/
Автор: Лысенко Ф.Ф. Кулабухов С.Ю. Фридман Е.М. Коннова Е.Г. Иванов С.О. Ханин Д.И.
Теги: учебные пособия и учебники по математике математика задачи по математике егэ егэ по математике подготовка к егэ
ISBN: 978-5-9966-1454-7
Год: 2020
Текст
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
МАТЕМАТИКА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2021
Профильный уровень
40 тренировочных вариантов
по демоверсии 2021 года
Учебно-методическое пособие
ЛЕГИОН
Ростов-на-Дону
2020
ББК 22. l я72 1
М 34
А. Г. Бермус, кандидат физико-математических наук,
доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой
образования и педагогических наук Академии психо
логии и педагогики ЮФУ, г. Ростов-на-Дону;
Л. Н. Евич, кандидат физико-математических наук,
доцент, г. Ростов-на-Дону.
Авторский коллектив:
Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухов, С . О. Иванов, Е. r Коннова,
Е. М . Фридман, Д. И. Ханин, Н. И. Авилов, С. В. Дерезин,
А. М . Домашенко, А. r Корянов, В. М . Кривенко, Н. М . Резникова,
К. А. Талипова, А. П. Уваровский, Е. Э. Чурилкина, А. Ф. Ягудин
Математика . Подготовка к ЕГЭ-202 1 . Про фильны й уровен ь.
М 34 40 тренировочных вариантов по демоверсии 202 1 года :
учебно-методическое пособие / под редакцией Ф. Ф. Лысенко,
С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион, 2020. - 400 с. ( ЕГЭ ).
Рецензенты:
ISBN 978-5-9966- 1 454-7
Учебно-методическое пособие предназначено д.11я качественной подготов
ки к профильному уровню ЕГЭ по математике в 202 1 году. Книга содержит:
• 40 новых тренировочных вариантов, составленных в соответствии с
проектами демоверсии и специф икации 202 1 года проф ильного уровня ЕГЭ
по математике, опубликованными на сайте ФИПИ 24.08.2020 г.;
•подробное решение
• краткий
10
вариантов;
теоретический справочник;
• задачник, содержащий основные типы задач с кратким ответом;
• ответы ко всем заданиям и вариантам.
Материал пособ ия позволит выпускникам и а битуриентам получить
на ЕГЭ желаемый результат - от минимального количества баллов, необ
ходимого для сдачи экзамена, до 1 00 баллов.
Книга адресована выпускникам о б щеоб разовательных учреждений, учи
телям, методистам. Она может использоваться также и при дистанционном
о бучении.
ББК 22. lя72 1
ISBN 978-5-9966- 1 454-7
©
ООО
«Легион», 2020
Содержание
...................................................
6
......................
.............................
.............................
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............................
. . . ..
.
. .
10
1О
13
17
23
27
......................................
Прототип задания 8
..
.
.
Прототип задания 9 .
..
. .
.
..
Прототип задания 1 О ............... . .....................
Прототип задания 1 1 ...................................
. ...
Прототип задания 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .
33
От авторов
.
П рототип ы задан и й с кратк и м ответо м
1 ...
задания 2 . . .
задания 3 . . .
задания 4 . .
.......
.......
.......
.......
задания 5 . .
.
Прототип задания
Прототип
Прототип
Прототип
Прототип
.
.
.
.
.
.
.
.
.
'
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Прототип задания 6 .......................................
Прототип задания 7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Т рен и ро в оч ные вар ианты
.
Вариант №
28
39
42
44
46
47
................................... 50
1 . ............................................. 50
Вариант № 2 ............................................. 54
Вариант № 3 . ............................................. 58
.
Вариант № 4 ..............................................
62
Вариант № 5 ....................... . ...................... 66
Вариант № 6 .............................................. 70
74
Вариант № 7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Вариант № 8 ..............................................
Вариант № 9 ..............................................
78
82
1 О ............................................ 86
Вариант No 1 1 ............................................ 90
Вариант № 1 2
.... 94
Вариант №
.
.
.
2. Зак. № 1 21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ·.
4
Содержание
Вариант № 13............................................. 98
Вариант № 14 ............................................. 102
Вариант № 15............................................. 106
В.ариант № 16 ............................................. 110
Вариант No 17 ............................................. 114
Вариант № 18 ............................................. 118
Вариант № 19 ............................................. 122
Вариант № 20............................................. 126
Вариант № 21 ............................................. 130
Вариант № 22 ............................................. 134
Вариант № 23 ............................................. 138
Вариант № 24 ............................................. 142
Вариант № 25
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Вариант № 26 ............................................. 150
Вариант № 27 ............................................. 155
Вариант № 28 ............................................. 159
Вариант № 29 ............................................. 163
Вариант № 30 ............................................. 168
Вариант № 31............................................. 173
Вариант № 32 ............................................. 178
Вариант № 33 ............................................. 183
Вариант № 34 ............................................. 187
Вариант № 35 ............................................. 191
Вариант № 36............................................. 195
Вариант № 37 ............................................. 199
Вариант № 38............................................. 204
Вариант № 39 ............................................. 208
Вариант № 40............................................. 213
Решения избранных вариантов
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
. 218
.
Решение варианта № 1 .................................... 218
Решение варианта № 5 .................................... 231
Решение варщшта № 9 .................................... 240
Решение варианта № 13 ................................... 248
Решение варианта № 17 ................................... 256
Решение варианта № 21 ................................... 267
5
Содержание
Решение варианта № 25................................... 276
Решение варианта № 29 ................................... 288
Решение варианта № 33................................... 298
Решение варианта № 37 ................................... 306
318
. 318
Степени и корни
.
319
Модуль и его свойства
. .
.
320
Прогрессии
...
.
321
Логариф мы . . .
.
.. .
.
.
321
Теория вероятностей
..
...
..
322
Тригонометрия .
.
.
.
...
. . 323
Многочлены и их корни .
.
..
. .. 328
Уравнения ..
. .
.
.
. . 332
Неравенства
.
. ..
. ... . 334
Функции
336
Планиметрия . .
.
. .. .... ..
.
351
Стереометрия
..".............. .................... 365
Краткий теоретический сп равочник
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1 О.
11.
12.
13.
Условные обозначения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. ...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ответы к тренировочным вариантам .......... : ........ 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
.
Ответы к прототипам заданий с кратким ответом
.
.
.
.
.
.
.
•
.
•
. 378
•
379
От авторов
Пособие предназначено для эффективной подготовки к единому го
сударственному экзамену по математике на про фильном у р овне . Книга
будет поЛезна выпускникам, учителям, а также тем, кто собирается сда
вать ЕГЭ после перерыва в обучении .
.,.. Если сдача ЕГЭ по математике нужна вам только для получе
ния аттестата, а не для поступления в вуз, то сдавайте базовый уро
вень. Рекомендуем воспользоваться пособием «Математика. Подготовка
к ЕГЭ-202 1 . Базовый уровень. 40 тренировочных вариантов», под редак
цией Ф. Ф. Лысенко, С . О. Иванова .
.,.. Если вам необходим высокий балл на ЕГЭ для поступления на тех
ническую или социологическую специальность, то нужно добиться уве
ренного выполнения заданий 1-15, а также задания 17 .
.,.. Если вы планируете получить математическое образование в вузе
или поступить на престижную экономическую специальность ( целью
являются 90- 100 баллов), то необходимо научиться решать все задания
данного пособия.
Книга содержит:
задачни к , включающий в себя основные типы задач с кратким отве
том, которые соответствуют предлагаемым заданиям открытого банка1;
40 нов ых трен и ровочных вариантов, составленны� по про
ектам спецификации и демоверсии ЕГЭ 202 1 года, опубликованным
24.08.2020 г. на сайте ФИПИ (www. fipi.ru);
р еше ни е 1 О вариантов;
краткий справочни к по элементарной математике, содержащий
теоретический материал, достаточный для выполнения всех заданий дан
ного пособия;
ответ ы ко всем заданиям и вариантам.
Отметим, что варианты заданий носят парный характер, то есть явля
ются попарно подобными (так, например, подобны 1 -й и 2-й варианты,
3-й и 4-й и т. д.). Это позволяет учителю оптимизировать процесс подго
товки: целесообразно прорешать с учащимися в классе один из нечётных
вариантов, а следующий ( чётный) вариант задать на дом.
Варианты в книге располагаются по возрастанию уровня сложности
з.аданий. При этом уровень сложности и темы заданий с кратким ответом
соответствуют предлагаемым заданиям открытого банка.
Доступен на сайте http://mathege.ru
•
•
•
•
•
1
От а в торов
7
При подготовке к экзамену рекомендуем воспользоваться другими по
собиями издательства «Легион» по математике.
Как работать с пособиями издательства «Легион»
для подготовки к ЕГЭ по математике
Подготовку к ЕГЭ желательно начинать с пособий «Математика.
ЕГЭ-202 1 . Тематический тренинг. 10-1 1 -е классы» и «Математика. ЕГЭ.
l 0- 1 1 -е классы. Тренажёр д.ля подготовки к ЕГЭ: алгебра, планимет
рия, стереометрия. Базовый и профильный уровни». Оба этих пособия
могут использоваться в течение двух лет (в 10-м и 1 1 -м классах), спо
соб же организации процесса обучения зависит от учителя. Например,
задания тренажёра учитель может дать на уроке при прохоЖдении опре
делённой темы. Материал книги «Математика. ЕГЭ-2021. Тематический
тренинг. 10- 1 1 -е классы» можно использовать д.ля ознакомления с ме
тодами решения задач базового, повышенного и высокого уровней слож
ности, а также д.ля организации диагностики и контроля (самоконтроля).
Работать с тренингом целесообразно не только на уроках, но и при само
подготовке, а также при дистанционном обучении.
Эту книгу «Математика. Подготовка к ЕГЭ -2021. Профильный уро
вень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 202 1 года» рекомендуем
использовать после освоения большей части материала из перечисленных
выше пособий. Пред.лагаемые в нём тренировочные варианты в формате
ЕГЭ профильного уровня могут быть разобраны в классе, при этом пар
ный вариант можно пред.ложить ученикам в качестве домашней работы.
Варианты пособия могут быть полезны также д.ля проведения пробного
экзамена или д.ля организации дИагностики и контроля.
Для подготовки к сдаче ЕГЭ базового уровня советуем использовать
книгу «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Базовый уровень. 40 трени
ровочных вариантов по демо версии 202 1 года». Методика работы с этим
сборником вариантов та же, что и с рассмотренным выше пособием.
Пособия «Математика. 7-1 1 -е классы. Карманный справочник»
и «Математика. Большой справочник д.ля подготовки к ЕГЭ» удобны
д.ля поиска необходимого теоретического материала в период подготов
ки к ЕГЭ. Большим справочником можно также пользоваться д.ля орга
низации повторения теории: по пред.ложенным примерам заданий можно
определить важность запоминания тех или иных формул и теорем д.ля
успешной сдачи экзамена.
К пособию «Математика. ЕГЭ. Алгебра. Задания с развёрнутым от
ветом. Профильный уровень» следует переходить при работе с наибо-
8
От авторов
лее подготовленными учащимися, претендующими получить высокий балл
на ЕГЭ. Рассмотренные в нём задания можно отдавать как на самостоя
тельное изучение, так и использовать в классах или школах с углублённым
изучением математики.
Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно при
сылать на адрес электронной почты legionrus@legionrus.com
От авторов
9
Систе ма оценивания
тренировочны х вариантов
Каждый вариант состоит из l 9 заданий различного уровня сложности.
Первые 1 2 заданий предполагают краткий ответ, 7 заданий - с развёрну
тым ответом.
Номера заданий Максим ал ьный первичный балл
за правильное ре ш ение
l- 1 2
l
2
1 3- 1 5
3
1 6- 1 7
4
1 8- 1 9
Таким образом, максимальный первичный балл за вариант равен 32.
Рекомен дуе мая таблица перевода первичны х баллов
в стобалльную систему 2
Перв. балл Итоговый
Перв. б алл Итогов ы й
17
76
о
о
78
l
5
18
80
9
19
2
14
82
3
20
84
18
21
4
23
22
86
5
88
27
23
6
33
90
24
7
39
92
25
8
94
26
9
45
96
27
10
50
56
28
98
ll
99
2
9
12
62
1 00
30
68
13
1 00
31
14
70
1 00
72
32
15
74
16
2
http://www.ege.edu.ru/ru/main/scaling/
Прототипы заданий
с
кратким ответом
Прототип з адания 1
В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется
1300 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить
в офис на 3 недели?
2. Стоимость единого проездного билета в Москве на месяц составляет
2000 рублей, а стоимость билета на одну поездКУ в метро 54 рубля. Ма
ша купила проездной и сделала за месяц 58 поездок. На сколько рублей
больше она бы потратила, если бы покупала билеты на каждую опреде
лённую поездку?
3. Прогулочный катер рассчитан на 120 пассажиров и 7 членов команды.
Каждая спасательная шлюпка может вместить 25 человек. Какое наи
меньшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необ
ходимости в них можно было разместить всех пассажиров и членов ко
манды?
4 . Шоколадный батончик стоит 45 рублей. В воскресенье в супермаркете
действует специальное пред.ложение: заплатив за три батончика, покупа
тель получает четвёртый в подарок. Сколько батончиков можно получить
на 350 рублей в воскресенье?
5. Водитель за месяц проехал 5000 км. Стоимость l литра бензина
39 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 1 1 литров.
Сколько рублей потратил водитель на бензин за этот месяц?
6. В библиотеку привезли новые учебники по 7 предметам: 108 штук по
каждому предмету. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шка
фу 8 полок, на каждой полке помещается 27 учебников. Сколько шкафов
можно полностью заполнить новыми учебниками?
7. Из пункта А поезд отправляется в 1 3:50, а в пункт В прибывает в 03:50
на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится
в пути?
1.
-
-
Прототипы заданий с кратким ответом
11
8. В доме 1 3 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находит
ся по 5 квартир. Петя живёт в квартире № 34 1 . В каком подъезде живёт
Петя?
9. В доме 1 3'этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится
по 5 квартир. Петя живёт в квартире № 34 1 . На каком этаже этого дома
живёт Петя?
1 О. 1 м 3 холодной воды стоит 39 рублей 98 копеек. Счётчик расхода воды
1 мая показывал 9537 м 3 , а 1 июня 9562 м 3 . Какую сумму нужно запла
тить за пользование холодной водой за месяц? Ответ дайте в рублях.
1 1 . Установка в квартире двух счётчиков воды (холодной и горячей ) обо
шлась Василию ИвановиЧу в 5390 рублей. До установки счётчиков он
платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 1470 рублей. После
установки счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды
на 800 рублей при тех же тарифах на воду. За какое наименьшее количе
ство месяцев при тех же тарифах на воду установка счётЧиков окупится?
1 2. В обменном пункте 1 доллар стоит 58 рублей 20 копеек. Туристы ку
пили 3 сувенира по 5,5 доллара каждый. Во сколько рублей обошлась им
эта покупка? Ответ округлите до целого числа.
1 3. В обменном пункте 1 доллар стоит 58 рублей 20 копеек. Туристы ку
пили 3 сувенира по 5,5 доллара каждый. Какое целое количество рублей
туристы обменяли в обменном пункте, чтобы сделать эту покупку?
14. Михаил получил свой первый гонорар в размере 1 1 00 рублей за вы
полненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз
своей маме. Какое наибольшее количество роз сможет купить Михаил,
если удержанный налог на его доходы составляет 13% от гонорара, ро
зы стоят 110 рублей за штуку и букет должен состоять из нечётного числа
цветов?
1 5. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 1 ,5 г 2 раза
в день в течение 9 дней. В одной упаковке 5 таблеток лекарства по 1,5 г.
Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
1 6. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 1 ,5 г 2 раза
в день в течение 9 дней. В одной упаковке 5 таблеток лекарства по 1 г.
Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
1 7. Одна таблетка лекарства весит 10 мг и содержит 27,2% активного
вещества. Ребёнку в возрасте шести месяцев врач прописывает 1,6 мг
активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько табле
ток этого лекарства следует дать ребёнку шестимесячного возраста весом
8,5 кг в течение суток?
-
12
Математика . Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
Для покраски 1 м 2 стены требуется 225 г краски. Краска продаётся
в банках по 3 кг. Сколько банок краски нужно купить д.ля покраски стены,
площадь которой равна 38 м 2 ?
1 9. Для покраски 1 м 2 стены требуется 225 г краски. Краска продаётся
в банках ' п о 3 кг. Сколько банок краски нужно купить д.ля покраски стены
д.линой 1 6 м и высотой 3 м?
2 0 . Одного рулона обоев хватает д.ля оклейки полосы от пола до потолка
шириной 1 ,2 м. Сколько рулонов обоев нужно купить д.ля оклейки прямо
угольной комнаты размером 3, 7 м на 5,3 м?
2 1 . Спидометр автомобиля показывает скорость ·в милях в час. Какую
скорость (в милях в час ) показывает спидометр, когда автомобиль дви
жется по трассе со скоростью 72 км в час, если считать 1 милю равной
1 ,6 км?
22. Бегун пробежал 85 м за 13,6 секунды. Найдите среднюю скорость бе
гуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
23. Александр купил американский автомобиль, спидометр которого по
казывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Како
ва скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает
37 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
24. Рост Мэри
5 футов 3 дюйма. Выразите её рост в сантиметрах, если
в 1 футе 1 2 дюймов, а в 1 дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого
числа.
25. На счету мобильного телефона Анны было 98 рублей, а после разгово
ра с Викой осталось 62,9 рубля. Сколько минут д.лился разговор с Викой,
если одна минута разговора стоит 1 рубль 30 копеек?
26. По тарифному плану «Хайвей 500 Мб» компания сотовой связи каж
дый вечер снимает со счёта абонента 3,95 рубля за пользование Интерне
том. Если на счету осталось меньше 8 рублей, то на следующее утро номер
блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Михаила на счету было
300 рублей. Сколько дней ( включая сегодняшний) он сможет пользовать
ся Интернетом, не пополняя счёт?
27. Флакон лосьона стоит 140 рублей. Какое наибольшее число флаконов
можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка состав
ляет 15%?
28. Блокнот стоит 64 рубля. Какое наибольшее число таких блокнотов
можно будет купить на 1200 рублей после повышения цены на 5%?
29. Оптовая цена учебника 210 рублей. Розничная цена на 16% выше
оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по роз
ничной цене на 10 000 рублей?
1 8.
-
Прототипы заданий с кратким ответом
13
30. Цена на электрический утюг была понижена н а 8% и составила
3680 рублей. Сколько рублей стоил утюг до понижения цены?
3 1 . Электрический чайник стоил 3200 рублей. Через некоторое время це
ну на эту модель повысили до 3680 рублей. На сколько процентов была
повышена цена?
32. При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 4%.
Терминал принимает суммы, кратные lО рублям. Ваня хочет положить
на счёт своего мобильного телефона не меньше 200 рублей. Какую ми
нимальную сумму он должен положить в приёмное устройство данного
терминала?
33. Клиент взял в банке кредит 25 ООО рублей на год под 23%. Он должен
погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, что
бы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами.
Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
34. В городе А живет 340 000 жителей. Среди них 64% женского населе
ния. Среди женщин 6% это студентки. Сколько студенток проживает
в городе А?
35. В городе А живет 340 000 жителей. Среди них 64% женского населе
ния. Среди мужского населения 16% это учащиеся. Сколько учащихся
мужского пола проживает в городе А?
-
-
Прототип задания 2
На графике (см. рис. l ) изображена зависимость температуры в
градусах Цельсия (0С ) от времени. На оси абсцисс откладывается
время в часах, на оси ординат - температура в градусах Цельсия
(0С). Температура в градусах Фаренгейта (F) определяется по формуле
t(° F) = 1,8 t(°C) + 32. Какая температура в градусах Фаренгейта была
в 17 часов?
36.
·
t,
0С
22
�
20 v
1
8
7
_.
�v
9
--
1/
11
13
Рис. 1
�Г-.-
15
--
17
19
часы
Математика. Подго товка к ЕГЭ-202 / . Профильный уровень
14
На графике (см. рис. 2) показан процесс разогрева муфельной печи.
На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат - темпе
ратура в градусах Цельсия.
Определите по графику, сколько минут печь нагревается от темпера
туры 120· 0с до температуры 270 ° С .
37.
t,
С
300
0
240
180
120
1/
1/
1/
1
3
v
j
1
1
/
7
5
11
9
13
,_
мин
Рис. 2.
38. На рисунке 3 показано изменение температуры воздуха в течение
некоторого времени. По горизонтали указывается время в часах, по вер
тикали - значение температуры в градусах Цельсия.
Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей
температурой воздуха. Ответ дайте в градусах Цельсия.
t,
С
0
'j
3
-1 ...._
-3
v"
/7
J- -i
.r
9
/
11
-
13
часы
�
Рис. 3
39. На рисунке 4 жирными точками показано суточное количество осад
ков, выпавших в пункте К с 1 1 по 25 мая.
По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количе
ство осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для на
глядности жирные точки на рисунке соединены линией.
15
Про тотипы заданий с кра тким ответом
мм
3
·�
/\
2
/"
12
1 \ /"
1
,/
\
14
16
18
'
20
-
22
24 числа
Рис. 4
Определите по рисунку, какое наименьшее количество осадков выпа
дало в период с 15 по 19 мая. Ответ дайте в миллиметрах.
40. На рисунке 5 жирными точками показано суточное количество осад
ков, выпавших в пункте М с 4 по 1 8 декабря.
По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - коли
чество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для
наглядnости жирные точки на рисунке соедnнены линией.
Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало
осадков.
:мм
3
2
!"5
1 \
1 \
1
1
7
9
\
j
/ \
/\
'1 \V
11 13 15
\
,_,
17 числа
Рис. 5
ходе химической реакции количество исходnого вещества, которое
ещё не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На ри
сунке 6 (см. с. 1 6) эта зависимость представлена графиком.
На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента
начала реакции, на оси ординат - масса оставшегося вещества, которое
ещё не вступило в реакцию (в граммах).
Определите по графику, сколько граммов вещества вступило в реак
цию за первые пять минут.
41. В
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
16
т,г а
'
"
!'--._
---
-
,._ -..
5
2
.....
4
6 8 10 12 мин
Рис. 6
42. Для проведения физического эксперимента собрали электрическую
цепь. В ходе эксперимента определяется зависимость силы тока от ве
личины сопротивления при переменном напряжении ( см. рис. 7). На оси
абсцисс откладывается сопротивление (в омах), на оси ординат - сила
тока (в амперах). Сопротивление увеличилось с 0,2 до 0,7 ома. На сколь
ко ампер при этом уменьшилась сила тока в цепи?
о
LA
J•
1'\.
�,...._
......
'
�-
-
1
о
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 7
1,2
-
R,
Ом
На диаграмме (см. рис. 8, с. 1 7) представлено количество (в тыся
чах тонн) выплавленного чугуна в 7 странах. Среди представленных стран
первое место по выплавке чугуна занимает страна С, седьмое место - Е.
Какое место занимает страна К?
43.
17
Прототипы заданий с кратким ответом
тыс т н
""
�
�
�
�
�
�
С
2400
1600
800
�
�
А
�
�
�
В
�
�
�
�
D
�
Е
�
�
�
�
�
Рис. 8
Прототип задания 3
44.
Найдите тангенс угла АБС (см. рис. 9).
вl/
.�/'
А/
v
с
Рис. 9
45. Найдите тангенс угла АБС (см. рис. 1 О ).
А
j
R
1
1
��
с
Рис. 1 0
46. Найдите котангенс угла АБС (см. рис. 1 1 ).
А
j
/J
1
1/
'/
v
v
v..,
Рис. 1 1
К
�
�
�
�
�
�
F
-
страны
18
Математика. Подго товка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге
с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 1 2 ). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
4 7.
IBlll
Рис. 1 2
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге
с размером клетки 1 см х 1 см ( см. рис. 1 3 ). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
48.
1
1/
/
�
/\
1
\
--
�
'
Рис. 13
49. Найдите площадь ромба, изображённого на
клетчатой бумаге с разме
ром клетки 1 см х 1 см (см. рис. 1 4 ). Ответ дайте в квадратных сантимет
рах.
111111
Рис. 1 4
19
Прототипы заданий с кратким ответом
50. Найдите площадь трапеции, изображённой н а клетчатой бумаге с раз
мером клетки 3 см
метрах.
х
3 см (см. рис. 1 5). Ответ дайте в квадратных санти
,
/
J
,
/
1/
/
1/
/
Рис. 1 5
5 1 . Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют коор
динаты (-2; 5), (-2; 3), (7; -2), (7; 0) (см. рис. 1 6).
х
Рис. 1 6
52. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют коор
динаты (6; 3), (2; 3), (4; 5), (6; 5).
53. Найдите площадь фиrуры, которая образована четырёхугольником
с координатами (О; 4), (-6; О), (О; - 4), (6; О), из которого вырезан четы
рёхугольник с координатами ( 1 ; 2), (-3; О), (1 ; -2), (5; О).
54. Найдите площадь S круга, стороны квадратных клеток равны 5
(см. рис. 1 7). В ответе укажите S/7Г .
•
Рис. 1 7
20
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
55. На клетчатой буМаrе изображены два касающихся круга, которые об
разуют некоторую фигуру. Площадь большего круга равна 45. Найдите
площадь фигуры, состоящей из двух кругов ( см. рис. 1 8 ) .
,
\.
,,.
......
.....
.....
J
'
IJ
\
/
1,
'
1\.
/
, ....
,
Рис. 1 8
Найдите периметр изображённого четырёхугольника, если стороны
квадратных клеток равны J5 ( см. рис. 1 9 ).
56.
j
1
J .........
v
....,...
. .
..... ......
......... 1
J
j
1
Рис. 1 9
57. Найдите высоту треугольника АБС, опущенную на сторону АС, если
стороны квадратных клеток равны ./f7 ( см. рис. 20).
А l/v
/
r- -
в
.......... '\
'
-
Рис. 20
\
-
\.
\
с
21
Про то типы заданий с кратким ответом
58. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного тре
угольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см х 1 см (см. рис. 2 1 ). Ответ дайте в сантиметрах.
v
!Г- ,..... ...
.....
� .....
Рис. 2 1
Найдите градусную меру угла К, изображённого н а клетчатой бумаге
с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 22).
59.
Рис. 22
Найдите расстояние от точки С до прямой АВ, если точки А, В и С
отмечены на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 23 ).
60.
Рис. 23
6 1 . Найдите расстояние от точки С до середины отрезка АВ, если точ
ки А, В и С отмечены на клетчатой бумаге и сторона клетки равна 2
(см. рис. 24 ).
Рис. 24
22
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
62. Точки А(- 1 ; 3), В (-3; -2) , С(5; -2), D( 4; 3) являются вершинами
трапеции. Найдите мину её средней линии.
63. Найдите мину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют
координаты (-3; -1), (-3; 4), (9; 4), (9; - 1 ) .
64. Прямая а проходит через точки с координатами (О; 5 ) и (7; О). Прямая
Ь проходит через точку с координатами (О; -2) и параллельна прямой
(см. рис. 25 ) . Найдите абсциссу точки пересечения прямой Ь с осью Ох.
а
у
Рис. 25
Найдите угол между заданными векторами (см. рис. 26 ). Ответ дайте
в градусах.
65.
А
у�
�
\ 11,.
0'r-....
г.......
х
�
......
Рис. 26
с
23
Прототипы заданий с кратким ответом
66. Найдите градусную величину дуги АС окружности, на которую опира
ется угол АБС (см. рис. 27). Ответ дайте в градусах.
--А/
1 ...
1
'\
'
r-....
{ "
!'.....
1
Рис. 27
r--.
1\.
........
VI/
v
"
в1
1
Прототип задания 4
67. В среднем из 400 приборов, поступивших в продажу, 5 с браком. Най
дите вероятность того, что один случайно выбранный д.ля контроля прибор
окажется бракованным.
68. Фабрика выпускает насосы. В среднем на 89 качественных насосов
приходится 1 1 , имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что
выбранный в магазине насос окажется с дефектами.
69. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до де
сятых.
70. В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена
из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 - из Бельгии. Порядок, в кото
ром выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.
7 1 . Конференция д.лится 4 дня. Запланировано 80 докладов: первые два
дня по 23 доклада, остальные распределены поровну между третьим и чет
вёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова ве
роятность, что доклад профессора А. окажется запланированным на тре
тий день конференции?
72. За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются
15 маль ч ико в и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки бу
дут
сидеть рядом.
73. Какова ве р о ятность того, что
33 до 52 делится на четыре?
от
случайно выбранное натуральное число
24
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
74. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число
от 33 до 52 не делится на четыре?
75. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что ча
совая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2.
Результат округлите до сотых.
76. Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в га
рантийный ремонт, равна 0,037. В городе К из 1 00 проданных телевизоров
в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отли
чается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом
городе?
77. На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка эк
заменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос относится к
разделу «Ботаника», равна 0,27; к разделу «Зоология» 0,28. Вопросов,
которые одновременно относятся к этим двум разделам, нет. Найдите ве
роятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одиому из
этих двух разделов.
78. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая
0,15. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.
79. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая
0 , 15. Найдите вероятность того, что горит хотя бы одиа лампочка.
80. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая
0, 15. Найдите вероятность того, что обе лампочки горят.
8 1 . Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая
0,15. Найдите вероятность того, что горит только первая лампочка, а вто
рая перегорела.
82. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0, 18, вторая
0,15. Найдите вероятность того, что горит только вторая лампочка, а пер
вая перегорела.
83. Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания
в мишень при одном выстреле равна О, 74. Найдите вероятность того, что
спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся.
Результат округлите до сотых.
84. Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше
года, равна 0,923. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет,
равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет,
но больше года.
-
-
-
-
-
-
Прототипы заданий с кратким ответом
25
85. В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Веро
ятность того, что к конuу дня в автомате закончится лимонад, равна 0,2.
Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна 0,09.
Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих ав
томатах.
86. Перед началом соревнований по теннису участников случайным обра
зом разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате
участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том
числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова бу
дет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до
сотых.
87. В группе 30 человек, среди них два брата. Группу случайным образом
делят на две команды по 1 5 человек в каждой. Найдите вероятность того,
что братья окажутся в одной команде. Результат округлите до сотых.
88. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают
двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М. хотел бы
остаться .в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того,
что М. останется дежурить?
89. Чтобы поступить в университет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ
не менее 75 баллов по каждому сдаваемому предмету. На специальность
«Информатика» необходимо сдавать русский язык, математику и инфор
матику, а на специальность «Робототехника» - русский язык, математи
ку и физику. Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 75 бал
лов по русскому языку, равна О, 7, по математике - 0,5, по информатике 0,6 и по физике - 0,4. Найдите вероятность того, что А. сможет поступить
хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
90. Робин Гуд подошёл к столу, на котором лежали 3 его старых лука
и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает
в цель из своего старого лука с вероятностью 0,8, а из нового - с ве
роятностью 0,3. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите
вероятность того, что он промахнётся при стрельбе.
9 1 . Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель
не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повто
ряются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уни
чтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,5, а при каждом
последующем - 0,8. Сколько выстрелов потребуется д,ля того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
92. Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод вы
пускает 38% всех подшипников, второй - 62%. При проверке оказалось,
·
26
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
что 2% продукции первого завода и 2,5% второго имеют скрытые дефекты.
Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется
бракованным.
93. Предприниматель закупает дп:я продажи на рынке куриные яйца в двух
хозяйствах. 50% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории,
а из второго хозяйства 40% яиц высшей категории. При продаже яиц
на рынке оказалось, что всего получилось 42% яиц высшей категории.
Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, ока
жется из второго хозяйства.
94. На фабрике 8% произведённых сумок имеют дефект. При контроле ка
чества продукции выявляется 85% сумок с дефектом. Остальные сумки
поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная
при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
95. В стране М. бывает два типа погоды: дождп:ивая и солнечная, причём
погода, установившаяся утром, держится неизменной весь день. Извест
но, что с вероятностью О, 7 погода завтра будет такой же, как и сегодня.
Сегодня, 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что
5 мая в стране будет дождп:ивая погода.
96. Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Ес
ли анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положи
тельным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятно
стью 0,95. Если пациент не болен, то анализ моЖет дать ложный поло
жительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 6% пациентов,
поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Най
дите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего
в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.
97. Мышь забегает в лабиринт в точке А. Развернуться и бежать назад
мышь не может, поэтому на каждом разветвлении мышь выбирает один
из путей, по которому она побежит. Считая, что выбор дальнейшего пути
чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышь выбежит в точ
ке В (см. рис. 28).
-
Рис. 28
Прототипы заданий с кратким ответом
27
Прототип задания 5
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня,
в ответе укажите меньший из них.
98.-51х
= 23 .
7
-
�+-1r
99 1 х 2 - 3 3 ·
11
·11
1 00.
=
-1.
1 0 1 . (х+ 7)2 28х .
1 02. х 9 = х - 9 .
3х-1 х+ 3 3
-
=
1 03. (2х + 3)3 = -64.
1 04. �5+х 2.
1 05.
J7
х
1
=
=
2.
1 06. Jx + 1 2 х.
1 07.
( �)
=
7-2х
= 8 1.
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня,
в ответе укажите больший из них.
108. 325x-ll
=
�·
1 09. 3х+4 = 0,375 gx+4.
1 IO. log1 ( 13+х) = -2.
3
1 1 1 . log4_x 4 = 2.
l 1 2. log9 32x
2.
=
og
+
5)
(x
1
3.
log7 (5x - 3).
l
l 7
х
l 1 4. log11 (3 - ) 2log11 2.
1 1 5. log2(15 + х) log2(3x 1)+ 3 .
1 1 6. 2log4(x+З) = 1.
Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрица
тельный корень.
·
-l =
=
-
=
1 1 7 .cos 1Г(Х + 2)
4
=
J2
2·
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
28
1 1 8. tg 71'
X
5 = 1.
Найдите корни уравнения sin ;х = -0,5. В ответе напишите наи
меньший положительный корень.
1 1 9.
П рототип задания 6
1 20. В треугольнике АБС угол С равен 90° , АБ = 32, sin Б = 0,5. Най
дите АС.
1 2 1 . В треугольнике АБС угол С равен 90°, АБ = 50, cos Б
;5 . Най
дите АС.
1 22. В треугольнике АБС угол С равен 90°, АБ = 20, tg Б =
Найдите
БС.
1 23. В треугольнике АБС угол С равен 90°, СН - высота, БС
14,
sin A = 0,5. Найдите БН.
1 24. В треугольнике АБС угол С равен 90°, СН - высота, АБ
26,
tg Б = 5. Найдите АН.
�.
=
=
�;. Найдите АБ.
=
. 1 25.
В треугольнике АБС АС = БС = 6,5, sin А =
В треугольнике АБС АС = БС = 13, tg А = 2,4. Найдите АБ.
В треугольнике АБС угол С равен 90° , СН - высота, АС 14,
АН = 7. Найдите sin Б.
1 28. В треугольнике АБС угол С равен 90°, С Н - высота, БС
26,
БН = 24. Найдите 13 cos A.
1 29. В треугольнике АБС угол С равен 90°, СН - высота, БС = 26,
БН = 24. Найдите tg А.
1 30. В треугольнике АБС угол С равен 90°, СН - высота, БН
5,4,
sin A = 0,6. Найдите АБ.
1 3 1 . Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 56. Боковые стороны
равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
1 32. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 7
и 1оvГз, а угол между ними равен 60° .
1 33. Площадь треугольника равна 72, две его стороны равны 9 и 24. Най
дите большую высоту этого треугольника.
1 34. Площадь ромба равна 22,5. Одна из его диагоналей в 5 раз меньше
другой. Найдите большую диагональ.
1 26.
1 27.
=
=
=
29
Прототипы заданий с кратким ответом
135. Около окружности, радиус которой равен 8, описан многоугольник,
периметр которого равен 73. Найдите его площадь.
1 36. В тупоугольном треугольнике АВС А С = ВС = 16, угол С равен
150° (см. рис. 29). Найдите высоту АН.
н
,О --------
с
л·'� в
Рис. 29
1 37. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 6\1'2, а острый угол
равен 45°.
1 38. Найдите угол между биссектрисами углов трапеции, прилежащих
к одной из боковых сторон. Ответ дайте в градусах.
1 39. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, приле
жащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Мень
шая сторона параллелограмма равна 9 (см. рис. 30 ). Найдите его большую
сторону.
А )\/1С
Е
D
Рис. 30
140. Основания трапеции ABCD равны 6 и 9 (см. рис. 3 1 ). Найдите отре
зок EF, соединяющий середины диагоналей трапеции.
�
А�
Рис. 3 1
В
1 4 1 . Найдите вписанный угол, опирающийся н а дуrу, которая составляет
окружности. Ответ дайте в градусах.
Математика. Подго товка к ЕТЭ-2021. Профильный уровень
30
1 42. Угол В четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, ра
вен 67°. Найдите угол D этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
1 43. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол BCD равен
108°, угол ABD равен 77° (см. рис. 32). Найдите угол АСВ. Ответ дайте
в градусах.
Рис. 32
1 44. Хорда АВ стягивает дуrу окружности в 108°. Найдите угол АБС
между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точ
ку В (см. рис. 33 ) Ответ дайте в градусах.
.
Рис. 33
1 45. Сторона правильного треугольника равна 8v'З. Найдите радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
1 46. Сторона правильного треугольника равна 8 �. Найдите радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
1 4 7. Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр
описанной окружности.
31
Прототипы заданий с кратким ответом
1 48. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 4 7.
Площадь большего многоугольника равна 171,5. Найдите площадь меньшего многоугольника (см. рис. 34 )
:
·
.
D'
с
'
в
Рис. 34
1 49. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 1 0 и 24.
Найдите д.лину вектора СО ОЁ.
1 50. Площадь параллелограмма АБСD равна 24. Точка К середина
стороны ВС. Найдите площадь трапеции AKCD.
1 5 1 . Периметр прямоугольника равен 28, а площадь равна 48. Найдите
диагональ этого прямоугольника.
1 52. Найдите отношение площади квадрата, вписанного в окружность,
радиус которой равен ./7, к площади квадрата, описанного около этой
окружности (см. рис. 35 ).
-
-
Рис. 35
32
Математика. Подготовка к ЕГЭ-202 / . Профильный уровень
1 53. Длина дуги сектора круга равна 9. Найдите площадь этого сектора,
если радиус круга равен 3.
1 54. Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями
2х + 5у = 4 и х + 2 у = 1.
1 55. Диагональ BD разделила прямоугольник ABCD на два треугольни
ка. Найдите меньший угол между биссектрисами острых углов треуголь
ника ВСD (см. рис. 36 ) . Ответ дайте в градусах.
к
в
Рис. 36.
Рис. 37.
1 56. В треугольнике АБС угол А равен 37°, угол С равен 85° , ВК
биссектриса внешнего угла при вершине В, точка К лежит на прямой АС.
На продолжении стороны АВ за точкой В выбрана такая точка М, что
СВ = ВМ (см. рис. 37). Найдите угол СКМ. Ответ дайте в градусах.
1 57. Основания трапеции равны 9 и 17. Найдите меньший из отрез
ков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ BD
(см. рис. 38 )
-
.
Рис. 38
Прототипы заданий с кратким ответом
33
1 58. Диагонали четырёхугольника равны 1 1 и 16. Найдите периметр че
тырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного
четырёхугольника (см. рис. 39).
Рис. 39
1 59. Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через
конец меньшего основания, равного 7, отсекает треугольник, периметр ко
торого равен 28 (см. рис. 40 ). Найдите периметр трапеции.
Рис. 40
1 60. Дана окружность, радиус которой равен 23. Градусная мера вписан
ного в эту окружность угла равна 30° . Найдите длину хорды, на которую
опирается этот угол.
1 6 1 . Периметр правильного шестиугольника равен 15. Найдите радиус
окружности, описанной около этого шестиугольника.
1 62. Сторона правильного треугольника равна 6VЗ. Найдите радиус
окружности, описанной около этого треугольника.
1 63. В трапецию, периметр которой равен 76, вписана окружность. Най
дите среднюю линию трапеции.
Прототип задания 7
1 64. Прямая у = 12х + 49 является касательной к графику функции
у
2х3 - 3х 2 - 24х + 5. Найдите абсциссу точки касания.
=
З . Зак. № 1 2 1
34
Матема тика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профиль ный уровень
1 65. На рисунке изображён график функЩtи у = g(x), определённой
на интервале ( -3 ; 7) (см. рис. 4 1 ). Определите количество целых точек,
в которых производная функЩtи отрицательна .
•
-
1
у
1 ......
!"
-.....
�
о
1
1
y = g (x )
\
1
\
"- .....
1
-
1
/
/)
,
7
х
�
Рис. 4 1
1 66. Н а рисунке изображён график фунКlUIИ у = g(x) , определённой
на интервале (-7; 1) (см. рис. 42). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику фунКЩtи параллельна прямой у = -34 или совпа
дает с ней.
1
_ 7
-
\
1
1
1
1
y = g (x l
\
\
1
v
1 ,
у
1
.......
о
х
1
-J
Рис. 42
1 67. На рисунке 43 изображён график у = р' (х) - производной функ
ЩIИ р(х), определённой на интервале (-3 ; 7). В какой точке отрезка [З; 6]
функЩtя р(х) принимает наименьшее значение?
-�
/,
у
1�
о
1 1 1 1
у = р'( х )
\
1 \
!'-.
v
j
)
1
1/ 7
х
Рис. 43
3"
35
Прототипы заданий с кратким ответом
168. На рисунке 44 изображён график у = h'(x) - производной функ
ции h(x), определённой на интервале (-7; 3). Найдите количество точек
минимума функции h(x), принад.лежащих отрезку [-4; 2].
-7
1
1
1'v
1
\1
1
/
/'
у�
( \• / 1 1
о
j3
\/
y = h 1( x )
х
Рис. 44
1 69. На рисунке 45 изображён график у = h' (x) - производной функ
ции h(x) , определённой на интервале (- 7 ; 3). Найдите промежутки воз
растания функции h(x) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в
эти промежутки.
1
_ 7
/1 /
\ J
\....v
1
v
У'
1/ \. / '
о
/
у = h 1( x )
1
х
Рис. 45
170. На рисунке 46 изображён график у = f'(x) - производной функ
ц и и J(x), определённой на интервале ( - 3 ; 7). Найдите промежутки убы
вания функции f(x) . В ответе укажите д.лину наибольшего из них.
- 1
\
у�
1
/ \. 0 _ l
\ 1/ ,
")
1
1/
(\ _1
1 ,
'
'\. 7
y =.f'( x )
Рис. 46
4. Зак. № 121
\
-
х
--
36
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
1 7 1 . На рисунке 47 изображён график у = s' ( x)
производной функ
ции s ( x ) , определённой на интервале (-7; 3). Найдите количество то
чек, в которых касательная к графику функции s (x ) параллельна прямой
у=
1 ,_ 5х 1 или совпадает с ней.
-
-
-
у
-
.
/
/
/1 / 1 /
\j
/ \/'
1
1/
о
13
/
y = s fx )
х
�
Рис . 47
1 72. На рисунке 48 изображены график функции у = f( x ) и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f (х)
в точке хо.
1 ...... :"'\ у .
.... \.,
\ .......
о
...... .....
1
'1/
v
XiJ
r....:.
.....
\
y =f( x ) '
1 73.
у =
-5х
Прямая у =
+ 1
ах2 + 3х + 9. Найдите а.
х
�
r--...
-
..... -.,/
v
/
Рис. 48
является касательной к графику функции
1 7 4. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x ( t ) = 5t3 - 2 19t + 10, где х
расстояние от точки отсчёта в мет
рах, t время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её
скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 4.
1 75. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x ( t ) = 5 t2 - 20t + 1 1 , где х
расстояние от точки отсчёта в мет
рах, t
время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите
момент времени t ( в секундах), когда скорость материальной точки стала
равной 5 м/с.
-
-
-
-
4•
37
Прототипы заданий с кратким ответом
1 76. На рисунке 49 изображён график функции у = t(x) и шесть точек
на оси абсцисс: х 1 , х2 , , хв . В скольких из этих точек производная функ
ции t(x) отрицательна?
• • •
......
у· �
1 1.' '' 1\
' '
!'
Х1 � Х3\
Х4
: 1
\ •
N..
j
�
л
•
о
/
'\
\
Xs
/
Х{;
' ''
'\ :
/
х
у = t (х )
Рис. 49
На рисунке 50 изображён график у = g' (x) - производной функ
ции g(x) и шесть точек на оси абсцисс: х 1 , х2 , , х6 • В скольких из этих
точек функция g(x) возрастает?
1 77.
• • .
"'
l' •' \
'
,,
У'
Х1 Х2 Х3 ,
1
Х4
1
\ •
\J...
1
/\
1
,)
\.
J о \
/
•
Xs
'
Х{;
'
f
' '
" :
у = g' (x )
/
/
1
х
Рис. 50
1 78. На рисунке 5 1 изображён график функции у = h( х ) и отмечены точки
4 -1, 2, 5. В какой из этих точек значение производной наименьшее?
В ответе укажите эту точку.
-
,
Рис. 5 1
38
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
1 79. На рисунке 52 изображён график функции у = F(x) - одной из пер
вообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-3 ; 7) .
Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (х ) = О
на отрезке [-0,5; З] .
-!
\
'
у
l
'\ / '- о
\!/
l
1
/
(\
J\
'
1\. 7
y = F (x)
х
--
Рис. 52
1 80. На рисунке 53 изображена ломаная линия - график некоторой
функции у = g(x). Пользуясь рисунком, вычислите G(б) - G(-2), где
G(x) - одна из первообразных функции g(x) .
1
1
1
1
-2
у
l
1 1 N
y = g (x) "'-.
о
'
"" /
6
1
/
х
Рис. 53
s(x) .
1 8 1 . На рисунке 54 изображён график некоторой функции у
Найдите площадь заштрихованной фигуры, если одна из первообразных
функции s(x) имеет вид S(x) = хз
З + х2 + Зх - 1.
=
Рис. 54
Прототипы заданий с кратким ответом
39
Прототип задания 8
1 82. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на ри
сунке 55 (все двугранные углы прямые).
5
15
Рис. 55
1 83. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 55 ( все
двугранные углы прямые).
1 84. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки
А, В, С, D, А1 , В1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 ,
у которого АВ = 7, AD = 4, АА1 = 6.
1 85. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и В многогран
ника, изображённого на рисунке 55. Все двугранные углы многогранника
прямые.
1 86. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1 C1 D 1 E1 F1 все
рёбра равны 11. Найдите расстояние между точками А и С1 .
1 87. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус ос
нования которого равен 6. Объём параллелепипеда равен 720. Найдите
высоту цилиндра.
1 88. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы, радиус кото
рой равен 3. Найдите его объём.
1 89. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили
воду. Уровень воды достигает 1 5 см. На какой высоте будет находиться
уровень воды, если её перелить в другой такой же сосуд, у которого сто
рона основания в 3 раза меньше, чем у первого? Ответ выразите в см.
1 90. Объём конуса равен 5 4 . Через середину высоты параллел�;но осно
ванию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего
конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
40
1 9 1 . Объём первого цилиндра равен 36. У второго цилиндра высота в де
вять раз меньше, а радиус основания в пять раз больше, чем у первого.
Найдите объём второго цилиндра.
1 92. Площадь поверхности куба равна 72. Найдите его диагональ.
1 93. Объём куба равен 2 1 6. Найдите площадь его поверхности.
1 94. Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна 8. Найдите пло
щадь боковой поверхности цилиндра, делённую на
1 95. Площадь большого круга шара равна 7. Найдите площадь поверхно
сти шара.
1 96. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности
увеличится на 1 26. Найдите ребро куба.
1 97. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой
лежит ромб с диагоналями, равными 24 и l О , и боковым ребром, равным 4.
1 98. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности шара, если радиус
шара уменьшить в 7 раз?
1 99. В цилиндрический сосуд, в котором находится 9 литров воды, опуще
на деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1 ,8 раза. Чему
равен объём детали? Ответ выразите в литрах.
200. Если каждое ребро куба уменьшить на 1 , то его объём уменьшится
на 37. Найдите ребро куба.
20 1 . Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 34.
Точка Е
середина ребра SB. Найдите объём тела, полученного по
сле отсечения треугольной пирамиды ЕАВС от пирамиды SABCD
(см. рис. 56 ).
7Г .
-
s
с
Рис. 56
Прототипы заданий с кратким ответом
41
Объём куба равен 72. Найдите объём четырёхугольной пирами
основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба
(см. рис. 57).
ды,
202.
Рис. 57
203. Объём тетраэдра равен 4. Найдите объём многогранника, вершинами
которого являются середины рёбер данного тетраэдра (см. рис. 58).
Рис. 58
204. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно v'39, а сто
рона основания равна 6. Найдите объём пирамиды.
205. Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен 1 2. Найдите
объём шара.
206. Конус вписан в цилиндр. Объём конуса равен 1,5. Найдите объём
цилиндра.
207. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, ра
диус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы
равна 60. Найдите высоту цилиндра.
208. Длина окружности основания цилиндра равна 7. Площадь боковой
поверхности равна 29,4. Найдите высоту цилиндра.
209. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите угол между прямыми АВ и В1 С.
, Ответ дайте в градусах.
42
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 , все рёбра которой
равны 1 7, найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1 • Ответ дайте в граду
сах.
2 1 1 . В �равильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1 D1 E1F1 все
рёбра равны 23. Найдите тангенс угла AD1 D.
2 1 0.
(
)
П рототип зада н ия 9
Найдите значение выражения.
2 1 2. 1 � - 3, 4 : 2 .
30
2
2
2 1 з. v'1бо - 96 •
2 1 4.
( З�) 2
253 , 55
125 1,7 ·
4 ,7 . 2 ,1
2 1 6. 7 32, 7
14
2 1 5.
( {sf- Jfs)
1
2 1 s. ИЬ.W ·
11
2 1 7.
�·
2 1 9 w . ffi
.
V7
1
9
220. 4 52 · О, 55 - 8 5 .
(3а)22 + 15а
22 1 .
3а + 5а
4 -5
125с .
222. 3 а с З
-2
а
с-4
2
(5а )
) ( 2 9) .
223. ( � 5 а 7 5а � 7 25а - 4
За +{Р - 8 4.
224. 13р - а + 10, если
а- р+1
225. 3р(х + 4) - р( Зх ) , если р(х) х + 1 .
226. J<a + 3 ) 2 + J(a - 4 ) 2 при -3 � а � 4.
·
=
=
2 {l"4Va
228. 2 va: 7 - 7уа - 2а + 1 1 при а
а
уа
s : 23vГз-1.
vГз
4vГз.
5
2
2
229.
11
43
Прототипы заданий с кратким ответом
3
1
227. 13 Vfa + 9 ifl{1a при а > О.
230. 3 7tog7 .
23 1 . 81 1оgз 5 .
232. log0,1 25 8.
233. log2 1 + log0, 25
16
234. log0, 36 5 - log0, 36 3.
235 log6 17
.
·log36 17
236. log 1 � И27.
237 . log 1 3 о , 4 + log6 2,5 .
log6 13
238. log0 ,6 7 log7 О , 36.
239. 92+log9 2 .
240. log2 log 3 81.
24 1 . lоgа (а3 Ь2 ), если lоgь а =
og9 7
242. 15 tog 7 9 l .
·
32.
·
(
)
243 15 вin 23° сов 23°
вin 46°
·
2
2
о
244• 3(вin 51 - сов 51°)
сов 102°
245 18 вin 23°
· вin 337°
246 . 14 вin 86° .
вin 43° вin 47°
24 7. -8v'З вin(-420° )
14
248.
3
вin - 1Т сов - 3 1Т
·
.
·
( :) ( :)
.
����
�·
=
5.
rз)
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
44
4 sin({3 - 51Г) + 3 cos (� +
5 . ({3 + 1Г )
250. 4 cos(x - 37Г) - 7 sin(0,57Г + х ) , если cos x = 0,3.
25 1 . tg 2 {3, если 7 sin2 {3 + 9 cos 2 {3 = 8.
4 in {3+ 7 cos {3 если tg а = 2.
252. �
FJ
5 sш {3 - 8 cos {3 '
253. 3 s!n f3 + 15 cos j3 - 8 , если tg FJа = _ 5 _
sш f3 + 5 cos {3 + 2
3 sin {3 - 7 cos {3 - 3 = 1
254. tg {З, если .
2 sш {3 + 6 cos {3 - 12 -4 .
5 .
255. J2 - vГs cos2
249.
SШ
;
256.
VS sin2 5; - J2.
257.
Найдите tg {3, если sin {З = -
Jk и {3
Е
( 7Г; 3; ) .
Прототип задания 1 О
При температуре О 0С рельс имеет д.лину lo = 5 м. При воз
растании температуры д.лина рельса (в метрах) меняется по закону
l(t 0 ) = lo ( l + at0 ) , где а = 1,2 10 - 5 (0С) - коэффициент теплового
расширения, t 0 - температура (в градусах Цельсия). При какой темпе
ратуре рельс уд.линится на 1,5 мм? Ответ запишите в градусах Цельсия.
258.
·
Объём спроса q (единиц в месяц) на продукцию зависит от цены
(тыс. руб. ) и задаётся формулой q = 100 - 10 р. Выручка предприятия
за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = qp. Определите
наибольшую цену р, при которой месячная выручка r(p) составит не ме
нее 160 тыс. руб. Ответ запишите в тыс. руб.
р
259.
260. Высота над
h(t) = - 2 + 17t
землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону
- 5t 2 , где h - высота в метрах, t - время в секундах,
прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на
высоте не менее 4 метров?
45
Прототипы заданий с кратким ответом
26 1 . В боковой стенке бака установлен кран. Если вода начинает вытекать
из бака, то высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по
закону H(t) Но - (2gHo) 0 • 5 kt + 0,5gk 2 t 2 , где t - время в секундах,
прошедшее с момента открытия крана, Но = 5 м - начальная высота
столба воды, коэффициент k = � , а g - ускорение свободного падения
5
2
(считайте g 10 м/с ). Через сколько секунд после открытия крана в баке
останется 0,04 первоначального объёма воды?
=
=
262. Коэффициент полезного действия ( КГЩ) некоторого двигателя опре
деляется формулой Т/ = (Т1 Т2 ) Т1 · 100%, где Т1 - температура нагре
вателя (в градусах Кельвина), Т2 - температура холодильника (в граду
сах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Т1 КПД
этого двигателя будет не меньше 16%, если температура холодильника
Т2 = 399 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
-
:
263. Уравнение физического процесса записывается в виде pV0 = const,
где р (Па) - давление в газе, V - объём газа в кубических метрах, а положительная константа. При каком наименьшем значении константы а
уменьшение в 4 раза объёма приц_одит к увеличению давления не менее,
чем в 16 раз?
�Р
Агентство определяет рейтинг R новостных изданий по формуле
1 + 2 + 4тr на основе показателей: информативность I опе
3
R
ративность Ор и объективность Tr публикаций. Каждый показатель оце
нивается целыми числами от -3 до 3. Каким должно быть число А, чтобы
издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 6, 75?
264.
=
п
п
,
265. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в ла
боратории используется собирающая линза с главным фокусным рассто
янием f = 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться
в пределах от 27 до 33 см, а расстояние d2 от линзы до экрана - в пределах
от 100 до 150 см. Изображение на экране будет чётким, если выпщшено
соотношение +
11 12 = Укажите, на каком наименьшем расстоянии
от линзы можно поместить экран, чтобы изображение лампочки на экране
было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
у·
46
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
П рототип задания 1 1
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Пер
вый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую
половину пути со скоростью 54 км/ч, а вторую половину пути со скоро
стью, на 7,5 км/ч большую скорости первого, в результате чего прибыл
в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость перво
го автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
267. Катер прошёл против течения реки 120 км и вернулся в пункт от
правления, затратив на обратный путь на 1 час меньше. Найдите скорость
катера в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ
дайте в км/ч.
268. Рабочий с учеником, работая вместе, могут выполнить задание
за 3 дня. За сколько дней, работая отдельно, может это задание выпол
нить ученик, если он за три дня выполняет такую же часть работы, какую
рабочий - за один день?
269. В период акции продукт М подешевел на некоторое число процентов,
а по окончании - подорожал на то же самое число процентов. В резуль
тате продукт М стал стоить на 0,25% дешевле, чем он стоил до акции.
На сколько процентов подорожал продукт М после акции?
270. Четыре рубашки дороже куртки на 12%. На сколько процентов три
рубашки дешевле куртки?
27 1 . Три брата решили купить новый телевизор и положили в копил
ку некоторые суммы денег. Если бы первый положил в копилку сумму
в 1,5 раза больше, то сумма в 'копилке увеличилась бы на 19%. Если бы
третий брат уменьшил свой вклад в 5 раз, то сумма в копилке сократи
лась бы на 20%. Сколько процентов от общего вклада составляет сумма,
вложенная вторым братом?
272. В сосуд, содержащий 8 литров 35%-ного водного раствора некото
рого вещества, добавили 1 2 литров воды. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
273. Вишня содержит 89% влаги, а высушенная вишня - 12%. Сколько
килограммов вишни требуется для получения 1 5 килограммов высушен
ной?
27 4 . Имеется два сплава. Первый содержит 12% меди, второй - 21 % ме
ди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержа
щий 19,2% меди. На сколько килограммов масса первого сплава меньше
массы второго?
266.
47
Прототипы заданий с кратким ответом
275. Имеется два сосуда. Первый содержит 5 кг, а второй
1 5 кг рас
твора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то
получится раствор, содержащий 21 % кислоты. Если же смешать равные
массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
276. Бригада каменщиков выкладывает забор д.линой 280 метров, еже
дневно увеличивая норму кладки на одно и то же число метров. Известно,
что за первый и последний день в сумме бригада выложила 70 метров за
бора. Определите, за сколько дней бригада каменщиков выложила весь
забор.
277. Расстояние между городами А и В равно 175 км. Из города А в го
род В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью
100 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе С и повернул
обратно. Когда он вернулся в город А, автомобиль прибыл в город В. Най
дите расстояние от А до С . Ответ дайте в километрах.
278. Два болида стартуют одновременно в одном направлении из двух
диаметрально противоположных точек круговой трассы, д.лина которой
равна 19,5 км. Через сколько минут болиды поравняются в первый раз,
если скорость одного из них на 13 км/ч больше скорости другого?
279. Часы со стрелками показывают 19 часов 00 минут. Через сколько
минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой стрелкой?
280. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую
треть - со скоростью 90 км/ч, а последнюю - со скоростью 72 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ
дайте в км/ч.
28 1 . Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 72 км/ч, проезжает мимо
семафора за 40 секунд. Найдите д.лину поезда в метрах.
282. Первая труба наполняет резервуар на 15 минут дольше, чем вто
рая. Обе трубы вместе моrут наполнить этот же резервуар за 4 минуты.
За сколько минут наполняет этот резервуар одна первая труба?
-
П р ототип задания 1 2
Найдите точку максимума функции у =
283.
х3 + 3х2
5.
хз на отрезНайдите наибольшее значение функции у = 3 - х + З
ке [0; 3] .
3
285. Найдите точку минимума функции у = х 2 бх - 1.
286. Найдите точку минимума функции у = ху'Х 6 х + 7.
284.
-
-
-
48
Математика. Подго товка к ЕГЭ-2021. Профиль ный ур овень
Найдите точку минимума функции у = 2 + х - 4.
х
2
288. Найдите точку максимума функции у = - х + 121 .
х
.
289. Найдите точку максимума функции у = (х + 2} 2 (х - 1) + 6.
290. Найдите точку максимума функции у = у'5 + 6х - х 2 .
29 1 . Найдите наибольшее значение функции у = log 1 2 (-4 - Вх - х 2 ) - 5.
2
292. Найдите точку минимума функции у = sx - 4x - 1 .
293. Найдите наименьшее значение функции у = 13 + 6
х + 24 х на от287.
[-�;о] .
сов
7r
резке
294. Найдите наименьшее значение функции у = 6х - 1 - 6 tg х на отрезке
[- � ;о] .
295. Найдите наименьшее значение функции у
=
5x - ln(x+3) 5 на отрезке
=
е2"' - бе"' + 7 на отрезке
[-2,5; 0] .
296. Найдите наименьшее значение функции у
[1; 2] .
297.
[2; 4] .
298.
Найдите наименьшее значение функции у
Найдите точку максимума функции у
на промежутке
299.
(О; �) .
=
=
(х - 4} е"'- 3 на отрезке
1 + (2х - 3) cos x - 2 sin x
Найдите точку максимума функции У = - 2 .: ·
х 121
И н стр у к ц ия п о вы п ол н е н и ю ра б оты
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в се
бя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового
уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повы
шенного и высокого уровней сложности, 7 заданий с развёрнутым ответом
повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится
3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1-12 записываются в бланк ответа № l в виде
целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля от
ветов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № l .
При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение
и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допуска
ется использование гелевой или капиллярной ручки.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи
в черновике, а также в тексте контрольных измерительных мате
риалов не уч итываются при оценивании работы. После завершения
работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № l
№2 был записан под правильным номером.
Баллы, полученные вами за выполненные задания, суммируются. По
старайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
и
Желаем успеха!
Справочные материалы
sin2 а + cos2 а = 1
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2а = cos2 а - sin2 а
sin( а + ,В) = sin а · cos .В + cos а · sin .В
cos ( a + ,В) = cos а · cos .В - sin a · sin ,8
·
Тр е н и р о в оч н ые ва р ианты
Ва р иант .N'o 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы..
Часть
1
1 . Показания счётчика электроэнергии l сентября составляли 67 132 ки
ловатт-часа, а l октября - 67 302 киловатт-часа. Сколько рублей нужно
заплатить за электроэнергию за сентябрь, если l киловатт-час электро
энергии стоит 5 рублей 4 7 копеек?
2. На графике (см. рис. 1 ) изображена зависимость крутящего момента
двигателя от числа его оборотов в минуту. На горизонтальной оси отме
чено число оборотов в минуту, по вертикальной оси - крутящий момент
в Н·м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо можно вычислить по
формуле v = 0,065n, где n - число оборотов двигателя в минуту. С какой
наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий
момент был равен 80 Н·м? Ответ дайте в км/ч.
н.
20
"
.�
•v
10
.�
•v
2'"
.v
1
1 ООО
J
1
"
3000
\
\
1
-
5000 об/мин
Рис. l
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён угол (см. рис. 2,
с. 51 ). Найдите тангенс этого угла.
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите ве
роятность того, что сумма выпавших очков равна 9. Ответ округлите до
сотых.
51
Вариант № 1
Рис. 2
5. Найдите корень уравнения х 2 +4х- 77 = О. ЕсЛи уравнение имеет более
одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. Одна сторона треугольника равна з v'з, радиус описанной окружности
равен З (см. рис. З ) . Найдите острый угол треугольника, противолежащий
этой стороне. Ответ дайте в градусах.
Рис. 3
7. На рисунке 4 изображён график функции у = f (x), определённой на
интервале (-4; 5) . Определите количество целых точек, в которых произ
водная функции положительна.
�
1
1
у
У = .f(x)
�
-4
\
\
v !\
/
1
1 . \ - 1/
1
5
/о 1
•
,
\
х
Рис. 4
Шар, объём которого равен 84, вписан в цилиндр ( см. рис.
Найдите объём цилиндра.
8.
5, .с. 52).
52
Тренировочные варианты
\
'·
···
c:
:...
· ·
1
! ::. Jllo
·
·
/
/
· . ....
Рис. 5
Часть 2
9.
Найдите значение выражения 3о,б4 . 9°. 1 8 •
1 О. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = · где U - напряже
ние в вольтах, R - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть
включён предохранитель, который плавится, если сила тока превыша
ет 5,5 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у
электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть про
должала работать. Ответ выразите в омах.
1 1 . Во дворе Николая Павловича расположен бассейн, подача воды обес
печивается двумя насосами. Один из них, работая самостоятельно, напол
няет бассейн за 30 мин, а другой - за 20 мин. За сколько минут оба насоса
наполнят бассейн, работая одновременно?
1 2. Найдите наименьшее значение функции у = ./х 2 - 8х + 20.
�
Для записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
т е отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3.
(
а) Решите уравнение 2 cos2 х -
[- 1�71"; ]
3;) = vГз sin(7r - 2х)
б ) Найдите его корни, принадлежащие отрезку
.
-
1.
411"
.
1 4 . В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания
АВ равна 7, а боковое ребро РВ равно 6. J;Ia рёбрах CD и РС взяты
соответственно точки М и К, при этом DM = 2; РК =
а ) Докажите, что плоскость В МК перпендикулярна плоскости АБС.
Варнант № J
б) Найдите объём пирамиды КВСМ.
1 5. Решите неравенство log7(9 - х ) + log7
� � log7 (� -
53
+ 8) .
1 6. На сторонах PQ, QM и РМ треугольника PQM взяты соответствен
но точки К, L и N, при этом РК : KQ = 21 : 10, QL : LM = 2 : 3,
РN : N М = 2 : 5. Отрезки М К и NQ пересекаются в точке А.
а) Докажите, что РALN - параллелограмм.
б) Найдите АМ, если QM = 15, РМ = 28 и прямая РА перпендику
лярна прямой QM.
