/
Текст
1-6 об
ЧИЗИК.ЛИ АЛГЕБРА ВА АНАЛИТИК ГЕОМЕТРИЯ
ЭЛЕМЕНТЛАРИ
1-§. Иккинчи ва учинчи тартибли детерминантлар.
Детерминантларни дисоблаш. Детерминантларнинг ас оси й
хоссалари. Юкори тартибли детерминантлар.
(
1.1.1. Туртта сондан иборат
°П а12
°21 а22
квадрат жадвал иккинчи тартибли квадрат матрица дейилади.
Иккинчи тартибли квадрат матрицага мос келувчи иккинчи
тартибли детерминант деб куйидаги белги ва тенглик билан
аникланувчи сонга айтилади:
ан а12
а21 а22
-- °И°22—°21а12 -
Шунга ухшаш ушбу
ап а |2 а 13
°21 а22 а23
°3| а32 азз
— ai1a22a33-|-ti12a23a3i_ba2ia32ai3—
— аз 1 а^а । з—021 a 12<2зз — 032023а 11
«фо. \ чпнчи тартибли детерминант дейилади. Бу ифодага мусбат
ишира билан кирадиган дар бир купайтма, дамда манфий
члорали куиийтмалар купайтувчиларини алодида-алодида пунк-
тир чизиклар ёрдамида туташтириб, учинчи тартибли детерми-
зантларни дисоблаш учун хотирада осон сакланадиган «учбур-
чаклар коидаси»га эга буламиз (1-шакл).
1- шакл
Детерминант a,k элементининг Mik минори деб, шу детерми-
нантдан бу элемент турган катор ва устунни учириш натижасида
хосил булган детерминантга айтилади.
Детерминант aik элементининг алгебраик тулдирувчиси
Aik =
муносабат билан аникланади.
1.1.2. Детерминантларнинг асосий хоссалари:
а) агар детерминантнинг барча сатрлари мое устунлари билан
алмаштирилса, унинг киймати узгармайди;
Кейинги хоссаларни таърифлашда сатрлар ва устунларни бир
суз билан к,атор деб атаймиз.
б) агар детерминант ноллардан иборат каторга эга булса,
унинг киймати нолга тенг булади;
в) агар детерминант иккита бир хил параллел каторга эга
булса, унинг киймати нолга тенг булади;
г) агар детерминант иккита параллел каторининг мос элементла-
ри мутаносиб (пропорционал) булса, унинг киймати нолга тенг
булади;
д) бирор катор элементларининг умумий купайтувчисини
детерминант белгисидан ташкарига чикариш мумкин;
е) агар детерминант иккита параллел каторининг уринлари
алмаштирилса, детерминант ишорасини карама-каршисига узгар-
тиради;
ж) детерминантнинг киймати бирор катор элементла/м билан
шу элементларга тегишли алгебраик тулдирувчилари купайтмала-
ри йигиндисига тенг.
Бу хосса детерминантни катор элементлари буйича ёйши
дейилади. Ундан детерминантларни хисоблашда фойдаланилади.
з) бирор катор элементлари билан параллел катор мос
элементлари алгебраик тулдирувчилари купайтмаларининг йигин-
диси нолга тенг.
и) агар детерминант бирор каторининг хар бир элемента икки
кушилувчининг йигиндисидан иборат булса, у холда детерминант
икки детерминант йигиндисига тенг булиб, уларнинг бири тегишли
катор биринчи кушилувчилардан, иккинчиси эса иккинчи куши-
лувчилардан иборат булади. Масалан t •|
«ц «12+^1 а1Я
a2l а224* b2 а23
«и «32 4- ам
ип «)2 «13
«II «1 «13
«2( &2 «23
«зЛ)«33-,
С2| «22 «23
«31 «32 «33
к) агар детерминантнинг бирор катори элементларига па-
раллел каторнинг мос элементларини бирор узгармас сонга
купайтириб кушилса, детерминантнинг киймати узгармайди. Маса-
лан:
О|1 О|2 О|3
а2| ^22 о2з
a3i а32 а33
а1(
а2|
а|2
а22
аз2+А.а12
а13
а23
a33~b^ai3
1.1.3. (пХл) та сондан иборат ушбу
аП а12- • • а1п
°21 а22- • • й2л
а31 а32---а3п
ап1 ап2- апп
жадвал п- тартибли квадрат матрица дейилади. Унинг п- тартибли
детерминанта деб куйидаги белги ва тенглик билан аникланувчи
сонга айтилади:
«и а12 а1п
А = a2i а22 • • а2п — а । Л11+а |И 12+ +а|И|Я
ani ап2 апп
1.1.2 бандда келтирилган хоссаларнинг хаммаси исталган
тартибли детерминантга тегишлидир. Ихтиёрий тартибли детерми-
нантни хисоблашнинг иккита усулини келтирамиз:
1. Детерминант тартибини пасайтириш усули — детерминант
бирор катори элементларининг биттасидан бошкаларини олдин-
дан нолга айлантириб олиб, шу катор буйича ёйиш усули.
1- м и с о л.
3 — 1 12 8 3 — 1 12
— 5 3 -34 -23 4 0 2
1 1 3 — 7 4 0 15
— 9 2 8 — 15 -3 0 32
2 1
15 1
32 1
4 2 1
О 13 О
— 7 30 0
I 0 13
I -7 30
= 91 .
2. Детерминантни учбурчак куринишга келтириш усули де-
терминантни шундай алмаштиришдан иборатки, унинг бош диаго-
налидан бир томонида ётувчи хамма элементлари нолга айланти-
рилади ва учбурчаксимон шаклга келтирилади, масалан
Оц • • а1п
О а22 • • а2п
о О ... апп
Равшанки, учбурчак шаклидаги детерминантнинг киймати бош
диагоналлари элементлари к^пайтмасига тенг:
Д = ai 1 • <222 • . . • • <2пп-
2- м и с о л.
Д =
1
О
О
-2
Т
2
2
О
— 4
3 4
5 9
3 7
-6 О
1 2
О 2
О О
О О
3 4
5 9
3 7
О 8
= 1-2-3-8 = 48 .
1-дарсхона топшириги
1. Учинчи т&ртибли детерминантларни учбурчак
фойдаланиб хисобланг:
коидасидан
К 3 -2 1 2-13 2 0 5
а) -2 1 3 ; б) -2 3 2 ; в) 1 3 16
2 0-2 0 2 5 0 -1 10
Ж : а) -12; б) 0; в) 87.
2. Детерминантларни тартибини
ланиб хисобланг:
пасайтириш усулидан фойда-
,4 1 -2 3
а) -2 1 -5
3 2 7
2-11 О
О 12-1
3-12 3
3 16 1
в)
2 4-12
-12 3 1
2 5 14
12 0 3
Ж: а) -2; б) 0; в) 16.
3. Детерминантларни учбурчак шаклига келтириб хисобланг:
4. Детерминантларни олдин соддалаштириб, кейин хисобланг:
а)
х2 + а2
г/2+а2
z24-a2
ах
ау
az
1
;б)
1
3
О
о
о
2 0 0
2 3 0
4 3 4
0 5 4
0 0 6
О
О
О
5
5
а
а2
1 1 1
b с d
b2 с2 d2
b3 с3 d3
Ж: а) а(х — у) (y — z) (г — х); б) 640;
в) (Ь—а) (с —a) (d — a) (c — b) (d — b) (d — c).
1-муста^ил иш
Детерминантларни хисобланг:
Детерминантларни хисобланг:
1 2 3
2—10
’ 3 4 1
2-12
2
О
Ж: 32. 2.
0 -5 3 2
5 0 4 3 . Ж: 24 .
2 3 1 0
3 4 0 1
—4 -3 5 -2 12 3 0
3. 5 2 3 4 Ж: 120. 4. 0 12 3 Ж:192
1 8 1-6 3 0 12
5-2 3 8 2 3 0 1
2- §. Икки ва уч номаълумли чизикли тенгламалар системаси.
Крамер коидаси. Гаусс усули
1,2.1. Икки номаълумли'иккита чизикли тенгламалар системаси
а 1 \х 1 а]2Х2—Ь [,
d‘2jX I "4" 022х2 = Ь 2
нинг бош детерминанта Д =
<Z]2
а21 а22
0 булганда, ягона ечимга
эга ва у Крамер коидаси буйича куйидаги формулалар билан
хисобланади:
___\ \
Х1 — д , *2 — Д
бу ерда
а,2
&2 <^22
and,
^21 ^2
Агар Д = 0 ва шу билан бирга ДХ(, Д^ лардан акалли биттаси
нолга тенг булмаса, система ечимга эга эмас.
Агар Д = Дх =ДХ =0 б^лса, у холда берилган система чексиз
к^п ечимга эга булади.
1.2.2. Уч номаълумли учта чизикли тенгламалар системаси
а11Х1~Ьа12х2~Ьа13хЗ — ^1>
а21-*' 1 4“ Я22^2 4" а23*3— ^2’
а31Х] + а32х2+азэх3= Ь3,
нинг бош детерминанта
Д =
а11 а12 а13
а21 О 22 а23
а31 а32 я3з
булганда ягона ечимга эга
билан хисобланади:
булиб, бу
ечим Крамер формулалари
бунда
Д
Агар Д = 0 ва ДХ) Дх, Дх детерминантлардан акалли биттаси
нолдан фаркли булса, у холда берилган система ечимга эга
бу'лмайди ва бу система биргаликда булмаган система деб
аталади. Камида битта ечимга эга булган система биргаликдаги
система деб аталади.
1- м и с ол. Чизикли тенгламалар системасини ечинг:
Х| — 2х24-х3= —4;
Зх,4-2х2—х3=8,
2Х|-^Зх2+2х3= —6.
Е ч и ш. Детерминантларни топамиз:
Детерминант Д = 4=#0 б^лгани учун система ягона ечимга эга ва
Крамер формуласини к^ллаб, уни топамиз:
— 4 —2 1
8 2—1
-6 -3 2
-2 1
О О
1 О
4 О
Г.2.3, п та номаълумли п та чизикли тенгламалар системасини
t п нинг катта (п^4) кийматларида Крамер коидаси билан ечиш
бир нечта юкори тартибли дитерминантларни хисоблашни талаб
этади. Шу сабабли, бундай системаларни ечишда Гаусс усулидан
фойдаланиш максадга мувофик. Бу усулнинг мохияти шундан
иборатки, унда номаълумлар кетма-кет йукотилиб, система учбур-
чаксимон шаклга келтирилади. Агар система учбурчаксимон
шаклга келса, у ягона ечимга эга б^лади ва унинг номаълумлари
охирги тенгламадан бошлаб топиб борилади. (Система чексиз куп
ечимга эга булса, номаълумлар кетма-кет й^котилгач, у трапеция-
сим он шаклга келади.)
2-мнсол Ушбу
*,+*г+5х3+2*4—
х1+*г+Зх3+4х4 = — 3.
2х14-Зх2+П-*з+5«4=2.
2х1+х2+Зх34-2х4^ —3
чизикли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечинг.
Ечиш. Иккинчи, учннчи, туртинчи тенгламалардан xi ларни
йукотамиз. Бунинг учуй биринчи тенгламани кетма-кет —1, —2,
—2 га купайтирамиз ва мос равишда иккинчи, учинчи. гуртинчи
тенгламалар билан кушамиз. Натижада ушбу системага зга
буламиз:
xi + x2+5x34-2x4=i,
2х3—2х4=4.
*г+ *,+ X,—О
—х2—7х3—2х4= —5.
ёки
Х|+хг+5х3+2х4= 1.
х2+ х4=О,
х2+7х3Ч-2х4=5.
х3— х4=2
Учинчи теигламадан иккинчи тенгламани айирамиз.
X|+xj+5xj+2x4e I,
ха4- *»+ х4-О.
5ха+ х4—5<
х,— х4=2.
сунгра туртинчи тенгламани - б га купайтирнб. учинчи тенгламага
кушсак, учбурчакли система хосил булади:
Х|+х2+5х3+2х4=1.
| *з+ х4=0.
х3- х4= 2,
7х4=-7.
Бунда и,
= -1
| = 2 + *4 = 1
! = — *3 —*4=0
1 = 1 —*2—5хз— 2X4= —!
Шуи дай кили б,
XI = — 2, *2=0. Хз=1. Х4= —1
2- дарсхйна ronuiupuFu
1 Чизикли тенгламалар системаларини ечииг:
<2х,+х,=3. (Зх,-х,=2, <2х,+х2=1.
13х,+2х,=4 1 (бх, —2х,= 1; 14х,+2х2=2;
lx,-2x,=0. f3x.-x.-2,
г* (Зх.+хг=0, " 14х,+5х,=9.
ж. а) х1 = 2 ха— — I; б) системаиинг ечимлари йук; в) х,
ихтиёрий, X2=l—2xi;r) xi=0. *2 = 0, д) *i = l,*2=l
2 Чизикли тенгламалар системаларини ечинг:
(5X1— х2~ *з=0. ( х' + *2_7х3—0,
а) I х, + 2х2+Зх3= 14. б) I х,-6х2+ х3=0,
(4х, + Зх2 + 2хз=16; (бх,- х2- х,=0.
|3х,+4хг— х3=8,
2х,+ х2+ *з = 2.
Зх,- х2+2х3=0
Ж: a) xi=l. Х2 = 2. хз=3: б) xi=O, х2=0. хз=0;
в) Х| = 1, Х?= 1, Хз= — 1.
3. Тенгламалар системасини Гаусс усули билаи ечинг:
х, + 2х2+ *з —3.
*2+3*з+ *4=15
4xi+ *з+ *4=11.
*1+ *2+ 5X4=23;
*1+ *2 — Зх.з+2х4=6,
х -2*2- х4=—6,
*2+ Хз+3*4=16,
2xj — Зх2+2хэ =6
Ж- a) xi = l. *2=2. *з=3. *4=4:
б) *1 = 8, *2=6. *з = 4, *4 = 2
2- м и с о л. Ушбу
X] -[ х2 5х3 -(- 2х4— 1,
X) “4"Х2”{“Зх3‘4“4х4:= —3,
2х! + Зх2+ 1 1х34-5х4 = 2,
2х, 4-х24-Зх34-2х4= —3
чизикли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечинг.
Ечиш. Иккинчи, учинчи, туртинчи тенгламалардан xi ларни
й^котамиз. Бунинг учун биринчи тенгламани кетма-кет —1, —2,
— 2 га купайтирамиз ва мос равишда иккинчи, учинчи, туртинчи
тенгламалар билан кушамиз. Натижада ушбу системага эга
буламиз:
Xj 4-х2-|-5хз4-2х4= 1,
•• 2х3 —2х4=4,
x2"E Хз+ Х4=0
—х2—7х3—2х4= —5,
ёки
•*1 Ч"*2Ч~ 5хз4~2х4= 1,
*2~f* Хз+ Х4~ 0, /
х24~ 7х3+2х4=5,
х3— х4=2.
Учинчи тенгламадан иккинчи тенгламани айирамиз:
Х1 ~t~x2~b^X3~i~2x4 = 1,
*2.+ Хз + Х4 = 0,
6х34- х4=5,
х3— х4=2,
сунгра туртинчи тенгламани — 6 га к^пайтириб, учинчи тенгламага
кушсак, учбурчакли система хосил булади:
х । 4--ч4~5х3-|-2х4= 1,
Х2~Ь Х3~Ь
х3— х4=2,
7х4=-7.
12
Бундан,
Х4 = — 1,
ХЗ = 2 + *4= 1,
Х2= — Хз~ Х4=0,
х, = 1 —Х2 —5хз —2x4= — 2.
Шундай килиб,
Х1 = —2, Х2 = 0, хз= 1, Х4= —1.
2- дарсхъна топишриги
1. Чизикли тенгламалар системаларини ечинг:
(2х । Ч" Хо:= 3, ( Зх j — х2= 2, ( 2х । Ч* х2 =: 1 ,
а){ б) 1 в)
(Зх,Ч-2х2=4; (бх, —2х2=1; |4х1Ч-2х2=2;
{X, —2х2=0,
Зх1Ч~-';2=0-
{Зх, —х2=2,
4х!Ч-5х2=9.
Ж: a) xi=2, хг= —Г, б) системанинг ечимлари й^к; в) xi—
ихтиёрий, хг= l—2xi; г) xi=0, Хг = 0; д) Xi = l, хг = 1-
2. Чизикли тенгламалар системаларини ечинг:
5х!— х2— х3=0,
х,Ч- х2 —7х3=0,
а)
х1Ч-2х2Ч_Зх3= 14,
4х1Ч-Зх2Ч-2х3= 16;
б)
Х| — 6х2Ч-
х3=0,
5х,— х2— х3 = 0;
Ж: a) xi = l, хг = 2, хз = 3; б) xi=0, хг = 0, хз = 0;
в) Х1 = 1, Х2=1, хз= — 1.
3. Тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечинг:
Х|Ч"2х2Ч~ х3 =8,
^+Зх3Ч- х4=15,
4х.4- х3Ч- х4=11,
Х1Ч- х2Ч" 5х4=23;
б)
*1+ х2—Зх3Ч*2х4=6,
х, —2х2— х4=—6,
хг+ •*зЧ*Зх4=16,
2Xj —Зх2Ч-2х3 =6.
Ж: a) xi = l, хг = 2, хз = 3, Х4 = 4;
б) xi = 8, х2 = 6, хз = 4, х4 = 2.
2- муста^ил иш
1. Чизикли тенгламалар
ечинг ва текширинг:
17х14*4х2—х3= 13,
Зх1Ч-2х2+Зх3=3,
2х । — Зх2+х3= Ю,
системаларини Крамер коидаси буйича
ЗХ]—х24~2х3— 5,
б) х14-2х2—4х3= 17,
2х, 4-Зх24-Зх3= 7.
2. Тенгламалар системасини ечинг:
а)
2%1 — х2+Зх3=0,
ЗХ] 4- х2— 2х3=0,
5х ] 4- х2—Зх3=0.
б)
ЗХ]4~2х2 х3= 6,
2х,— х24-хз:=0>
Xj — 4х24~Зх3=6.
Ж: a) xi=0, Х2 = 0, х3 = 0; б) xi = — 1, хг= —1, хз—1.
3. Чизикли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечинг
ва текширинг:
а)
х, 4"2х2 х3=5,
2х 14- х2 4х3=9,
5Х] — 2х24~4х3=4;
х 14" 2х2—х34"2х4—4,
2х 14" Зх24- 4х3 Х4=8,
— 5Х( 4- х2— Зх3= 7,
х24- х3—7х4 = 5;
3- §. Матрицалар. Матрицалар устида амаллар.
Матрицанинг ранги.
Чизикли тенгламалар системасини текшириш
1.3.1. Сонларнинг m та сатр ва п та катордан иборат т^гри
туртбурчакли жадвали тХ« улчамли матрица дейилади. Бу
матрица
<2ц <Z12
<Х21 <4 22
@m2
aIn
а2п
@mn
к^ринишда ёзилади.
Агар /п = 1 булса, сатр матрица, п—1 булса устун. матрица, m — n
булса, квадрат матрица косил б^лади. Квадрат А матрица учун шу
матрицанинг элементларидан тузилган п- тартибли детерминантни
кисоблаш мумкин. Бу детерминант detA ёки | А | оркали белгилана-
ди:
detA = | А| =
а12- • • а1п
О21 CI-22 • • • &2п
— 2х,4-х24-х3= 1,
Зх, 4" 5х2—х3= 1,
xi 4" *2 Н~ Зх3=3;
2х,4- х34-х4 = 9,
Зх2—2х34-Зх4= 12,
— 2х,4-х2—х34-х4=1,
5Х| 4-2х2—Зх4= —3.
Ж: a) xi=2, хг=1, хз= —1:
б) xi=0, Х2=0, хз=1;
в) Х| = 1, х2=1, Хз=1, Х4=1;
г) xi = l, хг = 2, хз = 3, Х4 = 4.
ап \ ап2- • апп
Агар detA=0 булса, у холда А матрица махсус, det А=#0 булса,
махсусмас дейилади.
Бош диагоналида турган элементлари бирга, колган элементла-
ри нолга тенг булган квадрат матрица бирлик матрица деб аталади
ва Е билан белгиланади:
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
О 0 0 ... 1 .
Равшанки, det£=l.
Агар улчамлари бир хил m\n булган икки матрицанинг барча
мос элементлари узаро тенг б^лса, бу матрицалар тенг дейилади.
1.3.2. Бир хил mXn ^лчамли А ва В матрицанинг йигиндиси деб
уша ^лчамли шундай С = А4~В матрицага айтиладики, унинг кар
бир элементи А ва В матрицаларнинг мос элементлари йигиндиси
дан иборат б^лади.
mXn ^лчамли А матрицанинг А. сонга к^пайтмаси деб, ушг
улчамдаги В = А-А матрицага айтиладики, бу матрица элементлар»
А матрица элементларини А га купайтиришдан косил б^лади.
15
I
I
2- муста^ил или
1. Чизикли тенгламалар системаларини Крамер коидаси буйича
ечинг ва текширинг:
а)
7х14~4х2—х3— 13,
ЗХ| 4-2х24-Зх3=3,
2х,— Зх24-х3= — Ю;
б)
Зх । —х24~2х3— — 0,
х 14- 2х2 — 4х з — 17,
2х 14” Зх24~ бх3= 7.
2. Тенгламалар системасини ечинг:
а)
'2х, — х24~Зх3=0,
Зх 14~ %2 — 2х3=О,
5х14-^2~Зх3==0.
б)
Зх,4~2х2 — б,
2х,— х24-х3=0,
Х[ —4х24~Зх3=6.
Ж: а) Х|=0, %2 = 0, хз = 0; б) х\ = — 1, Х2= — 1, хз=1.
3. Чизикли тенгламалар системасини Гаусс усули билан ечинг
ва текширинг:
а)
х,4-2х2—х3 = 5,
2х14-*2~4х3—9,
5%! — 2х24-4х3=4;
б)
— 2Х] 4-х24-х3= 1,
Зх1-\-5х2—х3= — 1,
. % 14- *^2 4- Зх3=3;
' х,4-2х2—х34-2х4=4,
2х14-Зх24-4х3—х4=8,
— 5х{ ~\~х2— Зх3= — 7,
х24~ х3—7х4=—5;
2Х|4* •^з4'^4=9,
Зх2 — 2х34~Зх4= 12,
2xj 4-х2—х34~х4 = 1,
5х,4-2х2—3х4=—3.
xi=2, Х2= 1, хз= — 1;
х1 = 0, Х2 = 0, хз = 1;
Х1 = 1, Х2=1, хз = 1, Х4=1;
Х1 = 1, хг = 2, хз = 3, Х4 = 4.
3- §. Матрицалар. Матрицалар устида амалдар.
Матрицанинг ранги.
Чизикли тенгламалар системасини текшириш
1.3.1. Сонларнинг т та сатр ва п та катордан иборат турри
тУртбурчакли жадвали тХ« улчамли матрица дейилади. Бу
матрица
'.-011 а12 • • • ^\п
А = a2i а22 .. • а2п
ат2 • • • ^тп ,
кУринишда ёзилади.
Агарт=1 булса, сатр матрица, п — 1 булса устунматрица, m = п
булса, квадрат матрица косил булади. Квадрат А матрица учун шу
матрицанинг элементларидан тузилган п- тартибли детерминантни
хисоблаш мумкин. Бу детерминант det4 ёки |А| оркали белгилана-
ди:
detA = |А| —
О|2. . . Цщ
а2| а22 • • • а2п
@п\ &п2- • ^пп
Агар detA=O булса, у холда А матрица махсус, det А#=0 булса,
махсусмас дейилади.
Бош диагоналида турган элементлари бирга, колган элементла-
ри нолга тенг булган квадрат матрица бирлик матрица деб аталади
ва Е билан белгиланади:
1 0 0 ... О
О 1 0 ... О
О 0 0 ... 1
Равшанки, det£'=l.
Агар улчамлари бир хил булган икки матрицанинг барча
мос элементлари узаро тенг булса, бу матрицалар тенг дейилади.
1.3.2. Бир хил тХп Улчамли А ва В матрицанинг йитиндиси деб
Уша улчамли шундай С=А+В матрицага айтиладики, унинг хар
бир элементи А ва В матрицаларнинг мос элементлари йигиндиси-
дан иборат булади.
тХп улчамли А матрицанинг К сонга купайтмаси деб, Уша
улчамдаги В=А,-А матрицага айтиладики, бу матрица элементлари
А матрица элементларини А. га купайтиришдан хосил булади.
tnXk ^лчамли А матрицанинг kXn ^лчамли В матрицага
купайтмаси деб, тХп Улчамли шундай С = А-В матрицага
айтиладики, унинг Cij элементи А матрицанинг I- сатри элементлари-
ни В матрицанинг /- устунидаги мех: элементларига к^пайтмалари
йигиндисига тенг, яъни
Ci; = <2/1 Й 1/4" 0(2^2/4" A~alkbkj.
Агар АВ=ВА б^лса, у холда А ва В матрицалар урни
алмашинадиган ёки коммутатив матрицалар дейилади.
1- м и с о л. Ушбу
матрицаларнцнг АВ ва ВА к^пайтмаларини топинг.
Ечиш. АВ матрица 2X2 улчамга эга булади:
АВ —
'3 1 —2
2-4 5
2
4
— 1
3
-5
' 3-2 +1(- 1) + ( —2).4 |3-(—1) + 1-3+( —2) • ( —5)
. 2-2+ (-4) • (- 1) 4~5-4|2-(- 1) + ( -4) -3 + 5- (-5) .
_ '-3 10
28 - 39 ’
В А матрица 3X3 ^лчамга эга булади:
2-3+(-1)-2 2-1 + (- 1) • (-4) 2-( —2) + ( —1)-5
(-1).3 + 3-2 (-1)-1+3(-4) (-1).(-2)+3-5
4-3 + (-5)-2 4-1 + (—5)(—4) 4-(-2) + (-5)-5 .
'4 6—9
= 3 -13 17 .
.2 24 -33.
АВ=£ВА б^лганлиги сабабли А ва В матрицалар коммутатив эмас.
1.3.3. Агар квадрат матрица махсусмас б^лса, у холда
АА~' =А~‘А = Е тенгликни каноатлантирувчи ягона А~' матрица
мавжуд булади ва у А матрицага тескари матрица дейилади.
А матрицанинг А~1 тескари матрицаси куйидагича аникланади:
16
/1ц /121 ... /1„]
/112 А 22 Ап2
det4
A in А2п ... Апп
Бу ерда Ац А матрица детерминанти а,* элементининг алгебраик
т^лдирувчиси.
2- м и с о л. Берилган
2 -1 '
О 2
-2 5..
матрицага тескари матрицани топинг.
Ечиш. Матрицанинг детерминантини дисоблаймиз:
1
3
4
2
5
det/1 =
= 1-4 —2-7—1 • ( —6) = —4=#0 .
Демак, А матрица махсусмас матрица экан. Энди Att алгебраик
тулдирувчиларни х,исоблаймиз:
Тескари матрицани тузамиз:
А~' =
4
-8
9
10
7/4
3/2
2 — Г
-9/4 5/4
-5/2 3/2 ,
АА~' =А~'А=Е эканини текшириш мумкин.
1.3.4. п та номаълумли п та чизикли тенгламалар системаси
<21 1*1 4" a12*2"l" ••• ~\~alnxn—
021*1 A~a22X2~\~ • 4" a2»r*n= ^2)
. anlXlA~an2X2~h + annXn = t>n
ни матрица ку'ринишда
АХ = В
каби ёзиш мумкин, бунда
Агар А махсусмас матрица, яъни detA#=O б^лса, у холда бу
системанинг матрица шаклидаги ечими ушбу к^ринишга эга
бу'лади:
X = А~'В.
1.3.5. А матрицанинг ранги деб, унинг нолдан фаркли минорлари-
нинг энг катта тартибига айтилади ва у rang (А) каби белгиланади.
Матрицани куйидаги алмаштиришлар элементар алмашти-
ришлар деб аталади:
а) факат ноллардан иборат сатрни (устунни) у'чириш;
б) иккита сатрнинг (устуннинг) уринларини алмаштириш;
в) бир сатр (устун)нинг барча элементларини бирор купай-
тувчига к^пайтириб, бошка сатр (устун)нинг мос элементларига
кушиш;
г) сатр (устун)нинг барча элементларини нолдан фаркли бир
хил сонга купайтириш.
Элементар алмаштиришлар матрица рангини узгартирмайди.
Шу сабабли, элементар алмаштиришлардан фойдаланиб, матрица-
ни диагонал элементларидан ташкари барча элементлари нолга
тенг буладиган куринишга келтириш мумкин. Бу холда матрица
ранги диагоналдаги нолга тенг б^лмаган элементлари сонига тенг
булади.
3- м и с о л. Матрица рангини топинг:
О
-1
3
О
2
. 2 -4
-4 5
1 7
5 -10
3 О
Е ч и ш. Матрица устида
миз:
элементар алмаштиришларни бажара-
0 2-4
-1-4 5
3 1 7
О 5-10
2 3 0
1
2
3
О
О
4 -5
2 —4
5 -10.
3 О
1 7
1 4 -5 ' 1 4 -5 fl 0 3 ' 1 0 О'
0 -5 10 0 1 -2 0 1 — 2 0 1 0
0 -11 22 0 1 -2 0 0 0 0 0 0
0 1 -2 0 1 -2 0 0 0 0 0 0
.0 1 -2 . .0 1 -2. .0 0 0 . .0 0 0.
Хосил килинган матрицанинг ранги 2 га тенг, демак, берилган
А матрицанинг ранги хам 2 га тенг булади:
1.3.6. Кронекер —Капелли теоремаси. п та номаъ-
лумли т та чизикли тенгламалар системаси
Цц^1 + а12Х2+ ^1’
О21-*-1 ~Ь" 22^2~Ь" 4" ^2гЛп=
aml*l 4" ат2х2~^~ ••• 4" amrrXn=
биргаликда булиши учун
rang A = rangB
булиши зарур ва етарлидир. Бу ерда
Оц С1|2 • • • &\п
Цо| ^22 • • • &2п
А =
, ат1 ат2 • • атп
системанинг асосий матрицаси,
°п ai2 . . .а,п bl
В = °21 а22 • • а2п ь2
ат1 ат2 • • • ^тп ьт
системанинг кенгайтирилган матрицаси. Агар rang А = п булса,
у холда системанинг детерминанти нолдан фаркли булиб, у ягона
ечимга эга булади; агар rang А<п булса, у холда система
(п — rangA) та ихтиёрий параметрга боглик булган чексиз куп
ечимга эга булади.
Агар барча bi озод хадлар нолга тенг булса, у холда тенгламалар
системаси бир жинсли дейилади. Бундай тенгламалар системасида
хар доим rangA = rangB, шу сабабли бир жинсли система
биргаликда булади. Бир жинсли тенгламалар системасини xi=0,
Х2 = 0, ..., хл = 0 кийматлар каноатлантиради, лекин А матрицанинг
ранги номаълумлар сони п дан кичик б^лганда унинг детерминанти
нолга тенг булиб, система нолмас ечимга эга булади.
4- м и с о л: Ушбу
4xi+ 3x2 — Зхз— Х4 = 4,
3xi— хг + Зхз — 2x4=1,
3X1+ Х2 — Х4 = 0,
5xi +4x2 —2хз + х4 = 3
чизикли тенгламалар системаси биргаликдалигини аникланг.
Ечиш. Берилган системанинг А асосий ва В кенгайтирилган
матрицаларини тузамиз:
А 3 -3 -Г
3-1 3-2
3 1 0-1
5 4-2 1
4 3-3-1
3-1 3-2
3 1 0-1
5 4-2 1
4
1
0
3
Сатрлар устида тегишли элементар алмаштиришларни бажариб, бу
матрицаларнинг рангини топамиз:
'4 3-3-1 4
3-1 3-2 1
~ 3 1 0-10
5 4-2 1 3 .
12-304
0-23-1 1
0-5 9-1 -12
0-1 4 2-5
1 2-3 04
0-2 3-11
3 1 0 -1 0 ~
2 3-2 23.
1 00-1 5
0-14 2-5
0-5 9-1 -12
0-23-1 1
10 0—1 5
0 1—4—25
~ 0 5 -9 1 12
0 2—3 1 -1 .
10 0—1 5
0 10 2 3/11
~ О 0 11 11 -13
ООО 0 —56/11
’ 1 О О
О 1 О
~ О О И
ООО
Шундай килиб, rangB = 4,
Демак, система биргаликда эма*
5- м и с о л. Ушбу
10 0—1 5
01—4—2 5 ~
0 0 1111 -13
0 0 5 5 -11
[100 0 42/11
' 0 1 0 0 29/11 ~
О 0 11 Н —13
ООО 0 —56/11
О О
О О
110
О -56/11
rangX=3, яъни rangB#=rangX.
3%i + 4x2—хз—9,
х, — Зх2+5х3=0,
4х(+ х2+4х3 = 0
Е ч и ш. А матрицанинг
А =
бир жинсли системани ечинг.
Е ч и ш. А матрицанинг рангини хисоблаймиз:
3 4 -Г 1 -3 5] 1 -3 5
1-35- 3 4 -1 ~ 0 13 -16
.414. .4 1 4 4 1 4 .
1-3 5 1 -3 5 ’ (1 -3 5 1
0 13 -16 - 0 13 -16 - [0 13 -16 J
0 13-16. .0 0 0
rang?l=2<3 (3 — номаълумлар сони), чунки
А =
1 -3
О 13
= 13 Ф 0.
Демак, система нолмас ечимларга эга ва системанинг детерми-
нанти
булгани сабабли улар чексиз купдир. Системанинг дастлабки икки
тенгламасини ечамиз:
Зх, + 4х2— х3=0,
х( — Зх2+5х3=0 .
Бу системада хз ли хадларни унг томонга утказамиз:
ЗХ] + 4х2= х3
Xj — Зх2= —5х3'
Бу системами Крамер коидасидан фойдаланиб ечамиз:
Ах, —
Ах2 =
13 4
I 1 -з
х3 4
— 5х3 — 3
==—9 —4= —13,
= — Зх3+20х3= 17х3,
3 х3
1 — 5х3
---15х3—х3— — 16х3
А =
Шундай килиб, х,= —х2=-^-; х3=13/ б^лсин (/— ихтиё-
рий мутаносиблик коэффициента). У холда xi = —17/; хг=16/,
хз=13/. t га ихтиёрий кийматларни бериб, чексиз куп ёчимларни
хосил киламиз.
3- дарсхона топшириги
1. Агар
д = [2 1 -‘),в={-2 1 »1
(0 1 — 4 J (—3 2 2 )
булса, ЗА+2В ни хисобланг.
Ж:ЗА + 2В=[ 25 3
(-6 7 -8
2. Ушбу
'1 0 2 '2 7 1
4 = 0-13 ва В = 3 2-4
.4 0 5. .1 -3 5
матрицалар берилган. АВ ва ВА ларни топинг.
’ 4 1 11 ' 6 -7 30
Ж: АВ = 0 -11 19 ; ВА = -13 -2 -8
.13 13 29 . . 21 3 18 .
3. Ушбу
'312
-10 2
.12 1
матрицага тескари А 1 матрицани топинг.
4. Агар
Ж: Д-‘ =
13
;.-4
3
1-2
3 2 '
1 -8 •
-5 1 .
4-12 О'
-1111
1 3 2-1
О 4 3 0 .
б^лса, А нинг рангини элементар алмаштиришлар ёрдамида топинг.
Ж: rangA = 3.
5. Тенгламалар системасининг биргаликда булиш-булмаслиги-
ни текширинг. Агар система биргаликда булса, уни матрица усули
билан ечинг:
Ж: а) х=-1, б)
i/=-l,
2 = 3;
6. Бир жинсли
'4x + 2z/ —2 = —9,
а) х+2г = 5,
. х — Зу + г = 5;
2х— z — 2,
б) ЗхЦ- у — Зг = 1,
,5х —2у —2г=4.
система биргаликда эмас.
системани ечинг:
х1 + 2х2+Зх3=0,
2х| —Зх2+4х3=0,
ЗХ( — х2+ 7х3=0.
Ж: xi = 17Z; X2 = 2i; х3 = — 7t( — оо + оо).
1. Агар
3- мустак,ил ши
б^лса, (А+ЗВ)2 ни топинг.
2. Агар
96 12
8
Ж: -18 54 -8
51 85 111
О
-I
2
О
б^лса, А га тескари А 1 матрицани топинг ва АА~' =А~'А = Е
эканига ишонч хосил килинг.
Ж: А~‘ =
- 1
-1 О
3 —4
1 —4
3. Тенгламалар системасининг биргаликда булиш-булмаслиги-
ни текширинг. Агар у биргаликда булса, уни матрица усули билан
ечинг:
Зх— уА~ 2=12,
x + 2y+4z = 6,
5х Ж у Ж 2z = 3 .
Ж: х = 0, у=-7, 2=5.
4. Бир
аникланг,
жинсли системанинг нолмас ечимлари
агар бор б^лса, уларни топинг:
бор-йуклигини
х\ + хгЖ х3~ О,
2Х| —Зх2+4х3=0,
4Х|— 11х2+ 10х3=0.
Ж: xi = —7/; X2 = 2t; х3 = 5/.
1- назорат иши
1. Опдин бирор катор элементларининг биттасидан бошкасини
нолларга айлантириб, детерминантни тартибини пасайтириш усули
билан хисобланг:
2 -2 0 5
4 1 1 — 1
1.15.
1 2 — 3 4 —3
1 2 3-5
1 7 -1 0
2 6 2 — 1
1.17.
1 -3 4 0
4 5 1 3
1 4 —4 2
3 1 2 1
1.19.
— 4 -3 4 2
1 -5 3 0
3 -10 3
1.21. 5 1 4 —7
5 -10 2
1 -8 5 3
3 — 7 2
1.23. -8 3 4- 2
3 0 5-3
2 4 1 —5
8 -1 -1 5
1.25. -5 1 10 3
2 3 —2 - -5
3 2 1 0
3 1 0 4
1.27. 3 2 2—2
— 7 2 7 0
-5 3 1 —6
1 —2 4 -3
1.16. — 4 1 -1 2
0 5 -3 — 4
-3 2 2 -1
8 5 — 1
5 3 1 1
1.18.
0 4—/ -6
3 2-1 0
2 -1 — 4 4
1.20. -9 3 2 — 7
-1 0 4 5
6 4 7 - -4
-13- -1 2
1.22. — 2 1 1 2
1 6 5 4
4 3 0 -3
8 4 — -1 -1
3 1 5 2
1.24.
1 3 7 1
5 -1 6 0
2 1 8 7
1.26. 1 3 1 0
6 0 5 -3
4-1 - 4 3
6 9 4 1
1.28. 3 4 —3 - -1
-1 -1 10 7
5 2 0 3
5 4 2 1 4 -3 2 -4
2 5 — 4 3 0 5 3 2
1.29. 0 — 2 5 3 1.30. -3 2 6 1
-5 3 — 7 2 13 3 — 2 0
2. Чизикли тенгламалар системасини Крамер формулаларидан
фойдаланиб ечинг:
"2х1 + Зх2+4х3=9, ’2х,— х2+ 5х3=27,
2.1. 4х2+11х3=1, 2.2. 7xt— 5х2 = — 1. 3xi — 5х24-Зх3==46, 5Х|-|-2х2-|- 13х3=70, Зх, — х3= — 2. 4х!+ х2—Зх3= — 1,
2.3. х3 = 8, 2.4. 1 X) — 7х2—2х3=5. хг — 4х2—2х3=0, 8х! + Зх2—6х3== — 1, X ] —|- х2— х3== — 1. 4xt — Зх2+х3=43,
2.5. 3Xj —5х2 —6х3=21, 2.6. Зх1+ х2+ х3= —4. Зхj—|-, х2—2х3=6, Х|-|- х2—х3=3, 2Х| "К х2 =: 13. Зх।-J- х2 + 2х3=11,
2.7. 5Х| — Зх2+2х3= 4, 2.8.' 4х,— 2х2—Зх3= —2. ’5x( + 6x2—2х3= 12, 2х1 + 2х2 —Зх3 = 9, х, — 5х2—8х3=23. ’2х1 + Зх2+4х3= 15,
2.9. 2х! + 5х2—Зх3=9, 2.10. 4х{ — Зх2+2х3= — 15. 2Х| — Зх24-х3=1 1, 1 xi+ х2+5х3=16, Зх! —2х2+ х3=1. '2х!—5х2 =19,
2.11. Х( + 2х2 — х3= — 6, 2.12. хг — 4х2—2х3=3. ’ Зх! + х2—2х3==6, Зх! + 5х2 —х3= — 10, х,~ 4х2+2х3= 16. 2х.! —Зх2—2х3= 16,
2.13. 2х2— х3=0, 2.14. 4х, — Зх24-5х3= 19. Зх1 + 4х2—5х3= —10, 2х, — Зх3=4.
2.15. 2Х|-|-4х2—х3= 1, 3Xj-|-5x2— 2х3 = 3, xt — 2х2 = —7. 2.16. х^— 4х2 + Зх3= 11, *1 + хЗ=““3, Зх! + 4х2— 2х3= — 10.
х, + 3х2— х3= — 2, Зх । — 2х2+Зх3=г —-
2.17. 2Х|— х2—|—4х3=7, , xi — Зх3 = 11. 2Х|— х2+5х3=—4, 2.18. 2Х|-|- х2 х3== —5, Зх! + 5х2— х3 = 38. х । — Зх2 = —-10,
2.19. xi+ х2+4х3=9, 2х! + Зх2 — х3 = 14. Х| + 4х2—Зх3 = — 13, 2.20. 4х! +Зх3==—7, 5XJ + 2X2 — 4х3 = 38. 2X1— х2-|-4х3== 7,
2.21. 2х1-|- х2— х3 = 0, 4х j -|- 2х2+5х3=3. Х)+ х2— х3 =—6, 2.22. xi+ х2 — 4х3= — 13, Xj—|—4х2— x3^^14. Зx^ — 4х2-|- х3=23,
2.23. бХ|— х2+Зх3=—2, 5х । -|- 2х2+ 5х3 = 3. 2.24. Х[— Х2“|- х3 = 1, ^Xj + 4х2— Зх3= 15.
Х|— х2+2х3=3, Х[—Зх2+ х3=—5,
2.25. Зх! + 4х2 — х3 = — 5, 2.26. 2xi+ х2—Зх3 = 24,
2.27. 2.29. 2х14-3х2—5х3=6. Зх{ — Зх2+ х3= — 10, 2х, + 5х2—4х3=5, Х|-1-2х2— х3 = 3. Зх| + 5х2—х3= —20, Xj— х2 —2, 2.28. 4xt— х2 =18. Зх, + 5х2— х3=1, 2х,Ч- х2-|- х3=—3, xi + 4x2—Зх3=2. бх]-!- х2А~ х3=1б.
4Х( + х3 = —2. 2.30. х2—Зх3= 14, 3х!~|-3х2— 4х3=31.
3. .1 матрица берилган. А 1 тескари матрицани топинг ва
=А~'А = Е эканини текширинг:
1 2 -Г
3.1. 1 — 2 3
4 1 —4
1 -3 5
3.3. 2 4 0
3 -3 -1
0 1 -3'
3.5. 1 -5 4
.2 3 2
-5 7 — 4 '
3.7. 8 0 — 1 .
4 -5 0
4 —2 1
3.9. -3 4 1
1-11
3 -з 4 '
3.11 -1 -5 — 7
0 -1 5
1 -1 8 '
3.13. 1 -5 5 .
— 2 3 10
5—13
3.15. 4-2 0
2 —4 5
5 6 4
3.17. 2 0-3
.13 4
4 12'
3.19. 3 1 2
.4 2 5
2 15'
3.21. 1 3 1
.14 8
3 2 —1 '
3.2. 7 3 0
1 2 2
— 2 3 3'
3.4. 4 5 1
— 3 4 0
1 1 3 '
3.6. 2 -2 - -5 .
J 4 3
-1 8 1 '
3.8. -1 5 5 .
. 0 -1 3
1 2
3.10 1 9 7 .
.4 -3 1
3 -1 4 '
3.12 . 7 8 — 2 .
.2 -3 3
2 3 4 '
3.14. 2 1 3 •
. -7 0 2
1 ~ 3 —2
3.16. —2 1 з
. — 2 4 4
3 1 О'
3.18. 2 2 1
.6 3 7
4 2 1 '
3.20. 1 3 3
.3 2 -1
1 -I 3)
3.22. 2 0 1
.1 2 2
'8 7 3
3.23. 1 1 0 .
.2 3 1 .
'4 1 7
3.25. 9 -1 1
.6 -1 10 .
1 2 1
3.27. 6 3 1 .
.2 1 о.
0 3 2
3.29. 4 9 4.
17 3.
’—2 3 0
3.24. 1 2 3
. 11 5 7 .
1 1 — 1
3.26. 0 - -1 1
.1 2 2 .
' 1 3 6)
3.28. 1 4 5
.-3 2 3 .
’ 2 6 3
3.30. 4 7 1
-3 -8 — 2 .
4. Берилган А матрица рангини топинг:
' 1 4—3 61 ' 2 1 —2 3
4.1. 2 5 1 -23 4.2. -3 0 1 1
17 -10 20 0 5 1 -3 2 .
'1-3-4 1 1 '4 2 1 -2
4.3. 5 —8 —2 8 3 . 4.4. 2 0 3 6
-2 -1 -Ю -5 0 3 1 2 2
5 -5 10 12 1 2 -1 2
4.5. 3 1 7 11 4.6. 3 — 4 5 0
1 7 4 30 . -1 3 -3 1
7 5 3 6 3 5 0 — 4 2
4.7. 2 -1 -1 4 1 4.8. 3 2 2 -6
1 8 6—60. 4 1 -1 - 2 .
13-1 2 2 ' -1 2 3 4
4.9. 25-8-5 6 . 4.10. 2 0 1 - 1
14 5-1 0 . 0 4 7 7 .
3 5—12 1 ' '3 4 — 4 0
4.11. 2 4-13 2 . 4.12. 1 - -1 2 -1
.13-14 0. .5 2 0 — 2
1 5—3 420
4.13. } 2-131
7—642 75-3 18
4.15. 32-3 22 11 3-34 1 1-3 2 1 '
4.17. 2—3 1—1 4 -1-5 3 3 -2 1 —4 2 4 . 1 '
4.19. 2-3-2 1 .4 -1 4 -9 -6 1 Н 9' 2 0
4.21. 2 5 0 7 .1-323 3 —3 1 О'
4.23. 2—2 0 1 .4 1-1 3 3 4 1 2 '
4.25. 2-12 0 .1 2 3 -2 Ч 5 1 О'
4.27. (1-12 3 3 2 0 -2. 6 2 -10 4
4.29. -5 -7 4 .2 4-2 1 -6
4 1 2 0
4.14. -1 2 1 -1
к 5 -1 1 1 .
3 - -2 2 — 1 '
4.16. 5 2 4 —
4 0 3-
2 - -3 1 г
4.18. 3 - -12 4
1 2 13.
-2 1 3 О'
4.20. 4 3 -5 2 .
1 2 -1 1 .
'4 3 -2 -1 '
4.22. 2 -1 4 -3
.3 1 1 -2
3 1 -2 -1
4.24. 1 2 4 -5
.2 -1 -6 4
3 1 2 3
4.26. 1 — 14 5
.2 0 3 4
5 0 4 2 '
4.28. 1 -2 2 -6
.2 1 1 4 .
(2 -3 4 1
4.30. 4 3 -2 -5
1з 0 1 -2
5. Бир жинсли тенгламалар системасини ечинг:
5.1.
3xi-|-4x2-f- 2х3=0,
Х|— х2+ 4х3 = 0,
5х14-2х2+ 10х3=0.
5.2.
2xj — Зх24- х3=0,
х1+ х2+ х3=0,
Зх( — 2х2Ч-2х3=0.
'3xl-j-2x2 — x3 = 0, 2x,— x2+3x3 = 0,
5.3. 1 + 1 to „ * * * 1 1 X 1 + + CO £ * (1 II II p -° p 5.4. x, + 2x2 — 5x3=0, 3x,+ x2—2x3=0. 3x, + 4x2+2 x3=0,
5,5. 5x,— 14x2 4"15x3=0, x, + 2 x2—3 x3=0. 2x,— 3x2“!“ x3=0, 5.6. X,— x2+4x3=0, 5x,4”2x24-10x3 = 0. 3x,4”2x2— x3=0,
5.7. x14” X2~J~ x3 — 0, 5.8. 2x,— x24“3x3=0,
Зх, —2x2+2x3 = 0. 2x,— x24_3x3=0, . x,4-3x2 — 4x3 = 0. 3x, — 2x24- x3 = 0,
5.9. x, + 2x2—5x3 = 0, 3x, + x2 —2x3=0. '2xl-i~2x2— 3x3=0, 5.10. ' 4x,4-3x2—5x3=0, x,4-5x2—6x3=0. 3x, — 3x24- 2x3=0,
5.11. СЛ . 4»- p 1? p £ ч £ + + 1 CO P О * II II II о P p 5.12. 4x,4-3x2 —5x3=0, x,4-5x2 — 6x3=0. ’3x,4- x2 — x3=0,
5.13. o' о °’ II II II 3 £ £ । + L 4 H * CO LO + 1 L H 4 * OJ co, 4 5.14. 5x,4-3x2—x3 = 0, 4x, 4-2x2 — x3 = 0. ’2x,— x2—5x3=0,
5.15. x, + 3x2 —5x3—0, 2x,— x2—7x3=0. 2x,— x2+4x3=0, 5.16. • 5x, 4- 3x2—x3=0, 4x, 4“ 2x2—x3 = 0. ’4x, — 3x2 — 2x3 = 0,
5.17. 2x, + 3x2 — 5x3 = 0, 4x,4-2x2— x3=0. 2x, —3x2 —3x3—0, 5.18. 2x,— x24-2x3=0, . X,— x2—2x3 = 0. 7x,— x24- 2x3 —0,
5.19. p 1 + + CO . СП H и и bo го * £ II II II о P P 5.20.^ x,4-3x2 — 4x3=0, 3x, — 2x24~ 3x3=0. x,4-5x2 — 4x3 = 0,
5.21. 3%!+ x24-4x3 = 0, 5x ।— -^2”b x3==0. 5.22. ' 3x,— x24-2x3=0, x, — 3x24-3x3 = 0.
X|-f-2x2—5х3=0, xi— х24-6х3 = 0,
5.23. %! — Зх2+ х3 = 0, 2х,~ х2 —4х3=0. х, + х2+ х3 = 0, 5.24. Х| -|- Зх2+2х3=0, Х]+ х2+4х3=0. ’ЗХ| + 2х2+4х3=0,
5.25. О ° II II II lo со -L- 1 । । Т i_ со f 5.26. х, —4х2+8х3 = 0, 2Xj— х2+6х3=0. '2Xj+ х2+7х3=0,
5.27. Зх!4-4х2— х3=0, 2Х| + 7х2—8х3=0. 4Х|— x2-f-5x3=0, 5.28. 2х । — Зх2—5х3—0, 2Х]— х2+ х3=0. ’Зх, + 5х2—2х3=0,
5.29. 2х! + Зх2— х3=0, х( — 2х2+Зх3=0. 5.30. xt — х2 — 4х3=0, х, + 3х2+ х3=0.
1- налу навий %исоб тописири^лари
1. Берилган детерминантни уч усул билан хисобланг.
а) уни I- сатр элементлари буйича ёйиб;
б) уни устун элементлари буйича ёйиб;
в) олдин /- устундаги биттадан бошка элементларни
айлантириб, сунгра шу устун элементлари буйича ёйиб.
нолга
2 -1 3 0 3 -2 1 4
— 5 3 1 - 2 . 1.2. 0 5-3 2
1.1. -3 -2 0 4 — 4 0 3-1
1 5 — 4 2 6 3-2 0
1 = 2, j = 4. 1 = 4, / = 3.
6 -3 1 2 -3 5 6 7
1.3. -1 0 4 5 . 1.4. 0 -2 1 3
2 7 3 4 4 — 3 1 0
0 -5 -1 3 2 1 0 -3
/ = 3, / = 3. /=1, / = 2.
-3 1 4 5 4 -1 3 2
1.5. 0 2 -1 3 . 1.6. -5 5-3 0
4 -2 7 0 2 1 4 7
-5 0 3 2 0 -2 6 3
z = 3, /=2. 1=2, j = 3.
зз
а ббг>
4 -5 1 0 6 -1 3 0
1.19. 3 2 6 4 . 1.20. -2 3 4-5
— 5 3 —4 8 2 0 -3 1
0 -2 -1 3 -5 5 8 2
t = 2, /==3. i=4, /=4.
2 6 -10 3 — 4 1 3 -2
, 1.21. -1 3 2 7 • 1.22 3 0 -1 -1
t 5 1 0 3 5 3 4 -3
-2 0 3 6 - 1 2-3 7
J z = l, / = 2. i=3, j = 3.
2 -3 1 4 1 - -2 0 4
J- 1.23. 1 -I 0 6 1.24. 3 1 2-1
0 4-4 3 • 4 2 1 3
2 -5 3 0 2 - 1 -2 0
z = 4, / = 2. 1 = 3, / = 4.
5 0 1-1 3 — 4 2 1
* 1.25. 1 1 -3 2 1.26. -2 2 0-1
3 -3 4 5 0 4 1 -2
2 4 0 3 3 -1 2 4
1=3, /=2. i= 1, / = 4.
-6 1 5 3
1.27. 2 1 -3 5
0 4 1 -2
3 — 4 5 1
4 3 -2 1
1.28. -3 1 1 -5
8 4 3 0
2 -3 5 6
г = 2, / = 4.
г = 4, / = 3.
8—7 6 1
3 5-1 4
О 3 2-3
-1 О 3-2
1 = 1, / = 3.
1.30.
3 5-50
4 3-42
— 12 3 5
5—1 2—3
/=4, /=1.
2. Л ва В матрицалар берилган.
а) ЛВ_ва ВА купайтмаларни топинг; б) А~1 ни топинг ва
АА 1 =А~1А = Е эканини текширинг:
2.1. Л = 2 0 - <0 0 19 -5 - 2 1 0 30 12 5 . , в= ’4 3 6 7 5' 1 8. 3 — 2 '
.9 1 1
2.2. А = — 4 4 0 J в= 4 1 2
— 2 1 2. 3 - -4 4 .
1 -3 3 1 -1 -1 '
2.3. А = — 2 -6 13 > в= -1 4 7
.-1 — 4 8 . 8 1 -1 .
' 4 -5 7 '9 3 5
2.4. 4 = 1 — 4 9 - в= 2 0 3 .
.-4 0 5 .0 1 — 1 .
' 5 6 -3 0 2 0
2.5. -1 0 1 > в= — 2 3 2
. 1 2 -1 4 - -1 5 .
'4 -5- 2 ' 3 0 1 ’
2.6. А = 5 — 7 3 1 в= 0 2 V •
. 6 -9 4 0 - -1 3 .
' 2 -1 2 '7 0 4
2.7. А = 5 -3 3 , в= 0 4 — 9 .
.-1 0 — 2 .3 1 Э .
' 7 -12 6 0 1 -6
2.8. А = 10 -19 10 в = 3 0 7
.12 -24 13 , 1 1 -1
' 3 -1 0 3 — 1 5
2.9. А = — 4 -1 0 1 2 4 .
4 -8 — 2 3 2 -1 .
1 -3 4' 4 ' 3 1
2.10. А = 4 — 7 8 5 в= 3 2 1
.6 -7 7 1 — 2 1
0 7 41 4 3 2 '
2.11. А = 0 1 0 , В = — 2 1 -1 .
1 13 0 3 1 1 .
0 1 -и 1 —2 -1 '
2.12. А = 1 0 2 , В = 3 1 2
2 1 4 1 2 2 .
— 2 1 ° 4 3 8'
2.13. А = 0 3 4, В = 6 9 1
1 -1 1 2 18.
'5 2 1 -1 8 — 2
2.14. А = 1 1 0 , в = — 4 3 2
.0 3 -1 3 -8 5
0 2 3 1 -3 4
2.15. А = 1 0 1, В = 2 1 -5
. 1 1 о .-3 5 1
' 1 0 2 4 5 -3 '
2.16. А = 0 1 -1 , В = 1 -1 -1
.2 1 4 .7 0 4 .
-1 2 1 3 0 5 '
2.17. Л = 2 0 1 , В = 1 1 1 .
1 3 -1 . .0 3 — 6
1 -1 Г '2 -1 -5 '
2.18. А = -2 10, в= 7 1 4
0 3 4 . .6 4 — 7 .
'1 1 О' 1 2 2 '
2.19. А = 0 3 -1 , В = 0 -3 1 .
к5 2 1 . .2 0 3 .
1 -1 2' 3 1 0 '
2.20. Л = 0 0 5 , В = 1 — 2 - 1
.2 1 -3 , .0 3 2 .
1 3 -1 5 -1 3 '
2.21. А = 2 0 1 , В = 1 -2 0
-1 2 1 . .0 7 -1 .
1 -3 1 '2 0 1
2.22. Л = 4 2 -1 0 1 -5
.1 0 2 2 0 0
0 3 4 ' 1 2 2
2.23. А = 1 -1 1 , в= 0 -3 1
-2 1 0 J .2 0 3 .
'0 3 -15 3 1 4
2.24. Л = 5 2 5 . в= 1 -2 J 1
.1 -1 6 0 3 с
(° 1 2 ' 1 - 3
2.25. Л = 3 -1 -1 , в = 2 1 _ С
( 1 2 0 . ,-3 5 1
2.26. Л = ' нз -1 2 -1 1 , -в= 4 5 1 -1 -3 — 1
4 0 1 .7 0 4
1 -3 1 4 3 5
2.27. Д = 1 0 2 в= 6 7 1
4 2 — 1 . 9 18.
0 3 4 -1 5 -3
2.28. Л = -2 1 0 , в== 1 - 1
2 -1 1 7- 4 0
5 2 — 13 -1 -1
2.29. А = 0 3 8 , в = -1 4 7
1 -1 - -7 . 8 1 -1
2 1 0 ) 3 5
2.30. Л = 7 —2 3 в= $ 0 С
1 5 0 1. .G 1 -
л
3. Берилган тенгламалар системасининг биргаликда эканлигини Втекширинг, агар биргаликда б^лса, уларни: а) Крамер коидасидан ^фойдаланиб, б) матрица усули, в) Гаусс усули билан ечинг:
Ж' ЗХ) + 2х2+ х^=5, х14~2х2— х3=б,
1 3.1. а) 2х1 + Зх2 + х3=1, б) 2х1 -|- Зх2+5х3= 11,
2х1 + х2+Зх3= 11; Зх । -j- 5х2+4х3=8.
4х! —Зх2+2х3=9, х,+ х2— х3=7,
3.2. а) 2х,+.5х2 — Зх3 = 4, б) 2х1 + 8х2+5х3= 15,
5х1 + 6х2+2х3= 18; Зх! + 9х2+4х3= 10.
2xt — х2— х3=4, 4х1 + 6х2+Зх3== 17,
Ж 3.3. а) Зх14-4х2—2х3 = 11, б) 2Х(-|-6х2-|-5х3— 12,
Зх! — 2х2 + 4х3= 11; Зх j -|-6х2 -|" 4х3=9.
х,+ х2— х3=1, 2х1— х2+3х3 = 3,
3.4. а) 8х( + 3х2 —6х3=2, б) х j -J- Зх2—2х3=2,
— 4Х[— х24-Зх3= —3; j3xj-J-2х2-J- х3=8.
'Ух, —5х2=31, 5х1— х24-Зх3=2,
5 3.5. а) 4х,+ 11х3= —43, б) — Х]_|_3х2 — 2х3=1,
2х । -|" Зх2+ 4х3= — 20; 4Х|-|-2х2-|- х3=7.
х ] — 2х2+Зх3=6, х । — 9х2-|- 2х3^ 5,
Ж 3.6. а) 2х ] + Зх2—4х3=20, б) х j --j- Зх2 — 8х3= 3,
3xj — 2х2 — 5х3=б; х । — Зх 2 2х3 == 8.
х14-х24-Зх3 = — 1, 3xj —Зх2— х3= — 5,
3.7. а) 2х| — х24-2х3= —4, б) Зх! + 5х2+4х3= 17,
4х,+х2+4х3= —2; 4х1-2х2+Зх3=8.
Зх ] -J- 4х2+2X5== 8, '3xi~|- х2— х3=4,
3.8. а) 2х j — х2— Зх3 == — 1, б) X! — 2х2+2х3= 1,
Х|-|_5х2-|- х3=—7; 4х। — х2-|- х3===3.
х, —4х2—2х3= — 7, ’ Зх, + 2х2— х3=4,
3.9. а) Зх,+ х2— х3=5, б) Xj — Зх2+2х3= 1,
— 3xj + 5х2+бх3 = 7; 7х1 + х3=6.
3.10. a) *i4-2*24-4*3=31, 5xj-|- x2-|-2*3=20, 3x,— *24- *3=0; 6) 3x j *~j~ 2xq x3 4, X ] 3x2 — X3 —— 1, 4X|—x2==6.
3.11. a) *14“5*24_ *3=—2, 2xt — 4*2—3x3=0, Эх, 4- 4x24-2x3=3; 6) x । — 3x2-p 4x3=2, 2xj+ x2—5x3=3, 3xj — 2x2— x3=8.
3.12. a) 2X| — 3x24~2x3= —6, 5X|4~8x2— x3=0, X| 4*2x24*3x3=6; 6) '4Xj4-5x2—3x3=5, 2xj— x24“X3=3, 3x, + 2x2— x3=7.
3.13. a) X, —4x2—2x3=0, 3x, — 5x2—6x3=7, 3x14~ ^2*4“ *з=6; 6) 3xj-|-5x2+ x3=2, 5x। 3x24“3x3 = 4, 4*iH- *2 4- 2*3=8 J
3.14. a) 2*। *24“ 5*3== 10, 5*]4-2*2— 13*з=21, 3*i— *2*4“ 5*3=12; 6) x । x2— X3~4, Xj + 3x2—7 x3=3, x 1 — 5x 2 4“ 5x3=7.
3.15. a) 2*] 4" *2 5*3= — 1, *14“ *2 *з=—2, 4*!—3*24~ *з=13; 6) '2Xj— x2—5xa=3, 4*i4-3*24- *3=5, 3*| 4“ %г—2*3=7.
3.16. a) 2* 14“ 3*2 4~ 4*з = — 10, 4*, 4-11*3= —29, 7*i—5*2 = 7; 6) 4* j 4- 3*2 4~ 2*3=2, 2*| 4-2*2— *3=3, 2*i4“ *2*4“ 3*з=5.
3.17. a) 2*! 4-7*2— *3=10, 3*| — 5*24-3*3= — 14, *i4-2*24- *3 =— 1; 6) • 6*j 4-4*2—7*3=3, 7*!4- *2—3*3=2, * । — 3*2 4~ 4*3=7.
3.18. a) 4*|4“ *2—3*з=—6, 8*14-3*2—6*3= — 15, *1 4- x2— *3= —4; 6) 3*,—*2— *3=— 3, 2* !-|-3*2—2*3=4, *1—4*2~|- *3=8.
3.19. a) 3x, —2x2—5x3= — 14, x,—2x24-3x3=0, 2x1 + 3x2—4x3= — 10; 6) 2X|4~ *2—5x3— —3 3x, — 2x24-3x3= —2 Зх,— x24-2x3=4.
3.20. a) 5x [ 4~ 6x 2—2x3= 9, 2x 14~ 5x2— Зх3= 1, 4x| — 3x24-2x3= — 15; 6) 4X|— x2 — 5x3 = 4, Зх, — 2x2— x3=5, -Vj4- x2—4x3 = 8.
3.21. a) к 1 4- to £ * * 1 1 1 to w c? £ * И II II ср o to 6) 4x । — 3x24~ 2x3=2, 3x,— 2x2— x3:=3, : Xt— X24-3X3=5.
3.22. a) 3x 14“ 2x2 — 2x3—3, Xi4- X2~ *з=°, 4x 14~ *2—5x3=l; 6) 3x [ 5x2 4~ 2x3^ 2, x 14~ 3x2—4x3 = 5, 2X|— x2— x3=9.
3.23. a) Xi4“4x2— 3x3=—2, 2x|4_5x24~ x3=— 1, X] 4~7x2—- 10x3= —5; 6) 'w К) Ф? * * 1 “1 + £ 1 1 1 £> to * 00 CO co II II II JO
3.24. a) 4 1 "l 1 . co to £ £ + 1 4- to * * * co Co 'I II II 4^ CD Qi 6) 2x,4-2x24- x3=4, X, —Зх24- *з=3, Зх,— x24-2x3=5.
3.25. a) xt — x24-2x3= — 3, 3X|4~ *24~7*3= 1, X| 4-4x24-3x3=7; 6) '4X|4-2x24- *з=4, Xj—3x24~ *з=3, 3xj4-5x24-2x3=8.
3.26. a) '7X|4-5x24-3x3= — 1, 2X|4~ *2— *з=4, x,4-8x2—6x3= — 13; 6) X|4_2x24_ *3=5, *,4- x2—3x3=4, 2X)4-3x2—2x3= 10.
3.27. a) X|4“3x2— x3=s=6, 2x j 4“ 5x2 — 8x3=3, X|4~4x24- *3=H; 6) X|4~2x2—3x3= — 2*|4“ *г4“ *з=3, . *i— *24-4x3=7.-
4,
(5х,-3х2+2х3=23, (2х,+2х2+ЗЛ1=2,
Зх,4-2х2- х3— 4. б) I х.+гх,— х3«3,
х, —6х24-4х3= 19, (Зх14-4х24-2х3=0
Г5Х|4-7х2—Зхэ= —12 (ЗХ1 + Зх2+ х3=2,
3.29. а) |зх|4-2х24-3х3=5, g) |2Х( — 2хи— х3=3,
( х;—х2= —3; I Х| + 5хг4-2х3=4.
(*i+ х24-2х3=5, (5х14-7х24-10х3=4.
2х, —Зх2— х3=5, б) I х, —Зх2+ 4х3®5,
4Х|— х2—5х3=—9, [2х,4-5хг4- Зх3=8
4 Бир жинсли чизикли тенгламалар системаларини ечинг'
|Х|—2х2+Зхя»0,
2xi+3x2— хя=0,
х 4-4х2-2х3«0,
[ х(—4х2Ч-Зх3=0,
4.2. а) | X!— х2— х3=0,
(зх14-Зх2-4х3»0;
15Х;-- с24-5х3=0,
2Х|4-Зх2— х3=0,
ЗХ| + 4х2—Зх3=0;
f Зх 14- х2 — 2х3 у О,
4.4. а) 1 Х|4-2х24- х3=О,
|,4Х|-- х24”Зх3=0,
С Л,—4х24-Зх3=хО,
4.5. а) <ЗХ| —2х2— х3=0,
Нх,- 2х2+ х3—О;
!5х.+2х2-Зж3=«0,
4х,- х2+2х3-0,
*i + 3x2-j- х3=О;
14х;— х2 + Зх3=0,
2Х|+Зх2—5х3»0,
х, —2х24-4х,=0.
(ЗХ|+2х2— х3=0,
б) рХ|4- х2—2х3=0,
( х, х2— Хд—0
12Х(— х2—2xd=0,
ЗХ| —5х2+ х3=0.
Xj—4х2+Зх3=0
16х,-2хг+ хэ«О.
4Х|+ х2—Зх3=0,
Xi —Зх2+4х3=0
(ЗХ|4-5х2- х3=О,
2х,-Зх2+Зх3-О,
х,+8х2—4х3=0.
!х,4-2х2-Зх3=0,
fix,—4х2+7х.,"0,
2Х| — Зх24-5х3=0.
!Зл14-2х2=0,
4Х|— х24-Зх3=0,
Х| + Зжа— х3=0,
|3jCi—2л2—Зж3=0,
4.8. а) |4Х|+ х24-2х3=0,
I х, —Зх2 + хз=°.
Г 4Х|- х2+5х3=0,
б) 1 2Х|4-Зх2- х3=0,
[ х1-2хг+Зх3=0.
1х । -J- Зх2—5х3=0,
2xj— х2+ х3=0,
х,—4х24-5х3=0
f2X|4- х24-Зх3—0,
4.9. а) |2Х[- х2— х3=0,
(Зх14-4х2—5х3=0,
!Х|—2х2—2хэ=0,
Зх14-4х2-2х.з=0,
2Х]+ х2—2х3=0.
13Х| — 4х24-7х3=0,
х,+2х2+ х3=0,
2х,— х2+4х3=0;
|2х1-Зх2 + 4х3=0,
х,— х2 — х3=0,
л, —2х2+5х3—0.
4.11. а)
Г2х| + 2х2— х3=0,
Зх14-4х2+2х3«0,
[ х|-2х2=0;
(2х,- х2+4х3=0.
I X!— хг— х3=0,
( Х| — 2х24-5х3=0.
4.12. а)
[Зх1+2х2-Зх3=0.
Х|—Зх24-5х3=0,
(4х14-5х2—Зх3=0,
15х, — 6x24-4xj—О,
Х| 4-2х2—2х3=0<
ЗХ|—2х2+ х3=0.
М3, а)
| х,+2х2-5х3-0.
|5х,4- х2—Зх3=0,
|зХ| — 2х2+4х3=0;
( х1-7х24-Зх3=0,
б) I Х|+2хг—2х3«0.
|зх( —2хг+ х3=0
4.14. а)
5х|-4х2+2х3=0,
Зх2-2х3-0,
4х<+ х2-Зх3=0,
б)
!5Х|4-8х2—Зха—О,
Зх,—4х2+ х3=0,
4х1+2х1— х3=0.
4.15. а)
{Зх, +5х2—4х3=0,
Х|+ х2— х3=0,
Зх,4-4х2—Зх3=0,
б)
!3х|— 2х2+ х3=0.
2Х|+ х2—Зх3=0,
Х|—Зхг+4х3=0.
'5Х| —Зх24-2х3=23, 2х । -f- 2х2 + Зх3=2,
3.28. а) 3xt4-2x2— х3= 4, б) Х[ —6х2+4х3= 19; ’5х14-7х2—Зх3= —12. xt4-2x2— х3=3, Зх14-4х2+2х3=0. ЗХ|4*Зх2+ х3=2,
3.29. а) Зх14-2х2 + Зх3=5, х [ ~~х2 —— 3; -'>14- х2+2х3=5, 2х| —2х2— х3=3, Х[ 4-5х24-2х3=4. '5Xi + 7x2+ 10х3 = 4,
3.30. а) 2х1 —Зх2— х3=5, б) • 4xt— х2—5х3=—9; Х| — Зх24~ 4х3 = 5, 2х14-5х2+ Зх3=8.
4. Бир жинсли чизикли тенгламалар системаларини ечинг:
х [ 2x2 3%з— 0, 4Xj— х24-Зх3=0,
4.1. а) 2х14-3х2— х3 = 0, х14-4х2—2х3=0; X] — 4х2+Зх3 = 0, б) 2х|4-Зх2—5х3=0, X] —2х24~4х3=0. 'Зх!4-2х2— х3 = 0,
4.2. а) xi— х2— х3=0, ЗХ) 4* Зх2 — 4х3=0; '5Х]— х24-5х3 = 0, б) 4х,4- х2—2х3=0, х,— х2— х3=0. '2Х|— х2—2х3 = 0,
4.3. а) 2Xj4-3x2— х3=0, Зх14-4х2 —Зх3=0; 'Зх!4- х2—2х3=у0, б) Зх,—5х24- х3=0, х, —4х24-Зх3=0. 6Х| — 2х24- х3=0,
4.4. а) • х14-2х24- х3=0, 4Х] — х24-Зх3=0; Xj — 4х24-Зх3=0, б) • 4х,4- х2 — Зх3=0, X, — Зх24-4х3=0. 'ЗХ|4-5х2— х3=0,
4.5. а) • ЗХ]—2х2— х3 = 0, 4Xj —2х24* х3=0; 5х 14- 2х2—Зх3 = 0, б) 2х । — Зх2 4~ Зх3=0, х,4-8х2—4х3=0. Х|4-2х2 —Зх3=0,'
4.6. а) • 4Xj— х24-2х3=0, Х;4-Зх24- х3 = 0; б) 5х, — 4х24-7х3=0, 2х, — Зх2 4-5х3=0.
3X| + 2x2=0, 4X|— x2 +5*з=0,
4.7. a) 4X|— x2+3x3=0, x{-{-3x2— *3=0; Зх,—2x2— 3x3=0, 6) 2*i + 3x2— x3=0, X| —2x2+3x3=0. Xj +3x2—5x3=0,
4.8. a) 4*| + *2~b2*з=0, 6) 2xt — x2+ x3=0,
X| — 3*2~|_ *3=0; X, —4x2 + 6x3=0.
2*|x2+3x3=0, x,—2x2—2x3=0,
4.9. a) 2*i— *2— *3=0, 3*i H_4*2—5x3=0; 3*i — 4x2 + 7x3=0, 6) 3x। + 4x2 —-2x3=0, 2X|+ x2—2x3=0. 2*! — 3x2+4x3=0,
4.10. a) Xi-4~2x2-I~ *з=0, 2x,— *2+4x3=0; 2*i + 2*2— *3=0, 6) X|— x2— x3=0, Xj — 2x2+5x3=0. 2X|— x2+4x3=0,
4.11. a) 3*i +4x2 + 2x3=0, —2x2=0; 3* । + 2*2 — 3* з=0, 6) *]— x2— x3=0, Xj —2x2+5x3=0. Зх, —6x2+4x3=0,
4.12. a) x । — 3x2+5x3=0, 4X|H-5x2—3x3=0; x i + 2x2—5хз=0, 6) x । +2x2—2x3= 0, Зх, — 2x2+ x3=0. X| — 7x2 + 3x3=0,
4.13. a) 5x j —|— x2—Зхз=0, 3x, — 2x2-f-4x3=0; Зх, — 4x2+2x3=0, 6) x j +2x2—2x3= 0, Зх, —2x2+ x3=0. 5x 1 + 8x2 3x3= 0,
4.14. a) 3x2—2x3=0, 4x [ —x2—3x3=0, 6x । + 5x2— 4x3=0, 6) 3Xj — 4x2+ x3=0, 4xt + 2x2— x3=0. Зх, — 2x2+ *3=0,
4.15. a) x,+ *2 *з=0, 3*| + 4*2—3*з=0, 6) 2X]+ *2—3x3=0, X| — 3x2+4x3=0.
4.16. a) '3xl-t-2x2— x3=0, 4x1 + 3x2 + 4x3=0, 2x( — x2+3x3=0; 6) '4x! + 5x2— x3=0, 2Xj— x2 + 3x3 = 0, 3x1-|-2x2+ x3 = 0.
4.17. a) ’2X|— x2+3x3 = 0, X|—2x2 —5x3 = 0, 3X| + 4x2— x3=0; 6) '6x!-|-2x2—3x3=0, 2x(— x24-2x3=0, 4X] + 3x2—5x3=0.
4.18. a) '6X|-|-5x2— x3=0, 3x! + 4x2-|-2x3=0, 2X|— x2+3x3=0; 6) '3x1 + 4x2 — 3x3=0, 2x,—3x2+ x3=0, x, + 7x2—4x3=0.
4.19. a) '7X| + 2x2— x3=0, 2x(— x2-j-3x3=0, 3x(—4x2 —2x3=0; 6) '7x(— x2+3x3=0, 2x j — Зх2+ ^з===3, X]^-7x2—4x3 = 0.
4.20. a) ’2x, + 5x2—3x3=0, X| — 3x2—2x3=0, X| -f- 8x2 -|- 3x3=0; 6) ’6х,-|-Зх2— x3=0, 2x1 + 5x2+3x3=0, 2xt— x2—2x3=0.
4.21. a) • 3x । +2x2+3x3=0, Xj— 4x2 + 5x3=p, 2X| —2x24-4x3=0; 6) Зх, 5x2 2x3=0, xi~ x2-\-4x3=0, X[-{“ 3x2—Зхз=0.
4.22. a) 5x( — 7x2+6x3 = 0, 3x(-|-4x2+ x3=0, 2X[5x2—4x3=0; 6) • x, + 7x2—8x3=0, 3X|— x2+2x3=0, X| — 4x2-|-5хз = 0.
4.23. a) 6X|— x2 + 2x3=0, xt+2x2+ x3=0, 3xt-|-2x2—3x3=0; 6) x, + 3x2—7x3=0, 2xt— x2-|-4x3=0, 3x, + 2x2—3x3=0.
4.24. a) • X| + 5x2— x3=0, 2X] — 3x2 + 3x3=0, 3Xj—8x2+5x3=0; 6). • x,+2x2—4x3=0, 2X| + 9x2 —2x3=0, x । — 5x2+3x3=0.
6Xj —7*2+2*3=0, *,+2*2 —4*з=0,
4.25. а) 3*j + *2—4*3=0, б) • 2*| + 3*2+ *3=0,
*, + 8*2—2*3=0; 3*] +5*2 —3*з=0.
3*|—2*2+ *з=0, *, + 7*2 — 2*з = 0,
4.26. а) 2*|+ 4*2 —5*з=0, б) ' 3*j —5*2—4*з=0,
*1 + 6*2—3*з=0; *, —6*2— *з=0.
'(2х.— *2+4*з=0, * 1 — 8*2 + 7*з=0,
4.27. а) • 3*j + 2*2—5*з=0, б) 2*]+ 5*2—3*з=0,
*1+ *2—2*з = 0; 3* । — 3*2+4*з=0.
*, —8*2+7*з=0, *1—8*2 + 7*з=0,
4.28. а) 4*,+3*2—5*з=0, б) 2*( + 5*2 — 3*3=0,
2*,+ *2+3*3=0; 3* ] — 3*2 “I- 4*3—0.
'2*i + 4*2— *з=0, *! + 5*2+ *3=0,
4.29. а) 4*, —3*2—3*з=0, б) 2* j — 3*2—4*з 0,
2*|+ 5*2—5*з=0; *,— 8*2— 5*з=0.
* । — 3*2—4*з—0, 3* j+2*2+З*3= 0,
4.30. а) 2*|+ 3*2+ 7*з=0, б) *, — 4*2— *3=0,
* 1 + 2*2 + 5*3=0; 2*!— *2+ *3=0.
4- §. Векторлар устида чизикли амаллар.
Базис. Базис буйича ёйиш. Координаталар оркали берилган
векторлар устида чизикли амаллар
1.4.1. Боши А нуктада, охири В нуктада булган йуналтирилган
кесма вектор деб аталади ва у АВ ёки а каби белгиланади. а век-
торнинг узунлиги унинг модули деб аталади ва |а\ каби белгилана-
ди. Охири боши билан устма-уст тушадиган вектор ноль-вектор
дейилади ва б билан белгиланади. Бундай вектор тайин йуналишга
эга эмас, унинг модули нолга тенг.
Узунлиги бирга тенг вектор бирлик вектор дейилади. а вектор-
нинг бирлик вектори а0 каби белгиланади.
Бир т^рри чизикда ёки параллел тугри чизикларда ётувчи
векторлар коллинеар векторлар дейилади.
Агар икки вектор узаро коллинеар, бир хил йуналган ва
модуллари тенг булса, бу векторлар тенг векторлар дейилади.
2- шакл
3- шакл
Бир текисликда ёки параллел текисликларда ётувчи векторлар-
ни компланар векторлар дейилади.
1.4.2. Векторларни кушиш, айириш ва векторни сонга к^пайти-
риш_ амалларини векторлар устида чизикли амаллар дейилади.
а векторнинг А сонга купайтмаси деб, а векторга коллинеар,
А>0 да у билан й^налиши бир хил, Х<0 да эса й^налиши карама-
карши хамда модули |Х| • |а| га тенг булган /.а (ёки а/.) векторга
айтилади.
бирлик вектор булиб, у а билан бир хил й^налган.
а ва b векторларнинг йигиндиси деб а ва Ь векторлар билан
компланар булган а-\-Ь векторга айтилади. Икки ректорнинг
йириндиси параллелограмм (2- шакл) ёки учбурчак \'3- шакл)
коидалари б^йича топилади. \
Бир не-гга векторни к,ушиш учбурчак коидасини кетма-кет
к^ллаш билан амалга оширилади. Натижада шу векторларга
курилган синик чизикни ёпувчи вектор бир нечта векторларнинг
йиРиндиси_була_ди (4-шакл).
Икки а ва b ъемторьшт^айирмаси. деб, Ь векторга куши/1ганда
а векторни хосил килувчи а — b векторга айтилади (5-шакл).
а=ОА ва Ь=ОВ векторларга курилган параллелограммнинг
ОС диагонали = га, В А диагонали эса ~ВА=а — Ь га тенг
(6- шакл)д
1.4.3. а —АВ векторнинг I ук буйича ташкил этувчиси (компо-
нента) деб, шу вектор боши ва охирининг проекцияларини
бирлаштирувчи А{В\ векторга айтилади (7-шакл).
а=АВ векторнинг I укдаги проекцияси деб, А1В] векторнинг
Й^налиши I ук й^налиши билан бир хил ёки бир хил эмаслигига
г’УКараб, « + » ёки «—» ишора билан олинадиган ташкил этувчиси-
Нинг узунлигига айтилади.
j? ( ~ пр( АВ = Ч- | А|В 11 .
а векторнинг I укка проекцияси at деб белгиланади, яъни:
npla=al.
♦г
Проекцияларнинг асосий хоссалари:
* а) пр/Н = |а|costp ёки ai = I а|costp.
Бунда <р — а ве_ктор билан ук орасидаги бурчак;
б) npz (a + b) =npia + npt$ ёки np; (а + &) = ai+bi\
в) пр,Аа = А.пр/а ёки прДа = Аа/.
Й
& 1.4.4. ai, а.2, .... ап векторларнинг чизикли комбинацияси деб
* а = А1 и। -|-K2U24- ... А~hnCin
‘‘i формула билан аникланувчи а векторга айтилади, бунда Ai, Аг, ...,
,*/ кп — тайин сонлар.
Агар Hi, .... ап векторлар системаси учун камида биттаси нолдан
фаркли шундай Ai, ..., Ап сонлар мавжуд булиб, Aifli + -- +
+ Апап = 0 шарт бажарилса, у система чизицли боелиц система
дейилади. Агар юкоридаги тенглик факат Ai = ... = Ап = 0 булганда
уринли булса, ai,.... ап векторлар системаси чизицли эркли дейилади.
Иккита коллинеар вектор хар доим чизикли богликдир.
Шунингдек, учта компланар вектор хар доим чизикли боглик.
Фазодаги ихтиёрий турт ёки ундан ортик векторлар хар доим
чизикли боглик.
п та чизикли богликмас векторлар системаси е,, ег,...,ал берилган
б^либ, агар ихтиёрий а векторни уларнинг чизикли комбинацияси,
яъни
а = А1в|-|- ... -|-А.пап
шаклида ифодалаш мумкин булса, у холда берилган система базис
дейилади.
Бу тенглик а векторнинг ei, ег.....еп базис буйича ёйилмаси
дейилади.
Фазода чизикли боглик булмаган хар кандай учта е\, ег, ёз
вектор базис ташкил килади, шу сабабли фазодаги хар кандай а
вектор шу базис буйича ёйилиши мумкин:
Xi, Л2, Хз сонлар а векторнинг берилган базисдаги координата-
лари булиб, бундай ёзилади:
а = {Xi, Z2, Хз}-
Агар базйснинг векторлари узаро перпендикуляр ва бирлик
узунликка эга булса, бу^базис ортонормалланган базис дейилиб,
у ортлар _леб аталувчи i, J, k векторлар оркали белгиланади.
Arap 1, J, k мос равишда OX, OY, OZ Уклари буйича йуналган
ортлар булса, у холда ихтиёрий а векторнинг Г, f, К базисдаги
ёйилмаси куйидагича ифодаланади:
а=ах7+ау1+агк ёки а—{ах, ау, а?},
бунда ах, ау, аг — а векторнинг координаталари. а вектор узунлиги
|а| = у/а2+а2у +а2г
формула буйцча аникланади.
а йуналиши унинг координата уклари билан х.осил килган а, р,
у бурчаклари билан аникланади.
а векторнинг йуналтирувчи косинуслари
формулалар билан аникланади ва улар
cos2a-|-cos2p + cos2y = 1
муносабат билан богланган.
1.4.5. a = aX-\-aJj-\-агК ва b = bx~i-\-bJj-\-bji векторлар берилган
булсин. У холда
a±b= (ax±bx)7->f- (ay±by)]+ (аг±Ьг)к,
\а — KaJ -ф кау7
Afi(xi, у\, z\), Мг(хг, У2, Z2) нукталар берилган булсин. У холда
М{М2 векторнинг ортлар буйича ёйилмаси
М2= (х2—xj7+ (у2— (/J/-}- (г2—zjfe
куринишда булади.. М\ ва М2 нукталар орасидаги масофа ёки
М2 векторнинг узунлиги _________________________
lAlXl = V U2-*i)2 3 * *+ ('/2-У1)2+ (г2-г,)2
формула билан хисобланади.
М1М2 кесмани берилган А. нисбатда булувчи М нуктанинг
координаталари куйидагича аникланади:
х । + кх2 !/| + ку2 г । + Хг2
1+А * 1-|-Х ’ 1Н-к
Хусусан, агар А=1 булса, М нукта Af iAf2 кесманинг уртасида ётади
ва унинг координаталари
Xf-i-x2 У\~\~У2 г1+
X = — • У ~ 2 ’ Z ~ 2
муносабатлардан топилади.
Мисол. а={3; 2; —5} ва д = {2; —3; 1} векторлар берилган.
Куйидагила_рни топинг:
а) 2а—b векторнинг координата укларидаги проекцияларини;
б) 2а — b векторнинг узунлигини;
в) 2а — 5 векторнинг йуналтирувчи косинусларини.
Ечиш. а) 2а-Ь = {2-3-2; 2-2-(-3); 2-(-5) -1}={4; 7;
-И}- _________________________ _______________ _
б) |2а—= д/42 + 72+(-Н)2 = л/16 + 49+ 121 = V186 •
в) cosa = c0sp='v^’C0SY= •
4- дарсхона топишриги
1. Берилган а ва b векторлар буйича уларнинг куйидаги
чизикли комбинацияларини ясанг:
а) За; б) —уд; в) 2а + ^-Ь; г) -±-а — ЗЬ .
Z о
2. АВС учбурчакда АВ = т ва АС = п векторлар берилган.^ш-
, , т+п т—п. п — т, , т+п
бу векторларни ясанг: а) —: б> ~2—’ в' —2—’ г' ~ ~2~
3. АВС учбурчакда АВ томони Р ва М нукталар билан учта тенг
кисмга булинган: \АР\ = I PN\ = INB |. Агар СА = а, СВ= b булса,
СР векторни топинг.
Ж: СР=(2а + Ь)/3.
4. Иккита d=| —i, 2, 3| ва 6={2, —4, 5| вектор берилган
Куйидаги векторларнинг координата укларидаги лроекцияларини
топинг'. _
а) 2а+5; б) а—з£: в) За+5Ь.
Ж-_а) |0. 0. П|: б) {-7. 14, —12}. в) (7, -14, 34}.
5. d={2. 3. 6} векторнинг йуналтирувчн косинусларини топинг
Ж: cosa=y, cosp—cosy=-y.
6. а—{2, —3, 6} ва Б—{— I, 2, —2} векторлар косил килган
бурчак биссектриссаси буйича йуналган ё бирлик векторнинг
координаталарини топинг
4- мустацил иш
1 . d = (8, —5, 3} ва &=(—4, I, —1} векторларга курилган
параллелограмм диагоналлари узунликларини топинг.
Ж: td4-i’|=6; |а — =14.
2 А (1, 2, 3) ва В (3, —4, 61 нукталар берилган. АВ вектор
узунлигини ва йуналишини топинг
Ж' !ЛТ?| =7, cosa=y, cos₽ ——~, cosy=»^
3 а ={3, 4, -12} векторнинг ортини топинг
4 АВС учбурчакда ЛВ={2, 6, —4} ва ЛС={4, 2, —2} вектор-
лар берилган С учидан утказилган медиана билан устма-уст тушувчи
CD вектор узунлигини топинг.
Ж: |CDi = ViO
5-J. Скаляр кулайтма. Векторнинг узунлиги
Векторлар орасидаги бурчак
1.5.1, Иккита а ва Б векторнинг скаляр купайтмаси деб. а-Ь
куринишида бслгиланувчи ва шу векторлар узунликлари купайтма-
сининг улар орасидаги бурчак косинуси билан купайтмасига тенг
булган сонга айтилали:
а‘Б—1а] Idl • созф.
Скаляр купайтманииг асосий хоссалари:
а) а-Ь=5^а (у_рин алмаштириш конуни);
б) а-[6-^с) =аЬА-ас (таксимот конуни);
в! (ка)-Ь=а(Кб) =Ца-Ь) (lypywaui конуни).
-W
г) агар а=б, ёки 5=0, ёки а±Б булса, а-5=О (волга тенг
булмаган_векторларнинг ортогоналлик шарти)’
д) а-а = |g!2 ёки, а2= |а|\
е) а-Б= lai •пр;£ = |о|пр<а
1.5.2. Координата укларн ортларипинг скаляр купайтмаси.
Т-1. /2 = 1, F—I, Г-[=0, 7-5=0, [-5=0 а = и1?+%Г+аЛ ва
5=5x74-6j4-6f5 векторлар берилган булсин. У холда:
а • S = ах • Ьг +ацЬц + агЬг\
аг=|а|а=а2+а2+а1
а ва 5 векторлар орасида|и ф бурчак ушбу формула буйича
хнсобланади
а <&____ «А+° А _+ ° А_
cos’l_ iST^TsT . у/^+^+ц
а ва 5 векторларнинг перпендикулярлик Шарти!
5-5=0 ёки ах6х4-а;,6«+аг6г=0. _
1.5.3, F куч жисмни I вектор йуналишда ВС масофага кучи-
риш натижасида бажарган иш ушбу формула билаи хнсобланади:
А = Т • ЗС=|7| • |ВС| • созф
бунда ф к^чиш йуналиши 7 ва F кучнинг таъсир чизиги орасидаги
бурчак-
Мисол Агар Jal =2, |6| =3 булиб, улар узаро 60° ли бурчак
ташкил этса, 2d — b ва 2а + ЗБ аекторларнинг скаляр купайтмасиии
топинг _ _ _ _ _ _
Ечиш. (2a — 5) -_(2а + з5) = 2a-2a + 2a-J5b — b^2a — 6«36 =
= 4а-а + fid‘b — 2а-b —ЗЬ-Б = 4a - а 4- 4а -Ь — 36-6 = 4!a|-|a| 4-
4-4|a! -|5lcos60e-3|5l-151=4-2-24-4-2-3-у-3-3-3= 16 4-
4-12-27=1,
5- дар с хона топшириги
I. Агар la! = 3, |5| = 4 були б, а ва 5 векторлар орасидаги бурчак
ф = ул булса, куйидагиларни хисобланг:
я) а-5; б) а2, в) Б2\ г) (а4-5)2; д) (а —5)2;
с) (За-25) • (а4-25).
Ж: а) -6; б) 9, в) 16; г) 13, д) 37; е) -61
4. Иккита а={—1, 2, 3} ва Ь — {2, —4, 5} вектор берилган.
Куйидаги векторларнинг координата ^кларидаги проекцияларини
топинг: _
.а) 2а-\-6; б) а — 36; в) За-|-56.
Ж:_а) {О, О, II}; б) {-7, 14, -12}; в) {7, -14, 34}.
5. а={2, 3, 6} векторнинг й^налтирувчи косинусларини топинг.
2 „ 3 6
Ж: cosa=y, cos|3=y, cosy=y.
б. а={2, —3, 6} ва b — {— 1, 2, —2} векторлар хосил килган
бурчак биссектриссаси бу'йича йуналган е бирлик векторнинг
координаталарини топинг.
1 5 4 |
у/42’ V42’ д/42 Г
Ж: ё = [
1. а={8, -5, 3}
4- мустсщил иш
ва Ь={—4, 1, —1} векторларга курилган
параллелограмм диагоналлари узунликларини топинг.
Ж: | ан-61=6; |а—?| = 14. _____
2. А(1, 2, 3) ва В (3, —4, 6) нукталар берилган. АВ вектор
узунлигини ва й^налишини топинг.
Ж: |АВ\ —7, cosa=y, cos|3=—у, cosy=y.
3 а ={3, 4, —12} векторнинг ортини топинг.
\iz. ( 3 4 12 )
Ж' 113’ 13’ 13 /’
4. АВС учбурчакда АВ={2, 6, —4} ва АС={4, 2, —2} вектор-
лар берилган. С учидан ^тказилган медиана билан устма-уст тушувчи
CD вектор узунлигини топинг.
Ж: |СВ} = д/ТО .
5-§. Скаляр купайтма. Векторнинг узунлиги.
Векторлар орасидаги бурчак
1. 5.1. Иккита а ва b векторнинг скаляр купайтмаси деб, а-Ь
к^ринишида белгиланувчи ва шу векторлар узунликлари к^пайтма-
сининг улар орасидаги бурчак косинуси билан купайтмасига тенг
булган сонга айтилади:
а-b — |а| • |&| • cosqj.
Скаляр купайтманинг асосий хоссалари:
а) a-b^b^a (урин алмаштириш конуни);
б) а-рё-^-с) ==аЬА-ас {таксимот конуни);
в) (Ka) •b = a(kb) =Х(а-Ь) (гурухлаш конуни);
г) агар а = б; ёки 6=6, ёки a_L6 булса, а-Ь— 0 (нолга тенг
булмаган векторларнинг ортогоналлик шарти);
д) д-а=|а|2 ёкиа2=|а|2£
е) а-5=|а| •прг6=|6|пр5а.
1. 5.2. Координата Уклари ортларининг скаляр купаитмаси:
*2=1, Т=\, $?=\, Т-]=0, Г-£=0, р£=0. a=axt + ay'j'+azk ва
Ь = 6хТ-\-Ьу/+Ьгк векторлар берилган булсин. У холда:
а • Ь = ах • Ьх + ауЬу 4- агЬг',
a2=[al2=a2+a2+a2.
а ва b векторлар орасидаги ср бурчак ушбу формула буйича
хисобланади:
а- b
C0S(p = TSFThi
а ва b векторларнинг перпендикулярлик шарти:
а-Ь = 0 ёки ахЬх + ауЬу+сСгЬг=0. ___
1. 5.3. F куч жисмни I вектор йуналишда ВС масофага кучи-
риш натижасида бажарган иш ушбу формула билан хисобланади.
А = 7 • ~ВС= | F| • IВС\ coscp,
бунда <р — кучиш й^налиши Т ва F кучнинг таъсир чизири орасидаги
бурчак.
М и с о л. Агар _[а| =2, |6|j=3 булиб, улар узаро 60° ли бурчак
ташкил этса, 2а —b ва 2а+36 векторларнинг скаляр купайтмасини
топинг. . _ _ _ _ _ _
Е ч и ш. (2а — Ь) • (2а + 36) = 2а-2а + 2а-36 — 6-2а — 6-36 =
= 4а-а + 6а-5 — 2п-6—3^-6 = 4п-а + 4а-6 — 36-^=4|а|-|а| +
+ 4|a|-|6|cos60°-3|^| |^|=4.2.2 + 4-2-3-у-3.3-3 = 16 +
+ 12-27=1.
5- дарсхона ronuiupuFu
1. Агар | а| =3, |£| =4 булиб, а ва 5 векторлар орасидаги бурчак
ф = -|-л булса, куйидагиларни хисобланг:
а) а-5- б) а2\ в) 52; г) (а+6)2; д) (а —6)2;
е) (За—2^) • (а + 2?).
Ж: а) —6; б) 9; в) 16; г) 13; д) 37; е) —61.
2. Агар ОА = а ва ОВ=Ь векторлар Узаро <р = 60° ли бурчак
хосил килиб, |а|=2_____ва |Z>|=4 булса, АОВ учбурчакнинг
ОМ медианаси билан ОА томони орасидаги 9 бурчакни топинг.
Ж: cos0 = 0«41°.
3. а={т, 3, 4} ва 5={4, т, —7} векторлар берилган. т нинг
кандай кийматида бу векторлар перпендикуляр булади?
Ж: т = 4.
4. Учбурчакнинг учлари берилган:
А(-1, -2, 4), В(—4, —2, 0), С(3, — 2, 1).
Учбурчакнинг В учидаги ташки бурчакни хисобланг.
^К*
5. F={3, — 2, —5} кучнинг куйилиш нуктаси тугри чизик
б^йлаб харакат килиб, Mi (2, —3, 5) холатдан М2(3, —2, —1) холат-
га утади. Бу кучишда F куч бажарган ишни хисобланг.
Ж-’ А =31 иш бирл.
5- муста^ил иш
1. Т^ртбурчакнинг учлари берилган:
А (1, —2, 2), В (1,4,0), С (-4, 1, 1),£) (-5, -5,3). Шу туртбур-
чакнинг АС ва BD диагоналлари узаро перпендикуляр б^лишини
исботланг.
2. А (—2, 3, —4), В (3, 2, 5), С (1, — 1,2), D (3, 2, —4) нукталар
берилган. АВ векторнинг CZ5 вектордаги проекциясини хисобланг.
Ж: -бу.
3. Учбурчакнинг учлари берилган:
А (1, 2, 1), В(3, -1, 7), С (7, 4, -2).
Унинг ички бурчакларини хисобланг.
6- §. Векторларнинг вектор ва аралаш купайтмалари
1.6.1. а векторнинг 6 векторга вектор купайтмаси деб с = аХ
ХЬ кУршшшда белгиланувчи ва куйидаги шартларни каноатлан-
тирувчи с векторга айтилади:
а) с~вектор а ва Ь векторларга перпендикуляр;
б) с вектор учидан каралганда а вектордан b векторга энг
киска бурилиш соат мили й^налишига тескари й^налишда
8- шакл
9- шакл
кузатилади (а, Ь, с векторларнинг бундай жойлашувини унг учлик
дейилади);
в) с векторнинг модули а ва b векторларга курилган паралле-
лограммнинг S юзига тенг, яъни |с| =5= |a||6|sin<p (<р — а ва
£ векторлар орасидаги бурчак) (8-шакл).
Вектор купайтманинг асосий хоссалари:
а) aXb= — Ь%а;
б) (Ха)Х?=аХ(^)=Х(аХ&);
в) аХ (Ь+с) =ах5+аХс',
г) Агар а=б, ёки Б=6, ёки а\\Ь булса, у холда aXb = 6. Хусу-
сан аХа = 6-
1.6.2. Координата уклари ортларининг вектор к^пайтмаси:
1X1=6, ?хТ=б, k X В=6.
дгяп Гх / = £, /X k = i, Bxl=l
а = Oxi “И ayj + агк,
b = bxi 4~ byj + bzk
б^лса, у холда
i / k
ax ay аг
bx by b2
Агар а ва b векторлар коллинеар булса, у холда
= =
К by bz '
1.6.3. Жисм А нуктасига к^йилган F кучнинг О нуктага нис-
батан Й моменти(9-шакл)
М = ОА X F
формула билан хисобланади.
10-м и сол. a=2t — 3j ва B=3t-\-4ii векторларга курилган
параллелогра_ммнинг_ юзини топинг.
Ечиш. а ва В векторларга курилган параллелограммнинг
5 юзи щу векторлар вектор купайтмасининг модулига тенг:
S=|a X &|. Вектор купайтмани топамиз:
k
о
4
аХ& =
i
-з
о
= —127—87 + 91: .
Демак, S= д/(— 12)2+(—8) 2+92 = д/144 + 64 + 81 = 17 кв.
бирлик.
1.6.4. a, _В, с векторларнинг аралаш купайтмаси деб (ахВ)
векторнинг с векторга скаляр к^пайтмасига айтилади.
Аралаш к^пайтманинг хоссалари:
a) В)-с = а-(В X с).
Бу хоссадан аралаш купайтмани аВс куринишда белгилаш
мумкин эканлиги келиб чикади.
б) аВс = Ьса = саВ, яъни к^пайтирилувчи векторлар Уринлари
доиравий алмаштирилганда аралаш к^пайтма киймати ^згармайди;
в) аВс——Вас, аВс=—сВа, аВс=—асВ,
яъни к^шни иккита векторларнинг ^ринлари алмаштирилганда
аралаш купайтма ишорасини ^згартиради;
_г) агар векторлардан акалли биттаси_ноль вектор ёки а,
В, с векторлар компланар булса, у холда аВс=0 булади.
1.6.5. Агар
а = ахГ+а7+а^’
b==bxT+bJ+bz5
H=cx7+cJ+c^
булса, у холда
+ + a2
ьхьуьг
£г
Агар аВс векторлар компланар булса, у холда
+ ау аг
bxbyb2
СхСу сг
1.6.6. Аралаш купайтма купайтирилувчи векторларга курилган
параллелепипед хажмига ишора аниклигида тенг, яъни V= ±abc-
Ми с о л. Учлари А (1, 2, 0), В (—1,2, 1); С (0; —3; 2) ва D (1,
О, 1) нукталарда булган пирамиданинг хажмини хисобланг.
Ечиш. Пирамиданинг А учидан чиккан кирраларига мое
келувчи векторларни топамиз:
АВ={—2;0;1), JC={— 1; -5; 2}, AD={0; — 2; 1}.
Пирамиданинг хажми
1
хажмининг — кисмига
шу векторларга курилган параллелепипед
тенг булганлиги сабабли
-2
-1
0
0
-5
-2
1
2
1
±4
1 2
— . 4 = — куб бирлик.
6 о
6- дарсхона топшириги
1. а ва b векторлар узаро перпендикуляр б^либ, |а|=3 ва
|£|=4 булса, куйидагиларни хисобланг:
а) |(п + 6) X (а-£)1; б) |(3a-£) X (а-2£)|.
< ' Ж: а) 24; б) 60.
2. а ва b векторлар узаро ср = 45° ли бурчак ташкил килиб,
|а|=|6|=5 булса, р = а—2Ь ва £ = За + 2£ векторларга курилган
учбурчак юзини хисобланг.
Ж: 50д/2 кв. бирлик.
* ' ____3. А (2, —1, 2), В (1, 2, —1), С (3, 2, 1) нукталар берилган.
’ АВХВС ни хисобланг.
Ж: {6, -4, -6).
4. Учлари А(7, 3, 4), В(1, 0, 6), С(4, 5, —2) нукталардан иборат
учбурчак юзини хисобланг.
‘ Ж: 24,5. кв. бирлик.
5. А (1,2, — 1), В (0, 1, 5), С ( — 1, 2, 1), D (2, 1, 3) нукталар бир
текисликда ётадими?
». 6. К,уйидаги векторлар компланарми:
| а) Н={— 1, 3, 2}, 6 = {2, -3, -4}, с={—3, 12, 6};
’’ б) Й={3, -2, 1}, b={2, 1, 2}, с={3, -1, -2}?
« Ж: а) компланар; б) нокомпланар.
♦' 7. п = {3, 4, 0}, Ь={0, —4, 1}, с = {0, 2, 5} векторлар кандай
учлик ташкил этади?
Ж: чап учлик.
* 8. Пирамиданинг учлари берилган:
А (2, 3, 1), В (4, 1, -2), С (6, 3, 7), D (-5, -4, 8).
Учбурчакнинг D учидан туширилган баландлиги узунлигини
топинг.
Ж: 11 узун. бирл.
6- муста^ил ши
1. |а| =3, =26, |а X =72 булса, а-b ни хисобланг.
Ж: ±30.
2. Учбурчакнинг учлари берилган:
А (1, -1, 2), В (5, -6, 2), С (1, 3, -1).
Унинг В учидан АС томонига туширилган баландлигининг
узунлигини хисобланг.
Ж: 5 узун. бирл.
3. А (4, 2, —3) нуктага куйилган F={2, —4, 5} кучнинг В(3, 2,
— 1) нуктага нисбатан куч моментини топинг.
Ж: М = {-4, 3, 4}.
4. Учлари А (2, -1, 1), В (5, 5, 4), С (3, 2, -1), D (4, 1,
3) нукталарда булган пирамида хажмини хисобланг.
Ж: 3 куб бирл.
2- назорат ими
1. ABCD параллелограммда Р ва N нукталар ВС ва CD
томонларнинг Урталаридир. АР=а ва AN — b эканлиги маълум
булса, векторларни а ва b векторлар оркали ифодаланг:
1.1. Ав, АЛ. 1.2. ВР, Ж
1.3. Ж, АС. 1.4. Ав/АС.
1.5. ВР,АС. 1.6. Ж, Ас.
1.7. AD,Ж. 1.8. Ж, Ас
1.9. BN, Ж. 1.10. Ав, во
i.ii. Ж, во. 1.12. Ж вс .
1.13. АО, ВО. 1.14. Ж, ВО
1.15. BN, Ж. 1.16. вс, со
1.17. PD, Ж. 1.18. Ж, ВО
1.19. ВС,Ж. 1.20. Ж, Ав.
1.21. PD, Ж. 1.22. СО.СА.
1.23. АО, Ж 1.24. АО, ВС
1.25. Ж,Ж. 1.26. СВ, Ж
1.27. АС, Ж. 1.28. ОС, ОВ.
1.29. Ж,Ж. 1.30. АО, Ж.
2. a, В, c, d векторлар берилган. а) В векторнинг а, В, с векторлар
оркали ёйилмасини, б) сш + рй векторнинг ус + 6S вектор йуналиши-
даги проекциясини топинг:
2.1. 2={3, 2, -4}, В={ — 2, — 7, 1},
с={6, 20, -3}, d—{ —1, 4, 3};
а = 4, р =—3, у=—2, 6 = 6.
2.2. а={14, 9, -1}, 5={5, 7, -2},
с={—3, 1, 3}, </ = {1, — 4, 6};
а = 5, р = 3, т=-4, 6=—2.
2.3. а={1, -3, 1}, 5={-2, — 4, 3},
с={0, — 2, 3}, S={-8, -10, 13};
а = 6, 6=—7, у= — 1, 6= — 3.
2.4. а={-3, -64 7}, 5={1, 3, 1},
?={4, 5, 1}, d = {7, 3, 8};
а=—3, 6 = 4, у = 5, 6= — 6.
2.5. а = {4, -5, — 1J, 6 = {—2, 4, 1},
с={3, -1, 2}, d={l, -11, -9};
а = —3; р = 5, 7 = 1, 6 = 7.
2.6. а={2, 3, 4}, 6 = {-4, 3, -1}.
с={3, 1, 2}, 3 = {4, 4, 9};
а=5, р= —8, 7=-2, 6 = 3.
2.7. а={4, —3, 2}, 6 = {3, 2, — 7},
с={-2, 5, 1}, Л = { —4, 22, —13};
а=—5, р= -7, 7=-3, 6 = 2.
2.8. а={—6, 4, 51, ?={-5, 3, -1},
с = {1, 2, 3}, d={3, -9, 2};
а = 2, 6 = —6, 7 = 4, 6 = 5.
2.9. а={—4, 3, -4}, 6 = {3, -5, 6},
с={7, 2, 1}, </ = {-9, -16, 12};
а = 6, 6 = 4, 7 = 2, 6=—7.
2.10. а = {4, -7, 4}, 6 = {-3, 2, 1},
с={9, 5, 3}, d={10, 13, -8}.
а = 7, р = 2, 7= —6, 6=-5.
2.11. а={-4, -2, 7}, 6 = {-3, 3, 4},
с = {-1, 1, 2}, d={2, -14, 0};
а = 3, р=—2, 7=—5, 6 = 3.
2.12. а={-7, 4, -3}, В = {2, -5, 1},
?={5, 3, 2}, З = {3, 12, 1};
а = 3, 6= —1, у=— 5, 6 = 4.
2.13. а={6, -2, 1], В={-2, 7, -5},
с={3, 5, 4}, d = { — 5, 26, 5};
а = 6, 6 = 2, 7=-3, 6 = 7.
2.24
2.25
2.26.
2.27
2.14. а={-3, 4, 5}, £={5, 1, -2),
с={7, 2, 1}, 5={10, 17, 15};
а = 5, 6= —2, 7 = 3, 6 = 4.
2.15. а={1, 7, 2}, В={ — 3, 4, —5},
с={1, 3, 6}, И={-8, -10, -10};
а = 4, 6 = 2, 7 = 3, 6= —5.
2.16. а={-5, -3, -1}, £={3, -6, 2},
с = {-2, 1, 3}, d = {7, 22, 2};
а = 2, 6 = 5, 7=— 3, 6 = 4.
2.17. а={2, -4, 5}, £={-3, 1, -8},
с={4, 2, 3}, d = {5, 15, -1},
а = 1, 6 = 5, 7=—3, 6 = 2.
2.18. а={—1, —3, 4}, В = { — 3, 2, 1},
с={6, 1, -3}, Л={-3, -19, 14};
а = 2, 6= — 1, 7 = 3, 6 = 4.
2.19. а={1, -2, 5}, В={-2, 4, 1},
с = {3, 1, -3}, <?={11, 6, 5};
а=1, 6 = 3, 7= —4, 6= —2.
2.20. а={3, -4, 2}, 6 = {-1, 2, -3},
с={5, 3, 1), J={11, 26, -9};
а=—2, 6 = 3, у=—3, 6 = 6.
2.21. а={4, -5, -3}, В={-2, 3,
с={3, -1, 2}, d = {26, -23,
а = 2, р = 4, у= —3, 6 = 5.
1},
-1};
2.22. а={-5, —4, 0}, В = {4, -3, -2},
с = {0, 2, —3}, <?={6, —14, —17};
а = 5, 6 = 1. 7=~2, 6= — 3.
2.23. а = {4, -3, 5}, В={-2, 1, -3},
с={6, 1, 2}, 3={-6, 11, -12};
а = 5, 6 = 2, 7=1, 6=— 4.
а={—4, 3, 5}, В={2, 7, -3},
с={—3, О, 1}, d = {-7, 37, 4};
а=—2, р=-4, 7 = 2, 6 = 3.
а={—4, О, 3}, В={—7, — 2, -4},
с = {3,
а = 2,
а={2,
с={1,
а = 3,
а={3,
1, 2}, <7 = {0, 5, 22);
6= —5, у= —3, 6 = 4.
-1, О}, В={ — 5, -3, 4},
— 1, 1}, <?={—3, —2, —3};
6= -2, 7=-4, 6 = 5.
-2, -4}, В = {—2, 5, О},
с={1, 3, 4}, d = {7, 10, -12};
а= — 4, р=—6, 7 = 2, 6 = 5.
2.28. a
с
(-6, 3, -1}, £={2, -3, -5},
|-1, 1, 2}, d = {-1, -5, - 15};
а=—1, |3=— 3, у= — 2, 6 = 5.
2.29. а = {4, 5, —3}, Ь = {—3,. О, — 2},
с={2, -1, 4}, Н = {3, 1, 7};
а=-1, 0=4, у = 3, 6= —2.
2.30. а={2, -1, 31, 5={—3, 5, 2},
с={5, 4, 1}, d = {—10, -И, П};
а = 6, р = 3, у=—4, 6=—5.
3. ABCD пирамиданинг учлари берилган.
а) Пирамиданинг берилган кирралари орасидаги бурчак
косинусини топинг;
б) пирамиданинг берилган ёги юзини топинг;
3.1. А (6, — 4, 1), Б (6, 3, — 1), С (2, 5, 7), D ( — 4, —2, 3);
а) А£ ва АС; б) DBC.
3.2. А (6, 4, -7), В (5, 7, -4), С (-5, -4, 2), D (4, 2, 3);
а) ВС ва BD; б) ACD.
3.3. А (—2, 8, 7), В (6, —2, -3), С (8, 2, -3), D (3, 5, 3);
а) СА ва CD; б) BAD.
3.4. А (4. 4, 3), В (2, —4, 5), С ( — 1, 3 —4), D (4, —7, —9);
a) DA ва DB; б) АВС.
3.5. д (_5, —3, 2), В (4, —2, —4), С (5, 7, 2), D (1, 3, 4);
а) АВ ва AD; б) CBD.
3.6. А (-5, 6, 4), В (-6, 2, 4), С (9, -5, 3), D (7, 2, -8);
а) ВС ва ВА; б) DAC.
3.7. А (1, -9, 7), В (3, -5, 1), С (-9, 3, -5), D (2, 4, 7);
а) СВ ва CD; б) ABD.
3.8. А (4, -2, 9), В (3, 5, -1), С (5, 1, 7), D (-6, -3, 5);
a) DA ва DC; б) АВС.
3.9. А (4, 1,2), В (1, —5,4), С (9, —7, —6),D (—1, —5, —2);
а) АС ва AD; б) BCD.
3.10. А (2. -5. С В (3, -6, -7),С (-9, - 6, 7), D (7,2,5);
а) 3D ва ВА; б) CAD.
.1. /1 -5, -3). Ь (9, 7, 3), С (8, 7, 1), D (-2, -1, 7);
а. ва СВ; б) ABD.
I 1 В (0, -4,8), С (-3, 1,5), D (—5, —6, -7);
а; ,)В ва DC; б) АВС.
3 13. А (-9,2, 6), В (-7, 2,3), С (5, -6, — 4), В (4, -4,5);
а) ,4В ва АС; б) DBC.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
a) {BC ва' B^ACD.’ 5>' С (4' ~4' ~3)' ° (6' 7 5,;
а) 'сЛг’с^вс'о: 4>’ С <3' ~7’ 5)' ° <5' “• ~6’;
a) Vb^’cAJW С (~7' 5’ ~3’’ ° <4' 2
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
А(5ЛГ1>6?’В ( —6- 7. 5). С (2, 1,3), D (-3, -5 -4)-
а) АС ва AD; б) BCD. ’ ’’
А (1,2,3), В (3, —3,2), С (7, —5,4), D ( —3 —7 — 41-
a) BD ва ВА; б) CAD. Л 1 ’ ’ 4,1
А (4, -3, 1),В (0, -3, -5), С (-3, —2 1) D 19 4 71-
а) СА ва СВ; б) ABD. A (9,4,7),
А (5, —4, -2), В (7, 5, 1), С (3, 2, -4) D (-2 -5 31-
a) DB ва DC; б) АВС. (
Л?Т7’2, 3^ (0’ ~2,6), с (“1.3, 7), D (-3, —4 -51-
а) АВ ва AD; б) CBD. ' ’ Л
1),С (3' ~2’ ~6)’° (6’ ~2’3>;
А)(Ьа4^^),5аво: 2)1 с (3- -s' -41' ° <8'5’7>;
А^?’4’2)- в (-4, 6, 2), С (1, —5, 3),£>) (3,6, -4)'
a) DA ва DC; б) ВАС. ’
А (3, —5, 6), В (6, —3, 4), С ( — 5, 3, —2) D (2 4 31-
а) АВ ва АС; б) DBC. b 4’ 6>'
А(1’ ~2>8>’В (-2, 2,3), С (6,4, 1),Z) (-4, -3 -5)-
а) ВС ва BD; б) ACD. к , о, о/,
Л (-3, 2, 4), В (-2, 5, 3), С (4, -2, -3) D (1 4 21-
а) СА ва CD; б)' BAD ^,^(1,4,2),
А (^л4’ 4’ £?’ В (4’ ~3- -2)> С (6- 4. ~1)> в (1, 3 !)•
a) DA ва DB; б) САВ. '
Л (2 2, 1),5 (4> -2,3), С (-3,5, —2), £) (6,5 -7)-
а) АС ва AD; б) BCD. ' '
А (^3, ~о’Л3);А (6’ ~3’ ~2)> С (!> 2, О - D (5, 4, 3)-
a) BD ва ВА; б) CAD. ’
2- намунавий ^исоб топширикушри
1 • а, Ь, с векторлар базис хосил килишини текширинг. d
векторнинг шу базисдаги ёйилмасини топинг:
1.1. а={0, 3, 1), £={1, -2, 0}, с={1, 0, 1}, d = {2, 7, 5}.
1.2. а={-1, 0, 1), Ь = {3, -1, 2}, с={0, 1, 5), 3={8, -7, -13}.
1.3. а = {4, 0, 1}, £={3, 1, -1}, с = {0, -2, 1}, d = {0, -8, 9}.
1.4. а={1, 2, -1}, 6={ —3, 0, 2}, с={1, 1, 4}, d = {—13, 2, 18}.
1.5. а={—1, 1, 1}, b = {3, 2, 0}, с={1, -1,2}, ^={11, -1, -4}.
1.6. а={2, —1, 0}, £={1, —1, 2}, с = {0, 3, 1}, 3={—\, 7, О}.
1.7. а = {4, 2, 1}, 6 = {1, О, 1}, с={2, 1, 0}, d = {3, 1, 3}.
1.8. а = { —3, 2, 5}, 6 = {1, —1, 0}, с = {2, 1, 0}, d={—9, 3, 15}.
1.9. а = {1, 3, 0}, 5 = {0, -2, 1}, с = {1, О, 1}, d=J8, 9, 4).
1.10. а={—1, 1, 0}, 6={3, 2, —1}, с = {0, 5, 1}, 3={5, О, —3}.
1.11. а={4, 1, 0}, 5={3, -1, 1}, -ё=(0, 1, -2}, Я={1, -4, 1}.
1.12. а = {1, -1, 2}, 6={-3, 2, 0}, с={1, 2, - 1), S = {8, 8, 7}.
1.13. а = {—1, 1, 1}, 6 = {3, 0, 2}, с={1, 2, -1}, И={8, -5, 7}.
1.14. а = {2, 0, -1}, £={1, 2, -1}, с = {0, 1, 3}, 3 = {5, -4, 5}.
1.15. а={4, 1, 2}, 5 = (1, 1, 0}, с={2, О, 1}, Н=(3, 5, 0}.
1.16. а = {2, 5, -3}, 5={-1, °> И. с = {1, 0, 2}, 5={-3, -5, 7}.
1.17. а={1, О, 3), £={0, 1, -2}, с={1, 1. 0}, d = {7, -1, 19}.
1.18. а = {0, —1, 1}, b={— 1, 3, 2}, с={1, 0, 5}, d = {5, —15, 0}.
1.19. а={1, 0, 4}, 6={-1, 1, 3}, с={1, —2, 0}, J={-6, 2, 0}.
1.20. а = {2, 1, -1}, Ь={0, -3, 2}, с={1, 1, 4}, J={-6, -14,
-9}-
1.21. а={1, 0, 4}, 6 = {-1, 1, 3}, с = {1, -2, 0}, d = {0, 7, 29}.
1.22. а = {2, 1, -1}, £={0, —3, 2}, с={1, 1,4}, d={4, -9, -14}.
1.23. d={2, О, 3}, 6={1, 1, -1}, с = {-1, 2, 1}, d={—И, 11,
-14).
1.24. а={1, —2, 1), £={ — 1. 0> 2}, с = {—3, 1, 0}, d={16, —19,
10}.
1.25. а={1, 0, 2}, 6 = {3, —3, 4}, с = {0, 1, 1}, d={— 16, 13, —25}.
1.26. а={3, 1, 0}, 5={1, 2, 2}, с={1, О, —1}, 5 = {6, 7, 9}.
1.27. а={1, О, —1}, £={3, —1, 2}, с={0, 1, 5}, J = {—11, 10, 1).
1.28. а={1, 0, 4}, b = {- 1, 3, 1}, с={1, 0, -2}, 5={-1, 15, 33}.
1.29. а={1, 2, -1}, 5 = {-3, 0, 2}, с={1, -1, 4}, <?={-7, 16,
-25}.
1.30. а = {1, -1, 1}, Ь = {2, 3, 0}, с={-1, 1, 2}, d={-l, -4, 10}.
2. А, В ва С нукталарнинг координаталари берилган.
а) а ва b векторлар орасидаги бурчак косинусини;
б) аа-|~р5 векторнинг а вектор йуналишидаги проекциясини
топинг,-
2.1. А (9, 10, 1), В (7, 6, -1), С (4, 0, -4);
а = 2АВ-ЗАС, Ь = 4ВС + АС\ а = 1, р = 2 .
2.2. А (0, 2, 1), Д (1, 2, 0), С (0, 3, -1);
d=3AC + 3BC,b = 2AB + 5BC; а= - 1, |3 = 2 .
2.3. A (0, 4, 8), В 1-5,_4, -2), C (-1, 4, 1);
a = AB — 4AC, b = 3AC+2AB; a= — 2, 0 = 3.
2.4. A (3, О, 1), 5 (—2, 3, 2), C (1, 1, -2);
a = 3BC — AB, b = 6BC + 5AC; a = 2, p= — 3.
2.5. A (4, 1, — 3), В (5, 1, -2), C (-1, 3, 3);
a = 4AC — 2CB, b = 7AB + 5BC; a = 0 = 3 .
2.6. A (4,_li 1),BJ3, 1, 2), С (О, 1, -2);
d = 3BC — 4CA, b=3BA—'XC; a = 3, 0 = 2 .
2.7. A (-3, 4, -5), В (О, 1, -2), C (-1, 2, 3);
a = 4AB — 3BC, ~b = 5CA—2BA; a=-2,0 = 5.
2.8. A (7, 5, -2)^ В (6, OJ)), CJ7, 2, 2);
a = 4AB — 3BC, ’b=2CB + 5AC; a=—4, 0 = 2 .
2.9. A (-3, — 7, -3), В (-b_j-3, -1), C (2, 3, 2);
a = 2BC — 5AB, b = 5AC— CB; a=—3, 0=1 .
2.10. A (2, -1, 8), В (3, 1, 7), С (2, 0, 7);
а = АВ — ЗВС, b = 6CB — 2АС; а = 5, 0 = 6 .
2.11. А (-L, -1, 8), В (4, -1, -2), С (О, -1, 1);
a = SBC + 2AB, ~Ь=2АС — ЗАВ; а = —4, 0 = 3 .
2.12. А (-2, 4, -2), В (3, 1, 0), С (О, 3, -4);
а = ЗАВ-4АС, Ь = 2ВС + 5СА; а = 3, 0=-6 .
2.13. A (1,_L, 4),_BJ-2, h_5), CJ-1, 3, 3);
а = 4АС-2ВС,Ь = 2АС + ЗАВ; а = -5, 0 = 3 .
2.14. А (4, 2, 6), В (2, 2, 8), С (-4, 2, 0);
а = ЪАВ — 7АС,Ь=2ВС + ЗВА; а = 9, 0=12
2.15. А (15^-12^0), В_(6, -3, 0), С (9, -6, 3);
а = АС — ЗВС, Ъ = АВ + ЗВС; а=—7, 0 = 6.
2.16. А (-1^ -5,-2), В_ЦО, -6^4), С (-1, -8, 2);
а = ЗВС + 5ЛВ, ~Ь = 5АС-ЗАВ; а= -3, 0 = 4 .
2.17. A (-h -Ю, -5), В (!, -6, -3), С (О, 0, 4);
а = 2ВС — ЗАС, Ь = 4АВ + 3>АС; а = 4, 0=—6.
2.18. А (-3^3,21, В (-^3, 6)^С (-3, 2, 6);
а = 4АВ + АС, Ъ = 2ВС — ЗВА; а=—3, 0 = 8 .
2.19. А (2,_^2, —8), В (5, -2, -4), С (1, -2, -1);
а = 5АВ-ЗВС, Ь = 4СА+^В', а= -4, 0=1 .
2.20. А (1,_2, 4),_BJ-4, 6h_C (-1, 1, 2);
d = 3CA-2AB, b=2BA+4CB; a = 3, 0=-5 .
2.21. A (1,J, 4b_B (-2Jj, 1)^C (-1, 3, 3);
а = ЛВ + ЛС, b = 2BC-3AB; a = 3, 0=—4 .
2.22. A (0, L, -2)^B (3, J_, 2), CJ4. 1. 1);
a = 2AC + 3BA ,~b = 3BC — 4AB; a= —2. 0 = 6 .
2.23. A (6, -8, 10), В (0,_^2, 4)_^C (2, -4, 6);
a = 3AB + 6CB, Ъ=2АС-5АВ; a = 2, 0 = 8 .
2.24. A (0, 3, 2), В (-2, -1, 0), C (-5, -7, -3);
a = 5BC-2CA,~b = 6AB + 4AC- a=—2, 0 = 5.
2.25. A (-1, 4, 6)^B (0, 2, 5), CJ-1, 3, 5);
a = 8AC — 4AB, ~b = 2BC-6AB; a= -3, 0= -4 .
2.26. A (1, -2, 3), В (4, —2, -1), C (0, -2, 4);
a = 2AC + 3AB, b = 3AB — 4BC; a = 2, 0= 1 .
2.27. A (-1, 1, IJ^B (-6, 4, 3)~, C (-3, 2, -1);
a = 4AB — 3BC,b = AC + AB; a = 4,0=—6.
2.28. A (1, 1, 4), В (-2, 5, 5), C (-1, 3, 3);
d=2AC-3BC,b=2AB+5CA; a = -2, 0 = 6.
2.29. A (-3, -1, -2), В (-4, -1, -1), C (0, -1, 2);
d=3BC-4AB,b = 2AC + 3BC-, a=-6, 0 = 4.
2.30. A (5, -4, 3), В (2, -1, 0), C (3, —2, 1);
d=~B^ + AC, b = 2AB-3CA\ a=-5, 0 = 3.
3. Агар a, b, a, 0 лар маълум булса, ci = aia + 0i6 ва c2 = a2a + 026
векторларнинг коллинеар булиши-булмаслигини текширинг:
3.1. а={4, -3, 1}; 6 = { —5, 0, 2); ai = —2, 0i =5; а2= —5, 02 = 2.
3.2. а={—3, 0, 5}; £={ — 7,2,4}; ai =-2, 0, =6; а2=-3, 02 = 6.
3.3. а={0,—1, 2}; £={4,3,-!}; ai = -3, 0i = l; а2=-2„ 02=6.
3.4. £={7, 1, -3}; £={8, 0, 5}; ai = -9, 01 = 12; аг=-4, 02 = 3.
3.5. £={8, 3, —1};£={6, - 1, 2}; ai =-5, 01 =2; а2=-2, 02=5.
3.6. £={3, -1, 0}; £={9, 2, 4}; ai = -3, 0i=4; аг = 4, 02=-3.
3.7. а={-2, 1, 7); £={3, 5, -9); ai=5, 0i = 3; а2=-1, 0г = 2.
3.8. £={7,0,6}; £={-2, -1, 5); ai = 4, 01 =-6; а2=-2, 02=3.
3.9. £={—6, -7, 3}; £={4, -1, 2}; а. = —2, 01=3; а2=—3, 02=2.
3.10. £={-1, 6, 4); £={0, 7, 3}; ai = -7, 0i = 5; аг=2, 02 = 3.
3.11. а={5, 3, 7}; 6={4, -2, 1}; ai = l, 0i = -2; а2=-3, 02 = 6.
3.12. Н={10, 7, 5}; £={6, -1, 3); а! = 1, 01 =-2; а2=-2, 02 = 4.
3.13. а={3, 1, 4); 6={-1, 3, 8); а. = 6, 0i = -lO; а2=—3, 02 = 5.
3.14. а={3, 4, 6}, Ь={-2, 0, 5}; сц = 4, 0, = 3; а2=3, 02=—2.
3.15. а = {3, 4, 5), Ь = \-2, 9, 7); ai=4, 0i = -l; а2=-1, 02 = 4.
3.16. а={1, -7, 2}, 6={-1, 2, -1}; а, = 1, 0, = -3; а2=-2, 02 = 6.
3.17. а = {4, -3, 1}, ^={0, 7, 3}; а, = 1, 0>=2; а2=-2, 02 = 4.
3.18. 5={2, 5, -3}, 5={-1, 7, -2}; а(=2, 0,=3; а2=3, 02 = 2..
3.19. а=|1, —2, 1}, б={—2, 3, 0); а,=5, 01 = 3; а2=—2, 02 = 5.
3.20. а = (3, 2, 7}, 6=(-1, 0, 5}; ai=3, 0i = -6; а2=-1, 02 = 2.
3.21. а = {0, — 2, 6}, b={2, 4, — l};a,=3, pi=—6;a2=l,p2=—2.
3.22. a={5, 0, 1}, b={-2, -3, -2}; a, = -3, ₽i = -l; a2=9, p2=3.
3.23. a={l, -1,2}, F=(-l, 4, 3}; a1 = 1, p,= -2; a2= -3, p2 = 6.
3.24. a = {0, -1,3}, b={5, -2, 1}; a, = 1, p, = -2; a2 = -2, p2 = 4.
3.25. a={-l, 1, 1}, 6 = {-2, 4, 1}; a1=2, pj =4; a2=l, p2=l.
3.26. a = {7, 9, 5}, 6={4, 5, 3}; a, = -2, p,=3; a2=l, p2=-2.
3.27. a={-l, -1,2}, £={-3, 2, 1); a, = -1, p, = 8; a2 = 3, p2 = 4.
3.28. a = {7, -2, 1), S={1, 4, -2}; a, = -l, p, =2; a2 = 3, p2 = 5.
3.29. a={5, 3, —2}, £={1, 0, 1); a, = ~ 1, Pi = 3; a2=2, p2=l.
3.30. a=={—1, 0, 3}, 6 = {3, —2, 1}; ai=3, Pi = — 1; a2 = 4, p2 = 2.
4. a, 6 ва с векторлар компланар булиш-булмаслигини аникланг:
4.1. a = {9, 5, 8}, £={4, 3, 3}, с = {5, 3, 4}.
4.2. a={6, 11, 8}, £={0, 1, 1}, с = {2, 4, 3}.
4.3. а={-4, -1, 2), 6={-7, -3, 1}, с = {-6, -1. 4}.
4.4. а = {4, 2, 4), 6={—5. -4, -5}, с={0, 1, 3}.
4.5. а={-|, 1, 1}, 6={6, 1, 8}, с={3, 0, 3}.
4.6. а = {8, -3, 1}, 5={3, 0, 1}, с={4, -1, 1).
4.7. a = {2, 1, 2}, £={-1, -2, -1}, с = {4, 3, 6}.
4.8. а = {6. 2, 6), £={-9, —4, -9}, с = {1, 1, 4}.
4.9. a={—1, 0, 3}, Ь = {6, 7, -4}, с = {3, 3, -3}.
4.10. a={ —1, 4, -2}, b = {- 1, 2, 0}, с = {-5, 10, -7}.
4.11. а={2, 2, 2), £={-1, 0, -1}, с={1, 3, 2}.
4.12. a={-|,J, 3}, b = {4, 3, 2}, с = {1, 2, 3}.
4.13. а={1, 1,4}, £={-1, 1, -1}, с = {2, 5, 1}.
4.14. а = {4, 3, 2}, f=jl, 2, 3}, с={—3, —1, —1}.
4.15. а={1, 1, 1}, 5={1, -2, 1}, с = {1, 3, 3).
4.16. а'={-|, 2, 5}, £={0, -1, -2}, с={-1, 1, 3}.
4.17. а={2, 2, 2}, £={1, -2, 1), с={1, 3, 4}.
4.18. а={-1, 0, 2}, £={4, 7, 6}, с={1, 3, 4}.
4.19. а = {3, 2, 1}, ^ = {-7, -3, 1}, с = {1, 2, 3}.
4.20. а = {1, 2, 2}, ^={—1, 0, —2}, с = {2, 7, 3}.
4.21. а = {17, -6, 2), Ь = {1, 0, 1), с = {6, -2, 1).
4.22. a = {2, 1, 2}, £=}-1, -2, -1), с = {4, 3, 6}.
4.23. а = {4, 2, 4}, &={—!, —2, —1}, с = {4, 3, 7).
4.24. а = {-1, 0, 2}, & = {5, 7, 4}, с={2, 3,'2].
4.25. а={4, 2, 4}, 6={— 1, 0, —1}, с={4, 3, 5}.
4.26. а = {3, 4, 2}, b={ — 3, —2, —2}, с={5, 10, 3).
4.27. а = {4, 7, 6), 6 = {1, 3, 4}, с = {-3, -4, -2).
4.28. а = {-2, 3, 8}, &={-1, 0, 1}, с={-1, 1, 3).
4.29. а={2, 1, 2}, £={-3, -3, 3}, с={2, 2, 4}.
4.30. а={-1, 1, 1}, 6={5, 2, 9}, с={2, 1, 4}.
5. Пирамиданинг учлари А, В, С, D берилган.
а) Курсатилган ёк юзини; б) пирамиданинг I кирраси ва берилган
иккита учидан утувчи кесим юзини; в) пирамиданинг хажмини
хисобланг:
5.1. Л (1, 0, —3), В(- 1, 1. 0), С(2, —1, 1), D(0, 2, 1);
а) АВС; б) l = AD, В ва С.
5.2. Л(0, 1, 2), 8(1, -2, 2), С( — 1, 2, 1), 0(2, О, 1);
a) BCD; б) l = BA, С ва О.-
5.3. Л(-4, -5, 0), В(6, -1, 2), С(1, 0, 1), О(-3, 2, 1);
a) ACD; б) 1 = СВ, А ва D.
5.4. Л (2, -1, 1), В( —3. 0, -6), С(—5, 3, -2), О( — 1, 10, 3);
a) ABD; б) 1 = С0, А ва В.
5.5. Л (1, —3, 7), В( — 1, О, 3), С( — 4, —2, 1), 0(4, 2, —1);
а) АВС; б) l = BD, А ва С.
5.6. А(—4, 1, 3), В(5, -1, 2), 0(2, 1, -4), D (1, -3, 0);
a) BCD; б) 1 = АС, В ва D.
5.7. Л(5, 3, -4), В(1, О, 3), 0(2, -1, 4), D(Q, 3, 1);
a) ACD; б) l=AB, С ва D.
5.8. Л (3, 7, -4), В(—4, 1, 3), 0(2, 3, 0), D(-\, -1, -2);
a) ABD; б) 1 = ВС, А ва О.
5.9. Л(—8, 2, -5), В( — 1, -3, 0), С(-4, 1, 2), 0(6, -5, -3);
а) АВС; б) l = CD, А ва В.
5.10. А (7, —8, — 10), В( — 3,3, — 1), С(0, -6, 5),0( — 3, —4,2);
a) BCD; б) l = AD, В ва С.
5.11. Л(—3, 6, —4), В(1, О, —1), 0(1, 2, 2), 0(6, 3, 1);
a) ACD; б) 1=ВО, А ва С.
5.12. А(—4, 2, -5), В (8, 5, -10), 0(0, -3, 2), D(6, 2, -4);
a) ABD; б) 1=АС, В ва D.
5.13. Л(1, 2, -4), В(1, 3, 3), С(-2, -1, 7), 0(4, 2, 7);
а) АВС; б) l=AD, В ва С.
5.14. Д(6, —3, —6), В(2, —3, —7), С(2, 5, —Г), 0(4, 1, 2);
a) BCD; б) l=AB, С ва О.
5.15. А(7, 6, -10), В(-3, 6, 3). С(-3, 0, -6), 0(2, -5, -1);
a) ACD; б) 1 = СВ, А ва О.
5.16. Л (3, -6, — 1),В(—9, -5, 1), 0(5, 3, -2), О(- 1, -1,0);
a) ABD; б) 1 = С0, А ва В.
5.17. Л (J, 1, -1), В(4, 2, 1), 0(0, 5, 2), 0(0, 2, 5);
а) АВС; б) l = BD, А ва С.
5.18. А(-7, 9, -10), В(—6, 0, 5), 0(1, 2, 1), 0(-2, -1, 2);
a) BCD; б) 1=АС, В ва О.
5.19. Л (6, —4, 1), В(—4, —8, 4), 0(1, 7, —1), 0(—4, 0, —2);
a) ACD; б) l=AB, С ва О.
5.20. Л ( — 1, 2, —2),В( —3, —6, — 2), 0(2, —3, —5), 0(5,4, 14);
a) ABD; б) 1 = ВС, А ва О.
5.21. Л(—9, 4, 8), 0(6, 2, 5), С(-3, О, 3), 0(0, 2, 1);
а) АВС; б) 1 = сЬ, А ва В.
5.22. Л(5, 2, -4), 0(1, 2, 3), С(-1, 2, 1), 0(2, -1, 2);
a) BCD-, б) l=AD, В ва С.
5.23. Л( —2, О, -1), 0(4, -2, 2), 0(3, 1, -1), 0(2, 1, 1);
a) ACD; б) l=BD, А ва С.
5.24. Л( —3, 5, 7), 0(7, 3, 6), С(-2, 1, 4), 0(1, 3, 2);
а) ЛОО; б) 1=АС, О ва О. -
5.25. Л( —8, 9, 5), 0(1, 2, 3), 0(2, 3, 1), О(-1, 1, 1);
а) АВС; б) l=AD, В ва С.
'5.26. Л( — 12, 8, -4), 0(3, 7, -2), 0(3, 6, -3), О(— 7, 5, 1);
a) BCD-, б) 1=АВ, С ва О.
5.27. ' А(4, 5, 2), 0(0, -2, -3), С(-4, 5, 1), О(-7, 4, -3);
a) ACD- б) 1 = СВ, А ва О. .
5.28. Л(5, 4, 3), 0(—2, 1, 2), 0(0, -1, 4), О(-3, 2, -1);
' ' а'), ЛОО; б) l=CD, А ва В.
5.29. Л(-6, 2, 8), 0(1, -5, 0), 0(0, 1, -2), 0(3, -1, 4);
а) АВС; б) l = BD, А ва С.
5.30. -Л(—4, -2, 2), 0(-1, 1, 2), 0(3, 0, -2), 0(1, -1, 1);
a) BCD; б) / = ЛС, О ва О.
7-§. Текисликнинг тенгламаси.
Текисликнинг умумий тенгламасини текшириш.
Ту₽ри чйзикнмнг тенгламаси
1.7.1. Oxyz турри бурчакли' координаталар системасида хар
кандай текислик тенгламасини х, у, z узгарувчиларга нисбатан
куйидаги чизикли тенглама шаклида ёзиш мумкин:
Ах -\-.By Л- Cz Л- 0=0.
Бу'тенглама текисликнинг умумий тенгламаси дейилади. Бу ерда Л,
О, С, коэф’финиёнтлар берилган текисликка перпендикуляр булган
ва унинг нормал вектори деб аталувчи п={А, В, С} векторнинг
координаталаридир. Текисликнинг фазодаги холати Л, О, С коэффи-
циентлари ва озод «хадининг кийматларига боглик. Хусусан, агар:
I. 0 = 0 булса, у холда Ax+ByA~Cz=O ва текислик координата-
лар бошидгнн'утади.
11. а.)-С = 0 булса, у холда ЛхЛ-Ог/Л-0 = 0 ва текислик Ог укига
параллел булади;
б) 0 = 0 булса, у холда Ax-\-Cz-\-D = 0 ва текислик Оу укига
параллел булади; '
в) Л = 0 булса, у холда By'A-Cz-\-D=O ва текислик Ох укига
параллел булади.
III. a) D = 0, C = 0 булса, у холда Ax-\-By = O ва текислик Oz
Уки оркали утади,
б) D = 0, 5 = 0 булса, у холда Ax-\-Cz=Q ва текислик Оу
уки оркали Утади,
в) 5 = 0, А = 0 булса, у холда By-)-Cz=0 ва текислик Ох
уки оркали утади.
IV. а) С = 0, 5 = 0 булса, у холда AxA~D = Q ва текислик Oyz
координаталар текислигига параллел (ёки Ох укка перпендикуляр)
булади;
б) С = 0, /4=0 булса, у холда ВуА~О = 0 ва текислик Oxz
координаталар текислигига параллел (ёки Оу укка перпендикуляр)
булади;
в) /4=0, 5 = 0 булса, у холда Сг-|-5 = 0 ва текислик Оху
координаталар текислигига параллел (ёки Oz укка перпендикуляр)
булади.
V. а) 5 = 0, /4=0 ва 5 = 0 булса, у холда Cz = 0 ёки 2 = 0 ва
текислик Оху координаталар текислиги билан устма-уст тушади;
б) 5 = 0, /4=0 ва С = 0 булса, у холда By = Q ёки у=0 ва
! * текислик Oxz координаталар текислиги билан устма-уст тушади;
1 J в) 5 = 0, 5 = 0 ва С = 0 булса, у холда Ах=6 ёки х=0 ва
j I текислик Oyz текислик билан устма-уст тушади.
1 . 1.7.2. Куйида маълум шартларни каноатлантирувчи текисликлар
' У тенгламалари келтирилган:
а) берилган M0(x0, Уо, z0) нуктадан утувчи ва берилган п = {А, В,
IQ нормал векторга эга текислик тенгламаси:
А(х — х0) +В(у — уо) +C(z — z0) =0;
' I
* | б) текисликнинг кесмаларга нисбатан тенгламаси
1 л+^+л=1>
а ' b 1 с
бунда а, Ь, с — текисликнинг мос координата укларидан кесадиган
кесмалари;
в) берилган учта Afi(X|, у\, zt), М2(Х2, у2, z2) ва Л43(х3, у3, z3)
нуктадан Утувчи текислик тенгламаси:
X —Х|
х2 — Х1
х3 —х1
У ~У\
У2~У\
Уз~У\
Z —2|
22 —Zt
Z3 — Zi
i 1.7.3. Тугри чизикнинг фазода берилиш усулига караб унинг
; тенгламаси турлича булиши мумкин:
' а) берилган М0(х0, у0, г0) нуктадан Утувчи ва $ = {/, т, р}
йуналтирувчи векторга эга булган турри чизикнинг "каноник
шаклдаги тенгламалари
х-х0 _ У-Уо _ Z-Zp.
I m p ’
б) турри чизикнинг параметрик тенгламалари
' x = xQ-\-lt,
y=yQ+mt,
z=z0+pt,
бунда t — параметр;
в) берилган икки Afi(xi, t/i, z\) ва Af2(X2, У2, £2) нуктадан утувчи
турри чизик тенгламаси:
x—xt y — yt z — г, .
*2 Xj У2 У\ z2
г) фазодаги турри чизикнинг умумий тенгламалари:
X1x + B1z/ + CjZ+Z)1 = O,
А 2^ А~ В 2У А~ ^ 2^ ^2=^’
бунда
^1 . Д1 . б;
л2 в2 с2
Бу турри чизикнинг йуналтирувчи вектори s ушбу
S = rt| Х«2 =
Г 7 k
Л| В, С,
А2 в2 с2
формула буйича аникланади.
1.7.4. Ax + By + Cz + D = ® ва г = 0 текисликларнинг кесишиш
чизири Оху текисликда ётувчи
Ах -|- By -|- С = О
турри чизикдан иборат булади. Бу тенглама текисликдрги турри
чизикнинг умумий тенгламаси дейилади. Берилган турри чизикка
перпендикуляр булган п — {А, В] вектор турри чизикнинг нормал
вектори дейилади. Текисликдаги т^рри чизикнинг тенгламалари:
а) берилган M0(x0, f/o) нуктадан утувчи ва берилган п={А, В}
нормал векторга эга тугри чизик тенгламаси
А(х—х0) +В(у—у0) =0;
б) тугри чизикнинг каноник тенгламаси
Х-*о У-Ур
I т
бунда s = {l, m} —т^рри чизикнинг йуналтирувчи вектори, Лф>(хо,
Уо) — тугри чизикда ётувчи берилган нукта;
в) турри чизикнинг бурчак коэффициентли тенгламаси
y=kxA~ b,
бунда b — турри чизикнинг Оу укдан кесадиган кесмаси; k — турри
чизикнинг бурчак коэффициента: & = tga (a— тугри чизик билан
Ох Укнинг мусбат йуналиши орасидаги бурчак);
г) Afo(xo, z/u) нуктадан утувчи ва k бурчак коэффициентли турри
чизикнинг тенгламаси
у — yn = k(x—хо);
д) турри чизикнинг кесмаларга нисбатан тенгламаси
а b
бунда а ва b — тугри чизикнинг координаталар ^кларидан
кесадиган кесмаси;
е) берилган икки М|(Х|, у\) ва ЛМхг, t/г) нуктадан утувчи тугри
чизик тенгламаси
х —»! У~У\
Мисол: Л1о( —2; 1; —1) нуктадан утувчи $={1; —Г, 2} век-
торга параллел тугри чизик тенгламасини топинг.
Ечиш. $ вектор турри чизикка параллел б^лгани учун у тугри
чизикнинг йуналирувчи вектори булади. Шу сабабли, турри
х — *0 У—Уо г~го
чизикнинг каноник тенгламалари —-—=—-—=—j— га асосан,
изланаётган тугри чизик тенгламалари
х -р 2 у — 1 z -р 1
Г~ —~-=Т ~ 2
куринишда булади.
7- дарсхона TontuupuFU
Куйидаги текислик тенгламасини тузинг ва тегишли шаклни
чизинг;
а) 44о(7, —3, 5) нуктадан Утувчи ва Oxz координаталар
текислигига параллел текислик;
б) Oz ук ва Mq( — 3, 1, —2) нукта оркали утувчи текислик;
в) Ох укка параллел хамда икки Mt (4, 0, —2) ва 442(5, 1, 7)
нуктадан утувчи текислик;
г) 440(2, 1, —1) нуктадан утувчи ва нормал вектори л = {1, — 2,
3} булган текислик;
д) 440(3, 4, —5) нуктадан утувчи хамда а = {3, 1, —1} ва 6 = {1,
— 2, 1} векторларга параллел булган.
Ж-' a) z/ + 3 = 0; б) х + Зг/ = 0; в) 9y — z — 2 = 0; г) x-2y-\-3z +
+ 3 = 0; Д) х + 4у + lz + 16 = 0.
2. 44(— 1, 2, 1), jV(2, 3, —2) ва Р(3, 4, 2) нукталардан утувчи
текислик тенгламасини топинг. '
Ж: 7х- 15(/ + 2г + 7 = 0.
3. 440(7, —5, 1) нуктадан утувчи ва координаталар укларидан
тенг кесмалар ажратувчи текислик тенгламасини тузинг.
Ж: x+y + z — 3 = 0.
4. Фазода умумий тенгламалари
х — y + 2z + 4 = 0,
Зх+у — 5z — 8 = 0
3 11
5. 440(2, 0,
атлантирувчи
билан берилган тугри чизикнинг каноник тенгламасини ёзинг.
х—1 У — 5 z
~ ~ 4’
— 3) нуктадан утувчи ва куйидаги шартни кано-
тугри чизик тенгламасини тузинг: a) s = {2, 3,
— 4} векторга параллел; б) 44|(—3, 1, 4) нуктадан утувчи.
6. Берилган тенгламалари буйича турри чизикнинг шаклини
чизинг, унинг k бурчак коэффициентини ва координаталар
укларидан кесадиган а ва Ь кесмаларини топинг:
а) 2х — // + 3 = 0; б) Зх-\-2у — 8 = 0;
в) 3x + 8z/+16 = 0; г) Зх — у = 0.
Ж: а) й = 2; а=6=3; б) Л=-|; а=4; 6=4;
.<5 2 5
В) k=— а=—6=—2; г) й = 3; а=6 = 0.
О и
7. Куйидаги тугри'чизиклар тенгламаларини тузинг:
а) /Ио (3, — 1) нуктадан Утувчи ва ординаталар укига параллел;
б) Мо (3, — 1) нуктадан утувчи ва абсциссалар Укига параллел;
в-) Мо (3, —1) нуктадан утувчи ва а = {3, —2} векторга
параллел;
г) Мо (3, —1) нуктадан утувчи ва 6 = {1, —4} векторга перпен-
дикуляр.
Ж: а) х=3; б) у~ — 1; в) 2х-\-Зу — 3 = 0; г) х —4у— 7 = 0.
7- мустак^ил иш
1. Иккита М{ (3, —1, 2) ва М2 (4, — 2, —1) нукта берилган. 44,
нуктадан утувчи ва М\М2 векторга перпендикуляр текислик
тенгламасини тузинг.
Ж: х—у — Зд+'2 = 0.
2. Mi (3, —1, 2), М2 (4, —1, —1) ва М3 (2, 0, 2) нукталардан
утувчи текислик тенгламасини тузинг.
Ж: 3x-j-3y~f-z— 8 = 0.
3. Учбурчакнинг учлари берилган: М (3, 6, — 7), N ( — 5,2, 3) ва
Р (4, —7, —2). Р учидан Утказилган медиананинг параметрик
тенгламасини тузинг.
Ж:
x=5t +4,
г/=-1 11 — 7,
,г= — 2.
4. Ушбу
х — 2у -f- Зг — 4 = 0,
3 х + 2г/ — 5г — 4 = 0
тенгламалар билан берилган тугри чизикнинг каноник тенглама-
ларини тузинг.
5. 2х-\-2у — 5 = 0 тугри чизикнинг абсциссалар Укининг мусбат
йуналиши билан ташкил килган бурчагини топинг.
Ж: 135°.
6. Учбурчак томонларининг урталари берилган: Afi (2,1), Af2(5,3),
Л1з(3, — 4). Учбурчак томонлари тенглаМ-аларини тузинг.'
Ж: 7х—2г/—12 = 0, 5х+у — 28 = 0, 2х — Зу— 18=0.
7. Учбурчакнинг учлари берилган: Mi(2, 1), Мг( — 1, —1) ва
Мз(3, 2). Учбурчакнинг баландликлари тенгламаларини тузинг.
ИС: 4х-1“Зу — 110, хИ-у-Т-2 = О, Зх-Т-2 у — 13 = О.
8-§. Текисликлар ва турри чизикларнинг узаро жойлашуви.
Текисликлар орасидаги бурчак. Турри чизиклар орасидаги бурчак.
Нуктадан турри чизиккача ва текисликкача булган масофа
1.8.1. Текисликлар Л|Х+ В\у + Ciz+ Di = 0 ва А2Х + Вгу-]-
+ Сгг + £)2 = 0 тенгламалар билан берилган булсин. Улар ора-
сидаги ф бурчак куйидаги формула асосида хнсобланади:
/1| *1^2 А 1^2 ~^1^2 Н- 1 ^2
|П1Ы«21 ^А2+В2+С2.^А2 + В2+С2
бунда «i = {/li, Bi, Ci) ва П2 = {Д2, S2. Сз) — берилган текисликлар-
нинг нормал векторлари.
а) Агар текцсликлар перпендикуляр булса, у холда ni-n2=0 ёки
А । А 2-|- В\В2 + Ci Сг = 0.
б) Агар текисликлар параллел булса, у холда
Л, Sj С)
в) Агар текисликлар устма-уст тушса, у холда
_£i____С' ________ 21
А2 В2 С2 D2
г) Мо(хо, уо, го) нуктадан Ax + ByA-CzA~O = 0 текисликкача
булган d масофа:
1-4'*0 + В(/0+ CZg-|-£>|
д/л2 4-В2 + С2
формула буйича хнсобланади.
1.8.2. Турри чизиклар
X — X, y — yt Z — Z,
Z1 ~ ~ Pl
ва
х-х2 _ у-у2 _ z —z2
l2 ~ т2 ~ Р2
каноник тенгламалар билан берилган б^лсин. Бу турри чизиклар
орасидаги <р бурчак куйидаги формуладан топилади:
_ Л122
IsJ • |s2i
СО5ф =
Z|-/2 + m1-m2+Pi-p2
д/Zf + mf+p2 • д/l22 + m22+pl
а) Агар тугри чизиклар перпендикуляр булса, у холда
si-S2=0 ёки hl2 +mim2-]-pip2=0.
l\ т{ Р)
б) Агар турри чизиклар параллел булса, у холда
в) Агар турри
шу билан бирга
чизиклар устма-уст
тушса, у холда
G mi = Р\
12 т2 Pi
Х2 —Xj y2-y z2~z\
ll m[ P\
г) Агар турри чизиклар кесишса, у холда
х2~х1 У2-У1 Z2~Z\
ll m\ Pl =0.
l2 m2 P2
д) Агар тугри чизиклар айкаш булса, у холда
X2~Xl У2~У\ z2~zl
mi Pl =A0.
l2 /п2 P2
X — XO У-Уо z~z0
Afi (xi, у\, г\) нуктадан I -= турри m p
булган масофа куйидаги формула буйича хнсобланади:
|sx Л/,Л10|
isi
чизиккача
бунда Л1о(хо, уо, го) нукта шу т^рри чизикка теги шли ва s=(l, т,
р) унинг йуналтирувчи вектори.
Икки айкаш
х — х, У—У\ z —Z| х —х2 у—у2 г —г2
/, р, 12 т2 р2
турри чизиклар орасидаги энг киска d масофа куйидагича
аникланади:
IМ, М2 • S] • s21
|?,Xs2l
бунда Mi (xi, yi, 2i) ва М2 (х2, у2, г2) нукталар мос равишда бу турри
чизикларга тегишли, si = {/i, mi, pi) ва 52={/г, т2, р2} лар эса
уларнинг йуналтирувчи векторлари.
Ми с о л. х—2у + 2г — 8 = 0 ва х+г — 6 = 0 текисликлар ораси-
даги бурчакни топинг.
