Автор: Сирожиддинов С. X.
Теги: математика функционал анализ курси укитувчи нашриёти учебная библиотека
Год: 1980
Текст
d-iizm
У2& *
С- 30 т- А- САРИМСОКОВ
ФУНКЦИОНАЛ
АНАЛИЗ
КУРСИ
УзССР Олий ва урта махсус таълим министрлиги
уливерситетларнинг математика ва амалий математика
факулътетлари студентлари учун
дарслик сифатида тасдиклаган
Цайта ишлаигпн, тулдирилган
иккинчи iiatupu
-учебная
библиотека
ТашГУ
ТОШКЕНТ—„^КИТУВЧИ*—1986
Пр<-
МахсуТО^аЛрнр: Узбекистан ССР Фанлар академиясининг
—---> мухбир аъзоси, профессор Хожаев.
Тацризчилар: Узбекистан ССР Фанлар академиясининг дадидий
аъзоси, профессор С. X. Сирожиддинов.
физика-математика фанлари кандидата,
доцент А. АъзаМов
Ушбу китобда функционал анализ курсининг асослари баён
•дилинган. Китобнинг биринчи цисмида асосий фазолар, иккинчи
дисмида операторлар назарияси баён цилинади. Мураккаб функци-
онал фазолар метрика, норма ва скаляр купайтма ёрдамида содда-
род фазоларга дулай тарзда акс эттириб ^рганилади.
Мазкур китоб унпверситетлар ва педагогика ннститутларининг
математика, физика-математика, механика-математика ва ама-
лий математика факультетларн студентларига мулжалланган.
1702050090—330
353 (04) 86
© .Удитувчн* нашриёти, Т„ 1980 й.
155__86© „Укитувчи“ нашриёти, 1986 й.»
дайта ишланган, тулдирилган 2- нашри
С
МУНДАРИЖ А
Лсосий белгилашлар ........ 2
Биринчи нашрига суэ боши .... 5
Икнинчи нашрига суз боши ....
Биринчи цисм. АСОСИЙ ФАЗОЛАР
[БОБ. Вектор фазолар
1.1- §. п улчамли вектор фазо ... 8
Вектор фазонинг таърифи ва
мнсоллар ........... Ю
1.3- §. Чизикли богланийт. Улчам . 12
1.4- §. Вектор кием фазо. Цавари^
гупламлар................. 14
!.£-§. Фактор фазолар ва фаво'лар-
нинг купайтмаси....... 17
1.6- §. Чизшрти акс этгйришлар. . 19
учун масалалар . . 23
II Б О Б- Метрик фазолар
2.1- §, Мет/зк фазолар....... 25,/
2.2- §. Me рик фазода яцинлашиш .
тфпупчаси.................... 30 V
2.3- §/^1етР11К фазоларда узлуксиз
7 акс эггиршллар ва фуикцио-
паллар ............ 34
гл®- Метрик фазода очин ва 6пиг{
тупламлар ............... 36
2 *•§. Сепарабел метрик фазолар. 40
2б-§. Тула метрик фазолар .... 42 */"
57-§.кТУлдирувчн фазо хацидагн ’
теорема...................... 48 V
?.8-§. Метрик фазода компакт туп-
ламлар ...................... 52
.9-§. Кисцартириб акс эттириш
пришшпн ва унинг татбик-
лари.................... . , -
Маш/( учун масалалар . . 66
III Б ОБ. Топологии фазолар
Топологии фззоларнииг таъ-
рифи в а мнсоллар........ 69
Атрофлар. Ёпик тупламлар. 70
j3-§. Топологик фазойарни узлук-
сиз акс эттириш . •....... 75
^4-§. Компактлик ............ 77
ь{5-§. Фззоларнииг топологик ку-
д- пайтмалари . .............. 79
Маши учун масалалар . . 81
IV Б О Б. Нормаланган фазолар
4.1-§. Нормалангап фазо таърифи
ва унинг баъзи хоссалари. 83
4.2-§. Эвклид фазоларн ...... 91
4-3-g. Гильберт фазоларн.......99 (
4. <!-{$. Цисм фазолар. Ортогонал тул-
днрувчилар....................133
4.5-§. Комплекс Эвклид фазоларн. . 108
Mavit' у^.с масалалар . . ш
V Б G Б. Топологик вектор фазолар
5.1 -§. Топологик вектор фазонинг
таърифи ва баъзи хоссалари 114
5.2 -§. Яримнормалар ..........11»
5.3 Хан-Банах теоремаси .... 124
5.4 ~§. Топологик вектор фазоларн»
метрикалаштириш ва норма-
лаштириш .....................128
Машц учун масалалар , . 133
VI Б О Б. Цисман тарт |< лай гаи
фазолар
6.1- §. Цисман тартибланган туплам-
лар ....................... . 135
6.2- §. Панжаралар.............139
6.3- §. Буль алгебралари.......143
6.4- §. Вектор панжаралар......146
б.5- §. Цис^ан тартибланган тополо-
гик вектор фазолар.............154
Mauiti' учун масалалар. . 158
Иккинчи цисм. ОПЕРАТОР ЛАР
НАЗАРИЯСИ
VII БОВ. Топологик вектор
фазоларда у злу к сиз
операторлар
7-1-§- Узлукснз чизикли оператор-
лар ......................... 160 V
7.2- §. Текнс чегараланганлик прин-
ципи. Очш; акс эттириш ва
блик график ^ацидагн теоре-
малар...................... . 168 V
7.3- §- Нормаланган фазода чизицли
операторнинг нормаси .... 175 V
7.4- §. Нормаланган фазоларда функ-
ционал анализнанг асосай
иринНиплари....................182
3
7.5- §. Чизицли операторлар’фазоси-
да топологиялар. .............188
Машк учун масалалар. . 195
VJII БОБ. Чизицли функцио-
наллар ва цУшма фазо
Я .1-§. Нормалангаи фазоларда чи-
зицли функциоиаллар ва ги-
пертекисликлар ....... 198
® 2-§. Иккинчн чушыа фазо ва реф-
лекс ......................... 2Ю
;8 3-§. Сует топология ва сует яцин-
................................213
3 4-§. КУшма фазода сует топология
ва чегаралангаи тупламлар . 217
<3 5-§. ^ушма операторлар....... 220 fr
Машк у чуя масалалар . . 227
IX Б О Б. Спектрал анализ
элементлари
S Д-§. Спектр ва резольвента . . . 229V
9 .2-§. Проекцион операторлар . . . 241
9 3-§. Чекли улчамлн Эвклид фазо-
сида уз-узига к£шма опера-
тор учуй спектрал теорема . 249
Э 4-§. Спектрал теорема.......254
Машк учун масалалар. . 267
X Б О Б. Тула узлуксиз опера-
rop/iap ва интеграл
тенглвмаляр
Банах фазолармда -гула уз-
луксиз операторлар.......268
3 0.2-§. Тула узлуксиз операторлар-
нинг хоссалари.................... 272 v
1 0.3-§. Гильберт фазосида туда уз-
луксиз операторлар............. 277 *
10.4-S- Чизихли интеграл тенглама- у
лар.........................283
'10.5-5. Фредгольм теоремалари. . 288 V
Машк учун масалалар. . 295
XI EQB. Банах алгебралари
11.1-§. Банах алгебраларннинг таъ-
рифи......................297
«Д.2-§. Спектр ва резольвента ... 301 у
П-3-§- Идеаллар, фактор-алгебра-
лар ва комплекс гомомор-
физмлар.................... 308
I1.4-5- Коммутатив Банах алгебра-
ларини ифодалаш..............315
11.5-§. Инволютив алгебра л ар. . . 320
Машк учун масалалар . . 324
ХП БОБ. Умумлашган
функция лар. Фурье алмаш-
тиришлари
12.1- §. Умумлашган функция тушун-
часи ........................326
12.2- §. Умумлашган функциялар ус-
тида амаллар.................332
12.3- §. Фурье алмаштириши .... 342
Машк учун масалалар . . 354
XIII БОБ. Нормалангаи фа-
золарда дифферент) иал ва
интеграл ^исоб элементлари
13.1- §. Кучли ва сует дифференциал-
лар ..........................356
13.2- §. Вектор функциялардан олин-
ган интеграл................ 363.
13.3- S- Юкори тартибли хосилалар 367
XIV БОБ. Вариацион хисо6
элементлари
S. Экстремумнянг зарурий ва
етарли шартлари..........373
а
14 ]7 (/. Х' (О) Ы «У₽и-
а л П»»
нишдаги Фз'нкционалларни р t
экстремумга тек.чириш . . . 378^
14.3-S- Иэопериметрик ма^чла. Шарг-
ли экстремум . . . г . . . 366
14.4-§. Экстремумни топишгч дояр
мисоллар 390
Машк, учун масалалар. . 395
АдабиСт................. 397
{^тлматли отамнинг
хотирасига баришлаИман.
БИРИНЧИ НАШРИГА СУЗ БОШИ
Функционал анализ ^озирги замен математикасининг
му^им со^аларидан биридир. У матемтгиканинг бир неча
со^алари (жумладан, математик анализ, ф/нкциялар наза-
рияси, интеграл ва дифференциал тенгламалар назарияси,
вариацион ^исоб) чегарасида, уларнинг тушунчалари ва
мс тдларини умумлаштирилиши натижасцда XX аср бошла-
рида янгн ва мустацил со^а сифатада вужудга келди.
Сунгги, тахминан, ярим аср моэайнида функционал ана-
лиз гоят чу кур ва кенг ривож топдн. Бу ривожланиш ай-
ни вацтда ^ам давом этмоада, ХозиРги кунда функционал
анализ математиканинг куп тармо^ли со^аларидан бирига
айланиб, математика ва физиканинг турли булимларида кенг
татбиц килинмокда.
Функционал анализнинг му^им хислатларидан бири му- .
раккаб функционал фазоларни (нукталари функциялардац.
иборат фазоларни) метрика, норма ва скаляр купаитма ёр-
дгмида соддарок, яхши у’рганилган фазоларга, масал ан»
тутри чизицца цулай тарзда акс эттириб олиб, урганишдац
иборатдир. Бу гоя асримизнинг бошларида амалга ошири-
либ, келгусцца кенг ривож топди. Бу гояга биз з^ам маз-
кур китобда етарли даражада эътнбор бердик. Функционал
анализда, одатда, функционал фазолар бир неча узаро узвий
богланган турли математик структуралар (масалан, алгеб-
раик амаллар, метрика, норма, скаляр купайтма, цисман
тартиб) киритилган золда курилади. Функционал фазолар-
нинг бу тарзда курилиши функционал анализда турли ме-
тодларнн, айницса, аналитик ва топологии методларни кул-
ланиш имконини беради.
Функционал анализнинг асосий мазмуни функционал
фазоларни ва уларда аникланган операторларни урганишдир.
Бунга кура биз китобни куйвдаги икки цисмга булиш-
ни лозим топдик:
I ^исм. Асосий фазолар.
II кием. Операторлар назарияси.
Биринчи киемни функционал анализнинг асосий пойде-
вори, иккинчи киемни эса бу пойдеворга курилган иншоот
деб караш мумкин.
Мазкур китоб университетлар ва педагогика^институт-
ларинннг математика, физика-математика, механика-матема-
тика ва амалий математика факультетларига мулжалланган
булиб, бунда биз мавжуд программаларни иазарда тутган
$олда функционал анализнинг энг асосий ва му^им боб-
ларини ёритиш билан чегараландик.
Китобда махсус курсларга мулжалланган параграфлар
^ам уз у’рнини топди. -
Хакикий узгарувчининг функциялари назариясига оид
маълумотлар бу китобда келтирилмади. Бундай маълумот-
лар авторнинг 1968 йилда нашр этилган „Хаци^ий узга-
рувчининг функциялари назарияси" китобида келтирилган
булиб, бу китобни текстда кискача [ХУФН] билан бел-
гилаДик.
Китобни ёзишда биз рус тилцдаги дарсликлар, куллан-
малар ва монографиялардан фойдаландик; уларнинг руйхати
китобнинг охирида келтирилган.
> Китобда теоремалардан фойдаланиш тартиби куйидагича:
мазкур параграфдаги теоремаларнинг факат иомери курса-
тилади; бошца параграфдаги теоремалардан фойдаланилган-
да параграфнинг номери ^ам курсатилади (масалан, 9.1-§,
4- теорема).
6
Китобнинг цул ёзмасини таиёрлашда ТошДУ функ-
ционал анализ кафедрасининг Ходимлари, айницса, проф.
Ж. Дежнев, доц. Ш. А. Аюпов ва Р. Н. Ранихужаев
уртоцлар якиндан ёрдам бердилар. Уларнинг ^аммаларига
самимий ташаккур билдираман.
Автор
ИККИНЧИ НАШРИГА СУЗ БОШИ
Мазкур китобнинг биринчи нашри 1980 йилда чикцан
эди. Бу орада китоб тарцалиб, унинг кайта чоп этилишига
эхтиёж вужудга келди. Шу ни назарда тутиб, китобга
деярли узгартишлар киритмай, биргина „Вариацнон хисоб
элементлари11 бобики куш дик, чунки математиканинг бу
сохаси мухимлигидан ташцари, куп сохаларда татбикйй
ахамиятга эгадир. Шуни хам айтиш керакки, вариацион
Хисоб университетларда куп йиллар мобайнида алохида
курс сифатида уцилади. Бундан ташцари биринчи нашрда
йул куйилган баъзи камчиликлар тузатилди.
Дарсликнинг биринчи нашрида авторнинг „Хакиций уз-
гарувчининг функциялари назарияси“ китобидаги маълумот-
ларга таянилган эди. Бу китобнинг янги тузатиЛТан ва
Кайта ишланган нашри 1982 йилда чикди. Шунинг учун
мазКур дарсликда китобнинг янги нашридаги маълумотлар-
га мурожаат цилинди.
Китобни нашрга таиёрлашда доц. Р. Ранихужаев фаол
цатнашди. Унга уз миннатдорчилигимни билдираман.
Автор
I ’К и см
АСОСИЙ ФАЗОЛАР
I боб
ВЕКТОР ФАЗОЛАР
!.!-§. п улчамли вектор фазо
Геометрия, механика ва физикада шундай объектлар
учрайдики, улар бир ёки бир неча ^акикий соннинг тар-
'гиблая г ан системаси билан аникланади. Мас ал ан, текислик-
даги лаР кандай нуцта узининг икки координатаси билан,
Зар кандай вектор узининг икки компонентаси билан аник-
-ланади. Текисликдаги векторнинг энг содда умумлаштири-
•лиши п улчамли вектор тушуичасидир.
Таъриф. Тартиб билан ёзилган п та ^акикий сон
систем аси, яъни
a=(alt а2, .... ап)
91 улчамли вектор дейилади. Бунда at, а2, ... , ап сон-
лар векторнинг координаталари дейилади.
п улчамли «=(аг, а2 . .., ап) ва b=(bu b.it . . ., bn)
вектор л арнинг мос координаталари тенг, яъни = а2~
= , ап=Ьп булса, бу векторлар тенг деб ^исоб-
ланади. Бундан яна бир бор куриниб турибдики, вектор
’бу и та ^акикий сон тушлами булибгина колмай, балки
элементлари тартибланган система хамдир. Яъни берилган
векторларнинг координаталарини /юшка тартибда ёзсак,
умумий ^олда биз бошка векторни ^осил киламиз. Маса-
лан, уч улчамли фазода а=(1, 2, 3) ва £>=(2, 1, 3) век-
торлар бир-бирига тенг эмас.
Мисоллар. 1. Текисликдаги векторлар икки улчам-
ли век тор га, реал физик фазодаги векторлар (куч, тезлик
кабил ар) уч улчамли векторга мисо л булдди.
2. Бир узгарувчили (п—1)-даражали /(x)=a04-a1x-|-
4-. . . + ап—\ куп^адни п улчамли a=(aQl аи ..,,
) вектор сифатида караш мумкин.
Энди биз п у'лчамли векторлар устида амаллар кири-
тамиз. Икки
а=(ан а2, . .. , ) ва Ь2, ... , Ьп )
векторнинг йигиндиси куйидагича аникланади:
a4-6=(a1-h^1, a2^~b2, ... , ап^-дГ1).
Сонларни кушиш амали коммутатив ва ассоциатив бу'лгани
учун векторларнинг йигиндиси ^ам шу хоссаларга эга,
яъни
1) а\-Ъ~Ь\-а (коммутативлик хоссаси);
2) a-j-(Z?4-r)=(a4-ft) (ассодиативлик хогсаси).
Хамма координаталари нолдан иборат вектор ноль век-
тор дейилади ва 6—(О, 0, . . . , 0) оркали ёзилади. Ноль
вектор векторлар орасида сонлар тупламидаги ноль ролини
уйнацди. Дар^акикат, ихтиёрий a==(alt а2, ... , ап) век-
тор учун
tz-J-0 ;= (сц0, ^2Ч~0, . .. , ап Ч_0)==
. .. , ап)=а.
Ушбу
—fz=(—tzn —а?, ...» — ап)
вектор а векторга царама-цариш вектор дейилади. Рав-
шанки, аД(—а)=6. Демак, киритилган кушиш амалига
нисбатан п улчамли векторлар коммутатив группа ^осил
Килади.
Векторлар устида яна бир амал киритдмиз. а вектор-
нинг X ^акиций сонга купайтмасини куйидагича аниклаймиз:
Xtz=(Aalt Ха2, . . . , Xart).
Хацикий сонларни купайтириш ашлининг хоссаларидан
киритилган амалнинг- куйидаги хоссалари келиб чикади:
3)
4) (л+р)а=Ха-|-ра;
5) (Хр)а=Х(|ш);
6) 0-^=0;
7) \ а—а.
Бу ерда а, Ь, 6—векторлар, А, р, 0, 1—^акикий сонлар.
Берилган п натурал сон учун ^амма п улчамли век-
торлар туплами (киритилган амаллар билан биргаликда) п.
улчамли вектор фаза дейилади ва Йп билан белгилана-
ди. Хусусан, /г==2 ва п=яЗ булганда юкоридз киритилган
9
КУ шиш амали вектор ларнинг „параллелограмм" цоидаси
буйича геометрик кушиш билан устма-уст тушади. а век-
торнинг а сонга купайтириш амали эса куйидаги маънога
эга. Агар а>0 булса, бу амал векторнинг узунлигини а
марта орттиради. Агар а<сО булса, бу амал векторнинг
узунлигини |а| марта орттириб, йуиалишини тескарисига
алмаштиради,
Агар л=1 булса, вектор бир координата билан аник-
ланади ва бунда векторлар устида аммаллар ^акикий сон-
лар устидаги кушиш ва купайтириш амаллари билан мос
тушади. Шунинг учун фазоии айнан к^кикий сонлар
фазоси деб кисоблаймиз.
Агар биз п улчамли векторнинг таъифида а1г a2t ... ,
ап сонларни яакикий эмас, балки комплекс сонлар деб
олсак, п улчамли комплекс фазо тушунчасига келамиз.
Бу фазо С" билан белгиланади.
1.2- §. Вектор фазонинг таърифи ва мисоллар
Энди вектор ва вектор фазо тушунчасиии янада умум-
лаштирамиз. Бу ердан бошлаб а, ₽, т, .. . ♦ X, р ^арфла-
ри билан хацикий ёки комплекс сонларни, К оркали эса
А ёки С сонлар майдонини белгилаймиз.
Таъриф. Бирор V тупламнинг ихтиёрий икки л: ва у
элементи учуй йигинди амали берилган булиб, у ига нисба-
тан V коммутатив группа ^осил килсин, яъни ушбу турт-
та шарт бажарилсин:
1°. х
2°. *+(y+z)=(x+y)+z;
3°. V нинг барча х элементлари учун х-\-в=х шартни
каноатлантирувчи ва ноль деб аталувчи 6 элемент мав-
жуд булсин.
4°. У даги ^ар цандай * элемент учун хЧ~(—х)=В
шартии каноатлантирувчи—х £ V элемент мавжуд булсин.
Бу элементам х элементга царама-царши элемент дей-
миз.
Бундан ташкари, кар кандай а£Л суш ва x£V элемент
учун уларнинг купайтмаси деб аталадиган ах£У элемент
аникланиб, куйидаги аксиомалар бажарилсин:
5°. а(₽х)=(ар)х;
6° 1 X'—X'
7°. (а-ур)х—ах
8°. а(х-|-у)=ах-1-ау.
Агар У даги бу иккала амал учун 1°—8° шартлар
10
бажарилса, V туплам К м.ай,дон у стада вектор фазо
дейилади. Шу ни айтиб утиш керакки, каР бир комплекс
вектор фазони хаци^ий вектор фазо сифатида кам цараш
мумкин (чунки RczC булгани учунихтиёрий х нинг ^а-
цикий сонга купайтмаси ^ам аницланган).
Мнсоллар.
1. С комплекс соилар тупламида кушиш ва хакикий
сонга купайтириш амалларини карасак, бу туплам к^кикий
вектор фазо булади.
2. п улчамли вектор фазолар (какикий ёки комплекс),
1.1-§ да курсатилганидек, вектор фазо булади. Хусусан,
даражаси п—-1 дан катта булмаган бир аргументли куп-
X ад л ар туплами Рп~х (х) вектор фазо хосил килади.
3. Даражаси п—1 га тенг булган куп^адлар туплами
вектор фазо косил килмайдн. Чунки бундай икки купкад
йигиндисининг даражаси п—1 дан кичик булиши мумкин.
Масалан,
/1 = Л (*МП"'2 —х“-'
п—1 дура ж зли купхадлар, лекин улар йигиндисининг да-
ражаси п—2 га тенг.
4. п сатрли ва т устунли матрица пт улчамли вектор
сифатида каралиши мумкин; бунинг учун матрицанинг
элементларини сатрма-сатр укиб чикиш кифоя. Бундай мат-
рицалар туплами мос элементларни кушиш ва сонга ку-
пайтириш амалларига нисбатан вектор фазо к°сил килади.
5. R тугри чизикдаги мусбат сонлар к^кикий вектор
фазо косил килмайди, чунки а мусбат сон учун каРама-
карши—« элемент бу тупламга кирмайди.
Элементлари функциялар ёки сонли кетма-кетликлар
булган вектор фазолар функционал фазолар дейилади.
Шундай фазоларга >;ам мнсоллар келтирамиз.
6. /2 ^акикий фазо. Унинг элементлари ушбу
S W2<o°
п=Л
(1)
шартнн каноатлантирувчи сонларнинг х—(хх х2, ... , хп,
. .. ) кетма-кетликларидир. Бу фазода амаллар куйидагича
киритилади:
(*i. , ХП1 ... )+(У1, у2, . . . , у„, . . .)==
. Хп+Уп* - • • ).
а ... , Xnt . . . )=5(ахи аха, ...» &хп, . .
11
(1) шартни цаноатлантирувчи икки кетма-кетликнинг
йириндиси лам шу шартни каноатлантириши куйидаги содда
тенгсизликдан келиб чикади:
(at Ч-а2)а С 2«i + 2а|.
Шунга ухшаш Z2 комплекс фазони киритиш мумкин.
7. т фазо. Унинг элементлари чегараланган сонли
кетма-кетликлардир. Бу фазода цушиш ва сонга купайти-
риш амаллари 6- мисолдагидек киритилади.
8. фазо. Ихтиёрий хакикии сонли кетма-кетликлар
туплами 6, 7- мисоллардаги амаллар билан олинса, у 5 век-
тор фазо хосил цилади.
9. [а, 6] оралицда аницланган узлуксиз хакикий (ёки
комплекс) функциялар туплами функцияларни одатдаги
кушиш ва сонга купайтириш амалларига нисбатан С [а,
Ь] вектор фазо х°сил килади. Бу функционал фазо мате-
матик анализда катта ахамиятга эга.
1.3- §. Чизикли борланиш. Улчам
Таъ рнф. V вектор фазода х, у, ... , да элементлар
берилган булсин. Агар шундай а, р, . . . , к сонлар топил-
саки, уларнинг камида бири нолдан фаркли булиб, ушбу
ах ДруД . .. Дкда = О (1)
муносабат бажарилса, х, у, .. . , w элементлар чизикли
боглиц дейилади. Акс холда бу элементлар чизицли
эркли дейилади, яъни х, у, ..., да элементлар учун (1)
муносабат факат а — р= . .. = к=0 сонлар учунгина ба-
жарилса, х, у, .. ., да элементлар чизикли эркли булади.
Масалан, С [а, 6] фазода куйидаги
х (Z)—/2, у (Z)=2A z (f)=2Z24-4Z
функциялар чизикли боглик, чунки
2-X0+2-JV)—1 2(0=0.
Аксинча, шу фазода ихтиёрий п учун ушбу
л:о(О=1, ^(Z)=0 х2(0= Z3......^(0=^п
функциялар чизикли эркли. Хакикатан,
сс*о(0+ • • +«А(0=0, яъни а04- • • - +<Мп=0
муносабатларни каноатлантирувчи сс0, . . ., ап сонлар мав-
жуд деб фараз килайлик. Демак, [а, даги ихтиёрий i
12
сон бу купхаднинг илдизи. Алгебранинг асосий теорема-
сига биноан n-даражали купхаднинг илднзлари сони п та-
дан куп эмас. Шунинг учун а04-а,/-р ... -[-ал£п купхад-
нинг хамма коэффициентлари нолга тенг, яъни
=. .. =«„=0. Демак, таърифга асосан х0(/), хх(1), ... ,
лл(/) функциялар чизикли эркли.
V вектор фазода элементларининг сони чексиз булган
системанинг кар кандай чекли сондаги элементлари чизиц-
ли эркли булса, у холда берилган система чизикли эркли
дейилади. Масалан, С [а, 6] фазода
я0=1, xt=it x2—i2, .. ., xn~tn, . . .
чексиз система чизикли эркли. Бу хам, юкоридагига ух-
шаш, алгебранинг асосий теоремасидан келиб чикади.
Т аъриф. Агар V вектор фазода п та чизикли эркли
элемент топилиб, кар кандай п-\-1 та элемент чизикли бог-
лик булса, V фазо п улчамли вектор фазо дейилади.
Элементларининг сони ихтиёрий булган чизикли эркли
система мавжуд булса, вектор фазо чексиз улчамли, акс
Холда чекли улчамли дейилади. Масалан, 1.2-§ даги 1-,
2-, 4- мисоллардаги фазолар чекли улчамли, 6—9- мисол-
лардаги функционал фазолар эса чексиз улчамли. Хусусан,
9- мисолдаги С [а, 6] фазонинг чексиз улчамлилигй 1, t, t\
. . . , ta, ... чексиз системанинг чизикли эркли эканлиги-
дан келиб чикади.
Таъриф. п улчамли вектор фазода хар кандай п та
элементдан иборат булган чизикли эркли система базис
дейилади.
Функционал анализда урганиладиган вектор фазолар
асосан функционал фазолар бу’Либ, улар одатда чексиз
улчамлидир.
Ихтиёрий вектор фазода хам базис тушунчасини кири-
тиш мумкин.
V вектор фазода Г={ха 1 чизикли эркли система берил-
ган булсин. Агар ихтиёрий элемент учун шундай xai,
хая> .. ., xOfl £ векторлар ва Хъ Х2, , Хп сонлар то-
пилсаки, х ушбу
X— XfXaj ~j- • - •
куринишда ёзилса, Г туплам V вектор фазонинг Хамель
базиса дейилади. Ихтиёрий вектор фазо Гамель базисига
эга эканлигини курсатиш мумкин.
13
1.4- §. Вектор цисм фазо. 1^авариц т^пламлар
Таъриф. V вектор фазоиинг L цисм тупламинииг узи
кам V да аницланган векторларни цушиш ва векторни
сонга купайтириш амалларига нисбатан вектор фазо булса,
L фазо V вектор фазонинг вектор цисм фазоси (баъзан эса
чизицли купхиллик) дейилади.
Энди V шпг А ва В кием тупламлари ^амда К майдон
учун
А-\-В = {a-\-b z а^А, Ь^В\.
К-А={ра'.\£К, а£А>
белгилашларни киритамиз.
А~ЬВ туплам А ва В тугламларнинг вектор йигин-
диси дейилади. Бундай белгилар ёрдамида V даги L туп-
ламнинг вектор кием фазо булиш шартлари куйидагича
ёзилади'.
a) Z+ZczZ, б) KbaL.
Даркацицат, бу шартга кура Z туплам ноль векторга
эга булади, чунки агар а вектор Z га тегишли булса,
у колда Z га 0-а=6 вектор кам тегишли булади. Суигра
Z узининг ихтиёрий а вектори билан бирга яна б) шартга
кура унга карама-карши булган—а = (—1)-й векторга кам
эга булади. Сунг а) ва б) шартларга кура кар цандай ик-
ки векторнинг йигиндиси кам, кар каидай векторнинг их-
тиёрий сонга купайтмаси кам Z га тегишли булади.
Энг кичик вектор цисм фазо ноль элементдан иборат
булган {б| фазодир.
Бевосита куриш мумкиикй, ихтиёрий вектор кием фа-
золар системасининг кесишмаси (купайтмаси) кам вектор
кием фазодир.
V вектор фазода ихтиёрий буш булмагаи S туплам
берилган булсин. S тупламни уз ичига олган энг кичик
вектор цисм фазо S тупламдан цо.сил цилинган вектор
цисм фазо дейилади. Бундай вектор кием фазо S туплам-
ни уз ичига олувчи камма вектор кием фазоларнинг ке-
сишмасига тенгдир. S дан косил цилинган Z вектор цисм
фазо айнан куйидаги куринишдаги элементлардан иборатдир:
п
X = Y °-i Ui .
бу ерда о; СК, at £5, 1 Кп, п—ихтиёрий (х га боглик)
натурал сои. Баъзан, S тупламдан вужудга келтирилган Z
14
вектор кием фазо S нинг чизи^ли цобиги дейилади ёки
S туплам L ни вужудга келтирувчи система дейилади
ва А — [5] куринишда белгиланади.
Мисоллар. 1. Г вектор фазо, х унинг нолдан фаркли
элемента булсин. {Хх, элементлар туплами бир у лчам-
ли фазо косил килади. Бу фазо V нинг вектор кием фазо-
сидир. Агар V нинг улчами бирдан катта булса, {Хх,
2. 1.2-§ да ку-рилган 9- мисолдаги С [а, вектор
фазода камма купкадлар туплами Р [a, 6] ни олайлик.
Равшанки, Р [а, туплам С [а, Ь\ да вектор кием фа-
зо косил килади. С [а, каби Р [а, 6] кам чексиз ул-
чамлидир. Уз навбатцда, С [а, Ь} фазони [a, ft] ораликда
аникланган барча (узлуксиз ва узилувчи) функциялар век-
тор фазосининг кием фазоси сифатида караш мумкин.
3. 1.2-§ даги /2» s вектор фазоларга кайтсак
(6—8- мисоллар), бу ерда /2 фазо т фазонинг вектор кием
фазоси, т эса уз навбатида s нииг кием фазосидир.
-ч/Таъриф. V вектор фазода ихтиёрий А туплам берил-
ган будешь Агар Х-рр==1, Х>0, р>-0, шартларни каноат-
лантирувчи ихтиёрий X, р сонлар учун ушбу
ХД-4-pAczA (1)
муносабат уринли булса, A цавариц туплам дейилади.
Агар | Х|< 1 шартни каноатлантирувчи ихтиёрий X учун
XAczA муносабат бажарилса, А мувозанатдаги туплам
дейилади. Каварик ва мувозанатдаги туплам абсолют ца-
вариц туплам дейилади.
Равшанки, агар А каварик туплам булса, ихтиёрий
xQV ва Х£А учун x-f-XA хам кавардак ту'пламдир. Абсо-
лют каварик Д, В тупламлар учуй А 4-А ва ХА туплам-
лар хам абсолют каварикдир.
1- лемма. А абсолют каварик туплам булсии. У холда
К дан олинган ихтиёрий X, р (|Х| XJ), Хп Х2......Хя
сонлар учуй ушбу муносабатлар уринлидир:
1) ХДсдрА,
2) 2(ХМ)=(5М)И.
1<1сп
Йсбот. 1) агар р=0 булса, у холда ХА==рА=ж{6}.
Агар р^=0 ва х£А булса, А нйнг мувозанатдалигцдан
X-p-^x^A, яъни Хх£рА, демак, XAczpA муносабат келиб
чикади;
15
2) п==2 булган хол учун, яъни ушбу
хАррА= (N+lplM
муносабатни исботлаймиз. X = р=0 булса, хаммаси равшан.
X ёки р нолдан фаркли булса, у холда
WA+ Й1+ЯЛсЛ’
яъни ХЛ pAcz (РЦ-|Р1)А муносабат уринли. Аммо
(|X|+|p|)A<=pjA+lp|Acz ХАДрА
Демак,
ХАф pA=(|X[-J-|p])A.
Умумий хол индукция ёрдамида исботланади.*
2- лемма. Ихтиёрий каварик (абсолют кавариц) туп-
ламлар системасинйнг кесишмаси хам каварицдир (абсолют
каварикдир).
И с бот. Г ихтиёрий туплам, {Аа , а£Г} кавариктуплам-
лар системней булсин. A=f]A« тупламнинг ихтиёрий аи
<Г
а2 элементларини оламиз. Ихтиёрий а учун alt а-£Аа , де-
мак, X-f-p=l, Х>0, р>0 сонлар учун Х^+рОгСА; « их-
тиёрий булгани учун Хсц-(-рв2бП А =А, яъни XA-j-pAcA.
а£Г
Абсолют каварик тупламлар олинган холда Х£м исбот
шунга ухшашдир.*
А туплЕмни уз ичига олган барча каварик (абсолют
каварик) тупламлар кесишмаси кем каварик (абсолют кава-
рик) туплам булиб, у А нинг цаеариц (абсолют цава-
риц) цобиш дейилади. Каварик (абсолют каварик) ко-
п
бик 2 Xl куринишдаги элементлардан иборат, бу ерда
i=l
п п
Xi £Д X/ >-0, ^Х = 1 (^IXd^K л—ихтиёрий сон).
i=i i=i
Агар ихтиёрий элемент учун шундай Х>0 сон
мавжуд булсаки, лбрД муносабат ихтиёрий р (!pj>?) сон
учун уринли булса, А туплам ютувчи дейилади. Равшан-
к и, ихтиёрий ютувчи тупламлар чекли системасининг ке-
сишмаси хам ютувчидир.
16
1.5- §. Фактор фазолар ва фазоларнииг к^пайтмаси
V вектор фазо, V' уиинг вектор кием фазоси булсин.
Агар х, у С V элементлар учун х—у элемент V' га тегиш-
ли булса, х ва у ии эквивалент деймиз ва буни х~у
куринишда ёзамиз, бу муносабат (яъни эквивалентлик)
Куйидаги хоссаларга эга:
а) рефлексивлик хоссаси: хар кандай а элемент уз-
узига эквивалент;
б) симметриклик хоссаси: агар а~Ь булса, у холда
Ь~а\
в) транзитивлик хоссаси: а~-Ь, Ь~с булса, у холда
а—с. Шунинг учун бу муносабат V тупламни синфларга
булдди ([Х^ФН], 1 боб ). Бундай синфлар тупламини V
нинг I/' буйича фактор фазоси деб аталади ва V/V' ку-
ринишда ёзилади. ХаР цандай фактор фазода кушиш ва
сонга купайтириш амаллари куйидагича киритилади.
В ва г( синфлар VjV' иинг элементлари булган икки
синф булсин. ХаР бир синфда биттадан х ва у вакил тан-
лаб олиб, £ ва синфлар йишндиси деб х-{-у элементни
уз ичига олган синфнй айтамиз. £ синфнинг а сонга ку-
пайтмаси деб, ах элементни уз ичига олган синфга ай-
тамиз. Равшанки, бу амаллар иатижаси | ва tj синфлардаги
вакилларга бог лиц эмас. Масалан, х'£ у'Оч бошка бир
вакиллар булса, у холда
(х-ру)- (хЧУ')=(^—л')+(у—У?)€ V,
яъни х-| У ва хх-| у' элементлар бир синфга тегишли.
Шундай килиб, биз V/V' фактор фазонинг элементлари ус-
тида амаллар киритдик. Бу амаллар вектор фазодаги амал-
лар шартларини цаноатлантириши осонликча текширилади.
Шуидай килиб, хар кандай фактор фазо вектор фазодир.
Таъриф. V/V' фактор фазонинг улчами V' фазонинг
ко$лчами (цушимча улчами) дейилади ва codim V' ор-
кали белгиланади.
Мисоллар. 1. V=^/?2 да, яъни тёкисликда V деб
у=0 тугри чизицни (яъни х укиии) олсМиз. Агар a=(alt
аг), Ь2) элементларни олсак, а—b£V' бу'лиши учун
а2~Ь2 шарт зарур ва кифоядир. Демак, а=(аъ д2) век-
тор V/V' фазонинг кайси сиифига тегишли булиши фацат
а2 га боглик- Яъни у = у0 тугри чизикнинг хамма элемент-
лари бир синфга тегишлидир ва, аксинча, хар бир синф /?2
тенисликда бирор у = у0 тугри чизицни аниклайди. Шунинг
учун V/V' фазоиииг элементларини Ох укка параллел бул-
2—239
17
гаи тугри чизицлар деб цараш мумкин. ревосита куриниб
турибдики, codim
2. 1Z= С [а, 6] фазони курайлик. Кийматлари а ва b
нукталарда нолга тенг булган узлуксиз функннялар туп-
лами V' бу фазода вектор кием фазодир. Энди шу вектор
дисм фазога нисбатан эквивалентлик муносабатини кирита-
миз. Бунда f ва g функциялар эквивалент булиши учун
/(fi)=g(a), fiP)= g(b) булиши зарур ва кифоядир. Демак,
эквивалентлик синфлари, яъни V/V' фазонинг элементлари
а ва b нукталардаги кийматлари билан аникланади. Шу-
нинг учун VIV' фазонинг элементларини /?2 фазонинг эле-
*ментлари сифатида караш мумкин. Хусусан, codim V'=2.
Бирор V вектор фазода Vit V2 цисм фазоларни оламиз.
Агар ихтиёрий х £ V векторни ягона равишда
X— X^~\-X2t X2GV2
куринишда ёйиш мумкин булса, у холда V фазо ва V2
Кием фазолариинг тугри. йигиндиси дейилади ва V—
=^i<BV2 куринишда белгиланади.
Масалан, V = Л2 вектор фазо узининг
К = {(0, ₽), ₽£/?} ва V2 ={(а, 0), а€/?}
кием фазоларининг тугри йнгнндисидир.
Энди вектор фазолариинг тугри купайтмаси тушунча-
сини киритамиз. Бунинг учун вектор фазолар системаси
ни оламиз, бу ерда I — ихтиёрий кувватли туплам.
Бу фазолариинг Декарт (тугри) купайтмаси ([Х^ФН],
1 боб) булган V = HV, тупламда вектор фазоларга хос
булган операциялар киритамиз. Агар х = (x^Q, У=(уДС г
V нинг икки элемента булса, у холда кушиш амали ушбу
х + у = (^+yz)zG/
куринишда, X сонга купайтириш амали эса
Хх = (Хх^ХС z
куринишда аннкланади. Хар бир Vt вектор фазо булгани-
дан фойдаланиб, киритилган амаллар V тупламни вектор
фазога айлантириши осонликча исботланади. Х°сил булган
V вектор фазо Vt фазолариинг тугри купайтмаси дейи-
лади ва ПЦ ёки X куринишларда ёзилади. Хусусан,
i G z i G I
камма Vi=F булса (F — тайинланган вектор фазо), у
^олда ^осил булган тугри купайтма Fz билан белгиланади.
18
Агар / туплам чекли булиб, п та элементдан и борат бу’л-
са, F1 урнига Fn ёзилади.
Масалан, фазони /?' вектор фазолариинг тугри ку-
пайтмаси сифатида цараш мумкин. 1.2-§ даги s фазони
(8- мисол) сифатида цараш мумкин (бунда N — натурал
сонлар туплами).
1.6- §. Чизицли акс эттиришлар
Е вектор фазоии F вектор фазога бирор их E^F акс
эттириши берилган булсии.
Таъриф. Агар хаР цандай яг, у£Е ва а, р QK учун
и(ах 4- ру) — аи(х) ф- ₽п(у)
муносабат уринли булса, и чизикли акс эттириш ёки
чизицли оператор дейилади. Хусусан, F фазо сифатида
К майдон олинса, бундай акс эттириш чизицли форма
ёки чизицли функционал дейилади.
Равшанки, хаР каидай и чизикли оператор Е нинг би-
рор Еъ кием фазосини F нинг цисм фазосига акс эттиради,
яънн и{Е^} туплам F нинг кием фазосидир. Агар Е\ туплам
F нинг ^исм фазоси булса, у холда Fb нинг ас ли булган
«-4Fe) туплам Е нинг вектор кием фазоси булади. Дар-
хакидат, агар х, у £u-\F^, яъни и(х), u(y)QF0 булса, у
холда Fg вектор кием фазо б^лгани учун и(х) ф- u(y)£FQ.
и(х) ф- и(у)—и(х ф- y)£F0, яъни х ф- y^ur-^F^.
Шунга ухшаш Xjc^k-1(F0) хам исботлаиади. Хусусан,
агар булса, п~’(б) кием фазо чизикли акс этти-
ришиинг ядроси дейилади ва kern билан белгиланади.
Турли векторларни турли векторларга акслантирувчи
яъии х у учун и(х) =р=.и(у) - булган акс эттириш моно-
морфизм дейилади.
1-теорема. u\E-*F чизицли акс эттириш мо-
номорфизм булиши учун кеш = {0} булиши зарур ва
кифоядир.
И с бот. Зарурлиги. Агар х Q кеш булса, у холда
п(х) — 6 = п(6). Иккинчи томондан, и мономорфизм бул-
гани учун х = 0, яъни кеш = {0).
Кнфоялиги. кеш = {0} булсин. Агар и(х) = и(у)
муносабат бажарилса, яъии и(х — у) = 6 булса, у х°лДа
х — у G кегмф- Демак, х — у = 0, яъни х — у.*
Агар it'.E^F чизикли акс эттириш учун u(E}=-F
булса, бу акс эттириш эпиморфизм дейилади. и чизикли
оператор бир вактда мономорфизм х^мда эпиморфизм булса,
19
у долда изоморфизм ёки чизицли изоморфизм дейилади.
Бу долда Е ва F фазолар изо морф фазо лар дейилади в а
бу муносабат E^F куринишда ёзилади.
Мисоллар.
1. /?л(п> 1) фазонинг х = {хи х2, . . . , хп) элементнга
и акс эттириш х{ сонни мос дуйса, яъни и(х) = xt булса,
у долда и: Rn-+Rl чизидли оператордир (анидроги, чизид-
ли функционал). Равшанки, и — эпиморфизм. Аммо и моно-
морфизм эмас. Дардадидат, бу оператор учун ker« = {x=
=(0, х3, х3, ..., хп): Xi Q R, 1 = 2, .. ., п) =^{6}. Демак,
1 - теоремага рсосан у мономорфизм эмас.
2. Ихтиёрий V вектор фазонинг VQ кием фазосини
олиб, u:V0-*V акс эттиришни и(х)=х&еб анидласак,
равшанки, чизидли оператор косил булади. Уиииг ядроси
6 элементдан иборат, яъни 44.—мономорфизм. Лекин
=FV долда и эпиморфизм эмас.
3. E = Rn, F = Рп~\х) (Р^Цх)—даражаси п—1 дай
катта булмаган купкадлар фазоси) булса, и: E-+F опера-
торнн дуйидагича анид лайм из:
«((«t а2, ... , ап)) = а{ Д- а2х
и чизидли оператордир. Даркадидат, а=(ах, а2, ,
, ап), b ={bu Ь2, , Ьп) ихтиёрий векторлар булса,
у колДа
и(а + Ь) = и(аг + Al, а2 4- Ь2, .. ., ап 4- £п) — at ♦ 4~
4- («2 4- Ь^х+ .. . 4-(«л 4- Ь^хп~х — 4- а2х 4-. . . 4-
4- а^-1) 4- (^i 4- Ь2х 4- . .. 4- Ьпхп~г) = и(а) 4- «(&).
Шунга ухшаш
a(Ja) =
Бу ерда и эпиморфизмдир. Хадидатан, Рп-^х) фазода
ихтиёрий
f(x) = Gj 4- а^х 4- . . . 4- апхп~1
купдадии олсак, у ушбу {аи а2, .. ., ап) QRn векторнинг
тасвири, яъии и (аи а2, . , ал)=/(х).
Шу билан бирга и мономорфизмдир, чунки и(а) =
= к((а19 а2, ..., ап)) = 6, яъни ах 4- а2х -р . . .4- апхп~1
айнан нолга тенг купдад булса, алгебранинг асосий теоре-
масига биноан унинг камма коэффициентлари иолга тенГ:
=а3 =. .. =ап =0- Демак, кеш={6}. Шундай дилиб,
и изоморфизмдир.
Хар дандай икки чизидли и ва v оператор учун улар-
нииг йигиндиси деб аталадиган «4-2/ оператор ва и опе-
20
раторни X сонга купайтмаси деб аталувчи Ха оператор
дуйидагича анидланади:
(и + т?)(х) ~ и(х) 4- v (х), fa) (х) = >и(х).
Шуидаи дилиб, Е ни F га акс эттирувчи операторлар
туплами бу амалларга нисбатан вектор фазо досил дилади.
Бу вектор фазо Z (Е, F) билан белгиланади. Агар F=K
булса, 7\Е, К) фазо Е* куринишда ёзилади ва уии Е га
алгебраик ^шма фазо дейилади.
Энди и чизидли акс эттиришии бутун Е фазода эмас,
балки унинг L вектор дисм фазосида анидланган деб фа-
раз дилайлик. Унда L туплам и чизидли акс эттиришнияг
анидланиш содаси дейилади ва dom и билан белгиланади.
и чизидли акс эттиришнинг «(£) дийматлари содасини Ima
билан белгилаймиз ва и чизидли акс эттиришнинг тас~
вари ёки акс и деймиз.
Энди биз и акс эттиришнинг графиги тушунчасини
киритамиз. ExF купайгмаиинг (х, и (х)) (бу ерда х эле-
мент dom и тупламда узгаради) куринишдаги нудталар
тупламини и книг графиги деймиз ва gr и билан белги-
лаймиз. Равшанки, агар и чизидли акс эттириш булса, у
холда gr и туплам Е$<Е вектор фазонинг вектор дисм
фазоси булади.
Ey^F купайтмадэ G туплам берилган булсин. $з-уви-
дан буидай савол тугилади: дандай шартлар бажарилса,
G туплам Е нинг бирор дисм фазосида анидланган ва дий-
матлари F да булган бирор и акс эттиришнинг графиги
булади? Равшанки, агар G бирор и акс эттиришнинг гра-
фиги булса, у долда дуйидаги шарт бажарилади: дар дан-
дай х£Е элемент учун купи билан битта y£F элемент
мавжудки, (х, y)QG.
Аксинча, Gcz.E'xF туплам учунюдорида ёзилган шарт
бажарилса, у долда G бирор и акс эттиришнинг графиги
булади. Бу акс эттиришнинг анидланиш содаси булган
dom и туплам шундай х£Е элементлардан иборатки, х
учун камвда битта (демак, шартга биноан фадат битта)
убЕ элемент мавжудки, (х, у) £С. Бу долда у == н(х) бу-
лади.
Агар G га душимча шарт дуйиб, G тупламни Ey^F
нинг вектор дисм фазоси десак, у долда досил булган и
акс эттириш чизидли булади. Бу мулодазалардан дуйидаги
теорема келиб чидади.
2-теорема. Ey^F вектор фазода берилган G туп-
лам Е да анидланган, цийматлари F га тегишли
21
бирор и чизицли акс эттиришнинг графиги бу ли ши
учун цуйидаги икни март зарур в а кифоядир:
(1) G туплам ExF вектор фазонинг кием фазоси;
(2) агар fS, у) элемент G тупламга тегишли бул-
са, у холда у = б.
Энди бичизикли акс эттириш ва бичизикли форма ту-
шунчаларига утамиз.
Е, F, G вектор фазолар булиб, uzExF-+G бирор
акс эттириш булсин. Агар ихтиёрий узгармас е £ Е учун
ва X, р £ К, /2 С F учун
и(е. X/ + р/2) = Хн(е, /,) 4- /2)
хамда узгармас f учун ва X, р£/С, еи е&Е учуй
и^ех 4- К2*/) = + P^s,/)
муносабатлар бажарилса, у холда и бичизицли акс эт-
тириш дейилади. Бошцача килиб айтганда, и (в, /) акс
эттириш бир узгарувчини тайинлаб олганда, иккинчи уз-
гарувчига нисбатан чизикли акс эттириш булади.
Шундай килиб, и: EXF-+G бичизикли акс эттириш
булса, у холда ихтиёрий е£Е учун
4^0,-)‘ F^G
ва ихтиёрий f&E учун
и(-, fv):E+G
чизикли акс эттиришлар булади.
Хусусий G = K холда
и: EXF-+K
бичизикли акс эттириш бичизицли форма ёки бичизицли
функционал дейилади.
Мисоллар. 1. V = C[a, б] булсин. u:VxV~+V акс
эттиришни куйвдагича аниклаймиз:
/,g£C[a, б].
и бичизикли акс эттириш, чунки
«(Vi + ^/sg) = (Vi 4" P/z)g. = 4ig + p/3g =
= {fu £) + p« (/2, g).
Шуига ухшаш
«(/.^1 + №) (f,gi) + ga).
22
2. V = Rn булсин ва и: VX акс эттириш цуйи-
1 дагича аницлансин:
а (а, Ь) = ^а,1 bt,
t бу ерда а = (аь «2, . .., an), b = (6t b2, .. ., Ьп)
и бичизикли эканлиги осонликча исботланади (текшириб
куринг).
МАШКЛАР
1. Q рационал сонлар майдони булсин. Ихтиёрий г
рационал соннинг а з^ациций соига купайтмаси одатдагидек
булсин. R фазо Q майдои устида вектор фазо буладими?
♦ 2. Ихтиёрий комплекс вектор фазо ^аци^ий вектор
фазо сифатида царалиши мумкинлигиии исботланг.
3. С комплекс сонлар майдонини ^ациций вектор фазо
сифатида оламиз. Бу фазода 1 ва i элементлар чизикли
эркли эканлигини курсатинг. Бу фазонинг улчамини топинг.
4. п улчамли комплекс вектор фазоиИ ^ациций вектор
фазо сифатида царалса, у инн г улчами нимага тенг булади?
5. С[а, Ь] вектор фазонинг улчами чексиз эканлигини
исботланг.
6. Rn вектор фазода ушбу
V = {х = (аь flg,..., «„): = а2}
I туплам вектор кием фазо эканлигини исботланг, унинг
улчамини топинг.
7. С[а, Ь] фазода 1, х, х2,. .., хп, ... функциялар
тупламини оламиз. Бу т^пламнииг чизикли ^обигини то-
пинг.
* 8. /2 фазода {хп}^г элементлар системасини цуйидаги-
ча антщлаимиз:
хп = (0,0....О, 1, 0, 0, ... )
л—1
Бу тупламнинг чизикли цобигини топинг. У 12 га тенгми?
9. Ушбу |Х| + Ы<4 теигсизликии цаноатлантирувчи
ихтиёрий X, р сонлар учун
АЛ 4" P-А о: А
муиосабатиинг бажарилиши А тупламнинг абсолют цава-
риц булиши учун зарур ва кифоядир. Исботланг.
10. Куйидаги теоремани исботланг: V вектор фазода
23
абсолют цавариц булган А туплам ютувчи булиши учун,
v%i6y
муносабат зарур ва кифоядир.
11. Rn фазода биринчи координаталзри нолга тенг бул-
ган векторлардан иборат Vo цисм фазони оламиз.
фактор фазони ани^ланг.
12. Мос равишда п ва т улчамли булган Rn ва Rm
фазоларни оламиз.
T=(atj), * = 1, п; 7=1, т
, п сатрли, т устунли матрица булсин. Rn фазонин г х —
= (х„ х3, ...» хп) элементига Тх = (уь у3, . . ., y^Rm
векторни куйидагича мос цуямиз:
п
Vj=^aiJxh J=Tjn.
2=1
Т нинг чизикли оператор эканлигини исботланг. Аксинча,
ихтиёрий T'.Rn-*R"1 чизикли оператор шундай куринишда,
яъни матрица ёрдамида ёзилишини курсатинг.
13. V вектор фазода исгиёрий 1/0 вектор цигм фазони
олиб, цуйидаги изоморфизмни исботланг:
i//voxvo-K
14. чизикли оператор булса,
£/ker zz^Ini и
изоморфизмни исботланг.
15. V вектор фазо узичинг ]/t ва V2 ци:м фазолари-
нинг тугри йигиндиси булсии, яъни V = VL ф У2. Куйидаги
изоморфизмни исботланг:
3. /2 ^ацицйй фазо. 1.2- §, 6- мисолдаги /2 фазонинг
элементлари
2< 00
П=1
шартни каноатлантирувчи ^ациций сонли кетма-кетликлар
зди. Бу фазода масофа цуйвдагича киритилади:
р(*. У) =
- г»
2 - у*)а
t=i
Метриканинг бириичи ва нккинчи аксиомаларининг
уринлилиги равщан, учбурчак аксиомасининг бажарилиши-
ни курсатамиз. Дархацицат, ихтиёрий п натурал сон ва
<М^2, учун
- А=1
теигсизлик уринлидир [2- мисолдаги (2) тенгсизлик]. Бу
теигсизликнинг унг томонидаги кадларпинг ^ар бири л->оо
да лимитга зга, чунки {aj^Zg ва Демак, чап то-
мондаги ифода камаймайдиган ва чегараланган булгани
учун лимитга эга ва
(со X 1 / со \ I f со XI
2w р< 2bi р+ 2°1 г- (3)
ы / \fe=l / \fe=l /
Энди Z2 фазодан учта
х = (хи х2, . .., хл, . . .), У =(У1, у2, • - •, ул, - • •),
г =(гь г2,. .., гя, . . )
нукталарни оламиз ва 2- мисолдаги каби цуйидаги белги-
лашларни киритамиз:
^k = xk-zki bk = zk—yk;
равшан ки, ч
Юцорцдаги (3) тенгсизликдан фойдаланиб, куйидаги тенг-
сизликни келтириб чицарамиз:
[DO ” ~ - ОО ~~
— ъ)2 = 2(«А + ^)2 <
ft=i J Lfc=i J
27
i со X 2 [ 00 \ 2 Г °° "1 2
< 24) + *Й)Ч +
'ai j \a=i / L*=i J
S — Ул)2
,A=l
2
= p(x, z) 4-p (z, y).
4. m фазо. Бу фазо хамма чегараланган хадидий сон-
ли кетма-кетликлардан иборат эди. Агар унинг иккита
х = (а,, «2, . - , • • )» У = (^1» Ь2, . .., Ьп,...) нудта-
си учун масофа
Р (х, y) = sup \ai — bi |
i
тенглик билан анидланса, т фазо метрик фазога айланади.
Дархадидат, учбурчак аксиомаси дуйцдагича текширилади:
|аг —- — 6z|4- \bt — o|^sup|af — bt 1 -Ь
+ Stip|6f — = p (x, y) + p(y, z),
- i
бу ерда z = (et, c2, .. .)- Бундан
sup|az — ci | = p (x, z) < p( x, y) + p (y, z).
i
Долган аксиомалариинг уринлилиги равшан.
5. X туплам з$амма яцинлашувчи сонли кетма-кетлик-
лардан иборат булсин, яъии
X = {х: х = (ап а21...); g limaj.
Равшанки, Хс. т, яъни X нинг >$ар бир элемента т учун
Хам элемент. Демак, X да т даги масофа киритилса, у
хам метрик фазони хосил этади. Бу фазо с билан белги-
ланади.
6. s фазо. X элементлари хадидий сонли кетма-кетлик-
лардаи иборат туплам булсии, яъни
X = (х: х = (аг, а2,
Бу тупламда икки х = (а1} а2ч .. .) ва у =(bb b2t .. .)
иуцта орасидаги масофани куйидагича киритамиз:,
P(x,y) = 2>.J^L|.y (4)
Учбурчак аксиомаси ушбу
lg + fr| 1д| । z«
1 + |д + *| 1 + И 1 -г 161 1 '
26
тенгсизликдан келиб чицади, шунинг учун (5) ни исбот
этамиз. а ва b нинг ишоралари бир хил деб фараз цилай-
лик, масалан, а>0, b >6 булсин, у х°лда
fa 4-Ь|_______a-j-b__ а_________Ъ
1 4~ |о 4~ 1 4" о 4~ b 1 4- а + b 14-04-6
а । ё
< 1 4- а 1 4- Ь '
Энди а билан b нинг ишоралари турлича ва, масалан,
|а| > |#| булсин. У холда |а + Н-
Энди f(x) = 1) функцияни карасак, у усув-
чи булади, чунки
ЛМ = -оЬр>0-
Демак,
I« + fr 1 l«l < lfll I b |
1 + | а 4- Ь | 1 4- | а | 1 4-1«I 1”+ |*Г‘
Яиа бир z=(c4, с2, -. - , сп, ...) элемеитии олсак, (5)
га мувофиц,
л /„ _ V 1 I — Cfe I . у JL \ak — bk +bk — ck]
PlX, Z)—i + |flft__Cfe| ^2*14-1^-^ + ^-^!^
<- у _L i gfe—| , у 1. I frfe -1- I __
Й1 2* 1 + 1«A — bk\ r /fi 2* ' 1 + — cftl
= p(*, y) + p(y,
яъни учбурчак аксиомаси исботланади.
7. С[а, 6] фазо. [а, 6] оралицда аницланган узлуксиз
J хациций функциялар туплами С[а, Ь\ да метрикани цуйи-
дагича киритамиз:
Р у) = max! x(f) — у(01.
a<t<b
Метрика аксиомаларининг бажарилишини курсатиш кийии
эмас. Масалан, учбурчак аксиомасини исботлайлик. Ихти-
ёрий t Q [a, bj иуцта ва х (/), у (ty, z (0 функциялар
учун ушбу муносабат бажарилади:уг
к (0 - у (01 = | [х (0 - z (О ] + [z (О - у (0 ] |
< I* (0—2101 + к (0 — У(01 <^2^]х z I +
4- max |z (0 — у (01 = р (х, z) -|- р (z, у).
Бундан а<кь
Р к, уХр (X, z)4-p (z, у).
29
8. X туплам [а, сегментда аницланган хамма улчов-
ли функциялардан иборат булсин. Агар икки функция
фар к ки ладиган нуцталардаи иборат тупламнинг улчови
нолга тенг булса, бу функциялар тенг хисобланади.
Икки х (/) ва у (0 функция орасидаги масофани уцзбу
формула билан аницлаймиз:
ь
р (х v) — f I* (О —>'('>1 (gx
J 1+|х(о-у(/)Г W
Бу хол учун хам учбурчак аксиомасининг бажарнлиши
6- мисолдаги каби исботланади; колган икки аксиоманинг
уринлилиги равшан. Бу фазо S [а, Ь} орцали белгиланади.
Шуии хам айтиш керакки, берилган тупламда метрика-
ни турлича киритиш мумкин.
Масалан, (X, р) метрик фазо булсин. X тупламда куйи-
даги функциялар хам метрикани аницлайди:
а) Р1(л,у) =-min{l, р(х, у)};
t f h агар р (х, у)>0
°* р2 {х, у) I Q, агар р yj __ Q, булса
в) Рз (*. У) = f (р (*. У)), бу ерда
/: [0, + то) -> [0, + оо) — узлуксиз каварик ва
/(а) = 0 <=> а = 0 шартни цаноатлантирувчи ихтиёрий
функция;
г) р4 (*, У) = Р (<?(*). Ф (У)), бу .ерда
<р: X — X — биектив акслантириш у
2.2 -§. Метрик фазода яцинлашиш тушунчаси
Т а ъ р и ф. (X, р) метрик фазода бирор {хл} кетма-кет-
лик берилган булсин. Агар оо да р (хл, х)>0 булса,
бу кетма-кетлик X фазонинг х элементига я^инлашувчи
дейилади ва хп~-+х ёки Пт х-п=х орцали белгиланади.
Бу х нуцта {х„} кетма-кётликнииг лимшпи, дейилади.
1-теорема. Хар бир я^инлашув^и кетма-кетлик
биргина лимитга эга.
И с бот. Дархакик^т, хп-±х ва хп—>у булсин. У хол-
да учбурчак аксиомасига мувофик,
О < р (х, у) < р (х, хп) + р (хл, у).
Аммо бу тенгсизликнинг унг томони да нолга ин-
тилади, демак, - р (х, у)—0, яъни х=у.*
2-теорема, р (х, у) масофа х ва у элементлар-
30
Т аъриф. Агар х0£Х нуцтанннг ихтиёрий атрофида М
тупламнинг дан фарцлн элемента мав>йуд булса> л0 иук-
та М нинг лимит нуцтаси дейилади. /
Таърифлардан бевосита куриниб турибдики, ихтиёрий.
лимит нуцтэ уриниш нуцтаси хам булади. Аммо уриниш
нуцтаси лимит нуцта булиши шарт эмас. Масалан, ^ади-
ций сонлар (/?, р), р(а, = —метрик фазосида (0,1)
оралиц ва „2“ иуцтадаи хосил булган туплам учун „2“
нуцта уриниш нуктаси, аммо лимит нуцта эмас. Шу туп-
лам учун [О, 1] сегментиинг Хар бир нуцтаси лимит нуц-
тадир.
М тупламнинг уриниш нуцталари туплами М билан
белгиланади ва М нинг ёпилмаси дейилади.
1-теорема. Ихтиёрий М, М\ ва М2 тупламлар
учун цуйидаги муносабатлар уринлидир:
1) /ИссТЙ,
2) М = 7Й,
3) агар Mi сМ2 булса, у холда /Hi czMj
4) U Ж
Ис бот. Биринчи хосса равшаи. Иккинчи хоссани ис-
ботлаймиз. Биринчи хоссага асосан ТИсгЛТ. Шунииг учун
муносабатни исботлаш етарлидир. х М булсин.
У Холда бу нуцтанинг ихтиёрий е-атрофида М га тегишли
Xi нуцта топилади; сунг Хг нуцтанинг Et = е — р(х, хг )>
*>0 булган б! -атрофини оламиз. Агар zfESlXt, &i) булса,
яънй p(z, Xi )<et бажарилса, у холда
p(z, Х)^р(^, ) 4- p(Xi , X) <Ej + (е — ei ) = е»
яъни
2Г б У(-Х, Е)-
Шундай цилиб, S(Xi , ех )czS(x, е). Аммо Xi Демак,
Xi нинг ei -атрофида ‘М га тегишли х.2 нуцтамавжуд. Шу-
иинг учун х2 £S(xi, Ej )crS(x, е). Лекин S(x, е) шар х
иуцтанинг ихтиёрий е-атрофи булгани учун х£М. Учинчи
хосса уз-узидан равшан. Туртинчи хоссани исботлаймиз.
булсин, у холда х нуцтанинг ихтиёрий S(x, е)
атрофида A1iJj'/W2 га тегишли Xi элемент мавжуд. Агар
x£Mi ва х£М2 булса, у холда х нинг шундай S(x, Е[ )
ва S(x, е2) атрофлари мавжудки, бу атрофлар мос равишда
7И1 ва М2 тупламлар билан десишмайди, яъни S(x, el)Q
0 THi ^0 ва S(x, е2)П/И2ь=0. Энди е соини е==
= min (е!, е2) цилиб олсак, у холда х нуцтанинг У(х, е) атро-
37
фи Л41 UTW2 туплам билан кесишмайдиган булиэ, зиддаят
Косил булади. Демак, бундан. келиб ч и цадик! i, х нуцта
Afi ёки Л12 тупламлардан камцда биттасига тегишли,
яъни
Мг U M2czMi IJM2.
Тескари муносабатнинг уринлилиги/Hi czAfj (J /И2 ва TH2cz
czTVfi (J TV12 муиосабатлардан ^амда учинчи хоссадан келиб
чицади.*
Таъриф. (X, р) метрик фазода М туплам уз ёпил-
масига тенг (яъни М = 7И) булса, у колда /И ёпиц туп-
лам дейилади.
1 - теоремадаги учинчи хоссага биноан М тупламнинг
ёпилмаси М wi уз ичига олувчи энг кичик ёпиц туплам-
дир.
Мнсоллар.
1. . (/?, р), р(а, Ь) = \а- 6| тугри чизицда ихтиёрий
(с, Ь] сегмент ёпиц тупламдир.
2. (X, р) метрик фазода ихтиёрий S (х0, г) ёпиц шар
ёпиц тупламдир. Хусусан, С[я, 6] метрик фазода 1/(01^
а, *&]) тенгсизликни каиоатлантирувчи функциялар
туплами ёпивдир.
3. С [а, Ь\ фазода |/(0| <JK(t £ [а, ^]) тенгсизликни
цаноатлантирувчи функциялар туплами (очиц шар) ёпиц
эмас. Унинг ёпилмаси {/£С[а, Ь] :|/(01 1а» ^]}
тупламдир.
4. Ихтиёрий (X, р) метрик фазода X ва 0 тупламлар
ёпикдир. -
5. Метрик фазода кар цандай чекли туплам ёпицдир.
2-те орем а. а.) сони чекли ёпиц т^пламларнинг ’
йигиндиси яна ёпицдир;.
б) сони ихтиёрий булган спиц тупламларнинг
купайтмаси etiu^dupi
И с бот. а) бу хоссани икки ёпик туплам учун исбот
цилиниши кифоя Fj, F2 ёпиц тупламлар булсин, яъни
F2 = F2,
у колда 1-теоремадаги 4) хоссага биноан
Таърифга асосан FtU^s ёпицдир.
38
♦
б) {Р*}«£а ёпик тупламлар системаси.ва х улар iry-
пайтмасининг, яъни F = f)Fa тупламнинг уриниш нуктаси
булсин. У холда х нинг ихтиёрий е-атрофида F нинг ка-
мида битта, масалан, хг элементи мавжуд ва, демак, « нинг
Хамма цийматлари учун x^Fa. Демак, ихтиёрий а у чуя
х GFa = Fa, яъни х G П Fa =F. Демак, F ёпик туплам.*
ТаФриф. Агар х нуцтанинг М тупламда бутунлай
жойлашган атрофи мавжуд булса, х ну к та М тупламнинг
ички нуцтаси дейилади. Агар М тупламнинг х^мма ну к-
талари Ички булса, у очиу туплам дейилади. Буш туп-
лам хам очик Деб хисобланади.
Мисолла р-
6. R тугри чизикда (а, Ь) интервал очик тупламдир.
Хакицатай х б (л, Ь) булса, у холда е = min(x — а, b — х)
учун
S(x, e)cz(a, b).
7. (X, р) метрик фазода ихтиёрий S(x, г) очиц шар
очик тупламдир. Хадицатан, агар у £S(x, г) булса, у хол-
да е = г —р(х, у) учун S(y, e)czS(x, г). Хусусан, 3-ми-
солдаги {/££[&, #]} туплам С[а, 6]
метрик фазода очиц тупламдир.
3-теорема. G(czX) тупламнинг очиу булиши учун
унинг тулдирувчиси F = X\G тупламнинг. ёпиц бу-
лиши зарур ва кифоядир.
Исбот. а) зарур ли г и. G очик булсин, у холДД
хар бир x^G иукта бутунлай G да жойлашган атрофга
эга. Демак, бу атроф F билан кесишмайди. Бундай, рав-
шанки, F нинг бирорта хам уриниш нуктаси G га кирмай-
ди, яъни F ёпик туплам.
б) кифоялиги. F = X\G ёпик булсин, у холда G
дан олинган ихтиёрий нудта F билан кесишмайдиган, демак
G да бутунлай жойлашган атрофга эга, яъни G — очиц
туплам.*
Натижа. 0 буш туплам ва X фазо хам очик» хам
ёпик тупламлардир.
Шу ни хам айтиб утиш керакки, метрик фазода очнц
хам булмаган, ёпик хам булмаган тупламлар мавжуд бу-
лиши мумкии. Масалан, (/?’, р) (р(х,у) = | х — у |) хакикий
сонлар метрик фаЬосида А = [а, Ь) тупламни оламиз. Рав-
шанки, А ёпий; туплам эмас, чуики А = [а, Ь]^А. А туп-
лам очик хам эмас, Дархакикат, а иуктанинг хеч кандай
39
е-атрофи {а— е, а-}-е)Л тупламда бутунлай жойлаша ол-
майди. Демак, А туплам очид ^ам эмас, ёнид ^ам эмас.
4- т е о р е м а. Сони ихтиёрий булган очлщ туплам-
ларнинг йигиндиси ва сони чекли булган очиц туп?
ламларнинг купайтмаси очиц тупламлар булади.
Теореманинг исботи дуйидаги
П (X\G„) = Х\( U 0а), U (X \GZ )= ХХ( Л G\)
а а i=-l 1
тенгликларни назарда тутсак, 2- ва 3- теоремалардан осен-
ям кча келиб чидади.#
2.5- §. Сепарабел метрик фазолар
_ Т аъриф. (X, р) метрик фазода Al, N тупламлар учун
/И нэ А' булса, М туплам М тупламда зич дейилади. Ху-
сусан, М туплам X да зич булса, у долда М туплам
^амма ерда зич туплам дейилади.
Таъриф. Агар М туплам деч бнр шарда зич бул-
маса, у долда М туплам хеч цаерда зич эмас дейила-
дн. Яъни агар ихтиёрий S шарнинг ичида М туплам би-
лан кесишмайдиган шар топилса, М туплам деч даер-
да зич эмас.
Таъриф, Агар (X, р) метрик фазонинг дамма ерида
зич булган санодли ёки чекли туплам мавжуд булса, у
долда X сепарабел фазо дейилади.
Сепарабеллик хоссаси нудтаи назаридан 2.1-§ даги
мисолларимизга дайтамиз.
Масалан, 2-мисолдаги Rn сепарабел фазодир. Дардади-
цат, Rn фазода координаталари рациоиал сонлардан иборат
булган нудталар туплами санодли булиб, Rn нинг дамма
ерида зич.
С [а, Ь\ фазо дам сепарабелдир. Дардадидат коэффи-
цнентлари рациоиал сонлардан иборат ^амма куп^адлар
туплами Рг санокли булиб, у хамма купхадлар тупламн
Р да зич, Р эса математик анализдаги маълум Вейершт-
расс теоремасига_^асосан С [а, нинг ^амма ерида зич
булади. Демак, РГ = С[а> Ь}.
т фазо ‘сепарабел эмас. Бу фазода дуйидаги туплам-
ни оламиз:
Q = {х: х = (аъ а2 .. ., ап, . . .), at = 0 ёки 1}.
Равшанки, Q континуум дувватга эга ([^УФН], I боб).
40
Arap Q Дан иккита турли х ва у элемент олинса, улар
орасидаги масофа
Р (х, у) = sup | ai — bt\ = 1.
Бундай фойдаланиб, т сепарабел эмаслигини исбот эта-
миз. Бунинг учуй тескарисини, яъни т нинг дамма ерида
зич булган санодли А туплам мавжуд деб фараз диламиз.
А нинг дар бир элемента атрофида радиуси е= у га тенг
шарии оламиз. У долда бу шарларнинг йигиндисида т фа-
зонинг дамма элемент лари жойлашгаи булади. Аммо шар-
ларнинг сони купи билан санодли булгани учун уларнинг
деч булмаганда биттасининг ичида Q нинг камида иккита
турли х, у элемента жойлашган булади. Шу икки х ва у
элемент кирган шарнинг маркази xv нудтада булсин. Бун-
дан ушбу
I 1 2
1 = р(*. У)^р(*, *о) + Р(*п. +у у
зиддият келиб чидади. Бу зиддият эса дилган фаразимиз
натижасида досил булди. Демак, т сепарабел фазо эмас.
1-теорема. (X, pj сепарабел метрик фазонинг
ихтиёрий цисм туплами ^ам р метрикага нисба-
тан сепарабел метрик фазодир.
Исбот. Ушбу
it,и ..., . (1)
санодли туплам X фазонинг дамма ерида зич булсин.
Ушбу белгилаш киритамиз;
ап = Inf р(|л, х), п = 1, 2, 3, . .. .
хб А'о
Ихтиёрий п, т иатурал сонлар учуй inf нинг хосса-
ларига асосан шундай Х'тт Q XQ нудта топиладики, р (с„, хп ,Ш)С
1 V 1 Е
< ап + —. Бирор е > 0 сонни олаилик ва т сон — с у
шартни даноатлантирсин. (1) туплам X нинг дамма ерида
зич булгани сабабли ихтиёрий .хо£Хоучун шундай п то-
пиладики,
Р(ВЛ» Xq)<Z. q .
Демак,
Р (Вя, хп, m) -j — р (^л, хс) 4- <Z у Ч g : у
41
У ^олда
Р (^о» -^лвт) Р(Хо» £л) ~Ь р(^л» ^'л»лг)<^ "д Ч- £’
Шундай килиб, ихтиёрий х0 С Хо нуцтанинг ихтиёрий е ат-
рофида хЛ1 т GX0 куринишдаги нуцта мавжуд, яънн
{хл. т}п,гп£м туплам Хо фазонинг цаммаервда зич ва, рав-
шанки, саноцли туплам. Де мак, Хо сепарабел метрик фа-
зодир*.
2.6- §. Тула метрик фазоларл/ ©
Математик анализнинг умумий курсвдан маълумки,
сонли кетма-кетлик яцинлашувчи булиши учун Коши
шартини цаноатлантириши зарур ва кифоя. Бу хосса мате-
матик анализда катта ацамиятга эга булиб, цациций сонлар
тупламининг „тулалигини" курсатади-
Энди цациций ’ сонлар тупламининг бу хоссаси дар
Кандай метрик фазо учун цам уринлими деган савол цу-
йиш мумкии. Масалани аницроц ифода цилиш учуй цуйи-
даги таърифни киритамиз.
Таъриф. Агар (X, р) метрик фазодан олинган {.%„}
кетма-кетлик Коши шартини цаноатлантирса, яъни ихти-
ёрий е > 0 учун шундай натурал сон мавжуд булиб,
р(хп, хте)<е тенгсиэлик п ва т сонларнинг пе дан катта
булгаи хамма цийматлари учун бажарилса, у цолда {%„}
фундаментал кетма-кетлик дейилади.
Агар X фазода хар кандай фундаментал кетма-кетлик
яцинлашувчи булса, у фазо т$ла дейилади.
Равшанки, цар цаидай яцинлашувчи кетма-кетлик
фундаментал. Юцоридаги саволни энди цуйидагича ифода
цилиш мумкин: цар цаидай метрик фазо тулами? Бу савол-
га бериладиган жавоб хар доим ижобий эмас.
М ис о ллар.
1. Хамма рационал сонлардаи иборат X тупламда масофа
р(ги г2) — |Г1—г2| формула билан аницлансии. Равшанки,
X метрик фазо; аммо бу фазо ту ла эмас, чунки, масалан,
{rrt = рационал сонлар кетма-кетлиги фу ндаме и-
тал булиб, шу X фазода яцинлашувчи эмас, яъни у цеч
кандай рациоиал сонга яцинлашмайди.
2. [а, 6] сегментда аницланган цамма узлуксиз цаци-
ций функпиялардан иборат тупламни олиб, унда масофаии
цуйцдагича аницлаймиз:
/г V'2
р (х, У) = (х(0 — у(0 )2С?/
42
Бу метрик фазони С2[а, билан белгилаймиз. Коши —
Буняковский тенгсизлигидан фойдаланиб, бу масофа учун
учбурчак аксиомасининг уринлилигини курсатиш цийин
эмас. Метриканинг колган икки аксиомаси уз-узидан рав-
шан. Демак, бу метрик фазо. Бу фазо ту ла эмас, чунки
бу метрикада узлуксиз функциялар кетма-кетлиги яна
узлуксиз функцияга якинлашиши шарт эмас. Конкрет
мисол келтирамиз. Масалан,
tn,
1, 1 < /
кетма-кетлик Са [0, 2] фазода фундаментал. ^акик атан,
ихтиерий л, тп натурал сонлар учун
2 1
р2 (?„. <pm) = J [% (0 - (012^ = ((<“- Л2 dt = •
° О
_ 1___________1 I_______________ о
2/1+1 т + п + 1 1 2т -j- 1
Аммо бу кетма-кетлик хеч кандай узлуксиз функцияга
яцинлашмайди. Буни исботлаш учун куйидаги узлукли
функцияни к у рамиз:
О, 0<.t <1,
1, 1<К2.
Ихтиёрий ср£С2 [0, 2] функция учун равшанки,
Г 2
р (/,?)= f (/(0-?(0)2^
Lo
Демак,
О < Р (А <Р) < Р (/»<Рл) + Р (Ф«, <?)-
Шу билан бирга
2п + 1 °'
Шунинг учун р (срл, <р) ^еч кандай £.С2[0, 2] учун нолга
интилмайди.
2. 1-§ да мисол сифатида келтирилган хамма метрик
фазолар тула. Уларнииг баъзиларининг тулалигини куйида
курсатамиз.
43
3. С [а, фазонинг Tj/лалиги. Бу фазода {хп(Ф
фундаментал кетма-кетлик булсин, яъни
(>(xnf хт)-*0, п, т—>со.
2.2- § да С [а, Ь] фазодаги яцинлашиш функцияларнинг
те кис яцинлашишига эквивалент эканлигини курсатган
эдик.
Хар бир берилган ихтиёрий tQ[a, b] нуцтада ушбу
К(0) сонли кетма-кетлик Коши мартини цаноатлантир-
гаии учун бу кетма-кетлик ядинлашувчи булади. Унинг
лимитини xG(t) билан белгилаймиз. {xn(t}} кетма-кетлик
хо(О функцияга текис яциилашувчи булгани учуй хо(О
функция узлуксиэ булади. Натижада
р(х„, *©) —0, х0(/)СС[а,
ва, демак, С [а, Ь] фазо тула.
4. 12 фазонинг тулалиги. Бу фазодан олинган {хп}
(хп = (ар, а[п\ . . . , ар, - - - )> 2 («{л))2 < °°)
/=1 .
кетма-кетлик фундаментал булсин. Ихтиёрий е>0 учун
шундай п0 натурал сон мавжудки, улар учун
р2 (хп, хт) = 2 — ар})2 < е, п, т > n0. (1 >
Бундан, дар цандай k учун
(4^ —Чт))2<е» пу т>п^
яъни дар бир k учуй {а*п)} сОнли кетма-кетлик яцинла-
шувчи. Бу кетма-кетликиинг лимитини ak билан белгилаб».
х = (<21 , а2, . . .) элементам досил циламиз. Агар
2 a2i < + °° ва
/=1
Мт р(хга, х) = 0
П-*оо
муносабатлариинг уринлилиги курсатилса, /2 фазонинг тула-
лиги исбот этилган булади.
(1) тенгсизликни куйидаги куринишда ёзамиз:
s (aj"’ - alra’)2 = S(al"> - аГ’)2 +
l—l
44
i^p+1
бу ерда p — ихтиёрий натурал сон. Бундан ихтиёрий р
учун:
-<//"')*< с,
2=1
ёки р билан т ни тайинлаб дуйиб, п буйича лимитга
утилса, ушбу
2 (at— Л’)2<е
- 2=1
тенгсизлик келиб чицади. Бу тенгсизлик ихтиёрий р учуй
уринли; шунииг учун бунда р буйича лимитга утиш мум-
кин, у холда
£(az-a<CT>)a<e. (2)
z=i
Бундан ва У (а{”!))2 < со хамда а? < 2 + 2 (ai —
2=1
— а{т))2, (t= 1, 2, . . .) муносабатдан куйидаги тенгсизлик
келиб чидади:
У a] <Z 4- °°
2=1
Демак, х = (а1г а2, .... а„, . . .)£/2- Сунгра е>0 ихти-
ёрий булганлиги учун (2) дан
lirnp(xm, л) = 0.
" 111 __. /П-*с»
5. тп фазонинг тулалиги. {%„} кетма-кетлик фундамен-
тал булсин. хп = (Л1П), ... )Qrn булганлиги туфайли
шундай {7ИД кетма-кетлик мавжудки, унинг учун |аЛл>[ <
< Мп (i = 1, 2, . . .) уринли ва ихтиёрий е>0 учун шун-
дай натурал сон мавжудки,
Р хр) < е» п, Р>п0
ёки
sup |а(/0 — а!₽)| < е; /г, р >л0. •
i
Бундан
< е, п, р>По (3)
муиосабатнинг I га иисбатан текис бажарилиши келиб
чнцади. Демак, ихтиёрий I учун'{«S'0} кетма-кетлик п
45
буйича яцинлашувчи булади; унинг лимитини ai билан
белгил аб,
х = (аи а2, . . .)
элемеитни досил диламиз.
Эиди ушбу х£т ва р(хп, л)—* 0 муиосабатларни ис-
ботлаймиз. (3) да р га нисбатан лимитга утилса, дамма
I лар учун уринли булган
— 0,1 |^е, п > «о (4)
тенгсизлик келиб чидади. Буидан
|а.| < - a£| + [a/M-i) | <е+Жпо+1
тенгсизликни дамма I лар учун досил дилиш мумкиит
яъин х = [ал , а2,. . .) С т муносабат келиб чидади. (4)
дан
sup <: е> п > д0
ёкй р(ял, х)<е, е ихтиёрий булггнлиги учун
бундан
р(хя, х)—>0 ёки Xn'—txiri—>оо)
муносабат келиб чидади. Демак, т — тула фазо.
Энди метрик фазоларнинг тулалигига оид баъзи хосса-
ларии келтирамиз.
1- т е.орема. (X, f.) тула метрик фазода {8п =
= Sn(an, e„J} ёпиц шарлар кетпма-кетлиги берилган
булиб, булар учун цуйидаги шартлар бажарилсин:
~Sn+1cz = 1,2, . . . ) ва п—* оо да еп—*0.
У х^олда бу шарларнинг умумий цисми биргина нущ-
тадан иборат булади.
И с б от. St шарларнинг марказларидан иборат булган
дуйидаги кетма-кетликни тузамиз:
«1 , а2, , ап...... (5)
Теорема ш^ртига кура (Р=Ь 2,...). Шунинг
учуй
Р(ал+р, ал)<Ея ёки p(«n+P, а,п)-*0, п-^со.
Демак, (5) кетма-кетлик фуидамеитал. X тула фазо
булганлиги учуй бу кетма-кетлик бирор a GX элементга
ядинлашувчи булади.
46
Сунгра, ихтиёрий Sm ёпиц шарни оламиз (т — тайин
натурал сон); у холда a£Sm, чунки [ат, ат+1,...} нук-
талар кетма-кетлиги (5) нинг кием кетма-кетлиги булгани
учун а га якинлашувчи, бу кетма-кетлиКнинг хар бир
элементи Sm га киради на Sm спид булгаилиги учун
a G Sm, т = 1, 2,
°° _
Демак, а£ П Sm-
т=А
Энди nSm га а нуктадан бошца яиа бирор b элемент
m—I
^ам тегишли булсин деб фараз киламиз. У холда, бир
томондан, каР кандай «учун
0<р(«, ^)Ср(й, ап)Ч-р(йя, ^)<2е«
муносабат урин ли, иккинчи томондан, «->-оо да еи->0
булгани учун р(й, Ь} = 0, яъни а = Ь.*
2- теорема. Агар (X, pj метрик фазода 1- теоре-
манинг шартларини ^аноатлантирадаган ^ар кан-
дай, ёпик шарлар кетма-кетлиги буш булмаган у му-
мий циемга эга. булса, у ^олда X фазо тула булади.
Исбот. {хп}- фундаментал кетма-кетликни олиб, «й
натурал соини шундай танлаб оламизки, ихтиёрий р нату-
рал сон учуй куйидаги теигсизлик уринли булсин:
Ушбу P(x„fc+p,
— 1 \
Sk — SI xn# 2k~i I ёпик шарларни
курамиз. Агар
х GSfiбулса, у холда
Р (х, Х„к) < Р (х, Xftft+1) + р (Х/!А f 1’ Хп^ < 2А “Ь 2* ~ 2fe-! ’
яъии*х£5а. Демак, Теорема шартига кура бу
ёпи.к шарлар уларнинг хаммасига тегишли х0 элементга
эга. Агар {хп} кетма-кетликнинг х0 га якинлашиши кур-
сатилса, иборамиз исбот этилган булади. I xnf) кием кетма-
кетлик xQ га якинлашади, чунки
Р (xnk* хо) 2*—1 О*
47
у холда бутун {хг} кетма-кетлик х0 га яцинлашади»
чунки ушбу
Р (^-л» *о) ^5 Р (Хм 4“ р (-^лд» ^-о)
теигсизликнинг унг томони п ва nh етарли катта булганда
исталгаича кичик цилиниши мумкии.*
Тула метрик фазолар назариясида цуйидаги теорема
катта ахамиятга зга.
<# 3-теорема. (Бэр те о рема си). (X, р) ту ла мет-
рик фазони х^адларининг сони с ано ц. ли ва х^еч ниерда
зич булмаган тупламларнинг йигиндиси куринишида.
ифодалаб булмайди.
И с бот. Тескарисиии фараз цилайлик, яъни Х~ (J Мп
п=1
ва 7ИП лар хеч цаерда зич булмаган тупламлар булсин.
S() радиусй 1 га тенг булган ихтиёрий ёпиц шар булсин.
7141 хеч к£еРДа зич эмас, хусусан So да хйм зич булма-
гани учуй радиуси дан кичик Si ёпиц шар топиладики»
Sic So ва Si П 7W1 = 0. ТИ2 туплам Si шарда зич бул-
магани учун Si иинг ичида шуидай S2 шар топиладики
унинг радиуси у дай кичик ва S2 П ТИ2 — 0 ва хоказо.
Шу тар'Йдач^^вом^^тиб, дуйидаги шартларнн цаноатланти-
рувчи {S„} ёпик шарлар системасини хосил циламиз:
1 ) Q—SI S« Л . ,
2) S„ Л Л1„ = 0, „ . 0
3) Sn нинг радиуси л—>оо да иолга интилади.
1- теоремага биноан П га тегишли х£Х нуцта мав-
п—1 _
жуддир. S„ лариинг 2) хоссасига кура х£МП1 и — 1,
...» яъни х £ U Мп ~ X. Бу зиддиятдан X =# U Мп
п=1 , П=1
келиб чицади.#
2.7-§. Туглдирувчи фазо хацидаги теорема
Бу параграфда фуикниоиал анализдаги муцим теорема-
лардан бири булган тулдирувчи фазо хацидаги теоремани
исботлаймиз.
« Таъриф. Агар X метрик фазо учун шуидай X* мет-
рик фазо мавжуд булсаки, X фазо X* нинг цамма ерида
зич булиб, X* фазо тула булса, у холда X* метрик фазо
X фазонинг тулдирувчиси дейилади. #
48
* Теорема. Ихтиёрий X метрик фазо тулдирув-
чига эга. Тулдирувчи фазо X нинг эле мент ларини
уз урнида цолдирувчи изометрия аник лиги билан
ягонадир, яъни хаР кандай икки тулдирувчи фазо-
нинг бирини иккинчисига акс эттирувчи ва X фазо-
нинг %ар бир нуцтасини уз урнида колдирувчи изо-
метрия доим мавжуддир. е
И с бот. Даставвал, агар тулдирувчи фазо мавжуд
булса, уиинг ягоиалигини исботлаймиз. (X*, pi) ва (X**, р2)
фазолар (X, р) фазонинг тулдирувчилари булсин деб
фараз цилайлик. Бизиииг мацсадимиз учун цуйидаги хосса-
ларга эга булган <р:Х*—>Х** акс эттйришнннг мавжуд-
лигиии курсатиш кифоя:
1) <р — изометрия;
2) ихтиёрий х С X учуй <р (х) = х.
Бунд ай ср изометрияни цуйидагича аиицлаймиз. х*£Х*
ихтиёрий нуцта булсин. Тулдирувчи фазонинг таърифига
асосан х* га яцинлашувчи ва X нинг элементларидан
тузилган {хп} кетма-кетлик мавжуд. Бу кетма-кетлик X**
фазога хам тегишлидир. X** тула булгаилиги учун {х,.}
бирор х**£Х** нуцтага яцинлашувчи булади. Уз-узидан
равшанки, х** иуцта {хп} кетма-кетликни танлашга бот лиц
эмас, яъии агар {x'J кетма-кетлик х* га яцинлашувчи
бошца бир кетма-кетлик булса, у холда X** фазода {хй}
цам х** га яцинлашувчи булади. Акс эттиришни <р(хй)=
= х** куринишда аницлаймиз. Равшанки,. ихтиёрий х£Х
учуй ср(х) = х. Эиди фараз цилайлик, {хй} ва {уя} лар X
фазодаги фундаментал кетма-кетликлар булиб, улар Xх
фазода мос равишда %* ва у* иуцталарга, X** фазода
эса х** ва у** нуцталарга яцинлашувчи булсин. У холда
fpr(*% y«) = limp(*rt, уй),
J Чч J Л-* ео л—*• 00
1м**\у4)«1Ип>2(хв, у„) = limp (хя, у„),
' г.-юо п-+аз
яъни
Р1 (x*t У*) = р2(Х**, У**)-
Шундай килиб, ср биз излагав изометриядир.
Энди тулдирувчининг мавжудлигнни исбот циламиз.
X метрик фазода {хп} ва (xj фундаментал кетма-кетлик-
лар учун хп) = 0 бажарилса, биз уларнн экви-,
валент деймиз ва {х 'п} ~-'{хп} куринишда белгилаймиз.
4-239
49
Уз-узадай равшанки, бу муносабат рефлексив, симмет-
рии ва транзиты дир, яъии эквивалентлик муиосабатвдир.
- Демак, X фазодаги фундаментал кетма-кетликлар туплами
узаро эквивалент булган кетма-кетликлар синфларига
а ж рал а ди. Энди биз (X*, р) фазоии аниклаймиз. X* нинг
элементлари деб узаро эквивалент булган фундаментал
кетма-кетликлар синфларига айтамиз. Атар х*, у9 £Х* икки
синф булса, биз уларнинг кар биридан мос равишда битта-
дан {хп} ва {у„} фундаментал кетма-кетликларии оламиз
ва X* фазода метрикани
Р(х*, у*) = 11тр(л:я, уп)
Л-*- ОО
(1)
куринишда аиицлаш мумкии эканлцгини исботлаймиз,
яъии (1) нинг уиг томонвдаги лимит мавжуд ва
{уй)€у* вакилларга бог лик змаслигини курсатамиз. 2.2-§
даги (1) тенгснзликка асосан
|р у„) - р (х„, уm) I < Р (х„, хт) + р (у„, у„). (2)
Эиди {%„}, {уД кетма-кетликларнинг фундаментал эканли-
гиии цисобга олсак, етарли даражада катта булгаи л, т,
натурал соилар учун
| Р {Хп* Уп) Р Ут) I < е
муносабат келиб чицади. Яъни s„ = p(xn, уп) цакиций
сонлар кетма-кетлиги учун Коши шарти бажарилади, ва
демак, lirn sn мавжуд. Бу лимит х* ва у* нинг вакил-
П-*- Оо
ларига боглик эмас. Дарцацицат, х* синфдаи {х„},
вакилларни, у* сннфдан {ул}, {yj вакилларни олиб, улар
учун (2) теигсизликка ухшаш ушбу
|р (хп, уп) - р (х'п, уп) | < р (хп, хп) + р (У„, у;)
тенгсизликни ёзишимиз мумкин. Сунг {хл} {yj
"НУ,'1 булгани учун
у„) = 11тр(л:л. у,’,).
П-+СО Л-ь СО
Демак, р(>:*, у*) сон мавжуд ва х*, у* синфлариинг ва-
кил ларига боглик эмас. Энди биз р(х*, у*) учун метрика
аксиомаларини текшириб чицамиз.
1) аксиома р(х*’, у*) нинг таърифидан келиб чицади;
2) аксиома уз-у задан равшан.
50
Учбурчак аксиомасини исботлаймиз. X фазода бу акси-
ома уринли зкаилигидаи фойдаланиб,
Р (*п> ул) < р рся, zn) + р (zn, уп)
тенгсизликни ёзамиз. Су игра п буйича лимитга утсак,
Нтр(*л, y„XlimP(xn> z/;) ф- Птр(zn, ул),
«-*<» п-»оо п-»оо
ЯЪНИ
р (л:*, у*)^ р (л:*, г*) + р (<£*♦ У*)
тенгсизлик келиб чицади.
Эиди X ни X* иинг цисм фазоси деб хисоблаш мум-
кинлигини курсатамиз. Ихтиёрий х£Х элемеитга шу эле-
меитга якинлашувчи булган фундаментал кетма-кетликлар
синфини мос цуямиз. Бу синф буш эмас, чунки у стаци-
онар булган (яъни х^мма хп элементлари х га теиг бул-
ган) кетма-кетликни уз ичига олади. Агар х = lim хп,
п— СО
у — lim уп булса, у холда
Л-->-00
р(*> у) = lim р (хл, ул).
Шу тарзда хаР бир xQX элементга юк.орида айтилган
сйнфни мос куйсак, X ни X* га изометрик акс эттириш
Хосил булади. Шунинг учуй X ни унинг X* даГи тасвири
билан айиан.бир деб хисоблаймиз.
X ни X* нинг хзмма ерида зич эканлигини исботлай-
миз. х* б Xя ихтиёрий элемент ва е > 0 булсин. х* синфга
тегишли булган бирор {хп} С я* фундаментал кетма-кетлик-
ни оламиз. N натурал сои шуидай булсинки, ушб.у
Р С^-л» ^т) < е
тенгсизлйк ихтиёрий т, п > N сонлар учун бажарилсин.
У Х°лДа т буйича лимитга утсак,
р (х,„ л:*) = lim р (л:л, хт) < е
тенгсизлик ихтиёрий /г > ^ учун бажарилади. Демак, х^
иуктанинг ихтиёрий атрофида X нинг элементи мавжуд,
яъии X нинг ёпилмаси Х* га тенг.
Нихоят, X* нинг туда эканлигини исботлаймиз. Аввал
шуни айтиш керакки, X* нинг таърифига кура X нинг
злемеитларидан хосил булган ихтиёрий хг , х2,. .. , xnt . ..
фундаментал кетма-кетлик X* нинг бирор х* эле-
51
мент ига яцинлашади, аницроги, шу кетма-кетликни уз
ичига олувчи синф билан аницланган х* элементна якнн-
лашади. X фазо X* фазода зич булгани туфайли X* эле-
мент ларидан тузилган ихтиёрий
фундаментал кетма-кетлик учуй унга эквивалент булган
ва X нии г элемеитларидан тузилгаи
Х1 , Х%, • • - , хп> • • •
кетма-кетлик мавжуд. Буни курсатиш учуй кп сифатида
X нинг ушбу
Р (хп> хп) < 7Г
тенгсизликни цаноатлантирадиган ихтиёрий элемеитини олцш
мумкин. Хосил булган {хп} кетма-кетлик X да фундамеи-
тал, ва демак,, бирор х* элементна яцинлашувчи булади
«Пекин бу долда {%*} кетма-кетлик хам х* га якиилашади.*
Мисоллар. 1. Рациоиал сонлар фазоси р (х, у) —
— рс — у| метрикада тула э^с. Математик анализ дан маъ-
лумки, бу фазонинг тулдирувчиси хацикий сонлар фазоси-
дир.
2. 2.6- § да курсатилганвдек, С2 [0, 2] фазо тула эмас.
Бу фазонинг тулдирувчиси £2[0, 2] фазодир. Хаки^атан,
Фншер теоремасига асосан ([Х^ФН], VIII боб) £2[0, 2]
фазо тула. С2[0, 2] фазонинг £2 [0, 2] фэзодаги зичлиги
«Пузин теоремасвдан ([Х^ФН], VI боб) осонликча келиб
чицэди.
2.8- §. Метрик фазода компакт т^пламлар
Тугри чизикнинг ажойиб хоссаларидан бири шуки,
ундаги чегараланган хар цандай чексиз туплам камида
битта лимит нуцтага эга. Бу факт Больцано — Вейершт-
расс теоремасида уз ифодасини топган. Лекин ихтиёрий
метрик фазода бундай содда натижа, умуман айтганда,
уринли эмас. Шуиинг учун куйидаги саволнинг куйили-
ши табиий. Метрик фазода цандай тупламлар синфи учун
Больцано — Вейерштрасс теоремасининг мазмуни сацланади?
Мана шу савол муиосабати билан цуйидаги мухим таъриф-
4ни киритамиз.
& Т аъриф. X метрик фазодаги М тупламнинг элемент-
ларидан тузилган ихтиёрий кетма-кетликдан бирор x(GX'
52
элементга ядиилашувчи кием кетма-кетликни ажратиб
олиш* мумкин булса, 7И туплам X да нисбий компакт
дейилади; ёпик нисбий компакт туплам компакт дейилади1).®
Больцано — Вейерштрасс теорем асига асосан тугри чи-
зиеда Хар цандай чегараланган (ёпик ва чегаралаиган)
туплам нисбий компактдир (компактдир).