1 7. В авrусте 2023-го года Виталий Андреевич планирует взять кредит в
банке в размере S тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению со своим зна
чением в конце предыдущего года;
- с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
- в авrусте 2024, 2025 и 2026-го года долг должен оставаться S тысяч
рублей;
- выплаты в 2027 и 2028-м годах должны составлять по 275 тысяч
рублей;
- к авrусту 2028-го года долг должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
1 8. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
log0, 5 (36 - у2 ) = log0 , 5 {36 - а2 х2 ) ,
х 2 + у2 = 4х - 6у
имеет ровно два решения.
1 9. Костя написал на листе бумаги три столбца с натуральными числами.
Все записанные числа различны, и в каждом столбце есть хотя бы одно
число. Костина сестра приписала к каждому числу из первого столбца
справа цифру 2, а каждому числу из второго столбца - цифру 5. Числа
из третьего столбца не изменялись.
а) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 5 раз?
б) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 15 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех выпи
санных чисел?
{
х
' 54
Тренировочные варианты
В ариант № 2
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Зап ишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик).
Показания счётчика 1 июня составляли 1 32 куб. м воды, а 1 июля 1 48 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за июнь, если сто
имость 1 куб. м холодной воды составляет 42 руб. 30 коп.?
2. На графике (см. рис. 6) изображена зависимость крутящего момента
двигателя от числа его оборотов в минуту. На горизонтальной оси отме
чено число оборотов в минуту, по вертикальной оси - крутящий момент
в Н·м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо можно вычислить по
формуле v = 0,044n, где - число оборотов двигателя в минуту. С какой
наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий
момент был равен 120 Н ·м? Ответ дайте в км/ч.
н.
п
"
�
.�
18
•v
10
2
.�
•V
1
j
.�
'V
....
/
1/
1 000
,...
�
,
3000
5000
Рис. 6
......
7000
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1
тангенс этого угла (см. рис. 7).
х
1'\
"\
9000 Об/мин
1 изображён угол. Найдите
l 1Жtt1 1 1 1
Рис. 7
55
Вариант № 2
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите ве
роятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Ответ округлите до
сотых.
5. Найдите корень уравнения х 2 -8х-65 = О. Если уравнение имеет более
одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. Одна сторона треугольника равна 5\1'2, радиус описанной окружности
равен 5 (см. рис. 8). Найдите тупой угол треугольника, противолежащий
этой стороне. Ответ дайте в градусах.
Рис. 8
7. На рисунке 9 изображён график функции у = f(x), определённой на
интервале (-2; 9). Определите количество целых точек, в которых произ
водная функции положительна.
1 1 у
у = .f(x)
!/
1
-2/- о
1
т
:/
.
.
\
l
\
\
'
-
J
1
1
!'--'
/
9х
Рис. 9
8. Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр (см. рис. 1 0, с.
Найдите объём цилиндра.
Ч асть 2
9.
Найдите значение выражения 7°· 5 49о . 2 5 .
•
56).
56
Тренировочные варианты
'
1
/
· · ·'· :.: · :.i ·: ·,- . " "
Рис. 1 0
1 О. Сила тока в цепи I ( в амперах) определяется напряжением в цепи и со
противлением электроприбора по закону Ома: I = где И - напряже
ние в вольтах, R - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть
включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает
8 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у элек
троприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала
работать. Ответ выразите в омах.
1 1 . Работая самостоятельно, швея может выполнить театральный заказ
за 24 рабочих дня. Вместе с напарницей они моrут выполнить этот заказ
за 15 рабочих дней. За сколько рабочих дней может выполнить этот заказ
напарница, работая самостоятельно?
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = ../7 - бх - х 2 •
�,
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3.
( 9;) = � sin(2x + ) .
б) Найдите его корни, принад,11 ежащие отрезку [- 9;;
].
а) Решите уравнение cos2 х +
п
- Зп
1 4. В правильной четырёхугольной пирамиде QKLMN сторона осно
вания KL равна 8, а боковое ребро QK равно 10. На ребре QM взята
точка Р, а на ребре М N - точка Т, при этом NT = 6 и плоскость LTР
перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а ) Докажите, что МР равно 4.
б) Найдите объём многогранника PKLTN.
Вариант № 2
(�
з).
57
Решите неравенство log0 ' (2 х) + lo&J � � log0
' х
' х бх +
1 6. На сторонах К L, LM и КМ треугольника К LM взяты соответствен
но точки Р, Т и Q, при этом К Р : PL = 24 : 5, LT : ТМ = 1 : 4,
MQ : QK 5 1. Отрезки М Р и LQ пересекаются в точке N.
а) Докажите, что КNТQ - параллелограмм.
б) Найдите NМ, если LM = 15, КМ = 24 и прямая К N перпендику
лярна прямой LM.
1 7. В сентябре 2024-го года Алексей Дмитриевич планирует взять кредит
в банке в размере S тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
- кажды й январь долг возрастает на 20% по сравнению со своим зна
чением в конце предыдущего года;
- с февраля по август необходимо выплатить часть долга;
- в сентябре 2025 и 2026-го года долг должен оставаться S тысяч рублей;
- выплаты в 2027, 2028 и 2029-м годах должны составлять по 432 ты
сячи рублей;
- к сентябрю 2029-го года долг должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
1 8. Найдите все значения параметра а, при которЬl:х система уравнений
log 10 (100 х 2 ) log 10 (100 а2 у2 ),
х2 + у2 10х + Ву
имеет ровно два решения.
1 9. Вика написала на листе бумаги три столбца с натуральными числами.
Все записанные числа различны, и в каждом столбце есть хотя бы одно
число. Викин брат приписал к каждому числу из первого столбца справа
цифру 1, а каждому числу из второго столбца - цифру 7. Числа из тре
тьего столбца не изменялись.
а) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 6 раз?
б) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех выпи
санных чисел?
3
1 5.
-
3
.
=
{
-
=
:
=
-
3
-
58
Тренировочные варианты
В ариант № 3
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
11
1 . Диагональ экрана телевизора равна 43 дюйма. Выразите диагональ
экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат
округлите до целого числа.
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении
трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наи
большую температуру воздуха 14 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
2
18
1
�
14
12
1
§
л
�
':
2
�
J
J
'
/
,_ _
1\.
�
'-
r
....
.....
_,,.
'
00 06 1 2 1 8 00 06 1 2 1 8 00 06 1 2 1 8 00
1 3 апреля
1 4 апреля
Рис. 1 1
3. На клетчатой бумаге с размером клетки
рис. 1 2 ). Найдите тангенс этого угла.
J
J
1
' ......
�
1 5 апреля
1 х 1 изображён угол ( см.
i..--
Рис. 1 2
4 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
59
Вариант № З
5. Найдите корень уравнения
;lx
=
2х + 15
1. Если уравнение имеет более
� (см. рис. 13 ).
одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
6. В треугольнике АБС угол С равен 90°, АВ
=
9, sin В =
Найдите АС.
Рис. 1 3
f(x),
7 . Н а рисунке 1 4 изображён график функции у =
определённой
на интервале (-7; 4) . Найдите количество точек, в которых касательная
к графику у = !( х) параллельна прямой у = 1 1 .
,__ ,__
,__
,__
1
- r/
1
У =
-
\
1
j(x)
\
,
.
.
о
\
\
у
\. /
1
/
1
J
1
4х
...,
Рис. 1 4
8. Шар, объём которого равен
дите объём куба.
127Г, вписан в куб ( см. рис.
1 5, с . 60). Най
Часть 2
7,8
25 '
5 .
9. Найдите значение выражения �
1 О. На верфи инженеры проектируют новый аппарат д.ля погружения на
большие глубины. Конструкция имеет форму бочки ( цилиндра ), и значит,
60
Тренирово чные варианты
Рис. 1 5
сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться формулой
FА = р g ·
R2 • l, где R - радиус основания цилиндра, l = 2 м,
3
р = 1000 кг/м - плотность воды, а g = 10 Н/кг - ускорение свободно
го падения. Найдите, каким должен быть максимальный радиус (в метрах)
основания бочки (цилиндра), чтобы обеспечивать эксплуатацию аппарата
в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не должна пре
восходить 1 004 800 Н (считать
3, 14 )
1 1 . Первая труба пропускает в минугу на 2 л воды больше, чем вторая.
Сколько литров в минугу пропускает первая труба, если резервуар объё
мом 360 л она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба заполняет
резервуар объёмом 180 л? Известно, что первая труба пропускает больше
5 л в минуrу.
2
1 2. Найдите точку максимума у = 13sx-x •
·
7r
·
7r R:$
.
Для записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
те отдельнь�й лист. Запишите сначала номер вь�полняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответь� запись�вайте чётко и разборчиво.
1 3.
а) Решите уравнение 1 + v'2 · sin
( � - х)
+
cos 2х = О.
[ 9;] .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 37r;
1 4. Дана правильная шестиугольная пирамида S АБС D EF с вершиной S.
На стороне AF основания выбрана точка М так, что 2АМ = MF. Через
точки М и D проведена плоскость, перпендикулярная плоскости основа
ния. Ребро SE пересекает эту плоскость в точке К.
а) Докажите, что КМ = KD.
б) Найдите объём пирамиды KADEF, если АВ = 6, SA = 12.
1 5. Решите неравенство lоg v'2 (5 - х) 2 � x2 · log2 (x - 5) 2 + x · log (5 - х).
72
i
Варнант № З
61
1 6. Через точки А и В равнобедренного прямоугольного треугольника
с прямым углом А провели окружность с центром О так, что эта
окружность пересекает отрезок АС в точке D. Через точки А и С прове
ли ещё одну окружность так, что её центр Р лежит на прямой АО. Пусть
Е точка пересечения этой окружности с прямой АВ.
а ) Докажите, что прямая BD параллельна прямой СЕ.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны соответственно 6
и 8.
1 7. Гражданин РФ хочет взять потребительский кредит на 3 года в авrусте
2020 года. Банк ему предлагает следующие условия:
- в январе каждого года долг увелич'и:вается на 20% по сравнению с
предыдущим годом;
- с февраля по июль нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, какую сумму кредита хочет взять гражданин в банке, если
известно, что кредит должен быть выплачен тремя равными платежами и
общая сумма выплат превысит сумму взятого кредита на 386 ООО рублей.
1 8. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
log7(x2 - а2 ) - log7(y2 - а 2 ) = О,
х2 + у2 - 2х + 4у = О
имеет ровно 1 решение.
1 9. Ученик составляет из пятёрок числа и находит их всевозможные сум
мы. Если бы у него было n = 4 пятёрки, например, то всевозможных сумм
было бы пять:
АБС
-
{
81 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20;
82 = 55 + 5 + 5 = 65;
8з = 55 + 55 = 1 10;
84 = 555 + 5 = 560 ;
8s = 5555.
а) Может ли одна из сумм 8 быть равной 1000, если n = 20?
б ) Может ли одна из сумм 8 быть равной 1000, если n = 30?
в) Укажите все n, для каждого из которых одна из сумм 8 равна
если одно из слагаемых равно 555.
1000,
62
Тренировочные варианты
Вариант № 4
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запи ш ите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . С истема навигации самолёта информирует пассажира о том, что полёт
проходит на высоте 34 000 футов. Выразите высоту полёта в метрах. Счи
тайте, что 1 фут равен 30,5 см.
2. На рисунке 16 показано изменение температуры воздуха на протяжении
трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наи
большую температуру воздуха 2 февраля. Ответ дайте в градусах Цель
сия.
о
1
2
3
4
5,
7
8
1/
-
'
�
-1 :.:
'"
j
-1 r
lf
/
'
-1 2
,
""
-1 3 J
-1 4
00 06 1 2 1 8 00 06 12 18 00 06 12 1 8
1 февраля
3 февраля
2 февраля
�
�
00
Рис. 1 6
3. Н а клетчатой бумаге с размером клетки
рис. 1 7 ). Найдите тангенс этого угла .
1
"
,
,
/
Рис. 1 7
...
�
1
х
1 изображён угол (см.
63
Вариант № 4
4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза.
Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
5. Найдите корень уравнения
7х = 1. Если уравнение имеет более
:
3х + 10
одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
АБС угол С равен 90°, АВ = 13, sin А
( см. рис. 18). Найдите АС.
6. В треугольнике
fl
2
с
А�В
Рис. 1 8
7. На рисунке 1 9 изображён график функции у = f(x), определённой на
интервале (-5; 12). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику у = f(x) параллельна прямой у = 5.
---
\
\
-:) 1
1
У =
1
J
'""'
1
1
1
у
j(x)
h
\
\
1
о \
1
'l.I
1
/ "
1
l\...V
Рис.
\
'
/
1
J
1/
1
)
1
12
х
19
8 . Шар, объём которого равен 2311", вписан в куб ( см. рис. 20, с. 64). Най
дите объём куба.
Часть 2
9. Найдите значение выражения
2 1 1 ,2 •
45 , 6
64
Тренировочные варианты
Рис. 20
1 О. На верфи инженеры проектируют новый аппарат мя погружения на
большие глубины. Конструкция имеет форму бочки (цилиндра), и значит,
сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться формулой
FA = р g :
r2 l, где r радиус основания цилиндра, l = 1, 5 м,
3
р = 1000 кг/м - плотность воды, а g = 1 0 Н/кг - ускорение свободно
го падения. Найдите, каким должен быть максимальный радиус (в метрах)
основания бочки (цилиндра), чтобы обеспечивать эксплуатацию аппарата
в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не должна пре
восходить 188 400 Н (считать
3,14).
1 1 . Первый рабочий изготавливает в час на 3 детали больше второго, и
заказ в 330 деталей он изготавливает на 5 часов 30 минут быстрее второго.
Сколько деталей в час изготавливает второй рабочий?
1 2. Найдите точку минимума функции у = 1 1 х2+Бх+14 .
·
1Г
·
·
-
1Г ::::::
Для записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запи ш ите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3.
( 2х) -
а) Решите уравнение cos � +
cos 2х + 1 = О.
б) Укажите корни этого уравнения, принаД11 ежащие отрезку
[ 5; ; 1 �1Г ] .
1 4 . Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S,
стороной основания 12 и боковым ребром 24 . На ребре SC выбрали точ
ку К, отстоящую от вершины S на расстояние, равное 6. Через точки К
D перпендикулярно основанию пирамиды проведена плоскость а.
а) Докажите, что линия пересечения плоскости а с плоскостью осно
вания пересекает отрезок АВ в его середине.
б) Найдите объём пирамиды К АБСD.
и
65
Вариант № 4
2 х
2
1 5. Решите неравенство ( х е - 4ех + 2х 8) log4 (3 х) :::;; О.
log� (x 3) 2
1 6. Окружность с центром О касается в точке А внутренним образом
окружности с центром Р. Диаметр BD меньшей окружности параллелен
диаметру ЕС большей окружности, причём точки В и Е лежат по одну
-
-
-
сторону от линии центров окружностей .
а ) Докажите, что точки О, D и В лежат соответственно н а прямых АР,
АС и АЕ.
б) Найдите AD, если АЕ больше чем AD в 2 раза, а радиусы окруж
ностей равны соответственно 3 и 8.
1 7. Гражданин РФ взял в банке потребительский кредит на 3 года в августе
201 7 года. В январе каждого года долг увеличивался на 25% по сравнению
с предыдущим годом. В июле каждого года он выплачивал часть долга
одним платежом. Известно, что кредит был полностью выплачен тремя
равными платежами (за 3 года ). Определите размер ежегодного платежа,
если известно, что общая сумма выплат на 655 ООО рублей больше суммы
взятого кредита.
1 8. Найдите все значения а , при каждом из которых система уравнений
{ 5v<i2=X2
5 Ja2-y2 = О ,
х2 + у2 + 2х - 4у = О
-
имеет ровно 2 решения.
19. Ученик составляет из пятёрок числа и находит их всевозможные сум
мы. Если бы у него было п = 4 пятёрки, например, то всевозможных сумм
было бы пять:
81 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 ;
82 = 55 + 5 + 5 = 65;
8з 55 + 55 = 1 10;
84 = 555 + 5 = 560 ;
85 = 5555.
а ) Может ли одна из сумм 8 быть равной 1000, если п = 1 0 1 ?
б ) Может л и одна из сумм S быть равной 1000, если п = 100?
в) Укажите все трёхзначные п, мя каждого из которых одна из сумм S
равна 1000.
=
5. Зак. № 121
66
Тренировочные варианты
Вариант Nо 5
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запи шите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Для приготовления маринада для корнишонов на l литр воды требу
ется 1 4 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продаётся в пакетиках
по 50 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно купить для приготов
ления 60 литров маринада?
2. На рисунке 21 жирными точками показано суточное количество осад
ков, выпадавших в Тюмени с 12 по 25 мая 1912 года. По горизонтали
указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпа
давших в соответствующей день, в миллиметрах. Для наглядности жирные
точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа
впервые за данный период в Тюмени выпало ровно 4 миллиметра осадков.
11
10
9
8
7
6
1 '- v
5
1
4
1 '- 1/
3
1
/
\
2
'V
1
v "' '
l
о
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 20 2 1 22 23 24 25
Рис. 2 1
3 . На клетч а той бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треуголь
ник ( см . рис. 22, с. 67). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
4. При производстве на каждые 1997 качественных медицинских масок
приходится З с браком. Найдите вероятность того, что случайно выбран
ная медицинская маска окажется с браком.
5•
67
Вариант № 5
.......
l см
.......
�r---.......
Г"- ......
Рис. 22
5. Найдите корень уравнения (2х + 9 ) 2 = (2х - 3) 2 •
треугольнике АБС уrол С равен 90° , АС = 16, tg А
(см. рис. 23). Найдите АВ.
6. В
Vf7
8
Рис. 23
7. На рисунке 24 изображён график у = f'(x) - производной функции
f(x), определённой на интервале (-6; 5). В какой точке отрезка [-3; 4]
функция принимает наибольшее значение?
1
1
у
1
у = f '(x)
/\
1
-6
1
\ /\
\
-�
-1 о
\
.
!'-
1
/� .....
1
/
х
Рис. 24
цилиндрический сосуд налили 85 см3 воды. Уровень жидкости ока
зался равным 17 см (см . рис. 25, с. 68 ) . Затем в воду погрузили деталь,
при этом уровень воды изменился на 5 см. Чему равен объём детали? От
вет выразите в см 3 .
8. В
6. Зак. № 1 2 1
68
Тренировочные варианты
Рис. 25
Часть 2
9. Найдите значение выражения
(й- М) fi.
:
1 О. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление
которых составляет 35 Ом. Параллельно с ними в розетку предполага
ется подключить электрочайник. Каково наименьшее возможное сопро
тивление (в омах ) электрочайника, если известно, что при параллельном
соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее со-
Ji1 · i;:
, а для нормального функпротивление задаётся формулой R =
.
1+ 2
ционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не
менее 10,5 Ом?
1 1 . П ервые три часа автомобиль ехал со скоростью 81 км/ч, затем два
часа - со скоростью 52 км/ч, а затем ещё 3 часа - со скоростью 63 км/ч.
Найдите "Среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
1 2. Найдите точку минимума функции у = х3 - 15х 2 + 5.
Для. записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
(3; - х) = sin (1;1r + х) · cos (1�1Т - х) .
б ) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку ( - 3: ; � ]
1 3. а) Решите уравнение sin2
.
1 4 . В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат
ABCD. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под
6'
Варнант № 5
69
одним углом. Плоскость а проходит через точку D и середину высоты пи
рамиды и параллельна прямой АС.
а) Докажите, что плоскость а делит ребро SБ в отношении 2 : 1, счи
тая от вершины Б.
б) Найдите синус угла между плоскостью а и плоскостью ASC, если
угол ВАС равен 30°.
1 5. Решите неравенство 3Iog� (x-B)2 � 39 10gъ ( В - х )
2 3
1 6. В треугольнике АБС известны стороны АБ = 7, БС = 10 и АС = 12.
Биссектрисы AD и БЕ пересекаются в точке N.
а) Докажите, что БD : АЕ = 85 : 1 14.
б) Найдите отношение площадей треугольников АБN и АБС.
1 7. В июле планируется взять кредит в банке на целое число миллионов
рублей на срок 6 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый июнь долг возрастает на 10% по сравнению с началом дан
ного года;
- с июля по декабрь 1 -го, 2-го, 3-го и 4-го годов заёмщик выплачива
ет только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному;
- с июля по декабрь 5-го и 6-го годов необходимо выплатить одина
ковые суммы так, чтобы весь долг был погашен полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма вы
плат заёмщика будет не менее 14 млн рублей.
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
х2 + у2 = 10х 2у,
log3 +y ( 3 + х + а ) = 1
имеет ровно два решения.
1 9. Сорок пять гирек массой l г, 2 г, ... , 45 г разложили по двум коробкам,
в каждой коробке хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается
целым числом граммов, и все массы различны. Затем из второй короб
ки переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в
первой коробке увеличилась на 3 г.
а ) Могло ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали
только гирьки массой 2 г, 5 г, 11 г и 26 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой коробке первоначально рав
няться 15,2 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой
коробке?
·
{
-
�
.
70
Тренировочные варианты
Вариант Nо 6
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запи ш ите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Для приготовления абрикосового мармелада на 1 кг абрикосов нуж
но 1 ,4 кг сахара. Какое наименьшее количество килограммовых упаковок
сахара нужно купить бабушке Тане, чтобы приготовить мармелад из 1 8 кг
абрикосов?
2. На рисунке 26 жирными точками показано суточное количество осад
ков, выпадавших в С имбирске с 5 по 26 января 1924 года. По горизонтали
указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпа
давших в соответствующей день, в миллиметрах. Для наглядности жирные
точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого чис
ла впервые за данный период в Симбирске выпало ровно 8 миллиметров
осадков.
11
10
9
8
7
6
J"
/\ 1
1 \/
1\.
/�
1
1
/ 1"
J ['\..
1
"/
J
5
1
V
\
4
\
J
3/
1\. 1
2
1
0
5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 14 1 5 1 6 1 7 1 8 19 20 2 1 22 23 24 25 26
Рис. 26
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треуголь
ник ( см. рис. 27, с. 71 ) . Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
4. При производстве на каждые 2486 качественных медицинских масок
приходится 14 с браком. Найдите вероятность того, что случайно выбран
ная медицинская маска окажется с браком.
Вариант № б
71
Г"'-- ...
г--... ...
�,
l см
..... ......
Рис. 27
5. Найдите корень уравнения
(2х - 5) 2
=
(2х + 6) 2 •
б. В треугольнике АБС угол С равен 90° , АС
Найдите АВ.
= 6, tg В =
� (см. рис. 28 ).
Рис. 28
7. На рисунке 29 изображён график у = f'(x) - производной функции
f(x) , определённой на интервале (-7; 8). В какой точке отрезка [-5; 5]
функция принимает наибольшее з�ачение?
- У = / '(х)
1
1
-
7
у
/1\
'
1 \
\
'
-5
-2
\
\
о
..
, _v
1
/
Рис. 29
-
!'.. _.. /
,1
/
1
/
8
х
8. В цилиндрический сосуд налили 96 см 3 воды. Уровень жидкости ока
зался равным 15 см ( см. рис. 30, с. 72 ). Затем в воду погрузили деталь,
при этом уровень жидкости поднялся на 6 см. Чему равен объём детали?
Ответ выразите в см3 .
72
Тренировочные варианты
Рис. 30
Часть 2
9. Найдите значение выражения
(� - R)
:
ffi;.
1 О. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление
которых составляет 80 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается
подключить холодильник. Каково наименьшее возможное сопротивление
(в омах) холодильника, если известно, что при параллельном соединении
двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление
задаётся формулой R =
Ji11 +• i;:2
,
а для нормального функционирования
электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 16 Ом?
1 1 . Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, затем 180 км со скоростью 80 км/ч, а следующие 46 км - со скоростью 40 км/ч. Най
дите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
1 2. Найдите точку минимума функции у = х 3 - 9х 2 + 12.
Для запи си решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы зап и сывайте чётко и разборчиво.
( 2;7Г + х) cos (1;7Г х) .
б ) Найдите его корни, принадлежа щие промежутку ( - 1 :7Г ; 5; ) .
( ; - х)
1 3. а) Решите уравнение cos2 5
=
v'3 sin
-
·
-
1 4. В основании четырёхутольной пирамиды SABCD лежит квадрат
ABCD. Боковые рёбра пирамиды равны. Плоскость а проходит через
точку D, параллельна прямой АС и делит высоту пирамиды в отношении
3 : 1, считая от вершины S.
Вариант № б
73
а ) Докажите, что плоскость а делит ребро SБ в отношении 2 : 3, счи
тая от вершины Б.
б) Найдите синус угла между плоскостью а и плоскостью ASC, если
угол SAC равен 45°.
1 5. Решите неравенство 7Iog � (5 - x)
2.
�
4
�
72 Iog2 (x - 5 ) .
АБС известны стороны АБ = 6, БС = 1 1 и
LАБС = ��. Прямые AD и Б Е пересекаются в точке О , центре
вписанной в треугольник окружности. AD и БЕ пересекают стороны БС
и АС в точках D и Е соответственно.
а) Докажите, что ЕС : DC = 20 : 17.
б) Найдите отношение площадей треугольников АБС и АБО.
1 6. В треугольнике
cos
-
1 7. В июле планируется взять кредит в банке на целое число миллионов
рублей на срок 6 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый июнь долг возрастает на 20% по сравнению с началом дан
ного года;
- с июля по декабрь 1 -го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает
только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному;
- с июля по декабрь 4-го, 5-го и 6-го годов необхощ�мо выплатить
одинаковые суммы так, чтобы весь долг был погашен полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма вы
плат заёмщика будет не более 15 млн рублей.
1 8. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых система
{ �0;4:Y(J:_
два ре
уравнений
О,25(х2 + У2 + lOx)) = 1 имеет ровно
шения.
1 9. Шестьдесят шесть гирек массой l г, 2 г, . . . , 66 г разложили по двум
коробкам, в каждой коробке хотя бы одиа гирька. Масса каждой гирь
ки выражается целым числом граммов, и все массы различны. Затем из
второй коробки переложили в первую одиу гирьку. После этого средняя
масса гирек в первой коробке увеличилась на 2 г.
а ) Могло ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали
только гирьки массой 6 г, 8 г и 25 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой коробке первоначально рав
няться 14,7 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой
коробке?
74
Тренировочные варианты
Вариант Nо 7
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть
1
1 . Лось пробежал 900 м за 45 секунд. Найдите среднюю скорость лося.
Ответ дайте в километрах в час.
2. На рисунке 31 показана динамика цен на: медь (в долларах США за
тонну) в период со 2 декабря 2019 года до 24 февраля 2020 года. На го
ризонтальной оси отмечаются дни, на вертикальной оси - цена меди в
долларах С ША. Определите, используя рисунок, разность между наи
большей и наи м_е ньшей ценой за тонну меди в долларах США в указанный
период.
6500
6250
6000
-
v
;_J
,/Г \
, _ � 1"
'-V
5750
5500
5250
2 дек
1 6 дек 30 дек
.......,
\
\
\ ' ....
v v
1 3 янв 27 янв
Рис. 3 1
'-' r
10 фев 24 фев
3 . Н а клетчатой бумаге с размером клетки 1 с м х 1 с м изображён тре
угольник ( см. рис. 32). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
I HMM I
Рис. 32
75
Вариант № 7
10
4. Завод выпускает процессоры. В среднем 21 процессор из 100 имеет
скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
для проверки процессор окажется без дефектов.
5. Найдите корень уравнения
( 811 ) х -
=
90°,
6. В треугольнике АБС угол С равен
sin A = � (см. рис. 33 ). Найдите ВН.
,
9.
-
СН
высота, А В
=
32 ,
Рис. 33
7. На рисунке 34 изображён график у = f'(x) - производной функции
!( х ) определённой на интервале (- 12 ; 4) . Найдите количество точек ми
нимума фун кции f(x), принадлежащих отрезку [-10; 3] .
-- У =
,у
f '(x)
/
-1 2 -101
'-.J./
1/
1
/
, _v
Рис.
'
\
\
\
"'
о
.
1
1
lf
,)
�
1
1
3 4
х
34
8. Объём конуса равен 56. Через середину высоты параллельно о снова
нию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего
конуса с той же вершиной ( см. рис. 35, с. 76). Найдите объём меньшего
конуса.
Часть 2
u
9. Наидите значение выражения
( v'П + v'5) 2
55
8 + v�
76
Тренировочные варианты
Рис.
35
1 0. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м
над Землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле
l =
[i.
где
R = 6400 ( км ) - радиус Земли. Найдите, с какой высо
ты линия горизонта видна на расстоянии 3,2 километра. Ответ выразите в
метрах.
1 1 . Константин Валерьевич смешал некоторое количество 14%-го рас
твора определённоrо вещества с таким же количеством 28%-ro раствора
этого же вещества. Определите концентрацию получившегося раствора в
процентах.
1 2. Найдите точку максимума функции у = (х + 1 2 ) е 1 2 х
-.
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
· и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3. а) Решите уравнение
J2 sin
( � + х) - 2 sin2 ( 3; - ) = О.
б ) Укажите его корни, принад.лежащие промежутку
[ - 37Г; - 3;) .
х
1 4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC рав
на 12, а боковое ребро равно 8. Точка К лежит на боковом ребре SB, а
точка М на стороне основания АВ, ВМ = 3, SK : КВ = 2 : 3. Плос
кость а проходит через точки К и М и перпендикулярна плоскости АБС.
а ) Докажите, что точка С принад.лежит плоскости а.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью а.
1 5. Решите неравенство log 2 7 (x2 + Вх + 16) � 2x 2 log8 1 (х + 4) .
1 6. В прямоугольном треугольнике АБС АС > 2ВС. Точка М лежит на
катете АС, а точка N на продолжении катета ВС за точку С, СМ = 2ВС,
77
Вариант № 7
CN = 2АС. Отрезки СН и CF - высоты треугольников ANC и ВМС
соответственно.
а) Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM, если
ВС = 4 и АС = 10.
1 7. В авrусте 2021-го года планируется взять кредит на 5 лет в размере
210 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по июль каждого года необходимо выплатить одним пла
тежом часть долга;
- в авrусте 2022, 2023 и 2024-го года долг остаётся равным 210 тыс.
рублей;
- выплаты в 2025 и 2026-м году равны;
- к авrусту 2026-го года долг должен бы·rь погашен полностью.
Найдите r, если известно, что общий размер выплат по погашению
долга составит 305 тыс. рублей.
1 8. Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
{J
4 - y2 = J4 - a2 x 2 ,
2
х + у 2 4х + 2 у
а,
=
имеет ровно два различных решения.
1 9. На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое
из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их
сумма равна 1056?
78
Тренировочные варианты
Вариант № 8
Ответом к задан иям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы..
Часть 1
1 . Электропоезд проехал 909 км за 5 часов. Найдите среднюю скорость
электропоезда. Ответ дайте в метрах в секунду.
2. На рисунке 36 точками показана цена акций определённой компании в
некоторые дни с сентября 2019 года по январь 2020 года. По горизонтали
указываются числа месяца,, по вертикали - цена акций этой компании
в долларах США. Для наглядности точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой
акций этой компании за указанные дни.
266
258
250
242
234
226
....
Г"'о
1
J
1
1
J !'\.
'
'
'"
"""
.....
1 6 сент. 1 7 окт. 1 6 нояб.
20 1 9 г 201 9 г
20 19 г
��
�
1 6 дек. 1 6 янв.
20 1 9 г 2020 г
Рис. 36
3 . На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треуголь
ник (см. рис. 37, с. 79). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
4. Завод выпускает процессоры. В среднем 26 процессоров из 200 име
ет скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
для проверки процессор окажется без дефектов.
5.
Найдите корень урав� ения
( �4 )
х-7
= 8.
Вариант № В
/
/
/
/ \.
r-...
l см
\
79
-
\
Рис. 37
6. В треугольнике АВС угол С равен 90 ° , СН - высота, АВ
(см. рис. 38 ). Найдите высоту СН.
sin А
=
v;
з У2,
Рис. 38
На рисунке 39 изображён график у f' ( х) - производи ой функци и
!(х), определённой на интервале (-9; 10). Найдите количество точек ми
нимума функции f(x), принад,11 ежащих отрезку [-7; 8) .
7.
=
!,,-.
-У = f '(x)
\
\
\
-9
-7
\
\
1'-L...I
J
\
\
'
)
-I
у
-"
1
\
'
о
..
l
\
\
"
'
1
/
1
j
/
1
/
\
\
1
\
10
х
Рис. 39
Объём конуса равен 96. Через середину высоты параллельно основа
нию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего
конуса с той же вершиной (см. рис. 40, с. 80). Найдите объём меньшего
конуса.
8.
80
Тренировочные варианты
Рис. 40
Часть 2
2
+
Наидите значение выражения ( v1i5 v'3)
3 + J55
1 О. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй,
выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляет9.
u
/j.
ся по формуле l =
где R = 6400 км - радиус Земли. Человек,
стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведёт
лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наи
меньшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел
горизонт на расстоянии не менее 8 километров?
1 1 . В лаборатории соединили 5 кг сплава, содержащего 42% меди, с 15 кг
сплава, содержащего 38% меди. Определите процентное содержание меди
в получившемся сплаве.
1 2. Найдите точку максимума функции у = (х + 7)е 1 7 -х .
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответ ы зап исывайте чётко и разборчиво.
1 3.
а) Решите уравнение v'2cos(1Т
-
х
)+2
cos2 (
1Т
+ х)
=
О.
(
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку �; 27Т] .
1 4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC рав
· Точка К лежит на боковом ребре SB, а
на 10, а боковое ребро равно
�
точка М на стороне основания АВ, ВМ = 3, SK : КВ = 4 : 9. Плос
кость а проходит через точки К и М и перпендикулярна плоскости АБС.
81
Варнант № В
t
а ) Докажите, что точка С принад,11 ежит плоскости а.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью а.
1 5. Решите неравенство log 16 (x2 6х + 9) � x2 log3 2 (x 3).
-
-
1 6. В прямоугольном треугольнике АБС АС > ЗВС. Точка М лежит
на катете АС, а точка N
на продолжении катета ВС за точку С,
СМ = ЗВС, CN = ЗАС. Отрезки СН и CF высоты треугольников
ANC и ВМС соответственно.
а) Докажите, что прямые СН и СF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите AL, если
ВС 3 и АС = 10.
1 7. В сентябре 2025-го года планируется взять кредит на 5 лет в размере
315 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по август каждого года необходимо выплатить одним
платежом часть долга;
- в сентябре 2026, 2027 и 2028-го года долг остаётся равным 315 тыс.
рублей;
- выплаты в 2029 и 2030-м году равны;
- к сентябрю 2030-го года долг должен быть погашен полностью.
Найдите r , если известно, что общий размер выплат по погашению
долга составит 457,5 тыс. рублей.
1 8. НаЙдите все значения при каждом из которых система уравнений
J9 - y2 J9 - a2 x 2
х2 + у2 = -6х + Зу
имеет ровно три различных решения.
1 9. На доске написаны несколько различных натуральных чисел, каждое
из которых делится на 3 и оканчивается на 8.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 204?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 360?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их
сумма равна 1530?
-
-
=
{
а,
=
82
Тренировочные варианты
Вариант № 9
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Поезд Москва - Ростов-на-Дону отправляется в 1 7:23, а прибывает в
1 4:53 на следующий день ( время московское). Сколько часов поезд нахо
дится в пути?
2. На диаграмме (см. рис. 41 ) показана среднемесячная температура воз
духа диём в Ростове-на-Дону за каждый месяц года. По горизонтали
указаны месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Опре
делите по диаграмме номер месяца, в котором среди ем�сячная дневная
температура принимает наименьшее положительное значение.
1
1
1
4о
3о
2о
-
1
1
_l
1
1
1
1
�
1
1
1
__,_
n
v
n
-1 о
v
2
1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
6
1
1
7
1
1
8
1
1
--
1
1
9 10
--
11
--
12
Рис. 4 1
3. Н а клетчатой бумаге с размером l<Летки 1 см х 1 см изображён угол (см.
рис. 42). Найдите синус этого угла .
•
Рис 42
4 . Перед началом первого тура чемпионата по дартсу участников разби
вают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в
чемпионате участвуют 36 спортсменов, среди которых 8 спортсменов из
.
83
Варнант № 9
Шотландии, в том числе Грег Монтгомери. Найдите вероятность того, что
в первом туре Грег Монтгомери будет играть с каким-либо игроком в дартс
из Шотландии.
5. Найдите корень уравнения log6(x + 5) = log6(3x - 10) .
6 . В треугольнике АБС АС = ВС, А В = 9 , sin LA = 5 ( см. рис. 43).
13
Найдите АС.
Рис. 43
7. На рисунке 44 изображён график у = f'(x) - производной функции
J(x), определённой на интервале ( - 7 ; 4). Найдите промежутки убывания
функции J(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти про
межутки.
у
- у = f '(x)
-
1 ,
-7/
1
J
/
\
\
�
о
.
.
J
1
"
/1
\ )
J
1/
1
'
х
Рис. 44
8. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 16, вы
сота равна 1 1 (см. рис. 45, с. 84 ). Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
1 1
2��
Часть 2
9.
Найдите значение выражения
(
)3
84
Тренировочные варианты
Рис. 45
1 О. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик из
меряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает
расстояние до воды по формуле h = 5t 2 , где h расстояние в метрах,
t время падения в секундах. До дождя время падения камешков со
ставляло 1,5 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя,
чтобы измеряемое время изменилось на 0,3 с? Ответ выразите в метрах.
1 1 . В 6:30 моторная лодКа вышла из пункта N в пункт Н, расположенный
в 66 км от N вниз по течению. Пробыв в Н 2 часа 50 мин, лодКа отправи
лась l{азад и вернулась обратно в 1 6:00 того же дня. Найдите собственную
скорость лодКи, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1 2. Найдите наименьшее значение функции у = 6х - 6 ln(x + 3) + 1 на
отрезке [-2; О] .
-
-
Для. записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
а) Решите уравнение 2 sin3 х
- J2 sin2 х + 2 sin х - J2
=
�; 7r] .
О.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 1 4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания
АВ равна 5, а боковое ребро SA равно 6,5. На рёбрах CD и SC отмечены
точки N и К соответственно, причём DN : NC = SK : КС = 2 : 3 .
Плоскость а содержит прямую К N и параллельна прямой ВС.
а) Докажите, что плоскость а параллельна прямой SD.
б) Найдите угол между плоскостью а и плоскостью основания пира
миды.
1 5. Решите неравенство
log 7 (5 - х) (х 2 + 3)) � log7 (x 2 - 11х + 30) + log7 (7 - x).
1 3.
(
85
Варнант № 9
1 6. В треугольнике АБС угол А равен 120°, БМ и CN - высоты тре
угольника. Точка К середина стороны БС.
а) Докажите, что треугольник КМN равносторонний .
б) Найдите площадь треугольника KMN, если радиус окружности,
описанной вокруг треугольника АБС, равен 2v'З.
1 7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5,5 млн рублей на
некоторый срок ( целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая
сумма выплат после его полного погашения составит 11 млн рублей?
1 8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
25х 2 а2 2 = О имеет ровно два различных корня.
2
х + 12 х + 36 - а
1 9. В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные чис
ла, каждое из которых меньше 5. При этом каждь1й день ( кроме первого)
сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый
день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных
за все дни, быть больше 3?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Ка
кое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных
за все дни?
-
-
-
86
Тренировочные варианты
Вариант № 1 0
Ответом к задан иям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Поезд Казань - Киров отправляется в 1 4 :56, а прибывает в 7 :26 на сле
дующий день ( время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
2. На рисунке 46 жирными точками показана среднемесячная температура
воздуха в градусах Цельсия на территории г. Арзамаса в 2016 году. Для
наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку
наименьшую положительную среднемесячную температуру в г. Арзамасе
за 2016 год. Ответ дайте в градусах Цельсия.
25
2о
5
о
5
о
-�
5 - �-
-1 о
S'
/
�
11
/
,
....
-- -
'
� -��- h :r - � -� -�
(;j _
;;i�....��J � - � - �- i1
1\
'
"-
�-
'\
1\
!
i\' - k
�-�
...._
с,
-1 5
Рис. 46
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён угол
( см. рис. 47, с. 87). Найдите косинус этого угла.
4. Перед началом первого тура чемпионата по дартсу участников разби
вают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в
чемпионате участвуют 33 спортсмена, среди которых 9 спортсменов из
Нидерландов, в том числе Барт Орд. Найдите вероятность того, что в
первом туре Барт Орд будет играть с каким-либо игроком в дартс из Ни
дерландов.
5. Найдите корень уравнения log 1 2 (x + 6) = log 1 2 (2x - 7) .
87
Варнант № 10
/
J
,
1
1/
,
,
/
Рис. 47
В треугольнике А В С АС
Найднте АВ.
б.
=
ВС
=
10,
cos LA
5 (см. рис.
= 16
48 ).
Рис . 48
производной функ
На рисунке 49 изображён график у = f'(x)
ции f(x ), определённой на интервале {- 10; 6) . Найдите промежуrки убы
вания функции f (х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти
промежуrки.
7.
-
>---
,__ 1
>--- >---
\
\
- о
1
у =
\.
\
1
1
f '(x)
J
....... 1---"
1
/
/
V- \.
/
-
1 о
,у
\
'
1
!1.
\.
....... r--- -
11
х
Рис. 49
8. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 12, вы
сота равна 9 (см. рис. 50, с. 88). Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
88
Тренировочные варианты
( 1J/' ) 2
2 -
Рис. 50
Часть 2
1
9.
4
Найдите значение выражения 7
1
.
1 О. Посл е дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик из
меряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает
расстояние до воды по формуле h = 5t , где h расстояние в метрах,
t
время падения в секундах. До дождя время падения камешков со
ставляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя,
чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
1 1 . В 5:00 моторная лодка вышла их пункта К в пункт М, расположенный
в 144 км от К вверх по течению. Пробыв в М 3 часа, лодка отправилась
назад и вернулась обратно в 23:00 того же дня. Найдите скорость течения,
если собственная скорость лодки равна 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
1 2. Найдите наименьшее значение функции у = 9х - 9 ln(x + 4) + 2 на
отрезке [-3; О] .
-
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3.
- V2 = О.
б) Укажите его корни, принад.лежащие отрезку [ -271"; -�] .
а) Решите уравнение 2 cos3 х + cos2 х - 2J2 cos х
1 4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания
АВ равна 5, а боковое ребро SA равно 7 , 5. На рёбрах CD и SC отмечены
точки N и К соответственно, причём DN : NC = SK : КС = = 1 : 4.
Плоскость а содержит прямую К N и параллел ьна прямой ВС.
а) Докажите, что плоскость а параллельна прямой SA.
Вариант № 10
(
)
-
89
б) Найдите угол между плоскостями а и SBC.
Решите неравенство
log3 (1 - х) (х 2 + 6) � log3 (х 2 Зх + 2) + log3 (3 - х).
1 6. В треугольнике АВС угол А равен 120°. Прямые, содержащие высоты
ВМ и CN треугольника АВС, пересекаются в точке Н. Точка О - центр
окружности, описанной около треугольника АВС.
а) Докажите, что АН = АО.
б) НаЙдите площадь треугольника АНО, если ВС = 6, L.ABC = 45°.
1 7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая
сумма выплат после его полного погашения составит 19 млн рублей?
1 8. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
1 6х2 О имеет ровно два разл ичных корня.
2
х - 1 0х + - а2 =
1 9. В течение дней каждь1й день на доску записывают натуральные чис
ла, каждое из которых меньше 5. При этом каждый день (кроме первого)
сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый
день, быть меньше 1,8, а среднее арифметическое всех чисел, записанных
за все дни, быть больше 3,2?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 4. Ка
кое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных
за все дни?
1 5.
;;
п
90
Тренировочные варианты
Ва р иант № 1 1
Ответом к задан иям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Ножницы стоят 70 рублей. Какое наибольшее число таких ножниц
можно будет купить на 700 рублей после понижения цены на 30%?
2. На диаграмме (см. рис. 51 ) показана среднемесячная температура воз
духа в городе N в январе 1992 - 2014 годов. Определите год с наименьшей
среднемесячной температурой воздуха в январе, в ответе запишите этот
год.
о
-2
-4
-
--
-
-
-
� ---
-6
-8
-1 0
ii- - =
.....
>-
- =
>-
>->- -
-- -
= = ==
-12
-1 4
-16
-
N
°'
°'
v
°'
°'
-
\О
°'
°'
00
°'
°'
-
с:>
8
N
N
с:>
с:>
N
�
с:>
N
\О
с:>
с:>
N
00
с:>
с:>
N
с:>
с:>
N
N
с:>
N
v
с:>
N
Рис. 5 1
3 . Н а клетчатой бумаге с размером клетки 1 с м х
1 с м изображён угол (см.
рис. 52, с. 91 ). Найдите косинус этого угла.
4 . На соревнованиях по прыжкам в длину выступают 32 прыrуна, среди
них 1 1 прыrунов из Казани и 10 из Ростова-на-Дону. Порядок выступ
лений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятым
будет прыгать спортсмен из Ростова-на-Дону.
-
4
Найдите корень уравнения Sx / = 4 .
6. В тупоугольном треугольнике АБС известно, что АС = ВС = 10, вы
сота АН = 7. Найдите синус угла АСВ.
5.
J
Варнант № 1 1
91
1\.
'\.
'
\
1\.
'\.
'
\
Рис. 52
7. На рисунке 53 изображён график у = f'(x) - производной функции
f(x), определённой на интервале ( 3 ; 10) . Найдите промежутки возрас
тания функции J(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
-
1
1
1
у
- у = f '(x)
/
-3
\
-1
\
� г-...
j
\
о '-. 1 J
1
1
\
\
1
1
'
1
\
1
1
j
\1'- "/
)
10
"
х
Рис. 53
8 . Найдите сторону основания правильной четырёхуrольной призмы, ес
ли боковое ребро этой призмы равно 11, а площадь поверхности призмы
равна 150 (см. рис. 54 )
.
1
)-
Рис. 54
92
Тренировочные варианты
�0�i�0•
Часть 2
9.
Найдите значение выражения 7
sш
.
1 0. Небольшой камень бросают под некоторым углом а к плоской го
ризонтальной поверхности земли. Найдите, при каком наименьшем зна
чении угла (в Градусах) камень перелетит через реку шириной 24,2 мет
ра, если расстояние, которое он преодолевает, вычисляется по формуле
v2
L
� sin 2а ( м ), где v0
22 м/с - начальная скорость камня, а
g
2
g = 10 м/с - ускорение свободного падения.
1 1 . По двум параллельным железнодорожным путям друг за другом в
одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости
которых равны 82 км/ч и 46 км/ч соответственно. Длина товарного поез
да равна 3 км. Определите длину пассажирского поезда (в метрах), если
время, за которое он пройдёт мимо товарного поезда, равно 7 мин.
1 2. Найдите точку максимума функции у = (х2 8х + 8)е4 - ж.
=
=
-
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3.
( 5; + х) + v'2 sin х О.
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку [ 9; ; 67rJ .
=
а) Решите уравнение 2 cos2
(-4 ) ·
1 4. В основании пирамиды SАБС лежит прямоугольный треугольник с
катетами АС 3 и БС
4. Высота пирамиды равна 2v'з, LSAC прямой, а тангенс угла между гранями SAC и АБС равен
а ) Докажите, что угол между плоскостью АБS и плоскостью основа
ния пирамиды равен 30° .
б) Найдите площадь грани АБS.
1 5. Решите неравенство x2 log62 5 (x + 9) � 9 log5 (x 2 + 18х + 81) .
1 6. На сторонах АБ, БС и АС треугольника АБС отмечены точки С1 , А1
и Б1 соответственно, причём АС1 : С1 Б 8 : 3; БА1 : А1С 1 2;
СБ 1 : Б1 А 3 : 1. Отрезки ББ1 и СС1 пересекаются в точке D.
а ) Докажите, что АDА1 Б1 - параллелограмм.
=
=
=
=
=
:
93
Варнант № 1 1
б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 16,
ВС = 9.
1 7. В июле 2021-го года планируется взять кредит в банке на сумму
2,5 млн рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму дол
га на процентов, после чего происходит платёж. Кредит был полностью
погашен за 2 года. Найдите если первый платёж составил 1,5 млн руб
лей, а второй - 1,8 млн рублей.
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
r
r,
lxl - 4a
2 6
2
= О имеет ровно два различных корня.
х + х - 12 - а
1 9. 9 мальчиков и 8 девочек пошли в лес за грибами. Известно, что лю
бые 2 девочки набрали больше грибов, чем 3 любых мальчика, но 5 любых
мальчиков набрали больше грибов, чем любые 3 девочки.
а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше гри
бов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех
детей будет различным?
в) Найдите минимально возможное количество грибов, собранных
всеми детьми суммарно.
94
Тренировочные варианты
Вариант No 1 2
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч-·
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте рлботы.
Часть 1
1 . Магазин канцелярских товаров закупает коробки акварельных красок
по оптовой цене 1 20 рублей за штуку и продаёт с наценкой 60%. Ка
кое наибольшее ч1:1сло таких коробок можно купить в этом магазине на
800 рублей?
2. На диаграмме (см. рис. 55) показана среднемесячная температура воз
духа в городе N в январе 1992 - 2014 годов. Определите год с наибольшей
средней температурой воздуха в январе, в ответе запишите этот год.
о
-2 -4
"""
f-
=-
--
-6
-8
-10
-1 2
-1 4
-1 6
....
- 1=.
,__
.... - - -
.....
f-
- -=
.... f-f-
�= �
N
°'
°'
-.i°'
°'
\О
°'
°'
00
°'
°'
- - -
о
о
о
N
N
о
о
N
�
о
N
\О
о
о
N
00
о
о
N
- -.i- N
о
о
N
о
N
о
N
Рис. 55
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён угол (см.
рис. 56, с. 95 ). Найдите синус этого угла .
4. На соревнованиях по прыжкам в высоту выступают 18 прыгунов, среди
них 5 прыгунов из Красноярска и 9 - из Москвы. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет
прыгать спортсмен из Москвы.
5. Найдите корень уравнения 2х { 7 = 5.
J
тупоугольном треугольнике АБС известно, что АС = ВС = 17, вы
сота АН = 15. НаЙдите тангенс угла АСВ.
6. В
Вариант № 12
95
1\.
1\
'
\
1\.
1\
'
\
Рис. 56
7. На рисунке 57 изображён график у = f'(x) - производной функци и
f(x), определённой на интервале (-5; 12). Найдите промежутки возрас
тания функции !(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
-
1
у =
/
_,
1
1
f'(x)
"'\
J
1
1
-1
у
....
.
�
о
\
\
1
\
,_ /
1
/ '
v
'\
\
'
j
'\
J
'v
1
1
/
1
2
х
Рис. 57
8. Найдите сторону основания правильной четырёхуrольной призмы, ес
ли боковое ребро этой призмы равно 15, а площадь поверхности призмы
равна 198 (см. рис. 58 ).
Рис. 58
96
3��0
Тренировочные варианты
Часть 2
Найдите значение выражения 9 sin •
cos
1 0. Небольшой мячик бросают под острым углом а к плоской горизон
тальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, вы2
раженная в метрах, определяется формулой н =' v
- cos 2a), где
9.
ro(1
1
v0 = 18 м/с - начальная скорость мячика, а g - ускорение свободного
падения (считайте g = 0 м/с 2 ). При каком наименьшем значении угла
( в градусах) мячик может пролететь над стеной высотой 3,5 м на расстоя
нии 0,55 м?
1 1 . По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг дру
гу следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых рав
ны 28 км/ч и 92 км/ч соответственно. Длина товарного поезда равна
2 км 600 м. Определите д.лину пассажирского поезда (в метрах), если вре
мя, за которое он пройдёт мимо товарного поезда, равно 2 мин 12 с.
1 2. Найдите точку максимума функции у = (х 2 - 6х + 6)е5 - х .
а
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3.
(
)
[ �
а) Решите уравнение 2 sin2 х - з; - J3 cos х = О.
]
б) Укажите его корни, принад.лежащие отрезку 1 ; -47r .
1 4. В основании пирамиды SАБС лежит прямоугольный треугольник с
катетами АС = 6 и БС = 8. Высота пирамиды равна з JЗ, LSAC прямой, а тангенс угла между гранями SАС и АБС равен - 3
).
а ) Докажите, что угол между плоскостью АБS и плоскостью основа
ния пирамиды равен 60° .
б ) Найдите площадь грани АБS.
1 5. Решите неравенство x 2 log 1 0 24 (x + 15) ::::; 10 log2 (x 2 + 30х + 225).
1 6. На сторонах АБ, БС и АС треугольника АБС отмечены точки С1 , А1
и Б1 соответственно, причём АС1 : С1 Б = 15 : 4; БА1 : А 1 С = 1
З;
СБ1 : Б1 А = 4 : 1. Отрезки ББ1 и СС1 пересекаются в точке D .
-
7r
( f
:
Варнант № 12
97
а) Докажите, что ADA 1 B1 параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ADA1 B1 , если отрезки AD
и ВС перпендикулярны, АС = 20, ВС = 16.
1 7. В авrусте 2021-го года планируется взять креДит в банке на сумму
200 000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму дол
га на процентов, после чего происходит платёж. Кредит был полностью
погашен за 2 года. Найдите если первый платёж составил 121 ООО руб
лей, а второй 121 980 рублей.
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
2lxl - a
= О имеет ровно два различных корня.
2х2 - 3х + 2 - а2
1 9. l О мальчиков и 8 девочек пошли в лес за грибами. Известно, что лю
бые 3 девочки набрали больше грибов, чем 4 любых мальчика, но 7 любых
мальчиков набрали больше грибов, чем любые 5 девочек.
а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше гри
бов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех
детей будет различным?
в) Найдите минимально возможное количество грибов, собранных
всеми детьми суммарно.
-
r
r,
-
7. Зак. № 1 21
98
Тренировочные варианты
Вариант No 1 3
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работw.
Часть 1
1 . В обменном пункте l грузинский лари стоит 2 1 рубль 50 копеек. Отды
хающие обменяли рубли на лари и купили 3 кг персиков по цене 2,2 гру
зинских лари за l кг. Во сколько рубл'ей обошлась им эта покупка? Ответ
округлите до целого числа.
2. На диаграмме (см. рис. 59) представлена средняя температура в городе
К в апреле 2019 года за каждый день. Для наглядности точки на рисунке
соединены линией. Определите по графику самый тёплый день в апреле
2019 года. В ответе укажите это число месяца.
25
20
15
10
5
о
-5
,..,, ....
1 .3
/ 1 "'-
5
1
"'
'
'
7
Г'о .....
9 1 1 13
,
� ...... ""'
·'
Рис. 59
.,
J 1
.....
"J
�
i.
,;г- �
'
,,.
\
1. ' L. /
'
i. �
3. План местности разбит на клетки (см. рис. 60). Сторона клетки соответ
ствует 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте
в квадратных метрах.
Рис. 60
т
Варнант № 1 3
99
4. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один из списка экзаме
национных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Парал
лельность плоскостей», равна 0,31. Вероятность того, что это вопрос по
теме «Правильные многоугольники», равна 0,08. Вопросов, которые од
новременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того,
что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
5. Найдите корень уравнения :Х�6 = :Х�6 . Если уравнение имеет бо
4
3
лее одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. В параллелограмме АБСD известно, что АВ = 6, AD = 24,
Найдите большую высоту пара.iiлелограмма.
sin LA =
�.
производной функ
На рисунке 61 изображён график у = f'(x)
ции J(x), определённой на интервале (- 1 1 ; 3). Найдите количество то
чек, в которых касательная графику функции f(x) параллельна прямой
у = -2х 7 или совпадает с ней.
-
7.
к
-
-
1
1
1
1
�у = f '(x)
Г\
\
-1 1 \
'\.
-
j
/
/\
у
'
1 \
1
1
1
\
J
\ 1
1
Рис. 6 1
1 ,
-
о
.
�1 н
\1 J
� 1
•
j
�
3
х
Цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Радиус основания
цилиндра равен 4У'З, а высота равна 7 (см. рис. 62). Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
8.
Рис. 62
8. Зак. № 1 2 1
1 00
9.
Тренировочные варианты
Часть 2
Найдите значение выражения 6VЗ sin 5; · sin 7; .
1 О. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону
v(t) = 3,2 sin 7r t (см/с ), ще t - время в секундах. Какую долю времени
из первой секунды скорость дВижения превышала 1,6 см/с? Ответ выра
зите десятичной дробью, округлив до сотых.
1 1 . Два соседа отправляются из одного и того же места на прогулку до ре
ки, находящейся в 2,6 км от места отправления. Скорость первого равна
5, 1 км/ч, а второго - 5,3 км/ч. Дойдя до реки, второй с той же скоро
стью отправляется обратно. На каком расстоянии от места отправления
встретятся соседи? Ответ укажите в километрах.
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = 9 tg - 5х + 6 на отрезке
.[-�;о] . .
x
Для записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы зап исывайте чётко и разборчиво.
1 3.
sin 2x 2 v'3sin x
а) Решите уравнение 49 .j - 7 .
- 17
SШ
Х
=
[ 1�71"] .
О.
б) Найдите корни этого уравнения, принад,11 ежащие отрезку 37r ;
1 4 . В конусе с вершиной S проведены образующие SP и SТ так, что центр
основания О не лежит на прямой РТ. На отрезке SP отмечена точка К.
Проведена прямая К L, параллельная ST, точка L лежит в основании ко
нуса. Известно, что РТ .l OL.
а) Докажите, что К - середина SP.
б) Найдите угол между прямой КТ и плоскостью основания, если д,11 и
на РТ равна 6, диаметр основания равен 36, высота конуса равна 6v'II.
1 5. Решите неравенство log� (5х - 6 х 2 ) + 6 log1 (5х - 6 х 2 ) + 8 > О .
1 6. В треугольнике АБС стороны АБ, БС и АС соответственно равны 9,
10 и 1 1 . Высоты АН и БК пересекаются в точке О.
а) Докажите, что в треугольнике АБС угол Б - острый.
б) Найдите площадь треугольника КОН.
-
з
-
8'
Вариант № 1 3
101
1 7. В июле 2021-го года планируется взять кредит в банке на сумму
400 ООО рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом
предЫдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним пла
тежом часть долга.
Найдите r , если известно, что кредит будет полностью погашен за два
года, причём в первый год будет выплачено 280 ООО рублей, а во второй год
240 ООО рублей.
1 8. При каких значениях параметра а система уравнений
х4 - у4 = ЗОа + 54 ,
х2 + у2 = 2а
имеет ровно четыре решения?
1 9. По кругу записано несколько (два или более) различных натуральных
чисел. Каждое число или в три раза больше соседнего слева числа, или на
два меньше.
а) Могут ли быть выписаны и число 5 , и число 6?
б) Могут ли быть выписаны ровно семь чисел?
в) Какое максимальное значение может иметь наибольшее из выпи
санных чисел, если сумма всех выписанных чисел не превосходит 2021?
-
{
1 02
Тренировочные варианты
Вариант No 1 4
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Зап ишите число в поле ответа в тек
сте рабоmы.
Часть 1
1 . На автозаправке водитель отдал кассиру 2000 рублей и залил в бак
36 литров бензина. Цена бензина 46 руб. 60 коп. за литр. Какую сумму
сдачи должен получить водитель? Ответ дайте в рублях.
2. На диаграмме ( см. рис. 63) представлена среднемесячная температура в
г. N в апреле 2019 года за каждый день. Для наглядности точки на рисунке
соединены линией. Определите по графику самый холодный день в апреле
2019 года. В ответе укажите это число месяца.
25
20
15
10
5
о
-5 1
... -' 1 "'-
3
5
...
1
7
'
'
...... �
1
..... .._
.....
...
9 1 1 1 3 1 5 1 7 19 2 1
/
� - .....
�
'
'L, j .L ) 27
'
29
Рис. 63
3. План местности разбит на клетки ( см. рис. 64 ) . Сторона клетки соответ
ствует 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте
в квадратных метрах.
Рис. 64
4 . На экзамене по геометрии школьник отвечает на один из списка экзаме
национных вопросов. Вероятно�ть того, что это вопрос по теме «Перпен-
1 03
Вариант № 1 4
дикулярность плоскостей», равна 0,19. Вероятность того, что это вопрос
по теме « Вписанные углы», равна 0,09. Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экза
мене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
+
5 . Найдите корень уравнения 5� � ii = 1 fx 5 . Если уравнение имеет
более одного корня, то в ответе укажите меньший из корней.
б. В параллелограмме АВСD известно, что АВ = 5, AD = 28,
вin LA = Найдите большую высоту параллелограмма .
7. На рисунке 65 изображён график у = f'(x) - производной функ
ции J(x) , определённой на интервале (-9; 6}. Найдите количество то
чек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой
у = -Зх - 7 или совпадает с ней.
:
�.
..___ -
/
-9
у = f '(x)
-
'
j
1
1
\
\
,
/""'-
у
\
.
.
-1
\
'
\ j
\ 1
"
1
'-
,
, j
\/
(1
/
6
х
.
Рис. 65
8. Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус осно
вания и высота цилиндра равны 5 (см. рис. 66, с. 1 04 ) Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
Часть 2
Найдите значение выражения 9J2 сов 7; сов 2; .
1 О. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону
v(t) = l З вin �t (см/с ), где t - время в секундах. Какую долю времени
9.
·
1 04
Тренировочные варианты
Рис. 66
из первой секунды скорость движения превышала 6,5 см/с? Ответ выра
зите десятичной дробью, округлив до сотых.
1 1 . Два соседа отправляются из одного и того же места на прогулку до
озера, находящегося в 3,8 км от места отправления. Скорость первого
равна 6 км/ч, а второго 5,4 км/ч. Дойдя до озера, первый с той же ско
ростью отправляется обратно. На каком расстоянии от озера встретятся
соседи? Ответ укажите в метрах.
1 2. Найдите наименьшее значение функции у = 8 tg х - Зх + 4 на отрезке
[о; �]
-
.
Для зап иси решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
]
25cos 2х 25cos х = О.
5s х
�
б ) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
1 171" ,. - 971" .
2
2
1 4. В конусе с вершиной Q проведены образующие QM и QN так, что
центр основания О не лежит на прямой MN. Точка F - середина QM.
Проведена прямая FT, параллельная QN, точка Т лежит в основании ко
нуса.
а) Докажите, что MN 1- ОТ.
б) Найдите угол между прямой F N и плоскостью основания, если д.ли
на отрезка М N равна радиусу основания конуса и равна 8, высота конуса
равна 24.
1 5. Решите неравенство log � (7x + 4 - х 2 ) + 5 log1 (7х + 4 - х 2 ) + 4 > О.
[_
1 3. а ) Решите уравнение
ш
2
Вариант № 14
1 05
1 6. В треугольнике АВС стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 7,
8 и 9. Высоты АН и ВК пересекаются в точке О.
а) Докажите, что в треугольнике АВС угол В - острый.
б) Найдите площадь треугольника АО В.
1 7. В мае 2021-го года планируется взять кредит в банке на некоторую
сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на х% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить одним
платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 1 10 500 рублей, то кредит будет полно
стью погашен за 2 года, а если ежегодно выплачивать по 60 500 рублей, то
кредит будет полностью погашен за 4 года. Найдите х.
1 8. При каких значеitиях параметра а система уравнений
х4 у4 = 25 а5 + 150а4 ,
{
х2
-
- у2 = а з
имеет не менее четырёх решений?
1 9. По кругу записано несколько (два или более) различных натуральных
чисел. Каждое число или в десять раз больше соседнего слева числа, или
на три меньше.
а) Могут ли быть выписаны и число 5, и число 6?
б) Могут ли быть выписаны ровно пять чисел, каждое из которых не
равно 1?
в) Какое минимальное значение может иметь наименьшее из выписан
ных чисел, если сумма всех выписанных чисел не меньше 2021?
1 06
Тренировочные варианты
Вариант No 1 5
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы..
Часть 1
1 . По тарифному плану «7000» компания сотовой связи каждый вечер
снимает со счёта абонента 19 рублей. Если на счету осталось меньше
19 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счё
та. Сегодня утром у Святослава на счету было 480 рублей. Сколько дней
( включая сегодняшний) он сможет пользоваться телефоном, не пополняя
счёт?
2. На графике ( см. рис. 67) показано изменение удельной теплоёмкости
водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры.
По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по верти-
кали - удельная теплоёмкость в �С . Определите по рисунку наименькг ·
шую удельную теплоёмкость раствора на исследуемом диапазоне темпе.
Джс ·
ратур. 0 твет даите
в -оКГ ·
Дж
кг· 0С
4270
4250
4230
42 1 0
4 1 90
4 1 70
'
'
'
'
'
Г'.
�
_
.....
�..-
1 0 2 0 3 0 40 50 (>0 ' LJ
�..-
!""
1 LJ � J 1
°.._С
IV
Рис. 67
3. План местности разбит на клетки (см. рис. 68, с. 1 07). Каждая клетка
обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на
плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
4. Две фабрики выпускают одинаковые одноразовые шприцы. Первая
фабрика выпускает 48% этих шприцев, а вторая - 52%. Первая фабрика
1 07
Вариант № 1 5
....
....
Рис. 68
выпускает 2% бракованных шприцев, а вторая - 3% . Найдите вероят
ность того, что случайно купленный в аптеке одноразовый шприц окажет
ся бракованным.
5. Найдите корень уравнения log3 (7 - х ) = log3 8.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 17. Боковые стороны
равны 20. Найдите синус острого угла трапеции.
7. На рисунке 69 изображён график у = f ( х ) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0 • Найдите значение производной функции f (x) в точке хо .