Ечиш. Икки текислик орасидаги бурчак формуласига кура:
А1А2 + В,В2-С,С2 _ _ 1-1 + (-2)-0+2-1 _ >/2
C0S<₽_ + + д/л22+В| + <4 “ V1+4 + 4 • VT+T ’ 2
Бундам ф = агс cos-^-=45° келиб чикади.
1.8.3. Ax-\-By + Cz+D = 0 текислик билан Х *° =- ~=
= 2 ^г° турри чизик орасидаги <р бурчак ушбу формула ’буйича
Хисобланади:
sinq)= ^3-^ = А1+Вт + Ср
Inl-lsl yjA2 + B2 + c2 . л//2 + ш2+р2 ’
бунда п = {А, В, С) — текисликнинг нормал вектори, s={l, т, р}—
турри чизикнинг йуналтирувчи вектори.
а) Агар текислик билан турри чизик перпендикуляр булса, п ва
..ЛВС-»
$ векторлар коллинеар еки булади.
б)_Агар текислик билан турри чизик параллел булса, у холда
п ва s векторлар перпендикуляр ёки Al-j-Bm-^-Cp^O булади.
в) Агар текислик билан тугри чизик устма-уст тушса, у холда
А1А-ВтА-Ср = 0, шу билан бирга Axo-\-Bxo + Czq + B = Q булади.
г) Агар текислик билан турри чизик кесишса, у холда
А1-\- Вт + Cp^Q.
1.8.4. Текисликдаги турри чизиклар
А\ХВ\у-ф С1 = 0 ва Аях-фВ>у-ф С2=О
тенгламалар билан берилган булсин. Улар орасидаги q> бурчак
ушбу формула буйича хисобланади:
Л| * Л । Л 2 “Н ^1^2
COS(p— , , = --- ------7= — ,
д/^+в2 • у/а22+в22
бунда Я|={А1, В\}, П2 = {А2, Вг} — мос равишда берилган турри
чизикларнинг нормал векторлари.
а) Агар бу турри чизиклар узаро перпендикуляр булса,
у холда
A|-A2-|-S1,ZJ2 = O.
б) Агар бу турри чизиклар параллел булса, у холда
Ai/A2 = Bi/B2-
в) Агар бу тугри чизиклар устма-уст тушса, у холда
_ ci
Л2 в2 С2
Текисликдаги турри чизиклар
y=k]x+b\ ва y = k2x + b2
' тенгламалар билан берилган булсин. Улар орасидаги <р бурчак
ушбу формула буйича хисобланади:
4 kt) ~~ k |
( tg<₽= •
4
Бу турри чизикларнинг перпендикулярлик шарти k\-k2= — 1
1 дан иборат, параллеллик шарти эса k\ = k,2 булади.
Мо(хо, г/о) нуктадан Ax + By + C = Q турри чизиккача булган
* d масофа ушбу
I Ах0 + &Уо + <-•'
d =-----, -=-—
^Ja2 + B2
формула буйича хисобланади.
8- да;1 хона ronuiupupu
1. Координаталар бошидан утувчи 2х —z/ + 3z—1=0 ва
x_|-2z/ + z = 0 текисликларга перпендикуляр текислик тенгламасини
тузинг.
Ж: 7х —у — 5г = 0.
2. Р( — 1, I, —2) нуктадан Afi (1, —1, 1), Мг( — 2, 1, 3) ва
Л1з(4, —5, —2) нукталар оркали утувчи текисликкача булган d
масофани хисобланг.
Ж: d = 4 узун. бирл.
3. Ушбу
1 х—у —4г —5=0, ( х — бу — 6г + 2 = 0,
|2х + у —2г —4 = 0 ВЭ (2х + 2у + 9г— 1 =0
турри чизиклар орасидаги ср бурчак косинусини хисобланг.
4
Ж: costp= ± .
4. Тугри чизик билан текисликнинг узаро холатини аникланг,
улар кесишган холда, кесишиш нуктаси координаталарини топинг:
а) Зх-Зр + 2г-5 = 0,
б) х + 2р-4г+1=0,
О 2. О
В) _£=Z.=±=±=J±±, Зх-р + 2г-5 = 0.
О1т
Ж: а) параллел; б) турри чизик текисликда ётади; в) М(2, 3, 1)
нук,тада кесишади.
5. Afi (5, 4, 6) ва Л4г (—2, — 17, —8) нукталардан утувчи тугри
чизикка нисбатан Р(2, — 5, 7) нуктага симметрии Q нуктани
топинг.
Ж: Q (4, -1, -3).
6. Учбурчакнинг/1 ( — 10, —13) ва В( — 2, 3) учлари берилган.
Унинг С учидан АВ томонга ^тказилган медианасига В учидан
туширилган перпендикуляр узунлигини хисобланг.
Ж: 4 узун, бирл.
8- муста/^ил uui
1. Mi(l, —1, 2) ва М2 (3, 1, 1) нукталардан утувчи х — 2у +
+ 3z + 5 = 0 текисликка перпендикуляр текислик тенгламасини
тузинг.
Ж: 4х — у — 2z — 9 = 0.
2. Ушбу тугри чизикларнинг перпендикулярлигини исботланг:
х = 2/ Ж 1 >
У = 3/ — 2,
,z = —6/+1
12х+у —4z + 2 = 0,
|4х — у — 5z + 4 = 0.
3. Ушбу
2х —3y + 6z—14 = 0 ва 4х —6у+12z + 21 =0
текисликлар орасидаги d масофани хисобланг.
Ж: d = 3,5 узунлик бирлиги.
4. Ушбу
х+2 у z— 1 „„ х—3 у— 1 z — 7
2-34 /42
тугри чизиклар / нинг кандай кийматида кесишади?
Ж: / = 3.
5. Ушбу
х+7 у+4 г + З „„ х —21 у+5 _ г— 2
ва —6—
тугри чизиклар орасидаги энг киска масофани хисобланг.
Ж: 13 узунлик бирлиги.
6. —-—=~—=—5— тугри чизикдан утувчи ва х+4у —
— 3z + 7 = 0 текисликка перпендикуляр текислик тенгламасини
тузинг.
Ж: 11х—17у—19z+10 = 0.
7. (5x 3y+2z 5 0, и чизикнинг 4Х — 3y-|-7z— 7 = 0 те-
|2х—у — z— 1=0
кисликда ётишини исботланг. о
8. Л (5, —1) нукта томонларидан бири 4х —Зу —7 = 0 тугри
чизикда ётувчи квадратнинг учидир. Шу квадратнинг колган
томонлари тенгламаларини тузинг.
Ж: иккита квадрат масала шартини каноатлантиради:
а) Зх + 4у-11=0, 4х—Зу —23 = 0, Зх+4у-27 = 0;
б) Зх-|-4у—11=0, 4х—Зу— 23 = 0, Зх-|-4у-|-5 = 0.
3- назорат иши
1. АВС учбурчак учларининг координаталари берилган.
а) С учдан утказилган медиана тенгламасини тузинг ва унинг
узунлигини топинг;
б) А учдан утказилган баландлик тенгламасини тузинг ва шу
баландлик узунлигини топинг;
в) В бурчак биссектрисаси тенгламасини тузинг ва унинг
узунлигини топинг.
1.1. А(4, 1), 5(0, -2), С( —5, 10).
1.2. Д(-7, 3), 5(5, -2), С(8, 2).
1.3. Д(5, -1), В (1, -4), С( —4, 8).
1.4. Л (— 14, 6), 5(—2, 1), С(1, 5).
1.5. Д(6, 0), 5(2, -3), С(-3, 9).
1.6. Д( —9, 2), 5(3, -3), С(6, 1).
1.7. Д(7, -4), 5(3, -7), С(—2, 5).
1.8. Д(-8, 4), 5(4, -1), С(7, 3).
1.9. Д(3, -3), 5( —1, -6), С(-6, 6).
1.10. Д(-6, 5), 5(6, 0), С(9, 4).
1.11. Д(4, 11), 5(— 1, -1), С(7, 5).
1.12. Д(3, 13), 5(—2, 1), С(6, 7).
1.13. Д(7, 11), 5(2, -1), С(10, 5).
1.14. А (6, 13), 5(1, 1), С(9, 7).
1.15. А(4, 14), 5 (— 1, 2), С(7, 8).
1.16. Д(6, 10), 5(1, -2), С(9, 4).
1.17. Д(4, 13), 5( —1, 1), С(7, 7).
1.18. Д(6, 11), 5(1, -1), С(9, 5).
1.19. Л (4, 10), £(-.!, — 2), С(7, 4).
1.20. Л(6, 14), В(1, 2), С(9, 8).
1.21. Л( —10, —1), В( —6, —4), С(6, 1).
1.22. Л(18, 8), 23(12, 0), С(0, 5).
1.23. Л(-6, —3), В(—2, —6), С(10, —1).
1.24. Л(14, 10), В(8, 2), С( —4, 7).
1.25. Л( —2, -1), 6(2, -4), С(14, I).
1.26. Л (8, 7), 6(2, -1), С(—10, 4).
1.27. Л(1, 0), 6(5, -3), 67(17, 2).
1.28. Л(20, 2), 6(14, —6), С(26, —1).
1.29. Л(— 1, 7), 6(3, 4), С(15, 9).
1.30. Л(7, 6), В(1, 2). С( —И, 3).
2. М, N, Р, Q нукталарнинг координаталари берилган.
a) N, Р, Q нукталардан утувчи текисликка перпендикуляр
булган ва М нуктадан утувчи тугри чизикнинг тенгламасини
тузинг;
б) М нуктадан N, Р, Q нукталар оркали утувчи текисликка-
ча булган масофани топинг:
2.1. М(1, 7, 5), /V(2, 3, 5), Р( —1, 12, —4), Q(4, 6, 4).
2.2. М(2. —4, 3), /V(3, 1, 4), Р(6, 2, —3), Q(2, —2, 3).
2.3. 7И(1, 1, 1), Л/(2, 2, 5), Р(3, 2, 2), Q(2, 0, 3).
2.4. А4(5, 3, -2), W(2, 4, 4), Р( 1, 3, 5), <2(2, О, 2).
2.5. М(5, 2, 6), А7(0, 1, —4), Р(1, 8, 3), Q(4, 2, 1).
2.6. М(6, 3, 4), Л/(2, 5, 1), Р(4, -1, 2), Q(l, 1, 1).
2.7. Л1(1, 1, 3), 7V(4, 1, 6), Р(2, 2, 1), Q(5, 2, 3).
2.8. М(4, 1, 6), N(l, 1, 3), Р(5, 2, 3), Q(2, 2, 1).
2.9. М(2. 2, 1), N (5, 2, 3), Р(1, 1, 3), Q(4, 1, 6).
2.10. М(5, 2, 3), N(2, 2. 1), Р(4, 1, 5), Q(l, 1, 3).
2.11. М(7, 3, 0), W(2, 4, 7), Р(5. 4, 7). Q(6. 6, 2).
2.12. М(7, 9, 6), ^(4, 5, 7), Р(9, 4, 4), Q(7, 5, 3).
2.13. М(1, 2, 6), ^(4, 2, 0), Р(4, 6, 6), Q(6, 1, 1).
2.14. Л4(5, 8, 2), JV(3, 5, 10), Р(3, 8, 4), <2(5, 5, 4).
2.15. М(3, 9, 8), 7V(4, 6, 3). Р(4, 1, 5), <2(0, 7, I).
2.16. Л4(6, 9, 2), 2V(5, 7, 8). P(-3, 7, 1), <2(9, 5, 5).
2.17. A4(3, 6, 7), ЛЦ4, 9, 3), P(7, 6, 3), <2(2, 4, 3).
2.18. A4(6, 4, 8), W(l, 9. 9), P(5, 8, 3), <2(3, 5, 4).
2.19. A4(8, 5, 8), W(l, 7, 3),..P(6, 9, 1), Q(3, 3, 9).
2.20. A4(0, 4, —1), 7V( — 1, 1, 6), P(— 1, 6, 1), Q(3. 1. 4).
2.21. A4(l, 3, —1), 2V(0, 0, 6), P(0, 0, 0), <2(4, 0, 4).
2.22. A4(4, —1, 3), 2V(—3, 1, 1), P(2, 3, —4). Q(—1, —3, 4).
2.23. M(3. —1, 4), 7V( — 2, 4, 5), P(2, 3, —1), <2(0, 0, 0).
2.24. M(5, 2, 4), /V(3, 2, —4), P(2, -5, 3), <2(2, 4, —1).
2.25. M(3, 4, —2), 7V( — 6, 2. —3). P( —6, 2, —3), <2(2, 2, 4).
2.26. M(~ 1, 3, 1), N( — 4, 1, — 41, P(0, —5, 0), Q(0, 0, —2).
2.27. M(6, 3, —3), 2V(2, 3, 5), P(3, —2, 6), <2(2, 2, —5).
2.28. A4(0, —1, 2), W(5, — 2, -1), P(3, 3, 4), <2(3, —1, —2).
2.29. M(3, 3, 4), W(3, —1, —2), P(5, — 2, —1), <2(0, —1,2).
2.30. Л4(2, -5, 3), JV(5, 2, 4), P(-5, 6, -1), <2(3, 2, -4).
3. Берилган А нукта ва берилган
х — а y — b z — c
I т р
тугри ЧИЗИК оркали утувчи текислик тенгламасини тузинг:
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Л(3, -2, 1), Л (4, 5, -2), Л(-3, 1, 2), Л(-1, 2, 1), А(2, 1, 2), х + 3 !/-2 z— 1
— 3 1 %+• у—5 4 Z
4 х — 4 3 У —2 ' z+1
2 х + 2 — 4 У 3 z — 5
4 -3 х + 7 у — ^_ 2 г + 2
4 -3 8
3.6. A ( — 2, 3, 1),
3.7. A( — 4, -1, 2),
3.8. Л(-3, 0, 2),
3.9. /1(1,2, 3),
3.10. Л(1, -1, -2),
3.11. Л(-3, 2, 4),
3.12. А(4, -3, 1),
3.13. А (4, 5, 1),
3.14. Л (4, 2, —2),
3.15. Л(0, 2. 1),
3.16. Л (5, -1, 2),
3.17. /1(4, 2, -1),
3.18. А ( - 1, 4, 5),
3.19. А( — 4, - 1, 2),
3.20. Л (2, 5, - 1),
3.21. Л (5, 0, 4),
3.22. Л ( — 4, 5, 3),
3.23. Л (3, 0, 2),
3.24. Л( — 5, 3, -4),
х—5 _ _ у +2 г— 1
1i — 3“- — 2
х_ у — 6_ г + 4
5 — 2 — —3
х + 7 _ у — 6_ г + 6
3“- 2~— —2 ‘
х _ у —5 __ г+1
-4 2 5
х — 3 __ j/ + 1 _ г
2 4 —3 '
х—5 у + 5 г
3~~ —4 ~Т '
х— 1 _ // + 2 _ г —2
1 — 2 — -3 ’
х+4 _ у—2 _ г + 1
2 2 3 '
х + 2 _ у—1 г
2 ~ -1 —Т’
х-3_//+1 г
2 5 —4 '
х —3 у — 4 г+1
-5 ~ 2 — 3 ‘
х __ j/ —2 _ г+1
— 3 ’З 4 ’
х—1 _ _ у+3 г
6 — 4 ~ —3 '
х + 3 у — 5 г
2 — —1
х у — 2 г—1
-3 — 2“— Г~ ’
х —4 </ + 5 _ г —2
I — 3 — 2 ’
х + 2 _ у— 1 __ г —2
4 ~ -3 — 5 '
х—3 у+3 г
2 — б-— -3 '
3.25. 4(4, 3, 1),
х—2 1/4-1 г + 2
4 ~ 3 -I ’
3.26. А( — 4, I, -3),
х + 3__ у — 5 __ z 2
-3 ~ 2~~ 3
3.27. А (2, 3, 0),
3.28. А (-5, 2, - 1
х + 3_у _ г — 1
-3 ~ 2 “ 2 ’
х —5, у+2_ г
3 4 -3 ‘
3.29. 4(6, 2, 0),
3.30. 4 (-6, 3, 2),
х—1 у+1_ г+4
6~ ~ Г~~ —3 '
х у—3_ г+5
Т~ 2 ~ -3 •
<3- намунавий %исоб топшири^лари
1. АВС учбурчакнинг учлари берилган.
Куйидагиларни топинг: а) АВ томон тенгламасини;
б) С учидан АВ томонга туширилган баландлик тенглама-
сини;
в) 4 учидан ВС томонга туширилган медиана тенгламаси-
ни;
г) «б» ва «в» бандларда топилган баландлик билан медиана-
нинг кесишган нуктасини;
д) С нуктадан утувчи АВ .томонга параллел тугри чизик
тенгламасини;
е) С нуктадан АВ тугри чизиккача булган масофани.
1.1. 4(4, -5), В (6, 9), С(—4, -1).
1.2. 4(1, -3), В (-5, 4), С( —2, 10).
1.3. 4(1, 8), В (-5, -4), С(—1, -3).
1.4. 4(0, 4), В (5, -3), С(-6, — 2).
1.5. 4(6, -4), В (-8, 3), С(—2, -7).
1.6. 4(2, 3), В (-4, -7), С(2, 0).
1.7. 4 (—4, -8), В (4, 1), С(0, 7).
1.8. 4(4, -2), В (7, 0), С(-3, I).
1.9. 4(4, 1), В (-2, 8), С(1, -5).
1.10. 4(4, 0), В (1, -3), С(5, 2).
1.11. 4(7, 10), В (1, 3), С(4, -2).
1.12. 4(8, 6), В (1, 3), С(—2, -3).
1.13. 4(11, -3), В (-1, -3), С(7, 1).
1.14. А (5, 9), В (4, -1), С (0, 1).
1.15. А (7, 3), В (1, 7), С (-2, 1).
1.16. А (1, 6), В (6, 1), С (-3, -2)
1.17. А (2, 6), В (6, -6), С (2, -4)
1.18. A (10, 1), В (3, 7), С (-3, 4).
1.19. А (8, 3), В (2, 8), С (-4, 4).
1.20. А (7, 7), В (-7, 5), С (-3, -3).
1.21. А (3, -3), В (4, 3), С (-6. 1).
1.22. А (6, 2), В (-6, 8), С (2, -4).
1.23. А (7, 5), В (-4, 0), С (2, -5).
1.24. А (8, -1), В (2, 6), С (-4, 4).
1.25. А (-5, 0), В (2, -6), С (8, -3).
1.26. А (1, -4), В (-1, 10), С (-9, 6).
1.27. А (-3, 7), В (-1, 3), С (2, -4).
1.28. А (10, 4), В (-4, 6), С (-1, 3).
1.29. А (2, -6), В (3, 11), С (-1, 3).
1.30. А (-5, 5), В (4, -7), С (-2, -7).
2. ABCD пирамиданинг учлари берилган. Куйидагиларни то-
пинг:
а) АВС текислик тенгламасини;
б) АВ кирра тенгла-масини;
в) D учидан утувчи АВС Укка перпендикуляр тугри чизик
тенгламасини;
г) С учидан Утувчи АВ киррага параллел тугри чизик
тенгламасини;
д) D учидан Утувчи АВ киррага перпендикуляр текислик
тенгламасини;
е) AD кирра билан АВС ёк орасидаги бурчак синусиии;
ж) АВС ва ABD ёклар орасидаги бурчак косинусини;
з) D учдан АВС ёккача булган масофани.
2.1. А (7, 3, 5), В (5, 3, 2), С (10, 2, 4), D (7, -2, 1).
2.2. А (-8, -6, -3), В (4, 2, 1), С (0, 5, 2), D (0, 2, 5).
2.3. А (7, -3, 14), В (-6, 0, 5), С (1, 2, 1), D (-2, -1, 2).
2.4. А (5, 5, -6,), В (-4, -8, 4), С (1, 7, -1), D (-4, 0, -2).
2.5. А (7, -8, -1), В (-3, -6, -2), С (2, -3, -5),
D (5, 4, 14).
2.6. А (16, -8, -13), В (6, 2, 5), С (-3, 0, 3), D (0, 2, 1).
2.7. А (7, 3, -5), В (1, 2, 3), С (-1, 2, 1), D (2, -1, 2).
2.8. A (8, 3, 2), В (4, -2, 2), С (3. 1, -1), D (2, 1, 1).
2.9. А (8, -4, -5), В (7, 3, 6), С (-2, 1, 4), D (1, 3, 2).
2.10. А (6, — 7, -3), В (1, 2, 3), С (1, 3, 2), D (2, 1, I).
2.11. А (-12, 7, -1), В (0, -2, -5), С (-4, 5, 1),
D (-7, 4, -3).
2.12. А (-5, -6, 1), В (-2, 1, 2), С (0, -1, 4), D (-3, 2, -1).
2.13. А (-1,0, -7), В (4, -5,3), С.(-2, 1, —9), £> (1, -1, -3).
2.14. А (2, 4, -2), В (-1, 1, 2), С (3, 0, -2), D (1, -1, 1).
2.15. А (4, -1, 2), В (-1, 1, 0), С (2, -1, 1), D (0, 2, 1).
2.16. А (16, -9, -5), В (1, -2, 2), С (- 1, 2, 1), D (2, 0, 1).
2.17. А (-9, -2,3), В (6, -1, -2), С (1,0, !),£> (-3,2, 1).
2.18. А (-10, 7, -6), В (-3, 0, -6), С (-5, 3, -2),
D (-1, 10, 3).
2.19. А (5, 3, -2), В (-1, 0, 3), С (-4, -2, -1), D (4, 2, -1).
2.20. А (-5,4, -3),В (5, -1,2), С (2, 1, -4),£> (1, -3,0).
2.21. А (О, 3, 4), В (1, 0, 3), С (2, -1, 4), D (О, 3, 1).
2.22. А ( — 16, 20, —21), В ( — 4, 1, 3), С (2, 3, 0),
D (-1, -1, -2).
2.23. А (2, -1, 1), 5 (3, 7, -2), С (3, 6, -3), D (-7, 5, 1).
2.24. А (8, -10, 2), В (-3, 3, -1), С (0, -6, 5), D (-3, —4, 2).
2.25. А (7, 2, -3), В (4, I, 1), С (2,1, 2), D (2, -1, 1).
2.26. А (5, -4, 5), В (1, О, -1), С (1, 2, 2), D (6, 3, 1).
2.27. А (8, 1, -12), В (8,5, -10), С (0, -3,2), D (6,2, -4).
2.28. А (8, 1, 10),В (—1, —2, —5),С (—2. -1,7),D (4,2,7).
2.29. А (8, 1, -3), В (2, -3, -7), С (-2, 5, 3), D (4,4, 2).
2.30. А (-7, -8, 10), В (-3, 6, 3), С (-3, 0, -6),
D (2, -5, -1).
3. Т^три чизикнинг каноник тенгламаларини ёзинг:
3.1. f2x + 3y — 2z + 6 = 0, 3.2. 1 х — Зу+ г + 3 = 0,
(Зх + Зу + z — 1 — 0, 2х —Зу —2z+6=0.
3.3. | (Зх + 4у 4- 3z +1 — 0, 3.4. r2x —4у —2z + 4=0,
[бх-5у + 32 + 8 = 0, (6х + 5у — 4г + 4 = 0.
3.5. < [ х — Зу + 2 + 2 — 0, [5x + 3y + 2z-4 = 0, 3.6. | [х + 5у —2+11 =0,. [8х-5у-Зг-1=0.
3.7. | х + Зу + 22 + 14 = 0, 3.8. (х—у+2г— 1 =0,
(5х + 3у + 2z-4 = 0, 83 |х+у + г +11 =0.
3.9. { х-|-5у4-2г —5 = 0, 2х —5у4-г-|-6 = 0,
3.11. (2х — 5у — z-j-5 — О, |х-|-5у —2г 4-3 = 0,
3.13. < ( 6х —7у — х — 2 = 0, [ х-|-7у —г-|-8 = 0,
3.15. • ( х-\-7у — 4z — 5=0, (2х — 7 у + 2z + 8 = 0,
3.17. • fx —y + z — 2 = 0, |бх-|-у — 4г 4-8 = 0,
3.19. < (х — 2у — z -f- 4 = 0, |бх 4-2у3z + 4 = 0,
3.21. < [х —у —2 —2 = 0, [х Зу-|- 2г — 6 = 0,
3.23. | [ 5х -|“ У — Зг 4“ 4 = 0, 5х — 3у — г 4-8 = 0,
3.25. ГЗх-Ну - 2г+ 1 =0, x — 4y — 2z 4-3 = 0,
3.27. 'x + 5y + 2z4-l 1 =0, Зх — у — 2г 4-7 = 0,
3.29. { 'Зх4-у —г —6 = 0, 2х — 3y-|-z — 8 = 0,
3.10. < (x-j-y~ 2z — 2 = 0, |бх — у — 4г — 3 = 0.
3.12. • fx — у 4-24-2=0, |7х4-у4-г —5 = 0.
3.14. [2х — у — 32 — 2 = 0, (Зх — у — 2z— 1 =0.
3.16. | [2х — у 4-z 4-6 = 0, [Зх 4-у 4-2г —4=0.
3.18. < [4х-|-у-|-24-2 = 0, |2х — у — 32 4-4 = 0.
3.20. | f2x —у —Зг —8 = 0, |2х —5у-|-2г —4 = 0.
3.22. f х —2у 4-24-4 = 0, ^2х-|-2у4-2 —4=0.
3.24. ] [ х — у 4-2z 4-2 = 0, х — Зу —г4-4 = 0.
3.26. { '2х —4у4-Зг + 4=0, х4-4у4-г —6 = 0.
3.28. { '2х — 4у + 3г 4-4=0, ,х + 4У4-г —6=0.
3.30. { Зх —у4-2г —4 = 0, 2х-|-Зу — 2г 4-6=0.
4. Берилган тугри чизик билан текисликнинг кесишиш нукта-
сини топинг:
4.1. х-з У+2 г —5 х 4-2у —22 4-25 = 0.
0 3 10 ’
4.2. х-Н У + з г-2 2х —7у —Зг —21=0.
1 ~ 0 -2 ’
4.3. X- 1 2 У-2_ г-3 — 3 1 ’ 5х —2у —г— 13 = 0.
л л х 4-2 4Л. 52 У~1 _ 4 г-2 3 ’ 4х — y + 3z + 6 = 0.
4.5. О 1/-3 1 г-1 6 ’ 5х—2y + 3z-3=0.
4 fi 1 У_ _ г+1 5х —2y + 3z —3 = 0.
4.Ь. 3 - 0 -2 ’
4 7 х $ 1/4-2 г —3 4x+.9y + 5z=0.
4J. 0 - 1 1 ’
У-2 _ г — 1 6х — у — 4г — 3 = 0.
4.8. 7 1 -1 ’
4 q х ' 1/4-3 । г —5 5x_7y_3z+ Ц =0.
4.9. 2 - 5 — 1 ’
4 10 х4”8 _ 1/-1 . г-3 3x_l7h._l.z-I_ 11 =0.
4.10. 0 - — 1 1 ’
4.11. 12 у — 8 . -5 г — 1 ~ 8 ’ Зх — 2у — z — 6 = 0.
л 19 * + 4 _ 1/-2 . г — 5 4х — 5у + 2г + 24 = 0.
4.U. _[ - 0 -2 '
У+ 1 г-3 7x + 4u4~3z—16 = 0.
4.1J. 2 3 2 ’
4.14. 1/4-5 2 Z 1 ’ 3x-f-4y — 5z-f-20=0.
4 11 Х-1 1/-1 z 3 7х —3w4-2z —28 = 0.
4Л5. 5 3 2 ’
4.16. -^- . у-ь 5 г —3 — 1 ’ 4х+у — lz— 19 = 0.
1/-2 г-2 Зх — Зу 4- z — 36 = 0.
4.1?. 3 -1 2 ’
4.18. ^±1 U -5 г + 3 ~ 1 ’ 4х — // + 5г + 3 = 0.
4.19. 1/-1 1 г + 2 ~ -1 ’ х — 2у — z-f-2 — О.
4.2°. =J!±1 0 г— 1 — 1 ’ 4х + 2у —3z+8 = 0.
4 91 х + 2 1/-1 г— 1 х — 2у — 4z+ 11=0.
4.21. 3 — 1 2 ’
4 99 *4"3 </-2 г + 2 5х + 3у —2г + 7 = 0.
4.22. 0 0 “ 1 ’
4.23. х-|-4 __ -1 У-1 1 г+2 -1
4.24. х —4 _ 1 У-2 0 Z-1 2
4.25. х+1 _ 4 </-3 -1 г-2 1
4.26. х—1 _ 5 у+з — 4 г+1 3
4.27. х—2 2 У + 4 4 Z— 1 -1
4.28. х-|- 3 2 У Z- 0 1 1 >
4.29. х —2 0 </-з -1 г —5 1
4.30. х —3 -2 У + 2 2 г + 1 -3
Зх — у +- 2z +- 23 = 0.
4х—2y + z — 19=0.
Зх —2y + z —8 = 0.
5x + 2y + z— 15 = 0.
7х + Зу + z — 25 = 0.
4х —y + 2z = 0.
5х — у — 3z+ 10 = 0.
х + Зу —5z —21 =0.
9-§. Эллипс, гипербола ва параболанинг
каноник тенгламалари
1.9.1. Эллипс деб текисликдаги шундай нукталар тупламига
айтиладики, бу нукталарнинг х,ар биридан шу текисликнинг
фокуслар деб аталувчи икки нуктасигача булган масофалар
йигиндиси узгармас микдордир.
Фокуслари Ох укда координаталар бошига нисбатан симметрии
ётувчи эллипснинг (10-шакл) каноник тенгламаси ушбу кури-
нишга эга:
а> Ь.
Бунда а ва b эллипснинг катта ва кичик ярим уклари узунликлари.
Фокуслар орасидаги масофани 2с десак, с2 = а2 — Ь2 муносабат
уринли. Эллипснинг эксцентриситета деб
yj Ф — Ь2
га айтилади.
Эллипснинг А1(х, у) нуктасидан фокусларигача булган масофа-
лар (ri ва г2 билан белгиланади) унинг фокал радиуслари
дейилади.
Тенгламалари
, а , а2 ,
х=±—=±—, а>Ь,
е с
дан иборат иккита турри чизик эллипснинг директрисалари
дейилади ва улар ушбу хоссага эга:
Л=Л=е
d\ d2
Агар а<Ь булса, у холда эллипснинг фокуслари Оу укда ётади
(11-шакл), 2Ь унинг катта Уки, эксцентриситета эса е = -| була-
ди, бунда с2 = Ь2 — а2- Директрисалари тенгламалари:
Агар а = Ь булса, эллипс радиуси а, маркази координаталар бошида
болтан х2 + у2 — а2 айланадан иборат булади.
1.9.2. Гипербола деб текисликдаги шундай нукталар тупламига
айтиладики, бу нукталарнинг хар биридан шу текисликнинг
фокуслар деб аталувчи икки нуктасигача булган масофалар
айирмаларининг абсолют кийматлари узгармас микдордир.
Фокуслари Ох укда координаталар бошига нисбатан симметрии
холда ётувчи гиперболанинг каноник тенгламаси
х2 _ |
а2 Ь2
куринишга эга. Бунда а — гиперболанинг хакикий ярим уки
узунлиги; Ь — мавхум ярим уки узунлиги. Агар фокуслар орасидаги
масофани 2с десак, Ь2 = с2 — а2 булади.
Гипербола эксцентриситета деб
а а
га айтилади.
Гиперболанинг фок.ал радиуслари деб, унинг М(х, у) нуктасидан
фокусларигача булган масофаларига (и ва п билан белгиланади)
айтилади.
Гиперболанинг директрисалари деб, тенгламалари
дан иборат булган ва куйидаги хоссаларга эга иккита тугри
чизикка айтилади:
А = А =
Д1 Д2
Гипербола тенгламалари у=+-ух дан иборат иккита асимп-
тота га эга.
Агар а — Ь булса, гипербола тенг томонли гипербола дейилади
ва унинг тенгламаси
2 2 2
х —у =а
куринишни олади, асимптоталари тенгламаси эса у=±х дан
иборат булади.
Агар гиперболанинг асимптоталари Оу укда координаталар
бошига нисбатан симметрии ётса, у холда унинг тенгламаси
кУринишни олади. Гиперболанинг эксцентриситети е=="р ди'
Ь , Ь2 b с- и
ректрисалари у = , асимптоталари у=±—х булади.
12- шакл
13- шакл
9 2 2 2
—-—С-= 1 ва —~= — 1 ГИПербола-
fl2 Ь2 а2 Ь2
лар к,ушма гиперболалар дейилади
(12- шакл).
1.9.3. Фокус деб аталувчи берилган нук-
тадан ва директриса деб аталувчи бе-
рилган тугри чизикдан тенг узокликда
ётувчи текисликдаги нукталар туплами
парабола дейилади.
Учи координаталар бошида ётувчи,
симметрия уки Ох укдан иборат булган
параболанинг каноник тенгламаси
у2=2рх
куринишга эга (13-шакл). Бунда р>0 (парабола параметри) —
фокусдан директрисагача булган масофа- Директрисанинг тенгла-
р
маси х——куринишга эга.
Агар г — параболанинг М(х, у) нуктасидан парабола фокусигача
булган масофа, d — шу М (х, у) нуктадан директрисагача булган
масофаси булса, у холда унинг эксцентриситета
е = ->=1.
а
Учи координаталар бошида, симметрия J/ки Оу булган парабола-
нинг каноник тенгламаси ушбу куринишга эга (14-шакл):
х2 = 2/?у (р>0).
Унинг директрисаси тенгламаси эса: у=
Мисол. Фокуслари орасидаги масофа 10 га ва мавхум ярим
уки 3 га тенг булган гиперболанинг каноник тенгламасини тузинг.
Ечиш. Масаланинг шартига кура 6 = 3 ва 2с=Ю, бундан
с = 5 ва а— ~\/с2 — Ь2 = д/25 —9=4 келиб чикади. Демак, излана-
ётган каноник тенглама
х2__У. = 1
16 9
куринишда булади.
1.9.4. Ушбу
(х —х0)2+(у-у0)2 = а2,
(X-Хо)2 (y-yrf .
- —г~+—
(У—Xq)2 _ (у-</0)2 _
a2 b2
(у — уо)2 = 2р(х — хо),
(х — хо)2 = 2р(у — уо)
тенгламалар мое равишда марказлари С(хо, уо) нуктада булган
айлана, эллипс, гипербола ва учи С(хо, уо) нуктада ётувчи
параболаларни аниклайди.
9- даре хона ToniuupuFu.
1. 9х2 + 25у2 = 225 эллипс б'ерилган. Унинг ярим укларини,
фокуслари координаталарини, эксцентриситети, директрисалари
тенгламаларини топинг ва шаклини чизинг.
Ж: а=5, 6 = 3; Fi (4, 0); F2(-4, 0); е = 0,8; х = ± -у-.
2. 16х2 —9у?=144 гипербола берилган. Унинг ярим укини,
фокуслари координаталарини, эксцентриситетини, директрисаси ва
асимптоталари тенгламасини топинг. Шаклини чизинг. Ж: а — 3,
6 = 4, Fi(5, 0) ва F2(-5, 0); е = 4; *=±4> У=±4Х-
О э О
3. у2 = 6х парабола берилган. Унинг р параметрини, директри-
саси тенгламасини топинг ва шаклини чизинг.
Ж: р-3, х =
4. Фокуслари абсцисса укида ётувчи ва куйидаги шартларни
каноатлантирувчи эллипснинг каноник тенгламасини тузинг:
а) унинг кичик уки 24 га, фокуслар орасидаги масофа 10 га
тенг;
б) директрисалари орасидаги масофа 32 га, эксцентриситети
0,5 га тенг.
5. Эллипснинг фокуслари ординаталар укида ётиб,
а) унинг кичик уки 16 га, эксцентриситети эса 0,6 га тенг;
б) унинг фокуслари орасидаги масофа 6 га ва директрисалари
о
орасидаги масофа 16— га тенг булса, унинг каноник тенгламаси-
□
ни тузинг.
6. Гиперболанинг фокуслари абсциссалар укида ётиб,
а) унинг фокуслари орасидаги масофа 6 га ва эксцентриси-
теги 1,5 га тенг;
б) унинг хакикий ярим уки 5 га тенг, учлари эса марказй
билан фокуси орасидаги масофани тенг иккига булса, унинг каноник
тенгламасини тузинг.
7. Гиперболанинг фокуслари Оу укида ётиб,
12
а) асимптоталари тенгламалари у=±—х ва учлари ора-
сидаги масофа 48 га тенг;
б) фокуслари орасидаги масофа 10 га, эксцентриситети
—- га тенг булса, унинг каноник тенгламасини тузинг.
О
8. Параболанинг каноник тенгламасини тузинг:
а) параболанинг фокуси А(0, 4); б) парабола Ох укка нис-
батан симметрик ва А (9, 6) нуктадан утади.
9. Чизиклар тенгламаларини соддалаштиринг, уларнинг тури-
ни аникланг, параметрларини топинг ва шаклини чизинг:
а) х2+у2~4х + 6у + 4 = 0;
б) 2х2-(-5у2 + 8х — Юу—17 = 0;
в) х2 —бу—12x-f-36y —48 = 0;
г) х2 —8х + 2у+18 = 0;
д) у2 —4х + 4у+16 = 0.
9- му ставил ши
1. х2 + 4у2 = 4 эллипс фокусларидан утувчи ва маркази эл-
липснинг юкори учида булган айлана тенгламасини тузинг.
Ж: х2+(у-1)2 = 4.
2. а) Катта уки 6 га тенг, фокуси эса F( д/5,0) нуктада булган
эллипс;
б) мавхум уки 4 га тенг ва фокуси F( — д/13,0) нуктада
булган гипербола;
в) директрисаси у=—3 булган параболанинг каноник тенг-
ламасини тузинг.
Ж: a) 4+4=1; б) Т=1; в)
3. Х,ар бир нуктасидан Л(3, 2) нуктагача булган масофа
В( — 1, 0) нуктагача булган масофадан 3 марта ортик булган
чизик тенгламасини тузинг.
Ж: (х+Ду+(,+±у_«
10-§. Иккинчи тартибли сиртларнинг
каноник тенгламалари
1.10.1. Иккинчи тартибли сиртлар:
— ——{--?-= 1—уч укли эллипсоид;
а2 Ь2 с2
х2 и2 г2
— =г-=1—бир паллали гиперболоид;
а2 Ь2 <?
А~+Лг—^-= — 1—икки паллали гиперболоид;
а2 Ь2 с2
z=——эллиптик параболоид (р ва q
ишоралари бир хил);
2 2
z=-|-—— гиперболик параболоид (р ва q
ишоралари бир хил);
х2 . у2 а
- т+Л-—т=°— конус;
а Ь <г
х2 и2
— +А-= 1—эллиптик цилиндр;
а2 Ь2
х2 у2 . ' д
— —2-= 1— гиперболик цилиндр;
а2 Ь2
у2 = 2рх— параболик цилиндр.
ларнинг
ларнинг
Айланиш сир.тлари дастлабки туртта иккинчи тартибли сиртнинг
хусусий холидир:
х2 -у2 г2
— —|—-= 1—айланиш эллипсоиди;
а2 с2
------= 1—бир паллали айланиш гиперболоиди;
а2 с2
— -= — 1—икки паллали айланиш гиперболоиди;
а2 с2
х2 + у2 = 2pz— айланиш параболоиди.
10- дарсхона топишриги
1. Берилган тенгламалар билан аникланувчи сиртларнинг
шаклини чизинг.
а) 4x2 + y2 + 2z2 = 2;
б) 2x2 + 9y2-2z2 = 36;
в) 4х2 + у2 —8z2= — 16;
г) 2y = 4x2 + z2;
д) x2 + 4z2 = 4;
е) у2 — 4z = 0.
2. Сирт турини аникланг ва унинг шаклини чизинг:
а) 4х2 + у2 —z2 —24х —4y+2z + 35 = 0;
б) х2 + у2 —z2 —2х —2y + 2z + 2 = 0;
в) х2+у2-6х + 6у-4z+ 18 = 0;
г) х2 + у2 —z2 —2y + 2z = 0-
10- мустак,и.л иш
Куйидаги сиртлар билан чегараланган жисмларнинг шаклини
чизинг:
1. г = х2 + у2, х2 + у2 = 4 ва z = 0;
2. z — y2, х2 + у2 — 9 ва 2 = 0;
3. 22 = 4 — у ва х2 + у2 = 4у.
4- назорат и ши
1. Чизик тенгламасини каноник к}/ринишга келтиринг ва унинг
шаклини чизинг:
1.1. а) 4х2 + 2у2— 16х + 4у + 10 = 0;
б) 5х2 — 6у2 + 30х+ 12у + 9 = 0;
в) х2 +Юх —4у + 33 = 0.
1.2. а) Зх2 + 5у2 + 6х—20у+ 8 = 0;
б) 4х2-у2 + 16х+ 12 = 0;
в) у2 + 3х+10у + 46 = 0,
1.3. а) х2 + 2у2 + 6х —4у + 9 = 0;
б) х2 — 4у2 — 2х + 1 бу — 19 = 0.
в) х2 —4х + 2у —2 =0.
1.4. а) х2 + 4у2+16у+12=0;
б) 2х2 —Зу2—12х—18у —15=0;
в) у2 + 8х+Юу+ 9 = 0.
1.5. а) 6х2 + 5у2— Юу — 25 = 0;
б) 5х2 —бу2 —5х —25 = 0;
в) х2 + 8х-9у-29 = 0.
1.6. а) 5х2 + 6у2 — Юх — 25 = 0;
б) 6х2 — 5у2+Юу —35 = 0;
в) у2— 16х —6у + 25 = о.
1.7. а) 2х2 + 3у2-12х+18у + 39 = 0;
б) х2 —4у2 —16у —20 = 0;
в) х2 + 8х-2у+ 14 = 0.
1.8. а) х2 + 4у2-2х- 16у+ 13 =0;
б) х2 —2у2 + 6х+4у + 5 = 0;
в) у2 + х — 4у + 2 = 0.
1.9. a) 4х2 + у2+ 16x+ 12 = 0;
б) Зх2 — 5у2 + 6х + 20у — 32 = 0;
в) х2 + 6х + 5у —6=0.
1.10. а) 5х2 + 6у2 + 30х- 12у + 21 =0;
б) 4х2 —2у2 —8х —4у + 6 = 0;
в) у2-2х + 6у + 17 = 0.
1.11. а) 16х2 + 9у2 + 96х- 18у + 9 = 0;
б) 16х2 —9у2—160х —36у + 220 = 0;
в) х2 —4х + 5у+14 = 0.
1.12. а) 4х2 + 5у2-24х + 70у+181=0;
б) 4х2 — 16у2 —72х —64у+ 196 = 0;
в) у2 —6х-|-2у — 11 =0.
1.13. а) Зх2 + 2у2-6х — 12у+ 15 = 0;
б) 4х2 — 9у2 — 16х— 18у — 29 = 0;
в) х2 — 8х — Зу + 19 = 0.
1.14. а) 2х2 + 3у2-4х + 6у-7 = 0;
б) 2х2 — у2 + 4х + 4у— 10 = 0;
в) у2 —5х + 6у + 4 = 0.
1.15. а) 4х2 + 3у2 —8х+12у —32 = 0;
б) 4х2-25у2 —24х-100у—164 = 0;
в) х2 —6х+5у —6 = 0.
1.16. а) 6х2 + 5у2+ 12х-20у —4 = 0;
б) 25х2-9у2 —100х-36у—161 =0;
в) у2 —Зх—2у + 7 = 0.
1.17. а) 5х2+Зу2 + 20х + 24у + 53 = 0;
б) 5х2 — 8у2 + 30х+ 16у — 3 = 0;
в) х2-7у+ 12х + 50 = 0.
1.18. а) Зх2 + 4у2—12х—16у+16 = 0;
б) 8х2 —9у2—16х + 36у— 100 = 0;
в) у2 —4х+4у + 8 = 0.
1.19. а) 4х2 + 5у2 + 24х+10у + 21 =0;
б) 9х2 —5у2 —36х —ЗОу —54 = 0;
в) х2 —Зу —14х+31=0'.
1.20. а) 16х2 + 9у2-64х— 18у-71 =0;
б) 9х2 —4у2+18х + 24у —63 = 0;
в) у2 + 2х-6у+ 11 =0.
1.21. a) 9x2 + 4y2+18x —24y+ 9 = 0;
6) 16x2 —9y2 —64x+18y —62 = 0;
в) x2 + 4y + Юх — 3 = 0.
1.22. a) 9x2 —5y2 —18x + 30y + 36 = 0;
6) 4x2 — 5y2 + 24x—10y+11 =0;
в) y2 + 3x + Юу + 28 = 0.
1.23. a) 8x2 + 9y2—16x —36y —28 = 0;
6) 3x2 —4y2—12x+16y—16 = 0;
в) x2 + 4y —4x + 24 = 0.
1.24. a) 5x2 + 8y2 + 30x—16y +13 = 0;
6) 6x2 — 5y2 + 12x + 20y — 44 = 0;
в) y2 + 5x + 8y+1 =0.
1.25. a) 25x2 + 9y2 —100x+36y —89 = 0;
6) 5x2 —3y2 + 20x —24y —43 = 0;
в) x2 — 4y + 2x + 9 = 0.
1.26. a) 4x2 + 9y2 —24x + 36y + 36=0;
6) 16x2 —25y2 —32x+lOOy — 484 = 0;
в) y2 + 6x — 8y + 22 = 0.
1.27. a) 5x2 + 6y2 + 20x— 12y — 4 = 0;
б) 9x2 — 16y2 — 54x — 32y — 79 = 0;
в) x2 —4y — 6x+1 =0.
1.28. a) x2 + 4y2 —4x —8y + 4 = 0;
б) 8x2 —5y2 —32x+Юу—13=0;
в) y2 —3x+10y +16 = 0.
1.29. a) 9x2+ 16y2 —54x + 32y — 47 = 0;
6) 5x2 — 6y2 + 20x+ 12y — 16 = 0;
в) x2 + 3y + IOx +19 = 0.
1.30. a) 16x2 + 25y2-32x-lOOy-284=0;
6) 4x2 —9y2 —36x —36y —36=0;
в) y2 + 5x + 6y — 1 =0.
2. Сирт турини аникланг:
2.1. x2 + 2y2 + 4z2 = 4.
2.3. x2-2y2-4z2 = 4.
2.5. 9x2 —2y + z2= 18.
2.7. 4x2 + 2z2-y = 0.
2.2. x2 + 4y2 = 4.
2.4. 4x2-5z2=20.
2.6. y2 —4x = 0.
2.8. 4x2 + 5y = 0.
2.9. 2.11. Зу2 — 2г2 + Зх = 0. 6х2 + у2 + 3г2 = 18. 2.10. бу2 —г = 0. 2.12. х2 + 4г = 0.
2.13. 4х2-)-у2 —Зг2= 12. 2.14. 5г2 —х = 0.
2.15. 5х2 — у2 — г2 = 5. 2.16. 2г2 + 5у = 0.
2.17. Зх2+у2 - 2г = 0. 2.18. 4х2+3г2=12.
2.19. 2y2 + z- Зх2 = 0. 2.20. 2у2 + 5г2 = 10.
2.21. 9х2 + 3у2 + 5г2 = 45. 2.22. Зг2-4у2=12.
2.23. 6х2 —Зу2 + г2 = 6. 2.24. х2-4у2 = 4.
2.25. 4х2 —9у2 —2г2= 18. 2.26. 3у2-х2 = 3.
2.27. Зу2-)-5г2—15х = 0. 2.28. 4у2 —5г2 = 20.
2.29. 4г2 — Зх2— 12у = 0. 2.30. Зг2 — 4х2=12.
4- намунавий Jfuco6 топширикушри
1. Куйидагилар маълум:
А, В — эгри чизикда ётувчи нукталар;
F — фокус;
а — катта ярим ук (ёки какикий ярим ук);
Ь — кичик (ёки мавкум) ярим ук;
е — эксцентриситет;
y=±kx— гипербола асимптоталари тенгламалари;
D — эгри чизик директрисаси;
2с — фокус масофаси.
а) эллипснинг; б) гиперболанинг; в) параболанинг каноник
тенгламасини тузинг:
1.1. a) u = 9, е= ^917; б) b — 7\ F( — д/130, 0); в) симметрия уки
Оу, А (-4, 32).
1.2. 6=3, F( — у/55, 0); б) а = 8, е=у; в) О: х = 3.
1.3. 4(5, yVTT),B (-4, б) /г = у, е = ^-;
в) D:y——4.
1.4. а) е = 4, А (-4, |); б) Л(-5, 4) ва -4); в) сим-
5 О 4 о
метрия уки Ох, А ( — 6, 10).
1.5. а) 2а — 18, е=-^4 б) k=y; с = д/85; в) D: у=Ь.
1.6. а) 6 = 5, е = б) /г = -у-; 2а = 14, в) D: х=—3.
1.7. а) а = 6, е=-^-; б) 6=1, F(— д/17, 0); в) симметрия уки
Оу, Л(-4, -10). _
1.8. а) 6 = 4, F(-3, 0); б) а = 3, е = ^“; в) D' х = 8‘
1.9. a) A (—Зд/5, 4) ва 5(6, — 2д/5); б) е=—9~;
в) D'.y= — 16. _
1.10. а) е=^-;4(-4, б)Л(-6, ва В (-^-,5),
в) симметрия уки Ох, Д(—3, 6).
1.11. а) 2а=12, е = -^-; б) fe=y, 2с = 4д/10; в) £):z/ = 8.
1.12. а) 6 = 2, е=-^; б) fe=y, 2а=18; в) О:х=-5.
1.13. а) а=9, е = б) 6 = 4, 5(-4д/5, 0); в) симметрия
уки Оу, А(-3,4). 5
1.14. а) 6 = 2, f(—2-д/Т5, 0); б) а=5, е = -^-; в) £>:х=у.
1.15. а) Д( —3, -уд/Ю) ва 5(уд/5, -2); б) £=-1; 6=—
в) D~.y=-^.
1.16. а) е = 1^-; А (6, б) Д(-^, 4) ва 5(3,
'У О “
— 8^3~~)’ в) симметРия Уки Ох, Д(— 3, 8).
1.17. а) 2а=16, 8 = 44 б) /г=4> 2с=2д/73; в) 5:у = 6.
1.18. а) 6 = 2, е = -^-, б) fe=y, 2а=12; в) D:x=—
1.19. а) а=4, е--=—4~; б) 6=3, F(-VH 0); в) симметрия
Уки Оу, Д(— 3, —4). _
1.20. а) 6 = 6, 5(<13, 0); б) а=9, 8 = -^-; в) 5:х=6.
1.21. а) а(4, --Ц^) ва 5( —7-^~, 3); б) Л=|, е=-^-;
в) D-,y=— 6.
1.22. а) е = ^--5 Д(-3, б) Л(8, -VT7) ва 5(10, 4);
в) D'.y= —8.
1.23. а) 2а = 6, е = ^-; б) fe=4. 2с = 2-д/4Т; в) симметрия уки
3 о
Ох, А (-2, 6). _
1.24. а) 6 = 5, е = ^Д; б) Л=4> 2а=18; в) 5:х=-5.
1.25. а)а=8, е = -^р-; б) 6 = 5, F( — д/89, 0); в) симметрия уки Оу,
А(-2, 6).
7-665 97
1.26. a) 6 = 2, F(-4-V2, 0); б) a=6, e=4^-; в) O:x=9.
□
1.27. а) Л(6, -д/5) ва В(-Зл/5, 2); б) k=l-,e = ^-;
в) D:y=— 3. _ _
1.28. а) е = Ц-, А (-6, - д/7); б) Л (10, (В-^-, -2);
в) О:у = 9.
1.29. а) 2а= 10, е = 1; б) k=±, 2c = ^y[il\ в) симметрия
уки Ох, Л (3, —5).
1.30. а) 6=1, е = -^-; б) /г = у, 2а=14; в) D;x = —
2. Хар бир N нуктаси куйидаги шартларни каноатлантира-
диган чизикларнинг тенгламасини тузинг:
2.1. М нукта Л (0, —4) нуктадан ва у-|-2 = 0 тугри чизикдан
бир хил узоклашган.
2.2. N нуктадан Л(—I, 3) ва В(7,3) нукталаргача булган
27
масофалар йигиндиси узгармас микдор, хамда С(6, -=-) нукта из-
□
ланаётган чизикка тегишли.
2.3. N нуктадан Л(8, 0) нуктагача булган масофа ундан
х —2 = 0 тугри чизиккача булган масофадан икки марта катта.
2.4. N нуктадан координаталар бошигача ва Л(0, —4) нукта-
гача булган масофалар квадратлари йигиндиси 16 га тенг.
2.5. N нукта Л ( — 4, 3) ва В(1, —2) нукталардан бир хил
узоклашган.
2.6. N нукта Л(0, 2) нуктага В(0, 6) нуктага Караганда
икки марта якин туради.
2.7. N нукта х-(-6 = 0 тугри чизик ва координаталар бошидан
бир хил узоклашган.
2.8. N нуктадан Л(0, 4) нуктагача булган масофа ундан
у — 36 = 0 тугри чизиккача булган масофадан уч марта кичик.
2.9. N нуктадан Л(0, —1) нуктагача булган масофа ундан
г/ + 9 = 0 тугри чизиккача булган масофадан уч марта ортик.
2.10. N нукта ординаталар укидан ва Л(2, 0) нуктадан бир хил
узоклашган.
2.11. N нукта Л (5, — 1) ва В(0, 4) нукталардан бир хил
узоклашган.
2.12. N нуктадан Л(0, 1) нуктагача булган масофа ундан В(0, 4)
нуктагача булган масофадан икки марта кичик.
2.13. N нуктадан координаталар бошигача ва Л (5, 0) нуктага-
ча булган масофалар нисбати 2:1 га тенг.
2.14. W нуктадан Л(—1, 1) нуктагача булган масофа ундан
х-(-4 = 0 тугри чизиккача булган масофадан икки марта кичик.
2.15. N нуктадан х—1=0 тугри чизиккача булган масофа
ундан Л(4, 1) нуктагача булган масофадан икки марта кичик.
2.16. N нуктадан A (2, 0) нуктагача ва 5х-|-8 = 0 тугри
чизиккача булган масофалар нисбати 5:4 га тенг.
2.17. N нукта координаталар бошидан ва х4-4 = 0 тугри
чизикдан бир хил узоклашган.
2.18. W нуктадан Л(—8, 1) нуктагача булган масофа ундан
х 4-2 = 0 тугри чизиккача булган масофадан икки марта катта.
2.19. N нукта Л (2, 2) нуктадан ва абсциссалар укидан бир хил
узоклашган.
2.20. W нуктадан Л (3, 0) , нуктагача булган масофа ундан
ординаталар укигача булган масофадан икки марта катта.
2.21. N нуктадан координаталар бошигача ва 3x4-16 = 0 тугри
чизиккача булган масофалар нисбати 3:5 га тенг.
2.22. N нуктадан Л (1, 0) нуктагача булган масофа ундан
В(—2, 0) нуктагача булган масофадан икки марта кичик.
2.23. N нуктадан координаталар бошигача ва Л(0, 5) нуктага-
ча масофалар нисбати 3:2 га тенг.
2.24. N нуктадан Л(0, 1) нуктагача булган масофа ундан
у — 4 = 0 тугри чизиккача булган масофадан икки марта кичик.
2.25. N нукта Л (4, 2) нуктадан ва ординаталар укидан бир хил
узоклашган.
2.26. /V нуктадан Л (4, 0) нуктагача булган масофа ундан
х—1=0 тугри чизиккача булган масофадан икки марта катта.
2.27. N нуктадан Л (1, 4) нуктагача булган масофа ундан
%4-7 = 0 чизиккача булган масофадан уч марта катта.
2.28. N нуктадан Л(4, 0) ва В (—2, 2) нукталаргача булган
масофалар квадратлари йигиндиси 28 га тенг.
2.29. N нуктадан Л(—1, 7) нуктагача булган масофа ундан
х —8 = 0 тугри чизиккача булган масофадан икки марта кичик.
2.30. W нуктадан Л (3, —2) ва В (4, 6) нукталаргача масофалар
нисбати 3:5 га тенг.
3. Сирт номини аникланг ва шаклини чизинг:
3.1. а) 4х2 + 4у2 + 5г2-20=0; 6) 9x2 4-4y2 = 36.
3.2. а) 5x2 + 5y2 —6z2 —30 = 0; 6) z2 = 4x —3.
3.3. а) 4х2 —Зу2 + 2г2 —24 = 0; 6) 2x2 —3z2 = 6.
3.4. а) 5x2-t~y2 — 3z = 0; 6) z2=2y + 4.
3.5. а) x24-4z2—6z/=0; 6) 4x24-3z2=12.
3.6. а) 8x2-i/2 + 4z2 + 32 = 0; 6) 3y24-2z2 = 6.
3.7. а) 6x2 + 5y2—10г2 —30 = 0; 6) 5x2 —4z2 = 20.
3.8. а) 2x2 —2y24-5z2—10 = 0; 6) 4z2 + 3x=12.
3.9. а) 3z/2 + 5z2 —5x = 0; б) г2 — 2// + 3 = 0.
3.10. а) 5x24-6y24-15z2 —30 = 0; 6) 8x2 + 5y1-40 = 0
3.11. а) 3x2 4-5y2 — 4z = 0; 6) 5x2 + 4z2 = 20.
3.12. а) 9x24-12y2 + 4z2-72 = 0; 6) 4x2 —3y2=12.
3.13. а) 10x2 — 9z/2 — 15z2— 90 = 0; 6)z/2 = 2z.
3.14. a) 6z2 —Зу2 —2x2—18 = 0; б) Зу2 —4z2=12.
3.15. a) 3x2— 9y2+z2 + 27 = 0; 6) x2-4z2=10.
3.16. a) 4x2 + z2-2y = 0; 6) y2=x+3.
3.17. a) 2y2 + 6z2 = 3x; 6) z2=x —4.
3.18. a) 4x2-12y2 + 3z2-24 = 0; 6) 3x2 + z2 = 30.
3.19. a) 2x2 + 4y2-5z2 = 0; 6) 7x2-5y2=35.
3.20. a) 7x2 + 2y2 + 6z2-42 = 0; 6) x2 + 4z2 = 4.
3.21. a) 2x2-3y2-5z2 + 30 = 0; 6) 3z2-2x = 6.
3.22. a) x2 —6y2 + z2—12 = 0; 6) 2x2 — 3z2 = 6.
3.23. a) 3z2 + 9y2-x = 0; 6) 3x2 + 5z2=15.
3.24. a) y — 4z2=3x2; 6) x2 —4z2 = 4.
3.25. a) 8x2 —y2 —2z2 —32 = 0; 6) 2x2 + 3z2 = 6.
3.26. a) 6x2 + y2 + 6z2-18 = 0; 6) 2x2-6y2 = 12.
3.27. a) 3x2+12y2 + 4z2 —48 = 0; 6) 2y2 + 3z=6.
3.28. a) x2 —7y2—14z2 —21=0; 6) 4y2 + 3z2=12.
3.29. a) 3x2 + y2+9z2 —9 = 0; 6) 3y2 —2x2 = 6.
3.30. a) 4x2 + 9y2 + 36z2 = 72; 6) 2y2 — 3x=12.
2- б об
МАТЕМАТИК АНАЛИЗГА КИРИШ
1-§. Элементар функциялар
2.1.1. Агар х микдорнинг бирор D тупламдан олинган лар бир
кийматига бирор Е тупламдан олинган у микдорнинг бирдан-бир
аник киймати мос куйилган булса, у холда у Узгарувчи микдор
х узгарувчи микдорнинг функцияси дейилади.
х микдор эркли Узгарувчи ёки аргумент, у микдор эса боглик
Узгарувчи ёки функция дейилади. Функцияни белгилаш учун ушбу
ёзувлардан фойдаланилади:
y~f(x), у=у(х), z/ = <p(x)
ва х. к.
х узгарувчининг f(x) функция маънога эга бУладиган кийматла-
ри туплами функцияннш аницланиш coJfacu дейилади ва D(f)
куринишда белгиланади. у=ф(х) функциянинг х = хо даги кийма-
ти, бунда хо £D (f), функииянинг хусусий циймати дейилади ва у о ёки
f(xo) куринишда белгиланади. Шундай килиб,
,Уи=-/(хо) ёки у\х=Хо—уй.
Функциянинг кабул киладиган кийматлари туплами унинг узгариш
соцаси дейилади ва £(/) билан белгиланади.
Оху текисликнинг у — [(х) муносабатни каноатлантирувчи
М(х, у) нукталари туплами y=f (х) функциянинг графиги дейилади.
2.1.2. Агар y=f(x) функция О(/) сохани E(f) сохага узаро бир
Кийматли акслантирса, у холда х ни у оркали бир кийматли
ифодалаш мумкин:
Косил булган функция y-=f(x) функцияга нисбатан тескари
функция дейилади.
z/==/(x) ва х = ф(ц) функциялар узаро тескари функциялардир.
х=ф(у) тескари функцияни, одатда, х ва у ларнинг уринларини
алмаштириш билан стандарт куринишда ёзилади.
У = ф(*)-
Узаро тескари y = f(x) ва у = ф(х) функцияларнинг графиклари
биринчи ва учинчи координата чоракларининг биссектрисасига
нисбатан симметрик. у=](х) функциянинг аникланиш сохаси
у = ф(х) тескари функциянинг кийматлари сохаси булади.
ц = ф(х) функциянинг аникланиш сохаси D, кийматлар сохаси
V булсин, y=f(u) функциянинг аникланиш сохаси V булиб, узгариш
сохаси / булсин, у холда y=f(q»(x)) аникланиш сохаси D ва узгариш
сохаси / булган мураккаб функция ёки f ва <р функцияларнинг
композицияси дейилади.
и узгарувчи оралиц узгарувчи дейилади. у = /(х) куринишидаги
функция ошкор функция дейилади. F(x, у) =0 куринишдаги
тенглама хам, умуман айтганда х ва у узгарувчилар орасидаги
функционал богланишни беради. Бу холда таърифга кура у узга-
рувчи х нинг ошкормас функцияси булади. Масалан, х2+у2 = 4
тенглама у ни х нинг ошкормас функцияси сифатида аниклайди.
Аникланиш сохаси £)(/') координаталар бошига нисбатан симметрик
булган f(x) функция х нинг хар кандай x^D(f) киймати учун
f ( — х) ==f (х) (ёки /( — х) = —f(x)) муносабат бажарилса, жуфт (ёки
тоц) функция дейилади.
Жуфт функция графиги ординатлар укига нисбатан симметрик,
ток функция графиги эса координатлар бошига нисбатан симмет-
рикдир.
Агар 7’>0 узгармас сон мавжуд булиб, хар бир x£D(f) ва
(х+Т) да f(x-f-T) =f(x) тенглик бажарилса, f(x) функция
даврий функция дейилади.
Айтилган хоссага эга булган Т ларнинг энг кичиги То функция-
нинг даври дейилади.
2.1.3. Куйидаги функциялар асосий элементар функциялар
дейилади;
а) у—ха даражали функция, бунда a £R; D(f) ва E(f) лар а га
боглик;
б) у = ах курсаткичли функция, бунда а>0 ва 1; D(f) = R ва
£(/) = (0, -фоо);
в) y=logux логарифмик функция, бунда а>0, a^l; D(f) = (O,
+ оо) ва E(f)=R;
г) тригонометрии функциялар:
y=sinx, D(f)=R ва £(/)=[ — 1, 1]; Го = 2л;
y = cosx, D(f)=R ва £([)=[-!, 1]; 7'о = 2л;
y = tgx, D(f) ={х^у+л/г, k EZ] ва E(f)=R-, 7'о=л;
y=ctgx, D(f) ={ху=л/г, k£Z} ва £’(f)=/?; Т0 = л.
y = secx, D(f) ={ху=у-|-л/г, k EZ} ва
E(f) = (— oo, —1]U[1, +°°); Го=2л.
z/ = cosecx, D(f) ={x=£nk, k £Z) ва
E(f) = (- oo, - 1]U[1> +°°); Го=2л.
д) тескари тригонометрии функциялар:
z/ = arcsinx, D (f) =[ — 1, 1] ва E(f) = [—у, у];
y = arccosx, D(f)=[—1, 1] ва £(f)=[0, л];
z/ = arctgx, D(f)—R ва E(f) = (—у', у
z/ = arcctgx, D(f) = R ва E(f) = (0, л);
у = arcsecx, 0(f) = ( —oo, — 1]U[1> +°°) Ba £(f) = jo, y)lj (у, л j
y = arccosecx, O(f) = ( —oo, — +°°) ea£(f) = [ 2’^)^
и (о.
Элементар функция деб асосий элементар функциялардан
чекли сондаги арифметик амаллар ёрдамида тузилган мураккаб
функцияларга айтилади.
I-дарсхона ronuiupuFu
1. Куйидаги функцияларнинг аникланиш сохдсини топинг:
а) у = - L==; б) y = arcsin-^-;
ух2 —Зх-|-2
в) у==------—г) у= д/25—х2 yigsinx .
lg(4-x )
Ж: а) (-оо, 1)11 (2, +оо); б) [0, 4];
в) (-2, -V3) U (~лА л/3) U (л/3, 2); г) [-5, -л) (J (0, л).
2. Куйидаги функцияларнинг узгариш сохасини топинг:
а) у=д/16—х2; б) y==3cosx—1; в) у=3~^.
Ж: а) [0,4]; б) [-4. 2]; в) (0; 1].
3. Куйидаги функцияларнинг жуфт ёки ток функция эканини
аникланг:
а) у = х4 sin Зх; б) у — х'—х2-|-х; в) y = lgcosx.
Ж: а) ток; б) ток хам эмас, жуфт хам эмас; в) жуфт.
4. Куйидаги функцияларнинг даврларини топинг:
a) y=sin5x; б) z/=igcos2x; в) z/ = tg3x-]-cos4x.
Ж: а) ; б) л; в) л-
5. Мураккаб функцияларни асосий элементар функцияларнинг
композициялари тарзида ифодаланг:
а) у=г-. д/arctg д/Зх2; б) z/ = lntg .
1- муста^ил иш
1. Функцияларнинг аникланиш соха финн топинг:
a) y = lg(34x —9); б) у=
6x4-5
в) y = lg(—х2 —4х + 5).
Ж: а) (у, оо);б) ( —оо, 1) J (5, 4 < : в) ( — 5, 1).
2. Берилган функцияларга мос келувчи тескари функцияларни
топинг. Берилган ва топилган тескари функция графикларини
чизинг:
а)
б)
в)
г)
Д)
у=х2, агар х^ 0;
{—х, агар х< 1,
х2—2, агар х> 1;
(х, агар х< 0;
У = i 2
(ху агар х>0;
У= д/1 — х2, агар х£[ —1, 0];
х, агар х< 1,
х2, агар 1 =^х< 4,
У =
2х, агар х>4.
3. Куйидаги функцияларнинг жуфт ёки токлигини аникланг:
а) у= Vu —*)2 + л/О+х)2;
б> ^ln4S;_______
в) у.= 1п (х+ д/1 4-х2) .
г) у = 2х+2~х.
Ж: а) жуфт; б) ток; в) ток; г) жуфт.
2-§. Элементар функцияларнинг графиклари
f(x) функция графигини чизишда хар хил усуллар к^лланила-
ди: нукталар буйича, графиклар билан амаллар бажариш, гра-
фикларни алмаштириш. f(x) функция графигидан фойдаланиб
содда алмаштиришлар ёрдамида мураккаброк функциялар гра-
фикларини хосил килиш мумкин.
а) У=?(х~а) функциянинг графиги y—f(x) функция графиги-
дан, бу графикни Ох ук буйлаб а>0 да ^нгга, а<0 б^лганда эса
чапга а бирлик суриш билан хосил килинади.
6) y — f(x) -\-b функция графиги у = /(х) функция графигидан, бу
графикни Оу ук буйлаб 5>0 да юкорига, Ь<0 да пастга b бирлик
суриш билан хосил килинади.
в) y — f(kx) &^1) функциянинг графиги у=f(x) функция
графигидан, унинг нукталари ординаталарини саклаган холда
|£| <1 да абсциссаларини - марта ч^зиш билан, |/г|>1 да эса
I к I
абсциссаларини |А| марта сикиш билан хосил килинади.
г) y = mf(x) (m#=0, zn =/= 1)’функция графиги y = f(x) функция
графигидан, унинг нукталари мос абсциссаларини саклаган
холда ординаталарини |т|<1 да —Ц- марта кисиш, |/п|>1 да
эса \т\ марта чузиш оркали хосил килинади.
д) y = f( — x) функция графиги y = f(x) функция графигидан, бу
графикни Оу укка нисбатан симметрии акслантириш ёрдамида
Хосил килинади.
е) у—— f(x) функция графиги y — f(x) функция графигидан, бу
графикни Ох укка нисбатан симметрии аислантириш ёрдамида
хосил килинади.
ж) t/=|/:(x)| функция графиги Ох J/книнг f(x)^O буладиган
кисмларида y = f(x) функция графиги билан бир хил булади. Ох
укнинг /(х)<0 буладиган кисмида бу графикни y = f(x) функция
графигини Ох укка нисбатан симметрии аислантириш ёрдамида
Хосил килинади.
Мисол. у=— 2sin (2х-ф2) функциянинг графигини z/ = sinx
функция графигидан фойдаланиб чизинг.
Ечиш. z/ = sinx функция графигидан фойдаланиб,
у= — 2sin(2% + 2) функция графигини чизиш куйидаги шакл
алмаштиришлар оркали амалга оширилади?
£/i = sin2xi, уч= — 2sin2x2,
у — — 2sin2 (х + 1) = — 2sin (2х + 2).
Геометрик нуктаи назардан бу 15- шаклдаги ясашларга олиб
келади.
1. OsgZxC 2л ораликда z/ = sinx синусоидани чизамиз.
2. Синусоидада бир нечта нукта белгилаймиз ва ординаталари-
ни узгартирмай, абсциссаларини икки марта камайтирамиз:
х}~~х, у\—у. Хосил булган нукталарни силлик чизик билан
бирлаштириб, z/,=sin2xi функциянинг графигини чизамиз.
3. Хосил булган графикдаги нукталар абсциссаларини узгар-
тирмай, ординаталарини 2 марта орттирамиз ва уларнинг ишорала-
рини алмаштирамиз: уг =—2у\, хг=хь Хосил булган нукта-
ларни силлик чизик билан бирлаштириб, у2—— 2sinx2 функция-
нинг графигини чизамиз.
4. Охирги графикни абсциссалар уки буйича ( — 1) га кучирамиз:
х=Х2—1, У=У2. Хосил килинган нукталарни силлик чизик билан
бирлаштириб, у=—2sin(2x-|-2) функция графигини чизамиз
(15- шакл).
2- дарсхона топишриги
Функциялар графикларини чизинг:
1. у = 2sin (2х— 1).
2. у = — ctg|x4-11.
3. у= 1 4~ Ig(x4~2)
4. у= log2| 1 —х|.
5. у——ух2—4x4-4.
6. у=1—34
7. у=|х2 —7х+12|.
2- му ставил иш
Функциялар графикларини чизинг:
I. у=|3х4~4 — х2|.
2. t/=|log2(2x—1)|.
3. у=2(х—1)J.
4. y = 2cos—-—
3
5. y=sin2x.
6. (/=]—2 \
3- §. Икки функция йи! индиси, айирмаси,
куиайтмаси ва булинмасининг графиклари
Асосий элементар функциялар хоссаларидан фойдаланиб,
уларнинг графикларини би.пан холда, катта хисоблаш ишларини
бажармай туриб, бо.>.;а ф\нкцияларнинг мураккаб графикларини
чизишни графикларнаш комбинациясига (йигиндиси, айирмаси,
купаигмаси ва булинмасша) келтириш мумкин.
2.3.1. Шундай коллар буладики, y = f(x) функция графигини
। рафик.зари осонгииа 1 и.:пладиган у\ =fi (х) вау2 = /г(х) функциялар
иигиндиси шаклида нфодалаш мумкин булади. Унда у = [(х)
функция графигини чнзиш мое ординаталарни геометрик кушишга
келтирилади: y = yt 4 У--
Шуни таъкидлаймизки, икки функция айирмасини икки функ-
циянинг тегишли йигиндисига келтириш мумкин.
У = Л W—/2(х)=/|(х)+(-/2(х)).
1- м и с о л. Ушбу
y=x-)-sinx
функция графигини чизинг.
Е ч и ш. yi = x ва y2 = sinx деб олиб, битта чизманинг узида
кушилувчи функциялар графикларини чизамиз (пунктир чизик-
лар) .
Шу функциялар графикларини кесадиган бир катор вертикал
тугри чизиклар утказамиз. Шундан кейин бу графикларнинг мос
ординаталарини геометрик кушиб, изланаётган графикнинг бир
катор нукталарини топамиз, бу нукталарни узлуксиз эгри чизик
билан бирлаштириб, изланаётган графикни ясаймиз (16-шаклдаги
туташ чизик). Косил булган график, такрибий булади.
2.3.2. Ординаталарни геометрик купайтириш анча кийин. Аммо,
шунга карамай, агар z/i =/i (х) вау2 = /г(х) функциялар графиклари-
ни олдиндан ясаб олинса, икки функциянинг y=ft (х) -/г(х)
купайтмасини тахлил килиш купинча осонлашади. Тахлил килишда
yi ва у2 функциялар 0, 1 ва — 1 га тенг буладиган нукталар-
га алохида эътибор бериш керак.
2- м и с ол. t/=x-sinx функция графигини чизинг.
Е ч и ш. Берилган функция иккита ток функциянинг купайтмаси
сифатида жуфт функция булишини пайкаймиз ва шу сабабли
тахлилни х^О лар учун утказамиз. yi—х ва y2 = sinx графикларни
(пунктир чизиклар) битта чизмада чизамиз (17-шакл).
17 шакл
i/2=sinx=0 буладиган нукталарда у=у\-1/2=0 га эга буламиз.
f/2 = sinx= 1 буладиган нукталарда y=yi-y2=x га эга буламиз.
(/2 = sinx= — 1 буладиган нукталарда у=У\-у2 = — у\ = — х
(уз=—х функция графигини чизамиз).
Бир катор шундай нукталарни белгилаб ва оралик нукталар
учун |у| = |xsinx| < |х| эканини хисобга олиб, х^О лар учун
изланаётган графикка (туташ чизик) эга буламиз. х<0 да
берилган функция жуфт функция булгани учун график Оу
укка нисбатан симметрик акслантириш билан косил килинади
(17- шакл).
2.3.3. Икки функциянинг купайтмаси хакида айтилган муло-
хазаларнинг хаммаси икки функциянинг
_ /1(х)
У~ f2O)
булинмаси учун хам бир хилда тегишлидир.
Битта чизманинг узида yl = fl(x) ва уг=/г(х) функциялар
у,
графикларини чизиб, уларни тахлил килиш йули билан 1/= —
булинма х га боглик холда кандай узгаришини текширамиз ва шу
йул билан изланаётган графикнинг умумий куринишига эга
буламиз. Тахлил килишда асосий эътиборни yt ва у2 функциялар
кийматлари 0, 1 ва —1 га тенг буладиган нукталарга, улар узаро
тенг буладиган ёки ишоралари билан фарк киладиган нукта-
ларга каратиш керак.
18- шакл
3- М И С О Л. у = —5- функция графигини чизинг.
х2— 1
Е ч и ш. Функция ток, шу сабабли х^О лар учунгина тахлил
киламиз.
yi=x ва у2=х2— 1 деб олиб, бу функцияларнинг х>0 даги
графикларини (пунктир чизик) чизамиз.
У1
Эслатма: а) х=0 да у, =0, шу сабабли, —=0 ;
У?
б) бирор х=а да у\=у2 булиб, у=—=1 булиши равшан;
У?
У1
в) бирор х = Ь да t/i= — у2 булиб, у=—= —1 булиши рав-
У2
шан;
г) х= 1 да i/2 = 0, yi = l, шу сабабли х=1 тугри чизик вертикал
асимптотадир.
д) х—>-оо да у-»-0 мусбатлигича колади, яъни абсциссалар
уки горизонтал асимптота булишини курамиз. Бу фикрларнинг
Хаммасини бирлаштириб графикнинг умумий куринишига (туташ
чизик) эга буламиз.
у— х функциянинг ток эканлиги туфайли х<0 да график
х2—1
координаталар бошига нисбатан симметрик акслантиришдан
иборат булади (18-шакл).
3- дарсхона топшириги
Функциялар графикларини чизинг:
1. у==х3 + 2х2.
2 y=2*-j-sinx.
3. y==sin2x-|-2cosx.
4. y=x3cosx.
„ sinx
5. У=------Й-
1+x2
3- мустак,ил иш
Функциялар графикларини чизинг:
1. i/=x-|-arctgx. 4. y = x-cosx.
2. у= J . 5. у= С .
I J sinx
3. y==JC-|-COSX.
4- §. Кетма-кетликнинг лимита.
Функциянинг лимити
2.4.1. Натурал сонлар тупламида аникланган функция сонли
кетма-кетлик дейилади ва {%„} куринишда белгиланади.
Агар шундай М мусбат сон мавжуд булиб, хар кандай
натурал сон п учун
тенгсизлик уринли булса, {%„} чегараланган кетма-кетлик дейилади.
Агар кар кандай натурал сон п учун
Xn-f- ! ХП
тенгсизлик бажарилса, {%„} усувчи кетма-кетлик дейилади.
Агар хар кандай натурал сон п учун
Хп-{-1 Хп
тенгсизлик бажарилса, {х„} камаювчи кетма-кетлик дейилади.
Факат усувчи ёки камаювчи кетма-кетлик монотон кетма-
кетлик дейилади.
Агар исталган е>0 сон учун шундай W = 7V(e)>0 сон мавжуд
булсаки, барча п~^ N лар учун
|хл —а| <е
тенгсизлик бажарилса, узгармас а сон {%„} кетма-кетликнинг лимити
дейилади ва бу куйидагича ёзилади:
lim хп—а .
П-*- ОО
Агар кетма-кетлик лимитга эга булса, у як,инлашувчи, акс
холда узок,лашувчи кетма-кетлик дейилади.
\ар кандай чегараланган ва монотон кетма-кетлик лимитга эга.
1 - м и с о л. lim
П ->00
2п + 3 , е ... .
-——— 1 эканлигини исбот килинг ва /v(e) ни
Чи-L I ' 7
аникланг.
Ечиш. Лгар ихтиёрий е>0 учун шундай /V(е) сопи мавжуд
булсаки, барча n^N(e) лар учун
' е
тенгсизлик бажарилса, лимитнинг таърифига кура куйилган
масала хал булади. Юкоридаги тенгсизлик куйидагига тенг
купли:
2
2п+\
Е ,
бундан
2п+ 1
2 - 2—
— еки п>-,~
е 2f
2__g о
тенгсизликка эга буламиз. Демак, N=N(e) =——Шундай
, .. 2п + 3 .
килиб, lim ———= 1
n-^oo 2п+1
2.4.2. Агар хар кандай е>0 сон учун шундай 6 = 6(е)>0 сон
мавжуд булиб, |х-а|<5 да |/(х) — 6|<е тенгсизлик бажарилса,
Ь сони [(х) функциянинг х->а даги лимити дейилади ва бундай
ёзилади:
lim/(x) — b .
Агар ихтиёрий е>0 учун шундай N = N(е) >0 сон мавжуд булиб,
барча |х| >N лар учун |f(x) —b\ <е тенгсизлик бажарилса, b сони
/(х) функциянинг оо даги лимити дейилади ва бундай ёзилади:
lim f(x) —b .
Агар ихтиёрий 7И>0 учун шундай 6 = 6 (Д4) >0 мавжуд булиб,
|х—а\ <6 да |f(x) | >М тенгсизлик бажарилса, /'(х) функция х->а
да чексиз катта дейилади ва бундай ёзилади:
lim/(x) = оо
х-*~а
Агар х->-а да х>а булса, у холда х->а-|~0 бепги, агар х->о да
х<а булса, у холда х-*а —0 белги кулланилади. /(х) функция-
нинг а нуктадаги чап ва унг лимитлари деб мос равишда
f(a—0) = lim f(x) ва f(a-j-O)= lim f(x)
сонларга айтилади.
f(x) функциянинг x^a даги лимити мавжуд булиши учун
f(a—0) =f(a-\-Q) булиши зарур ва етарли. >
2.4.3. Лимитлар хакида куйидаги теоремалар уринли (ли-
митга утиш коидалари):
а) Агар С узгармас булса,
limC=C.
х~*-а
б) Агар limf(x) ва lim<p(x) мавжуд булса,
х-*-а х-*~а
lim (/(х) -|~<р(х)) =lim /(х) Н-lim <р(х) .
х-+а х-*-а
в) Агар limf(x) ва lim <р(х) лимитлар мавжуд булса, у холда
х-*-а х-+а
lim f(x) -<р(х) =lim f(x) -lim <p(x)
x-^a x-*~a x-^a
тенглик уринли.
г) Arap limf(x) ва lim<p(x)=/=0 булса, у холда
х-+а х-*-а
х-ю <₽(х) lim <₽(*)
тенглик уринли.
Агар бу теоремаларнинг шартлари бажарилмаса, у холда
0• оо куринишидаги аницмасликлар пайдо булиши мумкин.
Бу аникмасликлар баъзи холларда алгебраик алмаштиришлар
ёрдамида очилади.
2- м и с ол. Лимитни хисобланг:
lim ЗУ-Ь5”-1 .
«-*- оо п 4~ 3
Ечиш. Бу мисолда касрнинг сурат ва махражи чексизликка
интилади,'яъни ~ кур и ниш даги аникмасликка эгамиз.
Касрнинг сурат ва махражини п2 га булсак:
2 3+~—Т
Hm^±5n-I== lim__n и2 З=3.
п^оо пг + 3 П—>-оо । । «3 1
п2
3-мисол. Лимитни хисобланг:
lim ("+2)! + ("+Ч1
п—>-оо (л-|-3)!
Ечиш. Бунда — куринишдаги аникмасликка эгамиз.
(n + 2)!= (п + 1)!(п + 2) ва (п+3)! = («+1)!(п+3) (п+2) алмаш-
тиришларни бажарсак:
(п+2)!+(п+1)! = Ит
(п + 3)!
(п+1)!(п+_3)_ = lim 1 = 0 .
(п + 1)!(п + 2) (п + 3) п + 2
4- дарсхона топшириги
кетма-кетлик
а = 3 лимитга
эга
эканлигини ис-
бот килинг ва Л((е) ни аникланг.
2. Куйидаги лимитларни топинг:
б) lim
П-»-оо
в) lim
П—>-оо
Зп2-4п + 8 w.
4п2+5п—9
п! + (п+2)!
(п-1)!+(п + 2)Г
Ж: 1 •
Г) lim 3+6+»+-±g”.
П-»-оо п -|-4
Ж:
д) lim 2"+tL. Ж: -7.
’ п— 2',-7л-1
______________________________ 5
е) lim д/п( д/« + 2 — д/п—3 ). Ж: у-
И—*-оо
4- муставил иш
Куйидаги лимитларни топинг:
1.
lim
П-^-оо
2.
lim
3.
lim
п—»-оо
(п+1)3-(п+1)2
(n-l)3-(n+l)3 ’
(3 —n)3
(n+l)2-(n+l)3
(2п+1)! + (2п+2)!
(2n + 3)l-(2п + 2)! ‘
Ж: -со.
Ж: 1
Ж: 0.
оо .
4. lim
n->oo
(n + 4)!-(n + 2)!
(n + З)!
Ж: оо.
5.
3"-2Л
3я->4-2" ’
Ж: 3.
6.'lim д/п3+8 ( д/п3+2 — д/п3—1 ).
П->-ОО
Ж: |.
5- §. Функциянинг лимитини хисоблаш
Функциянинг лимитини амалда хисоблаш олдинги параграфда
баён килинган теоремалар ва баъзи шакл алмаштиришларга
асосланади.
1- м и с ол. Лимитни хисобланг:
.. Зх — 2
lim—-----
. О 1 1
Е ч и ш. х—>-2 да касрнинг сурати 3-2 — 2 = 4 га, махражи эса
22—1-1=5 га интилади. Демак,
lim
х—2
Зх —2
х2+1
4_
5
2- м и с ол. Лимитни хисобланг:
lim
х3-х2-х + 1
х3 + х2 —X— 1
Е ч и ш. Бу мисолда касрнинг сурати хам, махражи хам
х-*1 да нолга интилади. -у куринишдаги аникмасликка эгамиз.
Касрнинг сурат ва махражини купайтувчиларга ажратсак:
.. х3—х2 —х+1 ,.
lim--—г------ = hm
X. I X +х —X—1 Х»1
= цт =
> (х+.1)(х2-1)
х2(х — 1) — (х — 1)
х2(х+1) — (х+1)
3- м и с ол. Лимитни хисобланг:
lim
х->-2
_____1_
х — 2
Е ч и ш. оо — оо куринишдаги
лаймиз:
аницмасликка эгамиз. Хисоб-
• lim Л,'1 *--
х—2 \ X — 4
1
х—2
i= lim
4-(х + 2)
х2 —4
lim
х—2
2 —х
х2 —4
lim-—— = —lim—— =
х-<-2 (х 2) (х + 2) х->2 х + 2
£
4
4-мисол. Лимитни хисобланг:
lim
х-»()
д/2+х-уг
х24 2х
Е ч и ш. — куринишдаги аникмасликка эгамиз. Касрнинг сурати
ва махражини ( у/2±х + у/2) ифодага купайтирсак,
^2+х —V2 _ i-m (V2+x — V2)(У2+* + v2- =
Й^У-рЯх х™ x(x + 2)(V2 + x+^2)
• ____2-f-X 2_______ |j ______* --- —
= x(x + 2)(V2+^ + V2 ) х-о x(x + 2)(V2 + x +V2)
1 ____1 _ V2
= !™7х+2) (\J2 + ~x + д/2 ) 2‘2\/2 8
5- дарсхона топшириги
Лимитларни хисобланг:
1.
2.
Зх4 + 4х3—1
lim—5------,------
t-> оо 2Х3 4- Зх2 4- 5
Ж: сю
lim ( д/х2+8% + 3 — д/х2+4х + 3).
Ж: 2.
3. lim Л—-----—^тУ 1 •
1-х3/
Л Г X3 — Зх2 4" 3 XJZ . 1
4. lim--5------- Ж- —т-
х^2 х2—1 3
5. lim
х3 —Зх2 + 2
х2 —7x4-6
Ж; i.
п д/6 —х—2
6. lim-4===—-
х.^2 V8X-7-3
“16-
5- мустак,ил иш
Лимитларни хисобланг:
.. х2 — 6х + 8
|1т—--------
х >2 х2-8х+12
Ж:
2.
lim ,
х»2 X2 —8х+ 12
Ж: 4-
3.
lim-^—
Ж: 3.
4.
iz 5.
6.
7.
lim
lim
lim
lim
x2
,2
Ж: -1
*4-2 . x —4
x2 —5x + 4 3(x2 — 3x4-2)
1 1 \
x->2 \x(x— 2)
2 X2 —3x4-2
* Ж: 0.
ОО .
6- §. Биринчи ва иккинчи ажойиб лимитлар
Купгина лимитларни топишда куйидаги маълум формула-
лардан фойдаланилади:
lim —— =1—биринчи ажойиб лимит;
сс-*О а
1
lim (1+—) = lim (1 + а)“ == е—иккинчи ажойиб лимит.
х-*оо \ х / сс->-0
Мисоллар ечганда куйидаги тенгликларни назарда тутиш
фойдали:
lim (1 4-/га) “ = Нт 6 +—) = ек ;
а->0 х—. оо \ /
.. 1п(1-|-х) .
Нт —!—- - 1 ;
*-и> х
г 1 ,
lim-----= 1 ;
х-И> х
lim ~-- — 1па, (а>0) .
х->0 х
1- м и с о л. Лимитни хисобланг:
Ечи ш. j куринишдаги аникмасликка эгамиз. Биринчи ажойиб
лимитдан фойдаланамиз:
.. sin3x .. 3-sin3x оц™ sin3x q
lim-----== lim—------= 31im——— = 3 .
X x-^0 3x x_^o M
2- м и с о л. Лимитни хисобланг:
lim
cosx
л — 2x
Е ч и ш. ~ куринишдаги аникмасликка эгамиз. у—x=z бел-
гилаш киритсак, у холда х->— да z—>~0 булади. Хисоблаймиз:
, л
COS(— —Z)
.. cosx j. 2
lim----— = lim---------------
x—0 n Zx 2—0
sinz
= lim . о
г—о 31—n + 2z
= lim^= |lim^-
2—o 2 2_».o z
£
2 ’
3- м и с о л. Лимитни хисобланг:
Ечиш. Касрнинг суратини махражига булиб, бутун кисмини
ажратиб оламиз:
2x4-1 (2х—3)4-4 _ . | 4
2х—3 — 2х—3 + 2х —3 ‘
Шундай килиб, х->оо да берилган функция асоси бирга
интилувчи, курсаткичц эса чексизликка интилувчи даражани
ифодалайди, яъни [“куринишдаги аникмасликка эгамиз. Функция-
ми иккинчи ажойиб лимитдан фойдаланиш мумкин буладиган
килиб узгартирамиз:
^Г=С^Г=[('+^ГР-
х->оо да
4
2х —3
о булгани сабабли иккинчи ажойиб лимитга
кура:
2х-3
lif1 4 =
X—+ оо \
lim
оо
4(4-^)
т±“8
эканини хисобга алиб, узил-кесил
2x4-1 У*-1
2х—3 /
= е8 эканини
топамиз.
6- дарсхона топишрити
Лимитларни хисобланг:
, .. 1—cos6x
1. lim-----——.
х__0 x-sin5x
2.
lim
х—
Ж: -
sin3x
sin2x
3. lim
V' X-f-oo
3
2 '
_ 2
Ж: e ’
6. lim (3-2x)'-'. Ж: e~s.
X—|
7. lim 4^-. Ж: |ln2 .
,>0 sin2x 2
Ж: 4-
4. iim Ж:А.
3x 3
6- мустак,ил utu
1.
lim
x—о
sin3x
tg5x ‘
4. lim (2x+l) (ln(3x+l) — ln(3x—2)).
X-*-co
Ж: 2.
7- §. Эквивалент чексиз кичик функциялар
ва улар ёрдамида лимитларни хисоблаш
Агар а (х) ва р(х) х-^хо холда чексиз кичик функциялар булиб,
lim = 1
Х-^Хо PW
булса, у холда улар эквивалент дейилади ва х->-хо да а(х)~Р(х)
каби белгиланади. Масалан, lim-^-^-=l, шу сабабли х->() да
х-0 х
sinx~ х.
Шунга ухшаш х—►() да куйидаги чексиз кичик функциялар
эквивалентдир:
х2 .
arcsinx~x, 1 — cosx~—, tgx~x,
arctgx ~ x, ex — 1 ~ x, ax — 1 ~ xlna,
In (1 +x) ~x, (1 4-x)m — 1 ~mx ва x- к.
Иккита чексиз кичик функциялар нисбатининг лимити уларга
эквивалент чексиз кичик функциялар нисбатининг лимитига тенг,
яъни агар х->хо да а(х) ~а, (х) ва p(x)~pi(x) булса, у холда
lim
а(х) ____ “| (х)
Р(х) — ₽,(х)
1- м и с о л. Лимитни хисобланг:
lim
х->-0
1 ^-cos4x
tg23x
Ечиш. Ушбу I— cos4x~8x2, tg23x~9x2 эквивалент чексиз
кичик функциялардан фойдалансак:
lim
х—О
9
1—cos4x .. 8х
--------= 11ГП ------ =
tg23x х—о 9х2
8
9
2- м и с ол. Лимитни хисобланг:
3/8 + Зх-2
lim -----
х-0 у16 + 5х— 2
Ечиш. Касрнинг сурат ва махражини 2 га булиб, сунгра уларни
эквивалент чексиз кичик функциялар билан алмаштирамиз:
7- дарсхона топшири/и
Куйидаги лимитларни эквивалент чексиз кичик
фойдаланиб хисобланг:
функциялардан
1. ,im £21(*.-2±. Ж: 4.
х-2 х2-Зх+2
arcsin2x
2-Зх_ I '
х~ О
„ .. ln(l—4х) w. 1
3. lim ------------. Ж- —
х-0 Ч11|8Х 2
5. lim
х— О
Ж: -
1пЗ-
31п2 ’
7- му стацил иш
1. lim X—0 2xsinx .j, . . Zl\. 1 — cosx 4. 4. lim Х->-Л Incos2x 1 lncos4x' ’ 4 ’
2. lim tg(n(l+y)) Ж: — 5. lim Х-+Л In (2 4-cosx) ж- I (3si"x-l)2’ ’ 21n23 ‘
x-*-0 ln(x+l) • 2 23j( 32* 1 R
3. lim sin5x w. 5 6. lim x-+0 sin7x — sin2x’ 5 9
x—*-n tg3x 3 ’ a »
8- §. Чексиз кичик функцияларни таккослаш
х-»-хо да а(х) ва р(х) чексиз кичик функциялар булсин. Бу
функцияларни таккослаш учун улар нисбатининг х-+хо даги
лимити хисобланади:
а) Агар lim =0 булса, у холда а(х) функция р(х) га
X-^Xq
нисбатан юцори тартибли чексиз кичик функция дейилади ва
а = о(Р) каби белгиланади.
б) Агар lim = °° булса, у холда а(х) функция Р(х) га
Р(Л)
нисбатан цуйи тартибли чексиз кичик функция дейилади. Равшанки
бу холда lim =0 ёки В = о(а).
в) Агар lim —А=^=0 ва А чекли сон булса, у холда а(х) ва
X-^Xq Р (х)
Р(х) бир хил тартибли чексиз кичик функциялар дейилади.
Хусусан, агар А = 1 булса, у холда эквивалент чексиз кичик
функцияларга эга буламиз.
г) Агар а(х)к ва Р(х) бир хил тартибли чексиз кичик функциялар
булиб, /г>0 булса, у холда р(х) чексиз кичик функция а(х) га
нисбатан Л-тартибга эга дейилади.
Мисол. х->0 да у= д/1-f-xsinx—1 чексиз кичик функция-
нинг х га нисбатан тартибини аникланг.
Е ч и ш. нисбатнинг х->-0 даги лимитини караймиз ва k нинг
. X
бу лимит мавжуд ва нолдан фаркли буладиган кийматини аник-
лаймиз: _ ____________
.. у .. Jl+jcsinx—I ।. (V'+J»*11*- 1)(V1+Jcsinx + l)
lim~v = lim -л—-— -----— = hm----------. —77------ =
x-*-o xk x-o x* x-*-o Г-( Vl+xsinx+1)
___ j. 1-J-xsinx—1 ___ j.^ xsinx __
x-»o x*( yj 1 +xsinx -|- 1) x—о xk( yj 1 + xsinx -|- 1)
sinx
= lim г „— -x - —------- = 4- limx2-*, чунки
x-»o x* 2( yj 1 -|-xsinx 4- 1) 2
lim-sl— = 1, lim ( д/l -f-xsinx + 1) = 2 .
x-*-0 x x-»-0
Равшанки k = 2 да limx2 *=1. Демак, Шундай
х-*0 х-0 лГ
килиб, у ва х2 чексиз кичик микдорларнинг тартиби бир хил. Шу
сабабли у микдор х чексиз кичик микдорга нисбатан иккинчи
тартибли (& = 2) чексиз кичик микдор булади.
8- дарсхона топширити
1. х->0 да a = xsin2x ва 0 = 2xsinx чексиз кичик функцияларни
таккосланг. Ж: а = о(0).
2. х->0 да а=х 1п(1+х) ва 0=xsinx чексиз кичик функция-
ларни таккосланг. Ж: а~0-
3. х->-1 да а=1—х ва 0=1—д/х чексиз кичик функциялар-
нинг бир хил тартибли булишига ишонч хосил килинг. Булар
эквивалент буладими?
4. х—>-0 да чексиз кичик булган у —
7х'°
х3+1
нинг х га нисбатан
тартибини аникланг. Ж: &=10.
8- му ставил иш
1. х=0 да cc=x2sin2x ва 0=x-tgx чексиз кичик функцияларни
таккосланг. Ж: а = о(0).
2. х=0 да а = ах—1 ва 0=х Ina чексиз кичик функцияларни
таккосланг. Ж: а~0.
3. х-<--| да a = secx—tgx ва 0 = л —2х функциялар бир хил
тартибли чексиз кичик булишига ишонч хосил килинг. Улар
эквивалент буладими?
4. а) #=д/1-|-х3 —1 ва б) «/= 1 — cosx чексиз кичик функция-
ларнинг х чексиз кичикка нисбатининг тартибини аникланг.
Ж: а) /г = 3; б) k = 2.
9- §. Функциянинг узлуксизлиги.
Функциянинг узилиш нукталари ва уларнинг турлари.
Функциянинг ноли
2.9.1. Агар хо ва унинг атрофида аникланган y = f(x) функция шу
нуктада чекли лимитга эга булиб, бу лимит функциянинг хо
нуктадаги кийматига тенг, яъни
limf(x)=f(x0)
х-^
булса, у холда бу функция х0 нуктада узлуксиз дейилади.
Функциянинг узлуксизлиги хакидаги куйидаги таъриф юкорида-
ги таърифга тенг кучлидир.
Агар y=f(x) функция хо нуктада ва унинг атрофида аникланган
булиб, аргументнинг чексиз кичик орттирмасига функциянинг
чексиз кичик орттирмаси мос келса, яъни
lim Д(/ = 0
булса, у холда функция хо нуктада узлуксиз дейилади. Бу ерда
Ах=х— Хо ва Д«/=/(хо + Дх)—f(xo)—мос равишда аргумент ва
функция орттирмалари.
/(х) функциянинг хо нуктада узлуксиз булиши учун узлуксиз-
ликнинг куйидаги шартлари бажарилиши зарур ва етарлидир:
а) функция хо нукта ва унинг атрофида аникланган;
б) функциянинг х=хо нуктадаги чап ва унг лимитлари тенг:
f(xo —0) =f (хо+0);
в) х=хо нуктадаги бир томонли лимитлар f(xo) га тенг, яъни
f(xo-O) =f(xo + O) =/(хо).
2.9.2. f(x) функция хо нуктанинг атрофида аникланган, аммо
бу нуктанинг узида узлуксизлик шартларидан акалли биттаси
бажарилмаса, бу функция хо нуктада узилишга эга дейилади.
Агар f(x) функция учун чекли бир томонли f(xo—0) ва
f(xo+O) лимитлар мавжуд булса ва, шу билан бирга, /(хо),
f(xo —0), f(xo + O) сонлар узаро тенг булмаса, у холда хо нукта
/- тур узилиш нукраси дейилади.
Хусусан, агар f (хо — 0) =f (хо+0) =#f (хо) булса, у холда хо барта-
раф цилинадиган узилиш ну^таси дейилади.
Агар f(xo — 0) ёки f(xo + O) бир томонли лимитлардан акалли
биттаси оо га тенг булса, хо нукта 2- тур узилиш ну^таси дейилади.
2.9.3. Агар функция ораликнинг хамма нуктасида узлуксиз
булса, у шу ораликда узлуксиз дейилади. Элементар функция-
ларнинг хаммаси узлариницг аникланиш сохаларида узлуксиз-
дир.
2.9.4. Агар f(x) ва <р(х) функциялар хо нуктада узлуксиз булса,
у холда:
f (
a) f(x) ±<р(х); б) /(х)-<р(х); в) - (<р(х0) =#0) функциялар хам
хо нуктада узлуксиз буладилар.
Агар f(x) функция [о, Ь] кесмада узлуксиз булса, у
а) шу кесмада чегараланган;
б) шу кесмада энг кичик ва энг катта кийматларга эришади;
в) берилган иккита киймати орасидаги барча кийматларни
кабул килади, яъни агар f(a) =А, f(P) =В (о<а<р^6) ва А=#В
булса, у холда Л ва В орасида ётган С сони хар кандай булганда
хам х нинг акалли битта х = у (а<у<СР) киймати топиладики,
f(y) =С булади.
Хусусан, агар f(a) ва f(P) хар хил ишорали булса (яъни
/(а) •/(₽) <0 булса), шундай х=у (аСусР) киймат топиладики,
унда f (y) =0 булади.
)(у)=0 буладиган х—у нукта функциянинг ноли дейилади.
Бу агар f(a)-f(P)cO булса, f(x) =0 тенглама (а, р) ора-
ликда акалли битта илдизга эга булишини билдиради.
Бу хоссадан f(x) функция нолини уз ичига олган ораликни
топишда фойдаланилади.
9- дарсхона топшириги
1. функциянинг узилиш нуктасини топинг
ва узилиш
турини аникланг.
2. i/ = arctg—-у функциянинг узилиш нуктасини топинг ва
узилиш турини аникланг.
3. а нинг кандай кийматларида
f(x) = °? п 1 1 . X С агар х=#=3,
агар х=3
функция х=3 нуктада узлуксиз булади? Функция графигини
чизинг. 4. Ушбу f(x) = _х2 2 ’ х, агар агар х< 2, х>2
функциянинг узилиш нукталарини топинг ва узилиш турини
аникланг. Функция графигини чизинг.
5. х5—Зх=1 тенглама [1; 2] кесмада акалли битта илдизга эга
эканига ишонч косил килинг.
1. Ушбу
9- му ставил иш
fix) =
2 д/х , агар
4 — 2х, агар
Os^X^ 1,
1 <Х<2,5,
2х —7, агар
2,5<1х< + оо
функциянинг узилиш нукталарини топинг ва уларнинг турини
аникланг. Функция графигини чизинг.
2. и нинг кандай кийматларида
f(x) =
х —j— 1, агар х^ Г,
3 — ох2, агар х>1
функция узлуксиз булади? Функция графигини чизинг.
3. Ушбу
f(x) =
2х — 1
2х +1
функциянинг узилиш нукталари турини аникланг.
4. f(x)=—-- функциянинг узилиш нукталарини топинг ва
X -\-х
уларнинг турини аникланг.
5. х-2х=1 тенглама акалли битта 1 дан катта булмаган мусбат
илдизга эга булишини курсатинг.
5- назорат иши
1. Лимитларни топинг:
1.1. lim Зх2-|-4х—6 1.2. lim X4 —4x4-1
Х-*-оо 2х3 — 7х2-|-2 X—*-оо x-|-3x2-|-2x4
1.3. lim 2л2 —3x4-1 1.4. lim Зх34-2х —5
Х-*-оо х2 + 2х~ 3 X—*-оо х44-5х2-|-1
1.5. lim 2х4 —Зх2-|-х 1.6. lim 54-Зх—4х2
X—>ОО 4х3-|-Зх —5 X—>ОО 2Х2—х-|-4
1.7. lim 6х2 —2x4-1 1.8. lim 3 — 2X-I-4X2
X—►ОО 2х4 4-х2 4-5 X—>-ОО б-f-5х — Зх2 ’
1.9. lim бх3 —Зх24-4 1.10. lim х4-|-Зх2 —х
X—*-оо 6х3-|-х —5 X—>со х2—х3-|-Зх4 ’
1.11. lim X—>ОО 14х2 -|- Зх 7х2-|-2х—8 ’ 1.12. lim Х-*оо 6х4 —4х24-5 2Х3 — Зх2-)-!
1.13. lim X—>ОО х6 —Зх2-)-? Зх®4-4х3 —2 ‘ 1.14. lim Х-+ОО Зх2 —2х-|-3 бх2—Зх-|-2 ’
1.15. lim 7х4- 2х24-2 1.16. lim Зх- — 4х-|-5
X—*-оо х4—Зх х->-оо 6?4- 3х —7 ’
1.17. lim- 3 —2х2-х4 1.18. lim 8Х2 —7х-|-5
Х-*оо 44-х2-|-5х4 Х->оо 2-f-х—4Х2
1.19. lim- Зх7 —4х54-3 1.20. lim 4Х2—Зх—1
X—>ОО х-|-Зх5 — бх7 X—>оо Зх2 -|-5х—2
1.21. lim- 8х6—1 1.22. lim- бх3 —2х24-3
X—>-оо 4х4-5х5 X—*-<ю 3 —4х—Юх3
1.23.
2х3-|-х —5
lim-------,-------•
t—► оо 4х — 7
1.24.
пт±^.у+'
г.оо [-(-Зл^-х4
1.25.
.. 9л3 — 4x4-1
lim—5-------------
к-, оо Зх3 -|-2л —5
1.26.
lim %*?—4х-|-2
к->-оо 5х2-|-Зх— 8
1.27. lim К-* со 8х4—4х24-3 2х44-1
1.29. lim X—>оо Юх5 —5х24-7 1 —2х—5х5
1.28.
.. 4Х3 —3x4*2
lim—;------5—
г^оо 5х34-4х2 —3
1.30. lim .
х-> оо 6—2х—Зх
2. Курсатилган лимитларни топинг:
„ . .. 2х2->-7х-|-4 2.1. lim ; 1. 2.2. lim - х-*3 2Х2 —7x4-3 х3—27
х->2 X3—8
о о 1* 7х -|-4х 3 2.3. lim — х->—1 5х2-|-4х—1 2.4. lim - х->5 Зх2 —бх —45 х2—2х—15
2.5. ||m2tzJ*5+“.Z х->-2 X 4-Х — 6 2.6. lim * х—3 Зх2—7х —6 64-х—х2
2.7. lim 2%2+3x±j-. х->-—। Зх -|-х—2 2.8. lim Х->—1 Зх24-2х—1 4х24-3х—1
on г х2—5x4-6 2.9. lim—5 . х-2 2Х2 —9x4-10 2.10. lim - х-+-4 х2 — 5х-|-4 х2—16
Q 1 1 1- * 20 2.11. hm—. х-»-4 х2— Зх—4 2.12. lim х-^—1 24-х—х2 х3 —Зх2 —2
„ 1- Зх2—х— 10 2.13. lim —5. х*2 X2 — Зх—10 2.14. lim х->5 2Х2 —Зх —35 х2 —Зх—10
Зх2 х 2 2.15. lim 9 —— х—>| 4Х2—х — 3 2.16. lim х—»-2 х2 — Зх-|-2 Зх2 —х—10 ’
о < «7 1 • 4х -|- Зх —|— 15 2.17. lim —з*5 . х—)—з 1х 4*5х—3 2.18. lim х->—1 х2 —2х —3 1 х34-1
о 1 п 1’ -|-7х 2 2.19. lim — х->—2 5х2-|-Зх—14 2.20. lim х—3 12-|-х—х2 2Х2—Зх —9 ’
.. Зх24-2х-2 2.21. lim —. х—»—I 2Х2—х — 3 2.22. lim х-»>—2 Зх2 4-8x4-4 > Зх2 + х—14
о оо 1- х2 —Зх —4 2.23. lim 5- х->4 40-|-2х —Зх2 2.24. lim х* — 1 Зх24-х —4 х24-3x4-2 ‘
2.25. lim
x->-2
x4—16
x2 + 5x—14 ’
2.27.
lim
x-* —2
X2-4
4x24-7x—2
2.26. lim —*+*- 5 .
4M-1 lx — X — 1
2.28. lim —
x—*— I x —4x — 5
2.29.
lim
x~>-—3
X2 —6x —27
3x2+ 10x4-3 '
2.30. lim
X->-3
x3 —27
x2 — 5x-|-6
3. Курсатилган лимитларни топинг:
3.1. lim- x~*-l 3x2 —4x4-1 д/х4-8 — д/10 — x
3.3. lim x-^3 д/х —2 — д/4 —х х24-2х—15
3.5. lim x-*-—1 Зх24-4х4- 1 y/S—x — д/4—5х
3.7. lim x-*—5 д/Зх4-17 — д/74-х х24-4х—5
3.9. lim x-*-2 х2— X — 6 д/2 —х — д/х 4^6
3.11. lim - Х-И 4Х2 — Зх— 1 д/34-2х — \1х+4
3.13. lim x-*—I д/%4 3 — д/5-|-Зх 4х2-|-Зх— 1
3.15. lim x-*5 \/х -|- 4 — д/2х— 1 х2 — 4х — 5
3.17. lim x-*2 У2х4-1 — д/9 —2х Зх2—2х —8
3.19. lim X—3 д/4х— 3 — д/2х-(-3 х2 —2х—3
3.21. lim x->9 х2—10х-р9 д/2х-|-7 — д/Зх —2
3.23. lim x-H Зх2 —2 д/74-2х —3
3.25. lim x-»-5 д/х— 1 — д/Зх— 11 х24-3х —40
3.27. lim x->3 д/ х 1 — д/Зх— 5 X2 —9
3.2. lim х-*—3 2x24-3x—9 ; -\Jx+ 10 — д/4—X
3.4. lim х-*2 д/5—x — д/х-|- 1 x24-5x—14
3.6. lim - х->-5 2X2 —7x—15 д/х-|-4 — д/2х— 1
3.8. lim х-^—3 2x2—x —21 V7+* — V1 ~x
3.10. lim х>2 д/х4-2 — д/6—x x2 —3x4-2
3.12. lim - х->3 x2 4-х—12 д/5х-|-1 —4
3.14. lim x—*-5 V2x4-1 - д/х-рб х2 —8x4-15
3.16. lim x-*—4 д/х4-20 — д/12—j х24-3х —4
3.18. lim д/х —2 — д/Зх— 10 х2—16
3.20. lim - Зх24-4х —7 _ д/84-х — д/4х4-5
3.22. lim У4+3*—
x—i 7X_8
3.24.
lim --=------------ .
x->2 xl4x-\-l — \J X-|- 7
3.26. lim ..У5+х-У2х+9
x—4 X34-64
3.28. lim Зх24-5х4-2
*-►—1 д/.4 —Зх — д/6 —х
3.29.
lim
r-»2
4л2 — Зх—10
у1Г—4 — ух’
3.30. lim
x2 4-х—2
д/3 —x — у 1 — 2х
z—— 2
4. Курсатилган лимитларни топинг: cosx — cos3x Зх2
4.1. lim- х-*0 1 —cos6x 4Х2 ' 4.2. lim X—0
. _ cos5x —cosx 4.3. lim 5 . х->о 2х 4.4.. lim- x->0 sin3x — sinx 4x
4.5. lim 1 —cos2x 4.6. lim tg2x —sin2x
x-+-0 x2
х—0 x-tgx
4.7. lim 5х 4.8. lim cos2x —cos22x 2
х-*-0 sinx-|-sin7x x-^0 X
4.9. lim - х>0 tg4x 3sin3x 4.10. lim x-*-0 arc sin3x sin5x
sin22x—sin2x 4.12. lim x-*0 cos4x—cos34x
4.1 1. 11111 х-И) Зх2 4x2
4.13. lim 1 — cos22x 4.14. lim 1 — cos5x o„2
х-*0 x-arc sinx OX
4.15. lim х-*-0 4.17. lim х-»>0 arc tg2x tg3x / 1 1 \ 4.16. lim x-*-0 4.18. lim x->0 cosx—cos5x X’Sinx tgx—sinx
sin2x tg2x ) X3
4.19. lim х-*1 (1— X) tg-y-. 4.20. lim x-*() arc sin5x x2 —X
cosx — sinx 4.22. lim 1 — cos5x
л 1—tgx x-*0 sin3x-|-sinx
4.23. lim х-*-0 1 —cos4x 1 —cos8x 4.24. lim Л 4.26. lim
4.25. lim У cosx — 1 x-tg3x
х->0 x2 x-H) cosx — cos X
4.27. lim х->0 cos X—COSX 1 — cos3x 4.28. lim Л X » — 2 1 —sinx л, — 2x
4.29. lim х-И) У 1 -|- sinx — 1 1—cos2x 4.30. lim X—0 x-tg4x arc tg3x
5. Курсатилган лимитларни топинг:
5.1. lim(4^YX+2 5-2- Нт(Зх-2)^
х .ео \ 4x4-3 ) *—i
5.3. lim (4х —3) [In (х + 2) — /5х—l\2x—1 5.4. lim (-=—Г-7Г 1
X-»- — оо x-=o K5x + 2 )
-ln(x-l)]. Зх 5.6. lim (x + 2) [In (2x + 3) —
5.5. lim(2x-l) х->1 — ln(2x—1)].
5.7. lim (*£±5 У'"3. 5.8. lim(3-2x)~
X~>1
5.9. lim (2х + 3) [ln(x + 2) - /3г 4 \2x—5 5.10. lim (44+) •
х->+- оо x^=o \3x + 2 )
— 1пх].. 5.12. lim (3x + 5) [ln(x + 5) —
Зх X->+ OO
5.11. lim (2х—3)х-2. — Inx].
х—2 2x
_ /2 —Зх \4х+3 5.13. lim (-=—х- ) х^оо \5-3x / 5.14. lim(2-x) *’x. x-H
5.15. lim (2х —7) [In (Зх+4) — _ 1c /Зх —2 \2x—7 5.16. im ( „ , =-) x—о \3x + 5 /
— 1пЗх]. 5.18. lim (3x-2) [In (2x-l)-
X X->+ OO
5.17. lim(4 —Зх) -In (2x4-1)]. 3x
_ .. /3 — 5х \4х+5 5J9- lim 2 5x • 5.20. lim (2x + 3)x+1. x->-l
x—> oo ' 5.21. lim (3—x) [ln(l —x) — ^•±w+>-
-ln(2-x)]. 5.24. lim (x—3) [ln(2 —3x) —
x2 5.23. lim (5x —4) X-1. — In (5 — 3x)]. 4x
5.26. lim (3 —5x) 5x-2.
5.25. lim (444) • 2 X-*—-
x^oo \3x+4 ) 5
5.27. lim (2x— 1) [In (1 —3x) — X—► — OO ± (^r
— hr(2—3x)]. 3x 5.30. lim (x —4) [ln(3 —2x) —
5.29. lim (4x + 5) . X—-1 -ln(5-2x)].
5- намунавий %исоб топширик,лари
1. Курсатилган лимитларни топинг:
1.1. lim (х2— д/х44-х2-|-1 ).
х-*-оо
1.2. lim ( д/х2—5х-|-6 —х)л.
х-»-4- оо
1.3. lim ( д/х2—2х 4-6 - д/х24-2х—6).
х-+оо
1.4. lim ( д/х2—2х + 3 — д/х2—х-|-4 ).
Х-+ОО
1.5. lim ( д/х44-Зх24- 1 —х2).
Х-»-ОО
1.6. lim •( д/х24-я— 1 — д/х2 — х4-2 ).
1.7. lim ( д/х24- 1 — д/х2 4-х).
х->оо
1.8. lim х( д/х4+3 — д/х4—2 ).
X—> ОО
1.9. lim д/х4-2 ( д/х4-3 — д/х —4 ).
оо
1.10. lim (х — д/х (х — 1 ).
Х-*-4" ОО
1.11. lim ( д/(х4+ 1) (х2- 1) - д/х6—1 ).
Х->00
1.12. lim (д/ (х2+1) (х2+2) - д/(х2-1) (х2-2) ).
X—► ОО
1.13. lim ( д/(х3+ 1) (х2 + 3) - д/х (х4 + 2) ).
Х-*-ОО
1.14. lim д/х34-8 ( д/х3 —2 — д/х3—1 ).
х—> оо
1.15. lim ( д/х (х-|-5) — х).
х-*-(- оо
1.16. lim д/х ( д/х4-2 — д/х—3 ).
Х->+ 00
1.17. lim (-^/(х + 2)2- -^/(х-3)2).
Х-*-оо
1.18. lim х ( д/54~8х3 — 2х).
х->4- °°
9-665
129
1.19. lim ( д/х (x-f-2) — д/х2—2x-f-3).
1.20. lim ( (x4-2) - д/х2-2х + 3).
x->oo
1.21. lim (x4- д/4 — x3)-
X->OO
1.22. lim ( д/х5—8 —xд/х(х2 + 5) ).
X->4~ 00
1.23. lim ( д/х2—3x-f-2 —x).
x—► •+•00
1.24. lim ( д/(х24-1) (x2—4) — д/х4—9 ).
X->OO
3 I-n---
1.25. lim (x- д/х3—5).
*-►00
1.26. lim x( д/х(х —2) — д/х2—3 ).
X->OO
1.27. Итх(д/х24-1 — д/х2—1 ).
X—► оо
1.28. lim д/х+Т ( у[х — 2 - д/х + 2 ).
X—► оо
1.29. lim (х д/х — д/х (x-j-1) (*4"2) )•
х—►оо
1.30. lim (х— д/(х —2) (х4-3) ).
Х->4- 0°
2. Курсатилган лимитларни топинг:
2.1. lim- x4+4x2-5 x3-|-2x2 —x—2 2.2. lim X—1 x3-3x-2 x4-3x 1 '
2.3. lim , *3+2x+3 1 x4 + 3x2 —4 ' 2.4. lim x—► 2 x3—3x4-2 x24-3x4-2 '
2.5. lim- х->2 x3—3x24~4 x3-5x2+8x-4 ' 2.6. lim x->—2 x34-2x2 x34-3x2—4 '
2.7. lim- 3x2-2x2-1 2.8. lim 2x34-3x2—x-2
X—1 4x3 + x—5 x->— 1 2x4-3x2+1
2.9. lim- x—►! Зх4 —2x3—1 2.10. lim-^ :3 + 5x2 — 2x—4
x3-4x2 + 3 ПГ1Г 2x3-3x2+1
2.11. lim 2x3-x2-4x-4 2.12. lim <+2д; + 12.
1 111I n x->2 Зх2—x—10
x—-2 Х^ + Зх2 —4
2.13. lim ?-3<2-+2_. 2.14. .. 8x4—бх2 —x—I lim—x й
x—i x 4-2x —3x—4 х-I x3-3x2+2
2.15. lim 33?-^+1-. 2.16. lim ?-3?±4 •
x—-i 4xd4-2x2—x+1 x->2 Зх2 —X— 10
2.17. lim . x—-2 2x2+3x—2 2.18. 5x3 — Зх2 —2
11111 Л n • x->i 4x34-x2 — 5 lim .^^.±3.
2.19. 9x3 — Зх2—4x —2 2.20.
x—1 Зх2—2x—1 x—1 3x4—x2-2
2.21. lim'З-^-х + г 2.22. lim
x->2 Зх2 —4x — 4 x-1 5x34-2x2—4x —3
2.23. .. 3x4-2x2-l lim —; . 2.24. lim
x—-1 4xz + 3x—1 x-»-2 4X2 +3x— 10
2.25. lim 8^-3<-5 . 2.26. .. 3x4 —x2 —2 lim—.
x—1 4x4 —Зх2—1 x->i 2x’—x—1
2.27. x3—2x—1 lim — . 2.28. lim
x——I x4 + 2x-|-1 x—i хл+2х* — x—2
2.29. lim x—►—1 x2 —4x —5 2.30. lim /-2x+<
lull .. 2 x->— i z’ — x 4-x— 1
3. К)фсатилган лимитларни
топинг:
3.1.
3,-----
.. д/х2—16
x—4 Vx+12 ~ V$x + 4
3.2.
lim
x->3
д/4х —3 — у]5х— 6
3.3.
lim
3.4.
lim
x~>5
3.5.
%x -2
3.6.
3.7.
3.9.
x-»8 yj2x+9 — V 3x + 1
lim
x-*-0
х/5+х — ^5 — x
3,— —
3.8.
lim
y/x-3 - y/2x—7
y/T+2i -3
3.10.
lim
x->0
lim
2
3,---
Vx2—9
V4x+5 — y/Qx — 5
V4+^-V2T=T '
^/27+x - ^27-^x
д/84“Х — д/8—x
f2*-T
y/3x^2
lim
V2-X -2
з
^/6 + x - ^10 + 3x
3.11. х-о х24-2^х 3.13. lim ?+8 . х—-2 ^4-2х —2 3.15. lim - У^-Зх + х2 -3 х-»о х2—Зх 3.12. 11тД1~*~^1+* . х-о yl— х— д/14-х 3.14. lim ..V.1--* ~ л/2^+2.5 X—8 7х 4-2 3.16. lim х-*о л/ 9 х 3
3.17. lim V3x+l-V9 + 2x х-8 ^Х. -2 3.18. lim- ,Л2х+3 ~3 х->з V^x—3 — д/х-Ь6
3.19. lim— . х-1 -\/2х2—3x4-5 —2 3.20. lim -^-tx ~ ^3+2х х—> ' Х3 + Х2
3.21. Ит-Ь-^1+2* . х-*4 д/ X — 2 3.23. lim т/2*+_13 ~ а/8+х х—-5 д/4—х —3 3.22. lim ^2х+9 ~ УЗх+б х^з х2—9 3.24. lim- У5~*~У*~3 Х--4 д/х — 2 —д/Зх—10
3.25. lim ^4*~3 ~ ^*+6 . х->з д/х-|-3— д/Зх—3 3.26. lim _У5+х-д/6+2х х-^-1 д/8—х —3
3.27. lim ^+х~^~х . х-*о д/1-f-x —д/1—х 3.28. lim ^2х~х -_У*+4 х->5 \/ Зл -J- 1 — 4
3.29. lim — Зх2_+4х+1 х—► — 1 д/х+3 — д/5-|-Зх 3.30. lirn У*+12-У4^ Х---4 д/5— X — д/1 — 2х
4. Курсатилган лимитларни топинг:
4.1. lim У'1.
х-юо уЗх +2х+! J
4.2. lim У-'
x-f-ao уЗх 2х—1 J
4.3. lim f-g^-±-3x-5 Т~2.
х—► оо \2.)г—Зх-|-4 /
4.4. lim f4<+3*-7 У4'
х->оо \4дг —2х+9 /
4.5. lim
Х->оо
4.6.
4.7.
4.8.
lim
Х~>00
lim
Х->оо
lim
х—>оо
/2х2-5х+3 \4х~3
\2х2-|-Зх—5 /
/бх2 —х + 5 Y~3jc
уб^+Зх—5 /
/х2 —4х-|-3 \3jc~5
\?+Зх-4 /
/5? + Зх-2 A4*2-3
\5х2 —2х+3 /
4.9. lim | Х~>оо /x2 —3x4-6 \‘ ^?+4x-5 / — 3x 4.20. lim X->oo /x2 —3x4-4 \x24-3x—8 ) 1-x
4.10. lim । Х-+00 /5х24-3х—1 ' \5?+3x+3 ? l-? + 3 4.21. lim X~>OO /x2—4x-|-5 'S \ix2-|-5x—4 ) 6-3?
4.11. lim Х->ОО / 4x2—x-|-5 ' \4x2 — 2x+7 , k3 —2x 4.22. lim X-*oo /x24-4x —4 \ \x2 —3x—5 ) 3-?
4.12. lim X—>00 f7x2 — 4x + 5 ' \7x2-|-8x—5 , «?-7 4.23. lim X->OO /x2+9x-6 \ \x2+8x+8 ) 3-2?
4.13. lim Х-+ОО / 2x? + x—5 ' \2? — 3x4-7 J \3?-H 4.24. lim X->O0 / 6x2 —5x4-8 \6x24-2x—7 \3x —5
4.14. lim X—* оо Лх^Юх-б \7x2 — 6x-t-16 Г' 4.25. lim X-—*-oo / 4X2 —5x-|-4 \4x2 + 9x+3 , Ux+1
4.15. lim X-+OO /бх2—3x4-8 ' \6x2-|-4x—9 , 4.26. lim j X->OO ( 7x2—8x—9 Vx2-|-10x-8 ^4-x
4.16. lim X—>O0 /Зх2—3x4-1 ' \3x24-5x—6 , Y?-i 4.27. lim | X—> oo (3x2 + 9x-6 ’ \3x2 — 8x4-8 ? Y?-5
4.17. lim X-*-00 /3?+8x-6 ' уЗх2 —9x-|-7 , \4-3? 4.28. lim | t-»-00 / 7x2+3x-8 \7x24-8x— 10 ^4 —3x
4.18. lim X-~>oo / 5X2 —4x—9 ' \5x2+6x—8 , U-? 4.29. lim | X-*-00 / 5x2-|-10x—6 ^бх2-16x4-8 )!-?
4.19. lim X-~>oo / бх2 — 9x4-8 \6x24-9x—4 , y-4? 4.30. lim | X->O0 ^6x24-8x—9 ' убх2 — 4x—3 t l3x-5
5. Курсатилган лимитларни хисобланг:
5.1. lim- x—0 23x —32jt sin3x4-2x 5.2. lim x-»0 In (1 4-sinx) sin4x
5.3. lim- x-^0 x-|-arc sinx2 35x—53jc 5.4. lim x->0 sin7(x4-n) e3x —1 ’
5.5. lim- x->0 e2^—e-1 x + tgx? ‘ 5.6. lim- x->0 1 — cosx cos2x—cosx
5.7. lim- x-^0 sin3x —sinx e3jc-e~x ‘ 5.8. lim x->0 2sin2n(x4-l) ln(l +2x)
5.9. lim х->0 е3х —е2х sin3x—tg2x 5.10. lim—n(1— x->o 4arc tg4x
52х-25х 5.12. lim-b£^.
х->0 sinx-1- sinx2 x-0 /_[
5.13. lim х-И) 7х—5"2х 5.14. lim arcsin2jc
2arc sinx—х2 102x —5~x 2tgx— arc tgx x-*o ln(e— x) — 1 5.16. lim tg*-sinx
5.15. lim х—О x-m) *(1 — cos2x)
1 -f-xsinx—cos2x 5.18. lim-—A LL x—0 „sin2x sinx 5.20 b'm ~e
х-*О 5.19. lim х-*О . 2 sin X In (1 +2x) 2х-I
x-0 tgx
1 • x 1 — sin— '2 5.22. lim—7лх x-fi sin8nx
х->л Л — X
5.23. lim- Х-*-Л sin5x tg3x q5x—3 Q2X2 5.24. lim-?- ~3 x-^1 tgnx
5.25. lim х->2 [ЩЭ-гх2) sin2nx 1 v2 5.26. lim-4^-. x-и Sinnx
5.27. lim- х->4 2х-16 sinnx 5.28. lim-?4^-. x-»l Inx
5.29. lim- Х-»Л ' In cos2x In cos4x 5.30. lim-!^. л cos2x
4
6. Берилган -функциянинг узилиш нукталарини (агар улар
мавжуд булса) топинг. Унинг чизмасини чизинг.
агар
агар
агар
б^лса,
б^лса,
булса.
' cosx, arap x<0 булса,
6-2. /(x) = 1 —x, arap 0<x<2 б^лса,
x2, arap x>2 б)/лса.
x-1, arap x<0 б^лса,
6.3. f(x) = X2, arap 0<x<2 булса,
2x, arap x>2 булса.
x—3, arap x<0 б^лса,
6.4. f(x) = x+l,_ агар 0<x^4 булса,
ч3 + д/х , arap x>4 б^лса.
x2 + 1, arap x^l булса,
6.5. f(x) = 2x, arap 1 <x<3 булса,
.x + 2, arap x>3 булса.
' *+4, arap X<1 булса,
6.6. f(x) = x2+2, arap l<x<3 булса,
,2x, arap x>3 б^лса.
1 — x2, arap x<0 б^лса,
6.7. f(x) = 1, arap 0<x<2 б^лса,
,x-2, arap x>2 б^лса.
' x+1, arap x<0 булса,
6.8. f(x) = (x+1) 2, агар 0<x<2 булса,
. 4—x, arap x>2 б^лса.
' x + 2, arap x< — 1 б^лса,
6.9. f(x) = x2+1, arap — 1<х<1 булса,
.3 —x, arap X>1 б^лса.
— X, arap x<0 б^лса,
6.10. f(x) = -(x- I)2, агар 0<x<2 б^лса,
X — 3, arap x>2 б^лса.
' -2(x+l), агар х^ — 1 б^лса,
6.11. Дх) = (x+1)3, агар — 1 <х<0 б^лса,
X, агар х> 0 булса.
— x, arap х<0 булса,
6.12. f(x) = X2, arap 0<х<2 булса,
x+1, arap х>2 булса.
' x —3, arap х<0 булса,
6.13. /(x) = x+1, arap 0^х<4 булса,
.3+x, arap х>4 булса.
J35 /
д/1— х, агар х^О булса,
6.14. f(x) 0, агар 0<х^2 б^лса, — 2, агар х>2 булса. — х, агар х^О булса,
6.15. f(x) х3, агар 0<хС2 булса, х+4, агар х>2 булса. '2, агар х< — 1 булса,
6.16. f(x) 1 —х, агар — i^x^i булса, ,1пх, агар х>1 б^лса. — 1, агар х<0 булса,
6.17. Дх) —— cosx, агар О^х^л булса, .1—х, агар х>л б^лса. 0, агар хС —1 булса,
6.18. f(x) х2—1, агар — 1 <х^С2 булса, ,2х, агар х>2 булса. х+3, агар х^О булса,
6.19. fix) — — х2+4, агар 0<х<2 булса, х —2, агар х^2 булса. ' х— 1, агар х<1 булса,
6.20. Дх) х2+2, агар 1<х^2 булса, 2х, агар х>2 булса. ' х, агар х^1 булса,
6.21. Дх) (х —2)2, агар 1<х<3 булса, . 6 — х, агар х>3 б^лса. ' ЗхН-4, агар х^ — 1 б^лса,
6.22. Дх) = х2—2, агар — 1<х<2 булса, .х, агар х^2 б^лса. ' 2 —х, агар х^—2 булса,
6.23. Дх) х3, агар — 2<х^1 булса, .2, агар х>1 булса. х—1, агар х<0 булса,
6.24. Дх) =' inx, агар 0^х<л б^лса, 3, агар х^л булса.
— x4-l, агар x^ —1 булса,
6.25. /(х) = x2-H, агар — 1<х<2 булса, 2x, агар x>2 булса. 1, агар x^O булса,
6.26. f(x) = 2х, агар 0<x<2 булса, x + 3, агар x>2 булса. sinx, агар х<0 булса,
6.27. /(х) = x, агар 0<х^2 булса, .0, агар х>2 б^лса. cosx, агар х^у булса,
6.28. f(x) = 0, агар у<х<л булса, .2, агар х^л б^лса. — х, агар х^О булса,
6.29. f(x) = х2+1, агар 0<х<2 булса, .х+1, агар х>2 булса. х + 3, агар х^О б^лса,
6-30. f(x) = 1, агар 0<х<2 б^лса, ,х2—2, агар х>2 булса.
7. Функциянинг узилиш нукталарини топинг
узилиш нуктаси атрофидаги шаклини чизинг.
Функциянинг
7.1. f(x)=2'-5.
7.3. f(x)=3^".
7.5. /(х)=4~.
7.7. /(х)=5~.
7.9. f(x)=4~.
7.11. f(x)=9~.
7.13. f(x)=7~.
7.2. /(х)=75-х.
7.4. Дх)=8^.
7.6. f(x)=6~.
7.8. /(х)=5~.
7.10. /(х) =4‘5=г.
7.12. /(х)=67ТГ.
7.14. /(х)=77+г.
1 I
7.15. f(x)=6-4 . 7.16. /(x)=9x+2
7 3
7.17. H*)=52-‘ . 7.18. Дх)=6х+'
1 I
7.19. 7.20. /(x)=8x+4
7.21. 7.22. f(x)=5TiT
3 4
7.23. f(x)=54-JI . 7.24. /(x)=57+T
1 4
7.25. Z(x)=6‘-3 . 7.26. /(x)=5“
3 2
7.27. f(x)=43-‘ . 7.28. /(x)=3x+l
2 3
7.29. f(x)=64"' . 7.30. f(x)=475T
З-боб
БИР УЗГАРУВЧИ ФУНКЦИЯСИНИНГ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ Х.ИСОБИ
1-§. Хосила. Хосилалар жад вал и
3.1.1. y=f{x) функциянинг хо нуктадаги орттирмаси Ду нинг
аргумент орттирмаси Дх га нисбатининг Дх нолга интилгандаги
лимити мавжуд б^лса, бу лимит y=f(x) функциянинг хо нуктадаги
цосиласи дейилади.
Хосиланинг белгиланиши:
у' ёки /'(хо) ёки -^ёки-^-.
3 ' dx dx
Шундай кили б, таърифга кура:
f (х0)= lim
Дх-иО Дх-*0
f(x0+bx)-f(x0)
Ьх
Агар y=f(x) функция хо нуктада хосилага эга булса, у холда
f(x) функция хо нуктада дифференциалланувчи дейилади, хосила-
ни топиш жараёни дифференциаллаш дейилади.
3.1.2. Геометрик нуктаи назардан y=f(x) функциянинг хо нук-
тадаги хосиласи унинг графигига М(хо. /(хо)) нуктада утказилган
уринманинг Ох укининг мусбаг йуна они билан хосил килган
бурчагининг тангенсига тенг (19- шакл).
y=f(x) эгри чизикка Мо(хо, уо) нуктада утказилган уринма
тенгламаси ушбу куринишга эга:
У — yo = f'(xo) (х—хо),
бунда yo = f(xo).
y==f(x) функция графигига уриниш нуктаси Мо(хо, уо) да
Утказилган нормалнинг тенгламаси ушбу куринишга эга:
У—Уо= — (х — хо), агар f'(xo) =/=0 б^лса,
х = хо, агар f'(xo)=O булса.
y—f\ (х) ва у—f2 (х) эгри чизиклар Мо (хо, уо) нуктада
кесишсин, бу нуктадаги улар орасидаги бурчак деб Мо (хо, уо) Да
уларга утказилган уринмалар орасидаги бурчакка айтилади ва
у куйидаги формуладан топилади:
. Г2 (хо) f'i (*о)
g<p“ 1+Г2(х0)-Г, (*о) ’
3.1.3. х — эркли узгарувчи, и —и (х) ва u = v (х) дифференци-
алланувчи функциялар, С — Узгармас сон булсин, у холда куйидаги
дифференциаллаш коидалари уринли:
1. С' = 0.
2. х'=1.
3. (u±y)' = u'±o'.
4. (u-v)' — u'-v-]-u-v'.
5. (Си)' = Си'.
g ________ u'v—v'u
\v)~ v?
7 (—
\ V / „2
8. Arap y=f(u), u = <p(x), яъни y = /(<p(x)) — мураккаб функция
булса, у холда:
y' = f'(“)-4>'(x).
9. Агар y = f (х) ва х—ц> (у) — ^заро тескари функциялар булса,
у хида f'(x) .
3.1.4. Х,осилалар жадвали:
1. (иа)'=аиа-'-и' (абЯ)- 5. (е“)' = е“.ц'.
2- ( у/и )z= 2^- *и'. (uv)' = vuu~' • и'и"• \пи• и'.
3(1)=->' 7-
4. (а-)-=а-.|па.„л 8-
9. (sinu)' = cos«-u'.
10. (cosu)'= —sinu-ц'.
11. (tg«)' = —u'.
cosw
12. (ctgu)' =-----
sin и
13. (secu)'= = tgu-secu-u'.
COS и
14. (cosecu)'—----— ctgu’cosecu-u'.
sin и
15. (arcsinu)'=— 1 - • u.
16. (arccosu)' =-----Л -и.
\l—u2
17. (arctgu)'= —Ц-и'.
1 +u
18. (arcctgu)'=
19. (arcsec«)'=---,* —- u.
u^-\
20. (arccosecu)'=-------- -u.
u~\u2 — l
/'eu — e~u\
21. (shu)' = {-—^—)=chu-u'.
/риД-е~и\'
22. (ch«)'= ( ) = shu-u'.
23. (th«)' = l—’u'-
’ \ chw / Ch2u
24. (cthu)'= ---
v ’ \sh«7 Sh2«
2x4-1
1- &Ги с ол. Х.осила таърифидан фойдаланиб, y=—функ-
X “Г* <J
циянинг досиласини топинг.
Ечиш. х га Дх орттирма бериб, Ду орттирмани топамиз:
ДО- 2(х+Дх)-1 _ 2х—I =
х + Дх + З х+3
_ (2х+2Дх-1) (х+3)-(х+Дх+3) (2х—1) _ 7Дх
(х+Д* + 3) (x-j-З) (х+Дх + З) (х+3)
ку нинг кх га нисбати
Ьу ________7______
Дх (х+Дх+3) (х+3) '
Дх->0 да шу нисбатнинг лимитини хисоблаймиз:
lim lim - , ,7.. . , = —-—-9 .
Дх-»о дх—о (х+Дх+3) (х+3) (х + 3)2
Шундай килиб, хосиланинг таърифига кура:
, /2х—1) V 7
У I х + 3 )~ (х+3)2 •
2-мисол. у = |х| функция хар кандай х да узлуксиз. х = 0 да
бу функция дифференциалланмаслигига ишонч хосил килинг.
Ечиш. х = 0 нуктада аргументга кх орттирма берамиз, у холда
функция ку орттирма олади:
{—кх, агар Дх<0 булса,
кх, агар Дх>0 б^лса;
(-1, агар Дх<0 булса,
А* I 1, агар Дх>0 булса.
Демак, х=0 нуктада у=|х| функция хосилага эга эмас, чунки
нисбатнинг Дх->-0 даги лимити мавжуд эмас.
3-мисол. у — 8 — х2 ва у — х2 параболаларнинг кесишиш
бурчакларини топинг.
Ечиш. Параболалар тенгламаларини биргаликда ечиб, улар-
нинг кесишиш нукталари А (2, 4) ва В(—2, 4) ни топамиз. Парабола-
лар тенгламаларини дифференциаллаймиз: у'= —2х, у' = 2х. Бу
хосилаларнинг А ва В нукталардаги кийматларини хисоблаймиз ва
эгри чизиклар орасидаги бурчак формуласидан фойдаланиб
топамиз:
tg’P. = TZ76 = —15 ва ^=~Г1Лб-=-15 •
Бундан: <₽i = arc tg(—^-)ва <р2=агс tg.
3.1.5. y=f(x) функциянинг логарифмик уосиласи деб, шу
функциянинг логарифмидан олинган хосилага айтилади, яъни:
(1пу)'=^=Н^.
' У f(x)
Функцияни олдиндан логарифмлашдан фойдаланиш баъзан
унинг хосиласини топишни осонлаштиради. Функцияни лога-
рифмлаш ва дифференциаллашни кетма-кет к^ллаш логарифмик
дифференциаллаш деб аталади.
4- м и с о л. Функция хосиласини топинг:
Ечиш. Бу функцияни логарифмлаймиз:
1пу=4 1пх+1п(1 — х) — 1п(1 -f-х2) +31п sinx + 21n cosx.
□
Тенгликнинг иккала кисмини х буйича дифференциаллаймиз:
и' 2 1 1 2х , 3 2sinx
— = —----------------Н----;--COSX-------,
у 3 х 1— х 1+х2 sinx cosx
бундай
1- дарсхона топшириеи
Косила таърифидан фойдаланиб, у —
4?— 1
^+1
функция хоси-
ласини топинг.
Ж: у' =
Юх
(хЧ1)2 ’
2. у= \]х функциянинг х = 0 нуктада узлуксиз ва дифференци-
алланувчи бУлиш-булмаслигини аникланг.
3. у= (x-f- 1) д/3—х эгри чизикка абсциссаси хо= —1 булган
нуктада утказилган уринма ва нормал тенгламасини тузинг.
Ж: у— д/4(х-)-1) ва у =----^(x-j-1).
V4 5
4. y = sinx ва y = cosx эгри чизиклар кандай бурчак остида
кесишади?
Ж: arctg2-\/2«70°30'.
5. Куйидаги функцияларнинг хосилаларини дифференциаллаш
коидалари ва формулаларини куллаб топинг:
а) у= б) у=х2д/1-*2;
в) y = sin4x + cos4x; г) у= у/1 +cos2x ;
д) у=-^; е) y = tg3x-3tgx + 3x.
1- муста^ил иш
2- муста^ил иш
1.
У =
8
44-х2
эгри чизикка хо=2 нуктада ^тказилган уринма ва
нормалнинг тенгламасини тузинг.
Ж: у ——^-+2 ва у = 2х— 3.
о Зх —2 .
21 ^=~4х417 Функция хосиласини таърифдан фойдаланиб
топинг.
Ж: 2 .
(4х+7)2
3. Куйидаги функцияларнинг
хосиласини топинг:
Куйидаги функцияларнинг
1. a) y = x2*cos32x;
в) у= (3sin2x—cos3x)2;
2. а) у = х3-ес‘к3х;
в) y = lnarctge-x;
3. a) y = x-ctg24x;
в) y = cos(x4 — tg4x);
хосилаларини топинг:
VI 4-cos2x
—--------5~ 5
1 -|-sin2x
г) у=е -cosx.
б) у= (sin33x-|-cos32x)2;
г) y = sin33x-tg22x.
б) у= (x3-j-ctg32x)2;
г) y = cos2x-e~2x.
а)
у = 3*+V* .
V^4-2 ’
в) y = 3xsin3x + 3cosx — cos3x;
г) y = tgy-ctg4-J;
е) у = cosec2у.
в) у == х1лх ;
б) у — ехд/i — е2х —arcsine*;
. 2х-(*-Н)3
г) У =--------п •
(х—1)2у'2х4-1
2- §. Юкори тартибли хосилалар
2- дарсхона топшириги
Куйидаги функцияларнинг хосилаларини дифференциаллаш
коидалари ва формулаларидан фойдаланиб топинг:
1. a) y=x2sin2x; б) y = <?4xtg2x;
з -------- ---------------------
в) У— д/х34-з!п3х ; Г) у= д/х2+1 -ctg23x ;
д) у = 3-с“3зх; е) y = e-aresln^.
2. a) y=(3x3-ctg4x)3; б) y = ln3(Vx-2~x2);
в) y=ln tgVx; г) у = е_^х2~3х+3;
Д) y = sh2x3; .е) y = arc tg д/1 -|-х2 .
3. a) y=(2x3-tg42x)3; б) j/=x3th3x;
в) y = \g (х sins2x); г) y = arcctg д/1-f-e—;
Д) y=(sin2x)cos4x; е) у= (x2_j_ ctg2x
4-а) у= —/ {Х~Т ,,i б) у= -——----------------------- •
V(x-l)5(x-3)" д/(*4-2)2 • д/7х-ЬЗ)"3
3.2.1. y=f(x) функциянинг иккинчи тартибли ёки иккинчи v.
^осиласи деб унинг биринчи тартибли хосиласидан олинган
хосилага, яъни (у')' га айтилади.
Иккинчи тартибли хосила куйидагиларнинг бири билан белгила-
нади:
2
у = f(х) функциянинг п-тартибли ёки п-^осиласи деб унинг
(п_ 1). тартибли хосиласидан олинган хосилага айтилади. п- тар-
тибли хосила учун ушбу бел ги ла шла р дан бири кулланилади:
у<"<, /<">(х),
Белгилашга кура
у« = (уМ-О)» .
1- м и с ол. у = 1пхфункциянингп- тартибли хосиласини топинг.
Е ч и ш. п марта кетма-кет дифференциаллаб, куйидагига эга
буламиз:
- 1 " 1 2 ,,iv_
3.2.2. х ^згарувчининг у функцияси ошкормас шаклда F(x,
у)=0 тенглама билан берилган б^лса, у холда у' хосилани топиш
учун F(x, у) =0 тенгликнинг иккала кисмини х буйича дифференци-
аллаб, с^нгра хосил булган у' га нисбатан чизикли тенгламадан
хосилани топиш керак. Иккинчи ва ундан юкорирок тартибли
хосилалар хам шу каби топилади.
2- м и с ол. Ошкормас холда
х2 + у2 = 64
тенглама билан берилган у функциянинг у' ва у” хосилаларини
топинг.
Ечиш. у узгарувчи х нинг функцияси деб хисоблаб, берилган
тенгламанинг иккала кисмини х буйича дифференциаллаймиз:
2х + 2у-у' = 0. Бундан у'=—. Топилган биринчи у' хосилани
яна х буйича дифференциаллаймиз:
у" = (У)' =
У-ху
/ X
Энди у =-------эканини хисобга олиб,
У
ни хосил киламиз.
„ и2 4- jc2 " 64
Шундай килиб, у = —— ёки у =---------г, чунки шартга
у У
к^ра х2 + у2 = 64.
3.2.3. Агар у функциянинг х аргументга богликлиги
, |х=х(/),
I y=y(t)
тенгламалар-билан параметрик шаклда берилган булса, у холда
1 _ y'ttx't-x'tty't
xt (xt)
3- м и с о л. Ушбу
x = 8cos/,
y = 8sin/
параметрик тенгламалар билан берилган функциянинг биринчи ва
иккинчи тартибли хосилаларини топинг.
Ечиш. Юкорида келтирилган формуладан фойдаланиб,
куйидагиларни осон топамиз:
x't=— 8 sin/, y't = 8 cos/;
• Vt 8cosi . .
^=7 = -=8^r=-ct^;
" \ 1 l t A' 1 1
V? ( X ) x c И )< ’ _8sinr 8-sin3f
\ Af jOH* I
3- dap ex она топширини
1. y = ln(x+ д/14-х2) функциянинг биринчи ва иккинчи тартиб-
ли хосиласини топинг.
2. у— функциянинг п- тартибли хосиласини топинг.
3. Куйидаги тенгламалар билан ошкормас холда берилган
функцияларнинг биринчи ва иккинчи тартибли хосилаларини
топинг:
а) у2 = 2рх; б) y = x + arctgy.
4. Параметрик тенгламалар билан берилган Функцияларнинг
иккинчи тартибли хосиласини топинг:
х=1п(1 + /2),
«=*2;
x=a(t — sin/),
y = a(l — cos/).
5. Ушбу
5?
1-H2
параметрик тенгламалар билан берилган эгри чизикка Л4о(2, 4)
нуктада утказилган уринма ва нормал тенгламасини топинг.
3- муста^ил иш
J
1. а) у=—(21пх —3) функциянинг иккинчи тартибли хосила-
сини топинг.
б) Ушбу
x = arccos д//,
у=^/1-/2
параметрик тенгламалар билан берилган функциянинг иккинчи
тартибли хосиласини топинг.
в) ех~1~еу — 2ху — 1=0 тенглама билан ошкормас холда берилган
у функциянинг иккинчи тартибли хосиласини топинг.
2. a) y = x2sin(5x—3) функциянинг иккинчи тартибли хосиласи-
ни топинг.
б) Ушбу
х = 1п/,
I
У=7
параметрик тенгламалар билан берилган функциянинг иккинчи
тартибли хосиласини топинг.
в) х34-у3 —Зху = 0 тенглама билан ошкормас холда берилган
у функциянинг иккинчи тартибли хосиласини топинг.
3. а) у = -|-1п2х функциянинг иккинчи тартибли хосиласини
топинг.
б) Ушбу
' x = sh2i,
параметрик тенгламалар билан берилган функциянинг иккинчи
тартибли хосиласини топинг,
в) х4 —ху + у4=1 тенглама билан ошкормас холда берилган
функциянинг иккинчи тартибли хосиласини топинг.
3- §. Функциянинг дифференциали
3.3.1. y=f(x) функциянинг дифференциали деб, унинг орттирма-
сининг эркли Узгарувчи х нинг орттирмасига нисбатан чизикли
булган бош кисмига айтилади.
y=f(x) функциянинг дифференциали dy билан белгиланади.
Функциянинг дифференциали унинг хосиласи билан эркли ^зга-
рувчи орттирмасининг купайтмасига тенг:
dy = f'(x)Sx ёки dy=y’-\x.
Равшанки, dx = Ax. Шу сабабли
dy=f'(x)dx ёки dy=y'dx.
Дифференциал геометрик жихатдан y=f(x) функция графигига
М(х, у) нуктада утказилган уринма ординатасининг орттирмасига
тенг (20- шакл).
Функциянинг дифференциали dy унинг Ду орттирмасидан Дх га
нисбатан юкори тартибли чексиз кичик микдорга фарк килади.
3.3.2. Агар и = и(х) ва v = v(x) функциялар дифференциалла-
нувчи булса, у холда дифференциалнинг таърифи ва дифференци-
аллаш коидаларидан бевосита дифференциалнинг асосий хоссала-
рига эга буламиз:
1. d(C)=0, бунда С — Узгармас.
2. d(Cu) = Cdu.
3. d(u±v) — du±dv.
4. d (и • v) = udv + vdu.
5. d{—]=------2--' бУнДа v¥=0.
6. df(u) =f'u(u) • u'dx = f'(u)du.
1- м и с ол. y = tg42x функция дифференциалини топинг.
Ечиш. Олдин берилган функциянинг хосиласини топамиз:
• —4— = etg^xsec^x .
cos2x
У холда dy=8tg32x-sec22xdx.
3.3.3. y=f(x) функциянинг иккинчи тартибли дифференциали деб
биринчи тартибли дифференциалдан олинган дифференциалга
айтилади ва
d2y = d(dy)
каби белгиланади.
y = f(x) функциянинг п- тартибли дифференциали деб (п —1)-тар-
тибли дифференциалдан олинган дифференциалга айтилади, яъни:
dny = d(da~'y).
y=f(x) функция берилган булиб, бунда х — эркли узгарувчи
б^лса, у холда унинг юкори тартибли дифференциаллари ушбу
формулалар буйича хнсобланади:
d2y=y"dx\ dzy=y'"dxz, ... , dny=ywdxn.
2- м и с о л. у = х(1пх — 1) функциянинг иккинчи тартибли диффе-
ренциалини топинг.
Е чи ш. Берилган функциянинг биринчи ва иккинчи тартибли
хосилаларини топамиз:
у/ = 1пх—1+х • —=1пх, у"=~-
Демак, dy = lnxdx, d2y = ydx2.
3.3.4. Функциянинг dy дифференциали унинг Ду орттирмасидан
\x-dx га нисбатан юкори тартибли чексиз кичик микдорга фарк
килади, шу сабабли \yxdy ёки
/(x-j-Дх) — f(x) &f'(x)kx,
бундан
/(х-|-Дх)да/(х) +f'(x)\x
формулага эга буламиз, бу формула функция кийматларини
такрибий хисоблашларда кулланилади.
3-мисбл. arcsin 0,51 нинг такрибий кийматини хисобланг.
Е ч и ш. y = arcsinx функцияни караймиз: х = 0,5, Дх=0,01 деб
олиб ва arcsin(х + Дх) «arcsinx+(arcsinx)'Ax формуладан фойда-
ланиб топамиз:
arcsin0,51 да arcsin0,54--------, • 0,01 =
V1 - (0,5)2
= -g- + 0,011 да 0,534 .
Шундай килиб, arcsin0,51 да0,534 радиан.
4- дарсхона топширири
1. у = 2х3 + 5х2 функция берилган. Унинг:
• а) орттирмасини топинг;
б) орттирмасининг бош кисмини топинг.
Ж: а) Ду= (6х2+Юх)Дх+(6х-|-5)Дх2 + 2Дх3;
б) dy= (6х2+ Юх) Дх.
2. Куйидаги функцияларнинг биринчи тартибли дифференци-
алларини топинг:
а) У='\/1+х2; 4 * б) У = arcsin-i ;
в) у = 1п(х+ д/1 + х2) .
3. Куйидаги функцияларнинг иккинчи тартибли дифференцм-
алларини топинг:
а) у=е~^\ б) у = х(1пх — 1); в) y = arccosx.
4. Куйидаги функцияларнинг учинчи тартибли дифференци-
алларини хисобланг:
a) y = cos22x; б) у~(2х~З)3; в) у=-^-.
5. Куйидаги функцияларнинг такрибий кийматларини вергул-
дан кейинги икки хонасигача аникликда хисобланг:
а) х=1,03 да у = х3 —4х2-|-5х-|-3;
б) х = 0,2 да у= д/1 +х .
Ж: а) 5,00; б) 1,10.
6. д/17 нинг такрибий кийматини вергулдан кейинги икки
хонасигача аникликда хисобланг.
Ж: 2,03.
4- муста^ил иш
1. Агар
а) у = х31пх; б) y=<?~3x-cos2x
б^лса, dy, d2y, d3y дифференциалларни хисобланг.
2. Функцияларнинг такрибий кийматларини вергулдан кейин-
ги икки хонасигача аникликда хисобланг:
ч „ , 3 /1 —х
а) х=0,1 да у= ;
б) х = 0,98 да у~ yjx2—lx+ 10 .
Ж: а) 1,03; б) 2,09.
4- §. Ролл, Лагранж, Коши теоремалари.
Лопиталь коидаси
3.4.1. Ролл теоремаси. Агар у = f (х) функция (а, Ь] кесмада
узлуксиз, (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи ва f(a) —f(b) булса,
у холда акалли битта шундай х = с (а<с<&) нукта мавжудки, унда
/'(с) =0 булади.
Бу теорема хосиланинг ноллари ёки илдизлари хакидаги
теорема хам дейилади.
Лагранж теоремаси. Агар у=/(х) функция [а, Ь] кесмада
узлуксиз, (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи булса, у холда
акалли битта шундай х—с (а<с<.Ь) нукта мавжудки,
булади.
Бу теорема чекли айирмалар хакидаги теорема хам дейилади.
