Э.Н. Балаян
Геометрия
задачи на готовых
чертежах для подготовки
кГИАиЕГЭ
7-9
классы
*
Большая перемена
Э.Н. Балаян
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых
чертежах
для подготовки
к ГИА и ЕГЭ
7-9 классы
Издание пятое, исправленное и дополненное
Ростов-на-Дону
{феникс
2013
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
Б20
Балаян Э.Н.
Б20 Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА
и ЕГЭ : 7-9 классы / Э.Н. Балаян. — Изд. 5-е, исправл. и дополн. —
Ростовн/Д : Феникс, 2013. — 223с.— (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-20490-0
Предлагаемое вниманию читателя пособие содержит более 1000 разноуров-
невых задач и упражнений по основным темам программы геометрии (плани-
метрии) 7-9 классов, скомпонованных в 3 комплекта по готовым чертежам.
7 класс содержит 12 таблиц, 8 класс — 25, 9 — 12 таблиц.
Эти упражнения дают возможность учителю в течение минимума времени
решить и повторить значительно больший объем материала, тем самым нара-
щивать темп работы на уроках.
Кроме того, приводятся краткие теоретические сведения по курсу геомет-
рии 7-9 классов, сопровождаемые определениями, теоремами, основными
свойствами и необходимыми справочными материалами. К наиболее труд-
ным задачам приведены решения и указания.
Пособие адресовано учителям математики, репетиторам, студентам — бу-
дущим учителям, учащимся общеобразовательных школ, лицеев, коллед-
жей, а также выпускникам для подготовки к ГИА и ЕГЭ.
УДК 373.167.1:51
ISBN 978-5-222-20490-0	ББК 22.1я72
/
© Балаян Э.Н., 2012
©Оформление, ООО «Феникс», 2013
Предисловие
На начальном этапе изучения геометрии основную трудность для
учащихся представляет выполнение чертежа. Кроме того, на его выпол-
нение расходуется много времени.
Предлагаемое вниманию читателя пособие ставит целью устранить
этот пробел с помощью готовых чертежей.
На уроках геометрии очень часто каждое высказывание и ответ на
вопрос должны, как правило, сопровождаться демонстрацией черте-
жа, причем чертеж и данные из условия задачи должны находиться
перед глазами учащихся в процессе решения задачи. Когда учащиеся
наглядно видят условие, то легче решают задачи. По этой причине упраж-
нения на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь в усвоении и
закреплении новых понятий и теорем, дают возможность в течение мини-
мума времени усвоить и повторить значительно больший объем материала,
тем самым наращивать темп работы на уроках.
Кроме того, эти упражнения способствуют активизации мыслитель-
ной деятельности учащихся, обучают умению грамотно рассуждать,
находить в них общее и делать различия, сопоставлять и противопостав-
лять, делать правильные выводы.
В пособии на всех чертежах равные углы и отрезки отмечены одина-
ковыми знаками, прямые углы — квадратиками, это дает возможность
учащимся значительно быстрее ориентироваться в условиях задачи.
Большинство задач предназначены в качестве устных упражнений.
Учитель может по своему усмотрению заранее подготовить их на доске
или плакатах и отводить на решение по 10-15 минут в начале каждого
урока. Поскольку задачи есть и посложнее (они расположены, как пра-
вило, в конце каждой таблицы), то учитель может выбрать те или иные
упражнения в зависимости от уровня подготовленности класса.
При выполнении упражнений происходит активная мыслительная
деятельность учащихся, что в свою очередь приводит к эффективному
непроизвольному запоминанию определений, свойств и признаков изу-
чаемых фигур. Определения, свойства и признаки рассматриваемых
фигур периодически повторяются в процессе выполнения разнообраз-
ных упражнений, что приводит в итоге к продуктивному запоминанию.
Большое значение имеет и то, что учащиеся с большим удовольствием
предпочитают выполнять эти упражнения, чем отвечать на теоретиче-
ские вопросы.
Наконец, предлагаемые упражнения быстро готовят учащихся к за-
поминанию и самостоятельному решению таких задач, для которых эти
упражнения являются элементами.
4 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Предлагаемая методика проведения уроков с использованием уп-
ражнений на готовых чертежах, несомненно, способствует повышению
творческой активности учащихся, развитию логического мышления, яв-
ляется эффективным средством усвоения и закрепления теоретического
материала.
Пособие представляет собой три комплекта упражнений по геомет-
рии для учащихся 7-9 классов, составленных в виде таблиц. Все зада-
ния соответствуют ныне действующей программе по геометрии (плани-
метрии). Пособие может быть использовано учителями, работающими
по учебнику Л.С. Атанасяна «Геометрия, 7-11» и другим книгам.
В пособии 12 таблиц для 7 класса, 25 для 8 и 12 для 9 класса. В каж-
дой таблице количество задач различно. Как правило, они составлены в
порядке возрастающей трудности, что дает возможность учителю прово-
дить работу дифференцированно.
К наиболее трудным задачам приведены подробные решения с пояс-
нениями, а к остальным — указания и ответы, что дает возможность
проверить правильность решения.
Отметим, что предлагаемые упражнения не ставят целью заменить
систему задач из вышеуказанных пособий, а являются лишь дополне-
нием к ней. Они дают возможность учителю сэкономить значительную
часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усиле-
нию практической направленности преподавания геометрии.
Раздел I
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Планиметрия
1.Углы
Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная дву-
мя лучами, исходящими из одной точки.
Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОВ — стороны угла.
Обозначение: ZAOB или ДаЬ.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется ту-
пым (рис. 4).
Рис.З
Два угла называются вертикальными,
если стороны одного угла являются продол-
жениями сторон другого (рис. 5).
ДАОС и ДВОВ; Z.BOC и ДАОВ — верти-
кальные.
Вертикальные углы равны: ДАОС — ZDOB
и Z.BOC = ДАОВ.
Два угла называются смежными, если у
них одна сторона общая, а две другие со-
ставляют прямую линию (рис. 6), ДАОС и
ZBOC— смежные.
Рис. 6
6 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называется луч, про-
ходящий между сторонами угла и делящий его
пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов состав-
ляют продолжение друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных углов взаимно пер-
пендикулярны (рис. 9).
Рис. 8
При пересечении двух прямых а и Ь третьей с (секущей) образуется 8
углов (рис. 10):
соответственные углы:
Z1 и Z5, Z2 и Z6, Z4 и Z8, Z3 и Z7;
внутренние накрест лежащие:
Z4 и Z6, Z3 и Z5;
внешние накрест лежащие:
Z1 и Z7, Z2 и Z8;
внутренние односторонние:
Z4 и Z5, Z3 и Z6;
внешние односторонние:
Z1 и Z8, Z2 и Z7.
2.	Многоугольник
ABCDE — пятиугольник (рис. 11).
Точки А, В, С, D, Е — вершины
многоугольника; ZA, ZB, ZC, Z.D,
Z.E— углы; АВ, ВС, CD и т. д. — сто-
роны; отрезки AC, AD, BE, BD, СЕ —
диагонали; Р = АВ + ВС + ... + ЕА —
периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпук-
лым (рис. 11), если он целиком
расположен по одну сторону от каж-
дой прямой, проходящей через две
Разлел I. Краткие теоретические сведения •» 7
его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется
невыпуклым (рис. 12).
Свойства:
1.	Сумма внутренних углов произвольного
n-угольника равна 180° • (п - 2).
2.	Сумма внешних углов выпуклого
n-угольника, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360°.
3.	В выпуклом re-угольнике из каждой
вершины можно провести (п - 3) диагона-
лей, которые разбивают 71-угольник на (п -
2) треугольников.
4.	В выпуклом тг-угольнике число диаго-
Рис. 12
1 Z
налей равно — п(п - 3).
£
3.	Правильные многоугольники
Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, на-
зывается правильным.
Свойства:
. v „	180°(п-2)
1.	Каждый угол правильного n-угольника равен а„ =-------.
71
2.	Около правильного n-угольника можно описать окружность, и при-
том только одну.
3.	В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом
только одну.
4.	Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех
сторон п-угольника в их серединах.
5.	Центр окружности, описанной около правильного 71-угольника,
совпадает с центром окружности, вписанной в тот же тг-угольник.
6.	Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окруж-
180°
ность радиуса R, равна а = 27? sin-.
п
7.	Длина стороны правильного n-угольника, описанного около
„ х 180°
окружности радиуса г, равна a = 2r tg-.
п
4.	Треугольник
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из
трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последова-
тельно соединяющих эти точки.
8 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Рис. 13
Точки А, В, С — вершины ДАВС.
Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, ZA,
ZB и ZC — углы.
Стороны треугольника часто обознача-
ют малыми буквами (рис. 13):
АВ = с, ВС = а, АС = Ь.
Р = а + b + с — периметр треугольника.
Треугольник, у которого все углы ост-
рые, называется остроугольным (рис. 13).
Треугольник, у которого угол прямой,
называется прямоугольным (рис. 14).
Стороны, образующие прямой угол,
называются катетами (а и Ь), а сторона,
лежащая против прямого угла, — ги-
потенузой (с).
Треугольник с тупым углом называется
тупоугольным (рис. 15).
Треугольник, у которого две стороны рав-
ны, называется равнобедренным (рис. 16).
Рис. 15
Рис. 16
Л
Равные стороны называются боковыми,
а третья сторона — основанием равно-
бедренного треугольника.
Треугольник, у которого все стороны рав-
ны, называется равносторонним (рис. 17).
Каждый угол равностороннего треу-
гольника равен 60°.
Рис. 17
Свойства равнобедренного треугольника:
1.	Углы при основании равны.
2.	Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно
медианой и высотой.
3.	Высота, проведенная к основанию, является одновременно медиа-
ной и биссектрисой.
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 9
4.	Медиана, проведенная к основанию,
является одновременно высотой и бис-
сектрисой.
Внешним углом треугольника назы-
вается угол, смежный с каким-нибудь
углом этого треугольника (рис. 18).
ZCBD — внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен
сумме двух углов треугольника, не смеж-
ных с ним (рис. 18): ZCBD = ZA + ZC.
Отрезок, соединяющий середины двух
сторон, называется средней линией тре-
угольника (рис. 19).
5.	Признаки равенства треугольников
I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между
ними )
Если две стороны и угол между
ними одного треугольника соответ-
ственно равны двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то
такие треугольники равны (рис. 20).
Рис. 20
АВ =	АС = А1С1, ZA = ZAV
II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней уг-
лам)
Если сторона и два прилежащих
угла одного треугольника соответ-
ственно равны стороне и двум приле-
жащим к ней углам другого треуголь-
ника, то такие треугольники равны
(рис. 21).
АВ = ApBj, ZA = ZAlf ZB = ZB r.
Ill признак (признак равенства no трем сторонам)
Если три стороны одного треуголь-
ника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то
такие треугольники равны (рис. 22).
АВ = АрВр ВС = BjCp АС = AjCp
Рис. 22
1 0 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
6.	Неравенства треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:
a < b + с, b < a + с, с < a + Ь.
/.Определение вида треугольника по его сторонам
Пусть с — наибольшая сторона, тогда:
а)	если с2 < а2 + Ь2, то треугольник остроугольный;
б)	если с2 > а2 + Ь2, то треугольник тупоугольный;
в)	если с2 = а2 + Ь2, то треугольник прямоугольный.
8.	Прямоугольные треугольники (некоторые свойства)
1)	Сумма острых углов равна 90° (рис. 23).
ZA + ZB = 90°.
2)	Катет, лежащий против угла в 30°, ра-
вен половине гипотенузы (рис. 24).
3)	Если катет равен половине гипотенузы,
то угол, лежащий против этого катета, равен
30° (рис. 24).
Рис. 24
9.	Признаки равенства прямоугольных треугольников
1.	Если катеты одного прямоуголь-
ного треугольника соответственно
равны катетам другого, то такие
треугольники равны (рис. 25).
AC^Afa, ВС = В1С1.
2.	Если катет и прилежащий к
нему острый угол одного прямоуголь-
ного треугольника соответственно
равны катету и прилежащему к нему
углу другого, то такие треугольники
равны (рис. 26).
АС=А1С1, ZA = ZAP
3.	Если гипотенуза и острый угол
одного прямоугольного треугольника
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 11
соответственно равны гипотенузе и
острому углу другого, то такие тре-
угольники равны (рис. 27).
АВ=А1В1, ZA = ZAP
4.	Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника соот-
ветственно равны гипотенузе и ка-
тету другого, то такие треугольники
равны (рис. 28).
АВ=А1В1,АС=А1С1.
10.	Четыре замечательные точки треугольника
С каждым треугольником связаны 4 точки:
1)	точка пересечения медиан;
2)	точка пересечения биссектрис;
3)	точка пересечения высот (или их продолжений);
4)	точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.
Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущен-
ного из любой его вершины на противолежащую сторону или ее продол-
жение.
В тупоугольном треугольнике (рис. 29) две высоты падают на про-
должение сторон и лежат вне треугольника, а третья внутри.
В остроугольном треугольнике (рис. 30) все три высоты лежат внут-
ри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и высо-
тами (рис. 31).
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, назы-
ваемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит
вне треугольника. В прямоугольном треугольнике он совпадает с вер-
шиной прямого угла.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
1 2 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Рис. 33
Три медианы треугольника пересекаются
в одной точке, которая является центром тя-
жести треугольника (рис. 32).
Эта точка делит каждую медиану в отноше-
нии 2 :1 (считая от соответствующей вершины).
Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла от вершины до пе-
ресечения с противолежащей стороной.
Три биссектрисы треугольника пересека-
ются в одной точке, которая является цент-
ром вписанного круга (рис. 33).
Три перпендикуляра к сторонам треуголь-
ника, проведенные через их середины (рис. 34,
35, 36), пересекаются в одной точке, которая
является центром описанной окружности.
В тупоугольном треугольнике (рис. 34) эта
точка лежит вне треугольника, в остроуголь-
ном (рис. 35) — внутри, в прямоугольном —
на середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружно-
стей совпадают друг с другом только в равностороннем треугольнике.
11.	Произвольный треугольник
1)	Свойство биссектрисы (рис. 37) внут-
реннего угла треугольника:
a _ сц
Ъ ~ ~bx'
2)	Длина биссектрисы:
Zc= Jab-a^ ;
_ y]ab(a + 6 + c)(a + b-c)
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 13
3)	Длина медианы:
znc = ^2(a2+b2)-c2 .
4)	Длина высоты:
hc = -л/р(р-а)(р-&)(р-с),
с
где а, Ъ, с — стороны треугольника,
р= ^(а + Ь + с) — полупериметр,
hc — высота, проведенная к стороне с.
5)	Зависимость между сторонами и высотами:
, , , 111
ha • hfrhc :	:	•
a b с
6)	Зависимость между высотами и радиусом вписанной окружности:
1111
--- + — + — = — .
ha hb hc Г
12.	Теорема Чевы
Для того чтобы прямые BE, AD и CF
(рис. 38) пересекались в одной точке,
необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось равенство
ВС СЕ AF
CD АЕ BF
Рис. 38
13.	Теорема Менелая
Если на сторонах ВС, АВ и продолже-
нии стороны АС ЛАВС за точку С отме-
чены соответственно точки Аг, Сг и В15
лежащие на одной прямой, то
ACY ВАг СВг _
(\в'~ ’
Рис. 39
14 «• Геоллетрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
14.	Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противо-
лежащих углов:
a Ъ с	_
	 = 	 = - = 2R,
sin a-------------sinp-sin у
где R — радиус окружности, описанной около треугольника.
15.	Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух
других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на коси-
нус угла между ними:
а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos а,
Ь2 = с2 + а2 - 2са cos р,
с2 = а2 + b2 - 2ab cos у.
16.	Плошадь треугольника
£
1 U •
— ab sin у;
2
у]р(р- а)(р - Ь)(р - с) (формула Герона);
р г, где р = — (а + & + с);
2
abc ф
а2 sinBsinC
2 sin А
1) S =
2)8 =
3)S =
4) S =
5) S =
6)S =
17.	Равносторонний (правильный) треугольник (рис. 40)
а
Рис. 40
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 1 5
18.	Подобные треугольники
Два треугольника называются подоб-	2	с,
ними, если их углы соответственно
равны и стороны одного треугольни-	\
ка пропорциональны сходственным S'	\	\
сторонам другого (рис. 41).	А	в А	в
АВ и А^, ВС и В^МСиА^ —	1
сходственные стороны.	Рис.41
Из подобия треугольников следует:
ZA = ААг, АВ = ZBn АС = ACV
АВ	ВС	СА
	 = 	 =-- = k,
АХВ,--------------ВХСХ-СХАХ
где k — коэффициент подобия.
Обозначение: ААВС ~ ААуВ^Су.
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно k2,
т* е* S&ABC •	=
19.	Признаки подобия треугольников
I признак: если два угла одного
треугольника соответственно равны
двум углам другого, то такие тре-
угольники подобны (рис. 42).
АА = АХ, АВ = ВР
II признак: если две стороны одного
треугольника пропорциональны двум
сторонам другого и углы, заклю-
ченные между ними, равны, то такие
треугольники подобны (рис. 43).
АА = ААг,
АВ = АС
ДА
III признак: если три стороны од-
ного треугольника пропорциональны
трем сторонам другого, то такие тре-
угольники подобны (рис. 44).
АВ _ ВС = АС
АХВХ ВХСХ АХСХ
Рис. 44
1 6 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Площади подобных фигур (в частности, многоугольников) пропорцио-
нальны квадратам их сходственных сторон.
В частности, площади кругов относятся как квадраты радиусов (или
диаметров).
20.	Четырехугольник
1.	Произвольный выпуклый (dj и
d2 — диагонали, ср — угол между ними)
(рис. 45).
о 1,,	•
S = ~dxd2 Sin ф.
2.	Вписанный (рис. 46).
а + у= |3 + 5 = 180°.
В любом вписанном четырехугольни-
ке сумма противоположных углов равна
180°. Верно и обратное.
ас + bd = dxd2
(теорема Птолемея).
S = yj(p- а)(р - b)(p - с)(р - d),
где р = (а + b + с + d).
3.	Описанный.
В любом описанном четырехуголь-
нике суммы противоположных сторон
равны (рис. 47).
а + с = b + d, S = р • г.
21.	Параллелограмм
Параллелограммом называется четырех-
угольник, у которого противоположные
стороны попарно параллельны (рис. 48).
АВ || DC, AD || ВС
(а и b — смежные стороны; а — угол
между ними; ha — высота, проведенная
к стороне а).
d% + d2 = 2(а2 + t>2) — зависимость
между сторонами и диагоналями;
S = а • ha = ab sin а = ~ dxd2 sin ф —
площадь параллелограмма.
Рис. 48
Раздел !. Краткие теоретические сведения •» 1 7
Некоторые свойства:
1.	В параллелограмме противоположные стороны и углы равны (АВ =
= DC; AD = ВС; ZA = ZC; ZB = ZD).
2.	Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам
(АО = ОС; ВО = OD).