у
у = f(x)
.
Хо
1
о 1
1
\
/
/
/
1
1
1
у
1 v
1 v
у
/
v
/
v
v
/
х
Рис. 69
8. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом V7 (см.
рис. 70, с. 1 08 ) . Найдите площадь его поверхности.
Часть 2
9.
Найдите значение выражения - 1 1 J2 · sin(-405°) .
1 08
Тренировочные вариаш:ы
\\ -----r
- - - /
/
/
А,
' , .... - - - - - , "
Рис. 70
1 О. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет
изданий на основе оценок информативности In, оперативности Ор, объ
ективности Tr публикаций, а также качества сайта Q. Каждый отдель
ный показатель - целое число от О до 10. Составители рейтинга счи
тают, что объективность и информативность ценятся втрое дороже, чем
оперативность и качество сайта . Таким образом, формула приняла вид
R = 3 1п + Ор1 ЗТr + Q . Если по всем четырём показателям какое-то
издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой
оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.
1 1 . Бизнесмен Жаднов в 2015 году получил прибыль 50 тысяч рублей.
Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 500% по сравне
нию с предыдущим. Какую прибыль получил Жаднов в 2019 году? Ответ
дайте в тысячах рублей.
1 2. Найдите точку максимума функции у = 2х3 - 12х 2 + 11.
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3. а) Решите уравнение
cos
(� - 9;) cos � +sin (7r + �) cos 9;
б) Найдите корни этого уравнения, принад,11 ежащие отрезку
=
[ з;; з;] .
sin2 4х .
1 4. ABCDA1 B1 C1 D1 - правильная четырёхугольная призма, на ребре
ВВ1 отмечена точка Q такая, что BQ : QB1 = 2 : 7. Плоскость 'У прохо-
Варнант № 1 5
1 09
дит через точки А и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает
ребро СС1 в точке М.
а) Докажите, что С1 М : СС1 = 5 : 9.
б) Найдите площадь сечения, если АВ = 3v'2, АА 1 = 18.
( 7х - 6) 2 � 36 - s4x + 49х2
1 5. Решите неравенство
х+2
- 10 - 3х + х2
1 6. В треугольнике АБС стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 4,
5 и 6. Высоты АН и ВК пересекаются в точке О.
а) Докажите, что около четырёхугольника коне можно описать
окружность.
б) Найдите радиус окружности, описащюй около четырёхугольника
коне.
1 7. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад
составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад
увеличивается на 5% по сравнению с его размером в начале года, и, кроме
этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется
на 2 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада,
при котором через четыре года вклад будет больше 21 млн рублей.
1 8. При каких значениях параметра а уравнение
ln( 5a + x) · ln(5x + 5 a - 12) = ln(3x - a + 4) · ln(5 a + x) имеет единственный
корень на отрезке [О; 20] ?
1 9. Натуральные числа от 1 до 90 разбили на 30 групп по три числа.
Из каждой группы выписали на доску одно число: второе по величине в
этой группе.
а) Могут ли среди выписанных чисел одновременно быть числа 88
и 89?
б) Могут ли все выписанные числа быть чётными?
в) Чему равно наибольшее возможное значение суммы всех выписан
ных чисел?
1 10
Тренировочные варианты
Вариант № 1 6
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запи ш ите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . По тарифному плану «2222» компания сотовой связи каждый вечер
снимает со счёта абонента 22 рубля. Если на счету осталось меньше
22 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта.
Сегодня утром у Марии на счету было 360 рублей. Сколько дней (включая
сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?
2. На графике (см. рис. 71 ) показано изменение удельной теплоёмкости
водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры.
По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали - удельная теплоёмкость в �
. Определите по рисунку, при
КГ · С
какой наибольшей температуре удельная теплоёмкость раствора состав. Ответ дайте в градусах Цельсия.
ляет не более 4210 �
·
Дж
кг· 0С
4270
4250
4230
42 1 0
41 90
4 1 70
КГ
'
С
'
'\.
!'..
�-
с--
..... -
10 20 30 40 50 60 70
-�
I/
�
°_С
� u ':J u l i IU
Рис. 7 1
3. План местности разбит на клетки (см. рис. 72, с. l l l ). Каждая клетка
обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на
плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
4. Два завода производят одинаковые велосипеды. Первый завод произ
водит 51 % велосипедов, а второй - 49%. Первый завод выпускает 2 , 5%
111
Вариант № 16
..-"
v
\
�'
\
Рис. 72
бракованных велосипедов, а второй - 1,5%. Найдите вероятность того,
что случайно купленный в магазине велосипед окажется с браком.
5. Найдите корень уравнения log 1 1 (9 - х ) = log 11 3.
б. Основания равнобедренной трапеции равны 31 и 71. Боковые стороны
равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
7. На рисунке 73 изображён график у = f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0 . Найдите значение производной функции f (x) в точке хо.
\.
"'
"
"
'1
'
'
1
1
у = f(x)
\. \
у
1
.
Хо
1
о 1
.
1
� .
"' ,\
х
"-::; ....... ...
1\.
\.
Рис. 73
8. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом JП
(см. рис. 74, с. 1 1 2). Найдите площадь его поверхности.
Часть 2
9. Найдите значение выражения -9v'З cos(-210° ) .
1 О. Независимое агентство намерено ввести рейтинг
новостных изданий
на основе показателей информативности In, оперативности Ор и объек
тивности Tr публикаций. Каждый отдельный показатель - целое число
-6 до 6. Составители рейтинга считают, что информативность публика
ций ценится вдвое, а объективность - втрое дороже, чем оперативность.
от
1 12
Тренировочные варианты
'
, - ----r
\- - - - - �
/
1
1
1',
'
..... ...
-----
,,
Рис. 74
Таким образом, формула .приняла вид R = · 21п + СТ + 3тr . Найдите,
каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели
максимальны, получило бы рейтинг 60.
1 1 . Компания «От Аз до Ижицы» начала инвестировать средства в неко
торую область в 201 1 году, имея капитал 8000 евро. Каждый год, начиная
с 2012-ro, она получала прибыль, которая составляла 300% от капитала
предыдущего года. А компания «От Альфы до Омеги» начала инвести
ровать средства в ту же отрасль в 2013 году, имея капитал 15 ООО евро.
Каждый год, начиная с 2014-го, она получала прибыль, которая состав
ляла 400% от капитала предыдущего года. На сколько евро капитал одной
из компаний был больше капитала другой к концу 2016 года, если прибыль
из оборота не изымалась?
1 2. Найдите точку максимума функции у = 3х 3 9х 2 + 10.
-
Для записи решений и ответов на задания 13-19 испол ьзуй
те отдельный л ист. Запи шите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решен ие
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
(2
)
а) Решите уравнение
5х cos 3х - .
•
1 3.
SШ
7Г
-
2
2
SШ
(
7Г
5х
-
2
)
[ - з; ; з;] .
. 3х = cos2 2х.
2
SШ
б) Найдите его корни, принад.!l ежащие отрезку
1 4 . ABCDA1 B1 C1 D1
правильная четырёхугольная призма, на ребре
СС1 отмечена точка Р такая, что СР РС1 = 3 5. Плоскость {3 проходит
-
:
:
Вариант № 16
1 13
через точки D и Р параллельно прямой АС. Эта плоскость пересек�ет
ребро ВВ1 в точке F.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью f3 является ромбом.
б) Найдите д.лину ребра ВВ1 , если АВ = 6, а площадь сечения призмы
плоскостью /3 равна 72.
5х - S) 2 � 64 - ВОх + 25Х 2
1 5 . Решите неравенс;во (
2х - 3 + х2
х+3
1 6 . В треугольнике АБС стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 5,
6 и 7. Высоты ВК и CL пересекаются в точке О.
а) Докажите, что около четырёхугольника ALOK можно описать
окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника
ALOK.
1 7 . Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад
составляет 12 млн рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на
10% по сравнению с его размером в начале года, и, кроме этого, в начале
третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на целое число а
миллионов рублей. Найдите наименьшее а, при котором через четыре года
вклад будет больше 33 млн рублей.
1 8. При каких значениях параметра Ь уравнение
сов х · Jх + 4Ь = J3 sin х · Jх + 4Ь имеет единственный корень на отрезке
[О; 7Г] ?
1 9. Натуральные числа от 1 до 120 разбили н а 20 групп п о шесть чисел.
Из каждой группы выписали на доску два числа: третье и четвёртое по
величине в этой группе.
а) Могут ли среди выписанных чисел одновременно быть числа 5, 7, 9
и 11?
б) Могут ли ровно семнадцать из выписанных чисел делиться нацело
на 7?
в) Чему равно наименьшее возможное значение суммы всех выписан
ных чисел?
1 14
Тренировочные варианты
Вариант .N'o 1 7
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запи ш ите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Стоимость проездного билета на месяц на электричку составляет
1750 рублей. Дачник Артур Петрович купил проездной и сделал за месяц
42 поездки на электричке. Стоимость билета на одну поездку дпя Арту
ра Петровича составляла бы 46 рублей. На сколько рублей больше он бы
потратил, если бы покупал билеты на одну поездку?
2. На диаграмме (см. рис. 75) показано число посетителей электронной
библиотеки за все дни с 10 по 27 февраля 2019 года. По горизонтали
указываются дни месяца, по вертикали - число посетителей электрон
ной библиотеки за данный день. Определите по приведённой диаграмме,
какого числа количество посетителей электронной библиотеки было наи
большим.
45 ООО
35 ООО
25 ООО
1 5 ООО
1-- 1-- ..-- � -
,__ ,__ _
,__
1-
,___ _
-
- ,___
- -
,___
.....
,___
19
22
25 '
.....
.....
- -
,___
5000
10
13
16
Рис. 75
3. План местности разбит на клетки (см. рис. 76 ). Каждая клетка обозна
чает квадрат 1 м 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане.
Ответ дайте в квадратных метрах .
х
•
Рис. 76
1 15
Варнант № 1 7
4. Маша, Аня, Тоня, Рома и Вадик бросили жребий, кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что игру должен будет начинать мальчик.
5. Найдите корень уравнения v'45 - 4х = -х. Если уравнение имеет бо
лее одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 4 (см. рис. 77).
IZI
Рис. 77
7. На рисунке 78 изображён график у = f'(x) - производной функции
!( х ) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная· к графику у = f ( х )
параллельна оси абсцисс или.совпадает с ней.
,___
/
1'
- у = f'(x) /
v
J
1
J
1/
,у
/
о
"
..
j
\
\.
!"-..
l
/
J
v
1
1
х
Рис. 78
8. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой
равен 76, проведена плоскость, параллельная боковому ребру (см. рис. 79,
с. 1 1 6 ). Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Часть 2
9.
Найдите значение выражения
cos 2 211°
9
+ sin2 31° •
1 О. Зависимость объёма спроса q ( единиц в месяц) на продукцию
предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой
Тренировочные варианты
l 16
'
Рис. 79
q = 170 - l Op. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисля
ется по формуле r(p) = q р. Определите наибольшую цеНу р, при которой
месячная выручка r(p) составит не менее 520 тыс. руб. Ответ приведите в
тыс. руб.
1 1 . Рабочие Сергей и Николай вдвоём могут выполнить заказ за 12 ча
сов, а Николай и Егор L за 24 часа. Сергей и Егор могут выполнить этот
заказ за 12 часов. За сколько часов этот заказ могут выполнить Сергей,
Николай и Егор, работая месте?
1 2. Найдите точку максимума функции у = log6 (16 + 6х х 2 ) - 10.
·
-
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
': + cosx + 1 = О .
а) Решите уравнение Jcos2Slll
X
б ) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-Зп; -2п] .
1 4. В правильной треугольной пирамиде SKLM с основанием KLM точ
ка Р делит ребро SK в отношении 7 5, считая от вершины S, точка Т
делит ребро SL в отношении 7 5, считая от S. Плоскость 'У проходит
через точки Р и Т параллельно ребру SM.
а) Докажите, что плоскость 'У параллельна ребру К L.
15,
б ) Найдите расстояние от точки К до плоскости 'У · если SK
KL = 12.
1 5 . Решите неравенство ( х - l) (x З) ( х - 5 )
1.
(х + l ) (x + З) (х + 5) >
1 6. В треугольнике АВС сторона ВС равна 12, угол В равен 45°, а угол С
равен 30°. Окружность касается стороны ВС в точке К, проходит через
1 3.
:
:
-
Вариант № 1 7
1 17
точку А и пересекает сторону АВ в точке N, которая делит АВ в отноше
нии 4 : 5, считая от точки В.
а) Докажите, что ВК : АВ = 2 : 3 .
б) Найдите радиус R окружности, указанной в условии задачи.
1 7. В мае планируется взять кредит в банке на срок 8 лет. Условия его
возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть
долга;
- в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину мень
ше долга на май предыдущего года.
Найдите х, если известно, что за весь период выплатили на 36% боль
ше, чем взяли в кредит.
1 8. При каких значениях параметра а уравнение lx + 5al + lx - 141 = 7а+ 3
имеет ровно два решения?
1 . В тетрадь выписали 2021 неотрицательное число: а1 , а 2 ,
, а 202 1 ,
9
причём
� а 2 0 2 1 . произведение всех выписанных чисел рав
a i � а2 �
но 1.
а) Какое наибольшее количество различных целых чисел могло быть
выписано в тетрадь?
б) Могут ли все выписанные числа быть различными иррациональ
ными?
в) Какое наименьшее значение при этих условиях может принимать
величина al а� . . . · a�8�l ?
• •
• • •
·
·
•
1 18
Тренировочные варианты
Вариант № 1 8
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запи ш ите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Стоимость полугодовой подписки на периодическое издание «Выкрой
ки» составляет 590 рублей, а стоимость одного номера издания - 85 руб
лей. За полгода Сабина купила 8 номеров издания. На сколько рублей
меньше она бы потратила, если бы подписалась на это издание?
2. На диаграмме (см. рис. 80) показано число посетителей некоторого
сайта за каждый месяц 2018 года. По горизонтали указываются месяцы,
по вертикали - число посетителей. Определите по приведённой диаграм
ме номер месяца, когда число посетителей впервые превысило восемь ты
сяч пятьсот человек.
1 2 000
1 0 000
8000
6000
-- -
._ ...... _
--
---
-
-r-
...... ......
-
4000
-
-
2000
1
3
5
7
9
Рис. 80
3. План местности разбит на клетки (см. рис. 81 ). Каждая клетка обозна
ч'а ет квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане.
Ответ дайте в квадратных метрах.
v/ /)
v, /..
у /,/
ьл
Рис. 8 1
Вариант № 18
1 19
4. Арина, Ксюша, Алёна, Юра и Максим бросили жребий, кому начинать
игру. Найдите вероятность того, что игру должна будет начинать девочка.
5. Найдите корень уравнения yf12 - 4х = -х. Если уравнение имеет бо
лее одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
6. Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 8 (см . рис. 82).
I21
Рис. 82
производной
7. На рисунке 83 изображён график функции у = f' (x)
функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику
у = J(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
-
' У
"
' '"
"!'...
�
v
/
,1
/
'
у = f '(x)
'\
\
'
.
.
о 1
\
'
\Х
\
Рис. 83
8. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой
равен 92, проведена плоскость, параллельная боковому ребру (см. рис. 84,
с. 1 20). Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Часть 2
.
7
•
sin2 43° + cos2 317°
1 О. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию
предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб. ) задаётся формулой
9
Найдите значение выражения
1 20
Тренировочные варианты
'
'
Рис. 84
q = 90 - 5р . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб. ) вычисляет
ся по формуле r(p) = q р. Определите наибольшую цену р, при которой
месячная выруЧка r (p) составит не менее 160 тыс. руб. Ответ приведите в
тыс. руб.
1 1 . Мастерицы Ольга и Света вдвоём моrут выполнить заказ за 15 часов,
а Ольга и Марина - за 18 часов. Марина и Света моrут выполнить этот
заказ за 10 часов. За сколько часов этот заказ моrут выполнить Ольга,
Марина и Света, работая вместе?
1 2. Найдите точку максимума функции у = log3 ( 30 - х - х 2 ) + 7.
·
Для зап иси решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный л ист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
а) Решите уравнение ../cos 2 � - cos х - 1 = О.
sш х
б ) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5 7r ; - ]
1 4. В правильной треугольной пирамиде SK LM с основанием К LM точ
ка Р делит ребро SM в отношении 5 4, считая от вершины S, точка Q
делит ребро SK в отношении 5 4, считая от вершины S. Плоскость f3
проходит через точки Р и Q параллельно ребру S L.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью f3 является прямо
угольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости {3, если SK = 12,
КМ = 9.
х
(x - 2 ) ( х - 4) 1.
1 5. Решите неравенство ( - l)
(х + l ) (x + 2) (х + 4) <
1 3.
7r
:
:
.
Варнант № 18
121
1 6. В треугольнике АБС сторона ВС равна 18, угол В равен 45°, а угол С
равен 30° . Окружность касается стороны ВС в точке К, проходит через
точку А и пересекает сторону АВ в точке N, которая делит АВ в отноше
нии 9 : 7, считая от точки В.
а) Докажите, что ВК : АВ = З : 4.
б) Найдите радиус R окружности, указанной в условии задачи.
1 7. В сентябре планируется взять кредит в банке на срок 14 лет. Условия
его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по авrуст каждого года нужно выплатить часть долга;
- в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на сентябрь предыдущего года.
Найдите х, если известно, что за весь период необходимо выплатить
на 90% больше, чем взяли в кредит.
1 8. При каких значениях параметра а уравнение
(lx + За l + lx + 9 1 ) 2 B (lx + Заl + lx + 9 1 ) + а(В - а) = О имеет ровно два
решения?
1 9. В тетрадь выписали 999 отрицательных чисел: а1 , а 2 , , а999 , причём
а1 � а2 �
� а999 , произведение всех выписанных чисел равно 1
а) Могут ли ai ( 1 � i � 999) принимать в точности семь различных
значений?
б) Чему равно наибольшее возможное значение выражения
а1 + а2 + . + aggg ?
в) Какое наименьшее значение при этих условиях может принимать
величина а!/99 а�98
аА99 ?
-
•
.
•
.
-
. • •
.
·
•
• • •
•
.
1 22
Тренировочные варианты
Вариант No 1 9
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы..
Часть 1
1 . Таисия отправила SМS-сообщения с домашним заданием по матема
тике своим 23 одноклассникам. Стоимость одного SМS-сообщения 2 рубля 60 копеек. Перед отправкой сообщений на счету у Таисии было
410 рублей. Сколько рублей осталось у Таисии после отправки всех сооб
щений?
2. На графике (см. рис. 85) жирными точками показана динамика продаж
автомобилей некоторой фирмой за каждый месяц 2019 года. По гори
зонтали указываются номера месяцев, по вертикали - число проданных
автомобилей. Для наглядности жирные точки соединены линиями. Опре
делите номер месяца, когда впервые было продано более 60, но менее
100 автомобилей.
1 60
1 40
1 20
80
40
20
,
''
2
!"- ,
3
J
4
i/
5
/
J
6
Рис. 85
, \
,
7
\
.... v
8
9
/
10
......
\
11
\
12
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треуголь
ник (см. рис. 86, с. 1 23). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
4. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при од
ном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые
4 раза попал, а в 5-й раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
1 23
Вариант № 1 9
Рис. 86
х + 2)1Г = у] . В ответе запишите наи5. Наидите корень уравнения cos (
2
4
больший отрицательный корень.
6. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного тре
угольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 6. Найдите
площадь этого треугольника (см. рис. 87).
•
Рис. 87
7. Прямая у = -5х является касательной к графику функции
= х2 +Ьх+4. Найдите Ь, учитывая, что абсцисса точки касания больше О.
8. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого
прямые (см. рис. 88 ). Найдите расстояние между вершинами С и А1 .
у
Е1
15
1
1
DL
...
F
_
_
_
_
с
Рис. 88
_
1 24
Тренирово чные варианты
Часть 2
9. Найдите значение выражения 12 tg 49° · ctg 131°.
1 О. Водолазный колокол, содержащий в начальный
момент времени
2 моля воздуха объёмом Vi = 12 л, мед.ленно опускают на дно водо
ёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного
объёма \12 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением А = avT log2 � . где а = 12 6 Дж К постоянная,
МОЛЬ ·
v2
а Т = 300 К температура воздуха. Найдите, какой объём V2 (в литрах)
станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа
в 30 240 Дж.
1 1 . Кажды й из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить
некоторый заказ за 20 рабочих часов. Через 8 часов после того, как пер
вый из них приступил к выполнению заказа, к работе подКЛючился второй,
и далее они выполняли заказ вдвоём. Сколько всего рабочих часов потре
бовалось на выполнение заказа?
+
1 2. Найдите наименьшее значение функции у = 5 sin x + 24 х 6 на отv =
,
-
-
резке
[- ]
7; ; О
7Г
.
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
-
-
[ ]
а) Решите уравнение 8 sin4 х 17 cos 2х 13 = О.
б) Найдите корни этого уравнения, принад.лежащие отрезку �; 31!"
1 4. В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN1 , точка
N лежит в нижнем основании. Отрезок К М1 пересекает ось цилиндра,
а точки К и М1 лежат на окружностях нижнего и верхнего оснований со
ответственно.
а) Докажите, что 6.KNM1 является прямоугольным.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой К М1 , если КN = 9,
NN1 = 20J3, N1 M1 = 20.
. lxl
l xl + + 3 . 2 l x l 1
1 5. Решите неравенство + 35 1 x2l 6 1"1 � 2 1 x l +2
2 2 1x l ·
3.2
4 10 . 2 _ 4
1
1 3.
.
_
-
.
Вариант № 1 9
1 25
�;.
1 6. Около окружности радиусом З описана равнобедренная трапеция
ABCD (AD - большее основание), площадь которой равна 39.
а) Докажите, что синус угла при большем основании равен
б) Найдите площадь трапеции AMND, где Ми N - точки касания
окружности с боковыми сторонами трапеции.
1 7. В сентябре 202 1 года планируется взять кредит в банке на сумму
464 100 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждь1й январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по авrуст каждого года необходимо выплатить одним
платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит бу
дет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре
года)?
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
х2 у + 8ху + 8х + 64 0 ,
у'8 - у
у = ах + 5 - 2а
имеет ровно два решения.
1 9. На острове 1000 городов, некоторые из них соединены друг с другом
дорогами. Других населённых пунктов нет. Одна дорога соединяет ровно 2
города. Если по карте дороги должны пересекаться, то посредством эста
кад и тоннелей их строят так, чтобы не было возможности съезда с одной
дороги на другую. Из любого города можно попасть в любой другой, воз
можно, проездом через другие города. Любые два города не могут быть
связаны более чем одной дорогой.
а) Может ли из каждого города выходить ровно 4 дороги?
б) Может ли из 500 городов выходить ровно по одной дороге, а из дру
гих 500 - по две?
в) Архитектор планировал сеть дорог так, что при закрытии любых
двух дорог на ремонт всё равно из любого города можно попасть в любой
другой по дорогам. Какое наименьшее число дорог могло быть построено?
{
=
1 26
Тренировочные варианты
Вариант No 20
Ответом к задан иям 1-12 является целое число или конеч
. ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Виолетта отдыхала на Байкале и отправила ММS-сообщения с видео
своим 30 друзьям. Стоимость одного ММS -сообщения - 7 рублей 50 ко
пеек. Перед отправкой сообщений на счету у Виолетrы было 600 рублей.
Сколько рублей осталось у Виолетrы после отправки всех сообщений?
2. На диаграмме (см. рис. 89) показана динамика продажи автомобилей
некоторой фирмой за каждый месяц 2017 года. По горизонтали указыва
ются номера месяцев, по вертикали - количество автомобилей. Опреде
лите по приведённой диаграмме номер месяца, когда впервые было про
дано менее 300, но более 200 автомобилей.
450
,
,
v
v
v - 17' - ,1 v
v - v - v - ,,. � v- - "
/ - v - v - / - / -v - /
350
- ,1 - v
/
v / >---- / - v - v - v - / ,_ v - v >---- / ,_ v
1 50 -- 7
-/
- / - / >--- v - / >---- / - v - / - ,1 - v
- -v
>--/=/ -/ /=v- v=/ -/- v=/-/- v
50 >---- / 1/ - ..... ,_ l/ I/ - 1./ 1/ >---- / ,_ l/ 1/ >---- / � l/
250
2
3
4
5
6
7
8
9
10
,
v
11
12
Рис. 89
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см изображён тре
угольник (см. рис. 90). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
х
Рис. 90
4. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при од
ном выстрел� равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые
1 27
Варнант № 20
2 раза промахнулся, а остальные три раза попал. Результат округлите до
сотых.
х
5. Найдите корень уравнения cos (
=
В ответе запишите наи
больший отрицательный корень.
6. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного тре
угольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите
площадь этого треугольника (см. рис. 91 ).
� З) 7Г � ·
с
А�В
Рис. 91
7. Прямая у = 2х является касательной к графику функции
у = 7х 2 + Ьх + 5 . Найдите Ь, учитывая, что абсцисса точки касания
больше О.
8. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого
прямые (см. рис. 92). Найдите расстояние между вершинами С и Е1 •
�
20
С1
1 0 ./2
"'
"'
"'
1
1
DL
"'
F
_
_
_
_
_
в
с
Рис. 92
Часть 2
9.
Найдите значение выражения 23 tg 237° ctg 57°.
·
1 28
Тренировочные варианты
1 О. Водолазный колокол, содержащий v = 5 молей воздуха при давлении
Р1 1 ,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом про
исходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления Р2 . Ра
бота, срвершаема·я водой при сжатии воздуха, определяется выражением
К
А avT log2 , где
17,2 Дж. К - постоянная, Т 300 - теммоль
1
пература воздуха. Найдите, какое давление Р2 ( в атм) будет иметь воздух
в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 77 400 Дж.
1 1 . Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одно
временно начали строить два одинаковых производственных помещения.
В первой бригаде было 62 рабочих, а во второй - 50. Через 14 дней после
начала работы из первой бригады 10 человек перешли во вторую бригаду,
в результате строительство обоих помещений было завершено одновре
менно. Найдите, сколько дней потребовалось на строительство каждого
из помещений.
1 2. Найдите наименьшее значение функции у
4 cos х - 15 х + 7 на
=
=
отрезке
Др
о:
=
=
[О; 2; ] .
=
7Г
Для записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
О.
[
а) Решите уравнение 4 cos4 х - 15 cos 2х - 1
б ) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отр�зку 3; ; 37Г) .
1 4. В прямом круговом цилиндре проведена образующая Р Р1 , точка Р ле
жит в нижнем основании. Точки Q и К1 отмечены на окружностях нижнего
и верхнего оснований цилиндра соответственно, при этом они не лежат на
одной образующей. LK1 PQ = 90°.
а ) Докажите, что QK1 пересекает ось цилиндра.
б) Найдите диаметр основания цилиндра, если РР1 = 12; К1 Р1 = 9 , а
расстояние от точки Р до прямой QK1 равно 12.
1 5. Решите неравенство / / 2 / l + - / / 1+
9х 3x
1 3х 1
1 6. Около окружности радиусом 2 описана равнобедренная трапеция
ABCD (AD - "большее основание), площадь которой равна 20.
1 3.
=
_
Вариант № 20
�.
1 29
а) Докажите, что синус угла при меньшем основании равен
б ) Найдите площадь трапеции MBCN, где Ми N - точки касания
окружности с боковыми сторонами трапеции.
1 7. В июле 202 1 -го года планируется взять кредит в банке на некоторую
сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнениiо с концом
предыдущего Года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним пла
тежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит
будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)
и банку будет выплачено 972 ООО рублей?
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
ху2 - 6ху - 6у + 36 = О
'
Jx + 9
у = 6 - 2ах - ба
имеет ровно три решения.
1 9 . На острове 2021 город, некоторые из которых соединены друг с другом
дорогами. Других населённых пунктов нет. Одиа дорога соединяет ров
но 2 города. Если по карте дороги должны перес;екаться, то посредством
эстакад и тоннелей их строят так, чтобы не было возможности съезда с
одной дороги на другую. Из любого города можно попасть в любой дру
гой, возможно, проездом через другие города. Любые два города не могут
быть связаны более чем одной дорогой.
а) Может ли из 1000 городов выходить по 3 дороги, а из остальных по
9 дорог?
б) Может ли из 1010 городов выходить ровно по одной дороге, а из
остальных - ровно по две?
в ) Архитектор планировал сеть дорог так, что при закрытии двух про
извольных дорог на ремонт всё равно из любого города можно попасть в
любой другой по дорогам. Какое наименьшее число дорог могло быть по
строено?
{
9. Зак. No 1 2 1
1 30
Тренировочные варианты
Вариант No 2 1
Ответом к задан иям 1-12 является целое число или конеч
на.я десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть
1
1 . При посещении парка за день у озера с утками побывало 378 человек,
что составило 45% от числа всех посетителей. Сколько человек посетило
парк в этот день?
2. На диаграмме (см. рис. 93) показано месячное количество осадков,
выпадавших в городе Р с января по декабрь 2019 года. По горизонтали
указываются месяцы, по вертикали - количество осадков, выпавших в
соответствующий месяц, в миллиметрах. Определите по рисунку, сколько
месяцев из данного периода количество осадков превышало 40 мм.
80
60
40
1
1
,.
--
20
о
.о
F-"-
1
1
1
�
1
1
-
1
1
1
1
-
-- -
1 �
1
......
.о
§< �
� -е.
�
Рис. 93
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён четы
рёхугольник ( см. рис. 94 ). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
Рис. 94
9'
131
Вариант № 21
отделении банка стоят три терминала. Каждый из них может быть
неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого терминала. Най
дите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.
5. Найдите корень уравнения �х 7 5.
6. Площадь треугольника АБС равна 5. DE
средняя линия. Найдите
площадь треугольника СD Е (см. рис. 95 ).
4. В
-
=
-
Рис. 95
7. Материальная точка движется прямолинейно по закону
t 3 4t2 + 7t, где х расстояние от точки отсчёта в метрах, t
x(t)
время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость ( в
метрах в секунду) в момент времени t 8 с .
8 . Найдите площадь поверхности мно rогранника, изображённого н а ри
сунке 96.
=
3
-
-
-
=
2
2
Рис. 96
Часть 2
v;f.
[
а Е 7r i з;] .
Найдите значение tg а, если cos
1 О. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально
была получена зависимость температуры (в Кельвинах) от времени ра
1480 К.
боты: T(t) = То + Ьt + at2 , где t время в минутах, Т0
а
9.
=
-
10. Зак. № 1 2 1
-
=
1 32
Тренировочные варианты
-30 К/мин 2 , Ь = 150 К/мин. Известно, что при температуре нагрева
тельного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его
нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала
работы -нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
1 1 . Бригада выполняет заказ по изготовлению табуретов в количестве
180 штук, ежедневно увеличивая суточную норму на одно и то же число
изготовленных табуретов. Известно, что за первый и последний день бри
гада в сумме изготовила 45 табуретов. Определите, сколько дней бригада
выполняла заказ.
3
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = � - 24х + 5 на отрезке
а =
[-9; 0] .
Для. записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
. (
1 3. а) Решите уравнение VЗ cos(3x ) cos х - 2;
)
=
2 sin i.
б ) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -7r; 37r].
1 4. Шар пересечён двумя параллельными плоскостями а и (3, площади
сечений равны.
а) Докажите, что плоскости а и (3 равноудалены от центра шара.
б) В сечении шара плоскостью а взяты точки А и В, а в сечении плос
костью (3 - точки С и D, причём АВ = CD = 8, АВ J_ CD. Найдите
угол между плоскостью ABD и плоскостью (3, если радиус шара равен 5 ,
а плоскость а образует сечение площадью l 67r .
4 (x 2 - Зх)
1.
1 5. Решите неравенство 2 1log
og4 ( х - 5)2 �
1 6. Две окружности 01 и 02 одинакового радиуса, равного 10, касаются
друг друга в точке К.
а ) Докажите, что существует и притом только одна окружность 03 ,
которая касается окружностей 01 и 02 и их общей касательной ·t, не про
ходящей через точку К.
б) Найдите площадь четырёхугольника С1 М NC2 , где точки М и N яв
ляются соответственно точками касания окружности 03 с окружностями
01 и 02 , а С1 и С2 - центры окружностей 01 и 02 .
1 D'
Вариант № 2/
1 33
1 7. l июня 2020 года Евгений планирует взять в банке 600 ООО рублей в
кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующе
го месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть
увеличивает долг на 2% ), затем Евгений переводит в банк платёж. На ка
кое минимальное количество месяцев Евгений может взять кредит, чтобы
ежемесячные выплаты были не более 250 ООО рублей?
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
2 = 2ах 1 имеет нечётное число корней.
1 9. Уравнение х 2 + (k - т ) х + m 2 = О, корни х которого - натуральные
числа, имеет хотя бы один корень, который является простым числом.
а) Какие значения может принимать k, если т 14?
б) Какие значения могут принимать корни уравнения, если
m(m + 1) = 1085 + k и k целое число?
в) Какие значения может принимать m, если k 2 = 36?
1�
-
1
-
=
-
1 34
Тренировочные варианты
Вариант № 22
Ответом к заданиям 1-12 является целое число ил и конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть
1
1 . Призёрами городского конкурса экологических проектов стали 54 уче
ника, что составило 18% от числа участников. Сколько человек участво
вало в конкурсе проектов?
2. На рисунке (см. рис. 97) представлена диаграмма, показывающая
максимальное суточное количество осадков в каждом месяце в Санкт
Петербурге по наблюдениям с 1836 года. По горизонтали указываются
месяцы, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответству
ющий месяц, в миллиметрах. Определите по рисунку, сколько месяцев
максимальное суточное количество осадков не превышало 40 мм.
gо ..,....,-,--,-,.....,..--г-т-т-т-.,.--,--т--т-,...,---г-т-r-r--r-т-т-.,.-,
70 +-t--+-+-t-+-+-+-+-+-+-t--+-±=l-I
6 0 +--<>-+-+-+-+-+--+-+-+-+--+-......
50 -.i-+--+-l--+-+-+-+-t
40 +-t-+--+-t--+--+-+-+-t
30 +-t-t-t--t-t-t-l==t--1
l-+-t--t-+-i20 --- � - -- .-- - - ,__
,__
1 0 .... - - - ,__
о
.о
.о
Е
.о
!} ;§ !} �
�
�
:!;
<:\)
1:3
с:с
:i:
о:
-еэ..
:!;
>;:s
1:3
S?
.о
:i:
;:s
-
.о
�;:s
-
,..._
,..._
Е
�
с:с
1:3
.о
-
.о
-
....
,__
.о
.о
� � � �
� �
�
:i:
�
�
�
о
�
Рис. 97
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см изображён че
тырёхугольник (см. рис. 98, с. 1 35 ). Найдите его площадь. Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.
4. В отделении банка стоят три терминала. Каждый из них может быть
неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого терминалЁ. Най
дите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.
х
Вариант № 22
1 35
1см
j
/
IJ/
/
Рис. 98
5. Найдите корень уравнения �2х - 9 4.
6. Площадь треугольника АБС равна 17. DE - средняя линия.
площадь треугольника СDЕ (см. рис. 99 ).
=
Найдите
Рис. 99
7. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = t4 + 7t3 +4t + 12 где х - расстояние от точки отсчёта в метрах, t
время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в
метрах в секунду) в момент времени t 4 с.
8 . Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на ри
сунке lОО (см. с. 1 36).
-
,
=
если cos а }io, а Е [ з;; 21ТJ .
10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально
была получена зависимость температуры (в Кельвинах) от времени ра
боты: T(t) То + Ьt + at2 , где t - время в минутах, То 1200 К.
а = - 5� К/мин 2 , Ь = 250 К/мин. Известно, что при температуре нагрева
тельного элемента свыше 2100 К прибор может испортиться, поэтому его
Часть 2
9. Найдите значение tg а,
=
=
=
1 36
Тренировочные варианты
3
7
Рис. 1 00
нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала
работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
1 1 . Бригада выполняет заказ по изготовлению декоративных фиrурок,
ежедневно увеличивая суточную норму на одно и то же число изготовлен
ных сувениров. За первый день бригада изготовила 8 фиrурок, а весь заказ
из 690 фиrурок бригада выполнила за 12 дЩ!Й. Определите, сколько суве
ниров бригада изготовила за четвёртый день.
3
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = � - 27х + 11 на отрезке
[-8 ; 0].
Для зап иси решений и ответов н а задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы зап и сывайте чётко и разборчиво.
а) Решите уравнение J2 sin(2x) cos (х + � ) = 2 cos з;.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку (-27r; 37r].
1 4 . Шар пересечён двумя параллельными плоскостями -у1 и -у2 , площади
сечений равны.
а) Докажите, что центр шара находится между плоскостями -у 1 и -у2 .
б) В сечении шара плоскостью -у1 взяты точки А и В, а в сечении плос
костью -у2 - точки С и D, причём АВ = 24 , CD = 12J3, АВ .l CD,
BD < AD. Найдите угол между плоскостью BCD и плоскостью -у1 , если
радиус шара равен 13, а плоскость -у1 образует сечение площадью 1447r.
2 - 2х - 8)
2
1 5 . р ешите неравенство log3 (x
� 1.
logз (x + 2) 2
1 3.
1 37
Вариант № 22
1 6. Две окружности 01 и 02 одинакового радиуса, равного 10, с центрами
в точках С1 и С2 соответственно, касаются друг друга в точке К.
а)Докажите, что существует и притом только одНа окружность 03 , ко
торая касается окружностей 0 1 и 02 и прямой l, параллельной С1 С2 и
отстоящей от неё на расстоянии 15.
б) На�дНте площадь четырёхугольника С1 МNC2 , где точки М и N яв
ляются соответственно точками касания окружности 03 с окружностями
01 и 02 .
1 7. l июня 2020 года Ольга планирует взять в банке 660 ООО рублей в
кредНт. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующе
го месяца банк начисляет l процент на оставшуюся сумму долга (то есть
увеличивает долг на 1 % ), затем Ольга переводит в банк платёж. На какое
минимальное количество месяцев Ольга может взять кредит, чтобы еже
месячные выплаты были не более 210 000 рублей?
1 8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
v'4 - Зх = а - 2lxl имеет нечётное число корней.
1 9. Уравнение х 2 + (k + т ) х + k 2 = О , корни х которого - натуральные
числа, имеет хотя бы один корень, который является простым числом.
а) Какие значения могут принимать корни уравнения, если k -9 и
т - целое число?
б) Какие значения может принимать k, если k( k + 1) = 371 - т и т целое число?
в) Какие значения может принимать k, если m2 = 8649?
/
·
=
1 38
Тренировочные варианты
Ва риант № 2 3
Ответом к задан иям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
1
1 . Грузовик за месяц проехал 6000 км. Цена дизельного топлива
44,25 рублей за литр. Средний расход бензина на 1 00
составляет
24 литра. Сколько рублей потратил водитель грузовика на дизельное топливо за этот месяц?
1
2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряже
ние в электрической цепи фонарика падает. На графике (см. рис. 101 )
показана зависимость напряжения в цепи (в вольтах) от времени работы
фонарика (в часах). На горизонтальной оси отмечено время работы фона
рика в часах, на вертикальной оси - напряжение в вольтах. Определите
по графику, какое напряжение будет в цепи через 36 часов работы фона
рика. Ответ дайте в вольтах.
Часть
-
км
1 ,8
�r-.....
.....
1 ,4
-- r- �-
1 ,0
0,6
0,2
о
30
20
10
40
50
Рис. 1 0 1
3 . Н а клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён параллело
грамм (см. рис. 1 02 ). Найдите длину его большей высоты.
1
1
1
j
1
1
1
Рис. 1 02
Вариант № 23
· 1 39
4. Из множества натуральных чисел от 20 до 29 наудачу выбирают ОдНо
число. Какова вероятность, что оно делится на 7?
5. Найдите корень уравнения 2 15 - х = 128.
6. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 14 и одна
сторона на 5 больше другой.
7. На рисунке 1 03 изображён график функции у = f(x) . На оси абс
цисс отмечено девять точек: x1 , x 2 , x3 , X4, X5, x5, x 7 , xs, x9. Укажите ко
личество точек (из отмеченных), в которых производНая функции f(x)
положительна.
1
1
1
• У
/\
/\.
v \... v \
11
v 1 \ ,/ � \
J
11
1
1
/1 11
v
11
1
11
/
\
) 1
11
1
'
/
1
1
/ 1 11
11
1
1
' )
11
1 11
1
11
.1
1 11
- y =f(x)
Х1
"
Xz
1
Х3
Х4
Х6
1
Х5
1
о
11
�7
11
Xg
,/ r\
i\.
Х9
r-.
х
Рис. 1 03
8. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой
высоте будет находиться уровень жидКости, если её перелить во второй
цилиндрический сосуд, радиус основания которого в З раза больше ради
уса основания первого сосуда (см. рис. 104)? Ответ дайте в сантиметрах.
Рис.
1 04
1 40
Тренировочные варианты
sin �о: , если sin 2о: 0,4.
Найдите значение выражения � cos
о:
1 О. На рисунке 105 Изображена схема вантового моста. Вертикальные
пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и
поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему ко
ординат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох
направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой систе
ме координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение
у О,0024х 2 - О,54х + 42, где х и у измеряются в метрах. Найдите длину
ванты, расположенной в 20 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
Часть 2
9.
=
=
у (м)
х (м)
Рис. 1 05
1 1 . Курага получается в процессе сушки абрикосов. Сколько килограм
мов свежих абрикосов потребуется для получения 60 кг кураги, если ку
рага содержит 8% воды, а свежие абрикосы 94% воды?
1 2. Найдите наименьшее значение функции у ху'Х - 3х + 16 на отрезке
-
=
[1 ; 9] .
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-п; �] .
1 3. а) Решите уравнение (2х 2 - 7х - 15) (2 sin x
-
J3)
=
О
.
141
Вариант № 23
1 4. В основании четырёхуrольной пирамиды SKLMN лежит прямо
угольник КLMN со сторонами КN 12, КL 5. Длины боковых рёбер
равны SK J56. SN 10J2°; SL 9.
а) Докажите, что ребро S К является высотой пирамиды.
б) Найдите уrол между прямыми SM и LN.
log0 4 (х - 4)
1 5. Решите неравенство
х
(5 629) ( lx l _ б) � О.
1 6. Большее основание AD трапеции ABCD равно 8. Углы при этом
основании равны по 75° . Угол между меньшим основанием и одиой из диа
гоналей равен 45°.
а) Докажите, что АВ 2 АО2 + ОВ 2 , где О - точка пересечения диа
гоналей.
б) Найдите площадь трапеции АБСD.
1 7. В августе планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в августе каждого года долг должен быть на одиу и ту же величину
меньше долга на август предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая
сумма выплат после его погашения составит 8,5 млн рублей?
1 8. При каких значениях параметра а система
х 2 + а2 25,
х 2 5х + а(8х + 12а - 30) < О
имеет хотя бы одио решение?
19. Последовательность а1 , а2 , , an
состоит из натуральных чисел,
причём а1 > 4 и an +l an + 4 2 д.ля � 1.
а) Могут ли а2 и а3 быть простыми числами?
б) Может ли сумма дВух подряд идущих членов этой последовательно
сти делиться на 4 нацело, если оба этих члена - простые числа?
в) Какое наибольшее количество подряд идущих членов этой последо
вательности (не обязательно с первого) могут быть простыми числами?
=
=
=
=
=
_
=
{
=
-
.
=
п
•
.
•
п
.
.
.
1 42
Тренировочные варианты
Вариант № 24
Ответом к задан иям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть
1
1 . Автобус за месяц проехал 12 ООО км. Цена топлива 44 рубля за литр.
Средний расход топлива на 1 00 км составляет 35 литров. Сколько рублей
потратили на топливо для автобуса за этот месяц?
2. При работе фонари �а батарейка постепенно разряжается и напряже
ние в электрической цепи фонарика падает. На графике (см. рис. 106)
показана зависимость напряжения в цепи (в вольтах) от времени работы
фонарика (в часах). На горизонтальной оси отмечено время работы фона
рика в часах, на вертикальной оси - напряжение в вольтах. Определите
по графику, какое напряжение будет в цепи через 38 часов работы фона
рика. Ответ дайте в вольтах.
-
1 ,8
--
1 ,4
-- -
1 ,0
---
0,6
0,2
о
10
30
20
40
50
Рис. 1 06
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён параллело
грамм (см. рис. 1 07). Найдите длину его большей высоты.
- 1,...-
- 1--
-
Рис. 1 07
Вар1!а нт № 24
1 43
4. Из множества натуральных чисел от 15 до 24 наудачу выбирают одно
число. Какова вероятность, что оно делится на 6?
5. Найди те корень уравнения 5 1 1 -х
12 5 .
6. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 22 и одна
сторона на 7 больше другой.
7. На рисунке 1 08 изображён график функции у
f(x). На оси абс
цисс отмечено десять точек: х1 , Х2 , хз , Х4, х5 , хв , Х 7 , хв , Xg , Х 10. Укажите
количество точек (из отмеченных), в которых производная функции отри
цательна.
=
=
-1
\
1\
1
Х1
1 1 1
У == f(x)
' 1-/
J
(
/1
Х2
......
'
,у
'"
v
Хз Х4
v
о
/Г)\
Х5
1
1
1
1
/
\ ./'
1
1
хб Х7
Xg
А.
\
\
\
Х9
J
\ i/
/
1
1 1\
/ 1 \
1
1
1
Х10
\
х
Рис. 1 08
8. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 12 см. На какой
высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй
цилиндрический сосуд, радиус основания которого в 2 раза больше ради
уса основания первого сосуда (см. рис. 109)? Ответ дайте в сантиметрах.
--=:--- ---
,,.
-
-
Рис. 1 09
144
Тренировочные варианты
Часть 2
sin �а , если sin 4а О, 7.
Найдите значение выражения � cos
а
1 0. На рисунке 110 изображена схема вантового моста. Вертикальные
пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и
поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему ко
ординат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох
направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой систе
ме координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение
у = О,0025х2 - О , 75х + 65, где х и у измеряются в метрах. Найдите длину
ванты, расположенной в 12 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
9.
=
у (м)
х (м)
Рис. 1 10
1 1 . Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов
изюма получится из 260 кг винограда, если изюм содержит 9% воды, а
свежий виноград 93 % воды?
3
1 2. Найдите наименьшее значение функции у = х 2 12х + 15 на отрезке
-
[49; 100].
-
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы зап исывайте чётко и разборчиво.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-�; 7Г] .
1 3. а) Решите уравнение
(2х2 - l lx + 5 ) (2 cos х - \1'2) О.
=
1 45
Вариант № 24
1 4 В основании пирамиды SABCDEF лежит правильный шестиуголь
ник. ABCDEF со стороной 4, SA = 6 , SF = 2JI3; SD = 10.
а) Докажите, что SA является высотой пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми АС и SD.
log0 6 ( х - 1 )
1 5 Решите неравенство
� О.
.
(Зх _ 4) (1xl _ 2)
1 6 . Меньшее основание ВС трапеции ABCD равно 12. Углы при боль
шем основании равны по 75°. Угол между диагоналями равен 90°.
а) Докажите, что ВО = ОС, где О - точка пересечения диагоналей.
б) Найдите площадь трапеции ABCD.
1 7. В октябре планируется взять кредит в банке на сумму l l млн рублей.
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом
предыдущего года;
- с февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить часть
долга;
- в октябре каждого года долг должен быть на одну и ту же величину
меньше долга на октябрь предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая
сумма выплат после его погашения составит 20,24 млн рублей?
1 8. При каких значениях параметра а система
х 2 - (1i a + 1 1) х + (За + 18) ( � - 1 ) � О,
{
х2
=
36 - а 2
имеет хотя бы одно решение?
1 9. Последовательность ai , а 2 , an , . . . состоит из натуральных чисел,
an+ l
2 an + (2n - 1) 2 для n � 1.
а) Может ли а3 быть простым числом, если а 1 , а2 и а4 не являются
простыми числами?
б) Какое наибольшее количество подряд идущих членов последова
тельности (не обязательно с первого) может делиться на 3?
в) Какое наибольшее количество подряд идущих членов последова
тельности (не обязательно с первого) может быть не кратно 3 , если ai не
делится на три нацело?
•
=
. . .
Тренировочные варианты
1 46
Вариант No 2 5
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть
1
1 . Студент получил гонорар в размере 3600 рублей за создание сайта. Он
решил на все полученные деньги купить букет роз для своей бабушки. Ка
кое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный
у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 250 рублей
за штуку и букет должен состоять из нечётного числа цветов?
2. На диаграмме (см. рис. 1 1 1 ) изображено количество учеников 11-го
класса, выбравших для сдачи ЕГЭ различные дополнительные экзамены.
По горизонтали указаны экзамены, по вертикали - количество учеников,
выбравших тот или иной экзамен. По диаграмме определите, сколько эк
заменов были более востребованы, чем история.
so �����
70 t-+--+--+-+---t
60
50
--
40
30
20
10
-
-
--
-
>--
§
§-
IS
�
--
•::s
::s :.:
:.: :ё
·�
::s �
�
�
-
-
f--
§
�
i�
IS S!
� 1:::1
�
:&:
1
:t""
о
1О
f--
�
�
'9
�
Q
�
�
1:::1
�
IS
1:::1
&
IS
�
Рис. 1 1 1
3. На клетчатой бумаге с размером клетки .JIO х .JIO изображён !::. А ВС
( см. рис. 1 1 2, с. 1 47 ). Найдите длину его высоты, опущенной на сторо
ну ВС.
4. Перед началом т еннисного матча судья бросает монетку, чтобы опреде
лить, кто из игроков будет подавать первым. Теннисист А играет три матча
с разными соперниками. Найдите вероятность того, что игрок А будет по
давать первым ровно два раза.
Варнант№ 25
11
1 47
�- ' �
'
\
'
,,,.
}.
.......
......
....... ,,,.
�
r
�8. Если уравнение имеет более
корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 и 13 (см. рис. 113 ) .
Рис. 1 1 2
5. Найдите корень уравнения х
=
5х х-
ОДНОГО
Рис. 1 1 3
7. На рисунке 1 1 4 изображён график функции у F (x) - одной из пер
вообразных функции f(x) , определённой на интервале (-4; 3). Найдите
количество решений уравнения f(x) О на отрезке [-3; 2].
=
1
1
1
� >-\ у = F(x)
\
'
-i4
\
\
1
.
1
1
\
'r-..... /
=
у fr\
1 \
r\
\
1
.......
о
l
\
\
х
'
\
\
\.
""1)
Рис. 1 1 4
8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили
2700 см3 жидкости и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень
Тренировочные варианты
1 48
жидкости в сосуде поднялся с отметки 18 см до отметки 29 см. Найдите
объём детали (см. рис. 115 ). Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Рис. 1 1 5
Часть 2
9. Найдите значение tg 2 о:, если 5 sin2 о: + 17 cos 2 о: 6.
1 О. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 'Г/ Ti ]\ Т2 100%, где Т1 - температура нагрева
=
•
=
теля (в градусах Кельвина), Т2 - температура холодильника (в градусах
Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Т1 Кпд
этого двигателя будет не меньше 55%, если температура холодильника
Т2 315 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
1 1 . Из деревни Западная в деревню Восточная одновременно выехали два
автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй
проехал первую половину пути со скоростью 45 км/ч, а вторую половину
пути со скоростью, на 42 км/ч больше скорости первого. В деревню Во
сточная оба автомобиля прибыли одновременно. Найдите скорость пер
вого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
1 2. Найдите точку минимума функции у 7x.jX 21х + 9.
=
=
-
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
б) Найдите его корни, принад,11 ежащие отрезку [- 7; ; - �] .
1 4. Известно, что ABCDA 1 B1 C1D 1 куб, АВ 12. На ребре СС1 взя
та точка Т такая, что СТ 10. Через точки Т и D 1 проведена плоскость -у,
параллельная прямой СА 1 •
1 3. а) Решите уравнение 1 + sin(37Г
-
х)
-
=
=
2 sin2 х.
=
1 49
Вариант № 25
а) Докажите, что В1 М : МС1 = 4 : 1, где М - точка пересечения
плоскости 'У и ребра В1 С1 .
б) Найдите угол наклона плоскости 'У к плоскости С D D 1 С1 .
1 5. Решите неравенство log2 (25 - 5х) ;;::: log2 (x 2 - 8х + 15) + log2 (x + 2).
1 6. Меньшая сторона АВ и меньшая диагональ BD параллелограмма
ABCD образуют с его большей стороной AD углы, соответственно рав
ные 300 и 15°. Проведена окружность с центром в точке В и радиусом ВН,
где ВН - высота параллелограмма, о riущенная на сторону AD.
а) Докажите, что отношение площади части круга, расположенной вне
параллелограмма, к площади всего круга равно 172 .
б) Найдите площадь части круга, расположенной внутри параллело
грамма, если AD �1 7. Строительство нового завода стоит 340 млн рублей. Затра
ты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе рав
ны О,3х2 + х + 12 млн рублей в год. Если продукцию завода про
дать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб
лей) за один год составит рх - (О,3х 2 + х + 12). Когда завод бу
дет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в та
ком количестве, чтобы годовая прибыль была наибольшей. В пер
вый год после постройки завода цена продукции р 14 тыс. руб
лей за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивает
ся на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство за
вода?
1 8. При каких значениях параметра а уравнение
(а + 2)81 х - (а - 1)9х - ба + 5 = О имеет единственный корень?
1 9. В течение k дней Костя выписывал в тетрадь натуральные числа, каж
дое из которых не больше 18. При этом каждь1й день, начиная со второго,
сумма выписанных за день чисел была хотя бы на 2 больше, чем в преды
дущий день, а количество чисел меньше.
а) Может ли среднее арифметическое чисел, выписанных в первый
день, быть больше 2, но меньше 3, а среднее арифметическое всех вы
писанных чисел быть больше 10?
б) Может ли сумма чисел, выписанных в первый день, равняться 350,
если k ;;::: 300?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы всех выписанных
чисел при k 100.
=
=
=
Тренировочные варианты
1 50
Вариант № 26
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная де.сятич.ная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть
1
1 . Эльза получила гонорар в размере 1 200 рублей за работу няней. Она
решила на все полученные деньги купить фигурки-трансформеры д.ля сво
их братьев Миши и Тиграна. Какое наибольшее количество трансформе
ров сможет купить Эльза, есЛи удержанный у неё налог на доходы состав
ляет 4 % гонорара, трансформеры стоят 230 рублей за штуку и она должна
купить чётное число трансформеров (поровну д.ля Миши и Тиграна)?
2. На диаграмме (см. рис. 116) показано потребление основных продуктов
питания на душу населения в 2016 году по оценкам одного из статисти
ческих агенств. По горизонтали указаны основные продукты питания, по
вертикали - количество в кг на душу населения. Используя диаграмму,
230
2 1о
1 9о
1 7о
1 5о
1 3о
1 1о
,___
9о .....
....
7о .....
5о 3о о- ,___
-
,__ _ _
---
Рис. 1 1 6
,__
-----------------
Вариант № 26
151
определите, сколько из представленных типов продуктов были востребо
ваны населением меньше, чем овощи.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки ./2 х ./2 изображён дАВС
(см. рис. 1 1 7). Найдите д.лину его высоты, опущенной на сторону ВС.
};
А
j l"\
1 '1
'1
1"\ с
�Рис. 1 1 7
4. Перед началом теннисного матча судья бросает монетку, чтобы опреде
лить, кто из игроков будет подавать первым. Теннисист А играет три матча
с разными соперниками. Найдите вероятность того, что игрок А будет по
давать первым ровно один раз.
5. Найдите корень уравнения х
=
4х - �8 . Если уравнение имеет более
ходного корня, то в ответе запишите меньшей из корней.
б. Площадь ромба равна 27, одна из его диагоналей равна 9 ( см. рис.
Найдите друrую диагональ.
А
118 ).
/ 7с
В
Рис. 1 1 8
7. На рисунке l 1 9 (см. с. 1 52 ) изображён график функции у = F(х) - од
ной из первообразных функций /(х) , определённой на интервале ( 3 ; 5).
Найдите количество решений уравнения !(х) = О на отрезке [-2; 4].
8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили
3200 см 3 жидкости и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень
жидКости в сосуде поднялся с отметки 15 см до отметки 27 см. Найдите
объём детали ( см. рис. 120, с. 1 52). Ответ дайте в кубических сантимет
рах.
-
1 52
1 1 1 '
/ "" у = F(x)
7
\
-в
\
'
-2
\
\
'
Тренировочные варианты
у
j
о
' "\
�
1
1
\
\
J
/
4
1
1'о.....
j
/
\
\
J
/
1
1
1Х
Рис. 1 1 9
Рис. 1 20
Часть 2
9. Найдите значение tg2 а, если 4 sin2 а + 13 cos2 а 5.
1 О. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 'Г/ Ti 1\ Т2 100%, где Т1 - температура нагрева
=
=
•
теля (в градусах Кельвина), Т2 - температура холодильника (в градусах
Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Т1 Кпд
этого двигателя будет не меньше 40%, если температура холодильника
Т2 = 330 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
1 1 . Из посёлка Ижица по направлению к посёлку Ять одновременно вы
ехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь
путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, на 12 км/ч
меньше скорости первого, а вторую половину пути со скоростью 80 км/ч.
В посёлок Ять оба автомобиля прибыли одновременно. Найдите скорость
первого автомобиля, если известно, что она больше 50 км/ч. Ответ дайте
в км/ч.
Вариант № 26
1 53
12. Найдите точку минимума функции у = ..зхJХ - 27х + 1 1 .
Для зап иси решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3. а) Решите уравнение 1 - cos
( з; - х)
=
2 cos2 х.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [- 5; ; о] .
14. Известно, что ABCDA1B1C1D1 - куб, AD = 8. На ребре АА1 взята
точка К такая, что А1 К = 1. Через точки К и В1 проведена плоскость -у,
параллельная прямой АС1 .
а) Докажите, что А1 Р PD1 = 1 6 , где Р - точка пересечения
плоскости "У и ребра А D 1 .
б) Найдите угол наклона плоскости "У к плоскости ADD 1 A1 .
1 5. Решите неравенство log0 , 7 (6 - 3x) � log0 ,7 (x2 - 5х + 6) + log0, 7(x + 1 ) .
1 6. Меньшая сторона А В и меньшая диагональ BD параллелограмма
ABCD образуют с его большей стороной AD углы, соответственно рав
ные 75° И 45°. Проведена окружность с центром в точке В и радиусом ВН,
где ВН - высота параллелограмма, опущенная на сторону AD.
а) Докажите, что отношение площади части круга, расположенной
внутри параллелограмма, к площади всего круга равно J.i.
б) Найдите площадь части круга, расположенной вне параллелограм15 .
ма, если AD J"i
1 7. Строительство· нового завода стоит 350 млн рублей. Затра
ты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе рав
ны О,2х2 + х + 24 млн руб.Лей в год. Если продукцию завода про
дать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн руб
лей) за один год составит рх - ( О,2х2 + х + 24 ) . Когда завод будет по
строен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количе
стве, чтобы годовая прибыль была наибольшей. В первый год по
сле постройки завода цена продукции р = 9 тыс. рублей за едини
цу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс.
рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?
:
1
=
:
1 54
Тренировочные варианты
1 8. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 5)25"' + (а + 7) 5"' + 2а + 7 = О имеет единственный корень?
1 9. В течение k дией Оля выписывала в тетрадь натуральные числа, каж
дое из которых меньше 21. При этом каждый день, начиная со второго,
сумма выписанных за день чисел была меньше, чем в предыдущий день,
а количество чисел - хотя бы на 3 больше.
а) Может ли k равняться 8?
б) Может ли k равняться 154, если сумма чисел, записанных в первый
день, не больше 600?
в) Известно, что сумма чисел, выписанных в первый день, равна 300.
Какое наибольшее значение может принимать сумма всех выписанных за
k дней чисел?
1 55
Вариант № 27
Вариант № 2 7
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть
1
1 . Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,5 г 2 ра
за в день в течение 28 дней. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по
0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лече
ния?
2. На заданной диаграмме (см. рис. 121 ) показана динамика курса евро
с 18 февраля 2020 года по 27 февраля 2020 года. По вертикали указана
цена 1 евро в рублях, по горизонтали - даты (23, 24, 25 - нет данных,
поскольку это выходнь1е дни). По диаграмме определите, сколько дней с
18.02 по 27.02.2020 года (из отмеченных) курс евро превышал 69 рублей.
, �руб. за 1 евро
1
1
71
.....,L_
70
,...i_
-�
69
,_ _
� -
68
18
1 9 20 2 1 22 26 27
Дни месяца
-
Рис. 121
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображена трапеция (см.
рис. 122). Найдите д.лину её средней линии.
х
I Ж1 1 Ж I
Рис. 122
4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию А = {сумма очков равна 9}?
Найдите корень уравнения ( �) х - 7 = 1 .
9
6. Периметр треугольника равен 16, а радиус вписанной окружности ра
вен 2. Найдите площадь этого треугольника (см. рис. 123).
Тренировочные варианты
1 56
5.
Рис. 1 23
7. На рисунке 1 24 изображён график функции у = f (x) (два луча с об
щей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(6) - F(l), где
F(x) - одиа из первообразных функций f (x).
·
--з
у
'
'
'
1
о
'
['\.
'
� ;'\. х
'
Рис. 1 24
8. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса ра
вен 23 см 3 . Найдите объём цилиндра (см. рис. 1 25, с. 1 57). Ответ дайте в
кубических сантиметрах.
9.
Найдите значение � . если Р ( а) = (а + 1)
а (4а + !а ) . а =f. О.
Р
(�)
Часть 2
_
Варнант № 27
1 57
1
1
1
1
1
1
' \
:
'
'
\
\
\
\
\
" .... - - � - - - �
1
,_
_ _ _ _ _
Рис. 1 25
1 О. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу
= 1940 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной
l = 16 метров и шириной метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой р = �, где
масса экскаватора (в тоннах), l - длина балок в метрах, - ширина
балок в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте g = 10м/с 2 ).
Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если из
вестно, что давление р не должно превышать 242,5 кПа. Ответ выразите в
метрах.
1 1 . Из деревни Старомостовая в деревню Новомостовая, расстояние
между которыми 120 одновременно выехали дВа автомобилиста. Из
вестно, что за час первый автомобилист проезжает на 15 км/ч больше, чем
второй. Определите скорость первого автомобилиста, если в Новомосто
вую он приезжает на 40 мин раньше второго. Ответ дайте в км/ч.
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = Зх - 4xJX на отрезке
[О; 1] .
т
s
т
s
-
км ,
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы зап исывайте чётко и разборчиво.
1 3. а) Решите уравнение log 3 (- cos x) + log l (- sin x) =
-�. ,
б) Найдите все корни этого уравнения, принад.лежащие промежутку
[ 87Г; 1�7Г ] .
1 4 . Основанием пирамиды ABCD является равносторонний треугольник
АВС, д.лина стороны которого равна 4. Боковое ребро CD перпендику-
-
Треннровочныеварнанты
1 58
лярно плоскости основания и имеет длину v'2. Пусть М - середина ребра
ВС, а N - середина ребра АВ.
а) Докажите, что угол между прямыми DM и CN равен 45°.
б) Вычислите расстояние между прямыми DM и CN.
- 2 (6 - х)
1 5 . Решите неравенство хlog;
2 _ 10х + 24 � О.
1 6. Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендику
лярны и пересекаются в точке Е, вписан в окружность. Прямая, прохо
дящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону СD в
точке М.
а) Докажите, что ЕМ - медиана треугольника CED.
б) Найдите длину ЕМ, если AD = 8, АВ = 4 и LBDC = 60°.
1 7. 15-го января планируется взять кредит в банке в размере S рублей на
месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с
концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же ве
личину А меньше долга на 15..:е число предыдущего месяца.
Найдите S, А, D (общая сумма выплат после погашения кредита),
если известно, что четвёртая выплата составит 17 700 рублей, а девятая
выплата - 16 200 рублей.
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
J l � 21 = � + а имеет ровно два различных корня.
1 9. а) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 3 слева, кото
рые уменьшаются в 13 раз при зачёркивании этой цифры?
б) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 5 слева, кото
рые уменьшаются в 13 раз при зачёркивании этой цифры?
в) Найдите все натуральные числа, которые уменьшаются в 13 раз при
зачёркивании первой цифры слева.
п
n,
x x
J
1 59
Вариант № 28
Вариант № 28
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
ная
Часть 1
1.
Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,8 г 2 ра
день в течение 31 дня. В одной упаковке 20 таблеток лекарства по 0,4 г.
Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
2. На заданной диаграмме (см. рис. 126) показано число посетителей му
зея за все дни в течение одной недели. По горизонтали указаны дни недели,
вертикали - число посетителей. По диаграмме определите, какое ко
личество дней за эту неделю число посетителей не превышало 95 человек.
за в
по
пн
вт ер чт пт сб вс
Рис. 126
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображена трапеция (см.
рис. 127). Найдите длину её средней линии.
J
r
J
1
!'-
'
'-
1'-...
Рис. 1 27
4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию А = {сумма очков равна 10}?
х- 11 = 4.
5. Найдите корень уравнения ( 1 )
1 60
16
Тренировочные варианты
6. Около окружности, радиус которой равен 4, описан многоугольник, пе
риметр· которого равен 30. Найдите его площадь (см. рис. 128).