Коши теоремаси. Агар y = f(x) ва у = ф(х) функциялар [а,
6] кесмада узлуксиз, (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи, шу
билан бирга бу ораликда <р'(х)у=0 булса, у холда акалли битта
шундай х = с(а<с<6) нукта мавжудки,
f(t>)-f(a) = f'{c)
<₽(&)—<₽(а)
булади, бунда <р(М #=<р(а).
1- м и с ол. [1, 5] кесмада Дх) = х2 —6х + 100 функция учун Ролл
теоремаси уринлими? х нинг кандай кийматида f'(x) =0 булади?
Ечиш. f(x) функция х нинг барча кийматларида узлуксиз,
дифференциалланувчи ва унинг [1, 5] кесма охирларидаги киймат-
лари тенг: Д1) = Д5) =95 булгани учун Ролл теоремаси шартлари
бажарилади. х нинг f'(x)=O буладиган киймати f'(x) =2х—6 = 0
тенгламадан аникланади, яъни х = 3.
2-ми сол. f(x) =2х—х2 эгри чизикнинг АВ ёйида шундай
М нуктани топингки, бу нуктада эгри чизикка Утказилган
уринма АВ ватарга параллел булсин, бунда А (1, 1) ва В (3, —3).
Е ч и ш. • Дх) =2х—х2 функция х нинг барча кийматларида
узлуксиз ва дифференциалланувчи. Изланаётган М нуктада
утказилган уринманинг бурчак коэффициенти шартга кура
- ь~__а га тенг, иккинчи томондан, Лагранж теоремасига кура
иккита а=1 ва 6 = 3 киймат орасида
/(6) -/(а) =Г(с) (6-а)
тенгликни каноатлантирувчи х=с киймат мавжуд, бунда
f'(x) =2 — 2х. Тегишли кийматларни кУйсак,
дз)-Д1) = (3-1)т
ёки
(2-3 —З2) — (2-1 — I2) = (3—1) (2 —2с).
Бу охирги тенгламани с га нисбатан ечсак, с—2, Д2) =0. Шундай
килиб, М нукта (2, 0) координаталарга эга.
3 I-----9
3-м и с о л. Дх) = д/(х —8)2 функция учун [0; 10] кесмада
Лагранж теоремаси Уринлими?
Ечиш. Дх) функция х нинг барча кийматларида узлуксиз,
2
аммо унинг f (х) =
хосиласи
(0; 10) ораликнинг х=8 нук-
тасида мавжуд эмас, шунга кУра Лагранж теоремаси уринли
эмас.
3.4.2. Аникмасликларни очишнинг Лопита.ль
кои да си (-у ёки — куринишдаги аникмасликларни очиш). Дх)
ва <р(х) функциялар хо нуктанинг бирор атрофида (хо нукта-
нинг Узидан ташкари) дифференциалланувчи ва q/(x)y=O булсин.
Агар lim f(x) — lim <р(х) =0 ёки lim f(x) = lim <p(x) = oo булиб,
X-*Xq X-*JCq x~*xq x~*~xq
lim 4-*- мавжуд булса, у холда lim ^44 = lim И булади.
x-x0 <p (x) x-~x0 <₽(•*) x~x0 ф (X)
x—>oo да хам Лопиталь коидаси Гринли.
0-оо ёки оо — оо шаклидаги аникмасликлар алгебраик алмаш-
тиришлар оркали у ёки куринишдаги аникмасликларга келти-
рилиб, сунгра Лопиталь коидасйдан фойдаланилади.
0°, оо° ёки 100 куринишдаги аникмасликлар логарифмлаш
оркали -у ёки куринишдаги аникмасликларга келтирилади.
4- м и с ол. lim *— ни топинг.
X—о зс
Ечиш. Ифоданинг сурати ва махражи х->-0 да нолга интилади,
шу сабабли шаклидаги аникмасликка эгамиз. Лопиталь коида-
сидан фойдалансак,
х —sinx .. 1—cosx
lim-----— = lim----------—
x—о x х—о Злг
,. sinx
= lim-т—
х-0 6*
1
6 ’
Бу ерда Лопиталь коидаси икки марта кулланилди.
5- м и с ол. limx2lnx ни топинг.
х—*-0
Ечиш. О-оо шаклидаги аникмасликка эгамиз, х21пх купайтма-
ни булинма шаклида ифодаласак, натижада шаклидаги
7
аникмасликка эга буламиз. Лопиталь коидасини куллаймиз:
I
limx2lnx = lim-4^-= lim—— —ylimx2=0.
х->0 х-*-0 * х-*0 х->0
х2 X3
6- м и с ол. lim(sinx)x ни топинг.
х->-0
Ечиш. 0° шаклидаги аникмасликка эгамиз. Берилган функци-
яни у билан белгилаб: y=(sinx)x, буни логарифмлаймиз:
lny = x in sinx =
in sinx
i
X
Лопиталь коидасини куллаймиз:
limlny = lim
х-*Ю х->0
Insinx
1
COSX
lim sinx
х-»0
X
= —lim
х—О
X2COSX
sinx
— lim (x • • cosx )=0.
x-0 \ sinx )
Шундай килиб, limz/ = e°=l .
x->0
5- дарсхона топшириеи
1. [—1; 0] ва [0; 1] кесмаларда f(x)=x — x3 функция учун Ролл
теоремаси уринлими? Агар уринли булса, у холда х нинг тегишли
кийматларини топинг.
Ж: х = ±Ц=.
V3
2. f(x) ==х2—4х+3 функция илдизлари орасида хосиланинг
илдизи борлцгини текширинг.
3. [—1. 2] кесмада у ва 1 —д/х2 функцияларга Лагранж тео-
ремасини куллаб буладими?
4. Кайси нуктада f(x)=4 — х2 функцияга утказилган уринма
А (— 2, 0) ва В( 1, 3) нукталарни тортиб турувчи ватарга параллел?
Ж: (—0,5- 3,75) нуктада.
5. f(x)=x3 ва ср(х)=х2 функциялар учун Коши формуласини
ёлинг ва с нуктани топинг.
6. Лопиталь коидасидан фойдаланиб, лимитларни топинг:
а) Й ?-5,+Т ' ; A) l^tgx.lnx;
б> lim te-g1-; е) lim (tgx)“';
х->0 х
— 1 / 3 V
в) lim —г-5—; ж) lim (1 4—).
х_0 sm3x ’ х-оо \ X /
X ,. /1 1 \
г) lim(--------);
х—о \ х е — 1 /
Ж: а) у; б) 3; в) г) -Ь Д) °! е) 1; ж) 3.
6 О '
5- муста^ил иш
1. [ — 1; 1] кесмада f(x) = 1 — ^/х функция учун Ролл теоремаси-
ни куллаб буладими?
2. Ушбу
a) f (х) = arctgx функция учун [0; 1] кесмада;
б) f(x) = arcsinx функция учун [0; 1] кесмада;
в) f(x) = 1пх функция учун [1; 2] кесмада Лагранж формуласини
ёзинг ва х = с ни топинг.
Ж: a) VP7-6’ Д/Н^;В)Т^'
/
3. Ушбу
a) sinx ва cosx функциялар учун [0; у] кесмада;
б) х2 ва д/х функциялар учун [1; 4] кесмада Коши формула-
сини ёзинг ва х=с ни топинг.
a) lim . ;т-. -г ;
х->0 1п(1+*)
в) lim arcsinx-ctgx;
X—О
д) lim (л —2x)c0SX;
л
х->-
2
Ж: а) 2; б) оо; в) 1;
4. Лопиталь коидасидан фойдаланиб куйидаги
топинг:
. пх
tg-F
б) lim—--:--- ;
X-.I 1п(1- X)
г) lim f—г—ctg2xV
х-0 \ JT /
е) lim (х+2х)ж.
х-иоо
Г) |; д) 1; е) 2.
лимитларни
5-§. Тейлор формуласи
3.5.1. Агар y=f(x) функция хо нуктанинг бирор атрофида
(«+!) - тартибгача хосилаларга эга булса ((п1)- тартибли хосила
хам киради), у холда бу атрофнинг хар кандай х нуктаси учун
п- тартибли Тейлор формуласи Гринли:
Дх) =Дх0) + Цр- (х — х0) + Ц—- (х —х0)2+
+ ... + (х-х0)я+₽п(х) ,
бунда Rn (x) = (n-|-i)i (x—xo)"+ ТейлорформуласинингЛагранж
шаклидаги к,олдик, уади дейилади, £ нукта х ва хо нукталар
орасида ётади, яъни g = xo + 0(x —хо) ва О<0< 1,
1- м и с ол. f (х) =х3 —2х24-Зх+5 купхадни (х—2) иккихаднинг
бутун мусбат даражалари буйича ёйинг.
Е ч и ш. Масалани хал килиш учун купхадни ва унинг
хосилаларининг хо=2 нуктадаги кийматларини топиш керак.
Тегишли хисоблашларни бажарамиз:
/'(х) =3х2 —4x4-3; f"(x) = 6х — 4; f"'(x)=6; п>4 учун fw(x)—o.
Бундан: /(2) = 11; f(2) =7; f"(2)=8; f"'(2)=6.
Демак,
f(x) =х3-2х2 + Зх+5= 11 +^(х-2) +|(х-2) 2+|(х-2)3
ёки
f(x)=x3-2x24-3x4-5 = l! 4-7(х-2) + 4(х-2)2 + (х-2)3.
2- м и с о л. хо— — 1 да f(x) = ех функция учун учинчи тартибли'
Тейлор формуласини ёзинг.
Ечи ш. Барча п лар учун ря>(х) = ех ва /(«>( —1) =— экани
равшан.
Демак,
х 11 Х+1 1 (Х+1)2 1 (Х+1)3 ,г, /..)
е -т+ттг+т “21-“зГ- +^(х> ’
шу билан бирга /?3(х) = +1 —, бу ерда £ нукта х ва — 1 орасида
ётади ёки
£=-14-0(х+1), О<0< 1.
3.5.2. Агар Тейлор формуласида хо = О олинса, у холда,
п- тартибли Маклорен формуласи хосил булади:
f(x)=f(O) 4- ^x+^-x2+ ... + ^Lx"+Rn(x),
г (я+1)
бунда Rn(x) = ' (n+
хя+|— колдик хад, g нукта x ва 0 нукталар
орасида ётади, яъни £ = 0х, О<0< 1.
Баъзи функцияларнинг Маклорен формуласи буйича ёйилмаси-
ни келтирамиз:
X X2
е'=1+тНг+ -
х х3 х5 х2"-1
sin^=T7-4+-i- - -(~1)п+1-(^ТГ' +
Х2Я+*
(2л+1)1 ’
+ (— 1) "cosQx
003^^4+4-...-(-D'-gj-,+(-1)-+'созвх-^
(1 +х)--1 +-2х+ "<"-1)<"-г>хз+ +
II Z! О'
+
т(т — «4-1) „я , т(т— 1 — п)
n! Х i" (п + 1)!
(1 4-ех)'я-я~,-хя+1 .
f(x) = (1 +x)m функциянинг ёйилмаси биномиал ёйилма дейила-
ди.
3-ми сол. Маклорен формуласи ёрдамида f(x) = 1п(14-х)
функцияни х нинг даражалари буйича ёйинг.
Е ч и ш. /(0) =0 экани равшан. Берилган функциянинг хосила-
ларини хисоблаймиз:
Г(х) = f"(x) =------—- f'"(x)=—-—з ;
1-4-х’ (1+х)2 (1-4-х)3
7<IV)(x) =---... ;f")(x) = (-l)'1+1 .
(1+х)4 (1+х)"
Шундай килиб,
f'(0) = l; Г(0) = -1; Г'(0)=2!; f('V)(0) = -3!, ....
f(n,(O) = (-l)"+,(n-l)!; /<я+1»(х) .
V * “Г х)
Буларни Маклорен формуласига куйсак,
, ,, , ч х2 , х3^! х4-3! , ,
1п(14-х)=х——4—-----------—ь ... 4-
+ (-l)n+J ^4^хл + /?п(х)
ёки
1п(1 4-х) =х-4+4~4+ - +(-1)я+14+/?л(х)- Бу ерда
колдик хад /?я(х) = (- 1)я44 • (1+4+1 • £ нукта 303 0 ва х нукта'
лар орасида ётади.
6- дарсхона roniuupuFu
1. f(x) = 2x3 — 3x24-5x+ 1 купхадни x-H иккихаднинг дара-
жалари буйича ёйнинг.
Ж: f(x) = -9+17(x+l)-9(x+l)2 + 2(x+l)3.
2. хо = 1 нуктада f(x)—^[x функция учун учинчи тартибли
Тейлор формуласини ёзинг.
Ж: Пх) = 1 --^- + 4(х-1)2-А(х_1)3 + /?з(х)1
бу ерда /?3(х) = -g- (х~,1)4 .
I2
3. f(x)=tgx функция учун иккинчи тартибли Маклорен форму-
ласини ёзинг.
Ж: /(х)=х+4-2±^-.
э COS45
4. f(x)=xex функция учун п- тартибли Маклорен формуласини
ёзинг.
„3 п п 4“ 1
Ж: ВД«+-+-+... + ^+^ (5+» + 1)е».
6- мустак,ил или
1. Купхадлар ёйилмасини ёзинг:
a) f(x) =х5 — 2х4 + х3 — х2 + 2х— 1 ни (х —1) иккихад даража-
лари буйича;
б) f(x) =х4 — 5х3 + х2 — 3x-j-4 купхадни (х —4) иккихад даража-
лари буйича.
2. а) хо = 2 нуктада f(x) = функция учун учинчи тартиб-
ли Тейлор формуласини ёзинг;
б) хо — 1 нуктада /(х) =—U функция учун учинчи тартибли
у X
Тейлор формуласини ёзинг.
3. a) f(x) =arcsinX функция учун учинчи тартибли Маклорен
формуласини ёзинг;
б) f(x) =sin2x функция учун 2п- тартибли Маклорен формуласи-
ни ёзинг.
6-§. Такрибий хисоблашларга
Тейлор формуласининг тагбики
Тейлор формуласи ихтиёрий f(x) функцияни
/(х) »f(xo) Н----ур- (х—х0) + (х—х0)2+ ... +
+ — — (х-х0)п
купхад шаклида такрибий ифодалаш имконини беради. Бу
купхад /г-тартибли Тейлор куп^ади дейилади. Хусусан, хо = О да
п- тартибли Маклорен купуадига эга булдмиз.
Баъзи функцияларнинг Маклорен купхади шаклидаги такри-
бий ифодаларини келтирамиз:
„3 г5 Г2"-1
siriX«X 3Г + -5Г —. + D + (2n— 1)! ’
х2 х4
(1 +x)m« 1 + ^х + ^^Х2+ ... +
п = 1, 2, 3 деб олиб, куйидаги такрибий формулаларга эга
буламиз:
г . . XII । X2 Xi! । X2 i X
е =1+х; ех^1+х+—; ех» I +х+—+-у;
х3 х3 х5
sinx«x, sinx«x--—; sinxasx--7—|—— ;
6 6 120
х2 х2 х4 х2
cosx«l—- cosx«l—2Ч--24-; COSX»1—- +
' 24 720 ’
(1 +x)mAt 1 + mx; (1 +x)m« 1 -f-mx-f- x2;
(1 +X) 1 +mx+ ^=Я-х2+ .
Келтирилган функцияларнинг хар бири учун такрибий формула-
лар аникликнинг ортиб бориши тартибида берилган.
Тейлор (Маклорен) формуласи функциялар кийматларини
берилган аникликда хисоблашларда кулланилади.
Масалан, f(x) функциянинг х — а нуктадаги кийматини хатолиги
е дан катта булмайдиган аникликда хисоблаш учун Тейлор
купхадини шундай k- тартибгача олиш керакки, бу k сон | Rn (а) I <е
тенгсизликни каноатлантирувчи п ларнинг энг кичиги килиб
танланади.
1- м и с ол. е сонини 0,0001 гача аникликда хисобланг.
Ечиш. х = а = 1 эканлигини хисобга олсак, Маклорен форму-
ласига кура:
e=/(l) = l+lL+±+... +1+ /?я(1).
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
es
n нинг /?„(!) =
< 0,0001 шартни каноатлантирувчи энг
кичик киймати й = 6 булади, бунда 0<£<1. Демак,
es>l+-n + i + - + i“2’718-
2-ми сол. д/29 нинг кийматини 0,001 гача аникликда хисоб-
ланг.
Ечиш. Берилган илдизни бундай ифодалаймиз:
о _ J _____ 3 7 о~
</29 = V27 + 2 =3^14-^-
Ушбу биномиал ёйилмадан фойдаланамиз:
(l+x)m=l+^+ W(W~1) х2 + ... +
JI
T1
*1
НИ
Бу ерда
W = т(т~х(^р}- хл+,(1+^)т-л-,,о<^<1.
Rn(x] нинг кийматини урнига куйиб,
(l+x)^1+^+^zHx2+ ... + 'п('п-1):..(т-п+1) хП такри.
бий тенгликка эга буламиз. Rn(x) хатоликни |х| <1 ва етарлича кат-
та п ларда исталганча кичик килиш мумкин.
х=-Д- ва /п = 4- деб олсак,
21 о
^=3('+i-iHr+ -+44))-
Хдсоблашларнинг
бахолаб, топамиз:
кетма-кет хатоликлари катталиги ни
31^1 < °-002’ 3|/?2| <3'2^-—<0,0003 •
Демак, берилган аникликда хисоблаш учун учта хадни
(£ = 3) олиш етарли экан, яъни
^/29 «3(1 +0,024-0,0006) =3,072 .
7- дарсхона TontuupuFu
1. у= —- функция учун х0 = 2 нуктада учинчи тартибли
Тейлор купхадини ёзинг. Берилган функция ва унинг купхади
графикларини чизинг.
х2 1
2. 1+% + — такрибий формуладан фойдаланиб —— ни то-
2
пинг ва хатоликни бахоланг.
Ж: « 0,78; £<0,01. -
3. Куйидагиларни 0,001 гача аникликда хисобланг:
a) cos41°; б) д/121.
Ж: а) 0,754; б) 4,946.
7- муста^ил иш
1. f(x) = arcsinx функция учун учинчи тартибли Маклорен
купхадини ёзинг. Берилган функция ва унинг купхади графикла-
рини ясанг.
2. Куйидагиларни 0,001 гача аникликда хисобланг:
а) ^е; б) д/129; в) sin36° .
Ж: а) 1,395; б) 2,002; в) 0,587.
11-665
4- б о б
ФУНКЦИЯЛАРНИ ХОСИЛАЛАР ЁРДАМИДА ТЕКШИРИШ
1-§. Биринчи тартибли хосила ёрдамида
функцияларнинг экстремумларини текшириш
4.1.1. Агар (а, Ь} ораликнинг X2>xi тенгсизликни кано-
атлантирувчи иккита ихтиёрий xi ва хг нукталари учун /(хг) >/(xi)
тенгсизлик бажарилса, /(х) функция (а, Ь) ораликда усувчи
дейилади. •:
Агар (а, Ь) ораликнинг X2>xi тенгсизликни каноатланти-
рувчи иккита ихтиёрий xi ва хг нукталари учун f (хг) <f (xi)
тенгсизлик бажарилса, /(х) функция (а, Ь) ораликда камаювчи
дейилади.
Ораликда Усувчи ёки камаювчи функциялар монотон функция-
лар дейилади.
Монот^нликнингзарурий шартлари:
I. Агар (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи y = f(x) функция
усувчи булса, у холда f'(x) >0.
2. Агар (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи y = f(x) функция
камаювчи булса, у холда /'(х)<0.
Монотонликнинг етарлилик шартлари.
I. Агар (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи у=[(х) функция
мусбат хосилага эга булса, яъни /'(х)>0, у холда функция шу
ораликда усувчи функция булади.
2. Агар (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи y=f(x) функция
манфий хосилага эга булса, яъни ['(х) <0, функция шу ораликда
камаювчи функция булади.
Функциянинг биринчи тартибли хосиласи нолга тенг ёки
узилишга эга буладиган нукталари критик нуцталар дейилади.
Энг содда холларда у = /(х) функциянинг аникланиш сохаси-
ни чекли сондаги критик нукталар билан чегараланган монотонлик
ораликларга булиш мумкин.
4.1.2. Агар хо нуктанинг шундай атрофи мавжуд булсаки, бу
атрофнинг хар кандай х=#хо нуктаси учун /(х)<7(хо) тенгсиз-
лик уринли булса, у холда y=f(x} функция хо нуктада макси-
мумга эришади дейилади.
Агар хо нуктанинг шундай атрофи мавжуд булсаки, бу
атрофнинг хар кандай х=#хо нуктаси учун /(х) >/(хо) тенгсиз-
лик уринли булса, у холда у=[(х) функция хо нуктада минимумга
эришади дейилади.
Функция максимум ёки минимумга эришадиган нукталар унинг
экстремум нукталари дейилади. Функциянинг экстремум нуктала-
ридаги кийматлари функциянинг экстремал (максимал ёки мини-
мал) ^ийматлари дейилади.
Экстремумнинг зарурий шарти. Агар у — )(х) функция
хо нуктада экстремумга эга булса, у холда f'(xo) нолга тенг ёки
мавжуд булмайди.
Аммо хар кандай критик нукта хам экстремум нуктаси
булавермайди.
Экстремумнинг етарлилик шарти. Агар хо нукта
y = f(x) функциянинг критик нуктаси булиб, функциянинг хосила-
си бу нуктадан Утишда ишорасини узгартирса, у холда хо— бу
функциянинг экстремум нуктаси булади, шу билан бирга:
1. Агар хо нуктадан чапдан Унгга утишда f' (х) Уз ишорасини
мусбатдан манфийга узгартирса, у холда хо нуктада функция
максимумга эришади.
2. Агар хо нуктадан чапдан Унгга утишда f'(х) Уз ишорасини
манфийдан мусбатга узгартирса, у холда хо нуктада функция
минимумга эришади.
Шундай килиб, монотонлик ораликларини ва функция экстре-
мумини топиш учун олдин функциянинг аникланиш сохасини
критик нукталар ёрдамида монотонлик ораликларига булиш ва
уларда хосила ишорасини текшириш керак.
Шундан кейин монотонлик ва экстремумнинг етарлилик шартла-
ридан фойдаланиб, усиш ва камайиш ораликларини, максимум ва
минимум нукталарини топиш хамда функциянинг бу нукта-
лардаги кийматларини хисоблаб, натижаларни тегишли жадвал-
га ёзиш керак.
1-ми сол. у = х3 —Зх2 функциянинг монотонлик ораликлари-
ни ва экстремумларини топинг.
Е ч и ш. Берилган функциянинг аникланиш сохаси — бутун Ох
Уки булиб, унинг хосиласи у' = 3х(х —2).
Хосилани нолга тенглаштириб, критик нукталарни топамиз:
xi =0 ва хг = 2. Ох Уки бу нукталар билан учта ораликка булинади:
(-оо; 0), (0; 2) ва (2; -фоо).
Бу ораликларда хосиланинг ишорасини текшириб, натижа-
ларни куйидаги жадвалга ёзамиз:
X (—<»;0) 0 (0;2) 2 (2; + ~)
+ 0 0 +
У max 0 min —4
ymax=f(0)=03-3-02 = 0; z/min=f (2) =23—3-22 = —4.
4.1.3. y=f(x) функция [a, 6] кесмада Узининг энг кичик (т=уЭКИЦ)
ёки энг катта (М = уэ кат) ’ кийматларига (а, Ь) ораликда ётувчи
критик нукталарида ёки [а, Ь] кесманинг охирларида эришади.
2-мисол. у = х4 — 2х2 + 3 функциянинг [ — 3; 2] кесмадаги энг
кичик ва энг катта кийматларини топинг.
Ечиш. Берилган функциянинг хосиласи: у' = 4(х3 —х).
у'=0 шартдан х,=0, хг=1 ва хз= —1-
Критик нукталарнинг х,аммаси (—3; 2) ораликка тегишли.
Берилган функциянинг бу нукталардаги ва кесманинг охирларида-
ги кийматларини хисоблаймиз:
1/(0) =3, у(1)=2, у( —1)=2, у(-3)=66, у(2) = 11.
Шундай килиб, [ — 3; 2] кесмада уэ. кат=66, уэ. кич=2.
/ - дарсхона топширики
1. Функцияларнинг монотонлик ораликдарини топинг:
а) у = 2 — ЗхН-х3; б) у = х(1 + д/х) ;
в) у = х—2sinx, 0^х< 2л.
Ж: а) (— оо, — 1) ва (1, оо) да усади, (— 1, 1) да камаяди;
б) [0, +<») да усувчи;
в) (у -у) да Усувчи; (0, у) ва (-у-, 2л) да камаювчи.
2. Функциянинг экстремумларини топинг:
\ X2 ‘ । 1 \ 1ПХ
в) У=.Т=2-; б) У = х+ 7; В) У =
Ж: а) х = 0 да t/max=0; х = 4 да ymin = 8;
б) х=1 да ymin=2; х = 0 да утах=—2;
в) х = е да утах = у.
3. Ушбу
Y__ I
а) у= - функциянинг [0, 4] кесмадаги;
X-j- 1
б)
* 1 ~х
i/ = arctg——
J и I -\-х
функциянинг [0, 1] кесмадаги энг кичик ва энг
катта кийматларини топинг.
Ж: а) Л4 = 0,6, т=-1; б) А4=у, т = 0.
/- муста^ил иш
1. Функцияларнинг монотонлик ораликлари ва экстремум
нукталарини топинг:
а) у = хд/1—х2; б) у = х — 21пх; в) у — Inx— arctgx.
Ж:а> (-Д. I ) да камаювчи; ^L)aa
Усади; f/min=y( —^5)= У™*=у(~^У= 7:
б) (0, 2) да камаювчи; (2, -фоо) да усувчи; ут|п=
=у(2) =2(1-1п2) «0,61;
в) (0, 4-ос) да усувчи.
2. Ушбу
а) у= 1~*+х- нинг [О, 1] кесмадаги;
1 X — X
б) у= д/%+ 1 — д/% — 1 нинг [О, 1] кесмадаги;
в) у=х-\-2-у/х нинг [0, 4] кесмадаги энг кичик ва энг катта
кийматларини топинг:
Ж: а) 4/тах=1, */min=0,6;
6) Утах= 2, t/min= ~\/2 ,
В) Утах = $> Ут1п 0.
2- §. Функциянинг кавариклиги ва ботиклиги.
Эгилиш нукталари. Асимптоталар
4.2.1. у=f (х) функциянинг графиги (а, Ь) ораликнинг исталган
нуктасида утказилган уринмадан пастда ётса, у холда функция
графиги каварик, дейилади.
y=f(x) функциянинг графиги (а, Ь) ораликнинг исталган
нуктасида утказилган уринмадан ю^орида ётса, у холда функция
графиги ботик, дейилади.
Функция графигининг каварик кисмини ботик кисмидан ажра-
тувчи Alo (%о, f(xo) нукта графикнинг эгилиш нуктаси дейилади.
Функция графигининг каварик ёки ботик
булишининг етарлилик шартлари. Агар (а, Ь) ора-
ликда дифференциалланувчи y = f(x) функциянинг иккинчи тартиб-
ли хосиласи манфий, яъни f"(x)<0 б^лса, у холда бу ораликда
функция графиги каварик булади.
Агар (а, Ь) ораликда дифференциалланувчи y = f(x) функция-
нинг иккинчи тартибли хосиласи мусбат, яъни б^лса,
у холда бу ораликда функция графиги ботик булади.
Кавариклик оралигини ботиклик оралигидан ажратиб турувчи
эгилиш нуктасидан ^тишда функциянинг иккинчи тартибли хосила-
си ишорасини узгаРтиРаДи- Бундай нукталарда функциянинг
иккинчи тартибли хосиласи ё нолга тенг, ёки мавжуд б^лмайди.
f"(x)=O ёки f"(x) мавжуд булмайдиган нукталар иккинчи тур
критик нукталар дейилади.
Эгилиш нукталари мавжуд булишининг етар-
лилик шарти. Агар хо нукта y=f(x) функция учун иккинчи тур
критик нукта булса ва f"(x) иккинчи тартибли косила бу нуктадан
утишда ишорасини узгартирса, у холда бу функция графигининг
хо абсциссали нуктаси эгилиш нуктаси булади.
Демак, функция графигининг кавариклик ва ботиклик оралик-
ларини, эгилиш нукталарини топиш учун олдин функция аникла-
ниш сохасини иккинчи тур критик нукталар билан ораликларга
б^лиш ва бу ораликларда иккинчи тартибли косила ишорасини
текшириш керак. Шундан кейин етарлилик шартларидан фойдала-
ниб, кавариклик, ботиклик ораликлари ва эгилиш нукталари
аникланади.
1-мисол. у=хех функциянинг кавариклик, ботиклик оралик-
ларини ва эгилиш нукталарини топинг.
Ечиш. Берилган функциянинг аникланиш сокаси бутун Ох
Укдан иборат. Биринчи ва иккинчи тартибли косилаларни топамиз:
/ = ех(1 -|-х); у" = ех (2х).
Иккинчи тартибли косилани нолга тенглаштириб, иккинчи тур
критик нуктани топамиз: х=—2. Ох ук бу нукта билан иккита
ораликка б^линади: ( — оо; —2), ( — 2, +оо).
Бу ораликларда иккинчи тартибли хосила ишорасини текши-
риб, ушбу жадвални тузамиз:
х=— 2 да графикда ординатаси у=— 2е-2 булган эгилиш
нуктасига эга буламиз.
4.2.2. Агар y—f(x) функция графигидаги нукта шу график
буйлаб чексиз узоклашганда ундан бирор тугри чизиккача
булган масофа нолга интилса, бу ту'гри чизик y — f(x) функция
графигининг асимптотаси деб аталади.
Агар limf(x) = oo булса, х—а т^гри чизик y — f(x) функция
х-+а
графигининг вертикал асимптотаси дейилади.
Агар
k = lim ва 6= lim (f(x)-kx)
X х-с+оо
ёки
k— lim ва b= lim (f(x) — kx)
лимитлар мавжуд булса, у холда y = kx-\-b тугри чизик y=f(x)
функциянинг ofmu асимптотаси дейилади.
Хусусан, k = 0 да горизонтал асимптотага эга буламиз.
2-ми сол. у= -~2-+— функциянинг асимптоталарини топинг.
Ечиш. lim у = оо булгани учун х=—2 вертикал асимптота
х—2
булади. Ома асимптоталарни топамиз:
k= lim =
х->оо %
lim
X—*-оо
х2 — 2% + 3
х(х + 2)
b= iim(/:(x) — kx) — lim
х~— 2х + 3
х -j- 2
= 1 ,
lim-=^±^
х + 2
Шундай килиб, oFMa асимптотанинг тенгламаси у = х — 4 кури-
нишга эга.
2- дарсхона топширити
1. Куйидаги функцияларнинг кавариклик, ботиклик оралик-
ларини ва эгилиш нукталарини топинг:
а) у = х5 + 5х—6; б) у= (х-4)5 + 4х + 4; в) у = е
Ж: а) ( —оо, 0) да каварик; (0, + оо) да ботик; эгилиш
нуктаси: Л+(0, 6);
б) ( —оо, 4) да ботик; (4, + оо) да каварик; эгилиш нуктаси: Л4о(4,
в) ( —оо, —1) ва (1, —оо) да ботик: ( — 1, 1) да каварик:
эгилиш нукталари: Af,(—1, е 2) ва Л42(1, е 2).
2. Куйидаги функцияларнинг асимптоталарини топинг:
а) У= : б) y=3x+arctg5x; в) t/ = |п1*+Р + 2х.
Ж: а) х=2 ва у= 1;
б) у = 3х + у (*-► + оо да) ва у = 3х—(х—>—оо да) ;
в) х = 0, у = 2х, х— — 1 (х->— 1+0 да).
2- муста^ил иш
1. Куйидаги функцияларнинг кавариклик, ботиклик оралик-
ларини ва эгилиш нукталарини топинг:
а) г/ = 1п(1+%2); б) y = arctgx — х.
Ж: а) (—оо, —1) ва (1, + оо) да каварик; ( — 1, 1) да ботик;
эгилиш нукталари: A4i(l, 1п2) ва ЛЬ( — 1, 1п2).
б) ( — оо, 0) да каварик; (0, + оо) да ботик; эгилиш нуктаси: О (О, 0).
2. Куйидаги функцияларнинг асимптоталарини топинг:
3- §. Функцияларнинг графикларини чизиш
y = f(x) функция графигини чизишда олдин унинг асосий
хусусиятларини аниклаб олиш керак. Бунинг учун куйидагиларга
амал килинаДи:
1. Функциянинг аникланиш сокаси топилади.
2. Функциянинг жуфт-токлиги ва даврийлиги текширилади.
3. Функция графигининг координата уклари билан кесишиш
нукталари топилади.
4. Функциянинг ишораси узгармайдиган ораликлари топилади.
5. Функция графигининг асимптоталари топилади.
6. Функциянинг усищ, камайиш ораликлари ва унинг экстре-
мумлари топилади.
7. Эгри чизикнинг кавариклик, ботиклик ораликлари ва
унинг эгилиш нукталари топилади.
I 4 '
Мисол. // =—функцияни текширинг ва унинг графигини
чизинг.
Ечиш. 1. Функциянинг аникланиш сока си:
Д(/) = (-оо, 0) U (0, +оо).
2. Функция жуфт кам, ток кам эмас, даврий кам эмас.
3. Графикнинг координата уклари билан кесишиш нукталари-
ни топамиз:
Ох ук билан: бундан х= — д/4, яъни Л ( — ^/4 ,0) —
Ох ук билан кесишиш нуктаси.
ху^О булгани учун график Оу ук билан кесишмайди.
4. Функциянинг ишораси узгармайдиган ораликларини топа-
4 —
миз:х<—д/3 да функция манфий (график Ох укдан пастда
жойлашган); х> — уЗ да функция мусбат (функция графиги Ох
укдан юкорида жойлашган).
5. Функциянинг асимптоталарини топамиз.
Оу ук, яъни х = 0 тугри чизик эгри чизикнинг вертикал,
асимптотасидир, чунки
х3
lim—
.2 — 00 •
y = kx-\-b огма асимптотани аниклаш учун k ва b ни топамиз:
k = lim = lim
= 0.
Демак у = х чизик огма асимптота экан.
6. Функциянинг усиш, камайиш ораликларини ва унинг экстре-
мумларини биринчи тартибли косила у'=—-— дан фойдаланиб,
X6
у' = 0 ва у'= оо тенгламалардан эса критик нукталарни топамиз:
%! = 2 ва Х2=.О (функциянинг узилиш нуктаси).
Куйидаги жадвални тузамиз:
X (-оо;0) 0 (0;2) 2 (2;+«)
д' оо —
У 3 . . " '
• узилиш нуктаси min
7. у = — иккинчи тартибли косиладан фойдаланиб, эгри
чизикнинг кавариклик, ботиклик ораликларини ва эгилиш нуктала-
рини топамиз. Иккинчи тартибли косила камма жойда мусбат, шу
боис функция графиги ботик, эгилиш нукталари йук. у ——i—
X
функция графигини чизамиз (21-шакл).
2- муста^ил utu
1. Куйидаги функцияларнинг кавариклик, ботиклик оралик-
ларини ва эгилиш нукталарини топинг:
а) д/ = 1п(1 +%2); б) y = arctgx — х.
Ж: а) (—оо, —1) ва (1, +оо) да каварик; ( — 1, 1) да ботик;
эгилиш нукталари: Mi (1, 1п2) ва М2( —1, 1п2).
б) ( — оо, 0) да каварик; (0, + оо) да ботик; эгилиш нуктаси: О (О, 0).
2. Куйидаги функцияларнинг асимптоталарини топинг:
3-§. Функцияларнинг графикларини чизиш
y = f(x) функция графигини чизишда олдин унинг асбсий
хусусиятларици аниклаб олиш керак. Бунинг учун куйидагиларга
амал килинади:
1. Функциянинг аникланиш сохаси топилади.
2. Функциянинг жуфт-токлиги ва даврийлиги текширилади.
3. Функция графигининг координата уклари билан кесишиш
нукталари топилади.
4. Функциянинг ишораси узгармайдиган ораликлари топилади.
5. Функция графигининг асимптоталари топилади.
6. Функциянинг усиш, камайиш ораликлари ва унинг экстре-
мумлари топилади.
7. Эгри чизикнинг кавариклик, ботиклик ораликлари ва
унинг эгилиш нукталари топилади.
М и с о л. у = - функцияни текширинг ва унинг графигини
X
чизинг.
Ечиш. 1. Функциянинг аникланиш сохаси:
Z) (f) = ( — оо, 0) U (0, + оо).
2. Функция жуфт хам, ток хам эмас, даврий хам эмас.
3. Графикнинг координата уклари билан кесишиш нукталари-
ни топамиз:
Ох ук билан: - +4 =0, бундан х= — ^/4, яъни А (— ^/4,0) —
Ох ук билан кесишиш нуктаси.
булгани учун график Оу ук билан кесишмайди.
4. Функциянинг ишораси узгармайдиган ораликларини топа-
4 —
миз:х<—д/3 да функция манфий (график Ох укдан пастда
жойлашган); х> — д/3 да функция мусбат (функция графиги Ох
укдан юкорида жойлашган).
5. Функциянинг асимптоталарини топамиз.
Оу ук, яъни х=0 тугри чизик эгри чизикнинг вертикал,
асимптотасидир, чунки
y = kx-\-b огма асимптотани аниклаш учун k ва b ни топамиз:
Демак у = х чизик огма асимптота экан.
6. Функциянинг усиш, камайиш ораликларини ва унинг экстре-
му _g
мумларини биринчи тартибли хосила //=—г— дан фойдаланиб,
X6
у' = 0 ва у'=оо тенгламалардан эса критик нукталарни топамиз:
xi = 2 ва Х2 = 0 (функциянинг узилиш нуктаси).
Куйидаги жадвални тузамиз:
X (—оо;0) 0 (0;2) 2 (2; +«)
О' —I- оо — *1*
У • - - _ 3 --
• узилиш нуктаси min
7. у" = —— иккинчи тартибли хосиладан фойдаланиб, эгри
х
чизикнинг кавариклик, ботиклик ораликларини ва эгилиш нуктала-
рини топамиз. Иккинчи тартибли хосила хамма жойда мусбат, шу
боис функция графиги ботик, эгилиш нукталари йук. у=—i—
X
функция графигини чизамиз (21-шакл). д
21- шакл
3-дарсхона TontuupuFu
Функцияларни тула текширинг ва уларнинг графикларини
чизинг:
2. у= у/(х + 3)х2 . 3. у = х-е~х 4. у=^.
3- муста^ил иш
Функцияларни тула текширинг ва уларнинг графикларини чизинг:
L У = 2 . у = 1п(х2+2х + 2). 3. у= (3 — x)e2“x.
6- назорат иши
1. Функцияни тула текширинг ва графигини чизинг:
1.1. у = 3 (л— х2
1.2. у = х3-9х2 + 24х- 15.
1.3. у=х5--|-х3.
1.4. у = 2х3 + Зх2— 12х — 5.
1.5. у= (х—3) 2(х—2).
1.6. у==х4 — 8х3-|- 16х2.
1 *7 2 । 1 3 %
1.7. у = х2 + ух3--
1.8. У=-^- (2х3—6х2— 18х+ 15).
1.9. у = х5 —х3 —2х.
1.10. y=l-x2-4 .
э 8
1.11. у= — 4х + х3.
1.12, у= (х+ 1) (х-2)2.
1.13. у==х3 —Зх2 + 4.
1.14. у = х3 — 9х2 + 24х—7.
1.15. у = х4 — 8х2 + 16.
1.16. у= — 4х3+6х2—Зх—
1.17. у = х3—ух2—4х + 2 .
«•18. у=-^(х4-12х).
1.19. у = х4-2х2 + 3.
1-20 у— (х + 2) (х— I)2.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
у=х3 — Зх2 + 2.
у=8 + 2х2 — х4.
у=-^х5—4х2.
3 5
у = 2х3 — 15 х2 + Збх.
X4 о 2 9
у=—.—%х—г •
3 4 4
1.26.
1.27.
1.28.
1.26.
1.30.
у = 2х3 + 3х2 — 1.
у = х4-10х2 + 9.
У=4-4*2-
у= (х-|-3) (х —2)2.
2. Функцияни тула текширинг ва графигини чизинг:
2.1. у = х-1 2.16. У (х-1)2
х2 —2х Х2+1
2.2. у = 2 —4х2 1—4х2 ' 2.17. У — х3 +1 х2 ’
2.3. у = 2х2 2.18. У X
4х2—1 3-х2 '
2.4. у = 2х+1 2.19. У — (%+D2
х2 (х-1)2
2.5. у = 1 2.20. X
У
х2 —9 (Х-1)2
2.6. у = 4х2 2.21. У 2х—1
х2-1 ’ (х-1)2 ’
2.7. у = х4 2.22. У х3
х3-1 ’ 2(х+1)2 '
2.23. 1
2.8. у = У — 1 2 '
1 — X
х — 2х
J2.24. 2
2.9. у = (х — 3) 4(х-1) • у х2+х+1
2.10. у = х2 + 4х+ 1 2.25. х3 — 1
х2 У 4х2
2.11. у = х2+16 4х ' 2.26. У = (да
2.12. у = Зх 2.27. х3 +1 6
и
1 +х2 X
2.13. у = 3-х2 2.28. 4х
- •
х + 2 ' (х+1)2
2.14. у = 5х2 2.29. х2—Зх + З
х2 —25 ' У — х-1
2.15. у = х2+1 2.30. 4
X У х2 + 2х — 3
3. Функцияни тула текширинг ва графигини чизинг:
3.1. у = е*~ Х-1 3.2. у = = 10^-2.
3.3. у = 3.5. у = (х-2)е3~х. 1 3.4. у = 3.6. у = = 1п(2? + 3). - х — 1п(х4~ !)•
г-i ’
3.7. у = е”. 3.8. у -- = xlnx.
3.9. и = х :3е"х. 3.10. у - = 1п(х2 —4).
3.11. у = е3~х 3 — х ' 3.12. у = =2ln-i±I-3. X
3.13. у = (4 —х)ех~3. 3.14. у- = 1п(х2 — 2x4-6) •
3.15. у = 1 3.16. у = х — 1пх.
е2х—1
3.17. у = 3.18. у = 1 — 1п3х.
3.19. у = х2ех . 3.20. у = 1п(х2 —4) 4-х.
3.21. у = е2(х-1) 3.22. у - ln-^v-1 •
2(х-1) ’ -(2х + 3)е2(х+2). 1 х+5 = — х1п2х. = X— In ( 1 4-Х2)
3.23. у = 3.25. у = 3.24. у 3.26. у
е3х— 1
3.27. у = е^. 3.28. у = х21пх.
3.29. у = х3ех+‘. 3.30. у = х2 — 21пх.
5- боб
Х.АК.ИКИЙ УЗГАРУВЧИНИНГ ВЕКТОР ВА
КОМПЛЕКС ФУНКЦИЯЛАРИ
1-§. Скаляр аргументнинг
вектор функциясини дифференциаллаш
5. 1.1. Агар узгарувчининг хар бир кийматига маълум
а вектор тугри келса, у холда бу вектор t скаляр аргументнинг
вектор функцияси дейилади ва бундай белгиланади:
а=а(/).
a=a(t) вектор функциянинг берилиши учта скаляр функция:
ax(t), ay(t), аг(0 —а вектор координаталарининг берилишига тенг
кучли:
a — ax(t)7-\-ay(t)]+az(t)k
ёки кискача: a={ax(t), ay(t), а?(01-
Агар Узгарувчи а векторнинг боши координаталар боши билан
устма-уст тушса, яъни у М (х, у, z) нуктанинг радиус-вектори
булса, у холда вектор функция бундай белгиланади:
r = r(/) =x(0F+z/(/)/’ + z(/)£
г векторнинг охири фазода чизадиган L чизик r = r(t) вектор
функциянинг годографи дейилади. Координаталар боши годограф
цутби дейилади.
Агар г векторнинг модулигина узгарса-ю. йуналиши узгаришсиз
колса, годограф кутбдан чикадиган нур булади.
Агар г векторнинг модули узгаришсиз (|r|=const) колса-ю,
унинг йуналишигина узгарса, у холда маркази кутбда, радиуси
эса |г| га тенг булган сферада ётувчи чизик годограф булади.
Фазодаги хамма чизикни бирор векторнинг годографи дейиш
мумкин.
Годографнинг параметрик тенгламалари ушбу куринишда
ёзилади:
x = x(0, y — y(t), z = z(t),
бу ерда t Узгарувчи параметр дейилади.
5. 1.2. a = a(t) вектор функциянинг t параметр буйича хосиласи
янги вектор функция булиб, ушбу тенглик билан аникланади:
Нт 4“ = lim
Дг->0 А/-*о А‘
a = a(t) = {ax(t), au(t).
Вектор функциянинг хосиласи ушбу формула буйича хисобла-
нади:
da dax~: , day-. , daz —
~dT = ~dTl + ~dF’ + ~di k
Вектор функцияни дифференциаллашнинг асосий коидаларини
келтирамиз (бунда a = a(t), b — b(t))‘
2. ^- = 0 , бу ерда с — узгармас вектор.
3. ^у(аа) = а-^-, бу ерда а — узгармас сон.
4. 4(<₽а) =а-#+<Р-^-> бУ еРда Ф = (₽(/) —1 нинг скаляР
at «г
функцияси.
6- s<“xj> = (#x5)+(“x4)-
7. ~, бу ерда <р = <р(/) —t нинг скаляр функци-
at a>i ai
ЯСИ.
Агар r=r(t) ={х(0, y(t), z(t)} булса, у холда хосила век-
тор булиб, r(Z) вектор функциянинг годографига утказилган уринма
буйлаб t параметрнинг усиши тарафига йуналган булади.
1-мисол. r=(t2— l)i + (t+l)J+t3k вектор функциянинг
/=1 даги бирлик уринма векторини топинг:
Ечиш. г векторнинг годографига уринма бирлик векторни
топамиз:
= 2П+7+3^ .
Бу векторнинг модулини хисоблаймиз:
|^-| = д/4^+1+9/4 .
|-^-| нинг / = 1 даги киймати д/14 га тенг, 47 I г = 27+7+36.
Шундай килиб, изланаётган бирлик вектор бундай ёзилади:
(27 + 7+3^) .
2-мисол. г(^) =7cos/4-/sin/4-£ ва векторлар узаро пер-
пендикуляр векторлар эканлигини к^рсатинг.
Ечиш. Берилган скаляр аргументли функция хосиласини
топамиз: -+ = — zsinZ +/cos/. Энди г(/) ва векторларнинг
_ at dt
г-щ—скаляр купайтмасини хисоблаймиз.
7 • 47 = — cost-sinf + sin/-cos/ = 0 . Демак, 7 ва 47 векторлар
dt di
узаро перпендикуляр экан.
1- дарсхона топсиириги
1. Вектор функцияларнинг хосилаларини топинг:
a) r = sint-i + cos2t-/+sintcost-k',
б) 7= (t+cost)i+ t]+slot-k',
в) r = e7+cos/-7+ (t2 + l)k.
Ж: a) 47 = cos/7—sin2/7+cos2/6;
6) 47 = (1 — sinO7+7+c°s^-^;
в) 47 = eri — sin// + 2/6 .
2. Харакат килаётган_ моддий нуктанинг t вактдаги радиус-
вектори r(t) =a(t — sin/)f4-a( 1 — cost)/ тенглама билан берилган.
/=4 ва t = n лар учун 47 векторини топинг.
Ж: а (7+ 7); 2а^
4
3. г = е27—(/+ 8)~7 вектор функция годографига t = 0 даги
бирлик уринма векторни топинг.
Ж: 0,6 t-0,8 /
1- муста/^ил иш
1. Вектор функциянинг хосиласини топинг:
г = ich2t -4- Jsh/ch Z + £sh2/.
Ж: -^/=sh2Z i + /chZ-j- fesh2Z.
2, Arap r = isht-[-jcht-^k д/ch2/ — 3sh2/ булса, d—- ни топинг.
Ж: О,
3. Агар Л =lt + 7?24-fe/3, Г2==г/2 + /73 + £/ булса, ^^-ни то-
пинг.
Ж: ^р^-=3(/2-2/5)7+(5?-2/)7.
4. г = 2Ь«+/1п/ + ^-t2 вектор функциянинг /=1 даги уринма
векторининг йуналтирувчи косинусларини топинг:
2- §. Скаляр аргументли вектор функция
хосиласининг татбики
5.2. L Кинематикада моддий нукта харакатини урганишда
унинг г радиус-вектори I вактнинг функцияси булиб, r=r(i)
тенглама харакат тенгламаси дейилади, r = r(t) вектор-функция-
нинг годографи харакат йулининг шаклини (траекториясини) аник-
лайди.
Агар t скаляр аргумент вакт деб каралса, у холда — = v —
г вектор охирининг тезлик вектори,
d27
dt2
w эса тезланиш вектори
дейилади.
1-М-ИСол. Моддий нуктанинг харакат тенгламаси г = 2(/ —
— sin/)z + 2(l — соэОГкуринишда берилган. Ихтиёрий вактдаги тез-
лик ва тезланишни топинг.
Ечиш. и тезлик ушбу формула буйича хнсобланади: 4
v = = 2(1 — cos/) I + 2sin/ • / .
Тезланиш эса,
w = = 2sinZ i + 2cos//
5.2. 2. r=x(/)Z+y(07+2(/)^ фазовий эгри чизикнинг to пара-
метра мое келадиган Мо(*о, уо, zo) нуктасидаги уринма тенгламаси
ушбу куринишга эга:
х Xq У Уо
хо Уо 2о
бу ерда xo = x(to), yo=y(to), zo=z(to),
х, у, z— уринма нуктасининг узгарувчи координаталари.
Уриниш нуктасидан утиб, уринмага перпендикуляр булган
текислик нормал текислик дейилади.
Эгри чизикнинг Мо(хо, уо, zo) нуктасидаги нормал текислик
тенгламаси ушбу куринишга эга:
хй(х — хо) +Уо(У~Уо) +z0(z — г0) =0.
2-мисол. Параметр t=-^ та' тенг булганда x = asin*7, у =
= bsintcost, z = ccos2t фазовий эгри чизикка утказилган уринма ва
нормал текисликларнинг тенгламаларини тузинг.
Ечиш. Тегишли косилаларни топамиз:
x = a-sin2/, y = bcos2t, z= —csin2/.
/=-£-нуктада x0=-^, уо=4’го=4 хо=а, уо=О', zo=—c була-
4 Z Z Z
ди, демак, уринманинг тенгламаси:
а 0 —с ’
нормал текислик тенгламаси:
а(х-т)-с(2-.т)=0
ёки
а — с а
ах — cz-z—=0 .
Шундай килиб, уринма Оу укка перпендикуляр, нормал
текислик эса Оу укка параллел экан.
2- дарсхона roniuupuFu
1. Харакатдаги моддий нуктанинг' радиус-вектори r—4tT—3tJ
тенглама билан берилган. Харакат тезлиги ва тезланишини топинг.
ж: Г = ^=47-37; ш = ^=0.
2. Моддий нуктанинг харакат тенгламаси г=3/Г+ (4/ — t2)J
куринишда берилган. Унинг тезлиги ва тезланишини топинг.
Ж: п = ^ = з7+2(2-/)7; ^=^-=-27-
3. r = acos>tT-\-bsintJ харакат тенгламаси берилган. Харакат
тезлиги ва тезланишини топинг.
Ж: v = -^= —asin/-7 + 6cos/-7;
— dv ,-r , . . -г
w = — = — acosti —bsmt-1 .
at 1
4. Берилган нуктадан утувчи уринма ва нормал текислик
тенгламаларини тузинг:
a) x = 4sin2/, i/ = 2sin2/, z = 2cos2/, f = 0 да;
б) х=4/2’ У=4/3’ z = 4< ^ = 2 Да;
в) x = a-ch/, y = a-sht, z=at, / = 0 да.
Ж: а) (уринма),
у = 0 (нормал текислик);
__8
6) , Зх + 6у+ 12г — 70 = 0;
’ 0 11’
y + z = 0.
2- муста^ил иш
1. r = 2cos/'F+s>n/-fe харакат тенгламаси берилган. Харакат
тезлиги ва тезланишини аникланг.
Ж: v= — 2sinM’ + cos/-)?,
w— — 2cos/.£ —sin/-/j.
2. Харакат тенгламаси берилган: г = (2/2 —3)f—3//+(4<2—5)fe.
Харакат тезлиги ва тезланишини аникланг.
Ж: v =
3. Моддий нукта харакатининг r=cos3^-f+sin2Z• / тенгламаси-
ни билган холда, унинг параметрнинг ва / = у кийматлар-
даги тезлик ва тезланиш векторларини топинг.
, Л г, . ** 9? , 3 <3 7
/=— да: V— — 0 8^ 8 1 ’
w = - . 15т -+-Г/;
, л /=— да: у= — 4 ^74 3V2-T 4 1
W = Зд/2т 4 '
4. Эгри чизикка берилган нуктада утказилган уринма ва
нормал текислик тенгламаларини тузинг.
a) x=cos у, y = sin/, z = sin-y, t=n да;
б) x = t, y = l2, z = t3, t=l да.
Ж: a> i-T=V’ ’"°
6) izl = -Sfi- - -£=1, x+2</ + 3z-6 = 0 .
1 z О
6- намунавий %исоб топишрикргари
1. Биринчи тартибли хосилани топинг:
1.1. 1.2. У = д/х2 + 3х — у/ (6х— 1) 2 1.10. 1 11 5 /, । 5 । — 1+х у~х+ Лгг~5 У 1—х X
1.3. 3 /1+х3 1.12. У <1-х2 У=^ Vх2-6
1.4. 1.5. у= Vx+ Vх • У= л/х2+1 4- у/х3+\ . 1.13. П~+^' У- О
1.14. 1/ — .
1.6.
у = хд/1 -j-х- . Д/*3 — х + 1
1.7 1 15 5
У~О у/ЧХ-f-O — У 4
Vx2 + x-H V (2-х2)3
1.8. У = 3 -^45 + 5х4 — у . 1.16. У=у Vx2 + 4 ’
1.9. 1 ..2 1.17. у = 2^/(2-х3)2 .
1.18. У— 1 .
1.19. у- J
д/4х —х2
1.20. у 1 —х
1.21. X и —
д/э-х2
1.22. у- 1 + 12
д/9л + 4 д/^ + Ю
1.23. X и —
У^ — х~
1.24. у= /х2 + 1 \Л2-1
1.25. у = / X — д/х \2
\ Х-j- у/х )
1.26. у = 7(2х-3)(3-х)2
1 27 и — д/2х—1
х-Н '
1.28. у = / X \3
\3 —4х )
1.29. у=
1 30 и — 9
ж.ми. у 6 у х2 — 4х — 5
2. Биринчи тартибли у' хосилани топинг:
2.1. .. . _ 1 + tgx “ 1 — tgx 2.15. y = ^S3x — igx + x.
2.2. 2.3. y = sin32x. y_ei + in2x. 2.16. у = 1пЛ/1±1^-х. V 1 — tgx
2.4. y = tgln д/х . 2.17. p = lnA/l~sinx . V 1 4-cosx
2.5. y = sin д/1 4-х2 2.18. у = 1п(еЛ4- д/1 -|-е2х) .
2.6. у = cosln2x. 2.19. у- 1пх
2.7 l_+sin3x д/х2— 1
V 1— sin3x 2.20. p = tg2 (х3+ 1)
2.8. 2.9. У= д/1 4-ln2x . . 2x4-1 y = xarcsin—. 2.21. У= л/^Зх 1
2.10. 2.22. у = 5 .
у = е xcos3(2x4-3) . 2.23. у =, sin610x4-cos6 Юх.
2.11. у- 1+е“А'
У 1—е~г' 2.24. У= дД£6х+ 1 •
2.12. y = sin23x. 2.25. y = eSinA-coSx . (Sjnx_|_C0SX)
2.13. У= д/1 — 1п3х . sin2—
41пх 2.26. у- 4
2.14. 2Х '
1 — 1пх 1 4-cos — 4
2.27. y = e2x(3sin2x—cos2x). 2.29. y=~j^ • 1 +tf^ .
2.28. y = Ji 4-sin4x — Jl — sin4x~ . 2.30. y =—1.
J ’ v sin'lOx
3. Биринчи тартибли у' хосилани топинг:
3.1. y = arctg^/x — yjx . 3.17. 41ru
1 — ItlJt
3.2. y = x-arcsinx4-д/1 —х2 . 3.18. У = 7?+2‘.
3.3. y = arcctgy. 3.19. у = е~х-Inx .
3.20. X
3.4. у = ЗеоЛс. д/в—х2
3 /— 3.5. у = Inctg у/х . 3.6. y = (esinx—I)2. 3.21. y=4ln2(3ctg5x + 2) . 0
3.22. 1_5 / 10
У— ‘П Д/ 5х 5х
3-7. у-хд/1+х. 3.23. у е —е 11 х+1 у = —In—== .
3.8. y=e‘? . 3 д/х2-2х
3.9. y = e-cos45x. 3.24. у = 1п д/1 4-е2х4-е4х .
3.10. y=x-arctg35x+lntgx. 3.25. y=lnV3tg’i'+4'
3.11. y = ln(x+ д/l +x2)
3.26. у = 1п( V2X+1 - д/2.
3.12. y=x2e-2x. 1 3.27. у= (1 4-lnsin2x)2.
3.13. y=2* . 3.28. у = 1п д/е2х4-е-2х .
3.14. y=x-ln2x. 3.15. y = 3esin2x. 3.29. у = 1п3(1 4-е3).
3.16. y —In . 3.30. y = lnctg(-J—f).
4. Биринчи тартибли у' хосилани топинг:
4.1. у=хх. 4.5. 1 ”Г У = х .
4.2. у = х/. 4.6. у= (1пх)х.
4.3. y = xarcsmx. 4.7. у = 2х^х.
4.4. y=(cosx)cosx. 4.8. х У2 zy=(cosx) .
4.9. y=(sinx)C0SX. 4.20. y = (cos (x+5))arcs,n3x.
4.10. у = (arctg2x)sinx. 4.21. y= (tg3x4)
4.11. y = Xarccosx. 4.22. y=(ln(x + 3))sin
4.12. y = Xtgx. 4.23. у = (arctg2x) sinx.
4.13. y= (ln(5x —4) )arcctgx. 4.24. y=(ln(7x+4))tgx.
4.14. y=(sin(7x+4))arccosx. 4.25. y= (ln(7x-5))arctg2x.
4.15. y= (arcsin2x)ctg(x+l). 4.26. y= (arcsin(2 + x)) in<*+3)
4.16. y= (sin3x)arccosx. 4.27. y= (arccos (x4- 2))tg3x.
4.17. y=( д/Зх + 2)arcctg3x. 4.28. y= (arcsin-5x)'gA/x.
4.18. y — (arccosx) Vcosx. 4.29. y=(ctg(7x + 4))
4.19. y— (ctg2x3) s,n^x. 4.30. y=(ctg3x4) '/x-3.
5. Ошкормас холда куйидаги
функцияларнинг биринчи тартибли
тенгламалар билан берилган
у' хосиласини топинг:
5.1. xsin2y — ycos2x= 10.
5.2. (^-х)2 = х2 + 4.
5.3. x-tgy-x2 + y2 = 4.
5.4. у — х2 —arctgy.
5.5. еху — х2 + у3 —0.
5.6. y = x + xsiny.
5.7. е2у—е~3хI
X
5.8. еу -\-Зх2е~у = 4х.
5.9. ln(x2 + y2)+arctgy=0 .
5.10. xsiny — ycosx=0.
5.11. Зх+у — xyln3 = 15.
5.12. еху-х2 + у2 = 0.
5.13. ysinx + cos(x — у) = cosy.
5.14. cos(x —у) —2х4-4у = 0.
5.15. хеу + уех = ху.
5.16. cosxy = -^.
5.17. ху 4-1пу — 21пх = 0.
5.18. ex+i/ = sin—.
5.19. (х + у)2-(х—2у)3=0.
5.20. ylnx —х1пу = х+у.
5.21. у3 —Зу + 6х = 0.
5.22. д/х + д/у =5у .
5.23. х2 + у3—10х+у = 0.
5.24. х2 = 6у-у3-
5.25. х2 — 2ху + у3=1.
5.26. д/х +д/у=3 + 4-у2.
5.27. у3-Зх3у + 9 = 0.
5.28. ysinx=cosy.
5.29. у4-4х2у + 9 = 0.
5.30. д/^+д/^-^/4.
6. Берилган функциянинг биринчи тартибли у' ва иккинчи
тартибли у" хосилаларини топинг.
6.2. у=-^.
6.3. у=х31пх .
6.4. y = arctg-^j.
6.5. y = lntg(j+y).
6.6. у=хе*‘.
6.7. y = x-arctgx.
6.8. у=х — arctgx.
6.9. у = cosx—kos3x.
и о
6.10. y = arcctgx.
6.11. у—х+[е •
6.12. y = arctgx2.
6.13. y = x2lnx.
6.15. y = lnctg4x.
6.16. y= д/0 -x)2 •
6.17. y = cos2x.
6.18. y—x-ex .
6.19. y = x-e -x.
6.20. y = ln(lnx).
6.21. y= (1 4* x2) arctgx.
6.22. y = e^x.
6.24. y= д/4 —x2 .
6-25- У=7^-
6.26. y= д/l — x2 -arcsinx .
6.27. y=xx-
6.28. у = sin4x + cos4x.
6.29. y = ln(x+ дМ •
6.30. y = e“xsinx.
7. Параметрик куринишда
биринчи тартибли у' ва иккинчи
берилган у функциянинг х буйича
тартибли у” хосилаларини топинг.
х — lncos2t, х = ^3 + Л
7.1. y = sin22t х=1 —е3', 7.5. 3 1
7.2. .У = 1п(/2+1). x = tg/, 1
* (е3^"3') . 7.6.
7.3. 1/ з 1-/ X- /2 , 14-Z 7.7. У — 2. sin t \=In(14-/2), . у = / —arctg/
7.4. II II । — £2. О Д О ел 4^ 7.8. sin/ X 1+sin/’ cos/ 1+sin/’
7.9. см 1 1 ” II 7.20. (x = 3cos2/, ly = 2sin3/. (x = / + Ineos/, (y = Z — Insin/.
7.10. Г е2Ч1' [x=2(Z —sinZ), 7.21.
[ у = 2(1 —cos/). 7.22. (x = 2t — sin2Z,
7.11. rx = /cos/, (y = sin3Z.
.y = /sin/. 1
7.23. x = Z+ysin2Z,
7.12. y = cos3Z.
y = t — sin/. 7.24. (x = t5 + 2t,
7.13. fx = / + sin/ U = /3+8/-l.
(y= 1 —cos/. 1 Q Io
' X = t2, 7.25. x=~t 3+4z2 + /,
7.14. , о [у=4/2+т
7.15. [ x=cos3Z, 7.26. < x = arcsin(Z2— 1)
' y = sin3/. y = arccos2Z.
f • t 7.27. •) X =5 /2 -|- t -|“ 1 }
7.16. x = siny, y=/3+z.
,y = COS/. 7.28. x = ctg/, 1
7.17. ] x = e , У 9/ cos t
у = cos/. 2 — t
x =
7.18. x = tg/ + ctg/, 7.29. 2 + t2
z/ = 21nctgZ. t2
У 2 + t2'
7.19. x = /2+l; i3 7.30. { x — 2cos32Z,
У = е . y = sin32Z.
3- §. Комплекс сонлар ва улар устида амаллар.
Эйлер формулалари
5.3.1. z — x + iy куринишдаги ифода комплекс сон дейилади
оунда х ва у — хакикий сонлар, i эса i2= — 1 тенглик билан
аникланади ва у мав^ум бирлик деб аталади.
х ва у сонлар z комплекс соннинг мос равишда ва
комплекс ^исми дейилади ва x = Rez, y=Imz куринишда белгилана-
ди.
Агар у = 0 булса, z = x— хакикий сон, агар х = 0 булса,
z = iy— соф мавхум сон булади. Шундай килиб, хакикий ва
мавхум сонлар z комплекс соннинг хусусий холидир.
Агар z\ = x\+iy\, ва г2=хг+1уг икки комплекс соннинг
мос равишда хакикий ва мавхум кисмлари тенг булса, яъни
Х\=Х2 ва yi=y2 булса, бу комплекс сонлар тенг дейилади, яъни
21=22-
Мавхум кисмларининг ишораси билангина фарк килувчи
z=x+iy ва z = x — iy комплекс сонлар к,ушма комплекс сонлар
дейилади.
5.3.2. Агар zi=xi + zyi ва Z2 = X2 + iy2 иккита комплекс сон
берилган булса, улар устида алгебраик амаллар куйидагича
бажарилади:
21+22= (Xl+iyi) + (Х2 + 1У2) = (Х1+Х2) +г(у1+У2),
21—22= (Х1 ++1) — (Х2 + +2) = (Х1— Хг) +i(yi— У2),
Z\ • 22= (Xl+zyi) • (Х2 + +2) = (Х1Х2 — у\уг) +
+ l(Xiy2 + X2yi),
Z! _ zrz2 _ (Xj +iZ/j) • (x2 —zy2)
z2— z2-z2 (x2+iy2) (x2—iy2)
, ,. ++—х1Уг
“г 1 2 ‘
x24-z/2
х}х2 + у{у2
x2 + y2
Комплекс сонларни даражага кутариш икки^адни даражага
кутариш каби бажарилади, бунда i сонининг даражалари куйидаги
формулалар буйича аникланади:
i‘=i, i2= —1, i3= — 1, 14=1 ва х- к.
Умуман, i4t=l, 14*+1=1, l4ft+2= — 1, 14*+3=—1.
1-МИ СОЛ. Ушбу 21=3 —1, 22=—2+3l, 23 = 4+31 комплекс
Z|—z2-z3
сонлар берилган булсин. z——?-------ни хисобланг.
4+г3
Е ч и ш. Кетма-кет хисоблаймиз:
22-23= (-2 + 31) (4 + 31) = (-8-9) +1(12 — 6) = - 17 + 61;
21-22-2з=(3-1) -(-17 + 61) = (3+17) +1( — 1 —6) =20 — 71;
z3i = (3—1)3 = 27 — 271+912 —13=(27 — 9) +1( — 27+1) = 18 —261;
Z3 + Z3= (18 — 261) + (4 + 31) = (18 + 4) +1( -26 + 3) =22 — 231.
Шундай килиб,
20 — 7/ (20-7»)(22+23») (440+161)+Z(460 — 154) __
Z~ 22-23» — (22-23») (22+23») “ 222 + 232
601 . . 306
— 1013 “I 1 1013
5.3.3. Х,ар бир z—x-\-iy комп-
лекс сон геометрик жихатдан Оху
координаталар текислигининг (х,
у у) нуктаси ёки ON вектори би-
TV лан тасвирланади. Комплекс сон
-S*Z=X + iy тасвирланадиган Оху текислиги
комплекс текислик дейилади ва
г(z) каби белгиланади. z=x
хакикий сонлар х,ак,икий Цк, деб
——---------------------•- аталувчи Ох ук нукталари билан
тасвирланади. Соф мавхум z=ly
сонлар мавхум ук, деб аталувчи
22- шакл Оу укнинг нукталари билан тас-
вирланади.
z комплекс сонига мос келувчи V нуктанинг холатини г ва
ф кутб координаталари билан хам аниклаш мумкин (22- шакл).
Бунда координаталар бошидан N нуктагача булган масофага тенг
г= | ОА/| сони комплекс соннинг модули дейилади ва |z| билан
белгиланади; ON векторнинг Ох Укининг мусбат йуналиши билан
хосил килган ф бурчак комплекс соннинг аргумента дейилади ва
у Argz деб белгиланади.
Х.ар кандай z = x-}-iy комплекс сон учун куйидаги формула-
лар уринлидир:
Х=ГСО5ф, у = Г51‘Пф,
г= у/х2+у2,tgv=-J,
бунда ф = аг§г нинг бош киймати 0^argz<2n шартни кано-
атлантиради.
2-мисол. z= — д/З-Н комплекс соннинг модули ва аргументи-
ни топинг. ______
Ечиш. х — — д/3, у= 1 булганлиги учун г— у/х2+у2 =2 .
1£ф=-----L тенгламадан ф аргументни топамиз:
Шундай килиб, г = 2, ф=—.
5.3.4. Комплекс соннинг z=x-\-iy куринишдаги ифодаси ком-
плекс соннинг алгебраик шакли дейилади.
Комплекс соннинг z= г(со5ф-Нзтф) куринишдаги ифодаси
унинг тригонометрик шакли дейилади.
Эйлернинг
cosф + <sinф = e‘<,^
формуласидан фойдаланиб, комплекс сон ёзилишининг кУрсаткич-
ли шаклига эга буламиз:
г=ге‘4’.
2- мисолда z= — д/3 +< комплекс соннинг модули г = 2 ва
5л
аргументи <p= — эканини анивдаган эдик.
Шуларни инобатга олсак, бу соннинг тригонометрии ва к^рсат-
кичли шакллари мос равишда куйидагича булади:
_ 5л
z=2(cos-y--|-isin-y-), z — 2e6 '.
5.3.5. Комплекс сонларни купайтириш, булиш, даражага кута-
риш, улардан илдиз чикаришда комплекс сон ёзилишининг
тригонометрик ва курсаткичли шаклларидан фойдаланилади:
Агар
z\ = r\ (coscpi + isincpi),
Z2 = Г2 (cosq)2 -ЬZsin<p2)
булса, ушбу формулалар уринлидир:
Z1 •22 = Г| • r2(cos(<pi +<рг) -ф- ZSIH (ф1 +<₽2) ) = Г\ • Г2в‘^' + <₽2>,
~ = 7L(cos((₽1-(p2)+zsin((pl-(p2))=-^e1 (Ф1-фг) ,
Z2 г2 Г2
zn — rn(cosn.(p-i-ismn<p) = rr,-e‘n'f.
Охирги формула Муавр формуласи дейилади.
Тригонометрик ёки курсаткичли шаклдаги комплекс сондан
п даражали илдиз чикариш учун ушбу формуладан фойдаланила-
ди:
wk= ~\Jz = -у г (coscp-j-tsmcp) = д/г (cos—---F
. , i(4>+2»4|
, . . ц>-|-2п& ni~ ~
+ zsin-*-^— = \Jre "
k га 0, 1, 2, ..., n— 1 кийматлар бериб, илдизнинг n та хар хил
кийматларига эга буламиз (бунда д/г арифметик илдиз).
Илдизнинг барча п та кийматларини тасвирловчи нукта-
ларнинг геометрик талкини маркази кутбда, радиуси д/г булган
айланага ички чизилган мунтазам п бурчакнинг учларини
англатишидан иборатдир.
3- м и с о л. ( — д/з +06 ни хисобланг.
Е ч и ш. 2- мисол ва Муавр формуласидан фойдаланиб куйидаги
ечимга эга буламиз:
z6=26(cos-^-6 + r sin^-6)=26e5” =
= 64(cos5n + t sin5n) = —64.
3 - —
4-мисол. y-1 ни топинг.
Ечиш. z= — 1 сон учун г=1, ф = л. Шу сабабли унинг
тригонометрик шакли куйидагича ёзилади:
г=1 • (cosn +isinn).
п- даражали илдиз чикариш формуласидан фойдаланиб, ушбуга
эга буламиз:
3,-----;—; : л4-2л£ , . . л4-2£л
Wk= -UCOSn + t Sinn = COS ~----|-151П---5--- =
’ □ о
t(«4-2nfe)
= e 3 , бунда k = 0, 1, 2.
k га кетма-кет 0, 1, 2 кийматларни бериб, илдизнинг учала
кийматини топамиз:
л ... л у 1 I • л/З
Ol0 = COSy + «Siny=e3 =у + t+r,
w\ = cosn + t sinn = е'л = — 1,
5ju
5л . . 5л з
w2—cos——H sin—=e
О о
J____;
2 2
5.3.6. Эйлернинг
el<f = coscp + tsincp
формуласи даража курсаткичи комплекс узгарувчидан иборат
курсаткичли функциями тригонометрик функциялар оркали ифода-
лайди. Тригонометрик функциялар coscp ва sincp курсаткичли
функциялар оркали куйидагича ифодаланади:
е‘ф । е-‘ф .
coscp=—, sin<p =-----------.
3- дарсхона топшириги
1. Агар zi = 1 — I, 22 = 3 + 41, 2з= — 1 + 31 булса, z =
г1+3г2
ZlZ2~Z3
нинг кийматини хисобланг.
ж- 227 । 99
274 274
2. ^1=3 — 2/; 22 = 4 + i; 2з = — 2-j-i комплекс сонлар берилган.
2 =
Zj (г2-г3)
гз+г1
ни хисобланг.
3. (г) комплекс текисликда куйида берилган шартларни кано-
атлантирувчи z = x-\-iy нукталар сохасини аникланг:
a) 0<Re32/<2; б) Im(z2)>2;
в) |2 — 3-+-4ZI <3; г) 1<|г—i|2;
д) 2< 121 <3,
0^arg2^y.
4. Куйидаги комплекс сонларни тригонометрик ва курсаткичли
шаклларда ифодаланг:
a) 2i = 3-3i; б) Z2=-l-z; в) 2з=-<; г) 24= -2.
Ж: a) 2,=3V2(cos(—j)+isin(-^))=3V2^r;
Зл f
б) г2= д/2 (cos(—^)+/sin(—^))= д/2е 4 ;
в) 23=cos(—5-)+zsin(—у)=е 2 ;
г) 24=2(cosn+ tsinn) =2<?Л1'.
5. Куйидагиларни хисобланг:
а) л/^Т ; 6) ^// ; в) д/—1л/3/ .
Ж: a) k = Q, oio = cos -^--f-isin -£;
О о
i • JT i • • Л
R=l, wi = cos y+rsin — ;
k = 2, oi2 = cos ——Hsin—r;
о 0
j D 7л ... 7л
R = 3, даз = С05——kisin —;
6 6
, . 3л . . 3л
r=4, oi4 = cos-^—Hsin—;
, r 11л... 11л
k = 5, W5 = cos——Hsin——;
0 0
6) k = 0, дао = с os -y+tsin -у ;
t i 5л j * • 5л
k= 1, w\ — cos -4-zsin —- ;
6 6
> 3л । . 3л
Ze = 2, ^2 = cos ——Hsin — ;
в) k = 0, wo= д/2 (cos-y+t’sin-0;
k=l, w\ = д/2 (cos -y-+*sin y’):
& = 2, W2= д/2 (cos-y+isin
k = 3, w3= д/2 (cos -у-4-rsin -у- у
3- муста^ил иш
1. Arap zi = i—1, z2= — 2 + i, z3 = 3 — 4i б^лса,
г)(г2 + 4)
z= ---------
Z|-Z2
ни топинг.
2. Arap zi = -3 + z, 22 = 4—Л z3=l +3z булса,
Z!+Z2Z3
Z= ----------
z^-z3
ни топинг.
ж- 396 . 812
5101 '5101
3. (z) комплекс текисликда куйидаги шартларни каноатланти-
рувчи z = % + zy нукталар сохасини аникланг:
a) Rey>l; б) Im(2iz)>3;
в) 3< |Z-+-1 — 2/1 <4; г) ^-<argz<n,
3< |z| <4.
4. Комплекс сонларни тригонометрии ва курсаткичли шаклда
ифодаланг:
а) 21=-гт-: б) г2= —д/3—г;
1 -j-г
в) z3=— 4; г) z4— i•+ л/3г' •
Ж: а) 21= д/2 (cos(-T)+z’sin(-l))V2e
5л
б) г2=2 (cos-^+isin ^)=2е~‘;
в) z3=4 (cosn+ zsinn) =4 еЛ£;
О д
г) z4 = 2 (cos 4+isin 4>2е3 .
5. Куйидагиларни хисобланг:
а) "\/^ б) > в) л/— 1 •
Ж: а) /г = 0, oy0 = cos y+isin ’
, , 5л . . • 5л
k=l, Wi=cos——Hsin — ;
б) k = 0, &yo = cosO°+zsinO°;
R=l, ay, = cos —+zsin — ;
k = 2, ^2=cos y+zsin у ;
k = 3, az3=cos 4^+zsin-4-;
k = 4, a>4=cosn + zsinn;
k = b, &y5=cos-4-+*sin-4~;
0 4 4
t, /? _ Зл I • 3л
я = 6, ay6==cosy—Hsin — ;
/ <7 7л > > 7л
к = 7, azi7=cos——Hsin — ;
' 4 4 ’
в) й = 0, oi0=cos 4+isin 4 ;
4 4
/г = 1, ai!=cos 4r+isin 4" ;
4 1 4
k = 2, azi2=cos 4-+isin — ;
4 1 4
k = 3, ^3 = cos-y-+zsin;
6- б о б
бир Узгарувчи функциясининг
ИНТЕГРАЛ Х.ИСОБИ
1-§. Аникмас интеграл ва интеграллашнинг
содда усуллари
6.1.1. Бирор ораликда аникланган f(x) функция учун бу
ораликнинг хамма кийматларида
F'(x) = f(x) ёки dF(x) =f(x)dx
шарт бажарилса, у холда F(х) функция /(х) нинг бошлангич
функцияси дейилади.
Агар f(x) функция F(x) бошлангич функцияга эга булса,
у холда /•'(х)-(-С f(x) нинг хамма бошлангич функциялари
туплами булади, бунда С — ихтиёрий узгармас. Шунга кура
берилган f(x) функциянинг хар кандай иккита бошлангич функция-
си бир-биридан ихтиёрий узгармасга фарк килади.
f(x) (ёки f(x)dx ифода)дан олинган аникмас интеграл деб, бу
функциянинг барча F(x)-\-C бошлангич функциялари туплами-
га айтилади ва бундай белгиланади: \f (x)dx = F(x) -{-С-
Аникмас интегрални топиш жараёни интеграллаш дейилади.
6.1.2. Аникмас интегралнинг асосий хоссалари (интеграллаш
коидалари):
a) (\f(x)dx)'=f(x)-,
б) d(\f(x)dx)=f(x)dx;
в) \dF(x) =F(x) +С;
г) \kf(x)dx = k\f(x)dx (k — Узгармас);
д) $ (И*) ±cp(x))dx=U(x)dx± Jcp(x)dx;
е) агар \f(x)dx = F(x) -j-C ва ц = ф(х) хар кандай диффе-
ренциалланувчи функция булса, у холда:
\f(u) du = F(u) +С.
6.1.3. Аникмас интеграллар жадвали:
1. \du = u + C.
2. U'M« = ^^4-€ra#=-l.
3. J^.= in|u|+c.
4- Й=2^+С‘
5. \audu — -^-+C.
6. \eudu — eu-\-C-
7. jsinudu=—cosu + C.
8. j cosudu==sinu + C.
Э. f_^_=tg« + C.
J cos^u
Ш. f_^_=_ctgu + c
11. $ tgudu= — ln|cosu| 4-C.
12. $ctgudu = ln|sinu|+C.
13. (-^-=ln ltg-^1 +C=ln M----ctgu|+C.
14. L^- = |n |tg(4+4)| +C = ln I—!-|-tgu I +c.
J cosu I \4 2 / I 1 I cosu b I
15. 2 = —arc ctg—+ C=—-arcctg-4-С.
J a2 + u2 a a a ba 1
16. ' ln|-^|+C.
J a2 — u2 2a 1 a~u '
17. —4“ =arc sin—+C= — arc cos—4-C.
J ^a2-u2 a _____
18- — In I a+ ~\/ц2—g2l ~I~C-
J \u2±a2
Интеграллаш натижасининг туррилиги топилган бошлангич
функцияни дифференциаллаш билан текширилади. Келтирилган
жадвалда и эркли узгарувчини, шунингдек, дифференциалланувчи
функцияни ифодалайди.
6.1.4. Интеграллашнинг куйидаги содда усулларини келтира-
миз:
а) интеграл остидаги функцияни содда функциялар йигиндисига
ёйиш ва интегралларнинг хоссаларидан фойдаланиш усули;
б) дифференциал белгиси остига киритиш усули. Масалан:
dx=yd (kx-j-a), агар a, k — узгармас булса;
xdx=-^d(x2), cosxdx = d (sinx),
(Inx), -^=d (tgx), -^4 =
x cos^x 1
= d (arc tgx) ва x. к.
Г 1 4-
1- м и с ол. \—----— dx аникмас интегрални топинг.
J х2 (1 + х2)
Ечиш. Интеграл остидаги функцияни шаклан алмаштириб,
аникмас интегралнинг д) хоссасидан фойдалансак:
г 1 +2х2
J х2(1+х2)
dx =
(1+х2)+х2
х2(1+х2)
dx=
1 -j-X X
х2(Ц-х2) + х2(1+х2)
1
)г dx г dx 1 , , , „
dx= т= --+arc tgx + C.
J X J 1 4- X х
2- м и с ол. ^4cos2ydx аникмас интегрални топинг.
Ечиш. Интеграл остидаги функцияни даражани пасайтириш
формуласидан фойдаланиб алмаштирамиз:
2cos2y= 1 4-cosx.
Сунгра аникмас интегралнинг г) ва д) хоссаларидан фойда-
лансак,
S2 X f Г
4cos ~2 dx = j 2(1+ cosx) dx = 2 j (1 + cosx) dx =
= 2^dx + 2^cosx dx=2x-|-2sinx-(-C.
3- м и с ол. Аникмас интегрални топинг:
\y-e3xdx.
Ечиш. ( y-e3xdx = \(3-e3)xdx=-^^-+C.
J J In (Зе3)
4- м и с ол. Аникмас интегрални топинг:
Г dx
J V(3x-5) ’
Ечиш. Дифференциал остига киритиш усулини куллаймиз.
Бунниг учун ц'х—Цд(3х —5) деб олиб, жадвалдаги (4) интеграл-
дяе фсйдаланамиз:
+С.
Ь- м и с эл. у.л.лкмас интегрални топинг:
f х— arc sinx ,
Ечиш. Ейиш ва дифференциал белгиси остига киритиш
усулларидан биргаликда фойдаланамиз:
f X—arc sinx f xdx [ arcsinx v____________
j_ c
2 J
dQ-x2)
д/ 1 —x2
arc sinxd(arc sinx) =
= — д/l —x2 —arc sin2x + C.
6-мисол. Аникмас интегрални топинг:
Ечиш.
Зх2 —4x
х3-2х2 + 4
dx.
[ Зх2 —4х
J х3-2х2 + 4 dX =
d (х3 — 2х2 + 4)
“-2x4 4
= 1п|х3 —2х2 + 4| 4-С.
1- дарсхона топшириги
Аникмас интегралларни топинг, интеграллаш натижаларини
дифференциаллаш билан текширинг:
1. 2. j Ах5—2 д/х2 +- 5 (tgx + ctgx)2dx. 3 д/х3 _5_' xe \dx. S. Э. j OX —£= dx. Д/9-9*
v.re le>-, dx l+x2
3. f cos2x , \ 2 • 2 dX- J COS X* sin X 10. r • 2 Г sin^x , \ T- dx. J cos*x
4. 121+4^. j xfi+x2) 11. C dx
J (x-2)2 + 4 '
[ dx 12. f dx
5. * x^ 6x -j-13 Г dx
J (3x —4)5 ' 13.
6. ^tg4xdx. д/з + 6x — 9x2
7. г J l+x3 ' 14. 15. j cos3xdx. j sin2xdx.
1-мустак,ил иш
Аникмас интегралларни топинг, интеграллаш натижаларини
дифференциаллаш билан текширинг:
1. ( dx 2. (* sin3x \ dx.
1 (x+1) ^ln(x+l) J cos 3x
3. 1 J sin 7x 4. C arc sin25x , \— dx. J Д/l—25x2
5. ’ j e4~5x2xdx. 6. \^+L.dx. J д/2х2- 1
7. 1 [ sin2x 8. C e3xdx
J 1 +3cos2x ’ J 4-e6x ‘
9. 1 \ sin2 (2x — 1) dx. 10. J tg4^dx.
11. sin3xcosxdx. 12. Г dx
J 4x2 —5x + 4
2- §. Аникмас интегралда узгарувчини алмаштириш.
Булаклаб интеграллаш
6.2.1. Аникмас интегралда узгарувчини алмаштириш куйида-
гича амалга оширилади:
а) х = ф (t), бунда ср (/) — янги узгарувчи I нинг дифференциал-
ланувчи функцияси булсин. Бу холда узгарувчини алмаштириш
формуласи ушбу куринишга эга:
Jf(x)dx = J/(<p(O)<p'(O^;
б) W(x)=t, бунда t— янги узгарувчи. Бу холда узгарувчини
алмаштириш формуласи ушбу куринишга эга:
^(ф(х))ф'(х)</х=^(/) dt.
Иккала холда хам интеграллашдан кейин узгарувчи х га
кайтиш керак. ________
1-м и сол. д/а2—x2dx аникмас интегрални топинг.
Е ч и ш. x = asini десак, dx = acostdt булади ва аникмас
интеграл ушбу куринишни олади:
д/a2—x2dx= д/а2—a2sin2/ -acostdt =
= д/а2-cos2/ -acostdt = a2 d/ =
=~ dt-\--~ cos 2tdt=^-t-\-^- cos2/a!/ =
£ J Lt d £ I £ J
= + Jcos2/d(2/) = ^+4sin2/ + C-
Энди
/ = arcsin— ва sin2/ = 2sin/cos/ =
a
2sin/ д/1 — sin2/ = 2- —
v a
тенгликлардан фойдаланиб эски узгарувчи х га кайтамиз:
_____ 2 2 /2
Г / 2 2 » а - х . а п х L х , п
\ д/а — х2dx=— arc sin—F—-2.- — /1--j- 4-C =
J v 2 а 1 4 а у a2
2 _____
а . x . x I 9 9 i
==—arc sin—-by д/а2—x2 -f-С.
2- м и с ол. Аникмас интегрални топинг:
Г д/^ + а2 j
\ 2 ~ dX
j X
Е чи ш. x = atg/ деб белгиласак, dx=—а^- булади. Буни х,исоб-
cos i
га олиб аникмас интегрални топамиз:
д/х2 4-а2 , ____ Г yja2\^t->f-a2 _ adt
х2 J a2tg2Z cos2Z
= ( --------------------------------------
J sin t J sin /• cos/
cos2/+ sin2/
sin2/-cos/
cos/ 1 C dt
+ J
3- м и с ол. Аникмас интегрални топинг:
dx
xij2x—9'
Ечиш. Илдиз остидаги ифодани t2 билан белгиласак,
dx
*V2x—9
2х — 9 = t2; /=д/2х —9;
х=у(/2+9); dx=tdt
tdt
у (t2 + 9)-t
2 i
загс tgy+C =
2 , V2x-9
=yarc
4- м и с ол. Аникмас интегрални топинг:
Г_______dx_______
J (x+l)V?+x-l'
E
, 1 t-
ч и ш. t= - янги узгарувчини киритамиз:
—+1
= arc cos 4- C=arc cos — t_L-1_ c =
y5
• = arc cos —^+3-l-C.
-g V3(x+1)^
6.2.2. Булаклаб интеграллаш усули
\udv = uv — \vdu
формулага асосланади, бунда и ва v —х нинг интегралланувчи
функциялари.
Бу усул хар хил синфдаги функциялар купайтмаларини
интеграллашда фойдаланилади:
\Рп (x)eaxdx, \Рп (x)cosaxdx, \Рп (x)sinaxdx,
\Рп (х) arc tgx dx, \Рп (х)агс sinxdx,
$РП (x)cosx dx, \Рп (х) Inxdx.
Дастлабки учта интегралда и учун Рп(х) купхад кабул
килинади, охирги туртта интегралда эса и учун arctgx, arc sinx,
arc cosx, 1пх кабул килинади.
Баъзи холларда булаклаб интеграллаш формуласини бир неча
марта куллаш зарур булади. .
5- м и с о л. \xe~5xdx ни топинг.
Ечиш. и=х ва dv = e~5xdx деб оламиз, у холда
и = х, du = dx,
dv=e~ixdx, v =
v ни топишда интеграллаш доимийсини хар доим нолга тенг деб
хисоблаш мумкин.
6- м и с ол. j arc tg xdx ни топинг.
Ечиш. u = arc tgx деб оламиз, у холда
аге tgxdx =
и = аге tgx, du=——7,
I 4-х2
dv=dx, v= \ dx—x
= х-агс tgx —
xdx
14-х2
, 1
x-arc tgx —у
d(14-x2)
1 4-х2
= x- arctgx—^-ln| 1 —f— x2| -f-C.
7-мисол. 5(x2 + l)cosxdx интегрални топинг.
Ечиш. Бу мисолда булаклаб интеграллаш формуласини икки
марта куллашга т$три келади.
(х24~ l)cosxdx =
u = x2-|- 1, du~2xdx-,
dv = cosxdx, v = sinx
= (x24-l)sinx — 2( — x-cosx-f-^cosxdx) =
= (x2+ 1) sinx4-2xcosx — 2sinx4-C =
=2xcosx-|- (x2 — 1) sinx-f-C-
8-мисол. Аникмас интегрални хисобланг:
J e“xcospxdx.
Ечиш. Бу интегрални икки марта булаклаб интеграллаймиз.
eaJCcospxdx =
и = еах, du = aeaxdx'
dv = cos(ixdx, v = 4-sinpx
p
= ^-e“x-sinBx — 4- eaxsinfJxdx =
p p J
u = eax, du = a-eaxdx
dv = sin$xdx, v= —^cospx
= 4e“.sinpx-|(-
р р \
yeaxcospx + y $ e“xcospxdx)=
Бунда
еах а2 Г
= (psinpx + acospx) —— j e“xcospxdx.
/= j e“xcospxdx
деб ушбу тенгликка эга буламиз:
еах га2
/ = -^-(0sinpx-|-acospx) —
Бу тенгламани / га нисбатан ечсак,
/= $e“xcospxdx = —— (psinpx + acospx) 4-С.
1.
2.
3.
4.
5.
2- дарсхона топшириги
Аникмас интегралларни топинг:
S - з" Ж: -|(х+1)^-3(х+1)^+31п|1+^+Т|
1+ух+1 z v
S Ж: х+4*|+4-'|+2^+з^+
+ 6xT+61n Qx-1 | +C.
. Ж: -C-З/^+i.
J ?V;(2+4 4x
f V1-^z/y W. r л/1-х2
\ -z—ax. c --------arc sinx.
J ic x
• 6. jx*arctgxa!x
у Г xdx
' sin2x
Ж: ^±Larctgx-y+C.
Ж: C—x-ctgx + ln|sinx|.
8. arc sinxdx Ж: xarcsinx-|- д/l —-x2 -f- C.
9. С л j X Ж: C—(1п3х4-31п2х4-61пх4-6).
10. x2sinxdx. Ж: C —_x3cosx-|-3x2sinx + 6xcosx — 6sinx. ?
11. sin Inxdx Ж: у (sin Inx —cos Inx)+C.
12. j "\/4+x2dx. Ж: у V4+x2 +2 lnl*+ V4 + *21 +c- 2- мустацил utu
Аникмас интегралларни топинг:
1. i х д/х— 1 dx. Ж: |(x-l)2 + |(x-l)2+C.
2. < dx
1 а/х + ^x Ж. 2 д/х 4 д/х -|-4 In 11 —j— д/х | Ж C.
3. j 4> ( ! х2д/4 — x2dx. dx Ж: y(x2—2) д/4 — x2+2arcsiny+C.
(x+1) Vx2+2x- , Ж: C -In 1 3 -4- -a / 9 ll 1
HO 3ln |x+l 1 Д/(х+1)2 1 1 |-
5. J ln(x2-|- \)dx. Ж: x ln(x2+ 1) — 2x-|-2arctgx4-C.
6. J XCOSX J -,-dx. Ж’ C 1 ( X _|_cto-r\
/к- Ь 1 | CIgX 1.
sinJx z \ sin X /
7. e 2-x2dx. Ж: C-2e“T(x2+4x+8).
8. ( cos Inxdx. Ж: ~ (eos lnx-|-sin Inx) +C.
3- §. Каср-рационал функцияни энг содда касрларга ёйиш.
Рационал функцияларни интеграллаш
6.3.1. Иккита купхаднинг нисбатига тенг
Р(х\ — Qm^
’ Р„М
функция каср-рационал функция ёки рационал каср дейилади, бун-
да ди ва и Qm (х) ва Рп (х) купхадларнинг даража курсаткичлари
булиб, улар натурал сонлардир. т<.п да /?(х) каср-рационал
функция тусри каср, т^п да эса нотЦкри каср дейилади.
Куйидаги тугри касрлар энг содда касрлар дейилади:
x —a ’
л
II. бунда k^2 — бутун сон.
(X—a)
III. Ах+В—, бунда D=p2 — 4</<0.
x~+px + q
IV. - Ах+В— , бунда s^2—бутун сон, D = p2 — 4<?<0.
(хг+рх + дУ ‘
Юкоридаги касрларда А, В, р, q, a — хакикий сонлар.
6.3.2. Хар кандай хакикий коэффициентли n-даражали Рп(х)
купхад хакикий сонлар тупламида ушбу куринишда тасвирла-
ниши мумкин:
Рп (х) =а0(х — а,)*1- ... -(х—ap)A'’(x2+p1x4-^1)S1- ... •
• (x2+ptx+qi)S‘,
бунда ai, агap Рп(х) купхаднинг мос равишда ki ,..., kp каррали
хакикий илдизлари, хамма квадрат учхадлар учун.дискриминант
Di<ZO (х = 1,/); feiИ-2si-f-...-|-2$/=м; ki,...,kp, si,..., si
натурал сонлар; a0— Pn(x) купхадда x" олдидаги коэффициент.
Агар/?(х)= ~p~p\ тугри рационал касрнинг махражи Рп (х)
юкорида курсатилгандек ифодаланган булса, у холда бундай
касрни I — IV куринишдаги энг содда рационал касрлар йириндиси-
га ёйиш мумкин. Бу ёйилмада Рп (х) купхаднинг хар бир k каррали
а илдизига, яъни (х —а)* куринишдаги купайтувчига, ушбу k та
касрлар йигиндиси мос келади:
л —a
Рп (х) купхаднинг s каррали комплекс кушма илдизининг хар
бир жуфтига, яъни (х2рх<7)s куринишдаги купайтувчига ушбу
s та касрдан иборат йиринди мос келади:
+ Af2x + ^2 , . Msx + Ns
x2 + px+q (x2 + px + q)2 (x? + px+q)s
Ейилмадаги At-, Nt, Mi коэффициентларни топишда хусусий
кийматлар усули ёки номаълум коэффициентлар усулидан фойда-
ланилади. Баъзан бу икки усул биргаликда кулланилади.
R(x) =
Qm(x)
PnW
рационал каср потери каср булган холда бутун
кисмини ажратиб, сунгра тугри каср кисми юкоридаги каби энг
содда касрларга ёйилади.
1- м и с ол. Ушбу
/?(х) =
15Х2 —4х —81
(х-3) (х+4) (х—1)
рационал касрни энг содда касрларнинг йигиндисига ёйинг.
Ечиш. Берилган R(x) рационал каср тугри каср. Махражининг
хамма илдизлари (3, —4, 1) бир каррали (оддий) ва хакикий,
шунинг учун
' R(x} = 15х2-4х-81
V 1 (х-3) (х + 4) (х-1)
ЛВС
(х-3) + (х + 4) + (х-1)
бунда А, В, С — аникланиши керак булган коэффициентлар.
Тенгликнинг 'унг кисмини умумий махражга келтириб, иккала
кисмининг хам махражларини ташлаб юборсак:
15х2 — 4х — 81 = А (х + 4) (х —1) +
+ В(х-3) (х-1)+С(х-3) (х + 4).
а) Хусусий цийматлар усулининг мазмуни шундаки, унда хосил
булган айниятга х нинг хар хил (одатда махражнинг хакикий
илдизлари) кийматлари куйилади. Каралаётган мисолда бу
куйидагича амалга оширилади:
х = 3
х= —4
— х= 1
42=144,
175=355,
70=-ЮС.
Хосил килинган тенгламалар системасидан А =3, 5 = 5, С = 7.
Шундай килиб,
/?(х) _= 15х2 —4х—81
1 ' (х-3) (х + 4) (х-1)
х — 3 ' х+4 ~ х—1
б) Номаълум коэффициентлар усулининг мохияти шундаки,
унда хосил булган айниятда х нинг унгдаги ва чапдаги бир хил
даражалари олдидаги коэффициентларни тенглаб, А, В, С коэффи-
циентларни топиш учун тенгламалар системаси тузилади, яъни:
х2:
х:
Л
15=Л + 5 + С,
-4 = ЗД-45 + С,
-81 = -4Л+35-125.
Хосил булган тенгламалар
С = 7 эканини топамиз.
2-ми сол. Ушбу рационал
ёйинг:
системасини ечиб, +=3, 5 = 5,
касрни содда касрлар йигиндисига
R(x) =
-X
(Х-1) (х+1)2’
Ечи-ш. Тугри рационал касрни куйидагича ёямиз:
р (х\ ______f____ _ । & I с
W (х_1)(х+|)2 х-1^х+1^ (х+1)2-
Бундам
x = 4(x-f~l)^H_S(x — 1) (х 1) + С(х — 1).
Коэффициентларни топиш учун юкорида баён килинган иккала
усулдан хам биргаликда фойдаланамиз:
х=1
х= -1
х2да
1=44,
—1 = —2С,
0 = 4 + 5.
Системани ечсак, А =4-, В = —г> С = 4-.
4 4 2
Демак,
(х_1)(х+1)2— 4(х-1) 4(х— 1) + 2(х+1)2 '
3- м и с ол. Куйидаги рационал касрни содда касрларга ёйинг:
Р/У\— х4+4х3+11х2+12х + 8
(х24-2х-|-3)2(х4-1)
Ечиш. Рационал каср тугри касрдир, уни энг содда касрларга
ёямиз:
„ x44-4xj4- 1 1х24- 12x4-8 А Вх + С .
Х ~ (х24-2х-|-3)2(х4-1) х4-1 "х24-2х4-3 "Г
• Рх + Е
Ф (х24-2х4-3)2’
Ушбу
х4 + 4х3+Пх2+12х + 8=Д(х2 + 2х + 3)2 +
+ (Вх + С) (х+ 1) (х2+2х + 3) + (Dx + E) (х+1).
тенгликдан фойдаланиб номаълум коэффициентларни топиш учун
тенгламалар системасини тузамиз:
х= — 1 X4 да х3 да х2 да х да 4 = 4/1, 1=Д + Д 4 = 4Д + 2В + С, 11 = ЮД+ЗВ-|-ЗС + О 12=124 4-B + 5C + D + 5.
Тенгламалар системасини ечсак,
Д = 1, Д = 0, С = 0, 0=1, £=-1.
Демак,
. , х4Ч~4х3+ilx2+12x4-8 _ 1 . х-1
Х — (х2 + 2х + 3)2(х+ 1) *+1 ' (х2 + 2х + 3)2 '
6.3.3. Тугри рационал касрларни интеграллаш энг содда каср-
ларни интеграллашга келтирилади.
I. f Adx =Д1п|х —а| +С.
J х —а
II.
Adx____________А_______- . р
(х — а)к (1— k) (х— а)*-1
Ш. 4_d£±^_dx = ^ln|x2+px + <7l +
J х +px+q 2
a2=q — /==х-|-у белгилашлар киритиб, иккинчи интеграл
S ' (t2 + a2)s
куринишга келтирилади ва у куйидаги рекуррент
формула ёрдамида топилади:.
2(s- l)a2(l2 + a2)s~‘
2s —3
2 (s — 1 )<22
__]
—-------dx.
x2 + 4x + 8
Ечиш.
Г Зх-l fy(2x-4)+6-l
5 x2_4x+8dX= 5 x2—4x4-8 — dX~
_3 f 2x —4 f dx ______
~ 2 J x2-4x4-8dX + 5 J x2 —4x-f-8 ~
=- In lx2—4X_f_8| +5$ (x_2)2+22 =
4ln|x-4x + 8l+4arc tg^-+C.
5-м ис ол. Интегрални топинг:
f___Зх + 2__ dx
J (л^+гх+ю)2
Г Зх+2 Г |(2х+2)-3+2
Е ч и ш, \ —-—±------?dx = \ ---з-------dx=
J (л^+гх+ю)2 J (л^+гх+ю)2
= А ( (2x+2)rfx _ С dx __3 С сЦл^+гх+Ю)
_ 2J (х2+2х+10)2 ' (х24-2х+ 10)2 2' (л^ + гх + Ю)2
_ f d(*+l) = _ 3 1 !
' {(*+1)2+32]2 2 х24-2х+10 ?
Бунда /,= \—, s=2, и — х+\ ва а2 = 9 деб белгилаб,
J [(х+ 1)2+з2]2
юкоридаги рекуррент формуладан фойдаланамиз:
Узгарувчи х га кайтсак,
i / х+1
2” 18^ (х+1)2+9
+ 4arctgJLrL) =
1
18
х+1
х2 + 2х+10
+ ±arctg-^-).
Шундай килиб,
(Зх + 2)Дх __________3____________х+1
(л^+гх+Ю)2 ~ 2(х2 + 2х+10) ^(л^+гх+Ю)
—t arctg2L3^ + с-
6.3,4.
QnM
PnW
рационал касрни интегралдашдан олдин куйидаги
алгебраик алмаштиришлар ва хисоблашлар бажарилади:
а) берилган каср тугри каср эканини текшириш; агар каср
нот^гри булса, у холда унинг бутун кисмини ажратиш, яъни
QmM
PnW
= q(x) +
г(х)
РпМ
шаклга келтириш, бунда q(x) —купхад, эса т^рри рационал
гл (X)
каср;
б) касрнинг махражи Ря(х) ни (х — а)к ва (x2 + px-\-q)s кури-
нишдаги чизикли ва квадрат купайтувчиларга ажратиш
(р2 — 4<?<0);
в) турри рационал касрни энг содда касрлар йигиндисига ёйиш;
г) ёйилманинг' коэффициентларини хисоблаш.
6- м и с ол. Интегрални топинг:
С х5+1 ,
\—— ------dx .
J X4—Sr+16
Е ч и ш. Берилган рационал каср нотурри каср булганлиги учун
унинг бутун кисмини ажратамиз:
х5+ 1 |
х5—8х3-|-16х
8х3 — 16х + 1
Демак,
Х5+1 _ 8х3—16x4-1 __
. х4-8х24-16 ~Х' х4-8х24-16
— х I 8х3—16х-|-1
+ (х-2)2(х-|-2)2 '
Тугри касрни'энг содда касрлар йигиндисига ёямиз:
8х3—16x4-1 __ Л . В С Р
(х-2)2(х4-2)2 — х-2 + (х-2)2 + х4-2 + (х-}-2)2 ’
Махражлардан кутулсак,
8х3-16х-Е1=Л(х + 2)2(х—2)+В(х + 2)2 +
+ С(х-2)2(х + 2)+Д(х-2)2.
Номаълум коэффициентларни топиш учун тенгламалар системаси-
1
ни тузамиз:
х = 2
х= —2
х3 да
х2да
33 = 16 В,
-31 = 16D,
8=Д + С
0 = 2Д + В-2С + О.
Бу системани ечиб, коэффициентларни топамиз:
. 127 д 33 г 129 п 31
Л=^Г> в=1б’ С = ^г- D=~16-
Демак,
/ 127 33 129
(х5 + 1)^х _ Г | 32 . 16 , 32
х4-8х2+ 16 ~ J \ "Г *-2 Ф (х-2)2 + х + 2
31
16
(х + 2)2
+ -^1п|х+2|+-7^+С.
I, х2 , 127., о, 33
dX~ 2 + 32 21 16 (х-2)
3- дарсхона топшириеи.
Берилган аникмас интегралларни топинг:
1. f x4 —3x2 —3x —2 , 1 3 2 о dx- Ж: -^±12i+41n—ц! +c.
J x4 —X —2x 2 3 (x —2)2(x4-1)
2. f 2X2—3x4-3 . ; 5 ax. Ж: C 2- + |n-^-.
J xj-2x24-x X— 1 1 |x— l|
A C x34-l . \i Ж: C
J x(x-l)3 (x-1)2 |x|
v4- C xdx Ж- C4- ‘lnx2-Jc+l 4- ^эг,-Ггт 2x~ 1
' x34-l ’ L+6*n (x+1)2 1 3 aFCtg •
5-! (x-H)dx Ж. c+ -arctg + arctg(x + 2) Oy 1 -y / О
* (x24-x-f-2) (x24-4x4-5) ’
в. dx Ж: C+±ln-g±!)2 + 2 x24-x4-1
(x4-1)(x24-x4-1)2 ’
_|___*+2 _|__2х+ 1
+ з(х2+х+1) + 3V3arctg~vT
3- муста^ил иш
Аникмас интегралларни топинг:
1. L5/.±^~225-j. dx. Ж: 5x-f-lnx2(x-|-2)4|x —2|3-|-С.
„ f dx w. Эх2 4-50x4-68 ,
J (x4-D(x4-2)2(x4-3)3 4(x4-2) (x4-3)2
(x4-D(x4-2)16 + c
0 (x4-3)17
3. J— ^4-- . Ж: C !- arctg(x —2)
(x2 —4x-|-4) (x2 —4x4-5) x~
dx
(l+x) (l+x2) (l+x3)
x3 + 3 ,
-------'----- dx
(x+1) (x2+l)
Ж: C-------I—Lin -LL+*)2 .
6(l+x) + 6ln )_x+x2 +
+Tarct^-^3a^g^-.
Ж-. —+-2 - +2arctgx4- In Vx+1.. + C.
2(x2+l)
g г (x+ 1)4Дх
' J (x2 + 2x + 2)3 ’
Ж: -j-aretg(x-f-l)
5x3+15x2+ 18x + 8
8(x2 + 2x + 2)2
4-§. \ /?(sinx, cosx)dx куринишдаги интеграллар
(sinx, cosx)dx куринишидаги интеграллар (/? — sinx ва cosx
га нисбатан рационал функция) tg-y=/ алмаштириш ёрдамида
рационал функцияларнинг интегралларига (3-§) келтирилади.
Чунки,
2tg—
s 2 2t
sinx =--------=-------5-;
l+tg2y l+t
cosx =
l-tg2-f
1 + tgy
I—/2 .
l+z2 ’
x = 2arctg/; dx=-^-—^-.
Бундай алмаштириш куп холларда мураккаб хисоблашларга
олиб келади. Шу сабабли баъзи хусусий холларда курсатилган
хилдаги интегралларни топишда куйидаги содда урнига куйиш-
лардан фойдаланилади:
а) агар 7?(sihx, cosx) ифода sinx га нисбатан ток функция, яъни
/?( — sinx, cosx) = — R(sinx, cosx)
б(<лса, у холда cosx=+ урнига куйиш бу функцияни рацио-
наллаштиради;
б) агар sinx, cosx) ифода cosx га нисбатан ток функция, яъни
/?(sinx, — cosx) = —/?(sinx, cosx)
б^лса, у холда интеграл sinx=/ урнига к^йиш билан рационал
функцияларни интеграллашга келтирилади;
в) агар /?(sinx, cosx) ифода sinx ва cosx га нисбатан жуфт
функция, яъни
/?( —sinx. — eo^.v) —/?(sinx, cosx)
14—665 ол <1
булса, у холда бу функция tgx = £ урнига куйиш билан рацио-
наллаштирилади. Бу холда
COS2X = l+tg2x 1+/2
2 tg2x t2
sin x =
I l+t2
x=arctg/; dx=-----
г) агар 7?(tgx) булса, у холда интеграл остидаги ифода яна
tgx = Z урнига куйиш билан рационаллаштирилади.
1-м и с ол. Интегрални топинг:
С dx
j 4sinx4-3cosx4-5
Ечиш. tgy=/ урнига куйишдан
топамиз:
фойдаланиб, интегрални
dx
4sinx + 3cosx + 5
, 2dt
dx =----------
1 I
2t
sinx=----?
1-t2
cosx=------»
1 _1_
2dt
4-
2t
1+/2
dt
—!------------__9 \------------_
,, J 2Z2 + 8/ + 8
+ 3-----z-+5
1 _L Д
d£
I Л/
f dt _ 1 I f ___1
- J (/ + 2)2 Z + 2+C-C x
2- м и с ол. Интегрални топинг:
(sinx-|-sin3x) ,
cos2x aX'
Ечиш. Интеграл остидаги функция sinx га нисбатан ток
функция, шунинг учун cosx = Z урнига куйишдан фойдаланамиз:
sinx 4-sin3x
cos2x
(1 +sin2x)sinx
cos2x
(cosx = t; sin2x=l— t2,
dx=(sinxdx= — dt-, cos2x = 2/2—1
(2 — t2)(-dt) _ f J2^^ С (2/2—4)Ш
2t2— 1 ' 2/2—1 2 ' -2t2 — 1
If/] з \ _____t__3 r dt
Щ 2/2-J 2 2]2/2_Г
-^ln I -3^-1
4 д/2 ' a/2 г+ 1
| +C=yCOSX
3 ] I V2C0SX—1
4 д/2 П I у/2 cosx4- 1
3- мисол . Интегрални топинг:
f cos3x + cos5x .
1.2 -4 ЫХ.
J sin x+sin X
Ечиш. Интеграл остидаги функция cosx га нисбатан ток
функция, шу сабабли sinx=f урнига куйишдан фойдаланамиз:
[ cos3x+cos5x
J sin2x + sin4x
dx =
COS2X ( 1 + COS2X ) COSX ____
sin2x-J-sin4x
sinx = /, cos2x=l— t2
cosxdx=dt
(I-/2) (2-?)
/2 + ? dt
z4 + f2
Энди нотурри рационал касрнинг бутун кисмини ажратиб ва
т^рри рационал касрни энг содда касрларга ёйиб, интегрални
топамиз:
л-$(1+?—~r)"='-T-6a^'+c'
Шундай килиб, эски узгарувчига кайтсак:
cos3x + cos5x
1 ' 9~ • 4
1 sin хsin х
t/x = sinx
2
sinx
6arctg(sinx) +C.
4-мисол. Интегрални топинг:
f dx
J sin2x-f-3
Ечиш. Интеграл остидаги функция sinx ва cosx га нисбатан
жуфт функция, шу сабабли tgx=t деб оламиз:
dx
sin2x + 3
tgx = Z; sin2x =-----7,
6 l+<2
dt
x = arctg/; dx =--------
1+2
dt
=y^arctg^ + c=T7Iarctg2W- + c-
Ay 6 y/6 2. \ 6 -у 3
5-мисол. Интегрални топинг:
С dx
J 14-tgx’
Ечи ш. Интеграл остидаги функция факат tgx га боглик бул-
гани учун tgx = / деб оламиз:
(tgx = /, x = arctgi,
С dx______ (ft {____dt_____
J 14-tgx = j = J (i4-^)(1+/) •
Интеграл остидаги
интегрални топамиз:
функцияни энг содда касрларга ёйиб,
dt _ f / 1/-1 \ .t
(14-^)(1 + 0 — J\2(‘+^ 2(14-/2)/
= yln| 1 +/| -^1п| 1 -H2I +yarctg/+C.
Эски узгарувчи х га кайтсак,
dx
14-tgx
yln| 1 +tgx| - |ln(l 4-tg2x) + ~х±С =
~41п I Ji+fe l+Tx+C=Tln |cosx(l+tgx) 1 +
+ yx + C = yx+yln|cosx-|-sinx| +C.
4- дарсхона Tonuiupufu
Берилган аникмас интегралларни топинг:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( . d*----Ж: 41n |5tg4+3 I+С.
J 34-5sinx4-3cosx 5 I ” 2 I
Ж: rrctg(2tg-i)+C.
C—cos xdx— Ж: In|sinx|—sinxC.
J sin x 4- sinx
(-------------Ж: Ш Itgi I +-L|n I ! + V,|co“ I +C.
J smx(2cos2x—1) ' 2 1 д/2 I 1 — т/2 cosx I
S d 4 2" . 2 • Ж: |arctg(3 tgx) +C.
J 4 —3cos x4-5sin x J
Ssin2xcosxc(x xiz 1 1 1 1 1 1 i , > , m
——;-------Ж: —In sinx4-cosx —-cosx(sinx4-cosx) 4-C.
sinx 4-cosx 4 4 ' '
7.
______dx________
4 + tgx-f-4ctgx
^rlnlcosxl 4-C.
8.
(2tgx + 3)d/
sin2x-{-2cos2x
Ж: ln(tg2x + 2)+~jarctg-^J
C.
4- мустсщил иш
Берилган аникмас интегралларни топинг:
1.
2.
3.
dx
5 + 4sinx
2 —sinx
2 4-cosx
9 5tgi+4
Ж: ^arctg--------
о о
dx- Ж: In (2 +cosx)-f
cosxrfx /К" 1 sinx I £->
sin2x — 6sinx+5 4 * s'njc
4.
5.
6.
-44- Ж:
1 +3cos2x 2 \ ^ /
--- dx . Ж: -i=arctg^^-
3sin2x + 5cos2x V*5
1 +tg* dx- Ж: C— ln|cosx — sinx|.
1-tgx
C.
5-§. Таркибида тригонометрии функциялар
булган баъзи интеграллар
6.5.1. Jsin"xcosmxdx куринишидаги интеграллар куйидагича
топилади:
а) агар п>0 ток б^лса, cosx = /, sinxdx= — dt урнига куйиш
интегрални рационаллаштиради.
1-м и сол. Интегрални топинг:
5 sin3x-cos2xdx.
Ечиш. sin3x даражада битта sinx купайтувчини ажратамиз ва
уни дифференциал остига киритамиз:
5 sin3x • cos2xdx = J sin2xcos2xsinxdx =
= — J sin2xcos2xd (cosx) = — j (1 — cos2x) cos2xd(cosx) =
= —Л (cos2x —cos4x)d(cosx) =C—^cos3x + -icos5x;
j о о
б) агар m>0 ток б^лса, у холда sinx = /, cosxdx = d/ урнига
куйиш интегрални рационаллаштиради.
2-мисол. Интегрални топинг:
Scx^xdx
з.------’
у sin4x
Ечиш.
С cos3xdx Г cos2xcosxdx
J sin4^3x J sin3^4x
_ Г (1—sin x)d(sinx) r 3*_sjn3x^/(sjnx) _
J sin4/3x J '
= —3sin 3x — -|-sin3x + C = C---7-^-----"\/sin5x.
5 у/ sinx 5 V
в) агар /п,п>0 жуфт б^лсалар, у х.олда
sinacosa=ysin2a, sin2a=y(l — cos2a),
cos2a = y (1+cos2a) формулалардан фойдаланган холда икки-
ланган бурчакларга ^тиб, синус ва косинуснинг даражасини
пасайтириш керак.
3- м и с ол . Интегрални топинг:
j sin4xdx.
Ечиш.
sin4xdx= (sin2x)2dx= ^-1-~^os2-Jdx=
=Y (1 —2cos2x-|-cos22x)dx = y(x —sin2x+
+ cos22xdx) =^-(х — sin2x+y $ (1 -|-cos4x)dx) =
=y(x —sin2x+yx + ysin4x) +C =
= 7 (-y-—sin2x + y sin4x)+C.
г) агар m, n^.0 ва улардан бири ток б^лса, у холда сурат ва
махражни sinx ёки cosx га, буларнинг кайсиниси ток даражада-
лигига караб, к^шимча к^пайтириш усулидан фойдаланиш керак.
4- м и с ол. Интегрални топинг:
Г dx
J sinx’
Ечиш.
dx Г sinxdx
sinx = J sin2z
d (cosx)
1 —cos2x
= _ * In |4±£^ I +С=1п л/ tg2| + C = ln |tg^ I +c.
2 । 1—cosx I V 2
д) агар m + n<0 ва жуфт булса, у холда tgx = i ёки ctgx = ^
Урнига кУйишдан фойдаланиш максадга мувофик- Агар бунда
т<0 ва п<0 булса, у холда сунъий усул кУлланиши мумкин,
бунинг учун суратдаги 1 ни (sin2a -|-cos a)fc=l «тригонометрик
„ . , |т+л| ,
бир»га алмаштириш керак. Бу формулада k=—%------*•
5- м и с ол. Интегрални топинг:
।
cos 3 X
Ечиш. Бунда т=у, — -у. т-|-«= — 4<0.
sin3. f-rfx
13
cos 3 X
9
cos х =
tg3 xdx
cos2xcos2x
t3dt
1
1+,2
i3(l +t2)dt =
q — ч - з —
+c=ltg3x+^tg3x+c'
6- м и с ол . Интегрални топинг:
dx
. 9 4 ’
S11TXC0S X
Ечиш. Бунда m=— 2, n=—4, m-\-n=— 6<0,
= Iw±"l—l=A_i—2. Шундай килиб:
C dx C (sin2x-f-cos2x)2 ____ r (sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)t<x
J sin2xcos4x J sin2xcos4x J sin2xcos4x
J cos x J cos x J sin x
Г sin2xt/x . .
= \ ---2-----2---Ь 2tSX — Ctg* + C =
J cos xcos2x b
= J tS2xd (tgx), + 2tgx - ctgx + C = |-tg3x + 2 tgx - ctgx + C.
6.5.2. j tg^ dx ва 5ctgnx dx шаклдаги интеграллар, бунда n>0 —
бутун сон.
Бу хил интегралларни топишда tg2x ёки ctg2x купайтувчилар
ажратилади ва улар tg2x =—-----1 ва ctg2x =—------1 формула-
cosJx sirrx
лар буйича алмаштирилади, бу формулалар тангенс ва котангенс
даражаларини кетма-кет пасайтиради. Бу хил интегралларни
tgx = Z ёки ctgx = f Урнига кУйишлар ёрдамида хам топиш мумкин.
7- м и с о л. Интегрални топинг:
J tg4x dx.
Ечиш. Бу мисолга юкоридаги усулни кУллаймиз:
1-усул. \ tg4xdx = tg2x-tg2xdx = tg2x—--------\ tg2xdx =
J J J cos X J
= Ug2xd(tgx) — (—--------l\dx = =-Ug3x — tgx + x + C.
2- усул.
ftgx = t, „ , „ .
(, 4 , J f t4dt f U4-l) + l
\tg xdx= . , , dt = \--------7= \--------7,— dt =
J Б ^x = arctgf, Ji+i2 J i + t2
= \(i2~ 1+—f + arctgx 4-С=-^— tgx + x + C-
J \ 1 -f-1 / о о
6.5.3. ^5есяхйхва jcosecnxdx куринишдаги интеграллар. Ик-
кита холни кУрамиз:
а) агар п ток булса, у холда tgy=^ алмаштиришдан фойда-
ланилади;
б) агар п жуфт булса, у холда tgx=^ Урнига кУйишдан
фойдаланилади ёки sec2x, ёки cosec2x купайтувчи ажратилиб,
sec2xdx = d(tgx) ёки cosec2x = d(ctgx) деб олинади, колган даража-
лар эса
sec2x= 1 +tg2x ёки cosec2x= 1 +ctg2x
формулалар буйича алмаштирилади.
8- м и с ол. Интегрални топинг:
г dx
J sin3x
Ечиш. tgy=f универсал Урнига куйишдан фойдаланамиз:
dx
sin3x
2dt
X =------3-, sinx
; I + F
2t
1-H2
2dt
=
J 8/3
(l + ^2)3
/ . 2 х
(sin — — cos
cos^-at^.cos2^-
Z Z z
tg4f-l
stg2!
1+2,2+Л/_
1 /4_1
c=iln|/,+V
b C=-i- lnltg-J-1 —
cosx
2sin2x
Ечиш.
1Л. интегрални топинг.
J cos°x
—кУпайтувчини ажратамиз ва
cos2x
-^-=d(tgx) деб
COS X
оламиз.
dx
cos6x
4
COS X
• -^-= \ (-^xY d (tgx) = J (1+ tg2x) 2d (tgx) =
COS X J \ cos2 / J
J (1 + 2tg2x +1g4x) d (tgx) = tgx + -|-tg3x + ytg5x+C.
6.5.4. J sinmx-cosnxdx, ^cosmx'cosnxdx, j sin/nx-sinnxdx кури-
нишдаги интеграллар куйидаги маълум тригонометрик формула-
лардан фойдаланилса, осон хисобланади:
sina-cosp=y(sin(a + P) H-sin(a —р));
cosa-cosp=y(cos(a + P) +cos(a —Р));
siria-sinp=y(cos(a —р) —cos(a + P)).
Бу формулалар тригонометрик функциялар купайтмасини
йигинди шаклида ифодалаш имконини беради.
10 - м и с ол . sin2xcos5xdx интегрални топинг.
Ечиш. Тригонометрик функциялар купайтмасини йигинди
билан алмаштирамиз:
sin2xcos5xdx= (sin7x+sin( —3x)dx=-y sin7xdx —
Y (sin3xdx=
—^-cos7x + -^c os3x + C.
14 b
11 - м и с о л. Интегрални топинг:
Jcosx•cos2x•cos4xdx.
Ечиш. Келтирилган формулаларни икки марта к^ллаймиз:
jcosx-cos2x-cos4xdx=4^ (cos3x-|-cos (—х)) cos 4xdx =
=-Hcos3x cos4dx + -M cosxcos4xdx =
Z J Z J
= Y$ (cos7x + cos(— x))dx + Y^ (cos5x + cos (—3x)) dx =
=— sin7x-|-4-sin5x + -|-sin3x-|-sinx')-|-C =
4 \ 7 о о /
=-|- (4- sin7x+-|- sin5xH—4 sin3x-f-sinx^-|-C.
4 \ 7 о о /
5- дарсхона ronuiupuFu
Берилган аникмас интегралларни топинг:
1. ( сos3x• sin6xdx. Ж: CH------Ц----.L—•
J 3sitrx 5sin5x
2. sin5x^/cos3xdx. Ж: -|'’Vcosl8x—l-V005^
—-^cos23x 4-C.
3. Ljn2x>cos4xdx. Ж: -^-x—4’sin4je+5T’sin32x + C.
J 16 64 48
4. ( dx (tg2x—t) (tg4x+IQt^x-l-1) । c
J sin4xcos4x 3tg3x
f- C sin xdx хтл 1 4- 5 i 1 4- 3 i /"»
5. ----— Ж: ytg5x + -tgJx + C.
6. ^tg3xdx. Ж: ytg2x-|-ln|cosx|-|-C.
7. Ж: C —ctgx—-|ctg3x —-|<tg5x.
8. [ cosx-cos23xdx. Ж: C+4-sinx+-4-sin7x +-4-sin5x.
J 2. Zo ZU
5- муста^ил иш
Берилган аникмас интегралларни топинг:
1. sin3xdx. Ж: С — cosx-|—
J о
-2. tcos^x. Ж:4+-^+^+С.
J 2 о 2 1О
3. ./ Г- Ж: C--^+31n|tgx|+4tg2x + 4-tg4x.
J sin3*-cos5* 21g2* 2 4 ”
» C dx хгл sinx . 3 sinx । 3 < । j । z-»
4.---\--7~. Ж: -7—hv—2—Ь^-1пItgx4-scexl +C.
J cos x 4cos X ° COS X 6
,5. Ж: tgx + 4tg3x + C.
J COS X °
6-^sinx-sin2x-sin3xdx. Ж: —jg-cos4x gCOs2x + C.
6-§. Иррационал ифодаларни интеграллаш
g m I m2
6.6.1. ( R (x, ... )dx
J \ \cx-\-d J \cx-\-d / /
куринишдаги интеграллар (/? — рационал функция ва mlt nt, mt,
п2 — бутун сонлар) = ts Урнига к^йиш ёрдамида интеграл-
ланади, бунда $ — пь п2, ... сонларнинг энг кичик умумий карралиси
(ЭКУК), яъни $ = ЭКУК(П1, п,
т2
Хусусан, R(x, (ax-\-b) "2, (ах-\-Ь) "2dx куринишдаги
интеграллар ax-\-b = ts Урнига кУйиш ёрдамида топилади,
/Л| г«2
R(x, х, х ,...) dx куринишдаги интеграллар эса x=ts Урнига
куйиш ёрдамида янги Узгарувчи t нинг рационал функцияси
интегралига келтирилади, бунда умумий холдагидек, $ = ЭК,УК(«1,
«2, ...)•
1-ми сол. Интегрални топинг:
с dx
J з.--------- ------'
V (2х-|-1)2 - д/2*+1
Ечиш. ЭКУК (2, 3)=6, шунинг учун:
dx
з. —
V (2х+ 1 )2 - д/2х+ 1
2х+1=?6;
х=у(?6—1); dx = 3t3dt
Г 3t3dt Г t2dt
J t^-t3 = 3J ?-1 =3
(‘2-y+idt=
= ^\(t+l+-^)dt=l(t+l)2+ln\t-l\-\-C =
= {/= д/2х= 1}=-|-( д/2х-|- 1 1) + In | yj2x +1 — 1 I + C.
6.6.2. R (x, -\jax2-\-bx + c)dx куринишдаги интеграллар (7? —
рационал функция) квадрат учхаддан тула квадрат ажратилга-
нидан ва узгарувчи z=x-|--^- деб олинганидан кейин куйидаги
куринишдаги интеграллардан бирига келтирилади:
а) R (z, д/m2—z2)dz,
б) j R (z, yjm2+z2)dz,
в) R(z,^z2—m2)dz.
Агар
a) z = msmt ёки z = /ncos?;
б) z = mtgt ёки z = wctg?;
в) z = msect ёки z = mcosect
тригонометрик урнига к^йишлардан фойдаланилса, бу интеграллар
j 7?(sin?, cost)dt куринишдаги интегралларга келтирилади.
2- м и с ол . Интегрални топинг:
г____________________________dx____
' у/(х2 + 4х + 7)3
Ечиш. Квадрат учхаддан туда квадрат ажратамиз ва янги
z ^згарувчини киритамиз. Шундан кейин юкорида келтирилган
б) тригонометрик урнига кУйишдан фойдаланамиз:
dx_________
у/ (х2 + 4х + 7)3
dx
Л/[(х + 2)2 + 3]3
x + 2 = z,
dx = dz
dz
z= y/3tg/,'
dz=^-
. COS2/ .
y/3dt
cos2/
УЗ c__________dt_______ __1_ C dt
3V3 ' cos2/V(1 +tg2/)3 3' cos2/—Ц-
cosdZ
M cos/d/=-Uin/+C= 4 /-— +
з J з з y1+tg2/
__!_ z £ _ 1 x+2 + C = _x + 2
3 д/з + z2 3 д/з+(х + 2)2 3V^2 + 4x + 7
6.6.3. \ — = куринишдаги интеграл квадрат учхаддан
3 ~\/ ax? + bx+c
туда квадрат ажратиш йули билан — du - ёки ( —7=== жаД‘
J у a2 —u2 J \иг + а2
вал интегралларидан бирига келтирилади.
3- ми сол. Интегрални топинг:
dx
Ечиш. Квадрат учхадни ушбу кУринишга келтирамиз:
х2+2х + 5= (x-j- 1)2 + 4. Бундан фойдаланиб, интегрални топамиз:
dx
\/х2 + 2х + 5
d(*+l)
V(z+1)2 + 4
== 1 n | х 1 -j- ~\J x2 -(- 2 x -1- 5 | ~|_E>.
6.6.4.
ax2 -\-bx-\-c
куринишдаги интеграллар суратдан квадрат
учхаднинг хосиласини ажратиш
f du
келтирилади; улардан бири \—=
натижасида иккита интегралга
жадвал интеграли, иккинчиси эса
6.6.3- бандда каралган интегралдир.
4- м и с ол . \— dx интегрални топинг.
3 у/бх-х2—8
Ечиш. Суратда интеграл остидаги ифоданинг хосиласини
ажратамиз:
f 3x4-4 _ f “(-2x4-6)4-13
' д/бх —x2 —8 J д/бх—x2 —8 dX~
= -Ц--;~2х+6 dx+13( -^~3) =
J убх —x2 —8 J д/|_(х —3)2
= — 3 д/бх — x2— 8 + 13arc sin(x —3) -|-C.
6.6.5. \--------_ . куринишдаги интеграллар —-— = t
(x — a) \ ax2-\-bx-\-c x —a
урнига кУйиш ёрдамида 6.6.3- бандда каралган интегралга келтири-
лади.
5 С dx
-ми сол. \---------. интегрални топинг.
J (х4-1) V^24-3x-3
Ечиш. ‘ =t урнига куйишдан фойдаланамиз:
X 1
6.6.6. \xm(a-\-bxn)pdx куринишдаги интеграллар (т, п, р —
рационал сонлар) дифференциал биномлари интеграллари деб
аталиб, учта холдагина элементар функциялар оркали ифодалана-
ди:
а) агар р— бутун сон булса, у х,олда интеграл x=ts Урнига
куйиш ёрдамида (бунда s — касрлар махражлари т ва п нинг энг
кичик умумий карралиси) рационал функция интегралига келтири-
лади;
б) агар ----бутун сон булса, у холда интеграл a-}-bxn=ts
Урнига кУйиш билан рационаллаштирилади, бунда s — р касрнинг
махражи;
в) 1 _|_р —бутун сон булса, у холда a-\-bxn = ts-х'1 деб
оламиз, бунда $ — р касрнинг махражи.
6- м и с ол . ^jx (2 + д/х)2(ix интегрални хисобланг.
Ечиш. р=2 — бутун сон, демак, биринчи а) холга эгамиз:
1 1
m=rn = V
s = 3KYK(2, 3)=6, x = t6,dx = 6t5dt.
= ^2(2 + ^)26/5d/ = 6j(4^7+4/10+/13)d^ =
= б(4/8+-^11 + ^‘<)+С = {/= ^х }=
=з^+4^=4^+с.
7-ми сол. Интегрални хисобланг:
ос 2 11 т+1
Ечиш. Бунда т=—п=—,р=—,---=
О о Z 71
н+*н
= 1 —бутун сон. Иккинчи б) холга эгамиз:
= J 6t2dt = 2t3+C=2 д/н+ а/^)3 + С.
8-ми сол. \-----, интегрални топинг:
Ъ“х/1+х4
' к 1 1 I „ л т+1 —Н + 1 _
Ечиш. Бунда р = —- т = — 11, п = 4, —-—=----—
= —А —каср сон, аммо dH±L^p = _А—±= — 3 —бутун сон.
Учинчи в) холга эгамиз:
_ 1
\x~“(14x4) 2dx=
l+x4=f2.x4,
х=-----—j-; dx =
tdt
2(f2 —1)5/4
6- дарсхона топшириги
Аникмас интегралларни топинг:
_________dx____________
д/1 — 2х — yj 1 — 2х
Ж: С— д/1 —2х —2 ^/1 —2х —2 In | ^/1-2х-1|.
2. Ж: -|-д/х5 —2 д/х+6 д/х —6arctg д/х 4-С.
3- S д/Й 4- >" I ^^S+2arctg VrW+c-
4. f 3*-+2 dx.
J д/х2 + х + 2
Ж: Зд/х24-х + 2 +у In |х+у+ д/х2+х42 | +С.
5‘ 5 х^-2х-1' Ж: С-агс5к47Г
6’ S (*+2)д/?42? Ж;С+Л/&*'
7> 5 Vi(^+1)‘o- Ж: С~ 2(^+1)8+ 9(^41)9
8. j y/x д/2 + д/х2 dx .
10. ^д/х2 — 4dx. Ж: у д/х2—4 —21n|x+д/х2 —4 I+C.
6- муста^ил uui
Аникмас интегралларни топинг.
1. (------; • Ж: 4 ^/7+3 +4 In | ^+3 - 1 | + <?.
J V^+з (-ч/х+З-1)
Ж: у д/х2 —3 д'х —6 д'х +3 In | д'х + 1 | +6 arctg^/x + С.
3. Ж: д/х2+х+1 —yin |х + у+ д/х2 + х+1 | +
4.________(_______^х Ж - Г1 1 — х
J (х-1) д/бх-х2-5 2№-
5. д/1 —2х —x2dx. Ж: д/1 - 2х - х2 + агс sin^ + С.
6. ( - . Ж:С+—-Х=.
J V (х2+1)5 3 \/(1-рх2)3
7. \^/х д/1+ \jx4x. Ж: — д/(1 + д/^)8 + С.
7-§. Аник интеграл. Ньютон — Лейбниц формуласи.
Аник интегралда узгарувчини алмаштириш.
Булаклаб интеграллаш
6.7.1. /(х) функция [а, Ь] кесмада аникланган ва узлуксиз булсин.
Бу кесмани a = xo<Xi<.X2<...<.xn = b нукталар билан п та кисмга
буламиз. Х,ар бир (x(_i, х,) ораликдан ихтиёрий нуктани оламиз ва
ушбу йигиндини тузамиз:
2 ДЦДх,
15—665
225
23- шакл
бунда Ах< = х( —х,_|. Ушбу £/(£,.) Дх
1=।
куринишдаги. йигинди интеграл йитин-
ди, бу йигиндининг тахЛх,->0 даги
лимитини, агар бу лимит мавжуд
булса, f(x) функциядан а дан b гача
олинган аник, интеграл дейилади ва
ь
п
[f(x)dx= lim 2 /(^;)Ах,-
J тахДх—>0 1
а 14 — J
куринишда белгиланади. Бу холда f(x) функция [а, 6] кесмада
интегралланувчи функция дейилади. а ва b сонлар мос равишда
интеграллашнинг цуйи ва юцори чегаралари дейилади.
Функция [а, 6] кесмада интегралланувчи булиши учун унинг шу
кесмада узлуксиз булиши етарли.
ь
Агар [а, 6] кесмада f(x) >0 б^лса, у холда \f(x) dx интеграл
геометрик жихатдан y = f(x), у = 0, х = а ва х = Ь чизиклар билан
чегараланган эгри чизикли трапеция кУринишидаги шаклнинг
юзини ифодалайди (23-шакл).
6.7.2. Аник интегралнинг асосий хоссаларини келтирамиз.
Ь и
a) ^f(x)dx=—^f(x)dx;
а b
б) ^/(x)dx = 0;
а
b с b
в) ^f(x)dx= ^f(x)dx+ ^f(x)dx;
а а с
b b b
г) ^(fi(x)±f2(x))dx= fyl(x)dx± ^f2(x)dx.
а а а
b b
д) ^kf(x)dx = k ^f(x)dx, бунда k — узгармас;
а а
е) агар [а, Ь] кесмада f(x) >0 булса,, у холда
ь
а
ж) агар [а, 6] кесмада f(x) >g(x) булса, у холда
з) агар т ва М мос равишда f(x) функциянинг [а, 6] кесмадаги энг
кичик ва энг катта киймати булса, у холда
ь
m(b-a)^. р(x)dxs^M(b — a)
а
тенгсизлик уринли (аник интегрални бахолаш хакидаги теорема);
ь
; и) ^(x)dx=f'(c) (b — а), бунда с£(а, Ь) (Урта киймат хакидаги
а
| теорема).
•: 6.7.3. Агар F(x) [а, Ь] кесмада узлуксиз /(х) функциянинг
бошлангич функцияларидан бири булса. у холда Ньютон —
’ Лейбницнинг куйидаги формуласи Уринли:
я b
( \f(x)dx=F(x) \b=F(b)-F(a).
5 11
$ Бу формуладан аник интегралларни хисоблашда фойдаланилади.
I 1-мисол. Интегрални хисобланг:
е
( £ ?
Ечиш- ТТ^Г= V^i^=lnllnxl^=ln(ln^ — 1п<1пе) =1п2-
SJ A 1I1A Л I11A 1
е е
f, Д.
12
2- м и с о л . sin3xdx ни хисобланг.
о
л л л
$ г с Г
I . Ечиш. \ sin3xdx= \ sin2xsinxdx= — \ (1 — cos2x)d(cosx) =
') , О о о
j ‘ =-cosx |f+4<os3x|J=-(cosy-cosO)+ -* (cos3y-cos30^|.
•Г
6.7.4. Arap f(x) функция [a, i>] кесмада узлуксиз, x = <p(0 функция
i эса дифференциалланувчи булиб, шу билан бирга a = (p(a), b = <р(Р)
булса, у холда ушбу тенглик Уринли:
ty(x)dx= ^(ф(О)ф'(О^-
Купинча х = ф(/) уринга куйиш урнига / = ф(х) тескарг алмашти-
ришдан фойдаланилади. Бу холда интеграллашнинг янги чегарала-
ри а ва р бевосита а = ф(а) ва р = ф(Ь) тенгликлардан топилади.
Бунда интеграллаш чегараларини алмаштиришни куйидаги жадвал
шаклида ёзиш кулай:
X t
а a
b p
3- м и с о л.
dx интегрални хисобланг.
Ечиш. x = sinZ урнига куйишдан фойдаланамиз:
x = sin/,
dx=costdt.
п я
/о 2 q 2 о
V1— sin/ ... f cos t ,, г 1—sin/ ,,
-—z-— costdt= \ —^-dt = \-------j—dt =
sin2/ J sin I J sin t
Л Л
T 7
= (— ctg7 — 0
8
4- м и с ол . ( —интегрални хисобланг.
J
Ечиш t= д/х+1 формула буйича узгарувчини алмаштирамиз:
= 2(9-3) -2(-|-2)=4-
6.7.5. Агар и = и (х), и = и (х) функциялар ва уларнинг хосилалари
|<2, Ь] кесмада узлуксиз булса, у холда
ь ь
j udu = uv | ^udu
a a
тенглик уринли (булаклаб интеграллаш формуласи).
е
5- м и с ол . j xln2xdx интегрални топинг.
।
Ечиш. Булаклаб интеграллаш формуласини куллаймиз:
xln2xdx =
u = ln2x, du = 2\nx-—,
X
х2
du=xdx,
e
>=yX2ln2x|*— ^xlnxdx =
1
и = Inx, du — ~,
X
x2
du—xdx, v——
7- дарсхона топишриги
Интегралларни хисобланг:
1.
2.
3.
4.
5.
5 ( Vх + yjx^dx
о
ж- 19
Ж. -fg.
г dx
J 2x — 1
Ж: yln3.
Sdx
x(l+ln2x)
2
c dx
y/2 + 3x-2x2
T
6
f dx
J I + '
Ж: -J.
2
6. t • dx_____
J 3 + 2cosx
o
„ 'c6
7. \
lnJ2 ^ + 2
1
8 f dx
2 x V1 + 4x2
4
л
9. e3xsinWz .
i
10. ^x-arctgxdx.
о
Ж: ^Barctg^-
Ж: 4 —л .
Ж: ln-^tl.
7- муста^ил иш
Аник интегралларни хисобланг:
1. J x-2 3 Ж: 4+7In2.
2. f dx J 4x2 + 4x + 5 Л T Ж: 1 <• 4 T arctgy.
3. $ sin2xdx. 0 5 Ж: Л 1 У 4 '
4. c dx Ж: 2ln2~i
J *+ ^J2x— 1
5. { V*2-4 л \ dx . J X л Ж: 2 д/З л 3 3 ’
6. c dx J l+2sin2x ’ Л T Ж: Л Зд/3 '
7. j x2cos2xdx . 0 ж-. л2—8 32 ’
г arcsinxdx
Ж: л ^2 -4 .
8- §. Ясси фигураларнинг юзларини хисоблаш
6.8.1. y — f(x) функция графиги, х = а, х = Ь иккита тугри чизик
ва Ох ук билан чегараланган фигура эгри чизикли трапеция
дейилади.
Бундай эгри чизикли трапециянинг юзи f(x) >0 булса,
S = ^f(x)dx = j ydx
формула буйича хисобланади (24-шакл).
у = /!(х) ва y=f2(x) (f2(x) >fi(x)) эгри чизиклар ва х = а
хамда х=Ь иккита тугри чизик билан чегараланган фигуранинг
юзи
S= J[f2(x) -Л(х)]йх
формула буйича хисобланади (25-шакл).
Агар эгри чизикли трапеция x = f(y) функция графиги, у = с,
y = d тугри чизиклар ва Оу ук билан чегараланган булса, унинг
юзи f(y) >0 учун
S = \f{y)dy = \xdy
формула буйича хисобланади (26-шакл).
X!=^i(y) ва х = ^(у) (fc(y) >Л(у)) эгри чизиклар, у = с ва
y = d иккита тугри чизик билан чегараланган фигура юзи
</= fw
24- шакл
25- шакл
b х
формула буйича хисобланади (27-шакл).
6.8.2. Агар эгри чизик x=x(t), y=y{t) параметрик тенгламалар
билан берилган б^лса, у холда шу эгри чизик, х = а, х = Ь т^рри
чизиклар ва Ох ук билан чегараланган эгри чизикли трапеция-
нинг юзи
(2
y{t) -x'(t)dt= \y(t)dx(t)
'1
формула буйича хисобланади, бунда t\ ва ti a=x(t\),
b = x\ti) (y(t)^O) тенгламалардан аникланади.
6.8.3. r = r(<p) функция графиги ва <р = а, ср = |3 иккита нур билан
чегараланган фигура эгри чизикли сектор дейилади, бунда ф ва г —
кутб координаталари (28-шакл). Эгри чизикли секторнинг юзи
। ?
а.
формула буйича хисобланади.
х2
1- м и с о л. у = — парабола, х= 1, х = 3 турри чизиклар ва Ох
ук билан чегараланган фигуранинг юзини хисобланг.
Е ч и ш. Аввал шаклни чизамиз (29-шакл). Изланаётган юз
ушбу формула буйича хисобланади:
s = \ydx= \4dx==411=4(з3-13) = 4 = 4(кв- 6hp;l)'
а 1
232
28- шакл
2-мисол. х=2— у — у2 эгри чизик ва ординаталар уки билан
чегараланган фигуранинг юзини хисобланг.
Е ч и ш. Фигура Оу укка ёпишиб туради (30- шакл), унинг юзи
d
3 = ^xdy формула буйича хисобланади.
С
S= j (2—y—y2)dy = (fy--^—-у) Г-2—
С -2
3-ми сол. у = 2 — х2 ва у3—х2 эгри чизиклар билан чегара-
ланган фигуранинг юзини топинг.
Е ч и ш. Берилган тенгламалар системасини ечиб, эгри чизик-
ларнинг кесишиш нукталарини топамиз: А( — 1, 1) ва В(1, 1).
Интеграллаш чегаралари б^либ х= — 1 ва х=1 хизмат килади.
d
Фигура юзи 5= (/г(х) —fi(x))dx формула буйича хисобланади
(31- шакл).
d 1 3 —
S = $ (f2(x) — h(x))dx = $ (2 —x2—д/х2)</х =
4-мисол. Эллипснинг
x = acosi,
y = bsin/
параметрик тенгламаларидан фойдаланиб, унинг юзини топинг.
Ечиш. Эллипснинг симметриклигидан фойдаланиб, излана-
ётган юзнинг туртдан бирини ^исоблаймиз (32-шакл). x = acos/
тенгламада х = 0 ва х = а деб олсак, ушбу интеграллаш чегаралари-
га эга буламиз: t\—~, t2=Q. Хисоблаймиз:
h 0 2
J-S — j ydx = j bsint(— asint)dt — ab jsin2/d/ =
'1 л 0
2
л
T Л \
ab C /1 ab / у 1 . It л лао
= _ J (l-cos20^=—(Z-Tsin2Z) 1^=-.-=—.
о
Демак, бутун фигуранинг юзи
S = nab (кв. бирл.).
5-ми сол. r2 = 2cos2(p Бернулли лемнискатаси билан чегара-
ланган фигура юзини топинг.
Ечиш. Эгри чизикнинг симметриклигидан фойдаланиб, олдин
изланаётган юзнинг туртдан бирини топамиз (33-шакл). Излана-
ётган юзнинг туртдан бир кисми ср нинг 0 дан -у гача узгариши-
га т^рри келади.
Фигура юзини куйидаги формула буйича хисоблаймиз:
л
Р 4 л
4^=4 5г^ф= 4 52cos2(₽d(₽=Tsin2(₽ io =4-
а О
Шундай килиб, изланаётган юз: S=-y (кв. бирл.).
8- дарсхона топишриги
Берилган чизиклар билан чегараланган фигуралар юзлариш
хисобланг:
1. у = 4х — х2 ва Ох ук билан. Ж: -В- (кв. бирл.),
2. у=(х-1)2 ва Ж: Д° + -^-1п(3 + д/3)«
«4,58 (кв. бирл.).
{х = 2(^ — sin^)
(бир аркаси) ва у = 0- Ж: 12л (кв. бирл.),
t/ = 2(l — cosO
4. r = 2acoscp ва r = 2asin<p, 0^<р<у.
Ж: (у—-Qa2 (кв. бирл.) .
5- ^=7^7’ У=^- Ж: у-4 (кв- бирл.).
6. у=х2 + 4х, у=х-\-4 . Ж: (кв. бирл.).
7. х2 + у2 = 4, х2+у2 — 9, у=х, у= —х у/3. Ж: (кв. бирл.) .
8. х=3/2, y = 3t — t3. Ж: -2-/-3- (кв. бирл.) .
О
8- мустак,ил utu
Берилган чизиклар билан чегараланган фигуралар юзларини
хисобланг:
1. у=—х2, х + у + 2 = 0. Ж: 4,5 (кв. бирл.).'"'
2. ху = 20, х2 + у2 = 4 (1чорак). Ж: arcsin-^- +
+ 20 1 п0,8 (кв. бирл.).
3. x = acos3/, y = asin3t. Ж: -|-ла2 (кв. бирл.).
4. x—2t, y = 4t2 — 6t ва y = Q. Ж: у (кв. бирл.).
5. r = asin3tp (битта х,алка). Ж-’ уу- (кв. бирл.).
6. r = acosq>, r = 2acos<p. Ж: -ула2 (кв. бирл.).
9-§. Эгри чизик ёйлари узунликларини хисоблаш
Агар тугри бурчакли координаталарда y = f(x) функция [а, Ь]
кесмада силлик (яъни y' = f'(x) косила узлуксиз) б^лса, у холда бу
эгри чизик мос ёйининг узунлиги
1= 5 V4- (У')2с1х
формула буйича хисобланади.
Эгри чизик
(x~x(t)
I y=y(t)
параметрик тенгламалар билан берилган б^лса, бу эгри чизикнинг
/£[Л, h] параметрнинг монотон узгаришига мос ёйининг узунлиги
/ = j VU')2+ (y’)2dt
формула билан хисобланади.
Агар силлик эгри чизик кутб координаталарда г = г(ф) (а<
+ ф+3) тенглама билан берилган булса, у холда ёй узунлиги
р __________________
/= j у/г2+(г')2с1у
формула билан хисобланади.
1-мисол. z/2 = x3 ярим кубик параболанинг координаталар
бошидан А (4, 8) нуктагача булган ёйи узунлигини топинг.
Е ч и ш. Аввал шаклни чизамиз (34-шакл;. Парабола тенгла-
масини дифференциаллаймиз:
- , з 1
9 ' О 9
У=х , у = уХ2 .
Формулага кура:
4 1 (% -V г / ' 9"
1= J yl + dx= J ~\]\+^xdx =
О 3 °
= 44(l+4^)T I =4(10710-1)(узун.бирл.) .
У • О \ т / и ~ ‘
2- м и с ол. Битта циклоида узунлигини топинг:
x = a[t — sin/),
t/ = o( 1 —cos/).
E чи ш. Циклоиданинг барча аркаси бир хил, кайси арка буйлаб
/ параметр 0 дан 2л гача узгарса, ^ша аркани оламиз (35- шакл):
x' = a(I — cos/), у' = а sin/.
Шу сабабли:
2л ________________________ 2л ____________________
/= f д/а2( 1 — cos/) 2+a2sin2/ dt = a -^/2 —2cos/d/=
О . о
2л
= 2а j sin-^-d/ = — 4acosy
О
3-ми сол. r = a sin4-^- ёпик эгри чизикнинг узунлигини хисоб-
2Л /
= 8а (узун. бирл.).
о
ланг.
Е ч и ш. Берилган функция жуфт функция. Шу сабабли берилган
эгри чизик кутб укига нисбатан симметрик. Нукта бутун эгри
чизикни <р 0 дан 4л гача
чизикнинг ярми ф О дан 2л
r' = asin3-r • cos—. Демак,
4 <р
узгарганда чизади, шунга кура эгри
гача ^згарганда чизилади (36-шакл).
= 4а(1—1-А=4а. Демак, 1=^-а
(узун. бирл.).
9- дарсхона топшириги
Эгри чизиклар ёйлари узунликларини хисобланг:
1. z/ = lnsinx, х=4дан х=^- гача. Ж: 4-1 п 3 (узун. бирл.).
2. у=-^гхл/х—тл/*3 абсциссалар уки билан кесишиш нукталари
орасидаги. Ж: ~ д74 (узун. бирл.).
у V о
3. x — -^-t3—t, y—t2+2, t=0 дан t=3 гача.Ж: 12 (узун. бирл.).
О
4. x — e‘cost, ,y = e‘-sint, t = 0 дан Z=lnn гача. Ж: д/2 ( л — 1 )
(узун. бирл.).
5. г = ф2, ф = 0 дан ф = л гача. Ж: [(л2+4) д/л2+4 — 8]--у (узун.
бирл.).
6. r=asin0. Ж: ла (узун. бирл.).
9- муста^ил uui
Эгри чизиклар ёйлари узунликларини хисобланг:
1. У—^ x—Q дан х=1 гача. Ж: 0,5 [-^2+ ln( 1 +л^)](узун. бирл.).
2. i/=l—Incosx, х = 0 дан х=-^ гача. Ж: у 1пЗ (узун. бирл.).
3. x = 8sint+6cost, у = 6 sinZ — 8 cost, t = 0 дан t — ~ гача. Ж: 5л
(узун. бирл.).
4. х = а(2 cost — cos2t), у = а(2 sin/ — sin2t). Ж: 16а (узун. бирл.).
5. r = acos3^-, ф=0 дан гача. Ж: -£-(2л + Зд/3) (узу'н. бирл.).
6. г=1 — cosip. Ж: 8 (узун. бирл.).
10-§. Х,ажмларни хисоблаш
6.10.1. Агар 5(х) юз жисмнинг Ох укка перпендикуляр текислик
билан кесишишидан хосил булган кесими булиб, [а, />] кесмада
узлуксиз функция булса, жисмнинг хажми
V = j S(x)dx
формула билан хисобланади.
6.10.2. у = f (х) эгри чизик ва х = а, х — Ь, у = 0 тугри чизиклар
билан чегараланган эгри чизикли трапеция Ох уки атрофида
айлантирилса, у холда айланиш жисмининг хажми
ь
V—л j y2dx
а
формула билан хисобланади.
Агар шу фигуранинг узи Оу уки атрофида айлантирилса, у холда
айланиш жисмининг хажми
ь
У=2л ^xydx
а
формула билан хисобланади.
6.10.3. Агар yi=fi(x) ва y2=f2(x) (бунда fi(х) >f2(x)) эгри
чизиклар хамда х = а, х = Ь тугри чизиклар билан чегараланган
фигура Ох ^ки атрофида айланса, айланиш жисмининг хажми
6
V = л (y22—y2)dx
формула буйича хисобланади.
Агар шу фигуранинг узи Оу ук атрофида айланса, айланиш
жисмининг хажми
У=2л х(у2 — y\)dx
а
формула буйича хнсобланади.
6.10.4. Агар эгри чизикли трапеция x = f(y) функция графиги,
у = с, у —а тугри чизиклар ва Оу уки билан чегараланса, бу
фигуранинг Оу Уки атрофида айланишидан хосил булган жисмнинг
хажми
d
V — л ^x2dy
формула буйича хнсобланади.
Агар шу фигуранинг узи Ох уки атрофида айланса, айланиш
жисмининг мос хажми
d
У=2л ^xydy
формула буйича аникланади.
6.10.5. Агар xi=fi(t/) ва X2=fi(y) (бунда эгри
чизиклар ва у —с, y = d турри чизиклар билан чегараланган фигура
Оу уки атрофида айланса, у холда айланиш жисмининг хажми
d
V—л (х|—x2)dy
формула буйича топилади.
Агар шу фигуранинг Узи Ох Уки атрофида айланса, у холда
айланиш жисмининг мос хажми ушбуга тенг булади:
d
V = 2n у(х2—x{)dy .
6.10.6. Агар эгри чизик параметрик ёки кутб координаталарда
берилса, у холда келтирилган формулаларда мос уринга куйишлар-
ни бажариш керик булади.
X2 U2 22
1- м И с ол. —= 1 эллипсоиднинг хажмини топинг.
а2 Ь2 с2
Ечиш. Эллипсоиднинг Ох укка перпендикуляр бирор текислик
билан кесишдан хосил булган кесимининг ярим уклари
булган
эллипсдир. Демак,- кесим юзи (8-§, 4-мисол):
S(x) =лЬ ,(?]== лЬс (1 —
\
бунда х узгарувчи — а дан а гача узгаради. Шунга к)/ра эллипсо-
иднинг хажми ушбуга тенг:
(куб бирл.).
2-ми сол. у = sinx синусоиданинг битта ярим тулкини ва Ох
укнинг [0, л] кесмаси билан чегараланган фигуранинг а) Ох
уки атрофида ва б) Оу )/ки атрофида айланишидан косил булган
жисмларнинг кажмини кисобланг (37-шакл).