3.	Сумма углов, прилежащих к одной сто-	,
роне, равна 180° (ZA. + ZB = 180° и т. д.).	/ s' /
4.	Диагональ параллелограмма делит его / s' /
на два равных треугольника (AADC = ДАВС, Гs' /
AABD = ABCD).	/
5.	Биссектриса угла параллелограмма от-
секает от него равнобедренный треугольник	Рис. 49
(рис. 49).
Признаки параллелограмма (рис. 48)
1.	Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ =
= DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
2.	Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно рав-
ны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
3.	Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны
(ZA = ZC; ZB = ZD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
4.	Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересе-
чения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
22.Трапеиия
а и b - основания; h — высота; dr и
d2 — диагонали; ф — угол между ними
(рис. 50).
Трапецией называется четырехуголь-
ник, у которого две стороны параллель-
ны, а две не параллельны.
АВ || DC, АВ и DC — основания трапе-
ции, AD и ВС — боковые стороны.
Отрезок Z, соединяющий середины
боковых сторон, называется средней ли-
нией трапеции.
Рис. 50
I = — (а + Ъ) — длина средней линии трапеции.
ш || а || b, пг =
2аЪ
а + Ь ‘
ZA + ZD = 180° ; ZB + ZC = 180°.
S = I • h = — (а + Ь) • h =	• d2 sin
И	А
Ф — площадь трапеции.
18 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Рис. 52
Рис. 54
1. Равнобедренная траления
Если у трапеции боковые стороны
равны, то такая трапеция называется
равнобедренной (рис. 51).
AD = BC.
В равнобедренной трапеции углы
при основаниях равны (ZA = ZB; ZC =
= ZD) и диагонали равны (АС = BD).
AE=^(a-b).
Если AC ± BD, то S = h2.
АВ + CD = 2AD (рис. 52).
h = 2r, г — радиус вписанной
окружности; h = x[ab .
R — радиус описанной окружности.
Точка О — центр окружности,
описанной около любого треугольни-
ка, вершины которого совпадают с
вершинами трапеции (рис. 53).
2. Прямоугольная трапеция
Если в трапеции один из углов пря-
мой, то такая трапеция называется
прямоугольной (рис. 54).
ZD = ZC = 90°.
BE = CD = h (высота трапеции).
АЕ = a — Ь.
23.	Прямоугольник
Прямоугольником называется па-
раллелограмм, у которого все углы
прямые (рис. 55).
Рис. 55
Разлел I. Краткие теоретические сведения •» 19
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме
того, у прямоугольника диагонали равны.
Стороны прямоугольника одновременно являются и высотами.
d2 = a2 + &2.
S = ab = d2 sin q>.
24.	Ромб
Ромбом называется параллелограмм,
у которого все стороны равны (рис. 56).
Так как ромб является параллело-
граммом, то он обладает всеми его свой-
ствами.
Кроме того, диагонали ромба взаим-
но перпендикулярны и являются бис-
сектрисами его углов.
АС 1BD.
Рис. 56
АС — биссектриса угловА и С; BD — биссектриса углов В и D.
+ d22 = 4а2.
S = а • ha = a2 sin а = — dr • d2 — площадь ромба.
25.	Квадрат
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны (рис. 57).
Можно сказать, что квадрат — это ромб с
прямым углом.
Квадрат обладает всеми свойствами прямо-
угольника и ромба.
Основные свойства
1.	У квадрата все углы прямые.
2.	У квадрата диагонали равны, взаимно
перпендикулярны и являются биссектрисами
его углов.
26.	Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 58).
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности,
называется радиусом.
20 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Обозначение: г или R.
На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.
Часть окружности (например, CmD) назы-
вается дугой.
Отрезок, соединяющий две точки окруж-
ности, называется хордой, а хорда, проходя-
щая через центр, — диаметром.
АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности.
СЕ — наибольшая из хорд — диаметр.
Обозначение: d или D.
D = 2R.
Часть плоскости, ограниченная окружно-
стью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой
(CD), называется сегментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сек-
тором.
Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным
(ZCOD на рис. 58).
Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются
хордами, называется вписанным (например, ZABC).
27.	Свойства касательных к окружности
Угол, образованный двумя касатель-
ными (СА и СВ), исходящими из одной
точки, называется описанным (ZACB
на рис. 59).
1. Радиус, проведенный в точку каса-
ния, перпендикулярен касательной.
2. Две касательные, проведенные к
окружности из одной точки, равны, и
центр окружности лежит на биссектрисе
угла между ними.
28. Окружность и треугольник
1. Около всякого треугольника можно опи-
сать окружность; центром окружности является
точка пересечения перпендикуляров, проведен-
ных к сторонам через их середины (рис. 60).
2. Во всякий треугольник можно вписать
окружность; центром окружности является
точка пересечения биссектрис (рис. 61).
Рис. 60
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 21
Рис. 61
29. Окружность и четырехугольник
1. Для того чтобы около четырех-
угольника можно было описать
окружность, необходимо и достаточ-
но, чтобы сумма противоположных
углов была равна 180° (рис. 62).
а + р = 180°.
2. Для того чтобы в четырехуголь-
ник можно было вписать окруж-
ность, необходимо и достаточно, что-
бы суммы противоположных сторон
были равны (рис. 63).
a + с = b + d.
Рис. 63
30. Углы и окружность
в
Центральный угол измеряется ду-
гой, на которую он опирается (рис. 64).
ЛАО В = \jAmB.
Вписанный угол измеряется поло-
виной дуги, на которую он опирается
(рис. 65).
ZABC = ^uAmC.
2
Рис. 64
22 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Рис. 65
Угол между хордой и касательной изме-
ряется половиной дуги, заключенной внут-
ри него (рис. 66).
ZABC = -uBmC.
2
Угол между двумя касательными изме-
ряется полуразностью дуг (рис. 67).
ZABC = — (uA/nC - uAnC).
Угол между двумя хордами измеряется
полусуммой дуг, на которые он опирается
(рис. 68).
ЛАЕС = ^(uAmC + uBnD).
Угол между секущими измеряется полу-
разностью дуг между ними (рис. 69).
ЛАВС = ^(уэАтС — oEnD).
Угол между касательной и секущей из-
меряется полуразностью отсекаемых ими
дуг, прилежащих к касательной (рис. 70).
ЛАВС = ^(uAmC - oCnD).
Разлел I. Краткие теоретические сведения •» 2
31.	Метрические соотношения в окружности
Если хорды АВ и CD пересекаются в
точке Е, то произведение отрезков одной
хорды равно произведению отрезков дру-
гой (рис. 71).
АЕ • ЕВ = СЕ • ED.
Если из точки В к окружности проведе-
ны две секущие BDA и ВЕС, то
DB • АВ = ЕВ • СВ (рис. 72).
Если из точки В к окружности проведе-
ны секущая BDA и касательная ВС, то про-
изведение секущей на ее внешнюю часть
равно квадрату касательной (рис. 73).
АВ • DB = ВС2.
Рис. 72	Рис. 73
32.	Длина окружности. Плошадь круга и его частей
С = 2nR = tiD — длина окружности;
, nRn° _
Z =	= Ra — длина дуги окружности;
180
Вкр = лВ2 = лВ2 = ^CR — площадь круга;
4	&
Л =
С п
— -3,14 — отношение длины окруж-
Рис. 74
ности к ее диаметру;
о nR2n
5сект. =	----площадь сектора.
24 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
33.	Понятие вектора
Вектором называется направленный отрезок (рис. 75).
Всякий вектор характеризуется:	_	____
1)	начальной точкой;	---
2)	направлением;	А
3)	длиной (модулем).	Рис. 75
Длиной (модулем) ненулевого вектора АВ называется длина отрезка
АВ и обозначается | АВ| или |а|.
34.	Равенство векторов
Если ненулевые векторы лежат на одной прямой или параллельных
прямых, то они называются коллинеарными (рис. 76).
Коллинеарные векторы:
а, т, CD, КР, А4 = 0.
Неколлинеарные векторы:
CD и ST, КР и ST.
Коллинеарные векторы называ-
ются сонаправленными, если они
имеют одинаковые направления.
Например, а ТТ т, a ТТ КР,
т ТТ КР.
Коллинеарные векторы называются противоположно направленны-
ми, если они имеют разные направления.
Например, а и CD , т и CD , CD и КР .
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины
равны.
35.	Координаты вектора
Пусть А(хр уг) — начало вектора а, В(х2; у2) — конец вектора а (рис. 75).
Координатами вектора а называют числа а1 = х2 - хр а2 = у2 ~ Уг
и обозначают (Ца^; а2).
Тогда абсолютная величина (модуль) вектора с координатами ах, а2
равна |а |= 7ai +а2 •
Если векторы равны, то у них равны соответствующие координаты.
И обратно, если у векторов равны соответствующие координаты, то век-
торы равны.
Разлел I. Краткие теоретические сведения •» 25
36.	Действия над векторами
1.	Сумма двух векторов.
Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет
место векторное равенство (рис. 77):
АВ + ВС = АС (правило треугольника),
или a + В = с.
2.	Векторы складываются геометриче-
ски по правилу параллелограмма (рис. 78):
сумма двух векторов a и В, имеющих общее
начало, изображается диагональю паралле-
лограмма, построенного на этих векторах.
3.	Для векторов справедливы перемести-
тельный и сочетательный законы сложения:
а + В = В + а и а + (В + с) = (а + В) + с.
4.	Разностью векторов а(аг; а2) и В(Ьг; Ь2)
называется такой вектор cic^, с2)> который в
сумме с вектором В дает вектор а, т. е.
В + с = а (рис. 79).
5.	Умножение вектора на число.
Произведением вектора а(ах', а2) на число
k называется вектор ka(kax\ ka2).
Из определения следует, что:
1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2) для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.
Основные свойства умножения вектора на число:
1)	(kl)d = k(la) — сочетательный закон;
2)	(k 4- l)a = ka + la — I распределительный закон;
3)	k(a + B) = ka + kB — II распределительный закон.
37.	Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов назы-
вается произведение их длин (модулей) на косинус
угла между ними (рис. 80).
а • В = |d| • |5| • cos а.
1)	Если а ± В, то а = 90°, cos а = 0, тогда а • В = 0.
Верно и обратное: если а • В = 0, то а ± В.
2)	Если а < 90°, то а • В > 0; если а > 90°, то а • В < 0.
26 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
38.	Скалярное произведение в координатах
Если d{xp i/J, В{х2; у2}, то a  В = xYx2 + угу2.
Следствие 1. a ±6 тогда и только тогда, когда хгх2 + угу2 = 0.
„	л	х.х. + и.ц.
Следствие 2. cos а = -----—i - , где а — угол между ненулевы-
\Х1 + У\  \Х2 + У2
ми векторами а^х^ ух}, В{х2; у2}.
39.	Свойства скалярного произведения векторов
1)	а • а = ja|2;
2)	а • В = 6 • а (переместительный закон);
3)	(а + В) • с = а  с + b ' с (распределительный закон);
4)	(fed*) • 6 = fe(d • В) (сочетательный закон).
40.	Уравнение окружности
Если центром окружности является начало
координат (рис. 81), то уравнение окружности
имеет вид
х2 + у2 = R2.
Если центр окружности М(х0; i/0), то
уравнение окружности имеет вид (рис. 82)
(х - х0)2 + (у - </0)2 = R2.
41.	Уравнение прямой
1)	Любая прямая в декартовых координатах х и у задается уравне-
нием вида ах + by + с = 0, где а и b — коэффициенты при неизвестных,
с — свободный член.
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» Т7
2)	Если а = О, b # О, то у--уравнение
Ъ
прямой, параллельной оси Ох (рис. 83).
У i	с
	
0	X
Рис. 83
с 3) Если Ь = 0, а*0, то х =	уравнение а прямой, параллельной оси Оу (рис. 84).	У ,		С х =	 а
	0		X
4) Если с = 0, а * О, Ъ ф 0, то ax + by = О —
уравнение прямой, проходящей через начало
координат (0; 0) (рис. 85).
Рис. 85
Раздел II
УПРАЖНЕНИЯ В ТАБЛИЦАХ
VII класс
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Разлел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 29
Окончание табл. 1
30 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Таблица 2
Разлел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 31
Окончание табл. 2
9	Z1 = 40°	11	Zl - Z2 = 75°
Z2, Z3, Z4 — ?	Zl, Z2, Z3 — ?
10	Z1 = 125°	12	Z1 + Z2 + Z3 —?
----	Z2, Z3, Z4 — ? ------
32 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 3
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 33
Продолжение табл. 3
34 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 3
Разлел //. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 35
36 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 4
Разлел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 37
Окончание табл. 4
38 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ, 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 39
Продолжение табл. 5
40 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 5
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Таблица 6
Укажите пары параллельных прямых (отрезков) и докажите
их параллельность.
Раздел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 41
42 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 6
Раздел /А Упражнения в таблииах (VII класс) •» 43
44 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 45
СВОЙСТВА УГЛОВ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Таблица 7
а||Ь
с — секущая
Zl - Z2 = 32°
Zl, Z2 — ?
КР || NM
ZNKP = 120°
ZAT, ZM — ?
46 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 47
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 8
АА: АС = 2 : 5
ZA, АС — ?
AQPK = 3,5 AQPM
AM:AQ = 3:4
AM, AQ, AQPM — ?
Q
M P к
ASTM = 2 AS
AS, ASTR — ?
4	AQ = 0,4 AL
AQ, AM, AL — 1
48 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 8
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 9
Найдите все неизвестные углы треугольника.
Разлел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 49
Продолжение табл. 9
50 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 9
Разлел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 51
Продолжение табл. 9
52 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 9
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 10
ZN = 2 ZM
MN - KN = 15
Разлел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 53
Продолжение табл. 10
54 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 55
Окончание табл. 10
56 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 11
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 57
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
Таблица 12
Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.
58 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 12
Разлел //. Упражнения в таблинах (VIII класс) •» 59
VIII класс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 1
Докажите, что ABCD — параллелограмм.
60 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел //. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 61
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 2
Найдите периметр параллелограмма.
62 «• Геометрия, Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ, 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •»> 63
Окончание табл. 2
64 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 3
Найдите неизвестные углы.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 65
Продолжение табл. 3
66 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 3
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Таблица 4
Найдите углы параллелограмма.
Раздел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 67
Окончание табл. 4
68 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Таблица 5
Найдите стороны параллелограмма, если Р = 36.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 69
ТРАПЕЦИЯ
70 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ, 7-9 классы
Разлел //. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 71
72 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Таблица 7
ТРАПЕЦИЯ
Найдите Рлвсв-
АВ = 27,65
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 73
74 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 8
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •»> 75
Окончание табл. 8
Злекр — 28
DC : AD = 7 : 4
76 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 9
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 77
Продолжение табл. 9
78 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 79
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 10
80 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел IL Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 81
82 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
Таблица 11
Разлел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 83
Продолжение табл. 11
84 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 11
Разлел II. Упражнения в таблицах (VIН класс) •» 85
Окончание табл. 11
86 «• Геометрия, Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблииах (ViII класс) •» 87
Продолжение табл. 12
88 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 12
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 89
Продолжение табл. 12
90 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 12
Разлел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 91
Продолжение табл. 12
LRQT — трапеция
&LRQT~ 300
RKQL — трапеция
S= 100
92 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел //. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 93
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 13
Найдите х, у, г.
2	&MNK ~ NMXNXKX
NXKX: NK = 2 : 1
ЛАВС ~ AAiBiCi
АВ :ВС:АС =
= 6:4:3
Р AAjBjC, = 91
7	AM KN ~
МК : KN : MN = 9:7:8
8	^KN -
МК : KN : MN = 9:7:8
94 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 13
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 95
Продолжение табл. 13
ЛАВС ~ ЛМИК
SRMN ~ ДАСВ
S.\rmn — 18, Зддсв — 32
ДАСВ~ 91
Pxrmn~ х
РЬАСВ= У
20
<8ьамс : Зшсв —1:3
96 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 13
AMNK ~ ЛМКТ
NK || МТ
Р MNKT = х
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 97
Окончание табл. 13
АС = ВС
98 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Найдите х, у.
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 14
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 99
Продолжение табл. 14
1 00 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 14
Разлел //. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 101
102 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 15
Укажите пары подобных треугольников и докажите их подобие.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 103
Продолжение табл. 15
1 04 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 15
Разлел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 105
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 16
3 Дано: FSMN — прямо-
угольник
Дано:
В	ДАВС
106 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 16
9 Дано: ABCD — трапеция
AD = 2 ВС, EF — ?
8
Дано: ABCD — параллело-
грамм, ЕО = 4, ED = 3,
12 Дано: ABCD — четырех-
угольник
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 107
Окончание табл. 16
17 Дано: ATLM
--- TL : LM : ТМ = 4 : 3 : 5
Рлтьм = 60, ЕЕ, ЕС, ЕС — ?
L
108 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 17
Найдите неизвестные линейные элементы &MNK (ЛК = 90°).
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 109
Окончание табл. 17
15
TMNK — трапеция
МК = 15
110 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 18
Найдите х.
Разлел IL Упражнения в таблинах (VIII класс) •» 111
1 1 2 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 19
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 113
Продолжение табл. 19
АВ = 5 ВС
sin ZB — ?
12
KL = 8
114 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 115
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Таблица 20
116 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 20
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 117
Окончание табл. 20
118 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
Таблица 21
Найдите х.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 119
Продолжение табл. 21
11	м	15
1 20 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 21
Разлел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 121
Продолжение табл. 21
122 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 21
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 123
Продолжение табл. 21
1 24 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 21
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 125
ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 22
1 26 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 22
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 127
Окончание табл. 22
О — точка пересечения высот
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
Таблица 23
1 28 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 1 29
Продолжение табл. 23
130 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 131
Продолжение табл. 23
132 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 133
Продолжение табл. 23
1 34 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
MNKP — трапеция
MP = NK, SMNKP - ?
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 135
Продолжение табл. 23
EFMN — трапеция
NE = MF
EF + MN — 1
136 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
ME || ВК, МВ = ЕК
72
76
МР || NK, MN = РК
MP - NK = 6, SMPKN — ?
EF || TR, TR-EF= 14
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 137
Продолжение табл. 23
АВ = CD, ВС || AD
SABCD ?
ABCD — прямоугольник
АО — ?
83 ABCD — ромб
--- АС = 32, Р = 80, ОЕ — ?
MNFE — прямоугольник
КР — ?