-Равшанки, иисбий компакт тупламиинг ихтиёрий кием
\ туплами яна нисбий компакт тупламдир^^
) /Ч- теорема. Нисбий компакт гГГуплам чегаралан-
ган булади^
И сбот.'4ч(сг X) нисбий компакт туплам булиб, чега-
раланган будмасин деб фараз киламиз. И дан ихтиёрий
Xi нуктани олиб, радиуси и = 1 га тенг S(xx ,г:) шарни
курамиз. А ч.^гараланмаганлиги учун у бу шарда туласи-
ча жойлашгдй булмайди. А тупламиинг S(%i .п) шарга
кирмаган бирор х2 элементнн оламиз. У холда p(xlt x2)>-ri .
Сунг радиуси r2 = р (Xj , х2) 4 1 га теиг 8(хг , г2) шарни
куриб, Д тупламиинг бу шарга кирмаган бирор х3 эле-
меитинИ оламиз; буидай элемент мавжуд, чунки А чегара-
ланмаган туплам ва р(лд , х3)^>г2. Сунгра радиуси г3 =
= р (Xi , х3) 4 1 га тенг S (Лд, rs) шарни цурамиз. Бу про-
цессии, А туплам чегараланмаганлиги учуй чёксиз давом
эттиришимиз мумкин. НатижаДа {хл} (хп£4) кетма-кетлик
ва усиб борувчн {гя} сонли кетма-кетлик косил булиб,
ушбу
Р (Xi> хл) + 1 = гп > Гп-1 (п=2, 3, . . .)
и
тенгсизликлар бажарилади.
Энди ихтиёрий п > т 4- 2 натурал сонлар учуй
p(*i, + 1 =г„ р(Х1,
муиосабатлар уринли. Булардан куйидаги
Р (xj, >сл) р {Х\, х^) 4 р {.Хщ.1
тенгсизликларга асосан ушбу
гп^гт 4- р(хт, х„), демак, р(хт» Х^) 1
муносабат келиб чикади.
Суигги муносабат курсатадики, на {хп} кетма-кетлик-
нииг узи ва на уиинг бирор цисми фуидаментал була _ол-
майди, -дема-к— якиилашувчи хам булиши мумкнн эмас. Бу
1 Баъзан нисбий компакт тупламлар компакт дейилади. ком-
пакт тупламлар эса бикомпакт дейилади.
эса зиддиятга олиб келади, чунки {х^} кетма-кетликнинг
элементлари А иисбий компакт тупламдан олинган.^?
Бу т'еореманинг тескариси, умуман айтганда; уринли
эмас, яъни туплам чегараланган булса, у иисбий компакт
булиши шарт эмас. Бунга Za фазодан конкрет мисол кел-
тирамиз. /2 фазодан ушбу
ei = (1, 0, 0,. ..), £2 -= (0, 1, 0, . .е3 = (О, О, I, 0,
элемеитлардан иборат чегараланган тупламни тузамиз. Бу
элементларнинг ихтиёрий иккитаси орасидаги масофа p(em,
еп) = п) га тенг. Шунинг учун бу кетма-кетлик
ва унииг ^еч цандай цисми якинлашувчи булмайди, демак,
тузилган туплам иисбий компакт эмас.
Метрик фазода нисбий ко.мпактлик тушунчасига ицин
булган тушунчани киритамиз.
Таъриф. А, В лар (X, р) метрик фазодан олинган
тупламлар ва е>0 бирор сон булсин. Агар А дан олин-
ган ихтиёрий х элемент учун В да ушбу р (%, у) < е
тенгсизликни цаноатл ан тирад ига н у элемент мавжуд булса,
В туплам А тупламга нисбатан ь-тур дейилади. Агар
ихтиёрий в>0 учун А туплам чекли е-турга эга булса,
у ^олда А ту ла чегараланган дейилади.
Мисоллар. 1. Текисликда координаталари бутун сои -
лардан иборат туплам 1- турни ташкил этади.
2. Rn фазода хар кандзй чегараланган А туплам чекли
е-турга эга, яъни А ту ла чегараланган.
3. /2 фазода А тупламни куйидагича аниклаймиз:
х = (а!, а2, ... , аП1 . ..) £ А,
бу ерда
|ai 1<1. |а2|
• » !aJ 2л-1 >•••-•
Бу туплам ихтиёрий е > 0 учуй чекли е-турга эга. Дар-
Эфкицат, берилган е > О учун п иатурдл сонни ш уцдай
А 1 Е z-u,
танлаб оламизки, булсин.
А дан олинган ^ар бир х = (ai, а2, ... ,
нуцтага шу тупламнинг узидаи олинган
х* = (a! t а2, ... t а„, 0, 0, . . .) (1)
нуцтани мос куямизл'У ^олда
р(х,
/
х*)= s al]
\k=n^-l /
“ 1 V/з Е
2 4*-1 ) < 2”
54
ту п лам
Чунки
ту шун-
(1) куринишдаги нуцталардаи иборат В туплам Rn фазода
чегараланган; демак, В туплам ихтиёрий е > 0 учуй чек-
е .
ли -g- - турга эга, натижада- А туплам чекли е- турра эга
булиб, тула чегараланган булади.
4. Юцоридаги [еп] кетма-кетликдан иборат
чегараланган булиб, тула чегараланган эмас.
е < булганда чекли е-турни куриб булмайди.
Компактлик, тулалик ва тула чегараланганлик
чалари орасида кандай боглаииш борлигини куйидаги
теоремадан куриш мумкин.
теорема. X тула метрик фазода жойлашган
А ^тупламнинг насбий компакт булиши учун унинг
тула чегараланган булиши зарур ва кифояУЪ
СИсб от. 3 а р у р л и г и. Нисбий компакт Ату пламии
тула чегаралаимаган, яъни бирор е > 0 учун А да чекли
е-тур йук Деб фараз цилайлик. У ^олда А дан олинган
ихтиёрий хг нукта учуй шундай х2 нуцта мавжудки,
р (>л , х2) е. Сунг шундай xs иуцта мавжудки, р (Xj ,
я3) е» Р (х2, хз) е булади ва ^оказо. Бу процессии
давом эттирнб, цуйидаги тенгсизликларни цаноатлантиради-
гаи {хл} кетма-кетликни тузамиз:
р(*й, *J>£. гп^п.
Равшаики, бундай кетма-кетликдан з$еч цандай яциила-
шувчи кием кетма-кетлик ажратиб олиш мумкин эмас.
Бу эса А нинг нисбий компактлигига звд.
Кифоялиги. Энди X тула фазо булиб, А унда тула
чегараланган туплам булсии. А нинг нисбий компактлиги-
ни курсатамиз. А нинг элементларидан тузилган ихтиёрий
{хп} кетма-кетлик берилгаи булсин. Хар бир 6* = (k =
= 1, 2, . . .) учун А да мос равишда чекли ел-турни
курамиз:
Марказлари ех - турни ташкил этувчи нуцталарда жойлаш-
ган ва радиуслари 1 га тенг шарларни цурамиз. Сони
чекли бу шарлар А тупламни туласнча коплайди. Улардан
камида биттаси, {хп] кетма-кетликнинг чексиз {я/} цисм
кетма-кетлигини уз ичига олади, уин масалан, Si билан
белгилайлик. Сунг марказлари е2 = ~~ турни ташкил этув-
55
чи нуцталарда жойлашган ва радиуслари -$ тенг шарлар-
ни цурамиз. Бу шарларнинг сони чекли булганлиги учуй
уларнцнг камида биттаси кетма-кетликнинг чексиз
{/} цисм кетма-кетлигини уз ичига олади, уни масалан,
S2 билаи белгилайлик, ва к°1<а.зо. Бу процессии чексиз
давом эттирамиз. Энди цуйидаги
х’ъ х2, .. . , х'п, - - •
Х2, . . . , ХП1 . . .
кетма-кетлик л арнинг диагонал ида жойлашган элементлардан
ушбу кетма-кетликии тузамиз:
Хь х2, ... , х{пп}....... (2)
Бу кетма-кетлик фундаментал булади, чунки унинг хУр
элемеитдан бошлаб сунгги камма элементлари 5„_шарда
(}нинг радиуси — га теиг) жойлашган булади. X метрик
фазо тула булганлнгн учун (2) кетма-кетлик лимитга эга.
Яъни А тупламдан олинган ихтиёрий {%„} кетма-кетликдан
якинлашувчи кетма-кетликни косил цигщик, демак,
А нисбий компакт туплам?^
Н а т и ж а. X тула метрик фазодаги А туплам компакт
булиши учун унинг ёпик ва тула чегараланган булиши
зарур ва кифоя.
2- теоремада зарур ва кифоя шарт берилгаи булсада,
ундан конкрет метрик фазоларда фойдаланиш осон эмас.
Махсус метрик фазоларда жойлашган тупламларнииг иис-
бий компактлигини (компактлигини) аницлаш учун одатда
махсус комнактлик белгилари излаиади.
Бнз бу масала билан s ва С Ь] фазоларда шугул-
ланамиз.
1ЦЗ-теорема (s фазода компактлик белгиси). А
туплам s фазодан олинган булиб, A-t туплам А нинг
i- но мерли (1=1, 2, . .,) координаталаридан тузил-
ган туплам булсин. А нинг нисбий компакт булиши
учун At тупламлар чегараланган булиши зарур ва
кифоя. At тупламнинг, ю^ори чегараси i га боели^
булиши у^ам мумкин.л
Исбот. Зарурлйги 2.2-§ даги 6-мисолдан маъ-
лумки, s фазода якинлашиш коорлинаталар буйича якин-
лашишдир. Демак, А нисбий компакт булганлиги учун
56
At лар ^ам нисбий компакт ва, демак, чегараланган була-
ди, чунки А( тугри чизицда жойлашган туплам.
Кифоялигн. А шундай туплам булсинкн, унинг
учун юцорида тузилган А тупламларнинг хар бири чега-
ралангаи булсин. Ихтиёрий е > 0 ни олиб р натурал сон-
ик шундай тан лаб оламизки, унииг учун
00 1 1
у 2*" = 2Г<6 булсин. Сунг хар бир лГ == («1, а2, . . .,
ар, ap+i, . . .)£s элементга у = (ai, а?, . . . , ар, 0, . . .)
элементик мос цуямиз. Бу куринишда тузилгаи у эле-
меитлардан иборат тупламни Вр билан белгилаймиз. Рав-
шанки,
Р (*» У) = 2 2* ‘ ] + |аА| < 2j 2* < е>
fe=p-H ' * й=р+1
яъни Вр туплам А га нисбатан е-турни ташкил этар экан.
Аммо Вр эса, тузилишига кура, Rp фазода туласича жой-
лашгаи чегараланган туплам. Демак, Вр чекли е-турга
эга, натижада А туплам хам чекли 2е-турга» эга, яъни
А тула чегараланган. 2- теореманинг кифоялик шартига
ва s нииг тулалигига мувофиц А нисбий компакт туплам.*
Эидк С [а, Ь] фазода нисбий компактлик белгисини
берамиз. Бу белгини ифода цилиш учуй цуйидагн икки
тушунчани келтирамиз.
[а, Ь\ сегментда аницланган бирор {1(0} =.Ф функ-
циялар системаси берилгаи булснн. Агар t нинг цамма
цийматлари ва Ф системанинг. хамма элементлари учун
ь\, тсф)
тенгсизликии цаноатлантирадиган К сон мавжуд булса,
Ф = {1(0} функциялар системаси текис чегараланган
дейилади. Агар ихтиёрий е>0 учун шундай &>0 сои
мавжуд булсаки,
10 -01 <£
тенгсизлик бажарилганда Ф системага тегишли ихтиёрий
• 1(0 функция учуй
Il (0 ) — т (0) I < е
(булса, Ф система текис даражада узлуксиз дейилади.
ft' 4-теорема (Ариела теоремаси). [а, Ь] сег-
мёнтда аницланган узлуксиз функциялардан иборат
Ф туплам. С [а, 6] фазода нисбий компакт булиши
57
учун бу функциялар системасининг такие иегаралан-
ган уамда текис даражада узлуксиз бу лиши зарур
ва кифоя._
Исбот. Зарурлиги. Ф туплам С[а, Ь] фазода нис-
бий компакт булсин. У холда 2- теоремага мувофид, нх-
тнёрий е>0 учуй Ф да чекли — турни ташкил этувчи
Ф1, ф2, • • , ФР (3)
функциялар мавжуд булади. Бу фуикцияларнинг хар бири
[а, Ь\ узлуксиз булганлиги сабабли чегаралангандир,
яъни
|ф£] < Kh * = 1, 2, . . . , р.
Чекли у - турнииг таърифига кура Ф дан олинган хар
цандай «с элемент учуй (3) даги сони чекли функциялар
орасида шундай <cz функция топиладики, унинг учун
р (ф, Фг) = max |ф(0 — ф£ (01 < 4
г
тенгсизлик уринли.- Натижада
яъни Ф система текис чегараланган. Сунгра (3) кетма-
кетликдаги чекли 4 - турнн ташкил этувчи функциялар -
нинг хар бири узлуксиз ва уларнинг сонн чекли, демак,
улар [а, Ь\ да текис узлуксиз; демак, берилган учун
шундай 8Z сои мавжудки, • бунинг учун цуйидагиларни
ёзишимиз мумкин: агар | /i — 1 < 4 булса, | (4) —
— Vi 1 < 4~- Arap |0 — /2| < 8 булса (о =s min 8Z), у
J KKp
Холда ихтиёрий <р£Ф учун <pz нинг (3) функциялар ора-
сида р (ф, < у тенгсизликни каноатлантираднганини
олиб, ушбу муносабатни ёза оламиз:
IФ Gi) — ? (4)| = 1ф (*i)" Ф/ (^i) + ф£ (*i) — (^2) +
+ (4) — ф(4) I |ф(4 ) — ф£(4)| + |<р£(4 ) — (4) I +
+[1фД4) - ф(4)| <у + ~ + f = е-
58
Шунинг билан Ф системанинг текис даражада узлуксиз-
лнги хам курсатилдн, яъни' теореманинг зарурлик цисми
исбот этилди.
Кифоялиги. Ф система текис чегаралаигаи ва текис
Даражада узлуксиз булсин. Агар ихтиёрий £ > О учун
унга нисбатан С[а, да чекли е-тур мавжуд булса, бу
системанйиг С[а, Ь\ фазода нисбий компактлиги курса-
тилган булади.
К ва & куйидаги муносабатларнн цаноатЛантирадиган
сонлар булсин: |ср| А (хамма <р£Ф учун); агар |А — /2|<8
булса, | <р (6 ) — ¥ (k) | < у (хамма ср £ Ф учун).
Энди [a, &] сегментни
tn = a<ti < ... <tn=b
пуцталар билан хар бирннинг узунлиги 8 дан кИчик бул-
гаи п та цисмга булиб, бу пукталарнинг- хар биридан
вертикал тугри чизик утказамиз. Ординаталар уцида
[—/С, К] сегментни
у0 = —K<yi <у2< .. . <ут = К
нукталар билаи хар бирининг узунлиги ~ дан кичик т
та кисмга бу'либ, бу нукталарнинг хар бирида горизонтал
тугри чизикларни утказамиз. Натижада ушбу [a ^ft^b,—
—Ку /С] тугри туртбурчак кисмларга булиниб, бу
цисмларнинг горизоитал томонлари 8 ва вертикал томон-
лари -j- дан кичик булади, яъни тугри туртбурчакда тур
тузилди. Энди хар бир <р(£Ф) функцияга учлари (tk, yt)
(|У/ — Ф (^) I < ) нуктада жойлашган ф (0 синик функция-
ми мос КУЯМИЗ (агар функциянинг графиги туташган кес-
малардаи иборат булса, бу функцияни синиц деймиз).
Тузилган турининг учларида тузилишига кура
1№)-Н4)1 <1 (*=’. 2..........п)
тенгсизлнк бажарилади. Бу тенгсизлик ва
| <р (^+i) — ф I < 4» IФ ~ Ф । < Т
тенгсизликлардан
1№)-№+1)|<т
тенгсизлик келиб чикади.
5S
[tk, 4+i] сегментда ф(/) чизикли функция булганлиги
|учуи
Зе
тенг^излик t нииг 4-н! сегментдаги хамма циймат-
лари учун бажарилади.
Энди [я, Ь\ сегментнинг ихтиёрий t нуцтасиии "олиб,
чапдан унга энг яцин турган tk нуцтани оламиз (бу бу-
лиш нуцтаси). У холда
ч>(0 — Ф(01=е1ч’(0 — ф(^)Н Iч (4) — Ф(г*)I +1ФР*) —
-ф(/)|<е
тенгсизлик уринлидир. Демак, сони чекли ф (t) синиц функ-
циялар Ф системага иисбатан чекли Е-турни ташкил этади,
яъни Ф система тула чегараланган системадир.*
Эиди метрик фазодаги функционалларнинг компактлик
билан баглик булган хоссаларини келтирамиз.
Куйидаги теорема математик анализдаи маълум булган
Вейерштрасс теоремасинииг умумлаштирилишидир.
1[^5- теорема. X метрик фазода / узлуксиз функцио-
нал. булсин. Ихтиёрий Dcz X компакт тупламда f
чегараланган ва узининг энг 'катта ва энг кичик
цийматларини цабул циладиУ^
И с бот. / функционал D тупламда цуйидан чегара-
ланганлигини ва узининг энг кичик цийматини цабул
цилишини исботлаш билан чегараланамиз.
Агар / цуйидан чегараланмаган деб фараз цйлсак, у
холда ихтиёрий п натурал сон учуй /(ял)< —п шартни
цаноатлантирадиган xn^D нуцта топиладн. Демак,
1т/(хп) = —со. Хосил булган {хя} кетма-кетликдан D
компакт булгани туфайли бирон х0 б D нуцтага яциила-
шувчи {ху(} цисм кетма-кетлик ажратиш мумкин. f уз-
луксиз булгани учун lim f(xnl) = /(я:0). Шу билан бирга
4-» со
lim/(xW/) = — оо. Бу эса /(х0) чекли сои эканлигига знд.
Демак, f(x} функционал D тупламда цуйидан чегаралан-
ган.
Энди т билан ушбу f(D) — {f (х): х б D}czR туплам-
нинг аниц цуйи чегарасини белгилаймиз ва /(лг0) = т
шартни цаноатлантирувчи х^ б D нуцта мавжудлигини ис-
ботлаймиз. Ихтиёрий п иатурал сон учун т + — сон/(£>)
60
тупламнинг цуйи чегараси булмайди, яъни /(я?л) < т -j- ~
шартнн цаноатлаитирувчи xn£D нуцта мавжуд. Бу {хп}
кетма-кетликдан яцинлашувчи хп.-+ x0£D цисм кетма-
кетлик ажратиб олишимиз мумкин. Энди ушбу
тенгсизликда лимитга утсак,
lim/(xfiZ) = tn
тенглик цосил булади. / узлуксиз булгани сабабли
/(х(1) = 11т/(х )==w. Л
Z-»oo —
Куриниб турибдики, бу теоремаиинг исботи математик
апализдаги Не tiepin трасс тсоремасипнпг исботнга ухшайди.
Узлуксиз функцияларннпг баъзи бошца хоссалари хам
тунга ухшаш осонликча метрик фазолардаги фуикциоиал-
лар учун исботланади. Мисол учун Кантор теоремасини
кслтирамиз.
/ Таъриф. (X, р) метрик фазода f функционал берил-
ган булсин. Агар ихтиёрий е > 0 учун шундай 8 > 0 то-
пилсаки,
р(х' я/Q <8
шартни цаноатлантирувчи цар цандай х', х"£Х учун
ушбу
|/(х')-Л*")Ке
тенгсизлик бажарилса, f(x) функционал такие узлуксиз
дейилади. 7
/ 6~ теорема (Кантор теоремаси). X метрик фазодаги
f функционал DczX компакт тупламда узлуксиз
булса, у холда f шу тупламда текис узлуксиздир.
Бу теореманинг хам исботи сонли функциялар учуй
келтирилгав нсботдан фарц цилмайди.
®2.9- §. Ь(ис1{артириб акс эттириш принципы ва
унинг татбицлари
Тула метрик фазоларда берилган турли тенгламаларнинг
еч им лари мавжудлиги ва ягоналигини исботлаш да цисцар-
тирцб акс эттириш принципи муцим ва фойдали метод си-
61
фатида ишлатилиши мумкин. ^озир мана шу принцип билан
уцувчиин цисдача, таништирамиз.
Т акс эттириш X метрик фазоиинг узини-узига акс
эттириш булсии. Агар X фазодан олинган ихтиёрий х ва у
' элемент лар учун
р(Тх, 7у)С« р(л:, у) (1)
тенгсизликни цаноатлаитирадиган а(0<а<:1) сон мавжуд
булса, у долда Т ни цисцартириб акс эттириш дейи-
лади. (1) га мувофиц, агар п—да х,2->х0 булса, у
^олда Тхп—^Тх^ яъни Т акс эттириш узлуксиз булади.
Теорема (цисдартириб акс эттириш принципи). X my-
ла метрик фазода аницланган хар цандай цисцар-
тириб акс эттириш биргина цузгалмас нуцгМага эга,
яъни Тх~х тенгламанинг биргина ечими мавжуддир.а
• И с б о т. X метрик фазодан ихтиёрий х$ нудтани олиб,
ушбу %! = Тл:0, х2 — Тхх ~ T2xg, х3 = Тх2 — T2xf)i .. ,
хп = Тхп~1 — Тпх0, ... кетма-кетликии тузамиз ва бу
кетма-кетликнинг фундаменталлигини курсатамиз. Дар^—
ццца.т,_(1.) -ва- учбурчак аксиомасига мувофид дар дандай
m ва «(/«>/?.) натурал сонлар учун
—-Р . — Р, (Тя^о> Т*~1х^ — р(ТАк0, Т ~хт—п) алр (л’(|,
Са«{р [xtl, ЭсО-Ьр (*!, х2) + ... + р(хи_п_1,
^алр(л-0, Xj) Щ-а-|-а2Ч-. . .+am“n~l}^^p(x0, х^.
п етарли катта булганда бу тенгсизликнинг унг томони
исталганча кичик килиннши мумкин, чунки а<1. Демак,
•xnt кетма-кетлик фундаменталдир. X фазо тула булгаи-
лиги учун 1хп} кетма-кетликнинг фундаменталлигидан унинг
я цикла ш у н чилиги келиб чицади, яъни
limxn=x.
П-»-оо
Т узлуксиз акс эттириш булганлиги учун
Тх=Т (11тхп)=Пт7хп=11тл:<;
-Демте; х~ цузгалмас нукта.
Энди цузгалмас нуцтанинг ягоналигини нсбот циламиз.
62
Тх=х ва Ту=у, яъни кузгалмас нукта Ни-
кита булсин. У холда
р(х, у)=р(7Х Гу)<а-р(х, у) (а<1),
бундан
р(х, у)=0 ёки х=у.*
Бир неча мисол .келтирамиз.
1. х=у[х) тенгламадаги ср функция [а, Ь\ сегментда
аникланган булиб, ушбу Липшиц шарти
ни цаноатлантирсин ва [я, Ь] сегмент ни узини-узига акс
эттирсин, у холда
х0, х2='^(х1)г .. .
кетма-кетлик яцинлашувчи ва унинг лимита ср акс этти-
ришнинг ягона цузгалмас нуктаси булади.
2. Куйидаги тенгламани текширамиз:
п
Xi ^^aikXk-^bi (£=1,2, . .. , «). (2)
fe=i
Бу тенгламани п улчамли вектор фазодаги х^(хг...х,г)
вектор ёрдамида ифода цилсак, у ни х=Тх куринишда
Хам ёзиш мумкин. Кискартириб акс эттириш принципинн
бу тенгламага татбйц цилиш учун тегишли шартларни
аниклашимиз керак, яъни цандай шартлар бажарилганда бу
акс эттириш (1) тенгсизликни цаноатлантиради. Бу шарт-
ларни аниклаш эса берилган фазода метриканинг киритили-
шига бог лик дир. Масалан,
а) ?(*» У) z таХ I’' —₽/ I, *=(«!» аа> • •» %)’
1
у=(ш, • • •, [У-
бу холда ихтиёрий иккита
а2* • • %)»а2» • -»%)
нукта учун
р(7х', Т’Х'Э^рСу', у") = шах |р;—₽"|=max}2a/feX
I i k
X(a'—a")|^max2kd •!<-'%) <™ax21 - max |a^ —
i k i k k
—a"|=p(x\ x")-max
i k
63
Бундан (1) шарт бажарилнши учун
п
2lM^a<1’ г*=Ь2, . .., п (3)
Л=1
тенгсизликлар уринли булиши етарли. Демак, (3) муноса-
бат бу хусусий хол учун кисцартйриб акс эттириш шар-
тини беради.
п
б) р о, у)= — в I-
/=1
Бу холда
п
атх'. тх'')=р(у', у")=2|у, -₽*|
/=1 i k
—<)i < 2 2im • к— < р (х'»*") тах 2 М -
Ik k i
Демак, цисцартириб акс эттириш шартйни куйидагича
олиш мумкин:
2 |<М<а- < 1, Лс=1,2, (4)
п
в) P(x,y) = (2(«i -₽< )2)»2.
i=l
Бу холда Коши-Буняковский тенгсизлигига биноан
р2(у'. у")=2 (2°« к-“Э)3 < 2 2а№Р2^'- х"у
i k ' Ik
Бу холда кисцартириб акс эттириш шарти куйидагнча
булади:
<5>
i,k
Юцорида курилган уч хол учун топилган цискартириб
акс эттириш шартларининг хаммаси кифоявий шартлардир
(3), (4) ва (5) шартларнинг бирортасп бажарилганда, (2)
тенгламанинг биргина ечимга эгалиги келиб чидади.
3. Ох ирги мисол сифатида ушбу
^=Г(х, у), (6)
У^о)—Уо (бошлаигич шарт) (7)
64
дифференциал теигламаии куриб чикамиз. Тенгламанинг
ул г томонндаги у) функция, текисликдаги (х0, у0) нук~
гапм уз ичига олган бирор О сохада аникланган, узлуксиз
ва
1Д^,У1)-/КУ2)|<А|У1“У2|
Липшиц шартини цаноатлантиради, деб фзраз циламиз
(/<—узгармас сон). <
Энди (6) тенгламани бирор fx0~c» х04 Н сегментда (7)
бошлангич шартни цапоатлантцрздиган биргина у=ф(я:)
счпмга эгалигини исбот этамиз (бу эса Пикарнияг маълум
тс*оремасцдир).
Авиа,го (6) тенглама (7) шарт бажарилганда цуйидаги
содда интеграл тенглама шаклнда ёзилиши мумкин:
X
К*) у.. I f ЛАМО) dt. (8)
Л*о
/(х, У) функция G со^ада узлуксиз булганлиги учун
(х(1, у о) нуцтани уз ичига олган бнрор G'czG сохада чега-
раланган булади, яъни |/(х, у)|<яб Энди с сонни шундай
таилаб оЛыМизки, унииг учун цуйидаги шартлар бажарил-
син:
а) агар [л*с— х\^с, |у— y0]^c-cf булса, у холда
(х,у)ЕС';
б) К с<Л.
[х0—с, х04-с] сегментда аникланган ва |ф(х)—yjCe-rZ
тенгсизлнкнн цаноатлантирадиган {ф} узлуксиз функциялар
спстемасини Ф билан белгилаймиз ва бу системада метри-
канн цуйидагича киритамиз:
^2)-max |ф1(х)-ф2(х)|.
хй~с<х<х04-с
Ф метрик фазо тула, чуики у тула С[х0 — с, х0 + е]
фазонинг ёпик кисмидир. Ушбу
^„+1ж ф(0) dt (9)
*0
акс эттнришда х 6 [х0—г, ХоЧ-с] булсин. У ходда бу акс
L эттириш Ф фазони узнни узига кисцартирцб акс эттиради.
Дархакицат, ва х G [х0—с х0-|-с] булсин.
У холда
X
Ж <Р(0) dt\^c-d
Б 239 65
г
муносабат уринли ва, демак, (9) акс эттириш Ф фазони
узини узига акс эттиради. Энди
1'Ъ (*)—Ы*)1< j l/(z> Фг(0)| dt<
хо
< Acmaxpp^z1)—<p2(0|=Kq>(<Pi, ф2)-
Бундан Ас<1 булганлиги учун (9) акс эттиришнинг цисцар-
тирувчи акс эттириш экаилиги келиб чикади. Демак, шу
параграфдаги теоремага кура (8) тенглама Ф фазода бош-
лангич (7) шартни цаноатлантирадиган биргина ечимга эга.
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. R хациций сонлар тупламида
р(х, у)=|х2-у2)
функциями киритамиз. (/?, р) метрик фазо буладими?
2. R'1 вектор фазода цуйидагича уч хил метрика кири-
тамиз:
р(х, у) = /(xt—у1)Ч-(^2—у2Г+ • • -Н*л—уп)2;"
Pi(a-, y)=max \xi —yi |;
р2(л\ у)=К—У1|+|^2—Уг!+ • • • +К~УлЬ
Шу уч метрика бир-бирига эквивалент эканлигини исбот-
ланг.
3. Кандай а ва р учун ушбу
р(х, у)=|ха —уа Р
функция тугри чизикда метрикани беради?
4. X, К, Z метрик фазолар булиб, 7\, Т2 мос равишда
X ни К га, Y ни Z га акс эттирувчи узлуксиз оператор-
лар булса, у холда X ни Z га акс эттирувчи ушбу
X->T2(TiX)
оператор ^ам узлуксиз бу лит ин и исботланг.
5. 2.1-§ даги Rn метрик фазони узини узига акс этти-
рувчи ихтиёрий чизицли оператор узлуксиз эканлигини
исботланг.
6. Хациций сонлар туплами R да метрикани р(х, у) =»
=|х—у| куринишда оламиз. Бу метрик фазода рационал
сонлар туплами очиц хам эмас, спиц хам эмаслигини ис-
ботланг. Бу фазода натурал сонлар туплами N ёпицми?
66
7. Шундай (X, р) метрик фазога мисол келтирингки,
бу фазода икки шар S(xb rj ва S(x2, г2) топилиб, t\>r2
ва S(xu rx)<^S(x2, r2) муносабатлар уринли булсин.
8. Z2 метрик фазо сепарабел эканлигини исботланг.
9. (X, р) метрик фазода зич булган сепарабел кием
фазо мавжуд булса, у ^олда X фазо >;ам сепарабел экан-
лигини исботланг.
10. R хакикнй сонлар тупламида шундай р метрика
киритингки, (R, р) сепарабел метрик фазо булмасин.
11. Ихтиёрий фундаментал кетма-кетлик чегараланган
эканлигини исботланг.
12. ХакиКий сонлар тупламида чегараланган, аммо фун-
даментал булмаган кетма-кетликка мнеол келтирннг.
13. Шундай (X, р) тула метрик фазога мисол келти-
рипгкн, бу фазода
Sj .. . => .
ёпик шарлар кетма-кетлиги мавжуд булсин ва уларнинг
DO
умумий цисми буш булсин, яъни f\Sn=0.
я-=1
14. s фазо тулалигини исботланг.
15. X фазода р, ва р2 эквивалент метрикалар булсин.
(X, р,) фазо тула булиши учун (X, р2) фазо тула були-
ши зарур ва кифоядир. Исботланг.
16. X метрик фазо булиб, X* унинг тулдирувчиси бул-
снн. X* метрик фазо сепарабел булиши учун X метрик
фазо сепарабел булишн зарур ва кифоядир.
Исботланг. ь
17. Барча бир узгарувчили купаддлар туплами Р ни
олиб, ихтиёрий иккита
/(х)=а0. . . +аях”,
g(%Wo4-M l- - - • \-bmxm
куп^ад учун куйндаги функцияни тузамиз:
Р(/. «) = 1/ 5 \а, —bt I2,
бу ерда булса =0, i>m булса, bi =0. р(/~, g)
функция Р да метрика эканлигини исботланг ва бу мет-
рикага ннсбатан Р нинг тулдирувчнеини топинг.
67
Шу м аса лани
р(Л яНтах ]«/ — bi\
0<:/<оа
функция учун хам ечинг.
18. Компакт метрик фазо тула ва сепарабел эканлигини
исботланг.
19. т метрик фазода чегараланган, ле кин компакт
булмаган тупламга мисол келтиринг.
20. р (Лх, Лу)<р(х, у) (х^у) шартни цаноатланти-
рувчи шундай А акс эттиришга мисол келтирингки, ушбу
Лх=х
тенглама ечимга эга булмасин.
21. X тула метрик фазо, Т :Х->Х узлуксиз акс этти-
ришнинг бирор даражаси Т,п цисцартирувчи булсин, яьни
Ттх~Т(Т .. . (Тх) . . . )
р(ТтХ, Тту)<Щ>(х,у), 0^а<1.
у Холда Т ягона цузгалмас нуцтага эга булишини исбот-
ланг.
22. f акслантириш [0,1] сегментни [0,1] сегментга
узаро бир цийматли узлуксиз акслантириш булсин. У хол-
да бу акслантиришнинг хеч булмаганда битта кузгалмас
нудтаси мавжудлигнни курсатииг.
[II боб
ТОПОЛОГИК ФАЗОЛАР
3.1- §. Топологик фазолариинг таърифи ва мнсоллар
Метрик фазолариинг асосий тушунчалари (лимит нукта,
тупламнинг ёпилмаси ва хоказо) атроф хамда очиц туплам
тушунчалари ёрдамида киритилгаи эдн. Бунда атроф ва
оч пц тупламлар" курилаётган фазода берилган метрика би-
лан аницланган эди. Умуман, берилган тупламда очик
тупламлар системасини аксиомалар ёрдамида бевосита ки-
punnit мумкин.
Таъриф. Т тупламдаги топология деб, X нинг кием
тупламларидан иборат ва цуйидаги аксиомаларни цаноат-
лантнрувчи t системага айтилади:
Г’, *€%
2° . Агар iGJczT булса, у холда U
бу ерда индекслар туплами I ихтиёрий;
3' . Gt, G\, . . , ва п, ихтиёрий натурал сон бул-
са, у холда П Gft^-c.
(Х/с) жуфтлик топологик фазо деб аталади. А нинг
т системага тегишли булган кием тупламлари очиц туп-
ла.члар деб аталади. Шундай цилиб, топологик фазони
бери ш —бу бирор X тупламни олиб, унда t топологияии
киритиш, яъни X динг очик туплам дейиладиган цисм
тупламларини аницлаш, демакдир. Топологик фазонинг эле-
ментлари унинг нуцталари деб хам аталади.
Битта X тупламда турли хил топологиялар киритиш
мумкин булиб, бунда турли топологик фазолар косил
булади.
Tj ва т2 снстемалар X даги иккита топология булсин.
Агар т, су муносабат уринли булса, т2 топология т,
то полог няга нисбатан кучлироц топология дейилади ва
куринишда ёзилади. Бу холда н топологияии та
топологняга нисбатан кучеизроц (су строц) хам дейилади.
Мнсоллар.
1. ХаР кандай метрик фазодаги очик тупламлар систе-
мней топологиянинг 1°, 2° ва 3° аксиомаларини цаноатлан-
тирадн. Демак, ихтиёрий метрик^ фазо табиий равишда то-
пологии фазо хамдир-
69
2. X ихтиёрий туплам ва т унинг барча кием туплам-
лари системаси булсин, деб фараз килайлик. Унда (X, т)
топологии фазодир- X даги бундай топология дискрет то-
пология дейилади.
3. X тупламда факат 0 билан X дан иборат система
хам топология косил циладн (антидискрет топология).
Юцорида келтирилган 2- мисолдаги топология X туп-
ламдаги барча топологияларнинг энг кучлисидир, 3- мисол-
даги топология эса булар орасида энг кучензидир.
4. Иккн элементдан иборат X—{«, 6} тупламда хаммаси
булиб туртта топология мавжуд. Улар куйидагилардир:
Tj = {(a, b), 0}, Тз={(я. *)• («), 0},
т3={(а, Ь), (Ь), 0}, т4={(а, Ь), (а), (Ь), 0}.
3.2- §. Атрофлар. Ёпиц тупламлар
Таъриф. Агар топологии фазода бирор А ва V туп-
ламлар учун муносабатни цаноатлантирувчи G
очиц туплам мавжуд булса, U туплам А тупламиинг
атрофи дейилади. Хусусан, А=={х0} булса, у холда U
туплам x(i нуцтананг атрофи дейилади.
1- теорема. Топологии фазода А туплам очиц
бу лиши учун у узининг цар бир нуцтасининг атрофи
бу лиши зарур ва кифоя.
Исбот. Равшанки, агар А очнк туплам булса, у
узининг кар бир нуцтасининг атрофидир.
Аксмнча, агар ихтиёрий х£А учун шундай Ux очиц
туплам мавжуд булиб, x£UxczA муносабат бажарилса, у
холда A— U Ux. Демак, А туплам очик тупламларнннг
йигиндиси сифатида топологиянинг 2° аксномасига асосан
очикдир.*
Топологии фазодаги х нуцтанинг барча атрофлари сис-
темасини В (х) билан белгилаймиз.
Алгебраик системаларда (масалан, группа, халца, вектор
фазоларда) одатда топология нуцталарнинг атрофлари сис-
темней оркали киритилади. Бундай киритилншнинг цонуний-
лиги цуйидаги теоремадан келиб чикади.
2- теорема. В (х) система цуйидаги хоссаларга
эга:
1) ихтиёрий U QB (х) учун x^U;
2) агар Ucz V ва UЕВ (х) булса, у цолда V^B(x);
3) агар U, V £В (х) булса, U П V(~B (х);
4) цар бир V ЕВ (х) учун шундай W^B (х) мае-
70
жудки, барча у Q W лар учун I/ б В(у) муносабат
уринли.
Аксинча, агар X тупламиинг %ар бир х элемен-
тно X нинг цисм тупламларидан иборат ва 1)—4)
шартларни цаноатлантирувчи В(х) система мос
цуйилган булса, у холда X тупламда шундай ягона
топология мавжудки, бу топологияда хар бир х эле-
ментнинг барча атрофлари системаси В(х) дан
иборатдир,
Исбот. Агар В(х) системах нуцтанинг барча атроф-
лари системаси булса, у холда 1)—3) хоссалар осонгина
курсатилади. 4) хоссани исботлаймиЗ. V£B(x) туплам
учун ушбу x^WcV муносабатни цаноатлантирувчн W
очик Кием туплам мавжудднр. W очиц туплам булгани
учуй у узидаги хар бир нуцтанииг атрофидир. Демак, бар-
ча у б IF учун WQB{y). Бундан эса 2) хоссага кура их-
тяёрнй у б IF учун ушбу V б В{у) муносабат уринли,
яъни 4) хосса исботланди.
Аксинча, В(х) система 1)—4) шартларни цаноатлан-
тирсин. X да t топологияни куйидагича киритамиз: агар
ихтиёрий х б А учун А £ В(х) муносабат уринли булса,
А тупламни очик деймиз ва буш тупламни хам очнц деб
хисоблаймнз. Демак.
(Дб'с)<—> (\/хбА А^В(х) ёки >1=0).
Равшанки, Хб^, 0 Агар Ga бт (а б /) булса
U хам т га тегишли булади.
a б^
Ихтиёрий Gi,G2,^z тупламларни оламиз. Агар
Gt П G2=0 булса, равшанки Gt П б2бт-
Энди Gi(]G2=A0 холни курамиз. Ихтиёрий хб<Л Q С2
элементни оламиз. т иинг таърнфига асосан бч б В (х),
С2^В (х), демак, 3) га асосан Gt П G26 В(х). Агар Glt
G2. ... , Grt б т булса, математик индукция методики цул-
Л
лаб, р Gk б т эканлнгига ишонч хосил циламиз. Шундай
*=i
цилиб, х система X даги топологиядир.
Энди хар бир х б X учун В(х) система х элемент-
нинг т топологиядаги барча атрофлари системасидан иборат
эканлигнни курсатамиз.
U туплам х элементнинг х топологиядаги бирор атрофи
булсин. У холда шундай А очнц туплам мавжудки
х A cz U. Равшанки, А^В(х) ва, демак, 2) га асосан
71
U QB(x). Энда >^ар бир VQB(x) туплам х нуктанинг т то-
пологиядаги атрофи эканлигини курсатамиз. Бунииг учун
xQUcz V шартни каноатлантнрувчи ва т тополе ияда очик
булган U туплам мавжудлигини курсатиш керак. U ни
Куйидагича кнритамиз:
u={yextVQB(y)}.
Равшанки, xQU. Энди UczV ва С7бт эканлигини
курсатамиз. 1) шартдан дар бир yQU элемент V га те-
гишли эканлиги келиб ч и кади, яъни Uc=.V.
Ихтиёрий у б U оламиз. 4) шартга асосан шундай
1Гб#(у) мавжудки, V£B(z) муносабат барча zQW лар
учун уринлидир. VQB(z) муносабат эса z нинг U га
тегишли эканлигини курсатади, демак, WczU. 2) шартга
биноан U QB (у), яънн U ва шунинг учун V туплам
х нуктанинг т топологиядаги атрофидир.
Шундай килиб, киритилган с топология учуй В(х)
система х нуктанинг барча атрофлари системасидир.
Энди бирор “ч топология учун дам В(х) система х
нуктанинг топологиядаги атрофлари системаси булсин.
1- теоремага асосан
(Л б *0 <=> (V х б А : А б В (х) ёки А= 0),
(Лб-ч)<=> (\f x£AiA£B(x) ёкн А==0).
демак,
Т аъриф. X топологик фазонинг кар иккита турли х
ва у нукталарининг узаро кесишмайдиган мос равншда Ux
ва Uy атрофлари мавжуд булса, бундай топологик фазо
Хаусдорф фазоси дейилади; унинг топологияси эса ажра-
тишнинг Т2 аксиомасини каноатлантпируечи топология,
дейилади.
Масалан, ихтиёрий (X, р) метрик фазе Хаусдорф фазо-
сидир. Бунда UX1 Uy атрофлар сифатида мос равишда
S (х,г), S (у, г) (г = р (х, у) ) шарларни олиш мумкин.
Хаусдорф фазосн булмаган фазога мисол сифатида элемент-
лари иккитадан куп булган антвдискрет топологияли фазо-
ни олнш мумкин.
2- теоремадан куринадики, X тупламда топологиянн
унииг кар бнр нуктаси атрофлари системаси В (х) ни бе-
риш оркали киритиш мумкин.
Таъриф. х нуктанинг В(х) атрофлари системасидан
бирор W (х) кисмини оламиз. Агар х нуктанинг кар бир
l/б/;(х) атрофи учун U cz V муносабатни каноатланти-
¥2
рувчи U£W(x) туплам мавжуд булса, у холда 157(х) шу
иуцта атрофлари системасининг базиса дейилади.
Мисол. Метрик фазода барча S (х, г), г>0, шарлар
туплами х нуцТаиинг атрофлари системаси учун базис
ташкил этади, хусусан, тугри чнзнцдаги барча (х—е,
л’ | е), е>0 интерваллар системаси х куцтанинг атрофлари
системаси учун базисдир.
Таъриф. (X, т) топологик фазо булсин. Агар MczX
туплам учун X \Af очиц туплам булса (яъни Х\Л1бт),
7И ёпиц туплам дейилади.
Топология таърифидан ёпиц тупламларнинг цуйидаги
хоссалари келиб чицади:
I) 0, Х--ёпиц тупламлар;
2) сони ихтиёрий Fa ёпиц тупламлар кесншмасн П Да
спиц тупламдир;
3) сони чекли ёпиц тупламлар йигиндиси цам ёпицдир.
Бу хоссалар цуйидаги дуаллик принцнпларининг нати-
жасидир:
х\ПЛ = и (XX Л*);
а а.
=П (Х\Л)
а а
Ихтиёрий М туплам берилган булиб, бирор х£Х нуц-
танинг цар бир U атрофи М туплам билан буш булмаган
уму мий цисм га эга булса, у холда х нуцта М нинг у ри-
нит нуцтаси дейилади.
Таъриф. 7И тупламнинг барча уриниш нуцталаридан
иборат туплам М билан белгиланади ва М нинг ёпил-
маси дейилади.
Мисоллар. 1. Метрик фазолар учун тупламнинг
ёпилмаси тушунчаси 2.4-§ да киритилган ёпилма тушун-
часи билан мос туш а ди.
2. 3.1- §, 3-мнсолдаги топологик фазода буш булмаган
ихтиёрий тупламнинг ёпилмаси X га тенг.
Таъриф. А тупламдаги барча очиц цисм тупламлар
йигиндиси А нинг ичи дейилади ва Int А билан белгила-
нади.
Равшанки, Int А туплам А нинг очиц цисм тупламла-
ри орасида энг каттасидир.
Ми со л л ар. I- Дискрет топологик фазода ихтиёрий
тупламнинг ичи шу тупламнинг узига тенг.
2. Антидискрет топологик фазода X дан фарцли цар
бир тупламнинг ичи буш туплам.
73
3. (X, р) метрик фазода А тупламнинг ичи А нинг
ички нукталар тупламцдир (2.4- §).
Туплам ёпилмасининг хоссаларини урганишдан аввал
цуйидаги му хим муносабатни исботлаймиз:
Х\ЛЬ=Ы (Х\7И). (1)
Дархакикат, агар х С Х\7И булса, у холда х нуцта М
нинг уриниш нуктаси эмас, яъни унииг 714 билан кесиш-
майдиган, в а демак, Х\М туп ла мда жойлашган Ux атро-
фи мавжуд. Демак, х Q Int (Х\7И), яънн
Х\Л4с Int (Х\714).
Энди x^Int (Х\7И) булсин. Int (Х\714) туплам очик
булгани сабабли, у х нуктанинг М билан кесишмайдиган
атрофидир, яъни х С М. Демак, х£Х\М, яъни
X\7W=>Int (Х\714).
(1) муносабат исботланди.
Исботланган муносабатга асосан
A4=X\Int (Х\7И).
Демак, М ёпик тупламдир. Энди F туплам М ни уз
ичига олган ихтиёрий ёпик туплам булсин. У холда X\F
очик туплам ва X\FczX\M. Шунинг учун X'xFczInt
(Х\714), бундан F=>X\Int (Х\М)~М. Шундай килиб,
М туплам М ни уз ичига олган ёпик тупламлар орасида
энг кичигидир. Метрик фазолардагидек (2.4- §, 1- теоре-
ма), тупламнинг ёпилмаси куйидаги хоссаларга эга:
1) 714 с: 7Й;
2) агар булса,
~г |£Д42=Ж U^;
4) 7И=7И, бу ерда М туплам М нннг ёпилмаси.
Таъриф. Агар 714 ~Х тенглик уринли булса, 714 туп-
лам X нинг %амма ерида зич дейилади.
Масалан, Z?1 тугри чизикда барча рацнонал сонлар
туплами унииг хамма ерида зич, шунингдек, Rr! фазода
Хамма координаталари рационал сонлар булган барча нук-
та лар туплами унинг хамма ерида зичдир.
Агар (X, т) топологик фазонинг хамма ерида зич санок-
ли кием туплам мавжуд булса, бу топологик фазо сеПа-
рабел топологик фазо дейилади.
F4
ЛАисоллар. 1. 2.5- § да келтирилган сепарабел мет-
рик фазолар сепарабел топологик фазоларга мисол булади.
2. Антидискрет топологик фазо доим сепарабел фазо-
дир.
(X, ~) фазонинг бирор Y цнсминп олиб, ушбу =
= {СП Y: G6 т} системасини тузамиз. Равшанки, (И, ту)
топологик фазодир. Бу топологик фазо (X, t) топологик
фазонинг цисм фазоси дейилади. Бу х°ДДа тг топология-
ин т топологнянинг Y кием тупламга кучирилгани дейи-
ладн.
Куйидаги иборалар осонгииа исботланади:
1) туплам у€К нуцтанинг тг топологиядаги
атрофи булиши учун у нуктанинг т топологияда W —
= Y f] U шартни каноатлантирувчи U атрофи мавжуд бу-
лиши зарур ва кифоядир;
2) (X, тт) фазодаги хар бир ёпик туплам X даги би-
рор ёпик тупламнинг Y билан кесишмасидан иборат;
3) Y даги М тупламнинг тг топологиядаги ёпилмаси
М нинг т топологиядаги ёпилмаси билан Y нинг кесиш-
масидан иборат.
I
3. 3- §. Топологик фазоларии узлуксиз акс эттириш
Таъриф. (X, v), (X, t) топологик фазолар, fzX-*-Y
акс эттириш ва х0(- X булсин. Агар / (x0)=yG нукта-
нинг хар бнр U атрофи учун х0 нииг f (V)cU шартни
Каноатлантирувчи V атрофи мавжуд булса, f акс эттириш
х0 нуктада узлуксиз дейилади. Агар / акс эттириш
X нинг хар бир нуктасида узлуксиз булса, у X да уз-
луксиз ёки, кискача, узлуксиз дейилади. Хусусан, X
топологик фазони тугри чизикка узлуксиз акс эттириш
X фазодаги узлуксиз функция дейилади.
Бирор топологик фазони иккинчи бир топологик фазо-
га акс эттиришнинг узлуксизлигини очик тупламлар ёр-
дамида хам таърифлаш мумкин.
1- теорема. (X, т) топологик фазони (X, t) то-
иологик фазога акс эттириш. узлуксиз булиши учун
Y фазодаги ^ар бир очиц тупламнинг X даги ас ли
очиц булиши зарур ва кифоядир.
Ис бот. /:Х—* Y узлуксиз акс эттириш ва Gcz Y
бирор очнк туплам булсин. (G) тупламнинг X Да
очик-пигини курсатамиз. Ихтиёрий xQ £ f~~' (G) элементни
оламиз. У холда f (х0) £ G ва G туплам очик булгани
учун у узинИнг f (х0) нуктасининг атрофи хамдир. Шунинг
75
учуй/акс эттиришнинг узлуксизлигидан х0 нинг f(U)c=G
ujaj тни цаноатл антиру в чи U атрофи мавжудлиги келиб
чидади. Бундай Ucf—' (G) эканлиги ва, демак, /—1 (С)
нинг очиц тупламлиги келиб чицади.
Энди / акс эттириш учун Y даги хар бир очиц туп-
ламнинг асли X да очиц булса, у холда / нинг узлук-
сизлигини курсатамиз. Ихтиёрий х0 £ X нуцтани олиб,
/ (х0) нинг бирор G атрофини олайлик. Умумиятлнкни
бузмаган холда G ни очиц туплам деб фараз цилишимиз
мумкин. Агар /-1 (G) тупламни G билаи белгиласак, у
холда х0 С U ва U очиц туплам, демак, у х,} нинг атро-
фи ва f «7) <^G._X.
Туплам тулдирувчнсининг асли шу туплам аслининг
тулдирувчисига тенг булгани учун 1- теоремадан к У вида-
ки теорема бевосита келиб чицади.
2-теорема. (X, т ) топологии фазони (Y, t) то-
пологии фазога акс эттириш узлуксиз бу лиши учун
Y даги х°Р бир ёпиц тупламнинг X даги асли ёпиц
бу лиши зарур ва кифоядир.
Математик анализдан маълум булган узлуксиз функ-
цияларнинг суперпозициялари узлуксиз булиши хацидаги
теорема топологик фазоларни узлуксиз акс эттиришлари
учун куйадагнча умумлаштирилади.
3-теорема. X, Y, Z топологик фазолар ва
f*.X—*Y, gz Y-^Z узлуксиз акс эттиришлар булсин.
У Холда (g<J): X—>Z акс эттириш хам узлуксиздир
(бу ерда (gj) (х)= g (f (*))-
Теореманинг нсботи 2- теоремадан бевосита келиб
чидади-
Т а ъ р и ф. X топологик фазони Y топологик фазога
/акс эттириш куйидаги икки шартни цаноатлантирса, у
гомеоморф акс эттириш ёки гомеоморфизм дейилади:
1) / узаро бнр цийматли акс эттириш ва / (X) = Y
2) f ва /—1 —узлуксиз акс эттиришлар.
Бу холда X ва Y фазолар узаро гомеоморф mono-
логик фазолар дейилади.
Мисо л. R ва(— -£-) топологик фазолар гомео-
V X А /
морф фазолар, бунда /: у) R гомеоморфизмни
цуйидагича аниклаш мумкнн:
/ (*)~tgx.
76
3.4-§. Компактлик
(X, т) топологик фазо булсин. Агар А туплам в а би-
рор {G, } а£/ тупламлар системаси учун A cz U муно-
а а
сЗбат бажарилса, {Ga } /система А учун цоплама де-
йилади. Агар бу системанинг бирор цнсми хам А учун
циплама булса, у кием цоплама дейилади.
Агар {Са} а£ I цопламага кнрувчи хар бир Ga туплам
очик булса, бу цоплама А учун очиц цоплама дейи-
лади.
Таъриф. Агар А тупламнинг ихтиёрий очик копла-
масидан чекли цисм коплама а ж рати б олиш мумкин бул-
са» Л компакт туплам дейиладн.
{Fa :«G Г} кием тупламлар системаси берилган бул-
син. .Агар бу системанинг ихтиёрий чекли кием система-
сининг кесишмаси буш булмаса, бундай система марказ-
ланган система дейилади.
1-теорема. (X, г) топологик фазо компакт бу-
лиши учун ундаги ёпиц тупламлардан иборат ^ар
цандай марказланган системанинг кесишмаси буш
булмаслиги зарур еа кифоядир.
Исбот. Агар {Ga} I очик тупламлардан иборат сис-
тема булса, у холда {Аа =X\G* } а б 1 система ёпик ТУП’
ламлардан иборат. Теореманинг исботи дуйидаги дуа л ли к
принципидан бевосита келиб чикади: ихтиёрий /ocz I
учун
X\U G« =П^
а а € 4)
2-теорема. Компакт фазонинг ёпиц кием туп-
лами компакт тупламдир.
Исбот. F туплам X компакт фазоиинг ёпик кием
туплами ва {Аа :а£/} система F нинг ёпик кием туп-
ламларидан иборат ихтиёрий марказланган система булсин.
У холда хар бир Fa, a QI туплам X да хам ёпик булади
ва демак, {Fa :а£/} система X даги унинг ёпик туплам-
ларидан иборат марказланган системадир. Бундан
аЫ
эканлиги келиб чикади. 1- теоремадан F нинг компакт
эканлиги келиб чикади.*
3-теорема. Хаусдорф фазосининг компакт цисм
туплами ё пик дир.
Исбот. X Хаусдорф фазоси, К эса унинг компакт кием
туплами булсин. Ихтиёрий у нудтани оламиз; унда
77
Кар бир x£K нуцта учун
шундай очиц булган Vx
К. Л ф’=0- {Vx-.x£K}
ма, демак, унинг чекли
х ва у ларнинг мос равишда
ва LFp атрофлари мавжудки,
система А учун очик копла-
кисм цопламаси мавжуд. Энди £/—Л ...
fl U{*n} ва V==VX1U Vjf 1) ... (J очиц тупламларни ол-
сак, у холда Uy туплам у нуктанинг очик атрофи булиб,
Ц,ЛУ=0; бундан (7уПА=0 эканлиги, яъни у£К
муносабат келиб чнцади. Шундай цилиб, AczA муносабат
исботланди- Туплам ёпилмасининг хоссаларнга кура К=К
тенглик келиб ч и кади.*
Компакт фазолариинг узлуксиз акс эттиришлари ка-
тер муким хоссаларга эга.
4-теорема. Компакт фазонинг узлуксиз акс эт-
тиришдаги тасвири компакт фазодир.
И с б о т. X компакт фазо, f эса X ни бирор Y фазо-
га узлуксиз акс эттириш булсии. f (X) фазонинг ихтиё-
рнй {6К :а£Г} очик копламасини оламиз, яъни
U Ga cz f(X). Сунгги муносабатдан Х= U /_'1 (Ga) тенг-
ft €г a Gr
лик келнб чнкади. Бундан ва / нинг узлуксизлигидан
{/“’ (Go): а£Г} система X нинг очик ког,ламаси эканлиги
келиб чикаДи ва, демак, уидан чекли кием копламани
т
ажратиб олиш мумкин, яъни ушбу U /-1 (Go. )~Х тенг-
А=1
т
ликни ёзишимиз мумкин. Бундан f (X)— II Ga. тенглик
Л=1
келиб чикади, яъни ГД, Go„ ...» Gam система f (X) ни
Коплайди, демак, f (X) компактдир.
5- теорема. X компакт фазони Y Хаусдорф фа-
зосига узаро бир кии мат ли еа узлуксиз / акс этти-
риш гомеоморфизм булади.
Исбот. Теоремани исботлаш учун f-1 нинг узлук-
сизлигинн курсатнш кифоя. F туплам X иинг ёпик кием
туплами булсин. 2- теоремага кура F компактдир. Энди
4- теоремани куллаб, / (F) нииг компакт эканлигини
курамиз, ва, нидоят, 3- теоремага кура f (F) ёпивдир.
Демак ихтиёрий АстХ ёпик туплам учун (А)=
— / (^) ёпикдир. 3.3- § даги 2- теоремага асосан
узлуксиз.*
78
G- теорема. X компакт фазода / узлуксиз функ-
ция берилган булсин. У холда f фукция X фазода
чегараланган булиб, узининг аниц юцори ва цуйи
чегараларига эга.
Исбот. X компакт фазода аникланган /узлуксиз
функция X ни Хаусдорф фазоси булмиш R га узлуксиз
акс эттириш демакдир. 4- теоремага кура / (X) компакт-
дир. Бундан / (X) нинг R да чегараланган ва ёпик туп-
лам эканлиги келиб чицади, ва демак, / функция X да
узининг аник юкори чегарасига ва аник куйи чегарасига
эришади.*
3.5-§. Фазолариинг топологик к^пайтмалари
X ва У топологик фазолар булнб, XX У эса улар-
нинг тугри купайтмаси булсин, яъни
ХХК={(х, у):х£Х, V£ У}.
Ихтиёрий (х, у) С XX У ни олиб, В (х) ва В(у) орцали
мос равишда х ва у ларнинг барча атрофлари системасини
белгилаймиз.
Энди XX У тупламдаги (х, у) нуктанинг В(х, у)
атрофлари системасини куйидагича киритамиз. Агар
A cz X X У туплам бирор £/Х Uy (Ux £ В (х), Uy QB (у))
тупламни уз ичига олса, А ни В (х, у) нинг элементи
деб хнеоблаймиз. Хосил булган В (х, у) система 3.2- §,
2- теоремадаги 1) -- 4) хоссаларга эга. Бунда 1) — 2)-хос-
салар равшан. 3) — 4) хоссалар эса В (х), В (у) система-
ларнинг мос хоссаларидан келиб чицади.
Демак 3.2-§ даги 2-теоремага кура XX К тупламда
шундай ягона т топология мавжудки, бу топологияда
В (х, у) система (х, у) нуктанинг атрофларини ташкил
килади.
(XX У, *) топологик фазони X ва К топологик фазо-
ларнинг топологик купайтмаси дейилади. -с топология
эса X ва У даги топологияларнинг купайтмаси дейи-
лади.
Топологик купайтма тушунчасини сони чексиз топо-
логик фазолар учуй хам аниклаш мумкин. {Ха : а £ Л}
топологик фазолар системаси булсин. П Ха орцали
Ха (a £ Л) фазолариинг тугри купайтмасини белгилаймиз,
яъни П Ха барча шундай х=»{ха } системалар тупламики,
79
х нинг ха координатаси Ха фазога тегишлидир. Бирор
х°={х®} G П Ха элементни оламиз. Д тупламдан ихтиёрий
о. €а
сони чекли аъ а2» - - > ап нндексларни ва х° элемент-
на нг х®, х®, ...» х°п координата ларини оламиз. Uxo,
Uxo t ... , Uxq тупламлар мос равишда xf, х® ... ,
а2 °П * 3
х° нукталарнинг атрофлари булсин; дуйвдаги тупламни
аницлаймиз:
{ К }: х.к € U^, k^TTn}. (О
П тупламдаги (1) куринишга эга булган цисм туплам-
а Ga
лар системасини F (х°) билан белгилаймиз. Энди В (х°)
системани цуйидагнча аницлаймиз. Агар W туплам ва
бирор Uxo£F(xP) учун Ux« муносабат уринли бу^са,
W С В (х°) деб хисоблаймиз. В (хс) система 3.2- §, 2- тео-
ремадаги 1) —4) хоссаларга эга. Хацицатан, 1), 2) хос-
салар равшан. 3) хоссани исботлаймиз. Агар U, V € В (х°)
булса, у холда
[/^>1/^0 = ({хв}:хч £ uxG » й=Тп).
= [{я0} •Xpi i~ 1,ш)-
Демак,
unv=>u^ fir,» =[{х« }:х € 1/4,
в k 1 Pi
1,mJ-
Равшанки, Uxv П V*K G В (x°) демак, Z7f| V E В (xP)
4) хосса хам шунга ухшаш исботланади.
3.2- §, 2- теоремага кура ПХа тупламда шундай ягона
а € <4
-с топология мавжудки, унда ихтиёрий х С П Ха нухтанинг
ct б А
барча атрофлари системаси вазифасинн В (х) бажаради.
F (х) эса В (х) учуй базис булади.
Таърнф (ПХа, *с) топологик фазо Ха, а£А топо-
« Са
логик фазоларнинг топологик ёки Тихонов к^пайтмаси
дейилади, х топология эса Тихонов топологияси дейи-
лади.
80
I-теорема. Агар хар бир а £ А учун Ха. Хаусдорф
фазоси булса, у холда уларнинг топологик купайт-
маси хам Хаусдорф фазосидир.
И с б о т. Агар х, у £ И Хи ва х^£=у булса, у холда
а £ -4
шундай а0 £ А мавжудки, хСс^уПо булади.
Ха0 Хаусдорф фазоси булгани учун хав ва уСо нуцта-
ларнинг мос равишда шундай С/х ва У},Оц атрофлари мав-
жудки, улар учун UXa^ Г]Ууад^=0. Ушбу
^-{{гп}:гЯо€
тупламлар мос равишда х ва у нуцталарнннг Тихонов
топологнясидаги атрофлари булиб, у=0 шартни
цаноатлантиради. Демак, (ПХа, т)—Хаусдорф фазосн.*
а С А
Зндн умумий топологиядаги энг мухим теоремалардан
бири булган А. Н. Тихонов теоремасини исботсиз келти-
рамиз1.
2- теорема (А. Н. Тихонов теоремаси). Агар хаР
бир а. £ А учун Ха компакт топологик фазо булса,
ПХх хам компакт фазодир.
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. Уч элементдан иборат булган X тупламдаги хамма
топологияларнн топинг.
2. Чекли тупламдаги Т2 топология дискрет булишини
исботланг. A—{I, 2, 3, . . .} тупламдд-чр?
3. (X, т) топологик фазо, {хп} эса X даги кетма-кет-
лик булсин. а£Х нинг ихтиёрий U атрофи учун n>N
булганда хл £ U буладиган N сонлар топилса, а нуцта
{хй} нинг лимита дейилади.
Хаусдорф фазоснда кетма-кетликнинг лимита биттадан
ортиц булмаслигнни курсатинг. Фазо Хаусдорф аксиома-
сини цаноатлантирмасачи?
4. Агар (К, t) топологик фазо булиб, f акс эттириш
X тупламни Y фазога акслантирса, у холда
/-,К0={/-1 (G): о G о
система X да топология булишини курсатинг. Бу тополо-
гия t топологнянинг X даги „асли“ деб хам юритилади.
» Теореманинг исботи, масалан, [25] китобнинг 194- бетида
келтирилган.
6—239
81
~ 5. (X, т) топологик фазо, KczX, i: Y-+X эса i (у)=у
булган акслантириш дейлик. Z-1 (т) топология т нинг Y
га кучирилгани эканлигини исботланг.
6. (X, т) топологик фазони (К, 0 топологик фазога
f акс эттириш узлуксиз булиши учун /-1 (0 топология
г топологиядаи кучсизроц булиши зарур ва кифоялигини
курсатинг.
Т. (X, т) ва (К, /) топологик фазоларнинг топология-
лари метрикалар билан аницланган булсин. Берилган
f: X—Y акс эттиришнинг узлуксизлик таърифи 2- бобда
келтирилган метрик фазолардаги узлуксизлик таърифи би-
лан тенг куч ли эканлигини исботланг.
8. R да шундай ть т2, т3 Та-топология лар киритингки,
натижада хосил булган топологик фазолар гомеоморф
булмасин.
9. R даги табиий топологияни Х=[0,1] U [2,3] ва
К=[0,2] цисм тупламларга кучирайлик. X ни К га акс-
лантирувчи узаро бир цийматли, узлуксиз, лекин гомео-
морфизм булмаган акслантириш цуринг.
10. Rn фазода бирор цисм туплам компакт булиши
учун у чегараланган ^амда ёпик булиши зарур ва кифоя
эканлигини исботланг.
И. Метрик фазолар учун 2-бобда киритилган ком-
пакт лик тушунчаси шу бобдаги компактлик тушунчаси
билан устма-уст тушишини курсатинг.
12. (Xlt Tj), (Х2, т2) — топологик фазолар, : Xt X
ХХ2—>Х/ акслантириш ^z (xu x2) = xt (t=l,2) каби
аниклансин (проекциялар), XtXX2 даги Тихонов тополо-
гияси Ч ва к2 узлуксиз, булган энг кучсиз топология
булишини курсатинг.
13. Агар топологик фазода хар бир нуцтанинг атроф-
лари системасининг саноцли базиса мавжуд булса, топо-
логик фазо саноцлилшснинг биринчи аксиомасини
цаноатлантирувчи фазо дейилади. (Хк , « G А} тополо-
гик фазолар системаси булиб, хар бир Ха фазо R фазога
гомеоморф булсин. У холда П Хс топологик фазони R*
билан белгилаймиз. Rh топологик фазо саноклиликнинг
биринчи аксиомасини цаноатлаитириши учун А туплам
саноцли булиши зарур ва кифоялигини исботланг.
IV боб
НОРМАЛАНГАН ФАЗОЛАР
4.1» §. Нормаланган фазо таърифи ва унинг баъзи
хоссалари
Таъриф. V вектор фазо булиб, р функционал V ни
тугри чизидка акс эттирснн. р функционал ушбу шарт-
ларни цаноатлантирса, у норма дейилади:
1) р(х)>-0; фацат х~ 6 учун р(х) = О;
2) Р(% + у) <р(х) + р(у);
3) Р 0 х) = I А I р (х), А — СОН.
Норма кнритнлган вектор фазо нормаланган фазо
дейилади, х элемеитнинг р(х) нормаси одатда ||х|| билан
белгиланади. Агар р(х, у) билан ||х — yj| сонни белгиласак,
р(х, у) метрика эканлнгн бевосита куриниб турибди. Де-
мак, дар цандай нормаланган фазо метрик фазодир.
Мисоллар.
1. X хакикий сон учун ||/.|| = |Х| деб олсак, у долда^
R, яъни тугри чизик нормаланган фазо булади.
2. п улчамлщ^ Rn хацикнй фазода х = (Xj , х2, . . ., хп)
элемент учун Ьвклид нормасини цуйидагнча киритамиз;
Бунда FofMcHHHr 1) ва 3) ш&ртлгри бгжарилишн рав-
шан, 2) шарт эса 2.1- § даги (2) тенгсизликдан келиб
чикадн. <
Шу Rn фазонинг узида цуйидаги нормйяарни хам кири-
тиш мумкин:
||х|ь = 2 l*J.
HxIL = max |xft|.
: 1<А<Л
(2)
(3)
п. улчамли Сп комплекс фазода хгм (1), (2), (3) каби
нормаларни курнш мумкин.
3. С [а, Ь] фазода нормаии куйидагича аниклаймиз;
|]Д = тах|/(0|.
83
Равшанки, бу норма учун хам 1) ва 3) шартЛар бе-
воситя бажарилади. 2) шартнинг бажарилишиии курсата-
миз. 2\ар хандай f£[a, нукта ва /, g функциялар учун
Куйидаги муносабатлар уринлидир:
I(/+ g) ЮI = 1/(0+g(01 <1/(01 +1g(01<
=S max|/(/) I + max |g(0 | = ||/|| + ||g||.
i ихтиёрий булгани учун
II/+ g|l = max |(/+g) (01 Cll/ll +l|dl-
a<t<.b
4. tn вектор фазода x = (xt , x2., xnt . . .) эле-
мента ин г нормасн деб ушбу
M = stip|*J
Кн<«о
сонга айтамиз. Норманинг аксномалари бевосита текшири-
лади. -
Нормаланган V фазонинг Vo вектор кием фазоси ёпик
булса, у холда Vo ни нормаланган V фазонинг кием фазо-
си дейилади.
Учинчи мисолдаги С[а,7>] фазода Р(х) купдадлар
туплами ёпик булмаган вектор кием фазодир, демак, нор-
маланган фазо маъносида Р(х) фазо С [а, Ь\ нинг кием
фазоси эмас.
Нормаланган V фазода А тупламнинг чизикли кобиги
булган L [А] вектор кисм фазони оламиз. L [Л] нинг
ёпилмаси А тупламнинг чизицли ёпилмаси, дейилади ва
ДА] билан белгиланади* Агар {ха} системанинг чизикли
ёпилмаси V фазога тенг булса, у холда {xj тула сис-
тема дейилади-
Юдорида айтиб утганимиздек, нормаланган фазолар
метрик фазолариинг хусусий долидир. Демак, бундай
фазолариинг тула ёки тула эмаслиги дакида ran юритиш
мумкии. Норма ёрдамида фазонинг тулалиги кУйидагича
ифодаланади:
Ушбу Цхп —Хт|]->0 шартни каноатлантирувчи ихтиё-
рий кетма-кетлик учун шундай х0^Е элемент мавжудки,
хп~^х0 муносабат бажарилади.
Тула нормаланган фазо Банах фазоси ёки В~фазо
дейилади ва нормаланган фазолар ичида мудим роль уйиай-
ди. Юкоридаги R, Rn, С[а, т фазолариинг тулалиги
84
II бобда курсатилган эди, демак, улар Банах фазоларидир.
Яна мнсоллар курамиз.
5) Csfa, b] фазода (2.6-§) норманн цуйидагича кири-
тамиз:
У/з
х2(0 di
Норма аксиомалари бевосита текширилади (фацат учбур-
чак аксиомасини кейинчалик умумий холда исботлаймиз
(Коши — Буняковский тенгсизлиги)). 2.6- § да бу фазо-
нинг тула эмаслиги курсатилган.
6) /2 фазода норманн
11*11 = 1/ ±4-
V А-1
а2, . . , ат . . .)
X = («I
куринишда киритсак, /2 фазо В фазога мисол булади.
А
V нормаланган фазо булиб, V фазо V ни уз ичига
i л
олувчи В фазо булсин. Агар V фазо V нинг хамма ерида
А
зич булса, у холда V фазо V нннг тулдирувчиси дейи-
лади.
1- т е о р е м а. Ихтиёрий нормаланган фазо ягона
тулдирувчига эга.
И с б о т. Метрик фазолариинг тулдирувчи фазоси хаки-
А
даги теоремага асосан V нинг тулдирувчиси булган V
метрик фазо мавжуд. Биз шу метрик фазога V даги алгеб-
А
раик амалларни давом эттиришимиз керак. V нинг х, у
элементларига яцинлашувчи булган ва V фазонинг эле-
ментларидан иборат {хп} ва {у „Г кетма-кетликларни оламиз
ва zn = хп + уп элементларни тузамиз, п = 1,2...Ушбу
|кл — |[*„ — + |1Ул - У mil-
муносабатдан tznl кетма-кетликнинг фундаментал эканлиги
А
куриниб турибди. Демак, zn кетма-кетлик V фазодаги
бирор z элементга яцинлашувчидир, яъни limzn=z. Бу
z элементни х ва у элементларнннг йигиндиси деймиз„
яъни z = х 4-у. Аницланган z элемент {хл} ва {ул1 кетма-
кетликларга бог лиц эмас. Дарцацицат, агар {xzrt), {у^1 мос
85
равишда х ва у элементларга яцинлашувчи бошца кетма-
кетликлар булса, у цолда z'n = х'п Ч- у'п учун
Игп—<11 < К — <11+Цув - <11—о,
п-*- оо
демак, lim z„ ~ 1 m z'
n-*co Л-^QO
л
Шунга ухшаш И метрик фазода сонга купайтнриш
амалини киритиш мумкин. Бевосита куриниб турибдики,
А
V фазода киритилган алгебраик амплар V фазода курил-
ся, ундаги берилган амаллар батан устма-уст тушади.
А
Шундай цилио, V вектор фазога айлантирилди. Энди
А
I/ элемент учун нормани ушбу
|И1 = Р (*, 0) = 11m р(хп, 0) = lim||%„||
n-t-CQ
(Xn^Xt Хп£ V)
куринишда аницласак, I/ нормаланган фазо булади. V фазо
А
V иинг вектор цисм фазосини хосил цилади.
А
Киритилган норма V фазода метрикани цосил цилгани
А
учун V фазо В-фазодир ва I/ нинг цамма ерида зичдир,
А
яъни V фазо иормаланган V фазонинг тулдирувчиси. Ни-
цоят, тулдирувчи фазонинг ягоналигини исбэтлаймиз.
А
Тулдирувчи V метрик фазонинг ягоналиги 2.7- § да исбот-
А
ланган. Демак, V фазодаги алгебраик амалларнинг ягоиа-
лигини исботласак бас. Бу эса амалларнинг узлуксизлиги-
дан келиб чикади. Дарцацикат, йигинди z =» х 4- ty ва
z = х 4- 2у курииишлдрда аиицлангаи булсин. У цолда
У уп V) муносабатдаи хп + у„
ва хп 4- уп х -J- 2у. Яцинлашувчи кетма-кетлик ягона
лимитга эга булгани учун х 4-ty = х Ч-гУ-
Шунга ухшаш, сонга к^пайтириш амалининг ягоналиги
курсатилдди.*
Баиах фазосига му^им бир мисол курамиз. X компакт
топологик фазо булиэ, С(Х) фазо X да аницланган узлук-
86
сиз комп леке функциялар фазоси булсин. Равшанки, С (X)
вектор фазодир. Бу фазода нормани куйидагича киритамиз:
||/|| = sup|/(x)|.
Бу соннинг чекли эканлиги 3.4- § даги 6- теоремадаи ке-
либ чикади. Норманииг хоссалари эса бевосита текшири-
лади.
2-те орем а. С(Х) фазо киритилган нормада Ба-
нах фазосидир.
И с бот. {/й(х)} фундаментал кетма-кетлик булсии.
Яъни ихтиёрий е > 0 учун шундай Б натурал сон топи-
ладики ихтиёрий m,n^>N учун ушбу
\fn (х) - fm (*) I < 6 (4>
тенгсизлик ^амма х нукталарда бажарилади. х£Х ну к та
тайинланса, {fn(x$ сонли кетма-кетлик фундаменталдир,
демак, {/„(х)} бирор /(х) сонга яцинлашади. Юцоридаги
(4) тенгсизликда т буйича лимитга утсак,
I А (*)“/(*) l<S, ЯЪНИ \\fn — /||<е
муносабат ^осил булади. Демак, {/л(х)}“=1 кетма-кетлик
/(х) функцияга якинлашади. Дх) иинг узлуксизлигини
исботлаш кифоя. Ихтиёрий е > О учун шундай т сон
топиладики, ||/—/лг|| < ~ тенгсизлик уринли булади. т
соини тайинлаб олсак, /^(х) функция ихтиёрий х0 иуцта-
да узлуксиз булади, х0 нуцтанннг шундай Ux атрофи
топиладики, ихтиёрий x£UxG нуктада |/,л(х) — /;„(х0)| < ~
тенгсизлик уринли булади. Демак, ихтиёрий x£Ux нукта-
да цуйидаги муносабат уринли булади:
|/(х) - /(х„) I < |/(х) - /„(х) I + |/„(х) - /„(Хо) I +
+ 1/Ж) -Ж) I < II/- All + f + II/-АII < У +
+ 3+ т = е-
Яъни /(х) узлуксиз функция.*
Энди С(Х) фазодаги тупламларнинг нисбий компактлик
белгисиии берамиз.
3-теорема (Асколи теоремаси). Фс С(Х) функ-
циялар туплами учун цуйидаги шартлар бажарилсин:
а) ихтиёрий х£Х учун sup {|/(х)| :/£Ф}<оо;
87
б)ихтиёрий е>0 учун хар бар х£Х нуцтанинг
шундай V атрофи топиладики, ушбу
|/(у)-/(*)1<е
тенгсизлик исталган у С V ва /С Ф Учун бажарилади,
яъни Ф текис даражада узлуксиз.
У холда Ф туплам С(Х) Банах фазосида нисбий
компакт туплам булади.
Исбот. С (X) тула булганлиги учуй 2.8- § даги 2-тео-
ремага асосан Ф нннг тула чегараланганлигини курсатиш
кифоя.
Ихтиёрий е> 0 оламиз. X фазо компакт булгани учун
шундай х2, ... , хп£Х нуцталар мавжудки, уларнинг
б) хоссадаги Vit Va, . . - , Vn атрофларининг йигиндиси
Л
X га тенг, яъни X = (J Vt в а
|/(*)— Ж)|<£ (/СФ, (5)
Бу тенгсизликдан ва а) шартдан Ф тупламнинг текис
чегараланг анлиги, яъни
sup {|/(х) 1: х£Х, /€Ф} =/И< со (6)
келиб чидади.
D тупламни цуйидагича аиицлаймиз:
П=={Х€С:|Х|^7И}.
Хар бир /£Ф функцияга p(f)£Dn czCn иуцтаии мос цуя-
миз, бу ерда
р(/) = К(х,).Лх2)....../(%„))•
Dn туплам Сп фазода чегараланган, демак, у тула чегара-
ланган. Яъни шундай Л»./2, , /т€Ф функциялар
топиладики, дар бир р(7) бирор p(fk) нуцтадан е дан кичик
масофада жойлашган. Дема, к, ихтиёрий /£Ф учун шундай
k топиладики (1^/г=С т),
X фазонинг дар бир х нуцтаси бирор Ц ичвда жойлаш-
ган, демак, шу Z учуй
|/(х) -/(xz) |< s ва |Л (х) (xt) | <е.
Булардан
№) - AW I < l/(*) 1 +1 I +
+ 1Л(*Э-Л(*)|<3е.
€8
Демак, ихтиёрий е учун чекли 3 s- тур мавжуд, яъни Ф
тула чегараланган.*
Мазкур параграфнн чекли улчамли нормаланган фазо-
ларни урганиш билан якунлаймиз.
Т аъриф. Бирор Ц, V2 нормаланган фазолар орасмда
и: Ц -> ]/2 чизикли изоморфизм мавжуд булсин. Агар
фазолардаги нормаларга нисбатан и ва и~1 узлуксиз булса,
у ^олда и нормаланган .фазоларнинг изоморфизма дейи-
лади, V7! ва V2 фазолар эса изо морф нормаланган фазо-
лар дейилади.
4-теорема. Ихтиёрий ^ациций (комплекс) п ул-
чамли нормаланган фазо Эвклид нормали Rn (Сп)
фазога изоморфдир.
Исбот. Теоремани дациций фазолар учун исботлаймиз
(комплекс ^одда исботи шунга ухшаш). V нормаланган
фазо п улчамли булиб, xt, х2, . . . , хп ундаги базнс
булсин. Бу фазонинг ихтиёрий х элементн ушбу
х = hxi 4- 12х2 4-... 4- 1пх„
куринишга эга; i = 1,2, ... , п. Бундай х эле-
ментга R" фазодаги
W(x) = x = (^, g2, .... у
элементни мос цуя.миз. Натижада хосил булган и : V Rn
мослик чизидли изоморфизм эканлиги равшан. Демак и
ва тг-1 узл уксиз эканлигини исботлаш керак.
Ихтиёрий х б V учуй
бу ерда ( S Ml2 I Хусусан, ихтиёрий х, у £ V
V z=i /
учуй
|рс--у|| — К (у) II»
яъни
||zz-4x) - II < ₽ ||х - у ||.
89
Демак, u~ltRn-*V узлуксиз акс эттириш. Энди Rn
фазодаги
s = l(E„ 12, = i
бирлик сферада ушбу
/Й =/(£„ fe, - • • , В„) = И “ IIU1 + + -. - +
+ ^пХп II
функциями курамиз. 3“ сферада (I — 1, 2, ... , п) сон-
ларнинг ^аммасн бир вацтда нолга тенг булмагани ва
{xj векторлар чизикли эркли булгани сабабли ихтиёрий
х = (li, , UG5 учун
/(11, U . - , и >0.
Ушбу
l/й) - /(У) I = 1Я&. fe..In) ~Лч | =
= |W-l|yll|<ll^-y|l<₽lpc-yll
тенгсизликдан f узлуксиз функция эканлиги куриниб
турибди. S компакт булганн учун 2.8-§, 5-теоремага
асосан бу функция 3 тупламда узининг минимумига эри-
шади. Равшанки, a — min/(x)>0. Демак, x^S учун
/(х) = ||х|| > а,
яънн ихтиёрий х £ Rn учун
/(X) = ||х|| = Й
ЯЪНИ
И“йн=и^41И1-
Бундан куриииб турибдики,
11«(х)-ц(у)||<^||х-~у|],
яъни и узлуксиздир.*
1- натижа. Хамма ^аци^ий (комплекс) п улчамли
нормаланган фазолар узаро изоморфдир.
90
2- иатижа. Ихтиёрий чекли улчамли нормаланган
фазо туладир.
И с б о т. Теоремада биз аслида ихтиёрий чекли улчам-
ли нормаланган фазонинг иормаси Rn (Сп) даги нормага
эквивалент эканлигини курсатдик. Бундан ва (Сп)
фазонинг тулалигидан ихтиёрий чекли улчамли фазонинг
тулалиги келиб чикади.*
3- натижа. Нормаланган фазонинг хар бир чекли
улчамли вектор цисм фазоси ёпнцдир.
Исбот. V нормаланган фазонинг чекли улчамли Ц
, хнсм фазосида яхинлашувчи xn->xQV кетма-кетлик
' берилган булсин. Ихтиёрий яхинлашувчи кетма-кетлик
фундаментал булгани сабабли {хп} кетма-кетлик хам
фазода фундаментал. 2- натижага асосаи тула, демак,
{xfl} кетма-кетлик бирон xGQ I/t нухтага яхинлашувчи
булади. Лимитнинг ягоналигидаи х= х0 Q Vit яъни V ёпик-*
4.2-§ Эвклид фазоларн
Энди биз нормаланган фазонинг хусусий холи булган
ва функционал анализда кенг хулланиладиган Эвклид
фазосйни урганамиз.
Хахиций Е вектор фазонинг {х, у} жуфт элементлари-
да анихланган, (х, у) куринишда белгиланувчи ва хуйи-
даги турт шартни (аксиомаларни) ханоатлантирувчи хахи-
ций функция скаляр купайтма дейилади:
О (*, у) = (у> *);
2) (%! 4- х2, у) = (хь у) + (х2, у);
3) (Ах, у) = X (х, у), X £ R\
4) (х, х) 0; (х, х) = 0 <=> х = 6.'
Скаляр купХитма киратилган вектор фазо Эвклид
фазоси дейилади. Скаляр купайтма ёрдами билан Эвклид
фазосида норма цуйидагича кнритилади:
||х|| = /(х, х),
бу ерда арифметик илдиз назарда тутилади. Норманииг
биринчи шарти скаляр купайтманинг туртинчи аксиомаси-
дан бевосита келиб чикади. Норманинг учиичи шарти
скаляр купайтманинг учинчи аксиомасинииг натижасидир.
Хакихатан,
|{Хх|| = /(Хх, Хх) яж /Ха(х, х) — |Х| ||х//.
91
Норманинг иккинчи шартини исботлаш учун биз блдин
куйидаги Коши — Буняковскин тенгсизлигини исботлаймиз:
!(*, у)К1И1 Ы- (О
Буни г учуа ихтиёрий X сот олаб, цуйидаги ифодаги
тузамиз:
^) = (ХхЧ-у, Хх + у) = Х2(х, %)4-2/(х, у) 4-(у, у) =
= ]|<А2 К2(Х, У) Х + Цу|р.
Ушбу <р (X) = ЦХх + у||2 > 0 муносабат а кура <р(Х) квадрат
учхаднинг дискриминанта (%, у)2 — ||х)|2-|1у|12 мусбат эмас,
яъни
(х, у)-- < ||х||’ ||у||\
Бу тенгсизликд-ан керак булган (1) тенгсизлик келиб
чикади. Шундай цнлиб,
||х + у|р = <Р (1) = IK + 2 (х, у) + ||у||2 <
< Цх||! + 2 ||х II ЦуII+||уIP = (||х||+||уII)’.
Яъни норманинг иккинчн аксиомаси
ll*+y!I^W+IM
исботланди.
Скаляр купайтма ёрдзми бнлан Эвклид фазо сида икки
элемент орасидаги бурчак тушунчасинн куйидагича кири-
тиш мумкнн:
COS| = . О ф 7Г.
т 1W| 1|у||, ’
Бу тенгликнинг унг томонидаги ифоданииг абсолют кий-
мати Коши — Буняковскнй тенгсизлигига биноан бирдан
катта эмас, яъни хаР кандай иолдан фарцли х ва у учун
ф аннкланган. Агар (х, у) — 0 булса, ф = Бу холда х
ва у ортогонал векторлар деб аталади.
Агар х элемент А тупламнинг хар бир элемеитига
ортогонал булса, х элемент А ту плата ортогонал
дейилади ва х I А билан белгиланади.
тупламнинг хар бир элемента А2 тупламнинг ихти-
ёрий элемеьтига ортогонал булса, А, ва А2 тупламлар ор-
тогонал дейилади ва Ах J_A2 билан белгиланади.
Эвклид фазосининг айрим хоссалариии келтирамиз.
92
1 - Arap xn-> x, yn-+y норма маъносида яцинлашса,
у холда (хл, Ул)-*(х, у) (скаляр купайтмаяинг узлуксиз-
лиги).
И с б от и. Коши — Буняковский тенгсизлигига асосан
|(Х, у)~(Х„, у„)| < |(Х, у— УЛ)|~Н(Х — хп, у„)|<
< И |1у—уЛ + Ik - М WI-
Яцинлашувчи {ул} кетма-кетликнинг иормаси чегарала’тан
булгани учун охиргн ифода нолга интилади.
2. Эвклид фазосининг ихтиёрий х, у элементлари учун
Ik 4 У||? + Ik - У|В = 2(||< 4- W)
тенглик уринлидир (параллелограмм форм ул а си).
Хакикатан,
1к+у|Г + 1к — y|i2=ck + y. х + у) + k-у» х~ у) =
= (х, х)4(х, у) + (у, Х)+(у, у) + к. х) —(х, у) —
-(У, х)+(У, У) = 2(1|<4-|1у112).
3. а) А'1У1 ва xj_y2 муносабатлардан x_L(tyt 4~ ру2)
муносабат келиб чикади (X,«i — хакикай сонлар).
б) x_LyB (п= 1,2, . . .) булиб, уп кетма-кетлик у
элементга якинлашса, у холда х J_y.
ДархаКиКат, х ± у„ булгани учун (х, у„) = 0, уп -+ у
дан I- хоссага асосан (х, ул) -»(х, у) демак, (х, у) = 0,
яъни xj_y. _____
в) x_LA булса, у холда х_[_£[А].
г) А тупламнинг хар бир элементига ортогонал булган
барча элементлар тупламини А1 билан белгилаймиз.
3 а) хоссага асосан А* туплам Е нинг вектор кием фазо-
сидир. 3 б) га асосан Ах ёпиедир. Демак, Ах туплам
нормаланган Е фазонинг кием фазосидир. Нолдан фаркли
булган векторларнинг {ха} системаси ушбу
(ха, х₽) = 0 (а=А=Р)
шартни каноатлантирса, бу система ортогонал система
дейилади.
Хар кандай ортогонал система чизикли эрклидир.
Хак и катан, агар -
4 я2ха!( 4- • • - 4" “ 0
93
булса, у холда хар кандай xa/(Z=l, и) учун ушбу
муносабат
(х«м ах х^ + a2x* 4-.. . 4- д„хП/г ) = at{xai xai) ва
(ха{ , xai ) 0 булгани учун at ~ 0 (i = 1, 2, ... , п)
тенглик келиб чнцади.
Тула ортогонал система (4.1 - §) ортогонал базис
дейилади. Агар шу система да хар бир элементнинг норма-
си бнрга тенг булса, бу система ортонормаланган базис
ёки кнсцача ортонорм-ал базис дейилади.
Мнсоллар. 1. п улчамли Rn фазода
Х = (Х1, х2, .. . , хп) ва у = (у„ у2, .. . , уп)
элементларнинг скаляр купайтмасини ушбу
п
(X, у) == 2 xfyt
1=1
куринишда олсак, jRn Эвклид фазосига айланади.
Бу фазода куйидаги элементлар ортонормал базис
Хосил дилади:
<?! = (!, 0'0,..., 0),
е2 = (0, L 0, , 0),
еп = (0, 0, 0 .... 0, 1).
2. Z2 фазонинг элементлари ушбу
V %2< СО
1—1
шартни каноатлантирувчи х ~ (х„ х2, ... t хп1...) кетма-
кетликлардир.
Бу фазода скаляр купайтма кукидашча аницланади:
(х,у) = 2'^уг.
1=1
Унг томондаги ифоданинг чеклилиги ушбу
2Х1У1<х2 4-у2
элементар тенгсизликдан келиб чицади.
Скаляр купайтманинг хоссалари осонликча текшири-
94
/ниш. Бу Эвклид фазосида куйидаги векторлар ортонормал
базис ташкил этади:
^ = (1, 0, 0 . .. ),
е2==(0, 1, 0 ... ),
= (0, о. 1, . - - )-
Рав шан к и, бу система ортонормал. Биз унинг тула экан-
лигншг исботлаймиз. x = (xlt х2, ... , хя, . . . )£/2 нхти-
ёрий элемент ва
= х2, . . . , xnt 0, 0, . . .)
булсин. Бу холда х(п> ушбу е1г е2, . . . , еп векторлар-
нииг чизицли комбинациясидир ва
||% — х(о>|| ->0, /г->оо.
Яъни {еп} системанннг чизндли ёпилмаси Z2 га тенгдир.
Юцоридаги мисолларда биз ортогонал базислар мав-
жудлигини курсатиб утднк. Куйидаги икки теорема Эв-
клид фазосида ортогонал базиснииг мавжудлугнга доирдир.
L-теорема. (ортогоиаллаштириш теоремаси). Е Эв-
клид фазосида
fu fi > • • • » fnt - • • (2)
чизицли эркли система берилган булсин. У %олда
цуйидаги шартларни каноатлантирувчи
Ф1 ЧР2> • • • » Фл» ♦ • • (3)
система мавжуд:
1) (3) система ортонормал,
2) дар бир <р„ элемент /2, ... , /я элементларнинг
чизикли комбинациясидир, яъии
Фп = «„1/1 + «„2/2 +. - > + «„„А;
3) хар бир fn элемент <рь <р2» - - • » Тл элементларнинг
чизикли комбинациясидир, яъни
fn — &„1Ф1 + Ьп-гЧ>2 + • • • 4- ^««Ф„ ва Ьпп /= 0.
(3) системанинг дар бир элемента 1) —3) шартлар билан
бир кийматли аникланади (±1 коэффициентини дисобга
олмаганда).
95
Исбот. <pt элементик ушбу <Pi = «и/i куринишда
оламиз. Бу куГииншДаги аи коэффициент цуйидаги муно-
сабатлардан топилади:
(<Рь <р1) = 1|?1||2 = ^1(А/1)=ь
Бундан
_ 1 -1 © _
а"~ьп утлГаГ’ /слГлГ
Шундай килиб, qpj элементнинг ишораси хнсобга олинма-
са, у бир цийматли аницланади.
Энди <Р|, ср2, • -. , фл-i элементлар топилади деб фараз
цилайлнк. У холда fn элементни ушбу
fn ~ ^Я1Ф1 + . • • + ^лл-I фл-1 + hn
куринишда оламиз; бу ерда k<Zn булганда
<Ра) = О-
Хакицатан. bnk козффиииентлар ва, демак, hn элемент
хам куйидаги шартлердан бир цийматли аникланади:
(^л» ?/г) — (fn ^„1 Ф1------Ьпп_\ фл-i, <Рд>) =»
= (/я, Фй) — МФь Фа) = 0.
Равшанки, (hr,, hn) > 0 (акс хол^а (2) система чизидли
боглик булар эди). Энди <рп элементни хуйидагича аник-
лаймиз:
= — — - -
V{hn,hn)
Натижада hn ва хам индукция ёрдтми билан /2»
• • • » fn орцали ифодаланади, яъни
Y/i — “'nl У1 г • • - i “'nnJn*
бу ерда ^^-7=1==.. Бундан ташкарн,
V (fn- hn)
(Фл. ?«)=!. (?«> Фа) = О (k<n)
ва
fп ^n^i- 4“ • "4“ ^nz/Фп» (Ьпп — Q)**
(2) системадан (3) снстемага утиш амали ортюгэнал-
лаштириш процесса, дейилади.
Таъриф. Е Эвклид фазоси метрик фазо сифатида
сепарабел булса, Е сепарабел Эвклад фазоси дейилади.
96
2-теорема. Хар цандай чексиз улчамли сепара-
)С i Евклид фазосида санодли ортонормал базис мае*
»л у<Л
Исбот.
Фо Фз
ашодлн, ^амма ерда зич туплам булсии, деб фараз дилай-
лнк. Бу системадан тула чизидли эркли {/„} снстемани
мнлаб оламиз. Бунинг учун, агар {фя} системадаги
элемент фнф2, элементларнитг чизидли комби-
п.тияси булса, уни бу системадан чидариэ ташлаймиз.
\пр бир k учун шундай о.терацияни бажарсак, долган
элемснтлар чизидли эркли булиб, система тулалигича до-
лцди. Энди шу тула чизидли эркли системага ортогонал-
лашгприш пронесении дулласак, ортолормзл базис досич
булади.^ _
Е Эвклид фазосида
?!. , ?«,--• (3)
пргонормал система булсин. Е фазонинг истиэрий f эле -
ментига дуйидаги сонли кетма-кетли сни мэс дуямиз:
Ъ = (/, <Рл), k = 1, 2, ...
Бу сонларнн f элементнинг {д^} системага нисбатан коор-
динаталарч ёкн Фурье коэффациентларл деймиз,
У ш оу /
(4)
даторин f элементнинг Фурье цат.орч деймиз.
Энди биз шу (4) даторнинг ядинлашиши дадидаги
п
млеалаии урганамиз. Бунинг учун Sn = йигинди-
нннг коэффнциентлари дандай булганда ||/—S„|| масофа
мшшмал булишини те'кширамиз. (3) система ортонормал
эканлигини дисобга олсак, ушбу
II/- s„||2 = (/- S„, f - S„) = (/ - 2 e#4>w /_
U «Л I = (/> /) — 2 (/, 2 ссЛ ] -j- (2 =
fc I / \ / \fe=l /=1 /
IIЛ11 - 2 2 + s = II/IP -1 4+2 (a* -
A=1 k=l fe=l A=1
7 2.J9
9?
тенгликлар келиб чикади. Равшанки, бу ифода узининг
минимал кийматига охирги йигинди нолга тенг булганда-
гнна эга булади. Демак, ушбу
& = 1, 2, ... , п.
тепглик бажарилса, куйидаги
II/- $И1Г = ||/||2- 2 4
Л=1
(5)
муносабат уринли булади.
Шуидай килиб, Sn йигиндилар орасида / элементга
иорма маъносида энг якини бу Фурье каторининг хусусий
йигиндисидир. ||/-М>о булгани учуй (5) формуладан
Куйлдаги тенгсизлик келиб чикади:
2 cKII/ll2- (6)
k~l
Бу ерда п ихтиёрий булгани ва j|/|| сон п га боглик
IX»
булмагаии учун 2 г? цатор якинлашувчн булади. Юко-
k—i
ридаги тенгсизликда лимитга утсак, куйидаги Бессель
теигсизлиги келиб чикади:
2 ^<М|2. (7)
fe=l
Т аъриф. Агар кар кандай f£E элемент учуй куйи-
даги Парсеваль тенглиги
2^ = ||/||2 (8)
1
бажарилса, (3) система ёпиц система дейилади.
Агар (3) система ёпик булса, у кол да (5) айниятдан
куриннб турибдики, кар кандай f элемент Фурье катори-
нинг хусусий йигиндилари f га якинлашади, яъни
П-*<*> fe=l
3- теорема. Сепарабел Эвклид фазосада цар цан~
дай тула. ортокормал система ёпицдир, ва аксинча,
^ар бир ёпиц ортонормал система туладир.