Ь п п
Ечиш. a) Р’=л $z/2dx = n (sin2xdx = -Д j (] —cos2x)dx =
а О О
sin2x \ I" л . л2 . , ,
~2~Ло = (куб бирл.).
л л
б) V==2n ^xydx=2n ^x-sinxdx =
о о
(и = х, du — dx 1 . ?
. , )=2л(— x-cosx „+ \ cosxdx) =
(ay = sinxdx, v = — cosx J о
= 2л( — ncosn + sinx | g) =2л2(куб. бирл.) .
3- м и с ол. х2+ (у — b)2^.R2(b>R) доиранинг Ох Уки атрофида
айланишидан хосил булган торнинг хажмини топинг (38- шакл).
Е ч и ш. х2+ (у — b) 2 = R2 айлана тенгламасидан:
У| = 6— у//?2—х2 ,
Уг=Ь+ ^R2—x2 ,
Шунинг учун
Ь R ______ _________________
У=л (у2—y2\)dx = Ti ( [(/>+ ~y/R2—х2)2 — (b— -у/ R2—x2)2]dx =
a — R
x = Rsmt, x t
R ________
= 4лй j y/R2—x2dx= —R —=
-r ---------
dx=Rc.os,tdt, л
X t
-R Л ”2
R л 2
= 4nb j -у/R2—R2sin2t •Rc.ostdt =
n
~~2
n л
T 2
= 4nbR2 j cos2tdt — 2TibR2 j (l+cos2Z)d/ =
Л _ л
T 2
= 2nbR2(t+^-sin2t) |\= 2л2й/?2(куб. бирл.).
4-мисол. y = x2 ва 8x — у2 параболалар билан чегараланган
фигурани Оу уки атрофида айлантиришдан хосил булган жисм
хажмини хисобланг (39-шакл).
Е ч и ш.
У = х2,
у2=8х
тенгламалар системасидан параболаларнинг кесишиш нукталарини
топамиз: 0(0, 0) ва Л (2, 4).
га эгамиз, узгарувчи у 0 дан 4 гача
узгаради. Демак,
И=л $(*!—x\)dy=n \(y—^)dy —
с О
{x=acos3/,
астроида билан чегараланган фигу-
y = asinv
ранинг Ох уки атрофида айлантирилишидан хосил булган жисмнинг
хажмини хисобланг (40-шакл).
Ечиш. Изланаётган хажм ОАВ фигурани айлантиришдан хосил
булган хажмнинг иккиланганига тенг. Шунинг учун
а
= 2л j a2sin6/( — 3acos2/sinZ)(^ = 6na3 $sin7tcos2tdt~
Л_ о
2
л
= — бла3 j (1 —
о
H-yCos7/—-|cos9/) |J =6ла3(4-4+4-4)=-^-ла3(куб бирл.).
cos2^) 3cos2W(cosZ) = — бла3^-1
ycos3/—|eos°/ +
10- дарсхона ronuiupuFu
1. х = 2 ва х=3 текисликлар билан х2у2z2 = 16 шардан
29
киркилган шар катламининг хажмини хисобланг: Ж: ул (куб.
бирл.)
_1_ _1_ _1_
2. Координата j/клари ва х2+у2=а2 парабола билан чегара-
ланган юзни Ох уки атрофида айлантиришдан хосил булган жисм
з
хажмини хисобланг. Ж: -^-(куб бирл.) .
3. y = sinx синусоида ёйи, ординаталар уки ва у—\ тугри чизик
билан чегараланган фигурани Оу уки атрофида айлантиришдан
хосил булган жисм хажмини хисобланг.
Ж: —л ~8^ (куб бирл.)
4. У = у*2+2 парабола ва 5х—8у+14 = 0 тугри чизик билан
чегараланган фигурани Ох уки атрофида айлантиришдан хосил
булган жисм хажмини хисобланг. Ж: (куб. бирл.) .
x = a(t — sin/),
у_ац_с05^ Циклоиданинг бир аркасини Ох уки ат-
рофида айлантиришдан хосил булган жисм хажмини хисобланг.
Ж: 5а3л2 (куб бирл.).
5. Ушбу
10- муста^ил иш
х2 и2
1. z=——Н-у ва 2—1 сиртлар билан чегараланган
хажмини хисобланг. Ж: лд/2 (куб бирл.).
жисм
2. а) у
=—------ ва х2 — 8у, б) у2 — х ва х2 = у чизиклар билан
чегараланган фигураларни Ох уки атрофида айлантиришдан хосил
булган жисм хажмини хисобланг.
Ж: а) -у-(5л+8) (куб. бирл.) ;б)0,3л (куб. бирл.) .
3. а) у = х3, у = 0, х = 2; б) х2 —у2 = 4, у=±2 чизиклар билан
чегараланган фигурани Оу уки атрофида айлантиришдан хосил
булган жисм хажмини хисобланг. Ж: а) -угс (куб. бирл.);
□
б) -y-л (куб. бирл.) .
4. x = a(t — sin/), y = a(\ — cost) циклоиданинг бир аркаси ва Ox
уки билан чегараланган фигурани: а) Оу уки атрофида; б) фигура-
нинг симметрия уки атрофида айлантиришдан хосил булган жисм
хажмини хисобланг.
Ж: а) 6л3а3(куб. бирл.); б) -^-(9л2—16) (куб. бирл.) .
11-§. Хосмас интеграллар,
якинлашиши хосмас интегрални хисоблаш.
Интегралланиш чегаралари чексиз ' булган интеграллар ёки
чегараланмаган функциялардан олинган интеграллар хосмас
интеграллар дейилади:
6.11.1. [а, +<ю) ораликда узлуксиз булган f(x) функциядан
олинган интеграл
+ » N
f(x)dx = lim \f)x)dx
J Л/oo J
a a
тенглик билан аникланади.
Агар шу лимит мавжуд б^либ, чекли булса, хосмас интеграл
як,инлашувчи, акс холда хосмас интеграл узокриииувчи дейилади.
Агар F(x) функция )'(*) нинг бошлангич функцияси булса,
у холда:
f(x)dx=F(-\-оо) — F(a), бунда F( + оо )= lim F(x)
оо
Куйидаги интеграллар хам шунга ухшаш аникланади:
ь ь
f(x)dx = lim \f(x)dx,
b
f(x)dx— lim \f(x)dx+ lim {f(x)dx.
+ Ou
1- м и с ол. j e~'xxdx хосмас интегрални хисобланг (бунда а --
узгармас мусбат сон).
Ечиш. Таърифга кура:
Демак, берилган интеграл якинлашувчи.
2-мисо л. сс>0 нинг кандай кийматларида
интеграл якинлашувчи, кандай кийматларида узоклашувчи экани-
ни аникланг.
Ечиш. а = 1 деб фараз киламиз, у холда:
+ оо V
— = lim ( —= lim 1пх I N= lim ln2V=oo.
J x +oo J X Д1—-f-oo 11 Д'—+oo
Демак, берилган интеграл узоклашувчи. Энди ау=1 деб фараз
Киламиз, у холда:
4-00 /V
Sdx .. С dx .. 1 |__ | Д'
— = lim \— = lim -------------х =
i х“ v-.-4-оо J ха w-»4-oo 1—a h
= lim —-—1).
yv-4-оо 1—а
Демак, а> 1 да
+ <»
с dx ____ 1
яъни берилган интеграл якинлашувчи, 0<а<1 да эса
+ °° .
\ -—=-фоо, яъни берилган интеграл узоклашувчи. Шундай
J х“
4- оо
Sdx 1
— хосмас интеграл а>1 да якинлашувчи ва
1 х
0<а^ 1 да узоклашувчи.
6.11.2. 2-мисолдаги интеграл интегралнинг якинлашувчи ёки
узоклашувчи эканини та^ослаш. аломатларидан фойдаланишда
кулланилади.
1. Агарях) ваф(х) функциялар барча х^а ларучун аникланган
ва [а, +оо) да интегралланувчи хамда барча х^а лар учун
ОС/(*)<ф(х) булса, у холда
+ ® + оо
a) j q>(x)dx интегралнинг якинлашувчанлигидан j f(x)dx
a Ja
интегралнинг якинлашувчи экани келиб чикади, шу билан бирга
4" ОО -}-оо
j f(x)dx< j ф(х)йх;
а а
4-оо 4-00
б) f(x)dx интегралнинг узоклашувчанлигидан j <f>(x)dx
а а
интегралнинг узоклашувчи экани келиб чикади.
2. Агар /(х) функция барча х лар учун аникланган ва
4- °° 4" °О
j \f(x)\dx интеграл якинлашувчи булса, у холда j f(x)dx ин-
а а
теграл хам якинлашади; бу холда у абсолют якинлашувчи интеграл
дейилади, бунда
+ оо
j f(x)dx
а
\f(x)\dx.
4-оо 4- оо
3. Агар f(x)dx интеграл якинлашувчи, J |f(x)\dx узокла-
а а
+ °0
шувчи булса, у холда f(x)dx интегрални шартли якинлашувчи
а
интеграл дейилади.
+ °° .
3-мисол. V --------—----- интегралнинг якинлашувчанлигини
J Зх4+2х2+1
текширинг.
Ечиш. f(x) == ——Ц--------< -Ц- < -у = ф(*) (-*^1 Да) ва
' Зх4 х4
С интеграл якинлашувчи (2-мисол а = 4>1) булгани учун
берилган интеграл хам якинлашувчи (таккослаш аломати асосида).
+ “ ,
4-ми сол. e~^dx интегралнинг якинлашувчанлигини тек-
1
ширинг.
oo
Ечиш. х>1 да f(x) = e~x‘<e Х = ф(х) ва у Xdx интеграл
1
якинлашувчи (1-мисол, а=1) болтани сабабли берилган интег-
рал якинлашувчи.
+ <»
к с dx
5-ми сол. \ - —— интегралнинг якинлашувчанлигини тек-
J х — sin х
ширинг.
+ °О
Ечиш. да f(x) =-----------х—>—=ф(х) ва ( —интеграл
х— sin х х i Х
Н <ю
узоклашувчи (2-мисол, а=1), шунга кура ( —- интеграл
J х—sin2x
узоклашувчи.
6.11.3. [а, й] ораликда узлуксиз, b нуктада узилишга эга /(х)
функциядан олинган хосмас интеграл
ъ
\f(x}dx= iim
J е—+0
а
b — е
а
f(x)dx
тенглик билан аникланади.
Агар бу лимит мавжуд б^либ, у чекли булса хосмас интеграл
якинлашувчи, акс холда хосмас интеграл узоклашувчи дейилади.
Агар F(x) функция f(x) учун бошлангич функция булса, у холда
ь
^f(x)dx = F(b) — F(a),
а
бунда F(b) = lim F(x) .
Агар функция а нуктада ёки [a, b] ораликнинг бирор ички
с нуктасида узилишга эга булса хам интеграл юкоридагига ухшаш
аникланади:
b
b
ва
b
b
\f(x)dx= lim \ f(x)dx+ lim \ f(x)dx.
J £-* + 0 J 6.,^4-U J
a a с + б2
6- м и с о л.
хосмас интегрални хисобланг:
о
Ечиш. Интеграл остидаги функция х= 1 нуктада узилишга эга.
Демак, таърифга кура,
{-#= = lim ( -j== = lim (-2д/Т^7) Ц-е =
J у/\-Х 6_ + 0 J у/\-Х е^ + о V 1и
= -2 lim ( Jl-1+е - JT^0) = -2 lim ( Ji - 1) =2 ,
е- + 0 £-*-4-0
демак, берилган интеграл якинлашувчи.
1
SHy
— (а — узгармас мусбат сон) хосмас интеграл-
о х“
нинг якинлашиш ва узоклашиш шартларини топинг.
Ечиш. Интеграл остидаги функция х = 0 нуктада узилишга эга.
Агар а= 1 булса, у холда ушбуга эгамиз:
1 1
{ — = Пт ( —= limlnx I ' = lim (Ini — Ine) = оо,
J х е-*-4-0 J х е-»4-0 I е е->-4-0
О е
яъни интеграл
Агар 1
узоклашувчи.
б^лса, у холда:
I- х
inn ---------
£-*4-0 I-а
Демак, 0<а <1 да куйидагиларга эгамиз:
. С dx
интеграл якинлашувчи; а>1 да эса \ — =
d х
узоклашувчи.
1 —а
С А= яъни
J v“ 1 —а
о х
оо, яъни интеграл
Шундай килиб, хосмас интеграл 0<а<1 да якинла-
х“
шувчи, а^1 да узоклашувчи.
6.11.4. Охирги мисол натижасидан так^ослаш. аломатларида
фойдаланилади:
1. Агар f(x) ва ф(х) функциялар а^.х<.Ь ораликда аникланган
хамда [а, Ь — е] (0<е<Ь —а) кесмада интегралланувчи ва агар
0<Их) <ф(*) б?лса, у холда:
6 ь
a) $<p(x)dx интегралнинг якинлашувчанлигидан j f(x)dx интег-
а а
ралнинг якинлашувчанлиги келиб чикади, бунда
ь
^<p(x)dx ;
а
b
а
b ' b
6) ^(x)dx интегралнинг узоклашувчанлигидан ^p(x)dx интег-
a a
ралнинг узоклашувчи эканлиги келиб чикади.
2. Агар f(x) функция [а, Ь) ораликда аникланган ва [а,
6
Ь — ъ] кесмада интегралланувчи булса, | f (х) |dx интегралнинг
а
b
якинлашувчанлигидан ^f(x)dx интегралнинг якинлашувчанлиги
а
b
келиб чикади. Бу колда ^f(x)dx интеграл абсолют як^инлашувчи
а
интеграл дейилади.
ь ь
3. Агар ^f(x)dx интеграл якинлашувчи, интеграл
а а
b
узоклашувчи булса, у холда ^/(х) dx интеграл шартли я^инлашув-
а
ни интеграл дейилади.
1
Sdx
——----- интегралнинг якинлашувчанлигини тек-
Vх +2х3
ширинг.
Е ч и ш. Интеграл остидаги функция х = 0 нуктада узилишга эга.
f(x} = 3/-b^<4r=Jr=ф(х)
ух 4-2х ух у
ва (интеграл якинлашади (7-мисол, а=4-< 1), демак, берил-
J
ган интеграл кам якинлашади.
11- дарсхона топширити
I. Хосмас интегралларни кисобланг ёки уларнинг узоклашувчи
эканини
аникланг.
1.
^-dx.
1 I
„2
Ж:^.
о
2.
dx
4 + х2 '
3.
4.
5.
6.
( ^х
J x(lnx)2’
1
c dx
3
_____dx
дАх—x2 —3
Ж: 1.
Ж: узоклашади.
Ж: л.
II. Интегралларнинг якинлашувчанлигини текширинг:
+ °°
7. 1 Х-dx. Ж: узоклашувчи.
4-00
8. (1 — cos-^^dx. Ж: якинлашувчи.
1
Ж: узоклашувчи.
Ж: якинлашувчи.
9 f е*^х
J у/I —COSX
0 v
1 2
10. t -,c-°— dx .
0 д/l—
ll-муста^ил uiu
1/Хосмас интегралларни х,исобланг ёки уларнинг узокла-
шувчанлигини аникланг:
+ °° С dx Ж: 1-1П2.
) Х2(х+1) ’
б) + °о f xdx Ж: узоклашувчи.
J 1+x2 ’ OO
в) + OO г _arctgx , J i x Ж: y+yln2 •
2 f xdx Ж:|.
1) = dx , - 4x — x~
о
1
Sx___~ 1
_ dx . Ж: узоклашувчи
-1 у/ х5
2. Интегралларнинг якинлашувчанлигини текширинг:
a) J Ж: узоклашувчи.
,. г dxdx ...
о) \ -*-== . Ж: якинлашувчи.
V1-X4
7- назорат uuiu
1. Аникмас интегрални топинг:
1.1. ^x3lnxdx . 1.2. C xdx J cos2x
1.3. ^xarctgxdx . 1.4. д/х inxdx.
1.5. jx2<?-2xdx 1.6. f Inx , \ —7-dx . J r
1.7. jx2cos5xdx . 1.8. ^ln2xdx .
1.9. ^xarcsinxdx . 1.10. jarctg д/4х— 1 dx
1.11. ^ln(4x2-f- \)dx . 1.12. f XCOSX J \ "- -ax. J sirrx
1.13. jxsin2xdx. 1.14. ^x-tg2xdx .
1.15. C xdx 1.16. C .vsinxdx
J sirrx v" cos X
1.17. yjx ln‘-xdx. 1.18. C ln2xdx
1.19. ^x- ln2xdx . 1.20. jj x3ln2xdx .
1.21. ( In2* j \ dx . J yx 1.22. jj (x2-|-2)e2dx.
1.23. (x + 3)2sin2xdx. 1.24. jin(x2+4)dx .
1.25. j arctg-^dx. 1.26. C U \x- a resin—dx J x
1.27.
1.29.
x-32dx .
x3- arctgxdx
i oo ’ f arcsinx ,
1.28. \—-------- dx .
J Vх—'
. <>n C Incosx ,
1.30. \------— dx .
J sirrx
2. Аникмас интегрални топинг:
2.1. 1 2x — 1 , I — г dx . 2.2. ( j /+2 -dx.
3 д/х2 — 4x + 1 J x2 + 2x-|-2
2.3. ( j *+3 dx. 2.4. ' —dx.
' д/ 4x2 + 4x + 5 ) 2x24-2x4-3
2.5. । i x-H . д/х24-х—2 2.6. 1 X+ dX . J 34-4x—x2
2.7. 1 2.9. 1 ? 2x—3 , 2.8. ’ 1 — dx .
1 —===== dx . J y8 —2x —x2 j 8*±3__ dx . 2.10. 1 J x24-x-|-1 Г x —7 . \ dx J x24-4x4-13
3 д/54-2х — x2 2.12. 1 j x+5 dx.
2.11. 1 3x — 1 , \ — dx . J д/Зх24-6x4-!
J x2-6x+io 2.14. C ' x-|-2 , \ — dx .
2.13. j 2-^ dx. J д/з — x2 + 2x
J 4x2—12x+13 2.16. ( 2*+3- dx
2.15. C 3x~2—dx. 3 Д/15 —4x24-4x
J 5x—3x4-2 С Зх 1
2.18. \ —== dx .
2.17. \ —5 dx . J д/х24-2х4-2
J 5x 6x -J- 5 8 Г г ч
2.20. \— х 3 dx.
2.19. f _/2x- 1 _ dx 3 д/з —2х —х2
J 5x2 — x4-2 2.22. f х — 2 . \ — - dx .
2.21. I X о » \ -dx . 3 Д/4 —2х —х2
J 5 — 4x 4- 4x2
2.23. ( 5x+j dx ' x2 4-10x4-29 2.24. \ — ~ — - dx . 3 д/х2 —2x4-1
2.25. C X + 1 J \ —«—! dx. 2.26. t 2-‘—dx.
J бх2 4-2x4-1 3 д/х2 —4x4-1
2.27. f 2x — 5 , \ —7 dx . J x2 4-6x4-13 2.28. ( 2x+1 — dx. 3 д/х24-4x4-2
2.29. ( ?£+3—dx. 2.30. ( х~5 - dx.
J 15-4x24-4x 3 д/б-|-4х —х2
3. Аникмас интегрални топинг:
3.1. f dx 3.2. f X— 1 , J x3 + l
J 4x3+x '
3.3. f xdx 3.4. f x2 —3 1 л- о » dx .
J x —3x+2 J x4+5x2 + 6
3.5. C x2dx 3.6. f x-j-3 , = 5 dx .
J x4-16 J x +x —2x
3.7. f x—2 . xdx. 3.8. C 2x2 —3x— 12 . \: 5 dX .
J x4 + 4x2 J x3+x2-6x
3.9. C x4dx 3.10. f 6x4—1 , \—5 dx .
J x4 + 6x2 + 8 J 2x3-x+l
3.11. f x— 1 J 2x3+3x2+x dx. 3.12. f x+4 j \~3 5 dx . J x3+6x2+9x
3.13. ( dx. 3.14. f dx
J xd + x —6x J x4 + x3 + x2 + x
3.15. ( /~6 dx. 3.16. f dx
J x4 +6x + 8 J x4 + 5x2 + 4
3.17. C xPdx 3.18. C 2x2 — 3x —3 . \ 5 dx
J x4+x2-2 J (x-1)(x2-2x + 5)
3.19. f dx 3.20. f (3x— 7)dx
J x4—x3+x2- X J x3 + x2 + 4x + 4 ’
3.21. f x + 2 dx. 3.22. f x~1 dx.
J x3 —2x2+2x J x3+x
3.23. C xdx 3.24. C x3—6 , \—j dx .
J x3-l J x4 + 6x+8
3.25. C x4dx 3.26. f x5+x4-8 .
J x4 + 5x2 + 4 J x3 —4x
3.27. f dx Q 2Я 1 [ x2dx
J 4x3—x J (x + 2)2(x + 4)2 ‘
3.29. [ dx 3.30. 1 Г x+5 , j : -dX .
J x —8 ) x4+2x3 + x2
4. Аникмас интегрални топинг:
4.1.
4.3.
dx
tJx + fyx)
4.2.
4.4.
V*+1 -1
+1
dx.
4.5. [ д/ xdx 4.6. ( Jx — 1 ,
1 3.— • 1+ ух2 J д/х+1
4.7. ' Г д/ х dx J +2 ' 4.8. с 3Г (. Vх dx J l+д/х ax’
4.9. 4.11. [ dx 4.10. f 1 + д'7=л , \ * dx . J д/х— 1 C dx
j д/х 4- у/х Г xdx 4.12.
j д/Т+х 4.14. J хд/х+ 1 f xdx
4.13. ' 4.15. [ xdx ' д/5х—1 C x dx
J (2 + 5x) V2 + 5x C dx 4.16.
J д/1 — 2x — д/1 — 2x J 1 + д/х
4.17. 1 [ dx 4.18. (—"-ТГ-1— dx.
4—< w * 1 1 K> * I ts3 1 J ^x^lx+l)
4.19. f dx 4.20. 1 Г dx
J д/хС^х3-!) ' y/T^2 (1+ ^7=^2)
4.21. dx, j 1 + д/х4~3 4.22. ' L.VX+1...+ 1 dx ) д/ X+T - 1 ax
4.23. y +1- - dx . J д/2х+1 4.24. ( д/х +1 , 1 4 ' (Vx+4)Vx3
4.25. [ xdx 4.26. ' p-^x_+2^dx x + 2V*3 + V
J 2+ д/2х+1 '
4.27. < dx 4.28. ' Г 1 + ~\/ x . 1 6~—~ dx у/ x5 (1 + д/ x )
1 д/7+З (14- д/*+3) ’
4.29. ( dx. J йх-1 +1 4.30. ' 2'у/x 1 , ——-— dx . 1 4 —.
4
д/х3 (у/х +4)
5. Аникмас интегрални топинг:
5.1. f sinxdx 5.2. (’ dx
J 5 + 3sinx J cosx(l +cosx)
5.3. [ sin2xdx 5.4. C 1 —sinx
J (1 +cosx+sinx)2 J cosx(l 4“cosx)1
5.5. f cosxdx 5.6. f 14-sinx
J 1 4-cosx4-sinx
J 1 -|-cosxsinx
5.7. С cosx — sinx , 1 9 • J (14-sinx)2 5.8. t it!?* dx. J 18sin2x + 2cos2x
5.9. С 1+ctgx 5.10. i ;6+1^ , dx . J 9sin x4-4cos x
i CLX . J (sinx+2cosx)
5.11. C 5t_gx+2 J 2sin2x+5 ’ 5.12. f 36dx
J (6 — tgx)sin2x ’
5.13. ( dx J 4 + 3cos2x ' 5.14. r 3 I sin x . \- — dx . J -\/sinx
5.15. Г sin3x , 1 4 dX j COS X 5.16. C sin2x , \—dx . J cosJx
5.17. f dx J sin3x 5.18. sin4~2*Zx.
5.19. cos5xdx . 5.20. cos2xsin4xdx.
5.21. j ctg3xdx. 5.22. tg4xdx.
5.23. cos4xsin2xdx. 5.24. C dx J sin6x
5.25. sin6xdx. 5.26. sinx • sin2x • sin3xdx.
5.27 1 t tgx + 2 , 5.28. I dx
Jsin x-|-2cos2x—3 ) sinx(l — sinx) ’
5.29. f dx 5.30. ( cosxdx
J (3tgx+5)sin2x ' 1 (1 —cosx)3
7- намунавий уисоб топширик,лари
1. Аник интегрални хисобланг:
• 3 1.1. \ (arccosx) — 1 dx 0 Vi-x2 Jl T 1.3. j tgx* Incosxdx . 0 1.5. \-x'dx . J (x2+l)2 k 3 1 7 \ x “X Jx2+‘ ' L2. l8x-a-rctg^rfx J 1 +4x2 1.4. Uiln^dx. J X I sini 1.6. _<arc?in*>_.+ 1 0 y/l-X2 4 1.8. ( x-(arctgx) dx J 1+x2
19 { xdx 1.10. ( tg(*+1) dx
J ?+l _4 cos2(x+1)
^ + i
1.11.. f .1 + ln<A^)_rfx. J X— 1 1.12. \ x ax . о л/4-х8
e+1
Л
T 6
1.13. j e3sir4in2xdx. 1.14. cos3x4sin* dx .
0
1 15 I 23arctg2xdx 1.16. ( ln3*+.3 dx. J xlnx
J l+4x2 e
Л 1.18.
। I? C sinxdx j 1+x8
o' "\/cos2x+2 Л
n 1 20 ( sin2x dx
1.19. [ dx 0 yl+cos2x
J cos2x(2tgx + 1) 1
1.22. ( e3‘dx
1.21. ( ^5+_3^dx. i 16+efe
J x
1 JL
1 94 ( xdx
1.23. jx2e~2?dx. 0 yh-x4 I
1 91 f 2Xdx 1.26. f —^dx_
1 .Zu. \ . <! Л/4 + 4х J ex + e~x 0
r x^dx 1.28. t ^ '™dx.
1.27. J x
J COS X
0
я2 V4
1.29. ( S^Ldx. J Vх n2 1 30 \ xdx '•3°- LsinV
2. Аник интегрални хисобланг:
2.1. \ (х2—3x4*2) sinxdx.
(х24-7х4~ 12)cosxdx.
2.3. 2.5. 3 (х—1 )3ln2(x—l)dx. 2 (2x2 + 4x + 7)cos2xdx. 2.4. (x2—5x4-6) sin3xdx. 0 1 _± 2.6. x2e 2dx. -1
2.7. 0 (x2+6x + 9)sin2xdx. -3 2.8. (9x24-9x +1 l)cos3xdx. 0
2.9. 2 xln2xdx. 1 Л Л T 2.10. (1 — 5x2)sinxdx. 0
2.11. (8x2+16x+17)cos4xdx. 0 i 2.12. jx2e3xdx.
2.13. 3 (3x —x2)sin2xdx. n T 2.14. (3x2+5)cos2xdx.
2.15. 0 J (x + 2) 3ln2(x + 2)dx. — 1 i 2.16. xarctgxdx. 0
2.17. 2л (1 — 8x2)cos4xdx. 0 л ° i 2.18. (x2 + 2)e2dx. -2 Л
2.19. T x2sin4xdx. 0 2.20. xsinxcosxdx. — Л
2.21. f 1 \ arctgydx. i 0 2.22. (x+ l)ln2(x+ [)dx. -i
2.23. 3 (x2—3x)sin2xdx. 0 0 2.24. (x-|-2) 2cos3xdx. -2
2.25. e y]x'ln2xdx. i 1 2.26. arc sin(l — x)dx. i
2.27. 0 (x2+2x+ l)sin3xdx. -i 0 2.28. (x2+5x + 6)cos2xdx. -2
2.29.
а 9
г In xdx
л
У
2.30
о
xdx
cos23x
3. Аник интегрални хисобланг:
3.1. аге tg3 ( 1+ctg/- -dx. J (sinx-h2cosx)2 Г 3.2. 2 cosxdx
2 4- cosx
3.3. 2л 0 sin8x dx 3.4. л T 0 bsin X , ax. 3cos2x-4
3.5. л ~2 г cosx — sinx , \ 5- dx. J п+sinx)2 аге tg2 3.6. 3.8. 2 л 0 Л ~2 . 6 X 2 X J sin — cos —ax. 4 4 cosxdx
3.7. + dx 54-4cosx
\ о 9 J 3sinx+12cosx 0
3.9. 2л sin2xcos6x dx 3.10. я T (7 4-3tgx)dx
0 0 (sinx-f-2cosx)2
2л Л T 0 л T
3.11. 0 1+ sinx , , •—dx. 1 -j-cosx + sinx 3.12. cos5xdx.
л т ^+2 dx 3.14. cosxdx
3.13. 1 4-SinX —cosx
0 2sin2x+5~~' Л T
3.15. л Т ±^LdX 2 + 3tgx 3.16. Л T sin^xdx.
3.17. л т 14- cosx , —— , —dx. 1 + COSX -j- sinx 3.18. Л T ctg3xdx.
л T Л
3.19. т Lg2£ -dx 4 4-3cos2x ’ 3.20. "2 binxdx
0 54-3sinx
3.21.
2л
S8 X ,
cos —dx.
4
О
3.22.
arctg3
---^-5______dX.
1 — sin2x + 4cos2x
3.23.
dx
cosx (1 + cosx)
2л
3.24. f sin2 4 cos6 4 dx.
J 4 4
о
3.25.
C 2tg2x—1 Itgx —22
J 4 —tgx
0
3.27.
3.29.
Л
з"
$ tg4xdx.
Л
Л
T
Ssinxdx
(1+sinx+cosx)2
3.26.
3.28.
3.30.
2arctg2
Sdx
sinx(l 4-sinx)
T
aretg-L
f ------__________dx.
J 18sin2x-|-2cos2x
2л
sin43xcos43xdx.
4. Аник интегрални хисобланг:
4.1. 4.3. In 1 Q ( d,: 4 l+</3x + 5 3 r yx z — 2 . \ dx. X 2
4.5. 6 64 4.7. J i V 4.9. 1 In 4.11. ( In 29 4.13. $ 3 । yjex—l dx. ...1-^+2^^ x + 2 4*? + \x‘‘ '3 dx
1 Vu+x2)3 3 dx
2 Vl+ex ^-2|2 dx. 3+ V(x-2)2
4.2. In5 ехд/ех— 1 , — dx. ex + 3
4.4. 2 x + V3x-2 -10 , V3x-2+7 dX-
4.6. 2 dx
0 (4 + x2) л/4 + х2
4.8. In2 dx
0 ex4 1 — e~2x
4.10. 64 (2+ yjx )dx
(ylx +2^х + д/'х) д/х
4.12. 2 Vx2—1 x N 4 dx. X
4.14. InH ) • > dx
ln5 \M + 4
2
4.15.
о
о
x^dx
V 16-x2
4.16.
4.17.
1 — e .
------dx.
4.18.
1пЗ
4
4.19.
dx
1 + \/ 2x -f-1
4.20.
4.21.
x2dx
д/4-*2
4.22.
1пЗ
4.23.
1п2
2
dx
ex-e
4.24.
4.25.
dx
4.27.
4.29.
о
4
О
1п2
о
dx
dx
ex(3 + e-x)
4.26.
4.28.
4.30.
8 ,___
f _Y.x+2 +1 dX
J v^+t -1 ax’
3 ______
j x2y/9 — x2 dx.
-3
— In2
2
exdx
о
о
2
dx
Зг—г-т ’
Sdx
Vd6-x2)3
21n2
1п2
5
о
о
5. Хосмас интегралларни х,исобланг ёки
эканини
исботланг:
5.1.
а)
xdx
5.2.
2
5.3.
б)
о
z>tgX
----2~dx.
COS X
а)
f 2^dx.
J 1+4X2
2
5.4.
б)
dx
J 5 .-- ----
1 у4х—х2 —4
dx
ex-i
dx
2x + з/Зх-j- 1
x2 у/1 — x2 dx.
уларнинг узоклашувчи
а)
б)
а)
б)
О
я
о
о
л
3 _ V2
О Л «
-n-----dx;
x2 + 4
cos3xcZx
6 — - - —
V (1 — sin3x)5
(x+2)dx
з,-----—
Ssinxdx
7.—
Д V COS';
2
5.5.
J 4x2 + 4x + 5 ’
5.6.
"bp
Sxdx
4x2 + 4x + 5 ’
6) 0 dx
~3 1 V 1 + 3x
5.7. a) 0 '',rcte? dx; 1 +4x2
6) i dx
T \/3 —4x
5.9. a) 00 xsinxdx;
6) 0 I dx
T ^l-2x
5:il. a) 00 dx
1 ,T (1 +9x2) arctg^S.
6) 1 x4dx
0 3 , V 1—X5
5.13. a) 00 dx
i x% -J- 2x
6) Л T 0 sin3xdx У cosx
5.15. a) 00 dx
/ x(lnx— I)2
6) 1 4 dx
0 yl— 4x
5.17. a) 00 dx
-1 x2 + 4x + 5
C 2xdx
0 Vl-x4
5.8. a) 00 f dx
J x(l+ln2x)
6) 2 f dx
J 5 / 1 y/4x — x2 — 4
5.10. a) -1 C
J x2 — 4x ’ — 00
6) 2 2 f x dx
} л/б4-х6
5.12. a) 00 dx
2 (4+x2) -yjarctg^
6) 3 -\/9 xdx 3 ,
0 л/э —x2
5.14. a) 00 dx
1 x3+x2
6) T dx
o- (2x-l)2 ’
5.16. a) 00 dx
1 6x2-5x+1 ’
6) 2 xdx
0 (4—x2)3
5.18. a) oc xdx
1 V16x4-1
3 dx б) dx
б) S — д/х2 —6х 4-9
1 Л/(3-х)5 I
00 x3dx 5.20. а) оо xdx
5.19. а)
0 д/16х44-1 ’ 4 у*2 — 4x4- 1
б) 1 xdx 3 з+- р 1 —5— dx. хг
0 1 — х4 б) 0
5.21. а) оо . xdx . 5.22. а) оо xdx
2 16х4 — 1 0 1 Vu2+4)3 ’ ИЦ^-Hdx. Зх — 1
б) Vln(2-3_x)_ 2 —Зх б)
0 т
5.23. а) оо x2dx 5.24. а) оо xdx
3 . ’
0 у(х3 + 8)4 0 д/ (164-х2)5
б) 1 dx 1 dx
т (I—x)ln2(l—х) б) т 20X2 —9x4-1
5.25. а) оо dx . 5.26. а) оо dx
1 9х2 — 9x4-2 ’ 3 x2-3x-|-2 ’
б) 1 т dx б) 1 dx
0 у/ 1 — Зх 0 (5x—I)2
5.27. а) оо xdx 5.28. а) оо e~3xxdx;
1 х2 —4x4-5 0
б) 2 xdx 1 2 dx
4 , ’ б)
0 у/4 — X2 0 y/2-4x
5.29. а) оо xdx . ' ос ' x^dx
5.30. а)
0 16х4-Н 0 16x44-1
б) 1 x2lnxdx. б) 2 dx
0 0 x2 — 5x-|-6
6. Берилган чизиклар билан чегараланган фигуранинг юзини
хисобланг:
6.1. х = 4 — (у— I)2, х = у2 — 4у — 3.
6.2. х = 2д/2 cos/, у = 3д/^ sin/ (у^З).
6.3. r = 6cos3q), г^З.
6.4. х = (у — 2)3, х = 4у — 8.
6.5. x = 8cos3/, y = 4sin3/ (х^Зд/З).
6.6. r = cos<p, r = sincp
6.7. y= (x+ I)2, y2 = x+ 1.
6.8. x=4(/ —sin/), y = 4(l —cos/) (0<х<8л, y>4).
6.9. r = 4cos3cp.
6.10. y=(x —2)3, y = 4x — 8.
6.11. х = д/2 cos/, у = 4д/2 sin/ (y^4).
6.12. r = 2(l —coscp),
6.13. y=(x—I)2, y2 = x — 1.
6.14. x = 24cos3/, y = 2sin3/ (х>9д/3).
6.15. r2 = 2sin2<p.
6.16. y = 4 — x2, y=x2 —2x.
6.17. x = /— sin/, y= 1—cos/ (0<х<2л, y^l).
6.18. r = 3sin4(p.
6.19. xy — 4, x—y = 5.
6.20. x = 6cos/, y = 4sin/.
6.21. r = 2(l -J-coscp).
6.22. y2=16 —8x, y2 = 24x4-48.
6.23. x = 32cos3/, y = sin3/ (x^4).
6.24. r = 2sin3(p.
6.25. y = x2 — Зх, Зх-фу —4 = 0.
6.26. x=6(/ —sin/), y = 6(l —cos/) (0<x< 12л, у^=9).
6.27. r = 4sin3(p(r^2).
в.28.^^.^4.
6.29. x = 4cos3/, y = 4sin3/.
6.30. r = cos2<p.
7. Берилган чизик ёйининг узунлигини хисобланг:
7.1. у= д/1 —х2+arc sinx, О^х^ у.
7.2. x = 2cos3/, y = 2sin3/, 0^/<4
7.3. r = l—sincp, —y^cpC—
7.4. u— I — In cosx,
b
7.5. x=2(t— sin/), y = 2 (1 —cos/), 0</<y.
7.6. r = 8(l-cosq;), —0.
7.7. x=e'(cos/+sin/), y=e‘(cost— sin/), 0^/<-^.
7.8. y = ex+13, lnVT5<x^ln-V24-
7.9. r = 3e~r,
7.10. x = 4(/ —sin/), y=4(l—cos/), y</<-y-.
7.11, y=lnsinx, y^X^y.
7.12. r = 8sinq;, 0<Ф^у.
7.13. x=10cos3/, y = 10sin3/, 0</<y.
7.14. у = y (1 -ex-e“x),0<x< 3.
7.15. r = 4q), 0^q)< -J.
7.16. x = 5cos2/, y = 5sin2/, 0</<y.
7.17. y = lnx, д/3<х< \Д5-
7.18. r = 7(l-sinq)), -
7.19. x = 3(/ —sin/), y = 3(l—cos/), л^/< 2л.
7.20. у =— In cosx, 0<Ix<:“.
7.21. r = 2(l—cosq>), ——у
7.22. x = 3(2cos/ — cos2/), y = 3(2sin/ — sin2/), 0^/^ 2л-
7.23. y = 2 — ex, lnV3<x^lnV8.
7.24. r = 4e~ , OsCq.sCy .
7.25. x = 8cos3/, y = 8sin3/, OsgC/sCy.
7.26. y=l-ln(x2-l), 3<x< 4.
7.27. r=6(l 4-sincp), —
7.28. x— (t2 — 2) sin/4-2/cosZ, y= (2 — /2)cos/ -|-2/sin/, 0</<4-
□
7.29.
7.30.
y = e2-j-e 2, O^x^ 2.
3<p
r=3e~ o<<₽<4-
о
8. Функциялар графиклари билан чегараланган фитурани
берилган координата уки атрофида айлантиришдан косил булган
жисм хажмини хисобланг:
8.1. у=(х—1)2, х = 0, х = 2, у = 0 (Оу).
8.2. у= — х2 + 5х — 6, у = 0 (Ох).
8.3. x = 3cos2/, z/ = 4sin2/, (о</<у) (Оу).
8.4. t/2=(x —I)3, х = 2 (Ох).
8.5. у=х3, у=х (Оу).
8.6. x — Q(t — sin/), z/ = 6(l — cost) (Ox).
8.7. (/ = x2-2x+1, x = 2, y=0 (Oy).
8.8. y=2x—x2, y=0, 2x2-4x+y = 0 (Ox).
8.9. x = 2cos/, t/ = 5sin/ (Oy).
8.10. i/ = 3sinx, y = sinx (О^х^л) (Ox).
8.11. z/ = arcsinx, t/ = arccosx, y = 0 (Oy).
8.12. x=7cos3/, (/ = 7sin3/ (Ox).
8.13. y=(x-l)2, t/=l (Oy).
8.14. x— y/y — 2 , x=l, y=l (Ox).
8.15. x=y/3cosZ, z/=2sin/ (Oy).
8.16. y = 2x—x2, (/=—x + 2 (Ox).
8.17. y= д/х—I , y = 0, y=), x = 0,5 (Oy).
8.18. x = 2(/—sin/), y = 2 (1—cos/) (Ox).
8.19. y=x2 + l, y = x, x = 0, x=l (Oy).
8.20. y = el~x, y=0, x = 0, x = l (Ox).
8.21. x = 2cos/, y = 6sin/ (Oy).
8.22. z/2 = 4x, x2 = 4z/ (Ox).
r2
8.23. y = 2-y-, x+y = 2 (Oy).
8.24. t/ = cos3/, </ = sin3/ (Ox).
8.25. y = 5cosx, y — cosx, x^O (Ox).
8.26. ;/ = lnx, x = 2, y=Q (Oy).
8.27. x = 3cos/, z/ = 8sin/ (Oy).
8.28. y=x2, y2—x=0 (Ox).
8.29. i/ = arc cos y, f/ = arc cos y, y=0 (Oy).
8.30. y = ex, x = 0, y = 0, x=l (Ox).
7-6 об
БИР НЕЧА УЗГАРУВЧИНИНГ ФУНКЦИЯСИ
1-§. Бир неча узгарувчи функциясининг хусусий
хосилалари ва тулик. дифференциали
7.1.1. Агар бирор D тупламнинг хар бир (х, у) хакикий сонлар
жуфтлиги бирор коида билан Е тупламдаги ягона z хакикий сонга
мос куйилган булса, у холда D тупламда икки узгарувчининг
функцияси z аникланган дейилади ва куйидаги к^ринишларда
белгиланади:
z=f(x, у), z=z(x, у) ва х. к.
D туплам функциянинг аникланиш сохаси дейилади.
Геометрик нуктаи назардан z = f(x, у) функциянинг Oxyz тугри
бурчакли координаталар системасидаги тасвири (функциянинг
графиги) бирор сиртдан иборатдир.
Исталган чекли сондаги узгарувчининг функцияси хам юкорида-
ги каби аникланади.
1-м и с ол. z— у/4 — х2—у2 функциянинг аникланиш сохасини
топинг.
Ечи ш. Берилган функция 4 — х2 —у2^0, яъни х2-]-у2^. 4 шарт-
да хакикий кийматлар кабул килади. Демак, функциянинг
аникланиш сохаси маркази координаталар бошида булган, радиуси
2 га тенг доирадан иборат.
2- м и с ол. и= In (1 — х2—у2 — z2) функциянинг аникланиш соха-
сини топинг.
Ечиш. Берилган функция 1 — х2— у2 — z2>0, яъни
х2 -\-у2 -\-z2 <Z\ шартда аникланган. Бинобарин, берилган функция-
нинг аникланиш сохаси маркази координаталар бошида, радиуси
1 га тенг шар булади, бунда шар сирти (сфера) аникланиш сохасига
кирмайди.
7.1.2. Агар х узгарувчига бирор Ах орттирма бериб, у ни
узгаришсиз колдирсак, у холда z=f(x, у) функция Axz орттирма
олади, бу орттирма z функциянинг х узгарувчи буйича хусусий
орттирмаси дейилади:
Axz = f(x-|-Ax, у)— f(x, у).
Худди шундай, у узгарувчи Ау орттирма олиб, х узгаришсиз
Колса, у холда z функциянинг у узгарувчи буйича хусусий
орттирмаси куйидагича ёзилади:
= у + Ау) — f(x, у).
Агар lim—чекли лимит мавжуд булса, у z=f(x, у)
Дх->0
функциянинг эркли узгарувчи х буйича хусусий хосиласи дейилади
д z
ва —— ёки f'x(x, у) билан белгиланади. Демак,
lim
Дх^О
Дхг
Дх
lim
Дх-*0
f(x + ^x, у) — f(x, у)
Дх
= -JT = f'Ax, У)-
дх ' J’
Агар lim—чекли лимит мавжуд булса, у z=f(x, у) функция-
нинг эркли узгарувчи у буйича хусусий хосиласи дейилади ва
— ёки f'(х, у) билан белгиланади.
ду 'и' 3'
Хусусий хосилалар учун бир узгарувчи функциясини диффе-
ренциаллашнинг коида ва формулалари сакланади.
Исталган чекли сондаги эркли узгарувчи функциясининг хусусий
хосилалари хам юкоридагидек аникланади.
3- м и с о л. z = arc siny функциянинг хусусий хосилаларини
топинг.
Е ч и ш. у ни узгармас деб, х буйича хусусий хосилани топамиз:
Энди х ни узгармас деб хисоблаб, у узгарувчи буйича хусусий
хосилани топамиз:
4- м и с ол. и= д/1 —х2—у2 —г2 функциянинг хусусий хосилала-
рини топинг.
Е ч и ш. =--------===1=== (— 2х) =----------- .
дх 2 д/ 1—х2 —у2 —г2 у/ \-х2 — у2-г2
— = — J (- 2у) =---------------. у ;
ду 2-\!\-х2 — у2 — г2 у/ i-x2-y2-z2
ди _ 1
~ 2^~l-x2-y2-z2
(-2z) = -
z
7.1.3. Агар х ва у узгарувчилар мос равишда Дх ва Ду
орттирмалар олса, у холда z = /(x, у) функция \z = f(x-{- \х,
у-\-&у) —f(x, у) туляк орттирма олади. Бу тулик орттирманинг Дх ва
Ду ларга нисбатан чизикли булган бош кисми функциянинг тулик
дифференциали дейилади ва dz оркали белгиланади.
z=f(x, у) функциянинг тулик дифференциали куйидаги формула
буйича хнсобланади:
dz = -^-dx+-^-dy,
дх ду
бу ерда dx = Ax, dy = \y.
Тулик дифференциалдан кУпинча функциянинг такрибий
кийматларини хисоблаш учун фойдаланилади, чунки \zwdz, яъни
Пх + Дх, у + Ду) «Их, у) +bz.
5-м и с ол. z = arc tg у функциянинг тулик дифференциалини
топинг.
Ечиш. Дастлаб хусусий хосилаларни топамиз:
dz 1 / г/ \ у дг 1 1 х
+ \ х2Г М ' ду~ Х + (^ "* * * х~ х2+у2 ‘
ТУлик дифференциал формуласига кура:
, —У^х I хс1У xdy—ydx
х2+у2' х2 + у2 x2+j/2
6- м и с ол. и= д/х2+у2+г2 функциянинг тулик дифференциа-
лини топинг.
Ечиш. Хусусий хосилаларни топамиз:
ди__________2х_____________х_____ .
дх 2y]x2+y2 + z2 yj X2 + у2 + г2
ди _ _ 2у _ у ,
ду 2y]x? + y2 + z2 y/x2+y2+z2
ди 2z Z
дг 2 Vx2+y2 + z2 y]x2+y2 + z2
Демак, тулик дифференциал:
dz________xdx . ydy_______________.______zdz _ xdx+ydy + zdz
^x2 + y2-^-Z2 yj x2+y2 + z2 ^jx2+y2 + z2 y/x2 + y2 + z2
7-ми сол. 1,02301 ни такрибий хисобланг.
Ечиш. z=xy функцияни караймиз. Унинг х=1 ва у = 3 даги
киймати z=l3 4=l га тенг.
z—xy функциянинг тулик дифференциалини топамиз:
dz=уху ~1 \х + ху 1 пх Д у.
х=1, у = 3, Дх = 0,02 ва Дг/ = О,О1. Шунинг учун dz = 3-l2-0,02 +
+ 131п1-0,01 =0,06 булади. У холда изланаётган киймат:
(1,02)3’01 да f (х, у) + dz = 1 + 0,06 = 1,06.
/- дарсхона ronuiupuFu
1. Функцияларнинг аникланиш сохасини топинг:
a) г= д/х2+(/2—9 ; б) г = агс sin(x-j-z/);
В) г=1п(у: —2х + 4): г) .
2. Куйидаги функцияларнинг хусусий хосилаларини топинг:
a) z = x34-t/3 —Захг/;
sin-2-
в) z — e х ;
Д) Z=ln|x+ у]х2+у2\ ;
ж) u = zxy',
х — у
б) z=—
х + У ________
\ /х2 — у2
г) 2 = arc sin -\ /-5—V ;
у х2+у2
е) z=In sin ;
V«/
з) и={хуУ-
3. Куйидаги функцияларнинг тулик дифференциалини топинг:
a) z = lntg-p б) z = ln(x2+y2);
в) г= \~у ; г) u = arctg-^f .
х +у2
4. Такрибий хисобланг:
а) 1п(0,093 + 0,993); б) д/(4,05)2+ (2,93)2 .
Ж: а) -0,03; б) 4, 998.
/- му ставил или
1. Функцияларнинг аникланиш сохасини топинг.
a) z=ln(y — x); б) z= д/cos(х2+у2) ;
B) r=ln ; Г) u= -yjx + y + z .
2- Куйидаги функцияларнинг хусусий хосилаларини топинг:
a) z = exy^+^j ; б) z = arctg—^-т-;
7 v 1 +х2
B)^z = y-x!/; г^, z = arc tgy+агс tgy ;
д) ы = х+ Х~У
У — z
3. Функцияларнинг тулик дифференциалини топинг:
а) г=1п cos-b б) z= ln(z/+д/х2+у2); в) и = 2
у X +у
4. Такрибий хисобланг:
а) д/ (1,02) 3-Н (1,97)3; б) sin28°-cos61°.
Ж: а) 2,95; б) 0,227.
2- §. Мураккаб функциянинг хосилалари.
Ошкормас функциянинг хосилалари
7.2.1. Агар z=f(x, y),x=x(t), y=y(t) функциялар дифференци-
алланувчи булса, у холда z=f(x(t), y(t)) мураккаб функциянинг
хосиласи ушбу формула буйича топилади:
dz dz dx . dz dy
dt дх dt ' dy dt '
Агар z = f(x, у), у=у(х) б^лса, у холда z=f(x,y(x)) дан х буйича
тулик хосила куйидаги формула буйича топилади:
dz dz dz dy
dx dx ' dy dx '
Худди шунингдек, x=x(u, v), y=y(u, v) булса, у холда z=f(x, у)
нинг хусусий хосилалари куйидаги формулалар буйича топилади:
dz __ dz dx . dz dy dz___ dz dx . dz dy
du dx du ' dy du ’ dv dx dv ' dy dv '
1-мисол. Агар x = el ва z/ = ln/ булса, z = y функциянинг хоси-
ласини топинг.
E ч и ш.
dz___ dz dx . dz dy___ 1 t x 1 ___ tyel — x
dt dx dt ' dy dt ~y^ t y2-t '
2-ми сол. Агар у=х2 булса, z = arctgy функциянинг тулик
хосиласини топинг.
Ечиш. Тулик косила формуласига кура:
dz___ dz
dx дх
dt/ _ 1____/___У\
dy ' dx 1+f—Y \ x'
__ —y i 2x2 __ 2x2 —y 2x2 — x2_______1
x2 + y2 x2 + y2 >?+y2 x2-f-x4 1-f-x2
v . dz у
Хусусии косила: — =------, - „ .
дх х2+у2
3- м и с ол. Агар x = uv, г/ = -^-булса, z = ln(x2+у2) функциянинг
хусусий хосилаларини топинг.
.. dz дг дх . dz ду < 2х . 2у 1
Ечиш. —=-------------------/-= 9 - 2 • v + ~V—
ди дх ди ду ди х2 + у2 хт-^-у2 и
— 2 (X v I У} — 2 dZ—dz.dx dz ду _
х2-уу2' ' v и’ dv дх dv 4 ду dv
_ 2х 2у / И\_ 2 / уи\ 2(и4—1)
х2 + г/2 г + у2\ и2)~ (^+\)v
7.2.2. Агар F(x, у) =0 тенглама бирор у(х) функцияни ошкормас
куринишда аникласа ва Fy(x, у) =F=0 булса, у холда куйидаги
формула уринлидир:
dy _ _ Fx(x,y)
dx~ F'y(x,y) '
Arap F(x, у, z) =0 тенглама икки Узгарувчили г(х, у) функцияни
ошкормас куринишда аникласа ва F'z(x, у, z) булса, у холда
куйидаги формулалар Уринлидир:
dz Fx(x,y,z) dz Fy(x,y,z)
dx Fz(x,y,z) ’ dy Fz(x,y,z)
4- м и с ол. Ошкормас куринишда
(x2 + //2)3-3 (х2+у2) + 1=0
тенглама билан берилган у(х) функциянинг хосиласини топинг.
Ечиш. Тенгламанинг чап томонини F(x, у) оркали белгилаймиз
ва хусусий хосилаларни топамиз:
F' (х, у) = 3 (х2+у2) 22х - 6х = ((х2+у2)2 - 1) • 6х;
Fy(x, у} =3(x2 + z/2)2z/ —6у=((х2Н-у2—1) -6г/.
Демак, А= — F^x'у) — — 6х((х2+у2)2~1) ________£
dx Fy(x,y) 6i/((x2 + i/2)2—1) у'
5- м и с ол. Ошкормас к^ринишда х2 — 2z/2 + 3z2 — yz+y=Q тенг-
лама билан берилган z(x, у) функциянинг хусусий хосилаларини
топинг.
Е ч и ш. Тенгламанинг чап томонини /Дх, у, z) оркали белгилаб,
хусусий хосилаларни топамиз:
Fx=(x, у, z)=2x; F'y(x, у, z) = — 4у — z+1; F'2(x, у, z)=6z — y.
Демак,
dz _ F'x(x,y,z) 2x dz _ Fy(x,y,z) _ i-^-z
dx Fz(x, y, z) &z-y ’ dy~ p'z(x,y,z)~ te~y '
2- дарсхона топишриги
l. Агар z = ln-y, бу ерда u = tg2x, o = ctg2x б^лса, ни то-
пинг.
2. Arap z=—»—бу ерда у = 3х + 1 булса, ни топинг.
X +у ах
3. Агар z = x2y, бу ерда y=cosx булса, вани топинг.
дх dx
4. Агар z = u2lnu, бу ерда и=-^, v = x2+y2 булса, ~ ва ~ ни
топинг.
5. Агар z—x2y—y2x, бу ерда x = «cosw ва z/ = «sini? булса,
dz dz
-z— ва —— ни топинг.
du dv
6. Агар ш = 1п(х3 + //3 — z3), бу ерда x = uv, у = —, z = е и v
dw dw
булса, ——, —- ни топинг.
du dv
7. Ошкормас к^ринишда
a) sinxy — еху — х2у = 0; б) ух = ху тенглама билан берилган
у(х) функциянинг хосиласини топинг:
8. Ошкормас к^ринишда
a) ez=xyz-, б) z3 + 3x//z=a3
тенглама билан берилган z(x, у) функциянинг хусусий хосилаларини
топинг.
2- муста^ил иш
1. Агар z = arc sin(x — у), бу ерда х=3/, </ = 4/3 б^лса, — ни
топинг.
dz
2. Arap z = arctgxz/, бу ерда у — ех булса, — ни топинг.
„ . 9.9, , dz dz
3. Агар z = u +v , бу ерда и=х+у, v = x—y булса, — —
ларни топинг.
4. Агар z = u2v — v2u, бу ерда u=xsint/, v=ycosx булса,
dz dz
—, — ларни топинг.
дх ду
5. Ошкормас куринишда
а) 1-hxt/ —1п(^ + е-ху) =0; б) (/sinx—cos(х —у) =0
тенглама билан берилган у(х) функциянинг хосиласини топинг.
6. Ошкормас куринишда
' a) x3 + 2(/3 + z3 — ixyz — 2z/ + 3=0; б) zln(x-|-z) —^-=0
тенглама билан берилган z(x, (/) функциянинг хусусий хосилаларини
топинг.
3- §. Уринма текислик ва сиртга нормал. Юкори тартибли
хосилалар. Тейлор формуласи
7.3.1. Сиртга Afo нуктада утказилган уринма текислик, деб
сиртда Afo нукта оркали утказилган барча эгри чизикларга
^тказилган уринмалар жойлашган текисликка айтилади.
Сиртга Afo нуктадаги нормал деб Afo нуктадан утувчи ва бу
нуктада утказилган уринма текисликка перпендикуляр булган
тугри чизикка айтилади.
Агар сирт z=f(x, у) тенглама билан берилган булса, у холда
Afo(xo, уо, zo) нуктада бу сиртга утказилган уринма текислик
тенгламаси:
Z — Zo=fx(xo, уо) (х—хо) +fy(xo, уо) (у—уо)-
Afo(xo, уо, го) нукта оркали сиртга утказилган нормалнинг
каноник тенгламаси куйидагича булади:
х — х0 у—у0 г—г0
fx(x0,y0) fy(x0,y0) -1
Агар сирт F(x, у, г) =0 тенглама билан ошкормас куринишда
берилган булса, сиртнинг Afo(xo, уо, го) нуктасида утказилган уринма
текислик тенгламаси
F'xlxo, уо, го) (х —хо) +Fy(xo, уо, го) (у — уо) + F£(xo, уо, го) (г — го) =0
куринишда, нормал тенгламаси эса
Х — ХО у—у0 z—z0
Рх(хО’УО’го) Fy(x0,y0,z0) F2(x0,y0,z0)
куринишда булади.
1-ми сол. z=x2 — 2ху+у — х-\-2у сиртга Мо (1, 1, 1) нуктада
утказилган уринма текислик ва нормал тенгламаларини тузинг.
Ечиш. Хусусий ^осилаларни топамиз:
^2х-2У-1 ва ^-гх+г^+г.
Бу хосилаларнингЛ1о(1, 1, 1) нуктадаги кийматларини хисоблаймиз:
-£-|„ =2-2-1 = -! ва „--2 + 24-2 = 2.
Шундай килиб, f'x( 1, 1) = — 1, (1, 1) = 2. Демак, уринма текислик
тенгламаси:
z—1 = — (х—1)+2(г/—1) ёки х — 2z/4-z = 0,
нормал тенгламаси:
х —1_ у —1 г—1
1 ~ -2 ~ i-'
2- м и с ол. xJ + //3 + zJ + xz/z —6 = 0 сиртга Мо (1,2, —1) нуктада
утказилган уринма текислик ва нормалнинг тенгламасини тузинг.
Ечиш. Тенгламанинг чап томонини F(x, у, z) оркали белгилаб,
хусусий хосилаларни топамиз:
F'x(x, у, z) = 3х2+ yz; F'y(x, у, z) = 3z/2 + xz;
F'z(x, у, z) = 3z2-\-xy.
Хосилаларнинг Mo(l, 2, —1) нуктадаги кийматларини хисоблай-
миз:
7Д(1,2, -1) =3-2=1; F'y(1,2, -1) = 12-1 = 11;
F'(l,2, -1) =3 + 2 = 5.
Шундай килиб, уринма текислик тенгламаси:
1 (х — 1) + 11 (у — 2) +5(z+ 1) =0 ёки х+ 11// + 5Z—18 = 0,
нормал тенгламаси:
X— 1 _ у—2___ г+ 1
Г~'— 11 ~’ 5 ’
7.3.2. z=f(x, у) функциянинг иккинчи тартибли хусусий хосила-
лари деб биринчи тартибли хусусий хосилалардан олинган хусусий
хосилаларга айтилади. Иккинчи тартибли хусусий хосилалар
куйидагича белгиланади:
д {дг \ д2г >• £" , .
~d^\dl)~^F~ zxx—fxx(x, у);
д / дг \_ д2г __ •• _£ , .
ду \ дх / дхду zxy — lxy\X,y),
дг. =z" =f" (x u)-
дх\ду )~ дудх
_d_(^L\_ д2г ._ "
dy\dy )- 0y2~Zjy
f"yy(x, y)
fxy(x, у) ва fyx(x, у) хусусий хосилалар аралаш хосилалар
дейилади. Аралащ хосилалар узлуксиз булган нукталарда уларнинг
кийматлари тенг булади.
Учинчи ва ундан юкори тартибли хусусий хосилалар хам шундай
аникланади.
Ушбу
--------ёзув z функцияни т марта х узгарувчи буйича ва
дхГдуп-т
(п — т) марта у узгарувчи буйича дифференциалланганини билди-
ради..
3- м и с о л.
z = arctg— функциянинг
иккинчи тартибли хусусий
хосилаларини топинг.
Ечиш. Дастлаб биринчи тартибли
миз:
хусусий хосилаларни топа-
Иккинчи марта дифференциаллаймиз:
д2г _ д / у 2ху .
дх2~ ^х\х2+у2/ (х2 + у2)2 ’
d2z _ д / х \ 2ху .
ду2~ дУ\ хЧуЧ (х2+у2)2 ’
д2г _ д / у \_ l-l^+y2)—t/-2y _ х2—у2 .
дхду дуХ^+у2 ) (х2 + г/2)2 (х+у2)2 ’
д2г_____д_/______х _\_ _ 1-(х2+у2) _ х2-у2
дудх~ дх\ х2+у2 / (^ + /)2 (х2 + </2)2
Кейинги иккита ифодани таккослаб, ~~= / f эканлигига ишонч
т дхду дудх
хосил киламиз.
7.3.3. Агар z = f(x, у) функция Ро(хо, уо) нукта атрофида
(«+ 1)-тартиблигача (ц-|-1-тартиблиси хам) узлуксиз Хусусий
хосилаларга эга булса, у холда каралаётган нукта атрофида ушбу
Тейлор формуласи уринлидир:
f (Х>У) =Цхо> Уо) + уу [/х(х0. Уо) (х — хо)+fy(x» Уо) (У — </о)] +
+^[f«(x0, Уо) (x~xo)2+2fxy(xo, Уо)(х — хо)(у—Уо) +
+ fyy(x0, у0) (у — z/o)2] + ...4-1 [(х —Хо)-^+ (y—y0) ~^7(х0, yQ) _|_
+ Rn(x, y),
бу ерда /?„(х, '/)=-^yyy[(x-xo)^+(//-//o)-±J‘+1/(xo + 9(x-
—Хо), уо + 9(у — уо)), 0<9< 1.
Тейлор формуласининг хо = уо = О булгандаги хусусий холи
Маклорен формуласи дейилади.
4- м и с о л. z = х3 — 5х2 — ху + у2 + Юх + 5у — 4 функцияни
Ро(2, —1) нукта атрофида Тейлор формуласи буйича ёйинг.
Ечиш. Берилган функциянинг хусусий хосилаларини ва улар-
нингРо(2, —1) нуктадаги кийматларини бирин-кетин хисоблаймиз:
f (х> У) —х —5х -j-y2-)- 10х + 5у — 4 — ху,
fx(x, f/)=3x2 — Юх — z/H-10,
%(х, у) — —х + 2у + 5,
f«(x, у) =6х— 10,
f'xy(x, У) = — 1,
f'y'y(x> У) = 2,
/«i(x, у) =6,
/(2, —1)=2;
ГД2, -1)=3;
Я(2, —1) = 1;
f«(2, —1)=2;
/-(2, -1) = -
Гу'у(2, -1)=2;
fi«(2, -1)=6.
^Кейинги барча хосилалар айнан нолга тенг. Топилганларни
Тейлор формуласига куйиб, изланаётган ёйилмани хосил киламиз:
z = f(x, i/)=2 + 3(x-2) + (i/+1) + (x-2)2-(x-2) (// + !) +
+ (</ + 1)4 (х-2)3.
3- дарсхона топшириеи
1. Берилган сиртга берилган А4о(хо, уо, zo) нуктада утказилган
уринма текислик ва нормал тенгламаларини тузинг:
а) zх2"УУ2> Afo(l, 1, 3);
б) x2 + /-z2=-l, Мо(2, 2, 3);
в) z = ln(x2 + «/2), Мо(1, О, 0);
г) х ф- z“ — 5yz-)~Зу = 46, Mo(1, 2, —3).
2. Берилган функцияларнинг иккинчи тартибли хусусий хосила-
ларини топинг ва аралаш хусусий хосилалари тенг ёки тенг
эмаслигини текширинг:
\ I У .
a) z = xy + ^;
в) z = xe~xy',
д) z = ln(x2 + z/2);
ж) ““
о
г)
е)
2=—, ;
7*2+д2
г=/;
ч
z = arc sin — г--=- ;
V^+д2
d2z о
z , -= — 2z
дхду
3. z = exy функция
dz
dz
дх 'У ду
тенгламани каноатлантиришини текширинг.
4. z = xy функция
д2у /.I I । dz
у——-—= ( 1 У 1пх) —-—
и дхду ' J дх
тенгламани каноатлантиришини текширинг.
5. z=ex (xcosy—ysiny) функция -^-+-^-==0 тенгламани кано-
атлантиришини текширинг.
6. f(x,y) = — х2 + 2ху + 3у2 — 6х — 2у — 4 функция Ро ( — 2. 1) нук-
та атрофида Тейлор формуласи буйича ёйинг.
7. f(x, у) — exsiny функцияни учинчи тартибли хадларгача (улар
хам киради) Маклорен формуласи буйича ёйинг.
3- муста^ил иш
1. Берилган сиртга берилган Мо(хо, уо, го) нуктада утказилган
уринма текислик ва нормал тенгламаларини тузинг:
a) z=i^x2±y2, Мо(2, -1, 6);
б) х2—у — z2 + xz + 4x + 5 = 0, Мо(— 2, 1, 0).
2. Берилган функцияларнинг иккинчи тартибли хусусий хосила-
ларини топинг ва аралаш хусусий хосилалар тенг ёки тенг
эмаслигини текширинг:
a) z = tgV^;_ б) z = ln(3x«/—4);
в) z = siny/?'/; г) z = arctg(2x — у).
3. Берилган функциялар
атлантиришини текширинг:
к^рсатилган тенгламаларни кано-
д2г . d2z . d2z
дх2 д£ д? ’
2 dz dz л
б) х2------ху— \-У =0.
' дх и ду J
у/х2+у2 + Р
у2 . . , >
z=-^-+arc sin(xi/).
4- f(x, у) =х3 — 2ул -\-3xy функциями Ро(1, 2) нукта атрофида
Тейлор формуласи буйича ёйинг.
5. /(х, у)=ех+у функциями Ро (1, —1) нукта атрофида учинчи
тартибли хадлар (улар хам киради)гача Тейлор формуласи буйича
ёйинг.
4- §. Бир неча узгарувчи
функциясининг экстремумлари
7.4.1. Агар z=f(x, у) функциянинг Ро{хо, уо) нуктадаги киймати
унинг бу нуктанинг бирор атрофидаги исталган Р(х, у) нуктасидаги
кийматидан катта, яъни f(xo., уо) >f(x, у) булса, z=f (х, у) функция
Ро(хо, уо) нуктада максимумга эга дейилади.
Агар z = f(x, у) функциянинг Ро(хо, уо) нуктадаги киймати унинг
бу нуктанинг бирорта атрофидаги исталган Р(х, у) нуктасидаги
кийматидан кичик булса, яъни /(хо, </о)</(х, у) булса, z=f(x, у)
функция Ро(хо, уо) нуктада минимумга эга дейилади.
Функциянинг максимуми ёки минимуми унинг экстремума
дейилади. Функция экстремумга эга булган нукта унинг экстремум
нуктаси дейилади.
7.4.2. Экстремумнинг зарурий шартлари: агар
Ро(хо,уо) нукта узлуксиз z = /(x, у) функциянинг экстремум нуктаси
булса, у холда %(хо, уо) =f'v(xo, уо) = 0 булади ёки бу хосилаларнинг
акалли биттаси мавжуд булмайди.
Бу шартлар бажариладиган нукталар критик нукталар дейила-
ди. Хар кандай критик нукта хам экстремум нуктаси булавермайди.
7.4.3. Иккинчи тартибли хосилаларнинг Ро(хо, уо) критик
нуктадаги кийматларини
А=/хх(хо, уо); Б = /ху(Хо, уо), C==fyy(xo, уо)
оркали белгилаймиз ва А = АС — В2 дискриминантни тузамиз.
Экстремумнинг етарли шарти.
а) агар А>0 булса, z=f(x, у) функция Ро(хо, уо) нуктада
экстремумга эга булиб, бунда А<0 (ёки С<0) булганда Ро нукта
максимум нуктаси, А>0 (ёки С>0) булганда минимум нуктаси
булади;
б) агар А<0 булса, Ро нуктада экстремум мавжуд эмас;
в) агар А = 0 булса, экстремум мавжуд булиши хам, мавжуд
булмаслиги хам мумкин.
1-мисол. z = xy(x-)-y — 2) функциянинг экстремумларини то-
пинг.
Ечиш. Функция бутун Оху текисликда аникланган.
Критик нукталарни куйидаги тенгламалардан топамиз:
~^=2ху+у2—2у = 0,
Л
~=х2-)-2ху — 2х = 0.
Бу системани ечиб, туртта критик нуктани топамиз: Pi (0, 0), Ри (2, 0),
Рз(0, 2), Л(4>
У Иккинчи тартибли хусусий х,осилалар.
f«(x, у) =2у, f'xy(x, у) = 2х + 2у — 2; f''y(x, у) =2х.
Хар бир критик нуктадаги дискриминантни х,исоблаймиз:
a) Pi (0,0) нуктада: А = АС - В2 = (2-0) (2-0) - (2-0 +
+ 2 • 0 —2)2=—4<0, демак экстремум йук (экстремумнинг етар-
ли шартига мувофик);
б) Pi{2,0) нуктада: А=—4 <0, демак экстремум мавжуд эмас;
в) Лз(0,2) нуктада: А=—4<0, демак экстремум мавжуд эмас;
г) 4) нуктада: А =-^>0, Л=4>0, демак функциянинг
\ 3 3 / 9 3
- £/2 2\ 8
минимум нуктасига эгамиз, бу нуктада zmin = /bp у 1=—
ЧАА. Чегараланган ёпик D сохада дифференциалланувчи
функция узининг энг катта ва энг кичик кийматига ё D сох,а ичида
ётувчи критик нуктада, ё бу сох,а чегарасида эришади.
Епик D сох,ада функциянинг энг катта ва энг кичик кийматини
топиш учун: а) сох,а ичида ва унинг чегарасида ётган барча критик
нукталар топилади; б) функциянинг бу нукталардаги ва чегарадаги
кийматлари х,исобланади; в) топилган кийматлар орасидан энг
катта ва энг кичик кийматлар топилади.
2-мисол. z = x2 + y2~ху + * + У функциянинг О, О,
х-\-у^ —3 сох,адаги энг катта ва энг кичик кийматларини топинг.
Ечи ш. D сох,а АОВ учбурчакдан иборат (41- шакл).
а) Ушбу системадан сох,а ичидаги
критик нукталарни топамиз:
-g-=2x-s+l=0;
<-2»-*+1=0.
Бу ердан: х= — 1, у= — \, демак,
Ро(- 1, —1) нуктага эгамиз.
б) Функцияни сох,а чегарасида текши-
рамиз. Тенгламаси у = 0 булган АО
чегарада z = x2A-x функцияга эгамиз;
критик нукталарнинг абсциссаларини
zi = 2x+l=0 тенгламадан аниклаймиз:
х=—Демак критик нукта: Р\ (—О
41- шакл
Тенгламаси х = 0
булган ВО чегарада z = y2+y функцияга эгамиз; критик нукта-
ларнинг ординаталарини Zy = 2z/+l=0 тенгламадан топамиз:
у=—L Демак, критик нукта Р2(о, —Тенгламаси у=— 3 — х
J 2 \ ^ /
булган АВ чегарада z = 3x2 + 9% + 6 функцияга эгамиз; критик
нукталарнинг абсциссларини zi = 6x + 9 = 0 тенгламадан топамиз:
3 3
х =—АВ тенгламасидан у=—Демак, критик нукта:
'4-4-4)-
в) Берилган функциянинг Ро, Pi, Р2, Рз критик нукталардаги
хамда чегаралар туташадиган А, В ва О нукталардаги кийматлари-
ни хисоблаймиз:
го = /(Ро)=/(-1, 1) = -1;
zi=/(Pi) =/(-± 0)=-4;
г2 = ЛР2)=/(0,
гз = /(Рз)=/(-4, -4)=-Т
г4=/(0)=/(0,0)=0;
г5=/(Л) =/(—3, 0) =6;
2б=/(В)=но, -3)=6.
г) Функциянинг топилган барча кийматларини таккослаб,
^энгкат =/(Д)=/(В)=6 ва зэнг кич, =/(Ро) = -1 деган хулосага
келамиз.
4- дарсхона ronuiupuFu
1. Функцияларни экстремумга текшириш:
a) z = x2 + xz/ + z/2 — Зх — бу,
б) z=±xy+(47-x-y) (у+у);
в) z = xy2(l — х — у)',
г) Z = X3 + у3 — 1 бху.
4К- a) zmjn 9, в) zmax= ,
б) zmax=282; г) zmin= —125.
2. Функцияларнинг курсатилган сохадаги энг катта ва энг кичик
кийматларини топинг:
a) z = x2 — xy+y2 — 4x-, х>0, z/>0, 2хф-3//< 12;
б) z = x2 + 3y2 + x — y; 1, z/< 1, х + «/>1.
а) 2ЭНг кич. j ^энг кат.
б) z === 1' z ^4.
энг кич. энг кат.
4- мустацил иш
I. Функцияларни экстремумга текширинг:
a) z= (х— 1)2+2у2;
б) 2 = х2 + ху4-у2 — 2х — у,
в) z = ex У(х2 — 2у2)-
Ж. a) ^min = O, б) zmin= 1, в) zmax=8e ,
2. Функциянинг курсатилган сохадаги энг катта ва энг кичик
кийматларини топинг:
a) z=x2 + 2xy — 4хф-8р; х^О, р>0, х«С 1, у^2;
б) z=x2 — 2у2 + 4ху — 6х + 5; х>0, у^О, хф-р<3.
а) 2ЭНГ кич = 3, 2ЭНГ кат 17,
б) ^энг кич, 2ЭНГ кат
5- §. Шартли экстремум
z = f(x, у) функциянинг шартли экстремума деб бу функция-
нинг х ва у узгарувчиларнинг бонланиш тенгламаси деб аталувчи
tp(x, у)—0 тенглама билан богланганлик шартида эришадиган
экстремумига айтилади.
Ушбу ф(х, у, X) =f(x, у) + Хф(х, у) функция Лагранж функцияси
дейилади, бу ерда X — бирор узгармас купайтувчи. Шартли
экстремумни топиш ф(х, у, X) функииясининг оддий экстремумини
излашга келтирилади. Лагранж функцияси экстремумининг зару-
рий шарти куйидаги куринишга эга:
дх дФ „ .. —— — 0, еки ду дк [2L+^=0, дх дх #+^=0- ду ду . ф(х, р)=0.
Агар Лдхо, уо), Хо — бу
системанинг исталган ечими ва
0 Фх(-^о> У о) фД*о> У^
Фх(*о> Уо) Фх*(*о> Уо< ^о) Уеп ^о)
фИ*о, У о) ФхДХ0, У о, М Фда(*0, У О’ Ч)
булса, А<0 да z=f(x, у) функция Ро(хо, ро) нуктада шартли
максимумга, Д>0 да шартли минимумга эга булади.
Мисол. z = x-}-2y функциянинг х ва у узгарувчилар х2-\-у2 =
= 5 тенглама билан богланган шартдаги экстремумини топинг.
Ечиш. Лагранж функциясини тузамиз:
Ф (х, t/, X) =х + 2t/ + /. (х + у — 5).
Куйидагига эгамиз:
ЗФ , , „ , ЗФ „ . „ , ЗФ 2 । 2 г
_Г=1+2%Х, —=2+2уХ, —=х +у -5.
Ф(х, у, А.) функция учун экстремумнинг зарурий шартлари ушбу
тенгламалар системасини беради:
' 1+2Ах = 0,
2 + 2At/ = 0,
[x2+t/2=5.
Бу системани ечиб, иккита:
х,= —1, у,= —2, *ч=4
ва
х2~ Е 1/г==2, 7.2= —
ечимларни топамиз.
Энди
4₽=2х;
дх
д<р
ду
2у,
^=21;
зх2
™ = 2А;
ду2
й-ф=о
дхду
эканлигини эътиборга олсак, у холда
1) х,==-^-, xi= — 1, у\= — 2 да
Д,= -
— 2 —4
1 0
0 1
= 20>0,
ЯЪНИ функция Р,(—1,
^min 1 4= 5,
— 2) нуктада шартли минимумга эга:
2) Аг=—Х2=1, 1/2 = 2 да
Д2—
яъни функция Рг (1, 2)
2max— 1 +2-2 = 5.
2 4
— 1 0
О -1
= — 20<0,.
нуктада шартли максимумга эга:
5- дарсхона TontuupuFu
Функциянинг шартли экстремумини топинг:
1. z = x2 + i/2 — ху + х + у — 4; x + t/4-3 = 0 шартда.
3 19
X —— у.:=^ ~ ДЗ Z min д -
2. z = xy; 2х + 3г/ — 5 = 0 шартда.
XTZ 5 5 25
7К* х— у да 2тах 24 .
3. z = x2 + t/2; y+y=1 шартда.
XIZ 36 48 144
Ж: х— 25, у— 25 да 2min— 25 .
4. 2 = 6 — 4х — Зу, х2 + у2=1 шартда.
Ж: х=——, у=—$ да zmax = 11; х=—, у=-^да zmin= 1.
5. 2 = cos2x+cos2t/; у — х=у шартда.
Ж: x = ^+nk, y=^+nk да гтих=^-^;
О О z‘
Зл . , 5л . , _ 2~
X — —~ р л/?, У— о г" Д^ ^min о
О о
6. z = x+y, -~+-Т=Т шартда.
Ж: х=у= —2 да zmax= —4;
х = у = 2 да zmin=4.
5- мустакуп. иш
I Функциянинг шартли экстремумини топинг:
1. 2 = Т-(-Т; a-_|_j/ = 2 шартда.
Ж: х=у=\ да zmjn=2.
2. 2=-^—; x2+t/2=l шартда.
у2
( Ж: х=--------------у= да zmin= 1 2 д/2 ,
; х = ~^, У=------U Да zmax=l—2д/2 ;
V2 V2
3. 2 = Х1/2; х + 2у=1 шартда.
х^^у^^ 1 да 2т;п=::0, х—у — да 2:тах 2^.
4. z = 2x + y\ x2 + t/2=l шартда.
Ж: х=-------=, У=-----U Да zmin= — д/5 ;
Л/5 Vь
2 1 /F
s=“?s да г™= V5
5. z=xy, x-j-y=l шартда.
Ж- x=y=— да zmax-=^.
8- назорат иши
1. Берилган функциянинг аникланиш сохасини топинг:
1.1. Z=ln(— X—у). 1.2. {/+1 z = arc cos — .
1.3. z = д/х2+у2—2х. 1.4. 1 2—
1.5. 1 2 = V/ —4*4-8
1.7. y/y— \!x z = \n(y — x2). 1.6. z = arc sin^. IT
1.9. z=ln(x2+y). 1.8. 1 2 — —
1.11. z=~3xy 2x— 5y y/lx — y2
1.10. 1.12.
1.13. z= д/у2—х2. Зх z— \x +2y+y . z = arc sin(x—y).
1.15. 6—x2—у2 1.14. z=In (4 —x2 —f/2).
1.17. z=-4xy 1.16. z= V%2+'/2—8
x2-^ 1.18v
1.19. 1.21. z = arc cos (хф-f/). Z = ln(f/2 —X2).
1.20. z= д/16 —x2—f/2 .
1.23^ 3 >Z = 5 F- 1.22. z=arc sin—.
6 — X2 — y2 1.24.y У z = arc cos (x + 2y)
1.25. z= д/3 -- x2— у2.
1.26v Z= д/1 — X — у.
1.27. z = ln(2x—у). 1.28v ,z—arc sin(2x—y)
1.29. z= 4-*y . x-3y+l 1.30. z.__ xJ3x—2y x?+y2 + 2
2. Берилган функциянинг иккинчи тартибли хосилаларини то-
пинг ва f = /f эканини текширинг:
дхду дудх г
2.1. z~x-e* 2.2. z=ln(x-+-e-!/).
О, . X 2.4. z=^.
2.3. z = arctg —. 2 Q sin(x-y)
2.6. z = e~x~3y sin(x+3i/). /+у2
2.7. z=ey. 2.8. z — e 2 .
2.11. z = ctg(x-|-y).
2.13. z = arc sin(x —y).
2.15. z = tgxy2.
2.17. z = arcctg(x — 4y).
2.19. z=cos(3x2— y2).
2.21. z — arccos(x — 5y).
2.23. z = arcsin(4% + i/).
2.25. z = arctg(2x—y).
2.27. z = e^y.
2.29. z = tg^/xi/.
2.10. z = tgA
2.12. z = sin(x2 — t/).
2.14 . z=ln(3x2 —2t/2).
2.16 . z = ln(3xy— 4).
2.18 . z = ln(5x2 — 3y2).
2.20 ^z = sin xjxy.
2.22 >/z = e^~^.
2.24 „ z=ln(4x2 — 5y2).
2.26 v z = cos(x2t/2 —5).
2.28v z = ctg^-.
2.30vz = e2^+!/2.
2.9. z = д/f.
3. Берилган z=f(x, у) мураккаб функциянинг курсатилган
хосиласини топинг:
3.1. z = ey~2x, t/=lnsin/, x = cos6 -^=?
J dt
3.2. r = arccos(3x — y), x = 4t, y=3t2.
3.3. z = u3lnv, u=—, v = 2x— 3y. -^-=?
у dx
3.4. z = arcctgxt/, t/ = ecos4 ~^=?
3.5^ z = arctg^, y=x2.
3.6. z=ex~'2y, x=sin/, y — t3.
3.7. z=\n(ex — e^y), x = t2, y = t3.
3.8. z = u2\nv, u=—, v=x2-\-y2.
x u dy
3.9. z=xy, t/ = lnsinx. -4^=?
J dx
3.10. z — \n(ex-\-ey), y=^x3-j-x.
3.11v z=—x=l—2t, y = ardgt.
v y+1 J e dt
3.12^ z= д/%+у2+3, х = 1п/, y = t2. ~^-=?
3.13. z = u2v — v2u, u = xsiny, v = ycosx.
3.14v z = arctg-^±J-, y = e(*+1>2. -g-=?
3.15^ z=^-, y=3x+l. -g-=?
>?+у ах
х2 . , , dz э
3.i6. ,z = arcsin—, x = sinZ, y=cos/. -тг=-
чу at
3.17. z = u2 + v2, u = x — y2, v=x2+y.
3.18. z = arcctgxy, y=e2x.-^-=?
3.19. z=arcsin—, у— д/х24- 1 - ~^-=?
3.20. z=x2ey, x=cos/, y=sint. ^-=?
v dt
3.21. z = x”, x = e‘, y=\nt. ^=?
3.22. z=ln(t/2 —o2), u=xy, v=-^. ^=?
3.23. z = In (ex-<?*), t/ = x3+l. -g=?
3.24. z=ey^2x, x=sinf, y = t!\
3.25. z=ln(e~x + ey), x = t2, y=t3. ^j~=?
3.26. z = arcsin—, x = sinZ, y=cost.
3.27. z—u2lrw, u=^-, v = 3y—2x.
3.28. z—xy2, у = sinx.
3.29. z=arccOs—, x = sin/, y = cosL -^-=?
у dt
3.30; x=l— 2t, y=arctgZ. ^=?
4. Ошкормас куринишда берилган z(x, у) функциянинг хусусий
хосилаларини топинг:
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
z2 = ху — z ф- х2 — 4.
x2-\-y2—xz-\-yz — 3x= 11.
х2 4- У2 — 2z2 — 2у=0.
2х2 -|- 2у2 4- z2 —; 8xz — z 4~ 6 = 0.
Inz=х 4" 2 у — z 4* 1 пЗ.
x34-3xyz — z3 = 27.
-<2+У2 + г2 -г- 2ху — 2xz — 2yz = 17.
х2 4-2у2 4-3z2 = 59.
V*2+#2 +z2—3z = 3.
4.1.0. x2--y2 —z2 + 6z4-2x —4y4-12 = 0.
4.11. x24-y2+z2+6z —4х+9 = 0.
4.12. x2-j-y2— xz— yz = O.
4.13. x3 -|- 2t/3 z3 — 3xyz — 2t/ = 15.
4.14. ez—xyz—%+ 1 =0.
4.15. 3x2y2 + 2xyz2 — 2x3z + 4t/3z=4.
4.16. z3 -\-3yzx-\-3y — 7.
4.17. e2-f-x-j-2y-j-z=4.
4.18. x2+y2 + z2—2xz=2.
4.19. x-\-y-\-z-\-2=xyz.
4.20. xcosz/-|-z/cosz-|-zcosx=y.
4.21. x2+y2 + z24-2xz=5.
4.22. cos2x+cos2«/ + cos2z=-|-.
4.23. y2— z2-\-x2— 2xz-\-2x = z.
4.24. x-\-y4-z = ez.
4.25. x3y' -\-z3 — 3xyz = ().
4.26. x—zln—=0.
у
4.27. xy + yz xz = 1.
4.28. ег— xyz = 0.
4.29. x2 — 2y2+z2 — 4x+2z — 5 = 0.
4.30. 2x2 —y2 + ?2 — 4z+y=13.
5. Куйидаги функцияларни экстремумга текширинг:
5.1. z = 2 (х + у) — х2 — у2.
5.2. z=xz/(12—х— у).
5.3. 2=(х-5)2+/+1.
5.4. z=x2 — ху + у2 + х —1/+ 1.
5.5. z = x2 + 3(y + 2)2.
5.6. z=x2 — xt/+y2 + 3x—6t/4~20.
5.7. z=(x—2)2 + 2t/—10.
5.8. z = Зх3 + Зу2 — 9xz/ + 10.
5.9. z=l-|-6x—x2 — xy—y2.
5.10. z=xy— 3x2 — 2y2.
5.11. z — y ^x — y2—x + 6t/.
5.12. z = 2xy — 5x2 — 3y2-j-2.
5.13. z = 2x3-j-2y3 — 6xi/-|-5.
5.14. z=y yjx—2y2—x-j-l4y.
5.15. z=(x—l)2-{-2y2.
5.16. z=x3-\-8y3 — 6xt/+ 1.
5.17. z = x^]y—x2—t/-|-6x+3.
5.18. z=x2xyy2—6x — 9t/.
5.19. z=x3-\-y2 — 6xy — 39x+ 18t/ + 20.
5.20. z=x2xyy2 — 2x — y.
5.21. z = 2xy — 3x2 — 2z/2+10.
5.22. z = 2xy — 2x2 — 4«/2.
5.23. z=6(x —у)— 3x2-3y2.
5.24. z= 1 + 15х — 2х2—ху—2у2.
5.25. 2 = x2 + //2— xy4-x-l-y.
5.26. z=xy—x2—z/$ + 9.
5.27. 2=x3 + «/3— 3xy.
5.28. 2 = 4(x—y) — x2—y2.
5.29. 2=x3 + 8z/3 —6xz/ + 5.
5.30. z=xy(6— x—y).
6. Куйидаги чизиклар билан чегараланган ёпик сохада z=f(x, у)
функциянинг энг кичик ва энг катта кийматларини топинг:
6.2. 2= — Зх2 + 2у2+ 12х — 4у;
у=б, х=0, Зх+4//= 12.
6.4. г=х2 + 2ху—у2—4х;
0. х = 3, // = 0, у=х+1-
6.6. 2=Х2 — ху+5;
у=0, х2+//=1.
6.8. 2=х2 — 4ху + у + 6у;
у—х, у=0, х=4.
6.10. 2 = 3ху — бх2 — 6у + 15х;
х=0, х=2 у=б, у=1.
6.12. z — 3xy—y2\
х=4, у2 = 5х+5.
6.1. z—x2—у2 — х+у;
х=0, х=2, у=0, у=1.
6.3. z=x2 + 2xy—4х+8//;
х=0, //=0, 5х— 3//+45 =
6.5. z=2xy—Зх2 — 2у2 + 5;
x-f-y=5, х=—1, у= — 1.
6.7. z=3y—2х—ху,
х — б, у=б,3х—4у=12.
6.9. 2 = х2 — 2ху-\-^у2—2х;
х=0, х=2, у=б, у—2.
6.11. 2=х2 +6ху—х+Зг/;
х=0, х = 3, //=0, у—3.
6.13. z—x2 + 2xy— 10;
у=б, z/=x2 —4.
6.15. 2=х2 — 2ху—у2 + 4х+1;
х= —3, у—б, х+у+ 1 =
6.17. z=xy—2x—y;
х = 0, х—3, у=0, у=4.
6.19. z=x3 + i/3—Зху;
х=0, х—2, у=б, у=3.
6.21. 2=5х2-Зхг/+г/2 + 4;
х= — 1, х=1, у— — 1, у
6.14. z=x2y,
у=0, у= 1 —х2.
6.16. z=x2-\-2xy-\-4x—у2;
х=0, у—0, х+//+2 = 0.
6.18. z=x2 + 2xy+y2 — 2х+2у;
х=2, у—б, у=х-\-2.
6.20. 2=х2+ху—2;
у=б, у=4х2—4.
6.22. z=±-x2—ху,
1 2 у
у=~т-
6.23. z=6xy—9х2 — 9//2 + 4x+4z/;
х=б, х=1, у=б, у=2.
6.25. 2 = 4-2х2-//2; 6.26.
Х2 + У2^: 1-
6.27. 2=х2+ху; 6.28.
х= —1, х=1, у=б, у=3.
6.29. z=x2 + 2xy—у2—4х; 6.30.
х=3, у = б, х—//+1=0.
2=1 +х^
х=0, х=1, у= — 1, у=2.
z=2х2+ 2ху—у!/2—4х;
х=0, у=2, у=2х.
2 = 2х+у—ху,
х=б, х=4, у=б, у=4.
z=4(x—y) —х2—у2;
х~б, х+2// = 4, х — 2у—4.
8-б об
ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
1-§. Умумий тушунчалар. Узгарувчилари ажраладиган
ва бир жинсли биринчи тартибли дифференциал
тенгламалар
8.1.1. Эркли узгарувчи, номаълум функция ва унинг хосила
(дифференциал)ларини богловчи
f(x, у, у', у", ..., у(п}) =0
муносабат оддий дифференциал тенглама дейилади.
Дифференциал тенгламага кирувчи хосила (дифференциал)лар-
нинг энг юкори тартиби дифференциал тенгламанинг тартиби
дейилади.
Дифференциал тенгламанинг ечими деб, тенгламага куйганда
уни айниятга айлантирадиган дифференциалланувчи у=<р(х)
функцияга айтилади.
Бундай тенглама учун Коши масаласи бошлангич шартлар деб
аталувчи ушбу
У1 х=^=!/о, У'\^ = Уо, - ,У(п_|,1х=^ = Уол_1)
шартларни каноатлантирувчи ечимини топишдан иборатдир.
n-тартибли оддий дифференциал тенгламанинг умумий ечими
деб, тенгламанинг тартиби канча булса, шунча ихтиёрий узгармас-
ларга боглик булган шундай у = <р(х, сь сп) функцияга айтилади-
ки, бу функция учун куйидаги шартлар бажарилади:
а) у функция Ci, С2, ..., сп ихтиёрий узгармасларнинг исталган
кийматларида берилган тенгламани каноатлантиради;
б) бошлангич шартлар кар кандай булганда хам, ихтиёрий
узгармасларнинг шундай кийматини топиш мумкинки, бу киймат-
ларда у = (р(х, Ci, с2, ..., сп) ечим бошлангич шартларни каноатланти-
ради.
8.1.2. Ушбу
М (х) dx -]- N (у) dy—0
куринишдаги тенглама узгарувчилари ажралган дифференциал
тенглама дейилади. Унинг узига хос томони шундаки, dx олдида
факат х га боглик купайтувчи, dy олдида эса факат у га боглик
купайтувчи туради. Бу тенгламанинг ечими уни хадма-хад
интеграллаш йули билан аникланади:
\M(x)dx+\N(y)dy = C.
Дифференциал тенгламанинг ошкормас х1олда ифодаланган
ечими бу тенгламанинг интеграла дейилади.
Интеграллаш доимийси С ни ечим учун кулай куринишда
танлаш мумкин.
1-мисол. tgxdx—cigydy=0 тенгламанинг умумий ечимини
топинг.
Е ч и ш. Бу ерда узгарувчилари ажралган тенгламага эгамиз.
Уни хадма-хад интеграллаймиз:
\igxdx—\ctgydy = C
ёки
—ln|cosx| — In | sin//1 = — InC,
бу ерда интеграллаш доимийси С ни —Inc, яъни С=— 1пС оркали
белгилаш кулайдир, бу ердан In sin//• cosx = 1пС ёки sin//X
Xcosx = C—-умумий интеграл.
8.1.3. Ушбу
Mi (х) -M^yjdx + Nt (х) •A/2(f/)d'/ = O
тенглама Узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенглама
дейилади. Бу куринишдаги тенглама М^у) -N\ (х) га булиш
натижасида узгарувчилари ажралган дифференциал тенгламага
келтирилади.
2- м и с о л. Ушбу
(I -\-x2)dy+ydx=0
тенгламанинг z/|x=1 = l бошлангич шартни каноатлантирувчи
ечимини топинг.
Е ч и ш. Бу ерда узгарувчилари ажраладиган тенгламага
эгамиз. Тенгламани
У 1+х2
куринишга келтириб, интеграллаймиз:
—у=С ёки 1п|//| H-arctgx=C.
Тенгламанинг интегралини хосил килдик. Берилган //|х=1 = 1
бошлангич шартдан фойдаланиб, ихтиёрий Узгармас С ни топамиз:
In 1 + arctgl = С
яъни С=Д Демак, ln// + arctgx=A бу ердан изланаётган ечимни
4 4
хосил киламиз:
п
----------------------------------arctgx
£/ = е4
8.1.4. Агар /(х, у) функцияда х ва у узгарувчилар мос равишда tx
ва ty га алмаштирилганда (t — ихтиёрий параметр)
/(/х, ty) =f(x, у)
шарт бажарилса, у холда f(x, у) функция бир жинсли функция деб
аталади.
Бир жинсли функция /(х, у) ни
f(x,y)=tp^
куринишда ёзиш мумкин.
Агар y' = f(x, у) дифференциал тенгламада f(x, у) бир жинсли
функция булса, бундай тенглама бир жинсли дифференциал
тенглама дейилади. Бир жинсли дифференциал тенгламалар
куринишга келтирилади ва у = и-х урнига куйиш ёрдамида
Узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламага келтирила-
ди (u = u(x) номаълум функция):
xdu = (ф(«) — u)dx.
3- м и с о л. Ушбу
(х2 + 2ху) dx + xydy = О
тенгламанинг ечимини топинг.
Е ч и ш. Берилган тенгламани у' =—- +уХУ куринишга келти-
рамиз. /(х, у) = х +2ху—бир жинсли функция. у = их, у' = и'х-\-и
ху
Урнига кУйишни бажарамиз. У холда берилган тенглама
/ и'х-\-и= — — ~*~2tu ёки и'х-\-и ——1 +2ы
их2 'и
куринишга келади, бу ердан
, 1+2и + и2 .. , (1+и)2
и х =-----—-— еки и х — —
и и
Узгарувчиларни ажратамиз: —“d“ 2 = —Интеграллаб, топа-
миз:
Sudu ____
(1+«)2 —
f (И+ I)-I ди _ Q _ |п | х | _
J (1+«)2
Натижада куйидагига эга буламиз:
1пЦ + «|-)-—!—=1пС —1пх ёки ——=ln С .
1111 1-|_и 1+и х(1+«)
w х С
и=— эканлигини лисобга олиб, —-—=1п—-— ни хосил кила-
х хЦ-у х + у
миз.
8.1.5. Ушбу
,_ f /а{х + Ьху + сх \
У \ a2x+b2y+c2 )
куринишдаги тенглама а\Ь2 — а2Ь\ =#0 булганда
Х=Х14-а, у=У14-0
урнига куйиш ёрдамида бир жинсли тенглама к^ринишига
келтирилади, бу ерда а, 0— а\х-}-Ь\у+с\ =0 ва a2x + b2y+c2 = Q
тугри чизикларнинг кесишиш нуктасининг координаталари. Агар
a\b2 — a2bi = 0 булса, у холда a}x-\-biy = t урнига куйиш ёрдамида
узгарувчилар ажратилади.
4-ми сол. (2x+</4-l)dx+(x4-2y— l)dy=Oтенгламанингуму-
мий интегралини топинг.
Ечиш. Тенгламани куйидаги куринишга келтирамиз:
/_ 2х4-У4-1
у х+2у— Г
ai
d2 Ь 2
2
1
1
2
=3^0 булгани учун бу тенглама бир
I
I
жинсли тенгламага келтирилиши мумкин. Ушбу
(2*4-у= — 1
(х+2у=1
тугри чизикларнинг кесишиш нуктасини топамиз: х=а=— 1;
у = 0=1. Энди
х=х\— 1, dx=dx\,
У=У\ + \, dy=dyit
деб, тенгламада узгарувчиларни алмаштирамиз:
2*1 4-0!
dx} хх+2у\
Х,осил килинган бу бир жинсли тенгламада у\=их\ белгилаш
киритсак, у\ = и'х\ + и булади. У холда
2xj4-ux| . . . 2+и
и'х 1 + и =----X— еки и'х!4-и = —, '
1 ' х1+2их1 1 ' 14-2и
Натижада ^згарувчилари ажраладиган тенгламага эга буламиз:
, 2(и2+и+\)
их'~ 1+2и
Интеграллаб, топамиз:
ёки
(2u + l)du
2dxx
U2 4- и -|- 1
ёки
ln|u2 + u+11 = -21n |xil+lnC
ы2+ы+1=^..
Xi ва z/i узгарувчиларга кайтсак,
</i Y , У\ , , С
---- 11----------I 1 ~ 9
*1 / *1
ёки t/f4-X!i/i4-x? = C.
х1=х4-1, yi=y—I алмаштиришларни хисобга олиб, ечимни
х ва у узгарувчиларга нисбатан ёзамиз:
(У-1)2 + (У-1)(х+1) + (х+1)2=С
ёки оддий шакл алмаштиришлардан с^нг
х2 + ху+у2+х —у = С
куринишдаги умумий ечимга эга буламиз.
1- дарсхона ronuiupuFU
1. Келтирилган у(х, С) функциялар (С — ихтиёрий узгармас) мос
равишда берилган дифференциал тенгламаларнинг ечими була-
дими:
а) у = х2(1 + Се'), х2у'+ (1 — 2х)у=х2-,
б) у=Сех—е~х, xy" + 2y'—xy=Q-,
в) х2 + у3 4 = Су2, xydx= (x2 — y4')dy;
Жавоб: а) ха; б) й^к; в) ха.
2. Дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг:
а) (19+х )У'+1+У =0;
б) (х2+х)у' = 2у+1;
в) ху+у2=_(2х2+ху)у';
г) ху' + 2^ху =у,
д) (х-2у-3)у'+(2х+у-1)=0;
е) (x—y + 4)dy + (x+y—2)dx=0.
Ж:а)у=^; 6) 2,+ !-^
2 »
-2.
у2—Схе х;
в)
Д)
х2 + ху — у2—х + Зу = С; е) х2 + 2ху — у2 — 4х+8у = С.
3. Коши масаласини ечинг:
a) sec2xtSydx + see2ytgxdy=Q-, у^=^
б) xy'-y=xtS^- у|х=1=у;
в) 2(х + «/)/+(Зх+Зу-1)=0; у|х=о=2.
Ж: a) tgxtgy=l; б) y=xarcsinx;
в) Зх + 2у —4+21n|x+y—11 =0.
1- му ставил иш
1. Келтирилган у(х, С) функциялар (С — ихтиёрий узгармас) мос
равишда берилган дифференциал тенгламаларнинг ечими булади-
ми:
а) е‘ = Су, хуу'—у2 = х2у';
б) у = Сх + -Ь Ху'—у+±=0?
Жавоб: а) ха; б) йук.
2. Дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг:
а) (у/ху — y/x)dx+ ( у]ху + y/y)dy=0;
б) ху-у'=у2+2х2; в) у'=-^2у+г
Ж: а) x-f-y — 2 у]х +2 -у/у +2 1п| ( д/х + 1) ( yjy — 1) | = С;
б) z/2 = 4x2lnCx; в) х2 — ху+у2 + х—у = С.
3. Коши масаласини ечинг:
а> -0: sl-r0;
б) ху'=хе“+у; y\x=i = 0;
в) (2х —y + 4)dy-\- (х — 2i/ + 5)dx = 0.
Ж: а) д/2 sinx + sinz/ — cosz/ = 0;
б) у= — х ln| 1 — 1пх|; в) (х-\-у— 1)2 = С(х — у + 3).
2- §. Чизикли, Бернулли, тулик дифференциалли
биринчи тартибли дифференциал тенгламалар
8.2.1. Ушбу
y' + P(x)y=Q(x)
куринишдаги тенглама чизикли дифференциал тенглама дейилади.
Бу ерда Р(х) ва Q(x) лар х нинг маълум узлуксиз функциялари. Агар
Q(x)^0 булса, тенглама чизицли бир жинсли булмаган тенглама,
агар Q(x)=0 булса, чизицли бир жинсли тенглама дейилади.
y = u(x)v(x) Урнига кУйиш (бу ерда и ва v номаълум функциялар)
ёрдамида тенглама
u'v -\-uv'+Р (х) uv = Q(x)
ёки
u'v + u[v' + /,(x)y] = Q(x)
куринишга келтирилади.
и ва v функциялардан бири (масалан, v) ихтиёрий танлаб
олиниши мумкинлигидан фойдаланиб, v функцияни охирги тенгла-
мада каве ичида турган (v'-^-Pv) ифода нолга тенг буладиган килиб
олинади. У холда иккинчи номаълум функция и ни топиш учун
u'v = Q(x) тенгламани ечиш кифоя.
Шундай килиб, берилган тенглама y = uv урнига куйиш
ёрдамида узгарувчилари ажраладиган ушбу иккита тенгламага
келтирилади:
y' + P(x) v = 0,
u'v = Q(x).
Буларни интеграллаб берилган тенгламанинг умумий ечими
топилади:
y = e-№(C+\Qe^xdx).
Баъзан дифференциал тенглама у нинг функцияси х га нисбатан
чизикли булган, яъни
х' + р (у)x=q(y)
куринишга келтирилиши мумкин. Бу тенглама x=uv урнига куйиш
оркали юкоридагидек ечилади.
1- м и с о л. Ушбу
(х2 — х)у' + у=х2(2х— 1)
тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Тенгламани (х2 — х) =£0 га булиб, ушбу куринишга
келтирамиз:
/ । у х2(2х — 1)
у =-ч—~
X —X X —X
ёки
у _ х(2х— 1)
' х(х— 1) х— 1
1 _________________1)
Тенглама чизикли булиб, бу ерда Р(х}=-----------—, Q(x) = —-------2-.
X [ X ~* 1) X ~~ 1
z/=ut», y' = u’u-\-uv' урнига куйиш натижасида берилган тенглама
куйидаги куринишга келади:
u’v. v .,
1 \ ' х(х— 1)
х(2х— 1)
х— I
и нинг олдидаги кУпайтувчини нолга тенглаб
^+7(Ь)=0’
/ х(2х—1)
u'v = —-Н-
х— 1
тенгламаларни косил киламиз. Дастлаб биринчи тенгламанинг
исталган хусусий ечимини топамиз:
-^=-------ёки №= - \ x-^~^dx .
v х(х— 1) J v J х(х— 1)
Бундан
1п| и I = — 1п| X — 11 +1пх
ёки
Топилган v функцияни системанинг иккинчи тенгламасига
к^ямиз:
, X _ х(2х—1)
х-1 х-1 ’
бу ердан и'=2х — 1. Интегралласак:
и=х2 — х+с.
Берилган тенгламанинг умумий ечими:
X — 1
2-мисол. (2х — у2)у' = 2у тенгламанинг у|х=1 = 1 бошлангич
шартни каноатлантирувчи хусусий ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенглама х га нисбатан чизиклидир.
Хакикатан хам,
(2х—у2}~=2у, ёки 2х — у2 = 2х'у, ёки х' ——= —4 (бу ерда
* у I
Р(у) = ~, q(y) = -±).
х — ии, X' = u'v + uv' урнига куйиш натижасида берилган
тенглама куйидаги куринишга келади:
бу ердан ушбу иккита тенгламага эга буламиз:
, v п , и
и'---=0 ва u'v=—
у 2
Биринчи тенгламани ечиб, топамиз:
ёки v = y.
v У
Иккинчи тенгламага v = y ни куямиз:
и'у=— у, ёки и'=—у, ёки и = С—у
Берилган тенгламанинг умумий ечими:
х = «и = у(С-у)-
у|х=1 = 1 бошлангич шартдан
I-С-4 ёки С--|.
Шундай килиб, берилган тенгламанинг хусусий ечими
х=-^У (3-у).
8.2.2. Ушбу
y' + P(x)y=yaQ(x)
куринишдаги дифференциал тенглама Бернулли тенгламаси дейи-
лади. Бутенгламада а — const, а=#0, <x=# 1, Р(х) ва Q(x) функциялар
х нинг узлуксиз функциялари. Янги z = t/1-a функция киритилиб,
Бернулли тенгламаси 8.2.1 бандда куриб чикилган
z'-j-(1 —a)zP(x) = (1 —a)Q(x)
чизикли тенгламага келтирилади.
Бернулли тенгламасини янги z узгарувчи киритмай, чизикли
тенглама сифатида y=uv Урнига куйишдан фойдаланиб кам ечиш
мумкин.
3- м и с о л. у'-]--^=у2-^- тенгламанинг умумий ечимини то-
пинг.
Ечиш. Берилган тенглама Бернулли тенгламаси булиб, бу ерда
a=2. y=uv, y' = u'v + uu' урнига кУйишни бажарамиз, натижада:
и'и + и (v' 4- у )= U2V2-^-.
и, v функцияларни топиш учун ушбу системани тузамиз:
и'+~=0,
X
Биринчи тенгламани иитеграллаб, w=-y хусусий ечимни оламиз,
уни иккинчи тенгламага куйсак,
, 1 1ПХ 2
и =-------и
X X
га эга буламиз. Узгарувчиларни ажратамиз ва интеграллаймиз:
du __ 1пх
и2 х2
ёки
бу ерда
j , dx
s = lnx, ds = —
1пх
Демак,-----
и
Inx
с,
бу ердан и
Сх + 14-1пх
Берилган Бернулли тенгламасининг умумий ечими:
X
X
Inx 1 „
~~ о .
X X
X
y = UV=-Cx+l+lnx-
8.2.3. Агар
M(x, y)dx-{-N(х, y)dy = 0
куринишдаги тенгламанинг чап кисми бирор и(х, у) функциянинг
тулик дифференциали, яъни
du = M(x, y)dx-\- N(х, y)dy
б^лса, у холда бундай тенглама т^лик, дифференциалли тенглама
дейилади.
Юкоридаги тенглама тулик дифференциалли тенглама булиши
учун
дМ _ дМ
ду дх
шарт бажарилиши керак.
Тулик дифференциалли тенглама таърифидан du = 0, бундан
и(х, у)=С эканлиги келиб чикади (С — ихтиёрий узгармас).
и(х, у) ни топиш учун у ни узгармас деб хисоблаймиз, у холда
dy = Q эканидан du = M(x, y)dx булади. Бу тенгликни х буйича
интегралласак,
и= ^Л1(х, y)dx-\-y(y).
Охирги тенгликни у буйича дифференциаллаймиз ва натижани
N(x, у) га тенглаймиз, чунки -|^-== N(x, у) .
\^dx-\-^'(y) = N(x, у)
ёки
ф'О/) = N(x,y) - \-r-dx.
Бу ифодани у буйича интеграллаб, cp(f/) ни топамиз:
Ч>(У) = \ (к(х,у) — j ^dx^dy+C.
Демак,
и(х,у) = ^M(x,y)dx+ ^(N(x,y) — ^~-dx)dy + C.
Бу ифоДани ихтиёрий узгармасга тенглаб, тенгламанинг умумий
интегралини косил киламиз.
4- м и сол. (3x2 + 6xz/2)dx-|- (6x2y + 4y3)dy = 0 тенгламанинг уму-
мий ечимини топинг.
Ечиш. Бу ерда М(х, у) = 3х2 + бху2, N (х, у) = 6х2у-}-4у3.
дМ . о
W=12^,
dN
дх
1 о
12xz/, яъни — =
dN
дх '
~^=М(х, у) булганлиги сабабли
-g-=3x2+6xz/2.
Бу тенгликни х буйича интеграллаймиз:
u = x3 + 3x2z/2 + cp(z/).
Бундан
ф'(*/) =-^-Ьх2У-
N(х, у) эканлигини хисобга олсак,
ф' (у) = 6x2z/ + 4 г/3 — 6х2у = 4у3.
Бундан
Демак,
ёки
ф(*/) =У4 + С-
и = х3 + Зх2 у2+у* = С.
х2 Зх2//2 + г/4 = С.
2- дарсхона ronuiupuFu.
1. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
, , 1—2% ।. а) У 2 У~Х< X 1 б) (1 + х2)у' — 2ху=(1 +х2)2 У
В) У 2х-у2’ 1 / е) У — у'+- 2у\пу + у — х' 2у 2^1 у .
д) У' — У^ёх + У2 cosx = 0; х cos2x
ж) (x-{-sin(/)dx4- (xcos//-|-sinz/)<iz/ = 0;
3) (y + exsmy)dx-\-(x-\-excosy)dy = Q.
Ж: а) у=Сх2ех+х2\
б) у=(х + С)(\+х2)-
в) х = Се2у+-^-+^+-^\
г) х=«/1пу + -^;
.*7
д) у(х + С) =secx;
е) у=(С+^£У!+1ех)а;
ж) -yx2+xsiny—cost/ = C;
з) xy-j-exsin(/== С.
2. Коши масаласини ечинг:
а) у'—ytgx=secx; у|х=о=О;
б) 2xydx+ (у — x2)dy—Q-, у|х=-2=4;
в) (у2 + 2у + х2)у' + 2х=0\ y|x=i=0;
г) х+уе*+ (у+ех)у'=О’, у|х=о=4.
Ж: *) б> '-"'"У
в) х2 + у2=е~у', г) х2 + у2 + 2уех=24.
2- му ставил или
1. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
а) У =е ~еУ' г) xdx— (~~У3^ ^У’
У xcos</-f-sin2i/’
л\ xdy _( У - 1 \ dx
в) У'+тТГ4-^05 ^+у2~\^+/ )
Ж: а) у = Се~е‘+ех-1;
б) i/ = Ce-sinx4-sinx—1;
>____________1______.
У~ (14-х)(С+1п|1+х|) ’
г) х2 + у2(С-у2)-,
д) x4-arctg-^-=C.
2. Коши масаласини ечинг:
а) у'=2у—х + ех; (/|х=0= —1;
б) y2dx=(x + ye y)dy, у\х=0=—3',
в) у' — 7у = е3ху2-, у|х=0=2;
г) xdx+ydy= xdy~y~; i/|x=1=l.
х^ + У
Ж: а) у = ±х-^+|(1-^);
б) х=е чз + у); в)
г) у(х2+у2) +arctgy=l +у.
3-§. Юкори тартибли дифференциал тенгламалар
8.3.1. t/n' = f(x) куринишдаги тенглама унг томонни кетма-кет
п марта интеграллаш ёрдамида ечилади.
1-ми сол. у"=хе~х тенгламанинг у|х=о=1, у'|х=о = О бош-
лангич шартларни каноатлантирувчи хусусий ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламани кетма-кет интеграллаб, умумий
ечимини топамиз:
г (и = х, du = dx, 1 _г
у'= [хе Xdx = l 1=—хе —е +СЬ
J \dv=e Xdx,v=—e х J
у== (С! — хе~х—e~x)dx=C\X— (— хе~х—е-х) + е-х+С2
ёки у = хе~х + 2е~х+ CiX-j-G-
Бошлангич шартлардан
(1 = 2 + С 2,
|о=-1+с„
бу системанинг ечимлари Ci = l ва Сг= — 1- Шундай килиб,
берилган бошлангич шартларни каноатлантирувчи хусусий ечим:
у = хе~х-}-2е~х+х— 1.
8.3.2. у[п> =f(x, yW,..., у{п~ °) куринишдаги тенгламада номаълум
функция ва унинг (k — 1)-тартибгача хосилалари катнашмайди.
Бундай тенгламанинг тартибини yw =р(х) урнига куйиш ёрдамида
пасайтириш мумкин.
2- м и с ол. у"тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. у'=р(х), у" = р'(х) деб, берилган тенгламани
р'=— In—
г XX
куринишга келтирамиз. Биринчи тартибли бир жинсли тенгламани
хосил килдик. Энди р = их, p' = u'x-j-u деб, куйидаги тенгламани
Хосил киламиз:
, . 1 du dx
и х-1-и = ulnu еки —--- =—.
и(1пи— 1) X
Ж: а) у-Сх2е‘-\-х2;
б) у=(х + С)(1+х2)-,
в) х = Се2у+~+-~-Ь-^;
г) x=ylny + -£;
,*7
д) y(x-l-C) = secx;
е) y=(C+ln)e.»l+lgxy.
ж) yx2+xsiny — cosy = С;
з) xy-}-exsiny=C.
2. Коши масаласини ечинг:
а) У'—ytgx=secx; у|х=о=О;
б) 2xydx+ (у—x2)dy=Q\ yL=-2 = 4;
в) (у2 + 2у+х2)у'+2х=0; у|х=1=0;
г) х-\-уех+ (у + ех)у' = 0; у|х=0=4.
Ж: а) у=—б) х2—yln^;
в) х2 + у2 = е~у-, г) х2 + у2 + 2уех = 24.
2- мустак^ил иш
1. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
а)/=е-_^; г) xdx=(A^)dy,
У = xcosy + sin2y ’
л\ xdy _( у А .
в) У'+^+У ~0; ’ МЛ^+У2 )
Ж: а) у = Се~/ + ех-1;
б) y=Ce-sin*-j-sinx—1;
в) у= (1+х)(С+1п|1+*|) ’
г) х2+у2(С-у2)-,
д) x+arctg-^-=C.
2. Коши масаласини ечинг:
а) у'=2у~х + ех-, у|х=0= —1;
б) y2dx=(x+ye y)dy; yL=0=—3;
в) у' —7у=е3ху2; yL=o=2;
г) xdx+ydy= y\x=i=\-
ir+y
Ж: а) у = ±х-^+|(1-^);
—- 1 Ое7х
б) х=е ЧЗ + У) ; в) У=^Г^
г) у(х2+у2) +arctgy=l +-J.
3-§. Юкори тартибли дифференциал тенгламалар
8.3.1. yln' = f(x) куринишдаги тенглама унг томонни кетма-кет
п марта интеграллаш ёрдамида ечилади.
1-мисол. у" = хе~х тенгламанинг у|х=о=1, у'\х=о=О бош-
лангич шартларни каноатлантирувчи хусусий ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламани кетма-кет интеграллаб, умумий
ечимини топамиз:
г (и = х, du = dx, 1 „
у'=\хе Xdx=\ \=—хе —е +С1(
J [dv—e~xdx, v= — е х)
У= (CI — xe~x—e~x)dx = Clx— (—хе~х—е~х) -j-e~x-j-C2
ёки y=xe~x-j-2e~x-j-Cix+C2-
Бошлангич шартлардан
| 1=2 + С2>
|о=-1 + с„
бу системанинг ечимлари Ci = l ва С2= — 1. Шундай килиб,
берилган бошлангич шартларни каноатлантирувчи хусусий ечим:
у = хе~х + 2е~х-\-х— 1.
8.3.2. у(п> =f(x, yW,..., у('1-1)) куринишдаги тенгламада номаълум
функция ва унинг (k — 1)-тартибгача хосилалари катнашмайди.
Бундай тенгламанинг тартибини yw =р(х) урнига к^йиш ёрдамида
пасайтириш мумкин.
2- м и с ол. тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. у'=р(х), у'' = р'(х) деб, берилган тенгламани
р'=— 1п—
г XX
куринишга келтирамиз. Биринчи тартибли бир жинсли тенгламани
хосил килдик. Энди р = их, р' = и'х-\-и деб, куйидаги тенгламани
Хосил киламиз:
, . ... du dx
ufхА-и = и\пи еки —.
w(inu—1) X
Унинг ечими
1п| Inu—11 =1пх + 1пС1 ёки Inu — 1=Сх,
бу ердан и = еС'х+'. Дастлабки у узгарувчига кайтиб, . С, х 4-1 . CiX-f-l у' = р — их=хе еки у=хе
тенгламани оламиз. Бу тенгламани интеграллаб, умумий ечимни
топамиз: s=x, ds = dx, dl = ec'-+'dt,t—Lec^' = X CjX-f-l 1 С; х 4- 1 । с2е +С2.
8.3.3. y{n}=f(y, у', ... , г/"-11) куринишдаги тенгламада х эркли
узгарувчи катнашмайди. Бундай тенгламанинг тартибини у'=р(у)
урнига куйиш оркали пасайтириш мумкин.
1 I '2
3- м и с ол. у"=- - - - тенгламани ечинг.
у
Ечиш. у’=р{у), у"=р'р урнига куйишни амалга оширсак,
тенглама , 1 +р2 Р'Р г~
куринишга келади. Бу — узгарувчилари ажраладиган тенгламадир.
Узгарувчиларни ажратиб ва интеграллаб, топамиз:
Т£^"=ДГёки Т1п| 1 +Р2! =1п^1 +1пС1’ 1 -\-р У z
бу ердан 1 + р2=С2у2ёки р=±у/с2у2—1.
у узгарувчига кайтсак
бундан, у' = ± д/ С2ху2— 1 ёки — = -4- dx. -^-ln|Cxy-j- д/C2y2— 1 = ± (%+ C2)- 3- дарсхона топшириси
1. Куйидаги тенгламаларни ечинг: ••
a) y"'sin4x= sin2x; б) у" = Inx;
в) (1 — х2)у" — ху' = 2\ г) (l-j-x2)y"+l+y'2 — 0;
д) /'(2у + 3)-2/2 = 0; е) уу"'-у'2 = г/21т/.
Ж: a) z/= In sinx-|-Cix2С2хСз;
у2 о
б) z/=—(1пх—-) + С +С2;
Z Z
в) у= (arc sinx) 2 +Ciarc sinx-|-C2;
г) у= (1 + СГ2) In (С\Х +1)—Ci *х-1- С2;
д) 0,51п(2г/+ 3) =С1%+С2;
е) \ny = Ciex + Cze~x-
2. Коши масаласини ечинг:
а) у"'=хе~х-, г/|х=о = О, г/'|х=о = 2, г/"|х=о = 2;
б) у"—~гг=х(х~ 0; #1*=2=1, /1х=2 = — 1;
в) УУ" — У'2 = ®> */lx=o= 1, у'|х=о = 2.
Ж: a) //= — (х + 3) •е~х + ^х2-|-3;
б) гу=(3х4—4х3—36х2+72% + 8) ;
в) у = е2х.
3- мустсищл иш
1. Куйидаги тенгламаларни ечинг:
а) у"=—4-х; г) у" = 2smxcos2x — sin3x;
б) y" = arctgx; д> У"
в) уу" = (у')2', е) 2//// 3(«/) —4у .
Ж: a) z/=^+C1x2 + C2;
б) у= arctg* (х2 — 1)—^-1п(1 +х2) + Cix+C2;
в) у=С}еС2Х; г) z/ = ysin3x+C1x + C2;
д) У=— ySin^ + C^---------^-J+C2,
е) z/cos2(х-|-Ci) = С2.
2. Коши масаласини ечинг:
a) z/"' = xsinx; z/|x=o = O, /|х=о = О; г/"|х=о = 2;
б) Ху" + х(у'}2 — у' = 0-, //1х = 2 = 2, /1х = 2=1;
в) ///'=(/) —(/)3; к1х=1 = 1; /1х=1 = — 1.
Ж: a) y = xcosx — 3sinx-|-x2-|-2х;
• г2
б) 1/=2 + 1п^-; в) у — х = 2\п\у\.
4- §. Узгармас коэффициентам бир жинсли чизик,ли тенгламалар
8.4.1. Ушбу
у(п) 4-ai (х) 114-а2 U) У("~2) + .. + (х) 1/==0
куринишдаги тенглама п-тартибли бир жинсли чизицли диффе-
ренциал тенглама дейилади. Бу ерда ах (х), а2(х).. ап(х) бирор
[а, д] ораликда аникланган ва узлуксиз функциялар булиб, улар
тенгламанинг коэффициентлари дейилади.
Агар У1, У2, уп функциялар n-тартибли бир жинсли чизикли
дифференциал тенгламанинг [а, У] ораликда аникланган чизикли
эркли ечимлари б^лса, у х,олда унинг умумий ечими
У— С)У\ (х) 4- С2у2(х) 4" 4~СпУл (х)
куринишда ёзилади.
Чизикли эркли ечимлар ечимларнинг фундаментал системаси
дейилади.
8.4.2. Агар п-тартибли чизикли бир жинсли дифференциал
тенгламанинг а\, а2, .... ап коэффициентлари узгармас сонлар б^лса,
у холда хусусий ечимлар у==е*х куринишда изланади. Бу ердаги
k п-тартибли чизикли бир жинсли дифференциал тенгламанинг
характеристик тенгламаси деб аталувчи ушбу
kn-\-a\kn 1-\-а2кп 24-...4-а„ = 0
тенгламанинг илдизлари булади.
Характеристик тенглама п та ki, k2, ..., kn илдизларга эга. Бу
илдизларнинг характерига кура уларга мос хусусий ечимлар
куйидагича булади:
а) характеристик тенгламанинг хар бир хакикий содда
k илдизига екх хусусий ечим мос келади;
б) хар бир m каррали хакикий илдизга m та чизикли эркли eklc,
хекх, .... хт~'екх ечимлар мос келади;
в) комплекс к^шма содда илдизларнинг хар бир ki =а4-ф ва
k2 = a — t’P жуфтига иккита чизикли эркли eaxcospx ва eaxsinpx
хусусий ечим мос келади;
г) карралиги г га тенг булган комплекс кушма илдизларнинг хар
бир fei=a4-*₽> k2 = a — ip жуфтига 2г та ушбу чизикли эркли
хусусий ечимлар мос келади;
eaxcosp, xeaxcospx, xr_|eaxcospx,
eaxsinpx, хеах51прх, ..., х'~ 'eaxsinpx.
Олинган хусусий ечимлар — ечимларнинг фундаментал систе-
масининг чизикли комбинацияси
t/=Ciz/i4_C2i/24_.-.4_ Спуп
ни тузиб, узгармас коэффициентли чизикли бир жинсли диффе-
ренциал тенгламанинг умумий ечими хосил килинади.
1-м и сол. у” — 7у' + 6у=0 тенгламанинг умумий ечимини
топинг.
Ечиш. Характеристик тенгламани тузамиз:
£2-7fe + 6 = 0,
унинг илдизлари £| = 1 ва &2 = 6— хакикий ва оддий, демак,
берилган тенгламанинг хусусий чизикли эркли ечимлари (фунда-
ментал ечимлар системаси): у\=ех ва у2=е, тенгламанинг умумий
ечими эса
у = С1ех + С2е6х
булади.
2-ми сол. у 1V—13у" + 36у=0 тенгламанинг умумий ечимини
топинг.
Ечиш. Характеристик тенгламани тузамиз:
fc4-13fc2 + 36 = 0.
унинг илдизлари fei.2=±3, £3.4= ±2 — хакикий ва оддий. Бу
илдизларга ушбу хусусий чизикли эркли ечимлар мос келади:
yi = e3x, у2=е~3х, уэ = е2х, у4 = е~2х.
Умумий ечим куйидаги куринишда булади:
у = С,е3х + С2е~3х + С3е2х + С<е~2х.
3- м и с ол. yv— 16i// = 0 тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Характеристик тенгламани тузамиз:
kb- 16/г = 0,
унинг ечимлари: fei=0, £2,3= ±2 хакикий, £4,5 = ±2t — комплекс
кушма (а = 0, ₽ = 2). Фундаментал ечимлар системасини езамиз.
yi = eOx=l, у2=е2х, у3=е~2х, (/4 = e0xcos2x = cos2x, y5=sin2x.
Умумий ечим:
У = d + Сге2х+ Сзе-2х + C4cos2x + C5sin2x.
4-мисол. у" — у' — 2х=0 тенгламанинг у|х=о=О, /|,_о=3
бошлангич шартларни каноатлантирувчи ечимини топинг.
Ечиш.
k2 — k — 2 = 0
умумий ечим
Бу тенгламанинг характеристик тенгламаси
куйидаги илдизларга эга: fei=2, k2= — 1. Демак,
у = С\е2х + С2е х
куринишда булади. Унинг хосиласи:
у'=2С\е2х—С2е~х.
^Бошлангич шартларни умумий ечимга ва унинг косиласига
куиио, Ci ва С2 га нисбатан ушбу тенгламалар системасини хосил
киламиз:
о=с, + с21
3 = 2С1-С2,
бу ердан Ci = l, С2 =— 1. Демак, берилган бошлангич шартларни
каноатлантирувчи хусусий ечим куйидагича булади:
у = е2х— е~х.
5-мисол. у" — 5(у = q тенгламанинг умумий ечимини
топинг.
„ Ечиш. k2 — 4& + 5 = 0 характеристик тенглама k\ 2 = 2-Н
кушма-комплекс илдизларга эга. Буларга мос фундаментал
ечимлар системаси куйидагича булади:
у\ = e2xcosx, z/2 = e2xsinx.
Умумий ечим:
z/=Cie2xcosx + C2e2xsinx ёки z/ = e2x(Cicosx + C2sinx).
6-мисол. z/iv_|_2(/'"+z/" = 0 тенгламанинг умумий ечимини
топинг.
Ечиш. Характеристик тенгламани тузамиз:
£4-|-2£3-|-£2 = 0, бу тенглама fci,2 = 0 (m = 2); fc3.4= — 1 (m = 2)
каррали илдизларга эга. Буларга мос фундаментал ечимлар
системаси
г/1 = еОх=1; у2 = х-\=х\ у3 = е~х, у4 = хе~х
куринишга эга булади. Демак, умумий ечим
у = Ci + С2%+ Сзе~х-}- С4хе~х
ёки
у = Ci + С2х-|- е~х (Сз + С4х).
4- дарсхона топшириси
1. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
а) У"-\-4у'-\-‘3y = Q-, б) у" — 4z/z + 4z/ = 0; в) у"_|_щ_|_g^_q
Ж: a) y = C\e~x+C2e~ix-,
б) у = е2х(С}+С2хУ,
в) у = е 2x(Cicos2x + C2sin2x).
2. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
ua) z/vi- 13z/lv+36z/" = 0; б) yW-&y" + 16z/ = 0;
в) „v_6t/iv+9/" = 0; г) у"’ — Зу" + Зу'-у=О;
д) 64i/vlI1 + 48z/vl+ \2yw+y" = 0.
Ж: а) у=С1е3х + С2е~3х + Сзе2х + С4е~2х + Сз + С(,х-,
б) у = е2х((У + С2х) +е~2х(Сз + С4х)-
в) у = е3х{С] + С2х) Сз +С4х +Сбх ,
г) у = ех (Ci + C2x-j- Сзх );
д) (/ = cosy (C, + C2x + C3x2)+siny (бД+СзЛ + СдХ2) +
-|- С? СиХ.
3. Коши масаласини ечинг.
а) /' + 4/ + 29г/ = 0; «/I—о=О, t/'U—о=15 ;
б) yN=y'\ j/L_o=O;i/'L=o=1; /L=o=O; у I—о=1;
Л-о=2.
Ж: a) z/ = 3e~2xsin5x;
б) z/ = ex + cosx — 2.
4- мустацил иш
1. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
а) 4у"' —8/ + 5z/ = 0; в) у^ — 6z/" + 9z/ = 0;
б) Зу'' — 2у' — 8г/= 0; г) уп+у'' = 0-
Ж: a) z/ = ex(CicoSy+ C2siny);
б) у = С[е2х-\- С^в ;
в) y = e^3x(Ci + C2x)+e-^3x(C3+C4x) ;
г) у=С\ + C2x + C3cosx + C4sinx.
2. Коши масаласини ечинг.
а) у" — 2у'+у = 0’, г/1х=2=1> У'У=2=~2;
б) у"'—у'=0; */1х-о=з> у/1х=о= 1; У 1—о=1 •
Ж: а) у= (7-Зх)ех-2; б) у = 2 + е~х.
5-§. Узгармас коэффициентли бир жинсли булмаган
чизикли дифференциал тенгламалар
Ушбу
у^ + аху(п-Х} + ауу(п-2}+ ... +a^y = f(x) ,
бу ерда f(x) ^0, а\ ..., ап — узгармас сонлар, куринишдаги тенглама
п- тартибли узгармас коэффициентли бир жинсли булмаган чизицли
дифференциал тенглама дейилади.
Берилган бир жинсли б^лма^ан чизикли дифференциал тенгла-
манинг умумий ечими y=Y-\-y формулага кура аникланади,_бу
ерда Y — мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечими, у —
берилган бир жинсли б^лмаган тенгламанинг бирорта хусусий
ечими.
Бу тенгламанинг у хусусий ечимлари тенгламанинг унг томони
ушбу
f(x) = eYX[P„(x)cos6x + Qm(x)sin6x]
махсус куринишга эга булганда аникмас коэффициентлар усули
билан топилади. Бу ерда у ва б — берилган сонлар, Рп (х) ва
Qm (х) —мос равишда га-ва /га-даражали маълум купхадлар. Бу
холда берилган тенгламанинг хусусий ечими у куйидаги куринишда
изланади:
у = x'eyx[ui (х) cos6x + vi (х) sin6x],
бу ерда г
kn+Plkn-l+p2kn-2 + ... + pn = 0
характеристик тенгламанинг у4-б/ илдизининг карралилиги (агар
характеристик тенглама бундай илдизга эга булмаса, г = 0);
И/(х) ва и/(х) —даражали купхадлар, шу билан бирга / сони т ва
га ларнинг каттасига тенг.
uz(x) ва и((х) купхадларнинг коэффициентлари берилган тенгла-
мада у урнига у ни к^йгандан сунг унинг чап ва унг томонларидаги
Ухшаш хадлар коэффициентларини бир-бирига тенглаш натижаси-
да хосил булган алгебраик тенгламалар системасидан топилади.
Агар берилган бир жинсли б^лмаган _чизикли_ тенглмада
f(x) =i/i (х) 4-/г(х) булса, унинг хусусий ечими у=у\ 4-1/2 булади, бу
ерда у\_—унг томони /1(х) булган берилган тенгламанинг хусусий
ечими, уг эса ^нг томони /2(х) булган бу тенгламанинг хусусий ечими.
1- м и с о л. Ушбу
yW-3y"=9x2
чизикли тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. fe4 — 3fe2=0 характеристик тенглама fei = ft2 = 0, *3.4=
= ± -у/3 илдизларга эга, буларга ушбу у\ = 1, у2 = х, у3=е^3х,
у4=е~^х фундаментал ечимлар системаси мос келади, бу
ердан мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини хосил
килам из:
У=С1 4- С2х + Сзе^х+С4е-^х.
Берилган тенгламада f(x)=9x2, у = 0, 6 = 0, шунинг учун
у 4-/6 = 0. Бу сон характеристик тенгламанинг иккала fei = fe2=0 ил-
дизлари билан бир хилдир, шунинг учун г = 2 ва хусусий ечим у ни
у= (Лх24-Вх4-С)х2=Лх44-Вх34-Сх2
куринишда излаймиз.
у'< У"> У'"> У™ хосилаларни топамиз ва уларни куйидаги
схема буйича жойлаштирамиз (тик чизикнинг чап томонига
тенгламада булар олдида турган коэффициентларни ёзиб чикамиз):
О
О
-3
О
1
у = А х4+Вх3+Сх2,
у' = 4Ах3+ЗВх2+2Сх,
у” = \2Ах2+6Вх + 2С,
у"'=24Ах + 6В,
ylv—24A.
Топилганларни тенгламага куямиз:
y‘v-3y" = - 364 х2 - 18Вх - 6С + 244 = 9х2.
Бу ерда чап ва унг томонда х нинг бир хил даражалари олдидаги
коэффициентларни тенглаб, А, В, С ларни топиш учун алгебраик
тенгламалар системасини хосил киламиз:
х2 — 364 = 9,
х —185 = 0,
х0 6С +244 = 0,
бу ердан А= —р В=0, С= — 1 .
Демак, у хусусий ечим куйидаги куринишда булади:
у= —4-х4 —Сх2.
3 4
Берилган тенгламанинг умумий ечими
У= Y+y = С, + + С3е *+ С4е~ v3'-{х4-Сх2.
2- м и с о л. Ушбу
у" — 7у' + 6у = хех; у\х=0=\, /|ж_0=3.
Коши масаласини ечинг.
Ечиш. k2 — 4-6 = 0 характеристик тенглама fei = l, 62=6 ил-
дизларга эга, шунинг учун мос бир жинсли тенглама
у” — 7у'А-6у = 0 нинг умумий ечими Y=CiexA-C2ebx функциядан
иборат.
Тенгламанинг унг томони f(x)=xex, у=1, 6 = 0, y4-i-6=l=fc,
шунинг учун r=l; Pi(x)=x, демак, хусусий ечим у ни
у—хех(Ах + В) ёки у = ех(Ах2 + Вх)
куринишда излаймиз.
1- мисолдаги каби топамиз:
6 у = ех(Ах2-\-Вх),
— 1 у=ех(Ах2-\-ВхА-2Ах-\-В),
1 у" = ех(Ах2+Вх + 2Ах + В + 2Ах + В + 2А).
Тенгламага к^ямиз:
У"-7у' + 6у = ех(6А-7А+А)х2 + ех(6В + 7В- 14А + В + 4А)хА-
+ ех(-7В + 2В + 2А)=хех.
Бу айниятнинг иккала томонини е*у=0 га б^либ ва чап хамда унг
томонда х нинг бир хил даражалари олдидаги коэффициентларни
тенглаб, куйидагини х,осил киламиз:
х2 0 = 0,
х — 10Л = 1, бу ердан А=—В =
х° 2А—5В = 0, Н1
Демак, хусусий ечим: у = ех(——Д-Y
(2 \
—-|—— 1.
10 25 /
Коши масаласини ечиш учун у' ни топамиз:
1
25 ’
9'-С,е'+6СГ-е-(4+^+|4
1
25
Бошлангич шартлардан фойдаланиб, ихтиёрий ^згармаслар
Ci ва С*2 ларни топиш учун чизикли алгебраик тенгламалар
системасини х,осил киламиз:
1 = С1Ч-С2, 1 = ^ + ^,
3-С, + 6Сг-Ш ёки -g-=C, + 6C,,
бу ердан С,=-^,
Демак, берилган бошлангич шартларни каноатлантирувчи
хусусий ечим куйидаги куринишда булади:
3- м и с о л. Ушбу
у" + у = (х2— l)e_x + sinx
тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. £2-|-1:=0 характеристик тенглама fei,2=±i(a = 0,
Р=1) мавдум илдизларга эга, демак, мос бир жинсли тенгламанинг
У умумий ечими y = Cicosx-|-C2sinx функция куринишида булади.
Тенгламанинг унг томони ушбу fi(x) ва /г(х) функцияларнинг
йигиндисидан иборат:
ft (х) = (х2 — 1)е~х; f2(x)=sinx,
шунинг учун тенгламанинг у хусусий ечимини y=yi-\-y2 кУринишда
излаймиз.
у, учун:
fi (х) = (х2—1 )£“', у= —1, 6 = 0; y-|-z6= — 1 =/=fei, fo,
демак, г = 0 ва yi= (Ах2-\-Вх-{-С)е~х.
У2 учун:
/2 (х) = sinx, у = 0, 6 = 1; y = z'6=z =k\ #=£2,
демак, r= 1 ва y%=(D sinx + £cosx)x.
Шундай килиб,
I
0
1
у = е х(Ау? + Вх + С) + (Dxsinx-|-Excosx),
у'=е~х ( — Ах2 — Вх— С+2Ах+В) +sinx(D — Ex) 4-cosx(£ + £>x),
у" = е~х(Ах? + Вх + С-2Ах-В-2Ах-В+2А) +
+ sinx( —Е — Е — Dx) +cosx(Z> — Ex + D).
Топилганларни тенгламага куямиз:
у"+у' = е-х(А+А)х2 + е-х(В + В-2А-2А)х + ех(С + С-
— В — В4-24) 4-sinx(Dx — 2Е — Dx) 4-cosx(Ex4-2D — Ex) =
= (x2— l)e-x4-'Sinx.
Охирги айниятнинг чап ва унг томонларидаги бир хил хадлар
олдидаги коэффициентларни тенглаб, А, В, С, D, Е ларни топамиз:
х2е х 1=2Л,
хе~х 0 = 2В-44,
х°е~х — 1=2С — 2В + 2А,
sinx 1 = -2£,
cosx 0 = 20,
бу ердан 4=у, В=1, С = 0, 0 = 0, Е=—Бинобарин у хусу-
/х2 \ х
сий ечим у = е 4--—|-х 1—^cosx функциядан, умумий ечим эса
_ /х2 \ х
y = C1cosx4-C,2sinx4-e —|-х )—g-cosx
функциядан иборат булади.
5- дарсхона топшириги
1. Тенгламанинг умумий ечимини топинг:
а) у" — 6t// + 8t/ = 3x24-2x+ 1;
6) у" — 6y' + 25i/ = 2sinx+3cosx;
в) /'+3/-10z/=xe-2x;
г) у" — 2y' + 2i/ = exsinx,
Д) ylv—y=xex+cosx;
е) у" — 3y' + 2i/ = 3x4-5sin2x;
ж) /'-4y' + 4i/ = 8(x2 + e2j: + sin2x).
Ж: а) у = С1е4х+С2е2х+-^-(24х2+52х+41) ;
б) </ = £?3x(Clcos4x + C2sin4x)+-^(14cosx+5sinx) ;
в) z/=C1e2x+C2e-5x+-rL-(l-12x)e-2x;
г) f/ = ex(C1cosx + C2sinx) —-i-xrtosx ;
д) £/=C1ex+C2e-x+C3sinx + C4cosx+^4^ex-4sinx;
о 4
е) «/ = С1ех4-С2е2х+ух4—|-(9 + 3cos2x—sin2x) ;
ж) i/ = e2x(C1 + C2x) +2x2+4x-|-3 + 4xe2x+cos2x.
2. Коши масаласини ечинг:
а) ///-/ = 3(2-х2); «/1х_о=/1х-о=/'1«о= 1 ;
б) /' + </=-sin2x; г/1х=п=/|х=п=1 .
Ж: a) t/ = ex4-x3; б) J/=4-sin2x—-Uinx—cosx.
о о
5- му ставил иш
1. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
а) у" — Ъу'+2у=х—е“2х+1;
б) 2t/"4-5/ = 29xsinx;
в) У" — 4у' 4-4i/ = sinx-cos2x.
Ж: a) !/=Clex+C2e2x+4JC+4—iW_2x;
~ 'т IZ
—
6) n-C, + C^~+(-5x—^)cOsx-(2x—
В) i/ = e2"(C1 + C2x) +-I|g(—|sin3x+6cos3x)-
— -j^-(3sinx-|-4cosx) .
2. Коши масаласини ечинг:
а) у" — 3у'+2у=е3х(х2+х); z/lx=0=l, /1*=о=—2;
б) /"-/=-2х; г/|х=о=О, /1х=о=/'1х=о=2;
в) у” — 2/ + 2(/ = 4excosx; £/|х=я=леп, /|х=я=ел.
Ж: a) у=4(ех-е2‘)+~(х2-2х+2)е3';
б) у=ех-е~х-1-х2;
в) у = ех[(2х—л — l)sinx — лсозх].
6-§. Узгармас коэффициентли бир жинсли булмаган
чизикли дифференциал тенгламаларда
узгармасни вариациялаш усули
Бир жинсли булмаган чизикли тенгламани ечишнинг умумий
усули ихтиёрий Узгармасларни вариациялаш усулидан иборат.
Агар мос бир жинсли тенгламанинг yi, уг, ..., уп фундаментал
ечимлар системаси маълум булса, у холда бир жинсли булмаган
тенгламанинг умумий ечими куйидаги куринишда топилиши
мумкин:
у = С\ (x)yi + Сг(х) «/2 + -.. + Сп(х)уп,
бу ерда Ci(x), Сг(х), .... Сл(х) функциялар ушбу тенгламалар
системасидан топилади:
' C'I(x)«/1 + C2(x)i/2 + ... + C;(x)f/„=0.
C\(x)yl + C2(x)z/2 + ... + Ся(х) «/„ = 0,
С\ (X) у !п~2> + С2 (х) z/?-2» +... + С’п (х) у^-2> = 0,
. C'1(x)f/}',-n + C2(x)^»-1» + ... + C;(x)i/i"-,,=f(x).
Иккинчи тартибли
у" + Pi (х)у' + Р2 (х)у" = f(x)
тенглама учун мос система куйидаги куринишда булади:
С\(х)у1 + С'2(х)у2=0,
C\(x)y\ + C'2(x)y2=f(x).
1- м и с ол. у" +y = tgx тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. й2 + 1=0 характеристик тенглама fci,2=±Z илдизларга
эга, шунинг учун мос бир жинсли тенгламанинг умумий ечими
y=Cicosx+C2sinx булади.
Берилган тенгламанинг хусусий ечимини аникмас коэффици-
ентлар усули ёрдамида топиб булмайди. Шунинг учун ихтиёрий
узгармасларни вариациялаш усулидан фойдалаиамиз, яъни умумий
ечимни
у = Ci (х) cosx + С2 (х) sinx
куринишда излаймиз, бу ерда Ci (х) ва Сг(х) функциялар
С\ (х) cosx + С'2(х) sinx=О,
— C'|(x)sinx-|-C2(x)cosx = tgx
системадан топилади. Системани ечсак:
, Sin2X .
Ci(x) =-------, C2(x)=sinx.
1' ' cosx i’
Интеграллашдан сунг куйидагиларни косил киламиз:
С,(х) = — \^-dx = - \-^Ldx =
J cosx J cosx
= sinx —In |tg(j+y)| +Clt
C2(x) = ^sinxdx= — cosx+C2,
бу ерда Ci ва C2 — ихтиёрий интеграллаш узгармаслари.
Шундай килиб, берилган тенгламанинг умумий ечими
У = (c^sinx-J-ln |tg(y+-j-) I ^:osx+ (С2—cosx)sinx
ёки
у = C1cosx + C2sinx — cosxln •
6- дарсхона топшириги
1. Куйидаги тенгламаларнинг умумий ечимини ихтиёрий узгар-
масларни вариациялаш усули ёрдамида топинг:
а) у'' — 2у' + у=-^~-
в) у" + у'
1
cosx ’
б) У" + 3у' -|-2у=——
<г+1
г) у"4-4у' + 4у = е-2х1пх .
Ж: а) у= (Ci + С2Х)ех + хех1п|х|;
б) у=С1е-х + С2е~2х+(е“х + е-2х) ]n(ex-|-l);
в) y=Cicosx + C2sinx + xsinx + cosx-ln|cosx|;
г) у= (Ci+ С2Х-|-ух21пх— ^-х2)е~2х.
2. Коши масаласини ечинг:
у"+у,==^
2 2
Ж-’ y=ycosx + sinx — xcosx-|-sinxln|sinx| .
6- муста^ил иш
I. Тенгламаларнинг умумий ечимини топинг:
1. у"-2у'+У= , —
\/4-Г
Ж: у= (Cj+ у/4—х2 4-arcsin^ + С2х)ех.
2- У"+У—
Ж: y = C1cosx + C’2sinx4-
-Ucosxln
д/2
COSX-f-
^=sinx- arcsin ( д/2 sinx)
3: y"—y'=— e2x у/ 1 — e2x .
Ж: y=Ci + C^‘+-^e‘(avcs\nes+eI^\—ei’) 4-
+ 4V(l-e!')3.
II. Коши масаласини ечинг:
y"+4y— . 2 ; у » — 0; у'
sirrx д—2
Ж: у= — cos2xln|sinx| — xsin2x — cos2x.
8- намунавий %исоб топишри^лари
1. Дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг:
1.1. 3(x2y + y)dy-{- y/2 + y2dx = 0 .
1.2. (3 + ех)уу'=ех.
1.3. t/lnt/ + xf/' = O.
1.4. 2xdx—2ydy = xydy — 2xy"dx.
1.5. +
у 1-/
1.6. y/4 + y2dx — ydy = x2ydy.
1.7. 2x + 2xy2+y/2-x2/ = 0.
1.8. xdx—ydy=yx2dy — xy2dx.
1.9. y/l —x2y'H-xy2+x = 0 .
1.10. {ex + 3)dy — yexdx = 0,
1.11. xy/5+y2dx + yyj4+x2dy = 0 .
1.12. 6xdx — Qydy = 2x2ydy — 3xy2dx.
1.13. 4xdx — 3ydy=3x2ydy—2xy2dx.
1.14. xy/3+y2dx+yy/2-}-x2dy = 0.
1-15. y(4+ex)dy — exdx=0.
1.16. y/b+y2 +y'y\/i — x2 =0 .
1.17. 6xdx — 2ydy = 2yx2dy — 3xy2dx.
1.18. -\/5 + y2dx+4(x2y+y)dy=0.
1.19. x-\jl+y2+yy'-y/l+x2=0.
1.20. (e2x+5)dy + ye2xdx=0.
1.21. д/4 — x2y'+xy2+x=0 .
1.22. 6xdx—ydy=yx2dy — 3xy2dx.
1-23. y(lH-lnz/) +xy' = 0.
1.24. (l+ex)f/,t/z = ex.
1.25. -\j3+y2dx — ydy = x2ydy.
1.26. bxdx — bydy = Зх2 у dy — 2xy2dx.
1.27. хд/4 + у24х+у-\/1+х2сй/ = 0 .
1.28. (1 +e*)/=ye\___
1.29. у/З+у2 + -у/1 — x2yy' = 0 .
1.30. 2xdx — ydy=yx2dy — xy2dx.
2. Дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топннг:
2.1. (2x—y)dx+ (x+y)dy=0.
2.3. xdy — ydx= y]x2-\-y2dx .
2.5. (y2—xy)dx +
+ (x2 —J.vy) dt/ = O.
2.7. (xye* -{-y^dx — x^^dy.
2.9. xy2dy= (x3+y3)dx.
2.11.
2.13.
2.15.
2.17.
2.19.
2.21.
y2dx= (xy — x2)dy.
xy + y2(2x2+xy)y'.
2xy'-y = x2+y2.
xy'=4-\/2x2+y2 +y.
xy'=3-y/2x2+y2 +y.
xy'
= 3£±6yJ_
2^+Зх2
2.23. xy' = y(]n±- 1) .
2.2. (x2 +y2)dx-{-2xydy=0.
2.4. y'=-^y
x-y ’
2.6. xlriydy — ydx = 0 .
2.8. (x—y)ydx—x2dy = 0.
2.10. (x2 — yQ)dx=2xydy.
2.12. (y2 — 2xy)dx+x2dy=0.
2.14. xyy' = y2 + 2x2.
2.16. (5xy—x2)y' — 5y2=0.
2-18. 4/=^-+10^+5.
2.20. y' (2x2 + 2xy) = x2 + 2xy - y2.
2.22. у’ = -+2У
y 2x—y ‘
2.24. xy'-y=z(x+y)\n^-.
2.25. ху'=у — хех .
2.27. ху'=у — secx .
2.29.
х? + ху-3у2
У Ъ1?-2ху
2.26. xy'-y = xi^.
2.28. ху' = £/cos(ln-0.
2.30. ху'= у/х2+у2 +У
3. Коши масаласини ечинг:
3.1. ху' — y = x2cosx; 0(7)= 1 •
3.2. ху'+у=х3-, у(1) =0.
3.3. y'cosx + ysinx= 1; у(0) =1.
3.4. у'+2ху=хе~^-, у(0) = — 1 .
з.5. //(О = 1 •
3.6. у'—ycosx=sin2x; у(0) = —1.
з-7. /-4п-=(^+1)3; 0(°)=у.
3.8. у'+2ху= —2х3; у(1) =е-1.
3.9. у'+^=х\ у(1) = -|.
3.10. у'-±=х2- у(1)=0.
3.11. у(1) = 1 .
3.12. y'+-^-=sinx; у(л)=4-
3.13. y'-y=xsinx; */(у)=1 •
3.14. /--^у=х2+2х; у(-1)=у.
3.15. у'--^-г=ех(х+1); у(0) = 1 .
3.16. y'+-i-=4; у(0)=|.
3.17. у'-4-=ех(хЧ-1)2; у(0) = 1 .
3.18. y' + ytgx = cos2x; y(-j)=T
3.19. y'+ycosx=ysin2x; y(0)=0.
3.20. у'-^4= l+x2; y(l)=3.
y 1+x2
3.2L y'+^, 9(y)=l-
3.22. xy'+y=lnx+l; y(l)=0.
3.23. y'ctgx — y = 2cos2xctgx; y(0)=0.
3.24. xy'-\- (x4-l)y = 3x2e~x- y(l)=O.
3.25. (xy'— l)lnx = 2y; y(e) =0.
3.26. y = x(y' — xcosx); у(у)=0-
3.27. xy'-2y = 2x4; у (I) =0.
3.28. y' + ytgx-|-sinx; y(0)=0.
3.29. (x2 + l)y' + 4xy = 3; y(0) =0.
3.30. у'+y^ У=^ у (°)=ln5 •
4. Коши масаласининг ечимини топинг:
4.1. / —ytgx= —yy4sinx; у(0) = 1 .
4.2. у'—у=ху2-, у(0) = 1 .
4.3. 4у' + х3у= (л34-8)е-2ху2; у(0) = 1 .
4.4. у' — у=2ху2; г/(0)=у.
4.5. Зу'-(-2ху = 2ху~2-е~2х?; у(0) = — 1.
4.6. ху'-у=—у2(1пх~1-2)1пх;у(1)—1.
4.7. у'-(-4х3у = 4(х3-1- 1)е~4ху2;у(0) = 1 .
4.8. у'х + у=^-; у(1) =3 .
4.9. 2y' + 3ycosx= (8+ 12cosx) е2ху“ 1; у(0) =2.
4.10. у' + 4х2у=4у2е4х( 1 — х2); у(0) = — 1.
4.11. 2(у' + ху) = (х—1)ех—у2; у(0)=2.
4.12. 2у'— 3z/cosx= — e-2x(2 4-3cosx)y-1; у(0) = 1.
4.13. у' + ху=(х—])еху2-, у(0) = 1.
4.14. ху' + у=у2\пх\ у(1) = 1.
4.15. 2у' + 3ycosx = e2x(2-|-3cosx)i/_1; у(0) = 1.
4.16. 2y' + ycosx=i/~1cosx(l 4-sinx); w(0) = l.
4.17. 2(ху' + у)=ху2- у(1)=2.
4.18. ху' + у=2у2\пх\ У(1)=у.
4.19. 3(ху' + у) =у21пх; у(1) =3.
4.20. Зху' + $у= (4х — 5)у4; у(1) = 1.
4.21. у'+2ху=2х3у3- у(0)=х/2.
4.22. 2(у'+у)=ху2-, у(0)=2.
4.23. у' + у = ху2; у(0) = 1.
4.24. у' + ху= (1+*)e~V; У(0) = 1.
4.25. 2(у' + ху) = (1+х)е-ху2-, у(0)=2.
4.26. 2ху'—Зу= — (5х2 + 3)у3; у(1)=^.
4.27. 2ху' — 3у= — (20x412)у3; у(1)=-^.
4.28. Зху'— 12у = - (5х2 + 3)у3; у(1)=4
4.29. 2(ху'+у) =у21пх; у(1) =2.
4.30. ху' + у = ху2-, у(1) = 1.
5. Дифференциал тенгламанинг умумий интегралини топинг:
5.1. (у2 -)-ysec2x)t/x + (2xy4-tgx)dy = 0.
5.2. +^-\dx-^dy = Q .
\ л х J х
5.3. dL-dx—ху+1 dy = 0 .
х? *
5.4. (y3 + cosx)dx-(- (Зху2+ ei/)dy = 0.
5.5. (siny + ysinx-)--^)dx+ (xcosy—cosx+y)dy = 0 .
5.6. xy2dx-\-y(x2 + y2)dy = 0.
5.7. (3x3 + 6x2y + 3xy2)dx+ (2x3 + 3x2y)dy = 0.
5.8. (x2-bxy-2y2)dx+ (y2-4xy-2x2)dy = 0.
5.9. eydx-\-(cosy-\-xey)dy = 0.
5.10. = о .
У У2
5.11. (xy2-j-dL\dx-\-(x2y — d^-]dy = 0 .
\ у / \ У /
5.12. (2x-l-^dx-(2y-^dy=0.
5.13. (3x2+4y2)dx+ (8xy+e!>)dy=0.