1 38 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 23
ВЕКТОРЫ
Таблица 24
Укажите векторы:
а)	сонаправленные с вектором тп;
б)	сонаправленные с вектором п;
в)	противоположно направленные
с in и и
MNKP — параллелограмм
Укажите векторы:
а)	коллинеарные;
б)	сонаправленные;
в)	противоположные;
г)	равные
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 139
Продолжение табл. 24
3	Q 		7	
_ /	\ А 7П/	X / EFQL — параллелограмм Укажите векторы: а) коллинеарные; б) сонаправлен- ные; в) противоположные; г) равные		Постройте вектор 6 - а	
4		8	
* Постройте вектор е + f двумя спо- собами		А, В, С, D, Е — произвольные точки. Найдите сумму AB + CD + EA + BC + DB	
5		9	
В Постройте вектор а + В двумя спо- собами		М, N, Е, F, К — произвольные точки. Доказать, что ME + KN + EK + NF = MN + EF + NE	
6		10	
\ тп Постройте вектор k - ni		ё	'ч. Постройте вектор a + В + с	
140 «• Геомегрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 24
MFEN — параллелограмм
Доказать, что
МО + FE + OF + EN = ME + FM
RSTK — параллелограмм ____
Выразите векторы RK, КТ, SR че-
рез векторы тип
12
Найдите X, если
CD + X + BC + AB = EF + AE
MNFE — параллелограмм
Выразите векторы ЕА и FB через
векторы FN = ти MN = п
Выразите вектор SM через
SR = а и ST = 6
Выразите вектор КО через векто
ры МК = а и MN = В
ABCD — параллелограмм
DK : КС = 1 : 3
MNKP — параллелограмм____
Выразите векторы ОМ и МА че-
рез векторы МР = а и MN = В
Выразите векторы АК и КВ через
векторы AD = а и АВ = В
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 141
Продолжение табл. 24
N — середина АС
__________________ 1 ______ ____
Доказать, что MN = — (AD + СВ )
МК:KN=3:2 ____
Выразите вектор AM через векто-
ры а = АК и 6 = AN
Выразите^ектор КЕ через векто-
ры т = КА и n = KF
HI = |п| = |£|
Доказать, что
in + n + R = О
AM = тп, AN = п
ВМ, 2VC, MN, BN-?
|n| = |£| = 1
HI = ^2
Доказать, что
т + п 4- k = О
КА = 8
Найдите | АК - AN + КМ |
Доказать, что
AM + AN+AK = O
142 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 143
Окончание табл. 24
ABCD — трапеция
a = CD-BC+AB
Найдите: |а|
36
Найдите:
a)\MK + MN\,
б)\МК + KN\,
в) | МК + NK |,
г) | КМ - KN\,
д) | МК - MN |
м
N
Найдите:
1)|KM|-|KF|,
2) | ЕМ - EF
3) | КМ | + | KF |,
4) | ЕМ + EF |,
5) | МК | + | KF |,
6) | МК + EF I,
7) | МК | - | KF |,
8) | ME - EF |
144 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ
Таблица 25
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 145
Продолжение табл. 25
146 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 25
AD = 2BC,EF — ?
ОМ = 6, ON = 8, EF — ?
Разлел IL Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 147
1 48 «• Геоллетрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ, 7-9 классы
IX класс
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Таблица 1
MNKL — параллелограмм
Выразите векторы LN и КМ че-
рез векторы m и п
ABCD — параллелограмм___
Выразите векторы BD и СА че-
рез векторы а и В
FKME — прямоугольник____
Выразите векторы ЕК и FM че-
рез векторы йип
TMNS — параллелограмм___
Выразите векторы ТМ и ST че-
рез векторы а и В
MKEF — параллелограмм
FT : ТК = 3 : 1
Разложите вектор FT по векто-
рам ЙИП
6	„	„ FENM —
--— г
ft---ту	параллело-
/ К А	//	грамм
/ \ / / Найдите (если
/ Хр / это возможно)
/ X \ / такое число k,
I/ \[ чтобы выполня-
ла	о	лось равенство:
a) FN = k • FO; е) FA = k • ~NF;
б) МО = k • ME; ж) AN = k • FA;
в) ON = k • NF; з) FN = k • NA;
r) FM = k  NE; n)NE = k -EF;
д) MN = k- EF; K)FO = k- ME
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 149
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
Таблица 2
1	Дано: ОК = 3, ОМ = 2	5	Дано: М (3; 5), N (-2; 4)
Найдите координаты векто-
ра MN
Найдите координаты вер-
шин ЬМОК
2
Дано: ТОСМ — прямо-
угольник
Найдите координаты вер-
шин О, Т, М, С
6
Дано: А (2; 6), В (6; 2)
Найдите координаты
точки М
СА
«м
3
о
6
о-
Т
3
Дано: MQPN — квадрат
М (-2; -2)
Найдите координаты вершин
Q, P.N
Р.
Q
О
м<>
*>N
4 Дано: TQMR — параллелограмм
---Д (0; 0), М (10; 0), Q (24; 6)
Найдите координату верши-
ны Т
Т
8
Дано: А (2; 4), В (0; 18)
Найдите координаты
точки С
Дано: М (4; 6), N (х; 1)
Найдите: х
Q
150 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 151
Окончание табл. 2
17 Дано: AMTN
М (8; 0), 2V (6; -1), Т(3; -4)
Найдите: P^mtn
19 Дано: AMQR
М(6; 3), Q (0; 2),Я(1;-5)
Найдите: RE
18
Дано: ОВСА — параллело-
грамм
В (3; 2), ОА = 6
Найдите: АС, ОС и коорди-
наты вершины С
20 Дано: О АВС — трапеция
АВ = 5, ОС = 12, А (2; 4)
Найдите: ВС, О В
152 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Таблица 3
1 Дано: ШКМ
КР = 80, MN = 40
Найдите: MF и NE
4 Дано: ЛАВС
В (0; 0), С (6; 2>/3), А (4; 4ч/3)
Найдите: ZA, ZB, ZC
2 Дано: ATRS
RT^TS
ТЕ = 8, RS = 24
Найдите: SK
Дано: ЛАВС
BD = 12
Найдите: АЕ
3 Дано: AMCN
--- CD = 20
Найдите: NF
6 Дано: AMKF
--- AKMF = 45°
Найдите: ME
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 153
Окончание табл. 3
1 54 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Таблица 4
U Дано: Ох (-4; 2), А (0; 5)
Составьте уравнение
окружности
4 Дано: К (-2; 6), М (2; 0)
Составьте уравнение
окружности
2
Какие из точек А (0; 4),
В (5; 0), С (3; -4), D (4; -3)
принадлежат окружности?
Дано: М (0; 2), Н (6; -2)
Составьте уравнение
окружности
3
Дано: (2; -4), М (5; 0)
Составьте уравнение
окружности
6 Дано: Т (-2; 3)
Составьте уравнение
окружности
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 55
Продолжение табл. 4
7 Дано: Ох (4; 5), ОХМ = 3
Составьте уравнение
окружности
10 На окружности найдите
точки:
а)	с абсциссой х = 2;
б)	с ординатой у = 4
8 Дано: ОК = 5, А (4; -3),
В (3; 4)
Докажите, что АВ — хорда
окружности
11 Дано: В (-2; 6)
Составьте уравнение окруж-
ности, проходящей через
точку В
Найдите точки:
а)	с абсциссой х = 2;
б)	с ординатой у = 3
12 Дано: А (0; 2), В (-3; 1)
Составьте уравнение окруж-
ности, проходящей через
точку В
1 56 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 4
13 Дано: М (-3; 0), N (0; 9),
01 (0; уо)
Составьте уравнение окруж-
ности, проходящей через
точки М и N
14 Дано: М (-2; 3), N (4; -3),
MN — диаметр
Составьте уравнение окруж-
ности, проходящей через
точки М и N
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Таблица 5
1	Дане Сост мой У,	>: А(3; авьте ; MN А< Г	9) уравнение пря- М >	2	Дано: В (-3; 1 Составьте ypj мой КТ Y. К	в i	0) 1внение пря- k Т
					1_	
	О		N		о	
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 157
Продолжение табл. 5
Найдите:
6 Дано: А (1; 10), В (-1;-4)
Составьте уравнение пря-
мой АВ
Дано: А (2; -10)
Составьте уравнение пря-
мой, проходящей через точ-
ки О и А
8__ Дано: ДАВС
А (8; 12), В (-8; 0), С (-2; -8)
Составьте уравнение медиа-
ны СМ
158 «• Геометрия, Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 5
Дано: MTLK — трапеция
М(-4; -4), Т (-6; 2),
L (14; 14), К (6; 2)
Составьте уравнение диаго-
нали ML
1 0 Дано: ABCD — ромб
АС = 20, BD = 8
Составьте уравнение пря-
мых, содержащих стороны
ромба
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Разлел IL Упражнения в таблииах (IX класс) •» 159
1 60 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 6
Дано: MNEF — параллело-
грамм
&MNEF = 25л/2
Найдите: PMnef
12 Дано: ABCD — параллело-
грамм
cos ZB = -0,6
Найдите: S^cd
10 Дано: ABCD — параллело-
грамм
BD = 16, АС = 20
Найдите: S^cd
1 3 Дано: ABCD — прямо-
угольник
АС = 26
Найдите: Sabcd
1 1 Дано: KEMR — параллело-
грамм
КМ = 12, RE = 20
Найдите: SKEMR
Дано: MNKL — параллело-
грамм
Найдите: S^kf — ?
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 161
Окончание табл. 6
Дано: TKNM — параллело-
грамм
Найдите: STKNM
7 Дано: ABCD — параллело-
грамм
sin ZADB = 4/5
Найдите: SABCD
16 Дано: ABCD — параллело-
грамм
cos ZA =1/3
Найдите: Sabcd
Дано: ABCD — трапеция
АС = 8
Найдите: S^d
19 Дано: KLMT — трапеция
——। Найдите: SKLMT
162 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Таблица 7
Найдите х, у.
Разлел //. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 63
1 64 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 7
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Таблица 8
Найдите х, у.
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 65
1 66 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 8
Разлел //. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 67
Окончание табл. 8
1 68 «• Геоллетрия. Залечи на готовых чертежах для полготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Таблица 9
MNKP — квадрат
Найдите: МР, МК
ABCD — прямоугольник
\ВА\ = 6, | ВС| = 8
Найдите: | BD |
Найдите: MN • МК
р {3; -4}, q {15, 8}
Найдите: cos а
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 69
Продолжение табл. 9
170 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 71
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ДЛИНА ДУГИ
Таблица 10
С — длина окружности, I — длина дуги.
172 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 10
4
5
Найдите: С
SbABKDEF
Найдите: С
= 72>/з
С = 4л
Найдите: SKMNT
ОМ = 12, АВ = 10
Найдите: С
vjAmB = 120°, С = 8лл/з
Найдите: АВ
MN = 48, ОК = 10
Найдите: С
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 173
Продолжение табл. 10
иТтМ = 120°
Найдите: I
12 иАтВ - иВА = 90°
Найдите: uAmB, <jBA
С = 24л
Найдите: иАдпВ
Р — периметр
С-Р = 7
Найдите: С
uMmN : uNnM = 2:3
Найдите: uMmN, <jNnM
Найдите: С
174 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 10
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 175
Окончание табл. 10
176 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Таблица И
С — длина окружности, I — длина дуги . Найдите SKp.
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 177
Продолжение табл. 11
ABCD — трапеция
AD = BC = 6, S = 12
ABCD — трапеция
АВ = CD,
AD = 2 ВС,
О
MN =-^=
V2
178 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 11
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •»> 1 79
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Таблица 12
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
1 80 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ, 7-9 классы
Окончание табл. 12
Раздел III
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
VII класс
К таблице 1
8. Пусть EPOS = ZSOT = х, ZTOQ = Z.QOR = у. Так как Z.POR = 180°,
Tox + x + i/ + i/ = 180, или х + у = 90. Значит, ZSOQ = х + у = 90°.
Ответ: 90°.
11. ZMSK + ZPSN = 180° - 90° = 90°. Так как ZMSP = ENSK (по ус-
ловию), то EMSK = EPSN = 90° : 2 = 45°, тогда ZMSP = EMSK + ZKSP =
= 45° + 90° = 135°.
Ответ: 135°.
К таблице 2
5. Пусть Zl = Z3 = х, Z2 = Z4 = у (по свойству вертикальных углов),
тогда получим 2 • (х + х) = у + у, откуда у = 2х; Zl + Z2 = 180° (по свой-
ству смежных углов). Значит, х + у = 180. Так как у = 2х, то х + 2х = 180,
Зх « 180, х = 60, у = 120. Итак, Zl = Z3 = 60°, Z2 = Z4 = 120°.
Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.
11. Пусть Z2 = Z3 = х, тогда Z1 = 180° - (Z2 + Z3) = 180 - 2х. По ус-
ловию Zl - Z2 = 75°. Значит, 180 - 2х - х = 75, откуда х = 35, т. е. Z2 =
= Z3 = 35°, Z1 = 180° - 70° = 110°.
Ответ: 110°, 35°, 35°.
К таблице 3
17. Так как АС = BD, ВС =AD (по условию) и АВ — общая сторона, то
ДАСВ = ДАОВ (по III признаку).
Из равенства этих треугольников следует, что ZC = ZO и так как
ВС = АО, АО = ВО, то СО = OD. Кроме того, ZAOC = Z.BOD (как верти-
кальные). Значит, ДАОС = ABOD (по II признаку).
Замечание. &АСВ = ДАОВ по I признаку, так как АС = BD, Z.CAB =
=ZABO и АВ — общая сторона.
32. 1) М)ОЕ = ACOF (по I признаку), тогда DE = CF.
2)	Д DEF = &CFE (по III признаку), так как EF — общая сторона,
DE = CF (по доказанному), DF = СЕ по условию (DO = ОС и ОЕ = OF),
тогда ZDFE = ZCEF.
1 82 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
3)	NDAF = АСВЕ (по I признаку), так как DF = СЕ, AF = BE (АЕ =
= BF по условию), EF — общая часть) и Z.DFA = ЛСЕВ (по доказанно-
му), тогда AD = ВС.
4)	AAED = NBFC (по III признаку).
К таблице 4
14. Рх = МК + KS + MS = 12 + 6 + MS = 18 + MS;
P2 = MS + SN + MN = MS + 6 + MN.
По условию P2 - Pi = 3, или MS + 6 + MN - (18 + MS) = 3,
MAT - 12 = 3, MN = 15.
Ответ: 15.
К таблице 5
17. В ДАМС AM = МС (по условию), медиана MN является биссект-
рисой, тогда ZAMC = 50° • 2 = 100°, ЛСМВ = ЛСВА = 180° - 100° = 80°
(СВ = СМ по условию).
Ответ: 80°.
К таблице 6
33. Так как AQNR — равнобедренный (QN = QR) и Z.NQR = 30°, тогда
ARNQ = Z.NRQ = (180° - 30°) : 2 = 75°, тогда ZNNQ = 30° + 75° = 105°.
Но ZNQM = 30° + 45° = 75° и, так как PKNQ + ZNQM = 105° + 75° = 180°,
то KN || MQ (по III признаку параллельности прямых).
К таблице 7
13.1 способ. ZA = Zl + Z2 = 60°, ZC = 25°, тогда ZB = 180° - (60° + 25°) =
= 95°, значит, ZAEB = 180° - (30° + 95°) = 55°.
II способ. ЛАЕС = 180° - (Z2 + ZC) = 180° - 55° = 125°, тогда ЛАЕВ =
= 180° - 125° = 55°.
Замечание. Задачу можно решить иначе, используя элементы AADB.
Ответ: 55°.
К таблице 8
10. Так как RO 1 PS и РО = OS, то APRS — равнобедренный, тогда
ЛР = ARSP (по свойству).
Пусть ATSR = Зх, ARSP = ЛР = 5х, тогда ЛТЗР = Зх + 5х = 8х. Так
как ЛТ = 115°, то получим уравнение 115 + 5х + 8х = 180, откуда х = 5,
т. е. ЛР - 5х = 25°, ZTSP = 8х = 40°.
Ответ: 25°, 40°.
К таблице 9
30. По условию МК = KS, значит, AMKS — равнобедренный, тогда
ЛМ = ЛМ5К = 35°. Аналогично в ASPN APSN = 25°. В AMSN ЛMSN =
= 180° - (35° + 25°) = 120°. Следовательно, ЛК8Р = AMSN - (ЛМ8К +
+ ZPSN) = 120° - 60° = 60°.
Ответ: 60°.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 1 83
К таблице 10
10.	AMKN — равносторонний (по условию), тогда Z.K = 60°; RK ± PR,
значит, APRK прямоугольный, тогда Z.RPK = 90° - 60° = 30°, т. е. RK =
= — РК. Но РК = —МК = —MN = 6,5, т. е. РК = — = 3,25 и NR = 13 -
2	2	2	4
-3,25 = 9,75.
Ответ: 9,75.
21. В ДАМЕ Z.MAE = 90° - 65° = 25°. В ДВСЕ ЕС ЕВ = 90° - 40° = 50°,
ЕВЕМ - ЕСВЕ = 40°, тогда в ДАЕВ ZBEA = 90° + 40° = 130°, значит,
ZEBA = 180° - (25° + 130°) = 25°, т. е. BE = АЕ.
В ДАЕВ ZBEA = 90°, ZEBA = 45°, тогда ZBAE = 45°, АЕ = BE. Следо-
вательно, BE = BE, значит АВ ED — равнобедренный, где EBED — 40°,
тогда ZBBE = (180° - 40°): 2 = 70°.
Ответ: 70°.
К таблице 11
9.	Так как АВ = BF, DC = CF (по условию), то ДАСВ — равнобедрен-
ный, тогда ZA = ZB (по свойству). Значит, /\AED = ABMF (по гипотенузе
и острому углу).
К таблице 12
16.	MN — искомое расстояние. По условию ВС = ВМ = МА = МС = 8,
значит, АВ СМ — равносторонний, т. е. ЕСМВ = 60°, тогда ZBMA =
= 180° - 60° = 120°, и, так как MN — высота равнобедренного ДАМВ, то
MN — биссектриса, т. е. EAMN = 60°, тогда ZA = 30°, значит MN =
= -МА = 4.
2
Замечание. Можно использовать теорему Фалеса и теорему о средней
линии треугольника.
Ответ: 4.
VIII класс
К таблице 2
24. В параллелограмме АВСВ ZB = ZB = 90°, тогда ZA = EDCB = 90°,
т. е. ABCD — прямоугольник и, так как DC = СВ, то ABCD — квадрат.
Поскольку ЕМСВ = 60° и ZB = 90°, то ЕСМВ = 30°, тогда СВ = — МС = 9
2
(по свойству катета, лежащего против угла в 30°).
Следовательно, Р = 9 • 4 = 36.
Ответ: 36.
1 84 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. /-9 классы
К таблице 4
8. Так как SFTM — параллелограмм и SF = SM (по условию), то
SFTM — ромб, тогда ST 1 FM и диагонали ST и FM ромба являются
биссектрисами его углов. Пусть Z2 = х, тогда Z1 = 10 + х, значит, Z1 +
+ Z2 = 90°, или 10 + х + х = 90, 2х = 80, х = 40, т. е. Z2 = 40°, Z1 = 10° +
+ 40° = 50°, тогда ZFSM = AFTM = 80°, ZSFT = ASMT = 100°.
Ответ: 80°; 80°; 100°; 100°.
К таблице 5
10. В параллелограмме Z7? = 90°, значит, EMKR — прямоугольник.