И с б о т. Сепарабел Е Эвклид фазосида {%} ёпик
система берилган булсин. Хар кандай f^E учун унииг
98
Фурье цагорининг хусусий йигиндилари f га яцинлашади,
Midili {?„} системанинг элементларининг чизикли комбина-
unoflpir Е да зичдир, демак, {<рл} — тула система.
А камча, {фл} тула система булсин, демак, ихтиёрий
п
1лгмгптга ушбу S ak<pk чизицли комбннациялар ёрдами-
k=i
дн шчалган даражада яцинлашиш мумкин. Энди ушбу
II/- S Сйфй|| С ||/ - 2 айфй||-
Й=1 а=1
н‘1пснзликдан S ck^k цаторнинг / га яцинлашиши, яъни
/?=1
(К) 11арсеваль тенглнги келиб чнцади.*
4.3- §. Гильберт фазолари =
Е Эвклид фазосини нормаланган фазо сифатида к а раса к
/' тула булиши ёки булмаслиги мумкин; Агар Е тула
булмаса, унинг тулдирувчиси булган Банах фазосини
л
/ билан белгилаймиз.
1 - т е о р е м а- Эвклид фазосининг тулдирувчиси
Эвклид фазосидир.
И с б о т Бу теореманинг исботи метрик фазоларнинг
л
гулдирувчиси ^акидаги теоремага ухшашдир. Е нинг х
на у элементларини оламиз. {хГ1} ва {у„} Е фазонинг
члсмеитларидан тузилган ва мос равишда х ва у га яцин-
лашувчи кегма-кетликлар булсин. (хл, уп) сонли кетма-
кеглнкни ку рамиз. Ушбу
| (-^н, Уп) Ут) I У п У tn) I ~Ь I (^/г Ут) I
1|Ул~Ут|Жкп“-*т|| |1Ут1|
к’ни’изликдан {(хп, у,,)} кетма-кетликнинг фундаментал
мчма-кетлик эканлиги курнниб турибди. Демак, lim (#rt,y„)
П-ч-оо
мавжуд. Бу лимит {хп}, {у,(} кетма-кетликларга эмас,
балки фацат х ва у элементларгагина боглицлиги бевоси-
л
та гскшириладй. Энди Е да скаляр купайтмани цуйидаги-
ча анпклаймиз:
(%, y) = lim(xfi, уя).
П-*оо
99
Б у ифоданинг скаляр купайтма эканлиги Е даги скаляр
купайтманинг 1) —4) шартларндан лимитга утиш натижа-
сида келнб чицади. Масалан, 1) шарт
(х, у) = lim (х,г, yn) lim (уй, хп) = (у, л).
п-*со
Шунга ухшаш
I |х |[ = lim ||xn|i = lim /(х„, %„) = ф (x, x).
/Z-МХ) Л1-*-сю
Л
Демак, Е Эвклид фазосидир.*
Т аъриф. Тула Эвклид фазоси Гильберт фазоси
дейилади.
Н Гильберт фазосида {<рп} ортонормал система берил-
ган булсин. Бессель тенгсиз/нгига асосан с1г с2,..., е„,...
сснлар бирор злементнинг Фурье козффиниентлари
ОО
булиши учун X катор яхинлашувчи булиши зарур,
Гильберт фазосида бу шарт шу билан бирга кифоядир.
Бошцача айтганда, хуйидаги теорема уриили.
2-теорема (Рисе — <1 и шер теоремаси). И Гил ьберт
фазосида ихтиёрий {<р,2} ортонормал система ва
©о
2 cl < оо шартни цаноатланпгирувчл {сл} кетма-
А=1 к
кетлик берилган булсин. У ^олда шундай /б Н эле-
мент мавжудки, ck сонлар f нинг Фурье кобффици-
ентларидир, яъни ck — (/, <р.) ва
оо
2 4 = (/./) = Ц/1Г-
1
п
И с бот. деб оламиз. Бу ^олда
п+Р
Il f л+л Zn||2 = lkn-f-1 <Рп4-1 Ч" • • - + Сл+рТя-ЬрЦ' — X с?.
* *=sn+l Я
Оо
2 цатор яхинлашувчи булгани учун {/jj фундаментал
&—1
кетма-кетликдир. Демак, Н тула булгани учуй {/„) бирор
f б Н элементга яхинлашувчи булади. Ушбу
(/, фг) = (/п> <Pl) + <h) (1)
тенгликда /z > i булса, (/n, g>f) = ct ва
। (/—Л» Tz)i < I1/—All WH° (л->©о).
100
Деми к, (!) тенгликнииг чап томоницаги ифэда п га
Пт лиц булмагани учун п -> оо да лимитга утсак, 4.2- §,
(i) гепгликка асосаи цуйицаги муносабат келиб чицади:
II ИГ — 2S = (/ — 2 Q4Pa,/— S ад* ) =
k -1 \ ft—I 4-9*^* k~1 '
oo
Я1.1Ш (/, /) = 2 c2.*
ft=l
Kyii лолларда цуйидаги теорема фонда лид ир-
3- теорема. Сепарабел Н Гильбер-п фазосида ор*
тонормал {<рл} система тула булиши учун Н да {фл}
еиетеманинг %ар бир элементига ортогонал булган
нилдан фарцли элгментнинг мавжуд эмаслаги зарур
ни к и фо я.
Исбот. {qpj тула ва, демак, 4.2-§ даги 3- теоремага
.imcan ёпиц система булсин деб фараз ци1айлик. Агар
/ хар бир <р„ га ортогонал булса, унинг хамма Фурье
козффилиентлари нолга тенгдир. Парсеваль тенглигига
асосан
(/, /) = S с2 == 0 ёки /= е.
&=i
Аксинча, агар {<рп} тула булмаса, шундай g^=Q топи-
ладики,
©о
(g, ^)>S e2k(ck = (g, фй)).
k—1
Рисе—Фишер теоремасига асосан
(Л <Рй) = ck ва (/, /) = S с\
ft=i
шартларни цаноатлантиэувчи f элемент топилади. Бу
цолда хар цаидай <рл учун
(/—g. <РЛ) = (/» <?«) — (g. Фл) с* - ck = 0.
яыиг /—g цар бир Фа га ортогонал-ва
||/|1 = (/./)=2 «-) = 1И1-
Л=1
Демак, f— g=&X*
101
Hl, H2 Эвклид фазолари булиб, х*--*у у£Н.2)
улар ораеидаги чизидли изоморфизм булсин (1.6-§). Бу
изоморфизм ушбу
(хь х2) = (у1г у2), xlt ylf у2£//2
хоссага хам эга булса, у холда унга Нх ва И2 Гильберт
фазолари ораеидаги изометрик изоморфизм дейилади.
4-теорема. Ихтиёрий икки чексиз улчамли се-
парабел Гилъберт фазоси узаро изометрик изо морф-
дир.
Исбот. Равшанки, теоремани исботлаш учуй хар
дандай чексиз улчамли сепарабел Гильберт фазосининг
4.2- § 2- мисолдаги /2 фазога изометрик нзоморфлигини
курсатиш кифоя. 4.2- § даги 2- теоремага асосан чексиз
улчамли сепарабел И Гильберт фазосида {<рл} тула орто-
нормал система мавжуд.
Н нннг хар бир f элементига шу элементнинг {tpj га
нисбатан Фурье коэффи аиентлари {сп г2, . . . , сп, . . .}
тупламини мос дуямиз. Су игра
k I
булгани учун (сь с2, - . , сп> • • •) кетма-кетлик /2 фа-
зо нннг элементидир.
Аксинча, /2 даги ихтиёрий (с1г с2, . . . , сп, . . .) эле-
ментга Рисе — Фишер теоремасига асосаи бирор /£ Н
элемент мос келади ва f нинг Фурье коэффициентлари
Ci, G» , сп, .. . га тенг. Бу мослик узаро бир дий-
матлидир. Агар
Л—с2.............сп, ...), —>(dlt d2t . . ., dn, . .)
мос куйилса, у холда, равшанки,
/+ 4G + du с2, + d2,.. . , cn 4- dM . . .)
ва
а/ч-->(aG, °C2, . - . , <*Сп, . . .)
Нихоят, Парсеваль тенглигидан хуйидаги тенглик келиб
чикади:
со
(/, £) = 2 cndn.
Л5=1
Хакик.атан,
(/. л = ^с„2. =
п—1 л=1
102
nil
U+g. f+g)=(f, f)+2(f, g)-r(g, g)=
- 2 (C„ +d„Y = 2 c’ + 2 2 cnd„ + 2 dl,
7t [ n=l Л=1 «1
ЯI,ПИ
(I. f) + 2 (f, g) + (g, g) = (f, /) 4- 2 2 c„d„ + (g, g)
ti=\
Bll
(/. g) = 2
«=1
4.4- §. Цисм фазолар. Ортогонал тулдирувчилар
Равшанки, кар кандай Гильберт фазоси нормаланган
фазодир. Гильберт фазосида кам кием фазо тушунчаси
нормаланган фазонинг цисм фазо тушунчаси каби кири-
тилади. Яъии Гильберт фазосида ёпик булган вектор
цисм фазо Гильберт фазосининг кием фазоси дейилади.
Мисоллар-
1. Н Гильберт фазосида h элементни оламиз. Шу эле-
ментга ортогонал булган элементлар Н нинг кием фазо-
сини ташкнл килади. Бундай элементлар туплами вектор
фазо косил килиши скаляр купайтманинг 2), 3) шартлари-
д«ш, ёпиклиги эса скаляр купайтманинг узлуксизлигидан
келиб чикади.
оо
2. /2 Гильберт фазосининг элемент лари 2 ОО
1=1
।партии каноатлантирувчи (лч, х2, ... , хп, . - •) кетма-
кетликлардан иборат. Бу фазода х, = 0 шартни каноат-
лаптирувчи кетма-кетликлар кием фазо ташкил килади.
1'ки, масалаи, ток координаталари нолга тенг булган эле-
ми пл ар туплами кам /2 нинг кием фазосидир.
Гильберт фазосининг ихтиёрий М кием фазоси кам
Гильберт фазосидир. Агар Н сепарабел булса, у колда
(2.5-§, 1-теоремага асосан) М кам сепарабел Гильберт
фа.-юсиднр. Хусусан, М да кам тула ортонормал система
мавжуд.
юз
Куйидаги теорема Гильберт фазолари назарнясида катта
й^амиятга эга.
1- теорема. туплам Н Гильберт фазосининг
кием фазоси булсин. Ихтиёрий х элемент
х = х' 4- х"(х' £ //15 х" G (1)
куринишда бир цийматли ёзилади. Бу ерда х' эле-
мент куйидаги хоссага эга:
Цх —х']| —f(x, x') = f(x, Я|) = inf{p(x, х^'.х^Н^. (2)
Исбот. Нх тупламда» х элементгача булган масофани
d билан белгилаймиз, яъни
d = Р(х, Н,}. (3)
Ихтиёрий п сон учун ушбу
||х-х„||2«/!4-Л (4)
тенгсизликни каноатлантирадиган хпб-Нл элементни ола-
миз. 4.2- § даги 2) хсссага биноан (параллелограмм фор-
му ласи):
11*Л - * J3 + II (X - Х„) + (х - Xт) II2 =>
= 2[ ||х — AJ2 + |[х,- xj21. (5)
Сунгра "" 2 *т элемент га тегишЛи булгани учун
||(х - х„) 4 (х - х J||2 = 4 ||х - -ЛЦХ™ ||2 >
Бу муносабатдан, (4) ва (5) муносабатларни хисобга олсак,
ушбу
||х„-^|Г<2[^ + ^ + ^ + ±]-4^ = |+1
тенгсизлик уринли эканлиги куринади, яъни {л'л} — фуи- •
даментал кетма-кетлик.
Н тула булгани учун х' = lim хп элемент мавжуд.
П-»ор
'А ёгиц, .демак, х' £Нг. (4) те'нгсизликда лимитга утсак,
||х—х'||2 < cP, ЯЪНИ ||х —
келиб гицади. Демак, ||х — х'|| = d.
104
liuiit у элемент Н{ га тегишли булсии. Ихтиёрий X
• ««и viyji х' | Xy£//t демак, -
||х — х' — Ху[|2 = ||% — (xf 4- Ху) |]2 >
Mbiiif, агар х"'~ х— х' белгилаш киритсак,
— Цх", у)~Х(у, х-') 4- [Х|2((у, у)>0.
Хусу ели л = (х", у) /(у, у) булганда
|(х\ У)Р к*", У)Р , |(*", у)]2 п
(У, У) (у. У) (У. У) ’
XI.IIU [(%", у)|2<0. Демак, (х", у) — 0 ва х" J- у, яъни
д" £///.. Шу билан (1) исботланади. Нихоят, (1) кури-
ц|[|||да ифодалаш ягоналигини исботлаймиз. Агар
булса, у холда х' — х[ — х" — х". Яъни /Д нинг эле-
мент булмиш х' — х\ элемент Нх иинг х\~х" эле-
мента га тенг, демак, у уз-узига ортогонал, яънн х'—
— х' == х" — х" = 0.*
L 1 *
Исботланган 1- теоремадаги х' ва х" элементлар х
йлементнииг мос равишда Ht ва фазоларга проекция-
лари дейилади. х элементга х' элементни мос цуговчи
Д/л : акс эттириш га проектор дейилади (яъни
Pih(x) = Xj), Равшанки, — чизицли оператор.
1-натижа. Ихтиёрий М цисм фазонинг ортогоиал
тулдирувчисининг ортогонал тулдирувчиси М нинг узига
тенг, яъни
= м.
Шундай цилиб, М ва A1L узаро ортогонал тулдирув-
чи цисм фазолардир.
Агар {фп} кетма-кетлик М даги тула ортогонал сис-
тема, {ip'} эса даги тула ортогонал система булса,
у цолда бу тупламларнинг йигиндиси Н да тула ортого-
пал система цосил цилади. Демак, Н даги ихтиёрий орто-
гонал система Н да тула булган ортогоиал системагача
кснгайтирилиши мумкин.
Агар ихтиёрий f£H элемент /= Л, ф-/z2(/^
Ла £ ЛД) куринишда ёзилиши мумкин булса, у холда Н
105
узаро ортогонал булган М ва М1- кием фазолариинг
тугри йигиндиси дейилнб,
(6)
куринишда ёзилади.
Тугри йигинди тушунчаси ихтиёрий чекли ёки сони
Санодлн кием фазолар учун хам киритилиши мумкин.
Таъриф. Н Гильберт фазосинннг
Aflt /И2, . .. , М„, . ..
Кием фазоларн берилган булиб, улар цуйидагн шартларии
цаноатлантирсин:
1) Хар кандай /И; ва Mj(i^j) фазолар узаро орто-
гонал, яъни Mi нинг ихтиёрий элемента М; нииг ихти-
ёрий элементига ортогонал;
2) И нинг ихтиёрий f элементы ушбу
/=Л1 + А2 + -.. + Л„+..-, Л„€/И„ (7)
куринишда ёйилади (агар М„ ларнинг сони чексиз булса,
©О „
S ИМ2 <. оо шарт талаб цнлинади). Бу холда Н узинннг
Я=1
Mlt М2, . .. , Мп, . .. кием фазоларининг тугри йигин-
диси дейилади ва Н = (Ь Mt куринишда ёзиладн.
ы
f элементнннг (7) куринишда ёйилнши ягонадир.
Дархацнкат, агар
/ = + ^2 Н" • • • + - - •
/ нинг бошца бир ёйилиши булса, у холда
О — f f—(ht -}- (^2 — ^2) 4- ... 4- (hn — h'n) Ь • • •
Ихтиёрий п учун hn — h’n элемент Мп га тегншли.
Шунинг учуй юцоридаги тенгликни hn — h'n га скаляр
купайтирсак, ушбу
о = (лл-л;,
тенглик хосил булади. бундан Ал — Л' == 0, яъни ихти-
ёрий и учун
— ha.
106
Тугри йигиндинИаг хоссаларидан
mi2=i им2
Л-1
тенглик хам осонликча келиб чидади.
Шунга ухшаш, сони чекли ёки сано^ли Гильберт
фазолариинг тугри йигиндиси тушуичасини киритиш мум-
кин.
Н2 Гильберт фазолари булсин. Уларнинг тугри
Гни индиси булган Н Гильберт фазоси куйидагича кири-
тилади.
Н нинг элементлари (йн й2) куринишдаги жуфтлик-
лардан иборат да скаляр купайтма
цуйитагича киритилади:
((Аь л2), (й;, л;) + (й2, zq.
Бундай аницланган Н фазо Гильберт фазосини хосил
цилиши бевосита тек шири лади. Агар
Н\ = {(Ztlf 0): h, С Н.}, Н2 = {(0, й2): h2 € Н2}
куринишда олинса, у холда Н\ ва Н’2 узаро ортогонал
булгаи Н иинг кием фазолари булиб, Н'2 = Н2
изометрик изоморфизмлар уринлидир. Равшанки,
• Шунга ухшаш, сони чекли ёки сони саноцли
м, H,t , Hnt ...
Гильберт фазоларининг тугри йигиздиси аиицланади.
Н=:^Нп'
Н нинг элементлари деб,
2IWI3< «. л„€Н„
Л=1
шартни каноатлантирувчи (ft,, h2t .. . , hn, ...) кетма-
кетликларга айтилади. Сунгра
й = (/^i, h2i • • , hnt .. .hn б п
107
ва
E~(gi, fib , gn, •-.)» gn£Hn
элементларнинг скаляр купайтмаси ушбу
Uh g) = 2 (hnt gn)
«=1
куринишда киритилади.
4. 5- §. Комплекс Эвклид фазолари
Хадндий Эвклид фазолари билан бир даторда комплекс
Эвклид фазоларини дам (яъни скаляр купайтмаси ком-
плекс сон булган вектор фазоларни) дараш мумкин.
Та ъриф. Е комплекс вектор фазода дуйидаги турт
шартни даноатлантирувчи комплекс дийматли (х, у) функ-
ция киритилган булса, Е комплекс Эвклид фазоси
дейилади:
1) (*> У) = (У> х), бу ерда X сои X га душма комплекс
сон;
2) (Хх, у) = Х(х, у);
3) (a-j + x^ y) = (xlt у)4(х,, у);
4) (х, х) > 0 ва х=/= 6 булса, (х, х) >> 0.
Юдоридаги 1) ва 2) хосса лардан
(х, Ху) = Х(х, у)
келиб чидади. Хадндатан
(х, Ху) = (Ху, х) = Х(у, х) »Т(х, у).
Мисоллар.
1. п улчамли Сп комплекс фазода
х = (хи х2, . .. , х„) ва у = (уъ у2, . . . , ул)
элементларнинг скаляр купайтмасинн
у) = 2
куринишда киритсак, Сп Эвклид фазоси булади.
2. /2 комплекс фазо. Унинг элементлари ушбу
2 |хп|<4-;оо
Л=1
J08
шартии даиоатлантирувчи комплекс сонлар кетма-кетлик-
ларпдан иборат.
X » (xlt х2.....хп, . ..) ва у = (У1, у2, . . . , у„, ...)
элементларнинг скаляр купайтмаси ушбу
(*, у) = 2 хпу^
п—1
ифода билан анидланади.
3. La [a, &I комплекс фазо [а, Ь\ оралидда квадрати
билан жамланувчи комплекс функциялар фазоси. Бу
фазода скаляр купайтма дуйидагича олинади:
ь
(/. £)=J
а
4. L2{D) комплекс фазо. D = [a, b\ X [а, Ь\ тупламда
квадрати билан жамланувчи нкки дадидий узгарувчили
комплекс дийматли функциялар фазосини L2(D) билан
белгилаймиз, яъии
ь ь
(f (t, sKL..(D)) <=> (Hi (/<* 01’ dtds < “>)•
a a
Бу фазода скаляр купайтма 3- мисолдагидек киритилади:
ь ь
(f> g) = J J /(*» s) g s) dtds'
a a
L2 [at ва L2(D) фазоларда тула ортонормал снстема-
ларни урганадиган булсак, улар орасида дуйидаги богЛа-
ииш бор.
Агар {ф„(0} система £2|а фазода тула ортонормал
булса, у долда {<рл,т $)} = {фй (О Ф™ (s)} система L2(D)
фазода тула ва ортонормал булади.
Дардадндат,
ь ь
.[ J «) %. ! (*. dtds =
а а
ь ь
= И МО К СО Фа (О Ф/ (s) dtds =
а а
109
b b
= J фо(0Фй(0^4 ФД^Ф/ОМ^
a a
fl, arap k = n, m — l булса,
~ [ 0, акс холда,
яъни {<рп,п (t, 5)} — ортонормал система.
Бирор f(i, s) £ L.^(D) функция хамма {<р„, т (t, s)}
функиняларга ортогонал булса, у холда ихтиёрий т, п
учун
ь ъ
J f /(Л ^) фл (/) Фт (9 dtds*=0,
и &
яъни
ъ ь
.( Фт(5) ( j /(*» -9 Ф«<t)dt )ds = 0.
а а
Демак,
ь
Ш = f / (t. !>Y4>Ai)tHtLAa, *]
а
функция хамма {ф^ (s)} функгияларга ортогонал. Бу
система, тула булгани сабабли /G(s) = 0, яъин деярлн барча
Ь\ учун
ь
J /(«,so)«ij<W = O.
а
Яна {ФДО} системанинг тула зканлнгидан фондалансак,
деярхлн барча scG [а, Ь] учун f(t, s0) функция t га иис-
батан деярли хамма ерда айнан нолга тенг эканлиги келнб
чицади. Демак, f(t, s) *= 0. Бу^са s)} систет-
нннг тулалнгини билдиради.
Комплекс Эвклид фазссида элементнинг нормаси хади-
ций Эвклид фазосидаги кабн киритилади:
И = /(х, х).
Элементларвинг ортогоналлиги тушунчаси хам одатдаги-
дек киритилади, яъни (х, у) х= 0 булса, х ва у узаро
ортогонал элементлар дейилади.
110
1' комплекс Эвклид фазосида {<prt} кетма-кетлик орто-
нормал система булсин, яъни
О (<Ь <Р/) = 0, i
2) W = L z = 2..........
Агар f£E ихтиёрий элемент булса, у холда
~~ kfi ЧРп)
лар f элементнинг {ср„} системага иисбатаи Фурье коэф-
фициентлари дейилади ва
Cntyn
п—1
ифода f элементнинг Фурье цатори дейилади. Хакикий
фазоларга ухшаш, комплекс фазолар учун хам Бессель
тенгсизлиги уринлидир, яънн
2 №<(/. /)•
П=1
'Гула комплекс Эвклид фазоси комплекс Гильберт фа-
лоси дейилади.
Куйидаги теорема 4.3- § даги 4- теоремага ухшаш ис-
ботланади.
1- теорема. Ихтиёрий икки чексиз улчамли се-
парабел комплекс Гильберт фазоси изометрик изо-
морфдир.
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. Норманинг куйидаги хоссаларини исботланг:
О |1*+у|1>И-11у11;
2) ||х —хп]|->0 булса (яъни хп кетма-кетлик х эле-
меитга норма буйича якинлашса),
IWI-НИ1
муносабатни исботланг.
2. V Банах фазосида М кием фазо берилган булсин
(иънн М ёпнк вектор кием фазо). Vo = V]M фактор фазо-
да нормаии куйидагича аниклаймнз:
||£|! — Inf |Ы|. I — эквивалентлик синфн.
111
Бу формула билан аницлаиган функционалнинг норма
эканлнгини ва Vo фазо шу нормага нисбатан тула экан-
лигини исботланг.
3. Хакицнй функцняларнинг [0> 1] синфн деб,
[О, 1] сегментда квадрата билан жамланувчи функциялар
тупламига айтнладн.
а) Ушбу Буняковский — Шварц тенгсизлигиии исбот-
ланг:
1 1 1 ~
IJ /(*)£(*) J |/(х)|Мх][ J |^(х)/Мх]};
о 0 0
б) 7 ДО, 1] фазода сдатдаги алгебраик амалларнн ва
ушбу
1
(/. £> = J f(x) g (x) dx
о
скаляр купайтманн киритсак, бу фазо [Эвклид фазосига
айланншинн исботланг;
в) АДО, 1] Эвклид фазосида ортогонал [булган икки
элементга мисол келтнрннг;
г) Ушбу /(х) = х'х функция а соннинг цандай циймат-
ларида А2[0, 1] фазога тегишли булади?
4. Нормаланган V ^ацнций фазода ушбу тенглик ба-
экарилснн:
||х + yll2 + II* - у|12 = 2 [ 1ИР + 1МГ1-
Куйидагича аннцланган функциянн скаляр купайтма экаи-
лигини исботланг:
(х, у) = 4 (||х + у||2;- IK—;у|Г).
5. Сепарабел булмаган Гильберт фазосига мнсол кел-
тиринг.
6. Сепарабел булмаган Гильберт фазосида хам тула
ортонормал система мавжудлигини исботланг.
7. Н Гнльберт фазосида {<ра} тула ортонормал система
булсин. Ихтиёрий f^H элемент учун ушбу
2(/, <?.) , II/IP = 2 (А ч>« У
а л
112
тенгликлар уринли эканлигини исботланг (бу ердаги йигин-
днларда нолдан фаркли элементларнинг сони чекли ёки
саноцлидир).
8. Z2 Гильберт фазосида цуйидаги кием фазони ола-
миз:
ЛТА = {х = (аь а2> ... , ап , . . .): = а2 =. . . = а£.
кием фазони топинг.
9. £2 [0, 1] Гильберт фазосида узгармас функциялар-
дан косил булган кием фазонинг ортогонал тулдирувчи-
сини топинг.
10. Гильберт фазосида узлуксиз чизикли f функцио-
нални олнб, куйидагн тупламни тузамиз:
Vo = {xGV:/(x) = O}.
a) Уо Гильберт фазоси маъносида кием фазо эканли-
гинн исботланг;
б) кием фазонинг улчамнни топинг.
1 1 - Z-2 К комплекс фазода скаляр купайтманн
куйидагнча аннклаймиз:
ь
(/, ?)=.( /(07Р)л
а
а) скаляр кугайтманинг хоссаларини исботланг.
б) С2 [а, Zb] Эвклид фазосн L2[a, 6] фазонииг ёпик
булмаган кием фазоси эканлигннн исботланг. -
12. Сепарабел Гильберт фазоси бир улчамли кием
фазоларинннг тугри йигиндиси булишини курсатинг.
13. Сепарабел Гильберт фазосида саноклн, лекин тула
булмаган ортогонал система кУРинг.
14. Сепарабел Гильберт фазосида 7И хам, TH-1 хам
чекенз улчамли булган кием фазо мавжудлигини исбот-
ланг.
15. С [а, 6] фазода унинг нормасинн хосил килувчи
скаляр купайтма мавжуд эмаслигини исботланг.
8-239
V боб
ТОПОЛОГИК ВЕКТОР ФАЗОЛАР
5.1-§. Топологик вектор фазоиииг таърифи ва баъзи
хоссалари
Е комплекс ёки дадидий сонлар майдони К устидаги
вектор фазо ва т ундагн топология булсин.
Таъриф. (Е, -с) жуфтлик топологик вектор фазо
дейилади, агар х-\~у ва l-х алгебраик амаллар х, у £ £, X С К
узгарувчилар буйича биргаликда т топологияга нисбатан
узлуксиз булса, яъни ихтиёрий х, у £Е ва X £ К учуй:
I) х+у иуд танин г дар бир V (х-Ьу) атрофи учун х ва
у иннг мос равишда шундай U (х) Bat/ (у) атрофлари мав-
жудки, улар учун U (х) Т t/ (y)czzf/ (х-фу) муносабат
уринли;
2) 1х нудтаиинг ихтиёрий U (Хх) атрофи учун х нииг
шундай U (х) атрофи ва шундай г>() сон мавжудки, |В—
—Х|<г шартни даноатлантирувчн барча ₽ соилар учун
$U(x)<^U (Хх) муносабат уринли.
Топологик вектор фазонинг топологняси вектор топо-
логия дейилади. (Е, т) топологик вектор фазо булсин. Х&Р
бир а£ Е ва X £ К, Х^О учуй fa{x) = х 4* я ва g\ (х)=Хх
куринишда анидланган fazE-*-E ва g\ zE^-E акс этти-
риш л арни оламиз.
1-теорема. fa ва g\ акс эттиришлар (Е, х) нинг
узини узига гомеоморф акс эттиради.
Исбот. Вектор фазонинг таърифига кура, fa ва Д
акс эттиришлар узаро бнр дийматлидир. Сунгра fa учун
тескари акс эттириш f_a,
учун эса тескари
акс
эттириш булади.
Топологик вектор фазода алгебраик амалларнинг уз-
лу ксиз л игидан fa, gx , f-at gj. акс эттиришларнинг уз-
х
луксизлигн келиб чидади. Демак, fa дам, g\ дам гомео-
морфнзмдир..»
Бу нборадан келнб чицаднки, агар Е = {(/} система
(Е, х) топологик вектор фазодаги иолиинг атрофлари сис-
темасинииг базиси булса, у долда 2a=={o+U: U ££} сис-
тема (Et х) фазодаги а иудтанинг атрофлари системаси учуй
базис булади. Демак, топологик вектор фазоиинг топо-
114
логняси 3.2-§ дагн 2- теоремага асосан нолнннг атрофлари
еистемасннннг базнсн билан тула аиицлаиар экан.
2-теорема. Агар (Е, х) топологик вектор фазо-
Оаги E={t/} нолнннг атрофлари системаси учун ба-
зис булса, у холда
1) хар бир U ютувчи туплам;
2) хаР бир t/£S учун шундай мавжудки, I/-P
+ l/czt/;
3) нолнинг шундай мувозанатлашган № атрофи
мавжудки, W cz U.
Исбот. 1) Е ва f (X) = X а, X булсин. У холда
Е акс эттврнш X = 0 нудтада узлуксиз булганн
туфайли ихтиёрий U учуй ОС К нннг шундай {Х:|Х|с4
атрофи мавжудки, унинг f акс эттиришдаги тгсвирн U
нинг цвсми булади, яъни агар |Х|^е булса, )a^U булади,
Бундан, агар тенгсизлнк бажарилса, а С pt/ эканли-
ги келиб чнцади;
2) У)=-?с + У; (gЕ\Е~>Е) акс эттириш (х, у)=
= (6, 6) нуцтада узлуксиз булгани туфайли ихтиёрий U С
С £ учуй нолнннг шундай Ц ва К атрофлари мавжудки,
агар х С ва у С 1/2 булса, у холда х -ф у С U.
3.2-§, 2-теоремага асосан нолнинг шундай I/ С 2 ат~
рофи мавжудки, I/cz Ц П 1/2 булади, бундан эса 1/-ф l/czt/
экаилигн келиб чицади;
3) Ушбу h (X, x)=lx (h: КХЕ-±Е) акс эттнрнш (0, 6)
нуцтада узлуксиз булганн учун нолнинг шундай I/ £ Е ат-
рофн ва е >• 0 сои мавжудки, |Х| С £ ва х С I/ шартларни да-
ноатлантнрувчн X ва х учун )х £U, яънн Xl/czl/. Сунгра
V/снфатида ушбу №= |JZ V тупламни оламиз. Равшанки,
W нолнинг атрофи ва IFczV.
Ихтиёрий х С W учун шундай X (|л|< е) топиладики, х£ X V.
Бундан ихтиёрий t С Е учун t х & X V. Энди, агар |t| < 1 бул-
са, у холда |Х е, ва демак, /х Ср- К бу ерда |р| е. Шун-
дай килнб, tx С U X [/= V/, яъни W туплам нолнинг WdE
Л>е
шартнн каноатлаьтирувчи мувозанатлашган атрофи экан.*
Натижа. }^ар 6ip топологик вектор фазода нолнннг
атрофлари системасининг мувозанатлашган атрофлардан ибо-
рат базиси мавжуддир.
Таъриф. Агар топологик вектор фазода нолнинг ат-
рофлари снстемасинннг цаварид атрофлардан нборат базиси
мавжуд булса, буидай топологии вектор фазо локал ца-
вариц фазо дейилади.
115
3- т е о р е м а. Локал цавариц фазода нолнинг ат-
рофлари системасининг цуйидаги хоссаларга эга бул-
ган 2 базиса, мавжуддир-.
1) ихтиёрий U G 2 ва !/£ 2 учун шундай № G 2 мав-
жудки, W с U П V ;
2) агар £7 G 2 булса, барча Х^О учун Х£7 £ 2;
3) %ар бир £7 £ 2 абсолют цавариц ва ютувчи туп-
ламдир.
Аксинча, агар Е вектор фазода унинг цисм туп-
ламларидан иборат ва 1)-3) шартларни цаноат-
лантирувчи буш булмаган 2 система берилган бул-
са, у холда Е да шундай топология мавжудки, бу
топологияда Е локал цавариц фазо булиб, 2 эса ун-
даги нолнинг атрофлари системаси учун базисни
ташкил этади
Исбот. Е локал каварик фазо булгани учун у еда
нолнинг каварик атрофларидал иборат 2 базис мавжуд.
Фараз кил аил ик, V £ 2 ана шундай атрофлардац бири бул-
снн. Ушбу W = 0 туплам нолнннг абсолют каварик
1Н=1
атрофи эканлигини исботлаймиз.
2-теорема дан кар бир £7 £2 учун нолнииг мувозанат-
лашган I/cz U атрофи мавжудлиги келиб чикади. Бундан
pl/cp£7 муносабат барча |р| = 1 учуй уринли. Аммо V
мувозанатлашган атроф булгани учун pl/= V. Демак,
Ис Пр,£7= Т^вадемак, 117 нолнинг атрофи экан. Хар бир
|рГ = 1
р U каварик туплам эканлигидан W нинг кам кавариклиги
келиб чикади. Эндн W нинг мувозанатлашган туплам экан-
лигиии курсатамиз, яъии барча X (|Х|<1) учун XWcJ7 му-
носабатни исботлаймиз. Ихтиёрий х£ V элемент ва X (|Х|) 1)
сонни оламиз. МаълуМки, бундай комплекс соини X ==г/ (О <
г^1, |£|=1) куринишда ёзиш мумкин. У колда W ка-
варик булгани учуй rx=rx-f (1—г)0^^=П р£7, яъни их-
тиёрий р (|р|= 1) сон учун rx £р U. Энди И-1р|= 1 муноса-
батии кисобга олсак, Гх £ А 'р £7, бундан Хх == Ьг-х £ р £7.
Олинган р(|р] -- 1) ихтиёрий булгани сабабли Хх £ П р U~ W.
Шундай килиб, W туплам £7 нинг ичида жойлашган нол-
нинг бир вактда кам каварик, кам мувозанатлашган, яъни
абсолют каварик атрофи экан. Буидаи локал каварнк фа-
золарда иолиинг абсолют каварик атрофларидан иборат 2
базиси мавжуд эканлиги келиб чикади. Ушбу 2'={Х V: X
5^=0, V Е 2} системани олсак, у кам нолнииг атрофлари сис-
темаси учун абсолют каварик атрофлардан иборат ва 2)
116
шартни каноатлантирувчн базнс булади. 2' базис булган (
сабабли 1) шарт уринлиднр. 2' нинг тузилишидан унинг
3) шартни хам ^аноатлантирнши келиб чикади.
Аксинча, энди система 1)—3) шартларни каноатлан-
тирсии деб фараз килайлик.
Ушбу S={l/cz/:': бирор t/£2 учун f/cz V} системани
оламиз. У холда 2Й =={^4- V: I/£Е} система а£Е нуктанинг
атрофлари системасининг 1) — 4) хоссаларини каноатлан-
тиради (3.2-§). Хакикатан хам 1) —3) шартларнинг бажа-
рилиши равшан. 4) шартнинг бажарилншини текширамиз.
Агар « ф- булса, у холда шундай U £ 2 мавжудки,
U cz V уринли, бундан эса барча b б а 4- Д U учун а-1-1/£ 2fc
эканлиги келнб чикади, чунки b 4- у ё/cza + Ucz.a;-f- К
Демак, 4) хосса исботланди. Шундай килиб, Е фазода
а £Е нуктанинг 2Й атрофлари системаси билан аникланган
т топология мавжуддир. Нихоят, шу топологнянинг век-
тор топология эканлигини курсатамиз. Ихтиёрий
U£ 2, х, у£Е учун |х -I- ~ б/) + (у -|- 1 t/Jcx 4- у 4- U
муносабат уринли эканлнгндан кушиш амалинииг узлук-
сизлиги келнб чикади.
Эндн Тх купайтманннг узлуксизлигнни курсатамиз.
Ихтиёрий а£Е, сф/f ва £7£2 ни оламиз. U ютувчи туплам
булгани учуй шундай р > О мавжудки, а £ р (J булади. Сунг
О <2'< < — шартни каноатлантирувчн у ва 0< 2 8 < Д -
Р* PI i ч
шартнн каноатлантирувчн 8 сонларни танлаймиз. Ушбу
|Х — a|< V) ва х£ rz-J-8t/ шартларни каноатлантирувчн X
сон ва х G Е учун
Ах — а<2 = а (х — а) 4- (л — a) a G 8 (|а[ 4- 7.) V 4" ri и U cz U,
яъни скалярга купайтнрнш амали хам узлуксиздир.*
4-теорема. Топологик вектор фазода цаварик
тупламнинг ёпилмаси цавариц, мувозанатлашган
тупламнинг ёпилмаси эса мувозанатлашган булади.
Исбот. А каварик туплам булсин. Нолнинг хар бир
U атрофи учун 2-теоремага асосан мувозанатлашган шун-
Дай V атрофи мавжудки; V 4- V^U. Бирор a, b£A нук-
тадарни олсак, у холда х £ А П (а 4- V) ва у £ А П {Ь 4- V)
пуцталар мавжуд. А туплам каварик булгани туфайли их
тиёрий г(0<г<1) сои учун
гх 4- (1 — г) у G [г А 4- (1 — г) А ] Я [г а 4- (1 — г) b 4- rV4-
Л7
Ч-(1-г)И^А1га+а-г)^+^+ V]<=A[](ra 4-(I-
— r)b+ U).
Демак, ихтиёрий U учун
(^•л+(1_—г)6-|-С/)Г|Л=^0, ф
яъни га 4- (1 — г) Ь £ А. Мувозанатлашган туплам учуй
хам исбот шунга ухшаш булади.*
1-натижа. Топологик вектор фэзода абсолют хава~
рик тупламнинг ёпилмаси хам абсолют каварицдир.
2-натижа. Топологик вектор фазода нолнннг атроф-
лари системасинииг ёпик мувозанатлашган атрофлардан
иборат базиси мавжуддир; локал цаварик фазоларда эса
нолнинг атрофлари системасинииг спиц абсолют навари к
атрофлардан иборат базиси мавжуддир.
Исбот. S нолнинг мувозанатлашган атрофларидан
ташкил топган базис булсин. Е=(£/: U б 2} системани оламиз.
4-теоремадан Е нолнинг ёпнк, мувозанатлашган атрофлари
системаси эканлиги келнб чидади. Энди Е нолнинг барча
атрофлари системаси учун базис ташкил этишини исбот-
лаймиз. U нолнинг ихтиёрий атрофи булсин. У х°лДа шун-
дай мавжудки, И4- VczU булади- Энди, агар х£ V
булса, унда (х 4- V) П V=£ 0 муносабат уринли ва шунннг
учун х б V—V = V 4- Vczf/, яъии Исд U. Демак, Е ноль
атрофларининг базисидир. Фазо локал цаварик булганн
холда S сифатида 3-теоремадаги базисни олсак, 4-теоре-
манинг 1-натижасига кура хаР бир £/f S учун U абсолют
хаварихдир; колган хоссалар эса осонликча курсатилади.*
5-теорем а. 2 система Е топологик вектор фа-
зодаги нолнинг атрофлари системасинииг базиси
булсин. Е нинг Хаусдорф фазоси булиши учун [}U^=
={6} шарт бажарилиши зарур ва кифоядир.
Исбот. Агар Е Хаусдорф фазоси ва х^б булса,
шундай U б мавжудки, х б U булади, яъни П U = {6} шарт
бажарпладк Аксинча, Я£7 ={6} булсин. Ихтиёрий х=£у
учун х — у-/-=6, демак, шундай V (= X мавжудки, х — у £ U
муносабат цаиоатлантирнлади. Сунг IZ+UczL7 шартии ца-
ноатлантирувчн мувозанатлашган V б X атрофии оламиз.
У Холда (хф- V) f| (у + V) =» 0. Дархацицат, агар z б (х-р
4- У)П(У+Ю элемент мавжуд булса эди, у холда х—у =
— (г*—у)—(z—х)£ V—1/ = И4- Ucz£/ булар эди. Бу эса
х—у С U муносабатга зид. Шундай цилиб, Е Хаусдорф
фазосидир.*
118
5.2- §» Яримнормалар
Е вектор фазодаги яримнорма деб, Е да аникланган ва
куйидаги икки шартни каноатлантирувчи р'.Е^Е
Кий функцияга айтиладн:
(1 ) р (а х)=|а| р (х) барча а £ /Г ва х G Е учун;
(2 ) р (х -ь у) р (х) + р (у) барча х, у £ Е учун
(ярим аддитивлик).
Агар ихтиёрий х-£б учун р(х)>-0 булса, равшанкн,
р — норма дир.
1-теорема, р функция Е вектор фазодаги ярим-
норма булсин. У ^олда
О Р (б) = 0;
2) |р(х) — р(у)| ^р(х — у) барча х, у £Е учун;
3) р(х)^>6 барча х£ Е учун;
4) {х‘.р (х) = 0} туплам Е нинг вектор цисм фа-
зоси булади;
5) В = {х: р (х) < 1} туплам абсолют цаеариц ва
ютувчидир.
Исбот. 1) хосса р (а х) = |а] р (х) шартдан а — 0 бул-
ганда келиб чикади;
2) р нинг яримнорма эканлигидан р (х) = р (х — у 4- у) <
р (х—у) + р (у), яъни р (х)—р (у) р(х — у). Шунга ух-
шаш, р (у — х) р(у) — р (х) тенгсизлик хам уринлн. р(х—
- у) = р (у — х) булганн учун юкоридагилардан ]р (х) —
— Р (У)1 < Р (х — v) тенгсизлик келиб чикадн;
3) агар 2) хоссЗда у ~ 9 деб олсак, р (х) | р (х) | О
тенгсизлик келиб чикади, яънн у х £ Е учун р(^)^>0;
4) энди р (х) — р (у) =0 ва а, р £ К булса,
0 < р (а X -|- ру) < |а| р (х) + |Р| р (у) — 0
муносабатдан р (а х + Ру) = 0 тенглик келиб чицадгг, яъни
{х: р (х) = 0} туплам Е нинг вектор кием фазоси экан;
5) ушбу В={х: р(х) < 1} тупламни олайлик. Равшан-
кн, В мувозанатлашган. Агар х, у£В ва булса,
Р 4- (1 — 0 У) tp (х) 4- (1 — /) р (у) < t + 1 — t = 1
уринли булади. Шунинг учун В даварикдир, демак, В абсол-
ют каварик туплам экан. х б Е ва t >► р (х) булса, у холда
р (-1 xj = у р (х) < 1, яъни t~Ax G В. Шуидай цилиб, х G
£!В. Демак В — ютувчи туплам. *
Таъриф. Абсолют каварнк ва ютувчи А туплам бе-
рплган булсин. Ушбу рА (х) — inf {/ 2>0: х £ М} функции
119
А тупламн нг Минковский, функционала, дейилади. А
туплам ютувчи булгани сабабли барча х Е учун
Ра (*)< 4- °°-
2-теорем а. А туплам Е вектор фазодаги. абсо-
лют цавариц во, ютувчи туплам булсин. У холда
1) рА(х) функционал Е да яримнорма булади;
2) В = {х: рд(х) < 1} ва С = {х: рА (х) < 1} туплам-
лар учун BaAczC ва рв — рА=рс муносабатлар
уринлидир.
Небот. Хар бир х б Е учун НА (х) = {t > 0: х £ t А } cz
тупламни тузамиз. t б НА (х) ва s 2> t булсин. А туплам ка~
варнк ва 6 б А бупгани сабабли ихтиёрий х£А учун
(1 — -^)0-|-~я:€Л булади,' яъни tx£sA муносабат
урииладпр. Бундан t At^sA муносабат ва НА (х) туплам^
нинг ярим тугри чизикдан нборат эканлиги келиб чидади.
Ихтнёр ’й х, у б Е учун ушбу
рА {*) <5 ва Рл (у) < t (1)
тенгсизликларни цаноатлантнрувчи ихтиёрий s ва t сонлар-
ни оламиз. У холда х £ s Д ва у А булади; бундан эса А
абсолют каварик туплам булганлиги учун х-|-у б $ ЛЦ-
<= (s + t) А муносабат келиб чикади. Шунга кура рА (х +
-|-у) $4-/. Бундан (1) тенгсизликлардаги s ва I соилар
ихтиёрий булгани учун рА (х + у)^ рА (х) 4- рА (у) ке-
либ чикади. рА (ях) — jafpA (х) муносабат шунга ухшаш
курсатилади.
Агар рА (х) < 1 булса, 1 б (х), яъни х £ А. Равшанки,
агар %б А булса, рА (х) 1. Шуларга кура В cz A cz С.
Бундан ихтиёрий х учун Нв (x) с НА (х) cz Нс (х), яъни
рс {х)^рА {х)^рв (х).
Энди ушбу
рс (х) < s < t
(2)
(3)
тенгсизликларни каноатлантирувчи ихтиёрий s, t сонлар-
ни оламиз. У колда “ б С1 ва, демак, рА 1, шунга
кура Ра (у) <т< L Демак, буидан рв (у) <1,
яъни рв (х) < t.
Юкоридаги (3) тенгсизликда s, t ихтиёрий булгани
сабабли Рв рс (*)• Бундан ва (2) муносабатдан рс {х)^
=« рв (х) тенглик келиб чикади.*
120
Е вектор фазода яримнормаларнннг бирор Р система-
си берилган булсин. Агар хар бир учун шундай
р£Р мавжуд булсакн, унинг учун р(х) у-0 шарт бажа-
рилса, Р система Е вектор фазонинг нукталаринн ажра-
тувчи система дейилади.
3-теорем а. Локал цавариц Е Хаусдорф фазосида
ноль атрофлари системасининг абсолют цавариц
атрофлардан иборат булган 2 базисина оламиз, ри
эса А £ 2 атрофнинг Минковский функционала бул-
син. У холда {р(/, U система Е нинг нуцталари-
ни. ажратувчи узлуксиз яримнормалар системасини
хосил ц клади.
Исбот. Агар хGЕ ва х =/= 6.булса, шундайА £ 2 мав-
жудки, x6JJ, яънн 2-теоремага асосан ри(х)ул. Шундай
цилиб, {ри» А б 2} система Е нинг нукталарини ажратув-
чи яримнормалар системасидир.
Энди ихтиёрий 1/^2 ва б>0 оламиз. У холда барча
х£&У учун рк (*)<£; бундан, агар х — у V булса,
I Рг (*)— Рv (У) | С pv (х — у) < е эканлиги, яъни ярим-
норманинг узлуксизлиги келиб чикади.*
4-теорема. Е вектор фазода Р яримнормалар
системаси берилган булсин. Хар бир ва р£Р
учун 1/(р, е) = {х: р (х)<е) тупламни тузамйз. 2 сис-
тема V(p, е) тупламларнинг барча чекли кесишма-
ларидан иборат булсин. У холда Е да шундай т век-
тор топология мавжудки, бу топологияда:
1) Е локал цавариц фазо ва хар бир р£Р узлук-
сиз;
2) 2 нолнинг барча атрофлари системаси учун
базисдир;
3) агар Р система Е нинг нуцталарини ажра-
тувчи булса, (Е, т) Хаусдорф фазоси булади,
Исбот. 2{ар бир V (р, е) туплам абсолют каварик
ва ютувчи булганн учун 2 нинг элемент лари хам аб-
солют каварик ва ютувчи булади. Ихтиёрий а >0 учун
а I/ (р, е) = V (р, а е) муносабат уринли булганлигидан, хар
бир U € 2 ва а 2>0 учун a U £ 2 эканлиги келнб чикади.
Энди агар ва А2£2 булса, шундай топилади-
ки, AczAtRfA муносабат бажарилади. Шундай килиб,
5.1-§ даги 3-теореманинг барча шартлари бажарилди, де-
мак Ада теоремамизнинг 1 ва 2-хоссаларини каноатлан-
тирувчи -с топология мавжуддир. Энди 1/(Р,е) тупламлар-
нинг аникланишига кура хар бир р£Р ярнмнорманинг уз-
луксизлиги келиб чикади. Нихоят, Р яримнормаларнннг
121
ажратувчи системаси булсин деб фараз килайлик. У ^ол-
да (]U = П Ир. е) ~ р} булади, шундай килиб, 5.1-§
и (-Я р^р. *>о
нннг 5- теоремасига кура (Е, т) локал каварик Хаусдорф
фаз ос и дир,,.
Мисоллар. 1. Чекли улчамли фазолар.
Агар п улчамли Эвклид фазосида топология ||х|| =
Г~
— ”|у 2 х/ норма ёрдамида аниклаиса, бу фазо локал ка-
варнк Хаусдорф фазоси булади. Бунда нолиинг барча
атрофлари системасининг базиси сифатида ушбу
1/Е = {х : ||х|| < е}(е>0) тупламларнн олиш мумкин.
2. Узлуксиз функциялар фазоси. а) [а, А]
сегментдаги барча узлуксиз каки кий (ёкн комплекс) функ-
цияларнинг С [й, тупламида топология ||х|| = шах |х(/)
норма буйича аницланса, С [а, А] кам локал каварик фа-
зови таш кил этади;
б) Л4 компакт, С(Л4) туплам бу компактдаги барча
узлуксиз какикий (ёки комплекс) функциялардан иборат
булсин. Ушбу || х || = max |х (f)| норма ёрдамида киритил-
t £ м
ган топологияда С(М) локал каварик фазо булади;
в) С (Z?) тугри чизикдаги барча узлуксиз хакидий
(ёкн комплекс) функциялар туплами булсии. Хар бир п£
учун ушбу рп(х) = max ]я:(^)| яримнорманн аниклаймиз.
—л</<л
C(R) фазо {рп : п — 1, 2 . . .} яримнормалар системаси
билан аинкланган топологияда локал каварик Хаусдорф
фазосидир.
3. Хар бир нормаланган чизикли фазо узининг нормаси
оркали киритилган топологияда локал каварик Хаусдорф
фазоси булади, бунда ноль атрофларининг базиси вазифа-
сини {х: || х || < е, е > 0} система бажаради.
4. Чексиз дифференциалланувчи функ-
ция лар фазоси. а) С“ [й, фазо [а, сегментда-
ги чексиз дифференпиалланувчи хакикий (ёкн комплекс)
фуикцияларнннг вектор фазоси булсин. Ушбу рт(х) —
~ шах |л^'и)(/)|, (тх С С'со|й, А]) белгилашни киритамиз.
У холда {pm:m£N} система С°°[й, 6] фазонинг нуктала-
рини ажратувчи яримнормалар системасиии ташкил этади
ва бу система ёрдамида киритилган топологияда С°°[а, /Ч
локал каварик Хаусдорф фазоси булади;
122
6) CCO(R) тугри чнзикдаги барча чексиз дифферен-
ппалланувчи дакикий (ёкн комплекс) функциялар туп ла-
мн булсин. ртп (х) = max ифода яримнормани аник-
лай in, бу ерда nt, n£Nt х G С“ (R).
Бу долда дам {ртп : т, п G N} яримнормалар системаси
С (R) фазонинг нуцталарини ажратиб, унда локал ка-
варик Хаусдорф топологиясини аницлайди.
00
5. Бирор р мусбат сон учун 1р фазо-ушбу 2
л=1
<Г + оо муносабатни каноатлантирувчн барча кетма-кет-
ликлардан иборат булсин. ХаР кандай я > О, А > О, 0 <
< p<Z 1 учун (а + Ь)р ^ар Ьр тенгсизлик уринли бул-
со
гани сабаблн d(x, У) = 2 Iх" — У« И функция 1р да мет-
П = 1
рика булади. Бу метрика 1р да т вектор топологияни аннк-
лашини, яъни (lpt т) топологик вектор фазо эканлигини
курсатамиз.
Метриканннг куринишидан равшанки,
d(x-\-z, у -ф z) ^d(x, у), (4)
d(kx, ty) = | X | pd(x, у),
бу ерда %, у, z G lp> X £ R.
Топологик вектор фазо таърифидаги 1) ва 2) аксио-
ма ларни текширамнз. -
Маълумкн, X метрик фазода х нуктанинг атрофлари
U(x, е) = {z б X : р(х, г) с е} куринишда олинади. Демак,
I) аксиоманинг бажарилишини исботлаш учун
U(x, е2)4-ё/(У, <2)с=ё/(х-фу, е) (5)
муносабатни исботлаш кнфоя. Ихтиёрий z{ G U(x, в/2) ва
бБ'(у,е/2) нукталар учун d(x, zr)C^2, d(y, z^<Z^t2t
Демак, (4) муносабатларнинг биринчисига асосан
«/(я + у, Zv + 22) = d(x + у — z2) = d(x — z2 — y)<
^d(x — zit 6)-pd(0, z2 — y) = d(x, ^i)±d(y, z2)cet
яъни zt -ф 22 G U(x -p у, e); шу билан (5) исботланди.
Энди 2) аксиоманинг бажарилишини исботлаймиз. Их-
тпёрий х££р элементни ва X G R соннн оламиз. U (Хх, е) ат-
роф Хя элементнинг ихтиёрий е-атрофи булсин- Энди £,>•
123
Z>0 ва г>0 сонларни куйидаги теигсизликларии кано-
атлантнрадиган кнлиб оламиз:
% 1 / £ X
г< (2<цх,е)Р- е< И +
У Холда ихтиёрий z£ U (х, sj ва В £ R (р- — 8 | < г) учун
(4) муносабатларга асосан
d(/x, pz) = d(/x — рх, рг — px) ^d(lx — рх, 6J
-j-d(6, Pz —рх) = |к— p|pd(x, 0) 4- |3|₽d(x, z)<Z
< rpd(x, 6J 4- (p.| 4- r)pd(x, z) < ~ 4- -|-= e.
Демак, Bz^Z/(Xx,e), яъни 2) аксиома хам бажарилади.
Шундай килиб, (Zp, т) — топологик вектор фазо. Аммо
(/р, т) локал каварик фазо эмас. Шуни курсатамиз. Агар
(7р, т) локал каварик фазо булганида эди, нолнинг {х:
:^(х, 6)< 1} атрофида жойлашган кар бир I/атроф учун
унинг шундай каварик атрофи U ва W = {х : d(x, ат-
роф! 1 мавжудки, улар ушбу I^czt/czl/ муносабатларни
Каноатлантирар эди. Куйидаги кетма-кетликни тузамиз:
хи> = tx <'П fiv ₽r>n-> хм =!!’ агар Г = п 6^ЛСа-
х v^n J. оу.ерда хп ^0, агар п буЛСа-
J
У холда барча r= 1, 2, . . . учун sJ°x(r>6 W с= U. Эн-
дн U кавариклигидан дар бир п бN учун
— П
У = —^x{T}^Ucz V
г=1
муносабат келиб чикади. Ammo d(y, 9) = e/z1-p масофа
учун п етарлича катта булганда d(y, 6)>»1. Яъни у б К
Бу зиддият (/р, т) фазонинг локал каварик эмаслигини
курсатади.
5.3-§. Хан—Банах теоремаси
Е вектор фазо булсии. Мазкур параграфда биз Е нинг
бирор вектор кием фазосида аникланган чизикли фуикци-
онални унинг айрнм хоссаларини саклаган холда бутун Е
фазога давом эттириш масаласини курамиз. Куйида келти-
рнладиган теоремалар топологик вектор фазолар назария-
сининг энг мухг.м теоремаларидандир.
124
1-теорема (Хан—Банах теоремаси) Е хациций век-
тор фазо, р унда аниц ланган яримнорма булиб, f0
эса Е нинг Ео цисм фазосида аницланган ва
Л(х)^р(х) (х^) (1)
шарпит каноатлантирувчи чизицли функционал
булсин. У ^олда Е фазода шундай f чизицли функ-
ционал мавжудки, у f0 нинг давомидир (яъни f!EG—
-А) еа
f(x) < р (х) (х£Е). (2)
Исбот. Агар Е{~/~Е муносабат уринли булса,/0 функ-
ииснални (2) шартни цаноатлантирадиган килиб бирор
A'lZDfo вектор кием фазога Лавои эттирнш мумкинлигини
курсатамиз. Бирор z£E\Et) элементни олиб, Еп ва z би-
лан косил килинган Еу = Et) -ф /?г вектор кием фазони
курамиз. Таърифга асосан, Ег фазонинг элементлари ушбу
tz 4-х, х G Д, / G
курннишга эгадир. Д функционал /0 функционалнинг Е
фазога бирор давоми булса, равшанки,
/i(fe 4- *) = *A(z) 4-ДМ
Агар с — j\(z) белгилаш киритсак, у колда ихтиёрий с
УчУ’н Л чизикли функционал /0 функционалнинг давоми
булади. Биз с сонни (2) шартни назарда тутиб танлаймиз,
яъни бу сон ушбу
/G(x)4-fc<p(*4- te)
тенгсизликни ихтиёрий х ва t учун каноатлантирсин.
Мусбат t учун бу тенгсизлик куйидаги тенгсизликка эк-
вивалент:
/о(4)+*<4т+г)
яъни
с<р(-7+г)-/о(т). (3)
Мапфий I учун эса ушбу
(4)
тенгсизлик ^осил булади. Демак, (3) ва (4) шартларни
бир вактда каноатлантирувчи с сон мавжудлигини исбот-
лаш керак.
125
EG дан олинган ихтиёрий у', у" элементлар учун (2)
шартга асосан
Л(у")-Л(у')=А(у"-у') <р(у" - у')=р((у"+*)-(у'+
4- Z)) -< р(у" + z) -Ь р( — у' — Z),
яъни
—/о(У") + Р(у" + -)> — А(У') — Р ( ~ У' — z).
Бу ерда у' ва у” ихтиёрий булгани сабабли
сп = inf( — /0(у") + р(у" -4 г)) > с' = sup(— />(у') — р (—
У"(^ — У'-*))- У'С^о
Агар с"'^с'^>с' тенгсизлнкии цаноатлантирувчи бирор
с сонни олсак, у ^олда ихтиёрий у’, у”^Е0 учун
—/о(У") + Р(У" + z) с > —/(>(у') — р( — У1 — г).
Хусусан у' =*у'г — булганда, (3) ва (4) тенгсизлик -
лар уринли булади.
Шундай цилНб, /0 функционал пи (2) шартни цапоат-
лаитирадиган цилиб F, вектор цисм фазога давом этти-
риш мумкин.
Энди теореманинг исботини Цорн леммаси (6.1- §) ёр-
дамида якунлаймиз. Бунинг учун (L, g) жуфтликлардан
иборат булгаи S тупламни курамлз, бу ерда:
1) А туплам E^czLc^E муно-сабатни цаноатлантирув-
чи вектор цисм фазо;
2) g чизицли функционал бу'либ, /0 иинг L вектор
цисм фазога давомидир;
3) ихтиёрий x£L учун g(x) <4р(х).
2 туплам буш эмас, чунки (Ео, ? тупламда цис-
ман тартиб киритамиз: агар булиб, g2 функцио-
нал gi фуикционалнинг давоми б*улса, у ^олда (L(, g,) С
-С (А2, g2) деб ^исоблаймиз. Кисгман тартибланган 2 туп-
ламда Цорн леммасининг шартлари бажарилади. ^ацицатан,
ихтиёрий чизицли тартибланган туплам булсин.
Ушбу
До-= UU:(1, gr)GS0}
туплам Е нинг вектор цисм фазосидир. Дархацицат, ху
уС^-о элементларни олсак, шундай Ел вектор цисм
фазолар топиладики, x^Llt уЦА2 булади ва (Llf gj),
(Е2, g2) € 20. so чизицли тартибланган булгани сабабли ё
126
(Л, gi)X^2, gJ ёки (Ц, £2)>(Л, £1). Масалан, (Lu £,)>
(^2» £2) Деб фараз цилайлик, у холла L^L? ва демак,
x, yQLt яъни ихтиёрий Л, р, хациций сонлар учун be-h
+ P-У С Zic:£o.
Lo нинг ихтиёрий х элемеити бирор L((L, £) б 20) га
тегишли; g(i(x) = g(x) деб олсак, £0 вектор цисм фазода
бирор £0 чизидли функционал анидланган булади. Рав-
шанки. (Lo, £j£2 ва (Ц, gG) элемент 20 туплам учун
юдори чегарадир. Цори леммасига асосан 2 тупламда мак-
симал элемент (Атах» /тах) мавжуд. Агар биз Lmax Е
тенгликии исботласак, у холда /тах керакли функционал
булади. Агар £inaxc=F, Ет^хфЕ булганда эди, биз исбот-
иинг бошида курсатилган йул билан /тах функционални
бирор вектор дисм-фазога давом эттирган булар
эдик, бу эса (Агаах, /тах) максимал элемент эканлигига зид.
Демак, £max = Е ва /тпх = f— керак булган функционал.^
Эиди Хаи—Банах теоремасини комплекс вектор фа-
золар учун исботлаймиз.
2-теорема. Е комплекс вектор фазода р барон
яримнорма булиб, Е нинг бирор Е{ вектор цисм фа-
зосида аницланган /п чизицли функционал
|/0(х)Кр(х) (х£А(;)
шартни цаноатлантирсин. У цолда Е да аницлан-
ган шундай f функционал мавжудки, у цуйидаги
шартларни цаноатлантиради:
|/(х)|<р(х), х£Е, (5)
Д?)=/о(*)>
Исбот. Маълумки, ихтиёрий комплекс фазони ха-
дидий вектор фазо сифатида карат мумкии. E# ва Ео#
билаи мос равишда дадидий фазо сифатида олинган Е ва
Ео фазоларни белгилаймиз. Равшанки, р яримнорма E#
фазода Л’ам яримнормадир ва /0/? (^)=Re/o(x) функционал
(/о иинг хациций цисми) Ео# фазода ушбу
|/о/? (*)|<Р(*)
шартни каиоатлантирувчи хацикий функционалдир. Демак,
Eqq фазода /0/? функционал
/о/?(л)<р(х)
тенгсизликни каиоатлаитиради, яъни Ек, EG^, /0/? лар
127
1
учун 1-теореманинг шартлари уринлидир. Шу теоремага
асосан Ер фазода анидланган ушбу
/Р(х)<р(*), х£ЕР, (6)
А (*)=Ая (*), х£Е0/?
хоссаларга эга х’адидий функционал мавжуд. Ушбу
~ А (X) = ft?(- Р(— х) = р(х)
тенгсизликка асосан дуйидаги тенгсизликка эгамиз:
|//?(я:)|< р(х), xQEr.
Эиди f функционални Е фазода дуйидагича анидлаймиз:
f(X^^fR(x)~Lfp(ix).
Бу f(x) комплекс чизидли функционал экаилиги бе-
восита текширилади- f учуй ушбу
/(*) =л(*)> хеЕп-
$ef(x) = fR(x), х£Е
муиосабатлар уринли. Дардадидат, xQ£E0 учуй
Л*о) = А(*о) - *А(**о) = А?(*о) — iMix) =
= /?е/0(х()) — iRe/X^cJ = Re/0(*0) — ZRe(Z/0(xu)) =
= Re/0(x0) 4- Zlm/0(xG) = /t)(x(l).
Иккинчи муносабат ихтиёрий x^E учун /r(x) ^ади-
дий сои эканлигидан келиб чидади.
Ни^оят, |/(х)| <ip(x) тенгсизликни исботлаш керак.
Аксиии фараз дилсак, бирор xG£E учун ушбу |/(х0)| >
> р(х0) тенгсизлик уринли булади. Маълумки, ихтиёрий
X комплекс сонии X = reif (г > 0, 0 <р < 2") куриниш-
да ёзиш мумкин. Хус у сан, f (х0) = дгар уо = e~i(fxG
элементни олсак, у долда
А(Уо) = Re/(y0) = Re[e-^/M[ = р > рМ == Р(у«).
Бу эса (6) муносабатга зид. Демак, ихтиёрий х С Е учун
5.4- §. Топологик вектор фазоларни метрикалашти-
риш ва нормалаштириш
(Д, т) топологик вектор фазо булсин. Агар Е да шуи-
дай р(х, у) метрика мавжуд булсакк, бу метрика ёрда-
мида киритилган топология -с топология билан устма-уст
тушса, бу фазони метрикалаштириш мумкин дейилади.
128
Агар ихтиёрий х, у, z элементлар учун р(х-р^»У4-
4- г) = р (х, у) тенглик бажарилса, р инвариант метри-
ка дейилади. Агар (Е, т) топологик вектор фазода топо-
логия бирор бир инвариант метрика билан аиицланган бу-
либ, бу метрикада Е тула фазо булса, у Ф фазо дейила-
ди. Локал каварнц Ф фазо Фреше фазоси дейилади. Рав-
шаики, агар (£\ -с) метрикаланган топологик вектор фазо
булса, у колда ноль атрофларининг саноцли базиси мав-
жуд булади. Бунга тескари булган куйидаги ибора кам
уринли.
1-теорема. Агар (Е, t) Хаусдорф топологик век-
тор фазосида нолнинг атрофлари системаси учун
саноцли базис мавжуд булса, у холда Е да шундай
d метрика мавжудки-.
a) d метрика ёрдамида киритилган топология
Е нинг т пюпологияси билан устма-уст тушади;
б) маркази нолда булган ихтиёрий очик шар му-
возанатлашгандир;
в) d инвариант, яъни барча х, у, z£E учун
d(x Ц- z, у z) « d(x, у)
Агар Е фазо локал каварик х°-м булса, d мет-
рикани шундай танлаш мумкинки, у а)— в) шарт-
лардан ташцари куйидаги шартни хам цаноатлан-
тиради;
г) барча очик шарлар цаварикдир.
Исб от. Теореманинг шартига кура Е фазода ноль
атрофлари системасининг
Vn + i-hVn + ic=V„(«=xl, 2, . , . ) (1)
муиосабатларни каноатлантирувчн санокЛи базиси {V„}£=i
мавжуддир. Агар Е локал каварик фазо булса, Vn ларни
абсолют каварик килиб танлаш мумкин. D билан куйи-
даги икки шартни каиоатлантирувчи барча рационал сон-
лар тупламини белгилаймиз:
1) каР бир r£D ни ушбу
со
r = 2c«(r)2-n (2)
Л=1
куринишда ёзиш мумкин, бу ерда сп(г) = 0 ёки 1;
2) юдоридаги (2) каторда купи билан сони чекли
сп(г) коэффициентлар нолдан фардли.
9—239
129
Шундай цилиб, кар бир r^D учун 0<г<1 тенгсиз-
лик уринли. Ихтиёрий r£D сон учун куйидаги туплдм-
ии киритамиз:
Л(г) = с.(г)Ь + c2(r)V2 4- c3(r)V3 + ... (3)
2) шартга кура (3) тенгликнииг уНг томонидаги нол-
дан фарцли ^адларнинг сони чекли. Ихтиёрий г > 1 у^ун
A(r) = е деб кабул киламиз. Хар бир Vi туплам о^ик
булгани учуй Л(г) (г^О) кам очиц.
Сунг f(x) = inf {г: х£Л(г)} (х£Е) функнияни туза-
миз ва d[x, y)=f(x-y)(x$E, у£Е) белгилашни кда-
тамиз.
d нинг керакли хоссаларга эга булиши ушбу
Л (г) 4- Z(s) g А(г 4- s) (г, s^D) (4)
муносабатга асосланади.
Бу муносабатни исботлашдан олдин,- цандай килиб
бу муиосабатдан теореманииг уринли эканлиги келиб чи-
кишини курсатамиз. ХаР бир A(s), sQD учун 0^A(s)
ва (4) муиосабатдаи келиб чикадики, агар г <t булса,
у холда
Л(г) с Л(г) 4- A(t -г)с= A(t). (5)
Шундай килиб, (Л(г)} тупламлар оиласи „<=“ муиоса-
батга ииебатаи чизикли тартиблаигандир. Энди барча х€ Е
ва у£Е учун
Г(^+у)</М+/(у) (6)
тенгсизликни исботлаймиз. Буиииг учун умумиятлИкни
чегараламасдан (6) иииг унг томонини 1 дай кичик деб
фараз килишимиз мумкин. Ихтиёрий е>0 сон оламиз. D
тупламда шундай г ва s сонлар топиладики, улар учуй
f (х) < г, /(у) <s ва г 4- 5 < /(х) 4 /(у) + е муносабат-
лар уринли. Эиди х^Л(г), y£A(s) булса, (4) дай ушбу
х + уСЛ(г4-£) муносабат келиб чикади. Бундан f(x+
фу)<г-Н</ (х) 4- / (у) 4- е теигсизликлар уринлиДир.
е>0 ихтиёрий булгаИ! учун бундан уз навбатида (6)
тенгсизлик келиб чикади. ХаР бир Л(г) мувозанатлашган
булгани учун /(х) =/( — х) булади. Равшанки, f(0) =
— 0. Агар х^=е булса, шундай n£N мавжудки, x^Vn^
с= А(2~л) муносабат бажарилади, яъни /(х)>2“">0.
/(х) фуикциянинг бу хоссаларидаи ва d(x, у) = f(x—
— у) муиосабатдаи d иинг инвариант метрика эканлиги
Келиб чикади.
130
Маркази нолда булгаи очик шарлар Е нинг тополо*
гиясида очик булиши ушбу
Въ (0) = {х :f(x) < 8} == U Л(г)
Г<6
теигликдан келиб чикади. Энди агар 8 < 2-п булса, Въ (0)cz
о: Vn булади, яъни каР бир Vn туплам Е даги d метрика
орка ли киритилган топологияда иолнинг атрофи булади,.
Бу мулоказалар а) нииг уринли экаилигини курсатади.
Хар бир Л(г) мувозанатлашган булгани учун Въ (0)
Кам мувозанатлашган. Агар каР бир Vn каварик бул-
са, ихтиёрий г$О учун А(г) кам каварикдир; бундан
(5) муносабатга кура кар бир Въ (0) шарнииг каварик-
лиги келиб чикади.
Эиди (4) формулани иидукиияни куллаб исботлай-
миз. Рк куйидаги тасдикии билдирсин: агар г 4 s < 1
булиб, барча /г > А лар учуй сл(г) == cn(s) = 0 булса,
у колда
А(г) 4- A(s) cz A(r + s). (7)
Рх тасдик бевосита курсатилади. Pn~i тасдик бирор
бир А>1 учун уринли булсин деб фараз килайлик.
Бирор r^D, s£D, г -h s < 1 соилар учуй п > N булгаи-
да сп(г) = cn(s) = 0 булсин. Биз г' ва s' сонларни куйи-
дагича аниклаимиз:
г = Г' 4- сДг)2Л s = s' 4- c^(s)2~N, (8)
у К°ДДа, равшанки, r'-J-s' ^r4-s<l, сЛг') = c„(s') =
= Сп(г' 4- s') - 0 (п > N - 1) ва
- Л(г) = А(г') 4- сА(г)Ул, A(s) = A(s') 4- cA<s)VA-. (9)
Pn-i тасдик уринли булгани сабабли А(г') 4- A(s') cz
cz A(r' 4- s'). Ill ундай килиб,
A(s)czA(r' s') 4- cA(r)VA 4~ cA(s)V^ (10)
муносабат уринли булади.
Arap cA(r) = cA(s) = 0 булса, у колда г = г' ва s«=s'
булиб, (10) муносабат (7) муносабатга келтирилади.
Энди агар cN{f) = 0 ва cAr(s) = 1 булса, (10) иинг уиг
томони куйидаги куринишга эга:
А(г' + s') + VA = A(r' 4- s' + 2-")« A(r + s)
ва, демак, яНа (7) муносабат уринлндир.
£,л'(г) = 1 ва cA(s) ~ 0 булган кол шунга ухшаш
131
талцин цилииади. Энди агар Сд(г) = f/v(s) = 1 булса, у
Лолда (10) иинг унг томоии цуйидагича
А(Е -f" + V н 4- Vn cz A(r' 4~ s') ~F Vn- i = A(rf 4- s') 4-
4- A(2-N+ г)<^А(г' 4- s'+ г-^1) « Л(г + s)
булади. (Бу ерда P/v—i тасдицдан фойдаланилди.) Шун-
дай ки-пиб, P/V-! тасдицдан Ду тасдиц келиб чицар экаи.*
Таъриф. (Е, т) топологик вектор фазода А туплам
берилган булсин. Агар иолнииг ^ар бир V атрофи учун
шундай г>0 сои топилсаки, ушбу А с t V муносабат
ихтиёрий t>r сон учун бажарилса, у Лголда А чегара-
ланган туплам дейилади.
Равшанки, чегаралангаи тупламнинг таъриф ицаги
шартни нолнинг атрофлари системасининг бирор бир ба-
зиси учуй талаб этиш кифоядир.
2-теорема, а) агар А чегараланган туплам бу-
либ, Вс^А булса, В хам чегарнланганднр;
б) агар А чегараланган туплам булса, у холда
Хар бир X£/f учун \А хам чегарялангандир;
е) агар А, В чегараланган тупламлар булса, Ли
(J В ва А 4- В хам чегараланган тупламдир.
Исбот. а) нинг исботи уз-узядан равшан,
б) V нолнинг ихтиёрий атрофи булсии. Умумиятликни
чегараламаган ^олда V ни мувозанатлашган деб олнши-
миз мумкин.
Л туплам чегараланган булгани учун шундай с>0
сои топиладики, A cz tV муносабат барча t > с лар учун
бажарилади.
Агар X = 0 булса, ХД туплам чегаралангаилиги рав-
шан. Агар Х^О булса, Х = г-а деб ёзиб олсак, буида
г>0, |сс| = 1 ва барча £>s лар учун KAcz/Xy=s= ?r«al/=:
= /-г1/, чунки V мувозанатлашган туплам булгаили-
гидан и(|«| = 1) сои учун ушбу °У = V тенглик урин-
ли булади. Шуидай цилиб, агар t'>rs булса, У A cz t'\\
яъни jjaM чегаралангандир.
в) V нолнииг ихтиёрий атрофи булсин. Нолнинг t/+
4- t7<=V шартни каиоатлантирувчИ £7 атрофини оламиз.
А чегараланган булгани учун шундай > 0 сон топи-
ладики, Acr.tU шарт t > st учун бажарилади; шунга
ухшаш шундай s2 > 0 сон топиладики, t > булганда
BcitU. Демак, £>s = max(s1, s2) соилар учун Ac^iU,
Bcz t(J\ бундан эса А 4* В с= tU НН яъни
А 4- В нинг чегаралангаилиги келиб чидади. A (J В иинг
э;ам чегаралангаилиги шуига ухшаш курсатилади.*
132
Агар (Е, т) топологик вектор фазода шундай норма
мавжуд булсаки, бу норма ёрдамида киритилган то-
пология т топология билан устма-уст тушса, Е фазо
норма ланувчи дейилади.
3-т е о рема. (А. Н. Колмогоров теоремаси). Хаус-
дорф топологии вектор фазоси нормалануечи були-
ши учун бу фазода нолнинг чегараланган цавариц
атрофи мавжуд булиши зарур ва кифоядир.
Исбот. Зарурлиги. Агар (Еу т) иормалангаи
фазо булса, нолнинг Ц = {х: 1} атрофи каварик
ва чегаралангандир.
Кифоялиги. (Е, *с) топологик вектор фазода V
иолнииг каваРиК ва чегараланган атрофи булсин. 5.1-§
даги 3- теореманинг исботидаги каби U — П pV туплам
[(il l
нолиинг абсолют каварнк атрофи булади. U туплам V
иинг кисми булгани учун чегаралангандир. Энди р функ-
ционал U атрофнинг Минковский функшюнали булсин.
Р иинг норма эканлигини исботлаймиз.
Агар хбулса, нолнинг шундай IF атрофи мав-
жудки, х £ W булади. U атроф чегараланган булгани
учун U£tW муносабат бирор />0 учун уринли булади,
яъии у U cz W. Бундан х £ —U ёки, бошдача килиб айт-
ганда, р(х) у-> 0 тенгсизлик келиб чикади. Демак,
р(х) норма экан. и атроф чегараланган булгаии учун
нолнинг кар бир Й7 атрофи учун шундай мавжудки,
— t/czIT, яъни Е даги норма буйича киритилган топо-
логия т билан устма-уст тушади..»
машк учун масалалар
I. Ха4икий сонлар фазоси ни узи устида вектор
фазо сифатида оламиз. Бу фазода вектор тополо-
гия булмаган топологияга мисол келтиринг.
2. Агар топологик вектор фазода бирор очик ва че-
гараланган туплам мавжуд булса, у локал чега-
раланган фазо дейилади. Ихтиёрий нормаланган
фазо локал чегараланган фазолигини исботланг.
3. Локал чегараланган булмаган топологик вектор
фазога мисол келтирииг.
4. Топологик вектор фазода куйидаги тасдиклар тенг
куч ли эканлигини исботланг:
133
a) M туплам чегараланган булиши учуй ихтиёрий
{хл)с/И кетма-кетлик ва нолга интилувчи {ел}
мусбат сонлар кетма-кетлиги учуй {е„хп} кетма-
кетлик нолга интилиши зарур ва кифоядир;
б) ихтиёрий яцинлашувчи {хп} кетма-кетлик чега-
ралангаидир.
5. Локал чегараланган фазода бири-бирини ютувчи
тупламлардан иборат нолиинг атрофлари базиси
мавжудлигини исботланг.
6. Топологик вектор фазода U очик туплам цава-
риц булиши учун U U = тенглик зарур ва
кифоялигини исботланг.
7. Вектор фазодаги А цавариц туплам ютувчи бу-
лиши учун уиинг Минковский функционали чек-
ли булиши зарур ва кифоялигини исботланг.
VI боб
КИСМАН ТАРТИБЛАИГАН ФАЗОЛАР
6.1- §. Цисман тартиблаиган тупламлар
Маълумки, хадидий соиларнинг асосий хусусиятлари-
даи бири уларии солиштириш мумкинлиги эди, яъни хар
дандай икки хадидий соннннг бир-биридан катта, тенр
ёки кичиклигини аиидлаш мумкии. Шу маънода дади-
длй сонлар туплами чизидли тартиблаиган, яъни хар кан-
дай икки х ва у хадидий сон учун куйидаги уч му но-
са батдан бири уринлидир:
х < у, х > у, х = у.
Аммо математиканинг турли сохаларида одатда шундай
объектлар учрайдики, уларнинг орасида чизидлн тартиб
урнатилмаган- Уларнинг баъзи бир жуфт элементларини-
гииа солиштириш мумкин. Масалан, F туплам [0, 1] ора-
лидда анидланган барча хадидий функциялардан иборат
булсин. Агар F дан олинган f ва g функциялар учун хар
дандай х С [0, 1] нудтада f(x) сон g(x) сондан кичик
булмаса, f (x) ни g (х) дан катта ёки теиг деймиз. F туп-
ламии шу маънода цисман тартиблаиган деймиз. Бу
мисол шуни курсатадики, F тупламда ихтиёрий икки
функцияни эмас, балки баъзи бир жуфт функцияларни-
гина солиштириш мумкин. ХаКиДатаи хам. агар бирор
нудтада / функция g функциядан катта булиб, бошда
бир нудтада f функция g фуикцнядан кичик булса, биз
бу и дай функцияларни соли ш тира олмаймиз.
Таъриф. Агар бирор X тупламнинг баъзи жуфт х
ва у элементлари учун бирон доидага мувофид х^у
муносабат берилган булиб, у куйидаги учта аксиомани
даноатлаитирса, у холда X туплам днеман тартиблаиган,
муносабат эса цисман тартиб ёки тенгсизлик
дейилади:
1) х~^х\
2) агар х > у ва у > х булса, у холда х = у;
3) агар х'^у ва у z булса, у холда x^z.
К е лгу сида х> у муносабатни баъзан у<х куринишда
Хам ёзамиз. Бу холда х катта ёки тенг у (у кичик ёки
тенг х) деб удилади. Агар дисман тартиблаиган туплам-
135
да х ва у элементлар учуй ушбу х"~> у, х :у муноса-
батларнинг бири уринли булса, у колда бу эле мент Лар-
ин солиштириш мумкин дейилади.
Мнсоллар. 1) Rn вектор фазода х = (хн х2, . . . ,
хя) ва У = (Уь у2, • • • г Уп) векторлар учун xz >yz му-
носабат ихтиёрий I- координатада бажарилса, х>-у дей-
миз. Ю у ори даги 1) — 3) аксизмаларнинг бажарилиши бе-
восита тек ширила ди.
2) т, s, /2 фазоларда хам кисман тартнб координата-
лар ёрдамида биринчи мисолдагидек аникланади.
3) N натурал сонлар туплами булсин. Агар т сон
п сонга булинса, т^п деймиз. Масалан, 8 >4, 9>3.
Ленин 9 ва 6 соиларини бу маъиода солиштириб бул-
майди. Демак, N туплам бу маънода цнсман тартиблан-
ган.
4) М ихтиёрий туплам булиб, Й система /И нинг бар-
ча кием тупламларидан иборат булсин. Д В С элемент-
лар учуй А ал В муносабат бажарилса, А^В деймиз.
Бу ^олда (Q, - ) жуфтлик кисман тартибланган туплам
булади.
Ихтиёрий тупламда кисман тартибни турлича кири-
тиш мумкин. Масалан, натурал сонлар тупламида кисман
тартибни одатдагича (бунда N чизикли тартибланган бу-
лади) ва юцоридаги 3) мисолдагидек кам киритиш мум-
кин булиб, бу икки кисман тартиб турлидир.
Ш унинг учуй кисман тартибланган туплам курилган-
да туплам билан бирга кандай тартиб киритилганлиги-
ни анвдлаб куйиш зарур.
Таъриф. Агар кисман тартибланган тупламнинг >jap
Кандай икки элементики солиштириш мумкии булса, бу
туплам занжир ёки чизицли тартибланган дейилади.
Масалан, R хакидий сонлар туплами чизикли тартиб-
лангандир.
Таъриф. Кисман тартибланган X тупламнинг кар
Кандай х, у £Х элементлари учун ушбу
z: х, z > у (z х, z у)
муносабатларни каноатлантирадиган z£X элемент мав-
жуд булса, у колда X туплам кщорига (пастга) йбунал-
ган дейилади.
Равшанки, кар кандай занжир кам юкорига, ^ам паст-
га йуналгандир.
Иуналган туплам тушуичаси кетма-кетлик тушун-
136
i.к... умумлаштиришда фойдалидир. Хар кандай
м гмл-кетликнн натурал аргументнииг функцняси деб цгг
« пбл.ин мумкин, яъни хп = х(п): X->Х.
Бирор х = /(а) функция ^исман тартибланган А туп-
шмдд апицлаИган ва унинг цийматлари бирор X туплам-
джг оулсин деб фараз цилайлик. Куйидаги таърифии бе-
рнш учуй биз а аргументам индекс куринишида, функ-
цпяпи эса {ха }а С д куринишда ёзамиз.
Гаъриф. Агар А юцорига ёки пастга йуиалган туп-
ым булса, {ха }0 £ а функция тур, ха элементлар эса
турнинг % адлари дейилади.
Мнсоллар. 5) одатдаги {хл} с X кетма-кетлик тур-
дир. Бу ерда хп = х(п) натурал сонлар тупламида аниц-
лапган функция. Натурал сонлар туплами эса юцорига
йуналгаи тупламдир.
6) 4-мисолдаги 2 туплам ихтиёрий А ва В элемент-
лар билан бирга улариинг A Q В кесишмасини ^ам уз
ичига олади. Демак, Й пастга йуналган туплам булади.
Энди цар канДай учун А нинг бирор элементами
таилаб олиб, уни х(А) = ха деб белгиласак, {хА}А(2 я
гур косил килади.
Тур тушунчаси айницса топологияда му^им роль уй-
нанди.
X цисман тартибланган туплам булсии. Е туплам X
нинг цисми булиб, у£Х шундай элемент булсаки, цар
цаидай х £ Е учун у х (у С х) тенгсизлик бажарилса,
у холда у элемент Е тупламнинг юцори чегараси (цу-
йи чегараси) дейилади. Агар Е тупламнинг юцори (ку-
йи) чегараси мавжуд булса, Е туплам юцорпдан (цуйи-
йидан) чегараланган дейилади. Юдоридан хамда куйи-
дан чегараланган туплам чегараланган туплам дейи-
лади. Агар у С X шундай элемент булсаки, X тупламда
ундан катта (кичик) элемент мавжуд булмаса, у к°лДа V
максимал (минимал) элемент дейилади. Шуни айтиш
керакки, X тупламда максимал элемент билан солишти-
риб булмайдиган элементлар мавжуд булиши мумкин.
Мисол. 7) Уч х, у, z элементдан иборат булган
X тупламда кисман тартибни куйидагича киритамиз: х<У,-
у ва г узаро солиштириб булмайдиган элементлар.
Бу тупламда у ва z максимал элементлар, х эса минимал
элемент.
Куйида исботсиз келтирилган лемма математикада кат-
та роль уйнайди.
137
Цори леммаси. Агар цисман тартибланган X туп
ламда х^Р цандай занжир юкори чегарага эга булса, у
холда э$ар цандай х0£Х элемент учун ундан катта ёки
тенг булган максимал элемент мавжуд.
Таъриф. X цисман тартибланган туплам булсин.
Агар Ес^Х туплам учуй энг кичик говори чегара мав-
жуд булса, бу элемент супремум ёки ашщ ю^ори че-
гара дейилади ва sup Е (ёки VE) билан белгиланади.
Яъни sup Е шундай элементки:
(1) хар цандай х£Е элемент учун sup Е^ х\
(2) агар хар цандай х£Е учун у~^х булса, бу хол-
да y>-supA.
Шуига ухшаш, инфимум ёки аник купи чегара ту-
ui уичаси киритилади, яъни infE (ёки)/\Е) шуидай эле-
ментки:
(1) к^Р кандай х£Е элемент учун inf Е<х;
(2) агар кар кандай х£Е элемент учун бул-
са, у холда у < infE.
Агар индексларга боглик {yg}§ Gr система берилган
булса, бу системанинг супремуми (иифимуми) sup у^ ёки
Е ^г
VyUinf Уе ёки ДуЕ) билан белгиланади.
1- раем.
Шуни айтиб утиш керакки, кар кандай туплам суп-
рему мга ёки инфимумга эга булиши шарт эмас.
8) Масалан, турт элемеитли (a, b, с, d} тупламда
кисман тартибни цуйидагича киритамиз (1-расм):
а^.с, ad'd, bd'.c, b^d,
с ва Ъ, с ва d солиштириб булмайдигаи элементлар.
Бу мисодда {a, 6} ва {с, d} тупламлар су прем у мга
Хам, инфимумга хам эга эмас.
sup ва inf тушунчаларининг. таъриф лари дан улар-
иннг куйидаги хоссалари бевосита келиб чикади:
138
а) агар E туплам учун supF (infF) мавжуд булса,
у ягоиадир;
б) агар sup Е ва inf Е мавжуд булса, у ^олда sup/:^>
>InfF;
в) агар Ex<ziE2 булса, ва sup£\, supF, (Inf^, infFz)
мавжуд булса, бу цолда sup Z^-^supEg (InfE*! > inf£2);
г) агар цар цанДай x^Et ва у С Е2 элементлар учун
х^у тенгсизлик бажарилиб, sup£\ ва inf А мавжуд
булса, у колда
sup£\ <С inf£2.
1-теорема (ассониативлик кому ни). Агар Е = U^a
se
булиб, хар цандай учун supEg = yg ва у =supyg
ее
мавжуд булса у холда у = supE, яъни
sup Е == sup (supEg).
£€г
Исбот. Хар кандай х£Е учун шундай мав-
жудки, х^Е-ъ ва х <Су^ <Су. Демак, у элемент Е туп-
ламнинг юцори чегараси. Яма бирор z элементни Е туп-
ламнинг юдори чегараси деб фараз цилайлик. Е^а Е
булгани учуй z кар кандай Е^ тупламнинг кам юкори
чегараси, яъии yg <^z. Шуиинг учун у == supyg О. Де-
мак, у — supE.*
Ассониативлик цонуни inf учун кам уринли.
6.2-§. Панжаралар
Кисман тартибланган X тупламда чекли {х(> x.2t . . . ,
хп} туплам учун супремум (иифнмум) мавжуд булса,
у ни ушбу
Xt\/x2\/ .. .\jxn (^ДХзД . . ,/\хп)
куринишда ёзамиз, яъни
sup{xn х2,. .. хп} = Xi V Х2 V . . . \/хп,
inf{^t, х2, ..., хп} = xt л х2 А * - - Л хп
Таъриф. Кисман тартибланган X тупламда кар
Кандай икки xlt х2£Х элемент учун супремум xt \/ х2
ва инфимум xt Д х2 мавжуд булса X панжара дейила-
139
ди (математик адабиётда панжара термиии урнига струк"
тура термини хам ишлатилади).
Математик индукция дан фойдаланиб, куйидаги тео-
ремани осонликча исбот килиш мумкин.
1-теорема. \ар кандай панжарада ихтиёрий
чекли туплам чегараланган булиб, супремум билан
инфимумга эга.
Мисоллар. 1) Хар цаидай заижир панжарадир;
2) 6.1-§ даги 1) —4) мисоллар хам панжарага ми-
солдир. Масалан, 4) мисолда А, В элементлар учуй
1) мисолда эса, агар
х = (хъ х3,.., х„),
У = (У1, Уъ •. -Уп) булса,
zit..., z„),
х Л у = (wn .........w„),
бу ерда
_ (х/, агар X/ ^У( булса,
Zi ~~ \yi , агар Xi < yi булса,
_ (Xi , агар Xi < yt булса,
\yt , arap Xi ^>yi булса.
Шунга ухшаш 3) мисолдаги тупламнинг хам панжа-
ралиги курсатиладн. Масалан, п /\ т сои п ва т сон-
ларнинг энг катта умумий булувчиси, п\/ т эса энг
кичик умумий булинувчисидир.
6.1- § даги 8) мисол паижара эмас, чуики масалан,
a\Jb ва c/\flf мавжуд эмас.
Таъриф. Агар панжарадаги кар кандай буш бул-
маган туплам супремум ва инфимумга эга булса, бу
панжара тула дейилади.
Агар панжарадаги цар кандай буш булмаган юцоридан
чегараланган туплам супремумга ва цуйидан чегараланган
туплам инфимумга эга булса, панжара шартли тула
дейилади.
6.1- § даги 1)—3) мисоллардаги панжаралар тула эмас,
лекии шартли тула. 4) мисолдаги панжара тула панжара-
дир. Шартли тула булмаган панжарага мисол 6.3- § нииг
3) мисо лида келтирилади.
Хар кандай тула панжарада энг катта ва эиг кичик
элементларнинг мавжудлиги таърифдан бевосита келиб
чицади.
140
2- теорема. Агар X панжарада ^ар цандай юкори-
дан чегараланган туплам супремумга эга булса, бу
панжара шартли тула.
Исбот. Теоремаии исботлаш учуй дар кандай куйи-
дан чегараланган тупламнинг инфимумга эгалигини курса-
тиш керак. Eti X буш булмаган, куйидан чегараланган
туплам булсин. Бу холда Е нинг цуйи чегараларидан
иборат I туплам буш булмайди ва юцоридан Е нинг кар
бир элрменти билан чегараланган булади. Теореманинг
шартига асосан y=sup [ мавжуд. Супремумнинг таърифига
биноан кар кандай х £ Е учуй ysgx, яъни у элемент Е
тупламнинг дуйи чегараларидан бири, демак, у С /• Шу-
нинг учуй ва у = sup/ булгани туфайли бу элемент Е
тупламнинг энг катта цуни чегарасидир, яъни y=inf£’.#
Таъриф. Хар кандай х, у, z Е X элементлар учун
ушбу
(х V у) Л 2 = (х А 2) V (у А г) (1)
муносабат уринли булган панжара дистрибутив панжа-
ра дейилади.
3-теорема. Дистрибутив панжарада ^ар кандай
х, у, z элементлар учун куйидаги муносабат урин-
лидир:
(х Л У) V Z = (х \/z} Л (у V *) (2)
(яъни (1) форму лада V ва Л белгиларни узаро алмашти-
риш мумкин).
Исбот. (2) формуланинг унг томонини (1) формулага
асосаи куйидаги куринишда ёзиш мумкин:
(х v z) л (у V z) = [х А (у v z)] V [z А (у V z)l =
= kA(y\/z)]A2-
Квадрат каве ичидаги ифодага яна (1) муносабатни ва
ассоциативлик цоиуиини (6.1- §, 1- теорема) цуллаймиз:
ИА (У V *)1 V *=[(х Л У) V (* Л z)] V z =
= (х Л У) V I(*Az) V z] = (х Д у) Vz.
Б у ерда биз (х Д z) V z=z тенгл и к дан фойда ланди к. #
Мисоллар. 1) Хар Кандай заижир дистрибутив пан-
жарага мисолдир.
2) 6.1- § даги 1), 2) ва 4) мисоллар кам дистрибутив
панжарага мисоллардир. Масалан, 4) мисолда дистрибутив
141
2- раем.
цонун тупламлар назариясидан маъ-
лум куйидаги тасдикдаи келиб чи-
кади: At тупламнинг хар кандай
А, В, С кием тупламлари учун
Куйидаги муносабат уринлидир:
(Аи#)ЛС=(АПС)и(ЯГ1С).
Куйидаги панжара дистрибутив
эмас (2- раем).
Х—{а, by c,d, ё},
e^a^.dy e^.b^.dy e^c^d.
Хакикатан
(a\/b)/\c = d/\c =c,
(а Д с) V A c)=e A e = e.
Энди биз паижараларда тартиб буйича якинлашиш
тушунчасини киритамиз.
Таърнф. X панжаранинг {хл} элементлари кетма-кет-
лиги учун шундай икки
{У„}; У: у2 . - <Уп< • • • (монотон усувчи).
{Zn}'’ . (монетой КЕМаЮВЧИ)
кетма-кетлик мавжуд булсаки, булар учун ушбу
1) x=supy„«inf^;
2) уп<хп^ г„
шартлар бажарилса, {хл} кетма-кетлик х элемеитга (о)-
яхинлашувчи (тартиб буйича яхинлашувчи) дейилади
(о)
на хп~+х ёки х=(о) Ишхл билан белгиланади, х элемент
эса {хл} кетма-кет ликиинг (о)-лимита дейилади. Масалан,
тугри чизикда (о)-якинлашиш од дни якинлашиш билан
теиг кучли.
4-теорема. At о нотой усувчи (камаювчи) {хл}
кетма-кетлик берилган булсин. Бу кетма-кетлик-
нинг х элементга (о)- яцинлашиши учун х—supx„
(х=1пЬсл9 шарт зарур ва кифоядир.
(о)
Исбот. Зарурлиги. хп—>х ва {хл} монотон усувчи
булсин. Таърифдаги {ул} ва {zn} кетма-кетликларни ола-
миз. Бунда ^r=inf zn ва хар Каидай т ва и сонлар учун
zm^-xri булгани туфайли хар кандай п учуй х>хл.
Бундан ташкари, агар бирон и элемент ва хар кандай
натурал п учуй м>хл булса, бу холда хар кандай п
142
учун яъни «>supyn==x. Супремумиинг таърифига
асосан, x=sup хп.
Кифоялиги. [хп} монотон усувчи булиб, х = supx„
булсин. Бу ^олда ?£ар хандай и натурал сои учуй zn=x
ва Ул—хп кетма-кетликлар таърифдаги кетма-кетликлар
вазифасини бажаради.*
Шу ни айтиб утиш керакки, (о)- яхинлашувчи {хл}
кетма-кетлик чегаралангандир, чунки хаР хандай п учун
5-теорема. ю ва {я'л} кетма-кетликлар берилган
булиб, хар кандай п натурал сон учун хп < х'п бул-
син. Агар х= (о)Пшх„ ва х' = (o)limxzn мавжуд булса,
у холда хч£х'.
Исбот. Лимитнинг таърифига асосаи шуидай (z'n),
{yj кетма-кетликлар мавжудки, z’ п монотон камаювчи
булиб, inf z'n=x'\ уп эса монетой усувчи булиб, sup
уп = х ва у„<хл1 х'п < z'n. Бу холда хар хандай т ва п
натурал сонлар учун
Уп < г’
6.1-§ даги г) хоссага асосан
*=sup у„ < inf z'm=x'.*
Натижа. Берилган яхинлашувчи кетма-кетлик фа-
Хатгина битта (о)- лимитга эга булиши мумкин.