Рис. 1 28
7 . На рисунке 1 29 изображён график функции у = f(x) (два луча с об- ·
щей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(7) - F(3), где
F(x) - одна из первообразных функций !( х).
о
,у
2
1
1
1'-.
1
'
7'-..
х
"'
Рис. 1 29
8. Цилиндр и коиус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен
41 см 3 . Найдите объём цилиндра (см. рис. 130). Ответ дайте в кубических
сантиметрах.
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
1
\\
\\
\
\
,,. .... - - � - - - �
1
1
L----·
Рис. 1 30
Вариант № 28
161
Часть 2
9.
Найдите знвченне
:ш , если Р(х)
�
(х + �) (7ж + �).
1 О. Опорные башмаки шагающего экскаватора, массой т = 1026 тонн,
представляют собой две пустотелые балки миной l 19 метров и ши
риной метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в
килопаскалях, определяется формулой р = � · где т масса экскава
тора (в тоннах), l мина балок в метрах,
ширина балок в метрах,
g
ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2 ). Определите
наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что дав
ление р не должно превышать 180 кПа. Ответ выразите в метрах.
1 1 . Из деревни Дожмивая в деревню Засушливая, расстояние между ко
торыми 105 км, выехал велосипедист. Пробыв в деревне несколько дней,
он отправился обратно со скоростью, на 3 км/ч больше прежней. По пу
ти он сделал остановку мительностью 50 мин, в результате на обратную
дорогу он потратил столько же времени, сколько на путь из Дожмивой
в Засушливую. Определите скорость велосипедиста на пути из деревни
Дожмивой в деревню Засушливую. Ответ дайте в км/ч.
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = 6х - 5ху'Х на отрезке
[0; 6].
=
s
-
-
s
-
-
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чёт ко и разборчиво.
б) Найдите его корни, принамежащие отрезку [ - 511"; 7; ] .
1 4. Основанием пирамиды ABCD является прямоугольный равнобедрен
ный треугольник АБС, мина гипоте нузы АВ которого равна 4\1'2. Боко
вое ребро пирамиды СD перпендикулярно плоскости основания и имеет
мину 2. Пусть М середина ребра АС, а N середина ребра АВ.
а) Докажите, что угол между прямыми D М и СN равен 60°.
б) Вычислите расстояние между прямыми DM и CN.
1 3. а) Решите уравнение log2 (sin 2х) + log ! ( - sin х)
= �.
-
-
1 1 . Зак. № 1 2 1
-
Тренировочные варианты
1 62
2 6(1 - х )
Решите неравенство log
х
� О.
2
±
х + 4х - 5
1 6. Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендику
лярны и. пересекаются в точке Е, вписан в окружность. Прямая, прохо
дящая через точку Е и середину стороны ВС, пересекает сторону AD в
точке Н.
а) Докажите, что ЕН - высота треугольника AED.
б) Найдите д.лину ЕН, если CD = 6, ВЕ = 5 и LADB = 45°.
1 7. 15-го января планируется взять кредит в банке в размере S рублей на
месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с
концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга ;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму
А меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Найдите S, А, D (общая сумма выплат после погашения кредита),
если банку за первые пять месяцев будет выплачено 484 500 рублей, а за
последние пять месяцев всего будет выплачено 450 500 рублей.
1 8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
lg(xlx - 21) = lg ( - � - а) имеет ровно один корень.
1 9. а) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 6 слева, кото
рые уменьшаются в 25 раз при зачёркивании этой цифры?
б) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 7 слева, кото
рые уменьшаются в 25 раз при зачёркивании этой цифры?
в) Найдите все натуральные числа, которые уменьшаются в 25 раз при
зачёркивании первой цифры слева.
1 5.
п
п,
11'
Вариант № 29
1 63
Вариант No 29
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в п оле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Держатели дисконтной карты магазина спортивных товаров получают
при покупке скидку 7%. Держатель дисконтной карты заплатил за вело
сипед в этом магазине 2 1 390 рублей. Сколько рублей стоит велосипед без
скидки?
2. На рисунке 131 _ п редставлен график нагревания некоторого количества
воды. По горизонтали указано время (в минутах), прошедшее с момента
начала нагревания, по вертикали - температура в соответствующее вре
мя (в 0С). Определите по графику, за сколько минут температура воды
выросла с 30 °С до 70 °С.
� t, °C
1 00
90
80
70
60
50
40
30
20
1 0 1/....о
�v
/
2
_.
.....--
3
....-
�
4
J
//
v
v
/
-- ·-
вrремя
м
5
6
7
8
в
инутах
Рис. 1 3 1
3. На клетчатой бумаге с размером клетки У17
У17 изображён четы
рёхугольник (см. рис. 1 32, с. 164 ) Найдите его периметр.
4. На пробный экзамен по математике пришли 1 26 одиннадцатикласс
ников, том числе подруги Лена и Оля. Учащихся разместили в двух
аудиториях, разделив случайным образом на 2 равные группы. Найдите
вероятность того, что Лена и Оля окажутся в одной аудитории.
5 . Найлитt· 1-.орснь уравнения (х 7) 2 = - 2 8х.
х
.
в
-
1 2. Зак. Nо 1 2 1
1 64
Тренировочные варианты
\
'
..... .....
'-" .....
\
'
Рис. 1 32
Рис. 1 33
6. В треугольнике АБС угол А равен 43°, СН - высота, угол ВСН ра
вен 16° (см. рис. 133). Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке 134 изображён график некоторой функции у = f(x). Функция F(x) = х3 + 15х2 + 84х - � - одна из первообразных функций / (х) .
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
у
1
i
1
(//
�
ij >-... � �
/'l// � �
// � /,1 �
//// //�
-3
-7
о
х
Рис. 1 34
8. Найдите объём призмы, в основаниях которой лежат правильные ше
стиугольники со сторонами 5, а боковые рёбра равны 7 и наклонены к
плоскости основания под углом 60° (см. рис. 1 35, с. 1 65).
1 2'
165
Варнант № 29
Рис. 1 35
Найдите значение �У , если �хх ++ �У 1.
У
1 О. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движу
щихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота зву
кового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой
исходного сигнала f0 = 170 Гц и определяется следующим выражением:
f = fo . сc +- v (Гц), где с скорость ра с пространения сигнала в среде
(в м/с), а = 5 м/с и v = 1 2 м/с - скорости приёмника и источника
относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости
с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f
будет не менее 175 Гц?
1 1 . Два мотоциклиста отправляются одновременно в одном направлении
из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, мина ко
торой 26 Скорость одного из них на 39 км/ч больше скорости другого.
Через сколько минут после начала движения мотоциклисты поравняются
в первый раз?
1 2. Найдите точку максимума функции у = - �xJX + 4х + 2.
Часть 2
9.
=
и
-
и
км .
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ . Ответы зап исывайте чётко и разборчиво.
cos2 х - -12 х 2 sin 2х + 2,5 - cos2 2х = О.
б) Найдите его корни, принадп:ежащие отрезку [-?Г; �] .
1 3. а) Решите уравнение
сов
-
Тренировочны� варианты
1 66
1 4. Трапеция KLMN является основанием пирамиды PKLMN,
L.KLM + L.LMN 270°, Q - точка пересечения прямых KL и MN.
Плоскости КРL и Р М N перпендикулярны плоскости основания.
а) Докажите, что плоскости КР L и РМ N взаимно перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды PLQM, если
К L = LM = М N 12, а высота пирамиды равна 8.
1 5. Решите неравенство (14 - 6х) log7x_6(x 2 - 2х + 2) ::;;;; О.
14, ВС 16 и АС 18
1 6. В треугольник АБС со сторонами АВ
вписан квадрат К LMN так, что две его вершины К и N лежат на стороне
АС, а две другие - L М лежат соответственно на сторонах АВ и ВС
этого треугольника.
а) Докажите, что угол В - острый и больше 45°.
б) Найдите сторону квадрата.
1 7. В июле 2021 года планируется взять кредит в банке на четыре го
да в размере 8 млн рублей, где 8 :-- целое число. Условия его возвра
та таковы:
- в конце каждого января долг увеличивается на 15% по сравне
нию с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним пла
тежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть креди
та в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год Июль 2021 Июль 2022 Июль 2023 Июль 2024 Июль 2025
о
0,88
0,38
Долг (в млн
0,68
8
рублей)
Найдите наибольшее значение 8, при котором каждая из выплат бу
дет меньше 2 млн рублей.
1 8. Найдите все значения параметра
при каждом из которых все решения неравенства 2 l y + 1 1 + lx + � 1 ::;;;; 2 являются решениями неравенства
(у + х 2 - 2х - 2)(2у - + 1) � О.
1 9. На столе лежат 120 карточек - красные и зелёные, на каждой кар
точке записано ровно одно натуральное число. Все числа на красных кар
точках различны, и число на любой красной карточке не меньше числа на
любой зелёной карточке. Среднее арифметическое всех записанных чисел
равно 60 ,25. Если все числа на зелёных карточках увеличить на 2, а все
числа на красных карточках увеличить на 5, то среднее арифметическое
всех чисел станет равным 64.
=
=
=
и
-
а,
х
=
=
Вариант № 29
1 67
а) Могут ли все числа на зелёных карточках быть различны?
б) Может ли среднее арифметическое чисел на зелёных карточках рав
няться 50,5?
в) Какое наибольшее среднее арифметическое может быть у чисел на
зелёных карточках?
Тренировочные варианты
1 68
Вариант № З О
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Част ь 1
1 . В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель мо
жет заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 3% от
стоимости купленной мебели. Комод вместе со сборкой стоит 8 549 руб
лей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого комода без сборки?
2. На рисун ке 136 представлен график нагревания некоторого количества
воды. По горизонтали указано время (в минутах), прошедшее с момента
начала нагревания, по вертикали - темпераrура в соответствующее вре
мя (в 0С). Определите по графику, за сколько минут температура ВОДЫ
выросла с 40 "С до 80 "С.
, t, °C
1 00
90
80
�
70
_/ �
60
50
40
30
20
10
/ ....-
о
-� �
1
2
�
v
3
/
[/ ....-
4
r
.....v
/
J
Время в
5
Р.ис. 1 36
6
7
8
�инутах
11
3. На клетчатой бумаге с размером клетки � х � изображён четы
рёхугольник ( см. рис. 1 37, с. 1 69). Найдите его периметр.
4. На пробный экзамен по математике пришёл 81 одиннадцатиклассник,
в том числе друзья Глеб и Пётр. Учащихся разместили в трёх аудиториях,
разделив случайным образом на 3 равные группы. Найдите вероятность
того, что Глеб и Пётр окажутся в одиой аудитории.
5 . Найдите корень уравнения (х - 9) 2 = -36х.
1 69
Варнант № ЗО
/
\
,,, 1'\
'\.
�
'
/
Рис. 1 37
б. В треугольнике АБС угол С равен 45°, AD - биссектриса, угол CAD
равен 25°. Найдите угол В (см. рис. 138 ) . Ответ дайте в градусах.
Рис. 1 38
7. На рисунке 1 39 изображён график некоторой функции у = f(x) . Функ
9
ция F(x) = х 3 + 12х 2 + 72х 1 6 - одна из первообразных функций / (х) .
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
у
�
//
�
�
� �� �
� /j. // �
� � //�
� // :/)�
-6
-2
о
Рис. 1 39
х
Тренировочные варианты
1 70
8. Найдите объём призмы, в основани siх которой лежат правильные ше
стиугольники со сторонами 6, а боковые рёбра равны 11 и наклонены к
плоскости основания под углом 60° (см. рис. 140).
Рис. 1 40
Часть 2
а
значение Ь , если
9 . н аидите
.
+
5а + 9
9а 5Ь = 1 .
1 0. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движу
щихся в некоторой среде по прямой навстречу друг друrу, частота зву
кового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой
исходного сигнала f0 = 140 Гц и определяется следующим выражением:
f =
fo
·
с+
и
c - v
( Гц), где
с
- скорость распространения сигнала в среде
( в м/с ), а и = 6 м/с и v = 4 м/с - скорости приёмника и источника от
носительно среды соответственно. При какой максимальной скорости (в
м/с ) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f бу
дет не менее 150 Гц?
1 1 . Два гонщика участвуют в соревнованиях. Каждому из них нужно пре
одолеть 40 кругов по кольцевой трассе д.линой 6 км. Оба гонщика старто
вали одновременно, а первый завершил гонку на 4 минуты раньше второго.
Определите скорость второго гонщика (в км/ч ), если первый гонщик в
первый раз обогнал второго на круг через 1 час после старта.
1 2. НаЙдите точку максимума функции у =
х - 2х./Х.
с
5+9
Вариант№ ЗО
171
Для зап иси решений и ответов н а задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13; 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборч иво.
1 3. а) Решите уравнение sin 2 2х - J3 sin 2х + 2 cos 2 х sin х = О.
-
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-371"; �] .
1 4. Трапеция CDEF является ос"н ованием пирамиды TCDEF,
LDCF + LEFC = 90°, К - точка пересечения прямых CD и EF.
Плоскости CDT и EFT перпендикулярны плоскости основания.
а) Докажите, что ТК является высотой пирамиды.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды TKCF, если
CD = EF = 4, DE 6J2, ТК = 5J2. 2
1 5. Решите неравенство (18 - 5 ) log9x_7 ( x - 6х + 10) � О.
1 6. В треугольник со сторонами АВ = 12, ВС
14 и АС = 16 вписан
ромб AKLM так, что точки К, L и М лежат соответственно на сторонах
АВ, ВС и АС этого треугольника.
а) Докажите, что угол А острый и больше 45°.
б) Найдите площадь ромба.
1 7. В июне 2021 года предприятие планирует взять кредит в банке на че
тыре года в размере 8 млн рублей, где 8 - целое число. Условия его воз
врата таковы:
- в конце каждого января долг увеличивается на 22% по сравне
нию с концом предыдущего года;
- с февраля по май каждого года необходимо выплатить одним пла
тежом часть долга;
- в июне каждого года долг должен составлять часть креди
та в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год Июнь 2021 Июнь 2022 Июнь 2023 Июнь 2024 Июнь 2025
о
Долг (в млн
0,78
8
0,28
0,98
рублей)
Найдите наибольшее значение 8, при котором сумма наибольшей и
наименьшей выплат будет меньше 8 млн рублей.
1 8. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых все ре
шения неравенства IY a i + l x l � 3 являются решениями неравенства
(у а (
а)2 ) ( х 3 у + а) � О.
1 9. На столе лежат 140 карточек - синие и белые, на каждой карточ
ке записано ровно одно натуральное число. Все числа на белых карточках
=
х
=
-
-
-
х
-
-
-
-
1 72
Тренировочные варианты
различны, и число на любой синей карточке не меньше числа на любой бе
лой карточке. Среднее арифметическое всех записанных чисел равно 70.
Если все числа на синих карточках уменьшить на 5, а все числа на белых
карточках увеличить на 2, то среднее арифметическое всех чисел станет
равным 67,5 ( при уменьшении некоторые числа моrут не быть натураль
ными ).
а) Моrут ли все числа на белых карточках быть чётными?
б) Может ли среднее арифметическое чисел на синих карточках рав
няться 70,5?
в ) Какое наименьшее среднее арифметическое может быть у чисел на
синих карточках?
Вариант№ ЗJ
1 73
Вариа н т No 3 1
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
1
Часть
1 . В доме, в котором живет Степан, 15 этажей и несколько подъездов.
На каждом этаже находится по 6 квартир. Степан живет в квартире №261.
В каком подъезде живёт Степан?
2. На диаграмме (см. рис. 141 ) показаны средние цены в интернет
магазинах на электрочайники модели А и модели Б, в период с февраля
по октябрь 2019 года . По горизонтали указаны месяцы, по вертикали цены (в рублях ). По диаграмме определите, сколько месяцев с февраля
по октябрь 2019 года средняя цена электрочайника модели А была выше
средней цены электрочайника модели Б.
5400
5200
..,.. _
,.,,.
....
5000
4800
4600
4400
4200
4000
-
v
v-
,
""
,
.
""
v�- ....
�
�
�
v
v - ..,.. _ v - ,,, _
-:;::i - �= � - �- � - :::: :::: - v - � - � - :::: :::: - v - � - � - v - ,,, _
�- �= v� -- � - �::::
/,,,.
,,, _
-
/-
.о
i
§
�
cu
'$.
�-
...
•;:s
c::s
�
�-
.о
;z:
S!
;:s
...
.о
�;:s
""
i
� ""
i
О Модель А
:::: - :::: �
/f.:а Модель Б
::::
::::
,,, _
:::: - :::: - ::::
,,,
�=
�
�-
c::s
�=
�
i
.о
�
�
_
�
�
�
u
Рис. 1 4 1
3. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 1 42 (см.
с. 1 74 ).
4. Вероятность того, что новый электрический утюг прослужит больше
года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет,
равна 0,95. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет,
но больше года.
·
5 . Найдите корень уравнения
J5хf 1 = 7.
Тренировочные варианты
1 74
о
5
Рис. 1 42
6. Найдите хорду, на которую опирается угол
ность радиусом 5 (см. рис. 143).
30°, вписанный в окруж
Рис. 1 43
7. Н а рисунке 1 44 изображён график функции у f(x) , определённой на
интервале ( -4; 7). Найдите количество решений уравнения f' (x) О на
отрезке [1; 6] .
=
=
v'
-4
У = fix)
\
,
\
�-
1
1
у
1 '
.
.
r... O
V'°'
1
1
1
J 1
1
-
1
Рис. 1 44
1
1
\
\
µ
/
1
,,......
1 \.
�)
i'.
х
Варнант№ З/
1 75
2, высота равна 12 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра (см. рис. 145 ) .
_
8. Радиус основания цилиндра равен
7Г
Рис. 1 45
Часть 2
9. Найдите значение выражения а + ./а2 - ба + 9, а � 3.
1 О. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую
колонну. Давление Р (в Паскалях), оказываемое навесом и колонной на
-
опору, определяется по формуле Р
=
;';;Ц , где
т
=
2700 кг - общая
масса навеса и колонны, D диаметр колонны (в метрах). Считая уско
рение свободного падения g = 10 м/с 2 , а 7Г = определите наименьший
возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не
должно быть больше 900 ООО Па. Ответ выразите в метрах.
1 1 . Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторый заказ
за 30 часов. Работая отдельно, первый рабочий за часа выполняет та
кой же объём работ, как второй за 5 часов. За сколько часов выполнит
этот заказ второй рабочий самостоятельно?
2
1 2. Найдите точку максимума функции у = х + 324
х
3,
3
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3. а) Решите уравнение
2 cos2 х + ./3 sin ( 3; + х ) - 3 О.
=
Тренировочные варианты
б ) Найдите корни уравнения, принад,11 ежащие отрезку [ i; 5; ] .
1 76
1 4 . В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1 C1 D1 E1 F1 сто
рона основания равна 4, а высота равна 6. Плоскость а параллельна бо
ковому ребру призмы и делит пополам рёбра АВ и D1 Е1 •
а ) Докажите, что плоскос�:ь а перпендикулярна прямой CF.
б) Найдите расстояние между прямыми ВС1 и CF.
5х2 + 3х - 14
logз (x2 + Вх + 16) � О .
1 6. В выпуклом четырёWQльнике АБС D сторона А В =
1 5 . р ешите неравенство
CD = /4I и А D = 5.
5, ВС = /4I,
а ) Докажите, что диагонали АС и В D этого четырёхугольника взаимно
перпендикулярны.
б ) Найдите площадь ABCD, если все отрезки диагоналей, на которые
их делит точка пересечения, являются цельtми числами.
1 7. Дмитрий Олегович хочет положить определённую сумму денег в банк
под проценты. Треть этой суммы он кладёт на вклад «А» под r% годовых,
а оставшуюся часть денег - на вклад «В» под q % годовых ( проценты на
числяются в конце года и добавляются к сумме вклада ). Через год сумма
вкладов (с учётом процентов) равна 334 ООО рублей, а через два года -
371 880 рублей. Если бы Дмитрий Олегович изначально l суммы поло
жил на вклад «В», а оставшиеся средства на вклад «А», то через год сумма
вкладов (с учётом добавленных процентов ) была бы равна 332 ООО рублей.
= cos х + 2а sin х + а на отрезке [-i;
i] больше 2?
Чему в этом случае была бы равна сумма вкладов через два года?
1 8. При каких положительных значениях параметра а наибольшее значе-
ние функции у
1 9. В двух школах некоторые учащиеся писали тест, результат любого
ученика - натуральное число баллов. Из каждой школы писали не мень
ше двух учащихся, а всего - 19 человек. После подсчёта средних баллов в
каждой школе учащийся N перешёл из школы А в школу Б, затем средние
баллы в обеих школах пересчитали. Известно, что первоначальные сред
ние баллы в обеих школах выражались целыми числами.
а ) Мог ли средний балл в школе А упасть на 40%, если учащийся N
набрал 26 баллов?
Вариант№ ЗJ
1 77
б ) Мог ли средний балл в обеих школах упасть на 25% после перехода
учащегося N, если средний балл во второй школе до перехода учащегося
N равнялся 64?
в) Средний балл в школе А вы рос на 8%, средний балл в школе Б вы
рос на 10%. Найдите наименьшее возможное значение среднего балла в
школе Б до перехода учащегося N .
Тренировочные варианты
1 78
В а р иан т № 3 2
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите ч и сло в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . В доме, в котором живёт Савелий, один подъезд. На каждом этаже по
семь квартир. Савелий живёт в квартире 101. На каком этаже живёт Са
велий?
2. На диаграмме ( см. рис. 146 ) показаны средние цены в интернет
магазинах на пылесосы модели А и модели Б в период с мая по декабрь
2019 года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - цены (в
рублях ). По диаграмме определите, сколько месяцев с мая по декабрь
2019 года средняя цена пылесоса модели Б была выше средней цены пы
лесоса модели А .
20 000
, �Цена в рублях
1 4 ООО
8000
� :>"'
- �/-
2000 -
""" -
С:>- -
�>.,.. _
:::: - :::: :::: - :::: >,,.. _
-
t:o- -
_
.,..
.,,
;
t:: t:: t::
- t:: - .,.. _
.,.. _
t:: -
�.,.. -_ .,..� _�-
�=
,!;
.... -
_
...
.,..
""
§-
-
"::
,;'
- ,;'
- ::::
� - ,;'::::
, ....
,,..
ОМодель А
с;:JМодель Б
м.есяцы
-
Рис. 1 46
3. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 1 47 (см.
с. 1 79 ).
4. Вероятность того, что новый фен прослужит больше года, равна 0,96.
Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,91. Найдите
вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
1 5.
5. Найдите корень уравнения
J 7x :{
=
6. Найдите хорду, на которую опирается угол 135° , вписанный в окруж
ность радиусом 5 J2 ( см. рис. 1 48, с. 1 79 ).
1 79
Варнант № 32
5
о
Рис . 1 47
х
7
Рис. 1 48
7. Н а рисунке 1 49 изображён график функции у = f (x) , определённой на
интервале (-3 ; 9). Найдите количество решений уравнения f' (x) = О на
отрезке [- 1 ; 6] .
� --
-3 J
/
у
y=f(x)
1
/
v- \
\
-1
'v
о/
'1
1
'\
1 "'
1
\
1
�
V\
'
\
\
;\.
1
,_
Рис. 1 49
v
1
\
'
./
)
/9 х
Тренировочные варианты
1 80
8. Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна 15 . Найдите пло -
щадь боковой поверхности цилиндра (см. рис. 150).
7Г
1
Рис. 1 50
Часть 2
9. Найдите значение выражения Ь + JЬ2 - 16 Ь + 64,
Ь � 8.
1 О. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую
колонну. Давление Р ( в Паскалях), оказываемое навесом и колонной на
-
опору, определяется по формуле Р =
;'l:;�, где
m
= 1350
кг
- общая
масса навеса и колонны, D диаметр колонны (в метрах). Считая уско
рение с вободноrо падения g = 10 м/с 2 , а 7Г = 3, определите наименьший
.
возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не
должно быть больше 200 ООО Па. Ответ выразите в метрах.
1 1 . Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторый заказ за
56 рабочих дней. Работая отдельно, первый рабочий за 7 рабочих дней
выполняет такой же объём работ, как второй за 4 рабочих дня. За сколько
часов выполнит этот заказ первый рабочий самостоятельно?
2
1 2. Найдите точку минимума функции у = х + 25
х
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3. а) Решите уравнение 2 sin2 х
- v12 ( 5{ - ) - 2 = О.
cos
х
Варнант № 32
б ) Найдите корни уравнения, принадпежащие отрезку
[-7r; i] .
181
1 4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сто
рона основания равна 8, а высота равна 6.
а ) Докажите, что прямая А1С1 перпендикулярна плоскости ВВ1Е1•
б ) Найдите расстояние между прямыми А 1 С1 и CF1 .
Зх 2 + 17х + 24 � о
1 5 . Р ешите неравенство
log 7 (x2 + 10х + 25) "" ·
16. В выпуклом четырёхугольнике АБС D сторона АВ = 5, ВС = "'52,
CD J52° и AD 5.
а ) Докажите, что диагональ В D точкой пересечения диагоналей делит
ся пополам.
б) Найдите площадь ABCD, если все отрезки диагоналей, на которые
их делит точка пересечения, являются целыми числами.
1 7. Ирина Евгеньевна хочет положить определённую сумму денег в банк
под проценты. Эту сумму она кладёт на вклад «А» с такими условия
ми: первые два года банк начисляет q% годовых, третий и четвёртый го-.
ды - р% годовых (проценты начисляются в конце года и добавляются
к сумме вклада ). Через 3 года сумма вклада (с учётом процентов ) равна
290 400 рублей, а через четыре года - 348 480 рублей. Банк также пред
лагает положить деньги на вклад «В» с такими условиями: первый год
банк начисляет q% годовых, второй и третий годы - р% годовых. Если бы
Ирина Евгеньевна изначально положила такую же сумму на вклад «В», то
через 3 года сумма вклада (с учётом добавленных процентов ) была бы рав
на 316 800 рублей. Чему была бы равна сумма вклада через четыре года,
если бы такую же сумму можно было разместить в банке под наибольшее
из q% и р% годовых число процентов?
1 8. При каких положительных значениях параметра а наименьшее значе=
=
ние функции у = -За cos х- sin х + 2 а на отрезке
[-i ; i ] не больше - 1 ?
1 9. В двух школах некоторые учащиеся писали тест, результат любого
ученика - натуральное число баллов. Из каждой школы писали не мень
ше двух учащихся, а всего - 32 человека . После подсчёта средних баллов
в каждой школе учащийся N перешёл и з ш колы № 1 в школу №2, затем
средние баллы в обеих школах пересчитали. Известно, что первоначаль
ные средние баллы в обеих школах выражались целыми числами, при
этом средний балл в школе № 1 был в три раза больше, чем в школе No2.
а) Мог ли средний балл в обеих школах уменьшиться?
1 82
Тренировочные варианты
б ) Мог ли средний балл в обеих школах стать одинаковым?
в ) Известно, что после перехода учащегося N из школы № l в школу
№2 средний балл в обеих школах увеличился на одно и то же целое число
процентов r . Найдите все возможные значения r.
Вариант№ ЗЗ
1 83
Вариант No 33
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Ч аст ь 1
1 . В музыкальной школе 800 учеников, из них 35% - мальчики. Среди
девочек музыкальной школы 10% занимаются вокалом. Сколько девочек
в музыкальной школе занимаются вокалом?
2. На графике ( см. рис. 151 ) представлена среднемесячная температура
воздуха днём в городе К по месяцам за 2019 год. По горизонтали указаны
месяцы, по вертикали - среднемесячная температура. Для наглядности
точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разниuу меж
ду наибольшей и наименьшей среднемесячной температурой воздуха днём
в городе К в течение 2019 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
t,°C
30°
20°
10°
о
,
.о
1
1/
.о
J
1
Е
,
1
.о
l3 €} �
€}
С11)
�
�
:i:
�
11)
1:::1
�
"$.
•;:s
1:::1
�
/ .....
.о
:i:
�
;:s
....
'
\
'\
\.
'-
.о
.о
.о
Месяцы
�;:s § � � � \с:)�
� �
� �
11)
1:::1
:i:
.о
�
\,)
�
о
'1:)
Рис. 1 5 1
3 . На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён прямоугольник
(см. рис. 1 52, с. 1 84 ) . Найдите радиус окружности, описанной около. этого
прямоугольника.
4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,95, если стре
ляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристре-
Тренировочные варианты
1 84
"�
\
'
.,,..
� ,,,,
\ .,,..
.,,. ....
\
\
'
l...-' ....
Рис. 1 52
лянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе
лежат 10 револьверов, из них только 3 пристрелянных. Ковбой Джон ви
дит на стене муху наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стре
ляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
,
5 . Найдите корень уравнения sin 1Г:
ший положительный корень.
=
Yf В ответе запишите наимень
·
6. Хорда АВ делит окружность на две дуги, градусные меры которых от
носятся как 1 : 3. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принад.nе
жащей меньшей дуге окружности (см. рис. 153)? Ответ дайте в градусах.
Рис. 1 53
7. На рисунке 1 54 ( см. с. 1 85 ) изображён график функции у = f '(x) производной функции ! (х), определённой на интервале (-7; 5). Найдите
количество точек, в которых кас�тельная к графику функции f (x) парал
лельна прямой у = -2х - 5 или совпадает с ней.
8. Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со
стороной основания 0,6 и боковым ребром 1 . Найдите площадь поверхно
сти оставшейся части куба (см. рис. 1 55, с. 1 85 ) .
Вариант№ ЗЗ
1 85
r\
\
-7
у
1 1 1
у = f '(x)
1
j
� /
\
\
[\...
�
1
!/
- / 1
J
1/
,
\
\
'
\
....
х
Рис. 1 54
Рис. 1 55
Часть 2
9. Найдите значение выражения у'(х - 4 ) 2 + у'(х - 12) 2 при 4 � х � 12.
1 О. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с посто
янным ускорением а км/ч 2 • Скорость v (в км/ч ) вычисляется по формуле
v = ffa. где l - пройденный автомобилем путь в километрах. Найди
те ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав
0,4 километра, приобрести скорость 70 км/ч. Ответ выразите в км/ч 2 •
1 1 . Во вторник цена на товар уменьшилась на некоторое число процентов,
а в среду - увеличилась на то же число процентов. В результате товар
стал на 16% дешевле по сравнению с понедельником. На сколько процен
тов уменьшилась цена товара во вторник?
1 2. Найдите точку максимума функции у = х 2 - 13х + 11 ln х + 5.
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное реШе·н ие
и ответ. Ответы зап исывайте чёт ко и разборчиво.
1 3. а) Решите уравнение sin3 х + cos3 х = sin x + cos x.
[9;; l:7r] .
Тренировочные варианты
1 86
б ) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
1 4 . Диаметр АВ нижнего основания цилиндра перпендикулярен диаметру
СD верхнего основания цилиндра, при этом диаметр основания цилиндра
в v'2 раз больше высоты цилиндра.
а) Докажите, что тетраэдр АБСD
правильный.
б) Найдите объём цилиндра, если объём тетраэдра ABCD равен 14.
1 5. Решите неравенство 1 - sin х log3 х � log3 х - sin х .
1 6. Равнобедренный треугольник АБС с основанием АС вписан в окруж
ность, в которой проведён диаметр АМ. Прямая, содержащая высоту АН
треугольника, пересекает эту окружность в точке N.
а ) Докажите, что углы ВАМ и CAN равны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BMNC, если L.ABC = 45° и
радиус окружности равен 14.
1 7. Андрей как начинающий предприниматель 31 декабря взял в кредит
некоторую сумму в беспроцентном банке « Aliquot Bank». Он планирует
погасить кредит в течение года, ежемесячно возвращая долг по следующей
схеме: в январе Андрей возвращает банку половину взятой суммы, в фев
рале он возвращает треть остатка, в марте он возвращает четверть остатка
и так далее в течение года, в том числе и в ноябре. В декабре Андрей воз
вращает банку 100 тысяч рублей и полностью погашает долг банку. Какую
сумму денег Андрей взял в этом банке?
1 8. Найдите все значения а, при которых все решения неравенства
(2х - 3) 2 - (а + 4) (2х - 3) + 5(а - 1) � О принадлежат промежутку [3; 5].
1 9. Имеется 2n карточек: две карточки с числом 1, две карточки с чис
лом 2, две карточки с числом 3 и так далее, две карточки с числом n .
Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы между карточка
ми с числом 1 была ровно 1 карточка, между карточками с числом 2 было
ровно 2 карточки и так далее, между карточками с числом n было ровно n
карточек?
Решите задачу если:
a ) n = 3;
б ) n = 8;
в ) n = 14.
-
Варнант№34
1 87
В ариа н т № 34
Ответом к заданиям 1-12 являете.я. целое число или конеч
десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
н а.я.
Часть 1
1 . В школе 1 400 учеников, из них 35% - ученики начальной школы. Среди
учеников средней и старшей школы 40% изучают химию. Сколько учени
ков в школе изучают химию, если в начальной школе химия не изучается?
2. Н а графике (см. рис. 156) показано изменение температуры воздуха на
протяжении суток, начиная с 1 2:00 9 марта до 1 2:00 10 марта. На оси
абсцисс отмечается время суток, на оси ординат - значение температуры
в градусах Цельсия. Определите по графику разниuу между наибольшей
температурой воздуха 10-го марта и наименьшей температурой воздуха
9-го марта за указанное время. Ответ дайте в градусах Цельсия.
ос
�
10
9
8
7
6
5
4
3
2
./
v
/
с
с
�
-
-
!'...
-
r-- -
с
с
с;
N
9 марта
-......
'?.
с
N
N.
с
с
с;
о
Рис. 1 56
о
с
N
3. На клетчатой бумаге с размером клетки
�
с
с
�
vс
о
-ё
�
о
о
QO
l О марта
v
о
с
с;
/
о
о
N
t
-
v'5 х v'5 изображён квадрат
(см. рис. 1 57, с. 1 88 ). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квад
рат.
4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,92, если стре
ляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристре
лянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0, 1. На столе
лежат 10 револьверов, из них 7 пристрелянных. Ковбой Джон видит на
Тренировочные варианты
1 88
Рис. 1 57
стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в
муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
5 . Найдите корень уравнения sin �х
ший положительный корень.
=
f. В ответе запишите наимень
6. Хорда АВ делит окружность на две дуги , градусные меры которых от
носятся как 7 : 8. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принад.nе
жащей меньшей дуге окружности (см. рис. 158)? Ответ дайте в градусах.
Рис. 1 58
7. На рисунке 1 59 ( см. с. 1 89 ) изображён график функции у = f '(x)
производной функции f(x) , определённой на интервале (-4; 10). Найдите
количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) парал
лельна прямой у = х + 3 или совпадает с ней.
8. Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со
стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхно
сти оставшейся части куба ( см. рис. 1 60, с. 1 89 ).
-
Часть 2
х
9. Найдите значение выражения J(x - 7) 2 + J(x - 2) 2 при 2 � � 7 .
1 О. Автомобиль, масса которого т = 3240 кг, начинает двигаться с уско
рением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это
Вариант№ 34
1 89
1 1 1 у
у = f '(x)
h
!"-. ,
с-- �
-4
'�
'
'\
1
о '\.
J
1
'
r"-.
......
,/
1
1
lr-
\
�о
1/
х
Рис. 1 59
Рис. 1 60
время путь S
400 метров. Значение силы ( в ньютонах ), приложенной в
это время к автомобилю, F 2��S . О пределите наибольшее время после
=
=
начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, ес
ли известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2880 Н.
Ответ выразите в секундах.
1 1 . Три одинаковых дюбеля дешевле самореза на 4%. На сколько процен
тов восемь таких дюбелей дороже самореза?
1 2. Найдите точку минимума функции у = 2х 2 + 4х - 24 ln х + 9.
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Зап ишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы зап исывайте чётко и разборч иво.
1 3. а) Решите уравнение sin3 х + cos3 х = sin2 х + cos2 х.
[ ; 7;] .
б) Укажите корни уравнения, принад,11 ежащие отрезку 9 ;
Тренировочные варианты
1 90
1 4 . В цилиндр вписан правильный тетраэдр ABCD так, что его ребро CD
является образующей цилиндра, а вершины А и В лежат на боковой по
верхности цилиндра.
а ) Докажите, что отношение диаметра цилиндра к его высоте рав-
У2
но 3 .
4 '
б ) Вычислите объём цилиндра, если объём тетраэдра равен SJ2.
1 5. Решите неравенство 3 log2 х � О.
-
1 + cos x
1 6. Равнобедренный треугольник АБС с основанием АС вписан в окруж
ность, в которой проведён диаметр АМ. Прямая, содержащая высоту АН
треугольника, пересекает эту окружность в точке N.
а ) Докажите, что хорды ВМ и CN равны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BMNC, если LABC = 30° и
радиус окружности равен 12.
1 7. Бригада из 16 трактористов поочерёдно пахала поле площадью 170 га.
Сначала первый вспахал половину поля, потом второй - треть оставше
гося после первого, третий - четверть оставшегося от предыдущих и так
далее. В конце шестнадцатый - семнадцатую часть оставшегося. Сколь
ко гектаров поля вспахала бригада трактористов за это время?
1 8. Найдите все значения Ь, при которых все решения неравенства
(3 + log 2 x) 2 (Ь + 4)(3 + log2 x) + 3(Ь + 1 ) � О принад,11 ежат проме
жутку [1; 8] .
· 1 9. Имеется 2п карточек: две карточки с числом 1, две карточки с чис
лом 2, две карточки с числом 3 и так далее, две карточки с числом п .
Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы между карточка
ми с числом 1 была ровно 1 карточка, между карточками с числом 2 было
ровно 2 карточки и так далее, между карточками с числом п было ровно п
карточек?
Решите задачу если:
а ) п 4;
б) п = 7;
в) п = 1 3 .
-
=
Вариант№ ЗБ
191
Вар и ант № 35
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
десятичная дробь. Зап ишите число в поле ответа в тексте работы.
н ая
·
Часть 1
1 . Беспроводные наушники стоили 3400 рублей . Через некоторое время
цену на эту модель снизили до 2108 рублей. На сколько процентов была
снижена цена?
2. На графике (см. рис. 161 ) показан процесс нагревания некоторого при
бора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с мо
мента включения прибора, на оси ординат - температура прибора в гра
дусах Цельсия. Определите по рисунку, через сколько минут от включения
прибора его температура равнялась 60 °С.
'�
ос
100
90
80
70
r
60
)
50
./.......40
_ .....
/
30
j
20
1/ ...10 - -о
4
6
2
5
3
Рис. 1 6 1
�/
v
7
8
/
9
10
t
х 1 отмечены точки А, В и С
(см. рис. 1 62, с. 1 92 ). Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
4 . В некотором городе из 8000 появившихся на свет младенцев 4320 маль
чиков. Н айдите частоту рождения девочек в этом городе.
5 . Н айдите корень уравнения 7log49 (4ж -4)
4.
6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АБС равен 109° ,
угол CAD равен 39° . Найднте уrол ABD ( см. рис. 163, с. 1 92). Ответ дайте
в градусах.
3 . Н а клетчатой бумаге с размером клетки 1
=
1 92
lA
r.
Тренировочные варианты
в
Рис. 1 62
Рис. 1 63
7. Прямая у = 5х + 2 является касательной к графику функции
у = ах 2 + Зх + 4. Найдите а.
8. Два ребра прямоугольного параллелограмма, выходящие из одной вер
шины, равны 9 и 12. Диагональ параллелепипеда равна 17. Найдите объём
параллелепипеда (см. рис. 164).
1
J. .- - - - -
Рис. 1 64
Часть 2
9. Найдите значение выражения 5 log9
W log7з 49.
1 О. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радио
сигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменя
ющийся со временем по закону И = Ио cos(wt + ip) , где t - время в
секундах, амплитуда Ио = 48 В, частота w = 50° /с, фаза <р = 30° . Датчик
настроен так, что если напряжение в нём не ниже, чем 24 В, загорается
-
Вариант№ 35
1 93
лампочка. Какую часть времени ( в процентах) на протяжении первой се
кунды после начала работы лампочка будет гореть?
1 1 . Смешав 25%-й и 36%-й растворы соли и добавив 5 кг воды, получили
28%-й раствор. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 40%-го раствора,
то получили бы 32%-й раствор. Сколько килограммов 25%-го раствора
использовали для смеси?
1 2. Найдите наименьшее значение функции у = 4 c o s х - 8х + 5 на отрезке
[-�;о] .
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чёт ко и разборчиво.
1 3. Зак. № 1 2 1
Тренировочные варианты
1 94
- в ноябре каждого года, с первого по четвёртый, долг должен быть
на на одну и ту же сумму меньше, чем в январе того же года;
- в декабре четвёртого года долг клиента должен равняться половине
суммы� взятой в кредит;
- в ноябре пятого и шестого годов долг должен быть на одну и ту же
сумму меньше долга на ноябрь предыдущего года.
На какую сумму был взят кредит, если первая выплата больше послед
ней на 8000 рублей?
1 8. Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых уравнение
Jx 9 = -Ьх + 5Ь + 1,5 имеет единственный корень.
1 9. В коробке лежат р яблок зелёного цвета и с яблок красного цвета, при
э�ом р � 2, с � 2. Из коробки наудачу достают 2 яблока.
а ) Может ли вероятность того, что эти яблоки окажутся одного цвета,
быть больше вероятности того, что они окажутся разных цветов?
б) Может ли вероятность того, что эти яблоки окажутся разных цве
тов, равняться вероятности того, что они окажутся одного цвета?
в) Чему равна наибольшая возможная при данных условиях вероят
ность того, что эти яблоки окажутся разных цветов?
-
1 3"
Варнант№ Зб
1 95
В а ри а нт № 3 6
Ответом к заданиям 1-12 является целое число ил и конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Картина стоила 15 ООО рублей. На аукционе цену на эту картину по
высили до 33 ООО рублей. На сколько процентов была повышена цена на
аукционе?
2. Когда самолёт находится в горизонтальном полёте, подъёмная сила,
действующая на крылья, зависит от скорости. На графике (см. рис. 165)
изображена эта зависимость для некоторого самолёта. На горизонталь
ной оси отмечена скорость в километрах в час, на вертикальной оси подъёмная сила в тоннах силы. Определите по графику подъёмную силу
при скорости полёта 275 км/ч. Ответ дайте в тоннах силы.
5
4
3
2
�
1
о
,....
-�
1 00
tr
�
200
300
Рис. 1 65
v
�
,J
,J
400
J
,
500
-
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 отмечены точки А,
(см. рис. 1 66). Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
А
ВиС
.п
с
Рис. 1 66
4. В некотором городе из 8000 появившихся на свет младенцев 4272 маль
чика. Найдите частоту рождения девочек в этом городе.
14. Зак. № 1 2 1
1 96
5 . Найдите корень уравнения
5 Iog2s( 7x- 7) = 7.
Тренировочные варианты
6. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 121°,
угол CAD равен 44° . Найдите угол ABD ( см. рис. 167). Ответ дайте в
градусах.
Рис. 1 67
7. Прямая у = Зх + 2 является касательной к графику функции
у = 2х 2 - 5х + с. Найдите с.
8. Два ребра прямоугольного параллелограмма, выходящие из одной вер
шины, равны 24 и 32. Диагональ параллелепипеда равна 41. Найдите объ
ём параллелепипеда ( см. рис. 168).
Рис. 1 68
Часть 2
9. Найдите значение выражения log5 7 log7 25 + log И! 121.
1 О. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радио
сигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяю
щийся со временем по закону И = Ио sin(c.vt+ip ) , где t - время в секундах,
амплитуда Ио = 4 В, частота c.v = 120° /с, фаза <р = - 15°. Датчик настро
ен так, что если напряжение в нём не ниже, чем 2 В, загорается лампочка.
·
14'
Вариант№ Зб
1 97
Какую часть времени ( в процентах) на протяжении первой секунды после
начала работы лампочка будет гореть?
1 1 . Имеется два сосуда, один из которых содержит 40 кг, а другой
35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать растворы
в этих сосудах, то получится раствор концентрации 1 1 ,2%. Если смешать
равные массы этих растворов, то получится раствор концентрации 11 %.
Сколько килограммов кисл0ты содержится во втором сосуде? "
12. Найдите наименьшее значение функции у = 3 cos -5х + 4 на отрезке
·
-
[-�;о].
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
Тренировочные варианты
1 98
- в сентябре каждого года с 1 -го по 6-й сумма долга должна быть на
одну и ту же величину меньше по сравнению с мартом;
- в сентябре 6-го года сумма долга должна равняться половине вели
чины кредИТа;
- в ноябре 7-го и 8-го годов сумма долга должна быть на одну и ту же
величину меньше, чем в ноябре предыJIУЩего года.
На какую сумму был взят кредит, если первая выплата больше послед
ней на 9000 рублей?
1 8. Найдите все значения параметра с, при каждом из которых уравнение
.../х 7 = сх + 5с + 1,75 имеет единственный корень.
1 9. В пакете 28 конфет, 24 из них в серебристой упаковке, а остальные в золотистой.
а ) Конфеты случайным образом раскладывают в две коробки - по
1 4 штук в каждую. Какова вероятность того, что в каждой из коробок ока
жется по две конфеты в золотистой упаковке?
б) Конфеты случайным образом раскладывают в две коробки - по
1 4 штук в каждую. Какова вероятность того, что в одной из коробок не
будет ни одной конфеты в золотистой упаковке?
в) К имеющимся конфетам добавили ещё по равному количеству кон
фет в золотистой и серебристой упаковках. Потом две конфеты убрали,
выбрав их наугад. Может ли вероятность того, что эти две конфеты в оди
наковой упаковке, в целое число раз отличаться от вероятности того, что
эти две конфеты в разных упаковках?
-
-
1 99
Варнант № 37
Вариант № 37
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Установка двух счётчиков воды ( холодной и горячей) стоит З 500 рублей.
До установки счётчиков за воду платили 750 рублей ежемесячно. После
установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 580 руб
лей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате
воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не
изменятся?
2. На графике (см. рис . 169) показана температура воздуха с 5 по 11 мая
2019 года в некотором городе. По горизонтали отмечается время суток в
часах ( горизонтальная сторона клетки соответствует 6 часам ) по вертика
ли - температура воздуха в градусах Цельсия. Определите по графику,
сколько часов за указанный период температура превышала 10 "С.
28
, t, °C
24
20
16
12
8
4
О
,,.
5 мая
v
б мая
/
---
/
? мая
8 мая
"
r-...
.....
r--.
9 мая l О мая l l мая
Рис. 1 69
3. На координатной плоскости закрашена фиrура ( см. рис. 1 70, с. 200).
Найдите её площадь.
4. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел
по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный в1:�1стрел.
Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Ве
роятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,5,
200
Тренировочные варианты
YJ �
� )\.
/// � )..
�
.. �
1� 'l
"'с ""'
J r,/
1� >,..
�
"/::
� IPv
'(,: �
х-
Рис. 1 70
а при каждом последующем - О, 7. С колько выстрелов потребуется для
того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?
5. Найдите корень уравнения log2 7 35ж - 2 = 9.
6. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касатель
ные АС и ВС. Угол САВ равен 54°. Найдите угол АОВ (см. рис. 171 ).
Ответ дайте в градусах.
Рис. 1 7 1
7 . На рисунке 1 72 (см. с . 20 1 ) изображён график у = f ' ( х ) - производной
функции f(x). На оси абсцисс отмечено семь точек : х 1 , х 2 , х3 , Х4, xs , х5 ,
х 7. Сколько из них принадлежит промежуткам убывания функции f(x) ?
8. В правильной четырёхуrольной пирамиде высота равна 12, объём ра
вен 648. Найдите боковое ребро этой пирамиды ( см. рис. 173, с. 20 1 ).
Часть 2
Варнант № 37
�
1
Х1
• У
у = f '(x)
/ 1• \,
\
\
2
, 1 \
-
/
Х3
1
1
_,.....
20 1
r�
j
1"-. /
/ о
1
1
)4
\
\
s
\.
_Jv
�
'\. 1/
/
v
/1\.
.:1 17
х
Рис. 1 72
Рис. 1 73
1 0. Ё мкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 4 10- 6 Ф.
Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением
R = 7 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе
18 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденса
Ио
торе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением ·
·
·
=
t = aRC log2
IfJ (с), где
= 0,9
постоянная. Определите наибольшее
возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телеви
зора прошло не менее 50,4 с. Ответ дайте в кВ ( киловольтах).
а
-
1 1 . Семья состоит из мужа, жены, бабушки-пенсионерки и детей
школьников, не имеющих дохода. Если зарплату жены увеличить втрое, то
общий семейный доход вырастет на 72%. Если зарплата мужа уменьшит
ся в четыре раза, то общий доход уменьшится на 42%. Сколько прqцентов
от общего дохода составляет пенсия бабушки?
1 2. Найдите наибольшее значение функции у
= log3 (8
-
2х
-
х 2 ) + 5.
Тренировочные варианты
202
Длл записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
( - х) ;
б ) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- l�7r;
1 3. а) Решите уравнение 2 cos 2 х + cos 3 х =
1 + sin 3;
-
1Т
]
.
1 4. В правильной четырёхугольной призме АБСDА1 Б1 С1 D1 точки М, N
и К делят рёбра АА1 ББ1 , DD1 в отношении 1 : 5, 1 : 4 и 1 : 2 соответ
ственно, считая от нижнего основания АБС D.
а) Докажите, что плоскость М NК делит ребро СС1 в отношении
1 1 : 19, считая от нижнего основания.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания
призмы, если сторона основания призмы равна JIЗ, а высота равна 30.
+1 6
+2
1 5. Решите неравенство 4ж - ,,,2ж + 2 + 2ж2,,,
- 2 ж � 1.
4
2 3
1 6. В треугольнике АБС стороны АБ и БС соответственно равны 3 и 5.
а угол между ними 120°. Серединные перпендикуляры к АБ и БС пересе
кают АС соответственно в точках L и N.
а ) Докажите, что БN : (БL + LN) = 5 : 8.
б) Найдите отношения радиусов окружностей, вписанных соответ
ственно в треугольники БСN и АБL.
1 7. Николай Иванович хочет взять кредит в банке « СНТ и К» на два го
да. В начале каждого полугодия банк увеличивает долг на некоторое число
процентов, а затем Н иколай Иванович вносит определённую сумму, кото
рая каждый раз не превышает 168 тысяч рублей.
Определите максимальную возможную величину кредита при этих
условиях, если известно, что на протяжении первого года банк каждое по
лугодие будет увеличивать сумму долга на 12%, а на протяжении второго
года - на 10%. Ответ округлите до целого числа тысяч рублей.
1 8. Найдите все неотрицательные значения а, при которых выполняется
неравенство ах 2 < 4х + 5а - 1 на отрезке [1; 3] .
1 9. Собрание депутатов N-ского района выбирает главу района из
нескольких кандидатов. Результаты голосования по каждому депута
ту округляются с точностью до целого Числа процентов. За каждого кан
дидата проголосовал по крайней мере один депутат. Каждый депутат мо
жет проголосовать только за одного кандидата и воздержаться не может.
_
-
_
Вариант № З7
203
При подсчёте результатов голосования оказалось, что суммарный процент
всех кандидатов равен 102%.
а) Могло ли в списке кандидатов быть 3 человека?
б) Могли ли 13 депутатов избрать главу района из 7 кандидатов, если
для победы необходимо набрать более 50% голосов?
в) Могло ли в списке быть 4 кандидата при условии, что голосовали
17 депутатов?
Тренировочные варианты
204
Вариант No 3 8
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите 'f.исло в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Для покраски 1 кв. м забора требуется 360 г краски. Краска продаёт
ся в банках по 3,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно
купить для покраски забора площадью 70 кв. м?
2. На графике (см. рис. 174) показан уровень атмосферных осадков Н (мм)
в 2019 году в некотором городе. По горизонтали отмечаются номера меся
цев в году, по вертикали - количество осадков (в мм) за месяц. Сколько
месяцев со 2-го по 12-й количество осадков было меньше, чем в предыду
щие месяцы?
R мм)
80
60
40
20
о
/
1/ "'
2
!'-
'
3
"'"
�
4
1/
5
/ '\
6
\
1/
1/
7
8
....
�
�
9
'
!'-
10 1 1 12
Месяцы
Рис. 1 74
3. На координатной плоскости закрашена фиrура (см. рис. 1 75, с. 205).
Найдите её площадь.
4 . При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел
по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел.
Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Ве
роятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3,
а при каждом последующем - 0,6. Сколько выстрелов потребуется для
того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
5 . Найдите корень уравнения log 1 5 2х + 3 = 25.
25
6. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены каса
тельные АС и ВС. Меньшая дуга АВ равна 58°. Найдите угол АСВ
(см . рис. 176, с. 205 ) . Ответ дайте в градусах.
Варнант № 38
205
ун
h�
h� ��
� � " ""<:;� -'>..
1� � Р>,. �f-/21"\
"<.: � ��
"
� '#
-
х
Рис. 1 75
в
о
Рис. 1 76
7. На рисунке 1 77 изображён график у
f'(x) - производной функ
ции f (x) . На оси абсцисс отмечено девять точек: х 1 , х2 , х3 , Х4 , Х 5 , х в ,
х7, хв , Xg . Сколько из этих точек принадлежит промежуrкам возрастания
функции f (x)?
=
\
;'
Х1 \
у = f'(x)
Х2
1
N.._ .-' ,,,
/
у
1 \
1
Х3
'
\
Х4
\
о
Х5
......
J
-...... -v
/11
1 � \
Х7
\ ..1� .
1
1
/
-
8
"'\.
1'--"-"""""
�
J
х
Рис. 1 77
8. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12, объ.ём ра
вен 896. Найдите боковое ребро этой пирамиды (см. рис. 178, с. 206).
206
Тренировочные варианты
Рис . 1 78
- 7 У]7а
Наидите значение выражения 2 3у;7а
5 2t/Va , а > О.
1 0. � мкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 5 · 10 - 5 Ф .
.Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением
R = 6 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе
Ио
32 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденса
торе убывает до значения И (кВ) за время, определяемое выражением
t = o.RC log2 IfJ- (с), где а = 1,4 - постоянная. Определите наибольшее
возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телеви
зора прошло не менее 42 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
1 1 . Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зар
плата жены уменьшилась впятеро, то общий семейный доход снизился на
28%. Если бы стипеНдИя дочери увеличилась вдвое, то общий доход вы
рос бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода составляет зарплата
мужа?
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = log2 (3 - 2х - х 2 ) + 7.
Часть 2
9.
•
·
=
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3.
а) Решите уравнение; 2 sin2 х + sin Зх = 1 + cos ( з; + х ) ;
б) У�те КОрНИ уравнения, ПрИНЗJ!дежаЩИе отрезку [- 5; j - �] .
207
Вариант № 38
1 4. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C1 D1 то'чки М,
N, К делят рёбра АА1 , ВВ1 , DD1 в отношении 1 4, 1 5, 1 : 3, считая от
нижнего основания ABCD.
а) Докажите, что плоскость MNK делит ребро СС1 в отношении
13 : 47, считая от нижнего основания.
:
:
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания
призмы, если сторона основания равна v'IЗ, а высота равна 60.
25х ��:� - 51 5 х:1 �;1 � 5х + 5.
1 5 . Решите неравенство
5
1 6. В треугольнике АБС стороны АВ и ВС соответственно равны 7 и 8,
а угол между ними - 120°. Серединные перпендикуляры к АВ и ВС пе
рес екают АС соответственно в точках L и N.
а) Докажите, что BN:(BL + LN ) = 8 : 15.
б) Найдите отношения радиусов окружностей, вписанных соответ
ственно в треугольники BCN и ABL.
1 7. Иван Николаевич хочет взять кредит на один год в банке «СТН и К0 ».
В начале каждого квартала банк увеличивает долг на некоторое количе
ство процентов, а затем Иван Николаевич будет вносить определённую
сумму, которая каждый раз не превышает 84 тысячи рублей.
Определите максимальную возможную величину кредита при этих
условиях, если известно, что на протяжении первых трёх кварталов банк
каждый раз будет увеличивать сумму долга на 10%, а в последнем кварта
ле - на 25%. Ответ округлите до целого числа тысяч рублей.
1 8. Найдите все неотрицательные значения а, при которых выполняется
неравенство ах 2 < х + 2а - 1 на отрезке [1; 2].
1 9. Собрание депутатов L-ского района выбирает главу района из
нескольких кандидатов. Результаты голосования по каждому депутату
округляются с точностью до целого числа процентов. За каждого кан
дидата проголосовал по крайней мере один депутат. Каждый депутат мо
жет проголосовать только за одного каидидата и воздержаться не может.
При подсчёте результатов голосования оказалось, что суммарный процент
всех кандидатов равен 98%.
а) Могло ли в списке кандидатов быть 4 человека?
б) Могли ли 13 депутатов избрать главу района из 5 кандидатов, если
для победы необходимо набрать более 33% голосов и при этом больше,
чем любой другой кандидат?
в) Могло в списке быть 5 кандидатов при условии, что голосовали
11 депутатов?
·
Тренировочные варианты
208
Вариант № 39
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная пла
та программиста Ивана равна 180 ООО рублей. Какую сумму он получит
после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.
2. На дИаграмме (см. рис. 179) показана информация о добыче нефти
(включая газовый конденсат, в млн тонн) в 2016 году в отдельных странах
мира. По горизонтали отмечаются страны, по вертикали - добыча нефти
в млн тонн.· Определите по диаграмме количество стран ( средИ представ
ленных), добыча нефти в которых превысила уровень 300 млн тонн.
1
-
.......
500
--
1
u..
--
400
,__ _
>-- -
300
>-- -
200
,__ _
--
-,_,__
1 00
;:;:::=
1:3 � Е · 1:3 1:3
� С§ ·�11) �::s� � �Е
�r
:i:
, :i:
�
�
•;:s
�
�
�
1:3
�
:i:
Е
�
�
(1)
§<
::х::
1:3<:С 1:31:3
�
-t5 �
'1:)
:i:
6'
u
�
На клетчатой бумаге с размером клетки .}:тr см х .}:тr см изображён
круг (см. рис. 1 80, с. 209 ). НайдИте площадь закрашенного сектора. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах.
3.
Рис . 1 79
209
Вариант № 39
Рис. 1 80
4. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то мо
мент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая
стрелка остановилась, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 ча
сов.
5. Найдите корень уравнения 32 + х = 0 , 6 5 2 + х .
6. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 78. Най
дите длину её средней линии.
·
Рис. 181
7 . На рисунке 1 82 (см. с. 210) изображён график функции у = f (x). На
оси абсцисс отмечены точки -5; -3; 1; 3; 7; 11. В какой из этих точек зна
чение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
8. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого
прямые. Найдите тангенс угла BD1D (см. рис. 183, с. 2 10).
Найдите значение выражения ( 16а2 - 25 ) · ( 4а � 5 - 4а � 5 ) + а - 12
при а = 173.
Часть 2
9.
210
--
у = j(x)
J
'
\
\
,
1
1
- i/
у
11"" 1\
r
\
-3
,
J
,"
\
\
'
о
�
1
1
--
1
'
/
JГ"\
1
1
\
\
'
J
11
х
Рис. 1 82
�,'�
А ,
Тренировочные варианты
--
-
---
-
---
-
-
-
------- с
4
Рис. 1 83
1 0. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотан
ным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка
помещена в ОдНородНое магнитное поле так, что она может вращаться.
Момент силы Ампера (в Н·м), стремящейся повернуть рамку, определя
ется формулой М = N IBl 2 sin а, где I = 6 А сила тока в рамке,
В = 7 · 10 - 3 Тл - значение индукции магнитного поля, l = 0,4 м размер рамки, N = 6000 - число витков провода в рамке, а - острый
угол между перпендНкуляром к рамке и вектором индукции. При каком
наименьшем значении угла а (в градусах) рамка может начать вращаться,
если дЛЯ этого нужно, чтобы раскручивающий момент М был не меньше
20,16 Н·м?
-
Варнант № 39
21 1
1 1 . Расстояние между между городами Полденск и Полуночинск состав
ляет 210 км. Из Полденска выехал автомобиль, а следом за ним через
30 минут выехал второй автомобиль со скоростью на 20 км/ч больше, до
гнал первый в посёлке Вечерний и повернул обратно. Когда он вернулся
в Полденск, первый добрался до Полуночинска. Найдите расстояние от
города Полденска до посёлка Вечерний. Ответ дайте в километрах.
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = Вх - 3 sin х + 4 на отрезке
[ - 3; ; 0] .
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
а) Решите уравнение log;{2 tg x) - 2 log3 {2 tg x) - 3 = О
б) Найдите его корни, принад.лежащие отрезку [- � ; 7r]
1 4. В правильной треугольной призме АВСА 1 В1С1 все рёбра в основа
нии равны 12, а боковые рёбра равны 6. На ребре А1В1 взята точка М
такая, что В1 М = 3, а на ребре ВС - точка Т такая, что СТ = 5. Q середина А1С1 . Через точки М и Т проведена плоскость а, параллельная
ребру АС.
,
а) Докажите, что BQ перпендикулярна плоскости а.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой - точка Q, а основа
ние __:_ сечение призмы плоскостью а.
)
1 5. Решите неравенство 3Iog2 "'2 + l x l10g2 9 � 2 · ( Зl ) log0 ' 5 ( х +5 .
1 6. Высота ВН параллелограмма ABCD, опущенная на сторону AD,
равна 10. Сторона АВ и диагональ BD образуют со стороной AD углы,
соответственно равные 75° и 30°. На высоте ВН, как на диаметре, по
строена окружность, пересекающая сторону АВ и диагональ BD в точках
М и N соответственно.
а) Докажите, что углы МН В и NН В равны соответственно 75° и 30° .
б) Найдите площадь четырёхугольника HMBN.
1 7. Роберт Назарович является владельцем двух заводов в разных го
родах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на
заводе, расположенном во втором городе, используется более совершен
ное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном
1 3.
.
.
212
Тренировочные варианты
в первом городе, трудятся суммарно m2 часов в неделю, то за эту неделю
они производят 5m единиц товара; если рабочие на заводе, расположен
ном во втором городе, трудятся суммарно m2 часов в неделю, то за эту
недел�q они производят 12m единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Роберт Назарович пла
тит рабочему 300 рублей.
Роберт Назарович готов выделять 3 ООО ООО рублей в неделю на оплату
труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно про
извести за неделю на этих двух заводах?
1 8. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции
у Зах + 22 + lx 2 - 2х - 81 больше -2?
1 9. На склад торговой организации поступили коробки со стройматери
алами трёх видов: коробки массой 10 кг и стоимостью 15 ООО рублей за
коробку, коробки массой 30 кг и стоимостью 9 ООО рублей за коробку, ко
робки массой 50 кг и стоимостью 3 ООО рублей за коробку (в коробках раз
ного типа содержимое различно, поэтому стоимость не пропорциональна
массе). Внешне коробки неразличимы.
а) Могла ли общая стоимость всех коробок составлять 40 ООО рублей?
б) Сколько всего коробок поступило на склад, если их общая стои
мость равна 66 ООО рублей, а суммарная масса равна 260 кг?
в) Для доставки коробок со склада потребителю в другом городе при
дётся оплатить транспортной компании 500 рублей за каждую коробку
массой 10 кг, 800 рублей - за каждую коробку массой 30 кг и 1000 руб
лей - за каждую коробку массой 50 кг. Какое наименьшее число рублей
может составить стоимость коробок с доставкой, если общая масса ко
робок равна 260 кг, а их общая стоимость без учёта доставки составляет
66 ООО рублей?
1
=
213
Варнант № 40
Вариант № 40
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конеч
ная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек
сте работы.
Часть 1
1 . Налог на доходы дп:я самозанятых составляет 6% от доходов. После
удержания налога Варвара Ренатовна за год получила 225 600 рублей.
Сколько рублей составили доходы Варвары Ренатовны за год до уплаты
налога?
2. На диаграмме (см. рис. 184) показана информация о производстве ста
ли в 2016 году в отдельных странах мира. По горизонтали отмечаются
страны, по вертикали - производство стали в млн тонн. Определите по
диаграмме количество стран (среди представленных), производство стали
в которых было ниже уровня 50 млн тонн.
100
90
,..._ ,..._
80
70
>->-
60
>->-
1
1
>--
1:=;:;1;;;:;
>- -
-- -
>- -
--
40
>-
>- �
->-
>->--
....- -
-....-
>- -
->-
>- -
... ...
30
20
-
>->->->--
50
->-
->-
--
-
>-
-....-
- �
->--
10
��
;:i 9..
§
"\::)
�� �
�
<:J
�
;:i
1:3
;z:
1:3
§
§
� �
§
;z:
1:3
�
�
�
<:J
�
Рис. 1 84
§
;:с-
N
�
§
;z:
о
�
§
§
:а
�
�
u
1:3
"\::)
1:3
;z:
�
.};г см .};г см изображён
Тренировочные варианты
214
3. На клетчатой бумаге с размером клетки
х
круг (см. рис. 1 85 ). Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте
в квадратных сантиметрах.
Рис. 1 85
4. Меха н ические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то мо
мент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часо
вая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки
4 часа.
5. Найдите корень уравнения 74 - х = 0,5 · 144 -х .
6. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, ра
вен 24, её большая боковая сторона равна 9 . Найдите радиус окружности
(см. рис. 186 ).
Рис. 1 86
7. На рисунке 1 87 (см. с. 2 1 5) изображён график функции у
f(x) . На
оси абсцисс отмечены точки
; - 1; 1; 5; 14.