Так как AEFM = 45° и AR = AM = 90°, то ЛЕМЕ — равнобедренный и
ME = MF.
Пусть FK = х, тогда ME = MF = х + 6 и МК = 2х + 6. По условию
задачи Р = 36, тогда имеем уравнение 2((х + 6) + (2х + 6)) = 36, откуда
находим х = 2, значит, ME = KR = х + 6 = 8, МК = ER = 2х + 6 = 10.
Ответ: 8; 8; 10; 10.
К таблице 6
18. Так как ABCD — трапеция, то АВ || NM, тогда AANM = 70°,
AN АВ = 180° - 70° = 110°.
Поскольку NB — биссектриса AANM (по условию), то AANB =
= ABNM = 35°. Но ABNM = z = 35° — как накрест лежащие углы при
параллельных прямых АВ и NM и секущей ВМ, тогда AN МВ = z + 45° =
= 80° и ААВМ = 180° - 80° = 100°.
Ответ: 110°; 70°; 100°; 80°.
К таблице 8
15. По условию DE = FC = — EF, т. е. EF = 2DE = 2FC. В ЛЕКЕ про-
2
ведем высоту КМ, тогда ЕМ = MF = DE = FC. Заметим, что AADE =
= ЛКМЕ (DE = ЕМ и AAED = АКЕМ; AD = АЕМК = 90°) и ЛЕМ К =
= NFMK (по двум катетам). Аналогично AKMF = AFCB.
Пусть DC = 7х, тогда AD = 4х и S^qd = 7х • 4х = 28х2. По условию
S&EKf = 28. Но EF - DE + FC = —DC = — х и КМ = AD = 4х, тогда
2	2
1	17
^&£KF =	’ КМ, или S.xekf ~ х-4х = 28» или 7х2 = 28, х2 = 4, х = 2
тогда Sabcd = 28х2 = 28 • 4 = 112.
Замечание. Можно показать, что S^^ = 48Д£А-/’.
Ответ: 112.
К таблице 9
17. Указание. Обозначить AD = х, АВ = у, тогда 2(х + у) — 20. Пусть
S — площадь параллелограмма, тогда х-2-4 = у- 2- 6. Далее решить
систему уравнений х + у = 10; 2х = Зу, и т. д.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 1 85
22. Пусть в параллелограмме ABCD диагонали АС = dx и BD = d2, где
АС = 16, BD = 12. Так как АО = ОС и ВО = OD, то ДАОВ = \COD (по I при-
знаку равенства треугольников) и ЬВОС = AAOD (по той же причине). Но
равные многоугольники имеют равные площади, т. е. = S&COD и
S&aod = S^oct значит, Saqcd ~ 2&даов + 2Вдвос = 2(Вддов + ^двос)*
Но S^ob = —АО • ВО • sin 60° = — •—-d2sin 60° = — d^sin 60°;
2	2 2	2	8
Вдвое= — ВО ОС-sin (180°-60°) = — -d2-d1 sin 60°== - dxd2sin 60°.
2	2 2	2	8
Следовательно, = 2 • | — <^2 sin60° +—sin60° | =
k 8	8	)
= ^d1d2sin 60°.
•Уз
Поскольку di = 16, d2 = 12, sin 60° = —, to
2
Sabcd=\ 16 12 ^ = 48>/3.
Замечание 1. Фактически мы доказали, что площадь параллелограм-
ма В = — dxd2 sin ф, где dx и d2 — диагонали, ф — угол между ними.
2
Замечание 2. Полученная формула верна для любого выпуклого че-
тырехугольника.
Ответ: 48>/з .
К таблице 10
11. Задачу можно решить по формуле Герона. Покажем другое реше-
ние, основанное на применении формулы S = — а ♦ h, которое приводит к
2
относительно более простым вычислениям.
Проведем высоту BD. Пусть DC = х. Из ДАОВ BD2 = (Тб)2 - (V18 - х)2;
из ABDC BD2 = (Л0)2-х2. Сравнивая правые части полученных ра-
венств, имеем 5-(\/18 -х)2 = 10 - х2, откуда после упрощений находим
х = 23/6>/2, тогда BD2 = 10 - х2, или BD2 =	= 0ТКУДа =
'382 /12. Следовательно, S = —АС • BD = х/191 /4.
2
Ответ: V191 /4.
1 86 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
12. Указание. Достроить ДАВС до параллелограмма ABCD, затем при-
менить свойство df + d22 = 2(а2 + b2), где dx и d2 — диагонали, а и & —
смежные стороны параллелограмма.
Замечание. Задачу можно решить и по формуле S = — а • h (см. № 11).
47	^ДПЕС DC'СЕ 5 тт	о
19. Указание. =-------------= —. Далее обозначить S\DEc — х
S^BC СВСА 12
^давс = У и решить систему уравнений
х 5
<~у~12’
х + у = 51.
К таблице 11
18. Пусть ВС = х, тогда AD = 2х. Проведем высоту MN. По условию
задачи S^md = 120, или — AD • MN = 120, или — • 2х • h = 120, xh = 120
2	2
где h = MN — высота &AMD (и трапеции). SABcd =
-\-BM-h] +
2 12 J
1 fl	Al
+	+ — -MCh = — xh + 120.
2^2	)	2
Так как xh = 120, то SABCn = 180.
Замечание. Нетрудно заметить, что S^abm = Samcd = — xh и вддд^р = xh,
4
т. е. Вддд/р = 2(8ДАВЛ/ +
20. Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD трапеции
ABCD, где AD = ВС. Так как AC ± BD (по условию), то S = Вдрдс + *Здавс =
= —АС • OD + —АС • ОВ = —АС • (OD + ОВ) = —АС • BD.
2	2	2	2
Но АС = BD = 8, тогда S = | • 82 = 32.
Замечание. Фактически мы доказали, что «если в трапеции диагона-
ли перпендикулярны, то площадь S = — -d2, где dx и d2 — длины диа-
2
гоналей. В частности, если трапеция равнобедренная, то d\ = d2 = d,
тогда S =
26. По условию задачи S&BOC = 4 м2 и S^OD = 25 м2. Заметим, что
S&aob = 'Здеон (доказать самостоятельно).
Разлел Ш. Решения некоторых задач •» 187
Тогда S^ob : s&boc = saaod • sacod, откуда находим S^0B = SlCOD =
= Вдвое • SMOD = 100, тогда Smob = S^C0D = 10 (м2), значит S = S^oc +
+ 8 mod + 2S&AOB = 4 + 25 + 2 • 10 = 49.
Ответ: 49.
К таблице 12
42. Пусть TL = a, MT = b, тогда Pmklt = 2(a + b) = 40, или a + b = 20.
Заметим, что Smklt = TL • 2CO = MT • 2BO, где BO = x, значит, 8a = 2bx =
12
= 48, a = 6, 5 = 20-6 = 14, тогда 2b x = 48, x = —.
л 12
Ответ: —.
7
45.	Пусть LT = a, RQ = b, тогда MT = —(a - b). По условию SLRQT =
• x, где QM = x — высота трапеции, SLRQT = 300, или a +~ • x = 300,
2	2
(a + b)x = 600. LM = LT - MT = a - -(a - b) = -(a + b)2.
2	2
тт . 600	Т.. 300 __ АГ.,Л	f300f	2 й_к
Но a + b =--, тогда LM =----. Из &LMQ имеем ------ +х =625,
X	X	I X )
90000	2 _OK
или---з— + x =625.
x
Решая полученное биквадратное уравнение, находим Xj = 15; Хг = 20.
Ответ: 15; 20.
50. Указание. Из точки С провести прямую, параллельную диагона-
ли BD до пересечения с продолжением основания AD в точке Е. Далее
доказать, что ДАСЕ — прямоугольный.
54. Указание. Провести высоту DE, обозначив АЕ = у, где у = — (20 - х).
2
Для нахождения DC = х, составить систему уравнений
{/ = |(20-х),
4 .,2 ,1,2	1 п2
У +П =10 ,
(20 + х)Л = 360,
в результате чего получится уравнение (20 4- х)2(6 + х)(46 - х) = 7202,
а после упрощений решить уравнение х4 -1476 х2 - 27 040 х + 408 000 = 0.
Далее доказать, что х = 10 — единственный корень.
Ответ: 10.
1 88 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
К таблице 13
22. Пусть QN = a, QE = EF = Ь, ЕМ = с. Так как QE = ЕЕ, то \QEF —
равнобедренный, тогда Z.FQE = Z.QFE, Но EF ± NM и QN ±NM, значит,
QN || EF, тогда /NQF = ^EFQ, т. е. QF — биссектриса Z.NQM, следова-
NF QN а 4
тельно, ---=----, или----=—.
FM QM	Ь + с 5
& + С	с
Из подобия AMFE и AMNQ, имеем-----= —, или
8+10 10
Кроме того, из AMFE с2 - b2 = 100.
— =	50
9	5’ находим с=—,
с2-Ь2 = 100,	3
Решая систему <
Ь + с _ с
~<Г~5
к 40
b =—; так как
3
л 4
---= —, то а = 24. Значит, Рдмхо =x=a+b+c+ 18= 72.
b + c 5
Ответ: 72.
36. Пусть AD = a, DC = b. По условию АС = ВС = а + Ь, АС - АВ = 4,8 и
а _ 3
b 5
_	„	,	а АВ АВ АВ	о
По свойству биссектрисы — -	=---- и (а + Ь) - АВ = 4,8, от-
куда АВ = (а + Ь) - 4,8, тогда —-	, АВ = —(а + Ь), значит,
b а + Ь 5	5
3	24
— (а + Ь) = (а + Ь) - —, или а + Ъ = 12.
5	5
Так как Рддвс = х, то х = АВ + 2АС = — (а + Ь) + 2(а + Ь) = —-12 +
b	5
+ 2 • 12 = 12•(-+2^1 = — = 31,2.
15	)	5
Ответ: 31,2.
К таблице 14
24. Пусть ZE = Z4, тогда в AMEL Zl + Z3 + Z4 = 180°; EMLF = Z5,
тогда Z5 = Zl + Z4 = 180° - Z3; ZF = 180° - (Z2 + Z5) = 180° - (Z2 +
+ 180° - Z3) = Z3 - Z2.
Так как Z3 = Zl + Z2 (по условию), то ZF = Z1, значит, AEML ~
~ AMEF (по I признаку), тогда EL : ЕМ = ЕМ : EF, или х2 = 8 • 18, х = 12.
Ответ: 12.
Разлел Ш. Решения некоторых задач •» 1 89
28. Поскольку ВС || AD, то ABCD — трапеция, тогда АВОС ~ AAOD (по
X
I признаку). Следовательно, — = k, где k — коэффициент подобия. По
У
условию Smoc : s&aod =1:9, или k2 =±; k = ^. Значит, — = ^~, откуда
У о	I/O
у — Зх. Но х + у = 9,6, тогда Зх + х = 9,6, х = 2,4; у = 2,4 • 3 = 7,2.
Ответ: х = 2,4; у = 7,2.
К таблице 17
15. Через вершину N проведем прямую NA || ME до пересечения с
продолжением ТК в точке А. Заметим, что ATNA — прямоугольный.
Кроме того, S&TNA = STMNA (доказать самостоятельно).
Пусть MN = х, ТЕ = у. Из ШЕК ЕК = л/152 -92 = 12;
&TMNA = ~(Х + у + 12) • 9.
&
С другой стороны, STMNA = S^TNA = — * 15 • TN, где TN2 = 81 +(х + у)2,
2
15	9	3
Значит, —7W = —(х +у + 12), откуда TN = —(х + у + 12), тогда
2	2	5
9
— (х + у + 12)2 = 81 +(х + z/)2, или, после упрощений имеем 16(х + у)2 -
25
27
- 216(х + у) + 729 = 0, или (4(х + у) - 27)2 = 0, откуда находим х + у =—,
4
9 (27
тогда STMNK =	—+12
2^4
Ответ: 84,375.
675 ол ___
---- = 84,375.
8
К таблице 18
13. Указание. Из вершины В опустить высоту на сторону АС.
К таблице 19
17. Указание. Учесть, что AD = BD = CD = R, где R — радиус описан-
ной окружности с центром в точке D.
21. Так как CF — медиана ААВС и ZA.CB = 90°, то FA = FC = FB = 6 —
радиус описанной окружности. Из АСЕР СЕ = >/б2 -(Зл/З)2 = 3; из ДАЕС
находим АС = л/аЕ2 +СЕ2, или АС = \]зб\/3+72 = 6^2 + \/3.
190 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Тогда sin ZA =--= —,-----, cos ZA =  - —(у2 + 7з).
ас зТаТТз ас 2"
Замечание. Можно показать, что 2 + у'З = —(>/з+1)2, тогда
sin ZA = — (>/3 -1) и cos ZA = ——(>/3 +1).
4	4
К таблице 20
19. Пусть Е — точка касания касательной АВ к окружности,
тогда NA = АЕ и BE = ВК. По условию Рдмав = 48, или МА + МВ +
+ АВ = 48, где АВ = АЕ + ЕВ = AN + ВК, тогда МА + МВ + AN + ВК =
= (МА + AN) + (МВ + ВК) = MN + МК = 48. Но MN = МК, тогда MN =
= МК = 24.
Ответ: MN - МК = 24.
К таблице 21
9. Указание. Предварительно доказать, что ZEAF = —(uEP-oBC).
45. Указание. Учесть, что /.ВМС = —(uBC + uAB).
54. Указание. Пусть оАВ = ЮЛ, тогда оСА = 12&. Далее решить урав-
нение 10/г + 12ft + 140 = 360.
К таблице 22
13. Указание. Продолжить RK до пересечения с основанием MN в
точке Р. Далее учесть, что по свойству медиан RK = 2КР.
17. Из прямоугольного AMDC, где МС = 26, MD = —MN = 10, имеем:
CD = л/262-102 = 24.
По условию Ог — точка пересечения медиан ACMN. Пусть O^D = х,
тогда OiC = 2х, тогда х + 2х = 24, откуда х = 8, ОХС = 2х = 16.
Пусть OD = у, получим ОО^ = DC - (2х + у) = 24 - (16 + у) = 8 - у.
Заметим, что 8МКС =
-MN • DC = — МС • NB, или 20 • 24 = 26 • NB, от-
2	2
куда находим NB -
240
13
Ответ:
240
13 ’
Разлел III. Решения некоторых задач •» 191
К таблице 23
11. Так как ЛАВС — прямоугольный, то АВ = л/242 + 102 = 26. Пусть
OD = г — радиус вписанной окружности. Заметим, что ВМ = BN, AN =
= AD и МС — CD = OD = г. Пусть N — точка касания АВ и окружности,
тогда АВ = BN + AN = ВМ 4- AD = (ВС - г) 4- (АС - г) = АС 4- ВС - 2г,
откуда находим г = — (АС 4- ВС - АВ) = 4.
2
Ответ: 4.
21. RT = 13 4- 5 = 18. S^EF = ± • 18 • EF = 9EF. Пусть RE = RF = x,
ET = TF = у, тогда S&REE = 18y. Из AERT x2 - у2 — 182. Кроме того,
S&REF ~ где a = b = RE = x, c = EF = 2y, R = 13 — радиус описанной
47?
окружности. Значит, S^ef =----— = 18y, откуда x2 = 26 • 18.
4-13
Ho x2 - у2 = 182, тогда у2 = 18 • (26 - 18) = 144, у = 12, тогда SAREf =
= 18-12 = 216.
Ответ: 216.
36. Пусть ВС = а, АС = Ь, АВ = с, г = 4, тогда г = —(а 4- b - с) (см.
2
№ 11), или — (a 4- b - 20) = 4, где с = AM 4- MB = 20. Значит, a 4- b = 28.
2
Кроме того, а2 4- Ь2 = 400. Имеем систему уравнений V
(а 4- b = 28,
(а 4- Ь)2 = 400 4- 2аЬ, или 400 4- 2аЪ — 784, откуда ab = 192.
Значит, Вддвс = — аЬ = 96.
2
Ответ: 96.
42. Поскольку QP = 4, QM = 2 и QM 1 РМ, то ZP = 30° => <jQR =
= 60°, значит, ZO = 60°. Так как QO = OR, то ZOQR = Z.ORQ = 60°, т. е.
A.QOR — равносторонний, тогда OR = 6.
Ответ: 6.
44.1 способ.
В равнобедренном ЛАВС АС = ВС = 10, ОМ — радиус вписанной окруж-
ности, тогда ОМ ± АВ. Проведем высоту МС, тогда в ЛАМ С cos ZA =
AM
=-----= 0,6, значит, AM = 10 • 0,6 = 6, тогда АВ = 12. По теореме Пифа-
АС
1 92 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
гора МС = уЮ2 -62 = 8,	= —АВ • МС, а с другой стороны, Зддвс =
2
= р • г = (АС + ВС + АВ) • ОМ, тогда 12 • 8 = (10 + 10 + 12) • ОМ, откуда
ОМ = 96 : 32 = 3.
Ответ: 3.
II способ.
Пусть К — точка касания окружности и касательной АС. Заметим,
что ААМС ~ АСКО (как прямоугольные, имеющие общий острый
AM КО
/АСМ). Из подобия имеем: —= ./fC ’ где AM - 6, МС = 8. Кроме того,
6 4
КС = 10 - АК = 10 - AM = 4, значит, КО = - = 3. Но КО = ОМ, т. е.
8
ОМ = 3.
Ответ: 3.
48.	Проведем высоту КМ на основание EF, тогда в равнобедренном
AKEF (KE = KF), высота КМ является и медианой, т. е. ЕМ = MF = 24.
1	obc
S&EKF ~ • 48 • КМ - 24КМ; с другой стороны, S&EKF = ---, где a =
2	4R
= ЕК, Ъ = KF, с = EF, R = ЕО = 25, тогда имеем: 24 • КМ = K—-—F-12^
25
12.г2
Пусть КМ = h, KE = KF = х, тогда 24 • h = -------, или х2 = 50h.
23
Из АКМЕ х2 = h2 + 242, тогда получим 50й = h2 + 576, или h2 - 50h + 576 = 0,
откуда находим = 18, h2 = 32. Значит, х2 = 50 • 18 = 900, откуда х = 30,
или х2 = 32 • 50 = 1600, х = 40. Следовательно, ЕК = 30, или ЕК = 40.
Ответ: 30, или 40.
59.1 способ.
Проведем высоту трапеции BE. Так как ZA = 60°, то /АВЕ = 30°.
Точка О — центр вписанной окружности, значит, АО — биссектриса
угла А, т. е. ZOAK = 30°, тогда ААВЕ ~ ААОК как прямоугольные, име-
ющие равные острые углы.
Пусть АР = 2х, ВС = 2у, MN = 20, тогда (2х + 2у) : 2 = 20, или 2х +
+ 2у = 40.
Но АВ + СР = ВС + АР (по свойству описанного четырехугольника),
или 2АВ = 2х + 2у = 40, АВ = 20. Следовательно, АВ : BE = АО : АК, или
10 : ОК = АО : х. Из ААОК, где /ОАК = 30° => ОК = |аО, тогда АО =
= 2 • ОК, т. е. 10 : ОК = 2 • ОК : х2.
