаси — параллеллар назарияси усти-
8-расм,
да бир умр иш олиб борган танидли
математик Ф. Бойяи бу муаммони
ечиш инсон адл-идроки имкониятидан
юдорида деб дисоблаган ва углини
омадсизлик ва кунгилсизликлар йули-
дан дайтармодчи булган. У углига
ёзган хатларининг бирида дейди:
«Мен бу туннинг безиё зимистон
йулидан тулид утдим ва ундаги дар
дандай умид, дар дандай даёт дувон-
чини дафн этдим... У сени вадтингдан,
соглигингдан, тинчингдан, даётингда-
ги бутун бахтдан мадрум дилиши
мумкин...». Лекин Янош отасининг
огодлантиришига дулод солмади. Тез
орада ёш олим Гаусс ва Лобачевский-
дан мустадил уша. гояларга келди.
Отасининг 1832 й. чиддан китобига
иловада Я. Бойяи мустадил ноевклид
геометриянинг баёнини берди. Евклид
геометриясида бешинчи постулатдан
фойдаланмай исботланиши мумкин
булган теоремаларнинг барчаси
Лобачевский геометриясида дам (баъ-
зан Лобачевский — Бойяи номи билан
дам аталади) уз кучини садлайди
(бунда бешинчи постулат урнида
дозирги кунда мактаб дарсликларига
киритилган унинг эквиваленти —
параллеллик аксиомасини кузда ту-
тиш дам мумкин). Масалан: вертикал
бурчаклар тенг; тенг ёнли учбурчак
асосидаги бурчаклар тенг; берилган
нудтадан берилган тугри чизикка
факат битта перпендикуляр тушириш
мумкин; учбурчаклар тенглигининг
9-расм,
Лобачевский геометрияси
219
аломатлари х,ам уз кучини саклайди
ва бошкдлар. Бирок исботида парал-
леллик аксиомаси кулланадиган
теоремаларнинг куриниши узгаради.
Учбурчак бурчакларининг йигиндиси
180° га тенглиги хдкидаги теорема —
мактаб курсида исботида параллеллик
аксиомасидан фойдаланиладиган
биринчи теорема. Бу ерда биз биринчи
«сюрприз» га дуч келамиз: Лобачевс-
кий геометриясида ихтиёрий учбур-
чак бурчакларининг йигиндиси 180°
дан кичик. Агар бир учбурчакнинг
икки бурчаги бошка учбурчакнинг
икки бурчагига мос равишда тенг
булса, Евклид геометриясида учинчи
бурчаклар кам тенг (бундай учбурчак-
лар ухшаш). Лобачевский геометрия-
сида ухшаш учбурч аклар мавжуд
эмас. Бунинг устига Лобачевский
геометриясида учбурчаклар тенглиги-
нинг туртинчи аломати уринли: агар
бир учбурчакнинг бурчаклари мос
равишда бошка учбурчакнинг бурчак-
ларига тенг булса, бу учбурчаклар
тенг булади.
Лобачевский геометриясида 180°
дан АВС учбурчак бурчаклари йигин-
диси айрилса, айирма мусбат булади;
у бу учбурчакнинг дефекта дейилади.
Бу геометрияда учбурчакнинг юзаси
унинг дефекти билан ажойиб алокада
экан: Sabc = k - Dabc ,
бунда — S ва D учбурчакнинг юзаси
ва дефектини билдиради, k сони эса
юзалар ва бурчакларнинг улчов
бирлигига боглик.
Энди АО В — бирор уткир' бурчак
булсин (5-расм).Лобачевский геомет-
риясида ОВ томонда шундай М
нукта танлаш мумкинки, ОВ томонга
утказилган М Q перпендикуляр бур-
чакнинг бошка томонини кесмайди.
Худди шу факт бешинчи постулат
уринли эмаслигини тасдиклайди: а ва
Р бурчаклар йигиндиси ёйик бурчак-
дан кичик, лекин О А ва MQ тугри
чизиклар кесишмайди. Агар М нукта
О га якинлаша бошласа, куйидаги
хоссага эга булган Мо «критик»
нукта учрайди: О В томонга MoQo
перпендикуляр О А томон билан х,амон
кесишмайди, аммо О ва Мп орасида
ётувчи ихтиёрий М' нукта учун М1 Q1
перпендикуляр ОА томонни кесади.
О А ва MvQo тугри чизиклар бир-бири-
га борган сари якинлашади, лекин
умумий нуктага эга булмайди; худди
мана шундай — бир-бирига чексиз
220
Еш математик цомусий лугати
13-расм,
якинлашувчи тугри чизикларни Л оба-
чевский узининг геометриясида
параллел деб атайди. Бир тугри
чизикка икки перпендикулярни эса
Лобачевский таркалувчи тугри чизик-
лар деб атайди (улар 2-расмдагига
ухшаб бир-биридан чексиз узоклаша-
ди). Лобачевский текислигида бир
жуфт тугри чизикнинг бир-бирига
нисбатан жойлашуви куйидагича чек-
ланар экан: устма-уст тушмайдиган
иккита тугри чизик ё бир нуктада
кесишади, ёки параллел (6-расм),
ёинки таркалувчи булади (сунгги
колда улар ягона умумий перпенди-
кулярна эга булади, 2-расм).
7-расмда АОВ бурчакнинг О В
томонига утказилган MQ перпенди-
куляр ОА томон билан кесишмайди;
OB', M'Q' тугри чизиклар эса ОВ,
MQ тугри чизикларга (ОА га нисба-
тан) симметрик. Шунингдек, | ОЛ4| =
= |МВ|, бинобарин, (MQ) тугри чи-
зик — ОВ кесманинг уртасидан утка-
зилган перпендикуляр, (Л41 Q') тугри
чизик эса ОВ' кесманинг уртасидан
утказилган перпендикуляр. Бу пер-
пендикулярлар кесишмайди ва шу са-
бабли О, В, В' нукталардан бир хил
узокликдаги нукта мавжуд эмас, яъни
ОВВ' учбурчак ташкя чизилган айла-
нага эга эмас.
8-расмда учта тугри чизикнинг
Лобачевский текислигида кизик тарз-
да жойлашуви тасвирланган: улардан
кар икки жуфти узаро параллел
(факат кар хил йуналишда). 9-расм-
даги тугри чизикларнинг каммаси
бир йуналишда узаро параллел (па-
раллел тугри чизиклар дастаси). 9-
расмдаги кизил чизик даста тугри
чизикларининг кар бирига «перпенди-
куляр» (яъни бу чизикнинг ихтиёрий
М нуктасидаги уринмаси М дан
утувчи тугри чизикка перпендикуляр).
Бу чизик лимит айлана ёки орицикл
дейилади. К,аралаётган дастанинг
тугри чизиклари орициклнинг «ради-
услари» га ухшайди, «маркази» эса
гуё чексизликда ётади, чунки «радиус-
лар» параллел. Шу билан бирга
орицикл тугри чизик эмас, у «эгил-
ган». Евклид геометриясида тугри
чизикка тааллукли булган бошка
хоссалар кам Лобачевский геомет-
риясида эгри чизикларга хос булиши
мумкин экан. Масалан, бир тугри
чизикдан бир томонда ва ундан бир
хил масофада ётадиган нукталар туп-
лами Лобачевский геометриясида эгри
чизик булар экан (у эквидистанта
дейилади).
Биз Лобачевский геометриясининг
факат айрим фактларига куз ташла-
дик, холос, куплаб бошка кцзик ва
сермазмун теоремалари устида тух-
талмадик (масалан, г радиусли айла-
нанинг узунлиги ва доиранинг юзи г
Лобачевский геометрияси
ортиб борганда экспоненциал ко-
нун — ег функция каби усади). Жуда
кизик ва сермазмун фактларга бой
булган бу назария хакикатан хам
зиддиятдан холи булса керак, деган
ишонч уйготади. Лекин ноевклид
геометриянинг учала ижодкорида хам
булган бундай ишонч унда зиддият
йуклигининг исботи урнини боса
олмайди.
Бундай исботга эга булиш учун
модель куриш лозим эди. Лобачевский
буни яхши тушунган хамда моделни
топишга уринган эди. Бирок Лоба-
чевскийнинг узи бу вазифани бажара
олмади. Бундай моделни куриш
(яъни Лобачевский геометрияси
зиддиятдан холи эканлигини исбот-
лаш) кейинги авлод математиклари
хиссасига тугри келди.
1868 й. да италиялик математик
Э. Бельтрами псевдосфера деб ата-
ладиган ботик сиртни текширди (10-
расм) ва сирт устида Лобачевский
геометрияси амал килишини исботла-
ди! Агар бу сирт устида энг киска
чизиклар («геодезик чизиклар») ни
чизиб, масофалар шу чизиклар буйлаб
улчанса, уларнинг ёйларидан учбур-
чаклар ва хоказо ясалганда айнан
Лобачевский геометриясининг барча
формулалари уринли булар экан
(хусусан, хар кандай учбурчак бур-
чакларининг йигиндиси 180° дан ки-
чик). Тугри, псевдосфера устида
бутун Лобачевский текислиги эмас,
атиги унинг чекланган кисмига хос
хусусиятлар уринли булади, лекин
шунга карамасдан Лобачевский ихти-
росини тан олмаётганлар калъаси
биринчи бор дарз кетди. Икки йил
утгач эса немис математиги Ф. Клейн
(1849—1925) Лобачевский текисли-
гининг бошка мукаммал моделини
таклиф этди.
Клейн бирор К дойра олади хамда
текисликнинг К ни узига утказувчи
проектив алмаштиришларини карайди
(к- Проектив геометрия). Клейн
«текислик» деб К доиранинг ичини
атайди, курсатилган проектив алмаш-
тиришларни эса бу «текисликнинг»
221
«харакатлари» деб хисоблайди. Сунг
К доиранинг хар бир ватарини Клейн
«тугри чизик» лар сифатида кабул
килади (факат доиранинг ички нукта-
лари олингани сабабли ватарларнинг
учлари сокит килинади). «Харакат-
лар» проектив алмаштиришлардан
иборат булгани учун «тугри чизиклар»
бу «харакатлар» натижасида яна «туг-
ри чизикдарга» утади. Энди бу «текис-
ликда» кесмалар, учбурчаклар ва х- к.
каралиши мумкин. Иккита фигурадан
бири бирор «харакат» билан иккинчи-
сига утказилиши мумкин булса, улар
«тенг» деб юритилади. Шу билан
геометриянинг аксиомаларида тилга
олинадиган барча тушунчалар кири-
тилган булади ва бу моделда аксиома-
лар бажарилишини текшириб куриш
мумкин. Масалан, исталган икки А. В
нукталардан ягона «тугри чизик»
утиши равшан (11-расм). Шунингдек,
а «тугри чизик»ка тегишли булмаган
А нукта оркали а билан кесишмай-
диган чексиз куп «тугри чизик»
утказиш мумкин. Текширишни давом
эттириб, Клейн моделида Лобачев-
ский геометриясининг колган барча
аксиомалари хам бажарилишини кур-
са булади. Хусусан, ихтиёрий I
«тугри чизик» (яъни К доиранинг
ватари) ва унинг ихтиёрий А нуктаси-
ни бошка берилган /' тугри чизикка
ва унинг устидаги А1 нуктага утказув-
чи «харакат» топилади. Бу эса Лоба-
чевский геометриясининг барча
аксиомалари бажарилувини текши-
ришга имкон беради.
Лобачевский геометриясининг яна
бир модели француз математиги
А. Пуанкаре (1854—1912) томонидан
таклиф этилди. У хам бирор К доира-
нинг ичкарисини карайди; А дойра
чегарасини тугри бурчак остида кеса-
диган айланалар ёйларини «тугри
чизик» деб хисоблайди, яъни бу ёйлар
А' нинг чегараси билан кесишган
нукталарга утказилган А нинг радиус-
ларига уринади (12-расм). Пуанкаре
моделида доиравий алмаштиришлар,
хусусан, А доирани узига акслан-
тирувчи инверсиялар «харакат» вази-
222
Еш математик цомусий лугати
фасини утайди. Бу хакда батафсил
тухтаб утирмай, 13-расмга мурожаат
этиш билан чекланамиз: бу моделда
Евклиднинг параллеллик аксиомаси
уринли эмаслиги куриниб турибди.
Бу моделда Л' доиранинг ичида
оддий (Евклид) айланаси Лобачевс-
кий геометрияси маъносида хам
«айлана» булиши кизик; шунингдек,
К дойра ичида ётиб унинг Г чегара-
сига уринувчи айлана орициклни
тасвирлайди, Г ни кесиб утувчи
(лекин радиусларга уринмайдиган)
айлана ёйи эквидистанта булади.
Яна Лобачевский геометриясида мун-
тазам л-бурчак узининг хар бир учида
180° (1—2/ п) дан кичик ихтиёрий
бурчакка эга булиши мумкин (яъни
Евклид геометриясидаги шунга
ухшаш бурчакдан кичик). Шунинг
учун канака п олинмасин Лобачевский
текислигини мунтазам п-бурчаклар
билан коплаб «паркет» куриш мум-
кин (яъни буш ораликлар колдирмай
ёнма-ён териб чикиш мумкин). 14-
расмда ана шундай «паркет» (Лоба-
чевский текислигини мунтазам сак-
киз бурчаклар билан копламаси)
Пуанкаре моделида тасвирланган.
Пуанкаре махсус фантастик дунё
уйлаб топди. Бу дунё «ах,олиси»
Лобачевский геометриясини физик
тажрибалардан келиб чикиб кабул
килишга мажбур булардилар. Бу
максадда Пуанкаре Д' дойра махсус
оптик хусусиятга эга: А & К нуктада
ёругликнинг тезлиги А дан Д' дойра
чегарасигача масофага тенг деб фараз
килди. Шунда ёруглик назарда тути-
лаётган моделнинг «тугри чизиклари»
буйлаб таркалар эди (ёруглик энг
кам вакт сарф буладиган траектория
буйлаб таркалади, деган Ферма прин-
ципига асосан). Чегарага якинлашган
сари ёругликнинг тезлиги нолга кадар
камайгани учун у х,еч качон чекли
вакт давомида чегарагача ета олмай-
-ди, шунинг учун бу дунё унинг
«ах,олиси» томонидан чексиз булиб
туюлади. Метрика (масофа учун
формула ва бошка хоссалар) Лоба-
чевский текислигидагидек булади.
Кейинчалик Лобачевский геомет-
риясининг бошка моделлари хам так-
лиф этилди. Шу билан Лобачевский
геометрияси зиддиятдан холи эканли-
ги батамом исботланди. Шу билан
бирга Евклид геометрияси мумкин
булган ягона геометрия эмаслиги
курсатилди. Бу геометрия умуман
математиканинг кейинги барча тарак-
киётига катта прогрессив таъсир кил-
ди.
XX а. да эса Лобачевский гёомет-
рияси мумкин булган геометриялар-
нинг бири сифатида абстракт мате-
матика учунгина мух,им булиб колмай,
математиканинг физикадаги татбик-
лари билан бевосита алокаси борлиги
намоён булди. Шу нарса куриндики,
X. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн,
Г. Минковский ишларида очилган
махсус нисбийлик назариясида баён
килинадиган фазо билан вактнинг
узаро богликлиги Лобачевский
геометриясйга бевосита алокадор
экан. Масалан, х,озирги замон синхро-
фазотронлари билан боглик хисоб-
лашларда Лобачевский геометрияси-
нинг формулалари кулланилади.
ЛОГАРИФМ
а асосга кура N сонининг логарифми
деб (у logaN деб белгиланади), N
сонини хосил килиш учун а сонини
кутариш лозим булган даража курсат-
кичига айтилади, яъни агар
аь = N булса, b = logaN.
Бирдан фаркли ихтиёрий мусбат а
асос буйича ихтиёрий N мусбат сони-
нинг логарифми аникланган. Берилган
асосда хаР бир мусбат сонга ягона
логарифм мос келади.
Логарифмнинг таърифига кура
ушбу тенглик уринли
al°eaN = N.
Бу тенглик ёрдамида бу курсаткичли
функциянинг хоссаларидан лога-
Логарифм 223
рифмларнинг асосий хоссалари кел- билан бир орасида булади: О^С
тириб чидарилади (бунда — М, N —
мусбат сонлар):
loga (MN) = logaM + logaN,
loga~^ = logaM — l6gaN,
logaMk = klogaM,
toga ^M = ~j—logaM (fe > o).
/v
Бу хоссалар сонларни купайтириш
ва булишни (сонларни бирор асос-
нинг даражалари куринишида ифода-
лаб олиб) даража курсаткичларини
кушиш ва айиришга келтиришга,
даражага кутариш ва илдиз чидариш-
ни даража курсаткичига купайтириш
ва булишга келтиришга имкон ярата-
ди. Шунинг учун дам логарифмларни
куллаш мураккаб дисоблашларни сод-
далаштиради ва дис карта рад и.
Бизнинг унли санод системамизда
энг дулай асос — 10 сони. 10 асосли
логарифм унли логариф дейилади ва
lg каби белгиланади:
IgN = log,aN.
Асос 10 га тенг булганда 10 сони
бутун даражаларининг логарифмлари
бутун сонлар билан ифодаланади
(lg 103 = 3, /£0,01 = 1g 1 0“2 =
= —2), бошда сонларнинг лога-
рифмлари касрларда ифодаланади ва
жадвалларда уларнинг тадрибий дий-
матлари чекли унли касрлар курини-
шида берилади. Масалан, /£25,43 =
= 1,4053. Логарифм дийматининг
бутун дисми характеристика, каср
дисми эса мантисса деб аталади.
Х,ар кандай мусбат /V сонини дамма
вадт А = Ю" -х куринишда тасвир-
лаш мумкин, бунда п — бутун сон, х
эса 1 билан 10 оралигида. lg\ = 0,
/£10 = 1 эканини кайд киламиз. 1
билан 10 орасидаги дар кандай сон
учун унинг унли логарифми ноль
Igx 1. Бундай тасвирлашдан /V
сонининг lg N = п. Igx экани келиб
чидади, бунда п — характеристика,
Igx эса /V сони логарифмининг ман-
тиссаси.
Соннинг характеристикаси унинг
куринишига дараб анидланади. Бир-
дан катта сонлар учун характеристика
шу сон бутун дисмидаги радамлар
сонидан битта бирликка кам. Ноль
билан бир орасида ётувчи унли каср
шаклида ёзилган соннинг характерис-
тикаси манфий — ишора билан олин-
ган 0 дан фардли радамгача булган
ноллар сонига тенг. Масалан, 0,0216
сонининг характеристикаси — 2.
Характеристика мана шундай жуда
жун анидланганидан жадвалларда
фадат мантиссалар берилади.
Логарифмлар шотландиялик мате-
матик Ж. Непер (1550—1617) ва
ундан бехабар швецариялик механик
дамда математик И. Бюрги (1552—
1632) томонидан киритилган. Бюрги
логарифмларни биринчи булиб топган,
аммо уз жадвалларини кечикиб эълон
дилган (1620 й.). Непернинг «Лога-
рифмлар ажойиб жадвалининг таф-
силоти» номли иши эса биринчи
булиб 1614 й. эълон дилинган. Непер
логарифмлар жадвалининг асоси
иррационал булиб, унга (1 + —)"
п
сонлари п чексиз усганда чексиз
ядинлашади. Бу сон Непер сони дейи-
лади ва Л. Эйлер замонидан бошлаб
е дарфи билан белгиланади:
е = Um (1 + ~ )".
П~>-оо /1
Непер е сонининг узини эмас, унинг
жуда яхши ядинлашмасини —
олиб жадвал тузган. е асосли лога-
рифлар натурал логарифмлар деб
224
Еш математик цомусий лугати
аталади ва In («натурал логарифм»
сузларининг бош харфлари) каби
белгиланади.
Унли логарифмларнинг биринчи
жадвалини модир кашфиётчи ва теш и
йуд дисоб устаси булган инглиз
математиги Г. Бриггс (1561—1630)
тузган. Унинг «Логарифмик арифме-
тика» сида 1 дан 20 000 гача ва 90 000
дан 100 000 гача сонларнинг ун
турт хонали жадвали бор эди. 1628 й.
голландиялик математик А. Флакк
(1600—1667) 1 дан 100 000 гача
барча сонларнинг ун радамли мантис-
саларидан тузилган жадвалини нашр
этиб, Бриггс жадвалидаги камчиликни
тулдирди. Бу жадваллар дунёнинг
купгина мамлакатларида нашр дили-
на бошлади. Рус тилида логарифмик
жадваллар биринчи марта 1703 й.
нашр дили иди.
ЛОГАРИФМИК ФУНКЦИЯ
а асосга кура логарифмик функция
у — logax каби белгиланади (а>0,
а =/= 1) ва худди шу а асосли у = а*
курсаткичли функцията тескари функ-
ция сифатида таърифланади. Лога-
рифмик ва курсаткичли функциялар
узаро тескари булганлиги учун лога-
рифмик функциянинг графиги (у
баъзан «логарифмика» дейилади)
курсаткичли функция графигини би-
ринчи ва учинчи координата бурчак-
ларининг биссектрисасига нисбатан
симметрик акс эттириш натижасида
досил булади (1-расм). Логарифмик
функция мусбат х лар учун анидлан-
ган ва асос а бирдан катта булганда
монотон усувчидир. Логарифмларнинг
(1) ва (2) хоссаларидан (д. Лога-
рифм) фойдаланиб, ушбу
logi/ аХ = — lOgaX
тенгликни осонгина курсатиш мумкин,
бундан эса у = logy а х ва у — logax
функцияларнинг графиклари Ох удига
нисбатан узаро симметриклиги келиб
чидади. Логарифмик функциянинг
хоссалари 2-расмда яхши ифодалан-
ган. 2-расмдаги ихтиёрий иккита эгри
чизид ординаталари пропорционал-
дир, бу бевосита
tog"x = toh
формуладан келиб чидади.
Логарифмик чизгич
Математик анализда асоси е булган
логарифмик функция алох,ида ахд-
миятга эга, у натурал логарифм дейи-
либ, у = 1пх каби белгиланади. Бу
функциянинг хосиласи нихоятда сод-
да куринишга эга: (1пх)' = 1/ х.
3-расмда у = Igx ва у = 1пх функ-
цияларнинг графиклари таккосланган.
ЛОГАРИФМИК ЧИЗГИЧ
Оддий логарифмик чизгич (асосий
шкаласи узунлиги 250 мм) аслини
олганда логарифмларнинг уч хонали
жадвалидан ташкил топган кулай бир
механик х,исоб курилмасидан иборат.
Логарифмик чизгичда жуда куп
хилма-хил операциялар: купайтириш,
булиш, даражага кутариш, логарифм-
лаш ва потенцирлаш амалларини
бажариш, берилган бурчакларнинг
тригонометрик функциялари к,иймат-
ларини излаш мумкин.
Логарифмик чизгич уч кисмдан
иборат: корпус, корпус йуналтирувчи-
сида хдракатланувчи сурилгич (хара-
катланувчи кием) ва металл рамкага
олинган югурдакдан иборат. Югурдак
ойнасининг уртасида ингичка визир
чизиги бор.
Логарифмик чизгичнинг сурилгич
жойлашган юз (унг) томонида бир
нечта шкала бор (1-расм). Кублар
шкаласи — энг юкоридаги шкала С
билан белгиланган. Квадрат лар шка-
ласи (юкоридан иккинчи, В билан
белгиланган) икки марта туширилган:
хам чизгич корпусида (В шкала),
хам сурилгичда (В, шкала). Асосий
шкала (пастдан иккинчи, А билан
белгиланган) хам икки марта, яъни
корпусда (А шкала) ва сурилгичга
(4| шкала) туширилган. Логарифмлар
шкаласи пастда жойлашган ва D би-
лан белгиланган. Агар сурилгич
кузгалмаган булса, чизгич корпусида-
ги ва сурилгичдаги асосий шкалалар
барча булинмалари билан устма-уст
тушади; квадратлар шкаласи хам шун-
дай (1-расм). Шунингдек, сурилгич-
нинг орка томонида синуслар, тан-
225
генслар шкалалари хамда кичик бур-
чакларнинг синуслари ва тангенслари
шкалалари бор (2-расм).
Логарифмик чизгич логарифмлар
шкаласи текис шкаладир: 250 мм
узунликдаги кием ракамлар билан
белгиланган 10 та тенг булакка
булинган: бу булинмалар орасидаги
хар бир оралик яна унта тенг киемга
булинган, сунгги кисмларнинг хар
бири эса яна тенг бешта киемга
булинган.
Асосий А ва At шкалалар логариф-
мик шкалалардир, яъни бу шкалалар-
да 1 дан а белгигача булган кесмалар
узунлиги одатдаги чизгичда 250 Iga га
тенг булади. Иккита асосий шкала-
нинг узи билангина купайтириш
(3-а, б раем), булиш амалларини
(4-расм), купайтириш ва булишни
биргаликда (5-расм) бажариш хамда
даражага кутариш мумкин.
Квадратлар шкаласи В бир-бири-
нинг кетидан келадиган, узунлиги
буйича тенг ва бир хил иккита
логарифмик шкаладан иборат. Бу
шкалалардан хар бирининг узунлиги
одатдаги чизгичда 125 мм га тенг.
Сонларни квадратга кутарганда су-
рилгич катнашмайди: асосий А шка-
ланинг хар бир сон чизгиси рупара-
сида квадратлар шкаласи В да шу
соннинг квадрати туради. Квадратлар
шкаласида хам купайтириш ва булиш
амалини бажариш мумкин. Бунда
хисоблаш мохияти олдингидек кола-
ди, факат ярим улчам шкаласидан
фойдаланишга тугри келиб, натижа-
лар одатда унча аник чикмайди.
Кублар шкаласи С бир-бирининг
кетидан келадиган учта бир хил кием-
га булинган. Бу кисмларнинг хар
биридаги булиниш квадратлар шкала-
сининг булаклари кабидир, факат
узунлиги кичикрок, чунки бу сафар
хар бир булак узунлиги 250:3 мм га
тенгдир. Кубга кутариш, квадратга
кутариш каби амаллар сурилгичдан
фойдаланмай амалга оширилади.
Логарифмлар кашф килинганидан
кейингина логарифмик чизгични яра-
тиш мумкин булди.
8-4826
226
Еш математик цомусий лугати
\озирги вадтда жуда турли-туман
шакл ва улчамдаги логарифмик чиз-
гичлар ишлаб чидарилмодда хамда
чизгич дисмлари хам турли душимча
маълумотлар билан таъминланмодда.
70-й. дан хисоблашларда микро-
калькуляторлардан фойдаланиш кенг-
род тардала бошлади ва уларни
ишлаб чикариш усди. Ядин келажак-
да ихчам микрокомпьютерлар ишлаб
чидариш ривожланиб, хисоблашлар
юдори даражада автоматлашади.
1-расм,
2-расм,
3-расм,
4-расм,
5-расм
Майдон
227
м
МАЙДОН
Майдон — арифметик амаллари аник-
ланган элементлар туплами.
Агар укитувчи х2 — 3 купкадни
купайтувчиларга ажратишни топшир-
са, 6-синф укувчиси бу купкад купай-
тувчиларга ажралмайди, деб жавоб
беради. 7-синф укувчиси эса дийнал-
масдан х2 — 3 = (х —
• (х + уСГУ ёйилмани ёзиб беради.
х2 -|- 4 купкадни купайтувчиларга
ёйиш вазифасини комплекс сонларни
биладиган айрим укувчи уддалай ола-
ди: х2 + 4 = (х — 2г) (х + 2г). Агар
фадат какикий сонлар билан иш ку-
рилса, бундай ёйилма мумкин эмас.
Шундай килиб, берилган купкадни
купайтувчиларга ёйиш мумкинми,
деган саволнинг жавоби кандай сон-
лардан фойдаланишга рухсат берил-
ганлиги билан боглик- Бунда куп-
кадлар устида турли амалларни бажа-
рар эканмиз, уларнинг коэффициент-
ларини бир-бири билан кушиш ва айи-
риш, купайтириш ва булишга тугри
келади. Шу сабабли, алгебрада кар
кандай коэффициентлар туплами би-
лан иш олиб борилмаиди, факат куйи-
даги муким хоссага эга булган сон-
лар туплами билан иш курилади: бу
тупламнинг кар бир жуфт а ва b эле-
ментлари билан бир пайтда уларнинг
йигиндиси, айирмаси, купайтмаси ва
булинмаси щу тупламга тегишли (ал-
батта, нолга булишга тугри келадиган
Коллар мустасно).
Ана шундай тупламларда амаллар-
ни бажаришда тусиклар учрамагани
учун, яъни теп-текис жойдагидек
«ункир-чункирларсиз» каракат килиш
мумкин булгани учун улар сонли май-
донлар деб аталган. Х,ар бир сонли
майдонда юкорида келтирилган хос-
са уринли булганлиги учун арифме-
тик амалларнинг бажарилишига чек
йук- Барча рационал сонлар туплами
Q, барча какикий сонлар туплами R
ва барча комплекс сонлар туплами С
майдон булади (белгилашлар фран-
цузча quotient — «нисбат», reel —
«какикий» ва complexe — «комплекс»
сузларидан).
Лекин хилма-хил сонли майдонлар-
нинг оиласи шу уч майдон билан туга-
майди. Масалан, а + b курини-
шидаги сонлар (бунда а ва b — ра-
ционал сонлар) майдон ташкил кила-
ди, а + b 5" + с^25” куринишидаги
сонлар(бу ерда а, Ь, с—рационал
коэффициентлар) учун кам шундай.
Курсатилган шаклдаги сонларнинг
йигиндиси, айирмаси ва купайтмаси
яна шундай мос шаклда булишини
исботлаш жуда енгил. Булиш амали
кам шу куринишдаги сонларга олиб
келишини исботлаш бир оз мураккаб-
рок- а b лрГ куринишидаги сонлар
майдони какида ^/~2' сонини Q май-
донга бириктириш билан косил булган
дейилади. Шу сингари Q майдонга
yl~5> бириктирилса, а b + с о 25
куринишидаги сонлар майдони косил
булади (^25’ сони (д/"5)2 ва тенг).
Сонли майдон тушунчасининг кири-
тилиши купкадлар алгебрасининг куп
теоремаларини равшанрок ёритишга,
алгебраик тенгламалар хоссаларини
чукуррок урганишга имкон яратади —
бундай хоссалар купкадлар ва тенг-
ламалар кандай майдонлар устида ка-
ралишига, яъни кандай коэффи-
циентлар рухсат этилишига боглик.
Маълумки, математиклар у ёки бу ту-
шунчани киритишар экан, унинг кай-
си хоссалари асосий булиб, бошкала-
ри шу хоссалардан келиб чикиши,
яъни киритилаётган тушунча кайси
аксиомалар билан аникланишининг
тагига етишга интиладилар. Сонли
майдонлар учун умумий хоссалар
куйидагилардан иборат:
ёш математик цомусий лугати
228
1) F майдоннинг ихтиёрий а ва b
элементлари учун a -f- b йиринди ва
ab купайтма аникланган;
2) майдонда ноль (0) ва бирлик
(1) мавжуд;
3) F майдоннинг исталган а сони
учун F да унга царама-царши — а сон
бор, агар a 0 булса, тескари а~1
сон кам бор;
4) куйидаги айниятлар бажарилади:
а b = b a, ab — Ьа,
(а + Ь) + с = а + (Ь 4- с),
(ab)c = а(Ьс),
CL 4~ 0 = 0, а- 1 = О,
а + (—а) = 0, а-— -- 1
а
а(Ь 4- с) = ab 4- ас.
Бу айниятлар кушиш ва купайтириш
амалларининг коммутативлиги ва ас-
социативлигини, купайтиришнинг ку-
шишга нисбатан дистрибутивлигини,
ноль ва бирликнинг хоссаларини, ка-
рама-карши ва тескари элементлар-
нинг хоссаларини ифодалайди.
(а 4- Ь)2 = а2 4- 2ой 4- Ь2 ёки
(а 4- Ь) (а — Ь) = а2 — Ь2 каби
тенгликларни юкорида саналган
асосий айниятлардан келтириб чика-
риш мумкин — бундай тенгликлар
кам ихтиёрий майдонда уринли.
1) — 4) хоссаларга эга булган ку-
шиш ва купайтириш амалини факат
сонлар учунгина эмас, бошка табиат-
ли объектлар учун кам аникласа бу-
лар экан.
Майдонларнинг ажойиб турини
француз математиги Э. Галуа очган.
Бундай майдонлар атиги чекли сонда-
ги элементдан ташкил топган. Галуа
майдонларидан энг соддалари — туб
модулга нисбатан колдиклар (чегир-
малар) майдонидир (к. Таццослама-
лар).
Урта мактабнинг алгебра курсида
урганиладиган дарсликлар ва масала
китобларини тулдириб ташлаган куп-
лаб айниятлар майдон таърифидаги
асосий айниятларнинг натижаларидан
иборат. Шунинг учун улар кар бир
майдонда кам айниятлигича колади.
Майдонлар учун алгебрадан таш-
кари арифметика кам тузиш мумкин.
Бунинг учун аввал майдоннинг кайси
элементларини бутун деб аташ мум-
кинлигини кал килиш керак. Коэф-
фициентлари оддий бутун сонлардан
иборат x"4-aix"^‘+ 4~^п=0 ку-
ринишдаги тенгламани каноатланти-
рувчи сонлар бутун алгебраик сон-
лар деб юритилади. Масалан, \ПГ—
бутун алгебраик сон, чунки у
л — 5 = 0 тенгламанинг илдизи.
кисобланади.
Бутун алгебраик сонларнинг йигин-
диси, айирмаси ва купайтмаси яна
бутун алгебраик сон булади, нисбати
эса умуман олганда бутун алгебраик
сон булмаслиги мумкин. Узига тегиш-
ли кар икки сон билан бир пайтда
уларнинг йигиндиси, айирмаси ва
купайтмасини уз ичига оладиган туп-
лам сонли к а л к а деб аталади.
а 4- b т/2 ёки а 4- b д/'б 4- с\'~2о
куринишдаги сонлар тупламлари
(бу ерда а, Ь, с коэффициентлар —
оддий бутун сонлар) сонли халка-
ларга мисол булади. Сонли калка
тушунчасини умумлаштириб, мате-
матиклар калка тушунчасини кири-
тишган: калка — элементларини ку-
шиш ва купайтириш амаллари аник-
ланган туплам булиб, кушиш комму-
тативлик ва ассоциативлик хоссалари-
га эга, купайтириш кушишга нисба-
тан дистрибутив камда кар бир а эле-
ментнинг карама-каршиси — а мав-
жуд.
Халцаларда купайтириш, умуман
олганда, коммутатив ёки ассоциатив
булиши шарт эмас. Коммутатив бул-
маган калкага п 4- тартибли квадрат
матрицалар туплами (матрицалар
калкаси) мисолдир.
Сонли калдалар арифметикаси уни
бутун сонларнинг одатдаги арифмети-
касидан фарклайдиган хусусиятларга
эга. Масалан, барча алгебраик сон-
лар калкасида кар бир сонни купай-
тувчиларга ажратиш мумкин: а =
= у'аГ-д/о., демак, бу калкада туб сон-
лар мавжуд эмас.
Уцувчиларнинг математик олимпиадалари
МАКТАБ УК,УВЧИЛАРИ-
НИНГ МАТЕМАТИК
ОЛИМПИАДАЛАРИ
Математик турнирлар ва мусобакд-
лар узок, тарихга эга: масалан, куб
тенгламаларни ечиш учун (к- Алгеб-
раик тенгламалар) Тарталья-Кардано
формуласи кашф килиниши тарихи
шундай турнирлар билан боглик.
Мактаб укувчилари мусобакалари-
ни мунтазам утказиб туришда бирин-
чилик, чамаси, Венгрияга тегишли;
бу ерда математик олимпиадалар
1894 й. дан буён утказилиб келинади
(бу олимпиадаларнинг танланган ма-
салалари туплами 1976 й. да рус ти-
лида «Мир» нашриётида «Масалалар
ва олимпиадалар» сериясида чоп этил-
ган). Россияда 1894 й. дан «Вестник
опытной физики и элементарной ма-
тематики» журнали чика бошлаган,
унда укувчиларга ва бошка журнал-
хонларга «конкурс» учун математик
масалалар таклиф килинган. Улар
229
сиртки олимпиадалар эди, дейиш мум-
кин.
Масалалар ечишни, мусобакала-
шишни яхши курадиган, аммо замона-
вий математика чуккиларини кали
забт эта олмайдиган хозирги укувчи-
лар нима килишлари керак?
Улар учун математик олимлар,
олий укув юртининг муаллимлари
ва талабалари, укитувчилар хар Йили
янги масалалар уйлаб топишади ва
олимпиадаларга таклиф этишади.
СССР да математика буйича бирин-
чи шах,ар олимпиадалари ярим асрдан
аввалрок — 1934 й. да Ленинград ва
Тбилисида булиб утган. Уларни утка-
зишнинг ташаббускорларидан бири
ажойиб геометр, СССР ФА мухбир
аъзоси Б. Н. Делоне эди. 1935 й.
Москвада математика олимпиадаси
булди. Биринчи Москва математика
олимпиадаси ташкилий комитетининг
раиси СССР ФА академиги
П. С. Александров булди, ташкилий
комитет аъзолари МДУ нинг матема-
тик профессорлари эдилар.
ёш математик цомусий лугати
230
Биринчи олимпиадаларда уларни
утказиш анъаналарига асос солинди.
Математик олимпиадалар турли авлод
математиклари — укувчилар, якинда-
гина олимпиада катнашчилари бул-
ган студентлар, тугарак рахбарлари —
муаллимлар ва ёш олимлар, олий укув
юртларининг укитувчилари ва профес-
сорларининг биргаликдаги байрами
булиб колди. Олимпиададан анча ав-
вал жюри аъзолари масалаларни туп-
лай ва уйлай бошлашади. Одатда,
олимпиадада унинг катнашчиларига
3—5 соатда ечиш учун мазмуни ва
кийинлик даражаси турлича 3—5 ма-
сала таклиф этилади, бу масалалар
мактаб программасидаги материал-
ларни билишдан хам купрок фикр-
лашнинг кулай йулини топишдаги
мах,орат, одатдан ташкари холатда
мантикан аник мулохазалар юритиш
кобилиятини талаб килади. Ишлар
текшириб булингач, масалалар мухо-
кама килинади, энг яхши (оригинал)
ечимлар ва характерли хатолар тах-
лил этилади. Бу жараён, одатда, лек-
ция тарзида утади. Хар бир катнашчи
уз ишини жюри аъзолари билан му-
хокама килиши, узи йул куйган кам-
чиликларни аниклаштириб олиши
мумкин. Олимпиада мукофот ва ёр-
ликларни топшириш билан якунлана-
ди.
Олимпиада нинг асосий максади
биргина голибларни аниклаш булиб
колмай, балки барча катнашчиларни
оригинал масалалар билан кизикти-
риш, катнашчиларни математик туга-
раклар машгулотларига мунтазам
катнашишга, лекциялар эшитишга,
китоб билан мустакил ишлашга жалб
килишдир.
Утган йилларда математик олим-
пиадалар географияси нихоятда
кенгайди, унинг катнашчилари сони
бекиёс усди. Олимпиадалар бошка
мамлакатларда хам утказила бошла-
ди, 1959 й. да эса Руминияда укувчи-
ларнинг биринчи халкаро олимпиа-
да си булиб утди.
1961 й. дан бошлаб РСФСР Маориф
министрлиги, кейинчалик СССР Мао-
риф министрлиги хам хар Йили укув-
чилар учун математика олимпиадаси
утказишади. 1967 й. дан бошлаб у
Бутуниттифок олимпиадаси деб атала
бошлади. Бутуниттифок олипиадаси
бешта боскичдан иборат: биринчи-
си — мактабда булиб утадиган мате-
матик мусобакалар, иккинчиси —
район ва шахар олимпиадалари, учин-
чиси — область олимпиадалари, тур-
тинчиси — республика олимпиадала-
ри, Москва, Ленинград шахарларида-
ги олимпиадалар ва, нихоят, бешин-
чи — якунловчи тур — Бутуниттифок
олимпиадаси. Мактаб ва нохия ёки
шахар олимпиадаларида (одатдагича,
5-синфдан бошлаб) хамма хохдовчи-
лар катнашиши мумкин булса, кейин-
ги боскичлар учун аввалги боскичлар-
даги голиблардан командалар тузи-
лади.
Республика олимпиадаларида
«Квант» журнали утказадиган сиртки
конкурснинг бир неча голиблари,
баъзи махсус физика-математика
мактаб-интернатларнинг командала-
ри хам иштирок этади. Охирги турда
8, 9, 10-синфларнинг 150 га якин укув-
чиси катнашади.
Бутуниттифок олимпиадаси голиб-
ларидан халкаро олимпиадага бориш
учун СССР командаси тузилади.
Халкаро олимпиадада 30 дан ортик
мамлакат командаси мунтазам катна-
шиб келади. Норасмий команда би-
ринчилигида — мусобака катнашчи-
лари олган баллар йигиндиси ва
I, II, III мукофотлар буйича — СССР
командаси деярли хамма вакт энг
юкори уринлардан бирини эгаллаб ке-
лади.
Риёзиёт «олимпия шохсупаси»нинг
энг юкори погоналарига чикишга оз-
чиликгина муваффак булиши тушу-
нарлидир. Бу муваффакият — нафа-
кат алохида кобилиятдан, балки хам
тиришкоклик, хам янги масалага тез-
да кириша олиш фикрини созлай
олишдан далолатдир. Олимпиаданинг
хамма чемпионлари хам келгусида
йирик математик булишмаган, аммо
Хам бизнинг мамлакатда, хам чет эл-
Укувчиларнинг математик олимпиадалари
231
ларда машхур булган катор олим-
ларни санаш мумкинки, уларнинг фан
йулидаги биринчи кадамлари олим-
пиада мукофотлари билан йугрилган.
Уларнинг орасида, масалан, турли ав-
лодга мансуб уч совет математиги:
В. И. Арнольд, Ю. И. Матиясевич,
В. М. Харламов бор. Уларнинг хар
бири XIX—XX а. бусагасида куйил-
ган «Г ильберт муаммолари» дан
бирини ечиш билан шухрат козон-
ди.
Бирок, хамма математиклар хам ут-
мишда олимпиада катнашчилари ва
голиблари булган эмас. Олимпиада-
даги омадсизлик математик кобилият-
нинг йуклигидан далолат беради, деб
зинхор уйламаслик керак. Муваффа-
киятсизликдан сунг, албатта, кейинги
олимпиадага пухтарок тайёргарлик
куришга харакат килиш лозим. Бу-
нине йуллари куп: Бутуниттифок
олимпиадасининг турларидан ташка-
ри мамлакатимизда укувчиларнинг
куплаб бошка математик мусобака-
лари хам утказилади; баъзи олий укув
юртлари томонидан ташкил килинади-
ган олимпиадалар, ёзги физика-мате-
матика мактабларининг олимпиада-
лари, синф ва мактабларнинг коман-
да мусобакалари, «математик жанг-
лар» ва б. Шулардан хохлаганингизни
танлашингиз мумкин. Математик му-
собакаларнинг купгина анъаналари
пайдо булган ва хали хам сакланиб
келаётган Ленинградца, кейинги йил-
ларда хунар-техника укув юртлари
(ПТУ) укувчилари учун олимпиада-
лар утказиш анъанаси хам шакллан-
ди. 1985 й. бахорида эса ПТУ укув-
чиларининг биринчи Бутуниттифок
олимпиадаси утказилди.
Укувчиларга олимпиада масала-
лари тупламларидан машклар ечишни
айникса маслахат берамиз. Олимпиа-
да масалалари ичида хакикатан хам
ажойиб дурдона — хакикий ижод на-
муналарини учратиш мумкин булса-
да, хар бир олимпиада учун жюри
зеки масалаларни такрорламасликка
мажбур. Укувчиларнинг олимпиада-
ларида турли вактларда берилган бир
нечта масала келтирамиз.
Масала. Агар АВ томон, ички
чизилган айлана радиуси г ва АС то-
монга хамда ВС ва АС томонлар-
нинг давомига уринувчи ички-ташкд
чизилган айлана радиуси гс маълум
булса, АВС учбурчак ясалсин (Венг-
рия, 1900 йил).
Ечиш. Изланаётган учбурчак
ясалган, деб фараз киламиз. Радиус-
лари, мос равишда, г ва гс булган ички
ва ички-ташки чизилган айланалар-
нинг АС тугри чизик билан уриниш
нукталарини Т ва Тс билан белгилай-
миз. 1-расмда хар бир айланага айни
бир нуктадан утказилган уринмалар
жуфти анча: шундай жуфт уринмалар
1-расм,
узунликлари тенглигидан фойдала-
ниб, АВ ва ТТС кесмаларнинг узун-
ликлари тенглигини курсатиш кийин
эмас. Бу хоссадан ясаш усули келиб
чикади: тугри чизикда бир-биридан
АВ масофада ётувчи Т ва Тс нукталар-
ни белгилаймиз, шу тугри чизикдан
бир томонда унта Т ва Тс нукталарда
уринадиган г ва гс радиусли айланалар
ясаймиз, бу айланаларга яна битта
ташки ва битта ички умумий уринма
утказамиз — керакли учбурчак шу би-
лан ясалди! Масала ггс^ (с/2)2 бул-
ганда ва факат шу холда ечимга эга.
2-расм,
Еш математик цомусий лутати
232
Масала. Пароход Горький дан
Астрахангача 5 суткада, Астрахандан
Горькийгача эса 7 суткада боради.
Сол Горькийдан Астрахангача оким
буйича неча кун сузади? (Москва.
1940 й., VII—VIII синфлар, 1-тур).
Ечиш. Агар х — оким тезлиги, у
пароходнинг тургун сувдаги тезлиги
булса, у холда пароходнинг дарё буйи-
ча пастга сузишдаги тезлиги у х,
юкорига сузишдаги тезлиги у — л
(равшанки, тезлик узгармас деб х,и-
собланади — 1940 й. да Горькийдан
Астрахангача хали тугонлар ва сув ом-
борлари булмаганини эслатиб ута-
миз). Агар Горькийдан Астраханга-
ча булган масофани В десак, у холда
У + х _ 1 у — х _ 1
В ~ 5 ’ В ~ 7 ’
2х _ J_______1_ __ 2
В ~ 5 Т ~ 35 ’
Жавоб: 35 сутка.
Масала. Ёйилмаси а катталик-
даги бурчак буладиган чексиз конусда
нукта олинган. Бу нуктадан иккала
томонга шундай чексиз чизик утка-
зиладики, бу чизик конус ёйилмасида
тугри чизик кесмаларидан иборат бу-
лади, шунингдек у конусда синиш-
ларга эга булмайди. Бу чизик узини-
узи неча марта кесишини аникланг.
(Москва, 1940 й., IX—X синфлар,
2-тур)..
Ечиш. Битта тугри чизик чизилган
жуда юпка шаффоф когоз вараги куп
марта кат-кат килиб конусга уралган
деб фараз килишимиз керак: масала
шартида тасвирланган коцус сиртида-
ги «чексиз чизик» худди ана шундай
хосил килинади. Текисликка ёйилган
бу варакда (2-расм) биз' катталиги
а булган A0OAh AiOA2, А2ОА3,...
бурчакларни ёза оламиз, уларнинг хар
бири конусга уралганда бир катламни
беради (СМо нурни тугри чизикка—
у кизил рангда — перпендикуляр ки-
либ танладик, бурчакларнинг биссек-
трисалари кук рангда утказилган).
Худди шунингдек, ОА0 дан бошка то-
монда ёйилманинг AoOA-t,
Л_|ОЛ_2,... катламлари пайдо була-
ди. Варакни конусга ураганда чизик-
нинг уз-узини кесиш нукталари Ра,
Pt, Р2, Рз--, кизил чизик кора ясов-
чилар ва уларга диаметрал карама-
карши томондаги кук ясовчиларни
кесиб утган жойларда хосил булади.
Жавоб. Узини-узи кесишлар сони
л
— дан кичик бутун сонлардан энг
каттасига тенг.
Масала. 13,5 т массага эга бул-
ган юк бир нечта «вазнсиз» яшиклар-
га жойланди. Юкли хар бир яшик-
нинг массаси 350 кг дан ортик эмас.
Бу юкни 11 та бир ярим тоннали ма-
шинада ташиб олиш мумкинлигини
исботланг (Москва, 1956 й., VIII синф,
2-тур).
Ечиш. 350 кг дан ортик булмаган
яшиклар билан (агар уларнинг умумий
огирлиги 1,2 т дан ортик булса) 1,2 т
дан то 1,5 т орасидаги юкни ажратиш
мумкинлигини курсатамиз. Уларни
энг огиридан бошлаб тартиб билан
жойлаштирамиз. Агар биринчи туртта
яшикнинг огирлиги биргаликда 1,2 т
дан ортик булса, шуларнинг узи етар-
ли (уларнинг огирлиги 1,4 т дан ортик
булмайди); агар ундай булмаса, у хол-
да туртинчи ва кейинги яшикларнинг
хар бири 0,3 т дан ортик эмас, бино-
барин, тартиби буйича яна бир яшик-
ни ортиб, 0,3 т дан ортик булмаган
«камомад»ни таъминлашимиз мум-
кин. Бу мулохазадаги 1,2 т дан иборат
куйи чегара аниклигига эътиборни
жалб киламиз. Х,амма яшиклар бир
хил — 300 кг дан сал огиррок бул-
ган хол курсатадики, бу чегарани кат-
тарок сон билан алмаштириш мумкин
эмас. Энди юкни кандай килиб ортиш-
ни осонгина топамиз: 10 та бир ярим
тонналик машинанинг хар бирига
1,2 т дан кам булмаган юк ортамиз,
шундан сунг бу машиналардан канча-
дир юк ортиб колса, уларнинг хамма-
сини 11-машинага юклаймиз.
Масала. Х,ар бир кирраси текис
утмас бурчакнинг томони буладиган
тетраэдр мавжуд эмаслигини исбот-
Уцувчиларнинг математик олимпиадалари
233
ланг (Москва, 1959 й., IX синф, 1-тур).
Ечиш. Узунлиги энг катта булган
киррани караймиз: унга х,еч кайси ёк.-
нинг текис утмас бурчаги ёндоша ол-
майди.
М асала. тХп жадвал катаклари-
га баъзи бир сонлар ёзилган. Бирор
катордаги ёки бирор, устундаги барча
сонлар ишораларини бир вактнинг
узида узгартиришга рухсат этилади.
Бу амални куп марта такрорлашга
рухсат берилади. Шу йул билан бе-
рилган жадвални ихтиёрий сатр ва их-
тиёрий устунидаги сонлар йигиндиси
манфий булмайдиган жадвалга ай-
лантириш мумкинлигини исботланг.
234
Еш математик цомусий лугати
(Биринчи Умумроссия олимпиадаси,
Москва, 1961 й„ IX синф).
Ечиш. Мумкин к,адар сонлари-
нинг йигиндиси манфий булган сатр
ёки устунлардаги ишораларни (бун-
дай сатр ёки устун учрар экан) би-
рин-кетин узгартирамиз. Ишоралари
узгариши туфайли хосил буладиган
бундай жадваллар сони чекли, х,ар бир
амал натижасида барча сонларнинг
умумий йигиндиси хамма вак,т катта-
лаша боради. Демак, бу каби амални
чекли мартагина бажариш мумкин.
Узбекистонда мактаб укувчилари-
нинг I олимпиадаси 1962 й. дан бош-
лаб утказиб келинади. Унинг таш-
кил килиниши ва утказилишида
?з ФА академиклари С. X,. Сирожид-
динов, М. С. Салохиддинов, Уз ФА
мухбир аъзолари Т. А. Азларов,
Н. Ю. Сатимов ва республикамиз-
нинг бошк,а математиклари, СССР ФА
нинг Сибирь булими вакиллари фаол-
лик курсатиб келмокдалар.
МАСОФА
Текислик (фазо)нинг икки А ва В
нукталари орасидаги масофа деб АВ
кесманинг узунлигига айтилади; агар
улчов бирлиги танланса, масофа ман-
фий булмаган сондир, у р(А,В) ё
I АВ | ёки оддийгина АВ каби белги-
ланади. Таърифга кура р(А, Л) = 0.
Турли-туман математик холатлар-
да, шунингдек кундалик турмушда
Хам биз икки объектнинг бир-бири-
дан канча олислигини юкорида кири-
тилган тушунчадан фарк килувчи «ма-
софалар» ёрдамида бахолаймиз. Ай-
тайлик, глобусдаги А ва В нукталар
орасидаги масофани катта дойра (.4
ва В дан утувчи) айланасининг ёйла-
ридан кичиги булган АВ ёйнинг узун-
лиги билан улчаш табиий. А ва В нук-
талар орасидаги масофа А пунктдан
В пунктга боришга сарф буладиган
вакт билан хам ифодаланиши мумкин.
Агар Новосибирск билан Душанба
орасидаги масофа глобусда улчанса,
тахминан 2100 км чикади (Аэрофлот
курсаткичларида хам шу масофа).
Темир йул курсаткичида эса бошка
масофа — 3895 км. Бунда равшанки,
хеч кандай ажабланарли урин йук:
поездлар самолётга ухшаб тикка йул-
дан юролмайди, шунинг учун темир-
йулчилар ва учувчилар масофани хар
турли бахолашади.
Математиканинг купгина сохалари
учун ярокди булган масофа назария-
сини тузиш учун бу тушунчанинг ати-
ги бир неча асосий хоссаларини таъ-
рифга асос килиб олиш кифоя.
X тупламнинг хар жуфт а, b элемен-
тига бирор коида билан р(а, Ь)^0
сони мос куйилган ва бунда куйидаги
уч шарт бажарилган булсин:
1) а = b булганда ва фа хат шу холда
р{а, Ь) = 0;
2) ихтиёрий икки а, b элемент учун
р(а, Ь) = р(Ь, а\,
3) X нинг ихтиёрий уч а, Ь, с элемент-
лари учун
р(а, с) р(а, Ь) + р(Ь, с).
Мана шундайр функция билан таъ-
минланган X туплам метрик фазе деб
аталади. (3) хосса текисликдаги од-
дий масофа учун куйидаги фактни
ифодалайди: учбурчакнинг хар бир то-
мони колган икки томони йигиндиси-
дан кичик; шунта кура бу хосса уч-
бурчак тенгсизлиги деб юритилади.
Конкрет мисолларда айни шу хосса-
нинг уринлилиги уз-узидан куринмай-
ди ва исботлашни такозо килади. Сфе-
1-расм,
Математик анализ
235
ра устида учбурчак тенгсизлиги шун-
дай теоремадан келиб чидади: уч ёдли
АВСО бурчакнинг дар бир текис бур-
чаги СОА долган икки текис бурчак-
лари АОВ ва ВОС йигиндисидан ки-
чик (1-расм).
Саёдатга отланар эканмиз, биз ку-
пинча куйидаги «масофа» билан иш
куришга мажбурмиз: D(A, В)—бу
А пунктдан В пунктгача етиш учун
энг кам йул да ди. Бу ерда учбурчак
тенгсизлиги равшан: А дан С гача бо-
риш учун биз аввал А дан В га, сунг В
дан С га утишимиз мумкин, бунда
D(A, В) + D(B, С)сумсарф дилина-
ди; демак, А дан С га олиб борадиган
энг арзон маршрут бадоси D(A, С)
сум D(A, В) + D{B, С) йигиндидан
куп эмас. Л ва В нудталар орасидаги
бошда «масофа»ни бошдача киритиш
дам мумкин. Чекли нудтали исталган
туташ графда (д. Графлар) иккита
уч орасидаги масофа деб бу учларни
туташтирувчи энг тежамли йулдаги
дирралар сонини дабул дилса булади.
Сон уди R нинг икки а ва В нудтаси
орасидаги масофа | а — b | га тенг.
Текисликда турри бурчакли Декарт
координаталари системасида A (xi, у А
ва В(х2, у?) нудталар орасидаги масо-
фа Пифагор теоремаси ёрдамида
J9(A В) = V + G/i-t/2)2
формула билан ифодаланади.
Фазода A (xi, yi, zi) ва В (х2, у%, zA
нудталар орасидаги масофа формула-
си шунга ухшаш:
р{А, В) (xi— х2)2 + (у, — Уг)2 +
+ (zi—Z2)2
Айнан бир X тупламнинг узида масо-
фа хилма-хил усулда киритилиши
мумкин. Масалан, текисликда
Л(Х1, г/1)ва В(х2, t/2) нудталар ораси-
даги масофа сифатида j)(A, В) =
= ; Х| —Х2 | + | У1 —у2 | сонини,
ёки р(4, B)=max{\xi—х2|( lyi —
— у21), яъни |Х1 — х21, |yi — у2| сон-
ларидан каттасини дабул дилиш мум-
кин.
Масофа фадатгина нудталар ора-
сида анидланиши шарт эмас. А нуд-
тадан I турри чизиддача (ёки фазода
текисликкача) масофа А дан шу турри
чизидда (текисликка) туширилган
перпендикуляр узунлиги деб таъриф-
ланади. Умуман А нудтадан Ф фигу-
рагача масофа деганда бу нудтадан
Ф фигура нудталаригача булган масо-
фаларнинг энг кичиги тушунилади.
Баъзан шунга ухшаш таъриф узаро
кесишмайдиган икки фигура орасида-
ги масофа учун дам киритилади; хусу-
сан, узаро параллел ёки айдаш турри
чизидлар орасидаги масофа деб, учла-
ри шу турри чизидларда ётувчи, улар-
нинг дар иккисига перпендикуляр
кесма узунлиги дисобланади, у турри
чизиклар нукталари орасидаги масо-
фаларнинг энг кичигидир. 2-расм.
МАТЕМАТИК АНАЛИЗ
Математика тарихини, шартли равиш-
да, икки асосий даврга ажратиш мум-
кин: элементар математика даври ва
дозирги замон математикаси даври.
Янги математика (баъзан «олий» ма-
тематика дейишади) даврининг бош-
ланиш нудтаси деб XVII а.— матема-
тик анализнинг пайдо булиш асри да-
бул дилинади. XVII а. охирига келиб,
И. Ньютон, Г. Лейбниц ва уларнинг
салафлари (утмишдошлари) томони-
дан янги математик аппарат — диф-
ференциал х;исоб ва интеграл хулсоб
яратилади. Бу аппарат математик ана-
лизнинг асосини ва, таъбир жоиз бул-
са, датто умуман дозирги замон та-
биатшунослигининг математик асоси-
ни ташкил дилади.
236
Еш математик цомусий лугати
Математик анализ — математика-
нинг жуда кенг сохаси булиб, у доимо
такомиллашиб ва ривожланиб борувчи
аппаратга эга, бу аппарат асосини
дифференциал ва интеграл хисоб таш-
кил килади. Математик анализ узига
хос тадкикот объектига (узгарувчи
катталик), узига хос тадкикот услуби-
га (чексиз кичиклар воситасида ёки
лимитга утиш воситасида анализ ки-
лиш), асосий тушунчаларнинг маълум
мажмуаси (функция, лимит, косила,
дифференциал, интеграл, цатор) га
эга.
XVII а. да кандай математик ин-
килоб руй берди? Математик анализ-
нинг вужудга келиши билан боглик
булган элементар математикадан хо-
зирги замон математикасига утиш
кандай характерланади? Математик
анализнинг тадкикот предмети нима-
дан иборат, унинг назарий ва амалий
билимларнинг хозирги замон систе-
масидаги фундаментал роли нима би-
лан изохланади? Мана шулар хак.ида
тасаввур беришга харакат киламиз.
Ж. Фурье
«Математик анализ та-
биатиннг узига Караганда
кам камровли эмас; у се-
зиладиган барча узаро
алокани аниклайдн, вакт,
фазо, куч, температура ии
улчамди».
К,иргок томон бостириб келаётган
довулли океан тулкинининг жуда ях-
ши ишланган рангли фотосурати ол-
дингизда турибди, дейлик... Тулкин-
нинг бахайбат «гавдаси», довул хар
томонга торткилаётган оппок «ёлла-
ри»„. Сиз бир лахза тулкинни тухта-
тиб «тутиш» га муваффак булдингиз.
Энди эса элементар математика ме-
то дларидан фойдаланиб, бу тулкин
хакида — бинобарин, унинг барча
«уммоний биродарлари» хакида хам
купгина мухим хулосалар чикаришин-
гиз мумкин. Бирок, тулкинни тухтат-
гач, сиз уни харакатдан ва хаётдан
махрум этдингиз. Унинг тугилиши,
тараккиёти, югуриши, киргокка ёпи-
рилишдаги кучи — буларнинг хамма-
си сизнинг кузатувингиздан четда
колди, чунки сизда статик эмас, балки
тараккий килувчи, динамик жараён-
ларни, узгарувчи микдорлар ва улар
орасидаги узаро богланишларни тас-
вирлаш ва урганишга ярокди мате-
матик аппарат хам, «тил» хам хали
йук.
Харакат, узгарувчи микдорлар ва
улар орасидаги богланишлар хамма
жойда бизни куршаб олган. Харакат-
ларнинг турли куринишлари ва улар
буйсунувчи конуниятлар конкрет фан-
лар: физика, геология, биология, со-
Математик анализ
237
лиология ва боцщаларнинг асосий
•адкик,от объектини ташкил килади.
Шу нинг учун \ам, микдорий муноса-
этларни тавсифлашда сонлар ва
арифметика тахминан к,ай даражада
зарур булса, узгарувчи микдорларни
-а вс и флаш ва урганишда аник, тил ва
тегишли математик методлар шу да-
тажада зарурдир.
Узгарувчи микдорлар ва улар узаро
кандай богликдигини тасвирловчи тил
ва математик методлар асосини айнан
математик анализ ташкил килади.
Бизнинг давримизда математик ана-
изсиз нафакат космик траектория-
зарни, ядро реакторларининг ишини.
океан тулк,инининг югуриши ва цик-
лоннинг тараккий к,илиш конуният-
ларини хисоблаш мумкин эмас, балки
ишлаб чикариш, моддий ресурслар
таксимоти, технологик жараёнларни
ташкил килишни тежамкорлик билан
бошкариш, кимёвий реакциялар ке-
чишини ёки табиатдаги узаро бог-
ланган хар хил хайвон ва усимликлар
турлари микдорининг узгаришини ол-
диндан айтиш хам мумкин эмас, чунки
буларнинг хаммаси динамик жараён-
лардир.
Элементар математика, асосан, уз-
гармас микдорлар математикаси эди.
У, асосан, геометрик фигуралар эле-
238
Еш математик цомусий лугати
ментлари орасидаги муносабатларни,
сонларнинг арифметик хоссаларини
ва алгебраик тенгламаларни урганар-
ди. Элементар математиканинг бор-
ликка муносабатини, маълум дара-
жада, узгарувчан, тараккий этаётган
жонли табиатнинг харакати туширил-
ган кинолентани тула намойиш кил-
май, хар бир тайин кадрини диккат
билан, хаттоки муфассал ва тулик
урганишга ухшатиш мумкин. Жонли
оламнинг харакати алохида олинган
кадрда куринмайди, уни лентани ту-
лалигини курганда кузатиш мумкин,
холос. Кинони фотографиясиз тасав-
вур этиш мумкин булмаганидек, хо-
зирги замон математикасини хам
шартли равишда, унинг элементар деб
аталувчи кисмисиз, баъзан бир-бири-
дан унлаб асрлар ажратилган куплаб
машхур олимларнинг гоялари ва
ютукларисиз тасаввур этиш мумкин
эмас.
Математика яхлит фан ва унинг
«олий» кисми «элементар» кисми би-
лан, тахминан, курилаётган уйнинг
кейинги кавати аввалгиси билан кан-
дай боглик булса, ана шундай боглан-
ган. Бизни ураб олган оламнинг ма-
тематика очиб берадиган уфки нака-
дар кенглиги шу бинонинг нечанчи
каватига кутара олганимизга боглик.
XVII а. да тугилган математик ана-
лиз бизга узгарувчи микдорлар ва кенг
маънодаги харакатни илмий тасвир-
лаш, микдори й ва сифат жихатидан
урганиш имкониятини очди.
Математик анализ пайдо булиши-
нинг шарт-шароитлари нималардан
иборат?
XVII а. охирига келиб куйидаги
холат вужудга келади. Биринчидан.
узок йиллар давомида математика-
нинг узида бир хил турдаги масала-
лар (масалан, нестандарт фигуралар-
нинг юза ва хажмларини улчаш, чи-
Математик анализ
239
зидларга уринма утказиш масалала-
ри) йигилиб колганди. Бу масалалар-
ни турли хусусий долларда ечиш ме-
тодлари пайдо дам булганди. Иккин-
чидан, бу масалалар ихтиёрий меха-
ник даракатни (текис харакат були-
ши шарт эмас) тасвирлаш ва хусусан,
унинг оний характеристикалари
(вадтнинг ихтиёрий онидаги тезлик,
тезланиш)ни хисоблаш хамда тезли-
ги узгарувчан харакатда утилган йул
микдорини топиш масалалари билан
жуда жипс боглид экан.
Нихоят, учинчидан, XVII а. урта-
ларига келиб, Р. Декарт ва П. Ферма
асарларида координаталарнинг анали-
тик (аналитик геометрия деб ата-
лувчи) методига асос солинди. Бу ме-
тод келиб чикиши турлича булган гео-
метрик ва физик масалаларни умумий
(аналитик) тилда — сонли функция-
лар тилида ифодалаш имконини бер-
ди.
Бу холатлар, шарт-шароитлар бир-
галикда шунга олиб келдики, XVII а.
охирларида икки олим — И. Ньютон
ва Г. Лейбниц бир-биридан мустакил
равишда юкорида айтилган масала-
ларни ечиш учун математик аппарат
яратишга муваффад булишди. Бу ап-
парат улар салафларининг (булар
орасида дадимги дунё олими Архи-
мед хамда Ньютон ва Лейбницнинг
замондошлари — Б. Кавальери,
Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барре-
лар бор эди) айрим натижаларига
якун ясади, уларни умумлаштирди.
Яратилган аппарат ривожланувчи тур-
ли жараёнларни урганадигани янги
булими — математик анализ асосини
ташкил дилди. Математика да узгарув-
чи миддорларнинг узаро алодалари
функционал богланишлар ёки, бошда-
ча, функциялар деб аталади.
Дарводе, «функция» атамасининг
узи дам худди шу даврда — XVII а.
да келиб чидди, дозирда у нафадат
умумматематик, балки умумилмий
адамият касб этди.
Анализнинг асосий тушунчалари ва
математик аппарат дадидаги бошлан-
гич маълумотлар «Дифференциал %и-
ёш математик цомусий лугати
240
соб« ва «Интеграл $исоб» маколала-
рида берилган.
Математика учун умумий ва тахдил
учун характерли булган бир прин-
цип — математик абстракциялаш
принципига тухтайлик ва шу муноса-
бат билан, математик анализ узгарувчи
мицдорларни кандай урганиши ва тур-
ли-туман конкрет жараёнларни, улар-
нинг узаро алокасини урганишда ана
шу методларнинг бу кадар универ-
саллигининг сири нимада эканлигини
тушунтирайлик.
Бир неча мисоллар ва ухшатмалар
курамиз. 24-2=4 — деган математик
муносабат олмалар, стуллар ёки фил-
лар учун ёзилмаган, у конкрет объект-
лардан х,оли, абстракт куринишда
ёзилганлиги, машхур илмий ютук
эканлигини баъзан биз уйлаб х,ам
утирмаймиз. Тажриба курсатадики, бу
математик конун турли конкрет
объектларга татбик килиниши мум-
кин. Демак, биз математикада ном-
сиз, абстракт сонларнинг умумий хос-
саларини урганар эканмиз, хакикий
оламнинг микдорий муносабатларини
урганган буламиз.
Масалан, мактаб математика кур-
сидан маълумки, 12 = 64-6 =
4 + 4 + 4, бинобарин, конкрет х,олат-
да сиз шундай дея оласиз: «Агар мен-
га 12 т тупрокни ташиш учун иккита
олти тонналик самосвал ажратишма-
са, у холда учта турт тонналик самос-
вал сураш мумкин ва шу билан иш
битади; агар факат битта турт тонна-
лик машина беришса, у холда бу ма-
шина учта рейс килиши керак».
Эндиликда биз одатланиб колган
абстракт сонлар ва улар буйсунади-
ган конуниятлар сонларнинг конкрет
татбикларида ана шундай намоён бу-
лади. Х,аётда аник узгарувчи микдор-
лар курилади.
Табиатдаги конкрет узгарувчи мик-
дорлар ва ривожланиб борувчи жа-
раёнларнинг узгариш конунлари хам
математик анализда абстракт форма-
да урганиладиган функция тушунча-
сида тахминан юкоридагидек намоён
булади.
Масалан, абстракт муносабат
</ = 20х ни курайлик. Агар бундаги 20
коэффициент битта билетнинг бахоси
булмиш 20 тийинни билдирса, у холда
бу муносабат х дона билет сотилган-
да кинотеатр кассасида канча пул бу-
лишини билдиради. Агар биз велоси-
педда сайр килиб юрган булсак ва ве-
лосипеднинг бир соатдаги тезлиги
20 км булса, у холда бу муносабатга
х соат сайр мобайнида биз босиб ута-
диган у км йул билан х соат орасида-
ги богланишнинг ифодаси деб кара-
шимиз мумкин.
Умуман, у = kx богланиш (k —
бирор сонли коэффициент) жуда куп
учрайди. Математикада уни узгарув-
чи микдорлар у билан х нинг тугри
пропорционал богланиши дейилади
ёки у узгарувчини х нинг чизикли
функцияси хам дейишади. y = kx
муносабат билан богланган х ва у уз-
гарувчиларнинг конкрет табиати кан-
дай булмасин, сиз хамма вакт х нинг
бир неча марта узгариши у нинг про-
порционал (яъни худди ушанча мар-
та) узгаришига олиб келади дейишин-
гиз мумкин, агар /г 4=0 булса, тескари
хулоса хам тугридир. Демак, хусусан,
кинотеатр кассасидаги пулни икки ба-
равар купайтириш учун кинога томо-
шабинларни икки баравар куп жалб
этиш керак, велосипедда уша тезлик
билан икки баравар куп йул юриш
учун эса икки марта узокрок вакт сайр
килиш лозим. Бундай мисолларни
куплаб келтириш мумкин.
Математика y = kx каби энг содда
богланишни хам, мураккаброк бог-
ланишларни хам умумий, абстракт ку-
ринишда хусусий шархдардан ажра-
тилган холда урганади. Функциянинг
бундай тадкикотида аникланган хос-
салари ёки шу хоссаларни урганиш
методлари умумий математик усул-
лар, хулосалар, конунлар, натижалар
характерида булади. Улар абстракт
холда урганилган функция учрайди-
ган хаР бир конкрет ходисага, 6}
ходиса билимнинг кайси сохасига
тегишли булишидан катъий назар.
татбик килинаверади.
Математик белгилар
241
Шундай килиб, математик анализ
математиканинг булими сифатида
XVII а. охирида шаклланди. Матема-
тик анализнинг тадкикот предмета
(хозирги замон нуктаи назаридан ке-
либ чикиб айтадиган булсак) функ-
циялардан ёки, бошкача айтсак, уз-
гарувчи микдорлар орасидаги богла-
нишлардан иборат. ’
Математик анализ пайдо булиши
туфайли математика учун хакикий
оламнинг тараккий килувчи жараён-
ларини урганиш ва акс эттириш мум-
кин булди; математикага узгарувчи
микдорлар ва харакат тушунчалари
кирди.
МАТЕМАТИК БЕЛГИЛАР
Математик белгилар — математик ту-
шунчалар, жумлалар, муносабатларни
ёзиш учун хизмат киладиган шартли
белгилар. Математикада белгилашлар
системасининг ривожланиши унинг
тушунчалари ва методларининг ри-
вожланиши билан узвий боглик.
Математика фанининг тиклана бо-
риш жараёнида аник, тушунарли ва
кискача ифодалашга зарурат тугилди,
математик фактларни сузлар билан
узундан-узок тасвирлашни ва матема-
тик ифодалардаги куп маъноликни
йукотишга эхтиёж тугилди.
Дастлабки математик белгилар ра-
камлар эди. Кддимги юнон матема-
тиклари ишларида, масалан, Евклид-
нинг «Негизлар»ида кесмалар ва бош-
ка математик объектлар харфлар би-
лан белгиланган. Микдорларни харф-
лар билан белгилаш III а. да Диофант
номаълум микдорлар ва уларнинг да-
ражаларини харфлар билан белгилаш-
ни киритуви, айириш амали ва тенг-
ликни белгилаш учун махсус белги-
лар таклиф этиши билан бошланди.
Номаълумларни белгилаш учун VII а.
да хинд математиклари харфларни
ишлатган, аммо кенг харфий хисоб-
зшларни яратиш XIV—XVII а. га
тааллукли. XV а. охирида француз
Н. Шюке ва итальян Л. Пачоли би-
ринчи марта кушиш ва айириш белги-
лари — р ва т ни (латинча plus ва
minus сузларидан) кулладилар, немис
математиклари эса хозирги -|- ва —
белгиларни киритдилар.
XVI а. да математиклар аралаш
ёзув — суз ва баъзи математик бел-
гилардан фойдаланар эдилар. Маса-
лан, х34-5х=12 тенглама Ж. Карда-
но (1545) да ушбу куринишда булар
эди:
I. cubus р-5 positionibus aequantur 12
(cubus — «куб», positio — «номаъ-
лум», aequantur — «тенг»); итальян
математиги Р. Бомбелли (1572) да
куйидагича:
13р-5* equate а 12
(3 — «номаълумнинг куби», 1 — «но-
маълум», equate а — «тенг»); фран-
цуз олими Ф. Виет (1591) да куйида-
гича:
I С. 4- 5N aequantur 12
(С — subus — «куб», N — пите-
rus — «сон»), Аммо сузлар аста-се-
кин белгиларга алмаштирилиб, 1631 й.
англиялик Т. Гарриот бу тенгламани
ушбу куринишда ёзган эди:
ааа 4- 5-а = 12.
XVII а. бошида тенглик ва каве бел-
гилари ишлатила бошланди: урта
кавени итальян математиги Р. Бом-
белли, кичик кавени итальян матема-
тиги Н. Тарталья, катта кавени фран-
цуз математиги Ф. Виет таклиф кил-
ган.
Алгебраик символиканинг ривож-
ланишида Ф. Виет томонидан ихтиё-
рий узгармас катталиклар учун белги-
лар киритилиши мухим кадам булди.
У бу узгармасларни латин алифбеси-
нинг ёзма унли харфлари билан, но-
маълум микдорларни ундош харфлар
билан белгилади. Виет алгебраик фор-
мулалар хам яратди.
1637 й. Р. Декарт алгебраик бел-
гиларни хозирги замон куринишига
Математик белгилар
243
келтирди. У номаълум микдорларни
латин алифбесининг охирги х, у, z
харфлари билан, берилган микдорлар-
ни эса дастлабки хдрфлари билан
тасвирлади. Декарт таклиф килган
белгилар тезда ^амма жойда кулла-
на бошланди. Даража курсаткичини
белгилаш кам Декартга тегишли.
Баъзи математик белгиларнинг
киритилиш жадвали
Белги Маъноси Ким киритган Белги киритилган йил
1 2 3 4
Объектлар белгилари
со чексизлик Ж. Валлис 1655
л айлана узун- лигининг диа-
метрига нис- бати У. Жонс 1706
i — 1 нинг квад- рат илдизи Л. Эйлер 1777
х,у, Z номаълумлар ёки узгарувчи микдорлар Р. Декарт 1637
г вектор О. Коши 1853
Амаллар белгила ри
+ кушиш немис математик- XV а
лари охири
— айириш —..— —
X купайтириш У. Оутред 1631
купайтириш Г. Лейбниц 1698
булиш Г. Лейбниц 1684
g ,... ап даража Р. Декарт 1637
\- \ илдиз X. Рудольф, А. Жирар 1525
/ о«, log логарифм И. Кеплер 1624
'till синус Б. Кавальери 1632
t «> косинус Л. Эйлер 1748
тангенс Л. Эйлер 1753
art ни арксинус Ж. Лагранж 1772
и А . (ld.\
dx дифференциал Г. Лейбниц 1675
у dx интеграл Г. Лейбниц 1675
dy хосила Г. Лейбниц 1675
dx s
. )dx аник интеграл Ж. Фурье 1819—1822
a йигинди Л. Эйлер 1755
v факториал X. Крамп 1808
li m лимит У. Гамильтон 1853
lull
1 = 0 XX а. бошидаги купгина
lim математиклар
q ( \ ) функция И. Бернулли 1718
f(x) Муносабат- лар белги- Л. Эйлер 1734
лари
= тенглик Р. Рекорд 1557
катта Т. Гарриот 1631
кичик
таккослама К. Гаусс 1801
параллеллик У. Оу тред 1677
X перпендикуляр- лик П. Эригон 1634
Радикал белгисининг эволюцияси
500 йилдан ортик вактга чузилди. Х,о-
зирги шпора икки кием — дГишора-
си — г нинг турланиши (radix — «ил-
диз» сузидан) ва формула устидаги
чизикдан иборат булган (у аввал каве
урнида ишлатилган).
XVII а. охирида дифференциал ва
интеграл кисобнинг вужудга келиши
билан Г. В. Лейбниц косила, диффе-
ренциал ва интеграл белгиларини ки-
ритди. Унинг белгилашлари анча ку-
лай булганидан, математик анализ-
нинг бошка ижодкори И. Ньютон так-
лиф килган белгиларни сикиб чикдр-
ди. Масалан, $ ydx белги эгри чизикли
трапеция юзасини шартли равишда
асоси dx ва баландлиги у булган чек-
сиз куп энсиз киркимлар йигиндиси
шаклида тасвирлаш мумкинлиги
фактини тасвирлайди (\ — латинча
summa — «йигинди» сузидаги s —
карфининг чузилгани), dx белги эса
(латинча differentia — «айирма»,
«фарк») функциянинг дифференциа-
ли билан орттирмаси орасидаги ало-
кани акс эттиради.
Функцияларни белгилашнинг ко-
зирги замон белгилари Л. Эйлер то-
монидан киритилган, у 1734 й. f(x)
белгини ихтиёрий функция учун иш-
латган, тригонометрик, тескари триго-
нометрик, курсаткичли, логарифмик
ва бошка функциялар учун козир кул-
ланадиган белгиларни киритган. Х,о-
зирги вактда математикада жуда куп
махсус функциялар (Лежандр, Бес-
сель, эллиптик функциялари ва бош-
ка) ишлатилади камда уларнинг каР
бири уз математик белгисига эга. Эй-
лер натурал логарифмнинг асоси учун
е ни 17536), д/— 1 учун i ни ва.бошка-
ларни киритди. XIX а. да модуль учун
| х | (К. Вейерштрасс, 1841), вектор
—>•
учун г (О. Коши, 1853), детерминант
учун I £ii bi 1 (А. Кэли, 1841) бел-
I аг bi j гилар киритилди.
Барча математик белгиларни
объектлар белгилари (масалан, л, i ва
К. к.), амаллар белгилари (масалан,
+ , — ва к- к-), муносабатлар белги-
244
Еш математик цомусий лутати
лари (масалан, = , >, < ва X- к.)
асосий белгилар бирикмаларидаги
тартибни урнатувчи ёрдамчи белгилар
(кавслар)га булиш мумкин.
Факат ривожланган математик бел-
гилар системасига асосланиб матема-
тик мулохдзаларни махсус формал
коидалар буйича ифодалаш мумкин
булди.
МАТЕМАТИК ИНДУКЦИЯ
Хусусий хулосалардан умумий ху-
лосаларга утишдан иборат мулохаза-
лар индуктив деб аталади. Одатда,
маълум бир хосса бирор сондаги пред-
метларда пайкалади, вакти келиб
умумий фараз баён килинади, сунг у
тажрибада текшириб курилади. Та-
биий (яъни табиатни урганувчи) фан-
ларда текшириш жараёнида шундай
вакт келадики, фаразни кабул килиш
исботланган деб хисоблаш учун етар-
ли саналади. Масалан, Ч. Дарвин оч-
ган эволюция конунини эслайлик. Ма-
тематикада эса чексиз мажмуа каки-
да хулоса чикарилаётганда чекли сон-
даги хар канча кол учун текширув ут-
казилмасин, у исбот урнини боса ол-
майди.
Сонлар назарияси илк даврида ма-
тематиклар куплаб фактларни индук-
тив йул билан очишган: Л. Эйлер ва
К. Гаусс баъзида сонларга хос кону-
ниятларни пайкаш ва текшириш учун
минглаб мисолларни куришган. Айни
вактда улар атиги «чекли» синовдан
утган фаразлар накадар алдаши мум-
кинлигини тушунганлар. Ферма сон-
лари дейиладиган Fk = 22k + 1 сон-
лари k = 0, 1, 2, 3, 4 холларда туб сон
булиб чикди, лекин Эйлер Г г, сонининг
булувчисини аниклади. Мерсенн сон-
лари Мр = 2₽ — 1, бунда р — туб
сон, р = 2, 3, 5, 7 булганда узлари
хам туб, аммо р=11 учун бундай
эмас (кейин р=13, 17, 19, ... учун
яна туб булади). Лейбниц k = 1, 2, 3
учун текшириб кургач, маълум вакт
n2f+l — п сони 2 k + 1 га булинади
деб уйлаган. Бирок k = 4 учун бу
тугри эмас.
Демак, чекли кисм-туплам учун тек-
ширилган тасдикдан бутун чексиз туп-
ламга дойр тасдикка индуктив утиш
исбот талаб килади. Бирок чексиз сон-
даги хусусий хол учун текширув кан-
дай бажарилиши мумкин? Бундай
усулни Б. Паскаль ва Я. Бернулли так-
лиф этдилар. Хозир у математик ин-
дукция методи деган ном билан атала-
ди. Бирор хосса At, А2, ..., А„, ... кет-
ма-кетлик элементлари учун исботла-
ниши талаб килинсин. Бунинг учун
куйидаги етарли:
1) бу хоссанинг тугрилигини Ai
учун текшириб куриш (бу кадам ин-
дукция асоси ёки базиси дейилади);
2) хосса Ak учун тугри деб фараз
килиб, уни Ak+i учун тугрилигини
келтириб чикариш (бу — индуктив
кадам).
Бу икки мулохаза бажарилгач, ис-
ботланаётган хосса Ап ларнинг хам-
маси учун тугри деб тасдиклаш мум-
кин.
Бир неча мисол келтирайлик. ап =
= 1+2+ ...+п—дастлабки п та
натурал сон йигиндиси булсин. ап =
= л(д + 1)/ 2 формулани исботлаш
керак. п — 1 булса, а = 1. Сунгра,
агар a.k = k(kA-\) / 2 булса, dk+\ =
= o> + fe + l = (k + 1) (k -J-2) / 2 —
формула исботланди. Бошка мисол:
ап = 1 +3 +... + (2п — 1) — ток сон-
лар йигиндиси. Исботлаш керак:
ап = п2 п = 1 учун бу тугри. Агар
ak = k2 булса, «*+1=0*+ (2k +
+ 1), — k2 + 2k + 1 шу билан ин-
дуктив кадам босилди.
Математик индукция методини як-
кол килиб айтганда, бири кейинги-
сининг елкасига кулини куйган одам-
лар занжири тарзида тасаввур ки-
лиш мумкин. Бу холда туташ катор
хосил булади, холбуки бевосита ту-
ташиш факат энг якин кушнилар ора-
сида руй беради.
Индуктив кадамни амалга ошириш
доим хам осон эмас. Авваламбор, у
хам берилган теореманинг узи каби
чексиз холат (k — ихтиёрий) учун
текширилиши керак. Бирок математик
индукция методининг афзаллиги шун-
Математик индукция
245
«Замонамиз математика-
сининг бу юк гоялари,
хамма си булмаса х,ам
купчилиги кузатувдан ту-
г ил ган».
Ж. Сильвестер
даки, жуда куп хрлларда индукция
кадами берилган теореманинг узини
исботлашга Караганда енгилрок. Шу-
нинг учун индукция к,адамини исбот-
лар эканмиз, мулохдзаларимиз хаки-
катан хам k нинг ихтиёрий кийматида
ярокдилигига пухта ишонч хосил ки-
ли ш керак.
Купинча, индукция билан теорема-
ни барча п учун эмас, балки факат
етарлича катта п лар учун, яъни бирор
берилган N сонидан катта п лар учун
исботлашга тугри келади. Бу холда
текширувни aiV учун утказиш индук-
ция асосида ётади. Масалан, п 2000
булганда п3— 4> 1000л2+Зл тенгсиз-
лик уринли булишини исботлайлик.
У п = 2000 булганда тугрилигини
бевосита текшириш мумкин. Энди ин-
дукция кадамига утиш максадида k
дан k -f- 1 га утганда тенгсизлик чап
томонига 3fe2 + 3fe -|- 1, унг томонига
эса 2000/г 4- 1003 кушилишига эъти-
бор берайлик. Демак, агар биз
k 2000 учун 3fe2 -ф 3fe -|-1 ^.2000/г 4-
4-1003 ёрдамчи тенгсизликни исбот-
ласак, берилган тенгсизлик исботи
тугайди. k = 2000 булганда ёрдамчи
246
Еш математик цомусий лугати
тенгсизлик уринли (бевосита текши-
рилади). Сунг юкоридагига ухшаш
мулохд.за юритамиз: k дан k +1 га
утганда ёрдамчи тенгсизлик чап то-
монига 6А? Ц-6, унг томонига эса 2000
кушилади. ^^2000 булганда
6/г |-6^2000 эканлиги туфайли ис-
бот них,оясига етди. Бу мисол айни
пайтда мухим бир холатни намойиш
килади: индукция кадамидаги тас-
дикни уз навбатида индукция билан
исботланиши унгай булиши мумкин.
Амалда бундан хам узунрок индук-
тив исботлар занжири учраб туради.
Унда исботланиши керак булган хос-
са борган сари соддалашади.
Индукция ёрдамида факат теорема-
ларни исботлашгина эмас, айрим таъ-
рифларни киритиш хам кулай. А ки-
шини куз олдига келтирайлик. Унинг
ота-онаси ва болаларини биринчи тар-
тибли кариндошлари деб атаймиз
Агар ^-тартибли кариндош тушун-
часи аникланган булса, А нинг
(k + 1 )-тартибли кариндошлари
деб ^-тартибли кариндошларининг
биринчи тартибли кариндошларига
айтамиз (кичикрок тартибли карин-
дошлардан ташкари). Хусусан, бу
таърифга кура ака-укалар ва опа-
сингиллар иккинчи тартибли карин-
дошлар булади. Индуктив таърифлар
математик мантиц ва математик линг-
вистикада мухим роль уйнайди.
Индукция буйича исботлаш матема-
тик фаолиятда мустахкам урин эгал-
лади. Методнинг турли-туман татбик-
ларга мулжалланган жуда куп моди-
фикациялари (вариантлари) уйлаб
топилган.