какой из этих точек значе
ние производной наибольшее? ответе укажите эту точку.
все
8. В правильной шестиугольной призме
рёбра равны 7. Найдите угол
(см. рис. 188, с. 2 1 5). Ответ дайте
-
В
rpaJJYCaX.
6
В
F1 D 1 F
В
=
ABCDEFA 1 B1C1 D1E1 F1
Варнант № 40
У =
/
v
v
--{)
\
\
1
у
j(x)
-J
\.
-
]
о
-
J
1
/
)
'-
/
�'
1
,
\
\
1
1
,
215
1
'
\
'
1\.
-
J
�
/
н.х
Рис. 1 87
Вt
А
1
1
А
,
,
:Р
_ _ _ _ _ _
Рис. 1 88
Найдите значение выражения (49Ь2 - 4) · ( 7Ь � 2 - 7Ь � 2 ) - Ь - 15
при Ь 147.
1 0. Плоский замкнутый контур площадью S = 1,5 м 2 находится в магнит
ном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно
закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС
индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется форму
лой ei = aS а, где а - острый угол между направлением магнитного
поля и перпендикуляром к контуру, а = 1 2 · 10 - 4 Тл/с - постоянная,
S - площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м 2 ).
При каком минимальном угле а (в градусах) ЭДС индукции не будет пре
вышать 9 · 10 - 4 В?
1 1 . Расстояние между между городами Аз и Веди составляет 325 км.
Из Аза выехал автомобиль, а следом за ним через 1,5 часа выехал второй
Часть 2
9.
=
сов
Тренировочные варианты
216
автомобиль со скоростью на 30 км/ч больше, догнал первый в посёлке Бу
ки и повернул обратно . . Когда он вернулся в Аз, первый добрался в Веди.
Найдите скорость первого автомобиля . Ответ дайте в км/ч.
1 2. Найдите наибольшее значение функции у = llx-7sin x+5 на отрезке
[-�; о] .
Для. записи решени й и ответов на задания 13-19 используй
те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение
log�(0,5 ctg x) + 5 log2 (0,5 tg ( 3; - х)) + 6 = О
и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
1 3. а ) Решите уравнение
[-
.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку �; 5; J .
1 4. В правильной треугольной призме KLMK1L1M1 все рёбра в осно
вании равны 12, а боковые рёбра равны 18. На ребре К К1 взята точка Р
такая, что К1Р = 3, а на ребре ММ1 - точка Q такая, что QM = 9. F середина К L. Через точки Р и Q проведена плоскость а, параллельная
ребру K1 L 1 .
а) Докажите, что F М1 перпендикулярна плоскости
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой - точка F, а основа
ние - сечение призмы плоскостью а.
.
1 5. Решите неравенство 5 og4
+ l x 1 10g4 25 � 2 g '
1 6. Высота ВН параллелограмма ABCD, опущенная на сторону AD,
равна 18. Сторона АВ и диагональ BD образуют со стороной AD углы,
соответственно равные 60° и 15°. На высоте ВН, как на диаметре, по
строена окружность, пересекающая сторону АВ и диагональ BD в точках
М и N соответственно.
а) Докажите, что LMHN = 75°.
б) Найдите площадь четырёхугольника HMBN .
1 7. У фермера есть два комбайна. Оба комбайна используются для убор
ки зерновых, но второй комбайн более современный. В результате если
первый комбайн работает m2 часов, то за это время он собирает 8m т
зерновых; если второй комбайн работает m2 часов, то за это время он со
бирает 15m т зерновых.
За квждый час работы фермер платит каждому комбайнёру 200 руQ.пей.
l х2
( l ) lo& 20(ж+l)
а.
·
Вариант № 40
217
Фермер готов выделить 20 ООО рублей на оплату труда комбайнёров.
Какое наибольшее количество тонн зерновых можно собрать на эти день
ги с помощью двух комбайнов?
1 8. При каких значениях параметра а наибольшее значение функции
у 2ах 4а l x2 + 2х - 151 не больше 14?
1 9. На склад торговой организации поступили ящики со стройматериала
ми трёх видов: ящики массой 20 кг и стоимостью 20 ООО рублей за ящик,
ящики массой 40 кг и стоимостью 15 ООО рублей за ящик, ящики массой
80 кг и стоимостью 5 ООО рублей за ящик (в ящиках разного типа содер
жимое различно, поэтому стоимость не пропорциональна массе). Внешне
коробки неразличимы.
а) Могла ли суммарная масса всех ящиков составлять 1000 кг, если
присутствуют ящики всех трёх типов, причём ящиков каких-то двух: типов
поровну?
б) Сколько всего ящиков поступило на склад, если их общая стоимость
320 ООО рублей, а суммарная масса равна 1120 кг?
в) Для доставки ящиков со склада покупателю в другом городе при
дётся оплатить транспортной компании 700 рублей за каждую коробку
массой 20 кг, 1000 рублей - за каждую коробку массой 40 кг и 1400 руб
лей за каждую коробку массой 80 кг. Какое наибольшее число рублей
может составить стоимость ящиков с доставкой, если общая масса ящи
ков равна 1120 кг, а их общая стоимость без учёта доставки составляет
320 000 рублей?
=
-
-
Ре ш е н и я изб ран н ы х ва р ианто в
Решение вариан та .N'o 1
1 . За месяц показания счётчика изменились на 67 302 - 67 132 =
= 170 киловатт-часов. Стоимость 170 киловатт-часов электроэнергии
5,47 · 170 = 929,9 рубля .
Ответ: 929,9.
= О,065п . Найдём п по графику: п = 1500 .
0,065 · 1500 = 97,5 км/ч .
Ответ: 97,5.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВ С (см. рис. 1 89).
2.
v
v
=
Рис . 1 89
tg L.B
=
АС
3
В С ' tg L.B = Б = 0,6.
Ответ: 0,6 .
Сумма выпавших очков равна 9 в следующих четырёх случаях: 3 + 6,
4 + 5, 5 + 4, 6 + 3, где первое слагаемое - число очков, выпавших на
первой кости, а второе - на второй . Всего же количество исходов равно
36. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9, составляет
4 1
36 - 9 � о' 11 .
Ответ: 0,11 .
4.
-
� = 4 + 77 = 81, х1,2 = -2 ± v'SI,
Решение варианта № 1
5. х2 + 4х - 77
= О,
219
х1 2
,
=
-2 ± 9,
-11, х2 = 7. Меньший из корней х = -11.
Ответ: - 11.
6. Пусть А В = 3 VЗ, LC - острый угол, противолежащий этой стороне. По теореме синусов
= 2 R, где по условию R = 3 . Тогда
х1
=
s:�c
sin LC = 3f = 4- или LC = 60°.
Ответ: 60.
7. f'(x) > О там, где функци я у
f (x) возрастает, это вы полн я етс я д.11 я
целых х = -1, х О, х 3 , х 4, всего таких точек четыре (см. рис. 1 90 ) .
=
=
1
1
=
1
у
- у =./(х)
"'\
-4
=
\
j
\
,
\
1
1
/о
/ '"
•
&
Рис.
= �1ТR3 ,
1
-
1/
/
х
1 90
Ответ: 4.
8.
Vш ара
1Т
Vцил. = R2 h, но h
= � · 84 = 126 (см. рис. 1 9 1 ).
То есть Vцил.
Vцил .
= 01 02 = 2R, поэтому Vцил . = 1ТR2 · 2R = 21rR3•
=
3
2 Vшара .
Ответ: 126.
30 ,64 . 90, 1 8 30 ,64 • 32 · 0 , 1 8 30 ,64 +0 ,Зб 3 1 = 3.
Ответ: З.
1 О. По условию, И = 220 В, а сила тока не более 5,5 А, то есть 1 � 5,5.
9.
=
=
=
220
Решения избранных вариантов
� = � � 5,5, 2�0 �
I,
равно 40 ом.
Рис. 1 9 1
5,5, R ;;i: 40. Минимальное сопротивление
Ответ: 40.
Первый насос за 1 мин наполняет 310 часть бассейна, а вто1
рой
20 . Работая вместе, за одну минуту насосы наполняют
1 1 2+3 1
30 + 20 = 6О = 12 часть бассеина.
Значит, бассейн они наполнят за 12 минут.
Ответ: 12.
1 2 . у = v,x.,...2---8,,.x-... +--=2�0. х2 - Вх + 20 > о при любом Х, так как D < О, а
ветви соответствующей параболы направлены вверх.
Наименьшее значение арифметического корня достигается при наи
меньшем значении подкоренного выражения.
х2 - Вх + 20 = х 2 - Вх + 16 + 4 = (х - 4)2 + 4.
(х - 4 ) 2 ;;i: О, его наименьшее значение, равное О, достигается
при х = 4 . Значит, наименьшее значение заданной функции равно
у(4 ) = v/ ( 4 - 4 )2 + 4 = 2.
Ответ: 2.
1 3. а) Воспользовавшись формулами приведения, получим
2(- sin x) 2 = vГз sin(2x);
2 sin2 х = vГз sin(2x).
Отсюда по формуле синуса двойного угла
2 sin2 х = 2 vГз sin х cos х, тогда
2 sin2 х - 2J3sin x cos x = О;
2 sin x(sin x - vГз соs х) = О.
1 1.
-
u
221
Решение варианта № 1
Следовательно, sin х = О или sin х - vГз cos х = О.
В первом случае х = тrk, k Е Z, во втором случае, разделив на cos x,
получим tg x - vГз = О; tg x = JЗ; х = j + тrn, n Е Z.
б) Выполним отбор корней отдельно для каждой серии решений.
1
llтr � k � 4 - 211 � k � - 4.
. -т
С учётом того, что k Е Z, получим k = -5, k = -4 и х = -5тг,
х = -47Г.
11 � !
1 1 . ll тr """
2 � 1!:з + тrn """� 4тг ' - 2 """ з + n """� 4'
11 1 � n � -4 - -1 . -5 -5 � n � -4 -1
- - - - """
"""
2 З
З ' 6 """ """ з ·
С учётом того, что n Е Z, получим n = -5 и х = j - 5тг = - 1 �7Г .
7Г
_
-
7Г,
·
-
-
·
·
Ответ: � ) тrk, k Е Z; j + тrn, n Е Z; б) -5тг; - 1
�7Г ; -4тг.
1 4. а) АВ - сторона основания. Значит, точка В лежит в плоскости
основания. Боковое ребро соединяет вершину с точкой основания, сле
довательно, Р - вершина пирамиды (см. рис. 1 92).
р
с
А
Рис. 1 92
Пусть РО - высота пирамиды, О - середина АС. Пусть ВМ и
АС пересекаются в точке Н. Тогда ЛАНВ. "' ЛСНМ по двум углам
(LHAB = LHCM как накрест лежащие углы при параллельных пря-
мых АБ и CD и секущей АС, LАНБ = LMHC как вертикальные, см.
рис . 1 93 ) . Тогда �� = g� = �; ан = 152 Ас; ан = � со .
Решения избранных вариантов
222
Рис . 193
Заметим, что ЛСНК ЛСОР по двум пропорциональным сто
ронам и углу между ними (g� = g� = � · LC - общий) . Тогда
LPOC = LKHC и, следовательно, КН 11 РО . РО 1. (АБС), отсюда
КН l. (АБС). Плоскость (БКМ) проходит через прямую КН, перпен
дикулярную плоскости (АБС), поэтому (БКМ) l. (АБС} по призна ку
перпендикулярности плоскостей.
б ) К БС М - пирамида, в основании лежит прямоугольный треуголь
ник БМС, КН - высота пирамиды .
"'
Sвмс
= 21 · БС · СМ = 21 · 7
·
35 ·
5=2
Найдём РО по теореме Пифагора из треугольника
ро2 = рс2 - 002 = 62 - ( АС2 ) 2 = 36 - ( 7./22 ) 2 · РО у'462 .
=
•
кн = 5 у'46
12 .
РОС:
Решение варианта № 1
Vквс м
Ответ:
1 5.
1 7�'f6
=
223
.
1
3 Sвсм · КН =
175 v'46
72
!�
х О,
�о
·
Выпишем ограничения:
·
�
{
х2 - �х - 1 < О.
х < 9,
х
> о,
-х - х + 8 > О '·
Решим вспомогательное уравнение х2 - 8х - 1 = О,
Xt , 2 = 8 ± 2./68 = 4 ± m.
Решим неравенство х2 - х3х - 1 < О. Из других ограничений х > О,
поэтомудолжно выполняться х 2 -8х - 1 < О, тогда х Е (4 - v117; 4+ v117)
(графиком функции у = х 2 - 8х - 1 является парабола, ветви которой
направлены вверх, ниже нуля парабола опускается при значениях х между
корнями уравнения, см. рис. 1 94 ) .
�'
-- --7'
+4 Ji7+ .х
4-./f7
+
Рис. 1 94
Так как 4 v1f7 < О, получим х Е (О; 4 + v1f7) .
х < 9,
х Е (О; 4 + v1f7) .
х > О,
{
-
log 7 (9 - х) + log 7 � � log7 (� - х + 8) ;
log7 9 � х � log7 (� х + 8) ;
0 < x < 4 + v117;
7 > 1 , следовательно, 9 -х х
-
8 - х � -х + 8;
х
�
!
х - х + 8;
·
224
Решения избранных вариантов
8 - х + (х - 8) � О;
�х � 8) ( :l + 1) � О;
(х - 8) ( х � 1 ) � О.
х
·
·
С помощью метода интервалов (см . рис. 1 95 ) получим решение по
следнего неравенства х (О; 1] U (8; +оо ).
Е
Рис. 1 95
С учётом ограничений х (О; 1] U (8; 4 + JI7) .
Ответ: (О; 1] [8; 4 + JI7) .
1 6. а) Так как КР : K Q = 21 : 10, обозначим КР через 21х, то
гда KQ = 10х. Проведём NF параллельно КМ (см . рис. 1 96), тогда
:k = J:.Z (параллельные прямые отсекают на сторо,нах угла пропор
циональные отрезки, в данном случае в качестве параллельных прямых
выступают FN и КМ, а в качестве угла - LKPM). Следовательно,
PF 2
FK = 5 . Отсюда PF 6х , FK = 15х.
Е
u
=
Рис . 1 96
Решение варианта № 1
225
другой сторG1ны, используя то же утверждение д.ля угла FQN, получим, что �� = j�. �� = ��� = � · j� = �; QA = �QN .
Тогда дQAL "' дQN М по двум пропорциональным сторонам и углу
между ними ( §� = §� = �· L.АQL - общий, см. рис. 1 97) . Отсюда
PN 2
2
AL 2
2
NM = 5 , AL = 5 Nм . Кроме того, по условию NM = 5 , PN = 5 Nм .
Таким образом, AL = РN.
С
р
Рис. 1 97
Также из подобия треугольников вытекает, что L.QAL = L.QNМ и,
следовательно, AL 11 NM.
Таким образом, в четырёхугольнике РALN противоположные сторо
AL PN равны и параллельны, значит, PALN - параллелограмм.
б) Поскольку РALN - параллелограмм, то РА 1 1 NL и, следователь
но, L.NLM = 90° (см. рис. 1 98, с. 226 ).
NM = �РМ = 20; LM = �QM = 9. В прямоугольном треугольнике
NLM по теореме Пифагора N L2 202 - 92 = 319; NL = VЗГ9
Проведём высоту LH1 в треугольнике NLM.
SNLM = 21 N L · LM = 21 N М · LH1 , отсюда
· LM = 9VЗГ9 .
LH1 = NLNM
20
Н1 М
L. M LM _Q_ . Н1 М _Q_ . Н1 М 81 .
LM
20
N М 20 ' 9 - 20 '
ны
и
=
- cos
_
1 5. Зак. № 1 21
-
_
-
_
.
_
-
_
226
Решения избранных вариантов
Q
р
Рис. 198
AL = Р N = �7 рМ = �7 · 28 = 8.
9 v'319 ·
Проведём АН2 J_ NM. Тогда АН2 = LH1 ---w81 241
Н2 М = Н2 Н1 + Н1М = AL + 81
20 = 8 + 20 = w ·
По теореме Пифагора из ЛН2 АМ получим, что
л м2 ( 241 ) 2 + ( 9 v'319 ) 2 = 83 920 . лм = у�
20
. 20
400
Ответ: J209,8.
1 7. Каждый год долг увеличивается на 25%, то есть в ( 1 + 2� )
10
=
.<.v .7 , u .
=
'
=
� раз,
при этом начисленные проценты составляют � от текущей суммы долга.
Составим таблицу по условию задачи, все суммы приведены в тысячах
рублей.
Год Долг до Начисленные Долг после Вып- Долг после
начис- проценты начисления лата выплаты
процентов
ления
процентов
l4 s
l4 s
2024
s
Qs
s
4
2025
2026
s
s
l4 s
l4 s
Q3
4
Qs
4
l4 s
l4 s
s
s
1 5•
227
Решение варианта № /
Долг после
начисления
процентов
Год Долг до Начисл енные
начис- проценты
ления
процентов
Вып
лата
Долг после
выплаты
5
275 -S
-°s
!s
2027 s
4 - 275
4
4
5 2 5
5
2028 -8
4 - 275 � (�s - 215) � (�S - 275) = 275 ( 4 ) s-4·275-275 = о
( 45 ) 2 s- 45 ·275
=
Найдём S из уравнения (�) 2 S - � · 275 - 275 = О.
25 s !! . 275•'
16 4
s 49 . 275 . 2516 = 396.
=
=
Общая сумма выплат равна �S+�s+�S+275+275 = �8+550 847 ты
сяч рублей.
Ответ: 84 7 тысяч рублей.
1 8 . Исходная система уравнений равносильна системе
=
{ у-62 =<ау2х<2 ,6,
{ .3636 -- уу22 = 36 - а2х2 ,
х2 + у2 4х - 6у;
{ (-6у -<аух)(у< 6+, ах) = О,
> о,
х2 - 4х + 4 + у2 + 6у + 9 = 4 + 9;
=
(х - 2) 2 + (у + 3) 2 13 .
Графиком первого уравнения являются две прямые ( у = ах и у = -ах)
при а f:. О и одна прямая ( у О) при а О. Все эти прямые проходят через
=
=
=
начало координат.
Геометрическим местом точек решения третьего уравнения системы
является окружность с центром в точке (2; -3) и радиусом v'IЗ, проходящая через точку (О; О).
Изобразим графики первого и третьего уравнений системы с учётом
условий у > -6 и у < 6 (см. рис. 199). В область у Е (-6; 6) попадёт
·
16. Зак. № 1 21
228
Решения избранных вариантов
дуга окружности (х - 2) 2 + (у + 3) 2 = 13 , ограниченная точками (О; -б)
и (4; -б). Решением системы уравнений при фиксированном значении а
является пара (х , у) - координаты общих точек видимой дуги окружности
и хотя _бы одной из двух указанных прямых.
а)
у
------ 6
-------------
б)
---
---
х
х
Рис. 1 99
При а = О прямая у = О имеет ровно две точки пересечения с видимой
дугой окружности. Значит, а = О удовлетворяет условию.
Рассмотрим случай а > О.
Прямая у = ах может иметь одну или две общие точки с видимой дугой
окружности, одна из этих точек - начало координат. Найдём, при каком
значении параметра прямая у = ах касается
окружности (см. рис. 1 99 а).
Квадратное уравнение х 2 - 4х + ( ах ) 2 +бах = О должно иметь единствен
ный корень.
(1 + а2 )х 2 + (ба - 4)х = О;
х((1 + а2 )х + (ба - 4)) = О.
х = О и х = - ба1 +-а24 .
Единственное решение будет если �а+-а� = О ; а = � ·
Если а # �, то прямая у ах имеет две точки пересечения с видимой
дугой окружности.
Прямая у = -ах может иметь одну или две общие точки с видимой ду
гой окружности, одна из которых - начало координат, то есть совпадает
с точкой пересечения окружности и прямой у = ах .
=
1
16"
229
Решение варианта № 1
Единственная общая точка будет при а Е [а1 ; +оо) , где а1 - такое
значение параметра, при котором у = -ах проходит через точку (4; -6}
(см. рис. 1 99 б ). Действительно, угловой коэффициент (-а) должен ме
няться от некоторого значения, соответствующего прохождению прямой
через точку (4 ; -6), до - оо , тогда -6 = -4а1 ; а1 = � ·
Значит, при а > О значения параметра, удовлетворяющие условию, это а Е { � } U [ � ; +оо ) .
При значении парам4rтра (-а) система имеет столько же решений,
сколько и при значении параметра а, так как если в исходную систему
уравнений вместо а подставить (-а), то система не изменится. Следовательно, при а Е ( - оо; -�] U { -� } система тоже имеет ровно два
решения.
Ответ: ( - оо; - � ] U { ± � ; О } U [ �; +оо ) .
1 9. Пусть до изменения сумма чисел в первом столбце равна А, во вто
ром В, в третьем - С. При этом в первом столбце n чисел, во втором чисел, в третьем - k чисел.
а) Да, например, в первом столбце было число 2, во втором 3, в
третьем 8. Сумма чисел до изменения равнялась 2 + 3 + 8 = 13, после
изменения стала равна 22 + 35 + 8 = 65, то есть увеличилась в 5 раз.
б) Каждое число ai из первого столбца превратилось в lOai + 2, каждое
число bi из второго столбца превратилось в lObi + 5, каждое число Ci из
третьего столбца осталось неизменным, то есть Ci ·
10ai + 2 10 + 1_ � 12;
ai
ai
-
т
-
-
10b + 5 10 + � � 15.
bi
Значит, сумма чисел после изменения не превышала
12А + 15В + С < 15(А + В + С), таким образом, она не могла
увеличиться в 15 раз.
в) Предположим, что на листе записаны именно те числа, которые дают увеличение в наибольшее число раз.
После изменения с}тм ма чисел в первом столбце станет равна 10A+2n,
во втором - (10В + 5m), в третьем - С.
=
=
·
230
Решения избранных вариантов
Таким образом ' сумм а изменится в l OA + IOАB++ВС++С2n + 5m раз .
Если в первом или третьем столбце больше одного числа, то, переме
стив какие-то из них во второй столбец, мы увеличим числитель дроби и не
изменим знаменатель, в результате частное увеличится, что противоречит
предположению «на листе записаны те числа, которые дают увеличение
в наибольшее число раз» . Значит, в первом и третьем столбце выписа
но ровно по одному числу. Тогда общее количество чисел равно m + 2,
n = k = 1. При этом сумма всех выписанных первоначально чисел
A + B + C � 1 + 2 + . . . + (m + 2 ) = (m + 3ym + 2) _
Заметим что 10А + 10АВ++вС++с2n + 5m =
= 10А + 10А В+ +в С+ +с 2 + 5m = l O + 2А++5mв -+ 9С
с·
•
Эта величина тем больше, чем больше значение дроби 2;:1;1 � 9g.
(2 + 5 - 9С1 �
2 + 5m - 9C
�
�
( ( m + 3 ym + 2 ) ) m + 3 m + 2
2(2 + 5m - 9)
lOm - 14
"""' (m + 3)(m + 2) - m2 + 5m + 6 ·
Рассмотрим функцию /( х ) = хJ O+x 5х 14
+ 6 на множестве х > О.
/' ( х ) 10(х2 + 5 х + 6) - (2х + 5)(10х - 14 ) - -1Ох2 + 28х + 130
(х2 + 5х + 6)2
(х2 + 5х + 6) 2
f' (x) = О при -10х2 + 28х + 130 = О ;
5х2 - 14х - 65 О; х1 , 2 = 7 ± �.
П ри sтом 2;+5mв -+ 9g �
\
�
_
_
_
� < 0.
'
При х (О; 7 + �) выполняется f (x ) > О и /(х ) возрастает, при
( 7 + �; +оо) выполняется f' (x) < О и /(х) убывает.
=
7-
хЕ
=
Е
Учитывая, что 5 < 7 + f14 < 6, можно сделать вывод, что дпя нату
5 или
ральных чисел значение !( ) наибольшее при
6.
/(5) ;4 ; ! (6) ;: < ;4 .
Таким образом, сумма выписанных чисел не может увеличиться более
чем в 10 + 149 10 149 раз.
Приведём пример, показывающий, что сумма могла увеличиться ровно
в 10 {4 раз. Пусть в первом ·столбце в начале было записано число 2, во
втором - числа 3, 4, . . . , 7, а в третьем - число 1. Сумма всех чисел равна
1 � 7 · = 28.
7
После изменения сумма всех чисел стала равна
22 + 1 + 35 + 45 + 55 + 65 + 75 298.
При ЭТОМ 298 : 28 10 {4 .
231
Решение варианта № 5
=
т =
т
т
т =
=
=
=
=
Ответ: а)да; б) нет; в) 10
1� .
t . Для приготовления 60 литров маринада требуется 14 · 60
840 г ли
монной кислоты. Значит, нужно будет купить не менее 840 : 50 16, 8
пакетика лимонной кислоты. Наименьшее подходящее целое число рав
но 1 7.
Ответ: 17.
2. Используя рисунок, на вертикальной оси находим число 4, проводим
прямую до пересечения с графиком (параллельно горизонтальной оси), из
точки пересечения с графиком опустим перпендикуляр на горизонтальную
ось и попадём в отметку «16».
Ответ: 16.
3. В прямоугольном треугольнике АБ С катет А С 3 см, катет
ВС = 7 см (см. рис. 200). Sл вс 21 Ас ВС,
Sл вс = 21 · 3 · 7 = 10,5 ( кв. см).
Реше ние вариан та No 5
=
=
=
=
Ответ:
10,5.
·
Решения избранных вариантов
232
А
-.....
l см
'
!'-... ....._
с
'
......_ в
Рис. 200
4. Общее число произведённых масок без брака и с браком равно
1997 + 3 = 2000. Вероятность того, что случайно выбранная медицинская
маска окажется с браком, равна 2:00 0,0015.
=
Ответ: 0,0015.
(2х + 9) 2 = (2х - 3) 2 , 4х 2 + 36х + 81 = 4х2 - 12х + 9,
81 - 9 = -36х - 12х, - 48х = 72 , х = - 1 ,5.
Ответ: - 1 ,5.
6. Воспользуемся следствием из основного тригонометрического тождества l + tg2 LA = 1 .. 1 + 1 7 = 81 = 1 откуда cos LA = 98 .
5.
16 · 9
Тогда АВ _A.Q_
cos LA
8
64 64 cos2 LA '
cos2 LA
=
=
Ответ: 18.
=
18.
Е
О в точке х -1, -1 [-3; 4]. При переходе через точку
7 . f' (x)
х - 1 производная f'(x ) меняет знак с плюса на минус, то есть точка
х
- 1 - точка максимума на отрезке [-3; 4]. Так как это единствен
ная критическая точка на этом отрезке, являющаяся точкой максимума ,
то функция у = f(x) принимает в ней наибольшее значение (см. рис. 20 1 ,
с. 233).
Ответ: - 1 .
7rR2 H, где 7rR2 - площадь основания цилиндрического сосуда,
8. V
Н - высота.
Тогда 7rR2 1 7 = 85, 7rR2 = 5.
Погрузили в цилиндр с водой деталь, и объём стал равным
7rR2 ( 1 7 + 5 ) 5 · 22 110 (см3).
Отсюда, объём детали равен 110 - 85 25 ( см3 ).
=
=
=
=
=
•
•
=
=
=
Ответ: 25.
Решение варианта № 5
233
1
1
• '
�у
'"" y =f(x)
1
1
/ \
\ /\
\
-)
9·
(fi
r:;i .
-
-
-
�
R) fi
=
,
.
&
,о
\
1
/ - ....
' /
'
х
/
Рис. 20 1
=
Г92 - r;;j . Г92
v � 5 . v 125 v J.0 5 . v 125
/
23 . 125 - 92 . 125
J 5 92 5 92
= fi - v125 � 5 -2 , 5.
Ответ: -2, 5 .
1 0. По условию R � 10 , 5 и R 1
35, R RR1i +· RR2 ' нужно найти наи
меньшее возможное сопротивление электрочайника R2 2 •
R = :55�1j;2 � 10,5, при этом 35 + R2 положительно. Получаем
35 · R2 � 10,5(35 + R2 ) , 24, 5R2 � 10 , 5 · 35, R2 � 15 . Наименьшее
возможное сопротивление R2 = 15.
Ответ: 15.
8общ .
1 1 . Найдём среднюю скорость по формуiе
tобщ
Автомобиль был в пути 3 + 2 + 3 = 8 ч и за это время проехал
3 . 81 + 2 . 52 + 3 . 63 = 536 км.
Средняя скорость равна 5�6 = 67 км/ч.
Ответ: 67.
1 2. у х3 - 15х 2 + 5, х Е R .
у'(х) 3х 2 30х 3х(х - 10) .
у'(х) О 3х(х - 10) = О, х 1 О х 2 10.
=
=
-
=
=
=
=
Vcp
=
=
=
,
-
=
=
,
=
=
=
234
Решения избранных вариантов
у'
у
+
�
'\с::
+
....-"'
_.....-"' о � 10 _.
'
х
Рис. 202
При переходе через точку = 10 производная меняет знак с «-» на
«+», значит, это точка минимума (см. рис. 202).
Ответ: 10.
1 3. а) Преобразуем уравнение, используя формулы приведения.
cos2 = - cos x · (- sin x),
cos2 - сов х sin x = О,
х
х
cos x · (cos x - sin x) = О,
cos х = О, х = � + 1Гn, Е Z.
х
·
cos x - sin x = О, tg x = 1, х = � + 1Г k , k Е Z.
п
б) Выберем корни, принад.11ежащие промежутку ( - з;; � ] , с помо
щью тригонометрической окружности (см. рис. 203 ).
_ JI..
2
Рис. 203
Ответ: а) � + 1Г n, п Е Z, � + 1Гk, k Е Z, б) - � ,
�· � ·
1 4. а) Проведём высоту пирамиды SH (см. рис. 204, с. 235). Боко
вые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним уг
лом, поэтому углы SDH, SAH, SBH и SCH равны. В треугольниках
SDH, SAH, SBH и SCH общий катет SH и противо:11ежащие этому
катеТу углы равны, значит, треугольники равны. Из этого следует, что
235
АН = ВН = СН = DH и Н является центром описанной окружно
сти квадрата ABCD, то есть точкой пересечения диагоналей квадрата, и
SABCD правильная пирамида.
Решение варианта № 5
-
А
с
D
Рис . 204
Проведём через середину М высоты SН прямую DT (точка Т лежит
на ребре SB, и в этой точке плоскость пересекает ребро SB). Рас
смотрим равнобедренный треугольник D В S (см. рис . 205) и проведём
HF 1 DT (точка F лежит на ребре SB). Высота SH равнобедренного
треугольника с основанием DB является медианой и DH = Н В. Тогда по
о:
s
D
в
Рис. 205
теореме Фалеса из DH = НЕ следует BF FT, а из НМ = MS следу
ет FТ TS. Получаем, что ТВ = 2TS, значит, плоскость делит ребро
SB в отношении 2 : 1, считая от вершины В .
=
=
о:
236
Решения избранных вариантов
б) Проведём через середину М высоты SH прямую РК параллель
но диагонали квадрата АС. Плоскость DPK параллельна АС, это и есть
плоскость а. Плоскости а и ASC имеют общую прямую РК.
DН. .l АС как диагонали квадрата, РК 11 АС, значит, DH .l РК.
Н S высота пирамиды, D Н .l НМ. По теореме о трёх перпендикулярах
DM .l РК. Значит, угол DMH является углом между плоскостью а и
плоскостью ASC.
Треугольники SDB и SAC равны по трём сторонам
(AS = BS = CS = D S и D B = АС), поэтому LSDB = LSAC = 30° .
а, DH = '(} SD = vГза,
Ilусть SD
2а , тогда SH
МН = 0 , 5SH = О , 5а.
DM2 = DH 2 + МН2 = (J3a ) 2 + {О,5а } 2 = 1: а2 , DM = vJЗ a .
sin LDMH = DH : DM = JЗа : (vJЗ a ) = 2'(;9 .
-
=
=
2'(;9 .
1 5. Используя условие 8 - х > О, выполним преобразования:
log�(x - 8} 2 = (log5 (8 - х}. 2 ) 2 = ( 2 log5 l 8 - x l) 2 4(log5 ( 8 - х}} 2 =
4 log25 (8 - х).
Ответ: б)
=
=
34 1оg�(8-ж)
�
7
3 9 1оg5 (8-ж) ,
1
4 1оg� (8-ж)
�
9'
39 1оg5 (8-ж) . 3 - 5
243 ' 3
34 1оg� (8-ж) � 39 1оg5(8-ж ) - 5 , 4 log�(8 - х) - 9 log5 (8 - х} + 5 � О.
Пусть log5 (8 - х) = t, тогда 4t 2 - 9t + 5 � О, t � � · t � 1.
log5 (8 - х) � 1, О < 8 - х � 5, -8 < -х � - 3 , 3 � х < 8.
5
log5 (8 - x) � 45 , 8 - х � 5 4 , х � 8 - 5v4�5.
Так как ?15 > 1, то 8 - 5 ?15 < 3 , значит, х Е (-оо; 8 - 5 ?15] U [3 ; 8).
Ответ: (-оо; 8 - 5?"5] U [3; 8).
1 6. а) Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропор
циональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы ВЕ выполняется
АЕ БА 7
ЕС = ВС = 10 (см. рис. 206, с. 237).
7
84
ЕС = АС - АЕ = 12 - АЕ, 12 АЕ
_ АЕ = 10 • АЕ = 17 .
__
•
Решение варианта № 5
237
в
А
с
Рис. 206
Аналогично д.ля биссектрисы AD получим �g = �� =
1� .
7 BD = 70 .
DC = BC - BD = 10 - BD, 10 BD
_ 8D = 12•
19
BD _- 70 . 84 -_ 85 .
АЕ 19 17 11 4
б) Пусть ВН высота треугольника АБС. Она является также высотой треугольника АВЕ.
§.дш;_ О,5АС · ВЙ АС
17
Sлвв - О,5АЕ · ВН - АЕ - 7 ·
ВЕ
Аналогично, §л!ш
SлвN = BN "
По свойству биссектрисы AN д.ля треугольника АВ Е получим
EN .· BN - АЕ ·. АВ -- 8174 ·. 7 - 1211 ·
12 29
EN
ВЕ BN + EN
BN = BN = 1 BN = 1 + 17 = 17 '
§л!ш = ВЕ = 29 §.лш;_ = §.дш;_ §л!ш = 17 . 29 = 29
SлвN BN 17 ' SлвN Sлвв SлвN 7 17 7 '
§..мш - .]_
Sлвс 29 ·
Ответ: б) 7 : 29 .
1 7. Обозначим через А размер кредита в млн рублей. С июля по декабрь
1 -го, 2-го, 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает по О , 1А млн рублей,
всего О , 4А млн рублей за четыре года.
В июне 5-го года долг возрастёт до 1,1А млн рублей. Обозначим через
млн рублей размер ежегодно выплачиваемой суммы в конце 5-го и 6-го
годов. В начале 6-го года долг будет равен 1,1А- , а в июне 6-го года долг
-
_
_
_
+
.
х
х
238
Решения избранных вариантов
будет равен 1,1(1,lA - х). В конце 6-го года долг должен быть погашен,
то есть последняя выплата равна 1,1(1, lA - х) и по условию равна х.
121 А .
1,1 ( 1,1А - х) = х, 1,21А = 2,lx, х = 210
Общая сумма выплат заёмщика будет равна О, 4А + 2 · �i� А =
��: А млн рублей, и по условию она не менее 14 млн рублей.
��: А ;;?: 14, А ;;?: 1�� = 9 1�3 .
А - целое, значит, наименьшее подходящее А 10 млн рублей. )
Ответ: 10 млн рублей.
1 8. Преобразуем систему при условии, что 3 + у > О и 3 + у # 1, то есть
3 и у # -2.
=
=
у>х2 - 10х + 25 + у2 + 2у + 1 25 + 1,
3 + у = 3 + х + а;
(х - 5) 2 + (у + 1) 2 = 26,
у = х + а.
Графиком (х - 5) 2 + (у + 1) 2 = 26 является окружность с центром в
точке Q(5; -1) и радиусом �- С учётом условий у > -3 и у # -2, это
три дуги окружности (см. рис. 207).
{
{
=
у
-3
А
----------------------
Рис. 207
239
Решение варианта № 5
График у = х + а прямая с угловым коэффициентом 1 , пересекаю
щая ось ординат в точке (О; а).
По рисунку видно, что графики имеют две общие точки при
а Е (а1; а2 ) U (а2 ; аз). Найдём значения а1 , а2 и аз.
При а = а1 прямая у = а + х проходит через точку окружности А при
у = -3. Тогда (х - 5) 2 + (-3 + 1) 2 = 26, х = 5 ± J22.
А(5 - v'22; -3). Из уравнения у = а + х получим а = v'22 - 8.
При а = а2 прямая у = а + х проходит через точку окружности В при
у = -2. Тогда (х - 5) 2 + (-2 + 1) 2 = 26, х = О, х = 10.
В(О ; -2). Из уравнения у = а + х получим а2 = -2.
При а = аз прямая у = а + х касается ОJ<Ружности в точ
ке С. Рассмотрим треугольник CQM, где MQ 1 Ох, MC.l.CQ,
QC = v'26. Треугольник CMQ равнобедренный, так как tg LM = 1 и
LM = LQ = 45°. Следовательно, СМ = CQ = v'26, и высота треуголь
ника СН = HQ = 0,5MQ = v'iЗ.
Координаты точки С: Ус = СН-1 v'iЗ-1, хе = 5-HQ 5-v'iЗ.
Из уравнения у = а + х получим аз = 2v'i3 - 6.
Графики имеют две общие точки при
а Е (-8 + v'22; -2) U (-2; 2v1i3 - 6).
Ответ: (-8 + v'22; -2) u (-2; 2у'13 - 6).
1 9. а) Предположим, что это возможно. Первоначально средняя масса
гирек в первой коробке была равна (2 + 5 + 11 + 26) : 4 = 11. После
добавления гирьки массой х г средняя масса увеличилась на 3 г, то есть
стала равна 14 г.
(2 + 5 + 11 + 26 + х) : 5 = 14, х = 26. Гирька массой 26 г уже была в
первой коробке, поэтому её добавить не могли. Противоречие. Требуемое
невозможно.
б) Предположим, что это возможно. Пусть в первой коробке первона
чально лежали п гирек средней массой 15,2 г. Тогда их суммарная масса
была равна 15,2п а после добавления ещё одной гирьки массой М г ста
ла равна (15,2п + М) г. При этом средняя масса увеличилась на 3 r, то
есть стала равна 18,2 г, значит, суммарная масса стала равна 18,2(n + 1) г.
Из уравнения 18 ,2(п + 1) = 15,2п + М получим, что М = 3n + 18,2. Так
как п целое число, получили, что М, масса добавленной гирьки в граммах,
нецелое. Значит, такое невозможно.
в) Пусть в первой коробке первоначально лежали n гирек средней
массой г. Тогда их суммарная масса была равна mn г, а после добав
ления ещё одной гирьки массой М г стала равна (mn + М) г. При этом
-
=
r,
т
=
240
Решения избранных вариантов
средняя масса увеличилась на 3 г, то есть стала равна (m + 3) г, значит,
суммарная масса стала равна (m + 3)(п + 1) г.
(m + 3)(n + 1) mn + М, М 3n + m + 3.
сумма масс
гирек не меньше 1 + 2 + . . . + n _- (1 +2n) n .
1 + n . Переложили гирьЗначит, nm ;;i: (1 +2 n)n и
;;i: -2ку массой М
(3п + + 3 ) г, её масса не более 45 г. Тогда
М 3п + + 3 ;;i: 3п + 1 � n + 3 и М � 45.
45 ;;i: М ;;i: 3п + 1 � n + 3, n � 11 � .
=
=
n
.
т
=
=
т
т
Следовательно, наибольшее значение n не превосходит 11. Покажем,
что n 11 может быть.
Пусть в первой коробке лежало 1 1 гирек массой 1 г, 2 г, . . , 1 1 г, их
средняя масса была равна 6 г. Если к ним переложить гирьку массой 42 г,
средняя масса станет равна 9 г, то есть увеличится на 3 г.
Ответ: а) нет ; б) нет ; в) 11.
=
.
Решение варианта № 9
1 . Уменьшим на 23 минуты время отправления и время прибытия. Поезд
отправляется в 1 7:00, а прибывает в 1 4:30 на следующий день . В день от
правления поезд в пути 24 - 17 7 часов, а на следующий день он в пути
14,5 часа. Всего поезд в пути 7 + 14,5 21,5 часа.
Ответ: 21,5.
2. Наименьшая положительная среднемесячная температура воздуха
днём (самый низкий столбик из тех, что соответствует положительным
температурам) приходится на 12-й месяц.
Ответ: 12.
3. По рисунку видим, что в прямоугольном треугольнике АБС АС = 8,
В С 6 (см. рис. 208, с. 24 1 ).
sin LABC = �� = Jвс 8+ АС ./368+ 64 = 0 ,8.
2
2
Ответ: 0,8.
4. Составить пару Греrу Монтгомери можно 35 способами, а составить
пару с игроком из Шотландии 7 способами. Тогда вероятность того,
=
=
=
-
Решение варианта № 9
24 1
{
в
/
,
,
j
"
Рис. 208
что в первом туре Грег Монтгомери будет играть с каким-либо игроком в
дартс из Шотландии, равна J5 0,2.
Ответ: 0,2.
5 . log6(x + 5)
log6(3x - 10), х + 5 3х - 10, 2х 15, х 7,5.
Число 7,5 удовлетворяет условию х + 5 > О.
Ответ: 7,5.
б. Треугольник АБС равнобедренный. Высота СН является медианой,
АВ (см. рис. 209).
значит, АН ВН Т
АВ
9 13 39
АВ
АС cosАНLA 2 cos
LA 2 J1 sin2 LA 2 12 8 41875 _
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
_
А
�
Н
·
=
·
=
·
В
Рис. 209
Ответ: 4,875.
7. f ' ( x ) < О на промежутках убывания, содержащих целые точки -3; -2;
-1; О; 1; 2; 3 (см. рис. 2 10). Их сумма равна -3 - 2 - 1 + о + 1 + 2 + 3 О
Ответ: О.
8. Sбок.пов.пр. 6а Ь, где а сторона основания, Ь высота призмы.
Sбок.пов.пр. = 6 · 16 · 11 = 1056 (см. рис. 2 1 1 ).
5
55 3 1
1
�
) � 2 � 2.
(2
9.
�
=
=
(�;;! ) : (�� )
Ответ: 2.
-
'
-
.
242
Решения избранных вариантов
- у = f '(x)
у
, ......
1 '
- 71
1
1
t
\
\
./
/
�
о
\
1
)
"-
J
1/
J
1
1
х
4
Рис. 2 1 0
Рис. 2 1 1
10. Уровень воды в колодце до дождя равен h1 5 1 , 52 11,25 (м).
После дождя уровень воды повысится, значит, время уменьшится на
0,3 с и станет равно 1,5 - 0,3 1,2 с.
h2 5 1,2 2 7,2 (м).
Уровень воды в колодце должен подняться на h 1 - h2 11,25 - 7,2
4,05 (м).
Ответ: 4,05 .
1 1 . Обозначим собственную скорость лодки через х км/ч. Тогда её ско
рость по течению равна (х + 2) км/ч, а скорость против течения (х - 2) км/ч. Составим таблицу.
Время, ч
Расстояние, км Скорость,
км/ч
66
По течению
66
х+2
х+2
66
Против течения
66
х-2
х-2
=
·
=
=
=
·
=
=
=
=
С 6:30 до 16:00 прошло 9 часов 30 минут, то есть 9 � часа. Стоянка
243
Решение варианта № 9
д.nилась 2 часа 50 минут, то есть 2 � часа. Таким образом, лодка была в
пути 9 � - 2 � 2� часа.
=
_оо__ + _оо__ - 20 .
х+2 х-2 3 '
66{х - 2) + 66{х + 2) _ 20 .
(х + 2){х - 2) - 3 '
20 .
132х
(х + 2){х - 2) = з ·
33х
5.
{х + 2){х - 2) = з ·
33х · 3 5 · (х - 2){х + 2);
5х2 - 99х - 20 = О.
Найдём дискриминант D = 992 + 4 · 5 · 20 = 10 201 = 101 2 •
х 1 , 2 - 99 ±10101 .
х1 99 �0101 < О не удовлетворяет условию .
х2 99 +10101 20.
Ответ: 20.
1 2. у = 6х - 6 ln{x + 3) + 1.
Область определения функции: х + 3 > О , х > -3.
у'(х) 6 - х � 3 , у'(х) = О, х = -2. -2 Е [-2; 0].
Так как у'(х) > О при > -2, то функция у(х) на отрезке [-2; О]
возрастает. Значит, принимает наименьшее значение при х = -2.
у(-2) 6 . (-2) - 6 ln 1 + 1 = -12 - 6 . о + 1 = -11.
Ответ: -11.
1 3. а) Запишем исходное уравнение в виде
sin2 x(2 sin x - v'2) + ( 2 sin x - v'2) = о ; ·
(2 sin x - v'2) (sin2 х + 1) = О .
=
-
=
=
=
=
х
=
Значит, или sin2 х
244
J{. откуда
Решения избранных вариантов
х = � _+ 27Гk, k Е Z, или х з; + 2
=
- 1, что невозмоЖно, или sin x
=
7Г n
,
n
=
Е Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие
отрезку [ - i ; 7Г] (см. рис. 2 1 2).
-2
1С
Рис. 2 1 2
7Г ., Т
37Г..
п олучим числа: 4
З7Г + 2
Ответ: а) "47Г + 27Гk , k Е Z; 4
·
1Г n , n
Е z ,·
4 З7Г
б) 7Г '. 4
·
1 4. а) Пусть плоскость а пересекает прямые SБ и АБ в точках L и
М соответственно (см. рис. 213, с. 245). Поскольку плоскость а парал
лельна прямой БС, прямые К L, БС и М N параллельны. Следовательно,
SL : LБ SK : КС DN : NC АМ : МБ.
Таким образом, прямая KN, лежащая в плоскости а, параллельна
прямой SD, а значит, плоскость а параллельна прямой SD.
б) Поскольку плоскость а параллельна плоскости SAD, искомый угол
равен углу между плоскостями SAD и АБС. Пусть точки Е и F - сере
дины рёбер AD и БС соответственно. Тогда прямые SF и EF перпенди
кулярны прямой БС, а прямые SE и EF - прямой AD. Таким образом,
плоскость SEF перпендикулярна прямым БС и AD, а также содержа
щим их плоскостям SБС и SAD соответственно.
Значит, угол между плоскостями а и АБС равен углу SEF.
=
=
=
245
Решение варианта № 9
s
в
Рис. 2 1 3
Высота SO пирамиды SAБCD лежит в плоскости SEF, откуда
ЕО 2,5, SE
SA2 - Af2 6 ; cos LSEF �� � 152 ;
LSEF arccos 152 .
Ответ: arccos 152 .
1 5. Запишем исходное неравенство в виде
log7 ( (5 - х)(х2 + 3) ) � log7 ((5 - х)(6 - х)) + log7 (7 - х);
log7 (5 - х ) + log7 (x2 + 3) � log7 (5 - х ) + log 7 (6 - х) + log7 (7 - х).
Неравенство определено при х < 5, поэтому при х < 5 неравенство
принимает вид:
х2 + 3 � (6 - х)(7 - х), х 2 + 3 � х2 - 13х + 42, 13х � 39, х � 3.
Учитывая ограничение х < 5, получаем: 3 � х < 5.
Ответ: [3; 5).
1 6. а) Точки М и N лежат на окружности диаметром БС с центром
в точке К середине стороне БС (см. рис. 2 1 4, с. 246), поэтому
КМ КN Б2С как радиусы этой окружности.
LAMN LАБС как вписанные и опирающиеся на одну дугу. Значит,
треугольники АМN и АБС подобны с коэффициентом подобия
�� cos LNАС cos 60° � . Поэтому МN Б2С , а, следов�тель
но, ЛК МN равносторонний.
б) Пусть R 2VЗ радиус окружности, описанной вокруг треугольника
АБС. Тогда по теореме синусов ДJIЯ ЛАБС имеем:
=
=
J
=
=
=
=
=
-
=
=
=
·
=
=
-
=
-
=
=
246
Решения избранных вариантов
с
к
R = 2 sin�°вAc = 2v'З, ВС = Rv'З
Рис. 2 1 4
=
6.
Значит, сторона треугольника КМN равна в2с = 3.
v'34. 32 = 4
gу'З .
Тогда Sкм N = -Ответ: б) 9? .
1 7. Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг (в млн рублей) перед
банком по состоянию �а июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
;
5,5; 5,5(nn - 1 ) ; . . . ; 5 , 5n. 2 ; М
n о.
По условию, каждый .январь долг возрастает на 25%, значит, последова
тельность размеров долга (в млн рублей) в январе такова :
. 2 6 ,875
6,875; 6,875(nn - 1 ) ; . . . ; 6 ,875
n ; n .
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
1,375(n - 1 ) + 5,5 ; . . . ; 1 ,375 . 2 + 5 ,5 ; 1 ,375 + 5 , 5 .
1,375 + М;
n
n
n
n
Всего следует выплатить
'5 ' 5 + 1 ' 375 · (!!n + n n- 1 + · · · + 1n + 1n ) 5 ' 5 + 1 ' 375 · n +2 1 (млн рублей).
Общая сумма выплат равна 11 млн рублей, поэтому
5,5 + 1,375 · n � 1 = 11, n � 1 = 121 · 181 , + 1 8, n = 7.
Ответ: 7.
1 8. Корнями исходного уравнения являются корни уравнения
25х2 - а2 = О, мя которых выполнено условие х 2 + 12х + 36 - а2 =/:- О.
=
n
=
247
Решение варианта № 9
Уравнение 25х2 - а2 = О имеет два корня х = ± � при � =/= О. Найдём,
при каких значениях а выполнено условие ( х + 6 - а)( х + 6 + а ) =/= О.
{
( � + 6 - а) ( � + 6 + а) =/= О,
( -� + 6 - а) (-� + 6 + а) =/= О,
{ аа =/= 5;7,5;-7,5.-5
=/=
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня
при а =/= - 7 ,5; -5; О; 5; 7 ,5.
Ответ: а =/= ± 7,5; а =/= ± 5; а =/= О.
1 9. а) Да. Пусть в первый день записано десять чисел 1, а в каждый сле
дующий день записывают на два числа 1 меньше, зато добавляют число 3.
Тогда количество чисел каждый день на 1 меньше, а сумма, соответствен
но, на 1 больше, чем в предыдущий.
б) Да. Пусть = 3, в первый день записали число 1 и десять чисел 2, во
второй день - два числа 1 и восемь чисел 4, а в третий день - девять
чисел 4. Тогда сумма чисел в первый день равна 21, во второй - 34, а в
третий 36 . Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день,
равно 1 �� < 2, а среднее арифметическое всех записанных чисел равно
3 301 > 3 .
в) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 5 чисел.
Значит, если > 4, то в пятый день на доску было записано одно число.
Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чи
сел, записанных в первый день, равной 5. Таким образом, � 4.
Если = 4, то в четвёртый день на доску было записано не более двух
чисел, а их сумма не превосходит 8. Значит, суммы чисел, записанных в
третий второй дни, не превосходят 7 и 6 соответственно, а сумма всех
записанных чисел в этом случае не превосходит 26.
Если = 3, то в третий день на доску было записано не более трёх чисел,
а их сумма не превосходит 12. Значит, сумма чисел, записанных во второй
день, не превосходит 11, а сумма всех записанных чисел в этом случае не
превосходит 28.
Если = 2, то во второй День на доску было записано не более четырёх
чисел, а их.сумма не превосходит 16. Значит, сумма всех записанных чи
сел в этом случае не превосходит 21.
Если = 1, то сумма всех записанных чисел равна 5.
п
-
п
п
п
и
п
п
п
248
Решения избранных вариантов
Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 28.
Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 28. Пусть
= 3, и в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1; во второй - 2, 3,
3, 3; в третий - 4, 4, 4. Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответ
ственно равны 5, 11, 12, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а
их сумма равна 28.
Ответ: а) да; 6) да; в) 28.
n
Ре ш е н ие варианта No 1 3
1 . 3 кг персиков стоят 3· 2,2 = 6,6 грузинских лари. Эта покупка обошлась
отдыхающим в 6,6 · 21,5 = 141,9 рубля . После округления до целого числа
получаем 142.
•
Ответ: 142.
Самым тёплым днём в апреле является 27-е число, на графике ему со
ответствует наивысшая точка.
Ответ: 27.
3. На плане выделен участок, площадь которого равна 17 квадратных мет
ров, так как он состоит из 17 клеток и площадь одной клетки равна 1 м2 •
Ответ: 17.
4. Пусть события А и В - «на экзамене школьнику достанется вопрос по
теме "Параллельность плоскостей"» и «на экзамене школьнику достанет
ся вопрос по теме "Правильные многоугольники"» соответственно. Тогда
событие А + В - «на экзамене школьнику достанется вопрос по одной
из этих двух тем». По условию р(А) 0 31, р(В) 0,08. События А и
В несовместны, так как нет вопросов, которые одновременно относятся к
этим двум темам. Значит, р(А + В) = р(А) + р( В ) 0,31 + 0,08 0,39.
Ответ: 0,39.
...J.
...J.
...J.
х+6
4
3
5. х + 6
3х + 4 4х + 3 , 3х + 4 1 0 , 4х + 3 1 0, х , - 3 , х , - 4 .
(х + 6)(4х + 3) (х + 6)(3х + 4), ( х + 6)(4х + 3 - 3х - 4) = О,
(х + 6)(х - 1) = О, х 1 -6, х 2 = 1.
Меньшим из корней -6 и 1 является -6.
Ответ: -6.
6. Площадь параллелограмма равна АВ · h 1 AD h2 , где h1 - высота,
проведённая к стороне АВ, h2 - высота, проведённая к стороне AD.
По условию АВ < AD, значит, h 1 > h2 • Проведём высоту DH к сто
роне АВ, считая для определённости, что LA острый (см. рис. 215, с. 249) .
2.
=
=
,
=
=
...J.
=
=
=
=
·
249
Решение варианта № / 3
Рис. 2 1 5
DH = AD sin LA = 24 · � 9.
Ответ: 9.
7. Угловой коэффициент прямой у
-2х - 7 равен -2. Значит,
f'(x) -2. Это равенство выполняется в шести точках промежутка
(-11; 3) (см . рис. 216) .
=
·
=
- ,_ у = f '(x)
1
1
1
�
j
1
.
о
�у
1
'\
\
-1 1 \
=
/\
1 \
'
�
1
1
\
j
\ 1/
1 1
Jl
\
1
1.. /
н
�
1
�
3
х
Рис. 2 1 6
Ответ: 6.
8 . Sбок. пов . п р . = ЗаЬ , где а - сторона основания, Ь - высота призмы.
Основание цилиндра вписано в основание призмы, значит, радиус равен
� высоты правильного треугольника. Тогда l ( ai3") = 4v'З и а = 24.
Отсюда, Sбок. пов. пр. = 3 · Ь 24 3 7 24 = 504 (см. рис. 2 1 7).
•
=
·
·
а
ь
Ответ: 504.
Рис. 217
51Г · sin 71Г 6J3 sin (21Г - :!!:. ) sin (1Г + :!!:. )
3
6
3
6
б vГз ( - sin i) ( - sin � ) 6J3 ( - У{-) . ( - � ) 3 2 3 � 4 ,5
Ответ: 4,5.
1 О. Заметим, что в течение первой секунды, то есть при О � t � 1, выпол
няется неравенство О � 1Гt � 1Г.
Из этого неравенства следует, что sin 7Гt � О.
51Г 61 � t � 5
Toгдa З,2 sin 1Гt � l,6, sin 7Гt � 21 . 61Г � 7Гt � 6
в·
Значит, в течение первой секунды скорость движения превыша
ла 1,6 см/с на протяжении � - �
i секунды, что составляет
250
Решения избранных вариантов
9. 6v13sin
=
=
=
·
·
.
=
·
.
=
=
·
=
.
.
i
1 i 0,67 от первой секунды.
Ответ: 0,67.
1 1 . К моменту встречи в сумме соседи пройдут 2 , 6 + 2,6
5,2 км. Вре
мя до их встречи было бы таким же, если бы они двигались навстречу
друг друrу, находясь на расстоянии 5,2 км друг от друга. Это время равно
52
5 1 1 _;_ 5 1 3 � ч. За полученное время первый пройдё1' 5 , 1 · � 2,55 км .
Это и есть искомое расстояние.
Ответ: 2,55.
1 2. Рассмотрим функцию у 9 tg x - 5х + 6 на [-�; о] .
_ - 5 9 - 5 cos2 х > О при любом х Е [- 1!:. ; о] .
у' (х) 9 . _l
4
cos2 х
cos2 х
Значит, у(х) возрастает на данном промежутке. Наибольшее значение на
нём достигается при х О.
у(О) 9 tg 0 - 5 · О + 6 6.
Ответ: 6.
1 3. а) Перейдём к системе
=
:
=
�
=
=
=
=
=
=
=
=
=
x
{ 49-17sinsin2x x >72v'зsin
О.
sin x v'зsin x , { sin 2x vГз sin x,
Значит, { 49
.sш х 2< 0 ; 49
sin x < О;
=
_
=
О,
=
�· х = - � + 27rn, n Е Z.
sin x < О.
l1 19
l7
б) 37r "'� - �6 + 27rn "'� l17r
2 ' n Е Z ·, 3 "'� .!6 + 2n "'� 2 12 �"' n �"' 6 '
откуда n = 2.
2371" ·
1оrда х = - 57r + 271" . 2 = т
Ответ: а) - � + 27rn, Е Z; б) 2:11" .
1 4. а) Пусть 0 - центр основания конуса. Рассмотрим ЛРТО, по усло
вию, OL его высота (см. рис. 2 18). РО = ОТ как радиусы, высота
равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является ме
дианой, следовательно, PL = LT.
Решение варианта № 1 З
{ sinsin xx(2<cosО; x
-
J3) = О ,
{ cos x
251
=
_
'
'Г
п
-
s
р
т
Рис. 2 1 8
ЛРКL "' ЛРSТ по двум углам (LP общий, LPKL = LPST
как соответственные при параллельных прямых К L и ST и секущей РS).
PL 1
1
Значит, РК
PS = РТ = 2 . РК = 2 Ps, что и требовалось доказать.
б) Опустим перпендикуляр КН к плоскости основания, тогда КН
средняя линия треугольника PSO (см. рис. 219, с. 252), Н середина
РО. Найдём ТН по теореме косинусов.
cos LHPТ = cos LOPL = ОPLР = 183 = 61 ..
-
·
-
-
252
ТН2 Н Р2 + РТ2 - 2Н Р · РТ · cos L.H РТ
92 + 6 2 - 2 9 · 6 · cos L.O Р L 117 - 108 · �
Решения избранных вариантов
=
=
=
=
·
=
99; ТН = з JII.
Рис. 2 1 9
Угол между прямой КТ и плоскостью основания - это угол между
прямой и её проекцией на плоскость.
Значит, L.KTН - искомый.
Jll
os2 6 2
к
н
tg L.KTH ТН ТН ЗJll 1, L.KTH 45°.
Ответ: 45°.
1 5. Перейдём во втором слагаемом к основанию 3:
log�(5x - 6 - х 2 ) - 6 log3 (5x - 6 - х 2 ) + 8 > О
и введём замену переменной log3 (5x - 6 - х 2 ) t.
Тогда неравенство примет вид t2 - 6t + 8 > О, (t - 2)(t - 4) > О, его
решения t < 2, t > 4.
Возвращаясь к исходной переменной, получим совокуп3 (5x - 6 х2 ) < 2,
ность неравенств log
logз (5x 6 х2 ) > 4, которая равносильна
х2 - 5х + 8 7 < О,
5х - 6 - х 2 > 8 1 ,
х2 - 5х + 6 < О,
5х - 6 - х2 > О , или
х 2 - 5х + 15 > О.
5х - 6 - х 2 < 9;
Первое неравенство совокупности не имеет решений, так как дискри
минант квадратного трёхчлена х 2 - 5х + 8 7 отрицателен, второе нера
венство системы выполняется при любом действительном значении пе
ременной, так как дискриминант квадратного трёхчлена х2 - 5х + 15
отрицателен, поэтому последняя совокупность равносильна неравенству
х 2 - 5х + 6 < О, решая которое, получим 2 < х < 3.
Ответ: (2; 3).
=
=
=
=
=
=
[{
[
[{
_
-
_
253
Решение варианта № 1 3
1 6. а ) По теореме косинусов
+
АС2 = АВ2 ВС2 - 2 · АВ · ВС · cos LB.
Отсюда
ВС2 - АС2 = 92 102 - 11 2 = 60 = 1 > О .
cos LB = АВ22 . АВ
1 80 3
. ВС
2 · 9 10
Так как cos LB > О , то угол В - острый. Что и требовалось доказать.
6) Из пункта а ) следует, что треугольник АВС - остроугольный, поэтому точка О лежит внутри треугольника АВС ( см. рис. 220 ) .
+
+
·
в
А
к
Рис. 220
с
LAO K = о:. Тогда
Sкон = � · КО · ОН · sin(1 80° - о:) = � · КО · ОН · sin o:.
Так как LAO K = о:, то LBOH = о: и LOAK = LOBH = 90° - о:.
Но тогда LBC K = 90° - (90° - о:) = о: и sino: = �� - Следовательно,
к
Sкон 21 · КО · ОН · в .
=
ВС
Найдём теперь КО, ОН и ВК, используя площадЬ S треугольника
АВС. S = �AB · BC·sin B = � · 9 · 10 · J1 - ( � ) 2 = 9 . 5 . 2 '{2 = ЗО J2.
АН = � = 6 J2, ВН = JAB2 - АН2 = .j92 - (6 J2) 2 =
= J81 - 72 = 3, нс = 7.
Пусть
ОВН и НАС следует, :то
�� =
�Z ·
АОК и НАС следует,
��
нс
Ан ·
254
Решения избранных вариантов
Из подобия треугольников
3 · 7 = _7_ .
ОН = В НАН· НС = 6{2
2{2
60
60 2 ) 2 =
вк = 28
11 11{2 . АК = v'АВ2 - в к2 = 92 - ( 1{2
1
- 7200 = !2601 = 51 ·
= 81 . 12111- 7200 = 9801121
у 121 11
Отсюда
·
=
Из подобия треугольников
Отсюда
что
51 . 7
· НС = .!..!:.__ = .1.Ш... ·
О К = АКАН
6{2 22{2
60{2
11
к
7
в
1
1
119
=
Значит, Sко н = · О · ОН ·
·
·
·
2 К
ВС 2 22{2 2{2 ---и- ·
119 · 7 · 60{2
2499{2
Sко н =
2 . 22{2 . 2{2 . 11 . 10 = 968 .
Ответ: б ) 24�:;2 .
l O�O� r раз.
17. Согласно условию, каждый январь долг возраста ет на
личивается в
q
=
r%, то есть уве
400q
400q - 280 )
(400q - 280)q
После первого начисления процентов долг будет равен
тыс. руб
лей, после выплаты
ООО рублей он станет равен (
тыс. руб
лей.
После второго начисления процентов долг будет равен
тыс. рублей, после выплаты
ООО рублей он станет равен
тыс. рублей. По условию кредит будет полно
стью погашен за два года, значит,
280
( (400q - 280)q - 240)
(400q - 280 )q - 240 о.
240
=
q О, получим
10q2 - 7q - 6 = О, q = 1,2, 100100 = 1,2, r = 20.
Ответ: 20.
Решая это уравнение, с учётом >
+r
255
Решение варианта № 1 3
1 8. При ф иксированном значении параметра а каждое решение исходной
системы - это пара значений (х; у), при подстановке которых в систему
получаются верные равенства. Заметим, что если (хо; Уо ) - некоторое
решение системы, то и пары (хо; -уо); (-хо; Уо) и (-хо; -уо) - тоже
решения системы.
(х 2 - у2 )(х 2 + у2 ) = 30а + 54, 2а(х2 - у2 ) = 30а + 54,
{ х 2 + у2
=
{ х2 + у2 2а.
{ хх42 +- уу42 - 0
2а;
=
54
О исходная система примет вид
_
Из второ.
го уравнения получим х
у О, при этих значениях первое равенство
выполнено не будет. Значит, при а О система не имеет решений.
Рассмотрим случай, когда а # О. Тогда
х 2 у2 15а : 27 ,
х2 + у2 2а.
+ 27 .
2х2 15а а+ 2 7 + 2а 2а2 + 15а
а
- 27 .
2у2 2а 15а а+ 27 2а2 - 15а
а
При а
=
=
=
=
'
=
{
_
=
=
=
=
=
=
_
Исходная система имеет ровно четыре решения при тех значениях па2
2
раметра а, при которых 2а + l 5a + 27 > О и 2а - l 5a - 2 7 > О (тогда
а
а
будет два значения х и два значения у).
Решим вспомогательное уравнение 2а2 + 15а
а1, 2 - -15 ± у2245 - 4 . 2 . 27 -- - 154± 3 ,.
а1 = -4,5; а2 = -3 .
2(а + 3) (а + 4 ,5) > О при а Е ( -4,5 ; -3) U
а
Решим вспомогательное уравнение 2а 2 - 15а
а1 , 2 -- 15 ± у2254+ 4 . 2 . 27 -- 15 ±4 21 .,
а1 = - 1 ,5; а2 = 9.