Разлел Ш. Решения некоторых задач •» 193
Но ctg 30° = —— => х = ОК4%, тогда--=-----т=, или---= —т=, от-
ок	ок ок4з ок 7з
куда ОК = 5\/3 .
II способ.
MN = 20, х + у = 10, 2АВ = 40, АВ = 20 (см. I способ).
Из АВЕА cos 30° =	- — — -	откуда ОК =	.
АВ 20	2
Ответ: 5л/3 .
63. По условию MNRK — прямоугольная трапеция. Заметим, что
ZN + ZJ? = 180° (как сумма односторонних углов). Но точка О — центр
вписанной окружности, OR и ON — соответственно биссектрисы углов R
и N, тогда ZORN + ZONR = 90°, т. е. ARON — прямоугольный, значит
RN = >/б2+82 = 10.
Высота ARON равна радиусу вписанной в трапецию окружности, тог-
да высота трапеции равна диаметру этой окружности. Пусть ОТ — высо-
та AORN, тогда S&RON = — OR • ON = — RN • ОТ, или 6 • 8 = 10 • ОТ, отку-
2	2
да ОТ = 4,8, значит, RE = 2 • ОТ = 9,6, где RE — высота трапеции,
опущенная на основание MN.
Но MN + KR = КМ + RN (по свойству описанного четырехугольника),
значит, КМ + RN = RE + RN = 19,6, тогда SMNRK = —(MN + KR) • RE =
2
19 6
9,6 =94,08.
2
= ±(КМ + RN) • RE =
Ответ: 94,08.
67. Проведем высоты EF и QK на основание МТ. Так как EQ || МТ, то
MTQE — трапеция (равнобедренная). По условию MQ — биссектриса ZM.
Заметим, что ZQMT = /_MQE = 30° (как внутренние накрест ле-
жащие при параллельных прямых МТ и EQ и секущей MQ). Тогда
Z.EMQ = ZMQE = 30°, т. е. AMQE — равнобедренный (по признаку рав-
нобедренного треугольника). Пусть EQ = 2х, МТ = 2у, ME = EQ = 2х.
Из AMEF MF =—ME = х, EF = ^4х2 - х2 = л/з*2 = х/З.
2
Из AMQK MQ = 2 • QK = 2  EF = 2хТз.
-Здмет = —МТ • QK = — • 2у • X\i3 = ху^З’, с другой стороны,
2	2
194 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Q MQ QT MT о V3 2	/г V3 2
Samqt = ---—тпг--, или S&MQT = —-х2у, значит, xi/<3= — х у,
4 • QO	4	4
откуда х = 4.
Следовательно, SMTQE = — (МТ + QE) • EF = (х + у) - х>/з.
2
Но МТ = 2MF + FK = 2MF + EQ = 4х, или 2у = 4х, у = 8, значит,
Smtqe = (4 + 8) • 4>/з = 48л/3 .
Ответ: 48^3.
76. Так как EF || TR, то TRFE — трапеция. По свойству описанного
четырехугольника TR + EF = ЕТ + FR, или TR + EF = 28. Но TR - EF =
- 14. Пусть TR = х, EF = у, где х > 0. Имеем систему уравнений
[х + у = 28, Г2х = 42, (х = 21,
[x-i/ = 14; [2г/ = 14; (у = 7.
Итак, TR= 21, EF = 7.
Проведем высоты АЕ и FB трапеции. Пусть ТА = г, тогда АВ = EF = 7,
BR = 21 - (2 + 7) = 14 - 2.
Из ЛТАЕ ЕА2 = 132 - г2; из AFBR FB2 = 152 - (14 - z)2. Так как ЕА =
= FB, то 132 - 22 = 152 - (14 - z)2, или (14 - z)2 - z2 = 152 - 132, откуда
находим 2 = 5, тогда ЕА2 = 132 - 52, ЕА = 12.
Значит, STRFE = |(ТЛ + EF) • ЕА = | • 28 • 12 = 168.
Ответ: 168.
83. ABCD — ромб (по условию). Пусть АВ = х, тогда Р = 4АВ =
= 4х = 80, откуда х = 20. Так как АС = 32, то АО — 16. Из ДАОЕ АО2 =
= АЕ2 + ОЕ2, или АЕ2 + ОЕ2 = 256. Так как АС 1BD (по свойству ромба),
то ДАОВ — прямоугольный и, так как ОЕ ± АВ, то АО2 = АВ • АЕ, или
162 = 20 - АЕ, откуда АЕ = 64/5.
(64^2	(	64V	64^
Значит, — + ОЕ2 — 162, или ОЕ2 = 16-----16 + — , или ОЕ2 =
15/	I 5 Л 5 )
16 144	4 12 л с
—---откуда ОЕ = —— = 9,6.
5	5	5
Ответ: 9,6.
86. Угол А правильного шестиугольника равен: ZA = 180° • (6 - 2): 6 =
= 120°; АО — биссектриса ZA, т. е. Z0AM = 60°, где М — точка касания
/— у/з 15
с окружностью. Из ДАОМ ОМ = АО • sin 60° = 5уЗ-= —.
Но ОМ — 7) АВ’ тогда АВ = 15.
Ответ: 15.
Разлел III. Решения некоторых залач •» 195
К таблице 24
20. Пусть ЕА = 2х, AF = 5х, тогда EF = 7 х. По правилу треугольника
KE + EF = KF, или КЕ + 7х = п.
Аналогично КА + AF = KF, или m + 5x = n; КЕ + ЕА = КА, или
КЕ + 2х = т, откуда КЕ = т-2х. Так как КЕ + 7х = п, то т-2х + 7х-п,
- - -11- 1- 1->
или 5х = п-т, откуда х = —т +—п, значит, КЕ = т-2\—т + — п\ =
5	5	I 5	5 )
7 — 2-
—т—п.
5	5
__. 7 _ 2 -
Ответ: КЕ =—т—п.
5	5
23. Поскольку М — середина АС, то AM = МС; аналогично BN = ND.
MN = MC + CN = -AC + (CD + DN) = —(AD + DC) + CD +—DB =
2	2	2
= -AD + -DC + CD + ~(DC + CB) = -AD + -DC + CD + -DC + -CB =
2	2	2	2	2	2	2
= — AD +—CB + (DC + CD) = —AD +—CB = — (AD + CB), что и требовалось
2	2	2	2	2
доказать.
30. По условию MNKE — прямоугольная трапеция, где МК ~ 2^2 ,
ZMKN = 45° и АМКЕ = 90°.
Проведем высоту KF к основанию ME. Заметим, что Z.MKN = ZKME =
= 45°, как внутренние накрестлежащие углы при параллельных пря-
мых NK и ME и секущей МК. Но тогда Z.E = 45°, т. е. АМКЕ — равно-
бедренный, и МК = КЕ. Кроме того, NM = KF (как высоты трапеции) и
NM || KF, значит, \KE-KM + KN\ = \KE + MK + KN\ = \KE + MN\ =
= \KE + FK\=\FE\.
Из ШКЕ, где EMKE = 90°, МК = КЕ = 2^2 , ME2 = (2>/2)2 + (2>/2)2 = 16,
откуда ME = 4. Тогда FE — 2, значит, | FE| = 2.
Ответ: 2.
35. Из точки С проведем CF || АВ и соединим точки В и F. Из точки
С проведем СЕ || BF, тогда AF = FE = ВС = 5 (по построению) и ED =
= AD-(AF + FE) = 3.
196 «• Геомегрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Действительно, a-CD-BC + AB = FA + CD + AB = CD + FB =
= CD + FC + CB = CB + (FC + CD) = CBaFD = FA + FD = FA + (FE + ED) =
= FA - FA + ED = ED. Значит, | a |=| ED | =3.
Ответ: 3.
К таблице 25
11. Проведем высоту СЕ трапеции ABCD, где АВ = CD, АС = 16, тогда
MN = ^(AD +ВС).
Пусть DE = х, ВС = у, тогда MN = — (2х + 2у) = х + у.
2
Так как ZCAD = 60°, то ЛАСЕ = 30° =>АЕ = —АС = 8. Но АЕ = х + у,
2	У
значит, х + у = 8 и MN = АЕ = 8.
Ответ: 8.
16. Проведем высоту FT трапеции CEFK, где СЕ = FK, MN = 4,
Scefk = 8. Scefk = —(СК Ч" EF) ' FT = 8, или M^N  FT = 8, где A1N =
2
= ^(СК + EF) = 4, значит, 4FT = 8, FT = 2.
Пусть EF = х, СК = у, тогда ТК = - (у - х), СТ = СК - ТК =
2
= У -	- х) = ±(х + у) = MN = 4.
FT 2
Из ACFTtga = —— = — = 0,5.
СТ 4
Ответ: 0,5.
20. Поскольку О — центр вписанной окружности, то МО и NO — бис-
сектрисы углов KNM и LMN, тогда
ZOMN + EONM = -(EKNM + ELMN) = - • 180° = 90°, т. е.
2	2
Z.MON = 90°, тогда MN = >/36 + 64 - V100 = 10. Заметим, что высота ОА
N0MN является одновременно и радиусом вписанной окружности.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 197
Тогда StwoN =
— ОА • MN = — ОМ • ON, откуда ОА = 4,8 (ОА — высота
2	2
&OMN, опущенная на MN). Значит, KL = 2 • ОА = 9,6, так как KL —
= 21--диаметр вписанной окружности. По свойству описанного четы-
рехугольника KN + LM = KL -I- MN = 10 + 9,6 = 19,6, тогда
EF = | (KN + LM) = 9,8.
Ответ: 9,8.
23. Пусть ВС = х, CD = 2х, AD = у. Так как EF — средняя линия тра-
пеция ABCD, то Х + У =20, или х + у = 40. Из ДАОС, где ZADC = 90°,
2
имеем: АС = ^4х2 + у2.
Проведем высоту ВМ, тогда из ND MB DB = х]вМ2 + DM2, где ВМ =
= CD = 2х; DM = х, тогда DB = xj4x2 +хг = xlbx2 = хл/б.
Так как AC ± BD, то =
—АС • BD (см. № 478 «Геометрия 7-9»
Л.С. Атанасян и др.). Sabcd = —\4х2 +у2 xV5. С другой стороны, Sabcd
= — (х + у) • 2х, тогда получим —
2	2
л/б(4х2 +р2) = 2(х + у), х 0.
Но х + у = 40, тогда ^5(4х2 + у2) = 80, или 4х2 + у2 = 1280.
Имеем систему уравнений
< 4х2+ z/2 =1280,
х + у = 40;
4х2 + (40-х)2 = 1280,
[у = 40-х.
Упрощая первое уравнение системы, получим х2 - 16х + 64 = 0, или
(х - 8)2 = 0, откуда х = 8. Значит, ВС = х = 8.
Ответ: 8.
26. Предварительно докажем, что «если в трапеции сумма углов при
основании равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований,
равен их полуразности».
Пусть точки К W.F — середины оснований AD и ВС. Пусть AD = 2х и
ВС = 2у. Проведем КЕ || АВ и KL || CD. Заметим, что Z.KEF = ZA = 70° и
Z.KLF = Z.D = 20°, тогда ZEKL = 90°, т. е. NEKL — прямоугольный и
KF — медиана NEKL и, значит, KE = KF = FL — — EL = — (AD - ВС), что
2	2
и требовалось доказать.
1 98 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Следовательно, ~ 2z/) = 2, или x - у = 2.
Кроме того, MN = —(AD + BC) = 4, или x 4- у = 4.
2
„	„ \x + y = 4,
Решая систему уравнении <	„ способом сложения, находим
[х-у = 2
2х = Q, 2у = 2, т. е. AD = 6, ВС = 2.
Ответ: ВС = 2, AD = 6.
IX класс
К таблице 1
k =
6. а) Так как векторы
FN
и F0 сонаправлены, то k > 0, значит,
FN
FN
FO
- FN
2
FN
1
-FN
2
б) Аналогично имеем: k > О,
МО
ME
-ME .
= 2= 1
ME 2
k =
в) Векторы ON и NF противоположно направлены, значит, k < О,
тогда k = -
ON
NF
-NF ,
__2__= _1
NF 2
r) k < 0, FM = NE,
д) k < 0, MN = EF,
k = -
k = -
FM	_ FM _
NE	~ NE~
MN	MN -
\ef\	EF '
-1.
-1.
е)/г < 0, FA = AO =
— FO = -FA; k = -
2	4
FA
NF
-FN .
__4__= _1
FN 4
Разлел III. Решения некоторых залач •» 199
1	Я
ж)	k > О, FA = -FN, AN = 3FA = -FN,k =
4	4
-FN
_____ 4___з
|FA| -^FN
AN
1	Я	FN	FN	4
з)	k < 0, NA = FN - FA = FN - —FN = —FN, k = --= = -^— = --.
4	4	NA	3fn	3
4
и)	Так как стороны NE и EF параллелограмма не параллельны, то
векторы NE и EF не коллинеарны, т. е. число k не существует.
к)	Аналогично и) число k не существует.
11	14
Ответ: а) 2; б) —; в) —; г) -1; д) -1; е) —; ж) 3; з) —; и), к) число
2	2	4	3
k не существует.
К таблице 2
14. Пусть D — середина отрезка АВ, тогда
xD = |(хА + хв) = |(l + 7) = 4;i/B = |(2 + 10) = 6.
Значит, 0(4; 6). Но точка С — середина отрезка AD, тогда
хс = |(1 + 4) = 2,5; ус = |(2 + 6) = 4, т. е. С(2,5; 4).
Ответ: (2,5; 4).
16. По условию EK - KF. Но ЕК = 7(х - 2)2 + (0 - 2)2 = 7(х-2)2+4;
KF = 7(6-х)2 +(10-О)2 = 7(6-х)2+100.
Значит, 7(х-2)2 +4 = 7(6-х)2 +100, или (х - 2)2 + 4 = (6 - х)2 + 100,
откуда находим х = 16.
18. Координаты вершин параллелограмма ОАСВ: 0(0; 0), А(6; 0),
С(х; у), 23(3; 2).
Так как противоположные стороны параллелограмма равны и парал-
лельны, то ОВ - АС.
ОВ{3-0;2-0} = АС{х-6; у - 0}’, ОВ{3; 2} = АС{х-6; у}.
Так как ОВ = АС, то 3 = х - 6; 2 = у, т. е. х = 9; у = 2.
Значит, координаты точки С(9; 2).
200 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Тогда АС = 7(9-6)2 + (2-0)2 = V13; ОС = 7э2 + 22 = 785.
Ответ: АС = V13; ОС = V85; С(9; 2).
20. Координаты вершин трапеции ОАВС: 0(0; 0), А(2; 4), В(х; у),
С(12; 0). Так как АВ || Ох, то АВ {5; 0}. С другой стороны, АВ {х - 2; у - 4},
тогда имеем: х - 2 = 5; у - 4 = 0, т. е. х = 7; г/ = 4. Значит, точка В имеет
координаты (7; 4). Следовательно, СВ = 7(7 -12)2 +(4-0)2 =741; ОВ =
= 772 + 42 = >/б5.
Ответ: ВС = >/41, ОВ = >/б5.
К таблице 3
5. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы АС совпало
с осью Ox, BD — с осью Оу, а точка D — с началом координат. Найдем
координаты точки Е — середины отрезка ВС:
хЕ = ~(хв + хс) = ~(0 + 16) = 8; уЕ = -|(12 + 0) = 6. Значит, Е(8; 6).
Так как AABD = 45° и ZADB = 90°, то ABAD = 90° - 45° = 45°, т. е. AD =
= BD = 12, т. е. А(-12; 0).
Теперь находим АЕ: АЕ = 7(8 + 12)2 +(6-0)2 =
= >/400 + 36 = >/436 = 2\109.
9. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы основание
КР совпало с осью Ох, а ось Оу прошла через вершину D перпендикуляр-
но КР. Пусть О — начало координат. В AKOD, где АК = 45°, KD = 4>/2,
AKOD = 90°, находим: KD2 = КО2 + OD2. Так как AKDO = 90° - 45° = 45°,
то DO = КО, т. е. 2 • КО2 = KD2, откуда КО = DO = ^2 =4.
V2
Значит, 0(0; 4), К(-4-, 0), Р(5; 0) (так как ОР = КР - КО = 5).
По условию Е — середина DP, тогда хЕ = — (xD + хР) = — (0 + 5) = 2,5;
2	2
Уе= 1(4 + 0) = 2,т. е. Е(2,5; 2).
d
Следовательно, КЕ = 7(2,5+ 4)2 + (2-0)2 = ^42,25 +4 = л/46,25 =
= 7185/4 = >/185/2.
Ответ: >/185/2.
Разлел III. Решения некоторых задач •»» 201
К таблице 4
13. Уравнение окружности с центром в точке Oi(0; у0) имеет вид
(х - х0)1 2 * * * 6 + (у - уо)2 = г2. Так как точки М(-3; 0) и N(0; 9) принадлежат
окружности, то имеем: 9 + (0 - у0)2 = г2, или 9 + у$ = г2 и (0 - О)2 +
+ (9 - у q)2 = г2, или (9 - у о)2 = г2. Сравнивая левые части полученных ра-
венств, получим 9 + t/о = (9 - Уо)2, или 9 + уц = 81 — 18уо + у2, 18у0 = 72,
Уо = 4, тогда г2 = 9 + 42 = 25. Значит, уравнение окружности имеет вид
х2 + (у - 4)2 = 25.
Ответ: х2 + (у - 4)2 = 25.
14. Центр окружности расположен на оси Ох, значит Oi(xo; 0), тогда
(х - х0)2 + у2 = г2. MN — диаметр окружности, тогда Oi — середина MN,
т. е. х0 = |(хм + Ху) = |(-2 + 4) = 1.
Имеем: (х - I)2 + у2 = г2.
Точки М(-2; 3) и У(4; -3) принадлежат окружности, тогда получим:
(-2 - I)2 + З2 = г2, или г2 = 18.
Значит, уравнение окружности запишется в виде (х - I)2 + у2 = 18.
Ответ: (х - I)2 + у2 = 18.
К таблице 5
3. Прямая 2х + У + 4 = 0 пересекает оси координат в точках М и N.
Так как точка М принадлежит оси Ох, то у = 0, тогда 2х + 0 + 4 = 0;
х = -2, т. е. М(-2; 0). Аналогично, х = 0, тогда 2*0 + у + 4 = 0, у = 4,
т. е. А(0; -4).
В AMON AMON = 90°, МО = 2 и NO = 4, тогда SAMon = —МО ON = 4.
2
Ответ: 4.
8. Найдем координаты точки М — середины отрезка АВ:
Хм = ^(хА + хв) = |(8 + (-8)) = 0, Ум = ~(12 + 0) = 6.
Значит, М(0; 6).