МАТЕМАТИК ИКТИСОД
Математик иктисод — предмети
иктисодий объектлар ва жараёнлар-
нинг математик моделлари ва уларни
тадкик этиш методлари булган наза-
рий ва амалий фан.
Математик фанларнинг келиб чики-
ши, шубхасиз, иктисод эхтиёжлари
билан боглик булган. Масалан, кан-
ча майдонга дон сепиш, оилани тук
тутиш учун зарур экин майдонини
кандай килиб улчаш ва олинажак хо-
силни чамалаб бахолаш зарур бул-
ган.
Ишлаб чикаришнинг тараккиёти ва
мураккаблашиши билан иктисоднинг
математик хисоблашларга булган эх-
тиёжи ортиб борди. Х,озирги ишлаб
чикариш — куплаб корхоналарнинг
катъий мувозанатга солинган фао-
лиятидан иборатки, у бехисоб матема-
тик масалаларни ечиш билан таъмин-
ланади. Бу иш билан иктисодчилар,
планчилар ва бухгалтерларнинг бир
бутун армияси машгул, минглаб
электрон хисоблаш машиналари эса
Хисоб-китоблар билан банд. Бундай
масалалар каторига ишлаб чикариш
планини тузиш хам, курилиш объект-
ларининг энг афзал жойлашувини
аниклаш хам, юк ташишнинг энг те-
жамли маршрутларини танлаш хам
киради. Математик иктисод, шунинг-
дек, аввалдан маълум иктисодий хо-
дисаларнинг формаллаштирилган ма-
тематик тавсифи, иктисодий хисоб-
китоблардаги турли гипотезаларнинг
тахлили, уларни ифодаловчи матема-
тик муносабатлар билан хам шугул-
ланади.
Математик моделларни шу мак-
садда куллашга дойр у кадар кийин
булмаган иккита мисол курайлик.
Махсулотнинг нархи Р талаб S ва
таклиф D га боглик булсин. Мувозан-
нат учун бозорда нарх (Р*) шундай
булиши керакки, натижада барча то-
вар сотилсин ва ортиб колмасин:
D(P*)=S(P*) (1)
Лекин, фараз килайлик, таклиф бир
вакт оралигига тенг муддатга бозорга
кечикиб келсин. У холда 1-расмда
курсатилганидек (унда талаб ва так-
лиф чизиклари нархнинг функцияси
сифатида тасвирланган), нарх Ро бул-
ганда талаб So таклиф Do дан ортик-
рок- Таклиф талабдан кам булгани
учун нарх ортади ва махсулот Р\>Р,
бахода сотилади. Бундай наряда так-
248
Еш математик цомусий лугати
лиф Si гача усади; энди таклиф та-
лабдан каттарок булади ва ишлаб чи-
карувчилар махсулотни P^<Pt нарх
билан сотишга мажбур булади, шун-
дан сунг таклиф яна камаяди ва жа-
раён такрорланади. Биз иктисодий
циклнинг энг содда моделини косил
килдик. Аста-секин бозор мувозанатга
келади: талаб, нарх ва таклиф S*,
Р*, D* даражасида тургунлашади.
1-расм (1) тенгламани кетма-кет
якинлашиш методи билан ечишни акс
эттириб, бу тенгламанинг илдизи,
яъни мувозанатий нарх Р* ва унга
мос талаб ва таклиф кийматларни
S*, /Э^ни аниклайди.
Энди нисбатан мураккаброк ми-
сол — жамгаришнинг «олтин коида-
си»™ курайлик. Корхона t вакт они-
да ишлаб чикарган мах,сулотининг
микдори Y, мехнат харажати Lt га
пропорционал булиб, пропорционал-
лик коэффициенти — мехнатнинг
унумдорлиги уз навбатида ишлаб чи-
каришнинг мехнат куроллари билан
таъминланганлик даражаси Kt нинг
мехнат харажатига нисбати билан
аникланади.
Бу конуниятнинг математик ифо-
даси куйидагича:
Yt = f(Kt/ Lt)Lt (2)
i-расм.
Якуний махсулот истеъмол фонди
Ct ва жамгарма фондига таксимлана-
ди. Агар жамгаришга ажратилган
махсулот хиссаси s билан белгилан-
са,
С(=(1-х)У| (3)
булади. Иктисодда s сони жамгариш
нормаси деб юритилади. Унинг кий-
мати ноль билан бир оралигидадир.
Вакт бирлиги утиши билан мехнат
куроллари хажми жамгариш дара-
жасича ортади:
Kt+I - Kt = sYt. (4)
Агар иктисод мувозанат билан ри-
вожланса, унинг барча курсаткичлари
бир хил усиш суръати А билан юкса-
лади. Мураккаб процентлар формула-
сидан
Yt = (1 + А)'У, Lt = (1 + А)'£,
Kt = (1 + AM, С,= (1+А)'С.
формулаларни хосил киламиз.
Агар хар ишчи бошига тугри кела-
диган курсаткичлар истеъмол учун
с = С/ L, жихозлар хажми R =
= К/ L ва киши бошига махсулот
ишлаб чикариш у = Y/ L деб бел-
гиланса, (2) — (4) муносабатлар
у = /(/?), LR = sf(R), c = f(R)~
—sf(R) (5)
система куринишига келади.
Математик мантиц
249
Бу тенгламалардан иккинчиси усиш
суръати X ва истеъмол курсаткичи
s берилганда мехнатнинг фондлар би-
лан таъминланганлик даражаси 7?
ни аникдайди— у y = sf(R) чизик,
билан у = KR тугри чизик кесишиш
нуктасига мос келади (2-расм). Бу чи-
зиклар албатта кесишишини таъкид-
лаймиз, зеро f (/?) функция монотон
усувчи булса-да (бу хосса мехнатнинг
куролланганлиги R ортиши билан
махсулот ишлаб чикариш х,ам усиши-
ни билдиради), лекин усиш борган са-
ри киялаб боради. Сунгги х,ол куйи-
даги фактни акс эттиради: ишчининг
бандлиги туфайли мех,нат куроллари-
ни кушимча орттириш (хар ишчи бо-
шига хисобида) самараси камайиб
боради («фойдалиликнинг камайиш
конуни»). Жамгариш нормаси S нинг
турли кийматларига у = sf(R) чи-
зиклар оиласи мувофик келади. (5)
форму ладан куринадики, АВ. кесма-
нинг узунлиги f(R) — sf(R) истеъмол
катталиги с га тенг. S = 1 булганда
(2-расмда Л о нукта) истеъмол умуман
йук — бутун махсулот ускуналар
жамгаришга харж килинади. Энди
жамгариш нормаси S ни пасайтирай-
лик. У холда истеъмол курсаткичи
с (ЛВнинг узунлиги) нолга тенг бул-
майди, шу билан бирга иктисоднинг
юксалиш суръати Х(ОВ тугри чизик-
нинг огиш бурчаги) аввалгидек кола-
ди. у = f(R) чизикнинг уринмаси
у = 7./? тугри чизикка параллел бул-
ган нуктада (унинг ординатаси /?*)
истеъмол с* энг юкори булади. Унга
y = s*f(R) эгри чизиклар оиласининг
бирор жамгариш нормаси s* га мос
аъзоси мос келади. Бу у = s*f(R) чи-
зик «жамгаришнинг олтин нормаси»
дейилади.
Математик иктисоднинг мураккаб
муаммоси — назарияни амалиёт би-
лан таккослаш: иктисодий курсаткич-
ларни улчаш анчайин кийин — ахир
улар лаборатория шароитида улчан-
майди, кузатувларни олиб бориш
учун эса камдан-кам холда имкон бор
(ахоли руйхатини эсланг!), колавер-
са, улар хар хил шароитларда утка-
зилади ва катор ноаникликларга эга
булади. Шу боисдан бу сохада бошка
фанларда тупланган улчашлар тажри-
басидан фойдаланиш даргумон булиб,
махсус методлар ишлаб чикиш такозо
килинади.
Математик иктисоднинг тараккиё-
ти «математик программалаштириш»
деган умумий ном билан бирлашти-
рилувчи бир неча математика соха-
лари пайдо булишига туртки булди
(жумладан, чизикди программалаш-
тириш хакида «Геометрия» маколаси-
дан маълумот олиш мумкин).
Математик методларни иктисодга
татбик килиш масалаларини ишлаб
чиккан совет математиги Л. В. Канто-
рович ишлари Ленин ва Нобель муко-
фотлари билан такдирланган.
МАТЕМАТИК МАНТИК,
«Агар барча карга кора булса, кора
булмаган предметларнинг хеч бири —
карга эмас». Бу тасдик хеч бир шуб-
хасиз тугридир ва буни тасдикдаш
учун кушларнинг ишкибози булиш ас-
ло шарт эмас. Худди шунга ухшаш,
агар барча мукаммал сонлар жуфт
булса, ток сонларнинг хеч бири му-
каммал эмас дейиш учун сонлар на-
зариясининг мутахассиси булиш за-
рур эмас. Биз катнашаётган тушунча-
лар (каргалар, кора, мукаммал, жуфт)
мазмупидан катъий назар тугри бул-
ган фикрларга иккита мисол келтир-
дик. Улар узининг асли шаклига ку-
ра хакикатдир. Шу тоифадаги фикр-
мулохазаларни урганиш мантикнинг
вазифасидан иборат. Умумийрок ки-
либ айтганда: мантик тугри мулохаза
юритиш, тугри фикрлаш усулларини,
яъни тугри фикрлардан тугри хулоса-
лар чикариш усулларини урганади.
Асосан, мулохазалар математика-
нинг предмети булиб хизмат килади.
Уларни урганишда математик метод-
лардан фойдаланилади. Бу сузларни
изохлайлик.
Математиклар таърифлар беради,
теоремалар исботлайди, математик
250
Еш математик цомусий лугати
«Фалсафа китоби — бу учун уни хар ким хам математик шаклларни
кузимиз олдида доимо укиб кетаолмайди; бу ки- укиш учун айии муддао-
очид турган оламдир, фа- гобиинг харфлари учбур- дир».
назариялар тузади ва х к. Математик
мантих мутахассислари бу ни кузатиб,
математиклар кандай иш тутишлари-
ни ва натижада нималар хосил бу-
лишини текширади. Яккол килиб айт-
ганда, математика билан математик
мантик орасидаги муносабат концерт
билан мусика назарияси орасидаги
мунсоабатга ухшайди. Математик
мантик математика асосларини, пой-
деворини, математик назариялар ку-
риш принципларини урганади, дейиш
Мумкин.
Математик мантик нимани урга-
нишини аниклагач, энди у буни кан-
дай бажаришини курайлик. У матема-
тик методлардан фойдаланишини эс-
латган эдик. Бунинг маъноси нима
эканлигини тушунтирайлик. Матема-
тик методлар, айтайлик, физикада
кандай кулланади? Физик жараён-
нинг мухим томонларини акс этти-
рувчи математик модель курилади.
Математик методлар ёлгиз физикада
эмас, бошка фанларда хам куллани-
ши мумкин. Масалан, математик ме-
тодларнинг биологиядаги татбикд
биологик жараёнларнинг математик
моделини куришга асосланади. Мате-
матик назарияларнинг ривожланиш
Математик мантик
жараёни учун х,ам математик модел-
лар куриш мумкин. Худди шу билан
математик мантик шугулланади.
Математик назария кандай тузил-
ган? У кандайдир тасдикларни уз ичи-
га олади. Улардан баъзилари исбот-
сиз кабул килинади, бошкаларини
эса исботлашга муваффак булинади
(бу колда улар теоремалар дейила-
ди). «Тасдик» ва «исбот» сузларининг
кундалик турмушдаги мазмуни анча-
йин хира, ноаник. Шу сабабли, агар,
биз математик модель курмокчи бул-
сак, биринчи булиб шу тушунчаларни
аниклашимиз, яъни бизнинг формал
моделдаги уларнинг аналогларини
(курук булса кам, лекин катъий) яса-
шимиз лозим. Шу максадда матема-
тик мантик мутахассислари матема-
тик тасдикларни катъий баён килишга
мулжалланган махсус формал тил уй-
лаб топдилар. Формал тилда ёзилган
тасдикдар (жонли тилдаги мукокама-
лардан фаркланиши учун) формула-
лар деб юритилади. Формал тил ку-
рилгандан сунг биз математик тас-
дикларни формулалар куринишида
ёзиш имконига эга буламиз. Бу кали,
албатта, етарли эмас. Биз биргина тас-
дикларни эмас, исботларни кам фор-
мал тарзда ёза олишимиз керак. Бу
максадда математик мантикчилар «ис-
бот» тушунчасининг формал аналоги-
ни уйлаб топдилар — бу асослов ту-
шунчасидир (яъни формал тилда
ёзилган исботнинг асосланишидир).
«Теорема исботи»нинг формал тилда-
ги аналоги «асословчи формула» бу-
лади. Аксиомалар (исботсиз кабул
килинадиган формулалар) ва асослов
коидалари билан бирга формал тил
формал система дейилади.
Формал системага кандай табиий
талаблар куйилади? Аввало, бундай
система «жонли», имкони борича не-
формал математикага ухшаш булсин.
Бунинг учун, биринчидан, бизни ки-
зиктирувчи кар бир мазмундор фикр
(ёки кеч булмаганда уларнинг купчи-
лиги) «формал тил»га таржима ки-
линиши керак. Иккинчидан, оддий
тилдаги исботларни уларга мос фор-
251
мулаларни асослов куринишига олиб
келиниши мумкин булсин.
Х,озирги пайтда математик наза-
риялардан купчилигининг жуда кони-
карли моделлари яратилган, яъни
формализациям амалга оширилган.
Айникса формал арифметика ва ак-
сиоматик тупламлар назарияси му-
кимдир. Формал арифметика нату-
рал сонлар какидаги фикрларни
катъий формата келтириш учун, туп-
ламларнинг аксиоматик назарияси эса
тупламларга оид фикрларни катъий
баён килиш учун мулжалланади.
Шундай килиб, математик мантик-
нинг асосий предмета формал систе-
маларни куриш ва урганишдан иборат.
Бу сокадаги энг салмокди натижа
1931 й. да австриялик математик
К. Гёдель исботлаган туликсизлик
какидаги теоремадир. Бу теореманинг
мазмуни: кар кандай «етарлича бой»
формал системада кал килинмайдиган
тасдик мавжуд, яъни шундай А фор-
мула борки, на А нинг узини, на унинг
инкорини исботлаб булади. Агар фор-
мал системани математиканинг унга
мос сокаси билан солиштириб, ма-
тематиканинг кар бир «етарлича бой»
сокасида исботлаб кам, рад килиб
кам булмайдиган тасдик топилади,
дея оламиз. Биз бу ерда формал
система «етарлича бой» булиши учун
кандай шартларга буйсунишини аник
айта олмаймиз. Факат шуни таъкид-
лаймизки, формал системаларнинг
купчилиги, хусусан, формал арифме-
тика ва тупламларнинг аксиоматик
назарияси бу шартларни каноатлан-
тиради. Туликсизлик теоремаси мисо-
лида формал системани куришдан ке-
ладиган наф кам куринади: кандай-
дир тасдикларни исботлаш мумкин
эмаслигини исботлай оладиган була-
миз!
Формал системаларни урганиш ко-
зирги замен математикасида куп му-
ким янги йуналишлар пайдо булиши-
га олиб келди. Улардан айримларини
айтиб утамиз. Формал тилда ёзилган
ифодаларга конкрет «маъно» бериш
масаласи билан моделлар назарияси
252
Ёш математик комусий лугати
шугулланади. Формал системалардаги
асослов хоссаларини исботлар наза-
рияси урганади. Мустадил сода деб
дараса хам буладиган математик ман-
тиднинг жуда мухим булими — алго-
ритмлар назариясидир.
Формал система куриш йулида ман-
тидчилар уйлаб топган бир данча бел-
ги аста-секин умуман математикада
кенг тардалиб борди. Ана шундай бел-
гилардан Д (конъюнкция, «ва»),
V (дизъюнкция, «ёки»), => (импли-
кация, «агар ...булса, у долда...»), 1
(инкор, «...эмас») дамда кванторлар
деб аталувчи V (умуманлик, «Бар-
ча... лар учун») ва 3 (мавжудлик,
«шундай ...мавжудки») кабиларни
курсатиш мумкин. Мантидий боглов-
чиларнинг маъноси душтирнодлар
ичида берилганидан ташдари чинлик
жадваллари деб аталувчи махсус
усулда изодланади. Бундай жадвал-
лар мантидий богловчи ордали тузил-
ган мураккаб тасдиднинг чин (Ч) ё
чин эмас (Ё) лигини ташдил этувчи
тасдидлар чинлигига дараб анидлайди:
А В ЛАВ AVB А=>В 1/1
Ч ч ч ч ч Ё
ч Ё Ё ч Ё Ё
Ё ч Ё ч ч ч
е Ё Ё Ё ч ч
Масалан, бешинчи устун агар А чин,
В эса чин эмас булса, А=>В тасдид
чин эмас, бошда долларда А=>В тас-
дид чин эканлигини курсатади. Юдо-
ридаги жадвалдан фойдаланиб янада
мураккаброд тасдидлар учун дам чин-
лид жадвали тузиш мумкин. Мисол
учун ((Д\/В)Л (ТЛ)Н>В тасдид-
нинг чинлик жадвалини келтирайлик:
А В Л 1 в (ЛЕВ) \ <пл» ((ЛЕВ) А ( 1Л))=>В
ч ч ч Ё Ё ч
ч Ё ч Ё Ё ч
Ё ч ч ч ч ч
Ё Ё Ё ч Ё ч
Жадвални я дун лаб, даралаётган тас-
дид ташкил этувчи А ва В тасдидлар
чинлигидан датъий назар доим чин
булишини дурамиз (олтинчи устун).
Бу ажабланарли эмас — ахир уни ду-
йидагича удит мумкин: «Агар А ёки
В тугри булса ва А нотугри булса, у
холда В тугри». Бундай тасдид мантид
донуни ёки тавтология деб аталади.
Биз математик мантид предметининг
мудокамасини худди шундай тасдид-
лардан бошладик.
Энди V ва 3 кванторларга келсак,
уларнинг маъносини шундай тушун-
тириш мумкин. А (г) — чин булиш-
булмаслиги х узгарувчига боглид тас-
дид булсин (масалан, «х — жуфт
сон»). У долда х А ( х) куриниши-
даги янги тасдид х нинг барча дийма-
тида А (х) тугри эканлигини даъво ди-
лади, ЗхА(х) куринишдаги тасдид
эса А (х) тугри буладиган х нинг дий-
мати топилишини (мавжудлигини)
билдиради. (Юдоридаги мисолда
V хА (г) тасдид чин эмас, ЭхА (г) тас-
дид эса чин). Мантидий богловчилар
сингари кванторлардан дам мантид
донунларини ёзишда фойдаланиш
мумдин. Масалан, биз мадоланинг
бошида мисол сифатида келтирган
дар икки тасдик
Ух(Л(х)=>В(х)=> \/х(1В(х)=>
=► А А (х)),
донуннинг хусусий доли булади. Бун-
га ишонч досил дилиш учун А (х) ур-
нига «х — дарга», В (х) урнига эса
«х — дора» деган тасдидни, ёки А (х)
урнига «х — мукаммал сон», В (х) ур-
нига эса «х — жуфт» деган тасдидни
дуйиб куриш кифоя.
МАТЕМАТИК СТАТИСТИКА
Математик статистика — кузатув на-
тижаларини дайта ишлаш услублари-
ни урганувчи фан. Мисоллар. Пахта
тойидан танламай бир сидим пахта
олинди ва сидимдаги толаларнинг
узунликлари (см) улчаб курилди. Би-
ринчи 28 та улчаш натижалари дуйи-
дагича булди:
2,10; 2,23; 2,14; 2,16; 2,56; 2,05; 2,20;
2,34; 2,18; 1,95; 2,21; 2,46; 2,28; 1,95;
2,54; 2,12; 2,05; 2,15; 2,18; 2,21; 2,34;
2,28; 2,34; 2,20; 2,42; 2,55; 2,12; 2,27.
Математик статистика
253
Кузатув натижаларини бундай кури-
нишда ёзиш куп жойни эгаллайди,
яккол куринмайди, ундан хулосалар
чикариш кийин. Одатда, кузатув маъ-
лумотларини идрок этиш ва кейинги
кайта ишлаб чикишни кулайрок ки-
лиш учун интиладилар. Бу, айникса,
кузатувлар сони катта — бир неча юз,
каттоки минглаб булганда мукимдир.
Бунинг учун кузатув натижалари жад-
вал куринишида берилади. Кузатув
натижаларининг энг каттаси билан
энг кичиги орасидаги фаркни — кий-
матлар интервалини кисмларга (ку-
пинча, бир хил узунликдаги) були-
шади ва х,ар бир кесмага тушган ку-
затув натижалари сони саналади. 1-
жадвалда 100 та сигирни согиш х,аки-
даги маълумотлар келтирилган. Сут
кажми минг литрларда курсатилган;
булиниш оралигининг катталиги 600 л.
Жадвалга бирров куз югуртиришнинг
узиёк оз сут берувчи сигирлар х,ам.
«рекордчи» сигирлар хам камлигини
курсатади.
1-ж а д в а л
Сут кажми буйича гурудлар (минг литрларда) Сигирлар сони
1,6—2,2 4
2,2—2,8 14
2,8—3,4 17
3,4—4,0 37
4,0—4,6 15
4,6—5,2 6
5,2—5,8 4
5,8—6,2 3
Сигирларнинг энг куп микдори жад-
валнинг деярли урта кисмига тугри
келаяпти.
Иккинчи мисолда кемаларнинг ден-
гиз портига келиш вактлари орали-
рини урганамиз. Маълум вакт орали-
гида 185 та кема келган. Маълумот-
лар 2-жадвалда берилган.
Кузатишлар кемаларнинг асосий
кисми кичик вакт оралигида келиши-
ни курсатади. Аслида, жадваллар куп-
рок маълумот олиш — жадвал маълу-
мотларига хос конуниятларни илгаб
олиш имконини беради.
Лунда килиб айтсак, жадваллардан
куйидаги максадларда фойдаланила-
ди: кузатилаётган катталикнинг мум-
кин булган турли кийматлари руй бе-
ришининг конуниятларини урнатиш
учун; тажриба шартларининг узга-
риш-узгармаслигини текшириш учун;
у ёки бу статистик гипотезаларнинг
туррилигини бахолаш учун; тажриба-
да кузатилаётган узгарувчилар ораси-
да корреляцион богланиш деб аталув-
чи богланиш борлигини бахолаш учун
ва х- к. Х,озирги вактда кузатув на-
тижалари тайёрланган махсулот си-
фатини статистик бахолаш ва ишлаб
чикариш жараёнида сифатни бошка-
ришда кулланади.
Айтилганларни ойдинлаштирайлик.
Биринчи масалани ечиш учун гисто-
грамма ясашади. Абсциссалар уки
буйлаб кузатилаётган катталикнинг
кийматлари куйилади, ординаталар
уки буйлаб эса шу кийматларнинг хар
бир ораликдаги частоталари, яъни бе-
рилган вакт оралигига тушган куза-
тув натижалари сонининг (ораликлар
узунлигига булиб) барча кузатувлар
сонига нисбати куйилади. Натижада
зинасимон чизик хосил килинади. Их-
тиёрий гистограмма учун барча турри
туртбурчаклар юзалари йигиндиси
1 га тенг. 2-жадвалдаги мисолга мос
гистограммани у = (1/ 8,32) ех/ 8,32
функция яхши якинлаштиради, бу
чизик остидаги (абсциссалар укининг
мусбат кисмига мос) юза хам 1 га
тенг.
Ишлаб чикаришда хам, илмий таж-
рибаларда хам кузатув шартларининг
канчалик узгармаслигини текшириш
жуда мухим булади. Масалан, техно-
2-ж а д в а л
Кемаларнинг келиш оралиги
(минутларда) 0—4 4—8 8—12
12—16 16—20 20—24 24—28 28—32
Шу ораликда келган кемалар
сони 67 43
254
Еш математик цомусий лугати
логик линияда бирор операция уз-
гартирилган булсин. Бу узгариш мах-
сулот сифатига таъсир этмадимикин,
деб сураш табиий. Фараз килайлик,
ер сиртининг иккита нуктасида — бир
хил кенглик ва ер сиртидан бир хил
баландликда, аммо турли узунликдаги
космик нурланиш интенсивлиги (жад-
валлиги) устидан кузатув олиб бори-
лаётган булсин. Нурланиш интенсив-
лиги бир хилми? Шуни аниклашти-
риш зарур, дейлик. Бунинг учун икки
серия (туркум) кузатувлар (биринчи
ва иккинчи нуктада) утказилади ва
косил цилинган гистограммалар со-
лиштирилади. Гистограммаларнинг
бир-бирига яцинлиги бизнинг «куёш
нурланиши интенсивлиги географик
узунликка боглик эмас» деган гипо-
тезамизни тасдиклайди.
Статистик гипотезалар жуда хам
ранг-баранг булиши мумкин, масалан:
А дори В касалга чалинган беморлар-
га ижобий таъсир утказмайди (эм
булмайди); бугдойнинг А нави В нави-
та Караганда серх,осил ва х- к. Матема-
тик статистикада статистик гипотеза-
ларнинг тугрилиги ёки нотугрилиги
хакидаги муаммоларни хал цилиш
учун яроцли методлар ишлаб чикиш-
га катта ахамият берилади.
Статистика бизни узгарувчилар
орасида функциялар воситасида бери-
ладиган богланишга Караганда уму-
мийрок булган богланиш тушунчаси-
га олиб келади. Мисол келтирамиз.
К,арагай баландлигининг диаметрига
богликлигини урганайлик. Бу иккита
характеристика™! солиштира бошла-
сак, баландлиги бир хил, аммо диамет-
ри хар хил ёки диаметрлари бир хил,
бирок узунликлари хар хил булган
куплаб карагайлар борлигини кура-
миз.
Баландлик ва диаметр орасида
функционал богланиш йук, аммо уму-
мий тенденция шундайки, баландлик
ошган сари диаметр хам катталаша-
веради.
3-жадвалда 250 та карагайнинг ба-
ландликлари ва диаметрларини улчаш
натижалари келтирилган.
3-ж а д в а л
Диаметр, у Баландлик, х (метрларда)
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
15 16 4 3
20 1 3 15 29 20 8
25 1 8 18 49 20 6 1
30 1 4 5 12 8 5
35 1 3 6 4 1
40 1 3 3
45 1
Баландлик ва диаметрлар турлича.
Горизонтал буйлаб турли карагайлар-
нинг уртача баландлиги (метрларда)
ёзилган. Масалан, 18 сони остида тур-
ган 1 баландликлари 17,5 м дан то
18,5 м гача булган карагайлар сонини
билдиради. Вертикал буйлаб карагай-
ларнинг диаметрлари (см ларда) кур-
сатилган. Бу курсатилган сонлар груп-
палаш интервалининг уртаси булади.
Масалан, вертикалдаги 30 сони
27,5 см дан то 32,5 см гача группалаш
интервалининг уртасидир. Жадвал
катакларида эса берилган баландлик
ва диаметрга эга булган дарахтлар со-
ни курсатилган. Масалан, вертикал
буйича 22 га мос устун билан горизон-
тал буйича 25 га мос катор кесишган
жойда 49 сони турибди. Бу баландлиги
21,5 м дан то 22,5 м гача ва диаметри
22,5 дан то 27,5 см гача булган 49 та
карагай кузатилганини билдиради.
Статистикада дарахт баландлиги
билан унинг диаметри орасидаги бог-
ланишни урганиш учун куйидагича
йул тутилади. х нинг хар бир киймати
учун жадвалдан у нинг кузатилган
кийматларининг урта арифметиги ва
хар бир у учун х нинг кузатилган кий-
матларининг урта арифметиги хисоб-
ланади. Энди хосил килинган икки
группа жуфтликларини текисликда
мос нукталар билан тасвирлаймиз ва
хар бир группа нукталари яцинидан
силлик чизик утказамиз. Бу чизиклар
у нинг х буйича ва х нинг у буйича рег-
рессия чизицларидир. Улар х узгар-
ганда у урта кийматларининг ва у уз-
гарганда х урта кийматларининг кан-
дай узгариши хакида такрибий тасав-
вур беради. Куп холларда ана шундай
маълумот у кддар тулик булмаса хам,
жуда фойдали булар экан. Буни битта
Математик эрмаклар
255
мисолда тушунтирайлик. Фараз к,и-
лайлик, бошокдаги дон огирлигининг
поя узунлигига богликлиги кандай уз-
гариши бизга маълум булсин. Бу аник
богланиш эмас, балки биз хозиргина
юкорида суз юритган богланиш тои-
фасидандир. Аммо, хаттоки ана шун-
дай такрибий маълумот хам комбайн
пичогини у ёки бу баландликка урнат-
ганда доннинг неча процента йуколи-
ши хакида хукм чикаришга имкон бе-
ради. Юкорида тавсиф этилган бог-
ланишлар корреляцией богланишлар
дейилади.
Махсулотлар юзлаб ва минглаб до-
на тайёрланадиган оммавий ишлаб чи-
кариш тараккий этиши билан тайёр-
ланган махсулот бутун партиясининг
сифатини ундан катта булмаган тан-
лама (намуна) олиб бахолащцек жид-
дий иктисодий масала пайдо булади.
Иккита сабабга кура унча катта бул-
маган танлама билан ишлашга тугри
келади. Биринчидан, хамма партия си-
фатини текшириш жуда куп вакт ва
маблаг сарфлашни талаб килади. Ик-
кинчидан, купинча, тажриба натижа-
сида махсулот тузатиб булмас дара-
жада (ёки бутунлай) бузилиши мум-
кин, масалан, фотоплёнка ёки фото-
когоз сифати текширилгандан сунг
яроксиз булиб колади. Натижада бар-
ча махсулотларнинг факат бирор
кисмини текшириш ва тулик булма-
ган маълумотлар асосида бутун пар-
тиянинг сифати хакида хулоса чи-
каришга тугри келади. Х,озирги вактда
бундай методлар саноатда кулланил-
мокда — улар назоратнинг статистик
услублари номини олган, миллиард
сумлаб иктисод келтирмокда.
Кузатув натижалари буйсунадиган
конуниятларни аниклаш ва табиатда-
ги реал ходисалар назарияси билан
уларнинг амалдаги кечуви орасидаги
мутаносибликни текширишда статис-
тик методлардан фойдаланилади.
МАТЕМАТИК ЭРМАКЛАР
Математик эрмаклар — кизикарли
масалалар ечиш, хам геометрик ясаш-
лар, хам сонли ва механик бошкотир-
гичларни уйлаб топиш, хам матема-
тик уйинлар хамда фокуслар. Улар
математикага лаёкатни, идрок, манти-
кий мулохазани устаради, хотирани
мустахкамлайди. Математик эрмак-
лар таълимни уйин билан, мехнатни
хордик билан бирлаштиради, лекин
шундай булса-да, бундай эрмаклар би-
лан шугулланиш учун ирода, матонат
ва кунт лозим.
Бошкотиргич масалалар жуда ка-
лам замонлардан маълум, улар миср
папирусларидаёк учрайди. Эрамиз-
нинг I а. дан Рим тарихчиси Иосиф
Флавий масаласи деган ном олган ма-
сала маълум. Ривоятга кура бир гурух
жангчи куршовда колиб, улар орасида
Флавий билан унинг дуста хам булади.
Х,олдан тойган, кутулишга сунгги уми-
дини тиккан жангчилар орасидан кур-
шовдан йул излашга икки кишини
танлаш керак булади. Флавий шундай
танлаш усулини уртага ташлайди:
жангчилар айлана шаклида терилиб,
санай бошлашади. Бунда хар учинчи
жангчи даврадан чикиб кета ди, санок
факат икки киши колгунча давом эт-
тирилади. Окибатда сунгги икки жанг-
чи — доно Флавий билан унинг дусти
булиб чикади. Агар отрядда 41 жанг-
чи булса, Флавий билан унинг дусти
давранинг кайси жойларида туришган.
К,адимги кулёзма маълум килиши-
ча — 16- ва 31-жойларда.
«Плюслар-ноллар» уйини — энг ка-
димий унинлардан, уни хамма билади.
Туккиз катакка булинган квадратга
уйинчилар навбат билан узининг бел-
гиси — «плюс» ёки «ноль» чизади ва
бунда хар ким уч белгини бир катор-
га кетма-кет жойлаштиришга интила-
ди. Ким биринчи булиб бунинг удда-
сидан чикса, уша ютади.
Агар хато килинмаса, уйин дуранг
билан тугайди, факат ракиб хатога
йул куйсагина ютиш мумкин. Даст-
лабки тугри юриш — бурчаклардан
бирини эгаллаш. Агар ракиб урта ка-
такка юриш билан жавоб бермаса —
ютказгани.
256 Еш математик цомусий лугати
1-расм. «Ханой минора-
си» бошцотиргичи. Чап
дозиддаги лаппакларни
х,иид ривоятида баён
этилгаи доидаларга амал
дилиб, купи била и 31
юришда унгдаги козикдд
утказинг.
Уйинчи урта каттакка юриши керак.
«Плюслар ва ноллар»нинг дийин-
лаштирилган варианти — «бештаси
бир датор» уйини дийла дизидрод.
Катак дафтар вара Рида икки уйновчи
навбат билан плюслар ва ноллар чи-
зади. Уз белгисининг бештасини бир
горизонтал, вертикал ё диагоналга
кетма-кет жойлай олган уйинчи юта-
ди. Уйин майдони чекланмайди.
Азалдан «ним» уйини уйнаб келина-
ди. Бир ёки бир неча туп предметлар
берилган булсин. Уйинчилар навбат
билан тайин, аввалдан келишилган
коидага мувофид туплардан предмет-
2-расм. «Пифагор»—фи-
уралар теришга оид бош-
дотиргич.
лар олишади; бу доида бир юришда
нечта тупдан нечтагача предмет олиш
мумкинлигини белгилайди «Ним» уйи-
нининг куплаб вариантлари мавжуд ва
улардан анчаси учун ютудда олиб ке-
ладиган стратегия маълум. Уйин учун
предметларнинг узи булиши шарт
эмас, уни сонлар билан дам уйнайве-
риш мумкин.
Икки уйинчи навбатма-навбат 1 дан
10 гача исталган сонни эълон килади
ва аввалгиларига душиб боради. Ким
биринчи булиб дар икки уйинчи эълон
дилган барча сонлар йигиндисини
100 га етказса, уша ютади. Бу уйинда
оптимал стратегия шундан иборат:
биринчи юришда 1 эълон килинади,
сунг радибнинг дар бир юришидан
сунг шундай сон танланадики, нати-
жада йиринди 12, 23, 34, 45, 56, 67,
78, 89, 100 датор дадларидан бирига
тенг чидсин.
Кудна замонлардан бизнинг кун-
ларгача дазил — бошдотиргичлар
кенг тардалган — улар масала шарти-
даги дар бир сузга эътибор дилишни
ургатади. Мана улардан бири: чунтак-
да умумий диймати 15 тийин булган
иккита танга бор. Х,ар иккиси беш
тийинлик эмас. Чунтакдаги тангалар
Канада?
Масала киши идрокининг психоло-
гик хусусияти — масала шартидаги
асосий фактларни эслаб долишга
Математик эрмаклар
257
3-расм. Уйлаган сонлар
топиладиган «сехрли ел-
пигич».
зсосланган. Натижада ечиш учун пой-
ма-пой уриниш бошланади. Тугри жа-
воб эса мана бу: 10 ва 5 тийинлик
_анга (чунки масала шартига кура
тангалардан бири беш тийинлик була
опади).
«Бури, эчки ва карам» хдкидаги эс-
ки масалада деккон бури, эчки, карам-
ни дарёдан олиб утиши керак. К,айик
ну кадар кичикки, унга декконнинг
’зидан ташкари факат бури, ё факат
эчки, ёки факат карам сигади. Лекин
бури эчки билан киргокда ёлгиз кол-
дирилса, эчкини еб куяди, агар эчки
карам билан колса, у карамни еб куя-
ди. Деккон кандай йул тутиши керак?
Бу турдаги бошкотиргичлар комби-
наторик дейилади (к. Комбинатори-
ка). Бундай бошкотиргичларда эле-
ментларнинг урнини алмаштириш йу-
ти билан уларни масала шартини
каноатлантирадиган тартибда жой-
лаш талаб килинади.
Дех.кон йуликкан масалада дарёдан
утишни эчкидан бошлаш лозим. Сунг
деккон биринчи киргокка кайтиб, бу-
оини оладида, дарёдан утади. Бу кир-
гокда бурини колдириб, узи билан эч-
кини биринчи киргокка кайтиб олиб
утади. Сунг уни шу ерда колдириб,
карамни бурининг ёнига утказади.
Никоят, бир узи оркага кайтиб, эчки-
ни яна нариги киргокка олиб утади.
Машкур Рубикнинг венгр кубчаси
кам, полимино кам, «Ун беш» уйини-
га ухшаш уйинлар кам, шунингдек,
темир йулда маневр килиш масаласи,
шашкаларнинг урнини алмаштириш
билан боглик бошкотиргич, «Ханой
минораси» ва б. кам комбинаторик
турга тегишли.
Ханой минораси какидаги афсонага
Караганда жунглининг борса келмас
жойида будда ибодатхонаси булиб,
унда 64 олтин калкали пирамида сак-
ланар экан. Ибодатхона рокийлари
кечаю-кундуз бу пирамидани унглаш
билан машгул булишар экан. Улар
олтин калкаларни бир жойдан иккин-
чи жойга куйидаги коидага катъий
амал килган колда кучиришар экан-
лар: кар сафар факат бир калканинг
жойини узгартириш мумкин ва бирор-
та кам катта калка кичигининг устига
4-расм. Тошларнн суриб
уйналаднган бошкотир-
гич. Ёнбошдаги буш ка-
та к лар дан фойдаланиб,
кора тошии энг чапдаги
катакка утказииг. Буиинг
учун тош камида 28 мар-
та сурилади.
‘—4826
258
Еш математик цомусий лугати
куйилмаслиги керак. Ривоятга кура,
рохийлар ишини тугатган захоти чак,-
мох чахиб ибодатхона чангга айланар
ва хиёмат булар эмиш.
Рохийлар халхаларни неча марота-
ба кучириши 2П — 1 формула билан хи-
собланади, бунда п — халхалар сони.
Фараз хилайлик, рохийлар шунчалик
тез харакат килишадики, битта халха-
ни кучиришга атиги бир секунд сарф
булади. У холда ишни охирига етка-
зиш учун уларга 264 — 1 сек, ёки тах-
минан 580 млрд, йил керак булади.
Бунча вахтда ибодатхона чиндан хам
чангга айланса керак.
Арифметик ребусларни уйлаб то-
ШАХМАТ
ТАХТАСИДА
МАТЕМАТИКА
Шахмат факат оммавий уйин бу-
либ колмай, балки купгина кизик.
математик масалаларнинг манбаи
хамдир. Шахмат атамаларининг
камбинаторик, графлар назария-
си, кибернетика, уйинлар назария-
си, электрон хисоблаш машинала-
ри, программалашга оид адабиёт-
ларда учраши бежиз эмас. Шах-
мат тахтасидаги бир нечта мате-
матик масала хакида гапириб бе-
рамиз.
1-масала. Асп билан тахтадаги
хамма майдонни хар катакда бир
мартадан булиб айланиб чикинг.
Бу масала билан XVIII ва XIX
а.нинг купчилик математиклари,
жумладан Л. Эйлер хам шугул-
ланган Аслида масала Эйлергача
маълум булган булса хам, у би-
ринчи булиб масаланинг матема-
тик мохиятига ахамият беради.
Маршрутларнинг сони 8 млн. дан
куп эмаслиги исботланган були-
шига карамай, хозиргача нечта
марштрут мавжудлиги номаълум.
Асп маршрутини куришнинг куп
методлари уйлаб топилган, хар
хил математик конуниятлар аник-
ланган. Учта маршрут келтира-
миз. 1, 2-расмларда уларнинг гра-
фиги тасвирланган (маршрутнинг
хар бир иккита кушин катаги кес-
ма билан туташтирилган). 3-расм-
да эса маршрут майдонлари 1
дан 64 гача кетма-кет номерлан-
ган, 1, 3-расмдаги маршрутлар
ёпик (бошлангич ва охирги катак-
лар асп юриши билан узаро бог-
ланган), 2-расмдаги маршрут—
очик- 3-расмдаги маршрут ярим
сехрли (8X8)—квадрат хосил ки-
лади (исталган вертикалдаги ва
горизонталдаги сонлар йигиндиси
260 га тенг, лекин бош диаго-
налдаги сонлар йигиндиси ундан
фарк килади (к. Сехрли ва
латин квадратлари): бу маршрут
бундан ташкари гаройиб симмет-
рияга эга — тахта 180° га бу-
рилса, маршрутнинг биринчи яр-
ми (1 дан 32 гача юришлар)
иккинчи ярмига (32 дан 64 гача
юришларга) айланади.
Бошка фигуралар учун хам мар-
шрутлар хакидаги масалалар ту-
зилган. 4-расмда фарзиннинг бу-
тун тахта буйлаб энг киска ёпик
Математик эрмаклар
259
пиш хам кизикарлиликда комбинато-
рик бошкотиргичлардан колишмайди.
Уларнинг мазмуни етишмаётган ра-
камларни тиклашдан иборат. Гугурт
чупларига оид уйин-бошкотиргичлар
учун гугурт булиши шарт эмас — чуп
урнига таёдчалар, когозда ёки ерда
чизидча чизиб уйнаса хам булади.
К,ирк,ишга дойр масалалар геометрик
бошкотиргичлардир. Уларни зарур
фигураларни катак когозга чизиб
ечиш унгай.
Энг хадимий геометрик бошкотир-
гичлар — бу айрим булаклардан гео-
метрик фигуралар тахлаш. Бундай
бошкотиргичларнинг номлариёк улар-
маршрути тасвирланган, бу 14
юришни олади.
2-масала. 8 та фарзинни бир-
бирига зарб бераолмайдиган ки-
либ, яъни улардан деч кандай
иккитаси бир вертикал, горизон-
тал ёки диагонал чизикди турмай-
диган килиб неча усул билан жой-
лаш мумкин?
У ёки бу жойлашувни топиш
унчалик кийин эмас, уларнинг
умумий сонини хисоблаш кийин-
рок- 92 хил талаб килинган жой-
лашув борлиги, улар 12 асосий
жойлашувдан тахтани буриш ва
кузгу симметрияси ёрдамида хо-
сил килиниши аникланган. Маса-
ла ечимларидан бири 5-расмда
берилган.
Бундай масалалар барча шах-
мат фигуралари учун куйилади.
Олдин бир фигура купи билан
нечта олинганда тахтада бир-би-
рига зарб бермаслиги аникданади,
сунг нечта жойлашув мавжудлиги
аникланади. Фарзинлар каби, ку-
пи билан 8 дона рух куйиш мум-
кин (жойлашувлар жаъми 8!—
40320 та). Масалан, уларни 5-
расмда фарзинлар куйилган ка-
такларнинг узига куйиш мумкин.
Бир-бирига дуч келмайдиган
филларнинг максимал сони 14
(6-расм), жаъми 256 та жой-
лашув, асплар — 32 та (хамма
ёки хамма кора катакларга жой-
лаш— 2 усул), шохлар 16 та —
7 раем (281571 хил жойлашув).
Жойлаштиришларга дойр маса-
лаларнинг бошка бир синфи фи-
гуралар тахтанинг хамма буш
катакларини зарба остида ту-
тувчи жойлашувларининг мини-
мал сони билан боглик. Бу мак-
сад учун бешта фарзин (8-расм),
саккизта рух (уларни 5-расмда
фарзинлар турган катакларга ку-
йиш мумкин), саккизта фил (9-
расм), 12 та асп (10-расм), 9
та шох (11-расм) олиш керак.
Бунда барча фигура учун хам
зарур жойлашувлар сони маълум
дея олмаймиз.
Тахтани фигуралар сони беш-
тадан кам булганда куриклаб бул-
майди, аммо бешта фарзиндан
иккитасини рухлар билан ёки
Хатто бир рух ва бир шох ёки
фил билан алмаштириб «иктисод
килиш» мумкин (12-расм).
Расмлар жойлашув тартибида
номерланган.
260
Еш математик цомусий луг ат и
5-расм. Маневр цилишга
масала. Агар туннелдан
факат паровоз утншн
мумкин булса, вагонлар
урнини алмаштириш учун
паровозик у ёки бу йулга
утказувчи стрелкани неча
марта узгартиришга тугри
келади.
нинг кадимийлигидан далолат бера-
ди: «Пифагор», «Колумб тухуми»,
«Архимед уйини» ва б. Уларни кар-
тондан киркиб, кар ким ясаб олиши
мумкин.
Топологик бошкотиргичлар кам энг
кукна бошкртиргичлардан. Уларга
барча маълум лабиринтлар, симдан
ёки индан ясалган, йигма бошкотир-
гичлар киради.
Хабардор булмаган киши учун у
уйлаган сон топилса, кайратли туюла-
ди. Лекин сиз математик фокуснинг
сирини билиб олсангиз, факат узин-
гиз уни намойиш килибгина колмай,
янги фокуслар уйлаб топишингиз кам
мумкин.
Сиз уртогингиздан исталган бир
сон уйлашни, сунг ундан 1 ни айириш-
ни, натижани иккига купайтириб, ку-
пайтмадан уйлаган сонни айиришни
буюрасиз, сунг натижани маълум ки-
лишини сурайсиз. Унга дилда 2 ни
кушиб, уйланган сонни айтиб берасиз.
Фокуснинг сири равшан булиши учун
бажарилган амалларни алгебраик
тарзда ёзиш кифоя: (х—1)-2— х,
бунда х — уйланган сон. К,авсларни
«15» уйини
очиб, ифодани соддалаштирсак, у
х — 2 дан иборат эканлигини курамиз.
Номаълум сон устида бажарилган
амаллар натижасини топиш кам мум-
кин. Масалан, куйидагича: уртогин-
гиз бирор сон уйласин. Сиз уни иккига
купайтиришни, сунг купайтмага 12
кушишни, йигиндини эса тенг иккига
булиб, ундан уйланган сонни айири-
ришни сурайсиз. К,айси сон уйланган
булишидан катъий назар, сунгги нати-
жа доим 6 га тенг чикади, чунки истал-
ган х учун (2x-f-12)/ 2—х = 6.
3-расмда «секрли елпигич» тасвир-
ланган. Унинг ёрдамида 1 билан 31
орасидаги уйланган сонни топиш мум-
кин. Бунинг учун сиз уйланган сон ел-
пигичнинг кайси булакларига ёзилга-
нини сурайсиз, сунг шу булакларнинг
остидаги сонларни дилда кушиб чика-
сиз. Йигинди кар доим уйланган сон-
га тенг булади.
. Уз пайтида мантикий масала —
бошкотиргичлар жуда оммалашган
эди. Улардан бирининг ечимига на-
муна келтирайлик.
Уйнаб чарчаган уч бола дам олиш
учун дарахт соясида ётиб, ухлаб ко-
лишди. Улар ухлаб ётганда бошка
бир бола уларнинг пешоналарига куя
суриб чикди. Болалар уйгонгач, бир-
бирига караб кула бошладилар. Бир-
дан улардан бири ковогини уйиб, ку-
лишдан тухтади — у узининг пешона-
си кам куя эканини тушунган эди. У
шундай мулоказа килган: «Уччаламиз
кам кула бошладик, чунки кар ким
узининг пешонасини тоза деб кисоб-
лади. Лекин менинг пешонам тоза
булса, Омонга Эксоннинг кулгиси га-
Математика
261
лати туюлиши керак-ку. Эх,сон кулаёт-
ган экан, менинг пешонам тоза булса,
у албатта Омоннинг устидан кулаётган
булади-да. Омон буни тушуниб ку-
лишдан тухташй керак эди. Лекин у
хамон кулаётган экан, демак, менинг
пешонамга хам куя суртилган».
Энди яна бир мантидий бошдотир- .
гичга узингиз жавоб беришга харакат
килиб куринг.
Агар сиз бу бошкотиргични то-
пишдан олдин топган бошкотиргичга
нисбатан бу бошкотиргични топиш-
дан олдинги бошкотиргичдан кейин
топган бошкртиргич дийинрок, булса,
бу бошкотиргични топишдан олдин
топган бошкртиргич бунга нисбатан
кийинрок буладими? Жавоб: йук.
МАТЕМАТИКА
Математика — энг кухна фанлардан
бири. Унга киска таъриф бериш у
кадар осон эмас, унинг мазмуни ки-
шининг математик маълумотига кура
жуда кескин узгаради. Энди арифме-
тика ни ургана бошлаган бошлангич
синф укувчиси математика предмет-
ларни санаш коидаларини урганади,
дейди. Ва у хак булади, чунки даст-
лабки пайтларда худди шу билан та-
нишади. Юкорирок синф укувчилари
эса бунга кушимча килиб, математи-
ка тушунчасига алгебра ва геометрик
объектлар: чизиклар, уларнинг кеси-
шиши, текис фигуралар, геометрик
жисмлар, хар хил алмаштиришларни
урганиш киради, дейди. Урта мактаб-
ни битирувчилар эса математика таъ-
рифига функцияни урганиш ва ли-
митга утиш амалини хамда хосила ва
интеграл билан боглик тушунчаларни
киритади. Олий техника укув юртлари
ёки университетлар ва педагогика
институтларининг табиий фанлар фа-
культетини битирувчиларини эса мак-
таб таърифи каноатлантирмайди, зеро
улар математика таркибига бошка
сохалар киришини хам билишади, ма-
салан, эхтимолликлар назарияси, ма-
тематик статистика, дифференциал
тенгламалар, ЭХ.М да программалаш,
хисоблаш методлари, шунингдек, са-
налган сохаларнинг татбиклари: иш-
лаб чикариш жараёнларининг моде-
лини яратиш, тажриба натижаларини
тахлил этиш, информацияни узатиш
ва кайта ишлаш ва х- к. Бирок юкори-
да айтиб утилганлар хам математи-
канинг тула мазмунини камрамайди.
Тупламлар назарияси, математик
мантик, оптимал бошкарув, тасоди-
фий жараёнлар назарияси ва бошка
яна куплаб шохобчалар унинг тар-
кибига киради.
Математикани унинг таркибий
кисмларини санаш йули билан таъ-
рифлашга уринсак, бизни чалгитади,
зотан бу математика асли нимани ур-
ганади ва у бизни ураб турган олам
билан кандай нисбатда булиши хаки-
да тасаввур бермайди. Агар бизнинг
саволга ухшаш савол физик, биолог
ёки астрономга берилса эди, уларнинг
хар бири анчайин киска, бу фан урга-
надиган сохаларни бирма-бир санаб
чикмасдан жавоб берган булар эди.
Бундай жавобда улар таткик этади-
ган табиат ходисалари курсатилган
булар эди. Масалан, биолог узининг
фани хаётнинг турли куринишларини
урганади, дея олади. Гарчанд бу таъ-
риф у кадар тугал булмасада, унда
хаёт ва хаётий ходисалар нима экан-
лиги хакида хеч нарса дейилмасада,
бу таъриф биология фанининг маз-
муни ва унинг турли сатхдаги булим-
лари хакида етарлича тулик тасаввур
беради. Ва биология сохасидаги биз-
нинг билим доирамиз кенгайса хам
бу таъриф узгармасдан колаверади.
Физика, биология, химияга таал-
лукли ё инженерлик, ёки ижтимоий
булсин, бирор табиат, техника ва жа-
мият ходисаси йукки, у математика-
нинг урганиш предмета була олмасин.
Табиатни урганувчи хар бир илм: био-
логия ва физика, химия ва психоло-
гия уз предметининг моддий хусусия-
ти билан, мавжуд оламнинг узи урга-
надиган сохасига хос фазилатлари би-
лан аникланади. Шу билан бирга бу
предмет ва ходисалар турли услуб-
Еш математик цомусий лугати
262
лари, шу жумладан математик метод-
лар билан урганилиши мумкин. Шунга
карамасдан метод узгартирилса хам
биз уша фан сохасида коламиз: бу
фаннинг мазмуни тадк,ик,от методи
эмас, балки реал предметдир. Мате-
матика учун тадкик,отнинг предмета
хал килувчи ахамиятга эга эмас, кул-
ланаётган метод мухим. Масалан,
тригонометрик функциялардан теб-
ранма харакатни текширишда хам,
тагига бориб булмайдиган нарсанинг
баландлигини улчашда хам фойдала-
ниш мумкин. Хуллас, моддий олам-
нинг дайси хусусиятларини матема-
тик метод билан тадкик, килиш мум-
кин? Бундай ходисалар узларининг
моддий табиати билан эмас, юз фоиз
формал структураси билан, биринчи
навбатда бу ходисалар билан ажрал-
мас микдорий муносабатлар ва фазо-
вий шакллар билан аникланади.
Шундай килиб, математика моддий
предметларни эмас, текширилаётган
объектнинг тузилиши билан боглик
хоссаларни ва тадкикот методларини
урганар экан. Бу хосса ва методлар
кушиш, дифференциаллаш ва б. амал-
ларни объектга куллаш мумкинлиги
билан характерланади. Айни пайтда
математикадаги муаммо, тушунча ва
назарияларнинг аксарият кисми учун
биринчи манба реал ходиса ва жа-
раёнлардир. Масалан, арифметика ва
сонлар назарияси дастлаб амалий ма-
сала — предметларни санашдан
шаклланган. Масофаларни солишти-
риш, текис фигуралар юзасини ёки
фазовий жисмлар хажмини улчаш би-
лан боглик муаммолар элементар гео-
Математика
263
метриянинг манбаи булган. Бундай
ишларни бажариш амалда талаб ки-
линган, чунки ер майдонини кайта
таксимлаш, дон омборлари ёки мудо-
фаа иншоотларини куришда хисоб-
китоб зарурияти тугилар эди.
Математик натижа шундай хосса-
га эга: уни бир ходиса ёки жараённи
урганишдагина эмас, физика нуктаи
назаридан табиати мутлако фарк ки-
ладиган бошка турли ходисаларни
текширищда хам куллаш мумкин. Чу-
нончи, арифметика коидалари иктисо-
дий масалаларда хам, техникага оид
саволларни урганищда хам, кишлок
хужалиги масалаларини ечишда, ил-
мий тадкикотларда хам бирдай кул-
ланади. Арифметик коидалар бир не-
ча минг йил илгари ишлаб чикилган,'
лекин амалий ахамиятини абадул-
абад саклаб колади. Арифметика ма-
тематиканинг таркибий кисмидан
иборат. Энди у одатдаги маънода ма-
тематика доирасида ижодий ривожла-
нишдан тухтаган, лекин хозир хам,
бундан кейин хам куплаб янги тат-
бикдарга эга булади. Бу татбиклар
инсоният учун улкан ахамият касб
этиши мумкин, бирок математиканинг
узига энди улар янги хисса кушмайди.
Математиканинг ижодий куч сифа-
тида максади — шундай умумий кои-
даларни ишлаб чикишки, улар санок-
сиз хусусий холларда куллансин. Бун-
дай коидалар устида ишловчи мута-
хассис — ижодкор — янгилик яра-
тувчидир. Хосил килинган тайёр кои-
даларни кулловчи мутахассис хакида
математика сохасида ижод килади
дейиш уринсиз, лекин у математика
коидалари ёрдамида бошка сохаларда
мухим янгиликлар очиши мумкин, ал-
батта. Масалан, хозирги кунда космик
суратлардан информация олинади,
шунингдек, геохимия ва геофизикада
табиат аномалиялари ЭХМ ёрдамида
тахлил килинади. Шубхасиз, геологик
тадкикотларда ЭХМ куллангани би-
264 Еш математик
лан бу тадкикотлар геологияга таал-
луклигича колади. ЭХ,Мнинг иш
принциплари ва математик имконият-
ларини таъминлаш эса махсус геоло-
гияга кулланиши хисобга олинмаган
х,олда ишлаб чикилади.
цомусий лугати
Э^Мнинг геологияга татбик кили-
ниши мумкинлиги эса геологик маълу-
мотлар структураси ЭХМ нинг маъ-
лум иш программалари мантики билан
мувофиклигидадир. Математиканинг
иккита таърифи.
Математика
кенг таркалган. Улардан биринчиси
Ф. Энгельснинг «Анти-Дюринг» аса-
рида, иккинчиси Никола Бурбаки та-
халлусли бир гурух, француз матема-
тиклари томонидан ёзилган «Матема-
тика архитектураси» (1948) мацола-
сида берилган. Ф. Энгельснинг ёзи-
265
шича, «соф математиканинг объекти
объектив дунёнинг фазовий шакллари
ва микдорий нисбатларидир». Бу таъ-
риф математиканинг урганиш объек-
тини к^фсатибгина колмай, бу объект
келиб чик,кан манба объектив дунё
эканлигини х,ам курсатади. Бирок
Еш математик цомусий лугати
266
Ф. Энгельс таърифи купрок XIX а.
нинг иккинчи ярмидаги математика
холатини акс эттириб, унинг янги со-
халарини кдмрамайди. Бу сохалардан
баъзилари микдорий муносабатлар
билан хам, геометрик шакллар билан
хам бевосита боглик эмас. Бу бирин-
чи навбатда математик мантик ва
ЭХ,М учун программалаштиришга
оид. Шунинг учун Ф. Энгельс таърифи
бир оз аниклик киритишни такозо
этади. Математиканинг урганиш объ-
екта фазовий шакллар, микдорий нис-
батлар ва мантикий конструкциялар
дейилса, таъриф туларок булса керак.
Бурбаки эса «математик структура-
лар, аслини олганда, ягона математик
объектлар булиб колмокда» деган
фикрни айтади. Бошка суз билан, ма-
тематикани математик структуралар
хакидаги фан, деб таърифлаш лозим.
Бу таъриф мохияти билан тавтология
(бир фикрни такрорлайвериш)дир,
чунки у математика узи урганадиган
объектлар билан шугулланади дейиш-
дан бошка ran эмас. Бу таърифнинг
бошка мухим камчилиги математи-
канинг бизни ураб турган дунё билан
кандай муносабатда эканлигини ту-
шунтирмайди. Колаверсд, Бурбаки
математик структуралар реал дунё ва
унинг ходисаларидан мустакил яра-
тилади, деб эълон килади. Ана шу
сабабдан Бурбаки куйидагиларни кайд
килади: «асосий муаммо эксперимен-
тал ва математик дунёларнинг узаро
муносабатида. Тажрибадаги ходиса-
лар билан математик структуралар
орасида узвий алока борлиги даври-
миз физикасининг ихтиролари орка-
Математика
267
ли тасдикландики, бу чамаси, мутла-
КО кутилмаган эди. Лекин бунинг туб
сабаблари бизга сира хам маълум
эмас... ва балким биз уни хеч качон
била олмаймиз».
Ф. Энгельс таърифидан хафсалани
пир дилади ган хулосага келинмайди,
чунки унда математик тушунчалар
реал дунёнинг бирор нисбати ва шак-
лидан хосил дилинадиган абстракция-
лар эканлигини тасдик, ловчи фикр
мужассам. Бу тушунчалар аввал бош-
дан реал дунёдан олинган ва у билан
боглик- Мазмунан, математика нати-
жаларининг бизни ураб турган мухим
ходисаларига хдйратли даражада му-
ваффакият билан кулланиши худди
шу билан изохданади. Бу ерда Гегел-
нинг «Мантик фани» асарини урга-
ниш муносабати билан «Фалсафа даф-
тарлари»га киритилган В. И. Ленин-
нинг куйидаги фикрини эслаш мак-
садга мувофик: «Билиш — табиатнинг
инсон томонидан акс эттирилишидир.
Лекин бу содда, бевосита, яхлит акс-
лантириш эмас, балки абстракциялаш,
тушунча, конун ва х- к. ларни шакл-
лантириш каби катор амаллардан ибо-
рат жараёндир (фикрлаш, фан —
«мантикий гоя») ва у абадий харакат
ва ривожланишдаги табиатнинг уни-
версал конуниятларини шартли, так-
рибан камрайди».
Математика бошка барча билим со-
халаридан алохида эмас — унда хам
тушунчалар амалий вазиятдан, бир не-
ча абстракциялаш окибатида вужудга
келади; у хам борликни такрибан
урганишга имкон беради. Лекин шу
билан бирга кузда тутиш лозимки,
математика реал дунёдаги нарсаларни
эмас, абстракт тушунчаларни ургана-
ди, унинг мантикий хулосалари мут-
лако катъий ва аникдир. Айтилган
такрибийлик ички хусусият эмас —
ходисанинг математик моделини ту-
зиш билан боглик- Яна шуни хам эс-
латиш жоизки, математик коидалар-
268 Еш математик
нинг татбики мутлак (абсолют) эмас,
бу коидалар уз хукмронлигини \еч
сузсиз утказадиган сохднинг хам чега-
раси бор. Бу фикрни куйидаги мисол-
да ёритайлик: икки карра икки доимо
хам туртга тенг эмас экан. 2 л спиртга
цомусий лугати
2 л сув кушилса, 4 л дан оз аралашма
хосил булиши мумкин. Аралашмада
молекулалар ихчамрок, жойлашиб,
унинг хажми ташкил этувчи дисмлар
хажмлари йигиндисидан кичик булар
экан. Арифметиканинг кушиш доида-
Математика
269
си бузилади. Арифметйканинг бошка
коидалари бузиладиган яна мисоллар
келтириш мумкин, масалан, баъзи
объектларни кушганда йигинди ку-
шилувчиларни кушиш тартибига бог-
лик чикади.
Совет математиклари математика
тушунчаларини соф акл мах,сули деб
эмас, балки реал мавжуд булган нар-
салар, ходисалар, жараёнларнинг аб-
стракциялари ёки аввал шаклланган
абстракцияларнинг абстракциялари
(юкори боскич абстракциялар) деб
карашади. Ф. Энгельс «Табиат диа-
лектикаси» асдрида ёзади: «соф мате-
матика деб аталувчи бу фан батамом
абстракциялар билан- шугулланади,
...унинг барча катталиклари, катъий
айтганда, тасаввурдаги катталиклар-
дир...». Бу сузлар абстракцияларнинг
математикадаги роли хакида марк-
систах фалсафа асосчиларидан би-
рининг фикрини етарлича равшан акс
эттаради. Атаги «тасаввурдаги бу кат-
таликлар» реал борликдан олиниши-
ни, тафаккурнинг эркин парвози би-
лан исталганча ясала бермаслигини
таъкидлаймиз. Сон тушунчаси ялпи
истеъмол даражасига шу йулни босиб
етиб келган. Дастлаб бирликлар ми-
кёсидаги сонлар, шунда хам факат бу-
тун мусбат сонлар билан иш курилган.
Сунг тажриба сонлар нарвонини ун-
лар ва юзларгача кутарган. Бутун сон-
лар каторининг чексизлиги хакидаги
тасаввур эса тарихан бизга якин давр-
да тугилган: Архимед «Псаммит»
(«К,ум зарраларининг саноги») ки-
тобида кандай килиб берилган хар
кандай сондан янада каттарок сон-
ларни тузиш мумкинлигини курсатди.
Айни вактда амалий эхтиёжлардан
каср сон тушунчаси тугилди. Энг сод-
да геометрик фигуралар билан боглик
хисоблашар инсониятни янги — ир-
рационал сонларга тукнаштирди. Шу
йулда аста-секин барча ха кики й сон-
лар туплами хакидаги тасаввур шакл-
ланди.
Худди шундай йул математиканинг
бошка исталган тушунчаси учун хам
кузатилиши мумкин. Уларнинг бари
амалий эхтиёждан келиб чиккан ва
аста-секин абстракт тушунчаларга
айланган. Бу уринда Ф. Энгельснинг
куйидаги ажойиб сузларини доим эс-
да тутиш лозим. «... соф математика-
нинг ахамияти хар бир алохида ки-
шининг тажрибасига боглик эмас...
Лекин соф математикада акл факат
узининг ижодий ва хаёлий махсулоти
билан иш куради дейиш мутлако но-
тугри. Сон ва фигура тушунчалари
аллакаердан эмас, балки факат хаки-
кий дунёдан олинган. Одамлар санаш-
ни урганган ун бармок хар нима булса
борки, асло акднинг эркин ижоди мах-
сули эмас. Санаш учун нафакат са-
налиши лозим булган предметларга
эга булиш керак, бу предметларга
Караганда уларнинг сонидан бошка
барча хоссаларини назардан сокит
кила билиш кобилияти хам керак.
Бундай кобилият эса тажрибага таян-
ган узок тарихий тараккиёт натижа-
сидир. Сон тушунчасига ухшаб фигура
тушунчаси хам тамомила ташки дунё-
дан узлаштирилган, одамнинг бошида
курук фикрлаш натижасида пайдо
булган эмас. Фигура тушунчаси хосил
булишидан аввал маълум шаклли нар-
салар мавжуд булмоги ва бу шакл-
лар солиштириб курилмоги даркор».
Фанда унинг олдинги тараккиёти-ю,
амалиётнинг шу кунги усиши билан бог-
лик булмаган тарзда яратилган тушун-
чалар борми, деган саволни уртага
ташлайлик. Биз жуда яхши биламиз-
ки, математикада илмий ижодга ки-
ришишдан аввал урта ва олий мактаб-
ларда куплаб предметлар урганилади,
китоб ва маколалар укилади, хар кай-
си соханинг узи билан хам, бошка со-
халар билан хам шугулланувчи мута-
хассислар билан сухбатлашилади. Ма-
тематик жамият багрида яшайди, ки-
тоблар, радио ва бошка манбалардан
фанда, инженерлик фаолиятида, иж-
тамоий хаётда юзага келаётган муам-
молар билан танишади. К,олаверса,
тадкикотчининг тафаккури узигача
яратилган бутун илмий гоялар таъ-
сири остида ётади. Шу туфайли у фан
таракхиёта учун зарур тайин муам-
Еш математик цомусий лугати
270
моларни ечишга тайёрланган булади.
Мана шу сабабдан олим уз ихтиёри
билан, нима хохласа шу муаммони
олдинга сура олмайди, шу сабабдан
у фан учун, бошка тадкикотчилар
учун, инсоният учун мух,им матема-
тик тушунчалар ва назариялар яра-
тиши керак, Бундан ташкари, бири-
бири билан сира кам хабардор булма-
ган бир неча олимда бир хил гоя ту-
гилиш коллари кам эмас. Бу матема-
тик тушунчаларнинг эркин ижоди
концепцияси (гоявий нуктаи назари)
тарафдорларига карши яна бир ку-
шимча далилдир.
Шундай килиб, биз «математика»
тушунчаси нималарни уз ичига оли-
шини кикоя килдик. Лекин яна ама-
лий математика деган тушунча кам
бор. Бу ибора тилга олинганда мате-
матикадан ташкарида татбик топади-
ган камма математик методлар ва со-
калар тушунилади. К,адимда геомет-
рия ва арифметика бутун математи-
кани ташкил этарди. Уларнинг кар
иккиси савдо-сотик, юза ва кажмлар-
ни улчаш, кемаларни бошкаришда
куплаб татбик килингани учун бутун
математика кам назарий, кам амалий
булган. Кейинрок Кддимги Юно-
нистонда математика ва амалий мате-
матика деган булиниш содир булган.
Бирок буюк математикларнинг кам-
маси ёлгиз соф назарий тадкикотлар
билангина эмас, амалиёт билан кам
шугулланганлар.
Математиканинг кейинги ривожла-
ниши табиатшунослик ва техника та-
раккиёти, янги ижтимоий эктиёжлар
пайдо булиши билан тинимсиз бог-
ланиб келади. XVIII а. охирига келиб
каракатнинг математик назариясини
яратишга зарурат тугилади (биринчи
навбатда кемаларни бошкариш ва
артиллерия муаммоларида). Бу иш
Г. В. Лейбниц ва И. Ньютон фаолия-
тида амалга ошди. Амалий математи-
ка жуда бакувват янги тадкикот ме-
тоди — математик анализ билан бо-
йиди. Деярли бир даврда демография,
сугурта эктиёжлари эктимоллар на-
зариясининг бошлангич элементлари
шаклланишига олиб келди (к- Эцти-
моллик назарияси). XVIII ва XIX а. да
амалий математика мазмунан кен-
гайиб, унга оддий ва хусусий косилали
дифференциал тенгламалар, матема-
тик физика тенгламалари, математик
статистика, дифференциал геометрия
кушилди. XX а. амалий масалалар
тадкикининг янги методларини так-
дим этди: тасодифий жараенлар на-
зарияси, оптимал бошкарув, чизикли
ва чизиксиз программалаш. Бундан
ташкари, кеч кутмаганда сонлар наза-
рияси ва абстракт алгебра физика ма-
салаларига татбик килиниши маълум
булди. Окибатда амалий математика
деган алохцда сока йук, бутун матема-
тика амалий фан деб кисобланиши
мумкин деган ишонч карор топа бош-
лади. Чамаси, математикани амалий
ва назарий булимлари какида эмас,
балки математиклар назариётчилар ва
амалиётчиларга булиниши какида га-
пирган маъкулрок- Бир гурук матема-
тиклар учун математика атрофимиз-
даги дунё ва ундаги кодисаларни би-
лиш методидир ва шу максадда улар
математик билимларни ривожланти-
ришади ва кенгайтиришади. Бошка
математиклар учун у уз колича урга-
ниш ва ривожлантиришга молик бутун
бир дунёдир. Фан илдамлашиши учун
хам, бу тоифа олимлар керак.
Математика бирор кодисани узи-
нинг методлари билан урганишдан
аввал унинг математик моделини яра-
тади, яъни кодисанинг эътиборга оли-
надиган барча хусусиятларини ёзиб
чикади. Модель тадкикотчини ургани-
лаётган кодисанинг узига хослиги ва
эволюциясини какконий ёритишга им-
кон берувчи методларни танлашга
ундайди. Мисол тарикасида сайёралар
системасининг моделини олайлик:
Куёш ва :сайёралар маълум массага
эга булган моддий нукталар деб ка-
ралади. Бу нукталардан ихтиёрий ик-
китасининг узаро таъсири улар ораси-
даги тортишиш кучи билан аниклана-
ди:
F,2 = f~^-,
Матрица
бунда mi ва т? — узаро таъсири ку-
рилаётган нукталар массалари, г —
улар орасидаги масофа, f эса — гра-
витация доимийси. Бу модель гоят сод-
да булишига карамай, у уч юз йилдан
ортикрок. К,уёш системасидаги сайёра-
лар харакатининг хусусиятларини ул-
кан аникликда хисоблашга имкон бер-
мокда.
Албатта, х,ар кандай модель воке-
ликни бир оз булсада дагаллаштира-
ди, шунинг учун биринчи навбатда
тадкикотчининг вазифаси шундай мо-
дель куришки, бир томондан, у маса-
ланинг асосий (табиий). хусусиятла-
рини мукаммал очиб берсин, иккинчи
томондан эса, натижалар вокеликка
имкони борича якин булсин. Табиий,
айни бир х,одиса учун бир неча мате-
матик модель таклиф этилиши мум-
кин. Токи модель билан вокелик ора-
сидаги тафовутнинг натижалар тугри-
лигига таъсири ах,амиятсиз колар экан
бу моделларнинг кар бири х,ам илмий
изланиш объекта булишга хакди.
МАТРИЦА
Матрица — сонлардан тузилган тугри
бурчакли жадвал. Купинча у ёки бу
маълумотлар (сонлар) ни тугри бур-
чакли жадвал куринишида жойлаш-
тиришга тугри келади. Масалан, агар
учта завод бешта х,ар хил турдаги мах,-
сулот чикараётган булса, у холда йил-
лик ишлаб чикариш хакидаги хисобот
ушбу
fxii Х12 Х13 Х14 XisX
X =1 Х21 *22 *23 *24 *25 |
\*31 *32 *33 *44 *45 /
жадвал куринишида берилиши мум-
кин, бу ерда Xij билан i-нчи завод то-
монидан йил давомида ишлаб чика-
рилган /-турдаги махсулот микдори
белгиланган. Бу жадвални кискача
X = (x/j) каби белгилаймиз ва уни
учта сатр ва бешта устунли тугри бур-
чакли матрица деб атаймиз. т та сатр
ва п та устунли тугри бурчакли матри-
271
ца (ёки кискача (шХп)—матрица)
тушунчаси хам шунга ухшаш аник-
ланади. т = п булганда бундай мат-
рица квадрат матрица, п эса бу матри-
цанинг тартиби дейилади.
Агар келгуси йил давомида мах-
сулот ассортимента узгарган булса,
у холда иккинчи йил учун ишлаб чи-
кариш хисоботи хам Y = (у,;) матри-
ца куринишида булади. Лекин бу хол-
да икки йиллик махсулот чикариш
X + У = (xij + yij) матрица билан
ифодаланади. Умуман, иккита (т х н)
матрицани кушганда бу матрицалар-
нинг мос элементлари кушилади. Агар
иккинчи йил давомида хар кайси за-
водда махсулотнинг хар бир турини
ишлаб чикариш 20% га ортган булса,
у холда ихтиёрий ij учун у^ = 1,2*,,
тенглик уринли булади. Бу факт
У = 1,2Х каби ёзилади, яъни X мат-
рицани А, сонга купайтириш учун бу
матрицанинг хар бир элементами шу
сонга купайтириш керак.
Махсулот чикаришни факат дона-
ларда, метрларда ёки тонналарда
эмас, балки сумларда хам ифодалаш
мумкин. Бунинг учун махсулот хар
бир турининг бахосини билиш керак.
У йилдан-йилга узгариши мумкин
булгани учун, /-турдаги махсулотнинг
fe-йилдаги бахосини А;л оркали белги-
лаймиз. Бу бахоларни (п х s/-матрица
куринишда ёзиш мумкин, бу ерда п-
махсулот турларининг сони, s — йил-
лар сони. Масалан, s = 4 булганда
махсулот бахоларининг матрицаси Д
куйидаги куринишда булади:
'Ап А12 Ao А14 \
I А,21 А,22 А“23 А“24 ,
Д= Аз1 А,32 А33 А34 !
А41 А42 А43 А44
I As I А52 А53 А54
1-заводнинг fe-йилда чикарган мах-
сулоти сумларда ифодаланганда
aik = XiiXik -|- XiiXzk 4~... + XinXnk (1)
микдордан иборат булади, бу ерда
хар бир кушилувчи танланган бирлик-
272
Еш математик цомусий лугати
ларда тегишли турдаги махсулот чи-
кариш микдорини шу махсулот бир-
лигининг сумлардаги дийматига ку-
пайтмасидир. a,k сонлар т сатрли
(бизда т — 5) ва s устунли (бизда
s = 4) А матрицами ташкил килади.
Бундай матрицами X ва Д матрица-
ларнинг купайтмаси деб аташ кабул
дилинган:
Л = х-д.
Шундай килиб, агар Х-бирор
(т х п)-матрицани, Д эса (п х s)~
матрицани билдирса, у холда улар-
нинг А = ХД купайтмаси деб, (1)
формула билан аникланадиган эле-
ментлардан тузилган (т У х)-матри-
цага айтилади. п-тартибли квадрат
матрицалар купайтирилса, яна п-тар-
тибли квадрат матрица хосил булади.
Ушбу Е матрица:
/100...0\
Е = 010...О \
\000...1 /
алохида роль уйнайди; унинг юкори
чап бурчагидан куйи унг бурчагига
утувчи диагонали буйлаб 1 лар жой-
лашган, колган элементлари эса 0 га
тенг; ихтиёрий квадрат (пХ«) матри-
ца X учун: ХЕ = EX = X, яъни Е
матрица бирлик ролини уйнайди. Агар
X квадрат матрицанинг аникловчиси
0 дан фаркли булса, у холда XX-1 =
= Х— 1Х = Е хосса уринли булган
Х“‘ матрица мавжуд X га тескари
матрица дейилади. Окибатда одатда-
ги алгебранинг купгина коидалари
уринли булган матрицалар алгебраси
пайдо булади, масалан,
(XY)Z = X(YZ), X(Y + Z) =
= XY XZ ва x- к. Бирок, купай-
тириш коммутатив эмас, яъни, умуман
айтганда, XY Д УХ.
Математикада биринчи марта чи-
зикли тенгламалар системасини ечиш
муносабати билан матрицаларга дуч
келинган.
Ушбу
CZ11АГ1 —|— ...CLin^n — 0
................................ (2)
CLmlXl —|— ... —|— CLtnnXn — 1т
тенгламалар системаси бу тенглама-
ларнинг коэффициентларидан тузил-
ган А = (а,/) матрица ва А матрица-
га озод хадлар устунини кушишдан
хосил буладиган кенгайтирилган мат-
рица билан боглик. (2) тенгламалар
системасини ечишда бажариладиган
амалларни бевосита кенгайтирилган
матрица устида бажариш мумкин.
Ечимнинг бундай ёзувини кадимги
хитой математиклари э. а. II а. да иш-
латганлар, чизикли тенгламалар сис-
темасининг матрица ёзуви Европа
фанида XIX а. дан бошлаб куллана
бошлади.
Х,озирги вактда матрицалар наза-
рияси хисоблаш математикаси, фи-
зика, иктисод ва фаннинг бошка соха-
ларида узининг кенг татбикини то-
паяпти.
МУКАММАЛ СОН
К,адимги Юнонистонда сон узидан
бошка булувчиларининг йигиндисига
тенг булса, уни мукаммал сон деб
аташган. Масалан, 6 = 1+2 + 3;
28 =1+2 + 44-7 + 14; 496 =1 +
+ 2+4+8+16 + 31+62+124 +
+ 248. Курсатилган бу учта сон —
энг биринчи мукаммал сонлар. Улар
бизга маълум бошка мукаммал сон-
лар сингари жуфт. К,адимги юнон ма-
тематиги Евклид (э. а. III а.) агар
2₽ — 1 туб булган холда жуфт мукам-
мал сонларни 2₽-1(2₽—1) куриниш-
да хосил килиш мумкинлигини кур-
сатган эди. 2Р — 1 куринишдаги туб
сонлар, мукаммал сонлар билан жуда
куп шугулланган француз рохийи
М. Мерсенн (1588—1648) номи билан
Мерсенн сон лари деб аталади. Л. Эй-
лер эса хар кандай жуфт мукаммал
сон шу куринишда булишини исбот-
лайди.
’• Х,озирги вактда (1991 й. гача)
2₽ — 1 куринишдан кайсилари туб бу-
лиши р = 50 000 гача текширилган.
Натижада 30 дан ортик Мерсенн туб
сонлари топилган, улардан энг катта-
си р = 132049 да хосил булади.
Ноль
273
н
ноль
Ноль — бутун сон, унли санок, систе-
масидаги ракамлардан бири. «Ноль»
латинча пи Hus «деч кандай» деган
маънони билдиради. Ноль 0 каби бел-
гиланади. Куп хонали сонларнинг
ёзилишида ноль ракам сифатида маъ-
лум хонада бирликлар йудлигини бел-
гилаш учун ишлатилади (к- Санок,
системаси). Нолни сон сифатида ха-
рактерловчи асосий хосса шундан
иборатки, дар кандай сон ноль билан
кушилганда узгармайда. Ноль сони-
нинг бошда хоссалари: а-0 = 0;
а — а = 0; агар ab = 0 булса, у
колда а = 0 ёки b = 0.
Ноль сонининг узок ва кизикарли
тарихи бор. Бобилнинг кадимги ёзуви-
даёк (бизнинг эрагача V а.) сонлар
ёзувида йук хонани белгиловчи мах-
сус белги < бор эди. Бу нолнинг
узок аждодадир. Юнон астрономлари
бобилликлардан олтмишли санок сис-
темасини кабул килиб олишди, аммо
улар ракамларни белгилаш учун пона-
лар урнига карфлар куллашган. Бун-
да тушириб долдирилган олтмишли
хонани белгилаш учун 0 карфидан —
«оуден» («кеч нима») деган маънони
билдирувчи сузнинг биринчи карфи-
дан фойдаланишарди. Ва никоят, ун-
ли системада сонларни ёзишда нол-
нинг козир биз фойдаланаётган бел-
гиси диндларда V—VI а.да пайдо бул-
ган эди.
Узок вакт ноль сон деб тан олинма-
ган. Масалан, Диофант (III а.) урта
асрлар математиклари каби нолни
тенгламанинг илдизи деб кисоблама-
ди, XVII а.га келибгина, координата-
лар метода киритилгач, ноль бошка
мусбат ва манфий сонлар даторида
тенг КУКУК билан датнаша бошлайди:
уларнинг каммаси сон укининг нукта-
лари билан тасвирланада.
НОМАЪЛУМНИ ЙУКОТИШ
Берилган алгебраик тенгламалар сис-
темасидан бирор номаълум датнаш-
майдиган ва олдинги системанинг на-
тижаси булган тенгламалар системаси
(ёки бир тенглама) га утиш номаълум-
ни йудотиш дейилади. Йудотилган
номаълумни дисоблаш имкониятини
сакдаб долиш учун косил килинган
системага дастлабки системадан бир
ёки бир неча тенглама кушилади
(К- Чизицли тенглама).
Чизикди системаларни ечиш учун
Гаусс метода — номаълумларни кет-
ма-кет йукотиш методи кенг кул-
ланилади. Унинг мазмуни куйидагича.
Системанинг биринчи тенгламасида
Xi номаълум олдидаги коэффициент-
ни нолдан фаркли деб дисоблаш мум-
кин, акс колда номаълумларни кайта
номерлаб чикиш кифоя. Биринчи
тенгламанинг кар бир кадини уша
коэффициентга буламиз, сунгра ко-
сил булган тенгламани системанинг
бошка тенгламасидаги Xi нинг коэф-
фициентига купайтириб, шу тенглама-
дан кадма-кад айириб чидамиз. Шун-
да косил буладиган системанинг би-
ринчисидан бошда дамма тенглама-
ларида Xi нинг олдидаги коэффициент
0 га айланади. Бошдача айтганда,
биз бу тенгламалардан х, ни йудотдик.
Энди агар иккинчи тенгламада коэф-
фициента нолдан фарцли номаълум
булмаса, куйидаги икки дол булиши
мумкин:
1) тенглама 0-Х| + 0*Хг + ... -f-
-ф 0-х„ = 0 куринишида булади
(бунда п номаълумлар сони), бу
тенгламани дар кандай п та сон тер-
маси даноатлантиргани учун уни сис-
темадан учириб ташлаш мумкин;
2) агар бу тенглама Oxi -f- Ох2 -f-
+ . . + 0-х„ = b куринишда ва
£>У=0 булса, даралаётган система, де-
мак, дастлабки система дам бирга-
ликда булмайди. Агар иккинчи тенг-
ламада бирор номаълум олдидаги
коэффициент нолга тенг булмаса, у
долда шу номаълумни Хг деб олиш,
сунг уни биринчи ва иккинчи тенгла-
274
Еш математик цомусий л у тати
мадан бошда дамма тенгламалардан
йудотиш мумкин. Мана шу жараён-
ни давом эттириб, биз дачондир ё
О' = Ь дуринишидаги тенгламага де-
ламизди, бунда b 0 — шу билан
дастлабди система ечимга эга эмас-
лигини биламиз, ёки дастлабки систе-
мага тенг кучли п та узгарувчили т та
тенгламадан ташкил топган дуйидаги
системага келамиз (чунки номаълу-
ми йудотиладиган тенгламалар сони
дар дадамда камайиб боради):
xi -t-al2X2+ai3X3 + ... + ainx„ = bi
х2 + а23х3 +... + a2nxn = />2 (1)
Хщ 4“ 4“ аппХп = Ьп
бунда т-^.п. Агар т = п булса,
бундай куринишдаги система учбур-
чак система деб аталади. Бунда охир-
ги тенгламадан хп ни топиш мумкин
(чунки у хп = Ьп куринишида була-
ди), сунгра охирги тенгламадан ол-
дингисидан x„-i = bn-i — an-i,
кейин эса хп_2 ва д. к. топилади. Шун-
дай дилиб, дамма номаълумлар бир
усулда анидланади ва система роппа-
роса битта ечимга эга булади. Агар
tn<in булса, у долда (1) система
трапециедал система дейилади, бун-
да хт+1, хт+2..., хп узгарувчиларга
ихтиёрий дийматлар бериш, долган
номаълумларни эса олдинги долдаги
каби улар ордали (ягона усулда) ифо-
далаш мумдин, бинобарин, бу долда
система чексиз куп ечимларга эга бу-
лиши келиб чидади.
Номаълумларни кетма-кет йудотиш
методи билан системаларни ечиш
дадимда хитойликларга маълум эди:
мана шунга ухшаш метод билан ечи-
ладиган датор масалалар «Туддиз
китобли арифметика» (э. а. II а.) ном-
ли рисолада учрайди- Табиийки, бу
рисолада, асосан, бутун коэффициент-
ли системалар даралган. Номаълумни
йудотиш учун танланган тенгламадан
бошда дамма тенгламалар танланган
тенгламадаги йудотиладиган номаъ-
лумнинг олдидаги коэффициентига
купайтирилган. Номаълумни йудот-
гандан кейин дам бутун коэффициент-
ли система досил булиши учун ана
шундай дилинган. Одатда, бутун коэф-
фициентли системаларни ечишда до-
зирги кунда дам шу йул тутилади.
НОМОГРАФИЯ
Номография (юнонча nomos — «до-
нун», grapho — «ёзаман» сузлари-
дан) деб дисоблаш математикасининг
номограммалар дуриш назарияси ри-
вожлантириладиган содасига айтила-
ди. Номограммалар маълум формула
буйича дисоблаш ёки турли тенгла-
маларни ечиш учун хизмат диладиган
махсус чизмалардир. Изланаётган
катталикнинг дийматини ёки тенгла-
манинг дадидий илдизини номограм-
манинг узидан бевосита, унинг нудта-
ларига чизгични тиркаб топиш мум-
кин. Шундай дилиб, номограмма ди-
соблашларни бажариш учун тайёр
воситадир.
Оддий чизгичнинг асосий хоссаси
шундаки, унинг булиниш белгилари
текис шкала досил дилади. Номогра-
фия масалаларини ечиш учун шкала
тушунчасини кенгайтиришга тугри ке-
лади. Бизга бирор у = f(x) функция
1-расм.
берилган булсин. Тугри чизиднинг бир
нудтасини белгилаб, аргумент х нинг
турли дийматларига мос фундция
дийматини белгиланган нудтадан
бошлаб дисоблаймиз. Х,осил булган
кесманинг иккинчи учига х нинг мос
дийматини белгилаб дуямиз. Бу белги-
лар тугри чизикда текис жойланиши
шарт эмас, уларнинг жойлашуви да-
ралаётган у = f(x) функцияга бог-
НОМОГРАФИЯ
275
3-расм.
лик,- Мана шундай усулда булиниш
белгилари куйилган тугри чизик функ-
ционал шкала дейилади. 1-расмда
у — 2~х функция учун функционал
шкала тасвирланган.