2а2 - 15а - 27 > при а Е ( - 1 ,5; О) U (9;
а
Оба неравенства будут выполнены при а Е (9; + оо ).
Ответ: а Е (9; +оо ) .
+ 27
О.
(О; +оо).
О
+оо).
- 27
=
О.
256
Решения избранных вариантов
1 9. а) Нет, не могут. Если х
некоторое натуральное число, то числа
3х и (х - 2) имеют ту же чётность, что и число х. Следовательно, все вы
писанные числа имеют одинаковую чётность, числа 5 и 6 не могут быть
выписаны одновременно.
б ) Да, могут, если по кругу выписаны числа 6, 18, 16, 14, 12, 10, 8.
в) Пусть
наибольшее из выписанных чисел. Тогда оно в три ра
за больше соседнего с ним слева числа (обозначим его k ). = 3k. Тогда
справа от могут быть только числа, каждое из которых на два меньше
предыдущего, пока не встретится k. Действительно, если число р такое,
что k < р < то 3р > поэтому для получения очередного числа не мо
жет использоваться процедура умножения на 3, так как - наибольшее.
Все выписанные по кругу числа - подряд идущие члены арифметической
прогрессии { an } с разностью 2 от числа а 1 k до числа an = 3k. По
вторяться такая последовательность не может, так как по условию все
выписанные числа различны. 3k k + 2{n - 1), n k + 1. Сумма всех
выписанных чисел равна a i � an n k � 3k · ( k + 1) 2k(k + 1). То
гда 2k(k + 1) � 2021; k(k + 1 ) � 1010,5. Чем больше значение k, тем
больше значение выражения k ( k + 1). Наибольшим значением k, при ко
тором выполнено неравенство k(k + 1) � 1010,5, является k = 31. Тогда
наибольшее число
3k 93.
Ответ: а) нет ; б) да; в) 93.
-
т
-
т
т
m,
т,
т
=
=
·
т =
=
=
=
=
Реше ние варианта No 1 7
1 . Если бы Артур Петрович купил 42 билета на одну поездКУ по 46 руб
лей, он заплатил бы 42 · 46 1932 рубля. Разность между этой суммой и
стоимостью проездного билета равна 1932 - 1750 182 рубля.
Ответ: 182.
2. Используя диаграмму, определяем, что самое большое число посети
телей (самый высокий столбик) приходится на 16 апреля.
Ответ: 16.
3. Все стороны четырёхугольника, изображённого на рисунке, равны,
следовательно, он является ромбом. Площадь ромба равна половине про
изведения диагоналей. По рисунку видим, что диагонали ромба 4 и 6. Пло
щадЬ ромба равна 1 2.
Ответ: 12.
4. Эксперимент заключается в выборе того, кто начинает игру. Всего при
бросании жребия для 5 ч·еловек может быть 5 исходов. Пусть событие
=
=
257
Решение варианта № 1 7
= � = 0, 4 .
А - « игру должен будет начинать мальчик». Благоприятствующих исхо
дов этому событию 2 - жребий выпал Роме или Вадику. р( А)
Ответ: 0,4 .
\1'45 - 4х - х .
Значение арифметического корня должно быть неотрицательным чис
лом. -х ;;i: О, х � О .
{ v'45 - 4x) 2 = (-х) 2, 45 - 4х = х2 , х2 + 4х - 45 = О,
х -2 ± v14 + 45 = -2 ± 7, х1 = -9, х2 = 5. Корень уравнения
=
5.
Х
=
АС = AB.J2, а площадь квадрата - АВ 2 ,
( �) 2 = ( �) 2 = 8.
поэтому площадь квадрата равна
Ответ: В.
7. Значение производной в точке, в которой касательная графику функ
ции у = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, равно нулю
(см. рис. 22 1 ) . /'(- 4 ) = О .
9.
Ответ: - 9.
=
6. Диагональ квадрата равна
к
-
i_y=f '(x) '/
--
)
v
/-4
J
/
1/
'
.
.
о
1
у
j
'\
1'\.
1
......
v
v
J
1
1
х
,
Рис. 22 1
Ответ:
=
- 4.
8. Vпр. SАБС · Н , где Н - высота треугольной призмы, SА Б С - пло
щадь основания АБС ( см. рис. 222, с. 258 ) .
Vотсеч.пр. = SАБ1 С 1 Н1 , где Н1 = Н.
SАБ 1 С1
=
1 7.Зак. № 1 2 1
•
1
4 SА вс.
258
Решения избранных вариантов
Следовательно, Vотсеч . пр .
. · Н = 41 · 76 19.
= 41 8Авс
=
1
1
•в
.... \:
9·
Ответ: 19.
9
cos2 211° + sin2 31° =
'
'
Рис. 222
9
= cos2(180° + 31°)
+ sin2 31° - cos2 31° 9+ sin2 31° = 9 ·
Ответ: 9 .
1 0. В формулу (p) = q · р подставим q = 1 70 - 10р, получим
r (p ) = (1 70 - 10р)р.
По условию (p) � 520, следовательно, 10р2 - 1 70р + 520 � О,
р2 - 1 7р + 52 � о.
р2 - 1 7р+52 = О, Р1 ,2 = l 7 ± v'lr - 208 = 1 7 i= 9 , Р1 = 4 , Р2 = 13 .
4 � р � 13.
Максимальный уровень цены равен 13 тыс. руб.
Ответ: 13.
1 1 . Обозначим производительность Сергея через Ре . производительность
Николая через Рн, производительность Егора через Р .
Е
1
=
Ре + Рн 12 ;
Тогда Р + Р = � ;
Н Е 2
Ре + РЕ = 121 ·
1
Сложим все три уравнения, получим 2(ре + Рн + Р ) = 1 +
Е 1 2 2� + 1 2;
r
r
1 7"
259
Решение варианта № 1 7
2 (рс + Рн + РЕ ) = 254 ;
Рс + Рн + РЕ = 485 "
Работая втроём, Сергей, Николай и Егор выполнят заказ за
48
5 = 9,6 часов.
Ответ: 9 , 6.
1 2. ФУнкu.ия у = log6(16 + 6х - х 2 ) определена при х Е (-2; 8), так как
16 + 6х - х2 > О, х 2 - 6х - 16 < О.
х2 - 6х --16 = О, � = 9 + 16 = 25.
Х 1 = 3 - 5 = -2, Х 2 = 3 + 5 = 8.
Решением неравенства х 2 - 6х - 16 < О служит промежуток (-2; 8).
у'(х) = ( l 6 + �x-!�2 ) ln 6 ' у'(х) = О при х = 3. 3 Е (-2; 8).
у' � - �
у
-2 ......
�
3
х
•
8
Рис. 223
При переходе через точку х = 3 производная меняет знак с «+» на
значит, х = 3 - точка максимума (см. рис. 223 ).
Ответ: 3.
co-s�2-x-+-.c-o_s_x + sin x = О,
1 3• а) J�
sm x
Перейдём системе
./cos2 х + cos x = - sin x, cos2 х + cos x sin2 х,
sin x < О;
sin x -:f. О;
2 cos2 х + cos x - 1 = О ,
cos2 x + cos x = 1 - cos2 х,
sin x < О;
sin x < О;
cos x = -1, cos x = -21 ,
cos x = -21 , х = - 3 + 27rn, n Е Z.
sin x < О;
sin x < О;
б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке
[-37r; - 2 ] (см. рис. 224, с. 260).
«-»,
{
{
{
к
{
{
7Г
18. Зак. № 1 2 1
{
=
7Г
260
Решения избранных вариантов
твет: а ) - З1Г + 21Гn, n Е z; б ) - 731Г .
Получим
о
7; .
Рис. 224
х =
-
(
1 4. а ) ЛSРТ ,...., ЛSKL ( см. рис.
�; �I
225, с. 261 ) по двум пропорциональным
сторонам и углу между ними LРSТ - общий,
=
=
1�) . Тогда
LSPT = LSKL и, следовательно, РТ 11 KL ( равны соответственные
углы при пересечении прямых секущей SK).
Значит, К L параллельна прямой РТ в плоскости 'У · По признаку па
раллельности прямой и плоскости осталось показать, что К L не лежит
в 'У. Построим сечение, проведя в плоскостях S КМ и S LM прямые PQ и
ТR соответственно ( Q лежит на КМ·, R - на LМ, РQ 11 SM, TR 11 SM).
РТRQ - искомое сечение. Плоскость основания пирамиды пересекает
плоскость 'У по прямой QR, К не лежит на этой прямой, значит, не лежит
в плоскости сечения, тогда и прямая К L не лежит в 'У · Таким образом,
ребро К L параллельно плоскости 'У ·
б ) Так как KL 11 "f, все точки KL равноудалены от 'У · Пусть D середина KL, найдём расстояние от D до 'У · Пусть плоскость SDM пе
ресекает прямые РТ и QR в точках F и G соответственно. KL .l SD
и KL .l MD, так как KL - основание равнобедренных треугольни
ков SKL и MKL, к которым проведены медианы SD и MD. Значит,
KL .l (SDM) , QR .l (SDM) . Высота DV треугольника DFG, опущен18"
Решение варианта № 1 7
26 1
s
L
Рис. 225
ная из D, равна искомому расстоянию (
DV
s
.l FG, DV .l
QR, D V .l -у).
Рис. 226
PQ 1 1
11 TR, PQ �
12 SM TR. Отсюда PQRT па(PQ и TR равны и параллельны), F G 11 S M , отсюда
=
SM
раллелоrрамм
=
-
5
12 .
Таким образом, искомое расстояние равно 5 DH, где DH
12
ЛDFG ......, ЛDSM
ЛSDM.
с коэффициентом подобия
Рассмотрим ЛSDM (см. рис. 226).
Его площадь Ssv м
=
21 so · D
M =
21 vн ·
SM.
-
высота
262
Решения избранных вариантов
· DM
DH = SOSM
DM = 12(3 = б v'З.
О - центр равностороннего треугольника КLM,
мо = �3 мп = 4v'З. so2 = sм2 - мо2 = 152 - (4v'3) 2 = 111;
so = ./f.77.
DH = .f15ffi . б у'З бу'W
5 .
DМ. - высота равностороннего ЛКLМ,
=
•
Искомое расстояние равно _§_
15
Ответ: vr.
12
. б v'59 = у'59 .
5
2
(х - l)(x - 3)(х - 5) 1 > 0 '
(х + l)(x + 3) (х + 5)
х3 - 9х2 + 23х - 15 - (х3 + 9х2 + 23х + 15) > 0
'
(х + 1)(х + 3)(х + 5)
-1 Вх 2 - 30
3х2 + 5
(х + 1 )(х + 3) (х + 5) > 0 ' (х + l )(x + 3 )(х + 5) < О . Так
3х2 + 5 > О при любом х, то (х + l)(x + 3)(х + 5) < О (см. рис. 227),
_
•
----1:..С: + �
�
�
-5
Рис. 227
как
�
-�
откуда х
< -5, -3 < х < -1.
Ответ: (-oo; -5) U (-3; -1).
а ) Рассмотрим рисунок 228, н а котором О - центр окружности, АН
-1 6.высота,
опущенная на сторону ВС, и OEl_AH.
Тот факт, что на рисунке ВН
смотрении пункта б ).
>
ВК , будет установлен ниже при рас
По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки, ле
жащей вне окружности, получаем, что ВК 2 = БА · BN. Согласно уело-
Решение варианта № 1 7
263
А
�АВ и ВК2 = ВА · � АВ = �АВ2• Отсюда ��; g•4
�� = /i = i. Что и требовалось доказать.
вс
вс
6) П о теореме синусов _ АВ 0
sin 75 0 . Поэтому
sш 30
sin 105°
. -21
12
3
В
0°
_ 6
АВ = Сsin· sin
75° = sin _75° = sin 75° ·
Согласно пункту а ) ВК = iAB.
Так как АН перпендикуляр к стороне В С, то АН = АВ sin 45° =
АВ
= АВ
= АВ Так как � > у12
з
2 �. то
V2 и ВН = АН ' ВН = V2 ' ВК = �АВ
з
2
ВН > ВК.
АВ 2АВ - АВ(З - 2 vf2)
о тсюда к н - В Н В К V2
3
зV2
По свойству прямоугольника ОЕ = Н К и НЕ = ОК = R = ОА .
По теореме Пифагора АЕ2 О Е2 = АО2 = R2.
АЕ = АН - R = АВ
vf2 - R. Тогда
- 2 V2) ) 2 -- R2 . отсюда
( АJ2в - п) 2 ( АВ (Зз V2
Рис. 228
вию
BN
=
_
__
-
.
_
_
_
+
+
_
_
264
Решения избранных вариантов
АВ 2 _ 2R АВ + АВ 2 (3 - 2J2) 2 _- О
2
J2
(3 J2) 2
АВ 2R + АВ(3 - 2 J2) 2 - О
2 · J2
(3J2) 2
)
АВ ( l2 + ( 3 - 182J2) 2
АВ ( 26 - 12 J2) . J2
=
R=
36
2
·
'
_
_
•
72
R АВ (13 -186 J2) · J2 = 6 J2(1813sin-75°6 J2) ·
=
sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° . cos 30° + sin 30° . cos 45°
=
J3 t 1 .
2v 2
(13 - 6 J2) - 2 ( 1 3 - 6 J2)( J3 - 1)
R - 43(v'З
3
+ 1)
Заметим, что sin 75° можно было бы найти, пользуясь следствием из
формулы косинуса двойного угла: sin 75° = 1 - c�s 150° .
_
_
J
Ответ: б ) � (13 - 6 V2 )(J3 - 1).
1 7. Пусть планируется взять кредит А рублей. Долг перед банком ( в руб
А; Аt/; . . . ; АВ 2 ; АВ 1 ; О.
лях ) по состоянию на май должен уменьшаться до нуля равномерно:
Согласно условию, каждый январь долг возрастает на х%, назовём это
увеличение долга ( в рублях ) процентными выплатами. Значит, размер на
численных в январе процентных выплат (в рублях) будет составлять:
7 .' . . . ., А О , 01х · 2 .' А · О,01х .' О .
А . О ' O l х,. А · О, 01х
8
8
8
·
·
Выплаты состоят из постоянной части, равной
: , и суммы начислен
ных в январе про центных выплат на остаток долга. Сумма всех постоян
ных частей равна величине взятого кредита А. Сумма всех выплаченных
процентных выплат равна
7 + . . . + А О,01х 2 + А · О,01х =
А . о' O lх + А О,01х
8
8
8
x
А · �O l ( 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = А · О,045х ( рублей ).
Решение варианта № 1 7
·
=
·
·
265
·
Известно, что за весь период выплатили на 36% больше, чем взяли в
кредит, то есть процентные выплаты равны А 0,36 рублей.
А О,045х А · 0 ,36,
Ответ: 8.
=
·
х =
8.
lx
lx
·
1 8. Рассмотрим функции у =
+ 5а/ + - 14/. Выражения, стоящие
под знаком модуля, меняют знак в точках х = -5а и х = 14. Между этими
числами модули раскрываются по-разному и значения х взаимно сокра
щаются, то есть функция на этом участке представляет собой константу
5а + 14 при -5а � 14 и -5а - 14 при -5а � 14. В обоих случаях это
значение можно записать как /5а + 141.
2х + 5а - 14 при х � 14, х � -5а;
l5a + 141 при х между 14 и - 5а;
у
-2х - 5а + 14 при х � 14 и х � -5а.
Графиком этой функции будет «корыто» при -5а # 14 (см. рис. 229) и
уголок при -5а = 14 ( см. рис. 230, в этом случае у 2lx - 14 1 ).
=
{
=
у=
\х + 5а \
+
\х - 1 � \
у = ?а + 3
х
Рис. 229
у
у = ?а +
у=
2\х- 14\
3
о
14
Рис. 230
х
266
Решения избранных вариантов
Исходное уравнение имеет ровно два решения, если 7а + 3 > l 14 + 5al
( график функции у = lx + 5 a l lx - 141 имеет две общие точки с горизон
тальной прямой у = 7а + 3).
Есл!'f 7а + 3 � О, то неравенство 7а + 3 > 114 + 5a l не имеет решений.
+
7а + 3 > О (то есть а > -�), возведём обе части
неравенства 7а + 3 > 1 14 + 5al в квадрат, получим
49а2 + 42а + 9 > 196 + 140а + 25а2 ;
24а2 - 98а - 187 > О.
Решим вспомогательное уравнение 24а2 - 98а - 187 = О.
В случае, если
Найдём его дискриминант:
D = 982 +4·24·187 = 4(492 +24· 187) = 4(2401+4488) = 4·6889 = 22 ·832 .
Отсюда а 1 , 2 = 98 ± 166 .
48
1
17
ai = - 12 ., а2 = 5 2 ·
Решением неравенства 24а2 - 98а - 187 > О бу� значения
а Е ( -оо; -�;) U {5,5; +оо).
•
С учётом ограничения а
Ответ: а Е {5,5; + оо ).
> - � получим, что а Е ( 5,5; + оо) .
1 9. а ) Среди выписанных чисел нет числа О, так как произведение равно 1.
Все числа не моrут быть различными натуральными, так как в этом случае
их произведение было бы больше 1. Покажем, что может быть ровно 2020
различных натуральных чисел . Действительно, пусть выписаны все нату
ральные числа от 1 до 2020 ( они являются числами от а2 до а 202 1 ). Тогда
a i = l - 2 · . .1. · 2020 "
числа разбиваются на пары
v'2; vГз и � · а остальные
( v15) 2n +l и ( v15:2n + l для различных целых
б ) Да, моrут. Например, выписаны числа
от О до 1008.
в) Пусть Ь1 = а 20 2 1; Ь2 =
далее, Ь2 02 1 = ai ·а 2 · · . . ·а 20 2 1
n
а2020 · а202 1 ; Ьз = а2о19 а2020 · а202 1 и так
= 1. Тогда а} ·а� · . . . ·a�&�l = Ь1 Ь . . ·Ь202 1 .
·
·
2
· ·
Решение варианта № 21
267
Если мя какого-то натурального k верно, что Ьk < 1, то хотя бы
один из множителей, образующих Ьk , меньше 1, в частности, наимень
ший из этих множителей (a2022 -k ) меньше 1. Но тогда и мя в�ех j ,
1 � j � 2022 - k верно, что а; < 1. Отсюда выполняется, что Ьk + 1 < Ьk .
Ьk+2 < Ьkн и так далее, так как каждое последующее Ьi получается из
предыдущего умножением на число меньше t. Тогда Ь2021 < 1, что проти
воречит условию.
Следовательно, мя всех k, 1 � k � 2021, верно, что Ьk ;;i: 1. Тогда и
Ь1 �
� 021 ;;i: 1.
= �021 = 1
= а2021 = 1 получим, что Ь 1 = Ь2 =
=
При al а2 =
=
и Ь1 �
�02 1 1.
Ответ: а ) 2020; б ) да; в ) 1.
•
·
• • .
•
. .
. . .
•
•
• • •
.
•
Решение варианта № 2 1
1 . 45% = 0,45. Чтобы найти число по его дроби, нужно число поделить на
эту дробь. Поэтому парк в этот день посетило 378 : 0,45 = 840 человек.
Ответ: 840.
2. Более 40 мм· осадков выпало в следующие месяцы: январь, февраль,
апрель, май, июнь, июль, ноябрь, декабрь. Итого: восемь месяцев.
Ответ: 8.
3. Площадь четырёхугольника АБС D равна разности площадей
треугольников АБС и ADC, высоты которых БН и DH рав
ны соответственно 3 и 1 ( см. рис. 23 1 ), основание АС = 6.
Sлвсv = Sлвс - Sлvc = � АС · (БН - DH) 3(3 - 1) 6.
=
=
Рис. 23 1
Ответ: 6.
4. Пусть событие А - «терминал неисправен». По условию р(А) = 0,02.
Событие А· А· А - все три терминала неисправны, а событие, противопо-
268
Решения избранных вариантов
ложное этому событию, - хотя бы один терминал исправен. Его вероят
ность равна 1-р( А·А·А ) = 1-р(А) ·р( А)·р(А) = 1-0,000008 = 0,999992.
Ответ: 0,999992.
5 . .efx .- 7 5, ( .efx - 7) 3 = 5 3 , х - 7 = 125, х = 132 .
Ответ: 132.
6. По условию DE средняя линия, значит, DE 11 АВ, АВ = 2DE, следо
вательно, дАВС ,..., д СDЕ с коэффициентом подобия, равным 2. Тогда
.
2 2 = 4, откуда ScvE 45 = 1 , 25.
SАвс : ScvE
Ответ: 1 , 25.
32
7. Скорость материальной точки равна x'(t) = � - 8t + 7 t 2 - 8t + 7.
v
64 - 8 . 8 + 7 = 7.
Ответ: 7.
8. Площадь поверхности многоугольника равна сумме площадей всех
граней этого многогранника
Sпов. = 4 · 10 + 5 · 4 · 2 + 2 4 2 + 1 4 · 2 + 6 4 + 2 · 1 · 4 + 4 10 2 = 216.
(см. рис. 232)
=
=
=
=
=
·
·
·
2
·
·
·
2
Ответ: 216.
[ 371"2 ] , sш· а � о.
sin a
tg a = -cos a . Так как а Е 7r; sin a -v'l - cos2 а = - 1 - 255 = - f20 = _ 2 v'5
5 ·
Рис. 232
9.
J
tg a ( �) (-1) 2.
Ответ: 2.
1 0. Подставим данные задачи в формулу T (t)
неравенство 1600 � 1480 + 150t - 30t2 .
=
=
-
:
V 25
=
=
То + Ьt + at2
и решим
30t2 - 150t + 120 � О, t2 - 5t + 4 � О, (t - l}(t - 4) � О. Учитывая,
что t > О, неравенство выполняется при О < t � 1, t � 4. Наибольшее
время, через которое нужно отключить прибор, равно 1 минуте. При t > 1
прибор испортится.
Ответ: 1.
1 1 . Пусть за 1-й день бригада изготовила а 1 табуретов, за 2-й день - а
табуретов и т. д. За последний п-й день бригада изготовила an табуретов.2
Из условия следует, что ( ai ) - арифметическая прогрессия.
Сумма первых членов Sn = a i � an . п ;
45 . п 180 •
'
2
n = 8.
Ответ: 8. 3
1 2. у(-9) = -� + 24 . 9 + 5 = -91,125 + 221 = 129,875.
у(О} = О - О + 5 = 5.
± 8.
у ( х) = 3�2 - 24, у (х) О, 3х 2 - 192 О, х = ±
-8 Е [-9; 0] .
3
у( -8) = - � + 24 . 8 + 5 = 133.
Наибольшим среди значений у на отрезке [-9 ; О] является число 133.
Ответ: 133.
)
)
1 3. а) Y'Зcos(3x) cos (x - 2; = 2 · '{!. cos(3x) cos (x - 2; = 1,
cos'3x = 1,
cos 3х = ;: ·
)
�
cos (x - 2;) = 1 и и cos (х - 3 = -1.
3х = 7r + 27rm, Е Z,
3х = 27rn, п Е Z,
или
27r = 7r + 27rl , l Е Z.
27r
х-3
- 3 = 27rk ' k Е Z
+ 27rm , Е Z,
х =
х = 27rn , n Е Z,
3
или
5
х = ; + 27rl, l Е Z.
х 2 + 2пk, k Е Z
269
Решение варианта № 21
п
=
'
'
{
{
{
{
х
�
;
.fiP
=
=
{
{
т
7r
т
=
2; + 27r k, k Е Z или х = 5; + 27rk, k Е Z. Объединяя решения,
получим х = 2; + 1rk, k Е Z ..
270
х
Решения избранных вариантов
=
� 2; + 7r k � 37r, k Е Z; -1 � � + k � 3, k Е Z; � � k � i,
k Е Z ; k = -1, k = О , k = 1, k 2.
5 7r , х = 3
2 7r , х 3
87r .
7r , х = 3
п олучим х = - 3
б ) - 7r
-
=
=
о твет.· а ) х =
2 7r
3
+
7rk , k Е z ·,
57r , 3
27r , 3
87r .
7r ' 3
б ) - 3°
1 4. а ) Пусть О - центр шара ( см. рис. 233 ) а R -его радиус. Сечениями
шара плоскостями а и fЗ являются круги с центрами 0 1 и 02 соответствен
но. Расстояния от центра шара до этих плоскостей равны 001 и 002 .
Площади сечений равны, значит, равны радиусы этих кругов, обозначим
д,л:ину каждого из этих радиусов через r. Отметим произвольную точку М
на окружности сечения плоскостью а. По теореме Пифагора из треуголь
ника м 00 1 получим, что 00 1 = Jо М 2 - мо� = JR2 - r 2 .
,
Рис. 233
Аналогично, 002 = JR2 - r2 .
001 = 002 , что и требовалось доказать.
б ) Так как площадь сечения плоскостью а равна тrr 2 и равна 16тr, то
r = 4. По условию АВ � CD = 8 = 2r. Отсюда слеДует, что АВ и CD
диаметры кругов, которые являются сечениями шара.
00 1 = ./5 2 - 42 = 3, 0 1 02 = 3 + 3 = 6.
Линейный угол искомого двугранного угла равен углу 0 1 D02 (см.
-
рис. 234, с. 271 ), tg L0 1 D02 =
�12� � � =
=
27 1
Решение варианта № 21
Искомый угол равен arctg �.
Рис. 234
Ответ: arctg �.
х < О, х > З,
х2 - Зх > О,
1 5. ОДЗ:
( х - 5) 2 > О, х =/. 5,
(х - 5) 2 =/. 1; х =/. 4, х =/. 6;
х < О, З < х < 4, 4 < х < 5, 5 < х < 6, х > 6.
log4 (x2 - 3x 2 1 "'� 0 · log4 ( x2 - Зх ) 2 - log4(x - 5) 2 "'� 0
log4 (x - 5) J
log4(x - 5 ) 2
С помощью метода рационализации перейдём к неравенству
(х2 - Зх) 2 - (х - 5) 2 � О,
(х - 5) 2 - 1
(х2 - 4х + 5 ) (х 2 - 2х - 5 ) � 0
"'
(х - 6)(х - 4)
(х - 1 - Jб)( х - 1 + Jб) "'� 0 ·
(х - 6)(х - 4)
Решаем последнее неравенство методом интервалов (см. рис. 235 ).
{
{
_
·
'
�
�
=--.ох
Рис. 235
С учётом ОДЗ получим
=:_�;)cijf :=--;
Рис. 236
1 - J6 � х < О, 3 < х � 1 + Jб, 4 < х < 5, 5 < х < 6 (см. рис. 236).
Ответ: [1 - Jб; О) u (3; 1 + JбJ u ( 4; 5) U (5; 6).
1 6. а) Обозначим через С1 и С2 - центры окружностей 01 и 02 , а через
L обозначим точку пересечения касательной, проходящей через точку К,
и касательной l, не проходящей через точку К. LK - серединный пер
пендикуляр к С1 С2 .
Пусть расстояние от некоторой точки С3 до окружностей 0 1 и 02
и до их общей касательной, не проходящей через точку К, равно r.
С1 Сз 10 + r и С2 Сз 10 + r и, значит, Сз равноудалена от С1 и С2 . Из
этого следует, что С3 лежит на серединном перпендикуляре к С1 С2• Тогда
точка Сз лежит на общей касательной, проходящей через точку К.
Пусть М - такая точка на окружности 0 1 , что С3 М - наименьшее
из всех расстояний от точки С3 до точек окружности 0 1 . Тqгда С3 М r
и отрезок С3 М перпендикулярен касательной к окружности 01, проходя
щей через точку М. Заметим, что отрезок С1 М также перпендикулярен
этой касательной, поэтому М лежит на отрезке С1 С3 . Соответствующую
точку на окружности 02 обозначим через N.
Рассмотрим рисунок 237.
272
Решения избранных вариантов
=
=
=
Рис. 237
По теореме Пи фагора получаем, что С3 К J(10 + r ) 2 - 102 . Так как
KL 10, то
( )
J(10 + r ) 2 - 102 + r 10
Отсюда (10 + r ) 2 - 102 (10 - r ) 2 , 20r - 100 = -20r, r 2,5.
Из единственности решения уравнения ( ) следует справедливость
утверждения а).
=
=
*
=
=
=
·
*
273
Решение варианта № 21
б) Треугольники С1 С3 С2 и MC3 N подобны (MN 1 С1С2 ). Так как
1 5
r = 2,5, а С1 М = 10, то коэффициент подобия k равен g�� = {,5 = 5.
Значит, Sмc3N = 251 Sc10302 • Следовательно, Sc1 мNc2 = и
25 Sc103c2 •
Но Sc103c2 = С1 К · КСз
10 · (10 - 2,5). = 75. Тогда
24
Sc1мNc2 25 · 75 = 72 .
Ответ: б) 72.
1 7. Минимизировать время выплат можно, только как можно больше
увеличив сами выплаты. Решим задачу в общем виде. Пусть S - сумма
(в тыс. руб.) кредита; Sn - задолженность в n-й месяц; sn - выплата в
n-й месяц, sn = s; q - коэффициент ежемесячного повышения, q > 1.
Тогда
S1 = qS - s , S2 = qS1 - s ,,;, q(qS - s) - s q2 S - s( l + q ),
Sз qS2 - s = q(q2 S - s(l + q )) - s = q3 S - s(l + q + q 2 ), . . . .
После предпоследней выплаты останется SN- l � s , и тогда в последний N-й раз, кредит будет погашен. Значит,
N-1
SN -1 = qN - l S- s( 1 + q + q2 + . . . + q N - 2 ) = q N - l S- s · q q - -1 1 � s.
Пусть qN - l t.
Получаем неравенство
t 1 � s, tS (q - 1) -s -(t- 1) � s(q - 1), t ( S (q - l) � s) � s(q-. 2).
tS- s · -=q- 1
По условию S = 600, s = 250, q = 1,02.
245 .
t(600{1,02 - 1) - 250) � 250(1,02 - 2), t ;;;i: 238
N - � 245
qN-1 � 245
238 ' l 02 l 238 1 029 ...
1,02 � 1,029 .. " 1,022 = 1,0404 ;;>,: 1,029 .. " значит, наименьшее
N - 1 = 2, N = 3.
Ответ: 3.
2(2 - х ) ·;;;i: О, х Е {О; 2].
4
1 8. Решим неравенство .! - 2 ;;;i: О; - 2х ;;>,: О;
х
х
х
=
=
=
=
7
'
7
=
'
Аналогично, 4 -х 2х � О при х Е (-оо; О) U [2;
+оо ).
{
274
Рассмотрим функцию у = 1 -2 1 =
2 - .!х при х Е ( - оо ; О) U [2; +оо).
.
Построим график этой функции на плоскости Оху (см. рис. 238 ) .
График у = 2ах - 1 - это прямая с угловым коэффициентом k = 2а,
проходящая .через точку (О; -1).
�
Решения избранных вариантов
.! - 2 при х Е ( О; 2],
х
у
y = li -�
х
Рис. 238
Найдём, при каком значении k прямая проходИт через точку А ( 2; О):
1
о = k . � - 1; k = 2 .
Найдём, при каком значении k прямая у = kx - 1 коснётся графика
функции у = - 2 на множестве х � 2. На этом участке у = 2 - �.
1� 1
{
, {4
{
6
6
{ ( 4)'
{
?_-=§ . �- §�
{ {
? = k,
2 - .!х = kx - 1 '·
2 - ;; = (kx - 1) ,
2 - .!х = kx - 1 '·
-...
х�4 = k '
·
2 - 1х = -!.
х� х - 1 '·
4
х
k
,
з >
4.9
2,
х
3'
-...
х�4 = k '
3 = §_х ·'
k
,
1 -=
х- §
9
k
з.
,
Решение варианта № 21
275
По рисунку о пр едел и м , при каких значениях параметра k графики
фун кций у = kx - 1 и у = 1 � - 2 1 имеют нечётное число общих точек.
Единственное решение при k Е ( - оо; О} U (О; �) U ( 196 ; + оо ) . Три
решения при k Е (�; {6 ) .
Нечётное число решений будет при
k Е ( - оо; О ) u (о ; �) u (�; {6 ) u ({6 ; + оо) ;
а Е (-оо ; О} u (о ;
� ) (�; i2 ) (i2 ; +оо) .
Ответ: а Е (-оо ; О} U (о; � ) (�; i2 ) U (i2 ; + оо) .
2
2
u
U
U
Пусть уравненИе х + (k - т)х + т = О имеет натуральные корни
х1 х2 , ( возможно, что х1 = х2 ) и х 1 - простое число.
а) При т = 14 ур а в нение имеет вид х 2 + ( k - 14}х + 196 = О.
По теореме Виета х1х 2 = 196. Число 196 имеет ровно два различных про
стых делителя: 2 и 7.
!;: ели х1 2, получим, что х2 = 98, сумма корней х 1 + х 2 = 100, тогда
14 - k = 100, k = -86.
Если х1 = 7, получим, что х 2 = 28, сумма корней х1 + х 2 = 35, тогда
14 - k = 35, k = -21.
б) m2 + (т - k) = 1085, по теореме Виета х1х 2 = т2 , х1 + х 2 = m - k,
тогда Х 1 Х2 + Х 1 + Х 2 = 1085 и Х 1 Х2 + Х 1 + Х 2 + 1 = 1086;
(х1 +l)(x2 +l) = 1086. Число 1086 можно несколькими способами разло
жить в произведение двух натуральных множителей, каждый из которых
не меньше двух: 1086 = 2 · 543; 1086 = 3 · 362; 1086 = 6 · 181. При этом
корни моrут принимать значения 1 и 542, 2 и 361, 5 и 180. Только в па
рах 2 и 361, 5 и 180 есть п ро стые числа. Для пары 5 и 180 получим т = 30,
k = -155 или m -30, k = -215. Для пары 2 и 361 получим m = - ./722,
k ./722 363 f/. Z или т ./722 k = ./722 - 363 f/. Z. k целое, если
корни 5 и 180.
в) Если k2 = 36, то или k = 6, или k = -6. Р а с с мотр и м два случая.
1 . k = 6. Тогда х 2 - (m - 6}х + т 2 = О.
х 1 х 2 - т2 '
По теореме Виета
X t + Х2 = m - 6 .
х1 и х2 - натуральные числа, значит, и т Е N.
1 9.
и
=
=
=
-
=
-
{
,
276
Решения избранных вариантов
х1 - простое число, из первого уравнения т должно нацело де
литься на х1, из второго - следует, что т - 6 > О, т > 6, значит,
т - положительно. Тогда т = rx1 , r - натуральное число. Отсюда
х1х2 · = r 2 x i ,
Х2 = r 2 x1 ,
х 1 + Х 2 = rx1 - 6 ; Х 1 + r 2 x i = rx1 - 6.
Из второго уравнения последней системы получим х1 ( r - r2 - 1) = 6.
Это уравнение не имеет решения, так как слева выражение всегда отри
цательно.
II. k = -6. Тогда х2 - (т + 6)х + m2 = О.
По теореме Виета Хх 11 х+2 х- т=2т' + 6 .
2 уравнения т должно нацело делиться
х1 - простое число, из первого
на х 1 , из второго - следует, что т + 6 > О, т > -6, тогда т = rx 1 , r 2 21
х2 - r2 x i ,
целое число. Отсюда Хх 11 х+2 Х- r=xrx1
+
6;
Х 1 + r2 x i = rx1 + 6.
2
Из второго уравнения последней системы получим х 1 ( r2 - r + 1) = 6.
Так как х1 - простое число, то оно должно являться делителем числа 6,
следовательно, х 1 = 2 или х1 = 3.
При х 1 = 2 получим, что r 2 - r + 1 = 3; r2 - r - 2 = О; r = 2 и r = -1.
При r = 2 получим, что т = rx 1 = 2 2 = 4, 4 > -6, Х 2 = 8. При r = -1
получим, что m = rx 1 = ( - 1) · 2 = -2, -2 > -6, х2 = х 1 = 2.
При х 1 = 3 получим, что r 2 - r + 1 = 2; r 2 - r 1 = О - нет целых
корней.
Ответ: а) -86; -21; б) 5; 180; в) 4 ; -2.
{
{
{
{
-
{
•
-
·
-
Решение вариан та № 2 5
1 . После удержания налога у студента останется
100% - 13% = 87% = 0,87 от 3600 рублей, то есть 3600 · 0 , 87 = 3132
рубля. На эти деньги он сможет купить не более 3132 : 250 = 12,528 ро
зы. Так как букет должен состоять из нечётного числа цветов, наибольшее
подходящее число равно l l .
Ответ: 11.
2 . Более востребованы, чем история, те предметы, чьи столбики на диа
грамме выше «колонки», соответствующей предмету «история». Таких
экзаменов четыре: химия, обществознание, физика, биология.
Ответ: 4.
3. Заметим, что ЛАВС равнобедренный (АВ = АС), следовательно, ме
диана АН является высотой (см. рис. 239, с. 277).
277
Решение варианта № 25
Из прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора
АН = JAD2 + НD2 = v'l O + 90 = 10.
Рис. 239
Ответ: 10.
Пусть выпадение орла (О) означает, что теннисист А будет подавать
первым, а выпадение решки (Р) - что первым подаёт соперник. Тогда А
начнёт подавать первым в двух играх из трёх в следующих трёх случаях:
ООР, ОРО, РОО. Всего же, так как каждый раз может выпасть орёл или
решка, есть 23 8 возможностей: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР,
РРО, РРР. Значит, вероятность того, что игрок А будет подавать первым
ровно два раза, равна � 0 ,375.
Ответ: 0,375.
5. х = 5х - �8 , х # 6.
хх(х - 6) = 5х - 28, х 2 - 6х - 5х + 28 О, х 2 - 11х + 2 8 О,
D = 11 2 - 4 . 28 = 121 - 112 9, Х 1 , 2 11 i 3 ' Х 1 = 4, Х 2 = 7.
Меньшим из корней является число 4.
Ответ: 4.
б. Площадь ромба ABCD находим по формуле SAвCD = 21 AC · BD .
1
SA BCD = 2 · 6 · 13 = 39.
4.
=
=
=
=
=
=
Ответ: 39.
Воспользуемся определением первообразной функции д.ля функции
!(х) на промежутке: F'(x) = f(x) .
.
По условию !(х) = О, то есть F'(x) О. Это выполнено в точках
А, В, С D на отрезке [-3 ; 2] (см. рис. 240, с. 278). Всего 4 решения.
Ответ: 4.
7.
=
и
278
Решения избранных вариантов
t---1
1
1
1
- y = F(x)
\
\
\
-4
1
/" ,
1
1
1
\
\-З
\
.1.
1
1
1
' "-...! v
1
1
1
у
\
!1
'
......
о
1
:с
{\
1 \
1
1
D
\
\
'
\
\
х
�
... 1
Рис. 240
8. Vжндкости = Sосн h, где h - высота, на которой находится урове н ь
жидКОСТИ (см. рис. 241 ).
·
Рис. 24 1
Vжндкости =· Sосн · 18, Sосн = 2I� = 150 ( см2 ).
Суммарный объём жидКости и детали равен 2700 + Vдетали ·
Vжндкости с деталью = Sосн · 29, то есть 2700 + Vдетали 150 · 29.
Vдетали = 150 29 - 2700 = 4350 - 2700 = 1650 ( см3 ).
Ответ: 1650.
9. 5 sin2 a + 17 cos2 a = 6, 5 sin2 a + 17 cos 2 a
6{sin2 a + cos2 a),
2
2
2
2
2
17 cos а - 6 cos а = 6 sin а - 5 sin а, 11 cos а = sin2 а, 11 tg2
Ответ: 11.
=
·
=
=
а: .
25
1 О. Согласно данным, указанным в задаче, получаем:
55 � Ti Т1315 . 100, 11 � Ti Т1315 . 20, l 1T1 � 20Т1
279
Решение варианта №
- 315 . 20,
6300- = 700.
9Т1 � 6300, Т1 � 9
Минимальная температура нагревателя Т1 = 700.
Ответ: 700 .
1 1 . Пусть скорость первого автомобиля составляла х км/ч, а расстояние
между деревнями по дороге равно S км.
Составим таблицу по условию задачи так, чтобы в каждой строке рас
стояние равнялось произведению скорости на время.
Расстояние, км Скорость,
Время, ч
км/ч
1
11
s
(первая половина пути)
s
2
х
s
45
.§_
х
90
s
s
(вторая половина пути)
х + 42
2
2 ( х + 42)
Так как оба автомобиля выехали и приехали одновременно, то получим
уравнение � = :С, + 2(х f 42) . Деля обе части на S, придём к равенству
1= 1 + 1 .
х 90 2(х + 42) '
1
1
1
х 2(х + 42) = 90 ;
_.!_ .
2 (х + 42)
х
2х(х + 42) 2х(х + 42) = 90 '
1.
х + 84
2х(х + 42) 90 '
90(х + 84) 2х(х + 42);
45(х + 84) = х(х + 42);
2
х - Зх - 45 8 4 = О.
Найдём дискриминант
D = 32 + 4 · 45 · 84 = 9 + 180 · 84 = 9(1 + 20 · 84) = 9 1681 .
3 ± J9 . 1681 -- 3 ± 3 . 41
X t ,2 2
2
11
·
_
_
=
·
·
·
280
= 3+�
Решения избранных вариантов
По смы слу задачи х > О , поэтому х
Ответ: 63.
1 2. у = ·1x..jX - 21 х + 9,
·
41
=
63 .
х � О.
у = 7 х2� - 21 х + 9 , у = 23 7 х2! - 21 ,
у' (х) = 221 .;х - 21 = 21 (-� - 1 ) .
1
у'( х } = О ; 21
·
·
(-� - l) = O; ./Х = 2; х = 4. 4 Е [О; +оо).
у' � +
у о ....... 4 �
Рис. 242
х
"
Проходя через точку х = 4, производная меняет знак с минуса на
плюс, значит, х = 4 является точкой минимума функции ( см. рис. 242).
Ответ: 4.
1 + sin(31Г - х)
2 sin2 х,
1 + sin x = 2 sin2 х, 2 sin2 х - sin x - 1 = О.
sin х = t, ltl � 1, 2t2 - t - 1 = О , D = 1 + 8 = 9.
1 ±.-3 · t1 = 1,. t = - 1
t1, 2 = 2 2·
4
1 3. а)
=
l} sin x = l, х = � + 21Гn, n E Z;
2} sin x = - � , х = (-l)k + 1 � + ?Гk, k Е Z.
б) Найдём корни данного уравнения, принадлежащие
промежуrку
[- 7;; - �] , с помощью единичной окружности ( см. рис. 243, с . 28 1 ).
l 77Г Х3 = - 27Г - !!: = _ l 37Г
Х1 = _ !._ 1Г Х 2 = -37Г + !!: =
'
'
'
2
6
6
= 37Г
= - ?Г + 7Г = - 57Г = - 57Г ·
Х4
- 2 , Х5
6
в в
Ответ·. а ) !!: + 21Гn ' n Е Z '· (-l) k +l !!: + 1Гk ' k Е z ·
2
6
_
'
6
6
Решение варианта № 25
-
-
б) -
5
28 1
З r,
t;
-
-
_
- 2 '1&
_ 1 3'1&
Чf
711" '. 1711" 1311"
2 6 ' 6 '
_
ж
-
6
Рис. 243
57Г
2'-6.
37Г
1 4. а) В плоскости САА1 С1 проведём TQ параллельно СА1 (точка Q
лежит на грани Ai B1C1 D1 ). СА1 - диагональ куба с ребром 12, следо
вательно, TQ - диагональ куба с ребром 2 (С1Т = 2), точка Q удалена
от рёбер В1 С1 и C1 D1 на расстояние 2 ( см. рис. 244 ) .
в
.......,,..----� 1
1
1
1
1
D
'
А•
... �...- - - '""\
...
', '
, ..,,. '
','
, , ..,,.
\
Рис. 244
Рассмотрим плоскость A i B1C1D1, QN = QL = 2, QN
QL .l C1D1 (см. рис. 245, с. 282 ).
ЛQLD1 "' ЛМС1D1 по двум углам. Следовательно, .9.!:_
Di L
MC
4
i·
1._ 10 - 12 ' МС1 - 2 ' .
.l
В1С1 ,
=
мс
ff2;_·
282
Решения избранных вариантов
Рис. 245
В1М = 12 2,4 = 9,6.
В1 М : МС1 = 9,6 2,4 = 4 1, что и требовалось доказать.
б) В треугольнике D1C1T проведём высоту С1Н (см. рис. 246).
-
:
:
1
1
1
1
1
"
"
"
"
"
"
4L - - - -
"
Рис. 246
D1T .l МС1 и D1T .l С1Н, следовательно, D1T .l (С1НМ),
МН .l D 1 T. Таким образом, С1НМ - линейный угол искомого дВугран
ного угла.
Рассмотрим ЛС1 НМ, этот треугольник прямоугольный, так как ребро
куба В 1 С1 перпендикулярно грани CDD1C1.
_
3 начит, tg Lc1 нм _
- С1М
Ci H - �
CiF
Найдём С1Н из ЛD1С1Т.
SD1 c1 т = � D1C1 · С1 Т = � D 1T С1 Н;
·
1 · C1 T = 12 · 2 = 12
C1 H = D 1 CD1T
v'l22 + 22 m ·
283
Решение варианта № 25
tg LC1 НМ = 2 1 412у'37 = у'37
5 .
LC1 HM = arctg Vf.
Ответ: arctg
vr.
1 5. Запишем неравенство в виде
log2 (5(5 - х )) � log2 ((x - 3)(х - 5)) + log2 (x + 2) . Так
как выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны, то
5 - х > о,
х < 5,
х < 3, х > 5, откуда -2 < х < 3. То(х - 3 )(х - 5) > О,
+
2
>
0;
х
> -2 ;
х
5
х
гда log2 + log2 (5 ) � log2 (3 - х) + log2 ( 5 - х) + log2 (x + 2 ),
log2 5 � log2 ((3 - х)(х + 2)).
Функция у = log2 t возрастающая, поэтому большему значению функ
ции соответствует большее значение арrумента, то есть 5 � ( 3 - х )(х + 2),
+
5 � -х2 + х + 6 , х2 - х - 1 � о , откуда х � �
2 или х 2 l 2J§ .
о ценим 1 -2J5 и 1 +2J5 .
-2,3 < - J5 < -2,2; -1,3 < 1- J5 < -1,2; -0,65 < l -2J5 < -0,6.
{
{
v
2,2 < J5 < 2,3; 3,2 < 1 + J5 < 3,3; 1,6 < 1 +2J5 < 1,65.
Учитывая, что -2 < х < 3, получим -2 < х � 1 -2J5
1 + У5 � х < 3.
2
Ответ: ( - 2; 1 - Y5 J U [ 1 + У§ ; 3) .
2
2
1 6. а) Рассмотрим параллелограмм ABCD, удовлетворяющий условию
(см. рис. 247).
По условию угол А равен 30°. Тогда по свойству параллелограмма угол
АБС равен 180° - 30° = 150°. Значит, центральный угол окружности,
расположенный вне параллелограмма, составляет 210°. Пусть Sвне площадь части круга, расположенной вне параллелограмма.
284
Решения избранных вариантов
с
н
210° 7
s
Sк��а = 3600 = 12 . Что и требовалось доказать.
б) Найдём В Н - радиус круга. В треугольнике АВ D угол АВ D равен
180° - (30° + 15° ) = 135°. По теореме синусов для треугольника ABD
получаем:
Рис. 247
!
AD = B D · Отсюда B D = AD sin 30° = AD · 2 AD
sin 135° sin 30°
sin 135°
J2 ·
J2
2
Тогда ВН = BD sin 15° = A D '22 150 .
Но sin 15° sin ( 45° - 30°) sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30° =
v'2 (VЗ !) = v'2( J3 - 1) .
2 2 2
4
Заметим, что sin 15° можно было бы найти, пользуясь следствием и:З
1 - c 30° .
формулы косинуса двойного угла: sin 15°
f
Поэтому
12 v'2( J3 1)
· 4
12 (J3 - 1) - 3( J3 - 1)
вн = V:К
.;:к
4.;:ff
v'2
Отсюда Sкруга 1ГВН2 = 1Г ( 3 ( � l ) ) 2 18 . (2 - JЗ).
·
=
=
=
_
=
J
_:.
_
_
Согласно пункту а) площадь части круга, расположенной внутри параллелоrрамма, равна 125 Sкруга = 125 · 18 · ( 2 - vм3) = 15 - (22- J3) ·
Ответ : б) 15 · ( 2 - JЗ) .
2
=
•
=
285
Решение варианта № 25
1 7. Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
рх - (О,3х2 + х + 12 ) млн рублей. Найдём х, при котором годовая при
быль будет наибольшей при цене р тыс. рублей за единицу продукции.
Рассмотрим функцию f (x) рх - (О,3х2 + х + 12),
!(х) = -О,3х2 + х(р - 1) - 12 . Это квадратичная функция, она достигает
наибольшего значения при х хо �
0б .
=
( )
! (хо ) - - 0,3 � 2 + � (р - 1) - 12 - (р - 1 ) 2 - 12.
=
О,б
=
'
О,б
1,2
Прибыль фирмы (в млн рублей) при цене р 14 тыс. рублей за едини(14 - 1)2 - 12 128 5 .
цу продукции за первый год составит
6
12
Прибыль фирмы (в млн рублей) при цене р 15 тыс. рублей за едини(15 - 1)2 - 12 151 З1 .
цу продукции за второй год составит
12
Прибыль за 2 года меньше 340 млн рублей.
Прибыль фирмы (в млн рублей) при цене р l б тыс. рублей за едини( l б - 1)2 - 12 1 75 21 .
цу � родукции за третий год составит
12
Суммарная прибыль за 3 года больше 340 млн рублей. Строительство завода окупится за 3 года.
=
=
'
=
=
'
=
ОСделаем
твет: 3.замену t
1 8.
=
'
каждому положительному значению t соот
ветствует ровно одно значение х.
(а + 2)t2 - (а - l )t - ба + 5 = О - это уравнение должно иметь един
ственное положительное решение и сколько угодно неположительных.
При а = - 2 получим 3t = б · (-2) - 5 ; t - 1; - нет положительных
корней.
+5
При а =/:- - 2 получим t2 - аа +- 21 · t + -ба
а + 2 = О.
=
gx ,
=
Пусть y(t) t2 - аа +- 21 · t + -аба+� 5 . Графиком этого уравнения яв.:.
ляется парабола в плоскости Oty, ветви которой направлены вверх.
Если -аба+� 5 < О, то у(О) < О, значит, парабола пересекает �сь Ot
в двух точках, уравнение y(t) О имеет два разных различных корня: t 1
=
=
и t2. По теореме Виета t1t 2 = -аба+� 5 < О, следовательно, корни разных
знаков, уравнение имеет ровно один положительный корень. Неравенство
-:�� 5 < О выполнено при а Е (-оо; -2) U (�; +оо) .
Если -:�� 5 = О, то а = � и условие y(t) = О можно записать в виде
286
Решения избранных вариантов
-1
t2 - 6 t = О; t = О и t = - Л нет положительных корней.
17
6
Если -ба
� 5 > О, то по теореме Виета уравнение или не имеет
а+
корней, или имеет все корни одного знака. Единственный корень в этом
случае будет только если дискриминант D равен О, причём корень положительный, если аа +- 21 > О ; а Е (-оо ; -2) U (1; + оо ).
2
2
D = ( а - 1 ) _ 4 . -6а + 5 = 25а + 26а - 39
а+2
(а + 2)2 ·
а+2
D = О' если 25а 2 +26а-39 = О' a i , 2 = -26 ±50J4576 = -13 ±25Jiill ·
-l3 �flli � (-оо ; - 2) U ( 1; + оо )
-
-l3 2F � (-оо ; -2) U ( 1 ; + оо ) .
Единственное решение исходного уравнения будет при
а Е (-оо; -2) U (�; + оо )
.
.
Ответ: а Е (-оо;
-2) U (�; +оо ) .
1 9. а) Пусть k = 2 и в первый день Костя выписал десять чисел «2»
десять чисел «3» (среди ее арифметическое равно 2,5 ), а во второй день
он выписал 19 чисел «18» (сумма всех чисел, выписанных во второй день,
более чем на 2 превышает сумму чисел, выписанных в первый день). То
гда среднее арифметическое всех чисел, выписанных за два дня, равно
2 · 10 + 3 · �0 + 19 · l8 > 10. Значит, требуемое возможно .
3
и
287
б) Предположим, что это возможно. Тогда в первый день выписано не
более 350 чисел (так как каждое число не меньше 1 ). Тогда количество
выписанных в k-й день чисел не превышает 350 - ( k - 1) = 351 - k � 51,
а их сумма больше либо равна 350 + 2(k - 1) = 348 + 2k � 948. Сумма
51 или менее чисел, каждое из которых не превышает 18, не превышает
18 · 51 = 918, с другой стороны, она должна быть больше либо равна 948.
Получили противоречие, следовательно, требуемое невозможно.
в) Пусть сумма чисел, записанных Костей в первый день, рав
на m. Тогда сумма всех чисел, выписанных за 100 дней, не меньше
m+(m+2)+ . . . +(m+2·99) т + (т2+ 2 · 99) · 100 = 100т+9900. Сум
ма чисел, выписанных в последний день, не меньше т + 99 · 2 = т + 198:
С другой стороны, в первый день выписано не больше т чисел, значит,
последний день количество выписанных чисел не больше (m - 99). От
сюда сумма чисел, выписанных в последний день, не больше ( т - 99) · 18.
Получаем неравенство (m - 99) · 18 � т + 198, отсюда 17m � 1980,
т � 117. Тогда сумма всех выписанных чисел не меньше, чем
100 . 117 + 9900 = 21 600.
Приведём пример, показывающий, что сумма всех выписанных чисел
может быть равна 21 600.
Пусть в первый день Костя выписал 117 чисел « l ». Разобьём их мыс
ленно на три группы - в группу А поместим 95 чисел, в группу В 19 чисел, в группу С - 3 числа. Предположим, что со 2-го по 96-й день
Костя каждый раз делал одно и то же: переписывал числа, выписанные в
предыдущий день, затем стирал одно из чисел « l » группы А, а к одному из
чисел группы В прибавлял 3, но так, чтобы ни одно из чисел не превыша
ло 18 ( 1 + 3 = 4; 4 + 3 = 7; 7 + 3 = 10 ; 10 + 3 = 13; 13 + 3 = 16). Таким
образом, в 96-й день Костя выписал следующие числа: 19 чисел « 1 6» (это
числа группы В) и три числа « l » (числа группы С).
Укажем, какие числа следует выписать Косте в последние четыре дня.
97-й день - 19 чисел « 1 6», а также «4» и «1».
98-й день - 19 чисел « 1 6», а также «7».
99-й день - 9 чисел « 1 6», 9 чисел « 1 8», а также «7».
100-й день - 17 чисел « 18», а также «9».
При указанном способе каждый раз сумма выписанных за день чисел
увеличивается на 2, поэтому сумма всех выписанных чисел равна 21 600.
Ответ: а) да; б) нет; в) 21 600.
Решение варианта № 25
=
в
288
Решения избранных вариантов
Решение варианта No 2 9
1 . Стоимость велосипеда со скидкой составляет 100% - 7% = 93% = 0,93
от стоимости велосипеда без скидки. Чтобы найти число по его дроби,
нужно· число поделить на эту дробь. Поэтому велосипед без скидки стоит
21 390 : 0,93 = 23 ООО рублей.
Ответ: 23 ООО.
2. Температура воды выросла с 30 "С до 70 "С в период времени от 2 минут
до 5,5 минут, то есть за 5 , 5 - 2 = 3,5 минуты.
Ответ: 3,5.
3. Заметим, что все стороны четырёхугольника равны. Сторону АВ нахо
дим как гипотенузу прямоугольного треугольника АВС (см. рис. 248 ) .
АВ = .../лс2 + ВС2 = 17. Перимет р четырёхугольника равен 68 .
.4
(
\
'
'--.....
l
._ -
\
1
Рис. 248
Ответ: 68.
Пусть Лена попала в какую-то аудиторию. Тогда д.ля Оли попасть в
аудиторию 62 возможности: всего в аудитории 126 2 = 63 мест, одно
из которых занимает Лена. Всего же возможностей д.ля Оли 125: из них
62 в той же аудитории, в которой находится Лена, и 63 - в другой. Зна
чит, вероятность того, что Лена и Оля окажутся в одной аудитории, равна
62
125 = 0,496.
Ответ: 0,496.
5. (х - 7) 2 = -28х, х 2 - 14х + 49 = -28х, х 2 - 14х + 49 + 28х = О,
х 2 + 14х + 49 = О, (х + 7) 2 = О, х = - 7.
Ответ: -7.
90° - LA = 47°.
6. В прямоугольном треугольнике АС Н LACН
LACB = LACH - LBCH = 47° - 16° = 31°.
Ответ: 31.
эту
4.
:
289
7. Площадь S заштрихованной фиrуры найдём по формуле Ньютона Лейбница: S = F(-3) - F(-7) = ( -27 + 15 9 + 84 (-3) - � ) Решение варианта № 29
- ( -73 + 15 · 49 - 84 · 7 - J5 ) 52 (см. рис. 249).
·
·
=
у
1
},;
�
///
//' � � �
�� � �
� // // �
�� /,; '/:::
-3
-7
о
х
Рис. 249
Ответ: 52.
высо
8 . Vпр. = Sосн . Н, где Sосн . - площадь шестиугольника, Н
та призмы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из какой-нибудь
вершины верхнего основания призмы на плоскость нижнего основания
призмы (см. рис. 250 ).
·
-
А
Рис. 250
5 +10 ш
75у13 (см. рис. 251, с. 290).
Sосн . 2SAвCD = 2 · 2 =
2
2
=
1 9. Зак. № 1 2 1
·
290
Решения избранных вариантов
Из ЛАА 1К получим Н = А1К = 7 sin 60° = 7j'3 (см. рис. 252).
Рис. 25 1
Рис. 252
v.
. 7 13 = 1575 = З9З 75 ·
= 75{3
4
2
2
Ответ: З9З, 75.
9 Зх + 7у
Зх + 7у - 7х - Зу = 0
Зх + 7у
'
· 7х + зу = 1 ' 7х + Зу 1 = 0 '
7х + Зу
- 4х + 4У = О -4х + 4у = О, х = у, 5f. = 1.
'
7х + Зу
у
Ответ: 1.
1 О. Решим неравенство f ;;i: 175, учитывая, что с - v > О.
. с + и ::::i: 175 170 . с + 5 ::::i: 175
JO
12
170 · (с + 5) ;;i: 175 · (с - 12), с � 590.
При максимальной скорости с = 5 90 м/с частота сиmала в приёмнике
будет не менее 175 Гц.
пр .
'
_
1
С V
7
'
С -
7
'
Ответ: 590.
1 1 . В момент начала движения
между мотоциклистами 26 : 2 = lЗ км
по трассе. Скорость более быстрого относительно более «медленного»
19'
39 км/ч. Значит, он догонит более «меменного» через ;: = � часа,
29 1
Решение варианта № 29
равна
1 2. у = - � ху'Х + 4х + 2, х � О.
что составляет 20 минуг.
Ответ : 20.
у'(х) = -� �Vx + 4 = -�у'Х + 4.
у'(х) = О, у'Х = 8, х = 64. 64 Е (О; + оо ).
·
у'
у
ст=v::--
0 / 64 .......
Рис. 253
х
При переходе через точку
64 производная меняет знак с плюса на
минус, значит, точка
64 является точкой максимума ( см. рис. 253 .
Ответ: 64.
х=
х=
V2 cos x - 2 sin 2x + 2,5 - cos2 2х = О.
2
cos2 х - V2 cos х + ( � ) + 1 - �os2 2х - 2 sin 2х + 1
)
1 3. a) cos2 х -
) О,
(
) (
(cos2 х - V2 cos x + ( 1) 2) (sin2 2х - 2 sin 2x + 1) = О,
=
(cos x - � ) 2 + (sin 2x - 1 ) 2 = 0.
+
О, когда каждое слагаемое
О.
cos x = V2
cos x - у]
2 = о'
2 '
sin 2x = 1;
sin 2x = 1;
х = ± + 211'n, n Е Z,
х = ± � + 211'n, n Е Z,
Сумма квадратов двух слагаемых равна
равно
{
{
{
:+ 211'k, k
2х = 2
Е
х = � + 211'n, n Е Z.
Z.
{
х = � + 'll' k , k Е Z ;
б ) Найдём корни данного уравнения, принамежащие отрезку
20.Зак. № 1 2 1
[-11'; �] .
При n = О, х = � Е [-7Г; ] .
i
1
Пр� n ;;;:: 1, х = � + 27Гn ;;;:: 27Г + �,
292
Решения избранных вариантов
[- 7Г ; i ]
При n � -1, х = � + 21Гn � -27Г + i · х � [ -7Г; i] .
Ответ: а)
х
i + 27Гn, n Е Z; б) � ·
�
·
1 4. а) По условию в трапеции К LM N LK LM + LLMN = 270°. Сум
ма углов трапеции равна 360°, поэтому LLKN + LMN К = 90° (см.
рис. 254 ).
р
к
Рис. 254
В треугольнике KQN LKQN = 180° - (LQKN + LQNK ) = 90°, то
есть KQ ..l М N.
Плоскость РМ N перпендикулярна плоскости основания, значит, она
проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания.
Аналогично, плоскость КРL проходит через прямую, перпендикуляр
ную плоскости основания.
Все прямые, перпендикулярные плоскости основания, параллельны
друг друl)'. Отсюда линия пересечения плоскостей КРL и РМN парал
лельна этим прямым и потому перпендикулярна плоскости основания:
PQ ..l ( KLMN).
KQ ..l PQ, KQ ..l QN. Значит, KQ ..l (PMN). Плоскость ( KLP)
проходит через К Q и потому перпендикулярна плоскости ( РМ N).
б) KL = MN, LLKN = LMNK = 45°, тогда ЛQKN - равно
бедренный. Пусть QL = х. Тогда из ЛQLM получим, что LM = x v'2.
Отсюда x v'2 = 12 ; х = 6v'2.
20'
293
Решение варианта № 29
Sщр
=
� . 6V2 . 8 = 24 V2.
� · 6У°2 · 6У°2
SPQM
=
36.
Пусть Н середина LM, тогда QH = 6, РН = JQH2 + PQ2 = 10.
SPLM = 21 · LM · РН = 60.
Площадь полной поверхности равна 24 J2 + 24J2 + 36 + 60 =
= 48(2 + У2) .
Ответ: 48(2 + J2) .
1 5. Заметим, что при любом значении х, удовлетворяющем условиям
7х 6 > О, 7х - 6 =1- 1, то есть при х > � и х =1- 1, выражение
х2 - 2х + 2 = (х - 1 ) 2 + 1 принимает значения, большие 1, а значит,
log1x_6(x2 - 2х + 2) =1- О.
Рассмотрим три случая.
l . 14 - 6х = О, то есть х = i, тогда исходное неравенство верное.
Sщ м
=
=
-
-
2. х =1-
<
i и 7х - 6 > 1, то есть 1 < х i или х > i ·
Тогда в силу возрастания функции у
loga t при а > 1
log7x_6(x2 - 2х + 2) > О, поэтому исходное неравенство верно, если
14 - 6х < О, х > � · откуда с учётом ограничений на х получаем х > �
3. х =1-
i и О < 7х - 6 < 1 то есть � х 1.
<
-
<
Тогда в силу убывания функции у = loga t при О « а < 1
log7x_6(x2 - 2х + 2) < О, поэтому исходное неравенство верно, если
14 -6х > О, х < � · откуда с учётом ограничений на х получаем � < х < 1.
Итак, неравенство верно при � < х < 1 и х � � .
Ответ:
(�; 1 ) U [i; +оо) .
1 6. а) Угол В лежит против стороны АС. Он является углом, образо
ванным сторонами треугольника, равными 14 и 16. По теореме косинусов
получаем:
294
Решения избранных вариантов
2
16 2 - 182 = 196 + 256 - 324 = 128
cos LБ = 142 2+· 14
2 · 14 · 16 7 ·
2 · 14 · 16
· 16
Так �ак cos LБ = � > О, то LБ - острый угол.
1 2 < 1 так как ( 2 ) 2 = 4 , ( 1 ) 2 = 1 и 4
cos 45 = ./2
2 49
" 7
7
49 ./2
./2 '
Значит, LБ - острый и больше 45°. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим рисунок 255.
о
< 21 ·
в
Рис. 255
На этом рисунке БН - высота треугольника АБС. Так как LM 11 АС,
то ЛАБС подобен ЛLБМ.
Пусть сторона квадрата равна Тогда из подобия треугольников
еле.
а
��=
.
18БН
АС БН 18
БН
LM = БР ' а = БН - 18(БН - ) = аБ Н, = 18 + БН .
Найдём теперь БН, выражая площадь треугольника АБС по двум
разным формулам.
SАвс = 21 · АС · БН = 21 · 18 · БН = 9БН;
+ �.
SАвс = ур · (р - АБ) - (р - БС) - (р - АС), р = � + оо
2
Согласно условию р = АБ + Б2С + АС = 14 + 1: + 18 = 24.
SАвс = v'24 · 10 · 8 6 = 48v'5.
Отсюда 9БН = 48v'5, БН = 16f . Значит,
а'
·
а
а
295
Решение варианта № 29
J5
18 . 16
3
144 J5 .
96 J5
а =
=
21
+ 8J5
J5
54 + 16 J5
18 + 16
3
3
J5
144
Ответ: б )
.
27 + 8 \75
1 7. Составим таблицу ( все величины в млн рублей).