5.14. (sin2x — 2cos(x-)-y) )dx — 2cos(x + y)dy = 0.
5.15. -Ц^-dx +-^-dy = 0 .
x^y xy
5.17. (cos(x + y2) -|-sinx)dx + 2z/cos(x-|-z/2)tZt/ = 0.
5.18. (6xy2-f-4x3)dx-f- (6х2у + у)2е/(/ = 0.
5.19. (3x2 + -^os—')dx - ^-cos^dy = 0 .
\ У У / у2 У
5'22' (10^-^>+(5л2+-“а - ^2sl^’)^=°'
5.23. (5xy2 — x3)dx+ (5x2y — y)dy = O.
5 24 (.x—y)dx+ (x+y)dy g
>?+y2
5.25. 3x2eydx+(x3t?y-l)dy = 0.
5.26. (3x2y + 2y-|-3)dx + (x3-|-2x-\-3y2)dy = 0.
5.27. ~rcos—dx— f—cos—-\-2y}dy = 0 .
Ji X \ X X /
5.28. (xex-\—^\dx—X-dy = Q .
\ x / x
5.29. xe^dx+ (x2ye^ + tg2y)dy = 0 .
5.30. (l+-e7)t/x+fl - ^e7\dy = 3 .
\ у / \ у J
6. Дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг:
6.1. у"'+у"tgx = 0 .
6.2. у"'х\пх=у".
6.3. у"=—~.
у
6.4. x2z/" + х/= 1.
6.5. /'--^г=х(х-1) .
6.6. f/"ctgx+/=2.
6.7. Ху^ + у" = -^х.
6.8. ху"'-2у" = -^.
X
6.9. х4у'' + х3у' = 4 .
6.10. у"+-^-у' = 2х.
х + 1
6.11. tgx-y"—у' Т— =0
6.12. (Ц-х2)/' + 2хг// = х3.
6.13. ///-ctg2x+2/'=0.
6.14. tgx-/"=2/'.
6.15. х2у" -\-ху' = 1.
6.16. /'4-2х/2 = 0.
6.17. ху"=у' + х2.
6.18. ху"'—у" = —.
6.19. xy"'+y"=l.
6.20 (x + l)y'" + y"=x + l.
6.21. xy'"+2y" = 0.
6.22. xy'" + y" + x = 0.
6.23. y"'tg5x = 5y".
6.24. (l + sinx)y'"=y"cosx.
6.25. x3y'"+x2y"= y[x
6.26. y"'tgx=y"+l.
6.27. x5y"'+x4y"=l.
6.28. xy" + y' = Inx.
6.29. xy"—y' = 2x2ex.
6.30. xy" = у'1пу.
7. Коши масаласини ечинг:
7.1. у"у3+1 =0; у(1) = — 1, у'(1) = — 1.
7.2. 1+у'2=уу"; у(0)=1, у'(0)=0.
7.3. у"у3 + 36 = 0; у(0)=3, у'(0)=2.
7.4. 4у3у"=у4—1; у(0)=д/2, у'(0)=^-.
7.5. у"=18у3; у(1) = 1, у'(1) =3.
7.6. у"=2-у; у(0)=2, у'(0)=2.
7.7. у12 + 2уу" = 0; у(0) = 1, у'(0) = 1.
7.8. у"у34-9 = 0; у(1) = 1, у'( 1) =3.
7.9. 4у3у" = у4—16; у(0)=2д/2; у'(0)=^-
7.10. уу"+у12 = 0; у(0)=1, у'(0) = 1.
7.11. уу" = 4(у4—1); y(0)=V2, у'(0) =72.
7.12. уу"-2у‘ =0; у(0) = 1, у'(0)=2.
7.13. у" + 2уу12 = 0; у(0) = 1, у'(0) = 1.
7.14 y"tgy = 2y12; у(1)=у, у'(1)=2.
7.15. у"у3+25 = 0; у(2) = -5, у'(2) = -1.
7.16. у(1-1пу)у"+(1+1пу)у12 = 0; у(0) = 1, у'(0) = 1.
7.17. у"(1+у) =у12+у'; ИО) =2, у'(0)=2.
7.18. у" +18sinycos3y = 0; у(0)=0, у'(0)=3.
7.19. 2уу"=у12; у(0) = 1, у'(0) = 1.
7.20. у"у3 + 4 = 0; у(0) = -1, у'(0) = -2.
7.21. у"(1+у)=5у1\ у(0)=0, у'(0) = 1.
7.22. уу"—у12=у4; у(0) = 1, у'(0) = 1.
7.23. у"=у'еу-, у(0)=0, у'(0) = 1.
7.24. у" = 32у3; у(4) = 1, у'(4) =4.
7.25. у'= --L; у(0) =^, у'(0) = д/2 .
2у z
7.26. у3у"=у4-16; у(0) =2-^2, у'(0)=л/2.
7.27. 4у"2=1+у12; у(0) = 1, у'(0)=0.
7.28. у"=1-у^; у(0)=0, у'(0) =0.
7.29. у"(2у + 3) =2у12; у(0) =0, у'(0)=3.
7.30. уу"-2уу'1пу = у12; у (0) = 1, у'(0) = 1.
8. Дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг:
8.1. +
8.2. yiv_p2y"'4-у" = 2-3;2;
8.3. ylvW4/=4x2;
8.4. у"'+Зу"-| 2у = 1 — х2;
8.5. у'"-\-у"=[ <2 — 1 ;
8.6. и'"-|-у"=гР--24х2;
8.7. у"' — 5у”+С^1 = 6х2+2х — 5 ;
8.8. у"—y"=6x2-j-3x;
8.9. уп+4у"'+^ '=х-х2;
8.10. у"--2у"=3л2 -х —4 ;
8-И- y"'—y'=x2+s.,
8.12. 7у'"—у"=12х.
8.13. £/"— 12г/ =х— 1 ;
8.14. y,v-3y"'+3y"-y'=2x-,
8.15. у"'+3z/”+2y'=-3x2+2x ;
8.16. у^-у"=х-
8.17. /v--/"=5(x+2,'?.
8.18. у"-у' = Зх2-2хН-1 .
8.19. у'"—у '=6х + 5 ;
8.20. уп— 2у" +у" = 2х(1-х) ;
8.21. у"'—у"=4х2 — 3x^-2 ;
8.22. у"-\ 3у"+2у'=х2+2х+3 ;
8-23. y,v-4-2y"'+y" = x2+x+ 1 ;
8.24. y,v—3y"-l-3y" — y'=x — 3 ;
8.25. у'"—3у"+<3у = (х— I.)2;
8.26. yv-ylv=2x + 3 ;
8.27. у™+2у"' + у'=\2х2-3х-
8.28. yIV+6y'"+9/=3x-l ;
8.29. 3ylv+y"'=6x-l .
8.30. y"'-13/+12y'=18x2-39.
9. Дифференциал тенгламанинг уму мий ечимини топинг:
9.1. у'" + 4у"+3у'=4(].— х)е~*;
9.2. у'"—4у"—Зу ==—4хех;
9.3. у'"—Зу—2у=—4хех;
9.4. у'"—у"—9у'+9у^(12—16х)ех.
9.5. у"'—5у"+7у'-3у=~ (20-16х)е“х.
9.6. y"'+y"-y'-y=(?^ + 4)ex.
9.7. /' + 6/ + 9y'=(16r + 24)e\
9.8. /' + 3/ + 2у = (1-^)е-\
9.9. у'" + 9у"-3у' = (4>+2)<?х.
9.10. /' + 2/+г/'=(18х + 21)е2\
9.11. /'+2/-3/=(8х + 6) + .
9.12. у'"—у"—4г/'+4у= (7 — 6х)ех.
9.13. у"'—4у"+4у'= (х — 1)ех.
9.14. у"'-2у"-3у'= (8х—14)е-х.
9.15. у"—3у''—у'+3у=(4 — 8х)ех.
9.16. у -Зу" । t>y — 4у = (2х — 5)ех.
9.17. у+5у"+ 7у + Зу = (1 бх + 20) ех.
9.18. у"+4у"+4у = (9х+ 15) е*.
9.19. у"—Зу'+4у= (18х — 21)е-х.
9.20. у'"-у"—5у'—3у=- (8х + 4)ех.
9.21. у"'+у"—2у'= (6х + 5)ех.
9.22. у"' — 2у"+у'=(2х+5)е2х.
9.23. у'"— 7у"+15у' — 9у=(8х — 12) ех.
9.24. у'"—у" — 2у'= (бх— 11)е-х.
9.25. у'"—у"—у'+у= (Зх+7)е2х.
9.26. у —Зу -\-9у =4хех.
9.27. /'4-4у"+5(/'+2у=(12х+16)ех.
9.28. у'"—3/' + 2/=(1 — 2х)ех.
9.29. у"— Зу" +3у'+9у = е~х(32х-32) .
9.30. у"'-3у'+2у=(4х + 9)е2х.
10. Дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг:
10.1. У" + у=2cos3x — 3sin3x.
10.2. У" — 4у' + 4у= — е2х • sin4x.
10.3. у" — 4/ + 8z/ = ex( — sinx+2cosx).
10.4. У" + 2z/ = 4ex(sinx + cosx).
10.5. У" + 2у' + 5у= — 2sinx.
10.6. У" 4-6/+ 13y = e-3x-cos5x.
10.7. у" ' — 4/ + 4y= — e2x- sin6x.
10.8. У" ’ — 4y'+8y — ex (— 3sinx + 4cosx)
7- §. Дифференциал тенгламалар системаларини ечиш
8.7.1. Ушбу
’ у'1 = Л(*-Уь Уъ -,Уп),
У2 = [Лх,у1,у2..(/„),
I. у'п=1п(х, у{, у2, ...,уп)
дифференциал тенгламалар системаси нормал система дейилади, бу
ерда ух, у2,уг. — эркли узгарувчи х нинг номаълум функциялари.
Бу системани каноатлантирувчи ух =<рх (х), у2=ч>2(х),уп = ц>п (х)
функциялар системаси бу системанинг ечими дейилади.
Берилган дифференциал тенгламалар системаси учун Коши
масаласи шундай ечимни топишдан иборатки, бу ечим х=хо да
берилган у2| х=дь = у20 уп\ x_xj)= уп0 бошлангич шарт-
ларни каноатлантирсиц.
Нормал системанинг умумий ечими деб п та Ci, С2, ..., Сп ихтиёрий
узгармасларга боглик булган
У| = ф|(х, Си С2, .... Сп),
72=(Р2(*> ^1» ^2> •••> Сп),
Уп==<Рл(-'-1 ^1> ^2> ••> ^п)
функциялар системасига айтилади. Бу ечим берилган тенгламани
ихтиёрий узгармасларнинг кар кандай мумкин булган кийматлари-
да айниятга айлантиради ва берилган бошлангич шартларни
каноатлантирадиган килиб танланса, Коши масаласининг ечими
булади.
Умумий ечимдан ихтиёрий узгармасларнинг мумкин булган
баъзи кийматларида хосил буладиган ечимлар хусусий ечимлар
дейилади.
8.7.2. Нормал системани ечишнинг усулларидан бири номаълум
функцияларни йукотиш усули б^либ, у п та дифференциал
тенгламалар системасини бир номаълум функцияли битта п- тар-
тибли дифференциал тенгламага келтиради.
1- м и с о л. Ушбу
y'=y+z,
z' = y — z
дифференциал тенгламалар системасини у|х=0=2, z|x=o=O бош-
лангич шартларда ечинг.
Ечиш. Номаълум функция z ни йукотиш учун биринчи
тенгламани х буйича дифференциаллаймиз:
У"=У' + Л
бу ерда z' урнига унинг иккинчи . тенгламадан аникланган
ифодасини куямиз:
Энди z
куйсак,
урнига унинг биринчи тенгламадан олинган ифодасини
у" —2у=0
тенглама косил булади. Бу тенгламанинг k2 — 2 = 0 характеристик
тенгламаси £1.2= ±л^ илдизларга эга.
Демак, умумий ечим куйидагича ёзилади:
y = Cleyi2x+C2e V2x.
z учун умумий ечимни системанинг биринчи тенгламасидан
топамиз:
z=y'-y = Cl(^2-\)e^x-C2(y/2+l)e-^x.
Ихтиёрий узгармасларни топиш учун бошлангич шартлардан
фойдаланамиз:
Ci+C2 = 2,
С,(д/2-1)-С2(д/2 +1)=0.
Бу ердан:
г _ л/2+2 _ 2-yj2
С ! — —- , С2 — —2 — .
Шундай килиб, биз излаётган хусусий ечим куйидагича булади:
</=(4+1Их+(1-4)е-^
__ V2 д/2
2 2 2
8.7.3. Агар дифференциал тенгламалар нормал системасининг
унг томонлари номаълум уг, у2, .... уп функцияларга нисбатан
чизикли функциялар б^лса, у х,олда тенгламалар системаси чизикли
система дейилади. п та номаълум у,, у2, ..., уп функциялар катнашган
коэффициентлари узгармас булган, п та чизикли бир жинсли
тенгламалар системаси куйидаги куринишга эга:
У1 — апУ1 + а12Уг+ ••• +а1«Уп>
У2 = а21У1~Ьа22У2~1~ ~\~а2пУт
.Ул=“п1У1 + “п2У2 + ••• аппУп-
Бу системанинг ечими
yi = aiekx, у2 = а.2екх, ..., уп = а.пекх
куринишда изланади. у\, у2, уп ларни берилган дифференциал
тенгламалар системасига кУйиб, ai, аг, апларга нисбатан чизикли
алгебраик тенгламалар системасини косил киламиз:
(“11—®1+“12&2+-" + “1п®п=0.
“2i«i + (“22—/г)а2+...+“2па„=0,
• “nl“l+“n2a2+-" + (“пп— ^)®л—0.
k куйидаги n-даражали тенгламадан топилади:
“и— а12 ... <21п
“2[ 0.22 — “2п
“п! “л2 “™ —
Бу тенглама берилган дифференциал тенгламалар системасининг
характеристик тенгламаси дейилади. k нинг турли кийматларига ai,
аг, ..., ап ларнинг маълум туплами мос келади. Характеристик
тенгламанинг илдизлари турлича булсин: ki, /гг, ..., kn.
У колда k\ илдизга бирорта ап, агь азц .... оы туплам мос келиб,
унга биринчи ечим тугри келади:
yn = anek[X, z/21 = a21eM,..., f/ni = an/‘x.
Шунга ухшаш /гг илдизга агп агг a2n туплам мос келади, унга
Уз навбатида иккинчи ечим тугри келади:
f/12=a12e ’ У22==а22е f-ч Уп2=ап2е
kn илдизга ani, апг,..., апп туплам мос келади ва унга п- ечим тугри
келади:
k„x k„x k„x
yln=alne ", //2n=<W" ,..., ynn=anne"
Фундаментал ечимлар системасини косил килдик. Умумий ечим
куйидаги куринишда ёзилади:
уi = Ciyi i + С2У12 + ••• +C’nZ/in,
y2= С\У2\ + С24/22 + ... + СпУ2п,
Уп = С\Уп\ + С2Уп2 + ... + СлУлл-
2- м и с о л. Ушбу
y'=7y + 3z,
z' = 6y + 4z
тенгламалар системасининг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Ечимни y = aekx, z = ^ekx куринишда излаймиз.
Характеристик тенгламани тузамиз:
3
4 — k
7-k
6
= 0 ёки /г2—11/г+10=0.
Унинг илдизлари: Л1 = 1, /гг=10 — какикий ва дар хил сонлар.
a) ki,= l да а ва р ларни топиш учун тузиладиган система
куйидагича булади:
(7- 1)а + Зр = 0,
6а+(4- 1)Р = 0
(6а+Зр = 0,
(ба + Зр = 0.
Унинг битта ai = l, Pi = — 2 ечимини олайлик. /ji = 1, ai = l,
Pi = — 2 га мос хусусий ечим куйидаги куринишда булади:
yi = ex, zi = — 2ех.
б) Й2=10 да а ва р лар куйидаги системадан топилади:
(7-10) а + Зр = 0,
6а+(4-10)Р = 0
ёки
- За + Зр = 0,
6а —бр=0.
Бу тенгламанинг аг=1, Рг=1 ечимини олайлик. /22=10, аг=1,
Рг=1 га мос хусусий ечим
f/2 = e10't, Z2 = e10x
куринишда булади.
Шундай килиб, бу колда фундаментал система куйидагича
булади:
у\ = ех, у2 = е10х,
zi = —2ех, z2 = el0x.
Умумий ечим:
y=Ciy\-\- С2У2, ёки
z = C\z\ +C2Z2
y = Cie* + C2eIOx,
z=-2Ciex + C2eWx.
3- м и с ол. Ушбу
/=—7y + z,
z' = — 2у — 5z
системанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Ечимни куйидаги куринишда излаймиз:
y = aekx, z = $ekx.
Характеристик тенгламани тузамиз:
-7-k 1
-2 — 5 — k
= 0 ёки k2+ 126 + 37=0.
Унинг илдизлари: £1,2= —6±Z — комплекс сонлар. k\ = — 6 +1 учун
а ва р лар куйидаги системадан топилади:
( — 7 + 6—1) а + Р = 0,
— 2а + ( — 5 + 6 — Z) р = 0
(-1-0 а + Р = 0,
-2а + (1 —г) Р = 0.
Система р = (1 + 0 а тенгламага келтирилади. Бу ердан ai = 1 десак,
Pi = 1 +i. k\— — 6 + Z, a= 1, P == 1 + Z сонларга мос хусусий ечим:
y1 = e(_6+‘,x=e~6x+‘x=e-6x(cosx + isinx) = e-6xcosx+ie-6xsinx ;
zi = (1 +i)e(-6+<)x= (1 +Z)e-6x(cosx + isinx) = e~6x(cosx —sinx +
+i(cosx + sinx)) =e~6x(cosx — sinx) +z«?-6x(cosx + sinx) .
Юкорида топилган хусусий ечимда унинг хакикий ва мавхум
кисмларини алохида-алохида олиб, иккита ечимни хосил киламиз,
улар берилган дифференциал тенгламалар системасининг фунда-
ментал ечимлари системасини хосил килади:
y1 = e-6x-cosx, i/2 = e-6x-sinx,
zi = е~6х(cosx — sinx), z2 = e~6x(cosx + sinx).
У холда берилган системанинг умумий ечими куйидаги куринишда
булади:
У = С\у\ + С2У2, ёки z/ = e-6x(Cicosx + C2Sinx),
z = CiZ] + C2Z2 z = e6x(Ci (cosx —sinx) + C2(cosx + sinx)).
Характеристик тенгламанинг иккинчи: ki= — 6 — I илдизидан
фойдалансак, яна шу ечимларни х,осил киламиз.
4- м и с о л. Ушбу
/==5z/ —z,
z'=y + 3z
тенгламалар системасининг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Системанинг характеристик тенгламаси
- 1
3 — k
5-fe
1
= 0 ёки k2—8fe+16 = 0
каррали илдизларга эга: k\ = ki = 4.
k = 4 икки каррали илдизга мос хусусий ечим куйидаги
куринишга эга булади:
i/ = e4x(aix + a2),
z = ?x(0ix + 02).
а ва р ларни топиш учун у, z, у', z' ларни берилган системага
куямиз:
ai + 4(aix+a2) = 5(а|Х + аг) — (Pix + 0г),
Р1 —|— 4 (p ix —|— (Зг) = (aix-j-аг) —|—3 (Pix —}— Рг).
х нинг олдидаги коэффициентларни ва озод хадларни тенглаб,
куйидаги алгебраик тенгламалар системасини хосил киламиз:
4a1 = 5a1 —Pi
4Pi = a| + 3Pi
a14-4a2=5a2—р2,
3i + 4p2=a2 + 3p2.
Бу ердан:
ai=Pi, аг —P2 = ai = Рь Энди ai = Ci, аг = Сг (Ci ва Ci — ихтиёрий
узгармаслар) деб, Pi = Ci, Рг = Сг —Ci ни топамиз. Демак, система-
нинг умумий ечими
(/ = e4x(Cix+ Сг),
z = e4x(Cix + C2-Ci)
куринишда булади.
7- дарсхона топшириги
1. Куйидаги бир жинсли системаларнинг умумий ечимини
номаълумларни йукотиш усулидан фойдаланмай топинг:
a)
б)
У'= — Уу + г,
z' = — 2y — 5z,
в)
y'=y—3z,
z'=3y + z;
У' = У — z + w
z'=y + z — w
w' = 2y~z.
б)
y'=z-\-w ,
z =w-\-y ,
w'=y+z ,
f/|x=0=-1> Zlx-0=l • W lx=0 = ° •
Ж: a) t/ = e~6x(C|COSx + C2sinx),
z = e-6x( (Ci + C2)cosx — (Ci — C2)sinx);
6) y = ex(CiCOs3x+C2sin3x),
z = e*(Cisin3x— C2cos3x);
в) y = C[ex + C2e2x + C3e~x,
z = C\ex— ЗС3е~х,
w = C,ex + C2e2x-5C3e-x.
2. Тенгламалар системасининг умумий ечимини номаълумлар-
ни йукотиш усули билан топинг:
Ж: a)
6) y=—e x, z=e x, a> = 0.
7- мустак,ил иш
У = — 5z/4-2z + <
z'=z/ + 6z + e-2x;
б) (у'=3у — 2z+x,
(z'=3z/ — 4z;
z/=5z/ + 2z — 3w,
z =4z/ + 5z —4ay,
w'=6z/ + 4z — 4 ay.
Ж: a) y=C1e-4x+C2e-7x+4reX+ie 2x-
2 = ±C1e-4x-C2e-7x
_______lg-2x-
40е +To ’
6) z/ = 2C,e2x + C2e 3x — 3* 18
2 = C1e2x+3C2e-3x-yX—
в) г/ = С1вх + Сгв2х + С3е3х,
2 = Ciex + 2C3e3x>
ai = 2Ciex.+C2e2x + 2C3e3x.
1. Дифференциал
топинг:
а)
y'=z + tg2x— 1 ,
Z = — J/+tgx;
тенгламалар системасининг умумий ечимини
б)
y'=y-\-z—cosx ,
z'= — 2y — z + sinx+cosx .
Ж: a) j/ = C1cosx + C2sinx + tgx,
z= — C^inxH-C2COSX+2 ;
6) (/ = C1cosx+C2sinx—xcosx,
z= (C2 —CJcosx— (C! + C2)sinx+x(cosx + sinx) .
2. Коши масаласини ечинг:
ry'= — 2y — z + sinx ,
Lz'=4i/ + 2z + cosx ;
//1^0=-* - 2l x=o=°-
3. Берилган дифференциал тенгламалар системаси учун Коши
масаласини ечинг:
а)
y'=w+z— у,
z=w+y—z, 1/|х=о=1, 2|х=0=ш |х=о=О;
w'=y+z-\-w ,
6) y' = 4t/ + z+36x;
z'~—2yz2ex; t/|x=o=O, г|х=0=1 .
Ж: a) u = 2sinx-l, 6) y= 10e2x-8e3x-e1 + 6x- 1,
z = 2 — 3sinx — 2cosx ; z=—20e2x + 8e3x + Зе1 +12x+10.
9-б об
КАТ ОРЛ АР. ФУРЬЕ АЛМАШТИРИШЛ АРИ
1-§. Сонли катор л ар
9.1.1. Сонли ui, u2, ип,... кетма-кетлик берилган булсин. Ушбу
U | + «2 + • + Un +
ОО
—— Un
л=|
куринишдаги йигинди сонли к,атор дейилади, и,, иг,..., ип,... сонлар
каторнинг ^адлари, каторнинг п- хади ип эса каторнинг умумий
%ади деб аталади.
Сонли каторнинг дастлабки п та хадининг йигиндиси Sn
оркали белгиланади ва каторнинг п- хусусий йигиндиси дейилади:
Sn = U\ U-2 -|- ... -|- Un.
Агар limSn = S— чекли лимит мавжуд булса, катор як,инла-
П~*-оо
шувчи, S — унинг йигиндиси дейилади. Агар limS„=oo булса,
М-*оо
ёки мавжуд булмаса, катор узоклашувчи дейилади.
Куйидаги
^« = «n+l + Un+2+--- +Un + m+ •••
ифода каторнинг п-^олдиги дейилади.
Геометрик прогрессиянинг хадларидан тузилган
a + aq-\-aq2-\- ...-\-aqn~l + ...= 2 aqn~'
n=l
катор булганда узоклашувчи, |^|<1 булганда якинла-
шувчидир (бунда у S= йигиндига эга).
Ушбу
1+т+4+-+т+-= ^4
п = 1
катор гармоник к,атор деб аталади, у узоклашувчидир.
Умумлашган гармоник цатор (ёки Дирихле катори) деб
аталувчи
Л-1
катор 1 да узоклашувчи, р>1 да якинлашувчидир.
Каторнинг якинлашувчи булишининг зарурий шарти: Агар
2 ип катор якинлашса, у колда limu„ = 0.
. Л-*оо
71= 1
Катор узоклашувчи булишининг (катор узоклашишининг)
етарли шарти: Агар Ит«л=/=0 булса, 2 ип катор узоклашади.
Л=1
Мисол. Ушбу каторнинг йигиндисини топинг:
__L I___!__I—!—1_ 4--------!---- •+....
1-2-3 ' 2-3-4 ~ 3-4-5 п(п + 1)(п+2)
Ечиш. Каторнинг умумий кади ип = —г-тт-.—ни с°ДДа
п(п+1)(п + 2)
касрлар йигиндиси куринишида ифодалаймиз:
1 А . В С
л(л+1)(л + 2) ~ п ' п+1 п + 2’
Бундан
1=А(п+1)(п + 2)+Бп(п + 2)+Сп(п+1) .
Бу ерда кетма-кет п=1, п = 2, п = 3 кийматларни бериб, косил
болтан чизикли тенгламалар системасини ечиб, Д=у, В = — 1 ,
С=у ни хосил киламиз.
Шундай килиб,
111,11
Un~ 2 ' п п+1 "Г 2 ' п + 2
1 /1 2 ,__1_\
Un=s 2\п n+l^n + гГ
ёки
Бу ердан:
Un~ 2\п п + 1 + п + 2
Чап ва унг томонларни жамлаймиз:
2 \2
1
п+1
Шундай килиб, limSn = -j-. Демак, к.атор якинлашувчи ва
унинг йигиндиси S=— га тенг.
4
9.1.2. Якинлашувчи каторларнинг хоссалари:
оо
а) Агар 2 ип катор якинлашувчи булиб, унинг йигиндиси
п= 1
S га тенг булса, у Холда 2 Кип (А,—узгармас сон) катор хам
п~ 1
якинлашувчи булади ва унинг йигиндиси VS га тенг булади;
б) агар X + ва £ ип каторлар якинлашувчи булиб, йигинди-
л=1 л = 1
лари мос равишда S хамда 6 га тенг булса, у холда 2 (ия±оя)
п — 1
катор Хам якинлашувчи булиб, йигиндиси (S±6) га тенг булади;
в) агар катор якинлашувчи булса, у холда унда исталган
чекли сондаги хадларни ташлаб юбориш ёки унга чекли сондаги
Хадларни кушит натижасида хосил булган катор хам якинлашувчи
булади.
/- дарсхона топшириги
Каторларнинг якинлашувчи эканини исбот килинг ва уларнинг
йигиндисини топинг.
оо
L 2 (2„_ 1) (2„ +1) • Ж: 5=4 •
п = I Z
ОО 2 У ! , (3n-2)(3n + D • п= 1 Ж: S = 1 3
3-2^-. п = 1 Ж: S = 3 2
оо
у _________«_________ I
„Т, (2п — 1 )2(2n +1 )2 Ж: S = T-
1- му ставил ши
Каторларнинг якинлашувчи эканини исбот килинг ва йигиндиси
ни топинг.
1. 00 । у !— " П(п + 3) п = 1 Ж: S = 11 18
2. °° 1 У Ж: S = 1
(Зл-1)(Зл + 2) п= 1 6 •
3. У 5" + 2" , 10" п= 1 Ж: s= 5 4 ’
4. у 2»+‘ л2(л+1)2’ Ж: s= 1 .
5. у 1 Ж: s= 23
(2л—1)(2п+5) л = 1 90
2- §. Мусбат хддли каторларнинг
якинлашиш ва узоклашиш ал ом атлари
9.2.1. Таккослаш аломати. Агар мусбат Хадли иккита
5 ип ва 2 vn катор берилган булиб, бирор N номердан бошлаб
л-1
л=1
Un^Vn тенгсизлик бажарилса, у холда:
а) 2 vn каторнинг якинлашишидан
л=1
лашиши келиб чикади;
б) 2 ип каторнинг узоклашишидан
л = 1
лашиши келиб чикади.
1- м и с о л. Ушбу
2 ип каторнинг хам якин-
л-1
2 vn каторнинг хам узок-
л—I
у 1 — .J____I__!__I_* -ц _|——
„о" 1-2 ' 2-2" ' 3-23 ' ' л-2"
каторнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини текширинг.
Ечиш. un=—^f^ = vn эканлиги равшан. 2 — катор мах-
2 л-1 2
ражи <7=у<1 булган геометрии прогрессия хадлари йигинди-
сидан иборат ва у якинлашувчи. Таккослаш аломатига кура
берилган катор хам якинлашувчидир.
2- м и с о л. Ушбу
Inn __ 1п2 , 1пЗ , , Inn
Г-1"-'-1 7"
каторнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини текширинг.
Ечиш. Барча учун un=-^>~ = vn. У, — гармоник
п= 1
каторнинг узоклашувчанлигидан ва таккослаш аломатидан бе-
рилган каторнинг хам узоклашувчи булиши келиб чикади.
9.2.2. Таккослашнинг лимит аломати. Агар хадла-
ри мусбат иккита 2 ип ва 2 v„ катор берилган булиб, чекли ва
п = 1 п = 1
мусбат lim-" — А лимит мавжуд булса, у холда иккала катор бир
П-+ОО
вактда якинлашади ёки бир вактда узоклашади.
3- м и с о л. Ушбу
2п-1 1 + з + 5 +-+ 2и-1 “*
i=i
каторнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини текширинг.
оо
Ечиш. Берилган каторни гармоник 2 — катор билан так-
п= I
кослаймиз:
1
|im^=lini । >0.
П-*-ОО Vn П—>ОО 1
п
Гармоник катор узоклашувчи эканидан берилган каторнинг
хам узоклашувчи экани келиб чикади.
4- м и с о л. Ушбу
у 1 ..__1 I 1 I ।________L___I
_ 2"+1 2+1 “ 22+1 2п+1 ‘Г’"
каторнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини текширинг.
Ечиш. Таккослашнинг лимит аломатини куллашда махра-
жи _L га тенг булган геометрик прогрессиядан фойдаланамиз.
lim^= Нт _= lim—Ц—= 1 >0
t-»oo 1 п-*оо Z Т 1 п--»оо [ 1_L.
2" 2"
ва
2 -L катор
л=1 Z
якинлашувчи булгани учун
берилган
Катор хам якинлашади.
9.2.3. Даламбер аломати. Агар мусбат хадли
оо
2 ип ка-
п = 1
тор учун lim = d мавжуд булса, у холда бу катор
л— оо ип
якинлашади, d> 1 булганда узоклашади.
5- м и с о л. Ушбу
d< 1 да
v, 2п—1 1,3,5, । 2п 1 ।
Z 2» — 2 ' ' 2! ' ' 2" ~
п= 1
Каторнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини текширинг.
г- 2п-1 . 2л Н
Ечиш. Бу ерда ва ия+1 = ——,
шунинг учун
lim -^±1 = lim
М->оо П-^оо
(2п4-1) -2п
2"+1(2л — 1)
= 4 iim
Я->оо
2л+ 1
2п — 1
lim-
«-►оо
2п
2п
1
2
Демак, берилган катор якинлашади.
9 .2.4. К о ш и а л о м а т и. Агар мусбат хадли 2 чп катор
п = 1
учун lim ^1ип=С мавжуд булса, бу катор С<1 булганда якинла-
П-*<х>
шади, С> 1 да узоклашади.
6 - м и с о л. Ушбу
каторнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини текширинг.
Ечиш. ип=
"fO бУлгани УЧУН
lim ^/ип = lim
Л-*оо П—>оо
е
Демак, берилган катор узоклашади.
9.2.5. К о ш и н и н г интеграл а л ом а ти. Агар 2 и ।
п~1
каторнинг хадлари мусбат ва усмайдиган булиб,
да
аникланган, узулуксиз, мусбат ва манотон камаювчи f(x) функция
учун /(l)=ub f(2)=U2...., f(n)=un.... тенгламалар уринли булса,
У Холда
j f(x)dx
хосмас интеграл якинлашса, берилган катор хам якинлашади ва
аксинча, хосмас интеграл узоклашса, катор хам узоклашади.
7 V! 2п
1-мисол. 2и 1'г каторнинг якинлашувчи ёки узокла-
шувчи эканини текширинг.
Ечиш. /(х) =-^2* де$ олайлик. Бу функция Кошининг
интеграл аломатининг барча талабларини кондиради.
'I,
С 2xdx
J (?+1)2
= Нт («1±А = |1т
оо J (x^+l)2 N-+-OO
= lim (—^—
N— 00 \ N2+ 1
.2
Демак, хосмас
катор хам якинлашади.
интеграл якинлашади, шунинг учун берилган
N
2- дарсхона топшириги
1. Куйидаги каторларнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эка-
нини текширинг:
а) 2 sin—.
n-i 2я
Ж: якинлашади.
Ж-’ узоклашади.
в)
у_____!— .
1п(п4-1)
п=1
°° 1
X1 — -
Л (V2)"’
Д) (2п+1)1 ’
л — 1
3) (л + 1)1п2(я+1)
Ж: узоклашади.
Ж: якинлашади.
Ж: якинлашади.
Ж: узоклашади.
Ж: якинлашади.
Ж: якинлашади.
2. Исбот килинг:
a) lim-^Y=0 ;
' п\
П-^оо
б) lim
П-*-оо
пп
(и!)2
= 0.
2- мустацил иш
Куйидаги каторларнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини
текширинг.
3. S arctg"-^-.
п = 1
оо
4- Ssin-^-.
п— 1
5’ п2+2«+5
Ж: узоклашади.
Ж: якинлашади.
Ж: якинлашади.
Ж: узоклашади.
Ж: якинлашади.
3- §. Узгарувчи ишорали каторлар
9.3.1. Хадларининг ишоралари турлича булган катор узгарувчи
ишорали к,атор дейилади. Каторнинг х,ар бир мусбат хадидан кейин
манфий хад ва дар бир манфий хадидан кейин мусбат хад келса,
бундай катор ишоралари навбатланувчи гуатор дейилади. Ишораси
навбатланувчи каторни бундай ёзиш мумкин.
2 ( 1) + 1м„—и\ м2+м3—•••+( — 1) ”+1мп +... (мп>0) .
п = 1
Лейбниц аломатИ'. Агар ишоралари навбатлашувчи
каторда катор хадларининг абсолют кийматлари камаювчи, яъни
Ml >М2>М3
б^либ, унинг умумий хади и„ нолга интилса: Нтм„ = 0, у холда
П—>-оо л
бу катор якинлашувчи булади ва унинг йигиндиси S ушбу
0<S< Ui шартни каноатлантиради.
Ишораси навбатланувчи катор колдиги |/?„|<-м„+1 тенгсиз-
лик билан бахоланади.
1- мисол. Ушбу
2 (-1)л+4-=1-у+у-...+ (-1)
п=1 " 1
«+1 1 I
п ~г
каторнинг якинлашувчанлигини текширинг.
Ечиш. Берилган катор учун Лейбниц аломатининг шартлари
бажарилаяпти, яъни
2 3-^ п
ва
Итм„= lim—= 0
П—>оо П->оо
Шу сабабли катор якинлашади.
9.3.2. Абсолют ва шартли якинлашувчи
каторлар. Узгарувчи ишорали м1 + и2+из+ • + ип+ катор
берилган булиб, унинг хадларининг абсолют кийматларидан
тузилган
I М11 + I М2 | + I Мз I + ... + I Un I + ...
катор якинлашувчи б^лса, берилган катор абсолют якинлашувчи
цатор дейилади.
Агар узгарувчи ишорали катор якинлашувчи булиб, бу катор
хадларининг абсолют кийматларидан тузилган катор узоклашувчи
булса, у холда берилган узгарувчи ишорали катор шартли
якинлашувчи к,атор дейилади.
„ sinna sina , sin2a , , sinna ,
2-мисол. 1 —-j-=—j-Ч ~3—H-H-----------~3—r —
rt = 1
каторнинг якинлашувчанлигини текширинг.
Ечиш. 2 'Sinn“~ каторни караймиз. |sin naI < I б^лганли-
п-i n
ги учун
ни хосил киламиз. 2 —т катор якинлашувчидир, чунки у умум-
п-1 "
лашган гармоник катор булиб, р = 3>1. Таккослаш аломатига
кура, 2 |sin”gl катор хам якинлашувчи. Демак, берилган
п-1 «
2 s'nn- катор абсолют якинлашувчидир.
। «3
п = 1
3- дарсхона топшириги
Куйидаги каторларнинг шартли ёки абсолют якинлашишини
текширинг:
I. 2 п = 1 ’ U п2 + 1 ’
2. оо 2 п = I ( 1 \ п + 1 Зп —2 ' ' Зл-1 '
3 оо 2 п — I (_ п«+1—!— ' 4 1п(п+1)
4. оо 2 п = 1 (-1)л+1—Ц-. ' ’ п-2п
5. оо 2 п = 1 ' ' 2П
6. оо 2 п= 1 (-1)" п — 1пл
7. оо 2 Л=1 ( —1)"+1—— 1 ’ бл + 5
Ж: шартли якинлашувчи.
Ж: узоклашувчи.
Ж: Шартли якинлашувчи.
Ж: абсолют якинлашувчи
Ж: абсолют якинлашувчи
Ж: шартли якинлашувчи.
Ж: узоклашувчи.
3- мустацил иш
Каторларнинг шартли ва абсолют якинлашишини текширинг:
1. cos2na «=1 л24-1 Ж: абсолют якинлашувчи.
2. 2 (-1)л+1- п = 1 1 \Гп +1 Ж: шартли якинлашувчи.
3. 2 (-1)л+1 п== 1 зл п2 ’ Ж: узоклашувчи.
4. 2 (-1)л+1- п= 1 «4-1 п 1 Ж: шартли якинлашувчи.
5. Й М8 1 а + 1 п24-4 ‘ Ж: абсолют якинлашувчи.
4-§. Функционал каторлар,
уларнинг якинлашиш сохаси
9.4.1. Хадлари х нинг функнияларидан иборат булган
и,(х)+и2(х)+-.. + ил(х)+...= 2 и„(х)
п~ 1
катор функционал цатор дейилади.
Агар 2 и„(х0) еонли катор якинлашса, функционал катор х = х0
л-1
нуцтада яцинлашувчи дейилади. хнинг 2 un(x) катор якинлашув-
л=1
чи буладиган барча кийматлари туплами функционал каторнинг
яцинлашиш. cojfacu дейилади.
Sn(x) =ut (х) + «г(х) +... + ия(х) йигинди функционал каторнинг
п-^исмий йигиндиси дейилади. S(x) = limS„(x) функция функцио-
нал каторнинг йигиндиси деб, Rn(x) = S(x) — Sn(x) айирма эса цатор
цолдиги деб аталади.
1- м и с о л. Ушбу
2 1 1 I 1 I I 1
n=i 1 4- х2" 14-х2 14-х4 1-|-х2х
функционал каторнинг якинлашиш сохасини топинг.
Ечиш. Каторнинг умумий хади: ип(х)
1+?л
Агар
И < 1
булса, у холда limu„(x) = lim-----—=1, бирок, limu„#=0 булга-
п-
п-
ни учун, катор узоклашувчидир.
Агар fx| = l булса, яна узоклашувчи
каторни хосил киламиз.
Агар |х| > 1 булса, у холда берилган каторнинг хадлари ушбу
чексиз камаювчи геометрик прогрессия хадларидан кичик булади,
демак таккослаш аломатига к^ра, катор якинлашади.
Шундай килиб, берилган функционал каторнинг якинлашиш
сохаси (—оо,—l)U(l,4-<») дан иборат булади.
9.4.2. Агар якинлашувчи 2 ип(х) функционал катор учун хар
П = 1
кандай е>0 берилганда хам шундай W(e) номер топиш мумкин
булсаки, n^N булганда [а, 6] кесмадаги исталган х учун | /?л(х) | <е
тенгсизлик бажарилса, берилган функционал катор [а, Ь] да текис
якинлашувчи дейилади.
Функционал каторнинг текис якинлашувчи
булишининг Вейерштрасс аломати: агар 2 ил(х)
п = 1
оо
функционал катор учун хадлари мусбат сонли шундай 2 сп катор
я=1
мавжуд булиб, х € [а, Ь] да |ил(х) | <с« булса, у холда функционал
катор бу [а, Ь] кесмада текис якинлашади.
2-м и с ол.' Ушбу
___1
х2+1
1
х4 + 2
«+1
1
Х2п + п
катор х нинг барча кийматларида текис якинлашишини исбот
КИЛИНГ.
Ечиш. Лейбниц аломатига кура берилган ишораси навбатла-
шувчи катор х нинг исталган кийматларида якинлашади, шунинг
учун бу каторнинг колдиги |/?л(х) I <wn+i (х), яъни | Rn (х) | <
<—-—--------<—!— тенгсизлик ёрдамида бахоланади.
х2п+2+п + 1 п + 1
Равшанки, исталган е>0 учун шундай N номер танлаш
мумкинки, барча ва исталган х учун \Rn(x) I <е тенгсизлик
бажарилади.
Шундай килиб, берилган катор текис якинлашади.
3- м и с ол. Вейерштрасс аломати ёрдамида
cosx . cos2x . cosnx .
I2 22 ",-Г n2 катор барча хлар учун текис якинла-
шишини исбот килинг.
Ечиш.
. , , , , cosnx 1^-1 1,1,1, I 1 ,
1«„(х)|=|—=—| ^—5-ва 1 Н—-Н—J-+...4—5-+-.. катор якинла-
п- п2 22 3 п-
шувчи булгани учун берилган катор барча х лар учун текис якинла-
шади.
9.4.3. Текис якинлашувчи функционал каторларнинг хоссалари: j
а) агар текис якинлашувчи функционал каторнинг хадлари
[а, Ь] кесмада узлуксиз булса, унинг йигиндиси S(x) хам бу кесмада
узлуксиз булади;
оо
б) агар 2 и„(х) функционал каторнинг хадлари [а, 6] кесмада
л=1
узлуксиз б^либ, катор бу кесмада текис якинлашувчи булса,
у холда
b b b Ь оо *
js(x)dx= ju,(x)dx+ ju2(x)dx+...+ $u„(x)dx+...= 2 ju„(x)dx,
a a a a rt = 1 a
бу ерда S(x) —катор йигиндиси;
оо
в) 2 «„(х) функционал каторнинг хадлари [а, 6] кесмада
Л=1
аникланган ва бу кесмада и„(х) узлуксиз хосилаларга эга булсин.
Агар бу кесмада берилган катор якинлашувчи ва унинг хадлари
Хосилаларидан тузилган
2 и'п(х) — U'i(x) +«2 (х) +...+и'л (х)
п = 1
катор текис якинлашувчи булса, у холда функционал каторнинг *
йигиндиси S(x) хам [а, 6] кесмада хосилага эга булади ва
S'(x) = 2 и'п(х) .
п = 1
4- м и с о л. Ушбу
arctgx + arctg^ + arctg-^ +... + arctg-^ +...
каторга каторларни хадма-хад дифференциаллаш тугрисидаги
хоссани татбик килиш мумкинми?
348
Ечиш. Берилган каторни якинлашувчи
I х I -^ । । х I
Х-Г 23/2 “Г 33/2 "Г — ' n3/2 I-’"
катор билан таккослаймиз (исталган тайин х да).
Етарлича катта п ларда arctg- пй- булгани учун ва так-
1 * 1 ° пЗ/2
fl 4
кослашнинг лимит аломатига кура берилган катор хам якинлаша-
ди. Берилган катор умумий хадининг хосиласини топамиз:
„3/2
Хосилалардан тузилган катор куйидаги куринишга эга:
1 । 2У2 , зуэ п^п
?4-13 ? + з3^ х2 + 33^'”^ х2 + п3
Бу каторнинг хадлари якинлашувчи
_!_д_____-|---------
2^/2 3-^/3 ’ пд/«
каторнинг мос хадларидан кичик
эканини курамиз. Демак, Вейерштрасс аломатига кура хосила-
лардан тузилган катор (—оо,4-°о) ораликда текис якинлашади,
бинобарин, каторларни дифференциаллаш хоссасини берилган
каторга куллаш мумкин.
4- дарсхона топшириги
1. Кдторларнинг якинлашиш сохасини топинг:
оо оо °° п
а) 2 хл-'; б) 2 1пях; в) 2
«=1 «=1 И=1 1+^
ОО °° ( v I Q \ П °°
г) 2 sinA д) 2 е) 2е- ,я-^.
„=1 2Я n-i (2«-1)4я П=1
Ж: а) — I <х< 1 ; б) у<х<е; в) х#= ± 1 ; г) — оо <х< + оо ;
д) —8<х<2;е) 0<х< + оо.
2. Ушбу
2х+1 , 1 /2х+1 у, l_/J^+L\3_LJ_fj£+*-Y4-...
х4-2 2 \ х4-2 / 4 \ х4-2 / ' 8 \ х4-2 7
катор [ — 1, 1] кесмада текис якинлашишини к^рсатинг.
3. Каторларнинг текис якинлашиш сох,асини топинг:
а)
оо
2
sinnx
~п\ ’
оо
б) 2
п — I
cosnx
2"
Ж: а) — оо <х< + оо ; б) — оо <х< Ц- оо .
4- му ставил иш
1. Функционал каторнинг якинлашиш сохасини топинг:
2х 3х 4х пх
б) ?+Г+ г2(х2+1)2 + 32(х2 + I)3 +’ • ,+ П2(х2+1)я +-" ;
В) xtgy+x2tg^+.. .+xntg-^-+.. . .
Ж<* а) 1 х <С -(- оо;
б) — оо <х< + оо ;
в) —2<х<2.
2. Ушбу
х2 х3 х4 Xя
x+v+v+v+---+^r+-'-
Каторнинг (—2, 2) ораликда текис якинлашишини текширинг.
3. Ушбу
cosx+yCos2x+-2<os3x+-!rcos4x + ...H—^cosnxH-...
2 2 2
каторни J— -yj кесмада хадма-хад интеграллаш мумкинми?
Ж: Мумкин, чунки берилган катор ( —оо, + оо) да текис
якинлашувчидир.
5-§. Даражали каторлар
9.5.1. Ушбу
а0+а.(х-х0) +а2(х-х0)2+... + а„(х-х0)"+... = 2 а„(х-х0)п
п=|
куринишдаги функционал катор даражали кртор дейилади. Бу ерда
ао, ai> а2, ,ап, ... Узгармас сонлар даражали каторнинг коэффи-
циентлари дейилади.
Хусусий холда, хо = О да ушбу даражали каторга эга буламиз:
«=о
А б е л ь т е о р е м а с и. а) Агар 2 а„хп даражали катор би-
л=0
форта x = Xi=^0 нуктада якинлашса, у холда у х нинг |х| <|xi|
тенгсизликни каноатлантирувчи хар кандай кийматида абсолют
якинлашади;
б) агар 2 арсп даражали катор бирорта x=xi кийматда узок-
л —О
лашса, у холда у х нинг ]х| >|xil шартни каноатлантирувчи
исталган кийматларида узоклашади.
2 а^г" даражали катор учун шундай ( — R, R) оралик мавжуд-
«=о
ки, у мазкур оралик ичида абсолют якинлашиб, ундан ташкарида
эса узоклашади; бу оралик каторнинг якинлашиш оралиги
дейилади. R сони якинлашиш. радиуси дейилади, у хусусий холларда
0 ёкиоо га тенг булиши хам мумкин. Якинлашиш оралигининг четки
нукталари x=±R да даражали каторнинг якинлашиши ёки
узоклашиши масаласи алохида хал килинади.
9.5.2. Агар каторнинг барча а0, а,, аг, ...,ал, ... коэффициента ри
нолга тенг булмаса, 2 а^п даражали каторнинг якинлашиш
«=о
радиуси ушбу формула оркали аникланади:
R = lim| а" -| ёки R — lim п 1
Л-»ОО а«+1 Л-КОО -yj\an\
Агар катор факат жуфт ёки ток даражаларни уз ичига олса ёки
даражалари каррали б^лса, ва х.к., у холда якинлашиш оралиги
бевосита Даламбер ёки Коши аломатларидан фойдаланиб топи-
лади.
2 а„хл₽ катор учун якинлашиш радиуси куйидагича топилади:
л = 0
ап
1-м и сол. Куйидаги
Каторнинг якинлашишини текширинг:
i+x+4-x2+4*3+-+~k!+-
О rt
Ечиш. Бу ерда а„=—, а„+1=-^-!--р Каторнинг якинлашиш ра-
диусини топамиз:
R= lim —— = Пт-^-±-^-== lirnfl+ —)== 1.
n-*-oo П->-оо П П->ОО X /
Демак, берилган даражали катор ( — 1, 1) ораликда абсолют
якинлашади, (—оо; —1) (j (1, + °°) да эса узоклашади. Берилган
каторнинг бу ораликнинг чекка нукталарида якинлашувчи ёки
узоклашувчи эканлигини аниклаймиз. х=1 булганда берилган
оо
катор 2 — куринишдаги гармоник узоклашувчи катор булади.
п = 1
°° 1
х= — 1 да эса 2 ( — l)rt+I— каторни хосил киламиз, бу катор
п= I П
якинлашади, чунки у Лейбниц аломати шартларини каноатланти-
ради.
Шундай килиб, берилган даражали каторнинг якинлашиш
сохаси [—1, 1).
2- м и с ол. Ушбу
/ 6 г9 Зп
,+-й+^+-^+-+^+-
каторнинг якинлашишини текширинг.
Ечиш. а.=——,
п 10"
шунинг учун якинлашиш радиусини
формуладан топамиз. Демак, берилган каторнинг якинлашиш оралиги
(— д/10, х/10 ) булади. Каторнинг якинлашишини ораликнинг чекка
нукталарида текширамиз. Агар х= д/10 булса, катор 1 + 1 + Ц-...
куринишга эга булиб, бу катор узоклашади. Агар х=— ^/Т0 булса,
катор 1 — 1 + 1—... куринишда булиб, у хам узоклашади.
Шундай килиб, берилган каторнинг якинлашиш сохаси ( — д/10,
>)•
3- м и с ол. Куйидаги
хх2 х"
1+т!+++-++г+-
каторнинг якинлашиш сохасини топинг.
Ечиш. ая=-^, ап+1
1
(п+1)!'
Каторнинг якинлашиш радиусини топамиз:
R= lim I I = lim 1' = lim(n+ 1) = oo.
n-^-oo I an-hl I П-+ОО n.'l n-*-oo
Демак, берилган катор бутун сон укида якинлашади.
9.5.3. Агар умумий куринишдаги
ao+ai(x — xo)+a2(x — хо) 2+ ••• — хо)"+ = 2 ап(х хо)
п = 0
катор берилган булса, унинг якинлашиш радиуси R олдинги
формулалар билан аникланаверади, якинлашиш оралиги эса
маркази х=хо нуктада булган (хо — R, Xo + R) оралик булади.
4- м и с о л. Ушбу
. х-2 . (х-2)2 (х—2)3 . , (х-2)" . =
2д/2 ' 4д/3 8 л/4 “r’"“rv 7 2яу/п+1
= 2 (-1)"-^^=^
каторнинг якинлашиш сохасини топинг.
Ечиш. Каторнинг якинлашиш радиусини топамиз:
R = lim
П-+0О
а
п
I = lim
п-+<х>
2П<ТГ+Г
=2 lim
П-+ОО
2"+'. д/п + 2
1
= 2 lim
«—►□о
Демак, катор (0; 4) ораликда абсолют якинлашади.
°° 1
х=0 да 2 ,- каторни хосил киламиз, у узоклашади, чунки
я=о ^n + l
унинг хадлари узоклашувчи гармоник каторнинг хадларидан катта
/ 1 1 \
(“«- > п + 1 Vn )'
1
х = 4 да 2 ( — 1)"—т==г каторни хосил киламиз, у Лейбниц
«=о V«+1
аломатига кура якинлашади.
Шундай килиб, берилган каторнинг якинлашиш сохаси (0,4].
9.5.4. Даражали каторларнинг хоссалари:
а) якинлашиш оралигининг ичида ётувчи хар кандай [а,
Ь] кесмада даражали катор текис якинлашади. Унинг йигиндиси
якинлашиш оралигида узлуксиз функция булади;
б) даражали каторларни уларнинг якинлашиш оралигида
хадма-хад интеграллаш ва дифференциаллаш мумкин.
5- м и с ол. Ушбу
каторнинг йигиндисини топинг.
Ечиш. Каторнинг якинлашиш радиусини топамиз:
а
ап+1
Ь(2«+1)
(2л- 1) • 1
п
Демак, ( — 1, I) ораликда катор якинлашади, шунинг учун уни
якинлашиш оралигида хадма-хад дифференциаллаш мумкин.
Берилган каторнинг йигиндисини S(x) оркали белгиласак,
S'(x) = 1 +х2+х4 + ... +х2л-2 + ...
Хосил килинган катор — геометрик прогрессия хадлари йигин-
диси ва у ( — 1, 1) ораликда якинлашади, унинг йигиндиси:
Хосилалардан тузилган каторни интеграллаб, берилган катор-
нинг йигиндисини топамиз:
S(x) = J
О
dx
In
1 +х I
1-х I’
1
2
(|х|<1).
5- дарсхона топшириги
1. Куйидаги даражали каторларнинг якинлашиш сохасини
топинг:
а) 00 2 п= 1 (х+1)л . (2л-1)! ’ б) оо 2 п= 1 (х-1)л . 2Л
в) оо 2 (пх)п; Г) оо 2 (2х —3)л . 2л- 1 ’
п= I
д) оо 2 п!хп~‘ ; е) оо 2 п\хп
п= 1 п= 1 (« + 1)л
ж) оо 2 2«-1х2«-1 з) оо 2 (л+1)5х2л
п = 1 (4л —З)2 ’ п= 1 2л + 1
Ж: а) — оо<х< + оо; б) 1<х<3; в) х = 0; г) 1<х<2;
д) х = 0; е) — е<х<е; ж)---------—
2. К,атор йигиндисини топинг.
□о “> п ОО 2п — I
а) 2 (« + 1)ХЛ; б) 2 —; в) 2 .
П=| п=1 п=1
Ж: а) ---—2,|х|<1; б) - 1п( 1 -х), (- 1<х< 1);
(х-1)2
в) arctgx, | х| 1.
5- муставил иш
1. Даражали каторнинг якинлашиш сокасини топинг.
Ж: а) 2<х^ 8; б) 2<х<4; в)
— е<х<е;
г) —оо <_ х < -1- ОО .
2. Катор йигиндисини топинг:
а) 2 (-1)"-1(2п-1)х2л-2; б) 2 «(n+l)^-*.
Л—1 Л=1
Ж: а) -‘"ул, |х| < 1; б) ——2,|х|<1.
(Ц-х2)2 (1-х)2
6-§. Функцияларни Тейлор ва Маклорен
каторларига ёйиш
9.6.1. Агар y=f(x) функция х=х0 нукта атрофида («+1)-тар-
тиблигача адсилаларга эга булса, у холда куйидаги Тейлор
формуласи уринлидир.
f(х) =/(х0) + Цт~(х — х0) + 2!° (х — х0)2+-..+
Н——(х—*о)"+Rn(x) ’
1<М) KtOAduK,
П| -о/
Тейлор и^п.х;ади
«уеий
Мии — Маклорен
вИТй ЯТрофида исталган марта
РДОНМИНГ бирорта атрофида
(Uo
рЛВридян ушбу
^+...+тх.+„.
|ДИ. Буларнинг биринчиси Тейлор
ЛТори дейилади. Бу каторлар х нинг
Ирида f(x) га якинлашади.
ИНф1< + 2 функцияни (х—1) икких,ад дара-
ЦуМ Тейлор формуласидан фойдаланамиз.
рриНИ Вй уларнинг хо=1 нуктадаги кийматла-
РфЙ)Ь-|>
I и»94;
Демак,
у = /-Зх2 + 2х + 2 = 2 + | (х- 1)2+4г (*- D3+-|r (*~ О4
ёки
у=х4 —3x2 + 2x + 2 = 2 + 3(x- 1)2 + 4(х- 1)3+ (х—I)4.
2-ми сол. У=-^ функция учун хо=1 нуктада п- даражали
Тейлор купхадини ёзинг.
Ечиш. Функциянинг хосилаларини ва уларнинг хо=1 нуктада-
ги кийматларини топамиз:
У(1) = 1;
=_>_2=2!
I X = I {
К"Ш—31
“±^L-i = 4C--.»l",(1) = (-1)’4in-|„,= (-!)"' I
X к
Демак, Тейлор купхади куйидаги куринишда булади:
ад = 1-^р-+|(х-1)2-|(х-1)3+|(х-1)4+...+
+ ^р-(х-1)«=1-(х-1) +
+ (Х-1)2_(Х-1)3+(Х_1)4+ +(_1)Я(Х_1)Л
Берилган функция учун колдик хад
f?n(x) = ( —1)л+1 1 (х—1)'1 + |,0<0<|
\ 1 I u ‘ ! )
куринишда булади.
3-ми сол. у=2х функцияни Маклорен каторига ёйинг.
Ечиш. Х,осилаларнингх = 0 нуктадаги кийматларини топамиз:
У(0) = 1; у'(0) =2Чп2|х=0 = 1п2; у"(0) =2х1п22|х=0 = 1п22;
y"'(O)=2xln32L=o = ln32,...,
у"(О)=2х1пя2|х=о = 1п'12.
Маклорен каторини тузамиз:
у = 2х=1+х1п2+-^-х2+^-х3 + ...+^-хл+...
о! Л!
F<"+1* (х -|-0(х — Xn) ) . .
бу ерда Rn (х) = --------(п + 1),-(х—х0)"+1 (О<0<1). Rn (х) —
Тейлор формуласининг Лагранж шаклидаги (3-боб, 16- §) куэлдик,
уади дейилади.
T(xn) f"(xn) о Т'1’ (хп)
Рп(х) =f(X0) + ЦуЧх-х0) + -(х-х0) ч... + —^-(Х-Хо)
купх,ад y=f(x) функциянинг п-даражали Тейлор к$пуади
дейилади.
х=0 да Тейлор формуласининг хусусий холи — Маклорен
формуласи хосил булади:
/(х) = f(0) + Ц^х+ И-х2+.-+ f^-xn + Rn(x),
бу ерда Rn=
+ (6jc)
(п + 1)!
х" (0<6< 1).
9.6.2. Агар y=f(x) функция хо нукта атрофида исталган марта
дифференциалланувчи булса ва бу нуктанинг бирорта атрофида
lim/?„(x) =0
П—>оо
булса, Тейлор ва Маклорен формулаларидан ушбу
f(x) =f(x0) -)--jy-(x —х0) + •-)-^у-(х —х0)"+...
ва
/(х) =/(0) + Ц2и+..-+ А^хЯ+-
чексиз каторлар хосил булади. Буларнинг биринчиси Тейлор
кртори, иккинчиси Маклорен катори дейилади. Бу каторлар х нинг
R п(х) =0 буладиган кийматларида /(х) га якинлашади.
п-*-оо
1 - м и с ол. у = х4 — Зх2 + 2х + 2 функцияни (х—1) иккихад дара-
жалари буйича ёйинг.
Ечиш. хо= 1 учун Тейлор формуласидан фойдаланамиз.
Функциянинг хосилаларини ва уларнинг хо=1 нуктадаги кийматла-
рини топамиз:
1/(1) =2;
/(1) = (4х3 — 6х + 2) L=i =0;
/'(1) = (12х2 — 6) |х=1 = 6;
/"(l)=24x|x_i=24;
y,v=24;
yv=Q ва х. к.
Демак,
y = x4-3x2 + 2x + 2 = 2 + -^ (х-1)2+-Ц- (х-1)3+-^- (*-1)4
ёки
у=х4-3x2 + 2x + 2=2 + 3(x- 1)2 + 4(х- 1)3+ (х-I)4.
2-мисол. i/=-| функция учун хо=1 нуктада п- даражали
Тейлор купхадини ёзинг.
Ечиш. Функциянинг хосилаларини ва уларнинг хо = 1 нуктада-
ги кийматларини топамиз:
у(1) = 1;
/(D = --^ |х==-1;
у//(1)=“гк=,=2г=2!
^(1) = ±2±|^]==_3!
,у(1)=Д12^4 | 4!i (п)(1) = (_1)Л^.| (_1Гя I
Демак, Тейлор купхади куйидаги куринишда булади:
Р„(х) = 1-^-+|(х-1)2-|(х-1)3+|(х-1)4+...+
+ Цг^-и-1)п=1-(х-1) +
+ (Х_1)2_(Х_1)3+(Х_1)4 + ..._Н_1)'>(Х_1)"1
Берилган функция учун колдик хад
/?„(х) = (- 1) п+1-1 (х — 1)п+‘, 0 < 0 < 1
" (1 +0(х- 1) )п + 2
куринишда булади.
3- м и с ол. у = 2х функцияни Маклорен каторига ёйинг.
Ечиш. Х,осилаларнингх = 0 нуктадаги кийматларини топамиз:
У (0) = 1; /(0) =2х1п2|х=,о = 1п2; у"(0) =2Чп22|х=о = 1п22;
у'"(0) =2х1п32|х=о = 1п32,...,
ул(0) =2х1пп2|х=0 = 1пя2.
Маклорен каторини тузамиз:
„ ox I, । „ о । 1п22 2 । 1п32 з , . 1п"2 „ .
у = 2х= 1 +х!п2Н——-х2Н—— х3+„. Н—— хп + ...
о! п!
Топилган каторнинг якинлашиш радиусини аниклаймиз:
R= lim I
П-»сх> I an+\
lim (" + !)!.Jn^2
ln”21п2 «I
= lim-V+ =
n-^oo ln2
oo.
Демак, катор сонлар укининг барча
якинлашади.
нукталарида абсолют
Rn (х) колдик хад:
Rn(x)
1п"+12
(п+1)!
20х-хя+1,О<О< I.
0<1п2<1 булгани
уринлидир:
1Яп(*)1 = I
учун тайин х учун ушбу тенгсизлик
1п" + 12-2йх д+1 I |x|'l+1
(„+!)! л I (л+1)!
Бирок исталган х учун lim ^ = 0 (5.2- §, 3-мисол), шунинг
«-*00
учун lim^Jx) =0 (исталган х да). Бу — топилган катор йигиндиси,
п—*>оо
исталган х ларда хакикатан хам 2х га тенглигини билдиради.
6- дарсхона тотиириги
1. f(x) =х5 — 4х + 2х3 + 2*+1 купхадни (х+1) иккихаднинг
даражалари буйича ёйинг.
2. /(х) =х4 —5х3 + х2 —Зх + 4 купхадни (х —4) иккихаднинг да-
ражалари буйича ёйинг.
3. /(х)=1пх функцияни хо=1 нукта атрофида Тейлор каторига
ёйинг.
4. f(x) = д/х3 функцияни хо= 1 нукта атрофида Тейлор каторига
ёйинг.
5. /(х) =—* функцияни Маклорен каторига ёйинг.
х-|- 1
6- мустак,ил или
1. /(х) =х10 —Зх5+1 функцияни (х—1) иккихаднинг даража-
лари буйича ёйинг.
2. f(x)—-^ функцияни хо = 3 нукта атрофида Тейлор каторига
ёйинг ва якинлашиш сохасини топинг.
3. f(x) =х2ех функцияни Маклорен каторига ёйинг ва якинла-
шиш сохасини топинг.
г.
I
7-§. Баъзи функцияларнинг
Тейлор ва Маклорен каторлари
9.7.1. Баъзи функцияларнинг Маклорен каторига ёйилмаларини
келтирамиз:
г г2 хп
е=1+тг+<г+-+4+-’ -°о<*< + °°;
sto=x-4+X-...+ (- +.... - оо <х< +
cosx- 1-4 + 4-... + (- 1)"-^ +-... - оо <х< + оо;
1„(1+х)=х-4+4-...+(-|)"-’4+.... -!<*«; I;
(1+х)т=1-^х+
. т(т~ I)2 2 1 m(m—1)...(т —п+1) „
+ 2! 'Х — + Х
— 1 <Х<1,
Бу ерда кар кайси катор учун сока курсатилган булиб, унда
даражали катор тегишли функцияга якинлашади. Окирги катор
биномиал кртор дейилади.
9.7.2. Умумий колда функцияларни даражали каторга ёйиш
бевосита Тейлор ва Маклорен каторларидан фойдаланишга
асосланган. Бирок, амалда купгина функцияларнинг даражали
каторларини олдинги бандда келтирилган формулалардан ёки
геометрик прогрессия кадлари йигиндиси формуласидан фойдала-
ниб топиш мумкин. Баъзан каторга ёйишда кадма-кад дифференци-
аллаш ёки интеграллашдан кам фойдаланиш мумкин.
1-ми сол. /(х)=е_* функцияни х нинг даражалари буйича
каторга ёйинг.
Ечиш. Юкорида ех учун келтирилган катор формуласида
х Урнига —х2 ни куйсак,
, л + г2п
с-г=1-х! ++-++...+ (-1)"+- + ...
Топилган катор исталган х ларда якинлашади.
2-ми сол. /(х) = cos-\/^ Функцияни х нинг даражалари буйича
каторга ёйинг.
Ечиш. Юкоридаги cosx учун келтирилган каторда х ни -ухбилан
алмаштирсак,
_ „ „2 гп
cosA/x=l-f + + -...+ (-l)"7fjT1 +...
3
3
1-х
х"
X
2" + '
л = 0
п = 0
буйича каторга
2.
х#=0 да,
3. /(*) =
4.
f(x) =
V4 —х2 ’
х = 0 да;
6.
f(x)
7-
му ставил иш
буйича каторга
X нинг
даражалари
f(x)
1.
2.
4.
360
5. f (х) = In (10+х);
7. f(x) =агс sinx.
Берилган функцияларни
ёйинг:
7- дарсхона топшириси
Берилган функцияларни х нинг даражалари
ёйинг.
— 1<х<1 да якинлашади.
1. f(x) =е~2х\
катор берилган функцияга —1<х<1 да якинлашади.
2 —х —х2 (2 + х)(1-х)
3
2 —х—х2
1 —е
X
/7*) =xcos3x;
sinx
f(x) =2xcos2-y—х;
1,
5
6 + х—х2
3. f(x) =1п(1+х-12х2);
5. f(x) = д/8-х3 .
7^7=4'—Ц;=4я|о(-О”катор эса -1<А<1 ёки
+ 2 0
— 2<х<2 да якинлашади. Шунинг учун янги
1
Маълумки, = 2 хп катор
п=0
Бу катор исталган х ларда якинлашувчидир, бирок cos-\/x
функция х<;0 да аникланмаганлигини хисобга олсак, топилган
катор cosyx га факат 0^х< + оо да якинлашади.
3- м и с о л. /(х) =--——функцияни Маклорен каторига ёйинг.
2—х—хг
Ечиш. Берилган функцияни энг содда рационал касрлар
йигиндисига ажратамиз:
8- §. Даражали каторларнинг татбики
9.8.1. Функция кийматини такрибий хисоблаш.
: Баъзи холларда функциянинг такрибий кийматини берилган
! аникликда хисоблаш учуй унинг даражали каторга ёйилмасидан
। фойдаланилади.
1- ми сол. е сонини 0,00001 гача аниклик билан топинг.
Ечиш. х=1 да ех нинг каторга ёйилмасидан фойдаланамиз:
е=1+7!+2! + -+71 + --
' п сонни шундай аниклаймизки,
e«2+l+l+-+i
такрибий тенгликнинг хатолиги 0,00001 дан ошмасин. Колдикни
бахолаймиз:
о ___!_________I *_|_ . _ J Г * л_!____
(п+1) I ~ (п + 2)! ~ п![_п + 1 (п + 1)(п + 2) J
! п
t. _i_ г_1.1. ~i 1 п+1 = 1
п!(_ п+1 "I” (п+1)2 '"J п! 1 п!п
п +1
Энди
> ' /?<_L< 0,00001
‘ п\п
тенгсизликни ечиб, «3>8 ни топамиз. Демак,
е«2+—+—+—+—+—+—+—-
Буни хисоблаб, талаб килинган аникликдаги жавобни оламиз:
е ж 2,71828.
2- ми сол. д/130 ии 0,001 гача аииклик билан хисобланг.
Ечиш. Равшанки,
•^ТЗО = ^/545 =53д/Г+^ =5(1+0,04)"
Аввал танишган биноминал катордан фойдаланамиз
1+4-Q.Q4+ 3Ч * Q.Q42+
1 )(v-2)
— 0,043
= 5Г1 +4-0,04----^-0,042+
L 3 3-2!
+ -Ц^+,043-... 1= = 5 +4-0,2 -4- 0,008+-4- 0,00032 -...
3d«3! J 3 У °*
Бу ишоралари навбатланувчи катор Лейбниц аломатини каноат-
лантиради, шунинг учун колдик: |/?„| <u„ + i. Мазкур холда туртин-
чи хад 4Г0,00032<0,001, демак, 4130 «5+0,0667-0,0009, яъни
4130 «5,066.
9.8.2. Интегралларни каторлар ёрдамида хи с об -
л а ш. Интеграл остидаги f(x) функцияни даражали каторга ёйиб,
даражали каторларни интеграллаш тугрисидаги теоремани куллаб,
\/(х)т/х интегрални даражали катор куринишда тасвирлаш хамда
о
унинг кийматини бу каторнинг якинлашиш оралигидаги х нинг хар
кандай кийматида берилган аниклик билан хисоблаш мумкин.
3-мисол. ^-лДх интегрални топинг
Ечиш. е х~ функцияни даражали катопга ёямиз.
ч г4 ..О JLn
4+--Н
У бутун сонлар укида якинлашади, демак, уни хадма-хад
интеграллаш мумкин:
rtx —.г —У + ---- —J-+...+( —1) ^2Й"+Т)"п! +•••
Даражали каторни интеграллашда унинг якинлашиш оралиги
узгармаганлиги сабабли, хосил килинган катор хам бутун сонлар
укида якиплашади.
।
4 мисол. $sinx2dx ни 0,001 гача аниклик билан хисобланг.
о
Ечиш. sinx функциянинг даражали каторга ёйилмасидан
фойдаланамиз (у ерда х ни х2 билан алмаштирамиз):
Ъ Г10 , Г4"-2
Sinx2=x2-4r+4r-...+(-i)«-‘7^+....
Катор бутун сонлар укида якинлашади, шунинг учун уни хадма-
хад интеграллаш мумкин, яъни
Г Г / „6 у10 у4«~2 \
jsinxdx= j(x2-—+-^—... + (- l)«-L___+..Jdx=
о о
X_____X X___________j /_______ ] \ n — 1____________ I |
3 7-3! '11-5! ' (4„_1) (2л—1)1 "’”•••/Io
1 1
3. 7-3!
—________|_ ( _ 1 ) « - 1--------------4-....
11-5! ’ (4n —1) (2n—1)!
Хосил килинган ишоралари навбатланувчи каторнинг учинчи
х.ади 0,001 дан кичик, шунинг учун
>ИхТ/х«-|-^-=0,295.
9.8.3. Дифференциал тенгламаларни такрибий
ечиш. Агар дифференциал тенгламани элементар функциялар
ёрдамида ант ин л :аб булмаса, унинг ечимини Тейлор ёки
Маклореннинг днр..1.н . атори куринишида излаш кулайдир.
5-ми с <1'1 Уг:б\
; — .7- — X, у |ж₽о= 1
дифференциал i и ш е ‘чмининг даражали каторга ёйилмаси-
ниш дас.тлабкн 'ш: гопинг.
Ечиш. Ечим".1 .г катор куринишида излаймиз:
Ч 1-4,1 У (Xq) \ 2 । ।
у(х) =f/;xjх0)4—(х—х0) +...+
и" (х(1)
+ --/--(х-х0)' + ...
х=0 да куйидагига эгамиз:
у(х) =у(0) +
qo)x+qo)^+...+ ^Mx«
Берилган у' = у6 — х дифференциал тенгламадан
(/(0) = 13 —0=1 ни топамиз. Берилган тенгламани дифференци-
аллаймиз ва косилаларнинг хо = О даги кийматини хисоблаймиз:
/'=Зг/2./-1, у"(0)=2;
/"(0) = 12;
У^ = ^/+^УУ'-У"+^У1-У'", ylv(0)=78 ва Х-к.
Топилган кийматларни каторга куйиб, изланаётган ечимни
хосил киламиз:
/ \ ill « 2 о I J2 з . 78 4 ।
г/(х) = 1+—х + —X +“зр* Н—4j“ х +• =
= 1 +х+х2+2х3 + -^-х4 + ...
8- дарсхона TonuiupuFu
1. Даражали каторлар ёрдамида куйидаги микдорларни
0,0001 гача аниклик билан такрибий хисобланг:
а) -Ь б) sinl2°; в) ^/520 ; г) Inl.l.
Ж: а) 0,3679; б) 8,0411; в) 0,2094; г) 0,0953.
2. Куйидаги аник интегралларни даражали каторлар ёрдамида
0,01 гача аникликда хисобланг:
а) 1/2 0,1 0,1 С f в) -———dx. Jr2 j * J X 0 0 0
Ж: а) 0,248; б) 0,098; в) 0,102.
3. Аникмас интегралларни даражали катор куринишида топинг
ва хосил килинган каторларнинг якинлашиш сохасини курсатинг:
a) C sinx f e*j V^dx- 6) Y^dx.
Ж: а) — оо <х<оо; б) —оо<х<0 ва 0<х< + оо.
4. Берилган бошлангич шартларни каноатлантирувчи диффе-
ренциал тенгламалар ечимларининг даражали каторга ёйилмаси-
нинг дастлабки бешта хадини ёзинг:
a) 6) в) t/' = 2cosx — xy2, t/(0) = 1; y"=—2xy, У(0)=/(0) =1; У' — %y + x — 1, у (1ji = I. 8- мустацил иш
1. ла нг: Даражали каторлар ёрдамида 0,001 гача аникликда хисоб-
a) sinl°; б) -^/70; в) cosl°.
Ж: а) 0,841; б) 4,125; в) 1,000.
2. ланг: Куйидаги аник интегралларни 0,001 гача аникликда хисоб- 1/2 4 1
а) У1 +%3 dx\ б) ( e‘dx. 0 0
Ж: а) 0,508; б) 2,835.
3. Дифференциал тенглама ечимининг даражали каторга ёйил-
масининг дастлабки учта хадини топинг:
а) у'=х2 — у, у(\) = 1; б) у' = х2у+у3, у(0) = 1.
9- §. Фурье каторлари
9.9.1. Агар y=f(x) функция (а, Ь) ораликда чегараланган (яъни
а<х<Ь да |/(x)|<AJ, бу ерда М — узгармас) ва булакли—
монотон (яъни (а, Ь) ораликни хар бирида бу функция монотон
булган чекли сондаги ораликларга ажратиш мумкин) булса, у холда
бу функция (а, Ь) ораликда Дирихле шартларини каноатлантиради
дейилади.
9.9.2. Агар y = f(x) функция узунлиги 2л га тенг ( — л, л)
ораликда Дирихле шартларини каноатлантирса, у холда бу
ораликнинг f(x) узлуксиз булган хар кандай х нуктасида функцияни
Фурье тригонометрии каторига ёйиш мумкин, яъни
ап °°
f(x)=-y-+ 2 (ancosnx+bnsinnx),
2 л-1
. бу ерда а„, Ьп — Фурье коэффициентлари булиб, улар куйидаги
формулалар буйича хисобланади:
а„=— f(x)cos>nxdx (« = 0,1,2,...),
— л
л
f(x)s>mnxdx (/1 = 1,2,...).
—л
Агарх£(—л, л) нукта /(х) функциянинг узилиш нуктаси булса,
Фурье катори йигиндиси S(x) функциянинг чап ва унг лимитлари-
нинг урта арифметигига тенг:
S(x)=j[/(x-0)+f(x + 0)].
Оралик охирлари х = л ва х= —л нукталарда;
3(л)=3(-л)=4{/(-л + 0)+/(л-0)].
9.9.3. Агар /(х) — жуфт (яъни /( —х) =/(х)) булса, у холда Фурье
каторида факат косинуслар катнашади, чунки барча Ьп = 0 булиб,
Л
а„=-^-$ f(x)cosnxdx булади. Агар /(х) функция ток (яъни
о
[( — х) = — /(х)) булса, Фурье каторида факатсинуслар катнашади,
чунки барча an — Q булиб, bn—^ /(x)sinxdx булади.
о
9.9.4. (О, л) ораликда берилган f(x) функция ( — л, 0) ораликга
ё жуфт^ё ток функция каби давом эттирилиши мумкин. Демак, уни
зарур булса, (0, л) ораликда косинуслар ёки синуслар буйича тулик
булмаган Фурье каторига ёйиш мумкин.
9.9.5. Даври 2л булган кар кандай даврий f(x) функция ва
исталган a£R учун
л а 4- л
f(x)dx= f(x)dx .
— л а—л
булгани учун Фурье коэффициентларини куйидаги формулалар
буйича хисоблаш мумкин:
1 2л 2л
ап=— \f(x)cosnxdx, bn=— \f (х)sinnxdx,
ли л J
о о
бу ерда п = 0, 1, 2...
1-ми сол. Даври 2л булган ушбу
{0, агар —л<х<0 булса,
х, агар О^х^л булса
функцияни Фурье каторига ёйинг.
Ечиш. Берилган функция булакли узлуксиз ва чегараланган
булгани учун уни Фурье каторига ёйиш мумкин (42- шакл).
42- шакл
Фурье коэффициентларини топамиз: Л л ап=—- \ f(x)dx—— \xdx- и л J nJ —л 0 л л а„= — \ f(x)cosnxdx=— \xcosnxdx л J nJ — л 0 / л \ 1 / X . 1 л If- ,\ 1 =—[—sirmxl ysirmxax 1=—-cos n \n ° ” о J nn2 1 X" 1л Л , л 2 1 о 2 ’ ' u = x, du = dx _ dv =cosnxdx, _ v = — sinnx {. n 1 U ЛМ
п — жуфт булганда, а„ = 0; п -- ток булганда
и = х, du = dx
bn=— \ f(x)sinnxdx=—\xsinnxdx=' dv — smnxdx,
"nJ nJ |
-П о y =---cosnx
П
/ Л \ J
— [ ——cosnx I^cosnxdx ) =—(——cosn/i-|—-sinnx
л \ n lo'nj I n\ n
\ 0 / '
Топилган коэффициентлардан фойдаланиб, Фурье каторини
тузамиз:
_ / 9 t_ir+‘
f(x)=-+ 2 1;cos(2«—1)хф-- sin™
п = 1 X ' '
Бу катор берилган функцияга барча х=£(2п—1)л ларда
якинлашади. х= (2п— 1)л нукталарда катор йигиндиси
C //Q., М-л + 0) +f(n — 0) _ о + л _ л
л ([2/г -- 1) л) =-------------------------——-——
формула буйича хнсобланади (42-шаклга каранг. ).
9.9.6. Агар f(x) функция узунлиги 2/ булган бирор ( — I,
I) ораликда Дирихле шартларини каноатлантирса, функциянинг бу
ораликка тшишли узлуксизлик нукталарида функцияни Фурье
каторига ёйиш мумкин:
. , , u0 . V, / ЛИХ I , ли* \
/(х)=-2Ч L («„cos---+6„31П
Л = 1 4
бу ерда
а„=± ^(x)cos-^-dx (n = 0,i,2,...),
/(x)sin-^dx (п=1,2,...).
Дх) функциянинг узилиш нукталарида ва оралик охирлари
х=+1 да Фурье катори йигиндиси (—л, л) ораликда ёйиш
холидаги каби аникланади.
9.9.7. f (x) функцияни 21 узунликдаги ихтиёрий (а, а + 2/)
ораликда Фурье каторига ёйганда ап ва Ьп коэффициентлар учун
формулаларда интеграллаш чегараларини мос равишда а ва а + 2/
билан алмаштириш зарур.
9.9.8. Жуфт ёки ток функцияни ( —/, /) ораликда Фурье каторига
ёйишда Фурье коэффициентлари (—л, л) ораликда булгани каби
соддалашади.
9.9.9. (О, /) да берилган f(x) функцияни ( — /,/) да косинуслар ёки
синуслар буйича Фурье каторига ёйиш мумкин.
2- м и с ол. Ушбу
{—х, агар — 2^х<0 булса,
х, агар 0<х<2булса
функцияни Фурье каторига ёйинг.
Ечиш. Функция Дирихле шартларини
(43- шакл).
Каноатлантиради
43- шакл
Берилган функция жуфт, шунинг учун у факат косинуслар
буйича Фурье каторига ёйилади, барча 6„=0. а„ коэффициентларни
топамиз (/ = 2):
1 2
an=-^f(x)cos-^y-dx= ^xcos^Y~dx —
О О
и=х, du = dx
dv = cos-^Дх,
2 . лпх
v=—sin——
яп 2
п — жуфт булганда ая=0; п — ток булганда ап=—.
ТС ГС
о=2'
о о
Берилган функциянинг Фурье катори куйидаги куринишда
булади:
3-ми сол. f(x) = l — х функцияни [0, 1] кесмада синуслар бу-
йича каторга ёйинг.
Ечиш. Берилган функцияни [—1, 0) ораликда ток функция
сифатида давом эттирамиз, яъни
— 1 —х, агар
1 —х, агар
— 1 <х<0 булса,
0<х< 1 булса
деймиз (44- шакл).
Ток функциялар учун барча ал=0. Энди Ьп (/ = 1) ларни топамиз:
6л=2 ^(x)sin-^x=2$(l-x)sin-^x=
О о
и—1— х, du=—dx,
dv = smnnxdx v=-— cosnnx
лп
Топилган коэффициентларни Фурье каторига куйиб, синуслар
буйича ушбу каторни хосил киламиз:
f(x) —— 2 — sinnnx.
'' ' л л
П = 1
9- дарсхона тошиириги
1. —л<х<л ораликда f(x)=x функцияни Фурье
ёйинг.
Ж: Дх)=2 2 (-1)«+'-^.
2. Ушбу функцияни Фурье каторига ёйинг:
— 2х, агар —л<х<0 булса,
Зх, агар 0<х^л булса.
каторига
Ж: /(х)=-^
10 у / cos(2л— 1 )х
л \ (2л-I)2
П + 1 sinnx
л
f(*) =
1 4-х, arap —2<х<0 булса,
— 1, агар 0<х^2 булса
функцияни Фурье каторига ёйинг.
2 л(2п—1) 1 . лпх \
---------cos ------—X sin—— ).
л(2п—I)2 2--п 2 )
4. f(x)=x2 функцияни (0, л) ораликда синуслар буйича Фурье
каторига ёйинг.
ж: нх)=4 2 (-Dn+i Г4+4((-1)п-1)
л «=1 L п
sinnx.
5. f(x) = l—2x функцияни [0, 1] да косинуслар буйича Фурье
каторига ёйинг. ,
Ж:/(х)=42
cosn(2n — 1 )х
(2п-1)2
9- муста^ил иш
1. Ушбу
f(*) =
— 2, агар —л<х^0 булса,
1, агар 0<х<л булса
функцияни Фурье каторига ёйинг.
Ж: /(х) = -1+|2
л-1
sin(2n— 1)х
2л —1
2. f(x) = |х| функцияни [—1, 1] да Фурье каторига ёйинг.
Ж: Дх)
__ 1 4 у cos(2n—1)лх
~ 2 я2 „ = , <2п-1)2
3. /(x)=sinx функцияни [0, л] да
каторига ёйинг.
косинуслар буйича Фурье
Ж: /(%)=!+ 2
м=1
cos2nx
1 — (2л)2
4. /(х) = Г—^-функцияни
[О, 2] да синуслар буйича Фурье като-
рига ёйинг.
оо
Ж:/(х)=А2±5ш^.
л zz 2
я = 1
10-§. Фурье интеграли
9.10.1. Агар y=f(x) фунция Ох укининг исталган чекли^ора-
лигида Дирихле шартларини каноатлантирса ва бутун ук буйича
абсолют интегралланувчи булса (яъни \ \f(x)\dx интеграл
— оо
якинлашса), унинг учун Фурьенинг интеграл формуласи уринлидир:
4- оо 4-00
/(х)=— dz f(u)cosz(u — x)du.
О — оо
I тур узилиш нукталарида f(x) нинг киймати учун аввалгидек,
у(К*о-0)+И*о+0))
кабул килинади, бу ерда хо — узилиш нуктасининг абсциссаси.
Фурье интегралини комплекс шаклда хам ёзиш мумкин:
4-оо4-°° + °° +°°
/(X)=_L J dz J /(u)ete(“-x)d«=-^- J eUxdz J e“uf(u)du.
— oo — oo — oo — oo
Жуфт функция учун Фурье интеграли куйидагича булади:
4-оо 4*00
coszdz f(u)coszudu,
о о
ток функциянинг Фурье интеграли:
-4- 00 4* °°
/(х)=— sinzxdz j f(u)smzudu.
о о
9.10.2. Куйидаги
+ 0°
F(z)=—\ eizxf(x)dx
у 2л J
( --------------------- 00
муносабат билан аникланган F(z) функция /(х) функциянинг Фурье
алмаисгирииш дейилади.
1 V
/(%)=—= \ е KXF{z)dz
у 2.П J
— оо
муносабат эса Фурьенинг тескари алмаштириш формуласи де-
йилади.
Хусусий холда
a) f(x) жуфт функция булса,
Zc(z)
fc(z)coszxdx
(бу формулалар Фурьенинг косинус-алмаштиришлари дейилади);
б) f(x) функция ток булса,
/2" Г
fs(z) = л1-— \ f(x)sinzxdx,
о
12 +г°°
f(x) = Л!— j fs(z)smzxdz
о
(бу формулалар Фурьенинг синус алмаштиришлари дейилади).
Фурьенинг синус ва косинус алмаштиришлари факат Ох нинг
мусбат ярим укида берилган, бу ярим уки буйлаб абсолют
интегралланувчи ва унинг исталган чекли кесмасида Дирихле
шартларини каноатлантирувчи функцияларгагина кулланиши мум-
кин.
1-мисол. Ушбу
х< — 1 да О,
/(*) =
функциянинг Фурье алмаштиришини топинг.
Ечиш. Ушбу
1 V
F(z) =—= • \ f(u)e‘zudu.
у 2л J
— оо
Фурье алмаштириши формуласига кура
у 2л
0-e‘2Udu +
-1/2 1/2 .
$ (u + l)eizudu+ $ \-eizudu +
— I -1/2 .
I
+ $ ( — u + 1) eizudu +
1/2
Равшанки, биринчи ва охирги интеграллар нолга тенг. Колган
интегралларни мос равишда Л, Д ва /з оркали белгилаб, хисоблай-
миз:
-1/2
/, = (и + 1) eaudu=
— I
s = «4-l, ds = du,
. л е‘ги
dt^eizudu t=e_
tz
„ z
2sin~—
I1/2 _J_/pl/2te_p-l/2K\ =_______£_
1-1/2 iz^ 7 Z
-\/2
1/2
s = — и + 1, ds = —du,
dt=e“udu, t = ^-eizu
IZ
1 pizu
1 1 c* 1 1
1/2 г-2г2C iz 2
Шундай килиб.
f(z)==-4=
' ’ V2n
_!_g2 —
2 2 1
rz*
2zi
z2 e
iz
— C 2^
Z2
2sith|
—iz [______z
1
2iz
2cosz
2cos-^~
2
z2
У
1
2
Z
V2"
z
2
z
2- м и с ол. Ушбу
Z(X) =
O^x<a да 1,
i
x==a да
,x>a да 0
функциянинг косинус ва синус алмаштиришларини топинг.
Ечиш. Берилган функциянинг косинус-алмаштиришини топа-
миз:
f(u) coszudu =
Энди синус алмаштиришини топамиз:
о
f ^sinzudu-j- 0-sinzudu
\o 0
/2' °
~ VjT ^s>n2U^u =
0
2 1—cosaz
л z
Уз навбатида fc (z) ва fs(z) функцияларга косинус- ва синус-
алмаштиришларни куллаб, f(x) функциянинг узини топамиз, яъни
1. Ушбу
2
Л
-j- oo
- (
Л J
0
sinaz ,
-----cosxzaz =
г
+ «>
f 1—cosaz . ,
\ --------sinxzaz =
J z
о
функциянинг Фурье
Ж: F(z) =
а да 1;
x = a да
x>a да 0;
' 0 x < а да 1;
x = a да у,
ада
0.
10- дарсхона топшириги
/(х) =
л да cosy,
л да 0
алмаштиришини топинг.
4
У2л 1-4г2
•COSJIZ.
2. f(x)=e х(х>0) функциянинг косинус
ришларини топинг.
ва синус алмашти-
1. Ушбу
,2
г
z2+l
10- мустак,ил иш
0
Дх) =
0
да е~х,
да ех,
да 0
функциянинг Фурье алмаштиришини топинг.
mz. t?z \ 2Z ге— sinz — zcosz
д/2л
,2
да — 1,
Дх) = -4<х<4 да °’ 2 ** —1 да 1 2
функциянинг Фурье синус
. z
sinz —sin-—
Ж: fc(z) =-----------
ва косинус алмаштиришларини топинг.
COS|_COS2
—-—ул--
9- назорат иши
1. Каторнинг якинлашувчанлигини исбот килинг ва йигиндисини
топинг:
ОО 1.1. S-1—• Я=1п +2п оо , 1.2. 2 -г—1 • П=1 «2+Н«+30
ОО 1 л 1 ч У 4- 1.4. 2-^ — . „=1 »2 + 5« + 6
" 49п2 —14п —48 п^-1
°° а 1.5. 2 • ,.=1 4fl J оо t6' 9п2 + Зп-2 ’ п— 1
оо 7 к7, 49л2 + 7п- 12 п — 1 24 1.8. 2—5 -• п = 2 9п2-12п-5
00 1 1 Q У 1 - 1.10. п2 + п — 2 /1=0 1
4п2 + 32п + 63 ' /1 = 0
1 и У 1 - ОО 1.12. 2-т-1 • . 9п2 + 3п —2 « = 1
b ' „п2 + 7п + 12
1 14 У 1 “ 1 1.14. 2 п=о 4п2 + 24п + 35
*’ ' , 9n2 + 15n-H /1= 1
1 15 У 7 1.16. 2——! „=1 П +lSn + 56
49п2+7л- 12 п = 1
, оо 1 17 У 6 ОО 1,181 ^04п2+16п+15
1.17. 2-л о ' 9п2 + 6п — 8 п— 1
1.19. 2 /1=1 8 16л2 —8л — 15 1.20. оо 2 /1=1 9 9л2+21л-8
1.21. оо 2 1 1.22. оо 2 7
/1=1 л2+13л + 42 п = 1 49л2+35л —6
1.23. оо 2 1 1.24. оо У 4
п=1 л2 + 9л + 20 /1 = 1 4л2 + 4л —3
1.25. оо 2 1 1.26. оо 2 3
п= 1 9л2 + 21л + Ю /1 = 1 9л2 —Зл —2 ’
1.27. оо 2 1 1.28. оо 2 1
/1=1 л2+л— 12 /1=1 л2 + 4л + 3 ’
1.29. 2 1 1.30. оо у 1
/1=1 л2 + 4л /1=1 м^ -|- 6м 4~ 5
2. Каторнинг якинлашишини текширинг:
2.1. оо 2 -tg-U Я=1 "
2.3. оо 2-т^- «_1 Л -1ПЛ
2.5. 2 (1 — COS—). . л /1 = 1
2.7. оо У 2 п=1 З'-'+л-Г
2.9. «-1 ^"+3
2.11. у, • 2м -4~ 1 J, Sln л2(„ + 1)2-
2.13. S -Usin—. . ум ч м /1=1 *
2.15. оо у 1 . 1 Z -sin n=2 V«+5 "-1
2.2. oo 3/— 2 Sin--±=.
« = 1 ул5 + 2
2.4. OO V4 • M 1 arcsin— —.
2.6. « = 1 (л2 + 3)5/2 2 —^arctg— «=1 y/n 4V«
2.8. oo / \ 2 U’3-‘-lZ
2.10. /1 = 2 oo О 2 ln-=-±t.
2.12. n~i л -f-4 oo 2 -3 1 -arctg-^+3 . n=l V" + 2 л2 + 5 oo sin——— У 2л +1
2.14.
2.16. i /i=i * oo 2 ^arctg ’ . n = 2 у M— 1
2.17. оо 2 4 + Зп 2.18. °° 2 । 1 2 In—1 + 1 .
/1=1 5я + п л=1 п +« + 2
2.19. оо 2 (»2 + 3)\ 2.20. 2 п(еп — I)2.
Я=1 П5 + 1п4П /1=1
2.21. оо 2 /1=1 У« arctg—. 2.22. ” „3 + 2 n=1 n5 + sin2n
оо °° и3
2.23. 2 л-sin—-—. 2.24. 2 1п-^—.
п~ 1 3 /— V п4 Л—1 п +1
2.25. оо 2 2" + С05П 2.26. 2 arctg
/1=1 3n + sinn я = 2 (п-1)У,
2.27. оо 2 nhg5^. 2.28. ОО 2—Ц-.
п — 1 п п=| Я—cos 6п
оо оо
2.29. 2 /г=1 п 2 3/— । с ’ п уп +5 2.30. 2 5 Sin 1 . Я=1 v«+i v«
3. Каторнинг якинлашишини текширинг:
3.1. оо у , Зя(п2—1) 3.2. у, 1 «3*5 ... • (2п— 1)
п= 1 п! Zi 3я-(n+D!
3.3. оо 2 («+!)! 1_ 3.4. 3 £ 3я Уп2
п= 1 Зп + 5 2я ", («+!)! п= 1
3.5. оо 2 1-4 • 7-... • (Зп —2) 3.6. V п!(2« + 1)_!
/1=1 7-9-11 •...• (2п + 5) ", (Зп)! п= 1
3.7. оо 2 - /1=1 п п7 3я ' 3.8. у (п + 2)! пя • /1= 1
3.9. оо 2- п = 1 пп (« + 3)Г 3.10. у 2-5-8-...- (Зп — 3-7 > 11 •• (4zz- п=1
3.11. оо 2 5я . 3.12. yi 2п +1
п=\ 4п! 1 „_1 Уп-2Я
3.13. оо 2 п= i («I)2 ! 2п2 ' 3.14. , 5 оо arctg— у П " п! п= 1
1)
п2
OO 3.15. 2 n=I пп (п!)2 3.16. ОО . о 2 (п!)2 п = 1 (3" + 1) (2л)!'
OO 3.17. 2 n=\ 5п(л + 1)! (2л)! ' 3.18. у (Зл+2)! „=! >0Я-«2 ‘
OO 3.19. 2 5л— 1 5"(«4- 1)!' 3.20. 2 (+)“"’ п = 1
OO 3.21. 2 n=l (п + 1)7 л! ' 3.22. ОО о yi гг + 3 (л+1)!' п = 1
OO 3.23. 2 n = l л + 2 п\ ' 3.24. у пП , (л+1)!' п — 1
OO 3.25, 2 P=1 2^ 5п(2л —)) ’ 3.26. у 3-5-7-...-(2л+ 1) 2-5.8-(3,*? — 1) п= 1
OO 3.27, 2 л! (Зл)!‘ 3.28. 2 (2n+l)ig-^. Я=1 6
OO 3.29. 2 n = 1 (п + 1)п <i! 3.30. л! , ! '(2л)’|lg 5’.' п =
4. Каторнинг якинлашишини текширинг:
оо 4.1. 2 ( n — l ' л + 2 у2 . Зл — 1 ) 4.2. 2, Ь+г)"' П--Л11
4 3 У л/n ( п~2 У" 4.4. оо 2 (аГ“'П2»+з) ' п = \
4.3. ) • п= 1
оо 4.5. 2 ( л—1 4 п + 3 \«2 2л / ’ 4.6. оо
оо 4.7. 2 ( п — 1 ' 2л \п2 .4л + 3/ ' 4.8. yi / п \ 2п 4-1 ^,\Зл + 1/ ‘ п= 1
оо 4.9. 2 ( п= 1 2л + 1 у2 ,3л —2/ 4.10. оо хл / . 1 \ 2j ( arcsin— ) . \ 2п / rt=l \ z '
оо 4.11. 2 п = 1 /л + 1 \3« \ 5л ) ' 4.12. £ MS Й а + 4 с СЯ 1 — л
OO 4.13. 2 ( n = \ 4.14. Г/ ] и С '2n-f-3 V2 ч п + 1 /
OO 4.15. 2 Л = 1 п5-Зя (2п + 1)"’ 4.16. оо М=1 ^5п—1 у2 ч 5п )
OO 4.17. 2 n=l 1 И- 4м 5 \ 4.18. оо У i ( п у
\6п2— Зп— 1 / /1=1 Зм -|- 1 )
OO 4.19. 2 / 1 \2л (arcsin— ) . \ ом / 4.20. 8 М "ii С /2п-1 у.2 1 2п ) '
OO 4.21. 2 n = i 4.22. оо 2 п = 1 /2п2+1 У"
\a’Ctg 2п+1 ) ' \ п2 +1 /
OO 4.23. 2 (32±2y(rt...i)2 4.24. оо 2 2 п — '
OO 4.25. 2 n=l " Y 4.26. 2 4п(-.
vg 2п + 1 ) ’ п — 1 \ П ф 1 /
OO 4.27. 2 n~\ (n2 + 5n + S X Зп2 — j 4.28. t Ms р44У‘(п+1'3- \ .>n -J-1 /
OO /2п—1 у \3« + 1 / ' 4.30. оо у
4.29. 2 n=l м=1 (2п2 + 1)я/2'
5. Ишоралари навбатланувчи каторнинг шартли ва абсолют якинлашишини текширинг:
оо 5.1. 2 ( Я=1 5.2. оо 2 ( п=] 1 \ n n + i
оо 5.3. 2 ( п=1 -D-cos^. 5.4. 2 - п = 1 3/“ * п\П
00 5.5. 2 П = 1 п-5” 5.6. оо 2 ( п = 1 +v)
оо 5.7. 2 Я=1 (— 1)”-2д2 П4 — П2 + 1 5.8. оо 2 п=1 (~1)я-‘ (л+ Г)22я‘
оо 5.9. 2 1 1 :-D^V 5.10. оо 2 /1=1 (-1)п + ‘ (п + 1) (п + 4) ‘
оо 5.11. S Н=1 , . 12я 5.12. оо 2 п=1 (~ 1 )п~‘ . п-2”
ОО 5.13. 2 (— 1)"+' оо 5.14. 2 п у
n = l (2« + 1)!' /1=1 ' \2п+1 /
оо 5.15. 2 /г=1 „3 / 1) л+1 п ' ’ п2 + 1’ оо 5.16. 2 /1=1 (-1)" + 1 ( ' п
,2n+i
оо 5.17. 2 /1=1 (-1)" 5.18. 2 п =: (-1)"
п In (2п) ' , (2п+1)22п+2'
оо 5.19. 2 п= 1 (~1)п + \ и2 + 1 оо 5.20. 2 п=: ( —1)я+1 . п In п 1
оо 5.21. 2 /1=1 (—• 1) " + 1sin—. 8" оо 5.22. 2 п = « (~1)п+‘ , 1п(п + Г) '
оо 5.23. 2 /1=1 (-l)'tgv оо 5.24. 2 /1=1 / к « sinnV”
оо 5.25. 2 /1=1 ( — 1)" + ’-2 п4 ОО 5.26. 2 п=1 (~l)n + l (« + 1)3/2‘
оо 5.27. 2 /1=1 (-1)% -. ' ’ 6л оо 5.28. 2 я=с (-1)" s (n+l)lnn‘
оо 5.29. 2 /1=1 Зл оо 5.30. 2 /г=1 (-1)я1п ( '1+J X п
6. Каторнинг якинлашиш сохасини топинг:
оо 6.1. 2 - п = \ П. п —X. п\ оо 6.2. 2 - /1=1 V п\ '
оо б.з. 2 п = \ (л + 1)3 хя п\ ОО п 6.4. 2 х\ nt
оо 6.5. 2 - /1 = 1 2п n(n+i)X ' оо 6.6. 2 - П = 1 (п +1 )хп 2п(«2+1)‘
оо 6.7. 2 /1 = 1 /л+з у п \п+6/ оо „ 6.8. 2-Vx". 1 V п п= 1 *
оо 6.9. 2 /1=1 уи 8" ’ оо 6.Ю. 2 /1=1 3я-л! X . (« + 1)я
оо б.и. 2 п =\ хя , л1п2л оо 6.12. 2 ( /1=1 ?+>-
6.13. оо 4 Z — xn.
6.15. [ Me 3 “ = a * as
6.17. 0° 2 У n - xn ь «+1x n— 1
6.19. °° и 2Л- „=1 n
6.21. у
6.23. J Me GO <oo .= al 4.
6.25. у V«x" n-l
6.27. у (n+I)2jc" 2n я == I z
6.29. °° rn 2 —• n=. «-3я
6.14. 2 (-4т)^л- \ n + 1 / rt== 1
6.16. У *2и~‘ 3n ‘
n = l
6.18. 2 (wx„. «л
6.20. У ntx" («+!)"
6.22. OO 9 У _« xn n== 1
6.24. У _2E «(«+!) n— 1
6.26. у _
„Z1! V(2«-l)3n
6.28. у x2n~' 2п-Г n = l
6.30. у x2n+' 2n+r
n=l
10- б о б
КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
1-§. Декарт координаталарида икки улчовли
интегралларни хисоблаш
10.1.1. z = f(x, y)—f(P) функция I чизик билан чегараланган
ёпик D сохада аникланган ва узлуксиз булиб, Дзь Дз21 д$п_
D сохани п та элементар булакларга булиш натижасида хосил
булган юзчалар булсин. Х,ар кайси Дз,- элементар сохада ихтиёрий
Pi(xi, yt) нуктани танлаймиз ва функциянинг Pi нуктадаги кийма-
тини хисоблаб, ушбу купайтмани тузамиз:
f(Pi) -Дз( = yt)\si.
Шундай купайтмаларнинг барчасипинг
П оо
^f{p.)^s~ Xf(xi,yi)Ss:
i — 1 i — 1
йигиндиси z=f (x, у) =f (P) функция учун D сохадаги интеграл
йиеинди дейилади.
Аз, элементар юзчалар сони чексиз орттирилса, у холда улар
диаметрларининг энг каттаси нолга инталгандаги интеграл
йигиндининг лимита z = f(x, у) функциядан D с<>ха буйича олинган
икки улчовли интеграл дейилади за бундай белгиланади
(j /' (Р) dr. ёки Ц /!71 ds
7) “о
Шундай килиб,
П/Дх, y)ds=~ lim 2 f(x„ у>, Дз,.
Qi а г' Lam А : __ i
I) Lb —
Бунда D — интеграллаш сохаси, / (х, у) интеграл остидагч функция,
ds — юз элемента дейилади. Декарт координаталаридгг ds = dxdy
булганлиги учун икки у'лчовли иатегра.:
^jf(x, y)as--^ $/'х, у) dxdy
О /)
булади.
Arap f(x, у)>0 булиб, v — пастдан интеграллаш сохаси
D билан, юкоридан D га проекцияланувчи z=f(x, у) сиртнинг
б^лаги билан, ён томондан эса ясовчилари Ог укка параллел ва
йуналтирувчиси D соха чегараси L дан иборат цилиндрик сирт
билан чегараланган жисм хажми булсин. У холда
V — ЭД/(х, у) dxdy.
D
Агар /(х, y)s=l булса, у холда икки улчовли интегралнинг
киймати сон жихатдан интеграллаш сохаси D нинг з юзига тенг
булади, яъни
ЭДdxdy= $ds = $.
D D
Arap f(x, у) функция D сохага жойлашган пластинка массаси
таксимланишининг зичлигини ифодаласа, у холда икки улчовли
интеграл шу пластинка моддасининг массаси М ни беради:
М = ЭД/(х, y)dxdy= ЭД/(*, y)ds.
о d
10.1.2. Икки улчовли интегрални хисоблаш иккита аник
интегрални кетма-к-ет хисоблашга келтирилади.
Агар D соха у—у\(х), у—у2(х) функцияларнинг графиклари
хамда х = а ва х = Ь тугри чизиклар билан чегараланган (45- шакл),
яъни
Ц^Х^Й
У1(х) <:У^У2{Х)
тенгсизликлар билан аникланган булса, у холда икки улчовли
интеграл куйидаги формула ёрдамида хисобланади:
о
х, у)dxdy=
Ь
j J f(x,y)dy
a L</, (x)
J f(x,y)dy.
«1 (x)
Бу ерда
У1(х)
j f(x,y)dy
у, W
ички интеграл еб аталади ва уни хисоблашда х ни узгармас деб,
интеграллаш у буйича олиб борилади. Ички интегрални хисоблаш
натижаси тайней интеграл учун интеграл ости функцияси булади.
Агар D соха куйидаги
тенгсизликлар билан
интеграл ушбу
d
\\f(xyy)dxdy=* $
D с
{c^y^d
Xi(y)^x^x2 (у)
аникланган булса (46- шакл) икки ^лчовли
~^(») “1 d
$ f(x,y)dx dy—^dy $ f(x,y)dx.
_ *1 (У) J сх, (у)
формула ёрдамида иккита аник интегрални хисоблашга келти-
рилади.
Агар D соха 47- шаклда курсатилгандагидек х=а, у = с, х — Ь,
y—d чизиклар билан факат битта нуктада кесишса, у холда икки
^лчовли интегрални хисоблашда юкорида келтирилган хар иккала
формуладан хам фойдаланиш мумкин булиб,
Ь Уг№ d *2 О')
§f(x,y)dxdy= ^dx J f(x,y)dy= \dy j f(x,y) dx
D a dj W с -Ч (У)
тенглик уринли булади.
Агар интеграллаш сохаси 48- шаклда курсатилгандагидек
контурга эга булса, у холда икки улчовли интегрални хисоблаш учун
соха х—хо чизик билан булакларга булиниб, юкоридаги формула-
лардан фойдаланилади.
1-м и сол. Икки улчовли интегрални хисобланг:
(x-y)dxdy,
бу ерда D соха у — 2 — х2 ва у=2х— 1 чизиклар билан чегараланган.
Ечиш. D сохани чизамиз (49-шакл). Учи Д(0, 2) да булган
у = 2 — х2 парабола Оу укка нисбатан симметрии булиб,
у=2х — 1 тугри чизик билан иккита: В (1, 1) ва С (—3, —7) нук-
таларда кесишади. Интеграллаш сохаси D ушбу тенгсизликлар
системаси билан аникланади:
( -3^ х< 1
[ 2х — 1 < у < 2 — х2.
Икки улчовли интегрални хисоблаймиз:
1 2-х2 I
y)dxdy= j dx (x—y)dy= j ]xy— ~y2j |2^х =
D -3 2x—I -3
= J [x(2-x2) —g-(2 —x2)2—x(2x—1)(2x—1) 2la!x =
-3
= J (2x-x3-2 + 2x2-^-2x2+x + 2x2-2x + y)dx=
-3
= j (—yX4—x3+2x2+x—-|)dx=
-3
2- м и с о л. Ушбу
1 . 1— x2
$ dx J f(x, y) dy
-1 -V7^7
интегралда интеграллаш тартибини узгартиринг.
Ечиш. Интеграллаш сохаси О ушбу тенгсизликлар системаси
оркали аникланади:
Бу сохани'чизамиз (50- шакл) ва уни D, ва Z)2 сохаларга ажратамиз.
Бу сохалар куйидаги тенгсизликлар системалари билан аниклана-
дилар:
1, —о,
D ; J _____ [) ; _____ _______________
'[— д/l — у <x< + y/l—y, 1 [ — д/1 — y2<x< + д/1 — у2
У холда
1 1-х2 ] I + V1-!/ О +V1-»2
j dx f(x, y)dy= ^dy $ /(x, y)dx-\- j dy f(x,y)dx.
-1 -V7ZJ 0 -* -V7ZJ
l- дарсхона roniuupuFu.
1. Интегралларни хисобланг:
a) \dx $ (x —y) dy, 6) ^dx^xlnydy;
1 Л? 0 1
8 5
в) dy j (x + 2y)dx.
-3 V-4
Ж: a) 112—|z-; 6) 8; в) 50|.
1UO v
2. Икки улчовли jt/(x, у)dxdy интегралнинг интеграллаш coxa-
ТУ
ей D:
а) х=3, х=5, Зх—2уН-4 = 0 ва Зх—2у+1=0 тугри чизиклар
билан;
б) х2+у2 —4i/ = 0 чизик билан;
в) у=х2+1, х=0, х+у = 4 чизиклар билан чегараланган. Ички
ва ташки интегралларнинг интеграллаш чегараларини аникланг.
3. Куйидаги икки улчовли интегралларда интеграллаш тартиби-
ни узгартиринг:
с с 2р
a) yly ^f(x,y)dx', б) ylx }f(x> y)dy;
оу 1 х
В) \dy 5 Hx>y)dx-
°
4. Куйидаги интегралларни хисобланг:
а) $ (Х2+у) dxdy, бу ерда D соха у=х2 ва у2 = х чизиклар билан
ТУ
чегараланган.
СС х2
б) - dxdy, бу ерда D соха х = 2, у = х, ху= 1 чизиклар билан
JJ у
чегараланган.
Ж: * W’ б> Т
5. у = х2 — 2х, у = х чизиклар билан чегараланган юзни
хисобланг:
Ж: 9/2 кв. бирл.
6. z = x2 + z/2, % + у=1, х = 0, г/=0, z = 0 сиртлар билан
чегараланган жисм хажмини хисобланг.
Ж: куб бирл.
7. Агар х=(у— I)2, у = х— 1 чизиклар билан чегараланган
' моддий. пластинка массаси таксимланишининг зичлиги у = у б^лса,
унинг массасини аникланг.
97
Ж-’ масса бирл.
/- му ставил иш
1. Куйидаги икки улчовли интегралларни хисобланг:
а) \\ (cos2x-\-s>iny)dxdy, бу ерда D соха х = 0, у=0
ТУ
4х-)-4у — л = 0, у = 0 чизиклар билан чегараланган;
б)
ерда D соха ху=\,у=^ у/х,х = 2
чизикла
билан чегараланган.
в) '^sin(x + z/) dxdy, бу ерда D соха х = 0, У=у, У = х ,чи
в
зиклар билан чегараланган.
г) [(xdxdy, бу ерда D соха—учлари Л (2, 3), В(2, 7), С(4, 5) нук-
D
таларда булган учбурчак.
Ж: а) ± (л+1-2д/2); б) (2ln2— 1); в) 1; г) 26.
2. Интеграллаш тартибини узгартиринг:
2 2-х I Vl-x2
а) dx $ f(x, y)dy; б) ^dx f(x,y)dy;
-6 Z_, 0 l-x2
4 2
i i+V i
в) \dy \ f(x,y)dx;
0 2-y
-1 V2-X2 0 x2
r) j dx $ f(x,y)dy+ $ dx ^f(x, y)dy;
-y/2 0 -10
1 fy V2 V 2-/
д) yiy p(x, y)dx+ j dy j f(x,y)dx.
0 0 10
3. у—2 — х, y2=4x + 4 чизиклар билан чегараланган юзни
хисобланг.
Ж: кв. бирл.
О
4. х2+у2=1, 2=0, х+у + г = 4 сиртлар билан чегараланган
жисм хажмини хисобланг.
Ж: 4л куб. бирл.
2- §. Декарт координаталарида уч улчовли
интегралларни хисоблаш
10.2.1 . f(x, у, z) =f(P) функция о сирт билан чегараланган ёпик
фазовий й сохада аникланган ва узлуксиз булсин; Диь Ди2, ••• ,
Дип —й сохани п та булакларга булиш натижасида хосил булган
сохаларнинг хажмлари булсин, хар кайси Др, сохачада ихтиёрий
Pi(xi, yt, Zi) нуктани танлаймиз ва функциянинг Р, нуктадаги
кийматини хисоблаб, ушбу купайтмани тузамиз:
f(Pt) -!^Vi=f{Xi, у,, г.) -Др,-.
Куйидаги
2 /(Р)Др,- ёки 2 f(Xi, у, zi)^vi
t=i i=i
йигинди f(x, у, z) =f(P) функция учун й соха буйича интеграл йи-
тинди дейилади.
fix, у, z)=f(P) функциянинг Й coxa буйича уч Улчовли
интеграла деб интеграл йигиндининг элементар сохалар диаметрла-
рининг энг каттаси нолга интилади деган шартдаги лимитига
айтилади:
Щж У’
п
lim 2 f(x;, у,, zf)Avz.
maxdiamAu<->0 z-_j
Декарт координаталарида уч улчовли интеграл $/(х, у, z)dxdydz
а
куринишда ёзилади.
10.2.2 . Уч улчовли интегрални хисоблаш учта аник интегрални
ёки битта икки улчовли ва битта аник интегрални кетма-кет
хисоблашга келтирилади.
Агар й соха, ушбу
a^xs^b,
УМ ^У^У2 (х),
ztlx,y)^z^z2 (х, у)
тенгсизликлар системаси билан аникланган булса (51-шакл),
у холда уч улчовли интеграл куйидаги формула буйича хисобла-
нади:
W\f (х, у, z)dxdydz= ^dx j dy j f(x,y,z)dz.
О “ У, (x) грх.у)
ёки
*2 (X. у)
(x, y, zjdxdydz = ^dxdy f(x,y,z)dx.
а О г, (x. у)
Ми сол. Ушбу y^zdxdydz интегрални хисобланг, бу ерда
а
й coxa x + y + z=\, z = 0, у — 0, х = 0 текисликлар билан
чегараланган.
Ечиш. Интеграллаш сохаси й ни чизамиз (52- шакл). Бу соха
ушбу тенгсизликлар системаси оркали аникланади:
ОС 1,
1 -х,
ОС zC 1 — х—у.
।
51- шакл
Берилган уч улчовли
Хисобланади:
интеграл куйидагича
dx
j (1 — х~y)2dy =
о
-х-у)3
3
d-х)4
4
2- дарсхона Toniuu.pu.Fu
1. Уч каррали интегралларни хисобланг:
1 X ху
1. \dx ^dy j x3y3zdz.
ООО
Ж: Tip'
е— 1 е—х— 1 х+у + е
2. ( dx ( dy ( , ^-х-у)
J J J (х-е) (%+</ —е)
0 0 е
3.
Q
— уч Улчовли
t-x-y
dx =
24'
интегрални хисобланг. Бу ерда
Q coxa z=xy гиперболик параболоид хамда х-}-у=[ ва
г = 0(г^0) текисликлар. билан чегараланган.
4. $ycos (z+x) dxdydz уч улчовли интегрални хисобланг. Бу
я
ерда Й соха у= у/х цилиндр ва у = 0, z=0 хамда x+z=-y тег
кисликлар билан чегараланган.
Ж:
16 2
Уч
2- му ставил иш
каррали интегралларни хисобланг:
3 2х у/ху
1.
Ж:
2.
й соха
Ж:
3.
ООО
81
4 ’
^ycyzdxdydz— уч улчовли интегрални хисобланг. Бу ерда
а
у=х2, х=у2, z = xy ва 2 = 0 сиртлар билан чегараланган.
1
96'
У^(2х у) dxdydz— уч улчовли интегрални хисобланг. Бу ерда
я
Й coxa у=х, х=1, z=l, ва z=l+x2+y2 сиртлар билан чегара-
ланган.
ж- 41
Ж’ 60'
3- §. Икки улчовли интегралда узгарувчиларни
алмаштириш
10.3.1. Икки каррали интеграл
Щх, у} dxdy
да узгарувчи-
D
ларни алмаштириш куйидаги
х —х (и, v), у=у (и, и)
муносабатлар ёрдамида амалга оширилади. Бу ерда х (и, v) ва у (и,
и) D сохада узлуксиз биринчи тартибли хусусий хосилаларга эга
функциялар. Юкоридаги муносабатлардан и ва v узгарувчиларни
ягона усул билан
и = и (х, у), v = v (х, у)
куринишда топиш мумкин булсин. У холда Оху координаталар
текислигидаги D соханинг хар бир Р(х, у) нуктасига янги O\uv тугри
бурчакли координаталар системасидаги бирор Р(и,_у) нукта мос
келади. Х,амма Р(и, и) нукталар туплами бирор ёпик D сохани хосил
килади.
Агар Якобиан,
дх дх
ди dv
+ 0
dy dy
. . - * ~‘
ди dv
булса, у холда икки улчовли интеграл учун ушбу узгарувчиларни
алмаштириш формуласи уринлидир:
(х,у) dxdy=\\f (х(и, v).y (и, v))\I\dudv.
I) —
D
1-ми сол. Ушбу икки улчовли интегрални узгарувчиларни
алмаштириш усулидан фойдаланиб хисобланг:
{x+y)dxdy,
бу ерда D‘.y = x— 1, у — х + 2, у=—х — 2 ва у=—х + 3 чизиклар
билан чегараланган соха.
Е ч и ш. Оху текисликдаги D .сохани чизамиз (53- шакл) ва
и = у — X,
V = y + x
янги узгарувчилар киритамиз. У холда Оху текисликнинг
у = х— 1 ва у = х + ‘2 тугри чизикларига Otuv текисликнинг мос
холда и— — 1 ва м = 2 тугри чизиклари, у=—х — 2 ва
у=— х + 3 тугри чизикларига эса v=—2 ва v = 3 т^гри чизиклар
мос келади. D соха аксланадиган янги D сохани чизамиз (54- шакл).
х ва у узгарувчиларни и ва v лар оркали ифодалаб,
х= 1 (v~u)’
У — (у + «)
Якобианни хисоблаймиз:
*
/ =
дх дх I
ди dv
dv
ду
ди
<9,
2
£
2
2
_1_
2
2
яъни
54- шакл
Интеграллаш сохаси D куйидаги
оркали аникланади:
тенгсизликлар
системаси
Демак,
2 3
(( (х + y)dxdy— ~vdudv = у $ du $ vdv =
О - - I -2
D
2 2
1 f ( * 2 13 \ j 1 C л, j 5 12 15
= \ }du=— \ (9 — A)du=~u\ —
2 J \2 I -2/ 4 J ' ' 4'—i 4
l -1
10.3.2. Маълумки, тугри бурчакли x, у ва кутб г, (( координата-
лар узаро
{х = rcostp,
.у = rsintp
муносабатлар билан богланган. Бу ерда г^О, 0<ф^ 2л.
Икки улчовли интегралда тугри бурчакли координаталардал
кутб координаталарга утиш куйидаги формула оркали а мал га
оширилади:
^•(х. y)dxdy= ^/(rcosip, rsintp) rdrdq.
1/ —
I)
Интеграллаш чегаралари О кутбнинг вазиятига боглик булади.
а) Агар О кутб ф = а ва-ф = fi(ct<P) нурлар хамда г — Г\ (ф) ва
г—Г‘> (ф) (г, (ф) <Zr-2 (ф)> чизиклар билан чегараланган D-coxa ташка-
рисида ётса, икки улчовли интеграл куйидаги формула билан
Хнсобланади:
р 'Нч’)
^f(x, y)dxdy= ^dtp f(rcostp, rsintp)rdr.
D “ rl (<p)
б) Агар О кутб D coxa ичида жойлашган булса ва бу соха
чегараси кутб координаталар системасида г = г(ф) куринишга эга
булса, у холда икки улчовли интеграл ушбу формула буйича
хнсобланади:
Г Г 2r r(Cf)
\\/ (х, y)dxdy — \ dtp \ ^(гсоэф, rsincp) rdr.
D 0 0
в) Агар О кутб <р = а ва <р = Р(а<Р) нурлар билан чегараланган
D соха чегарасида ётса, шу билан бирга, чегаранинг кутб
координаталар системасида тенгламаси г = г(<р) куринишда бу'лса,
икки улчовли интеграл ушбу формула буйича хнсобланади:
yjdxdy— J /(rcos<p,rsin<p)rdr.
D а 0
2- м и с ол. Ушбу икки улчовли интегрални хисобланг:
х2+у2 dxd у,
D
бу ерда D соха x2 + y2Cfl2 доиранинг биринчи чораги.
Ечиш. Агар интеграллаш сохаси D дойра ёки унинг булаги
булса, куп интеграллар кутб координаталарида осон хнсобланади.
Бизнинг холда О кутб D соха чегарасида жойлашган(б) хол). D соха
Кутб координаталар системасида ушбу тенгсизликлар системаси
оркали аникланади (55-шакл):
0«р<|,
0< гСа
Демак,
$ \jx2+y2dxdy= jj^/r2cos2cp + r2sin2(prt/rd(p= r2drdtp =
Л Л
2 a 2 л/2 з n з
= Jd<pjr2dr= $(-2.гз|оа)йф=-Ц a3flf(p=^(p |T=^_
3-мисол. Ушбу интегрални хисобланг:
jjln(x2+y2) dxdy.
бу ерда D coxa x2 + y2 = e2 ва x2 + y2 = e4 доиралар орасидаги
халкадан иборат.
Ечиш. D сохани чизамиз (56-шакл). Кутб координаталарида
D соха чегараси г=е ва г = е2 куринишга эга. О кутб чегарадан
ташкарида ётади (а) хол).
Интегралда кутб координаталарига утамиз:
2л ?
{{\n(x2 + y2)dxdy= №lnr2-rdrd<p = 2^rlnrdrd<p = 2 j dtp $\nrdr.
D D 0 e
Ички интегрални хисоблаймиз:
u = lnr; du=— dr
jrlnrdr=' r
e dv = rdr\ &=-£ r2
1 21 P
= 2lnr -
Z ’ e
jy/,2‘7^r=y (fi4'ne2—e2lne) —^rdr =
(2e4-.2) -4r21 f=4 (2e4-e2) -
-A =^,‘-^=4 <3e’-1 ’'
Шундай килиб,
Г 2 1
{{\n(x2+y2)dxdy — 2 \^(3e2—\)dtp=~2-e2(Зе2— 1)
о о
=-^-e2(3e2— l)cp |2л= ле2 (Зе2— 1).
3- дарсхона топшириги
Куйидаги икки улчовли интегралларни кутб координаталар
системасига утиб, хисобланг:
а)
dxdy, бу ерда D соха х2-\-у2
дойра;
б) Н—^dy—, бу ерда D соха у= д/1 —х2 ва у = 0 чизиклар
JJ ^+^ + 1
билан чегараланган;
в)
$ (x2-\-y2)dxdy, бу ерда D соха х2-\-у2=2ах чизик билан
D
чегараланган;
г) ff sm^JL^—dxdy, бу ерда D соха х2+у2=-^-ва х2-|-у2=л2
# V^+j/2
чизиклар билан чегараланган.
Ж: а) 2л3; б) ул1п2; в) у ла4; г) Зл-
2. Икки улчовли интегрални хисобланг:
J] (x-^-y)xdxdy, бу ерда D соха 2х-|-у=1, х—у—2, 2х-\-у=3,
D
х — у= — 1 тугри чизиклар билан чегараланган.
Ж: 2,5.
3. r = asin2<p, a>0 чизик билан чегараланган шакл юзини
хисобланг.
Ж: ла2/2 кв. бирл.
3- му ставил иш
1. Куйидаги интегралларни кутб координаталарига утиб
хисобланг:
а) $д/г2+у2dxdy, бу ерда D соха х2+у2 —а2 ва х2-|-у2=4a2 чи-
D
зиклар билан чегараланган;
б) $ arctgydxdy, бу ерда D сока х2+у2=1, x2+f/2 = 9,
о
1
<3
У
х, у— чизиклар билан чегараланган халканинг бир
кисми.
Ж: а) Д*-ла3; б) |л2
О о
2. Агар D сока х-\-у—1, х—у—1, х+у—3, х—у= — 1 тугри
чизиклар билан чегараланган квадрат булса,
й<х+у)3 U—У)2dxdy
D
интегрални хисобланг.
Ж:^>.
ll-боб
ЭГРИ ЧИЗИКЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ВА
СИРТ ИНТЕГРАЛЛАРИ
1-§. Биринчи ва иккинчи тур эгри чизикли интеграллар
11.1.1. f(x, y)=f(P) функция АВ ясен силлик эгри чизикнинг
барча нукталарида аникланган ва узлуксиз булсин; бу ёйни
узунликлари A/i, Д/2, .... Д/п булган п та элементар ёйчаларга
буламиз. Х.ар кайси f-булакда ихтиёрий Pi (х/, yi) нуктани танлаб
олиб, функциянинг Pi нуктадаги кийматини мос элементар ёйча
узунлигига купайтирамиз. Бу купайтмаларнинг ушбу
2 ИЛ) АС ёки 2/(х,^)Д/,.
1=1 i = 1
куринишидаги йигиндиси f(x, у) =f(P) функция учун АВ ёй буйича
интеграл йигинди дейилади.
Бу интеграл йигиндининг элементар ёйчалар узунликларининг
энг каттаси нолга интилгандаги лимити биринчи тур эгри чизикрш
интеграл ёки ёй узунлиги буйича эгри чизикли интеграл дейилади:
\f(x,y)dl= lim 2 f(x,, y)Mi
J тахД^-Н) г-__ j
AB
ёки
\f(P)dl= lim
J тахД/г->0i
AB
Агар AB эгри чизик фазода берилган булиб, бу эгри чизик
б^йлаб узлуксиз/(х, у, z) =f(P) функция берилган булса, у холда:
\f(x,y,z)dl= lim 2 f(xz, zJA/,.
J тахЛ/£-.01=|
AB
ёки
tf(P}dl= lim 2 ИЛШ-
J тахд/г—>0 i= j
AB
Биринчи тур эгри чизикли интеграл АВ ёй кайси йуналишда ути-
лишига боглик эмас, яъни
$7(P)dZ = \f(P)dl.
АВ ВА
11.1.2. Биринчи тур эгри чизикли интегрални хисоблаш аник
интегрални хисоблашга келтирилади:
а) Агар ясси АВ эгри чизик
x = x(t), y = y(t),
параметрик тенгламалар билан берилган б^лса, эгри чизикли
интеграл ушбу формула буйича хисобланади:
Г F г.-----
J f(x, y)dl = yf(x(t), y(t)) -\Jx2+y2dt.
ч» a
AB
AB эгри чизик фазода x=x(/), y=y(t), z — z(t)
тенгламалар билан аникланган булса, у холда
J f(x, у, z)dl= y(x(t),y(t),z(t)) -\/x2A-y2+z2dt.
о а
АВ
б) Агар АВ ясси эгри чизику = //(х) (а^х^Ь) тенглама билан
берилган булса, эгри чизикли интеграл куйидаги формула буйича
хисобланади:
ь ______
$ f(x,y)dl— y/l+y'2dx.
о а
АВ
в) Агар АВ ясси эгри чизик х=х(у) (cs^y^d) тенглама
билан берилган булса, эгри чизикли интеграл
d ______
$ f(x, y)dl= j/(x(y), i/) д/1 +x'2dy
О с
АВ
формула буйича хисобланади.
1-мисол. Ушбу эгри чизикли интегрални хисобланг:
$ (x-y)dl,
L
бу ерда L — тугри чизикнинг А (0, 0) дан В (4, 3) гача булаги.
Ечи ш. АВ турри чизик у=^-х куринишга эга. у' =-5- ни то-
памиз. Демак,
4 _____4
](* — y)dl= ^(х—5-х) д/1+ -9--dx = j-jx--|dx =
L О О
_ A _Lr214__5
16 ' 2 1о"~ 2
2- м и с ол. j (2z — д/х2+у2)(Д интегрални хисобланг, бу ерда
L
L:x = lcost, y = /sin/, z = t, 0^/^ 2л винт чизирининг биринчи
урами.
Ечиш. Х,осилаларни хисоблаймиз: x = cos/ — /sin/,
у = sin/+/cos/, z=l. У холда
_______2л _____________
(2z— д/х2+у2)<Д = (2/ — "\//^cos2/ + /2sin2/) X
L 0
_______________________________ 2л _____
X V(cos/ —/sin/) 2+ (sin/4-/cos/)2+ 1 dt= j (2/ — /) y/2 + t2dt =
о
= J /72 + /2d/ = ^-.|V(2 + /2)3
0
=1 (7(2 + 4л2)3-V23) = -^-(V(l+2n2)3-!).
11 .1.3. P(x, у) ва Q(x, у) функциялар бирор ясси силлик
АВ эгри чизикнинг барча нукталарида аникланган ва узлуксиз
булсин; Дхь Дх2, ... , Дхп ва Ду|, Ду2, ... , Дуп элементар ёйчаларнинг
(11.1.1. банд) Ох ва Оу укларга проекциялари булсин.
Ушбу
S [P(xd y1)Ax,+ Q(xi, у,)\у]
/=|
йигинди Р(х, у) ва Q(x, у) функциялар учун координаталар буйича
интеграл йигинди дейилади.
Бу интеграл йириндининг тахДх,—>-0 ва тахДу,->0 даги лимити
АВ ёй йуналиши буйича иккинчи тур эгри чизикли интеграл ёки
координаталар буйича эгри чизикли интеграл дейилади:
\ Р(х, y)dx + Q(x, y)dy= lim 2 P(xt, у,) Дх(+Q(x,, у,)Ду,.
тахДх,.-►0 . ।
/1=1
АН тахДу^!)
Иккинчи тур эгри чизикли интеграл интеграллаш йулининг
йуналишига боглик, яъни
$ Р(х, y)dx+Q(x, y)dy= — Р(х, y)dx + Q(x, y)dy.
ВА АВ
Агар интеграллаш йули ёпик эгри чизикдан иборат булса, у холда
ёпик контур буйича эгри чизикли интеграл айланиб Утиш
йуналишини курсатиб
фр(х, y)dx + Q(x, y)dy
каби белгиланади.
Агар ёпик контурни айланиб утиш соат мили харакатига
карама-карши булса, у мусбат дейилади (бунда контур билан
чегараланган соха чап томонда колади). Бунга тескари айланиб
утиш манфий дейилади. Келгусида, агар таъкидлаб утилмаган
булса, контурни айланиб утиш йуналишини мусбат деб олаверамиз.
11. 1.4. Иккинчи тур интегрални хисоблаш хам аник интегрални
хисоблашга келтирилади:
а) Агар ясси АВ эгри чизик х=х (/), у —у (/) параметрик
тенгламалар билан берилган булиб, t параметр йулнинг бошланиши
А га мос t А кийматдан, йул охири В га мос кийматгача узгарса,
иккинчи тур эгри чизикли интеграл ушбу формула буйича
хисобланади: t
j Р(х, у) dx + Q(x, y)dy = J[P(x(/), y(t) }x(t) +
дв
+ Q(x(Z), y(t))y(t)]dt-
AB эгри чизик фазода х=х(/), y=y(t}, z=z(t) параметрик
тенгламалар билан берилган булса, у холда
Р(х, у, z)dx+Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz =
АВ
= \[P(x(t),y (/) z(t))i(t)+Q(x (t),y(t),Z(t))y(t) +
‘а
+ R(x(t), у(t), z(t))z(t)]dt.
б) Агар ясси AB эгри чизик y = y(x) тенглама билан берилган
булиб, х узгарувчи йУл бошланиши А га мос а кийматдан йул охири
В га мос b кийматгача узгарса, эгри чизикли интеграл куйидаги
формула буйича хисобланади:
j Р (х, у) dx+ Q (х, у) dy= \[P (х, у (х)) + Q (х, у (х)) у' (х) ]dx.
а
АВ
Vh
в) Агар ясси АВ эгри чизик х=х(у) тенглама билан берилган
б^либ, у узгарувчи йул бошланиши А га мос с кийматдан йул охири
В га мос d кийматгача узгарса, эгри чизикли интеграл куйидаги
формула буйича хнсобланади:
d
$ Р(х, y)dx+Q(x, y)dy= ^[Р(х(у), у)х'(у)+Q(x:(y), y)]dy.
АВ С
3-ми сол. Ушбу эгри чизикли интегрални хисобланг:
^y2dx-\-x2dy,
L
бу ерда L контур x = acost, y = bsint эллипснинг соат мили харакати
буйича айланиб утиладиган юкори ярми (57-шакл).
Ечиш. Йулнинг бошланиши параметрнинг t д = п кийматига
мос А нуктада жойлашган; йул охири параметрнинг t в=0 киймати-
га мос В нуктада жойлашган. Шундай килиб, куйидагига эгамиз:
о
^y2dx-j-x2dy= j y2dx-\-x2dy= $[62sin2/( — asin/) +
L о л
AB
0 0
a2cos2/• ftcos/]t// = —ab2 ^sin3/d/ + a2b \cos3tdt =
— ab2 $sin3/d/ — a2b $cos3/d/ = — ab2 (1 — cos2/) d (cos/) —
0 0 0
Л
— a2b (1 — sin2/) d(sin/) = —aft2(cos/—^cos3/) |
о
— a2ft(sin/—^-sin3/) |"=— ab2(— 11 +
o ' 0 «j
57- шакл
58- шакл
4-мисол. Ушбу эгри чизикли интегрални хисобланг:
ф 2xdy — 3ydx ,
L
бу ерда L — учлари Л(1, 2), В (3, 1), С (2, 5) нукталарда булган
учбурчак контури (58-шакл).
Ечиш. Контур ушбу тенгламалар билан берилган кесмалардан
тузилган:
1 5
ц=-----хЧ------АВ нинг тенгламаси;
J 2 2
у=— 4х+13 — ВС нинг тенгламаси;
у = 3х— 1 — АС нинг тенгламаси.
Куйидагига эгамиз:
ф (2xdy — 3ydx) = 2xdy — 3ydx +
АВ
+ J 2xdy — 3ydx-\- y2xdy — 3ydx.
ВС СА
Х,ар кайси интегрални хисоблаймиз:
з
j 2xdy — 3ydx= j(2x(—у)— з(—^х + 4))^х =
AB 1
3 3
= J(-—4)dx=4 Vх—i5)dx=4^—15)211=
1 1
= -^-(122— 142) =y-26- (-2) = -13 ;
2
(2xdy — 3ydx) = (2x( — 4)—3'( —4x+13))dx —
вс з
2 2
= ( — 8x+ 12x — 39)dx = (4x — 39)dx = (2x2 — 39x) l|=
3 3
= (8-78-18+H7)=29;
$ (2xdy — 3ydx) = (2x-3 — 3(3x— l)d,v= (6x — 9% + 3)dx =
CA 2 2 . ,
1
= 3 J (1 -X)dx = 3(x+j-x2) |^з(1 +4-2-2)= —4-
2
Шундай килиб,
ф (2xdy — 3ydx)
L
1- дарсхона топшириги
I. d- интегрални хисобланг, бу ерда L контур у—х — 2
J х у £
L
тугри чизикнинг Л (0, —2) ва В(4, 0) нукталар орасидаги кесмаси.
Ж: д/51п2.
2. $y2d/ интегрални хисобланг, бу ерда L контур x — a(t — sin/),
I
у = а(\ —cos/) (а>0) циклоиданинг биринчи арки. Ж: ^-ал.
3. ^xydl интегрални хисобланг, бу ерда L — учлари Л(0, 0),
L
S(4, 0), С(4, 2), £>(0, 2) нукталарда булган тугри тУртбурчак кон-
тури. Ж: 24.
4. ^xyzdl интегрални хисобланг, бу ерда L контур тугри
L
чизикнинг Л (1, 0, 1) ва В (2, 2, 3) нукталар орасидаги кесмаси.
Ж-' 12.
5. $ (х2— 2xy)dx+ (2xy+y2)dy интегрални хисобланг, бу ерда
L контур у — х2 параболанинг Л (1,. 1) нуктадан В (2, 4) нуктагача
ёйи. Ж: 40
о и
6. ^ydx — xdy интегрални хисобланг, бу ерда L контур мусбат
t
йуналишда айланиб утиладиган x=acos/, y = /»sin/ эллипс.
Ж'- — 2паЬ.
7. Агар L Л(0, 0) ва В(1, 1) нукталарни туташтирувчи чизик:
а).у = х; б) у = х2; в) у2=х; г) у—'х3
тенгламалар билан берилган булса,
^xydx+ (у — x)dy интегрални хисобланг.
L
а> г) -4-
8. ^xdx-{-ydy-j-(x + y—l)dz интегрални хисобланг, бу ерда
L Л(1, 1, 1) ва В(2, 3, 4)нукталарни туташтирувчи тугри чизик
кесмаси. Ж: 13.
/- мустсищл или
Эгри чизикли интегралларни хисобланг:
1. ^xdl, бу ерда L 0(0, 0) ва Л (1, 2) нукталарни туташтирувчи
L
тугри чизик кесмаси. Ж:
2. ^x2ydl, бу ерда L х2 + у2 — 9 айлананинг биринчи квадрантда
I
ётувчи кисми. Ж 27.
3. ( ——, бу ерда L у — х + 2 тугри чизикнинг Л (2, 3) ва
J Х'4”у
L
В (3, 5) нукталарини туташтирувчи кесмаси.
Ж:
4. $ (x + y)dx+ (х — y)dy, бу ерда L У=х2 параболанинг
I.
Л (—1, 1) ва В (1, 1) нукталар орасидаги булаги.
Ж: 2.
5. $ (x_y)2dx_|_ (x-\-y)2dy, бу ерда L ОАВ синик чизик булиб,
L
0(0. 0), А(2, 0), В (4, 2). Ж: •
6. <^)ydx + 2xdy, бу ерда L томонлари 2х+3у=±6,
L
2х — Зу==±6 тугри чизикларда ётувчи, соат мили харакатига
тескари йуналишда айланиб утиладиган ромб контури. Ж: 12.
2- §. Биринчи ва иккинчи тур эгри
чизикли интегралларнинг татбики
11.2.1 . Биринчи тур эгри чизикли интеграллар ёрдамида эгри
чизик ёйининг узунлигини, моддий ёй массасини, цилиндрик сирт
юзини хисоблаш мумкин.
а) $ dl = lAR, бу ерда 1АВ АВ ёй узунлиги (биринчи тур эгри
АВ
чизикли интегралнинг геометрик маъноси);
б) j f(x, у, z}dl=m, бу ерда т — моддий АВ ёй массаси, f(x.
ли
у, z) — у — бу ёйнинг чизикли зичлиги (эгри чизикли интеграл-
нинг механик маъноси);
в) j f(x, y)dl = S, бу ерда S— ясовчилари Oz укка параллел ва
АВ
АВ ёй нукталари.tan угувчи, пастдан бу ёй билан, юкоридан
цилиндрик сиртнинг z — f(x, у) (f(x, у) >0) сирт билан кесишиш
чизиги билан, ён томонлардан эса А ва В нукталардан Oz
укка параллел утган чизиклар билан чегараланган цилиндрик
сиртнинг юзи (59-шакл).
1-мисол. х2 + у2 = 4 цилиндрик сиртнинг Оху текислик ва
х2
z = 2+— сирт орасидаги кисмининг юзини хисобланг.
Ечиш. Шаклни чизамиз (60- шакл).
59- шакл
Цилиндрик сиртнинг изланаётган юзи S ушбу интеграл билан
ифодаланади:
s=S(2+4)‘".
L
бу ерда L Оху текисликдаги айлана: х2 + у2=4, z = 0 ёки пара-
метрик шаклда: x==2cos/, y = 2sint 0</<2л.
У холда dl= y[x2+y2dt= д/ (1 —2sin/)2+(2cosi)2dt =2dt
Демак,
j (2+y ' 4cos2/)2dtt = 4 (1 + cos20d/ =
0 0
=4 J (i +4+4-cos20d/==4(4/+4sin2/) 102л =
0
= 6-2л = 12л кв. бирл.
11.2.2 . Иккинчи тур эгри чизикли интеграллар ёрдамида
шаклнинг юзини,куч ишини, функцияни унинг маълум тулик
дифференциали буйича топиш мумкин.
a) $ P(x, y)dx-\~Q(x, y)dy—A, бу ерда A F = P(x, y)T+Q(Xi
AB
y)J куч бажарган иш, бу куч таъсирида жисм АВ йул буйича
к^чади (иккинчи тур эгри чизикли интегралнинг механик маъноси).
б) -у <^(xdy — ydx) = S, бу ерда S — ёпик L контур билан
чегараланган фигура юзи.
2-ми сол. x = acost, y = bsmt, 2л эллипс билан чегара-
ланган шакл юзини хисобланг.
Ечиш.5=-у §(xdy — ydx) формуладан фойдаланамиз.
L
dx— —asintdt, dy = bc.ostdt.
2л 1 2с
Демак, S =4- (acost - bcost — ftsin/(— asinO)^=v \ab(cos2t +
2 j & J
0 0
2л
+ sin2/)a^=-y- ^dt = nab кв. бирл.
о
11.2.3. Arap L D соханинг чегараси булса ва Р(х, у), Q(x, у)
функциялар ёпик D сохада узларининг хусусий хосилалари билан
биргаликда узлуксиз булсалар, у холда ушбу Грин формуласи
Уринлидир:
ф Р(х, y)dx + Q(x,y)dy=\{(^-—^jdxdy,
L D
бу ерда L контурни айланиб чикиш шундай танланадики, D соха чап
томонда колади (мусбат йуналиш).
Агар бирор D сохада Грин формуласи шартлари бажарилса,
куйидаги тасдиклар тенг кучлидир:
a) <§)Pdx+Qdy = 0, бунда I D сохада жойлашган исталган
i
ёпик контур.
б) $ Pdx+Qdy интеграл А ва В нукталарни туташтирувчи
АВ
интеграллаш йулига боглик эмас, бу ерда АВ D сохага тегишли.
в) Pdx+Qdy = du)x, у), бу ерда du(x, у) и(х, у) функциянинг
тулик дифференциали.
г) D соханинг хамма нукталарида .
Агар du(x, у) = Р(х, y)dx + Q{x, y)dy булса, и(х, у) функция
u(x, у)= ^Р(х, y)dx+ jQ(x„, y)dy + C
1. «о
ёки
и(х,у) — j Р(х, y«)dx+ ^Q(x, y)dy+C
формула ёрдамида аникланади, бу ерда Мо(хо, уо) ва Л/(х, у)
нукталар D сохага тегишли, С — ихтиёрий узгармас.
3-мисол. Грин формуласидан фойдаланиб, фу ( 1 — х2) dx +
L
+ (* -fy'^dy интегрални хисобланг, бу ерда L контур
х + у =4 айланадан иборат булиб, у мусбат йуналишда айланиб
утилади.
Ечиш. Грин формуласи буйича икки улчовли интегралга
утамиз:
фу(1 — x2)dx+ (\+y2)dy= №(1 +у~— 1 +x2)dxdy =
I- О
= §(x2+ у2) dxdy ,
D
бу ерда D coxa x2 + y2< 4 тенгсизлик билан аникланадиган дойра.
Интегрални хисоблаш учун кутб координаталарига утамиз:
^j(*2+y2)dxdy = $(r2cos-’(p + f2sin2ip) rdrdq =
О D’
= ^3drd{f>= ^dy ^dr— $ J-(r‘t|2)o!(p =
О' оо о
= Y j * 6</<P = 8л .
о
4- м и с о л. Ушбу
дифференциал ифода бирор функциянинг тулик дифференциали
эканини курсатинг ва бу функцияни топинг.
Ечиш. Куйидагиларга эгамиз:
Р(х,у)=4+-1; Q(x,y)=2_-<-;
х у У у“
—=------!_=Д$, бинобарин, берилган ифода хакикатан хам би-
ду у2 дх
pop и{х, у) функциянинг тулик дифференциалидир.
Демак, Мо(хо, уо) деб Мо(1, 1) ни олиб, куйидагини топамиз:
х ?•
U(x,y)= \^-_±уу =
= (ln|x| +у) | (+ (2 lny + у) |"=1п|х| +-- .-+
+ 21п|у|+4-1+С = 1п|х1+21п|у|+^ + С.
У У
2- дарсхона топшириги
1. x = cosf, y = sin/ айлана ёйининг массасини аникланг. Унинг
(х, у) нуктадаги чизикли зичлиги у га тенг. Ж: 2 масса бирл.
2. R радиусли доиравий цилиндр билан худди шундай цилиндр
тугри бурчак остида (уклари тугри бурчак остида) кесишади.
Кесимда хосил булган сирт юзини хисобланг. Ж: 8/?2 кв. бирл.
3. a) x = acos% y = asin3/ астроида билан;
б) x=a(t — sin/), у = а(1 — cost) циклоиданинг биринчи аркаси
ва Ох уки билан чегараланган шакл юзини хисобланг.
Ж: а) Зла2 кв. бирл.; б) Зла2 кв. бирл.
4. Тулик дифференциали буйича а(х, у) функцияни топинг:
a) du — (2х —3xy2 + 2y)dx-(- (2х —3x2y + 2y)dy;
/ г \
б) du — (arcsinx—х lny)dx— ^arcsiny + — J dy.
5. F— (x2 + y2+ 1 )i+ 2ху7кучнинг у = x2 параболанинг A (0, 0) ва
B(l, 1) нукталар орасидаги ёйи буйича бажарган ишини хисобланг.
mz 196 А
Ж: иш. бирл.
6. Грин формуласидан фойдаланиб, ф2(х2+у2)о!х+(х+у)2с/у
L
интегрални хисобланг, бу ерда L учлари А (1, 1), В (2, 2), С (1, 3)
булган учбурчак контури. Натижани бевосита интеграллаш би-
лан текширинг. Ж: — у
2- муста^ил иш
1. х2 + у2 = /?2 цилиндрик сиртпинг Оху текислик ва z = ~-
сирт орасига жойлашган кисмининг юзини хисобланг. Ж: R2 кв.
бирл.
2. у — х2 ва у— у]х чизиклар билан чегараланган соханинг
юзини хисобланг. Ж: кв. бирл.
О
3. Берилган тулик дифференциали
du== (x+2y)dx+ydy
(х+у)2
буйича и(х, у) функцияни топинг.
4. F=2xyl-\-x2J кучнинг А (О, 0) ва В(2, 1) нукталарни туташ-
тирувчи йулда бажарган ишини хисобланг. Ж: 4 иш бирл.
5. Грин формуласидан фойдаланиб, фу2</х + (x+y)2dx инте-
тегрални хисобланг, бу ерда А — учлари А(3, 0), В(3, 3), С(0, 3)
нукталарда булган учбурчак контури. Ж: 18.
3- §. Сирт интеграллари
11.3.1 . о — бирорта силлик сирт ва /(х, у, z)=f(M) функция о
сиртда узлуксиз булсин; Дсп, Д02, ..., Доп лар о сиртнинг элементар
сиртларга булиниши булиб, уларнинг юзларини хам шу символлар
билан белгилайлик; хар кайси элементар сиртда ихтиёрий Mi(Xi, yt,
zi) нукта танлаймиз ва ушбу 2 f(x„ z() До, интеграл йигиндини
i=i
тузамиз.
Элементар сиртларнинг диаметрининг энг каттаси нолга
интилганда интеграл йигинди интиладиган лимит биринчи тур сирт
интеграли (ёки сирт юзи буйича интеграл) дейилади:
\\f(x,y,z)do = lim 2 f(xit yit zl)\al
JaJ maxdiamia,—0 1=w ।
ёки
((/(Af)do = lim 2 f(x„ yh
J J maxdiamAa-^O ;_i
a i 1— 1
Сирт интегралининг киймати о сиртнинг кайси томони танлани-
шига боглик эмас.
Аник интегралнинг барча хоссалари биринчи тур сирт интеграл-
лари учун уринлидир. Агар о сиртнинг Оху текисликка проекцияси
оху бир кийматли булса, яъни Oz укка параллел хар кандай тугри
чизик о сиртни факат битта нуктада кесса, мос биринчи тур сирт
интегрални хисоблашни ушбу формула оркали икки улчовли
интегрални хисоблашга келтириш мумкин:
j^/(x, у, z)da= JJ/(x, у, z(x, у)) у/1+z'2+z'2dxdy ,
°
бу ерда z = z(x, у) — о сиртнинг тенгламаси. Равшанки, ((do = 5,
бу ерда 5 — о сиртнинг юзи, (х, у, z)d<y=M , бу ерда М —
(J
— о сиртнинг массаси, /(х, у, г) =у — о сиртнинг сиртий зичлиги.
1-ми сол. jj(x2 + y2)do интегрални дисобланг, бу ерда о—
x2 + y2 = z2 конус сиртнинг г = 0 ва г = 1 текисликлар орасидаги
Кисми.
Ечиш. Берилган о сирт тенгламасидан унинг каралаётган
кисми учун г= д/х2-j-у2эканини курамиз. Куйидагиларга эгамиз:
, X • у
7' ---7 =------- —
Х W V ^Чу2'
Демак,
\\(x2+y2)do = $(x2+f/2) д/ +^ZJ+~M'dxdy==
JJ JJ у Л -f-y \У
a axy ’
= д/2 ^x2 + y2)dxdy.
°Xy
Икки улчовли интегралнинг интеграллаш содаси оху х2 + у2 < 1
доирадан иборат (конус сиртнинг Оху текисликка проекцияси).
Икки улчовли интегралда кутб координаталарига утамиз:
2л 1
д/2 ^(x2+y2}dxdy= д/2 $r3drd(f>= д/2 ^r3dcp =
л ст 0 0
иху ку
11.3.2. о силлик сиртнинг дар бир нуктасидан п нормал вектори
утказилган томони мусбат, бошка томони (агар у мавжуд б^лса) эса
манфий томон дейилади.
Хусусан, агар о сирт ёпик булса ва Q фазонинг бирор содасини
чегараласа, у долда сиртнинг мусбат ёки тайней томони деб унинг
нормал векторлар Q содадан йуналган томони, манфий ёки ички
томони деб унинг нормал векторлари Q содага йуналган томони
айтилади. Мусбат (ташки) ва манфий (ички) томонлари мавжуд
булган сиртлар икки томонлама сиртлар дейилади. Улар учун
Куйидаги досса уринлидир. Агар п нормал векторнинг асосини
бундай сиртда ётувчи исталган ёпик L контур буйлаб узлуксиз
кучирилса, дастлабки нуктага кайтганда п нинг йуналиши
дастлабки йуналиш билан бир дил булади.
Бир томонлама сиртлар учун п нормал векторнинг бундай
кучиши дастлабки нуктага кайтилганда (— п) векторга олиб келади.
Маълум томони танланган о сирт ориентацияланган дейилади.
11.3.3. о+ — бирор силлик сирт булиб, унда n = {cosa, cos(3, cosy}
йуналиш билан харамерланувчи мусбат томон танланган булсин;
Р(х, у, z), Q (х, у, г), R (х, у, г) узлуксиз функциялар булсин, у холда
мос иккинчи тур сирт интетрали куйидагича ифодаланади:
$ Pdydz-\-Qdzdx-\- Rdxdy= $(Pcosa + Qcosp4-/?cosy)do .
Бу формула биринчи ва иккинчи тур сирт интегралларини узаро
боглайди. Сиртнинг бошка <у~ томонига утилганда бу интеграл
ишорасини карама-каршисига узгартиради. Агар о сирт ? =
= z(x, у) тенглама билан ошкор холда берилган булса, \ холда п
нормалнинг йуналтирувчи косинуслари куйидаги формулалар бу-
йича аникланади:
cosa = —U- . COS0 =—Lr- . -d-, cosy=—L— ,
±1«1 дх н ±|п| ду ' ±|п|
бу ерда |п| = + (~^)2 + (^)2 ва ишора танлаш сирт томони
билан мувофиклашган булиши керак.
Агар о сирт тенгламаси F(x, у, z) =0 ошкормас холда берилган
булса, бу сирт нормали п нинг йуналтирувчи косинуслари куйидаги
формулалар буйича аникланади:
cosa = -^- • cosp = -J- • cosy = -^- •
D дх D ду ' D дг
бу ерда D—± ва илДиз олдидаги ишо-
рани танлаш сирт томони билан мувофиклаштирилиши керак.
Иккинчи тур сирт интеграли, шунингдек, координаталар буйича
сирт интеграли деб хам аталади.
Иккинчи тур сирт интегралини хисоблашни бевосит.а икки
улчовли интегрални хисоблашга келтириш мумкин.
Агар о сирт г = г(х, у) тенгламага эга б^лса, у холда иккинчи тур
сирт интеграли куйидаги формула буйича хисобланади:
у, z) dxdy = ± \\ R (х, у, z (х, у)) dxdy ,
бу ерда оху сирт о нинг Оху текисликка проекцияси.
± ишоралар сиртнинг иккита турли томонларига мос келади;
бунда «+» ишора танланган томонда cosy>0 булганда, «—» эса
cosy<0 булганда олинади.