Уравнение медианы (прямой) СМ имеет вид ах + by + с = 0. Так как
точки С и М принадлежат прямой СМ, то их координаты удовлетворя-
ют уравнению прямой: а • (-2) + b • (-8) + с = 0, или -2а - 86 + с = 0 и
а-0 + 6- 6 + <? = 0, или 66 + с = 0, откуда b = с, тогда
6
1 А	7
—с + с = 0, т. е. а = — с.
6 J	6
Подставляя значения а и Ь в уравнение прямой, получим:
7	( 1 \	7	1
—с • х + —с у 4- с = 0, где с * 0, или —х—у + 1 = 0, т. е.
6	I 6	6	6
-2а - 8 •
202 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
7х ~ у + 6 = 0 — уравнение медианы СМ.
Ответ: 7х - у + 6 = 0.
10. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох
прошла через АС, а диагональ BD оказалась на оси Оу, где О — начало
координат (точка пересечения диагоналей АС и BD).
Запишем координаты вершин ромба: А(-10; 0), В(0; 4), С(10; 0),
0(0; -4).
Уравнение прямой АВ имеет вид ax + by + с = 0. Так как точки А и В
принадлежат прямой АВ, то
Га(-10) + &0 + с = 0, Г-10а + с = 0,	Га = 0,1с,
[а-0 + &-4 + с = 0;	4Ь + с = 0; |Ь = -0,25с.
Подставляя значения а и Ь в уравнение прямой, имеем:
0,1с • х + (-0,25с) • у + с = 0; с ф 0, или 0,1х - 0,25i/ +1 = 0, или, умно-
жив обе части полученного уравнения на 20, получим 2х - 5у + 20 = 0.
Ь = -—с,
4
1
а =---с.
10
_	„ „„	а 0 + Ь-4 + с = 0,	|4Ь + с-0,
Для прямой ВС имеем: 4 „ Л , Л „ <L Л
F	|а-10 + Ь-0 + с = 0; 110а + с = 0;
Значит, уравнение ВС примет вид -—сх-—су + с = 0, с + 0, или
2х + 5у - 20 = 0.
Аналогично для прямых DC и AD получим соответственно (решить
самостоятельно): 2х - оу - 20 = 0 и 2х + 5у + 20 = 0.
Замечание. Относительно осей Ох и Оу ромб может иметь и другое
расположение, что равносильно замене оси Ох на Оу и, наоборот. Тогда
придется заменить х на у и у на х.
Ответ: 2х - 5у + 20 = 0, 2х - 5у - 20 = 0, 2х + Ьу - 20 = 0, 2х + 5г/ +
+ 20 = 0.
К таблице 6
10. Предварительно докажем, что = ~АС • BD • sin а, где а =
2
= ZAOB. Поскольку ABCD — параллелограмм, то АО = ОС и ВО = OD
(по свойству), тогда SABCD = ZS^ob + 2SAB0C = 2 - Ц АО ВО sin а +
+ ±ОВ • ОС sin(180°- а)
• ВО - (АО sin а + ОС sin а) =
= ВО sin а • (АО + ОС) = ВО • АС • sin а = -^АС * BD sin а» ч* т* Д-
Разлел ///. Решения некоторых задач •» 203
Следовательно, S^bcd = — ' 16 • 20 • sin 60° = 160 • —— = 8Q>/3.
2	2
Ответ: 80>/з.
14. Так как MNKL — параллелограмм (по условию) и ZM = Z.K = 60°
(по свойству), то AKEF — равносторонний. Кроме того, NK = KL — 24 и
KE = — NK= 12.
2
Значит, S^KF = — ЕК • KF • sin 60° = - • 12 • 12 • — = 36л/3.
2	2	2
Ответ: 36л/з.
17. Так как ABCD — параллелограмм, то диагональ BD делит его на
два равных треугольника (AABD = ABDC — по III признаку). А равные
многоугольники имеют равные площади (по свойству многоугольника).
1	4
Значит, Sabcd = 28ддвр = 2 • — AD • BD • sin ZADB = AD • 5 • — = 4AD.
2	5
Из AABD по теореме косинусов имеем
АВ2 = AD2 + BD2 - 2AD • BD • cos ZADB, или
41 = AD2 + 25 - 2 • AD • 5 • cos ZADB.
cos ZADB = Vl-sin2 ZADB = J1-— =
N 25 v 25 5
где cos ZADB > 0 (ZADB — острый).
Q
Следовательно, 41 = AD2 + 25-10 ’AD • —, или AD2 - 6 - AD - 16 = 0,
5
откуда находим AD = 8 или AD = -2 (не имеет смысла). Итак, AD = 8,
тогда Sabcd = 8 • 4 = 32.
Ответ: 32.
К таблице 7
12. В АМКТ КМ = КТ = у (по условию), ZKMT = ZKTM = 30° (как
углы при основании равнобедренного треугольника), тогда ZK = 180° -
- (30° + 30°) = 120°.
„	МТ КМ >/2 у
По теореме синусов имеем:----------=-----------, ------= —-—.
sinZMKT sinZMTK sinl20° sin30°
/о	1
Ho sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = — и sin 30° = —, тогда
2	2
V2sin30° y[2
sinl20° Vs 3
Так как ME — биссектриса, то ZKME = ZEMT =15°.
204 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
В АХМЕ -----------=-------------, где ZKEM = 180° - (120° + 15°) = 45°,
sin 120° sin ZKEM
usinl20°	V6V3V2	6
тогда х = --------- =---------------= 1.
sin45°	3-2	3-2
Итак, ME = х = 1, КМ = КТ = у=
у 3
Замечание. Если провести высоту KN на сторону МТ, то КМ = у мож-
V2
но найти из соотношения у = — : cos 30°, где KN — медиана АМКТ.
2
Ответ: х = 1; у = —.
У 3
16.	Проведем высоту BE к основанию AD. Заметим, что Z.BAD = 60°
(соответственные углы при параллельных прямых АВ и CD равны).
Sabcd = АВ -AD • sin 60° = 8 • 12 ♦ — = 48^3.
2
С другой стороны, Sabcd = AD • BE = 12  BE = 48^3, откуда BE = 4>/з.
В ЛАВЕ ZABE= 90° - 60° = 30° => АЕ = —АВ = 4. Значит, ED = AD -
2
- АЕ = 8. Из ABED, где BD = у, имеем:
у2 = BE2 + ED2, у = 7(4>/3)2+82 = V112 = 4>/7.
По свойству параллелограмма АС2 + BD2 = 2(AD2 + DC2), или х2 + у2 =
= 2 • (122 + 82), х2 = 416 - 112, х = Т304=4>/19.
Замечание. Задачу можно решить другими способами.
Ответ: х — 4>/19, у = 4л/7.
К таблице 8
4. RO = х — радиус описанной окружности. S^ef =---, гДе а,Ь, с —
4х
о 10 5 7 175
стороны треугольника. S^EF = -----=----; с другой стороны, по фор-
4х 4х
муле Герона S&REF = jp(p-a)(p-b)(p-c), где р = ^(10 + 5 + 7) = И>
S^ref = Vll 1 6 4 -2\/б6, значит, = 2>/б6, откуда х =
2х	4у66
Ответ:
175
4>/б6
Разлел III. Решения некоторых залач •» 205
Далее решить систему уравнений <
12. Указание. Применить теорему косинусов.
х2 +у2 -ху = 1764,
х _ 3
/в’
Ответ: х = 18, у = 48.
14. Указание. Дважды применить теорему косинусов для ДАВС и
ЛАВР для угла А.
Ответ: х = 13.
50-у 50 50-у 5 „ AnjrE1E,	„
или ------ = —; ------ = —. Из AMFE по теореме Пифагора
х	60 х	6
15. Так как ME || FT, то &KFT ~ ЬКМЕ (по двум углам), тогда
FK КМ
FT ~ ME'
FE2 = 602 - у2, а из KKFE FE2 = 502 - (50 - у)2.
Сравнивая полученные равенства, имеем 602 - у2 = 502 - (50 - у)2,
oz* т-г	50-у 5	„„	14 5
откуда находим у = 36. Поскольку-— = — и у = 36, то — = —, откуда
х 6	х 6
х = — = 16,8.
5
Ответ: х = 16,8; у = 36.
19. Пусть МК = a, NP = Ъ. Из ДМРЯ МР = >/402-242 = 32.
Пусть Z.PMR = а. Заметим, что &MKN ~ KNPR (МК = Z.P = 90° и
32 4
Z.KNM = Z.PNR как вертикальные), тогда cos а = — = —. Из &MNR по
Из AMKN а2 = х2 - 49, значит,
4
теореме косинусов у2 = х2 + 402 - 2 • х • 40 • —, или у2 = х2 - 64х + 1600.
5
Пусть Z.KMN = Z.NRP = 0, тогда cos 0 = — = —, откуда а —
х У	У
f24xf	2	576х2	2
--- =х -49, или  z— = х -49.
I У J	У
Подставляя значение у2, имеем (х2 - 64х + 1600)(х2 - 49) = 576х2.
Упрощая полученное уравнение, получим
х4 - 64х3 + 975х2 + 3136х - 78 400 = 0.
Можно проверить, что х = 25 — корень уравнения, тогда х3(х - 25) -
- 39х2(х - 25) + 3136(х - 25) = 0, или (х - 25)(х3 - 39х2 + 3136) = 0, от-
куда Xi = 25, тогда у2 = 252 - 64 • 25 -I- 1600, у2 = 252, у = 25.
Итак, х = 25, у = 25 одно из решений задачи. Остается решить урав-
нение х3 - 39х2 + 3136 = 0. Можно убедиться, что оно не имеет целых
/ 55 Л2
корней. Запишем его в виде х2(39 - х) = 3136, или 39 - х = — .
I х )
206 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Графическое решение показывает, что полученное уравнение имеет
еще три корня, из которых один отрицательный, что не удовлетворяет
условию задачи, так как х > 0.
Два других корня можно вычислить приближенно: х2 ~ 10,5, х3 « 36,7,
тогда = 10,52 - 64 • 10,5 + 1600, откуда находим у2 ~ 32,2.
Аналогично у% = 36,72 - 64 • 36,7 + 1600, уз « 24,5. Как видим, задача
оказалась довольно сложной.
Ответ: хх = 25, у^ = 25; х2 » 10,5, у2 » 32,2; х3 * 36,7, уз » 24,5.
22. Из ЛАВС (ZC = 90°) х2 - у2 = 324. Пусть СК = а, КВ = Ь, тогда
а + Ъ = 18. Так как МК (а значит, и АК) — биссектриса Z.CMB, то
— = —	откуда а = —Ъ. Так как а + b = 18, то — Ъ + Ь = 18, — Ь = 18,
& 14 7	7	7	7
ь 21	5 21 15
откуда Ь = —, тогда а =----= —.
1 к
Пусть АСАК - АКАВ — а. Из ААВС cos2a =—, а из kACK tga = — = —.
X	У 2у
..	1 - tg2 а
Известно, что cos 2а =-----5—, следовательно,
1 + tg а
или
4г/2-225 у	Г 4г/2-225? _ у2
4г/2+225 х’	ч 4г/2+225; х2
Но х2 - у2 = 324, х2 = у2 + 324, тогда получим
Чу2-225?
,4г/2+225,
У2
у2+324
„	9	Л	<4f-225? t
Пусть у2 = t, где t > 0, тогда уравнение примет вид I	I = ^324*
или (4t - 225)2(i + 324) = t(4t + 225)2. После преобразований получим
уравнение 1584*2 - 583 200t + 16 402 500 = 0, или 44f2 - 16 200t +
1350	1350
+ 455 625 = 0, откуда находим t =-, t2 ---.
4	44
, 1350	2 1350	15?6	о	2646
I) Если t-—-—, то у =—-—, у =—-—, тогда хл = у2 + 324 = —-—,
21л/б	,
х =------. Оба значения подходят, так как у < х (по смыслу задачи).
2
Разлел III. Решения некоторых залач •» 207
, 1350	2 1350	15 Гб" 15л/б6
2) Если t---, то у =-, у-—.—=------, тогда
44 У 44	2 Ш 22
^^+324 = И1°6
22	44
также выполняется.
Г»	21>/б
Ответ: 1) х =-
2
, откуда х =
где условие у < х
15>/б6
у =------
*	22
15л/б	51>/б6
и =-----; 2) х =-----
2	22
24. По свойству параллелограмма 2 ♦ (AD2 + АВ2) — АС2 + BD2, где
AD = х, АВ = у, AD = BD = х, тогда 2(х2 + у2) = АС2 + х2, откуда х2 +
+ 2у2 = АС2.
По условию АС - BD — 2, или АС = х + 2, тогда х2 + 2у2 = (х + 2)2, от-
куда у2 = 2х 4- 2. Кроме того, х - у — 11. Следовательно, получим систе-
z/2 = 2х + 2, f(х -11)2 = 2х + 2,
х-у = 11; [г/ = х-11.
Из первого уравнения системы имеем х2 - 22х + 121 - 2х - 2 = 0, или
х2 - 24х + 119 = 0, откуда хг = 17, х2 = 7, тогда yi = 6, у2 = 7 - 11 = -4
(не имеет смысла). Поскольку х - у = 11, т. е. х > у, то х = 17, у = 6.
Ответ: х = 17, у = 6.
му уравнении
К таблице 9
_
8. cos ZC = ._, ,_... Найдем координаты векторов СА и СВ;
СА {-4 - 4; 8 - 0) = {-8; 8}, СВ {2 - 4; 14 - 0} = {-2; 14}, тогда
|са| = а/(-8)2+82 =8л/2, |СВ| = 7(-2)2 +142 = >/200 = 10^2. СА-СВ =
= -8 ♦ (-2) + 8 • 14 = - 16 + 112 = 96.
96	12
Следовательно, cos ZC = —7=----=------ = 0,6.
8V210>/2 2 10
Ответ: 0,6.
16. АВ-АС = |АВ|-|АС|-cos а, где a = ZCAB. По условию А(2; 4),
В(2; 8), С(6; 4), тогда АВ {2 - 2; 8 - 4} = {0; 4}, АС = {6 - 2; 4 - 4} = {4; 0}.
|АВ| = 7о2+42 =4; |АС| = >/42+02 =4. АВ -АС = 0 • 4 + 4 • 0 = 0, cos а -
= — = 0, т. е. ZCAB = 90°.
4-4
Ответ: 90°.
208 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
20. Найдем координаты векторов MN и LT : MN {6 - 1; 2 - 5} =
{5; -3}, LT {3 - 4,5; 3 - 5,5} = {-1,5; -2,5}. Тогда MN LT = 5 • (-1,5) +
+ (-3) • (-2,5) = -7,5 + 7,5 = 0. Следовательно, MN ± LT, т. е. ALON = 90°.
Ответ: 90°.
К таблице 10
5. По условию С = 8л 7з. Но С = 2nR, тогда 2лВ = 8л7з, R = 4л/з.
Так как оАтВ = 120°, то АЛОВ = 120°, где АО = OB = R= 4>/3.
Из центра О окружности опустим перпендикуляр ОС на хорду АВ.
ОС — медиана равнобедренного ДАОВ, где ZOAB = ZOBA = 30°.
Из ЛАОС АС = АО • cos 30° = 4^3 •— = 6. Значит, АВ = 2 - АС = 12.
2
Ответ: 12.
9. Так как оТтМ = 120°, то АТОМ == 120°. В равнобедренном АТОМ
(ТО = МО = В); АОТМ = АОМТ = 30°.
5	10
Проведем высоту ОК, тогда из А.ОТК, где ТК = 5, ОТ = --= —г=,
cos30° V3
. л7? л 10	20л 20л>/з
следовательно, 1 = ——а =----^=120 = —т= =-----.
180	180-л/З	3V3	9
л 20лх/з
Ответ:-------.
9
15.1 способ.
оАМ = uBN — как дуги окружности, заключенные между парал-
лельными хордами АВ и MN (АВ || MN — по условию).
Но тогда AM = BN, т. е. ABNM — равнобедренная трапеции.
Проведем диагональ AN. Так как MN = 16, АВ = 12, то
МК= ~ (16 - 12) = 2.
Из ДАМКАМ = V22 +142 = 10х/2. KN = MN - МК = 14.
Из AAKN, где АК = KN = 14, AN = 14^2.
тт	n abc	,	г,
Известно, что S.A = -, где а, Ь, с — стороны, R — радиус описанной
4R
тг о	1	-.л	10V2 16 14х/2	D 1Л
окружности. Но = — • 16 • 14 = ------------------, откуда R = 10.
2	4В
Тогда С = 2лВ = 20л.
Разлел III. Решения некоторых задач •»> 209
II способ.
Соединим точки В и N с центром окружности, тогда ОВ = ON = R.
Проведем диаметр EF, перпендикулярный данным хордам. Пусть L и Т
соответственно точки пересечения хорд АВ и MN с диаметром EF, тогда
LT = АК = 14, LB = —АВ = 6 и TN = -MN = 8. Пусть ОТ = х, тогда
2	2
OL = 14-х. Из &OLB и \OTN имеем:
62 + (14-х)2 = R2,
\82+x2=R2.
Сравнивая левые части системы, получим: 36 + 196 - 28х + х2 =
= 64 + х2, 28х = 168, откуда х = 6. Значит, R2 = 64 + 36 = 100, R = 10 и
С = 2лЯ = 20л.
III способ.
Пусть EL = х, TF = у, тогда получим систему:
TN2 =ETTF, р/(14 + х) = 64,
\bL2=ELLF; [x(14 + f/) = 36.
Вычитая из I уравнения II, получим 14(i/ - х) = 28, у-х = 2,у = х + 2.
Подставим значение у в одно из уравнений системы (х + 2)(14 + х) = 64,
или х2 + 16х - 36 = 0, откуда хх = 2, х2 = - 18 (не имеем смысла). Если
х = 2, то у = 4, тогда EF = 2R = х + у + LT = 20, откуда R = 10, значит,
С = 2лЯ = 20л.
Ответ: 20л.
22.1 способ.
По условию AM = ВМ = 14, т. е. \АМВ — равнобедренный. Проведем
высоту ME, тогда ME — медиана АМАВ; АЕ — BE = 4.
Saamb = -АВ • ME = - • 8 • ME = 4МЕ. Из ЬАМЕ МЕ2=АМ2-АЕ2,
2	2
ME = 7142-42 - 6^5. Вддмв = 24л/5.
С другой стороны, Здамв =---, где а, Ь, с — стороны ЛАМ В, R — ра-
4R
диус описанной окружности.
14 14 8 г	49
Значит, -------= 24>/5, откуда R-—?=•, тогда
4R	5
С = 2лД^2л. «
3^5	15
II способ.