Функционал шкаланинг энг оддий
татбиди — аргументнинг турли кий-
матларида функция кийматини ки-
соблаш. Иккита шкала оламиз: би-
ри — функционал, иккинчиси — те-
кис, улар бир хил масштабли булиши
керак. Шкалаларни бир-бирига бош-
лангич нукталари мос тушадиган ки-
либ жуфтлаймиз. Энди функционал
4-расм,
шкалада х белгили нуктани олсак,
унинг каршисидаги текис шкала нук-
таси айнан функциянинг кийматини
беради. Аксинча, функциянинг кий-
матини билсак, аргумент кийматини
топа оламиз. Бунинг учун текис шка-
ладан функция кийматига мос белги-
ни топиб, функционал шкаладан унга
мос кийматни укиймиз. Икки шкала-
нинг мана шу каби бирикмаси энг
содда номограмма булиб, у куш шкала
деб юритилади (2-расм). Унинг энг
асосий татбикдаридан бири — лога-
рифмик (ёки кисоблаш) чизгичидир.
Инженерлик фаолиятида кар икки
(ёки факат бир) уки логарифмик
функционал шкаладан иборат турли
когоз — логарифмик (ёки ярим ло-
гарифмик) когоз ишлатилади.
„ 1 , 1 1
3-расмда — 4- — = — тенгла-
X у Z
ма номограммаси тасвирланган. У
махсус усулда жойлашган учта текис
шкаладан иборат. Чизгични кар хил
укдардаги икки нуктага, масалан,
х ва z нинг берилган кийматларига мос
нукталарга тиркаб, номограммадан у
нинг кийматини топамиз (3-расмда
х = 7,5 ва z = 5, шунта мувофик
у = 5). Курилган бу мисол бизга но-
мограммаларнинг янги турини — туг-
риланган нукталар номограммасини
Еш математик цомусий лугати
276
намойиш к,илади. Бу ном номограм-
мада берилган сонлар ва изланаётган
сонга мос нукталар бир тугри чизикда
ётиши билан изокланади.
4-расмда х2 4~ рх + q = 0 тенгла-
манинг мусбат илдизларини топиш
учун тугриланган нукталар номограм-
маси берилган. У икки текис ва бир
нотекис шкаладан тузилган. Агар биз
бу номограмма ёрдамида х2 -|- рох 4~
—|— <7о = 0 тенгламанинг мусбат ил-
дизини топмокчи булсак, р укида ро га
мос М белгини, q укида эса qG га мос
N белгини олиб, MN тугри чизик ут-
казиш керак. Унинг эгри шкала билан
кесишган кар бир нуктаси (улар икки-
тадан ошмайди) каралаётган тенгла-
ма мусбат илдизларининг такрибий
кийматини беради (4-расмда —
ро = 0, qo — —9 булган кол). Утка-
зилган MN тугри чизик Г эгри чизик
билан икки нуктада (кар икки илдиз
мусбат), бир нуктада (илдизнинг ик-
кинчиси манфий) кесишуви, ёки Г га
уриниши мумкин (сунгги колда тенг-
лама мусбат каррали илдизга эга);
никоят, у Г эгри чизик билан битта
кам умумий нуктага эга булмаслиги
мумкин (бу колда тенгламанинг кар
икки илдизи манфий булади ёки у
умуман какикий илдизга эга булмай-
ди). х2 -|- рх + q = 0 тенгламанинг
манфий илдизларини топиш учун но-
маълумни х = — t формула билан ал-
маштириб, уша номограмма буйича
t2 — pt 4- q = 0 тенгламанинг мус-
бат илдизларини излаш керак. Бор-
ди-ю, р ва q коэффициентларнинг
киймати модули буйича 12,6 дан ор-
тик булса (4-расмда | р | 12,6;
Номография
q | 12,6 деб хисобланади), уз-
гарувчини х = kt алмаштириш билан
х2 4~ рх 4- q = 0 тенгламадан
k k
тенгламага утиш лозим; бунда k сони
шундай танланадики, р/ k ва q/ k2
коэффициентлар юкорида курсатил-
ган чегарада булсин. Шунингдек,
х2 4- рх 4- q = 0 тенгламанинг хар
икки илдизи нолга якин булган холда
хам узгарувчини x = kt алмаштириш
фойдали. Хусусан, х2 — 0,89х 4~
+ 0,16 = 0 тенглама илдизларини
номограммадан топиш кийин. х = 0,2/
деб олсак, t2 — 4,45/ 4~ 4 = 0 тенг-
лама хосил киламиз; унинг илдизлари
/i«l,2; /г «3,2, бу ердан xi«0,24,
хг <= 0,64.
Турли номограммалар хам амалий,
хам назарий томондан алохида эъти-
борга лойик. 5-расмда х2 px-\~q = 0
тенгламани такрибий ечишга мос шун-
дай номограмма тасвирланган. У маъ-
лум белгилар билан таъминланган
1 2
? =
параболанинг уринмалари оиласидан
ташкил топган. Бу номограммадан
куйидаги усулда фойдаланилади. Х,ар
бир х2 + рх + q = 0 тенгламага
ягона усулда Opq текисликнинг (р; q)
нуктаси мос куйилган. Унинг «турга»
нисбатан жойлашувига караб мос
тенгламанинг илдизлари аникланади.
Агар (р; q) нукта парабола ичига туш-
са, яъни
1 2
тр
булса, х2 + рх + q = 0 тенглама
(хакикий) илдизларга эга булмайди.
Бу тенглама иккита хакикий илдизга
эга булган холда (р; q) нукта пара-
боланинг ташкарисидаги q -< (1/ 4)р2
сокада ётади. Агар q = 1 / 4р бул-
са, яъни (р, q) нукта парабола устида
ётса, тенглама иккита устма-уст ту-
шувчи илдизга эгадир. Масалан,. малар бор.
277
х2 4" 0,5х — 3 = 0 тенгламани ечай-
лик. Мос (0,5; —3) нукта оркали но-
мограммада — 2 ва 1,5 белгили икки
тугри чизик утади; шунга кура — 2 ва
1,5 сонлари тенгламамизнинг илдиз-
лари булади.
Энди х2 х — 3 = 0 тенгламани
карайлик. Бу тенгламага (1; —3) нук-
та мос келади ва у 5-расмда курса-
тилган тугри чизикларнинг бирорта-
сида хам ётмайди. Бундай холда куйи-
дагича иш тутамиз. (1; —3) нукта
—2,5; —2; 1 ва 1,5 белгили тугри чи-
зиклар косил Килган АВ CD туртбур-
чак ичида ётишига эътибор киламиз
(5-расм). Бу туртбурчакнинг нукта-
ларига мос келадиган квадрат тенг-
лама иккита хакикий илдизга эга бу-
либ, улардан бири ] 1; 1,5 [ интервал-
га, иккинчиси эса ]—2,5; —2[ ин-
тервалга тушади. Олинган х2 4~ х —
— 3 = 0 тенглама илдизлари хам шу
интервалларда ётади. Уларнинг урта-
ларини олса изланаётган илдизлар-
нинг такрибий кийматларини хосил
киламиз:
= 1.25;
х2«^--=’5-2, 25.
Бу номограмма ёрдамида илдизлари
устма-уст тушувчи тенгламаларни
ечиш кулай булиши учун 1 / 4р2 па-
рабола хам белгилар билан таъмин-
ланган. Гап шундаки, илдизлари
xi = х2 — а булган квадрат тенгла-
мага мос келадиган (—2а; а2) нукта
шу параболада ётади.
Турли номограммалар хилма-хил
амалий хисоб-китобларда кенг кул-
ланади. Саноат йули билан тайёрлан-
ган номограммалар хам мавжуд, ма-
салан, токарлик станогида кескични
урнатиш бурчагини хисоблаш, берил-
ган аралашмадаги уч модданинг хар
бири неча процент булишини аник-
лаш, сув окимининг дарё ва канал-
лардаги тезлигини хисоблаш, юза ва
хажмларни хисоблаш, радиолампа па-
раметрлари аникланадиган номограм-
278
Еш математик цомусий лугати
Номографик ясашлар назариясини
ишлаб чикиш XIX а.да бошланган.
Биринчи булиб француз математиги
Л. Лалан томонидан 1843 й. тугри
бурчакли номограммалар назарияси
яратилган. Унинг ватандоши М. Окань
1884—1894 й.да умумий назарияга
асос солган. Ватанимизда номография
мактабининг яратилиши Н. А. Глаго-
лев (1888—1945) номи билан боглик-
Сунгги йилларда микрокалкулятор-
лар ва, айникса, микроЭХ,Млар кенг
таркалиб бориши туфайли номограм-
маларга эхтиёж нисбатан камаймок-
да. Лекин номограммаларнинг яккол-
лиги ва ишлатиш учун унгайлиги стан-
дарт инженерлик хисоблашларида ха-
мон кул келади.
НОРМАЛЬ
Нормаль — чизикнинг берилган нук-
тасидан шу нуктадаги уринмага пер-
пендикуляр утувчи тугри чизик (1-
расм). Масалан, айлана радиусла-
ри буйича утувчи тугри чизиклар
унинг нормалларидир. Текисликда
у = f(x) тенглама билан берилган
чизикка чизикдаги М(хо, уо) нукта-
дан утувчи нормаль тенгламаси функ-
циянинг хосиласи оркали
(х — хо)
у = у°~ <
куринишда ёзилади.
Агар фазовий чизик,нинг берилган
нуктасидан утувчи нормаллари туп-
ланса, улар бутун бир текисликни —
берилган нуктада уринмага перпен-
дикуляр текисликни тулдиради; у эгри
чизикка нормал текислик дейилади
(2-расм).
Сиртнинг берилган нуктасидаги
нормали — шу нуктада уринма текис-
ликка перпендикуляр утувчи тугри чи-
зик татбикларда мухим роль уй-
найди (3-расм). Биз ишкаланиш кучи
хакида гапирганимизда, уни «нормал
босим», яъни сиртга нормаль буйлаб
йуналган босим кучи оркали ифода-
лаймиз. Ёругликнинг кайтиш конуни
(тушиш бурчаги кайтиш бурчагига
тенглиги) каралаётгандаги бурчаклар
сирт нормали билан тушаётган хамда
кайтаётган нурлар йуналишлари ора-
сидаги бурчаклардир (4-расм).
НЬЮТОН БИНОМИ
(Хайём — Ньютон
б и н о м и)
Ньютон биноми — икки хаднинг да-
ражасини якка хадлар йигиндиси ку-
ринишида ифодаловчи формуланинг
номи.
Нормаль
Икки каднинг квадрати учун
(а + bf = а2 + b2 + 2аЬ форму-
лани кадимги Бобил математиклари
билишган булиши мумкин. Кддимги
юнонлар эса унинг геометрик тал-
Кинини билишган (к. Алгебра). Агар
бу формуланинг иккала кисмини х,ам
(о + Ь) га купайтириб кавсларни оч-
сак,
(a-yb)3 = (a2 ~y2ab-У Ь2)(а-У Ь) =
= а3 + a2b + 2а2 b + 2ab2 + ab2 + Ь3,
яъни
(а + b)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3
х,осил булади.
Яна бир шундай кадам мана бу фор-
мулага олиб келади:
(a-f-fe)4 = a4-|-4a3b-|-6a2ft24-
+4аЬ& + Ь4.
Коэффициентлар косил булиши ко-
нунини осонгина куриш мумкин:
а3Ь кад олдидаги 4 коэффициент
а2Ь ва а3 олдидаги 3 ва 1 коэффици-
ентларнинг йигиндисига тенг. Шунга
ухшаш а2Ь2 олдидаги 6 коэффициент
ab2 ва а2Ь ларнинг олдидаги коэффи-
циентлар йигиндиси 3-|-3 га тенг.
ab3 олдидаги 4 коэффициентни кам
ана шу конун асосида косил киламиз.
Шундай килиб (а-)-/>)" ёйилмадаги
an~kbk кад олдидаги скп коэффи-
циент (а^-Ьу1-' ёйилмадаги ап~кЬк '
ва ап [Ьк кадлар олдидаги скп~\ ва
Ск_х коэффициентларнинг йигинди-
сига тенг, а" ва Ьп олдидаги коэффи-
циентлар эса 1 га тенг.
Бундан
(a + b)n = ап+с'пап-'Ь + с2ап-2Ь2 +
+ .. + скпап~кЬк + ... + Ьп (1)
тенгликдаги скп коэффициент Паскаль
учбурчагираги (п-|-1)-каторнинг кади
экани келиб чикади. Бу тасдид Пас-
калдан анча олдин XI—XII а. да яша-
ган Урта Осиёлик шоир ва математик
Умар Хайёмга маълум булган. Бахтга
Карши Хайёмнинг бу какдаги рисола-
си бизгача етиб келмаган.
279
Ньютон биноми формуласининг
тавсифи баён этилган бизгача етиб
келган дастлабки китоб 1265 й. Урта
Шаркдик математик Насриддин Ту-
сийнинг рисоласидир. Унда скп сонлар
(биномиал коэффициентлар) нинг
п = 12 гача кийматлари жадвали бе-
рилган.
Европалик олимлар Ньютон биноми
формуласи билан шарк математикла-
ри нинг ишлари оркали танишганига
ишонса булади. Биномиал коэффи-
циентларининг хоссаларини 1654 й.
француз математиги ва философи
Б. Паскаль кар томонлама урганди.
Унга кадар кам
Л _ n(n —1)...(п —/г-f-l)
1-2,.,/г
сони бир вактнинг узида п элемент-
дан k тадан олинган «такрорланмай-
диган группалар» сони экани маълум
эди (к- Комбинаторика).
1664—1665 й. И. Ньютон (1) фор-
мулани ихтиёрий (каср ва манфий)
курсаткичлар учун умумлаштирди:
бунда чексиз куп кушилувчилар йи-
гиндиси косил булар экан.
У I X | < 1 учун
(1+х)п= 1+пх + П("~1) х2 +
п(п—1)...(п —/г+l)
1-2... k -• (2)
эканини курсатди.
п — — 1 да (2) формула чексиз
геометрик прогрессия кадлари йи-
гиндисининг маълум формуласига ай-
ланади:
1^. = 1-х+х2-х3 + ...
+ (-1)п-'хп+...
280
Еш математик цомусий лугати
п
ПАРАБОЛА
Парабола — конус кесимларидан би-
ри. Уни текисликда берилган F нук-
тагача ва I тугри чизиккача масофа-
лар тенг буладиган М нукталар туп-
ламидан иборат фигура деб аниклаш
мумкин. Бунда F нукта параболанинг
фокуси, I тугри чизик унинг директри-
саси дейилади (1-расм). Парабола-
нинг директрисага знг якин нуктаси
параболанинг учи дейилади; фокус
оркали директрисага перпендикуляр
утувчи тугри чизик параболанинг сим-
метрия уки булиб, кискача парабола-
нинг уки дейилади.
Параболанинг таърифи уни чиза-
оладиган чизмачилик воситаси ясаш
гоясига асос була олади. К,огоз ва-
рагида чизгични маккамлаймиз
(унинг бир кирраси ясаладиган па-
раболанинг директрисаси булади),
параболанинг булажак фокуси F нук-
1-расм.
тага игна санчилади (2-расм). Сунг
гуния (учбурчак) бир катети билан
чизгичга тиралади ва иккинчи катети
билан бир хил узунликдаги ип олина-
ди (аслида ип тугунлар кисобига
узунрок олиниши керак). Ипнинг бир
учи игнага, иккинчи учи гуниянинг
буш учига богланади (бунда ипнинг
игна билан уч орасидаги узунлиги
гуниянинг катетига тенг булсин). Эн-
ди гуния чизгич буйлаб аста сирпан-
тирилса ва шу билан баробар калам
гуниянинг иккинчи катетига тиралиб,
ипни таранглаб турса, парабола чизи-
лади. Чунки каламнинг учи F нукта
билан чизгич киррасигача бир хил
масофада сакланади.
Геометрияда параболанинг тенгла-
масини абсцисса уки парабола уки
билан, ордината уки унга перпендику-
ляр ва парабола учидан утувчи тугри
чизикдан иборат координаталар сис-
темасида ёзиш одат булган. Бунда па-
рабола тенгламаси
у2 = 2рх
куринишда булади. Ёзувдаги р сони
параболанинг параметри дейилади;
параболанинг фокуси (р/ 2, 0) нук-
тада ётади, р нинг узи FK кесма узун-
лигига тенг (1-расм).
2-расм
Парабола
281
Математик аналйзда параболанинг
тенгламасини бошкача куринишда
ёзиш раем булган:
у - ах2,
яъни бу ерда параболанинг уки орди-
ната уки сифатида танланган. Хар
кандай квадрат учхаднинг графиги
Хам парабола булади.
Уфкка нисбатан бурчак остида
отилган тош, учаётган футбол тупи
ёки артиллерия снарядининг траекто-
рияси (хаво каршилиги йук мухит-
да) парабола булиши яхши маълум.
Бирок биз тош отиб етказа оладиган
зона хам парабола булишини купчи-
лик билмаса керак. Бу ерда биз тайин
нуктадан отилган тош траекторияла-
рининг урамасини кузда тутаяпмиз.
Тошлар хар хил бурчак остида, лекин
айнан бир хил бошлангич тезлик би-
лан отилса, бу урама парабола булади
(3-расм). Агар бундай урама фазода
каралса, параболанинг уз уки атрофи-
да айланишидан хосил буладиган сирт
вужудга келади. Бу сирт айланма па-
раболоид дейилади.
Бошка конус кесимлари сингари па-
рабола хам оптик хоссага эга: парабо-
ланинг фокусида жойлашган ёруглик
манбаидан таркаладиган нурлар пара-
боладан акс этгач, унинг укига па-
раллел булиб таркалади. Парабола-
нинг бу хоссасидан прожекторлар,
автомобиль фаралари, кул фонарчаси
тайёрлашда фойдаланилади: улар-
нинг кузгуси айланма параболоид
шаклда булади (4-расм). Аксинча,
парабола укига параллел нурлар дас-
таси параболоид кузгудан акс этгач,
4 раем.
унинг фокусида тупланишини фахм-
лаш кийин эмас. Телескоп-рефлектор
гояси шу хоссага асосланган: унинг
Хам кузгуси айланма параболоиддир.
Цилиндрик идишга суюклик куйиб,
уни уки атрофида айлантирилса,
суюкликнинг сирти айланма парабо-
лоид шаклига кириши хам кизикарли.
Агар айланма параболоидни унинг
укидан утувчи бирор текисликка бир
текис киссак, эллиптик параболоид
деб аталадиган сирт хосил киламиз.
Бундай ном сиртни текислик билан
5-расм
6-расм.
ёш математик цомусий лугати
282
кесганда ё эллипс, ёки парабола хо-
сил булиши билан изохданади (5-
расм). Эллиптик параболоид тенгла-
маси
а = b булган холда эллиптик пара-
болоид айланма параболоид булади.
Параболоидларнинг яна бир тури —
гиперболик параболоидлар. У — эгар-
симон сирт булиб, к,изик бир .хоссага
эга (6-расм): гиперболик параболоид
устида тула ётадиган тугри чизиклар
мавжуд (бир паллали гиперболоид-
га ухшаш). Унинг текис кесимлари
параболалар ва гиперболалардан ибо-
рат. Агар кесувчи текислик сиртга
уринса, кесимдаги гипербола узга-
риб, бир жуфт узаро кесишувчи туг-
ри чизикка айланиб кетади. Гипербо-
лик параболоид тенгламаси
х2 у2
Z =------——
а2 Ь2 '
Купинча, «парабола» сузини тенг-
ламаси даражали функция булган чи-
зикларга нисбатан хам кулланади,
Хусусан, у = х3 функциянинг графи-
ги кубик парабола, у = х4 функция
графиги туртинчи даражали парабо-
ла, у = х*' 2 функция графиги эса
ярим кубик парабола дейилади.
Парабола хоссаларини билиш квад-
рат тенгламалар илдизларини урга-
нишда, квадрат тенгсизликларни
ечишда ёрдам беради, чунки улар па-
рабола квадрат учуад графиги сифа-
тида абсциссалар уки билан кандай
кесишишига боглик-
ПАСКАЛЬ УЧБУРЧАГИ
1-расмда тасвирланган сонлар учбур-
чагининг дастлабки бир нечта катори
куйидаги коидага кура хосил килин-
ган: хар бир каторнинг четида бир-
лар турипти, колган сонларнинг хар
бири юкори каторда узининг устида
турган икки соннинг йигиндисига
тенг (масалан, 20 = 10+ 10). Бу кои-
дага кура учбурчакнинг кетма-кет
янги каторлари осонгина ёзилади. У
француз математиги Б. Паскаль
(1623—1662)нинг вафотидан сунг
1665 й. нашр этилган «Арифметик
учбурчак хакида рисола» номли асари-
да худди ана шу шаклда келтирилган.
Бу сонли жадвалнинг бошкачарок
вариантлари юз йилча олдин итальян
математиги Н. Тарталье, ундан бир
неча аср олдин Урта Осиёлик олим
ва шоир Умар Хайёмда, айрим хитой
ва хинд олимларида учрайди.
Паскаль учбурчагини ташкил ки-
лувчи сонларнинг жуда кенг таркал-
гани ажабланарли эмас: улар алгебра,
комбинаторика, эхтимоллик назария-
си, математик анализ, сонлар наза-
рияси энг табиий масалаларида уз-
узидан вужудга келади. ‘
Берилган п та элементдан k эле-
ментли нечта турли туплам (группа)
хосил килиш мумкин? (2-расм).
(1 +х)” купхаднинг коэффициент-
лари кандай?
п та бирлик ва ноллардан ташкил
топган, бирликлари роппа-расо k та
булган нечта сатр мавжуд булади.
3-расмдаги юкори А нуктадан п-ка-
торнинг /г-чоррахасига неча хил йул
билан тушиб булади?
Бу саволларнинг хаммасига Пас-
каль учбурчагининг Ckn сони жавоб
беради. С* белгилашда Паскаль уч-
бурчагининг юкори сатри битта
Cq = 1 сондан, кейинги (биринчи)
сатри иккита — С° = С[ = 1 сон-
лардан, умуман, n-сатри п +1 та:
/-Ч> _ । „ г-2 ___ n(tl 1)
*» Сл л 2
Сп~1 сонлардан иборат булиши
кузда тутилади.
Скп сони, одатда, п та элементдан
k тадан группалашлар сони ёки бино-
миал коэффициентлар (к. Ньютон
биноми) деб аталади; баъзи китоблар-
да бу сон учун (g) каби белгилаш хам
ишлатилади. Бу берилган п ва k но-
мерлар буйича Паскаль учбурчаги
п-сатрининг fe-жойида кандай сон тур-
Паскаль учбурчаги
283
ганлигини дарров хисоблашга имкон
берувчи содда формулами ёдда тутиш
учун кулай:
п
п (п — 1)(м — 2)... (п — /г + 1)
1-2-4..+
(суратда х,ам k та купайтувчи).
Факториал белгиси т\ = l-2-З...т
дан фойдаланиб, бу формулами янада
киска ёзиш мумкин:
Скп = ( П ) =
к
л»
k\(n — k)\
1-расмдаги «тенг ёнли» куриниш-
даги Паскаль учбурчагида кар бир
сатрнинг симметриклик хоссаси
Скп = равшан; бунда сатрнинг
2-расм.
4 хар хил элементлар- _3
дав куйидаги тупламлар- ли' С4 =4 — У4 элемент-
ни тузиш мумкин: _4
I ли ва С=1 — турт эле-
с4 =4 — бир элементли, ментли
Сд =6 — икки элемент-
2-расм.
уртасида энг катта сон С"7 2 (агар
п жуфт булса) ёки иккита энг катта
п п
Сп"1 — С?п+1 сонлари (агар п ток бул-
са) туради. Сатрларнинг иккала чети-
га караб сонлар монотон камайиб бо-
ради.
Агар Паскаль учбурчаги «тугри бур-
чакли» шаклда ёзилса (4-расм), у хол-
да ундаги сонларнинг йигиндиси би-
лан боглик булган катор хоссаларни
кузатиш кулай булади. Жумладан,
кар бир устун дастлабки бир неча
сонининг йигиндиси навбатдаги
устуннинг улардан кейин келувчи со-
нига тенг:
1 +2 + ... + (т + 1)=С>
С2 + С2 + ... + С2_, =
з + т(т — 1)(т — 2 )
m — б
3-расм.
284
Еш математик цомусий лугати
4-расм
S 5 3 3 3 Я
ззайаяя
9 32!
3 3l I 3 fl fl
/р2 _ т(т— 1)
(С'" 2
сони учбурчакли
сон деб аталади, С3т сони эса пирами-
дал сон дейилади; каранг: Фигурали
сонлар); умуман, m>k учун
с: + с:+1 + ... + = с*/1.
4-расмдаги «кутарилувчи» диагонал-
лар буйича сонлар йигиндиси кетма-
кет Фибоначчи сонларига тенг.
Паскаль учбурчагининг сонларини
эх,тимоллик назариясида куллаш учун
асимптотик формулалар, яъни п жуда
х,ам катта булганда бу сонларнинг так-
рибий бахолари айникса мухим.
ПЕРСПЕКТИВА
«Перспектива» сузи латинча perspicio
феълидан олинган булиб, «равшан ку-
раяпман» деган маънони беради. Тас-
вирий санъатда перспектива — фазо-
вий фигураларни бирор кузгалмас
нуктадан кандай куринса, текислик-
да худди шундай тасвирлаш усули.
Тажрибадан биламизки, предмет биз-
дан узоклашган сари унинг улчамла-
ри кичраяди, узоклашувчи параллел
тугри чизиклар (масалан, темир йул-
нинг икки рельси) горизонтда бир
нуктада учрашгандек туюлади, дойра
шаклидаги кул киргокдан овал шакли-
да куринади.
Перспективанинг аник конунларини
архитекторлар, рассомлар ва XV а.дан
бошлаб Уйгониш даврининг олимлари
ишлаб чиккан. Улар орасида Ф. Бру-
неллески, П. Уччелло, Пьеро делла
Франческо, Леонардо да Винчи,
А. Дюрер ва бошкалар булган.
А. Дюрернинг бир гравюрасида уд
чизаётган рассом тасвирланган. Рас-
сомнинг олдида квадрат тур тортил-
ган рамка ва ундан олдинрокда мах-
камланган тиркишдан иборат асбоб
турипти; рассом тиркиш оркали удга
караб, унинг тасвирини рамкадаги тур
сингари квадрат турли когозга утка-
заяпти. Бу — перспективанинг ама-
лий мактаби.
Перспектив тасвирни ясашнинг ма-
тематик масаласини ифодалайлик.
Картинанинг куриш нуктаси (рассом-
нинг кузи) деб аталувчи S нукта би-
лан (кузатиш шу нуктадан олиб бо-
рилади) тасвирланадиган предмет
орасига жойлашган шаффоф р текис-
ликни тасаввур киламиз.
Предметнинг хар бир М нуктаси
картинада М S тугри чизик ва картина
р текислиги кесишган М1 нукта билан
тасвирланиши лозим. Леонардо да
Винчи таклиф этган чизикди перспек-
тива термини (узоклашаётган пред-
метлар рангидаги фаркнинг камайиши
ва рангининг узгаришини тушунтирув-
чи ва шу хоссадан фойдаланувчи хаво
перспективасидан фаркли) шундан
хосил булган. Чизикли перспектива-
нинг хоссалари р текисликдаги 5 мар-
казли марказий проекциянинг хосса-
лари билан бир хил (к. Проекция).
1-расмда темир йулнинг бир жуфт па-
раллел рельси кандай тасвирланиши
курсатилган. Картинада рельсларни
тасвирловчи икки тугри чизик тасвир
текислиги билан I тугри чизикнинг
кесишиш нуктаси Н pa учрашади.
Умуман, хар бир параллел тугри
чизиклар оиласининг тасвирлари
бирор Н нуктада учрашади; агар бу
тугри чизиклар горизонтал булса, у
холда Н «горизонт чизиги»да — S
Перспектива
285
А. Дюрернинг «Думбира
перспективасини ясаш»
грааюраси.
оркали утган горизонтал текислик
картинани кесишидан хосил булган
чизикда ётади. Тугри чизикдарнинг
бундай оиласи «Проектив геометрия»
мадоласидаги расмда яхши куринади.
Фазовий, хатто ясси фигуралар
уч^н унинг анид перспектив тасвирини
ясаш осон масала эмас. Бундай маса-
лалар архитектура, техника ва рассом-
лик укув юртларида урганиладиган
чизма геометрияга тааллукли. Бир не-
ча мисол келтирамиз.
Икки расмда (2а ва 26) бир-бири-
дан баравар масофада ётган горизонт
чизигидаги «чексиз узоддашган» Н
нуктага караб кетувчи телеграф устун-
лари тасвирланган. Расмлардан кайси
бири тугри? Эхтимол, иккови хам туг-
ридир? Бизнинг куриб урганган таж-
рибамиз 2а раем тугри дейишга ун-
найди. Лекин И дан устунларнинг
асосигача булган масофалар (шунинг-
дек, устунларнинг баланддиклари
хам) арифметик прогрессия даддари-
га тескари сонлар каби камайиши ке-
раклигини исботласа булади. Чапда-
ги расмда эса бу катталиклар худди
геометрик прогрессиянинг хадларига
ухшайди — хар сафар икки хисса ка-
ма яди.
286 Еш математик цомусий лугати
К,атор масалаларда амалий жихат-
дан тасвирни квадрат турлар ёрдами-
да пландан перспектив картинага ут-
казиш кулай (3-расмда горизонтал те-
кисликда бир хил шарлар таркалиб
ётибди; уларнинг куринма улчамлари
горизонтгача куринма масофаларига
пропорционал). Квадратларнинг кар-
тинага перпендикуляр томонларининг
хаммаси тасвирда марказий перспек-
тив нукта р да, уларнинг диагоналлари
эса Si ва 8 г «узоклашиш нукталари»-
да учрашишини кайд киламиз. Бу ном
I PSi | = | PS? | масофалар S нук-
тадаги рассом билан картина текис-
лигигача масофага айнан тенглиги би-
лан изохланади. Перспективани ясаш
учун квадратлар турининг хаммасини
чизиш шарт эмас, факат узоклашиш
нуктасидан фойдаланилса кифоя.
Итальян рассоми ва архитектори
А. Поццо узининг 1693 й. Римда нашр
этилган «Рассомлар ва архитекторлар
перспективаси» номли классик рисо-
ласининг биринчи бетида «чузинчок-
рок тугри туртбурчак»нинг перспекти-
васини кандай килиб тугри ясаш ха-
кида ёзади: «...асосий чизикка циркуль
ёрдамида тугри туртбурчакнинг АВ
энини куямиз; ёнига унинг BE узун-
лигини куямиз. Л ва В нукталардан
марказий перспектив нукта р га оптик
чизиклар ва Е нуктадан узоклашиш
нуктаси Si га чизик утказамиз. Сунгра
(£S| ва ВР ларнинг кесишиш нукта-
си Сдан) АВ га параллел тугри чизик
утказамиз, шундан сунг перспектива-
да тугри туртбурчак намоён булади»
(4-расм; унг томонда буйи энидан
узун тугри туртбурчак тасвирланган).
Перспектив тасвирларни геомет-
рик усулда ясаш билан шугулланиб,
баъзи тугри чизиклар (масалан,
Пифагор теоремаси
287
2-расмдаги квадратларнинг томонла-
ри билан диагоналлари) уз-узидан
битта нуктадан утишини куриш кийин
эмас. Бу факт ортида кдзик, геометрик
теоремалар борлигини очиш мумкин.
Хдкикатан, француз архитектори
Ж. Дезарг (1593—1662) перспектива
назариясини ишлаб чикаётиб чексиз
узоклашган нукта тушунчасини ки-
ритди, нукталар ва тугри чизиклар
конфигурациялари хакидаги ажойиб
геометрик теоремаларни исботладики,
улар математиканинг янги булими —
проектив геометрияга асос булди.
ПИФАГОР ТЕОРЕМАСИ
Пифагор теоремаси — геометрия-
нинг энг мухим тасдиги. Теорема ку-
йидагича ифодаланади: учбурчак ги-
потенузасига ясалган квадратнинг
юзи катетларга ясалган квадратлар
юзаларининг йигиндисига тенг.
Одатда, бу тасдикнинг кашфиётини
кадимги юнон файласуфи ва матема-
тиги Пифагор (э. а. IV а.) га нисбат
беришади. Бобилнинг миххат жадвал-
лари ва кадимги хитой кулёзмалари
(янада кадимийрок манускриптлар-
288
Еш математик цомусий лугати
нинг нусхалари булмиш)ни урганиш
бу тасдик Пифагордан анча, эх,тимол
минг йил олдин маълум булганлигини
курсатади. Пифагорнинг хизматлари
бу теореманинг исботини кашф этга-
нида.
Эх,тимол, Пифагор теоремасида
баён этилган факт аввал тенгёнли
тугрибурчакли учбурчаклар учун ур-
натилгандир. Бундай АВС учбурчакка
нисбатан теореманинг туррилигига
ишонч косил килиш учун 1-расмда-
тасвирланган тук ва оч рангли учбур-
чаклардан иборат манзарага караш
етарли: гипотенузага ясалган квадрат-
да 4 та учбурчак, кар бир катетга ясал-
ган квадратларда эса 2 тадан учбурчак
бор. Кадимги Х,индистонда умумий
колда Пифагор теоремасини исбот-
лашнинг иккита усулига эга булиш-
ган: томони а -|- b дан иборат квадрат-
да катетларининг узунликлари а ва b
булган туртта тугри бурчакли учбур-
чак тасвирлашган (2.а ва 26-расм-
лар), кейин «Кдра!» деган биттагина
суз ёзиб куйишган. Х,а кика тан, бу
расмларга караб чап томонда учбур-
чаклардан коли фигура томонлари
а ва b булган иккита квадратдан ибо-
ратлигини курамиз, унинг юзи мос
равишда а2 + Ь2 га тенг, унгда эса
учбурчаклардан коли фигура — томо-
1-расм.
ни с га тенг квадрат, унинг юзи с2 га
тенг. Демак, а2 + Ь2 = с2, бу эса Пи-
фагор теоремасини тасдиклайди.
Бирок, икки минг йил давомида бу
аёний (кургазмали) исботдан эмас,
балки Евклид топган ва унинг машкур
«Негизлар» китобига киритилган анча
мураккаб исботлашдан кам фойда-
ланишган (к- Евклид ва унинг негиз-
лари). Евклид турри бурчакнинг учи-
дан гипотенузага ВЦ баландлик ту-
ширган, сунг баландликнинг давоми
гипотенузага ясалган квадратнинг юз-
лари мос равишда катетларга ясалган
квадратларнинг юзларига тенг иккита
квадратга ажратишини исботлаган
(3-расм). Исботда кулланган чизмани
казил билан «Пифагор лозими» дейи-
шади. Узок вакт давомида у матема-
тика фанининг рамзи саналган.
Хозирги кунда Пифагор теорема-
сининг турлича исботлари маълум.
Улардан баъзилари квадратларни бу-
лакларга ажратишга асосланган, бун-
да катетларга ясалган квадратлар бу-
лакларидан гипотенузага ясалган
квадрат тузилган; бошкалари — тенг
фигураларгача тулдиришга асослан-
ган; учинчилари эса турри бурчакнинг
учидан гипотенузага туширилган ба-
ландлик турри бурчакли учбурчакни
иккита ухшаш учбурчакка ажратиши-
га асосланган.
Пифагор теоремаси жуда куп гео-
метрик кисоблашларнинг асосини
ташкил килади. Кадимги Бобилда
унинг ёрдамида тенг ёнли учбурчак-
нинг ён томони ва асосининг узунли-
гига кура унинг баландлигини, айлана
диаметри ва ватарнинг узунлигига ку-
ра унинг сегменти стрелкасини ки-
соблашган, баъзи мунтазам купбур-
чаклар элементлари орасидаги муно-
сабатларни урнатишган. Пифагор
теоремаси ёрдамида уткир ёки утмас
бурчак каршисида ётган томоннинг
узунлигини хисоблаш имконини бе-
рувчи умумлашмаси исботланади:
с2 = а2 + Ь2 — 2abcosC. (1)
Бу умумлашмадан АВС учбурчак
С турри бурчакка эга булиши
теоремаси
289
2-расм,
с2 = а2 + b2 тенгликнинг бажарили-
ши учун етарлигина булиб к,олмай,
балки зарурий шарт х,ам экани келиб
чидади. (1) формуладан параллело-
грамм диагоналлари ва томонлари-
нинг узунликлари орасидаги
а2 + а2 = 2 (а2 + Ь2)
муносабат келиб чикади. Бунинг ёрда-
мида эса учбурчак томонларининг
узунликлари буйича медианасининг
узунлиги осонгина топилади.
ГИППОКРАТ
ОЙЧАЛАРИ
Гиппократ ойчалари — икки ай-
лана ёйлари билан чегараланган
ва куйидаги хосса билан харак-
терланадиган фигуралар: бу айла-
на (ойча)лар радиуслари ва ёй-
ларнинг ватарлари буйича ойча-
ларга тенгдош (юзадош) квадрат-
лар ясаш мумкин.
Пифагор теоремасининг умум-
лашмаси ярим доираларга кулла-
нилса, расмда тасвирланган ойча-
лар юзаларининг йигиндиси уч-
бурчак юзасига тенглиги келиб
чикади. Шунинг учун тенг ёнли
тугри бурчакли учбурчак олсак,
косил буладиган икки ойчадан хар
бирининг юзаси учбурчак юзаси-
нинг ярмига тенг булади. Дойра
квадратураси дакидаги масалани
ечишга уриниб (к. К,адимги
классик масалалар), кадимги юнон
математиги Гиппократ (эрамиз-
гача V а.) тугри томонли фигура
билан тенгдош бир неча хил ойча-
ларни ихтиро килган.
Гиппократ ойчаларининг тула
жадвали (руйхати) факат XIX—
XX а.да Галуа назарияси метод-
ларини куллаш туфайли кулга ки-
ритилган.
19—4826
290
Ёш математик комусий лугати
Учбурчак юзини томонларининг
узунликлари оркали ифодаловчи фор-
мула (к. Герои формуласи) Пифагор
теоремасидан келтириб чик,арилади.
Албатта, Пифагор теоремасини турли
хил амалий масалаларни ечишда хам
куллашган. Квадратлар урнига ихтиё-
рий тугри бурчакли учбурчак томон-
ларида узаро ухшаш фигуралар (тенг
томонли учбурчаклар, ярим доиралар
ва X- к.ни) ясаш мумкин. Бунда гипо-
тенузага ясалган фигуранинг юзи
катетларга ясалган фигуралар юзла-
рининг йигиндисига тенг. Пифагор
теоремасининг яна бир умумлашмаси
текисликдан фазога чикиш билан бог-
лик. У куйидагича ифодаланади: тугри
бурчакли параллелепипед диагонали-
нинг квадрата унинг улчамлари —
буйи, эни ва баландлиги квадратлар-
нинг йигиндисига тенг. Шунга ухшаш
теорема куп улчовли, хатто, чексиз
улчовли холларда хам тугри.
Пифагор теоремаси факат Евклид
геометриясида мавжуд. У Лобачевс-
кий геометриясида хам, бошка но-
евклид геометрияларда хам уринли
эмас. Сфера устида хам Пифагор
теоремасига ухшаш теорема йук- 90е
бурчак хосил килувчи икки меридиан
ва экватор сферада учала бурчаги
хам тугри булган тенг томонли учбур-
чак хосил килади. Бу учбурчак учун
а2 + Ь2 = 2с2, текисликдаги каби
с2 эмас.
Коррдината текислигидаги икки
A4(xi, х2) ва N(x2, у2) нукта орасида-
ги масофа Пифагор теоремасига кура
ушбу формула билан кисобланади:
MN = 77^2—Х|)2 4- (У2—У1) 2.
Пифагор теоремаси кашф этилган-
дан сунг тугри бурчакли учбурчак-
нинг томонлари була оладиган нату-
рал сонларнинг барча учликларини то-
пиш масаласи вужудга келди (к- Фер-
манинг катта теоремаси). Бундай уч-
ликларни пифагорчилар очишган,
аммо уларни топишнинг кандайдир
умумий методи бобилликларга хам
маълум булган. Бир миххат тахта-
сида ана шундай учликдан 15 таси
учрайди. Улар орасида сонларнинг
шу кадар катта учликлари хам борки,
уларни чамалаб топиш хакида ran
хам булиши мумкин эмас.
ПРИЗМА
Айтайлик, М = АВС... — ясси п-бур-
чак булсин, М1 = Л’В'С1... купбур-
—
чак эса М ни а векторга параллел
кучириш билан хосил булсин хамда
-
а вектор М ётган текисликка парал-
лел булмасин. М ва /И1 купбурчак-
лар, ЛВВ'Л1, ВСС'В', ...(1-расм) па-
раллелограммлар билан чегараланган
купёкли n-бурчакли призма (юнонча
prisma — «арраланган бу лак») булиб
М ва М' — призма асослари,
292
Ёш математик комусий лугати
АВВ'А', ВВС'В', ...— ён ёклари,
АА', ВВ', ... — ён кирралари дейила-
ди. Агар призманинг ён кирралари
асос текисликларига перпендикуляр
булса, у тугри призма, акс холда эса
огма призма дейилади. Нихрят, агар
призма тугри ва унинг асослари мун-
тазам купбурчаклар булса, у мунта-
зам призма дейилади.
Мунтазам n-бурчакли призма уз
ук,и — асосларининг марказлари О ва
О' оркали утган тугри чизик атрофи-
да бурилганда узи билан устма-уст
тушади (2-расм). У к оркали призма-
нинг п та симметрия текислиги ута-
ди, яна битта симметрия текислиги
эса ОО' кесманинг уртасидан унга
перпендикуляр холда утади. Худди
шундай симметрия текисликларига
икки ёкли диэдр ёки бипирамида —
2п та учбурчак билан чегараланган,
учлари мунтазам призма асоси ва ён
ёкларининг марказида ётувчи купёк-
лига хам эга булади (3-расм). Табиат-
3-расм.
да учрайдиган монокристаллар ку-
пинча мунтазам кесик призмалар ва
диэдрлар шаклида булади (криста-
лографик сабабларга кура кристалл
шакллари учун п сони факат 3, 4 ёки
6 га тенг бул а олади).
Симметрик призмаларнинг яна бит-
та хусусий холи — параллелепипед-
нинг туртта диагонали булади ва улар
параллеллепипеднинг симметрия мар-
кази О нуктада кесишади. Бу нуктада
диагоналлар тенг иккига булинади
(4-расм). Тугри параллелепипедлар
яна асосларининг марказларидан
утувчи симметрия укларига хам эга
(5-расм). Агар тугри параллелепи-
педнинг асослари тугри туртбурчак-
лар булса, у тугри бурчакли деб
аталади. Тугри бурчакли параллеле-
пипедлар бизни ураб турган купёкли
фигуралар орасида купчиликни таш-
кил килади, масалан, хар хил кутилар,
хоналар, бинолар ва х- к- Бу парал-
лелепипедлар учта симметрия уки
буйлаб кесишувчи учта узаро перпен-
дикуляр симметрия текислигига эга
(6-расм). Тугри бурчакли паралле-
лепипедлар орасида янада симмет-
рикроги — мунтазам туртбурчакли
призма (симметрия текислиги 5 та)
ва куб (симметрия текислиги 9 та,
7-расмда улар кубнинг сиртини кан-
дай кесиши курсатилган).
Программалаш тили
293
Параллелепипедлар билан тетра-
эдрлар орасида дизид богланиш бор:
агар тетраэдрнинг дар бир икки ай-
даш дирралари ордали бир жуфт
параллел текислик утказилса, у дол-
да досил булган олтита текислик тет-
раэдрга ташди чизилган параллеле-
пипедни чегаралайди (8-расм). Бун-
да мунтазам тетраэдрга куб, тенгёдли
8-расм.
тетраэдрга — тугри бурчакли парал-
лелепипед мос келади.
Ихтиёрий призманинг дажми
асосининг юзасини баландлигига,
яъни асослари орасидаги масофага
купайтирилганига тенг; бошдача айт-
ганда v = Sil; бунда I — ён дирра-
нинг узунлиги, St — эса призма ён
дирраларига перпендикуляр кесим-
нинг юзаси.
ПРОГРАММАЛАШ ТИЛИ
Программалаш тили — информация
(ахборотлар)ни ва уларни радамли
дисоблаш машиналарида дайта иш-
ловчи программалар (алгоритмлар) -
ни ёзиш (баён дилиш) учун мослаш-
тирилган белгилар системаси. Энг би-
ринчи дисоблаш машиналари учун
программалар энг содда программа-
лаш тилида — бевосита машина ти-
лида тузилган. Албатта, у програм-
мачилар учун эмас, балки фадат ма-
шина учун жуда содда булган.
Машиналар, одатда, иккилик санод
системасида ишлайди, программа-
лар дам машина тилида атиги икки
тимсол: ноль (0) ва бирлик (1) ёрда-
мида ёзилади. Тугри, программачи-
лар дардол узларига бир оз енгиллик
уйлаб топишди — программаларни
иккилик системада эмас, балки сак-
кизлик системада ёза бошладилар,
чунки саккизлик системадан иккилик-
ка утиш жуда осон: дар бир саккиз-
лик радам учта иккилик радам билан
алмаштирилади. Масалан, (207) в —
(10 000 111)2- Барибир, программа
машинага иккилик куринишда кири-
тилган ва шу туфайли машина аппа-
ратураси билан бевосита дабул дили-
ниб, бажарилиши мумкин булган.
Машина тилида программа радам-
лар жадвали куринишида булиб, унинг
дар бир сатри битта операторга —
машина бажариши лозим булган маъ-
лум амал дадида фармон — команда-
га мос келган. Бунда команданинг бо-
шидаги бир неча радами амалнинг ко-
ди булган, яъни машина нима дили-
294
Ёш математик домусий лугати
ши лозимлигини курсатган (кушиш,
купайтириш ва д. к.), бошка радам-
лар эса амалда датнашадиган (души-
лувчи, купайтувчи ва д. к-) сонлар
машина хотирасининг каерида сад-
ланишини ва натижа (йигинди, ку-
пайтма ва х.к.) сакланиш учун каерга
юборилишини курсатган.
Масалан, БЭСМ-2 ЭХ.М учун ду-
шиш командаси 01 0070 0071 0072 ку-
ринишида ёзилади.
Биринчи икки ракам (01)—бу
кушиш амалининг коди. Бундай ко-
мандага мувофик машина хотира ку-
рилмасининг 0070 номерли катагида-
ги сон 0071 катакдаги сон билан ку-
шилиб, натижа 0072 номерли катакка
жойланади. Командада катаклар но-
мера устма-уст тушиши тадидлан-
майди. Агар 01 0073 0074 0073 коман-
дани бажаришдан олдин 0074 катакка
1 сони ёзилган булса, 0073 катакдаги
сон бир бирликка ортади, 01 0075 0075
0075 команда бажарилиши билан 0075
катакдаги сон икки марта ортади.
Машина тилида программа тузиш
огир ва машаддатли иш, у програм-
мачидан юкори малакадан ташкари
жиддий диддат талаб килади. Про-
граммачи мехнатини енгиллаштириш
ва унумдорлигини орттириш учун
программалаш тиллари ишлаб чидил-
дики, улар урганиб кетилган матема-
тика формулалари тилига ухшаш.
Программалаш тили уч ташкил
этувчи кием (компонента): алфавит,
синтаксис ва семантика билан берила-
ди.
Алфавит (алифбо) — дарф, ра-
кам, махсус белги ва б. бир-биридан
аник фаркланувчи тимсоллар маж-
муаси.
Мисол учун, машина Тфптн*^жь
фавити иккита тимсол: 0 ва 1 дан ибо-
рат, агар программа саккиэлИк систе-
мада ёзиладиган булса, алфавит сак-
кизта тимсол: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 дан
иборат булади.
Кенг ом малаш ган программалаш
тилларидан бири — ФОРТРАНнинг
(ФОРТРАН — ФОРмула ТРАНсля-
тори, яъни формула таржимони суз-
лар кискартмасидан)нинг алфавита
шундай символларни уз ичига олади:
латин алифбесининг 26 та бош дарфи:
А, В, С, ..., ; унта араб раками: 0, 1,
2, ..., 9 (0 раками одатда 0 хдрфи-
дан фаркланиши учун чизиб куйила-
ди); махсус белгилар: « » (буш ора-
лид), «=» (узлаштириш амали учун),
«+» (кушиш амали учун), «—» (айи-
риш амали учун), «*» (купайтириш
амали учун), «**» (даражага оши-
риш амали учун),«/» (булиш амали
учун), «(» ва «)»— кавслар (амал-
ларни бажариш тартибини узгарти-
риш, функцияларни ёзиш ва б. учун),
« , » (ёзув такрорланганда ажратиш
белгиси сифатида), «'» (апостроф ёки
штрих — текстни босишда куллана-
ди), «<J>» (ёрдамчи белги, бухгалтерия
ишларидаги пул белгисидан олинган,
баъзан доллар белгиси «$» ёки ромб
«0» билан алмаштирилади).
Программалаш тилининг с ин-
та кс и с и — алфавитга кирган тим-
соллардан тилнинг конструкциялари
(машина учун маънога эга ёзувлар)-
ни хосил килиш коидалари. Масалан,
ФОРТРАН тилининг конструкцияла-
ридан бири — идентификатор досил
дилиш коидаси: идентификатор —
дарф билан бошланиши шарт булган
биттадан олтитагача дарф ва ра-
камлар кетма-кетлиги.
Идентификаторлар намуналари:
А А12345 ALFA5
I 167890 INDEX
Семантика — программалаш
тилларида синтаксис коидаларига му-
вофик ясалган конструкцияларни
кандай талкин дилинишини белгилов-
чи коидалар мажмуаси.
Масалан, ФОРТРАНда идентифи-
каторларни талкин дилиш коидаси
дуйидагидан иборат:
идентификатор машина хотираси-
да узгарувчи катталикнинг оний дий-
матини садлаш учун ажратилган жой-
ни анидлайди;
идентификаторнинг биринчи дарфи
шу ажратилган жойда дандай турдаги
Программалаш тили
295
информация сакданишини билдиради:
агар идентификатор I, J, К, L, М ёки
N харфларнинг бири билан бошланса,
узгарувчи факат бутун сонли киймат
кабул кила олади, бошка харфлар би-
лан бошланса, исталган хакикий ций-
матлар кабул килади (бунга караб хо-
тирада хар хил микдорда жой ажра-
тилади).
Хрзиргача яратилган программа-
лаш тилларининг купчилиги кетма-
кет тартиблидир. Бундай тилларда
ёзилган программа фармойишлар
(инструкциялар, операторлар) кет-
ма-кетлигидан иборат. Бу оператор-
лар машинада транслятор деб аталув-
чи программа билан бирин-кетин кай-
та ишлаб чикилади. Транслятор ма-
шина тилида ёзилган катта хажмли
программа булиб, у программалаш
тилидаги хар бир операторни машина
командаларининг мос группаси билан
алмаштиради.
ФОРТРАН тилида узлаштириш
оператори бажарилганда оператор-
нинг чап томонида (« = » белгисидан
аввал) ёзилган узгарувчи (идентифи-
катор) унг томонга (« = » белгиси-
дан сунг) ёзилган коидага биноан
хисобланган кийматни кабул килади.
Масалан, X = Y, бу оператор X уз-
гарувчи хам Y узгарувчининг кийма-
тини кабул цилишини билдиради,
XI = (-B+SQRT(B **2-4*А
*С))/(2 * А)
оператор эса ______
— 6+д/62—
Х‘ 2а
формулага асосан ах2 + Ьх + с = О
квадрат тенглама илдизларидан бири-
ни хисоблашни таъминлайди. SQRT
идентификатори (инглизча square
root — «квадрат илдиз» иборасидан)
машинага кавслар ичидаги
(В * 2—4. * А * С)
ифодадан квадрат илдиз чикариш ло-
зимлигини укдиради.
Узгарувчи I нинг кийматини бир
бирликка орттириб берувчи узлаш-
тириш оператори айрим кенг таркал-
ган программалаш тилларида шундай
куринишга эга:
ФОРТРАН, ПЛ/ 1, СНОБОЛ тил-
ларида
i = i + i;
БЕЙСИК тилида
LETI = 1 + 1;
АЛГОЛ, ПАСКАЛЬ, АДА тилла-
рида
I: = I + I;
АПЛ тилида
ь-1 + 1;
КОБОЛ тилида
ADD I ТО 1 ёки COMPUTE
1 = 1 + 1
(КОБОЛнинг узбекча варианти
куйидагича:
К.УШИНГ I ГА 1 ёки Х.ИСОБ-
ЛАНГ 1=1+1);
ЛИСП тилида
(SETQ I (PLUS I 1)).
Бу мисолдан максад — энг куп тар-
калган программалаш тилларининг
атиги кичик бир кисми руйхатини
курсатиш булиб, у бу тилларнинг жу-
да чукур ва принципал тафовутлари
хакида тасаввур бера олмайди.
Мавжуд програмалаш тиллари бир-
бири билан кайси турли кийматлар
билан ишлай олиши хамда операция-
лар турлари, кийматларга мурожаат
килиш воситалари ва операциялари
мажмуаси билан фаркланади. К,ий-
матлар информациянинг пассив була-
гидир — у машина хотирасида сакла-
нади. Актив кием — операциялар,
улар кийматларни вужудга келтириш,
учириш ва кайта ишлашга имкон туг-
диради. Бошкарув воситалари киймат-
лар билан операцияларни зарур пайт-
да зарур тартибда боглайди.
Хисоблаш техникасининг бетиним
ривожланиши зарурий тарзда про-
граммалаш тилларининг хам ривож-
ланиши ва такомиллашувини келти-
риб чикаради. Бундан сунг хисоблаш
машиналарининг унумдорлиги опера-
цияларни параллел (бир пайтда бир
неча операция маъносида) бажариш
Хисобига усади, хозир мавжуд про-
граммалаш тиллари эса, асосан, опе-
рацияларни кетма-кет бажаришга
мослашган. Шунинг учун келажак,
чамаси, операторларни бажариш тар-
296
Ёш математик кому сии лугати
тибини курсатувчи эмас, балки ечила-
диган масаланинг узини машинага
тушунтириб берувчи программалар-
никидир. Бунда операторларни ба-
жаришнинг энг маъкул тартибини ма-
шина масала ечиш жараёнида узи
узгартириб туриши керак.
МАСАЛАЛАР
5-масала. Барча кора кузлилар ора-
сида сочи силлик одамлар хиссаси
барча ахоли орасидаги кора кузли-
лар хиссасидан купрок. Кора кузли-
лар хиссаси сочи силликдар орасида
барча ахоли орасидагига нисбатан
купрок булади, дейиш тугрими?
6-масала. Китобдан сахифалари ту-
шиб колибди. Улардан биринчиси-
нинг номери 387, охиргисининг но-
мери шу ракамлар тескари тартибда
ёзилгани. Китобдан неча сахифа ту-
шиб колган?
7-масала. Бир неча куза бор. Улар
орасидан иккита хар хил шаклдаги-
си хам, иккита хар хил рангдагиси
хам топилади. Кузалар орасидан ран-
ги хам, шакли хам хар хил булган
иккитасини ажратиш мумкинлигини
исботланг.
ПРОЕКТИВ ГЕОМЕТРИЯ
Азалдан рассомлар картиналарида
перспективани тасвирлаш учун го-
ризонтда кесишадиган чизикдардан
фойдаланишган. Геометрия тарихи-
нинг ажойиб боскичларидан бири
француз математиги ва архитектори
Ж. Дезарг (1593—1662) номи билан
боглик. У рассомларнинг перспектива
хакидаги тасаввурига аник математик
маъно беришга карор килади. У те-
кисликдаги оддий чекли нукталарга
кушимча килиб чексиз узокдашган
нукталарни кушишни ва параллел
тугри чизикдар ана шундай нукталар-
да кесишади деб фараз килишни так-
лиф этди. Хакикий нукталардан фарк-
лаш учун текисликнинг янги нукта-
лари чексиз узокдашган ёки хосмас
нукталар деб аталди. Лекин Дезарг
бу фаркни имкони борича тезрок уну-
тиш керак, шундагина чексиз узок-
лашган нукталардан наф булади, деб
ташвик килди.
Текисликка нечта чексиз узокдаш-
ган нукталар кушиш керак? Бир-бири-
га параллел тугри чизикдарнинг бар-
часи битта чексиз узокдашган нукта-
да кесишади деб хисоблаш табиийли-
ги равшан. Худди шу нуктани кара-
лаётган тугри чизикларга кушиб ку-
йиш керак. Хар хил йуналишдаги
тугри чизикдарга хар хил чексиз узок-
лашган нукталарни кушиш кераклиги
хамда улар битта чексиз узокдашган
тугри чизикни тулдиришини англаб
етиш мухим булди. Рассомларнинг
картиналарида шу чексиз узокдаш-
ган тугри чизик горизонт чизиги вази-
Проектив геометрия
297
«Бу соф геометриянинг
асосий рояси Уйгониш
даври мусаввирларининг
яккол «куриш» геомет-
риясини яратиш йулидаги
интилишларидан тузилди.
Предметлар аслида кан-
дай куринади ва уларни.
чизма текислигида кан-
дай тасвирлаш мумкин?»
С. Г. Гульд
фасини бажаради. Шу усулда косил
булган текислик кенгайтирилган ёки
проектив текислик дейилади.
Евклид геометриясида нукталар
ва тугри чизикларнинг узаро жой-
лашуви икки хил муносабат билан
берилади: иккита кар хил нукта ор-
кали ягона тугри чизик утади; иккита
х,ар хил тугри чизик эса ё ягона нук-
тада кесишади, ёки узаро параллел.
Кенгайтирилган текисликда иккинчи
тасдик соддалашади; кар хил иккита
тугри чизик доим бир нуктада кеси-
шади, окибатда параллел тугри чизик-
ларнинг кар хил хоссалари кесишув-
чи тугри чизиклар хоссаларининг ху-
сусий холига айланади. Масалан, ик-
кита нукта берилган: бири — чекли
А нукта, бошкаси — чексиз узоклаш-
ган В нукта. В ни бериш деган суз шу
нукта тегишли булган бирор тугри чи-
зикни курсатиш демакдир. Шунда А
ва В оркали ягона тугри чизик утади
деган проектив геометриянинг тасди-
ги Евклид геометриясининг мана бу
тасдигига тенг кучли булади: В да
ётмайдиган А нукта оркали В га па-
раллел ягона тугри чизик утади. Ана
шу каби холатлардан яна бир нечаси-
ни кузатиб, параллелликни кесишиш-
нинг хусусий холи деб караш жуда
унгайлигига ишонч хосил киламиз.
Бу мулохазаларда биз чекли ва чек-
сиз узоклашган нукталарни катъиян
ажратиб карадик. Улар орасидаги
фаркни йукотиш учун Дезарг куйида-
гича фикрлашни таклиф этди. Уч ул-
човли фазодаги хар хил текисликлар
бир текисликнинг хар хил образлари
деб каралади, бу текисликдаги сурат-
лар эса марказий проекциялаш ёрда-
мида узаро солиштирилади. Аникрок
килиб айтганда фазода О нукта белги-
ланади (1-расм); агар Л ва Л1 нукта-
лар О оркали утувчи бир тугри чизик-
да ётса, а текисликнинг А нуктаси би-
лан [3 текисликнинг А1 нуктаси бир-
бирига мутаносиб кисобланади (ай-
нан бир нуктанинг хар хил «суратлар-
даги» тасвири деб кабул килинади).
Шундай килиб, а текисликда бирор Г
фигура ётган булса, унинг нукталари-
298 Ёш математик комусий лутати
«Рассомга уз санъатининг
математикасини билиш
зарур. Перспектива ха-
кидаги таълимот — бу
хам йуловчи, хам мах©-
рат дарвозаси: усиз рас-
сомлик санъатнда хеч
нарса яратиб булмайди».
Леонардо да Винчи
пастда:
«Предметнинг рас ми —
рассом кузидаи тасвирла-
наётгаи предметнинг тур-
ли нукталарига нурлар ут-
казиб чикканда хосил бу-
ладиган конуснинг кеси-
мидир».
С. Г. Гульд
дан чикиб О дан утувчи турри чизик-
лар каралади, бу турри чизикларнинг
Р текислик билан кесишган нукта-
ларидан Г га мутаносиб Г1 фигура
ясалади (Г1 фигура Г нинг О нукта-
дан р текисликка марказий проекция-
си дейилади). Фигураларнинг бу каби
алмаштириш лар и сурат чизишда ав-
валлари хам учраган.
Хосил килинган алмаштиришга
диккат билан назар солинг. А нукта-
ни О билан туташтирувчи турри чизик
Р текисликка параллел булиб колиши
ва натижада А нуктага р текисликда
хеч нима мос келмаслиги мумкин.
Бундай холда Дезарг А нуктага р те-
кисликнинг чексиз узокдашган нукта-
си мос келади деб хисоблашни таклиф
Проектив геометрия
299
к,илади (Л нуктанинг образи «чек-
сизликка равона булади»). Агар О
нукта оркали 0 га параллел текислик
утказилса, у а текислик билан кеси-
шиб, / тугри чизик косил килади. Ана
шу тугри чизик аниклайдиган 0 нинг
чексиз узоклашган нуктасини А нук-
танинг образи дейиш табиий эканли-
ги юкорида айтилганлардан куринади.
Аксинча, О нукта оркали а га парал-
лел текислик утказилса, у 0 текислик
билан кесишиб, косил булган тугри
чизик tn куйидаги хусусиятга эга бу-
лади: О нуктадан проекциялаганда
т тугри чизик нукталарига а текис-
ликнинг бирорта кам нуктаси акслан-
майди. Тушунарлики, бу колда т туг-
ри чизикка а текисликнинг чексиз
узоклашган тугри чизиги утади. Хул-
лас, Дезарг буйича, айнан бир фигура
фазодаги кар хил текисликда турлича
тасвирланади. Хусусан, бир тугри чи-
зикнинг узи битта текисликда чексиз
узоклашган булиб, бошка текисликда
эса оддий тугри чизик булиб гавдала-
нади. Шу сабабли, агар биз нукталар
бир тасвирда гойиб булиб, бошкаси-
да эса «гойибдан» пайдо булмасин
десак, биз кенгайтирилган текислик
билан иш курмогимиз даркор.
Бу нуктаи назарни иш куролига ай-
лантириш учун бир объектнинг турли
тасвирлари канчалик фарк килишини
аниклаш зарур. Марказий проекция-
лаш натижасида анча катта узгариш-
лар руй бериши мумкин. Шунга кара-
май бир объектнинг турли тасвирла-
рида умумий хусусиятлари борми?
Биринчи навбатда тугри чизиклик хос-
саси сакданади: тугри чизиклар тугри
чизикларга утади, кесишувчи тугри
чизиклар алмаштиришдан сунг яна ке-
сишади (параллеллик — хусусий кол
эканлигини унутманг). Агар биз чек-
сиз узоклашган элементларни кирит-
маганимизда, сунгги фактни баён кд-
лиш учун канча хусусий колларни
куриб чикишимизга тугри келишини
уйлаб куринг.
Дезарг уйлаб топишга муваффак
булган ажойиб гоя: факат тугри чи-
зикларнинг кесишиши какида сер-
мазмун геометрик тасдиклар уринли.
Улардан куйида келтирилгани Дезарг
номи билан аталади. Берилган AiBiC,
ва А2В2С2 учбурчаклар учун At ва
А2, ва В2, С| ва С2 учлардан утувчи
уч тугри чизик бир нуктада кесишсин
(2-расмда Е нукта). У колда мос то-
монлар бир-бири билан кесишадиган
уч нукта (яъни AtBt билан Д2В2, BtCi
билан В2С2, Д1С| билан А2С2 тугри
чизиклар кесишадиган нукталар) бир
тугри чизикда ётади. Бу ерда тескари
теорема кам тугридир. Дезарг теоре-
масининг бугунги кунда энг маълум
исботи жуда нафис булиб, учбурчак-
лар ётган текисликдан фазога утиб,
мушокада юритишга асосланади.
Бошкача мулоказа йулини тутиш \ам
гоят ибратли: теоремада ran факат
нукта ва тугри чизикларнинг узаро
жойлашуви какида бораётгани ва у
марказий проекциялашда саклангани
300
Ёш математик комусий лугати
туфайли, теорема бир тасвир учун
тугрилигидан бошка тасвирларда кам
тугри булиши келиб чикади. Демак,
шундай тасвир танлаш, яъни шундай
марказий проекция бажариш керак-
ки, окибатда талаб килинаётган факт
ута содда колга келсин. Масалан, М, N
нукталар чексиз узоклаштирилса, эле-
ментар хоссага келинади (мос томон-
лар параллеллигича колади) ва уни
учбурчаклар ухшашлигидан фойдала-
ниб исботлаш осон. Умумий колда
бундан теорема тугрилиги уз-узидан
келиб чикади!
Шуни таъкидлаш лозимки, проек-
тив геометрияда учбурчак тушунча-
сига аниклик киритишга тугри кела-
ди. Аслини олганда аввал кесма ту-
шунчасини таклил килиш керак. Про-
ектив тугри чизикнинг кар икки «учи»
чексиз узоклашган нуктада бир-бири
билан учрашади, деб фараз килса
булади. Бу фараз проектив тугри
чизикнинг бир жуфт нуктаси иккита
кесмани аниклайди деган фактни ту-
шунишга ёрдам беради (евклид гео-
метрияси нуктаи назаридан бу кесма-
лардан бири оддий кесма, иккинчиси
эса унинг тулдирувчиси — бир жуфт
нур). Хар сафаргидек бу фактнинг
тугрилиги марказий проекциялаш ёр-
дамида текширилади. Равшанки, агар
А, В нукталар А1, В1 га аксланса
ва бунда АВ кесманинг бирор нук-
таси чексизликка проекцияланса, у
Колда бу проекция АВ кесмани А1 В1
кесманинг ташкарисига акслантира-
ди, хуллас какикатан кам, проектив
геометрияда кесма билан унинг таш-
карисини ажратиб булмайди. Шу са-
бабли учта А, В, С нукта (бир туг-
ри чизикда ётмайдиган) проектив
текисликда 4 та учбурчакни аник-
лайди. Колаверса, Дезарг теорема-
си учун бунинг акамияти йук, зеро
унда учбурчакларнинг учлари ва уч-
бурчакнинг томонларидан утувчи туг-
ри чизиклар билан иш курилаяпти.
Биз проектив геометрияда нукта-
лар ва тугри чизикларнинг узаро жой-
лашуви билан боглик колатларни му-
кокама килдик. Бошка фигуралар
какида нима дейиш мумкин. Масалан,
айлана марказий проекцияда айлана
Колича колмаса кам, таниб булмас да-
ражада узгариб кетмайди: у доим
конус кесими (эллипс, гипербола ёки
парабола) билан тасвирланади. Про-
ектив геометрия конус кесимларини
урганишда янги даврни бошлаб бер-
ди. Бу йуналишда дастлабки теорема-
лардан бирини Б. Паскаль (1623—
1662) 16 ёшида исботлаган: конус ке-
симига ички чизилган олтибурчакнинг
карама-карши томонлари кесишган уч
нукта бир тугри чизикда ётади
(3-расм). Марказий проекция ихтиё-
рий конус кесимига дойр колатни
айлана колига келтиришга имкон бе-
ради.
Ж. Дезарг ва Б. Паскалнинг
ажойиб ишлари бир ярим аср даво-
мида унутиб келинган эди. Француз
математиги Г. Монж (1746—1818)
ва унинг шогирди Ж. Понселе (1788—
1867) ишларидан проектив геомет-
риянинг янги умри бошланди.
Ж. Понселе нима учун эллипслар
турт нуктада, айланалар эса атиги
икки нуктада кесишади, деган савол
устида бош котирди. У шуни аник-
ладики, айланалар кесишган колда
биз яна иккита кесишиш нуктасини
пайкамаймиз, чунки улар чексиз узок-
лашган булишидан ташкари мавкум
кам экан. Шундай килиб, геометрия-
да комплекс сонлар кам пайдо булади.
Проектив геометриянинг кейинги
тараккиёти шундан иборат булдики,
геометрлар марказий проекциялаш
давомида узгармайдиган муносабат-
лар изладилар. Айникса, бундай хос-
сага эга булган сонлар билан ифода-
ланувчи муносабатлар топиш осон
булмайди, чунки масофалар кескин
узгариб кетиши мумкинда. Шунга ка-
рамай, бир тугри чизик устида туртта
В, С, D, Е нукта олиниб, уларнинг
куш нисбати ВС-DE/ CD-BE (му-
раккаб нисбат кам дейилади) тузил-
са, у марказий проекцияларда узгар-
май колар экан. Умуман, бу нисбат
марказий проекцияларнинг компози-
циялари — проектив алмаштириш-
Проекция
301
ларда х,ам узгармас экан (к,. Геомет-
рик алмаштиришлар). Бу ерда куш
нисбатда катнашган масофалардан
айримлари чексиз киймат кабул кил-
са, хавотирланишга хожат йук: агар
чексизлик суратда булса, у албатта
ах,ражда хам катнашади ва уларни
расмий тарзда кискартиришга кели-
шилса кифоя. Турт А, В, С, D нукта-
нинг юкорида келтирилган куш нисба-
ти
sin Z_AOC• sin Z_BOD
sin Z_BOC • sin Z_AOD
катталикка тенг. Бу микдор ОА, ОВ,
ОС, OD тугри чизиклар орасидаги
бурчакларгагина боглик. Шунинг учун
у бир нуктадан утувчи турт тугри чи-
зикнинг куш нисбати дейилади (рав-
шанки, у хам проектив алмаштириш-
ларда узгармайди).
Проектив геометриянинг нукталар,
тугри чизиклар хамда конус кесим-
лари катнашган хар бир тушунчаси
ва х,ар бир тасдиги учун иккиланма
тасдик куриш мумкин: бунинг учун
нукталар билан тугри чизиклар урни-
ни алмаштириб чикиш керак, нукта-
нинг тугри чизикка мансублиги саклаб
колинади, конус кесимининг нукта-
лари тупламига иккиланма тушунча
конус кесимининг барча уринмалари
туплами булади. Масалан, Паскаль
теоремасининг (3-расм) иккиланмаси
Брианшонтеоремасидир (4-расм): ко-
нус кесимига ташки чизилган олти-
бурчакнинг карама-карши учларидан
утувчи уч тугри чизик бир нуктада
кесишади. 10 та нукта ва 10 та тугри
чизикдан Дезарг конфигурациясининг
(2-расм) иккиланмаси унинг узи би-
лан устма-уст тушади.
Проектив текислик тушунчасининг
умумлашмалари — чекли проектив
текисликлар, n-улчовли хакикий ва
комплекс проектив фазолар — биз-
нинг кунларда математиканинг турли
сохаларида: комбинаторикада, алгеб-
раик чизиклар ва сиртлар назарцяси-
да кенг татбик килинади.
Проектив геометрия рассомлик ва
мухандисликда зарурдир.
ПРОЕКЦИЯ
Фигура (ёки жисм) нинг фазодаги
проекциясини бу фигуранинг сояси
деб тасаввур килиш мумкин. Бундай
аён тасаввур асосида бир неча хар хил
тушунча ётади: тугри бурчакли ёки
ортогонал проекция, параллел проек-
ция, марказий проекция ва б. Бу ту-
шунчалар геометрияда, математика-
нинг бошка булимларида, чизмачи-
ликда, архитектура ва тасвирий
санъатда, техникада, географияда,
физика ва астрономияда кенг фой-
даланилади. «Проекция» сузи хам,
«проект» сузи хам битта латинча суз-
дан (projectio — «олдинга ташлаш»)
келиб чиккан. Булгуси бино, иншоот,
механизм тавсиф килинар — лойихаси
тузилар экан, унинг плани ёки умумий
куриниши — проекцияси чизилади.
Проекциянинг турли куринишлари
таърифида битта умумийлик бор —
фигуранинг проекцияси унинг барча
нукталари проекцияларининг тупла-
мидир; бунда, шубхасиз, хар хил нук-
талар бир нуктага проекцияланиши
мумкин.
Урта мактаб математика курейда
ва техник чизмачиликда биз хамма-
дан аввал тугри бурчакли проекция
билан учрашамиз. Текисликда I тугри
чизик берилган булсин. М нуктанинг
I тугри чизикка проекцияси деб М дан
шу тугри чизикка туширилган /ИМ1
перпендикуляр асосига, яъни М1 нук-
тага айтилади. Масалан, доиранинг
тугри чизикка проекцияси текислик-
да доим кесма булиб, унинг узунлиги
j-расм
Ёш-математик комусий лугати
302
дойра диаметрига тенг. (х, у) нудта-
нинг Ох удига проекцияси — х коор-
динатали нудтадир; демак, у = /(х)
функция графигининг Ох удига проек-
цияси булиб бу функциянинг аник-
ланиш содаси хизмат килади; Оу уки-
га проекцияси эса — дийматлар соха-
си (1-расм, а). АВ кесманинг тугри
чизидда проекцияси — узунлиги
АВ cosa булган кесма, бунда а — АВ
ва / тугри чизидлар орасидаги бурчак
(1-расм, б).
Шунга ухшаш фазовий ортогонал
(тугри бурчакли) проекция аниклана-
ди: М нуктанинг р текисликка проек-
цияси — р га ММ1 перпендикуляр-
нинг асоси 7И1 дан иборат. Текис фи-
гуранинг юзаси проекцияланганда
cosa га купайтирилади, бунда а —
фигура ётган текислик билан проек-
ция текислиги орасидаги бурчак. Па-
раллелепипеднинг проекцияси уму-
ман олганда олтибурчак булади (учта
ёднинг проекциялари — параллело-
граммлардан таркиб топади); хусусий
долда проекция битта параллело-
грамм™ айланиши мумкин. Москва
математика олимпиадаларидан бири-
да удувчилардан куйидаги савол су-
ралган: тугри бурчакли параллелепи-
пед дандай жойлашганда унинг гори-
зонтал текисликка проекцияси энг
катта юзага эга булади? Унга жавоб
бериш учун проекциянинг 5’ юзасини
А'В'С1 учбурчак юзаси билан солиш-
тириш кифоя, бунда А1, В1, С1 — па-
раллелепипеднинг душни булмаган
учта А, В, С учининг проекциялари.
Равшанки, S* = 25л‘в‘с‘ ва Sx'b'c1
^Sabc, бундан ташкари, АВС текис-
лик горизонтал булганда сунгги тенг-
сизлик тенгликка айланади. Ана шу
сунгги долатда S' юзанинг диймати
энг катта булади (2-расм).
Текисликка проекциялаш билан
бир даторда фазонинг тугри чизидда
проекцияси какида дам сузлаш мум-
кин. /И нуктанинг I тугри чизидда
проекцияси — М дан утиб, / га пер-
пендикуляр текислик билан I тугри чи-
зик кесишган нудтаси Л41 булади. Ма-
салан, Oxyz фазонинг (х, у. z) нуд-
тасининг Oz удига проекцияси — бу
Oz удининг z координатали нудтаси-
дир, Оху текисликка проекцияси
эса — (х, у) координатали нудтадир.
Вектор ва унинг координаталари ора-
сида дам шу каби богланиш мавжуд.
Жисмнинг горизонтал тедисликка
ортогонал проекциясини унинг зенит-
да турган дуёшдан тушадиган соясига
ухшатиш мумкин. Агар К,уёш уфд то-
монга огса, соя чузила бошлайди. Ана
шу соя р горизонтал текисликка огма
ёки а йуналишли параллел проекция
булади (а — дуёш нурлари йунали-
шини берувчи тугри чизид). Парал-
лел проекцияда М нудтанинг проек-
цияси деб у ордали утувчи а га парал-
лел тугри чизид билан р текислик
кесишган нудтага айтилади.
Техник чизмаларда купинча детал-
нинг учта узаро тик (ортогонал) Ozy,
Оух, Oxz текисликларга проекцияси
берилади (3-расм): олд томондан ку-
риниши (анфас), юдоридан куриниши
2-расм,
Проекция
303
3-расм,
(план) ва ён томондан куриниши
(профиль). Лекин тасаввур купрок
аён булиши учун бу проекциялар ёни-
да деталнинг аксонометрик тасвири
кам берилади — у деталнинг Ох, Оу.
Oz укдар билан бирга бирор «огма»
текисликка параллел проекциясидан
иборат. Албатта, аксонометрик проек-
циянинг узи жисмнинг шаклини \ам,
координата укларига нисбатан жой-
лашувини кам аниклай олмайди, шу-
нинг учун куп колда унга кушимча
иккиламчи проекция кам чизилади:
жисм проекцияларидан бирининг ак-
сонометрик тасвири ва асосий проек-
ция нурлари (4-расмда жисмнинг ак-
сонометрияси ва Оху текислигига
проекцияси тасвирланган).
Параллел проекциялаганда (хусу-
сан ортогонал проекцияда кам) туг-
ри чизиклар орасидаги бурчаклар уз-
гариши мумкин, бирок куйидаги шарт-
лар бажарилади: (1) параллел тугри
чизикдар параллел тугри чизикдарга
утади; (2) бир тугри чизикда ётувчи
ёц параллел кесмалар узунликлари-
нинг нисбати сакданади; (3) бир те-
кисликда ётувчи фигураларнинг юза-
лари бир хил нисбатда узгаради. (1),
(2) хоссалардан фойдаланиб х,амда
фазодаги бир текисликда ётмайдиган
турт А, В, С, О нукталарнинг проек-
цияларини билган колда бошка ихтиё-
рий нуктанинг проекциясини куриш
мумкин (турт нукта проекциялари
урнига бир текисликка параллел бул-
маган уч (5/4, ОВ, ОС векторнинг
проекцияларини билиш кам етарли).
Бунда А', В', С', О' проекциялар ис-
талган колатда ётиши мумкин: ихтиё-
рий АВСО тетраэдр ва текисликда их-
тиёрий А', В', С1, О' нукта берилган
булса, тетраэдрни фазода шундай
жойлаш мумкинки, унинг учларининг
проекциялари роппа-расо А', В', О',
О' нукталарга тушади. Бу факт уни
исботлаган (XIX а. урталарида) не-
мис математиклари номи билан Пол-
ке-Шварц теоремаси дейилади.
304
Ёш математик комусий лугати
5-расм.
Бир текисликнинг бошка текислик-
ка параллел проекцияси учта А, В, О
нуктанинг образлари Л1, В1, О1 билан
ёки икки ОА ва ОВ векторлар об-
разлари билан тула аникланади; бунда
ОМ—х О А + у О В шартни каноат-
лантирувчи М нукта шундай /И1 нукта-
га утадики, О'МХ = хО'А1 ф- уО1В'
булади. (1), (2), (3) хоссалардан
бундай проекция аффин акслантириш
эканлиги камда х,ар бир аффин акс-
лантириш параллел проекцияларнинг
композицияси булиши куринади
(к- Геометрик алмаштиришлар).
зий проекция учун уринли булмай-
ди. S марказий М нуктанинг р текис-
ликка марказий проекцияси деб MS
тугри чизикнинг р текислик билан ке-
сишиш нуктасига айтилади. Проек-
циянинг бу тури билан х,ам биз кар ка-
дамда тукнашамиз. Жисмнинг чирок-
дан деворга тушадиган сояси
(5-расм) — бунга мисол, бунда фигу-
ра В марказ билан проекция текисли-
ги орасида жойлашади. Предметнинг
Пропорция
305
фотоаппаратдаги тасвири (бир оз так,-
">ибан) — марказий проекция, факат
энди проекция маркази предмет билан
проекция текислиги орасида жой-
лашади. (Бунда агдарилган тасвир хо-
сил булади, 6-расм). Марказий проек-
ция (баъзан «чизикди перспектива»
деб хам аталади) тасвирий санъатда
катта роль уйнайди: айтайлик, одам-
зинг осма чироедан асфальтга ту-
даётган соясини картинада тасвир-
. ар эканмиз, иккита марказий проек-
диянинг композицияси билан иш ку-
эамиз: бири одамнинг йулка текис-
лигига маркази чировда булган проек-
цияси, иккинчиси эса соянинг карти-
на текислигига маркази рассомнинг
кузида жойлашган проекцияси. Бун-
дай шароитда хатога йул куймаслик
• чун марказий проекциянинг асосий
хоссаси кул келади: у ихтиёрий тугри
чизикни яна тугри чизикка утказади.
Марказий проекциялаганда айлана-
нинг тасвири ва факат эллипс, шу-
нингдек, парабола ёки гипербола бу-
лиши мумкин (7-расм). Ортогонал
еки параллел проекцияда айлана про-
екцияси доим эллипс булишини эсла-
тамиз. Фигураларнинг марказий про-
екцияларда сакланадиган хоссала-
эи — проектив геометриянинг урга-
чиш объектидир.
ПРОПОРЦИЯ
Бир неча сон ёки катталик жуфт-
паридан тузилган нисбатларнинг тенг-
тиги пропорция дейилади. Масалан,
машина ёки иншоотлар моделлари-
нинг улчамлари аслининг улчамлари-
дан модель масштабида берилган айни
бир купайтувчига фарк килади. Шу
сабабли, оригиналда туртта А, В, С, D
нукта олиб уларга моделда мос келув-
чи нукталар А1, В1, С’ ва D' билан
белгиланса, у холда А'В'/АВ =
= C'D'/ CD тенглик бажарилади
(иккала нисбат хам масштабга тенг).
Ана шундай икки нисбатнинг тенгли-
ги пропорция булади. Бошка
АС/ CD = А'В1 / C'D' пропорция
хам уринли, чунки у оригинал нукта-
лари орасида масофаларнинг нисбати
моделдаги мос нукталар орасидаги
масофаларнинг нисбатига тенглигини
курсатади.
К,адимда пропорционаллик гояси-
дан ёлгон холат методи билан маса-
лалар ечишда (ошкормас тарзда)
фойдаланилган: изланаётган микдор-
га ихтиёрий киймат берилар, бунда
берилган катталиклардан бири кандай
киймат олиши хисобланар ва масала-
нинг шарти билан таккосланар эди.
Катталикларнинг нисбати тугри жа-
воб олиш учун танланган киймат
купайтирилиши лозим булган коэф-
фициентни берарди.
Пропорциялар Кддимги Юнонис-
тонда мунтазам урганила бошланди.
Илгари факат натурал сонлардан ту-
зилган пропорциялар каралар эди.
Шу сабабли, агар а сони b нинг кандай
карралиги, улуши ёки касри булса,
с хам d нинг шундай карралиги,
улуши ёки касри булганда a, b, с, d
сонлари пропорция хосил килади деб
20—4826
306
Еш математик цомусий лугати
Хисобланар эди. Бу даврда бошка
катталиклардан тузилган пропорция-
ни сонлардан тузилган пропорция-
дан фарк килишмас эди. Квадратнинг
диагонали унинг томони билан улчов-
дош эмаслиги кашф этилиши бундай
пропорцияларни бошкача объект деб
карашга мажбур килди. Э. а. IV а.да
кадимги юнон математиги Евдокс ис-
талган табиатли катталиклардан ту-
зилган пропорциянинг таърифини
берди.
К,адимги юнон математиклари про-
порцияларни тадкикотнинг анча нозик
аппаратига айлантирдилар. Пропор-
циялар ёрдамида хозир биз тенгла-
малар тузиб ечадиган масалаларни
ечишда, алгебраик алмаштиришлар
урнига бир пропорциядан бошкасига
утишда фойдаланишди. Масалан,
а/ b = с/ d пропорция уринли булса,
у холда куйидаги пропорциялар хам
уринли экани маълум эди:
a b d _ с а-\-Ь _
с ~ d ’ b ~~ а ’ b
с —|— d ct —|— b с —|— d
~ d ’ а ~ с ’
a — b __ c — d
b d
а с
а — Ь с — d ’
(a>b булганда),
a -j- b c -j- d
a — b ~~ c—d
ва 6.
Пропорциялар назариясининг роли
катталикларнинг нисбати сон (жум-
ладан, иррационал) булиши, демак,
пропорция — шунчаки сонларнинг
тенглиги эканлиги англангач, сези-
ларли камайди. Бу эса пропорция ур-
нига тенглама, пропорцияларни ал-
маштириш урнига эса алгебраик ал-
маштиришлар ишлатиш имконини
берди.
ПРОЦЕНТ, Ф О И 3
Соннинг юздан бир улуши процент
деб аталади. Процент нима учун ке-
рак? Нима учун алохида процент тер-
мини киритилган?
Бу саволлардан аввал, мана бу са-
волга жавоб беришга уннаб курай-
лик; денгиз сувида туз анча купми?
Албатта, бир пакир денгиз сувини
оловга куйиб, сув тула бугланиб кет-
гунча кутиш, сунг колган тузни туп-
лаб тортиш мумкин. Бошка киши хам
шундай килса, натижа бир хил була-
дими? Чамаси, бир хил булмайди.
Унинг пакири каттарок ёки кичикрок
булиши, унга сув озрок ёки купрок ку-
йилиши мумкин; окибатда коладиган
туз микдори бошкача булиши мумкин.
Хуллас, денгиз сувининг шурлиги
учун биз танлаган улчов (бир пакир
сувдаги туз микдори) ноаник булиб
чикади.
Бошка улчов — 1 кг эритмадаги туз
микдори (граммларда)ни олиб ка-
райлик. Бунинг учун эритмани олов-
га куйишдан аввал уни тортиш, энг
охирида эса колган туз массасини
эритманинг дастлабки массасига бу-
лиш лозим. Айтайлик, эритма масса-
си 8,4 кг, туз массаси 21 г булсин. У
Холда жавоб: 1 кг эритмага 2,5 г туз
тугри келади. Энди тажриба такрор-
ланса, деярли худди шу катталик хо-
сил килинади.
Лекин нима сабабдан килограмм-
даги граммлар микдори? Масалан.
тоннадаги центнер, ёки пуддаги пайса
микдори эмас. Келинглар, яхшиси
граммдаги граммлар сонини оламиз,
шунда у тоннадаги тонна микдори,
пуддаги пуд микдори билан бир хил
булади. Шу билан бирга натижани
унли каср холида ёзишга келишамиз,
чунки унли касрларни киёслаш кулай.
Аммо нисбатни кандай аникдикда
олмок керак? Биз когоз ва калам ёрда-
мида миллиондан биргача аникликда
булишимиз мумкин. Лекин тажриба-
да олинган сонларнинг аниклиги биз
куллаган ускуналар: тарози, вольт-
метр, спидометр ва б. аникдигига бог-
лик- Расман бу ускуналар курсаткичи-
нинг дастлабки икки ракамни ишонч-
ли деб хисоблаш мумкин. Натижада
0,27; 0,64; 0,37 каби сонларнинг юзлик
Радикал
307
>лушларига эга буламиз. Улар про-
центларнинг узгинасидир. Уларга мос
махсус ёзув х,ам уйлаб топилган —
27%, 64%, 37%.
Процентлар киндларга V а.даёк
маълум булган. Бу ко ну ни й колдир,
зеро Х,индистонда х,исоб аввалдан ун-
та санок системасида бажариб ке-
линган. Европада унли касрлар минг
иилдан кейинрок, пайдо булган, улар-
ни бельгиялик олим С. Стевин кирит-
ган. У 1584 й. биринчи бор процентлар
жадвалини нашр килган.