о сирт у=у (х, г) ёки х = х (у, z) тенгламалар билан берилган
холларда колган интеграллар дам худди юкоридагидек хисобла-
иади:
(х, у, z)dzdx= ± (х, у(х, z), z)dzdx ,
a oIZ
бу ерда Охг — сирт о нинг Oxz текисликка проекцияси, «+» ишора
танланган томоида cosp>0 булганда, «—» ишора эса
cos0<O булганда олинади;
$Р(х, у, z)dydz = ± JJP(x(y, г), у, z)dydz ,
о о^
бу ерда о^ —сирт о нинг Oyz текисликка проекцияси; «+» ишора
танланган томонда cosa>0 булганда, «—* ишора эса
cosa<0 булганда олинади.
2- м и с ол. Ушбу интегрални хисобланг:
♦
/= \\zdxdy + xdxdz + ydydz ,
бу ерда ах y-\-z=\ текисликнинг координата текисликлари
билан кесишишидан хосил булган учбурчак; сиртнинг танланган
томонида нормаль Oz уки билан J/ткир бурчак ташкил этади.
Ечиш. Шаклни _ чизамиз ва
интеграллаш томонини п нормаль ёрда-
мида танлашни курсатамиз (61- шакл).
z=l— х-\-у сирт тенгламасига эга-
миз, -^-= — 1, = 1, cosy > 0, шу-
дх ду
нинг учун
-1
cosa— Vj+-1TT -
= -L; cosp= ^_=== ,
cosY=-b.
Берилган интегрални хисоблаш учун
куйидаги формулани хосил киламиз:
z
61- шакл
1= \\zdxdy+xdxdz+ydydz~ )<'»=
п+ °
=-U№((y—x) +Z)do=-Us (у —*+ (! — x+y)) д/1 4-1 + 1 dxdy=
V 3 JJ V 3 Oxy
= $(2y — 2x+ \)dxdy, бу ерда aXb а сирт (оЛВС) нинг Oxy
&XU
текисликка проекцияси ДАОС). Икки улчовли интегралда чегара-
ларни куйиб чикамиз:
I— jj(2y — 2x4-1 )dxdy = \dx j (2у — 2x-J-\)dy=
% 0 х-1
2
4
(2у-2х+1)2
о 1
dx==T J((l-2x)2-l)dx =
х— I О
/______1_ (1— 2х)3 х\1'_ 1 1 1 _ ]
\ 8 3 4 / I о- 24 4 ' 24 — ‘б’’
3- дасрхона топшириги
L \\^lx2+y2dG интегрални хисобланг, бу ерда о сирт
а
9х24-9у2 = 16г2 конус сиртининг z = 0 ва г = 3 текисликлар
орасидаги кисми. Ж: 1^)л .
2. \\xyzdo интегрални хисобланг, бу ерда о сирт x+y+z= 1 те-
кисликнинг биринчи октантда жойлашган кисми. Ж: ~j^y-
3. z = -\j^ — x2—y2 яримсферанинг массасини хисобланг. Унинг
хар бир нуктасидаги сиртий зичлиги у = х2у2 га тенг деб олинг.
128л ,
Ж: ... масса бирл.
1 э
4. ^yzdxdyA~xzdydz-\-xydxdz интегрални хисобланг, бу ерда
а
о — биринчи октантда жойлашган хамда х2-|-у2 = /?2 цилиндр ва
х = 0, у = 0, z = 0, z = R текисликлардан тузилган сиртнинг ташки
томони. Ж:
5. ^xdydz-A-z^dxdy интегрални хисобланг, бу ерда
а
а— х24-у24-22= 1 сферанинг ташки томони. Ж:
] 5
3- мустак,ил иш
1- jyz4-2x4-yy)do интегрални
а
6x-f-4y 4-3z—12 = 0 текисликнинг
4
кисми. Ж: _ .
у 61
хисобланг, бу ерда о —
биринчи октантда ётувчи
2. $x2y2do интегрални хисобланг, бу ерда о z= д//?2—х2—у2
а
, льг 2nR
яримсфера. Ж: —jg-.
3. §(y+2z)dxdy интегрални хисобланг, бу ерда о — биринчи
октантда жойлашган 6х + 3у + 2г = 6текисликнинг юкориги кисми.
Ж:|.
4. §zdydz+ (Зу — x)dxdz — zdxdy интегрални хисобланг, бу ер-
да о— 2=0, х2 + у2=1, 2 = х2 + у2 + 2 сиртлар билан чегаралан-
ган жисм сиртининг ташки томони. Ж: 5л.
10- назорат иши
1. Интеграллаш тартибини узгартиринг:
1 2 4-? 2 ^ + 2
< 1.1. (dx * J Fj 0 3 J f(x,y)dy. l-2- 4-2? V25-? s dy .0 4 J f(x, y)dx. 3-±? 2
'' 1.3. Jdx 0 > 4 J f(x,y)dy. 1.4. -J* + 4 0 1 J f(x,y)dy. ‘-r
. . 1.5. dy ‘ 0 j f(x, y)dx. L6- 0 J f(x,y)dx. 2</ + l
1.7. J dy 0 4 V25-»2 । 0 J f(x,y)dx. 3 f— 1—У 2 Jdx 0 4 2Vx J f(x,y)dy. 1? 4 V25-?
i 1.9. J dy : 0 [ i \ f(x,y)dx. 110- > 3-x Jdx 0 3 2 J f(x,y)dy 0
; 1.11. \dx ! ° 0 \ f(x, y)dy. 1Л2- 2? x + 3 Sdy 0 1 j f(x,y)dx. 2/ 3-y
1.13. J dx f(x,y)dy. 1.14. i 2? 415 j dy 0 f(x,y)dx. 2s2
1.15. 0 3-х $ dx $ f(x,y)dy. -4 2? 1.16. 4 Va+<r \dy f(x,y)dx.
2 и □ 4 4
4 V 25-/ 0 >
1.17. dx f(x,y)dy. 1.18. \ dy j f(x<y)dx
0 —, 4 1 - V«+/
1 /+1 4 \/25-/
1.19. j dx $ f(x,y)dy. 0 -1 1.20. \dy j f(x,y)dx. u 3
4 V25-? 4 \/x
1.21. \dx $ f(x,y)dy. 0 0 1.22. 5 dx f(x,y)dy. 0 0
3 4 X 2 i
1.23. j dx /(х, y}dy . 0 г 1.24. ] dy J f(x, y)dx. 1 0
2 2у 1 2-У \dy f(x,y)dx. 0 0
1.25. j dy j f(x, y)dx. 1 0 1.26.
2 3-х । 2 Уу
1.27. \dx j f(x,y)dy. 1.28. 5 dy j f(x,y)dx.
0 о 0 у
1 ?+l 1 4 —Г
1.29. dx f (x, y)dy . 0 0 1.30. $dx f(x,y)dy. 0 0
2. Берилган чизиклар билан
кисобланг:
2.1. У=~, у=4ех,
У=3, у=4.
2.3. у2-2у + х2 = 0,
У —4у + х2 = 0,
у=х, х = 0.
2.5. у2 — 6г/4-х2 = 0,
чегараланган шаклнинг юзини
2.2. х = 8-/
х= — 2у.
2.4. х2 — 4х + у2 = 0,
х2 —8х + у2 = 0,
М. У=~^
уз
2.6. у = у, у = 8ех.
у = 3, у—8.
416
2.7. у
У
У
2.9. у
У
У
2.11. у
У
У
2.13. х
х
У
2.15. х
х"
У
2.17. х-
х‘
У
2.19. х
х
2.21. х
х
У
2.23. у
У‘
У
2.25. у
У
У
2.27. у
У
У
2.29. у
У
У
2-8у + х2 = 0 2.8. У- и - 1
2-10у + х2=0, У 2 ’ У 2х х=16.
2 —4у + х2 = 0, 2-6у + х2 = 0, ==х, х = 0. 2.10. х = 5 — у2, х= —4у.
2 —6у + х2 = 0, 2-10у + х2 = 0, = х, х = 0. 2.12 (S; (j; II II £ « “>1“
2-2х+У2.=о, — 6x-j-y =0, - *_,(/= д/Зх. 2.14. У = 3 д/х, у = ±, х = 4.
2-2х + у2 = 0, 2 — 8х + у2 = 0, У=^х- 2.16. ъ LQ II II of II II Si Si
2-2х+у2=0, 2 —4x-j-y2 = 0, Л х 2.18. у = 32 — х2, У= —4х.
2 —2х + у2 = 0, 2 —6х + у2 = 0, Л х 2.20. у = 20 — х2, у= —8х.
2 —2х + у2 = 0, 2-6х + ? = 0, = 0, у = х. 2.22. 25 2 У=--х2, у = х . у 2
2-6у + х2=0, 2 —8г/ + х2 = 0, = х, х = 0. 2.24. * «С 1 11 * 1 II н|-
2~4у + х2 = 0, — 8y-j-x2 = 0, =х, х = 0. 2.26. че че II II X I КЗ
2- 4у.+ х2 = 0, —~h х =0, = д/3 х, х = 0 . 2.28. х = 27-у2, х= —Оу.
2 —2г/ + х2 = 0, 2-1Оу + х2 = О, X ~ V3’x’0' 2.30. У= 11 —х2, У= — Юх.
3. Сиртий зичлиги у маълум булса, берилган эгри чизиклар билан чегараланган D пластинканинг массасини топинг:
3.1. Х2 + У2=1. х2 + у2 = 4, х = 0, у = 0 (х>0, у>0), у= х + у-. 3.2. х = 1, у = 0, у2=4х (у>0), у = 7х -\-у.
3.3. х2 + у2 = 9, x2W=16, х=0, у = 0 (х^О, у>0), у = 2(х2 + у2). 3.4. у2 = 4х, х— 1, у = 0 (г/>0), 7х2 , п ?=—2—ЧУ •
3.5. х=2, у=0, у2=2х(г/>0), у=—+2у. 3.6. х2+у2= 1, х2+у2= 16, х=0, у = 0 (х>0, у>0), v= %+lL. 7 Х2 + У2
3.7. х = 2, у = 0, у2=^(у>0), 7Х2 . с Т=~2—Чу 3.8. х2 + у2 = 4, х2 + у2 = 25, х = 0, y = Q (х^О, у^О), 2х—3у 7 хЧу2
3.9. х= 1, у = 0. у2==4х (у>0), у = х + 3у . 3.10. х2 + у2=1, х2 + у2 = 9, х = 0, у = 0 (х^О, у^. 0) х — у У=-^2' х +1/
3.11. х = 1, у=0, у2=х, (у>0),у = Зх+6у2. 3.12. х2 + у2 = 9, х2+у2 = 25, х = 0, у = 0 (х< 0, 0), 2у — х 7
3.13. х = 2, у=0, у2=~ (z/>0), у = 2х + 3у2. 3.14. х2 + у2 = 4, х2 + у2= 16, х = 0, у = 0 (х^ 0, у>0), 2у — Зх Г ' х2 + у
3.15. х=-2,у = 0, у2=8х (у^О), у = 7х + 3у2. 3.16. х2 + у2 = 9, х2 + у2=16, х=0, у = 0 (хС 0, у>0), 2у — 5х 7 х2+г/2 ’
3.17. х— 1, у = 0, у2 = 4х (у>0), 7 = 7х2 + 2у. 3.18. х2 + у2 = 1, х2Ч-г/2= 16, х = 0, у = 0 (х>0, £/>0), х-J- Зу У~^ + У2'
3.19. х = 2, у2 = 2х, y = Q (у>0), 7Х2 । у ?=—+~2 3.20. х2 + у2=1, х2 + у2 = 4, х = 0, у = 0 (х>0, у>0). х+2у У~^+у2'
3.21. х = 2, у=0,
у2 = 2х (у>0),
7? .
Т=—+У-
3.23. х = 2, у = 0,
У2=у (У>0) ,
7 г2
V = ^+8y.
3.25. х=1, у=0,
у2 = 4х (у>0),
у = 6х-|-Зу .
3.27. х = 2, у = 0,
У2=у (У^О) ,
у = 4х +бу2.
3.29. х = у,у = О,
у2 = 2х (у^О),
v = 4x + 9y
3.22.
3.24.
х2 + у2=1, х2+у2 = 9,
х = О, у=О (х>0, у< О),
2.x—у
J+y2 '
х2 + у2 = 1, х2 + у2 = 25
х = О, у = О (х>0, у< 0),
3.26. х2 + у2 = 4, х2+у2=16,
х = 0, у = 0 (х>0, уС 0),
Зх — у
V=^7‘
3.28.
х2+у2 = 4, х2 + у2=9,
х = 0, у = 0 (х^ 0, yS
у — 4х
v=^7'
3.30. х2 + у2 = 4, х2+у2=9,
х = 0, у = 0 (х< 0, у2
у — 2х
У= 2 , ~2~ *
*+У
Y =
4. Эгри чизикли интегралларни кисобланг:
4.1. ^(x2+y2)d/, бу ерда L— х2 + у2 = 4х айлана.
L
4.2. (4 д/х — 3 ^jy )dl, бу ерда L— х = cos3/, у = sin3/ астроида -
L
нинг Л(1, 0) ва 5(0, 1) нукталар орасидаги ёйи.
4.3. ^xydl, бу ерда L— томонлари х=1, х== —1, у=1,
L
у= — 1 булган квадрат контури.
4.4. ^y2d!, бу ерда L— х = / —sin/, у=1—cos/ циклоиданинг
L
биринчи арки.
4.5. ^xydl, бу ерда L— учлари А(2, 0), 5(4, 0), С(4, 3), 5(2,
L
3) дан иборат тугри туртбурчак контури.
4.6. j ydl, бу «рда L— у2 = 2х параболанинг х2 = 2у парабола
L
кесган ёйи.
'4.7. , бу ерда L — тугри чизикнинг А(4, 0), В (6, 1)
L Х V
нукталар орасидаги кесмаси.
4.8. (x2+y2)2dl, бу ерда L — г=2 айлананинг биринчи
L
чораги.
4.9. ^(х —y)dl, бу ерда L— х2 + у2 = 2х айлана.
L
4.10. $ д/x2+y2dl, бу ерда L— х2 + у2 = 2х айлана.
L
4.11. ^xydl, бу ерда L — учлари 0(0, 0), Л(3, 0), В(3, 4), 0(0, 4) =
L
булган тугри туртбурчак контури.
4.12. (x2 + y2)d/, бу ерда L— х2 + у2 = 4 айлана.
L
dl — , бу ерда L — 0(0, 0) ва В (2, 2) нукталарни
туташтирувчи тугри чизик кесмаси.
4.14. (4 д/х — 3 -\[y)dl, бу ерда L — Л ( — 1,0) ва В(0, 1) нукта-
L
ларни туташтирувчи тугри чизик кесмаси.
4.15. бУ еРда L~ 4) ва 5(4> °) нукталар орасида
жойлашган т^гри чизик кесмаси.
4.16. , у —dl, бу ерда L— r=2(l +cos<p), 0<ср<-^ кар-
I ^+у2 2
диоида ёйи.
4.17. ydl, бу ерда L— x=cos3/, y = sin3/ астроиданинг Л(1,0)
L
ва В (О, 1) нукталар орасидаги ёйи.
4.18. \ ydl, бу ерда L— у2=^-х параболанинг 0(0, 0) ва
J о
L
А ( 5, ^335 ) нукталар орасидаги ёйи.
4.19. (4 д/х —3 д/у )dl, бу ерда L — Л (1, 0) ва В (0, 1) нукталар
L
орасидаги тугри чизик кесмаси.
4.20. ^arctg—dl, бу ерда L— r=(l+cosip), 0<у<-2- кардио-
J X
L
ида ёйи.
4.21. ^xydl, бу ерда L — учлари 0(0, 0), Л(5, 0), В(5, 3), 0(0,3)
L
б^лгаи тугри туртбурчак контури.
4.22. $ -yjx2 + y2dl, бу ерда L— х2^-у2 = 2у айлана.
L
4.23. (x + y)dl, бу ерда L— r2 = cos2<p, — Бернул-
L
ли лемнискатасининг ёйи.
4.24. ^(x + y)dl, бу ерда L — учлари 0(0, 0), А( — 1, 0),
L
В (0,1) булган учбурчак контури.
4.25. ^(х2-\- y2)dl, бу ерда L — г=4 айлананинг биринчи чораги.
L
4.26. (x-\-y)dl, бу ерда L — учлари А (1,0), В(0, 1), 0(0, 0) бул-
L
ган учбурчак контури.
4.27. ^xydl, бу ерда L — учлари 0(0, 0), А(4, 0), В(4, 2), С(0,2)
L
булган тугри туртбурчак контури.
4.28. $ dl, бу ерда L— r = 9sin2<p, 0<<р<-^-эгри чи-
зик ёйи.
4.29. —-=£L= , бу ерда L — 0(0, 0) ва Л(1, 2) нукталарни
J д/х2+г/2+4
туташирувчи тугри чизик кесмаси.
4.30. y[2ydl, бу ерда L — x=2(t — sin/), у=2 (1 — cos/) циклои-
L
данинг биринчи арки.
5. Эгри чизикли интегрални кисобланг:
5.1. (х2 — 2xy)dx+ (y2—2xy)dy, бу ерда АВ — у = х2 парабо-
ла
ланинг Л(-1, 1) дан 23(1, 1) гача ёйи.
5.2. х d^^dx_ , бу ерда АВ — x = 2cos3/, y = 2sin3/ астрои-
АВ 3 Vx5 + V/ ' •
данинг Л (2, 0) дан В(0, 2) нуктагача ёйи. t
5.3. $ (x2A-y2)dxA-2xydy , бу ерда АВ— у + х3 кубик парабола-
АВ
нинг Л (0, 0) дан 23(1, 1) нуктагача ёйи.
5.4. $(x + 2t/)dx-|- (x — y)dy , бу ерда L— x = 2cos/, t/ = 2sinZ
L
айлана (айланиб утиш мусбат).
5.5. §(х2у — x)dx-\- (у2х —2y)dy, бу ерда L— x = 3cos?, (/ = 2sinZ
L
эллипс ёйи (айланиб утиш мусбат).
5.6. (ху— 1 )dx-\-x2ydy, бу ерда L—x=cost, y=2sin/ эл-
L
липснинг /1(1, 0) нуктадан В(0, 2) нуктагача ёйи.
5.7. 2xydx — x2dy , бу ерда ОВА— 0(0, 0), В(2, 0), А(2, 1)
ОВА
нукталарни туташтирувчи синик чизик.
5.8. (х2—y2}dx-\-xydy , бу ерда АВ — Д(1, 1), В(3, 4) нукта-
АВ
ларни туташтирувчи тугри чизик кесмаси.
5.9. ^cosyrfx — svaxdy, бу ерда L — АВ тугри чизик кесмаси
L
Я(2л, —2л), В(—2л; 2л).
5.10. ydx+xd.y, б ерДа £_ турри чизик кесмаси А (1, 2),
I
В(3, 6).
5.11. ^xydx+ (у — x)dy , бу ерда L - у=х3 кубик параболанинг
L
Л(0, 0) нуктадан В(1, 1) нуктагача ёйи.
5.12. (x2+y2)dx+ (x-\-y2)dy , бу ерда L — АВС синик чизик
L
Л(1, 2), В(3, -2), С(3, 5).
5.13. ^y2dx-\-x2dy, бу ерда L — x = acos/, z/ = 6sin^ эллипснинг
L
соат мили буйича айланиб утилган юкори ярми.
5.14. (ху — y2)dx-(-xdy, бу ерда L- у = 2^[х параболанинг
L
0(0,0) нуктадан В(1, 2) нуктагача ёйи.
5.15. ^xdx + xydy , бу ерда L — х2 + у2 = 2х айлананинг контур-
L
ни мусбат айланиб чиккандаги юкориги ярми.
5.16. рх — yjdx + dy, бу ерда L— x2-(-y2 = R2 айлананинг
L
контурни мусбат йуналишда айланиб чиккандаги юкориги ярми.
5.17. ф(х2—y)dx , бу ерда L контур х = 0, у = 0, х= 1, у = 2 тугри
L
чизиклар косил килган тугри туртбурчак (контурни айланиб утиш
йуналиши мусбат).
5.18. $4xsin2ydx + ycos2xdy, бу ерда L — 0(0, 0) ва В (3,6)
L
нукталарни туташтирувчи т^гри чизик кесмаси.
5.19. §ydx — xdy, бу ерда L— x = 6cosi, y = 4sin/ эллипснинг
контурни айланиб чикиш йуналиши мусбат булгандаги ёйи.
5.20. ^2xydx — x2dy, бу ерда L— х=2у2 параболанинг 0(0,0)
L
нуктадан /1(2, 1) нуктагача ёйи.
5.21. (х, у — x)dx-\~x2dy , бу ерда L— у2 = 4х параболанинг
L
А (0, 0) нуктадан В(1, 2) нуктагача ёйи.
5.22. |(x2+</2)dx+ (х2—y2)dy, бу ерда L— учлари А(0, 0),
В(1,0), С(0, 1) булган учбурчак контури (контурни айланиб чикиш
йуналиши мусбат).
с х2
5.23. уху — x)dx-]-—dy , бу ерда L — АВОсиник чизик: 0(0, 0),
L
А (1, 2), В (у, 3) ; контурни айланиб чикиш йуналиши мусбат.
5.24. $ (ху — y2)dx + xdy , бу ерда L— 0(0,0) нуктадан А (1,2)
L
нуктагача тугри чизик кесмаси.
5.25. ^xdy — ydx, бу ерда L— у=Х" кубик параболанинг 0(0,0)
L
нуктадан А (2, 8) нуктагача ёйи.
5.26. \2xydx — x2dy , бу ерда L— У=~ь параболанинг А (0, 0)
L
нуктадан В(2, 1) нуктагача ёйи (булаги).
С х2
5.27. yxy-x)dx-\——dy, бу ерда L— у=4х2 параболанинг
L
0(0,0) нуктадан А(1, 4) нуктагача ёйи.
5.28. $ (x-\-y)dx+ (х — y)dy , бу ерда L — у = х2 параболанинг
L
А( —1, 1) нуктадан В(1, 1) нуктагача ёйи.
5.29. §xdy — ydx , бу ерда L — учлари А (— 1, 0), В(1, 0), 0(0, 1)
нукталарда булган учбурчак контури (контурни айланиб утиш
йуналиши мусбат).
5.30. $ (x2 + y)dx+ (x-(-y2)dy , бу ерда L— АВС синик чизик:
L
А (2, 0), В (5, 3), С (5, 0)..
6. Берилган ифодалар и(х, у) функциянинг тулик дифференциа-
ли эканлигини курсатинг. Эгри чизикли интеграл ёрдамида и(х,у)
функцияни топинг:
6.1. (1 Оху312х36) dx+(15x у — 5) ydy.
6.2. (у2е^-'+6х—8) dx+ (2хуе*уг—8у) dy.
6.3. (cosx-cosy + 6x + 3) dx+(18у2 —sinx-siny) dy.
6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. । 6.9. । 6.10. 6.11. | 6.12. i 6.13. - 6.14. | 6.15. | 6.16. | 6.17. ( 6.18. ( 6.19. | ( 1 1 X 1 9ii\rhi
U-l (,-!,“ (,-!)* 1 -УГУ ( У22- 1 }dx+ (—x— - 10)dy . \i+A2 ) \i+A2 ) (_> +_£2^+3x2>+-l^. dy. Kx-1 y-1 1 / (y-l)2 (2cos2xcos3y —y)dx+ 0-—3sin2xsin3y)dy . (e x W+(sin3y \dy. (xye^v+cos2x4-x2) dx-\- (^- e^+y^dy . Ut+A+G, 3)dy- (x-\-y- sin2y) dx+ (1 +xsin2y + xysin2y) dy . 1— 2y < . 1— x , — 5-4/xH —dy . x^y xif ( e x W+ (sm3y \dy. < yx / \ / ^2xy—-^dx+ (x2—y)dy . < 1 _cosxXrf J-sinx kx-1 y-\ ) (y-1)2 Jny + y—x)dx+ (lnx+y+ 1)dy . ^2cos2x-cos3y — y-^dx— (-y—3sin2x-sin3(/)d(/. ^H-cos2;/ )dx+ (y — xsin2y) dy . < x /
6.20. (-L+-L\dx+-^iy = Q
\ x У / if
6.21. (sin2y —y-sin2x) dx + (xsin2y + cos2x + 1) dy .
6.22. ^-y+lny + 2x^dx+ (1пх + -^+ 1 ^dy .
6.23. (—- ---+ x2 \dx + (-—, x. + у \dy .
\’V1—*V / \Vl-xV /
6.24. (—I— -lArfx+f—x—_ 10 W
\i+*V / \i+%V /
6.25. l^ix + l^iy.
xy yx
6.26. f y" —L\/x+ f 2 +-W
\(*+y)2 XJ \(x + y)2 У)
6.27. (x--^~т'}с1х+( 2^2—y\dy
\ * H-г/ / \x+zr /
6.28. ((/cosxy + 2x‘ —3y) dx-\- (xcosxy — 3x + 4y) dy .
6.29. (5y + cosx + 6xy2) dx+ (5x + 6x2y) dy .
6.30. (y — sinx) dx-\- (x —2ycosy2) dy .
12- боб
ВЕКТОР АНАЛИЗИ
1-§. Скаляр майдон. Сатх чизиклари ва сиртлари.
Йуналиш буйича косила. Градиент. Вектор майдон.
Вектор чизиклар
12.1.1. Агар фазодаги бирор D соханинг хар бир М — М(х, у, z)
нуктасида и = и (М) =f (х, у, г) скаляр функция берилган булса,
у холда бу сохада скаляр майдон берилган дейилади. u=f(x, у, г)
функция майдон функцияси дейилади.
Агар D соха текисликка тегишли булса, скаляр майдон ясси
майдон дейилади.
Скаляр майдоннинг и(х, у, z)=C (С — узгармас сон) тенглама
билан аникланган кисми сат% сирти дейилади. и(х, у)=С тенглама
ясси скаляр майдоннинг сатх; чизисини аниклайди.
Агар 7=со8а-Г-|-со507-)-со8у£ — бирор I йуналишдаги бирлик
вектор булса, у холда скаляр майдоннинг дифференциалланувчи
u—f(x, у, z) функциясининг / йуналиш буйича хосиласи куйидаги
ди ди .ди о . ди
— = ——COSCX + — <OSP + -3; COSY
dl дх ду ' dz
формула билан аникланади.
Скаляр майдон функцияси u — f(x, у) булса, у холда
ди_ ди
~dl ~~дх
^os₽,
бу ерда 7=cosa • /-|-cosp • j, Р=у—а.
u=f(x, у, z) скаляр майдоннинг градиенти деб, куйидаги
, ди -г . ди -г , ди ~г
grad«= ,- I +— / + «
дх ду дг
векторга айтилади.
u = f(x, у, z) функциянинг берилган нуктадаги градиенти билан
бу нуктадаги йуналиш буйича хосила орасида куйидаги муносабат
билан ифодаланувчи богланиш мавжуд:
ди , -г - ди ,
—7=gradw-I еки —-=np,gradM.
dl ol i
Градиент куйидаги хоссаларга эга:
a) grad(«i 4-U2) =gradui-f-graduz;
б) gradCu = Cgradu (C=const);
в) grad (to-U2) =uigrad«2 + «2gradoi>
1- м и с ол. u=xy2z3 функция ва M (3, 2, 1),. N (5, 4, 2) нукта
берилган. Бу функциянинг М нуктадаги MN вектор йуналиши
буйича хосиласини топинг.
Е ч и ш. и функциянингМ (3, 2, 1) нуктадаги хусусий хосилалари:
=y2z3| 22.13 = 4
дх I м
41 =2xt/z3|M=2.3-2.13=12;
ду<м
41 = 3x«/2z2| Л)=3-3-22-12=36.
dz I м
MN вектор билан йуналиши бир хил булган Z бирлик вектор
-т_ MN
~ |AfTV|
га тенг, бу ерда
(5-3)7+(4-2)/+(2-1)1=27 + 27+1,
|AW| = д/22+22+ 1 2 =3. Демак,
7 2-r.2-r.lv
/=Т'Ъ/+4
Шундай килиб,
jg-=4.-|+12.4+364
OL о О О
68
3 ’
2-ми сол. д = 1п(х2 + у2) функциянинг М (3, 4) нуктадаги
и функция градиенти йуналишидаги хосиласини топинг.
Ечиш. Бу ерда / вектор функциянинг Д4(3, 4) нуктадаги
градиенти билан бир хил йуналган, шунинг учун ~ = |gradtz|.
М(3, 4) нуктадаги хусусий хосилалар:
ди I _ 2х I __ 6 ди I _ 2у I ___ 8
дх 1м— х2 + у2 25’ ду 'м~ х2 + у2 | м~25 '
Демак,
Шундай килиб,
12.1.2. Агар фазодаги D соханинг хар бир М (х, у, г) нуктасида
а(М) ={Р, Q, Я)вектор (бу ерда Р = Р(х, у, г), Q = Q(x, у, г), Р = Р(х,
у, z) — скаляр функциялар) аникланган б^лса, у холда D сохада
вектор майдон берилган дейилади.
Вектор майдоннинг вектор чизити деб шундай чизикка айтилади-
ки, унинг хар бир нуктасида уринманинг йуналиши шу нуктага мос
келган а(М) векторнинг йуналиши билан бир хил булади.
Сирт булагининг нукталари оркали утувчи хамма вектор
чизиклар т^плами вектор найчаЛари дейилади.
Вектор чизиклари ушбу дифференциал тенгламалар системаси-
дан аникланади:
dx _ dy _ dz, , .
P(x,y,z) ~ Q(x,y,z) R(x,y,z)
Координаталари вактга боглик булмаган майдон (скаляр ёки
вектор) стационар ёки барцарор майдон дейилади.
3- м и с о л. а= —yi + x]+bk вектор майдоннинг Af (1,0, 0) нукта-
дан ^тадиган вектор чизигини топинг.
Ечиш. Р(х, у, г) = —у, Q(x, у, г.) =х, /?(х, у, г) —Ь эканлигини
хисобга олиб, вектор чизикларнинг ушбу
dx __ dy dz
—у~' х ~ b
дифференциал тенгламалар системасини хосил киламиз.
Уларни ечамиз:
[ ( xdx + ydy = 0,
dy dz. |
( x b '
x2+y2=C2,
dz___dy
. b x
ёки параметрик шаклда:
x= Cicosf,
y = Cisin/,
dz C^costdt
b Cjcos/
' x— CjCos/,
f/ = C|Sin/,
z = bt -|- Cj.
Интеграллаш доимийлари вектор чизик М(1, 0, 0) нуктадан утади
деган шартдан топилади: Ci_= 1 _ва Сг = О.
Шундай килиб, a— -уТ'-^xJ-{-bk . вектор майдоннинг вектор
чизиклари ушбу x = cos/. y = sinZ, г = Ы (винт чизик) тенгламалар
билан аникланади.
1- дарсхона топшириси
1. Куйидаги
a) u = ln(x1 2 + y2 + z2); б) и=——-
х^+у
функциялар аниклайдиган /скаляр майдонларнинг сатх сиртлари
тенгламаларини ёзинг ва уларни чизинг.
2. z — xy ясси скаляр майдоннинг сатх чизикларини чизинг.
3. и = 1п (З—х^+ху^ функциянинг Mi (1, 3, 2) нукмадаги М2 (0, 5, 0)
нукта Томон йуналиши буйича хосиласини топинг. Ж: ——
4. г=д/х2+у2 функциянинг Мо (3, 4) нуктадаги:
а) а = {1и 1} вектор буйича; б) Мо. нуктанинг радиус-вектори
буйича; в)_ s ={4, 3). вектор йуналиши буйича хосиласини топинг.
Ж: а) б) 1; в) (X
5. Агар u=x2yz — xy2z-\-xyz2 булса’ 'Мо 1, I) нуктада grad и ни
ТОПИНГ.
Ж: grad« = 2f—2/Н-2&.
6. -y = -|-x2+3y2 —2z2 ва и = x?yz'функцияларнинг М^2, у,)
нуктадаги градиентлари орасидаги. ф бурчакни топинг. Ж: у.
2х2
7. z=—у сиртнинг М(2, 1,; 8) нуктадаги энг катта кутарилиш
тиклигининг ф бурчагини топинг. Ж: tg<p=8 д/TU, ф«87о40'.
8. Агар: a) a==wyT-\-wxj, шу=0; б) а = 5хГ+ Юу/; в) a = 4zj — 9yk
булса. вектор майдоннинг вектор чизикларини топинг. Ж: а)
х -у =Ci, z = C2; б) x2 = Ciy; z = C2; в) 9y2 + 4z2 + C?, х = С2.
1- му ставил иш
1. Ясси z = 4 —х2—у2 скаляр майдоннинг сатх чизикларини ва
М(1, 2) нуктадаги gradz ни ясанг.
2. u=x+ln(y2+z2) функциянинг М(2, 1, 1) нуктадаги а=— 2?+
+ / —£ вектор йуналишидаги хосиласини хисобланг. Ж:-.
3. z = 5x2 — 2xy + y2 сиртнинг Af(l, 1, 4) нуктадаги энг катта
кУтарилиш тиклигининг ср бурчагини топинг.
Ж: tg(p=8, <р«83°.
4. Агар:
a) a—(x+y)l— xj — xk\ б) a = 2xf+8zfe
булса, вектор майдонларнинг вектор чизикларини топинг.
Ж: a) x2 + z/2 + z2 = Ci, y — z = Cw
б) z = C,x4, у = Сг.
2-§. Вектор майдон окими. Остроградский теоремаси.
Вектор (майдон) дивергенцияси
12.2.1. Сирт оркали утадиган окимни хисоблаш.
Агар о сиртнинг хар бир нуктасидаги нормалнинг мусбат
йуналиши
n° = cosa Г+ cosp j + cosy £
бирлик вектор оркали аникланган булса, у холда а(М)—{Р, Q, А?}
вектор майдоннинг о сирт оркали утувчи П оцими деб куйидаги
иккинчи тур сирт интегралига айтилади:
П = у, z)dydz + Q{x, у, z)dzdx-\-R(x, у, z)dxdy ,
О
ёки
П = ^[Р(х, у, z)cosa + Q(x, у, z)cos|3 + /?(x, у, z)cosy]do
О
ёки вектор шаклда
П = n°do .
О
Агар о — ёпик. булакли-силлик сирт булиб, ташки нормалининг
бирлик вектори «o = {cosa, cos|3, cosy} булса, у холда бу сирт оркали
окиб Утадиган а={Р, Q, R} вектор окими П ни ушбу Остроград-
ский — Гаусс формуласи ёрдамида хисоблаш мумкин:
n = (^(/’cosa + Qcosp + /?cosY)da= §\(^+^+-^)dxdydz ,
бу ерда й—фазонинг о сирт билан чегаралаган булаги.
а(М) ={Р, Q, R] вектор майдоннинг дивергенцияси деб diva =
дР . dQ . dR к к
муносабат билан аникланган скаляр мик-
дорга айтилади.
Остроградский — Гаусс формуласи вектор шаклида куйидагича
ёзилади:
ффа • п • do=^divadxctydz .
Вектор майдони дивергенциясининг асосий хоссалари:
a) div(a + &) =diva + div&;
б) divc = 0, агар с — узгармас вектор булса;
в) divfa = fdiva + agradf,
бу ерда f = у, z) —скаляр функция.
12.2.2. Сирт оркали окиб утадиган окимни хисоблашга мисоллар
курамиз.
1-ми сол. a=xi — 2yJ+zk вектор майдоннинг x-\-2y-\-3z—
— 6 = 0 текисликнинг биринчи октантда жойлашган юкори кисми
буйича окимини хисобланг.
Ечиш. Текисликнинг нормал бирлик вектори п° =
_ ( 1 2 3
~ I д/Г4’ УТ4’ V14
буйича хисоблаймиз:
П = фф a-n°da=-~ (х — 4y + 3z)do .
V 0 * О
Бу ерда
булади. а вектор окимини куйидаги формула
z=l(6-x-2y),do= д^ + (-1)2+(-|)2 dxdy = ^i dxdy.
Шундай килиб,
П+ 6 — х — 2y)dxdy=-^~ ^[(6 — бу)dxdy =
V J У
3 6-2у. з з
= J (l-y)dx = 2^(l-y) (6-2y)dy = 2\ (6-8y + 2y2)dy =
0 0 О о
= 4 J(y2—4y + 3)dy=4(yy3—2у2+3у) =
= 4(-у-18 + 9)=0.
2-мисол. a = xz2Z+yx27+zy2fe вектор майдоннинг х2 + у2 +
+ z2 = a2 шар сирти буйича унинг ташки томонига окимини
хисобланг.
Ечиш. Сирт ёпик булгани учун а вектор майдоннинг шар сирти
буйича ташки томонига окими II ни Остроградский — Гаусс
формуласи буйича топамиз:
П=ффа-п°</о= $divadxdydz= ^(z2+x2-\-y2)dxdydz .
ой Й
Уч улчовли интегрални хисоблаш учун куйидаги формулалар
ёрдамида сферик координаталарга утамиз:
У холда
x=rsin0cosg), y = rsin0 sing), z=rcos0,
dxdydz=r2sinedrd<pd6,
O^r^a,
0=С<р^2л,
О =C 0 л-
ал 2л
r4sinQdrd(pdO— jr4dr $sin0dO dtp
oo 0
4aSn
5
2- дарсхона roniuupuFu
1- a— (x—3z)f’ + (x4-2t/+z)/+ (4x-}-y)k вектор майдоннинг
x+y+z=2 текисликнинг биринчи октантда ётган юкори кисми
26
буйича окимини хисобланг. Ж:
2. a=8xF+1ly/ + \lzk вектор майдоннинг x + 2y + 3z=l те-
кисликнинг биринчи октантда жойлашган кисми буйича окимини
Хисобланг. Нормал Oz уки билан уткир бурчак хосил килади. Ж: 1-
3. а= (xy-|-z2)F+ (yz+x2)/-]- (zx-j-y2)^ вектор майдоннинг М(I, 3,
— 5) нуктадаги дивергенциясини_хисобланг. Ж: —1.
4. а=(х—y)t-\- (ху) jz2k вектор майдоннинг х2+у2=1,
z=0 ва z=2 сиртлар билан чегараланган цилиндрик жисм сирти
буйича ташки нормал йуналишида окимини хисобланг. Ж: —4л.
2- мустсищл ши
1. Вектор майдоннинг дивергенциясини топинг.
а) a«xy2F+x2y/ + z3^, М(1, —1,3) нуктада;
б) grad и, бу ерда tf=ln(x2-|-y2-|-z2);
в) grad д/х2+у2-|-г2 .
2. Вектор майдоннинг П окимини хисобланг:
a) a=xi-\-3yj-\-2zK нинг x+y+z=l текисликнинг биринчи
октантда ётган юкориги кисми буйича;
б) a=3xt — yj—zk нинг 9 —z=x2 + y2, х = 0, у = 0, z=0 те-
кисликлар билан чегараланган бирор жисм буйича ташки нормал
йуналишида;
в) a — 2xi-\-zk нинг z=3x2 + 2у2, х2+у2 = 4, z = 0 сиртлар буйича
чегараланган сиртга ташки нормал буйича.
Ж: а) 1; б) в) 20.
о
3- §. Вектор майдонидаги чизикли интеграл.
Циркуляция. Вектор майдон ротори.
Стокс теоремаси. Циркуляцияни хисоблаш.
а={Р, Q, /?} векторнинг L эгри чизик буйича чизицли интеграли
деб бу L эгри чизик буйича вектор майдон бажарган ишни
аникловчи ушбу эгри чизикли интегралга айтилади:
^Pdx-\-Qdy-\- Rdz= ^a-dr.
L L
Arap L контур ёпик булса, чизикли интеграл а вектор май-
доннинг бу контур буйича циркуляцияси дейилади.
Епик эгри чизик L фазода бирор о сиртни чегаралаган булиб, бу
сиртда а={Р, Q, R} вектор берилган булсин, у холда циркуляция ва
т сирт интегралини богловчи ушбу Стокс формуласи уринлидир:
57) ™5» +
г \ dz дх ) ' \ дх ду / /
6v ёрда n°=lcosa, cos0, cosy} — интеграллаш бажарилаётган о
сирт томони нормалининг бирлик вектори, бунда о сиртнинг шу
томони буйича L контурни айланиб утиш мусбат булиши керак.
Грин формуласи Стокс формуласининг L эгри чизик ва о сирт
Охи текисликда ётган холдаги хусусий хсхлидир.
а={Р, Q, R] вектор майдоннинг ротори ёки уюрмаси деб ушОу
- (dR dQ^.(d^_^+(dQ__OP_\k==
rotG= ЬГ---йТ/ + VW дх )’+ I дх ду )
7, 1 • k
_ а э д
дх ду дг
Р Q R
ВеКвТк?ораш7Хда Стокс формуласи куйидаги куринишда ёзилади:
n°-rotado
Вектор майдони роторининг^5аъзи хоссалари.
a) rot(a + F) =rota-trotF;
б) rotc = o, бу ерда с — доимий (узгармас) вектор;
в) rot(cpa) =<р rota + grad <р-а, бу ерда <р = <р(х,-У, z) скаляр
функция.
l-мисол. v = wXr чизикли тезлик вектор майдонининг
фазонинг ихтиёрий М(х, у, z) нуктасидаги роторини топинг.
Ечиш. Чизикли тезлик вектори v ни хисоблаймиз:
v = wX г =
wy
k
Wz =(wyZ—Wzy)l +
I
w,
X у z
+ (шгХ—Wxz)7+ (wxy — WyX)k.
Демак,
rotv = 2wxi + 2wyj + wzR=2w-
2-м и с ол. a=yi-\-x2j — zk вектор майдонининг L: x2-\-y2 = 4,
г = 3 айлана буйича бирлик вектор К га нисбатан айланиб утишнинг
мусбат йуналишда циркуляниясини икки усул билан:
а) циркуляция таърифидан фойдаланиб;
б) Стокс формуласидан фойдаланиб хисобланг.
Ечиш. Чизма чизиб, унда нормалнинг бирлик вектор пй = И
йуналишини ва контурни айланиш йуналишини курсатамиз
(62- шакл).
а) Айлананинг параметрик тенгламалари:
2л
Шакл- 62
О
2л
x = 2cos/, z/ = 2sin/, z = 3, 2л.
Изланаётган С циркуляцияни таърифдан фойдаланиб топамиз:
2л
j [2sin/( — 2sinWZ) -|-
о
2л
+ 4cos2Z-2cos/dZ — 3-0] = 8 jcos3WZ —
о
2л
sin2W/=8 j (1— sin2/) d (sin/) —
0
— 2 t (l-cos2/)d/ = 8 (sin/—-^-sin3/) |2n
J 3 l0
— 2(t—^-sin2/') |2"= —4л .
\ / 10
б) Шартга кура: nv=k, rota= (2х— 1)6. Сток формуласига кура:
С = $rota- n°do = $(2х — 1 )dxdy= $(2rcos<p— 1) rdrdq —
° axy axy
2л 2 2л
= ^dtp ^(2rcos(p— l)rdr = 0-r3cos(p—~r2^|^(p =
0 0 0
2л
= cos<p — 2^d<p= ^-sintp — 2(p^|o=—4л.
о
(Икки улчовли интегрални хисоблашда кутб координаталарига
Утилди.)
3- дарсхона топишриги
1. a=xyzi-\- (х + у + г)]4- (x2 + y2 + z2)k вектор майдоннинг М( 1,
— 1, 2) нуктадаги роторини топинг. Ж: rota= — 3F—3/ —
2. d = yl—2zf+xR вектор майдоннинг бир паллали 2х2 —у2 +
-|~z2 = /?2 гиперболоидни у=х текислик кесишидан косил булган
эллипс буйича циркуляниясини топинг. Натижани Стокс форму-
ласи ёрдамида текширинг. Ж: ±3л/?2-
3. a = zz/27+xz2/ + z/x2fe вектор майдоннинг x=y2-\-z2 параболо-
идни х = 9 текислик билан кесишиш контури буйича п> — 1 ортга
нисбатан мусбат айланиб утишдаги циркуляниясини хисобланг.
Ж: 72^Л- - - - 2 2 2 л
4. а= —yi+2j + k вектор майдоннинг х +у — z =0 конуснинг
г=1 текислик билан кесишиш чизиги L буйича п1 — К ортга нис-
батан мусбат айланиб утишдаги циркуляниясини хисобланг. Ж: л.
3- му ставил иш
1. a~yi — xf-\-zk вектор майдоннинг х2 + г/2 + z2 = 4 сферанинг
у] х2у2 = z конус билан кесишиш чизиги L буйича n" — k ортга
нисбатан мусбат айланиб утишдаги циркуляниясини хисобланг.
2. a=yzi + 2xzj+y2£ вектор майдоннинг z = д/25 — х2—у2
ярим сферанинг^ x2 + z/2=16 цилиндр билан кесишиш чизиги
L буйича п' — К ортга нисбатан мусбат йуналишда айланиб
утишдаги циркуляниясини хисобланг.
3. а= (х—у)1+х] — zk вектор майдоннинг х2+у2=1 цилиндр-
нинг z — 2 текислик билан кесишиш чизиги L буйича п* = И бу#ган-
даги циркуляниясини хисобланг.
4- §. Потенциал майдон.
Потенциал майдондаги чизикли интеграл.
Гамильтон ва Лаплас операторлари
12.4.1 . Агар фазонинг бир богламли Q сохасининг хар бир
нуктасида rota = 6 булса, а = {Р, Q, 7?} вектор майдон Q сохада
потенциал ёки уюрмасиз майдон дейилади.
rotgradu=0 булгани учун исталган « = и(х, у, z) скаляр
майдоннинг градиента косил килган вектор майдон хар доим
потенциалдир. а майдон Q сохада потенциал булиши учун икки
марта узлуксиз дифференциалланувчи и = и(х, у, z) скаляр^функция
мавжуд булиши зарур ва етарли булиб, унинг учун a = gradu
булиши керак. и = и(х, у, z) функция а майдоннинг потенциала (ёки
потенциал функцияси) дейилади.
а={Р, Q, Р] потенциал майдон учун потенциални топишнинг
ушбу формуласи уринлидир:
м(х,у,г)=', $ Р(х, у, z)dxA~Q(x, у, z)dyA~P(x, у, z)dz-)-C,
лцм
бу ерда Mo(xo, уо,- го) — Й соханинг бирорта тайин нуктаси, М(х, у,
г) —соханинг ихтиёрий нуктаси, С —ихтиёрий узгармас.
Бу формуладан интеграллаш йулига боглик булмаган иккинчи
тур эгри чизикли -интегрални хисоблаш формуласи хам келиб
чикади:
Pdx^~QdyA~Pdz=u(B) — u(A) ,
АВ
бу ерда и(А) ва и(В) потенция лимит йулнинг.бошлангич А ва охирги
В нукталаридаги кийматлари.
Агар фазонинг Q сохасидаги хар бир нуктада diva = 0 булса,
а вектор майдон бу сохада соленоидли ёки найчасимон майдон
дейилади. divrota = 0 булгани учун исталган а вектор майдоннинг
ротор майдони соленоидли майдон булади.
Агар фазонинг Q сохасида а вектор майдон бир вактнинг узида
хам потенциал,-хам соленоидли булса,-Яъни й соханинг хар кайси
нуктасида diva = 0, rota = 0 булса, а вектор майдон Q сохада
гармоник майдон дейилади. Гармоник майдоннинг и потенциали
д2и . д2и , д2и р
Лаплас тенгламасининг ечимидан иборатдир. Лаплас тенгламасини
каноатлантирувчи и=и(х, у, z) функция гармоник функция
дейилади.
1-мис ол. a={2xz/ + z, х2 —2у, х} векторнинг майдони потенци-
ал, лекин соленоидли эмаслигини курсатинг. Берилган майдоннинг
потеницали и ни топинг.
Е«и ш. Куйидагига эгамиз:
P=2xy-\-z, Q=x2 — 2y, R=x, шунинг учун:
=7j0-0) —/(1 — 1) + (2х—2х)И=0, яъни а — потенциал майдон.
а вектор девергенциясини топамиз::
дх ду dz
бинобарин, а — соленоидли майдон эмас. Берилган а майдон
потенниали и ни куйидаги формуладан аниклаймиз:
и(х, у, z) = j PdxA-Qdy + RdzA-C ,
мом
чизикли интеграл бошлангич Ми (хо, уо, zo) ва охирги М (х, у, z)
нуктага боглик- Аник интегралга утиб топамиз:
u(x,y,z)' = ^Р(х, у, z)dx+ ^Q(xo,y,z)dy+ ^R(Xq, Уо, z)dz + C.
Уп %
Мазкур холда Мо(хо, уо, zo) нукта сифатида координаталар боши
0(0, 0, 0) ни олиш мумкин. Шундай килиб,
u(x,y,z)= J (2xy + z)dx+ (x2-2y)dy+xdz + C =
ом
= \(2xy+z)dx+ \ (-2y)dy+ \0dz + C= (x2y + xz) \ x0-
0 0 0
—y2\yo+C = x2y+xz~y2+c .
2- м и с о л. ~a — \yz — xy, xz—y+z/z2, xy-py2z] майдон потен-
циал ёки потенциал эмаслигини текширинг, унинг потенциалини
топинг хамда А (1, 1, 1) ва В (2, —2,3) нукталарни туташтирувчи
чизик буйича мос чизикли интегрални хисобланг.
Ечиш. Берилишига к^ра:
P = yz — xy, Q = xz——ф-f/z2, R=xy + y2z,
шунинг учун
rota =
д
дх
yz — xy
7
д
ЗУ
х2 , 2
XZ----2~ + yZ
k
д
dz
xy + y2z
= (x + 2yz — x—2yz)i+ (y—y)J+ (z—x — z + x)£=O
демак, a — потенциал майдон, бинобарин, унинг потенциали
мавжуд. Уни олдинги мисолдагига Ухшаш топамиз:
Г g г
u(x,y,z)= ^(yz-xy)dx-A ^yz2dy-\- \^dz-\-C=
О 0 0
-(^г-4) i;+4jv |’+с=^г-4-+^+с.
Шундай килиб,
ц(х, у, z) =ху2-А_|__^..+с .
Потенциал майдонда чизикли интеграл А ва В нукталарни
туташтирувчи йулга боглик булмайди, шунинг учун уни
j Pdx A- Qdy + Rdz = и(В) — и(А)
АВ
формула буйича хисоблаймиз:
г / jc2 \
\ (yz-xy)dxA-(xz—-A-yz2)dy+(xy+y2z)dz =
АВ 7
= u(B) — и(А) = (2- ( — 2) -3— —L~?)2'3i
\ 2 2,
12.4.2 . Вектор анализнинг асосий тушунчалари (градиент,
дивергенция, ротор)ни Гамильтон оператора деб аталувчи
V =
<5 ~r . d ~.
дх 1 + ду 1
д
дг
k
дифференциал оператор (символик V вектор каби белгиланувчи ва
<набла» деб укилувчи) ёрдамида тавсифлаш кулай.
Векторни скалярга купайтириш, иккита векторнинг скаляр ва
вектор купайтмалари каби маълум операциялардан фойдаланиб,
асосий дифференциал амалларни V оператори ёрдамида ёзамиз:
grad« = г ди ди 4 г, 1 Я дг — V и
diva- дР j dQ дР _ V -а ,
дх ду дг
1 7 k
rota = д д д _ V ХЗ-
дх ду дг
Р Q R
Келтириб утилган амаллар биринчи тартибли дифференциал
амаллар дейилади. Гамильтон оператори ёрдамида вектор анализи-
нинг мураккаб ифодалари устида дифференциал амалларни
(иккита ёки купрок скаляр функциялар купайтмаси, скаляр
функциянинг векторга купайтмаси, векторларнинг вектор купайт-
малари ва х. к.) бажариш кулай. Бунда факат шуни эсда саклаш
лозимки, бу оператор дифференциаллаш операторидир ва купайт-
мани дифференциаллаш коидасини билиш керак.
3-м и сол. Иккита скаляр функция и ва v купайтмасининг
градиентини топинг.
Ечиш. К,уйидагига эгамиз:
grad и-v = \7 uv = и\7 v-Р v\7 и
ёки
12.4.3.
мумкин:
grad uv = ugradv-\-vgradu.
Иккинчи тартибли бешта дифференциал амални ёзиш
divgradu= V • Vu = V2w = Aw,
бу ерда
Д=-^-+—+—= V2
дх2 ду2 dz2
ифода Лаплас оператори дейилади:
rot gradu = (V X V)u;
div rota = V • ( V >( a);
grad diva = V (Va);
rot rota = V X (V X a).
Гамильтон оператори V нинг вектор маъносидан rot grad и=б
(иккита коллинеар векторнинг вектор купайтмасига эгамиз)
эканлиги ва div rota=0 (компланар векторларнинг аралаш купайт-
масига эгамиз) эканлиги келиб чикади.
4- м и с ол. w=y функция, бу ерда r= -\J x2+y2+z2, гармоник
функция эканлигини ва a = grad и — вектор майдон гармоник
эканлигини исбот килинг.
Ечиш. Дастлаб берилган функция учун Лаплас тенгламаси
д2и , д2и , д2и п п v
—-------Н-----г=и еки Ди = 0 уринли эканини текширамиз. Бунинг
дх ду дгг
д2и д2и д2и . „
учун —- ——- ва Ди ларни хисоблаимиз:
дх ду* дг
<?2«_ ди х ди у дх гз ’ ду г3 1 . Зх2 д2и 1 . ди ’ дг ЗУ2. Z ~ г3’’
д2и 1 3Z2
дх2 г3 1 ? ’ ду2 “ г3 1 Ди= -4- ?.<х2.+У2+г2) . г3 г5 Г5 ’ дг2 Г3 1 —+—=0 г3 г3 г5
Демак, Ди = 0 Лаплас тенгламаси Уринли, бинобарин, берилган
и=——гармоник функция.
Мисолни ечишда давом этамиз. Топамиз:
5=gradu=^7+^7+<fe
ёки
а = —^(xl+yj + zk) .
Маълумки, исталган и функция учун: rot а=rot grad и = б, яъни а
нинг гармониклигини аниклашнинг биринчи шарти бажарилган.
Иккинчи шарт: div а = 0 хам бажарилади, чунки
div a = div grad u = Au = 0.
4- дарсхона топшириси
1. а майдоннинг потенциал эканини курсатинг ва унинг
потенциали и ни топинг:
а) а={2ху, x2 — 2yz, —у2};
б) а={3х2у — у3, х34-3xz/2};
в) а={у + 2, x+z, у + х};
г) a = {yzcos>xy, xzcosxy, sinxy}.
Ж: a) u=x2y—y2z + Cj
б) и=х3у — ху3 + С;
в) u = xy + yz-\-xz-\- С;
г) u = zsinxz/ + C.
2. a={t/z-|-1, xz, ху} майдон потенциали и ни топинг ва
(2, 3, 2)
( (yz+ \)dx + xzdy + xydz чизикли интегрални хисобланг.
Ж: u = x-\-xyz-\-C, 12.
3. Берилган функция гармоникми:
а) и = 1пг, бу ерда г= у] х2-\-у2 ;
б) и — г — х, бу ерда г=д/х2+у2 ;
в) y=Ax-\-By-\-Cz-\-D.
Ж: а) ха; б) йук; в) ха.
4- муста^ил иш
а вектор майдоннинг потенциаллигини текширинг, унинг
потенциалини топинг ва а вектордан А (ёй боши) ва В (ёй охири)
нукталарни туташтирувчи ёй чизиги буйлаб олинган чизикли
интеграл кийматини хисобланг:
1. a = \2xyz, x2z, х2у},
А (1, -1,2), В (-2, 4, 2). Ж: 34.
2. а = {х2 — 2yz, y2 — 2xz, z2 — 2ху\,
А (1, -1, 1), В (-2, 2, 3). Ж:
О
3. a={2xy + z2, 2xz + x2, 2xz+y2},
А (0, 1, -2), В (2, 3, 1). Ж: 25.
9- намунавий цис об топширикршри
1. и = «(х, у, z) скаляр йуналиши буйича хосиласини майдоннинг М нуктадаги 7 вектор топинг:
1.1. U=Jx2J-^2-|-22)3/2 7=1— j ~hk, M(l, 1, 1). 1.2. u=x+Jn(z2±y2), l=-2i + j-k, M(2, 1, 1). 1.3. U = X2y— -y/xy-^-Z2 , 7=2j-2&, M(l, 5, -2). 1.4. u=^ln(l +x2) — arctgz, 7=2i-3j-2k, M(0, 1, 1). 1.5. u=x (ln^ —arctgz), l = 8i + 4j+8K, M(-2, 1, -1). 1.6. u = ln{3 — x2) +xy2z, t = — i~\~2j—2k, M(l, 3, 2). 1.7. u = sin(x+2t/)+ y/xyz , Z= 4z -|- 3/, 3). 1.8. u=x2y2z — ln(z— 1), / = 5i-6/ + 2V5£, M(l, 1, 2). 1.9. u = x3+^/y2 + z2 , 7=]— k, M(l, -3, 4). 1.10. u = У?_= У *+у]У ’ Г=2Г+^, Af(4, 1, -2). 1.11. и = у]ху 4- л/э —z2 , /=-2Г+2/-£, М(1, 1, 0). 1.12. и = 2 ~\Jx-4~y 4-z/arctgz , Г=4Г-з£, М(3, -2, 1). 1.13. iz = z24-2arctg(x —у), l = i + 2j-2k, М(1, 2, -1). 1.14. u=Jn(x2+/) 4-xyz, /=/-/ + 56, Al(l, —1, 2). 1.15. и = ху-^, 7= 5i -f- j — k, M(-4, 3, -1). 1.16. u = ln(x+ y/yZ+z2) , 7=-2i-f+^, M(l, -3, 4). 1.17. u = xJ-ajctg(y + z), 7=3j-.4k, M(2, 1, 1). 1.18. y = x2y-4-_y2z^cz2x, l = 2i~4-5j — 3k, M(l, —1, 2). 1.19. u = ln(xz^4-z/z + xz), 7=4i-2j-2K, M(-2, 3, -1). 1.20. u = 5^yz — xy2z-4-yz2, 7=81-4j+ 8^, M(l, 1, 1). 1.21. u= i0 ^+у2+^ + 1 ’ 7=3i-2J+3K, ^(-1, 2, 2). 1.22. u=-—x- x2 + y2 + z2 ’ 7=-47-3k, M(1, 2, 2). 1.23. и =5x2yz — xu2z + yz2, l=i-2j + 2E, M(l, -3, 2). 1.24. u = x2 + xy2-6xyz, 7=31 -j + 3l Al(l, 3, —5).
1.25. и= ф+х2+у2 + г2 ,
7=2t+j,
Л4(1, 1, 1).
1.26. u = ln(x3 + i/3 + s+1)-
7=-5Z-2/ + 3fe,
M(l, 3, 0).
Z=3i 4" 2/ И- Зй.
M(-l, 1, 1).
1.28. u=x2 + t£ + z2 — 2xyz,
1= 414~ 2k,
M(l, -1, 2).
1.29. u = \n(x2 + y2_ + z2),
J=4t — J—2k,
M(-l, 2, 1).
1.30. U=A_X_A,
у z Z
7=-5Z+2Z-S,
M(2, 2, 2).
2 u = u(x, y, z) функциянинг M нуктадаги энг катта узгариши
катталиги ва йуналишини топинг:
2.1. u = xyz, 2.16. и= (x+y)z2,
М(0, 1, -2). М(0, -1, 4).
2.2. u=xy2z, М(1, —2, 0). 2.17. u=x2(.y2 + z), М(4, 1, -3).
2.3. 2 2 U = X У 2, Л4( —1, 0, 3). 2.18. u = x2(y + z2), М(3, 0, 1).
2.4. 2 2 U = xy Z , М(-2, 1, 1). 2.19. u = x(y2 + z2), М(1, —2, 1). 9 9
2.5. и—х у + у z, 2.20. и = х z — у ,
М(0, —2, 1). М(1, 1, —2).
2.6. U = xy — XZ, М(-1, 2, 1). 2.21. и = х у — z, М(-2, 2, 1).
2.7. u = xyz, М(2, 1, 0). 2.22. u = y(x+z), М(0, 2, —2). л 2
2.8. 9 и=х yz, М(2, 0, 2). 2.23. и=х yz, М(1, 0, 4).
2.9. u=xyz2, М(3, 0, 1). 2.24. и= (x + z)y , М(2, 2, 2).
2.10. 2 2 U = x2yz , М(2, 1, -1). 2.25. u=(x2 + z)y, М(-4, 1, 0).
2.11. 2.12. 2 2 Ы = /2 —X , М(0, 1, 1). Ы = х (y + z), М(0, 1, 2). 2.26. u=(x2 — y)z2, М(1, 3, 0). 2.27. и = х2 + 3у2 — z2. М(0, 0, 1).
2.13. , u = x2yz, 2.28. u=xz2-\-y,
2.14. М(1, -1, 1). , u = xyz2, М(4, 0, 1). М(2, 2, 1). 2.29. и=ху2 — z, М(-1, 2, 1).
2.15 . u = 2x2yz, 2.30. u = z(x-{-y),
ЛЦ-З, 0, 2). М(1, —1,0).
3. и и(х’ У’ 2) ва v— v(x, у, z) скаляр майдонлар градиентлари
орасидаги бурчакни топинг: н
„3
3.1. u=^+6y3+3^6z3.
х2 ’
Y
\ v V2 7з /
3.2. Ц = 1У1_______I, A
x 9y ' z ’
v = x2yz3,
m(24
3.3. u = 9y/2x3-
v 272 73 ’
z3
v=17’
M(i’2’ VI)'
3.4. u = 6-^6x3—6 y/6 */3+2z3,
9
v=™-
У '
1Y
\ 7$ 7$ /
3.5. u=ii_Ye+l
2x 2y ' 3z ’
\72’ 72’ 73/
3.6. u=—+—_____L_
X у yj&z ’
V =—-—
x3y2 ’
3.7. u=^-+6z/34-3 y/6z3,
v=~ M(-72, -L ‘ \
yz2 k v 72’ 73/
_ 2
3.8. и = 3у/2х2—y—-3y!2z2,
У
3.9. u = 3 д/2х2--^-3y2z2,
2
"(i2' VI)-
3.10. u=-+-i—L-
X у yj&z ’
X3lf
v=——,
z
«(‘2-тк)-
з.п. «=_ 1VI+_______L-
X ' Чу 1 73 X ’
x^yz
\ 3’ 76)
3.12. u=—-l-A_.jV_3
x у 272z’
x2
v=7^’
M(J2, V2, A)-
3.13. u = x2 + 9y2 + 6z2,
v=xyz,
3.14. u=-+^_______________VI
x 2i/ 4z ’
3.15.
u=^x2-^-6yj2z2,
v = xy2z,
3.22.
3.16.
Уб . 76 2
и~~ 2х *" 2у 3z ’
х
v=—,
yz
__?___у2__8£
и~ У2 У2 уз ’
х2
V~^'
М^2, д/2,
3.23. и= 3-x2+3y2-2z2,
3.17.
3.18.
м
9 3
v = x yz ,
и = 9д/2х3
3.19.
_6 | 2 зуз
U~ х у 2t/2z ’
“=<
«(V2.V2.4)'
3.24.
у3_
2У2
ху2
v=^'
Л|(У,2. д/l)
и =
V =
М
4z3
3 ’
1
У 2 х
№
X ’
2т/2 ЗУЗ
У
2z ’
3.25.
и= д/2х2
v = ——
xy 2
^-6д/2 22,
и = 6 д/бх3— 6 д/6//34-223,
XZ
3.26.
U~ У2х
X
и = -Тз->
i/2z3
2У2
зуз
У
2z
м -у=
3.20. и = х2 — у2 — 3z2,
yz2
и=—'
п 9
3.2!. „=^_^+
z2
2 2’
«(12' VI)-
3.27.
3.28.
и =
4^2
X
Ъу
yJ3z
u=x2yz ,
u = x2 + 9y2 + 6z2
1
и =------,
xyz
М
3.30.„=_'^+W|£+8^3,
v=-^~ и —
X2 ' u—f’
«(V2.V5.41). +V4-VH)-
4. а вектор майдондаги вектор чизикларни топинг
4.1. a = 4yt—9xj.
4.2. a = xi-\-4yJ.
4.3. d=4yi-4-8zii
4.4. d=4zf— 9yk.
4.5. a = 5x1 + 1 Oyj.
4.6. d=yJ-\-4zk.
4.7. d = 9yi — 4xj.
4.8. a = 4xi-}- zk.
4.9. a = 2yi + 3xj.
4.10. d = 8xT-{-6zk.
4.11. a = yj-4-3zk.
4.12. a = 2zJ-\-3yk.
4.13. a = xt-{-yJ.
4.14. a = 2yJ+6zk.
4.15. d = 5zt + 7xk.
4.16. a = 2xi-\-4yJ.
4.17. a = 4zi — 9xk.
4.18. d=2xi + 8zd.
4.19. a = 6xi+\2zk.
4.20. a — 4xi-\-yJ.
4.21. a=xi + zk.
4.22. a = 7yi + \4zii.
4.23. a = 9zj — 4yk.
4.24. a=xi + 3yj.
4.25. a — 2zi-4-3xk.
4.26. d=xi-4-3zK.
4.27. d = 2xi-\-5yJ.
4.28. d=5yT-j-7xJ.
4.29. d=9zi — 4xk.
4.30. a = 2xi-\-8zH.
5. а вектор майдоннинг p текислик ва координата текисликлари
Хосил килган пирамиданинг ташки сирти буйича окимини икки усул
билан топинг:
а) оким таърифидан фойдаланиб;
б) Остроградский — Гаусс формуласи ёрдамида.
5.1. а=ЗхГ+(у+г)/+(х—г)£,
Р : х 4-3//4-z = 3.
5.2. а= (Зх— 1)Г4- (у — x + z) J+4zR,
р : 2х—у — 2z = 2.
5.3. а=хГ4-(х4-2)Г4-(г/4-г)^,
р • 3x4-3//4-2 = 3.
5.4. 5= (х4-2)Г4-(г —х)7-|-(х4-2у4-2)й,
р : x + y + z=2.
5.5. 5= (у-|-22)Г4-(х4-2г)/+(х —2//}*,:
р : 2x + y-\-2z = 2.
5.6. a= (x + z)Z+2z/7+ {х+у — z)£,
р : x + 2y + z=2.
5.7. а= (Зх—у)Т+ (2y+z)J+ (2z — х)Я,
р : 2х —3z/ + z = 6.
5.8. а= (2y + z)T+ (х — y)J— 2zk,
р : x—y + z = 2.
5.9. a=(x + y)T+3yJ+(y-z)k,
р : 2х— у—2z = —2.
5.10. а= (х+у—z)T— 2yJ+ (x + 2z)%,
р : x + 2y + z=2.
5.11. а= (у—z)H- (2x+yYi+zk,
р : 2x + y + z = 2.
5.12. а = хТ+ (y-2z)j+ (2x-y + 2z)Z,
р : x + 2y + 2z=2.
5.13. а = (x + 2z)l+ (у — 3z)H-z£,
р : 3x + 2y + 2z=6.
5.14. a = 4xi+ (x—y—z)j+ (3y + 2z)£,
p : 2x+y + z=4.
5.15. a= (2z — x)l+ (x + 2y)]+3z^,
p : x+4y + 2z = 8.
5.16. a = 4zi+(x — у — z)j+(3y + z)k,
p : x-2y+2z = 2.
5.17. a= (x + y)i + (y+z)14~2 (z + x) k,
p : 3x-2y + 2z = 6.
5.18. a= (x+y + z)t + 2z]+ (y — 7z)£,
p : 2x + 3z/+z = 6.
5.19. a= (2x-z)i+ (y-x)/+ (x + 2z)6,
p : x—y + z=2.
5.20. a=(2y — z)i+(x + y)~]+xk,
p : x + 2z/ + 2z = 4.
5.21. a= (2z — x)f+(x — z/)7+(3x4-2)^,
p •• x+y + 2z=2.
5.22. a= (x + z)Z+ (x + 3y)~j + y&,
p : x + y+2z = 2.
5.23. a=(x + z)l+z']+(2x-y)k,
p : 2x+2y+z = 4.
5.24. a= (3x+y)T+ (x + z)J+yk,
p : x + 2y + z = 2.
5.25. a= (y + z)?+ (2x — z)J+ (y + 3z)K,
p : 2x + y4-3z = 6.
5.26. a—(y + z)t+(x+6y)/+y^,
p x4-2y4~2z=2.
5.27. a=(2y — z)t+(x + 2y)J+yk,
p : x4-3y-|-2z=6.
5.28. a= (y+z)t + xj+ (y — 2z)k,
p : 2x^2y + z=2.
5.29. a=(x+z)f+z7+(2x—
p . 3x4-2y 4- z=6.
5.30. a—zi -j- (x+y) j -f- yk,
p : 2x4-t/4-2z=2.
6. а вектор майдоннинг p текисликнинг координата текисликла-
ри билан кесишдан хосил булган учбурчак контури буйича
циркуляциясиниu (бу текисликнинг нормал векторига нисбатан
айланиб утиш йуналиши мусбат булганда) куйидаги икки усул
билан хисобланг:
а) циркуляция таърифидан фойдаланиб;
б) Стокс формуласи ёрдамида.
6.1. a=zf+ (х+у)7+у£,
р : 2x4-t/-|-2z=2.
6.2. H=(x + z)f+z/4-(2x-y)^
р . Зх -j- 2?/ 4“ % == 6.
6.3. a=(y+z)i+xf+(y-2z)k,
р : 2x4-2r/4-z = 2.
6.4. a=(2y-z)t+(x + 2y)J+yk,
р • х Ц- 3t/ —|- 2z = 6.
6.5. H=(y4-z)F4-(x4-6«/)/4-y^
р : x4-2y4-2z=2.
6.6. a=(y4-z)H-(2x—z)f4-(t/4-3z)£,
p . 2x 4~ у 4~ 3z=6.
6.7. a= (3x4-i/)f4-(x4-z)/4-^,
p : x4-2«/4-z=2.
6.8. a=(x4-z)F4-zf4-(2x—y)k,
p : 2x4-2i/4-z=4.
6.9. a=(x+z)t+(x + 3y)J+y^
P ^4-«/4-2z = 2.
6.10. a=(2y—z)t+(x-}-y)J+xk,
p x4-2y4-2z = 4.
6.11. a=(2z-x)Z4-(x-y)/4-(3x + z)^
P : x+y + ^z=2.
6.12. a=(2x-z)i+(y-x)J+(x-]-2z)k,
P ' x — l/4-z=2.
6.13. a— (x+y + z)i + 2zj+ (у — 7z)k,
p'. 2x+3t/-|-z = 6.
6.14. а=(х+у)Г+(у4-г)74-2(х+г)Л,
p'. 3x— 2t/ + 2z = 6.
6.15. a=4zi'+(x—у — z)/ + (3y-\-z)k,
p'. x — 2t/ + 2z = 2.
6.16. a= (2z—x)Z+(*+2t/)7+3z&,
p: x-\-4y-]-2z = 8.
6.17. a = 4xT+(x — y—z)7+(3t/ + 2z)£,
p - 2x -|- у -j- z 4.
6.18. a = (% + 2z)Z+ (y— 3z)j-j-zk,
p: 3x-4~2y-^-2z = 6.
6.19. d=xi+ (y — 2z)/+ (2x —y-\-2z)k,
p: x-\-2y-\-2z = 2.
6.20. a= (y —z)F+(2x + y)/ + z&,
p: 2x-\-y-\-z = 2.
6.21. a= (x-\-y—z)i—2yi~\- (x-]-2z)k,
p: x-\-2y-\-z = 2.
6.22. a±= (x+y)i + 3yl+ (y—z)k,
p: 2x—у —2z=—2.
6.23. d= (2t/ + z)f+ (x—y)J— 2zk,
P- x — z/ + z = 2.
6.24. d= (3x — y)Z+ (2//+z)7+ (2z — x)k,
p: 2x — 3y-j-z = 6.
6.25. a= (x-]-z)l-\-2yj(x-\-y — z)k,
p: x-]-2y-\- z=2.
6.26. a= (y-{-2z)i-\- (x + 2z)/+ (x—2y)k,
p: 2x + y + 2z = 2.
6.27. a= (x+z)/+ (z—x)/ + (x-]-2y-]-z)k,
p: x + </ + z=2.
6.28. a — xi-\- (x+z)/+ (y-{-z)k,
p'. 3x-f-3i/-|-z=3.
6.29. a= (Зх— 1 )F+ (y — x-]-z)/ + 4z£,
p: 2x—у — 2z=—2.
6.30. a = 3xi-|-(y-|-z)/+(x — z)fc,
p: x-\-3y-\-z = 3.
Xlj' + xyl
tl- (2-x)J+(X — y)k-
jBMJWMM ipTf K'lpiiuiHJinp), iKxreii
| Ц|МННйНИ 1'^ '*** BiipiiaiiTjiap)
|)|ф(Х + I/)*
. -
H*>/+ {t-x\k.
^9^ty)f+xyk.
(8^/4 г£
(tot-xy)[ 4^.
»йи/4 (-f..x^- .
^ (*+/)/+(^-/)/e'
^8w/—3(.y+-z)/(.
ф|/)/-Ьх21Л
x^x —4i/)/+3z t _
Йо» (Зх ф 2z) / + с os (Зу+2г) Л.
(t~y)l+‘2(x+_z)k.
-|)Гф(ха-у2)/фЗгй. _
**= ул) /"+ (хг — 2y)! + 2xyzk.
jfl^Ux-y)j + (x-z)k.
^^УГ1~хгЧ.
• ЙФ|/)/+ {y+^J+(x+z)k-
13- боб.
МАТЕМАТИК ФИЗИКАНИНГ АСОСИЙ ТЕНГЛАМАЛАРИ
1-§. Тор тебраниш тенгламаси учун Коши масаласини
Даламбер усули билан ечиш
13.1.1. Математик физиканинг купгина масалалари хусусий
хдсилали дифференциал тенгламаларга келтирилади. Булардан энг
куп учрайдигани иккинчи тартибли тенгламалардир.
Умумий куриниши
A^L^B-^-+C-^r+D-^+E-^+Fu = f(x, у)
дх2 ~ дхду “ ду2 дх ду~
булган хусусий хдсилали иккинчи тартибли чизикли дифференциал
тенгламани караймиз. Бу тенгламада номаълум и(х, у) функция
иккита узгарувчига боглик булиб, тенгламанинг А, В, С, D, Е ва
F коэффициентлари х,ам умуман айтганда х ва у ларга боглик
маълум функциялар. Тенгламанинг унг томонидаги f(x, у) функция
берилган функция булиб, у нолга тенг булса, тенглама иккинчи
тартибли бир жинсли чизикли хусусий ^осилили тенглама дейилади.
Агар тенгламанинг берилган сох,асида:
В2—4АС>0 булса, тенглама гиперболик,
В2— 4ЛС = 0 булса, тенглама параболик,
В2—4АС<0 булса, тенглама эллиптик турга тегишли булади.
Торнинг кундаланг тебраниши, металл стерженнинг буйлама
теОраниши, симдаги электр тебранишлар, айланувчи цилиндрдаги
айланма тебранишлар, газнинг тебранишлари каби
гиперболик турдаги энг содда тулкин тенгламаси
масалалар
9 <32и д2и п
а-—т--------у=0
<3х2 ду2
га олиб келади.
Иссикликнинг таркалиш жараёни, говак мух,итда
газнинг окиши масаласи каби масалалар параболик
содда иссиклик таркалиш тенгламаси (Фурье тенгламаси)
суюклик ва
турдаги энг
9 <32и ди
а-—- — -- =0
<3? дУ
га олиб келади.
7. а вектор майдон соленоидлими (1 — 11-вариантлар), потен-
циалми (12—25-вариантлар), гармоникми (26—30-вариантлар)
эканини аникланг:
7.1. a — (y+z)T+xyj— xzk.
7.2. a = x2yi — 2xy2~j+ 2xyzk.
7.3. a= (2yz — 2x)i+ (xz — 2y)J+xyk.
7.4. a= (x2 —z2)T—3xyj+(у2+г2)^.
7.5. a = 2xyzt —y(yz-\- l)7+z£.
7.6. a = (2x — 3y)T+2xyJ— z2H
7.7. a= (x2—y2)H- (y2 —z2)j + (z2 — >?)k.
7.8. a—yzi+ (x-y)J-i-z2k.
7.9. a = (y + z)T+ (x + z)7+ (x+y)K.
7.10. d=3x?yT—2xy2J—2xyzH
7.11. a= (x+y)Z—: 2{y + z)~]+(z — x)k.
7.12. a— (yz — 2x)F+ (xz + zy)~[+xy£.
7.13. a = yzi-\-xzj + xyk.
7.14. a = 6xyf+(3x2 —2y)/ + z^.
7.15. a= (2x — yz)?+ (2x — xy)J+yzH
7.16. a— (y — z)F+3xz/z/+ (г — x)k.
7.17. a= (y — z)t'+ (x4-z)/‘+ (x2 — у2) K-
7.18. a= (x-\-y)T—2xzf—3(y-\-z)k.
7.19. a = z2?+ (xz+y) 7+ x2yH.
7.20. a = xz/(3x—4г/)Г+х2(х —4z/)/4-3z2£.
7.21. a = 6x2r+3cos(3x + 2z)7+cos(3z/ + 2z) k.
7.22. 5=(x+y)T+(z-z/)7+2(x + z)^.
7.23. 5=3(x —z)F+(x2—y2)7+3z^.
7.24. а= (2x —г/г)Г+ (xz — 2y)]+2xyzk.
7.25. d = 3x2T+4(x—y)J+(x — z)k.
7.26. a = x2zT+y2J—xz2H.
7.27. a= (x+y)l+ (y + z)J+ (x + z)K.
7.28. d=^+^-j+-H-
у Z1 X
7.29. а=уг1 + хг^-\-хук.
7.30. a= (y — z)i+ (z — x)7+ (x — y)k.
13- боб.
МАТЕМАТИК ФИЗИКАНИНГ АСОСИЙ ТЕНГЛАМАЛАРИ
1-§. Тор тебраниш тенгламаси учун Коши масаласини
Даламбер усули билан ечиш
13.1.1. Математик физиканинг купгина масалалари хусусий
хосилали дифференциал тенгламаларга келтирилади. Булардан энг
куп учрайдигани иккинчи тартибли тенгламалардир.
Умумий куриниши
A^+B^-+C-^+D^+E^ + Fu = f(x, у)
дх2 дхду дх ду '
булган хусусий хосилали иккинчи тартибли чизикли дифференциал
тенгламани караймиз. Бу тенгламада номаълум и(х, у) функция
иккита узгарувчига боглик булиб, тенгламанинг А, В, С, D, Е ва
F коэффициентлари хам умуман айтганда х ва у ларга боглик
маълум функциялар. Тенгламанинг унг томонидаги f(x, у) функция
берилган функция булиб, у нолга тенг булса, тенглама иккинчи
тартибли бир жинсли чизикли хусусий ^осилили тенглама дейилади.
Агар тенгламанинг берилган сохасида:
й2-4ЛС>0 булса, тенглама гиперболик,
В2 — 4АС = 0 булса, тенглама параболик,
В2 —4АС<0 булса, тенглама эллиптик турга тегишли булади.
Торнинг кундаланг тебраниши, металл стерженнинг буйлама
тебраниши, симдаги электр тебранишлар, айланувчи цилиндрдаги
айланма тебранишлар, газнинг тебранишлари каби масалалар
гиперболик турдаги энг содда тулкин тенгламаси
2 д2и д2и п
а- --------Т=°
дх2 ду2
га олиб келади.
Иссикликнинг таркалиш жараёни, говак мухитда суюклик ва
газнинг окиши масаласи каби масалалар параболик турдаги энг
содда иссиклик таркалиш тенгламаси (Фурье тенгламаси)
2 д2и ди п
а ----Т-----=°
<3х2 дУ
га олиб келади.
Тебранишлар, иссиклик утказиш ва диффузия каби масалаларга
тегишли стационар жараёнларнинг тадкикотида эллиптик турдаги
тенгламалардан фойдаланилади. Бу турдаги энг содда тенглама
А д2и . д2и п
Ди=----Н-----7=0
а? ду2
Лаплас тенгламасидир.
13.1.2. Умумий куринишда берилган хусусий х,осилали иккинчи
тартибли чизикли дифференциал тенгламанинг характеристик
тенгламаси деб
A (dy)2 — Bdxdy + С(dx)2=О
оддий дифференциал тенгламага айтилади.
Гиперболик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
<р (х, у) =Ci ва ф(х, у) — Ci интегралга эга булади. Умумий тенглама
£ = (р(х, у), Т] = ф(х> у)
алмаштиришлар ёрдамида
д2и ди ди \
шаклдаги каноник куринишга келтирилади.
Параболик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
битта <р(х, у)=с умумий интегралга эга булиб, улар £ = <р(х, у),
г) = т](х, у) — (г) ср га боглик булмаган ихтиёрий функция) алмашти-
риш ёрдамида
(ь
д2и
Tq2
Л> и
ди ди
’ <3£’ <Эт)
шаклдаги каноник куринишга келтирилади.
Эллиптик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
интеграллари ушбу куринишга эга булади: <р(х, у)±гф(х, y)=Ci,2,
бу ерда ф(х, у) ва ф(х, у) — хакикий функциялар. £ = <р(х, у),
г] = ф(х, у) алмаштиришлар ёрдамида эллиптик турдаги тенглама-
лар ушбу
д2и . <32и
<Н2 + <?ч2
Т), и
ди ди \
’ ~dV /
каноник шаклга келтирилади.
Г м и с о л. Ушбу
д *3 и । о д и I о <3 и । ди ди
47?+8^7+377+^+
дифференциал тенгламани каноник куринишга келтиринг.
Ечиш. Бунда Д=4, В=8, С=3, АС—^-=—4<0, демак,
гиперболик турдаги тенгламага эгамиз. Тегишли характеристик
тенгламани тузамиз:
b(dy)2 —8dxdy + 3(dx)2 = 0
ёки
4(^-Y-S-^-+3=°.
\ dx ) dx
ни топамиз: -^-= бундан у =-|- ва у'Характе-
dx dx 4 2 2
3 1
ристик тенглама интеграллари: у—^х = С1 ва у—-х = С2 эканли-
гини эътиборга олиб, £=у—|-х, х\=у—^х узгарувчиларни ал-
маштиришни бажарамиз. Эски узгарувчилар буйича хусусий х,оси-
лаларни янги узгарувчилар буйича хусусий х,осилалар билан
ифодалаймиз:
ди _____ ди д1 . ди дт]___ ди /_____3 \ . ди /______1_\.
дх di, дх' дт] дх <5£ \ 2 / <Эт] \ 2 / ’
ди ди di, , ди <5т] _ ди , ди .
ду ~ di ду <?т] ду di, <5т]
д2и__________3_ д /ди \_____1_ д / ди \__
д^ 2 дх \dl ) 2 дх \дт] /
3 /д2и di, . д2и <5т] \ 1 / d2u di, . ди or]
- 2 У^2 дх ' дх / 2 дх ' <Эт]2 дх
3 /_ 3 д2и__________1_ д2и \ _ 1 /____3 д2и_____1_ д2и \
2 \ 2 gg 2 J 2 \ 2 <Э£<Эт] 2 ai)2 J
9 <?2и . 3 д2и . 1 д2и
4 gg 2 <5^4 + 4 д^ ’
д2и д /ди \ . д /ди \
дхду дх \ di, / ' dx X /
___ д2и <?ч । д2и д% . д2и dg , д2и сЭт| __
<Jg<5r) дх д^ дх <3т]<5£ дх gt^ дх
__ 1 д2и 3 д2и 3 д2и 1 д2и
~ 2 2 gg 2 д\д^ 2 g^ ~
________3^ ди Q l^u 1 д2и
2 gg dgdT) 2 йт]2 ’
д2и д / ди X
ду2 ду X <Э£ /
д
ду
ди \ <32и д%
д’! / <3|2 ду
Тебранишлар, иссиклик утказиш ва диффузия каби масалаларга
тегишли стационар жараёнларнинг тадкикотида эллиптик турдаги
тенгламалардан фойдаланилади. Бу турдаги энг содда тенглама
ди=^-+Д=о
дх2 ду2
Лаплас тенгламасидир.
13.1.2. Умумий куринишда берилган хусусий хосилали иккинчи
тартибли чизикли дифференциал тенгламанинг характеристик
тенгламаси деб
A (dy)'2 — Bdxdy-\-C (dx)2 = 0
оддий дифференциал тенгламага айтилади.
Гиперболик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
ф(х, У) =Ci ва ф(х, у) =Сг интегралга эга булади. Умумий тенглама
£ = ф(х, у), л = Ф(х, у)
алмаштиришлар ёрдамида
д2и
5|<3г|
’ <Эт]
шаклдаги каноник куринишга келтирилади.
Параболик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
битта ф(х, у)—с умумий интегралга эга булиб, улар £ = ф(х, у),
т] = т](х, у) — (т] ф га боглик булмаган ихтиёрий функция) алмашти-
риш ёрдамида
|2
д2и г-Л. ди ди
Ч- “• -5Г
шаклдаги каноник куринишга келтирилади.
Эллиптик турдаги тенгламалар учун характеристик тенглама
интеграллари ушбу куринишга эга булади: ф(х, у) ±:ф(х, у) = Ci,2,
бу ерда ф(х, у) ва ф(х, у) —хакикий функциялар. £ = ф(х, у),
т] = ф(х, у) алмаштиришлар ёрдамида эллиптик турдаги тенглама-
лар ушбу
д2и . д2и
dt2 ф ал2 =
каноник шаклга келтирилади.
ди ди X
1- м и с ол. Ушбу
4
д2и
дх2
1-8-
д2и
дхду
। о д и । ди । q ди
дифференциал тенгламани каноник куринишга келтиринг.
о2
Ечиш. Бунда А —4, В=8, С=3, АС—~= — 4<0, демак,
гиперболик турдаги тенгламага эгамиз. Тегишли характеристик
тенгламани тузамиз:
4 (dy)2 — 8dxdy + 3(dx)2 = 0
ёки
dy
dx
ЬЗ = 0.
— ни топамиз: бундан у =-|- ва у' Характе-
dx dx 4 z z
3 1
ристик тенглама интеграллари: у—-х = С1 ва у—-х—С2 эканли-
3 1 и
гини эътиборга олиб, g = y—-х, х\=у—-х узгарувчиларни ал-
маштиришни бажарамиз. Эски узгарувчилар буйича хусусий х.оси-
лаларни янги узгарувчилар буйича хусусий х,осилалар билан
ифодалаймиз:
du ди dl . ди <Эг) ди / 3 \ . ди / 1 \
~дх~ ~д£~дх ' ~d? ~дх~ ~dl \ 2
ди ди dl , ди dr\ _ ди , ди _
ду dl dy <Эт] ду dl dr)
д2и 3 д /ди \ 1 d /du \
dx2 2 дх \dl / 2 дх \ <3т) /
_ 3 / д2и dl . д2и <?т] \__£ / д2и dl . д‘и дт]
~~ 2 у^2 Эх ' дх ) 2 дх ' dr]2 дх /
__ 3 / 3 д2и__________1 d2u \ 1 / з д2и______1 d2U
~ 2 \ 2 2 djdr| ) 2 \ 2 <3g<3r] 2 dr)2 /
9 д2и . 3 d2u . 1 d2u
4 ^2 + 2
d2u _ d /du \_j_________d_ /du \_
dxdy dx \ dl )' dx \ <?t] /
___ d2u dq . d2u dl ._d2u dl . d2u <9r) _
<3g<3r] dx dx ' dx ' <jT]2 dx
_______1_ d2u______ _3 d2u_________________1_ d2u __
2 dldT] 2 (^2 2 <Tr|<5£ 2 dt)2 ~
_______3 du n d2u I d2u
2 dl2 dldrj 2 dr]2 ’
d2u____d /du \ .___d / du \_ d2u dl .
dy2 dy \ dl )' dy \ dr] / dl2 дУ '
। д2и <Эт| . д2и dg . д2и <?т|
<Эт)<3£ ду <5£<Эт1 ду ' <5^2 ду ~
___ д2и . Q д2и । d2u
д%2 <?£<Эт] <5^2 ‘
Берилган дифференциал тенгламага иккинчи тартибли хосилалар
учун топилган ифодаларни куямиз:
д2и , г- д2и
<^2
д2и \ . Z, д2и . с д2и
—Г ) । |3-—г+о
<Эт)2 / \ д12
+3-^-V f— 12
дт\ / \
<52и । с д2и . д2и \ ,
—1(3 ---4----- Н-
д£ дт,2 /
ди , ди
ди ди \______
дГ— ~д^ ) ~
Соддалаштиришдан кейин берилган тенглама ушбу
о д2и .ди п д2и , 1 ди ,,
,.:Л ^2 3554 + dr] ~ ° еКИ dgdT) + 2 ~0
каноник куринишга (гиперболик тур) келтирилади.
13.1.3. Гиперболик турдаги sa параболик турдаги тенгламалар
купинча вакт давомида содир булувчи жараёнларни урганишда
кулланилади. Шу сабабли бу холларда изланаётган и функция
t вактга ва х координатага боглик булади, яъни и = и(х, /).
Куйилган масалани тулик хал этиш учун бу турдаги тенглама-
лар билан бирга чегаравий ва бошлантич шартлар хам берилган
булиши шарт.
Бошлангич шартлар t — Q да изланаётган и функция ва
унинг хосиласи кийматининг берилишидан (гиперболик турдаги
тенгламалар учун) ёки функция кийматининггина берилишидан
(параболик турдаги тенгламалар учун) иборатдир.
Чегаравий шартларда и(х, t) номаълум функциянинг
узгарувчи х ни узгариш оралигининг охирларидаги кийматлари
берилади.
Агар каралаётган жараён учун узгарувчи х нинг узгариш
оралиги чексиз деб каралса, у холда масала факат бошлангич
шартлардагина ечилиб, и(х, t) функция учун чегаравий шартлар
куйилмайди. Масалада факат бошлангич шартлар берилса, бундай
масала Коши масаласи дейилади.
Агар масала чекли оралик учун куйилса, у холда бошлангич
шартлар хам, чегаравий шартлар хам берилиши керак. Бу хол-
да аралаш масалага эга буламиз.
Эллиптик турдаги тенгламалар одатда стационар жараёнларга
тегишли масалалар каралаётганда кулланилади. Шунинг учун
t вакт бу тенгламаларда катнашмайди ва изланаётган ечим факат
координаталарга боглик булиб, масала чегаравий шартлардагина
ечилади. Шартларнинг берилишига кура Дирихле масаласи,
Нейман масаласи ёки аралаш масалалар куйилиши мумкин.
13.1.4. Торнинг кундаланг тебранишлари хакидаги масалани
куриб чикайлик. Эркин эгила оладиган ингичка ип тор деб аталади.
Торнинг кичик кундаланг тебранишлари торнинг тебраниш тенгла-
маси (тулкин тенгламаси)
д2и 2 д2и
----= а ---
dt2 дх2
ни каноатлантирувчи и = и(х, t) функция билан характерланади, бу
тенгламада х тор нуктаси координатаси, t — вакт, а2 — тор тай-
ёрланган материалнинг физик хоссаларини акс эттирувчи доимий.
Гиперболик турдаги тенгламага эгамиз. t — О пайтда торнинг
холати и|(=0 = (р(х) ва тор нукталарининг тезлиги | (_0 = ф ( х)
маълум булсин (Коши масаласи).
Торнинг тебранишлари тенгламасининг ечими ушбу куринишга
эга:
u(x,t) = фД-аО+ф(х+аО +^.<+^(x)dx
x~at
Бу формула тор тебраниш тенгламаси учун Коши масаласининг
Даламбер ечими деб аталади.
;, 2-ми с <yi. и | /=0=х2, 11= =0 булса,' V ,
д2и _ д2и
д?~ дх2
тенглама ечимини топинг.
Е ч и ш. а= 1, <р(х) =х'\ ф(х) =0, шунга кура и = +ф(*+0',
бунда <р(х)=х2. Шундай килиб, и= ёки и = х2-]-Л
1- дарсхона топшириги
1. Тенгламаларни каноник куринишга келтиринг:
<Э2г -2 о d2z . <> d2z n
б) —-sirrx — 2ysinx—-—\-y2—7=0;
дх2 дхду ' v dy2
v d2u с, d2u . <32u п
в) т—2—,--------Т = 0-
<9х2 дхдУ ду2
w \ <32и 1 Зи ,, d2z 2J dz ,
Ж: а б) —Т = Г~7Г> в)
<35<3л 25 <3т] <3т]2 524-п2 <35
д2и . <32и _________«
<Э52 + <Эт]2 ~
2. Агар и | (=о=О,-^-| (=0=х экани маълум булса, -^-=
<32и
= 4—т тенглама ечимини топинг. Ж: u = xt.
dx2
3. Агар u| = sinx, I = 1 булса, -^-=а2-^- тенглама
« = о dt I <=0 at2 дх2
билан аникланувчи торнинг 1=-^ пайтдаги шаклини аникланг.
Ж: u = sinxcosa/ + /; агар t=~ булса, у холда и=—, яъни
2а 2а
тор абсциссалар укига параллел.
1- мустакугл иш
1. Тенгламаларни каноник куринишга келтиринг:
а)
б)
В)
л2 л2 ->2
2 0 2 . п О Z . о д Z г.
х2 ——\-2xy-——НУ -тг=0;
дх дхду ду?
<32z . <32z о <32z о dz . с dz п
--7 — 4-т-5-3---- 2—---рб—=0;
йх2 dxdy dyt dx dy
1 <32z ._____1 <32z
X2 dx2 у2 dy2
Ж: а) ^|=0Д=|;Л=у; б) = х+у,
<3т]2 х <3ё<3л <35
П = 3х+у; в)
<32z . <32z . 1/1 dz . 1 dz \
<Э52 <3t]2 2 \ s <35 ' 4 <3n / ’
i = y2, f] = x2.
2. Тенгламаларнинг ечимини топинг:
, <32u d2u , i du I
a) —T=—у, бунда и t =x, I = — x ;
dt2 dx2 H=° dt I <=0
32u о d2u л I ~ du i
6) 7f=a 7?' бунш BL-«=0^l.-.=(:osj:-
Ж: a) u — x (1 —/);
6) u = -!-cosx-sina/.
л < 1 • 0U I v (/ U и U
3. Агар и = smx, — , = cosx булса, —-=—т
r I 1=0 dt 1 ‘=0 dti
билан аникланувчи торнинг / = л даги шаклини топинг.
Ж: и = — sinx.
тенглама
2- §. Иссиклик утказиш (тулкин) тенгламаси учун аралаш
масалани Фурье усули билан ечиш
13.2.1 . Берилган бошлангич ва чегаравий шартлардан фойдала-
ниб, стерженда температура таксимотини аникловчи и(х, I) функци-
яни топиш талаб килинсин.
Масала и(х, /) \t=0=f(x) бошлангич ва и(х, /)|х=0 = и(х,
t) |x=z = 0 ёки
ди I ___ du | __Q
дх । х=0 дх ।x=Z ’
чегаравий шартларда
ди о д2и п - t
-^-=а —Г’ ®<х<1
dt _ <эх2
иссиклик утказиш тенгламасини ечишга келтирилади.
Хусусий х,осилали тенгламаларни ечишнинг кенг таркалган
усулларидан бири узгарувчиларни ажратиш усули ёки Фурье
' оо
усулидир. Бу усулга кура хусусий ечим и(х, t) = 2 6„(рл(х)фД/)
п = 1
куринишда изланади. u|x=o = u|x=z = O чегаравий шартлар билан
куйилган масала учун Фурье усулига мувофик ечим:
' qq --—--—
1 / VT / /2 : ЛПХ
u(x,t)= 2 bne «sin—у-
п — 1
куринишда булади, бунда
i
• , 2 Г г i \ япх ,
, bn=- y(x)sin— dx,
I о
du_ I _du_ I q чегаравий шартлар билан куйилган масала
dx I Х = О dx lx = Z r f f
учун эса ечимни
7 /2 ЛПХ . _
u(x,t)= 2 ane -cos—-—h^o
n = 1
куринишда оламиз.
/, />0) тенгламанинг
u\t=0=f(x) =
I булса
u(x, t) = У, bne
бунда
l
лпх
2
Демак, изланаётган
ечим
и(х, t) =-Ц 2
Л'
п = 1
ёки
458
2
О
2 2
л п
---COS ——
лп I
bn=y j f(x) sin
о
l — x, агар у
х, агар булса,
2 С /, , . лпх ,
+ у \ (/ — х) sin——ах =
I
2
s = x, ds = dx,
a/ = sin ---dx, t =
2
4 = 0
, 4/
U(X, t) =—
. ЛПХ
-sin——
lx
---COS-
ЛП
1- M И С ОЛ.
du d2u
лпх
•SIH —j—>
13.2.2. Бир томондан чегараланган (ярим чексиз) стержен учун
ди о <52“
— = а ------
dt Ох2
_ 2 /
— I у
2 / I2
—-------COS
I \ лп
ЛПХ , I2 '
ушбу куринишга эга:
_ л2"2'
1 . лп Z лпх
—sin — е -sin ——
п 1
ЛПХ , 1хп^лпх I2 лпх
I “Г “CUo эш .
I лп I I
4/ . лп
~Sin^“'
л п £
_ л2(24+1)2
1 (2 л/(2&+1)х
---------е -sin —i'
(2Й-Н)--1
бошлангич шартни ва u|x=o = u|x=; = O чегаравий шартларни
каноатлантирувчи ечимини топинг.
Ечиш. Берилган чегаравий шартларни каноатлантирувчи
ечимни ушбу куринишда излаймиз:
.2.2,
2
лпх , 2 Г . лпх , .
—— dx = — \x-Sin-у-ах +
0
тенгламанинг u\t=o=f(x) бошлангич шартни ва u|x=o = cp(O
чегаравий шартни каноатлантирувчи ечими ушбу формула билан
аникланади:
, 1
и(х, t) =——;=
2л д/ л/
2а д/Н?
j Ф(Л) •е4“2‘,_")
О
3
(/ — л) 2dr\.
2-мисол. —=АЕ. тенгламанинг u\t=o=f(x) =ио бошлангич
Ы дх2
шартни ва и\х=о = О чегаравий шартни каноатлантирувчи ечимини
топинг.
Ечиш. Берилган шартларни каноатлантирувчи ечим юкоридаги
формулага кура ушбу куринишга эга:
u(x,t)=—^= \и0[е 4' — е 4' Jdg
711 J
* О
ёки
оо г _ (Е+*)2
и(х,/) = -^Л|Г 41 -е~ 41 М
J д/ Til J
v n
——i = jx, dc = — 2 -yjt du. деб белгилаб, биринчи интегрални алмаш-
тирамиз, яъни
бунда Ф(х) =-^= (e-'2d/,-^7T = H, ^ = 2д//4/ц деб белгилаб,
д/л J 2д//
= = 4 Г1-ФЫл)]Га ЭГа б^Ла’
2д/л/ J д/л J L \у f /J
* 0 х
2 V'
миз. Шундай килиб, ечим ушбу куринишни олади:
и(Х,1)=иоф(^)
2- дарсхона топишриги
1. Узунлиги I га тенг, ташки мухит таъсиридан мухофазаланган
ва u\t=o=f(x) = сх' ~х' бошлангич температурага эга булган бир
г
жинсли стержен берилган. Стерженнинг охирлари нолга тенг
температурада' тутиб турилади. Иссиклик утказиш тенгламаси
ечимини топинг (стерженнинг />0 вактдаги температурасини
аникланг).
со - (2» + 1 )2А2|
Ж: и (х,1) =4 2 —г е ‘2 sin
л3 Л=1 (2n+l)2 I
2. Агар ярим чексиз стерженнинг х = 0 чап охири иссикликдан
мухофазаланган, температуранинг бошлангич таксимоти
u\t = 0=f(x) =
О, агар х<0,
Uq, агар 0<х</,
О, агар х>/
булса, иссиклик утказиш тенгламасининг ечимини топинг.
3. Агар стерженнинг «|(=o = f(x) =i-p-x—sin-=px бошлангич
температураси берилган ва охирлари иссикликдан мухофазаланган,
яъни 1 *_о=-^- | х=;=0 булса, узунлиги I га тенг ва сирти хам
иссикликдан мухофазаланган стерженда температура таксимотини
топинг.
Ж:
°° 32
и(х, /)=л+ 2--------—------------- х
k=o л(2^+1)2(2^-1) (2^ + 3)
_ / а(2*+1)л \ 2^
Хе ' ' -cos
2- мустак,ил или
1. и|<=о = х(/—х), и|х=о = и|х= I — 0 шартларда
ди___ 2 д2и
dt dJ
иссиклик утказиш тенгламасини ечинг.
2 оо _ /а(2'.+ 1)л х2/
Ж: и(х,/)=— Ze ' ' -’sin
Л л=0
(2n+ 1) лх
7
1
(2n+ I)3 '
(2k+ 1)«
7
2. Агар узунлиги I га тенг сирти иссикликдан мухофазаланган
стерженнинг бошлангич температураси
fW =
2и„ /
-у-, агар
2 и(. I
(/ —х), агар —<х^'1
булиб, стерженнинг учлари хам иссикликдан мухофазаланган
булса, шу стерженда иссиклик таксимланишини топинг.
Ж: и(х, t)
сое. 2(2п+1) пх +
| I Р
2 Я2 „-о (2п+1)2
3- §. Дирихле масаласини доирада Фурье
усули билан ечиш
Дирихле масаласини караймиз: дойра ичида Лаплас тенглама-
сини каноатлантирувчи ва дойра чегарасида берилган функцияга
тенг булган гармоник функцияни топинг.
Масалани ечиш учун кутб координаталаридан фойдаланамиз.
Маркази кутбда булиб, радиуси /? га тенг дойра берилган булсин.
г<7? доирада гармоник, r = R айланада и| г=л=/((р) шартни
каноатлантирувчи (Иф) —берилган функция) ва бу айланада
узлуксиз булган и = и(г, <р) функцияни излаймиз. Изланаётган
функция доирада кутб координаталарида ёзилган ушбу Лаплас
тенгламасини каноатлантириши керак.
2 д2и . ди . д2и
г——-------------т=°-
дг2 дг дф2
Фурье усулидан фойдаланиб дойра учун Дирихле масаласи
ечимини топамиз:
1 С /?2_ -2
ц(г, ср) =— \ Цт) —------------------Xdx.
2л Д' /?2 —27?гсоз(т — ф) + г2
Бу интеграл Пуассон интеграла деб аталади.
Ми сол. Бир жинсли юпка доиравий пластинкада температура-
н’инг стационар таксимланишини топинг. Пластинка радиуси R га
тенг, унинг юкори кисми 1° да, пастки кисми 0° да тутиб турилади.
Ечиш. Масала шартига кура:
Ит) =
0, агар —л<т<0 булса,
1, агар 0<т<л булса.
Температура таксимоти
и (г, <Р) =V \ —5---------------2 dx
2" о ^2 — 2/?rcos(i — tp) +г2
интеграл билан аникланади.
а) юкори ярим дойра (0<(р<л) нукталари учун tg -~ф = t
алмаштиришни киритамиз, бундан cos(r — q>) = = 2dt_
l + P ’ l-|_/2 '
Янги интеграллаш узгарувчиси t (— tg-£) дан ctg-^ гача узгара-
ди. Шундай килиб,
ёки
W(r’ =~^
R2 — r2
(R-r)2+(R + r)2t2
dt= — arc
Л
cl4 _
-.4-
==— arc tg-
Л
.2
——arc tg-A2-^-
л 2/<rsirnp
/?2 —г2
tgun =------2/?rsirnp’0<~(P<'J1, Бу тенгликни унг томони манфий,
демак 0<(р<л да и функция — <и<1 тенгсизликларни кано-
атлантиради. Бу х.ол учун 0<(р<;л да ушбу ечимга эга буламиз:
г>2 2 . д2 2
tg(n —ил)=_———ёки U = 1—-arctg-^, .
2/?rsm<p л ° 2/?rsinip
б) Пастки ярим доирада жойлашган нукталар учун (л<ср<2л)
c*g T ==i' УРнига куйишдан фойдаланамиз, бундан cos(t — <р) =
2dt
l+t2
, янги интеграллаш узгарувчиси t
дан tg-y гача узгаради. У х,олда ср нинг бу кийматлари учун ушбуга
эгамиз:
t2— 1 ,
-л-----, ат =
_L_ 1
(-ctg-f
[ r R' — r2
W+,p+(#_r)2?‘" =
ф
-Ctg2
ёки
1 /?2 —г2 '
и —-----arc tg-^-^—, л<ф<2л.
л ° 2/?rsin<p
Энди унг томон мусбат (sin <р<0), шунинг учун 0<и<:-^.
3- дарсхона топшириги
Кутб координаталарини киритиб, 1^г^2 халканинг ички
кисми учун Лаплас тенгламасининг
«|г=1=0, и|г = 2 = У
чегаравий шартларни каноатлантирувчи ечимини топинг.
Ж: u(r, ф) =4 sh(lnr) • sinep.
3- мустак,ил или.
Ди —О Лаплас тенгламаси учун Дирихле масаласининг
1 <г<2 халкада и\r= i = sin3<p, u|r=2= 1+cos2cp чегаравий шарт-
ларни каноатлантирувчи ечимини топинг.
Ж: и(г, ф)=-^(^г2“ПУ^)СО52(Р+ (1r~3~i-r3)sin3cp-
14- б о б
ЭХ.Т ИМ ОЛЛИ КЛАР НАЗАРИЯСИ ВА
МАТЕМАТИК СТАТИСТИКА
1-§. Эхтимолликнинг классик ва статистик таърифлари.
Геометрик эхтимоллик
14.1.1. Эхтимолликлар назариясида цодиса деб, сипов натижаси-
да руй бериши мумкин булган хар кандай фактга айтилади.
Синов натижасида албатта руй берадиган ходиса мук,аррар
(U) уодиса дейилади.
Синов натижасида хеч качон руй бермайдиган ходиса мумкин
булмаган (V) цодиса дейилади.
Синов натижасида руй бериши хам, руй бермаслиги хам мумкин
булган ходиса тасодифий уодиса дейилади.
Синовнинг хар кандай натижаси элементар уодиса дейилади.
Агар битта синовнинг узида А ва В тасодифий ходисалар бир
вактда руй бермасалар, улар биргаликдамас (биргаликда булма-
ган) уодисалар дейилади. Агар синов натижасида бир нечта
ходисалардан факат биттаси руй берса, улар уодисаларнинг тула
гуру цини ташкил этади дейилади.
Агар Л ва В ходисаларнинг хеч бирини иккинчисига нисбатан
руй бериши мумкин дейишга асос булмаса, бу ходисалар тенг
имкониятли дейилади.
А ходисанинг руй бермаслигидан иборат булган А ходиса
А ходисага к,арама-к,арши уодиса дейилади.
Агар Л ва В ходисалардан бирининг руй бериши иккинчисининг
руй бериш ёки руй бермаслигига таъсир этмаса, бу ходисалар узаро
эркли (боглик, булмаган) ходисалар дейилади. Акс холда А ва
В ходисалар боглик, ходисалар дейилади.
14.1.2. Синаш натижасида тенг имкониятли п та элементар
ходисалар руй бериши мумкин булсин. Бирор А ходисанинг руй
бериши учун элементар ходисалардан m таси кулайлик тугдирсин.
У холда А ходисанинг классик эхтимоллиги
Р(Л)=^
формула билан аникланади.
Э х т и м о л л и к н и н г хоссалари:
1. Мукаррар ходисанинг эхтимоллиги 1 га тенг, яъни
P(U) = \.
2. Мумкин булмаган ходисанинг эхтимоллиги 0 га тенг, яъни
Р(И)=0.
3. Тасодифий А ходисанинг эхтимоллиги учун
0< Р(А) < 1
Гринли.
14.1.3. Эхтимолликларни бевосита хисоблашда купинча комби-
наторика формулаларидан фойдаланилади.
Урин алмаштиришлар деб п та турли элементларнинг бир-
биридан факат жойлашиши билан фарк килувчи комбинацияларига
айтилади. п та турли элементларнинг урин алмаштиришлари сони
Рп = п\ га тенг (п! = 1-2-3-... • ri').
Уринлаштиришлар п та турли элементдан гп тадан тузилган
комбинациялар булиб, улар бир-биридан ё элементларнинг тарки-
би, ё уларнинг тартиби билан фарк килади. Уларнинг сони
А™= - — ёки А%=п(п — 1) (п — 2)...(n — m + D
л (п —/п)!
формулалар билан топилади.
Группалашлар — бир-биридан хеч булмаганда битта элементи
билан фарк килувчи п та элементдан m тадан тузилган комбинация-
лардир. Уларнинг сони
14.1.4. Ходисанинг нисбий частотаси деб ходиса руй берган
синовлар сонининг утказилган барча синовлар сонига нисбатига
айтилади:
Г(Л)=^,
бу ерда ш— ходисанинг руй беришлари сони, п — синовларнинг
умумий сони.
Синовлар сони етарлича катта булганда ходисанинг статистик,
эхтимоллиги сифатида нисбий частотани олиш мумкин:
W(A) »Р(А)=^.
14.1.5. Геометрик эхтимоллик. D\ coxa D соханинг кисми
(булаги) булсин. Агар соханинг улчамини (узунлиги, юзи, хажми)
mes оркали белгиласак, таваккалига ташланган нуктанинг D со-
хага тушиш эхтимоллиги
Р(А) =
mesD,
mesD
га тенг.
1- м и с ол. К,утида 3 та ок, 7 та кора шар бор. Ундан таваккалига
олинган шарнинг ок шар булиши эхтимоллигини топинг.
Ечиш. А олинган шар ок эканлиги ходисаси булсин. Мазкур
синов 10 та тенг имкониятли элементар ходисалардан иборат булиб,
уларнинг 3 таси А ходисага кулайлик тугдирувчидир. Демак,
Р(Д)=А-=0,з.
\2-мисол. Гурухда 12 талаба булиб, уларнинг 8 нафари
аълочилар. Р^йхат буйича таваккалига 9 талаба танлаб олинди.
Танлаб олинганлар ичида 5 талаба аълочи талаба булиши
эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Синовнинг барча мумкин булган тенг имкониятли
элементар ходисалари сони С?2 га тенг. Буларнинг ичидан Cl-Ci
таси танлаб олинган талабалар ичидан 5 таси аълочи талабалар
ходисаси (Д) учун кулайлик тугдиради. Шунинг учун
1-2-3 _ 8-7-6 14
1 с?2 12-11-10 12-11-10 55 ’
1-2-3
3-ми сол. Киркма алифбонинг 10 та харфидан «математика»
сузи тузилган. Бу харфлар тасодифан сочилиб кетган ва кайтадан
ихтиёрий тартибда йигилган. Яна «математика» cj/зи хосил булиши
эхтимоллигини топинг.
Ечиш. А — «Математика» сузи хосил булди ходисаси. Тенг
имкониятли мумкин булган элементар ходисалар сони м=10! булиб,
А ходисага кулайлик яратувчилари т = 2!-3!-2! булади. Бу ерда
математика сузида «м» 2 марта, «а» 3 марта, «т» 2 марта
такрорланиши хисобга олинади.
т
п
21-31-2!
10!
1
151200 '
4-ми сол. Телефонда номер тераётган абонент охирги икки
ракамни эсдан чикариб к^йди ва факат бу ракамлар хар хил
эканлигини эслаб колган холда уларни таваккалига терди. Керакли
ракамлар терилганлиги эхтимоллигини топинг.
Ечиш. А — иккита керакли ракам терилганлик ходисаси
булсин. Хаммаси булиб, унта ракамдан иккитадан нечта уринлаш-
тиришлар тузиш мумкин булса шунча, яъни Д1о=Ю-9 = 9О та турли
ракамларни териш мумкин. Шунинг учун классик эхтимолликка
кура
Р(Д) =
1 _ 1
А2 90 '
л10
5-ми сол. Француз табиатшуноси Бюффон (XVIII аср) тангани
4040 марта ташлаган ва бунда 2048 марта гербли томон тушган. Бу
синовлар мажмуасида гербли томон тушиши частотасини топинг.
Ечиш.
Г (Л) =-^-^0,50693.
' ' 4040
6-мисол. R радиусли доирага нукта таваккалига ташланган.
Ташланган нуктанинг доирага ички чизилган мунтазам учбурчак
ичига тушиши эхтимоллигини топинг.
Ечиш. $(£Н) —учбурчакнинг юзи, S (D) —доиранинг юзи
булсин (63-шакл). А — нуктанинг учбурчакка тушиши ходисаси.
У холда
Р(Л) = =2У1^-=2УА«о,4137.
[ 1 S(D) 4л/?2 4л
7-ми сол. [0, 2] кесмадан таваккалига иккита х ва у сонлари
танлангаи. Бу сонлар х2^ 4у^ 4х тенгсизликни каноатлантириши
эхтимол. шгини топинг.
Е ч и hi. (х, ^) нуктанинг координаталари
( 0^х< 2,
| 0<у=С 2
тенгсизликлар системасини каноатлантиради. Бу—(х, у) нукта
томони 2 га тенг квадрат нукталари т^пламидан таваккалига
танланишини билдиради.
Бизни кизиктираётган А ходиса танланадиган (х, у) нукта
штрихланган фигурага тегишли булган холда ва факат шу холда
руй беради (64-шакл). Бу фигура координаталари х2^ 4у^ 4х
тенгсизликни каноатлантирадиган нукталарнинг туплами сифатида
Хосил килииган. Демак, изланаётган эхтимоллик штрихланган
фигура юзининг квадрат юзига нисбатига тенг, яъни
2
(6с—/х2 1 х3 \ 12 j_________8 4
_ о _______ \У~Т'~3~Ло_ 2 _ _ 12 _3 _J_
4 ~ 4 4 4 3'
Демак, Р(А) =-у.
1- даре хона топишриги
1. Таваккалига 20 дан катта булмаган натурал сон танланганда,
унинг 5 га каррали булиш эхтимоллигини топинг.
Ж: 0,2.
2. Карточкаларга 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ракамлари ёзилган.
Таваккалига тУртта карточка олиниб, уларни катор килиб
терилганда жуфт сон хосил булиши эхтимоллигини топинг.
Ж:|.
3. Кутида 12 та ок ва 8 та кизил шар бор. Таваккалига
а) битта шар олинганда унинг окбулиши эхтимоллигини топинг;
б) битта шар олинганда унинг кизил булиши эхтимоллигини
топинг;
в) 2 та шар олинганда уларнинг турли рангда булиши
эхтимоллигини топинг;
г) 8 та шар олинганда уларнинг 3 таси кизил рангли булиши
эхтимоллигини топинг;
д) 8 та шар олинганда кизил рангли шарлар 3 тадан куп
булмаслиги эхтимоллигини топинг;
Ж: а) 4; б) 4; в) -S-; г) ~0-35; д) «о,6117.
о о Уо
4. Иккита уйин соккаси баравар ташланганда куйидаги ходиса-
ларнинг руй бериш эхтимолликларини топинг:
А — тушган очколар йигиндиси 8 га тенг.
В — тушган очколар купайтмаси 8 га тенг.
С — тушган очколар йигиндиси уларнинг купайтмасидан катта.
Ж:
ОО 1О 00
5. Танга 2 марта ташланганда акалли бир марта гербли томон
тушиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р(4)=|.
6. Кутичада 6 та бир хил (номерланган) кубик бор. Таваккалига
битта-битадан барча кубиклар олинганда кубикларнинг номерлари
усиб бориш тартибида чикиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р(А)=^.
7. Кутида 5 та бир хил буюм булиб, уларнинг 3 таси буялган.
Таваккалига 2 та буюм олинганда улар орасида;
а) битта буялгани булиши;
б) иккита булгани булиши;
в) хеч булмаганда битта буялгани булиши эхтимоллигини
топинг.
Ж: а) 0,6; б) 0,3; в) 0,9.
8. Учлари (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1,0) нукталарда булган квадратга
(х, у) нукта ташланади. Бу нуктанинг координаталари у<2х
тенгсизликни каноатлантириши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р(А)=0,75.
9. Таваккалига хар бири бирдан катта булмаган иккита мусбат
сон олинганда, уларнинг йигиндиси х + у бирдан катта б^лмаслиги,
купайтмаси ху эса 0,09 дан кичик булмаслиги эхтимоллигини
топинг.
Ж: Р(А) «0,2.
10. Айланага таваккалига ички учбурчак чизилади. Бу учбурчак
J/ткир бурчакли булиши эхтимоллигини топинг.
11. Техник назорат б^лими таваккалига олинган 100 та китобдан
5 таси яроксиз эканини аниклади. Яроксиз китобларнинг нисбий
частотасини аникланг.
Ж: W(A) = —=0,05.
1 - мустакулл иш 1
1. Домино тошларининг т$/лик мажмуасидан (28 та тош)
таваккалига биттаси олинади. Куйидаги ходисаларнинг эхтимолли-
гини топинг.
а) олинган тошда 6 очко булиши;
б) олинган тошда 5 очко ёки 4 очко булиши;
в) чиккан очколар йигиндиси 7 га тенг булиши.
X 1. дх 13. х 3
Ж- а) 4, б) 28, в) 28-
2. Таваккалига 20 дан катта булмаган натурал сон танланганда
унинг 20 нинг бУлувчиси булиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р = 0,3.
3. Ракамлари хар хил икки хонали сон уйланган. Уйланган сон:
а) тасодифан айтилган икки хонали сон булиши;
б) ракамлари хар хил булган тасодифан айтилган икки хонали
сон булиши эхтимолллигини топинг.
Ж: а) Ш; С) А.
4. Алохида карточкаларга 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ракамлар ёзилган.
Карточкалар яхшилаб аралаштирилгач, таваккалига __ т^рттаси
олинади ва кетма-кет катор килиб терилади. Х,осил булган сон
1234 булиши эхтимоллигини топинг.
Ж: 0,00033.
5. Кутида 100 та лампочка б^либ, уларнинг 10 таси яроксиз.
Таваккалига 4 та лампочка олинади. Олинган лампочкалар ичида:
а) яроксизлари йук булиши;
б) яроклилари йук булиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р«0,65; б) Р® 0,00005.
6. R радиусли доирага нукта ташланади. Бу нукта доирага ички
чизилган квадрат ичига тушиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р=~.
Л
7. Таваккалига хар бири 2 дан катта булмаган иккита х ва
у мусбат сон олинганда бу сонларнинг купайтмаси ху бирдан катта
булмаслиги, у/х б^линма эса иккидан катта булмаслиги эхтимолли-
гини топинг.
Ж: Р«0,38.
8. Танкка карши миналар тугри чизик буйлаб хар 15 м га
жойлаштирилган. Эни 3 м булган танк бу тугри чизикка перпенди-
куляр йуналишда келмокда. Танкнинг минага дуч келиши эхти-
моллигини топинг.
Ж: Р = 4~-
9. Буюм партиясини синашда ярокли буюмлар нисбий частотаси
0,9 га тенг булди. Агар хаммаси булиб, 200 та буюм текширилган
булса, ярокли буюмлар сонини топинг.
Ж: 180 та.
10. Барча ёклари буялган куб 1000 та тенг «кубча»ларга
арраланган. Таваккалига олинган «кубча»нинг иккита ёги буялган
булиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р=0,096.
11. Яшикда 31 та биринчи нав ва 6 та иккинчи нав деталь бор.
Таваккалига 3 та деталь олинади: а) олинган учала деталь биринчи
нав булиши; б) олинган деталларнинг хеч булмаганда биттаСи
биринчи нав булиши эхтимоллигини топинг.
Ж: а) А* «0,58; б) рк 0,9974.
12. Таваккалига олинган телефон номери бешта ракамдан
иборат. Унда:
а) хамма ракамлар хар хил булиши;
б) хамма ракамлар ток булиши эхтимоллигини топинг.
Ж: а) 0,3024; б) 0,03125.
13. Шарга куб ички чизилган. Нукта таваккалига шарга
ташланади. Нуктанинг кубга тушиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р=—^=-«0,368.
луо
2-§. Ходисалар алгебраси.
Эхтимолликларни кушиш ва купайтириш теоремалари.
Шартли эхтимоллик
14.2.1. Иккита А ва В ходисанинг йигиндиси деб А ходисанинг,
ёки В ходисанинг, ёки бу иккала ходисанинг руй беришидан иборат
С = А-\-В ходисага айтилади.
Биргаликда булмаган иккита А ва В ходиса йигиндисининг
эхтимоллиги бу ходисалар эхтимолликларининг йигиндисига тенг:
Р (АА-В)=Р (А)+Р{В).
Бир нечта жуфт-жуфти билан биргаликда булмаган ходисалар
йигиндисининг эхтимоллиги бу ходисалар эхтимолликларининг
йигиндисига тенг:
Р(А । + Д2 + ••• -h^n) = Р(Л1) + Р(Лг) +... + Р(Дл).
TJ/ла группа ташкил этувчи Ai, А2, ходисалар эхти-
молликларининг йигиндиси 1 га тенг, яъни
Р(Л1)+Р(Л2)+... + Р(Л„) = 1.
Карама-карши ходисалар эхтимолликларининг йигиндиси 1 га
тенг, яъни
Р(Л)+Р(Д) = 1.
14.2.2. Иккита А ва В ходисанинг купайтмаси деб, бу ходиса-
f ларнинг биргаликда р^й беришидан иборат С = А-В ходисага
айтилади.
Иккита эркли ходисанинг биргаликда р^й бериши эхтимоллиги
бу ходисалар эхтимолликларининг к1/пайтмасига тенг:
Р{АВ) = Р{А) -Р(В).
Биргаликда эркли булган бир нечта ходисанинг руй бериши
эхтимоллиги бу ходисалар эхтимолликларининг купайтмасига тенг:
Р(А1-А2-...-Ап) =Р(А1) .Р(А2)-...-Р(Ап).
В ходисанинг А ходиса руй берди деган шартда хисобланган
эхтимоллиги илартли эхтимоллик дейилади. Шартли эхтимоллик
куйидагича белгиланади:
РЛ(В) ёки Р(В/А).
Иккита боглик ходисанинг биргаликда pj/й бериши эхтимоллиги
учун куйидаги формулалар Гринли:
Р(АВ)=Р(А)-РА(В) ёки Р(АВ) =РВ.РВ(А).
Бир нечта боглик ходисаларнинг биргаликда руй бериш
эхтимоллиги куйидаги формула буйича хисобланади:
Р(А\-А2.....Ап) =Р(А})-Ра,(А2)-PAiA2(A3) .а.. ,(Д«)-
14.2.3. А ва В тасодифий ходисалар йигиндисининг эхтимоллиги
учун куйидаги формула уринли:
Р(А+В)=Р(А) +Р(В)-Р(АВ).
14.2.4. Тула эхтимоллик формуласи. В\, В2, .... В„ лар
ходисаларнинг тула гурухини ташкил этиб, А ходиса уларнинг бири
билан р^й бериши мумкин булсин. У холда
Р(А) = 2 Р(Вк)-РВк(А).
*=1
14.2.5. Бейес формуласи. Агар А ходиса р^й бергани
маълум булса, у холда k = T^n эхтимолликларни кайта
бахолаш мумкин, яъни РА(Вь} шартли эхтимолликларни ушбу Бейес
формуласи ёрдамида топиш мумкин:
РА(Вк) =
P(Bk)-PBk(A)
Р[А)
1-мисол. Цехда бир нечта станок ишлайди. Смена давомида
битта станокни созлашни талаб этиш эхтимоллиги 0,2 га тенг,
иккита станокни созлашни талаб этиш эхтимоллиги 0,13 га тенг.
Смена давомида иккитадан ортик станокни созлашни талаб этиш
эхтимоллиги эса 0,07 га тенг. Смена давомида станокларни
созлашни талаб этилиши эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Куйидаги ходисаларни караймиз: А—смена давомида
битта станок созлашни талаб этади ходисаси;
В — смена давомида иккита станок созлашни талаб этади
ходисаси;
С — смена давомида 2 тадан ортик станок созлашни талаб этади
ходисаси.
А, В, С ходисалар узаро биргаликда эмас. Бизни куйидаги
ходиса кизиктиради: (А+^ + С) —смена давомида созлаш зарур
буладиган станоклар:
P(A + B + Q = Р(А) +Р(В) +P(Q =0,2 + 0,13 + 0,07 = 0,4.
2- м и с ол . Иккита овчи бир пайтда бир-бирига боглик булмаган
холда куёнга карата ук узишди. Овчилардан хеч булмаганда бири
укни нишонга текказса, куён отиб олинган булади. Биринчи
овчининг нишонга уриш эхтимоллиги 0,8 га, иккинчисиники 0,75 га
тенг булса, куённи отиб олиш эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Куйидаги ходисаларни караймиз:
А — биринчи овчи нишонга текказиши;
В — иккинчи овчи нишонга текказиши.
А ва В эркли ходисалар. Бизни (А+В) ходиса кизиктиради.
(А + В) —хеч булмаганда битта овчининг нишонга текказиши.
У холда
Р(А + В) =Р(А) +Р(В) -Р(А-В) =0,8 + 0,75-0,8-0,75 = 0,95,
В (А + В) =0,95.
Vo- ми сол. Командада 12 спортчи булиб, уларнинг 5 таси спорт
устаси. Спортчилар ичидан куръа ташлаш оркали уч спортчи
танланади. Танланган спортчиларнинг хаммаси спорт устаси
булиши эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Ai — биринчи спортчи — спорт устаси;
Аг — иккинчи спортчи — спорт устаси;
Аз — учинчи спортчи — спорт устаси;
A =/4i -/42-/4з — учала спортчи — спорт устаси.
/11, Д2, Аз, ходисалар — боглик ходисалар. Демак,
Р(А) = Р(А1 /Мз) =P(A1)PAi(A2)PAiA2 Ш =4-ТГ-
4- м и с ол . Талаба узига керакли формулами 3 та маълумотнома-
дан кидиради. Формула биринчи, иккинчи, учинчи маълумотномада
булиши эхтимоллиги мос равишда 0,6; 0,7; 0,8 га тенг. Формула:
а) факат битта маълумотномада булиши;
б) факат иккита маълумотномада булиши;
в) учала маълумотномада булиши;
г) хеч булмаганда битта маълумотномада булиши эхтимоллиги-
ни топинг.
Ечиш. Куйидаги ходисаларни караймиз:
/1| —формула биринчи маълумотномада бор,
/42 — формула иккинчи маълумотномада бор,
/43 — формула учинчи маълумотномада бор.
а) /4 = /41Л2Дз + Л1/42Лз + Л|Д2/4з — формула факат битта маълу-
мотномада брр.
/4j/42/43, Д1Д2, 4i/42/43 Ходисалар биргаликда эмас ва /4Ь
А2, А3-, Ai, Аг, А3; Ai, А2, /13ходисалар боглик эмас. Демак,
Р(А) =P(Ai)P(A2)P(A3) +Д(Л1)Д(Д2)Д(Лз) +Р(ААР(А2)Р(Аз) =
= 0,6-0,3 0,24-0,4 • 0,7 4,2 + 0Д • 0,3 • 0,8 = 0.188.
б) А=А1А2Аз + А1А2Аз+А\А2Аз — формула факат иккита маъ-
лумотномада бор. Демак,
P (А) = 0,6 • 0,7 • 0,2 + 0,6 • 0,3 • 0,8 + 0,4 - 0,7 - 0,8 = 0,452.
в) /4=/4|/42Дз — формула учала маълумотномада бор.
Р(А) =0,6-0,7-0,8 = 0,336.
г) /4 =/4|+/42 + /1з — формула хеч булмаганда битта маълу-
мотномада бор. Мазкур холдаА ходисага карама-карши ходисани
караш кулай.
Л — формула хеч бир маълумотномада йук.
Л=Л1Л2Л3, у холда Р(/4) = 1 —Р(Л).
Р(А) = 1 -Д(Л) =1 -Р(А1А2Аз) = 1 -Р(Л1)Р(Л2)Д(Л3) =
= 1 - 0,4 - 0,3 - 0,2 = 1 - 0,024 = 0,976.
Шундай килиб, а) Р(/4) =0,188; б) Р(А) =0,452; в) Р(А) =0,336;
г) Д(/4) =0,976.
5- м и с ол . Биринчи кутида 2 та ок, 6 та кора, иккинчи кутида эса
4 та ок, 2 та кора шар бор. Биринчи кутидан таваккалига 2 та шар
олиб, иккинчи кутига солинди, шундан кейин иккинчи кутидан
таваккалига битта шар олинди.
а) Олинган шар ок булиши эхтимоллилиги кандай?
б) Иккинчи кутидан олинган шар ок булиб чикди. Биринчи
кутидан олиб иккинчи кутига солинган 2 та шар ок булиши
эхтимоллиги кандай?
Ечиш. а) Куйидаги белгилашларни киритамиз:
A — иккинчи кутидан олинган шар ок,
Bi -биринчи кутидан иккинчи кутига 2 та ок шар солинган,
В?—биринчи кутидан иккинчи кутига 2 та турли рангдаги шар
солинган,
Bs — биринчи кутидан иккинчи кутига 2 та кора шар солинган.
В\, В?, Вз — ходисалар тула гурух ташкил этади. У холда тула
эхтимоллик формуласига кура
Р(А) = P(B,)Pfi)(A) А-Р^Р^А) +Р(В.)Рв^А}.
Вь, k=\,3 гипотезаларнинг эхтимолликларини ва PBt(A) шартли
эхтимолликларни классик схема буйича хисоблаймиз:
Р^=^Ч»’ РШ=^=1Г
с8 с8
РШ-А—^ РМА>=Г-
8
^и)=4-
Топилган натижаларни тула эхтимоллик формуласига куямиз:
Р(А}=— J_=_9_
1 ' 28 4 ~Г 28 ' 8 ’Г 28 ’ 2 16’
б) _Р,(В;) эхтимолликни Бейес формуласи буйича топамиз:
16
2- дарсхона ronuiupuFu
1. Курсант отиш буйича «синов» топшириши учун 4 дан паст
булмаган бахо олиши керак. Агар курсант отганига «5» бахони 0,3,
«4» бахони 0,6 эхтимоллик билан олиши маълум булса, курсантнинг
«синов» топшира олиш эхтимоллигини топинг. Ж: р=0,9.
2. Иккита мерган нишонга карата биттадан ук узишда. Биринчи
мерганнинг нишонга текказиш эхтимоллиги 0,6 га, иккинчиси учун
0,7 га тенглиги маълум булса, куйидаги ходисаларнинг эхти-
молликларини топинг:
а) мерганларнинг факат бирининг нишонга текказиши;
б) мерганларнинг хеч булмаганда бири нишонга текказиши;
в) иккала мерган нишонга текказиши;
г) хеч бир мерганнинг нишонга текказа олмаслиги;
д) мерганларнинг хеч булмаганда бири нишонга текказа
олмагани.
Ж: а) 0,46; б) 0,6; в) 0,42; г) 0,12; д) 0,58.
3. Йигувчига зарур деталь биринчи, иккинчи, учинчи, туртинчи
яшикда эканлиги эхтимоллиги мос равишда 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 га тенг.
Зарур деталь:
а) купи билан 3 та яшикда булиши;
б) ками билан 2 та яшикда булиши эхтимоллигини топинг.
Ж: а) 0,6976; б) 0,9572.
4. Гурухда 10 талаба булиб, уларнинг 7 нафари аълочилар. Турт
талаба деканатга чакиртирилди. Уларнинг барчаси аълочи булиши
... 1
эхтимоллигини топинг. Ж: т-
О
5. Учта завод соат ишлаб чикаради ва магазинга жунатади.
Биринчи завод бутун махсулотнинг 40% ини, иккинчи завод 45%
ини, учинчи завод эса 15% ини тайёрлайди. Биринчи завод чикарган
соатларнинг 80% и, иккинчи завод соатларининг 70% и, учинчи
завод соатларининг 90% и илгарилаб кетади. Сотиб олинган
соатнинг илгарилаб кетиши эхтимоллигини топинг. Ж: 0,77.
6. Самолётга карата учта ук узилган. Биринчи отишда нишонга
тегиш эхтимоллиги 0,5 га, иккинчисида 0,6 га, учинчисида 0,8 га тенг.
Битта Ук текканда самолётнинг уриб туширилиши эхтимоллиги
0,3 га, иккита Ук текканда 0,6 га тенг. Учта ук тегса, самолёт уриб
туширилади. Самолётнинг уриб туширилиш эхтимоллигини топинг.
Ж: 0,594.
7. Спартакиадада биринчи гурухдан 4 талаба, иккинчи гурухдан
6, учинчи гурухдан 5 талаба катнашади. Институт терма жамоасига
биринчи гурухдаги талаба 0,9 эхтимоллик билан, иккинчи гурух
талабаси 0,7 ва учинчи гурух талабаси 0,8 эхтимоллик билан кабул
килиниши мумкин. Таваккалига танланган талаба терма жамоага
кабул килинди. Бу талабанинг кайси гурухда укиши эхтимоллиги
каттарок? Ж: Талабанинг иккинчи гурухда Укиши эхтимоллиги
каттарок.
8. Цехда тайёрланадиган деталлар иккита назоратчи томонидан
текширилади. Деталнинг назорат учун биринчи назоратчига
тушиши эхтимоллиги 0,6 га, иккинчи назоратчига тушиши 0,4 га
тенг. Ярокли деталнинг биринчи назоратчи томонидан яроксиз деб
топилиши эхтимоллиги 0,06 га, иккинчи назоратчи учун эса 0,02 га
тенг. Яроксиз деб топилган деталлар текширилганда улар ичидан
яроклилиги чикиб колди. Бу детални биринчи назоратчи текширган-
9
лиги эхтимоллигини топинг: Ж: —•
2- мустацил uui
1. Битта Ук узишда нишонга тегиш эхтимоллиги биринчи мерган
учун Р га, иккинчи мерган учун 0,7 га тенг. Мерганлар бир вактда
1/К узишганда роса битта укнинг нишонга тегиш эхтимоллиги 0,38 га
тенглиги маълум булса, Р ни топинг. Ж: 0,8.
2. Мерганнинг битта ук узишда 10 очко уриш эхтимоллиги
0,05 га, 9 очко уриш эхтимоллиги 0,2 га, 8 очко уриш эхтимоллиги
0,6 га тенг. Битта ук узилди. Куйидаги ходисаларнинг эхтимоллиги-
ни топинг:
А — 8 дан кам булмаган очко урилган;
В —8 дан куп очко урилган.
Ж: Р(А) =0,85; Р(В) =0,25.
3. Устахонада учта станок ишлаяпти. Смена давомида биринчи
станокнинг созлашни талаб этиш эхтимоллиги 0,15 га, иккинчи
станок учун 0,1 га, учинчи станок учун эса 0,12 га тенг. Станоклар
бараварига (бир пайтда) созлашни талаб этмайди деб хисоблаб,
смена давомида хеч б^лмаганда битта станок созлашни талаб
этиши эхтимоллигини топинг. Ж: « 0,3268.
4. Яшикда 15 та деталь булиб, уларнинг 10 таси буялган.
Йигувчи таваккалига 3 та деталь олади. Олинган деталларнинг
барчаси буялган булиши эхтимоллигини топинг. Ж: Р «0,264.
5. Бирор физикавий катталикни бир марта улчашда берилган
аникликдан катта булган хатоликка йул к^йилиши эхтимоллиги
0,4 га тенг. Учта боглик булмаган улчаш ^тказилди. Бу улчашлар-
нинг факат биттасида йул куйилган хато берилган аникликдан
катта булиши эхтимоллигини топинг. Ж: 0,392.
6. Талаба 25 та имтихон саволларидан 20 тасига тайёрланишга
улгурди. Талаба таваккалига олинган учта саволнинг камида
иккитасини билиши эхтимоллигини топинг. Ж:
345
7. Йигиш цехига учта автоматдан деталлар келиб тушади.
Биринчи автомат 0,3%, иккинчиси 0,2%, учинчи 0,4% яроксиз деталь
ишлаб чикариши маълум. Агар биринчи автоматдан 1000 та,
иккинчисидан 2000 та, учинчисидан 2500 та деталь келиб тушгани
маълум б^лса, йигиш цехига яроксиз деталь келиб тушганлиги
эхтимоллигини топинг. Ж: 0,003091.
8. Бензин куйиш бекати ёнидан енгил ва юк машиналари утиб
туради. Уларнинг 60% ини юк машиналари ташкил этади. -Утиб
кетаётган машинанинг бензин олиш учун тухташ эхтимоллиги юк
машинаси учун 0,1 га, енгил машина учун эса 0,2 га тенг. Бензин
куйиш бекатига бензин куйиб олиш учун машина келиб тухтади. Бу
Q
юк машинаси эканлиги эхтимоллигини топинг. Ж: у.
3-§. Богликмас синовлар кетма-кетлиги. Бернулли формуласи.
Муавр — Лаплас ва Пуассон теоремалари
14.3.1. Агар синовлар натижаларининг хар кандай комбинацияси
богликмас ходисалар тупламидан иборат б^лса, бу синовлар
богликмас дейилади.
Чекли сондаги п та кетма-кет богликмас синовлар утказилган
булсин. Бу синовларнинг хар бири натижасида маълум бир ходиса
руй бериши мумкин булса, синовларнинг бундай кетма-кетлилиги
Бернулли схемами дейилади.
Бернулли формуласи. Х,ар бирида ходисанинг руй бериши
эхтимоллиги р га тенг п та богликмас синовларда бу ходисанинг
роса т марта руй бериши эхтимоллиги
Рп(т) = C™pmqn~m, бу ерда q=\ — р,
(п — пг) !т!
га тенг.
Рп (mi — п та богликмас синовларда А ходисанинг
камида т.\ ва к$тш билан /п2 мартагача руй бериш
булсин. У холда куйидаги формула уринлидир:
ЭХТИМОЛЛИГИ
т2
2 СУГ".
т = т1
п та синовда ходисанинг камида бир марта руй беришининг
эхтимоллиги
Рп (1 = 1 — qn, q=\—p
га тенг.
Агар ходисанинг синовлар натижасида то марта руй бериши
эхтимоллиги колган синовларнинг мумкин булган натижалари
эхтимоллигидан катта булса, то сон энг эхтимолли дейилади.
У куйидаги формула буйича хисобланади:
пр — q^ mo^npA-q:
а) агар np — q —каср сон булса, битта энг эхтимолли то сон
мавжуд;
б) агар пр—q —бутун сон б^лса, иккита энг эхтимолли сон
то ва то+1 мавжуд;
в) агар пр — бутун сон булса, энг эхтимолли сон то—пр булади.
14.3.2. Лапласнинг локал теоремаси (катта п ларда).
Х,ар бирида ходисанинг руй бериш эхтимоллиги р га тенг булган
п та богликмас синовларда ходиса роса т марта руй бериш
эхтимоллиги такрибан куйидагига тенг:
бу ерда
т — пр
^~np~q ’
V2n е
<р(х) функциянинг кийматлари жадвали иловада келтирилган,
бунда ф(х) — жуфт функция эканига эътибор беринг.
14.3.3. Л а п л а с н и н г интеграл теоремаси (катта и лар-
да). Х,ар бирида ходисанинг руй бериш эхтимоллиги р га тенг булган
п та богликмас синовларда ходисанинг камида т\ марта ва купи
билан m2 марта руй бериш эхтимоллиги такрибан куйидагига тенг:
Рп (ffli<m^m2) »Ф (х2) — Ф (Xi),
бу ерда
т,— пр т9 — пр
Х|= .----, Х2=
у npq yjnpq
1 f
Ф (х) = —1=- \е 2 dt.
V2n J
Ф(х) — Лаплас функцияси.
Ф(х) функциянинг х 6[0; 5] учун кийматлари жадвали иловада
берилган. х>5 учун Ф(х)=0,5 ва Ф(х) —ток функция экани
эътиборга олинади.
Эслатма. Лапласнинг такрибий формулаларидан npq> 10
булган холда фойдаланилади. Агар npq<A0 булса, бу формулалар
катта хатоликларга олиб келади.
14.3.4. Пуассон теоремаси. Катта п лар ва кичик р ларда
куйидаги такрибий формула уринли:
г
Рп бУ еРДа ^ = ПР-
1- м и с ол . Бирор мерган учун битта ук узишда ниШонга тегиши
эхтимоллиги 0,8 га тенг ва ук узиш тартибига (номерига) боглик
эмас. 5 марта Ук узилганда нишонга роса 2 марта тегиш эхтимолли-
гини топинг.
Ечиш. n = 5, р = 0,8, m = 2, q = 0,2. Бернулли формуласи буйича
хисоблаймиз:
Р5(2) =С1 0,82 • 0,23 = 0,0512.
2-м и с ол .^Танга 10 марта ташланганда гербли томон:
,а) 4 тадан 6 мартагача тушиш эхтимоллигини;
'б) хеч булмаганда бир марта тушиш эхтимоллигини топинг.
Ечиш. п = 10, /П1=4, т2 = 6, р = р = 0,5.
а) Р10(4<т< 6) =Р10(4) +Р10(5) +Р|0(б) =
Cf0. (0,5)4- (0.5)6 +С?о(О,5)5- (0,5)ЧС%(0,5)6(0,5)4=
= (0,5)10(Cto+q0+C%)=-g-. Ж: -g.
б) Р.10(1<т^ Ю) = 1-(-1)10=1
1 _ _ 1023
1024 ~ 1024’
3- м и с ол. А ходисанинг 900 та богликмас синовнинг кар бирида
руй бериш эхтимоллиги р=0,8 га тенг. А ходиса:
а) 750 марта, б) 710 дан 740 мартагача руй бериш эхтимоллиги-
ни топинг.
Ечиш. «£(/ = 900-0,8-0,2= 144> 10 булгани учун а) бандида
Лапласнинг локал теоремасидан фойдаланамиз, б) бандда эса
Лапласнинг интеграл теоремасидан фойдаланамиз.
750-900-0^ =2 5 (2,5) «0,0175.
' д/900-0,8-0,2 » » т\
Р900(750) «-^-0,0175«0,00146.
710 — 720 п й„ 740-720 . С7
б) + =-----«—0,83, х2=----------«1,67.
Ф (— 0,83) = — Ф(0,83) « -0,2967.
Ф(1,67) «0,4527.
+оо(71О + «г + 740) «0,4525 + 0,2967 = 0,7492.
Ж: а) 0,00146, б) 0,0236, в) 0,7492.
4- ми сол . Телефон станцияси 400 абонентга хизмат курсатади.
Агар хар бир абонент учун унинг бир соат ичида станцияга кунгирок
килиш эхтимоллиги 0,01 га тенг булса, куйидаги ходисаларнинг
эхтимолликларини топинг:
а) бир соат давомида 5 абонент станцияга кунгирок килади;
б) бир соат давомида 4 та дан куп булмаган абонент куйгирок
килади;
в) бир соат давомида камида 3 абонент станцияга кунгирок
килади.
Ечиш. £=0,01 жуда кичик, « = 400 эса катта булгани учун
Л=400-0,01=4 да Пуассоннинг такрибий формуласидан фойдала-
намиз.
а) Р400 ( 5)«Х?-4«0,156293.
О’-
б) Р4оо(О<т<4) «0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 +
+ 0,195367 = 0,628838;
в) Р4оо(3<«г< 400) = 1 — P4oo(O<msS 2) = 1 —0,018316 —
— 0,073263 — 0,146525 = 0,761896.
Ж: а) 0,156293; б) 0,628838; в) 0,761896.
5-ми сол. Бирорта курилманинг 15 та элементининг хар бири
синаб курилади. Элементларнинг синовга бардош бериш эхти-
моллиги 0,9 га тенг. Курилма элементларининг синовга бардош бера
оладиган энг катта эхтимоллиги сонини топинг.
Ечиш. « = 15, р = 0,9, <7 = 0,1.
Энг эхтимолли то сонни ушбу
пр — <7 < то + пр + р
куш тенгсизликдан топамиз. Берилганларни куйиб,
15-0,9 — 0,1 < то <15-0,9 + 0,9
ёки
13,4<mos^ 14,4 га эга буламиз.
то — бутун сон булгани учун изланаётган энг эхтимолли сон
то= 14 булади.
Ж: 14.
3- дарсхона топшириги
1. Кайси ходисанинг эхтимоллиги катта:
а) Тенг кучли ракиб билан уйнаб, туртта партиядан учтасини
ютиб олишми ёки саккиз партиядан бештасини ютиб олишми?
б) Туртта партиянинг камида учтасини ютиб олишми ёки
саккизта партиянинг камида бештасини ютиб олишми?
1 7
Ж: а) — ва — — 4 та партиядан 3 тасини ютиш эхтимоллиги
катта;
5 93
ва "oFT — 8 та партиядан камида 5 тасини ютиб олиш
10
эхтимоллиги катта.
2. Уйин соккаси 800 марта ташланганда учга каррали очко
267 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Рьоо (267) «0,03.
3. 100 та станок бир-бирига богликсиз ишлайди, шу билан бирга
смена давомида уларнинг хар бирининг тухтовсиз ишлаш эхти-
моллиги 0,8 га тенг. Смена давомида 75 дан 85 тагача станок
бетухтов ишлаши эхтимоллигини топинг. Ж: 0,7887.
4. Завод омборга 5000 та сифатли буюмлар юборди. Х,ар бир
буюмнинг йулда шикастланиш эхтимоллиги 0,0002 га тенг. 5000 та
буюм ичидан йулда:
а) роса 3 тасй шикастланиши эхтимоллигини;
б) 3 тадан куп булмагани шикастланиши эхтимоллигини;
в) 3 тадан купи шикастланиши эхтимоллигини топинг.
Ж: а) 0,06313; б) 0,981; в) 0,019.
5. Техника назорат булими 10 та деталдан иборат партияни
текширади. Деталнинг стандарт булиши эхтимоллиги 0,75 га тенг.
Стандарт деб топиладиган деталларнинг энг эхтимолли сонини
топинг. Ж: то=8.
6. Узунлиги 15 см булган АВ кесма С нукта билан 2:1 нисбатда
булинган. Бу кесмага таваккалига 4 та нукта ташланади. Улардан
иккитаси С нуктадан чапрокка, иккитаси унгрокка тушиши
эхтимоллигини топинг. Нуктанинг кесмага тушиш эхтимоллиги
кесма узунлигига пропорционал ва унинг жойлашишига боглик
эмас деб фараз килинади. Ж:
3- му ставил иш
1. Уйин соккаси 10 марта ташланганда учга каррали очколар
камида 2 марта, купи билан беш марта тушиши эхтимоллигини
топинг. Ж: 0,488.
2. Битта ук узилганда нишонга тегиш эхтимоллиги 0,8 га тенг.
100 марта ук узилганда нишонга роса 75 марта тегиш эхтимоллиги-
ни топинг. Ж: Р.оо (75) =0,04565.
3. t вакт ичида битта конденсаторнинг ишдан чикиши эхти-
I моллиги 0,2 га тенг. t вакт ичида 100 та бир-бирига богликсиз
h ишловчи конденсатордан:
! в) камида 20 таси ишдан чикиши;
б) 28 тадан ками ишдан чикиши;
в) 14 тадан 28 тагачасининг ишдан чикиши эхтимоллигини
; топинг. Ж: а) 0,55; б) 0,98; в) 0,9.
4. Дукон 1000 шиша маъданли сув олди. Ташиб келтиришда 1 та
' шишанинг синиб колиши эхтимоллиги 0,003 га тенг. Дуконга
келтирилган шиша идишларнинг:
а) роса 2 таси;
б) 2 тадан ками;
в) 2 тадан купи;
г) хеч булмаганда биттаси синган булиши эхтимоллигини
топинг. Ж: а) 0,224; б) 0,1992; в) 0,5768; г) 0,95.
5. Товаршунос буюмларнинг 24 та намунасини куриб чикади.
Хар бир намунанинг сотишга ярокли деб топилиш эхтимоллиги
0,6 га тенг. Товаршунос сотишга ярокли деб топган намуналарнинг
энг эхтимолли сонини топинг. Ж: mo=14, то"=15.
6. Узунлиги а булган АВ кесмага таваккалига 5 та нукта
ташланади. Бунда 2 та нукта А нуктадан х дан кичик масофада, 3 та
* нукта эса А дан х дан катта масофада ётиш эхтимоллигини топинг.
Нуктанинг кесмага тушиш эхтимоллиги кесма узунлигига про-
' порционал ва унинг жойлашишига боглик эмас.
Ж: ₽5(2)=С|(Д2[^]’.
4-§. Дискрет тасодифий микдорлар.
Баъзи таксимот конунлари
14.4.1 Синов натижасида олдиндан маълум булган кийматлар-
дан бирини кабул киладиган микдор, тасодифий микдор дейилади.
Дискрет тасодифий микДор деб мумкин булган кийматлар’
чекли ёки чексиз сонли кетма-кетликлардан иборат микд> г
айтилади.
X дискрет тасодифий микдорнинг мумкин булган кийматлар
билан уларнинг эхтимолликлари орасидаги богланиш тасодифий
микдорнинг тацсимот конуни дейилади.
X дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конуни куйидаги
усуллар билан берилиши мумкин:
а) биринчи сатри мумкин булган хь кийматлардан, иккинчи
сатри pk эхтимолликлардан иборат жад вал ёрдамида:
X х, х2
р Pt Рг
X п
-а— , бу ерда 2 рк=\;
Рп
б) график усулда—бунинг учун т^гри бурчакли координатлар
'системасида (х*, рк) нукталар ясалади, сунгра уларни тугри чизик
кесмалари билан туташтириб, тацсимот купбурчаги деб аталувчи
фигурани хосил килинади;
в) аналитик усулда (формула куринишида):
Р(Х = хк) = <р(х*)
ёки интеграл функциялар (таксимот функциялари) деб аталувчи
функциялар ёрдамида.
14.4.2. Хар бир х € ( — оо;оо ) учун X тасодифий микдорнинг
х дан кичик киймат кабул килиш эхтимоллигини аникловчи
F(x) =Р(Х<х) функция тацсимот функцияси дейилади.
Таксимот функциясининг асосий хоссалари:
1. Таксимот функциясининг кийматлари [0; 1] кесмага тегишли-
дир:
0< F(x)C 1-
2. Таксимот функцияси камаймайдиган функциядир, яъни агар
Х2>Х| булса, F(X2) ^Л(Х|).
3. X тасодифий микдорнинг [а, 6] ораликдаги кийматларни кабул
к,илиш эхтимоллиги таксимот функциясининг бу ораликдаги
орттирмасига тенг, яъни
Р(а<х<Ь) =Г(Ь) — F(a).
4. Агар X тасодифий микдорнинг барча мумкин булган
кийматлари (а, Ь) ораликка тегишли булса, у холда
х<а да F(x) =0,
х>6 да F(x) = 1,
Дискрет тасодифий микдорлар таксимотининг баъзи конунлари-
ни караб чикамиз.
14.4.3. X дискрет тасодифий микдор — ходисанинг п та боглик-
мас синовларда р^й беришлари сони, р — ходисанинг хар бир си-
новда р^й бериш эхтимоллиги, xi=0, хг= l,...,xn+i = п — X дискрет
тасодифий микдорнинг мумкин булган кийматлари булсин. Бу
кийматларга мос эхтимолликлар ушбу Бернулли формуласи буйича
Хисобланади:
Pn(m)=C”pmqn-m, q=\-p.
Бернулли формуласи ёрдамида аникланадиган эхтимолликлар
таксимоти биномиал тацсимот дейилади.
Биномиал конунни жадвал куринишида тасвирлаш мумкин:
X 0 1 2 п
р 4я г
14.4.4. Агар синовлар сони жуда катта булиб, ходисанинг хар
кайси синовда рУй бериш эхтимоллиги р жуда кичик б^лса, у холда
дискрет тасодифий микдорнинг мумкин булган кийматларига мос
эхтимолликларини Бернулли формуласи буйича эмас, балки ушбу
Пуассон формуласидан фойдаланиб топиш кулай:
> т
~ДГГе~Л’ к=пр-
Пуассон формуласи ифодалайдиган эхтимолликлар таксимоти
Пуассон таксимоти дейилади.
Пуассон таксимотини жадвал куринишида ифодалаш мумкин:
X 0 1 2 m
р е~~ Хе~ 11 Х2е~^ 21 Xme~^ ml
\Д'-мисол. К,утида 7 та шар булиб, 4 таси ок, колганлари эса
кора. Кутидан таваккалига 3 та шар олинади.
X дискрет тасодифий микдор — олинган ок шарлар сони булса,
a) X дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг;
б) Х^2 ходисанинг эхтимоллигини топинг.
Ечиш. X дискрет тасодифий микдор кабул килиши мумкин
булган кийматлар: 0, 1,2, 3.
а) Мос эхтимолликларни классик усул билан топамиз:
Р(Х=0)=-^=^.
d-C°3 4
Р(х = 3)=-^=-±.