6.3- §. Буль алгебралари
Агар панжарада энг катта (энг кичик) элемент мавжуд
булса, бу элемент бир (ноль) дейилади ва 1 (0) бир
(ноль) элементи билаи белгиланади. Дистрибутив панжа-
ра ларнинг му хим синфи Буль алгебраларидир.
Таъриф. Бир ва ноль (0^=1) элемеитларга эга булган
дистрибутив Е панжаранинг хар бир х элементи учуй
x\JCx~\ ва хАСх=0 теигликларии ханоатлантирувчи
Сх элемент мавжуд булса, Е Буль алгебраси дейилади.
Сх элемент х га нисбатан тулдирувчи элемент дейи-
лади.
1-теорема. Буль алгебрасининг хаР бир х эле-
менти ягона тулдирувчи элементга эга.
Исбот. у ва z элементлар х элементнинг тулдирув-
чилари деб фараз хилайлик, яъни х Д У = - О,
х \j у х \/ z = \, у холда 6.2- §, 3- теоремага мувофих»
ИЗ
У =у\/О=у V(*A2)=(VV*)A(yVz)==lA(y \/2)=У V2,
z^z\J0^z\/(x/\y)=(z\/x)f\(z\/y)^\/\(z\/y)=2\/y,
ЯЪНИ У=2.#
2- теорема. Тулдирувчи Сх элемент куйидаги
хоссаларга эга:
а) каР кандай х£ Е учун
С (Сх)~ х;
б) агар яДу=О булса, у холда х^Су;
bJ х < у ваСх^Су эквивалент тенге изликлардир,
г) М^Е туплам учун \J М (еки /\М) мавжуд
булса, у холда С (V М)~ /\СМ(С(/\М)=^\] СМ), бу
ерда CM~{Cmzm^M}.
Исбот. а) хосса тулдирувчинииг таърифига биноан
1-теоремадаи келиб чикади;
б) х\/Су элемеитии а билан белгилаймиз. Сунгра
а V у = (* V Су) V у = х V (Су V у) = х V 1 = I,
а А У = (^ V Су) Л У = (л: А У) V (Су А У) = О V 0=0
Куриниб турибдики, а — Су, демак, Су = х V Су, яъни
яг-^Су;
в) агар х < у булса, бу колда х Д Су = (я: А у) А
А Су = х А (у А Су) = х А О = О; б) хоссага биноаи
х /\ Су ~ О дан Су^Сх келиб чикади. Шуига ухшаш,
Су<ССх дан х^у келиб чнкади;
г) т £ М булса, у колда т -< V М, яъни Ст С (V М)
ёки С (V М) элемент СМ туплам учун куйи чегара.
Агар z элемент СМ туплам учуй куйи чегара, яъии
Кар кандай т£М учуй z^Cm булса, у к°лда Czdz-m ва
Cz'^V М. в) га биноаи z<CC(\/M). Бу тенгсизлик
ихтиёрий куйи чегара учуй уринли булгани туфайли,
AC7W=C(V М) келиб чицади. Шуига ухшаш, \/С/И=
=С(/\ М) теиглик кам исботланади.*
3-теорема. М cr Е туплам учун V М (ёки /\М)
мавжуд булсин деб фараз килайлик. У холда кар
Кандай е^Е элемент учун куйидаги тенгликлар
уринлидир:
е А (V А[)= V (е Д т) (е V (А М) = А (е V т))
тСм тСм
(умумлашган дистрибутив конунлар).
Исбот. Хар Каидай т£М учуй \/ М^т булгани
туфайли е А (V М) > е А т, яъни е А (V М) элемент
{е Д т, т£М} туплам учун ю^ори чегарадир. Энди
144
z^E шу туплам учун ихтиёрий юцори чегара булсин,
яъни z^>e /\ту т^М. У холда хар бир т£М учун
z \/ Се 2 (е Д т) V Се = (е V Се) /\(т\/ Се)^=
— 1 Л (т V Се) ~-т\/ Сё^> т,
яъни z V Се^> V М. Бундан
z = z\j 0 = z V {е Л Ce) = {z\J е) /\(г\/ Се) >
e)K{\J М)> е K(\J М).
Шуидай килиб, Ихтиёрий z говори чегара учун z^e Д
Д (V ДО уринли, демак, е Д (V М)—аиик юкори чегара,
яъни
V (е /\т) = е/\(\/ М).
гп£.М.
Шунга ухшаш, е \/ (Д М) = Д (е \J т) теиглик хам ис-
ботланади.»
Мисоллар. 1. Д ихтиёрий туплам булиб, Е унинг
барча кием тупламларидаи иборат система булсин. Икки
Л, В^Е туплам учун Ас.В булса, у холда А-АВ дейи-
лади. 6.1-§ даги 4-мисолда Е нинг дистрибутив ланжа -
ралиги 142 - бетда курсатилган эди. Бу панжарада 1 эле-
мент Д тупламнинг узи, О элемент эса буш тупламдан
нборат. А£Е элементнинг тулдирувчиси СЛ=Д\Л туп-
ламдир. Хосил булган Е Буль алгебраси 2й билан белги-
ланади;
2) Z туплам /[0,1] сегментнинг Лебег маъносида
улчовли кием тупламларндан иборат булсин. Демак,.
Zc2z . Маълумки, 0 (=0), / (=1) £Z ва a, b£Z булса,
a {J b ва а П Ь хам Z нинг элементлари булади. Демак,
Z дистрибутив панжара ва 1,0 га эга. Лебег маъносида
улчовли а тупламнинг тулдирувчиси Са—1\а хам ул-
човли булгани учуй Z Буль алгебрасидир;
3) Д ихтиёрий чексиз туплам булсин. Е оркали Д нинг
чекли ёки тулдирувчиси чекли булган кием тупламлари
системасини белгнласак, бу система 1) мисолдаги 2й Буль
алгебрасининг кисми булади ва узи хам 2Л даги кисман
тартибга нисбатаи Буль алгебрасини ташкил килади.
Таъриф. Е Буль алгебрасининг ихтиёрий кием туп-
лами (ихтиёрий санокли кием туплами) супремумга эга
булса, Е тула (а- тула) дейилади.
2- теоремадагн г) хоссадаи куйидаги натижа келиб
чикади.
10—239
145
Натижа. Тула (а-тула) Буль алгебрасида хар кандай
туплам (хар кандай санокли туплам) инфимумга эгадир.
Мисоллар. 1) 2й Буль алгебраси туладир; 2) мисол-
даги Z Буль алгебраси тула эмас, лекин о- туладир; 3)
мисолдаги Е Буль алгебраси Хатто а-тула эмасдир. Буни
курсатиш учун Д тупламни хар бири чексиз булгаи At
ва Д2 тупламларга ажратамиз. Сунг /Ист А, санокли туп-
лам ва Вт—{т}., (т£М) бир нуктадан иборат булгаи
тупламлар булсин. Е нинг таърифига биноан Вт£Е. Am-
mo \] Вт£Е, чунки М тупламнинг узи хам, тулдирув-
чиси хам чексиз.
6.4- §. Вектор панжаралар
Таъриф. X туплам бир вактда вектор фазо ва пан-
жара булсин. Куйидаги шартлар бажарилса, X вектор
панжара дейилади:
1) агар булса, хар' кандай z^X элемент учун
x+z>y+z;
2) агар я > у булса, хар кандай X > О хакикий сои
учун Хх^Ху.
Мисоллар. 1) Rn вектор фазода кисман тартибни
Куйидагича киритамиз:
* = (*ь х2, .. . , ля)>у=(у1э у2, ... , ул),
агар ^1>У1, у2. , .. . , > ул булса.
Равшанки, бундай кисман тартибга нисбатан Rn век-
тор панжара хосил килади;
2) s фазо хам илгарн киритилган алгебраик амаллар
Хамда кисман тартибга нисбатан вектор панжарага мисол-
Дир;
3) 1р фазо, р>0. Бу фазо куйвдаги шартни каноат-
лантирувчи {хл} хакикий сонлар кетма-кетликлари фазоси:
<х>
2 wp< °° •
П=1
Бу фазода хам алгебраик амаллар ва кисман тартиб
координаталар буйича киритилади. Агар ху у£1о булса,
у холда х-ру ва х\/у хам 1р нинг элементларн булишини
исботлаш керак.
Хар кандай а > 0, р > О хакикий сонлар учун a -J- р 2а
146
ёки а 4- Р < 2₽, яъни < 2Ра.р ёки (а -J- р)р - 2?$Р. Хар
икки холда хам: _
(я + р)₽ 2Р(аР 4- рр).
Бу теигсизликии х ва у элементларнинг мос координата-
ларига кулласак, дуйцдаги тенгсизлик досил булади:
К + У„1₽ < (1*„| + 1у „IX < 2Р(|х„р +1у„Р).
Бу тенгсизликларнинг п га нисбатан йигиндиси олинса,
ушбу
©о / ©о ©о .
21*»+у«1р <2Р (2 w₽+2 ы₽) < + «>
п==1 'п=1 И=1 /
тенгсизлик келиб чикади, яъни х-\-у £ 1р.
Хар кандай п=1,2, . . . учун
l*„ Vy„l< W V 1у„1<К |+1у„|,
яъии
©О сю
2(м-+1уп1)р<°°-
п—1 п—1
Шунинг учун х\/у£1р-
Вектор панжараларнинг баъзи элементар хоссаларини
келтирамиз.
а) х>у ва х — у 0 тенгсизликлар тенг кучлидир.
Хакнкатан, х>у булса, у холда 1) га асосан .%+(—у)>
->У4-(—у)> яъни х—у^в. Аксинча х—у 0 булса, яна
1) га асосан х—у4-у>яъии х^у.
б) агар х^>у булса, — х^,-~ у. Дархадицат, х
булса, у холда х — у ^®, яъни ( — у) — ( — х) G.
Демак, — у >- —х.
в) агар х^у, z^u булса, хz^>y-%-и. Хакица-
таи, х^>у ва z булгани учун х—у^ 6 ва z—ti^8.
1) аксиомага асосаи (x~y)~[-(z—ii) G-]~z—u-=z~u > G.
Тенгсизликнинг транзитивлик хсссасига биноан (х—у)4~
4 (г—zz)>6; яъии
(x?+z)—(у+а)=(%—y)4-(z—«)> 6.
Демак, x-^z^-y-\-u.
г) агар х^>у ва ХсО булса, Хх<лу. Дархадидат,
булса, —А>>0; 1) га асосан —Ху;
б) га асосан Хх<^Ху.
147
1-теорема. X вектор панжара, х6 (§£Г) унинг
элементлари булиб, y=sup (—х%) мавжуд булса, у
ебг
Холда —у—inf х^
t£r
Исбот. у^>—х$ булгани учун б) га биноан —у •< х^ ,
EG Г. Энди z£X хар хандай Хсдан кичик элемент бул-
са, у холда —л^ва —z5>y> яъни у. Бундан
инфимумнинг таърифига асосаи
—y^inf
2-теорема. X вектор панжара ва х? (% G Г) унинг
элементлари булсин. Агар supx^ мавжуд булса, у
Холда цуйидаги тенгликлар уринлидир:
1) y+sup xk =sup (у+^е), у 6Х;
ебг абг
2) A sup jce =sup (Ах=), А ^0, AC R\
ебг £бг
3) Xsupxg =inf (AXs), А<^0,
-бг ебг
Исбот. supX£ элементен х билан белгилаймиз. Рав-
ебг
шанки, у<у-|-х тенгсизлик хар хандай ЕбГ ва
убХ учун уринлидир. Агар zQX шундай элемент бул-
саки, уфл^^г тенгсизлик хар хандай учуй бажа-
рилса, у холда —у. Шунинг учуй x<^z— у ёки
х | y<;z. Бундай a?+y=sup (у-рсе), яъни 1) тенглик
вбг
уринли.
Агар А=0 булса, 2) тенглик уз-узидан равшан. Шу-
нинг учун А>0 деб хнсоблаймиз. Вектор панжаранинг
таърифидаги 2) шартга биноаи хар каидай учун
Ахе <Ах тенгсизлик бажарилади. Агар zQX шундай
элемент булсаки, хар хандай ££Г учун Ахе <2 тенгсиз-
лик бажарилса, у холда х^ г, бундан ху z ёки
Ал: < z. Шундай хилиб, Ax=sup (Ах^), яъни 2) тенглик
исботланди. £бг
Сунг юхоридаги 2) тенгликка биноан
sup {1А|х^ }=|А]х.
£бг
1-теоремага асосан Х<0 булса,
inf{Axe }=з— sup(|A|%£ } = — p|x=sAx=A supx^
сбг s6r Ебг
148
Натижа. X вектор фазода цисман тартиб киритилган
булиб, вектор панжара таърифидаги 1) ва 2) шартлар
бажарилса ва цар кандай xQX учун х\/ в мавжуд бул-
са, у цолда X вектор панжарадир.
Бу натижа куйидаги муносабатлардан келиб чикади:
К*-у) V 6] + у = к V у» х А у = - [(- х) V (- y)k (1)
3-теорема. Хар кандай х, у учун ушбу тенг-
лик уринлидир:
(х V У) + (х А у) = х + у.
Исбот. 2-теореманинг натижасидаги (1) форму лага
ва 2 теореманинг 1) иборасига биноан
* V у = 1(* — у) V е1 + у = К- у) V (- *)] +у-
1-теоремага биноан
( у) V (-*)=-(* А yl-
Шу нинг учуй
x V у=х+у-(* А у)>
яъни
(* V У) + (* Л у)=*+у *
Таъриф. X вектор панжара ва х унинг бирор эле-
менти булсин. х+~х V 6 элемент х нинг мусбат кис ми,
х— = (—х) V ® элемент х нинг манфий цисми, рс| =
Я—элемент эса х нинг модули дейилади. Агар
л:>-6 булса, х мусбат элемент дейилади.
Таърифдан равшанки, цар кандай х С X элемент учун
х+, х~, |я:| мусбат элементлардир. Агар х > 6 булса, у
цолда х+—х, Х- = 0, яъни |jc|=x.
Мисол. 4) s фазода х~{хп}^ элемент берилган
булсин. Бу цолда х+= {х+}™=1, *-=={*„}“=!» бу ерда:
х1 = агаР хп>0 булса,
п |0, агар xn<zf) булса,
10, агар хп^0 булса,
" агар хпсО булса.
/?л, 1р фазоларда цам х+, ва |л:| элементлар шунга
ухшаш аник ланади.
149
4-теорема. X вектор панжарадаги $ар кандай х
элемент учун
AZ»_ ___ у
*V-»А?—1- Л—«
Исбот. 3- теоремага асосан
х=х -j-0=(x\/G) 4 (х/\ G)=xH_--[(—x)\/G] —х+—х_.#
5-теорема. Вектор панжарада дуйидаги муно-
сабатлар уринли:
a) .(x+y)+<x++y+, (х+у)-<*-+У-;
б) агар булса, (Хх)+=Хх+, (Хх)^=Хх_;
в) агар Х<,0 булса, (кх)+=—ix^, (Ах)_=—Хх+
г) к+у|<И+1у|;
д) 1И=1Х1-М;
е) |х| = 6 <=> x=>G;
Исбот. а) х+^х, У+^-у булгани учун х++уД>
ва л:++у+^-б булгани учун х++у+^>(х+у)\/
\/e=(x+y)+.
Шунга ухшаш (х+ у)_ <х-+ У- тенгсизлик хам
исботланади.
б) ва в) хоссалар 2-теоремадан келиб чикади.
г) Исботланган а) хоссага биноан
(*+у)+<Лч-+У+ ва (x-f-y)_<x_-|-y_,
демак,
(х+у| = (х4-у)+Ч- (x4-y)_<x4-+y++x_4-y_=[xj-p |у|.
д) хосса б) ва в) хоссалардан келиб чикади.
е) |х|=е булса, бу холда х+—х_=6, яъни %=6.#
Энди хар кандай вектор панжаранинг дистрибутив
панжара эканлигини исботлаймиз.
6-теорема. Х&Р цандай X вектор панжарада
умумлашган дистрибутив цонунлар Уринлидир, яъни
мос равишда supyg ва infyg мавжуд булса, у ^олда
R£r б£г
ж) х A (supyE )=5ир(л: л У& );
'££г
з) х V (infyE )^inf(jc V УЕ )-
Е£г б£г
Бу теоремаии исботлашни куйидаги леммадан бош-
лаймиз.
150
Лемма, {xg} gGr вектор панжара элементлари бу-
либ, x=supx g мавжуд булснн. Бу ^олда ушбу
х |.=supx±, х_=inter
тенгликлар уринлидир.
Исбот. Ассоциативлик кон у иига асосан (6.1-§,
1-теорема)
х.\ ==xVe = (supXg)\/6=SUp(X& V 6)=supx±.
££Г
Эиди иккинчи тенгликни исботлаймиз, яъни
х_—inter.
x>xg булгаии сабабли х~ хг тенгсизлик бажарилади.
Агар у G А шуидай элемент булсаки, у дар кандай х^
элементдан кичик, яъни у х^ (| £ Г) булса, у долда
—у>—xj-=xg — я+, яъни х+—у>х* . Бу тенгсизликда
супремумга утсак ва юцорида исбот цилинган биринчи
тенгликдан фойдалансак дуйидаги тенглик досил булади:
х+~У ^>х=х+ ~~Х_,
яъни—у >—X- ёки у^х_. Шунинг учуй inf нинг таъ-
рифига асосан х_=inter. Лемма исботланди.
6
Е£Г
Теореманинг исботига утамиз.
ж) у ~sup yg мавжуд деб фараз килайлик. Бу ^олда
2- теоремага асосан у—х—sup (yg — х), Леммага биноан
*Gr
(y-x).^inf [(уе-х)-].
►€г
1- теоремага асосаи,
“(y-x)_=sup 1—(уе—х)_],
яъии
(y~*)A6=sup [(Уе—х)Д6].
151
Бу тенгликнинг икки томонига х элемент цушилса,
ушбу
уДх-sup (у& Дх)
теиглик хосил булади. Демак, ж) исботланди.
3) Исботланган ж) форму лада х урнига—х, yg урни-
га—yg ни олсак, куйидаги формула хосил булади:
yA(-x)=sup [(—У|)Д(—х)] (бу ерда y=sup (-у£))
Кг Кг
ёки
—(“У V*)=sup [-№ V *)1=—inf (уЕ V %) ёки
Кг
—у\М=‘п! (Уб V *)
=€г
Аммо бу ерда 2-теоремадаги 3) га асосан
y=sup (-yg )=—infy§ .
Кг Кг
Демак, — y—infyg. Шунинг учун
Кг
(inf y£)V^=inf (у£ V х).*
Кг Кг
Бу параграфни „бир“ли вектор панжараларни урганиш
билан якунлаймиз.
Таъриф. X вектор панжаранинг „бир“ элементе деб,
Хар хандай х мусбат элемент учун ушбу хД 6 муио-
сабатни ханоатлантирадиган мусбат 1 элементга айтилади.
Дар хандай вектор панжара хам бирга эга булавер-
майди. Масалан, X шундай хакихий сонлар кетма-кетлик-
ларидан иборат булсинки, бу кетма-кетликларнинг нолдан
фархли координаталарининг сони чекли булсин. Бу холда
X Вектор панжара, аммо бирга эга булмайди.
Шуни хам айтиб утиш керакки, агар 1 бир булса^ бу
Холда, масалаи, XI хам бир булади (X 2> О— хахихий сон),
яъни агар X вектор панжарада бир мавжуд булса, бу
бирларнинг сони чексиздир. Шунинг учун бирли вектор
панжара курилганда, бир тайииланиб хуйилган деб фараз
киламиз ва у ни 1 билаи белгилаймиз.
Таъриф. X бирли вектор панжара булиб, е унинг
бирор элементе булсин. Агар еД(Г'—е)=?0 булса, у холда
152
е бирлик элемент дейилади. Бирлик элементлар тупла-
мини X нинг базаси деймиз ва V (X) билан белгилаймиз.
Равшанки, е ва 1—е^в, яъни кандай е бир-
лик элемент учуй 6<е<1 тенгсизлик уринлидир. 6 ва
1 хам базанинг элементларидир.
Мисоллар- ва 5 фазоларда базаиинг элементлари
координаталари О ва 1 дан иборат булган элементлардир.
Бу фазоларда бир сифатида мос равишда (1, 1, ... , 1)
ва (1, 1, ...) элементлар олинади.
Базанинг таърифидан куриниб турибдики, е базанинг
элемента булса, 1—е хам базанинг элемеитйдир.
7-теорем а. X бирли вектор панжара булиб,
VfX) унинг базаси булсин. Бу холда vfX) панжара
Хосил кклади. Агар {е%} бирлик элементлар тупла-
ми булиб, e=supeg, fe'~infegj мавжуд булса, е (е')
5£г ££Г
Хам бирлик элементдир. Бундан таищари, \у(Х)
узидаги цисман тартибга нисбатан Буль алгебраси-
ни хосил цилади ва е G \7 (X) элемент учун 1—е эле-
мент унинг тулдирувчисидир.
Исбот. e=supeg мавжуд деб фараз килайлик. Ушбу
*€г -
6^1 — е 1 — eg муносабатлар хар бир индекс учун
уринли ва eg Д (1—eg)=0 булгани учун eg Д (1—е)=8
лам уринлиДир. Дистрибутивлик цоиуиига асосан
еД(1-е)=(зт )Д(1—e)=sup [eg Д(I-е)] = 6,
Б£г ££г
яъни е£ V (А).
Агарда e'—Infeg мавжуд булса, у холда—e'=sup (—eg)
ва 1 — е' = sup (1 — eg). Сунгра 1 — eg С V (X) булгани
учун, юцорида курсатганимизга асосаи, 1 -^е' С v ОТ»
яъни е'С V ОТ-
V (А) туплам X панжаранинг кисми булиб, X да
дистрибутивлик цонунлари уринли. булгани учун V (АГ)
Хам дистрибутив панжарадир, Бундан та шцари, 0=0 ва 1
элементлар v (X) даги энг кичик ва энг катта элемент-
лардир, чунки юцорида айтилгаиидек, хар бир е бирлик
элемент учун 6<Ге«Л муносабат уринлидир. Таърифга
биноан еД (1—е)=0. 3- теоремага асосан
153
Демак,
eVO—е)=1.
Яъни 1 — er элемент е элемеитнинг тулдирувчисининг хос-
саларига эга, шунииг учун Се~1—е. Шундай килиб,
V (X) Буль алгебрасидир.*
6.5- §. Цисман тартибланган топологик вектор
фазолар
Е ^акикий вектор фазо булиб, унда бирор кисман
тартиб киритилган булсин.
Таъриф. Агар Е да куйидаги икки шарт бажарилса,
у цисман тартибланган вектор фазо дейилади.
1) агар х ^у булса, у холда ихтиёрий z£E учун
x-J--z>y~Hz;
2) агар х >у булса, у холда ихтиёрий мусбат сон X £ А
учун
Хх^-Ху.
Равшанки, хар бир вектор панжара кисман тартиб-
ланган вектор фазодир.
Кисман тартибланган вектор фазодаги тартибни конус
ёрдамида хам киритса булади. Вектор фазонинг К кисми
l)A4-AcA,2) ХАсгА(Х>0), 3) Af)(— А) = {е> шарт-
ларни каноатлантирса, К конус дейилади. Равшанки,
Кисман тартиблаигаи Е вектор фазонинг мусбат элемент-
лари туплами Е^={х^Е\ конусдир. Дархакикат,
ихтиёрий, л:,убА+ учун 1) шартга асосан х-\-у^х^в,
яъни Е+ \ E\.czE+ ва 2) шартга асосан ихтиёрий х£Е+
ва Х>0 учуй lxQE+t яъни ХА+ cz Е+. 3) шарт равшан.
Аксинча, Е вектор фазода бирор К конус берилган
булсин. Е да кисман тартибни куйидагича киритамиз:
(х>у) <=> х—у £ К.
Бунда Е кисман тартибланган вектор фазо ва Е+—К
эканлиги бевосита текширилади.
Е кисман тартибланган вектор фазо, Е эса унинг
мусбат элементларидан иборат конус булсин. Ушбу
[х, у] =(-&+£+) П (у—£+) белгилашни киритамиз. Бунда
[jc, у]—{г б А: х^г<у] булиб, бу туплам Е даги
интервал дейилади.
Агар Е фазонинг А кием туплами бирор интервалда
154
ётса, А туплам тартибан чегараланган, цисцача, (о)-
чегараланган дейилади.
А тупламнинг цисман тартибланган фазода (о)- чега-
раланган булиши барча xQA учун тенгсизликни
Каноатлантирувчи а£Е элемент мавжудлигига тенг
кучли.
Агар ихтиёрий х,у£А элементлар учун, x^Zy экан-
лигидан [х,у]сдА булиши келиб чикса, А туплам (о)-
цавариц деб аталади. Масалан, кар бир интервал (о)-
цаварицдир.
L нинг ихтиёрий А цисм туплами буйича
М]=(А+£+) П (A-£+)= и[х, у]
туплам тузайлик. У А тупламни уз ичига олган энг
кичик (о)- кавариц туплам эканлигини пайкаш осон.
Шуиииг учуй [А] туплам А нинг (о)- цавариц цобши
дейилади. Доим А с [А] муносабат уриили. А = [А]
тенглик бажарилганда ва фацат шу цолда А туплам (о)-
цавариц булади.
Агар ихтиёрий х £А, у £Е элементлар учун | у | <|х|
тенгсизликдан у£А муносабат келиб чикса, А туплам
жисмоний туплам дейилади. Хар бир жисмоний туплам
мувозанатланган эканлиги равшаи. Жисмоний тупламнинг»
Каварик кобиги яна жисмоний туплам булишини курса-
тиш мумкин.
Мисол. х вектор панжарада жуфт номерли коорди-
наталари иолга тенг векторлардан иборат туплам жисмо-
нийдир. Ха^и^атан, у = {yz } £s, х — {я:/ } векторлар
учун ]у|<|я:| тенгсизлик бажарилиэ, х2л=0 («=1, 2, . . . ,)
булса, у цолда у2я=0.
Е кисман тартибланган вектор фазо булсин. (х, у)->
->я:Ду, (*»y)—>x\jy амаллардаи иборат ЕУ^Е нинг Е
га акслантйришлари цамда я:->|я:| мослик-
лардан нборат Е нинг уз-узига акслаитиришлари (о)-
операциялар [(о)- амал лар\ дейилади.
1-теорема. Фараз цилайлик, Е, бир томондан,
топологик вектор фазо, иккинчи томондан, цисман
тартибланган вектор фазо булсин. У цолда (о)-
операциялардан ихтиёрий бирининг узлуксизлигидан
бошцаларининг узлуксизлиги келиб чицади.
155
Теореманинг уринлилиги х-|-у, Хх амалларнинг узлук-
сизлигидан ва ушбу
х\/у=; - {(—х)Д(—у)}, *-= (—*)+». И=х-}-2х_,
•*Лу = -
муносабатлардан бевосита келиб чикади.*
Е кисман тартибланган топологик вектор фазо булсин.
Агар Е да ноль элементнинг (о)- каварик атрофлари ба-
зиси мавжуд булса, Е+ конус нормал конус дейилади.
Нормал конусли Е фазода нолнинг мувозанатлацган
атрофлари базиси топилади. Буиинг устига Е локал ка-
варик фазо булса, унда бнр вактда ^ам каварик, кам
(о)- каварик атрофлари базисини куриш мумкин.
Таъриф. Агар Е топологик вектор фазо бир вактда
вектор панжара косил цилиб, нолнинг жисмоний атроф-
лари базисига эга булса, у топологик вектор панжара
дейилади. Агар шу билаи бирга Е нинг топологияси ло-
кал каварик булса, Е локал цавариц вектор панжара
деб аталади. Тула метрикаланувчи локал каварик вектор
панжара, кискача Фреше панжараси деб юритилади.
Масалан, Rn ва $ Фреше панжараларидир. Е нормаланган
фазо ва шу билан бирга вектор панжара булса, ва |х| < |у|
тенгсизликдан ||xj|sg:||y[| келиб чикса, Е нормаланган
панжара дейилади. Тула нормаланган панжара кискача
Банах панжараси деб юритилади.
Мисол. С [а, Ь] Банах фазосида кисман тартибни
куйидагича киритамиз:
(/<£)<==>/(0 V t€ \atf,gGС [a,h\.
Равшанки, бунда С[а,Ь] вектор панжара ва |/| (t}~ [/(£)].
Демак, |/|<Jg| булса, у колда
||/J|=max|/(/)Kmax |£(/)|=|]g-||,
Д [Я. 6] /б [с. fr]
яъни С [а, 6]—Банах панжараси.
Куйидаги теорема берилган фазонинг топологик вектор
паижара эканлигини амалда тек ширит да цулайлик яра-
тади.
2-теорема. Е топологик вектор фазо хам,да
вектор панжара булсин. Е топологик вектор пан-
жара булиши учун унинг Е+ кону си нормал ва (о)-
операциялар узлуксиз булиши зарур %ам кифоя.
156
Исбот. Е топологик вектор фазо, 2=М ноль
элементнинг жисмоний атрофлари базиси булсии. U б 2
атрофнинг жисмонийлиги туфайли О У ва yQU
шартлардан х С U келиб чикади. Нолнинг ихтиёрий V
атрофига кура, U~\-UaV булган атроф топамиз.
Энди нолнинг W—Wcz U шартии каноатлантирувчи W
атрофини топиб, У*=ё/П1У тупламни караймиз. Агар
V*eV эканлигини курсатсак, бундан Е фазода нолнинг
(о)- каварик атрофлари базиси мавжудлиги келиб чикади.
Шу максадда x£V* деб фараз килайлик, Бу колда
х' <х <х" шартни каноатлантирувчи х', x\U fl W
элементлар топилади. я:"— х' £W— Wt^LE булгани учун
ОО—х'^х"—х' б демак, х—x'QU. Шуидай килиб,
х = (% — x') + x'£U-l-U<zV. Бундан Е фазонинг Ё+
конуси нормал эканлиги келиб чикади.
Энди (о)- амалларнинг узлуксизлигини курсатамиз.
1- теоремага асосланиб, улардан бирининг, масалан, х->х±
амалнинг узлуксизлигини курсатиш етарли: ва
х—xg£U булсин. |х+Ч-(л:0)+ |<рс—jc0| тенгсизликдан ва
I) атрофнинг жисмонийлигидаи х+ — (x0)+£U келиб
чикади.
Шу билан теореманинг зарурийлик кисми исботланди.
Аксинча, Е фазонинг Е^ конуси нормал ва (о)- амаллар
узлуксиз булсии, Е топологик вектор фазода иолнинг
жисмоний атрофлари базисини к У рамиз. Бунинг учун
нолнинг (о)- каварик мувозанатлангаи атрофлари базиси
Е={У} ни оламиз. Хар бир У£Е учун U+uczV булган
U £Е атроф мавжуд. Бунга кура x£W дан x+6U келиб
чикадиган 1У£Е атроф танлаймиз. иинг узлуксиз-
лигига асосан буидай W атроф мавжуд.
Шундай килиб, xQW булса, — х£ IV7, демак, x±£U,
(—x)^QU. Бундай QU+UczV. Ни^оят,
1у1<И, x£V7 булса, у£[—|х|, |лг|] с: У келиб чикади.
Бу эса W атрофнинг жисмоний кобиги булган {у G
бирор х G W учун |у| < И) туплам V атрофда ётадк, яъни
Кар бир У£Е атрофга нолнинг жисмоний атрофини жой-
лаштириш мумкин, демакдир. Талаб килинган базис
курилди.#
3- теорема. Е топологик еектор панжарада унинг
мусбат элементлари конуси Е+ ёпиц тупламдир.
Исбот. £,+ = {xG£': ^>6} тенгликдан Е+ конус
х-^х- узлуксиз акслаитиришда 6 нинг преобрази, шу
сабабли ёпик туплам булиши келиб чикади.#
4-теорема. Е нормал конусли топологик еектор
157
фазо булсин. Бу холда хар бир (о)- чегараланган
цисм туплам топологик маънода чегараланган
булади.
Исбот. ^_={Б} нолнинг (о)- завари к мувозанатлан-
ган атрофлари базиси дейлик. Агар Acz[a, булса,
берилган U атроф учун laQU, U буладиган X мусбат
сонни танлаймиз, U нинг (о)- цаварицлигидан Х[а, b]cU.
Буидан [а, 6] интервалнииг ва демак, унинг цисми бул-
ган А тупламнинг топологик маънода чегараланганлиги
келиб чицади.*
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. В тугри чизикдаги х ва у элементлар учун х—у
айирма рационал сон булса, биз х>у дейлик. Бу муно-
сабат цисман тартиб буладими?
2. Rn фазодаги цисмаи тартибда (6.1-§, 1- мисол)
цандай тупламлар чегараланган булади?
3. Текисликда (2- масала, п—2) маркази ноль нуцтада,
радиуси бирга тенг булган ёпик шарни оламиз. Бу туп-
ламнинг супремумини, инфимумини, максимал ва минимал
эдементларини топинг.
4. Текисликда шундай цисман тартиб киритингки, бун-
да у чизицли тартиблаиган (яъни занжир) булсин.
5. s, т фазолар координаталар буйича киритилган
цисман тартибга нисбатан пан^ара эканлигини исботланг.
6. Панжара булмаган цисман тартиблаиган тупламга
мисоллар келтиринг.
7. Бирор М тупламнинг чекли цисм тупламларидан
иборат булган X тупламда одатдаги цисман тартибни
оламиз (AczB=> А^В).
а) X нинг панжара эканлигини исботланг;
б) X панжара шартли тула ми? Кандай М тупламлар
учун X тула панжара булади?
8. X ихтиёрий Буль алгебраси булсин. ре— у] орцали
(лгДСу) V (СхДу) элементни белгилаймиз. Куйидаги му-
носа батларни исботланг.
а) *=1у-рс—у!|;
б) kvy—х\М)^|у-4
в) 1*Ау—*аМ^(у—2|;
г) I*—y|=*Vy—-*Ау.
Бу ерда х—у=х(\Су.
9. 6.3- §, 3- мисолдаги Буль алгебраси тула цам эмас,
158
о- тула зам эмаслигиии курсатган эдик. Шу Буль
алгебрасиии уз ичига олувчи тула (а- тула) Буль ал-
гебрасини топинг.
10. С[а,Ь] вектор панжарада бир мавжудми?
11. С[а6] вектор панжаранинг займа бирлик эле-
ментларини топинг.
12. S[a,6] орцали [а,Ь] оралицда Лебег маъносида
улчовли функциялар фазосини белгилаймиз ва S {а, да
цисман тартибни С[а,Ь] фазодагидек аниклаймиз. S [л,
вектор панжара эканлигини исботланг.
13. Юцоридаги 10, 11- масалаларни S[a,6] вектор
панжара учун ечинг.
II к и с м
ОПЕРАТОРЛАР НАЗАРИЯСИ
VII боб
ТОПОЛОГИК ВЕКТОР ФАЗОЛАРДА УЗЛУКСИЗ
ОПЕРАТОРЛАР
7.1- §. Узлуксиз чизикли операторлар
Е ва F топологик вектор фазолариинг бирини иккин-
чисига акс эттирувчи Т чизикли оператор берилган бул-
син (1.6- §).
Агар Е ва F даги топологияларга нисбатан Т опера-
тор узлуксиз булса, у узлуксиз чизикли оператор
дейилади.
1-теорема. Е топологик вектор фазони F то-
пологик вектор фазога акс эттирувчи Т чизицли
оператор узлуксиз булиши учун у ноль нуктада уз-
луксиз булиши зарур ва кифоядир.
Исбот. Зарурлиги уз-узидан равшан.
Кифоялиги. Т® = G1) муиосабатдаи ва Т оператор-
нинг ноль нуктада узлуксизлигидаи F фазодаги 6 эле-
ментнинг ихтиёрий V атрофи учун Е фазода G элемент-
нинг шундай U атрофи мавжудлиги келиб чи'кадики, улар
учун ушбу
Т (U) cz V
муносабат уринли булади. Агар £ = {[/}—нолнинг атроф-
лари базиси ва хб F ихтиёрий элемент булса, у колда
х нииг атрофлари базиси {х 4 U} куринишга эга булади.
Демак,
Т (х + U) = Тх + Т (U) с Тх + V.
Бу муносабатдан операторнинг ихтиёрий х нуктада узлук-
сиз эканлиги бевосита куриниб тури бди.*
1- натижа. Агар Т чизикли оператор бирор х0 £ Е
нуктада узлуксиз 1 булса, у колда Т узлуксиз чизикли
оператордир.
1) Кулайлик^[м2ксгдида, Е ва F фазолариинг ноль элемент-
ларини битта б^дарфи билан белгилаймиз.
160
2-натижа. Агар Е ва F метрикаланган топологик
вектор фазолар булса, у холда Т чизикли оператор уз-
луксиз булиши учун ушбу
хп -> б => Тхп —> б
муносабат бажарилиши зарур ва кифоядир.
Мнсоллар. 1. Rn фазони узига акс эттирувчи чи-
зикли оператор Евклид нормасида узлуксиздир. Маъ л ум-
ки, Е = Rn фазони узига акс эттирувчи ихтиёрий Т чизик-
ли оператор ушбу
Т = j<n
курииишдаги матрицалар ёрдамида а них ла на ди. Бу холда
бирор х’ б Rn элементнинг тасвири булган у' ~ Тх'
— (Ур у2, - - - > У'п) элемент куйидаги ча аникланади:
у; = 2 aikx’k-
Демак,
\Тх - ТУП - ||Г (х - х’) II = |/J - х!) )2-
Коши — Буияковский тенгсизлигига би юаи
ЦТ*-7*'|1 <1/ a?lk- 1/ £ (хк-х’ку =
> /,й=1 /А Г £-1
= TH ||х — х'||.
М узгармас сон булгани учун х-+х' муиосабатдаи
Тх-^Тх' муносабат келиб чикади. Яъни Т —узлуксиз
оператор.
Rn фазодаги ихтиёрий чизикли фуикциэналиинг узлук-
сизлиги хам шунга ухшаш исботланади.
2. Е = F = C[O, 1] топологик вектор фазода Т опера-
торни куйидагича анидлаймиз:
I
у z= Тх = J АГ(/, х) х (s) ds.
о
Бу ерда s) функцияни [О, 1]Х[0, 1] тупламда уз -
луксиз деб фараз китамиз.
Бевосита куриниб турибдики, Т оператор С [О, 1]
фазони С [0,1] фазога акс эттирувчи чизикли оператор-
дир. Энди биз Т нинг узлуксиз эканлигини исботлаймиз.
11—239
161
С [О, 1] метрикалангаи топологик вектор фазо булгани
учун 2- натижага кура
хп -> 6 Тхп -> 6
муносабат ^риили эканлигини курсатиш кифоя. [О, 1] X
X [0, *1] туплам компакт булгани учун s) функция
чегараланган:
У Холда
1
Р е) = max | [ K(t, s) хп (s)ds | <Af max [x,,(sj | ==
odd q ocjci
= ЛЬр(хл, 6).
Демак, эканлигидан Txn->6 келиб чикади.
2- теорема. Е, F х,акш\'ий топологик вектор фа-
золар булиб, Т аддитив (яъни Т(х \у)=Тх\Гу
хоссага эга булган) ва узлуксиз акс эттириш бул-
син. У х,олда Т чизикли оператордир.
Исбот. Т операторнинг чизиклилигини исботлаш
учун 5нинг бир жинслилигиии, яъни ихтиёрий X хакиций
сон ва х € Е учун 7(be) ~\Т(х) муносабат уринли экан-
лигини курсатиш кифоя.
Агар X = п натурал сон булса, у холда Т оператор-
нинг аддитив лиги дан ушбу
Т (лх>Т(х + *+..-- + *>Т* + Тх-± ... + Тх=пТх
муносабат келиб чицади. Ушбу
7(6)« 7(0 +6)«Т(0) 7 (9)-2 7'(С)
теигликдан 7(G) —6 тенглик кегиб чикади. Бундан
Т (—х)-\-Т (х) = Т(х — х)=Т (в) —0, яъни
Т(—х)~—Т(х) муносабат келиб чикади. m манфий
бутлн сон булса, у холда \—т) — натурал сон. Шунинг
учун
Т{тх} = — 7 (- тх) ~ — {—т)Тх~т Txt
яъни 1(тх)~тТх муносабат ихтиёрий т бутун сон
учуй бажарилади. Энди р/# —ихтиёрий рационал сон
булсин, р, q — бутун сонлар; у холда
- т(р-~х'\=рт[Г\-
362
Е белгилаш киритсак, у холда
4т) = т® ва Т(ХУ =
\ У ]
ёки
r(f) = T© = -i-7'(x).
Демак,
= ^Т(х).
\ч ,) я
Ннхоят X ихтиёрий хадидий сон ва {>„} кетма-кетлик X
соига ядинлашувчи рационал сонлар кетма-кетлиги бул-
сии. У холда Т узлуксиз булгани учун
7 (Хх) = Г (Пт Хп х) = Нт Т (ьпх) — ПтХл Тх ~ X Тх.
П~*-оо П-^оо П->оо
Бу ерда биз топологик вектор фазода хадидий сонга
купайтириш амалининг узлуксизлйгидан фойдаландик.*
Е топологик вектор фазони F топологик вектор фазо-
га акс эттирувчи барча узлуксиз чизидлн операторлар
тупламини L(E,F) билан белгилаймиз.
Бу туплам 1.6- § да киритилган операторлар устидаги
амалларга нисбатан вектор фазодир.
Икки узлуксиз опера торн ин г йигиндиси ва узлуксиз
операторнинг сонга купайтмаси узлуксиз оператор лиги
топологик вектор фазодаги амалларнинг узлуксиз лиг и дан
бевосита келиб чикади.
Демак, L(E, F) вектор фазо Z(E,F) фазонинг (1.6- §)
вектор кием фазосидир.
Агар E = F булса, ЦЕ, F) уриига ЦЕ) ёзамиз. Агар
F = К сонлар майдони булса, L (А, К) фазони Е' б илан
белгилаймиз ва А га цушма фазо деймиз. Яъни Е
душма фазо Е да анидланган узлуксиз чизикли функ-
ционаллардан ташкил топган.
Е = F булган холда Z(E) ва L (А) фазочарда купай-
тириш амали киритиб, уларни халцага айлантиряш мум-
кин. Z(A) фазони халцага айлантириш учуй купайтма
сифатида операторларнинг композицияси А^В ни ол амиз:
А В = АоВ, яъни (АВ)х А (Вх).
163
Агар ихтиёрий х£Е учуй Ах~Вх булса, Л ва В опе-
раторлар бир-бирига тенг дейилади. Равшанки,
1) А(ВС) = (АВ)С‘,
2) А (В + С) = АВ + АС\
3) (В +С)А = £А4-СЛ
яъни Z (Е) ^алца; бу залка чизидли операторлар хал-
цаси дейилади. Узлуксиз операторлар купайтмасининг
узлукс) злиги узлуксиз акс эттиришларнинг композицияси
узлуксиз эканлигидаи келиб чикади. Демак, шу амал-
ларга нисбатан L (Е) туплам зам залкадир. Z (Е) ва L (Е)
Залкада бирлик элемент мавжуд. Бу элемент бирлик
оператор деб аталади ва куйидагича таърифланади: их-
тиёрий х£Е учун 1х~х. Хар бир A^Z(E) учун AI ~
1А = А муносабат бевосита келиб чидади. Агар dim А Ф1
булса, Z(E) залка коммутатив эмас.
Бунга мисоллар келтирамиз. 1. £(Д2) икки улчам-
ли фазодаги чизикли операторлар халцаси булсин. Маъ-
лумки, бу залца иккинчи тартибли квадрат матрицалар
Халкасидир. Алгебра курсидан маълумки, умумий золда
А ва В матрицалар учун АВ матрица ВА матрицага тенг
©мае. Масалан,
. /on D /0 0\
А = Iq q I В = 1q 11 матрицаларни дарасак,
др (0 1\ /0 0\
АВ = \0 о), ВА - \о о/.
Демак, АВ=^=ВА.
2. L(C[a, /;]) операторлар далкасида
ь
Ах = J tsx(s)ds,
а
Вх ~ tx{t)
деб олсак,
ь ь
АВх = А (Вх) = J ts(sx(s) )ds = t У s2x(s)ds,
а а
b b
В Ах В (Ах) = t У tsx (s) ds ~ t? f sx(s)dst
a a
яъни AB BA.
164
Ie ва If операторлар мос равишда Е ва F даги бир-
лик операторлар булсин. AQZ(E, Е), B^Z(Ey Е) опера-
торлар учун ушбу
ВА = 1е(АВ ^=If)
муносабат урннли булса, у золда В оператор А опера-
торга чапдан (унгдан) тескари оператор дейилади.
Агар А оператор учун чапдан тескари булган В опе-
ратор ва унгдан тескари булган С оператор мавжуд
булса, у золда В = С.
Дарзацицат,
B = BIF~ В[(АС) = (ВА) С^1ЕС = С.
В~С оператор А-1 билан белгиланади ва А га тес-
кари оператор дейилади-
Агар А оператор узлуксиз булиб, унинг тескари
оператори А-1 мавжуд булса, А-*1 оператор умум 1Й
золда узлуксиз булмаслиги зам мумкии.
Бунга мисол келтирамиз. Нолдан фарцли задларининг
соии купи билан чекли булган х — {хП} кетма-кетлик-
лар фазоси X да нормани цуйидагича киритамиз:
|И1 = max рсй|.
л—1, 2, .. .
Бу нормалангаи фазода чнзицли операторни
ушбу
Тх ==
I л J
тенглик билан аницлаймиз. Равшаики,
ИМ < 1И1
демак, х->6 да яъни Г —узлуксиз чизицли
оператор. Бу оператор учун тескари оператор мавжуд в а
Т~1х = {пх^.
Аммо 7—1 узлуксиз эмас. Дарзацицат,
№ s (°? °» * °» Т’ °’ °’ • fe===1’ 2’
* A~"i
элемеитлардан тузилган кетма-кетликни олсак,
И‘,11 = тг*°-
165
Лекин
r-ix(fe) =(0,0, .. . , О, 1, 0, .. .),
яъни
jir-ix(ft)]| = 1-/^0.
Демак, Т~г узлуксиз эмас. Кандай лолларда A£L(E, F)
дан A -1 С L (Е, Е) келиб никиши кейинги параграфларнинг
бирида курилади.
Энди Е, Е локал каварик фазолар булиб, {р} ва {#}
мос равишда Е ва F даги топологияларни аник ловчи
ярим нормалар системаси булсин.
3-теорема. Т: Е-+- F чизикли оператор узлуксиз
булиши учун куйидаги шарт зарур ва кифоядир, их-
тиёрий q£ {<?} яримнорма учун шундай р£ {р} ярим-
норма ва мусбат р сон топиладики, ушбу
Я(Тх) ^рр(х)
муносабат ихтиёрий х (Е Е элемент учун бажари-
лади.
Исбот. Кифоялиги. F фазода иолнинг атрофлари
базисидай ихтиёрий
V = {у Е F: -72(y)<ez, i = Тл}
атроф ни оламиз. (1) шартга кура, шундай р^{р} ярим-
норм алар ва & сонлар мавжудки,
<h(Tx) < ViPi (х), Z = 1, я.
Энди Е фазода ушбу
атрсфни олсак, у колда ихтиёрий x£U учун
ЯАГх} < ₽/Р£ (%) = = еь
яъ ни Tx^V. Демак, T(U)c. V. Бу Т нинг 6 нуктада
узлуксизлигини курсатадн.
1- теоремага асосан Т узлуксиз оператордир.
Зарурлиги. Г оператор 6 нуцтада узлуксиз. Таъ-
рифга биноан ихтиёрий q£{q} яримнорма ва е2>0 сои
учуй шундай рЕ{р) яримнорма ва £д>0 сон топиладики,
ушбу
р (х) S
т енг с изли к дай q (Тх) < е тенгсизлик келиб чикади.
166
Ушбу Хр(х) < 8 шартни каноатлантирувчи X > 0 ) сон-
ни танлаб оламиз. У холда р(Хх)<8, демак, q {1 Qx)
яъни q(Tx) < 4 АгаР Р (%) = ° булса, X сонни ихтнёрий
равишда катта килиб олиш мумкин, демак, q(Tx) = O„
Агар р(х)=/=О булса, у холда ? 7Г7И деб олИш мум-
кин. Бунда
q {Тх} < 4 = Е-р (*)= $р = т)-*
Натижа. Локал каварик Е фазодаги / чизикли функ-
ционал узлуксиз булиши учун куйидаги шарт зарур ва
кифоядир: шундай р £ {р} яримнорма ва р > 0 сои мав-
жудки,
|/(х)|^₽р(х) (2)
тенгсизлик ихтиёрий х£Е учуй бажарилади.
Таъриф. Е, Е топологик вектор фазолар булсин.
Агар T'.E-^-F чизикли оператор Е даги ихтиёрий чега-
раланган тупламни Е даги чегараланган тупламга яка
эттирса, у чегараланган дейилади.
Ихтиёрий узлуксиз чизикли оператор чегаралаигандир.
Даркакикат, Т узлуксиз булса, Е даги нолнннг ихтиёрий
V атрофининг асли T~l (IZ) туплам Е даги нолнинг
атрофидир. Е дан бирои чегараланган В туплам олсак,
чегараланганлик таърифига асосан шундай Х>0 сон топи-
ладики, ихтиёрий р (|р] < а) сон учун pBcz Г-1(И), демак,
р ТВ сх V, яънн ТВ туплам F фазода чегараланган.
4-теорема. Е ва F локал каварик фазолар бу-
либ, Е метрикаланган булсин. У холда ихтиёрий
чегараланган Т: Е->> F чизикли оператор узлуксиз-
дир.
Исбот. Даставвал Е фазода бирор абсолют каварик
А туплам ихтиёрий чегараланган тупламни ютувчи булса,
у нолнинг атрофи эканлигини исботлаймиз. - Агар Е даги
метрикани р билан белгиласак, у холда
V„ = (x£E:p(e, х)<1 , n= 1, 2, ...
I п *
тупламлар Е да ноль атрофларининг санок ли баз и си ни
ташкил килади. Агар ихтнёрий 2, . . . учун Блс: nA
булмаса, у холда хГ1ЕУп, хп^пА шартларни даио атлан-
тирувчи {хп} кетма-кетлик мавжуд. Демак, хп 6, бун-
167
дан {хп} — чегараланган туплам. Ихтиёрий п = 1, 2, . .,
учуй хп£пА булгани сабабли Л туплам {хи} чегара лан-
тан тупламни юта олмайди. !Бу зиддият бирор л0 учуй
с л0 А муносабат бажарилишини курсатади, яънй
А. Демак, А иолнинг атрофи.
Энди Т: E-+F чегараланган чизикли оператор бул- *
син. Е даги нолнинг ихтиёрий абсолют каварик V атрофи-
ни оламиз. Агар В с Е ихтиёрий чегараланган туплам
булса, у ^олда V туплам чегараланган ТВ тупламни
ютувчидир, яъни бирор «о натурал сон учун ТВ cr‘«0F,
бундан В cz n0T-}(V). Демак, Т-1ф)сЕ туплам Е даги
Хар кандай чегараланган тупламни ютувчи тупламдир.
Юкоридаги мулохазаларга асосан 7’“1(V) нолнинг атрофи-
дир, яъни Т оператор нолда ва, демак, хар бир нуктада
узлуксиз. л,
7.2- §. Текис чегараланганлик принципи. Очиц акс
эттириш ва ёпик график какидаги теоремалар
Бу параграфда куриладиган фазоларни Ф фазо (яъни
туда метрикалаиган вектор фазо) деб фараз циламиз. р
бирор Ф фазодаги метрика булса, pc| = р (б, х) белгилаш-
ни киритамиз.
1. Текс чегараланганлик принципи.
Г = {а} индекслар туплами булиб, система
Е фазоии F фазога акс эттирувчи узлуксиз чизикли
операторлар системаси булсин.
1- т е орема. Ихтиёрий, х£Е элемент учун {Та х,
а С Г} туплам F фазонинг чегараланган цисми бул-
син. У ^олда
11m Та х = б
муносабат а га нисбатан текис бажарилади, яъни
ихтиёрий е > 0 учун шундай 8 > 0 мавжудки, ушбу
| Тп х | < е муносабат ихтиёрий х f|x[ < о) элемент в а
ихтиёрий а£Г учун уринли.
Исбот. Ушбу белгилашни киритамиз:
7“ (х) | + То | < i Va'}.
168
бу ерда k = 1, 2, .. . , е > 0. Л операторлар узлу ксиз
булгани сабабли хар бир Ek ёпик тупламдир. Теорема-
нинг шартига биноаи ихтиёрий х учуй {Дх, а£Г} туп-
лам чегараланган булгаии сабабли шундай k топиладики,
xQFk, демак,
£= J Е„.
k=l
Е фазо тула метрик фазо булгани учун Бэр теоре-
масига бииоан (2.6-§, 3- теорема) шундай k{l натурал сон
топиладикн, £Ло туплам F нинг бирор цисмида зич була-
ди, яъни шундай В = В{х^Ъ) шар топиладики, ихтиёрий
У Е В элементнинг иктиёрий Uy атрофи учун Uy П Ek =£ 0
(яъни Е/г туплам В шарнииг хамма ерида знч). Шунииг
учун BaiE^ =*Екй (чунки Eka — ёпик туплам). Бу
муносабатни куйидаги ча ёзса хам булади:
А, + х G Eko (х0 £ Eka, |х| < 8)
Демак, ихтиёрий а£Г учун ушбу
тенгсизлик уринлидир. Демак,
|^« w| < 1^ (*+*«> | +г«н*о) I< е>
яъни |х| <8 муносабатдаи цхтиёрий а£Г учун ушбу
муносабат келиб чикади.
Ушбу у = у белгилаш киритсак, юцоридаги хосса
0 в
куйидагича ёзилади: иктиёрий у^Е учун |у] < муно-
сабатдан
ИЛУ)1<е
тенгсизлик а га нисбатан текис бажарилиши келиб чи-
кади, яъни
lim Тау = 6.*
2- т е о р е м а (Банах — Штейнхаус теоремаси). Е фа-
зони F фазога аксланпгирувчи {Гп} узлуксиз чизицли
169
операторлар кетма-кетлиги хар бир нуцтада фун-
даментал булсин, яъни ихтиёрий х£Е элемент
учун <ад“=! кетма-кетлик F фазода фундаментал
булсин. У холда ушбу
lirn Тпх — б
х-*е
лимит п га нисбатан текисдир.
Исбот Г = N= {1,2, ...} деб оламиз. Ихтиёрий х
элемент учун {1'пх}^^ кетма-кетлик фундаментал, демак
чегараланган. Шуларни кисобга олсак, 2- теореманинг
исботи I- теоремадан бевосита келиб чикади.*
3- т е о р е м а. Агар { Гй} с: L(E, F) кетма-кетлик
хар бир нуцтада фундаментал булса, у халда шун-
дай T^L(E, F) оператор топиладики, берилган кет-
ма-кетлик Т операторга хаР бир нуцтада яцинла-
шувчи булади.
Исбот. Теореманинг шартига кура ихтиёрий х^Е
элемент учун {7»^ кетма-кетлик F фазода фунда-
мента лдир.
F фазо тула булгани учун {Тпх}™=г кетма-кетлик
бирор ух £ F элементга якинлашувчн булади. Т оператор-
ни куйидагича аниклаймиз:
Тх = ух.
Равшанки, Т оператор Е фазони F фазога акс эттиради.
Т чизицли оператордир, чунки
т [уХг + ₽Х2) = 11 m Тп (ахх -Р рх2) =
П- со
— Ijm [a Тгхг + РТпх2] =o.Txt-F^Tx.2.
n-t-ao
Нифонт, Т узлуксиз оператор ^амдир. ^ацикатан,
Банах — Штейнхаус теоремасини {7\} кетма-кетликка
Кулласак,
ye > Од 8 > 0: |х| < 6*=> |Глх| < е, \п0 N
муносабат келиб чикади. Бу ерда п буйича лимитга ут-
сак, куйидаги муносабат косил булади:
Vе > 0 g 8 > 0: |х| < 8₽> |Г< е,
яъни Т узлуксиз оператордир.*
2. Очик акс эттириш какидаги теорема.
170
4-т еорема- TzE-+F узлуксиз чизицли оператор
бУлиб, Т (E) = F тенглик бажарилсин. Бу ^олда
Г очиц оператордир, яъни Е даги ихтиёрий G очиц
тупламнинг тасвири TG туплам F фазода очицдир.
Исбот. Кулайлик учун исботни уч цисмга буламиз.
a) G туплам Е фазодаги 6 нуцтанинг очик атрэфи
булсин. Бу ерда биз TG туплам F фазода 6 иуцтанинр
атрофи эканлигини исботлаймиз. Топологик вектор фазо-
да а — b амали узлуксиз булгани учун 0 нуцтанинг
ушбу
U-U<= G
шартни цаноатлантнрадиган мувозанатдаги U атрофи мав-
жуд. l-i-j
кетма-кетлик нолга интилгаии сабабли ихтиёрий
х£Е элемент учун шундай п топиладики, — элемент U
атрофга. тегишли булади, яънн'х£/гбЛ Демак,
Е = J nU,
П=1
ва
F = 7(£) = J nTV.
Л=1
F тула булгани учун Бэр теэремасига асосаи шунд ай
натурал сон мавжудки, n^TU туплам F иинг бирс р
кисмида зич булади, яъни 6 иинг V очик атрофи топи-
ладики, ушбу
Кс=л0 Шёки ^lrc TU~
муносабат бажарилади. Соига купайгирил амали узлук-
сиз булгани учун = V туплам 6 элементнинг очик
атрофидир ва
IFczTZZ
Демак,
ТёЪ ти-ти^> TU — ПГэ Ц7- IF3 6
ва W — W — (J {а — UZ} — очик туплам. Шуиинг учун
Ц7— у/ туплам 9 элементнинг атрофи, яъни TG туплам
6 элементнинг очик атрофини уз ичига олади.
171
б) В£ с: Е ва С£ cz F орцали маркази 6 да ва радиуси
е га тенг булган шарларни белгилаймиз. Ихтиёрий е0 > О
00
сон учун шундай е/> 0 сонлар топиладики, 2 ez < £о
тенгсизлик бажарилади. Юцоридаги а) пунктга биноан
шундай > О(^-^-О) сонлар топиладики, ушбу
. Z=0, 1, 2, ... (1)
муносабатлар бажарилади.
Энди цуйидагини исботлаймиз:
ТВчга —э
яъни
ахб^2е0:у = Тх.
Юцоридаги (1) муносабатда Z = 0 деб, ихтиёрий
у cz 1 В£с да элементик оламиз. Демак, Вч да
шартни каноатлантирувчи элемент мавжуд. Бундан
У~ Tx-tQC-^. Юцсридаги (1) м^нссабатни 1=1 учун
кулласак, ушбу
I (У — Тх,) — TxJ < ?j2
тенгсизликни каноатлантирувчи х2 С В£1 элемент топилади,
яъни
|у — Г(Х1Ч-х2)|<^
ва коказо. Шу тарзда давсм эттириб, кар бир В£ п_
шарда ушбу
|*~ (2)
шартни каноатлантирувчи хп элемент топамиз. Энди
п
2 элемеитни zn билан белгилаймиз. Хосил булган
{гл)л=1 кетма-кетлик фундаментал эканлигини исботлай-
миз. Ихтиёрий лтг, п(тсп) натурал сонлар учун ушбу
₽ И1+1 4" ^т-1-2 -Ь • . . Ч л:я| -С |Л>п+11 +
+ • - • + W < £т 4" ет+1 + • • - 4- ел-1
172
муносабатлар уринли. Юкорида киритилган g ел катор
яцинлашувчи булгани учуй |zn — лг”~рг-> оо- БУ
муиосабатдаи {zn} нинг фундаментал эканлиги ^еЛиб
чицади. Бундан Е тула булгани учун {хп} кетма-кетлик
бикэн х элементга яцинлашади, яъни
х = lim zn = lim J1, xt.
n-* co fi-»-oo Z=I
Энди ^->-0 шартни ва T нинг узлуксизлигини ^исобга
олсак, юцоридаги муиосабатдаи ушбу
у,= Тх
тенглик келиб чикади. Метрик фазода метриканинг узлук-
сизлигидан фойдаланиб, куйидаги муносабатларни ёзНши-
миз мумкин:
Р (е». = |х| = lim |zj < lim (|xj -J- ,.. + |хл|).
л->со л-*со
Маълумки, х&Вг t яъни |Arzj<sz_r Бу тенгсизлиКДан
фойдаланиб, ушбу тенгсизликни л'осил киламиз:
= р(6, x)<Iim (%-l-Sj -Ь . . <s0 +е0=:2е0.
n-~co
Демак,
x G , яъии TB*0 zd .
Шундай килиб, E фазодаги В элемеитнинг ихтиёрий ат-
рофининг тасвири F фазода б элемеитнинг атрофидир.
в) G туплам Е фазода ихтиёрий очик туплам булсин-
У колда ихтиёрий x£G элемент учун 6 элемеитнинг
ушбу
х -j-Mcz G
шартни каноатлантирувчи М атрофи топилади. б) га
асосан 0 элемеитнинг ТМ туплам и чада бутунлай Я<ой-
лашгаи U атрофи мавжуд. Демак,
TG гэ Т(х + М) =э Тх ф- ТМ zyTx-^Ut
яъни TG — очик туплам. *
Куйидаги теорема функционал анализнинг эиг му^им
теоремаларидан бирцдир.
5-теорема (тескари оператор какидаги теорема).
Т: Е Е чизицли изоморфизм булсин (1.6-§). Агс^р
17з
Т узлуксиз булса, у ^олда Т~* ^ам узлуксиз чизикли
оператордир.
Исбот. Г-1 нинг мавжудлиги теореманинг шартлари-
дан бевосита куриниб турибди. Т~1 чизик лн оператор
эканлигини исботлаш учун х2£Е элементларни ва
/С сонни оламиз. Txt = уъ Гх2=у2 булсин, у колда
Т (xt -р х2) = Тхх 4- Тх2 4-у2,
демак,
{уг + Уг) = *! 4- *2 = У1 + у2.
Сунг Т (aXj) = а Тхх = ауо бунДаН Т-1 (ayj = cuq =
= aT~l ylt яъни Т1 — чизикли оператор. Энди Е фазода
ихтиёрий С очик тупламни олсак, бу тупламнинг Т~1
операторга нисбатаи олинган ас ли (7-1)1 (G) = TG га
тенг. 4- теоремага асосан TG—очик туплам, яъни 7-1 —
узлуксиз оператор..*
3. Ёпик график какидаги теорема.
T'.E-^F чизикли оператор Е фазонинг D(T) = dom Т
вектор кием фазосида аникланган булсин, яъни D (Т)
туплам Т операторнинг аницланиш сокаси булсин. Маъ-
лумки (1.6- §), ушбу
gr7 = {(x, Tx)*.xQD (HjczfX/7
туплам Т операторнинг графиги дейилади. Агар gr Т
туплам Е Х\Е фазода ёпик булса, Т оператор ёпик дейи-
лади. Е, F фазолар Ф- фазолар булса, Е X F фазо кам
Ф- фазо булади: бу фазода о! = (%', у') £ Е X F ва а" *=>
= (x"t у")£Е X F элементлар ораевдаги масофа куйида-
гича аиикланадн:
Р (“'» °") рс7 — у"!*
Т операторнинг ёпнклиги куйидагича ифодаланади: агар
(хл, TXjCgrF ва хп-^х, Тхп-+у булса, у к°лда
х С D (Г) ва у = Тх.
6- теорема (ёпик график хакидаги теорема). Е фа-
зони F фазога акс эпипирувчи ёпик 1 чизикли опе-
ратор узлуксиздир.
Исбот. Т чизикли оператор булгани учун gr Ттуп-
лам ExF фазонинг вектор кием фазосидир 1.6- §, 2-те-
орема). gr Т туплам Е XF фазонинг ёпик кием фазоси
булгани учун gr Г нинг узи кам Ф- фазо косил килади.
174
gr Г фазони Е фазога акс эттирувчи Рг?; Операторни
цуйпдагича аницлаймиз:
prt(x, Тх)—х, (х, Tx)£grT.
Равшанки, рг/? узлуксиз чизикли оператор булиб, gr Т
фазони Е фазога узаро бир цийматли акс эттиради ва
унинг кийматлар со^аси Е фазога тенгдир. 5- теоремага
мувофик узлуксиз чизикли рг~1 оператор мавжуд. Ушбу
рг~‘(х) = (х, Тх), ргУ(х, Тх) = Тх
муносабатлардан Т=рг^°РгТ1 келиб чикади, яъни Т
оператор узлуксиз операторларнинг композициясига тенг,
демак, Т кам узлуксиз.*
7.3-§. Нормалангаи фазода чизикли операторнинг
нормаси
Е ва F нормалангаи фазолар булсин.
Таъриф. Т чизикли оператор учун ушбу
||Тх|| <АТ[|х|], \fxQE
тенгсизликни каноатлантирувчн М > 0 сон мавжуд булса,
у к0ЛДа 71 оператор чегараланган дейилади. Бу таъриф
7. 1-§ Да киритилган чегараланганлик таърифига эквивалент.
1-теорема. Т\Е-+ F чизикли оператор узлуксиз
булиши учун унинг чегараланган булиши зарур ва
кифоядир.
Исбот. Зарурлиги. Т узлуксиз, аммо чегараланма-
ган булсин деб фараз килайлик. Бу холда ихтиёрий п
натурал сон учун шундай хп QE элемент мавжудки, ушбу
Ц7ХЦ > «||хя||
тенгсизлик бажарилади. Равшанки, хп =/= 6. Ушбу уп
“/УрД] элементни олсак, бевосита куриниб турибдики,
|Уп|| =* ~->0, яъни е. Т узлуксиз булгани учун
Туп-+ 6. Аммо
Демак, |] Тул|| >1; зиддият х^ил булди.
175
К и ф о я л и г и. Т чегараланган чизицли оператор булса
у ^олда таърифга асосан
Ц7хЦ ЛГИ (Л/>0).
Агар Хп кетма-кетлик 6 га мнтилса, у ^олда ||хл|]-Л).
Демак,
яъни 7х„->0-
Бундаи Т операторнинг 6 нуцтада узлуксизлиги ва, - де-
мак, лар бир элементда узлуксизлиги келиб чикади.*
Исботланган теоремадан L (JE, F) фазо чегараланган
чизицли операторлар тупламига тенглиги келиб чикади.
Таъриф. T£L(E, F) операториинг нормаси деб
цуйидагй сонга айтилади:
{Л1>0:Ц^|]<,7И|1х]|, ух € £}.
Норм анинг тенг куч ли таърифлари цуйидаги лемма дан
келиб чикади.
Лемма.
\|H = sup ||Tx|| = sup ||Т<
IMIKi ikU=i
Исбот. Ихтиёрий Af (М > ]|Т||) сон ва х (||л|] < I).
элемент учун [|7хЦ М уринли, бундан
sup 1|7*Ы МЛ
1IXIKI
Демак,
sup |]Тх|| < Ц7Ц,
ЯЪНИ
11Sl|7>l^№^«zii <*>
Бундан ||Т|| — 0 булганда лемма равшан. Агар 11Д1>0
булса, ухнбу
О < b < Цт'11
тенгсизликни каноатлантирувчи ихтиёрий b сонни оламиз*
Таърифга асосан цуйидаги тенгсизликни кансатлантиради-
гаи х0 элемент мавжуд:
|ИМ> *м, we.
Демак, уу «= uxdl элементни олсак, у ^слда ||yj]= 1 ва
It 11 ПТ’-М
1иУо11 — бундан sup 1|7у|1 >Ь.
11УП=4
176
Олинган b сон )|7|| Дан кичик ихтиёрий сон булгани
учун охирги тенгсизликдаи ушбу
sup
ll4|—ijj
тенгсизлик цосил булади. Бу тенгсизликни юцоридаги
(1) тенгсизлик билан солиштирсак, исботланаётган тенг-
лик келиб чидади.*
Оператор нормасининг цуйидаги хоссалари юцоридаги
лемма дай осонликча келиб чидади:
2) | X 7Ц= X С ТС, ГС ЦЕ, F);
3) + + НДЦ. т„ Т2 е L(E,F).
4) |Л т, п^нлп 11г41
Масалан, 3) хоссани исботлаймиз:
ПЛ+ Л1] = 8нр 1КЛ+ г2) (х)]| = sup ||Лх+ Z2x]|<
1141 < 1 . М|<1
<₽ир (падц+ цг2х||)<sup над] + sup цад] =
М<1 , 1И1К1
Демак, L (Е, F) фазо нормаланган фазодир.
Хусусаи, F = К булганда, узлуксиз чизицли функ-
ционаллар фазоси нормаланган булиб, бу фазодаги норма
ушбу куринишда аницланади:
ПЛ] =: sup |/(х)| = sup |/(Х)].
IUU<1 ||ЛЦ=1
M и с о ллар.
1. Ноль оператор Ох = G (х QE) тенглик билан аницлана-
ди. Равшанки,
Цоц = о.
2. I бирлик операторни оламиз. Ихтиёрий х G Е эле-
мент учун 1х = х булгани сабабли ушбу
lUU = sup |]/x]|==sup ]]х]1 = 1
lbl| = i |(х|1 = 1;
тенглик, яъни ]]/]]= 1 уринлидир.
3. Нормаланган Е фазода Т чизицли операторни цу-
йидагича аницлаймиз:
Тх = 7х, X
У Холда
1] Г|| =sup ]|7хЦ = sup ]рх|| = sup р+И = р|,
1141= 1 ||Д] = 1 ||41=1
яъни |]7Ц = 1Х|.
12-239
177
ti улчамли E вектор фазода {£*, • • • * еД ба-
зисни, т улчамли F фазода эса {ej, .. - » е'т} базис-
ни оламиз.
Равшанки, T-.E-+F чизикли операторни базис
элементларида аницлаш кифоядир. Бунинг учуй уз нав-
батида g{ = Tet элементларнинг {e'Jg* базис буйича коор-
динаталарини билиш етарлидир, яъни
т
gt=
k--i
Агар V £ Е ихтиёрий вектор булса, у ^олда
(п \ п т т f п \
2=2^2 =2 2°«£)<
S / /=1 \£=1 /
т
r^ke^
k=i
п
бу ерда ;1к =, 2 а1к (/г=1, 2, .... т).
i=l
Демак, Г оператор (а2у) матрица ёрдамида аникланиб, у
|2, ... , U векторга ушбу куринишда цуллаиар
экан:
Е ва F фазоларда Евклид нормасини оламиз. Коши
Буняковский тенгсизлигидан ушбу
муносабат, яъни ушбу
178
тенгсизлик кедцб чикади. Демак, Т чегараланган чизикли
оператор ва ||Г||< ^2
Хусусан, агар Д ва Z7 чекли улчамли фазолар Евклид
иормаси билан карался, у ^олда ихтиёрий Т \Е -* F чн-
зицли оператор узлуксиздир.
5- Е ~ F>n ва F = FF1 фазоларда ушбу
|| х (J = max Щ || у |) = max |;^|
i k
нормаларги слиб, Т = (а^) t-извели огераторнинг норма-
сини хисоблаймиз. Ушбу
л л
Iyl| = Il Тх\\ = max^A J < max 2 1 aik 1 1§ К И max 2
k k i=I k i l
муиосабатдаи
J|Z|]<max^ |a^| (2)
тенгсизлик келиб чикади. Фараз килайлик,
л п
2 = max 2IM-
_ i=i k Z=1
булсин. У кслда х0 = (Д, ...» Ес) векторни куйидагича
аниклаймиз:
ёг = sgn alkQ =
- 1,
О,
«/а0>0 булса,
cbikQ < 0 булса,
£tik0 = 0 булса.
Бунд£н равшанки, ||хр||< 1
ва
II П1 = max
k
н л
2 = 2^*о s&n а^0 —
f=i i=i
п П
= 2 =ma* 2 ia^i-
i=X * i=l
Бундай ва (2) тенгсизликдан
|| Г|| = max t^tk J.
* z-i I
179
6. Е сепарабел Гильберт фазосида elt е2, ... , еп,...
ортонормал базис булсин. У ^олда (4.3-§) ихтиёрий х£Е
элемент ушбу
со
*=2
1=1
куринишга эга. Бирор ОО сон ва {'„} (|ХЛ| < С) сонли
кетма-кетликни олиб, операторни куйидагича аницлай-
миз:
СО
= 2 М (3)
/=1
Тх элементнинг мавжудлиги ушбу
Тх> СО
/=1 - 1=1
тенгсизликдан ва Рисе —Фишер теоремаевдан бевосита
келиб чицади (4.3-§).
Т нинг чизикли оператор эканлиги бевосита куриниб
турибди. (3) тенгликдан TeL => тенглик келиб чика-
ди. У шбу X = sup I Х„ | белгилашни киритамиз. У ^олда
п
оа
|( Тх |Р = (Тх, Тх) = 2 I I2 |«,
бундан
II ГЦ < X.
Хар бир et вектор бирлик шарга тегишли (яъни
булгани учун
IIЛ1 = sup |[ 7х[|| > sup|| Теп || = sup | \п | = X.
||х|1<1 п п
Демак,
||7||| = >. = sup ||ХВ|.
п
7. L2 [а, Ь} фазода Фредгольм оператор и.
D оркали ушбу тупламни белгилаймиз:
£)а= [«, Ь]х[«, s):/Qa, 6], s£[a, 6]}.
Бирор t s) функция L2(D) фазога тегишли, яъни
ушбу
b ь
J f IK{t, $) I2 dsdt ~ № < ОО (4)
180
муносабат уринли булсин. К (/, $) функция ёрдамида
I2 [я, Z?] Гильберт фазосида чизицли операторни цуйи-
лагича аницлаймиз: ихтиёрий х(/) ££2 [а, 6] элемент
учуй
ь
Тх^\ К(I,s)х(s)Js = у(0- (5>
а
Даставвал, у(/) функция Z2 [с> /?[ фазонинг элемента
эканлигини курсатамиз. Фубини теоремасига асосан деяр-
ли ^амма [а, иуцталар уЧун {/<(/, s)|2 функция
s аргументга нисбатан Лебег маъносида жамланувчидир.
Демак, деярли хдмма i учун у(/) функция £2 [а,
фазодаги икки элементнинг скалЯр купайтмасига тенг>
яъни чекли. Ушбу
ь
|K(OP = f 5)1’*
а
функция жамланувчидир, чункц
ь ь ь
J |K(Of dt = J J \K(t, S)|2 dsdt = №<«=
a a a
Демак, Коши—Буияковский тенгсизлигига асосан
ь
fy(OI2 = |J K(t, s)x(s)dsr<
< 1 J К (I, s) |! ds j (JI x (s) p ds) =,
= IATOI4|<.
Шуиинг учуй ушбу
b b
$ b W at < J |K(/)p dt. ||X||2=^2||X|p <6>
a a
интеграл мавжуд, яъни y(0€£2[«, Z?J. Демак, (5) фор-
мула L2 [a, 6] фазода операторни аницлайди.
Бу Г оператор Фредгольм оператора, КЦ, s) функ-
ция эса унинг узаги дейилади. Юкоридаги (6) муноса-
батдан
/ ь~ь~~-------------
||Г]| < у J J I д. sj|S dsdt
а а
тенгсизлик ва Т узлуксиз операторлиги бевосита келиб
чикади.
18Ё
7.4-§. Нормаланган фазоларда функционал
анализнинг асосий принциплари
Uz 1. Банах — Штейнхаус теоремаси.
х 1-теорема. £ ва F Банах фазолари булиб,
{Тп} с L (Е, / ) операторлар кетма-кетлчги цар бир
нуцпъада фундаментал булсин. У цел да уларнинг
нормалари кетма-кетлиги {[|ГП||} чегаралангандир.
Исбот. Банах фазоси Ф-фазо булгани
даги 2-теореманинг шартлари бажарилади.
мага асосан ушбу
lim Тпх = О
jt^-e
учуй 7.2-§
Шу теоре-
муносабат п га нисбатан текис бажарилади, яъни ихти-
ёрий е>0 учуй шундай & >0 мавжудки, ||7’„л:|| < в му-
носабат ихтиёрий п натурал сон ва нормаси 6 дан кичик
булган х элемент учун бажарилади. Демак, ихтиёрий
И 1 элемент учун (|[ох)|| < о ыуносабатни назарда
тутсак) ушбу
яъни
тенгсизлик келиб чидади. Оператор нормасининг таъри-
фига асосан, ушбу
тенгсизлик ихтиёрий п учун уринлидир.#
II. Хан —Банах теоремаси.
2-теорема. Нормаланган Е фазонинг Ео вектор
цисм фазосида узлуксиз fG чизицли функционал бе-
рилган булсин. У цолда Е фазода цуйидаги шарт-
ларни каноатлантирувчи узлуксиз f чизицли функ-
ционал мавжуд:
1) Ж = Л;
2) ц/|| = UAH-
Исбот. Е фазода ушбу р(х) = [|/01[.|| х|| яримнор-
мани киритамиз (аслида р(х) — нормадир). Бу холла
ихтиёрий х бЕо элемент учун | /0(х) | < ||/01] || х || = р(х).
5.3-§ даги Хан — Банах теоремасига асосан цуйидаги
шартларни каноатлантирувчи f чизицли функционал мав-
жуд:
182
2) ихтиёрий х£Е элемент учун |/(х) | р(х).
Демак, ||/|| = sup |/(*)| < supp (х) = sup||/01|-|| х|| ==
=11411.
яъии
Н/Н <11411-
Бу муносабатдан f функвионалнинг чегаралангаилиги
ва, демак, узлуксизлиги келиб чикади. Ва ни^оят,
II/II = sup|/(x)| > sup|/(x)| == sup l/c(x)| = ||/01|.
IpJKl 1ИК1 ||xq<l
X б Eq X £ Eq
Демак, |1/|| = ||/0)Ь
Ш. L(E, F) фазонинг тулалиги.
3- теорем а. Е нормаланган фазо, F Банах фа-
зоси булса, у холда L (Е, F) фазо операторнинг нор-
мах ига нисбатан Банах фазосидир.
Исбот. L (Et F) фазонинг нормаланган фазолиги
курсатилган эди. Бу фазо тула эканлигини исботлаймиз.
{/’„} кетма-кетлик фундаментал булсин, яъни. ихтиёрий
е>0 сон учун шундай 7V натурал сон мавжудки, ихтиё-
рий, л, m^y>N натурал сонлар учун ушбу тенгсизлик
уринлидир:
1|4-Гга|1<е.
Ихтиёрий х(||х|[С 1) элемент учун ушбу
||Т„х-ад|<||7„-Тт||-И<^ (О
теигсизликдан и» кетма-кетликиинг F фазода фунда-
ментал эканлиги келиб чнцади. F фазо тула булгани
учун Тх = Пт Тпх мавжуд. Ихтиёрий z £Е элементни
п”*'оэ ГТ
ушбу z — >х0([|х0|] < 1) куринишда ёзиш мумкин. Де-
мак,
Тnz — Tn\xG = ^TnxQ -► л7х0.
Бу z учун Tz = kTXq деб оламиз. Бу билаи 71: Е -> F
операторни аникладик. Равшанки, Г — чизицли опера-
тор. Энди Т операторнинг узлуксизлигини курсатамиз.
Бунинг учун Т нинг чегараланган эканлигини исботлаш
кифоядир. (1) тенгсизликда m буйича лимитга утсак,
ушбу
||7>- 7хЦ (2)
183
муносабат келиб чикади. Демак,
||Гх}| = Н Тпх - {Тпх - Гх)]| < Ц7>|| +||7> - 7х|| <
<|lTn%|l + s<||rj + e.
{7Д кетма-кетлик фундаментал булгани учун {1|ГЯ||}
кетма-кетлик чегараланган, яъни шундай М сон мавжудки,
ихтиёрий п учун ||Ги1)<7И. Демак, ихтиёрий х([|х II <1)
элемент учун
||Тх|| < М + е.
бундан
||T|| = sup[|T%||<2W + e.
Шундай цилиб, Т — чегараланган.
Энди ю к ори даги (2) тенгсизлик ихтиёрий х(|{ х |[ < 1)
элемент учун уриили эканлигини ^исобга олсак, n'^N
булганда ушбу
II тп — т 11 =* sup || Тпх — Тх || < 6
1!-*|| < I
муносабат келиб чикади. Демак,
lim Н ?1| = О,
яъни Тп кетма-кетлик норма буйича Т огераторга яции-
лашувчи экан.*
Натижа. Ихтиёрий нормаланган Е фазо учун £'=
— L{E, К) кушма фазо функционалнинг нормасига нис-
батан Банах фазосидир.
Бу натижа K—(R ёки С) фазонинг тулалигидан бево-
*сита келиб чицади.
IV. Тескари оператор кацидаги теорема.
4-теорема, f ва F Банах фазолари булиб,
Г: Е-+ F чизицли изоморфизм, булсин. Агар Т узлук-
сиз оператор булса, у ^олда Т~г ^ам узлуксиз чи-
зицли оператордир.
Исбот. Z?-фазолар Ф-фазолариинг хусусий Г^оли
булгани учун бу теорема 7.2-§ даги 5-теоремадан бево-
сита келиб чикади.
1 - н а т и ж а. оператор Е Банах фазосини F Банах
фазосига акслантирувчи чегараланган чизикли .оператор
булиб, Т~1 унга тескари оператор булсин. AT'.E-^F
бирои чегараланган оператор булиб, ][Д7]|<
1
ИТ’о'1
гтенгсиз-
184
лик бажарилсин. У холда (70 ф-АТ1)-1 оператор мавжуд
ва чегараланган.
Исбот. Ихтиёрий y^F элементни оламиз ва ушбу
Вх= Т^у-Т-^Тх
формула билан аникланган В'.Е-+Е акс эттиришни курз-
мнз. Ихтиёрий xt х2 QE учун
\\BXi — Вх2|| = (| 71-1 А Тх2 — Т~х A 7Xj|] <
< |[7’~1А7,||-(|х1 — х2||.
11^11
тенгсизликдан В акс эттириш цисцартириб
.. "о II
акс эттириш эканлиги бевосита .келиб чикади. Кисцарти-
риб акс эттириш принципига асосан ушбу
х — Вх
шартни каноатлантирувчи ягоиа нуцта топилади (2.9-§),
яъни
х = Вх — Т-'у — Г-’ДТх,
демак,
Тох + АГх =« у.
Шундай цилиб, ихтиёрий у£Е учун Z0x-|-A7x = y
тенглама ягона ечимга эга, яъни (То 4- АГ)"1 мавжуд.
Тескари оператор хаквдаги теоремага асосан (ZO4-A7)~1
— чегараланган оператор.*
2- н а т и ж а. Е Банах фазосида I бирлик оператор,
Т: E-^F чегараланган ва ||7>||<1 тенгсизликни цаноатлан-
тирувчи оператор булсин. У холда (7 — 7")~1 оператор
мавжуд булиб, у чегараланган ва ушбу куринишга эга:
(/_Г)-' = £Л
k=0
Исбот. (/ — Т)'1 мавжудлиги ва чегараланганлиги
1-натижадан бевосита келиб чикади: (7 ==/, А7'= Т).
оэ DO
||7]|< 1 тенгсизликдан 2 М* < 00 F фазо ту-
k=o А=0
ла булгани учун 2 цаторнинг якинлашувчи эканли-
ft=O
185
гидан 2 цаториинг йигиндиси хам чегараланган опе-
А=0
раторлигн келиб чикади, чунки бу х°лда 3- теоремага
асосан ЦЕ, Е) = ЦЕ)— Банах фазоси. Ихтиёрий п учун
ушбу
п п
(/— Т) 2 Tk = 2 T\I- Т) = I- Т«+1
ft=O *=о
тенглик уринли. Энди ||7'г+1||<||7'||п+1 ---->0 муносабат-
Дан
Сд с©
(I - Г) 2 Т” = 2 тк(1- Т)~Г,
А=0 *=0
яъни
(/_ D-1 =2 7*
А=0
келиб чихадн.*
Тескари оператор хацидаги яна бир иборани келти-
ришдан олдин куйидаги леммани исботлаймиз.
Л е м м а. Е нормаланган фазо, F Банах фазоси бул-
син, Е фазонинг хамма ерида зич Ео вектор кием фа-
зода аникланган ихтиёрий чегараланган То: Е{Г>1: чизик-
лн операторни унинг нормасини саклаган х°ЛДД бутун
Е фазога ягона равишда давом эттириш мумкин.
Исбот. Ихтиёрий х£Е учун унга якинлашувчи
М а: £0 кетма-кетлик мавжуд. F фазода {7^хя}“=1 кет'
ма-кетликни к у рамиз. Ушбу
тенгсизликка асосан {Т^}^ кетма-кетлик фундаментал-
дир ва F тула булгани сабабли у бирор lim T(tx;iQF
лимитга эга. Бу лимит х элементга якинлашувчи кетма-
кетликка боглик эмас, чунки агар бошка бир
кетма-кетлик булса, у холда
II техп - 7XH < II т;ц - х„|| -> о,
яъни
lim TQx'n ~ lim 70х„.
/I—> с» Л-* со
186
Энди биз Тх = lim Т^хп деб олсак, у холда Т one-
ратор х элементда аникланган булиб, у шу тарзда бу-
тун Е фазога давом этгирилади. Равшанки, бу оператор
чнзнкли. Ушбу
. 11^11 <IWIIk.ll
тенгсизликда п буйича лимитга утсак, || Тх ]| || TQ [[ ||х(|
тенгсизлик, яъни (j Т || < || Гп || муносабат келиб чицади.
Иккинчи томондан, Т оператор То нннг давоми булгани
учун яъни Н7П = Нихоят, Т оператор-
нинг ягоналигини исботлаймиз. Агар Т' оператор Т{, нннг
бошка бир давоми булса, у холда
Гхя = Т<>хп = Тхп.
Бу ерда п буйича лимитга утсак, Тх = Тх, яъни Т —Т
келиб чикади.*
Н ат и ж а. Агар Е нормаланган фазони F Банах фа-
зосига акслантирувчи Т чизикли оператор Е нинг ^амма
ерида зич тупламда нолга тенг булса, у холда ихтиёрий
х£Е учун Тх = 6.
Энди исботланган леммадан фойдаланиб, тескари опе-
ратор ^ацидагн куйидаги теоремами исботлаймиз.
5-теорема. Е, F Банах фазолари булиб, Т'.E-+-F
чазицли оператор булсин. Т оператор чегараланган
тескари операторга эга булиши учун куйидаги икки
ишрт зарур ва кифоядир:
1) Im Т={Тх : х б £} щуплая F нинг ^амма ерида
зич;
2) бирор С> 0 сон ва ихтиёрий х^Е учун
||^||>С||х||.
Исбот. Зарурлиги. Агар T~~*\F-*-E чегаралан- '
ган булса, равшанки, Т(Е) = 1mГ — F ва ||Г~*,у|] ' М- ||у||,
y£F, 7И>0. Бу холда ихтиёрий х£Е учун
||7'-1(7’х)||<Ж||7’л||,
яъни 1[х [|<;/И|| 7л||, бундан
И>^||х|| = С|М(с = ^>0).
Кифоялиги. Теореманинг шартлари балсарилган бул-
са, Т—мономорфизмдир, яънн ker Т~ {6}. Дар^акикат
агар Тх~Ъ булса, у холда 2) шартга асосан ||7х||>С ЦхЦ,
демак [].х[|=0, яъни х;=0. Шунинг учун Im Tc^F туп-
187
ламда Г—1 оператор аникланган. Бу оператор чегаралана
ган. ^ацикатан, ихтиёрий у = Тх £ Im Т учун 2) шартг-
асосан
||Г-’у||=||х||<1||7к||=Д||у||.
Леммага асосан бу операторнинг нормасини сацлаган кол-
да бутун F фазога даном эттириш мумкин. Хосил бул-
гаи оператор Т, оператор учуй тескари оператордир. ф
7.5-§. Чизицли операторлар фазосида топологиялар
Е ва F локал каварик фазолар булиб, улардаги топо-
логия ларни аницловчи яримнормалар системаси мос ра в и ги-
да {р} ва {q} булсин.
1. Оддий яцинлашиш то п ологияс и (нуцта-
ларда яцинлашиш mono логи яса, s-топология). L(E,
F) фазодаги оддий яцинлашиш топологияси деб,
ушбу
г(Т)=г(Т, х^х2, . . . ,хП'Ч)=$\]р q(Txk)
l<k^n
яримнормалар билан аницланган локал каварик тополо-
гияга айтиладн, бу ерда
T£L(E,F), q CM,
L(E,F) фазо оддий якинлашиш топологияси билаи ку-
рилганда бу фазо LS(E,F) бнлан белгиланади. Агар {T’zjcz
с: L(E,F) кетма-кетлик Т операторга шу топология бунича
яцинлашса, буни ушбу куринишда белгилаймиз:
Т„-^Т.
Куйидаги теорема таърифдан бевосита келиб чикади.
1-теорема. Дуйидаги икки ибора эквивалешпдир:
1) ТпЛт, Тп, TQL(E,F);
2) ихтиёрий х^Е элемент учун Тпх кетма-кет-
лик F фазода Тх элементга яцинлашади.
П. Текис яцинлашиш топологияси. {Ь-то-
пология). Энди L(E,F) фазода локал каварик топологня-
ни бошкачарок киритамиз. & = {£} система Е фазодаги
чегараланган тупламлар системаси булсин. Т чизидли
операторнинг яримнормасини ушбу формула билан аниц-
лаймиз.
r(T)—r(T,B, £)=sup q(Tx),
х£В
188
бу ерда 7(ЦЕ,Г), q({q}, BQ2. Киритилган {г} ярим-
нормалар системаси локал каварик топологияни аниклайди.
Бу топология b-топология ёки чегараланган яцин-
лашиш топологияси (ёки текис яцинлашиш тополо-
гияси) дейилади. L(E,F) фазо 6-топология билан олин-
ганда уни Lb(E,F) билан белгилаймиз.
Таърифдан бевосита к У йи даги теорема келиб чикади.
2-теорема, дуйидаги икки ибора эквивалентдир:
1) Т„Л Т, Trl,TfL(£,F)-,
2) F фазодаги 6 элементнинг ихтиёрий U атрофи
ва ихтиёрий В<& туплам учун шундай N = N(U,B)
натурал сон мавжудки, ушбу
Tnx — Tx(U
муносабат ихтиёрий х(В элемент ва нату-
рал сон учун бажарилади.
Агар Е ва F нормаланган фазолар булса, оддий якин-
лашиш топологияси операторларнинг кучли тополо-
гияси дейилади, чегараланган якинлашищ топологияси эса
операторларнинг текис топологияси дейилади.
Ихтиёрий чекли туплам чегараланган булгани учун
/’-топология s-топологиядан кучлирокдир.
Таръиф. Е топологик вектор фазода {%л} кетма-кет-
лик ва х(Е берилган булсин. Агар нолнинг ихтиёрий
U атрофи учун шундай А(Б') натурал сон топилсаки,
барча n^N(U) (п, m^N(lf)) учун х—xr£U (xm—xn(U)
муносабат бажарилса, хп кетма-кетлик х элементга яцин-
лашувчи (фундаментал) дейилади.
Таъриф. Агар топологик вектор фазода ихтиёрий
фундаментал кетма-кетлик якинлашувчи булса, у секвен-
1(иал тула фазо дейилади.
3-теорема. Е ва F Банах фазолари булса, LS(F,E)
секвенциал тула фазодир.
Исбот. Банах фазолари Ф-фазоларнинг хусусий холи
булгани учун бу теорема 7.2- § даги 3-теореманинг натн-
жасидир. *
4- теорема. Е ва F нормаланган фазолар бул-
син. Бу ко л. да ЦЕ, F) фазодаги операторларнинг
текис топологияси L(E, F) фазода операторларнинг
нормаси билан аникланган топологияга тенг кучли,
Исбот. Равшанки, нормаланган Е фазода В туплам
чегараланган булиши учун ушбу
₽ = sup{||x||: х£В} < оо
189
муносабат зарур ва кифоядир. Демак, В ( й туплам сифа-
тида Bf = {х(Е: ||х|| < 1} шарни олсак, куйидаги тенглик
келиб чикади:
r(T,^,||-|[) = sup||T%|] = ||T||.
Демак, операторларнинг текис топологияси норманинг
топологиясидан кучлироцдир.
Энди текис топологияда 6 элемеитнинг U атрофини
оламиз, яъни
1/={Т;г(Т, В, || II) < е} = {T:sup|| Txll < е} =>
xQB
=> {Т: sup|7%]| < е} = {Т: ₽ ЦТ|| < е) = {Т:]|ТЦ <|}.
Буидан куриниб турибдики, норманинг топологияси те-
кис топологиядан кучлирокДИр. Демак, бу топологиялар
тенг кучли.*
Нормаланган фазоларда операторларнинг ^-топологияда
(яъни кучли топологияда) якинлашиш шартини текши-
ришда куйидаги теорема фойдалидир.
5-те о рем а. Е Банах фазосини F Банах фазосига
акс эттирувчи чегараланган чизицли операторлар-
нинг {Ти} кетма-кетлиги берилган булсин {Тп} кет-
ма-кетлик барон Т опсраторга s-топологияда яцип-
лашиши учун куйидаги икки шарт зарур ва кифоя-
дир:
1) {1|Т„||} сонлар кетма-кетлиги чегараланган
(яъни бирор М > 0 учун ||ТЯ||<7И, п=1,2--);
2) Е фазода тула булган (4.1-§) бирор А туплам-
нинг ихтиёрий х элементи учун п-^со да Тпх^ Тх.
Исбот. Зарурлнги. 1) шарт 7.4- § даги Банах —
Штейнхаус теоремасидан, 2) шарт эса таърифдан бевосита
келиб чикади.
Кифоялиги. А тупламнинг Ефазода тулалиги унинг
чизикли кобиги булган L [А] тупламнинг Ё фазода зич-
лигидан иборатлигини эслайлик. 1) ва 2) шартлар бажа-
рилгаи булсин. У холда {7\} операторлар чизикли бул-
гани туфайли ушбу
Тпх—> Тх
муносабат L [А] тупламнинг кар бир х элементи учун
хам бажарилади. Энди х0 элемент Е фазонинг ихтиёрий
элемента булсин. L [А] туплам Е фазода зич булгани
190
учун х0 элементга якинлашувчи {xn}czZ [Д] кетма-кет-
лик мавжуд. 1) шартга асосан ушбу
цт„||<м
тенгсизликни каноатлантирувчи Л1 сон мавжуд. Л1с=тах
(М. ||Т||) белгилаш киритамиз.
{хп} кетма-кетлик х0 га якинлашувчи булгани сабаб-
ли ихтиёрий £>0 сон учун шундзй N натурал сон то-
яиладики, ушбу
IX ~*о!1<Л
тенгсизлик ихтиёрий k > N натурал сои учун бажарилади*
Демак, ушбу муносабатлар уринлидир:
||Тпх0 —7X1) < НУnxG—+ ||7\Хй Txk ||-|-]|7Х? —
-ТМ «||Т„||||ХО-xk ||+l|T„xft-Txs Ц> ||7’J! ||№ -х0||<
< W +||Т>* ~Тхк ||+Л10е=2Л1се+||Тл -Тхк ||.
Аммо кар бир Xk элемент L [Д] га тегишли булгани
учун fi—^оо да ушбу
|jT\xA — Txk || ->0
муносабат келиб чикади, бундан
lim ||r„xG—7X11 <^2Л40е
е ихтиёрий кичик сон булгани учун
lim |1 Тпх0 — ТХК = О,
яъни Тп—+Т.*
Энди юкорида киритилган £(£', F) фазодаги тополо-
гияларнй ЦЕ, К) = Е' фазода курамиз. Е' фазо ЦЕ, F)
фазоиинг хусусий коли булса-да, s-топология ва ^-топо-
логия бу фазода бошка номларга эгадир.
Е локал каварик фазо булиб, Е'=ЦЕ,К) унинг КУШ“
ма фазоси булсин.
Е' фазода оддий якинлашиш топологияси сует топо-
логия дейилади в а а(Е',Е) билан белгиланади. Е' фазо
с(Е',Е) топология билан олинса, уни биз E'w* билан бел-
гилаймиз. Кудайлик учун f функционалнинг х элемент-
даги киймати /(%) ни <х,/> билан белгилаймиз.
Таърифга биноан а(Е',Е) топология куйидаги куринишдаги
яримнормалар билан аникланади:
х2,. . . хп) -= supl/X’HH sup|<X »/> |>
1<г<п
191
бу ерда fQE', xt £Е, i = 1,2,- • , п. Демак, E'w* фазода
6 элементнинг атрофлари базисини ушбу
хг, х2 ,. .., хп) = {f£E': | < xt ,/> | < е,
i — 1,2,. . ., л}
куринишдаги тупламлар ^осил цилади.