Процентларнинг кулайлиги факат-
гина бир модданинг иккинчисидаги
таркибини баколаш билан чекланма-
та. Товар ишлаб чикаришнинг уз-
гариши, пул даромадларининг усиши
ва б. кам процентларда улчана бош-
ланди.
Давр ута бориши билан одамлар
моддадан унинг масса жикатидан
минглик улушли компонентларини
ажратишни ургандилар. Шунда ноль
ва каср вергулини ёзиб юрмаслик учун
янги катталик — промилле — минг-
дан бир улушни киритдилар. Уни % о
каби белгилаб, 0,6% урнига 6%о каби
ёза бошладилар. Лекин бу катталик
факат баъзи техника сокаларида кул-
танилади, купрок колда процентнинг
• нлик ва юзлик улушларидан фойда-
анилади. Мисол учун, денгиз сувида
тузнинг микдори 0,25% ёки 2,5% о
дан иборат.
р
РАДИКАЛ
Бирор сондан n-даражали илдиз чи-
кариш амалини белгилаш учун ишла-
тиладиган у/ белги радикал (ёки ил-
диз белгиси) деб аталади; а сонидан
п
n-даражали илдиз д/Ъ каби белгила-
нади. п . = 2 да илдизнинг курсаткичи
2
ташланиб, у/ урнига \ПГкаби ёзила-
ди. Иккинчи даражали илдиз, одатда,
квадрат илдиз деб, учинчи даражали
илдиз эса куб илдиз деб юритилади.
Манфий булмаган (какикий) сон-
дан жуфт даражали илдиз чикарганда
п —_
\,ГбГ ёзуви а сонининг арифметик ил-
дизини (яъни Ьп = а буладиган но-
манфий b сонини) билдиради. Комп-
п__
леке сондан илдиз чикаришда y/~z
ёзувчи z сонидан чикарилган п-дара-
жали п та илдиздан исталганини ёки
Камма и та илдиз мажмуасини белги-
лаш учун ишлатилади.
«Радикал» номи латинча radix —
«илдиз», radicalus — «илдизли» суз-
ларидан олинган.
ХШ а.дан бошлаб Европа матема-
тиклари илдизни уша суз билан, ёки
кискартириб г билан белгилаганлар.
1525 й. К. Рудольфнинг «Алгебранинг
одатда Косс деб аталувчи кулай кои-
далари ёрдамида тез ва чиройли ки-
соблаш» деган китобида квадрат ил-
диз учун V белги пайдо булди (унда
куб илдиз v v V куринишда белги-
ланган). 1626 й. голландиялик мате-
2 3
матик А. Жирар V > V ва К- к- бел-
гиларни киритди, улар тезда г белги-
сини сикиб чикарди. Бунда илдиз ос-
тидаги ифоданинг устига горизонтал
чизик куйилар эди. У вактда козирги
-/х -ф у белгилаш урнига илдиз олина-
диган ифода устига чизик чизилар,
яъни V х-\-у каби ёзилар эди. Ил-
308 Еш математик
дизнинг хозирги белгиси Р. Декарт-
нинг 1637 й. нашр килинган «Геомет-
рия» асарида пайдо булди.
Бутун соннинг такрибий квадрат ил-
дизини топишни дадимги бобиллик-
лар бундан 4 минг йил мукаддам би-
лишар эди. Бунда бобиллик олимлар
куйидаги методдан фойдаланишган: а
сони Ь2-\~с йигинди шаклида тасвир-
ланган, бунда с сони Ь2 га нисбатан
деб олинган. Масалан, д/1700 =
= /1600+100 = 40 + =
= 40 + -1™=41±
Г 80 4
(бу мисол бобилликларнинг миххат
тахтачасидан олинган). Солиштириш
учун бу илдизнинг аникрок киймати-
ни келтирамиз: д/ 1700 = 41,23105.
Квадрат илдиз чикаришнинг бу так-
рибий усулини купинча бобил усули
деб аталишини кайд киламиз.
РАКДМЛАР
Ракамлар — сонлар ёзувда ифодала-
надиган шартли белгилар. Ёгоч даста
ва суякларга уйилган кертикларни,
кейинрок эса чизгиларни сонларнинг
биринчи ёзувлари деб хисоблаш мум-
кин. Аммо катта сонларни бу усулда
тасвирлаш нокулай эди, шу сабабли
баъзи чизикчалар туплами учун мах-
сус белгилар (ракамлар) ишлатила
бошланди.
К,адимги Мисрда тахминан 5000
йил илгари 10 сони П иероглиф (эх-
тимол, унта чизикча устига куйила-
диган ёй белгиси) билан, 100 сонини
<2 (улчов аркони белгиси) билан бел-
гилана бошланди ва х- к. Шундай ра-
камлардан ихтиёрий соннинг унли
ёзувини тузишар эди, масалан, 124
сонини Н П С каби белгилашган.
цомусий лугати
Э. а. II а. дан эрамизнинг бошигача
Дажла ва Евфрат дарёлари орасида
яшаган халклар (бобилликлар, асси-
рияликлар, шумерлар) аввал сонларни
турли катталикдаги дойра ва ярим
доиралар билан белгилашган, кейин
эса факат иккита миххат белги —
тугри пона V (1) ва ётик пона
<] (10) дан фойдаланишган. Бу халк-
лар олтмишли санок системасини кул-
лашган, масалан, 23 сони куйидагича
тасвирланган: < < V V V. 60 сони
учун яна V белги такрорланган, ма-
салан, 92 куйидагича ёзилган:
V<<< VV.
Кейинрок бобилликлар буш колган
хона учун махсус белги <] ни уйлаб
топишган.
Эрамиз бошида Марказий Америка-
нинг Юкатан яриморолида яшовчи
хиндуларнинг майя кдбиласи санаш-
нинг бошка системаси — йигирмали
системадан фойдаланган. Улар 1 ни
нукта билан, 5 ни эса горизонтал чи-
зик билан белгилашган. Масалан,=
ёзуви 14 ни билдирган. Майяларнинг
санок системасида ноль учун хам бел-
ги булган. У уз шаклига кура ярим
ёпик кузни англатган.
К,адимги Юнонистонда аввал 5, 10,
100, 1000, 10 000 ларни Г, Д, Н, X, М
харфлари билан, 1 ни эса / чизикча
билан белгилашган. Бу белгилардан
Р (50), Д А А Г (35) ва х- к. сон-
ларни хосил килишган. Кейинрок
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,40,50,60,70,80.
90,100,200,300,400,500,600,700,800,
900,1000,2000,3000,4000,5000,6000.
7000,8000,9000,10 000,20 000 сонла-
рини юнон алифбесининг харфлари
билан белгилай бошладилар, факат
уларга эскирган учта харфни хам
кушишга тугри келди. Ракамларни
харфлардан фарк килиш учун улар-
нинг тепасига чизикча тортиб куйи-
лар эди.
Математика тарихчиларининг тад-
кикотларига Караганда юнонларнинг
бундай белгилашлари Якин Шарк
ёзуви таъсирида вужудга келган.
Араблар забт этган мамлакатларда.
Еш математик цомусий лугати
310
жумладан Урта Осиёда дам худци
юнонларнинг белгилашига ухшаш
«абжад» деб аталувчи системадан
фойдаланишган. Абжад — кадимги
араб алифбоси дарфларидан тузил-
ган ва кар дайси дарфнинг сон дий-
матини эслаб колиш учун ясалган сак-
кизта сузнинг шартли номи: алс.1
(абжад), j 9-^ (давваз),
(дутти), (каламон),^2_1иг_^
(саъфаз), (дарашат),
(саддаз), (зазаг).
Араб алифбосидаги дарфлар тар-
тиби абжаддаги дарфлар тартибидан
фард дилади ва улар 28 та. Юнон
алифбосидаги 17 дарфнинг (а дан л
гача) сон диймати, араб алифбоси-
даги 17 дарфнинг ( дан ^3 гача) сон
киймати билан мос келади. Кейинги-
лари % (каппа) га j — 100, J (ро)га
— 200, о (омега) га — 300;
т (тау)га _— 400 тугри келади.
Абжадда дам радамларни ифода-
ловчи дарфларнинг устига чизидча
тортиб куйилади. Сонни ифодаловчи
дарфлар араб графикасига мос долда
унгдан чапга дараб ёзилади, яъни
соннинг юкори хона бирлиги бирин-
чи булиб ёзилади. Масалан, 4 . а
(Ю5),<—-с- (1002) ва д. к.
Урта Осиёда яратилган куплаб зиж-
лар (астрономик ва тригонометрик
жадваллар) дам абжад саногида ту-
зилган.
Сонларни шунга ухшаш белгилаш
системаси Кадимги Русда дам дул-
ланилган, чунки Рус маданияти Ви-
зантиянинг маданияти билан чамбар-
час боглик- Улар дам сонларни белги-
ловчи дарфлар устига махсус белги —
титло куйишган.
Славянлар катта сонларни дам уша
дарфлар билан белгилар, аммо мингни
белгилаш учун дарфнинг чап томони-
дан пастрокка #= белги дуйилар эди.
Масалан, 1000 — =/= А; 3000 —
олиб дуйилар эди. Бу сон «тьма» («до-
ронгу») деб аталган. «Тьма народу»
(тумонат одам деган маънода) ибора-
си шундан колган. Кейинги хонага
мос сон — 100 ООО «легион» деб атал-
ган. Бу сонни белгилаш учун А дар-
фи ёзилар ва унинг атрофини нукта-
лар билан ураб дуйилар эди; 10 та ле-
гион янги бирлик — леодрни ташкил
килган. Леодр дам А дарфи билан
белгиланар, атрофи эса чизидчалар
билан уралар эди.
Кадимги римликлардан бизгача
I (1), V (5), X (10), С (100),
D (500), М (1000) ракамлари етиб
келган. Баъзи олимлар V очид пан-
жани, X эса айдаш икки дулни бил-
диради деб дисоблайдилар. Бошда-
лари эса X унта чизидчанинг усти-
дан тортиладиган икки чизидни, V эса
X нинг ярмини билдиради дейишади.
Римликлардан бу санок Европага ва
купгина Осиё мамлакатларига тар-
даган.
Хитой ва Японияда сонларни ёзиш
учун иероглифлардан фойдаланилган.
Натурал сонларнинг дозирги унли
ёзуви биринчи марта VI а. да Х,ин-
дистонда вужудга келган. VII—Villa,
да Урта Ер денгизи ва Осиёнинг
катта-катта районларини босиб олган
араблар ордали динд ракамлари бош-
ка ерларга кенг тардалди. Бу радам-
ларнинг араб ракамлари (Мудаммад
ибн Мусо ал-Хоразмийнинг «Х,инд
дисоби» номли рисоласининг Испа-
нияда килинган латинча таржимаси)
ордали XIII а. да Европа мамлакат-
ларига тардала бошлади. Бирок
XVIII а. гача махсус дужжатларга
фадат рим радамларини дуйиш рухсат
этилган. XIX а. бошидагина динд са-
ноги дамма жойда ишлатиладиган
булди.
Россияда XVII а. даёд деярли дам-
ма математик дулёзмаларда факат
унли позицион санок система (яъни
динд саноги) учрайди.
#= Г. 10 000 сони дам 1 ни ифода-
ловчи дарф билан белгиланар, фадат
унинг титлоси булмасдан доирага
Саноц системаси
311
С
САНОК, СИСТЕМАСИ
Санок системаси — сонларни укиш
ва арифметик амалларни бажариш
учун кулай куринишда ёзиш усули.
Палеолит (тош, хайвон суяги)
даври топилмаларини кузатиб, одам-
лар нукталар, полосалар ва кертик-
ларни 3, 4, 5 ёки 7 тадан группалашга
интилганини курамиз. Бундай группа-
лаш санокни енгиллаштирган. Кддим-
да купрок бармоклар билан хисоб-
лашган, шу сабабли предметларни 5
ёки 10 тадан группалашган. Кейинча-
лик унта унлик махсус ном — юзлик-
ни, унта юзлик — уз номини олган ва
X- к. Ёзув кулай булиши учун бу му-
\им сонлар махсус белгилар билан
ифодалана бошланган. Агар хисоб-
лашда 2 та юзлик, 7 та унлик, яна 4 та
предмет булса, у холда юзликнинг
белгисини икки марта, унлик белгиси-
ни етти марта, бирлик белгисини турт
марта такрорлашган. Бирлик, унлик
ва юзликларнинг белгиси бир-бирига
ухшаш булмаган. Сонларни бундай
ёзганда белгиларни ихтиёрий тартиб-
да жойлаштириш мумкин булган, чун-
ки ёзилган соннинг киймати тартибга
боглик эмас. Бундай ёзувда белги
Холатининг ахамияти булмаганидан,
мос санок системаси нопозицион сис-
тема деб аталади. К,адимги мисрлик-
лар, юнонлар ва римликларнинг са-
нок системаси нопозицион эди. Но-
позицион санок системаси кушиш ва
айириш амаллари учун озгина яраса-
да, купайтириш ва булиш учун бутун-
лай яроксиз эди. Ишни осонлаштириш
максадида хисоб тахталари — абак-
лар ишлатилар эди. Хозирги замон
чутлари абакнинг узгарган курини-
шидир (к. Хисоблаш техникаси).
К,адимги бобилликларнинг санок
системаси дастлаб нопозицион эди,
кейин улар белгиларни ёзиш тартиби-
да хам информация борлигини сези-
шиб, ундан фойдаланишга урганишди
ва позицион санок системасига утиш-
ди. Бунда биз хозир куллаётган сис-
темадан (ракамнинг урни бир хонага
силжитилганда унинг киймати 10 мар-
тага узгарадиган унли санок систе-
мадан) фаркли, бобилликларда белги
бир хонага силжитилганда соннинг
киймати 60 марта узгарар эди (бун-
дай санок системаси олтмишли систе-
ма деб аталди). Узок вактгача Бо-
билнинг санок системасида ноль бел-
гиси, яъни тушиб колган хонанинг
белгиси йук эди. Сонларнинг тартиби
одатда маълум булганидан бу ноку-
лай эмас эди. Аммо кенг куламли
математик ва астрономии жадваллар
тузиш бошланганда, ана шундай бел-
гига эхтиёж тугилди. Бу белги кейин-
ги миххат ёзувларда ва эрамизнинг
бошида Искандарияда тузилган жад-
валларда учрайди. Бобил санок систе-
масининг изи хозирги кунда вакт бир-
ликларини хисоблаш тартибида сак-
ланиб колган (1 соат — 60 минут,
1 минут — 60 секунд ва х- к-).
Бобиллик олимлар олтмишли санок
системасидан фойдаланган булишса-
да, арифметик амалларни бажариш-
да купрок бу системанинг унли санок
системаси билан мураккаб коришмаси
кулланган.
Бобиллик олимлардан куп нарсани
узлаштирган хинд математиклари соф
унли санок системасини ишлатдилар.
Бу система билан сонларни белги-
лашнинг бобил методини бирлашти-
риб, хиндлар VI а. да 9 та ракамдан
фойдаланувчи ёзув усулини яратди-
лар. Улар нолнинг урнини буш кол-
диришди, кейинрок эса нукта ёки кич-
кина доирача куядиган булишди. IX а.
да ноль учун махсус белги пайдо бул-
ди. Узок вакт ноль тушунчаси тушу-
нарсиз ва абстракт булиб туюлди
(йук нарсага белгининг нима кераги
бор?), бирок барибир сонларни янги-
312
Еш математик цомусий лугати
«Унли санок; системаси-
нинг афзаллнги матема-
тикага оид эмас, унинг
зоологнк табиатга эгали-
гидир».
ча ёзишнинг кулайлиги х,амма учун
аён булиб борди. Унли санок, систе-
масида сонлар устида амаллар бажа-
риш доидаси ишлаб чидилди. Унли
санод системаси ва унинг модияти
дадида асарлар пайдо булди. Шундай
асарлардан бири Мудаммад ибн Мусо
ал-Хоразмий (д. Хоразмий) нинг
«Х,инд дисоби» номли рисоласи бул-
ди. Араб тилида ёзилган бу асар
XII а. да испаниялик араблар томо-
нидан латин тилига таржима ди-
линди. Шу асар туфайли унли санод
системаси Европага, кейин эса бутун
дунёга тардалди.
Санод системасининг асоси учун
на фадат 10 ва 60 ни, балки бирдан
катта ихтиёрий р натурал сонни олиш
мумкин. Сонларни р ли санод система-
сида ёзиш учун р та радам керак. р ли
системада а*, |, а0 радамлар
билан ёзилган сон аьрк -\-Qk~ipk~l +
... + ао га тенг. Масалан, 326? =
= 3 72 2 • 7 + 6 (пастдаги 7 белгиси
сон еттили санод системасида ёзилга-
нини билдиради). Агар сон унли санод
системасида ёзилган ва уни р ли сис-
темага утказиш керак булса, у долда
бу сон р га долдидли булинади. Сунг-
ра тулидсиз булинма р га долдидли
булинади ва д. к. — бу иш тулид-
сиз булинма нолга тенг булгунча да-
вом эттирилади. Крлдидларнинг охир-
гисидан бошлаб биринчисигача тар-
тиб билан ёзиб, сонимизнинг р ли
системасидаги ёзувини досил дила-
миз. Масалан, 29 = 4*6 + 5;
4 = 0-6 + 4 эканидан 29 = 45б эка-
ни келиб чидади.
р ли системада натурал сонлар ус-
тида амаллар одатдаги тартибда ба-
жарилади, фадат фарди шундаки, дар
бир санод системаси учун узининг
душиш ва купайтириш жадвалларини
Сехрли ва латин квадратлари
313
тузиб олиш лозим. Бу жадваллар ай-
никса иккала система учун жуда сод-
да куринишда булади:
+ 0 1 X 0 1
0 0 1 ва 0 0 0
1 1 10 1 0 1
XVII а. даёк немис математиги
Г. В. Лейбниц иккили системага утиш-
ни таклиф килди, аммо бунга анъана-
гина эмас, балки иккили системада
сонларни ёзиш жуда узунлиги хам
халакит берди. Масалан: 106 =
= IIOIOIO2- Бирок бизнинг асрда,
ЭХ.М яратилиши билан бу машина-
лар учун арифметик амалларни бажа-
риш учун энг кулай система иккили
система экани маълум булди (к. Про-
граммалаш тили).
СЕХ.РЛИ ВА ЛАТИН
КВАДРАТЛАРИ
Агар катакларига 1 дан 16 гача сон-
лар жойланган 1-расмдаги квадратга
царалса, ушбу донуниятни пайкаш
мумкин: хдр бир горизонтал ва вер-
тикал катордаги хамда кар бир диа-
гоналдаги сонлар йигиндиси бир хил.
Бундай хоссага эга булган хамма
квадратлар сехрли квадратлар номини
олди.
Сехрли квадратлар тузиш ва улар-
ни тавсифлаш масалалари математик-
ларни жуда кадим замонлардаёк ки-
зиктира бошлаган. Шунга карамай
хозирга кадар хам мумкин булган
барча сехрли квадратлар хали тула
тавсифланган эмас. 2X2 тартибли
сехрли квадрат мавжуд эмас. 2-расм-
да ягона 3X3 тартибли- сехрли квад-
рат тасвирланган. Ягоналик шундай
314
Еш математик цомусий лутати
маънода: долган 3X3 тартибли сехрли
квадратларнинг хаммаси 2-расмдаги
квадратдан ё марказ атрофида буриш,
ёки квадратнинг бирор симметрия
удига нисбатан акслантириш билан
х,осил килинади.
Квадрат улчамлари (катаклари со-
ни) катталашиши билан мумкин бул-
ган сехрли квадратлар сони тез усади.
Масалан, 4X4 тартибли турли седрли
квадратлар сони 880 та, 5X5 улчам
учун сехрли квадратлар сони эса чо-
рак миллионга якин. Булар орасида
кизик хоссаларга эга булган квад-
ратлар бор. Масалан, 3-расмдаги квад-
ратда сатрлар, устунлар ва диагонал-
лардаги сонлар йигиндисигина эмас,
балки расмда рангли чизиклар билан
курсатилган хар бир «айланма» диа-
3-расм.
2-расм.
гоналлардаги бештадан сонлар хам
уша йигиндини беради.
1, 2, ..., п сонлари хар бир сатрида
ва хар бир устунида бир мартадан
учрайдиган килиб ёзилган пХ« катак-
ли квадрат латин квадрати деб атала-
ди. 4-расмда иккита шундай 4x4 тар-
тибли латин квадрати тасвирланган.
Бу икки квадрат кушимча кизик хусу-
сиятга эга: агар бир квадратни иккин-
чисининг устига куйилса, у холда хо-
сил булган сонларнинг барча жуфт-
лари хар хил булади. Латин квадрат-
ларининг бундай жуфти ортогонал ла-
тин квадратлари дейилади. Ортогонал
латин квадратларини излаш масаласи-
ни биринчи марта Л. Эйлер куйган, у
бу масалани бундай кизикарли баён
килган: «36 офицер башанг кийинган.
Улар ичида уланлар, драгунлар, гу-
сарлар, кирасирлар, кавалергардлар
ва гренадерлар (Эйлер замонида рус
армиясидаги харбий хизмат турлари)
Хам, генераллар, полковниклар, май-
орлар, капитанлар, поручиклар ва под-
поручиклар хам тенг микдорда (яъни
6 тадан), шу билан бирга хар кайси
кушин туридан хар бир унвондаги
офицер танланган. Бу офицерларни
6X6 карега (квадрат куринишидаги
сафланиш) исталган колоннада ва
исталган шеренгада хамма рангдаги
(яъни хам унвони, хам кушин тури
билан фаркланувчи) офицерлар уч-
райдиган килиб жойлаштириш мум-
кинми?»
Эйлер бу масала ечимини топа
олмади. 1901 й.да бундай ечим мавжуд
Сехрли ва матин квадратлари
315
А. Дюрернинг «Меланхо-
лия» (тушкунлик) гра-
вюраси (уйма иакш),
«А. Дюрернинг «Мелан-
холия» гравюрасндан
урин олган сехрли квад-
рат жуда куп учрайдн
Охирги сатрнинг уртасн-
даги сонлар бу гравюра
яратилган 1514 йилнн
тасвирлаши кизикарлн».
Д- Оре
эмаслиги исботланди. Аммо Эйлер п
нинг барча ток кийматлари учун ва п
нинг 4 га булинадиган кийматлари
учун и-тартибли латин квадратлари-
нинг ортогонал жуфти мавжудлигини
исботлади. 25 та офицер учун Эйлер
4-расм.
масаласининг ечилиши 5-расмда тас-
вирланган. Х,ар к,айси катак бурчагида
турган рангли доирача офицерлик
унвонини билдиради. Бу ерда Эйлер
масаласи билан латин квадратлари
орасидаги богланиш айникса яхши ку-
ринади: кушин турлари бир латин
квадратидаГи сонларта, уявонлар эса
(рангли нукталар> унга ортогонал
булган латйн квадратинивг сонига
мос келади. Эйлер п нинг колган кий-
матлари учун, яъни агар п сони 4 га
булинганда колдикда 2 сонини берса,
ортогонал квадратлар мавжуд эмас,
деган гипотезани олга сурди. 1901 й.да
6X6 улчамли ортогонал квадратлар
мавжуд эмаслиги исбот килинди ва бу
316
Еш математик цомусий лугати
Эйлер гипотезаси турри булса керак
деган ишончни кучайтирди. Шунга
к.арамай, 1959 й. ЭХ.М ёрдамида олдин
10ХЮ тартибли, сунгра 14X14,
18X18, 22X22 тартибли ортогонал
квадратлар топилди. Шундан кейин
6 дан бошка п лар учун п Хп улчамли
ортогонал квадратлар мавжуддиги
курсатилди.
Секрли ва латин квадратларини
бир-бирига кондош деса булади. Виз-
га ортогонал латин квадратлари жуф-
ти берилган булсин. Шу улчамдаги
янги квадратнинг катакларини куйи-
дагича тулдирамиз: биринчи квадрат-
нинг бирор катагида а сони, иккинчи
квадратнинг шундай катагида эса b
сони турган булса, янги квадратнинг
мос катагига п(а—1)-|-/> сонини
жойлаймиз. Хосил булган квадрат
сатрларидаги ва устунларидаги сон-
лар йигиндиси бир хил булишини
тушуниш кийин эмас (диагоналлар-
даги сонлар йигиндиси эса тенг бу-
лиши шарт эмас).
Латин квадратлари назарияси ма-
тематиканинг узида кам, унинг тат-
бикдарида кам куплаб татбикдар топ-
ди. Мисол келтирайлик. Берилган
районда 4 та нав пахтанинг косил-
дорлигини текширмокчимиз дейлик,
бунда эгатлар оралиги ва икки тур
угитнинг косилдорликка таъсирини
кисобга олиш максадимиз булсин. Бу-
нинг учун квадрат шаклидаги ер май-
донини 16 булакка ажратамиз
(6-расм). Биринчи нав пахтани паст-
ки горизонтал катордаги булакларга
экамиз, иккинчи нав пахтани кейинги
катордаги туртта булакка экамиз ва
К- к. (расмда кар бир нав алокида
ранг билан белгиланган). Бунда эгат-
ларнинг оралиги расмнинг чапдаги
вертикал устунидан унг томонга ка-
раб камайиб борсин (расмда бунга
рангнинг куюкдиги (тукдиги) ка-
майиб бориши тугри келади). Расм-
нинг катакларида турган ракамлар эса
куйидагиларни билдиради: биринчи
ракам шу майдонга солинадиган би-
Синусоида
317
ринчи хил угит микдорини, иккинчи
ракам эса иккинчи хил угит микдо-
рини билдирсин. Бу сонлар 4-расмда
ортогонал латин квадратларидаги
сонлар билан бир хил. Натижада, нав-
лар, эгатлар оралиги ва бошка ком-
понентларнинг мумкин булган барча
комбинациялари: хар бир нав билан
биринчи хил угитнинг турли микдори
биринчи ва иккинчи хил угитларнинг
турли микдорлари, эгатлар оралиги-
нинг турли зичлиги ва иккинчи хил
угит микдорлари комбинациялари-
нинг хдммаси бирор майдонда амалга
оширилади.
Ортогонал латин квадратларидан
фойдаланиш кишлок хужалиги, физи-
ка, химия, техникадаги эксперимент-
ларнинг мумкин булган хар хил ва-
риантларининг хдммасини хисобга
олишга ёрдам беради.
СИНУСЛАР ТЕОРЕМАСИ
Бу теорема учбурчакнинг томонлари
билан улар каршисидаги бурчаклар
орасидаги богланишни урнатади. Унга
кура ихтиёрий АВС учбурчак томон-
ларининг узунликлари а, Ь, с (1-расм)
карши бурчаклар синусларига пропор-
ционал, яъни
а = = с = 2)?
sin A sinB sin С
бунда R — ташки чизилган айлана ра-
диуси.
Шунй таъкиддаймизки, учбурчак-
нинг томонлари факат унинг ички
бурчакларининг синусларига про-
порцирнал, бурчакларнинг узларига
пропорционал эмас. Масалан, уткир
бурчаклари 30° ва 60° булган тугри
бурчакли учбурчакда sin30° = 1/2
дан sin90° = 1 икки марта катта
(1:1/2 = 2), бирок гипотенуза 30° ли
бурчак каршисидаги катетдан 2 мар-
та катта булса хам, 90° ли бурчак 30°
ли бурчакдан 3 марта катта булади.
Синуслар теоремаси ёрдамида бур-
чаклари ва бир томони маълум уч-
бурчакнинг бошка томонларини хи-
соблаш унгай.
Синуслар теоремаси биринчи марта
X—XV а.да Урта ва Якин Шарк мате-
матиклари томонидан исботланган. Бу
теореманинг очилиши тригонометрия-
нинг ривожланиши да мухим роль
уйнади.
СИНУСОИДА
Синусоида — тугрибурчакли коорди-
наталар системасида у = sinx триго-
нометрик функциянинг графиги —
тулкинсимон ясси эгри чизик- Агар
когоз урамини кия килиб кессак, сунг
уни ёйсак, когознинг чети синусоида
буйича кесилганини курамиз (1,
а-раем). Винт чизигининг текисликка
проекцияси хам синусоида булиши
диккатга сазовордир (1, б-расм).
Синусоида «тулкини»нинг узунлиги
2л га тенг. Бунинг сабаби — ихти-
ёрий х да у = sinx функциянинг кий-
мати унинг х 2л даги киймати би-
лан устма-уст тушади (яъни у = sinx
функциянинг даври 2л га тенг).
Синусоида Ох укини л/г нукталар-
да кесиб утади, бу нукталар унинг
кайрилиш нукталаридир; л/ 2 + 2л/г
нукталарда синусоида максимумга,
— .л/ 2 + 2л/г — нукталарда эса ми-
нимумга эга (k = 0, ± 1, ±2).
Купинча, у = 4smx(<ox-|-(p) + b
куринишдаги функциянинг графигини
синусоида дейишади. Бу функциянинг
графиги у = sinx синусоидадан Ох
уки буйича w марта чузиш (ёки кисиш,
Ох уки буйича — <р га силжитиш (ун-
га ёки чапга), Оу уки буйича А мар-
Еш математик цомусий лугати
318
I -раем.
та чузиш (кисиш), нихоят Оу ук буй-
лаб b га кутариш (ёки тушириш) ёрда-
мида хосил дилинади. А коэффициент
тебранишнинг амплитудаси (ёки ку-
лочи), о»—доиравий частотаси, <р —
бошлангич фазаси дейилади.
у = cosx функция графиги сину-
соидадан чапга л/ 2 га силжитиш на-
тижасида олинади, у хам синусоида
(камдан-кам косинусоида) дейилади.
Бирор катталикнинг синус конуни
буйича узгариши гармоник тебраниш
дейилади. Бундай тебраниш мисол-
лари: маятникнинг тебраниши, электр
тармогидаги кучланишнинг тебрани-
ши, тебранма контурда ток ва куч-
ланишнинг узгариши ва б.
Синусоидал тебранишларга яна бир
мисол — товуш (хавонинг гармоник
тебраниши). Бирок камдан-кам холда
«соф товуш» —у — Asinwt тебра-
нишга мос товушни эшитишга му-
ваффак булинади. Куп холларда биз
кичик амплитудали тебранишларга
мос келувчи катор бошка товушларни
(обертонларни) хам эшитамиз. Чолгу
асбобларининг бундай товушлари
асосий тонга (охангга) узига хос жи-
ло — тембр беради.
СОН
Сон — математиканинг асосий ту-
шунчаларидан бири; у хисоб ва улчаш
натижаларини ифодалашга имкон бе-
ради.
Кдчонлардир тупламдаги элемент-
лар сони бу элементларнинг узидан
ажралмаган холда каралган, жумла-
дан, иккита тупламни микдор жихат-
дан таккослаш учун уларнинг эле-
ментлари ёнма-ён териб чикилган. Ке-
йинрок эса хар хил тупламларни
тайин бир туплам — воситачи билан
таккослаш унгай эканлиги пайкалди.
Бармоклар доим узимиз билан булга-
ни учун бармок букиб санаш раем
булди. Шундан сунг сонлар учун мах-
сус номлар вужудга келди — дастлаб
кичикрок, кейинчалик эса каттарок
сонлар уз номига эга булиб борди.
Вакт утиши билан сонларга факат
ном берилибгина колмай, уларни бел-
гилаш хам урганилди (к. Ракамлар).
Бунда бобилликлар, аслини олганда,
сонларни белгилашнинг позицион
системасини куллаган — айни бир
белги 1 ни хам, 60 ни хам, 3600 ни хам
белгилаган (бошка с^з билан айтган-
да, уларнинг санок системаси олтмиш-
лик булган). Улар факат ноль белги-
сини билмаганлар — бу ажойиб ихти-
рони хинд математиклари VI а.да уй-
лаб топган.
Амалий эхтиёжлар санаш ва сон-
ларни белгилашдан ташкари улар ус-
тида арифметик амаллар бажаришни
хам талаб килган. Бобилликлар уз-
Сон
319
тарининг олтмишлик системасининг
мчраккаблигидан кутилиш учун ку-
тайтмалар, квадратлар, кублар ва б.
амаллар жадвалларидан фойдаланган.
Кадимги юнонлар ва римликлар х,и-
'облашларни абак (у рус чутига ух-
шаш булиб, соккалар вазифасини
тошчалар бажарган) ёрдамида бажар-
ган (к- Дисоблаш техникаси).
Аста-секин натурал сонларнинг
чексиз куплиги хдкидаги тасаввур
шаклланди. Э. а. III а.да Архимед
10.8‘|п1С каби улкан сонгача ярокли
белгилар системаси ни ишлаб чиади.
Натурал сонлар билан бир катор-
да бутун соннинг улушларидан таркиб
-опган каср сонлар куллана бошлан-
ди. Натурал сонлар ва касрлар туп-
лами кар кандай улчаш натижасини
ифодалаш учун етарли эди. Узок вакт
улчаш натижаси доим ё бутун сон ёки
икки бутун сон нисбати, яъни каср сон
билан ифодаланади деб келинди. Ка-
димги юнон файласуфи ва матема-
тиги Пифагор таълим берар эди:
«...сонларнинг элементлари камма
буюмларнинг элементларидир, бутун
олам яхлитлигича сон ва гармония-
дир». Бу таълимотга Пифагор макта-
би вакилларидан бири очган кашфиёт
жуда огир зарба булди. У квадрат-
нинг диагонали томони билан улчов-
дош эмаслигини аниклади. Бундан эса
томони 1 га тенг квадратнинг диаго-
налини ифодалаш учун натурал сон-
лар ва касрлар етарли эмаслиги келиб
Еш математик цомусий лугати
320
чикади. Худди шу кашфиётдан наза-
рий математика эраси бошланади деб
тасдикдашга асос бор: улчовдош бул-
маган катталиклар мавжудлигини фа-
кат тажриба йули билан, абстракт му-
лохдзасиз очиш мумкин эмас.
Улчовдош булмаган катталиклар-
нинг кашф килиниши кадимги юнон
математикасининг тараккиётида чу-
кур из колдирди. Уша пайтда нату-
рал ва каср сонлардан бошкасини
билишмагани учун иккита фан вужуд-
га келдики, улар параллел ривожла-
нар, лекин турли урганиш объектига
эга эди: арифметика — сонлар хаки-
даги фан ва геометрия — фигуралар
хоссалари, хусусан, уЗунлик, юза,
хажм каби катталиклар хакидаги таъ-
лимотга багишланган фан.
Кадимги юнон олимлари катталик-
ларни гео метрик усулда кушиш ва
айиришни билганлар, уларнинг кар-
рали ва улушларини топаолганлар,
уларнинг нисбатларига оид эса купай-
тириш, булиш, даражага ошириш
амалларини хам бажара олганлар.
Бирок умумий сон гояси мавжуд бул-
маганлиги туфайли бу амалларнинг
барчасини бир системага — хакикий
сонлар арифметикасига бирлаштира
олмаганлар. Бу эса тош зирх каби
кухна математика танасини кисиб ка-
димий юнон фанининг тараккиётига
тусик булган. Гарчанд нисбатан
катъий булмасада, астроном, географ,
ер улчовчи ва б. амалий масалалар
билан шугулланган кишилар сонлар
билан анчайин эркин муомала килиш-
ган. Э. а. II а. дан эрамизнинг III а. га-
ча булган даврда ана шундай мута-
хассислар ишларида сон билан катта-
лик орасидаги фарк аста-секин йуко-
Сон
321 ,
тиб борди. Бу жараённи урта аср
Шарди математиклари (масалан,
Умар Хайём, XI—XII а.) нихоясига
етказишди.
Алгебра ривожланиши билан, хусу-
сан, бир номаълумли чизикди тенг-
ламаларни ечишдаёк манфий сонларга
эхтиёж пайдо булди. Хитой матема-
тиклари улардан эрамиздан аввалрок
фойдаланишган. Хинд математиклари
хам (Брахмагупта, VII а.) улардан
кенг фойдаланган. Хинд математик-
тарининг ажойиб ютуги — ноль сони
ва унинг белгиси киритилиши булди.
Бу уларга натурал сонларни ёзиш-
нинг унли санок системасини яра-
тишга, бу системада ёзилган сонлар
остида амаллар бажариш коидалари-
ни ишлаб чикишга имкон берди. Сон-
арни ёзишнинг бу системасини Куп-
рина Шарк математиклари куллай
□отладила]} ва ривожлантирдилар.
Араб тилида асар ёзган олимлар иш-
тари оркали у Европага утди.
XV а.да самаркандлик олим ал-Ко-
агий унли касрларни фанга киритди.
Бу янгилик Европа математикларига
-омаълум колган булса керак, факат
584 й. нидерландиялик математик
ва инженер С. Стевин бу кашфиётни
кайта очди. Бутун ва каср сонлар
мусбат ва манфий) хамда ноль уму-
мий рационал сонлар номини олди.
Сон тушунчасининг тараккиётида
-звбатдаги боскичлар комплекс сон-
ларнинг кашф килиниши ва натурал
.он тушунчаси асосида хакикий сон-
ар назариясининг расмий яратилиши
'<лли.
Сон тушунчасини урганиш факат
•мумлаштириш йули билан эмас, уму-
мий сон тушунчасидан мухим хусу-
сий холларни ажратиш йули билан
хам борди. Масалан, хакикий сонлар-
-мнг R тупламида рационал ва ирра-
ияонал сонлар, яъни p/q каср кури-
чишида ёзиш мумкин булган ва мос
шлда мумкин булмаган сонлар ажра-
тган. Бу сонлар унли системадаги
-зуви буйича шуниси билан фарк ки-
битки, рационал сонлар ёзувида
wpop жойдан бошлаб бир ракам ёки
21-4826
ракамлар группаси мунтазам такрор-
ланади, иррационал сонлар ёзувида
эса бу каби такрор хеч качон руй бер-
майди. Мисол учун 0,333... (= 1/3),
5,0323232... ( =2491/ 495) — рацио-
нал сонлар; 1,4142... ( =д/2),
3,14159... (= л)— иррационал сонлар.
Кейин алгебраик сонлар, яъни
аол'"+н|А-"'1 -)-... -|-а„ = 0
куринишидаги тенгламанинг илдиз-
ларидан иборат сонлар ажратилди
(тенгламанинг а0, th, ап коэффи-
циентлари бу ерда бутун сонлар; агар
бунга кушимча ао = 1 хам булса,
унинг илдизлари бутун алгебраик сон
дейилади). Алгебраик сонлар мисоли
булиб 1 4" д/"2~ (х2 — 2х — 1=0
тенгламанинг илдизи), ^/11
(х3 — 11=0 тенгламанинг илдизи)
хизмат килиши мумкин. Хар бир
р/ q рационал сон алгебраик булади,
чунки у qx — р = 0 тенгламанинг
илдизидир.
Алгебраик булмаган сонлар транс-
цендент деб аталади. Равшанки,
трансцендент сонларнинг бари ирра-
ционалдир. Математикада мухим роль
уйновчи л = 3,1415926... сони транс-
цендент сонга мисол. Бу фактдан,
хусусан, «дойра квадратураси» ечим-
га эга эмаслиги келиб чикади (к. Ка-
димый классик масалалар). Матема-
тик анализда тез-тез учрайдиган
e — lim (1 -|- 1/н)"=2,71828... сони
хам трансцендентдир. Совет матема-
тиги А. О. Гельфонд шундай хоссани
исботлаган: а₽ куринишидаги хар
кандай сон (бунда а — 0 ва 1 дан
фаркли алгебраик сон, р эса — ир-
рационал алгебраик сон) доим транс-
цендент булади. Трансцендент сон-
ларнинг мавжудлигини абстракт му-
лохаза билан исботлаш кийин булма-
са-да (у тупламлар хакидаги умумий
теоремалар ёрдамида утказилади),
бирор конкрет сон трансцендент бу-
лишини текшириш жуда мушкул. Хо-
зиргача трансцендент булиш-булмас-
лиги хал килинмаган сонлар мавжуд.
322
Еш математик цомусий лугати
СОНЛАР НАЗАРИЯСИ
Сонлар назарияси — математиканинг
сонлар хоссаларини урганувчи були-
ми.
Сонлар назариясининг асосий
объекта—натурал сонлар (к,. Сон).
Уларнинг сонлар назариясида кдрала-
диган бош хоссаси — булинувчанлик.
Сонлар назарияси масалаларининг
биринчи давраси натурал сонни ку-
пайтувчиларга ёйишдан иборат. Бун-
дай ёйилманинг «гиштчалари» туб
сонлардан, яъни факат 1 га ва узига
булинадиган сонлардан иборат: 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17, 19, 2.3, 29 — дастлабки
унта туб сон (1 сони туб саналмайди).
Арифметиканинг асосий теоремаси
дейиладиган ажойиб теорема шундай:
хар кандай натурал сон туб купай-
тувчиларга ажралади, бунда ажралиш
усули, купайтувчилар урнини эъти-
борга олмаганда, ягона булади. Йкки-
та сонни туб купайтувчиларга ажра-
тиб, улардан бири иккинчисига були-
ниш-булинмаслигини аниклаш кийин
эмас. Шунга карамай, хатто хозир
хам берилган анча катта сон туб бу-
лиши ни, яъни у узидан ва бирдан бош-
ка сонга булинишини аниклаш кдйин-
чилик тугдиради.
Бир канча арифметик функциялар
сонни туб купайтувчиларга ёйиш би-
лан боглик. Улардан айримларини
келтирамиз. Эйлернинг (р(и)функция-
си <р(м) 1 дан п гача п сони билан уза-
ро туб сонлар микдорига тенг (агар
бирор сон п билан бирдан бошка уму-
мий купайтувчига эга булмаса, у п би-
лан узаро туб булади); а(п) функ-
ция — п сонининг булувчилари мик-
дори, т(м)функция — п сонининг бар-
ча булувчилари йигиндиси, Чебишев-
нинг л (л) функцияси — п дан катта
булмаган туб сонлар мивдори. Бу
функциялар оркали натурал сонлар-
нинг жуда куп хоссалари ифодалана-
ди. Туб сонларнинг чексиз куплигини
Евклид теоремаси тасдиклайди. Бу п
ортиб боргацца л(п)->оо демакдир.
л (л) функция чексизликка кай дара-
жада тез интилишини аниклаш мум-
кин булди: — функция кай дара-
жада интилса, тахминан шу даражада
экан. Бу теорема туб сонлар такси-
мотанинг асимптотик конуни деган
ном билан аталади. Бу теорема
П. Л. Чебишев томонидан баён ки-
линган ва исботининг асосий кисми
берилган (1849), туда исбота эса 50
йил утгач топилган.
Туб сонлар таксимотининг асимп-
тотик конуни -— сонлар аналитик на-
зарияси (анализ методларини кул-
лашга асосланган) нинг натижасидир.
У арифметик функцияларни текши-
ришга математик анализ методларини
кар тарафлама куллашга асосланган.
XIX а.нинг иккинчи ярмида бутун сон
тушунчасидек дискрет объект билан
функциялар синфининг чукур хосса-
лари орасида богланиш ошкор булди
ва бу сонлар назариясининг ривожи-
га катта таъсир курсатди.
Сонларни купайтувчиларга ёйиш
купайтириш билан боглик натурал
сонлар тупламининг структурасига
таянади. Сонлар назариясининг энг
чукур ва кийин масалалари кушиш би-
лан купайтиришни солиштирганда ву-
жудга келади. Ана шундай масала-
лар турига, масалан, Гольдбах муам-
мосини киритиш мумкин: хар бир
жуфт сонни иккита туб сон йигинди-
си куринишида ёзиш мумкинми? Фер-
манинг катта теоремаси хам шу тур-
га тааллукди: бирор соннинг л-дара-
жасини бошка икки сон п-даража-
ларининг йигиндиси холида ёзиб бу-
ладими?
Сонлар назариясининг жозибаси
шундаки, унинг куп кийин, аммо ки-
зикарли масалалари жуда содда баён
килинади. Бундай масалалар — ечил-
ганлари хам, ечилмаганлари хам —
жуда куп йигилган. Шунинг учун сон-
лар назарияси нафис, лекин бир-би-
рига алокаси йук бошкотиргичлар
туркуми булиб туюлиши мумкин. Ас-
лида бундай эмас. Сонлар назарияси
узининг диккатга сазовор методлари-
ни яратган. Улардан куплари сунгги
324
Еш математик цомусий лутати
йилларда актив ривожланмодда ва
математиканинг бу к, ад ими й содасига
янги бадор давоси каби таъсир эт-
модда.
Сонлар назариясининг классик ме-
тоди — таццосламалар методидир.
Махсус танланган сонга булганда бир
хил долдид берадиган сонларни фар-
ки йуд деб даралса (айнийлаштирил-
са), купинча, у ёки бу муносабат урин-
ли булмаслигини курсатиш имкони
тугилади. Масалан, 3 га булгандаги
долдидларни дараб (ёки, одатда да-
бул дилинганидек, 3 модули буйича
фикр юритиб), Зх2 -|- 4у2 = 5z2 тенг-
ламанинг натурал ечимлари йудли-
гини исботлаш осон.
Аналитик методда, юдорида эсла-
тиб утилганидек, урганилаётган сон-
ларни пойдевор дилиб функциялар
дурилади ва сунг улар математик ана-
лиз усуллари билан текширилади. Ма-
Сонлар назарияси
.алан, совет олими академик
В. Виноградов шу усулда Гольд-
бах муаммосининг варианта — етар-
лича катта ток, сонлар учта туб сон йи-
гиндисига ёйилишини исботлади.
Сонлар назариясининг геометрик
-Тод и ни биз Ферманинг катта теоре-
маси мисолида намойиш киламиз. Бу
-еоремада хп -f- уп = zn тенглама-
•инг бутун ечимлари бор-йуклиги ха-
• ,<да суз боради. Тенгламанинг хдр
кки томонини z" га булиб, х/ z ни и
тан, у/ z ни о билан белгиласак,
— ип=1 тенглама хосил киламиз. У
v ) координатали текисликда бирор
325
чизикни беради. Бу тенгламанинг
рационал илдизлари дастлабки тенг-
ламанинг бутун ечимларига мос кела-
ди. Демак, масала олинган чизикнинг
устидаги рационал нукталарни урга-
нишга келади. Шунинг учун энди биз
и" + vn = 1 чизикни урганишда гео-
метрия методларини куллашга унна-
шимиз мумкин.
Тенгламаларнинг бутун ва рационал
ечимларини излаш билан шугуллана-
диган сонлар назариясининг катта со-
хаси III а.да яшаган кадимги юнон
олими шарафига Диофант тенглама-
лари назарияси деб аталади.
326
Еш математик цомусий лугати
Квадратлар йигиндиси куринишида
тасвирлаш масаласи сонлар назария-
сининг жуда эски ва машхур масала-
лари каторига мансуб. Бу борада
олинган натижалардан айримларини
санаб утамиз:
дар бир бутун сон туртта бутун сон
квадратлари йигиндиси булади (ма-
салан, 7 = 22 + I2 + I2 + I2);
4и + 1 куринишидаги дар бир туб
сон иккита бутун сон квадратлари
йигиндисига ажралади (масалан:
5 = 22 + I2, 41 = 42 + 52 ва б.),
4д + 3 куринишидаги бирорта хам
сон (туб булишидан катъий назар)
бундай куринишда ёзилмайди;
8п — 1 куринишида булмаган кар
бир туб сон учта бутун сон квадрат-
лари йигиндисига тенг.
Кури ниши оддий
(а2 + /?2)(х2 + у2) = (ах + by)2 +
+ (ay — bx)2
алгебраик айниятдан хулоса кила ола-
миз: агар иккита соннинг дар бири
икки квадрат йигиндиси булса, улар-
нинг купайтмаси хам шу хоссага эга
булади. Сунгги пайтда алгебраик ме-
тоддар сонлар назариясида кенг тат-
бик топмокда. Бунга майдон каби уму-
мий алгебраик тушунчанинг тараккий
килиши ёрдам берди. Холбуки, бу ту-
шунчанинг пайдо булишида сонлар
назариясининг масалалари манба бул-
ган.
Хусусан сонлар назариясининг
киммати нимада? Унинг натижала-
рига бевосита татбик топиш кийинку!
Шунга карамай, сонлар назарияси-
нинг масалалари кизикувчан ёшларни
Софизмлар
327
хам, олимларни хам асрлар мобайни-
да узига тортиб келади. Бунинг саба-
би нимада? Авваламбор, юкорида ай-
тиб утилганидек, бу масалалар жуда
кизик ва чиройли. Хамма вахт хам
сонларга дойр содда саволларга жа-
воб топиш шу хадар кийинлиги ин-
сонни хайратга солган. Уларнинг жа-
вобини излаш куп холларда сонлар
назариясидан ташкарида хам аха-
миятли янгиликларга олиб келган.
Мисол тарикасида XIX а. немис ма-
тематиги Э. Куммернинг идеаллар
назариясини эслатиш кифоя — у
Ферманинг катта теоремасини исбот-
лаш учун харакат шарофати билан
яратилган.
СОФИЗМЛАР
Софизм (юнонча sophisma — хий-
та) — хатоси мохирлик билан яши-
ринган нотугри тасдикни исботлаш,
мантикий чалгитиш. Эрамиздан ол-
динги IV—V а.да мантик санъатини
жуда яхши эгаллаган бир гурух юнон
файласуфлари софистлар деб аталган.
Софизмга мисол келтирайлик. Агар
яримлар тенг булса, бутунлар хам
тенг. Ярим туда ярим бушнинг узи, де-
мак, туда бушга тенг. Ахиллес ва тош-
бака хакидаги масалани хам софизм
каторига киритиш мумкин. Унга кура
Ахиллес 10 марта тезрок чопса хам
тошбакага ета олмайди. Дастлаб, тош-
бака Ахиллесдан 100 м олдинда бул-
син. Ахиллес бу 100 м ни чопиб утгун-
ча, тошбака 10 м илгарилайди. Ахил-
1-расм,
лес бу 10 м ни утгунча тошбака яна 1 м
силжийди ва х- к. Улар орасидаги ма-
софа доим кискариб боради, лекин
хеч качон нолга айланмайди. Демак,
Ахиллес хеч хам тошбакага ета ол-
майди.
Энди иккита математик софизмни
курайлик. Хамма сонлар бир-бирига
тенглигини «исботлаймиз».
а ва b — ихтиёрий сонлар, айтай-
лик, а>Ь булсин. У холда шундай
мусбат с сони мавжудки, а — b с
булади. Бу тенгликни хадлаб а — b
га купайтирамиз ва натижанинг
шаклини узгартирамиз:
а2 — ab =- ab + ас — Ь2 — Ьс
а2 — ab — ас = ab — Ь2 — Ьс
а(а — Ь — с) = b(a — Ь — с).
Хосил килинган тенгликнинг хаР
икки тарафини (а — Ь — с) га булиб,
а = b тенгликка келамиз. Бу ерда ха-
2-расм,
Спираллар
329
то энг сунгги амалда — биз нолга тенг
булган а — b — с сонга булдик.
Барча учбурчаклар — тенгёнли. Бу
софизмнинг «исботи» мана бундай.
Ихтиёрий АВС учбурчак олайлик
(1-расм). Унда В бурчак биссектри-
саси ва АС томоннинг урта перпенди-
кулярини утказамиз. Улар кесишган
нуктани О билан белгилайлик. О нук-
тадан АВ томонга OD, ВС томонга
ОЕ перпендикуляр туширамиз. Рав-
шанки, О А — ОС ва OD = ОЕ. Шун-
дай экан, AOD ва СОЕ тугри бурчак-
ли учбурчаклар тенг (гипотенузалари
ва биттадан катетлари буйича). Шу-
нинг учун Z.DAO = АЕСО. Шу би-
лан бирга, АО А С = АОСА, чунки
АО С учбурчак — тенгёнли. Натижада
ABAC = ADAO + АОАС =
= АЕСО + аОСА = АВСА бу-
лади.
Хуллас, ВАС бурчак ВС А бурчакка
тенг ва шу сабабли АВС учбурчак —
тенгёнли.
Бу ерда хато — чизмада. Агар уч-
бурчак тенгёнли булмаса, томоннинг
урта перпендикуляри билан унинг
каршисидаги бурчак биссектрисаси
учбурчакнинг ташкарисида кесишади.
Софизмга яна бир мисол. 2-расм-
га назар ташлайлик. Тугри туртбур-
чак билан квадрат тенг кисмлардан
тузилгани яккол куриниб турибди.
Бирок бирининг юзаси 64 катакка, ик-
кинчисиники эса 65 катакка тенг. Бу
ерда хам хато — чизмада. В, Е, F ва D
нукталар бир тугри чизикда ётмайди,
балки юзаси роппа-роса бир катакка
тенг жуда энсиз параллелограмм хо-
сил килади — у уша ортикча катакни
яширади.
СПИРАЛЛАР
Спираллар — текисликнинг бир нук-
тасини куп марта айланиб уровчи те-
кис эгри чизиклар. Уралувчи нукта
спирал кутби дейилади. Спиралнинг
шакли унинг тенгламасини кутб коор-
динаталари оркали г = f((p) формула
билан ёзишга табиий тус беради, бун-
да [ функция бурчак усиши билан
монотон усади ёки монотон камаяди,
<р бурчакнинг узи эса факат (0,2л,)
кесма билан чекланмай, коидага би-
ноан, барча хакикий кийматларда
каралади.
Бир неча энг куп учрайдиган спи-
ралларни карайлик.
Архимед спирали. К,адимги
юнон олими Архимед урганган бу спи-
ралнинг кутб координаталаридаги
тенгламаси г = а куринишда. Архи-
мед спиралини характерловчи геомет-
рик хосса — унинг урамлари ораси-
даги масофанинг доимийлигидир — у
2лп га тенг (1, я-расм).
Хусусан, грампластинкада товуш
изи Архимед спирали буйлаб йул со-
лади. Корунддан ясалган игна учининг
бу из буйлаб сурилиши икки текис
харакат — кутбга якинлашиш ва кутб
атрофида айланишнинг натижасидир.
Архимед спирали бир урамининг
ярми шаклидаги металл пластина ку-
пинча узгарувчи сигимли конденса-
торда ишлатилади. Тикув машинаси-
нинг деталларидан бири — ипни най-
чага текис ураб берувчи механизм хам
Архимед спирали шаклида ясалади.
Квадратик спираль. Кутб
координаталаридаги тенгламаси
г = а<р2. Агар айланиб турган грам-
пластинка маркази ёнига бур сур-
тилган теннис шарини куйсак, у четга
сурилар экан, грампластинкада квад-
ратик спирал шаклидаги из колди-
ради. Хакикатан, грампластинкани
мутлако горизонтал урнатиб булмай-
ди, унинг энг куп огадиган йуналиши
эса шарча огирлик кучи таъсиридаги
харакатини аниклайди. Лекин плас-
тинка текис айланиб тургани туфайли
шарча квадратик спираль буйлаб ду-
малайди (1, б-расм).
Логарифмик спираль.
К,утб координаталарида тенгламаси
г = аУ куринишда. Логарифмик спи-
раль ташкарига ёйилган урамлари хам
(Архимед спирали каби), ичкарига
уралган урамлари хам чексиз куп.
Сунгги хосса спираль узининг кутби-
дан утмаслигини хам билдиради. Ло-
Еш математик цомусий лугати
330
гарифмик спирални яна тенг бурчак-
ли спираль хам деб атайдилар. Бу ном-
да унинг шундай хоссаси акс этади:
логарифмик спиралнинг ихтиёрий
нуктасида уринма билан радиус-век-
тор орасидаги бурчак узгармас, бир
хил кийматини сакдайди (1, в-расм).
Логарифмик спираль техник курил-
маларда тез-тез учрайди. Масалан,
айланма харакатли тиглар (арра тиш-
лари) купинча логарифмик спираль
куринишидаги профилга эга була-
ди — у йунилувчи сиртга бир хил бур-
чак остида тиралгани туфайли пичок,-
нинг тиги бйр текис ейилиши таъмин-
ланади. Тунгги капалаклар олис ма-
софаларга учишар экан, ойнинг па-
раллел нурларига караб йул танла-
шади: инстинктив йусинда учиш йу-
налиши билан ой нурлари орасидаги
бурчакни бир хил килиб саклашади.
Мабодо улар ёругликнинг нуктавий
манбаига, масалан, шам ёлкинига
караб мулжал олишса, инстинкт панд
беради — логарифмик спиралнинг ич-
ки урамлари буйлаб учиб, алангага бо-
риб урилади.
Корню спирали. Бу чизик
француз физиги А. Корню (XIX а.)
номи билан аталган. Спиралнинг энг
мухим хоссаси шуки (1,г-расм),
унинг эгрилиги бирор нуктасидан
бошлаб хисобланган ёйининг узунли-
гига тугри пропорционал.
Темир йул ва шоссе (асфальт) йул-
лари курилишида йулнинг тугри чи-
зикли кисмини транспорт айлана буй-
лаб харакат киладиган кисми билан
туташтириш лозим булади. Бунда кес-
кин бурилиш булмаслиги учун йул-
нинг эгрилик коэффициента узлуксиз
узгаришини таъминлаш мухимдир. Бу
максадда Корню спирали тугри йул-
дан айланма йулга утиш учун идеал
чизивдир. Бунинг учун йулнинг туташ-
тирувчи кисми Корню спиралининг
марказидан бошланиши керак. Йул-
нинг айланма кисми билан эса Корню
спирали эгрилиги шу айлана эгрили-
гига тенг булган нуктасида кушилади.
СФЕРА ВА ШАР
Фазонинг берилган О нуктадан бир
хил R масофада ётадиган нукталари
сфера хосил килади, О нукта унинг
маркази, R эса радиуси дейилади.
1-расм,'
Сфера ва шар
[-раем.
331
2-расм,
Сфера чегаралайдиган фазонинг
кисми — шар, у О нуктадан R ва ун-
дан кичик масофада ётган нукталар-
дан иборат. Бу икки геометрик объект
айлана ва дойра сингари жуда кадим
замонлардаёк урганилган. Ернинг
шарсимонлиги, осмон сфераси хакида
тасаввур пайдо булиши махсус фан
сохаси — сфериканинг ривожлани-
шига туртки булди. Унда сфера усти-
да жойлашган фигуралар урганилади
(К- Сферик геометрия). Классик сте-
реометриянинг асосий саволлари: шар
(сфера) билан бошка фазовий фигу-
раларнинг узаро жойлашуви, шар ва
унинг кисмларининг хажмини, сфера
ва унинг булакларининг юзини улчаш
масалаларини курайлик.
3-расм,
Аввало R радиусли шарнинг О мар-
казидан d<ZR масофада утувчи а те-
кислик шар билан кесишганда дойра
хосил килишини эслайлик. Бу дойра
радиуси г = \ R2 — d2, маркази эса
О нуктадан а текисликка туширилган
перпендикуляр асоси булган И нук-
тадир (1-расм). Агар а текислик О
нуктадан d = R масофада ётса, у
шар билан (сфера билан хам) ягона
умумий Т нуктага эга булади. Бундай
текисликлар шарга (сферага) уринма
текисликлар дейилади; улар уриниш
нуктасига утказилган ОТ радиусга
перпендикулярлик хоссаси билан ха-
рактерланади.
Шарнинг доиравий кесими уни икки
шар сегментига, сферани эса сегмент
Сферик геометрия
сиртларга булади. Сферанинг икки па-
раллел доиравий кесими орасидаги
кисми сферик камар дейилади. Шар-
нинг шу доиравий кесимлар ва сфе-
рик камар билан чегараланган кисми
шар камари (ёки шар зонаси) дейи-
лади (2-расм). Агар шарнинг маркази
сферик сегментнинг барча нуктаси би-
лан радиуслар оркали туташтириб чи-
килса, шар сектори дейиладиган фи-
гура досил килинади. Баъзан, шар
маркази сфера камарининг нукталари
билан радиуслар оркали туташтирил-
ганда косил буладиган фигура кам
шар сектори дейилади. Шар сектори-
нинг чегараси сфера сегменти (ёки
сфера камари) дан ташкари бир ёки
икки конус сиртни уз ичига олади
(3-расм). Шар ёки сферик зонанинг
баландлиги — бу кесимлар текислик-
лари орасидаги масофа, шар сегменти
ёки сегмент сиртининг баландлиги
кесим текислиги ва сегментга урин-
ма параллел текислик орасидаги ма-
софа билан аникланади (2-расм).
Шар секторининг баландлиги деб мос
шар сегменти ёки камарининг баланд-
лиги кабул килинади (3-расм).
К,адимги Юнонистондаёк шар сек-
торининг кажмини, сфера сегменти
ёки камарининг юзини
9
усект. = — nR2H, Sk = 2nRH
О
формулалар билан кисоблашни бил-
ганлар, бунда л, одатдагидек айлана
узунлигининг диаметрга нисбати. Шар
ва сферани баландлиги Н = 2R га
тенг шар сектори ва сфера камари-
нинг хусусий коли деб караб, шар-
нинг кажми ва сфера юзи учун
4
У шар == q— 3lR'\ Sc-ф. == ^TlR2
О
формулаларга эга буламиз.
Архимед бу формулаларни шундай
талкин килган: шарнинг кажми ва ту-
ла сирти унга ташки чизилган ци-
линдр кажми хамда сиртининг 2/3
хиссасини ташкил этади (4-расм; Ар-
химед васиятига биноан шу хоссани
333
акс эттирувчи чизма унинг кабрига
урнатилган тошга чизилган).
СФЕРИК ГЕОМЕТРИЯ
Сферик геометрия — математиканинг
сферада жойлашган фигураларни ур-
ганадиган булими (к- Сфера ва шар).
Сферик геометрия астрономия за-
рурияти туфайли вужудга келган.
Сферик геометрияда тугри чизик-
лар ролини катта айланалар, яъни
сферани унинг маркази оркали утувчи
текисликлар билан кесганда косил бу-
ладиган айланалар уйнайди. Сфера-
нинг диаметриал карама-карши бул-
маган икки А ва В нукталари оркали
факат битта катта айлана утказиш
мумкинки (1-расм), бу планиметрия-
нинг аксиомасига тула мос келади.
А ва В нукталар бу катта айланани
иккита ёй — сферик кесмаларга аж-
ратади, улардан кичиги А ва В нукта-
лар орасидаги сфера булиб, энг киска
масофа кисобланади. Сферик кесма-
нинг катталигини у сфера марказидан
куринадиган бурчак катталиги билан
улчаш кулай (1-расм). Агар бурчак
радианларда улчанса (к. Бурчак), у
колда радиуси 1 га тенг сферадаги
кесманинг улчами одатдаги ёй узун-
лигига тенг.
Планиметриядан фаркли сферик
геометрияда параллел сферик тугри
чизиклар йук: ихтиёрий икки катта
дойра сферанинг диаметриал карама-
карши нукталарида кесишади
(2-расм). Сферик тугри чизиклар —
334
Еш математик цомусий лугати
3-расм,
катта айланалар орасидаги бурчак,
улар ётган текисликлар орасидаги
бурчак каби ёки барибир уларнинг ке-
сишиш нукталарида утказилган урин-
малар орасидаги бурчак каби аник-
ланади (2-расм).
Агар сферада учта катта дойра
утказилса (3-расм), у колда сфера
саккизта учбурчакка ажралади. Пла-
ниметриядан фаркли ихтиёрий сфе-
рик учбурчак бурчакларининг йигин-
диси 180° дан, яъни л дан катта, айни
пайтда у узгармас булмайди — уч-
бурчакнинг юзига боглик- Хдкикатан,
радиуси 1 булган сферадаги учбурчак-
нинг юзи унинг А, В ва С бурчакла-
рининг йигиндиси билан нидерланд
математиги Жирар (1595—1632)
формуласи оркали богланган:
Sabc = А + В + С — л (Л, В, С
бурчаклар радианларда улчанади).
Планиметриядан маълум булган уч-
бурчаклар тенглигининг учта алома-
ти: икки томони ва улар орасидаги
бурчаги буйича, бир томони ва унга
ёпишган икки бурчаги буйича камда
учала томони буйича — сферик учбур-
чаклар учун кам уринли. Сферада
учбурчаклар тенглигининг яна бир
аломати — учта бурчаги буйича тенг-
лиги кам уринли. Ухшаш, аммо узаро
тенг булмаган сферик учбурчаклар
мавжуд эмас. Аммо сферик учбур-
чаклар учун планиметриянинг жуда
куп теоремалари тугрилигича колади.
Масалан, томонлар урта перпенди-
4-расм,
Сферик геометрия
335
кулярларининг, ички бурчаклар бис-
сектрисаларининг, медианалар, датто
баландликларнинг битта нудтада ке-
сишиши дадидаги теоремалар урин-
ли, ёлгиз шундай фард биланки, бу
чизидлар бир йула бир жуфт диа-
метриал дарама-дарши кесишиш нуд-
талари досил дилади. Сферик геомет-
рияда косинуслар ва синуслар теоре-
малари бир оз бошдача куринишга
киради: А, В, С бурчакли ва улар дар-
шисида ётган а, Ь, с томонли АВС
учбурчак учун:
cose = cosa cosb + sina sinb cosC
(косинуслар теоремаси) ва
sina sinb sine
sinA sinB sinC
(синуслар теоремаси) формулалар
уринли (томонлар мос марказий бур-
чаклар билан улчанишини эслатамиз).
Сферик геометрия планиметрия
билан стереометрия орасидаги узига
хос куприкка ухшайди, чунки сферик
купбурчаклар сферани учи сфера мар-
казида жойлашган куп ёдли бурчак-
лар билан кесишдан, сферик айлана-
лар эса сферани конус сиртлар билан
кесишдан досил булади ва д. к.
(4-расм). Сферик учбурчаклар дади-
даги барча теоремаларни учёдли бур-
чаклар терминларида дайта ифода-
лаш мумкин; жумладан, охирги икки
формулани купинча учёдли бурчак
учун (5-расм) косинуслар ва синус-
лар теоремалари деб аташади.
К,изиги шундаки, тарихий жидат-
дан бу теоремалар ясси тригономет-
риянинг шу каби теоремаларидан ол-
дин вужудга келган, чунки кишилар-
нинг вадтни дисоблаши учун зарур
булган астрономия илмига эдтиёжи
унинг бошда эдтиёжларидан олдин
пайдо булди, астрономия эса бурчак-
ларни улчаш билан боглид. Оламнинг
геоцентрик гипотезасига кура дадимги
юнон астрономлари Ерни Осмон сфе-
расининг марказида жойлашган уз
уди атрофида бир текис айланувчи
шар сифатида дараганлар. Ёритдич-
лар даракати донуниятини урганиш-
да сферанинг ва унинг устида катта
айланалардан досил булган фигура-
ларнинг хоссалари билан боглид куп-
лаб математик масалалар вужудга
келди.
«Сферика» (дадимги юнонлар сфе-
рик геометрияни ана шундай аташ-
ган) дадидаги биринчи баркамол асар-
нинг муаллифи математик ва астро-
ном Евдокс Книдский (э. а. тахминан
406—355 й.) булиши керак. Аммо энг
димматли асар I а.да яшаган юнон
олими Менелайнинг «Сферикаси»дир.
Менелай узидан олдинги олимларнинг
натижаларини умумлаштирди ва куп-
гина янги натижалар дам дулга ки-
ритди. Унинг асари дам Евклиднинг
«Негизлари» сингари тузилган ва узод
вадт астрономиядан дарслик вазифа-
сини утаб келган. «Сферика» IX—
XIII а.да араб тилига таржима дили-
ниб, Я дин ва Урта Шард математик-
лари томонидан диддат билан урга-
нилган. XII а.да ана шу арабча тар-
жимаси ордали Европага маълум бул-
ган.
Сферик геометрия фадат астроном-
лар учунгина эмас, балки денгиз ке-
малари, самолётлар, космик кемалар-
нинг штурманларига дам жуда керак,
чунки улар узларининг координата-
ларини юлдузларга дараб анидлаша-
ди. Бундан ташдари, у шахта, метро-
политен, туннель дурувчиларига, шу-
нингдек, Ер сиртининг катта дисмини
геодезик суратга олишда Ернинг шар-
симон эканигини дисобга олиш зару-
рати тугилганида керак булади.
336
Еш математик цомусий лугати
ТАЪРИФ
Таъриф — аввалдан маълум тушунча-
лар асосида янги тушунча киритишга
хизмат диладиган математик жумла.
Таърифда одатда «дейилади» (ёки
«деб аталади», «деб юритилади» ва
X- к.) сузи иштирок этади. Масалан,
ромбнинг таърифи куйидагича баён
килинади: «Икки кушни томонлари
узаро тенг булган параллелограмм
ромб деб аталади». Бу таърифда янги
«ромб» тушунчаси олдиндан маълум
«параллелограмм», «томон», «кушни
томонлар», «кесмалар тенглиги» ту-
шунчалари оркали киритилган. Бу ка-
би олдиндан маълум тушунчалар уз
навбатида улардан аввалрок маълум
тушунчалар оркали аникланади. Хусу-
сан, «параллелограмм» тушунчасини
киритиш учун «туртбурчак», «турт-
бурчакнинг карама-карши томонла-
ри», «параллел тугри чизиклар» ту-
шунчалари асос булади. Агар шу йул
билан кар тушунчадан унга асос бул-
ган тушунчаларга утишда давом этсак,
никоят атиги бир неча бошлангич
тушунчага келамизки, улар оркали
геометрия курсида учрайдиган тушун-
чаларнинг каммаси аникланиши мум-
кин. Бошлангич тушунчаларниг узла-
ри аникланмайди, балки уларнинг
хоссалари аксиомаларда намоён була-
ди.
Юкорида берилган ромбнинг таъ-
рифини куйидагича ёзиш мумкин:
(ABCD параллелограмм берилган)
(AB=BC\a<fa(ABCD — ромб).
Бу ёзув шаклан теоремага ухшайди
(Зарурий ва етарли шартлар мако-
ласига к-), лекин унинг вазифаси бу
уринда бошка. Ёзувнинг биринчи са-
трида (теореманинг тушунтириш
кисмига ухшаш) янги тушунча ки-
ритишда ёрдам берадиган оилавий
тушунча курсатилган. Таърифнинг ик-
кинчи кисмида янги тушунча — ромб-
ни характерловчи хосса курсатилган. .
Тадрибий дисоблашлар
337
Бу хосса параллелограммлар ойласи-
да ромблар турини ажратади. Нидоят,
таърифнинг учинчи дисми (теорема-
нинг хулосасига ухшаш) янги термин
киритади, яъни киритилаётган тушун-
чага ном беради, биз дараётган ми-
солда бу ном — «ромб». Турни бел-
гиловчи хосса уринли булганда, А В CD
ромб булишини исботлашга дожат
йук — бу таърифга кура уринли була-
ди. Шунга биноанобелгиси остига
«т-ф» деб ёзиб куйилади, бу биз
теорема билан эмас, таъриф билан
иш кураётганимизни курсатиб тура-
ди.
Яна бир мисол: бурчакларидан би-
ри тугри бурчак булган ромб квадрат
дейилади. Буни куйидагича ёза ола-
миз: (flBSD ромб берилган) (zLA =
=90)<£. (4BCD — квадрат).
Бу сафар оилавий тушунча — ромб,
турни ажратувчи белги Z. А =90°
тенглик (яъни битта бурчак тугри
булиши) билан берилган, янги термин
(яъни киритилаётган тушунчанинг
номи) эса — квадрат (1-расм).
Бош да таърифлар дам шунга ух-
шаш тадлил килиниши мумкин. Ма-
салан, майдон таърифини оладиган
булсак, оилавий тушунча — туплам,
турнинг белгилари эса майдон аксио-
малари булади (д. Акснолягтыка ва
аксиоматик метод).
Принцип жидатидан олганда бирор
математик назарияни баён дилиш,
ривожлантиришда умуман таъриф-
ларни четлаб угса булади. Масалан,
«учбурчакнинг тугри бурчаги дарши-
сидаги томони» деган жумла билан
алмаштириб, урта мактаб геометрия
курсидан «гипотенуза» тушунчасини
дувиб чидариш мумкин. Лекин шу
мисолнинг узиданод бундай дувгин
текстни данчалик чузиб юбориши ку-
риниб турибди, долбуки биз атиги
биргина сузни алмаштирдик, холос!
Агар биз бутун геометрияни таъриф-
ларсиз баён дилмодчи булсак, нима-
лар булишини куз олдингизга келти-
риб куринг-а! Бошда содаларни-чи!
Таъриф берар эканмиз, «бури узини
узи еб дуйди» дабилидаги бемаъни-
лик досил булиб долмаслигига диддат
дилиш зарур. Агар биз, масалан, туб
сон деб мураккаб булмаган сонни,
мураддаб сон деб туб булмаган сонни
атасак, ана шундай бемаъниликка йул
дуйган буламиз. Равшанди, бундай
«таъриф» аслида деч нарсани таъриф-
ламайди. Шунингдед, бирор Л] ту-
шунча Л2 ордали, Л2 тушунча Аз ор-
дали, ..., Лк-i тушунча Лк ордали, Лк
эса яна Л1 ордали анидланиб долиши
мумкин эмас.
ТАДРИБИЙ ХИСОБЛАШЛАР
Биз уз амалий фаолиятимизда доим
такрибий катталиклар, тенгликлар ва
формулалар билан иш тутамиз: нукта-
лар буйича график ясаймиз, сондан
илдиз чидарамиз, тенглама ечамиз ва
д. д. Шу кунларда жадал ривожла-
наётган такрибий дисоблашлар на-
зариясида математик масалаларнинг
кенг синфлари учун яро дли методлар
алодида адамиятга эгадир. Шундай
методлардан айримлари дадида ди-
коя дилайлик.
Айлана узунлигини иккилантириш
формуласи ёрдамида дисоблаш л со-
нининг такрибий дийматини топиш
учун конкрет алгоритм намунасидир.
Бу метод тарихий нудтаи назардан
дам эътиборга сазовор, зеро у энг
кудна тадрибий дисоблаш усуллари-
дан бири булса эдтимол. Иккилан-
тириш формуласи мунтазам п ва 2д —
бурчакликлар томонларининг узунли-
ги ап ва П2п ни боглайди:
22—4826
338
Еш математик цомусий лугати
(диаметр 1 га тенг деб олинган); у то-
монининг узунлиги 1/2 булган мун-
тазам олтибурчакликдан бошлаб с, 2,
^24, 048, — кетма-кетликни хисоблашга
имкон беради (хисоблаш периметр-
нинг киймати берилган аникдикка
эришгунча давом эттирилади). Бунда
куйидаги тенгсизликни исботлаш
мумкин:
0
л tiGfi , д 3.
п
У нафакат жараён якинлашишини
(яъни п->оо да л — пап-*-0 булиши-
ни) исботлашга, балки хисоблаш хаж-
мини олдиндан планлаштиришга хам
имкон беради. Айтайлик, биз хисоб-
лаш анидлиги 10 Зга тенг булишини
таъминлашимиз лозим булса, 6/д2 <
<1(Г шартни каноатлантирувчи,
яъни л >/6000 > 77 гача давом этти-
ришимиз етарли.
Самаркандлрк олим F. Ж. Коший
(15-а.) шу усул билан, яъни айланага
ички чизилган мунтазам куп бурчак
томонини хисоблаш йули билан л со-
нини 17 хона аникликда топтан.
Узлуксиз f функция учун f(x)=O
тенгламанинг илдизини топишда кул-
ланадиган айри (вилка) усули ан-
чайин умумий табиатлидир. Фараз
килайлик, f функция [а; Л] кесмада
аникланган ва узлуксиз, шу кесмада
ягона илдизи бор хамда /(а)<0,
f(6)>0 булсин. f(z) кийматни карай-
лик,бунда z= (o-f-fc)/2coHH — [а; 6]
кесманинг уртаси. Агар f (z)= 0 булса,
z — изланаётган илдиз. Агар /(2)#= О
булса, икки [ о; z] ва [ z; 6] кесмалардан
[ (z) функциянинг киймати унинг учла-
рида хар хил ишорали булганини тан-
лаймиз (1-расмда у [a; z] кесмадир).
Танланган кесмани [аг, 6|]цеб белги-
лаймиз; шундай килиб, f (oi)<0 ва
f(bt)>0. Энди Zi = (at +fci)/2 нукта-
ни карасак, яна ё f (Zi )= 0, ёки f (Zi )#=
=#0. Иккинчи холда [czi; zj ва [zi; 61]
кесмалардан f функциянинг четки
кийматлари хар хил ишорали булади-
ганини танлаймиз (1-расмда [а?;
Ьг]=[a; zj). Агар биз бу жараённи
давом эттирсак, у ё бирор кадамда
узилади (яъни f(zn)=O булади), ёки
ички жойлашган кесмаларнинг [ а; 6],
[oi; 61], [аг; 62J ..., кетма-кетлигини
хосил киламиз, бунда an^an+i<;
<bn+t^bn булиб, доим f(a„)<0 ва
f (Ьп)> 0 уринлидир. Г еометрик мушо-
хададан равшанки,
Нт ап = Пт bn — c, f(c)=O
П-*-со П—►оо I ' '
Бундан ташкари
— а t ^Ь— а
с ап » Ьп 2«
тенгсизликларга хам эгамизки, улар
берилган аникликка олиб келадиган
Хисоб-китобни планлаштиришга им-
кон беради.
Функциянинг табиатини урганишда
хосилани татбик этиш функция кий-
матини такрибий хисоблашда куплаб
фойдали формула чикаришга имкон
беради. Хосиланинг таърифидан ке-
либ чикадики, Хо аргументнинг Ах
орттирмаси кичик булганда f функ-
ция учун
/?(xo4-Ax)«/'(xo)+fI (х0) Ах
такрибий тенгликни ёзиш мумкин.
Геометрик тилда бу х=х0 нукта яки-
нида y = f(x) функция графигини
унинг х=х0 абсциссали нуктасига
утказилган уринма билан алмаштир-
ганимизни билдиради (2-расм).
Шу усул билан, масалан:
Такрибий хисоблашлар
339
1. V 1"+Ах« 1 4-Ах/п (/(х)=д/х]
%о= 1),
2. sznAx^Ax (f(x)-sinx, хо=О)
3. ln( 1 + Ах)^Ах (f(x)=/nx,
х0= 1)
такрибий формулалар хосил килина-
ди (улар кичик Ах учун самаралидир).
f(x)= 0 тенгламани такрибий ечиш-
га оид Ньютоннинг уринмалар методи
куйидагидан иборат. Фараз килайлик,
f функция] а; Ь[ интервалда биргина
с илдизга эга, бу интервалнинг хар
бир нуктасида дифференциалланувчи
ва f #=0 булсин. Ихтиёрий хое]а; 6[
нукта олиб, f(x) функция графиги-
нинг х=Хо абсциссали нук,тасида
уринма утказамиз:
y=f' (хо) (х—x0)+f(x0).
f (х) функция графиги ва унинг урин-
маси х—Хо нинг кичик кийматларида
бир-бирига якин булади, шу боис
уринма абсцисса уки билан кесиша-
диган Х| нукта с илдиздан узок ётмас-
лиги табиийдир (3-расм). Уринма
тенгламасидан у —0 шартга мос
V -V
' ° Г(хо)
кийматни топамиз. Бу жараённи так-
рорлаб, тенглама илдизи учун такри-
бий
f(Xn) 1 о о
x„+i=Xn—jf-T—' п=1, 2, 3, ...
Г М
кийматлар кетма-кетлигини хосил ки-
ламиз. f(x) функция графиги кава-
рик булганда
| х„+| — с| <Д-1 Хп—с1 2
тенгсизлик уринли булиши маълум
(бундаги А > 0 — бирор узгармас, у п
га боглик эмас). Бу тенгсизликдан
п нинг кичик кийматларидаёк илдиз-
га якинлашув жуда юкори аникликда
булиши куринади.
Эгри чизик билан чегараланган
трапециялар (3,а-расм) юзи (интег-
раллар)ни такрибий кисоблаш содда
геометрик мулохазаларга асосланади.
Агар [а; Ь] кесма (а<_Ь) етарлича
кичик булса, шу кесмада узлуксиз
f функция учун эгри чизикли трапе-
циянинг юзини эгри чизикли трапе-
цияни тугри туртбурчак (3,6-расм)
ёки тугри томонли трапеция (3,в-
расм) билан алмаштириб хисобласа
булади. Натижада куйидаги такрибий
s тенгликларни ёзиш мумкин:
Агар функциянинг [ а; 6] кесмага мос
графиги тугри чизик булаги билан
эмас, балки парабола (квадрат учхад
графиги) булаги билан алмаштири-
либ, S нинг такрибий киймати сифа-
тида хосил килинган параболик тра-
пеция юзи олинса,
3-расм,
340
Еш математик цомусий лугати
формулага келинади.
Интеграл хисоб эгри чизикли тра-
пеция юзини аникрок, хисоблаш имко-
нини беради.
S ни такрибий хисоблаганда йул
куйиладиган хато имкони борича ки-
чик булиши учун а дан b гача оралик
дастлаб 2« та тенг булакка булинади.
Бунда y = f (х) нинг графиги эса п та
ёйга булинади (4-расм). Энди бу ки-
4-расм.
чик ёйларнинг хар бири учун юкорида
айтилган такрибий хисоблаш усулла-
ри кулланса, S юза учун такрибий
киймат хосил килинади; у п та эгри
чизикли трапециялар юзаларининг
йигиндиси куринишида булади:
S^nn=~? [f(Xl) + /(X3)+...+
f(X2n_i)],
S«7'n=^-G[^f(a)+f(x2)+...+
-4-f(x2n-2)-|—2
S^S„=^[f(o)+f(fe)+2(f(x2)+
+/(*4) + +f(x2„_2)) -]-4(f(xi) +
+ /Ч*з) + - + f (^2n-l)] •
Биринчи формула тугри туртбурчак-
лар формуласи, иккинчиси — трапе-
циялар формуласи, охиргиси эса инг-
лиз математиги Т. Симпсон (1710—
1761) номи билан Симпсон форму-
ласи дейилади.
Бу формулалар йул куядиган хато
амалда куйидагича бахоланади. п
сони туртга каррали килиб танланади
ва S нинг такрибий киймати Симп-
сон формуласи билан (у келтирил-
ган уч формуладан энг аниги) п та ва
п/2 та нукта учун (яъни Sn ва Sn/2)
топилади. Шундан сунг хисоблаш ха-
тоси S—Sn«(S„ — Sn/2)/15 муноса-
бат оркали аникланади.
ТАККОСЛАМА
Айирмаси берилган т сонга каррали
булган икки сон шу т модуль буйича
таккослама дейилади. («Модуль» сузи
латинча modulus — «улчов», «мик-
дор» деган маънони беради). «а сони
b билан т модуль буйича таккосла-
надиган» деган тасдик одатда ушбу
куринишда ёзилади: а = b (modm) ва
таккослама деб аталади. Таккослама-
га мисоллар: 5=1 (mod 2), 48s0
(mod 6), —16 = 9 (mod 5). Хар кан-
дай сон 1 га каррали булгандан 1 мо-
дуль буйича таккослама барча сонлар
учун бажарилади. Иккита сон 2 мо-
дуль буйича таккослана олиши учун
уларнинг хар иккалси хам ё ток, ёки
жуфт булиши керак.
Таккосламанинг таърифи К. Ф. Га-
усснинг «Арифметик тадкикотлар»
китобида берилган эди. Латин тилида
ёзилган бу китобни 1797 й. боса бош-
лашди, аммо китоб нашр кили ниши
сермашаккат ва куп вакт талаб кил-
ганидан, у 1801 й. нашр килиб тугал-
ланди. Гаусс китобининг биринчи
булими «Сонларни умуман таккослаш
хакида» деб аталади.
Сонларнинг хоссаларини текщир-
ганда уларни бирор сонга каррали
сон аниклигида билиш етарли булган
холларда таккосламадан фойдаланиш
жуда кулай. Масалан, агар бизни бу-
тун а сонининг куби кайси ракам
билан тугашини билиш кизиктирса,
у холда бизга а нинг 10 га каррали
аниклигида билиш етарли ва 10 мо-
дуль буйича таккосламадан фойда-
ланиш мумкин.
Таццослама
341
т модуль буйича таккослама «т га
каррали аникликдаги тенглик» булга-
нидан, таккосламанинг жуда куп хос-
салари тенгликларнинг хоссаларини
эслатади. Модуллари бир хил икки
такдосламани худди тенгликлар синга-
ри душиш, айириш, купайтириш мум-
кин: а = b (modtn), c = d (modtn) булса,
у долда а + с = Ь + d (modtn), а — с =
= b—d (modm),ac = bd (modm). Ху-
сусан, таккосламанинг дар иккала
дисмини дам доим бутун сонга купай-
тириш мумкин. Бирод таддосламанинг
дар икки тарафини дар доим дам би-
рор купайтувчига булиб булмайди.
Масалан, 4=2 (тос/2), аммо 2^1
(тос/2). Агар икки соннинг купайтма-
си нолга тенг булса, у долда улардан
деч булмаса биттаси нолга тенг були-
ши маълум. Умумий долда таддосла-
малар учун бундай хосса бажарил-
майди: 2-3 = 0 (тос/6), аммо 2^0
(тос/6)ва 3^0 (тос/6). Бирод а-Ь =
= 0 (modtn) ва а дамда т сонлари
узаро туб булса, у долда Ь=0
(modtn). Хусусий долда, таддослама-
нинг модули туб сон булганда, икки
сон купайтмаси ноль билан таддос-
ланишидан, деч булмаганда купай-
тувчилардан биттаси ноль билан тад-
досланиши келиб чидади, яъни бу дол-
да таддосламалар билан тенгликлар
орасида тула ухшашлик булади.
Иккита сон т модуль буйича тад-
досланиши учун улар т га булинганда
бир хил долдидлар долиши зарурлиги-
дан, булиниш белгиларини келтириб
чидариш таддосламаларини татбид
этишга энг содда мисол була олади.
3 га булиниш белгиси намунасида
бу дандай бажарилишини курсатамиз.
Ихтиёрий п сонини /г = а-|-106-|-
+ 100с-|-... куринишда ёзиш мумкин,
бунда а — бирликлар сони, b — ун-
ликлар сони ва д. к. 10=1 (mod3)
булганидан, 102 = 1 (mod3), 103= 1
(mod3) ва д. к. булади. Шунинг учун
n = a-)-b-\-c...(mod3). Хусусан, п со-
ни радамларининг йигиндиси 3 га бу-
линган долдагина у 3 га булинади.