Демак, X — дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конуни:
X о
р 1
35
экан.
(Текшириш: 4^+41
□о оо
1 2 3
12 18 4
35 35 35
18
35
4
35
= 1. )
б) P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=4|+4=-g-.
□О ОО 00
2-мисол. Нишонга карата 4 та ук узилади (богликсиз холда),
бунда хар кайси ук узишда нишонга тегиш эхтимоллиги р = 0,8 га
тенг. Куйидагиларни топинг:
а) нишонга тегишлар сонига тенг булган X дискрет тасодифий
микдорнинг таксимот конунини;
б) 1<; Х^ 3 ва Х>3 ходисаларнинг эхтимоллигини;
в) таксимот купбурчагини чизинг;
г) X — дискрет тасодифий микдорнинг таксимот функциясини
топинг ва унинг графигини чизинг;
д) таксимот функциясидан фойдаланиб Х<3, 1< Х^ 4 ходиса-
ларнинг эхтимоллигини хисобланг.
Е ч и ш. а) X тасодифий микдорнинг мумкин булган кийматлари:
О, 1, 2, 3, 4. Мос эхтимолликларни Бернулли формуласи буйича
хисоблаймиз:
Р(Х=О) =d 0,8°-0,24=0,0016,
Р(Х=1)=С| 0,8-0,23 = 0,0256,
Р(Х = 2)=С| 0,82-0,22 =0,1536,
Р(Х=3)=С3 0,83.0,2 = 0,4096,
P(X=4)=d о,84-0,2° = 0,4096.
X дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конуни — биномиал:
X 0 1 2 3 4
р 0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096
(Текшириш: 0,0016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1. )
б) Р(1<Х^З) = Р(Х=1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) = 0,0256 +
+ 0,1536 + 0,4096 = 0,5888.
Р(Х>3) = Р(Х=4) =0,4096.
в) таксимот купбурчагини ясаймиз (65- шакл).
г) F(x) нинг таксимот конунидан фойдаланиб, таксимот
функциясини тузамиз.
х< 0 учун р(х) =Р(Х<х) =0,
0<х<1 учун Р(х) =Р(Х<х) =Р(Х = 0) =0,0016,
1 <х< 2 учун F(x) = Р(Х<х) = Р(Х = 0) + Р(Х= 1) =0,0016 +
+ 0,0256 = 0,0272,
2<х<3 учун F(x) =F(X<x) =P(X=O) +P(X= 1) +P(X=2) =
=0,0016 4- 0,0256 + 0,1536=0,1808,
3<x^4 учун F(x)=P(X<x) =0,0016 + 0,0256 + 0,1536 +
+ 0,4096 = 0,5904,
/>4учунЛ(х)=Р(Х<х)=^(Х = 0)+Р(Х=1)+Р(Л'=2) +
+ P(X = 3) +P(X = 4) = 1.
0,0016, агар 0<x^ 1,
0,0272, агар 1 <x< 2,
0,1808, arap 2<x«C 3,
0,5904, arap 3<x< 4,
1, arap x>4.
Таксимот функцияси графигини чизамиз (66- шакл).
д) Р(х) ^Р(Х<х) булгани учун:
P(X<3)=F(3) =0,1808.
14 4.2 даги 3- хоссага кура:
Р(1 <*<4) = F(4) -F(l) =0,59Q4 — 0,0016 = 0,5888.
4- дарсхона ronuiupuFu
1. 6 та деталдан иборат партияда 4 та стандарт деталь бор.
Таваккалига 3 та деталь олинади. Олинган деталлар ичидаги
стандарт деталлар сонидан иборат булган X дискрет тасодифий
микдорнинг таксимот конунини топинг.
1 2 3
Ж:
0
о
X
Р
1
5
3
5
1
5
2. Иккита уйин соккаси биргаликда икки марта ташланади:
а) иккала уйин соккасида жуфт очколар тушиши сонидан иборат
X дискрет тасодифий микдорнинг биномиал таксимот конунини
топинг;
б) таксимот купбурчагини ясанг;
в) таксимот функциясини топинг ва унинг графигини чизинг;
г) Х<2, 1 2 ходисаларнинг эхтимолликларини топинг.
ж: а)
9 6
16 16
2
1
16
X О 1
б) 67- шакл;
FM =
в)
О, агар О,
—, агар 0<х< 1,
10
15 - _ о
агар 1 <х< 2,
10
1, агар х>2 (68-шакл);
г) Р(Х<2)=Р(Х=О)+Р(Х=1)=4|,
10
2) =/>(*= 1)+/>(Х = 2)=-^
3. Автомат телефон станция 1000 та телефон абонентига хизмат
курсатади. 5 минут давомида АТС га абонементдан чакирик келиш
эхтимоллиги 0,005 га тенг. 5 минут давомида АТС га келган
чакириклар сонидан иборат X тасодифий микдорнинг таксимот
конунини топинг:
а) 5 минут давомида АТС га хеч булмаганда битта чакирик
келиш эхтимоллиги кандай?
б) 5 минут давомида АТС га 4 тадан куп чакирик келиш
эхтимоллиги-чи?
Ж-:
X 0 1 2 ... 1000
р 1 е8 5 е8 5» 2е6 ... 51000 lOOOIe8
а) 0,993; б) 0,561, таксимот функнияси
4. X дискрет тасодифий микдорнинг
берилган: 0, агар s 1.
0,25, агар 1 < 3,
F(x) = 0,4, агар 3< 4,
0,8, агар 4<х< 5,
. 1, агар х> 5.
а) Х = 2; 2<%< 4 ходисаларининг эхтимоллигини топинг;
б) берилган тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг.
Ж: а) Р(Х=2) =0, Р(2<Х< 4) =0,15.
б)
X_____1___3_______4_
Р 0,25 0,15 0,4
5
0,2
4- мустак,ил или
1. Икки мерган битта нишонга бараварига биттадан Ук узади.
Битта ук узишда биринчи мерган учун нишонга тегиш эхтимоллиги
0,5 га, иккинчи мерган учун 0,4 га тенг. Дискрет тасодифий
микдор — нишонга тегишлар сони.
а) X тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг;
б) таксимот купбурчагини ясанг;
в) таксимот функциясини топинг ва унинг графигини чизинг;
г) Х>1 ходисанинг эхтимоллигини топинг.
Р 0,3 0,5 0,2
б) 69- шакл.
в) F(x)~
О, агар О,
0,3, агар 0<х< 1,
0,8, агар 1<хС
1, агар х>2 (70- шакл);
г) Р(Х^1)=0,7.
2. Маълум бир партияда нестандарт деталлар 10% ни ташкил
этади. Таваккалига 4 та деталь танлаб олинади. Бу 4 та деталь
орасида нестандарт деталлар сонидан иборат булган X дискрет
тасодифий микдорнинг биномиал таксимот конунини топинг.
Ж:
X 0 1 2 3 4
р 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0091
3. Милтикдан отилган хар бир укнинг самолётга тегиш
эхтимоллиги 0,001 га тенг. 3000 та Ук узилади. Отилган укларнинг
самолётга текканлари сонидан иборат X тасодифий микдорнинг
таксимот конунини топинг.
Ж:
X 0 1 2 ... 3000
1 3 32 оЗООО
е3 2е®
г 30001с3
тасодифий
4. X дискрет
берилган:
микдорнинг таксимот функцияси
Р(х) =
'0,
0,3,
0,5,
.1,
агар 3<х^ 4,
агар х>4.
а) 1^7 3 ходисанинг эхтимоллигини топинг;
б) X тасодифий микдорнинг таксимот конунини тбпинг.
б)
X 2 3 4
р 0,3 0,2 0,5
5- §. Узлуксиз тасодифий микдорлар.
Айрим таксимот конунлари
14.5.1 . Бирорта чекли ёки чексиз ораликдаги барча кийматларни
кабул килиши мумкин булган тасодифий микдор узлуксиз
тасодифий микдор дейилади.
Узлуксиз тасодифий микдор:
1) интеграл функция (таксимот функция)си оркали,
2) эхтимолликларнинг таксимот зичлиги (дифференциал функ-
ция) оркали берилиши мумкин.
Таксимот функциясининг таърифи ва хоссалари 4-§ да
келтирилган.
X узлуксиз тасодифий микдор эхтимолликларининг таксимот
зичлиги деб, таксимот функцияси F(x) нинг биринчи тартибли
хосиласи булган f(x) функцияга айтилади.
X узлуксиз тасодифий микдорнинг (а, Ь) ораликка тегишли
кийматни кабул килиши эхтимоллиги куйидаги тенглик билан
аникланади:
ь
P(a<zX<Zb) = $f(x) dx •
а
Зичлик функцияси f(x) ни билган холда ушбу формула буйича
таксимот функциясини топиш мумкин:
F(x)= $ f(x) dx .
— оо
14.5.2 . Зичлик функциясининг хоссалари:
1. Зичлик функцияси манфий эмас, яъни f(x)^G.
2. Зичлик функциясидан— оо дан + оо гача ораликда олинган
хосмас интеграл бирга тенг:
+«
j f(x) dx= I .
— Оо
Хусусан, агар тасодифий микдорнинг барча мумкин булган
кийматлари (а, Ь) ораликка тегишли булса, у холда:
ь
^f(x) dx= I .
а
Узлуксиз тасодифий микдорнинг баъзи таксимот конунларини
куриб чикамйз.
14.5.3 . Агар X узлуксиз тасодифий микдорнинг мумкин булган
барча кийматлари тегишли булган ораликда эхтимолликларнинг
таксимот зичлиги узгармас, яъни (а, Ь) да f(x)=C булса ва бу
ораликдан ташкарида эса f(x)=Q (С — Узгармас) булса, Л тасо-
дифий микдор таксимоти текис дейилади.
М-
'О, агар х<а,
у--, агар а<х^Ь,
.0, агар х>Ь.
X
F(x)= f(x)dx формула асосида таксимот функциясини топиш
мумкин:
F(x) =
О, агар х^а,
х — а „ .,
----, агар а<х<&,
о —а
.1, агар х>Ь.
X узлуксиз тасодифий микдорнинг (а, Ь) ораликка тегишли (а, (3)
ораликда тушиш эхтимоллиги
р р
P(a<X<0)= \f(x)dx= J -Л-dx^^L
а а
га тенг.
14.5.4. Агар зичлик функцияси
(а-а)2
/(х)=-1=/ 2°2
а у 2л
(бу ерда а, о — эркли параметрлар) куринишда берилган булса,
X узлуксиз тасодифий микдорнинг таксимоти нормал дейилади.
Нормал таксимланган X узлуксиз тасодифий микдорнинг
берилган ораликка тушиш эхтимоллиги ушбу формула буйича
хисобланади:
Р (а<А<р) ==Ф g а ) — ф бу ерда
Ф (х) =
I
у* 2л
J е 2 dt— Лаплас функцияси.
о
Четланишнинг
эхтимоллиги
абсолют киймати 6 мусбат сондан кичик булиши
Р (|Х —а| <6) =2Ф (|)
га тенг.
14.5.5. Агар зичлик функцияси
/(*)-
О, агар х<0,
ке~кх, агар х'.
(бу ерда X — эркли параметр) куринишда берилган булса,
X узлуксиз тасодифий микдорнинг таксимоти курсаткичли дейила-
ди:
F(x) =
f(x)dx формула асосида таксимот функциясини топиш
мумкин:
О, х<0,
1 —е~кх, х
X узлуксиз тасодифий микдор курсаткичли таксимотга эга б^лса,
берилган (а, 0) ораликка тушиш эхтимоллиги учун ушбу формула
уринли:
Р(а<Х<Р) =е~ка—е~а(‘.
Агар Т — бирор элементнинг тухтовсиз ишлаш давомийлиги,
X эса тухтаб колишлар интенсивлиги (тезлиги)ни ифодаловчи
узлуксиз тасодифий микдор булса, у холда бу элементнинг
тухтовсиз ишлаш вакти t ни таксимот функцияси
F(t) = 1 — e~kl, Х>0 булган (у t вакт давомида эле-
ментнинг тухтаб колиш эхтимоллигини аниклайди) курсаткичли
конун буйича таксимланган тасодифий микдор деб хисоблаш
мумкин.
Ишончлилик функцияси /?(/) элементнинг t вакт ичида тухтовсиз
ишлаш эхтимоллигини аниклайди:
R(t)=e~k‘.
1-мисол. X тасодифий микдор ушбу таксимот функцияси
оркали берилган:
F(x) =
О, агар О,
х2, агар 0<х^ 1,
1, агар х> 1.
а) 4 та богликмас синов натижасида X узлуксиз тасодифий
микдор роса 3'марта (0,25; 0,75) ораликка тегишли киймат кабул
Килиши эхтимоллигини топинг;
б) зичлик функцияси f(x) ни топинг;
в) F(x) ва f(x) ларнинг графикларини чизинг.
Ечиш. а) Дастлаб битта синов натижасида X узлуксиз
тасодифий микдорнинг берилган ораликка тушиш эхтимоллигини
топамиз:
Р (0,25 <Х <0,75) = F(0,75) — F (0,25) = 0,752-0,252 = 0,5625-
-0,0625 = 0,5.
Энди 4 та богликмас синов натижасида X узлуксиз тасодифий
микдор роса 3 марта берилган ораликга тегишли кийматни кабул
килиш эхтимоллигини топамиз. Бунинг учун Бернулли формуласи-
дан фойдаланамиз:
РДЗ) = С3р3^ = С|-0,53-0,5 = 4- (0,5)4 = 4-0,0625 = 0,25.
Шундай килиб, Р4(3)=0,25.
б) f(x)=F'(x), демак,
/(х) =
0, агар х^ 0,
2х, агар 0<х< 1,
0, агар х> 1.
в) 71- шакл.
2- м и с о л. X узлуксиз тасодифий микдорнинг зичлик функцияси
0, агар х<-^-,
О
f(x) =
3sin3x, агар -^-<х<-^-,
о о
0, агар х>-£
О
берилган. Таксимот функцияси F(x) ни топинг.
X
Ечиш. F(x) = ( f(x)dx .
Агар х<| булса, /(х)=0 булади, демак,
X
F(x) = 0dx = 0 .
— оо
Агар булса, у холда
О о
л/6
F(x)= $ 0-dx +
— оо
3sin3xdx = 0— cos3x|^
л/6
= — (cos3x— с0&у) ~ —cos3x .
Агар х>4 б^лса, у холда
<3
л/6 л/3 х л
( O‘d*+ 3sin3xdx + 0-cU = 0 —cos3x |^+0 =
— оо л/6 л/3 6
= ( —COSJl + cOSy) =1 .
Шундай килиб,
F(x) =
, агар х<—,
—cos3x, агар -т-<х<4>
О О
1, агар х>4-
О
3- м и с о л. X узлуксиз тасодифий микдорнинг зичлик функцияси
бутун Ох укида
( , 2С
н*)=-тт-
тенглик билан берилган. Узгармас С параметрни топинг.
Ечиш. Зичлик функцияси f(x)dx= \ шартни каноатланти-
— оо
риши керак. Шунинг учун
—?£—dx=2C
ех+е х
бу ердан С——-—1—---------. Куйидаги аникмас интегрални карай-
-$оо е*4-е~х
миз:
( dx J е^±-.= \ =arctg^.
J ех + е-х ' 1+е2х J 1 + (ех)2
Хосмас интегрални хисоблашга утамиз:
оо о ь
I lim —^_+Пт= —
J е 4-е а--оо J ех + е х ь-оо J ех + е~х
— оо а О
= lim arctgex|°+ lim arctgex|g= lim (arctgl — arctgea) +
a—>—oo b-*-oa a-»-—oo
+t,1iT(arctge<>_arctgl) = (t-0)+
Шундай килиб, \ --------=4- Демак, C=——=—.
J ex+e~x 2 о л л
2--
Ж: C = -.
Л
4- м и с о л. Бир соат 1, t бирлиги соатларда хисобланган
вакт) ичида бекатга факат битта автобус келиб т^хтайди. Вактнинг
t — О пайтида бекатга келган йуловчининг автобусни 10 минутдан
ортик кутмаслик эхтимоллиги кандай?
Ечиш. Бекатга 1 — 0 пайтда келган йуловчининг автобусни
кутиш вактини [0; 1] ораликда текис таксимланган X тасодифий
микдор сифатида караш мумкин. Бу текис таксимотнинг зичлик
функцияси куйидаги куринишда булади:
О, агар
1, агар
.0, агар
xs^ О,
о<х<: 1,
х>0.
Ь — а= 1—0=1 —тасодифий микдор X нинг кийматлари жой-
лашган [0, 1] ораликнинг узунлиги.
Р —а=-|~0=-|-—кулайлик тугдирувчи элементар натижалар
жойлашган |0; j ораликнинг узунлиги. Шунинг учун
Ж;1
5-мисол. X узлуксиз тасодифий микдор курсаткичли конун
буйича таксимланган:
f(x) =
О, агар х<0,
2е-2х, агар х>0.
Синов натижасида X тасодифий микдорнинг (0,3; 1) ораликка
тушиш эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Д(0,3<Х< 1) = е-(2-о.з; — e-(2i) = е-о,6_е-2 =
= 0,54881 - 0,13534 «0,41.
Ж: 0,41.
6-мисол. Элементнинг тухтовсиз ишлаш эхтимоллиги
f(t) = О,О2е_0 02/(^>О) курсаткичли конун буйича таксимланган.
Элементнинг тухтовсиз 50 соат ишлаши эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Ишончлилик функцияси R(t) = e~Kt дан фойдалансак,
/?(50)=е-°°2М=е-|«0,Зб79
булади.
7-мисол. X тасодифий микдор эхтимолликлар таксимотининг
а = 0, о = 2 параметрли нормал конунига б^йсунсин. X тасодифий
микдорнинг (—2; 3) ораликка тушиши эхтимоллигини аникланг.
Ечиш. Ушбу
Р (а<Х<0)=Ф (^)
формуладан фойдалансак:
Р ( —2<Х<3) =Ф (Л^-)-Ф (-Ц^)=
= Ф (1,5)-Ф (-1)=Ф (1,5)+Ф (!)•
ф (х) функция жадвалидан:
ф (1,5) =0,43319, Ф(1) =0,34134.
Демак,
Р(-2<Х<3) =0,43319 + 0,34134 = 0,77453.
Ж: 0,77453.
8-ми сол. X тасодифий микдор нормал конун буйича так-
симланган, а ва о параметрлар мос холда 20 ва 10 га тенг. Абсолют
киймат буйича четланиш учдан кичик булиш эхтимоллигини топинг.
Е ч и ш. Д(|Х — а| <6) =2ф(-^-) формуладан фойдаланамиз.
Шартга кура 6 = 3, а —20, о=10. Демак, Р(\X — 201 <3) =
= 2ф(-^-)=2Ф(0,3). Жадвалдан Ф(0,3) = 0,1179. Демак, излана-
ётган эхтимоллик:
Р(|Х-20|<3) = 0,2358.
5- дарсхона топишриги
1. X тасодифий микдор [0; л] кесмада f(x) =Asinx, бу кесмадан
ташкарида /(х)=0 эхтимолликлар зичлигига эга.
а) А ни аникланг;
б) таксимот функцияси F(х) ни топинг;
эхтимолликни топинг;
г) f (х) ва F(x) функцияларнинг графигини чизинг.
[О, агар х^ О,
Ж: а) Д = ±; б) F(x) =
• 2 Х гл
sin<p агар 0<х<л,
.1, агар х>л.
г) 72- шакл.
в) 3/4.
2. Автобуслар 5 минут оралик билан катнайдилар. Бекатда
автобус кутиш вакти X текис таксимланган деб, куйидагиларни
топинг:
a) F(х) таксимот функциясини;
б) эхтимолликлар зичлиги /(х) ни;
в) кутиш вактининг 2 минутдан ошмаслик эхтимоллигини
топинг;
г) /(х) ва F (х) функцияларнинг графикларини чизинг.
(О, агар х;=С О,
Ж: a) F(x) =
б) f(x) =
0,2х, агар 0<х^ 5,
[1, агар х>5.
О, агар х^ О,
0,2, агар 0<х^ 5,
О, агар х>5.
73- шакл
в) Р(А< 2) =0,4;
3. X тасодифий микдор эхтимолликлар таксимотининг пара-
метрлари а=20, о — 5 булган нормал конунига буйсунсин. Синов
натижасида / тасодифий микдорнинг (15; 25) ораликда жойлашган
Киймат кабул килиш эхтимоллигини топинг. Ж: Р(15<Х<25) =
=0,6826.
4. Бирор модда систематик хатоларсиз тортилади. Тортишдаги
тасодифий хатоликлар урта квадратик четланиши о = 20 г булган
нормал конунга буйсунади. Тортиш абсолют киймат буйича 10 г дан
ошмайдиган хатолик билан бажарилиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р(|Х| <10) =2Ф(0,5) =0,383.
5. Телевизорнинг бузилмай ишлаши эхтимоллиги ушбу курсат-
кичли конун буйича таксимланган:
f(t) = 0,002e~ooo2‘(t>0) .
Телевизорнинг 1000 соат бузилмай ишлаши эхтимоллигини топинг.
Ж: /?(1000) =е-1 2«0,1359.
5- му ставил uiu
1. X тасодифий микдорнинг эхтимолликлар зичлиги берилган:
0, агар х< 0,
f(x) =
ах, агар 0<х^ 2,
0, агар х>2.
а) а ни аникланг;
б) таксимот функцияси F(x) ни топинг;
в) f(x) ва F(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
0, агар 0,
Ж: а) а=0,5; б) F(x) =
0,25х2, агар 0<х^ 2,
1, агар х>2.
в) Р(Х>1)=075/.
2. X тасодифий микдор [0, 2] кесмада текис таксимот конунига эга,
а) эхтимолликлар зичлиги f(x) ва таксимот функцияси F(x) ни
топинг; б) 0</<0,5 ходисанинг эхтимоллигини топинг, в) f(x) ва
F(x) фукнцияларнинг графикларини чизинг.
0, агар х<^ 0,
Ж: a) Р(х) =
0,5х, агар 0<х^ 2,
1, агар х>2.
0, агар х< 0,
/(х) =
0,5, агар 0<х< 2,
0, агар х>2.
б) Р(0<Х<0,5) =0,25.
3. X тасодифий микдор эхтимолликлар‘'.таксимотининг пара-
метрлари а = 30, о=10 булган нормал конунига буйсунади.
X микдор (10; 50) ораликка тегишли киймат кабул килиши
эхтимоллигини топинг.
Ж: Р(10<Х<50) =0,9544. .
4. X тасодифий микдор нормал таксимланган. Бу микдорнинг
урта квадратик четланиши 0,4 га тенг. Тасодифий микдорнинг
абсолют киймати буйича а дан четлашиши 0,3 дан кичик булиши
эхтимоллигини топинг.
Ж: 0,5468.
5. Элементнинг тухтовсиз ишлаш вакти курсаткичли таксимотга
эга:
F(0 = l-£?-ooo2t(f>O) .
/ = 24 соат давомида элементнинг:
а) ишламай колиш эхтимоллигини;
б) ишлаб туриш эхтимоллигини топинг.
Ж: F(24) =0,3812, /?(24) =0,6188.
6-§. Дискрет ва узлуксиз тасодифий
микдорларнинг математик кутилиши ва дисперсияси
14.6.1 . X дискрет тасодифий микдорнинг математик кутилиши
М(Х) деб унинг мумкин булган барча кийматларини уларнинг
эхтимолликларига купайтмалари йигиндисига тенг сонга айтилади.
М(Х) =Xlpl+X2P2 + ... + XnPn=
pi +рг + — + р«= 1.
Агар ихтиёрий х ва у сонлар хамда X ва У тасодифий микдорлар
учун
Р(Х<х, У<у)=Р(Х<х)-Р(У<у)
тенглик Гринли булса, X ва У тасодифий микдорлар богли^мас
тасодифий микдорлар дейилади.
Математик кутилишнинг хоссаларини келтирамиз:
1. Узгармас микдорнинг математик кутилиши узгармаснинг
узига тенг:
М(С)=С.
2. Тасодифий микдорлар йигиндисининг математик .кутилиши
кушилувчилар математик кутилишларининг йигиндисига тенг:
М(Х + У)=М(Х)+М(У).
3. Богликмас тасодифий микдорлар купайтмасининг математик
кутилиши купайтувчилар математик кутилишларининг купайтмаси-
га тенг:
M(XY)=M(X)-M(Y).
4. Узгармас купайтувчи математик кутилиш белгиси олдига
чикарилади:
М(СХ) =СМ(Х),
С — узгармас сон.
14.6.2 . X тасодифий микдорнинг дисперсияси деб тасодифий
микдорнинг узининг математик кутилишидан четланиши квадрати-
нинг математик кутилишига айтилади.
Агар [X —Af (X)] тасодифий микдорнинг четланиши булса,
у х,олда
D(X) =М[Х-М(Х)]2.
Амалда бошка формуладан фойдаланиш кулай:
£>(Х) =2И (X2) — [Af (X)]2.
Дисперсиянинг хоссаларини келтирамиз:
1. Узгармаснинг дисперсияси нолга тенг:
D(C)=0.
2. Узгармас купайтувчини квадратга ошириб, дисперсия белги-
сидан ташкарига чикариш мумкин:
D(CX) =C2D(X), С —узгармас сон.
3. Богликмас тасодифий микдорлар йигиндиси (айирмаси) нинг
дисперсияси кушилувчилар дисперсияларининг йигиндисига тенг:
Д(Х±Г) = D(X) +£>(У).
14.6.3 . 1. Дискрет тасодифий микдорнинг биномиал таксимоти
учун
Af(X)=«-p, D(X) =n-p-q.
2. Пуассон таксимоти учун:
Л1(Х)=Х, Д(Х)=Д
14.6.4 . Узлуксиз тасодифий микдор мумкин булган кийматлари-
ни бутун сон укида кабул килсин, f(x) унинг зичлик функцияси
булсин.
Arap j \x\f(x)dx интеграл мавжуд булса, j xf(x)dx инте-
— оо — ОС
грал X узлуксиз тасодифий микдорнинг математик кутилиши
дейилади, яъни
М(Х) = j х f(x)dx .
— оо
Агар мумкин булган барча кийматлар (а, Ь) ораликка тегишли
булса, у холда
ь
М(Х) = ^х f(x)dx .
а
Из ох- Математик кутилишнинг дискрет тасодифий микдорлар
учун хоссалари узлуксиз тасодифий микдорлар учун хам уринли.
14.6.5 . X узлуксиз тасодифий микдорнинг мумкин булган
кийматлари Ох укида ётса, унинг дисперсияси куйидаги тенглик
оркали аникланади:
Д(Х) = j [x-M(X)]2/(x)dx
— оо
ёки
D(X)= x2f(x)dx —[М(Х)]2.
— оо
Агар X узлуксиз тасодифий микдорнинг мумкин булган барча
кийматлари (а, Ь) ораликка тегишли булса, у холда
д(х)= ь-мтрий
ёки
ь
D(X) = \x2f(x)dx-[M(X)]2.
а
Из ох: Дисперсиянинг дискрет тасодифий микдорлар учун
хоссалари узлуксиз тасодифий микдорлар учун хам уринли.
14.6.6 . Тасодифий микдорнинг у рта квадратик четланиши деб
дисперсиядан олинган квадрат илдизга айтилади:
14.6.7 . Математик кутилиш ва дисперсия:
1) текис таксимланган узлуксиз тасодифий микдор учун:
М(Х)=^±1, Д(Х) = -^^;
2) курсаткичли таксимот учун:
W)=-k w)=4;
л А
3) нормал таксимот учун:
М(Х)=а, D(X) =а2.
1-мисол. X тасодифий микдор ушбу таксимот конуни билан
берилган:
X 0 1
Р 0,2 0,4
2 3
0,3 0,08
4
0,02
М(Х), О(Х), о(Х) ларни топинг.
Ечиш. Тасодифий микдор дискрет булгани учун 14.6.1 ва
14.6.2 даги формулаларга кура:
М (X) =0-0,2+ 1-0,4 + 2.0,3 + 3-0,08 + 4-0,02 = 1,32.
X2 0 1
Р 0,2 0,4
4 9 16
0,3 0,08 0,02
М(Х2) =0-0,2+ 1 -0,4 + 4-0,3 + 9-0,08+ 16-0,02 = 2,64.
D(X) =М(X2) -[М (X)]2 = 2,64 - (1,32)2 = 2,64- 1,7424 = 1,8976;
а(Х) = у/ЩХ) «1,3775.
Шундай килиб, М(Х) = 1,32; £)(Х) = 1,8976; о(Х)« 1,3775.
2-мисол. Иккита богликмас синовда А ходисанинг руй
беришлар сонидан иборат X дискрет тасодифий микдорнинг
дисперсиясини топинг, бунда ходисанинг бу синовларда руй бериш
эхтимолликлари тенг ва М(Х)=0,9 экани маълум.
Ечиш. X дискрет тасодифий микдор биномиал конун буйича
таксимланган, шунинг учун М(Х) =п-р. Шартга кура М(Х) =0,9,
п=2. Демак, 2р = 0,9, р = 0,45, ^ = 1—0,45 = 0,55.
f(x) =
a
a
Кейинги интегрални хисоблаб оламиз:
du = 2xdx
= — x2cos3x |
du = dx
502
л/3
л/6
л/3
л/6
л/3
л/6
U = X
do = sin3xdx
и=х
dv=cos3xdx
л/3
j x2sin3xdx =
п/Ь
X тасодифий микдорнинг сонли характеристикалари — М(Х), D(X)
о(Х) ларни топинг.
Ечиш.
с osn—2-cos
О
3 J
л/6
и = х2
dv = s\n3xdx v=—i-cos3x
О
du=dx
v = —^-cos3x
О
D{X) =npq = 2-0,45-0,55 = 0,495.
Шундай килиб, D (X) =0,495.
3- м и с о л. X узлуксиз тасодифий микдорнинг зичлик функцияси
берилган:
р л/з
Е)(х) = ]x2f(x)dx — [Af(X)]2 = 3 x2sm3xdx
л/3
=3 j x-sin3xdx=3
л/6
=3 —x2~cos3x I
О I
л/3
j х cos3xdx
л/6
9
* я/3
М(Х) = у f(x)dx= j x-3sin3xdx =
y = ^-sin3x
О
0, агар х<4.
О
3sin3x, агар — <х<—
6 3
0, агар х>4.
О
^)+3jsin3x |f =
)=у~4=Лт2-«0.7133.
/ о о о
л/6
л/3
—-xcos3x I \ cos3xdx
о I л/6 J J
1 л/6
л/3
+ 2 j xcos3xdx=—f-
л/6
л/3
_ л2
~V
л2 Л
T 9 '
C OS Л
. л • л \ 2 / 1
„ л \ л2 л , 2
2 _ л
JT — Л — 2
OW
л2 —л —2 /л-l y_
9 \ 3 )
л2 —л—2 —л24-2л—1
9 9 ~ 9 ' 9
л2 — л — 2 л2 — 2л 4-1
9
9
л — 3
9
9
0,0155.
<J(X) = ^D(X) = д/0,0155 «0,1245 .
4-мисол. Текис таксимланган X тасодифий микдор зичлик
функцияси билан берилган:
0, агар х^.а — 1,
агар а — /<х<а+/,
О, агар х>а+1.
М(Х) ва D(X) ни топинг.
Ечиш. 14.6.8 даги формулалардан фойдаланамиз:
М(Х)=-~~, демак, М(Х) —--------$----~^~=а'
D(X) = —Уу-, Демак,
У (a + l-a + l)2 (2/)2 __ 4Z2 _ /2
~ 12 12 12 3
Шундай килиб, Л1(А’)=а; D(X)—-^—.
О
5-мисол. X тасодифий микдор нормал таксимланган булиб,
математик кутилиши а=10 га тенг. X тасодифий микдорнинг
(10; 20) ораликка тушиш эхтимоллиги 0,3 га тенг булса, унинг
(0; 10) ораликка тушиш эхтимоллигини топинг.
Ечиш. Нормал эгри чизик (Гаусс эгри чизиги) х—а= 10 тугри
чизикка нисбатан симметрии булгани учун юкоридан нормал эгри
чизик билан, пастдан эса (0; 10) хамда (10; 20) ораликлар билан
чегараланган юзлар бир-бирига тенг. Бу юзлар сон жихатдан
X тасодифий микдорнинг тегишли ораликларга тушиш эхти-
молликларига тенг. Шунинг учун:
Р (0<Х< 10) =Р(10<Х<20) =0,3.
6-ми сол. Зичлик функцияси f(x) = Юе~|0х(х>0) билан бе-
рилган курсаткичли таксимотнинг математик кутилиши, дисперсия-
си, урта квадратик четланишини топинг.
Ечиш. Х= 10.
о(Х) = да =1=0,1.
7-мисол. Таксимот функцияси F(x) — 1 — e_0jx(x>0) билан
берилган курсаткичли таксимотнинг M(X), D(X), о(Х) ларини
топинг.
Ечиш. Х = 0,1, М(Х) =^-=-L= Ю ,
A U, 1
D<X>=^“W='00' ЛХ)=4-10.
6- дарсхона топшириги
1. X тасодифий микдор — уйин соккасини бир марта ташланган-
да тушадиган очколар сони. М(Х), D(X), о(Х) ларни топинг.
Ж: М(Х)=3,5; Д(Х)=2,92; о(Х) = 1,71.
2. Нишонга карата дар бир отишда тегиш эхтимоллиги
/> = 0,8 булган 4 та ук узилади (богликмас холда). Нишонга
тегишлар сонидан иборат булган X дискрет тасодифий микдорнинг
сонли характеристикалари М(Х), D(X), о(Х) ларни топинг.
Ж: M(X)=3,2; D(X)=0,64; о(Х)=0,8.
3. X узлуксиз тасодифий микдор зичлик функцияси /(х) билан
берилган:
0, агар х< —у,
f(x) =
0,5cosx, агар —^-<х^у,
0, агар
М(Х), D(X), о(Х) ларни топинг.
Ж: M(X)=0; D(X) «0,4649; а (X) «0,68.
4. X узлуксиз тасодифий микдор зичлик функцияси f(x) билан
берилган:
’0, агар х<: 2,
0,5, агар 2<х< 4,
.0, агар х>4.
М(X), £)(Х), о(Х) ларни топинг.
Ж: М (Х)=3; £)(Х)=-|-; о (Х)=0,58.
5. X узлуксиз тасодифий микдор зичлик функцияси f(x) билан
берилган:
fU) =
О, агар х<0,
5е-5х, агар х^О.
М(Х), D(X), о(Х) ларни топинг.
Ж: М(Х) =0,2; D (X) =0,04; о (X) =0,2.
6. Агар Л/(Х)=3, Z)(X) = I6 эканлиги маълум булса, нормал
таксимланган X тасодифий микдорнинг зичлик функциясини
топинг.
Ж: /(х) =
М—З)2
1__ е 32
4 \/2л
6- мустак,ил иш
1. Кутида 7 та шар булиб, уларнинг турттаси ок, колганлари
кора. Кутидан таваккалига 3 та шар олинади. X — олинган
ок шарлар сони. М(Х), D(X), о(Х) ни топинг.
Ж: М(Х) = 1-|; £»(Х)«0,49; о(Х)®0,7.
2. Иккита уйин соккаси бараварига 2 марта ташланади. X —
иккала уйин соккасидаги тушган жуфт очколар соии. Л7 (X), D(X),
о(Х) ларни топинг.
Ж: М(Х) =0,5; D(X) =4= 0,375; о (X) «0,612 .
О
3. X узлуксиз тасодифий микдор зичлик функцияси билан
берилган:
0, агар х< 0,
fix) =
2х, агар 0<х< 1,
.0, агар х>1.
М(Х), £>(Х), о(Х) ларни топинг.
Ж: Л4(Х)=|; D(X)=-b о (X) =0,236.
4. (2; 8) ораликда текис таксимланган X тасодифий лгикдорнинг
М(Х), D(X), а(Х) ларини топинг.
Ж: М(Х)=5; D(X)=3; о(Х} = л/3-
5. X узлуксиз тасодифий микдор зичлик функцияси
f(x) =
0, агар х<0,
О,О4е-0’04х, агар х^0
билан берилган. Л4(Х), D(X), о(Х) ларни топинг.
Ж: Л4(Х)=25; D(X)=625; о(Х) =25.
6. Нормал таксимланган X тасодифий микдор зичлик функцияси
(х— I )2
О у 2Л
билан берилган. Л4(Х), £)(Х) ларни топинг.
Ж: Л4(Х) = 1, D(X) =25.
11- назорат иши
1.1. Цехда 7 эркак ва 6 аёл ишлайди. Таваккалига 8 киши
ажратилганда, улар орасида уч аёл булиши эхтимоллигини топинг.
1.2. Яшикдаги деталларининг 20% и яроксиз. Олинган 3 та
деталнинг купи билан биттаси яроксиз б^либ чикиши эхтимоллиги-
ни топинг.
1.3. Биринчи кутида 12 та шар булиб, уларнинг 8 таси ок,
иккинчи кутида 15 та шар булиб, уларнинг 4 таси ок. Биринчи
кутидан иккинчисига 2 та шар солинади. Иккинчи кутидан
таваккалига олинган шар кора булиши эхтимоллигини топинг.
1.4. р(А) =0,6 булсин. А ходисанинг 2400 богликсиз синовда роса
1400 марта р^й бериши эхтимоллигини топинг.
1.5. Партияда 12% ностандарт деталлар бор. Таваккалига 5 та
деталь олинади. Олинган деталлар ичида ностандарт деталлар
сони—X дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конунини ва
М(Х), D(X), Р(1<А'<2), F(x) ларни топинг.
2.1. Кутида номерланган олтита куб бор. Таваккалига биттадан
хамма кублар олинганда хосил булган соннинг бешга б^линиши
эхтимоллигини топинг.
2.2. Буюмнинг стандарт булиши эхтимоли 0,8 га тенг. Туртта
буюмнинг хеч булмаганда биттаси стандарт булиши эхтимоллигини
топинг.
2.3. Учта кутиНинг хар бирида 6’та кора ва 4 та ок шар бор.
Биринчи кутидан таваккалига битта шар олиб, иккинчисига
солинади, шундан сунг иккинчи кутидан таваккалига битта шар
олиниб, учинчи кутига солинади. Учинчи кутидан таваккалига
олинган шарнинг ок булиши эхтимоллигини топинг.
2.4. Янги тугилган 70 чакалокнинг камида 40 ва купи билан
65 нафари угил бола булиши эхтимоллигини топинг.
2.5. Бир-бирига боглик булмаган холда ишлайдиган 4 та
асбобдан иборат курилма текширилади. Агар асбобларнинг
бузилиб колиш эхтимолликлари pi =0,3, р2 = 0,4, рз = 0,5 ва
р4 = 0,6 булса, бузилиб колган асбоблар сонидан иборат X дискрет
тасодифий микдорнинг таксимот конуни F(x) ни ва Р(2<Х<4),
М(Х), D(X), о(А') ларни топинг.
3.1. 52 та картадан иборат т^лик дастадан таваккалига 4 та
карта олинганда роса 2 таси гиштин булиши эхтимоллигини топинг.
3.2. Курилма бир-бирига богликсиз ишлайдиган учта эле-
ментдан иборат. Уларнинг бузилиб колиши эхтимоллари 0,05; 0,08;
0,07 га тенг. Иккита элемент бузилиб колиши эхтимоллигини топинг.
3.3. 10 та милтикнинг 4 таси оптик нишонга олиш мосламасига
эга. Бундай мосламали милтикдан нишонга уриш эхтимоллиги
0,9 га, усиз 0,7 га тенг. Таваккалига олинган милтикдан 2 та ук
узилган. Агар мерган иккала холда хам нишонга уролмаган булса,
; оптик мосламали милтик танланмаганлиги эхтимоллигини топинг.
i 3.4. Уйин соккасини 50 марта ташланганда «олтилик» камида
i 10, купи билан 25 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
3.5. Тукувчи 1000 та урчукка хизмат к^рсатади. Бир минут ичида
! битта урчукда ип узилиш эхтимоллиги 0,004 га тенг. Ипи узилган
i урчуклар сонидан иборат X дискрет тасодифий микдорнинг
! таксимот конунини ва М(Х), D(X), Р( 100<Х<200), F(x) ларни
топинг.
4.1. 20 та команда иккита гурухга булинади. Иккита энг кучли
команда бошка-бошка гурухларга тушиши эхтимоллигини топинг.
4.2. Турт мерган нишонга карата ук узишади. Нишонга тегиш
эхтимолликлари мос холда 0,4; 0,5; 0,6; 0,7 га тенг: а) учта мерган
нишонга ургани; б) нишон мулжалга олингани эхтимоллигини
топинг.
4.3. Биринчи кутида 12 та шар булиб, уларнинг 7 таси ок,
иккинчи кутида 15 та шар б^либ, уларнинг 5 таси ок. Кар кайси
кутидан биттадан шар олинди, сунгра бу икки шардан таваккалига
биттаси олинди. Агар танланган шар кора булса, олинган иккала
шарнинг кора булиши эхтимоллигини топинг.
4.4. Партияда 30% яроксиз деталлар бор. 50 та деталнинг
ичидан 10 тадан к^пи яроксиз булиб чикиши эхтимоллигини топинг.
4.5. Иккита тупдан навбатма-навбат нишонга карата туплардан
бири нишонни мулжалга олгунча Ук узилади. Нишонга тегиш эхти-
молликлари туплар учун мос холда 0,7 ва 0,3. Биринчи туп узган
уклар сонидан иборат дискрет тасодифий микдорнинг таксимот
конунини ва F(x), М(X), D(X),a(X), Р(2^Х^.5) ларини топинг.
5.1. Узунликлари 1, 3, 5, 7 ва 9 см булган бешта кесма мавжуд.
Таваккалига олинган учта кесмадан учбурчак тузиш мумкинлиги
эхтимоллигини топинг.
^5.2. Учта мерган нишонга карата ук узишди. Нишоннинг
биринчи мерган томонидан «яксон» килиниш эхтимоллиги 0,8 га,
иккинчи ва учинчи мерганлар учун мос холда 0,7 ва 0,9 га тенг.
Иккитадан куп булмаган мерган нишонни «яксон» килиши
эхтимоллигини топинг.
5.3. Ичида 10 та шар булган кутига ок шар солинди, шундан сунг
таваккалига 2 та шар олинди. Иккала шар ок булиши эхтимоллиги-
ни топинг.
5.4. р(А) =0,8 булсин. А ходиса 21 та синовнинг купчилигида р^й
бериши эхтимоллигини топинг.
5.5. Курилма 1000 та элементдан иборат булиб, исталган
Л1смсн1нинг 1 вакт давомида ишдан чикигц эхтимоллиги 0,002 га
тенг. Ишдан чиккан элементлар сони булган X дискрет тасодифий
микдорнинг таксимот конунини, F(x), М(Х), D(X), о(Х),
Р(Х>100) ларни топинг.
6.1. 52 талик карталар дастасидан таваккалига 3 та карта
олинади. Булар «уч», «еттилик», «туз» булиши эхтимоллигини
топинг.
ч 6.2. Таваккалига олинган буюмнинг юкори навли булиш
эхтимоллиги 0,7 га тенг. Олинган туртта буюмнинг факат иккитаси
юкори навли булиши эхтимоллигини топинг.
6.3. Лабораторияда 6 та автомат ва 4 та ярим автомат бор. Бу-
зилиб колиш (ишдан чикиш) эхтимоллиги автомат учун 0,1 га, ярим
автомат учун эса 0,2 га тенг. Таваккалига олинган машина автомат
булса, унинг ишдан чикиши эхтимоллигини топинг.
6.4. р(А) =0,7 булсин. А ходиса 50 та синовда 10 дан 25 мартага-
ча руй бериши эхтимоллигини топинг.
6.5. Овчининг 3 та Уки бор. У нишонга карата биринчи ук
теккунча отади. Агар хар кайси Ук узишда хато кетиш эхтимоллиги
0,2 га тенг булса, сарф килинган уклар сонидан иборат X дискрет
тасодифий микдорнинг таксимот конунини, F(x), М(Х), D(X), о(Х),
F(X>2) ларни топинг.
7.1. Кутида 12 шар булиб уларнинг 5 таси ок ва 7 таси кора.
Таваккалига 3 та шар олинади. Олинган шарларнинг 2 таси кора ва
1 таси ок булиши эхтимоллиги кандай?
7.2. 4 та богликмас ходисанинг хар бири мос холда 0,012; 0,01;
0,006 ва 0,002 эхтимолликлар билан руй бериши мумкин. Хеч
булмаганда битта ходисанинг рУй бериши эхтимоллигини топинг.
7.3. Лампочкалар партиясида 100 та лампочкага 0 дан 5 тагача
яроксизлари турри келиши мумкин. 100 та лампочкадан таваккали-
га 10 таси олинди. Олинган барча 10 та лампочка ярокли эканлиги
маълум булса, партиядаги хамма лампочкалар ярокли булиши
эхтимоллигини аникланг.
7.4. Тенг кучли шахматчилар учун
а) 70 та уйиндан 60 тасини ютиш;
б) камида 40 та уйинни ютиш эхтимоллиги кандай?
7.5. Автомобилнинг бутун йули давомида туртта светофор бор.
Уларнинг хар бири 0,5 эхтимоллик билан ё йул ни очади, ё харакатни
такиклайди. Автомобилнинг биринчи тухташигача утган свето-
форлар сонидан иборат булган X дискрет тасодифий микдорнинг
таксимот конунини ва F(x), М(Х), D(X), а(Х) ларни топинг.
8.1. Яшикда 90 та сифатли ва 10 та яроксиз буюм бор.
Таваккалига олинган 5 та буюмнинг 2 тадан куп булмагани яроксиз
эканлиги эхтимоллигини топинг.
8.2. Курилма учта элементдан иборат. Биринчи, иккинчи, учинчи
элементларнинг тухтовсиз ишлаш эхтимолликлари мос холда 0,6;
0,7; 0,8 га тенг. Хеч булмаганда битта элемент ишдан чикиши
эхтимоллигини топинг.
8.3. 3 та кутининг хар бирида 7 та кора ва 3 та ок шар бор. Хар
кайси кутидан таваккалига биттадан шар олинади, сунгра бу учта
шардан бири олинади. Бу шар кора рангда булиши эхтимоллигини
топинг.
8.4. Уйин соккаси 60 марта ташланганда «учлик» 15 дан кам
марта тушиши эхтимоллигини топинг.
! 8.5. Курилма деталларни штамповка килади. Деталь яроксиз
| булиб чикиши эхтимоллиги 0,01 га тенг. 10 та деталь ичида
! яроксизларининг сонидан иборат X дискрет тасодифий микдорнинг
таксимот конунини ва F(x), М (X), D (X), о(Х), Р(5<Х^ 8) ларни
топинг.
9.1. Таваккалига олинган икки хонали соннинг ракамлари
йигиндиси 9 га тенг булиши эхтимоллигини топинг.
9.2. Биринчи тадкикотчининг хатога йул куйиши эхтимоллиги
0,1 га, иккинчи ва учинчи тадкикотчилар учун эса 0,2 ва 0,3 га тенг.
а) хеч булмаганда битта тадкикотчининг;
б) иккита тадкикотчининг хатога йул куйиши эхтимоллигини
топинг.
9.3. Бешта кути бор: 1-, 2- ва 3- кутиларда 2 тадан ок ва 3 тадан
кора шар бор, 4- ва 5- кутиларда 1 тадан ок ва 1 тадан кора шар бор.
Дуч келган битта кутидан таваккалига битта шар олинади. Агар
олинган шар кора булса, туртинчи кути танланганлиги эхтимолли-
гини топинг.
9.4. Маълумотни узатишда битта белгининг бузилиш эхтимоли
0,1 га тенг. 10 та белгидан иборат маълумотда 3 та бузилиш борлиги
эхтимоллиги кандай?
9.5. Орасида 4 та яроксизи булган 10 та деталдан иборат
партиядан таваккалига 4 та деталь олинади. Олинган деталлар
ичидаги яроксизлари сонидан иборат дискрет тасодифий мик-
дорнинг таксимот конунини ва F(x), М(Х), о(Х), Р(Х>2) ларни
топинг.
10.1. 8 та бир хил карточкага 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13 сонлар ёзилган.
Таваккалига иккита карточка олинади. Олинган иккита карточка-
даги сонлардан тузилган каср кискарувчи булиши эхтимоллигини
топинг.
10.2. Электр занжиридаги узилиш R элементнинг ёки иккита
ва Г2 элементларнинг ишдан чикиши туфайли руй бериши мумкин.
(Бу элементларнинг ишдан чикиши эхтимолликлари 0,3; 0,2 ва 0,1 га
тенг. )
а) занжирнинг узилиш эхтимоллигини топинг;
б) элементлардан бирининг ишдан чикиши эхтимоллигини
топинг.
ЦО.З. Йигувчи 3 яшик деталь олди: биринчи яшикда 40 та деталь
булиб, 5 таси буялган; иккинчисида 50 та деталь булиб, 10 таси
буялган; учинчисида 30 та . деталь булиб, 20 таси буялган.
Таваккалига танланган яшикдан таваккалига олинган деталь
буялган булиши эхтимоллигини топинг.
10.4. Янги тугилган 50 чакалок ичида угил болалар ками билан
25 ва купи билан 35 тани ташкил этиши эхтимоллиги кандай?
10.5. Дарслик 100000 нусхада чоп этилган. Дарслик нотурри
муковаланган булиши эхтимоллигини 0,0001 га тенг. Х,амма
китоблар орасидаги яроксизлари сонидан иборат X дискрет
тасодифий микдорнинг таксимот конунини ва F(x), М(Х), £)(Х), а(Х),
Р( 100<Х< 1000) ларни топинг.
11.1. Уйин соккаси ташланади. Туб сон тушиши эхтимоли
кандай?
11.2. Яшикда 100 деталь булиб, уларнинг 10 таси яроксиз.
Таваккалига 4 та деталь олинган. Олинган деталлар ичида:
а) иккитаси яроксиз;
б) хеч булмаганда биттаси яроксиз булиши эхтимоллигини
топинг.
.Д 1.3. Деталлар биринчи партиясининг 2/3 кисми яроксиз,
иккинчи ва учинчи партияда барча деталлар ярокли. Таваккалига
битта деталь олинади. Олинган деталнинг яроксиз булиши
эхтимоллигини топинг.
11.4. Алока каналлари оркали 1000 та белги юборилади. Битта
белгининг бузилиш эхтимоллиги 0,005 га тенг. Роса 50 та белгининг
бузилиши эхтимоллигини топинг.
11.5. 3 та асбоб текширилади. Хар кайси асбоб ундан олдинги
асбоб ярокли (ишончли) булиб чиккандагина текширилади. Хар
бир асбоб учун синовга бардош бериш эхтимоллиги 0,9 га тенг.
Асбобларни синаш сонидан иборат булган X дискрет тасодифий
микдорининг таксимот конунини ва F(x), Af(X), D(X), Р(Х>1)
ларни топинг.
12.1. Таваккалига танланган икки хонали бутун сонни квадратга
оширганда турт билан туговчи сон хосил булиши эхтимоллигини
аникланг. ,
12.2. Мерган марказий дойра ва иккита концентрик халкадан
иборат нишонга карата битта ук узади. Дойра ва халкаларга ук
тегиши эхтимоллиги мос равишда 0,2; 0,5; 0,1 га тенг. Укнинг
халкага тегиши эхтимоллигини топинг.
12.3. Бензин куйиш станцияси жойлашган шоссе буйлаб
утаётган юк машиналари сонининг енгил машиналар сонига
нисбати 3:2 каби. Юк машинасинниг бензин олиш учун станцияга
кириш эхтимоллиги 0,1 га, енгил машина учун 0,2 га тенг. Бензин
олиш учун кириб келган машина — юк машинаси булиши эхти-
моллигини топинг.
12.4. Танга ташланади. Танга 11 марта ташланганда гербли
томон 3 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
12.5. Сокка 3 марта ташланади. «Олтилик» тушишлари сонидан
иборат булган X дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конунини
ва F(x), D(X), о(Х), Р(Х<2) ларни топинг.
13.1. Битта токчадаги 10 та китоб таваккалига куздан кечирил-
япти. Учта маълум китобнинг ёнма-ён турганлиги эхтимоллигини
топинг.
13.2. Мерганнинг битта ук узишда нишонга текказиш эхтимоли
0,8 га тенг. Бешта ук узишда нишонга камида турт марта тегиш
эхтимоллигини топинг.
13.3. Иккита автомат деталлар тайёрлайди. Биринчи авто-
матнинг ностандарт деталь тайёрлаш эхтимоллиги 0,07 га,
иккинчисиники эса 0,09 га тенг. Иккинчи автоматнинг ишлаб
чикариш унумдорлиги биринчи автоматнинг унумдорлигидан уч
марта юкори. Таваккалига олинган деталниниг стандарт булиши
эхтимоллигини топинг.
13.4. Тангани 80 марта ташланганда 50 марта «герб» тушиши
эхтимоллигини топинг.
13.5. Курилма учта элементдан тузилган. Битта синовда хар
кайси элементнинг ишдан чикиш эхтимоллиги 0,4 га тенг. Ишдан
чиккан элементлар сонидан иборат булган X дискрет тасодифий
микдорнинг таксимот конунини ва F(x), М(Х), D(X), о(Х) ва
Р(Х>1) ларни топинг.
14.1. Унта бир хил карточкага нолдан туккизгача турли сонлар
ёзилган. Бу карточкалар ёрдамида таваккалига тузилган уч хонали
соннинг 36 га булиниши эхтимоллигини топинг.
14.2. Унта кУлёзма 30 та папкага жойлашган (битта кулёзмага
3 та папка). Таваккалига олинган 6 та папкада бирорта хам кулёз-
ма бутунича жойлашмаслик эхтимоллигини топинг.
14.3. Автобус паркидан 1-номердаги 6 та автобус, 2-номердаги
4 та автобус ва 3- номердаги 5 та автобус ихтиёрий тартибда чикиб
кетди. Иккинчи булиб чиккан автобуснинг 2- номерли булиши
эхтимоллигини топинг.
14.4. Оилада 5 та фарзанд бор. Уларнинг 3 тадан куп булмагани
урил болалар экани эхтимоллигини топинг.
14.5. Ишчи 3 та станокка хизмат курсатади. Бир соат ичида
станокнинг ишчига «эхтиёжи булмаслик» эхтимоллиги I станок учун
0,9 га, II станок учун 0,8 га, III станок учун 0,7 га тенг. Бир соат
ичида ишчининг аралашуви талаб этилмайдиган станоклар сонидан
иборат булган X дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конунини,
F(x), М(Х), D(X), ва о(Х) ларни топинг.
15.1. «36 дан 5» спортлото уйинида мукофот олиш эхтимоллиги
кандай? (Мукофот олиши учун камида 3 та ракам тугри топилиши
кера к.)
15.2. Йигувчига керак булган деталь биринчи, иккинчи ва
учинчи яшикларда булиши эхтимоллиги мос холда 0,6; 0,7; 0,8 га
тенг. Зарур деталнинг камида иккита яшикда булиши эхтимоллиги-
ни топинг.
15.3. Яшикда 1-заводда тайёрланган 10 та деталь,2-заводда
тайёрланган 5 та деталь ва 3- заводда тайёрланган 15 та деталь бор.
Йигувчи деталларни битталаб олади. Иккинчи олишида 2-заводда
тайёрланган деталь чикиши эхтимоллигини топинг.
i/ 15.4. р(А) =0,25 б^лсин. А нинг ходиса 243 та синовда 70 марта
руй бериши эхтимоллигини топинг.
15.5. Икки тупдан нишонга карата галма-гал туплардан бири
нишонга текказгунча ук узилади. Хар кайси тупнинг нишонга
текказиш эхтимоллиги мос равишда 0,3 ва 0,7 га тенг. Иккинчи туш
сарф килган уклар сонидан иборат булган X дискрет тасодифий
микдорнинг таксимот конунини ва F(x), М (X), £>(Х), о(Х),
Р(Х> Ю) ларни топинг.
16.1. Т^ккиз йуловчи трамвайнинг 3 та вагонига чикиб жой-
лашдилар. Хар бир йуловчи вагонни таваккалига танлайди. Бир
вагонга турт йуловчи, бошкасига уч, учинчи вагонга эса икки й^лов-
чи чикканлиги эхтимоллиги кандай?
16.2. Икки т^пдан бараварига отилганда нишонга тегиш
эхтимоллиги 0,46 га тенг. Агар иккинчи т^пнинг нишонга текказиш
эхтимоллиги 0,7 га тенг булса, биринчи туп учун бу эхтимоллик
кандай булади? Тупларнинг хеч булмаганда бири нишонга
текказиши эхтимоллигини топинг.
16.3. Иккита кутининг хар бирида 7 та кора, 3 та ок шар бор.
Иккинчи кутидан таваккалига иккита шар олинди ва биринчи
кутига солинди. Биринчи кутидан олинган шар ок булиши
эхтимоллигини топинг.
16.4. Уйин соккасини 90 марта ташлашда 3 га каррали
соннинг камида 100, купи билан 170 марта чикиши эхтимоллигини
топинг.
16.5. Иккита мерган галма-галдан нишонга карата ук узишади.
Битта ук узишда хато кетиш эхтимоллиги биринчи мерган учун
0,2 га, иккинчиси учун 0,4 га тенг. Агар турттадан ортик ук
узилмаган булса, нишонга теккунча отилган уклар сонидан иборат
булган X дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конунини ва
F (х), М (X), D (X), о (X), Р (Х>2) ларни топинг.
17.1. Курилма 3 таси эскириб колган 5 та элементдан иборат.
Курилмани тасодифан ишга туширилганда 2 та элемент ишлайди.
Курилманинг ишга тушмай колиши эхтимоллигини топинг.
17.2. Ходисанинг хар бир синовда руй бериш эхтимоллиги 0,2 га
тенг. Синовлар бирин-кетин, ходиса р^й бергунча утказилади.
Иккитадан к^п булмаган синов утказилиш эхтимоллигини топинг.
17.3. 12 та милтикнинг 5 таси оптик нишонга олиш мосламаси<га
эга. Бундай мосламали милтикдан нишонга текказиш эхтимоллиги
0,9 га, мосламасиз милтикдан эса 0,75 га тенг. Мерган таваккалига
олган милтикдан иккита ук уздй. У иккала холда хам нишонга
текказганлигининг эхтимоллигини топинг.
17.4. Битта ук узишда нишонга текказиш эхтимоллиги 0,8 га
тенг. 5 та ук узилганда 4 таси нишонга тегиши эхтимоллигини
топинг,
17.5. Нишон 1-номерли дойра хамда 2- ва 3-номерли кон-
центрик халкалардан иборат. 1-номерли доирага текказишга
10 очко, 2-номерли халкага — 5 очко ва 3-номерли халкага
текказишга ( — 1) очко берилади. Доирага. ва халкаларга текказиш
эхтимолликлари мос холда 0,5, 0,3, 0,2 га тенг. Учта ук узилганда
т^планган очколар сонидан иборат булган X дискрет тасодифий
микдорнинг таксимот конунини, F(x), M(X), Z)(X), о(Х) ва
Р (Х> 10) ларни топинг.
18.1. Кучада учраган биринчи автомошинанинг номери бир хил
ракамлардан иборат булиши эхтимоллигини аникланг.
18.2. 100 та буюмдан иборат партияда 20 та стандарт буюм бор.
Таваккалига 3 та буюм олинди. Уларнинг ичида камида иккитаси
стандарт булиши эхтимоллигини топинг.
18.3. Тирда бешта милтик булиб, улардан нишонга текказиш
эхтимолликлари 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 га тенг. Таваккалига олинган
милтикдан бир марта ук узишда нишонга текказиш эхтимоллигини
аникланг.
18.4. р(А) =0,7 булсин. А ходисанинг 2100 та синовда 1000 марта
[ руй бериши эхтимоллигини топинг.
18.5. Иккита уйин соккаси бир пайтда ташланади. Иккаласида
хам жуфт очко чикиш сонидан иборат булган А' дискрет тасодифий
микдорнинг таксимот конунини, F(x),- М(Х), D(X), о(А) ва
Р(А>2) ларни топинг.
19.1. «45 дан 6» спортлото уйинида ютиб олиш эхтимоллиги
кандай? (Мукофот олиш учун камида 4 та ракам тугри топилиши
керак. )
19.2. Икки спортчининг хар бири учун бирор машкни яхши
бажариш эхтимоллиги 0,5 га тенг. Спортчилар машкни навбат
билан бажарадилар, бунда хар бир спортчи уч мартадан уринади.
Спортчиларнинг хеч булмаганда бири мукофотни олиши эхти-
моллигини топинг.
19.3. Биринчи кутида 1 та ок ва 9 та кора шар,иккинчи кутида
1 та кора ва 5 та ок шар бор.Х,ар кайси кутидан биттадан шар олиб
ташланди ва колган хамма шарларни учинчи кутига солинди.
Учинчи кутидан олинган шар ок булиши эхтимоллигини топинг.
19.4. Уйин соккаси 70 марта ташланганда ток очколар 50 дан
65 мартагача тушиши эхтимоллигини топинг.
19.5. Агар X тасодифий микдор иккита xi<x2 кийматг эга
булиб, Р(Х=Х\) =0,3; М(А) =3,7, D(X) =0,21 булса, бу тас< чфий
микдорнинг таксимот конунини топинг.
20.1. Таваккалига танланган икки хонали соннинг туб сон
булиши эхтимоллигини топинг.
20.2. Яшикда 15 та деталь булиб, уларнинг 10 таси буялган.
Таваккалига 5 та деталь олинади. Уларнинг орасида камида 4 таси
буялган булиши эхтимоллигини топинг.
20.3. Автобус паркидан 1-номердаги 6 та, 2-номердаги 4 та ва
3- номердаги 10 та автобус чикиб кетди. Иккинчи булиб чиккан
автобуснинг 1- номерли булиши эхтимоллигини топинг.
20.4. р(А') =0,8 эканлиги маълум. А ходисанинг 100 та CHiio'.ta
камида 75 марта руй бериши эхтимоллигини топинг.
u20.5. Иккита бомбардимончи самолёт нишонга теккунча галма
галдан бомба ташлайди. Биринчи самолётнинг нишонни аник
мулжалга олиш эхтимоллиги 0,7 га, иккинчисиники эса 0,8 га тенг.
Агар самолётларнинг хар бирида 3 тадан бомба булса, ташланган
бомбалар сонидан иборат X дискрет тасодифий микдорнинг
таксимот конунини, F(x), А4(А), D(X), ст(А), Р(А>2) ларни топинг.
21.1. Болалар учун санаторийга 12 та, сайёхлар лагерига 8 та ва
спорт лагерига 5 та йулланма ажратилди. Агар 3 уртокнинг ота-
оналари бир-биридан бехабар биттадан йулланма олган булса,
бу 3 уртокнинг битта лагерга тушиб колиши эхтимоллиги
кандай?
21.2. Биринчи станокнинг бир соат давомида узлуксиз ишлаш
эхтимоллиги 0,75 га, иккинчи станокники эса 0,8 га тенг. Агар
станоклар бир-бирига боглик булмаган холда ишласалар, бир соат
давомида факат битта станок тухташи эхтимоллиги кандай?
21.3. Асбоблар иккита заводда тайёрланади. Биринчи завод
барча махсулотнинг 2/3 кисмини тайёрлайди, уларнинг 5 %и
яроксиз, иккинчи завод 1/3 кисмини тайёрлайди, уларнинг 7 %и
яроксиз. Ярокли деталь олингани эхтимоллигини топинг.
21.4. Тангани 45 марта ташланганда «герб» 15 марта тушиши
эхтимоллигини топинг.
V&1.5. Овчи паррандага карата, ук теккунча отади, лекин
турттадан куп булмаган ук узишга улгуради, холос. Агар битта ук
узишда нишонга текказиш эхтимоллиги 0,7 га тенг булса, узилган
уклар сонидан иборат булган X тасодифий микдорнинг таксимот
конунини ва F(x), Af(X), Z)(X), о(Х) ларни топинг.
22.1. Укувчининг биринчи имтихонни топшириши эхтимоллиги
0,9 га, иккинчисини топшириш эхтимоллиги 0,8 га, учинчисини
топшириш эхтимоллиги 0,7 га тенг. Укувчининг: 1) барча
имтихонларни; 2)акалли битта имтихонни топшириш эхтимоллиги
кандай?
22.2 Автобусда 5 йуловчи бор. Колган 5 та бекатнинг хар бирида
биттадан йуловчи тушиб колиши эхтимоллигини топинг.
22.3. Асбоб икки хил тарз (режим) да ишлайди, Иш жараёнининг
80 %ида одатдаги (нормал) иш тарзи кузатилади, 20 %ида одатдан
ташкари (нормал булмаган) иш тарзи кузатилади. Одатдаги тарзда
асбобнинг ишдан чикиш эхтимоллиги 0,2 га, одатдан ташкари
тарзда ишдан чикиш эхтимоллиги эса 0,7 га тенг. Асбобнинг ишдан
чикиши эхтимоллигини топинг.
22.4. Кайси бирининг эхтимоллиги каттарок: тангани турт марта
ташлаганда «герб»нинг 2 марта тушишинингми ёки 8 марта ташлан-
ганда «герб»нинг 4 марта тушишинингми?
22.5. Киз ва утил болаларнинг тугилиш эхтимолликлари тенг деб
фараз килинади. Турт болали оиладаги у₽ил болалар сонидан
иборат булган X тасодифий микдорнинг таксимот каторини тузинг.
F (х), М (X), D (X), ст (X) ларни топинг.
23.1. 3 та станок ишламокда. Бу станокларнинг бир соат
давомида созлашни талаб килмаслик эхтимолликлари мос равишда
0,95; 0,8; 0,8 га тенг. Бир соат ичида хеч булмаганда битта
станокнинг созлашни талаб этмаслик эхтимоллигини топинг.
23.2 Уч уртокнинг иккитаси учрашувга келди. Агар уларнинг
учрашувга келиш эхтимолликлари мос равишда 0,1; 0,3; 0,5 га тенг
булса, учрашувга биринчи ва учинчи уртокнинг келиши эхтимолли-
гини топинг.
23.3. Уч хил идишлар булиб, 1-хилда 3 идиш, унинг хар бири
ичида 5 та ок ва 3 та кора шар бор. 2- хилда 3 идиш, уларнинг хар
бири ичида 6 та ок ва 2 та кора шар бор. 3- хилда 4 идиш, уларнинг
хар бири ичида 7 та ок ва 9 та кора шар бор. Таваккалига танланган
идишдан таваккалига шар олинади. Бу шарнинг кора булиши
эхтимоллиги кандай?
23.4. Янги тугилган 200 чакалокнинг камида 90 таси угил
болалар булиши эхтимоллиги кандай?
23.5. Учта мерган битта нишонга карата ук узишади. Нишонга
текказиш эхтимоллиги биринчи мерган учун 0,8 га, иккинчиси учун
0,6 га, учинчиси учун 0,5 га тенг. Нишонга теккан уклар сонидан
иборат булган X тасодифий микдорнинг таксимот конунини ва F(x),
М(Х), D(X), о(Х) ларни топинг.
24.1. Автомат станок деталларни штамплайди. Бир соат ичида
бирорта хам ярокли деталь ишлаб чикармаслик эхтимоллиги 0,9 га
тенг. 3 соат ичида чикарилган барча деталларнинг ярокли булиши
эхтимоллигини топинг.
24.2. Йигув цехига 3 та цехдан деталлар келтирилди: биринчи
цехдан 6 та; иккинчи цехдан 7 та, учинчи цехдан 8 та. Таваккалига
бир пайтда олинган иккита деталнинг 1-цехдан ёки 2-цехдан
булиши эхтимоллиги кандай?
24.3. Иккита станокда деталлар тайёрланади, бунда биринчи
станок иккинчисига нисбатан 3 марта куп деталь тайёрлайди.
Биринчи станокнинг яроксиз деталлари 2,5%ни, иккинчисиники
1,5 %ни ташкил этади. Таваккалига олинган деталь яроксиз булиб
чикди. Бу деталнинг иккинчи станокда тайёрланган булиши
эхтимоллигини топинг.
24.4. Янги тугилган 200 чакалокнинг 100 таси угил болалар
булиши эхтимоллиги кандай?
24.5. Тупдан узилган битта ук билан нишонни мулжалга олиш
эхтимоллиги 0,4 га тенг. Учта ук узилганда нишонга теккизишлар
сонидан иборат булган X тасодифий микдорнинг таксимот конунини
ва F (х), М (Д'), D (Д'), о (Д') ларни топинг.
25.1. Таваккалига олинган телефон номери 6 та ракамдан
тузилган. Барча ракамларнинг турлича булиши эхтимоллиги
кандай?
25.2. Кутида 9 та 40 ваттли, 11 та 60 ваттли электр лампочка-
лар аралаштириб куйилган. Таваккалига олинган 2 та лампочка-
нинг бир хил кувватли булиши эхтимоллиги кандай?
25.3. Йигув цехига 1- цехдан 600 та, 2- цехдан 500 та, 3- цехдан
900 та деталь келиб тушади. 1-цехнинг яроксиз деталлари 5 %ни,
2-цехники 8 %ни, 3-цехники 3 %ни ташкил этади. Таваккалига
олинган деталнинг яроксиз булиши эхтимоллигини топинг.
25.4. Агар р(А)=0,25 булса, А ходиса 6 та синовда 3 марта
руй бериши эхтимоллигини топинг.
25.5. Ичида 5 та ок ва 7 та кора шар булган идишдан 4 та шар
олинади. Олинган ок шарлар сонидан иборат булган X тасодифий
микдорнинг таксимот конунини ва F(х), М(Х), D(X), о(Х) ларни
топинг.
26.1. Кутида 5 та ок, 10 та кизил ва 6 та кора шар бор.
Таваккалига 2 та шар олинади. Олинган шарларнинг бири
ок, иккинчиси кора булиши эхтимоллиги кандай?
26.2. Мерган нишонга карата 4 марта ук узади. Хар кайси ук
узишда нишонга текказиш эхтимоллиги 0,7 га тенг. Унинг хеч
булмаганда бир марта нишонга текказиш эхтимоллиги кандай?
26.3. Куйидаги ходисаларни карайлик: эртага яхши об-хаво,
коникарли об-хаво, ёмон об-хаво булади. Уларнинг эхтимолликлари
мос холда 0,3; 0,4; 0,3 га тенг. Яхши об-хавода 0,9 эхтимоллик билан,
коникарли об-хавода 0,7 эхтимоллик билан, ёмон об-хавода
0,2 эхтимоллик билан сайрга чикилади. Эртага сайрга чикиш
эхтимоллигини топинг.
26.4. Уйин соккаси 960 марта ташланганда 3 га каррали соннинг
600 марта чикиши эхтимоллигини топинг.
v26.5. Иккита танга уч мартадан ташланади. Гербли томон
тушишлар сонидан иборат булган X тасодифий микдорнинг
таксимот конунини ва F(x), М(Х), D(X), о(Х) ларни топинг.
27.1. Олтита бир хил карточкага 2, 4, 7, 8, 12, 14 сонлари ёзилган.
Иккита карточка олинади. Косил килинган каср кискарадиган
булиши эхтимоллиги кандай?
27.2. ««» та конверт ва уларга мос «п» хаТ бор. Хатлар
конвертларга таваккалига солинади. Хеч булмаганда битта хатнинг
тегишли конвертга тушмаслик эхтимоллигини топинг.
27.3. Гурухда 3 аълочи, 4 «туртчи», 6 «уччи» ва 1 «иккичи» бор.
Билетда хаммаси булиб 20 савол бор. Аълочи барча 20 та саволга
жавоб бера олади, «туртчи» 16 та саволга, «уччи» 10 та саволга,
«иккичи» 5 та саволга жавоб бера олди. Таваккалига чакирилган
талаба 3 та саволга жавоб берди. Бу талабанинг «иккичи» экани
эхтимоллигини топинг.
27.4. Битта ук узишда нишонга текказиш эхтимоллиги 0,8 га
тенг, 100 та ук узганда 75 марта нишонга тегиш эхтимоллигини
топинг.
27.5. Агар битта ук узишда нишонга тегиш эхтимоллиги 3/4 га
тенг булса, 3 та ук узишда нишонга тегишлар сонидан иборат булган
X тасодифий микдорнинг таксимот конунини ва F(x), М(Х), Ь(Х),
о(А) ларни топинг.
28.1. Мерган унг-а караб харакат килаётган нишонга карата ук
узадг Биринчи ук узишда нишонга тегиш эхтимоллиги 0,4 га тенг ва
у хар бир кейинги ук узишда 0,1 га ортади. 3 та ук узишда икки
мар: : нишонга текказиш эхтимоллиги кандай?
28.2. Турли бир хонали сонлар билан номерланган 9 та
ж-. гонничг 3 таси олинади. Уларни кетма-кет куйганда ёзилган
иомерларнинг усиб бориш тартибида жойлашиши эхтимоллигини
ТО'ШИГ.
28.3. Гурухда 2 «аълочи»,5 «туртчи», 18 «коникарли» укийдигаи
ва 2 та «иккичи» талаба укийди. Бир талаба чакирилади. Агар
«аълочи» факат 5 бахо, «туртчи» бирдай эхтимоллик билан 4 ёки
5 бахо, коникарли укийдиган талаба эса бирдай эхтимоллик билан
4, 3, 2 бахо олиши маълум булса, чакирилган талаба 5 ёки 4 бахо
олиши эхтимоллигини топинг.
28.4. р(А')—0,7 б^лсин. А ходисанинг 2100 синовда 1000 марта
руй бериши эхтимоллигини топинг.
28.5. Идишда 4 та ок ва 6 та кора шар бор. Ундан кора шар
чикмагунча бирин-кетин шарлар олинади (кайтариб солинмасдан).
Бунда чиккан ок шарлар сонидан иборат булган X тасодифий
микдорнинг таксимот конунини ва М(Х), D(X), о(Х), F(x) ларни
топинг.
29.1 Бир хил карточкаларга 1 дан 25 гача булган натурал сонлар
ёзилган. Таваккалига икки марта биттадан (кайтариб солмай)
карточка олинади. Х,ар иккала карточкада туб сонлар ёзилган
булиши эхтимоллиги кандай?
29.2. 4 талаба бир хил лаборатория ишини хисоблайди.
Уларнинг хатога йул куйиш эхтимолликлари мос холда 0,2; 0,3; 0,1;
0,4 га тенг. Акалли битта талабанинг хатога й^л куйиши эхтимолли-
гини топинг.
29.3. 9 та кутига 10 тадан шар шундай солинганики, иккитасида
5 тадан ок шар, учтасида 4 тадан ок шар, турттасида 3 тадан ок шар
бор. Таваккалига олинган шар ок булиб чикди. Бу шар 3 та ок шар
жойлаштирилган идишдан эканлиги эхтимоллигини топинг.
29.4. Уйин соккасини 1000 марта ташлаганда ток очколар
700 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
29.5. Уйин соккаси 4 марта ташланади. Соккани 4 марта
ташланганда б очконинг тушиш сонидан иборат булган X тасодифий
микдорнинг таксимот конунини ва М (X), D (X), о (A’), F (х) ларни
топинг.
30.1. Тула домино тошларидан (28 та) таваккалига биттаси
олинади. Ундаги очколар йигиндиси 10 дан кичик, 3 дан катта
булиши эхтимоллиги кандай?
30.2. Идишда 10 та ок, 15 та кора ва 20 та кизил шар бор.
Кетма-кет 3 та шар (кайтариб солинмай) олинади. Шарларнинг ок,
кизил, ок кетма-кетликда чикиши эхтимоллигини топинг.
30.3. Асбобларнинг 30 %ини юкори малакали, 70% ини уртача
малакали мутахассис йигади. Юкори малакали мутахассис йигган
асбобнинг ишончлиги 0,9 га, уртача мутахассисники эса 0,8 га тенг.
Олинган асбоб ишончли б^либ чикди. Унинг юкори малакали
мутахассис тайёрлагани эхтимоллигини топинг.
30.4. Агар р(А') =0,8 б^лса, А ходисанинг 100 та синовда
80 марта руй бериши эхтимоллигини топинг.
30.5. Ичида 4 та ок ва б та кора шар булган идишдан 5 та шар
олинади. Чиккан ок шарлар сонидан иборат булган X тасодифий
микдорнинг таксимот конунини ва М(Х), D(X), <j(X),F(x) ларни
топинг.
7- §. Богликмас тасодифий
микдорлар йигиндисининг таксимоти.
Тасодифий аргумент функцияси
14.7.1 . Агар X тасодифий микдорнинг кар бир мумкин булган
кийматига Y тасодифий микдорнинг битта мумкин булган киймати
мос келса, у холда Y ни тасодифий аргумент X нинг функцияси
дейилади ва y = <p(X) куринишда ёзилади.
1. X — дискрет тасодифий микдор, х*—унинг мумкин булган
кийматлари булсин, у холда:
а) агар У = <р(Х) — монотон функция булса, у холда У тасодифий
микдорнинг мумкин булган кийматлари у^==<р(х/г) тенгликдан
топилиб, X ва У ларнинг мос кийматлари эхтимолликлари тенг
булади, яъни
P(Y=yk)=P(X = xk).
б) агар У = (р(Х) — монотон булмаган функция булса, X нинг
турли кийматларига У нинг бир хил кийматлари мос келиши
мумкин. Бу холда У нинг мумкин булган кийматлари эхтимолликла-
рини топиш учун X нинг У бир хил кийматлар кабул киладиган
мумкин булган кийматлари эхтимолликларини кушиш керак.
2. X — узлуксиз тасодифий микдор булиб, зичлик функцияси /(х)
булсин, у холда:
а) агар у — <р(х) — монотон, дифференциалланувчи функция
булиб, тескари функцияси х = ф(у) б^лса, У тасодифий микдорнинг
g(y) зичлик функцияси куйидаги тенгликдан топилади:
ё(У) =ЯФ(у)]- 1ф'(у) I-
б) агар у = ф(х) — тасодифий микдор X нинг мумкин булган
кийматлари оралигида монотон булмаган функция булса, у холда бу
ораликни (р(х) функция монотон буладиган ораликларга булиш ва
хар бир монотонлик оралиги учун зичлик функциясини топиш,
сунгра g(y) ни йигинди шаклида тасвирлаш керак, яъни
g(y) =£gk(y).
14.7.2 . Агар X ва У тасодифий микдорларнинг мумкин булган хар
бир жуфтига Z тасодифий микдорнинг мумкин булган битта
киймати мос келса, Z микдор иккита X ва У тасодифий аргу-
ментларнинг функцияси дейилади ва бу куйидагича ёзилади:
Z = <p(X, У).
1. X ва У — дискрет тасодифий микдорлар богликмас булсин.
Z = X-\-Y функциянинг таксимотини топиш учун Z нинг мумкин
булган барча кийматларини топиш керак, бунинг учун X нинг хар
бир мумкин булган кийматини У нинг барча мумкин булган
кийматларига кушиб чикиш кифоя. Z нинг топилган мумкин булган
кийматлари эхтимолликлари X ва У нинг кушилаётган кийматлари
эхтимолларининг купайтмасига тенг булади.
2. X ва Y — узлуксиз богликмас тасодифий микдорлар булсин ва
кеч булмаганда улардан бирининг зичлик функцияси ( —оо,+ оо)
ораликда битта формула билан берилган булсин. У холда Z = X-\-Y
йигиндининг зичлик функцияси куйидаги формула оркали топилади:
g(z) =
оо
5 Z1U) f2(z — x)dx
— оо
ёки
оо
g-(z)= J fl(z-y)-f2(y)dy,
— оо
бу ерда fi(x) ва f2(y)—X ва Y нинг зичлик функциялари.
Из ох. Агар аргументларнинг мумкин булган кийматлари
манфий булмаса, юкоридаги формулалар куйидагича ёзилади:
г
g(z) = \fiWf2(z — x)dx
О
ёки
г
g(z) = ty^z-y) -f2(y)dy.
о
1-м и сол. X дискрет тасодифий микдор ушбу таксимот конуни
билан берилган:
X 3 6 10
Р 0,2 0,1 0,7
a) У=2Х + 1 тасодифий микдорнингтаксимот конунини топинг;
б) таксимот функцияси G (у) ни топинг.
Ечиш. а) / = 2X4-1 тасодифий микдорнинг мумкин булган
кийматларини топамиз:
У1 = 2-3+1=7, 1/2=2-б4-1 = 13, Уз = 2-10+1=21.
У = (р(х)=2х+1 функция монотон усувчи, шунинг учун х нинг
турли мумкин булган кийматларига Y нинг турли кийматлари мос
келади. Y нинг мумкин булган кийматлари эхтимолликларини
топамиз:
P(Y=7) = Р(Х = 3) =0,2
Р( Y = 13) =Р(Х=6) =0,1,
Р(У = 21) = Р(Х=10) =0,7.
Y нинг таксимот конунини ёзамиз:-
у 7 13 21
Р 0,2 0,1 0,7
б) таксимот функцияси G(y) ни топамиз.'
О(7)=Р(У<7) =0,
G( 13) = Р(У<13) =P(Y=7) =0,2,
G (21) =Р(У<21) = Р(У=7) +Р(У= 13) =0,2 + 0,1 =0,3,
у>21, G(y) =P(Y^ 21) =Р(У=7) +Р(У=13) ++»(У=21) =0,2 +
+ 0,1+0,7=1.
Шундай килиб,
G(y) =
0, агар 7,
0,2, агар 7 <у^. 13,
0,3, агар 13<z/^ 21,
1, агар у> 21.
2-ми сол. X тасодифий микдор куйидаги таксимот конунига
эга:
X 0 1 2 3
р 0,1 0,3 0,4 0,2
a) y = sin(yAj+l тасодифий микдорнинг таксимот конунини
топинг.
б) М(Х), £>(/), о(Х); М(У), £>(У), о(У) ларни хисобланг.
Ечиш. У нинг мумкин булган кийматларини топамиз:
y1 = sin(|.o)+l=l, z/2=sin(^-.l)+l=2,
y3=sin(-J.2)+l = l, z/4 = sin(|.3)+l=0.
Куриниб турибдики, X нинг турли кийматларига У нинг бир хил
кийматлари мос келяпти.
0, 1,2 — У нирг мумкин булган кийматлари. Бу кийматларга мос
эхтимолликларни топамиз:
Р(У = 0) =Р(Х = 3) =0,2,
P(Y= 1) = Р(Х = 0) +Р(Х = 2) =0,1 +0,4=0,5,
Р(У = 2)=Р(Х=1)=0,3.
У нинг изланаётган таксимот конуни куйидаги куринишда
булади:
У 0 1
Р 0,2 0,5
2
0,3
б) М(Х) =0-0,1+ 1 -0,3 + 2-0,4+ 3-0,2= 1,7.
D(X) = — Л12(Х) =0+1 -0,3 + 4-0,4+9-0,2- 1,72 = 0,81
о(Х) = д/0781 =0,9,
М (У) =0+ 1 -0,5 + 2-0,3= 1,1,
D(Y) =0+ I2 • 0,5+ 22-0,3- 1,12 = 0,49,
о(У) =0,7.
3- м и с ол . X тасодифий микдор (—ораликда текис так-
симланган. y = sin/ тасодифий микдорнинг зичлик функцияси g(y)
ни топинг.
Ечиш. X тасодифий микдор (—р у) ораликда текис таксим-
ланган, шунинг учун X тасодифий микдорнинг дифференциал
функцияси f(x) (зичлик функцияси) бу ораликда куйидаги кури-
нишга эга булади:
бу ораликдан ташкарида эса /(х)=0 булади. y = sinX функция
ликда монотон, демак, тескари функцияга эга, яъни:
х=ф(у) =arc sin у.
ф(у) хосилани топамиз:
Ф'(У)=—г= (74-шакл).
VI ~У
74- шакл
g(y) зичликфункцияни g(y) =ЯФ(У)]Х
X |ф' (у)I формула буйича хисоблай-
миз:
y = sinx ва —у<х<у булгани учун:
— 1<у<1. Шундай килиб ( — 1, 1)
ораликда:
g(y) =
бу ораликдан ташкарида g(y)=0.
4-ми сол. X тасодифий микдорнинг интеграл функцияси
(таксимот функцияси) F(x) берилган. Y=-^X+2 тасодифий
микдорнинг'таксимот функцияси G (у) ни топинг.
Ечиш. Таксимот функциясининг таърифига кура: G (у) =
P(Y<<y^ Бирок, у = —х-|-2 —-камаювчи функция, шунинг
учун Y<y тенгсизлик Х>х тенгсизлик бажарилгандагина Гринли
булади. г
Демак,
G(t/) =Р(У<//)=Р(Х>Х)
Х<х ва Х^>х карама-карши ходисалар, шунинг учун
Р(Л<х)+Р(Х.>х) = 1 ва P(X>x) = l-P(X<x) = l-F(x) .
Шундай килиб, G(y) = 1 — Fix')
f/=—T-x-j-2 тенглдмадан х ни топамиз:
О
х=^(2-у).
Узил-кесиЛ куййДагига эга буламиз.
I ;;;5--м и с ол . X тасодифий микдор (0; л) ораликда f(x) =-у sin х
зичлик функция билан берилган; бу ораликдан ташкарида
f(x) =0. Y='Х2 нинг зичлик функцияси g{y) ни ва А4(У) математик
кутилишни топинг.
Ечиш. у = х2 = <р(х) функция (0; л) ораликда катъий усувчи
булгани учун:
g(y) =/[W)l-
ф(у) = у/у У = х2 функцияга тескари функция,
Ф' (у) ——।it/ (и) I =—
Т 2^/у' 1 * 2-уу’
У=Х2 ва 0<х<л булгани учун ОСуСл2, демак, Y нинг мумкин
булган кийматлари (0; л2) ораликда жойлашган.
я2 я2 . -
M(Y) = \y-g(y}dy=^\y-^L^dy =
J 4 J Vy
y — t2 y=0, 1=0
dy = ‘2tdt y — n2, t = n
=~- \ '~'Y~'^^dt = ~ t2sintdt = ~(л2—4).
о о
6- м и с ол . X ва Y богликмас дискрет тасодифий микдорлар ушбу
таксимот конунлари оркали берилган:
2
4
0,6
0,4
Р
Z = X+Y тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг.
Ечиш. Z нинг мумкин булган кийматларини топамиз:
zi = l+2 = 3; 22=1+4 = 5; гз = 3+2 = 5; 24 = 3 + 4 — 7.
Бу мумкин булган кийматларнинг эхтимолликларини топамиз.
Д' ва У аргументлар богликмас (эркли) булгани учун
Х=1 ва У = 2 ходисалар хам богликмас. Шунинг учун
P(Z = 3) =/3(Л’= 1)-73 (У = 2) = 0,3-0,6 = 0,18. Худди шундай:
P(Z = 5) =Р(Х=1) • (У = 4) =0,3-0,4 = 0.12,
P(Z = 5) =Р(Х=3) • (У = 2) =0,7-0,6 = 0,42,
P(Z = 7) =Р(Х = 3) • (У = 4) =0,7-0,4 = 0,28.
Z = Z2 = 5 ва Z = Z3 = 5 биргаликда булмаган ходисалар, улар-
нинг эхтимолликлари кушилади, яъни
0,12+0,42=0,54.
Шундай килиб, изланаётган таксимот конуни куйидаги кури-
нишда булади:
z з
Р 0,18
5 .7
0,54 0,28
7-мисол. X ва У богликмас тасодифий микдорлар зичлик
функциялари билан берилган:
/1(х)=е * (0=^х< оо ),
f2(y) =уе^/2 °°)-
X— X —У тасодифий микдорнинг зичлик функциясини топинг.
Ечиш. Аргументларнинг мумкин булган кийматлари манфий
эмас. Куйидаги формуладан фойдаланамиз:
Z
g(z) = \fM -f2(z — x)dx =
о
Г I 1 с г~‘
= J ~XlYe~(Z~X>/^X = ~2 2 dx =
О о
= т5е *'е 2'е'^х~~^е 2 \е 2dx=
о о
= -ег12-е~*12 | г0 = -е-г12(е~г12- 1) =е“2/2(1 -е~г/2)
Демак, (0; оо) ораликда:
g(z) = е-г/2[1 — е-2/2],
бу ораликдан ташкарида: g(z)=0.
7- дарсхона топширини
1. X тасодифий микдор ушбу таксимот конуни билан берилган:
X -2 •1 0 1 2
р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
Y тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг:
а) У=Х2+1; б) Y = 2X.
А4(Х), £)(Х), о-(Х), Л4(У), D(Y), о(У) ларни хисобланг.
Ж: М(Х)=0,1; D(X) = 1,29; о(X) « 1,136,
а) У 1 2 5
Р 0,3 0,5 0,2
б) У 0,25 0,5 1 2 4
Р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
а) М(У) =2,3; £(У) =2,01; а(У)« 1,42;
б) М(У) = 1,425; D(Y) « 1,13; о(У)=1,06.
2. X тасодифий микдор ушбу таксимот конуни билан берилган:
X -1 0 1 2
р 0,1 0,2 0,5 0,2
У= W
топинг.
Ж:
тасодифий микдорнинг таксимот функцияси G(y) ни
О, агар у^О,
G(y) =
0,2, агар 0<у^ I,
0,8, агар 1 <z/C 2,
1, агар у>2.
3. X тасодифий микдор (—у; у) ораликда текис таксимлан-
ган. У = созХ тасодифий микдорнинг зичлик функцияси g(y) ни
топинг.
Ж: (0;1) ораликда: g(y) =— Г=’ бУ ораликдан ташкарида
л V1 -У2
g(y) =0.
4. X тасодифий микдорнинг таксимот функцияси F(x) берилган.
Y=— тасодифий микдорнинг таксимот функцияси G(y) ни
топинг.
Ж: С(г/) = 1-Г[Ц-(1-г/) I-
5. X тасодифий микдор А); ораликда f(x) =cosx, бу оралик-
дан ташкарида f(x)=0 булган зичлик функцияси билан берилган.
У = Х2 функциянинг математик кутилишини топинг.
„2 о
Ж:
’-Ж. X ва У дискрет тасодифий микдорлар таксимот конунлари
билан берилган:
X 10 12 16
Р 0,4 0,1 0,5
Z = X-\-Y тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг.
Ж:
Z 11 12 13 14 17 18
Р 0,08 0,32 0,02 0,08 0,10 0,40
7. X ва Y богликмас тасодифий микдорлар узларининг зичлик
функциялари билан берилган:
Л(^)=4е-Х/3 (0<х<оо),
О
f2(y)=±e~^ (0<у<оо).
О
Z = X-\-Y тасодифий микдорнинг зичлик функциясини топинг.
Ж: g(z) =
^-е'~г/э (1 — е 2г/5), агар г^О,
О, агар z<0.
8- X ва Y богликмас тасодифий микдорларнинг кар бири
[0; 2л] кесмада текис таксимланган. Z = X±Y тасодифий мик-
дорнинг таксимот конунини топинг. *
Ж: g(z) =
0, агар z^O.
0,25z, агар 0<z<2,
I — 0,25z, агар 2<z^4,
0, агар z>4.
7- мустацил иш
1. X тасодифий микдор ушбу таксимот конуни билан берилган:
X -2 -1 0 1 2
р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
Y = 2Х—1 тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг.
Ж: Y -5 -3 -1 1 3
Р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
2. X тасодифий микдор ушбу таксимот конуни билан берилган:
X
р
л
4
0,2
л Зл
2 4
0,7 0,1
a) У = sinA' тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг.
б) М(Х), D(X), о(.¥), Л1(У), D(Y), о(У) ларни хисобланг.
Ж: а
Р 0,3 0,7
б) МШ«1,49; £>(Х) «0,92; о(X) «0,96,
М(У) =0,895; D(F)«0,04; а (У) =0,2.
3. X тасодифий микдор ушбу таксимот конуни билан берилган:
X —1 0 1 2
р 0,1 0,2 0,5 0,2
Y = X2— 1 тасодифий микдорнинг таксимот функцияси G(y) ни
топинг.
' 0, агар — 1,
Ж: G(z/) =
0,2, агар — 1 0,
0,8, агар 0<у^~ 3,
1 агар //>3.
4. X тасодифий микдорнинг зичлик функцияси берилган.
/(-V) =
1 , / л л \
-, агархЦ--;
0, агар х 6 (—у; у)
у=1£Л"тасодифий микдорнинг зичлик функцияси g (у) ни топинг.
9
*:g(y)=—7~
— оо <Zy<Z + ОО.
5. X тасодифий микдорнинг таксимот функцияси F (х) берилган
булса, а) У = 4Л + 6; б) Y = aX + b тасодифий микдорларнинг
таксимот функцияларини топинг.
Ж: а)
G(y)=F
б) G(y)=F[^-/p>0fla;
О(//) = 1-Лр---])Ц<0да.
Н)
6. X тасодифий микдор
ораликда f (х)
= cosx, бу оралик-
дан ташкарида /(х)—0 булган зичлик функцияси билан берилган.
Y=X~ функциянинг дисперсиясини топинг. Ж: 20—2л2.
7. X ва У дискрет тасодифий микдорлар ушбу таксимот
конунлари билан берилган:
X 4 10 У 1 7
р 0,7 0,3 Р 0,8 0,2
2— X-j-У тасодифий микдорнинг таксимот конунини топинг.
Ж: г 5 11 17
р 0,56 0,38 0,06
8. X ва У тасодифий микдорлар богликмас ва кар бири
[0, 1] кесмада текис таксимланган. Z = X-j-Y тасодифий микдорнинг
зичлик функциясини топинг.
Ж: £(£) =
0, агар z<0,
z, агар 0^z< 1,
2 —z, агар 1 <г< 2,
0, агар z>2.
8-§. Икки улчовли боглик тасодифий микдорлар.
Корреляция моменти
ва корреляция коэффициент
14.8.1. Мумкин булган кийматлари (х, у) сонлар жуфти билан
аникланувчи (X, У) тасодифий микдорлар системаси икки улчовли
тасодифий микдор дейилади.
Ташкил этувчилари X ва У дискрет булган икки Улчовли
тасодифий микдор дискрет дейилади. Ташкил этувчилари X ва
У узлуксиз булган икки улчовли тасодифий микдор узлуксиз
дейилади.
Икки улчовли тасодифий микдорнинг мумкин булган кийматла-
ри ва уларнинг эхтимолликлари орасидаги мослик икки улчовли
тасодифий микдорнинг таксимот конуни дейилади.
Икки улчовли дискрет тасодифий микдорнинг таксимот конуни
куйидаги усулларнинг бири оркали берилиши мумкин:
а) мумкин бу'лган кийматлар ва уларнинг мос эхтимолликлари
ёзилган жадвал куринишида
X У *1 х2 ...
У1 Ри Р\2 Pim '
У2 ₽21 Р22 P2m
Уп > Рп1 РК2 P/im
Pij>Q,i=l,n,j=l,m ва £ £ А/=1-
<=i /=i
б) аналитик усулда (интеграл функция куринишида).
14.8.2. Икки улчовли тасодифий .микдор таксимотининг интеграл
функцияси деб
F(x, у) =Р(Х<х, У <у)
функцияга айтилади.
Интеграл функциянинг асосий хоссалари.
1. ОС F(x, z/X 1.
2. Интеграл функция кар кайси аргумента буйича камай-
майдиган функциядир:
агар Х2>Х| булса, Р(х2, y)~^F(xi, у),
агар у2>у\ булса, F(x. y>)^F(x, у\).
3. F( — оо, у) =0, F ( — оо, — оо) =0,
F (х, —оо)=0, F(4-oo, -f-oo) = l.
4. z/=-|-oo да F(х, у) интеграл функция X ташкил этувчининг
интеграл функциясига айланади:
F(x, +<х>) =Fi(x).
х= + оо да F(x, у) интеграл функция У ташкил этувчининг
интеграл функциясига айланади:
F( + у) =F2(y).
Куйидаги формула уринли
Р(Х1<Х<Х2, У1<У<У2) =
= [F(X2, y2)—F(xi, y2)] — [F(x2, yi)—F(xi, z/i)].
14.8.3. Икки улчовли узлуксиз тасодифий микдорнинг зичлик
функцияси деб интеграл функциядан олинган иккинчи тартибли
аралаш хусусий х,осилага айтилади:
Зичлик функцияни билган холда ушбу формула бу'йича интеграл
функцияни топиш мумкин:
g *
F(x,y) = f(x,y)dxdy.
— оо — оо
»
f(x, у) зичлик функцияга эга тасодифий нукта (А', У) нинг
D сохага тушиш эхтимоллиги ушбу тенглик оркали аникланади:
Р[(А, У) ^D]=\\f (x,y]dxdy .
Зичлик функция куйидаги хоссаларга эга:
1- f(x, у) >0.
оо оо
2. f(x, y}dxdy= 1.
оо — оо
Агар (А', У) нинг мумкин булган барча кийматлари чекли
D сохага тегишли булса, 2- хосса куйидаги куринишда булади:
f(x,y)dxdy = 1.
D
14.8.4. Икки улчовли дискрет тасодифий микдорнинг сонли
характеристикалари: 1. Системани ташкил этувчи X ва У дискрет
тасодифий микдорларнинг математик кутили ши куйидаги формула-
лар буйича аникланади:
н т
М(Х) = 2 2ха;,
.=1 н
п т
M(Y)=1 ^yPi,
,=i /=i
Агар А ва У тасодифий микдорлар богликмас булса, у холда бу
тасодифий микдорларнинг таксимот конунларидан УЙ(А') ва .VI (У) ни
куйидаги формулалар оркали топиш мумкин:
т
М(А) = 2 xlPl!,
I
M(Y) = yp,
i= i
2. А ва У тасодифий микдорларнинг дисперсиялари ушбу
формулалардан топилади:
D(X) = 2 2 Plj(Xj-M(X))-,
<=i /=i
Д(У)= 2 2 Рц(у,-М У )2-
<=1 /=1
Дисперсияларни хисоблашда куйидаги формулалардан кам
фойдаланиш мумкин:
/)(Л')=М(Л2)-[М(Х)12,
Д(У)=М(У2)-[М(У)]2.
3. X, Y дискрет тасодифий микдорларнинг уртача квадратик
четланиши
а(Х) = VW) • = VW)
формулалар ёрдамида аникланади.
14.8.5. Икки Улчовли узлуксиз тасодифий микдорнинг сонли
характеристикалари: 1. Узлуксиз тасодифий микдорларнинг мате-
матик кутилиши ушбу формула буйича хисобланади:
М (У) =
М (X) =
xf(x, у]dxdy,
jj yf(x,y)dxdy,
бу ерда f(x, у) — зичлик функция.
2. Системага кирувчи А" ва У узлуксиз тасодифий микдорларнинг
дисперсиялари куйидаги формулалар буйича топилади:
4-оо 4* °°
Д(А') = $ [x — M(X)]2f(x,y)dxdy =
— оо — ОО
4- 00 4-00
= x2f(x,y)dxdy — [Л4(Х)]2,
оо — оо
4-00 4-00
Д(У)= J J [y-M(Y)]2f(x,y)dxdy =
— оо — оо
4-оо 4“ °°
= y2f(x,y)dxdy — [M(Y')]2,
— оо — оо
бу ерда /(х, у) — зичлик функция.
3. X ва Y тасодифий микдорларнинг уртача квадратик
четланишлари куйидаги формулалардан аникланади:
o(X)=y/D(X) , о(У) =
14.8.6. Тасодифий микдорлар системалари назариясида корреля-
ция моменти (ковариация) Кху мухим рать уйнайди. Дискрет
тасодифий микдорлар учун:
^=2 2 (Xj-M(X)) (yi-M(Y))pii.
Узлуксиз тасодифий микдорлар учун:
4-00 4-00
S S [x-M(X)][y-M(Y)]f(x,y)dxdy.
Корреляция моментини яна куйидагича хам топиш мумкин:
Kxy = M(X-Y)-M(X)M(Y), бу ерда
М(Х- Y) = 2 2 х^/р^ ,
узлуксиз тасодифий микдорлар учун эса
М(Х-У) = xyf (х,у) dxdy .
Корреляция моментининг асосий хоссаси: агар X ва Y —
богликмас (эркли) бу'лса, Кху = О-
14.8.7. X ва Y тасодифий микдорнинг корреляция коэффициенти
деб
X,J a(X)o(Y)
сонга айтилади.
Корреляция коэффициентининг хоссалари:
1. Агар А ва У — богликмас тасодифий микдорлар булса, у холда
Гед = О.
2. гХу — у'лчамсиз катталик (микдор), шу билан бирга |rxy\ 1.
3. Агар У = /4А'-)-Д, бу ерда А ва В — узгармас сонлар булса,
I 1=1.
14.8.8. f(x,y) зичлик функцияга эга булган (X, У) система учун X ва
У боглик булмаса
f(x, у) =fi(х) -f2(y)
булади, бу ерда мос хатда f\ (х) — А' нинг, /г (у) — У нинг зичлик
функцияси.
14.8.9. Иккита боглик А’ ва Y тасодифий микдорларнинг
дисперсияси учун куйидаги формула J/ринли:
D (А+ У) = D (А) + D (Y) + 2АД,.
Хусусий холда, агар А ва Y тасодифий микдорлар боглик
булмаса, у холда
D(X + Y)=D(X)+D(Y).
1-мисол. Дискрет икки улчовли (А, У) тасодифий микдорлар
системасининг таксимот конуни берилган:
У \ 3 10 12
4 0,17 0,13 0,25
5 0,10 0,30 0,05
Ташкил этувчи X ва У микдорларнинг таксимот конунларини
топинг.
Ечиш. А нинг мумкин булган кийматлари эхтимолликларини
топамиз, бунинг учун эхтимолликларни «устун буйича» кушиб
чикамиз:
/>(А = 3) =0,17 + 0,10 = 0,27,
Р(А = 10) =0,13 + 0,30 = 0,43,
Р(А= 12) =0,25 + 0,05 = 0,30.
Демак,
X 3 10 12 — ташкил этувчи А нинг так- симот конуни.
р 0,27 0,43 0,30 Текшириш. 0,27 + 0,43 + +0,30=1.
У нинг мумкин булган кийматлари эхтимолликларини топамиз,
бунинг учун эхтимолликларни «сатр буйича» кушиб чикамиз:
Р(У=4) =0,17 + 0,13 + 0,25 = 0,55,
P(Y=5) =0,10 + 0.30 + 0,05 = 0,45
Ташкил этувчи У нинг таксимот конуни куйидагича булади:
У 4 5
Р 0,55 0,45
Текшириш:
0,55+0,45=1.
2- м и с ол . Тасодифий микдорлар системаси (А,У) нинг таксимот
конуни берилган:
X У 1 2 3
1 - 1/18 1/12 1/36
2 1/9 1/6 1/18
3 1/6 1/4 1/12
М(Х), Л4(У), D(X), D(Y), rxy ларни топинг.
Ечиш. М(Х) = 1.-^+2.А+з‘ + 1 ' +2.±+
ю к/ и 1 и
+ 3.4+1^ + 2-^+3-^=|,
M(y) = l.X+2._L + 3.A + 1.l+2.j+3.-44
+14+24+34Чг-
X ва У тасодифий микдорларнинг дисперсиясини хисоблаш учун
(А', У) микдорлар системасидан (Х,У) микдорлар системасига
утамиз, бу ерда
Х = А' —М(Х), ?=У-М(У),
х=х—4, р=у—У-.
О О
Жадвал тузамиз:
X Y -5/6 1/6 7/6
-4/3 1/18 1/12 1/36
-1/3 1/9 1/6 1/18
2/3 1/6 1/4 1/12
(Х,?) система таксимоти жадвалидан фойдаланиб, Кху ни
топамиз.
KtXy = Q булгани учун корреляция коэффициента хам нолга тенг
булади: гху = 0. .....
3-ми сол. (X, У) тасодифий микдорлар системаси куйидаги
зичлик функцияси билан берилган:
f(x,y) =
a sin (х+у), (х,у)
О, (х,у) £D.
D:
Куйидагиларни топинг: а) а коэффициентам б) /И(А'), М( К) ни;
в) о(Х), о(Х) ни; г) гху ни.
Ечиш. а) а коэффициентни
л/2 л/2
а- sm(x-\-y}dy dx = 1
о о
тенгламадан топамиз.
л/2 л/2 л/2
а sin (x-^-y)dy dx= — а cos(x + y) |о dx =
оо о
"г2 . I "/2 о 1
= а \ (sinx + cosx)afx = a(sinx — cosx) | ц =2а,а=~.
о
D сохада f(x,y) =ysin(хф-z/) .
б) М(Л)=у xsin(x+y)dydx^=~ xdx sin(х+y)dy =
оо -оо
л/2 s/2 j .
= —у J cos(x + y) |"/2xdx==— у J [cos^-x^y^—cosxjxdx=
о О
1 f . i л/2
=У J x(sinx + cosx)dx=yx(sinx-cosx) |"/2-2 ( (sinx-
о £ J
0
— cosx) dx=y+-l(cosx + sinx) |o"/2=—.
Худди шунга ухшаш:
л/2 л/2
в) а2(Х)=М(Х2)-[Л1(Х)]2 = ± j Jx2sin(x + //)dt/dx-
Л2
16
1 Л/2 I
= ~2 J^os(x+y)
о '
о о
л/2
dx-^=
x2(sinx — cosx)
*1
О
л/2
О
л/2
У \ x2(sinx-f-cosx)dx —
О
л/2
л/2
— x(sinx—cosx)dx—— =
OJ 16
л/2
f . 2
— \ (sinx + cosx)dx—— =
0J lb
л2 _ 1
16 “ 2
2
Л2 . л . , . I л/2 2 2
=T+y+<s,nx-cos*) |0 —iVHHf-2-
о2( У) = д11+8?_-^
v 16 '
г) ^ = M(XY)-M(X)M(Y)=l^Xysin(x+i/)d^x_
я О 0J
Л2 1 Y %2 . 2 "/2
+ Тб’=Т J xdx \ У&1П(х-}-у)dy—^-= — 1 f [ycos(xH-u) I л/2—
О () Z 0J °
- J cos(x + ,)^x-4=-± Jx[>S(x+1)_sinH1)+
+ sinxjdx —= — A j x( — ysinx—cosx+sinx^x—=
=T J x (fsinx + cosx-sinx)/x-^-=-Lx(sinx-|cosx +
л/2
+ COSX^I^ —2 j (sjnx------------jcosx + cosx^rfx------
1 / . Л . \ I п/2
—2 v!Ги—2"Sinx — COSX } |()
8 л — 16 — л2
Гб
____ КХу ________ 8л—16 —л2
ху~ а(Х)о(У) ~ л2 + 8л-32
л 1 л2
7 2 Гб
0,73688 ~ 0 2 5
3,00232 ~ .
8- дарсхона топшириги
1. Дискрет икки улчовли (Л, У) тасодифий микдор таксимот
конуни оркали берилган:
У X 26 30 41 50
2,3 0,05 0,12 0,08 0,04
2,7 0,09 0,30 0,11 0,21
Ташкил этувчи X ва Y тасодифий микдорларнинг таксимот
конунларини топинг.
X 26 30 41 50
Ж: Р 0,14 0,42 0,19 0,25
2. Иккита тасодифий микдорлар системаси (Д', У) нинг таксимот
конуни берилган:
у 20 40 60
10 ЗХ А 0
20 2 А 4А 2 А
30 А 2А 5 А
Куйидагиларни гопинг:
а) X коэффициентни; б) М (Д'), /И(У) ни; в) D (X), D(Y) ни; г) гху ни.
Ж: а) Х= 1/20; б) А7(Х) =22; М(У) =41; в) а2(Д)=56;
о2(У) =259; г) rXi/=0,56.
3. (X, У) тасодифий микдорлар системаси куйидаги зичлик
функция оркали берилган:
{ахи, x£D,
0, хёо.
D coxa x-\-y —1=0, x = 0, y = 0 турри чизиклар билан
чегараланган учбурчак.
Куйидагиларни топинг: а) а коэффициентни; б) Л4(Х), Л4(У);
в) D(X), D(Y)\ г) гху.
Ж: а) а = 24; б) М( X) =М (Y) = |-: в) D(X)=D(Y)=~;
о zo
г) Г = -
' 'ху 3-
4. Икки улчовли (X; У) тасодифий микдорнинг зичлик функцияси
берилган:
,(х'
Куйидагиларни топинг: а) Р(0<X< 1. 0< Y< 1) ни;
б) таксимот функцияси Л(х, у) ни;
в) хар бир X ва Y тасодифий микдорнинг зичлик функцияларини.
Ж: а) Р= б) F(x, у) = -^(arctgx+-0 (arctgy + y);
В) f,(x)=-
; f2(y) =
i
л(1+</2)
8- муста^ил иш
1. Таксимот конуни билан берилган икки улчовли тасодифий
микдор ташкил этувчиларининг таксимот конунларини топинг.
У 2 4 5
1 0,12 0,18 0,10
3 0,10 0,11 0,39
Ж:
X 2 4 5
р 0,22 0,29 0,49
У 1 3
Р 0,40 0,60
2. Таксимот функция
fix, у) = (laretg I + -0 (Дне Igf+ у)
булган икки улчовли (X, У) тасодифий микдорнинг X ва У ташкил
этувчилари синов натижасида Х<2, У<3 кийматларни кабул
килиши эхтимоллигини топинг.
Ж: Р(х<2,
У<3)=4
3. Тасодифий микдорлар системасининг зичлик функцияси
у) =
а2—х2—у2,
О,
агар х2-\-у2-^а2 (а>0),
агар х2+у2>а2
булган таксимот конунига буйсунади.
Куйидагиларни топинг:
а) а коэффициентни;
б) м(X), мт-,
в) СТ2(Х), О2(П;
г) гху.
Ж: а) а^-, б) М(X) =M(Y) =0;
в) ст2(Х)=а2(Г)=-7=; г) гху=0.
О у Z Д
9- §. Вариацион катор учун полигон ва
гистограмма. Танланманинг асосий сонли
характеристикалари
14.9.1 . Текширилаётган аломат буйича урганиладиган барча
объектлар туплами бош туплам дейилади. Танланма туплам ёки
танлама. деб текшириш учун олинган объектлар тупламига
айтилади.
Туплам (танланма ёки бош туплам) уажми деб бу тупламдаги
объектлар сонига айтилади.
Бирор X белгини (дискрет ёки узлуксиз) микдор (сон) жихатидан
Урганиш учун бош тупламдан п хажмли Xi, Х2,..., Хп танланма
ажратилган булсин.
X белгининг кузатиладиган xi, хг,..., хп кийматлари варианталар
дейилади.
Варианталарнинг усиб бориш тартибида ёзилган кетма-кетлиги
вариацион кртор дейилади.
Танланманинг статистик тацсимоти деб варианталар ва уларга
мос частоталар ёки нисбий частоталардан иборат жадвалга
айтилади:
xi *1 хг xk xi Х1 4
ni nl П2 ёки nk “*4 "2/n 4/ n
Барча частоталар йигиндиси танланма хажмига тенг, яъни
п\ +«2 + ... + nk = n, бу ерда т, п.2 пк— частоталар.
Барча нисбий частоталар йигиндиси бирга тенг, яъни
wi + а>г +... + Wk= 1, бу ерда w\ = n\/n, W2 = n2/n,..., Wk = nk/n —
нисбий частоталар.
Белги узлуксиз булса, унинг барча кузатиладиган кийматлари
жойлашган оралик h узунликдаги кисмий ораликларга булинади ва
t-ораликка тушган частоталар йигиндиси (ёки нисбий частоталар
йигиндиси) топилади.
14.9.2 . Частоталар полигона деб кесмалари (xi, ni), (хг, пг),...,(%&,
Пк) нукталарни туташтирадиган синик чизикка айтилади, бу ерда
х,— танланма варианталари, щ— мос частоталар.
Нисбий частоталар полигона деб кесмалари (xi, Wi), (хг, Дог),...,
(Xk, Wk) нукталарни туташтирадиган синик чизикка айтилади, бу
ерда х, — танланма ва^рианталари; w,— уларга мос нисбий частота-
лар.
Белгининг узлуксиз таксимланишини яккол курсатиш учун
гистограммалар деб аталувчи'диаграммалардан фойдаланилади.
Частоталар гистрограммаси деб асослари h узунликдаги
ораликлар, баландликлари эса n-Jh (частота зичлиги) нисбатларга
тенг булган тугри туртбурчаклардан иборат погонавий фигурага
айтилади.
п,
S,= /i-—=n —кисмий t-тугри туртбурчакнинг юзи.
к
3=2 п=п— частоталар гистограммаси юзи.
t=i
Нисбий частоталар гистограммаси деб асослари h узунликдаги
ораликлар, баландликлари эса wt/h (нисбий частота зичлиги)
нисбатларга тенг булган тугри туртбурчаклардан иборат погонавий
фигурага айтилади.
S,= h.-~-=w— кисмий t-тугри туртбурчакнинг юзи.
к
S— 2 w~l—нисбий частоталар гистограммасининг юзи.
t=i
14.9.3 . X белгили бош тупламнинг таксимот функцияси F(x,G)
булиб., 0 — номаълум параметр булсин. Xi,..., Хп шу бош тупламдан
олинган танлама булсин. Танланманинг ихтиёрий функцияси
L(Xi,...,Xn) статистика дейилади.
Статистиканинг кузатилган киймати L(xi,...,xn) ни 0 пара-
метрнинг такрибий киймати сифатида олинади. Бу холда
L = L(xi..хп) статистика 0 параметрнинг бауоси дейилади.
1 п 1 « _
X—— 2 Xi — танламанинг ^рта киймати, S2= — 2 (A',—X)2
1=1 ” <=1
танланманинг дисперсияси дейилади.
Агар ML(Xi,...,Xn) =0 шарт бажарилса, L бахо 0 параметр учун
силжимаган бауо дейилади.
Агар L бахо ва хар кандай е>0 учун
limP(|L —0| <е) = 1
уринли булса, L бахо 0 параметр учун асосли бауо дейилади.
Агар L бахо учун
limO(L) =0
П—t-oo
булса, L бахо 0 параметр учун асосли бахо булади.
Агар L бахо учун
limAf(L) =0
П~ >ОО
булса, L бахо 0 параметр учун асимптотик, силжимаган ба^о
дейилади.
Агар 0 параметрнинг L\ ва L2 силжимаган бахолари берилган
булиб, D(Li) <D(Z_2) булса, L\ бахо L2 бахога нисбатан самарали
баХ/О дейилади.
Берилган п хажмли танланмада энг кичик дисперсияли бахо
самарали бауо дейилади.
А' бош туплам урта киймати учун силжимаган, асосли ва
самарали бахо булади.
3$ бош туплам дисперсияси учун асимптотик силжимаган, асосли
бахо булади.
—-—S2 бош туплам дисперсияси учун силжимаган, асосли бахо
п — 1
булади. Танланманинг урта киймати ва дисперсияларини хисоб-
лашни соддалаштириш учун баъзан куйидаги формулалардан
фойдаланилади:
- 1 - -
и=— S и,., А = и • h -j~ с,
л/_1
S2x = h2-S2,
бу ерда с ва h сонлари хисоблашни енгиллаштирадиган килиб
танланади.
1-мисол. Берилган танланма таксимоти буйича частоталар ва
нисбий частоталар полигонларини чизинг.
Xi 1 2 4 5 8
ni 5 10 15 7 3
75- шакл
Ечиш. « = 5+10+15 + 7 + 3 = 40— танланма хажми. Нисбий
частоталарни топамиз:
з
5 40
xi 1 2 4 5 8
wi 5/40 10/40 15/40 7/40 3/40
75- шаклда частоталар полигони ва 76- шаклда нисбий частота-
лар полигона тасвирланган.
2-мисол. Берилган танланма таксимоти буйича частоталар ва
нисбий частоталар гистограммаларини чизинг.
5—10 10—15 15—20 20—25
«i 2 6 12 10
wi 1 15 1 5 2 5 1 3
Ечиш. « = 2 + 6+12+10 = 30 — танланма хажми.
А-5, -^=4 = 0,4; =4=1,2;
п 5 h 5
-^-=-^-=2,4; ~=~=2.
я 5 /г 5
______2 . w2 _ 6 . w3 _ 12 . а" 4 10
h 150 ’ h 150 ’ h ~~ 150 ’ h ~~ 150~'
77- шаклда частоталар полигони ва 78- шаклда нисбий частота-
лар гистограммалари тасвирланган.
3-ми сол. Бош тупламдан га = 50 х,ажмдаги танланма ажра-
тилган:
Л 2 5 7 10
ni 16 12 8 14
Бош туплам урта кийматининг силжимаган бахосини топинг.
Ечиш. Бош туплам урта кийматининг силжимаган бахоси—
танланманинг урта киймати. Шунинг учун
У -1 16- 2 -р 12 • 5 -р 8 • 7 -р 14-10 576
4- м и с ол. Бир асбоб ёрдамида стерженнинг узунлиги беш марта
улчанганда (систематик хатоларсиз) куйидаги натижалар олинган:
92, 94, 103, 105, 106.
а) стержен узунлигининг танланма урта кийматини топинг;
б) асбоб йул куйган хатоларнинг танланма дисперсиясини
топинг.
Ечиш. а) Танлама урта киймати X ни топиш учун шартли-
варианталардан фойдаланамиз, чунки дастлабки варианталар —
катта сонлардир:
Ы1=Х,—92
X = 92 +-..0+-2+ !-1-+-1А+1±=92 + 8 = 100.
5
б) Танланма дисперсияни топамиз:
2 (Л-т)2 2
<?2_ ' = !_ __ (92-_100Г-Р-(94-Ю0И-Н103- 100г ,
п 5
(105- 100)2+ (106- 100)2
= 34.
5-мисо л. п = 10 хажмли танланманинг ушбу таксимоти буйича
танланма урта кийматини топинг:
Х1 1250 1270 1280
ni 2 5 3
Ечиш. Дастлабки варианталар катта сонлар. шунинг учун
Ui=Xi—1270 шартли варианталарга утамиз:
ui —20 0 10
ni 2 5 3
X = С + и = 1270 + 2Jr20)+5-0 + 3-10 = ,2 70_ j = j269
6-ми сол. Ушбу п=10 хажмли танланма таксимоти буйича
танланма дисперсияни топинг.
xi 186 192 194
ni 2 5 3
Ечиш. ut — Xi— 191 шартли варианталарга ^тамиз:
“i -5 1 3
ni 2 5 3
2_ Г 2n,u; ~1 2_ 2-52-5-12 + 3-32
“ п L п J 10
2-( 5)+5-1+3+ 8>2 — 0,16 = 8,04.
7-мисол. Ушбу л = 10 хажмли танланма таксимоти буйича
танланма урта кийматини ва танланма дисперсияни топинг:
xi 0,01 0,04 0,08
ni 5 3 2
Ечиш. и,= ЮОХ, (/i = 100) шартли варианталарга утамиз,
натижада куйидаги таксимотни хосил киламиз:
ui 1 4 8
ni 5 3 2
« = -^=-^0 (1-5 + 4.3 + 8-2) =0,33.
5-124- 3.424-2-82 Г 5-1 4-3.4 + 2-8 12
10 ,L 10 J
S2= 1 S2 1 .7 21 ~0,0007.
x h2 u 1002
9- дарсхона топшириси
1. Бирор дискрет тасодифий микдорни урганиш чогида 40 та
богликмас синовлар натижасида куйидаги танланма хосил килин-
ган:
10,13,10,9,9,12,12,6,7,9,
8,9,11,9,14,13,9,8,8,7,
10,10,11,11,11,12,8,7,9,10,
13,3,8,8,9,10,11,11,12,12.
а) вариацион каторни тузинг;
б) нисбий частоталар жадвалини тузинг;
в) нисбий частоталар полигонини чизинг.
Ж: а) 6,7,8,9,10,11,12,13,14;
б)
х( 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14
1/40 3/40 6/40 8/40 6/40 6/40 5/40 3/40 40
в) 79- шакл.
35—665
2. Берилган танланма таксимоти буйича нисбий частоталар
гистограммасини чизинг.
Xr~Xi+l °—2
nt 20
3. Бош тупламдан /г = 60
хажмли танланма ажратилган:
1 3 6 26
ni 8 40 10 2
Бош туплам урта кийматининг силжимаган бахосини топинг.
Ж.’ X__'4
4. Таваккалига танлаб олинган 100 талаба буйини (см. ларда)
улчаш натижалари берилган:
Буйи 154—158 158—162 162—166 166—170 170-174 174—178 178—182
Талаба- лар сони 10 14 26 28 12 8 2
Текширилган талабалар буйларининг танланма урта кийматини
ва танланма дисперсиясини топинг.
Курсатма: Ораликларнинг урталарини топинг ва уларни
варианталар деб кабул килинг.
Ж: Х= 166, S2 = 33,44.
5. Гурухдаги 40 талабанинг ёзма ишлари бахоларининг частота-
лари жадвали берилган:
Бахо —X/ 2 3 4 5
Частота — ni 3 8 25 4
X, S2, S ларни топинг.
Ж: Х=3,75; 32 = 0,5375; 5 = 0,74.
6. Ушбу п=100 х,ажмли танланма таксимоти буйича танланма
дисперсияни топинг:
2502 2804 2903 3028
ni 8 30 60 2
Курсатма: м, = Х, —2844 шартли варианталарга утинг.
Ж: 52А- = 52= 12603.
9- мустак,ил иш
1. Кириш имтидонларида эллик абитуриент куйидаги балларни
олди:
12 ,14,19,15,14,18,13,16,17,12,20,17,15,13,17,16,20,14,14,13,17,16,15,
19,16,15,18,17,15,14,16,15,15,18,15,15,19,14,16,18,18,15,15,17,15,16,16,
14,14,17.
а) вариацион каторни тузинг;
б) нисбий частоталар жадвалини тузинг;
в) нисбий частоталар полигонини чизинг.
Ж: а) 12,13,14,15,16,17,18,19,20.
X, 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0) 0,04 0,06 0,16 0,24 0,16 0,14 0,10 0,06 0,04
2. Берилган танланма таксимоти буйича нисбий частоталар
гистограммасини чизинг.
X-Xf+1 10—15 15—20 20—25 25—30 30—35
ni 2 4 8 4 „=20 2
, „ 21 41 84
Ж: = ; W* = lo=T’ Ш^ = -20=Т;
_ Ш2 1 _ W3 1 . __ 1 . да5 _ 1
V-"50 ’ 25 ’ h = 25 ’ h ~ 25 ’ h 50 '
3. Куйидаги танланма берилган:
2,1,3,3,4,4,3,3,3,2,3,1,1,2,3,3,4,2,2,3,3.
а) вариацион каторни тузинг;
б) частоталар жадвалини тузинг;
в) нисбий частоталар полигонини чизинг;
г) X, 52, 5 ларни топинг.
Ж: а) 1,2,3,4'
б) xi 1 2 3 4
w. 0,15 0,25 0,50 0,10
г) Х=2,55; S2 = 0,7475; S = 0,86.
4. Ушбу « = 100 хажмли танланма таксимоти буйича танланма
дисперсияни топинг:
340 360 375 380
ni 20 50 18 12
Курсатма: ui=Xt—360 шартли варианталарга утинг.
Ж: S2(X)=S2(u) = 167,29.
5. Ушбу « = 10 хажмли танланма таксимоти буйича танланма
дисперсияни топинг:
23,5 26,1 28,2 30,4
ni 2 3 4 1
Курсатма: и(=10х,—268 шартли варианталарга утинг.
«2
Ж: « = -йг-4-89-
/- лаборатория машгулоти
Т анланмаларнинг сонли характеристикаларини уисоблаш
Берилган танланма таксимотининг танланма урта кийматини,
х‘~с
танланма дисперсиясини м;=—-— формула ердамида соддалаш-
тириб хисобланг.
1. X, 10,3 10,5 10,7 10,9 H,1 11,3 11,5 11,7 11,9 12,1
Hi 4 7 8 10 25 15 12 10 4 5
2. Xi 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
nt 6 7 12 15 30 10 8 6 4 2
3. Xi 10,6 10,8 11,0 H.2 11,4 11,6 11,8
Hi 5 10 17 30 20 12 6
4. Xi 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Hi 6 13 38 74 106 85 30 10 4
5. Xi 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6
n, 4 6 30 40 18 2
6. Xi 65 70 75 80 85 90
Hi 2 5 25 15 5 3
7. Xi 20,2 20,4 20,6 20,8 21,0 /
Hi 4 7 20 15 3
8. Xi 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45
Hi 18 20 25 22 15
9. X,
ni
10. Xi
ni
11. X,
nt
12. Xi
nt
13. Xt
n,
14. Xi
ni
15. Xt
n,
16. Xi
П-i
17. Xt
ni
18. Xt
ri,
19. Xt
ni
20. Xi
n,
21. X,
n,
22. Xt
nt
23. Xi
n,
24. Xi
nt
25. Xi
ni
26. Xt
n,
27. X,
ni
28. Xi
ni
29. X,
n,
30. X/
ni
5
10
5,3
5
6,4
7
7,3
10
8,2
6
9,1
10
10,1
20
1,5
15
2,1
19
2,4
20
3,2
10
3,6
15
4,3
6
4,5
10
11,2
5
11,5
10
12,3
2
12,4
3
13,2
10
13,8
4
14
15
16,1
10
10 15
20 40
5,6 5,9
10 25
6,8 7,2
12 16
7,6 7,9
15 18
8,6 9,0
12 30
9,3 9,5
13 16
10,5 10,9
25 30
2,0 2,5
18 23
2,3 2,5
25 28
2,6 2,8
25 35
3,5 3,8
15 20
4,0 4,4
25 30
4,6 4,9
8 13
5,0 5,5
16 18
11,4 11,6
8 12
11,9 12,3
14 18
12,5 12,7
5 8
12,8 13,2
10 15
13,4 13,6
15 18
14,3 14,8
7 9
16 18
17 20
16,4 16,7
14 21
20
30
6,2
20
7,6
30
8,2
24
9,4
25
9,7
28
11,3
45
3,0
25
2,7
30
3,0
40
4,1
22
4,8
35
5,2
15
6,0
20
11,8
15
12,7
20
12,9
12
13,6
25
13,8
20
15,3
11
20
22
17,0
28
25 30
15 5
6,5 6,8
15 4
8,0 8,4
25 15
8,5 8,8
20 14
9,8 10,2
20 4
9,9 10,1
23 17
11,7 12,1
40 35
3,5 4,0
35 32
2,9 3,1
40 35
3,2 3,4
50 32
4,4 4,7
35 30
5,2 5,6
45 40
5,5 5,8
25 20
6,5 7,0
30 28
12,0 12,2
25 22
13,1 13,5
26 21
13,1 13,3
20 15
14,0 14,4
40 30
14,0 14,2
30 25
15,8 16,3
15 10
22 24
25 23
17,3 17,6
23 15
8,8
6
9,1
5
10,3
7
12,5
15
4,5
22
3,3
24
3,6
23
5,0
25
6,0
30
6,1
14
7,5
15
12,4
13
13,9
13
13,5
7
14,8
20
14,4
16
16,8
6
26
16
5,0
13
3,5
15
3,8
15
5,3
12
64
20
64
5
8,0
8
12,6
7
14,3
8
13,7
3
15,2
5
14,6
12
17,3
5
28
13
10-§. Математик кутилиш ва дисперсия учун
ишончли ораликлар
14.10.1. Xlt Хг,.--, Хп X — белгили бош тупламдан олинган
танланма булиб, унинг таксимот функцияси F(x, 0) булсин.
0 параметр учун L (Xi,...,Xn) бахо булсин.
Агар ихтиёрий ад>0 сон учун шундай 6>0 сон топиш мумкин
б^лсаки, унинг учун
Р(IL —8| <б) = 1 -а
булса, у холда (£ — 6; £ + 6) оралик 0 параметрнинг 1—а
ишончлилик даражали ишончли оралиеи дейилади.
14.10.2. X белгиси нормал таксимланган бош тупламни карай-
миз. Бу таксимотнинг математик кутилиши а учун куйидаги
ишончли ораликдан фойдаланилади:
бу ерда о — урта квадратик четланиш, 1а — Лаплас функцияси ф(/)
нинг Ф(/а)=а/2 буладиган киймати.
б) о —номаълум булиб, танланма хажми п>30 булганда:
— < _ о
X-/„_1.G[-^<a<X+/n_1.(z--=,6y ерда
S2 — танланма дисперсия, I п_.1;а— Стьюдент таксимоти жадвали-
дан берилган п ва а лар буйича топилади.
14.10.3. X белгиси нормал таксимланган таксимот функцияси-
нинг дисперсияси о2 учун куйидаги ишончли ораликлардан
фойдаланилади:
S2(l —</)2<a<S2(l+<?)2, булганда,
0<о2<32(1+^2), 4?>1 булганда.
1-мисол. Тасодифий микдор а=2 параметр билан нормал'
конун буйича таксимланган. /1 = 25 хажмли танланма олинган. Бу
таксимотнинг номаълум а параметра учун у = 0,95 ишончлилик
билан ишончли ораликни топинг.
Ечиш. ф(/) =-1у = 0,475 тенгликдан, Ф(/) функция жадвалидан
/=1,96 сонни топамиз. У холда бахоаниклиги куйидагича булади:
6=-^/=-^=-. 1,96=0,784,
у п д/25
ишончли оралик эса
X-t —Н=<а<Х+/~ ёки(X—0,784, Х + 0,784).
Масалан, агар олинган танланма учун Х=2,3 булса, у х,олда (1,5;
3,1) оралик 95% ишончлилик билан номаълум параметр а ни
коплайди.
2- м и с ол. Бош тупламнинг нормал таксимланган X белгисининг
i номаълум математик кутилиши а ни у = 0,95 ишончлилик билан
бахолаш учун ишончли ораликни топинг. Бунда о = 5, танламанинг
урта киймати Х=14 ва танлама хажми п = 25 берилган.
Ечиш. ф(/)=-¥- муносабатдан: Ф(/) =-^- = 0,475. Жадвалдан
2. 2
/=1,96 ни топамиз. Топилганларни X — t-—+ га
у/ п \] п
куямиз:
(14-1,96-^; 14+1.96.-^)
ёки
(12,04; 15,96)
ишончли ораликни топамиз.
3-мисол. Бош тупламнинг X белгиси нормал таксимланган.
п=16 хажмли танланма буйича танланма урта киймат Х=20,2 ва
танланма урта квадратик четланиш 5=0,8 топилган. Номаълум
математик кутилишни ишончли оралик ёрдамида у = 0,95 ишончли-
лик билан бахоланг.
Ечиш. t n_,.v ни жадвалдан топамиз:
у=0,95; п = 16; / п_1.у=2,13.
Буларни
Х yln<'a<'X+tn-';1 у/п
формулага куйсак,
(20,2-2,13--^=, 20,2 + 2,13--^= )
\ V16 у 16 /
ёки
(19,774; 20,626)
Хосил булади. Шундай килиб, номаълум а параметр 0,95 ишончли-
лик билан
19,774<а<20,626
ишончли ораликда ётади.
4- м и с ол. Физик катталикни туккизта бир хил, богликмас Улчаш
натижасида олинган натижаларнинг урта арифметиги Х=42,319 ва
танланма ;урта квадратик четланиши 5 = 5,0 топилган. Улчанаётган
катталикнинг хакикий кийматини у = 0,95 ишончлилик билан
аниклаш талаб килинади.
Ечиш. Улчанаётгаи катталикнинг хакикий киймати унинг
математик кутилишига тенг. Шунинг учун масала а номаълум
булганда
¥__f $
- _s_
<a<X + ^n-l;v
ишончлилик оралиги ёрдамида математик кутилишни бахолашга
келтирилади.
Жадвалдан у = 0,95 ва п = 9 буйича Z„_|, v=2,31 ни топамиз.
У холда
42,319-2,31 -4<а<42,319 + 2,31 -4
о о
ёки
38,469 <а< 46,169.
Шундай килиб, изланаётган катталикнинг хакикий киймати
0,95 ишончлилик билан 38,469<а<46,169 ишончли ораликда
ётади.
5-мисол. Бош тупламнинг X белгиси нормал таксимланган.
п=16 хажмли танланма буйича танланма урта квадратик
четланиши S=1 топилган. Бош туплам урта квадратик четланиш о
ни 0,95 ишончлилик билан коплайдиган ишончли ораликни топинг.
Ечиш. Берилганлар у = 0,95 ва н=16 буйича жадвалдан
7=0,44<1 ни топамиз. Топилганларни 5(1 — q) <о<5(1 + 7)
формулага куямиз ва
1 • (1-0,44) <а< 1(1+0,44)
ёки
0,56<у< 1,44
ни хосил киламиз.
6- м и с ол. Бирор физик катталик битта асбоб ёрдамида 12 марта
улчанган, бунда улчашлардаги тасодифий хатоликларнинг урта
квадратик четланишн 0,6 га тенг булиб чикди. Асбоб аниклигини
0,99 ишончлилик билан топинг.
Ечиш. Асбобнинг аниклиги улчашлардаги тасодифий хато-
ликларнинг урта квадратик четланиши билан тавсифланади.
Шунинг учун масала урта квадратик четланиш о ни берилган
у = 0,99 ишончлилик билан коплайдиган ишончли ораликни топишга
келтирилади.
Жадвалдан у = 0,99 ва п = 12 буйича 7 = 0,9 ни топамиз.
5 = 0,6 ва 7 = 0,9 ларни формулага куйиб, изланаётган ораликни
топамиз:
0,6 (1-0,9) <о<0,6 (1+0,9)
ёки
0,06<ст< 1,14.
10- дарсхона ronuiupuFu
1. Бош тупламнинг нормал таксимланган X сон белгисининг
номаълум математик кутилиши а ни 0,99 ишончлилик билан
бахолаш учун ишончли ораликни топинг, бунда урта квадратик
четланиш о = 4, танламанинг урта киймати Х=10,2 ва танлама
Хажми н= 16.
Ж: 7,63 < cz < 12,77.
2. Бош тупламнинг нормал таксимланган X белгисининг
математик кутилишини танланма урта киймат буйича бахосининг
0,925 ишончлилик билан аниклиги 0,2 га тенг буладиган танлама-
нинг минимал хажмини топинг. Урта квадратик четланишни
о=1,5 га тенг деб олинг.
Ж: « = 179.
3. Бона тупламдан «=10 хажмли танланма олинган:
• —2 1 2 3 4 5
п1 2 1 2 2 2 1
Бош тупламнинг нормал таксимланган белгиси математик
кутилишини танланма урта киймати буйича 0,95 ишончлилик билан
ишончли оралик ёрдамида бахоланг.
Ж: 0,3<а<3,7.
4. Бирор физик катталикни богликмас бир хил аникликдаги 9 та
улчаш маълумотлари буйича улчашларнинг урта арифметик
киймати Х=30,1 ва урта квадратик четланиши 3 = 6 топилган.'
Улчанаётган катталикнинг хакикий кийматини ишончли оралик
ёрдамида у = 0,99 ишончлилик билан бахоланг.
Ж: 23,38<а<36,82.
5. Бош тупламнинг микдорий белгиси нормал таксимланган.
п хажмли танланма буйича тузатилган урта квадратик четланиш
3 топилган.
а) уртача квадратик четланиш о ни;
б) дисперсияни 0,99 ишончлилик билан коплайдиган ишончли
ораликни топинг, бунда «=10; 3 = 5,1.
Ж: а) 0<о< 14,28; б) 0<о2<203,92.
6. Битта асбоб ёрдамида (систематик,хатоларсиз) бирор физик
катталик 10 марта улчанган, бунда улчашлардаги тасодифий
хатоларнинг урта квадратик четланиши 0,8 га тенг булган. Асбоб
аниклигини 0,95 ишончлилик билан аникланг.
Ж: 0,28<о<1,32.
7. Нормал таксимланган бош тупламдан «=10 хажмли танлан-
ма олинган ва ушбу частоталар жадвали тузилган:
Xt —2 1 2 3 4 5
0,2 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1
Математик кутилиш учун у = 0,95 ишончлилик билан ишончли
ораликни топи г.
8. 10 та богликмас (эркли) улчашлар натижасида стержень
узунлиги (мм) учун куйидаги маълумотлар олинган: 23,24,23,25,25,
26,26,25,24,25. Улчаш хатолиги нормал таксимланган деб фараз
килиб, стержень узунлигининг математик кутлиши учун у = 95%
билан ишончли ораликни топинг.
Ж: 23,8<а<25,4.
9. Агар 10 та борликсиз улчашлар натижасида объектгача
булган масофа (м) учун 25025, 24970, 24780, 25315, 24097, 24646,
24717, 25354, 24912, 25374 натижалар олинган булса, объектгача
булган масофанинг математик кутилиши учун у = 0,9 ишончлилик
билан ишончли ораликни топинг. Бунда улчаш хатолиги
о=100 урта квадратик четланиш билан нормал таксимланган деб
фараз килинади.
Ж: 24948<а<25052.
10- мустсщил иш
1. Бош тупламнинг X белгиси нормал таксимланган. Агар урта
квадратик четланиш о, танланма урта киймати X ва танланма
хажми п берилган булса (о = 5, Х=16,8; п = 25), номаълум
а математик кутилишни 0,99 ишончлилик билан бахолаш учун
ишончли ораликни топинг.
Ж.\19,23<а< 19,37.
2. Улчашларнинг тасодифий хатоликлари урта квадратик
четланиши о = 40 м булган биргина асбоб ёрдамида тупдан
нишонгача булган масофа 5 марта (бир хил шароитда) улчанган.
Агар улчашларнинг урта арифметик киймати А=2000 м эканлиги
маълум булса, нишонгача булган а хакикий масофани 0,95 ишонч-
лилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг.
Ж: 1960,8<а<2039,2.
3. Дисперсияси номаълум нормал таксимланган бош ту’плам
математик кутилиши учун танланма хажми п буйича_у ишончлилик
билан ишончли оралигини топинг. Бунда и = 25, Х = 2,4; S2=4;
у = 0,95.
Ж: 1,5744 <а< 3,2256.
4. Бош тупламдан п=12 хажмли танланма олинган:
Х1 -0,5 —0,4 -0,2 0 0,2 0,6 0,8 1 1,2 1,5
ni 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1
Бош тупламнинг йормал таксимланган белгиси математик
кутилиши а ни 0,95 ишончлилик билан ишончли оралик ёрдамида
бахоланг.
Ж: -0,04<а<0,88,
5. Бош тупламнинг нормал таксимланган микдорий белгисидан
олинган п хажмли танланма буйича урта квадратик четланиш
3 топилган.
Агар п = 50, 3=14 булса, а) урта квадратик четланиш о ни
0,994 ишончлилик билан копловчи ишончли ораликни топинг;
б) худди шу маълумотлар буйича юкоридаги талабни дисперсия
учун бажаринг.
Ж: а) 7,98<о<20,02; б) 63,9<о2<400,8.
6. Бир хил аникликдаги 15 та улчаш буйича урта квадратик
четланиш 3 = 0,12 топилган. Улчаш аниклигини 0,99 ишончлилик
билан аникланг.
Ж: 0,03<о<0,21.
7. Бирор физик катталик X ни бир-бирига боглик булмаган 4 та
улчаш натижасида 28,6; 28,3; 28,2, 28,4 кийматлар олинган. Улчаш
хатолиги нормал таксимотга эга деб фараз килиб, нормал
таксимланган X тасодифий микдорнинг а математик кутилиши учун
95 % ишончлилик билан ишончли оралик топинг.
Ж: 28,11<а<28,65.
11-§. Гипотезаларни Пирсоннинг мувофиклик
критерийси буйича текшириш
X белгили бош тупламдан олинган Xi, Хг,...,Хя танланма берилган
булиб, унинг асосида бош тупламнинг таксимот функцияси
хакидаги Но'- F(x) = Fo(x) асосий гипотезани Hi: F(x) #=Fo(x) конку-
рент гипотеза булганда текшириш керак булсин. X белги
кийматларини ( — оо; ai)=Ai, A2=[oi; а-г). Дь-1 =[а&-2; as-i),
Д4 = |аб_|; + оо) ораликларга буламиз, п(- танланма кийматлари-
нинг А,-— ораликларга тушган кийматларининг сони булсин ва
о>,=-^-, р,=Р(Х6Д-). У холда
pi +p2 + ...+Pk= 1,
ПI -j- М2 “Ь • - Ж =
ИУ1 W2Н- ... + Wk= 1
Куйидаги статистикани аниклаймиз:
k
Y'~ = n 2
i=l
(ау — рр2
Pi
<п,—пр,)
npi
Агар Но гипотеза уринли булиб, м/л>5 булса, Y2 (k— 1)—
озодлик даражали хи — квадрат таксимот буйича таксимланган-
дир.
Агар Fo(x) таксимот функцияда I та номаълум параметрлар
булиб, улар танланма буйича бахоланган булса, озодлик даражала-
ри сони (k — I— 1) га тенг булади.
Энди Пирсоннинг мувофиклик критерийсини аниклаймиз. Бу-
нин? учун аввал а аниклилик даражаси ва хи — квадрат таксимот
учун жадвалдан x*_i;a нинг Р (У2>лд_|, а) =а буладиган критик
киймати топилади.
Сунгра танланма кийматига кура У2 хнсобланади, агар
У2<х/г_1.а булса, Но гипотеза кабул килинади ва бош туплам Fo(x)
таксимот функцияга эга деб хнсобланади, агар У2>х*_1;(1 булса,
Но гипотеза рад этилади.
Агар озодлик даража 30 дан катта булса, критик киймат нормал
таксимотдан фойдаланиб топилади.
1-мисол. X белгили бош тупламдан олинган танланманинг
статистик таксимоти берилган:
ы [0;5) [5;Ю) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) [30;35) [35:40), [40;45) [45:50)
•ч 2 12 8 4 14 6 10 2 1 И
X белгининг таксимот функцияси текис таксимотга мувофик ёки
мувофик эмаслигини 0,05 аниклик даражаси билан Пирсоннинг
мувофиклик критерияси ёрдамида текширинг.
Ечиш.
k
п= 5 п,—70.
t=\
Куйидаги жадвални тузамиз:
X 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
W 0,029 0,171 0,114 0,057 0,2 0,086 0,143 0,029 0,014 0,157
w, =^=07029; ~®2=^=0,171; w3=А=0,114;
®4=4'=0’057; “,5=4б’=0'2; ^6=^5=0,086;
®7=^-=0,143; w8=^-=0,029; ui9=^-=0,014; ui10=-^=0,157.
Х= Z и»Л=2,5-0,029 + 7,5-0,171 +12,5-0,114 +
i=i
+ 17,5 - 9,057 + 22,5 - 0,2 + 27,5 • 0,086 + 32,5 - 0,143 +
929 + 42,5-0,014 + 47,5-0,157 =
> + 3-0,171+5-0,114 + 7-0,057 + 9-0,2 +
бъ -13-0,14 +15-0,029+17-0,014+ 19-0,157) =
Х- = 2,52(0,029 + 9- 0,171 +25-0,114 + 49.0,057 + 81 -0,2 +
4-121 -0,086+169.0,143 + 225.0,029 +
, +289-0,014 + 361 -0,157) =782,67;
S2= Y2-X = 782,67 - (24,4285) 2= 782,67 - 596,75 = 185,92;
3 = т/185,92 «13,63.
X белги учун
М(Х)=+±1; О(Х)=1-|
булганидан а ва b ни аниклаш учун куйидаги системами тузамиз:
-^=24,43,
Ь — а
2т/3
13,63
(a-j-b =48,86,
| /2 — а = 47,16
о(Ь=48,01; а = 0,85);
I____
Ь — а
=хх=0'0212-
Шундай килиб,
/(х) =
0, агар х<0,85,
0,0212, агар 0,85<х< 48,01,
О, агар х>48,01,
бу ерда f (х) — X белгининг зичлик функцияси.
Энди текис таксимот буйича X белгининг [0; 5), [5, 10). [45;
50) ораликларга тушиш эхтимолликларини топамиз.
Ai [—5;0) (0;5) [5;10) [10;15) [15;20) [20;25)
Р,. 0 0,088 0,106 0,106 0,106 0,106
Ai [25:30) [30;35) [35;40) [40;45) [45;50) [50;55)
Pi 0,106 0,106 0,106 0,106 0,064 0
5
р1==Р(0<Х<5) =р(0.85<Х<5) = J 0,0212г/х=
0,85
= 0,0212х|5 =0,0212-4,15 = 0,088.
I 0,85
р|0=Р(45<Х<50)=Р(45<Х<48,01)
48,01
= J 0,0212dx=
45
= 0,022lx Г8'01 = 0,0212-3,01=0,064.
- 1 45
У2 ни хисоблаш учун куйидаги жадвални тузамиз:
ю< Р,. (Wi-Pi)2 Pi
0,029 0,088 —0,059 0,003 0,034
0,171 0,106 О',065 0,004 0,038
0,114 0,106 0,008 0,006 0,057
0,057 0,106 —0,049 0,002 0,019
0,2 0,106 0,094 0,009 0,085
0,086 0,106 —0,020 0,000 0,000
0,143 0,106 0,037 0,001 0,009
0,029 0,106 —0,077 0,006 0,057
0,014 0,106 -0,092 0,008 0,075
0,157 0,064 0,093 0,009 0,141
0,515
к lW. — P.}2
Шундай килиб Y2=n- 2 —Lp =70-0,515 = 36,05, яъни
У2 = 36,05.
хи — квадрат таксимот жадвалидан маълумки
ХЮ-2 — 1; 0,05 — Х7; 0.05— 14,1.
У2> 14,1 булгани учун бош тупламнинг таксимот функцияси
0,05 аниклик даража билан текис таксимотга мос келмайди деган
хул оса га эга буламиз.
2-ми сол. X белгили бош тупламдан олинган танланманинг
статистик таксимоти берилган:
Д i [0;3) [3;6) [6:9) [9;12) [12; 15) [15;18) [18;21) [21;24) [24;27) [27:30)
ni 1 3 4 6 11 10 7 5 2 1
X белгининг таксимот функцияси нормал таксимотга мувофик
ёки мувофик эмаслигини 0,05 аниклилик даражаси билан Пирсон-
нинг мувофиклик критерийси ёрдамида аникланг.
ю ___
Ечиш. п= 2 «, = 50, w = —, <=1,10 деб олиб, куйидаги жад-
i= ।
вал ни тузамиз:
1.5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,£
Wi 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,20 0,14 0,10 0,04 0,01
Х = ЗТ—1,5 алмаштиришни бажарсак, Т ва Т2 учун статист!
таксимот куйидагича булади:
Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
W 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,01
т2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 юс
W 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,0!
Т=0,2 + 0,12 + 0,24 + 0,48 +1,1 + 1,2 + 0,98 + 0,8 + 0,36 + 0,2 = 5,5
Г =0,02 + 0,24 + 0,72 +1,92 + 5,5 + 7,2 + 6,86 + 6,4 + 3,24+2 = 34,
Х=3-Г-1,5 = 3-5,5-1,5=15.
32 = 9(75-Т2)=34,65.
5 = 5,9.
Демак,
—= и булсин, у холда
бу ерда <р(и) =
1
д/2п
е
2 булади.
Бу функциянинг кийматларидан фойдаланиб яна битта жад
тузамиз (/i = 3):
X и ф(“) Дх) hfW X и ф(“) Л*)
1,5 —2,29 0,029 0,005 0,02 16,5 0,25 0,387 0,066 0,!
4,5 —1,78 0,082 0,014 0,04 19,5 0,76 0,299 0,051’ 0,
7,5 — 1,27 0,178 0,030 0,09 22,5 1,27 0,178 0,030 0,1
10,5 —0,76 0,299 0,051 0,15 25,5 1,78 0,082 0,014 0,1
13,5 —0,25 0,387 0,066 0,20 28,5 2,29 0,029 0,005 о,1
Энди куйидаги
Р(а<Х<₽)=ф(-^)-ф(^-),
48,01
р10=Р(45<Х<50)=Р(45<Л<48,01) = j 0,0212dx=
45
= 0,0221X 148,01 = 0,0212 - 3,01 = 0,064.
I 45
Y2 ни хисоблаш учун куйидаги жадвални тузамиз:
*1 Pi &i-P? Pi
0,029 0,088 —0,059 0,003 0,034
0,171 0,106 О',065 0,004 0,038
0,114 0,106 0,008 0,006 0,057
0,057 0,106 —0,049 0,002 0,019
0.2 0,106 0,094 0,009 0,085
0,086 0,106 -0,020 0,000 0,000
0,143 0,106 0,037 0,001 0,009
0,029 0,106 —0,077 0,006 0,057
0,014 0,106 —0,092 0,008 0,075
0,157 0,064 0,093 0,009 0,141
0,515
k <w _ р ;2
Шундай килиб Y2=n- 2 —‘-р ‘ =70-0,515 = 36,05, яъни
У2 = 36,05.
хи — квадрат таксимот жадвалидан маълумки
Х10-2-I; 0,05 = Х7; 0.05 = 14,1.
У2> 14,1 булгани учун бош тупламнинг таксимот функцияси
0,05 аниклик даража билан текис таксимотга мос келмайди деган
хулосага'эга буламиз.
2-ми сол. X белгили бош тупламдан олинган танланманинг
статистик таксимоти берилган:
M [0:3) [3;6) [6;9) [9;12) [12;15) (15;18) [18:21) [21;24) [24:27) [27:30)
ni 1 3 4 6 11 10 7 5 2 1
X белгининг таксимот функцияси нормал таксимотга мувофик
ёки мувофик эмаслигини 0,05 аниклилик даражаси билан Пирсон-
нинг мувофиклик критерийси ёрдамида аникланг.
ю п. _______
Ечиш. п= 2 «(=50, wi=—, 1= 1,10 деб олиб, куйидаги жад-
i=i
вални тузамиз:
Xi 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5
Wi 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,20 0,14 0,10 0,04 0,02
Х = ЗТ—1,5' алмаштиришни бажарсак, Т ва Т2 учун статистик
таксимот куйидагича булади:
Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
w 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
т2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
w 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
7=0,2 + 0,12 + 0,24+0,48+1,1 + 1,2+0,98 + 0,8+0,364-0,2 = 5,5.
Т2=0,02+0,24 + 0,72+ 1,92 + 5,5 + 7,2 + 6,86 + 6,4 + 3,24 + 2=34,1.
Х=3-7-1,5=3-5,5-1,5=15.
S2 = 9(F2-T2) =34,65.
S = 5,9.
Демак,
——— = u булсин, у х,олда
о,У у ZJI
бу ерда <р(и) =
1
7 2 л
е
2 булади.
Бу функциянинг кийматларидан фойдаланиб яна битта жадвал
тузамиз (/г = 3):
X и <₽(“) fM ЛДх) X и <₽(“) Дх) й/(х)
1,5 -2,29 0,029 0,005 0,02 16,5 0,25 0,387 0,066 0,20
4,5 —1,78 0,082 0,014 0,04 19,5 0,76 0,299 0,051- 0,15
7,5 —1,27 0,178 0,030 0,09 22,5 1,27 0,178 0,030 0,09
10,5 —0,76 0,299 0,051 0,15 25,5 1,78 0,082 0,014 0,04
13,5 —0,25 0,387 0,066 0,20 28,5 2,29 0,029 0,005 0,02
Энди куйидаги
Р(«<х<Р) -ф(Д=“)_ф(^=1),
(бу ерда а — математик кутилиш ва
ф(х)=17^ 2 dt
/Л J
о
формула ёрдамида ораликларга тушиш эхтимолликларини хисоб-
лаймиз:
Р (О <Х<3) = 0,0154 «0,02,
Р(3<Х<6) =0,0425«0,04,
Р(6<Х<9) =0,0905^0,09,
Р(9<Х< 12) =0,151 «0,15,
Р(12 < Х< 15) = 0,1946«0,19,
Р(15<Х< 18) = 0,1946«0,19,
Р(18<Х<21) =0,151 «0,15,
Р(21 <Х<24) = 0,0915«0,09,
Р(24<Х<27) =0,0425 «0,04,
Р(27<Х<30) =0,0154«0,02,
Натижада куйидаги жадвалга эга буламиз:
Ai (0;3) [3;6) [6;9) [9;12) [12;15) (15;18) (18;21) [21;24) (24;27) (27:30)
Р( 0,02 0,04 0,09 0,15 0,19 0,19 0,15 0,09 0,04 0,02
Юкоридагилардан фойдаланиб, У2 ни хисоблаш учун жадвал
тузамиз:
W,. Pi Wf-Pi Pi
0,02 0,02 0 0,0000 0,00
0,06 0,04 0,02 0,0004 0,01
0,08 0,09 —0,01 0,0001 0,001
0,12 0,15 —0,03 0,0009 0,006
0,22 0,20 0,02 0,0004 0,006
0,2 0,20 0,00 0,0000 0,02
0,14 0,15 —0,01 0,0001 0,00
0,1 0,09 0,01 0,0001 0,0007
0,04 0,04 0 0,0000 0,00
0,02 0,02 0 0,0000 0,00
0,0387
У2=я£ —-Pz) =50-0,0387 = 1,935;
Pt
хи — квадрат таксимот жадвалидан х10_2_|.0,05= 14,1.