Е' фазода чегараланган якинлашиш топологияси куч»
ли топология дейилади ва b билан белгиланади. Е1 фазо
6-топология билан олинганда, уии (Е',Ь) — Е'ь билаи
белгилаймиз. Бу топология ушбу
r(/,£) = sup| <яг,/> |
л£В
куринишдаги ярнмнормалар ёрдамида аницланади, бу ер-
да В—чегараланган туплам, f£E'. Ноль элементнинг ат-
рофлари базисини куйидагича ёзамиз:
С7(е, В) ~ {f£E*: supl < х, f> j <£,£ > О, В £ &.} .
Юдорида чизикли операторлар учун исботланган тео-
ремалардан куйидаги иатижалар келиб чикади.
1) Е' фазода {/„} кетма-кетлик f£E' элементга сует
якинлашиши учун ушбу
муносабат ихтиёрий х^Е да бажарилиши зарур ва ки-
фоядир.
2) 6-топология а(/:/,Я)-топологиядан кучлирок-
3) Е нормаланган фазо булса, у ^олда Е' фазодаги
6-топология шу фазодаги норманинг (функционал пинг
нормаси) топологияси билан тенг кучлидир. Хусусан,
(f',6) = Банах фазосидир (7-4-§ даги 3-теорема-
нинг натижаси).
4) Е Банах фазоси булсин. {fn}c:E' кетма-кетлик
f£E' элементга сует якинлашиши учун куйидаги икки
шарт зарур в а кифоядир:
а) {||/„||} — чегараланган кетма-кетлик;
б) Е фазода тула булган бирор Д тупламнинг их-
тиёрий х элемента учуй ушбу
муносабат уринли.
Текис чегараланганлик прииципидан ва 3- теоремадай
Куйидаги теоремалар мос равишда келиб чнкади.
192
6-теорема. Е Банах фазоси булиб, ихтиёрий
х^Еучун {/n(^))X=i кетма-кетлик чегараланган бул-
са, у холда {|1/„||}“=1 кетма-кетлик хрм чегаралан-
гандир.
7-теорема. Е Банах фазоси булса, Ew^={Erfc(E\
Е)) фазо секвенциал туладир, яъни Е’ фазода сует
топологиядаги хаР кандай фундаментал кетма-кет-
лик сует я%инлашувчидир.
Мисоллар. 1. Сепарабел Гильберт фазосида 7.3-§,
6-мисолдаги Т операторни курамиз. Бунда х=У]^е/эле’
«=1
мент учун
Тх = 2(\ EJe(14 < С, i = 1,2,...
Энди Тп операторни ушбу
Тпх= Ё(Х,
1=1 V
к уриниш да аницлаймиз. Операторларпинг {Т,.} кетма-кет-
лиги Т га s-топологияда яцинлашади. Дар^акикат, 7.3-
§ даги 6-мисолга биноан
ЦТ,.11 = sup|\ -ri-/l<sup|X(| +1= цтц+1,
яъни {|]7\||} кетма-кетлик чегараланган. Ихтиёрий е. учун
/г->со да
IPX - ТеЯ = не, - е, - х, е, || = | -> 0.
Ортопормад {ej базис Е фазода тула туплам булгани
сабабли 5-теоремага асосаи Тп-^-Т. Аммо {Тп} кетма-кет-
лик Т га ^-топологияда (яъни, 4-теоремага асосан норма
буйича) якинлашмайди. ^агсикатан, ихтиёрий п учун
||Т„ - Т|| = supie, - 7^7 ) - - supjJ-; = 1 -/- 0.
2. Агар 1 - мисолда Тп операторни ушбу
13-239
193
куринишда олсак, у золда
ЦТ,, - 711 = sup | (X, - -L-) - X, | = А. _> о,
яъни Тя-^-1'-
3. Е = [С — 1, I] узлуксиз функцияларнинг нормалан-
ган фазоси булсин. Бу фазода й чизицли функциояални
цуйидагича киритамиз:
8(х) = х(0), лСС[ — 1,1].
Равшанки, о£Ег. Бу фазода олинган {?я(0} кетма-кет-
лик ушбу шартларни цаиоатлантирсии:
О (0 = 0, 10 > ~ учун; <р„ (/) > 0, t - 1,1 ] учун;
2) ]<?„(?).<« = 1.
—I
ол функциялар ёрдамида fn чизисли функциоиални цуйи-
дагича киритамиз:
fAx) = j^B(f)x(l)dt.
—i
Равшанки, fr^E'. Математик аяатиздад маълум булгаи
урта циймат ^ацидаги теоремага асосан ихтиёрий
х£С[ — 1, 1 ] учун
1
1 п
frM = J ?л (0 x(t)dt = | (/) X (/) dt
-1
п
1
и
____1
п
бу ерда —< tn < —. Демак,
lim /„ (я) - lim х (in) = х (0) = 6 (х).
Я-»со П-»-с»
194
I Пунши учун {/я} кетма-кетлик функцноналга суеттопо-
логияда ядннлашади.
М А Ш к f у ч У Н МАСАЛА Л АР
1. Н Гильберт фазосида НА цисм фазони оламиз.
Маълумки, ихтиёрий h£H элемент ягона усулда уш^у
куринишда тасвирланади:
*=*,+*, (л,CM,
Р проекторни ушбу
Ph=hA
тенглик билан аниклаймиз. Р нинг ‘ узлуксизлигини
исботланг.
2. С [а, фазода Т оператерьи xyfli даги«а аниклай-
миз:
ь
Т<р(0=J k(t,s)q(s)ds,
а
бу ерда k(t,s)—икки узгарувчининг узлуксиз функциями.
а) Т оператор z(C[a,b]) нинг элемента эканлигдни
исботланг;
б) С [а,Ь] фазода икки хил норма киритамиз:
1)|]<р||==тах|(р(/)|;
2) М= у<й(О^
а
Юкоридагй Т оператор иккала нормада хам узлуксиз^и-
гинн исботланг-
S. а) Е, F, L топологик вектор фазолар. А:Е^Р,
B’.F-^L узлуксиз ч измели операторлар булсин. У хол-
да Сх=В(Ах)=ВоА(х) оператор хам узлуксиз чизе-
ли оператор эканлигини исботланг;
б) агар А оператор dom АсЕ тупламда, В оператор
dom BczF тупламда аницланган булса,
ботС=сотЛ ПЛ~] (dom В)
муносабатни исботланг;
в) агар dom А ва dom В вектор кием фазолар бул-
са, у холда dom С хам Е нинг вектор кием фазоси
эканлигини исботланг.
195
4. F, F нормаланган фазолар булиб, А: E-+F узлу к- •
сиз оператор булса, у холда унинг графит и булган
grA туплам EXF нинг ёпик кисми эканлигини исбот-
ланг.
5. Е ва F фазолар сифатида C[a,bj фазони оламиз.
D={x(t)££.x'(t)czE} белгилаш киритамиз. D тупламда
Т чизицлИ операторни ушбу формула билан анидлаймиз:
Тх=хг.
Т оператор ёпик, аммо узлукли экаилигнни исботланг.
6. Т: E-+F ёпик оператор булиб, Т-~* тескари опе-
ратор мавжуд булсин. Т~1 операторнинг хам ёпикли-
гини исботланг,
7. X вектор фазода ч ва т2 топологиялар берилган
булиб, X уларнинг хар бирига нисбатан Ф-фазо булсин.
Агар т, топология топологиядан кучлирок булса, у
Холда Tj ва т2 топологиялар тенг кучлидир, яъни
Исботланг.
8. F, F, L нормаланган фазолар булнб, А: E-+F,
В: F-+L чегараланган чизикли операторлар булсии.
Ушбу тенгсизликни исботланг:
цй»л||<|е||-|иц.
9. E~Rn ва F^Rm фазоларда мос равишда куйидаги
нормалар берилган булсин:
л m
И=21Ь|. 1М1=51Ы.х е fi"- у 6 К".
Z=1
A=(aij): F—>F чизиклн операторнинг нормасини хисоб-
ланг.
10. F, F Банах фазолари, Ао: Е—>Е узлуксиз чизид -
ли оператор булиб, унинГ узлуксиз А^1 тескари опе-
ратори мавжуд булсин. Агар А£Е(Е, F) оператор
ПАДс-ил Lui шартни каноатлантирса, у холда Ао + А
IJA) 1||
оператор хам узлуксиз тескари операторга эга эканли-
гини исботланг.
11. Н Гильберт фазосида Но кием фазони олиб, Но
га проекторни Р билан белгилаймиз. Проекторнинг куйи-
даги хоссаларини исботланг:
а) ихтиёрий х£Н элемент учун Рх ва х—Рх узаро
ортогонал элементлардир;
б) Рх—х тенглик бажарилиши учунх £НО муносабат
зарур ва кифоя;
196
в) Рх = 6 тенглик бажарплиши учун х I Но муноса-
бат зарур ва кифоя;
г) агар Но фазо {6} дан фаркли булса, г нинг нормаси
бирга тенг.
12. Н Гильберт фазосида чегараланган Р-Н-+Н чи-
зикли оператор берилган булсин. Р проектор булиши
учун ушбу шартлар зарур ва кифоядир.
а) Р2 = Р;
б) ЦРЦ < 1.
13. Д F локал каварик фазолар булио, В туплам £
фазонинг чегараланган кисми, q эса F фазода яримнорма
булсин. Иктиёрий A£L (£, F) учун ушбу
г(А) = г(А, В, q) = sup q(Ax)
xtB
чекли сон булиб, унинг ярим норма эканлигини исбот-
ланг.
VIII боб
чизифш ФУНКЦИЭНАЛЛАР В А ЦУШМА ФАЗО
8.1 -§. Нормалаиган фазоларда чизицли функцио-
иаллар ва гипертекисликлар
1. Чизикли фунционаллар ва гиперте-
кисликлар орасида богланиш. Е нормалаиган
фазо булиб, f: Е—>К чизикли функционал ва /У—
= кег/=/~1 (0) унинг ядроси булсин. Равшанки, Н туп-
лам Е нинг вектор кием фазоси, а вектор Н га тегишли
булмаган ихтиёрий вектор булсин, яъни f(a) ^=0. У
холда ихтиёрий х£Е элемент учун ушбу
вектор Н нинг элементидир, чунки /(у)=0. Демак,
ихтиёрий х£Е вектор ушбу
х=Ха+у(Х= Жу€Н)1
J I 1V
куринишда ёзилади. Бундан тасвирлаш бир дийматлидир.
Хакикатан, х бошца бир
х=1ла-|-у| у^Н)
куринишда хам тасвирлаиса, у холда
/(х) = р/(а)=)/(а), _ _____
бундан /(а)^=0 булгани учуй р.=Х ва демак, У1=у.
Шунинг учун Е фазо куйидаги тугри йигинди (1,5-§)
куринишйда тасвирланади:
* -а ли ^жцпц- fw лл_ .'ли
Е Н.
Хусусан, Е[Н~Ка, яъни codim /7 = 1 ( 1.5- §). 1
Таъриф. Е вектор фазонинг И цисм фазоси учун
codim Н = 1 булса, Н гипертекислик дейилади.
Демак, юкоридаги мулохазаларга биноан нолдан
фаркли ихтиёрий чизидли функционал учун //== kcr f
кием фазо Ё дагн гипертекисликдир.
Аксинча, Е фазода ихтиёрий Н гипертекислик
/-’(0) = Н шартни . каноатлантирувчн бирор чизикли
функционални аиицлайди.
^Дархадикат, codim Н ~ 1 булгани туфайли иктиёрий
а^Н учун
Е~Ка@Н
198
юиглик уринлидир, яъни ихтиёрий xQE куйидаги ку-
jHinuiiAa ёйилади:
х = 1а 4-й, X б А.
'Функционален бу элементда куйидагича аницлаймиз:
/(*)=х-
Бевосита куриинб турибдики f чнзицлн функционал ва
Л'(0)=//.
Агар бошца бир g чизицли функционал учун ^ам
//—g-^O) булса у холда шундай мавжудки,
g=?.f. Хацицатан,
g(*) = gQa + Л) = х£(а) ==/(^)g(«)=o/(x),
бу ерда ос = g(a).
Ушбу f(x)=0 тенглама А/ гипертекисликнинг тенг-
ламаси дейилади.
Е топологик вектор фазода ихтиёрий Н гипертекислик
ёки ёпик, ёки Е нинг хамма ерида зич. Дархакикат,
топологик вектор фазода кушиш ва сонга купайтирнш
амаллари узлуксиз булгани сабабли Е нинг вектор кием
фазосининг ёпилмаси кам вектор кием фазодир. Демак,
Н нинг ёпилмаси 77 хам Е нинг кием фазоси. Н гиперте-
кислик булгани сабабли уни уз ичига олувчи Е дан
фаркли кием фазо мавжуд эмас. Бундан
77=^ ёки 77 Е.
1-те о рема. Е нормаланган фазо булсин. /(х)=0
тенглама Н гипертекисликнинг тенгламаси булсин.
f чизицли функционал узлуксиз булиши учун Н
ёпиц булиши зарур ва кифоядир.
Исбот. Зару р л и г и. f узлуксиз чизикли функ-
ционал ва’'*~'{0р^уплам К майдоннинг ёпик кием и бул-
гани учун ёпикдир.
Кифоя лиги. Н ёпик гипертекислик булиб, /(х)=0
унинг тенгламаси булсин. Ушбу
/И = 1
шартни каноатлантирувчи а£Е элементни олсак, рав-
шанки, а-\- Н хам ёпик тупламдир ва G б а 4- Н, чунки
ихтиёрий z=a-\-h . (/?бН) элемент учун /(^)=/(а)—1.
Демак, 0 элементнинг аН билан кееншмайдиган
= {х : фх|| < е) атрофи мавжуд, яъни
В£ П (а+Я) = О-
(1)
199
Ихтиёрий учун/(х) Л1 „
булса эди, у холла f,x ’ чУ™и. агар .
+ Н-, бу эса (1) га Д “> = l
Ве шарнинг ихтиёрий х элементи
тенгсизликни исботлаймиз. АксинЧя ГУН ушбУ I/
учун |/(х0)] = а> т
цилайлик. У ^олда /р£.)=
ЯЪНИ
Be шарнинг ихтиёрий х элементи
‘Г'Г'ТЮ nrn/iTtr _ «.
'™«мча, бирорТс < 1
1, тенгсизлик бажа^ € В.Бемент
4 ва Ы Деб Фараз
—бу эса юцорвда к$/рсат ° яъни
муносабатга звд. демак, в ' илган Лх)^цХ£в
ти учун |/(ж)|<1, яъни f чегаря„ НГИХТИё₽ийл: элем ‘
функцннонал.,.. , - ега₽алангаи (ЯЪНи „? ь’еи’
2. Чизидли фуНКЦи УлУКсиз)
геометрик маъноси Нопм„ал «ормагв1
луксиз f чизикли ФуикциоНал„РиМ^н
С°Н УЧУ“
белгилаш киритамиз. БевосиТй
элемент /(«) = с теигликни каЛ?рнниз тУРибдИкт
- _ . ^атлантирса vи’ а
а + Н, Н == f-i m ^°лда
d орцали 77, туплам билан б нуктя
белгилаимиз, яъни
d = inf|pcl|
/09=1 1
Ихтиёрии x Q //( элемент учун
°Расидаги
масоФанИ
яъни
Бундан
а>т-
Функционал нормасининг таъриЛи
е >0 учун шундай . ,Е элеме^ ~ и и
l/K)l>(11/11 -е)|К „ ДИ->Шбу
(2)
200
Н-1ИЧИ1ЛИК бажарилади, яъии
Лир « =jTx j белгилаш киритсак, у л'олда а, €/Л ва
1 -(11/11-е)||а. ||, яъни ||а, ||< ||/||Уг. Бундан
1>У гепгеизликда в ихтиёрий булгани уч у и
, _ 1
Н/П’
ва (3) тенгсизликлардан ушбу
rf=ii7iiе1<и
чикади. Натижада куйидагн теорема
(3)
Юцоридаги (2)
тенглик келиб
исбот ланди.
2-теорема. Узлуксиз f чизицли функционалнинг
нормаси Hi — {%£/:: /(%) = 1} туплам билан 6 нуцта
орасидаги масофанинг тескари цийматига тенг.
7.4-§ да исботланган Хан—Банах теоремасидан куйи-
даги натижа келиб чикади.
3-теорема. Нормаланган Е фазонинг ихтиёрий
элементи учун цуйидаги шартларни каноат-
лантирувчи узлуксиз f чизикли функционал мав-
жуд.
Рж,) = 1;
2) 11/Н1МГ1-
Исбот. Е фазонинг ушбу
L={tx^ t£K}
КИсм фазосини оламиз. L фазода /0 функциоиални куйи-
дагича аниклаймиз:
/с(^с) = Е
Равшанки, = 1 ва
В/oil == sup|/o(fxo)| = sup|/| = Wl’1-
IW = 1 bj _L_
iHl
201
Хаи—Банах теоремасига асосан /0 функционалии Е
фазога нормасини сацлаган холда даном эттириш мум-
кин. Хосил булгаи функционал 1) ва 2) шартларни
Ханоатлантирувчй функционалдир.*
Мисоллар. 1) Rn фазода ихтиёрий f функционал
ушбу
п
f=l
куринишда ифодаланади, бу ерда f =
i= 1
Л). (Бу мисол 7.3-§ даги 4-мисолнинг ‘хусусий т—1
холи.)
Чизикли функционалнинг нормаси фазодаги нор-
мага б о глид. Бунга иккита мисол келтирамиз.
a) Rn фазода ||х|| = ( У ] иормани оламиз. У холда
м ।
М1=^)
Исбот. Коши—Буняковскнй тенгсизлигига асосан
ихтиёрий x£Rn элемент учун ушбу
у W=j/ £i/d2 и
тенгсизлик уринлидир, яъни ушбу
МК"/ У1ЛГ
муносабатга эгамиз. Энди хи =(£°, § , .. элементни
202
куринишда олсак, у ^олда ||х0Ц =1 ва
Бундан •
|]/|| = siip |/(х)|>|/(%0)[^1/ V|/J2.
1И1=1 V
Z=1
Бу муносабатни ;юкорндаги ' (4) ^тенгсизлик билан со-
лиштирсак, ушбу
М=|/£и-
П I
тенглик келиб чикади.
б) Rn фазода иормани ушбу
||х|| = шах|& |
1<7<л
куринишда олсак, бу мисол 7.3-§ даги 5-мисолнинг 1
хусусий ^оли (т = 1) булдди. Демак, ——
и=1М
2=1
и
Агар Rn фазода ||х|| = V \х [ норма олннса, ||/|| =тах |/п
м ККп *
эканлиги шунга ухшаш келиб чикади.
2) Нормаланган С[0,1] фазода ушбу
п
=2
203
Функционални оламиз, бу ерда tu t2,. .., tn £[O,1J
ихтиёрий нукталар, Ck£R (k = l,n). /—чизикли функцио-
нал. Дар^акицат,
п
Л=1
п п
=У] Cklx^tk) +2 ^^2(^)=Wi)4-^/(^)-
*=1 *=!
Бу функционаднинг нормасини ^исоблаймиз. Ушбу
П п п
i/(*)i= hoiS м
k=i a=i k-1
тенгсизликдан f фуякционалнинг узлуксизлйги ва куйи-
даги тенгсизлик келиб чикади:
п
ii/ikS w-
А=1
Энди [0,1] оралицда узлуксиз х0 функцияни куйидагича
аниклаймиз:
х0(М sgn ckt (&= 1,2, ...» n)
ва \tkJk i-i 1 ораликларда х0(/)ни чизикли функ-
ция, [0,Д[ ва [£я,11 ораликда хс(/) ни узгармас деб
оламиз. Равшанки, 11-М<1 ва
п
11/11 =sup !/(*) l>l/(*o)l=ScftxP(M==
IM-IK1
n П
=|CA|,
*=I k=l
ЯЪИИ
n
*=1
Демак,
n
n/ii=Si^i-
*=1
204
3) Х^ки^ий сонларнинг иолга якинлашувчи кетма-
кетлик лари фазосини с0 билан белгилаб, бу фазода
Х={£л} элементнинг нормасини куйидагича киритамиз:
IM = sup|^|.
п
Бу нормаланган фазога кушма булган фазони допамиз.
Агар ушбу
е(*» = (0,0, . - - . ОД, О, - . . )в?0
Г-i
элементларни олсак, равшанки, ихтиёрий х = {^п} эле-
ментга ушбу
п
ь. • - ь- од •)
Л=1
элементлардан тузилган кетма-кетлик якинлашувчи
булади. Хакикатан,
lim ух—x(">||=lim || (0,0, . , 0, g«+i, Jrt+2, . . .)|| =
Zl—*-<XJ К-*90
=lim (stipJLd) = 0.
П-*оо Л>Ц-Л
Энди ихтиёрий f£(coy функционалга ушбу {A} = {f(e(A))}
• оо
гонли кетма-кетликни мос куйиб, 2 |/*| кагор якинла-
Л==1
k
шувчи эканлигини исботлаймиз. Агар у<*} =2(sSn//)^Z) €
элементни олсак, равшанки Цу(М|<1- Демак,
k со
11/11 = sup|/(x)|> sup|/(y<«)| = sup2/j=2w. (5)
1U1K1 k k - I—1
яъни абсолют якинлашувчи катор- Шундай хоссага
/=1
эга булган {/*}=/ сонли кетма-кетликлар фазоси
билан белгиланади ва {А} 6Л элементнинг нормаси деб
со
||/|| олинади. Шундай килиб, кар бир /б(^0У
fe=i
205
функционален Ц фазонинг {f$=f элемента мос куйнл-
ди. Ихтиёрий х£с0 учун
п п
/(x)=lim/(j^n)) = ИтУ^/(е<*>)—
Л->со П-»со k—l П-f-co _।
П «о
=lim2b/*=2V*,
*=1
яъни f функционалнинг х элементдаги циймати ftft
элемент ёрдамида цуйидагича хисобланади:
•о
/м=2 ь/*. <6>
*-1
Аксинча, Ц фазонинг ихтиёрий {/*} элемента (6) фор-
мула буйича с0 фазода чизицли функционални аниц-
лайди. Унинг чеклилиги ва чегаралангаилиги ушбу
тенгсизликдан келиб чикади:
со 00
i/wh2e*ai<2iS‘AI=^
*-1 *=1
оо со
<su^2i/*i=ii*ii2i/*i- о
* Л-1 ' fc“1
Шу^билан бирга
11/11 = sup |/(x)|<2lAI = №
1|Х||<1 *=1
Б}7 тенгсизликни (5) тенгсизлик билан солиштирсак
|]/|| = 11/11 тенглик келиб чикади. Демак, /->/ мослик
(г0)' фазони /1 фазога акслантирувчи изометрик изо-
морфизм, яъни {сл\
4) Энди 3-мисолда киритилган Ц фазога цушма
фазо т фазо эканлигини исботлаймиз. Ц фазода ушбу
gk~(Q, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, ...)
л-i
элементни олсак, ихтиёрий /={Д}^/1 учун
п
h.........................f,., о, О,
*=1
206
элсментлардан тУЗ^лган кетма-кетлик f элементга
п(|рмаб)йича Я1'.11^<па11[адИ. ДархацИцат, | А| катер
~ *=i
яцинлашувчИ букаин сабабли
•9
II/ -/“’11=11 <<' о.../„+.,/„+2,...) || = У|/4|->0.
*=п+1
Ихтиёрий F€(^y функционалга F ={F*} = {F(g*)}
кетма-кетликни МСс 1$ниб, унинг чегараланганлигини
псботлаймиз. ЛаЦ15КэтаН>
Н^Н ~ |>sup |F(g*)| = sup |Fft|, (8)
ил**** k
демак, F = {F/J m Шундай цилиб, цар] бир F£(ltf
функционалга in фа30нинг p элементи мос цуйилди.
Ихтиёрий / б *i Учун
/ (/) = Iim > (/“>) =lim р( V/4 =lim2 fkFk =
DO
^У,/к^к,
ft=l
яъни F ФУнКЦИОц^ЛЪ1ИНГ у элементдаги кнймати ушбу
формула ёрдамид^ хисобланади:
^=2/л-
k=i
(9)
Аксинча, т фазо^^ ихтиёрий F ={F*} элементи (9)
формула оркали фа3ода чизицли функционални аниц-
лайди. Унинг чеКлнлИГИ ва чегаралангаилиги к}:йидаги
тенгсизликдан чикади:
F(/)| -
2/‘f»
< V |/fiFA| sup
*=i k
=sup lFJ-|[/j|.
k
i^i 2
*=I
1Л1 =
(10)
Энди m фазода /. элементнинг нормаси sup |Fft|
эканлигини эслас^ тенгсизликка биноан
207
|]F|]=sup |F(/) | < sup |Fa| = JF||
II/IK1 k
Буни (8) билан солиштирсак, ||F|| = ||F|] тенглик келиб
чикади. Демак, F-+F изометрик изо морфизм дир, яъни
(Л)'
3. Гильберт фазосида чизикли функцио-
н алл ар. Энди Гильберт фазосида чизикли функцио-
налнинг умумий куринишини топамиз. Е Гильберт фа-
зосидан бирор у элементни танлаб олсак, ушбу
/(х) = (х, у) (11)
формула Е фазода узлуксиз чизикли функционални
аниклайди. Дар^ацикат, f нинг чизикли эканлиги ска-
ляр купайтма аксиом аларидан, чегараланганлиги эса
ушбу
1гЦ=|(*,у)1<И IMI
Коши — Буняковский тенгсизлигвдан келиб чикади. Ху-
сусан ,
1|/П^Цу|| (12)
муносабат уринлидир.
Аммо энг му л'ими шундаки, Гильберт фазосида кар
бир узлуксиз чизикли функционал (11) куринишга эга.
Аникроги, куйидаги теорема уринлидир.
4-теорема (Рисе теоремаси). Е Гильберт фазо-
сида ихтиёрий узлуксиз f чизицли функционал учун
(11) тенгликни каноатлантирувчи ягона уf элемент
мавжуд ва шу yf элемент учун ушбу муносабат
уринлидир:
|/II = W- (13)
Исбот. Юкоридаги 1- теоремага асосан Н =f~x (0)
туплам Е нинг ёпик кием фазосидир. Агар /=0, яъни
И—Е булса, У/=6 деб олишимиз мумкин. Н=/=Е
колни курайлик, яъни Н туплам Е нинг хос кием фа-
зоси булсин. Ихтиёрий Уъ^Н элемент ушбу
Уо = у' + у" (/€//, у"
куринишда ёзилади (4.4- §, 1- теорема).
Равшанки у"=^=6 ва f (у") =й=0. Демак, Ду") = 1
деб хисоблаш мумкин. Ихтиёрий элементни олиб.
208
f{x) сонни я билан белгилаймиз. У долда х'— х — ау"
элемент И нинг элементидир, чунки
/(*') = f(x) — of (у”) = а—х = 0.
Демак, (л/, у") ~ 0 ва
(х, у") = (х' +>У7', у") = «(у", у")
яъни
/(^с) = а = ^Х, ~ (xi У/)»
бу ерда
У"
У/~ (у", У"у
Шундай килиб, (11) тенгликни каноатлантирувчи у у
элемент топилади. Бу элемеитнинг ягоналиги бевосита
келиб чикади. Дардакидат, агар ихтиёрий х£Е элемент
учун ушбу
(*, У/) = (*. y'f)
тенглик уринли 'булса, у долда (х, yz—у'у) = 0, яъни
У/—y/_L£, демак, yf—y'f =0.
Ушбу
тенгсизликни юкоридаги (12) тенгсизлик билан солиш-
тирсак, (13) тенглик досил булади.*
Е Гильберт фазосининг дар бир элементига ушбу
мм ==:(х,у)
формула буйичаХ^У чизикли ^функционални мос куйсак,
досил булган
\'Е-^Е' (14)
оператор цушма чизи^лидир^яъки
т(ау1 + ₽у2) = ату! Д- |ту2.
^акикатан,
[т(ау1 +[Ру2)](х) = Хх^Уь-НРУ»)^ (л»аУ1) +.(*» =
=M*» Vi)j+₽(^. У2) — Й^Уъ+ Р'О'гК*)-
Энди , xzE-^E1 [мономорфизм [эканлигини [исботлаймиз:.
14—239 209
* ° булса, у колда ихтиёрий х^Е элемент
Агар чу =
учун
у (X, У) = (^)(^С) = О,
г/’. Демак, у ~ 6.
ЯЪн^)^ОрИ^Ха нсботланган 4-теоремага асосан эпимпр-
ва
11Чу) 11 = |1у!1,
г/— нзометрик изоморфизм (агар Е комп-
L; £>ерт фазоси булса, t —кушма чизикли нзомет-
1 иль 0нзм).
yi л ар. 1) Ь2 [а, 6] Гильберт фазосида чизиц-
физм.
яъни
леке
рик ИЗО МО
ли функцг^°наЛНИнГ УМУМ™ куриниши куйидагича бу-
лади: *
= J x(t)y(fjdl\x, yQL2 [а, Ь].
. . ^ильберт фазосида чизикли функционалнинг
. J Ч финиши куйидагича булади:
у М^ МИИ
/(*) = (*» у)
fe-=l
Х=&. . - » L» -Н^,
У =(^1, ...» ^г. -)€Л.
8 2 § Иккиичи ЦУшма фазо ва рефлексивлик
F С Dot"1 Н0РмалаНган фазо ва Е' унга кушма фазо
^/кълумки, Е' кам вектор фазо ва * функционал-
булсин. '^.рга нисбатан Банах фазоси (7.4-§). Illy са-
нинг норм^.а3ода аннкланган узлуксиз чизикли функ-
бабли с курншимнз мумкин. Равшанки, бу функ-
ционаллар^ам бирор Банах фазосини косил килади;
иионаллаР fa иккинчи ц.ушма фазо дейилади.
бу Фазо^н бир0Н _хс элементни олиб, ушбу§
Фх0(/) =/W, /Cf' (1)
форм у па $$амида Фа30да бирон 0^. функционални
^якин.
аииклаш Юуоридаги (1) формула орцали
1Те°^ Фло Функционал Е' фазода чизицли уз-
a^vKC^ ^nuoHOMlup, яъни. фло £ Е".
JtyEoLbo J
210
Исбот. Равшанки, (1) формула кар бир f£Er функ-
ниопалга бирор сонни мос куяди, яъни фХо функционал-
дир. Ихтиёрий /(, ft£E' ва а, р какикий соилар учун
фЛ(1 нинг таърифига асосан
Фл0 (“Л 4- ₽/Д'в«/1(*о) + РЛ(*и) = «Фло (Л) + ₽Фх0 (А),
ЯЪНИ <ЬХо ЧИЗИКЛИ ьфункционалдир. нинг ^узлуксизлиги
эса ушбу
I Фх0(/)141/MI < IIMMH/II (2)
тепгсизликдан бевосита куриниб турибди..х.
Бу теоремага асосан Е фазонинг кар бир х0 эле-
ментига Е" фазонинг бирор элемента мос куйилади.
Бу мосликни тс билан белгилаймиз, яъни
фх0 » к ’ Е-*-Е'.
Бу мослик Е фазони Е" фазога табиий акс эттириш
дейилади.
2- т е о р е м а. тс: Е" акс эттириш мономор-
физмдир.
Исбот. тс чизикли акс эттириш эканлиги куйидаги
тенгликлардан келиб чикади:
’Г(аХ1дН-|^2)(/).==1Фах1 +?Л2 (/) = /(«^lj-Ь Р-^2)| = 4“
4-i№2)’=>4Xj (/)Ж₽Фх2 (/) =*]«*(*()’(/) 4- =
= М*1) -НН*2)](/)-
Бу?ерда f£E' ихтиёрий’ ’булгани^сабабли
TC(axt 4- рл\) = атс^ЭЛ-’р^Ха).
Энди нинг мономорфизм эканлигини курсатамиз. Их-
тиёрий Хд, х2^Е элементлар учун х1^[х2 булса, у кол-
Да
х0 = х, —х2 ^’6.
8.1- § даги 3-теоремага асосан шундай f^E’ функ-
ционал мавжудки, унда ушбу
/(х0) = ]
тенглик бажарилади, яъни
/(Xj — х2) = /(xj — /(Хо)^О.
Демак, топилган /С^учун
X^t) (/)-Фх0(/) = /(^1) =^=/К) =?Фх2(/) =Х*2) (/)•
Демак, ^(х5) 5^=тс(х2), яъни тс — мономорфизмдир..х
14* 211
3-теорем а. тс: Е^-Е" акс эттириш изометрия-
дир. яъни
||тс(х)[| = ||х||, х£Е,
бу ерда |[тс(х)|| ифода Е" фазодаги норма.
Исбот. Ушбу
m (/)i==1/(*)ки ц/п
муносабатга асосан функционал нормасининг таърифи-
га кура
1Н*)1КИ< (3)
Ихтиёрий х£Е(х^=0) учун 8.1-§ дагн 3-теоремага асо-
сан ушбу
1/о(*)1 = 1М/о№11
тенгликни каноатлантирувчи fo£E' функционал мавжуд.
.Демак,
||тс (х)|[ = sup I * (*) (/)! = sup 14А/)1 = sup |/(X)|
Ц/|1 f^E’ И/ll Ц/П1
IAU)] _ 1|Л№И
///Л “ И АН
яъни [|тс(х){| > ||х||. Бундан . ва (3) тенгсизликдан керак
булган ушбу
11Ф011 - IWI
тенглик келиб чицади.*
Натижа. Ихтиёрий нормаланган Е фазо иккинчи
кушма фазонинг бирор к(Е) cz Е" вектор кием фазоси-
га изометрик изоморфдир.
Е ни тс(/?) га айнан тенг деб ^исоблаб, Е cz Е" муноса-
батга эга буламиз.
Т а ъ р и ф. Агар тс акс эттириш Е ни бутун Е" га акс
эттирса, яъни тс(Д) = Е" булса, у Л'олда нормаланган Е
фазо рефлексив фазо дейилади.
Ихтиёрий нормаланган фазога цушма фазо тула бул-
гани сабабли ихтиёрий рефлексив нормаланган фазо ту-
ладир.
Мисоллар. 1) Ихтиёрий Е Гильберт фазоси реф-
лексивдир. Чунки Е фазо Е' фазога кушма изоморф
(8.1-§, 4-теоремага асосан), Е’ эса уз навбатида Е" фа-
зога кушма изоморф. Демак, Е фазо Е" фазога изоморф-
дир.
212
2) Узи-узига кушма булмагаи рефлексив нормалан-
гаи фазога мисол келтирамиз. 7?” фазода нормани куйи-
Лагича киритамиз:
п
'=1
1»у фазони /?" билан белгилаймиз. Агар норма ушбу
|]хц = max I-, |
куринишда олинса, буян билан белгилаймиз, 8.1-§,
I, б) мисолга биноан (R\Y = R1^, (R£Y ~ R“. Демак,
(/?{')" = 7^, (R^)" — R^, яъни ва Rnm рефлексив фа-
юлардир.
3) Хакикий сонларнинг нолга якинлашувчи кетма-
кстликлари фазоси су рефлексив эмас. Чунки 8.1-§ даги
3-мисолга биноан (с0)' = /t, 4-мисолга биноан (RY = mt
яъни (Со)" = т /= Оо.
4) Хар кандай рефлексив фазо тула булгани сабабли
ихтиёрий тула булмаган нормаланган фазо рефлексив эмас.
8.3- §. Сует топология ва сует яциилашиш
Е ва Ег мос равишда топологик вектор фазо ва
унинг кушма фазоси буленн. Сони чекли /ъ А . . - ,
ftl£E' функционаллар ва s > 0 сон учун ушбу
U{ft, fi, - - - , fn^} = {x^Ez\fn{x)\<^ i=TTn} (1)
гул лам 9 нуктани уз ичига олувчи очик тупламдир,
яъии нолнинг атрофидир. (1) куринишдаги чекли сонда-
ги тупламлариинг кесишмаси шу куринишдаги бирор
тупламни уз ичига олади. ^Масалан,
ЦА А • • • , fn, 4nt7(gb g2, . . . ,gk, 8)=>
А . • • , fn, gi, gi, , gk, mm (г, 8)).
7(смак, E фазода шундай топология киритиш мумкинки,
упда ноль атрофларининг базиси (1) куринишдаги туп-
ламлардан иборат булади. Бу топология о (Е, Е') би-
лли белгиланади ва сует топология аталади. Чун-
ки бу топология Е' дан олинган кар бир функционал-
иинг Е да узлуксиз булишини таъминловчи топология-
ларнинг ичида энг сустидир. Равшанки, бу топология
/' фазонинг узидаги топологиядан сустроКДир.
213
Ноль атрофларининг таърифига асосан, агар Е па.
етарли даражада куп узлуксиз чизикли функционаллар
мавжуд булса, яъни :/(х) =j4=0 шарт ба-
жарилса, у холда сует топология Хаусдорф топология-
сидир. Сует топологияда якинлашиш сует якинлашиш
дейилади. Хусусан, {x'k}azE кетма-кетлик x(J£E пук-
тага сует якинлашувчи булиши учун ушбу
fM+fM'yfQE' (2)
муносабат бажарилиши зарур ва кифоядир.
Дархакикат, масалан, х0 = G булган холни курамиз.
Агар ихтиёрий f £Е' ;учун f(xk)->0 булса, у долда
нолнинг ихтиёрий
£/{/„ ЛЛ 1 , fn. *}=и
атрофини аниц'ловчи дар бир fi (I = 1, п) учун шундай
Ni натурал сон топиладики,
\fi (*Г)Г< е
тенгсизлик ихтиёрий k"^ Nt учун бажарилади.^ Демак,
N — max Nt деб олсак, у холда булганда ихтиё-
• i I. п
рий Z — 1, п учун |Д (а'а)|<£, яъии Xk€U.
Аксинча, ихтиёрий V учун шундай N сон мавжуд
булсинкн, Xk G U муносабат ихтиёрий N учун бажа-
рилсин. У холда хар бир f£E' учун /(хА)->0, k—>oo.
Сует якинлашишдан фарц дылиш учун Е фазонинг
уз топологиясидаги якинлашишни кучли яцинлашиш
дейилади. Хар бир /б Е' нинг узлуксизлигига ва (2)
муносабатга асосан кучли якинлашишдан сует якинла-
шиш келиб чикади. Хусусан, агар Е нормаланган фазо
булса, норма буйича якинлашишдан сует ядинлашиш
келиб чикади.
Нормаланган фазоларда сует якинлашишни текши-
риш учун куйидаги теорема фойдалидир.
1-теорема. Нормаланган Е фазода {хл} кетма-
кетлик xvQE нуцтага сует, яхинлашувчи булиши
учун хуйидаги икки шарт зарур ва кифоядир:
1) Цхп II < М бирор М >0 сон ва ихтиёрий п на-
турал сон учун уринли;
2) Е' фазода тула булган бирор Д тупламнинг
ихтиёрий f элементи учун ушбу муносабат уринли
f
214
Г»у теорема 7.5-§ даги 5-теоремага ухшаш исботла-
наДИ.
Сует якинлашишнинг модиятини цуйидаг# мисол-
лдрда курамиз.
!. Чекли улчамли Rn фазода сует ва куч ли якин-
ллшпшлар эквивалент. Rn фазода е1г еа, . . . , еп орто-
Нормал базис оламиз. Ушбу {xfi} кетма-кетлик бирор
xQRn элементга сует яхинлашувчи булсин. У лелда
ушбу
xk = x^et 4- ... 4- х™еп,
х = x(l)ei 4- . . . +хпеп
шпгликлардан фойдаланиб, куйидаги муносабатларни
•Чишимиз мумкин:
= (xk, £j) -> (х, et) = яД),
Чп) = (*» » ) -> (*> еп) = х{п},
яъии {xk} кетма-кетлик х элементга координаталар бу-
йича якинлашади. Демак, k > оо да
(п \—
х{1}У И ”>0’
i 1 /
яъни {xk} кетма-кетлик х га кучли якинлашади. Бун-
дан куриниб турибдики, сует якинлашишдан кучли
якинлашиш келиб чикади. Бунга тескари ибора доим
уринли булгани сабабли бу якинлашиш лар эквивалент.
2. Н Гильберт фазосида ихтиёрий узлуксиз чизикли
функционал скаляр купайтма куринишида ифодалани-
11Ш сабабли, {лд} кетма-кетлик Н да бирор х элементга
сует яхинлашувчи булиши учун ихтиёрий у Е Н эле-
ментга нисбатан у шбу
(xk, У)—>(х, у)
муносабат бажарилиши зарур ва кифоядир.
3. /2 фазода сует якинлашиш. Маълумки, Z2 фазода
ортонормал базис сифатида ушбу
е. = (1, О, 0, . . .), е2 = (0, 1, 0, 0, . . .), . .
векторлар системасини олиш мумкин. 2-мисолдаги у
сифатида ларни олсак, бирор {xk} кетма-кетликнй
х га сует якинлашишидан куйидаги муносабатлар ке-
либ чикади:
{xk t ei) - х^-^х^ = (х, et ), i = 1, 2, (3)
215
яъни сует якинлашувчи кетма-кетлик координаталар
буйича ,^ам шу элементга яцинлашувчи булади. Агар
{jet} кетма-кетлик чегараланган булса, у ^олда (3) шарт
кифоя хам булади. Дарцацицат, бунда 1-теореманинг
шартлари цаноатлантирилиши учун А туплам сифатида
{et } системаии олиш керак (A cz 1.2‘ = /2).
Шундай цилиб, чегараланган кетма-кетликлар учун
Z3 фазода cycf яцинлашиш координаталар буйича яцин-
лашиш билан тенг кучлидир.
Шунн дгам айтиб утиш керакки, /2 фазода сует
яцинлашиш кучли яцинлашишдан фарц цилади. Масалан,
elt е.2> . .., еп , - - - кетма-кетлик Z2 фазода 6 векторга
сует яцинлашади, чунки ихтиёрий у = (у,, у,» . . ., ун ,
. ..) Е Z2 элемент учун
(У, еп) = уп->0, «-> оо.
Аммо ихтиёрий п учун llen II = 1 —0, яъни {ел} кетма-
кетлик 6 га кучли яцинлашмайди.
4. с0 фазода сует яцинлашиш. Бу фазода хам чега-
раланган кетма-кетликлар учун сует яцинлашиш коор-
динаталар буйича яцинлашиш билан мос тушишини
курсатамиз. Хар бир х = (£,, £а, .. . , L, .. .)£с0 эле-
ментга унинг координатаенни мос цуювчн функцио-
нални gfc билан белгилаймиз. Равшанки, gk б (с0)' =
3, 4- мисоллар). Демак, агар бирор {xn}^cQ кет-
ма-кетлик х элементга сует яцинлашувчи булса, у цол-
да 1-теоремага асосан у норма буйича чегараланган ва
ихтиёрий k у4ун
|(п) = gk (хп}-+- gk (%) = , n -> оо.
Аксинча, агар {хп} кетма-кетлик х элементга коор-
динаталар буйича яцинлашиб, норма буйича чегаралан-
ган булса, у цолда ихтиёрий k учун gk(хп) -> gk (х).
8.1-§ даги 4-мисолда курсатилганидек, ихтиёрий
/=(А» Л. • • • , fk, - • •)GZI ==(c0)' учуй
п
lim gfll=O,
д—со k—l
яъни {g*}*=i туплам lt — (с()' фазода тула. 1-теоре-
мага асосан {хп} кетма-кетлик х элементга сует якин-
лашувчи. Хусусан, бу фазода хам сует яцинлашиш-
дан кучли яцинлашиш келиб чицмайди. Масалан 8.1-§,
3-мисолдаги {ek} кетма-кетлик нолга сует яцинлашув-
чи, аммо ихтиёрий k учун Це*II = 1.
216
Н 1 Цушма фазода сует топология ва чегаралак-
ган тупламлар .
/. топологик вектор фазо, Е' унинг кушма фазоси
булсин. 7.5-§ да цушма фазода a(Ef, Е) топология,
пг.ци сует топология тушунчаси киритилиб, унинг ай-
|>им хоссалари урганилган эди, Бу топологияни Е' фа-
юдлги сует тогюлогиядан, яъни о (Е'} Е") 'топология-
Длп ажратиш мацсадида уни *- сует топология дей-
MKi.
Ушбу параграфда Е ни сепарабел нормаланган фазо
Лео оламиз ва шу фазога кушма булган Е' фазодаги
чегараланган (функционалнинг нормаси маъносида) туп-
ламлзрнинг му^им хоссаларини келтирамиз.
5* орцали Е' фазодаги ёпик бирлик шарни белгилай-
миз, яъни
S*={/€£':НЛ< П
1-теорема. *-суст топологияни S* шарда ца,-
рилса. бу топологияни метрикалаштириш мумкин,
цебот. Е фазонинг бирлик шарида зич булган
с.шоцли {хп} тупламни оламиз. S* фазода метрикани
ушбу
со
!<f. g) = 2:2-"1 < f - g, хп >| (1)
Лч-1
формула ёрдамида киритамиз. Бу ерда ушбу </, х> =
/(z), fQE', xQE белгилашдан фойдаландик. КиритИл-
гап р(/, g) функция ^ацицатан хам метрика эканлиги
ьсвосита куриниб турибди. Ундан ташцари, бу метрика
силжитишга нисбатан инвариант, яъни
р(/ + Л, g S h) = р(/, g), \Е С Е'.
Энди S* тупламда с(Е' Е) топологиядаги иолнинг
атрофлари системаси шу тупламда р метрика ёрдамида
апицланган атрофлар системаси билан тенг кучли экан-
лигини курсатилиши кифоя. Бош^ача килиб айтганда,
цуйидаги икки хосса исботланиши керак:
1) ихтиёрий SE ~{f^E'z^(f, 6)<е} шар S* би-
лап нолиинг *- сует топологиядаги бирор атрофининг
кисши масини уз ичига олади;
2) Е' даги нолнинг о (Е', Е) топологиядаги ихтиёрий
лгрофи S* шарнинг бирор & шар билан кесишмасини
уз нчпга олади.
217
Ушбу 2~лг<т>- тенгсизликни каноатлантирувчи N сон-
ни танлаб, нолнинг *-суст топологиядаги куйидаги ат-
рофини оламиз:
= yXi , • - , «== {/: I </, Xk >I < ~ ,
k = 1, 2, . . ., A}.
Ихтиерий /^S^riV учун
/V
р(Л e) = Z2-"l<:/» x«> l+ 2 2-n|</,xn>|<
n=l n=A'4-l
(2-2-"+ 2 2-")<i- + i = ^.
\« 1 n=A'+l J Z
яъни S* П VrczSE . 1) хосса исботланди.
Нолнинг й-суст топологиядаги бирор
U=Uyi. у2, ... , y„;8 = {/:Kyfe,/>l<M=
атрофини оламиз (||уй1|< 1, ,k = 1, . . ., т). Олинган
{хп} туплам S нинг разима ерида зич булганн сабабли
шундай «и..., пт натурал сонлар топиладики, ^ар
бир k = 1, 2, ...» tn учун ушбу |]уй — xnk у < тенг-
сизлик уринли булади. Агар N = max (яъ .... nm),
е = 2-<л+1) 8 деб олсак, у ^олда /G<S®riSe учун
У^-^СХп, />|<£.
н—1 -
Бу тенгсизликдан цуйидаги тенгсизлик келиб чикади:
I <хп, />[ < 2ле,
ва х у су сан,
/>|2"te<2'v, = -|
Демак, ихтиёрий k = 1, 2, . , т учун
К У*. />|<|<Х„4, />| + |<у4—/>|<-| +
+ 11/11 Ну*-^11
яъни S:;' п &
218
2-теорем а. Сепарабел нормаланган фазонинг
Кумма фазосидаги ёгищ тар о (E't Е) топологияда
компактдир.
Исбот. Равшанки, бу теоремани S" бирлик шар
учуй исботлаш кифоя. 1-теоремага асосан *-суст топо-
логия S® шарда метрика ёрдамида аницланади. Де-
мак, S* шар 2.8-§ даги таъриф маъносида ’-сует топо-
логияда нисбий компакт ва ёпиц эканлигини исботлаш
керак.
а) 5’ шарнинг нисбий компактлиги. Е 'фазода зич
булган бирор {-*„} санодли тупламни оламиз. S’ шар-
даги ихтиёрий {фй} кетма-кетлик учун ушбу
Ф1(*1), ф2(^), . . - , <P«(*1), •
сонли кетма-кетлик чегараланган, чунки
|фп(*1)1 < II фЛ IU1II < п = 1, 2, . .
Демак, {фн} кетма-кетликдан шундай
Ф.(1), ф2<», .... ф„ш . . . (2)
дисмий кетма-кетлиги танлаш мумкинки, ушбу
Ф?Ч*1), Ф2П)(*1)» • •• , Ф^Ч*>), •••
сонли кетма-кетлик яцинлашувчи булади. Шунга ух-
шаш, (2) кетма-кетликнинг шундай
ф<2), фВ ...» ф’Л ...
дисм кетма-кетлиги топиладики,
Ф(Ж), ф(Ж)> •••.
сонли кетма-кетлик яцинлашувчи булади ва ^оказо. Шу
тарзда давом эттириб, ^ар бири олдингисининг цйсмий
кетма-кетлиги булган
Ф(/\ ф<12), . . . , .
Ф(1\ Ф(?, • , Ф(2), • • •
кетма-кетликлар системасини ^осил циламиз. Бунда
{ф^1} кетма-кетлик хь х2, . ., , Xk нудталарда яцин-
лашувчи булади. Энди
Ф^Ч Ф^2), • • • , ф?\ •
„диагонал" кетма-кетликни олсак, у ^олда ихтиёрий Хц
элемент учун
ф^Ч**). ф?(^)..........ф(?(^)> - • • »
219
кетма-кетлик яцинлашувчи булади. Чунки бу кетма-
кетлик юдоридаги кетма-кетлик л арнин г дар бирининг
бирон ердан бошлаб кием кетма-кетлиги булади. {хп}
туплам Е да зич булгани сабабли 7-5-§ даги 5-тео-
реманннг 4) натижасидан {<р(^} кетма-кетликнинг *-суст
яцинлашувчи эканлиги келиб чидади, яъни S* туплам*-
суст топологияда нисбий компактдир.
б) шарнинг *-суст топологияда ёпидлиги. Ихти-
ёрий узлуксиз чизикли функционални оламиз,
яъни [|/0|| >1. Функционалнинг нормаси таърифига асо-
сан J|xj| = 1 тенгликни каноатлантирувчи шуидай xQE
элемент топиладики, |/0(х)| = а>1 уринли булади.
Ушбу (7= {f£E:f(x)> туплам *-суст тополо-
гияда /о элемеитнинг атрофи булади (7.5- §) ва S* шар
билан кесишмайди, яъни S*— ёпик-*
Равшанки, юдорида исботланган теорема фадат бир-
ликлар учун эмас, балки радиуси ихтиёрий булгаи шар
учун ^ам уринлидир. Бундан куйидаги натижа келиб
чикади.
Натижа. Сепарабел нормаланган фазога кушма
булган фазода ихтиёрий чегараланган туплам *- сует
топологияда нисбий компактдир.
8.5-§. Кушма операторлар
1. Топологик вектор фазоларда кушма
операторлар. Е ва F топологик вектор фазолар, Ег
ва F' мос равишда уларнинг топологик кушма фазолари
булиб, Т: Е-+- F узлуксиз чизикли оператор булсин. F
фазода аникланган узлуксиз g чизнкли функционални
оламиз. Энди g ни Тх элементга кулласак, ушбу g (Т-) :
'Е-+К акс эттириш Е да аникланган узлуксиз чизе-
ли функционалдир. Дардадидат,
£(Г(аХ1 + ₽х2)) = g(vTx^ 4- ЗТх2) =
= «g(Tx,) + ₽£(?%),
яънн g(Tx)—чизикли функционал. Унинг узлуКсиз-
лиги g ва Т нинг узлуксиз эканлигидан келиб чидади.
Демак,
_____ f^E'.
Шундай дилиб, F' даги ихтиёрий g элементга Е' даги
/ элемент ушбу
< х, / > = < Тх, g >
220
формула буйича мос ц^йилда. мосликни биз Т ои-
лан белгилаймиз, яъни f—Tg, Демак, Т:Г ->-Е акс
эттириш куйидаги тенглаК билан аникланади.
<Тх, g^=<x-T*s>- 1 0)
1-теорема, а) П- Г -» Е'-чи.з:»(л i огергпзр;
б) (Г,+Тг)4' = 7’1*+^"
в) (ХТ)*->.Т», >£/< ar,. г„ ...
Исбот. а) ихтиёрий й» ? € К ва gi> g? € Е учун (1)
форм у лага асосан
1
= а
T*g*
ЯЪНИ /
Г -(а^! -b pg?) = аГ?£1 +
б) <Zxt{Ti ±T2yg
^<ZTtx + T2x,g > =
= <x,T1*g> + <х,
-<(TJ +Т2)х, g > =
<Т,Х, g>4-<r^,g>==
7Vg>=<*, r/g + r3*g>
яъни
(т. + т-Г-тг+т^,
в) < х, Q.T)*g > = < )Тх’" > = < T^’g > =
= < >.x, T*g >= < x’ )T E >.
ЯЪНИ
Юцорида киритилган E1 чизикли оператор T га
ма оператор дейилади. .
1-мисол Т:/?л-^/?^ЧИЗИ1<ли опеРат°Р мат~
рица ёрдамида берилган бУл“н„ Л^ЯК’ х х бкл.
у = ТХу у= (У1, Уг> • . • » У771*’ х — V*t» ^2> • • • » л п} иУ1’1
са, у ^олда
<> _ Vzy i = 1, 2,
уi = ^atjXj * » »
7=1
m.
Маълумки, f чизицли функционал
дх)^
7=1
221
куринишда ёзилиши мумкин. Ушбу
т т п у
fto = g(Tx) = 2 У/ = 2 2 gz atjXj =
i 1 Z=I /=]
П 7H
y=i >1
тенгликдан цуйидаги муносабат бевосита келиб чицади
т
fj =
1=1
Ammo f~T*g. Шундай цилиб, T* оператор (az/) матри-
цам кушма булган (ау7) матрица билан аницланади.
Агар Е ва F нормаланган фазолар булса, у золда
Е' ва F' зам нормаланган фазолар булади. Демак, Т ва
7* операторларнинг нормалари' закида гапириш мум-
кин.
2-те о рем а. Агар Е ва F Банах фазолари бу-
либ. Т: Е-^F чегараланган чизицли оператор булса,
у Холда
(Н=Ш1.
Исбот. Функционал ва оператор нормаси таъри-
фига асосан ихтиёрий g С F' ва х £Е элементлар учун
ушбу
й. |7’*g(ji:)l'= I < х, T”g > | = | < Тх, g > | = | <
< IlgH iirxlK 1И1111ТЦ ||х||
тенгсизлик, яъни ушбу
HT*gII<11 т|| п^п
тенгсизлик [уринлидир. Демак,
II7” li t IIГ || (2)
муносабатга эгамиз. Энди xgffTx^te) элементни
Тх
олиб, у= элементни цараймиз. Равшанки ||yj| = 1.
8.1- § даги 3-теоремага асосан ушбу: К-'-’-м —
i) g(V) = < У» g > = 1
2) lfg|| = l!y|l“I= I
шартларни каноатлантирувчи g£F' функционал мав-
жуд. Демак,
1 = <У, £->=<|рг^, g>, яъни<Тх, g> = j|rx|J.
222
Ушбу
||Tx|| = |<Tx, g->| = |<x, T*g>|=>||7*g(x)|| C
<||7*jf|| II x || < || 7* (|gflx|| = ||7 »|| И__
тенгсизликдан IIЛ1 <И* II муносабат келиб чицэди.
Энди (2) ни цисобга олсак,
IHII = I|7*IL
2. Гильберт фазосида цушма оператор.
И Гильберт фазоси ва TzH-*-H чегараланган чизицли
оператор булсин. Энди 8.1-§ даги 3-пунктда
келтирилган изометрик цушма чизицли изоморфизм
булсин. т цуйидагича аницланганлигини эслатиб утамиз:
(?у) (*) = (*» У)-
Сунг T*zH'-^Hr оператор TzH-^H операторга цуш-
ма оператор булсин. Ушбу
Г = ^~4\*xzH->H
акс эттирнш чегараланган чизицли оператор эканлиги
бевосита куриниб турибди. Равшанки, Т* оператор
ушбу
{Тх, у)-(%, Ту} (3)
хоссага эга. (3) формулани Г* операторнинг таърифи
деб олиш ^ам мумкин. ||Т|] = || Т|| ва т,т”' изомет-
риялар булгани учун
ИГ 11 = 11 Л1
Т* оператор Т оператор учун Эрмит цушма опе\
ратори дейилади.
Кулайлик учун Гильберт фазолари курилгандагина,
Т* операторни Т га цушма оператор деймнз ва 71**”би-
лан белгилаймиз. Бошцача цилиб айтганда, Н Гильберт
фазосидаги Т оператор учун цушма Т* оператор ушбу
{Тх, у) = {х, Т*у) (4)
формула ёрдамида аницланади.
Таъриф. Агар. Т* =« Т тенглик бажарилса, Г:
оператор ^зузига ц^шма дейилади.
Демак, Т: Н-^Н чизицли оператор уз-узига цушма
булиши учун ушбу
{Тх, у) == {х. Ту)
223
тенглик ихтиёрий х, у б/У элементлар учун бажари-
лиши керак.
Агар Н ^ацикий Гильберт фазоси булса, уз-узига
цушма оператор с им метрик оператор дейилади. Агар
И комплекс Гильберт фазоси булса, уз-узига кушма
оператор Эрмит оператора дейилади.
Таъриф. Уз-узига кУшма Т оператор ихтиёрий
xQH учун ушбу (Тх, х)>0 тенгсизликни цаноатлан-
тирса, у колда Т мусбат оператор дейилади.
2-мисол. Н Гильберт фазоси, эса унинг
кием фазоси булсин. Р ~ Рн проекторни оламиз (4.4-§).
Р уз-узига цушма ва мусбат операторлигини курсатамиз.
Ихтиёрий у£Н учун у—Ру_|_АГ0, ихтиёрий хб^/учун,
О = (Рх, у — Ру) — (Рх, у) — (Рх, Ру), яъни
(Рх, у) = (Рх, Ру).
Шунга ухшаш, (х, Ру) = (Рх, Ру), демак,
(Рх, у) = (х, Ру)
ва
(Рх, х) = (Рх, [Рх) = ]| Рх II2 О»
яъни Р—мусбат оператордир.
11хтиёрий Т б ЦН) операторнинг Т* кушма опера-
тори хам чизикли ва узлуксиз булгани учуй Т опера-
торга Т* операторни мос куйиш амали*: L(H)-+L(H)
акс эттиришдир (бу амал инволюция дейилади). Энди
Н комплекс Гильберт фазоси булсин.
3-теорема. * : L(H) -+ L(H) амали куйидаги хос-
саларга эга\
1) (Т^у = Т;
2) («Т1 -Г ₽А)* = «Л* 4- ₽Т2*;
3) (т\т2)* = тутр\
4) Т' Т — мусбат оператор, Т 4- Т* ва i (Т —
— Т*) — Эрмит оператор лари',
5) 1|Т*Т|| = ||ГГ*|| = ||7*h2 = НГЦ2;
6) /* = /, 1: Н-^Н бирлик оператор',
7) агар Т~1 оператор мавжуд булса, у ^олда
(Т-1)* = (Г*)-1.
Исбот. 1) Ихтиёрий х, у^Н элементлар учун
(4) формулага биноан (Тх, у) — (х, Т^у) = (Т*у, х) —
= (у, х) = ((Т*)*х, у), яънн ((Т*)*х - Тх, у) = 0.
Демак, (Т*)*х = 7х, (Г?)* = Т;
224
2) (a:. («T, + ₽Ts)*y) = ((а Т, +₽ Т2)х,у) =
~(aTt х, у) + (₽ Т,х, у) = (Г1(ах),у)4- fe
+ (Л(₽а). у) = («х, Т,*у )+_(₽*. T2*y)=Rj-,T/) +
+ (х, ₽ ГЛ') = (х, (к Т,* + ₽ ТУ )у),
яъни (а Л + р 72)* =“& Л* + ₽ Л*;
3) (X, (ТхТ.Уу) = (Т.Т^ у) = (71(Т2х), у) =
= (72 х, 7/у) = (х, 7s*(7t*y)) = (х, 72* 7/:у),
яъни (Т^У = 72*7/;
4) Ихтиёрий х, у £ Н элементлар учун
(7*7х, у) = (х, (Т'ТУу) = (х, Г (ГТу) = (х, 7*7у),
яъни Т*Т—Эрмит оператори ва (Т*Тх, х) = (Тх, Тх) =
= J)W>o,
яъни Т*Т — мусбат оператор.
((Т + 7*) х,у) = (х, (7 + Т*Уу) == (х, (7* + Т**)у) =
1 = (х, (Т* + Т)у) = (х, (7- + Т*)у),
яъни 7 4- 7* — Зрмит оператори.
Сунг (л (7 - 7*) х, у) = ((7- 7:i) (ix), у) =
_ = (Z х, (Т - 7«Гу) = (IX, ((7х - Т)у)) =
= (х, i (Т^ — Т)у), = (х, i (Т — 7*)у), демак, I (Т~ 7*)-
Эрмит оператори.
5) Маьлумки, ихтиёрий 7n T7^.L(H) операторлар
учун ЦТ, ЛИ<11 Г, || НЛП- Демак, ||r!T«<
<||7’*||||7’|| = ЦТ ||2.
Аммо Коши-Буняковский тенгсизлигидан ушбу тенг-
сизлик келиб чикади:
пл2
«= sup lj Тх 1|2 = sup (Тх,Тх) = sup(x, 7* Тх) <
!|Х||=1 ffA/|=l
< sup || х |f ||7'x7x|| = sup|[T* 7x|| = ||7* 7||.
IMj=i
Демак, || 71|2 = f| 7s 71|. Энди 7 урнида 7* операторни
олсак, ушбу
II ГТ* IJ =[|| 7* |Р = || 71|2
тенглик досил булади, яъни || 77* || = [| 73 7 || =
= || 7* ||3 =|| 71|2.
6) Уз-у зидан равшан.
7) Агар 7”1 7 = 7 7-1 = I булса, у .^олда
(7-i Т)" = (77-1)* = /*=/, яъни 7*(Т-1)* =
= (7“1)*7* = /. Демак, (7“9* = (7*)-С«.
15—239
225
Мнсоллар. 3. Т чизикли оператор Сп фазони Сп
фазога акс эттирувчи булиб, Т=(ъц) матрица ёрдамида
бери/Л '4 булсин.
х ~ (jc„ x.2t . .., хп) С Сп, у =zTx=*
= (Уь у2............Уп)£Сп
булса, у ^олда
п
Vi = ^ auXj .
z=i _
Худди 1-мисолдагидек, Т* оператор (aJt) матрица би-
лан ифодаланишини курсатиш мумкин. Демак, Т опера-
тор Эрмит оператори булиши учун ушбу
аи ~~ aji
муносабат зарур ва кифоядир.
4. £2 [а, 6] комплекс Гитьберт фазосида Фредгольм
операторини курамиз;
ь
Tx(t)= J K(t,s) x(s)ds, (5)
а
b b
бу ерда x(t) £ £, [a, b\, J J № (£, s)dsdt = №<сю.
а а
Шу оператор учун цуш-ма операторни топамиз.
£2 [а, Ь] фазода скаляр купайтма ушбу
ь
(х, у)=J х (0 у (t)dt
а
куринишда булгани учун
* Р 1
(Ух, у) = J y{t) J K(t, s)x(s)ds
a La J
Фу бини теорем аси га асосан
ь *
(Тх, у) = J J К(/, s)x(s) у (t)dtds ==
а а
= f *(s)
бу ерда
ь
J К {tts) у (/) dt ds =; (х, г),
я-
b
Z (к) =: J K(tt s) у {t) dt,
226
ЯЪ1Ш
b
= K.(s, t) y(s)ds.
a
b
T*y = J/<(s, t) y(s)ds.
a
Натижада куйидаги теорема исботланди.
4-теорема. Агар [а, 6] фазода Т Фредгольм
оператора K(t, s) узак билан аницланса, у холда
Т* оператор К (s, t) узак билан аницланади.
Натижа. (5) формула билан аникланган Фред-
гольм оператори Эрмит оператори булиши учун ушбу
K{t, s) = /C(s, t)
тенгликнйнг уринли булиши зарур ва кифоядир.
5. Хакикий £й[а, фазода (5) формула ёрдамида
аникланган Фредгольм операторша кушма оператор
К (s, t) ядро билан аниклаиади ва Т симметрии опера-
тор булиши учун ушбу
К (tt S) = K(S, t)
муносабат зарур ва кифоядир.
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. С[а, б] фазода ушбу
ь
f(x) = \x(f)d£, х£С[а, b\
а
тенглик силан аникланган функционал узлуксиз ва чи-
знкли эканлигини исботлаб, унинг нормаспни топинг.
2. Юкоридаги масалани ушбу
ь
Г(х) = x(l)yQ(t)dtt х£С[а,
а
функционал учун ечинг, бу ерда у0(/) б С[а, bJ — би-
рор тайинланган функция.
3. С [а, Ь] фазода S/t функционални куйидагича
аниклаймиз:
«/,(%) =г Х(/.).
15*
227
Унинг узлуксиз ва нормаси бирга тенг эканлигини ис-
ботланг.
4. Рефлексив нормаланган фазонинг ихтиёрий ёпиц
кием фазоси рефлексив эканлигини исботланг.
5, Банах фазоси рефлексив булиши учун унинг цуш~
ма фазоси рефлексив булиши зарур ва кифоялигини
исботланг.
6. С2 [а, 6] фазо рефлексив эмаслигини исботланг.
7. Бирор Н Гильберт фазосида (х,г} кетма-кетлик х
элементга сует яцинлашиб, ||jcn ]| || х ||, zz->oo муноса-
бат бажарилсин. Бу холда хп кетма-кетлик х элементга
кучли яцинлашувчи эканлигини исботланг.
8. Юцоридаги масалани |[ хп || х|| шарт урнига
|1 хп || < || х IJ (п ~ 1, 2, . . . ) шарт олингаида нсботланг.
9. Бирор Банах фазосида ёпик булган, аммо сует
топологияда ёпик булмаган тупламга мисол келтиринг.
10. Нормаланган фазода бирор туплам сует тополо-
гияда чегараланган булиши учуй у норма буйича чега-
раланган булиши зарур ва кифоялигини нсботланг.
11. С [а, 6] фазода {хп} кетма-кетлик х элементга
сует якинлашувчи булса, у холда ихтиёрий [а,
учуй xn(t)-+x (t) эканлигини курсатинг.
12. С [а, /;] фазо сует топологияда тула эмаслигини
курсатинг.
13. Нормаланган Е фазо учун Е' фазодаги с (Е',
Е") топология о (£', Е) топологиядан кучлирок экан-
лигини . исботланг.
14. Агар Е рефлексив Банах фазоси булса, у х°лда
ихтиёрий TQL (Е) учун Т«* = т тенгликни исботланг.
15 Т чизик.ли оператор Н Гильберт фазосида берил-
ган булсин. Агар бирор cz Н к нем фазонинг ихтиёрий
Ло элементи учун булса, кием фазо Т опе-
раторга нисбатан инвариант дейилади. Агар /7() кием
фазо Т операторга нисбатан инвариант булса, у холда
М/ кием фазо Т га Эрмит цушма булган Т* оператор-
га нисбатан инвариант эканлигини курсатинг.
16. Н Гильберт фазосида чегараланган Р: Н-^Н опе-
ратор бирор Нь цисм фазога проектор булиши учун у
цуйидаги шартларни к ан оатл антириши зарур ва кифоя
эканлигини исботланг:
а) Р2 = Р;
б) Р« = Р.
228
СПЕКТРАЛ АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТЛАРИ
Мазкур боб давомида учрайдиган барча вектор фа-
золарни С комплекс сонлар майдони устида курамиз. Бу
талаб комплекс сонлар майдонининг алгебраик ёпйклиги
билан боглиц.
Спектр ва резольвента
Е комплекс Банах фазосида аникланган ва циймат-
лари хам Е да булган чегараланган чизицли Т опера-
тор берилган булсин- X комплекс параметрга боглиц
булган {Т — X/} операторлар системасини оламиз. Рав-
шанки, хар бир X учун Т —X/ чегараланган чизнцли
оператор.
Т аъриф. Агар Ао £ С учун (7 — X,,/)-1 оператор
мавжуд булиб, чегараланган булса, Хо сон Т оператор
учуй регуляр циймат дейилади. Регуляр циймат бул-
маган комплекс сонлар туплами Т операторнинг спек-
тра дейилади ва а (71) билан белгиланади.
Демак, Хо бс(7) булса, ё (Т —а0/)-1 мавжуд эмас,
ёки (Г — Xo/)-J чегараланмаган оператордир. Агар Е
чекли улчамли нормаланган фазо булса, с(Т) спектр
фацат шундай X лардан иборатки, улар учун (Т —X/)-1
мавжуд эмас, чунки чекли улчамли нормаланган фазода
цар кандай чизицли оператор чегараланган. Бу холда
чизицли алгебра курсидан маълумки, X £о(Т) учун
Тх = Хх тенглама нолдан фарцли х0 ечимга эга, яъни
\ Т= Ххо, Xf, =7^ 6 .
Демак, чекли улчамли фазода [чизицли операторнинг
спектри фацат чрс цийматлардан иборат 'ва уларнинг
еони купи билан vim Е га тенг.
Чексиз улчамли фазоларда масала мураккаброц. VII
бобдан бизга маълумки, чизицли чегараланган А:Е-^Е
операторнинг тескариси мавжуд ва чегараланган булиши
учун к у йи даги 2 шартнинг бажарилиши зарур ва ки-
фоя:
229
1) Л—цуйидан чегараланган, яъни шундай т>0
мавжудки,
f| Ах || > т |( х ||, ух £ Е\
2) А операторнинг кийматларидан иборат туплам
Е да зич:
!шД =Е.
Шуидай цилиб, Хо £ а (Т) булса, А = Т — Хо/ опера-
тор учун юцоридаги иккн шартнинг камида б ири уринли
эмас. Биринчи шартни цаноатлантирмайдиган X лар туп-
ламини «(7), иккинчи шартни цаноатлантирмайдиган
X лар тупламини эса 7 (Т) билан белгилаймиз. Демак,
О (7)-к (7) и 7 (Г).
Таъриф. Чизикли операторнинг хос цийматларн-
дан иборат туплам операторнинг дискрет спектри де-
йилади; у ни (7) билан белгилаймиз. 7 (7) \ тс0 (Т) =
= «колд (7) туплам операторнинг цолдиц спектра,
«(П\[7(Пи^(Г)] = °УалСГ) туплам эса операторнинг
узлуксиз спектри дейилади»
Тузилишига кура ^>(7), о^яа (7) ва оузл(7) туплам-
ларнинг ихтнёрий иккитаси узарэ кеспнмайди ва
(7) и а4олд (7) Л ° уз Л (7).
Юкорида курдикки, чекли улчамли фазоларда о(7)=*
= (Т). Демак, оЧ0лд (7) = 0 ва сузл (7) = Q . Чексиз
улчамли фазоларда, умуман айтганда, цолдик сп ектр ва
узлуксиз спектр буш булмаслиги мумкин. Буни тасдик-
ловчи бир неча мисол келтирамиз.
1) С [0, 1] комплекс фазода, яъни [0, 1] да аниклан-
ган узлуксиз комплекс функциялар фазосида куйидаги
операторни оламиз:
Tx(t) — t-x (/).
Равшанки, 7: С[0,1 J ->С[0,1] оператор чнзикли ва чега-
раланган. Агар Хо комплекс сон учун \>Э[0, 1] булса,
Т — \)1 операторнинг тескариси мавжуд ва чегараланган.
Хакидатан,
(T-M)-‘X0 = t4x;-
t С [0, 1] ваХ0£[О, 1] булгани учун —Хо^=0 ва
юцоридан чегараланган. Демак, [0, I] туплам
230
•егуляр нукталардан иборат. Эиди Хо £ [0, 1] булсин.
У .холда Т — оператор цуйидан чегараланмагаи,
яъии
1|(7 — М) *|| > m • II * || V* € С [0, 1 ]
тенгсизликни каноатлантирувчи мусбат m > 0 мавжуд
эмас. Дархакицат, куйидаги функциялар кетма-кетлч-
гини оламиз: \
*п (0 —
О, агар £ € [х0 — Хо + —] булса,
1, агар г = Ао булса,
[Ч----уг, ва |>о, хо+-^] ораликларда чизик-
ли функция.
Равшанки, хп £С[0, 1] ва ||x«| = 1. Шу билан бирга
||(7 — Хо Г)хп || = max [ (/ — ^)хп (/)(< - ,
/О0-1’ п
яъни Т — V оператор куйидаи чегараланмаган. Демак,
Хо € ^(7). Иккинчи томондан, Т — Хо/ операторнинг кий-
матларидан иборат туплам t = Д нуктада 0 га айланув-
чи фуикциялардан ташкил топган. У холда С 10, I] да
норма буйича якинлашишдан хаР бир / £ [0, 1 ] нуктада
якинлашиш келиб чициши туфайли 1т(Д—1].
Белгилашимизга кура Дб1(7). Шундай килиб,
о(7) = тг(7)=1(Т)=|0, II-
Нихоят, ‘
tx(t)^= Л%(/), ZC [о, 1]
тенглама (х (i) га иисбатан) нолдаи фаркли ечимга эга
эмас. Демак, (Г) = 0 ва шунинг учун7х(0 =
= t x(t) операторнинг дискрет ва узлуксиз спектрлари
буш тупламлар экан. Натижада
о(П = оКолд(Т) - [О, 1]; (7) = ^(7) = 0.
' 2. 1.2 комплекс Гильберт фазосида диагонал оператор
Куйидаги формула билан аникланади: \ v
Т(Е,. Е„ . ) = (₽, Ь, h, - - L 6У ерда (|„
—х б /2- ai» б С, i = 1, 2, ...
231
Т нинг диагонал оператор дейити лига сафаб, бу
оператор 13 нинг каноник базиэда чексиз диагонал
матрица куринишидз ёзиладя:
Агар sup jjxjl <4~оо булса, Т — чегараланган оператор
(7,3-§, 6-мисол). М =г {хоа2. . белгилаш киритнб,
Куйидаги тенгликларни исбот киламиз:
а) я0 (Т)]= АГ;_
б) ^узл(Т) = М\М;
в) С (Л> М, о]чолд =; 0 .
а) УИ cz г;., (Т) муносабат причли эканлиги равшан.
тс0(7)сз/И муносабатни курсатамиз. Агар А С тс0(7)
булса, шундай x^i мавжудки, (Г — X/)х0 => 0.
Демак,
((«£—>) В1. (>2 — >) В3,(хл —л)|., . . .)) = (0, О, 0, . . .).
булгани учун бирор Bv-AO. У колда X =» ай£7И.
Эндн б) ва в) тенгликларни исботлаймиз. Аввал
тс (Т) =*М ва т (Г) =s тс0 (Г) тенгликларни курсатайлик.
АгарХбС\М булса, X регуляр климат эканлиги рав-
шан. Шунинг учун тс(Т)с:Л1. Агар А £714 булса, X га
якинлашувчи {artft}cz/l4 кием кетма-кетлик мавжуд. У
колда барча уГлар учун ушбу
ИХ-М>₽>0
тенгсизликни цанситлантирувчи р мавжуд эмас. Демак,
Т — X/ оператор КУйидзн чегарзл анмаган, яънн Х£тс(7).
Шуидай килиб, тс(Т)==»/Ш
Энди 1(7')=:тс0(Г) тенгликнн исботлаймиз. Агар
X б тс,) (Г) булса, а) га курз бирор k учун X=safe. У кол-
да Im (Т — ХД туплам k- координатзси 0 га тенг бул-
ган векторлардзн иборат. Демак, Im (У — яъни
тсй(Т) cz ДТ). Аксшча, Х67 (Г) булсин. У колда
Im (7 — ?7) 1-2.
232
Шундай килиб, (Im (7 — ~(Г)Г 5^{0}. Иккиичи томоидан»
ихтиёрий Н Гильберт фазосида чегараланган В чизикли
оператор учуй
(1т£?)л = кег/?*
тенглик уринли; бу ерда кег В* туплам В* кушма
операторнинг ядроси. Дар^ацицат, ихтиёрий х £ кег В* .
ва у С Im В учун В*х = 0 ва у = Bz. Демак, (х, у) =
t= (х, Bz) = (Z?* х, z) = (О, z) = 0, яъни х I Im В. Бун-
дан xJ_ImB, яъни кег В* cz (ImA)1.
Аксинча ихтиёрий ва х£/2 учун Вх £
£ Im В, ва демак,
(В* zt х) — (г, Вх) = 0.
Бу epjjra х ихтиёрий булгани сабабли B*z ~ б, яъни
2 £ кег 5*. Бундан кег В* zz> (Im А).1 Демак, шундай
Хо £ l2(xQ =£ 6) мавжудки,
(7-Х7)*х0 = б. (!)
Т диагопал оператор булгани учун Т*Т = ТТ*. Цу-
йидаги
|| Тх |Р = (Тх, Тх) = (7*Тх,х) = (ТТ*х, х) =
= (7*х, 7*х) = ||7*х||2
тенгликдан ||7х|| = f|7Ax||, Vx£/2 келиб чицади. Демак,
(1) га кура
11(7 - A/)x0 II = ||(7 - Х/)*х0|| = О,
яъни 7х0 = лх0. Бундан эса Х£я0 (7) келиб чикади.
Шундай цилиб, к0(Т) = 7 (Т) = /И. У ^олда, аницланн-
шига кура
а уэл.(Т) = А1\А1, о (Т) = А1, а1;олд(7) = 0.
Юкорида биз спектрнинг ички тузилишини мисол-
ларда курдик. Энди спектрнинг асосий хоссалари билан
танишамиз.
1-теорема. Спектр ёпш\ тупламдир.
Исбот. Таърифга кура, ^ректр — регуляр нукталар
тупламининг тулдирувчиси. Демак, регуляр нукталар
тупламининг очиклигини курсатиш кифоя. Х^кик^тан,
Jo Регуляр иукта булсин. У ^олда (7 — М)’1 оператор
мавжуд ва чегараланган. Ушбу
IX —(2)
233
теигсизликни каноатлантирувчи ихтиёрий X £ С учун
Т — X I операторни курайлик. Равшанки,
В = (Т - Хо /)тЧ(Т — Х7) — (Г- X, /)]
ифода маънога эга ва В: Е -> В. Иккинчн томондан эса
ЦВ|| = Н(Т - *о1)-\ [(Г - X/) - (7 - Zo Z)J||=
= 11(7,-Хо7)~‘||.|Х~Хо|.
(2) га кура || В || < 1. Модомики || В || < 1 экан, 7.4- §
дан маълумки, (/ + В)-' мавжуд ва чегараланган. Агар
В ни куйидаги < '
В = (Т - Хо /)-* (7 - X /) - (Т-К =
= (Т-КГг'(Т-'к1)-1
куринишда ёзиб олсак,
Z + ^ = (T-^Xf)/)-i(T-X7)
булади. Демак, (Т — Хо 1) '(Т — X Г) оператор тескари-
ланувчи, яъии чегараланган тескари операторга эга. У
золда
Т - XI = (7 - Хо /) - [(7 - Хо /)- \т - X/)]
айниятга кура Т — X/ оператор тескарйланувчи, чунки
7 —Хо/ ва (7-X0/)-i(7 -X/)
тескарйланувчи. Шундай килиб, (2) теигсизликни ка-
ноатлантирувчи барча X лар учун (7 — X/)-1 мавжуд ва
чегараланган оператор, яъни Хо регуляр кийматлар туп-
лам ининг ички нуктаси. Демак, спектр ёпик туп лам дир.*
2-те орем а. %ар цандай чегараланган Т опера-
торнинг спектра чегараланган туплам ва радиуси
||7|j га тенг дойра ичида жойлаш.ган.
Исбот. Агар |Х| >. || 71| булса, j|~ 7j| с 1 тенгсизлик
уринли. Демак, (у7 — 1 мавжуд ва чегараланган.
У золда
Г-;./=л(2 т-/)
зам тескарйланувчи. Шундай цилиб, |Х|>||Г|| тенгсиз-
ликни каноатлантирувчи барча X лар 7 оператор учун
регуляр цийматдир, яъни куйидаги муносабат уринли:
234
Спектрнинг яна дам чукуррок хоссаларини урганиш
учун бир неча тушунчалар киритамиз,
Таъриф, X регуляр киймат учун
Д(Х) = (7-Х/)-1
оператор резольвента (аникроги, Т операторнинг
резольвентаси) дейилади.
Таърифга кура R (X) комплекс аргумент X нинг
фуикцияси булиб, цийматлари эса Е ни Е га аксланти-
рувчи чизикли чегараланган операторлардан иборат.
Лемак,
/?(-): С\п (Г)-£(£],
оу ерда L(E)—Чегараланган операторлар фазоси.
Thъриф. Комплекс текисликдаги G очик содада
аникланган ва кийм атлари Е Банах фазосига тегишли
булган g (X) функция берилган булсин. Агар ихтиёрий
учун ушбу
ф(х) =/(£(*)), Ф :6->С
комплекс функция G да аналитик булса, у долда g(X)
бу содада сует аналитик функция дейилади.
3- т е о р е м a. R (X) резольвента С\ о (Т) очиц cola-
da ва со нуцтада' сует аналитик функция „уамда
R (оо)=0/
Исбот. Хакицатан, Х^ б С\с(Т} ва / Банах фазоси
L(£) да аникланган чизидли узлуксиз функционал
булсин. Юдорвдаги 1- теореманинг исботида кургани*
миздек, етарли кичик |Х —Хо| учун R (X) = (Т — X/)-1
мавжуд ва
Т - XI = [I - (Т - Хо /)- 1(Х - хо)](7 - Хо /)
тенгликка кура
R (X) = R (Хо) [ I - R (Хо) (а - Хо)] -1 (3)
айният уринли. Демак, |Х —Хо| < -- булса, [Z — R
(Х0)(Х — Х^)]-1 ифодани дуйидаги каторга ёйишимиз мум-
кин:
л=0
235
У К®лда (3) га кура / узлуксиз булгани сабабли
«=0
тенгликни у ос ил киламиз. Бу ерда ап ==/{[/? (^)1п4'1}-
Рав шапки,
Шундай
W =!/{[/? (Ч)М1<11/11 II /?('<, )|Р+>.
килиб, |Х — XJ < ji/^уц тенгсизликдаи
2 ап(Х — Хо)72 цаториинг абсолют яцинлашувчи эканлиги
л=0
келиб чицади. Демак, f (А?(Х)) аналитик функция,
(А) — сует аналитик функция.
Энди оо нуктанинг атрофинн курайлик. Агар
булса ушбу
*-4
яъии
4 (/ - >.Т)
м} нссабатдаи
LR (г) = (г-4/Г' = -х(/-хг)~’
келиб чикади/яъни
£.(?) =-P('+:^+>.sr + ...). (4)
Демак, X —> 0 да /^(оо) = 0 тенглик уринли ва (4) га
мувофиц R (X) функция X = (х> нуктада сует аналитик
булади.^
4-те орема. Rap кандай чегараланган чизикли
операторнинг спектри буш булмаган тупламдир.
Исбот. о (Т) — 0 деб фараз килайлик. 3- теорг -
мада исбот килинганига кура R (/) функция С комп -
леке текисликда ва оо иуктада сует аналитик. Демак ,
L (Е) да аникланган f узлуксиз чизикли функшюна л
учуй f (R ())) комлекс функция аналитик булади. Агар
f (R (X)) функциянииг оо нуктада аналитик эканлигин и
ва f (°°)) — 0 тенглнкни кисобга олсак, f(R (X)) функ-
ция со нуктанинг атрффида чегараланганлиги келиб чи-
кади. Яъни шундай Aft >0 ва г>>0 мавжудки, Х(|А| > г)
учуй ушбу
!Ж(Х))|^А^
236
ппмийлик уринли. Демак./(/?(>.)) функция комплекс
и ни лпкда чегараланган. Лиувилль теоремасига кура
/ (А* (И) улгирмасфункция:
f(R (')) = const.
hup /(A,(°°)) = 0 тенглнкни инобатга олсак, ушбу
Ж (>)) = О
|Пп11Я-пш ^осил киламиз. Бу ерда f ихтиёрий узлуксиз
•|«\ и к । ш пал булгани учун Хан-Банах теоремасииинг
>>»। иной ига кура •
/?(Х) = 0.
Пкмшчи томондан эса
(Г —>-/) = /,
/? 0. Шундай килиб, а(Т)~ 0 фаразимиз
нддпяпа олиб келди.*
Чтицли операторларни урганишда спектрни лока-
ли 'iiiuiwjiaiii (ажратиш) масаласи му^им а^амиятга эга.
|< чч<>|1идаг11 2-теоремада спектрнинг чегараланган ту-п-
/|.м лслилигиии курсатдик.
S шоу
р (Т) = SUp |А|
। и Т «и.сраторнинг спектрал радиуси дейилади.
теорема. Ихтиёрий чегараланган чизикли Т
1ча ритор учун lirrij/ i|pq| мавжуд ва
1™у|ДяЙ=р(7’). (5)
Исбот. Агар ушбу
ini'/iirir > (.(т), (6)
(7)
п -> ОО
»гигсизликларни курсатсак, теорема исбот килинган б$-
лпди.
п) (б) теигсизликиинг исботи. Ихтиёрий п
и и у рал сон учун
Р (Тп) = sup Ip] = sup |л|л = (p (Т)У (8)
p£o(T") X£«(T)
237
муносабат уринли эканлигини текшириш цийин эмас.
2-теоремада исбот цилганимизга кура
р(П<|1Г'1||. (9)
(8) ва (9) дан ихтиёрий п учуй
АТ} ЦТ»1|
тенгсизликни ^осил киламис. Демак, хусусан
ва (6) тенгсизлик уринли.
б) (7) тенгсизликнинг исботи. Агар Хо комп-
леке сон I |С -т=г тенгсизликни к^ноатлантирса, -г- ре-
гуляр циймат булади. Демак, 7? (>) резольвента-^- нуцта-
да сует аналитик. У ^олда ихтиёрий /£[£ (£)]' учун
(4) га асосан
Дя(т)) =->-2>/(*’")- (к»
! и=^о
Бу Тейлор цатори |Х| < булганда Коши аломатига
кура якинлашувчи. Каторнииг яцннлашувчилигидан эса
р.л f (Тп )| сонлариинг нолга якинлашиши келиб чикади.
Демак, ихтиёрий /€[£(£)]' учун п->оода Д)пТп) О,
яъни {ХПТЛ} cz £(£) кетма-кетлик нолга сует якинлашув-
чидир (8.3- §).
8.3-§ даги 1- теоремага асосан шундай с > 0 сон мав-
жудки,
1|Х«ТЯ||^ с, « = 1, 2, 3, . .
яъни
иДЦТ'11|< с.
Ох ирги муносабатдан эса
ui i/mi<Z^
Энди /с « ] эканлигини кисобга олсак,
(И)
23S
ill л д.1Й килиб, (11) муносабат |X[ тенгсизликни
Цн п.ыптирувчи барча X лар учун уринли. Демак-
fl I) д.1 X Да лимитга утилса,
ijF|i<P(n
Я-» со
Iki 1цЛ чикади, яъни (7) тенгсизлик уринли..я
Miicijji сифатида Вольтерра операторини курайлик.
Mi ii’ppa оператори С [a, 7] фазода куйидаги формула
ity'i t.'iit лпицланади:
I = J s)х
4у грла к (/, s) узак булиб, Д = {(/, £):«<!/</>;
тупламда аникланган узлуксиз функция.
PiHiii.hikh, Т: С[а, Z?] -> С [а, чегараланган чизикли
(•и *p.iH>p. Вольтерра операторни инг спектрал радиусини
lotiiriri учун ушбу белгилашни киритамиз:
maxlAV. л)| = 7И_
(t. А)бл
‘Jni ратирнинг тузилишига кура
t и
I >(/) =Г(Тх(/)) = J [К(/, s,) Jk(S), S.Jx(52) Js3] dst
a a
. и умумий ^олда
/ J,
T”xif}= JW,s,) J №, s2) .
a a
• ]/фп-ь
a
Лrap | K(t, s) | < M тенгсизликни ^исобга олсак,
t st 5 л—1
|/ . j dsi maxjx (t)
Математик анализ курсидан маълумки,
Cf fn“,1 t (L — a)n
J J • • - J ds,fls„..i . . ,ds, = —.
а и я
239
Демак,
|| || < /т-а)п
яъни
Шундай цилиб, Вольтерра операторининг спектрал
радиуси 0 га тенг.
Юцорида биз спектр ва резольвента тушунчасини
фацат комплекс фазода аницланган оператор учуй ки-
ритдик ва теоремаларни исбот цилишда бу талабдан
фойдаландик. Ленин амалда эса (баъзан математик фи-
зика масалаларида) тула булмаган ёки фацат ^ациций
сонлар майдони устида цурилган нормаланган фазо-
ларда аницланган операторларнинг спектринн топиш ма-
салалари учрацди. Куйидаги иккита изо^ ёрдамида бу
масалалар урганилган долга келтирилади.
1-изо^. Е тула булмаган комплекс нормаланган
фазо ва Т: Е ~^Е чизицли чегараланган оператор бул-
син. Маълумки, Е ни тулдириш мумкии (4. 1- §, 1-тео-
рема). Х°сил булган комплекс Банах фазосини Е билан
белгилаймиз. Е фазо Е да зич булганлиги ва Т : ЕЕ
чегараланган булганлиги учун Т операторни Е фазога
иормасини сацлагая ^олда давом эттиришимиз мумкин
(7.4-§ даги лемма). Натижада ^осил булган операторни
Т билан белгйлаб, Т ^операторнинг спектрини цуйида-
гича киритамиз:
<(7) = «(П
2- и з о л- Е ^акиций Банах фазоси булсин. Чизицли
алгебра курсидан маълум булган тензор купайтма ту-
шу нчасидан фейдаланиб, яиги Е фазони цуйи тагича
киритамиз:
е = с®е.
Киритилган фазо Е фазонинг комплексифика1щяси
дейилади (тензор купайтма билан таниш булмаган уцув-
чилар Е ни формал равишда Е®1Е деб тушуиил-
лари мумкин).
240
Равшанки, Е комплекс Банах фазоси ва ихтиёрий
д- G Р элементни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
х = у+/Х v, z^E.
Уз навбатида/[бу^тенгликдан фойдаланиб, Т опера-
юрии Е га давом эттиришимиз мумкин:
'Г х =tTy -р iTz.
Табиий равишда Т операторнинг спектри цуйидаги
формула орцали киритилади:
о(Т)_=?(Т).
I 9.2-§. Проекцией операторлар
Куйида биз Гильберт фазосида аницланган оператор-
ларнинг махсус сияфларини урганамиз.
Таъриф. Н Гильберт фазосида аницланган Р чи-
зицли оператор
1) = Р,
2) р*= Р
шартларни каноатлантирса, у ортогонал проекциялаш
оператора дейилади.
Ихчамлик мацсадида, бу бобда ортогонал проекция-
лаш оператори ибораси уриида проектор сузини ишла-
тамиз.
I-теорема. %ар цандай проектор чегараланган
оператор ва РФ 0 булса, ||Р|| = 1.
^Исбот. Ушбу
= (Р*Р*» х) — (Р2х, х)~[(Рх, х)
муносабатдан Коши,—[Буняковский тенгсизлигига кура
||Рх|р< ||Рх|Г- И.
Демак,
ЦРхЦ < 1И1,
яъии Р чегараланган ва Иккинчи томондан,
||Р]| = [|Р2|| < ЦР||2, яъни Р=/= 0 булса ||Л|> 1- Шундай
цилиб, ||Р|| = 1.*
1G 239
241
Мисол. L туплам Н нинг ёпик кнсм фазоси, эса
унинг ортогонал тулдирувчиси булсин. У % о л да, маъ-
лумки,
/7=
яъни ихтиёрий х£/7 векторни ягона усуп билан куйида-
ги куринишда ёзиш мумкин:
х = у -Ь z, у z G£x. (1)
Р операторни
Рх = у
тенглик орка л и аницлаймиз, яъни Р оператор ^ар бир
х£Н га унииг L даги прэекциясинн мос куяди. Кири-
тилган оператор проектор эканлигини курсатамиз.
а) Р чизицли оператор. Хнкицатан, хв х.>£Н ва
= У< + ^ь У1£Л
‘ ^2 Уз + Уз G L, z2 G L1 (2)
булсин. У холда ихтиёрий х, р£С учун
ах г 4- Р%, = (ау, 4- ₽у2)’4- 4- fc2),
бу ерда ху( 4-ЗУз azt-{-3z,€ Ll. Агар (I) ёйилмада
у ва z ягона усу л билан аникланишини хисобга олсак,
P(axj4- ₽Х2) = °У1 4- ру, = аРх^+ ₽Рх2,
яъни Р — чизикли оператор/
б) Р* = Р, Юцоридаги (2) тенгликларда у( J_z3 ва
У 2X булгани учун
(Рхи x2) = (yt у24-^2) = (Ум у2) = (У14-^> У2) = (Xtf
Рх2). Шундай цилиб, ихтиёрий xt, х2^Н учун
(Pxlt x2) = (xlf Px2)t
яъни Р = Р*.
в) Р2 = Р. Агар x^L булса, (1) ёйилмада z == 0.
Шунивг учун Рх=х. ^Ихтиёрий х'£Н учун Px'^L.
Демак,
Р*х' = Р(Рх') =х Рх',
яъни Р2 = Р.
а), б) ва в) га асосан Р — проектор.
Юцорида курган мисолимиз умумий характерга эга.
Аникроги, ушбу теорема уринли.
242
2-теорема. Хар кандай Р проектор учун Н нинг
шундай ёпик L каем фазоси мавжудки. Рх вектор
х векторнинг L даги проекциясига тенг.
Исбот. Рх = х тенгламанинг ечимларидан иборат
булган тупламни L орцали белгилайлик. Р чизикли опе-
ратор булгани учуй L чизицли кием фазони ташкил
цилади. L нинг ёпик эканлигини курсатамиз. Фараз ки-
лайлик, {xJcL ва хп-+хп булсин. У колда
Рхп = хп. /г=1, 2, ...
Демак,
Рх^ хп — Рх^ Рхп — P(Xq
Агар ||Р|| < 1 муносабатни хисобга олсак,
||Рх0 -^п|| "С ||х0
яъни п-^ оо да
|1^0 Я'оН = = хо
ни косил циламиз. Демак, L — ёпик кием фазо.
Р2 з= р шартга кура ихтиёрий х б Н учуй
Р2х = Р (Рх) = Рх
текглкк. уринли. Бундан PxQL. Теореманинг исботини
якунлаш учун z — х — Рх векторнинг L га ортогонал
экаилигини курсатиш кифоя. Хацицатан, ихтиёрий убА
учун у = Ру. демак,
(х — Рх. v) = (x — Рх. Ру) = (Р*(1 — Р)х. у) =
= (Р(1 - Р)х, у) = ((Р— Р2) х. у) = (6, у) = 0.
Шундай килиб, ихтиёрий х б Н учун Рх б А ва х Рх б
б А1, яъни Р оператор А га ортогонал проекциялаш опе-
ратори.*
Энди проекторлар устида амалларни курамиз. Умуман
айтганда, проекторларнинг йигиндиси, айирмаси ва купайт-
маси проектор булиши шарт эмас.
3-теорема. Агар Р проектор булса, 1~Р х^ам
проектор.
Исбот. Хаки^атан,
(I — ру == 1 - 2Р 4- Р2 - I — Р
ва
(I — РУ = Р — — Р.
Демак, I — Р — проектор.*
24£
Агар Р проектор L кием фазога проекциялаш булса,
у ни Pl курииишида ёзамиз.
4-теорема. Никита PL, ва PL1 проекторнинг
купайтмсьси проектор булиши учун
Pl,Pl9 —Pl2Pl, (3)
тенгликнинг бажарилими зарур ва кифоя. Агар (3)
шарт бажарилса, у ,\олда >
Pl, Рр = Pl , (4)
бу ерда L ~ А, П L2.
Исбот. 1) агар Pl, Pl.2 проектор булса,
Рд :PZs = (PL1 PLy = р^ Р* = PLi PLi,
яъни (3) уринли. Энди (4) ни текширамиз. Ушбу
PlX = Pl,(Pl. *)GA„
PlX = PLs(Pl, х)^Ц
муносабатлардан PlX ^Lif] L2 келиб чикади, яъни
Ас А, П Ц.