Таддослама тушунчасини уз ичига
олган жуда дам мудим бир конструк-
циянинг мисолини келтирамиз. Их-
тиёрий бутун сонни берилган т на-
турал сонга булганда долдид сифати-
да дуйидаги сонларнинг бири чидади:
0, 1, ..., т—1. т га булганда долдид-
да 0 берадиган сонларни битта синфга,
долдидда 1 берадиган сонларни бош-
да синфга, 2 долдид берадиганларини
кейинги синфга ва д. к. бирлашти-
рамиз. Шундай дилиб, дамма бутун
сонлар т та синфга ажралади. Битта
синфга кирган сонлар т буйича узаро
таддосланувчи, турли синфга кирган
сонлар таддосланувчи эмас. Сонлар-
нинг досил булган синфлари т модуль
буйича чегирмалар синфлари ёки сод-
да дилиб т модуль буйича синфлар
деб аталади. к сонини уз ичига олган
синф к билан белгиланади. 2 модуль
буйича иккита синф мавжуд: 0 ва 1; 0
синф дамма жуфт сонлардан иборат,
1 синф эса барча тот^ сонлардан ту-
зилган. 0 синфнинг бошдача белги-
лашлари дам мавжуд, масалан, 2, 4,
10. т модуль буйича синфлар учун
куйидаги формулалар буйича кушиш,
айириш ва купайтириш^ амаллари
аникланган:_ а-\- Ь = а-(- Ь, а— Ь =
= a—°b, a-b = ab. Мисол учун 2 мо-
дуль буйича синфлар учун кушиш ва
купаитириш жадвалларини келтира-
миз.
а в а + в а в ав
0 0 0 0 0 0
0 L Г 0 f 6
Г Q 1 Г 0 0
f 1 0 f f 1
Бу жадваллар маълум коидалар-
нинг бошкача куринишдаги ёзуви:
жуфт сонларнинг йигиндиси дам
жуфт, ток ва жуфт сонларнинг йигин-
диси ток; жуфт соннинг ихтиёрий
бутун сонга купайтмаси жуфт ва д. к.
т модуль буйича чегирмалар синф-
лари модуль туб булганда майдон
ташкил килади.
Таккосламаларни факат бутун сон-
лар учун эмас, балки бошка матема-
тик объектлар учун дам караш мум-
кин. Масалан, f(x), &(h), /г (х) купкад-
342
Еш математик цомусий лугати
лар учун f(x = g(x) (piodh(x)) ёзуви
f(x)—g(x) айирма h(x) га булини-
шини билдиради.
ТЕНГДОШ ВА ТЕНГ
ТУЗИЛГАН ФИГУРАЛАР
Купбурчакларнинг юзал армии хисоб-
лашда кисмларга ажратиш деб ата-
ладиган содда усулдан фойдаланила-
ди. 1-расмда тасвирланган F ва Н куп-
бурчакларни к^файлик, унда купбур-
чакларни кандай килиб бир хил сонда
узаро тенг кисмларга ажратиш курса-
тилган (бир-бирига мос кисмлар бир
1-расм.
хил ракам билан белгиланган). F ва Н
каби купбурчаклар тенг тузилган де-
йилади. Умуман, агар А купбурчакни
бирор усулда чекли сондаги кисмларга
ажратиб ва бу кисмларни бошкачарок
жойлаштириб, купбурчак косил ки-
лиш мумкин булса, у колда А ва В
купбурчаклар тенг тузилган дейилади.
Куйидаги теорема уринли эканини
осонгина куриш мумкин: тенг тузил-
ган фигуралар бир хил юзага эга ёки,
одатда кабул килинганидек тенгдош
булади. Масалан, параллелограмм туг-
ри туртбурчак билан тенг тузилган
(2-расм). Шу сабабли, тугри турт-
бурчак юзасининг формуласини бил-
ган холда параллелограммнинг юза-
сини бир томони ва шу томонга (ёки
давомига) туширилган баландлиги
2-расм.
узунликларининг купайтмаси каби то-
памиз.
Бу мисол кисмларга ажратиш ме-
тодини намойиш килади. Умумий
холда у куйидагича: купбурчакнинг
юзасини хисоблаш учун у чекли сон-
даги кисмларга шундай ажратила-
дики, улардан юзаси бизга олдиндан
маълум шакли содда купбурчак тузиш
мумкин булсин. Масалан, учбурчак
асоси шу учбурчак асоси билан бир
хил, баландлиги эса учбурчак баланд-
лигидан икки баравар кичик паралле-
лограмм билан тенг тузилган (3-
расм); бундан учбурчак юзасининг
формуласи осонгина чикарилади.
3-расм,
▼
Купбурчаклар юзасини бундай хи-
соблаш усули бундан 2000 йил аввал
яшаб утган Евклидга хам маълум эди.
Юкорида келтирилган теоремага
тескари теорема хам уринли экани
ажойиб: агар иккита купбурчак тенг-
дош булса, улар албатта тенг тузил-
гандир. XIX а.нинг биринчи ярмидан
венгр математиги Ф. Бойяи ва не-
мис офицери хамда математика мух-
лиси П. Гервин томонидан исботлан-
ган бу теоремани куйидагича тушун-
тириш мумкин: агар купбурчак шак-
лидаги торт, хамда юзаси шу торт
юзасига тенг аммо бутунлай бошкача
шаклдаги купбурчакли кути берилган
булса, у х°лда тортни кутига жойла-
надиган килиб чекли сондаги кисм-
ларга ажратиш мумкин.
Бойяи-Гервин теоремаси билан бог-
лик-тенгдош купбурчаклар тузилади-
ган кисмларнинг сони ёки жойлашу-
вига кушимча чегаралар куйиш маса-
ласи вужудга келади. Масалан, текис-
ликни бир томони кизил, иккинчи то-
мони ок варак деб тасаввур килай-
Тенгдош ва тенг тузилган фигуралар
343
4-расм,
лик. Ундан иккита тенгдош дизил
купбурчак дирдилган булсин. У долда
уларнинг бирини дирдиб дайта жой-
лаш билан иккинчисига тенг дизил
купбурчак досил дилиш ва бунда дар
бир булакнинг дизил рангини юдо-
рида сакдаш (яъни булакларни агдар-
маслик) мумкинми?— деган савол ту-
гилади. Бу саволга дам ижобий жа-
воб берилади.
Бу масаланинг бир варианта Моск-
ва математика олимпиадаларидан би-
рида дуйидаги каби дазил шаклда
тавсия килинган эди. Афанди томон-
лари дар хил учбурчак шаклида торт
пиширди (тортнинг юзи ширин кулча-
дан фардли равишда крем билан доп-
ланади). Бу тортга дутича дам тайёр-
ланди, аммо эътаборсизлик одиба-
тада уни нотугри елимлаб дуйишди,
яъни дута билан торт узаро симмет-
рик булиб долди (4-расм). Тортни
(иложи борича кам) шундай дисмлар-
га кесиш лозимки, унинг дисмлар ур-
нини алмаштариб дутичага жойлаш-
тариш мумкин булсин. Албатта, торт
креми пастга дилиб солинмайди.
1952 й. швейцариялик математиклар
Г. Хадвигер ва П. Глюр дисмларни
жойлаштиришга душимча талаблар
дуйиш билан боглид дизид натижага
эга булишди: иккита тенгдош фигу-
ранинг тенг тузилганлигини уларнинг
мос дисмлари параллел томонларга
эга буладиган дилиб ажратиш билан
урнаташ мумкин. Бир Караганда бу
факт нотугрига ухшаб куринади: бири
иккинчисига нисбатан ихтиёрий бур-
чакка бурилган (5-расм) иккита тенг-
дош учбурчакни дамма вадт мос то-
монлари параллел булган тенг дисм-
ларга ажратиш мумкинлигига ишо-
ниш дийин. Шундай булсада, учбур-
чакларни ана шундай дисмларга аж-
ратиш усули мавжуд, бунда учбур-
чаклардан бирининг дисмлари иккин-
чи учбурчакнинг мос дисмларидан
параллел кучириш, ёки марказий сим-
метрия билан досил килинади. Х,ар
дандай иккита тенгдош купбурчак
учун дам бу уринли.
Аммо дисмларни фадат параллел
кучириш билан буни уддалаб булмас
экан. Масалан, биз параллелограммни
дандай дисмларга ажратмайлик, бу
дисмларни параллел кучириш билан
дайта териб учбурчак ясаб булмайди.
Бу масалаларга машдур математик
Д. Х,ильберт томонидан XIX—XX а.
бусагасида Иккинчи Халдаро матема-
тиклар конгрессида удиган «Матема-
тик муаммолар» номли доклади ди-
зидиш уйготган. Х,ильберт уз доклади-
да дуйган йигирма учта муаммодан
купчилиги математиканинг тез ривож-
лаётган содаларига тааллудли эди.
Фадат биттаси — учинчи муаммо мак-
таб геометрияси билан боглид. Х,иль-
берт диддатамизни учбурчакли пира-
миданинг дажмини дисоблашда Евк-
лид замонидан буён анча мураккаб
лимитга утишдан (д. Лимит) (дозир
эса интегралдан) фойдаланишимизга,
долбуки учбурчакнинг юзасини ди-
соблашда бундай амалга мурожаат
дилмаслигимизга даратади.
Х,ильберт муаммосининг модията
шундан иборатки, бу «ортадча» (пла-
ниметрия билан солиштирганда) ли-
митга утишни асослаш, яъни бусиз
купёдликлар учун дажм назариясини
дуриб булмаслигини исботла^д зарур.
1900 й. М. Ден мунтазам 'тетраэдр
ва унга тенгдош куб тен^ тузилма-
344
Еш математик цомусий лутати
ганлигини исботлаб, Хильбертнинг
учинчи муаммосини ечди. Хильберт
бу масала математик жикатдан ки-
зик, натижалари жихдтидан бой куп-
ёкдиклар ва купбурчакларнинг тенг
тузилганлик назарияси яратилишига
олиб келиши мумкинлигини олдин-
дан курган эди. Хильбертнинг башо-
рати окландики, замонавий тенг ту-
зилганлик назариясининг гузал бино-
си улуг олимга урнатилган муносиб
хдйкалдир.
ТЕНГЛАМА
Тенглама — тенглик белгиси билан
бирлаштирилган иккита ифода; бу
ифодаларга номаълум деб аталувчи
бир ёки бир неча узгарувчилар кира-
ди. Тенгламани ечиш — номаълум-
ларнинг тенгламани тугри тенглккка
айлантирадиган барча кийматла ини
топиш ёки бундай кийматлар йукли-
гини курсатиш демакдир.
Мактаб математика курсида, одат-
да, номаълумлари сон дийматлар ка-
бул диладиган тенгламалар каралади.
Бир номаълумли тенгламада номаъ-
лумнинг тенгламани каноатлантирув-
чи сон киймати бу тенгламанинг ил-
дизи ёки ечими дейилади. Бир неча
номаълумли тенгламани каноатланти-
рувчи сонлар термаси бу тенглама-
нинг ечими дейилади.
Математикада номаълумлари бутун
сонлар (ц. Диофант тенгламалари),
векторлар (векториал тенгламалар),
функциялар (интеграл, функционал,
дифференциал тенгламалар) ва б.
табиатли объектлар булган тенглама-
лар кам каралади. Тенглама билан
бирга унинг аникланиш сокаси (но-
маълумнинг рухсат этиладиган кий-
матла ри туплами) ни кам курсатиша-
ди; агар рухсат этиладиган киймат-
лар туплами курсатилган булмаса, бу
туплам — тенгламанинг чап ва унг
томонларида турган ифодаларнинг та-
биий умумий аникланиш сокаси деб
фараз килинади.
Тенглама — математиканинг энг
муким тушунчаларидан бири. Купгина
амалий ва илмий масалаларда бирор
катталикни бевосита улчаш ёки тайёр
формула буйича кисоблаш мумкин
булмаса, бу миадор каноатлантиради-
ган муносабат (ёки бир неча муно-
сабат) тузишга эришилади. Номаъ-
лум катталикни аниклаш учун тенг-
лама (ёки тенгламалар системаси)
ана шундай косил килинади.
Математиканинг фан сифатида ву-
жудга келганидан бошлаб узок вакт-
гача тенгламалар ечиш методларини
ривожлантириш алгебранинг асосий
тадкикот предмета булди. Тенглама-
ларни бизга одат булиб колган кар-
фий ёзилиши XVI а.да узил-кесил
шаклланди; номаълумларни латин
алифбесининг охирги х, у, г, ... карф-
лари, маълум микдорлар (параметр-
лар) ни латин алифбесининг дастлаб-
ки а, Ь, с, ... карфлари оркали белги-
лаш анъанаси француз олими Р. Де-
карт ран бошланган.
Тенгламаларни алгебраик ечишнинг
одатдаги йули (купинча, аналитик
ечиш дейишади) шундан иборатки,
уни алмаштиришлар ёрдамида содда-
рок тенгламаларга келтиришади. Агар
бир тенгламанинг барча ечимлари
иккинчи тенгламанинг кам ечимлари
булса, у колда иккинчи тенглама би-
ринчисининг натижаси дейилади.
Агар иккита тенгламадан кар бири
бошкасининг натижаси булса (яъни
уларнинг ечимлари туплами устма-
уст тушса), бундай тенгламалар тенг
кучли дейилади. Тенгламанинг иккала
томонига бир хил алмаштиришни кул-
лаб, биз унинг натажасини косил ки-
ламиз. Агар бу алмаштириш теска-
Тенглама
345
риланувчан булса, косил килинган
тенглама берилганга тенг кучли бу-
лади. (Масалан, тенгламанинг иккала
томонини бир хил сонга купайтир-
сак, биз берилган тенгламанинг на-
тижасини оламиз. Агар бу сон нол-
дан фаркли булса, у колда бажарил-
ган алмаштириш тескариланувчан,
бинобарин, косил килинган тенглама
дастлабкисига тенг кучли булади).
Бир номаълумли тенгламани ечиш
борасида биз энг содда тенгламалар-
га келишга интиламиз, чунки улар
учун тайёр формулалар бор. Чизик, ли
тенгламалар, квадрат тенгламалар,
<р(х)=с куринишдаги тенгламалар
энг содда тенгламалардир, бунда с —
сон, ср — асосий элементар функция-
лардан бири; q>(x)=xn — даражали,
ц>(х)—ах — курсаткичли, (р(х)=
= logax — логарифмик, (р (х)=sinx,
q>(x)=cosx, tp(v )=tgx — тригоно-
метрик функциялар. <р(х)=с тенгла-
манинг умумий ечимини ёзиш <р функ-
цияга тескари булган ip функцияни
киритишни талаб килади. Агар (р (х)=
=хп булса, у колда ip(c)= л/с; агар
(р(х)=ах булса, у колда ip(c)=logac,
. , л _ .л
агар tp(x) =sinx ва —
булса, у колда ip (с)= arcsine.
Тенгламалар энг содда куринишга
кандай келтирилади? Тенгламалар-
нинг конкрет типлари (алгебраик,
тригонометрик, иррационал, курсат-
кичли, логарифмик ва к- к.) ни ечиш
учун хусусий усуллар ишлаб чикил-
ган. Тенгламаларни ечишнинг умумий
методларидан энг куп учрайдиган уч-
тасига тухталамиз.
Агар f(x)=O тенгламанинг чап
томонини f(x)=ft(x)...fm(x) купай-
тувчиларга ёйишга эришилса, у колда
берилган тенглама fi (х)=0, /2 (х)=0,
..., fm(x)=O тенгламаларга ажралади,
улар ечимлари тупламларининг бир-.
лашмаси олинган тенгламанинг ечим-
лар тупламини беради. Масалан, х3 —
— 7х-|-6=0 тенгламани куйидагича
ечиш мумкин:
(х3— х)—(6х— 6)=0, х(х—l)(v +
+1)—6(х—1)=0, (х— 1) (v2-|-x —
— 6)=0. Энди х—1=0 ва х2-|-х—
— 6=0 тенгламани ечиб, берилган
тенгламанинг барча илдизларини то-
•памиз: 1, 2 ва —3. Бу методни купай-
тувчиларга ажратиш методи деб аташ
кабул килинган.
К,упинча, янги номаълум сифатида
эски номаълумнинг бирор функция-
сини кабул килиб, тенгламани сод-
далаштиришга эришилади. Масалан,
sinx -J- cosx — sin2x тенгламани янги
номаълум у = sinx + cosx киритиб,
квадрат тенгламага келтириш мумкин.
Чунончи, sin2x=y2— 1 ва у2—у —
—1=0 тенгламага келамиз.
Баъзан тенгламани чап ва унг то-
монидаги ифодаларнинг функционал
хоссаларини таклил килиб ечишга
муваффак булинади. Масалан, 2х+
4-3х = 5 тенгламанинг чап томони
усувчи, унг томони эса узгармас бул-
гани учун бу тенглама биттадан ортик
илдизга эга эмас. Ягона илдиз х = 1
эса осонгина пайкалади.
sin3x-\-cos5x—-\l2 тенгламани ечаё-
тиб, барча х лар учун sin3x^sin2x,
cos3x^.cos2x тенгсизликлар бажари-
лишини кисобга оламиз, у колда
sin3x + cos5x sin2x + cos2x = 1, аммо
д/2> 1, бинобарин, берилган тенгла-
;ма илдизларга эга эмас.
Шу вактгача биз тенглама илдизини
сон ёки параметрнинг маълум функ-
циялари комбинацияси сифатида то-
пишга имкон берадиган усулларни
таклил килдик. Аммо амалиётда пай-
до буладиган камма тенгламаларни
кам шунга ухшаш усулда ечиб бул-
майди. Масалан, бешинчи даражадан
бошлаб алгебраик тенгламаларни
ечиш учун умумий формула мавжуд
эмаслиги XIX а. бошида исботланди.
Хатто, тенгламани ечишга муваффак
булинганда кам, илдизлар учун фор-
мула никоятда бесунакай булиши
мумкин. Шунинг учун кам, матема-
тикада тенгламаларни такрибий ечиш-
нинг турли методлари ишлаб чикил-
ган. Улардан энг соддаси куйидаги
теоремага асосланади: агар f (х) функ-
ция [ а, 6] кесманинг барча нукталари-
да узлуксиз булса ва унинг четки уч-
346
Еш математик цомусий лугати
ларида турли ишорали кийматларни
кабул килса, у холда f (х)=0 тенглама
бу кесмада илдизга эга.
Тенгламаларни такрибий ечиш
функцияларнинг графиклари ни ясаш
билан жипс богланган. Масалан, у =
=x3-j-x функция графигини ясаб,
биз х3-]-х=1 тенглама битта илдизга
эга ва бу илдиз [ 0,5; 1] кесмада, аник-
роги [0,6; 0,7] кесмада, янада аникро-
ги [ 0,682; 0,683] кесмада жойлашган
деган хулосага келишимиз мумкин
(1-расм). Бу маълумот амалий жи-
хатдан каралаётган тенглама илдизи-
ни ифодаловчи Карданонинг
аник формуласидан фойдалирокдир
(илдиздан чикариш бу холда, бари-
бир, такрибий-да!). Илдизларни ихти-
ёрий даражадаги аникдик билан то-
пиш учун кетма-кет якинлашишлар
методига асосланган «тезкор» алго-
ритмлар мавжуд (к- Тадрибий уисоб-
лашлар).
Тенгламаларни график ёрдамида
тадкик килиш айникса унгайдир; ма-
салан, у=х3—х функция графиги
буйича (2-расм), х3— х = с тенглама
2
J3 да
2
да учта,
д/3
, , 2 .
иккита ва | с | > да оитта ил-
дизга эгалигини дарров курамиз.
ТЕНГСИЗЛИКЛАР
Тенгсизлик— > (катта), < (ки-
чик), (катта ёки тенг), (кичик
ёки тенг) белгиларидан бири оркали
богланган иккита сон ёки математик
ифода. а> b ёзув Ь<2а ёзувнинг худ-
ди узини англатади, бинобарин, икки-
та карама-карши ишорали тенгсиз-
ликнинг борлиги бу кушимча кулай-
ликдир, холос. > ёки < белгилари
катнашган тенгсизлик — катъий,
ёки белгили тенгсизликлар но-
катъий дейилади.
Сонли тенгсизлик тугри булиши ёки
нотугри булиши мумкин; масалан,
27>53; 40/ 77 <; 13/25; 2> 1,4142;
5^5; —1<0 тенгсизликлар тугри,
л >355/ 133 тенгсизлик эса нотугри.
Шундай килиб, математик мантик
нуктаи назаридан тенгсизлик мулоха-
задир. Узгарувчилар катнашган тенг-
сизлик (яъни ёзувида турли киймат-
лар кабул килувчи харфлар булган
тенгсизлик) узгарувчиларнинг айрим
кийматларида тугри, баъзи кийматла-
рида нотугри булиши мумкин. Бир ёки
бир неча узгарувчи катнашган тенг-
сизликни исботлаш узгарувчиларнинг
барча рухсат этилган кийматларида
унинг уринли эканини исботлаш де-
макдир (бундай тенгсизликлар баъзан
айний тенгсизликлар дейилади). Уз-
гарувчилар катнашган тенгсизлик
учун шу тенгсизликни ечиш масаласи-
ни, яъни узгарувчиларнинг тенгсизлик
уринли буладиган кийматлари тупла-
мини тавсифлаш масаласи ни куйиш
мумкин.
Тенгсизликларни ечиш ёки исбот-
лаш жараёнида биз сонлар орасидаги
«катта-кичик» муносабатининг асосий
хоссаларига таянамиз:
(1) тенгсизлик — антисимметрия
муносабат, яъни ихтиёрий турли а ва
b сонлар учун ё а>Ь, ёки 6>а; у
транзитов, яъни ихтиёрий учта а, Ь, с
сонлар учун агар а > b ва b > с булса,
у холда а>с;
(2) агар а > b булса, у холда ихтиё-
рий с учун а + с> b + с;
(3) агар о> b ва с >0 булса, у хол-
да ас>Ьс.
Сонлар орасидаги тенгсизлик муно-
сабатини арифметик амаллар билан
богловчи иккита кейинги хоссадан би-
ри — (3) хосса укувчиларда хатолар-
ни энг к)Л1 вужудга келтиради: купин-
ча, тенгсизликни манфий сонга купай-
тирганда тенгсизлик белгиси карама-
каршисига узгаришини эсдан чикара-
дилар. Тенгсизликнинг (1), (2), (3)
асосий хоссаларидан бошка хамма
хоссаларини келтириб чикариш мум-
кин: агар о < Ь ва с <Zd булса, у холда
а -]- с <. b + d (тенгсизликларни
хадма-хад кушиш коидаси), агар
Тенгсизликлар
347
1-расм. каварик функ-
циялар ва уларнинг ко-
силалари.
0<a<fe, п — натурал сон булса, у
холда a" <Zb ва х. к.
Сон тушунчасини кенгайтирган-
да — бутун сонлардан рационал сон-
ларга, сунгра хакикий сонларга утиш-
да — янги тупламда «катта-кичик»
муносабатини шундай таърифлаш ло-
зимки, унинг асосий хоссалари сак-
лансин. Таърифга кура, махражлари
(q ва п) мусбат булган иккита р/ q ва
т/ п касрда рп> rnq булса, биринчи-
си катта булади; иккита мусбат чексиз
унли касрни чогиштириш учун устма-
уст тушмайдиган хоналардан энг чап-
дагиси (юкориси) каралади; кайси
касрнинг шу разряддаги раками кат-
та булса, уша каср каттадир (бунда
9999... билан тугалланадиган касрлар
Каралмайди, аникроги, улар
2,73999... = 2,74 каби алмаштирила-
ди).
Тенгсизлик ёрдамида асосий сон-
ли тупламлар берилади (кесма
а^.х^Ь, интервал a<ix<Zb, нур
х>а ва х- к.), лимит, узлуксиз функ-
ция, монотон кетма-кетлик ва моно-
тон функция, катор ва б. мухим ту-
шунчаларнинг таърифлари ифодала-
нади. Масалан, каварик функциянинг
таърифини куйидагича ифодалаш
мумкин: агар барча xt, х2 лар учун
Х1 + Х2 < /(Х1) + f(x2)
тенгсизлик бажарилса, fQc) узлуксиз
функция пастга каварик, агар кара-
ма-карши маънодаги тенгсизлик
уринли булса, юкорига каварик дейи-
лади (к. Крвариц функциялар); хо-
силага эга функция учун бу тенг-
сизлик у — f (*) хосиланинг монотон
функция (мос равишда, камаймовчи
ёки усмовчи, 1-расм) булишига тенг
кучлидир.
Математиканинг купгина татбикла-
рида муаммонинг куйилиши купинча
тенгсизликлар тилида ифодаланади.
Масалан, талайгина иктисодий маса-
лалар узгарувчиларнинг сони куп бул-
ган чизикди тенгсизликлар системаси-
ни тадкик кил и ш га келтирилади
(к. Геометрия). Купинча, у ёки бу
тенгсизлик кандайдир объектларнинг
(айтайлик, тенгламалар ечимлари-
нинг) мавжудлигини исботлаш ёки
рад этиш, уларнинг микдорини бахо-
лаш, синфлашга имкон берадиган му-
хим кушимча восита, асосий лемма
булиб хизмат килади. Масалан, барча
мунтазам купёкдиларни синфларга
ажратиш учун аввало мунтазам куп-
бурчаклар кандай бурчакларга эга бу-
лиши мумкинлигини эслаш керак ва
«каварик купёкли бурчак текис бур-
чакларининг йигиндиси 360° дан ор-
тик эмас» деган тенгсизликдан фойда-
ланиш лозим.
Бу теорема энг дастлабки геометрик
348
Еш математик цомусий лугати
2-расм. Дойра учун юза-
нинг периметр квадраты-
га нисбати энг катта
булади.
тенгсизликлар («битта нуктадан бе-
рилган тугри чизикка перпендикуляр
ва огма утказилган булса, перпенди-
куляр огмадан киска булади», «учбур-
чакнинг бир томони. колган икки то-
мони йигиндисидан кичик», «учбур-
чакнинг катта бурчаги даршисида
катта томони ётади») билан бирга
кадимги юнон математикасига ман-
суб — у Евклиднинг машхур «Негиз-
лари»да бор.
Тенгсизликлар факатгина ёрдамчи
курол эмас. Математиканинг дар бир
содасида — алгебра ва сонлар наза-
риясида (к. Сонлар назарияси), гео-
метрия ва топологияра, эутимоллик-
лар назарияси ва функциялар наза-
риясида, математик физика ва диффе-
ренциал тенгламалар назариясида,
ахборот назарияси ва дискрет матема-
тикада — тенгсизликлар куринишида
ифода этиладиган фундаментал нати-
жаларни курсатиш мумкин.
Математиканинг купгина булимла-
рида, айникса, математик анализра,
амалий математикада тенгсизликлар
тенгликларга Караганда купрок уч-
райди. Маълумки, бахтли тасодиф
туфайлигина амалий жидатдан мудам
айрим тенгламалар ечими сон ёки
формулалар куринишида аник топиш-
га эришилади. Такрибий ечим учун
эса математикада дар доим хатолик
бахосини курсатиш, яъни бирор тенг-
сизликни исботлаш талаб этилади.
Математика ва физикада исботнинг
катъийлиги даражаси орасидаги
асосий фаркдардан бири шундан ибо-
рат: физик «катталикнинг тартиби»ни
кифояланишга рози
топиш билан
булса, математик дандайдир бадалар-
ни, яъни тенгсизликларни катъий ис-
ботлашга интилади.
У ёки бу катталикнинг юкоридан
ёки куйидан бахосини топиб, яъни
бу катталик бирор М сондан катта
(ёки пг дан кичик) эмаслигини ис-
ботлаб, биз мумкин дадар аникрок
натижа олишга — юкоридан бахони
пасайтиришга, куйидан бахони эса
оширишга даракат киламиз.
Сонли А тупламнинг юкоридан
мумкин булган энг аник бахоси supA
(укилиши: супремум Л) каби белги-
ланади. Куйидан энг аник бахо inf А
(инфинум А) хам шунта ухшаш аник-
ланади. Мисол учун, купбурчакнинг
S юзини унинг Р периметри квадра-
тига нисбатини дарайлик. Купбурчак
«думалок»лашган сари S/Р2 микдор
хам катталашаверади — мисолларда
бунга ишонч хосил килиш осон
(2-расм). Бу нисбатнинг аник юкори
чегараси: supS/ Р2 = 1/4л. Барча
купбурчаклилар тупламида бу бахога
эришилмайди — S/ Р2 нисбат роппа-
роса 1 / 4л га тенг буладиган купбур-
чак йук; барча каварик фигуралар
тупламида эса бу бахога эришилади;
бу нисбат — R радиусли айлана учун
(ва фадат щу фигура учун) 1 /4л га
. л/?2 ’ 1 . .
тенг: = — ’ АгаР бирор мик-
дор узининг энг катта кийматига
эришса, sup урнига max (укилиши:
максимум) ёзиш кабул килинган; мос
равишда inf урнига min (минимум)
Тенгсизликлар
349
(4л)
3-расм. Юклар система-
сииинг огирлик маркази
мана бу координаталарга
эга:
ёзса булади. Шундай килиб, каралгаи
мисол учун купбурчаклар тупламида
факат supS/P~= 1/(4л, каварик
фигуралар тупламида эса maxS/Р2 =
= 1/(4л).
Тенгсизликларни исботлаш функ-
циянинг экстремумина текшириш би-
лан узвий боглик. Бирор f функция-
нинг максимуми М га тенглигини ис-
ботлаш учун аргументнинг f функция
W га тенг буладиган цийматларини
курсатишимиз ва тенгсизликни
исботлашимиз лозим. Масалан, барча
фигуралар тупламида S/Р2
эканлиги факти, одатда, куйидагича
ифодаланади: периметри берилган
барча фигуралар ичида дойра энг кат-
та юзага эга. Биринчи булиб Эйлер
исботлаган. Бу машкур изоперимет-
рик тенгсизлик — бутун бир синф гео-
метрик тенгсизликларнинг вакили.
Унинг кар хил вариантлари ва куп
улчовли умумлашмалари математи-
канинг турли булим ва татбикларида
ишлатилади. Математик фаолияти-
нинг муким кисми айний тенгсизлик-
ларни, яъни унда катнашган узгарув-
чиларнинг барча кийматларида (ёки
узгарувчиларнинг аввалдан курсатил-
ган барча рухсат этилган кийматла-
рида) тугри булган тенгсизликларни
исботлашдир. Баъзан бу иш кийин
булмайди. Масалан, f ва кандайдир
функциялар булса тенгсизликни
исботлаш учун f — ^айирмани шун-
дай алмаштириш керакки, унинг мус-
батлиги очик-ойдин булиб колсин:
а2 + b2^2ab, чунки (а —
а2 + Ь2 + с2 ~^ab + Ьс + са, чунки
(а - Ь)2 + (Ь - с)2 + (?-а)2>0.
Аммо тенгсизликни исботлаш учун
никоятда нозик геометрик ёки анали-
тик мулоказалардан фойдаланишга
тугри кам келади. Тажрибали шах-
матчига асосий дебютларни билиш
ёрдам берганидек, математикка хам
тез-тез учрайдиган баъзи классик
айний тенгсизликларни билиш фойда-
лидир. Улар орасида узгарувчилар
симметрик катнашадиган нафис тенг-
сизликлар бор (к- Урта цийматлар).
Бундай тенгсизликлар туркумини
даниялик математик И. Йенсен
(1859—1925)нинг каварик функция-
лар учун куйидаги тенгсизлиги бера-
ди: агар f функция [п, Ь] кесмада
пастга каварик хамда pi,p2, ..., рп
ихтиёрий мусбат сонлар булса, у хол-
да [а, Ь] дан олинган барча х,. Хг...
х„ учун
rz Р1Х1 -j- Р2Х2 ~1- 4~ рпХп . <-
Pl + р2 + -. + Рп
< Plf(X|) + p2f(x2)+-.+jPnf(x„)
pl + Р2 + + Рп
Юкорига каварик функция учун тес-
кари тенгсизлик уринли; хусусан,
f(x) = logx, Pl = р2 = ... = рп =
= — , х,о0 (i - 1, ..., п) булса,
бу ердан урта арифметик ва урта гео-
метрик учун тенгсизлик хосил кили-
нади.
(1) тенгсизликни куйидагича яккол
шархлаш мумкин: пастга каварик
функция графигида ихтиёрий /д, р2,
...,рп массали юкларни жойлаштир-
сак, у массаларнинг умумий огирлик
маркази графикдан юкорида ётади
(3-расм).
f(l) + f(2) + ... f(n) куринишдаги
йигиндиларни бахолаш учун матема-
тик индукция методидан фойдала-
нилади, шунингдек, бу йигиндини мах-
сус танлаб олинган интеграл билан
350
Еш математик цомусий лутати
+ —И ... + — йигиндини (к. Гар-
моник цатор) у — 1 /х гипербола
остидаги юза билан солиштириш
(4-расм) Inn < hn < Inn 4-1 бахони
беради. Айтайлик, п = 1000 булса,
бу ер дан 6,9 </г юоо <7,91 ни ола-
миз.
Элементар функцияларнинг узлук-
сизлиги ва дифференциалланувчи бу-
лишини исботлаш уларнинг х°сила-
лари учун формулалар келтириб чи-
кариш баъзи асосий тенгсизликларга
таянади; stnx<x/gx(0<x< — бул-
ганда) , ех > 1 + х тенгсизликлар,
Бернулли тенгсизлиги (1 +х)"^ 1 +
+ пх(х> — 1), п — натурал сон бул-
ганда) шулар жумласидан.
Уз навбатида, математик анализ
методлари бир узгарувчили функция-
лар учун тенгсизликларни исботлаш-
нинг кулай воситасидир. Масалан,
агар f(x) ва $.(х) функцияларнинг
кийматлари х — а нуктада устма-
уст тушса вах>а учун f1 (х)^^1 (х)
булса, у холда ихтиёрий Ь~^а да
бошкача айтганда, тенг-
сизликни хадма-хад интеграллаш
мумкин. Бу мулохаза кандай килиб
sinx ни катта аниклик билан хисоб-
лашга имкон беришини курсатадиган
бир мисол келтирамиз:
cosx^Z 1 ва (sinx)1 = cosx булгани
туфайли, х>0 учун
sinx = 5 cosxdx <^\ldx = х.
о 0
Худди шунингдек, бу ердан кетма-кет
куйидагиларни оламиз:
х2
1 — COSX < — ,ЯЪНИ cosx
_ х
stnx^x — уу
х4
\-Cosx>-~ -ууу.яъНИ
х2 X4
1 -т + тат
X3 х5
smx _____
X. к. Шундай килиб, sinx ушбу
х3 , х5 х7 ,
х 3! + 5! 7! + -
каторнинг (бу ерда п! = 1-2-...и)
ихтиёрий k = 1, 2, ... учун биринчи k
та хади йигиндиси ва биринчи (k + 1)
та хади йигиндиси орасида жойлаш-
ганлигини топамиз; cosx учун шунга
ухшаш бахоларни
V2 Г4 V6
1 — —+ -— — +
2! '4! 6Х ”
катор беради.
5-расм.
У
у = sin х
Тенгсизликлар
351
Биз юкорида айний тенгсизликлар-
ни олиш усуллари какида гапирдик.
f ва у — ихтиёрий функциялар,
х — узгарувчи булиб, f(x)>^(x) ку-
ринишидаги бирор тенгсизлик ёзил-
ган булса, у колда х нинг баъзи кий-
матларида у тугри, бошкаларида эса
нотугри булиши мумкин. Бундай тенг-
сизликни ечиш узгарувчи х нинг шу
тенгсизлик тугри буладиган барча
кийматлари туплами X ни топиш де-
макдир. Тенгсизликларни ечишга оид
масалалар мактаб курсида батафсил
урганилади.
Тенгсизликларни ечиш билан тенг-
ламаларни ечиш орасида умумийлик
куп — тенгсизликларни кам алмашти-
ришлар ёрдамида соддарогига келти-
риш лозим. Муким фарки шундан
иборатки, тенгсизликнинг ечимлари
туплами X, одатда, чексиз туплам
(кесма, нур, бир нечта кесмаларнинг
бирлашмаси ва к. к.) булади. Бу
холда жавобни тулик текшириш мум-
кин эмас. Шунинг учун тенгсизликни
ечатуриб, унга эквивалент (тенг куп-
ли) булган — ечимлари туплами бе-
рилган тенгсизлик ечимлари туплами
билан бир хил — тенгсизликка утиш-
га мажбур буламиз. Бунинг учун
тенгсизликнинг асосий хоссаларига
таяниб, тенгсизлик белгисини сак-
лайдиган ва тескари тартибда хам
уз кучини саклайдиган алмаштириш-
ларнигина бажариш керак. Айтайлик,
тенгсизликнинг иккала томонини
кубга ошириш амалини татбик килиш
мумкин, аммо (агар тенгсизликнинг
иккала томони мусбатлиги аввалдан
маълум булмаса) квадратга кутариш
амалини татбик килиш мумкин эмас;
умуман, агар F катъий усувчи функ-
ция булса, ва F(f)<ZF(<j) тенг-
сизликлар тенг кучлидир.
Бирок f (х) = д(х) тенгламани
ечишни билсак, у колда f(x) > g-(x)
тенгсизликни ечиш, куп колларда,
кийинчилик тугдирмайди: «интервал-
лар мето ди» ёрдам беради. f(x) > О
куринишдаги тенгсизлик учун бу как-
да суз юритайлик (барча кадларни
тенгсизликнинг чап томонига утка-
зишимиз мумкин). f (х) функция бутун
тугри чизикда ёки бир нечта (чекли
ёки чексиз) кесмалардан ташкил топ-
ган D сохада аникданган ва узлуксиз
булсин. Барча элементар функциялар
учун шундай булади. f (х) — 0 тенгла-
манинг илдизларини белгилаймиз;
улар f функциянинг аникланиш сока-
сини бир нечта интервалларга ажра-
тади, уларнинг хар бирида f уз ишора-
сини сакдайди. Хар бир интервалда
f(x) кандай ишорага эга булишини
f (х) га х нинг шу интервалдан олинган
ихтиёрий битта кийматини куйиб
аниклаш мумкин. Натижада f (х) мус-
бат булган интервалларни танлаш ко-
лади, холос — бу эса кидирилаётган
X туплам булади.
Масалан,
х3 — х2 + 1 > ।
х3 —2x4-1
тенгсизликни ечиш учун макраж
х3 — 2х 4~ 1 = (х — 1) (х2 4- х — 1)
булиб, у х = 1 ва х = (— 1 + \Гб)/2
нукталарда нолга айланишини, каср-
нинг узи эса х = 0 ва х = 2 да 1 га
айланишини кисобга оламиз. Бу беш-
та нукта сон укини 6 та булакка ажра-
тади, шу булакларнинг кар бирида
2х —X2
х3 —2x4- 1
касрнинг ишорасини топишгина ко-
лади. Ишоралар одатда («каррали
илдизлар» учрайдиган алохида кол-
лар дан ташкари), алмашиниб келади.
(Жавоб: X учта тупламдан иборат:
х< ( — 1 — \г5)/2, 0<х<
<( — l+V^l/2 ва 1<х<2).
Агар функция камаядиган ва усади-
ган ораликдар аввалдан маълум кам-
да унинг графиги таниш булса, «ин-
терваллар методи»ни татбик килиш
янада соддалашади. Масалан,
sinx SC с тенгсизлик sinx = с (бу ерда
| с | Ci 1) тенгламанинг х = ( — !)"•
arcsine + 2лп илдизлари орасидаги
(— л/2 4~ 2лн нукталарни уз ичига
олувчи) кесмада бажарилади. 5-расм-
Еш математик цомусий лугати
3S2
да тасвирланган (— arcsine +
+ (2п—1)л, arcsine + 2лп), п =
= 0, ±1...
кесмаларнинг бирлашмаси ечимлар
тупламидир.
ТЕОРЕМА
Теорема — тугрилиги мулохаза, исбот
асосида курсатилган тасдик- Ихтиё-
рий учбурчак бурчакларининг йигин-
диси 180° га тенглиги теоремага ми-
сол була олади. Бу фактни тажриба
йули билан текширишга уннаб куриш
мумкин: учбурчак чизиб, транспортир
билан бурчакларининг катталиклари-
ни улчаб, сунг кушиб чикиб, йигинди
180° га тенглигига ишонч хосил кил-
са булади (хар калай транспортир им-
кон берадиган улчов аниклигида).
Бундай текширишни бир неча марта
Хар хил учбурчаклар учун такрорлаб
чикишимиз мумкин. Бирок бу тасдик-
нинг тугрилиги геометрия курсида
тажрибада текшириш оркали эмас,
исбот асосида урнатилган, бу эса ка-
рала ётган тасдик хар кандай учбур-
чак учун тугрилигига бизни ишонти-
ради. Шундай килиб, учбурчак бурчак-
ларининг йигиндиси хакидаги тасдик
теоремадир.
Теоремаларнинг баёнида одатда
«агар... булса, у холда...», «...дан... ке-
либ чикади» ва б. иборалар учрайди.
Бундай холларда ёзувни кискартириш
учун => белгисидан фойдаланилади.
Масалан, икки Л ва В нуктадан бир
хил узокликдаги М нукта бу нукталар-
нинг симметрия укига тегишли деган
теоремани олайлик (1-расм). Уни ба-
тафсилрок куйидагича баён килиш
1-расм.
мумкин: (ихтиёрий А, В, М нуталар
учун) (МА = МВ)=> (М нукта А ва
В нуктанинг симметрия укига тегиш-
ли).
Геометриянинг бошка теоремалари
хам шунга ухшаш тарзда ёзилиши
мумкин: аввал теореманинг изохловчи
кисми берилади (теоремада кайси
нукталар ва фигуралар каралиши тав-
сифланади), сунг => белгиси билан
бирлаштирилган иккита тасдик келти-
.рилади. Бу тасдиклардан биринчи-
си — изохдан кейин ва => бел гидан
олдин келгани — теореманинг шарти
дейилади, => белгисидан кейин келув-
чи иккинчи тасдик — теореманинг ху-
лосаси дейилади.
Теореманинг изохини узгаришсиз
колдириб, шарти билан хулосасининг
.уринларини алмаштирсак, янги тас-
дик хосил киламиз. Уни дастлабки
теоремага нисбатан тескари теорема
дейиш раем булган. Масалан, юкорида
келтирилган теореманинг тескариси
шундай таърифланади: (ихтиёрий А,
В, М нукталар учун) (М нукта ва В
нукталарнинг симметрия укига тегиш-
ли) => (МА = МВ). К,искаси: М
нукта А ва В нукталарнинг симмет-
рия укида ётса, у Л ва В нукталардан
бир хил узокликда булади. Бу холда
дастлабки теорема хам, унга тескари
теорема хам тугри.
Бирок бирор теорема тугрилигидан
хар доим хам унга тескари теорема
.тугрилиги келиб чикавермайди. Маса-
лан, С нукта АВ тугри чизикка тегиш-
ли эмас => АВ<АС + ВС деган тео-
рема тугри, аммо унга тескари теоре-
ма: (АВ<.АС + ВС)=> (С нукта АВ
тугри чизикка тегишли эмас) — но-
тугри, чунки (АВ<.АС + ВС) шарт
бажарилиб С нукта АВ тугри чизикда,
АВ кесманинг ташкарисида ётиши
мумкин (2-расм).
Шундай килиб, бирор теорема ис-
ботлангач, биз хали унга тескари тео-
рема хам тугри дея олмаймиз. Теска-
ри теореманинг тугрилиги алохида
исбот талаб килади.
Алгебрада хар хил айниятлар тео-
рема мисоли булиб хизмат кила олади,
Тескари тригонометрии функциялар
353
2-расм- С
масалан:
(a-\-b)2 = a2-\-2ab-\-b2,
а2 — b2 = (а-\-Ь)(а— Ь\
an — bn = (а — Ь)(ап~1 + ап~2Ь +
+ an-3b2 + ... + abn~2 + bn~l).
Улар исботланади, яъни аксиомалар
асосида келтириб чикарилади ва шу-
нинг учун теоремалар булади. Алгеб-
ра теоремаларидан яна бири — квад-
рат тенглама илдизларининг хоссаси-
га дойр Виета теоремаси.
Мавжудлик теоремалари деб атала-
диган теоремалар математикада катта
роль уйнайди. Улар бирор хоссага
эга сон, фигура ва б. объектлар мав-
жудлигини тасдиклайди холос, лекин
бу объектни топиш йулини курсат-
майди, п ток булганда хакикий коэф-
фициентли кар кандай, масалан:
хп + т'"~‘ + а2хп~2 + ...
Н- й-п — iX -j- ап = О
тенглама камида хакикий илдизга
эга, яъни бу тенгламанинг илдизи
булган Хо^ R сони мавжуд.
Айрим теоремаларга лемма, нати-
жа каби махсус номлар билан кушим-
ча тус берилади. Лемма деб, одатда,
уз холича алохцда кизикиш тугдир-
майдиган, лекин кейинги баён учун
керакли теоремага айтилади. Натижа
деб эса аввал исботланган теорема-
дан нисбатан осон келиб чикадиган
тасдикка айтилади.
Баъзан гипотеза (фараз) дейилса
тугрирок буладиган тасдик кам теоре-
ма дейилади. Масалан, «Ферманинг
катта теоремаси»: и <2 булганда
п" у" = z" тенглама бутун мусбат
ечимга эга эмас. Бу тасдик хозирча
исботланган эмас.
Теоремалар аксиомалар ва таъриф-
лар билан бир каторда математик
жумлаларнинг асосий турларини таш-
кил килади. Х,ар бир математика фа-
йл (геометрия, алгебра, функциялар
назарияси, эхтимоллар назарияси ва
23—4826
X- к.) нинг ахамиятга молик фактла-
ри теорема куринишида ифода ки-
линади. Бирок математика фанини
эгаллаш аксиомалар, таърифлар ва
асосий теоремаларни урганишдан ибо-
рат булмайди. Математик билим уз
ичига математик назариянинг факт-
лар бойлигидан тугри фойдалана
олиш кобилияти, масалалар ечишнинг
асосий усулларини эгаллаган булиш-
ни, математика асосида ётган гоя-
ларни тушунишни, амалий масалалар-
ни ечишда математикани куллай олиш
кобилиятини камрайди.
Фазовий тасаввур, графикларни
«укдй олиш» куникмаси, у ёки бу ма-
тематик тушунчани намоён килади-
ган мисоллар топа олиш кобилияти
ва б. хам шу даражада му хим. Шун-
дай килиб, теоремалар математик на-
зария расмий «асосини» ташкил этиб,
улар билан танишиш математикани
чукур эгаллашнинг бошлангич боски-
чидан иборат.
ТЕСКАРИ
ТРИГОНОМЕТРИК
ФУНКЦИЯЛАР
Тригонометрик функциянинг киймати
маълум булганда унга мос келадиган
бурчакнинг кийматини градус ёки ра-
диан улчовида топиш математиканинг
куплаб масалалари ва татбикларида
талаб килинади. Маълумки, синус-
нинг айни бир кийматига чексиз куп
бурчаклар туплами мос келади, маса-
лан, sina = 1 /2 булса, а бурчак 30°
га хам, 150° га хам, ёки радиан улчо-
вида л/6 ва 5л/6 га тенг булиши
мумкин; бундан ташкари а шу бурчак-
ларга 360°fe куринишидаги (радиан
хисобида 2ли) кушилувчи кушиш би-
лан хосил килинган ихтиёрий бурчак-
ка тенг булиши мумкин (к — истал-
ган бутун сон). Бу х°л у = sinx функ-
циянинг графигини бутун сон уки
354
Еш математик цомусий лугати
устида Караганда дам очид-ойдин ку-
ринади (1-расм): агар Оу укида узун-
лиги 1 / 2 тенг кесма ажратиб, Ох уки-
га параллел тугри чизик утказсак, у
синусоидани чексиз куп нукталар
тупламида кесади. Жавобнинг ана
шундай хилма-хиллигидан холис бу-
лиш учун тескари тригонометрик
функциялар киритилади. Улар доира-
вий функциялар ёки аркфункциялар
_ (латинча arcus — «ёй» сузидан) дам
дейилади.
Турт асосий тригонометрик функ-
цияларга, яъни sinx, cosx, tgx ва ctgx
га туртта тескари тригонометрик
функция мувофид келишини таъкид-
лаймиз: arcsinx, arccosx, arctgx ва
arcctgx (мос тартибда арксинус, арк-
косинус, арктангенс ва арккотангенс
деб удилади). Бу функциялардан ик-
китаси arcsinx ва arctgx оркали кол-
ган иккисини ифодалаш мумкин:
л
arccosx = -^---arcsinx,
arctgx = —----arctgx.
Таърифга кура у = arcsinx шундай
бурчакки, биринчидан, у радиан ул-
3-расм.
иккинчидан, унинг синуси х га тенг,
яъни siny = х. arcsinx функция
[—g-; Н—g-J кесмада караладиган
sinx функцияга тескари булади: sinx
бу кесмада монотон усиб, — 1 дан + 1
гача барча кийматларни бир мартадан
кабул килади. Шунинг учун равшан-
ки, arcsinx функциянинг аргумента
фадат [—1; 1] кесмадан киймат ка-
бул кила олади, бу кесмада у монотон
усади дамда кийматлари (—;
л
кесмани тулдиради. Унинг гра-
фиги 2-расмда курсатилган.
Агар — 1 а < 1 шарт бажарилса,
sinx = а тенгламанинг барча ечим-
лари х = ( — 1 )narcsinxa + пп кури-
нишда ёзилади, бунда п = 0, ± 1.
±2, .... Масалан,
sinx = учун
Х = (-1)"-^+ л«.
у = arctgx тенглик х нинг барча
кийматларида маънога эга ва у, таъ-
рифга биноан, радиан улчовида олин-
ган у бурчак — < у < -£
Тетраэдр
355
ораликда ётишини ва унинг тангеней
х га тенг, яъни tgy — х булишини
билдиради. у = aretgx функцияси
бутун сон укида аникланган ва tgx =
= а функцияга тескари булади, бунда
фадат tgx функция
оралиддагина даралиши лозим.
у = aretgx функция монотон усувчи,
графиги 3-расмда берилган.
tgx = а тенгламанинг барча ечим-
ларини х = aretgx + лп, п = О,
±1, ±2, ..., формула билан ёзиш
мумкин.
Тескари тригонометрик функция-
лар математик анализда кенг кулла-
нишини таъкиддаш керак. Масалан,
чексиз даражали катор билан тасвир-
ланган дастлабки функциялардан би-
ри aretgx булган. Бу катордан Г. Лей-
бниц артументнинг х = 1 кийматида
л сонининг машхур
"“4(,-т + 4-т + ->
чексиз каторини косил килган.
ТЕТРАЭДР
Тетраэдр ёки учбурчакли пирамида —
купёкликларнинг энг соддаси (учбур-
чак — купбурчакларнинг энг соддаси
эканлиги каби). «Тетраэдр» юнонча
tetra — «турт» ва hedra — «асос»,
«ёк» сузларидан ясалган. ABCD тет-
раэдр узининг учлари — бир текис-
ликда ётмайдиган А, В, С, D нукталар
билан берилади; тетраэдр ё кд ар и —
туртта учбурчак; унинг олтита цирра-
си бор. Ихтиёрий n-бурчакли пира-
мидадан фаркли (п^4 булганда)
тетраэдрнинг исталган ёги асос килиб
танланиши мумкин.
Тетраэдрнинг купчилик хрссалари
учбурчакнинг мос хоссаларига ухшай-
ди. Хусусан, тетраэдр кирраларининг
урталаридан уларга тик утказилган
6 текислик бир нуктада кесишади.
Худди шу О нуктада тетраэдр ёкла-
рига ташки чизилган айланалар мар-
казидан чикарилган турт перпендику-
ляр х,ам кесишади. Бу О нукта тет-
1-расм.
рагдрга ташки чизилган сферанинг
марказидир (1-расм). Шунингдек,
тетраэдрнинг 6 биссектор яримтекис-
лиги, яъни тетраэдр кирраларидаги
икки ёкли бурчакларни тенг иккига
булувчи ярим текисликлар бир нукта-
да кесишади; бу нукта ички чизилган
сфера — тетраэдр ёкларидан кар би-
рига уринувчи сферанинг маркази бу-
лади. Ихтиёрий учбурчак ички чизил-
ган айланага кушимча яна учта ички-
ташки чизилган айланага эга (к. Уч-
бурчак), тетраэдрга келсак, унинг ич-
ки-ташки ясалган сфералари — тет-
раэдр ёкларидан утувчи турт текис-
ликнинг каммасига уринувчи сфера-
лари 4 тадан 7 тагача исталган сон-
да булиб колиши мумкин. Бундай сфе-
ралардан 4 таси доим мавжуд — улар
тетраэдрнинг уч ёгидан утувчи текис-
2-расм.
356
Еш математик цомусий лугати
ликлар чегараланган бурчак туртинчи
ёги билан кесишиб досил килган со-
даларга жойлашади (у содалардан би-
ри 2-расмда унгда тасвирланган).
Яна 3 сфера тетраэдр кирраларига
ташкаридан ёпишган кесик икки ёкли
бурчакларга жойлашиши мумкин
(лекин доим жойлашади деб тасдид-
лаб булмайди) — улардан бири
2-расмда чап томонда тасвирланган.
Тетраэдрнинг сфера билан узаР°
жойлашувига яна бир имконият мав-
жуд — У бирор сферага барча дирра-
лари билан уриниши мумкин (3-
расм). Бундай сфера (баъзан ярим
ички ясалган деб аталади) мавжуд
5-расм.
булиши учун тетраэдр дарама-дарши
дирраларининг йигиндилари тенг бу-
лиши керак: АВ ф- CD = АС -+-
ф- BD = AD ф- ВС (3-расм).
Ихтиёрий тетраэдр учун учбурчак
медианалари бир нудтадан кесишиши
дадидаги теореманинг ухшаши урин-
ли. Чунончи, тетраэдр дирраси ва унга
дарама-дарши дирранинг уртасидан
утувчи текисликлар (улар 6 та) бир
нудтада кесишади; бу нудта тетраэдр
центроиди — огирлик маркази дейи-
лади (4-расм). М центроид ордали
яна уч «урта чизид» — уч жуфт да-
рама-дарши дирралар урталарини
туташтирувчи кесмалар утади ва М
нудтада дар бири тенг иккига булина-
ди. Нидоят, бу М нудтадан тетраэдр-
нинг 4 «медианаси» дам утиб, дар би-
ри М нудта билан 3:1 нисбатда були-
нади (тетраэдр «медианаси» — унинг
учини даршисидаги ёднинг центроиди.
6-расм.
Топология
357
яъни медианалар кесишиш нуктаси
билан туташтирувчи кесма).
Учбурчакнинг энг муким хоссаси —
/_А + /LB + ZC = 180° (ёки = л)
тенгликнинг тетраэдр учун мутаносиб
ухшаши йук- тетраэдрнинг 6 та икки
ёкли бурчаклари йигиндиси 2л дан
Зл гача ихтиёрий дийматга тенг чи-
киши мумкин (шубхдсиз, 12 та текис
бурчаклар йигиндиси — кар бир учда
3 тадан — тетраэдрга боглик эмас ва
4л га тенг).
Учбуракларни уларнинг симмет-
риклик даражасига караб синфларга
булиш раем булган: мунтазам ёки тенг
томонли учбурчакларда учта симмет-
рия уки бор; тенг ёнли учбурчаклар-
нинг битта симметрия уки бор. Тет-
раэдрларнинг симметриклик даража-
си буйича классификацияси бойрок-
Энг симметрик тетраэдр — мунтазам
тетраэдр, у туртта мунтазам учбур-
чак билан чегараланган булиб, 6 та
симметрия текислиги бор — улар х,ар
бир кирра оркали карама-карши кир-
рага перпендикуляр булади. У яна уч-
та симметрия укига х,ам эга — улар
карама-карши кирралар урталаридан
утади (5-расм). Мунтазам учбурчакли
пирамидалар симметрияси озрок (3 та
симметрия текислиги, 6-расм), тенг
ёкди тетраэдрлар кам деярли шундай
(3 та симметрия уки, 7-расм). Факат
битта симметрия текислиги ёки сим-
метрия укига эга тетраэдрлар кам
куп, албатта.
Макола якунида тетраэдр кажми
учун иккита формула келтирамиз.
Улар учбурчак юзи учун маълум
формулаларга жуда ухшаш булмаса
хам оз булса-да ухшашлик борлиги-
ни кузатса булади:
ABCD = "д’ $АВС ' h-D >
бу ерда hD баландлик D учдан АВС
ёкдан утувчи текисликкача булган
масофа.
2) VABCD = ^-SABEA^smUAB\
бу ерда (Z-AB)-— киррага ёпишган
иккиёкли бурчак. Тетраэдр кажми хи-
собланадиган бошка формулалар хам
бор.
ТОПОЛОГИЯ
Топология — XIX а.нинг иккинчи яр-
мида вужудга келган математика фан-
ларидан бири. У геометрик фигура-
ларнинг узлуксизлик тушунчаси билан
боглик хоссаларни урганади.
Топология гоясини куйидагича ту-
шунтириш мумкин. Бирор фигурани
бошка бир фигурага f акслантири-
шининг узлуксизлиги, у узилишларга
эга эмаслигини билдиради, яъни ку-
полрок килиб айтганда, узлуксиз акс- •
лантиришда А фигурани нг бир-би-
рига «якин» нукталари В фигуранинг
«якин» нукталарига утади. Масалан,
фигуранинг текисликка проекцияси
(1-расм) узлуксиз акслантириш бу-
358
Еш математик цомусий лугати
лади (к,. Геометрик алмаштиришлар).
Бошк,а мисол: агар А фигура резин-
ка каби ихтиёрий тарзда узилмасдан,
йиртилмасдан эгилиб, чузилиб ёки
кисилиб деформацияланиб, окибатда
В фигура косил килса (бунда елим-
ланиш, яъни А фигуранинг турли
Кисмлари В фигуранинг бир кисмини
Косил килиши мумкин), у колда биз
А фигуранинг В фигурага узлуксиз
аксланишига эга буламиз.
Агар А фигуранинг В фигура усти-
га f аксланиши кам узлуксиз, кам
елимланмасдан содир булса, у гоме-
оморфизм (юнонча homoios — «ух-
шаш», «бир хил» ва morphe — «ку-
риниш», «шакл» сузларидан) дейила-
ди. Аникроги, f акслантиришгина
эмас, унга тескари f~l акслантириш
Кам узлуксиз булса, гомеоморфизм
булади. Масалан, Г, Л, М, П, С карф-
лари (учлари ва бурчаклари ингичка
чизиклар билан безаксиз тасвирлан-
ганда) узаро гомеоморф. Е, У, Т, Ч,
Ш, Ц, Э, F карфлари кам узаро гомео-
карфларга гомеоморф эмас. О карфи
узбек алифбосидаги бошка бирор
карфга гомеоморф эмас. Бошка мисол
сифатида учбурчак, квадрат ва умуман
кар кандай каварик купбурчак айла-
нага гомеоморф эканлигини эслата-
миз — купбурчакнинг учларини
«эзиб» силликлаш мумкин (2-расм).
Шунингдек, шар, куб, цйлиндрнинг
сиртлари узаро гомеоморф. Аммо бу
сиртлар торга гомаоморф эмас; тор —
тешиккулчанинг сирти ёки автомо-
биль шинаси (велосипед камераси)га
ухшаш фигура. Полвонлар кутара-
диган тошнинг сирти торга гомео-
морф.
Фигуралар гомеоморфлиги тушун-
часини фигуралар тенглиги тушун-
часи билан солиштириш ибратлидир.
Геометрияда нукталар орасидаги ма-
софаларни сакловчи акслантиришлар
каралади. Улар каракатлар ёки сил-
житишлар деб аталади. Харакат на-
тижасида кар бир фигура янги колат-
га каттик жисм тарзида, масофалари
узгармаган колда кучади. Харакат
ёрдамида бири иккинчисига утадиган
(устма-уст тушириладиган) фигура-
лар тенг деб юритилади ва геометрик
нуктаи назардан бир хил, бир-бири-
дан фарк килмайдиган объектлар деб
каралади. Топологияда каракатларга
нисбатан анча умумий акслантириш-
лар — гомеоморф акслантиришлар
билан иш курилади. Гомеоморф фи-
гуралар топологик нуктаи назардан
. бир хил, узаро фарк килмайди деб
каралади. Гомеоморф акслантириш-
ларда узгармай сакланадиган фигура
хоссалари унинг топологик хоссалар.
дейилади; ана шундай хоссалар то-
пологияда урганилади.
аввал саналган
морф, лекин улар
2-расм.
Топология
359
5-расм. «Топология гео- зиддиятнинг сермахсул
«етриянинг энг ёш ва энг таъсирини яадол намо-
эакувват бугини, интуи- . йиш дилади.
_»я ва мантик; орасидаги р. Курант
Еш математик цомусий лугати
360
Купдан буён маълум топологик хос-
салардан бири Л. Эйлер номи билан
боглик,. Топологияда чекли сондаги
ёйлардан иборат фигуралар — граф-
лар каралади. Графда бир неча уч
булиб, улардан баъзилари узаро ке-
сишмайдиган ёйлар билан туташти-
рилган. Агар графни «бир чизишда
чизиш» мумкин булса, яъни граф
буйлаб бирор ёйини х,ам икки марта
босиб утмасдан узлуксиз хдракат би-
лан айланиб чикиш мумкин булса, у
уникурсал граф (ёки Эйлер графи)
дейилади. Графнинг уникурсал бу-
лиш-булмаслик хоссаси топологик
хоссадир. Шуни иботлаш мумкин: бир
ёки икки учидан бошка барча учидан
чиккан кирралар сони жуфт булганда
ва факат шу х,олда граф уникурсал
булади. Уникурсал графлар билан
Топология
Эйлер текширган ««Кёнигсберг куп-
пиклари х,ак,ида масала» алоцадор.
Кёнигсберг (х,озирги Калининград
шахри) Преголь дарёси буйига жой-
лашган булиб, уша даврда еттита куп-
рикка эга булган. Масала шундан ибо-
рат булган: шахар буйлаб саёхат к,и-
лаётган киши хар бир куприкдан роп-
па-роса бир мартадан ута оладими?
Шадарнинг планига мос граф куямиз.
Унинг Л учи дарёнинг чап сох,илини,
361
П учи унг сох,илини, А ва В—ороллар-
ни белгиласин, графнинг кирралари
эса куприкларга мос келсин (3-расм,
юкорида унгда). Бу графнинг хар бир
учидан ток сондаги кирралар чикади.
шунинг учун граф уникурсал эмас,
яъни талаб килинган саёхат марш-
рута мавжуд эмас.
Графнинг яна бир диккатга сазовор
топологик хоссаси — текисликка
жойланиш-жойланмаслик хоссаси-
362
Еш математик цомусий лугати
дир. Текисликка жойланмайдиган
графнинг бир мисоли («уйлар ва ду-
дудлар») куйидагича ясалади. Текис-
ликда олтита нукта бирилган: У\, У 2,
У3 (уйлар) ва К,|, К,2 К,3 (дудудлар);
текисликда хар бир уйдан хар бир
кудукка шундай судмодлар утказиш
мумкинмики, судмодларнинг хеч дай-
сиси бошдаси билан кесишмасин?
Масала жавоби салбий: агар биз бир
судмокдан бошдаларини утказиб чид-
сак, сунгги судмодда текисликда жой
долмайди. Хуллас, бу граф текисликка
жойланиши мумкин эмас. Текисликка
жойланмайдиган графнинг бошда ми-
соли 3-расмнинг дуйи унг бурчагида
берилган (бешта учнинг дар жуфти
дирра билан туташтирилган); бу су-
ратда иккита дирра кесишаяпти. Шу-
ниси дизидки, юдорида суз юритил-
ган икки граф текисликка жойлаш-
майдиган графларнинг «эталонлари»
экан: текисликка жойлашмайдиган
дар бир граф улардан камида бирини
уз ичига олар экан. Бу теорема поляк
математиги К. Куратовский (1896—
1980) ва совет математиги Л. С. Понт-
рягин томонидан исботланган.
Агар графларни текисликка жой-
лаш мумкин булса, у текисликни
Б — У+^+ 1 та содага булади, бунда
Б — графнинг туташ булаклари сони,
У — унинг учлари сони, К, эса — дир-
ралари сони. Бу графлар топология-
сида исботланадиган энг мудим фор-
мулалардан бири.
Сиртларга оид топологик хоссалар-
дан иккитасини эслатамиз. Улардан
бири — Эйлер теоремаси: агар сфера
(ёки унга гомеоморф сирт) устида
туташ граф чизилган булса, У—^4-
4-Ё = 2 формула уринлидир, бунда
У — учлар сони, К, — дирралар сони,
Ё эса — сфера устида досил булган
содалар (ёдлар) сони. Хусусан, бу
Денгиз тугуни схемаси.
4-расм.
Иккита тугуннинг ^заро
чигаллиги даража сини
аниклаш учун чигаллнк
коэффициенти тушунча-
си кнрнтилади. 5-расмда
бу коэффициент 0 га,
6-расмда эса 1 га тенг.
муносабат ихтиёрий даварид дупёд-
лик учун уринли.
Иккинчи мисол — «типратикан ха-
кида теорема»: агар сфера сиртининг
дар бир нудтасидан «тикан» (нолдан
фардли вектор) усиб чиддан булиб,
унинг йуналиши нудтадан нудтага
узлуксиз узгарса, доим камида битта
сферага тик йуналган «тикан» топи-
лади. Образли килиб айтганда, «сфе-
расимон типратиканни» игнаси сан-
чилмайдиган дилиб тараб булмайди.
Албатта, биз топологиянинг бир не-
ча содда ва тушу ниш енгил фактлари
хакида дикоя дилдик, холос. Шу кун-
да топология — геометрик фигура-
ларнинг туб хоссаларини урганувчи
катта ва чудур фан. Турт буёк муам-
моси (д. Комбинаторика, Графлар).
тугунлар, чигал иплар (4—6-расм-
лар), чизидлар ва сиртларнинг табиа-
Трактриса
363
ти ва б. куп масалалар топологиянинг
5фганиш объектидир. Х,атто алгеб-
ранинг асосий теоремаси деб атала-
диган тасдик; хам аслида топология-
нинг бошца сохаларида, физикада, ма-
салан, электротехника, суюк кристал-
лар назарияси, молекуляр биология,
космогония ва б. сохаларда катор
кизикарли ва мухим татбикдарга эга.
ТРАКТРИСА
Трактриса — уринмасининг узунлиги,
яъни уринманинг уриниш нуктасидан
абсциссалар уки билан кесишиш нук-
тасигача булган кесмаси узунлиги уз-
гармас микдор булган ясси эгри чи-
зик- 1-расмда бу кесма TL билан бел-
гиланган (| TL | = а); абсциссалар
уки трактрисанинг йуналтирувчиси
деб аталади. Расмдан / йуналтирувчи
трактрисанинг асимптотаси хам эка-
ни ва трактриса ордината уки сифати-
да кабул килинган ОА тугри чизикка
нисбатан симметриклигини куриш
мумкин. А нукта трактрисанинг учи
дейилади, бу унинг / йуналтирувчи-
дан энг узок нуктаси (ОА = а}.
Трактрисанинг таърифидан унинг
ёйини, масалан, шундай хосил килиш
мумкинлиги келиб чикади: арконча
билан бола тортиб бораётган уйин-
чок харакат бошланишида йуналти-
рувчидан ташкарида булса, уйинчок-
нинг траекторияси трактриса ёйи бу-
лади (чизик номи шундан келиб чик-
кан).
Трактрисами / йуналтирувчи атро-
фида айлантиришдан косил булган
сирт псевдосфера деб аталади
(2-расм). Бу сирт катор кизик хос-
саларга эга. У чексиз булишига ка-
рамай, радиуси а = | ОА | га тенг
сферанинг юзаси га тенг чекли юзага
эга. Аммо, энг мукими, Евклид гео-
метриясида текислик кандай роль
уйнаса, псевдосфера Лобачевский
геометриясида шундай роль уйнайди.
Техникада трактрисани баъзан ан-
тифрикцион (яъни ишкаланишга акс
таъсир этувчи) эгри чизик деб аташа-
ди, чунки карусель станокнинг кузгал-
мас асоси билан кузгалувчи кисми
ишкаланадиган сокаси псевдосфера-
нинг булаги куринишида тайёрланади.
Натижада ишкаланадиган соха бир
текис ейилади.
Трактрисанинг тенгламаси:
, , a—Ja2—y2 , п--------2\
х— ± (aln----------— + \а — у2).
1-расм.
364
Еш математик цомусий лугати
ТРИГОНОМЕТРИК
ТЕНГЛАМАЛАР
Тригонометрик тенгламалар — ёзи-
лишида номаълумнинг тригонометрик
функциялари катнашган тенглама-
лар. Тригонометрик тенгламаларни
ечишда, одатда, уларни /?(х) = а ку-
ринишдаги энг содда тенгламаларга
келтиришади, бу ерда А? (х)—асосий
тригонометрик функциялар (синус,
косинус, тангенс, котангенс)дан би-
ри, а — бирор сон. Энг содда тригоно-
метрик тенгламалар
sinx = а ва (1)
cosx = а
(2)
I а | > 1 булганда ечимга эга эмас
(1<2, 2«-расмлар), | а I 1 х,олда
узунлиги 2л га тенг ихтиёрий ярим
очик ораликда иккита илдизга эга
(| а | =1 булса, бу илдизлар устма-
уст тушади) (1 б, 2б-расмлар). Бу тенг-
ламаларнинг х,амма илдизлари (1)
тенглама учун х = ( — 1 )karcsina +
-f- nk, k^Z бунда Z — {0, + 1,
+ 2, ...}, (2) тенглама учун эса
х = ±arccosa ф 2л£, fceZ
формулалар ёрдамида берилади (16,
26-раемл ар) (к- Тескари тригономет-
рик функциялар).
Igx = а (3)
тенглама ихтиёрий а учун узунлиги
л га тенг исталган ярим очик оралик-
да битта илдизга эга, илдизлар учун
формула:
х = aretga -|- nk, feeZ
булади.
etgx = а (4)
тенглама х,ам ихтиёрий а учун узунли-
ги л га тенг исталган ярим очик ора-
ликда битта илдизга эга, (4) тенгла-
манинг илдизлари
х = arcctga + л/г, feeZ
формула оркали берилади.
R куринишдаги тенгла-
ма (бунда R — асосий тригонометрик
функциялардан бири) узгарувчини
у = у(х) алмаштириш ёрдамида энг
содда тенглама R(y) = а га келти-
рилади. Бу тенгламадан у^ илдизлар
топилгач, g (х) = yk тенгламани ечиш
колади, холос. sin(\/ (х — 2)) = О
тенгламани ечайлик. у= 1 / (х — 2)
деб белгилаш киритамиз: siny = 0;
бундан 1/ (х — 2) = nk муносабатни
оламиз; сунг х — 2 = 1/nk.
1-расм.
Тригонометрик тенгламалар
365
k = -+-1. +2, ...}
Купинча, у = R(x) алмаштириш
дастлабки тенгламани у га нисбатан
алгебраик тенгламага келтиради. yi,
у2, ... кийматларни топгандан сунг
R(x) = yf R(x)=y2, ... энг содда
тенгламаларни ечишгина колади. Ма-
салан, у = sinx алмаштириш
1 — sinx — 2cos2x = 0 тенгламани
2у2 — у— 1=0 алгебраик тенгламага
олиб келади.
tg(x/ 2) аникланган холларда ушбу
1 . 2Х
cosx =---------;
l+tg2T
2tgT
sinx =--------;
1+^2г
tgx =-------— (5)
1-^y
формулалар уринли. Бу формулалар
ёрдамида sinx, cosx, tgx ва ctgx кий-
матларини богловчи тенглама
2-расм.
> > X
t = tg^£ га
келтирилади.
нисбатан тенгламага
, х
tg аникданмаган
х
(яъни cos = 0) Х.ОЛНИ алохдда ка-
раш лозим.
X
2sinx + cosx = ctg-^---1 тенгла-
. х
мани ечаилик. tg аникланмаган
л + 2л/г кийматлар, k = 0, ± 1,
+ 2, ..., тенгламанинг ечимлари бу-
лади (бундай х ларда cosx = — 1,
sinx = 0, dg(^-)=0 ва 2-0 — 1 =
=0—1). 2
Бошка х ларда (5) формуладан фой-
х
даланиш мумкин; tgни t оркали
белгилаб,
2-2/ 1-Z2 _ J__ 1
1-Н2 + 1-Н2 t
3t2 + 2t - 1 = 0
тенгламани хосил киламиз, бу ердан
t = — 1 ёки t = . Жавоб:
О
366
Еш математик цомусий лугати
{ л + 2л/г;-4- 2nk;
2arctg4- 2nfe, fe = 0, ±1, ±2, ...}.
О
Куп учрайдиган
Acosx 4- Bsinx = С (6)
тенгламани (бу ерда А, В, С — бирор
сонлар) ёрдамчи аргумент киритиш
усули билан куйидаги схема буйича
ечиш кулай:
(6) тенгламани
А В
- ~ COSX 4- — п sinx =
д/ЛЧВ7 7л24-в2
= ^А2 + В2'
куринишда ёзиб олиб,
(_______)2 4- (________)2 = 1
(J + 1да-
эканини пайкаш осон, бинобарин,
шундай <р бурчак мавжудки,
СОХф = 7Ж^’
в
Sln(p=-J^+F-
Демак,
c°s(x-,f>=
ва биз у = х — гр га нисбатан энг
содда тригонометрик тенгламани ко-
сил килдик.
ТРИГОНОМЕТРИК
ФУНКЦИЯЛАР
Тригонометрик функциялар Кддимги
Юнонистонда астрономия ва геомет-
риядаги тадкидотлар муносабати би-
лан пайдо булди. Тугри бурчакли уч-
бурчакда томонларнинг нисбатлари
асл мокияти билан тригонометрик
функциялардир, улар III а.даёк Ев-
клид, Архимед, Пергалик Аполлоний
ва б.нинг ишларида учраган. Тригоно-
метрик функциялар назариясига, ва
умуман, тригонометриям козирги за-
мон тусини Л. Эйлер берди. Тригоно-
метрик функцияларнинг таърифлари
ва козирги кабул килинган символи-
ка унга мансубдир.
2-расм=
А
Тригонометрик функциялар 367
Тригонометрик функциялар (юнон-
ча triyonon — «учбурчак» ва met-
гео — «улчайман») — функциялар-
нинг энг мухим синфларидан бири.
Тригонометрик функцияларни
аникдаш учун радиуси 1 ва маркази
координата бошида булган тригоно-
метрик дойра (айлана)ни к,арайлик
(1-расм).
Агар ОС ва О А радиуслар орасида-
ги радианларда ифодаланган бурчак
Ф булса, 0^Сф^С2л (бурчак ОС дан
О А га йуналишида хдсобланади), у
холда А нуктанинг координаталари,
мос равишда ср бурчакнинг к о с и-
нусива синуси дейилади хамда
х — cosip, у = sinip каби белгилана-
ди. Бу ердан равшанки, | со sip | 1,
sin <р| sC 1 ва cos2ip + sin2ip = 1
Уткир бурчаклар учун (яъни
0<ф<л/2) cosip ва sinip тригоно-
метрик функциялар тугри бурчакли
учбурчак катетининг (мос равишда,
бурчакка ёпишган ва бурчак карши-
сидаги) гипотенузага нисбати сифа-
тида каралиши мумкин (2-расм), бун-
да гипотенузанинг узунлиги 1 га тенг
булиши шарт эмас. Бу таърифдан ке-
либ чикиб, баъзи бурчаклар тригоно-
метрик функцияларининг кийматлари
жадвалини тузамиз, улардан ташка-
ри, равшанки, cos() — sin-^ = 1
ва cos -g- = sinQ = 0. 0^ф^2л
булганда тригонометрик функциялар-
нинг графикларини ясаш учун куйи-
368
Еш математик цомусий лугати
дагича иш тутамиз. Тригонометрик
айланани 16 тенг дисмга буламиз ва
ёнига координата системасини,
3-расмда курсатилгандек дилиб жой-
лаштирамиз. 3-расмда Оср удидаги
узунлиги 2л булган кесма дам 16 та
тенг дисмга ажратилган. Айлананинг
булиниш нудталари ордали Оср удда
параллел тугри чизидлар утказиб, бу
тугри чизидлар Оср уддаги [ 0, 2л ] кес-
манинг мос булиниш нудталаридан
утказилган перпендикулярлар билан
кесишиш жойида координаталари мос
бурчаклар синусларига тенг булган
нудталарини оламиз; дуйидаги тадри-
бий тенгликлар уринли эканини ай-
тиб утайлик:
sin—- 0,4; sin — 0,7;
8 4
Зл
sin « 0,9
о
Агар 16 та эмас, айтайлик, 32, 64
ва д. к. нудталар олсак, у долда
у = sincp функция графигида ётувчи
исталганча куп нудталарни ясаш мум-
кин. Улар ордали силлид эгри чизид
утказиб, биз [ 0, 2л ] кесмада у — sincp
функциянинг етарлича даноатланарли
булган графигига эга буламиз. Бутун
тугри чизикда анидланган у = sincp
функцияни олиш учун эса уни аввало
(п2л, (пЦ-1)2л куринишдаги барча
кесмаларда (бу ерда п — натурал
сон) анидлаб чидишади, яъни унинг
ср, ср-)-2л, ср-|-4л, ... нудталардаги
дийматлари тенг деб дисобланади
(0^ср^2л), суигра манфий ср лар
учун sin(—ср) = —sincp тенгликдан
фойдаланилади. Бу ишларнинг дамма-
сини бажариб, 4-расмда курсатилган
графикни оламиз. Натижада даврий
(2лп даврли, п=^0 ва n-бутун) тод,
ср нинг барча дадидий дийматларида
анидланган у = sincp функция досил
булади; унинг дийматлар содаси —
I -1, 1]-
Барча ср учун у = coscp функцияни
анидлашда, аввало 0 sC ср «С —
учун coscp = sin ---ср) булишини
айтиб утамиз, бу муносабат sincp ва
coscp тригонометрик функциялар таъ-
рифидан бевосита келиб чидади.
у = sincp функция барча ср учун анид-
лангани сабабли, биз «таьриф буйи-
ча, юдоридаги тенглик у = coscp функ-
цияни дам барча ср учун анидлайди»
деймиз. Бу таъриф асосида у = coscp
функциянинг графигини досил дилиш
дийин эмас. у = coscp функция жуфт
ва даврий булиши равшан, чунки
унинг графиги у = sincp функция
графигини чапга узунлиги л/ 2 булган
кесмага яхлитлигича кучириш йули
билан олинади (5-расм).
График ёрдамида дилинган энг
содда тадлил шуни курсатадики, юдо-
рида айтилган формулалардан таш-
дари келтириш формулалари деб ата-
лувчи дуйидаги формулалар уринли:
sin (ср-|-пл) = + sincp,
cos (ср-)-пл) = ± coscp,
/ , л ,
Sin ( ср + п-£-) = ± coscp,
COS (ср + п -^-) = + sincp
Биринчи датордаги формулаларда п
ихтиёрий бутун сон булиши мумкин,
шу билан бирга устки ишора п = 2k
га, остки ишора эса п = 2k -|-1 га
мос келади; иккинчи датордаги фор-
мулаларда п фадат тод сон булиши
мумкин, п = 4fe -|- 1 булганда юдори
ишора, п — 4 k — 1 булганда дуйи
ишора олинади, k — бутун сон.
Асосий тригонометрик функциялар
sincp ва coscp ёрдамида бошда триго-
нометрик функциялар — тангенс ва
котангенсни анидлаш мумкин:
sincp J coscp
---—, deep = . ;
coscp sincp
бунда тангенс ср нинг фадат coscp ^=0
дийматларида, яъни ср^=л/ 2-|-нл,
п = 0, + 1, ±2, ... учун анидланган,
Тригонометрик функциялар
369
котангенс функция эса ср нинг-
sin ср =# О кийматларида, яъни ср=#пл,
п = 0, + 1, ±2, ... учун аницланган.
Бу функциялар уткир бурчаклар учун
геометрик жикатдан тугри чизицлар-
нинг йуналтирилган кесмалари сифа-
тида тавсифланиши мумкин (6-расм):
tgq = I АВ I , ctgtp = I CD | .
Синус ва косинусга ухшаш, тангенс ва
котангенс функциялар кам уткир бур-
чаклар учун катетлар нисбати сифа-
тида царалиши мумкин: тангенс —
бурчак царшисида ётган катетнинг
бурчакка ёпишган катетга нисбати;
котангенс — бурчакка ёпишган катет-
нинг бурчак каршисидаги катетга
нисбати. у = tg(f ва у — ctgtp функ-
цияларнинг графиклари 7- ва 8-расм-
ларда курсатилган; куриниб турибди-
ки, бу функциялар ток, даврий ва
уларнинг даври пл, п = ±1, ±2...
Энг муким тригонометрик формула-
лар — кушиш формулаларидир:
Stri (tpi + <p2)=S«n(piCOS(p2±COS(piS«ncp2
cos (epi ± cp2)= coscpicoscp2 ±
±sin(pisin<f2,
(g(<pi + <рг) = —;——7--7-----•
чап томондаги устки ишорага унг то-
монда кам устки ишора мос келади.
Бу формулалардан, хусусан, каррали
аргумент учун формулалар келиб чи-
кади:
sin2tp = 2sintpcos(p,
cos2(p = cos2ip — sin2(f,
tg2if =
2/gtp
1—'
Тригонометрик функцияларнинг йи-
гиндиси ва айирмасини тригономет-
рик функцияларнинг купайтмаси ку-
ринишида тасвирлаш мумкин (бирин-
чи ва туртинчи формулалардаги ишо-
ралар «мутаносиб»):
sintpi + sin срг =
coscpi-|-COS(p2 =
coscpi—COS([2 =
= — 2sin (p' + (p2 sin (pi + (p2
011 i 2 Oil L
tglfl±tglf2 =
sin (ср, ±<рг)
COS(piCOS(f2
формулаларнинг чап ва унг кисмла-
ридаги ишоралар «мутаносиб», яъни
6-расм.
Тригонометрик функциялар ку-
пайтмаси йигинди оркали куйидагича
ифодаланади:
24—4826
370
Еш математик цомусий лугати
siti(ficos(f2 = 1 /2[ sin (<pi 4-<р2) +
+ sin (<pi —фг)],
sinq>isinq>2 — 1/2[ cos (<pi — (р2)—
cos ((pi +<p2)],
cos(picos(p2 = 1/2[ cos ((pi +<p2) +
+ cos ((pi — (p2)l-
Тригонометрик функцияларнинг x,o-
силалари яна тригонометрик функ-
циялар оркали ифодаланади (бу ер-
дан бошлаб одатдагича мос булиши
учун (р узгарувчини х га алмашти-
рамиз):
(sinx)' = cosx, (cosx)' = —sinx,
(tgx)' = 1/cos2x, (ctgx)' —
= — 1 / sin2x.
Тригонометрик функциялар интеграл-
ланганда тригонометрик функциялар
ва уларнинг логарифмлари косил бу-
лади:
\sinxdx— —cosx-)-С, \cosxdx =
= sinx + С,
j tgxdx = — Incosx 4- С,
J ctgxdx = Insinx 4- C.
(C — узгармас, сунгги икки форму-
лада 0<х<л/ 2).
8-расм,
Хозиргина курдикки, асосий триго-
нометрик функциялар и = cosx ва
v — sinx куйидаги муносабатлар ор-
кали узаро богланган:
и' = —V, v' = и.
Бу тенгликларни иккинчи марта диф-
ференциаллаб, куйидаги тенгликларга
эга буламиз:
и" = —v' = —и, ц" = и' = —V
Шундай килиб, х узгарувчининг и ва
v функциялари битта дифференциал
тенглама у114- у = 0 ечимлари сифа-
тида каралиши мумкин.
Бу тенглама, аникроги, унинг мус-
бат k2 узгармасни уз ичига олган
умумлашмаси, у"4-^2у = 0 (хусу-
сан, coskx ва sinkx функциялар б\
тенгламанинг ечимлари булиб хизмат
килади) тебранишларни урганишда.
яъни тебранма х,аракатлар бажарув-
чи ёки косил килувчи механизмлар
конструкцияларини урганишда доимо
учрайди.
cosx функция 1 —х2/ 2! 4-х4/ 4! —
— х6/ 6! .. чексиз катор куринишида
тасвирланиши мумкин. Агар бу катор-
нинг дастлабки бир неча кадларини
олсак, биз cosx функцияни купкад-
лар ёрдамида якинлашмасини оламиз.
Бундай купкадларнинг даражалари
ортиши натижасида улар cosx функ-
цияга тобора яхширок якинлашади.
«Синус» атамаси латинча sinus —
«эгилиш», «куйин» сузидан келиб чик-
кан, арабча «жива» («укёйнинг ёйи»)
сузининг латинча таржимасидир.
Хинд математиклари синусни шунга
ухшаш белги оркали белгилашган.
Латинча «tangens» сузи «уринма»ни
англатади (6-расмга к.; АВ — айлана-
га уринма).
«Косинус» ва «котангенс» атама-
лари complementi sinus complementi
tangens («тулдирма синус», «тулдир-
ма тангенс») терминларининг кис-
картмасидан иборат булиб, costf ва
ctgq нинг (р ни п/ 2 гача тулдирувчи
Тригонометрия
371
аргумент синуси ва тангенсига мос
равишда тенглиги фактини ифода-
лайди:
COStp = ---ср),
ctgff = tg(n/ 2 —ср).
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрия — учбурчак томонла-
ри билан бурчаклари орасидаги бог-
ланишни урганувчи математик фан.
Тригонометрияни геометриянинг
кисми деб х,исоблаш мумкиндек тую-
лади, аммо бурчакнинг элементларини
богловчи тригонометрик функция-
лар — математик анализ урганадиган
объектлар, тригонометрик тенглама-
лар — номаълумлари тригонометрик
функцияларнинг аргументлари бул-
ган тенгламалар, улар алгебра метод-
лари оркали урганилади. Шундай ки-
либ, тригонометрия математиканинг
бошка мух,им булимларининг ютукда-
ридан фойдаланадиган булимидир.
Тригонометриянинг асосий форму-
лалари синуслар теоремаси ва коси-
нуслар теоремаси билан берилади.
Ундан ташкари, XV а.да немис мате-
матиги И. Региомонтан кашф этган
тангенслар теоремаси:
1-расм.
а — b
а-\-Ь
Ь — с
Ь-\-с
с — а
с-\-а
ва К. Мольвейде (XVIII а.нинг охи-
ри — XIX а.нинг бошида яшаган не-
мис математиги) формулалари:
а-\-Ь
С
А —В
со5 2
sin^
кулланилади.
Бу ерда а, Ь, с — учбурчак томонла-
рининг узунликлари; Л, В, С — улар-
га карама-карши томондаги мос бур-
чакларнинг катталиклари.
Учбурчакнинг бурчаклари унинг
томонлари-оркали, косинуслар теоре-
масидан ташкари, ушбу формулалар
ёрдамида кам ифодаланиши мумкин:
А = /(р—fc)(P~с)
2 V Р(Р — а) ’
= /(Р~ а)(Р~ 0
ё 2 \ р(р-Ь) ’
tg—= /(р-а)(р-^7
2 V р(р—с) ’
бунда р — учбурчакнинг ярим пери-
метри.