_
Год
Долг после
начисления
процентов
1, 158
Долг после
выплаты
Выплата
2022
Долг на
начало
января
8
0,88
2023
0,88
0,68
2024
0,68
2025
0,38
1 , 15 . 0,88 =
= 0,928
1 , 15 . 0,68 =
= 0,698
1 , 1 5 . 0,38 =
= 0,3458
1 , 158 - 0,88 =
= 0,358
0,928 - 0,68 =
= 0,328
0,698 - 0,38 =
= 0,3 98
0,3458
0,38
о
Наибольшая выплата равна 0,398.
0,398 < 2;
2 = 200 = 5 5 .
8< о
39
39 '
' 39
Так как 8 - целое, то наибольшее 8 равно 5.
Ответ: 5.
1 8. При каждом фиксированном значении параметра а графиком уравне-
l � I 2 на плоскости Оху является ромб с центром в точке
с координатами ( - �; - 1 ) , при этом диагонали параллельны координат
ния 2 ly+ l l + x +
=
l
�1 � 2-
ным осям. Диагональ, параллельная оси Ох, имеет длину 4, а параллель
ная оси Оу имеет д.лину 2. Решения неравенства 2ly + 11 + x +
координаты точек, лежащих внутри ромба или на его границе.
Решим вспомогательное уравнение (у + х 2 - 2х - 2) (2у - х + 1) = О.
Возможны два случая.
l ) у + х2 - 2х - 2 = О; у = -х2 + 2х + 2 - графиком является парабола
с вершиной в точке ( 1; 3) , ветви направлены вниз ( см. рис. 256, с. 296).
·
296
2)
2у - х + 1 = О; у = � - �
Решения избранных вариантов
-
графиком является прямая.
Найдём точки пересечения прямой и параболы.
х
у = -х Ч2х +2
{ у = -х2 + 2х + 2,
{
{
Рис. 256
у = � - �;
�
2 - !2 = - х2 + 2х + 2 ,
у = 2х - 21 .·
2х2 - Зх 5 = О, х = -1 ; х = 2 ,5,
у = � - �у = � �;
-
{
-
Таким образом, точки пересечения имеют координаты (- 1 ; - 1) ;
( 25 .' 43 ) .
Оху 5
на областей, неравен
Прямая и парабола разбивают область
1) � О в двух заштрихованных
ство выполнено
областях ( их можно определить методом «пробной точки » , аналогичном
любых тометоду интервалов: достаточно подставить координаты
(у + х2 - 2х - 2 ) (2у - х +
(х; у)
297 .
Решение варианта № 29
чек д.11 я каждой из пяти областей в неравенство, определить, где оно обра
щается в верное числовое неравенство).
Определим, при каких значениях параметра а ромб целиком лежит в
заштрихованной части. По рисунку видно, что д.11 я этого должно выполняться -
� = 1, а = -4 или - � � -3, а � 12.
Ответ: а Е { -4} U [12; +оо) .
1 9. Пусть зелёных карточек - n штук, а красных - k штук. Тогда
n + k = 120. Сумма всех чисел на карточках равна 120 60,25 = 7230.
Если все числа на зелёных карточках увеличить на 2, а все числа на крас
ных карточках увеличить на 5, то сумма всех чисел увеличится на 2n + 5 k
и станет равной 64 · 120 = 7680. Таким образом, сумма увеличится на
7680 - 7230 = 450, следовательно, 2n + 5k = 450.
.
n + k = 120,
0
п олучаем систему уравнении
тсюда n = 50,
2n + 5k = 450_
k = 70. Зелёных карточек 50, а красных - 70.
а ) Да, например, на зелёных карточках написаны все натуральные чис
ла от 1 до 50, а на красных - все числа от 50 до 118 и 159.
б) Предположим, что это возможно. Тогда на зелёных карточках есть
хотя бы одно число 51 или больше ( иначе среДн'ее арифметическое не бу
дет превышать наибольшее значение и не будет превышать 50). Сумма
всех чисел на зелёных карточках равна 50,5 · 50 = 2525, а сумма чисел
на красных карточках не меньше чем 51 + 52 + . . . + 120 = 5985. Тогда
сумма чисел на всех карточках не меньше, чем 2525 + 5985 = 8510. По
лучили противоречие, так как сумма чисел на всех карточках равна 7230.
Следовательно, требуемое невозможно.
в) Пусть А - среднее арифметическое чисел на зелёных карточ
ках и пусть А Е (m; m + 1 ] , где m - целое число, m � О. Тогда
среди чисел на зелёных карточках есть хотя бы одно число не меньше
т + 1 и, следовательно, сумма чисел на красных карточках не меньше
(т + 1 ) + (m + 2) + . . . + (m + 70 ) = 2m 71 70 = 70m + 2485,
·
{
·
4,i
;
·
а сумма чисел на зелёных карточках больше 50m. Тогда сумма чисел на
всех карточках больше, че� 50m + 70m + 2485 = 120m + 2485. Отсюда
120m + 2485 < 7230, m < 9 . Так как m - целое число, то � � 39.
2
Покажем, что m может принимать значение 39.
298
Решения избранных вариантов
В этом случае сумма чисел на красных карточках не меньше
70 · 39 + 2485 = 5215, а сумма чисел на зелёных карточках не больше
7230 - 5215 = 2015, при этом каждое число на зелёной карточке не боль
ше 40, ;значит, и среднее арифметическое не больше 40 ( сумма не больше
2000).
Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое чисел
на зелёных карточках может равняться 40. Пусть на всех зелёных карточ
ках выписано число 40, а на красных выписаны все натуральные числа от
40 до 108 и число 124.
Ответ: а) да; б) нет; в) 40.
Р е ш е н и е в ариан та No 33
1 . Мальчиков в музыкальной школе 800 · 0,35
= 280, девочек
800 - 280 = 520. Занимаются вокалом 10% девочек, значит, их
520 . 0,1 = 52.
Ответ: 52.
2. Наименьшая температура равна 6 "С, это наблюдалось в январе, наи
большая температура равна 32 "С, это наблюдалось в июне. Разность рав
на 32 - 6 = 26 ("С).
Ответ: 26.
3. По рисунку определяем длину диагонали прямоугольника. Она рав
на 8, значит, РадИУС окружности, описанной около этого прямоугольника,
равен 4.
Ответ: 4.
4. Вероятность того, что Джон взял пристрелянный револьвер и промах
нулся, равна 0,3 · 0,05 = 0,015.
Вероятность того, что Джон взял непристрелянный револьвер и про
махнулся, равна О , 7 · О, 7 = 0,49.
Искомая вероятность равна 0,15 + 0,49 = 0,505.
Ответ: 0,505.
5. sin 1Т: =
V{, отсюда 1Т: = {- l)n � + 7rn,
� = {- l )n · � + n, x = ( - 1)n + 4n, n E Z.
n Е Z.
При n < О получаем отрицательные корни.
При n = О получаем х = 1.
При n = 1 получаем х = 3.
При n � 2 корни не меньше, чем 1 + 4 · 2 = 9.
299
Решение варианта № 33
Делаем вывод, что наименьшим положительным корнем является ко
рень, равный 1.
Ответ: 1.
6 . Хорда АВ вИдНа из точки С под углом АСВ. Дуга АВ, не содержащая
точку С, равна
� окружности, то есть � · 360° = 270° . Вписанный угол
равен половине дуги, на которую опирается, значит, LACВ = 135° .
Ответ: 135.
7. Количество точек, в которых касательная к графику функции !(х) па
раллельна прямой у = -2х - 5 или совпадает с ней, находим из условия
f'(x) = -2. Оно равно трём ( см. рис. 257).
Г\
\
-7
у
1 1 1
у = f '(x)
-
.
-:-
т
\,;
'
'-
�
�
1
•
J
1/
r
/
\
1
- ,) 1
А
[\
':"
х
\,; у = -2
�)
Рис. 257
Ответ: З.
8. ПлощадЬ поверхности оставшейся части куба равна площади поверх
ности куба, из которой вычитается площадЬ двух квадратов со стороной
0,6 и прибавляется площадЬ четырёх прямоугольников со сторонами 0,6
и 1. Отсюда S = 1 2 6 - 2 0,62 + 4 0,6 1 = 6 - 0,72 + 2,4 = 7,68
(см. рис. 258, с. 300).
Ответ: 7,68. --�
9. J (x - 4) 2 + у (х - 1 2) 2 = lx - 41 + lx - 121. При 4 :s:;; х :s:;; 12 выпол
няется х - 4 � О, х - 12 :s:;; О, то есть lx - 41 = х - 4, lx - 121 = 12 - х.
Тогда lx - 41 + lx - 121 = (х - 4 ) + ( 12 - х) = х - 4 + 12 - х = 8.
•
·
Ответ: 8.
·
= 70: а = 2��4 = 6.1 25. Итак, ускорение, с которым должен двигаться
1 О. v
v
·
=
ffa. v 2
=
2la,
а = �2l . Подставляем в эту формулу. l =
0,4,
300
Решения избранных вариантов
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 258
автомобиль, чтобы, проехав
равно
км/ч2 .
6125
Ответ: 6125 .
0,4 километра, приобрести скорость 70 км/ч,
S рублей, а во вторник подешевел
на х%, х > О. Тогда во вторник он стал стоить ( 1 - � ) S рублей. В среду
10
1 1 . Пусть в понедельник товар стоил
товар подорожал на х% от цены
( 1 + 1�0 ) ( 1 - 1�0 ) s руб� ей.
( 1 - 1�0 ) S рублей и поэтому стал стоить
16% по сравнению с
понедельником. Значит, в среду товар стал стоить ( 1 - 1; ) S рублей.
10
Получа ем уравнение ( 1 + � ) ( 1 - � ) S = ( 1 - J;o ) S.
10
10
С другой стороны, в среду товар стал дешевле на
Сократим на
S,
получим
( i + 1�0 ) ( 1 - 1�0 ) = 1 - 11060 ;
1 - ( 1�0 ) 2 = 1 - J;o ;
16
х2
10 000 = 100 ;
х 2 = 1600 ;
х = 40 .
Ответ: 40 .
30 1
Решение варианта № 33
1 2. y = x2 - 13x + l l ln x + 5, х > О.
у' (х) = 2х - 13 + 11 , у' (х) = О.
х
2х2 - 13х + 1 1 = О' 2х 2 - 13х + 11 = О'
х
Х1 , 2
=
-4- , Х 1
13 ± 9
= 1,
у,
у
Х2
=
5,5.
�� �
6-+у-у+.х
о �
l
.... 5 , 5 �
Рис. 259
При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на
минус, значит, точка х = 1 является точкой максимума (см. рис. 259).
Ответ: 1.
13. а) Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и разложим её
на множители
sin3 х - sin x + cos3 х - cos x = О,
sin x(sin2 х - 1) + cos x(cos2 х - 1) = О,
sin x cos2 х + cos x sin2 х = О,
sin x cos x(sin x + cos x) = О.
Получим три простых уравнения:
l ) sin x = О, х = 7rn, где n Е Z;
2) cos х =
О, х = � + 1rk, где k Е Z;
3) sin x + cos x = О, tg x = -1, значит, х = -� + 7rm, где m Е Z.
Z.
[ 9;; l:7r J
Первые две серии корней можно записать как 7r k , k Е
2
б) На числовой окружности выделим промежуток
и отме
тим точками найденные корни. Этому промежутку принадлежат корни:
371"
57!" .
l 17r .
7r
х1 = 2 + 2 7r = 2 ' х2 = 4 + 2 7r = 4 , х = 7r + 2 7r = 3 7r ( см. рис. 260 ,
3
с. 302).
Ответ: а) 7r k , k Е
2
Z ; -� + 7rm, m Е Z ; б) 5; ; l �7r ; 371".
302
Решения избранных вариантов
h,
Рис. 260
АВ
CD
d,
-
1 4 . а) Пусть диаметры
=
= высота 01 0 = где О и 0 1
центры окружностей нижнего и верхнего оснований цилиндра соответ
ственно. Тогда 001 - общий перпендикуляр к диаметрам
и
и по
теореме Пифагора, учитывая, что =
имеем:
d
h./2,
АВ CD
DO - высота равнобедренного треугольника ABD:
AD = Jno2 + ОА2 = ( hi6) 2 + (�) 2 = 6�2 + 2�2
АС, ВС BD
=
h./2 = d.
d,
Аналогично показываетс я , что отрез ки
и
тоже равны у
тетраэдра
все грани - равносторонние треугольники, и значит, он
правильный.
ABCD
V,. = d31'(2- , поэтому d3 б ./2V,.. Объ
ём цилиuдра равен
= 7Гr2h = 7Г� }i = 7Г � но учитывая, что
d3 = б.,/2V,., получим = з; Если объём тетраэдра равен 14, то
217Г.
= з; 1
объём цилиндра будет равен
б) Объём тетра эдра равен
=
Vц
Vц
Vт.
.Vц
Ответ: б) 217Г .
4
·
·
4
=
.
303
Решение варианта № 33
1
1 �,,
/
1
1 ,... , " " 1
/
1
1
'< <
1
1
1 " ', 1 //
1 "-"- - �- - ,t:- - J. _ _ _ ,11 ,
�
'
-' Г' ...,./
.... ....
,'
.... ' 1 !...'... ',
1 ',
1
о .... .... ', 1
.... ....' 1
....
.... .... ��"
"
Рис. 26 1
f 5. Область допустимых значений неизвестной:
х > О.
Перенесём слагаемые в левую часть неравенства и методом группировки разложим её на множители
1 + sin x - log3 х - sin x log3 х ;;i: О,
-1, значит, х = - � + 2 7rn, где, с учетом ОДЗ,
(1 + sin x)(l - log3 х) ;;i: О.
Неравенство выполняется в трёх случаях.
l ) 1 + sin х = О, sin х =
n E N;
2) 1 - log3 х = О, log3 х
1, значит, х = 3;
3) Если -1 < sin x � 1, то множитель 1 + sin x положителен, поэтому
1 - log3 х > О, log3 х < 1, и с учетом ОДЗ, получим О < х < 3.
Ответ: О < х � 3, х = - � + 2 7rn, где Е N.
1 6. а) Заметим, что LANМ - прямой, потому что опирается на диаметр
АМ. Получается, что MN J_ AN и ВС J_ AN, то есть хорды MN и ВС
параллельны . Но параллельные хорды высекают на окружности равные
дуги ВМ и NC, значит, вписанные углы ВАМ и CAN равны.
б) Так как LABC = 45°, то LBAC = LB CA = 1800 2 45° = 67,5°
( см рис. 262, с. 304 ). Из ЛАН С получим, что
LHAC = 90° - 67,5° = 22,5°.
LMAC = 180° - LACM - LAMC = 180° - 90° - 45° = 45°. Сле=
n
.
304
Решения избранных вариантов
довательно, точки Б, М, N и С лежат на окружности в том порядке, как
показано на рисунке.
Из параллельности хорд М N и БС следует, что четырехугольник
БМNC является равнобедренной трапецией. Учитывая, что L.АБМ тоже
прямой и что L.АБС = 45° , острые углы трапеции равны по 45° . Заметим,
что треугольники АБН и CHN не только прямоугольные, но и равно
бедренные. Обозначим отрезки АН = х и HN = у, тогда БН = х,
СН = у и БС = х + у. Из прямоугольного треугольника АБН следу
ет по теореме Пифагора, что АБ = х./2. По условию задачи треугольник
АБС равнобедренный, поэтому АБ = БС, то есть х./2 = х + у, поэтому
у = х(./2 - 1).
в
Рис. 262
По
АС
теореме
синусов
для
треугольника
АБС
получим,
что
= 14./2, и по теореме Пифагора д.ля
треугольника АСН получим уравнение х 2 + у2 = 392. Возведём ра
венство у = х(./2 - 1) в квадрат, получим у2 = х 2 (3 - 2./2).' Тогда
�х2 + х 2 (3 - 2./2) = 392, х2 (4 - 2./2) = 392 или х 2 4 -392
2./2 = ,2 - ./2
sin 45° = 2R,
поэтому АС
=
Площадь трапеции БМ NC равна S
= DH
S = � ((х + у) + (х - у)) · у = ху.
в эту формулу БС = x + y, MN
= � (БС + М N) · N Н. Подставим
х - у и NН = СН = у, получим
=
305
Решение варианта № 33
Не будем искать отдельно значения х и у, а найдём значение их
произведения ху. Для этого обе части полученного выше равенства
умножим на х, получим
у = х(
+ у'2) =
l) =
ху = x2 ( J2 - l ) =1
+
v'2 - 1)
=
196( v'2 - 1 ) (2
( 2 - v'2) . (2 v'2)
19�v'2 98 v'2, поэтому площадь S = 98 v'2.
Ответ: б ) 98 v'2.
196
2 - v'2 . ( v'2 -
·
=
1 7. Пусть Андрей взял в банке S тыс. рублей, тогда схема погашения кре
дита такова:
Долг
Ныплата
Месяц
( �)
( �) ( l)
( �) l
( �) . ( l) . � ( � ) . ( l) . ( � )
( � ) ( l) .
( � ) ( l)
( �) ( !)
( �) !
( � ) . ( l) . . . .
( �) ( l)
( А) . ( )
( ) l
о
( � ) . ( l) . . . .
(1 ) ( )
s.
Я нвар ь
Ф еврал ь
1 -
s.
Март
s. 1-
А прел ь
!
2
s. 1-
s. 1-
1-
- 1-
s- 1 -
- 1-
Н оябр ь s - 1 -
..........
·...
1- 1
11
Дека бр ь s . 1 -
. 2
s. 1. . .
.
1-
1.
1-
1-
- 1-
- 1-
·
- 1-
.
. . .
- 1-
s. 1-
·
.........................
.........
.
............
1-
1 - 12
1
1-
- 1
11
1 - 12
1
100 тыс.
1
( 1 - А) · ( 1 - 1 2 ) = 100,
рублей, поэтому S ( 1 - �) · ( 1 - �) · .
s
.
10 11
1 2 з 4
s 2 3 4 5
11 . 12 = 100, 12 = 100, s = 1200.
Значит, Андрей взял в банке 1200 тыс. рублей.
Оmвет: 1 200 ООО рублей.
. . .
-
s- 1-
·
·
.
.
По условию задачи последняя декабрьская выплата равна
·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
Решения избранных вариантов
306
1 8. Пусть 2"' -' 3 = t, тогда получим квадратное неравенство
t 2 - (а + 4)t + 5(а - 1 ) � О; (t - 5) (t - (а - 1 )) � О.
Рассмотрим дВа случая.
l ) Если а - 1 < 5, то есть а < 6, то решением квадратного неравен
ства является промежуток [а - 1; 5] . Значит, а - 1 � t � 5. Учитывая, что
t = 2z - 3, получим а - 1 � 2z - 3 � 5; а + 2 � 2z � 8. В этом случае
решением данного неравенства является промежуток �og2 (a + 2) ; 3] , ко
торый может содержаться в промежутке [3; 5] только при log2 (a + 2 ) = 3,
а = 6, что не удовлетворяет условию а < 6.
2) Если а - 1 � 5, то есть а � 6, то решением квадратного неравен
ства является промежуток [5; а - 1] , значит, 5 � t � а - 1. Учитывая, что
t = 2z - 3, получим 5 � 2z - 3 � а - 1 , или 8 � 2z � а + 2. В этом слу
чае решением данного неравенства является промежуток [3; log2 (a + 2)].
Этот промежуток будет содержаться в промежутке [3; 5] , при условии
log2 (a + 2) � 5, то есть при а � 30. Но учитывая, что а � 6, оконча
тельно получим, что 6 � а � 30.
Ответ: [6; 30] .
1 9. а ) l\1\о>КНо, например, так: 3, 1, 2, 1 , 3, 2.
б) l\1\ожно, например, так: l, 5, 1, 4, 6, 7, 8, 5, 4, 2, 3, 6, 2, 7, 3, 8.
в) Нельзя. Докажем это. Предположим, что требуемое возмож
но и 28 карточек разложены в ряд согласно условию. Пронумеруем
их позиции числами от 1 до 28. Сумма всех номеров позиций равна
1 + 2 + 3 + . . . + 28 = 29 · 14 = 406. С другой стороны, рассмот
рим две карточки с числом п. Пусть одНа из них занимает позицию х,
другая - позицию х + ( п + 1 ) , тогда сумма номеров их позиций рав
на 2х + п + 1, то есть эта сумма имеет такую же чётность, что и число
п + 1. Но тогда сумма всех позиций имеет такую же чётность, что и число
(1 + 1 ) + (2 + 1) + . . . + (14 + 1) = 2 + 3 + . . . + 15 = 17 · 14 : 2 = 1 19, что
является нечётным числом. А число 406 - четное, противоречие. Значит,
28 карточек нельзя расставить так, чтобы выполнялись условия задачи.
Ответ: а ) да; б ) да; в) нет.
Р ешен и е в ари анта № 37
1 . После установки счётчиков ежемесячная экономия составила
750 - 580 = 170 рублей. Чтобы экономия по оплате воды превысила за -
Решение варианта № 37
�� месяца, то есть
307
траты на установку счётчиков, нужно 3500 : 170 = 20
экономия превысит затраты через 21 месяц.
Ответ: 21.
2. График поднимается выше отметки 10 по вертикальной оси на Протя
жении 3+6 = 9 сторон клеток по горизонтали. Это соответствует 6 · 9 = 54
часам.
Ответ: 54.
3. Так как фиrура симметрична относительно осей координат, то пло
щадь S закрашенной фиrуры равна 48АК LB ( см. рис. 263 ) .
S = 4SАкLв = 4(8Аов
- SкoL) = 4(�АО · ОВ - �КО · )
OL .
-!' ;.
��
..IW � ...
� � (?
г " 'А11
.,.. � R
J r/'1
� "" о
\(?,"'
�
'Сй W '
-
� '#"
(,
-
х
�
КО
Рис. 263
По рисунку видим, что АО = 4,
= 3, ОВ = 3, OL = 2.
Тогда S = 2{4 · 3 - 3 · 2) = 12.
Ответ: 12.
4. Сформулируем вопрос задачи иначе: сколько выстрелов потребуется
для того, чтобы вероятность неуничтожения цели была не более 0,03?
Пусть потребуется n выстрелов. По условию вероятность промаха при
первом выстреле равна 0,5, при каждом следующем 0,3.
Промахи при разных выстрелах являются независимыми событиями,
вероятность их произведения равна произведению вероятностей, поэтому
вероятность промахнуться при n выстрелах равна: 0,5 . o,3n- 1 .
Подберём наименьшее натуральное решение неравенства
0,5 . o,3n-l � 0,03.
При n = 1 неравенство 0,5 � 0,03 неверное.
При n = 2 неравенство 0,5 · 0,3 = 0,15 � 0,03 неверное.
При n = 3 неравенство 0,5 · 0,09 = 0,045 � 0,03 неверное.
-
0
3 8
Решения избранных вариантов
0,03
При n = 4 неравенство 0,5 · 0,027 = 0,0135 �
верное.
Автоматической системе потребуется сделать 4 выстрела.
Ответ: 4.
5х - 2 Iog = 9 5х - 2 = 9
5. log2 7 3 5х- 2 = 9, log3з 3 5 х - 2 = 9,
'
з
'
3
3
5х - 2 = 27, 5х = 29, х = 5,8.
Ответ: 5,8.
6. СВ = АС как отрезки касательных, проведённых к окруж
ности из одной точки, поэтому треугольник АБС равнобедренный и
LBAC = LCBA = 54° . ОБ и ОА - радиусы, проведённые в точку ка
сания, поэтому ОБ .l ВС, ОА .l АС. В равнобедренном треугольнике
АОВ: LOAB = LOBA = 90° - 54° = 36° . LAOB = 180° - 2 · 36° = 108°.
Ответ: 108.
7. f' (x) < О в точках х 2 , х 3 , х 5 , х6 • В остальных отмеченных точках
f' ( х) > О. Подходящих точек - четыре ( см. рис. 264 ).
3
...
v 1\
1,
y=f '(x)
J
1
1
х,
у
\
\
' 2
'
1
1
--
/
Х3
r'
1
1' /
J о
1
1 \
1
)4
1
\
\
s
\.
6
� "' 1 "\. /
v
v
/ i\.
Х7 Х
Рис. 264
Ответ: 4.
8. Vпир. = 1 Восн. · Н, где Во е н. - это площадь квадрата, Н - высота
3
пирамиды ( см. рис. 265, с. 309).
Во е н. =
3V�p . = 3 · �48 = 162, то есть сторона квадрата 9J2.
1
АО - половина диагонали квадрата, и она равна 9 J2 · J2 = 9.
2
' Из д ВОА : LBOA = 90° ' ВА = ..;ВО 2 + ОА 2 = Jl44 + 81 = v'225
Ответ: 15.
=
15
Решение варианта № 37
s
19 У'1УХ 8 if% - 19
4 lfWx
1 1 8NX
= 2, 75.
=
9.
309
-
4'$'"
Рис. 265
{/Х - 8 8{/Х -4 8{/Х
8
t = a:RC log2 ЧУ-, t � 50,4.
Подставим все данные в ф ормулу.
Ответ: 2, 75.
,1 0 . С = 4 10-6 Ф, R = 7 106 Ом, Ио = 18 кВ, о: = 0,9.
·
·
0,9 7 106 4 10-6 log2
·
·
•
·
iJ � 50,4; 25,2
·
log2
iJ � 50,4, log2 iJ � 2,
18 � 4.
и
и � 4,5.
Значит, наибольшее возможное напряжение на конденсаторе равно
4,5 кВ.
Ответ: 4,5.
1 1 . Обозначим зарплаты мужа и жены через х и соответственно, а пен
сию бабушки - через Общий доход семьи 8 = х + у +
Если зарплату жены увеличить втрое, то общий семейный доход вы
2у = 1,728;
= 1,728; (х + у +
растет на 72%, то есть х
= 0,728; у = 0,368.
Если зарплата мужа уменьшится в четыре раза, то общий доход умень= 8 - 0,428; (x + y + z) - 3 = 8 --: 0,428;
шится на 42%, то есть
z.
2у
у
+ Зу + z
� + y+ z
3х = 0,428; х
4
=
0,568.
z.
z) +
:
310
=
=
=
Решения избранных вариантов
8 - х - у 8 - 0,368 - 0,568 0,088.
Пенсия бабушки составляет 8% семейного дохода.
z
Ответ: 8.
= log3 ( 8 - 2х - х2 ) + 5, 8 - 2х - х 2
х2 + 2х - 8 < О, х2 + 2х - 8 = О.
Х 1 , 2 = -1 ± 3, Х 1 = -4, Х2 = 2.
-2 - 2х
у'( х ) =
(S - 2x - x2) ln 3 ' У' (х ) = О , -1 - х
-1 Е ( -4; 2).
у(-1) log3 (8 - 2 (-1) - 1) + 5 = log3 9 + 5 = 7.
Ответ: 7.
1 3. a) 2 cos2 х + cos 3x = 1 + sin ( 3; - х ) ;
2 cos2 х + cos 3х = 1 - cos х;
cos 3x + cos x + 2 cos2 х - 1 = О ;
2 cos 2x cos x + cos 2x = О;
cos 2x(2 cos x + 1) = О;
cos 2x = О или 2 cos x + 1 = О ;
Е Z или х = ± 2;. + 2nk k Е Z ;
2х = � +
2
х = � + пп ,
2 Е Z или х = ± ; + 2nk, k Е Z.
1 2. у
> О.
Решением неравенства х2 + 2х - 8 < О будет промежуток (-4; 2).
=
= О, х = -1,
·
·
nn, n
n
.
б) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку
помощью единичной окружности ( см. рис. 266 )
- 1t
l 31t
-6-
Рис. 266
[- 1�11"; -7Г]
с
Х1 � - 3; = - 5: ;
4 7Г = - 77Г
Х2 = 47Г - 2
4
Х3 = 237Г - 27Г = - 437Г
Решение варианта № 37
31 1
=
n Е Z · ± 2з7Г + 21Гk · k Е
Ответ·· а ) !!:.4 + Z!:n
2 '
z·
·
=
= в·
·
· з·
б) - 547Г ' - 77Г ' - 4 7Г
4
1 4. а) Обозначим АВ
АА1 h, О и
- центры оснований призмы
h ' BN 5
h ' АМ h
(см. рис. 267). Согласно условию DK 3
•
= а,
=
=
01
Di
1
1
А1
м
А
1
1
С1
1
1
1
к/k- " , 11 , 1
\1 L
l ..,. f C2
.... .t
1'
, ' .... ....
1
1 \
....
1
,....
.!...- -1 -
/'
/
.... ....-"""-D-' '
��-"
-
в
Рис. 267
002 средняя линия трапеции BDKN, значит,
ОС2 = ( � + � ) 2 = i�
002 - также средняя линия трапеции ACLM . Значит,
CL = 2 . 41h5 !!:_6 = 1630 5 h = 3011 h
Тогда LC1 = ��h, CL : LC1 = 11 : 19
б ) МК 11 N L и М N 11 К L, поэтому М N LK - параллелограмм.
MN = а2 + (� - �) 2 = а2 + (з'� ) 2 •
-
:
_
-
а2 + ( 1;; - � ) 2 = а2 + ( �) 2 . Заметим, что
Решения избранных вариантов
312
Аналогично N L =
2а2 +
KN =
J
(� - �) 2 =
2а2 +
(i� ) 2
По теореме косинусов из !::::. М N К получаем, что
KN2 =
MN - 2 МК · MN · cos a, где а = LKMN.
Следовательно,
.
МК2 +
2
·
/
2а2 +(��) 2 = а2 +(�) 2 +а2+(:0 ) 2 - 2· а2 + (�) 2 · а2 + ( :0 ) 2 .cosa
2
2
2 · а2 + ( �) 2 а2 + ( :О) 2 cos а = ( :О) 2 + ( �) - ( � )
i
Так как а2 = 13 и h = 30, то 2 . J13 + 25 · J13 + 1 · cos а = 1 + 25 - 16.
Отсюда cos =
Vl:. 38 . Значит, угол а острый и
J
sin a =
.
/
a
J ���
-
25 =
·
14 · 38
1
в
Площадь сечения Sсеч равна Sм N LK .
1-
J
= мк . MN . sin a. = у'38 . v1i4 . 1���8 = у'5О7 = 13J3.
Косинус искомого угла <р между плоскостью сечения и плоскостью
13
3
основания призмы равен cos <р = 8осн =
13 v 3 = J33 , так как
8сеч
SмNLK
ABCD
-
<р = arccos
v;.
;q
это проекция MNLK на плоскость нижнего основания. Тогда
Ответ: б) arccos
v:f.
4х - 2х+2 + 2 + 2x+i - 6 - 2х � 1.
2х _ 3
2х _ 4
Обозначим 2 х = t, 2 х f. 3, 2 х f. 4.
Получим t 2 - 4t + 2 + 2 t - 6 - t ,,,.. 1
t-3
t-4
(t 3)(t - 1) - 1 2 (t - 4) + 2 _ t 1
,,,..
+
1 5.
>-
-
t-3
t-4
'
>-
'
Решение варианта № 37
t-1-
1
t-
3 +2+
2
- 1
t - 4 t - 3 � о,
t
313
2 - t 1,
�
-4
2t - 6 - t + 4
(t - 3) (t - 4) � О ,
t-2
О
( t - 3) (t - 4) � .
Решим методом интервалов ( см. рис. 268).
Рис. 268
3, t > 4. 2 � 2ж < 3, 2ж > 4. 1 � Х < log2 3 ИЛИ Х > 2.
Ответ: [1; log2 3) U (2; +оо ) .
2�t<
1 6. а ) Рассмотрим рисунок 269.
в
А� С
.
N
Рис. 269
=
По теореме косинусов получаем АС2 AB 2 +BC2 -2·AB·BC·cos LB.
АС2 32 + 2 - 2 · · cos 120° 49 , АС 7.
о_ 13 ' sin LC
LC 49 +. 25. - 9 ____о
Тогда
14
14
2.7.
2 7
=
5
3 5
=
=
= 3 JЗ .
=
5=
5 =
5 то СN = 5 = 5 14 = 35
Так как 21 ВС = 2'
13 ·
2 · cos LC
2 · 13
= 141 1 ' sin LA = 514vГз .
cos L A = 49 +. 9 .- 2 5 = �
2 3 7 . 2.3.7
3
Тогда AL = . со
в А = 32 ·. 141 1 = 21 11 . Отсюда AL + C N 7, значит,
2
сов
·
·
точка L лежит левее точки N, как и показано на рисунке.
<
314
=
=
Решения избранных вариантов
35
-91-35- 3-5 =
��)
13 . (7 -
Заметим, что AL BL и BN CN. Тогда
BN
CN
CN
BL + LN
AL + LN
AC - CN
-- =
=
---
=
-----
5
= 35
56 = в ·
б ) Обозначим радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABL
и BNC, соответственно r1 и r2 .
135 ·
= РАвL = 3 + 2 . 211 1 = 7511 ' Р2 = РвNс = 5 + 2 . 3513 = 13
Пусть 8АвL = 81; 8в N с = 82 .
35 · 5 · 3 v13
! NC ВС sin L.C
55 .
s = 2
= 2113 514 = 39
Тогда fi
! · AL · АВ sin L.A
11 · 3 · 14v13
2
75
55
28
28
2 . 1 = §z . !i = . � = 5 . 75 = 25 ·
!:2. r1 - Р2 . Р1
81 Р2 ·39 135 3 · 135 27
13
Ответ: б ) ;�.
1 7. Пусть 8 - сумма кредита ( в тыс. рублей), - полугодовой платёж
Р1
·
·
·
·
·
п
( в тыс. рублей ).
Составим таблицы, указав все суммы в тыс. рублей.
Первый год: ставка 12% в полугодие.
1
2
Начало полугодия
s
2825 s - n
Конец полугодия
285
25
( 2825 s - n) 2825
( 2825 ) 28 _ 2528 n
=
После платежа
2825 s - n
( 2825 ) 28 _ 255Зn
315
Решение варианта № 37
3
4
Начало
полугодия
Второй год: ставка
10% в полугодие.
Конец полугодия
После платежа
( 2825 ) 2 8 · 1110 _
( 2825 ) 2 8 · 1110 _
28
8
_
53
2
( 25 ) 25 n _ 53 . ll
_ 53 · 11 25 · 10 n
25 · 10
25 10 n
( �� ) 2 · 0� ) 2 8( 2528 ) 2 . 1110 8- ( ��) 2 ·0�) 2 8 _ 53 · 11 ± 250 n 53 · 11 ± 250 . ll n _ (53 · 11 250} · 11 2500 . 25n 0
250
2500
2500
( 28 ) 2 - ( 11 ) 2 8
±
±
±
=
С учётом погашения в конце четвёртого полугодия остаток равен нулю.
{53 . 11 + 250) - 11 + 2500 . 25n 0
25 10
2500
(28 · 11)2 8 = ((53 · 11 + 250) · 11 + 2500) 25n
948648 291575n
= 168 (тыс. руб.) получим максимальный кредит
При n
S
516, 366 . . . тыс.руб. С учётом округления это составляет 51 6 ты
сяч рублей.
Ответ: 516 ООО.
1 8. Заметим, что при а = О неравенство примет вид О < 4х - 1 или х > �,
то есть справедливо дл я всех х [1; 3].
Если а > О, то представим неравенство в виде
ах2 - 4х + 1 - 5а < О. Рассмотрим квадратный трёхчлен
/(х) = ах2 - 4х + 1 - 5а. Дискриминант этого квадратного трёхчле
на D(a) = {-4)2 + 4а(5а - 1 ) = 4{5а2 - а + 4 ) = 4D 1( a ), где
D1 (a) = 5а2 - а + 4. В свою очередь дискриминант D 2 квадратного трёх
члена D1 (a) равен D 2 = (-1)2 - 4 · 5 · 4 = - 79 < О. Так как старший
коэффициент равен 5 и 5 > О, то D1 (a) > О для любого а > О. Поэтому
D(a) > О для любого а > О.
Значит, график у = f (x) пересекает ось О х в двух точках х1 и
и
ветви параболы направлены вверх. Для выполнения неравенства необ
ы
ходимо, чтобы отрезок [1; 3] лежал внутри интервала (х1; х 2 ). Д
выполняться условия:
а - 4 + 1 - 5а < О,
f(l) < О,
-4а - 3 < О, 3
11
0;
9а
- 12 + 1 - 5а < О; 4а - 11 < 0; - 4 < а < ·4 ·
f(3) <
В рассматриваемом случае а > О, поэтому О < а �l .
п оэтому
=
_
·
=
=
Е
х2
{
{
олжн
{
<
316
хЕ
Решения избранных вариантов
= О неравенство выполняется д,11я всех
Е [О; �) .
С учётом замечания, что при а
[1; 3], получим, что
О�вет: [о; �) .
а
1 9. а ) Заметим, что абсолютная погрешность при округлении числа с точ
ностью до целых не превосходит 0,5. Если кандидатов трое, то, округляя
результаты голосования за них в процентах с точностью до целых и скла
дывая, получим число, отличающееся от
не более, чем на
Значит,
число
получиться не может. Следовательно, число кандидатов не мо
жет равняться
б) Пусть за шесть кандидатов проголосовали по депутату, тогда
100
102
1,5.
3.
1
1 3 ::::::
1
7 депутатов, тогда он получил 1� :::::: 54% . Суммарный процент равен
6 · 8 + 54 = 102. Значит, 13 депутатов могли избрать главу района.
в) Укажем целые числа процентов, которые могут набрать кандидаты.
2
6
3
1� 6% , 1 7 12% , 1 7 18%, � 24%, (1 29%, 1 7 35%,
7
8
9
1 7 :::::: 41 % ' 7 47% , 1 7 53% , �� :::::: 59% , �� :::::: 65% , �� :::::: 7 1 %,
�� 76% , �i 82% , �� 88% , �� 94% .
Числа 6, 12, 18, 24 имеют вид бk ( k Е N ), дают в остатке О при делении
на б.
Следующие 8 нечётных чисел дают в остатке 5 при делении на 6.
Числа 76 и 82 дают в остатке 4 при делении на 6.
Последние два числа 88 и 94 выделим отдельно.
Число 102 делится на 6, даёт-в остатке О при делении на 6.
Покажем, что 102 -1- х1 + х 2 + х3 + Х 4 , где х 1 , х 2 , хз, Х4 среди ука
занных чисел.
Сразу отметим, что ни одно (i = 1, 2, 3, 4 ) не может равняться 88
и 94, так как сумма трёх оставшихся чисел не может равняться 8 или 12.
Для того чтобы сумма х1 + х 2 + х 3 + х4 делилась на 6, надо, чтобы
сумма остатков от деления на 6 чисел х1 , х 2 , х 3 , х4 также делилась на 6.
каждый_ из них получил
8%. За одного кандидата проголосова -
ли
�
1
�
�
�
1
�
�
�
�
�
�
�
�
-
Xi
Рассмотрим все возможные случаи:
317
Решение варианта № 37
1. Все числа х1 , х2 , х3 , х4 дают в остатке О при делении на 6 . Так как
наибольшее из них равно 24, то х1 + х 2 + хз + Х4 :s:;; 4 24 96 < 102.
2. Три числа из чисел х1 , х 2 , х 3 , Х 4 дают в остатке О при делении на 6,
одно из них даёт в остатке 4 или 5. Тогда сумма остатков не делится на 6.
3. Два числа из чисел х 1 , х 2 , х 3 , х 4 дают в остатке О при делении на 6.
Тогда два из оставшихся чисел не мoryr давать остатки 4, так как их сумма
будет больше 102. Получаем остатки: 4 и 5; 5 и 5. В каждом из случаев
сумма остатков не делится на 6.
4. Одно число из чисел х1 , х 2 , х 3 , х4 даёт в остатке О при делении на 6.
Заметим, что среди оставшихся чисел не мoryr быть числа, дающие остат
ки 4 и 4 ( иначе сумма превысит 76% + 82% 158% ). Поэтому возможны
случаи: 4, 5, 5 и 5, 5, 5. В каждом' из этих случаев сумма остатков не делится на 6.
5. Все числа х1 , х 2 , х3 , Х4 дают остатки 4 или 5 при делении на 6. Воз
можны случаи: 4, 5, 5, 5 и 5, 5, 5, 5. В каждом из этих случаев сумма
остатков не делится на 6.
Таким образом, 17 депутатов не мoryr избрать главу района из 4 кан
дидатов при указанных условиях.
Ответ: а ) нет; б ) да; в) нет.
·
=
=
Кр атки й т е о р етиче ски й сп р авоч н и к
Пред.лагаемый справочник содержит основные теоретические сведе
ния и формулы, предусмотренные действующей программой д.ля общеоб
разовательных учреждений.
§ 1.
Условные обозначен ия
При изложении теоретического материала, содержащегося в этой гла
ве, мы будем пользоваться общепринятыми математическими обозначе
ниями. Перечислим их.
N - множество всех натуральных чисел.
N0 - множество всех неотрицательных целых чисел.
Z - множество всех целых чисел.
Q - множество всех рациональных чисел.
R - множество всех действительных ( вещественных) чисел.
R+
множество всех положительных действительных чисел.
=> - следует.
{::} - равносильно; эквивалентно; тогда и только тогда.
-
def
по определению равно.
область определения функции
D (f)
f(x) .
(
E( f)
множество область) значений функции
f(x) .
const - постоянная величина.
Е - принад.лежит, содержится; например:
х Е R - х принад.лежит множеству действительных чисел, то есть
х является действительным числом.
n : m (д.ля n , m Е Z) - число n делится нацело на число m .
у=
у=
319
§ 2. Степени и корни
§ 2 . Степен и и корни
О пределе н ие степе ни и кор ня
l . Пусть а Е R, n Е N. Тогда
an = а а а . . . · а ;
.._____,____...
n сомножителей
·
а0 �f
de=f
а
-n
1,
1
п,
а
·
·
если а # О;
если а ..J.
" О;
о0 не определено;
� �f ь # ьn = а и ь � о при n чётном;
� � ь # ьn = а при n нечётном.
2. Пусть а Е R+ ; т Е
Z, n Е N, > 1 . Тогда
n
т
nr::rn
··- .
a n de
аm
=f у
ifo/a = m�;
П р авила действий с ради кал ами
Пусть m, n, k Е N, m, n > 1 ; а, Ь Е R+ . Тогда
� - % = еГаh;
( � ) m = �;
Правила действий со степенями
Пусть р, q Е Q, а, Ь Е R+ . Тогда
aPaq
аР
aq
-
= aP + q ;
=
ap- q '.
( aP ) q
= aPq ;
(аЬ)Р = а'РьР.
Н е приводя определение степени с действительным показателем, от
метим, что правила действий с такими степенями « сохраняются » , то есть
приведённые правила верны и д,ля р, q Е R.
320
Краткий теоретический справо чник
Ф о р мул ы сокращ ён но rо у м нож ения
Пусть
а, Ь Е R. Тогда
(а ± Ь) 2 = а2 ± 2аЬ + Ь2 ;
(а ± Ь)з = аз ± 3а2Ь + 3аЬ2 ± ьз ;
а2 - Ь2 = ( а - Ь)(а + Ь) ;
аз - ьз = (а - Ь)(а2 + аЬ + Ь2 );
аз + ьз = (а + Ь)(а2 - аЬ + Ь2 ).
Таблица квадратов
112 = 121 162 = 256
122 = 144 1 72 = 289
132 = 169 182 = 324
142 = 196 . 192 = 361
152 = 225 202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
§ 3 . М о дул ь и е го с вой ст в а
{
1 . Определение модуля числа.
l xl
<!_
ef
_
х, если х > О;
О, если х О
-х, если х < О
= ;
или
l x l �r
{
х, если х � О;
- х , если х < О.
2. Геометрически l x l есть расстояние от точки х числовой оси до начала
отсчёта - точки О.
3. l x - a l есть расстояние между точками х и числовой оси.
4 . Модуль произведения, частного и степени.
lxyl = l x l · lyl;
5. bl = l x l .
1 ; 1 = \;/. у # О;
а
lxn l = l x l n , n E Z,
[ � � �:
32 1
§ 4. Протрессии
§ 4. П ро г ре сс ии
Ари фметич еская прогрессия
1 . Если an есть п-й член, d - разность и Sn - сумма n первых членов
арифметической прогрессии, то
аnн = an + d, an = a l + d(n - 1 ) ,
(а1· + an )n (2а1 + d(n - l}) n
S
_
-
_
2
п -
2
.
О, и убывает, если
Арифметическая прогрессия возрастает, если d >
d < O.
2. Если ak , а1 , am , an - члены арифметической прогрессии с такими
номерами, что k + l = т + п, то a k + а1 = am + an .
3. Каждый член арифметической прогрессии, отличный от первого
и последнего, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
an = an - 1 +2 an+ l
Геометрическая про г рессия
1 . Если Ьn есть n-й член, q - знаменатель и
членов геометрической прогрессии, то
Ьnн = Ьnq , Ь1 f:. О, nq f:. О ; Ьn
Ь1 ( q - 1 ) 4 1
Sn - сумма п первых
= b1qn - 1 ,
,q" .
q-1
2. Е сли bk , Ь1 , Ьm , Ьn - члены геометрической прогрессии с такими
номерами, что k + l = т + n, то bk · Ь1 = Ьm · Ьn .
n=
S
3. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, отличного
от первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов:
Ь� = Ьn - 1 · Ьn н ·
Б есконечно убыва ю щая геометрическая прогрессия
Если
сии
S
есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
(l ql < 1 ) , то
s = _д__
l ь- q .
§ 5. Л о га р и ф м ы
О пределение лога р ифма
Логарифмом положительного числа х по основанию а (а > О; а f:. 1 )
называется показатель степени в которую нужно возвести а, чтобы по
лучить число х:
= loga х <=> аУ = х.
у
2 1 . Зак. N o 1 2 1
у,
322
Краткий теоретический справо чник
Свойства логариф м ов
Пусть а > О, а =F 1.
l. Основное логарифмическое тождество:
a 10ga х = х для х > о.
2. Логарифм произведения, частного и степени:
+ loga IYI . ху > О ;
loga ( � ) = loga lx l - loga IYI . ху > О;
loga (xy) = loga x + loga y, x > 0, у > О ;
loga х - loga у, х > О, у > О ;
loga
loga х "' = а loga х, х > О;
loga x k = k loga l xl , k - чётное целое.
3. Формула перехода к новому основанию. Пусть Ь > О, Ь =F 1, х > О,
loga (xy) = loga lxl
( �)
тогда
=
-
1 при
---
logь х , в частности,
loga х = 1
loga х =
1оgь а
у
у
Кроме того, loga х logь = loga logь х.
> О, а =F О, а =F 1, тогда
4 . Пусть Ь
р
5 " . alogь c = dogь a .
х
=F
1.
! log l a l Ь, k =/:- О, k - чётное целое.
logaP Ь = ! loga Ь , р =/:-
loga k Ь =
ogx a
О;
При решении задач бывает полезна следующая теорема:
Если числа а и Ь на числовой оси расположены по одну сторону
от единицы, то loga Ь > О, а если по разные, то loga Ь < О.
§ 6. Теория веро ятно сте й
Кл асси ч еское определе н ие вероятности
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных
для А исходов к числу всех равновозможных исходов:
Р (А) = т ,
-
n
где n общее число равновозможных исходов, т
гоприятствующих событию А.
- число исходов, бла
21·
§ 7. Тригонометрия
323
Проти вополо ж н ы е соб ыти я
Событие, противоположное событию А, обозначают А. При проведе
нии испытания всегда происходит ровно одио из двух противоположных
событий и
Р(А) + Р(А) =
Р(А ) = Р(А).
1;
1
-
Объедин ение несов м естных собы ти й
Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исхо
ды, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В.
Событие С называют объединением событий А и В (пишут С = AUB ),
если событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В.
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения рав
на сумме вероятностей событий А и В:
Р(А U В) = Р(А) + Р(В).
Пере с е ч ение независ и м ы х соб ыт и й
Два события А и В называют независимыми, если вероятность каж
дого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Событие С называют пересечением событий А и В ( пишут С = A n B ),
если событие С означает, что произошли оба события А и В.
Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна
произведению вероятностей событий А и В:
Р(А n В) = Р(А) Р( В )
·
.
§ 7. Три г онометрия
Радиа н ное и змерение углов
Один радиан равен центральному углу окружности, д.лина дуги кото
рого равна радиусу этой окружности.
180° 5 7°1 7'45".
7Г
1° = 180 радиана О, 01 7453 радиана.
l радиан =
7Г
Угл ы в радианах
22. Зак. № 1 2 1
�
�
<ро
Угл ы в градусах
--
7Г
180°
<ро
.
30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
7Г6 7Г4 7Г3 2
23 7Г 211"
-
7Г
7r
324
Краткий теоретический справочник
Знач ения тригонометрических функций некоторых углов
ct
sin ct
о
cos ct
1
tg ct
о
ctg ct
1r
о
-
1r
6
4
J2
1
2
2
v'3
2
v'3
3
J2
2
v'3
1
1
Ф ормулы п ри ведения
!!. ± о:
2
sin
cos
tg
ctg
cos o:
3
v'3
v'3
v'3
.3
71' ± о:
2
1r
�1r
о
-1
о
-
о
-
о
-
l
2
1
2
=f ctg o:
ctg o:
± tg o:
=F tg o:
± ctg d
-1
о
2
- cos o:
- cos o:
о
2
371' ± о:
=f sin o:
=f sin o:
=f
1r
1r
± sin o:
=F tg o:
К счастью, эту таблицу не требуется запоминать. Любую формулу
приведения из этой таблицы легко вывести с помощью простого мнемо
ни ч еского правила . Это правило предполагает получение ответов на два
вопроса.
Вопрос 1. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ. Этот знак определяется по левой части выводимой форму
лы. Смотрим, в какую четверть попадает угол, считая о: острым углом.
Далее мысленно ( по единичной окружности ) определяем, какой знак в
этой четверти имеет функция, стоящая в левой части формулы. Этот знак
ставится после знака равенства в правой части ( конечно, ставится только
знак минус ).
Вопрос 2. Меняется ли функция в правой части формулы на кофунк
цию?
.
Ответ . Если в левой части формулы присутствуют углы � или
з;
-
это углы вертикальной оси единичной окружности, - киваем головой по
вертикали и отвечаем «Да » . Если же присутствуют углы горизонтальной
22'
325
§ 7. Тригонометрия
оси О или 7r, то мотаем головой по горизонтали и отвечаем «Нет » . Это пра
вило в шутку называют «правилом лошадки » .
Пример. Выведем формулу д.ля cos ( �
вопр<;>са.
+ а) . Для этогО ответим на два
Вопрос 1 . Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ. Угол � + а находится во второй четверти (считаем а острым
углом). В этой четверти косинус (то есть абсцисса точки ) отрицательный.
Значит, в правой части ставим знак минус.
Вопрос 2. Меняется ли функция в правой части формулы на кофунк
цию?
Ответ. Используем « правило лошадки » . Так как угол
� находится
на вертикальной оси, то киваем головой по вертикали и отвечаем «Да » .
Значит, справа будет
а.
sin
Итак, cos (� + а) = - sin a.
О снов ны е тригонометри ч еские то ждества
sin2 х + cos2 х = 1 ; tgx ctgx = 1;
1
1
1 + tg2 х =
cos х 1 + ctg2 х = sш . х
·
-=::2- ;
�.
Формулы суммы и разности аргу м ентов
sin(x ± у) = sinx · cosy ± cosx siny;
cos(x ± у) = cosx cosy =F sinx siny;
tg x ± tg y
tg (х ± у) = ---1 tg x • tgy·
·
·
=F
Формулы двойного и тройного аргументов
cos 2x = cos2 х - sin2 х = 1 - 2 sin2 х = 2cos2 х - 1;
sin2x = 2 sinx · cosx;
1 + cos 2x .'
2 Х = 1 - cos 2x '
2
=
Х
2
2
со
3
sinЗx = З sinx - 4 sin х;
s Зх = 4cos3 х - З соs х;
- tg3 х
tg2x = 1 -2tgtgx2 х ;
tg Зx = З 1tgx
- Зtg2 х
Slll
•
·
COS
•
Краткий теоретический справо чник
326
Выраже ни е три гонометрич е ск их
п ол о в и нно го угла
Если х =F 7Г + 2 7Г k, k Е Z, то
sinx =
2 tg �
2
ч ер е з
танге нс
1 - tg2 �
cosx = ---2
1 + tg2 �
2
---
1 + t g2 �
2
Пр е об р аз овани е су ммы
функций в про и зве ден и е
функ ци й
и
раз ности
тр иго нометр ич еских
X =f Y
х ±-у · cos -- ;
. ± sш. у = 2 · sш. smx
2
2
+
х
х
у
cosx + cos y = 2 cos -2- · cos -2-у ;
х +-у · sш. у --;х
cosx - cos y = 2 sш. 2
2
х -у + 1Г ) · cos ( х +-у - 1Г ) ;
. + cosy = 2 sш. ( smx
2 4
2 4
+
х
х
у
. - cosy = 2 sш. ( -- - 7Г ) · COS ( --у + 7Г ) ;
smx
2 4
2 4
sin(x ± у) .
tg x tg y =
cosx · cosy'
a sinx + bcosx = ./а2 + Ь2 sin(x + i,o), где а2 + Ь2 =F О, а ip опредеЬ
из ф ормулы sш i,o =
; cos i,o = а2а+
а 2 + ь2
Ь2
asinx + bcosx = v,_a,...2 -.+""""'Ь2-= · cos(x - а), где а2 + Ь2 =F О, а а опредеЬ
а
cosa
=
ляется из ф ормулы sша =
;
2
2
а + Ь2
а + Ь2
-1�
.
ляется
.
_ /
v
•
_ /
v
_ /
v
_ /
v
;
П р е образование прои з ве де ни я три г оном е тр иче ских функци й
в су мму
sinx · siny = � (cos(x - у) - cos(x + у));
cosx · cosy = � (cos(x - у) + cos(x + у) ) ;
sinx cos y = � (sin{x ..__ у ) + sin{x + у)) .
·
7Г °"",....
§ 7. Тригонометрия
327
О пределение обратных тригоно м етр ич еск их фун кций
def
у = arcsmx <=> х = smy и
у ,.... 7Г
°"" 2 ;
-2
у = arccos х х = cos у О � у � 7Г;
def
7Г 7Г
у = arctg х <=> х = tg у
2 у -::: 2 ;
def
у = arcctg х
х = ctg у О у 7Г.
•
•
<=>
def
и
<
и
<=>
и
<
<
С войства обратных тригоно м етрически х фун к ций
D(arcsinx) [-1; 1]; E(arcsin x) = [-�; �-);
D(arccosx) = [-1; 1]; E(arccosx) = [О; 1Г] ;
D(arctgx) = R; E{arctgx) = (-�; �) ;
D{arcctgx) = R; E(arcctgx) = (о ; 7Г) ;
arcsin(-x) = - arcsinx; arccos(-x) = 7Г - arccos x;
arctg( - х) = - arctg arcctg( - х ) = 7Г - arcctg х;
arcsinx + arccosx � х Е [-1; 1] ;
arctg х + arcctg х �;
sin{arcsinx) = х, х Е [-1; 1];
arcsin{sinx) = хо, хо Е [-�; �] sin xo = sinx;
cos(arccosx) = х, х Е [-1; 1];
arccos(cos х) = х0, х0 Е [О; 1Г] cos х0 = cos х;
tg( arctg х) = х, ctg( arcctg х) = х;
arctg(tgx) = хо, хо = ( � � ) tgxo = tgx;
arctg(ctgx) = хо, хо Е {О; 1Г ) и ctgxo = ctgx;
sin(arccosx) v'l - х2 ; cos(arcsinx) = v''i - х2 ;
sin{arctg x) = �;
l + x2 cos(arctgx) = h;
l + x2
sin(arcctgx) = h;
1 + х2
1 + х2 cos{arcctgx) = �·
=
х;
=
· если
=
если
и
где
если
и
где
где
где
=
-
;
и
328
Краткий теоретический справо чник
Н екото р ы е з нач ен ия обратн ых тригонометри ч еских функций
z
о
arcsin z
о
arccos z
7Г
2
1
2
1Г
6
7Г
3
z
о
arctg ж
о
arcctg z
1Г
2
v'3
v'2
2
2
1Г
1Г
4
1Г
3
7Г
4
6
v'3
3
2
-2
7Г
о
v'3
4
3
7Г
7Г
7Г
3
-1
1
7Г
6
1
4
7Г
7Г
7Г
7Г
6
Формулы дл я ре ш ения простей ш их тригонометри ч еских
уравнений
sinx = а; l a l � 1; х = (- l ) n arcsin a + 1Гn, n Е Z;
sinx = О; х = 1Гk, k Е Z;
sin x = l; х = "27Г + 21Гk, k Е Z;
sinx = -1; х = - 27Г + 21Гk, k Е Z;
cos x = а; l a l � 1; х ± arccos a + 27Гn, n Е Z;
cos x = О; х = 2°7Г + 1Гk , k Е Z;
cos x = 1; х = 21Гk, k Е Z;
cos x = -1; х = 7Г + 21Гk, k Е Z;
tg = а; х = arctg а + 1Гn, n Е Z;
ctgx = а; х = arcctga + 1Гn, n Е Z.
=
х
§ 8. М но г о чл е н ы и их корн и
О пределение многочлена
Многочленом степени ( Е No) называется всякое выражение вида
ао,
f ( x ) a n xn an - 1 Xn - l
где а п . an - 1 , . . . , а1 , ао Е R и an #
=
nn
+
О.
+ . . . + ai x +
329
§ 8. Много члены и их корни
Всякое вещественное число, отличное от нуля, принято трактовать как
многочлен нулевой степени. Числа an , an - l , . . . , а1 , а0 называются коэф
фициентами многочлена, an - старший коэффициент, а0 - свободный
член.
Число х 0 называется корнем многочлена f(x) , если f(x0) = О.
-
Квадратн ы й трёхчлен
Квадратный трёхчлен - это многочлен степени 2:
f ( х) = ах 2 + Ьх + с.
Jь2
Х 1 , 2 = - Ь ± 2а - 4ас ;
ах2 + Ьх + с = а(х - х1)(х - х2 );
Х1 + х2 = _ О.а ; х 1 х2 = .fа (Теорема В иета) .
Если х 1 , х 2 - корни f(x) , то
Если второй коэффициент делится на 2, то есть
V2
= ах2 + 2kx + с, то х 1, 2 = - k ± а k - ас .
Если старший коэф фициент равен 1 , то есть f(x) = х 2 + рх + q,
2
ТО Х 1 , 2 = -� ± (�) - q .
Выражение Ь2 - 4ас называется дискриминантом соответствующего мно
гочлена !(х) (уравнения f(x) = О). Дискриминант принято обозначать
2
большой буквой D. Отметим, что D = О {::? k 2 - ас = О {::? ( �) - q = О.
f(x)
j
Для любого многочлена степени п > О
f(x) = anx n + an - 1Xn - l + . . + а1х + ао
и любого числа хо Е R найдётся такой многочлен степени п - 1
q(x) = Ьn- 1X n - l + Ьn - 2 X n- 2 + . . + Ь 1 х + Ьо,
что справедливо равенство
f(x) = (х - х о ) q (x) + f (хо) (Теорема Б езу) ,
причём коэффициенты q (x) могут быть вычислены по следующему алго
ритму:
Теорема Б езу и схе м а Горнера
.
.
Ьn - 1 = an, Ьn - 2 = хоЬn - 1 + an - 1 ,
=
Ьn -3 ХоЬn- 2 + an - 2 , . . . , Ьi - 1 = Xobi + ai , · .
. . . , Ь1 = хоЬ2 + а2 , Ьо = хоЬ1 + а1 , /(хо) = хоЬо + ао.
.
_
330
Краткий теоретический справо чник
Результаты вычисления коэффициентов многочлена q (x) удобно по
мещать в таблицу ( схе му Горнер а ) .
an an-1 an - 2 . . . ан1 ai . . . а2 a l ао
Хо Ьn-1 Ьn - 2 Ьn - з . . . ьi Ьi - 1 . . . Ь1 Ьо ! (хо)
Понятно, что если х0 - корень многочлена f(x) , то f(x0 ) = О и, сле
довательно, f ( х) = ( х - х 0 ) q( х) (следствие из теоремы Безу) .
Таким образом, чтобы выяснить, является ли число х0 корнем много
члена f(x), нужно заполнить приведённую выше таблицу ( схему Горнера).
Если /( х о) окажется равным О, то х0 - корень. В противном случае х0 не ко рень f(x) .
Приведём ещё одну теорему о многочленах и следствие из неё, касаю
щееся рациональных корней многочлена.
Теорема. Пусть f (x) = an xn + an - 1xn - l + . . . + aix + ао - много
член с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь ( рациональное
число) р/q является корнем многочлена f(x) , то
l ) an : q;
2) ао : р.
Следствие. Пусть f (x)
=
xn + an - 1Xn - l + . . . + a l x + ао - мно
гочлен с целыми коэффициентами. Тогда все рациональные корни много
члена f(x) являются целыми, а также делителями свободного члена ао .
Эти теоремы будут очень полезными при выполнении некоторых зада
ний, их использование существенно сэкономит время решения.
Пример 1 . Найдите целые корни уравнения х4 + Зх3 + х 2 - Зх - 2 = О.
Решение. По следствию целые корни находятся среди делителей сво
бодного члена: ± ; ± 2. Проверяем по схеме Горнера каждое из этих чисел.
1
з 1 -3 -2
1 1 4 5 2
о
1 1 5 10 12
-1 1 з 2 о
1
корень
не корень ( не кратный корень )
корень
1 2 о
корень ( кратности 2)
х4 + Зх3 + х 2 - 3х - 2 = (х - 1) (х + 1) 2 (х + 2).
Данное уравнение имеет 3 корня: 1 ; -1; -2, причём -1 - корень крат
-1
ности 2 .
§ 8. Много члены н их корни
33 1
П ри мер 2. Решите уравнение 6х4 + 17х3 + 20х 2 + 14х + 3 = О.
Решение. По теореме все рациональные корни уравнения находятся
среди чисел 1!. , где 6 : q,
3 : р.
Делители числа 3: ±1 ; ±3.
Делители числа 6: ±1 ; ±2; ±3 ; ±6.
Числа вида f!.." ±1 · �). ± ! '· ± ! ·' ±3 · ± � ·
' 2' 3 6 ' 2
q
Видим, что корнями моrут быть лишь отрицательные числа. Поэтому
проверяем числа
. -1 '· !2 ' !3 ' !6 ' -3'· - 23 ·
17
6
14 3
20
-1 6 11 9 5 -2 не корень
1
15 3
2 6 14 13 2 4 не корень
1
3 6 1 5 1 5 9 о корень
Данное уравнение эквивалентно (х + i) (6х 3 + 15х 2 + 1 5х + 9) = О.
Х 1 = -i; 2х3 + 5х2 + 5х + 3 = О.
Делители числа 3: ±1 ; ±3.
Делители числа 2: ±1 ; ±2.
Числа вида � : ±1 ; ± � ; ±3 ; ±�.
Корнями моrут быть лишь отрицательные числа, причём - 1 и - �
•
•
q
_
.
_
.
.
_
-�.
не являются корнями ( проверили выше).
Проверяем числа
-3 ;
2
5
5
-3 2 -1 8
3 2 2 2
2
3
-21
о
не корень
корень
332
Данное уравнеl\ие эквивалентно
-l; - �
х 2 + х + 1 = О - корней нет.
Ответ:
(х + �) (2х2 + 2х + 2) = О, х2 = - �,
Краткий теоретический справо чник
.
§ 9 . У равне н ия
У равнени я с одним неизвестным
Напомним, что уравнением называется равенство, содержащее неиз
вестное, обозначаемое буквой. Пользуясь понятием функции, можно ска
зать, что уравнение (с одним неизвестным) - это пара функций от одной
и той же переменной х, соединённых знаком равенства:
f(x) = g(x).
Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения назы
вается пересечение области определения функций f(x) и g(x):
D(f) n D(g) .
Число а называется корнем (или решением) данного уравнения, если
при подстановке в уравнение вместо каждого вхождения х числа а урав
нение обращается в верное числовое равенство: f(a) = g(a) .
Существуют эквивалентные определения корня уравнения, в которых
требуется принад.лежность числа а ОДЗ исходного уравнения.
Решить уравнение это значит найти все его корни или доказать,
что данное уравнение корней не имеет. Отметим, что если мы нашли под
бором какие-то корни уравнения и доказали, что других корней у данного
уравнения быть не может, то тем самым мы уравнение решили.
Два уравнения называются равносильны.ми, если множества их кор
ней совпадают. Уравнение А является следствием уравнения В, если все
корни уравнения В являются корнями уравнения А ( но, быть может, среди
корней уравнения А есть такие, которые не являются корнями уравне
ния В ).
Преобразование уравнения называется равносильным, если в резуль
тате преобразования получается уравнение, равносильное исходному.
l . Если при решении уравнения вы производили лишь равноси.[!ьные
преобразования, то д.ля найденных корней нет нужды делать проверку.
2. Если вы нашли ОДЗ и в пределах ОДЗ производили равносильные
преобразования уравнения, то проверку также делать не нужно, но необ
ходимо выяснить, входят ли найденные корни в ОДЗ.
-
333
§ 9. Уравнения
3. Если не все преобразования были равносильными, но каждое урав
нение было следствием предыдущего, то необходимо сделать проверку.
Отметим, что часто находить ОДЗ нецелесообразно: во многих слу
чаях экономнее ( по времени) найти « корни » (среди которых, быть может,
есть лишние) и сделать проверку.