Иккинчи томондан, агар х £ Lv Г) А2 булса,
PLX^PL:{PLiXy~X,
яъии
Ц ^cL.
Демак,
L П L,.
2) (3) уринли булсин. У ^олда
(Рр PpY^(Pl,Pl) (Рр Рр) = Plt Pl = Рр Рр
ва
(Pz. Pl.)* = Pl, Pl^ Pl, Pl, = Pl, Pl,.
Шундай килиб, Pl, Pls проектор. Юцорида курганимиз-
дек, бундан PLi PLq = PL тенглик келиб чикади.»
5-теорема. Чекли сондаги PLi, . . . , Р^п проек-
торларнинг йигиндиси проектор булиши учун А,,
А2, . .. , Ln цисм фазоларнинг ихтиёрий иккитаси
узаро ортогонал булиши зарур ва кифоя. Бу шарт
бажарилганда,
Рр + • • + Реп = Pl ,
бу ерда L ж At @. © Ln— тугри йигинди.
244
Исбот. 1) Lt I Lj, i 5^У, Z, У = 1 ,/z булсин. У хол-
да 4-теоремага асосаи
Pi-i PLj = Pl} Pl< = 0.
Демак,
(^, + ...+ft„)!=^, + ---+pL =
= Pl. + - - - + Ptn -
Суигра
(PLi +... 4- PLn )* = p£;+ ... + pLn.
Шундай килиб, Рд, 4~ • • • + PLn — лрсектор.
Энди Рдх + • - • + Рьг = Pl тенгликни текшврайлик.
п
Агар х £© Lt булса, х » xt 4-.. . 4- хп ва xt ± яД Z=Z=/),
у" колда
PlX = (P£l 4- . - + PLn) (#1 4* . • • + Хп).~
4 -- • + Pl,, хп=^х.
п tt
яъни ®Z,zczA. L=£Q)Li деб фараз килайлик. У холда
Х=1 i=l
п
шундай z=£ 6 мавжудки, z£L ва z ± ®£z. Энди' z£L
дан
Pl z — z 0. (5)
п
z ± @£г муносабатга асосан
z=i _____
z X Li3 i = 1, п.
ёки
PlZ = P£1z4- • + Рьпz = 6
келиб чикади. Бу зса (5) га зид. Шундай дилйб, £ =
= ф Lb яъни Рд, + • - • + Рьп = Pl •
2) Pl. 4-.. . 4- PLn проектор булсин. Ихтиёрий х^Н
учуй
IWl2 > II {Pl. 4- - •. + PLn)х IP = {{Pl. 4- • - • + PLn)
{Pl, + • - «4- PLn) x) = ( {Pl, 4-... + Рдп) x, x) =
= (P£x, x) 4 ... + (Рд„ xt x) =
= ||Рд. < + . - +ll^n<-
245
Ихтиёрий I ва j индекслар учуй
lift, < +lift, <<M2- (6)
Бу тенгсизликда х нинг урннга Pl, у ни гуйсак,
1И?;У||24-1Иу/\ <<||ft, у|р.
яъни ||р£у 7%.у)|<0 келиб чицади. Бу ерда у ихтиёрий
булгани учун
РЧ Рс, = 0.
Агар (6) тенгсизликда х урнига Pcfy ни цуйсак,
lift, ft/ У1Г + HPf/ll’ < lift/ <
Бундан
PLi Рч ~ 0.
Натижада PLj PLj = PLj PLi = 0 булгани учун Lt л Lj
келнб чнцади.
Хацицатаи, ихтиёрий x£Lh y£L} учун
(*> у) = (PLl X, PLj у) = (PLj PLl X, у) = (б, у) =: 0.'*
6- т е о р е м a. PLl ва Р^, проекторларнинг айир-
маси проектор булиши учун Z2c=Zt булиши зарур ва
кифоя. Бу шарт бажарилганда
P^-Pl^Pl,
бу ерда L — ДО L2 (L2 нинг гача ортогонал тул-
бару вчиси.)
Бу теореманинг исботи юцоридаги теоремаларнинг
исботига ухшаш.
Н Гильберт фазосцдагй барча проекторлардан иборат
тупламни П (//) оркали белгилаймиз. П (//) тупламда
кисман тартибни цуйидаги усул билан киритамиз: агар
£jd2 муносабат уринли булса Pl.^Pl^ Бу билан
П(/7) цисман тартибланган тупламга айланади.
Лемма. Рц<Рц булиши учун ||р£Л1| <
текгсизликнинг ихтиёрий х^Н учун бажарилиши зарур
ва кифоя.
Исбот. 1) PL1 < PLi булсин. У цолда Lx с L£ муно-
сабатдан
Рс, — Pct Pls
келиб чикади. Демак, ихтиёрий х£Н учун
PLl х = PLiPct х.
246
lift, *||< lift,II -lift, *11 = lift. *11-
2) аксинча, яъни ихтиёрий xGH учун
' lift. *11 < lift. *11 О
бажарилган булсин. Ргя проектор булгани учун
pi2(/-PJ^==e.
Агар (7) теигсизликни ^исобга олсак,
lift, (I - ft.) XII < II Pi,(I- ft.) *11 = o.
Демак,
PL{I-P^X^b, Vx£H,
яъни
p£l = PL pLs.
У ^олда 4- теоремага кура, Lx = L{ П A2, яъни
Aj cz Z/2»*
7- теорем a. \ap кандай монотон $сувчи проек-
тор лар кетма-кетлиги {Р£ бирор Р проекторга
кучли яцинлашади.
Исбот. Юцоридаги леммага кура, PLl <Рся< - - -
муносабатдан ихтиёрий х£Н учун [ПРа^Ц}^ сонли
кетма-кетликнинг монотон усувчи эканлиги келиб чика-
ди. Иккинчи томондан, Pik нинг проекторлигидан
Демак, (НАа^хЦ;^ яцинлашувчи кетма-кетлик. Бу факт-
дан фойдаланиб, кетма-кетликнинг Н да яцин-
лашувчи эканлигини курсатамйз. ХаКИК?тан,
l|ft„ X - PLm Л1Р = (/>t„ * — PLmx, Plb x — Pl„x) =
= (ft„*. PLnx)-(PLnx, PL,nx)-(PLmx, ft,*) +
+ (ft„*. Pl„,x).
Агар m < n булса, у цолда
(ft,, X. PLnx) = (/J/.,„ft„ X, X) = (P£„, X, x) =
= (ftm*, ft„*)=llp£m<.
IБундай цилиб,
lift,, x - ft,,, < = lift,, *1Г' - ||ft„ <-> 0.
247
Демак, {pLkx}k=i — Фундаментал кетма-кетлик. Агар Н
нинг тулалигини цисобга олсак, {РдАх| нинг яцинлашув-
чи эканлиги келиб чикади. Хар бир х €Н га lim PLfi х£Н
элементни мос цуювчи акслантиришни Р орцали белги-
лаймиз. У холда скаляр купайтманинг узлуксизлигидан
Р книг проектор эканлиги келиб чицади, цацицатан,
а) Р (ах]+ ру) = lim PLn (ах 4- Ру) = аРх -HftPy,
«-►со
яъни Р’чизицли акслантириш;
б) (Р*,>У) =Дт (PLn x, у) ='Iim(x, Р£/ху) = (х, Ру),1
n~f-<x * «-►оо
яъни Р = Р*;
в) (Рх, у) = lim (Prn х, у) = lim (Р/ х, у) ='(Р2х, у) ёки
«-►оо Zl-f-oo а
Р = Р2. Теорема исбот цилицди.*
Энди [а, р] чекли ёки чексиз оралиц, {PJ эса t £ [а, В]
параметрга бог лиц проекторлар оиласи булсин.
Таъриф. Бирнинг ёйилмаси, деб куйидаги шарт-
ларни каноатлантирувчи {£,}, проекторлар оиласига
айтилади:
1) Ра=0, Р₽=/;
2) ад = рт1п(^);
3) (siНил Et =х Et0^(a < /0 < р).
и з о к- Бу таърифда 2) шарт {£,} проекторлар оиласи
t параметрнинг фуикцияси сифатида монотон усувчи
эканлигини англатади. 3) шартга келсак, 3- теоремага
кура [а, р] оралицнинг ихтиёрий /с ички нуктасида
(sJ-limZTf мавжуд (кучли яцинлашиш маъносида). Шун-
дай цилиб, таърифдаги 3) шарт Et функциянинг чапдан
узлуксизлигига эквивалент. Ницоят, агар а = — оо ёки
р = 4- оо булса:
Е^ = lim^,
t-t- — СО
Е+т = li-m Et
деб оламиз. Бу лимитларнинг мавжудлиги яна юцорида-
ги 7- теоремадан келиб чицади.
Математик анализ умумий курсидан маълум Стиль-
248
тьес интеграли тушунчасидан фойдаланиб, куйидаги
тенгликни ёза оламиз:
р
х = 1х = (£р — Е) х = J d Etx, ух g И, (8)
а
р
бу ерда i dEtx ифэда Etx 'функция учун [я, ₽] ора-
(X
лицда тузилган Стильтьес интеграл йигиндисининг Н
фазодаги кучли лимнтига тенг. Лимитнинг мавжудлиги
проекторларнинг юкорида исбот килингаи хоссаларидан
бевосита келиб чикади.
Шундай килиб, бирлик операторни бирнинг ёйилмаси
буйича Стильтьес интеграл и куринишнда ифо да ладик:
Р
/=
ct
Умуман, чизицли операторни Стильтьес иитеграли
куринишида ифодалаш масаласи спектрал теорема-
нинг мазмунини ташкил килади. Бу масала устида
кейинги параграфларда батафсилрок тухтаб утамиз.
9.3- §. Чекли улчамли Эвклид фазосида уз-узига
Кушма оператор учун спектрал теорема
Ушбу параграф купрок методик а^амиятга эга.
1- теорема. Чекли улчамли Эвклид фазосида
Хар кандай уз-узйга куисма А оператор учун куйи-
даги шартларна каноатлантирувчи at, ... , аг хаки-
кий сонлар ва РА, , РГ проекторлар мавжуд:
1) az лар бир-биридан фаркли:
2) Рг^=0 ва Pt лар узаро ортогонал, яъни P^Pj—0
{р =5^= /)»
3) Р^...^РГ^[-
4) . + «гЛ = А.
Исбот. Фазо чекли улчамли булгани учуй А опе-
раториинг спектри чеклн ва фацат хос кийматлардан
иборат. А операторнинг хос кийматларини, карралигини
эътиборга олмай, alf а2 . .. t аГ оркали белгилайлик. Pt
проектор сифатида
Ах = azX
249
тенгламанинг ечимларидан иборат булган Lt кием фазога
ортогонал проекииялаш операторинн оламиз. Киритилган
а,, ... , яг сонлар ва Д, - - . , Рг проектерлар теорем а-
иинг шартларини каноатлантирншини курсатамиз.
1) Аникланишига кура лар бир-биридан фаркли. Агар
А операторнинг уз-узига кушма эканлигини ^исобга ол-
сак, ушбу
xj = (?7Xt-,X£) = (Axit Xl)=(xi, AxJ ^.^XiXi)
тенгликлардан (бу ерда х£ вектор af_ra мос келувчп хос
вектор) xt 6 булгани учун = а£ муносабат келиб
чикади. Демак, лар ^акикий сонлар,
2) ни курсатиш учун хар хил хос кийматларга мос
келувчи хос векторларнинг узаро ортогонал эканлигини
курсатиш кифоя..Хакикатан, агар х{ ва X; мос равишда
турли хамда -л} хос кийматларга мос келувчи хос век-
торлар булса,
О = (Axit Xj) — (x-t Axj) = (a, — aj) (xh xj), i
Демак, (xv xj\ = 0, чунки =/= ay. Шундай килиб, Zz j_ £/,
£ J -
3) Lf J_ Lj булгани учун P. P} = РуРг= 0 (£=£/)-
Демак, 9.2- § даги 5- теоремага асосан Рх 4-. .. ~\~РГ —
проектор. Р = Pi 4- • + Рг / Деб фараз килайлик.
У холда L = @ . . . ®Lr^=Cn. Равшанки, L кием
фазо А операторга нисбатаи инвариант, яъни xQL му-
носабатдан Ax(jL келиб чикади. Хакикатан, агар xQL
булса, шундай ... , Д сонлар мавжудки,
г
х=Ъ \хь
2—1
бу ерда x^Li операторнинг а£ га мос келувчи хос век-
торн. У холда
г г
Ах = 2 ~ 2 Е L.
f=l i- 1
Фаразимизга кура L^Cn. Бундан L{6}. Мккинчи
томондан, фазо А операторнинг инвариант кием фа-
зоси, чунки ихтиёрий y£L ва x^L^ лар учун
(Ах, у) = (х, Ау) = 0, яъни Ax^L-1-.
У холда A:L'-^L^ эканлигидан А операторнинг
аа, а2, . .. , аг лардан фаркли булган хос кийматининг
мавжудлиги келиб чикади. Бу эса аи .. , , рт ларнинг
танлаб олинишига зид.
250
Шундай килиб, Pj + ... 4- Pr — I.
4) ихтиёрий x^C'1 учун Ррс = xk деб белгилайлик.
Равшанки, х&Ц. У долда Ах{ ~ atxt (i ~ 1, г). Агар
Pt 4- - - 4- Рг = / тенгликни дисобга олсак,
Ах — A (PiX 4-.. . 4- Ргх) =2 Axt = 2 °-tx. —
i—i i=i 1
= S а i Pt A',
oi
яъни
А=а1Р14--..+«Л-* (1)
Теореманинг 1) —3) шартларини каноатлантирувчн
«1, ... , аг сонлар ва Р, . . . , Рг проекторлар учун
А = Ъъ Pi
i=l
формула А операторнинг спектрал ёйилмаси дейилади.
Шундай кнлиб, исбот килииган 1-теорема уз-узига куш-
ма* операторнинг спектрал ёйилмасининг мавжудлиги
дадидаги теорем адир. Навбатдаги масала спектрал ёйил-
манинг ягоналигини исбот килншдан иборат.
' Агар А оператор ва рп(1) = а0 4- . . . 4- а7/я,
(а; б С I = 1, «) купдад булса, у долда
рп(А) а0/ 4- а,А 4-... 4- и.пАп
ифода оператор функция (аникроги, оператор купдад)
дейилади. Равшанки, агар А чизикли булса, рп(А) дам
чизикли. Шу билан бирга рп(А) коэффициентлари хаки-
КИй булган купдад ва АСА ~ А булса, рп{А) уз-узига
Кушма оператордир.
Г
2-теорема. Агар Pt УЗ-узига цушма А опе-
1=Х
раторнинг спектрал ёйилмаси булса, у ^олда:
1) {ао . . . , аг} туплам А операторнинг барча хос
КИйм атларидан иб орат;
2) коэффициентлари хадидий булган шуидай р((/),
• - - , Pr(t) купхадлар мавжудки, улар учун:
а) pk (8w — Кронекер символа);
б) Pk(A) ^Pk, fe = 1, - . , г.
251
Исбот. 1) Pi спектрал ёйилма булгани учун
/=1
u-i сонлар ва Pt проекторлар 1- теореманинг 1) —4) шарт-
ларини цаноатлантиради. У \олда Рк 0, яъни Lk =£ {G}
булгаии учун, ихтиёрий x£Lk, х^О вектор А опера-
торнинг га мос келувчи хос вектори, чунки
Ах в=я 2 ai Pl х ~ ak Pk х “ G-k X.
i=l
Агар А операторнинг аг сонлардан фаркли
хос циймати йуц эканлигини курсатсак, 1) исботланган
булади. Фараз цилайлик, X сон А операторнинг хос ций-
мати ва х Ф 6 унта мос келувчи хос вектор булсин:
Г
Ах — )-Х = X 2 Pi X-
i=i
Спектрал ёйилмага кура
Г
Ах — 2 Р( х-
Охирги икки тенгликдан
2 (X — )Pz х ~ 6.
Ри . . - » Рг проекторлар узаро ортогонал булгани учун
II2 (X )Piх II2 = 2II (X-а/) Pi *||М. (2)
/=1 I—1
г
Агар х =/= 6 ва 2 Pi = I эканлигини хисобга олсак,
/=1
бирор k (1• < k г) учун Рк x^Gt (2) га асосан шу k
учун X = ak .
2) PAt . . . , Рг проекторларнинг узаро ортогоналлиги-
дан фойдалансак,
А2 = (2 ai Pi ) ( 2 ai Pi 1 — 2 S ai ajPt 2
\t^i / \ z=i / i-i j=j 7 *=1
ва, умуман,
(п = 1, 2, . . .)
252
ни хосил киламиз. Демак, хар кандай pn(t) купхад учун
PnW = £ Pn^Pi. (3)
/—I
Агар
Л(0 = п ±=^ й = 1, 2...........г
/y=fe *Л *1
деб олсак,
РДИ/) = 8v
ва (3) га кура рь (А) = Рк .*
Натижа. Уз-уз ига кУшма операторнинг спектрал
ёйилмаси ягона усул билан аницланади.
Ихтиёрий Гильберт фазосида аникланган уз-узига
кушма оператор учун спектрал теоремани келтириш
максадида, чекли улчамли фазода исбот цилинган
А ~ У Pi
спектрал ёйилмани умумлаштириш учун кулай булган
формада ёзамиз. Шу мацсадда куйидаги белгилаш кири-
тайлик:
Ek = Рг + - -. + Pk , k = 1, 2, ... , г.
Рг......Р, прэектарлар узаро ортогонал булгани
учун Elt . . . t Ег лар хам проекторлар булади. Агар
'Ео = 0 деб кабул килсак,
0 = ЕосЕг<С...<2Ег = 1
ва
Pi = Et — Et_u I = 1, г."
У х°лда А операторнинг спектрал ёйилмасини ушбу
И'- ^-i]
куринишда ёки Et — Ei-\ => Ад Е(а) белгилашдан сунг,
А => У, а£ А Е (а) (4)
куринишда ёзиш мумкин.
Охирги тенгликка цуйвдагича таллин бериш мумкин.
{1, 2, ...» г} чекли тупламда кийматлари проекторлар-
253
дан иборат булган монотон усувчи Et функция берил-
ган, Ei функция ёрдамида
X = {ап а2, . . . , 07}
тупламнинг бир элементли кием тупламларида
Р< {az } == Дг A(a) = Et — Е^
тенглик орцали аникланган функцияни аддитивлик буйи-
ча X даги цийматлари оператор булган улчовгача давом
эттирамиз. У холда (4) тенгликни Стильтьес интеграли
куринишида цуйидагича ёзиш мумкин:
А = J a dE (a)
х
ёки X = о(Л) эканлигини цисобга олсак,
A = j «</£(«) (5)
куринишда ёза оламиз. Демак, чекли улчамли фазода
цар кандай уз-узига кушма А оператор учун бирнинг
шундай ёйилмаси мавжудки, (5) тенглик уринли. (5)
куринишдаги спектрал ёйилмани ихтиёрий Гильберт фа-
зосида цам уринли эканлигини 9.4- § да исбот киламиз.
9.4- §. Спектрал теорема
1-теорема. Уз-узига кушма on ерапгорнинг
спектри хакиций сонлардан иборат.
Исбот. Агар р#=0 булса, X = a + Z р комплекс сон-
нинг (а, р — хакикий сонлар) А оператор учун регуляр
нукта эканлигини курсатиш кифоя. А операторнинг уз-
узига кушма эканлигига асосан:
||A-)./)x||s = ((A-a/-Zfi/)x, (A — 7/-1ЬГ)х)~
= || А - «/)х||! А ||₽х||! > ₽ W-
Демак, (А — )/) оператор цуйидан чегараланган:
l|(A-X/)x||>|fl|.||x||. (1)
А — >. I операторнинг бутун Н да аникланган (А — 1
тескариси мавжудлигини курсатамиз. Фараз килайлик,
L фазо А — X / операторнинг кийматларидан иборат кием
фазо буленн- Агар L кием фазо Н нинг цамма ерида
зич булса, (7) тенгсизликка кура (Л — X/)-’ мавжуд
254
булиб, у бутун Н да аникланган ва чегараланган опера-
тор, яъни X регулйр нуцтадир.
Энди Z^//деб фараз килайлик. Равшанки, L фазо
А — X 1 оператор учун инвариант кием фазо. У холда
ихтиёрий x£L- ва y£Z учун уринли булган ушбу
((Л — X /) х, у) ==(Дх, у) — X (х, у) = (х, Ау) =
= (х, Ду) — л (х, у) =. (%,(Д — X /)у) = О
тенгликдан L- хам Д—X/ оператор учун инвариант
кием фазо эканлиги келиб чикади. Фаразнмизга кура
яъни Z‘-#={6}. Агар, z^L- ва z А 6 бул:а, у
Холда
(Д-X/) z£LL П £= {6}.
Хосил булган (Д — X/)z = 6 тенглик (1) га зид. J[e-
мак, булиши мумкин’эмас. Шундай килиб, уз-
узига кушма А оператор учун
о(Д)сг/?.,
Фараз килайлнк, {£\} бирор [а, сегментда аиик-
ланган бирнинг ёйилмаси булсин. Маълумки, [&, сег-
ментда жойлашган [а, Р) куринишдаги барча ораликлар
туплами R ярим халкаии (Колмогоров, Фомин, {2], I боб,
5-§) ташкил килади. Агар А = [а, [")£/? булса ушбу
Е (А) - - А. _
тенглик билан R ярим халкада аникланган оператор
кийматлн функцияни косил киламиз. Киритилган функ-
ция куйидаги хоссаларга эга':
1) ихтиёрий А б/? учуй ДА) проектор;
2) F’(0) = 0;
к
3) агар Дь - . . , Ал£/?, А = U А/ ZR ва А/ ПА, = 0
k t-i
булса, £*(А) = SA'CAz), яъни А (А) функция аддитив.
Хакикатан, 1) E:i (А) = Е (А)ва Е? (А) = Е (А), чунки
ЕаЕ^Е^Е^Е^,
2) Е (0)=^, а)) = 0;
3) А, = [аъ р,), A.j = [а2> р2) ва At П Д2 = 0 булсин
{k = 2 ?{олни кэРаяпмиз)- Аниклик учун, Ал оралик
Д2 дан чапда ётсин, яъни [^<«2- Равшанки, At (J А^/?
255
булиши учун pj а2 тенгликнинг бажарнлиши зарурий
шарт. У холда
Е (At (J А,) -= Е?'л- EOi = Ef.a -Ес, + ГР1 - Е01
_ -^(А,) + £(А,).
Демак, R да аницланган Е(Е) функция аддитив.
Хозиргача биз {/о} бирнинг ёйилмаси а параметр
буйича чапдан узлуксиз эканлигидаи фойдаланмадик.
Куйида шундан фойдаланиб, Е(Е) функция учуй 3) хос-
санинг ко игрок формада уринли эканлигини курсатамиз.
1-лемма. /ДА) саноцли аддитив (о аддитив) функ-
ция.
Исбот- Дархацикат А/= [а/, рг ), t 1, 2, . ..
ихтиёрий иккитаси узаро кесишмайдиган оралицлар сис-
темаси ва А = [а, р)~ U А/булсин. Ихтиёрий п
1=1
п
натурал сон учун (J Af cz А муносабатдан
o-i
S £(А7) = < £•₽ - Еа = £(А) (2)
1=1 I—I 1
келиб чикади (умуман айтганда, U A £R, яъни
Л
Е ((J А/ ) нфода ^озирча маънога эга эмас). {А/ ора-
лицлар узаро кесишмайди, демак, {ZT (А/ ))^7 проектор-
ларнинг ихтиёрий иккитаси узаро ортогонал. У >;олда
проекторларнииг хоссасига кура (9.3-§ даги 5- теорема)
« п
У\Е(&4 ) ^ам проектор. Шундай килиб, п оо да^^(А.)
*1 »=i '
монотон усувчи проекторлар кетма-кетлиги ва, демак, у
якинлашувчидир. Агар (2) тенгсизликда лимитга (п-^оо)
утсак,
со
S [£•(&, )<£(Д)
Z==I
ни ^осил циламиз.
Агар тескари тенгсизлик
V 'F (Д )>£(А)
2=1
(3)
(4)
уринли эканлигини курсатсак, лемма исботланган булади.
256
Равшанки, А = 0 булса, Е (А) = 0 ва (4) тенгсизлик
бажарилади. AA0 долни курайлик. Агар А = [а, р)У=0
булса, а < р ва а < Р' < р тенгсизликни даноатл антирув-
чи Р" сон топилйди. Ихтиёрий е>0 берилган булсин.
Н Гильберт фазосидан тайинланган xG векторни оламиз.
Е>. бириинг ёйилмаси ап нудтада чапдан узлуксиз бул-
гани учун тенгсизликни даиоатлантирувчи
шундай а'п мавжудки,
!!(£•. -£>)х0 II <^, п = 1, 2, ... (5)
п п
тенгсизлик бажарилади. Агар баъзи п лар учун % = а
булса, % = а деб оламиз ва бу долда хам (5) тенгсиз-
лик садланиб долади. А', ордали булган долда
(а', рп) интервалнй ва ап = а булган холда [а, ря) ора-
лидни белгилайлик. У долда {А',}^ оралидлар [а, Ь\
сегментга нисбатан очид тупламлар системаси в а тузи-
лишига кура улар [а, р'] сегментни доплайди. Демак,
{А'}“=1 спстемадан [а, р'] ни допловчи А#'?, . . . , А^ ,
чекли дисм доплама ажратиэ олишимиз мумкии. Рав-
шанки, *= 1, £ орали ^лар [a, S') орали с ни доп-
лайди. Хар бир г = 1, k учун шундай [a"f p'.)cc[a'rpR^
оралидлар танлашимиз мумкинки, [а", р'*) (Z = 1, k)
оралицлар системаси дам [а, р') ни доплайди ва улар-
нинг ихтиёрий иккитаси узаро кесишмайди. Е (А) функ-
цияиинг чекли аддитивлиги ва монотонлигини дисобга
олсак.
£([«. ₽'))<Х £([«" ₽„,)) (6)
(=1 1 1
тенгсизлик келиб чикади. Иккинчи томоидан, |а"^, Р^)сд
<=KZ’ ₽nfl муносабатдан Е{{^, р;.)) ва Е ([а^, Ри.))
проекторлар учун
тенгсизликни досил кпламиз. (диддат: (7) тенгсизликдан
k k
v, Е ([а"' , р')) < Z([% » ?„)) тенгсизлик келиб чидмайди.
i=l * ч <==1 Т,1
17-2^9
257
Чунки, [а', рл ) оралицлэр узаро кесишиши мумкин
булгани учун
ифода проектор булмаслиги мумкии. Биз „ < “ муиоса-
батни фацат проекторлар учун аницлаган эдик.
Агар ихтиёрий иккита Pt ва Р2 проектор учуй Р^Р2
эканлигидаи барча х^Н учун 1|Л-*||< ||А*Н тенгсизлик
келиб -чицишини эсласак, (6) ва (7) тенгсизликлардаи
ушбу натижани ^осил киламиз:
k
№ ₽'))^ll2<IIS£'(Ki, ₽;)KIP=s
k k
₽;))^ii2<2i|£'(k;, ₽„/))xoip.
Демак,
k
]|(Ff—£>„!!’<S||(& -E' )xj|’<
1=1 i {nl
n—l n
Энди (5) тенгсизликдан фойдалансак,
||(Ер.-Е>0||2<||2(Ерл -£ +£ /Г )^||2<
Л=1 n n
< 211 (£₽„ — £«„)*ol|2 + e-ai-
n=l
Бу ерда M — узгармас сон, е ихтиёрий булгани учун
бу муносабатдан
|К£р. - £) х0|Р < 2 || (£₽„ - Е.п) х„| |2 (8)
Л=1
келиб чицади, Агар (8) тенгсизликда (чапдан)
булса, Ех нинг чапдан узлуксизлигига кура
II (£₽' - Е) х0|| -»II (Ер - £><,||2.
(М оралицлар узаро кесишмагани учуй
проекторлар бир-бирига ортогонал. Шунинг учун
Z=1 /=1
258
Бундан ва (8) дан
||£'(Д)х<,||<||1]£(Д„)л<)||.
w=l
х0£Н ихтиёрий булгани учуй охирги тенгсизликдан
/:'(А) ва 2^(Ае) проекторлар орасада цуйидаги муносабат
уринли:
(9)
Л=1
(3) ва (9) дан
. £(А) = >^(ДЛ)
Л=1
келиб чицади.
Натижа. Е(А) функция R ярим цалцада аницланган
на цийматлари проекторлардан иЗорат булган а-аддитив
улчовдир. R ярим цалцани уз ичига олган м инимал
о- цалцани В орцали белгнлайлик. Хакиций узгарувчи-
н«нг фунш ичлари назарняси курсидан маълумки, В цал-
ца [а, 6] сегментда жойлашган барча Борель туплам-
ларидзд иЗорат булиб, Борель алгеэрасини цосил килади.
Уцувчига маълум булган усул билан- R ярим цалцада
аницланган о* аддитиз £'(А) улчовни В даги а- аддитив
улчовгача давом эттириш мумкин. Мана шу да в ом эт-
тириш натнжасида хосил булгаи Е(&) улчов^{£ х }х ([«,*]
бирнинг ёйилмасига мос келувчи спектры у л сов де-
йилади.
Модом ики, спектрал улчов тушунчаси киритилган
экан, табиий равишда шу спектрал улчоз буйича интег-
рал тушунчасини аницлаш мумкин. Дарцацицат, Да)
функция [а, 6] сегментда чегараланган ва Борель син-
фига тегишли булсин. Масалан, [с, d| сегмент f {к)
функвиянинг узгариш соцасини уз ичига олеин: с
=СД^) [с, d] сегментни с~ сй<сх < ... <Z.cn — d
иуцталар ёрдамида булакчаларга буламиз. /(>). Борель
синфига тегишли функция булгани учун
А = {X: а-г /(')<£/}€ В, i = 1, п~ 1
ва
Ал = {-.: сп^ Д/)сп}^В.
17* 259
Энди [с0, t\), [rlt с2|), ... > [сл-i, с„} булакчаларнинг
лар биридан биттадан с', ... , с'п нукталарни олиб,
куйидаги
(10)
йигиндини тузамиз.
Т аъриф. Агар max — ci | ->0 булганда Sn one-
1</<л
раторлар кетма-кетлиги c't нукталарнинг танлаб олиниш
усулига боглик булмаган лолда бирор S операторга
кучли якинлашса, S оператор /(X) функс иядан спектрал
улчов буйича олинган интеграл дейилади ва куйида-
гича белгиланади:
ь
S = J f^dE,.
а
1-и бора. Тагинланган х, у£Н учун (Д.х, у) ска-
ляр купайтма X нинг {о, сегментда аникланган ва
узгариши чегараланган (умуман айтганда, комплекс) функ-
циясидир ва V (Е^х, у) < ||хЦ-|]у||.
а
Исбот. [а, X] сегментик чекли сондаги булакчалар-
га булиб, хосил булган узаро кесишмайдиган оралидлар-
ни Д1Э Д2, ... , Дл оркали белгилаймиз. У кол да (^хх,у)
Функи иянинг Д, ораликдаги тебраниши }(А(Адх, у)|
га тенг. Демак,
Ь п
V (Ех х, у) = sup v [ (E(AZ) х, у) |
a
< sup Sjl^Az )x|j-||y||,
бу ерда супремум барча чекли булииишлар буйича оли-
иади. {^Ду)} проекторлар узаро ортогонал булгани учуй
п П
S ||Е(Д, X = и S £-(д, X = X.
/=1 1=1
Шундай килиб,
ь
v (Е^х, yXM-IMU
а
260
Натижа. К л] сегментда узлуксиз f(') функция
па {£1} бирнинг ёйилмаси учун барча таиинланган х, у G
£Н ларда ушбу
ь
у)
а
интеграл мавжуд.
ь
Дар^аки^ат, j /(X) d (Е\х, у) Стильтьес интеграли
а
булиб, унинг мавжудлиги уцувчига акикий узгарувчи-
нинг функциялари назарияси курсидан маълум ([Х^ФН],
XI боб, 39- §).
ь
АслИда J /(X) d (Е)Х, у) интегралнинг мавжуд булиши
а
учун функция га юцорида цуйилган талабни сусайтириш
мумкин, лекин бизнинг мацсадимиз учун юцоридаги
натижанинг узи кифоя.
ь
Энди]/(Х) d(Exx, у) ифодани х£Н ва у ларнинг
а
фу икни яси сифатида караим из, яъни куйидаги
ь
|/(ЭДД-, -):НХН^-С
а
Ъ
акслантиришни урганамиз. Агар В(х, у) = j f (X)tf(ExJC, у)
а
белгилаш киритсак, куйидаги муносабатлзрнинг уринли
эканлиги Стильтьес интегралчнинг хоссаларидш бевосита
келиб чицади:
1) В (хА + х21 у) = В {хъ у) 4- В (х,, у);
2) В (ах, у) = о. В (х, у);
3) В (у, х) = В (х, у);
4) шундай М > 0 мавжудки, | А'(х, у) | < Л1- ||х{|Х
Xllyll, Xfx, у С Я.
Мисол учун 4) ни текширайлик. /(X) функция [а, Ь\
да узлуксиз булгани учун албатта чегараланган:
261
У долда
ь ь
|f /С) d (£\ х, у) I < 7И - V (£?. х, у),
а л
демак, 1- иборага кура
|В(х, y)|<Af-||x|j-||y||.
Таъриф. 1) —4) шартларни каноатлантирувчи икки
узгару в чили Z?(x, у) функционал Эрмшп формаси де-
йилади.
2-и бора. Ихтиёрий Эрмит формаси учун шундай
ягона Т уз-узига кушма чегараланган оператор топила-
дики, барча х, у£Н лар учун
В (х, у) = (7х, у) (Ц)
тенглик бажарилади.
Исбот. Лайинланган у£Н учун В (х, у) ифода х
га нисбатан чегараланган чизикли функционал. Чизикли
функционалнинг умумий куриниши дацидаги Рисе теоре-
масига кура ягона z^H топиладики,
Z?(x, у) = (х, г), \jxQH.
Хар бир у£// учун мос цуйилган ягона zQH элементни
z — Ту орцали белгилаймиз. Равшанки, TiH->H чизик-
ли оператор. Агар
Р(Х, у)| = |(х, Гу)|<М.|М-||у||
тенгсизликда х — Ту деб олсак,
||Ту|Р < 7И.||Гу||.||у||,
ЯЪНИ
ГуЦсм-м,
демак, Т — чегараланган оператор.
3) шартга кура
(х, Ту) = В (х, у) = В (у, х) ~ (у, Тх) = (Тх, у) =
= (х, Т*у), х/х, у^Н,
яъки Г —уз-узига душма оператор.
Нидоят, (11) тенгликни каноатлантирувчн Т оператор-
нинг ягоналигини курсатиш учун тескарисинн фараз
дилайлик:
В (х, у) = (Т2х, у) = (Т tx, у), \/х, у G Н.
262
(емак,
((Л-Г2)х, у) = 0.
\гар у =s(Д — Д)х деэ олсак, бар-ia х£Н учун
][(Д-Д)л:|| = 0,
яъни Д = Д.*
3-и бора. Ихтиёрий /Д) ^аки<ий узлуксиз функция
j/чун J/рЖх чегараланган чизикли ва уз-узига кушма
а
оператор.
Исботи. Стильтьес интегралининг мавжудлиги ^а-
кидаги теореманинг исботидан фарк дилмайди.
ь
Нат ижa. J hlEy уз-узига кушма чегараланган чи-
а
зицли оператордир.
2-теорема (спектрал теорема), Хгр кандай.
рз-узига кушма чегараланган Тг Н-^Н чизикли опе-
ратор учун бирор [а, /)] сегментда ашщланган бар-
на нг шундай {Д} ёйилмаси мавжудки,
ъ
Т= [ ldEl
а
тенглик уринли.
Исбот. 1-теорема ва 9.1- § даги 1 ва 2-теоремаларга
кура о (Т) ^акихий сонлар уцида жойлашган компакт
туплам. С (о(Г)) орцали о (Г) тупламда аникланган ка-
циций узлуксиз функциялар фазо си ни белгилайлик. Q
эса барча купкадлар туплами булсин. Иктизр.гй p(QCQ
учун р(Т) оператор купхадни тузи5, у шоу
(р(Т)х, у)
скаляр купаитмани курамиз. Агар
||р(Т)||=гпах|р(0| (12)
/£с(Г)
формуладан (6 -машкка каранг) фойдалансак, тайинланган
х, у лар учун (р(Л х, у) ифода Q да чизикли
чегараланган функционал эканлиги келиб чикади. Вейер-
штрасс теоремасига кура Q туплам С (а(7*)) фазодииг ^амма
ерида зич. Демак, Q тупламда анидланган
ЛР) = (Р(Т)Х, у)
263
чизицли чегараланган f функционални ягона усул билан
Q°CO) фазодаги чизицли чегараланган функционалгача
давом эттириш мумкии. Ш ундай цилиб, С(с(Т)) фазодаги
чизицли чегараланган функционалнинг умумий куриниши
Лацидаги Рисе —Марков — Какутани теоремасига кура,
(ушбу теоремани Канторович, Акилов [1] китобининг
VI боб, 3- § дан царанг) а (Т) тупламнинг барча Борель
цисм тупламларида аницланган шуцдай р(.; х, у) улчов
мавжудки,
(р(Т)х, у) = [a(W(z; х, У)
а(Г)
тенглик уринли. Агар р(Х) = 1 деб олсак, охирги тенг-
ликдан
If dpfax,у)| = |р(°СО; х,
«<П
тенгсизл ик келиб чицади. Демак, ихтиёрий М cz с (Т)
Борель туплами учун
W х, у)|<|И|.||у|| (13)
тенгсизлик уринли (|р| улчовнинг монотонлигнга асосан).
Энди 7W тупламни тайинланган, х, у G Н элементларни
эса узгарувчи цисоблаб, ушбу р (7И; х, у) ифодани
цараймиз. р (Л1; х, у) — Эрмит формаси. Хакицатан,
1) f Р (') р xt 4- х2, у) = (р (Т) (хх 4 х,), у) =
с(7)
= у) 4 (р(Т)х2, у) = f р (X) d Ip (a; xit у) 4
а(Г)
4p(z; х2, у)]
тенг лик дан
р(>; X, 4-х,, у) = р(л; хг, у)4р(^; х2, у),
яъни
р(Л4; xt4-x2, у) = р(М; хп у)4-р(Л1; х2, у)
келиэ чицади.
2) р (Л1; ах, у) = а р (Л1; х, у) тенглик ^ам шун-
дай текширилади.
3) р (М', х, у) = р (М; у, х) муносабат эса ушбу
(р(Т)х, у) =(х, р(Т)у)
тенгликнинг натижасидир.
264
I) (13) тенгсизликка кура р (Ж; х, у) чегараланган.
|vm.ik, 2- иборага кура Эрмит формасини цуйидаги
»\|>нп1(1пда ёзиш мумкин:
р (М; xt у) = (А (Ж) х, у).
Ву ёрда Е(Ж)— уз-узига цушма чегараланган one-
flu. пр. Агар р С) = 1 деб олсак,
('. У) «f rfp ('>; х, у) = р (о(Т); х, у) = (Е(с (71)) х, у).
с(7)
н»,.ЦГ
F(o(T)) = A
)цди Е (Ж) нинг проектор эканлигини курсатамиз.
111 > максадда ихтиёрий q (•'•) цациций купцадни олиб,
। М1ПД1ГИ ёрдамчи улчов тузамиз:
V (Ж) = J q (X) dp (X; х, у).
м
. \олда р (Г) ва q (Т) операторларнинг узаро комм у та-
ит лиги дан
f Р (О (X) = ‘ Р 0) qXf )d х, у) ==
5(Г) "<П
= (Р(П <7 (Т)х, у) = fa (Г)р (Т)х, у) =
- (р (Т)х, д(Т)у)^\ р (X) d(x(X; Xtq(T)y)
С(7)
исли5 чикади. Агар, £’(Х) = £’((—оа, a) f| о(Т)) белгилаш
кпритсак,
fр G) (X) d(E^)х, q (Г)у).
с(Г) а(Г)
Улчов назариясидаги давом эттириш конструкииясидаи
охирги тенгликнинг фацат q(>) купхадлар учунгина эмас»
балки ихтиёрий цациций чегараланган улчовли функция-
лар учун уринли эканлиги келиб чицади. Хусусан, хЛ((>)
функция М тупламнинг характеристик функцияси булса»
v (Ж) = х, у) =
п
= (Е (Af) х, q (Т)у) = (q(T) Е(М) х, у) -
= f9wrf(£-(;.)£-(M)z, у).
и(Т)
Й65
Демак, ихтиёрий 7И, N Б орел ь туплам лари учун
(Е(М П N) х, у) = Jrf (£(>.) х, у) =
*if]W
= J*M Wrf(£ (>)*, У) - (Е(М)Е(М)х, у)
яъни
Е(М П N) = Е(Л)Е(М).
Агар 7W = N булса, Е (М) — (Е(М)у. Шундай килиб,
Л(ЛД проектор.
Ушбу
(Е (Л/) х, у) = р- (Л/; х, у)
тенгликдан р улчовнинг санокли аддитивлиги ва про-
екторларнинг хоссаларига кура £(А1) нинг санокли адди-
тивлиги келиб чикади.
Нифонт, EQ) оператор функция а (7) тупламда бир-
нинг ёйилмаси эканлигини курсатсак, спектрал теорема
исбот цилииган булади, чунки
(Тх, у) = Jx ф (X; х, у) = J X d (£(/) х, у).
«(Л с(Г)
Бу теигликдан Е (X) бирнииг ёйилмаси ва /(Х)==Х узлук-
сиз булгаии учун J ЫЕ^ мавжуд ва
°(Л
Т = J )dEQ)
°(П
тенглик уринли.
Е(1) бирнинг ёйилмаси эканлигини курсатамиз. Бунинг
учун F(a) иинг чапдан узлуксиз эканлигини курсатиш
кифоя. Ихтиёрий Аоба(Т) иуктада EQ0 — 0) мавжуд,
чунки Е (X) монотон усувчи.
Агар Xt *< Аа < ... кетма-кетлик Хо га чапдан яцин-
лашса ва Хя £ а (Т) булса,
>о) = U [>i, )«
2=2
£Г(7И) нинг санокли аддитивлигига кура
£’(Хп) = £(Хо-О).#
266
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
(йарча операторлар Гильберт фазосида аникланган).
1. Агар А ва В оператэрларнинг камида биттаси тес-
кириланувчи булса, а (АВ) = с(ВА) эканлигини курсатинг.
2. Т операторнинг спектри с(7) булса, 71- оператор-
uiiiir спектрини топинг.
3. 7~1 = 7* муносабатни каноатлантирувчи Т опера-
нд унитар оператор дейилади. Унитар операторнинг
< псктри комплекс текисликдаги {z: |г| = 1} бирлик айла-
п.|Да ётишнни курсатинг.
4. Проекцией операторнинг спектрини топннг.
5. Уз-узига кушма Т оператор учун
||7]l = sup |Х| = Р(Т)
гсиглнк уринли эканлигини исбот килинг.
6. Агар pnQ'Y какикий коэффициентли куп^ад ва Т
уз-узига кУшма оператор булса,
IIp4DII = sup |pR(X)|
А ^а(Г)
ыуносабатии исоот килинг.
Л" боб
ТУЛА УЗЛУКСИЗ ОПЕРАТОРЛАР ВА ИНТЕГРАЛ
ТЕНГЛАМА Л АР «
10.1- §. Банах фазоларида т^ла узлуксиз операторлар
Банах фазоларидаги чизикли операторлар!айнг энг
мух им синфларидаи бири тула узлуксиз операторлардир.
Бун дай операторларнинг хосса лари чекли улчамли фазо-
лардаги чизикли операторларнинг хоссаларига якин бул-
гани сабабли улар яхши ургаяилган синфдир. Шу билан
бирга тула узлуксиз операторлар назарияси жуда му хим
татбикларга эга. Бу бобда тула узлуксиз операторлар
назариясини урганиш билан бирга унинг интеграл теиг-
ламаларга татбицларини хам келтирамиз.
Таъриф. Е Банах фазосини Ех Баиах фазосига акс-
лантирувчи Т чизикли оператор Е даги бирлик шарии
Ех даги нисбий компакт тупламга акс эттирса, у холда
Т тула узлуксиз (ёки компакт) оператор дейилади.
Демак, L\ ~ {х С Е: И < 1} булса, у холда T(UX)
туплам Е1 фазонинг компакт кием и булади.
Банах фазосида чегараланган тупламнинг таърифидан
Куйидаги иатижа бевосита келиб чикади: TzE^Ex
чизицли оператор тула узлуксиз булиши учун их-
тиёрий чегараланган М cz Е тупламнинг тасвири
Т(М) нисбий компакт булиши зарур ва кифоя. -
Мисоллар.
1. Чекли улчамли Банах фазосида ихтиёрий чизикли
оператор тула узлуксиздир. Дархацикат, бу оператор
чегараланган булгани учун у ихтиёрий чегараланган
тупламни чегараланган тупламга акс эттиради. Чекли
улчамлн фазода эса ихтиёрий чегараланган туплам нисбий
компактдир.
2. Банах фазоси чексиз улчамли булса, узлуксиз
чизикли оператор тула узлуксиз булмаслиги хам мум-
кин. Масалан, /2 Гильберт фазосида 1х = х бирлик опе-
раторни оламиз. Равшанки, I — узлуксиз оператор. Аммо
I тула узлуксиз эмас. Хацикатан, I оператор бирлик
шарни узнни-узига акс эттиради, эса нисбий компакт
эмас. Буни исботлаш учуй фазода ортонормал базис
хосил килувчи {ел системани оламиз. Бу кетма-
кетлик L\ шарда жойлашган ва учун
— *?;|Г2 = & — ejt ci - е)) = ||^ ||2 4-||ej|2 = 2.
268
/(смак, {еп кетма-кетликдан якинлашувчи цисмий
кетма-кетлик ажратиб булмайди, яъни нисбий ком-
пакт туплам эмас.
3. Чизикли узлуксиз Т оператор Е Банах фазосини
ymnir чекли улчамли EQ цисм фазосига акс эттирса, у
холда бундам оператор тула узлуксиз оператордир.
\ацицатан, Т оператор Е нинг ихтиёрий чегараланган
/И цисм тупламини Е^ иинг чегараланган ва, демак,
1гисйий компакт (чунки Ей чекли улчамли) кием туплами-
«.I акс эттиради.
И Гильберт фазосида бирон кием фазога проектор
|ула узлуксиз булиши учун //0 нинг чекли улчамли
• > ул мши зарур ва кифоя.
4. С [a, ZJ Банах фазосида куйидаги чизикли опера-
н>рнн оламиз:
ь
Тх = y(s) = J /< (s, t) x(t) dt.
a
Arap /<(s, t) функция [a, 6] X [«, b\ = {(s, t): a < b,
a<t<b} квадратда чегараланган ва унинг узнлиш
пукталари ушбу
t =<?k{s), k'= 1,2 , ... , n]
при чизицларда жойлашган булиб, ср* узлуксиз функ-
циялар булса, у холда Т оператор тула узлуксиз булади.
Бу ибораии исботлаймиз. Юкорцдаги Т операторнинг
ыьрпфидан интегралнинг мавжудлиги, яъни у(х) фуик-
циянинг аникланганлиги бевосита келиб чикади. K(sf t)
пнцг чегаралангаилигига асосан
М = sup |/C(s, /)|]< оо.
a<t,
|и, ,?1 ’квадратда G тупламни куйидагича аниклай-
миз: агар (s, /) иукта учуй
К; <Р* (s) I < 12мп
тенгсизлик камида битта k= 1, 2, . . . , п учун бажа-
рилса, ($, 0 иуктани G иинг элемента деймнз. Равшан-
ки, G — очик туплам. Энди ушбу
Д е
ОД=и{/:к-ФД*)|<1^}<=М
тупламни оламиз.
269
10. 2-§. Тула узлуксиз операторларнинг хоссалари
Е Банах фазоси булиб, {Тя} кетма-кетлик Е ии
узини-узига акс эттирувчи чизицли операторлар кетма-
кетлиги булсин.
1-теорема. Агар тула узлуксиз операторлар-
нинг {Т„} кетма-кетлиги бирор Т операторга норма
буйичл яцинлашса, у ^олда, Т ^ам тула узлуксиз
оператордир.
Исбот. Е фазодаги бирлик шардаи ихтиёрий {хГ7}п°°1
кетма-кетликни оламиз. Т операторнинг тула узлуксиз-
лигиии курсатиш учуй кетма-кетликдан яцинла-
шувчи булган цисм кетма-кетлик ажратиб олиш мум-
кинлигини курсатиш кифоя.
7\ оператор тула узлуксиз, демак кетма-
кетликдан яцинлашувчи
Треф, . . . . , Ttx^\ . . .
цисм кетма-кетликни ажратиб олиш мумкин, бу ерда
кетма-кетлик {хп} кетма-кетликнииг кием кетма-
кетлигидир. Энди кетма-кетликни оламиз.
Т2 тула узлуксиз булгани сабабли {x(p} кетма-кетлик-
дан шундай {х^} цисм кетма-кетлик ажратиш мумкин-
ки, ушбу
Т2Х<2>, Т2Х™, . . . , 72Х<2), . . .
кетма-кетл ик я ц инла ш у в ч и б у ла ди.
Шу тарзда давом эттириб, цуйидаги кетма-кетлик-
лар системасини цосил циламиз:
*(р, xty, . . . , xj1’, . . .
Х&\ . . . , Х<2), • . .
*<*>, .... Х(5>, . ,
Бу ерда >>ар бир кетма-кетлик увидан олдинги кетма-
кетликнинг цисм кетма-кетлигидир ва ихтиёрий k учун
{Tk Хп{Ю}„”_1 яцинлашувчи кетма-кетликдир. Юцоридагн
кетма-кетликлар систем асидан диагоиал элемеитларни
олиб, ушбу
х(р, х<з>, .... х^\ . л.
272
кетма-кетликни цосил циламиз. Ихтиёрий т натурал
сон учун янги ^осил булган кетма-кетлик биринчи т
та ^адни цисобга олмаганда
х(,р, , х(™\ , .
кетма-кетликиинг цисм кетма-кетлигидир. Демак, ихти-
ёрий т учун кетма-кетлик яцинлашувчи. Эн-
ди кетма-кетлик яциилашувчи эканлигини
исботлаймиз. Буиинг учун {Тх1^]п^ кетма-кетликиинг
фундаментал эканлигини исботлаш кифоя (чуики Е—ту-
ла фазо).
{хп} кетма-кетлик бирлик шардан олинганлиги ту-
файли IJ хл |] < 1 муиосабат ихтиёрий п учуй уринли. { Д}
кетма-кетлик Т операторга норма буйича яциилашгани
учуй шундай kt, натурал сон мавжудки, ушбу || Т— Tk Ц<
<Z g- тенгсизлик барча «>я0 учуй уринли.
{Tk хЮ}^ кетма-кетлик яцинлашувчи булгаии ту фай л и,
у фундаменталдир, яъни шундай N сон мавжудки,
ушбу \\Tkx<uJ — тенгсизлик ихтиёрий n>N
ва m > N сои лар учуй бажарилади. Демак, m, n>N учун
л Тх<? - < II Тх^ -Tk + || Tkx^ - Т&^\\ 4*
4-1| Tk x^-Tx^W < II?1 - Tk || -Цхс «>|| 4- ^-4- Г - П II X
Х||х<^|[<е.
Шундай цилиб, {2П^Л,}Л'Х’1 яцинлашувчи кетма-кетлик,
яъни Т—тула узлуксиз.*
Н а т и ж а. Нормаланган L (Е) фазода тула узлуксиз
операторлар спиц кием фазо цосил цклади.
Дар^акицат, тула узлуксиз операторларнинг чизицли
комбинацияси зам тула узлуксизлиги бевосита текши-
рилади. Чунки, агар А, В сг Ек компакт тупламлар бул-
са, у ^олда (х, v)->Xa: + иу(Х; рбА*) акс эттириш уз-
луксиз булгани сабабли, / А 4- P-В туплам ^ам компакт-
дир. Бу цисм фазонинг оператор нормасига нисбатан
ёпицлиги 1-теоремадан келиб чицади.
2- теорема. Т оператор Е Банах фазосида т$ла
узлуксиз, В эса шу фазода чегараланган оператор
булса, у ^олда ТВ еа ВТ операторлар тула у злу к-
сиздир.
I8-23S
273
Исбот. U^<=.E бирлик шар булса, у холда B(U^
^егаралаиган тупламдир (чунки В— чегараланган опера-
тор). Демак, TB(Ui) — иисбий компакт туплам, яъни
'f’B — тула узлуксиз. Т тула узлуксиз булгани учун
уДСЛ) — нисбий компакт туплам. В оператор узлуксиз
булгани учуй BT(Jj\) хам иисбий компактдир, яъни ВТ
тула узлуксиз оператор.
Натижа. Чексиз улчамли нормаланган фазода тула
угзлуксиз Т оператор чегараланган тескари операторга
эга эмас.
Дархацицат, акс х°лда бирлик оператор / = Т~' Т
тула узлуксиз булар эди. Демак, чексиз улчамли фа-
зода бирлик шар нисбий компакт туплам булар эди.
15 у эса куйидаги лемм ага зцд.
Лемма. (Ф. Рисе леммаси). Нормаланган чексиз
улчамли Е фазода чизицли эркли х2, . . . , хп1 . ..
элементларни олиб, Еп орцали х2, . . . , хп эле-
ьдентларнинг чизицли цобигини белгилаймиз. У холда
^уйидаги шартларни каноатлантирувчи уъ у2, • . . , ...
^етма-кетлик мавжуд:
1) 1|Ул 11= 1, 2) 3) р(ул, бу ерда
р(У«Ли-1) = inf II Уп — х II-
л€£л-1
Исбот. yj сифатида—г векторни оламиз; {хл} сис-
IHiff —
т-ема чизицли эркли булгани учун хп£Еп_Ихтиёрий
^екли улчамли цисм фазо. ёпик булгани туфайли
р -;) = Я 0.
фазодан |pc„ — х0|] < 2-а шартни цаноатлантирув-
ijH х0 векторни танлаб оламиз (Inf нииг хоссаларига
асосаи). Энди уп— Хп~~Хо.£Еп векторни олами-з. Унинг
учун 1) ва 2) шартларнйнг бажарилиши равшан. Ушбу
а « Р (хп, Еп~^ = inilK “ *1] = inf||xn — Хо) — (X — х0)||
Р(*я~ *о, Е,
К^ЕП-У ХеЕп^
-1—*о)=р (Хп-Хо, ^л-1)
ьдуносабатга асосан
Р (У«» ^п-1) -р(ц^_ х0°|| ’ ”
а _ I
>2Т==~2’
Демак, уп вектор учун 3) шарт хам бажарилади.*
Леммадан куриниб турибдики, чексиз улчамли норма-
ланган фазонинг бирлик шарида рО'п-п Ул)=|1Ул—i—Уп||>
> тенгсизликни цаиоатлантирадиган кетма-кет-
лик мавжуд, яъни бирлик шар нисбий компакт туплам
эмас.
f 3- т е о р е м а. Е, F Банах фазолари булсин. T:E~+F-
< чизикли оператор тула узлуксиз булиши учун унинг
] кушма оператори Т*: F' -+Е' тула узлуксиз булиши
<зарур ва кифоядир.
Исбот. 7:1--^F тула узлуксиз оператор булсин
F' фазонинг бирлик шаридан бирор {vn} кетма-кетликни
оламиз. F фазода f„ чизикли функционални куйидагича
аииклаймиз:
/«(*)=< х,у„ >, x£F.
Равшанки, {/Д туплам ^ар бир xQF нуктада чегара-
ланган: |/л(х)| <||х||.
Ушбу |/„ (х) — fn (хс) | < || х — х0|] тенгсизликдан {/J
системанинг текис даражзда узлуксизлиги келиб чикади.
.туплам Е фазодаги бнрлик шар булса, T(67j) туп-
лам F фазода нисбий компактдир. Демак, {Л,} функци-
оиаллар системаси Т (L/J компакт тупламда текис дара-
жада узлуксиз ,ва унинг ^ар бир нуктасида бу система
биргаликда чегараланган. Асколи теоремасига (4.1- §,
3-теорема) асосан Т (U}) тупламда текис якинлашувчи
булган {/п} кием кетма-кетлик мавжуд. Ушбу
F*y„,-T*>y„n=||Г*(у =supj <x.r(ynj-yKI} > I =
= sup | < Тх, у — y„,> I = sup| f (Tx) —f„L (Тх) I— 0
*(4/, 1 J
муносабатларДаи {T*ynJ кетма-хетликиинг фундаментал-
лиги келиб чикади. Е' тула булгаии учуй {T*yni} якин-
лашувчи, яъни Т* — тула узлуксиз.
Г* тула узлуксиз булса, Т ^а'м тула узлуксиз бу-
лиши шунга ухшаш исботланади.*
Параграфни тула узлуксиз операторларнииг хос кий-
матларини урганиш билаи якуилаймиз. Тх — )х тенгла-
мани оламиз.
4-теорема. Е Банах фазосида аникланган т$ла
узлуксиз Т оператор ва ихтиёрий. мусбат о сон бе-
18*
275
рилган булсин. Т операторнинг абсолют циймати
Ъ дан катта булган хос цийматларидан иборат
тупламни д6 билан белгилаймиз. У холда дв нинг
элементлар ига мос келувчи чизикли эркли хос век-
пюрларнинг сони чеклидир.
Исбот. Дг тупламдан бирор
К2ч • > Кп » • ••
кетма-кетлик таилаб оламиз (улар орасида тенглари $ам
булиши мумкин), яъни кар бир Х„ сон Т нинг хос ций-
мати ва |Х„|>8. Энди уларга мос келувчи х2, хп, ...
хос векторларнинг чизикли эрклиларининг сони чексиз
деб фараз килайлик. Еп оркали хъ х2, ... , хп вектор-
ларнинг чизицли кобигини белгилаймиз. Юкоридаги
Ф. Рисе леммасига асосан ушбу
О II Уп II = 1. 2) уп £Еп, 3) р (уп, = inf || — х || > у
шартларни каноатлантирувчн {y„}~=1 кетма-кетлик мав-
жуд. Ихтиёрий п натурал сои учун ушбу
IIМ ИМ 1
|1М1 IM ~1М в
муносабатлар уриили, яъни чегараланган кетма-кет-
лик. Т тула узлуксиз булгани учун [т кетма-кет-
ликдан якинлашувчи кием кетма-кетликни ажратиб олиш
мумкин.
п
Суигра уп£Еп булгани учунул=2аб xk . Бундан
А=1
Г п п л—1
= 2 =2“-Ц^=2
k 1 fl 1 k—— 1
Бу ерда
n—1
fe — l)xft £En_i.
Л=1 лл
Демак, ихтиёрий P,q(p>q} натурал сонлар учун
ушбу
Ц Т [g] — Т II = |1 УР -f- zp — (у9 + ) || ^ || ур — (у7 -Ь
4“ Zq %р И > "g
276
тенгсизлик уринли (чунки yq -j- zq — zp С ^p-i). Яъни
кетма-кетликдаи хеч кандай яцинлашувчи цисм
кетма-кетликни ажратйб олиш мумкин эмас. Бу эса
зиддиятга олиб келади. Шунинг учун х3, ... , хп. ...
векторлар системасининг фацат чекли цисмигина чизикли
эркли булиши мумкин.*
1- натижа. Банах фазосидаги тула узлуксиз опе-
раторнинг нолдаи фарцли хос цийматига мос келувчи
чизикли эркли хос векторларииинг сони чеклидир.
2- натижа. Ихтиёрий тула узлуксиз оператор учун
Де туплам чеклидир.
Хусусан, Банах фазосидаги тула узлуксиз оператор-
нинг хос цийматларинииг сони купи билан саи о к ли дир
ва уларнинг модулларини камайиш тартибида ёзиш
мумкин:
|М>|М> ... >I>J >
Агар бу 'кетма-кетлик чексиз булса, у нолга инти-
лади.
10 .3- §. Гильберт фазосида тула узлуксиз опера-
торлар
Гильберт фазосидаги тула узлуксиз операторлар куп-
гина цушимча хоссаларга эгадйр. Бунда Гильберт фазоси
уз-узига цушма фазо экаилиги катта роль уйнайди.
Куйидаги теоремадан Гильберт фазосида тула узлуксиз
операторнинг бошца тенг кучли таърифи келиб чицади.
Бу параграфда Н сепарабел Гильберт фазоси деб фараз
циламиз.
1- теорема. Н Гильберт фазосидаги Т опера-
тор тула узлуксиз булиши учун у ихтиёрий сует
якинлашувчи кетма-кетликни кучли якинлашувчи
кетма-кетликка акс эттириши зарур ва кифоядир.
Исбот. Зарур ли г и. Т:Н^>-Н тула узлуксиз опе-
ратор булиб, {хп} кетма-кетлик х£Н элементга сует
яциилашувчи булсин. У холда {хл} кетма-кетлик норма
буйича чегараланган (8.3- §, 1- теорема), демак, {Гх,}
кетма-кетлик нисбий компакт дир, яъни унинг ихтиёрий
чексиз цисмидан кучли якинлашувчи цисм кетма-кетлик
танлаб олиш мумкин.
Т узлуксиз булгани учун {Тхп) кетма-кетлик Тх
элементга сует яцинлашувчидир, яъни {Тхп} кетма-кет-
лик фацатгнна ягона лимит иуцтага эга. Демак, {Тхг}
кетма-кетлик Тх элементга кучли яцннлащувчидир, акс
цолда Тх дан фарцли иуцтага кучли (ва демак, сует)
яцинлашувчн кием кетма-кетлик таилаб олиш мумкин бу-
лар эди.
Кифоялиги. Т оператор ихтиёрий сует яцинлашу в-
чи кетма-кетликни кучли яцинлашувчи кетма-кетликка
акс эттирсин деб фараз цилайлик. Бирор чексиз 7И туп-
лам Н фазода чегараланган булса, 8.4- § даги 2- теоре-
манинг натижасига асосан ундаги ихтиёрий чексиз
тупламдан сует яцинлашувчи кетма-кетлик ажратиш
мумкин. Фаразимизга асосан бу сует яцинлашувчи кетма-
кетликни Т оператор кучли яцинлашувчи кетма-кетликка
акс эттиради, яъни Т(/И) — нисбий компакт туплам.*
Н ат и ж а. Т : оператор тула узлуксиз, {хп}
кетма-кетлик х элементга сует яцинлашувчи булсин.
У холда
(Тхп, хп) (Тх, х).
Исбот. Ихтиёрий п натурал сон учун
(Тхп, х„)— (Тх, х)1 < | (Тхп, хп) - (Тх, хп) | 4- I (Тх, х„) —
— (Тх, х) | = | (Тхп - Тх, хп) | -Ь I (Тх, хп — х) К
< II Л - II Тхп — Тх II -ь | (Тх, хп — х} |.
1- теоремага асосан {х„} кетма-кетлик х га сует яции-
лашгани учун {Тхп} кетма-кетлик Тх га кучли яцикла-
шади, яъни || Тхп — Тх|| ->0 ва 8.3- § даги 1- теоремага
асосан |]хп|| чегаралангаилиги сабабли ||^ся || -|| Тхп —
— Тх||~>0. {хл} кетма-кетлик х га сует яцинлашишиии
лисобга олсак, ихтиёрий у£Н учун |(у, хп — я)! ->0; хусу-
саи, ](Тх, хп — х)|->0. Демак,
\(Тхп. хп) — (Тх, я)|->0.*
Энди биз уз-узига цушма булган тула узлуксиз опе-
раторларни батафсилроц ургаиамиз. Хусусан, бундай
операторлар учун чизицли алгебра курсидан маълум бул-
ган матрицаларни диагоиал куринишга келтириш теорема-
сига ухшаш теоремаии исботлаймиз. Аввал цуйидаги жи.<ки
леммани келтирамиз.
1- лемма. Н комплекс Гильберт фазоси булиб, Т
ундаги уз-узига цушма булган оператор булсин. У ^олда
бу операторнинг хос цийматлари цациций булиб, лар хил
хос цийматларга мос келувчи хос векторлар ортогонал-
дир.
278
Исбот. сои Т оператор учун хос циймат булса,
У золда
Тх = кх, х^= 6,
демак,
X (х, х) — {Тх, х) = (х, Т х) = (х, Хх) =s Х(х, х),
бу ерда (х, х) = ||х!|й=/=0 булгани учун X = X, яъниX —
Закиций сон.
Энди X, р (Х^р) сонлар Г операторнинг хос циймат-
лари булиб, х ва у мос равишда уларнинг хос вектор -
лари булсин. Бу золда
X (х, у) = (Тх, у) = (х, Ту) = (х, ру) « р (х, у),
X^tp булгани учун (х, у) == О, яъни x_J_ у.*
2- лемма. Т уз-узига цушма чегараланган чизицли
оператор ва Q(x) = (Тх, х) булсин. Агар ушбу
|Q(x)| = |(Тх, х)|
функционал бирлик шарнинг х0 нуцтасида максимумга
эга булса, у-золда
(х0, х) = О
муносабатдан (Тх0, х) = (х0, Тх) = 0 тенглик келиб чи-
кади.
Исбот. Равшанки, || х0 ]| = 1. Дарцацицат, - агар
II хе ]| < 1 булса, у золда
|«|йт?|=га>| =>т >м >
>(| Txq, x0)j — | Q(xCl)|
муносабат |Q(x0)| максимал киймат эканлигига зид булар
эди (чуики 11^11 = 1).
а—ихтиёрий зациций сои булсин. Ушбу
Ao -I- ах
У = г -
у i+^llxip
элементни олсак, ]|х0|| = 1 ва (хо,х) = О булгани сабабли
Пу II = 1- Эиди
Q (У) = 1 + |4|MF IQW + 2«Re(7-z„, z) + a^Q (х)]
эканлигини цисоблаш осой, бу ерда Re(7x0, х) сои (Тх0, х}
279
нинг ^ациций цисми. Олинган а сон чексиз кичик бул-
ганда
Q (у) = Q (х0) + 2aRe (TxQ, х) + О (а2).
Бу муиосабатдаи куриниб турибдики, агар (Тх0, х) =?= О
булса, у холда а соннинг модулини узгартирмаган холда
ишорасини шундай танлаш мумкинки, |Q(y)| >lQ(-x0)| тенг-
сизлик бажарилади. Бу эса [ Q (х0)| иинг максимал экан-
лигига зид. Демак, (Tx(jtx) = 0.*
2- теорема. (Гильберт-Шмидт теоремаси) Н Гиль-
берт фазосида тула узлуксиз уз-узига цушма чизикли
Т оператор берилган булиб, унинг барча хос ций-
матлари булсин. Н фазода шу хос цийматларга мос
келувчи хос векторлардан иборат шундай ортонор-
мал {<ри} система мавжудки, ихтиёрий х£Н элемент
ушбу
= о)
k
куринишда ягона усулда ёйилади, бу ерда x'QkerT,
яъни Тх' = 0.
Агар шу билан бирга {<?„} чексиз система булса,
у х^олда lim Хй = 0.
М->®а
Исбот. Хос кийматлардан иборат {Д} кетма-кетликни
абсолют циймати камайиши тартибида ёзиэ: | Xt| >|Х2| >
> ... > |Х„| > .. . , буларга мос равишда {<рл} систе-
мами индукция буйича цуйидагича тузамиз.
2- леммадаги
|Q(x)| = |(7Xx)(
функционални олиб, уни бирлик шар да максиму мга эри-
шишини исботлаймиз. Ушбу
A = sup|(TX х)|
1И< 1
белгилашни киритсак, у холда супремумнииг хоссасига
асосан шундай
.., Цхя]|<1, п==1,2, 3, ...
кетма-кетлик мавжудки,
Iim|(7X, хй)|«=д.
280
Бирлик шар сует компакт булгани сабабли (8.4- § даги
2- теорема) {%„} кетма-кетликдан бирор у£Н элементга
сует яциилашувчи ]хп^ } цисм кетма-кетликни ажратиш
мумкин. 8.4- §, 2- теорема нсботининг б) цисмига асосан
||у|| < 1. 1- теореманинг иатижасига асосан
lim|(T*„t,x„4)| = ](Ty,y)|,
А-»оо
демак, |(Ту,у)] = д.
Куриниб турибдики, ||у|| = 1, акс лол да (яъни |[у|| < 1
булса) у' = j—jj Элемент бирлик шарнинг элементи булиб,
10У,/)! > д зиддият лосил булар эди.
Энди ср! сифатида шу у элементни олиб, унинг Т
оператор учун хос вектор эканлигини курсатамиз. Бунииг
учун Т<р1 элемеитнинг {XcpJX^C ва {XcpJ^c КИсм фазо-
лар буйича ортогонал ёйилмасини оламиз, яъии
Tcpj =Х<Р1 4- ф,;
бу ерда J- <Pi- 2- леммага асосан ф, I Т^, демак, =6.
Бундай
ва
1Гср1,ср1)| = |/.(<р1,Ф1)| = р.[ II Ы2 = |>|
булгани сабабли |Х| = д; абсолют циймат буйича энг
катта хос циймат \ булгани учун Х = а,. Шундай килиб’,
Tcpi = Х1<р1 ва PJ = д.
Энди ?.2, . . . , лл хос цийматларга мос келувчи
т!» ?2» - • • » срЛ2 хос векторлар топилгаи деб фараз цилай-
лик. Бу векторларнинг чизикли цобигиии Мп билан бел-
гилаймиз. Ушбу |(Тх, х)[ функционални Af;L цисм фазо-
нниг бирлик шарада курамиз. Мп цисм фазо уз-узига
Кушма Т операторга нисбатан инвариант булгани учуй
цисм фазо ииварнантдир. Ю^оридаги мулолазаии
Д4± цисм фазога цулласак, ^исм фазода Т оператор-
нинг хос вектори топ ила ди.
Эиди икки лол булиши мумкин:
1) бирор nv цадамдан сунг лосил булган цисм
фазодаги ихтиёрий х учуй
(Тх, х) = 0;
281
2) ихтиёрий п учуй (Тх, х)^=0 шартни цаноатланти-
рувчи х£М± элемент мавжуд.
Биринчи холда 2- леммага асосан (Тх, х)~ 0 муноса-
батдан (Тх,Тх) = 0 тенглик келиб чикади (чунки бу
холда леммадаги х0 сифатида ихтиёрий х£М±- элементни
олиш мумкин). Демак, ихтиёрий xQAV- учуй Тх =6, яъни
АР- кием фазо л = 0 хос кийматга мос келувчи хос век-
торлардан иборат, яъни {фл} система чеклидир.
Иккинчи холда чексиз система косил булиб,
уларга мос келувчи Хя соилар поддан фарклцдир. Энди
ушбу Птлп = 0 муносабатни исботлаймиз. Ихтиёрий х
элемент учун сп — (х, <?п) соилар х элементнинг
ортонормал системаси буйича Фурье коэффициент лари бул-
ос
гани сабабли якинлашувчи цатордир. Хусусан, их-
Л=1
тиёрий х элемент учун (х, Демак, {<рл} кетма-
П ->00
кетлик 6 элементга сует якинлашувчидир. 1- теоремага
асосан (Тсрл} кетма-кетлик 6 элементга норма буйича
якинлашади, яъни || Т<?п || = || ср,г || = | | —>0. Нихоят,
П-foo
(1) ёй ил мани исботлаймиз.
М оркалн ©1, <рг» •••»<?«>•• • векторларнинг чизикли
Кобигининг ёпилмасини белгилаймиз. Бунда /И-1- =
Л=1
Равшанки, хаР цандай п учун MLazM^. Демак, ихтиё-
рий х'£М1 (х' 6) ва п учун
\(Тх', х')| = I (Т HIх' IP < maxJ(Ty, у)| -|| х' ||* =
= Хл+1 ||*Т-
Бунда п ихтиёрий булгани ва Х„->0 туфайли
(Тх', х') = 0.
Сунг 2- леммани М1- кием фазога кулласак, юдоридаги
муиосабатдаи (Тх', Тх') = 0 тенглик, яъни Тх' — 0 келиб
чикади. Демак, сз кег Т. Бундан, бевосита куриниб
турибдики, -ихтиёрий х вектор ушбу
©о
х •== 2 ck х' € ker Т
fe=i
282
ь уриниш га эгадир. Бу ерда ck коэффициентлар ягона pa-
ниш да топилиши {<?*} системанинг М фазода ортогонал
базислигидан келиб чицади, бундан эса х’ хам ягоналиги
куриниб турибди.*
Исботлангаи теорема кейинги параграфларда курил а-
днган интеграл тенгламалар назариясида ж у да му хим
роль уйнайди.
10.4- §. Чизикли интеграл тенгламалар
Функционал фазода (масалан, C[a,b,], Л2 [a,b,J, C2[a,b])
тенглама берилган булиб, номаълум элемент функниядан
иборат булса, бундай тенглама функционал тенглама
дейилади. Агар функционал теигламада номаълум функ-
ция интеграл остида булса, у холда тенглама интеграл
тенглама дейилади. Масалан, ушбу
/ ь
<?(«) = t)dt
а
ченглама ср га нисбатан интеграл тенгламадир, бу ерда
(s> 0> 0 — берилган функциялар.
Интеграл тенгламадаги ифода номаълум функцияга
нисбатан чизикли булган холда тенглама чизицли ин-
теграл тенглама дейилади.
Куйидаги тенгламалар чйзицли интеграл теигламалар-
га мисолдир:
ь
f К (st /)ф(0 di 4- /(s) = 0, (1)
а
ср (5) = J лг($, /)<р (/) dt + /(s), (2)
а
бу ерда ср — номаълум функция, K(s,i) ва/(э) — маълум
функциялар, (1) ва (2) тенгламалар мос равишда биринчи
ва иккинчи тур Фредгольм тенгламалари дейилади.
Хусусан, K(s, t) функция t > s цийматлар учун ушбу
0 = 0
шартни цаиоатлантирса, у холда (1) ва (2) тенгламалар
мос равишда ушбу
0?(0^+/(s) = 0, (3)
а
s
?(s) = jK(s.C)4>(0<« + /(s) (4)
а
283
куринишларга эга булади. Буидай тенгламалар биринчи.
ва иккинчи тур Вольтерра тенгламалари дейилади.
Вольтерра тенгламалари Фредгольм тенгламаларинииг
хусусий ^оли булса-да, улар алохида урганилади, чунки
Вольтерра тенгламалари узига хос булгаи хоссаларга эга.
Агар (1), (2), (3), (4) тенгламаларда / функция нолга
теиг булса, бу тенгламалар бир жинсли дейилади.
Мисол. Ушбу
ж =
г ?(0
dt (0 < а
I, /(0) = 0)
тенглама Абель тенгламаси дейилади.
Бу тенглама Вольтерра тенгламасининг хусусий холи
булиб, 1823 йилда Н. Абель томоиидан курилгаи.
Биринчи тур Фредгольм тенгламаларини урганиш
иккннчи тур тенгламаларга Караганда анча цийинроц.
Масалан, буидай тенгламалар хар доим ечимга эга бу-
лавермайди.
Мисол сифатида ушбу
/(s)=
6
тенгламани С [а, Ь] фазода курсак, бу тенглама биринчи
тур Фредгольм тенгламаси булиб, уида
1, t < s учун,
0, / > s учун.
Агар f функция хосилага эга булса, у холда, равшанки,
¥ (5) ~Г (•$) функция тенгламанннг ечимиднр. Акс холда
бу тенглама ечимга эга эмас.
Иккинчи тур Фредгольм тенгламалари кеигроц урга-
нилган.
Биз цуйида Фредгольм тенгламаларини текширишга
Хоз ирга ча баёи цилингаи функционал анализ элементла-
рини, хусусан Гильберт — Шмидт иазариясини татбик
К илам из.
[а, 6] комплекс фазода иккинчи тур Фредгольм
тенгламаси, яъни (2) тенгламани оламиз. Бу тенгламада
f{s) маълум ва 'p(s) номаълум функциялар булиб, улар
L2 [а, £>] фазонинг элемент лари дир.
284
Бу тенгламага [а, 6] фазода аницланган
ь
ф=7> = f tf(s, (5)
а
Фредгольм операторини мое цуямиз (7.3- §).
Агар K(s, t) функция [а, Ь] а [я, Ь] тупламда ква-
драти билан жамланувчи, яъни
ь ь
J .[и(5, ПГ^/<оо (6)
а а
булса, у Гильберт — Шмидт узаги, уига мос Т опера-
тор эса Гильберт—Шмидт оператора, дейилади.
1- теСре м а. Гильберт—Шмидт оператора L2 [a,b]
фазода тула узлуксиз булиб, унинг норма си цуйидаги
теигсизликни цаноатлантиради:
г ь'~Ъ
И1К1/ j j|K(s, t^-dsdt. (7)
•— г а а
Исбот. Т оператор Ь2 [а, Ь] фазода чегараланган ва
унинг нормаси (7) шартни цаноатлантириши 7.3- § даги
7- мисолда курсатилган эди. Энди фацат уиинг тула уз-
луксиз эканлигини исботласак кифоя.
Бирор {фл} система £2 [а, Ь] фазода тула ортогонал
булсин. У ^олда (4.5- § даги 4- мисолга асосан) (ф,„ (з)
ф„ (/)} купайтмалар системаси £3 (D) фазода ортогонал
система ташкил цилади (эслатамиз: D~[a, 6] X [a, 7])
Демак, ушбу
со
A" (S, 0 = 2 атп Фт (0 Фп (0
п, т=1
ёйилма уринлнднр. Цуйцдаги функциялар кетма-кетлигини
царайлик:
= ^тп Фгл (О Фп (0-
т, п=1
Бу узакка мос Фредгольм операторини TN билан белги-
лаймиз. Равшанки, TN оператор тула узлуксиз, чунки
у £а [а, б] фазони чекли улчамли цисм фазога акс этти-
ради.
285
Хацицатан, ихтиёрий I'7» b[ учуй
ь
TN ? =* J &ЛГ (s> 0 ¥ (0^ =*
a
N b
= 2 атл Ф/п (s) J ? (O’^n (0 ~
тпгп—1 a
N N
= ^mtl b'1'
m=l л=1
b
бу ерда bn = § <р(ОФ«ОМ/.
a
Демак, TN оператор Z2 [at b] фазони фп Л2, ... ,
функцияларнинг чизикли кобиги булгаи чекли улчамли
фазога акс эттиради.
Таърифга асосан, t) функциялар 7<(s, t) функ-
циянинг {<рт (х) фл (/)} система буйича Фурье цаторининг
х у су с ий йигиидилпридан иборат. Шу туфайли Ar—>- jo да
ь ь
J j | K(s, о - К.. (s, Z)|! dsdt-+O.
а а
Энди (7) тенгсизликни Т — Т N операторга цулласак,
г ь ь “ ~~
IIт " 7^11 < 1/ J j ] /<(s, /) — KN (s, t) |2 ds dt ~>0
F a a
муносабатга келамиз. Шундай цилиб, {7’л}^11 тула уз-
луксиз операторлар кетма-кетлиги норма буйича Т опе-
раторга яцинлашади. 10.2- § даги 1- теоремага асосан Т
^ам тула узлуксиз.*
Натижа. И хтиёрий Г ил ьберт — Ш мидт оператори
чекли улчамли операторларнинг норма буйича лимитидир.
Гильберт фазосида цушма операторларни ургангани-
мизда К (Л s) узакли Фредгольм оператори учуй кушма
операторнинг узаги булишини курсатган эдик.
Хусусан (5) формула билан аницланган Т оператор уз-
узига кушма булиши учун
K(s9t)^K{t.s) (8)
тенглик Зарур ва кифоядир. (8) шартни каноатлантирувчи
узаклар симметрак узаклар дейилади.
28в
Энди (8) шартни каноатлантирувчи узакли тенгламани
ургаиамиз. Юцорида айтилганидек, бу холда
ь
7'<Р = J K(S,
а
оператор уз-узига кушма тула узлуксиз оператор. Де-
мак, бу операторга 10.3- § даги Гильберт — Шмидт тео-
рем ас и ии (2- теорема) куллаш мумкин. (2) тенгламани
кисцача ушбу
(9)
куринишда ёзамиз. Гильберт — Шмидт теоремасига асо-
сан {>-,} хос цийматларга мос келувчи хос векторлардаи
иборат булган шундай ортонормал система мавжуд-
ки, ихтиёрий Е С L2 [cl, b] элемеитии
со
£ = 4
Л=1
куринишда ифодалаш мумкин, бу ерда Е'£ ker Т, яъни
7Т =6. Хусусан,
/= 2 М.+Л Г'екегТ. (10)
л==1
(9) тенгламанинг ечимини ушбу
? = 2 х^п + Ч>' € ker Т (11)
Я—i
куринишда излаймиз. (9) теигламада f ва <р фуикциялар-
нинг (10), (11) ёйилмаларини ёзиб, ушбу
2 Хп^п + ?' = 2 Х^ пЧ>П 4~ 2 ^пЧ>П 4 г
П=1 «=1
теигламага келамиз, яъии
оо °°
2 хп (1—4- = 2 +/'•
п-1 п=1
287
Бундай ёйилма Гильберт — Шмидт теоремасига асосан
ягона булгани сабабли
Хп О \г) =
7=7;
бундай Xn 1 булса, хп — : -V, ва Х„ = 1 булса, Ьп9*=0.
Куриниб турибдики, Хл = 1 долда Ьп = 0 шарт (9) тенг-
ламанинг ечимга эга булиши учун зарур ва кифоядир.
Бундай Хл = 1 учун хп ихтиёрий.
Шунннг билан куйидаги теорема нсбот ланди.
2- теорема. Агар 1 сони Т оператор учун хос
циймапг бу л мае а, у ^олда (9) тенглама ихтиёрий
/ учун ягона ечимга эга. Агар 1 сони Т оператор
учун хос циймат булса, у у,олда (9) тенглама ечим-
га эга булиши учун / функция I сонига мос келувчи
х^амма хос функцияларга ортогонал булиши зарур
ва кифоядир. Бу холда (9) тенглама ечимларанинг
сони чексиздир.
10.5- §. Фредгольм теоремалари
Бу ерда дам юцорида курилган ушбу
¥ = 7<р+/ (1)
тенгламани урганишни давом эттирамнз. Навбатдагн му-
лодазаларда Т операторнинг интеграл куриниши эмас,
балки фацат унинг тула узлуксизлиги роль уйнайди.
Шунинг учун Н Гильберт фазосида бирон Т тула уз-
луксиз операторни олиб, (1) куринишдаги теигламани
урганамиз. Бунинг учун А=1 — Т операторни киритган
долда (/ — бирлик оператор) (1) тенгламани ушбу
М=/ (2)
куринишда ёзамиз. (2) тенглама билан бнр даторда бир
жинелн булган
д?0 = е (3)
тенгламани ва буларга кушма булган ушбу
А*ф = £, (2')
= 6 (33
288
тенгламаларнн курамнз (бу ерда Д* оператор А оператор-
га кушма, яъни Д* = (I—T)* = /— Т*.
Куйнда исботланадиган Фредгольм теоремалари шу
турт тенгламанинг ечимларн орасидаги богланишнн кур-
сатади.
1- теорема. (2) тенглама ечимга з^а булиши учун
f вектор (3') тенгламанинг уар бир ечимига орто-
гонал булиши зарур ва кифоядир,
Исбот. кег А ва Im А лар А операторнинг мос ра-
вншда ядроси ва цийматлари со^аси, яъни
кег А = {х С Н-. Ах = 6} = Д"’(б),
1ш Д {Ах: х С Н} = А (Н)
эканлигини эслатамнз. Маълумки, Д узлуксиз булгани
учун кег Д туплам Н нинг ёпик кисм фазосИ- Im А ^ам
Н нинг ёпик кием фазоси эканлигини исботлаймиз.
/уДсдПп Д иетма-кетлик бирои у элементга якин-
лашувчн булсин, дез фараз килайлик. Демак, ушбу
уп = Ахп = хп—Тхп~^у
(4)
шартни каноатлантирувчн (х„) кетма-кетлик мавжуд. хп
векторларни кег Л фазога ортого.-гал деб ^исоблаш мум^
кин, акс ^олда хп урнига хп = хп — ргХ„ векторларни
олиш мумкин; бу ерда ргх,г элементу ае<торнинг кегД
кием фазога проекцияси. Бундан ташк^ри, {хп} кетма-
кетлик чегаралангандир. Дар^акикат, акс ^олда
II хп )1 00 Деб ^исоблаш мумкин, дема'<» (4) га асосан
муносабат
Сунг Г
уринли. ?
~г' | кетма-кетлик бнрлик шарга тегишли
*”Лп ” ' , --
булгани ва Т тула узлуксиз эканлиги ту файл и онрор
/ xnh \
х„ 1 кием кетма-кетлик учун Т и—г, I бирор z элемент
\|Г«Л1|/
Xflk
га якинлашувчи булади. Бундан (5) га лсосан jp7~jp кеТ’
ма-кетлик ^а.м шу z лимитга якинлашувчи булади. Рав-
19-239
289
ва Az = z — Tz =
= lim lim7(±*J = lim l/JM
яъни z- £ker A. Ammo ^ap бир xn элемент ker А га ор-
тогонал эди, демак, z I kerА, бундан ва г C ker А дан
z == 6 келиб чицадн, бу эса |]z|| = 1 тенгликка зид. Бу
зиддият {хп} кетма-кетликнинг чегараланганлигнни кур-
сатади. Т оператор туЛа узлуксиз булганн учун {Тхг}
кетма-кетлнкдан яцинлашувчи булган {Гхп} цисм кет-
ма-кетлик ажратиш мумкин. (4) га асосан {хяД кетма-
кетлик ^ам яцннлашувчн булади. Бу лимитни х билан
белгнласак. у ^олда
у = lim Ахп — Кт Ахп == А (Нт хп) = Ах.
Z-^-oo I /->со
яъни yCImA, демак, 1тА ёпицдир. 10.2- §, 3- теоре-
мага асосан Т* оператор ^ам Т билан бир цаторда тула
узлуксиз булгани сабабли Im А* ^ам И нннг ёпиц цисм
фазоси.
Эндн биз цуйидаги”муносабатларни исботлаймиз
кег А ф Im А* = Н, (6)
ker А* © Im А = И. (7)
Равшанки, кег А ва Im А* узаро ортогонал цисм фазо-
лар. Хацицатан, ихтиёрий h £ кег А ва х С Z/ учун
(Л, А*х) = (Ah. х) = (6, х) = 0.
Демак, ^еч кандай 6) вектор бир вактда кег А ва Im А*
цисм фазоларга ортогонал эмаслнгинн курсатсак бас.
- Агар бирор z вектор Im А* га ортогонал булса, у ^олда
ихтиёрий х С Н учун
(Az, х) = (zt А*х) = 0, яъни Az ~ 6,
демак, z С ker А.
Шунга ухшаш (7) тенглик л’ам исботланадн. (7) му-
носабатдан 1- теорема бевосита • келиб чицадн, яънн
/С Im А булиши учун / ± кег А:5: зарур ва кифоядир.*
290
” теорема. (Фредгольм альтернативней). Ёки (2)
тенг la ин ихтиёрий учун ягона ечимга эга, ёки
( О те нс hi ианинг нолдан фарцли ечими мавжуд.
!!<-(> о г. k натурал сон учун Н>! орцалн Im (АЛ) фазони
tuvii if.'biiiMiu, хусусан Н'-=1п1Л. Нк нннг тузилишидан
| hi и in .111 к и, А (//*) =. Hk+X ва
Н^Н^Н2^ ..
I георемани нсботлаш давомида курсатнпганидек, хаР
« Ир /Г спиц дир.
Лемма. Шундай / натурал сон маджудки, ушбу
//+* = Hk
inti'JiiiK ихтиёрий k>-j учун бажарнладн.
Лемманинг ис б от н. Аксинн фараз цнлеак, ^амма
I " фазолар хар хил булади. Бу хо1да шундай {%Д орто-
нормал система мавжудки, хк^Нк ва xk ± Hk+\ Демак.
империй /, k (I > А) сонлар учун
Тх{ — Txk = — xk + (xt + Axk — Ax J.
I >y ерда xt + Axk — Axt £ Hk 1 булгани учун
|| Txt - TxJR = || xftl|2 + ||xz + Axk - ДхЛ2 > I,
икни {ТхД кетма-кетликдан яцинлашувчи булган кием
кетма-кётликнн ажратиш мумкин эмас. Бу эса Т оператор-
nuiir тула узлуксизлигнга зид.*
Теореманинг исботнни давом эттнрамиз. Агар кег А =
- {G) булса (яънн (3) тенглама нолдан фарцлн ечимга
л а булмаса), у холда А мономорфизмдир. Шунинг учун,
агар //' ~ Im А Н деб фараз килсак, у холда Н2 =А П't
. . , /УЛ ! 1 A муносабатлар ихтиёрий k учун уринли-
дир. Бу эса леммага зид. Демак, ]гп А = Н, яъни (2) тенг-
лама ихтиёрий f учун ягона ечимга эгаднр.
Агар (2) тенглама и<тлёрий / учун ечимга эга булса,
у холда |т Л - // ва 1- теоремадагн (7) муносабатга асо-
сан ker Ас = {6}. Бу тенгликдаи, юкоридагндек Im Д* = Н
муносабат келиб чихади. Энди (6) муносабатдан фойда-
лансак, ker А = {6}, яъни (3) тенглама фацат нолга тенг
ечимга эга эканлнгн келиб чнцади.*
19:
291
3’ теорема. (5) ва (3') тенгламаларнинг чизицли
эркли булган ечимлари сони чекли ва узаро тенгдир.
Бошцача цилиб айтганда,
dim (кег Д) = dim (кег Д*) < оо.
Исбот. кег Д фазонинг улчамн чексиз деб фараз
килайлик. Бу Л'олда кег Д да чексиз ортонормал {х„} сис-
тема мавжуд. хп б кег Д, яънн Ахп — хп — Тхп = 6 бул-
ганн сабабли хп — Тхп ва демак, || Txk — TxJ] = у/2?
Яъни {7хп} кетма-кетликдан яцинлашувчн кием кетма-
кетлик ажратиш мумкин эмас. Бу эса Т нинг тула уз-
лу кензлигига зид. Шундай килиб, dim ker Д < оо (шунга
ухшаш dim кегД*‘<1 00) Ушбу
dim (кегД)=р., dim (кег Д*) = д>
белгилаш киритамиз. Фараз килайлик,
1
Р- О
тенгсизлик бажарилсин. Сунг кег Д ва кег Д* фазоларда
мос равишда
(<Pi <Рз, -»%! ва {*„ ф2, . . . , 9J
ортонормал базислар тан л а б оламнз ва ушбу
Sx = Ах + (х> ^)'Ъ
/-1
операторни курамиз. У оператор Д операторга чекли ул-
чамли операторни кушиш натижасида косил булгани сабаб-
лн 5 оператор учун з^амма юкорнда исботланган фактлар
уринлидир. Бу оператор учун
Sx == 6
тенглама фадат ноль ечимга эга. ^акикатан,
р
Sx = Ах + 2 (х> <РУ) '?/ = 6
7^=1
булса, 1- теоремадаги (7) муносабатга асосан Ах _L .
(ихтиёрий j учун) демак,
Ах = 6 ва (х, (р;.) = 0 (/ = 1, р).
292
Шундай килиб, бир томондан кег А, яъии х вектор
(<|.} некторларнинг чизикли комбинациясидир, иккинчи
шмон дан, х бу векторларга ортогонал, бундан х = 6.
Дсмак, кег 5 = {6}. 2- теоремани S операторга куллаган
Холда /=^+1 деб олсак, ушбу
р.
Лу 4- 2 (У- <₽/) = ^+1
/=]
гспглама бирор у ечимга эга. Бу тенгликнн ф х вектор-
/11 скаляр купайтирсак, ушбу 0 = 1 зиддият косил булади
(чунки Im A JL кег А* ва Ду С Im А, ф +1 С кег Д*). Демак,
I», О деб фараз к.нлганимиз зиддиятга келтиради, яъни
р. - V. Шунга ухшаш, А урнига А* оператор олинса,
тенгсизлик исботланади. Демак, у = v....
Юцоридаги теоремаларда Т — / операторнинг тескари
оператори мавжудлик шартларнни курдик. Равшанки, бу
ц'оремалар Т — > /(/.=£ 0) операторлар учун хам уринлидир.
Фредгольм теоремаларидан куйидаги натижа келиб чика-
ди.
Натижа. Тула узлуксиз операторнинг спектридан
олинган ихтиёрий нолдан фаркли сон бу оператор учун
чеклн карралн хос кийматдир.
Уисол сифатида узаги „ажралган“ интеграл тенглама-
ларни курамиз. Ушбу
ь
a(s) = $K(s, I) <j>(/)d/4-/(s) (8)
а
Фредгольм интеграл тенгламасининг узаги
п
к (*,о=2б(*)<2Д) (в)
куринншга эга булса, у холда К (s, t) ажрялган $зак
дейилади. Бу ерда P.t Qt функциялар Р2 [а, Ь\ фазодан
олинган. Равшанки, Рп Р2> • - • , Рп функцияларни чи-
зицли эркли деб хисобласак булади, акс холДа К (s, /)
узакни чизикли эркли булган Pt, ... , Pf (i < п) лар ор-
кали ифодалаш мумкИн. (9) тенгликдан фойдаланиб, (8)
тенгламани куйидаги куринишга келтнрамиз:
п b
<Р (S) = 2 Р1 j (z) dt +/(s)
i=l a
293
ва ушбу
ь
( Qi (О Ф(Оdt — qr i = 17n
a
белгнлашларни киритамиз. Натнжада (8) тенглама ушбу
п
(10)
I I
куринншга келади. <р функциянинг бу нфодасинн берилган
интеграл тенгламага куйсак, ушбу
п п b п
2 я,р^+да=2 J <?хо [ 2 р, <о +
/=1 Z=1 a j—1
+ /(<)] dt +/(s),
яъни *"
n n n f'
У Qi Pt ($) = 2 px(s) I 2 aij Qj + bj] о 0
i-l „ /=1 /=1
куринишдаги тенгликка келамиз; бу ерда
ь ь
ач = J <?, (О pi^dt, Ь, = J сход/) dt.
а а
Биз &($) функциялар чизикли эркли деб фараз кнлга-
нимизни эега олсак, (11) муногабат дан куйидаги теиглик-
лар келиб чицади:
п
= 2z = 1, 2, . . . ,/г. (12)
J 1
Агар биз бу чизидли тенгламалар системасини q{ ларга
нисбатан ечсак, у холдд (10) тенгли-сдан ® (s) функция
^ам топилади. Шундай цилиб, ажралган узакли интеграл
тенгламани ечиш масаласи (12) чизикли тенгламалар
системасини ечиш масаласнга тенг кучли. Бундай тенг-
ламалар ечимларининг хоссалари бизга чизикли алгебра
курсидан маълум. Уларни эслатамиз.
294
I. Куйидаги чизикли тенгламалар системаси
Ах = у, А = (а,у.) г, = Тл; J = bn
* = (*, ... , xj, у = (yt, ... , Уп)
I чнмга эга булиши учун у вектор кушма бир жинсли
\ шоу
а** = 6 (A*m^z))
гп теманинг кар бнр ечимига ортогонал булиши зарур ва
кифоядир.
2. Ёки Ах = у система ихтиёрий у учун ягона ечимга
ла ёки (at/) матрицанннг детерминаити нолга тенг (яъни
Ах ~ 0 системанинг нолдан фаркли ечимн мавжуд).
3. А = (aj) ва А* = (а.) матрицаларнинг ранглари уз-
п|ю тенг, яъни Ах = 6 ва A*z = 6 системаларнинг чизикли
фкли ечимлари сони узаро тенг.
Курнниб турнбдики, ажралган ядроли Фредгольм тенг-
лпмалари учун Фредгольм теоремалари юкоридаги 1 — 3
и оралардан кам келиб чикади.
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. Агар Е нормаланган фазо ва ихтиёрий ТС L (Е) тула
узлуксиз оператор булса, aim Е < 4- оо эканлигини исбот
КИЛИНГ.
2. 7 = (М) = l 2, матрица2 < + 00 шартни
цаноатлантирса, Т : I-,—*- 1.> операторнинг тула узлуксизли-
гини курсатинг.
3. Агар {7П} тула узлуксиз операторлар кетма-кетлиги
Т операторга кучли яцинлашса, яъни-
Тпх~»Тх, у/x С Е
булса, у . к°лда- Т операторнинг тула узлуксиз булишн
шарт эмас. Мисол келтиринг.
4. f'.E-^E чизицли функционал тула узлуксиз опе-
ратор бу ладим и?