Еш математик цомусий лугати
372
Учбурчакнинг юзаси Герон форму-
ласидан ташкари тригонометрия ёр-
дамида учбурчакнинг томонлари ва
бурчаклари оркали бир неча усулда
ифодаланиши мумкин:
_ 1 , . _ _ a2sinBsinC
S = yOta„C. S = 2a-„-(fi + c).
S = fgy
Тригонометрия кишиларнинг ама-
лий эх,тиёжи туфайли вужудга келган.
Унинг ёрдамида бориб булмайдиган
предметларгача масофаларни улчаш,
умуман, географик карталар тузиш
учун жойларни геодезик суратга олиш
жараёнини анчагина соддалаштириш
мумкин.
Тригонометрик билимларнинг кур-
та клари жуда кадимда вужудга кел-
ган. Тригонометрия узининг дастлаб-
ки боскичида астрономия билан бог-
лик колда ривожланди ва унинг ёр-
дамчи бул ими булди.
Кддимги юнон олимлари буюк ас-
троном Птолемей (II а.) нинг «Альма-
гест» номли асарида баён этилган
«ватарлар тригонометрияси»ни ишлаб
чикдилар. Птолемей дойра ватарлари
орасидаги муносабатларни келтириб
чикарди. Улар козирги ярим бурчак
ва иккиланган бурчакнинг, икки бур-
Тригонометрия
373
чак йигиндиси ва айирмасининг си-
нуслари формулаларига тенг кучли
(бу формулалар, у вактда математик
символлар йукдигидан суз билан ифо-
даланар эди):
. а
1 — cosa
2
sin2a = 2sinacosa,
sin(a±P) = stnacosp + cosasmp.
Тригонометриянинг ривожланиши-
да кинД олимлари муким кддам ку-
йишди, улар ватарларни синусларга
алмаштиришда. Бу янгилик VIII а.да
Ядан ва Урта Шарк мамлакатлари-
нинг араб тилида ижод этган матема-
тикларига утди. Бу ерда тригономет-
рия астрономиянинг булимидан мус-
тадал математик фанга айланди. Си-
нусдан бошка тригонометрик функ-
циялар кам киритилда ва улар учун
жадваллар тузилди.
Тригонометриянинг кабул килинган
тушунчалари, шунингдек, белгилари
камда тригонометрик функциялар-
нинг таърифлари узок тарихий ри-
вожланиш жараёнида шаклланди.
Масалан, агар асосий тригонометрик
тушунчаларни киритишда тригоно-
ёш математик цомусий лугати
374
метрик доиранинг радиусини (1-расм)
бирга тенг деб олиш табиий туюлса-
да, бу жуда содда гоя X—XI а.дагина
узлаштирилган эди. Х,озир биз тугри
бурчакли ОВС учрубрчак а бурча-
гининг синуси деб ВС катет (синус
чизиги)нинг ОС гипотенузага (яъни
бирлик айлананинг радиусига) нисба-
тини тушунсак, урта асрларда «синус»
термини билан ВС синус чизигининг
узини белгилашган. Бу косинусга
(«косинус» деб ОВ кесмани тушуниш-
ган) ва бошка тригонометрик функ-
цияларга хам тааллукли.
Янги тушунчалар киритилиши са-
бабли, шунингдек, математик белги-
ларни кайта ишлаш ва мукаммал-
лаштириш натижасида тригонометрия
Хисоблаш масалаларини ечиш учун
энг кулай булган куринишни олди.
У XVIII а.да Л. Эйлер ишларида хо-
зирги куринишга келди.
Сферада катта доираларнинг ёй-
ларидан хосил булган учбурчакнинг
томонлари орасидаги муносабатларни
карайдиган сферик тригонометрия
хам мавжуд. У сферик геометриянинг
бир кисми хисобланади ва амалий
астрономиянинг эхтиёжи туфайли, та-
рихий жихатдан, текисликдаги три-
гонометриядан олдин вужудга келган.
Тригонометриянинг амалий аха-
мияти катта.
Тупламлар
375
ТУПЛАМЛАР
Туплам — козирги замон математи-
касининг деярли барча булимларида
кулланадиган асосий тушунчаларидан
бири.
Купгина масалаларда маълум эле-
ментлар мажмуини, гурухини бир бу-
тун нарса деб карашга тугри келади.
Айтайлик, биолог бирор улкадаги
усимликлар ва хайвонлар дунёсини
урганар экан, жонзотларни турлар
буйича, турларни эса уруглар буйича
синфларга ажратиб чикади. Х,аР бир
тур яхлит бир бутун деб караладиган
жонзотлар мажмуидир.
Ана шундай мажмуаларнинг мате-
матик тавсифини бериш учун туплам
тушунчаси киритилган. Тупламлар
назариясининг асосчиларидан бири
немис математиги Георг Кантор
(1845—1918) сузларига кура «туплам
фикрда бир бутун деб каралувчи
купликдир». Табиийки, бу сузлар туп-
ламнинг математикадаги кагьий таъ-
рифи була олмайди. Туплам бошлан-
гич тушунчадир, унинг узи матема-
тиканинг бошка тушунчаларини ку-
ришга асосдир. Шунга карамай, на-
турал сонлар туплами, текисликдаги
учбурчаклар туплами хакида суз юри-
тиш мумкинлиги куриниб турибди.
Чекли сондаги элементлардан ибо-
рат туплам чекли туплам дейилади,
бошка тупламлар эса чексиз туплам-
лар дейилади. Масалан, океандаги
барча китлар телами чекли, рационал
сонлар туплами эса чексиз. Чекли
тупламларни уларнинг элементларини
номма-ном санаб чикиш йули билан
бериш мумкин (масалан, тайин синф-
даги укувчилар туплами уларнинг
синф журналидаги руйхати билан бе-
рилади). Агар А туплами а, Ь, с эле-
376
Еш математик цомусий лутати
«Сен хеч тупламни дан-
дай чизишларини курган-
мисан?».
— «Ниманинг туплами-
ни?»— суради Алиса. —
«Хеч ниманинг,— жавоб
берди Соня — шунчаки
тупламнинг узи».
Л. Кэррол
ментлардан ташкил топтан булса,
А = {а, Ь, с} деб ёзишади. Чексиз
тупламларни элементларни санаш йу-
ли билан бериб булмайди. Бундай туп-
ламларни бериш учун, одатда, унинг
элементлари учун уринли, бошка эле-
ментлар учун уринли булмаган хосса
курсатилади. Бундай хосса каралаёт-
ган тупламнинг характеристик хосса-
си деб юритилади. Агар «х элемент Р
хоссага эга» деган фикр к,искача
Р(х)деб ёзилса, Р хоссага эга булган
барча элементлар туплами {х | Р(х)}
куринишда белгиланади. Масалан,
{х | х2 — Зх-|-2 = 0) ёзуви
х2 — Зх — 2 = 0 тенглама илдизлари-
нинг туплами, яъни {1,2} тупламни
билдиради.
Р хоссага эга булган биронта эле-
мент топилмай колиши х,ам мумкин
Тупламлар
377
ИИ К К’ К К’ Л М И IJ о
Л
П X Р £ с Т Т УУФХХ
4Г*А
гиДОЬДОВЗ
(масалан, 2 га булинадиган битта хам
тод сон йук). Бундай холда { | Р (х)}
туплам битта хам элементга эга эмас.
Бирорта хам элементни уз ичига ол-
майдиган туплам буш туплам дейила-
ди. У 0 белги билан курсатилади.
Агар х элемент А тупламга тегишли
булса, х^А куринишда, акс холда
хфА ёки х^А куринишда ёзилади.
Айнан бир хил элементлардан иборат
тупламлар тенг (устма-уст тушувчи)
тупламлар деб аталади. Масалан, тенг
томонли учбурчаклар туплами билан
тенг бурчакли учбурчаклар туплами
тенг, чунки хар икки тупламни хам
бир хил учбурчаклар ташкил килади:
агар учбурчакнинг барча томони тенг
булса, унинг барча бурчаги хам тенг;
ва аксинча, учбурчакнинг хар уч бур-
чаги тенглигидан унинг уччала томони
хам тенглиги келиб чикади. Равшанки,
факат элементларининг ёзилиш тар-
тиби билан фарк киладиган иккита
чекли туплам тенгдир, масалан,
{ а, Ь, с } = { с, а, b }.
Хар бир квадрат тугри туртбурчак-
дир. Бу холни бошкача куйидагича
ифодалайдилар: квадратлар туплами
тугри туртбурчаклар тупламининг
кисми, ёки математикада кабул ки-
линганидай, кисм-туплами булади.
Агар А туплам В тупламнинг кисм-
туплами булса, АаВ ёки Вэ/1 каби
ёзилади. Ихтиёрий А туплам учун
АсА ва 0сЛ хоссалар уринли.
(Икки туплам орасидаги Ас^В муно-
сабатни кисмийлик, элемент ва туплам
орасидаги х<=В муносабатни тегиш-
лилик деб атаймиз).
Берилган А ва В тупламдан кесиш-
ма, бирлашма ва айирма амалларини
куллаб янги тупламлар куриш мумкин.
А ва В тупламларнинг кесишмаси —
уларнинг умумий кисми, яъни хам А
га, хам В га тегишли элементлар
тупламидан иборат. Кесишманинг
белгиси: Лрй. Масалан, икки геомет-
378
Еш математик цомусий лугати
рик фигуранинг кесишмаси — улар-
нинг умумий кисми, ромблар туплами
билан тугри туртбурчаклар туплами-
нинг кесишмаси — квадратлар туп-
лами ва х,. к.
А ва В тупламларнинг бирлашмаси
Хеч булмаганда улардан биттасига те-
гишли элементлар тупламидан иборат.
Классификация (синфларга булиш)
билан боглик масалаларда тупламни
узаро кесишмайдиган кисмларнинг
бирлашмаси куринишида ёзиш кул-
ланади. Масалан, купбурчаклар туп-
лами учбурчаклар, туртбурчаклар,
бешбурчаклар, ..., п-бурчаклар, ...
тупламларининг бирлашмасидир.
Агар бирлашма ва кесишма амал-
лари бирор тупламнинг кисмларига
кулланса, натижада яна шу туплам-
нинг кисм-тупламлари чикади. Бу
холда каралаётган икки амалнинг хос-
салари сонларни кушиш ва купайти-
риш амалларининг хоссаларига якин
булади. Масалан, тупламларнинг ке-
сишмаси ва бирлашмаси учун комму-
тативлик ва ассоциативлик хоссала-
ри уринли. Кесишманинг бирлашмага
нисбатан дистрибутивлик хоссаси хам
кучга эга, яъни ихтиёрий А, В ва С
тупламлар учун А [~| (В U С) =
= (Af|B)U (AQC)тенглик тугри. Шу
билан бир пайтда тупламлар устидаги
амалларнинг сонларникига ухшамай-
диган хоссалари хам мавжуд. Маса-
лан, ихтиёрий А туплам учун А П А = А
ва Ли/1=Л тенгликлар уринли, яна
бир дистрибутивлик конуни хам тугри:
ли (ВАС) = (ЛиВ)П (ЛUC) ва х. К.
Тупламлар устидаги амалларнинг хос-
салари ёрдамида тупламлардан тузил-
ган ифодаларни узгартириш мумкин;
бу — арифметик амалларнинг хосса-
ларига асосланиб алгебраик ифода-
ларни айнан алмаштиришга ухшайди.
Натижада узига хос янги алгебра ву-
жудга келади. У инглиз математиги
ва мантикчиси Ж. Буль (1815—
1864) номи билан Буль алгебраси
дейилади. Ж. Буль бундай алгебра
билан математик мантик муаммолари
туфайли шугулланган. Буль алгебра-
лари куплаб сохаларда, хусусан,
электр занжирлари назариясида тат-
бик килинади.
Чекли тупламнинг асосий характе-
ристикаси унинг элементлари сонидир
(масалан, квадратнинг учлари тупла-
ми 4 та элементга эга). Агар А ва В
тупламлардаги элементлар сони тенг
булса, масалан, A ={ai, ..., а„).
В = { bi, ..., bn } булса, улардан битта-
дан элемент олиб, (си, bi), ..., (ап, bn)
жуфтликлар тузиб чикиш мумкин.
Бунда А нинг хар бир элемента хам.
В нинг хар бир элементи хам роппа-
роса битта жуфтликка киради. Бу хо-
латни амалга ошириш мумкин булса,
А ва В тупламлар орасида узаро бир
кийматли мослик ^фнатилган деб юри-
тилади. Бунинг акси хам тугри: агар
А ва В тупламлар орасида узаро бир
кийматли мослик урнатиш мумкин
булса, улар бир хил сондаги элементга
эга булади.
Г. Кантор ана шу тарзда чексиз туп-
ламларни узаро солиштиришни так-
лиф килди. Таърифга мувофик, А ва
В тупламлар орасида узаро бир кий-
матли мослик урнатиш мумкин булса.
улар бир хил кувватли булади. Шун-
дай усулда сонлардан ташкил топтан
хар хил тупламларни солиштириб.
Узлуксиз функциялар
379
Г. Кантор натурал сонлар туплами
билан барча рационал сонлар тупла-
ми орасида узаро бир кийматли мос-
лик урната олди (холбуки, натурал
сонлар туплами рационал сонлар туп-
ламининг кисми — демак, чексиз туп-
ламлар назариясида «кием бутундан
кичик» деган коида уз кучини йукота-
ди).
Натурал сонлар туплами билан бир
хил кувватга эга булган тупламлар
санокли дейилади. Шундай килиб,
рационал сонлар туплами саноклидир.
Санокли булмаган тупламлардан энг
мукими — хдкикий сонлар туплами-
дир (ёки тугри чизикдаги нукталар
тупламидекдир). Тугри чизик узлук-
сиз эканлигини эътиборга олиб, туг-
ри чизик нукталари тупламининг кув-
вати каби санокли булмаган кувват-
лар континуум {continuum — «узлук-
сиз») куввати деб аталади. Квадрат,
куб, текислик, бутун фазо нуктала-
ридан иборат тупламлар хам конти-
нуум кувватига эга.
Узок йиллар давомида математик-
лар ушбу муаммони ечишга уннади-
лар: куввати санокли туплам ва кон-
тинуум куввати орасида ётган туплам
мавжудми? Асримизнинг 60-йиллари-
да америкалик математик П. Коэн ва
чех математиги П. Вопенка деярли
бир вактда бир-биридан мустакил бун-
дай туплам мавжудлиги хам, мавжуд
эмаслиги хам тупламлар назарияси-
нинг бошка аксиомаларига зид эмас-
лигини исботладилар (бу хол парал-
леллик аксиомаси хам, унинг инкори
хам геометриянинг бошка аксиома-
ларига зид эмаслигига ухшаш).
УЗЛУКСИЗ ФУНКЦИЯЛАР
Графиклари 1- ва 2-расмларда тас-
вирланган иккита функцияни курай-
лик. Биринчи функция графигини ка-
ламни когоздан узмасдан (кутармас-
дан) чизиш мумкин. Бу функцияни
узлуксиз дейиш мумкин. Иккинчи
функция графигини бундай килиб чи-
зиш мумкин эмас. У иккита узлуксиз
булакдан иборат, х0 нуктада эса узи-
лишга эга, бундай функцияни узлукли
функция деб атаймиз.
Узлуксизликнинг бундай кургаз-
мали таърифи математикани зинхор
кониктирмайди, чунки у «калам» ва
«когоз» каби бутунлай номатематик
тушунчаларни уз ичига олади. Узлук-
сизликнинг аник математик таърифи
лимит тушунчаси асосида берилади
ва у куйидагидан иборат. у — f(x)
функция [ а, b ] кесмада аникланган
ва хо — шу кесманинг бирор нуктаси
булсин. Агар х аргумент хо га интил-
ганда (факат [ а, b ] кесмадаги х лар
каралади) функциянинг кийматлари
f(xo) га интилса, яъни агар
lim f(x) = f(xo) (1)
X—►Хо
булса, f(x) функция хо нуктада узлук-
сиз дейилади. Агар функция кесма-
1-расм.
О
ь
380
Еш математик цомусий лугати
2-расм, 4-расм.
нинг х,ар бир нуктасида узлуксиз бул-
са, у кесмада узлуксиз дейилади. Агар
х() нуктада (1) тенглик бажарилмаса,
функция х0 нуктада узлукли дейилади.
Функциянинг кесмада узлуксизли-
ги, математик жихатдан, локал (ма-
халлий) хосса —- функциянинг кури-
лаетган нукта атрофидаги табиати
оркалигина таърифланишини кур-
дик.
Ах = х — Xq катталик аргумент орт-
тирмаси дейилади, функциянинг ций-
матлари орасидаги f (г)—айир-
ма функция орттирмаси дейилади ва
Ду каби белгиланади. х аргумент х<> га
интилганда унинг орттирмаси нолга
интилиши равшан: Ах—>0.
3-расм.
(1) тенгликни унга тенг кучли бул-
ган
Нт [[(*) — f(x0) ] = 0
X-t-Xf)
куринишда ёзиб оламиз. Киритилган
белгилашлардан фойдаланиб, уни
Нт Ау = 0
Дх-Ч)
каби ёзиш мумкин.
Шундай килиб, агар функция узлук-
сиз булса, у холда аргумент орттир-
маси нолга интилганда функция орт-
тирмаси хам нолга интилади. Бошка-
ча айтиш хам мумкин: аргументнинг
кичик орттирмасига функциянинг ки-
чик орттирмаси мос келади. 3-расмда
х0 нуктада узлуксиз функциянинг
графиги тасвирланган, унда Ах орт-
тирмага функциянинг Ду орттирмаси
мос келади. 4-расмда Ах орттирмага
функциянинг шундай Ау орттирмаси
мос келадики, Ах хар капча кичик бул-
ганда хам Ау АВ кесма узунлигининг
ярмидан кичик булмайди, демак функ-
ция х0 нуктада узилади.
Биз узлуксиз функциянинг графи-
гини каламни цогоздан кутармасдан
(узмасдан) чизилиши мумкин булган
функция сифатида тасаввур этдик, бу
тасаввурнинг туррилиги узлуксиз
функцияларнинг математик анализи-
да исботланадиган хоссалари билан
хам узининг ажойиб тасдигини топа-
ди. Узлуксиз функцияларнинг, ма-
Узлуксиз функциялар
381
салан, шундай хоссаларини айтиб ута-
миз.
1. Агар кесмада узлуксиз функция
кесманинг учларида турли ишорали
кийматларни кабул килса, у холда шу
кесманинг бирор нуктасида функция
нолга тенг кийматни кабул килади.
2. [ а, b ] кесмада узлуксиз функция
кесманинг учларидаги кийматлари
орасидаги, яъни f (а) ва /(6) орасидаги
барча (оралик) кийматларни кабул
килади.
3. Агар функция кесмада узлуксиз
булса, у колда функция шу кесмада
узининг энг катта ва энг кичик кий-
матларига эришади, яъни f(x) функ-
циянинг [ а, b ] кесмадаги энг кичик
киймати т, энг катта киймати М бул-
са, у холда бу ораликда шундай Xi ва
х2 нукталар топиладики, f(x\) = т
ва /(х2) = М булади.
Бу тасдиклардан биринчисининг
геометрик маъноси мутлако равшан:
агар узлуксиз чизик Ох укининг бир
томонидан иккинчи томонига утса, у
колда чизик Ох укни кесади (5-расм).
Узлукли функция бу хоссага эга эмас.
2-расмдаги функция графиги буни
тасдиклаб турибди. 2-хосса уринли
булмаган кол хам шу расмда кури-
нади: функция у, кийматни кабул кил-
майди, холбуки у [ (а) ва f(b) орасида
жойлашган. 6-расмда узининг энг кат-
та кийматига эришмайдиган узлукли
функция мисоли сифатида у — {х}
(х сонининг каср кисми) келтирилган.
Элементар функциялардан ихтиё-
рийси узлуксиз функциянинг мисоли
булиб хизмат килади. Х,ар бир эле-
ментар функция узи аникланган их-
тиёрий кесмада узлуксиздир. Маса-
лан, у — х2 ва у = 2х функциялар
ихтиёрий [а, b ] кесмада узлуксиз,
у = V-F функция [О, Ь] кесмада уз-
X
луксиз, у = ——- функция х = 2
нуктани уз ичига олмаган ихтиёрий
кесмада узлуксиз. Битта кесмада уз-
луксиз булган функцияларни кушиш,
айириш, купайтириш яна узлуксиз
функцияларга олиб келади. Агар мах-
раж хамма ерда нолдан фаркли булса,
иккита узлуксиз функцияни булишда
узлуксиз функция хосил булади.
Математика узлуксиз функция ту-
шунчасига биринчи навбатда турли
харакат хонунларини урганиш на-
тижасида келди. Фазо ва вакт узлук-
сиз, масалан, s йулнинг t вактга 6of-
ланишини ифодаловчи s = f (/) конун
узлуксиз f(t) функциянинг мисолини
беради.
К,аттик, жисмлар, суюклик ва газ-
лардаги холатлар хамда жараёнлар
узлуксиз функциялар ёрдамида тав-
сифланади. Бу холат ва жараёнларни
урганувчи фанлар —- эластиклик наза-
рияси, гидродинамика ва аэродинами-
ка умумий битта ном — «туташ му-
хитлар механикаси» номи билан бир-
лашган.
Узлуксиз функциялар билан бир
каторда маълум дара жада узиладиган
функциялар хам математика ва унинг
татбидларида мухим ахамиятга эга.
Масалан, текис харакатланаётган ра-
кетага импульс берилса, унинг тезла-
ниши узлукли функция булади.
6-расм.
ёш математик цомусий лугати
382
Богламли тупламда бир узгарувчили
узлуксиз фукнциянинг графиги узлук-
сиз чизик, булиб, у узлуксиз эгри
чизикнинг оддий тасвиридан кескин
фарк, килиши мумкин. Бундай функ-
ция мисолини биринчи марта немис
математиги Вейерштрасс топган.
У злуксиз функцияларнинг йигинди-
си, айирмаси, купайтмаси хам узлук-
сиз функциядир. [а, Ь] кесмада уз-
луксиз булган хар кандай /(г) функ-
цияни истаган даражадаги аниклик
билан купхадга якинлаштириш мум-
кин. Бу хоссалар математиканинг
купгина булимлари учун узлуксиз
функциянинг ахамиятини яна хам
орттиради.
УРИНМА
Уринма тушунчаси — математик ана-
лиздаги энг мухим тушунчалардан би-
ри. Эгри чизикларга утказилган урин-
маларни урганиш куп жихатдан мате-
матиканинг тараккиёт йулларини бел-
гилаб берди.
Циркуль (паргар) ва чизгич ёрда-
мида айланага унинг берилган нукта-
сида уринма ясаш кийин эмас. Икки-
та айланага умумий уринма утказиш
бир оз кийинрок- Кадимги Грецияда
циркуль ва чизгич ёрдамида хамма
конус кесимлари — эллипс, гипербола
параболага уринма ясашни уддаси-
дан чикишган, бу эса уша даврда
геометриянинг тараккиёти юкори да-
ражада эканидан далолат беради.
Уринмага булган кизикиш кейинги
авлод математикларида хам сусай-
мади. XVII а. да француз олимлари
Р. Декарт ва П. Ферма спираль ва
циклоидага уринмаларни тадкик кд-
лишди. (Циклоидага уринма модели-
ни ёмгирли хавода кузатиш мумкин;
думалаб кетаётган гилдирак гардиши-
даги нуктанинг траекторияси булган
эгри чизик циклоидадир (1-расм).
Рилдиракдаги сув томчилари хам ана
шундай траектория буйлаб харакат
килади, гилдиракдан узилгач, улар ха-
ракатни гилдирак гардишидан иборат
айланага эмас, балки циклоидага
уринма буйлаб давом эттиради. Бун-
дай томчилар ёмгирли кунда шоссе
буйлаб «учиб бораётган» пойгачи-
велосипедчининг оркасида лойли из
колдиради.
Р. Декарт эгри чизикларга уринма
утказиш масаласида узининг геомет-
риядаги аналитик методини «чархлаб»
олди. Декартнинг аналитик методи
ёрдамида уринмалар ясашга оид тад-
1-расм.
Уринма
383
3-расм.
2-расм.
кикотларини давом эттириб,
Г. В. Лейбниц И. Ньютон билан бир
вактда математика тараккистида ре-
волюция булган дифференциал хисоб-
ни кашф килди. Функциянинг хоси-
ласи тушунчаси шу функция графи-
гига уринма утказиш билан чамбар-
час боглик: хосиланинг бирор нукта-
даги киймати уринманинг шу нуктада
абсциссалар укига огиш бурчагининг
тангенсига тенг.
Дифференциал хцсобнинг хамма
асосий тушунчалари каби уринма ту-
шунчаси хам лимитга утиш ёрдамида-
гина катъий таърифланади (к- Ли-
мит). Эгри чизикнинг М нуктасида
уринма М N кесувчининг N нукта эгри
чизик буйлаб М нуктага якинлаш-
гандаги лимит холати сифатида таъ-
рифланади (2-расм). Узлуксиз эгри
чизикларда уринма мавжуд булмаган
нукталар борлигини тушуниш кийин
эмас (3-расм), аммо хеч бир нуктада
уринмага эга булмаган узлуксиз эгри
чизиклар мавжудлигини тасаввур ки-
лишимиз фавкулодда кийин.
4-расм.
Бундай функцияларнинг дастлабки
мисолларини 1830 й. чех олими
Б. Больцано (1930 й. чоп этилган),
1860 йилда немис математиги К. Ве-
йерштрасс (1872 й. чоп этилган) ту-
5-расм.
ГА
зишди. Табийки, уринмага эга бул-
маган графикли функциялар аник-
ланиш сохаларининг бирор нуктаси-
да хам хосилага эга эмас, чунки х0
нуктада хосиласи бор булган функ-
циянинг графигига шу нуктада уринма
мавжуд ва унинг тенгламаси
У = f(xo) + f' (хо) (х —х0)
булади.
Уринма тушунчаси эгри чизиклар-
нинг кесишиш нуктасида улар ораси-
даги бурчакни аниклаш учун хам кул-
ланилади. Бундай бурчак сифатида
чизикларнинг кесишиш нуктасида
уларга утказилган уринмалар ораси-
даги бурчак олинади. 4-расмда эгри
чизикларнинг иккита оиласи — фо-
куслари берилган Ft ва F? нуктала-
рида булган эллипслар ва гипербола-
лар тасвирланган. Бу мисолда турли
оилага тегишли ихтиёрий икки эгри
чизик тугри бурчак остида кесишади.
Бундай холат физикада тез-тез учраб
туради, хусусан, агар F\ ва F? нук-
таларда турли ишорали зарядлар жой-
лаштирилса, бу эгри чизиклар тенг
кучланганлик ва тенг потенциал эгри
чизиклари булади.
Сиртга уринма текислик эгри чизик-
ка уринма каби таърифланади
Еш математик цомусий лугати
384
(5-расм). Уринма эгри чизикка нисба-
тан кандай роль уйнаса, уринма те-
кислик сиртга нисбатан шундай роль
уйнайди.
УЧБУРЧАК
Учбурчак — купбурчаклардан энг
соддаси булиб, у геометрияда алохи-
да роль уйнайди. Муболагасиз айтиш
мумкинки, Евклиднинг «Негизлар»и
замонидан бутун (ёки деярли бутун)
геометрия «уч наханг» — учбурчаклар
тенглигининг учта аломатига асос-
ланган. Математиклар XIX—XX а.
чегарасидагина геометрияни учбур-
чаклар тенглигига Караганда анча
фундаментал ва умумийрок асос —
геометрик алмаштиришлар тушунчаси
асосида курдилар.
Бир неча минг йиллар мобайнида
учбурчаклар шунчалик синчиклаб ур-
ганилдики, баъзан элементар геомет-
риянинг мустакил булими сифатидаги
«учбурчаклар геометрияси» хакида
сузлайдилар.
АВС учбурчакда 6 та асосий эле-
мент фаркланади — учта А, В, С ички
бурчаклар ва уларга карама-карши
ётган учта мос а, Ь, с томонлар. Уч-
бурчакларнинг тенглик аломатларини
куйидагича ифодалаш мумкин, учбур-
чак асосий элементларининг куиида-
ги учликлари буйича тикланади:
а, b ва С; а, В ва С; а, b ва с. Бунда
тенг учбурчаклар фаркланмаса, уч-
бурчак ягона усулда тикланади.
Сизга мактаб геометрия курсидан
Евклид планиметриясининг яна «уч
наханг» — учбурчаклар ухшашлиги-
нинг учта аломати маълум: учбурчак
ухшашлик аниклигида куйидаги кат-
1-расм
таликлар жуфти буйича тикланади’
a:b, С; а:Ь, Ь:с; А, В.
Тенгликлар аломатида асосий эле-
ментларнинг ихтиёрий учлигини, хат-
то агар улардан бири учбурчак томо-
ни булса хам, олиб булмаслигини кайд
киламиз. Масалан, 1-расмда учбур-
чакни а, b ва В элементлар буйича
бир кийматли ясаб булмаслиги кур-
сатилган; AiBC ва А?ВС учбурчак -
ларнинг В бурчаги ва ВС = а томо-
ни умумий, Л|С ва ЛгС томонлари
тенг, бирок бу учбурчаклар тенг эмас.
Бундан ташкари, учбурчакларнинг
элементларини, хатто бу элементлар
сони учта булган холда хам, ихтиёрий
бериш мумкин эмас. Масалан, уч то-
мони а, b ва с га кура учбурчак ясаш
мумкин булиши учун учта «учбурчак
тенгсизлиги» бажарилиши зарур
(етарли хам) (К- Зарурий ва етарли
шартлар):
а<Ь-\-с\ Ь<а-\-с-, с<аА-Ь.
Учбурчакнинг бурчаклари янада
чекловчи муносабат билан богланган
Л + в+С = 180° (ёки л).
а, b ва С ёки а. В, С буйича биринчи
ва иккинчи тенглик аломатларини
тахлил килиб, АВС учбурчакнинг
бошка элементлари, жумладан, с то-
мони берилган учта элемент буйича
бир кийматли аникланади деган хуло-
сага келамиз. с томон учун мос фор-
мулалар косинуслар ва синуслар тео-
ремалари оркали берилади:
с2=а2 A-ti2 — ZabcosC ва
sin С
С ~ аЦпА'
бунда А = л — В — С
Учбурчаклар геометриясида марка-
зий уринни ажойиб нукталар ва чизик-
лар деб аталадиган элементлар хосса-
лари эгаллайди. Улардан энг содда-
ларини куриб чикамиз.
Учбурчак томонларининг урталари-
га утказилган перпендикулярлар бит-
Учбурчак
385
та нуктада — учбурчакка ташки чи-
зилган айлананинг марказида кеси-
шади (2-расм). Бу факт кесманинг ур-
та перпендикуляри — d нинг хоссаси-
дан косил булади: d кесманинг уч-
ларидан баравар узокликдаги нукта-
лардан иборат булади. Агар АВС уч-
бурчакда АВ ва ВС томонларнинг
урта перпендикулярлари О нуктада
кесишса, у колда О А = ОВ ва
ОВ = ОС булади, щу сабабли
ОА = ОС, демак, О нукта учинчи
АС томоннинг урта перпендикуляри-
да ётиши шарт.
Учбурчак ички бурчакларининг
биссектрисалари битта нукта — ички
чизилган айлананинг марказида ке-
сишади (3-расм). Бу факт каварик
бурчак биссектрисаси I нинг асосий
хоссасидан келиб чикади: I биссектри-
са бурчакнинг томонларидан баравар
узокликда ётган нукталардан иборат
булади. Агар кушимча равишда уч-
бурчакнинг уч жуфт ташки бурчакла-
3~расм.
рининг биссектрисалари кам каралса,
яна учта ажойиб нукта — ички-таш-
ки чизилган айланаларнинг марказ-
лари косил булади (4-расм).
Ташки, ички ва ички-ташки чизил-
ган айланаларнинг радиуслари R, г, га,
гь, г с жозибали муносабат оркали бог-
ланган:
Га ГЬ гс — Г + 4/?.
Ички ва ташки чизилган айланалар
марказлари орасидаги масофани Эй-
5-расм.
лер формуласи буйича топиш мумкин:
j? = R2-2Rr
Шу ерда учбурчак юзи учун фор-
мулани келтирамиз:
_ abc
S = T« =pg
бунда р — учбурчакнинг ярим пери-
метри.
25—4826
386
Еш математик цомусий лугати
Учбурчак биссектрисаларининг
хоссалари орасидан мана бу теорема
ажралиб тура ди. АВС учбурчак С ич-
ки (ташк,и) бурчагининг биссектри-
саси каршида ётган томонни ички
(ташди) равишда бурчакка ёпишган
томонларнинг нисбатига тенг нисбат -
да булади (5-расм):
АЕ:ВЕ = АЕ.ВЕ' = АС:ВС.
Учта медиана АВС учбурчакнинг
центроида деб аталувчи битта М нук,-
НАПОЛЕОН
МАСАЛАСИ
1-расм.
Франция имлератори Наполеон
Бонапарт математика ишкибози
булган. У математика билан
шугулланишга вакт ажратиб, ун-
дан завк топа олган, ундаги нафо-
сатни, зехн ва топкирлик талаб
киладиган машгулот эканлигини
туйган. Бунга гувох—Наполеон
тузган бир неча геометрик масала.
Улардан бири шундай таъриф-
ланади: ихтиёрий учбурчакнинг
томонлари асос килиб олиниб
ташки равишда тенг томонли уч-
бурчаклар чизилган (1-расм). Бу
учбурчакларнинг марказлари хам
тенг томонли учбурчакнинг учла-
ри булишини исботланг.
Масала анчайин нафис ечимга
эга. Он Ог ва Оз — тенг томонли
учбурчаклар марказлари булсин.
Кушимча ясаш бажарамиз: 01. О •
ва Оз нукталарни узаро хамда
АВС учбурчакнинг уларга энг
якин учлари билан туташ-
тирамиз.
Мунтазам учбурчак хоссасига
мувофик^О] = OiB\ ВО?=ОгС;
СО3 = ОзА; AAOtB=Z.BOzC=
= ЛСОзА = 120° ва АО1АО3 +
2-расм.
+ ZO1BO2 + /Ю2СОз = 360
АО1ВО2СО3 олтибурчакни ажра
тиб, унинг ташкарисидаги турт-
бурчакларни (улар каварик эмас)
гашлаб юборамиз. Натижада 2-
расмда тасвирланган фигура хо-
сил килинади.
Бу олтибурчакдан О1ЛО3 ва
<) >СОз учбурчакларни киркиб, мос
учлари атрофида айлантириб.
учинчи расмдаги холатга келтир-
сак, O1OO2O3 туртбурчакка эга
буламиз. O1O2 кесма уни
иккита тенг учбурчакка булади
(учбурчаклар тенглиги — уч то-
монига кура). OO2O3 ва DOtO
бурчакларнинг харбири 120°. Шу-
нинг учун O2O1O3 ва O1O2O3 бур-
чакларнинг хар бири 60е. Демак.
O1O2O3 учбурчак — тенг томонли
шуни исботлаш керак эди.
Бу масала кичик геометрик
тадкикот учун туртки була олади.
Масалан, учбурчакнинг томонла-
рини асос килиб ички тенг то-
монли учбурчаклар ясалса, улар-
нинг марказлари тенг томонли уч-
бурчак хосил киладими?
3-расм
О.
Учбурчак
387
тада кесишади (6-расм) (у юпда уч-
бурчак шаклидаги пластинканинг
огирлик маркази дам булади). Х,аР
бир медиана мос учдан дисоблаганда
М нудтада 2:1 нисбатда булинади. Уч-
бурчакнинг баландликлари (ёки улар-
нинг давомлари) дам битта Н нукта-
да — учбурчакнинг ортомарказида
кесишади (7-расм).
АВС учбурчакнинг баландликлари
унинг мос томонларини (ёки улар-
нинг давомларини) Ао, Во, Со нукта-
ларда кесади дейлик (7-расм).
ЛоВоСо учбурчак АВС учбурчакка
нисбатан ортомарказ учбурчаги ёки
кискача ортоучбурчак дейилади. Уч-
бурчакнинг баландликлари айни пайт-
да ортоучбурчакнинг биссектрисалари
булар экан. Агар АВС учбурчак уткир
бурчакли булса, у долда АоВоСо орто-
учбурчак АВС учбурчакка ички чи-
зилган: ЛоВоСо учбурчакнинг учлари
АВС учбурчакнинг мос томонларида
ётади. Ушбу ажойиб теорема уринли:
уткир бурчакли учбурчакка ички чи-
зилган учбурчаклар орасида ортоуч-
бурчак энг кичик периметрга эга.
Учбурчак баландликлари, медиана-
лари ва биссектрисаларининг кеси-
шиш нудталари дадидаги теоремалар-
ни «Чеванинг умумий теоремаси»дан
досил дилиш мумкин (Д. Чева —
итальян математиги (1648—1734):
АВС учбурчакнинг учларини дарама-
дарши томонларда ётган нукталар би-
лан туташтирувчи Л Q, BR, СР кесма-
лар (8-расм) битта D нудтада кеси-
шади.
АР- BQ-CR = PB'QC'RA шартни
бажарилганда ва факат шу долда бир
нудтада кесишади.
388
Еш математик цомусий лугати
1-расм.
ФАКТОРИАЛ
Бутун манфий булмаган сонлар учун
аникланган, амалда тез-тез учраб
турадиган функция ана шундай деб
аталади. Функциянинг номи инглизча
математик термин factor — «купай-
тувчи»дан олинган. У п! каби белги-
ланади. Хар кандай бутун мусбат п со-
ни учун п! функция 1 дан п гача камма
бутун сонларнинг купайтмасига тенг.
Масалан, 4! = 1-2-3-4 = 24. К,У*
лайлик учун таърифга кура 0! — 1
деб олинади. Факториал, айницса,
комбинаторикада куп учрайди. Ма-
салан, п укувчини битта каторга ти-
зишнинг усуллари микдори п! га тенг.
п ортиши билан и! функция жуда
тез усади. Чунончи, 1! = 1, 2! = 2,
3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, .... 10! =
3 628 800.
Инглиз математиги Ж. Стирлинг
1730 йили п! функцияни такрибий
кисоблаш учун жуда кулай формула-
ни таклиф килди:
n!«V2т ппе^п, п-»-оо.
Бу формуладан фойдаланганда нис-
бий хато унчалик катта булмай, п сони
ортиши билан тез камаяди.
ФЕРМА ТЕОРЕМАСИ
Ферма теоремаси — дифференциал
кисобнинг дастлабки теоремаларидан
бири, функциянинг табиати билан
унинг косиласи киймати орасида бог-
ланиш урнатади. f(x) функция [а; Ь]
интервалда аникланган ва бу интер-
валнинг бирор Хо нуктасида энг катта
ёки энг кичик кийматини кабул ки-
ладиган булсин, агар бу нуктада f1 (х0)
косила мавжуд булса, у нолга тенг:
f‘(x0)= 0.
Геометрик жикатдан бу куйидагича
изокланади: агар [а; /?| интервалда
каралаётган функция графигининг энг
юкори (ёки энг куйи) нуктасида урин-
ма мавжуд булса, у колда бу уринма
Ох укига параллел булади.
Бу теорема француз математиги
П. Ферма номи билан аталади. Шуни
таъкидлаш керакки, Ферманинг узи
косила тушунчасини билмаган — бу
теорема унинг мулоказалари ва мето-
дики аникдаштиришдан иборат.
ФЕРМАНИНГ КАТТА
ТЕОРЕМАСИ
х2+у2 = г2 тенгламани каноатланти-
рувчи х, у, z натурал сонлар (улар туг-
ри бурчакли учбурчакнинг томонлари
булиши мумкин) пифагор учликлари
дейилади. Масалан, 3, 4,5 сонлари худ-
ди шундай. К,адимги юнон математик-
лари барча Пифагор учликларини би-
лишган (Пифагор учликлари ёзилган
Бобил миххати тахтачалари мавжуд).
Узаро туб Пифагор барча сонлари-
нинг учликларини куйидаги форму-
лалардан косил килиш мумкин:
х = т2 — п2, у = 2тп, z = т2 + п2,
бунда т ва п — бутун сонлар ва
т > п > 0.
Бизгача кадимги юнон математиги
Диофантнинг (тахминан III а.) асари
Ферманинг катта теоремаси
етиб келганки, унда жумладан, Пи-
фагор учликларини текшириш хакида
маълумот бор. Француз математиги
П. Ферма бу китобнинг хошиясига
куйидагиларни ёзиб колдирган: «Ак-
синча, кубни иккита кубга, биквадрат-
ни иккита биквадратга, умуман, квад-
ратдан юкори бирорта хам даражани
ушандай курсаткичли иккита даража-
га ёйиш мумкин эмас. Мен бунинг
ажойиб исботини топдим, аммо уни
баён килиш учун китобнинг хошияси
жуда хам тор». Бошкача килиб айт-
ганда, х"+уп = z1 тенглама п>2
булганда х, y,~z номаълумларнинг на-
турал кийматларида ечимга эга эмас.
Келтирилган мулохазалардан матема-
тикада кишини хаяжонга соладиган
тарихлардан бири — Ферманинг кат-
та теоремаси (Ферманинг тасдигини
ана шундай атай бошлашди) тарихи
бошланади. Ферма уз катта тасдиги-
нинг исботини колдирмагани хеч ким-
389
ни хайратлантирмади, чунки у узининг
бошка арифметик теоремаларининг
хам исботини деярли колдирмаган.
Ферманинг купгина жумлаларини
кейин Л. Эйлер исботлади. У Ферма-
нинг катта теоремасини хам исбот-
лашга уриниб курди. Дастлаб, Эйлер
п = 4 булган холни урганди (бу хол
учун исбот Фермада хам бор эди),
сунг орадан 20 йил утгач, 1768 й.
п = 3 булган холда (айрим камчи-
ликлар билан) хал килди. Ярим аср-
дан ортик вактдан сунг, 1825 й. фран-
цуз математиги А. Лежандр (1725—
1833) ва немис математиги П. Ди-
рихле (1805—1859) П. Ферманинг
жумласини п = 5 учун тугри эканини
исботлади. п = 6 хол п = 3 холга
келтирилишини куриш кийин эмас.
Умуман, п = 4 дан бошка холларда
п нинг туб курсаткичларини караш
етарли. Кейин 1839 й. француз ма-
тематиги Г. Ламенинг (1795—1870)
390
иродасига п = 7 кол буйсунди. Бир
вактлар у хдтто умумий холда хам
муаммони хал килгандек булди, аммо
кейин хато топилди.
Ферманинг катта теоремаси буйи-
ча энг жиддий тадкикотлар немис
математиги Э. Куммернинг (1810—
1893) номи билан боглик. У 1843 й.
хатоли исбот таклиф килган эди, унда
хато бор экан, бирок у кейинчалик бу
хатони аста-секин тугрилади. Унинг
исботида п учун бажарилганда теоре-
ма уринли буладиган етарли шартлар
берилади. Дастлаб, бу шартни тек-
шириш шунчалик кийин эдики, теоре-
ма уринли булган маълум курсаткич-
ларга бирорта хам янги курсаткични
кушиб булмасди. Кейинчалик улар
соддалашди ва теорема бир йула
дастлабки юзликдаги п = 37, 59, 67
дан бошка барча п лар учун дарров
исботланди. Аммо Куммер бир оз
вактдан сунг истисно килинган бу
курс аткичларн инг хам уддасидан чик-
да. Умрининг охирида Э. Куммер тео-
ремани тулик исботлашни кузламай,
Еш математик цомусий лугати
факат чексиз куп туб сонлар тупла-
ми учун тугри эканини курсатиш га
интилди, аммо хозирги кунгача хам
шу максадга эришилгани йук.
1934 й. америкалик математик
Г. Вандивер Э. Куммернинг шартини
соддалаштирди. Кейинги вактда мана
шунинг асосида (ЭХ,М ёрдамида)
Ферма тасдиги барча n<Z 100 000 туб
сонлар учун текширилди.
Китоб «хошиясига сигмай колган»
П. Ферма исботи-чи? Бир томондан,
Ферма бирор фактни тасдиклар экан,
хатога йул куйган эмас, иккинчи то-
мондан, ажабланарлиги шундаки, уч
асрдан буен энг ёркин математик акл
эгалари хам Ферма назарда тутган
мушохадани топиша олмади. Шунинг-
дек, хато, лекин Ферма исбот сифа-
тида кабул килиши мумкинлигига
ишонса буладиган бирорта хам му-
лохаза такдим килингани йук. К,ола-
верса, п = 4 дан бошка каралган бар-
ча коллар Фермага бутунлай номаъ-
лум булган методдарни куллашни та-
лаб килади. Эхтимол, шу сабабли хам
Ферманинг кичик теоремаси
391
унинг исботини топишга уринаётган
куплаб ишкибозларнинг харакатлари
зое кетаётгандир. Лекин шунга к,ара-
май Ферма катта теоремасининг тас-
диги гарчанд математикада анча чек-
ланган урин эгалласа хам, фанни ри-
вожлантиришга яхши хизмат килди.
Уни исботлаш жараёнида Э. Куммер
энг ажойиб ва махсулдор математик
назариялардан булган идеал сонлар
назариясини уйлаб топди.
Ферманинг катта теоремасини ечиш
йулида 1983 й. нидерланд математиги
Г. Фалтингс диедатга сазовор олдинга
силжишга муваффак булди (к- Дио-
фант тенгламалари).
ФЕРМАНИНГ КИЧИК
ТЕОРЕМАСИ
Сиз фахат туккизликлардан тузил-
ган соннинг ажойиб хоссасини би-
ласизми? 2 ва 5 дан фаркли р туб сон
хандай булишидан хатъий назар хам-
ма вахт р га булинадиган, фахат тух-
хизликлардан тузилган 999—99 сонни
курсатиш мумкин. Масалан, 3 га 9 со-
ни, 7 га 999 999. 11 га 99, 13 га яна
999 999 сони булинади. 17 га булина-
диган сон хосил хилиш учун 16 та тук-
кизликдан тузилган сон олиш, 19 га
булинадиганини хосил хилиш учун
18 та туккизликдан тузилган сон олиш
лозим. Жуда узун булса хам хар доим
шундай сон топилишига ишонч комил
булиши керак.
Бу фактнинг исботи нимага асос-
ланган? р га холдихли булганда учрай-
диган турли холдихларнинг сони чек-
ли: 0, 1, 2, ..., р— 1. Шунинг учун р га
булганда айни бир хил холдих бера-
диган фахат туккизликлардан (бо-
рингки, бири I та туккизликдан, ик-
кинчиси m та туххизликдан, />ш)
тузилган иккита сон топилади. У хол-
да / — m та туккизликдан тузилган
сон р га булинади. Мухокама кили-
наётган хосса куйидаги тасдикка тенг
кучли эканини кайд киламиз: р сони
2 ва 5 дан фаркли р туб сон булсин;
р га булганда 1 холдих берадиган
100— 00 куринишдаги (битта бир ва
ноллардан иборат) сон мавжуд. Бу
жуда хам мухим тасдик- Масалан,
1
— оддии касрни чексиз унли касрга
айлантирганда (бунда р У= 2 ва
р =# 5) даврий каср хосил булиши
шунга асосланган. (Агар 1 ни р га
булишда кетма-кет унли белгилари
ёзиб борилса, бирор жойдан бошлаб,
улар даврий такрорланади).
Иккинчи томондан бизнинг масала
булиниш белгилари билан богланган.
3 га булиниш белгиси 9 нинг 3 га бу-
линишига асосланган. А = апап_\ ...
а^а\ сони 11 га булиниш-булинмас-
лигини билиш учун уни унгдан чапга
караб икки хонали сонларга ажратиш:
a^i, (охирги сон бир хонали
булиб колиши мумкин), сунг бу сон-
ларни кушиш етарли, агар хосил бул-
ган йиринди 11 га булинса, А хам 11 га
булинади, агар йигинди 11 га булинма-
са, А хам 11 га булинмайди. Були-
нишнинг бу белгиси 99 нинг 11 га
булинишига асосланган. 37 учун сонни
уч хонали сонларга ажратишга асос-
ланган шунга ухшаш булиниш белги-
си мавжуд. 2 ва 5 га тенг булмаган
барча р туб сонлар учун шунга ухшаш
булиниш белгиларини тузиш мумкин,
аммо улар ишлатиш учун кулай була-
ди дея олмаймиз.
р га булинадиган сон хосил булиши
учун аник нечта туккизлик олиш ке-
раклигини аниклашга уриниш табиий.
Х,амма вакт р — 1 та туккизликдан
тузилган сон ярокли экан. Бирок, баъ-
зан, оз сондаги туккизликлар хам
етарли, лекин мана шу хоссага эга
энг кичик сондаги туккизликлар сони
хамма вакт р — 1 нинг булувчиси була-
ди. Гауссни хаяжонга солган ушбу
саволга хозиргача хам жавоб топил-
ган эмас: I — р — 1 буладиган р лар
сони чеклими ёки чексизми? (маса-
лан, р = 7, 17, 19, 23, 29, 47... учун
/ = р-1).
Туккизликлардан тузилган сонлар-
нинг булиниши хакидаги тасдик анча-
гина умумий булган ва Ферманинг
392
Еш математик цомусий лугати
кичик теоремаси деб аталган тасдик-
нинг хусусий холидир: агар р — туб
сон, а эса р га булинмайдиган нату-
рал сон булса, у холда аг~' ни р га
булганда колдикда 1 чикади (а — 10
булганда юкоридаги туккизликлар ха-
кидаги тасдик косил булади). Ферма
узининг бу кашфиёти хакида хабар
берган мактубида (1640 й.) «Менинг
рухим ёришиб кетди»,— деб ёзган эди.
Хакикатан хам бу теорема натурал
сонларнинг булиниши назариясида
фундаментал фактлардан бирига ай-
ланди. Ферма бу теореманинг исбо-
тини колдирмаган, унинг бизга маъ-
лум биринчи исботи Л. Эйлерга те-
гишли. Хик°ямиз якунида бу теорема-
нинг а га чегара куймайдиган ифода-
сини берамиз: агар р — туб сон, а —
натурал сон булса, у холда ар — а со-
ни р га булинади.
ФИБОНАЧЧИ СОНЛАРИ
Йирик итальян математиги Леонар-
до Фибоначчи (Леонардо Пизанский)
нинг номи купрок куйидаги ажойиб
сонли кетма-кетлик туфайли учрай-
ди: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Аслида эса у бир неча асрлар давоми-
да арифметика ва алгебра маълумот-
лари узида жамланган «Абак хакида
китоб» (1202) нинг муаллифи.
Бу кетма-кетлик (кар бир натурал
п > 1 учун) ушбу шартлар билан
аникланади: щ = 1, «2 = 1, u«+i =
= ип + Un—i- Унинг кадлари Фибо-
наччи сонлари деб аталади. Улар хар
хил математик холатларда — комби-
наторика, сонлар назарияси, геомет-
рияда учраб туради.
Агар сиз тирик табиатдан сонли
конуниятларни квдиришни севсангиз,
у холда Фибоначчи сонлари усимлик-
лар дунёси бой булган спирал фор-
маларда тез-тез учрашига эътибор
беринг. Баргларнинг банди новдага
иккита барг орасидан утувчи спирал
буйлаб ёпишади: ёнгокда тулик давр-
нинг учдан бирига бурилиб, эманда —
2/5, тол ва нокда — 3/8, мажнун-
1-расм.
толда — 5/13 га бурилиб ёпишади:
арчанинг гуддасидаги бугинлар, ана-
нас сиртидаги катакчалар ва кунга-
бокарнинг уруги спираль шаклида
жойлашган булиб, хар бир йуналиш-
даги спираллар сони одатда Фибо-
наччи сонларидан бири булади.
1-расмда Фибоначчи сонлари катак
когозда спирал тартибдаги квадрат-
лар томони узунликларидан тузилган
кетма-кетлик булишини ифодалай-
ди. Бу расмдан мана бу тенгламани
(Хар кандай п учун) хосил килиш
мумкин:
и] + и} + U3 = ... + U2„ = UnUn+l-
Фибоначчи сонлари орасидаги бу
ва б. яна
2-расм.
Фигурали сонлар
III + U2 + ... + Un — Un + 2 1;
2
tZ n ilZn_|_ 1 — Un-\-2ttn— I
— UnUn-i = ( — 1)";
Hm-j-k == Uk—lUm “I” UkUm-\-l
393
функция ёрдамида исботлаш мумкин.
Xn + r = UoXn + OlXn-f-1 + +
+ ar—iXn+r—t
каби дизид муносабатлар мавжудки,
уларни математик индукция методи
билан исботлаш мумкин.
Фибоначчи сонларининг арифмети-
каси дам куп дизид. Фибоначчи со-
нининг дар бир учинчиси жуфт,
дар бир туртинчиси учта булинади,
дар бир унбешинчиси ноль билан ту-
гайди, умуман, дар бир d учун d га бу-
линадиган Фибоначчи сонлари даврий
учрайди. Иккита кушни Фибоначчи
сони узаро туб; т сони п сонига бу-
линганда ва фадат шу долда ит сони
ип га булинади.
Фибоначчи сонларининг булиниш
хоссаларини дар томонлама текши-
рилганда 5 сонининг махсус роли очи-
лади, масалан: агар р туб сон 5/±2
куринишда булса, у холда uP+i сони
р га булинади, агар р сони 5( ± 1 ку-
ринишда булса, у долда ир-1 сони р га
булинади.
5 сони ип дадни п номерининг функ-
цияси сифатида ифодаловчи Ж. Бине
(француз олими, 1786—1856) фор-
муласида хам иштирок этади:
ип =-----------гр----------
V О
Бу формуладан ип тахминан мадражи
т /5+1
2
булган геометрик прогрессия каби
усиши келиб чидади, анидроги, ип со-
ни т" / т/5 га энг ядин бутун сон.
Бине формуласини индукция буйи-
ча ёки Фибоначчи кетма-кетлигини
досил дилувчи
UlX + U2X2 + U3X3 + ... + ... =
X
1 —х—х2
муносабат билан анидланувчи бошда
кетма-кетликларнинг n-хадини дам,
Бине формуласига ухшаш, бир нечта
геометрик прогрессия йигиндиси
шаклида ёзиш мумкин. Бу прогрес-
сияларнинг мадражлари характерис-
тик купдад деб аталадиган
р (X) = V—.. — ar-i V-1 — аД — а„
купдаднинг илдизи сифатида топила-
ди. Масалан, Фибоначчи кетма-кетли-
ги учун характеристик купдад
X2 — X — 1 га тенг. Умумий долда
купдаднинг фадат дадидий илдизидан
фойдаланмай, унинг комплекс илди-
зидан дам фойдаланиш керак (агар
бунинг устига бирор X илдиз k> 1
каррали булса, у долда йигиндига
скп геометр.ик прогрессиядан ташда-
ри^яна
CitlTJ1, С2П2Хп, ..., ck-ink~').n
кетма-кетлидлар дам кириши мумкин.
У долда йигиндидаги умумий дад-
лар сони дамма вадт г га тенг булади).
Бизнинг асрда дам Фибоначчи сон-
ларининг янги хоссалари ва татбидла-
ри топилган. Улар орасида иккита мо-
нотонлик оралиги <р,х*) ва (г*, Ь) га,
яъни битта экстремумга) эга булган
у = f(x) функциянинг экстремумини
энг тез топиш усули бор: п та дадам-
дан иборат х* экстремум нудтасини
топишнинг энг яхши планида щ,
U2, Из, Un+2 Фибоначчи сонлари
иштирок этар экан.
ФИГУРАЛИ СОНЛАР
25, 49, 100 сонлари дадвда гапи-
рилганда, улар квадрат сонлар дейи-
лади. Нима учун? Чунки 5, 7, 10 сон-
лари квадратга кутарилса, юдоридаги
сонлар досил булади. Аммо бу ном-
394
Еш математик цомусий лугати
1-расм.
нинг геометрик фигура — квадратга
алокаси борми? 1-расмга царайлик,
аскарлар текис сафлар буйича квад-
ратлар хосил килиб туришипти. Бун-
дай квадратлардаги аскарлар сонини
хисоблаш осон — горизонтал томон
буйича жойлашган аскарлар сонини
вертикал томон буйича жойлашган
аскарлар сонига (биз караётган хол-
да бу икки сон тенг эканини кайд
киламиз) купайтириш лозим, шунда
квадрат ичидаги аскарларнинг уму-
мий сони хосил булади.
К,адимда хисобчилар купинча тош-
лар ёрдамида хисоблашар ва табиий-
ки, тошларни мунтазам фигуралар ёр-
дамида жойлаштириш мумкин булган
холларни кайд килар эдилар. Квадрат
сонлардан ташкари, 2-расмнинг юко-
ри кисмида курсатилганидек хосил
буладиган учбурчакли сонлар хам
маълум эди. п номерли квадрат сон
п2 га, n-учбурчакли сон 1 дан п гача
барча бутун сонларнинг йигиндисига,
п(«+ 1 ) ,
яъни g— га (каранг: Арифметик
прогрессия) тенг эканини куриш
кийин эмас.
Бешбурчакли сонлар 2-расмда кур-
сатилган. n-номерли бешбурчакли
сонни хисоблаш учун уни учбурчакли
сонларга ажратиш лозим, шундан сунг
расмда курсатилганидек, яна п та нук-
та колади. Натижада п-бешбурчакли
n(n — 1)
сон п + 3---га тенг эканини хо-
сил киламиз.
Ихтиёрий купбурчакли сонни шун-
га ухшаш усулда киритиш мумкин.
п-номерли fe-бурчакли сон учун фор-
мула куйидагича:
r,k I /ь ох л(п—1)
Рп = л + (k — 2)—
k — 3 холда учбурчакли, k = 4 хол-
да квадрат сон хосил киламиз ва х- к.
Шу йусинда сонларни тугри турт-
бурчак куринишида хам тасвирлаш
мумкин. 12 сони учун унинг жуда
куп усулда бажарилишини (2-расм)
кузата оламиз, 13 сонига мос тугри
туртбурчак куриш учун хамма пред-
метларни бир тугри чизикка жойлаш-
тиришга тугри келади. Бу куриниш-
даги сонни кадимги математиклар
тугри туртбурчакли сон деб хисоб-
ламаган. Шундай килиб, хамма му-
раккаб сонлар тугри туртбурчакли.
туб сонлар эса тугри туртбурчакли
эмас.
Агар шарчаларни илгари укларни
тупнинг ёнига терган каби пирамида
шаклида териб чикилса, пирамидал
Функция
а
о 09
1 3-1+2
о ©Ь
(30 000
ООО ООО©
6=1 + 24-3 10 = 1+24-3 + 4
OOO0Q
©°о о°о©
Q ОО QQO
2(2 1) 3(3-1
1 5 =2+3 -j— 12=3+3-J-
оооо
©ООООО ОООО
0(3000(3 OOQQ
12-2-6 12 = 3-4
О
0(3
ООО
О ООО
ооооо
$>>в
® О_ ® ®
О О оо
ООО,©,
4(4-1)
22=4-63 ' д
ООО
ООО
ООО
ООО
12=4-3
оо
оо
оо
оо
OQ
о о
12 = 6-2
395
2-расм.
сонлар косил булади. n-пирамидал сон
1 дан п гача барча учбурчакли сон-
ларнинг йигиндисига тенг эканини ку-
рит кийин эмас. n-пирамидал сон-
ни кисоблаш формуласи:
„ „(п+1) (п + 2)
•hl — т; -
о
ФОРМУЛА
Формула — бирор жумлани ифода-
ловчи математик белгилар ва карф-
ларнинг комбинацияси.
Масалан, учланган бурчак синуси-
ни содда бурчак синуси оркали ифо-
даловчи формула:
sin3a = 3sina — 4sin3a
Учбурчакнинг элементлари (а, Ь,
с — томонларининг узунликлари, г
ва Д' — ички ва ташки чизилган ай-
ланаларнинг радиуслари) ни узаро
богловчи купгина формулалар маъ-
лум. Мана шулардан бири:
±+± + ± = _1_
ab be са 2Rr
Одатда, «формула» термини куйи-
даги белгилар ва карфлар комбина-
циясига нисбатан ишлатилади:
тенглик белгиси билан бирлашти-
рилган икки кисмдан иборат комби-
нация;
маълум шартларда тугри тасдикни
англатувчи комбинация;
баъзи катталикларни бошкаси орка-
ли ифодаловчи катталик.
«Формула» термини математик
мантикда махсус маъно касб этади,
бунда у маълум коида буйича тузилган
формал тил ифодаларига нисбатан
кулланилади, масалан, (V*) (х^0=>
<у2=х)).
ФУНКЦИЯ
Функция — узгарувчи микдорлар ора-
сидаги богланишни ифодалайдиган
асосий математик ва умумилмий ту-
шунчалардан бири.
Билимнинг кар бир сокаси: физи-
ка, химия, биология, социология,
лингвистика ва к- к- уз тадкикот
объектига эга, улар уз объектларининг
хоссаларини, ва айникса мукими,
уларнинг узаро богланишини урната-
ди.
396
Еш математик цомусий лугати
«Математикада Декарт-
нинг узгарувчи микдори
х,ал килувчи омил б^лди.
Шу туфайли математика-
га харакат, демак, айни
пайтда диалектика кир-
ди».
Ф. Энгельс
Турли фанларда, инсон фаолияти-
нинг турли сохдларида микдорий му-
носабатлар пай до булади ва матема-
тика уларни сонларнинг хоссалари
куринишида урганади. Математика
абстракт узгарувчи микдорларни хам
карайди ва уларнинг узаро богланиш
конунларини абстракт (тайин бир
объектга богланмаган холда) кури-
нишда урганади, бу конунлар матема-
тик тилда функционал богланишлар
ёки функциялар дейилади. Масалан,
у = х2 муносабатда геометр ёки гео-
дезист квадрат юзаси у нинг томони
катталиги х билан кандай богланган-
лигини куради, физик, авиаконструк-
тор ёки кемасоз эса бу муносабатда
хаво ёки сувнинг каршилик кучи у
нинг харакат тезлиги х га богликлиги-
ни тушуниши мумкин. Математика
у = х2 богланишни ва унинг хосса-
ларини абстракт тарзда урганади. У,
масалан, у = х2 богланишда х ни 2
марта купайтиш (орттириш) у нинг
турт карра купайишига олиб келиши-
ни урнатади. Бу богланиш каерда
конкрет намоён булмасин, урнатилган
абстракт математик хулоса ихтиёрий
конкрет объектга конкрет холатда
татбик килиниши мумкин.
Реал оламнинг микдорий муноса-
батларини урганишда сон тушунчаси
канчалик фундаментал булса, матема-
тика ва унинг узгарувчи микдорлар-
ни урганиш билан боглик татбикла-
рида функция тушунчаси шунчалик
фундаменталдир.
Функционал богланиш ёки функция
тушунчасининг математик тавсифи X
ва Y кандайдир тупламлар булсин.
Агар бирор f конунга мувофик кар
бир х(=Х элементга тайин y^Y эле-
Ещ математик цомусий лугати
398
мент мос келса, X тупламда анидлан-
ган, кийматлари У тупламда булган
функция берилган дейишади.
Бу долда X туплам функциянинг
анидланиш содаси дейилади; X туп-
лам умумий элементининг тимсоли
булмиш х функциянинг аргументи
ёки эркли узгарувчи дейилади; аргу-
мент х нинг тайин Хо^Х кийматига
мос келувчи уо е У элемент функция-
нинг х0 элементдаги киймати ёки ар-
гументнинг х = Хо кийматига мос
функция киймати дейилади ва f(xlt)
оркали белгиланади. Аргументнинг
кийматлари узгарганда у = f(x)^Y
кийматлар умуман айтганда (х нинг
кийматига боглик равишда) узгаради.
Шу сабабга кура, у = f(x) катталик-
ни, купинча, эрксиз узгарувчи дейи-
шади.
X тупламнинг барча элементига мос
келадиган функциянинг кийматлари
тупламини функциянинг кийматлар
содаси дейишади ва баъзан f(X) ор-
кали белгилашади. Хусусан, агар бу
туплам факат битта у е У элемент-
дан иборат булса, у долда функция
X тупламда узгармас дейилади.
Масалан, авиапассажирлар даво
кемаси салонида уриндикда утиради-
лар. X — пассажирлар туплами, У —
салондаги уриндидлар туплами бул-
син. Натижада табиий мослик-пайдо
булади: дар бир хе/ пассажирга у
утирган уриндид у = f(x) мос куйи-
лади. Шундай дилиб, биз бу ерда
функциянинг соддагина мисолига
эгамиз: унинг аникланиш содаси X —
пассажирлар туплами, кийматлар со-
даси — пассажирлар эгаллаган крес-
лолар туплами f (X) дир. Агар У даги
дамма кресло банд булмаса, у долда
функциянинг кийматлар содаси бутун
У туплам билан устма-уст тушмайди-
ган У нинг дисм туплами булади.
Агар битта уо креслода икки пасса-
жир (Хд ва Хр1) жойлашган булса (ма-
салан, она ва бола), бу f функция таъ-
Функция
рифига сира хам зиддик килмайди,
бу холда f функция хам х' га, хам х()'
га уо креслони бир кийматли мос куя-
ди. Тугри, бундай функция
У — f(x) = X2 сонли функция
х = —3 ва х = +3 да бир хил 9
кийматни олганига ухшаш аргумент -
нинг турли х* ва х‘‘кийматларида бир
хил у0 киймат кабул килади.
Аммо, агар бирор Xq пассажир бир-
данига иккита у'о, у'о1 креслоларга
утиришни «эпласа», у холда функция
кийматининг бир кийматли аник-
ланганлик принципи бузилади, шу-
нинг учун бу холат функциянинг юко-
рида берилган таърифи маъносида
функционал богланиш була олмайди,
чунки таърифда х аргументнинг хар
бир кийматига функциянинг аник
битта у = f(x) киймати мос келиши
талаб этилади.
X, Y тупламларнинг табиатига бог-
лик холда математиканинг турли бу-
лимларида «функция» термини катор
фойдали синонимларга эга: мослик,
акслантириш, аксланиш, алмашти-
риш, оператор, функционал ва X- к.
399
Акслантириш — улардан энг куп тар-
калгани.
Функция (акслантириш) учун куйи-
даги белгилашлар кабул килинган:
f
f: X->-Y ва X-+Y. Агар контекстдан
функциянинг аникланиш сохаси ва
узгариш сохаси кандайлиги равшан
булса, у холда х-э-Дх) ёки у = f(x)
белгилашлардан хам фойдаланилади,
баъзан функцияни умуман биттагина
f символ билан белгилашади. Функ-
цияни белгилаш учун стандарт «уч-
лик» (X, f, У) урнига, тушунарлики,
ихтиёрий бошка харфлардан хам фой-
даланиш мумкин, масалан: <р : А-+В,
'У: (/—*-У ва х- к. акслантиришларни
караш мумкин. f : X—>У функция акс-
лантириш дейилганда унинг хеX эле-
ментда кабул киладиган /(х)еУ эле-
мента учун, одатда, х элементнинг
образи атамаси кулланади. f : Х->У
акслантиришда АаХ кием туплам-
нинг образи деб, У нинг А туплам эле-
ментларининг образидан иборат бул-
ган f (А) тупламни айтишади.
Функция амалий тушунчаларга эга.
Еш математик цомусий лугати
400
Функция тушунчасини ойдин-
лаштирувчи яна бир неча мисоллар-
ни карайлик. Уларда айтилган сино-
нимлар ва киритилган терминология
ишлатилади. S = х2 ва V = х3 фор-
мулалар, мос равишда, томонининг
узунлиги х булган квадрат юзи S ва
киррасининг узунлиги хам х булган
куб цажми V нинг х га функционал
богланишини урнатади. Бундай тал-
кинда бу формулаларнинг хар бири
мусбат сонлар туплами R + да аник,-
ланган, кийматлари хам уша R+ туп-
ламда ётувчи уз f : + функцйя-
сини беради.
Бу ерда функциянинг аникланиш
сохаси хам, дийматлар сохаси хам
сонли тупламлардан иборат. Бундай
функцияларни одатда сонли функция-
лар дейишади. Сонли функциялар
функцияларнинг асосий туридир, би-
рок зинхор ягона тури эмас. А — мум-
кин булган барча квадратлар тупла-
ми булсин. Хар бир аеЛ квадрат
аник бир 1(a) узунликдаги томонга
эга. Шундай килиб, а-+1(а) мослик
квадратлар туплами А да аникланган,
мусбат сонлар туплами R + дан кий-
матлар кабул килувчи f\A^R+ функ-
цияни вужудга келтиради (умуман,
кийматлари хакикий сон булган функ-
ция хакикий кийматли ёки кискача
хакикий функция дейилади).
В — фазодаги кублар туплами бул-
син. Мусбат хе/?+ сонга В туплам-
дан олинган ва киррасининг узунлиги
х га тенг булган b (х) кубни мос куя-
миз. У холда R+ сонлар тупламида
аникланган ва кийматлари кублар
туплами В ётувчи f:R+->-B функ-
ция вужудга келади.
Биз купинча «Z тупламнинг эле-
ментлари кетма-кетлиги Z\, z2, Z3, z4,
zn... ни карайлик» деймиз. Бунда
биз хар бир натурал сон пеА; га Z
тупламнинг бирор zn элементи мос
Функция
401
дуйилганини назарда тутамиз. Шун-
дай дилиб, кетма-кетлик — натурал
сонлар тупламида берилган f:N-+Z
функция.
Агар тугри чизикда бир хил мас-
штабли (узунлик бирлигига эга) ик-
кита координаталар системаси j х },
{х1 } киритилса, бу тугри чизикдаги
дар бир нуктанинг шу системалардаги
х ва х1 координаталари х1 = х — с
муносабат билан богланган булади, бу
ерда с сони {х1} система координата
бошининг х системадаги координата-
си. Бу долда х1 = х — с функция,
одатда, координаталарни алмаштири-
ши дейилади. «Алмаштириш» термини
геометрияда (к. Геометрик алмашти-
ришлар), шунингдек, физикада коор-
динаталарни турли-туман алмашти-
рувлар муносабати билан тез-тез уч-
раб туради.
0=Сх<; 1 кесмада аникланган дар
бир f: [ 0,1 сонли функцияга унинг
шу кесманинг бирор белгиланган Хо
нудтасидаги f (хо) дийматини мос дуя-
миз. f~^f(X(j) мослик сонли дийматлар
дабул дилувчи F'.F-^R функцияни
вужудга келтиради. Бу функция кур-
сатилган барча f функциялар туп-
лами { f } да анидланган. Функциялар
тупламида анидланиб, сон дийматлар
дабул дилувчи функцияни дулайлик
учун, одатда, функционал дейишади.
Шундай дилиб, биз дозир F: F-+R
функционални дурдик. Функционал-
нинг бошда мисоли L:F~^R булиб,
f :[0,1] функция графигидан иборат
эгри чизид узунлиги 1(f) хизмат дила
олади.
М туплами — бутун тугри чизид-
да анидланган барча сонли
функциялардан ташкил топган бул-
син, с сонни белгилаймиз ва дар бир
f^M функцияга fc(x) = f(x-f-c) му-
носабат билан анидланган fc^M
функцияни мос дуямиз. fc функция f
функцияни с катталикка силжитиш
дейилади. Шу усулда курилган
f-*-fc мослик силжитиш оператори
деб аталмиш А: М-*-М функцияни ву-
жудга келтиради. Шундай килиб, опе-
ратор — бир функцияни бошкасига
алмаштирувчи функциядир. Хусусан
A(f) = fc. Операторларни биз дар
402
Еш математик цомусий лугати
кадамда учратамиз: исталган радио-
приёмник антеннадан «кириб келувчи»
электромагнит сигналини приёмник
мос товуш сигналига айлантириб чи-
карувчи оператордир; сезги аъзола-
римизнинг хар бири узининг аникла-
ниш сохаси ва кийматлар сохасига
эга булган операторлар (алмаштир-
гичлар) дир. Сонли функциялар ма-
тематик анализнинг «функциялар на-
зарияси» номи билан бирлаштирилув-
чи булимларида урганилади. Функ-
циялар ва операторлар хозирги замон
математик анализиттт функционал
анализ деб аталувчи бошка булимида
урганилади (бу булим «функциялар
назарияси» билан жипс богланган).
Эутимоллар назарияси ва матема-
тик статистикада яна тасодифий
функциялар деб аталувчи функция-
лар пайдо булади ва урганилади.
Масалан, агар шашкол тоши (ку-
бик) ташланса ва хар бир ташлаш
номерига шу ташлашда чиккан очко
мос куйилса, кийматлари 1 дан 6 га-
ча бутун сонлар булган сонли кетма-
кетлик хосил булади. Агар бу проце-
дурани (тажрибани) яна такрорла-
сак, у холда, умуман айтганда, бошка
кетма-кетлик олинади. Тажриба ут-
казилгунга кадар, биз f(n) функция-
мизнинг д-ташлашдаги кийматини
аник билмаймиз, лекин бу киймат
эхтимол билан, масалан, 1 булиши
мумкинлигини харкалай биламиз. Ма-
на шундай пайдо буладиган функ-
циялар кийматларининг таксимоти ва
бошка хоссаларини эхтимоллар наза-
рияси туркумидаги фанлар урганади.
Ер сирти Р нинг р нуктасидаги t
температурани карайлик. Бунда
Т: Р~>-Р температура функцияси ву-
жудга келади: унинг аргумента Р
сиртнинг р нуктасидан иборат, кийма-
ти эса шу нуктадаги t = Т(р) темпе-
ратурадир. Бу функциянинг аргумен-
тини сонлар оркали ифодалаш учун р
нуктани бирор сонли параметрлар,
масалан, <р кенглик ва ф узунлик билан
характерлашади. Бундан сунг
I = Т(р) урнига t = Тф) ёзиша-
ди, энди бу ерда t, <р, ф — сонлар. Би-
рок t битта эмас, балки иккита <р, ф
узгарувчига боглик булиб колди, шу-
нинг учун бундай сонли функцияни
иккита (сонли) узгарувчининг функ-
цияси дейишади. Шу маънода, атмо-
сфера температураси Т (<р, ф, Н) учта
сонли узгарувчининг функциясидир:
биринчи икки сон (<р, ф) ер сиртининг
кайси нуктаси устида температура ул-
чанаётганини, учинчи сон Н эса улчаш
кандай баланддикда утказилаётгани-
ни курсатади.
Шундай килиб, аввал битта р аргу-
ментнинг функцияси булган t = Т (р)
функция «сонли ёзув» га утганда бир
неча сонли аргументнинг функцияси
булиб колиши мумкин. Бундай функ-
циялар жуда куп учрайди. Масалан,
тугри бурчакли параллелепипед П
сонлар учлиги (х, у, z)—параллеле-
пипед кирралари узунликлари билан
туда аникланади, бинобарин, парал-
лелепипеднинг хажми Vn учта сонли
узгарувчи х, у, z нинг f (х, у, z) функ-
цияси булади. Яхши маълумки,
V = f(x, у, z) = x-y-z.
Функцияни бериш, купинча, аргу-
ментнинг тайин киймати буйича функ-
ция кийматини топишнинг алго-
ритмами ёки, хеч булмаганда, аник
тавсифини курсатишни кузда тутади.
Функцияни алгоритмик усулда бе-
риш электрон хисоблаш машинала-
рида бажариладиган хисоблар учун
асосий усулдир. Сонли функциялар
каралганда функцияни ?суз билан тав-
сифлаш урнига V — x-y-z шаклида-
ги бирор математик формула (яъни,
аналитик) куринишида бериш нихоят-
да кенг таркалган. Экспериментал
тадкикотларда бирор катталик у
билан боглик параметрларнинг бел-
гиланган кийматлари тупламида ул-
чанса, функция кийматларининг жад-
вали хосил булади. Бундай жадвал-
лар функциянинг айрим нукталарда
топилган кийматлари буйича унинг
оралик нукталардаги кийматларини
етарлича аниклик билан топиш имко-
нини беради. Математикада хам
Функция
функцияни жадвал усулида берили-
шидан купинча фойдаланишади: сон-
ларнинг квадратлари ва кублари жад-
валлари, тригонометрик функциялар,
логарифмлар жадваллари ва д. к. Ик-
кинчи томондан, функциялар график-
лар ордали дам досил килинади: ма-
салан, температура ёки атмосфера
босимини кайд килувчи асбоблар, ку-
пинча, автоматик равишда ёзувчи мос-
лама билан таъминланганки, у асбоб
курсатмаларини, маълум координата-
лар системасида, улчанаётган пара-
метрнинг вадтга боглидлигининг гра-
фиги куринишида беради.
«Функция» тушунчаси узок ва етар-
лича мураккаб тараккиёт йулини бо-
сиб утди. «Функция» термини бирин-
чи марта 1692 й. да Г. В. Лейбниц иш-
ларида (тугри, бир оз торрок маъно-
да) пайдо булди. Бу терминни швей-
цариялик олим И. Бернулли 1698 й.
Г. Лейбницга ёзган хатида дозирги
тушунишга якин маънода ишлатган.
Функционал богланишнинг дозир
биз тушунадиган даражага шакллани-
шида куплаб йирик математиклар
катнашдилар. Функциянинг дозирги
кундагиси билан деярли мос келувчи
тавсифи XIX а. бошларидаги матема-
тика дарсликларидаёк учрайди.
Н. И. Лобачевский функциянинг бун-
дай тушунилишининг фаол тарафдо-
ри эди.
Биз функция тушунчасини тадлил
килдик. Маколамиз нидоясида битта
умумий ва мудим принцип — функ-
цияларнинг синтези ва анализи прин-
ципига тухтайлик.
Яхши маълумки, бир оз булса-да
мураккаб система, масалан, замона-
вий технологик линия куплаб техно-
логик участкалардан тузилади, улар-
нинг дар бирида бирор нисбатан сод-
да операция бажарилади. Аввалги
участканинг мадсулоти кейинги участ-
ка учун ишлов бериладиган дастлаб-
ки объект булади. Мураккаб система-
ларни нисбатан содда функцияларни
бажарувчи элементлардан тузилиши-
нинг бундай принципини сиз радио-
приёмникда дам, муассасанинг маъ-
403
мурий-хужалик аппаратида дам ку-
ришингиз мумкин.
Бу принцип математикада функ-
циялар композицияси амалида уз
ифодасини топган.
f:X-*-Y ва ^:K->Z функциялар бе-
рилган булсин, бу функциялар шун-
дайки, улардан бири (бизнинг долда
иккинчисининг (f нинг) дийматлар
содасида аникланган; бу долда янги
функция £of:X-*Z тузиш мумкин,
унинг кийматлари X туплам элемент-
ларида (^of) (х) = y.(f(x)) формула
билан анидланади. Тузилган «мурак-
каб» у.функция f ва (айни шу тар-
тибда!) функцияларнинг композиция-
си дейилади.
Функциялар композицияси, бир то-
мондан, янги функцияларнинг бой
манбаидир (синтез), иккинчи томон-
дан, мураккаб функцияларни содда-
роцларига ажратиш усулидир (ана-
лиз).
Акслантиришлар композицияси
билан геометрияда текислик ёки фа-
зонинг кетма-кет бажариладиган да-
ракатларини Караганда, алгебрада эса
энг содда элементар функцияларнинг
композицияси ёрдамида олинган
«мураккаб» функцияларни тадкик
килганда дуч келиш мумкин. Ма-
салан, h(х) == sin(х2) функцияни
у = f(x) = х2 ва у (у) = siny функ-
цияларнинг композицияси сифатида
караш мумкин.
Купинча, композиция амалини ка-
торасига бир неча марта бажаришга
тугри келади ва шу муносабат билан
унинг ассоциативлигини, яъни
(^°^)°/ эканини айтиб
утиш фойдалидир. Бу долат, бир неча
сонларни кушиш ва купайтириш доли-
да булгани каби, уюшиш таргибини
белгиловчи кавсларни тушириб кол-
дириш имконини беради. Масалан,
У1= fi(x) = х2 — 1,
t/2 = fz(yi) — ^fyi,
Уз = /з(У2) = cosy 2,
У4 = fa (Уз) = 2уз.
булсин. У долда ____
Мз°/2°Мх) = 2cos^-‘ .
404
Еш математик цомусий лутати
Агар композицияда хамма
хадлар бир хил ва f га тенг булса, у
холда бу композициями купинча дис-
ка килиб f" оркали белгилашади.
Маълумки, мусбат а сонининг квад-
рат илдизини
x„+i = (хп + а/хп}/ 2
формулага мувофик, исталган бош-
лангич якинлашиш Хо > 0 дан бошлаб,
кетма-кетлик якинлашишлар ёрдами-
да хисоблаш мумкин. Бу эса f(xo)
ни кетма-кет хисоблашнинг худди
узидир, бу ерда
f(x) = (х + а/х)/ 2.
Функциянинг аввалги кадамда хисоб-
ланган киймати кейинги кадамда
унинг аргументи буладиган бундай
процедура итерацион жараён дейи-
лади. Итерацион жараёнлар хисоб-
лаш математикасида жуда кенг кул-
ланади.
Шуни таъкидлаб утиш лозимки,
Хатто хар икки gof ва fog композиция
аникланган холда хам, умуман айтган-
да, gof^fog. булиши мумкин. Ма-
салан, икки элемент ли {а; b} туплам
ва узгармас функциялар f:{a; b } -+а,
{а; b} —ни олайлик. У холда
gof-.{ а; b } ->-6 шу билан бир вактда,
/Ц:{а; Ь}^а.
X тупламнинг хар бир элементига
шу элементнинг узини мос куювчи
1К'.Х^Х акслантириш X тупламнинг
айний акслантириши дейилади (яъни
Хар бир х^Х учун 1х(х) — х).
f'.X-^-Y ва g:Y^>-X акслантиришлар
(функциялар) берилган булсин. Агар
qof = Jx ва q°f = I булса, f ва д
функциялар узаро тескари дейилади.
Бошка суз билан, агар геХ элемент
f «таъсири»да у = f(x)^Y элементга
«утса», у холда бу у = f(x) элемент
тескари д акслантириш таъсирида
айнан уша х^Х элементга кайта-
рилади; худди шунингдек, у дан акс-
лантириш натижасида олинган
х = д(у) элемент эса f таъсирида у
нинг узига «юборилади».
f га тескари д акслантиришни, одат-
да, f~ символ билан белгилашади.
Шундай килиб, агар f ва д. узаро тес-
кари акслантиришлар булса, у холда
ва f = деб ёзиш мумкин.
Узаро тескари функциялар жуфт-
ларининг мисоли булиб, куйидаги
элементар функциялар жуфти хизмат
кила олади:
п
х^О да у = хп ва у^О да х=
х<Х) да у = хгва у^О да
х= —уПг,
x^R да у= 10х ва у>0 да
x=lgy;
Г Л Л ,
хе|----, -у J да у = Sinx
ва уе[—1, 1] да х = arcsiny.
Энг куп учрайдиган функциялар
хакида куйидаги мадолалардан удиб
оласиз: Элементар функциялар, Чи-
зицли функция, Квадрат учэ$ад, Да-
ражали функция, Каср-чизицли функ-
ция, Курсаткичли функция, Логариф-
мик функция, Тригонометрик функ-
циялар, Гиперболик функциялар.
МАСАЛАЛАР
8-масала. Шифр куйидагича тузилган:
хар бир ракамга ва * белгисига учта-
дан дарф мос куйилган (жадвалга да-
ранг),— белгисига эса иккита харф ва
буш жой мос куйилган.
Жадвал
0123456789* —
агёилосфчьяф
бджймптхшэух
везкнруцъюк
Куйидаги ёзув билан кандай текст
шифрланганини аникланг. 683—ЗХ
*43440104—*040044341—41860—
*355063—055. 9-масала. Икки киз
шундай уйин уйнамокда: улар навбат
билан мойчечак гулбаргларини узи-
шади. Х,аР ким уз навбатида ё битта
гулбарг, ёки иккита ёнма-ён (душни)
гулбарг узиши мумкин. Энг охирги
Функция экстремуми
405
гулбаргни узишга муваффак булган
к,из ютади. Иккинчи булиб юрган к,из
доим юта олишини исботланг (мойче-
чак гулбарглари иккитадан куп).
ФУНКЦИЯ ЭКСТРЕМУМИ
Хдммага яхши таниш арранинг икки-
та тишини карайлик. Арранинг сил-
лик, чети буйлаб Ох укини, унга пер-
пендикуляр килиб Оу укини йуналти-
рамиз. 1-расмда тасвирланган бирор
функциянинг графиги косил булади.
ai нуктада кам, 62 нуктада кам
функциянинг кийматлари унг ва чап
кушни нукталардаги кийматларга
Караганда энг катталиги, в2 нуктада
эса кушни нуктадагиларга Караганда
энг кичиклиги тамомила равшан. щ.
1-расм.
а2, h2 каби нукталар функциянинг
экстремум нукталари (латинча extre-
mum — «четки» сузидан), хусусан,
Ci ва а2 — максимум нукталари, Ь2 эса
минимум нуктаси дейилади (латинча
maximum ва minimum — «энг катта»
ва «энг кичик» сузларидан).
2-расм.
Экстремум таърифини аниклашти-
рамиз. Агар хо нуктани уз ичига олган
ва функциянинг аниклаш сохасига те-
гишли булган шундай интервал мав-
жуд булиб, бу интервалнинг барча
х нукталари учун f (x)<Zf (хо) тенгсиз-
лик бажарилса, f(x)функция Хо нукта-
да максимумга эга дейишади. Мос
равишда, агар бирор интервалнинг
барча нукталари учун f(x)>f(xo)
шарт бажарилса, f (х) функция хо нук-
тада минимумга эга булади.
2- ва 3-расмларда х — 0 нуктада
экстремумга эга функцияларнинг гра-
фиклари келтирилган.
Таърифга мувофик, экстремум нук-
таси функция берилган ораликнинг
учларида эмас, ичида ётиши керак.
Бинобарин, графиги 1-расмда тасвир-
ланган функция bi нуктада мини-
мумга эга деб кисоблаш мумкин эмас.
Агар функция максимуми (миниму-
ми)нинг берилган таърифида катъий
тенгсизлик нокатъий / (х) f(xo)
(f(x) f(x0)) тенгсизликка алмаш-
тирилса, у холда нокатъий макси-
мум (нокатъий минимум) таърифига
эга буламиз. Мисол учун буйлама
кесими 4-расмдагидай тог чуккисини
карайлик. [xi, х2] кесманинг (тог тепа-
4-расм.
406
Еш математик цомусий лугати
6-расм.
5-расм.
сидаги ясси майдончага мос) кар бир
х нуктаси нокатъий максимум нукта-
си булади.
Дифференциал уисобра функция-
нинг экстремум масаласини текши-
риш косила ёрдамида жуда самарали
ва етарлича содда равишда амалга
оширилади. Дифференциал кисоб-
нинг асосий теоремаларидан бири —
Ферма теоремаси булиб, у дифферен-
циалланувчи функция экстремумга эга
булишининг зарурий шартини беради:
f(x) функция хо нуктада экстремум-
га эга булсин; агар бу нуктада f1 (хо)
косила мавжуд булса, у нолга тенг;
яъни f1 (хо) = 0.