Соединим точку А с центром О окружности. ME = 6>/5 (см. I способ),
АО = МО = R. Из ЛАОЕ АО2 - ОЕ2 = АЕ2, или R2 - (6^'5 - R)2 = 16, откуда
49
находим R = и т- д* (см-1 спос°б)-
210 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
К таблице 11
8. Проведем высоту NK. Пусть ЕК = х. Так как ZE = 45°, то Z.ENK =
= 45°, т. е. NK = ЕК = х. Пусть MN = у, тогда EF = 2х + у = 24. По усло-
вию EN = ЕМ, тогда по свойству описанного четырехугольника, имеем:
2EN = EF + NM = 2х + 2у, или EN = х + у. Из AENK EN2 = ЕК2 + NK2,
или (х + у)2 = 2х2, х + у = х^2. Так как 2х + у = 24, то у = 24 - 2х, зна-
чит, х + 24 - 2х = Хх'2, х(\2 +1) - 24, откуда х =	- 24(72 -1).
V2 + 1
Но х = 2г, тогда г = 12(72 -1).
Следовательно, SKp. = nr2 = 144л (3-272).
Ответ: 144я(3 - 272).
10. Проведем диаметр окружности АВ ± MN и АВ ± ТК, проходя-
щий через центр О окружности. По условию ТМ = KN, STMNK = 125 и
EF = 8 — расстояние между точками касания ее боковых сторон.
Пусть ЕМ = МА = т, ТЕ = ТВ = b, ЕО = г — радиус вписанной окруж-
ности; АВ = 2r, ЕС = — EF = 4, где С — точка пересечения EF и АВ.
Из АЕОС ОС = 7г2-16, тогда АС = АО - ОС = г - 7г2-16, ВС = ВО +
+ ОС = г + 4г2 -16; следовательно, ME : ЕТ = АС : ВС, или т : п =
= (г-7г2-16):(г + 7г2-16). Из АМОТ, где ЛМОТ = 90° {МО и ТО —
биссектрисы углов TMN и МТК, где Z.TMN + ZMTK = 180°), имеем:
ОЕ2 = ME • ЕТ, или mn = г2.
По условию STMNK - 125, или — (MN + ТК) • АВ = 125.
Но 2МТ = MN + ТК (по свойству описанного четырехугольника),
тогда 2(m + n) = MN -I- ТК, или (т + п) ♦ 2г = 125. Имеем систему урав-
т: п = (г - \]г2 -16): (г + 7г2 -16),
2
нении: < тп - г ,
2(т + п)г = 125.
Пусть для краткости г - 4г2 -16 = а, г + 7г2 -16 = р, тогда тп = — п и
тт	2	2	ттт
II уравнение системы примет вид — п = г , следовательно, III уравне-
а
(01	01
ние преобразуется к виду 2 • —• n + п г = 125, или 2пг —+ 1 =125.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 211
Преобразуем выражения — +1 и
а + _ г - у]г2 -16	_ 2г .	_ , . _	_
Р г + г2 -16 г + л/г2 -16 Р Р	г + л/г2 -16
=	4
г + л/г2 -16
Следовательно, 2г2----= 125 •----------.	, или г3 = 125, г = 5.
г + \г2-16	г + Vг2 -16
Тогда SKp. = яг2 = 25л.
Ответ: 25л.
19. Соединим точку М с центром окружности, тогда МО = NO =
= КО = R — радиус описанной окружности. Пусть ОТ = х. По условию
NMKN — равнобедренный, где высота КТ — медиана и биссектриса.
Тогда МТ = 7, КТ = 24 (по условию).
Из ШКТ МК = л/242+72 = л/б25 = 25. Заметим, что КТ = R + х = 24,
а из ШОТ Я2 - х2 = 49. Имеем систему уравнений:
7? + х = 24,	|Я + х = 24,	(В + х = 24,
Я2-х2=49; 1(Я-х)(Я + х) = 49; [24(В-х) = 49;
R + x = 24,
в 49
R-x =—
I 24
Складывая почленно уравнения полученной системы, имеем:
2Я = 24+«; 2R=™,R~™.
24	24	48
/ллг\2
Следовательно, SKp
п (625f
Ответ: л ---
I 48 J
5Д =
К таблице 12
1. ДАОВ — равносторонний (по условию), где ОА = 12, тогда
„2
d N О /
----- (площадь правильного треугольника со стороной а).
4
Q
^сект.
р2
----а, где R = ОА = 12, а = 60°.
360
21 2 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
П	Q Q	С	71122 АП 122
Следовательно, S*. = SceKT. - S^ob =	60-----—
360	4
лЛ2^_122->/з =24д_ звТз =12(2л-3>/3).
6	4
Ответ: 12(2л-3>/3).
6. 8ф. = SKp. - SKB. = n  OA2 - SKB_, R = OA = 10, a = Ry[2, где a — сто-
рона квадрата, R — радиус описанной окружности, тогда <8КВ. = а2 =
= (Я>/2)2 = 200, значит, SKp. = л • 100 - 200 = 100(л - 2).
Ответ: 100(л - 2).
10. Пусть а = 15 — сторона правильного треугольника, тогда
с ла2 a2V3 _	л-152 152V3	152	-
SL =------------, или SL =----------------= -----(2n-3<3) =
ф- 3	2	ф- 3	2	6
= 37,5 • (2л-ЗТз) = 75(л-1,5>/3).
Ответ: 75(л-1,5л/3).
12. <8ф. - Smnkt ~ т^кр,-
4
Smnkt = a2 = 122 = 144; SKp. = лй2 = л • 122 = 144л, тогда
~<5кр. =	• 144л = 36л. Значит, = 144 - 36л = 36(4 - л).
Ответ: 36(4 - л).
кр.
ОТВЕТЫ
7 класс
Таблица 1
1. Zac = 77°30'; Zc& = 102°30'. 2. Zmfe = 160°; Zfen = 20°. 3. ZADC = 80°;
ZCDB = 100°. 4. ZMPK = 130°; ZKPN = 50°. 5. ZPLR = 100°; ZRLS = 80°.
6.160°. 7.150°. 8. 90°. 9.160°. 10.105°. 11.135°. 12. ZAMN = ZBMN = 90°.
Таблица 2
1. Za^ = 120°; ZabA = 60°. 2.145°; 145°. 3.120°. 4. Z3 = 150°; Z4 = 30°.
5. Zl = Z3 = 60°; Z2 = Z4 = 120°. 6. 60°. 7. Zl = 120°; Z2 = Z3 = 60°.
8. 135°. 9. Z2 = 50°; Z3 = 40°; Z4 = 140°. 10. Z2 = Z3 = 55°; Z4 = 35°.
11. Zl = 110°; Z2 = Z3 = 35°. 12. 180°. 13. 110°.
Таблица 4
1. AC = BC = 8; AB = 4. 2. MK = KN = 12; MN = 2. 3. 0,6; 0,6. 4. QR =
= RE = 2,8; QE = 0,8. 5. EF = 15; EM = MF = 10. 6. 0,8. 7. 4,9. 8. 50.
9. 10. 10. RT = TS = 12, RS = 21. 11. 10; 10. 12. 6; 6. 13. 9. 14. 15.
Таблица 5
1. 75°. 2. 140°. 3. 30°. 4. 135°. 5. 50°. 6. 120°. 7. 90°. 8. 40°. 9. 60°.
10. 30°. 11.40°. 12. 20°. 13. 60°. 14. 60°. 15. 60°. 16.110°. 17. 80°. 18. 50°.
Таблица 7
1. Zl = 106°; Z2 = 74°. 2. Zl = 108°; Z2 = 72°. 3. Zl = 130°; Z2 = 50°.
4. Zl = 100°; Z2 = 80°. 5. Zl = 67° 30'; Z2 = 112° 30'. 6. ZN = 60°; ZM = 30°.
7. ZA = 60°; ZABC = 30°. 8. 43°. 9. 68°. 10. 65°. 11. 30°; 30°. 12. 74°. 13. 55°.
Таблица 8
1. ZR - 45°; ZP - 105°; ZQ - 30°. 2. ZM = 80°; ZN = 60°; ZK = 40°.
3. ZP = ZR = 67°30'; ZS = 45°. 4. ZQ = ZM = 40°; ZL = 100°. 5. ZA = 40°;
ZC = 100°. 6. ZM = 60°; ZQ = 80°; ZQPM = 40°. 7. ZS = 70°; ZSTR = 40°.
8. ZBAC = ZB = 72°; ZC = 36°. 9. ZM = 75°; ZMNP = 70°; ZP = 35°.
10. ZP = 25°; ZTSP = 40°.
214 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Таблица 9
1. 120°. 2. 80°. 3. АТ = 90°; AS = 60°. 4. АВ = 70°; АС = 40°. 5. 60°; 60°;
60°. 6. АЕ = 90°; АР = 30°. 7. 40°; 40°. 8. АА = 50°; АС = 70°. 9. AM =
= АК = 50°; AN = 80°. 10. AD = 60°; АЕ = 40°. 11. АА = 30°; АВ = 60°; АС = 90°.
12. АА = АВ = 45°; AD = 90°. 13. 60°; 60°. 14. AS = АР = 65°; ASKP = 50°.
15. АР = AR = 45°; APQR - 90°. 16. AD = АЕ = 45°; ADEF = 90°. 17. ABAC = 60°;
ААВС = 30°; АС = 90°. 18. AL = 65°; AMKN = AKNL = 45°; ANKL = 70°.
19. АСОВ = AAOD = 90°; АВ = 65°; AD = 25°. 20. AQOC - AMOR = 55°;
AM=45°; AR=80°. 21. AKMN= 70°; AKML=ALMN= 35°; AMLK= 105°; AMLN=
lb°.‘AAAPMA-EEP-,AAPM=&y-AA=lEP.2AAMSL=irp-,AL=^.‘2AAMPL=AMLP=
60°; APNL=AMNL=90°; APKM = APKL = 90°. 25. AC = 90°; AB = 50°; AA=40°.
26. AP = 40°; APTS = 60°. 27. AT = 40°; AMRK = 10°; AKPT = 50°; ARKT = 90°.
28. AABD= 70°; AD=30°; AABC=40°; ACBD=30°; ABCD= 120°. 29. ZP=30°;
AKMP = 50°; ANMP = 30°; AMNP = 120°. 30. AMSN = 120°; AMSK = 35°;
APSN = 25°; AMKS = 110°; ASPN = 130°; ASKP = 70°; ASPK = 50°;
AKSP = 60°. 31. 165°. 32. 125°.
Таблица 10
l.AB = 8;BC = 4. 2. 15. 3. MP = 27; PN = 9. 4. 54. 5. 18. 6. 26. 7. 110°.
8.15°. 9. AB = 24; BC = 12.10.9,75.11.14.12. AA = AB = 30°; AACB = 120°.
13. AT = 50°; ATPS = ATSP = 65°. 14.115°. 15. AKNM = 90°; ANKM = 36°;
AKNM = 54°. 16. CB = 27; CD = 9. 17. SQ = 15,6; ARQT = 150°. 18. 6.
19. 44. 20. 45°. 21. 70°.
Таблица 12
1. 13. 2. 15. 3. 10. 4. 6. 5. 4. 6. 7,5. 7. 6. 8. 5. 9. 14. 10. 7. 11. 8. 12. 10.
13. 13. 14. 13. 15. 7. 16. 4.
8 класс
Таблица 2
1. 20. 2. 10. 3. 14. 4. 16. 5. 22. 6. 28. 7. 22. 8. 24. 9. 22. 10. 32. 11. 40.
12. 52. 13. 60. 14. 32. 15. 48. 16. 48. 17. 64. 18. 16. 19. 20. 20. 112. 21. 72.
22. 28. 23. 60. 24. 36.
Таблица 3
1. AM = АР = 70°; AMNP = АМКР = 110°. 2. АА = АС = 70°; АВ =
= AADC = 110°. 3. AL = AS = АК = AR = 90°. 4. AM = АЕ = AMFE =
Ответы •» 21 5
= ZMDE = 90°. 5. ZP = ZM = 60°; ZPNM = ZPLM = 120°. 6. ZE = ZM = 120°;
ZEFM - ZEKM = 60°. 7. ZD = ZB = ZDAB = ZBCD = 90°. 8. ZP = Zy = 65°;
ZPMN = ZPKN = 115°. 9. ZKFE = ZKNE = ZFKN = ZFEN = 90°.
10. ZS = ZL = 70°; ZSPL = ZSML = 110°. 11. ZLKN = ZLMN = ZKLM =
= ZKNM = 90°. 12. ZB = ZD - ZDAB - ZDCB = 90°. 13. ZADC = ZDCB =
= ZCBA = ZDAB = 90°. 14. ZM = 60°; ZMKL = ZMSL = 120°. 15. ZMRK =
= ZRKL = ZMLK = ZLMR = 90°. 16. ZN = ZT = 70°; ZS = ZNPT = 110°.
17. ZPLK = ZPTK = 80°; ZTPL = ZTKL = 100°. 18. ZA = ZC = 60°; ZABC =
= ZD = 120°.
Таблица 4
l.ZM = ZR = 70°; ZP = ZN= 110°. 2. ZA = ZC = 60°; ZB = ZD = 120°.
3. ZR = ZL = 60°; ZS = ZM = 120°. 4. ZM = ZR = ZK = ZN = 90°.
5. ZTPK = ZPKS = ZKST = ZSTK = 90°. 6. ZDAB = ZDCB = 60°; ZADC =
= ZABC = 120°. 7. ZRMK - ZMKL = ZKLR = ZMRL = 90°. 8. ZFSM =
= ZFTM = 80°; ZSFT = ZSMT = 100°. 9. ZDAB = ZDCB = 36°; ZADC =
= ZABC = 144°.
Таблица 5
1. Квадрат co стороной 9. 2. Ромб co стороной 9. 3. 8,5; 8,5; 9,5; 9,5.
4. 7,2; 7,2; 10,8; 10,8. 5. Квадрат со стороной 9. 6. 6; 6; 12; 12. 7. 6; 6; 12;
12. 8. 6,75; 6,75; 11,25; 11,25. 9. 8; 8; 10; 10.10. 8; 8; 10; 10.11. 4; 4; 14;
14. 12. 8; 8; 10; 10.
Таблица 6
1. ZB = 110°; ZC = 130°. 2. ZE = ZN = 80°; ZM = 100°. 3. ZP = 105°;
ZS = 80°. 4. ZE = ZF - 90°; ZM = 115°. 5. ZK == ZKLM = 120°; ZM =
= ZKNM = 60°. 6. ZRFK = ZK = 55°; ZR = ZRMK = 125°. 7. ZBAD = 60°;
ZB = ZBCD = 120°. 8. ZSMK = 90°; ZK = 65°; ZSRK =115°. 9. ZPTO = 90°;
ZO = 55°; ZPLO = 125°. 10. ZENM = ZFMN = 60°; ZNEF = ZMFE = 120°.
11. ZTKF = 90°; ZTMF = 120°. 12. ZKRT = 90°; ZKFT = 135°. 13. ZABC =
- 105°; ZC = 125°; ZD = 55°. 14. ZM = 70°; ZT = 50°; ZMLS = 110°;
ZLST = 130°. 15. ZT = ZTRF = 70°; ZTEF = ZF = 120°. 16. ZNOE = 65°;
ZONM = 115°; ZOEM = 75°; ZNME = 105°. 17. ZMSK = 65; ZSMN = 115;
ZMNK = 100°; ZSKN = 80°. 18. ZNAB = 110; ZANM = 70; ZABM = 100°;
ZNMB = 80°.
Таблица 7
1. 44. 2. 84. 3. 132. 4. 20. 5. 34. 6. 84. 7. 62. 8. 68,8. 9. 50. 10. 36.
216 «• Геометрия, Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Таблица 8
1. 18. 2. 49. 3. 60. 4. 108. 5. 36. 6. 72. 7. 100. 8. 33. 9. 40. 10. 75х/з .
11. 48х/3 .12. 64. 13. 126. 14. 108. 15. 112.
Таблица 9
1. 32. 2. 156. 3. 32. 4. 126. 5. 162х/з .6. 60х/3 .7. 72. 8. 112,5. 9. 864.
10. 160. 11. 40. 12. 768. 13. 84,5 х/з. 14. 480,5. 15. 48. 16. 373-. 17. 48.
3
18. 140. 19. 48. 20. 262,5. 21. 144. 22. 48х/з . 23. 200. 24. 48.
Таблица 10
1. 165. 2. 18. 3. 60. 4. 169. 5. 16х/3 .6. 80. 7. 96. 8. 84. 9. 8. 10. 18,5.
11. х/191 /4. 12. 270. 13. 24х/5 .14. 168. 15.196. 16. 64. 17. 8х/3 . 18. 288 х/З .
19. 36. 20. 25. 21. 84.
Таблица 11
1. 32. 2. 240. 3. 58,5. 4. 264. 5. 96. 6. 214,5. 7. 36. 8. 47,5. 9. 144.
10. 176. 11. 300. 12. 108. 13. 96. 14. 294. 15. 48. 16. 58х/3. 17. 292.
18. 180. 19. 784. 20. 32. 21. 216. 22. 45. 23. 204. 24. 160. 25. 70. 26. 49.
27. 64.
Таблица 12
1. 5. 2. J153.3. х/10.4. 3. 5. 15. 6. зТз. 7. 16/7з. 8. 24. 9. 12х/3.
10. 60/13. 11. 120/13. 12. 13. 13. 16. 14. 14^6/5. 15. 4х/13. 16. 128/17.
17. 5 х/З . 18. 8 х/2 .19. V82.20.10. 21. 5х/З . 22. 8. 23. 8. 24.12 х/З . 25. 7,2.
26. 10. 27. 16х/2(Тз -1). 28. 4. 29. 13. 30. 8. 31. х/937 .32. 2. 33. х/17 .
34. 5. 35. 6. 36. 15. 37. 10. 38. 15. 39. 20. 40. 120/13. 41. 29. 42. 12/7.
43. 9. 44. 34. 45. 15; 20. 46. 7. 47. 6. 48. 22. 49. 9. 50. 10. 51. 3. 52. 26.
53. 8^3.54. 10.
Таблица 13
1. 24. 2. х = 8; у = 14; z = 12. 3. х = 18; у = 15. 4. х = 8; у = 12; z = 16.
5. х = 20; у — 50; z = 40. 6. х = 42; у = 28; z = 21. 7. х = 27; у = 21; z = 24.
8. х = 27; у = 21; z = 24. 9. 100. 10. 5. 11. Зх/З . 12. х = 72; у = 98.
13.13,125.14. х = 5; у = 7.15. х = 14; у = 21.16.48.17. х = 40; у = 90.18. х = 39;
у = 52. 19. 6. 20. 60. 21. 168. 22. 72. 23. 18. 24. 48. 25. 64. 26. 92. 27. 60.
Ответы •» 21 7
28. 7,5. 29. 10,8. 30. х = 11-; у = 8-. 31. 5-. 32. х = 54; у = 48. 33. 45.
7	7	3
5	6
34.	х = 9; у = 15. 35. х = 15—; у = 18—. 36. 31,2.
У 11 У 11
Таблица 14
15
1. х = 15; у = 8. 2. х = 12; у = 14. 3. 20. 4. 8,75. 5. 5^~. 6. х = 12; у = 36.