295
5. Куйидаги интеграл тенгламалар ечилсин:
а) (х) == х = J х I <р (f) dt
о
(Курсатма: дифференциал тенгламага келтирннг);
б) <р (х) = ех sin х 4- j i-j.-Tos* dt''
о г
в) <р(х)-—4 ^in2x<p(/) dt =2х — -г;
о
г) <jp (х) — к j sin х cos t (/) dt ~ sin x;
о
i
Д) <P (x) — к J JC (x, /) (jp {t}dt = cos kx,
о
бу ерда
A(X, ((/4-l)x, /<X<1.
XI боб
БАНАХ АЛГЕБРАЛАРИ
11.1- §. Банах алгебраларининг таърифи
С комплекс сонлар майдоии устида X вектор фазо
оерклган булсин.
Гаъриф. Агар X вектор фазода яиа бир амап— эле-
меигларни купайтириш амали к иритйл га и булиб, у куйи-
длгн аксиомаларни каноатлантиэса, X фазо ком, плекс
а ьч'бра дейилади:
I) (JCy)2= Xtyz),
2) x(y + z) = xy+xz,
3) a (xy) = (a X) У = X (ay),
•у ерда x, у, z б X, a € C.
Ушбу бобда фадат комплекс алгебралар курнлгаии
- лба5ли комплекс алгебраларяи, кискана, алгебралар
деймиз.
Агар ихтиёрий х, у £ X учуй ху = ух тенглик бажа-
рцлса, X коммутатив алгебр? дейилади.
Агар X алгебранинг шундай е элементи мавжуд бул-
саки, ех = хе = х тенглик ихтиёрий х С X учун уринли
оулса, е элемент бирлик элемент, ёки кискача бирлик,
X эса бирлик алгебра, дейилади. Равшанки, алгебрада
бирлик ягонадир, чунки е' хам бирлик булса, у холда
а' — ее' — е.
Агар X алгебранинг бирор А сс X кием туплами X
даги амалларга нисбатан алгебра косил килса, у холда
А цисм алгебра дейилади.
Таъриф. X бирли алгебрада норма киритилиб, бу
иормада X Банах фазоси булса ва ушбу
4) || || < И IIУ II, X, У£Х;
5) ||е||=1
муносабатлар бажарилса, X Банах алгебраси дейилади.
Баъзан Банах алгебрасининг таърифида бирлик эле-
мент мавжуд эканлиги хамда 5) аксиоманннг бажарилиши
талаб килинмайди. Бу холда алгебрани кенгайтириб бир-
лик элементли алгебра косил килиш мумкии. Дархакикат,
X алгебра 1) —4) шартларни каноатлантирсин ва бнрликка
эга булмасин. Xi сифатида {xt a) (х С) жуфтлик-
297
лар тупламнни оламиз ва Xt да алгебраик амаллар ва
норманн цуйидагича киритамиз:
(* , а) + (у , р) = (х 4- у, а 4- ₽), т (*, а) = (Тх, Та),
(*, а) (у , р) = (ху 4- ау 4- ₽Х, ар),
|1(*> а) || =||Х|14-Н
Равшанки, Х| алгебра ва е — (9, 1) элемент ундаги бир-
лик элементдир. Норманинг 5) хоссаси уз-у зидан равшан.
4) хосса эса ушбу муносабатлардан куриниб турибди:
II (х, «) (У, ₽)Н = 1|<ХУ + «У + $х, <х₽)|| )|ху 4- ау +-
+ рх|| + |=Р| < ||ху|| + ||ау|| + |М + |ар| < ||Х|| ||у|| +
+ М 11у|| +1?11И1 + Ц |?| = (И +• Н) (||у|| +1₽|) =
= ||(Х, а)|| ||(У, ₽)||.
Нихоят Xj алгебранннг тулалиги X нинг ва С нинг ту-
лалигидан келиб чикади. Демак, Xt — Банах алгебраси.
Равшанки, X алгебрани X, алгебранннг (х, 0) куриниш-
даги элементларидан иборат кисми сифатида караги
мумкнн.
X, У алгебралар, F : X * У чизикли акс эттириш бул-
син. Агар ихтиёрий х, у С X учун F (ху) = F(х) F (у)
муносабат бажарилса, F гомоморфизм дейилади. Узаро
бир кийматлн гомоморфизм изоморфизм дейилади. Агар
F изоморфизм ихтиёрий х б X учун ||А (х)'| = (|х|| тенг-
лнкни каноатл ан тирса, у изометрик изоморфизм дейи-
лади. f
Банах алгебрасининг 4) аксиомасидан купайтириш
амалининг узлуксизлиги келнб чикади, яъни хп —* х ва
уп —у булса, у х°лда хлуя—»ху. Дархакиклт,-
II хпуп - ух II = II (х„ - х) уп 4- х (у„ — у)f| <
< ПУЛ lk« ~ *11 4 11*11 11Уп ~ УII о,
чунки ||ул|| чегараланган кетма-кетлик. Хусусан, купай-
тириш амали унгдан ва чапдан узлуксиз, яъни х/г->-х,
Уп—У учун
*Уп — ху, хпу-^ху.
1- теорема. X комплекс Банах фазоси ва шу
билан бирга бирли алгебра булиб, ундаги купайти-
риш амали унгдан ва чапдан узлуксиз булсин. У х^ол-
да X даги нормага эквивалент булган шундай норма
мавжудки, бу нормада X Банах алгебрасидир.
Сх
298
Исбот. X нинг \ар бир х элементига ушбу Мх (z) ~
* xz (г С X) тенглик ёрдамица Мх операторни мос куямиз.
Л туплам X фазода шу куринишдаги операторлар тупла-
ми булсин.
X даги купайтириш амали унгдан узлуксиз булгаии
viyii Xcz L (X) (L (X) фазо X даги чегараланган опера-
юрларнинг Банах фазоси, 7.1-§). Равшанки, х—*Мх мос-
лик чизикли ва таърнфдаги 1) хоссага асосан Мху = MXMV-
•Агар х =/= у булса, у холда
Мке = хе = х у = уе = Му е, яъни Мх Му. Демак,
> - Мх мослик X нн X га акс эттирувчи изоморфизмдир.
X кием фазо L (X) да ёпиклигини ва, демак, тула
эканлигини курсатамиз. {£„} с: X ва Тп —Т £ (X) бул-
сии де 5 фараз килайлик, бу ерда Т„у =xnyt хп£ X, п =
- 1, 2, ... Бундан
Тпу = хпу = (хпе)у = Тп(е} у, у С X.
X даги купайтириш амалининг чапдш узлуксизлиги-
дпл фойдалансак, юкоридаги тенгликдан л * со да
Ту = Т (е)у
юпглик хосил булади. Энди х = Т(ё) белгилаш киритамиз.
А7 холда Ту =ху, яъни Т 6 X. Шундай килиб, X — Банах
фазосиднр.
Ушбу
И = |1М = ||7И^||<||Л!Л Ml
генгсизликка асосан Мх-+ х тескари мослик узлуксиздир.
7. 4- § даги тескари оператор хдкидаги теоремага асо-
c.тп х мослик хам узлуксиз. Демак, шундай С > О
сои мавжудкй, ||ЛД|| < С ||х]|, яъни
• J^llxlKli/wjKCiHI- (О
U |J
Агар X да нормани — ||А4^|| тенглик билан аницласак,
(1) га асосан бу норма X даги асл нормага эквивалент.
Бу нормада эса X Банах алгебрасидир, чунки оператор
пормасининг хоссаларига асосан
1кУ|Ь = 1ИМ = l^v А4у|| ||A1J| ||Л-/у|| = |И|, ||у||„
lldli = II4II = М1=1-«
299
Мисоллар. к С комплекс сонлар майдони Банах
алгебрасига энг содда мисолдир, бунда
1И = 1*1 = / + У2 (г « х + /у).
2. Сп фазода алгебраик амалларни координаталар бу-
йича, нормани эса
||х|| = max |Л7| (х = (хъ х2,......хя))
l«J<n
куринишда олсак, равшанки, С'1 Банах алгебрасшшр.
Бунда бирлик е = (1, 1, ; .. , 1).
3. К компакт Хаусдорф топологик фазосида аницлан-
ган узлуксиз функциялар туплами ’С (К) да алгебраик
амалларни одатдагидек киритиб, нормани эса ушбу
1|х[| = max |х (/)|, х € С (/Q
куринишда оламиз. С (К) Банах алгебраси эканлигини
курсатиш осо'н. Бу алгебрада бирлик элемент айнан бирга
тенг функииядир.
4. /, алгебра. Бу алгебранинг элементлари абсолют
жамланувчн икки томонга чексиз х = ( ... , х_ п, . . . ,
X—ь х0, х.........х„, . . .) кетма-кетликлар булиб, норма
цуйидагичадир:
4-00
И= 2 1*4- (2>
/г=—оо
Элементларнинг йигиндиси ва сонга купайтириш амаллари
^ар бнр координата буйнча аницланади, х ва у элемент-
ларнинг z = х -X- у купайтмасннпнг координаталари эса
Куйидагича аницланади:
оо
= (х х у)й = 2 xn-k У/г
fe=—оо
Агар Zj алгебранинг >^ар бир х элементига ушбу
DO
х (О •= 2 xk eikt о < Z <. 2л
А= — СО
(3)
(4)
тригонометрии каторни мос цуйсак, у холда (3) тенглик
билан аникланган 'zn кетма-кетлнк x(Z) ва у (/) функция-
ларнннг купайтмасига мос келади. Абсолют яцннлашувчи
(4) Фурье клторига ёйилувчи функциялар алгебрасини W
000
9
<»илаи белгилаб, бу алгебрада нормани (2) формула ёрда-
мпда киритамиз. Бунда lt ва W Банах алгебралари экан.*
лиги осонликча текшнрилади. Масалан, 4) аксиомани тек-
ширамиз:
+«> + GO -п-ОО
н*ху||= 2 ki= 2 I 2
Л=—де п——k~-~- оо
^-00 -рСо 4-00 4-00
2 2 lyJ < 2 f 21*»-*]) =
П- — jo k——оо k=— ОО П=—оо
= 1Й1 ||у||.
Киритилган U7 ва /, Банах алгебралари узаро изометрнк
нзоморф алгебралардир. W алгебрада бирлик элемент бу
айнан бирга тенг е (О = 1 функциядир. Демак, lt алгеб-
рада е = I ek]k=-^
ГО, fc^=O
ek = 11, k = о
бирлик элемент.
Келтирилган 1 — 4- мисоллардаги алгеэралар комму-
татнв алгебраларга мисоллардир. Энди комм у тати в бул-
маган Банах алгебрасига мисол келтирамиз.
5. Бирор Е Банах фазосида чегараланган. операторлар-
пинг L (Е) фазосини оламиз. 7.1 §-да курсатилганидек, бу
фазода купайтириш амалини киритиш мумкин. Норма
ушбу
lHH = s p ||Дх|1, A £L(E)
тенглик билан аиицланган эди. Бу норма 4), 5) аксио-
маларни каноатлантйриши ва L {Е) нинг бу нормага нис-
батан тула эканлиги 7.3- § да курсатилгаи.
11.2- §. Спектр ва резольвента
X Банах алгебраси булсин. Агар^бирор xQX учун
ушбу
хх= x~Jx = е
тенгликни каноатлантирувчн х~1 элемент мавжуд бул-
са, х~1 элемент х га тескари, • элемент, х эса теска-
риланувчи дейилади.
301
Агар X комплекс сон учуй Хе— х элемент тескари
элементга эга булса, X сон х элемент учун регуляр
нуцта дейилади. Регуляр булмаган нуцталар туплами
х элементнинг спектри дейилади ва о (х) билан белги-
ланади. Демак, з (х) шундай X сонлар тупламики, Хе — х
элемент тескари элементга эга эмас. Регуляр нуцталарда
ушбу
х = х (/) ~ (>е — х)~1
тенглик билан аиицланган 7?, :С\с(х)-*Х акс эттириш
х элементнинг резольвентами дейилади. х элементнинг
спектрал радиуси деб цуйидаги сонга айтилади:
г(х) = sup|X|.
X £ а(Х)
Мисоллар. 1. X =?= С Банах алгебрасида нолдан
фарцли хаР бир элемент тескарисига эга. Демак, a Q С
учун о(а) — {а}.
2. X = С (К) Банах алгебрасида (11.1- §, 3- мисол)
х б X тескари элементга эга булиши учуй х (/) функция
замма ерда нолдан фарцли булишн зарур ва кифоядир.
Демак, ° (х) туплам х (/) функциянинг цнйматлари туп-
лами билан устма-уст тушади, резольвента ва спектрал
радиус эса цуйидагича:
х = X - л (О ’
Г (х) — И = тах I X (/) |. *
3. X = L(E) Банах алгебрасида (11.1- §. 5- мисол)
спектр, резольвента ва бошца тушунчалар операторлар
учун IX бобда киритилган мос тушунчалар билан устма-
уст тушади. Аницроги, Банах алгебралари учун киритил-
ган тушунчалар операторлар алгебраларидагн мос тушун-
чаларни абстракт ^олда умумлаштирилишидир. Бу изо^
цуйида келтириладиган.теоремаларга уам тааллуцли.
1- теорема. Банах алгебрасидаги х элементнинг
нормаси бирдан кичик булса, у ^олдл е — х элемент
тескари элементга эга ва
(е — х)—1 = е 4 х -|- ... хп 4- ...
302
Исбот. Ушбу sn — е 4- х -|- - 4-х" куринишдаги
•'лементларни оламиз. Равшанки,
k
к - и=ж+1 + ... + х"+4 и < 21К+'=
||х|Г+1-|И|"+‘+1 ^||x||n+I . „ „
--------П=и *> Т=ТЙ1 ’
Де мак, {$„} кетма-кетлнк X да фундаменталдир. X тула
булганн сабабли бу кетма-кетлик бирор s G X элементга
яцинлашади, ва
s (е — х) = lim sn (е — х) = lim (в — хп и) = е. -
П-г-оо
Шунга ухшаш (е — х) s ~ е.*
Н а т и ж а. Агар х —> 6 булса (е — х)—1 -> е.
Дарцаднцат,
03 со
||(е — х) — е|| = ||s - е|| == || 2 ** || < 2 И* =
й=1 ft=l
2- теорема. X Банах алгебрасидаги бирор х0
элемент учун х~х мавжуд булса, у холда, ||Ах||<
< Ill’ll-1 теигсизликни каноатлантирувчи ихтиёрий
Бх элемент учун хх = х0 4- А* элементнинг тескари-
ей мавжуд ва
х~1 = (е 4- х-' Ах) -1 х-\
Исбот. Цх-1 Дх|| <Цх-1!! ||АхЦ < [|х0-1|| = 1
тенгсизликдан 1- теоремага асосан (г-рх^1 Ах)"1 нинг
мавжудлиги келиб чицади. Су игра
(е 4- V1 х0-1 = Ах)-‘ V1 (хо + Дх) =
— (е 4- х-1 Ах)—1 (е 4- X”1 Ах) = е
ва
хх (г 4- Ах)—1 х-1 = (хп 4- Ах) (е 4- x~J Ах)-1 х^1 ==
= (х0 4- Ах) |xv (е 4- Ах)]-1 = (xv 4- Ах) (х0 4-
4- Ах)—1 = е.
Демак,, х-1 = (е 4- х-1 Ах)-1 х^1*
303
I- натижа. Банах алгебрасининг тескариланувчи
элементлари туплами очицдир.
2- натижа. х (X) резольвента С\о (х) тупламда
X га нисбатан узлуксиздир.
Дар^акикат, 2- теоремада Дх -А/.-е, = Хое — х деб
олсак,
х (Хо 4- ДХ) = (Хпе — х + ДХе) ~1 =
= (е4-х(Х0).Дд)-1х(Х0).
Юцорндаги 1- теореманинг натижасига асосан, ДХ—>0
булса,
(* + * (Хо) ДХ)~1 —»е,
яъни
Нт х (>0 + ДХ) ==х(Х0).*
дх-о
3- теорема. Агар X, р, Хо £ С\о(х) булса, у
х^олда
a) R^x-R^x = R^x-R)xt
б) Rx X — х = (р — X) /?х х Rp X. ч
в) х' (л0) = lim х(А)-х(Х0) _
х->х0 X—Ао — — (М-
Исбот а).
R^-Rv,x = ^e~ х)~^ (ре —х)^ =
= [(|ie — х) (/е — х)]-1 = [(Хе —%) (ре — х)]-1 =
^^х-^х.
б) /?х х = (ре — х) (ре — х)~1 х=(ре— х) xR^x =
== (ре — х) Ry х R^ х (а) га асосан.
Шунга ухшаш
R^x = (Хе — х) /?х xR^ х.
Демак,
/?хх — i*RKxR^x — х А\х R^x,
Rti х = XR xR x — xR. xR x,
Л IX Л
бундан
Rxx —R^x = (p —X)rxxRux,
304
б) хоссага асосан
х' (Xtl) = lim х (/) х (>0) = — х2 (лс).#
X -* Zo
Куйидаги теоремада спектрнинг асосий хоссаларн кел -
тирилган.
4- теорема. 1. X Банах алгебрасидаги ихтиёрий
узлуксиз чизицли / функционал учун F (})==/(х(/))
функция (х) со^ада аналитикдир ва lim (F(A)|= 0.
|Х|-»СО
2. X даги ихтиёрий х элементнинг спектра буш
булмаган компакт тупламдир ва
г (х) =$ ||х||.
Исбот. 1. Ихтиёрий /СХ' учун F (Z) = f (Rt (х))
деб олсак, у холда 3- теоремага асосан ^ар бир ре-
гуляр нунтада
F' () 0) = lim бДА) —__ lim / fх (A) — х (?0)\ _
А—Ад \ А — А,, )
х_ ЛНгпх(Х) — х(А0)«. , а
— ' А — Ао / / И ( J)
мавжуд ва, демак, F (/) шу Д нуцтада аналитик.
Су игра
IF (>) | = I/ (* ₽))К П/Il ||х (') II = ll/ll II ('е - х)-*|| =
= Ш|| _____>0
I Х| 1Не >.) ’
чунки
"н«=|1(е-тГ' 11 = 1^11 = ’-
2. с (х) = 0 деб фараз цилайлик. У холда ихтиёрий
/£ ХГ учун F функция Схс (х) я= С да
аналитик ва
lim F(/) = 0.
Л ну билль теоремасига асосан F{/) = 0. Бу ерда
f б X' ихтиёрий булгани сабабли Хан — Банах теоремасига
асосан х(Х) = 6. Бу эса (/е — х)х(/) = е тенгликка зид.
Демак, о (х) /= 0.
20—239
305
11.3- §. Идеаллар, фактор-алгебралар ва
комплекс гомоморфизмлар
Ушбу параграфда X коммутатив Банах алгебра-
сцдир. .
Таъриф. / туплам X нинг вектор кисм-фазоси бул-
син. Агар ихтиёрий х£Х ва У б / учун ху б/булса,
/ туплам идеал дейилади.
Равшанки, факат 6 элементдан ёки бутун X дан ибо-
рат тупламлар идеаллардир. Бундай идеаллар тривиал
идеаллар дейилади. Бнз трпвиал булмаган идеал л арии
урганамиз.
Агар /() идеал X нинг узидан бошца идеалнинг хос
дисми булмаса, /0 максимал идеал дейилади.
1-теорема, а) идеалчинг ^еч бир элементи тес-
кари элементга эга эмас; ,
б) идеалнинг Ёпилмаси хам тривиал булмаган
идеалдир'.
Исбот. а) агар бирор а£1 учун а~1 мавжуд бул -
са, у холда е = а а~х£/, демак, ихтиёрий хбХ учун
х~хе£1, яъни X ~ I. Бу эса I нииг тривиал эмаслиги-
га зид;
б) / идеал булса, маълумки, унииг ёпилмаси / кием
фазодир. Энди ихтиёрий %6Х ва у б/ элементларни
оламиз. Агар {ул} с/ ва у„->у булса, у холда xjn£l.
ва X Да купайтириш амали узлуксиз булгани сабабли
хуп-*-ху. Демак, хубЛ яъни/ идеал. Энди факат
/=/=Х эканлигини курсатиш колди. 11. 2-§ даги 2-тео-
реманинг ' 1-иатижасига асосан тескари элементга эга
булган элементлардан иборат G туплам очик ва а) га
асосан /f]G=0. Демак, /f|G=0, яъни /=/=Х-*
2-теорема, а) Банах алгебрасининг хар цандай
идеала бирор максимал идеалнинг цисмидир;
б) ихтиёрий максимал идеал ёпицдир.
Исбот. а) /0 бирор идеал булсин. У ни уз ичига
олувчи идеаллар тупламИни Q билан белгилайлиз. Q
система „с“ муносабат ёрдамида кисман тартибланган.
Агар PczQ бирор чизнкли тартибланган кисми булса,
равшанки, М = (J I идеалдир. Ихтиёрий / 0 Р -учун еб/
'О
булгани сабабли еб М, яъни М^=Х. Демак, хар кан-
дай чизикли тартибланган система юкори чегарага эга.
308
Норн леммасига асосан (6. 1-§) Q да Д максимал эле-
мент мавжуд. Демак, Д максимал идеал ва ДсД;
6) агар I максимал идеал булса, у холда 1-теоре-
мадаги б) га асосан / х^м идеал ва I с. I =/= X. Демак,
/ ~т
Натижа. Банах алгеэрасида тескари элементга эга
' улмаган хар бир элемент бирор максимал идеалда
жойлашган. Хусусан, агар X майдон булмаса, максимал
идеаллар туплами буш эмас.
Дархацицат, агар х0£Х учун х0мавжуд булмаса,
Холда I = xi}X = {x0 х, х Q X} туплам идеалдир.
f(j^6 булгани учун сунгра е £1 булгани са-
ьабли 1=/=Х. 2-теоремага асосаи шундай Д максимал
идеал мавжудки,
А Банах алгебрасида бирор I идеални олиб, XI фак-
гор-фазони курамиз (1. 5-§). Бу фактор-фазода купайт-
д /•
мани куйидагича киритамиз. х ва у синфлардая х ва
л л
V вакиллар танлабх-у купайтма дез ху элементни уз
ичига олувчи синфни айтамаз. Бу купайтма х ва у ва-
килларга боглик эмас. Дархакикат, агар у, бошца
накиллар, яъни х — x^I, У~У^^ булса, у холда
лу —х(у,= ху—^уЧ х,у- х,у, = х,(у — yj-r (х —
- хА) у С Д чу ики / — идеал. Р ав ш анк и, кирит ил ган
амалларга нисбатан X/ коммутатив алгебра. Бу а'лгеб-
ра X нинг / га нисбатан фактор-алгебраси дейилади.
3-теорема. X Банах алгебрасида / ёшщ идеал
булса, у х^олда Х7/ фактор-алгебра х^ам Банах ал-
гебрасидир.
Исбот. Фактор-алгебрада норманн куйидагича ки-
ритамиз.
л
ы == inf||x|| = i f||х0 + у||, (1)
К
бу ерда х()^х.
Даставвал (1) формула нормани анихлашини курса-
л л
тамиз. Ихтиёрий xQX l учун ||хЦ >-0. Агар 1|х|| — 0
булса, у холда iif ||х0 Ч-у|| — 0. Демак, шундай {у„}<=/
У 0
кетма-кетлик мавжудки, 1|х0 Ч- Уй1| 0, яъни — уп х0.
309
I ёпт; булгани сабабли х0£/, яъни х — 0. Шундай
дилиб, ||х|| 0 ва || х| = 0 <=> х — 6. A rap X £ С, X =4-0
булса, у долда
1М| «= inf ||Хх0 + у|| = |X|inf |] х04- £ || = |Х| ||х||
Л Л
агар X = О булса, ||Хх|| = |Х|||х|| эканлиги уз-узидан рав-
шан.
Л Л
Ихтиёрнй х, у£Х,1 учун
л Л
j|x -L у|| = inf ||х0 4- у0 + z|| = inf ||х0 4- и 4- у0 4- т/|| <
z £1
<inf |]xv 4- «II 4- i”J 1|Уо 4- •уЦ = Il 5с II4- IIУ И
« С1 v£i
sa
Л Л
||х-yli = inf [|хоуо 4- z|| < inf ||(х0 4- и)(у0 4- «и)|| <
z£j tt.vQI
^inf||x04-4-inf ||y04-'z4l=)| x||||y(|.
и £ l
A f\
Энди ||e|| = 1 эканлигини курсатамиз, e = e 4~ / булгани
А Л A A
сабабли e2 = e2 -f I — e -f I ~e. Демак, ||e|| = || e21|
A A A
< ||e||'2, яъни l|e|[ < 1. Arap [|e|| < 1 булганда эди, у долда
А А Д
ихтиёрий п натурал сон учун |1е|| = ||е" || бул-
Л n-*oo
гани сабабли |[е|| = 0 тенглик досил булар эди, бу эса
_ А
е^1 муносабатга зид. Демак, ||е(| = 1.
г А А
Нидоят. X I тула эканлигини исботлаймиз. xt. х2,
А
. . . , хл, ... кетма-кетлнк шу фазода фундаментал бул-
син. Ихтиёрий k натурал сон учун шундай nk топила-
дики,
А .. 1
” - nk 4-m nk 11 2"
тенгсизлик ихтиёрий т натурал сои учун бажарилади.
А А 1
Хусусан,, 1К2 — демак, шундай хп? ва-
310
киллар мавжудки, ||хП2— хИ11| < 1. Шунга ухшаш шун-
дай хлз, хП4 , , xnk , . . . вакиллар топиладики,
Демак, {хлД кетма-кетлик X фазода фундаментал. Чун-
ки ихтиёрий k, rn учун
|1 х„ — хп 11<||хл —хп ll + ... + Нх, —
1 nk\-m nk 'kim nkim-l^ 1 ,|Ллй + 1
хг 2*4-т-2 "Ь " * “Ь ?k-I 2ft~2 '
х тула булганн сабабли
x0 = ]imx
л—»
мавжуд ва
л л .
II хп ь~ хо П = И xnk~~ *о + У II ll xn— М 0.
к « *-»оо
яъни xnk-+x0. Олинган {хп} кетма-кетлик фундаментал
булгани сабаблн ихтиёрий е > 0 учун шундай п натурал
сон топиладики, хар кандай nk >- п учун || хп — X„J|< е-
Демак, ||хл- х0|| <!!*« — x„J]4-|| x„k — xv |l < е +
* А Л
4- || xnk~ М- Бундан x„ft->x0 булгани учун хп-^ х0
Демак,. XJ тула.,х.
X Банах алгебрасинн комплекс сонларнИнг С Банах
алгебраснга акс эттирувчи нолдан фарцли гомоморфизм
комплекс гомоморфизм дейилади. г
4-теорема Агар <р:Х->-С комплекс гомомор-
физм булса, у холда
? (е) — 1 ва х~-у мавжуд булса, <х> (х)=£0.
б) агар ||х|[ < 1 булса, у ?{длда |<р(*)К 1, хусусан,
ихтиёрий комплекс гомоморфизм узлуксиздир ва
1141 = 1.
Исбот. а) Бнрор учун <р (у)#= 0 булгани
сабабли
r-f(y) = <&Уе} = Т(У) <РИ>
демак, <р (е) = 1. Агар х£Х учун х~1 мавжуд булса,.
У холда
Ф (%) ф(х~-’) = ф (хх-1) = ф(е) = I,
яъни ф (х) 0;
311
б) ихтиёрий х б X (|х| < 1) элементни оламиз. Агар
рI] > 1 булса, у лолда^ <1. 11.2-§, 1-теоремага асо-
сан (<? — р) 1 элемент мавжуд, а) га асосан <р —
— 5^0, яънн 1 — <р (х)=Н=0 ва <р(х)#=Д Олинган
X (N > О Ихтиёрий булганн сабабли j<p (.х)( < 1|.
Демак, ||<р(е) = 1 булгани учун ||(рJI = 1. Хусу-
сан, <р чегараланган, яъни узлуксиз.^
И зо.у 4-теореманинг исботидан равшанки, бу тео-
ремада X коммутатив булишн шарт эмас.
• Куйидаги теоремада комплекс гомоморфизмлар ва
максимал идеаллар орасидагн богланиш курсатилади.
5-теорем а. X комму татив Банах алгебраси,
А ундаги барча комплекс гомо морф аз млар туплами
булсин.
а) хар бир /И максимал идеал бирор h£ А ком-
плекс гомоморфизма инг ядросидир;
б) хар бир комплекс гомоморфизмнанг ядрзси
максимал идеалдир;
в) х£Х элементнинг тескараси мавжуд були-
ши у кун, ихтиёрий h G А дл h(x)^=0. булиши за-
рур ва кифоя;
г) х^Х элементнинг тескараси мавжуд булиши
учун х Xе*1 кандай идеалга тегишли эмаслиги зарур
ва кифоя;
д) а£о (х) булиши учун. к = h(x) тенглик бирор
» учун бажаралиши зарур ва кифоя.
Исбот. а) М бирор максимал идеал булсин. М епиц
булгани сабабдн Х/7И Банах алгебрасидир (3- теорема).
Бирор х£Х\7И элементни оламиз. Равшанки, ушбу
I — {ах у : а С X, у G М}
туплам идеалдир ва 1 го М. Демак, I ~ X. Хусусан,
бирор а б X ва у £ М учун ах -р у = с, яъни ах — е =
н л
= у £ М. Фактор алгебранинг таърнфнга асосан а х =
ллл —
= е, яъни а = х~1. Олинган х£Л4 ихтиёрий булгани
сабабли Х!М фактор алгебрада ^ар бир нолдан фарцли
элементнинг тескариси мавжуд. Гельфанд—Мазур теоре-
масига асосан Х{М == С (ан иц- рог и изометрик изоморф).
312
л
Энди X дан олинган х элементга х синф Силан аниц-
ланувчи h (х) комплекс сонни мос куйсак, равшанки,
hzX-^C комплекс гомоморфизм булади ва й~'(0) =
л
= 6 = М-
б) агар ЙЕД булса, равшанки, й-1(0) идеал ва
унинг. коулчами бирга тенг, демак, й^ДО) максимал
ндеалдир;
в) агар х-1 мавжуд булса, у ^олда 4-теореманинг
а) цисмига асосан ихтиёрий й£Д учун й(х)-Д0. Ак-
синча х0 '] мавжуд булмаса, / =» х(1 X ~ {х() х: х£Х}
туплам идеалдир ва е£/, демак, /у=Х. 2-теоремага
асосан, I бирор 7И максимал идеалнинг цисми. Демак,
х(,ЕЛ1. а) га асосан шундай й£А мавжудки, М =
= h~1 (0), яъни h (х(1) = б;
г) Равшанки, тескарисн мавжуд булган ^ар кандай
элемент ^еч Снр идеалга тегишли була олмайди. Ак-
синча, агар х(г 1 мавжуд булмаса, х0 бирон идеалнинг
элементи эканлиги в) да курсатилди;
д) агар бирор ЙЕД учун Х = й(х) булса, у колда
h(fe—х) = 0, демак, в) га асосан (Хе—х)-1 мавжуд
эмас, яъни ХЕ о (х). Аксинча, Хе<з(х) булса, (Хе — х)-1
мавжуд эмас. Демак, яна в) га асосан бирор ЙЕ А учун
й (Хе — х) = о» яъни й (х) = Х.#
Мисоллар. 1. Компакт Хаусдорф К топологик фа-
зосида узлуксиз функцняларнинг С (К) Банах алгебра-
сини курамиз (11. 1-§, 3-мисол) -ва шу алгебрадаги мак-
симал идеалларни урганамиз.
К фазонинг бирон F цисмини олсак, равшанки, F
тупламнинг ^ар бир нуцтасида нолга тенг функциялар-
дан иборат
Mt = {х (/) Е ОД: Jc(O = O сW
-туплам идеалдир.
Бнз куйидаги иборани исботлаймиз: С (К) алгебрада
бирор туплам максимал идеал булиши учун, у би-
рон тайинланган т0ЕД нуцтада. нолга айланувчи
барча функциялардан ибэраги булиши зарур ва кифоя.
а) МХа = {х (/) Е С (К): х (т()) = 0} туплам идеал экан-
лиги равшан. Унинг максимал эканлигини курсатамиз.
Ихтиёрий у (/) Е С (К) учун
(0 = У (0 — у(5о)
313
функция Л4Тп нинг элементидир, чунки z (тп) = 0. Де-
мак, ихтиёрий у (0Е С (К) ушбу
у (/) = z (i) + a, z (/) £ а б С
куринишда ёйилар экан, яъни codim Мтс = 1 Демак,
МТ1| — максимал идеал;
б) аксинча, М cz С (К) бирор максимал идеал .бул-
син. Шу идеалга тегишли булган барча функциялар
бирор тайинланган нуктада нолга тенг эканлигини кур-
сатамиз. Агар бундай эмас деб фараз цилсак, у хол-
да ихтиёрий учун шундай x~(f)£M мавжудки,
хт(т:)^0. Бу функция узлуксиз булгани сабабли т нук-
танинг шундай U- атрофи мавжудки, хх (/)^0 муно-
сабат ихтиёрий t£U- учун уринли. К фазонинг {Ux } т
б К очик копламасидан, А компакт булгани учун чекли
£Л,, • кием коплама ажратиш мумкин. М идеал
эканлигини ^исобга олсак,
хо(О = Хт,(0^-,(0 + • • 4- =
Л
= £|*.»ЮРбМ
А-1
Равшанки, ихтиёрий i б К учун х(, (/)>0, демак,—
1 Хо (I)
мавжуд ва узлуксиз, яъни —ттг- б С (А)- Бу эса 1-теоре-
манинг а) кисмига зид. Демак, шундай мавжуд-
ки, М cz Л4 (i. М максимал булгани сабабли М = /Й-,.
2. Энди W (!!.!-§, 4-мисол) алгебрадагн максимал
идеалларнинг умумйй куринишини топамиз. Бунинг учун
5-теоремага асосан U7 алгебрадагн комплекс гомомор-
физмларнинг умумйй куринишини аниклаш кифоя. Рав-
шанки, С [0, 2тг] сон <р (х (£)) — х (AJ формула орцали
комплекс гомоморфизмнн - аниклайди. Аксинча ихтиёрий
комплекс гомоморфизм шу куринишга эга эканлигини
курсатамиз.
Хар бир <р : W-+- С гомоморфизм узининг elt функция-
даги циймати билан тула аницланади (чунки ф£Д учун
ф = [?(<?")]* га <р чизикли ва узлуксиз булгани са-
бабли, у бутун W га ягона равишда давом эттирилади).
Ф {еи) ~ g булса, (e_rf) = ф = Е-1- Демак,
4-теореманинг б) кисмига асосан
|Е-‘1 = |ф(е-“)|<||е-"|| = 1.
314
Бундан |51=1, яъни $ = eif", 0 <: /0 < 2к. Шундай ци-
(+°°
2 xkkt
k=--оо
= 2ха^а/|'» яъни (х(о>=
k—— со
Шундай цилиб, ^ар бир комплекс гомоморфизм ва,
демак, 5-теоремага асосан jjap бнр максимал идеал
[О, 2к] оралигидагн бирор t0 сон билан аиицланади.
Бунда М максимал идеал шу t0 нуцтада нолга айла-
нувчи барча х (/) Е U7 функциялардан иборат.
Энди биз олинган натижани цуйидаги теоремани ис-
бот лаш га татбиц киламиз:
Винер теоремаси, х(^функция абсолют яцин-
+°°
лашувчи булган х (t) = xkekt Фурье цангора га ё йи-
либ, ^еч бир нуцтада нолга тенг булмасин. У хрл~
да У (1)= ~функция ^ам абсолют яцинлашувчи
булган Фурье цаторига ёйилади.
Исбот. Теореманинг шартига кура x(t)£W. Их-
тиёрий £ (Е (0, 2к] учун x(t)=£Q булгани сабабли лар
бир д учун <р(х)^#О. 5-теореманинг в) иборасига
асосан у = x~l£W мавжуд. Демак,
=у(0 = 2v“W-.
k- —»С
Коммутатив Банах алгебраларини ифодалаш
Ушбу параграфда баъзи коммутатив Банах алгебра-
лари бирор компакт Хаусдорф топологик фазосидаги
узлуксиз функциялар алгеэраси сифатида ифодаланишн
мумкин эканлигини курсатамиз.
X коммутатив Банах алгебрасн, А ундаги комплекс
гомоморфизмлар туплами булсин. X нинг ^ар бир х
элементи л тупламда ушбу
х (А) = h (х) (h Е д) (1)
формула ёрдамида х : Д->С функцияни ани^лайди.
315
л л
Барча х (х£Х) функциялар тупламини X билан бел-
гилаймиз.
11.3§ даги 4-теореманинг б) иборасига асосан пх-
тиёрий ф £А учун на Цф|1< 1 (X' фазо А га
душма фазо). Агар X' даги бирлик шарни S билан бел-
гиласак, равшайки, AcS.
Энди А тупламда топология киритамиз. Бунинг учун
X' фазодаги *-суст топологияни, яъни о (X', X) топо-
логияни (8.4- §) А тупламда курамиз. Бу топологияда
/о С X' элементнинг атрофлари системаси дуйидаги ку-
ринишга эга эди:
U(xlr . . . , хт, 8; 4) = {/GX':|/(xft)-/0(xft)|<B^ =
= 1,2, . . . , т}.
1-теорема. А туплам с (X', X) топологияда
компактдир ва (1) формула билан аницланган цар
а
бир x(h) функция л тупламда шу mono логи яга нис-
батан узлуксиздир.
Исбот. 8.4- § да исботлаганимизДек, arap X Банах
фазоси сепарабел булса, X' даги S бирлик шар о (X',
X) топологияда компактдир. Бу иеора ихтиёрий X Ба-
нах фазоси учун хам уринли (бу ерда биз бунинг ис-
ботига тухталмаймиз). Демак, X туплам компакт S туп-
ламнинг дисм тупламидир. Шунинг учун А туплам
о (X', X) топологияда ёпид эканлигини курсатиш ки-
фоя. /0 С А деб фараз дилайлик. Демак, /„ нинг (2)
куринишдаги ихтиёрий атрофидя /?СА> комплекс го-
моморфизм мавжуд. /0 нннг атрофини U(x, у, ху, В; /0)
куринишда
У золда
олсак (х, = х, х2 — у, х3 = ху, т — 3),
|/z (х) — Д(х)| < 8,
1*(у)-/0(у)1<&,
р(ху)-/0(ху)1<8.
Демак, h (ху) = h(x)h (у) муносабатни назарда тутган
Золда дуйидагини досил диламиз:
1/0(ху) -/Ж(у)| = I Ш*у) - М*у)1 +
+ № (X) h (у) - А(х)Л(у)П < |7»(ху) — h (ху)| р
+ Р (У) - /0 (у)| I h(x)) 4- \h (X) - Л(х)| |/0(у)| <
: 8 + 3II h 11 IMl 4- 8JI/JIП yj| = 8(14- INI 4- ll/oll НУ 11)•
Бундан о ихтиёрий кичик булгани сабабли
А(ху)=/0(х)/0(у).
316
Энди /0 нинг U(e, S; /0) атрофини олсак,
1^(е) — /о(е)| < s. яъни 11 — /0(е)|< В.
Бундан /0 (е) == 1, яъни /,СД- Шундай цилиб, А ёпиц
ва, демак, компакт.
Энди х (/?) функция А да узлуксиз эканлигини кур-
сатамиз. элементнинг (7(х, s; Ло) атрофини олсак,
бу атрофда
л л
\x(h — x (йп) | = \h (х)| — й0(х)| _ е.
Л
яъни х функция й() нуцтада узлуксиз. *
х£Х элементга х функциями мос цуйсак, нати-
жада X -> X с С (А) акс эттириш з^осил булади. ьу ер-
да С (А) Банах алгебраси компакт Хаусдорф топологик
фазосидаги узлуксиз функциялар алгебрасидир (11.1-§,
3- мисол).
2-теорем а. х-^-х мослик гэмо маркиз мд ир ва
||х|)<||х||. (3)
Исбот. Ихтиёрий х,. х,<^ АХчун
. А
(x-i ф- Х.2)(Л) = h (х, 4- х,) =й(х!) Р h (х2) = х, (А) 4- х2 (Л),
л * л
яънн (х-l -|-х2) =х4 4- х2. Шунга ухшаш х,х2= Х]Х2,
Л Л 'А
(«%) == ах. Демак, х^-х гомоморфизм.
Энди (3) теигсизликни исботлаймиз.
11. 3-§ даги 5-теореманинг д) иэорасига кура
(х) булиши учун X =/z(х) = х(Л) тенглик бирор
учун бажарилиши зарур ва кифоя. Демак, <з(х)
туплам х функциянинг цийматлар туплами билан мос
тушади. Бундан ва 11-2-§ даги 4-теоремадан
II х || = supl x(A) | = sup I>4 = г(х) < ||x|l.«.
Таъриф. Банах алгебрасииинг барча максимал иде-
аллари кесишмаси А* = Б М радикал дейилади.
317
Ихтиёрий М максимал идеал учун б£Л4 булгани
сабабли б £ А, Агар радикал фацат 6 элементдангина
иборат булса, алгебра яримсодда алгебра дейилади.
Таъриф. Агар коммутатив X Банах алгебрасида
ихтиёрий х£Х учун ||х* ||= || х]|й тенглик уринли бул-
са, X регуляр алгебра дейилади.
11.2- § даги 1, 3- мйсоллардаги С ва С (А) алгебра-
лар яримсодда ва регуляр алгебрага мисол булади. Бу
11.3-§, 1-мисолдаги иборадан бевосита келиэ чицади.
3-теорема, а) х-+х мослак мономорфизм бе-
ляши учун X яримсодда алгебра булиши зарур ва
кифоя;
б) агар X регуляр алгебра булса, у ^олда X узи-
нинг С (А) алгебрадаги акси, яъни X билан изо-
метрик изо морф, хусусан, X яримсодда алгебрадир-
Исбот. а) X яримсодда алгебра булсин. Агар х(_Х
f\
учун х.= СГбулса, у холда ихтиёрий /г£Д учун h[x)—
= x(h) = O, яъни х хар бир максимал идеалга тегишли,
ва демак, x£R.
X яримсодда алгебра булгани учун х = 6. Аксинча,
А
хх мослик мономорфизм булсин. Агар х эле-
ментни олсак, у хар бир максимал идеалга тегишли.
Демак, ихтиёрий /z£A учун h (х) = x(7i) = 0, яъни
л \
х = 0. Бундан х —х мономорфизм булгани учун х — О,
яъни R = {&);
б) X регуляр алгебра булсин. || х-1| = || х ||2 тенглик-
дан бевосита ||х2” |[ == ]|х|12'г тенглик келиб чикади, яъни
™ 71клн. = ||х||. Спектрал радиус хадидаги теоремага
асосан (11. 2-§, 5-теорема)
г (х) = )|*|1- 0)
Агар х^А булса, у холда ихтиёрий А б А учун
h (х) = 0, демак, а (х) = {0}, яъни г (х) = sup | X | = 0.
х б о(г)
(4) тенгликка асосан |( х || = г (х) = 0 ва, демак, х = Д,
яъни X—яримсодда алгебра, а) га асосан X узининг
318
л
С(/\) даги X акси билан изоморф. Сунг 11.3-§ даги
5-теоремага асосан
l|x|| = max |х (Zz) | = max \h (х) j = max | л | = г (х) — 1|х ||.
Л
Демак, х—>~х изометрик изоморфизм. s
11.3'§ да курсатилганидек, комплекс гомоморфизм-
лар ва максимал идеаллар орасида узаро бир цийматли
мослик мавжуд. Демак, А туплам сифатида комплекс
Гомоморфизмлар тупламиии эмас, балки максимал идеал-
лар тупламини олиш зам мумкин. Шуни назарда тутиб,
юцоридаги теорем а лари и куйидагича ифодалаш зам мум-
кин.
4-теорем а. X Банах алгебраси, к укдаги мак-
симал идеаллар тралами булсин.
а) А туплам компакт Хаусдорф топологик фа-
зо сид up;
к
б) х-+х мослик X алгебрани С (Б) алгебранинг
л
бирор X цис мига акс эттирувчи гомоморфизмдир;
бу гомоморфизмнинг ядрэси X алгебранинг радикали-
га тенг. Хусусан, бу мослик мономорфизм булиши
учун X яримсодда алгебра булиши зарур ва кифоя,
л л '
в) ихтиёрий х£Х учун ||х|] < ||xj|. Агар X регуляр
л
алгебра булса, х-*-х мослик X билан унинг С(А)
даги X акси орасидаги изометрик изоморфизмдир.
Параграфни яримсодда алгебралари ин г баъзи хосса-
ларини келтириш билан якунлаймиз. -
5-теорема. X, Y коммутатив Банах алгебра-
лари, q : XY ихтиёрий гомоморфизм булсин. Агар
Y яримсодда алгебра, булса, ф узлуксиздир.
Исбот. X, Y Банах фазолари булгани сабабли
7.2-§ даги ёпик график ^ацидаги теоремага асосан ф
нинг графиги ёпИцлигиии курсатиш кифоя. {хп} cz X
кетма-кетлик учун хп->-х€Х ва ф (х„)->уб Y булса,.
у = ф(х) эканлигини исботлаш керак. Ах, Аг мос ра-
вишда X ва Y даги комплекс гомоморфизмлар туп-
ламлари булсин. Ихтиёрий АбАк ни олиб, ф =:Ло’ ф
мураккаб акс эттиришни курамиз. Равшанки, ф£Дх-
319
11.3- § дагн 4- теоремага асосан ф ва h узлуксиз. Де-
мак,
й (у) — lim й (ф (хл)) = lim ф (хп) = ф (х) =-h (ф (х)),
П-»-Со 77->OQ
яъни й (у — ф (х)) = 0. Бу ерда й £ Л у- ихтиёрий бул-
гани учун у — ф (х) С R- Энди К яримсодда эканлигини
назарга олсак, у = ф(х).*
Натижа. Яримсодда коммутатив Банах алгебра-
лари орасидаги хар бир изоморфизм гомоморфизм-
дир.
Инволютив алгебралар
X бирор комплекс алгебра булсин (коммутатив бу-
лиши шарт эмас).
Таъриф. X нинг хар бир х элементига бирор
х*£Х элементни мос куювчи акс эттириш куйидаги
турт шартни даноатлантирса, у инволюция дейилади:
1) (х 4- у)* = х* -ф- у*,
2) (Ах)* = Ах*,
3) (ху)* = у*х*,
4) х** = х,
б у ерда х, у С X, А £ С.
Инволюция билан таъминланган алгебра инволютив
алгебра дейилади.
Масалан, С(К) алгебрада /-> f акс эттириш инволю-
циядир (/ функция f га комплекс кушма функция).
Инволюцияга энг мухим мисоллардан бири бу Гильберт
фазосидаги чегараланган оператордан унга кушма опе-
раторга утиш амалндир.
Агар х£Х элемент учун х* = х тенглик уринли
булса, х уз-узига цушма ёки Эрмит элементи дейи-
лади.
1-теорем а. X инволютив Банах алгебраси бул-
син. У холда ихтиёрий х£Х учун:
а) x4-x\ I (х — х*), хх* элементлар Эрмит
элементларидир;
б) х ягона равишда х и \-йс куринишда тасвир-
ланади, бу ерда и, v Эрмит элементлари;
в) е — Эрмит элементи;
г) X”1 элемент мавжуд булиши учун (х*)~г мав-
жуд булиши зарур ва кифоя; бу холда (x^)~l fx-1)^;
д) А£о (х) булиши учун A^ofx*) булиши зарур ва
кифоя.
32Q
Исбот. а) (х 4- х*)* = х* 4- х* * — х* 4~ х = х 4- х*.
Шунга ухшаш [Z(x— x*)]* = Z(x— х') ва (хх*)* =
= хх*;
JC + JC*
б) равшанки, и, v сифатида мос равишда —д— ва
~2i~ элементларни олиш мумкии.
Энди х бошца усул билан ёйилган булсин: х = и' -j-
4- iv'. Агар ю = v' — v элементни олсак, равшанки,
о* = ш. Шу билан бирга Zw = (х—а') — (х—и) = и—
— и' булгани у«ун (Zw)* = (и — u') = iw. Иккинчи то-
мондан, (iw)* =./<«* = —zw, демак, Z<o == — Z<o. Бу тенг-
лйкдан <о = 6, яънн ® = я/, и — и' келиб чицади;
в) е* = ее* булгани учун а) га асосан (е*)* = е*„
яъни е = е*;
г) х-1 мавжуд булса, у холда х* (х-1)* = (х-1 х)* =
= е* = е, яъни (х“‘)* = (х")1. Аксинча, (х*)-1 мав-
жуд булса, у холда х [ (х*)~’]* = [(х*) ~‘х*]* = е* = е„
яъни х-1 мавжуд;
д) >-б<з(х) учун (Хе —х)-1 мавжуд эмас/Демак, г) га
асосан [fe —х)*] =(хе—мавжуд эмас, яъни
Х£о(х*). Шунга ухшаш Х£о(х*) булса, бу холда
хео(х)л
2-теорема. Агар X яримсодда Банах алгебраси
булса, у холда X даги хаР кандай инволюция у злу к-
сиздир.
Исбот. X даги ихтиёрий h комплекс гомоморфизм-
ни оламиз. Равшанки, <р (х) = h (х*) хам X да комплекс
гомоморфизмднр. Дархацицат,
?(х4* У) = А(х* + У") ~ h (^*) 4~ h (у*) = h (х*) 4-
+ Цу*) = ф(*) 4- «Р (У).
«? (> х) = h (Z^x*) = th (х*) = Ui (х*) s= Х<р (х),
(ху) = h (у* х =*) е= h (у*) • h (х*) = Ф (у) © (х) =
= <р (х) <р (у).
Демак, 11.3-§ даги 4-теоремага асосан <х> узлуксиз.
Энди х„-*х, х„*->у булсин. У холда
h (х*) — <р (х) = lim <р (хя) = lim А (х*„) =Т(у),
ZZ^Ow Л-*оо
яъни h (х* — у) = 0. h ихтиёрнй булгани сабабли х* —
— У ^R.
21-239
821
X яримсодда алгебра булгани учун х* = у. Демак,
х->х* акс эттиришнинг графиги ёпик. Ёпик график
хадидаги теоремага асосан (бу теореманинг исботи куш-
ма чизикли операторлар учун хам узгаришсиз утади)
бу акс эттириш узлуксиздир.*
Таъриф. X инволютив Банах алгебрасида нхти-
ёрий х£Х учун
||хх*|| = 1ИР (1)
тенглик уринли булса, X алгебра В* — алгебра (ёки
С* — алгебра) дейилади.
Ушбу || х [Is = ||хх*|| || х || || X" || тенгсизликдан рав-
шанки, || % 1|< [[*-* Ц- Шу билан бирга |1х*|| < ||х**|| =
= ||х||, демак,
II** II = 11* И (2)
ва
||хх*Ц = ||х||||х*||. (3)
Аксинча, агар (2) ва (3) тенгликлар уринли булса, рав-
шанки, ||хх*|| — |[х]|2.
• ♦ Куйидаги теорема В* — алгебралар назариясининг
энг мухим теоремаларидаи бири.
3- т’е о р е м а. (Г ельфан д — Наймарк теоремаси). X
ихтиёрий коммутатив В*-алгебра, А ундаги мак-
си мал идеаллардан иборат компакт Хаусдорф топо-
логик фазоси буйсин. Бу х^олда х-^-х мослак (11. 4- §,
4-теорема) X ни бу тун С (ё) га акс эттирувчи
изо метрик изоморфизмдир ва-ихтиёрий xQX учун
к /\
(х*) = х. (4)
л
Ху су сан х Эрмит элементи булиши учун х£С (ё)
Хацикий функция булиши зарур ва кифоя.
Исбот. Агар и£Х Эрмит элементи булса, ихти-
ёрий А б А учун h (и) хакикий сон эканлигини к^рсата-
миз. t хакикий сон учун ушбу z = u-\-ite куриниш-
даги элементларнй оламиз. Агар h(u) = а |- гр (я, р —
Хаки кий сонлар) булса, .у холда
h (г) = а ф i (р + /), zz^ = и2 + t2e.
Дёмак,
«а + (₽ + 0’ = 1*(г)|3 ^l|Ail2l|z||3 = ||z)|“ =
= ||zz«||<||«2l| +Л
В22
яъни ихтиёрий / хакикий сон учун
а2+р2 + 2^<|lw||2.
Бу ерда 1|н|р чекли, t ихтиёрий булгани сабабли р = 0,
яъни А (и) — ^ациций сон. Шундай цилиб, агар и Эр-
мит элементи булса, у золда ихтиёрий А£Д учун
А А
и (А) = А («) — зациций сон, яъни и зацпций функция.
Энди х б X ихтиёрий булса, у золда х = и h vu ва
и — и*, v = v*. Демак,
А /\> . /\ А Л 7~~ _
(х*) = (и + iv)* == (и* — iv*) — и — iv = (и 4- iv) = х,
шу билан (4) исботланди.
Бирор х£Х элементни олсак, у = хх* элемент Эрмит
элементидир, демак, || у2Ц = ]| у [|2. Индукция буйича
|1у!"1| = |!у|р" тенглик исботланади. Спектрал радиус
Закидаги теоремага асосан
А . А
И УII = max | у (А)| = max IA (у )| = max |Xj = г (у) =
л £ А л £ Д л (- с(*>
= ^/|ИГ=М.
' А
ЯЪНИ Цу|| = 11у||. Энди у ~ хх" тенгликдан ва (4) му но-
А А
сабатдан у = {х J2 тенгликни хосил циламиз. Демак,
Цх||2= ||у|| = || у П = || хх* |] = || х ||3,
А А А
яъни 1|х|| = ||х||. Шундай цилиб, х^-х мослик X ни А1
га акс эттирувчи изометрик изоморфизмдир. X фаза
А
тула булгани сабабли X алгебра С (Д) алгебрада
А А
ёпик Х = С(Д) тенгликни исботлаш учун X туплам
С (Д) да зич эканлигини исботлаш кифоя. Бунинг учун
цуйидаги исботсиз келтирилган теоремадан фойдаланамиз.
Сто ун — Вейерштрасс теоремаси. С (К) ал-
гебранинг fl ].]-§, 3-мисол^ А цисм алгебраси цуйи,'
даги шартларни цаноатлантиргин: *
а) бирлик функция' (е (t) = l) А га тггишли;
б) ихтиёрий tA, учун шундай x(t)^ А
мавжудки, x(tx)^Ax f/2);
в) ихтиерий x(t)£A учун x(t)£A.
У холда Л цисм алгебра С (К) нинг химма ерида
зич.
323
Энди 3- теореманинг исботини якунлаш учун X cz С (Д)
Кием алгебра учун а) —в) шартлар бажарилишини тек-
шириш керак. а) уз-узидан равшан, чунки е£Х ва
А А
e(/i) G X;
б) ихтиёрий hlt Л2£Д (h1^=h2) учун шундай х£Х
. , А А
мавжудки hx (х)=^й2 (х), яъни х ( ^1 (^2^»
„АЛ А А '
в) ихтиёрий х£Х учун (4) га асосан х — х*, яъни
А А
х£Х.
Стоун—Вейерштрасо теоремасинннг ^амма шартлари
бажарилади. Демак,
А
Х = С(л).5!:
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. К = {г:|г|<1} cz С бирлик доирада узлуксиз ва
К нинг ички нуцта ларида аналитик булган функциялар-
дан иборат тупламни А билан белгилаймиз. А да алге-
браик амалларни одатдагидек, нормани эса куйидагича
киритамиз:
]|x|| = max lx(z)|, х^А
|z|<l
А коммутатив -Банах алгебраси эканлигини исботланг.
2. А Банах алгебрасининг максимал идеаллари би-
лан К — {z: ] z | 1} бирлик дойра ну цталари орасида
узаро бнр цийматли мослик борлигини курсатинг.
3. А алгебра регуляр ва яримсодда эканлигини ис-
ботланг.
4. [а, Ь} ораликда n-тартибли хосиласи мавжуд ва
узлуксиз комплекс функциялар фазосинн Сп [а, Ь} би-
лан белгилаймиз. Алгебраик амаллар одатдагидек, норма
эса ушбу
п
||х|] = 24imax lx(fe> ^1» x^Cn[at b}
формула билан киритилади. Cn[ar b\ Банах алгебраси
эканлигини исботланг.
324
5. Cn[a, b] алгебранинг барча максимал идеалларини
топинг. ____
6. Сп [а, Ь] алгебрада инволюнияни х*(/) = х(/)
деб олсак, Сп[а, Ь] — яримсодда В*—алгебра эканли-
гини исботланг.
7. Сп[а, Ь] Банах алгебрасининг барча ёпик идеал-
ларини топинг.
8. Яримсодда булмаган Банах алгебрасига мисол кел-
тиринг.
9. Н Гильберт фазосидаги чегараланган операторлар-
нинг L (Н) алгебрасини оламиз. Бу алгебрадаги бирор
уз-узига цушма То операторнинг барча даражаларининг
чизицли ёп и л мае и ни В (Го) билан белгилаймиз. В (7'(|)
яримсодда В*—алгебра эканлигини исботланг.
tO. L(H) алгебра В*— алгебра-.эканлигини исбот-
ланг.
11. X Банах алгебрасининг х элементы учун х2 = х
тенглик бажарилса, х идемпотент дейилади. Агар
х, у£Х (х=#у) идемпотент лар учун ху — ух тенглик
уринли булса, || х — у || >1 эканлигини исботланг.
12. X Банах алгебрасининг х, у элементлари учун
ху ~ух булса, у холда
Г (х + у) < г (х) + г (у), г (ху) < г(х) г(у)
тепгсизликлар уринли эканлигини курсатинг.
13. X Банах алгебраси, х, у'унннг элементлари бул-
син.
а) х-1 ва (ху)-1 элементлар мавжуд булса, у-1 эле-
мент ,\ам мавжудлигини исботланг;
б) (ху)-1 ва (ух)-1 мавжуд булса, х-1 ва у-1 эле-
ментлар хам мавжудлигини исботланг;
в) агар (е — ху)~1 мавжуд булса, (е — ух)—1 эле-
мент хам мавжуд булишини курсатинг.
14. У мумий холда ху = е ух муносабат уринли бу-
лиши мумкинлигини мисолда курсатинг.
15. Агар ху = е булса, ух элемент нолдан фарцли
идемпотент эканлигини исботланг.
16. Агар х-1 мавжуд булса, у х°лда ихтиёрий у^Х
учун а (ху) = с (ух) тенгликни исботланг-.
17. Банах алгебрасида нхтиёрий х, у элементлар учун
г (ху) = г (ух) тенгликни исботланг ((ху)'2 = х (ух)л-,у
тенгликдан фойдаланинг).
325
XII боб
УМУМЛАШГАН ФУНКЦИЯЛАР.
ФУРЬЕ АЛМАШТИРИШЛАРИ
12.1-§. Умумлашган функция тушунчаси
1. Умумлашган функциялар дастлаб физикага дойр
илмий ишларда учраган. Машхур физик П. Дирак дель-
та-функция деб аталувчи ва куйидагича таърифланувчи
с (%—хс) фуЕкгияни кыритган: бутун тугри чизикда
аникланган 8(х — х„) функция х0 дан бошка хар бир
нуктада нолга тенг ва х0 нуктада эса циймати чексиз
булиб, бутун тугри чизик буйича интеграли мавжуд ва
бирга тенг, яъни
2 (х — х0)
0,х
+ со, X = Xq
ва
J 8(x — xfl) dx = 1.
Равшанки, математик анализ курсида курилган функция
ва интеграл таърифлари нуцтаи назаридан дельта-функ-
циянйнг хоссалари узаро зиддир.
Математикада умумлашган фуикцияларни биринчи
марта машхур совет математиги С. Л. Соболев 1936 йил-
да киритган- Француз математиги Л. Шварц 1950—1951
йилларда „Таксимотлар назарияси“ китобида умумлаш-
ган фуикцияларни урганишга топологик вектор фазолар
назариясиии татбик- килиб, кат°Р мухим натижалар олди.
Хозирги кунда умумлашган функоиялар назарияси мате-
матиканинг тез суръатлар билан ривожланаётган соха-
ларидан бири булиб, математиканинг бошка сохалйрида
ва физикада купгина му хим татбицларга эга.
Маълумки, узлуксиз функция дифференциялланувчи
булмаслиги мумкин. Бирорта хам нуктада хосилага эга
булмаган узлуксиз фуикцияларни биринчи марта К. Ве-
йерштрасс тузган. Бундай функцияларга дойр мисол,
масалан, 1ХУФН] китобининг 25-§ ида келтнрилган.
Умумлашган функциялар тушунчаси функция тушун-
часининг шундай кенгайтирилишики, бунда хар кандай
узлуксиз функция дифференциалланувчи ва унинг х°_
326
силаси умумлашган функция булади. Шу билан бир
даторда лар дандай умумлашган функциянинг узи лам
дифферент иалланувч и булиб, унинг хосиласи хам умум-
лашган функциядир. Ундан ташдари, умумлашган функ-
циялар сохасида классик математик анализ да фа дат огир
шартларда бажарилад гган бошда куп амалларни хам ба-
жариш мумкин (масалан, умумлашган функцияларнинг
якинлашувчи каторини дадма-хад дифференциаллаш
мумкин).
2. А с о с и й функциялар. Финиш функция дебл
А? = (— оо, оо) оралидда аникланган ва бирор сегмент-
дан ташдарида нолга тенг булган функцияга айтилади.
Асосий функция деб R — (— оо, оо) орал ид да хамма
досилалари мавжуд булган финит функцияга айтилади,
Асосий функцияга мисол келтирамиз.
а3 - е
1е, агар |/| < а булса,
(Р^’ а (о, агар ]/[ >а булса.
Равшанки, барча асосий функгиялар туплами функ-
нияларнинг душиш ва сонга купайтириш амалларига
нисбатан чизидли фазодир.
Энди бу фазода ядинлашиш тушунчасини киритамиз,
Агар асосий функциялардан иборат {%(/)} кетма-кет-
лик дуйидаги икки шартни даноатлантнрса, у ф(0 асосий
функцияга яцинлашувчи дейилади:
1) шундай а > 0 сон мавжудки, хар бир п натурал
сон ва t (Hi а) учуй <ри (/) = 0.
2) {ф„ (0} кетма-кетлик <р (t) функцияга ва хар бир .
ш натурал сон учун {% (Z)} кетма-кетликнинг ш- тар-
тибли досилаларидан и<орат {флт)(0} кетма-кетлик
ф<л,)(/) функцияга R = (— оо, + оо) ораликда текис
ядинлашади.
Асосий функциялариинг вектор фазосиии киритилган
ядинлашин билан бирга курилганда Е билан белгилай-
миз.
Мнсоллар. 1. IO дорида курилган <р(А а) асосий
функцияни олиб, фя(^) = -^ф(А а} кетма-кетликии кура-
миз.
Равшанки, бу кетма- кетликнинг узи ва хар кандай
ш натурал сон учун {ф!г"2)(О} кетма-кетлнк айнан нолга
327
тенг функьияга (—оо, ф-оо) ораликда текис яцинл ашади.
.Демак, {<р„} кетма-кетлик Е фазода нолга яцинлашади.
2. Энди яна уша ф (/, а) асосий функция ёрдамида
тузнлган ф„ (/) = ~ ф1 ~ , а) функциялардан иборат
{фл(0} кетма-кетликни олсак, бу кетма-кетлик ва хар
бир т натурал сон учун унинг m-тартибли хосилалари-
дан иборат {ф1/?,) (/)} кетма-кетлнк (— со, ф- оо) оралицда
айнан нолга тенг функцияга текис якинлашади.
Аммо {ф„} кетма-кетлик айнан нолга тенг функцияга
Е фазода яцинлашмайди, чунки бу кетма-кетлик учун
Е фазода яцинлашишнинг биринчи шарти бажарилмайди.
Е фазода аницланган хадидий чизицли f функцио-
нал ни оламиз. Агар Е фазода ф га яцинлашувчи хаР
кандай {ф„} кетма-кетлик учун /(фп) сонлар кетма-кет-
лигп /(ф) сонга яцинлашса, бу функционал узлуксиз
чизицли функционал дейилади.
Кулайлик мацсадида f функционалнинг ф даги (ф£А)
цийматини (/(/), ф(0) билан белгилаймиз.
Е даги узлуксиз чизикли функционалларга мисоллар
келтирамиз.
1) А = (— со, ф- оо) ораликда аницланган ва бу ора-
лицнинг хар цандай чекли оралигида Лебег интеграли
мавжуд булган бирор функцияни царайлик (бундай функ-
циялар локал интегралланувчи дейилади). у холда
Хар цандай ф£Е учун
ПО
f/(/)<p(/)A (1)
—со
интеграл мавжуд, чунки ф (/) аслида финит функция
булгани сабабли интеграл чекли оралиц буйича олинган.
Интеграл остидаги функциялар текис яцинлашганда ин-
теграл остида лимитга утиш мумкинлигп учун курила-
ётган функционал Е да узлуксиздир.
Бу боб да барча интеграллар (—со, ф- оо) оралиц бу-
йича олингани учун бундан буён интеграллаш чегара-
ларини купинча ёзмаймиз.
2) Е фазода ушбу
(40, Ф(0) = Ф(0)
чизицли функционални курам из. Бу функционалнинг
узлуксизлиги равшан-
328
Шуниси цизицки, бу функционални (1) куринишда
ифодалаб булмайди. Хацицатан, бирор локал интеграл-
ланувчи /(0 функция учун
j/(/)<p(/)d/ = <p(O)
уринли булсин. Хусусан, юцорида курилган <р (/, а) асо-
сий функция учун
J/(0 Ф (6 а) dt = ф (0, а) = е~'. (2)
Аммо да чапдаги интеграл ночга интилади, бу
эса (2) тенгликка зид.
Бу функционални дельта-функция деб аташ ва (/)
орцали белгилаш кабул цилииган (вахоланки, хозир
кургаиимиздек, (1) тенгликни цаноатлантирувчи функ-
ция мавжуд эмас).
Таъриф. Е фазодаги узлуксиз чизицли функционал
у мумлашган функция деб аталади.
Умумлашган функциялар фазосини Е' билан белги-
лаймиз-
(1) куринишдаги умумлашган функциялар регуляр
функциялар, цолганлари эса сингу ляр функциялар деб
аталади.
Ушбу
(У(0, ф (0) = ^ф (0= рф (0 dt
тенглик билан аницланган умумлашган функциями ций-
мати с га тенг узгармас умумлашган функция де-
йилади. Хусусан,
(1, ф(0) = ]ф(0^-
3. Энди хар бир локал интегралланувчи f (t) фуик-
цияга (1) формула билан аницланган умумлашган функ-
цияни мос цуямиз. Бу мосликда турли локал интеграл-
ланувчи /(0 ва g(t) функцияларга турли функционал -
ларнииг мос келишини курсатамиз.
Тескарисини фараз цилайлик. У холда хаР цаидай
ф£Е учун
J(/ (О Ф (0 dt = jg (0) <р (/) dt
ёки
рГ(О-я(О)ф(ОЛ-о.
329
Сунг f(t) — g (t) — h (/) белгилаш киритамиз ва каР
кандай <p£E учун уринли булган
Ja(/)<P(/)^=O (3)
тенгликдан фойдаланиб, h(i) нинг деярли камма нуцта-
ларда ноль эканлигини курсатамйз.
<р финит функция булгани сабабли шуидай [а, Ь\
оралик мавжудки, t нинг t а ва t^>b цийматларида
<Р (/) = 0. Шуига биноан
ъ
Ja(Z) q(t)dt ~ ^[t)dt. (4)
a
Ушбу
t
(s)ds == H(t)
a
белгилаш киритиб, (4) интегрални булаклаб иитеграл-
лаймиз:
ь ь ь
(5)
а а а
Бундан <р(а) = 0 ва <р(&) = Сбэканлигинй кисобга олган
Колда (3) га асосан цуйидагини косил циламиз:
ь
J/7 (/) q/ (i)dt = 0.
и
Энди <р'(/) функция кам [с, />] дан ташцарида ноль
эканлигини кисобга олсак, кар бир <р£Е учун
Агар бу муиосабатдан Н (/) функцияиинг узгарйас
эканлиги келиб чицишини курсатсак ибора исботланади.
Чунки бу колда Н (t) функция жамланувчи функция-
нинг аницмас интеграли сифатида [Х^ФН] китобининг
43.6- натижасига биноан деярли каР бнр t б (— оо, -р оо)
учун косилага эга ва Н' (/) = h (t) = 0.
Шундай цилиб, тасдикни исботлаш учун куйидаги
леммани исботлаш кифоя.
330
«Лемма (Дю-Буа:Реймон леммаси). Агар бирор уз-
луксиз H(t) функция ва ср (а) — ср (Ь) = 0 шартни ка-
ноатлантирувчи ихтиёрий ср G Е учуй
ъ
(7)
а
булса, H(t} функция [a, bj да узгармасдир.
Исбот. /У (/) функция узгармас булмасин. Бу кол
Е фазода (7) тенглик бажарил маслит инн курсатамйз.
Н(1) узгармас булмагани учун шундай tit 6]
ну кталар мавжудки, Н (/,) =£= Н (£,). Аниклнк учун, ма-
салан, (tj) булсин. Бу сонлар ораеидаги би-
рор С сонни оламиз. H(t) узлуксиз булгани учун уз-
аро кесишмайдиган шундай («,, bt) ва (а2, Ь2) оралик-
лар мавжудки, кар кандай &J, t" нук-
талар учун
Я (О <С<//(/").
Энди <р' (0 сифатида куйидаги туртта шартни цаноат-
лантирувчи барча косилалари мавжуд булган функцияни
оламиз;
1) (а(, dj да. мусбат;
2) (а2, Ь.>) да манфий;
3) (at, bt) ва (о>, Ь2) ораликлардан ташцарида ноль;
4) ушбу
b bi b2
J ср' (t)dt= [ ср' (/) dt + J (/) dt = О
a at
-тенглик уринли.
Бундай ср' (0 функцияни, масалан, юкорида курил-
ган ср(/, а) асосий функция ёрдамида кам тузит мум-
кин.
Ушбу
t
?(0 = J <p'(s)ds
а
функцияни. олсак, равшаики, ва ф (a) =s ср (ft) = 0.
331
Энди
b bi
J (H (0 — C)q>' (0 dt = J (H (t) - С) q>' (t}dt +
‘ a at
+ J (/-/(/) -c)<f>’(t)dt<o,
чунки иккала хад хам манфий. БунДан 4) шартга би-
ноан
с b Ь
j H(t) ср' (/) dt = J (Я (/) - С) ф' С J ф' (i)dt =
ba а
b
=J(H(O -с)ц>' (t)dt <о.
а
Демак, топилган ф£Е учун (7) тенглик уринли
эмас. .Лемма исботланди.
Шундай килиб, хар бир локал интегралланувчи /(/)
функцияга (1) формула билан аникланган умумлашган
функция мос куйилди. Бу мосликда, юкорида курсатил-
ганидек, турли локал интегралланувчи функцияларга
турли умумлашган функциялар мос келади. Демак,
барча локал интегралланувчи функциялар тупламини
барча умумлашган функциялар тупламининг кисми деб
караш мумкин. Шу -сабабли умумлашган функциялар
учун хам/(/) белгини ишлатиш кулай. Аммо бунда f(t)
умумлашган функциянинг айрим нукталардаги киймати
маънога эга эмас. Ундаи ташкари, баъзан (/, ф) —
= (/(О. ф(^)) белгининг урнига
белгини хам иш латам из, вахоланки, классик анализ нук-
таи назаридан бу интеграл маънога эга эмас.
12.2-§. Умумлашган функциялар устида амаллар
1- /(0 умумлашган функциянинг а сонга купайт-
маси деб ушбу
(«/. ф) = а(/, ф) = (Д аф)
узлуксиз чизикли функционалга айтилади. Регуляр f
332
функционал учун бу амал локал интегралланувчи f (t)
функцияни а. сонга купайтиришдан иборат.
2. Икки /(/) ва g(Z) умумлашган функциянинг йи-
гиндиси деб, ушбу
(/+£» <?) = (/ ?) 4-(Я, <р)
тенг лик. билан аникланган /+g функционал га айтила-
ди. Агар f ва g лар регуляр булса, у ^олда уларнинг
йигнндиси ^ам регуляр булиб, локалинтегралланувчи
/(/) ва g (0 функцияларнинг йигиндисига тенг.
3. f умумлашган функция ва умумлашган функция-
ларнинг {/„} кетма-кетлиги берилган булсин. Агар дар
бир Фб£ учун (/л, <р) сонлар кетма-кетлиги п^са да
</» ф) сонга интилса, {/„} кетма-кетлик / га яцинла-
шувчи дейилади.
Агар fn функциялар узлуксиз функциялар булиб,
{/,,} кетма-кетлик f узлуксиз функцияга текис я цик-
ла! и с а, у лголда бу {/„} кетма-кетлик умумлашган функ-
циялар катма-кетлиги сифатида дам f га яцинлашади.
Хацицатан, {/„} кетма-кетлик сифатида f га текис яцин-
лашгани сабабли лар кандай ф£А учун ушбу
интеграл остида лимитга утиш мумкин.
Киритилган якинлашиш маълум яциилашишларга
нисбатан кенгрок маънодаги якинлашиш эканлигини
мисолда курамиз.
Ушбу fn (0 — sin nt функциялар кетма-кетлиги би-
рор функцияга на текис якинлашади ва на лаР бир
нуктада якинлашади. Аммо бу кетма-кетлик умумлаш-
гай функциялар сифатида эса нолга якинлашади. Ха*
цйкатан, ушбу
(sin nt* <p)= sin ntq(t)cU
—оо
сон ф функциянинг Фурье коэффициеити сифатида
п^-оо да нолга якинлашиши математик анализ курси-
дан маълум.
4. /(0 умумлашган функция ^осиласининг таърифини
беришдан олдин /(/) регуляр, унинг цосиласи мавжуд
ва f (0 узлуксиз булган ^олни курайлик. Бу лол да
ушбу
(/'. ч>) =
333
функционални олишимиз мумкин. Бу интегрални бу-
лаклаб интеграллаб, ф(/) функциянинг бирор [а, Ь] ора-
лициинг ташцарисида ноль эканлигини цисобга олсак,
4-0 НН°°
(Л ч>)-/(0<р(0 | - J/(0<pW< = (/.- </). (I).
— со —со
Бу тенгликни умумлашган функция хосил асининг таъ-
рифи сифатида кабул циламиз. Шундай килиб, ушбу
(£. ф) = СА—ф') (2)
тенглик билан аИицланган g умумлашган функция
/ нинг ^осиласи деб аталади ва f ёки ~t каби белги-
ланади.
1-теорема. \ар кандай умумлашган функция-
нинг ^осиласи мавжуд.
Исбот. Хар бир ф£Е учун ф'£Е. булгани сабаб-
ли g функционал бутун Е да аницланган. Унинг чи-
зикли эканлиги равшан. Уздуксизлигини курсатамиз.
Е да нолга якинлашувчи бирор {%} кетма-кетлик
оламиз. Е даги яцинлашиш таърифига мувофиц, бу
золда {— <р'я} кетма-кетлик ^ам нолга иитилади. Бундан
ва f функционалнинг узлуксизлигидан
te, Ф«) = (/, — ф'«) -*о
яъни g ^ам узлуксиз.*
Натижа. Хар кандай умумлашган функциянинг
замма тартибли зосилалари мавжуд.
Ушбу
цоидалар уринли эканлиги равшан.
Агар f (/) функция узлуксиз булиб, сони чекли нуц-
талардан бошца барча нуцталарда оддий маънодаги 30-
силаси мавжуд ва f (t) интегралланувчи булса, /(/)
функциянинг умумлашган маънодаги к ос ил ас н оддий
маънодаги f'(i) функцияга мос келувчи регуляр функ-
цияга тенглиги бевосита курсатилади.
5. Ихтиёрий иккита умумлашган функциянинг ку-
пайтмаси тушунчаси умумий золда кнритилмаган.
834
Аммо ихтиёрий умумлашган функциянинг барча ро-
сила лари мавжуд А (О функцияга купайтмасини таъриф-
лаш мумкин. Барча ^осилалари мавжуд h(t) функция-
нинг /(О умумлашган функцияга купайтмаси деб,
ушбу
(А /, <р) = (/, Atp)
тенглик билан аницланган А-/ фуикционалга айтила-
ди. Бу тенгликнинг унг томонидаги функционал маъ-
нога эга, чунки ?^ар цандай <р(£) финит функциянинг
А (/) функцияга купайтмаси яна финит функциядир.
Ундан ташкарк, Е фазола (рп кетма-кетлик нолга ин-
тилса, шу фазода А <рл ^ам нолга интилади. Бундан
таърифдаги А-/ функционалнинг узлуксизлиги келиб
чикади. Демак, барча тартибли ^осилалари мавжуд бул-
ган А (О функциянинг /(/) умумлашган функцияга 'ку-
пайтмаёи аникланди. Агар /(/) регуляр булса, унинг
А (О га купайтмаси бу функцияларнинг одатдаги ку-
пайтмаснга тенг. Ушбу
(h-f)' = hf +h'f
цоида уринли эканлиги осон тек ширила ди.
Мисоллар. 1. Ушбу Хевисайд функцияси
(1, агар t О,
° = (О, агар t < 0
нинг досиласини ^исоблаймиз. Хосиланинг таърифига
кура
(6' (/), <р (0) = (6(0. - ч>’ (0)-f е (0 ч>' (0 =
= _ С<р'(/)Й=.Ф1(О).
%
12. 1-§ да берилган дельта-функциянинг таърифига
мувофик
©'(/) = 8(0.
Энди 0" (/) ни ^исоблаймиз:
6" (0 = В' (0. (»', <₽) = - (В. ф') = - ф' (О).
335’
Шунга ухшаш
(8<m\ <р) = (— l)m (8, <p(m)) = (— l)m ф("0 (0)
муносабатлар исботланади.
Тайинланган iQ учун 0 (t —10) функциянинг даиласи
юцоридагига ухшаш ^исобланади:
2. Энди бирор f(t) функция биргина /0 нуцтада
узилишга эга булиб, бу узилиш биринчи турдагг? узн~
лиш булсин. К°лган барча нукталарда унинг одатдаги
f (t) ^осиласи мавжуд булсин. f (t) функциянинг
нуцтадаги сакрашини р0 билан белгилаймиз, бунда pQ
соннинг ишораси цуйидагича олинади:
агар lim f(t)< lim/(/) булса, р0 мусбат ва акс ^олда
о ги0+о
манфий, яъни
р0 = litn/(/) —
Ушбу
g(0~/(0-/W-Q
функцияни олсак, у ^амма ерда узлуксиз булиб, t0 дан
бош^а барча нуцталарда ^осиласи мавжуд. Бу ^олда
gV)=fV)-p^(t-Qt
яъни
ёки
Агар f(t) нинг узилишлари битта эмас, балкн бир
нечта Л, г2, . - - , /я нукталарда булса, у ^олда
Л
f{t)=g'(t) + 2 р< »(<-<,)•
6. КаР бир умумлашган функцияга унинг ^осиласи-
ии мос куювчи акс эттириш Ef фазоии узини узига акс-
лаитирувчи чизикли оператор эканлиги равшан. Бу опе-
ратор дифференциаллат операторы дейилади.
636
2-теорема. Е' фазода дифференциаллаш опера-
тори узлуксиздир.
Исбот. Умумлашган функциялар кетма-кетлиги {/л}
умумлашган f функцияга яцинлашувчи булсин. У зол-
да ихтиёрий <р£Е учун
(Л, ф) = (А, - ф') -> (Л - фЭ = (А, ф),
яъни
Математик анализ курсцдан маълумки, оддий функ-
ниялардан тузилган текис яцинлашувчи кетма-кетликлар
бундай хоссага эга змас. Масалан, fn(t}=~ sin nt
кетма-кетлик нолга текис яцинлашади-ю, аммо f'n (t) —
~ cos nt зосилалардан иборат кетма-кетлик цеч кандай
функцияга текис якинлашмайди. Умумлашган функция-
лар фазосида эса 2-теоремага асосан /'„(/) кетма-кет-
лик нолга яцинлашадщ буни бевосита днсоблаб курит
мумкин:
b ь
(f'ni ф) = J cQsntq>(t)dt~ —- J sin nt <pz (t) dt -> 0,
a a
бунда [a, ft] гЯундай оралицки, ундан ташцарида ф (/)
айнан нолга тенг.
Бу теоремадан бевоснта цуйидаги натижа олинади.
Натижа. Агар gn умумлашган ф.ункциялардан
тузилган gt + g2 + . . . 4- gn + • - • катор g умумлаш-
гаи функцияга яцинлашса, у золда
+ • - +£'„ + • - • = g'-
Демак, умумлашган функциялардаи иборат яцинлашув-
чи каторни задма-зад дифференциаллаш мумкин.
2-теореманинг татбицига бир нечта мисол курамиз.
Даври 2^ булган локал интегралланувчи /(/) функция-
ни олиб, унинг
2-гс
°- = Д
Фурье козффициентлари ердамида тузилган
(3)
Фурье цаторини
курамиз.
22-239
337
Математик анализ курсидан маълумки, (3) цатор
f(t) функцияга текис ёки цар бир нуцтада яцинлаш-
маслигй хам мумкин. Аммо умумлашган функциялар
учун а^вол бошцача.
3-те орем а. (3) цатор умумлашган функциялар
фазосида f(t) га яцинлашади.
Исбот. Ушбу
t
О
функцияни олиб, унииг учун /[(2 г) ни хисоблаймиз:
/1(2») = dt /(<)*=0.
о о
f нииг даври 2* булгани учуй j\ (t) хам даври 2^
булган функция. Бу функциянинг Фурье коэффициент-
ларини курамиз:
'2.Т.
Ъ„ =
О
Энди
—int
и — dt = dv, v = ^—r
iV ’ ' —иг
деб, охирги пнтегрални булаклаб интегралласак,
ьп= 2U f I/ (z> “ ~inidt>
о
яъни bQ = о ьа п 0 да
^z =
in'
(4)
Энди ушбу
t
/2(O = f/,(/)rfz
О
функцияни олсак, у ^ам даврий булиб, лифференциал-
ланувчи функция дир, чункн (/) функция жамланувчи
f (^) функциянинг аникмас интеграли сифатида узлук-
сиздир. Сунг /2 (/) нинг Фурье коэффициентларини сп
билан белгилаб, (/) нинг коэффициента ари орцали (4)
формула ёрдамида ифодаласак,
338^
булади. Бу ерга (4) дан Ьп иинг цийматларини куйсак,
’ (5)
Энди f2(t) дифференциалланувчи булгани учун ма-
тематик анализ курсидан маълумки, унинг
-^00
2 Сп^Ы
П^~оо
Фурье цатори f2(t) функцияга текис якинлашади:
р ©G
л (/) = 2 c-el,!t-
—со
У Нолди бу цатор /2 га умумлашган функциялар фазо-
сида ^ам якинлашади.
Бу каторни умумлашган функциялар цатори сифа-
тида караб, уни дифференциаллаймиз:
о
л(0=2с»(еи!<)'
Л=—со
Бундай
/. (О = 21пеп еЫ-
fl —оо
Бу каторнн яна умумлашган функциялар цатори сифа-
тида дифференциалласак,
- оо
лсо = 2
П=-—оо
о
Бундан ва (5) дан /(/)=2 aneint-r.
fl —оо •
7. Умумлашган функциялар учун юцорида киритил-
ган амаллар ^ар бир умумлашган у (/) функция учун
ушбу
- Ь (0 + а0 (/) у (/) + ... + ап (/) у(«) (Z)
куринишдаги ифодаларни карашга имкон беради. Агар
бундай нфодани нолга тенгласак, умумлашган функ-
ц ия л ар фазосидаги ушбу
«о (О У (О +... 4- ап (/) у<«> (0 = b (О
дифференциал тенгламага келамиз.
339>
Дастлаб энг содда куринишдаги ушбу
f = 0 ‘ (6)
тенгламани умумлашган функциялар фазосида ечамиз.
4-теорема. (6) тенгламанинг умумлашган
функциялар фазосидаги умумий ечими y=C(=const)t
яъни (у, ф) = fCq>
Исбот. (6) тенглама ушбу
(/. ф) = (У, —ф') = 0 (7)
тенгламага эквивалент. Бу ерда ФЕЕ ихтиёрий булгани
сабабли у (0 умумлашган функция бирор асосий функ-
циянинг ^осиласига тенг булган ^ар бир y(t) функцияда
нолга тенг. Бундай Д/) функциялар тупламини Ео
билан белгилаймиз. Энди у (/) функционални Е0-цисм
фазодаи бутун Е фазога кандай давом эттириш мум-
кинлигини текширамиз. Бунинг учун бирор асосий <р(0
функциянинг бошка бир ср (0 асосий функциянинг х°си-
ласи булиши шартларини топамиз.' Бирор <р£Е учун
0(0 = ф' (0 деб фараз килайлик. Бундан ва ф нинг
финитлигидан
4-00 _|_оо
§ty(t)dt — J q>'(t)dt=; <р(/) | ~ О,
оо оо
яъни
+*>
J\(0^ = 0. (8)
со
Аксинча, бирор <р£Е учун (8) шарт бажарилса, у ^ол-
да ушбу
t
Ф (0 = J Ф ($) ds
оо
функция финит ва ц/ (/) = ф(/).
Энди ушбу
+ со
J ф! (f) dt ~ 1
со
шартни каноатлантирувчн бирор ф1 С Е функцияни ола-
миз. Ихтиёрий ф£Е функцияни ушбу
Ф = «Ф1 + ф0, ФобЕ0 (9)
340
куринишда ифодалаш мумкин. Дар^ацикат,
+°°
а= (10)
со
деб олсак, у ^олда <р — £ Ео ва <р0 сифатида ср — ад),
функцияни олиш кифоя.
Энди бевосита (6) тенгламани ечишга утамиз.
f умумлашган функция (6) тенгламанинг ихтиёрий
ечими булсин. У ^олда (9) дан фойдалансак,
(/, ф) = (/> а<И + Фо) = а (/, Ф1) + (/. Фо) = а (/. Ф1)
булади, чунки (/, Фо) = 0. Бу ерда (/, <pj) — узгармас.
У ни С билан белгиласак, (10) га бииоан
(/, ф)«1Сф(0^/.
Курамизкн, (6) тенгламанинг умумлашган функциялар
фазосидаги ^ар бир ечими оддий маънодаги функция-
дир, яъни регул ярд ир.*
Ечими сингуляр функция булган тенгламага *мисол
келтирамиз. Ушбу
тенгламани курамиз. Равшанки, бу тенгламанинг иккита
чизикли эркли ечнми мавжуд:
5'1 = -1, У2 = 6(0,
бу ерда 6 (0 функция 1 - мисолда курилган Хевисайд
функцияси. Умумий ечнм бу ечимларнинг чизикли ком-
бинацияси эканлигини курсатиш мумкин.
Энди бир жинсли булмаган энг содда ушбу
' (И)
тенгламани курамиз.
5-теорема, Лар цандай f умумлашган функция
учун (11) тенглама умумлашган функциялар фазо-
сида. ечимга эга.
Бу теореманинг исботи 4-теореманинг исботига
ухшаш. Агар умумлашган у0 функция (И) тенглама-
нинг бирор ечими булса, у з^олда 4-теоремага асосан
бу тенгламанинг умумнй ечими у = у0 4- С булади.
341
12.3-§. Фурье алмаштириши
1. Математик анализ курсида даври 2к булган функ-
цияларни ушбу
ло=2й^'’' (’>
Л=— со
куринишда тасвирлаш, яъни Фурье каторига ёйиш ма-
саласи курилган эди, бунда
ГС
j f(s)e~insds. (2)
--ГС
Агар /(/) функциянинг даври бошк-ача, масалан,
2чт/ булса, у ^олда (i) ва (2) формулалар мос равишда
ушбу
03 < Д/.
/(О = 2 апе 1 ’ <3)
Л=—СО
ItZ Я
“« = 2^ J/(s>e 'rfs (4)
—rcZ
куринишга эга булади.
Кулайлик учун, (3) ифодада е~Т{ функция олдида-
ги ап коэффициент урнига а* ёзамиз:
г
ОО ц
/(о = 2 а^е 1
Л=—оо I
у ^олда (4) ифода
_/*- _п
«д = 2гЛ /(5>е 1 ds (6)
I » — itZ
куринишга эга булади. (5) ва (6) дан.
00 i Ь_ (/-з)
/W= 2 2^ .1 f&e ‘ dS- <7>
П——со —nt
Бундан
• 00 / nl 1п и < \
f{t} = 2 JL J /{s)e т<-> (8)
л=—co X — т.1
342
Энди ап = у ва Дзп = у--1 белгилашла рни ки-
ритсак, (8) дан ушбу
03 / М о (t—S) \
м= 2 MJd /(*)е п ds / о)
ифодага келамиз. (9) да I ни чексизга ннтилтирсак ва
ундаги мос ифодаларнинг лимити мавжуд деб фараз
цилсак, у ^олда (9) куринишдаги интеграл йигиндилар
о» / ео \
/(О = j * (1J ds (Ю)
со \ со /
интегралга яцинлашади.
Шунга ухшаш, (3) ва (4) . ифодалар мос равишда
цуйидаги ифодаларга интилади:
Оо
/(0=^ ) 4>(-)eMda, (It)
— со -
со
Ф(’)= SftOe^dt. (12)
—OD
Ох ирги ифода'билан аницланган ф(з) функция / (/)
функциянинг Фурье алмаштириши (Фурье интеграла)
дейилади. (11) формула Фурье алмаштиришнинг теска-
рилаш форму ласи ёки Фурьенинг тескари алмашти-
риши дейилади. Кулайлик учун, f (/) функциянинг
А А
Фурье алмаштирншиниДа) билан ва f -> f акс этти-
риш ни F билан белгилаймиз. Демак,
А
/=F/.
F акс эттириш Фурье алмаштириши деб аталади.
2. Энди (10), (11) ва (12) интегралларнинг мавжудли-
ги масаласига ва F акс эттиришнинг хоссаларига тух-
таламиз.
Даставвал, икки ёрдамчи нормаланган фазони кири-
тамиз. £j(—оо, ©с) фазо б у тун (—оо, оо) ораликда
интегралланувчи функциялардан иборат булиб, ундаги
норма
со
га тенг.
343
Co (~~~ 00, °°) Фаз° бутун (— оо, co) ораликда
узлуксиз ва |о|->оо да нолга интилувчи <р(Д функция-
лардан иборат булиб, ундаги норма
Н<Р11 = max I <₽(о)|.
~оа<с<оо
Агар /(/) функцияни интегралланувчи деб фараз
килсак, у холда хар бир а£(—оо, оо) учун (12) инте-
грал мавжуд. Бунга асосан F акс эттиришни Ц (—оо, со)
фазода аникланган деб хисбблаймиз.
Бевосита куринаДики, F акс эттириш АД—со)
да аницланган чизикли оператордир.
1-теорема. F Фурь& алмаштириши Lx (—со, оо)
нормаланган фазони Со (— оо, оо) нормаланган фазо-
га акс эттирувчи узлуксиз чцзицли оператордир.
Исбот. Даставвал, хар бир f£Lx(— оо, оо) учуй
F(/)GC0(—со, оо) эканлигини курсатамиз. f (t) функ-
циянинг интегралланувчилигидан ва (12) дан ушбу
оо
I/ (а) | < J' |/(0|^ (13)
со
л
тенгсизликни оламиз. (13) тенгсизликдан /(о) функция-
нинг чегараланганлиги хамда
sup |/(°)1< 11/11 (14)
— СО
тенгсизлик келиб чикади.
л
Энди f (о) функциянинг узлуксизлигини ва | а [ -> оо
да нолга интлишини даставвал погонали функциялар
учун курсатамиз.
Агар f{t) функция (а, Ь) интервалнннг характерис-
тик функцияси, яъни
fit. ~ р’ /6-(й-ь)’
>W = |0. ZG(a, b)
булса, унинг учун
Бу ифодадан /(о) функциянинг бутун (—оо, оо) ора-
ликда узлуксизлиги ва [о|—>*оо да нолга интилиши ке-
либ чикади.
344
Ихтиёрий f(t) погонали функция характеристик функ-
цияларнинг чизикли комбинациясидан иборат булгани
сабабли, F акс эттиришнинг чизицли операторлигидан
А
/(°) функциянинг бутун (— оо, оо) оралицда узлуксиз-
лиги зам да [о|->оо да нолга интилиши келиб чикади.
Энди ихтиёрий f (—оо, оо) функцияни олсак,
у холда погонали функцияларнинг норма маъносида f(t)
функцияга якинлашувчи {fn (£)} кетма-кетлиги мавжуд.
(14) тенгсизликдан фойдаланиб, бу {/„} кетма-кет-
лик учуй ушбу
А А
sup |Г(а)-/До)|<||/-/„Л (15)
00<С<СО
А
тенгсизликни зосил киламиз. (15) дан куринадики, fn (с )
функциялар кетма-кетлиги бутун (— оо, оо) ораликда
а' а
/(с) функцияга текис якинлашади. Бундан /(о) функ-
циянинг ( — оо, оо) ораликда узлуксизлиги ва )<з|—>оо
да' нолга интилиши келиб чикади. Демак, агар /б
(— оо, оо) булса, F (7)GQ(— оо, оо).
Низоят, F чизикли операторнинг узлуксизлиги (15)
тенгсизликдан келиб чикади.;.
(1) катор /(/) функцияга якинлашмаслиги мумкин
булганидек, (11) муносабат зам уринли булмаслиги мум-
•кин. Фурье каторлари иазариясида (1) Каторнинг f (/)
га якинлашиш шарти (Дини шарти) курилган. Бу шарт-
га ухшаш шарт Фурье интеграллари учун зам мавжуд.
Дастлаб ёрдамчи тушунчалар киритамиз. Агар бирор
8 > 0 учун
С \f(t 4- s) - /(s)l
.1 ----ГЛ ds < оо
—6
уринли булса, у золда f (/) функция учун i нуктада
Дини шарти бажарилган дейиладн.
А
Хар бир/б^1(—оа, оо) учун/(-)бСо(- оо, оо) бул-
гани ту файл и, зар кандай N учун ушбу
1 j/(=)^'dZ (16)
- W
интеграл мавжуд.’ Бу интегрални Ду (/) орцали белги-
лаймиз. Агар
Игл /дг (О
345
мавжуд булса, уни
оо
— оо
бнлан белгилаймиз.
2-те орем а. Агар f£L{(—оо, оо) функция t
нуцтада Дини шартини цаноатлантирса, у холда
lim fN (t)
/V->oo
мавжуд ва
/(0 = lim А(0 =
JV-CO ** J
—co
Исбот. Дастлаб (16) интегрални f (/) функция op-
цалй ифодалаймиз:
Zv(0 = A I/(з)е”'Л =
—N
=2 { J /(s) e^-^ds} da.
(17)
Каве нчидаги интеграл о параметрга нисбатан текис
яцинлашувчилигидан (17) ифодада а ва s буйича интег-
ралларнинг урнини алмаштири и мумкин:
03 jV
fx (/) = 2 J /(s) { J di Ids =
2
— 2я
r p __ e~iw(t-s)
) f(s)-------—----------ds =
г (/ - s)
1 c x sin N(t — s) .
J /(s)- ‘ - —ds-
t — s
Ox ирги
риб ушбу
интегралда t — s = — h алмаитириш бажа-
co
J- ... 1 f r . .x'sinATi,,
Zv (0 = - j / (i + h) —f^—d.-i
—oo
ннтегралга келамиз.
346
(18) интегрални бя^олашда ихтиёрий N учун ушбу
1 Г slnJVA
к J ~~h
— со
dh =
тенгликдан фойдаланамиз (бу тенглик, масалан, Фих-
тенгольц Г. М. „Математик анализ асослари", 2-том,
XVII боб. 3- §, 132-бетда исботланган).
Энди Jw(t) — fit) айирмани куйидагича ёзиб оламиз.
сю
fv (0-/(0 = 4 J' {f(t+ Л) -/(/)] ^~dt.
—сю
Бирор тайин ht > 0 сон олиб, бу интегрални куйи-
дагй икки интегралнинг йигиндиси к^ринишида ёзамиз:
/«(О -/(/) = J [/(< + й)-/(/)]5!1^ dh +
i/?l л, h
+ J [/(Z 4-Л)-/(/)) (19)
]йрй1 л
Энди иккинчи интегрални куйидаги куринишда ифо-
далаймиз:
f fit + h) *{"Nh dh - fit) J ^Ldh.
1ЛОЙ! h \h\~>hi Л
f интегралланувчи булгани учун берилган t да ва
етарли катта h{ да охирги ифода A> 1 нинг цандай-
лцгидан катъи назарл исталганча кичик килиниши мум-
кин.
(19) ифоданинг биринчи ^ади ушбу
Я/ + А) —/(/) sin дгд
—й.
курин ишга эга.