Ферма теоремаси геометрик тилда
экстремум нуктасида функция графи-
гига утказилган уринма горизонтал
булишини билдиради (5-расм). Ту-
шунарлики, тескари тасдик умумий
колда нотугри, буни, масалан, 6-расм-
даги график курсатиб турибди.
Теорема биринчилардан булиб экст-
ремумга оид катор масалаларни кал
этган француз математиги П. Ферма
шарафига унинг номи билан аталган.
Унда кали косила тушунчаси йук эди,
лекин функция экстремумини топиш-
да мокияти келтирилган теореманинг
тасдигига тенг кучли методни кул-
лади.
Дифференциалланувчи функция
экстремумга эга булишининг етарли
шарти — косила ишорасининг алма-
шинишидир. Агар косила хо нуктада
ишорасини минусдан плюсга узгар-
тирса, яъни функциянинг камайиши
усиши билан алмашса, у колда хо нук-
та минимум нуктаси булади. Аксин-
ча, агар росила ишорасини плюсдан
минусга алмаштирса, яъни функция
усишдан камайишга утса, хо нукта
максимум нуктаси булади.
Функциянинг косиласи нолга тенг
буладиган нукта стационар нукта де-
йилади. Агар дифференциалланувчи
функциянинг экстремум масаласи
текширилаётган булса, унинг камма
стационар нукталарини топиш, сунг
бу нукталарнинг чап ва унг томонла-
рида косила ишорасини караш керак.
у = х3(х — 5)2 функциянинг экс-
тремум масаласини текширайлик.
Унинг косиласини топамиз: у1 =
— 5х2(х— 5) (х — 3).
Стационар нукталарни аниклаймиз:
xi = 0, Х2 = 3, Хз = 5. Стационар
нукталар орасидаги интервалларда
косила ишораси узгармаслигини пай-
каш кийин эмас. Х,аР бир интервал-
даги ишора 7-расмда белгиланган.
Экстремумнинг етарли шартидан фой-
даланиб, куйидаги хулосага келиш
мумкин: xi = 0 нуктада экстремум
йук; Х9 = 3 нукта максимум нуктаси;
х3 = 5 нукта минимум нуктаси.
Функциянинг экстремум нукталар-
даги кийматларини топамиз:
у(3) = 108, у (5) = 0. Функция гра-
фиги 8-расмда курсатилган.
Экстремум косила мавжуд булма-
ган нуктада кам эришиладиган кол-
Функциянинг усиши ва камайиши
407
8-расм.
лар булиши мумкинлигини айтиб
утайлик. Арра профили ва 3-расмда-
ги экстремум нукталари ана шундай
нукталардир.
Максимум ва минимумга оид маса-
лалар физика, механика, математика-
нинг турли татбикларида никоятда
муким акамиятга эга. Бу масалалар
математикада дифференциал х,исоб-
нинг яратилишига туртки булган ма-
салалардан эди. Дифференциал ки-
соб эса косила ёрдамида экстремум-
га дойр масалаларни ечишнинг кучли
умумий методини берди.
ФУНКЦИЯНИНГ Усиши
ВА КАМАЙИШИ
Агар куз олдингизда функция гра-
фиги турса, бу функциянинг узгариш
жараёни якколрок куринади. Мисол
учун 1-расмдаги графикни карайлик.
Агар бирор ораликда аргумент усган-
да у = f(x) функция кам уз навбати-
да усса, яъни х нинг катта кийматига
у нинг катта киймати мос келса, функ-
ция шу ораликда усувчи дейилади.
Агар аргументнинг усиши билан
функция камайса, яъни х нинг катта
кийматига у нинг кичик киймати мос
келса, функция камаювчи дейилади.
Масалан, 1-расмдаги функция а дан
b гача, с дан d гача, f дан
g гача булган ораликда усувчи,
b дан с гача, е дан f гача, g дан h гача
ораликда эса камаювчи. d дан е гача
ораликда функция узгармас киймат
кабул килади. с дан е гача ораликда
f (х) функция камаймайди, d дан f га-
ча ораликда эса функция усмайди,
дейиш мумкин. Усувчи, камаювчи,
усмайдиган ва камаймайдиган функ-
циялар умумий ном билан «монотон»
функциялар дейилади.
Аналитик усулда (формула ёрдами-
да) берилган функциянинг графигини
чизиш катта мекнат талаб килиши
мумкин. Функция узгаришининг ха-
рактерини тадкик килиш, унинг усиш
ва камайиш ораликдарини, экстре-
мумларини топишни функциянинг
косиласи ёрдамида амалга оширса
булади. у = f(x) функция бирор ин-
тервалнинг кар бир нуктасида коси-
лага эга булсин. Шу интервалда функ-
ция усиши учун унинг f' (х) косиласи
шу интервалда — бу косила нолга ай-
ланиши мумкин булган айрим нукта-
лардан ташкари — мусбат булиши
зарур ва етарлидир.
Функция бирор интервалда камайи-
ши учун унинг косиласи шу интервал-
да — бу косила нолга айланиши мум-
кин булган айрим нукталардан ташка-
ри — манфий булиши зарур ва етар-
лидир. Геометрик нуктаи назардан бу
факт равшандир. Маълумки, косила
уринманинг Ох укига огиш бурчаги
тангенсига тенг. Агар функция усса,
Еш математик цомусий лугати
408
2-расм.
3-расм
ц
у холда чапдан унгга караб (Ох уки
буйлаб) юрилганда унинг графиги ку-
тарилади, камаювчи функциянинг гра-
фиги эса пасаяди (2- 3-расмлар).
Биринчи х°лда графикка утказилган
уринма Ох ук билан уткир бурчак,
иккинчи холда эса утмас бурчак таш-
кил килиши мумкин. Факат айрим
нукталардагина уринма горизонтал
булиб колиши, яъни уша нукталарда
хосила нолга айланиши мумкин.
ЦИКЛОИДА
Циклоида (юнонча kykloeid.es —
«доирасимон» сузидан) — ясси чизик-
Циклоидага оид дастлабки тадкикот-
ларни XVI а. да итальян физиги ва
астрономи Г. Галилей олиб борган.
Кейинрок бу ажойиб чизик билан
бошка истеъдодли олимлар: француз
физиги ва математиги Б. Паскаль,
нидерланд механиги, физиги ва мате-
матиги X. Гюйгенс (XVII а.), француз
философи ва математиги Р. Декарт
шугулланган.
Циклоида — текисликда бирор туг-
ри чизик буйлаб сирпанмай гилди-
раётган айлана Р нуктасининг чизган
эгри чизиги (1-расм). Бу айлана цик-
лоиданинг ясовчиси дейилади. Цик-
лоидани чизувчи нукта мураккаб ха-
ракат килади: бир томондан унинг
тезлиги ясовчининг барча бошка
нукталари сингари гилдираш йуна-
лишига мос ташкил этувчига эга, ик-
кинчи томондан — тезлиги айлана
уринмаси буйлаб йуналган ташкил
этувчига хам эга, чунки айлананинг
бошка нукталари билан унинг марка-
зи атрофида текис айланади. Х,ар икки
1-расм.
Цилиндр
409
тезлик катталиклари тенг, шу боне
тезликнинг якуний Т^вектори MNRP
ромбнинг диагонали сифатида аник,-
ланади. Шуни курсатиш кийин эмас-
ки, якуний тезликка перпендикуляр
ва Р нуктадан утувчи тугри чизик
ясовчи айлананинг йуналтирувчи туг-
ри чизик билан уриниш нуктасидан
утади; айлананинг якуний вектор ёт-
ган уринмаси эса ясовчи айлананинг
Т га диаметрал карама-карши S нук-
тасидан утади.
Циклоиданинг бир талай гаройиб
хоссалари бор. Масалан, энг тез
сирпаниб тушиш мумкин булган чизик
циклоида экан. Аникрок айтганда,
агар кордан ясалган тепаликнинг
профили (сиртининг шакли) циклои-
да булганда бошка кар кандай про-
филга нисбатан тезрок сирпаниб ту-
шилади. Бундан ташкари, циклоида
устида тебраниб каракатланаётган
огир шарчанинг тебраниш даври унинг
амплитудасига боглик булмайди. Бу
хоссадан фойдаланиб, X. Гюйгенс
соат ясаган (у 2-расмда тасвирлан-
ган). Маятникни чеклаб турган бир
жуфт понанинг кар бири циклоида
шаклида. Шуниси ажойибки, маят-
никнинг учи кам циклоида буйлаб
каракатланади.
Циклоиданинг тенгламаси:
х = rarccos Г %ГУ—У2 у
бунда х, у — координаталар, г — ай-
лана радиуси.
ЦИЛИНДР
Тугри туртбурчакни унинг томонла-
ридан бири атрофида айлантиришдан
косил булган фигура цилиндр дейи-
лади. «Цилиндр» сузи юнонча kylind-
ros сузидан олинган булиб, «гула» де-
ган маънони беради. Фазонинг берил-
ган тугри чизик (ук) ка параллел ва
ундан маълум масофада ётувчи барча
тугри чизикларидан тузилган цилинд-
рик сиртлар кам каралади. Цилинд-
рик сиртни бу йусинда ташкил этган
тугри чизикдар унинг ясовчилари деб
аталади. Албатта, барча ясовчилар
битта ясовчидан ук атрофида ай-
лантириш билан косил килинади. Ци-
линдрни фазонинг цилиндрик сирт
ва цилиндрнинг укига перпендикуляр
булган икки текислик билан чегара-
ланган кисми деб таърифлаш кам
мумкин (1-расм). Бундай цилиндр-
нинг тулик номи — тугри доиравий
цилиндр. Тугри доиравий цилиндрик
сиртни унинг укига параллел бул-
маган текислик билан кесилса, кесим-
да ё айлана, ёки эллипс косил була-
ди (1-расм).
ёш математик цомусий лутати
410
1-расм.
4-расм.
Тугри доиравий цилиндр билан бир
каторда умумлашган цилиндрлар ва
цилиндрик сиртлар кам каралади. т
ясси фигура берилган дейлик
(2-расм). т фигуранинг камма х нук-
талари оркали, бу фигура текислиги-
дан бир томонда бир хил узунликда
узаро параллел хх1 кесмалар утказил-
са, бирор фазовий фигурани тулдира-
ди. Шу фигура асоси ва ясовчиси хх1
булган умумлашган цилиндр деб ата-
2-расм. 3-расм.
лади. Агар т — дойра, хх1 — ясовчи
эса m ётган текисликка перпендику-
ляр булса, у колда худди тугри доира-
вий цилиндр косил килинади. Умум-
лашган цилиндрнинг бошка хусусий
коли — призма. У асос купбурчак
булган колга тугри келади.
Хар кандай цилиндрнинг кажми
V = SH формула буйича кисоблана-
ди, бунда S — цилиндр асоси т нинг
юзи, Н эса баландлик, яъни цилиндр-
нинг т ва т1 асосларидан утувчи те-
кисликлар орасидаги масофа. Иккин-
чи т1 асос т ни хх1 векторга параллел
к^чириб косил килинади.
Агар ясси ва ёпик Г эгри чизикнинг
барча х нукталари оркали узаро па-
раллел, аммо Г дан утган текисликда
ётмайдиган 1Х тугри чизиклар утказиб
чикилса, умумлашган цилиндрик сирт
косил булади (3-расм). Г эгри чизик
унинг йуналтирувчиси, 1Х тугри чи-
зик — ясовчиси дейилади. Г ёпик си-
ник чизик (купбурчакнинг чегараси)
булган кодда призматик сирт косил
булади.
Шуниси кизикки, цилиндрик сирт
ва унинг укипи О| камда О2 нукталар-
412
Еш математик цомусий лугати
да кесувчи ихтиёрий икки текислик
билан чегараланган фазовий жисм
(масалан, ёгоч гуласи) нинг кажмини
V = Sj-OiO? формула билан кисоб-
лаш мумкин экан, бунда Si — ясов-
чиларга перпендикуляр кесимнинг
юзи.
Уки координата укларидан бирига
параллел булган цилиндрик сиртнинг
тенгламасида шу укка мос узгарувчи
катнашмайди. Тугри доиравий ци-
линдрик сиртнинг тенгламаси:
х2 + у2 = R2
(бу тенглама фазодаги (х, у, z) коор-
динаталарга нисбатан каралади).
ч
чизик
Математикани урганар эканмиз, биз
танишадиган чизиклардан энг даст-
лабкилари — тугри чизик ва айлана.
Кейин гипербола ва параболами ур-
ганамиз, кар хил спираллар ва б. чи-
зиклар билан танишамиз. Бу чизик-
лардан хар бирининг узига хос бирор
кизик математик хоссаси бор.
Хуш, чизик узи нима? Бу тушунча-
нинг катъий таърифини бериш осон
эмас экан. Эвклиднинг «Негизлар»ида
чизик «энсиз узунлик» деб таъриф-
ланган. Бирок бундай мужмал таъриф
кейинги давр математикларини ка-
ноатлантириши мумкин эмасди. Р. Де-
карт томонидан киритилган координа-
талар системаси вужудга келгач, чи-
зикка каракатланаётган нуктанинг
траекторияси (изи) деган тасаввур
беришга имкон тугилди. Шу таъриф-
ни келтирайлик: [a; 6] кесмада иккита
узлуксиз функция: f (t) ва #•( t) берил-
ган булсин. t нинг [a, 6] кесмадан
олинган кар бир кийматига текислик-
нинг (f(/), координатали нукта-
сини мос куямиз. Барча мана шундай
нукталарнинг мажмуи чизик деб ата-
лади. Чизикнинг бу усулда берилиши
параметрик усул дейилади. Чизик-
нинг параметрик усулда берилиши би-
лан каракатланаётган нуктанинг изи
чизик деб тасаввур килиниши ораси-
даги алокани пайкаш енгил: агар t па-
раметр вакт деб саналса, f(t) ва Q-(t)
каракатланаётган нуктанинг t пайтда-
ги колати координаталари булади.
Тугри чизикнинг параметрик тенг-
ламалари
х = а 4- at »
У = Ь + ₽/ )
Чизиц
413
куринишга, маркази (а, Ь) координа-
тали О нуктада, радиуси R га тенг ай-
лананинг тенгламалари эса
х = а + Rcost 1
у = Ь Rsinnt |
куринишга эга. Аммо текисликдаги
тугри чизик тенгламасини битта тенг-
лама билан бериш кам мумкин:
Ах -|- By -|- С = О,
худди шундай, айлана
(х—а)2 + (y—b)2 - R2 = О
тенгламага эга.
1-расм.
Балки, текисликнинг F (х, у) = О
куринишдаги бирор тенгламани ка-
ноатлантирувчи барча нукталари туп-
ламини чизик деб аташ мумкиндир?
Тугри, мумкин, факат бунда маъ-
лум эхтиёт шарт. Бу куринишда-
ги хар кандай тенглама хам чи-
зикни аниклайвермайди. Айтайлик,
х2 + у2 + 25 = 0 тенгламани текис-
ликнинг бирорта нуктаси хам ка-
ноатлантирмайди, х-\~У — | х -1- у | = 0
тенгламани эса х+у^О яримтекис-
ликнинг барча нуктаси каноатланти-
ради (1-расм).
Шунга ухшаш гайри табиийлик чи-
зик параметрик куринишда берил-
ганда кам учрайди. Гарчанд t нинг
[а; Ь] дан олинган кар бир киймати
учун текисликнинг битта нуктаси
аникланса хам, бу нукталар мажмуи
бизнинг чизик хакидаги тасаввури-
мизга мутлако мос келмаслиги, ай-
тайлик, бирор квадратнинг барча нук-
талари туплами билан устма-уст ту-
шиб колиши мумкин. Бундай чизик-
ларни биринчи булиб итальян матема-
тики Ж. Пеано (1858—1932) топтан,
унинг шарафига Пеано чизиклари деб
аталган.
Пеано чизикларидан бирини куриш
усули 2-расмда тасвирланган. Даст-
лаб, оддий хочсимон ёпик синик чи-
зик олинади, сунг туртта шундай си-
ник чизикдан, етарлича кичиклашти-
риб, бироз мураккаб чизик курамиз,
туртта янги чизикдан яна хам му-
раккаброк чизиклар курамиз ва х- к.
Бу иш поёнига етган деб фараз кил-
сак, косил буладиган чизик айни Пеа-
но чизиги булади. Унинг квадратни
тулдириши, яъни квадратнинг хар
бир нуктасига мос келадиган t нинг
[а; Ь] кесмадан кийматини кур-
сатиш мумкин, бунда [а; Ь] кесманинг
якин нукталарига чизикнинг хам якин
нукталари мос булади.
Квадратнинг барча нукталаридан
утувчи чизик, табиийки, бизнинг чи-
2-расм.
414
Еш математик цомусий лугати
зид дадидаги тасаввуримизга мута-
носиб эмас. Шунинг учун чизикда
таъриф берганда f(t) ва g(t) функ-
цияларга узлуксизликдан бошда, ма-
салан, досила мавжудлиги каби шарт-
лар дуйилади.
ЧИЗИКДИ ТЕНГЛАМА
Куйидаги а\Х\ 4* Саха 4* --- 4*
+ апхп = b (1)
куринишдаги тенглама xt, хг, ... хп
номаълумли чизикди тенглама дейи-
лади; ai, аг, ... ап сонлар — номаъ-
лумлар олдидаги коэффициентлар, b
сон тенгламанинг озод дади дейила-
ди.
Бир номаълумли чизикди тенглама-
ларни ечишни бундан 4 минг йил ав-
валрод К,аДимги Бобил ва Мисрда
билишарди. Масалан, Британия музе-
йида садланаётган ва э. а. 2000—
1700 й. га мансуб Ринд папирусидан
(уни Ахмес папируси дам дейишади)
олинган масалани келтирамиз: «Агар
бирор сонга унинг 2/ 3 дисмини душ-
сак ва досил булган йигиндидан
унинг учдан бирини айирсак, 10 чида-
ди. Шу сон топилсин». Бу масалани
2 1
ечиш х 4* —х----(х4*2/Зх)=10
О о
чизикли тенгламани ечишга келтири-
лади, бу тенгламани ечиб, х = 9 эка-
нини топамиз. Юнон олими Метро-
дор — назмда ёзилган дизид-дизид
масалалар муаллифи, аммо унинг даё-
ти дадида шундан бошда нарса маъ-
лум эмас. Унинг бир масаласини кел-
тирайлик:
Бу ерда Диофант дафн этилмиш,
Сизларга сир очар бу дабр тоши.
Модирона дисоб-ла риёзат топмиш
К,анча эканини Диофант ёши.
Тангри берган умрнинг олтидан
бири—
Болалик йиллари. Кайтмади шашти,
Ун иккидан бири бутун умрнинг —
Усмирлик йиллари. Узгача гашти.
К,уш яна даётининг еттидан
бирин —
Оила тебратиб, кутади фарзанд.
Беш йил утади-ю — у чексиз
хурсанд —
Угил курмиш бизнинг Диофант.
О, бечора! Х,аётга айтди алвидо,
Отасин умрининг яшаб ярмини.
Турт йил тортди Диофант бобо
Бу огир жудолик дардини...
Фан учун яшади бу машдур олим,
Кани айтчи менга, зийрак удувчим:
Неча ёшга кириб Диофант бобо
Килганин дазо?
Ушбу -g- х -j- х 4—у х 4- 5 4*
4-
х 4- 4 — х чизидли тенгламани
ечиб, х = 84 эканини — Диофант
шунча йил яшаганлигини топамиз.
Диофантнинг узи анидмас тенгла-
маларга куп эътибор берган. Анид-
мас тенгламалар — икки ва ундан куп
номаълумли бутун коэффициентли
бутун ёки рационал ечимлари изла-
надиган алгебраик тенгламалар ёки
шундай тенгламалар системасидир
'*(системада номаълумлар сони тенгла-
малар сонидан куп булиши лозим).
Бундай тенгламалар Диофант тенгла-
малари дам дейилади. II—III а. чега-
расида яшаган Диофант, асосан, юдо-
1-расм.
Чизицли тенглама
415
рирок, даражали аникмас тенгламалар
билан шугулланган.
Хдр бири (1) куринишдаги алгеб-
раик тенгламалар системаси чизикли
система дейилади. Системага кирувчи
тенгламаларнинг коэффициентлари,
одатда, иккита индекс билан но-
мерланади: биринчи индекс — тенгла-
манинг номерини, иккинчиси эса((1)
ёзувдаги каби) номаълумнинг номе-
рини билдиради. Масалан, п номаъ-
лумли т та тенгламалар системаси-
ни куйидаги куринишда ёзишади:
<2цХ1 ... -j-ClinXn — t>i J
<221X1 “j” «22X2 “j- -\-Cl2nXn = />2 \ (2)
GmlXl-|-Gm2X2-|-...-|-OmnXn = /’m l
Икки номаълумли иккита чизикли
тенгламалар системасини карайлик:
<211X1 —|—2212-Х2 — Ь\ |
<221X1 -|-<222X2 = /22- J (3)
(3) системанинг биринчи тенгламаси-
ни <222 га купайтирамиз ва косил бул-
ган тенгламадан <212 га купайтирилган
иккинчи тенгламани айирамиз; шунта
ухшаш (3) системанинг иккинчи тенг-
ламасини <2 и га купайтирамиз ва ко-
сил булган тенгламадан <221 га купай-
тирилган биринчи тенгламани айира-
миз. Шундан сунг куйидаги система
косил булади:
(<2ц-<222 — <212<221)Х2 = <211/22— /2,<221 |
(<211<222 — <212<221)Xi = bfCl22— <212"/22 J
(4)
Бу (3) системанинг натижасидир,
(4) системани
Д • Х\ = Д1 1
Д-Х2 = Д2 ) (5)
куринишда ёзиш мумкин, бу ерда
Д — системанинг коэффициентлари-
дан тузилган матрицанинг аникловчи-
си (к- Аницловчи), эса Д га мос
матрицанинг Z-устунини озод хадлар-
дан иборат устунга алмаштириш на-
тижасида косил буладиган матрица-
нинг аникловчиси, < = 1,2.
Агар Д #= О булса, у колда (5) систе-
Д|
ма ягона ечимга эга: Xi = — , х> —
°
= — . Бевосита урнига куйиб тек-
шириб куриш мумкинки, бу сонлар
жуфти (3) системанинг кам ечими
булади. п номаълумли п та чизикли
тенгламалар системасининг ечими
кам шу коидага кура топилади: агар
системанинг аникловчиси Д нолдан
фаркди булса, у колда система ягона
ечимга эга, шу билан бирга
Д< <
х, = -д , бу ерда Д, — системанинг
коэффициентларидан тузилган матри-
цада /-устунни озод кадлардан тузил-
ган устун билан алмаштирганда ко-
сил буладиган матрицанинг аниклов-
чиси. Чизикли системани ечишнинг
келтирилган коидаси Г. Крамер
(швейцариялик математик, 1704—
1752) коидаси номини олган.
Агар Д = 0 булса, Д1 ва Дг лар кам
нолга айланишлари керак (акс колда,
(5) система, де мак (3) кам ечимга
эга эмас). Д = Д1 = Д2 = 0 булган
Колда (3) система тенгламаларининг
номаълумлари олдидаги мос коэффи-
циентлар ва озод кадлар пропорцио-
нал ва система чексиз куп ечимга эга
булади; бунда агар номаълумлар ол-
дидаги коэффициентлардан акалли
биттаси нолдан фаркли булса (айтай-
лик, <212 =/= 0 булса), Xi ни ихтиёрий
Килиб олиш мумкин, кейин эса
<211
-----Х1
<212
Ь\
х2 = —
<212
Система
0 - Xi -|-0 - Хг
0 • X] -|- 0 -Х2
= /21
= /22
куринишга эга булган колни та яд ил
килиш колди. Бу хол учун жавоб рав-
шан: агар /ц = /?2 = 0 булса, ихтиё-
Еш математик цомусий лугати
416
рий сонлар жуфти ечим булади, акс
холда эса ечим йук-
Умумий п номаълумли п та чизик-
ли тенгламалар системаси учун Ду=0
булса, система ягона ечимга эга, бу
ечимни, аввал айтганимиздек, Крамер
коидасига кура топиш мумкин. Агар
А = 0 ва Д- аникдовчилардан камида
бири нолдан фаркди булса, система
биргаликда эмас (яъни ечимга эга
эмас). Д1 = Д2 = ...Д„ = 0 булган
холда система ёки биргаликда эмас,
ёки чексиз куп ечимга эга булиши
мумкин. Аникловчилар ёрдамида бу
икки холдан кай бири руй беришини
ажратиш анчайин мураккаб ва биз
бу масала билан шугулланмаймиз.
Одатда, чизикди системани ечиш учун
Крамер коидаси амалда кулланмай-
ди. Бу максаддар учун купинча Гаусс
методини куллашади (к- Номаълум-
ларни йуцотиш). Маълумки, tZ|Xi -j-
+ (I2X2 = b чизикли тенглама а\ ва
а2 коэффициентлардан камида бит-
таси нолдан фаркди булса (xi, Х2)
текисликда тугри чизикни аникдайди.
Агар биз текисликда иккита (3) туг-
ри чизикларни олсак, у холда куйи-
даги коллар булиши мумкин (1-расм):
1) тугри чизикдар параллел ва уму-
мий нукталарга эга эмас, у холда (3)
система ечимга эга эмас; 2) тугри
чизикдар кесишади, у холда (3) сис-
тема битта ечимга эга; 3) тугри чи-
зикдар устма-уст тушади, у холда (3)
система чексиз куп ечимга эга. Ле-
кин «тасодифан» олинган иккита туг-
ри чизик, «одатда», кесишади, яъни
одатда, икки номаълумли иккита чи-
зикди тенгламалар системаси битта
ечимга эга булади. Текисликда бирор
тугри чизик берилган булса, унинг
ихтиёрий нуктаси битта тенглама
(олинган тугри чизик тенгламаси)
дан иборат «система»нинг ечимига
мос келади, яъни, одатда, 3-хол руй
беради (2-хол булиши мумкин эмас,
1-кол эса 0-Х1 + 0-Х2 = b, b О
булганда амалга ошади, аммо бу тенг-
лама текисликдаги тугри чизикни
аникламайди). Агар текисликда учта
ёки ундан куп тугри чизик олинса, у
холда, умуман айтганда, уларнинг
хаммаси устма-уст тушиб колиши ёки
бир нукта оркали утиб колиши мум-
кин, аммо, одатда, биринчи хол урин-
ли булади — тугри чизикдар умумий
нуктага эга булмайди.
ЧИЗИКДИ ФУНКЦИЯ
Чизикди функция — биринчи даража-
ли икки хад, яъни у = ах-\-Ь кури-
нишдаги функция. Чизикди функция
бутун тугри чизикда аникланган.
Унинг графиги тугри чизик булгани
учун хам функция чизикди дейилади.
Аргументнинг иккита Xi ва Х2 киймат-
ларини курайлик; уларга чизикди
функциянинг у i = ах i b ва
у2 = ах2-\-Ь кийматлари мос келади.
Аргументнинг хг— Xi катталикка уз-
гариши функциянинг у2 — У\ =
= а(х2 — Xi) микдорга узгаришига
олиб келади, бунда функция узга-
ришининг аргумент узгаришига нис-
бати а га тенг:
У2—У1
------ - а.
Х2 — Х1
Шундай килиб, чизикди функцияда
функциянинг узгариши аргументнинг
узгаришига пропорционал ва бу чи-
зикди функциянинг характеристик
хоссасидир. Шунинг учун хам про-
порционал богланишлар чизикди
функциялар ёрдамида ифодаланади.
Масалан, сотиб олинган газлама-
нинг бахоси р унинг узунлигига про-
порционал: р = kl, бу ерда k — бир
метр газламанинг бахоси; узгармас
v тезлик билан текис харакатда утил-
ган s йул t вактга пропорционал ва
s = vt формула оркали ифодалана-
ди, яъни s йул t вактнинг чизикли
функциясидир.
Турли шкалали температуралар
орасидаги богланиш пропорционал
богланиш мисолини беради. Абсолют
(Кельвин буйича) температура tk
Цельсий шкаласидаги tc температура
билан tc = (л+ 273° формула оркали
богланган. Х,озиргача Англия ва АК,Ш
Чизицли функция
417
1-расм.
У
да куллаб келинадиган Фаренгейт
шкаласи буйича улчанган 1ф темпе-
ратурадан Цельсий шкаласидаги tc
температурага утиш 1ф = 1,8/с-|-32°
чизикди функция билан ифодаланади
(Цельсий шкаласида музлаш нуктаси
ва кайнаш нуктаси оралиги 100 та
киемга, Фаренгейт шкаласида 180 та
киемга тенг булинган ва О°С га 32°Ф
мос келади).
Чизикли функциянинг хусусий ко-
ли — тугри пропорционал богланиш
у = ах, яъни b = 0 булгандаги чи-
зикли функция. Бу функциянинг гра-
фиги координата бошидан утувчи туг-
ри чизикдир (1-расм). а сони тугри
чизикнинг бурчак коэффициент и де-
йилади ва у тугри чизик билан Ох уки-
нинг мусбат йуналиши орасидаги бур-
чак тангенсига тенг. у = ax-\-h
(6У=0) чизикли функциянинг гра-
фиги у - ах функция графи гидан
b > 0 булган колда b бирлик юкори-
га ва й<0 колда Ь бирлик пастга
параллел кучириш билан косил кили-
нади (2-расм). Тугри чизик узининг
иккита нуктаси билан аниклангани
сабабли чизикли функциянинг графи-
гини чизиш учун унинг иккитагина
нуктаси координаталарини билиш
етарли.
Чизикли функция барча функция-
лар ичида энг соддаси ва, айтиш мум-
кинки, энг мукими кам дир. Купгина
физик конунлар чизикли функция ёр-
дамида ифодаланади (биз узгармас
тезлик билан утилган йул какида га-
пирган эдик), аммо, мукими шуки,
бир катор мураккаб чизиксиз (яъни
чизикли булмаган) богланишлар кам
нуктанинг кичик атрофида чизикли
деб кисобланиши мумкин. Масалан,
Гук конунига кура, кичик узайиш-
ларда (ва факат шу шартда) эластик-
лик кучи пружинанинг х узайиш кат-
талигига пропорционал: F = —kx.
Бошка мисол: Ом конунига мувофик,
V кучланиш J ток кучига чизикли бог-
лик: V = RJ (бу ерда R — карши-
лик), бирок бу конун кам ток кучи
узгариши унчалик катта булма ганда
уринлидир.
27 — 4826
418 Еш математик цомусий лутати
э
ЭЛЕМЕНТАР ФУНКЦИЯЛАР
Асосий куйидаги элементар функ-
циялар: куп^ад, икки купкаднинг нис-
батидан иборат рационал функция,
даражали функция, курсаткичли
функция, логарифмик функция, три-
гонометрик функциялар ва тескари
тригонометрик функциялар.
Асосий элементар функциялардан
турт арифметик амал ва мураккаб
функция косил килиш амалини (чек-
ли марта) куллаганда олинадиган
функциялар кам элементар функция-
лар синфига киритилади. Элементар
функцияларга мисоллар:
Л(х) = /1 + —- ,
X + I
f2(x) = coslgx,
fs(x) = х-2х + aretgx,
х^ — 9
М (х) = logs . q ,
sinzx
fs(x) = xslnx — sintgx.
f(x) = | % | функция кам элемен-
тар булишини эслатамиз, чунки
| х| = т/х?
Элементар функциялар атрофлича
урганилган ва математика татбикда-
рида куп кулланади.
Гарчи функция тушунчаси XVII а.
Да шаклланган булса-да, икки катта-
лик орасидаги богланиш ундан аввал-
рок кам курилган. XVII а. га келиб
деярли барча асосий элементар функ-
циялар анча яхши урганилган эди: у
даврга келиб тригонометрик функция-
лар кийматларининг юкори аниклик-
даги жадваллари тузилган ва лога-
рифмларнинг дастлабки жадваллари
пайдо булган. Дифференциал уисоб
асосий элементар функцияларни тек-
ширишни тугаллашга имкон берди,
деса булади; жумладан, элементар
функция косиласи яна элементар
функция булиши аникланди.
Математик анализнинг ривожлани-
ши, турли амалий масалаларни ечиш
элементар булмаган функцияларни
карашга олиб келди. Масалан,
у' = е7 х, у' = ех2
дифференциал тенгламаларнинг ечи-
ми элементар функциялар оркали
ифодаланмайди. Элементар булмаган
функциялар текширилганда, одатда,
улар лимитлар, интеграллар, чексиз
цаторлар оркали тасвирлаб олинади
ва математик анализ методлари билан
урганилади.
ЭЛЛИПС
Эллипс — конус кесимларидан бири.
У текисликнинг шундай нукталаридан
иборатки, бу нукталарнинг кар бири-
дан берилган икки Е\ ва F2 нукталар-
гача (эллипснинг фокусларигача) ма-
софалар йигиндиси узгармас булади.
Одатда, бу узгармас катталик 2а би-
лан белгиланади (1-расм).
Бу таърифдан эллипснинг фокус-
лари оркали утувчи тугри чизик би-
лан F1F2 кесманинг урта перпендику-
ляри эллипснинг симметрия уклари
булишини урнатиш мумкин. Бу тугри
чизикларнинг кесишиш нуктаси О эл-
липснинг симметрия маркази булади,
Эллипс
419
уни содцагина килиб эллипс маркази
дейишади. Агар айтилган тугри чи-
зиклар координата уклари сифатида
кабул килинса, эллипснинг тенглама-
си ушбу куринишда ёзилади:
х2 и2
— + ^-= 1
а2 Ь2
Эллипснинг тенгламасидан у абсцис-
салар укини (а, О) ва (— а. О)
нукталарда, ординаталар укини эса
(Ь, О)ва (— Ь, О) нукталарда кесиши
келиб чикади. Бу турт нукта эллипс-
нинг учлари дейилади. Абсциссалар
укидаги учлар орасидаги кесма —
катта ук, ордината укидаги учлар ора-
сидаги кесма эса кичик ук деб атала-
ди. Укларнинг учларидан эллипснинг
марказигача булган кесмалари ярим
уклар дейилади.
гача масофа. Энди, агар 1-расмдаги
OAFi тугри бурчакли учбурчакни ка-
расак, ундан а2 = Ь2 4- с2 экани ку-
ринади. Шундай килиб, агар эллипс
ярим укларининг катталиги маълум
булса, шундай тугри бурчакли учбур-
чак куриш мумкин: унинг гипоте-
нузаси катта ярим укка, бир катети
кичик ярим укка тенг, иккинчи катети
эса марказдан кар бир фокусгача ма-
софага тенг булади. Хуллас, барча за-
рур элементлар мавжуддир, демак, из-
ланаётган эллипсни ясаш мумкин. Бу
усулдан купинча богбонлар гулзорлар-
ни майдончаларга ажратишда фойда-
ланади.
Эллипснинг таърифига кура уни
чизадиган содда асбоб ясашингиз
мумкин. Бунинг учун иккита тугна-
гичга ип боглаб, уни чизмачилик тах-
тасига нина оркали махкамлайсиз
(2-расм), калам олиб, унинг йунилган
учи хамма вакт ипни тарант тортади-
ган килиб, когоз устида юритасиз. У
вактда каламнинг учи когозда эллипс
чизади.
а ва b ярим уклари берилган эллипс-
ни кандай косил килиш мумкин? Фо-
куслардан эллипснинг нуктасигача
масофалар йигиндиси 2а билан белги-
ланиши тасодифий эмас. Бу йигинди
катта укнинг узунлигига тенг. Тахта-
га махкамланган ниналар фокуслар
орасидаги масофани беради, одатда
2с оркали белгиланади, шундай килиб,
с — эллипснинг марказидан фокуси-
Эллипсни ясашнинг иккинчи усули
айланани унинг диаметрига кисган-
да эллипс косил булиши фактига
асосланган. Эллипсни ярим уклари
а ва b лар буйича ясаш 3-расмдан очик
куриниб турибди, унда ташки ва ички
айланаларнинг радиуслари мос ра-
вишда а ва b га тенг.
Ь/ а нисбат эллипснинг «чузин-
чок»лигини характерлайди. Мана шу
нисбат канчалик кичик булса, эллипс
катта уки буйича шунчалик кучли чу-
зилган булади. Бирок эллипснинг чу-
зинчоклиги даражасини хамма конус
кесимлари учун умумий булган бош-
ка параметр — эксцентриситет е ор-
кали ифодалаш кабул килинган. Экс-
центриситет марказдан фокусгача ма-
софанинг катта ярим укка нисбати
(е = с/ а) каби аникланади. Турли
Еш математик цомусий лугати
420
4-расм,
эллипслар учун эксцентриситет 0 ва
1 оралигида узгариб, хамма вадт 1
дан кичиклигича колади. Маълумки,
сайёралар эллипс буйлаб каракатла-
нади. Улар орасида эксцентриситета
энг кичиги Венера (0,0068), ундан
кейинги эксцентриситет Нептунники
(0,0086), сунгра эса Ерники (0,0167).
Энг катта эксцентриситетли сайёра —
Плутон (0,253), бирок у кам комета-
ларнинг эксцентриситетлари билан
беллаша олмайди. Масалан, Галлей
кометасининг эксцентриситети 0,967.
Эллипс айланани кисиш натижаси
булишидан иборат факт, нима сабаб-
дан доиравий предметлар — машина-
нинг гилдираги, кемаларнинг иллюми-
наторлари, соатнинг циферблата ва
бошка думалок предметларга бирор
(90° дан фаркди) бурчак остида кара-
сак, уларни эллипс шаклида курини-
шини тушунтириб беради.
Эллипснинг ажойиб хоссаларидан
бири — унинг оптик хоссаси: эллипс-
нинг нуктасини унинг фокуслари би-
лан туташтирувчи тугри чизикдар эл-
липснинг шу нуктасига утказилган
уринмани бир хил бурчак остида ке-
сади. Бу эллипс фокусларининг бири-
дан чиккан нур эллипсга урилиб кайт-
гач, иккинчи фокусга тушишини бил-
диради (1-расм). Бу хосса шифти
эллипс шаклидаги гор ва махсус ку-
рилган иншоотларда кузатиладиган
ажойиб акустик эффектга асос була-
ди: агар сиз фокуслардан бирида тур-
сангиз, иккинчи фокусда турган ки-
шининг овози, орадаги масофа анча
булишига карамай, худди ёнингизда
тургандек жуда яхши эшитилади
(4-расм).
Эллипснинг уз укларидан бирининг
атрофидан айланишидан косил бул-
ган сиртни караймиз. Бундай сирт
айланма эллипсоид дейилади. Агар
эллипс катта уки атрофида айланса,
тухумсимон фигура косил булади
(5, п-расм). Агар у кичик уки атро-
фида айланса, косил булган фигурани
ялпок сфера дейиш мумкин (5, б-
расм). Ер худди шундай шаклда, чун-
ки унинг кутблари орасидаги масо-
фа (12 714 км) экваторнинг диамет-
риал карама-карши нукталари ораси-
даги масофа (12756 км) дан кичик.
Агар айланма эллипсоид уки оркали
утувчи бирор текисликка караб кисил-
са, уч укли эллипсоид ёки шунчаки
эллипсоид деб аталувчи сирт косил
булади (5, e-расм). Эллипсоиднинг
тенгламаси куйидаги куринишда:
2 2 2
£__|_
2 ' / 2 । 2
а b с
Энг кичик умумий булинувчи
421
5-расм
б
Агар а, b ва с сонлардан кандайдир
иккитаси тенг булса, унга мвс тенгла-
ма айланма эллипсоидни ифодалай-
ди, агар уччала сон хам тенг булса,
сфера билан устма-уст тушади.
Эллипсоид ихтиёрий текислик би-
лан кесилса, кесимда эллипс хосил
булади.
ЭНГ КАТТА УМУМИЙ
БУЛУВЧИ
Берилган сонларнинг хар бири були-
надиган энг катта натурал сон шу сон-
ларнинг энг катта умумий булувчиси
дейилади. сц, ап сонлари учун у
(oi, аг, .... а-п) каби белгиланади.
Мисол: (28, 21) = 7, (60, 27,
42) = 3.
Иккита соннинг энг катта умумий
булувчисини топиш учун Евклид алго-
ритмидан фойдаланиш лозим (к. Ев-
клид алгоритма). Агар хар бир сон
туб купайтувчиларга ёйилган булса,
у холда энг катта умумий булувчини
бошкачарок. хам топса булади. Бунинг
учун хар бир ёйилмадаги туб купай-
тувчиларни кучириб олиш керак. Агар
бунда туб купайтувчи битта ёйилма-
да k марта, иккинчисида эса / марта
катнашса ва k<Zl булса, у холда туб
купайтувчини k марта кучириб ёзиш
лозим. Кучирилган хамма туб сонлар
купайтмаси берилган сонларнинг энг
катта умумий булувчиси булади.
Мисол учун (100, 150) ни топамиз:
100 = 2-2-5.5
150 = 2-3-5-5
(100, 150) = 2-5-5 = 50.
Худди шу мисол Евклид алгоритми
буйича:
150 | 100
100 1
50
100 | 50
100 2
0
Энг катта умумий булувчини топиш
касрларни кискартиришда фойдали:
касрнинг сурат ва махражи энг катта
умумий булувчига кискартирилгач, у
кискармайдиган касрга айланади.
ЭНГ КИЧИК УМУМИЙ
БУЛИНУВЧИ
Берилган сонларнинг хар бирига бу-
линувчи энг кичик натурал сон шу
422
Еш математик домусий лугати
сонларнинг энг кичик умумий були-
нувчиси дейилади. ai, ai, ап сонлар
учун у [а|, аг, .... ап ] каби белгилана-
ди. Мисол: [4, 6 ] = 12, [21, 42,
63 ] = 126.
Агар а ва b сонлар бир хил ишорали
булса, [a, b] = ab/(a, Ь) тенглик
уринли, бунда (а, Ь) — а ва b сонлар-
нинг энг катта умумий булувчиал.
Шундай дилиб, сонларнинг энг кичик
умумий булинувчисини хисоблаш
уларнинг энг катта умумий булувчиси-
ни дисоблашга келтирилади. Агар биз-
га а ва b сонларининг туб купайтув-
чиларга ёйилмаси маълум булса, у
долда а ва b сонларининг энг кичик
умумий булинувчисини куйидагича то-
пиш мумкин: ёйилмалардан бирорта-
сига кирган дамма туб сонлар кучириб
ёзилади, бунда агар р туб сон берил-
ган сонлардан бирининг ёйилмасида
k марта, бошцасиникида / марта кат-
нашса ва k^l булса, у холда р ни I
марта кучириб ёзиш керак, кучирил-
ган барча сонларнинг купайтмаси а
ва b сонларининг энг кичик умумий
булинувчисини беради.
Мисол. [100, 150 ва 108 ] ни топа-
миз.
100 = 2-2-5-5
150 = 2-3-5-5
108 = 2-2-3-3-3
[100, 150, 108 ] = 2-2-3-3-3-5-5 =
= 2700.
Одатда, касрларни душишда биз улар-
ни умумий мадражга келтирамиз, у
берилган касрлар махражларининг
энг кичик умумий булинувчиси була-
ди.
Э^М ПРОГРАММАСИ
Хисоблаш машинаси программаси
(юнонча programma — «эълон»,
«курсатма», «йул-йурид», «фармойиш»
сузидан) — дисоблаш маши гаси учун
тушунарли тилда анид баён килинган
топширид ёзуви: информацияни цай-
та ишлаш вазифасини бажаришда
фойдаланилади.
Евклид алгоритмининг блон-схемаси
Хисоблаш машинаси программаси
тушунчаси аслида алгоритм тушунча-
сининг синоними: фадат бунда ёзув
дисоблаш машинасига тушунарли бу-
лиш талаби душимчадир. Бу талаб,
бир томондан, дараладиган жараён-
лар синфини фадат информацияни
дайта ишлаш билан чекласа, иккинчи
томондан, жараёнларни баён дилиш
усулини дам чеклайди — фадат
программалаш тйллариргм фойдала-
ниш мумкин булади.
Программа дар доим уч булимии
уз ичига олади:
бошлангич маълумотлар ёки улар
цаерда жойланганини ва уларни да-
ердан олинишини белгиловчи курсат-
ма (киритма);
бошлангич маълумотлар буйича на-
.тижа олиш коидалари (дайта ишлаш):
олинган натижа билан нима дилмок
кераклигини белгиловчи курсатма
(чидарма).
423
1-ж а д в а л
Э)(М программаси
Жонли тилдаги ёзув Программа
1. Иккита бутун а ва в сонлари олинсин ва кейинги пунктга утилсин (бундан кейин агар акс
фармойиш берилмаса, кейннги пунктга утиш уз-узндан кузда тутилади) КИРИТИШ (А§ В)
2. Агар булса, 6-пунктга Утилсин (акс холда, яъни в = 0 булса, навбатдаги пунктга
утнш кузда тутилади) П2: агар булса, П6 га ут
3. d сонининг киймати а сонининг кийматига тенглансин О:=Л
4. а ва в сонларинннг энг катта умумий булувчиси d сонидир ЧИК.АРИШ (D)
5. Х,нсоблаш та мом л а нс ин ТУХТА
6. а сонини в сонига булганда колдик г топнлснн П6: /?: — К.ОЛДИК, В)
7. а сонининг киймати в сонининг кийматига тенглансин А:=В
8. в сонининг киймати d сонининг кийматига тенглансин B:=R
9. 2-пунктга Утилсин П2 га ут
Программа тузиш жараёни прог-
раммалаш дейилади.
Программалаш одатда масалани
ечиш жараёнининг формал математи-
ка тили ёки жонли тилдаги тавсифи-
дан бошланади. Сунг бу тавсиф
программалаштириш тилининг хусу-
сиятларини кисобга олиб, аста-секин
аник,лаштирилиб борилади. Агар
программа машина тилида тузилса,
машина ва унинг фармойишлари сис-
темасининг хусусиятлари эътиборга
олинади. Аниклаштириш то програм-
малаш тилида ёзув косил килингунча
давом этади.
Программалар тузишда кенг кулла-
надиган ёрдамчи восита — программа
(алгоритм) нинг блок-схемаси деб
аталадиган кургазмали диаграммалар-
дир. Блок-схеманинг ташкил этувчи
кисмлари — бир-бири билан стрелка-
лар оркали туташтирилган блоклар.
Стрелкалар х,исоблаш тартибини кур-
сатади, блоклар ичига эса бу ки-
соблаш нимадан иборат булиши ёзи-
лади. Блокларнинг асосий турлари
расмда тасвирланган.
Жараён (кисоблаш блоки) дан фа-
кат биргина стрелка чикиши мумкин;
бу блок алокида ёки бир туркум амал-
ларнинг бажарилишини, улар нати-
жасида микдорларнинг киймати уз-
гаришини билдиради.
Ечилма (мантикий блок) иккита
чикувчи стрелка — плюс-стрелка ва
минус-стрелкага эга. Плюс-стрелка
блокда курсатилган шарт уринли бул-
ган колда кайси блокни бажаришга
утиш кераклигини курсатади, минус-
стрелка эса — акс к°лда утиладиган
блокни курсатади.
Киритма-чикарма — маълумотлар-
ни киритиш ва чикариш блоклари
учун белгидир; бу блокдан кам факат
бир стрелка чикиши мумкин.
Бошлаш-тухташ — программа
бошланиши учун блок . (у кирувчи
стрелкага эга булмайди) ёки програм-
ма никояси учун блок (чикувчи
стрелкага эга булмайди) белгисидир.
Масалан, икки бутун а ва b сон-
ларининг (а >6^0) энг катта уму-
мий булувчисини топиш учун Евклид
алгоритмининг оддий тилдаги тавси-
фи 1-жадвалнинг чап томонида кел-
тирилган; унг томонда эса — мос про-
грамманинг сатрлари АЛГОЛ-60
программалаш тилида (программа
сузлари узбек тилига таржима кили-
ниб) берилган. Алгоритм (прог-
рамма) нинг блок-схемаси расмда
тасвирланган. Блоклар бурчагида ра-
камлар жадвалдаги пунктларга тугри
келади.
1-жадвалнинг чап томонидаги
6-пункт (табиий, чап томондаги мос
сатр кам) аниклик киритишни талаб
килишини пайкаш кийин эмас. Бун-
дай аниклик 2-жадвалда келтирилган.
Агар у 1-жадвалнинг чап томонига
жойланса, косил килинган алгорит-
мик тилдаги ёзув машина тилига тар-
2-ж а д в а л
Жонли тилдаги ёзув Программа
6.1. А<В булса, 6.4 — пунктга утилсин П6.1: агар A<ZB булса, П6.4 га ут
6.2. А сонининг кийматн А — В нинг кийматига тенглансин Л=А — В
6.3. 6.1 — пунктга утилсин П6. 1 га Ут
6.4. А сонинн В га булганда чикадиган колдик кийматн А нннг кийматига тенглансин К.ОЛДИК, (А В): = А
Еш математик цомусий лугати
424
жима килувчи транслятор билан таъ-
минланган кисоблаш машинаси учун
бемалол тушунарли булади.
эх,тимоллик
Эхдимоллик — тасодифий к°Диса-
нинг чексиз куп марта такрорланиши
мумкин булган маълум шартларда
руй бера олиши даражасининг сонли
характеристикаси.
Классик эх,тимоллик тушунчаси
XVIII а. да шаклланди. Эх,тимоллик-
нинг классик моделида элементар х,о-
дисалар тенг имкониятли деб кисоб-
ланади. Эктимолликнинг классик таъ-
рифига мувофик, >4 кодисанинг эх,ти-
моллиги бу кодиса руй бериши учун
кулай имкониятлар сонининг барча
имкониятлар сонига нисбатига тенг.
Масалан, 1 млн. лотерея билети чи-
карилган булиб, унинг 300 мингтаси
ютукли булсин. Бу ерда барча имко-
ниятлар сони 1 млн., ютиш учун ку-
лайлик тугдирадиган имкониятлар
сони — 300 минг. Демак, ютукли би-
лет сотиб ОЛИШ ЭКТИМОЛЛИГИ
300 000: 1 000 000 = 0,3.
Классик эх,тимоллик моделининг
татбик доираси чегараланган, чунки
реал масалаларда доимо чекли мик-
дордаги тенг имкониятли элементар
кодисаларни курсатиб булмайди. Ми-
сол келтирайлик. Космик заррача-
ларни кузатаётиб, куйидаги масала
билан кизикиб колдик дейлик: ер сир-
тининг берилган майдонига 5 минут
давомида учтадан ортик булмаган
космик заррача тушиши эх,тимолли-
ги кандай? Бу мисолда тенг имконият-
ли колларни кандай аниклаш мум-
кин? Бу ерда эктимолликнинг статис-
тик таърифидан фойдаланишади. Ста-
тистик таъриф эксперимент — э\ти-
молликлар назариясида айтилиши-
ча — тажриба утказишга алокадор.
Бизни диоднинг маълум кучланишда
10 минг соатдан ортик ишлай олиши
эктимоллигининг бакоси кизикти-
раётган булсин. Шу максадда таж-
риба стендига бир хил шароитларда
ва битта партиядан олинган материал-
лардан тайёрланган бир минг дона
диодни куямиз. 10 минг соат ишла-
гач, 100 дона диод ишдан чикди, кол-
ган 900 донаси эса яна ишга ярок-
лигича колди. 10 минг соатдан ортик
ишлай оладиган диодлар мавжудли-
гининг такрорланиши 900:1000 —
— 9/10 га тенг. Тажрибалар сони
етарлича катта булса, ходисанинг эк-
тимоллиги ва такрорланиш бир-бири-
га жуда якин булади. Биз курган ми-
солда тасодифий олинган диоднинг
10 минг соатдан ортик ишлай олиши
э\тимоллиги 9/10 га якин булади.
Эктимолликнинг статистик тушунча-
сидан амалиётда — биология, меди-
цина, инженерлик ишларида, эконо-
мика ва к- к- да кенг фойдаланилади.
Бизни кизиктираётган А кодиса-
нинг эктимоллиги мавжуд деб фара s
килишимиз кучли гипотезадир ва у
кар бир колда махсус текширишни та-
лаб килади. Х,амма к°дисалар кам
аник бир эктимолликка эга булавер-
майди.
Купинча, кодисанинг эктимоллиги
какида объектив маълумотларга караб
эмас, балки бирор кодисанинг руй
бериши ёки руй бермаслигига субъек-
тив ишонч асосида кукм чикаришга
интилишади. Агар бирор шахе Л ва В
командалар уртасидаги футбол матчи
3:1 кисобда тамомланади, деб олдин-
дан айтса, у колда бу тасдик объектив
акамиятга эга эмас, у шу тасдикни
айтган кишининг ишончидир, холос.
Аммо, ана шундай ишонч асосида
эктимолликлар назариясини куришга
каракат килишади. Бу субъективистик
нуктаи назарни изчил тараккий этти-
радиган булсак, гаройиб хулосаларга
келишимиз мумкин: кеч нарса билма-
ган к°ДДа бизнинг субъектив тасав-
вурларимиздан А кодиса эктимолли-
гининг киймати кОДида «объектив
какикат» ни келтириб чикариш мум-
кин. Хуллас, бизни кизиктираётган
А кодиса руй бериши кам, руй бермас-
лиги кам мумкин, кабилидаги муло-
Эхтимолликлар назарияси
хазалар бутунлай хатодир. Чунки
бунда иккита имкониятдан бири А
ходисага кулайлик тугдиради. Демак,
классик таърифга кура, А ходисаси-
нинг руй бериш эхтимоли 0,5 га тенг.
Бу мулохазада мумкин буладиган
холларнинг тенг имкониятлилиги
шарти хисобга олинмаган. Бундай
мулохаза «ихтиёрий тасодифий ходи-
санинг эхтимоллиги яримга тенг»
деган гайри табиий натижага олиб
келишига эътиборни жалб килам из.
А ходисанинг эхтимоллиги хакида
биз хамма вакт «бирор шартлар комп-
лекси бажарилган» деган фараз ос-
тидагина гапириш жоизлигини яна
бир бор таъкидлаб утамиз. Агар бу
шартлар комплекси узгарса, у холда
А ходисанинг эхтимоллиги хам, одат-
да, узгариши лозим. Масалан, кубик
(шашкол тоши) ташланганда унинг
хар бир ёги бир хил (1/6 га тенг)
эхтимоллик билан чикишини тасдик-
лаганимизда, биз «кубик бир хил зич-
ликка эга, у «математик маънода»
аник куб ва кубик таваккалига таш-
ланади« деган S шартлар комплекси
бажарилишига асосланамиз.
ЭХТИМОЛЛИКЛАР
НАЗАРИЯСИ
Эхтимолликлар назарияси — тасоди-
фий ходисалар эутимолликларини хи-
соблаш хакидаги фан. Эхтимоллик-
лар назарияси урганадиган асосий
объектлар: 1) тасодифий ходиса ва
унинг эхтимоллиги; 2) тасодифий
микдор ва унинг таксимот функция-
си; 3) тасодифий жараён ва унинг
эхтимоллик характеристикаси. Ма-
салан, телефон станциясида одатда-
ги холларда пайдо буладиган маса-
лаларни курайлик: а) станцияга t вакт
мобайнида абонентлардан п та чаки-
рик келиш эхтимоллиги кандай?
б) Керакли абонент билан улашни
кутиш муддати берилган /о сондан
катта булиш эхтимоллиги кандай?
в) Вакт утиши билан улашга навбат
кандай узгаради? Чакирикларнинг
425
вактга боглик равишда пайдо булиш
конуниятлари кандай? Бу мисол ма-
тематик тушунчалар киритиш ва улар-
ни урганиш заруратига практика,
яъни амалий фаолият олиб келишини
курсатади. а) масалада ran тасодифий
ходисанинг руй бериш эхтимоллиги
хакида боради; б) масалада эса
ran — тасодифий микдор (кутиш муд-
дати) нинг таксимот функциясини то-
пиш хакида; в) масалаларда абонент-
ларга хизмат курсатиш билан боглик
тасодифий жараёнлар каралади.
Эхтимолликлар назариясининг асо-
си тасодифий микдорнинг эхтимол-
лиги тушунчасидир. Х,°зирги замон
эхтимолликлар назариясида куйидаги
ёндошув кабул килинган. Интуитив
равшан булган тасодифий ходиса
(телефон станциясида берилган сон-
даги чакирикларнинг пайдо булиши,
кубикни ташлаганда 5 раками ёзилган
ёкнинг чикиши ва х- к.) тушунчаси
формал равишда киритилади.
Дастлабки туплам — элементар
ходисалар туплами Е каралади. Сунг-
ра шу тупламнинг кисм-тупламлари
танланади. Масалан, кубик ташлаган-
да элементар ходисалар туплами ол-
тита элемент (1, 2, 3, 4, 5, 6) дан ибо-
рат. Бу ходисалар кубикнинг 1, 2, ..., 6
ракамлари билан белгиланган ёклари
тушиши ходисаларидир. К,исм-туплам
сифатида иккита — i ёки /’ ёкдардан
бирининг тушиши; ёки учта: I, j ёки k
ёкдардан бирининг тушиши; ...; ёки
6 та: 1 ёки 2, ёки 3, ...; ёки 6 ёкдардан
бирининг тушишини олишимиз мум-
кин. Бу охирги ходиса кубикни кан-
дай ташланмасин руй беради ва шу-
нинг учун хам мукаррар ходиса дейи-
лади. Умумий холда хам кием-туп-
ламларининг бири сифатида хамма
вакт бутун элементар ходисалар туп-
лами олинади. Бу туплам исталган
тажрибада пайдо булади ва мукаррар
ходиса дейилади. Бошка кисм-туп-
ламлар тасодифий ходиса дейилади.
Тасодифий ходисалар туплами F (Е
нинг танлаб олинган кисмлари тупла-
ми) ихтиёрий эмас, у куйидаги хос-
саларга эга булиши керак: А хамда В
Еш математик цомусий лутати
426
ходисалар билан F га «А ёки В», «А
билан В» хОДисалари хам киради.
«Л ёки В» ходиса А хамда В ходиса-
ларининг йигиндиси дейилади ва
А А-В ёки A U В символ билан белги-
ланади. «Л ва В» ходиса А хамда В
ходисаларининг кесишмаси (ёки ку-
пайтмаси) дейилиб, АВ (ёки Д|“|В)
символ билан белгиланади. Тасодифий
ходисалар тупламига куйилган шарт-
лардан бу тупламга «руй бериши мум-
кин булмаган х°Диса» деб аталади-
Эх,тимолликлар назарияси
ган ходиса хам киради, деган хулоса
чикади. А хамда В ходисалар турли
элементар ходисалардан таркиб топ-
тан холда АВ кесишма каралса, шу
имконсиз ходиса хосил килинади. Ку-
бик ташлаш мисолида, агар А = {3 },
В = {5 } деб олинса, у холда А В хо-
диса кубик ташлаганда бирор марта
хам содир булмайди. Бу руй бериши
мумкин булмаган имконсиз ходиса. У
0 символи билан белгиланади.
Агар АВ = 0 булса, «А хамда В
ходисалар биргаликда эмас» дейила-
ди, бошкача айтилганда, агар А хамда
В ходисалар уз таркибида битта хам
умумий элемент (элементар ходиса)
га эга булмаса, улар биргаликда бул-
майди. Энди F тупламда манфий бул-
маган функцияни аниклаймиз: хаР
бир А тасодифий ходисага Р {А } О
сонни мос куямиз; Р {А } функция
иккита кушимча хоссани каноатлан-
тириши лозим: 1) агар А хамда В хо-
дисалар биргаликда булмаса, у холда
р {Л +В } = Р {Л } + Р { В }, 2) агар
U мукаррар ходиса булса, у холда
Р { U } == 1. Классик эхтимоллик бу
шартларни каноатлантирувчи функ-
ция эканлигини текшириб куриш осон.
Р { А } катталик А тасодифий ходиса-
нинг эхтимоллиги дейилади. 1) муно-
сабат эхтимолликларни кушиш теоре-
маси номини олган; у берилган сод-
дарок ходисаларнинг эхтимолликлари
буйича мураккаб ходисаларнинг эх-
тимолликларини хисоблашга имкон
берадиган учта энг оддий муносабат
таркибига киради.
Ходисанинг эхтимоллигига куйил-
ган иккита талаб куплаб натижаларга
олиб келади: а) имконсиз ходисанинг
эхтимоллиги 0; б) ихтиёрий А хамда
В ходисалари учун
Р{А+В} = Р{А } + Р{В} -
- Р {АВ }.
Тасодифий ходиса эхтимоллигини
аниклашда маълум шартлар комплек-
си бажарилган деб фараз килинади:
шашкол тош (кубча) мунтазам, яъни
у бир хил зичликка эга булган мате-
427
риалдан ясалган, шакли эса идеал куб.
Шундай килиб, хар бир эхтимоллик
шартлидир. Аммо, бу бошлангич
шартлар мажмуининг булиши уз-узи-
дан равшан ва у бажарилган дейиш
кабул килинган. Шунинг учун хам А
Ходисанинг эхтимоллигини ёзишда
шартлар комплексининг борлиги ало-
хида таъкидланмайди ва бу эхтимол-
лик соддагина килиб Р {А } курини-
шида ёзилаверади. Агар бу шартлар
комплексидан ташкари бирор В шарт-
нинг хам бажарилгани маълум бул-
са, бу холда А ходисанинг В шарт
остидаги шартли эхтимоллиги хакида
гапиришади ва уни Р {А /В } каби
белгилашади. А — кубик ташланган-
да турт очкодан ортик булмаган очко-
лар чикиши ходисаси булсин. Бу хо-
4 2
дисанинг эхтимоллиги -х- — -гг га
о 3
тенг. В — кубик ташлаганда чиккан
очколар иккидан катта, деган ходи-
са булсин. В нинг руй бергани бизга
маълум. У холда 3, 4, 5 ёки 6 ракам-
ларигина чикиши мумкин. Бизни ки-
зиктираётган А ходисага турттадан
иккитагина имконият кулайлик туг-
диради, демак,
2 1
Р{Л/В} = Т = Т
Умуман айтганда, Р {А/В } шартли
эхтимоллик Р {А } шартсиз эхтимол-
ликка тенг эмас, аммо Р{А/В} =
= Р {А } буладиган холлар бор. Бун-
дай холларда А ходиса В ходисага
боглик эмас дейишади.
АВ ходисанинг эхтимоллигини то-
пайлик. АВ ходиса руй бериши учун,
биринчидан, В ходиса руй бериши ке-
рак, иккинчидан, В ходиса руй берди
деган шарт остида А ходиса руй бери-
ши керак.
Эхтимолликнинг классик схемаси-
ни курайлик. п дона тенг имкониятли
элементар ходиса бор булсин. А ходи-
сага булардан кандайдир / таси, В хо-
дисага k таси, АВ ходисага эса т таси
кулайлик тугдирсин. Таърифга кура,
рМв| = Л- = А. ™.
п п k
Еш математик цомусий лугати
428
Аммо бу тенгликдаги —- купайтув-
чи Р {В } га, купайтувчи эса А
Кодисанинг В шарт остидаги эхти-
моллигига тенг. Шундай килиб,
Р{АВ} = Р{В} • Р{А/В }.
Худди шундай мулохазалар ёрдами-
да Р {АВ } = Р {А } Р { В/А } эка-
нини исботлай оламиз. Эхтимоллик-
ларни купайтириш теоремалари деб
ном олган бу тенгликлардан, бирин-
чидан, А х,одиса В га боглик булмаса,
В хам А га боглик эмаслиги, иккин-
чидан, Р { А/В } — Р { АВ }/Р {В }
тенглик келиб чикади.
Эхтимоллик тушунчаси умумий
Холда аникланганда Р{А/В} =
= Р {АВ }/Р { В } тенглик шартли
эктимолликнинг таърифи сифатида
кабул килинади. Бу холда хам эхти-
молликларни купайтириш теоремаси
уринли булиши равшан. У иккинчи
асосий теоремадир.
Тула эхтимолликлар формуласи
эхтимолликлар назариясидаги хисоб-
лашларнинг учинчи асоси булиб хи-
собланади. Л1, Лг,..., Д s ходисаларузаро
биргаликда эмас ва В кодиса Л, ходи-
салардан бири руй бергандагина содир
булади, дейлик. Бу холда В = В А । 4-
4- ВЛг 4- ... 4- BAS тенглик уринли.
Бу ердан
Р{В} = ^ Р {А,} Р {B/Aj}.
/=•
Эхтимолликлар назариясининг ри-
вожланишида Бернулли схемаси деб
аталган схема мухим роль уйнаган
ва шундай роль уйнамокда. п та бог-
лик булмаган тажриба утказилаётган
булсин. Хар бир тажрибада Л кодиса-
нинг руй бериш эктимоллиги р, руй
бермаслик эктимоллиги эса q = 1 — р
Эхтимолликлар назарияси
429
булсин (р ва q хар бир тажриба учун
бир хил, тажрибанинг номерига бог-
лик, эмас). Бу холда А ходисанинг
роппа-роса т марта, А га карама-
карши А ходисанинг эса п — т марта
руй бериш эхтимоллиги
Рп(т) = Cnpmqn~m формула буйича
хисобланади.
Тажрибалар сони п катта булганда
бу формула буйича хисоб мураккаб-
лашади ва техник жихатдан кийин-
лашади; шунинг учун п катта булган-
да, одатда, такрибий формула
(Муавр-Лапласнинг локал теоремаси)
дан фойдаланилади. Бу формулага
мувофик
___ (т — лр)2
Р„(т) « (дГ^лпр^)-1 • е 2пРЧ
Назарий ва амалий масалаларда
ь
купинча Рп(а, Ь) = £ Рп(т) кури-
m — ci
нишдаги йигиндини хисоблашга тугри
келади. п, а, Ь катта булганда бун-
дай хисоб-китоб анчагина мехнат,
вахт талаб килади. Уларни такрибий
хисоблаш учун Муавр-Лапласнинг
интеграл теоремасидан фойдаланиша-
ди. Бу теоремага мувофик
1 15 х2
Рп(а, b) = —=:\ е - — dx,
л/ 2л а z
а — пр\ ' Ь — пр
& = ,-L. , р = -7-^; •
V npq \ npq
Иккала теорема хам жуда катта аник-
ликка эга. Улар эхтимолликлар наза-
риясининг лимит теоремалари турку-
мига киради.
Швейцариялик математик Якоб
Бернулли (1654—1705) эхтимоллик-
лар назариясининг фундаментал
фактларидан бирини кашф килди. У
Бернулли формуласидаги катта сон-
лар конуни номини олди. п та эркин
тажрибада А ходисанинг руй бериш
сони р, хар бир тажрибада А нинг
430
руй бериш эктимоллиги р булсин.
Ихтиёрий е >0 учун ушбу
Нт Р {| — — р | > е} = 0
оо tl
муносабат уринли, яъни кодисанинг
руй бериш частотаси унинг экти-
моллиги р дан четланишининг е дан
катта булиш эктимоллиги 0 га интила-
ди.
Эктимолликлар назарияси ва унинг
татбикларида тасодифий кодисалар
билан бирга тасодифий микдорлар
кам каралади. ХаР бир кузатишда
бирор катталик тасодифга боглик
равишда кандайдир киймат кабул ки-
лишини тасаввур килайлик; масалан,
ер сиртининг маълум майдонига бе-
рилган вакт оралигида келиб тушувчи
космик зарралар сони; маълум нав
Еш математик цомусий лугати
пахтадан берилган ингичкаликда
тайёрланган иннинг пишиклигини
текширишдаги узилишлар сони.
Бундай мисолларни исталганча келти-
риш мумкин.
Тасодифий микдорлар кам узлари
кабул киладиган кийматларининг, хам
шу кийматларни кабул килиш экти-
молликларининг тури билан фаркла-
нади. Масалан, t вакт оралигида те-
лефон станциясига абонентлардан
келадиган чакириклар сони манфий
булмаган ихтиёрий бутун сонлар —
0, 1, 2, ... булиши мумкин. Куп сонли
кузатишлар чакириклар сонининг k га
тенг булиш эктимоллиги
/М0 = Л- • е-м,
к'.
формулага мос келишини курсатади.
Газ молекулаларининг тезлиги кам
Эхтимолликлар назарияси
431
тасодифий микдор’ ва у исталган мус-
бат кийматларни кабул килиши мум-
кин. Бу кийматлар эдтимолликлари
кандай берилади? Математиклар шун-
дай йулдан боришди: улар мумкин
булган дар бир кийматнинг эдтимол'-
лигини топмасдан тасодифий мик-
дор £ нинг берилган х сонидан кичик
булган кийматларни кабул килиш эд-
тимоллигини аниклашди: р { £ < } <
< х} = Е(х).
Е(х) функция g тасодифий мид-
дорнинг таксимот функцияси деган
ном олди. К,ушиш теоремасидан ушбу
p{a^<b} = F(b) — F(a)
мудим тенгликни келтириб чикариш
Кийин эмас. Бу тенглик £ тасодифий
микдор кийматларининг [ а, Ь] ора-
ликда булиш эдтимоллигини шу тасо-
дифий микдор таксимот функцияси
оркали аниклайди.
Эдтимолликлар назарияси ва унинг
татбикларида тасодифий микдорлар-
нинг сонли характеристикалари — ур-
та киймат (математик кутилма) ва
дисперсия мудим роль уйнайди. Улар-
нинг таърифларини дискрет тасоди-
фий микдорлар учун берамиз. g тасо-
дифий микдорнинг мумкин булган
кийматлари хь х2, булсин, j нинг
шу кийматларни кабул килиш эдти-
молликлари pi, р2, ... булсин. У долда
Е g = X Xk’Pk = xipj + х2р2 + -
fc=i
йигинди g нинг урта диймати,
E(g — Eg)2 катталик эса g нинг дис-
персияси дейилади.
П. Л. Чебишев катта сонлар ко-
нунини энг умумий долда исботлади:
агар gi, g2, ... урта кийматлари а.\,
«г, , га тенг, Dgt дисперсиялари бит-
та сон С билан чегараланган
(DgfeCC), узаро боглик булмаган
тасодифий микдорлар кетма-кетлиги
булса, у долда исталган е>0 учун
lim Р { | — £ (gfe — ak) I >е } =0
П-»- ОО П k = 1
муносабат бажарилади.
ёш математик цомусий лугати
432
Иккинчи лимит теорема Ляпунов
теоремаси ёки марказий лимит тео-
рема номини олди: агар ||, тасо-
дифий микдорлар боглик, булмаса,
чекли ai, аг, урта кийматлар ва
Dt,k = b\ чекли дисперсияларга эга
Ва.’ G-k t too
Камда — , k = 1, 2, 3,
микдорлар текис равишда кичик бул-
са (бу ерда В2 = f bl\ у колда
fe= I
ПтР { -pL £ (tk~ak) < Е ) =
л—оо t>nk=i )
1 г
~ \Г2л °° е2
муносабат уринли.
Бу теорема Муавр-Лаплас интеграл
теоремасининг кенг умумлашмаси-
дир-
Бизнинг асримизда физик, биоло-
гик, инженерлик ва б. тадкикотлар
туфайли £(/) тасодифий жараёнлар-
ни караш зарурати тугилди. Тасоди-
фий жараёнлар бир узгарувчининг та-
содифий функцияларидир. Амалий
масалаларда, одатда, узгарувчи «вакт»
деб шархданади. Хозирги вактда та-
содифий жараёнлар назарияси каки-
кий олам коДисалаРини тадкик ки-
лишнинг асосий математик воситала-
ридан бири кисобланади.
Эктимолликлар назариясининг
дастлабки масалалари Л. Пачоли
(1445—1514 тахминан), Ж. Кардано
(1501 —1576), Н. Тарталья (тахминан
1499—1557), Б. Паскаль (1623—
1662), П. Ферма (1601 — 1665),
X. Гюйгенс (1629—1695) томонидан
каралган. Эктимолликлар назарияси
мустакил фан сифатида Я. Бернулли
(1654—1705), А. Муавр (1667—
Юза
433
1754), П. Лаплас (1749—1827),
С. Пуассон (1781 —1840) асарларида
шакллана борди. Унинг кейинги та-
ракдиёти П. Л. Чебишев, А. А. Мар-
ков, А. М. Ляпунов (1857—1918),
А. Я. Хинчин (1894—1959),
С. Н. Бернштейн (1880—1968),
А. Н. Колмогоров (1903—1987) ном-
лари билан боглик. В. И. Романовский,
Т. А. Саримсоцов, С. X,- Сирожидди-
нов Узбекистонда эхтимолликлар на-
зарияси ва математик статистикага
оид тадкидотлар шаклланиши ва ри-
вожланишига асос солдилар.
Эхтимолликлар назарияси жуда
кенг тармокли фандир. Унинг татбик-
ларига мисол килиб назарий физика
(статистик физика, квантлар назария-
си), радиоэлектроника, турли тасоди-
фий халакитлар мавжуд булган хол-
ларда автоматик созлаш назарияси-
даги татбикларни келтириш мумкин.
Эхтимолликлар назарияси инфор-
мация назариясининг нерв фаолияти-
га алокадор масалаларини, шунингдек
ирсият масалаларини урганишга им-
кон бериши мумкин.
ю
ЮЗА
Геометрик фигуранинг улчамини ифо-
даловчи катталик юза деб аталади.
Геометрик фигураларнинг юзалари-
ни аниклаш — энг кадимги амалий
масалалардан бири. Уни ечишга тугри
ёндошув осонгина топилган эмас.
Масалан, кадимги бобилликлар их-
тиёрий туртбурчакнинг юзалари унинг
карама-карши томонлари ярим йигин-
диларининг купайтмасига тенг деб
олишган. Бу формуланинг нотугрили-
ги равшан: жумладан, бу формуладан
томонлари тенг булган барча ромб-
ларнинг юзаси бир хиллиги келиб чи-
кади. Бирок ромбнинг юзаси унинг
434
Еш математик цомусий лугати
учидаги бурчакка боглик, эканлиги
очик-ойдин. Аммо, кадимги юнонлар
купбурчакларнинг юзасини тугри топа
билишган.
Гишт терувчилар уйнинг тугри турт-
бурчак шаклидаги деворининг юза-
сини аникламокчи булишса, унинг
узунлиги ва баландлигини купайтири-
шади. Геометрияда кабул килинган
таъриф куйидагича: тугри туртбурчак-
нинг юзаси унинг кушни томонлари-
нинг купайтмасига тенг. Бу иккала
томон айни бир улчов бирлигида
ифодаланган булиши керак. Шунда
уларнинг купайтмаси тугри туртбур-
чакнинг мос квадрат бирликларда
ифодаланган юзасини ташкил килади.
Айтайлик, деворнинг баландлиги ва
узунлиги дециметрларда ифодаланган
булса, у колда бу икки улчовнинг
купайтмаси квадрат дециметрларда
ифодаланади. Агар деворга коплана-
диган кар бир кошиннинг юзаси бир
квадрат дециметрга тенг булса, у кол-
да косил булган купайтма бутун де-
ворни коплаш учун керакли кошинлар
сонини курсатади. Бу юзаларни ки-
соблаш учун асос килиб олинган тас-
дикдан келиб чикади: узаро кесиш-
майдиган фигуралардан тузилган фи-
гуранинг юзаси уша фигуралар юзала-
рининг йигиндисига тенг.
Бир неча фигурадан тузилган фи-
гуранинг юзаси уни ташкил килувчи
фигуралар (узаро кесишмайдиган ки-
либ) бошкачарок жойлаштирилгани
билан узгармайди (К- Тенгдош ва тенг
тузилган фигуралар). Шу сабабли,
тугри туртбурчак юзасининг форму-
ласига асосан бошка фигуралар юзаси
учун формулалар топиш мумкин. Ма-
салан, учбурчак унга тенгдош тугри
туртбурчак ясаш мумкин булган бу-
лакларга ажратилади. Натижада уч-
бурчакнинг юзаси унинг асоси билан
баландлиги купайтмасининг ярмига
тенглиги келиб чикади. Шу каби кай-
та бичиш билан параллелограммнинг
юзаси асоси билан баландлигининг
купайтмасига, трапециянинг юзаси
асослари йигиндисининг ярми билан
баландлигининг купайтмасига тенгли-
гини исботлаш кийин эмас.
Параллелограмм юзасининг форму-
ласини Кавальери принципига кура
кам асослаш мумкин. Бу принципга
асосан агар икки фигура бирор тугри
чизикка параллел ва ундан баравар
узокликдаги тугри чизиклар билан
кесилганда кар иккала фигурадаги
мос кесимларнинг узунлиги узаро
тенг булса, олинган фигураларнинг
юзалари тенг булади.
Трапеция юзасининг формуласини
бошкачарок — учбурчакларга ажра-
тиб кам чикариш мумкин. Иктиёрий
купбурчакнинг юзасини учбурчаклар-
га ажратиш йули билан аникдаш ки-
йин эмас. Шу сабабли, мунтазам куп-
бурчаклар юзаларининг аник форму-
лалари маълум. Кддимги ва урта аср
математиклари доиранинг юзасини бу
доирага ички ва ташки мунтазам куп-
бурчаклар чизиб, уларнинг томонла-
рини чексиз иккилантириб, бу юзалар
интилган лимит сифатида кисобла-
ганлар.
Бишт терувчиларга мураккаб шакл-
даги деворнинг сиртини кошинлар
билан коплаш тугри келса, улар де-
ворнинг юзасини коплашга кетган ко-
шинлар сонини кисоблаб аниклаш-
лари мумкин. Табиийки, кошинлар-
нинг четлари деворнинг четларига мос
тушиши учун баъзи кошинларнинг че-
ти сидирилади.
Бу усул, гарчанд курилишда бул-
маса-да, амалда кулланилади. Юзаси
улчанадиган фигура миллиметрик ко-
гозга чизилади ва аввал фигура чега-
раси ичида жойлашган сантиметрли
квадратчалар, кейин эса миллиметр-
ли квадратчалар санаб чикилади. Агар
булимлари уннинг даражаларига ис-
талганча каррали миллиметрик когоз
мавжуд булса эди, юкоридаги каби
кисоблашларни чексиз давом эттириб,
юзанинг аник кийматини топса бу-
ларди. Ихтиёрий фигураларнинг юза-
ларини топиш методини интеграл уи-
соб беради.
Ясси фигураларнинг юзаларини
механик усулда хисоблайдиган пла-
ниметр деб аталувчи асбоблар мав-
жуд.
436
Еш математик цомусий лугати
УРТА КИЙМАТЛАР
Иккита мусбат а ва b сонлардан ту-
зилган классик урта кийматлар деб:
+ о , I—Г
—9---— урта арифметик, \/ ab — урта
геометрик (урта пропорционал деб
. Zab
хам аталади) ва ~— урта гар-
моник микдорларни хисоблаш кабул
килинган. Бу «урталар» кухна замон
математикларига хам маълум эди,
улар, хусусан, кадимги юнон музика
назариясида катта роль уйнаган. К,а-
димги юнон математиги Архитга
(янги эрагача тахминан 428—365 й.)
мансуб дейиладиган математик кул-
ёзмаларнинг бирида урта арифметик
т, урта геометрик Q-, урта гармоник /г,
мос равишда арифметик, геометрик
ва гармоник пропорциялар:
а — т = т — b, а:д. = д:.Ь
(а — h):a = (/г — b)'.b
ларнинг тенг урта хадлари сифатида
аникланган. Бу тенгликлардан цуйи-
дагиларни осонгина топамиз:
а-\-Ь
~2~
т
; ___ 2 2с/?
1 ~ ± = « + &
а + b
Ривоятларга кура, урта гармоникни
Пифагор (янги эрагача VI а.) кирит-
ган. Пифагор урта гармоник микдор
ёрдамида асосий гармоника интервал-
лари нисбатини хисоблаган. Пифагор
узунлиги 12/ булган тор билан бирга
уша тарангликда у билан хамоханг
кушилиб жаранглайдиган тор узун-
ликлари 6/ (бир октава баланд, 8/
ва 9/ (бир квинта ва кварта баланд)
булишини аниклади, бунда 9 сони 6
ва 12 нинг урта арифметиги, 8 ни эса
шу сонларнинг урта гармониги сифа-
тида топган. Бу хамоханглик (хамда
6, 8, 9, 12 сонларининг шундай хоссага
эга нисбати) тетрада деб аталган. Пи-
фагорчилар тетрада «шундай оханглар
гаммасики, сиреналар (танаси кушга
ухшаш парилар) худди шунга амал
килиб кушик куйлайди» деб хисоб-
лашган.
Кддимги юнон математикасида
асосий уринни геометрия эгаллаган,
унда берилган иккита а ва b кесма-
ларнинг урталарини ясашнинг бир не-
ча усули маълум эди. Искандариялик
Паппнинг (III а.) «Математик маж-
муа»сида — кадимги юнон математи-
касининг натижалар тупламида —
иккита кесма урта геометригини Папп
салафлари Эратосфен (янги эрага-
ча 276—194 й.), Никомед (янги эра-
гача II а.) ва Герои (I а.) усуллари
буйича ясаш келтирилган х,амра уч ча-
ла уртани бир фигурада ясаш баён
килинган.
1-расмда мумкин булган ясашлар-
дан бири курсатилган. АС ва СВ
(| АС | =а; | СВ—Ь)— битта туг-
ри чизикнинг кушни кесмалари, АВ
кесмани диаметр деб олиб айлана
ясалган, бу айлананинг радиуси
(с-ф/?)/2 га тенг. С нуктада АВ тугри
чизикка перпендикуляр тикланган.
AN В тугри бурчакли учбурчакда
(AN В бурчак тугри — диаметр га
тиралган) NС баландлик АС ва СВ
кесмаларнинг урта пропорционали,
яъни | А/С | = д/ab'. Агар NM кесма
NC нинг NO га проекцияси булса, у
холда | NM | = 2аЬ/ (аЬ) эканини
хисоблаш кийин эмас. Перпендикуляр
огмадан киска булгани учун
I NM | < \NC | <Z I ON | . Агар
АС ва СВ кесмаларнинг узунликлари
тенг булса, у холда О ва С нукталар,
шу билан бирга, каралаётган барча
NM, NC ва ON кесмалар хам устма-
Урта цийматлар
437
уст тушади. Шундай килиб, ихтиёрий
мусбат а ва b учун
2аЬ
а-\-Ь
№ < 5±-6
тенгсизликлар уринли ва а - b бул-
гандагина уларнинг кар бирида тенг-
лик белгиси жоиз булади. \;ab
(а+b )/2 тенгсизлик урта арифме-
тик ва урта геометрик хакидаги тенг-
сизлик дейилади. Бундан иккита тео-
рема келиб чикади: 1) агар иккита
мусбат соннинг йигиндиси узгармас
булса, уларнинг купайтмаси узининг
энг катта кийматига бу сонлар узаро
тенг булганда эришади; 2) агар иккита
мусбат соннинг купайтмаси узгармас
булса, уларнинг йигиндиси узининг
энг кичик кийматига бу сонлар узаро
тенг булганда эришади. Бу теорема-
лардан купинча экстремумга оид ма-
салалар — энг катта ва энг кичик кий-
матларни топишга оид деб аталувчи
масалаларни ечишда фойдаланилади.
Бу теоремаларни татбик килиб, ма-
салан, куйидагиларни курсатиш кийин
эмас: периметри берилган барча тугри
туртбурчаклар ичида квадрат энг кат-
та юзага эга; юзаси берилган барча
тугри турт бурчаклар ичида энг кичик
периметрга эга буладигани хам квад-
ратдир.
п та мусбат а,, az, ..., ап сонлар-
нинг урта арифметиги деб
а । 4- Ог 4~ - - - 4~ о.п
т =------------------
п
микдорга айтилади.
п та мусбат оь az, .... ап сонларнинг
урта геометриги деб, шу сонлар ку-
пайтмасининг п-даражали илдизи —
с = V аха^-.-йп
Урта гармоник h га тескари сон бе-
рилган сонларга тескари сонлар п
урта арифметигига тенг:
±+1+ 1
1 _ di аг о«
h п
п та ихтиёрий Oi, 02, ап сонлар-
нинг урта квадратиги деб шу сонлар
квадратларининг урта арифметигидан
олинган квадрат илдизга айтилади:
d =
О 1 4“ 02 + ... 4" О-П
П
Ихтиёрий мусбат аь Ог, .... о„ сон-
лар учун бу урталар
й с д С т d (1)
тенгсизликларни каноатлантиради;
уларнинг кар бирида тенглик ишора-
си Oi = Ог — ... = а„ булганда ва
факат шу холда уринли булишини
таъкидлаймиз. Бу тенгсизликлардан
энг мухими ва машхури урта ариф-
метик ва урта геометрик микдорлар
орасидаги тенгсизликдир:
\/О1О2...Оп
Oi 4~ Ог 4~ 4~о«
п
(2)
микдорга айтилади.
п та мусбат а,, о2, ...о„ сонлар-
нинг урта гармониги деб
Бу тенгсизликни l/Оь I/02,
I/ оп сонларга татбик килиб, h д-
тенгсизликни исботлаш мумкин; 1
2, ..., п натурал сонларга татбик эт-
сак хамда
О, + 02 + Оп
микдорга айтилади.
1+2 + ...4-П
п(п4“ 1)
2
ёш математик цомусий лугати
438
тенгликдан фойдалансак,
. (п+1)"
п'. <Z—2—-тенгсизликни оламиз.
Купайтманинг максимуми хамда
йигиндисининг минимуми хакидаги
1) ва 2) теоремаларнинг умумлашма-
си урта арифметик ва урта геометрик
микдорлар орасидаги тенгсизликнинг
натижаси булади: п та мусбат соннинг
йигиндиси узгармас булса, у холда бу
сонлар купайтмаси узининг энг катта
кийматига шу сонлар узаро тенг бул-
ганда эришади; п та мусбат соннинг
купайтмаси узгармас булса, у холда
бу сонлар йигиндиси узининг энг ки-
чик хийматига шу сонлар узаро тенг
булганда эришади. Экстремумга оид
купгина масалалар шу асосда ечила-
ди. Урта арифметик хамда урта квад-
ратик микдорлар факатгина мусбат
сонлар учун эмас, балки ихтиёрий
О1, Ог, ..., ап сонлар учун хам маънога
эга, шу билан бирга m2^d2 тенгсиз-
лик уринли булади. Кушилувчилар со-
ни иккита булса, бу тенгсизлик
(ni + ог)2 n2-f-o2
2 " 2
куринишни олади ва айний тенгсиз-
лик (ai —о2)2^0 дан осонгина келиб
чикади.
Урталар учун тенгсизликлар ва ур-
таларнинг узлари факатгина алгеб-
ра, геометрия, математик анализда
кенг кулланилиб колмай, балки ста-
тистика, эхтимолликлар назариясида
(урта квадратик шу ердан таркал-
ган), улчаш натижаларини ишлаб чи-
кишда хам фойдаланилади.
Юкорида курилган хамма’ урталар
даражали урталарнинг хусусий хол-
ларидир. Gi, «2, ..., ап мусбат сонлар
ва нолдан фаркди а сон учун a — тар-
тибли даражавий урта деб
S(a) = (a°+^+--+a" )/«
мивдорга айтилади.