7. х = 18; у = 30. 8. х = 12; у = 13. 9. 2,5. 10. 25,6. 11. х = 4; у = 8. 12. 4.
13. х = 24; у = 40.14. х = 20; у - 16. 15. х = 11-; у = 4-. 16. 2-. 17.37-.
7	7	7	3
18. х = 8; у = 12.19.8-|. 20. х = 9,6; у = 22,4.21.16. 22. х = 12; у = 4.23. х = 4;
у = 6. 24.12. 25. х = 6 ч/З ; у = 12 ч/З.26. х = 3,5; у = 3,75. 27. х = 36; у = 12.
28. х = 2,4; у = 7,2.
Таблица 16
1. 27. 2. 12. 3. 48. 4. 120. 5. 62. 6. АК = 6; КС = 12. 7. RS = 8; RF = 6.
8. 28. 9. 18. 10. 9 ч/З /2. 11. 3 ч/З (ч/З + 1). 12. EF = MN = 24. 13. 12.
14. 0,5. 15. 4(1 + 2 ч/2 ).16. MR = 4,8; MS = 9,6; RS = 6,4. 17. FE = 12,5;
EC = 10; FC = 7,5.
Таблица 17
1. KN = 24; MT = 50/13; TN = 288/13. 2. NL = 9; LM = 16; NK = 15;
KM = 20. 3. ME = 4,5; MK = 7,5; KN = 10. 4. MT = 25/13; TN = 144/13.
5. KN = 5ч/21; ME = 4; EN = 21. 6. KN = 30; KM = 40; NF = 18; FM = 32.
7. KM = 5 ч/б!; KN = 6 ч/б!; MN = 61; MT = 25; TN = 36. 8. MN = 9;
ME = EN = 4,5; EF = 0,5; FN = 4. 9. 90. 10. 246. 11. 144/13. 12. 64ч/3 .
13. 54/13. 14. 156. 15. 84,375.
Таблица 18
1.9ч/3.2. 16 ч/2.3. 4 ч/З . 4.15. 5. 5.6.15 ч/2 . 7. 9 ч/З . 8. б/З . 9.12ч/2.
10.12.11. 6ч/3.12. 4(4 +ч/3 ). 13.10(ч/З + 1). 14.10ч/б /3.15. 6ч/б . 16. 5ч/2 .
Таблица 19
I—	Г- 5 Г-
1.	36. 2.64 ч/З . 3. 21/з . 4. — (5ч/3 + 6). 5. 73,5. 6. #£ = 7,5;coszJf = 0,6.
2
7.81ч/З /4; cos ZACB = 0,5. 8. sin ZF = 3/ /13 ; cos ZF = 2/ч/13 ; tg ZF = 3/2;
218 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ctg ZF = 2/3. 9. 2/3. 10. — (Тз - 1). 11. 192 Тб . 12. sin ЛК = 3/ 710 ;
2
cos ЛК = 1/ 710 ; tg ЛК = 3; ctg ЛК = 1/3.13. sin ZB = 2 Тб /5; cos ZB = 1/5;
tg ZB = 2/Тб ; ctg ZB = 1/2 Тб . 14. sin a = 12/13; cos a = 5/13; tg a = 12/5;
ctg a = 5/12. 15. sin ЛК = 0,8; cos ЛК = 0,6. 16. sin ZB = Тз /2; tg ЛВ = Тз .
17. cos a = 0,4; ctg a = 2/721.18. sin ZA = 72 /6; tg ZA = 717 /17.
19. cos ZB = 7/25; ctg ZB = 7/24. 20. sin a « 0,46; tg a « 0,52. 21. sin ZA =
= ^(ТЗ-l); cos ZA = ^(7з + 1). 22. 0,8.
Таблица 20
1.	673.2. 60°. 3. 30°. 4. 120°. 5. 9. 6. ЗТЗ ; ЗТЗ . 7. 16 или 9. 8. 60°.
9. 15. 10. ДМ = 10; ВМ = 10Тб . 11. АВ = 12; CD = 16. 12. 2. 13. 20; 20.
14.1,2 Тб . 15.20.16.40; 40.17.14.18.6.19.24; 24.20.8,5; 8,5.21.12(2 + Тз).
22. 70. 23. 2,8751.
Таблица 21
1.	39°. 2. 8. 3. 32 72.4. 70°. 5. 100°. 6. 28°. 7. 110°. 8. 101°. 9. 44°.
10. 32°. 11. 40°. 12. 3,5. 13. 12. 14. 50°. 15. 1,4. 16. 40°. 17. 4. 18. 18°.
19. 157°. 20. 45°. 21. 100°. 22. 75°. 23. бТз . 24. 80°. 25. 30. 26. 10.
27.114°. 28.16. 29.10. 30. 28,125. 31.15. 32.1. 33.8Тз . 34.14,4. 35.12.
36.30 ТЗ . 37.100°. 38. 7,5. 39.8Тз . 40.10.41.15.42.8Тб . 43.6. 44.47145 .
45. 157°30'. 46. 70°. 47. 40°. 48. 123°45'. 49. 40°. 50. 100°. 51. 82°30'.
52. 108°. 53. 67°30'. 54. 10°.
Таблица 22
1.	20. 2. 24°. 3. 38°. 4. 7. 5. 24. 6. 10. 7. 2 Тб!. 8. 20Тз . 9. 130°. 10. 4.
11. 10. 12. 4,8. 13. 180. 14. 80. 15. 15. 16. 64 Тз . 17. 240/13.
Таблица 23
1.	20/3. 2. 120. 3. 60. 4. 27. 5. 40. 6. 80. 7. ZL = ZM = 63°; ZE = 54°.
8. ZA = 66°; ZB = 24°; ЛАС В = 90°. 9. бТз . 10. 100°. 11. 4. 12. 6. 13. 9.
14. 20(73 + 1). 15. 25/8. 16. 4. 17. 16. 18. 10. 19. 12 Тз . 20. 60°. 21. 216.
22. 128. 23. 40. 24. 3. 25. 8. 26. 15. 27. 4. 28. 6. 29. 8. 30. 13. 31. 6.
32. 4873(2 +73 ). 33. 8. 34. 4(Тз + 1). 35. ME = вТб ; EF = 12. 36. 96.
Ответы •» 219
37. RK = 18; QK = 24. 38. 30. 39. 25. 40. 4. 41. 28. 42. 6. 43. 10. 44. 3.
45. 13/4 V61.46. 16. 47. 960. 48. 30 или 40. 49. 25/6. 50. 240. 51. 1,2.
52. 80. 53. АВ = 24; DC = 30. 54. ZM = 127°; ZN = 105°. 55. 10. 56. 12.
57. 30. 58. MN = 6; NK = 18; KL = 21; LM = 9. 59. 5>/3 .60. 100 л/2 .
61. 36. 62. 66°; 66°; 114°; 14°. 63. 94,08. 64. 384. 65. 16. 66. 10. 67. 48 >/з .
68. 4. 69.10. 70. 5 V2.71. 3. 72. 20. 73. 80. 74. 20. 75. 3. 76. 168. 77. 720.
78. 6. 79.10. 80.10. 81. 30°. 82. 588. 83. 9,6. 84. 42 Тб . 85.11. 86. 15.
Таблица 24
1. a) zntTe; znTTp; б) ntT#; пТТ/; в) лгТФс; тТФ<3; n14d; пТФ£. 2. а) с и п;
с и in; tn и п; а и б; б) сТТтп; dtT£; в) cTln; и1Чтп; г) a = b, с = т. 3. а) tn и а;
ти5; nnd;6)а^б; в) nrt-ia; fnt-ib; г)нет. 8.0.12.DF. 13. —а + — б.
2	4
14. ОМ = -—а, -— б; МА = -а + б. 15. RK = -п; КТ = -fn + ii; SR= т- ii.
2	2	2
16. ЕА = -tn + — n;FB = -fn-n. 17. КО = -а + -В. 18.АК = а+ -б;
2	2	2	4	4	4
КВ = -а + -б. 19.	AM = -а - -В. 20. КЕ =	-т	-	-п. 21.	ВМ = - tn;
4	2	2	5	5
NC = п; MN = -т	+ п; BN = -2т + п. 26. 12.	27.	6.	28. 13.	29. 8.	30. 2.
31. 32. 32. 36. 33.	V73.34. \BD\ = v'194; |CD|	= 5	V2	; |АС| =	V89.35. 3.
36. а) аТз ; б) а; в) а>/з ; г) а; д) а. 37. 1) -4; 2) 20; 3) 28; 4) 20; 5) 28;
6) 20; 7) -4; 8) 20.
Таблица 25
1. 80. 2. 7,5. 3. SM = 16; QR = 24. 4. NE = 20; MF = 40. 5. 8. 6. ST = 10;
MN = 20. 7.10. 8. RT = 26; EF = 18. 9. MN = 5;DC = 3. 10. 6.11. 8.12. 4.
13. 6. 14. 9. 15. 9,5. 16. 0,5. 17. 30. 18. 14. 19. 12. 20. 9,8. 21. 3^2 /2.
22. 5. 23. 8. 24. 10. 25.14,15. 26. BC = 2; AD = 6.
9 класс
Таблица 7
1. LN = tn - ii; KM = tn + n. 2. BD = -a - В; CA = -a + B. 3. EK =
= -tn + n; FM = m + n. 4. TM = a - 6; ST = -a - 6. 5. FT = -tn + -n.
4	4
220 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
6. а) 2; б) —; в) ; г) -1; д) -1; е) ; ж) 3; з) —; и), к) число не сущест-
2	2	4	3
вует.
Таблица 2
1.0(0; 0), К(3; 0), М(0; 2). 2. 0(0; 0), Т(6; 0), М(6; 3), С(0; 3). 3. Q(-2; 2),
Р(2; 2), М2; -2). 4. Т(14; -6). 5. MN{-5; -1}. 6. М(4; 4). 7. С(-2; 32). 8.16
или -8. 9. 3 или -2,6. 10. Тб . 11. 726.12. Л.13. М(-3; 3). 14. С(2,5; 4).
15. М18; 12). 16.16.17. «12,9. 18. АС = 713 ; ОС = Т§5 ; С(9; 2). 19. 7241 /2.
20. ВС = V41; ОВ = Тб5 .
Таблица 3
1. 50; 50. 2. 2 >/85.3. 26. 4. ZA = 60°; ZB = 30°; ZC = 90°. 5. 2 7109 .
6. 2 ТбЗ . 7. 2 719.8. ZM = ZP = 45°; ZN = 90°. 9. 7185 /2.
Таблица 4
1. (х + 4)2 + (у - 2)2 = 25. 2. В, С, D. 3. (х — 2)2 + (у + 4)2 = 25. 4. х2 +
+ (у - З)2 = 13. 5. (х — З)2 + у2 = 13. 6. х2 + у2 = 13. 7. (х - 4)2 + (у - 5)2 = 9.
9. а) (2; -3), (2; 3); б) (-2; 3), (2; 3). 10. а) (2; 7), (2; 1); б) (5; 4), (-1; 4).
11. х2 + у2 = 40. 12. х2 + (у - 2)2 = 10. 13. х2 + (у - 4)2 = 25. 14. (х - I)2 +
+ У2 = 18.
Таблица 5
1. х = 3. 2. у = 10. 3. 4. 4. у + 5х = 0. 5. 1. 6. 7х - у + 3 = 0. 7. 13,5.
8. 7х - у + 6 = 0. 9. х - у = 0. 10. 2х - 5у + 20 = 0; 2х + 5у - 20 = 0;
2х - 5у - 20 = 0; 2х + 5у + 20 = 0.
Таблица 6
1. 72.2. 25Тз /4. 3. 4 75.4. 24. 5. 60. 6. 25 72 /4. 7. 5 Тз . 8. 50. 9. 30.
10. 80 ТЗ. 11. 60 72.12. 128. 13. 169. 14. 36 Тз. 15. бТз. 16. 16 Л.
17. 32. 18. 16 72.19. 16.
Таблица 7
1. х = 8Т2;г/ = 4Т2(1+Тз). 2. х« 19,9; у « 25,6. 3. х « 16,3; у « 22,3.
4. х « 13,9; у ~ 9,8. 5. х « 1,8; у « 0,5. 6. х « 8,8; у « 12. 7. х « 10,4;
у « 14,1. 8. х « 14,1; у « 19,3. 9. х = 6,5; у « 4,9. 10. х « 8,3; у « 14,3.
11. х « 9,9; у « 9,6. 12. х = 1; у = Тб /3. 13. х « 27,3; у « 17,8.
Ответы •» 221
14. х =7б2-24л/2 « 4,2; у =^52 + 24^2 « 9,3.15. х = у «11.16. х = 4>/19 ;
у = 4>/? . 17. х « 22,7; у « 24,3.
Таблица 8
1. « 30,8. 2. « 18°. 3. >/13.4. 175/4>/б6.5. х = 4 >/14 /3; у = 26/3.
6. >/бЗ.7. х « 5,8; у « 4,1.8.x» 15,5; у » 18,4. 9. х » 3,9; у » 10,3.10. х = 13;
у = 21. 11. х = 7; у = 15. 12. х = 18; у = 48. 13. х = 9; у = 12. 14. 13.
15. х = 16,8; у = 36.16. х = 8; у = 30.17. х = 168 >/2 /5; у = 25.18. х = 10;
у = 15.19. хг - 25; у-^ = 25; Х2 ~ 10,5; У2 » 32,2; х3 » 36,7; у3 « 24,5;. 20. х = 20;
у = 30. 21. >/118 /2. 22. 1) х = 21/2; у = 15 >/б /2; 2) х = 51 >/б6 /22;
у = 15>/б6 /22. 23. х = 11; у = 7. 24. х = 17; у = 6.
Таблица 9
1. 45°. 2. 10. 3. -32. 4. -10. 5. 3>/2.6. 0,2. 7. 0. 8. 0,6. 9. 50. 10. 0.
11. 8. 12. -12,5. 13. 6,75. 14. 2. 15. 1. 16. 90°. 17. 60°. 18. 0. 19. -60.
20. 90°.
Таблица 10
1. 6л. 2. 67,5. 3. 12л. 4. 8. 5. 12. 6. 8>/з л. 7. 26л. 8. 52л. 9. 20л >/3 /9.
10. 60°. 11. 144°; 216°. 12. 225°; 135°. 13. 7л/л — 3. 14. 40л. 15. 20л.
16.40л. 17. 32л. 18. 8л>/з . 19. 7>/5 л. 20. — л. 21. 32л/>/з . 22. 98л >/б /15.
6
23. 16л/>/з .24. 8л(>/з - 1). 25. 20л. 26. 6л(^2 - 1). 27.15л.
Таблица 11
1. 4. 2. 64л. 3. 100л/(2 +>/2->/з )2 « 49,5. 4. 12л. 5. 20л. 6. 18л (2 ->/з ).
7. 4л. 8. 144л(3 - 2>/2). 9. л. 10. 25л. 11. — л. 12. л. 13. 50л. 14. 25л.
15. 60,5л. 16. 86л/4 - л. 17. 456л/л - 2. 18.
400
---71. 19.
л. 169,5л.
I 48 J
3
20. 3. 21. 6,25л. 22. 8. 23. 5л. 24. 32л.
Таблица 12
1.12(2 л - 3 >/3 ). 2.» 7,6. 3. 9.4.« 413,2. 5. Юл. 6.100(л - 2). 7.128л/3.
8.16(4 - л). 9. 25(8 - л). 10. 75(л - 1,5>/3 ) ~ 40,6.11.«182,5.12.36(4 - л)» 31.
Содержание
Предисловие..................................................... 3
Раздел I. Краткие теоретические сведения.......................  5
Раздел II. Упражнения в таблицах................................28
VII	класс
Таблица 1. Смежные углы..................................  ...28
Таблица 2. Вертикальные углы..................................30
Таблица 3. Признаки равенства треугольников...................32
Таблица 4. Периметр равнобедренного треугольника..............36
Таблица 5. Свойства равнобедренного треугольника..............38
Таблица 6. Признаки параллельности прямых.....................40
Таблица 7. Свойства углов при параллельных прямых.............45
Таблица 8. Углы треугольника..................................47
Таблица 9. Углы треугольника..................................48
Таблица 10. Некоторые свойства прямоугольных треугольников....52
Таблица 11. Признаки равенства прямоугольных треугольников....56
Таблица 12. Расстояние от точки до прямой...................  57
VIII	класс
Таблица 1. Определение и признаки параллелограмма.............59
Таблица 2. Свойства параллелограмма...........................61
Таблица 3. Свойства параллелограмма.........................  64
Таблица 4. Параллелограмм.....................................66
Таблица 5. Параллелограмм.....................................68
Таблица 6. Трапеция.........................................  69
Таблица 7. Трапеция...........................................72
Таблица 8. Площадь прямоугольника.............................73
Таблица 9. Площадь параллелограмма............................76
Таблица 10. Площадь треугольника..............................79
Таблица 11. Площадь трапеции..................................82
Таблица 12. Теорема Пифагора..................................86
Содержание •» 223
Таблица 13. Определение подобных треугольников.................93
Таблица 14. Признаки подобия треугольников.....................98
Таблица 15. Признаки подобия треугольников....................102
Таблица 16. Средняя линия треугольника.......................  105
Таблица 17. Пропорциональные отрезки в прямоугольном
треугольнике..............................................108
Таблица 18. Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике..............................110
Таблица 19. Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике..............................112
Таблица 20. Касательная к окружности........................  115
Таблица 21. Центральные и вписанные углы......................118
Таблица 22. Четыре замечательные точки треугольника...........125
Таблица 23. Вписанная и описанная окружности..................127
Таблица 24. Векторы.........................................  138
Таблица 25. Средняя линия трапеции............................144
IX	класс
Таблица 1. Координаты вектора.................................148
Таблица 2. Простейшие задачи в координатах....................149
Таблица 3. Применение метода координат
к решению задач.......................................    152
Таблица 4. Уравнение окружности...............................154
Таблица 5. Уравнение прямой...................................156
Таблица 6. Решение треугольников. Площадь треугольника........158
Таблица 7. Решение треугольников. Теорема синусов.............162
Таблица 8. Решение треугольников. Теорема косинусов...........164
Таблица 9. Скалярное произведение векторов....................168
Таблица 10. Длина окружности. Длина дуги....................  171
Таблица 11. Площадь круга.....................................176
Таблица 12. Площадь круга.....................................179
Раздел III. Решения некоторых задач.............................181
VII	класс....................................................181
VIII	класс....................................................183
IX	класс.....................................................198
Ответы......................................................    213
Серия «Большая перемена»
Балаян Эдуард Николаевич
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых чертежах
для подготовки к ГИА и ЕГЭ
7-9 классы
Ответственный редактор С.Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева
Подписано в печать 12.11.2012.
Формат 70x100/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,48. Тираж 3000 экз.
Заказ № 4699/1
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Сайт издательства: www.phoenixrostov.ru
Интернет-магазин: www.phoenixbooks.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов
в ООО «Кубаньпечать»
350059, г. Краснодар, ул. Уральская, 98/2