1-теоремада (12) куринишдаги интегралнинг |а|->-со
да нолга интилишини курсатган Эдик. Шунга ухшаш,
хар бир интегралланувчи g (t) функция учуй ушбу
сю
( g(h)s\n Nhdh
интегралнинг .V -> оо да нолга инти тиши курсатилади.
347
Хусусан, (20) интеграл зам нолга интилади, чунки,
gw=fjl+vpfm
функция интегралланувчи (Дини шарти).
Шундай цилиб, (19) z ифоданинг иккала зади за\г
нолга интилади. Демак,
lim А(0=/(0.*
Л'->оо
Мне о л. Ушбу
/(Z) = e-^(a>0)
функциянинг Фурье алмаштиришини топамиз. Таърифга
мувофиц
оо
Л р
/(а) = e-atie-lct dt. (21)
—оо
Бу ифодани1 е~аг*~*к, z = х Д- iy аналитик функ-
циядан Ох уц буйича олингаи интеграл деб цараш мум-
кин. Ушбу
I g—“С-*-1 Ay)| = £ —<их2+«Уа+°У
тенгликка мувофиц зар бир Лу0 = {у : |у | < у0) туп-
ламда ушбу
e-az>-l3z (22)
функция х -> + со да у га нисбатан текис нолга инти-
лади. Шунинг учун аналитик функциялар назариясида-
ги Коши теоремаенга асосан зисобланаётган (21) инте-
грал Ох укца параллел булган ихтиёрий тугри чизиц
буйича (22) функциядан олинган интегралга тенг:
оо
Л р
/(о)= ( е~а^1^е-^х+^йх =
•ах2+ау3-^су~2aixy— iux _________________________________________________________________________________________________________________________________________________
оо
= еаУ2+^ Г е-ахг-гх(й251+а)^х_
—оо
348
Эндиу—— деб оламиз. У долда ay2-J-ay=a
О2
-=-4^ва
/(o)=^r“Je-«*’dx.
—СО 1
Математик анализ курсидан ушбу
©о' ——
^-e~axSdx = У 7
тенглик маълум. Буига асосаи
3. Энди Фурье алмаштиришининг дифференциаллаш
оператори билан богланишини урганамиз. / (£) функции
дуйидаги шартларни даноатлантирсин:
со
1) J 1/(01^<
—оо
2) f (О функция (— со, оо) оралиднинг дар бир нуд-
таси атрофида абсолют узлуксиз;
3) /(0 функциянинг f'(t) досиласи мавжуд ва
со
[ f'(t) | dt < со.
—оо
Охирги шартга мувофид ушбу
о
. t
функциянинг £->оо да лимити мавжуд. Бу лимит иолга
тенг, чунки акс долда f(t) функция интегралланув-
чи булмас эди. Худди шундай долат t -> — оо да дам
уринли.
Энди f (t) функциянинг Фурье алмаштиришини ди-
соблаимиз:
со
—©о *
оо ОО
—со — ©о
(23)
345
бу ерда булаклаб Интегра лл аги цулланилди. (23) ифо-
дадаги биринчи хяд юхорида курсатилганига биноан
нолга тенг. Бунга асосан (23) дан
F(n = ^F(/). (24)
л
Шундай хилиб, f(t) функциядан росила олишга f (О
функцияни ia га купайтириш мос келар экан. Агар /(/)
функциянинг т-тартибгача ^осилалари мавжуд булса,
у холда (24) га биноан-
F(/W) = (/o)^(/). (25)
Умуман, агар Р(х) бир аргументли бирор купхад булса
ва бу аргумент урнига — дифференниаллаш операто-
рини хуйсак, у холда Р куринишдаги оператор хо-
сил булади. (25) формуладан фойдаланиб, ушбу
умумйй форму лани топамиз.
4. Энди Фурье алмаштириши ; билан урама амали
орасидаги муносабатни урганамиз.
Абсолют интегралланувчи /ДО ва /ДО функциялар
л л
берилган булсин. Ушбу / (о) • /2 (з) купайтманинг шак-
лини узгартирамнз:
ОО ОО
/1 (°) Л(о)- J’ /1 (fy^dt. J Usy-^ds =
—оо —оо
оо ©о
—оо — оо
бу ерда охирги каррали интеграл Фубини теоремасига
(|ХУГФН], 61-§) асосан яхинлашувчи. Охирги интеграл-
да s — h — t алмаштириш бажарсак,
оо I оо
/>(=) • Я(°) = J/.W ) fAh-t'le-^dh
л —со I—♦
00/00 ]
= J е~Ы $ f.W'Ah~tdt\dh,
dt~
(25')
бу ерда Фубини теоремасига асосан интегралларнинг
урнинн алмаштириш мумкин. Охнрги ифодада каве
350
ичидаги интеграл, яъни
со
f{t)= \ ~ h)dh
— СО
(26)
Фубини теоремасининг тасдигига асосан мавжуд булиб,
Фубини теоремасининг бошка тасдигига асосан абсолют
интегралланувчи. (26) ифода билан аникланган f(t) функ-
ция А ва /2 функцияларнинг Урамаси дейилади. * (25')
л л
формула курсатадики, /,(<0 •/(о) купайтма /,(/) ва /(О
функциялар'урамасининг Фурье алмаштиришига тенг экан.
/л ва /2 функцияларнинг урамаси одатда ///г оркали
белгиланади.
Хозиргина олинган натижани ушбу
куринишда ёзиш мумкин.
Бундан, хусусан, урама амалининг коммутатив ва ас-
социатив эканлиги келиЗ чикади. .
5. Энди Фурье алмаштиришини иссиклик утказиш
тенгламасини ечишга куллаймиз. и(х, I) функция (—оо<
<х<оо,£ 0) сокада аникланган булсин. Ушбу
= яъни ut(x,t)^=uxx(x, t) (27)
дифференциал тенглама иссит^лик утказиш тенгламаси
дейилади. Одатда (27) тенгламанинг t = 0 да берилган
uv (х) функцияга тенг булган ечими изланади. Бу маса-
ланпнг - маъноси куйидагича: бир жинсли чексиз узун
стерженнинг / — 0 вактдагн тем перату расини билган кол-
да ихтиёрий />0 вактдаги тем перату раси топилсин. Бу
масалани ечишда и (х, t) функцияга куйидагн шартларни
Куямиз:
а) и (х,£), ux(x,i), uxx{x,t) функциялар кар бир
нуктада х га нисбатан (—сю, сю) орадик буйича ннтеграл-
ланувчи;
б) шундай Ф(х) функция мавжудки, кар бир 0^/<Т
ораликда
оо
\llt(Xj)^\<b(x), ( Ф(х)с/Х<оо.
— оо
Энди (27) тенгламанинг икки томонига х га нисбатан
Фурье алмаштиришини татбик киламиз. У к°лда
351
"О) шартга асосан ушбу
F ) = I Щ (х, t)>e~iax dx =
— со
со
— ~ J и (х, t)e ~iax dx.
— ОО
тенгликни хосил цнламиз. Агар и(х, /) нинг х га нисба-
тан Фурье алмаштиришини v (о, t) билан белгиласак,
F
Энди а) шартга мувофиц
F(UXX (Х> 0 ) = (£с)2 F (z/ {.X, t) )—
= — о2 F(и (X, t) ) =j= —а2г) (о, /).
Натижада (27) тенглама ушбу
(°, О = — °2 ® (й, 0 (28)
оддий дифференциал тенгламага келади.
(27) тенглама учун масаланинг цуйилишига мувофиц
(28) тенгламанинг шундай ечими топилиши керакки, у
t — 0 да ушбу
оо
г>0 (а) — F (z/п (х)) = [ uv (х) е ~iax dx
—оо
функцияга тенг булиши керак. Равшанки, бундай ечим
ушбу
'V (о, /) = е ~аЧ -Vq (s)
куринншга эга. Юцорида курган мисолимизга мувофиц,
е'°"' = 5(27^е'Ч
(2- теоремадан кейин курилган мнсолда а тарамет-рни
га тенг деб олиш керак).
У рама амали формуласига .мувофнц,
«(о, O =
/ I \
352
Энди •v(c,t)=F(u(x, I)) эканлигини эсласак,
ж'3 оо s*
u(x,t) =* 4‘ л(х)= —^=- [ е uG(x~s)ds.
ЧтЛ И *t
Топилган бу ечнм Пуассон интеграла дейилади.
6. Энди £2(—00,00) фазода Фурье алмаштириши би-
лан шугулланамиз.
Квадрати (—оо,оо) оралицда интегралланувчи булган
функциялар тупламини £2(—оо,оо) билан белгилаймиз.
Бу фазони ушбу
11ГН = ]/ flAOl*
—со
норма билан бирга курамиз.
Агар (—оо.оо) оралидда анидланган /(/) функциянинг
квадрати бу оралидда интегралланувчи булса дам, лекин
унинг узи бу оралидда интегралланувчи булиши шарт эмас.
1
Масалан, f (/) = '--функциянинг квадрати (—оо, оо)
оралидда интегралланувчи булиб, узи эса интегралла-
нувчи эмас.
Шунинг учун /££2(—оо,оо) функциянинг шу вадт-
гача курилган маънодаги Фурье алмаштирнши мавжуд
булмаслиги мумкин.
Куйидаги исботсиз берилган теорема £2(—00,00) фа-
зода дам Фурье алмаштириши киритиш мумкинлигини
курсатади.
Теорема (Планшерель теоремаси). ХаР бир
£2(—со,оо) функция учун ушбу
к
®/v(°)= \f(t)e~“°dt
—N
интеграл а аргументга нисбатан £2(—оо,оо) фазо-
нинг элемента булиб, А -> оо да L2(—00,00) метрикаси-
да бирор (я) £ £., (—оо,оо) функцияга интилади. Бунда
ОС оо
| |<ЖГ^ = 2г J
—00 —оо
Ааяр f (t) б £й (— оо) П Lx (— 00, со) булса, у холда
Ч (°) = /(°).
23- 239
353
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
1. Агар каР цандай <р(/) асоснй функция учун (/, ф)=
= (Я, <р) булса, /(/) ва g(t) умумлашган функциялар
тенг дейилади. Хусу сан, агар ^ар кандай <р(/) асосий
функция учун
(Лф) = о
булса, f (/) умумлашган функция нолга тенг дейиладн.
а) Ушбу
/(/) = • 0, агар /=#1, 2, t£R булса, 1, агар t ~ 1 булса, 2, агар t = 2 булса,
функция нолга
сатинг.
б) Ушбу
тенг умумлашган функция эканини кур-
{?;
агар / < 0 булса,
агар булса
на
е. (/) =
О, агар
2, агар
.1, агар
/<0 булса,
t — 0 булса,
t > 0 булса
функциялар умумлашган функциялар сифатида узаро
тенг эканлигини курсатинг.
2. Ушбу
©О
(/. Ф) 2е/('О = Ф(0) + ф(1)-Ьф(2)4-...
ифоданинг умумлашган функция эканлигини курсатинг.
3. Агар кар кандай манфий булмаган <?(/) асосий
функция учун
(/, ф)>0
булса, /(0 умумлашган функция мусбат дейилади.
Агар кар кандай манфий булмаган <р (£) асосий функ-
ция учун
(f~g, ф)>о
булса, f умумлашган функция g умумлашган функ-
ция дан катта дейилади ва f^g каби ёзилади.
а) 8 (О функциянинг мусбат эканлигини курсатинг.
б) Ушбу
8(0> 8(2/)
теигсизликни исботланг.
2S4
4. Цуйидиги функцияларнинг Фурье интегралини
топинг:
а) f {I) й2+ /2 »
б) /(0=^
5. Бирор f[t) функциянинг Фурье алмаштириши
, ч 1
ф(о) = —:--— .
' сЧсоТ*то
Функциянинг узини топинг.
6. Цуйидаги функциялар учун Фурьенинг тескари
алмаштиришини топинг.
. , . Sin £ГО
а) ф(=) = —
б) <р(о) =
sirPcc
7. Тугри чизицдагн (0, а) интервалнинг характерис-
тик функциясини /д билан белгилаймиз, яъни
(*)
|1, х 6(0, а) учун,
[О, х£(0, а) учун.
Цуйидаги урамани >;исобланг:
v Хд+ft (-*)—хс (х)
/.ь
8. Ихтиёрий <р (х) 6 Ц (— оо, оо) функция учун купи’
даги муносабатни исботланг:
lim (*) —ха(х)
й-0 h
~ у (х — а)
(бу ерда яцинлашиш (— оо, оо) даги норма маъноси-
да).
9. £j (— оо, оо) фазонинг бирон Е ёпиц дисм фазо-
си дар бир <р(х) функция билаи бирга ихтиёрий h£R
учун <р (х — Л) функцияни ^ам уз ичига олеин. Бу хол-
да ^ар цандай фб/: ва Фб^Д—оо, оо) учун ф^фб/?
муносабатни нсботланг.
3515
XIII боб
НОРМАЛАНГАН ФАЗОЛАРДА ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВА ИНТЕГРАЛ
ХИСОБ ЭЛЕМЕНТЛАРИ
13.1- §. Кучли ва сует дифференциаллар
Бирор нормаланган X фазонинг U очик тупламида
вниклангай ва цийматлари нормаланган Y фазога те-
гишли булган Y акс эттириш берилган булсин.
Таъриф. U тупламнинг бирон х нуктаси учун
куйидаги икки шартни каноатлантирувчи чегараланган
Lx б L (X, К) чизикли оператор мавжуд булса, у холда
F акс эттириш xQU нуктада дифференциалланувчи
дейилади:
1) F(х \-h} — F (х) ~ LJi-\-а(х, А), х, h£X,
а(х, А)£К; ’ (1)
2) ||Л||->0 да
(2)
Хар бир hQX учун Lxh элемент F акс эттиришнинг
х нуцтадаги кучли дифференциала ёки Фреше диффе-
ренциала дейилади. Lx чизикли оператор эса F акс эт-
тнришнинг х ну к та даги кучли ^осиласи ёки Фреше
уосиласи дейилади ва F' (х) билан белгиланади.
1-те орем а. Агар F-.X-^Y акс эттириш бирор
х нуктада дифференциалланувчи булса, у ягона куч-
ли уосилага эгадар.
Исбот. £<*> ва чизикли операторлар F нинг
х нудтадаги кучли хосилалари булсин. У холда
F (х ф h) — F (х) = £0? h -j- at (х, h) — L™h 4- a2 (x, A)
яъни
Ltyh — £<J>A = «2 (x, h) — (x, A).
Таърифдаги (2) шартга асосан
l| A11“► О да
цД‘}’Л-£‘? Л|| п
ИЛИ °-
(3)
656
Агар £0)^=£<2) булса, у ?{олда бирон h0 £ X учун
ИМ
= Х=И=О.
Демак, ихтиёрий е>0 учун
IW -Л’
Олинган е сонни ихтиёрий кичик цилиш мумкин булга-
ни сабаблн (3) муносабат уринли булмайди. Демак,
£<” = £<2\*
Л X
Хосиланинг таърифидан унинг куйидаги хоссалари бе-
восита келиб чидади.
1°. Агар F(x) = у0 = const булса, у холда F'(x)~O
^ноль оператор).
2°. Агар F(x) узлуксиз чизикли оператор булса,
унинг хосиласи узига тенг.
Даркацицат,
£(х + А)-Д(х) = Л(А).
2-теорема (мураккаэ функциянинг к°силаси).
X, У Z нормаланган фазолар булиб, U(x0) туплам
бирор Хц С X нуктанинг атрофи, F: U(х0) Уузлук-
сиз акс эттириш булсин. Сунг у^-Р(х^) ва V(y0)
туплам у()£У нуктанинг атрофи, G ‘.V (y(l)~^Z ^ам
узлуксиз -акс эттириш булсин. Агар F акс эттириш
хГ) нуктада, G акс эттириш у0 нуктада дифферен-
циалланувчи булса, у холда xt) нуктанинг бирор ат-
рофида аникланган Н = GF функция хй нуктада диф-
ференциалланувчидир ва
H'(x^ = G'(yb)F'(xJ. ' (4)
Исбот. Нормаланган У фазонинг элементи булган
а(/г)(АбХ) ифода ушбу
lim _ л
шартни цаноатлантирса, уни о (й) билаи белгилаймиз.
Шуни назарда тутган ^олда цуйидагиларни ёзамиз:
F (х0 + 0 = F (х0) + Д'(х0)* + о(Е), В G X
G (УО + Ч) = <Ж) + G' (Уoh + oh)» >2 € У
357
Энди Ff{x^ ва С'(у0) чегараланган чизицли оператор-
лар эканлигидан фойдалансак,
Н(хп + 1)=:С(Р(хе + ^)) = О(уо+Р'М г +0(E)) =
= GtVol + G'W^W ' +° (Э) + (р(х<!>\ + "(Ч> =
= G (у„) + G' (у„) F' (х0); + [О' (у„) (0(E)) +
+ о (F' + о(Е))1 = 6 (у„) + G (yJF’ (х„)5 + о (Е).
Чунки
IIG'0’o)(o(4)+<X^ WHо('-))П л,л, М| |Ю(6)|| ,
цел I
, ||ofF'Uo))e+0(£))ll ||Г'(*)Е+<Х£)11 1|<Ул, м, IHOll _L
+ ЛГ'(*с)£+о(< П 6II |l° WI1 П ё |[ +
l mi-u- WU1 li°(F^0)e+o(e))n
и- ur wi+ и g и) ||Г'(хо)е+о(0]|
------о
- О и
(бу ерда биз ||F' (х0) t +' о(В)|| < ||Д' (х0)|| №|| 4- || о(?)|| -> О
м у носабатдан фойдаландик).
' Демак, Н' (х0) =G' (y0)F(x0)^;
3-теорем а. X фазони У фазога акслантирувчи
F ва G узлуксиз акс эттиришлар берилган булсин.
Агар F ва G барон хоб.Х ну^пгада дифференциалла-
нувчи булса, у холда F-]--G ва aF (а—сон) акс эт-
тиришлар хам ШУ нуцтада дифференциалланувчи ва
(F 4~ G)'(x0) — F'(xo) 4" G (л?0),
(aFY(Xi) = aF'(x0}.
Исбот. Акс эттириш л а рн инг йигиндиси ва сонга
купайтмасининг таърифига биноаи
(Д-р 6) (^4-/0 = ^+//) + б(х0 + А) = Д(х0) +
+ О(х0) -р F'Mh -р G'{xt)hx 4 ot(/z)
ва
aF(xQ -Р Л) = aF(xG) -р aFf(xG)fi+o2(h).^
Энди сует дифференциал тушунчаенга утамиз. X
фазони У фазога акслантирувчи F: Х->Х акс эттириш
берилган булсин. Норма маъносида ушбу
DF(x.A)= ^F (х + th)
лимит мавжуд булса, бу лимит F акс эттиришнинг
сует дифференциала ёки Рато дифференциала дейи-
лади.
358
Умумий холда, DF (х, К) сует дифференциал h га
нисбатан чизидли булнши шарт эмас. Агар у чизицли
булса, яъни бирор Т чегараланган чизицли оператор
учун
DF(x, h)~Th
тенглик уринли булса, у цолда Т сует росила ёки
Гашо хрсиласи дейилади ва F'c{x} билан белгиланади.
Сует ва кучли цосилалар ораеидаги богланишни урга-
надиган булсак, бу тушунчалар цатто чекли улчамли
фазоларда цам турлй тушунчалардир.
4-теорема. Агар F акс эттириш кучли ^оси-
лага эга булса, у сует цосилага ^ам эга ва бу хр-
силалар узаро тенгдир.
Исбот. F акс эттириш кучли цосилага эга булгани
сабабли
F{x + th} - F{x} = F'{x} {th} + o{th) =
— tF' {x)h 4- o{th).
Демак,
F (j<4- th)—F (x)
~ t
яъни бу лимит мавжуд ва h га нисбатан .чизицли. Де-
мак, кучли косила бир вактда сует косила хам дир.*
У му мий холда бу теореманинг акси уринли эмас,
яъни сует косила мавжудлигидан кучли косиланинг
мавжудлиги келиб чицмайди.
Мисол. Икки улчамли фазони R тугри чизицца
акс эттирувчи ушбу.
/(*i.
х2)=
arap(Xi, *2)#К0, 0)=6 булса,
i О, агар (х1г Ха) = (0,0)== 6 булса
функцияни оламиз. Бу функция /?2 фазонинг камма ери-
да узлуксиз. (0, 0)£/?2 нуцтада унинг сует дифферен-
циали мавжуд ва нолга тенг. Даркацицат, h = (hit hz}
учуй
lim/<fl+^)-/<8)=lim = lim = 0
Демак, f акс эттиришнинг (0, 0) иуцтада сует цосиласи
нолга тенг.
359
Кучли хосила эса мавжуд эмас. Хацицатан агар (0,0)-
нуцтада кучли /'(б) досила мавжуд булса, 4- теорема,
га асосан /'(8) == 0, яъни
/(Л) -/(е) = + а(6Л) = а(6, Л).
Бундан
Ит!И = 0
л-е 1|Л|| v‘
Аммо h={/zj, векторни h — (ftlt куринишда олсак,
lim ||ЛЛ)П __ lim__h* ]
л-о JJA || - л-о zh^hl+h^ °-
Бу зиддият f акс эттириш (0, 0) нудтада кучли ^оси-
лага эга эмаслигини курсатади.
Сует росила мавжудлигидан кучли доенла мавжуд-
лиги келиб чиднши учун душимча' шартлар талаб ци-
лииади.
5-теорема. Агар F акс эттиршининг F'c(x) сует
^осиласи х0 нуцтанинг бирор U атрофида мавжуд
булиб, х га нисбатан х0 нуцтада узлуксиз булса
(оператор цийматли функция сифатида), у уолда
х0 нуцтада F '(xG) кучли росила мавжуд ва сует
силага тенг.
Исбот. F акс эттириш сует досилага эга булгани
сабабли
DF(xg, h) == F'^x^h.
Умумиятни чегараламаган долда
U= {х6Х:||х —л:0||<г}
деб дисоблаш мумкин. Агар ||Л||<е булса, у долда,
равшанки, ихтиёрий t б [0, 1J учун Шундай
h ни олиб, куйидаги ифодани курамиз:
w(x0, h) = F(xg + Л) — F(x0) — Fc(x0)h (5)
Y фазога душма булган Y' фазодан бирор у' элемент
олинса, у колда (5) га асосан
w(^0,/z), у' > = < F(xg + h) - F(x0), У' > — t
~ У' > . (6)
360
t сон аргументли ушбу
/(/) = < А(л0 + th), у' >
функция t га нисбатан дифференциалланувчи ва
£/ __ lim. F(xb+th+/\th)—F(xG+th) , __
dt л/-»о д/ » У ->
== < + th№, у' >.
Демак, f(t) сонли функцияга математик анализдан маъ-
лум булган чекли орттирмалар формуласини кулласак,.
< f(x0 + *)-F(x0), у' > =/(1)-/(0)= f I -1 =
= <^(х0 + тЛ)А, у' >,
бу ерда 0<т<1. Бунга асосан (6) формулами куйи-
даги куринишда тасвирлаш мумкин:
< со (х0,А), у' > = < [F' (х0 + тЛ) — у' >. (7>
8.2-§ дан маълумки, ихтиёрий у б У учун
|| у || = sup! < у, у'> |.
хусусан
|| w (х0, z0 II = sup J < <6 (xft, h), у' > J.
лу'п=1
Демак, шундай у' б У (1|у'|| — 1) мавжудки,
4 jh (*о> h) |j | < <d(x0, h), у'>|.
Бу теигсизликдан ва (7) муносабатдан
|и>(х„, Л)||<2| <«(х0, Л). />| = 2|<Ц(х0+т/1) —
- Ц(хс)]h, у'> К 2||Fc(x0 + гй) -.F' (х„)||-|| й||.
Теореманинг шартига кура Fzc(x) росила х га нисбатан
х0 нуктада узлуксиз, бундан
lim ||Z^'(лг0 + тА) — Л;(ХО)Ц = 0.
h-^Q
Демак, w (xft, h) = о (А) ва
У (хо — у (^-о) Ус{р(№ 4~ »
яъни
^с(^о) — У
36Р
Агар курилаётган нормаланган фазолариинг иккин-
чиси, яъни Y сонлар майдоии булса, у ^олда А:Х->-К
функционал булиб, биз дифференциалланувчи функцио-
нал тушунчасига келамиз. Бунда F нинг х0 нуктадаги
досиласн F'{х^— чизикли функционалдир, яъни
Мисол. Н ^акиций Гильберт фазосида F(х) = ||х|Р
функционални оламиз ва унинг Фреше хосиласини то-
памиз. Равшанки,
li х + h IP — [| х |р 2 (х, A) -HI h IP = (2x, h) ф-
Демак,
F'(x) = F'Jx) = 2x, яъни F'Jx) (A) = (2x, h).
Чекли орттирмалар формуласи
X вектор фазода ушбу
pq, х2] == {х: х — Xj ф- /(х2 — xj, 0 < t < 1}
1 туплам кесма дейилади.
Бирор [х0, х] кесмани уз ичига олувчи U очик туп-
ламда аникланган ва [х0, х] кесманинг хар бир нукта-
сида F'c сует косилага эга булган Fa.U-+Y акс этти-
риш берилган булсин. Сунг Дх = х —х0 белгилаш ки-
ритиб, нхтиёрий учун куйидаги сонли функцияни
тузамиз:
/G) = <jp(F(x0 ф ^дх)),
Бу функция [0, 1] ораликда дифференциалланувчи. Дар-
дацикат, <р чизикли булгани сабабли
/(/+ДО-ЛО _ ( Г(х0+Мх+А/Дх)-Г(х0+Мх)ч
м 451 д/ J-
Энди ф нинг узлуксизлигини ^исобга олган ^олда
Д/—>0 да лимитга утсак,
/'(0 == Ф(ЛХхо + t/\x)/\x).
Эиди f функцияга [0, 1] ораликда чекли орттирмалар
формуласини кудласак,
/(0-/(0)^/'("). 0С^1,
яъни
ф (А(х) - F(x0)) = ф(А;(х0 + Т Д'х) Дх) (8)
тенгликка эга буламиз, бу ерда т соя <р га боглик».
362
Шундай килиб, (8) тенглнк ихтнёрий £ Y' учун урин
ли. Бундан
|<р (F(x) — F)x0))| < || <р || sup ||F'fo 4- *Дх)|[-1|Aх||. (9 )
0<т<1
Хан — Банах теоремасига асосан куйидаги тенгликни
каноатлантирувчи- нолдан фаркли ty^Y' функционал
мавжуд:
I <Ро№) “ ^W)l = II То И llF (*) - Л*о)Н
Бу муносабатни (9) га кулласак, ушбу
||F (х) - Г(х„) ||= <
<sup I|F'(x04-tAx)|J-||Ax||
тенгсизлик, яъни
И F (х) — F(x0) i| < sup || F’(xG + т дх) || • || х — xj| (10)
0<т<1
муносабат келиб чикади. (10) муносабатга чекли орт-
тирмалар формуласи деб карат мумкин. Агар (10) фор-
му лада F(x) акс эттириш урнига F(x) — F’c (х0)Дх акс
эттиришнн олсак, куйидаги тенгсизликка эга буламиз:
|]А(х) — F (х0) — Fc'(x0) Дх‘|] <
< sup || F'(xg 4-1 Дх) — А;(х0)Ц || А х || (11)
Бу муносабат бизга кейинчалик керак булади.
13. 2- §. Вектор функциялардан олинган интеграл
Хакикий сонлардан иборат бирор X тупламда аник-
ланган ва кийматлари Y Банах фазосига тегишли булган
F: X -> К акс эттириш вектор функция дейилади.
Агар F вектор функция бирор [а, Ь] ораликда аник-
ланган булса, у холда F функциянинг [а, оралик
буйича олинган интеграли тушунчасини киритиш мум-
кин. Бу интеграл сонли функциядан олинган интегралга
ухшаш киритилади. [a, b] ораликни
а = /() С < /2 < • - • < tn = b
нукталар билан булиб, ^ар бир [/fe, /л+i] ораликдаи
бирор В сон таилаймиз ва ушбу
п—1
k^O
363
интеграл йигиндини досил циламиз. Агар бу интеграл
йигиндиларнинг X = max | (/й+i — /*)( нолга интилганда
[а, Ь] ни булишга ва .парни танлашга боглиц булма-
ган лимити мавжуд булса, у F функциянинг [а, Ь} ора-
ь
лицдаги интеграли дейилади ва J F{t)dt билан бел-
а
гиланади, яъни
Ь л-1
| F(t)dt = lim 2 F(U (^+1 ~ У-
а Х-+0 Л—О
Бунда F(t) функция [а, Ь] оралидда интегралланувчи
ъ
дейилади. Равшанки, [ F(t)dt интеграл К фазонинг эле-
а
менти. Куриниб турибдики, бу таърифнинг сонли функ-
циялардан олинган Риман интеграли таърифидан деярли
фарди йук- Хусусан, агар F [t) узлуксиз вектор функ-
ь
ция булса, у долда J F(t)dt доим мавжуд. Бу тасдик
а
худди сонли функцияларникига ухшаш исбот ланади.
Бу интегралнинг хоссалари Риман интеграли хосса-
ларнга ухшаш. Интегралнинг баъзи хоссаларини кел-
тирамиз.
1-теорема. Агар Z бирор Банах фазоси, Tz Y-+-Z
узлуксиз чизицли оператор булса, ^амда F:[a, 6]->
ь
-+Y вектор функция учун J F(t) dt мавжуд булса,
у долда
b (ь \
$T(F(t))dt = Г j A(Z) d/j.
п \я /
Исбот. Т операторнинг чизикли эканлнгига асо-
сан
л-1
^(У) (4+i-4)=
л=о
(л— 1
2^(У(4+1-4)) =
А=0
364
b
Бу тец1,'1Иада max l&+i— Да лнмитга утсак,
7 нингузлуксизлиги туфайли lim Т(аг) = т
мавжу/’ ва демак» Итогг Дам мавжуд .ва ушбу
j Т (F(i))dt = Т
а
ь
j F(t)dt
а
теиглш^Рма 'Агар F (t) вектор функция [а, Ь] ора-
}злУксиз &Улса' У ^олда
и ь II »II И
Ь ь
J F(t) dt < f F(t) dt.
a
булгани сабабли
в а демак, теоре-
Шу билан бирга
ГЛ ()OT, F (0 функция узлуксиз
11/7//Л1 узлуксиз сонли функциядир,
мадаги 1йжала интегРал хам мавжуд.
Л— 1 п— I
|®г ц=|CS (**+i /*)!! < 2 II ^(Ull • (^+i — Q =
«=0 fe=o
Ev трНгСИЗликда ^->0 да лимитга утсак, талаб ки-
Л1п.тс»- тенгсизлик досил булади.*
Т ^,риф. X, У нормаланган фазолар, F: Х^~ У
а £кс ЭТТИРИШ булсин. Агар X фазода ихтиёрий
4eraiW&HraH М тУплам УчУн F(7W) туплам У фазода
чегяп ^анган булса» у долда F акс эттириш чегаралан-
ган де^илади-
и^йкли булмаган чегараланган акс эттириш узлук-
сиз б^иши шаРт эмас, буни сонли функциялар мисо-
липа х^м кУРИш МУМКИН- Масалан, sgttz R-+ R.
У фазони У фазога акслантирувчи чегараланган акс
этТипи(РлаР тупламини А (X, У) билан белгилаймиз.
Акс ЧрТИришларни цушиш ва сонга купайтириш амал-
ларига нис^атан V) вектор фазодир. Бу фазода
*Н)лни^г атР°ФЛаРи базиси сифатида ушбу
U =/F:sup||F(x)J[<e|
I ЦхК<л J
тйпияи/лаРнИ олиб, топология киритамиз. Равшанки, бу
тополс?гия нинг Ь;ИСМ Фазосида КУ"
РИлса У операторнинг нормаси билан аницланган топо-
логин?0 тенг-
365
X фазодаги бирон / == [х0, х(| 4- Ах) кесмада аниц-
ланган ва цийматлари А (X, У) фазода булган узлук-
сиз F акс эттириш берилган булсин. Яъни лар бир х£/
нуцтага бирор Fx = F(x): X -> У акс эттириш мос цу-
йилиб, бу мослик х параметрга нисбатан узлуксиз бул-
син. Равшанки, F (х{ 4-1 [\х} б А (X, У) акс эттиришнинг
Дх£Х элементдаги F (х0 + /Ах) Дх циймати У фазо-
нинг элементидир, яъни t га нисбатан F(x0 4- /Ах)Дх
функция цийматлари У га тегишли вектор функциядир.
Бундан фойдаланиб, F(x) нинг кесма буйича олинган
интегралини цуйидаги формула билан аницлаш мумкин:
J F(x)dx = J F (х0 4- ff\x)Axdt. (1)
JCD о
Бу интегралнинг мавжуллиги F (xfJ A-t А х) Ах вектор
функциянинг узлуксизлигидан келиб чицади, ва рав-
шанки, бу интеграл У фазонинг элементидир.
Энди акс эттиришни унинг лосиласи ёрдамида тиклаш
масаласини курамиз.
3- т е о р е м а. (Ньютон-Лейбниц формуласи).
F'.X^Y акс эттириш [х0, х()Ц-Дх| кесмада х га
нисбатан узлуксиз кучли F' (х) цосилага эга булсин.
У цолда цуйидаги формула уринли:
хг4 Ах
j F' (х) dx = F (х0 4- Дх) — Л(хс). (2)
Исбот. Интегралнинг таърифига асосаи
Хв+АХ П— 1
J 7?,(x)rfx = Jim 2^(х04^)Дх(4н- Q =
Л'о А -♦ О о
п— 1
?.->() Л-0
бу ерда xk = х0 4- Дх, Ах = (^ft+1 — Дх,
X = max (tk н — 4)-
k
Шу билан бирга, равшанки,
л-1
F (х0 -4 Дх) — F (хС1) = 2 <хо + r*+i Ах) —
Л=0
л— 1
~ F(xb + ^Ах)1= 2 I — F (**)]
*=0
3GG
Демак, 13.1-§ даги (11) тенгсизликка асосан
п-1
112- F w+F'(xk Axi о
п—1
< 1|Дх||У (4+1 — **) sup IIР (Xk + -Ах) — F' (Xk) ||. (3)
k— 0 0<т<1
Теореманинг шартига кура F'(х) акс эттириш [х0, х04-
4- Ах] кесмада узлуксиз, ва демак, текис узлуксиз.
Бундан X -> 0 да (3) тенгсизликнинг унг томонидаги
ифода нолга интилади, чунки
л-1
2 (4+i — sup 11 F'(xk + тДх) — F' (хА)|1
ft—O 0О<1
< max sup || F' (xk -f- t&xk) — F' (x^ || -> 0, X -> 0.
0<Л<л—lOC^C1
Демак,
Л-1
lim J| F(x0 Ax) F(x^ 2 F C^*) Axft|| ~
fe=0
n-1
= lim |l 2 (^+0 ~ F W F' WAxa1,I я °»
*-0 ft= 0
яъии
n-1 Хп+дл
F(x{! 4- Ax) — F(x0) = lim 2 F’ (Х/№ХУ~ J*
X->0 Ao
!3.3-§. ГОцори тартнбли ^оснлалар
Нормаланган X фазони нормаланган У фазога акс-
лантирувчи FzX-^У акс эттириш ^ар бир х£Х нук-
тада F'(x) кучли оси л аг а эга булсин. Маълумки, F'(x)
^ар бир х учун X фазони У фазога акслантирувчи чи-
зицли чегараланган оператордир, яъни F' (х) G А (X, К).
Демак, F' акс эттириш X фазонинг х элементига L (X, У)
фазонинг бирор F' (х) элементики мос цуяди. Натижада
Л':Х-э-Л(Х, К) акс эттириш ^осил булади. Агар F'
акс эттириш хам дифференциалланувчи булса, у холда
унинг хосиласи F акс эттиришнинг иккинчи ^осиласи
дейилади ва F" билан белгиланади. Бунда, равшанки,
F" (х) оператор L (X, L (X, Г)) фазонинг элементидир.
367
Иккинчи росила тушунчасини бошка йул билан, би-
'чизикли акс эттиришлар (1. 6- :§) орцали цам киритиш
мумкин. Шу масалага тухталиб утамиз.
Таъриф. X фазонинг тартиб билан олинган цар бир
жуфт (х, х') элементига Y фазонинг бирон В (х, х')
элементи мос куйилган булиб, куйидаги икки шарт
бажарилса, В (х, х') бичизикли акс эттириш дейила-
.ди:
1) ихтиёрий xlt х2, x'vx'2£X ва а, р сонлар учун
В(аХ1.+ ₽Х2, Х]') = а/?(х|, xj) + р В(х2,х\)>
в (xlt ах; + рхр = 0.В (xlt х\) ч- РВ(ХЬ х');
2) шундай М мусбат сои мавжудки, ихтиёрий х,
х £Х учун
||В(х, х')||</И|]х||-||х' |(. (1)
Демак, 1.6-§ дан маълум булган 1) шартдан ташкари
В(х, х') акс эттиришнинг дар бир аргументи буйича
чегараланган булиши талаб килинадн. Хусусан, (1)
тенгсизликдан. равшанки, В:ХхХ-+У акс эттириш
иккала аргументга нисбатан биргаликда узлуксиз. В (х,х')
бичизикли акс эттиришнинг нормаси куйидагича кирити-
лдди:
IIВ || = inf {/И: ||В(х, х')||<7И||х|| <Цх'!|}.
Бичизикли акс эттиришларнинг йигиндиси ва сонга ку-
пайтмаси хам бичизикли эканлиги бевосита куриниб
турибди. Демак, бичизикли акс эттиришлар нормалан-
ган вектор фазо косил цилади. Бу фазо В(Х2, У) билан
белгиланади. Равшанки, У Банах фазоси булса, В (X2, У)
хам Банах фазосидир.
L (X, L (X, У)) фазонинг кар бир А элементига ушбу
В (х, х') — (Ах) ( х')
тенглик ёрдамида В (X7, У) фазонинг бирор В элемен-
тики мос куямиз. Равшанки, А~+В акс эттириш чизик -
лидир. Аксинча, В(№, У) фазонинг хаР бир В элементи
учун В(х, xz) акс эттириш х элемент тайинлаб олин-
ганда х' га нисбатан чегараланган чизикли оператордир:
(А х) (х') = В (х, х'). Демак, А -> В мослик L (X, L(X, У))
в а В(Х2, У) фазолар орасидаги чиз’ицли изоморфизмдир.
Биз унинг изометрик изоморфизм эканлигини исботлай-
миз. Ихтиёрий х, x'QX учун
Я В (х, х') || = || (Ах) (х')Ц < |1 Ах Ц || х' II < |1 А || Н х || || х' Ц,
368
демак, ||В||< || Л ||. Шу билан бирга
|| Дх || = sup К (Их) (х') || = sup || В (х,х')||<||В|| • [|х||,
llx’lKl ||A-'JJ<1
яъни ||Л|К|[В||. Бундан ||Л|| = ||В||.
Шундай килиб, В(Х2, У) ва L (X, L(X, Y)) узаро
изометрик изоморф нормаланган фазолардир. Демак,
FxX-^У акс эттиришнинг иккинчи хосиласини В (X2, У)
фазонинг элементи деб хисоблаш мумкин.
Шунга ухшаш, F:X->Y акс эттиришнинг учинчи,
туртинчи ва ^оказо тартиблп л ос ил а лари тушунчасини
киритиш мумкин. Бунда п- тартИбли росила (п — 1)-
тартибли хосиланинг хосиласи деб олинади. Равшанки,
п-хосила
L(X, ЦХ, . • , L (X. Г) . . .)
фазонинг элементи булади. Бу хосилага п- чизицли акс
эттириш деб Каралса булади.
Таъриф. X фазонинг элементларидан тузилган тар-
тиб билан ёзнлган хар бир п элементли (xt, х2, - -., хп)
системага У фазонинг N (х,, х2, • - - , хп) элементи мос
Куйилиб, куйидаги икки шарт бажарилса, X акс этти-
риш и- чизикли дейилади.
1) N(xit х2, • - • , хп) хар бир аргументга нисбатан
ч из и ц ли;
2) шундай М мусбат сон мавжудки, ихтиёрий xlt
х2, . ., хп £Х учун
[|/V(x]t х2, , x„)|l 7И |)х( 1||1х2|| . . .||х„|1.
Шундай килиб, F акс эттиришнинг п- хосиласини п-
чизицли акс эттиришлар В (Хп , К) фазосининг элементи
деб олиш мумкин.
Мисол. X~Rm, У = Rn чекли улчамли Евклид
фазолари учун дар бир чизикли Т: X~+У оператор (nyjnj
матрицадир. Демак, F-.X-^У акс эттиришнинг % С X
нуктадаги F' (х) хосиласи х га боглик булган Т матри-
цадир. Агар X ва У фазоларда мос равишда
^2> • > ва Д, Д, ... * Ул
базислар булса, у х°лДа х^Хг у£ У учун
х = Xi е I Т х^ 4~ - • - хт ет,
У Уifi + Уг/з + • • • + Уп/п‘
24-239
369
Демак, у = Д(х) акс эттиришни ушбу
У1 = Л (*i, *2, • - • , *т),
у2 = Д2(х1, х2.....хт),
yn = Fn(xit х2,... , хи)
курииншда ёзиш мумкин. Бунда
/?'И=
дУ1
дх2 дХщ
<?У2 бУ2
dxj дхт
дуп ^Уп дуп
<?X.J дхт
F” (х) иккинчи росила эса куйидаги nyjnyjn та сон
билан аиицланади:
a - 6‘'s"
к’ t' > дх&х/
Бу соилар ёрдамида ушбу
Л
^k.j = 2Й&, i,
г =1
4 ср мула сркали X~>Z(X, К) чизикли акс эттиришни
ш
Ук= 2 af i. ixtxi
Л/-1
44 mj ла ср I ал и зса X X К бичизикли акс эттириш
ни аиидлаш мумкин.
13.1-§ да FzX-^Y акс эттиришнинг х иуктадаги
кучли дифференциали деб F' (х) чизикли операторнинг
Л Q X элемеитдаги dF — Fr (х) h кийматига айтган эдик.
F акс эттиришнинг иккинчи тартибли дифференциали
деб F" (х)бВ(Х2, Y} бичизикли акс эттиришнинг (й, й)
элемеитдаги кийматига айтилади, яъии d2F =
«= F" (х) (й, й). Шунга ухшаш п- тартибли дифференциал
деб ушбу
dnF = F^(x) (й, й, . , .,h)£Y
элементга айтамиз (Я")(х) £В(Хп, У)).
370
Энди 13.1-§ дагн (1) тенгликни умумлаштиради-
ган Тейлор формуласини келтирамиз.
1-теорем а. X фазонинг U очах тупламида аних-
ланган F\U-*-Y акс эттиришнинг п-тартибли
F<n> (х) хосиласи ихтиёрий x£U учун мавжуд бул-
син. Агар F(n> (х) акс эттириш U тупламда х га
нисбатан текис узлуксиз булса, у холда хуйидаги
тенглик уринли:
F{x-\-h) — F (х) ~ F' (х) h 4- -L F" (x) (ft, ft) 4. ... 4-
+ тп F{n} (*) (ft, ft, .... ft) 4- co (x, ft), (2)
бу ерда || co (x, ft) |] = о (|| ft |] ” ).
Исбот. Теоремани индукция ёрдамида исботлаймиз
п = \ учун (2) тенглик 13. 1-§ даги (1) муносабат би-
лан устма-уст тушади., Энди (п—1) учун (2) тенглик
уринли деб фараз килайлик. У ^олда (2) тенгликни F'
акс эттиришга (п — 1) учуй кулласак, ушбу
F' (х + ft) = F' (х) + F" (х) (fi) 4- 1; F-" (х) (fi, h) +... +
+ (Й=Т)1 (A. x, , ft) + <«, (x, h) (3)
тенглик келиб чикади, бу ерда || w, (х, ft)l| =* о(||Л||п~1)-
Хосил булган (3) муносабатни [х, х 4- ft] кесма буйича
интегра ллаб, Ньютон-Лейбниц форму ласидан фондалан-
сак (13.2-§, 3-теорема), у^олда
1 1
F(x 4- ft)—F(x) = J F' (x 4- th) ft di = J {F' (x) 4-
0 0
+ IF" (x) (h) + F F'" (x) (Й, ft) + . . . +
+ (ijji W <л- h..............h)}hdt+ R„.
бу ерда Rn — f ш, (x, th) h dt. Бундан
0
F(x + /i) -F(x) = F'(x)ft +1, F"(x) (ft, h) + . . . +
+ ij en'(X)(h, й................./>)+/?„
371
Шу билан бирга
1
|1/?„||< f II<», (х, /Л)||-||А||Л = О(||Й|)").,
О
Теоремадаги (2) тенглик Тейлор форму ласа, дейилади.
МАШК УЧУНМАСАЛАЛАР
1. Сует ^осилалар учуй мураккаб функцияни диф-
фереициаллаш цоидаси уринли эмаслигиии курсатувчи
мисол келтиринг.
2. Гильберт фазосида jjx|J фуикциоиалиинг ^осила-
сини топинг.
3. Вектор функция сует диффереициаллаиувчи булса,
у кучли дифференциалланувчи булишиии исботланг.
4. [а, Ь] оралицда узлуксиз булган F вектор функ-
ь
ция учун \F(t)dt интеграл доим мавжудлигини исбот-
а
ланг.
5. [«, Ь] оралицдаги F вектор функция учун |[Г(/)Ц
интегралланувчи булса, цуйидаги теигсизликни исбот-
ланг:
ь ь
1иг(/)лц^Л|Г(01|Л.
а а
6. Чегараланган, аммо узлуклн акс эттиришга мисол
келтиринг.
7. Агар Y Банах фазоси булса, £?(Х2, У) фазо тула
эканлигини исботланг.
XIV боб
ВАРИАЦИОН ХИСОБ ЭЛЕМЕНТЛАРИ
14.1- §. Экстремумнинг зарурий ва етарли шартлари
Вариацион хисобнинг асосий масаласи — функционал -
ларнинг экстремумларини топишдир. Бу параграфда вариа-
цион хисобнинг бошлангич масалаларига тухталиб ута-
миз.
1. Экстремумнинг зарурий шартлари.
F Хакикий функционал X Банах фазосида аникланган
булсин. Агар нуктанинг бирор атрофидаги ихтиё-
рий х учун F(x)—F(xo)>O (0) тенгсизлик Iбажа-
рилса, F функционал х(} нуктада минимумга (максимумга)
эга дейилади, х0 нукта эса минимум (максимум) нуцтаси
дейилади- Максимум ва минимум нукталари F учун экс-
тремум нукталари дейилади.
Математик анализд&н маълумки, п узгарувчили f
функция х0 = (х®, х®, .. . , х®) н-уктада экстремумга эга
булиб, дифференциалланувчи булса, у холда df ~ 0, яъни
б/ = = o
дхх дх2 ’ ‘ дхп
Экстремумнинг бу зарурий шарти ихтиёрий иормалан-
ган фазолар учун хам уринли.
1- теорема. Дифференциалланувчи Fфункционал
х0 нуцтада экстремумга эга булиши учун унинг х0
нуцтадаги дифференциала %ар бир h да нолга тенг
булиши зарур, яъни
F.W^O.
Исбот. F дифференциалланувчи булгани сабабли
F (х0 4- А) — F(x0) = F' (хс) h 4- о (А).
Агар F' (х°) h бирор h С X учун нолдан фаркли булса,
етарли даражада кичик А хакикий сон учун F' (хп) (Х/г) 4-
4- о (ХА) ифоданинг ишораси F' (х0) (лА) нинг ишораси
билан бир хил. F' (х0) чизикли функционал булгани са-
бабли F' (х0) ()/г) =AF' (х0)й. Демак, агар F' (х0)А 0
булса, F(x0^-h) — F(xi) айирма А етарли кичик булган-
да мусбат хам, манфий хам булиши мумкин, яъни х0
нуктада F экстремумга эга эмас.
873
М исоллар. 1. С [я, />] фазода ушбу
ь
F(x)^f(t,x(l))dt
а
функционални курамиз. Агар f функция биринчи тартиб-
ли узлуксиз ^осилаларга эга булса, F функционал С[а,Ь]
фазода дифференциалланувчи. Х^Кикатан,
ь
Г(х 4 А) — F(x) — J [/, (/, хф А) —f(t, х)] dt ==
а
b
= J fx {t, х) h (t) dt 4- о (/г).
а
Бундан
ь
dF ^-\j'x (/,x(/))A(/)JZ.
а
Аг ар ихтиёрий h£C[a,b] учун dF—Q булса, у холда
fx (/, х)~0. Хациьатан, ихтиёрий х(/)£С[а, А] учун
fx (^х) функция t га нисбатан узлуксиз. Агар у бирор
€ [«, />] учун нолдан фаркли булса, яъни масалан,
fx х (*о)) > 0 булса, у лолда tb нинг бирор (а, р) атро-
фининг Л'ар бир t нуктасида /(/,%(/))>0.
Демак, ушбу
/z(Z) =
(Z — а) (р — /), а С t С р,
О, долган t£\a, b] учун
функцияни олсак, у ^олда
*
(t,x(t))h(f}dt> 0.
а
Бу зиддият fx(t, %) = G эканлигини курсатади. Демак,
Л’ (/)) == О тенглама F функционал экстремумга эга
булиши мумкин булгаи х(/) эгри чизикнинг теиглама-
сидир.
374
2. C[a,b] фазода ботща функциочаянц огаииз :
ь ь
F(x) = J J
а а
бу ерда /С(^1, £2) функция Д' (^, £2) — /f(£2, £1) шартниканоат-
лантирувчи узлуксиз функция. Сунгра
> b ь
F(x + Л) - F(x) = j J K(i„ У [(x(У 4-
+ h &)) (x (e2) + h (?2)) — x (ct) x 02)J dzK d-2 =3
b b
= И К (Е,, У [X (E,) Л(Е2) + x h (?,)] dg, dE„ +
a a
b b b b
+ИК^ , E2) h (E.)h (УdE, dE2 = ^K^tM)X^}h(^l^+
a a a a
b b
+ J Jk (51. Ег)х(Е2)Л (E,)dE1 d& +
a a
b b
+ j 0t,E2) h (5,) h (Es) ds, dEa«
a a
b b
= 2 J f K(it, E2) x (5.) h di, di2 4-
a a
b b
+ fJ/Ca„E2)A(E,)A(E2)dt,dE2,
a a
b b
бундан dF ='2 J J/C(elt £2) x (^) h (^8) dk2-
a a
Демак, x^C[a,b] экстремум нуцтаси булса,-у долда
ихтиёрий h£C [а, Ь] учун
ь
J У X (Е,) Л (У dg, dE2 = 0.
а а
Буидан 1- мисолдагидек, ихтиёрий учун
ь
fKa,E2)x(E,)dE, = 0
а
тенглик келиб чидади.
375
х га нисбатан бу тенгламанинг ечимларидан бири
X0. Бошка ечимлар бор-йудлиги/С(сп Е2) функцияга
боглик ва у душимча текширишларни талаб диладн.
2. Экстремумнинг етарли шартлари. Яна п
узгарувчилифункцияларга дайтсак, df=Q шартни даноат-
лантирувчн (х®, х?, ...» х®) нудтада экстремум мавжуд-
лиги иккинчи дифференциалга боглик. Анидроги, куйида-
ги иборалар уринли:
1. Агар /(ха, х2, - . . , хл) функция (х®, х®, . . . , х®)
нудтада минимумга (максимумга) эга булса ва d2f маш
жуд булса, у ?;олда бу нудтада
d3/>0 (d2/<0).
2. Агар (х®, х®, . .. , х®) нудтада ушбу df—Q,
2 л.<:7 dx‘ dxk > 0 (< °) (3i; dxi =#= °>
i, Ы ’ 1 R
муносабатлар уринли булса, у ^олда /(х) функция бу
нудтада минимумга (максимумга) эга.
Бош дача килиб айгганда, df~Q шартни каноатлан-
тирувчи нудтада минимум (максимум) булиши учун <Z2/>0
( < 0) булиши зарурий шарт, d2f > 0 (< 0) булиши эса
етарли шарт.
Энди шу масалаларни ихтиёрий Банах фазосидаги
функционаллар учун курамиз.
2- теорема. X Банах фазосида аникланган F\а-
циций функционал х0 б X ну ц танине барон атрофида
узлуксиз иккинчи тартибли ^осилага эга булсин.
Агар шу функционал х0 нуцтада минимумга эга бул-
са, у ^олда ихтиёрий h£X учун
F" (х0) (A, А) О.
И с б от. 13.3- § даги Тейлор формуласига асосан
F (х„ + Л) - F(x0) = Р (х0) h + ~F" (х„) (h, Л) + о (|( h ||!)-
Функционал х0 нудтада минимумга эга булгани сабабли
1 - теоремага асосан F' (х0) h == 0.
F(xu + h)~F(X<1) = -lsF"(XoHh,h)+o (||й||2)- (1)
Агар бирор ЛСХ учун F"(хс) (й, А) < 0 булса, у золда
(АТ) (е ej^) = F" (-^о) (^7, тенгликка асосан F" (х0)
376
(h, h) < 0 шартни даиоатлантйрувчи h векторнинг норма-
сини ихтиёрий кичик килиб танлаш мумкин. Аммо || h ||
кичик булганда ~ F" (xb) (h, h) -4-о (|| h || ) ифоданинг и шо-
рней /7//(х0) (//,//) нинг ишорасига тенг, яъни
F(x0 + A)—F(x0) <0.
Бу эса'х0 цинг минимум нуктаси эканлигига зад.
Максимум нуктаси учун кам шунга ухшаш теорема
уринли.
Экстремум мавжудлигининг етарли шартини Банах
фазоларига тугридан-тутри утказиш мумкин эмас. Яъни
агар F"(x()(h,h) О (/? 0) булса, х0 нудтада минимум
булиши шарт эмас.
Мисол. /2 фазода функционални дуйидагича кирита-
миз:
СЮ 2 ©о
Г(х) = ~ Х = ’ Х» • • •) 6 Z2-
n=l л—1
6 нудтада биринчи дифференциал нолга тенг, чунки
©о 2 00
г(е + А)-г(в) = 2 -^-2^
п—1 п==1
ва
Иккинчи дифференциал эса
= 0.
НА П-О
в0 h2
2 2 ут Каторга тенг,
Н=1
яъни
ихтиёрий h учун мусбат.
£ Аммо 6 нудтада функционал минимумга эга эмас.
^адидатан,
Г(6)=О, F(0,0........о,А о,...) = !-! <0,
яъни нолнинг ихтиёрий атрофида шундай х нуд та мав-
жудки,
F(x) < F(6).
Келтирилган мисолдан равшанки, функционал бирор
нудтада экстремумга эга булиши учун кучлирод шартлар
керак.
377
ap Z? (ху) бичизикли функционал булса, В (х, х)
функционал х га нисбатан квадратик функционал дейи-
лади. Агар шундай с>0 сои мавжуд булсаки, ихтиёрий
х б X учуй В (х, х) >- с || X ||2 тенгсизлик бажарилса, В (х,х)
квадратик функционал кучли мусбат дейилади.
3- теорема. X фазодаги Fфункционал х0 нуцта-
да минимумга эга булиши учун цуйидаги шартлар
кифоядир:
1) dA(xo) = O;
2) d~F (х0) — кучли мусбат квадратик функционал.
Исбот. Хакикатан, ^2Д(х0)(й,/г)^>г ||й||2 ва с > О
булсин. е мусбат сонни шундай танлаймизки, l| h II < е
булгаида (1) формуладаги о (||А||2) сон учун о(||А||2) <
< 1| А ||2 тенгсизлик бажарилсин. Бу холда (1) форму-
лага асосан || h || < е учун
F (х„ + h) - F (х„) = 1 F" (xj (h, й) + о (|| h |Р) >
>4₽11й||2-4с11а112=4с«ап2>о.
яъни х0 минимум иуктаси.
ь
»4. 2- §. J/(Z, х (/), х' (/)) dt куринишдаги
а
функционалларни экстеремумга текшириш
NaTCMaiHKa га мехагикагинг турли масалалари
ь
F(x (/)) = j7(Z, х (/), х’ (/)) dt (1)
а
функционалнинг С1 [а, Ь] Банах фазосида экстремумини
Хисоблашга келтирилади. Агар интеграл остидаги f(t, х,у)
, „ df df
функциянинг хусусий хосилалари мавжуд ^а узлук-
сиз деб хисобласак, F (х(/)) функционал Фреше маъно-
сида дифференциалланувчи булади. Аввалги параграфдаги
экстрему мнинг зарурий шартнга биноан F(x(t)) фуикцио-
налнинг экстрему ми (агар у мавжуд булса)
F'(%„(/)) = 0 (2)
тенгламани цаноатлантиради. Демак, функиионалнинг
экстремал кийматини берувчи xQ(t) функцияни фадат (2)
378
тенгламанинг ечимлард орзсица излаииииз керак. Хусу-
сан, агар (2) тенглама ечимга эга булмаса, экстремум
мавжуд эмас.
F(%(/)) функционалнинг кучли дифференциалини ^и-
соблаб, ушбу ифодани ^осил цияамиз:
ь
F'(х(0) h (t) = f [fxh(/) + fx,h' (01 dt,
a
г df г df
бу ердаД-jj
Демак, (2) га кура ихтиёрий Ь} учун
ь
,[1А*(0+Д,л'(ОИ<=о (3)
а
муносабат бажарнлиши зарур. Агар^- /д.г мавжуд ва уз-
луксиз деб фараз килсак (аслида бу талаб ортикча экан-
лигини кейинрок курсатамиз), булаклаб интеграллаш ёр-
дамида ушбу
ь ь
\fx.h' (/) dt = Д, й (01 ‘ - f йД. • h (о dt
а а
тенгликка эга буламиз. Демак, (3) куйидаги куринишда
ёзиш мумкин:
ь
J [л - й Д’]л & dt+Л-<*-х <*)х' W h (*) -
—f x> (а, х (а), х’ (a)) h(a)~=0.
Бу ерда h (t) £ С1 [а, Ь] ихтиёрий булгани учун:
fx. (а, х (а), х' («)) = 0; fx, (b, х (Ь), х (Ь)) О, (4)
ь
hfx~3i^,l^dt = 0 <5>
а
шартларни ^осил киламиз.
Лемма (Лагранж л е м м а с и). Агар <р(/) узлуксиз
функция булиб, ихтиёрий h(t) £Сг [а, Ь) функция учун
ь
а
тенглик бажарилса, <р(/) = 0 булади.
379
Лемманинг исботи содда булгани учун буии уцувчи-
нинг узига цавола циламиз.
Демак, леммага кура (5) шартни цуйидагича ёзиш
мумкин:
Л-|-Д.-о. (6)
Шундай цилиб, x(i) функция (1) функционалнинг экс-
трем у мини бериши учун (4) ва (6) шартлар бажарилишн
зарур. Равшанки, (6) шарт х (/) га нисбатан иккинчи тар-
тибли дифференциал тенглама. Одатда (6) тенглама Эйлер
тенгламаси дейилади, тенгламанинг цар кандай ечими
F функционалнинг экстремали дейилади-
Мисол.
1
F (х (0) = f {х2 (0 - 2 tx (0 4- [х' (О)2- 2 х' (/)+t}df
. о
функционални экстремумга текширайлик. Бу ерда
/(Л х (0, х' (/)) = х2 (0 — 2tx (0 -h [х' (0F — 2 х' (0 -Н-
Эйлер тенгламаси (6) цуйидаги куринишга эга:
2х(0 - 2t - ~ [2х' (0 - 2] = 0,
яъни х" (0 — х (/) + t — 0.
Бу теигламанинг умумий ечими
х (0 = 14“ е*[Ц- с% е \
Узгармас сг ва ларии топиш учун (4) шартлардан фой-
даланамиз:
/х, = 2х' (0-2,
яъни
2-х' (0) — 2 2х' (1) — 2 = 0,
демак
х' (0) = xf (1) = 0; — с2 0.
Шундай цилиб, F(x(Z)) функционал фацат x(t) — t
функциядангина экстремумга эришиши мумкин. Топилган
ечим цацицатаи цам F {х (0) функционалнинг минимуми-
ни бериши ушбу тенгсизликдан келиб чицади:
1
Г (X (ty> = f flx(O - + [x’ (0 - 1Г + i - f‘ - 1} dt
0
1
(t~F-^\)dt^F(t); у*(0€СЧ0,1].
о
380
Юцорвда биз (1) функционални С1 [а, Ь] фазода кеч
цаидай кушимча шартлар цуймаган колда экстремумини
топиш масаласини курдик. Лекин купгина амалий маса-
лалар экстремумни бутун С1 [а, 6] фазода эмас, балки
баъзи кушимча шартларни каноатлантирувчи туплам ос-
тида излашии такозо килади. Масалаи, (I) функционал-
нинг экстремумини
А/ = {x(t)£Cl [а, 6]: х(а) = А; х(Ь) = В}
функциялар синфида топиш масаласи вариацион ?{исоб-
иинг асосий масаласи дейилади. Бу ^олда h (t) оргтирмани
шундай танлашимиз керакки, натижада булса,
х (О + h (t) Е М бажарилиши зарур. Демак, h (а) = h (£>)=0.
Бу тенгликни кисобга олсак (3) дан
ь
Р (х (0) h (/) = J [Д - £ Д.] h (/) dt
а
ни эрэсил киламиз. Яъни асосий масала учун экстремум-
нинг зарурий шарти (Эйлер тенгламаси) куйидагидан
иборат:
Л - = 0; х (а) А; х (Ь) = В. (7)
Мисол. Текисликда (а, А) ва (Ь, В) нукталарии бир-
лащтирувчи ва узунлиги энг киска булган силлик чизик-
ни топинг. Равшанки, аналитик формада масала куйида-
гича ёзилади:
х (а) = А, х (b) =s В, х (В) б С1 [а, Ь] функциялар ичида
ь
J V1 + IX (012 интегралнинг эиг кичик кийматиииберув-
а
чи функцияии топинг. Бу ерда /(£, х(0, Х'(О)=/ 1+К(012-
Демак, (7) га кура:
. — о; Х(а) = А, х(6) = В,
dt \ г 1 +[*' (ОБ/
яъни
х' (t) _
/1-+[^(ОР
381
Демак, х (/) = ct t J- c2> Узгармас cA ва c2 ларни x(a) — A
ва x (ЭД — В шартлардан топамиз. }Kaeo6z
x{t)
v 1 a— b 1 a— b
Юцорида Эйлер тенгламасини келтириб чицаришда биз
/х. ни м авжуд ва узлуксиз деб дисоблаган эдик.
Равшанки, ^-fx, мавжуд булиши учуй x"(t) мавжуд бу-
лиши зарур, яънй изланаётган ечим х (/) б С2 [а, ЭД булиши
керак. Хакикатан, агар f{tt х, у) функция t,x,y лар
буйича етарлича силлик булса (масалан /£С2), ечим,
х (/)6С2[ а, ЭД эканлигини исботлайлик.
Лемма (Дюбу а-Р еймон леммаси.) Агар <? (<)♦
ф (/) б С [а, ЭД булса ва х (а) = х (Ь) == 0 шартни каноат-
лантирувчи ихтиёрий x{t)QC[a, ЭД функция учуй
ь
f[?G)x'(0 + 'H0x (01^ = 0 (8)
а
тенглик бажарилса, у холда ср (/) £ СЭДя, ЭД ва у' (t) = ф (/)
булади.
Исбот. (8) тенгликнинг чаи томонидаги интеграл ос-
тидаги иккинчи ку шилу вчини булаклаб интегралласак:
ь t t
j [<р(0 — УФ(ЭДб/эдх'(о^+^(О Jф=
а а а
b t
— J [<р (ЭД — J Ф (s) cfs] х' (£)dt = 0.
а —а
t
Энди g (ЭД — <р (/) — J ф (s) ds белгилаш киритиб, g (/) ==
—а
с= const эканлигини курсатамиз. Хакикатан, акс ^олда
шуидай а, PC [а, ЭД топиладики, у э$олда g (а) g (р).
Аник лик учуй g(«’ булсии. Шартга кура, g (/)
узлуксиз функция булгани учуй а ва р ни [я, ЭД сег-
меитнинг ички иукталари деб ^исоблашимиз мумкин. Суиг-
ра 8 > 0 сонни шундай танлаб олайликки, натижада
[а — о, а 4- 8] с: [а, Ь]; [р, — Б, ₽ + 8] с [а, ЭД;
ва ихтиёрий | s | < 8 учун
g(S_]_a)_ g(s-hp)>e>0
шартлар бажарилсин.
882
Энди x0(t) функцияни куйидагича оламиз:
( — (t—а 4-8) (/ — а — 8), агар i £ [а—8, а 4-8]
^(0 = (/-₽ + В)(г-₽-8), агар ^[₽-М+Ч (Ю)
10, t нинг бошка кийматларида,
Камда х0 (0 функция (х0 («) =а 0 шартни каноатлантирсин.
Тузилишига кура х0 (О С С1 [а, Ь] ва
ь
•K0(ft) = f*o (z) ^ = 0,
а
демак, х0(/) функция леммаиинг шартларини цаноатлаи-
тиради. Лекин,
b а+6 р+г
{g(t)x'0(t)dt=; ( g(t)x'0(i)dt ± j g(t)x'0(t)dt=*
a а—в ₽-6
8
= J [g(a4-s)“^(₽ + s)](B —s)(8-f-s)ds>
s
>е \ (8 —s)(8 4-s)ds > 0.
—г
Охирги муносабат эса (9) га зид. Демак, g (t) Ф const
зиддиятга оли5 келади. Шундай килиб:
t
g (0 ~ <Р (0 ~ f Ф(5)ds = const,
а
ЯЪНИ
t
<Р (/) == J ф (s)ds 4- const G С1 [a, &J,
а
ва <р' (/) = ф (/). Лемма исботланди.*
1- теорема. (Гильберт теоремаси). Агарл:0(/) функ-
ция Эйлер тенгламаси (7) нинг ечими булиб, х0 (t) буйлаб
^-^^-=^0; x*~x0(t); y = x'Q(tyt
шарт бажарилса, x0(t) функция С2 [а, га [тегитли бу-
лади.
383
Исбот. Ошкормас функцияни дифференциаллаш ха-
цидаги теоремага кура:
/ _±f _ f _d^f{t,x,x') ^f(t,x.x') f-
Jx dt fx, Jx дхг., . X - дГдх, x —
d2f(t, x, x') __
dt dx ~~ u»
яъни
&L y" , - &f , df
дх’Ух <dxdx' ' dt dx ~ fa ~ U
Бу ерда 5^0 ва /(/, х,у) функция С2 синфга тегиш-
ли булгани учун (11) тенгламанинг ечими x0(£) £ С2 [а, Ь}
булади.
Асосий масала учуй экстремумнинг цушимча зарурий
шартларидан яна бири куйидаги теоремада келтирилгаи.
2- теорема. (Лежандр теоремаси). Эйлертенг-
ламаси (7) нииг ечими xG(t) функция (1)функционалнинг
минимумиии бериши учуй ихтиёрий t б [а, Ь\ да
ю)>о (12)
тенгсизликнинг бажарилиши зарурий шарт.
Исбот. (1) функционалнинг Фреше маъносидаги ик-
кинчи тартибли дифференциалини хисоблаб ушбу ифода-
ни хосил циламиз:
ь
d‘F=^ к* (0 + 2ДХ.• h(0Л'(О + Д.,.(Л*(0)21 dt.
а
Уртадаги кушилувчини h (а) = h(b) = 0 эканлигини
Хисобга олган холда булаклаб интегралласак:
ь ь ъ
2 f h (t)K (t) dt = Jdh> (0 = - J Й2 (Z) • dt.
сл a ci
Демак;
b
d'- F= J [P(< )A! (/) + (К (<))’] dt,
a
бу ерда P(/) = 4 (Лл - 4д.г’ )•
Эи ди х0(/) — Эйлер тенгламасининг ечими булиб, (12)
шарт бажарилмагаи деб фараз килайлик. Демак, бирор
. ЗМ
tf> Е [а, ь\ Учуй fx,x, (/0, х(; (/0),х' 09) < 0 булсин. У холда
/0 нинг етарли кичик атрофи U да хам fxrx,(t, xv(t),x'0(t)) < О
булади. Танлаб олингаи U атрофнинг ташдарисида
нолга тенг булган hQ(t) £С' [a, Ь\, функцияни шундай
олайликки, бунда
ь
f Рад (0 + г4, (О)2] < о
а
тенгсизлик бажарилсин. У холда hn (/) = -!- Ас (/), п —
= 2, 3, ... . орттирма учун Тейлор формуласига кура:
F(х0 (/) + hn (/)) — (/)) F' (х0 (/)) (0 +
+ 4!Р’(х0(0)(Ля(О. МО-*- я
бу ерда II Rz || = 0 (|| hn ||2). Иккинчи томондан || hn (/) || =
41Uo(OII->0 ва х0 (/) — Эйлер тенгламасининг ечими
булгани учун F'(х0 (0) (0 = 0. Демак, етарли катта п
натурал сон учун
F (хс (/) + й„ (/)) - F (х„ (/) = ±й2 F + R2 < 0,
яъни х0(/) функция А(х(/)) функционалнинг минимум
иуктаси була олмайди.
Юцоридаги (12) тенгсизлик Лежандр—Клебш шарти
дейилади. Равшанки, максимум нудтаси учун Лежандр—
Клебш шарти куйидагича ёзилади:
Л'х' (z« хо (*))< °* V z №, &1.
Адабиётларда (1) функционалдаги интеграл остидаги
/(/, х (/), х' (/)) функция лагранжиан дейилади. Лагранжи-
аннинг баъзи хусусий холлари учун Эйлер тенгламаси-
нинг биринчи интеграли оеонликча топил ади. Мисол та-
рикасида куйидаги икки холни курайлик.
1) Лагранжиан факат t ва х' (/) га боглид, яъни
f(t,x' (/)) куринишда булсин. У холда Эйлер тенгламаси-
га кура:
яъни биринчи тартибли
fx, = const (13)
25—239
385
дифференциал тенгламани ^осил циламиз. Мехаиикада f .
импульс интеграла дейилади ва p(t) ортали белгила-
нади.
2) Лагранжиан факат x(i) ва х'(t) га боглйк» яъни
/(х (/), х' (/)) куринишда булсин. У золда Эйлер тенгла-
масинннг биринчи интеграли цуйидагича ёзилади:
х’ • fx. —f— const.
Хацицатан, Н (f) = х' Jx> —f белгилаш кирИтиб ~ ^оси-
лани зисоблайлик, Мураккаб функцияни дифференциал-
лаш формуласига кура:
d-
Эйлер тенгламасига ^биноан fx — — fx, — 0. Демак,
яъни
H(t) = x'-fx, — / = const. (14)
Механикада Н(I) функция энергия интеграли дейилади.
14.3- §. Изопериметрик масала. Шартли экстремум
ь
С1 [а, фазода Fo (х (/)) = [/0 (/, х (t),(xf (/)) dt функ-
а
ционалнинг
ь
Ft{x (/)) « J x(t),x' (/)) dt~ a,; i= 1,2, . . . , m
a
ва x (a) — A; x(b)~ В
шартларни каноатлантирувчи функциялар синфида экстре-
мумини топиш масаласи изопериметрик масала дейи-
лади. Одатда из^ периметрии масала дуйидаги куринишда
ёзилади:
ь
(* (^)) = J /о (^»х (^)>х' (t)) di extr
а
b
^1 (^)) = f fi Х (0. х' (0) t ~ 1, 2, . . , IP., (1)
х {a) =t А, х(Ь)=^ В (2)
386
Интеграллар остидаги /0 (Z, л:, у), Д (0 я, у), • • • »
fm(t, х,у) функцияларни t, х, у аргументлар буйича бир-
галикда етарлича силлик (масалан, С1 синфга тегишлн)
деб ^исоблаймиз.
Равшанки, С1 [а, Ь] фазода (1) ва (2) шартларни ца-
ноатлантирувчи бирорта >;ам функция топилмаса, изопери-
метрик масала маънога эга эмас (хусусан, ечими мавжуд
эмас). Агар (1) ва (2) шартларни фадат биргина x()(t) С С1
[а, Ь} функция даноатлантирса, шу х0(/) функция изопе-
риметрик масаланинг ечими булади. Тегишли мисолларни
келтирайлик.
1
J /0 (/, x(t), х' (0)tff~*extr
о
I
J /1+1*40? = 2; х (0) = 0, х (1) = 2
о
масала f0 функция кандай булишидаи датъи назар ечимга
эга эмас. Хакикатан, х (0) = 0; х (1) — 2 ва х (0 € С1 (0, Г]
булгани учун x(t) функциянинг графиги (0,0) ва (1,2)
нуцталарни бирлаштнрувчи ёйдан иборат. Демак, ей узун-
лиги
1
J / 1+ [х' (0У dt /F+22 » /5>2,>
о
яъни
1 + (OFdt = 2;' х (0) = О
о
ва
х(1) =2
шартларни каноатлантирувчи функция мавжуд эмас.
2.
I
f fo (0 х (0, xf (0) dt -> extr
о
i
J /1 + U' (OF ^ = / 5; x(0) = 0, x(l)==2
о
387
масаланинг ечими xQ (f) = 2/ булиб, /0 функциянинг кури-
нишкга боглик эмас. Чунки, С1 [0,1] фазода
1
= х(0) = 0; х(1) = 2
о
шартларни фацатгина битта х0 (/) = 2/ функция цаноат-
лантиради.
Юцоридаги (1) ва (2) шартларни каноатлантирувчн
функциялар чексиз куп булган ^оли изопериметрик маса-
ланинг цуйилиши учун характерли ^ол булиб, мазмунли
назарияга олиб к.елади.
Энди изопериметрик масала учун экстремумнинг зару-
рий шартини ^осил дилиш билан шугулланамиз, Соддалик
учун tn = 1 хол билан чекланамиз. Бу холда масалаиинг
Куйилиши куйидагича булади:
I Г
Л, (х (/)) = J /0 (/, х (/), хг (0) dt -> extr (3)
I rt
< *
I (/)) == J/i (/, X (/), x' (/)) dt = a, (4)
| x (a) = A, x (b) = B. (5)
1-теорема. (Экстремумнинг зарурий шар-
т и). Бирор (/) функция (3) — (5) масаланинг С [а,
фазодаги ечими булиши учун шундай л0 ва Ч сонларнинг
топилиши зарурки:
1) Хо ва \ ларнинг камида биттаси иолдаи фаркли;
2) \ Л х» (0, х'о (0) + \fx (Л (/), х' (t))=L (t,x0 (/),
х^ (t)) функция Lx — ~LX, — Q Эйлер тенгламаси-ни каио-
атлантиради.
Исбот. Fo (х (0) ва (х (/)) функционалларнинг x0(t)
иуктадаги биринчи тартибли кучли дифференциалини ^и-
соблайлик:
ь
a F. (х» (0) =.[ (Л х» (О, х’о (0 h (t) +
+fox’ хо (0, х' (0) h' (/)] dt, d Ft\x0 (0) =
ь
= J X„ (/), X'Q (t)) h (0 +
+/1Л’ XV (z)’ xo (0)h' (01 dt,
388
бу ерда h (t) орттирма С1 [а, Ь] синфга тегишли ва А (а) =
= h (b) — 0 шартни каноатлантирувчн функция.
Куйидаги икки ^олни курайлик:
1) Барча h(t)£C[a, А] ва h(a) = h(b)=0 булган
функциялар учун dFx (х0 (/)) = 0 булсин. У ^олда Д = О-
ва = 1 деб олсак, теоремада келтирилган 1) ва 2) шарт-
лар бажарилади. Демак, бу Л'олда теорема исбот цилиндн.
2) Бироита Ао (/) б С [а, Ь] ва Ао (а) = Ао (Z?) = 0 функ-
ция учун dFt (х0 (/)) 0 булсин. Иккита ёрдамчи функ-
ция киритамиз:
?„(»'. ₽) = + ah (0) + ₽ Й„ (О,
?1 (», ₽) = О (х„ (Z) + К h (ty> + ₽ h„ (/),
сунгра ушбу акслантиришни курамиз:
(а, Р) -> (% (а, Р), (а, р). (6)
Равшанки, (6) акслантириш (0,0) нуктанинг атрофида
узлуксиз дифференциалланувчи ва куйидаги тенгликлар
уринли булади.
(0) й (0, = F‘o (*<> (О) *<, (').
= F (х„(0)й(0; '4F2 = F\ (х0(0)А, (о.
Энди ихтиёрий h (/) С С1 [«, А] ва h(a) — h (А) =« О функция
учун
А =
d<po(O,O)
да
<^(0,0)
да
= 0
(0,0)
эканлигини исботлайлик. Х^кикатан, агар А 0 булса,
тескари акслантириш дакидаги теоремага кура (0,0) нук-
танинг етарли кичик атрофида (6) акслантиришнинг тес-
кариси мавжуд. Хусусан, етарли кичик е > 0 учун шун-
дай а ва р топила дики:
Фо (к» Ъ = (*о (0) + a h (/) 4- р /г0 (I) = Fo (х0 (/)) — е,
<Р1 («> р) = Ф1 (0,0) = Fa (х0 (0) = а„
яъни х(1 (t) функция Д0(х(/)) функционал учун (4) ва (5}
шартлар бажарилганда минимум нуктаси булиши мумкин
эмас. Худди шундай, агар е < 0 деб танлаб олсак, х0 (/)
максимум иуктаси кам була олмаслиги келиб чнкади.
38!»
Демак, х( (0 экстремум нуктаси булса, албатта Д = 0
булади, яъни:
F'(хс(/))Ло(О| z„
f; (%0 (0) h (/) f;(х0 (/)) л0 (0 [ -и- (')
Агар Л'(х(;(/))//(; (/) 0 эканлигини дисоЗга олсак,
(7) дан
F'e (х0 (0) h (0 - F't (х0 (/)) Л (/) = 0
г\ (Ло vM Ло V)
х п > 1 /'oUo(0)A(0
келиб чикади. Демак, ли = 1 ва —------------------- деб
Fx (*о (О) А) (/)
олсак:
Хо fо (х0 (0) h (/) + \ FJ х0 (/)) h (/) = 0 (8)
тенгликни досил киламиз. (8) тенглик ихтиёрий fi^QC1
[а, Ь] ва h. (а) — h (b) == 0 функция учун бажарилишидан
\)/о *о (О, x'G (0) + \ /1 (А (О, (0)
функция Эйлер тенгламасини каноатлантириши келиб чи-
кади. Демак, теоремадаги 1) ва 2) шартлар бажарилган.*
14. 4- §. Экстремумни толишга дойр мисоллар
1. Дидона масаласи. Цадимгн грек афсоналаридан
бирига кура финн сия маликаси Дидона уз кУ ш ин лари билан
кемада душмандан цочиб келаётиб Уртаср денгизининг
гарбий диргогида тухтайди. Малика киргокда ша^ар куриш
ниятида макаллий ахолидан ер беришни сурайди. Макаллий
адоли Дидонага факат битта бука териси билан чегаралай
оладиган ер беришга рози булади. Айер Дидона эса бука
терисидан ингичка тасмалар кирдиб, улардан узун аркон
ясайди ва бу аркон билан киргокда жуда катта террито-
риями чегаралаб олиб, Карфаген шахрига асос солади.
Математик тилга кучирсак, Дидона масаласи куйида-
гича баён килинади. Текисликда (—1,0) ва (1,0) нукта-
ларни бирлаштирувчи камда узунлиги л га тенг булган
барча силлик чизиклар ичида шу чизид ва абсцисса уки
билаи чегараланган фигура юзасининг энг катта диймати-
ни берувчи чизикни топинг.
390
Е ч и м и. Математик анализ курсидан маълумки, агар из-
ланаётган чизицнинг тенгламаси х (t) булса, юза s =
= J x[t)dt ва узунлик I — § у4! + [xf (О]2 dt формула-
-1 -1
лар ёрдамида хисобланади. Демак, биз дуйидаги вариацион
масалаии ечишимиз керак:
• 1
J х (i) dt-—> max
-i
l з
l%(- i) = o, x(i) = o, x(/)ec‘
Бирор x0 (t} £ C' [a, b] функция масаланинг ечими деб фа-
раз ц ил ай лик. У холда:
1
6^0 (х0 (/)) = J х0 (/) h (/) dt ф 0,
-1
чунки х0 (/) ф 0. Демак, 14. 3- § даги теоремага кура
Хо = 1 деб олишимиз мумкин ва х0 (0 + \ - k 1 + [х'(/)Г2
функция Эйлер тенгламасини цаноатлантириши керак.
14- 2- § даги (14) формулага асосан Эйлер тенгламасининг
биринчи интеграли мавжуд:
l*o (OF ___________
X1 VilEZmi “ x° ~ A1' 1 + 1%(I (z)l2= c (const>-
Шу дифференциал тенгламани x0(/) га нисбатан ечамиз:
К к W12 - (О/I + — - >> 1*0 (OF =
= tKi+l*o(f)F ^i+f*o(OF (с + *о (0) = ->-„
бу ер дан ч с -f- х0 (0 = у (/) деб белгиласак:
л 1 Г у£
у = ± 1/ _2______Д
|/ у2
дифференциал тенгламани хосил диламиз. Узгарувчиларни
ажратнб:
У<1У
V А?-у2
= ± t + Сх
391
ёки
Ч —у2 = fa ± /)2
ни носил киламиз. Демак,
у (О = ± fa±7)2’,
яъни
*0 (0 = ± Z Ч— (г« ± О2 “
Узгармас сг ва с ларни х0 (— 1) ~ х0(1) =0 шартдан то-
-памиз:
сх = 0; с = ± у 4“ 1.
Демак,
*о (О = ± / Ч - /2 + Ч- 1-
Агар, хс(/)>0 эканлигини нисобга олсак:
л0 (о = / Ч-/5 — Ч~ L
Энди
j\ 1 +;l^(OF'«w = «
-I
шартдан номаълум Xt ни хисоблаймиз:
Гт/ Ч
J V >2—£2 dt =
ёки
2 arc sin P i |
бу ердан
arcsin I Xt | = ~
ёки
IM = siny= 1.
Демак, Х2 = 1 ва
•^о (^) ~ 1 — Z2,
•яъни Дидона масаласининг ечими ярим дойра булади.
592
2. Брахистохрона хаси-
да масала (И. Бернулли
масаласи).
Вертикал жойлашган
текисликда берилган М ва N
нукталарни бнрлаштирувчи
барча силлик чизиклар ораси-
да шундай чизикни топинки,
шу чизик буйлаб моддий
нукта опфлик кучи таъсири-
да энг циска вактда М нук-
3- раем
тадан N нуктага етиб келсин (албатта, масаланинг мо^ия-
тига кура М нукта N нуктадан юкорирокда жойлашган),
Масалани ечиш учун у ни математик тилга кучирайлик.
Текисликда координаталар системасини куйидагича кири-
тамиз: координата боши М иудтада, t—абсцисса уки
одатдагича, х — ордината уки эса вертикал равишда пастга
йуналган булсин (3- раем).
Энди М (0,0) ва N(b,B) нукталарни бнрлаштирувчи
бирорта х (/) силлик чизик олиб, шу чизик буйлаб мод-
дий иуктанинг М (0,0) дай N (Ь, В) гача етиб келиши
учун кетгаи вактни дисоблайлик. Агар бошлангич тез-
лик = 0 эканлигини кисобга олсак, элементар физика
курсидан маълумки, моддий нуктанинг (t,x(t)) нуктада-
ги тезлиги
* = (0 = у 2gh, h=x (0)
формуладан топилади. Бу ерда g ~ 9,8 м/сек2 — Эркин
тушиш тезланиши.
Вактни т оркали белгиласак,
, ds
тенгликни косил киламиз, яъни моддий нуктанинг ds ==
— у 1 -J- fx' (t)j-dt ей дифференциалини босиб утиш учун
кетган вактни топамиз. Демак,
л-.
/2 gx (О
dt._
Охирги тенгликни интеграллаб изланаётган вактии топа-
миз:
т = н9+к(ог м
393
Шундай килиб, брахистохрона хакВДаги масала
ь
= ^(х (/))={
о
» 1 + К(О1а^
/2^ - »< х (t)
функционалнинг х(0) = 0 ва х(Ь) = В шартни каноатлан-
тирувчи узлуксиз дифференциалланувчи функциялар син-
фида минимумини топишга келтирилади. Агар —=. узгар-
мас коэффициент эканлигини кисобга олсак, масала куйн-
даги куринишда ёзилади:
ь_______________
I 1/ —+ д— -- dt -> min; х (0) = 0 ва х(6) = В.
Бу ерда х(0) = 0 булгани учун fl/"1 ^—dt
Q Г 'Jf
хосмас интеграл эканлигига эътибор килинг.
Интеграл остидаги ифода t га ошкор холда боглик
булмагани учун Эйлер тенгламасининг биринчи интеграли
куйидагича булади:
/_ х' fx. = 141 + [х' (0]~____________[Х'(/)Р _ - г
у/X (t] k х (t) /1 + (xz (?)р
Бу ердан х (/) ни топсак:
Х W = I К [х' (ОГ
Ох ирги дифференциал тенгламанинг умумий ечими пара-
метрик куринишда
It = Cj (® — sin <р) + с2
|х = Tj (1 — cos ?)
булиб, циклоидалар оиласини ташкил килишини текши-
ришни укувчининг узига кавола киламиз. х (0) — 0 в а
х (Ь) — В шартдан ва с» узгармасларни топамиз.
Демак, Брахистохрона хакидаги масаланинг ечими
фацатгина циклоида (аникроги циклоиданмнг бир кисмн)
булиши мумкин.
3. Минимал ай,ланма сирт ^ацидаги масала. Те-
кисликда (а, А) в а (Ь, В) иукталарнн бирлаштирувчи
шуидай силлик чизик топингки, шу чизикни абсцисса
уки атрофида айланиши натижасида хосил булган жисм-
нинг сирти энг кичик булсин.
394
Маълумки, х (/) чизикнинг абсцисса уки атрофида
айланишн натижасида косил булган жисмнинг сирти
* F (х (/)) ~ 2ти J х (/) >^1 4- [х'(0Г
(I
формула ёрдамида кисобланади. Демак, юдорида цуйил-
ган масала ушбу куринишда ёзилади:
ь
2т J х (/) /4 -Ь iX (OF dt—>min; х (а) = А; х~(Ь)—В.
а
Эйлер тенгламасининг биринчи интеграли куйидагича:
/_Х'Д,=М/) =
Содда алмаштнришлардан сунг:
Бу дифференциал тенгламанинг ечими;
х (/) = cch (— + ^1).
“4“ t
бу ерда ch/ = ——— гиперболик косинус.
с ва Cj узгармасларни х (а) = А ва х (Ь) ~ В шарт-
дан топамиз. Одатда х (/)=c-ch + функциянинг
графиги занжир чизи^ дейилади. Демак, минимал сирт
дакидаги масаланинг ечими фацатгина занжир чизик бу-
лиши мумкин.
МАШК УЧУН МАСАЛАЛАР
I. Геодезии чизик дацидаги масала (хусусий коли)
z = х2 + у2 сиртда жойлашган в а (0, 0, 0) нукта билан
(1,0, 1) нуктани бирлаштирувчи энг кисца силлик чизик-
ни топинг.
2. куйидаги масалани ечинг:
( 1±1£Д1Г dt
J [*' (OF
—►min: х (а) = А; х (Ь) = В.
395
3. Ушбу экстремал масала а — параметрнинг цайси ции-
матларида ягона ечимга зга:
1 ___________________
J /х (X) (1 + [х' (X)]2) JX—> min; х (—1) = х (1) = а ? 0.
4. Узунлиги I га тенг булгаи бир жинсли электр си-
ми вертикал текисликнииг М ва N нуцталарида маркам-
ланган. Шу симнинг огирлик кучи таъсирнда олган фор-
масини топинг.
Курсатма. Агар сим формасининг теигламасини х (X)
ва ХИ («, Л); N (6, В) деб олсак, симнинг потенциал
энергияси
ь ь
V (х (X)) = \rngx (X) ds = mg fx (X) / 1 4- [x' (X)]2 dt
a a
формула буйича ^исобланади. Сим мувозанатда булгани
учун унинг потенциал энергияси минимал кийматни кабул
килади. Демак, ушбу вариацион масалани ечиш керак:
ь ь
Jx (X) / 1 -I К (Х)Р dX—>min; J' / Т+ [х' (X)]2 dt = Z,
х (а) = А, х (X?) = В ва х (X) ~ С1 [а, 6],
5. Ушбу масала:
ь
В {х (X)) = J/ (X, х (X), х' (X)) dt 4- ® (х (а), х (b)) —>min
а
Больца масаласи дейилади. Берилган /(/, х, у) ва
(х, у) функциялар С1 синфга тегишли булса, Больца
масаласи учун минимумнинг зарурий шартини топинг.
ь
6. J / (X, х (X), х' (X), х" (X)) dt—>min; х (а) = Ао;
х' (a) = Ai, х (b)~Bit; х' —
масала учун экстремумнинг зарурий шартини топинг.
I
7. i(x (X) 4- [х' (X)]2) dt—->min; х (0) = 0; х (1) = 1
6
вариацион масалани ечинг.
396
' 2
8. J(/ [xr (OP — x (0) >min; x (1) = 0; x (2) = 1
i
вариацион масалани ечинг.
2
9. Jx' (0 - [1 J- *' (01 dt _ min, x (1) = 3; x (2) = 1
i
вариацион масалани ечинг.
i
10. J-^ЧО dt—>min; x (0)=0; x (1) = 1
о
вариацион масалани ечинг.
а д а б и e т
АСОСИЙ АДАБИКТ
1. Канторович Л. В., Акилов Г, П., Функциональный
анализ. „Наука", М., 1977.
2. Колмогоров А. Н„ Фомин С. В., Элементы теории
функций и функционального анализа. „Наука М., 1968.
3. Люстерник Л. А., .Соболев В. И., Элементы функ-
ционального анализа. „Наука" М.„ 1965.
4. Рудин У. Функциональный анализ. „Мир", М., 1975.
5. Эдвардс Р. Функциональный анализ. „Мир", 1969.
6. Саримсоцов Т. А., \акиь;ий узгарувчипинг функциялари
назарияси „Укитувчи", Т., 1982.
7. К 0 б у л о в В, К. Функционал анализ ва хисоблаш матема-
тикаси, „Укитувчи", Т., 1976.
ЦУШИМЧА АДАБИЕТ
1. Александров П. С., Введение в общую теорию мно-
жеств и функций, Гостехиздат, М., 1948.
2. Ан то но век и й РА. Я., Б о л тя нс к и й В. Г., С а р ы м с а-
ков Т. А., Топологические алгебры Буля, Изд. АН УзССР, 1963.
3. Ахиезер Н. И, Гл азман И. М., Теория линейных опе-
раторов в гильбертовом пространстве, „Наука". М., 1966.
4. Биркгоф Г., Теория решеток, М., 1984.
5. Бурбаки Н., Теория множеств, „Мир”, М., 1965.
6 Бурбаки Н., Общая топология, Основные структуры.
„Наука", М., 1968.
8. Бурбаки Н., Интегрирование. Меры, интегрирование мер.
„Наука", М., 1967.
9. Бурбаки Н„ Спектральная теория. „Мир", М., 1972.
10. Владимиров Д. А., Булевы алгебры, „Наука", М., 1969.
11. By лих Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченны*
пространств. Физматгиз. М., 1961.
12 В ул их Б. 3., Введение в функциональный анализ. „Наука„
1967.
397
13. В у л и х Б. 3., Краткий курс теории функций вещественно й
переменной. „Наука" РЛ., 1973.
14. Гельфанд. И М., Р а й к о в Д. А., Шилов Г. Е. Ком-
мутативные нормировочные кольца. М, Физматгиз, 1960.
15. ГельфандИ. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции.
Вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними. РЛ., 1958
16. ГельфандИ. РЛ., Шилов Г. Е. Обобщенные функции
Вып. 2. Пространства основных и обобщенных функций.
17. Г л а з м ан И. М, Л го б ич Ю, И. Конечномерный линей-
ный анализ.. „Наука", М., 1969.
18. Данфорд Н., Шварц Дж. Т, Линейные операторы. Об-
щая теория, ИЛ, М., 1962.
19. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы.
Спектральная теория „Мир", М., 1966.
20. Д а н ф о р д Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы.
Спектральные операторы, „Мир"., М., 1974.
21. Д ь е д о н н е Ж. Основы современного анализа. Мир М
1964. ‘ ’
22. Дэй РЛ. РЛ. Линейные нормированные пространства. ИЛ, М.
1961.
23. Иосида К. Функциональный анализ. „Мир", М„ 1967.
24, Канторович Л. В., В у л и х Б. 3., Пннскер А. Г.
Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. Гос-
техиздат, РЛ—Л, 1950.
25. Келли Дж. Л. Общая топология. „Наука" М., 1968.
26. Н а й м а р к М. А. Нормированные кольца. „Наука", М.,
1968.
27. Н а т а н с о н И. П. Конструктивная теория функций. Гос-
техиздат. РЛ., 1949.
28. Натансон И. П. Теория функций вещественной перемен-
ной, „Наука", РЛ., 1974.
29, Рисе Ф„ С е к е ф а л ь в и—Н а д ь Б., Лекции по функ-
циональному анализу, ИЛ, М, 1954.
30. Робертсон А. П., Робертсон В. Топологические век-
торные пространства, „Мир". М., 1967.
31, Хал мош П. Теория меры. „Мир", М, 1953.
32. Хаусдорф Ф. Теория множеств. Гостехиздат, РЛ., 1937.
33. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруп-
пы. ИЛ, РЛ., 1962.
398
АСОСИЙ БЕЛГИЛАШЛАР
К — скалярлар майдони
R — дациций сонлар
туплами
С — комплекс сонлар
туплами
у — умумийлик квантори
g — мавжудлик квантори
а£А—а элемент А тупламга
тегишли
а^А— а элемент А туплам-
га тегишли эмас
Вс.А — В туплам А туплам-
нинг кием туплами
0 — буш туплам
(J — тупламларнинг йи-
гиндиси (бирлашма-
си)
П — тупламларнинг ку-
пайтмаси (кесишма-
си)
П, X — тупламларнинг тугри
(Декарт) купайт-
маси
А\В— А тупламдан В туп-
ламнинг айирмаси
<“>— эквивалентлик бел-
гиси
_> — мантикий хулоса
7.а—Л тупламнинг ха-
рактеристик функ-
цияси
>— тартиб (кисман тар
тиб) белгиси
sup, v — супремум
inf, л — инфимум
— кетма-кетлик
6 — вектор фазонинг
ноль элементи
£[Л], — А тупламнинг чи-
зицли кобиги
EjE() — фактор фазо
Z (E,F) — чизидли опера-
торлар фазоси
£(£, F) — узлуксиз чизидли
операторлар фазоси
Е* — алгебраик кушма
вектор фазо
Е' — топологик кушма
вектор фазо
@ — тугри йигинди
ортогонал тугри
йигинди
f.A—B — акс эттириш
1 —тескари акс этти-
риш
* — теорема исботи-
нинг тугаганлиги
Саримсоцов Т. А.
Функционал анализ курен: Математика ва
амалий математика фак. студ. учун дарслик
(Махсус мухаррир. Ж. Хожиев.)—2-1$айта
ишланган, тулдирилган иашр.— Т.: У^итувчи,
1986. 400 б.
Сарымсаков Т. А. Курс функционального анали-
за: Учебник для студ. ун-тов и пед. ин-тон.
22.162я73
Ija узбекском языке
САРЫМСАКОВ ТАШМУХАМЕД АЛИЕВИЧ
КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Учебник для студентов университетов
и педагогических институтов
второе, переработанное и дополненное издание
Ташкент — „Уцитувчи" — 1986
Нашриёт редакторлари: У. кусаное, Р. Каримов
Расмлар редактори С. Соин
Техредакторлар: Т, Скиба, UJ. Вахидова
Корректор М. Таирова
Tepiiiura бернлди 20. 05 85. Боспшга рухсат этилди 15.07.86. Формат 84X101
Тип. когозн V» 3. Литературная гарнитура. Кегли 10 шионсиз. Юцори бо<
усулида босилди. Шартлн б. л. 21. Шартли кр. отт. 21.0. Нашр. л. I
Тиражи 3000. Заказ 239. Ба^оси 90 т.
«Укмтувчн» нашриёти. Тошкент. Навонй кучаси. 30. Шартнома 9-41
Узбекистон ССР нашриётлар, полиграфия ва китоб савдосп ишларн Дат
коми тети Тошкент «Мзтбуот* полнгпафня шилаб чпцарнш бнрлашмш
царешлн 1- босмахонаси. Тошкент, Хамза к?часи. 21.
Типография № 1 ТППО «Мат бу от» Государственного комитета УзСС
делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Тошкент ул. Хамз
1986