и — — 1, 1, 2 булганда бу ердан
мос равишда урта гармоник, урта
арифметик ва урта квадратик мик-
дорлар олинади. а = 0 да 5(а) аник-
ланмаган, аммо а нолга интилганда
5(a) урта геометрикка интилишини
курсатиш, бинобарин, 5(0) ни урта
геометрик деб хисоблаш мумкин.
Даражали урталарнинг асосий хос-
саси монотонликдан иборат: агар
си <«2 булса, S(ai)^5 (аг), хусусан,
5(-1)<5(0)<5(1)<5(2).
Куйидаги процедура (тадбир) ни
карайлик. Иккита мусбат а ва b сон-
ларнинг урта арифметиги а-{-Ь/2 ва
урта геометриги bi = -\[~ab ни тузай-
лик, сунг с, ва bi сонларнинг урта
арифметиги Ог = (a i —|— । )/2 ва урта
геометриги b2 = -у Oi +i ни тузайлик.
Бу жараённи давом эттириб, ап ва Ь„
ларни
пп— 1 + Ьп— 1
ап =-----g---- ва
Ьп = V \ Ьп — 1
формулалар ёрдамида аниклаймиз.
Натижада сонларнинг иккита (ап)
ва (Ьп) кетма-кетлиги хосил килина-
ди. Масалан, агар а = 1 ва b = 3
сонлари олинган булса, бу кетма-кет-
ликларнинг дастлабки хадлари куйи-
дагича:
«1 = 2
о2« 1,866025404
а3« 1,863617561
о4« 1,863616384
bi «1,732050808;
b2« 1,861209718;
&з« 1,863616006;
ft4« 1,863616784.
Келтирилган мисолда (а„) ва (Ь„)
кетма-кетликлар жуда тез якин-
лашаяпти. Немис математиги
К. Ф. Гаусс курсатганки, умумий хол-
да хам (о„) ва (Ьп) кетма-кетликлар
бир-бирига етарлича тез якинлашар
ва умумий лимитга эга экан. Бу ли-
мит а ва b сонларнинг арифметик-
геометрик уртаси дейилади. У а ва b
оркали элементар формула билан
ифодаланмайди, аммо аллакандай ма-
тематик ходиса хам эмас, у матема-
тиканинг катор булимларида татбик-
ларга эга.
Каварик фигуралар
439
к,
КАВАРИК. ФИГУРАЛАР
мух,им хоссаси: -унинг чегарасидаги
хар бир нуктадан шундай тугри чизик
утказиш мумкинки, бутун фигура бу
тугри чизикдан бир томонда ётади
(бундай тугри чизик таянч тугри чи-
зик дейилади, 2-расм).
Тескари тасдик хам уринли: агар
бирор -текис фигуранинг хар бир
чегаравий нуктасидан таянч тугри чи-
зик утказиш мумкин булса, бу фигу-
4-расм.
Агар фигуранинг ихтиёрий икки нук-
тасини туташтирувчи кесманинг хам-
ма нуктаси шу фигурага тегишли бул-
са, у каварик фигура дейилади. Маса-
лан, дойра, шар, учбурчак каварик
фигуралардир; туртбурчаклар эса ка-
варик булиши хам, булмаслиги хам
мумкин (1-расм).
Куйидаги тасдик уринли: «Икки ка-
варик фигуранинг умумий кисми яна
каварик фигура булади». Сиз уни буш
тупламни каварик фигура деб хисоб-
лаб, узингиз исботлашингиз мумкин.
Текис каварик фигуранинг яна бир
1-расм.
2-расм.
5-расм.
ра каварик булади. Шундай килиб,
таянч тугри чизикларнинг мавжуд
булишини текис каварик фигура таъ-
рифи сифатида кабул килиш мумкин.
Кдварик жисмлар учун таянч те-
кисликлар шу каби аникланади (3-
расм).
К,аварик фигураларнинг таянч туг-
ри чизик ва текисликларга эгалиги
шундай хам равшан фактдир. 1913 й.
да австриялик математик Э. Хелли
очган куйидаги фактнинг тугрилигини
куриш эса осон эмас: «Агар берилган
бир неча текис фигуралардан хар уч-
таси умумий нуктага эга булса, бу
фигураларнинг хаммасига тегишли
нукта мавжуд булади». Бу теорема-
да фигураларнинг кавариклилиги
мухимдир. Х,акикатан, 4-расмда тас-
вирланган 4 фигурадан атиги битта-
си каварик эмас. Шу туфайли, гарчанд
ихтиёрий учтасининг умумий нуктаси
440
Еш математик цомусий лугати
булса х,ам, туртала фигура учун х,ам
умумий булган нукта йук.
Фазодаги каварик жисмлар учун
Хелли теоремаси юкорида келтирил-
ган шаклда тугри эмас. Бунга ишонч
косил килиш учун учбурчакли пира-
миданинг ёкларини ташкил этган
туртта уч бурчакни караш кифоя.
Аммо фазодаги каварик жисмлар
системасида кар турт жисм умумий
нуктага эга булсин деб талаб килин-
са, бу жисмларнинг каммаси умумий
нуктага эга булади. Хелли теорема-
си мувофик шаклда ихтиёрий улчовли
фазолар учун исботланди ва у куплаб
математик тадкикотларда жуда фой-
дали булиб чикди.
Сунгги пайтда кавариклик тушунча-
си математикада, хусусан, унинг ама-
лиёт билан боглик сокаларида кенг
таркалди. «К,аварик анализ» ва «К,а-
варик программалаштириш» сокалари
вужудга келди. Уларнинг натижалари-
иктисод, бошкарув назарияси ва б.
сокаларнинг куплаб муким амалий
масалаларини ечишни енгиллаштира-
ди (айникса ЭХ,М да).
Каварик фигуралар геометрик наза-
риясининг энг кизик булимларидан
бири — эни узгармас чизиклар на-
зариясидир. Бундай чизик чегаралай-
диган текис фигуранинг параллел
таянч тугри чизикдари орасидаги ма-
софа тайин узгармас h сонига тенг.
Эни узгармас чизикдардан энг сод-
даси айланадир, лекин шу хоссага
эга булган бошка чизикни куз олдига
келтириш кийин. Бундай чизикни би-
ринчи булиб математик эмас, балки
француз механик олими Ф. Рело топ-
тан. У тенг томонли эгри чизикли
учбурчак булиб, марказлари учбурчак
учларида жойлашган айланалар ёйла-
ри унинг томонларини ташкил эта-
ди (5-расм). 6-расмдан яна иккита
эни узгармас чизик ясаш усулини
тушуниб олиш мумкин. Шуниси ки-
зикки, эни узгармас /г га тенг ихтиёрий
чизикнинг узунлиги л/г булади. Эни
узгармас чизиклар куплаб амалий тат-
бикдарга эга. 7-расмда кутарилиб ва
тушиб турадиган рамка ва Рело уч-
бурчагидан ташкил топган механизм
тасвирланган. Унда Рело учбурчаги
0 учи атрофида айлана олади. Учбур-
чак даврий равишда айланса, бир мар-
та туда айланиб чикиш давомида вакт-
нинг 1/6 кисмида рамка куйи х,олат-
да булади, сунг 1/3 кисмида юкори-
га кутарилади, кейин 1 /6 кисмида
юкори колатда тинч туради, них;оят,
колган 1/3 кисмда пастга тушади.
Бундай хдракат куп жойда, хусусан.
Цавариц функциялар
441
кинога олиш ва кино куйиш аппарат-
ларида зарур булади.
Рело учбурчаги х,ам, бошка эни уз-
гармас h га тенг чизиклар кам ораси-
даги масофа h га тенг икки тугри чи-
зик оралигида айлана олади ва бунда
у доим шу тугри чизикларга уринади.
Рело учбурчаги катто томони h га тенг
квадрат ичида унинг туртала томони-
га кам уриниб айланиши мумкин (кун-
даланг кесими Рело учбурчаги шакли-
да булган парма билан квадрат тешик
уйиш мумкин).
Юкоридагига ухшаш, айтайлик,
тенг томонли учбурчак ичида унинг
томонларига уриниб айланадиган ка-
варик фигуралар мавжудми? Бундай
фигуралардан бирини биласиз — у
ички чизилган дойра. Яна-чи? Агар
кар бирининг маркази иккинчисининг
чегарасида ётган бир хил радиусли
икки дойра олинса, уларнинг кесиш-
маси ана шу хоссага эга булар экан
(8-расм). Дойра учбурчак томонлари-
га доим бир хил нуктада уринса, косил
килинган икки бурчак ундан фаркли
равишда айланиш вактида учбурчак-
нинг камма чегаравий нукталарига
тегиб утади. Унинг бу хоссаси шакли
учбурчак булган тешик уядиган парма
ихтиро килишга асос булган.
КАВАРИК, ФУНКЦИЯЛАР
Монотонлик функцияни характерлов-
чи муким хоссадир (к- Функциянинг
усиши ва камайиши). Бирок, функ-
циянинг узгариш жараёнини тасвир-
лаш учун бу хосса баъзан етарли бул-
мас экан. 1- ва 2-расмларда монотон
функцияларнинг графиклари келти-
рилган, аммо, куриб турибмизки, бу
графиклар турлича. Биринчи функция
графигининг шакли, масалан, Л ва В
нукталарга осиб куйилган «огир» ип-
ни, иккинчисининг шакли эса косили
куплигидан эгилган олма шохини эс-
латади. 1-расмда тасвирланган функ-
цияни пастга каварик, 2-расмдагисини
эса юкорига каварик дейишади. Аник-
роги: бирор X ораликда узлуксиз F(x)
функция берилган булсин. Агар шу
X ораликдан олинган ихтиёрий Xi ва
г /Х1 + х2 <
х2 нукталар учун ----------) <
------ тенгсизлик бажа-
рилса, f(x) функция пастга каварик
дейилади. Агар Н ораликдан олинган
ихтиёрий X) ва х2 нукталар учун
с ,Х1 -|-Х2 . / (X|)-)-f (х2)
М 2 ’ 2
тенгсизлик уринли булса, f(x) функ-
ция юкорига каварик (ботик) дейи-
лади. Бу тенгсизликлар соддагина гео-
метрик маънога эга. Абсциссаси
442
Еш математик цомусий лугати
(xi+%2) булган нукта [xi, Х2] кес-
- Г/Х1+Х2 .
манинг уртасидир, / (—-— ) эса эг-
ри чизикнинг мос нуктаси ордината-
2
/О V f(Xl)+f(X2)
сидир (3-расм),- -----—---- киимат
MN ватарда ётувчи С нукта ордина-
тасига тенг. Шундай килиб, агар
функция графигига тегишли нукта
MN ватарнинг (худди шундай абсцис-
сага эга булган) нуктасидан пастда
ёки MN ватарда ётса, f (х) функция
[xi, Хг] кесмада пастга каварикдир.
Агар функция графигига тегишли нук-
та MN ватарнинг (худди шундай абс-
циссага эга булган) нуктасидан юко-
рида ёки MN ватарда ётса, f (х) функ-
ция юкорига каварикдир. Функция-
нинг цавариклигини математик ана-
лиз воситалари ёрдамида текшириш
жуда кулайдир.
Маълумки, анализнинг куйидаги
теоремалари уринли: 1) агар диффе-
ренциалланувчи функция X ораликда
пастга каварик булса, у колда унинг
графиги графикнинг ихтиёрий нукта-
сида утказилган уринмадан юкорида
жойлашади, юкорига каварик диффе-
ренциалланувчи функциянинг гра-
фиги эса графикнинг ихтиёрий нук-
тасида утказилган уринмадан пастда
жойлашган булади (4- ва 5-расмлар).
2) f(x) функция X ораликда икки
марта дифференциалланувчи булсин.
Агар унинг иккинчи тартибли хоси-
ласи f" (х) шу ораликда манфий бул-
маса: f“(x)^O, у холда f(x) пастга
каварик; иккинчи тартибли хосиласи
f11 (х) X да мусбат булмаса: f'1 (х)^О,
юкорига каварик булади. Пастга кава-
рик эгри чизикка тушаётган ёмгир
томчилари бу чизикда «тупланишини»,
юкорига каварик эгри чизикка ту-
8-расм.
шаётган томчилар ундан «думалаб»
тушишини тасаввур кила олсак, бу
теоремаларни эслаб колиш осон (6-
расм).
Масалан, у = х2 функция хамма
ерда пастга каварик, чунки ух = 2х
ва барча х лар учун у” = 2>0.
у = 1пх функция ]0; -|- ро [ оралик-
, 1
да юкорига каварик, чунки у — —-,
у" =------0. у = sinx функция-
X
нинг [ —л; л] кесмадаги графигини
курайлик (7-расм). Унинг биринчи
ва иккинчи хосилалари у1 = cosx,
Цадимги классик масалалар
у" = —sinx га тенг. ] — л; 0 [ интер-
валда sinx<ZO булгани учун, иккинчи
тартибли хосила у" мусбат, биноба-
рин, синусоида пастга каварик; аксин-
ча ] 0, л [ интервалда иккинчи тартиб-
ли хосила манфий (бу ораликда
sinx>0\ демак, эгри чизик юкорига
каварик. у — f(x) функция М(хо, У»)
нуктада иккинчи тартибли узлуксиз
хосилага эга булсин. Агар бу нукта-
нинг турли томонларида эгри чизик
турлича каварикликка эга булса,
М(хо, у о) нукта функциянинг кайри-
лиш нуктаси дейилади.
Масалан, О (0, 0) нукта у — sinx
функциянинг кайрилиш нуктаси-
дир — бу нуктадан чапда функция
пастга каварик, унгда эса юкорига
каварик.
Агар Хо нуктада функция кайри-
лишга эга булса, у холда юкоридаги
биринчи теоремага кура, эгри чизикка
кайрилиш нуктасида утказилган урин-
ма бир томонда чизикдан юкорида,
иккинчи томонда эса чизикдан пастда
ётади. Эгри чизик графиги кайрилиш
нуктасида уринманинг бир томонидан
иккинчи томонига утади (кайрила-
ди). 7-расмда синусоида у = х тугри
чизик — координата бошидаги урин-
масининг бир томонидан иккинчи то-
монига утади.
Кдйрилиш нуктасидан бир томонда
f" (х)^0, иккинчи томонда F" (х)^0
булгани учун кайрилиш нуктасининг
узида f11 (хо) =0. Шундай килиб, икки
марта узлуксиз дифференциалланув-
чи функциянинг кайрилиш нукталари
факат функциянинг иккинчи тартибли
хосиласи нолга айланадиган нукта-
лардагина булиши мумкин. Масалан,
у — sinx функция учун х = 0 нукта-
да у" = 0.
Аммо шуни эслатиб утиш керакки,
f" (х) — 0 булган, лекин кайрилиш
содир булмайдиган нукталар учраши
мумкин. Бундай нукталардан утишда
иккинчи тартибли хосила ишорасини
саклайди ва функция уз кавариклиги-
ни узгартирмайди. Масалан, у = х4
функция хамма ерда пастга каварик
(8-расм), холбуки, унинг иккинчи хо-
443
силаси х = 0 да нолга тенг. Хакика-
тан хам, у" = 12х2 ва х = 0 да
у" = 0.
КАДИМГИ КЛАССИК
МАСАЛАЛАР
Кадимги юнон математиклари цир-
куль ва чизгич ёрдамида геометрик
ясашлар буйича жуда катта санъатга
эришдилар. Бирок учта масалани улар
уддалай олмадилар. Минг йиллар утди
ва факат бизнинг замонимизда, ни-
хоят, улар ечилди.
Бу масалалар куйидагилар: берил-
ган доирага тенгдош квадрат ясаш
(кискача дойра квадратураси); берил-
ган ихтиёрий бурчак ёки ёйни учта
тенгдош кисмга ажратиш (бурчак
трисекцияси) ва хажми берилган куб
хажмидан икки марта катта куб ясаш
(кубни иккилантириш).
Дойра квадратураси масаласи тари-
хи турт минг йил давом этди, квадра-
тура термини эса ечилмайдиган маса-
ла синонимига айлацди. Доиралар-
нинг ухшашлигидан айлана узунлиги-
нинг унинг диаметрига нисбати дои-
ранинг радиусига боглик булмаган
доимий катталик эканлиги келиб чи-
кади, бу катталик л харфи билан бел-
гиланади. Шундай килиб, радиуси г га
тенг дойра айланасининг узунлиги
2лг, доиранинг юзи S = лг2 (к. Айла-
на ва дойра) булганидан, доирани
квадратлаш масаласи асоси 2лг ва ба-
ландлиги г булган учбурчак ясаш ма-
саласига келтирилади. Кейин унга
тенгдош квадрат жуда осон ясалади
(К. Тенгдош ва тенг тузилган фигу-
ралар).
Шундай килиб, масала узунлиги бе-
рилган дойра айланасининг узунлиги-
га тенг кесма ясашга келтирилади.
Буни Архимед хам «Доирани улчаш»
деган асарида курсатган эди, бунда у
о 1 о Ю
л сони 3 дан кичик, 3 ур дан
катта эканини исботлайди, яъни
3,1408 < л <3,1429.
Цадимги классик масалалар
445
Х,озирги кунда ЭХМ ёрдамида л
сони миллионинчи радамгача анид-
ликда хисобланган, бу хисоб илмий
жихатдан кура купрод техник ада-
миятга эга, чунки бундай анихлик хеч
кимга керак эмас. л сонининг унта
белгиси (л «3,141592653.. ) барча ил-
мий махсадлар учун бутунлай етар-
ли. Va. да Хитойда 355/113 =
= 3,1415929... тахрибий хиймат то-
пилган булса хам узох вахт л нинг
тахрибий хиймати учун 22/7 ишла-
тилган.
Хитойликлар топган л нинг хийма-
ти XVI а. да Европада хайта кашф
хилинган. Кадимги Хиндистонда л
ни д/ 10 = 3,1622... га тенг деб дисоб-
лашган. XV асрда яшаган Урта Осиё-
лик математик Еиёсиддин Жамшид
ал-Коший узининг «Айлана хадида
рисола» номли асарида л нинг дий-
матини 17 та белги анихлигида ди-
соблаган. Француз математиги Ф. Ви-
ет 1579 й. л ни 9 та белгигача анид-
ликда хисоблаган. Голландия матема-
тиги Лудольф Ван Цейтен 1596 й. л
сони устидаги ун йиллик таддидоти-
нинг натижасини — 31 та белги анид-
лигидаги л сонини кашф этди,
л сонининг борган сари анихрок
хийматини хисоблашга дойр бу метод-
лар Архимед курсатган метод асоси-
да утказилди, унда айлана томонла-
ри сони жуда куп булган мунтазам
купбурчакка алмаштирилади (1, а-
расм). Бунда ички чизилган мунтазам
купбурчакнинг периметри айлана
узунлигидан кичик, ташди чизилган
купбурчакнинг периметри айлана
узунлигидан катта. Лекин бунда бир
савол — л сони рационал сонми, яъни
у иккита бутун соннинг нисбатидан
иборатми ёки иррационалми? деган
савол жавобсиз долади. 1767 й. не-
мис математиги И. Г. Ламберт л сони
иррационал эканини анидлади, юз
йилдан кейин, 1882 й. эса бошда не-
мис математиги Ф. Линдеман
унинг трансцендентлигини исботлади
(д. Сон), бу эса циркуль ва чизгич ёр-
Еш математик цомусий лугати
446
дамида берилган доирага тенгдош
квадрат ясаш мумкин эмаслигини
билдиради.
Албатта, дойра квадратураси маса-
ласини чизгич ва циркуль ёрдамида
такрибий ечишнинг усуллари жуда
куп топилган эди. Масалан, кадимги
Мисрда диаметри d га тенг доиранинг
юзи томони 8/9d булган квадратнинг
юзига тенг деган коида бор эди'; бу
коидагакурал = 256/81 = 3,1604....
Дойра квадратурасининг бошка
йуллари кам топилган эди: улар цир-
куль ва чизгичдан ташкари яна бошка
асбоблардан ёки махсус ясалган эгри
чизиклардан фойдаланишга асослана-
ди. Масалан, э. а. V а. да яшаган Эли-
далик юнон математиги Гиппий кашф
килган эгри чизик кейинчалик Дино-
страт квадратрисаси деб аталди (Ди-
нострат Гиппийдан анча кейин яша-
ган кадимги юнон математиги, у мана
шу эгри чизик ёрдамида дойра квад-
ратураси усулини курсатиб берган.
Шу сабабли эгри чизик Динострат
квадратрисаси деб аталган).
Динострат квадратрисаси куйидаги-
ча косил килинади. Радиуси а булган
айлана (1, б-расм) берилган бул-
син. О А радиусни О нукта — айлана
маркази атрофида л/2 бурчак тезлик
билан айлантира бошлаймиз. Бир
вактнинг узида вертикал тугри чизик-
ни а тезлик билан чапга — А нукта-
дан С нуктага текис силжитамиз.
Шунда уларнинг кесишиш нуктаси
М квадратриса чизади. Агар коорди-
ната уклари учун ОА ва ОВ тугри чи-
зиклар олинса, у колда t вакт онида
М нукта cz(1 — I) ва а(1 — t)tg~
координаталарга эга булади.
Аргумент t 1га интилганда М нукта
Р нуктага якинлашади. Бунда М нук-
танинг бир купайтувчиси нолга, ик-
кинчиси чексизликка интилади, улар-
нинг купайтмаси эса 2а/п сонига ин-
тилади, шу сабабли, ОР кесманинг
узунлиги 2а/л га тенг. Бинобарин,
AS/OP = л муносабат уринли.
Энди фараз килайлик, г радиусли
айлана берилган булсин. У колда
2лг/2г = АС/OP муносабатга эга
буламиз, унда А С, ОР ва 2г — бе-
рилган айлананинг диаметри маълум.
Шунга кура биз айлана узунлиги —
2лг га тенг кесмани ясай оламиз, бу
учта маълум кесмага пропорционал
туртинчи кесма (1, e-расм) булади.
Динострат квадратрисаси кадимги
машкур масалалардан иккинчиси —
бурчак трисекциясини кам ечиши
жуда гаройиб. Бунинг учун берилган
бурчакни учи О нуктада, томонлари-
дан бири ОА нур билан устма-уст
тушадиган килиб жойлаштириш ло-
зим (1, г-расм). Квадратриса бурчак-
нинг иккинчи томони билан кесишиш
нуктаси А дан ОА га N К перпенди-
куляр туширамиз, сунгра КА кесмани
учта тенг киемга ажратамиз. Булиниш
нукталари оркали ОА га перпендику-
лярлар утказиб, уни квадратриса би-
лан кесишгунча давом эттириб, ке-
сишиш нукталари О нукта билан ту-
таштирилса, косил булган бурчаклар
тенг булади. Бу квадратрисани ясаш
методидан келиб чикади. Ихтиёрий
бурчакни мана шунга ухшаш йул би-
лан исталганча тенг кисмларга булиш
мумкин.
Бурчак трисекцияси какидаги ма-
саланинг классик баёнида ясашни
факат циркуль ва чизгич ёрдамида
бажариш талаб этилишини эслатамиз!
1837 й. француз математиги П. Ван-
цель масала умумий куринишда ечим-
га эга эмаслигини, бурчак трисекция-
си факат бир неча махсус колда, ху-
сусан а = л/2 ва барча а = л/2"
бурчаклар учун мумкин эканини ис-7
ботлади.
.. . я а
Маълумки, cosa = 4cos -g-------
— 3cos -х- аиният уринли. Агар
О
2cosa — a, 2cos = х деб белгила-
О
сак, ушбу куб тенгламани косил ки-
ламиз: хэ— Зх—а = 0. Бурчак три-
секцияси мумкин булиши учун а нинг
Цатор
447
киймати шундай булиши керак экан-
ки, хосил килинган тенгламанинг ил-
дизлари а параметр ва бутун сонлар
оркали факат кушиш, айириш, купай-
тириш, булиш ва квадрат илдиз чика-
риш амаллари ёрдамида ифодалансин.
Хусусан, агар а = л/2, яъни а — О
булса, у_ холда илдизлари 0, + дАЗ
ва — д/ 3 булган х3 — Зх = 0 тенгла-
мани хосил киламиз.
Машхур кубни иккилантириш ха-
кидаги «Делос масаласи» хам куб
тенгламага келтирилади. Бу масала уз
номини Эгей денгизидаги Делос оро-
лидан олган. Афсоналарга кура, орол-
да яшовчилар эпидемиядан кутулиш-
лари учун уларнинг оракули (кадим-
ги делосликларнинг бош рухонийси)
куб шаклидаги мехробни икки марта
катталаштиришни буюрган. Хдкикат-
да эса бу масала хар холда, квадратни
иккилантириш масаласининг умум-
лашмаси сифатида математиклар
фикрида вужудга келган. Юзи берил-
ган квадрат юзидан икки марта кат-
та квадрат ясаш учун берилган квад-
ратнинг диагоналини утказиш (1, д-
расм) ва уни янги квадратнинг томони
учун кабул килиш кифоя.
Кубни иккилантириш масаласи ан-
чайин кийин. Агар берилган кубнинг
томонини а билан, икки хисса катта
кубнинг томонини х билан белгила-
сак, х3 = 2с3 муносабатни — яна куб
тенгламани хосил киламиз. 1837 й.
уша П. Ванцель факат циркуль ва
чизгич ёрдамида берилган кесмадан
д/2 марта катта кесма ясаш мумкин
эмаслигини исботлади, бу билан у куб-
ни иккилантириш масаласини ечиб
булмасигини тасдицлади.
Табиийки, бу масалани такрибий
ечиш методлари ва бошка асбоблар
хамда эгри чизиклар ёрдамида ечиш
усуллари мавжуд эди. Масалан, э. а.
IV а. да кадимги юнон математиклари
х3 = 2п3 тенгламанинг илдизини
х2 = ау ва у2 = 2ах (1, е-расм) ик-
кита парабола кесишиш нуктасининг
абсциссаси сифатида, шунингдек,
бошка конус кесимлари ёрдамида то-
па билганлар.
Куп асрлар давомида кадимги учта
машхур масала жуда куп буюк мате-
матикларнинг диккатини тортган.
Уларни ечиш жараёнида куплаб мате-
матик методлар тугилган ва такомил-
лашган.
КАТОР
ai, аг, «з, сонлардан тузилган
ai Ц-йг-!-ДзТ(1)
куринишдаги ифода математикада
катор дейилади, alt аг, а3 ... сонлар
эса каторнинг хадлари деб аталади.
(1) ифода охирги хадга эга эмас, хар
бир хаддан сунг доимо кейингиси
туради, (1) ифодадаги куп нукта ана
шуни билдиради (баъзан, каторнинг
«магзи» ана шу куп нуктада деб хазил
хам килишади). Шундай килиб, катор
«чексиз» йигиндидир.
Чекли сондаги кушилувчиларни
кушганда хамма вакт тайин бир сонли
натижа олинади, чексиз сондаги ку-
шилувчилар йигиндиси ни умуман айт-
ганда, на инсон, на ЭХМ хисоблай
олади, чунки катор хадларини кушиш
жараёни (таърифнинг узига кура)
хеч качон тугамайди. Шунинг учун
(1) ифода кандайдир математик сим-
вол, холос, хали унга аник бир маъно
бериш керак.
Хар бир кейинги хдди аввалгиси-
нинг ярмига тенг булган конкрет
— + — + — + — (2)
2 ф 4 + 8 16
каторни карайлик.
1-расм.
448
Еш математик цомусий лугати
Унинг битта, иккита, учта, туртта,
бешта хадлари йигиндисини х,исоб-
лайлик:
_1_
2
2 + 4 + 8
Т *" Т + Т + Тб
Т + Т’|”8+Тб + 32
~ 2 ’
_ А
~ 4 ’
7
- 8 ’
= А
16 ’
31
Бу йигиндиларнинг кийматлари мос
, 1111
равишда 1 дан -, -, -, -,
га фарк, килишини илгаш кийин
У
эмас, яъни кушилувчилар сони ош-
ганда уларнинг йириндилари учун гар-
чанд турли сон кийматларини олсак-
да, бу кийматларнинг 1 дан фарки бор-
ган сари камрок ва камрок фарк ки-
либ бораверади. 1 сонини (2) катор-
нинг йигиндиси деб аташ мантикий
булади.
Далилимизни яна куйидаги мулохд-
за билан мустахкамлаймиз. Юзаси 1
квадрат бирлик турри туртбурчакни
иккита тенгдош турри туртбурчакка
ажратамиз (1-расм). Хосил булган
турри туртбурчаклардан бирини яна
иккита тенгдош турри туртбурчакка
ажратамиз. Бу булиниш жараёнини
. 1
фикран давом эттириб, юзалари -g- ,
1 1 1
4’8’ 2"
... квадрат бирликка
тенг булган турри туртбурчакларни
оламиз. Бу барча турри туртбурчак-
ларни бирлаштирсак, дастлабки турри
туртбурчакни беради, демак, улар
юзаларининг йигиндиси хам дастлаб-
ки турри туртбурчак юзасига тенг
булиши лозим:
— + -L + — + — + =1
2 4 8 16 -
(1) каторнинг такрибан олинадиган
Si = а,
S2 = Qi 4~а2
Sn = а 1 -|- аг + + On
йириндилари унинг кисмий йирин-
дилари дейилади. Агар п чексиз ус-
ганда S„ кисмий йириндилари киймат-
лари бирор А сонга интилса, у холда
катор якинлашувчи дейилади; бунда
А сонни каторнинг йигиндиси дейи-
шади ва £21 -J- Q2 “Нз 4“ £24 -f- •• = А
деб ёзишади.
Шундай килиб, бу ёзув куйидаги
тасдикнинг киска шаклидир: п чексиз
усганда S„ нинг кийматлари А дан ис-
талганча кам фарк килиб боради, яъни
А сон S„ кетма-кетликнинг лимити-
дир, бу эса
Нт Sn — А
каби ёзилади.
Хар кандай катор учун хам унинг
кисмлари йириндилари кетма-кетлиги
тайин бир лимитга интилавермайди.
Масалан,
1 —14-1—14-- (3)
к,атор учун S„ хусусий йигиндилар
навбатма-навбат 1 ва 0 кийматларни
кабул килади:
S, = 1, S2 = 1-1 = О,
S3 = 1, S4 = 0, ...
ва п усиши билан, равшанки, хеч кан-
дай сонга чексиз якинлашмайди. S„
кисмий йириндилари кетма-кетли-
ги лимитга эга булмаган катор узок-
лашувчи дейилади. (3) катор ана
шундайдир. Узоклашувчи катор йи-
гиндига эга эмас.
Якинлашувчи каторга мисоллар:
Катор
449
10 + 100 + 1000 +
+ 10000 + (4)
'-3- + T-4 + I-<5>
£+£+!+£+• <«
(4) кагор 1 /3 сонга интилади ва бу
соннинг чексиз унли каср оркали тас-
вирини беради: 1/3 = 0,333... .(5) ва
(6) каторларнинг йигиндиси, мос
равишда л/4 ва л/6 га тенг ва л сони-
ни исталган анидликда (агар катор-
нинг етарлича куп кадлари олинса)
такрибий кисоблаш имкониятини бе-
ради.
— 1 <х< 1 шартни каноатланти-
рувчи ихтиёрий х сони учун
1 4-х 4-х2 4-х3 4-х4 4-х5 4-...
геометрик катор якинлашувчи булади
(бу каторнинг кадлари макражи х
булган геометрик прогрессия ташкил
Килади). Унинг биринчи п та кади
йигиндиси, яъни Sn КИСМИЙ йигинди
с _ 1-*п
" ~ 1 -х
га тенг ва — 1 <х< 1 шарт бажари-
либ, п чексизликка интилса, у
1/(1—х) га интилади. Бинобарин,
— 1 <х< 1 учун
1 4-х4-*2+*34-х44-- = 1/(1—х)
(7)
деб ёзиш мумкин.
Тарихан геометрик катор йигинди-
си аникланган биринчи чексиз катор
булган. Архимед (янги эрагача III а.)
параболик сегмент (тугри чизик ва па-
рабола билан чегараланган фигура)
юзасини кисоблаш масаласига мак-
ражи 1/4 булган чексиз геометрик
прогрессия йигиндисини татбик кил-
ди.'
29-4826
К,изиги шундаки, Архимеддан сунг
то XVI а. гача математика каторлар
билан шугулланмади, каторлар мате-
матикага узгарувчи жараёнларни ур-
ганиш бошлангандан кейингина ки-
риб келди. Математиклар, гарчанд
каторнинг якинлашиши тушунчаси
кали аник айтилган булмаса-да, ка-
торлар йигиндисини кисоблаш билан
шугулланишди (масалан, (5) катор
йигиндисини Г. Лейбниц, (6) катор
йигиндисини Л. Эйлер топди). Ихти-
ёрий катор йигиндига эга ва катор-
лар устида купкадлар билан кандай
арифметик амаллар бажарилса, шун-
дай амаллар бажариш мумкин, деб
кисобланарди. Баъзан бу фантастик
натижаларга кам олиб келарди, ма-
салан, 1 — 1 4- 1 — 1 4-... катор йи-
гиндиси 0 га кам, 1 га кам ва катто
-g- га кам тенг булиши мумкин, деган
натижани олишарди. Мулоказалар
тахминан мана бундай булган: 1 — 1-1-
+ 1_1+... = (i-i)-|_(I_|) _|_
4-...= 0 ёки 1 — 14-1 — 14-1... —
= (1-1)- ... = 1,
йигинди 1 /2 га тенг деган натижа эса
куйидагича косил килинарди: агар
S = 1 —1-|-1 — 1 4- — булса, у колда
1-1 + 1-1+... = 1 — (1 — 1 4-
4-1 —14-- ) тенгликдан S = 1 — S
келиб чикарди, бу ердан S —
Кейинрок бориб, п чексиз усганда
n-кади ап нолга интиладиган катор-
ларни якинлашувчи деб кисоблай
бошлашди. Агар катор якинлашувчи
булса, у колда ап нинг лимити каци-
катан кам нолга тенг, чунки ап =
= Sn—Sn —। ва п усиши билан бу
айирма нолга интилади. Бирок, шун-
дай каторлар топилдики, уларда
ап нолга интилади, бирок кисмлар
йигиндилари кетма-кетлиги чекли ли-
митга эга эмас. Масалан, гармоник
цатор шундай: 1 4- у + у 4-
450
Еш математик цомусий лугати
Кисмий йигиндилар кетма-кетлиги
лимити тушунчасига асосланган ка-
тер якинлашишининг аник, таърифи
XIX а. бошларидагина пайдо булди.
Уша вакддаёк, каторларни мунтазам
урганиш бошланди. К,аторларнинг бир
тоифаси шундай хоссага эга: улар-
нинг йигиндиси хддлар урнини алмаш-
тириш натижасида узгармайди, маса-
лан, абсолют якинлашувчи каторлар
шу тоифага тааллукли. Агар (1) катер
кадларининг абсолют кийматларидан
тузилган I fli I + I а2 I + I аз I +-
катер якинлашувчи булса, (1) катер
абсолют якинлашувчи дейилади. (2),
(4) ва (6) каторлар абсолют якинла-
шувчи, (5) катор эса абсолют якин-
лашувчи эмас. Абсолют якинлашувчи
каторларни чекли йигиндилар учун
Кулланадиган коидалар буйича ку-
шиш, айириш, купайтириш ва булиш
мумкин.
Даражали катер, яъни
a0+aix+a2x2+a3x3 + ... (8)
куринишдаги катор алокида акамият-
га эга. (8) да х нинг бир киймат куй-
ганда косил буладиган сонли катер
якинлашиши, бошка киймат куйганда
эса узоклашиши мумкин (масалан,
(7) геометрик катер — 1 <х< 1 шарт-
ни каноатлантирувчи ихтиёрий х учун
якинлашувчи, х = — 1 да эса узок-
лашувчи 1 —1 + 1 — 1 +•• каторни бе-
ради). х нинг (8) катер якинлаша-
диган барча кийматлари туплами бу
каторнинг якинлашиш сокаси дейи-
лади. Якинлашиш сокасида (8) катор-
нинг йигиндиси х га боглик, биноба-
рин, аргумент х нинг функцияси бу-
лади. Агар
ao+aix + a2x2+a3x3 + ... = f(x) (9)
булса, тенгликнинг чап томони f(x)
функциянинг чексиз даражали катор-
га ёйилмасини ифодалайди. Масалан,
(7) формула — 1 <х < 1 да 1/(1 —х)
функциянинг чексиз даражасининг
каторга ёйилмасини беради.
Функцияларни даражали каторлар
ёрдамида тасвирлаш гояси И. Нью-
тонга мансуб. У купгина функция-
ларнинг ёйилмасини топган, масалан:
х3 , Xs
Sinx X Ь2.з + 1.2.3-4.5
1-2-3-4-5-6-7
(Ю)
(бу ерда х — бурчакнинг радиан ул-
чови) , бу катер ихтиёрий х учун якин-
лашувчи, каттоки абсолют якинла-
шувчидир.
Агар f(x) функциянинг даражали
каторга ёйилмасида бир нечта бирин-
чи кадлар билан чеклансак, у колда
функциянинг такрибий тасвирини
оламиз. К,атор кадларини (кушилув-
чиларни) канча куп олсак, бу тасвир
шунчалик аник булади. Масалан,
х3
Sinx XX-----уг
о
такрибий формуланинг унг томони —
(10) формуланинг биринчи иккита ка-
ди, бу формула 0<х<0,59 тенгсиз-
ликларни каноатлантирувчи барча
х лар учун sinx кийматларини 0,0005
дан кам хатолик билан беради,
0<х<0,59 га градус улчовида
0°<х<32°38' бурчаклар мос келади.
6°33‘ дан кичик барча мусбат х лар
учун 0,0005 гача аникликда sinxxx
деб хисоблаш мумкин.
Функцияларни чексиз каторлар би-
лан тасвирлашнинг турли усуллари
мавжуд, масалан, даврий жараёнлар
каралаётганда тригонометрик катор-
лардан, яъни
а0+atsinx + b i cosx+a2si п2х +
-\-b2cos2x
куринишдаги каторлардан фойдала-
нишади.
Юкорида каралган хамма каторлар
учун хадлар косил булишининг конуни
туда аникланган ва очик-ойдин экан-
лигини айтиб утамиз. Одатда, катер
узининг n-кади а„ нинг формуласи ор-
кали берилади, уни каторнинг уму-
мий кади дейишади. Бу формуладан п
нинг урнига тайин бир сонни — катер
Катор
451
хддининг номерини куйиб, шу номерга
эга булган кушилувчини топишади.
Масалан, (2) каторнинг умумий хади
ап = 1/2" куринишга эга ва бундан
щ = 1/2, а2 = 1/22 = у ,
а3 = 1 /23 = 4- ва х- к- экани осон-
О
ликча топилади. (3) катор учун уму-
мий хад ап = ( — 1)"“1 каби ифода-
ланади. Йигиндини кискача ёзиш учун
£ (юнон харфи «сигма», «сумма» су-
зининг бош харфи) символ ишлати-
n
лади. £ символи («л буйича 1 дан
п = т
N гача йиринди» деб укилади) п кет-
ма-кет т дан N гача натурал киймат-
лар кабул килиб чикканда хосил бу-
ладиган барча кушилувчилар йирин-
дисини билдиради, масалан,
5 1 11
J=2 (п-1)п = Ь2 + 2^3 +
n=i 2” 2 + 22 + 23 + "
£ ап = ai-\-az-\- ,..-\-aN .
п— I
каторнинг хамма хадларини хосил
килиш учун «йиринди» символининг
юкори индекси чексизлик белгиси
оо билан алмаштирилади:
й1 Н-аг + аз + ••• = Г
П= 1
Шундай килиб, куйидагича ёзиш мум-
кин:
—+ —+ —+- = Е —=!>
2 4 8 т „=1 2"
1-1 + 1-1+- = £ (-О""'
п = 1
+ 3-4 + 4-5 ’
эса маънога эга эмас.
452
Еш математик цомусий лугати
X,
хджм
Х,ажм — геометрик жисмнинг улча-
мини ифодаловчи катталик. Кунда-
лик хаётимизда турли жисмларнинг
улчамини анидлашга дуч келамиз. Ма-
салан, яшик, кути хажмини аникдаш
керак. Уни хисоблаш кийин эмас.
Тугри бурчакли параллелепипеднинг
хажми буйи, эни ва баландлиги кат-
таликлари купайтмаси каби топи-
лади. Бу улчамларнинг хаммаси айни
бир чизикли бирликда (масалан, см
ларда) ифодаланган булиши керак.
Формулани билмайдиган бола ку-
тининг хажмини улчашга соф амалий
йул — кути ичига зич килиб кирраси
бир сантиметрли кублар жойлашти-
риб чикиш билан хам эришиши мум-
кин. Кублар сони кутининг хажмини
куб сантиметрларда ифодалайди. Бу
усул асосида ушбу коида ётади: узаро
кесишмайдиган жисмлардан тузил-
ган жисмнинг хажми уша жисмлар
хажмларининг йигиндисига тенг.
Турмуш тажрибасида сочилувчан
ва суюк жисмларни саклашда ишла-
тиладиган сигим улчами хажм бирли-
ги вазифасини утаган. Улар орасида
инглиз улчови бушель (36,4 дм3) ва
галлон (4,5 дм3), Россияда качонлар-
дир ишлатилган челак (12 дм3) ва боч-
ка (490 дм3) ва б. улчовлар бор.
Жисмларнинг хажмларини хисоб-
лаш имконини берувчи формулалар-
ни топишга жуда узок вакт кетди.
Масалан, кадимги Миер папируслари
ва Бобил миххати жадвалларида ке-
сик пирамиданинг хажмини хисоблаш
коидаси учрайди, аммо тулик пирами-
данинг хажмини хисоблаш хакида
маълумот йук. Юнонлар Архимедга-
ча хам призма, пирамида, цилиндр ва
конуснинг хажмини топа билишган.
Аммо, Архимед ихтиёрий юза ва
хажмни аниклаш мумкин булган уму-
мий методни топган. Архимед гояла-
ри интеграл хисобнинг асосини таш-
кил этган. Архимед эса уз методи ёр-
дамида кухна математикада урганил-
ган деярли хамма жисмларнинг юза-
лари ва хажмларини аниклади. У шар-
нинг хажми унга ташки чизилган ци-
линдр хажмининг учдан иккисига тенг
эканини келтириб чикарди. У бу каш-
фиётини узининг энг катта ютуги деб
билган эди (к. Ички ва ташк,и чизил-
ган фигуралар).
Агар жиемни кисмларга ажратиб,
сунгра улар бошкачарок бирлашти-
рилса, у холда хосил булган янги
жисмнинг хажми дастлабки жисм-
нинг хажмига тенг булади (к. Тенг-
дош ва тенг тузилган фигуралар).
Турли жисмларнинг хажмлари учун
формула излаганда мана шу коида-
дан фойдаланилади. Масалан, огма
параллелепипедни бирлаштиришдан
кейин тугри параллелепипед хосил бу-
ладиган кисмларга ажратиш мумкин.
Бундан огма параллелепипеднинг
хажми асосининг юзини баландлиги-
га купайтмасига тенг экани келиб
чикади.
Х,ажмларни хисоблашда Кавальери
принципини хам куллашади. Бунда
иккита жисм каралади. Улар берил-
ган текисликка параллел ва ундан ба-
равар узокликдаги текисликлар билан
кесилади. Агар хар сафар хосил була-
диган кесимларнинг юзалари тенг бул-
са, у холда бу иккала жисмнинг хажм-
лари хам тенг булади. Бу принцип
асосида призма ва шарнинг хажми
учун формула чикариш кийин эмас.
Мураккаб жисмларнинг хажмлари-
ни уларнинг ичига соддарок жисмлар
ясаб топиш мумкин. Масалан, пира-
миданинг хажмини хисоблаш учун
унинг ичига призмачалар тахлаб чи-
килади ва уларнинг умумий хажми хи-
собланади, сунгра баландлиги кичик-
рок призмалар тахланади ва уларнинг
умумий хажми топилади. Бу амални
куп марта такрорлаб, пирамида ичига
Еш математик цомусий лугати
454
тахланадиган призмаларнинг баланд-
ликларини нолга интилтириш йули
билан лимитда пирамида дажми учун
маълум формула досил килинади. Ци-
линдрнинг дажмини дам шунга ух-
шаш усулда анидлаш мумкин. Бунда
цилиндр ичига асослари куп бурчак-
лардан иборат призмалар чизилади ва
бу куп бурчакларнинг томонлари чек-
сиз орттириб борилади. Конуснинг
асосига ушандай ички куп бурчаклар
чизиб ва уларни конусга ички чизил-
ган пирамидаларнинг асоси деб да-
раб, конус дажмини дам анидлаш
дийин эас.
Жисмлар дажмларини топишнинг
янада умумийрод методи интеграл э$и-
собца берилади.
ДИСОБЛАШ ТЕХНИКАСИ
«Хисоблаш техникаси» деганда ин-
формацияни дайта ишлаш (дисоб-
лашлар) билан боглид сермеднат ма-
салаларни еишни осонлаштириш ва
тезлатиш учун дулланадиган техник
системалар, яъни дисоблаш машина-
лари дамда математик воситалар,
усуллар дамда доидалар мажмуи ту-
шунилади. Хисоблаш машиналарини
яратиш ва ищлатиш билан шугулла-
нувчи техника содаси дам «дисоблаш
техникаси» дейилади.
Замонавий дисоблаш машиналари
ёки компьютер (инглизча compute —
дисоблаш, санаш сузидан) ларнинг
асосий иш дисмлари электрон дурил-
маларда бажарилади. Шу туфайли,
улар электрон дисоблаш машиналари
еки дисдача ЭХМ дейилади.
Информацияни тасвирлаш усулига
дараб дисоблаш машиналари уч гу-
рудга булинади:
— аналог дисоблаш машиналари
(АХМ). Уларда информация узлуксиз
узгарувчи булиб, бирор физик катта-
лик (мае., ток кучи) билан ифодала-
нади;
— радамли дисоблаш машиналари
(РХМ). Уларда -информация дискрет
кийматли узгарувчи (сон) лар билан
тасвирланиб, бирор физик катталик-
нинг дискрет кийматлари (мае.,
электр импульслари) комбинациялари
билан ифодаланади;
— гибрид дисоблаш машиналари;
уларда информацияни тасвирлашнинг
юдоридаги дар икки усулидан фой-
даланилади.
Информацияни тасвирлашнинг бу
усулларидан дар бири уз афзаллик
ва камчиликларига эга. РХМ лар куп
тардалганлигининг сабаби шундаки,
уларда олинадиган натижаларнинг
анидлиги, принцип жидатидан, ду-
рилмаларнинг ясалиши анидлигигд
боглид эмас. Дастлабки аналог дисоб-
лаш воситаси — логарифмик чизгич-
нинг фадат XVII аерга келиб пайдо
булгани, дисоблашни енгиллаштирув-
чи энг кудна радамли воситалар эса
одамнинг дули ва тошлар булгани
дам шу билан изодланади. Бармодлар
билан кисоблаш натижасида бешлик
ва унлик саноц системалари пайдо
булди.
Кертилган пона ва тугунли ардон-
лар дисоб учун кейинрод топилган
ихтиролар эди. Хисоб-китоб учун мах-
сус яратилган энг биринчи мослама
абакдир, ундан дисоблаш техникаси-
нинг ривожланиш даври бошланади.
Эрамиздан анча олдин Кддимги Миер
ва Юнонистонда маълум булган абак
воситасида дисоблаш то XV—XVII а.
гача садланди. Бу даврга келиб ёзма
дисоблашлар абакнинг урнйни эгал-
лади. Абак асосан дисоблашларни
осонлаштириш учун эмас, асосан ора-
лид натижаларнц ёдда тутиш учун
хизмат килган. Абакнинг бир неча
тури маълум: юнон (миср) абаки
чизидлар утказилган тахта куриниши-
да булиб, чизидлар досил дилган ус-
тунларга тошлар терилган; рим абаки-
да тошчалар тадтадаги новларда су-
рила олган; Хитойда (номи суан-пан)
ва Японияда (соробан) таёдчаларга
соддалар тизилган; дисоблаш жадвал-
ларида эса бирлик, унлик, юзлик ва б.
ни ёзиш учун горизонтал чизидлар,
алодида душилувчилар ёки купайтув-
чиларни ёзиш учун эса вертикал чи-
зиклар утказилган. Бу чизикларга
япалок предметлар терилган (турт-
тагача). Рус абаки — чут XVI—
XVII а. да пайдо булиб, у хозиргача
ишлатиб келинади. Абаклар ичида
рус чутининг алохида тутган урни
шундаки, бошка абаклар бешли са-
нок системасига асосланган булса,
чут унли санок системасига асослан-
ган. Абак ихтирочиларининг асосий
хизмати — сонларни тасвирлашнинг
позицион системасини яратишда.
Х,исоблаш техникасининг тарак-
киётидаги кейинги мухим кадам жам-
ловчи машиналар ва арифмометр яра-
тилиши булди. Бундай машиналар
бир-биридан мустакил тарзда бир не-
ча ихтирочи томонидан ясалган.
Итальян олими Леонардо да Винчи
(1452—1519) кулёзмаларида 13 хона-
ли жамлаш машинасининг хомаки
лойихаси учрайди. Бошка 6 хонали
машинани немис олими В. Шиккард
(1592—1636) ишлаб чикди ва 1623 й.
да бу машина курилди. Бирок бу их-
тиролар то XX а. урталаригача номаъ-
лум колиб, хисоблаш техникасининг
тараккиётига хеч кандай таъсир кур-
сатмади.
Бундан 300 йиллар аввал биринчи
жамловчи (8 ракамли) машинани
Б. Паскаль 1641 й. да лойихалаб,
1645 й. да курган деб хисобланади.
У уз машинасини «серияли ишлаб чи-
каришга» хам муваффак булган. Пас-
каль машиналаридан бир неча нусха-
си бизнинг кунларгача сакланган. Бу
механик машиналар кушиш ва айи-
риш, кайта-кайта кушиш (айириш)
йули билан купайтириш (булиш) ни
бажаришга имкон берган.
Жамловчи машиналарнинг ихтиро-
чилари биринчи булиб сонларни тас-
вирлашда хисоб гилдиракчаларининг
бурилиш бурчагидан фойдаланиш
гоясини амалга оширдилар: 0 дан 9 га-
ча хар бир сонга уз бурчаги мос куйил-
ди. Яна бир гоя — ракамларни куш-
гавда хосил буладиган унликларни
юкори хонага кучириш гоясини амал-
га оширишда Паскаль маълум тусик-
ка дуч келди: у топган механизм ун-
ликларни кучириш хисоб гилдиракла-
рини айлантирганда факат бир йуна-
лишда ишлар эди, бу эса гилдирак-
ларни тескари томонга айлантириб
айиришни бажаришга имкон бермас-
ди. Бу холатдан чикишнинг Паскаль
топган содда, лекин мохирона йули
шу кадар унгай эдики, у хозирги
ЭХМ ларда хам кулланади: Паскаль
айиришни айрилувчининг тулдирма-
сини кушиш билан алмаштирди. Пас-
каль унли санок системасида ишлай-
диган 8 хонали машинаси учун А со-
нининг тулдирмаси (100 000 000 — Л)
булади, шунинг учун В—А айириш
амали кушишга келтирилади:
В+ (100 000 000 —Л) =
= 100 000 000+ (В—Л>
Хосил килинадиган сон изланган
айирмадан 100 000 000 га ортик бу-
лади, лекин машина 8 хонали булгани
учун туккизинчи хонадаги бирлик сак-
457
Хисоблаш техникаси
Электрон хисоблаш машиналари авлодларининг тафсилоти
ЭХ.М авлоди I II HI I
Даврларнннг хронологик чегаралари 50-й. боши — 50-й. Уртаси 50-й. охири — 60-й. охирн — 70-й. уртасн 60-й. уртаси 70-й боши
Процессорларнинг элемент ба заем: процессорлар Вакуум лампалар Яримутказгичли Интеграл схемалар Катта интеграл траизисторлар • схемалар
оператив хотира курилмалари (ОХЮ Симоб чизиклари тутилншн, элек- трон-иурли труб- калар Феррит узаклар Феррит ^заклар
У ну м дор лик (секундига опера- циялар сонм) 10* 10“ 10' 10“
ОХ, К нинг сигами (иккилик хон ал ар — битлар) 10* 10“ 10’ 0,5-10“
Ута оператив хотира кури л мае и сигими (бит) И 0.5-10“ 10“ 0,5-10“
Программали таъминот, програм- малаш тили Машина тилн. стан- дарт программалар ку чубхонаси Кушимча: юкори Кушимча: топши- Кушимча: процеду- даражали тиллар, рикларни бошка- радан ташкари тил- бу тиллар учун риш тилларн, one- лар, программалар т рисляторлар рацион система- генера торлари, реал лар, амалий про- ва кг операцией сис- раммалар пакет- тем аларн ларн
Программ аларн и бажаришда па- раллеллик Командаларни соф кетма-кет бажариш Командаларни бнр Параллель: бир пайт- оз устма-уст туши- Ком андаларин кис- да маълумотларнинг риб бажариш: нав- май устма-уст ту- бир неча 1урухи ус- батдаги команда- ширишни, кири- гида бир неча коман- ни бажариш аваал- тиш-чикарнш би- да бажариладн гиси тугамай бош- лан бир пайтда ба- ланади жариш
Фонда ла ниш режими Монопол (ягона процессорда битта масала ечнлади) ечиш жараёнини фойдалаиувчи бош- ка ради Монопол, ечнш жа- Пакетли, коллек- Куп процессорлар- раёнини оператор- тив (бир пайтда да бир масала (на- ходим бошкаради бир неча масала раллель) ечилнши ечиш жараёинда мумкин, масаланииг булади), масала- машинадан ^тишинн ларнинг машина- махсус машина — дан 5)тншини one- «сургич» бажаради рацион система бошкарадн
Ишлаб чикариш Якка тартибда Серияли Мутаноснб маши- Хисоблаш комп- налар сернясн лексларн
Кулланиш сохалари Илмий хнеоблар Кушимча: техника- Кушнмча: иктисо- Кушнмча: йдеик снс- вий хисоблар дий хнеоблар темаларнн реал вакт- да бошкарнш
Типик вакили: ватанимиз ЭХ.М хорижий ЭХ,М БЭСМ ИБМ-701 БЭСМ-4 ЕС-1060 «Эльбрус» ИБМ-7090 ИБМ-370/ 75 КРЕЙ-1
кизинчи хона унликларини кучирган-
да уз-узидан йуколади. Турт ариф-
метик амалнинг хаммасини бажарув-
чи дунёдаги биринчи ариифмометрнинг
дастлабки нусхааси 1673 й. да
Г. В. Лейбниц томонидан яратилган.
У узининг «арифметик ускунаси» ус-
тида салкам хирх йил ишлаган.
XVIII—XIX а. да механик арифмо-
метрларни, сунг электр токидан фой-
даланувчи арифмометрларни тако-
миллаштиириш давом этди. Бундай та-
комиллаштириш соф механик усулда
булиб, электроника пайдо булгач уз
ахамиятини йухотди.
Фахат инглиз олими Ч. Беббиж
(1791—1871) нинг айирмали (1822)
ва аналитик (1830) лойиха машина-
лари бундан мустасно.
Еш математик цомусий лугати
458
Беббиж анчагина янгиликлар кал-
ган.
Айирмали машина купх,адларни
жадваллаштиришга мулжалланган ва
козирги нуктаи назардан тайин (уз-
гармас) программали махсус хисоб-
лаш машинасидир. У «хотира» га эга
булган: бир неча регистр сонларни
саклаб туришга ажратилган; кунги-
рокди санок мосламасига эга бул-
ган; аввалдан берилган микдордаги
хисоблаш кадамидан сунг кунгирок
чалинган; ёзув курилмаси хам булган:
натижалар когозга босилган ва бу жа-
раён кейинги кадамдаги хисоблаш би-
лан бир пайтда бажарилган.
Айирмали машина устида ишлаш
давомида Беббижда берилган про-
грамма буйича хилма-хил илмий ва
техник кисоблашларни автоматик
тарзда бажарувчи ракамли машина
яратиш гояси тугилди. Унинг томони-
Хисоблаш техникаси
дан аналитик машина деб аталган бу
курилманинг лойихаси кишини шу би-
лан х,айратга соладики, унда хозирги
ЭХМ ларнинг барча асосий курилма-
лари х,амда унда ечиш мумкин бул-
ган масалалар доираси тугри башорат
килинган.
Беббижнинг аналитик машинаси уз
ичига куйидаги курилмаларни олиши
лозим эди:
«омбор» — ракамли информацияни
сакловчи курилма (козир у эслаб ко-
лиш курилмаси ёки хотира дейила-
ди);
«фабрика» — «омбор» дан олинган
сонлар устида амаллар бажарувчи
курилма (хозирда — арифметик ку-
рил ма) ;
Беббиж ном топмаган, машина иш
тартибини бошка риб турувчи курил-
ма (хозирги бошкарув курилмаси);
информацияни киритиш ва чика-
риш курилмаси.
Информацияни киритиш ва чика-
ришда Беббиж тешикли карточкалар
(перфокарталар) дан фойдаланишни
мулжаллаган. Бундай перфокарталар-
ни француз тукувчиси ва механиги
Ж. М. Жаккар (1752—1834) тукув
машинасини бошкаришда куллаган
эди. Беббиж машинага функция кий-
матларининг жадвалини киритишда
уларни аргумент кийматлари билан
солиштириб назорат килишни кузда
тутган.
Чикариладиган информация когоз-
га босилиши ёки перфокартага уйи-
лиши мумкин булган. Бу эса зарур
булганда уларни яна кайта машинага
киритишга имкон берган.
Беббиж, шунингдек, хисоблаш жа-
раёнини программа йули билан бош-
кариш гоясини ва бунинг учун махсус
команда (хозирги ЭХМ нинг шартли
утиш командасига ухшаш) таклиф эт-
ди: программани икки хил мумкин
булган давомидан кай бирини тан-
лашни машинанинг узи (бирор хисоб-
ланувчи микдорнинг ишорасига ка-
раб) бажарган.
Беббиж яна хозирги барча ЭХМ
ларда мавжуд булган операциялар со-
459
нини курсатувчи хисоблагични хам
кузда тутган.
Шундай килиб, Беббижнинг анали-
тик машинаси жахондаги биринчи
программали бошкарилувчи хисоблаш
машинаси булган. Бу машина учун
дунёда биринчи программалар хам ту-
зилган, биринчи программачи эса инг-
лиз шоири Ж. Байроннинг кизи Ав-
густа Ада Лавлейс (1815—1852) бул-
ган эди. Унинг шарафига хозирги
программалаштириш тилларидан би-
ри «Ада» деб аталган.
Хозирги ЭХМ лар уз тузилишига
кура Беббижнинг аналитик машина-
сига жуда якин, лекин ундан (ва барча
арифмометрлардан) фаркли хисоб-
лашларни олиб боришнинг бутунлай
бошка принципи — иккилик санок
системасига асосланади.
Иккилик принципи амалда электро-
магнит реле — элемент ёрдамида ба-
жарилади; у икки холатдан бирида
буладиган ва ташки электр сигнали
таъсирида бир холатдан бошкасига
ута оладиган элементдир.
Агар электромеханик арифмометр-
ларда электрнинг факат энергетик
хоссаларидан фойдаланилган булса,
реле асосида курилган машиналарда
эса электр хисоблаш жараёнининг
энг мухим ва бевосита иштирокчиси-
дир.
Электромагнит реле кулланган би-
ринчи хисоблаш машинаси 1888 й. да
америкалик Г. Холлерит (1860—1929,
келиб чикиши немис) томонидан ку-
рилган ва 1890 йилдаёк АКШ ахоли-
сини руйхатга олишда кулланган. Та-
булятор деб аталган бу машина уз
таркибида реле, санокчи ва сортиров-
ка (ажратиш) кУтисига эга булган.
Маълумотлар тешиш йули билан хо-
зиргидан деярли фарк килмайдиган
перфокарталарга туширилган. Перфо-
карта машинадан утганда тешилган
позиция бор жойда электр занжири
уланиб, мос санагичларга бир бирлик
кушилган, шундан сунг перфокарта
сортировка кутисининг маълум була-
гига туширилган.
Еш математик цомусий лугати
460
Табулятор ва бошка санок-перфо-
рацион техниканинг тараккиёти асри-
мизнинг 30-й. охири — 40-й. бошига
келиб программали бошкарилувчи
универсал хисоблаш машиналари ку-
ришга имкон берди. Уларнинг асосий
хисобловчи элементлари (хозирги
терминология буйича — элементлар
базаси) электромеханик релелар
эди.
Электрон машиналар пайдо були-
шига карамай реле асосидаги маши-
налардан анча узок фойдаланиб ке-
линди. Хусусан, совет инженери
Н. И. Бессонов ясаган РВМ-1 маши-
нам то 1965 й. гача ишлади. Бирок, ре-
ле асосидаги машиналар электрон хи-
соблаш машиналари билан узок рако-
бат кила олмасди, чунки энди маши-
нанинг пухталиги ва тезкорлигига та-
лаблар ортиб кетди.
Электрон хисоблаш машиналари-
нинг дастлабки лойихалари релели
машиналар лойидаларидан бир оз
кейин вужудга кедци, чунки уларни
куриш учун зарур ихтиролар асримиз-
нинг 20-й. охирига келиб кашф этила
борди: 1904 й. да икки электродли
лампа — диод; 1906 й. да уч электрод-
ли лампа — триод; 1918 й. да эса —
электрон реле (лампали триггер) пай-
до булди.
АК.Ш нинг Пенсильвания универси-
тетида ишлаб чикилган ЭНИАК
(электрон сонли интегратор ва хисоб-
лагич) машинаси биринчи электрон
Хисоблаш машинаси деб кабул килин-
ган. ЭНИАК 1945 й. да курилган, у ав-
томатик программали бошкарувга эга
булган, лекин командаларни саклаш
учун ички хотира курилмаси булма-
ган.
Х,озирги машиналарнинг барча ком-
понентларига эга булган биринчи ма-
шина 1949 й. да Кембриж университе-
тида курилган Англиянинг ЭДСАК
машинаси булди. Унда биринчи булиб
1945—46 йилларда америкалик мате-
матик Ж. Нейман (1903—1957, келиб
чикиши Венгриядан) таърифлаган
«сакланувчи программа» принципи
амалга оширилган.
Шу принцип билан туларок таниша-
миз.
Бу принцип куйидагича: команда-
лар ва сонларнинг машинада тасвир-
ланиш шакли бир хил (иккилик кодда
ёзилади);
сонлар хам айни программа сакла-
надиган хотира курилмасига жойла-
нади;
программанинг командалари сонли
шаклда ёзилгани туфайли машина ко-
мандалар устида хам амал бажара
олади.
Мамлакатимиздаги биринчи ЭХ.М
совет олими академик С. А. Лебедев
(1902—-1974) рахбарлигида 1947—
1951 й. да ишланган кичик электрон
санок машинаси (МЭСМ) эди. Совет
хисоблаш техникасининг кейинги та-
раккиёти С. А. Лебедев номи билан
боглик-
МЭСМ жами 12 команда бажарган,
номинал тезкорлиги — секундига 50
операция. Триггерлардан тузилган
оператив хотираси 31 та ун етти хона-
ли иккилик сон ва 64 та йигирма хона-
ли командани саклай олган. Бундан
ташкари, ташки хотира курилмасига
эга булган.
Шуниси кизикки, МЭСМ нинг опе-
ратив хотирасида сонлар ва команда-
ларнинг алохида сакданиши Нейман-
нинг программа саклаш принципига
зид. Х,олбуки, ЭХ.М конструкциялари
куп йиллар давомида бу принципга
асосланиб келди. Энг замонавий ЭХ.М
ларда яна бу принципдан чекиниш
кузатилмокда, хусусан, программа ко-
мандалари кодларини тасвирловчи
катталиклар устида операциялар ут-
казишга хожат колмаяпти.
Электрон хисоблаш машиналар та-
раккиётининг ЭНИАК, ЭДСАК,
МЭСМ дан бошланиб хозирги кунда
давом этаётган тарихида одатда турт
давр ажратилади ва хар бир даврга
ЭХ.М ларнинг узига хос авлоди мос ке-
лади. Бу даврлар турли белгиларга ка-
раб ажратилиши мумкин, шу сабабли
купинча тайин машина кайси авлодга
тегишли булишини курсатиш кийин-
чилик тугдиради. Бундай авлодлар-
Хисоблаш техникаси
нинг уртача характеристикалари жад-
валда келтирилган.
Ватанимизнинг БЭСМ-6 машинаси
(бош конструктор — С. А. Лебедев)
мисолида машина авлодини аник, кур-
сатиш накддар кийинлигини курамиз.
БЭСМ-6 ни яратиш 1966 й. да тугал-
ланган; элементлар базаси — яримут-
казгичли транзисторлар; унумдорли-
ги — секундига 106 операция, опера-
тив хотира курилмаси (ОХК) нинг
сигими — 106 бит. Бу белгилар буйича
у иккинчи авлодга мансуб, бошка бел-
гилар буйича эса учинчи авлод санала-
ди. Баъзан ЭХМ лар синфлар буйича
хам таксимланади, масалан, мини-
ЭХМ, кичик, урта, катта ва супер-
ЭХМлар.
«Электроника ДЗ-28» машинаси
мини — ЭХМга мисол була олади.
Унинг ОХК, сигими — 2 • 105 бит атро-
фида, тезкорлиги — секундига 103
операция.
«Эльбрус» — куп процессорли хи-
соблаш комплекси (КХК) (бош конс-
труктори — В. С. Бурцев) супер ЭХМ
га мисол була олади. ОХК, нинг сиги-
ми 108 бит, тезкорлиги — секундига
1,2-108 гача операция.
Хозир мавжуд ва яратилаётган
ЭХМ ларнинг купчилиги хисоблаш
куввати жихатидан кенг диапазонли
машиналар системалари (оилалари)-
ни ташкил этади. Масалан, ЭХМ лар-
нинг Ягона Системаси (ЭХМ ЯС)
учун унумдорлик кичик машиналар
учун секундига 104 операциядан тор-
тиб, катта машиналар учун секундига
2-106 операциягача етади, ОХК, нинг
сигими эса 2,5’105 битдан то 6-106
битгача.
Бир системага мансуб машиналар
учун программалари ва маълум дара-
жада хар хил аппаратлари куйидан
юкорига мос тушиш хоссасига эга.
Программаларнинг куйидан юкорига
мос тушиши деганда кичик машинада
бажарилган программа хеч бир узга-
ришсиз юкоридаги машинада хам ба-
жарилиши мумкинлиги тушунилади,
бунда албатта хисоб натижалари хам
бир хил булиши лозим.
461
ЭХМлар кичик оилалари
ОХМКО) кенг таркалмокда. Улар-
нинг тезкорлиги 1 секундда 3 • 106 гача
операция, ОХК нинг сигими —
1,5 107 бит гача. ЭХМ КО лари кулла-
ниши жихатидан универсал; жорий
килинадиган асосий сохалар — техно-
логия объектлари ва жараёнларини
автоматлаштириш, илмий тажриба-
ларни ва синов ускуналарини, лойиха-
конструкторлик ишларини автомат-
лаштириш.
МАСАЛАЛАР
10-масала. Кунлардан бир кун муш-
кетёр дустлар Атос, Портос, Арамис
ва Д’Артаньян дам олиш дакикалари-
да аркон тортиш уйини билан кунгил
ёзишга келишишди. Портос Д Арта-
ньян билан Атос ва Арамисни осонги-
на енгди. Лекин Портос Атос билан
шерик булганда Арамис ва Д Арта-
ньян устидан галабани осонликча кул-
га киритмади. Портос Арамис билан,
Атос эса Д Артаньян билан шерик
булганда эса, у тараф хам, бу тараф
Хам енга олмади.
Мушкетёрлар кучи буйича кандай
уринда эканликларини аникланг.
11-масала. Икки укувчи 3X3 улчовли
тахтада куйидаги коида билан «плюс-
лар-ноллар» чизиш уйинини уйнаш-
мокда: хар ким узининг юриш навба-
тида бир катакка ё плюс, ёки ноль чи-
зиши мумкин. Ким биринчи булиб бир
каторга учта бир хил белги куя олса,
уша ютади. Бу уйинда ким доим юта
олади — биринчи булиб ютган уйин-
чими, иккинчи юрганми? Кандай ки-
либ?
12-масала. Менинг Баходир деган та-
нишим бир кун шундай деб колди:
«Аввалги куни мен 10 ёшда эдим, ке-
ласи йил эса мен 13 ёшга туламан».
Шунака булиши мумкинми?
462
Еш математик цомусий лугати
МАЪЛУМОТНОМА
Купайтувчиларга ажратиш
Элементар математиканинг асосий
формулалари
Арифметика ва алгебра
Пропорциялар
а с
= пропорцияда а ва а сон-
лари четки х,аддар, b ва с сонлари урта
хадлар дейилади. Пропорциянинг
асосий хоссаси: четки хадлар купайт-
маси урта хддлар купайтмасига тенг,
яъни ad = be.
Хосила пропорциялар:
а с а+с а + Ь c±d
b d b±d' а с
а сонининг бир процента ,
о/ а
унинг р% эса-у^- р.
Дара жал ар устида амаллар
(а-Ь-с)" = ап-Ьп-сп, =
b Ьп
ат-ап=ат+п, — = ат~п а0 = 1
ат
— = а~п (ат)п = атп.
Илдизлар билан амаллар
(илдизлар арифметик деб хдеобла-
нади, яъни биринчидан, илдиз ости-
даги ифода 2^0, иккинчидан, ил-
диз + ишора билан олинади).
а2 — Ь2 = (а + й) (а — Ь) (квадратлар
айирмаси)
an±bn = (a + b)[an~-+an~2b±:
±...( + 1У^Ьп~{ ],
хусусан,
a3 + b3 = (a + b) (a2—ab + b2) (куб-
лар йигиндиси),
а3 — Ь3 = (а — b) (a2-\-ab-\-b2) (куб-
лар айирмаси)
Квадрат тенгламалар
. x2-\-px-\-q = 0 тенглама
Х1.2 =----± у! — q формула
билан ечилади.
ах2-\-Ьх-\-с = 0 тенглама
— b ± л! Ь2 — Ьас ,
xi)2 =---------------- формула
билан ечилади.
Агар x2-\-px-\-q = 0 тенгламанинг
илдизлари х 1 ва х2 булса, х i х2 = — р
ва xix2 = q.
x2-\-px-\-q = (х—xi) (х—х2), бунда,
xi ва х2 сонлари х2 -|-рх-|-<7 = 0
тенгламанинг илдизлари. ах2 + Ьх + с =
= а(х—xi)(x—х2), бундаxi вах2 сон-
лари ах2 + Ьх 4- с = 0 тенгламанинг
илдизлари.
Прогрессиялар
т т
т
at — арифметик прогрессиянинг би-
ринчи хдди, ап — п-\ади,
d — айирмаси;
Hi — геометрик прогрессиянинг би-
ринчи хади, ип — п-хади,
q — махражи;
Sn — прогрессиянинг п та хади йи-
гиндиси, S — чексиз камаювчи гео-
метрик прогрессиянинг йигиндиси:
Маълумотнома
463
ап — сц Ц-d(п — 1), S„ =------,
_ [2ai4-d(n— l)]n
— 2
ип = Uiqn~l, S„ = ,
*n~ q-1 ’
S = ^-, -1</7<1-
1-9
Логарифмлар
(W>0, a>0 ва а=И=1)
loga N = x ёзуви ax = N ^зувига
тенг кучли, шунинг учун а ° = N.
Логарифмлаш:
log0a — 1, loga\ = О,
toga (MN) = logaM + logaN,
1оЁч-^ = lOgaM —logaN,
logaNm = mlogaN, loga -уГ^ =
- -- logaN.
m
Белгилашлар: logioN = IgN,
pm = l-2...-m = т! (урин алмаш-
тиришлар) ;
п _ Aon _ mH —!) - (m —п+1)
Рп~~ 1 • 2... • п
(комбинациялар).
Ньютон (Хайём) биноми
(х + a)m = Хт + ...
... Сктхт - kak 4-... + - 'хат "' + ат,
хусусан,
(хЦ-а)2 = х2 + 2хаА-а2 (йигинди-
нинг квадрати);
(х — а)2 = х2 —2хаЦ-а2 (айирманинг
квадрати);
(х-|-а)3 = х2 + Зх2а + Зха2 + а3) (йи-
гиндининг куби);
(х — а)3 = х3 — Зх2а-|-Зха2—а3
(айирманинг куби).
Биномиал коэффициентлар (Сщ)нинг
хоссалари:
+ (-1Г = 0,
с” = с^-п 4- cnm+l = а+1.
logeN — In N (бу ерда
Урта кийматлар
e = lim (I + -)" =2,718281828...).
П—»-co tl
Бир асосдан бошка асосга утиш фор-
мулалари:
, 1 , д, l°gbN
lr":’“ = T^b' ,og"N = T5^
(сунгги формуладаги logba сони b
асосли логарифмлар системасидан а
асосли логарифмлар системасига
утиш модули дейилади). Куп учрай-
диган утиш модуллари:
/п10 = 2,30258..., Ige = 0,43429...,
Ig2 = 0,30103...
Комбинаторика
а ва b сонларининг урта арифмети-
ги
а-(-Ь
ава b сонларининг (а^0, b ^0) урта
геометриги — y[ab,
а ва b сонларининг урта квадрати-
а ва b сонларининг (а > 0, b > 0) 5фта
2аЬ
гармониги — а^1[)
Урта кийматлар орасидаги тенгсиз-
ликлар:
= m(m—l)...(m — n + l) (урин-
лаштиришлар) ;
464
Еш математик цомусий лугати
Геометрия ва тригонометрия -
Айлана узунлиги С ва унинг ёйи
узунлиги I
С = 2nR, I = = Ra (а- ёй-
1оО
,.нинг градус улчови, а — радиан ул-
чови, R — радиус).
Юзалар
Учбурчак: S ~~ (а — асос, h —
баландлик);_________________
S = Vp(p —а) (р —6) (р —с) (р —
ярим периметр, а, Ь, ва с—томонлар);
„ absinC. -
о = —------(С — с томон каршиси-
даги бурчак).
Тенг томонли учбурчак учун
aV3 .
S = —— (а — учбурчак томо-
ни),
Параллелограм: S = bh (b — асос,
h — баландлик).
Ромб: S = (di ва d2— диаго-
наллар).
Трапеция: S = —h (а ва b —
асослар, h — баландлик).
Ра
Мунтазам купбурчак: S = (Р —
периметр, а — апофема).
Дойра: S = л/?2.
п „ с RI
Доиравии сектор: S = — = —— =
_ л^а
360°
(а — сектор ёйининг градус улчови,
а — радиан улчови, / — сектор ёйи-
нинг узунлиги).
Сиртлар
Призма: SiH = Pl (Р — перпендику-
ляр (кундаланг) кесимининг перимет-
ри, I — ён кирраси).
р
Мунтазам пирамида: SSh = ~ (Р —
асос периметри, а — апофема).
Мунтазам кесик пирамида:
с ,D n
= —g— а (Pi ва Р2 — асослар
периметрлари, а — апофема).
Цилиндр: SlH = 2л Rh (R — асос ра-
диуси, h — баландлик).
Конус: SiH = л Rl (R — асос радиу-
си, I — ясовчиси).
Кесик конус: SiH = n(Ri + R2)l (Rt
ва R2 — асослар радиуслари, I —
ясовчиси).
Шар: S = 4л/?2 (R — радиус).
Хджмлар
Призма: V = Sh (S — асос юзаси,
h — баландлик).
Sh
Пирамида: V — — (S — асос юза-
О
си, h — баландлик).
h
Кесик пирамида V = -х- (SiS2-|-
О
+ VSiS2j (Si ва S2 — асослар юза-
лари, h — баландлик).
Цилиндр: V = nf^h.
1/ nl?h
Конус: V = —х— -
О
Кесик конус: V = ^ (/?2 +/?2 +
О
+ /?i/?2).
4
Шар: V --- л/?3.
О
Бурчакнинг градус улчовини радиан
улчовига ва аксинча утказиш
о а-180° .
а° =------------------------- (а —
_ л-а
“ ~ TW’
л
бурчакнинг радиан улчови, а° — гра-
дус улчови).
Тригонометрик функциялар ора-
сидаги асосий муносабатлар
. 2 , 2 , , SltlCL
sin а 4- cos а = 1, tga ==-------,
cos а
Маълумотнома
465
ctga
cosa 1
—:— , tea =-----
sina 6 ctga
tg2a =
Ztga
seca =-------, sec2 a = 1 + tg2a,
cosa
Ярим бурчак формулалари
coseca = ——, cosec2 a = 1 + ctg2a
sina
Келтириш формулалари
sin (а + пл ) = ±sina,
cos (a-|-ra) = ±cosa,
tg (« + nn) = iga>
, . л,
sin = ±cosa,
X
t । Jt .
cos = ±sina,
tg(a + n — ) = — ctga
(бу формулаларнинг биринчи учтаси-
да п ихтиёрий бутун сон булиши мум-
кин: юкоридаги ишора п = 2ft —
жуфт кийматларга, пастдаги ишора
п — 2k + 1— ток, кийматларга мос
келади; сунгги уч формулада п факат
ток сон булиши лозим: устки ишора
п — 4ft + 1 булганда, остки ишора
эса п = 4ft— 1 булганда олинади).
К,ушиш формулалари
sin (а + Р ) =sinacosfi±cosasinp,
cos (<z±P ) = cosacosfi+sinasinfi,
(икки бурчак йигиндиси учун устки
ишоралар, айирмаси учун эса остки
ишоралар олинади).
Иккиланган бурчак формулалари
sin2a — 2sinacosa,
cos2a=cos2a— sin2a.
• . a
sin—= ±
1 — cosa
2
a
cos ------
cosa
2
1 — cosa
1 + cosa
sina ___ 1 —cosa
1 + cosa sina
(ишоралар a/2 бурчак кайси чоракда
ётиши ва тригонометрик функция шу
чоракда кандай ишорали булишига
караб танланади).
Тригонометрик функциялар ку-
пайтмасини йигинди ва айирмага кел-
тириш формулалари
sina-cosp = i-[sfn (< -ЬР ) +
-\-sin (a — р )],
sina • sin fl= у [ cos (a — р ) —
— cos (a + p) J,
cosa-cosp = у [cos (a — P ) +
ч-cos (a + p )].
Тугри бурчакли учбурчак элемент-
лари орасида муносабатлар
((1, Ь — катетлар, А, В — улар карши-
сидаги мос уткир бурчаклар, с — ги-
потенуза, С — тугри бурчак)
а=csinA = ccosB,
b = csinB = ccosA,
a — btgA = bctgB,
b=atgB—actgA.
Ихтиёрий учбурчак элементлари
орасида муносабатлар
(a, b, с — томонлар, А, В, С — улар
каршисидаги мос бурчаклар)
466
Еш математик цомусий лугати
Синуслар теоремаси:
__ с
sinC
а b
sinA sinB
sintisx
lim------= <o, — oo < to < 4- oo,
X'<! X
BSS+ xalnx=lini x«lnx==
Косинуслар теоремаси: а2 = Ь2А~
4-с2 — 2bccosA.
Тангенслар теоремаси
аА~Ь
а—b
А + В
tg 2
Математик анализнинг асосий фор-
мулалари
Лимитлар
Нт (1 + —) = е = 2,783.
п-’-ххз
/шг(1 4- х)х = е.
х-^о
сх— 1
—— = Inc, с > 0.
sinx
tex shx
= hm—— =hm-----
*-►0 x x
thx ,
— 11Щ— = 1
lirjl x°e x = 0, a > 0.
Дифференциаллашнинг а осий кои-
далари
(f ± qY = f' + <?'; (f-qY =f'q+fq',
Ly^ ^q\ <J(k+b) )' =
= kf' (kx+b);
(f (q(x))Y = f (<?W) q' (x).
Аникмас интеграллар
(С — ихтиёрий узгармас сон)
J xadx =—=—-— 4- С, а=^= — 1;
«4-1
= 1п\ х | 4- С;
а“
$« dx = — 4~ С; a 0, a 1
Ina
хусусан,
$ 6хdx = г* 4- С;
\sinxdx = — cosx 4- С;
$ cosxdx = sinx 4- С.
Л
О а — ораликдаги куп учрайдиган бурчаклар тригонометрик
функцияларининг кийматлари
Аргумент Тригонометрик функция
Градус ул- чови да Радиаи- ларда sina cosa tga ctga seca coseca
0 0 0 1 0 мавжуд эмас 1 мавжуд эмас
30° л 6 1 2 л/3 — « 0,8660 2 л/з — « 0,5774 3 yj3 т 1,7322 2ifl 1,1547 3 2
45° л 4 & — tv 0,7071 2 V2 — « 0,7071 2 1 1 т/Т» 1,4142 V2 а 1,4142
60° т 3 — « 0,8660 2 1 2 V3= 1,7322 — ж 0,5774 3 2 2^ « 1,1547 3
90° л 2 1 0 мавжуд эмас 0 мавжуд эмас 1
Маълумотнома
467
Т^осилалар
/(*) /'(*) f(x) fl(x)
ах“-1 sinx cosx
ех cosx —sinx
1пх 1/ X tgx 1 2 COS X
ах ах1па ctgx 1
• 2
sin X
НИМА УКИШ КЕРАК
Ал-Хоразмий Мухаммад ибн Мусо. Танлан-
ган асарлар. Математика, астрономия, геогра-
фия.— Тошкент: Фан, 1983.
Александров П. С. Введение в теорию
групп.— М.: Наука, 1980.—144 сахифа —
(«Квант» кироатхонаси).
Александров П. С. Введение в теорию мно-
жеств и общую топологию.— М.: Наука, 1977—
368 сахифа.
Афонин С. И. Математика ва гузаллик — Тош-
кент: «Укитувчи», 1987.
Асадова М. Урта Осиё машхур олимлари ва
уларнинг математикага оид ишлари.— Тош-
кент: «Укитувчи», 1983.
Асадова М. Беруний ва унинг математикага
оид ишлари.— Тошкент: «Фан», 1976.
AjfMedoe С. Беруний асарларида мактаббоп
масалалар.— Тошкент: «Укитувчи», 1975.
Балк М. Б. Математикадан синфдан ташка-
ри машгулотлар мазмуни ва ташкил этили-
ши.— Тошкент: «Узпеддавнашр», 1959.
Боголюбов А. Н. Математики, механики: биб-
лиографик маълумотнома,— Киев: Наукова
думка, 1983.—640 сахифа.
Болтянский В. Г., Евремович В. А. Наглядная
топология.— М.: Наука, 1982.—160 сахифа.
Болтянский Я. Г. Геометрия.— Тошкент: «Ур-
та ва олий мактаб», 1964.
Брадис В. М. Математик мунозаралардаги
хатолар.— Тошкент: «Урта ва олий мактаб»,
1961.
Виноградов И. М. Основы теории чисел.—
М.: Наука. 1981.—168 сахифа
Ворошчук А. Н. Основы ЦВМ и программи-
рование.— М.: Наука, 1978.—264 сахифа.
Гелъфонд А. О. Решение уравнений в целых
числах.— М.: Наука, 1983.—64 сахифа — (Ма-
тематикадан оммавий маъруза).
Гелъфонд М. Б. Саккиз йиллик мактабда ма-
тематикадан синфдан ташкари ишлар.—
Тошкент: «Укитувчи», 1967.
Гиндикин С. Г. Физиклар ва математикалар
хакида хикоялар.— Тошкент: «Укитувчи», 1989.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное
введение в теорию вероятностей.— М.: Наука,
1982.—168 сахифа.
Депман И. Я. Масалалар ечиш хакида хикоя-
лар.— Тошкент: «Укувпеддавнашр», 1959.
Ефимов Н. В. Высшая геометрия.— М.: Нау-
ка, 1978.—576 сахифа.
Жуманов К. О. Математика чукур ургатилади-
ган синфларда геометрия. — Тошкент: «Уки-
тувчи», 1984.
Истоков И. 111. Математика олимпиадаларига
тайёрланиш кулланмаси,— Тошкент: «Укитув-
чи», 1975.
Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохо-
ров А. В. Введение в теорию вероятностей.—
М.: Наука, 1982.—160 сахифа — («Квант» ки-
роатхонаси).
Колосов А. А. Математикадан синфдан таш-
кари укиш китоби, «Урта ва олий мактаб»,
1960.
Кристофидес И. Теория графов: алгоритми-
ческий подход.— М.: Мир, 1978.—432 сахифа.
Кудряцев Л. Д. Курс математического анали-
за: 2 жилдли.— М.: Высшая школа, 1981. 1-
жилд, 1—687 сахифа; 2-жилд. 2— 584 сахифа.
Левитас Г. Г. Хужумда... математика. — Тош-
кент: «Еш гвардия», 1989.
Мавашев Д. Математик олимпиадаларда бе-
риладиган масалалар.— Тошкент: «Укитувчи»,
1974.
Мавашев Д. Математикадан тугарак машгу-
лотлари.— Тошкейт: «Укитувчи», 1972.
Математика терминларининг русча-узбекча
изохди лугати.— Тошкент: «Укитувчи», 1974.
Математикадан масалалар туплами.— Тош-
кент: «Укитувчи», 1975.
Математикадан кулланма.— Тошкент: «Укитув-
чи», 1970.
Международные математические олимпиады.—
М.: Просвещение, 1976.—288 сахифа.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных ве-
роятностных задач с решениями.— М.: Нау-
ка, 1975.—112 сахифа.
Мухамедов К. Элементар математикадан кул-
ланма.— Тошкент: «Укитувчи», 1971.
Нурметов A., Kpdupoe И. Математикадан синф-
дан ташкари ва факультатив машгулотлар.—
Тошкент: «Укитувчи», 1980.
Нурметов А. Математикадан моделлар ясашга
дойр масалалар.— Тошкент: «Укитувчи», 1964.
Отажонов Р. К. Конструктив геометрия эле-
ментлари.— Тошкент: «Укитувчи», 1974.
Отажонов Р. К. Векторлар алгебраси ва улар-
нинг геометрияга татбики.— Тошкент.: «Уки-
тувчи», 1976.
Отажонов Р. К. Геометрик ясаш методлари.—
Тошкент: «Укитувчи», 1978.
Отажонова 3. Р. Математика укитишда осиёлик
урта аср олимлари ижодидан фойдаланиш.—
Тошкент: «Укитувчи», 1981.
Перелман Я. И. К,изикарли арифметика.—
Тошкент: Уздавнашр, 1967.
Перелман Я. И. К,изикарли геометрия.— Тош-
1 кент: «Укитувчи», 1967.
- Погорелов А. В. Основания геометрии.— М.:
Наука, 1979.—152 сахифа.
Понтрягин Л. С. Математический анализ для
школьников.— М.: Наука, 1980.—88 сахифа.
Понтрягин Л. С. Математик анализ.— Тош-
кент: «Укитувчи», 1988.
Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без
формул. 3-нашр.— М.: Знание, 1979.—160 са-
хифа.