560
К2<14,1 булгани учун бош тупламнинг таксимот функцияси
0,05 аниклилик даража билан нормал таксимотга мос келади деган
хулосага эга буламиз.
11- дарсхона топширити
X белгили бош тупламдан олинган танланманинг статистик
таксимоти берилган:
Ai [4,1:4,2) [4,2;4,3) (4,3;4,4) [4,414,5) [4,514,6) [4,614,7) [4,7;4,8) [4,8;4,9) [4,915,0)
ni 1 2 3 4 5 8 8 9 10
X белгининг таксимот функцияси нормал таксимотга мувофик
ёки мувофик эмаслигини 0,05 аниклик даража билан Пирсоннинг
мувофиклик критерийси ёрдамида аникланг.
Ж: Нормал таксимотга мос келади.
11- му ставил иш
X белгили бош тупламдан олинган танламанинг статистик
таксимоти берилган:
Ai [0;10) [10;20) [20;30) [30;40) [40;50) [50;60)
«< 11 14 15 10 14 16
X белгининг таксимот функцияси текис таксимотга мувофик ёки
мувофик эмаслигини 0,05 аниклилик даражаси билан Пирсоннинг
мувофиклик критерияси ёрдамида аникланг.
Ж: Текис таксимот билан мувофиклашади.
2-лаборатория маштулоти
Чизикрш регрессия тенгламасини энг кичик квадратлар
усули ёрдамида аникрюш
А" ва У белгили икки улчовли бош тупламдан олинган п хажмли
танланма берилган булсин. (х/( yt) кузатилган кийматларини мос
частоталари билан ушбу корреляцион жадвалга жойлаштирамиз:
У X У1 02 •• » Ут Тм Э
«1 «11 «12 «1т «X!
«2 «21 «22 «2т «*2
*1 «11 «12 • ” %
1 <=1 «Л ПУ2 - "»т i т п=*1 I"*/ г=1 /=1
Куйидаги белгилашларни киритамиз:
х—; 2 Ц 2 9,»„,
£== 1 J = 1
XY= ~ Z % 2 x1 2nv
£ = 1 / = 1 i — 1
Y =— 2 У/«„, о*=/ —/2
п “ У? *
1 = 1
a2=p-Tr=j?-v.
* ‘’х-Оу
Y— Y=—r(х — х) энг кичик квадратлар усули билан топилган
°х
Y нинг X га тугри чизикли регрессия тенгламасидир.
Купинчи бу тенгламани топишни соддалаштириш учун
х,— С,
> vi
J/f С2
й2
алмаштиришлар киритилади.
Ci ва Сг мос равишда ва вариацион
каторларнинг урталарида жойлашган варианталар, hi ва /12 лар эса
вариацион каторлар кушни варианталарининг айирмаси.
Юкоридаги алмаштиришлардан фойдаланиб, чизикли регрессия
тенгламасини топишда куйидаги формулалар ишлатилади:
1 ' 1 т
и=— 2 unr, v=-^ 2 vn,.,
п . ‘ V п . I yi
1=1 J=1
I . m
ы2=1 2 =- 2vK,-.
Ох=А,.о„, о,=А2ав, X=u-/i1 + Cl
Y = v • /12 + Сг,
I т
2 2 ujvjnij—n-uv
= 1 i=\______________
nau°v
Корреляцией жадвал маълумотлари буйича Y нинг X га тугри
чизикли регрессия тенгламасини энг кичик квадратлар усули билан
топинг.
'Х. х Y X. 5 10 15 20 25 30 ПУ
45 2 4 — — — — 6
55 — 3 5 — — — 8
65 — — 5 35 5 — 45
75 — ' — 2 8 17 — 27
85 — — — 4 7 3 14
«X 2 7 12 47 29 3 л =100
* Y X. 10 15 20 25 30 35 ПУ
40 2 4 — — — — 6
50 — 3 7 — — — 10
60 — — 5 30 10 — 45
70 — — 7 10 8 — 25
80 — — — 5 6 3 14
«X 2 7 19 45 24 3 л =100
X. X /X 15 20 25 30 35 40 ПУ
15 4 1 — — — — 5
25 — 6 4 — — — 10
35 — — 2 50 2 — 54
45 — — 1 9 7 — 17
55 — — — 4 3 7 14
«X 4 7 7 63 12 7 я =100
Г Х^ 2 7 12 27 22 27 ПУ
100 1 5 — — — — 6
ПО — 5 3 — — — 8
120 — — 3 40 12 — 55
130 — — 2 10 5 — 17
140 — — — 3 4 7 14
«X 1 10 8 53 21 7 л =100
567
X Y 3 7 11 15 19 п*
2 2 4 — — — 6
6 — 3 5 — — 8
8 — — 5 35 5 45
10 — — 2 8 17 27
12 — — — 4 10 14
я* 2 7 12 47 32 п=100
X Y 2 5 8 и 14 17 п,
1 2 4 — — — — 6
6 — 6 3 — — — 9
11 — — 6 35 4 — 45
16 — — 2 8 6 — 16
21 — — — 14 7 3 24
«ж 2 10 и 57 17 3 п=100
12- назорат иши
1.1. X
берилган:
тасодифий микдор F(x) таксимот функцияси оркали
О, агар х^ 1,
f(x) =
-jy(3x2H-x —4), агар 1<х<2,
1, агар х>2.
Зичлик функция f (х), М(Х), D(X), а(Х) ларни топинг.
F(X) ва /(х) функцияларининг графигини чизинг.
1.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=2 ва урта квадратик четланиши а = 6. Р(4<Л<9) ни
топинг.
1.3. Нормал таксимотнинг номаълум математик кутилиши а ни
у = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(,¥ = 74,69; п=25; о = 2,5).
2.1. X тасодифий микдор F(x) таксимот функцияси билан
берилган:
F(x) =
0, агар х< —-,
5
5x4-1, агар —^<х< 0,
5
.1, агар х>0.
Зичлик функция /(х), М (X), D(X), а(Х) ларни топинг хамда Р(х)
ва f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
2.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 3 ва урта квадратик четланиши о = 2. ?(3<Х<10)
ни топинг.
2.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни 0,95 ишонч-
лилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг (Х = 74,70;
п = 25; о = 3).
3.1. X тасодифий микдор F(х) таксимот фукцияси билан
берилган:
О, агар х< — л,
F(x) =
\/2cos~, агар —л<х^-у,
1, агар х>—.
Зичлик функция f(x),M (X), D(X), о(Х) ларни топинг хамда F (х) ва
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
3.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 4 ва урта квадатик четланиши о = 2. Р(5<Х<9) ни
топинг.
3.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,71; п = 49; о = 3,5).
4.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
F(x) =
О, агар х< О,
агаР 0<х^4,
1, агар х>4.
Зичлик функция /(х), Л1(Х), D(X), о(Х) ларни топинг, хамда F(x) ва
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
4.2. X тасодифий микдор нормал конун буйича таксимланган.
Унинг математик кутилиши а = 5, урта квадратик четланиши
о = 4. Р(2<Х<10) ни топинг.
4.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни
топинг (Х=74,72; п = 64; о = 4).
5.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
О, агар х=С 4,
f(x) =
1п-~. агар 4<х< 4е,
1, агар х>4е.
Зичлик функция f(x), М(Х), D(X), о(Л) ларни топинг хамда F(x)
ва f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
5.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 6, урта квадратик четланиши о = 2. P(4<X<12) ни
топинг.
5.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
у = 0,95 ишончлилик билан коплайдиган ишончли ораликни топинг.
(Х = 74,73; п = 81; о = 4,5).
6.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
0, агар х< 0,
Л(х) =
^-(2х1 2+х), агар о<х< 1,
О
1, агар х> 1.
Зичлик функция /(х), М (Д'), D(X), а(Х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) ларнинг графикларини чизинг.
6.2. X тасодифий микдор нормал конун буйича таксимланган,
математик кутилиши а = 7, урта квадратик четланиши
о = 2. Р(3<Х< 10) ни топинг.
6.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,73; м = 81; о = 4,5).
7.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
О, агар х^ О,
Л(х) =
у(х34-х), агар 0<х< 1,
1, агар х> 1.
Зичлик функция /(х), М(X), D(X), о(20 ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) нинг графикларини чизинг.
7.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши с = 8 ва урта квадратик четланиши о = 5. Р(3<х<15)
ни топинг.
7.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х=74,74; п=100; о = 5).
8.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(х) билан
берилган:
О, агар х<о,
F(x) =
Зх2-|-2х, агар о<х< —,
О
1, агар х>-ф.
О
Зичлик функция f(x), М(х), D(X), о (7) ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) нинг графигини чизинг.
8.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 9 ва урта квадратик четланиши <т = 6. Р(5<7<14)
ни топинг.
8.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
у = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни то-
пинг (7=74,75; «=121; о = 5,5).
9.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F{x) билан
берилган:
' 0, агар х^ 0,
F(x) =
2 sinx, агар 0<х^-^-,
I Л
1, агар х> —.
Зичлик функция /(х), М(Х), D(X), а(7) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
9.2. X тасодифий микдор нормал конун буйича таксимланган,
математик кутилиши а=10, урта квадратик четланиши о = 4.
/3(2<х< 13) ни топинг.
9.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончлилик оралигини
топинг (7 = 74,76; «=114; о = 6).
10.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
0, агар х
6 ' 1 '
1, агар х>2.
Зичлик функция /(х), М(7), D (7), о(х) ларни топинг хамда F(x) ва
)(х) ларнинг графикларини чизинг.
10.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=11 ва урта квадратик четланиши о = 5. Р(7<х<17)
ни топинг.
10.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
0 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(7 = 74,91; « = 729; о = 13,5).
11.1. 7 тасодифий микдор таксимот функцияси А(х) билан
берилган:
О, агар
Л*) =
4 (Зх—1), агар 2>
□ и
, 1, агар х>2.
Зичлик функция f(x), Л1(X), D(X), о(х) ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) функцияларнинг графигини чизинг.
11.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши 12 ва урта квадратик четланиши о=4. Р(7<х<18)
ни топинг.
11.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ^шончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликини
топинг (* = 74,77; «=169; о = 6,5).
12.1. X тасодифий микдорнинг таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
'0, агар х< — 1,
F (х) =
yjx-\-1 . агар — 1 <х< 0,
1, агар х>0.
Зичлик функцияси/(х), М(*), £)(*), о(х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
12.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=13 ва урта квадратик четланиши о = 5. Р(9<х<18)
ни топинг.
12.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
о = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(* = 74,78; м=196; о = 7).
13.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан бе-
рилган:
'О, агар х^ 3
F(x) =
/п^-, агар 3<х< Зе,
О
1, агар х>3е.
Зичлик функция f(x), М(Х), D(X), о(х) ларни топинг, хамда f(x) ва
F(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
13.2. X тасодифий микдор нормал конун буйича таксимланган,
математик кутилиши а=14, урта квадратик четланиши о = 9.
Р(11 <х< 17) ни топинг.
13.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(* = 74,79; п = 225; о = 7,5).
14.1. * тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
О, агар х< -|-л,
cos2x, агар —л<х<л,
4
1, агар х>л.
Зичлик функция f(x),M(X), D(X), о(х) ларни топинг, хамда Л(х) на
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
14.2. X тасодифий микдор нормал конун буйича таксимланган,
математик кутилиши а= 15, урта квадратик четланиши о = 8.
Р(9<х<21) ни топинг.
14.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,8; п = 256; о = 8).
15.1. Х тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
О, агар х< — 1,
у(х+1), агар -1<х
. 1, агар х> 1.
Зичлик функцияси/(х), Л4(Х), D(X), о(х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
15.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=16 ва урта квадратик четланиши о=6. /3(2'<х<9)
ни топинг.
15.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,81; п = 289; о = 8,5).
16.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
О, агар х< О,
Д
—, агар 0<х< 3,
1, агар х>3.
Зичлик функцияси /(х), М (X), D (X), о(х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
16.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорниг математик
кутилиши а=\7 ва урта квадратик четланиши о=11. Р(9<х<20)
ни топинг.
16.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
у==0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли оралики топинг
(Х = 74,82; « = 324; о=9).
17.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F (х) билан
берилган:
А(х) =
0; агар х^ 2,
у (х2—Зх + 2), агар 2<х< 3,
1, агар х>3.
f Will III ХЯМД.1 / (a) h.i
|Щ|)|)||||iiг математик
|»(l, /»(|()<х<22)
Guilin а пи Y = (),',).r>
| O|)(UIHKIIII топинг
iKHinicii /'(x) била и
i4,
fOliinir хамда F(x) ва
МИКДориинг матема-
четланиши о = 7.
И кутилиши а ни
ИЧДи ораликни топинг
Цииси F(x) ёрдамида
£хС 1 ,
И топинг хамда F(x) ва
тиксимланган. Унинг
<тик четланиши о = 7.
fMK кутилиши а ни
уончли ораликни топинг
ИКШО1СИ F (х) ёрдамида
2.
Зичлик функцияси /(х), М(Х), D(X), о(х) ларни топинг хамда F(x)
ва f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
20.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорининг мате-
матик кутилиши о=21 ва урта квадратик четланиши о = 9.
Р(9<х< 15) ни топинг.
20.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
у=0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(/=74,86; /г = 484; о=11).
21.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F (х) ёрдамида
берилган:
'0, агар х< 0,
F(x) =
-у (х3+2х), агар 0<х< 2,
1, агар х>2.
Зичликфункцияси /(х), М(А'), О(Х), о(Х) ларни топинг хамда F(x) ва
[(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
21.2 Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 22 ва урта квадратик четланиши о = 8. Р(10<Х<; 18)
ни топинг.
21.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
р=0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(/ = 74,87; /1 = 529, ц = 11,5).
22.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
Л(х) =
0, агарх^2,
1пу, агар 2<х^2е,
1, агар х>2е.
Зичликфункцияси /(х), Л1(Х), О(Х), о(Х) ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
22.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 23 ва урта квадратик четланиши о = 9. Р(11<
</<20)ни топинг.
22.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(/=74,88; /1 = 576; о=12).
23.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси ёрдамида
берилган:
0, агарх^ 0,
F (х) =
д/2 sin-^, агар 0<х<у,
1 - л
1, агар х>—.
Зичлик функцияси f(x), М(Х), D(X), о(х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
17.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=18 ва урта квадратик четланиши о = 6. P(10<x<22)
ни топинг.
17.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни 7=0,95
ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х=74,83; « = 381; о = 9,5).
18.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) билан
берилган:
О, агар х^ 2,
~х—\, агар 2<х<4,
.1, агар х>4.
Зичлик функцияси / (х), М (Л), D(X), о (х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
18.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг матема-
тик кутилиши а=19 ва урта квадратик четланиши о = 7.
Р(11<х<23) ни топинг.
18.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
у = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,84; « = 400; о=10).
19.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
у(2х2+х— 1), агар у<х< 1
. 1, агар х> 1.
Зичликфункцияси/(х), Л1(Л’), D(X), о(х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
19.2. X тасодифий микдор нормал таксимланган. Унинг
математик кутилиши а = 20 ва урта квадратик четланиши о = 7.
Р(13<х<24) ни топинг.
19.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,85; « = 441; о=10,5).
20.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
0, агар х^ 0,
Л(х) =
—, агар 0<х< 2,
.1, агар х>2.
Зичлик функцияси f(x), М(Х), D(X), о(х) ларни топинг хамда F(х)
ва f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
20.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорининг мате-
матик кутилиши а = 21 ва урта квадратик четланиши о = 9.
Р(9<х<15) ни топинг.
20.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
у = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,86; п = 484; о=11).
21.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
'0, агар х< 0,
F(x) =
-jy (х3+2х), агар 0<х< 2,
1, агар х>2.
Зичлик функцияси / (х), М (X), D(X), о(Х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
21.2 Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 22 ва Урта квадратик четланиши о = 8. Р(10<Х< 18)
ни топинг.
21.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,87; n = 529, о= 11,5).
22.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
F(x) =
О, агарх<2,
ln-i, агар 2<х<2е,
1, агар х>2е.
Зичлик функцияси /(х), М(Х), D(X), о(Х) ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
22.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 23 ва урта квадратик четланиши о = 9. Р(11<
<Х<20)ни топинг.
22.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
у = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,88; п = 576; о=12).
23.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси ёрдамида
берилган:
0, агарх^ О,
F(x) =
y/2siny, агар 0<х<-|,
1 — л
1, агар х>у.
Зичликфункцияси/(х), М(Х), 0(Х), о(Х) ларни топинг хамда F(x) ва
f (х)функцияларнинг графикларини чизинг.
23.2 X тасодифий микдор нормал конун буйича таксимланган.
Математик кутилиши а = 24 ва урта квадратик четланиши
о=11. Р(13<Х<25) ни топинг.
23.3 . Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,89; « = 625; о=12,5).
24.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
(О, агарх.^О,
^/х, агар 0<х< 1,
1, агар х> 1.
Зичлик функцияси/(х),М(Х), D(X),o(X) ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
24.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=2 ва урта квадратик четланиши о = 5. Р(4<Х<9)
ни топинг.
24.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг.
(Х = 74,9, « = 676, о=13).
25.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
О, агарх< —
F(x) =
—(2х+ 1), агар —-<х< 2,
1, агар х>2.
Зичлик функцияси f (х), М (X), D (X), о (X) ларни топинг хамда F (х) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
25.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши й—3 ва урта квадратик чекланиши о = 5. Р(4<Х<7) ни
топинг.
25.3. Нормал таксимотнинг а математик кутилишини
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,92; « = 784, о=14).
26.1 X тасодифий микдор таксимот функцияси F(x) ёрдамида
берилган:
О, агарх^ 1,
F(x) = • у(х2—х), агар 1 <х< 2,
. 1, агар х>2.
Зичлик функцияси /(х), M(X), D(X), о(20 ларни топинг хамда F(x)
ва f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
26.2 Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=4 ва урта квадратик четланиши о = 3. P(3<X<z 11)
ни топинг
26.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни то-
пинг (Х=74,93; /г=841; о=14,5).
27.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F{x) ёрдамида
берилган:
О, агарх<2,
F(x) =
-j- (х2—х—2), агар 2<х^ 3,
. 1, агар х>3.
Зичлик функцияси /(х), М(X), D(X), о (20 ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
27.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а=5 ва урта квадратик четланиши о = 4. Р(2<2'< 11)
ни топинг.
27.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(/ = 74,94; «=841; о = 29).
28.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси f(x) ёрдамида
берилган:
0, агарх< —
F^) =
cosx, агар —-<х<;0,
.1, агар х>0.
Зичликфункцияси/(х), М(Х), D(X), о(20 ларни топинг хамда F(x) ва
/(х) функцияларнинг графикларини чизинг.
28.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши а = 6 ва Урта квадратик четланиши о = 3. Р(6<X< 16)
ни топинг.
28.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(/ = 74,95; п = 784; о = 28).
29.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F(х) ёрдамида
берилган:
/0х) =
0, агар х<1 1,
\]х— 1 , агар 1 <х^ 2,
1, агар х>2.
Зичликфункцияси f(x), М(Х), D(X}, <j(X) ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
29.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши <2 = 7 ва урта квадратик четланиши о = 3. Р(5<Х< 13)
ни топинг.
29.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95 ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни топинг
(Х = 74,96; « = 729; <т = 27).
30.1. X тасодифий микдор таксимот функцияси F (х) ёрдамида
берилган:
Л(х) =
О, агарх< 5,
1п—, агар 5 <х< 5е,
.1, агар х>5е.
ичлик функцияси /(х), М (X), D(X), с(Х) ларни топинг хамда F(x) ва
f(x) функцияларнинг графикларини чизинг.
30.2. Нормал таксимланган X тасодифий микдорнинг математик
кутилиши <2 = 8 ва урта квадратик четланиши о=1. Р(4<А'<9)
ни топинг.
30.3. Нормал таксимотнинг математик кутилиши а ни
7 = 0,95_ ишончлилик билан бахолаш учун ишончли ораликни то-
пинг. (Х = 74,97; « = 676; а = 26).
10- намунавий уисоб топшири^лари
1.1. Кутида 6 та ок, 4 та кора, 3 та кизил шар бор. Таваккалига
олинган 3 та шарнинг хаммаси турли рангда булиши эхтимоллигини
топинг.
1.2. 7 та Уриндикли каторга 4 киз ва 3 угил утиришади. Уч
угилнинг ёнма-ён утиришИ эхтимоллигини топинг.
1.3. Китоб токчасида алгебрадан 4 та, геометриядан 3 та китоб
таваккалига териб чикилган. Хар кайси фанга дойр китоблар ёнма-
ён туриши эхтимоллигини топинг.
1.4. Тангани 10 марта ташланганида 5 марта гербли томон ва
5 марта ракамли томон тушган. Гербли томонларнинг хаммаси
дастлабки 5 марта ташланганда тушганлиги эхтимоллигини топинг.
1.5. Яшикда 15 та деталь булиб, уларнинг 5 таси буялган.
Таваккалига олинган 5 та деталнинг 4 таси буялган, биттаси-
буялмаган булиб чикиши эхтимоллигини топинг.
1.6. Спортлото уйинидаги бош ютукни (45 тадан 6 та номерни
топиш) ютиб олиш эхтимоллигини топинг. 5 та номерни топиш
эхтимоллигини аникланг.
1.7. 52 талик уйин картасини 2 тадан таркатилганда «туз» ва
«кирол» чикиши эхтимоллигини топинг.
1.8. Театрга 6 та чипта олинган булиб, улардан 4 таси
1-катордаги жойлардан иборатдир. Таваккалига олинган 3 та
чиптанинг 2 таси биринчи катордаги жойларда булиши эхтимолли-
гини топинг.
1.9. Футбол буйича мусобакаларда 20 та жамоа катнашади.
Тасодифий равишда бу жамоалар 10 тадан килиб иккита гурухга
булинди. Бунда 2 та энг кучли жамоа битта гурухга тушиб колиши
эхтимоллигини топинг.
1.10. Кутичада 7 та ок ва 5 та кора шар бор.
а) таваккалига олинган шар кора булиши;
б) таваккалига олинган 2 та шар кора булиши эхти-
моллигини топинг.
1.11. Талаба укув дастуридаги 40 саволдан 30 тасини билади.
Хар бир имтихон билетида 2 тадан савол булса, талабанинг хар
иккала саволни билиши эхтимоллигини топинг.
1.12. К,уръа ташлаш катнашчилари яшикдан 1 дан 100 гача
номерланган жетонларни тортадилар. Таваккалига биринчи булиб,
олинган жетон номерида 5 раками иштирок этмаслиги эхтимоллиги-
ни топинг.
1.13. Олтита бир хил карточкаларнинг хар бирига куйидаги
харфлардан бири ёзилган: а, б, с, м, р, о. Карточкалар яхшилаб
аралаштирилгач, галма-галдан битталаб олинган ва катор килиб,
териб чикилган туртта карточкада «ромб» сузининг хосил булиши
эхтимоллигини топинг.
1.14. Барча ёклари буялган куб мингта бир хил улчамли
кубчаларга булинади ва улар яхшилаб аралаштирилади. Тавакка-
лига олинган кубчанинг: а) битта, б) иккита ёги буялган булиши
эхтимоллигини топинг.
1.15. Саккизта хар хил китоб битта токчага таваккалига териб
куйилганда, иккита маълум китоб ёнма-ён туриб колиши эхти-
моллигини топинг.
1.16. 10 та хар хил китобнинг 5 таси хар бири 4 сумдан, учтаси
1 сумдан, 2 таси 3 сумдан сотиляпти. Таваккалига олинган иккита
китоб биргаликда 5 сум булиши эхтимоллигини топинг.
1.17. Гурухнинг 8 нафари кизлар булган 17 талабаси орасида
7 та билет уйналяпти. Билетга «эга чикканлар» ичида 4 та
талабанинг кизлар булиши эхтимоллигини топинг.
1.18. Беш каватли уйнинг лифти уч йуловчи билан к^тарила
бошлади. Х,ар кайси каватдан биттадан ортик булмаган йуловчи
тушиб колиши эхтимоллигини топинг. (Бунда йуловчиларни
каватлар буйича таксимлашнинг мумкин булган барча усулларини
тенг эхтимолли деб хисобланг.)
1.19. Натурал каторнинг 1,2, 3, ... , ЮО сонлари таваккалига
жойлаштирилган 1 ва 2 сонлари ёнма-ён, шу билан бирга, усиб
бориш тартибида жойлашганлиги эхтимоллигини топинг.
1.20. Унта талаба тайин электропоездда кетишга шартлашиб
олдилар, лекин кайси вагонда кетишга келишиб олмадилар. Агар
электропоездда 10 та вагон булса иккита талабанинг битта вагонга
тушиб колмаслрк эхтимоллигини топинг. (Бунда талабаларнинг
вагонлар буйича ж'ойлашишларининг барча имкониятлари тенг
имкониятли деб фараз килинади.)
1.21. Таваккалига олинган учта ракамнинг: а) хаммаси бир хил;
б) иккитаси бир хил булиши эхтимоллигини топинг.
1.22. Юэркаква 10 аёлдан иборат гурух тасодифий равишда 2 та
тенг кисмга булинади. Хар кайси кисмда эркаклар ва аёллар сони
бир хил булиши эхтимоллигини топинг.
1.23. Йигувчида бир-биридан кам фарк киладиган 10 та деталь
бор. Уларнинг турттаси биринчи турдаги, иккитаси иккинчи,
иккитаси учинчи ва иккитаси туртинчи турдаги деталлардир. Бир
пайтда олинган олтита деталнинг учтаси — биринчи турдаги,
иккитаси иккинчи, биттаси — учинчи турдаги деталь булиш эхти-
моллигини топинг.
1.24. Таваккалига олинадиган икки хонали соннинг а) туб сон;
б) 5 га каррали сон булиши эхтимоллигини топинг.
1.25. Хар хил ракамлар билан номерланган 9 та жетоннинг
3 таси олинади. Уларнинг усиб бориш тартибида чикиши
эхтимоллигини топинг. Учала жетоннинг номерлари жуфт булиши
эхтимоллигини топинг.
1.26. Таваккалига танланган телефон номери 5 та ракамдан
иборат. Уларда:
а) барча ракамлар хар хил булиши;
б) барча ракамлар ток булиши эхтимоллигини топинг.
1.27. Таваккалига олинган натурал сон 2 га хам, 3 га хам
булинмаслиги эхтимоллигини топинг.
1.28. 2,3,4,5,6 сонлари ёзилган бешта карточкадан тасодифий
равишда уч хонали сон тузилади. Бу сон ток булиши эхтимоллигини
топинг.
1.29. Берилган 1, 2, 3, 4, 5 ракамдан фойдаланиб турли ракам-
ли турт хонали сон тузилади. Тузилган сон ракамларининг ^сиш
тартибида булиши эхтимоллигини топинг.
1.30. Яшикда 40 та ярокли ва 6 та яроксиз саклагичлар бор.
Яшикдан 3 та саклагич олинган:
а) барча саклагичлар ярокли булиши;
б) акалли биттаси яроксиз булиши эхтимоллигини топинг.
2.1. Айланага таваккалига ички учбурчак чизилади. Бу учбур-
чак тенг ёнли булиши эхтимоллигини топинг.
2.2. Айланага таваккалига ички учбурчак чизилади. Бу учбур-
чак тугри бурчакли булиши эхтимоллигини топинг.
2.3. Айланага таваккалига ички учбурчак чизилади. Бу учбур-
чак уткир бурчакли булиши эхтимоллигини топинг.
2.4. 200 м ли магнитофон тасмасига 20 м ораликда маълумот
ёзилган, шу тасманинг 60 м дан 75 м гача булган оралигида
узлуксиз ёзув булиш эхтимоллигини топинг.
2.5. Икки урток маълум бир жойда соат 14°° билан 1500 орасида
учрашишга келишдилар. Х,ар кайси урток 20 мин кутиб, кейин
кетади. Учрашув руй бериши эхтимоллигини топинг.
2.6. Томони а га тенг квадратлар тури чизилган текисликка
таваккалига радиусли танга ташланади. Танга квадратлар-
нинг томонларидан хеч бирини кесмаслик эхтимоллигини топинг.
Нуктанинг текис фигурага тушиш эхтимоллиги фигура юзига
пропорционал ва унинг жойлашишига боглик эмас деб фараз
килинади.
2.7. Текислик бир-биридан 2а масофада жойлашган параллел
т^гри чизиклар билан булинган. Бу текисликка таваккалига
радиуси г<д булган танга ташланади. Танга тугри чизиклардан
хеч бирини кесмаслиги эхтимоллигини топинг.
2.8. Парабола ярим доирага уринади ва унинг диаметри
чегараларидан утади. Ярим доирага таваккалига ташланган нукта
ярим дойра ва парабола билан чегараланган сохага тушиш
эхтимоллигини топинг.
2.9. Парабола квадратнинг пастки асосига уринади ва унинг
юкори учлари оркали утади. Квадратга таваккалига ташланган
нуктанинг квадратнинг юкори томони ва парабола билан чегара-
ланган сохага тушиш эхтимоллигини топинг.
2.10. Таваккалига 1 дан катта булмаган иккита х ва у сон
олинган. Агар бу сонлар квадратларнинг йигиндиси дан катта
булса, уларнинг йигиндиси бирдан катта булмаслиги эхтимоллиги-
ни топинг.
2.11. Таваккалига хар бири иккидан катта булмаган иккита
мусбат х ва у сон олинган. ху^~ 1; у/х^2 булиши эхтимоллигини
топинг.
2.12. Иккита х ва у хакикий сон |х| 1, O^y^l тенгсизлик-
ларни каноатлантирадиган килиб таваккалига танланади. x2<Zy
шартнинг бажарилиши эхтимоллигини топинг.
2.13. Иккита х ва у хакикий сон |х| 3, |t/| ^5 тенгсизликларни
каноатлантирадиган килиб таваккалига танланади. -у каср мус-
бат булиши эхтимоллигини топинг.
2.14. R радиусли дойра ичига г радиусли кичик дойра
жойлаштирилган. Катта доирага таваккалига ташланган нукта
кичик доирага хам тушиши эхтимоллигини топинг. (Доирага тушиш
эхтимоллиги дойра юзига пропорционал булиб, унинг жойлашишига
боглик эмас деб фараз килинади.)
2.15. Радиуси 15 см булган шар марказидан 25 см масофада
ёругликнинг нуктавий манбаи жойлашган. Шар сиртида тавакка-
лига олинган нукта ёритилган булиши эхтимоллигини топинг.
2.16. Ичидан томони а=14см квадрат киркиб олинган /? = 25см
радиусли доирага радиуси г —2 см булган шар таваккалига
ташланади. Агар шар албатта доирага тушса, унинг'бу тешик
четларига тегмай ундан Утиб кетиш эхтимоллигини топинг.
2.17. R радиусли доирага мунтазам олтибурчак ички чизилган.
Дойра ичига таваккалига ташланган нуктанинг олтибурчак ичига
тушиш эхтимоллигини топинг.
2.18. Квадратнинг тайинланган учидан унинг диагоналидан
кичик ихтиёрий радиус билан айлана чизилган. Айлана квадратнинг
бу учга эга булган томонларини кесиб утиши эхтимоллигини топинг.
2.19. R радиусли айланада таваккалига нукта танланади. Бу
HyKia айланада белгилаб куйилган А нуктадан R радиусдан кат-
та булмаган масофада ётиши эхтимоллигини топинг.
2.20. Мина ,ар кУйилиб килинган тусик миналар ораси 100 м дан
килиб, бир чизик буйича жойлаштирилган. Кенглиги 20 м булган
кеманинг бу тусикни тугри бурчак остида кесиб утганда, минага
дуч келиши эхтимоллигини топинг. (Чизикнинг кенглигини хисоб-
га олмаслик мумкин.)
2.21. Узунлиги 12 см булган АВ кесмага таваккалига С нукта
куйилади. АС кесмага курилган квадрат юзи 36 см2 ва 81 см2 лар
орасида булиши эхтимоллигини топинг.
2.22. Учлари (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0) булган квадратга тавак-
калига (х, у) нукта ташланади. Бу нуктанинг координаталари
1/<2х тенгсизликни каноатлантириши эхтимоллигини топинг.
2.23. R радиусли доирага таваккалига ташланган нуктанинг
доирага ички чизилган квадратга тушиши эхтимоллигини топинг.
2.24. R радиусли доирага таваккалига ташланган нуктанинг
доирага ички чизилган мунтазам учбурчакка тушиши эхтимоллиги-
ни топинг.
2.25. Тез айланаётган диск жуфт сондаги тенг секторларга
ажратилган ва улар навбат билан ок ва кора рангларга буяб
чикилган. Дискка карата Ук узилади. Укнинг секторлардан бирига
тегиши эхтимоллигини топинг. (Укнинг текис фигурага тегиш
эхтимоллиги бу 'фигуранинг юзига пропорционал деб фараз
килинади.)
2.26. Разведкачилар радиоприёмниги сигналларни узун тулкин-
даги частоталарда даврий равишда хар 2 мин да 16 с давомида
кабул килади. Агар сигнални кайд килиш учун кабул 1 с дан кам
булмаслиги зарур булса, радиоприёмникнинг 10 с давом этадиган
сигнални кайд килиши эхтимоллигини топинг.
2.27 Узунлиги L булган АВ телефон линиясининг С нуктасида
(унинг холати линия буйича тенг имкониятли) узилиш руй берди.
С нуктанинг А нуктадан I дан кичик булмаган масофада жой-
лашганлиги эхтимоллигини топинг.
2.28 Аэропортнинг кундириш системаси (тизими) мураккаб
метеошароитларда самолётларни 5 мин дан кам булмаган оралик
билан кундиришни таъминлайди. Иккита самолёт жадвал буйича
бири соат 10 да, иккинчиси соат 10 у 10 минутда аэродромга
кУнишлари керак. Агар биринчи самолёт аэродромга жадвалга
нисбатан 10 мин атрофида, иккинчиси 5 мин атрофида четланиш
билан кириб келиши мумкин булса (бунда жадвалдан курсатилган
чегараларда четланишлар катталиклари тенг имкониятли деб
фараз килинади), иккинчи самслётнинг кутиш зонасига кетиб
туриши эхтимоллигини топинг.
2.29. Томони а булган мунтазам учбурчаклардан терилган
паркетга г радиусли танга таваккалига ташланди. Танга
учбурчаклардан хеч кайсисининг томонига тегмаслиги эхтимолли-
гини топинг.
2.30. а узунликдаги стержень таваккалига 3 булакка булинди.
Хар кайси б^лакнинг узунлиги а/4 дан катта булиши эхтимоллиги-
ни топинг.
3.1. Пул-буюм лотереясининг хар 10000 билетига 150 та буюм ва
50 та пул ютуклари уйналади. Бир дона лотерея билета эгасининг
буюм ёки пул ютуги ютиб олиш эхтимоллигини топинг.
3.2. Мерганнинг битта ук узиб 10 очко олиш эхтимоллиги 0,1 га,
9 очко олиш эхтимоли 0,3 га, 8 ёки ундан кам очко олиш эхтимоллиги
0,6 га тенг. Мерганнинг битта ук узиб 9 тадан кам булмаган очко
олиши эхтимоллигини топинг.
3.3 Партиядаги 10 та деталнинг 8 таси стандарт. Таваккалига
олинган 2 та деталнинг акалли биттаси стандарт булиши
эхтимоллигини топинг.
3.4. Яшикда 10 та деталь булиб, уларнинг 2 таси ностандарт.
Таваккалига олинган 6 та деталь ичида биттадан куп булмаган
ностандарт деталь булиши эхтимоллигини топинг.
3.5. Мерганнинг унлик сохага уриши эхтимоли 0,05: туккизликка
0,2; саккизликка 0,6. Битта ук узилади. Куйидаги ходисаларнинг
эхтимолликларини топинг.
А — камида 8 очко олинган.
В — 8 дан куп очко олинган.
3.6. Яшикда 8 та ок ва 12 та кизил бир хил шарлар бор.
Таваккалига учта шар олинади. Уларнинг акалли биттаси
ок булиши эхтимоллигини топинг.
3.7. Яшикда 8 та ок ва 12 та кизил шар бор. Таваккалига
5 та шар олинади. Уларнинг ичида биттадан куп булмаган ок шар
булиши эхтимоллигини топинг.
3.8. Яшикда 9 та ок ва 14 та кизил шар бор. Таваккалига 6 та
шар олинади. Уларнинг ичида камида иккитаси ок шар булиши
ЭХТИМОЛЛИГИНИ топинг.
3.9. Жисмоний тарбиячилар куни талаба уйингохга борди.
Футболга 0,3 эхтимоллик билан, баскетболга 0,4 эхтимоллик билан,
волейболга 0,2 эхтимоллик билан чипта сотиб олиш мумкин эди.
Талабанинг мусобакага тушиши эхтимоллигини топинг.
Талабанинг баскетбол ёки волейбол мусобакасига кира олиш
эхтимоллигини топинг.
3.10. Яшикда 8 та кизил , 10 та яшил ва 12 та кук рангдаги бир
хил шар бор. Таваккалига учта шар олинади. Уларнинг акалли
иккитаси бир хил рангда булиши эхтимоллигини топинг.
3.11. Устахонада учта станок ишлаб турибди. Смена давомида
биринчи станокнинг бузилиши эхтимоллиги 0,15 га, иккинчи
станокники 0,1 га, учинчи станокники 0,12 га тенг. Станоклар бир
пайтда бузилмайди деб фараз килиб, смена давомида акалли битта
станокнинг бузилиши эхтимоллигини топинг.
3.12. Кутида 15 та ок, 20 та кора, 25 та яшил, 10 та кизил шар
бор. Таваккалига олинган шар ок, кора ёки кизил булиши эхтимол-
ликларини топинг.
3.13. Кутида 10 та ок, 15 та кора, 20 та яшил, 25 та кизил шар
бор. Таваккалига олинган шар ок, кора ёки кизил булиши
эхтимолликларини топинг.
3.14. Ишчи учта станокка хизмат курсатади. Смена давомида
ишчининг аралашувини талаб килиш эхтимоллиги биринчи станок
учун 0,7 га, иккинчи станок учун 0,75 га, учинчи станок учун эса
0,8 га тенг. Смена давомида ишчининг аралашувини кайсидир
2 та станокнинг талаб килиши эхтимоллигини топинг.
3.15. Битта ук узишда нишонга текказиш эхтимоллиги биринчи
мерган учун р га иккинчиси учун 0,7 га тенг. Битта ук узишда роса
бир марта нишонга текказиш эхтимоллиги иккала мерган учун
0,38 га тенг эканлиги маълум. Р ни топинг.
3.16. Бирор физик микдорни бир марта ^лчашда берилган
аникликдан ортик булган хатоликка йул куйиш эхтимоллиги 0,2 га
тенг. Туртта богликмас улчаш ^тказилди. Купи билан битта
улчашда берилган аникликдан ортик булган хатоликка йул
куйилганлик эхтимоллигини топинг.
3.17. Бир дона пул-буюм лотереяси билан ютиш эхтимоллиги
1/7 га тенг. 5 дона билет сотиб олиб: а) бешта билетнинг хаммасига
ютиши, б) акалли битта билетга ютиш эхтимоллигини топинг.
3.18. Бир бирига богликмас 3 та ук узишда акалли бир марта
нишонга текказиш эхтимоллиги 0,9984 га тенг. Битта ук узишда
нишонга текказиш эхтимоллигини топинг.
3.19. Абонент тераётган телефон номерининг охирги ракамини
эсидан чикариб куйди ва уни таваккалига терди. Унинг 2 тадан
ортик булмаган муваффакиятсиз уриниш килиши эхтимоллигини
топинг.
3.20. Битта ^к узишда нишонга текказиш эхтимоллиги 0,2 га
тенг. 8 та ук узилди. Нишонни яксон килиш учун хеч булмаганда бир
марта нишонга текказиш етарли б^лса, нишоннинг яксон килиниш
эхтимоллигини топинг.
3.21. Талаба имтихон саволларининг 25 тасидан 20 тасинигина
тайёрлашга улгурди. Талабанинг таваккалига танлаган 4 та
саволнинг камида 2 тасини билиш эхтимоллигини топинг.
3.22. Овчи узоклашиб бораётган нишонга карата 3 марта ук
узди. Нишонга тегиш эхтимоллиги ук узишнинг бошида 0,8 га тенг,
у кейинги хар бир ^к узишда 0,1 га камаяди. Овчи:
а) учала холда теккиза олмаслиги;
б) акалли бир марта текказиш;
в), икки марта текказиш эхтимоллигини топинг.
3.23. Имтихон билетида 3 та саван бор. Талабанинг биринчи ва
иккинчи саволга жавоб бериш эхтимоллиги 0,9 га, учинчи саволга
эса 0,8 га тенг. Агар имтихонни топшириш учун:
а) хамма саволларга жавоб бериш керак;
б) акалли 2 та саволга жавоб бериш керак булса,
талабанинг имтихонни топшириш эхтимоллигини топинг.
3.24. п та ок ва т та кора шар булган кутидан 2 та шар олинади.
Олинган шарлар турли рангда булиши эхтимоллигини топинг.
3.25. Кутида 10 та ок, 15 та кора, 20 та яшил ва 25 та кизил шар
бор. Битта шар олинади. Олинган шар:
а) кизил, ок ёки кора булиши;
б) яшил ёки кизил булиши;
в) ок, кора ёки яшил булиши эхтимоллигини топинг.
3.26. Танга 4 марта ташланади. Гербли томон роса икки марта
тушиши эхтимоллигини топинг.
3.27. Заём облигацияларининг ярмиси ютукли. Акалли битта
облигацияга 0,95 дан катта эхтимоллик билан ютук чикишига ишонч
хосил килиш учун нечта облигация сотиб олиш керак?
3.28. Яшикда 90 та ярокли ва 10 та яроксиз деталь бор. Йигувчи
кетма-кет (кайтариб солмай) 10 та деталь олади. Олинган деталлар
орасида:
а) яроксизлари йуклиги,
б) хеч булмаганда биттаси яроксиз булиши эхтимоллигини
топинг.
3.29. Иккита уйин соккасини неча марта ташланганда акалли
бир марта 12 очко тушишига 0,5 дан кам булмаган эхтимоллик
билан ишонч хосил килиш мумкин?
3.30. Уйин иккита уйинчининг бири кетма-кет 2 партияни
ютгунча давом этади (дуранг натижа хисобга олинмайди). Хар бир
уйинчининг партияни ютиши эхтимоллиги 0,5 га тенг ва олдинги
партиялар натижаларига богЛик эмас. Уйин 6- партиягача тугаши
эхтимоллигини топинг.
4.1. 10 000 та киймат келтирилган логарифмлар жадвалида
битта хато кетган. Жадвалдан таваккалига олинган 100 та
логарифм киймати орасида акалли битта хато киймат борлиги
эхтимоллигини топинг.
4.2. Олти лампали (хамма лампалар хар хил) радиопри-
ёмникнинг битта лампаси «куйиб» колди. Приёмникни тузатиш учун
занжирдаги элементдан таваккалига танланган лампани олиб
аралаштирилади ва приёмник текшириб курилади. Приёмникнинг
а) битта лампани;
б) иккита лампани;
в) учта лампани алмаштиргандан сунг одатдагидек ишлаб
кетиши эхтимоллигини топинг.
4.3. Турт овчи нишонга карата маълум бир тартибда ^к узишга
келишиб олишди: навбатдаги овчи ундан олдинги овчи нишонга
теккиза олмаган такдирдагина узади. Хар бир овчининг нишонга
текказиш эхтимоллиги бир хил булиб, 0,8 га тенг. Нишонга карата:
а) битта;
б) иккита;
в) учта'ук узилиш эхтимоллигини топинг.
4.4. Ракамли кулф умумий укида туртта диек бор. Хар бир диск
ракамлар билан белгиланган олтита секторга булинган. Кулфни
дисклардаги ракамлар маълум комбинация (у кулфнинг «сири»дан
иборат) ташкил этгандагина очиш мумкин. Ракамларнинг ихтиёрий
комбинациясини териб, кулфни очиш мумкинлиги эхтимоллигини
топинг.
4.5 Механизмга учта бир хил деталь киради. Агар механизмни
йигишда учала деталь Урнига улчамлари чизмада белгиланганидан
катта булган деталлар куйилса, механизмнинг иши бузилади.
Йигувчида 5 таси катта улчамдаги 12 та деталь колди. Агар йигувчи
деталларни таваккалига олса, бу деталлардан йигилган меха-
низмнинг нормал ишламаслик эхтимоллигини топинг.
4.6. Корхонада яроксиз махсулот умумий махсулотнинг уртача
2 %ни ташкил этади. Ярокли махсулотнинг 95 % ини биринчи нав
ташкил этади. Таваккалига олинган махсулот:
а) текширишдан утган махсулотдан олинган булса;
б) тайёрланган умумий махсулотдан олинган булса, унинг
биринчи навли булиши эхтимоллигини топинг.
4.7. Овчи узоклашаётган нишонга карата 2 марта ук узди. Отиш
бошланганда нишонга тегиш эхтимоллиги 0,8 га тенг, кейинги хар
кайси Ук узишда эса у 0,1 га камаяди. Овчининг:
а) хар иккала холда хам нишонга текказа олмаслиги;
б) акалли бир марта текказиш эхтимоллигини топинг.
4.8. «А» ва «В» ходисалар куйидагича: «А» ходиса — 4 та уйин
соккасини бир пайтда ташланганда акалли битта бир тушиши;
«В»ходиса — 2 та соккани 24 марта ташланганда акалли бир марта
2 та бир тушиши. Бу ходисаларнинг кайси бири эхтимоллирок?
4.9. Ишчи тайёрлайдиган деталларнинг 8 %и яроксиз. Синаб
куришга олинган деталлар орасида бирорта хам яроксизи
булмаслиги эхтимоллигини топинг.
4.10. Иссиклик электростанциясида 15 смена мухандислари бу-
либ, уларнинг 3 таси аёллар. Сменада 3 киши туради. Таваккалига
танланган сменада эркаклар 2 тадан кам булмаслиги эхтимоллиги-
ни топинг.
4.11. 30 талабанинг ишлаб чикариш амалиёти учун Тошкентда
15 та жой, Фаргонада 8 та жой, Олмаликда 7 та жой ажратилган.
Икки уртокнинг битта шахарда амалиёт утиши эхтимоллигини
топинг.
4.12. Кутида а дона ок ва b дона кора шар бор. Кутидаги хамма
шарлар бирин-кетин, тасодифий равишда олинади. Тартиб буйича
иккинчи олинган шарнинг ок булиши эхтимоллигини топинг.
4.13. Карталарнинг тулик дастаси (52 та карта)дан бирварака-
йига 4 та карта олинади. Куйидаги ходисалар каралади:
«А» — олинган карталар ичида хеч булмаганда битта «гиштин»
булади;
«В» — олинган карталар ичида хеч булмаганда битта «карга»
булади.
А-\-В ходисанинг эхтимоллигини топинг.
4.14. Касаба уюшмаси ёзда дам олишга кетадиган болалар учун
15 та спорт лагерига, 9 та сайёхлик лагерига ва 4 та согломлашти-
риш лагерига йулланмалар ажратди. Агар учта уртокнинг ота-
оналари бир-бирига боглик булмаган холда биттадан йулланма
олиб келган булсалар, бу уч уртокнинг битта лагерда дам олиши
эхтимоллигини топинг.
4.15. Биринчи кутида 5 та ок, 11 та кора ва 8 та кизил шар,
иккинчи кутида эса 10 та ок, 8 та кора ва 6 та кизил шар бор. Хар
иккала кутидан таваккалига биттадан шар олинади. Олинган
шарлар бир хил рангда булиши эхтимоллигини топинг.
4.16. Яшикда турт рангдаги галтак иплар бор: ок — 50 %,
кизил—20 %, яшил — 20 %, кук—10 %. Таваккалига олинган
галтакнинг яшил ёки кук булиши эхтимоллигини топинг.
4.17. Тайёрланаётган деталларнинг уртача 3 %и яроксиз. Си-
наш учун олинган 5 та деталнинг орасида бирорта хам яроксизи
булмаслиги эхтимоллигини топинг.
4.18. Кутичада 30 % и ок, кслганлари кизил галтак иплар
аралаштирилиб куйилган. Таваккалига олинган икки галтак ип бир
хил рангда булиши эхтимоллигини топинг.
4.19. Техник каров станциясига 20 та машина келтирилди.
Уларнинг 5 тасида юриш кисмида, 8 тасида моторда нуксонлар
булиб, 10 тасида хеч кандай нуксон топилмади. Юриш кисмида
нуксони булган машинанинг моторида хам нуксон борлиги
эхтимоллигини топинг.
4.20. 12 угил бола ва 18 киз бола бор гурухдан 2 киши
таваккалига танланди. Уларнинг
а) иккаласи угил бола;
б) киз бола ва угил бола булиши эхтимоллигини топинг.
4.21. Харидорга 41-улчамдаги пойафзал зарурлиги эхтимоллиги
0,2 га тенг б^лсин. Дастлабки бешта харидорнинг 41-улчамдаги
пойафзални сураш эхтимоллигини топинг.
4.22. 1 ва 2 деб белгиланган 2 та уйин соккаси ташланди.
Биринчи соккадаги очколарнинг иккинчи соккадаги очколардан
катта булиши эхтимоллигини топинг.
4.23. Уйин соккасини ташланганда жуфт ёки учга каррали очко
тушиши эхтимоллигини топинг.
4.24. Ишчи 4 та станокка хизмат курсатади. Бир соат давомида
биринчи станок ишчининг созлаш учун аралашувини талаб
килмаслик эхтимоллиги 0,2 га тенг; иккинчи станок учун 0,25;
учинчи станок учун 0,6 га, туртинчи станок учун эса 0,4 га тенг. Бир
соат давомида бирорта хам станокнинг ишчининг аралашувини
талаб этмаслиги эхтимоллигини топинг.
4.25. Талаба олий математикадан имтихонга тайёрланиши учун
математик тахлил фанидан 20 саволга ва геометриядан 25 та
саволга жавоб тайёрлаши керак. Бирок, у математик тахлилдан
15 та, геометриядан 20 та саволга жавоб тайёрлай олди, хат ос.
Билетда 3 та савол бор: 2 та тахлилдан ва 1 та геометриядан.
а) талаба имтихонни аълога топшириши (учала саволга хам
жавоб бериши);
б) я.хшига топшириши (исталган иккита саволга жавоб бериши)
эхтимоллигини топинг.
4.26. Деталларга 3 боскичда ишлов берилади. Биринчи боскичда
яроксиз деталь олиш эхтимоллиги 0,02 га, иккинчисида 0,03 га,
учинчисида 0,02 га тенг. Айрим боскичларда яроксиз деталь олиш
богликмас ходисалар деб фараз килиб, 3 та боскичдан сунг ярокли
деталь олиш эхтимоллигини топинг.
4.27. 1,2,3,4,5 ракамлардан биттаси, колганларидан яна биттаси
танланади, Ток сон танланган булиб, унинг
а) биринчи галда,
б) иккинчи галда,
в) иккала галда хам танланганлиги эхтимоллигини топинг.
4.28. п- тартибли дитерминант ёйилмасининг битта хади та-
ваккалига танланади. Танланган хадда бош диагональ элементлари
булмаслиги эхтимоллиги рп ни топинг. lim Рп ни хисобланг.
Л-*оо
4.29. Уч киши галма-галдан тангани ташлайди. Кимда биринчи
булиб гербли томон тушса, ^ша ютган хнсобланади. Хар кайси
уйинчи учун ютиш эхтимоллигини топинг.
4.30. Икки киши галма-галдан тангани ташлайди. Кимда
биринчи булиб гербли томон тушса, ,^ша ютган хнсобланади. Хар
кайси уйинчи учун ютиш эхтимоллигини топинг.
5.1. Пластмасса гулалар учта прессда тайёрланади. 1 пресс
барча гулаларнинг 50 % ини, II- 30 %, III- 20 % инн ишлаб
чикаради. Бунда I пресс гулаларининг 0,025, II нинг 0,02, III нинг
0,015 кисми ностандартдйр. Тайёр гулалар ичидан таваккалига
олингани стандарт булиши эхтимоллигини топинг.
5.2. Пластмасса буюмлар учта автоматда таййёрланади: I авто-
мат махсулотнинг 40 % ини, П-35 % ини, Ш-25 % ини ишлаб
чикаради. Бунда I автоматнинг 0,13, II-0,025, III-0,025 кисми
ностандарт буюмлардир. Танланган стандарт буюм III автоматда
тайёрланганлиги эхтимоллигини топинг.
5.3. ДУконга 4 лампочка заводила тайёрланган бир хил
лампочкалар кабул килиб олинди: I заводдан 350 дона, II дан
625 дона, III дан 245 дона ва IV дан 850 дона. Лампочкалар
1500 соатдан ортик вакт ёниши эхтимоллиги I завод учун 0,25 га,
II завод учун 0,30 га, III завод учун 0,40 га, IV завод учун 0,75 га
тенг. Дукон токчаларига лампочкалар аралаштириб териб чикила-
ди. Сотиб олинган лампочканинг 1500 соатдан куп вакт ёниши
эхтимоллигини топинг.
5.4. . Омборга 1000 та подшипник келтирилди. Уларнинг 260 таси
I заводда, 400 таси II заводда ва 340 таси III заводда тайёрланган.
Подшипникнинг ностандарт булиб чикиши эхтимоллиги I завод учун
0,08 га, II завод учун 0,025 га, III завод учун, 0,04 га тенг. Таваккали-
га олинган подшипник ностандарт булиб чикди. Бу подшипникнинг
I заводда тайёрланганлиги эхтимоллигини топинг.
5.5. Электр лампочкалари партиясининг 10 % и I заводда,
40 % и II заводда, 50 % и III заводда тайёрланган. Яроксиз
лампочка ишлаб чикариш I завод учун 0,02, II завод учун 0,008,
III завод учун 0,006. Таваккалига олинган лампочканинг яроксиз
булиши эхтимоллигини топинг.
5.6. Соатлар учта заводда тайёрланади ва дуконга келтирилади.
I завод махсулотнинг 40 % ини, II завод 45 % ини, III завод
15 % ини тайёрлайди. I завод тайёрлаган соатларнинг 90 % и,
II завод соатларининг 70 % и, III завод соатларининг 90 % и илга-
рилаб кетади. Сотиб олинган соатнинг илгарилаб кетиши эхти-
моллигини топинг.
5.7. Иккита яшикда радиолампалар бор. Биринчи яшикда
12 лампа б^либ, 1 таси яроксиз, иккинчи яшикда 10 та лампочка
булиб, уларнинг 1 таси яроксиз. Биринчи яшикдан битта лампа
олиниб, иккинчи яшикка солинади. Иккинчи яшикдан таваккалига
олинган лампанинг яроксиз булиши эхтимоллигини топинг.
5.8. Биринчи жамоада 6 та спорт устаси ва 4 та биринчи
разрядли спортчи, иккинчи жамоада 6 та биринчи разрядли спортчи
ва 4 та спорт устаси бор. Бу жамоалар уйинчиларидан тузилган
терма жамоада 10 уйинчи бор: 6 уйинчи — биринчи жамоадан,
4 уйинчи — иккинчи жамоадан. Терма жамоадан таваккалига бир
уйинчи танланади. Бу уйинчининг спорт устаси булиши эхтимолли-
гини топинг.
5.9. Хамма буюмлар иккита назоратчи томонидан текширилади.
Буюмнинг текшириш учун биринчи назоратчига тушиши эхтимол-
лиги 0,55 га, иккинчи назоратчига тушиши эхтимоллиги 0,45 га тенг.
Биринчи назоратчининг ностандарт буюмни утказиб юбориш эхти-
моллиги 0,01 га, иккинчи назоратчи учун 0,02 га тенг. Таваккалига
«стандарт» тамгали буюм слинганда у яроксиз булиб чикди. Бу
буюмнинг иккинчи назоратчи томонидан текширилганлиги эхти-
моллигини топинг.
5.10. Йигиш учун деталлар иккита станокда тайёрланиб,
уларнинг биринчиси иккинчисига нисбатан 3 марта куп деталь
ишлаб чикаради. Бунда биринчи станок ишлаб чикарадиган
деталларнинг 0,025, иккинчи станок учун 0,015 кисмини яроксиз
деталлар ташкил этади. Таваккалига йигиш учун олинган битта
деталь ярокли б^либ чикди. Бу деталнинг иккинчи станокда
тайёрланган булиши эхтимоллигини топинг.
5.11. 9 та бир хил ёпик кутининг хар бирида факат ранглари
билан фаркланувчи 10 тадан шар бор. 2 та кутида 5 тадан ок шар
бор, 3 кутида 4 тадан ок шар бор ва 4 кутида 3 тадан ок шар бор.
Тугмачани босиш натижасида кайсидир кутидан ок шар отилиб
чикди. Бу кутида 3 та ок шар булганлиги эхтимоллигини топинг.
5.12. 4 та мерган бир-бирига боглик булмаган холда битта
нишонга биттадан ук уздилар. Бу мерганлар учун нишонга
текказиш эхтимолликлари мос равишда 0,4; 0,6; 0,7; 0,8 га тенг.
Отиш тугагандан сунг нишондан учта укнинг изи топилди. Туртинчи
мерганнинг уки хато кетганлиги эхтимоллигини топинг.
5.13. Биринчи кутида 10 та шар булиб, уларнинг 8 таси ок,
иккинчи кутида 20 та шар булиб, 4 таси ок. Х,ар кайси кутидан
। таваккалига биттадан шар олинди, с^нгра таваккалига бу
шарларнинг бири олинди. Ок шар олинганлиги эхтимоллигини
топинг.
5.14. Талабаларнинг курилиш отрядила 2 та бригада биринчи
боскич талабаларидан, битта бригада эса иккинчи боскич талабала-
ридан тузилган. Биринчи боскичларнинг хар кайси бригадасида
5 йигит ва 3 киз бор, иккинчи боскичларнинг бригадасида 4 йигит ва
4 киз бор. Куръа ташлаш билан отряд бригадаларининг биридан
шахарга бориш учун бир киши танланди.
а) Йигит танланганлиги эхтимоллигини топинг.
б) Йигит танланган. Унинг биринчи боскич талабаси экани эхти-
моллигини топинг.
5.15. Омборда 3 та фабрикадан махсулот келади: биринчи
фабриканинг махсулоти 20 % ни, иккинчи фабриканики 46 % ни,
учинчи фабриканики 34 % ни ташкил этади. Ностандарт буюм
ишлаб чикариш 1-фабрика учун Уртача 3 % ни, 2-фабрика учун 2 %
ни, 3-фабрика учун 1 % ни ташкил этади. Агар таваккалига олинган
буюм ностандарт б^лса, унинг 1-фабрикада тайёрланганлик
эхтимоллигини топинг.
5.16. Имтихонга келган 10 талабанинг учтаси аъло, турттаси —
яхши, иккитаси — уртача ва биттаси—ёмон тайёргарликка эга.
Имтихон билетларида 20 та савол бор. Аъло тайёргарликка эга
талаба барча 20 та саволга, яхши тайёргарликка эга талаба 16 та
саволга, уртачаси 10 та саволга, ёмони 5 та саволга жавоб бериши
мумкин. Таваккалига чакирилган талаба берилган 3 та исталган
саволга жавоб берди. Бу талабанинг: а) аъло тайёргарликка;
б) ёмон тайёргарликка эга эканлиги эхтимоллигини топинг.
5.17. Радиолампа учта заводнинг хар биридан тегишли 0,25; 0,50;
0,25 эхтимолликлар билан кабул килинади. Бир йил ичида
лампочкаларнинг ишдан чикиш эхтимоллиги 1-завод лампалари
учун 0,1 га, иккинчи учун 0,2 га, учинчи учун 0,4 га тенг. Таваккалига
танланган лампанинг бир йил ишлаши эхтимоллигини топинг.
5.18. Бензин куйиш шо.хобчаси олдидан енгил ва юк машиналари
утиб туради. Уларнинг 60 % и юк машиналаридан иборат. Утиб
кетаётган машинанинг бензин куйиш шохобчасига кириб утиш
эхтимоллиги юк машинаси учун 0,1 га, енгил машина учун 0,2 га
тенг. Шохобчага машина кириб келди. Унинг юк машинаси эканлиги
эхтимоллигини топинг.
5.19. Курилишга 1000 дона гишт келтирилди. Й^лда гиштнинг
синиш эхтимоллиги 0,003 га тенг. Курилишга: а) 2 тадан ортик
синган ришт: б) акалли битта синган ришт келтирилганлиги
эхтимоллигини топинг.
5.20. Спартакиадада 1-гурухдан 4 талаба, 2-гурухдан 6 талаба,
3-гурухдан 5 талаба катнашмокда. 1-гурух талабаси институт терма
жамоасига 0,9 эхтимоллик билан кабул килинади, 2-гурух талабаси
учун бу эхтимоллик 0,7 га, 3-гурух талабаси учун 0,8 га тенг.
Таваккалига танланган талаба институт терма жамоасига кабул
килинди. Бу талабанинг кайси гурухда укиши эхтимоллирок?
5.21. Йигилган электр занжирга I тур саклагич куйилиши
мумкин, у кучланиш ортиб кетганда 0,8 эхтимоллик билан ишлаб
кетади ёки II тур саклагич куйилиши мумкинки, у ^ша шароитда
0,9 эхтимоллик билан. ишлаб кетади. I тур саклагич занжирга
0,6 эхтимоллик билан, II тур саклагич эса 0,4 эхтимоллик билан
уланиши мумкин. Занжирга уланган саклагич ишга тушиб кетди.
Кайси бири эхтимоллирок: I тур саклагич куйилганими ёки II тур
саклагич куйилганими?
5.22. Ишчи бир хил деталларга ишлов бериладиган учта
станокка хизмат курсатади. Яроксиз деталь ишлаб чикариш
эхтимоллиги 1-станок учун 0,02 га, 2-станок учун 0,03 га, учинчи
станок учун — 0,04 га тенг. Ишлов берилган деталлар битта яшикка
жойланади. 1-станокнинг унумдорлиги 2-станокка нисбатан уч
марта юкори, 3-станокнинг унумдорлиги эса 2-станокнинг унумдор-
лигига нисбатан икки марта паст. Таваккалига олинган деталнинг
яроксиз булиб чикиши эхтимоллигини топинг.
5.23. Самолётга карата учта ук узилди. 1-отишда мулжалга
тегиш эхтимоллиги 0,5 га, 2-отишда 0,6 га, 3-отишда 0,8 га тенг.
Битта ук текканда самолётнинг уриб туширилиш эхтимоллиги
0,3 га, иккита ук текканда 0,6 га тенг, учта ук текканда эса
самолётнинг уриб туширилиши аникдир. Самолётнинг уриб тушири-
лиши эхтимоллигини топинг.
5.24. Учта станок конвейерга деталлар етказиб беради. 1-станок
учун яроксиз деталь чикариш эхтимоллиги 0,03 га, 2-станок учун
0,02 га, 3-станок учун 0,01 га тенг. 1-станокнинг унумдорлиги
2-станокникига нисбатан уч марта юкори. 3-станокники эса
2-станокникига нисбатан 2 марта юкори. Конвейердан таваккалига
олинган деталнинг яроксиз булиши эхтимоллигини топинг.
5.25. Йигув цехига деталлар 3 та автоматдан келтирилади.
1-автомат 0,3 %, 2-автомат — 0,2 %, 3-автомат 0,4 % яроксиз деталь
ишлаб чикариши маълум. Агар 1-автоматдан 1000 та, 2-автоматдан
2000 та, 3-автоматдан 2500 та деталь келтирилган булса, йигишга
таваккалига олинган деталнинг яроксиз булиши эхтимоллигини
топинг.
5.26. Йигиш цехига деталлар 2 та булимдан келтирилади:
I булимдан — 70 %, II булимдан — 30 %. Бунда I булим де-
талларининг 10 %и, II булимники эса 20 % и яроксиз. Таваккалига
олинган деталнинг яроксиз булиши эхтимоллигини топинг.
5.27. Электр лампочкалари партиясининг 20 % ини 1-завод,
30 % ини 2-завод, 50 % ини 3-завод тайёрлаган. 1-завод учун
яроксиз лампочка ишлаб чикариш эхтимоллиги 0,01 га, 2-завод учун
0,005 га, 3-завод учун 0,006 га тенг. Таваккалига олинган
лампочканинг яроксиз булиши эхтимоллигини топинг.
5.28. Омборга ЮООта деталь келтирилди. Уларнинг 200 таси
1-заводда, 460 таси 2-заводда, 340 таси 3-заводда тайёрланган.
Деталнинг яроксиз булиб чикиши эхтимоллиги 1-завод учун 0,03 га,
2-завод учун 0,02 га, 3-завод учун эса 0,01 га тенг. Таваккалига
олинган деталь яроксиз булиб чикди. Унинг 1-заводда тайёрланган
булиши эхтимоллигини топинг.
5.29. Дуконга 4 та лампа заводида тайёрланган бир хил электр
лампочкалари келтирилди: 1-заводдан 250 та, 2-заводдан 525 та,
3-заводдан 275 та ва 4-заводдан 950 та. Лампочканинг 1500 соатдан
кУп ёниши эхтимоллиги 1-завод учун 0,15 га, 2-завод учун 0,30 га,
3-завод учун 0,20 га ва 4-завод учун 0,70 га тенг. Лампочкалар
токчаларга жойлаштирилаётганда улар аралашиб кетди. Сотиб
олинган лампочканинг ISffi) ..соатдан ортик ёниши эхтимоллигини
топинг.
5.30. Пластмасса^бу^Слар учта станокда тайёрланади. I станок
бутун махсулотнинг 50 % ини, II 30 % ини, III 20 % ни тайёрлайди.
Бунда I станок буюмларининг 0,025 кисми, II нинг 0,02 кисми,
III нинг 0,015 кисми яроксиз. Стандартга жавоб берувчи буюмнинг
II станокда тайёрланганлик эхтимоллигини топинг. •
6.1. Цехда 6"та мотор бор. Хар бир мотор учун унинг мазкур
пайтда ишга туширилганлик эхтимоллиги 0,8 га тенг. Мазкур
пайтда а) 4 та мотор: б) хамма моторлар ишга туширилганлик
эхтимоллиги; в) барча моторлар учириб куйилганлик эхтимоллиги-
ни топинг.
6.2. Бир дона лотерея билетига ютук чикиш эхтимоллиги
у га тенг. 6 та билетга эга булиб: а) иккита билетга; б) учта билетга;
в) хамма билетларга ютук чикиши эхтимоллигини топинг.
6.3. Бананлар ортилган учта кема келиши кутиляпти. Статисти-
канинг курсатишича келтирилаётган бананларнинг йулда айниб
колиши 13 % ни ташкил этади. У холда а) битта кеманинг; б) иккита
кеманинг; в) учала кеманинг айниган махсулот билан келиши
эхтимоллигини топинг. Барча кемалардаги бананларнинг айнима-
ган булиши эхтимоллиги нимага тенг?
6.4. Автобазада 12 та машина бор. Уларнинг хар бирининг йу'лга
чикиш эхтимоллиги 0,8 га тенг. Автобаза меъёрида ишлаши учун
камида 8 та машина .йулда булиши керак булса, автобазанинг
меъёрида ишлаши эхтимоллигини топинг.
6.5. Телевизорнинг кафолат муддати ичида таъмирлашни талаб
этиши эхтимоллиги 0,2 га тенг. Кафолат муддати ичида 6 та
телевизорнинг а) биттадан куп булмагани; б) акалли биттаси
таъмирлашни талаб этиши эхтимоллигини топинг.
6.6. Таваккалига олинган деталнинг ностандарт булиши
эхтимоллиги 0,1 га тенг булсин. Таваккалига олинган бешта
деталнинг иккитадан куп б^лмагани нестандарт булиши эхтимолли-
гини топинг.
6.7. 6 та болали оилада камида иккитаси киз бола булиши
эхтимоллигини топинг. Угил бола тугилиши эхтимоллигини 0,51 деб
олинг.
6.8. Битта лотерея билетига ютук чикиши эхтимоллиги
у га тенг. Олтита билетнинг энг камида иккитасига ютук чикиши
эхтимоллигини топинг.
6.9. Объектни яксон килиш учун камида 3 марта нишонга тегиш
керак. 15 та ук узилди. Хар кайси отишда нишонга тегиш
эхтимоллиги 0,4 га тенг б^лса, объектнинг яксон килиниш
эхтимоллигини топинг.
6.10. Синаш пайтида ишламай к олиш эхтимоллиги хар бир асбоб
учун 0,4 га тенг. Кайси ходисанинг эхтимоллиги катта: 4 та
богликмас синашда 2 та асбобнинг ишламай колишими ёки 6 та
богликмас синашда 3 та асбобнинг ишламай колишими?
6.11. Устахонада 8 та мотор ишлаяпти. Хар бир мотор учун
тушликкача кизиб кетиш эхтимоллиги 0,7 га тенг. Тушгача: а) 4 та
моторнинг кизиб кетиши; б) барча моторларнинг кизиб кетиши;
в) бирорта хам моторнинг кизиб кетмаслик эхтимоллигини топинг.
6.12. Яшикда бир неча минг саклагичлар бор. Уларнинг
ярмисини 1-завод, колганини 2-завод тайёрлаган. Таваккалига 5 та
саклагич олинди. Уларнинг: а) иккитаси; б) камида иккитаси;
в) иккитадан купи 1-заводда тайёрланганликэхтимоллигини топинг.
6.13. Кайси бири эхтимоллирок: тенг кучли ракиб билан уйнаб
турт партиядан учтасини ютишми ёки саккиз партиядан камида
бештасини ютишми (дуранг хисобга олинмайди)?
6.14. Уйин соккасини 10 марта ташланганда учга каррали очко
икки мартадан к^п, лекин беш мартадан кам марта тушиши
эхтимоллигини топинг.
6.15. Яшикдаги деталларнинг 40 % и 1-заводда, колганлари
2-заводда тайёрланган. Яшикдан таваккалига 7 та деталь олинди.
Уларнинг ичида: а) иккитаси; б) 3 тадан куп булмагани; в) 2 тадан
ортиги 1-заводда тайёрланган булиши эхтимоллигини топинг.
6.16. Ишчи 50 та дастгохга хизмат курсатади. 6 соатлик иш
вактида дастгохнинг созлашни талаб этиши эхтимоллиги га
тенг. Кайси бири эхтимоллирок:
а) 17 та дастгох созлашни талаб этади;
б) 16 та дастгох созлашни талаб этади.
6.17. Завод дуконга 5000 дона сифатли буюм жунатди. Хар
буюмнинг йулда шикастланиш эхтимоллиги 0,0002 га тенг. Йулда
5000 буюмнинг: а) роса 3 таси; б) 3 тадан ортиги шикастланиши
эхтимоллигини топинг.
6.18. Кинотеатрга 730 томошабин сигади. а) 3 та томошабин бир
кунда (масалан, 1 мартда) тугилганлиги; б) 3 тадан куп булмаган
томошабин бир кунда тугилганлиги эхтимоллигини топинг.
6.19. Курилишга 1000 дона ришт келтирилди. Ташиш ва
келтириш пайтида риштнинг синиш эхтимоллиги 0,003 га тенг.
Курилишга: а) 2 тадан ортик синган ришт келтирилганлик;
б) камида битта синик ришт келтирилганлик эхтимоллигини топинг.
6.20. Чапакайлар Уртача 1 % ни ташкил этади. 200 талаба
орасида: а) роса 4 та; б) 4 тадан кам булмаган чапакай борлиги
эхтимоллигини топинг.
6.21. Дуконга 1000 шиша маъдан сув келтирилди. Келтириш
пайтида шиша идишнинг синиб колиши эхтимоллиги 0,003 га тенг.
Дуконга: а) роса 2 та; б) 2 тадан кам синган шиша идиш келти-
рилганлиги эхтимоллигини топинг.
6.22. Дарслик 10000 нусхада чоп этилди. Дарслик нусхаси
нотурри бетланганлик эхтимоллиги 0,0001 га тенг. Хамма нусха
ичида роса 5 дона яроксиз дарслик борлиги эхтимоллигини топинг.
6.23. Беш болали оилада учтадан ортик киз бола булмаслиги
эхтимоллигини топинг. (Урил бола турилиши эхтимоллиги 0,51 деб
слинг.)
6.24. Китоб сахифасида хато учраши эхтимоллиги 0,002 га тенг.
500 сахифали китоб текширилмокда. а) 2 сахифада; б) 2 дан ортик
булмаган сахифада хато учраши эхтимоллигини топинг.
6.25. А ходисанинг руй бериш эхтимоллиги 0,4 га тенг. 10 та
синовда А ходиса 3 тадан куп булмаган холда руй бериш
эхтимоллигини топинг.
6.26. Завод д^конта 6000 дона сифатли буюм жунатди. Йулда
шикастланиш эхтимоллиги хар бир буюм учун 0,00025 га тенг.
Жунатилган 600 дона буюм орасида йулда: а) роса 2 таси; б) 2 тадан
купи шикастланган булиши эхтимоллигини топинг.
6.27. Кинотеатрга 1000 та томошабин сигади. а) 2 та томоша-
биннинг бир кунда (масалан 1 мартда) турилганлиги эхтимоллиги;
б) 2 тадан куп булмаган томошабиннинг бир кунда турилганлиги
эхтимоллигини топинг.
6.28. Дарслик 40000 нусхада чоп этилган. Дарслик нусхасида
камчилик булиш эхтимоллиги 0,00015 га тенг. Бутун нусхада роса
6 дона камчилиги бор дарслик булиши эхтимоллигини топинг.
6.29. А ходисанинг руй бериш эхтимоллиги 0,45 га тенг. 40 та
синовда А ходиса 8 тадан куп булмаган холда руй бериши
эхтимоллигини топинг.
6.30. Устахонада 9 та мотор ишлаяпти. Х,ар бир мотор учун
тушгача кизиб кетиш эхтимоллиги 0,6 га тенг. Тушгача: а) 3 та мотор
кизиб кетиши эхтимоллигини; б) хамма моторлар кизиб кетиши
эхтимоллигини; в) бирорта хам мотор кизиб кетмаслиги эхтимолли-
гини топинг.
7.1. Тупдан ук узишда битта ук узиб, нишонга текказиш
эхтимоллиги 0,8 га тенг. 900 та ук узилганда уларнинг камида
690 тасининг, купи билан 740 тасининг нишонга тегиши эхтимолли-
гини топинг.
7.2. Болтлар йунишда уртача 10 % бракка йул куйилиш
кузатилади. 400 та болтдан иборат партияда 299 тадан ортиги
ярокли булиши эхтимоллигини топинг.
7.3. Харакатланаётган нишонга битта Ук узишда текказиш
эхтимоллиги 0,7 га тенг. 20 та ук узилганда 15 тасининг нишонга
тегиши эхтимоллигини топинг.
7.4. Битта Ук узишда нишонга текказиш эхтимоллиги 0,4 га тенг.
320 та ук узилганда 100 тасининг нишонга тегиши эхтимоллигини
топинг.
7.5. Берилган Усимлик уругининг униб чикувчанлиги 90 % ни
ташкил этади. Экилган 800 та уругнинг камида 700 тасининг униб
чикиши эхтимоллигини топинг.
7.6. А ходисанинг 900 та богликмас ходисаларнинг хар бирида
руй бериши эхтимоллиги р 0,8 га тенг. А ходисанинг камида
710 марта, купи билан 740 марта руй бериши эхтимоллигини топинг.
7.7. А ходисанинг 900 та богликмас ходисанинг хар бирида руй
бериши эхтимоллиги р 0,8 га тенг. А ходисанинг: а) 750 марта;
б) 710 марта руй бериши эхтимоллигини топинг.
7.8. Китоб сахифасида хато булиши эхтимоллиги 0,002 га тенг.
500 сахифали китоб текширилади. Камида 3, купи билан 5 сахифада
хато булиши эхтимоллигини топинг.
7.9. 100 та станок бир-бирига боглик булмай ишлайди, бунда
уларнинг хар бирининг 6 соат иш вактида узлуксиз ишлаш
эхтимоллиги 0,8 га тенг. Олти соат иш вактида камида 75 та, купи
билан 85 та станокнинг узлуксиз ишлаши эхтимоллигини топинг.
7.10. 100 та станок бир-бирига боглик булмай ишлайди, бунда
уларнинг хар бирининг 6 соат иш вактида узлуксиз ишлаш
эхтимоллиги 0,8 га тенг. Олти соат иш вактида 85 та станок узлуксиз
ишлаши эхтимоллигини топинг.
7.11. Фабрика 75 % биринчи нав махсулот чикаради. 300 та
махсулот ичидан биринчи навлилари сони камида 219 та ва купи
билан 234 та булиши эхтимоллигини топинг.
7.12. Уйин соккаси 500 марта ташланади. Бунда бир очко камида
70 марта ва купи билан 83 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
7.13. Танга 400 марта ташланади. Гербли томоннинг камида
204 марта ва купи билан 214 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
7.14. Х,ар кайси унта деталнинг 9 таси стандартга жавоб беради.
Олинган 50 та деталлар ичида стандартга жавоб берадиганлари
сони камида 42 та, купи билан 48 та булиши эхтимоллигини топинг.
7.15. Уйин соккаси 500 марта ташланади. Бунда бир очконинг:
а) 83 марта; б) 78 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
7.16. Танга 400 марта ташланади. Бунда гербли томоннинг:
а) 200 марта; б) 160 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
7.17. Мерганнинг битта ук узиб нишонга текказиш эхтимоллиги
0,75 га тенг. 100 марта ук узилганда нишонга: а) камида 70 ва купи
билан 80 марта; б) купи билан 70 марта текказиш эхтимоллигини
топинг.
7.18. Агар ходисанинг хар бир синовда руй бериш эхтимоллиги
0,2 га тенг булса, 400 та синовда унинг 104 марта руй бериши
эхтимоллигини такрибан топинг.
7.19. Агар богликмас 1000 та синовларнинг кар бирида А ходиса
0,5 эхтимоллик билан руй берса, унинг камида 500 марта руй
бериши эхтимоллигини топинг.
7.20. Агар богликмас синовларнинг умумий сони 600 та булиб,
ходисанинг алохида синовларда руй бериши эхтимоллиги 0,6 га тенг
булса, ходисанинг камида 342 ва купи билан 378 марта руй бериши
эхтимоллигини топинг.
7.21. Тупдан хар бир алохида ук узишда нишонга текказиш
эхтимоллиги 0,9 га тенг. 20 та ук узилганда нишонга тегишлар сони
16 дан кам, 19 дан ортик булмаслиги эхтимоллигини топинг.
7.22. Карбонит гулачаларни автоматик прессланганда улар
2
умумий сонининг - кисми тамгасиз булади. Таваккалига олинган
о
450 та гулача орасида тамгасизлари сони камида 280 та, купи билан
320 та булиши эхтимоллигини топинг.
7.23. Тупдан ук узилганда нишон 0,8 эхтимоллик билан яксон
булади. 2000 та ук узилди. Бунда: а) камида 1200 марта, лекин
1300 дан ортик булмаган марта нишонга тегиш; б) камида
1200 марта нишонга тегиш эхтимоллигини топинг.
7.24. Агар уругнинг униб чикиш эхтимоллиги 0,75 булса, экилган
500 уругнинг 130 таси униб чикмаслик эхтимоллигини топинг.
7.25. Уйин соккаси 80 марта ташланади. 3 раками 20 марта
тушиши эхтимоллигини аникланг. (Лапласнинг локал теоремасини
кулланг.)
7.26. Х,ар унта деталнинг 5 таси стандартга жавоб беради.
Олинган 50 та деталнинг стандартга жавоб берадиганлари сони
камида 43 та, купи билан 49 та булиши эхтимоллигини топинг.
7.27. Карбонит гулачаларни автоматик прессланганда — кис-
О
ми тамгасиз булади. Таваккалига олинган 450 та гулача ичида
тамгасизлари сони камида 300 та ва купи билан 310 та булиши
эхтимоллигини топинг.
7.28. Тупдан ук узганда нишонга текказиш эхтимоллиги 0,9 га
тенг. 900 та Ук узилганда нишонга тегишлар сони камида 700 та ва
купи билан 720 та булиши эхтимоллигини топинг.
7.29. 1000 та богликсиз синовларнинг хар бирида А ходиса
0,1 эхтимоллик билан руй беради. А ходисанинг камида 100 та, купи
билан 125 марта руй бериши эхтимоллигини топинг.
7.30. Уйин соккаси 300 марта ташланади. Бир очко камида
60 марта ва ортиги билан 70 марта тушиши эхтимоллигини топинг.
8. Куйида X дискрет тасодифий микдор таксимот конуни билан
берилган.
а) Таксимот функцияси F(x) ни топинг ва унинг графигини
чизинг.
б) X дискрет тасодифий микдорнинг сонли характеристикалари
М(Х), D(X), а(Х) ларни хисобланг.
8.1. X 52 56 57 60
p 0.1 0,3 0,4 0,2
8.2. X 16 24 26 28
p 0,4 0,3 0,1 0,2
8.3. X 14 18 23 29
p 0,2 0,1 0,3 0,4
8.4. X 30 32 35 40
p 9.1 0.5 0,2 0,2
8.5. X 12 14 16 20
P 0,1 0,5 0,3 0,1
8.6, X 12 14 18 20
P 0,3 0,1 0,4 0,2
8.7. X 35 39. 42 46
P 0,1 0,3 0,2 0,4
8.8. X 23 25 28 29
p 0,3 0,2 0,4 0,1
8.9, X 17 27 29 28
p 0,2 0,4 0,3 0,1
8.10. X 24 26 38 30
p 0,2 0,2 0,5 0,1
8.11. X 25 27 30 32
p 0,2 0,4 0,3 0,1
8.12. X 2 16 19 21
p 0,1 0,5 0,3 0,1
8.13. X 45 47 50 52
p 0,2 0,4 0,3 0,1
I
8.14. X 10 12 14 16
р 0,2 0,3 0,1 0,4
8.15, X 18 22 23 26
р 0,2 0,3 0,4 0,1
8.16. X 78 80 84 85
Р 0,2 0,3 0,1 0,4
8.17. X 21 25 26 31
Р 0,1 0,4 0,2 0,3
8.18. X 25 28 30 33
р 0,1 0,2 0,4 0,3
8,19. X 56 58 60 64
Р 0,2 0,3 0,4 0,1
8.20, X 60 64 67 70
р 0,1 0,3 0,4 0,2
8.21. X 31 34 37 40
р 0,3 0,5 0,1 0,1
8.22. X 20 22 30 31
р 0,1 0,2 0,4 0,3
8.23. X 17 20 23 27
р 0,1 0,4 0,3 0,2
8.24. X 28 32 34 36
р 0,1 0,2 0,2 0,5
8.25. X 37 41 43 45
р 0,2 0,1 0,5 0,2
8.26. X 30 35 38 40
р 0,3 0,5 0,1 0,1
8.27. X 15 20 28 24
р 0,1 0,4 0,3 0,2
8.28. X 20 25 30 31
р 0,1 0,2 0,4 0,3
8.29. X 10 25 20 26
р 0,4 0,3 0,1 0,2
8.30. X 41 40 52 55
р 0,2 0,3 0,1 0,4
9.Х тасодифий микдор F(x) таксимот функцияси билан берилган
булса, куйидагиларни топинг:
а) зичлик функция f(x) ни;
б) М(Х), D(X), а(Х) ва Р(0,3<Х<0,7)ларни.
0, arap x^ 0,
9.1 F(x) = x2, arap 0<x< 1, 1 arap x> 1. 0, arap x< 0,
9.2. F(x) = x3, агар 0<x< 1,- .1, arap x> 1. 0, arap x<0,
9.3. F(x) = 3x2+2x, arap 0<xsSZ -k □ 1 1 1, arap x>—. . 0 0, arap x< 1,
9.4. F(x) = y(x2—x),arap !<x< 2, 1, arap x>2. 0, arap xC 0,
9.5. F(x) = 0,2x, arap 0<x< 5, .1, arap x>5. 0, arap x<. —30,
9.6. F(x) = arap -30<x< 30, 60 .1, arap x>30.
.. с
9.7. F(x)
9.8. F(x)
9.9. F(x)
9.10. F(x)
'0, arap x< 0,
v(2~v)arap0<x<a’
.1, arap x>a.
0, arap
1 —sinx, агар y<x<n,
.1, агар x>n
'0, arap x< — 1,
, -|-(x+ О, arap — 1 <x<
1, arap x>±
o
'0, arap x< 0,
1 —cosx, arap 0<x^y,
1, arap x>-|.
_1_
3’
9.11. F(x)
'0, arap x< 0,
y;arap 0<x< 7,
.1, arap x>7.
9.12. F(x)
'0, arap x< 0,
x2
—, arap 0<x< 6,
□0
1, arap x > 6.
9.13. F(x) =
9.14. F(x) =
'0, arap x^ 0,
X2
—> arap 0<x< 5,
1, arap x>5.
'0, arap x< 0,
X2
—, arap 0<x< 4,
.1, arap x>4.
'0, arap x^ 0,
9.15. F(x) = 1—cosx „ _ - , arap 0<х<л,
.1, arap х>л.
0, arap x< —5-,
9.16. F(x) = l+lsinSx, arap —5-<x<-i
1, arap x>y.
0, arap x^ — 1,
9.17. F(x) = 4+4’ araP —1 <*< 2, О о
.1, агар x>2.
0, агар x< —
9.18. F(x) = 14-sinx, arap —^<x< 0,
.1, arap x>0.
0, arap x< 1,
9.19. F(x) = x— 1, arap 1 <x^ 2,
1, arap x>2.
0, arap x^-y-,
9.20. F(x} = cos2x, arap -у-<х^л,
1 агар x> л.
0, arap x< —
9.21. F(x) = {
cosx, arap ——<x^ 0,
1, arap x>0.
0, arap x=C 0,
9.22. F(x) = x2 _ —, arap 0<x< 2,
1, arap x>2.
0, arap x< 0,
9.23. F(x) = x2 —, arap 0<x< 3,
1, агар х>3.
О, агар xs^ 2,
9.24. F(x) =
Yx~ Ь агаР 2<x^ 4,
.1, агар x>4.
О, агар х< О,
2sinx, агар 0<х^
□
1, агар х>у.
0, агар х§С 0,
9.26. F(x) = —= sin3x, агар 0<xs^-£-, Д/м У 1, агар 0, агар х^-у-,
9.27. Л(х) = cos2x, агар -у-<х^л, .1, агар х>л. '0, агар хС — 1,
9.28. Л(х) = -у(х+ 1), агар —1<х$=_ . 1, агар х> 1. 0, агар х^ 0,
9.29. F(x) = 3 y/Х, агар 0<х^ 1, . 1, агар х> 1. 0, агар х< 3,
9.30. Л(х) = In^-, агар 3<х^ Зе, О .1, агар х>3е.
15- б о б
АСОСИЙ СОНЛИ УСУЛЛАР
1-§. Чизикли тенгламалар системасини ечишнинг
Жордано — Гаусс усули ва унинг татбики
15.1.1. Ушбу п та номаълумли п та чизикли тенгламалар
системаси берилган булсин:
а11х14-а12Х2Ч_й1Л+й14х4Н---- + й1Л=^ь
^21Х1~1~а22Х2~Ьа23Х3~Ьа24Х4~Ь ~Ьа2/гХп= ^2>
^3lxl~ha32x2~ha33x3~ha34x4~t~ ~ЬаЗкХп~^3<
а41%14-а42х2+ £*43X34-o-44x4~h -ha4nxn — l)4<
. anlxt + ап2х2 + ап^3+ап4х4 +... + аппхп= Ьп.
Жордано — Гауснинг модификацияланган усулига кура бу
системани ечиш учун бирор aik (1= 1, п, k= 1, п) коэффициентам
масалан, ап^О ни танлаймиз. У х,ал к,илувчи элемент деб аталади.
Системанинг биринчи тенгламасини а\\ га булиб, косил булган
тенгламани кетма-кет ап (i = 1, п) ларга купайтириб, системанинг
мос i-тенгламасини ундан айирсак, биринчи тенгламадан ташкари
барча тенгламаларда х\ номаълум йукотилади ва натижада
берилган системага тенг кучли куйидаги системага эга буламиз:
Цц-Xj 4” Д12^2 4“ ^13^3 4“ ° 14-^4 "Ь •••4-£*l/r,l-n==^l ’
а 22-Х24- а 23Х3 4“ а 24Х4 4" • 4“ а 2пХп = 2 ' ,
а<312)х24-а<зз,х34-а(3‘4)х44-...4-а<зяхп=й(31) ,
О, 42Х2 4- а 43^3 4- а 44Х4 4- • • 4- G 4чХп = 4 ' >
а' >2 4- а' 4- а х4 4-... 4- а 1Я‘>Я = Ь(‘ >.
Агар гг(2’^0 булса, у 'Колда юкоридаги жараённи такрорлаб,
системанинг иккинчи тенгламасидан ташкари барча тенгламалари-
да х2 номаълумни йукотамиз (Жордано усулининг Гаусснинг маълум
усулидан фарки хам шундан иборат) ва куйидаги системага эга
буламиз:
a‘,‘,’х, + а<^х2 4- а (^х3 + а (1'4,х4 +... -j- а(^х„=b ,
а {^х2 + а Щх3+а(2‘4,х4 +... + а (2‘„)х„ = 612‘1,
а{ззхз+а^х4+... +а^хп=Ьф,
а (^х3 + а (^х4 +... + а(42/х, = b (2>,
а(2^3+а(2’х4+... + а™х ==Ь™ .
Бу жараённи а33=/=0 учун шунга ухшаш давом эттириб, учинчи
тенгламадан ташкари барча тенгламаларда хз номаълумни
йукотиб, ушбу системани хосил киламиз:
а ^х, + а (2>х4+... + а \2>хп=b <?>,
а (2>х2+ а<2’х4 +... + а<2>хл = b <2),
а(зз*з+ а(зК+-+а(^хп=.6<2>,
а(44)х4 + ...+а<43»х12=д(43),
а(^4+... + а<3Х=д(л3)
Ва нихоят бу жараённи давом этдира бориб, куйидаги системага
эга буламиз:
’ а1("-|,х1 = 61('1-1),
а<2-1<х2=й^-|),
п (п~ 1) у _h(n~l)
“33 Х3 — О3
/7*л-0х
^ПП Лп---- ип
Агар ‘> = 0 булса, тенгламаларнинг уринларини алмашти-
риш оркали 1 ’=^0 шарт бажариладиган холга келтириш мум-
кин.
Бу системадан xit х2, , хп номаълумларнинг кийматлари
топилади, ^тенгламалар системасини ечишнинг номаълумларни
кетма-кет йукотишга асосланган мазкур усули Жордано — Гансе
усули деб аталади.
Бу усулни тенгламалар системасига эмас, балки шу системанинг
элементар алмаштиришлар ёрдамида диагонал куринишга келтири-
лувчи кенгайтирилган матрицасига куллаш кулайрокдир.
Мулохазаларнинг умумийлигига зарар етказмаган холда факат
турт номаълумли туртта тенгламалар системасини караймиз.
У холда бундай системанинг кенгайтирилган матрицаси куйидаги
куринишда булади:
а11а12а13а1461’
а21 ^22 ^23 ^24 ^2
«31 а32 а33 а34 Ьз
и41 а42 а4з b 4
Хал килувчи элемент сифатида бош диагоналда турган элемент
олинади (ан, i = T~4). Хал килувчи элементда кесишувчи сатр ва
устун мос равишда уал килувчи сатр ва %ал ^илувчи уступ деб
аталади.
Кенгайтирилган А матрицадан унга эквивалент А(1) матрицага
утиш учун
- А матрицада хал килувчи элемент танланади (масалан,
ац^О);
— Хал килувчи сатр эквивалент матрицага узгаришсиз кучириб
ёзилиб, хал килувчи устуннинг хал килувчи элементдан бошка
барча элементлари нолларга келтирилади;
— эквивалент матрицанинг колган элементлари «тугри
туртбурчак» коидаси деб аталувчи коида буйича кайта аникланади.
Бу коиданинг мохияти куйидагича: А матрицанинг ушбу туртта
элементики караймиз:
бу ерда ац< — Хал килувчи элемент, эквивалент матрицага ёзилади-
ган а(/т га мос келувчи элемент, aim ва а^ хал килувчи сатр ва хал
килувчи устундаги элементлар.
Алмаштирилаётган а^ элемент (эквивалент матрица элементи)
ушбу формула буйича хисобланади:
(Н aikalm~alkaim
а 1m— а
alk
1- м И с ол. Ушбу
%4-4у + 2г= — 1,
2х— Зу+ z= —7,
. х — Ау = —5
системани Жордано — Гаусс усули билан ечинг.
Ечиш. Кенгайтирилган матрицанинг
ментар алмаштиришлар бажарамиз:
сатрлари устида эле-
ю
11
з
и
1
н
31
11
5
И
2
11 .
fl О
О 0 Qj
31
И
5
11
(.0 о
-1
1
— 2
О о
П О
~ 0 1
о
о
1
Бундан,
х= — 1, у = 1, z— — 2.
2- м и с о л. Берилган
1 1 -3 2 6 '
1-2 0-1 -6
О 1 1 3 16
2-3206
матрицага Жордано— Гаусс усулини к^лланг.
Еч иш. ац = 1 ни хал килувчи элемент деб олиб, биринчи сатр
элементларини узгаришсиз кучириб ёзамиз ва биринчи устуннинг
хал килувчи ац = 1 элементдан бошка барча элементларини эса
ноллар билан алмаштирамиз. Туртбурчак коидасини куллаб,
'1 1-326
0-3 3-3 -12
О 1 1 3 16
0-5 8-4 -6
ни хосил киламиз.
Иккинчи сатр элементларини (—3) га булиб, ушбу матрицага
эга буламиз:
’ 1 1-3 2 6 '
0 □ -1 1 4
О 1 1 3 16 '
0—5 8—4—6
Энди <222=1 ни хал килувчи элемент деб оламиз:
10—212
01-114
~ 0 0 2 2 12 '
.0 0 3 1 14 .
Учинчи сатр элементларини 2 га буламиз:
10—212
01-114
~ 0 0 □ 1 6
.0 0 3 1 14
азз = 1 ни хал килувчи элемент деб оламиз:
' 1 О О 3 14 '
. 0 10 2 10
Д ~
0 0 1 1 6
ООО —2 —4
Туртинчи сатр элементларини (—2) га буламиз:
1 О О 3 14
О 1 0 2 10
~ 0 0 1 1 6
.0 О 0 □ 2
<244=1 ни хал килувчи элемент деб оламиз:
'10 0 0 8
л 0 10 0 6
0 0 10 4
0 0 0 12
15.1.2. Жордано—Гаусс усулидан чизикли тенгламалар систе-
масини ечишдан ташкари детерминантларни хисоблашда, матрица
рангини аниклашда, тескари матрицани топишда дам фойдаланила-
ди.
3-мисол. Детерминантни Жордано — Гаусс усули билан
хисобланг:
3 5 7 2
л- 1 234
~ -2 -3 3 2 ‘
1 3 5 4
Ечиш.
2 10 4
2 3 4
-3 3 2
3 5 4
12 10 4
0 0—7 0
01 23 10 '
0 1-5 0
1 0 20 4
0 1-5 О
О 0 28 10
0 0—7 О
12 10 4
О Ш -5 О
01 23 10
0 0—7 О
10 20 4
0 1-5 О
0 0—7 О
00 28 10
1
о
о
о
1
= -7-10
о
1
о
о
о
1
о
о
20
-5
ш
28
О
О
4
О
О
10
= -7
= -7-10
О
О
О
1
о
о
о
1
о
о
о
о
о
о
1
о
о
о
о
о
о
о
о
о
10
= -70.
= —7
О
О
О
4
О
О
О
о
о
4
4- м и с о л. Ушбу
'7-1 3 5
1 3 5 7
4 14 6
3 -2 -1 -1
матрица рангини Жордано—Гаусс усулини куллаб аникланг.
Ечиш. Элементар
узгармаслиги маълум.
куллаймиз:
□ 3 5
„ 7-1 3
А~
4 1 4
алмаштиришларда матрицанинг ранги
А матрицага Жордано — Гаусс усулини
13 5 7
О -22 -32 -44
О -Ц -16 -22
3 -2 -1 -1 0 -11 -16 -22
1 3
О 11
О 11
О 11
5 7
16 22
16 22
16 22
1
О
О
О
3
11
о
о
5 7
16 22
О О
О О
Хосил булган матрицанинг кар кандай иккинчи тартибли
детерминанти нолдан фаркли, демак, г (А) =2.
5- м и с о л. Берилган
3
4
2
2 1
5 2
1 4
матрицага тескари А 1 матрицани Жордано—Гаусс усули билам
топинг.
Ечиш. Д = 24#=0 болтани учун А хосмас матрица. А матрица-
нинг Унг томонига бирлик матрицани ёзиб тугри бурчакли матрица
хосил киламиз ва унга Жордано — Гаусс усулини куллаймиз.
(А|Е) =
2 1
110 0
2 0 10
4 0 0 1
1
3 3
1 2.
3 3
1 10
3 3
4 О О
□
-4 1 °
-4 °
о о
1 о
~ 0 1
7
24
5
12
1
о о 4
. о -4
0 1 _2
I
24
1
12
7
24
3
Демак,
3 7 1
4 24 24
л-'= 1 5 1
2 12 12
1 1 7
4 24 24
1- дарсхона топшириги
Куйидаги масалаларни Жордано — Гаусс усулидан фойдаланиб
ечинг:
1. Детерминантларни хисобланг:
а) 12 3 0 0 12 3 3 0 12 2 3 0 1 ; б) 1 2 4 3 -2 1 3 — 4 3 -4 2 — 1 4 3 -1 — 2
Ж: а) 96; б) — 900.
2. Матрица рангини топинг:
’3 5 7 ' 1 2 3 6
а) 1 2 3 ; б) 2 3 1 6
.1 з 5. .3 1 2 6.
Ж: а)г=2; б)г = 3.
3. Берилган матрица учун А 1 тескари матрицани топинг:
а) А =
2 5 7
6 3 4
5 -2 -3
ГЗ
б) А= 2
— 4 5 '
-3 1
-5 -1 .
3
Ж:
1 -1 1 ' ' -8 29 - 11
а) -38 41 -34 ; б) -5 18 — 7
. 27 -29 24 . 1 -3 1
4. Тенгламалар системасини ечинг:
а)
5x4-8z/4- — 2,
Зх —2z/ + 6z= —7,
.2x4- У— 2 = 6;
б)
2Х|4-Зх24- 1 1х34-5х4=2,
*i+ x2~i~ 5х34-2х4=1,
2Х|4- х24- Зх34-2х4=—3,
Х|4" x2~t~ Зх3-|-4х4= 3.
Ж: а) х= — 3, у—2, z=l;
б) Х\ = —2, Х2 = О, ХЗ=1, Х4 =— 1.
1- му ставил иш
Куйидаги масалаларни Жордано— Гаусс усули билан ечинг:
1. Детерминантни хисобланг:
8 7 2 10
-8 2 7 10 . Ж: — 1800.
4 4 4 5
0 4 -3 2
2. Матрица рангини топинг:
1 3 5 -1
2 — 1 -г 4
А — . Ж:г = 3.
5 -1 7
.7 7 9 1
3. Берилган А матрицага тескари А~ 1 матрицани топинг:
'3 3 — 4 -3 ’ -7 5 12 —19
0 6 1 1 3 — 2 —5 8
А = . Ж:
5 4 2 1 41 -30 -69 111
.2 3 3 2 .-59 43 99 -159.
4. Чизикли тенгламалар системасини ечинг:
= 8,
Х2“|“ЗХз-|_ 15,
4х, + х34- х4= 11,
Х|-|- Х2 -|-5х4 = 23.
Ж: xi = 1, хг = 2, хз=3, Х4 = 4.
3- лаборатория машгулоти
Чизикрш тенгламалар системасини ечиш
Жордано — Гаусс усулини к^ллаб чизикли тенгламалар систе-
масини учта усул билан ечинг:
а) Крамер коидаси буйича;
б) тескари матрица ёрдамида;
в) номаълумларни й^котиш усули билан.
' Зх-|-2у+ г = 5
1. 2х-|-Зу4- 2=1,
.2х-|- г/4-Зг=11
'4х —Зг/4-2г = 9,
2x4-5г/ — Зг = 4,
5х4-6г/ —2г= 18.
3.
2х — у- z = 4,
Зх-}-4г/ —2г = 11,
Зх 2г/ -|- 4z = 11.
'х-1- у — г=1,
8x4-Зг/ — 6г = 2,
4x4- У~ Зг = 3.
5.
'7х — 5у =31,
4x4- llz= — 43,
2x4-3z/4- 4г= — 20.
6.
' Зх 4- 4г/ 4- 2г = 8,
2х— у—Зг= — 1,
. ^ + Зг/4- г= —7.
7.
х — 2// 4" Зг = 6,
2х4-Зг/-4г = 20,
Зх—2г/ —5z = 6.
8.
х —4г/ —2г=—7,
3x4- у 4- г = 5,
.— Зх 4” 5г/ 4" 6г = 7.
(Зх 4- 4 г/ 4- 2г = 8,
9. ^2х —4г/—Зг= — 1,
I. х4-5г/4~ 2 = 0.
10.
3x4- у 4- г = 21,
х —4г/ —2г= — 16,
— Зх4-5г/4-6г = 41.
>’ x-j- у — г= — 2,
0х-3г/ + г = 1,
|.2х-’- у — г=1.
х-|-г/4-Зг= — 1,
12. 2х — г/-}-2г= — 4,
4х4-г/4-4г= —2.
(х4- 2г/ 4-4г = 31,
13. ]бх4- г/4-2г = 20,
(Зх— г/4-г = 0.
14.
'5х-|-8г/— г = 7,
2х —Зг/4-2г = 9,
Л4-2г/4-Зг= 1.
15.
'2х — г/4-5г = 4,
5x4-2г/4- 13г = 2,
Зх— г/4-5г = 0.
16.
'7х— 5г/ =34,
4x4-Иг/ =—36,
.2x4- Зг/4-4г=-20.
17.
^x+2y+ z = 4,
Зх — 5у 4- 3z = 1,
,2х4-7у — z = 8.
18.
x —2z/4-3z = 6,
2x4-3*/ —4z = 20,
.3x — 2y — 5z = 6.
19.
х4-2у = 6,
Зх— у — z=12,
20.
21.
23.
25.
27.
29.
*/ + 2z=-l.
х — 3z/4-z= — 9,
4х4-2у — z= —8,
. х +2z= —3.
'4x — 3f/4-2z = 8,
2x4-5*/ —>3z = 11,
.5x4-6*/ —2z—13.
x4-3*/ — z = 8,
2x4- 2=1,
— x+2y + z= 12.
'4x4- У—3z = 9,
x4- У— z= — 2,
8х-}-3*/ —6z = 12.
'2x4-3y4“ 2 = 4,
2x4- */4-3z = 0,
<3x 4- 2y 4- z = 1.
22.
26.
28.
30.
x-|- 2z = 6,
x — 3*/ 4“ z = 5,
.4x4- 2y — z= — 14.
' x4- y— z=l,
8x4-3z/ — 6z=2,
— 4x— */-f-3z= — 3.
2x4- 2=1,
x4-3z/ —z= —4,
. —x4-2i/-|-z = 4.
'2x4* */4-3z = 7,
2x-|-3f/4- z=l,
3x 4- 2y 4- z = 6.
'2x- */4-3z=—4,
x4-3y— z=ll,
. x~2y + 2z= -7.
'7x4-4*/ — z=13,
3x4-2*/4-3z = 3,
,2x—3*/-f- 2= — 10.
2-§. Тенгламалар ва тенгламалар системаларини
ечиа:н‘:нг итерация усуллари
15.2.1. /(х)=0 тенглама хакикий илдизларининг такрибий
кийматларини топиш учун аввал илдиз яккаланади, яъни берилган
тенгламанинг битта илдизидан бсшка илдизлари й^к булган оралик
аникланади.
[д;Ь] кесма узлуксиз /(х) функция илдизининг яккалаш оралиги
булиши учун куйидаги шартлар бажарилиши керак:
а) /(а) •/(&) <0;
б) [а;6] да ;'(х) ишорасини саклаши зарур.
Баъзан/(х) =0 тенгламани tp(x) =ф(х) куринишда ёзиб, у = ср(х)
ва у = гр(х) функциялар графикларини битта координаталар
текислигида чизиб илдизнинг яккалаш ораликларини топиш
мумкин.
1-ми сол. 2 —lgx — x = 0 тенглама илдизининг яккалаш ора-
лигини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламани lgx=2 — х куринишда ёзиб,
t/ = lgx ва у=2 — х функциялар графикларини бнтта чизмада
тасвирлаймиз. Бу графикларнинг кесишнш нуктаси М нинг
£абсциссаси [ 1 ;2] ораликда ётади (81-шакл). Бу ораликда берилган
тенгламанинг чап томонидаги
। у ифода тегишли шартларни
каноатлантирганлиги сабабли,
X и , , У илдизни яккалаш оралиги
г булади.
X. / 15.2.2. Тенгламаларни сон-
Хг""— ли ечишнинг энг мухим усулла-
-----Q—/Тк ридан бири итерация усули ёки
/ X.-----------------------л кетма-кет якинлашиши усули
/ X. булиб, унинг мохияти куйида-
/ X. гидан иборат.
I Ушбу f(x)=0 тенглама бе-
рилган булсин, бу ерда f(x) —
узлуксиз функция. Бу тенгла-
81'шакл мани унга тенг кучли х=<р(х)
тенглама билан алмаштира-
миз.
Агар бирор [а, Ь] ораликнинг хамма нукталарида | <р'(х) | г< 1
(г — узгармас сон) булиб, дастлабки функция бу ораликда ягона
илдизга эга булса, у холда бирор усул билан илдизнинг бошлангич
хо такрибий кийматини танлаймиз. Шундан сунг ушбу кетма-
кетликни тузиш мумкин:
XI = ф(хо), Х2 = ф(Х1), ..., хя = ср(хя_1), ...
Бу хетма-кетликнинг лимити f(x) =0 тенгламанинг [а, 6] оралик-
даги ягона илдизи булади, яънн limxn=^.
П-*-со
Е, илдизнинг итерация усули билан топилган хп такрибий киймати
—хя| тенгсизлик билан бахоланади.
Бу ерда £ каралаётган тенгламанинг илдизи, хя_| ва хя иккита
якинлашиш, г эса |ср'(х) | нинг [а, Ь] даги энг кнчик киймати.
Илдизнинг кийматини е дан катта булмаган хатолик билан
топиш учун п нинг кийматини
|xn-xn_J
тенгсизлик бажариладиган килиб аниклаш етарлидир.
/(х)=0 тенгламани х = <р(х) куринишдаги тенгламага келтириш
учун уни
х=х —Х/(х), (Х=#=0)
эквивалент тенглама билан алмаштирамиз. Унда
ф(х) =х —Zf(x).
А параметрни cp(x) функция итерация жараёнининг якинлашиши
учун етарли булган шартнн каноатлантирадиган килиб топиш
мумкин:
|ф'(х) | = 11 —Af'(x) | < 1.
Агар
l-Af'(x)=O
деб олинса, хо якинлашиш атрофида юкоридаги тенгсизлик
Уз-узидан бажарилади. У холда
Х==+77Г)’ №)*=0).
2-ми сол. 2 —Igx —х = 0 тенгламани хо—1,5 илдизнинг бош-
лангич якинлашишидан (1-мисолдан маълум) х=<р(х) куринишга
келтиринг.
Ечиш. Бунда /(х) = 2 —Igx — х, /'(х) = —1—х|^10- Эквивалент
тенгламани ёзамиз:
х=х — А (2 — Igx — х).
А сонни
1 - АГ (1,5) =0
ёки
1+х(н
2
31п10
тенгламадан топамиз. А= — 1 сони бу тенгламанинг илдизига якин.
Шундай килиб,
х— —lgx + 2,
бунда <р(х) = 2 —Igx.
3-мисол. 2 — Igx — х = 0 тенглама илдизини итерация усули
билан 0,001 гача аникликда топинг.
Е ч и ш . 2- мисолда бошлангич тенгламани х — 2 — Igx куринишда
олдик. Бунда <р(х)=2 — Igx, <р'(*) = —яъни [1, 2] ораликда
|<р'(х) | < 1, шунинг учун итерация усулидан фойдаланиш мумкин.
1-мисолдаги [1; 2] ораликнинг чап охирини нолинчи якинлашиш
учун кабул киламиз, яъни хо=1. Энди биринчи, иккннчи ва ундан
кейинги якинлашишларни топиб натижаларни ушбу жадвалга
ёзамиз.
1 *i <p(xi)=2-lRxi
0 1 0 2
1 2 0,3010 1,6990
2 1,6990 0,2302 1,7698
3 1,7698 0,2480 1,7520
4 1,7520 0,2435 1,7565
5 1,7565 0,2445 1,7555
6 1,7555 0,2444 1,7556
7 1,7556 — —
Шундай килиб, е = 0,001 гача аникликда изланаётган илдиз
|= 1,755, чунки
|х7 — =0,001.
( Нх,у) =0,
15.2.3. I ( ) 0 тенгламалар системасининг (икки номаъ-
лумли иккита тенгламалар системаси билан чекланамиз) берилган
аникликдаги хакикий илдизларини хисоблаш талаб килинсин.
Система ечимларидан бири (g, rj) нинг бошлангич якинлашиши
х=хо, у=уо берилган булсин дейлик. Улар, масалан, битта чизмада
f(x,y)1=0 ва (р(х,у)=О эгри чизиклар графикларини чизиш й^ли
билан график усулда топилган булиши мумкин.
Берилган тенгламалар системасини унга эквивалент булган
x=F(x,y),
у=ф(х,у)
куринишга келтирамиз ва бошлангич якинлашиши (хо, уо) нинг ((£,
т)) аник ечимини хам уз ичига олувчи) бирор D атрофида
I F'x (х,у) I + I ф; (х,у) к г I < 1,
I F'y(x,y) | + | Ф'у (х,у) К г2 < 1
деб фараз килиб, итерация усули билан ечамиз.
Системанинг ечимига якинлашувчи (х«, уп) (п=1,2, 3,...) кетма-
кетлик куйидагича тузилади:
Xi = F(xo, уо), у1—Ф(хо, уо);
X2 = F(xi, yi), у2 = Ф(Х1, у\);
X3 = F(X2, У2), УЗ — Ф(Х2, У2);
Агар (хп, Уп) ларнинг хаммаси D га тегишли булса, у холда
Птхп=£ва limt/„=r).
Берилган системами x=F(x,y), у = Ф(х,у) куринишга келтириш
учун аб —Ру=#=О деб, уига эквивалент булган
(af(x,y) + №(х,у) =0,
I yf(x,y) + б<р(х,у) =0
системами караймиз.
а, р, у, б параметрларни шундай танлаймизки, бу функция-
ларнинг хусусий хосилалари дастлабки якинлашишда тенг булсин
ёки нолга якин булсин. Бунинг учун а, р, у, б параметрларни
куйидаги тенгламалар системасининг такрибий ечимлари сифатида
топамиз:
1 +af'x(x0,y0) + ^Ахо,Уо) =0,
^(Хо.Уо) +P^(x0,t/0) =0,
yf'dx0,y0) +^'х(хо,уо)=О,
. 1 +yf'y(x0,y0) +6<f' (XftZ/o) =0.
4-мисол. хо = О,8; t/o = O,55 эканлигини хисобга олиб, ушбу
(x2+t/2-l=0,
|х3- у—0.
тенгламалар системасини
(x=F(x,y),
I у=Ф(х,у)
куринишга келтиринг.
Ечиш. Бунда f(x,y) — х2-\-у2 — 1,
(р(х,у) = х3 — у; f'x(xo,yo) = 1,6; fj(xoyo) = 1,1;
Ц>'х(хо,уо) = 1,92; (f'y(xo,yo) = — 1.
Берилган системага эквивалент
(а (х2+у2— 1) + Р(х3—у) =0,
I У (х2+у2— 1) +б(х3—у) =0
системами
(х=х + а(х2+г/2—1) +Р(х3 — у),
I у=у + у(х2+у2— 1) +6(Х3—у)
куринишда ёзиб оламиз.
a, p, у, 6 коэффициентларнинг сон кийматлари учун
' 1 + 1,6a + 1,920 = 0,
1,1 a-0 = 0,
1,6? ±1,926 = 0,
. 1±1,1у —6 = 0.
системанинг илдизларини оламиз, яъни
a «—0,3; 0« — 0,3; у« — 0,5; 6«0,4.
Шундай килиб, тенгламалар системаси итерация усулини
куллаш учун кулай булган ушбу куринишга келтирилади:
х—х — 0,3(х2±у2— 1) — 0,3(х3—у) t=F(x,y),
У=У~ 0,5(х2±г/2— 1) ±0,4(х3—у) = Ф(х,у).
2- дарсхона roniuupuFu
1. х3 — 9х2± 18х — 1 =0 тенгламанинг илдизларини яккалаш
ораликларини график усул билан аникланг:
Ж: (0,1); (2,3); (6,7).
2. Тенгламаларни итерация усули билан, 0,01 гача аникликда
ечинг:
а) х3—12х —5 = 0; б) 4x=cosx.
Ж: а) 0,42; б) 0,24.
(x2±w2= — 1,
3. Ушбу | 3 Q ’ тенгламалар системаси илдизининг даст-
лабки якинлашишини график усулида топинг ва 0,01 гача аникликда
итерация усули билан хисобланг.
Ж: £ = 0,83; ^ = 0,56.
2- муста^ил иш
1. х3—12х+1=0 тенглама хакикий илдизларининг яккалаш
ораликларини график усулда аникланг.
Ж (-4, —3); (0,1); (3,4).
2. Тенгламаларни итерация усули билан 0,01 гача аникликда
ечинг:
а) х3 —2х2 —4х —7=0; б) 4х —7sinx = 0.
Ж; а) 3,62; б) 0 ва ±1,73.
3. Тенгламалар системасини итерация усули билан 0,01 гача
аникликда ечинг:
х2+у — 4 = 0,
у — Igx— 1=0.
Ж’. £=1,67; г] = 1,22.
4- лаборатория машрулоти
f(x)=O тенглама илдизларини итерация усули
билан топиш
Тенгламаларнинг энг кичик мусбат илдизини итерация усули
билан 0,0001 гача аникликда топинг.
1. X2 —СОЭЛХ = 0. 2. соэ2лх—х = 0. Ж: Ж: 0,4373. 0,3115. 16. 17. 2 — х — lgx=0. (х— I)2 — е~х = 0. Ж: Ж: 1,7554. 1.4776.
3. х — 3cos21,04x = 0. Ж: 0,9393. 18. tgx—3(х —2)2 = 0. Ж: 1,1439.
4. 2 1пх—-=0. Ж: 1,4215. 19. 2 — х — 21пх = 0. Ж: 1,3702.
X Ж: 20. 1 — х — ху/х—0. Ж: 0,5698.
5. 2 —х2 —е~х = 0. 1,3150. 1
6. 3 — х — 2 1gx = 0. Ж: 2,2830. 21. —х— Igx—3 = 0. Ж: 7,7822.
7. 2 д/х — cos-y-=0. Ж: 0,2211. 22. — 1ПХ = 0. х+1 Ж: 1,4935.
8. д/х — cos0,387x = 0.Ж: 0,8867. 23. Ж: 0,8875.
lg-z 51ПЛХ = 0.
9. д/х — 2cos-^-=0. Ж: 0,7210. 24.
2 —х —ctgx=0. Ж: 0,6306.
10. 21gx —f+l=0. Ж: 0,3971. 25. е* —2 + х2 = 0. Ж: 0,5378.
11. 3-x-tg-5p=0. Ж: 1,3172. 26. 4-lgx = 0. Ж: 0,5965.
12. ЛСО5ЛХ - = 0. Ж: 1,5652. 27. X
X 4 — х — е 2 =0. Ж: 1,6815.
13. 4-lgx = 0. X Ж: 1,8967. 28. д/х+1 -у=0. Ж: 0,7545.
14. ctg-y-—x2=0. Ж: 0,8755.' 29. (х-1)2--1^=0. Ж: 0,2132.
15. lnx+ д/х =0. Ж: 0,4848. 30. 2 — х — arctg2x = 0. Ж: 0,9248.
3-§. Оддий дифференциал тенгламаларни ечишнинг
сонли усуллари. Эйлер усули ва унинг
модификациялари.
15.3.1. Амалиётда учрайдиган дифференциал тенгламаларнинг
аник ечимларини хар доим хам топиб б^лавермайди. Шу сабабли
дифференциал тенгламаларни такрибий ечиш усуллари катта
ахамиятга эга. Эйлер усули ва унинг модификациялари шу усуллар
жумласига киради.
Биринчи тартибли
y'=f(x,y)
дифференциал тенглама берилган булиб, унинг [хо; 6] кесмада
у(хо)=уо бошлангич шартни каноатлантирувчи ечимини топиш
талаб килинсин (Коши масаласи).
[хо, кесмани п та тенг булакка буламиз (82- шакл): —= h
(интеграллаш кадами).
(хо, xi) ораликда интеграл эгри чизик унга Мо(хо, г/о) нуктада
утказилган уринма кесмаси билан алмаштирилади. Бу уринманинг
бурчак коэффициента ушбуга тенг:
/(хо)=/(хо>«/о)=-гЧ1.
бундан у\ нинг кийматини топамиз:
£/1 = 1/0 + (Xi— xQ)f(xo,yo)
ёки кискача
г/1 = г/о + М> бунда у'о = у'(хо).
Mi(xi,yi) нуктада Утказилган уринма тенгламасидан:
y2=yi + h-yf, бунда y'i=y'(xi}.
Шунга ухшаш,
г/з = г/2 + М- бунда у^ — у'(Х2) ва х. к.
Эйлернинг тавсифланган усулининг умумий формуласи ушбу
куринишга эга булади:
г/, + 1 =yi+hy'i, бунда y'i=y'(Xi),
4=1, 2, п.
Уринмалар кесмаларидан ташкил топтан синик чизик Эйлер
синик, чизири дейилади, бу чизик берилган (Хо, у») нуктадан утади
хамда изланаётган интеграл эгри чизикни аппроксимация килади.
1- м и с ол . Эйлер усулидан фойдаланиб у' = у-—х дифференциал
тенгламанинг [0; 1,5] кесмада у(0) = 1,5 бошлангич шартни
каноатлантирувчи ечимини топинг. Интеграллаш кадамини
й = 0,25 деб олинг.
Ечиш. хо=О, г/о=1,5 га эгамиз; интеграллаш кадами h = 'Д =
б
= 0,25, яъни n = 6. hy'i = Syi=hf(Xi,yt) =h(yt—xi) деб белгилаб, ушбу
жадвални тузамиз:
i Х1 A У<=Ьу,
0 0 1,5000 1,5000 0,3750
1 0,25 1,8750 1,6250 0,4062
2 0,50 2,2812 1,7812 0,4453
3 0,75 2,7265 1,9765 0,4941
4 1,00 3,2206 2,2206 0,5552
5 1,25 3,7758 2,5258 0,6314
6 1,50 4,4702
15.3.2. Эйлернинг такомиллаштирилган усулини караймиз.
Унинг мохияти бундай: масала олдингидек к^йилгани холда,
изланаётган функциянинг х t = х,-]--т- нукталардаги у t ёрдамчи
'+-J- ‘+у
кийматлари /,
У1
формула ёрдамида хисобланади. Шундан кейин y'=f(x,y) тенглама-
нинг унг кисмининг
урта нуктадаги киймати топилади ва
"г 2
аникланади. Бу графикда куйидагидек булади: Afi нукта Эйлер
усули билан, М'1 нукта эса Эйлернинг такомиллаштирилган усули
билан топилган (83- шакл).
2-мисол. 1-мисолдаги дифференциал тенгламани Эйлернинг
такомиллаштирилган усули билан ечинг.
83- шакл
Ечиш. Тегишли белгилашлар киритиб, хисоблаш натижалари-
ни ушбу жадвалда келтирамиз:
i xi Л 2*' 1 *1? т £ н 1 м- . h .
0 0 1,5000 1,5000 0,1875 0,125 1,6875 1,5625 0,3906
1 0,25 1,8906 1,6406 OJ2O51 0,3750 2,0957 1,7207 0,4302
2 0,50 2,3208 1,8208 0,2276 0,6750 2,5484 1,8734 0,4684
3 0,75 2,7892 2,0392 0,2549 0,8750 3,0441 2,1691 0,5423
4 1,00 3,3315 2,3315 0,2914 1,1250 3,6229 2,4974 0,6243
5 1,25 3,9558 2,7058 0,3382 1,3750 4,2940 2,9190 0,7298
6 1,50 4,6856
15.3.3. Эйлер — Кошйнинг такомиллаштирилган усулининг
мохияти бундай: олдин
yur\==yi + hy'\
ёрдамчи киймат топилади, сунгра
y'i+i =f(xi+i, yi+i)
хнсобланади. Шундан кейин
. , y'i+y'i+\
yi+\=yi+h------
формула буйича тегишли ечим топилади.
3- м и с ол . Эйлер — Кошининг такомиллаштирилган усулидан
фойдаланиб, 1-мисолдаги дифференциал тенгламани ечинг.
Ечиш. Тегишли белгилашлар киритиб, хисоблашлар натижала-
рини ушбу жадвалга киритамиз:
i xi «1 Ч *Н-1 Й-ц" yi+i- “Лх<+1^+1 Ч+1 Д»!- “ 2
0 0 1,5000 1,5000 0,3750 0,25 1,8750 1,625 0,4062 0,8906
1 0,25 1,8906 1,6406 0,4102 0,50 2,3008 1,3008 0,4506 0,4302
2 0,50 2,3208 1,8208 0,4552 0,75 2,7760 2,0260 0,5065 0,4808
3 0,75 2,8016 2,0516 0,5129 1,00 3,3145 2,3145 0,5786 0,5458
4 1,00 3,3474 2,3474 0,5868 1,25 3,9342 2,6842 0,6710 0,6289
5 1,25 3,9763 2,7263 0,6816 1,50 4,6579 3,1579 0,7895 0,7355
6 1,50 4,7118
3- дарсхона топшириги
1. Эйлер усулидан фойдаланиб, у'=
у—х
у+х
дифференциал
тенг
ламани г/(0) = 1 бошлангич шартда ечинг. Интеграллаш кадамини
h = 0,1 деб олинг. Унинг дастлабки 4 та кийматини топиш билан
чекланинг.
Ж:
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4
У 1 1,1 1,18 1,25 1,31
2. Эйлернинг такомиллаштирилган усулидан фойдаланиб,
1-масаладаги дифференциал тенгламани ечинг.
3. Эйлер — Кошининг такомиллаштирилган усулидан фойдала-
ниб, 1-масаладаги дифференциал тенгламани ечинг.
3- муста/^ил иши
1. Эйлер усули билан у' = х-^-у дифференциал тенгламанинг [0;
0,4] кесмада у(0) = 1 бошлангич шартни каноатлантирувчи ечимини
топинг. h = 0,1 деб олинг.
X 0 0,1 0,2 03 0,4
У 1 1,1 1,22 1,36 1,52
2. Эйлернинг такомиллаштирилган усулидан фойдаланиб,
1-масаладаги дифференциал тенгламани ечинг.
3. Эйлер — Кошининг такомиллаштирилган усулидан фойдала-
ниб, 1-масаладаги дифференциал тенгламани ечинг.
5- лаборатория машрулоти
Оддий дифференциал тенгламаларнинг тацрибий
ечимларини топиш
Эйлер усули ва унинг модификацияларидан фойдаланиб,
берилган y' = f(x,y) дифференциал тенгламанинг у(хо)=уо бош-
лангич шарт билан [хо,6] кесмада 0,0001 гача аникликда ечимини
топинг (б^линишлар сонини п = 5 ва п = 10 деб олинг).
1 — х; 4l(0)-l; [0; 0,5]. 2 * 2 ’ x-f-y у(0,3)-1,5; [0,3; 1,3]
3 /=^-1; у(0)=1; [0; 0,5]. 4 . 1 /з“ /=х—~; 2 у у У(1)»2; [1; 2].
5 /«-х2—у2; У(0)=0; [0; 0,2]. 6 /=x+V14-?; у(0,3)=ж0,2; [0,3; 1,3].
7 1— 8'/=Т+1: 0(О)=1; [0; 1] 8 ^=x+cos225; XD-2.2; [1; 2]
9 v 1-Н+у; Х0)-1; [0; о,5]. 10 /=х24-2у; у(0)=0,2; [0; 1]
И у'.=ех+ху, у(0)=0; [0; 0,1]. 12 /=x+sin|; у(1)-1;[1;2].
13 y'cssiny — sinx; У(0)=0; [0; 1] 14 у^х+у2; у(0)=0,3; [0; 1]
15 у'^+х+г’-гу3 у(1)=1; [1:1,5]. 16 У2 4<0)=1; [0; 1].
17 * 10 ’ у(1)=1; [1; 1,5] 18 y'asX— 4<0)=1; [0; 1].
19 у(0,5)=0,5; [0,5; 1] 20 /=2Х—0,1у2; У(0)=1; [0; 1]
21 /ах^+х2; У(0)»1; [0; 0,5]. 22 /х=ху2-1; у(0)=0; [0; 1]
23 /=jrW+i; jKD-O; [1; 1,5]. 24 у'=ех—^-, л(1М;[1;2]
25 /-у3+^+*2; у(0)-1; [0; 0,5]. 26 y'—^+sr1-, SK0M; [0; IJ.
27 /=хуЗ-1; у(ОН; [0; 1] 28 sKD-1; (1; 2J.
29 у'^1+^+у, j(0,2)=1; [0,2; 1,2] 30 у2 у(0)»1;[0; 1]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
3 8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
л
ИЛОВАЛАР
, 1 1- илова 'х' -^2л е функцияцийматларииингжадвали
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 1
0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7 3123 3101 3079 3056 3034 ЗОН 2989 2966 2943 2920
JA 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1.0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0,707 0694 0681 0669
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0.0540 0529 0519 0508 . 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 ОНО 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
3,4 0012 0012 0012 ООП ООП 0010 0010 0010 0009 0009
3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 ППГИ
628
2- и л о в а
X
ф(х\—_____\е 2 dz функция к.ийматлариниигжадвали
X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х)
0,00 0,000 0,33 0,1293 0,66 0,2454 0,99 0,3389
0,01 0,0040 0,34 0,1331 0,67 0,2486 1,00 0,3413
0,02 0,0080 0,35 0,1368 0,68 0,2517 1,01 0,3438
0,03 0,0120 я- 0,36 0,1406 0,69 0,2549 1,02 0,3461
0,04 0,0160 0,37 0,1443 0,70 0,2580 1,03 0,3485
0,05 0,0199 0,38 0,1480 0,71 0,2611 1,04 0,3508
0,06 0,0239 0,39 0,1517 0,72 0,2642 1,05 0,3531
0,07 " 0,0279 0,40 0,1554 0,73 0,2673 1,06 0,3554
0,08 0,0319 0,41 0,1591 0,74 0,2703 1,07 0,3577
0,09 0,0359 0,42 0,1628 0,75 0,2734 1,08 0,3599
0,10 0,0398 0,43 0,1664 0,76 0,2764 1,09 0,3621
0,11 0,0438 0,44 0,1700 0,77 0,2794 1.10 0,3643
0,12 0,0478 0,45 0,1736 0,78 0,2823 - 0,3665
0,13 0,0517 0,46 0,1772 0,79 0,2852 1.12 0,3686
0,14 0,0557 0,47 0,1808 0,80 0,2881 1,13 0,3708
0,15 0,0596 0,48 0,1844 0,81 0,2910 1.14 0,3729
0,16 0,0636 0,49 0,1879 0,82 0,2939 1,15 0,3749
0,17 0,0675 0,50 0,1915 0,83 0,2967 1.16 0,3770
0,18 0,0714 0,51 0,1950 0,84 0,2995 1.17 0,3790
0,19 0,0753 0.52 0,1985 0,85 0,3023 1.18 0,3810
0,20 0,0793 0,53 0,2019 0,86 0,3051 1,19 0,3830
0,21 0,0832 0,54 0,2054 0,87 0,3078 1,20 0,3869
0,22 0,0871 0,55 0,2088 0,88 0,3106 1,21 0,3869
0,23 0,0910 0,56 0,2123 0,89 0,3133 1,22 0,3883
0,24 0,948 0,57 0,2157 0,90 0,3159 1,23 0,3907
0,25 0,0987 0,58 0,2190 0,91 0,3186 1.24 0,3925
0,26 0,1026 0,59 0,2224 0,92 0,3212 1,25 0,3944
0,27 0,1064 0,60 0,2257 0,93 0,3238 1,26 0,3962
0,28 0,1103 0,61 0,2291 0,94 0,3264 1,27 0,3980
0,29 0,1141 0,62 0,2324 0,95 0,3289 1,28 0,3997
0,30 0,1179 0,63 0,2357 0,96 0,3315 1,29 0,4015
0,31 0,1217 0,64 0,2389 0,97 0,3340 1,30 0,4032
0,32 0,1255 0,65 0,2422 0,98 0,3365 1,31 0,4049
629
X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х)
1,32 0,4066 1,63 0,4484 1,94 0,4738 2,50 0,4938
1,33 0,4082 1,64 0,4495 1,95 0,4744 2,52 0,4941
1,34 0,4099 1,65 0,4505 1,96 0,4750 2,54 0,4945
1,35 0,4115 1,66 0,4515 1,97 , 0,4756 2,56 0,4948
1,36 0,4131 1,67 0,4525 1,98 0,4761 2,58 0,4951
1,37 0,4147 1,68 0,4535 1,99 0,4767 2,60 0,4953
1,38 0,4162 1,69 0,4545 2,00 0,4772 2,62 0,4956
1,39 0,4177 1,70 0,4554 2,02 0,4783 2,64 0,4959
1.40 0,4192 1,71 0,4564 2,04 0,4793 2,66 0,4961
1,41 0,4207 1,72 0,4573 2,06 0,4803 2,68 0,4963
1,42 0,4222 1,73 0,4582 2,08 0,4812 2,70 0,4965
1,43 0,4236 1,74 0,4591 2,10 0,4821 2,72 0,4967
1,44 0,4251 1,75 0,4599 2,12 0,4830 2,74 0,4969
1,45 0,4265 1,76 0,4608 2,14 0,4838 2,76 0,4971
1,46 0,4279 1,77 0,4616 2,16 0,4836 2,78 0,4973
1,47 0,4292 1,78 0,4625 2,18 0,4854 2,80 04974
1,48 0,4306 1,79 0,4633 2,20 0,4861 282 0,4976
1,49 0,4319 1,80 0,4641 2,22 0,4868 2,84 0,4977
1,50 0,4332 1,81 0,4649 2,24 0,4875 2,86 0,4979
1,51 0,4345 1,82 0,4556 2,26 0,4881 2,88 0,4980
1,52 0,4357 1,83 0,4664 2,28 0,4887 2,90 0,4981
1,53 0,4370 1,84 0,4671 2,30 0,4893 2,92 0,4982
1.54 0,4382 1,85 0,4678 2,32 0,4898 2,94 0,4984
1,55 0,4394 1,86 0,4686 2,34 0,4904 2,96 0,4985
1,56 0,4406 1,87 0,4693 2,36 0,4909 2,98 0,4986
1,57 0,4418 1,88 0,4699 2,38 0,4913 3,00 0,49865
1,58 0,4429 1,89 0,4706 2,40 0,4918 3,20 0,49931
1,59 0,4441 1,90 0,4713 2,42 0,4922 3,40 0,49966
1,60 0,4452 1,91 0,4719 2,44 0,4927 3,60 0,499841
1,61 0,4463 1,92 0,4726 2,46 0,4931 3,80 0,499928
1,62 0,4474 1,93 0,4732 2,48 0,4934 4,00 0,499968
4,50 0,499997
5,00 0,499997
ty = t(t, п) ииигкийматлари жадвали
Y Я 0,95 0,99 0,999 Y Л 0,95 0,99 0,999
5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2.861 3,883
6 2.57 4,03 6.86 25 2,064 2,797 3.745
7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659
8 2.37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600
9 2,31 2,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558
10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527
И 2.23 3.17 4,59 50 2,009 2,679 3.502
12 2,20 3.11 4,44 60 2,001 2,662 3.464
13 2.18 3.06 4,32 70 1,996 2,649 3.439
14 2,16 3,01 4,22 80 1,001 2,640 3,418
15 2.15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403
16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392
17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374
18 2.11 2,90 3.97 ОО 1.960 2,576 3.291
19 2,10 2,88 3,92
4- и л о в а
q = q(y, п) книг кийматлари жадвали
X. Y д 0,95 0,99 0,999 X. Y Л 0,95 0,99 0,999
5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88
6 1.09 2.01 3,88 25 0.32 0.49 0,73
7 0.92 1.62 2.98 30 0.28 0.43 0.63
8 0,80 1,38 2.42 35 0,26 0,38 0,56
9 0.71 1.20 2.06 40 0,24 0,35 0.50
10 0,65 1,08 1,80 45 0,22 0,32 0,46
11 0.59 0,98 1.60 50 0,21 0,30 0.43
12 0.55 0,90 1,45 60 0,188 0,269 0,38
13 0,52 0,83 1,33 70 0,174 0.245 0,34
14 0.48 0,78 1.23 80 0.161 0.226 0,31
15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29
16 0.44 0,70 1.07 100 0.143 0,198 0.27
17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211
18 0.40 0,63 0.96 200 . 0.099 0.136 0,185
19 0,39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162
хи- квадрат таксимотнинг г критик нукталари жадвали
г л 0,01 0,025 0,05 0,95 0,99
1 6,6 5.0 3,8 0,004 0,001
2 Ы 7,4 6,0 0,103 0,02
3 11,3 9,4 7,8 0,4 0,1
4 13,3 11,1 9,5 0,7 0,3
5 15,1 12,8 11,1 1,2 0,6
6 16,8 14,4 12,6 1.6 0,9
7 18,5 16,0 14,1 2,2 1.2
8 20,1 17,5 15,5 2,7 1,7
9 21,7 19,0 16,9 3,3 2.1
10 23,2 20,5 18,3 3,9 2,6
11 24,7 21,9 19,7 4,6 3,1
12 26,2 23,3 21,0 5,2 3,6
13 27,7 24,7 22,4 5,9 4,1
14 29,1 26,1 23,7 6,6 4,7
15 30,6 27,5 25,0 7,3 5,2
16 32,0 28,8 26,3 8,0 5,8
17 33,4 30,2 27,6 8,7 6,4
18 34,8 31,5 28,9 9,4 7,0
19 36,2 32,9 30,1 10.1 7,6
20 37,6 34,2 31,4 10,9 8,3
21 38,9 35,5 32,7 11.6 8,9
22 40,3 36,8 33,9 12,3 9,5
23 41,6 38,1 35,2 13,1 10,2
24 43,0 39,4 36,4 13,9 10,9
25 44,3 40,6 37,7 14,6 11,5
26 45,6 41,9 38,9 15,4 12,2
27 47,0 43,2 40,1 16,2 12,9
28 48,0 . 44,5 41,3 17,0 13,6
29 49,6 45,7 42,6 17,7 14,3
30 50,9 47,0 43,8 18,5 15,0
АДАБИЁТ
Асосий адабиёт
1. Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналити-
ческой геометрии, М., «Наука», 1980.
2. Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Дифференциальное и интегральное
исчисление. М., «Наука», 1980.
3. Я- С. Бугров, С. М. Никольский. Дифференциальные уравнения. Крат-
ные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного, т. 1, II, М., «Наука»,
1978.
4. Т. А. Азларов, X. Мансуров. Математик анализ, 1- кием, Т., «Укитувчи»,
1994.
5. Т. А. Азларов, X. Мансуров. Математик анализ, 2- кием. Т., «Укитувчи»,
1989.
6. Е. У. Соатов. «Олий математика», 1-жилд, Т., «Укитувчи», 1992.
7. Е. У. Соатов. «Олий математика», 2-жилд, Т., «Укитувчи», 1994.
8. М. С. Салохитдинов, Г. Н. Насритдинов. Оддий дифференциал тенг-
ламалар. Т., «Узбекистон», 1994.
9. Сборник задач по математике для втузов (Под ред. А. В. Ефимова) ч. I, М., 1986,
Ч. П, М., 1986, ч. Ill, М., 1990.
10. Л. А. Кузнецов. Сборник задач по высшей математике (типовые расчеты) М.,
«Высшая школа», 1983.
11. О. С. Ивашев-Мусатов. Теория вероятностей и математическая статисти-
ка, М., «Наука», 1979.
12. В. Е. Г м у р м а н . Руководство к решению задач по теории вероятностей и мате-
матической статистике. М., «Высшая школа», 1975.
13. В. С. Пугачев. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,
«Наука», 1979.
14, С. X. Сирожидди нов, Н. М. Маматов. Эхтимоллар назарияси ва мате-
матик статистика. Т., «Укитувчи», 1980.
Кушимча адабиёт
1. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике в трех частях. (Под
общей редакцией доктора физико-математических наук, профессора А. Н. Рябуш-
ко), Минск, «Высшая школа», 1990.
2. П. Е. Д а нко, А. Г. Попов,Т. Я- Кожевникова. Высшая математика
в упражнениях и задачах, М., «Высшая школа», 1986.
3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. (Под редакцией
Б. П. Демидовича), М., Государственное издательство физико-математической
литературы, 1963.
4, Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа, М., «Наука»,
1985.
5. А. И. Карасев. Теория вероятностей и математическая статистика, М., «Ста-
тистика», 1979.
6. В. Е. Г м у р м а и . Теория вероятностей и математическая статистика, М., «Выс-
шая школа», 1977.
7. Е. С. Вентцель. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969.
8. В. П. Чистяков. Курс теории вероятностей, М., «Наука», 1978.
9. Е. Н. Львовский. Статические методы построения эмпирических формул,
М., «Высшая школа», 1988.
10. Е. С. В е н т ц е л ь , Л. А. О в ч о р о в . Теория вероятностей, задачи и упражне-
ния М., «Наука», 1969.
И. X. М. Андрухаев. Сборник задач по теории вероятностей, М., «Просвеще-
ние», 1985.
12. Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей, М., «Физматгиз», 1961.
iL-.-e ATINBAw •<?
. ЕКТП* 'NiVERSITEt
* ^'МОАМЕЫТА 'TAFXA'!»':.
МУНДАРИЖА
Суз бош и
3
1-боб. Чизикли алгебра ва аналитик геометрия элементлари 5
§. Иккинчи ва учинчи тартибли детерминантлар. Детерминантларни хисоблаш.
Детерминантларнинг асосий хоссаси. Юкори тартибли детерминантлар 5
Икки ва уч номаълумли чизикли тенгламалар системаси. Крамер коидаси.
Гаусс усули .......................................................... 9
-) 3-§. Матрицалар. Матрицалар устида амаллар. Матрицанинг ранги. Чизикли
тенгламалар системасини текшириш . . . 15
/- назорат иши................................................... 24
1- намунавий цисоб топширик,лари...................................33
|р4- §. Векторлар устида чизикли амаллар. Базис. Базис буйича ёйиш. Координа-
талар оркали берилган векторлар устида чизикли амаллар .... .45
5-§. Скаляр купайтма. Векторнинг узунлиги. Векторлар орасидаги бурчак 50
6-§. Векторларнинг вектор ва аралаш купайтмалари . 52
2- назорат иши . . ............. . . 56
2- намунавий %исоб топшириклари .......... ..............60
7-§. Текисликнинг тенгламаси. Текисликнинг умумий тенгламасини текшириш.
Тугри чизикнинг тенгламаси .........................................66
8-§. Текисликлар ва тугри чизикларнинг узаро жойлашуви. Текисликлар ора-
сидаги бурчак. Т^гри чизиклар орасидаги бурчак. Нуктадан тугри чизик-
кача ва текисликкача булган масофа . . ............. .72
3- назорат иши................................................... .77
. 3- намунавий уисоб топширикршри.................................. 81
11^9-§. Эллипс, гипербола ва параболанинг каноник тенгламалари . 86
10-§. Иккинчи тартибли сиртларнинг каноник тенгламалари 91
4- назорат иши.................................................. 93
4- намунавий т;исоб топширик,лари 96
2-б о б. Математик анализга кириш
1-§. Элементар функциялар.
2- §. Элементар функцияларнинг графиклари.....
3-§. Иккн функция йигиндиси, айирмаси, купайтмаси ва булинмасининг гра-
фиклари .................
101
101
104
§. Кетма-кетликнинг лимити. Функциянинг лимити
‘Ф5-§. Функциянинг лимитини хисоблаш ............
6-§. Биринчи ва иккинчи ажойиб лимитлар............................
7-§. Эквивалент чексиз кичик функциялар ва улар ёрдамида лимитларни
соблаш.......................................... ..................
Ч 8-§. Чексиз кичик функцияларни таккослаш
106
I 10
114
116
хи-
118
120
635
9-§. Функциянинг узлуксизлиги. Функциянинг узилиш нукталари ва уларнинг
турлари. Функциянинг ноли...................................... .... 121
5- назорат иши......................... ... ...................124
5- намунавий %исоб топширицлари................... 129
3-б о б. Бир узгарувчи функциясининг дифференциал хисоби . . 139
у/. I - §. Хосила. Хосилалар жадвали ..........139
ик-2-§. Хосилани хисоблаш ................. ..............145
lb-3-§. Юкори тартибли хосилалар ....... . .148
сМ- §. Функциянинг дифференциали......................... . 151V"
Й/5-§. Ролл, Лагранж, Коши теоремалари. Лопиталь коидаси ...............155
Тейлор формуласи ...................... . . . . . . . 158
4-б о б. Функцияларни хосилалар ёрдамида текшириш . 162
1-§. Биринчи тартибли хосила ёрдамида функцияларнинг экстремумларини
текшириш..........................................................162
2-§. Функциянинг кавариклиги ва ботиклиги. Эгилиш нукталари. Асимптота-
лар ..............................................................165
3-§. Функцияларнинг графикларини чизиш . . . 168
6- назорат иши . . . . ........................ 170
5-б о б. Хакикий узгарувчининг вектор ва комплекс функциялари . . 173
1-§. Скаляр аргументнинг вектор функциясини дифференциаллаш 173
2-§. Скаляр аргументли вектор функция хосиласининг татбики . .176
6- намунавий уисоб топширик,лари........................ . 179
3-§. Комплекс сонлар ва улар устида амаллар. Эйлер формулалари . . . . 184
6-б о б. Бир узгарувчи функциясининг интеграл хисоби................ ... 192
§ Аникмас интеграл ва интеграллашнинг содда усуллари........... 192
'-С2- §. Аникмас интегралда Узгарувчини алмаштириш. Булаклаб интеграллаш . 196
ц/,3-§. Каср-рационал функцияни энг содда касрларга ёйиш. Рационал функция-
ларни интеграллаш ........................... ...........................201
4-§. W (sinx, cosx) dx куринишдаги интеграллар................. . 209
5-§. Таркибнда тригонометрик функциялар булган баъзи интеграллар . . . 213
6-§. Иррационал ифодаларни интеграллаш....................... . . . 219
7-§. Аник интеграл. Ньютон — Лейбниц формуласи. Аник интегралда ^згарув-
чини алмаштириш. Булаклаб интеграллаш •...........................225
(8- §. Ясси фигураларнинг юзларини хисоблаш ........................ ... 231
9- §. Эгри чизик ёйлари узунликларини хисоблаш .......................236
0- §. Хажмларни хисоблаш ................................,............239
11 - Хосмас интеграллар, якинлашиши, хосмас интегрални хисоблаш . . 245
7- назорат иши...................................................252
7- намунавий цисоб топширик,лари ... .... . 256
7-б о б. Бир неча узгарувчининг функцияси...............................268
1-§. Бир неча узгарувчи функциясининг хусусий хосилалари ва т^лик диф-
ференциали .......................................................268
2-§. Мураккаб функциянинг хосилалари. Ошкормас функциянинг хосилалари . 272
3-§. Уринма текислик ва сиртга нормал. Юкори тартибли хосилалар. Тейлор
формуласи ......................................................... . 275
4- §. Бир неча узгарувчи функциясининг экстремумлари . . . 280
5- §. Шартли экстремум .... ...........................283
8- назорат иши....................................................286
8-б о б. Оддий дифференциал тенгламалар . . 291
1-§. Умумий тушунчалар. Узгарувчилари ажраладиган ва бир жинсли биринчи
тартибли дифференциал тенгламалар.................................291
2- §. Чизикли, Бернулли, тулик дифференциалли биринчи тартибли днфферен-
. циал тенгламалар . .'........................................... .... 296
3-§. Юкори тартибли дифференциал тенгламалар ...............303
4-§. Узгармас коэффициентли бир жинсли чизикдд тенгламалар . . 306
5-§. Узгармас коэффициентли бир жинсли булмаган чизикли дифференциал
тенгламалар..................................................... . , 309
6-§. Узгармас коэффициентли бир жинсли булмаган чизикли дифференциал
тенгламаларда узгармасларни вариациялаш усули . . 315
8- намунавий %исоб топширицлари................................. .317
7-§. Дифференциал тенгламалар системаларини ечиш . 328
9-б о б. Каторлар. Фурье алмаштиришлари ... .... . . 336
1Й- §. Сонли каторлар.................................................. . 336
\х2- §. Мусбат хадли каторларнинг якинлашиш ва узоклашиш аломатлари . 339
3- §. Узгарувчи ишорали каторлар....................... . . 344
4-§. Функционал каторлар, уларнинг якинлашиш сохаси ... 346
5-§. Даражали каторлар ........................... .... . 350
6-§. Функцияларни Тейлор ва Маклорен каторларига ёйиш . . ... 355
7- §. Баъзи функцияларнинг Тейлор ва Маклорен каторлари . . 359
8-§. Даражали каторларнинг татбики . . ...........361
9- §. Фурье каторлари . . 365
10-§. Фурье интеграли .................. • • 371
9- назорат иши .... . ............... .... 375
10-б о б. Каррали интеграллар ........................ ... 382
1-§. Декарт координаталарида икки Улчовли интегралларни хисоблаш . . . 382
2-§. Декарт координаталарида уч улчовли интегралларни хисоблаш . 388
3-§. Икки улчовли интегралда узгарувчиларни алмаштириш .... 391
11-б о б. Эгри чизикли интеграллар ва сирт интеграллари 398
1-§. Биринчи ва иккинчи тур эгри чизикли интеграллар................. 398
2-§. Биринчи ва иккинчи тур эгри чизикли интегралларнинг татбнки 405
3-§. Сирт интеграллари ...... 410
10-назорат иши . . . 415
12-б о б. Вектор анализи ... ........... 426
1-§. Скаляр майдони. Сатх чизиклари ва сиртлари. Йуналиш буйича хосила.
Градиент. Вектор майдон. Вектор чизиклар.........................426
2-§. Вектор майдон окими. Остроградский теоремаси. Вектор (майдон) дивер-
генцияси ..................................................... 430
3- §. Вектор майдонидаги чизикли интеграл. Циркуляция. Вектор майдон ротори.
Стокс теоремаси. Цнркуляцияни хисоблаш......................... . 433
4-§. Потенциал майдон. Потенциал майдондаги чизикли интеграл. Гамельтон
ва Лаплас операторлари ... . 436
9- намунавий уисоб топшири^лари 442
13-б о б. Математик физиканииг асосий тенгламалари . 451
1-§. Тор тебраниш тенгламаси учун Коши масаласини Даламбер усули билан
ечиш ................................................................451
2-§. Иссик тк Утказиш (тулкин) тенгламаси учун аралаш масалани Фурье
усули >илан ечиш.............................................. . . 457
3-§. Дирихле масаласини доирада Фурье усули билан ечиш . 461
14-б об. Эхтимолликлар назарияси ва математик статистика ... . 464
1-§. Эхтимолликнинг классик ва статистик таърифлари. Геометрик эхтимол-
лик ... ............ .............................464
2-§. Ходисалар алгебраси. Эхтимолликларни кушиш ва купайтариш теорема-
лари. Шартли эхтимоллик............................................... 470
3- §. Богликмас синовлар кетма-кетлиги. Бернулли формуласи. Муавр — Лаплас
ва Пуассон теоремалари............................ ... . . 476
4-§. Дискрет тасодифий микдорлар. Баъзи таксимот конунлари . 481
5-§. Узлуксиз тасодифий микдорлар. Айрим таксимот конунлари.............489
6- §. Дискрет ва узлуксиз тасодифий микдорларнинг математик кутилиши ва
дисперсияси . . ...... • 498
/1 - назорат иши . ........... .... 506
7-§. Богликмас тасодифий микдорлар йигиндисининг таксимоти. Тасодифий
аргумент функцияси .............................................. ... 518
8-§. Икки улчовли богликмас тасодифий микдорлар. Корреляция моменти ва
корреляция коэффициент......................... . . 528
9-§. Вариацион катор учун полиган ва гистрограмма . 539
/- лаборатория машрулоти............... . 548
10-§. Математик кутилиш ва дисперсия учун ишончли ораликлар...........550
11 - §. Гипотезаларни Пирсоннинг мувофиклик критерийси буйича текшириш . . 555
2-лаборатория машрулоти . . .......561
12- назорат иши............. . . 570
10- намунавий Jfuco6 топширити . . . ..'... 580
15-б о б. Асосий соили усуллар . . . 605
1-§. Чизикли тенгламалар системасини ечишнинг Жордано — Гаусс усули ва
унинг татбики ............................. . ................605
3-лаборатория машрулоти........................................ 614
2-§. Тенгламалар ва тенгламалар системаларини ечишнинг итерация усул-
лари ... . . ....................615
4- лаборатория машрулоти..................... . ... 621
3-§. Оддий дифференциал тенгламаларни ечишнинг сонли усуллари. Эйлер
усули ва унинг модификациялари . . . 622
5- лаборатория машрулоти . . . 626
Иловалар . . . ........................ 628
Адабиёт . ...... . 633
Ёлкин Учкунович Соатов
ОЛИЙ МАТЕМАТИКА
3- жилд
Олий техника ук,ув юртлари талабалари
учун дарслик
Тошкент «Узбекистан» 1996
Мухаррир И. Роипов
Расмлар мухаррири Т. Цаноатов
Техник мухаррир У. Ким
Мусаххиха У. Абдукодирова
Теришга берилди 22.08.95. Босишга рухсат этилди 24.01.96. К,огоз фор-
мата 60X 90716. Тип тайме гарнитурада. Офсет босма усулида босилди.
Шартли босма листи 40,0. Нашр. л. 40,17. Тиражи 5000. Буюртма 665.
«Узбекистан» нашриёти, 700129, Тошкент, Навоий, 30.
Узбекистон Республикаси Давлат матбуот кумитасининг ижарадаги
Тошкент матбаа комбинати. 700129, Тошкент, Навоий кучаси, 30.
С 73
Соатов В. У.
Олий математика: Олий техника
дарелик. 5 жилдлик. 3- жилд,— Т :
640 б.
укув юртлари учун
Узбекистон, 1996.—
22.11я73
№ 3—96
Алишер Навоий номидаги
Узбекистон Республикасининг
Давлат кутубхонаси
(
SOa,
W ОЛИЙ МАТЕМАТИКА
1-6 об
ЧИЗИКЛИ АЛГЕБРА ВА АНАЛИТИК ГЕОМЕТРИЯ
ЭЛЕМЕНТЛАРИ
1-§. Иккинчи ва учинчи тартибли детерминантлар.
Детерминантларни хисоблаш. Детерминантларнинг асосий
хоссалари. Юкори тартибли детерминантлар.
(
1.1.1. Туртта сондан иборат
Оц а12
°21 а22
квадрат жадвал иккинчи тартибли квадрат матрица дейилади.
Иккинчи тартибли квадрат матрицага мос келувчи иккинчи
тартибли детерминант деб куйидаги белги ва тенглик билан
аникланувчи сонга айтилади:
ан Ц|2
а2| 0-22
-- °И°22—°21а12 -
Шунга ухшаш ушбу
Он а |2 а 13
°21 о22 ° 23
о31 а32 азз
— ai1a22a33-|-ti12a23a3i_ba2ia32ai3—
— Оз 102201 з — 021012Озз — ОзгОгзО 11
«фо. \ чпнчи тартибли детерминант дейилади. Бу ифодага мусбат
ишора билан кирадиган хар бир кунайтма, хамда манфий
чшорали куиийтмалар купайтувчиларини алохида-алохида пунк-
тир чизиклар ёрдамида туташтириб, учинчи тартибли детерми-
зантларни хисоблаш учун хотирада осон саКланадиган «учбур-
чаклар коидаси»га эга буламиз (1-шакл).