Всё сказанное в отношении проверки справедливо с математи
ческой точки зрения. То есть если все ваши преобразования были
равносильны, то приводить в конце решения проверку нет необ
ходимости. И в этом случае (при наличии соответствующей ого
ворки) ваше решение будет смотреться более грамотным, с точки
зрения математики.
Но совсем иное дело, если речь идёт о самоконff!.роле. Здесь мы
рекомендуем делать в некоторых случаях не одну, а несколько про
верок.
Полезные неравенства
Отметим, что при решении уравнений (и неравенств ) иногда бывают
полезны следующие неравенства, истинные дпя а � О, Ь � О:
а 2 + Ь2 .
а2 + 1 а + ь � г-.-ь . а + ь
а :::; -2-;
-2- v ao, -2- :::; 2
Равенства достигаются при а = Ь (в первом случае при а = 1 ) .
J
Полезны также некоторые их следствия:
а + -а1 � 2
а > О; а + -а1 :::; -2 при а < О.
Равенства достигаются при а = 1 в первом случае и при а = - 1 - во вто
при
ром.
Системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнением с двумя неизвестными х и у называется пара функций
от двух переменных ( х и
у ), соединённых знаком равенства:
f(x, у) = g (x, у) .
Решением такого уравнения называется всякая пара чисел (х0, Уо),
подстановка которых в уравнение вместо соответствующих неизвестных
обращает это уравнение в верное числовое равенство.
Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара
уравнений с двумя неизвестными:
{ f(x,
у)
h(x, y )
=
=
g (x, у),
t(x, y ).
Краткий теоретический справочник
334
Решением системы называется всякая пара чисел (хо, Уо). являюща
яся решением и первого, и второго уравнений системы.
Решить систему это значит найти все её решения или доказать,
что система решений не имеет.
-
С истемы ли н ей ны х урав н е н и й
{ аа1х2х
+ Ь1у = с 1 '
+ J._
VJ.Y = с2 .
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
Пусть дана система
l.
а 1� - а2 Ь1 =F О .
{ а11С�2 - а22Ь1с1
2. Система имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, коrда
а -а =
=
О,
О
Ь1 с2 - � с1 = О.
,
3. Система не имеет решений тогда и только тогда, когда
а1 � - а2Ь1
=
О, но а1 с2 - а2 с1 =F О или Ь1 с2 -:- � с1 =F О.
§ 1 О. Неравенства
Нераве н ст ва и с и стем ы н ераве н ств
Неравенством с одним неизвестным называется пара функций
от одной и той же переменной, соединённая одним из знаков: > � ,
,
� . =f: .
<,
Решением неравенства (системы неравенств) называется всякое
действительное число, подстановка которого в неравенство ( каждое нера
венство системы) вместо · каждого вхождения неизвестного ( переменной)
обращает это неравенство ( все неравенства системы) в верное числовое
неравенство ( верные числовые неравенства ).
Решить неравенство (систему неравенств) значит найти мно
жество всех решений этого неравенства ( этой системы неравенств) или
доказать, что оно (она) решений не имеет. Два неравенства (две систе
мы неравенств ) называются равносильными, если множества их реше
ний совпадают. Соответственно, преобразования неравенства называют
ся равносильными, если при этих преобразованиях множество реше
ний полученного неравенства совпадает с множеством решений исходного
неравенства.
-
335
§ 10. Неравенства
Отметим, что проверка правильности всех найденных решений нера
венства подстановкой в исходные неравенства в подавляющем большин
стве случаев невозможна. Поэтому при решении неравенств ( систем нера
венств) нужно пользоваться равносильными преобразованиями ( равно
сильными преобразованиями в рамках ОДЗ ). Нахождение ОДЗ не обя
зательно, если вы пользуетесь исключительно равносильными преобра
зованиями. В противном случае нахождение ОДЗ обязательно. При этом
возможны два подхода к оформлению решения:
1 . ОДЗ в виде неравенства или системы неравенств присоединяют
к данному неравенству (данной системе ) и полученную систему решают.
2. Находят ОДЗ. Решают данное неравенство (систему неравенств),
пользуясь лишь равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ. Из по
лученных решений удаляют те, которые не входят в ОДЗ .
Объединение неравенств
Отметим также, что часто решениями данного неравенства ( системы
неравенств ) является объединение решений двух или более неравенств
(систем неравенств). В таких случаях мы будем употреблять запись ви/ (х ) ;;::: g (x),
да
h(x) < и(х ) .
Эту запись будем называть объединением неравенств. Решением
объединения двух неравенств является всякое число, являющееся реше
нием хотя бы одного из двух неравенств объединения. И наче говоря,
для решения объединения нужно найти множества всех решений первого
и второго неравенств и найденные множес тва объединить.
[
���� О или вида ���� ;;::: О, где Р (х) , Q(x) - некоторые
Поскольку � > О <=:? Р(х ) Q(x) > О,
Рациональные неравенства
Рациональным называется всякое неравенство, сводящееся к нера-
венству вида
многочлены.
>
{ РQ(x)х Q(x) ;;:::
·
О,
( )·
�
<=:?
# О,
то для решения рациональных неравенств удобно применять метод ин
тервалов.
Р(х)
Q(x)
� 0
336
Краткий теоретический справо чник
х 2 - 7х + 10 + бх - 9 � 1.
х-3
х+ 1
Решение. х 2 - 7х + 10 + бх - 9 - 1 � О
х-3
х+1
(х2 - 7х + 10) (х + 1) + ( бх - 9)(х - 3 ) - (х - 3)(х + 1) � 0
(х - 3)(х + 1)
3
х - х 2 - 22х + 40 � О ·
(х - 3)(х + 1)
Пример. Решите неравенство
�
'
�
'
�
Числитель последней дроби разложим на множители. Подбором
находим, что х = 2 является корнем многочлена х3 - х 2 - 22х + 40.
Разделив данный многочлен (уголком или по схеме Горнера ) на х - 2,
получаем
х3 - х 2 - 22х + 40 = (х - 2) (х 2 + х - 20) = (х - 2)(х - 4)(х + 5).
Значит, Йсходное неравенство равносильно системе
{ (х(х -- 3)2)(х(х +- �1))(х +О. 5) (х - 3){х + 1)
�
О,
=f:.
Решая первое неравенство этой системы методом интервалов
( см. рис. 270 ) и выкалывая точки х = -1, х = 3, получаем ответ
--=-у
-
+
5
't
-1
Х Е (-oo; -5] U (-1; 2] U (3; 4].
-
РХ?УТ;
2
Рис. 270
3
4
х
§ 1 1 . Фу нкци и
Область определения фун к ц ии
Областью определения D(y) функции у = !(х) называется множе
ство всех значений арrумента х, мя которых выражение f(x) определено
( имеет смысл ). Например, рассматривается функция у = sin х на отрезке
[ О; 7r]. В данном случае D(y) = [ О; 7r], так как данной фразой функция
у = sin x определена лишь на отрезке [ О; 7r]. Если же рассматрива
ется функция у = sin x без каких-либо оговорок, то это означает, что
D(y) ,,; R. В этом случае говорят также, что функция у = sin х определена
JX-1
на- всеи. числовои. прямои.
· пусть рассматривается Функция у = х2 - 4 .
В данной фразе также нет каких-либо оговорок относительно того, на ка
ком числовом промежутке рассматривается функция. Вместе с тем мы
,
§ 1 1. Функциlj
<
<
337
видим, что эта функция не определена д.ля х 1, так как при х 1 под
корнем будет отрицательное число. Эта функция также не определена при
х ±2, так как при х = ±2 знаменатель обращается в нуль. Таким обра
зом, д.ля данной функции D(y) = [1; 2) U {2; +оо).
Напомним области определения основных элементарных функций .
Область определения любого многочлена R.
D (о/Х) = ( О; +оо) ;
D ( ; ) (-оо; ·О) U (О; +оо ) ;
D (1oga x) = (О; +оо ) ;
n (2k+�) R;
D (sin x) = D(cosx) = R;
D (ax ) = R;
=
-
=
=
D (arcsinx) = D (arccosx) = [-1;
D ( arctg х) = D ( arcctg х) = R;
1 ];.
D (tgx) (-� + 2'11' k ; � + 211'k) U (� + 2'11' k j � 11' + 211'k) , k Е Z,
Ил и D (tg х ) x =f:. � + 'll'k , k E Z;
D (c g x ) ( 2 11'k; 11' + 2'11' k) U ( + 2'11' k ; 211' + 211'k) , k Е Z,
Или D (сtg х) : x =f:. 'll' k , k E Z.
=
:
t
�
'11'
=
Множество значений функции
Множеством (областью) значений Е(у) функции у = f(x) назы
вается множество всех таких чисел у0, д.ля каждого из которых найдётся
такое число хо. что f (хо ) Уо ·
Напомним области значений основных элементарных функций.
Областью значений всякого многочлена чётной степени является про
межуток [m; +оо), где наименьшее значение этого многочлена, либо
промежуток (- оо; ], где наибольшее значение этого многоч.Лена.
Областью значений всякого многочлена нечётной степени является R.
=
т -
n
n -
338
Е ( ; ) = ( - оо ; О) U (О; + оо ) ; Е (2� ) = [о; +оо) ;
E (2k+� ) = R;
Е (а"' ) = (О; +оо) ;
Е (loga x ) = R;
E {sinx) = E(cosx) = [- 1; 1] ;
E {arcsinx) = [-�; � ] ;
E . { arccos x) = [ О; 7r] i
Е (arctg x) = (- � ; � ) ;
E (tg x) = E(ctgx) = R;
E {arcctgx) = {О ; )
Краткий теоретический справо чник
7r .
Отметим, что задания на нахождение множества значений какой
то функции решаются преимущественно двумя методами: аналитическим
и алгебраическим .
Замечание. Предположим, что функция /( х ) является сложной
функцией, в которой можно выделить «подфункцию» t = t(x). Тогда
у = f(t) = f(t(x)). Отметим, что неважно, какой является функция
t = t(x) - возрастающей, возрастающе-убывающей· и т. д. Если нам
известна её область значений E{t), то при нахождении области значе
ний функции у = /(t) = f (t(x)) целесообразно считать, что t воз
растает на E(t) как какой-то новый арrумент. В соответствии с этим
функцию у = /{t) целесообразно считать такой, каковой она является
от арrумента t на промежутке E(t). Например, пусть нам дана функция
у = 2 cosx + 1. Вводим новую переменную t(x) = cos x. Понятно, что
E(t) = [-1 ; 1] . Тогда функцию y(t) = 2t + 1 целесообразно считать
линейной на промежутке [- 1 ; 1] . Это никак не повлияет на нахождение
Е(у) , но при этом облегчит нам эту процедуру. Находим Е(у). Функция
y(t) = 2t + 1 на промежутке [- 1 ; 1] является линейной и возрастающей,
поэтому Е(у) = [2 (-1) + 1 ; 2 · 1 + 1] = [-1; 3] .
При решении задач аналитическим методом будем пользоваться сле
дующими фактами.
l . Пусть /(х) - какая-либо функция и lim f(x) +оо , где а какое-либо число, или а = +оо , или а = Тогда lim /(lХ ) О, причём
при значениях х, достаточно близких а, величина f tx) будет достаточно
близкой к нулю, но вместе с тем больше нуля . В этом случае мы будем
=
х -+ а
- оо .
к
х -+ а
=
го-
§ 1 1. Функции
/(lХ ) =
ворить, что величина
к а: lim
ж-+а
J (lx) стремится к нулю справа при х, стремящемся
339
+о. В этом случае будем употреблять запись -1-
0
+оо
2. Аналогично мы будем употреблять также запись вида -1-
О
)
- 00
= +о.
= -0.
3. Пусть теперь lim !(х) = , причём при всех х, достаточно близких
ж -+ а
к а, функция f(x) >
.
будем записывать в виде
.
lim
_;0 = +оо.
О. Тогда
ж -+ а
/(1
Х
= +оо .
4. Аналогично мы будем употреблять запись
Этот факт мы иногда
!0 = - оо.
5. Ниже мы приводим записи, которые будем в дальнейшем использо
вать, но понимать эти записи следует не в буквальном смысле. Фактиче
ский смысл этих записей вам предлагается привести самим.
{
оо
log"(+O) = { +- оо
а
+оо
+оо при а > 1 ,
= +о
при О < а < 1 ;
п ри а > 1 ,
п ри О < а < 1;
x) = f(x).
а
-оо _
{ +оо
+О при а > 1 ,
при О < а < 1;
{
+оо при а > 1 ,
log"(+ oo) = -оо при О < а < 1 .
D(J)
D(J)
Функция
f(x) называется чётной, если для любого х Е
верно равенство f ( График �ётной функции симметричен от
носительно оси
Функция
f(x) называется нечётной, если для любого х Е
верно равенство f( - x)
График нечётной функции симметричен
относительно начала координат.
Ч ётность и н е чётно сть ф ун к ции
у=
Оу.
у=
= -f(x) .
Краткий теоретический справо чник
340
Граф ики элементарн ых фун кц ий . На рисунках 271 -276 изображе
ны графики основных элементарных функций.
у
\
J
�х
-l O
Рис. 271
l
1
У = -х
г
и
Y = VX
Рис. 272
У = а", О < а < 1
У = tl, а > 1
� �
Рис. 273
х
§ 1 1. Функции
y= log� О
<а<
1 y = log�
а >· 1
341
��
Рис. 274
Рис. 275
Y = tg x
2
у
у
х
7t 1
-- 1
1
У = ctg x
о
l
i
1
1
Рис. 276
7t
х
Построение графиков функций «механи ч ескими » п реобразова
ниями
Гра фик функции у = -f(x) получен и з гра ф ика функции у = f(x)
отражением относительно оси Ох (см. рис. 277).
- --"""
"
"
y = -f(x)
"
"
"
""
"
х
•
•
•
•
•
·
·
"" • • •
Рис. 277
у = f(x)
342
Краткий теоретический справочник
График функции у = ! (-х) получен из граф ика функции у = !(х)
отражением относительно оси Оу (см. рис. 278 ).
у = f(-x)
''
''
''
'"
"" • •
y =f(x)
Рис. 278
Гра фик функции у = т f(x), т > 1, получен из графика функции
у = f(x) растяжением в т раз вдоль оси Оу от оси Ох (см. рис. 279).
·
m > l
х
у
= т ·f(x)
Рис. 279
График функции у = т f(x) , О < т < 1, получен из графика функции
1
у = f (x) сжатием в - раз вдоль оси Оу к оси Ох (см. рис. 280).
т
·
О<т< 1
х
= f(x)
,IY
'".#"
у т
=
Рис. 280
·f(x)
343
§ 1 1. Функции
График функции у = f( kx) , k > 1, получен из графика функции
у = f(x) сжатием в k раз к оси Оу вдоль оси Ох ( см. рис. 28 1 ).
k> l
..,
,
,
,
,
,
,
.
.
.
.
.
.
•
•
.
.
.
.
.
,
,
,
,
,
.... _,
.
.
.
.
,
,
,
,
х
\,_./ У
у = f(k· x)
•••
=
f(x)
Рис. 28 1
График функции у = f(kx) , О < k < 1, получен из графика функции
1
у = f(x) растяжением в k раз от оси Оу вдоль оси Ох (см. рис. 282).
O<k< l
Рис. 282
График функции у = f(x) + Ь получен из гра ф ика функции у = f(x)
сдвигом вверх на число Ь при Ь > О и сдвигом вниз на число ( -Ь) при Ь < О
( см. рис. 283 ).
\
""
х
f(x) + b
''· У = f(x)
"
у =
Рис. 283
344
у =
f(x)
Краткий теоретический справо чник
м
у =
f(x + a), а < О
х
Рис. 284
Граф ик функции у = f(x + а) получ ен из графика функции у = f(x )
сдви гом вп раво на число -а при а < О и сдвиго м вл ево на число а п ри
а > О (см. рис. 284 ).
х
о
У = f(x)
Рис. 285
Гра фик функции у = l f{x) I (см. рис. 286) получен из графика функ
ции у = f(x) (см. рис. 285) отражением относительно оси Ох части этого
графика, лежащей ниже оси Ох.
о
у=
if(xJ I
Рис. 286
х
§
l J.
Функции
345
График функции у = /( lx l ) (см. рис. 287) получен из графика функ
ции у = !(х) ( см. рис. 285) объединением части этого гра фика, лежащей
правее оси Оу, с её отражением относительно оси Оу и удалением части,
лежащей левее оси Оу.
х
У = f�xl)
Рис. 287
О пределение п роизводной
Пусть функция у = f(x) определена в точке х и некоторой её окрест
ности ( интервале, содержащем точку х ). Дадим арrументу х прира
щение дх (положительное или отрицательное), такое, чтобы не выйти
из указанной окрестности. Найдём соответствующее приращение функ-
ду = f(x + дх) - /(х) и составим отношение � · Если существует
предел этого отношения при дх
О, то этот предел называется произ
водной функции у = f(x) в точке х и обозначается f'(x) :
ду = lim f(x + дх) - f(x) .
f' (x) = lim
дх->О Д х
дх->0
дх
ции
---+
346
Краткий теоретический справо чник
()
Табли ца п ро и зводн ых основных элеме нтарных ф унк ций
= О ( с - const ) ;
1
(у'х) = 2 у'Х ;
{sin x)' = cos x;
(tg x)' = 1 '·
cos2 х
(ах)' = ах ln a;
(log ) = -1- ·'
x · ln a
( с)'
1
а
х
'
.
( arcsш х )'
(arctg x)'
=
=
(х а )' = а · х а - 1 ( а - const);
1 '
1 ;
х = -?
= - sin x;
(ctg x)' = -� ;
sш х
(ех ) ' = .ех;
{ ln x)' = �;
(cos x)'
1
1
;
; {arccos x)' = v'l - х 2
l - xv�
l
1
�
+ х ; (arcctg x)' = - �
+х .
О с н ов ны е п р авила дифф ерен цирования
(с
и) ' = с · и', - const;
(uv)' = u'v + uv';
у = f (g (x) ) , у' = f� ( u) · g� (x) ,
·
с
(u ± v)' = и' ± v' ;
u v - uv j
'
=
(�)v
v2
где и = g(x).
1
1
Отметим, что справедливо следующее свойство:
если функция f(x) чётна (нечётна) и дифференцируема на всей
области определения, то функция f' (x) является нечётной (чёт
ной) .
Геометр ич еский см ы сл производной
f' (x0) является угловым коэффициентом касательной к графику
функции у = f(x) в точке с абсциссой х0 • Напомним, что угловой ко
эффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с по
ложительным направлением оси Ох. Уравнение касательной к графику
функции у = f(x) в точке с абсциссой х о :
у = f(xo ) + f' (xo) (x - хо) .
Механ ич еский с мысл произв одной
Пусть S = S ( t) - уравнение зависимости пути от времени при движе
нии какого-либо тела. Тогда S'( t) - скорость движения этого тела в мо
мент времени t. S" ( t) - ускорение движущегося тела в момент времени t.
347
§ 1 1. Функции
В оз р астание и уб ы в ан и е функ ци и
Функция у = f(x) возрастает (убьtвает) на множестве А, если
<
х1, х2 Е А, таких, что х1
!(х1 ) < f(x2 ) ( f(x1) > / (х 2 ) ).
ддя любых
х2 ,
выполняется неравенство
Замечание. Если функция возрастает (убывает) на двух промежут
ках, из этого ещё не следует, что она возрастает (убывает) на объеди-
нении этих промежутков. Например, функция у = ! убывает на про
х
межутках (- оо ; О ) и ( О ; +оо ), но она не является убывающей на области
определения.
Если на каком-то промежутке функция у = f(x) возрастает (убывает)
и дифференцируема на этом промежутке, то f '(x) � О (!' (х) � О) , причём
равенство нулю невозможно на промежутке ненулевой м ины.
Верно и обратное утверждение, которое мы сформулируем в частном
случае. Если на каком-то промежутке f'(x) � О ( !'(х) � о) , при
чём равенство f '(x) = О достигается лишь в конечном числе точек это
го промежутка, то функция у = f(x) на этом промежутке возрастает
(убывает). Отсюда следует, что если производная в точке х о меняет знак
с « +» на « - » (с « - » на « + » ), то функция у = f(x) в этой точке меня
ет возрастание на убывание (убывание на возрастание). А это значит, что
функция у = f (x) имеет в точке х0 максимум ( минимум).
Предд агаем доказать самостоятельно, что дд я сложной функции
f (g (х) ) двух непрерывных функций f (х) и g (х) справедд ива данная ниже
таблица, в которой « +» означает возрастание функции, а « - » - убыва
ние.
f (x)
g (x)
f (g(x) )
+
+
+
+
-
+
-
-
+
Наиб оль ш ее и наи м е н ь ш ее з нач е н ия фун к ции
Значение /(хо) функции f (x) в точке х0 называется наибольшим
(наименьшим) значением этой функции, если для любого х из D(f) вы
полняется неравенство
! (хо) � f(x) (/(хо) � f(x) ) .
348
Краткий теоретический справо чник
Справед,лива следующая теорема.
Дифференцируемая на (а; Ь) и непрерывная на [а; Ь) функция
у = f (x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения
на границе отрезка [а; Ь] или в одной из стационарных точек на ин
тервале (а; Ь).
В частности, если функция удовлетворяет условиям теоремы и име
ет единственную критическую точку, которая является точкой максимума
( минимума ), то в ней достигается наибольшее ( наименьшее ) значение.
Алгоритм по и ска н аибольшего ( наименьшего ) значения функ
ции
Чтобы найти наибольшее ( наименьшее) значение непрерывной функ
ции у = f(x) на отрезке [а; Ь) , применяют следующий алгоритм.
l . Находят значения функции на концах отрезка в точках а и Ь, то есть
f(a) и f( b).
2. Находят все стационарные точки, принад,лежащие интервалу (а; Ь) .
Для этого решают уравнение f '(x) = О и отбирают те его корни, которые
принад,лежат (а; Ь) . Затем находят значения функции f (x) в этих точках.
3. Находят остальные критические точки ( не являющиеся стационар
ными ), принад,лежащие интервалу (а; Ь) . Для этого находят такие точ
ки х 0 , в которых функция f (x) определена, но производная функции f '(x)
не определена, то есть выражение f(x0) определено, а выражение f'(x0)
не определено. Из найденных точек отбирают те, которые принад,лежат
(а; Ь). Затем находят значения функции f (x) в этих точках.
4. Из всех чисел, найденных в пунктах 1 , 2 и 3, отбирают наибольшее
( наименьшее).
Замечание. Иногда применение 2-го, а особенно часто 3-ro пункта
этого алгоритма никаких чисел "на выходе не даёт. Например, если функ
ция f(x) на [а; Ь] монотонно возрастает, то в этом случае она вообще не
имеет критических точек на (а; Ь). Её наибольшее значение в этом случае
равно f(Ь) , а наименьшее равно f(a ). Другой пример: если функция f (x)
дифференцируема на (а; Ь), то все её критические точки являются стацио
нарными. В этом случае 3-й пункт алгоритма можно просто пропустить.
П р и ме р . Найдите наименьшее значение функции
у=
� xt - 2х + 2 на отрезке [О; 27].
Решение.
1 . Найдём значение функции на концах отрезка:
�
349
§ 1 1. Функции
у(О) = · О� - 2 · О + 2 = 2;
35 .
у (27) = 43 . 27 13 - 2 . 27 + 2 = 43 34 - 2 . 27 + 2 = 4
.
2. Найдём стационарные точки; принадлежащие интервалу (О; 27).
у = 43 . 34 . х 1з _ 1 - 2 = х 1з - 2
1
.
хЗ -. 2 = О; х = 8
1
валу
-
стационарная точка у ( х ) . Она принадлежит интер-
(О; 27), поэтому найдём у (8 ) = 43
4
·
83
- 2 · 8 + 2 = -2.
'
Так как у ( х ) = х 1 1 3 - 2 всюду определена на интервале (О; 27),
то критических точек, не являю�цихся стационарными, на этом интервале
нет.
3.
2, з; и -2 наименьшим является -2.
Ответ: -2.
4. Из чисел
Применение свойств фун кц ий при решении уравнений
Рассмотрим уравнение ! (х) = g (x) .
1 . Пусть на ОДЗ уравнения функция f(x) возрастает, а g(x) убывает.
Тогда уравнение не может иметь более одного корня.
2. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а; Ь] и выпол
няются неравенства f(a) > g(a) , f( Ь) < g(Ь) . Тогда уравнение имеет по
крайней мере один корень на интервале (а; Ь) .
3. Пусть число А является наибольшим значением функции !(х)
и наименьшим значением функции g(x) . Тогда исходное уравнение равносильно на ОДЗ системе уравнений
{ :[:j : �:
Первообразная
Пусть f (x) - некоторая ф� я, заданная на некотором числовом
промежутке А. Если функция F (x) такова, что для любого х из проме
жутка А F'(x) = f( x ) , то F(x) называется первообразной функцией
для функции J(x) на промежутке А.
Отметим, что две первообразные для одной и той же функции отлича
ются на постоянную. И обратно, если F(x)
первообразная для f(x) ,
то для любого с (с
const) функция F(x) + с тоже первообразная
для функции f ( x) .
-
-
Краткий теоретический справочник
350
Приведём таблиuу первообразных д.nя основных элементарных функ
ций. Буквой с везде обозначается произвольная постоянная.
a+ l
F (x°') = ax l + с (а # - 1);
+
F ( �) = ln lxl + с;
F (sin x ) = - cos x + с;
F (cos x ) = sin x + с;
F ( � ) = ln x + с, х > О;
( )
F
F + = tg x + c;
cos х
аж + с;
F (аж) = ln a
F
F ( � ) = ln (-x) + c, х < О;
= - ctg х + с;
(+
sm х )
F(еж) = еж -i- с;
= arctg x + c;
(�
1+х )
F
) = arcsin x + с.
(h
1 - х2
Не о пре делённый инт е грал
Неопределённым интегралом функции f(x) называется множество
всех её первообразных. Неопределённый интеграл функции f(x) обозначается через 1 !( х )dx и вычисляется по формуле
1 f(x )dx = F( x ) + с, где F( x ) - первообразная д.nя функции f(x).
Кроме того, при нахождении интегралов можно пользоваться форму
лами:
1 ( f(x) + g (x) ) dx = 1 f(x) dx + 1 g (x)dx ;
1 kf(x )dx = k 1 J( x)dx , где k Е R.
Определённый интеграл
ь
Определённый интеграл
ь
1 f (x)dx можно найти по формуле
а
1 f(x )dx = F(Ь) - F (a), если f(x) непрерывна на
а
[а; Ь),
а F(x) -
первообразная д.nя f(x). Для приведённой формулы используется сокра
щённая запись:
ь
ь
1 f(x)dx = F (x) la ·
а
§ 12. Планиметрия
ь
Справедливы формулы:
ь
351
ь
ь
1 k f (x)dx = k 1 f(x)dx, где k Е R;
а
ь
а
1 (/ (х) + g (x) ) dx = 1 J (x)dx + 1 g(x)dx .
а
ь
а
а
Площадь криволинейной трапеции (см. рис. 288 ) можно вычислить
по формуле S
1 (! (х) g (x))dx.
=
-
а
у� ,
/
о
/ 7,
/,
� %-r7:: ....
/j. � %- '/. z '/":: '--; %г;.?.
l/j. % 'l, 'l, r,;: 'l, 'l, 'l,, 'l,. � /j. �
� 'l, и
"' -..a i/'.:: �
\
"
"'< r,;:
"<
� � /j z tu
� 'Z. � " ь
/
/
У =j(x)
v
y = g(x)
-
х
Рис. 288
§ 1 2 . Планиметрия
Параллель н ые прямые
Свойства и признаки параллельных пр я мых
1. Аксиома параллельных . Через данную точку можно провести
не более одной прямой, параллельной данной.
2 . Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они парал
лельны между собой.
3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, парал
лельны.
4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные
при этом внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы
равны, внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°.
5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные
внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
352
Краткий теоретический справо чник
6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные со
ответственные углы, то прямые параллельны.
7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних одно
сторон_них углов равна 180° , то прямые параллельны.
Теорема Ф м еса . Если на одной стороне угла отложить равные от
резки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие
вторую сторону угла, то на второй стороне угла ·отложатся также равные
отрезки.
Теорема о пропорционмь ных отрезках . Параллельные прямые,
пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные
отрезки.
Треугольник
Признаки равенства треугольников
1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответ
ственно равны двум сторонам � углу между ними другого треугольника,
то треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то треугольники равны.
3: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём
сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
П ризнаки равенства прямоугольных треугольников
1 . По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу.
4. По катету и острому углу.
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё
1 . Сумма внутренних углов треугольника равна 180° .
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смеж-
ных с ним углов.
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180° (n 2).
4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360° .
5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они
оба острые или оба тупые.
-
§ /2. Планиметрия
353
6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90° .
7. Биссектрисы внуrренних односторонних углов при параллельных
прямых и секущей перпендикулярны.
О сновные свойства и признаки равнобедре н ного треугольника
1 . Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота,
проведённые к основанию, совпадают.
4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки:
медиана, биссектриса, высота, - то он является равнобедренным.
Н еравенство треугольника и следствия из него
1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало пер-
вого звена с концом последнего.
3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то:
1 ) перпендикуляр короче наклонных;
2 ) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Средн яя ли ния треугольника. Отрезок, соединяющий середины
двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Теорема о средне й линии треугольника. Средняя линия треуголь
ника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
1 . Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею
в отношении 2 : 1 , считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
проведена, то треугольник прямоугольный.
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла, равна половине гипотенузы.
Теоремы о медианах треугольника
Сво й ство серединных перпендикуляров к сторонам треугол ь
н и ка. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересе
каются в одной точке, которая является центром окружности, описанной
около треугольника.
23. Зак. № 1 2 1
354
Краткий теоретический справо чник
Теорема о в ы сотах треугол ь н ика .
треугольника, пересекаются в одной точке.
Прямые, содержащие высоты
Теорем а о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, впи
санной в треугольник.
Свойство биссектрис ы треугол ь н и ка. Биссектриса треугольника
делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Признаки подо бия треугол ь н иков
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум уг
лам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорцио
нальны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторо
нами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорцио
нальны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Пло щ ади подоб ных треугольников
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся
как произведения сторон, заключающих эти углы.
Прямоугольн ый треуголь н ик
·
1 . Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотену
зы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету
острого угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умножен
ному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому
катету острого угла.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° ,
равен половине гипотенузы.
4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотену
зы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30° .
5. R
=
�; r = а + �
с
-
= р - с,
прямоугольного треугольника;
окружностей соответственно.
r
иR
где а, Ь
-
-
катеты, а с
-
гипотенуза
радиусы вписанной и описанной
23'
§ /2. Планиметрия
355
Теорема Пи ф агора и теорема, обратна я теореме Пи ф агора
1. Квадрат mпотенузы прямоугольного треугольника равен сумме
квадратов катетов.
2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов дВух
друmх его сторон, то треугольник - прямоугольный.
Средние пропорциональные в прямоугольном треуголь н ике
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины пря
мого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипоте
нузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей
проекции на гипотенузу.
Метрические соотношения в треугольнике
1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удВоенного произведения этих сторон
на косинус угла между ними.
2. Следствие из те оремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Ф ормула для медианы треугольника . Если m - медиана тре-
угольника, проведённая к стороне с, то m =
� ./2а2 + 2Ь2 - с2 , где а и Ь -
остальные стороны треугольника.
4. Теорема синусов . Стороны треугольника пропорциональны сину
сам противолежащих углов.
5. Об общённая теорема синусов . Отношение стороны треугольника
к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной
около треугольника.
Формул ы площади треугольника
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания
на высоту.
2. Площадь треугольника равна половине произведения дВух его сто
рон на синус угла между ними.
3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра
на радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делён
ному на учетверённый радиус описанной окружнос_ти.
5. Формула Герона: S = Jp(p - а) (р - Ь) (р - с) , где р - полупери
метр; а, Ь, с - стороны треугольника.
24. З а к . № 1 2 1
356
Краткий теоретический справочник
Элементы равностороннего треугольника
Пусть h, S, r , R - высота, площадь, радиусы вписанной и описанной
окружностей равностороннего треугольника со стороной а. Тогда
.
h. аvГз
2
=
'
r
=
аvГз . R аvГз . R
з
6
'
=
'
=
2r·,
2
S а 4JЗ .
=
Чет ы рёхугольник
Параллелограмм . Параллелограммом называется четырёхугольник,
противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и призна ки парал лелограмма
1 . Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пере
сечения пополам.
5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны,
то этот четырёхугольник - параллелограмм.
6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и па
раллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения по
полам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
2.
Свойство середин сторон чет ы рёхугольника. Середины сторон
любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, пло
щадь которого равна половине площади четырёхугольника.
П рямоугольни к. Прямоугольником называется параллелограмм
с прямым углом.
Свойства и признаки пря м оугольника
1 . Диагонали прямоугольника равны.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм прямоугольник.
2.
Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны кото
рого равны.
Р о м б . Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого
равны.
24'
§ 12. Планиметрия
357
Свойства и признаки ромба
1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот парал
лелограмм - ромб.
4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот
параллелограмм - ромб.
Трапеци я . Трапецией называется четырёхугольник, у которого толь
ко две противоположные стороны ( основания ) параллельны. Средней ли
нией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллель
ных сторон ( боковых сторон ).
1. Теорема о средней линии трапе ции . Средняя линия трапеции па
раллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полу
разности оснований.
Заме ч ательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей
трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины ос
нований лежат на одной прямой.
Равнобедренная трапеция. Трапеция называется равнобедренной,
если её боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание
равна полуразности оснований, а проекция диагонали - полусумме осно
ваний.
Фор мулы площади четырёхугольника
1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на вы
соту.
2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сто
рон на синус угла между ними.
3. Площадь прямоугольника равна произведению дВУХ его .соседних
сторон.
4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
358
Краткий теоретический справо чник
5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на
высоту.
6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диа
гоналей на синус угла между ними.
7. Формула Герона дпя четырёхугольника, около которого можно опи
сать окружность: S = J(p - а)(р - Ь)(р - с) (р - d), где а, Ь , с, d
стороны этого четырёхугольника, р полупериметр, а S площадь.
-
-
-
Подобные ф игур ы
1 . Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур
равно коэффициенту подобия.
2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициен
та подобия.
П равильный многоугольник
Пусть a n
сторона правильного n-угольника, а rn и Rт.
радиусы
вписанной и описанной окружностей. Тогда
1800 rn . Tn = D cos 1 80 0 .
180 0 . аn - 2 tg п
аn 2 .tDt.тi . sin n
.t t.тi
. ·
'
n
-
-
-
•
Ок ружн ость
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
О сновные свойства окруж ности
1 . Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею
дуги пополам.
2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диа
метром, перпендикуляр_ен этой хорде.
3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружно
сти.
4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5. Хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния,
равны.
6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7. Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами,
равны.
8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.
359
§ 12. Планиметрия
Замечател ьные свойства окруж ности
1. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под
прямым углом ( LAMB = 90° ), есть окружность с диаметром АВ без то
чек А и В.
2. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под
острым углом ( LAMB < 90° ), есть внешность круга с диаметром АВ без
точек прямой АВ.
3. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под
тупым углом ( LAMB > 90° ), есть внутренность круга с диаметром АВ
без точек отрезка АВ.
4. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под
данным углом, есть две дуги равных окружностей ( без концов этих дуг).
Касательная к окруж ности
Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, назы
вается касательной к окружности.
1 . Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку каса
ния.
2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности, перпенди
кулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая а
касательная
к окружности.
3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности
в точках А и В, то МА = МВ и LAMO = LBMO, где точка О - центр
окружности.
4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на б.иссектрисе этого
угла.
-
Каса ю щиеся окруж ности
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную
общую точку (точку касания ).
1. Точка касания двух окружностей лежит на линии центров этих
окружностей.
2. Окружности радиусов r и R с центрами 01 и 02 касаются внешним
образом тогда и только тогда, когда R + r = 01 02 .
3. Окружности радиусов r и R ( r < R) с центрами 01 и 02 касаются
внутренним образом тогда и только тогда, когда R r = 01 02 •
4. Окружности с центрами 01 и 02 касаются внешним образом в точ
ке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А
и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К,
в точке С. Тогда LAKВ = 90° и L01 СО2 = 90° .
-
·
360
Краткий теоретический справо чник
5. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окруж
ностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной,
заключённому между общими внешними касательными. Оба эти отрезка
равны 2..ff[i..
У глы, связан н ые с окруж ность ю
1 . Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё
опирающегося.
2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую
он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одиу и ту же дугу, равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противо
положных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен
полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания,
равен половине угловой величины дуги, высекаемой на окружности этой
хордой.
Свойства хорд окруж ности
1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикуляр
на их общей хорде.
2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересека
ющихся в точке Е, равны, то есть АЕ · ЕВ = СЕ · ED.
В писанные и описанные окруж ности
1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треуголь
ника совпадают.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольни
ка, - середина гипотенузы.
3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его
противоположных сторон равны.
4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его
противоположных углов равна 180° .
5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°,
то около него можно описать окружность.
6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона
трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
§ 12. Планиметрия
361
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности
есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит
боковую сторону.
8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его пло
щадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой
окружности.
Теорема о касател ьн ой и секущей и следствие из неё
1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секу
щая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату
касательной.
2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки
и данной окружности постоянно.
Длина окруж ности радиуса R равна 2п R.
Площ адь круга радиуса R равна п R2 •
362
Краткий теоретический справо чник
О сновн ы е ф ормулы
Далее S - площадь фиrуры, Р - периметр, р - полупериметр.
Черте ж и
Об означ ени я
а, Ь, с - стороны;
8
hь = 2
ь
А, В, С - противо
ВЫСОТЫ,
лежащие им углы;
ha , hь, hc -
в
проведённые к соответ
ствующим сторонам;
па , пь, пс - биссектри
сы, проведённые к соот
ветствующим сторонам;
Ьа и Ьс - отрезки, на
которые делится биссек
трисой сторона Ь;
та, ть, те - ме
проведённые
дианы,
к соответствующим
сторонам;
Формулы
ть = l v'2a2 + 2с2 - Ь2
2
2
пь = -- .jacp(p - Ь)
а+с
пь = v'ac - ЬаЬс
S=
4
a ha =
4 ab sin C
2
8 = а sin B sin C
2 sin A
S = 2R2 sin A sin B sin C
S=
r2 ctg А2 ctg В2 ctg Q_2
S = pr = aЬc
4R
S = .jp (p - а) (р - Ь) (р - с)
2
полусумма медиан;
4
R - радиус описанной S = 3 ..;µ, х
,..,.---'""',.... --..,...,..---..,.
окружности;
х .j (µ - та ) ( µ - т ь ) (µ - т с )
т - радиус вписанной
окружности
а,
Ь, с, d - стороны;
8 = h i + h2 D i
Четырёхуrольник
D
2
, D2 - диагонали;
1
ь
'У - угол между диаго1
S = 2 D1D2 sin 'У
налями;
с h i , h2 - Д/IИНЫ перпендикуляров, опущен - S = ( ab sin a + cd sin ,8}
ных на диагональ D1 ;
а , ,8 - два противо
d
лежащих угла четырёх
угольника
µ =
(та + ть + тс)
�
§ 12. Планиметрия
Черте ж и
Трапеция
ь
363
Об означ ения
Формулы
а, Ь - основания;
т = ( а + Ь)
с, d - боковые стороР 2m + с + d
ны;
- диагонали ;
8 = ( а + Ь) h = mh
а
угол между диагоналями;
т - средняя линия;
h :_ высота
!2
=
D 1 , D2
-
а
ПараJШелоrрамм
а
а
_21
а, Ь - стороны;
S
h - расстояние между S
сторонами Ь;
8
а - угол параллелограмма;
- диагонали;
'У - угол между диаго
налями
=
=
=
Ьh
аЬ
sin
_21 DiD2 sin 'У
а
D1, D2
Ромб
$
Правильный
многоугольник
-
а - сторона;
угол ромба ;
- диагонали
а
D1, D2
n - число сторон;
а - сторона;
R - радиус описанной
окружности;
r - радиус вписанной
окружности;
() = 1 80° - 2 -у
угол
("(
многоугольника
0
= 1
�)
2./R2 - r2
na
2nR sin 'У = 2nr tg 'У
8 !na2 ctg 'У
4
nr2 tg-y
S
S = !nR2 sin 2-y
2
S
� riaт
а=
Р
Р=
=
=
=
=
364
Краткий теоретический справо чник
Че ртежи
Круг
Круговое
R - радиус;
l - длина окружности
т
- внугренний радиус;
R - наружный радиус ;
d - внугренний диаметр ;
D - наружный диаметр;
= т + R - средний ра2
диус ;
= R - r - ширина
кольца;
о: - центральный угол
части кольца ( в градусах)
р
б
Кругово �
сегмеш
@
Круговой
сектор
Q
о
Фор мулы
Об оз н ач ения
8 = 7r R2
l = 21rR
8 = 7r (R2 - r 2 )
8 = :!!. { D 2 - d2 )
8=
4
27rрб
Площадь части кольца:
8 = 7ro: (R2 - r2 )
360
8 = 7ro: (D 2
90
8 = ;в�рб
�
- d2)
P=l+a
r - радиус;
о: - центральный угол
8 = r2
- sin o:
( в градусах);
r{l - a} + ah
т - длина дуги;
l=
8=
2
а - длина хорды ;
h - высота
;В�
( ;8�
P = l + 2r
r - радиус ;
о: - центральный угол
8 = !!
2
(в градусах);
2
r - длина дуги
l=
5 = 7r T 0:
360
;�
)
§ 1 3. Стереометрия
365
§ 1 3 . С те рео м етрия
Аксиомы стереометрии
О сновные аксиомы
1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую пря
мую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Факты, непосредственно связан н ые с аксиомами
1. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит един
ственная плоскость.
2. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная
прямая, параллельная данной.
1.
Параллельность в пространстве
Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая
а
параллельна некоторой прямой плоскости а, то прямая а параллельна
плоскости а.
2. Если через прямую а, параллельную плоскости а, провести плос
кость, пересекающую плоскость а по прямой Ь, то прямые а и Ь парал
лельны.
3. Если прямые а и Ь параллельны, а плоскость, проходящая через
прямую а, пересекается с плоскостью, проходящей через прямую Ь,
то прямая пересечения плоскостей параллельна прямым а и Ь.
4. Транзитивность параллельности прямых в пространстве . Если
прямая а параллельна прямой Ь, а прямая Ь параллельна прямой с, то пря
мая а параллельна прямой с.
5. Признак параллельности плоскостей . Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекаю
щимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
6. Если две паралле.r;� ьные плоскости пересечены третьей, то прямые
пересечения параллельны.
7. Транзитивность параллельности плоскостей . Если плоскость а
параллельна плоскости {3, а плоскость {3 параллельна плоскости -у,
то плоскость а параллельна плоскости 'У ·
366
Краткий теоретический справо чник
8. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельны
ми плоскостями, равны.
9. Через точку, не лежащую в плоскости, проходит единственная плос
кость, цараллельная данной.
Скрещива ющ иеся пря мые
1. Признак скр ещи вающихся прямых. Если прямая а лежит в плос
кости а, а прямая Ь пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на пря
мой а, то а и Ь скрещивающиеся прямые.
2. Через дВе скрещивающиеся прямые проходит единственная пара
параллельных плоскостей.
3. Геометрическое место середин отрезков с концами на дВух скрещи
вающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым и проходя
щая через середину одного из таких отрезков.
4. Угол между скрещивающимися прямыми (угол между пересекаю
щимися в произвольной точке М прямыми, соответственно параллельны
ми данным ) не зависит от выбора точки М.
5. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единствен
ный общий перпендикуляр ( отрезок с концами на этих прямых, перпенди
кулярный обеим прямым ).
-
·
Параллельное проекти р ование
1. Прямая, не параллельная проектирующей, переходит в прямую.
2. Пара параллельных прямых, не параллельных проектирующей,
переходит в пару параллельных прямых или в одну прямую.
3. При проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих
на одной прямой или на параллельных прямых.
4. Наклонная пересекает плоскость в точке, лежащей на любой её па
раллельной проекции на эту плоскость.
5. Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника
на плоскость равна произведению площади проектируемого много
угольника на косинус угла между плоскостью этого многоугольника
и плоскостью проекций.
Координаты и векторы в пр остранстве
1. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат
конца и начала данного вектора.
2. Для того чтобы векторы а и Ь были коллинеарны, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось равенство а = k · Ь , где k некоторое
число.
-
-
-
-
-
367
§ 13. Стереометрия
3. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и до
статочно, чтобы один из них можно
было представить в виде линейной
-+
комбинации двух других ( -+
а = х · Ь + у · -+с , где х, у - некоторые числа ).
4. Любой вектор можно единственным образом разложить по трём
некомпланарным векторам.
5. Если М - середина АБ, то ОМ = ОА
� ОБ.
6. Если М - середина АБ, а N - середина С D, то МN = АС
7.
Если
М -
точка пересечения медиан треугольника
тоОМ = йА +511 + ос .
МОМ = йА + ОВ1 ос + ®.
t ED .
АБС,
точка пересечения диагоналей параллелограмма АБСD,
8. Если
то
9 . Координаты середины отрезка равны средним арифметическим ко
ординат его концов.
10. Свой
с каля рно го про и зведения векто ров :
ства
-+
-+
а) -+
а · Ь -+= Ь · а ; -+
б) а -+а · -+Ь = а( -+а · Ь )-+;
в) -+
а · ( Ь -+с ) = -+а · Ь -+а · -+с ;
г)
= №;
ь) 2 = (t2 + 2 . ( а . ь) ь 2 ;
д)
е ) ( -+
а -+Ь ) 2 :s:;; -+а 2-+ -+Ь -+2 , причём равенство достигается тогда и только
тогда, когда векторы а и Ь коллинеарны;
-+
ж) ненулевые векторы -+
а и Ь перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю.
11. Расстояние меж,цу точками А (х1 ; Y i i z1) и Б(х2 ; Y2 i z2 ) равно
I AБ I = J(x2 - х1) 2 + (У2 - У1 ) 2 + ( z2 - z1 ) 2 .
12. У гол меж,цу-+н енулевыми вектора
м и . Если r.p - угол между иену-+
левыми векторами а ( х1 ; у1; z1) и Ь (х 2 ; у2 ; z2 ), то
_..,.
l(аa l
+
+
+
·
+
·
cos
r.p =
-;====:::;-;:::
;:-=
:
===
Х 1 Х 2 + У1У2 + Z1 Z2
Jх� + у� + z � Jх� + у� + z�
13. Ур авнение плоскости, проходя щей через точку М0(х0; у0; z0)
(а; Ь ; с) ( вектор . нормали),
перпендикулярно ненулевому вектору n
имеет вид
+
а(х - хо) + Ь(у - Уо) c(z - zo) = О.
368
Краткий теоретический справо чник
14. Параметрические уравнен и я п р ямой, проходящей через точку
Мо(хо; уо; zo ) параллельно ненулевому вектору m (a; Ь ; с) ( направляющий
{ ух -- уоХо == Ьt,at,
вектор ), имеют вид
Z - Zo = ct .
15. Уравнения прямой, проходящей через две точки А (х1 ; у1 ; z 1)
и В(х 2 ; У2 ; z2 ), имеют вид
х - Х 1 = у - Yl = z - Z1
Х2 - Х1 У2 - Yl Z2 - Z1
16. П р ямая ка к пересечение двух плоскостей задаётся системой
А1х + В1у + C1 z + D 1 = О,
А2 х + В2 у + C2 z + D2 = О,
где А� + В[ + С[ =F О и А� + В� + С� =F О, а коэффициенты при соответ
{
ствующих неизвестных непропорциональны.
17. У гол между плоскостями. Если ip угол между плоскостями,
О
заданны ми уравнениями А1х + В1у + C1 z + D1
и А2 х + В2 у + C2 z + D2 = О, то
-
cos 'Р =
JА� + вl + cl JА� + в� + с� ·
·
18. Уравнение плоскости
«В
отрезках ». Если плоскость пересекает
оси координат в точках А(а; О; О), В(О; Ь; О) и
уравнение можно представить в виде
�
С(О; О; с) ( а, Ь , с =F О), то её
а + 'J!..Ь + �с 1.
=
19. Расстояние от точки до плоскости. Если р расстояние от точ
ки М0(х0 ; уо; z0) до плоскости Ах + Ву + C z + D = О, то
I Ax o + Вуо + C zo + D I
.
Р =
JA 2 + в 2 + 02
-
Перпе н ди куляр н ость пря м ой и п лоскости
1. Признак перпендикулярности прямой и пл оскости . Если прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она пер
пендикулярна этой плоскости.
2 . Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они парал
лельны.
§ 1 3. Стереометрия
369
3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоско
сти, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.
4. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
5. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они
параллельны.
6. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендику
лярная данной прямой.
7. Через данную точку проходит единственная прямая, перпендикуляр
ная данной плоскости.
8. Теорема о трёх перпендикуля рах. Прямая, лежащая в плоскости,
перпендикулярна наклонной к плоскости тогда и только тогда, когда она
перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
9. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и на
клонные, то:
а) перпендикуляр короче наклонных;
б) равные наклонные имеют равные ортогональные проекции;
в) большей наклонной соответствует большая ортогональная проек
ция;
г) из двух наклонных больше та, ортогональная проекция которой
больше.
10. Теорема об угле прямой с плоско ст ью. Угол между наклонной
и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой на
клонной и любой другой прямой плоскости.
11. Геометрическое место точек; равноудалённых от концов отрезка,
есть плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его
середину.
12. Геометрическое место точек, удалённых на данное расстояние
от данной плоскости, есть две параллельные плоскости.
13. Геометрическое место точек, равноудалённых от вершин треуголь
ника, есть прямая, проходящая через центр описанной окружности тре
угольника перпен_дикулярно его плоскости.
370
Краткий теоретический справочник
Двугранный угол
1. Линейный угол двугранного угла (сечение двугранного угла плоско
стью, перпендикулярной его ребру) не зависит от выбора точки на ребре
двугранного угла.
2. Геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноуда
лённых от его граней, есть биссекторная плоскость двугранного угла.
3. Необходимое и достаточное усл овие перпе нди куляр н ости
плоскостей. Две плоскости перпендикулярны ( образуют прямой дву
гранный угол ) тогда и только тогда, когда одна из них проходит через
перпендикуляр к другой.
4. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей,
то они пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой плоскости.
Многогра н ные углы
1. Плоский угол трёхrранного угла меньше суммы двух других его
плоских углов.
2. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
С ф ера. Касательная пло ск ост ь. Каса ющ и еся с ф еры
1. Сечение сферы плоскостью, удалённой от центра сферы на рас
стояние, меньшее радиуса, есть окружность. Основание перпендикуля
ра, опущенного из центра сферы на секушую плоскость, есть центр этой
окружности.
2. Касательная плоскость к сфере ( плоскость, имеющая со сферой
единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведён
ному в точку касания.
3. Касательная прямая к сфере ( прямая, имеющая со сферой едnн
ственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведённому
в точку касания.
4. Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссекторной
плоскости этого угла.
5. Отрезки касательных прямых, проведённых к сфере из одной точки,
равны между собой.
6. Л иния центров касающихся сфер ( имеющих единственную обшую
точку) проходnт через их точку касания.
7. Если две различные сферы имеют более одной общей точки, то они
пересекаются по окружности. Плоскость этой окружности перпендnку
лярна линии центров данных сфер.
37 1
§ 1 3. Стереометрия
Пирамида
Правильная пирамида
. 1. Если ABCD - правильная треугольная пирамида с вершиной D,
высотой DM и стороной основания а, а А1 , В1 и С1 - середины сто
рон ВС, АС и АВ соответственно, то
а) LDAM = LDBM = LDCM - угол бокового ребра с плоскостью
основания ;
LDB1 M
б ) LDA1 M
LDC1 M - линейный угол двугранного
угла боковой грани с плоскостью основания;
в) LAFВ (где F - основание перпендикуляра, опущенного из верши
ны А основания на боковое ребро DC) - линейный угол между боковыми
гранями пирамиды;
=
=
j'3 высота треугольника основания;
д) АМ = ВМ = СМ = � АА1 = � - ортогональная проекция
г) АА1 = ВВ1 = СС1 =
=
a
-
а
: af - ортогональная проекция
бокового ребра на плоскость основания;
е) А1М = В1 М С1 М = A i =
апофемы на плоскость основания;
ж) C1 F - общий перпендикуляр противоположных рёбер АВ и CD.
2. Противоположные рёбра правильной треугольной пирамиды попар
но перпендикулярны.
ji
3. Высота правильного тетраэдра с ребром а равна a .
4. Если PABCD - правильная четырёхугольная пирамида с верши
ной Р, высотой РМ и стороной основания а, а А 1 , В1 , С1 и D1 - середи
ны сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно, то
а) LPAM = L PBM = LPCM = LPDM - угол бокового ребра
с плоскостью основания;
б ) L РА1 М = LPB1 M = LPC1 M = LРD1 М - линейный уrол дву
гранного угла боковой грани с плоскостью основания;
в) LBFD ( где F - основание перпендикуляра, 0пущенного из верши
ны В основания на боковое ребро АР) - линейный угол между соседними
боковыми гранями пирамиды;
г) LА1 РС1 = L B1 PD1 - линейный уrол двугранного угла между про
тивоположными боковыми гранями;
372
Краткий теоретический справочник
д) АМ = ВМ = СМ = DM = DB = а./2
2
2
-
ортогональная проек -
ция бокового ребра на плоскость основания;
.
е) А1 М
=
В1 М = С1 М
=
D1 M
=
а
2 - ортогональная проекция
апофемы на плоскость основания;
ж) FM обIЦИй перпендикуляр диагонали BD основания и скреlЦИ
вающегося с ней бокового ребра АР.
5. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды перпендику
лярно скреIЦИвающейся с ним диагонали основания.
-
Прав и ль н ый тетраэдр . Пусть а - ребро правильного тетраэдра,
аRиr
Тогда
-
радиусы описанной и вписанной сфер, V
-
объём тетраэдра.
Пир а ми да
1. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные дву
гранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит
либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вне
вписанных окружностей основания.
2. Если все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием равные
углы или если все боковые рёбра равны, то высота пирамиды проходит
через центр окружности, описанной около основания.
3. Те о р е м а о медианах тетраэдр а. Медианы тетраэдра ( отрезки, со
единяюIЦИе вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противо
лежаIЦИх граней ) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении
З : 1, считая от вершины.
4. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию,
то в сечении образуется многоугольник, подобный основанию.
5. В пирамиде и в конусе площади сечений, параллельных основанию,
относятся как квадраты их расстояний до вершины.
1
П ар аллеле пипед
1. Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра пер
пендикулярны основанию.
2. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоуголь
ник, называется прямоугольным.
§
13.
Стереометрия
373
3. С войства диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
а ) диагонали прямоугольного параллелепипеда равны;
б) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер с общей вершиной ).
4. Свойства граней и диагонал ей параллелепипеда. Противопо
ложные грани параллелепипеда равны и параллельны. Диагонали парал
лелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Диагональ АС1 параллелепипеда АБСDА1 Б1 C1 D1 проходит через
точку пересечения медиан треугольника А1БD и делится ею в отношении
1 : 2, считая от точки А.
Площади поверхности многогран н иков
1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению пери
метра перпендикулярного сечения призмы на боковое ребро.
2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна площа
ди её основания, делённой на косинус угла боковой грани с плоскостью
основания.
Объёмы многогранников
1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх
его измерений.
2. Объём наклонной призмы равен произведению площади перпенди
кулярного сечения на боковое ребро.
3. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
4. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади
боковой грани на расстояние между этой гранью и противолежащим ей
боковым ребром.
5. Объём пирамиды равен трети произведения площади основания
на высоту.
6. Пирамиды с равными высотами и равновеликими основаниями рав
новелики.
7. Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и прямую, лежа
шую в основании, делит объём пирамиды в том же отношении, в котором
прямая делит площадь основания.
8. Если точки А1 , Б1 и С1 лежат на боковых рёбрах DA, DБ и DC
соответственно треугольной пирамиды АБСD или на их продол>1<ениях,
то объём пирамиды А1 Б1 С1 D1 относится к объёму пирамиды АБСD как
произведение отношений DAi · DБi · DCi
DA DБ DC '
374
Краткий теоретический справо чник
9. Отношение объёмов подобных многогранников равно кубу коэффи
Щtента подобия.
10. Объём V тетраэдра равен шестой части произведения длин двух
противоположных рёбер а и Ь на расстояние с между ними и на синус угла <р между ними, то есть V =
� PQ;in
�abcsin<p.
1 1 . Объём V тетраэдра равен двум третям произведения площадей
Р и Q на синус угла <р между ними, делённому на их общее
двух граней
ребро а, то есть V
=
<р
.
12. А. Объём тетраэдра равен трети произведения его полной поверх
ности на радиус вписанной сферы.
Б. Объём многогранника, в который можно вписать сферу, равен
трети произведения полной поверхности многогранника на радиус впи
санной сферы.
О с н ов н ые ф ормулы
Далее V
-
объём тела, Sб и S
-
его боковая и полная поверхности.
М ногогранни к и
Черте ж и
Призма
Об означ ения
Формул
площадь основа- V Fh Ql
8б Pl
высота;
h
8 Pl + 2F
1 l
боковое ребро;
Q и Р
площадь
и периметр сечения,
перпендикулярного
боковому ребру
F
-
=
ния;
=
=
-
=
-
-
Прямая призма
р
площадь и пе- V = Fl
8б = Pl
риметр основания;
l
боковое ребро
8 Pl + 2F
Fи
-
-
=
1
§
13.
375
Стереометрия
Черте ж и
Призма, усечёШ1ая
непара.rшельно
основанию
усечёШ1ая
Треугольная призма,
непара.rшельно
о снованию
Прямоугольный
параллелепипед
а
Пирамида
Обознач е н ия
Фор мулы
l - мина отрезка 001 , соеди- V = Ql
няющего центры тяжести оснований;
Q - площадь сечения, пер
пендикулярного к отрезку 001
а, Ь и с - паралл ельны е рёбра;
V=
Q - пл о щадь сечения, перпен-
_31 (a + b + c)Q
дикулярного к рёб рам
d
а,
d2
Ь и с - рёб ра;
-
а2 + ь2 + с2
диагональ:
=
V = аЬс
S = 2 (аЬ + Ьс + ас)
F - площадь основания;
h - высота;
Р - периметр основания;
Правильная
а - апофема (высота боковой пирамида:
грани правильной пирамиды )
Sб = Ра
�
376 .
Краткий теоретический справо чник
Ч е ртеж и
Усечённая
пирамида
(плосrrость сечеИИJ1
параллельна основанию)
Правильная
усечённая
пирамида
Тела в раще н ия
Ч ерте ж и
Сфера
� ji
-:;
--
f - площади осно V =
ваний;
h
высота
( расстояние
между V =
основаниями);
А, а - две соответ
ственные стороны ос
нований
F
--,
_____
l h ( F + f + ,/FJ)
l hF ( + � + ( � ) 2)
1
, f - площади осно - V
= _31 h ( F + ! + ,/FJ)
ваний;
Р , р - периметры оса
sб = р +
нований;
h - высота;
а - апофема (высота
боковой грани)
т
.
Формул ы
Обознач ения
R - радиус
g
"-----
F,
Формул ы
Обознач ения
V
=
3
� 7ГR3
S = 47ГR2
R - радиус основания;
h - высота
V = 1ГR2 h
Sб = 21ГRh
S = 21Г R( h + R)
§ 1 3. Стереометрия
Цилиндр, усечёНИЬIЙ
непараллельно основанию
Конус
Усечённый конус
R - радиус основания; V = � 7rR2 (h1 + h2 )
hi и h2 - наименьшая и
образующие Sб = 7rR(h1 + h2 )
наибольшая
S = 7rR h1 + h2 + R+
+ JR2 + ( h2 ; h1 ) 2
R - радиус основания; V = !7rR2 h
h - высота;
3
l = JR2 + h2 - образу Sб = 7rRJR2 + h2
sб = 11"Rl
ющая
S = 7rR(R + l)
377
(
R и - радиусы основа
ний;
h - выс�о�та-';-==---=
l = Jh2 + (R - r)2 образующая;
Н - высота неусечённо
конуса:
н = h + -1!!!:_
R-r
h - высота сегмента;
R - радиус шара;
= J h (2 R - h)
радиус основания сег
мента
т
= !7rh(R
3 2 +r2 +Rr)
Sб = 7rl(R + r)
S = 7r(R2 +r 2 +l(R+r))
V
го
Шаровой сегмент
= � 7rh(3a2 + h2 )
V = i 7rh2 (3R - h)
Sб = 27rRh
sб = 7r(a2 + h2 )
S = 7r(2a2 + h2 )
S = 7r(a2 + 2Rh)
h - высота сегмента; V = �11"R
3 2h
R - радиус шара;
- радиус основания 8 = 7rR(a + 2h)
сегмента
а
Шаровой сектор
а
V
Ответы к п р отот и п ам задан и й с к р ат к и м
ответо м
999,5.
21 450.
15.
22,5.
2562,5. 13056. 35. 19 584.
75. 1,875. 1,5.
3,5.
-2,8.
66. 135. 0,0125.
0,1. 0,35. 0,2125. 0,125.
0,25.
0,42. 0,003. 0,55. 0,027. 0,9 73.
0,123. 0,153. 0,04. 0,053.
0,23.
0,2.
0,4.
0,0231. 0,8. 0,987. 0,42. 0,0758.
125. -3,4.
- 7. 7. 9. -3,5. 3.
29. 4.
5,5.
-3. -4. 2. 2,5.
2. -1.
-2. -1. -3, 75. 3,5.
48. 12. 7. 25. 5. 10. 0,5. 5. 2,4.
15. 0,28. 52,5.
8.
18.
31. 54.
1,5. 22,5.
0,5. 13,5.
-3.
4,5.
2,5.
-2.
3.
1. -2. 5.
7. -0,5.
4. 3. -4. 3.
27,5. 9. 490.
259.
25,5. 202. 12. 2.
4,5. 2,5.
- 23,5.
128. 3. 25. 3, 5. 2. 1. 2. 64. 3.
3. -14. 22. 225. 14. 7.
3. 0,25. 33.
625. -1.
5. -0, 5. 2. 1,4.
7, 5. -3. - 18. 28.
2. 9. 15.
12. 28. 1,4. -3,3. 1. 7, 5. -4. 3,4.
1. 1. 3.
103,125.
-2. 9.
3.
-2. 3. -4. 2.
-1. -10.
-1. 298. 1,5. -11.
1 . 1 6. 2. 1 1 32. 3. 6. 4. 9. 5.
6. 3. 7. 1 4. 8. 6. 9. 4. 1 0.
1 1 . 9: 1 2. 960. 1 3. 96 1 . 1 4. 7.
4. 1 6. 6. 1 7. 5. 1 8. 3. 1 9. 4. 20. 1 5.
2 1 . 45. 22.
23. 60. 24. 1 60. 25. 27. 26. 74. 27. 5. 28. 1 7. 29. 4 1 .
30. 4000. 3 1 . 1 5. 32. 2 1 0. 33.
34.
36. 69,8. 37. 4.
38. 5. 39. 0,5. 40. 8. 4 1 . 1 5. 42. 3. 43. 3 . 44. о,
46.
45.
47. 1 4. 48. 1 1 . 49. 1 5. 50. 270. 5 1 . 1 8. 52. 6. 53. 32. 54. 250. 55. 61 ,2.
'
56. 40. 57. 1 7. 58.
59. 1 35. 60. 3. 6 1 . 1 0. 62. 6,5. 63. 1 3. 64.
65. 1 35.
67.
68. 0, 1 1 . 69.
70.
71.
72.
73.
74. 0,75. 75.
76.
80. 0,69 7.
77.
78.
79.
81.
82.
83.
84.
85. 0,69 . 86.
87. 0,48. 88.
96.
89. 0,266. 90.
9 1 . 3. 92.
93.
94.
95.
97. о,
98.
99. -6. 1 00.
1 02.
1 03.
1 04.
101.
1 05.
1 06.
1 07.
1 08. 2,16. 1 09.
1 1 о.
1 1 1.
1 1 2.
1 1 3.
1 1 4.
1 1 5. 1. 1 1 6.
1 1 7.
1 1 8.
1 1 9.
1 20. 16.
121.
1 22.
1 23. 1 24.
1 25. 1 26.
1 27.
1 28. 1 29.
1 30.
131.
1 32.
1 33. 1 6. 1 34. 1 5. 1 35. 292. 1 36.
1 37. 6.
1 38. 90. 1 39.
1 42. 1 1 3. 1 43.
1 44.
1 45. 8.
1 40.
141.
1 46. 4. 1 47. 36. 1 48. 56. 1 49. 1 3. 1 50. 1 8. 1 5 1 . 1 0. 1 52.
1 53.
1 54.
1 55. 45. 1 56. 48. 1 57.
1 58. 27. 1 59. 42. 1 60. 23. 1 6 1 .
1 62. 6. 1 63. 1 9. 1 64.
1 65. 6. 1 66.
1 67. 6. 1 68.
1 69.
1 70.
1 7 1 . 1 72.
1 79.
1 73. 2. 1 74. 2 1 . 1 75. 2,5. 1 76. 1 77. 1 78.
1 80.
181.
1 82.
1 83. 600. 1 84. 84. 1 85.
1 86. 22. 1 87. 5.
1 88. 2 1 6. 1 89. 1 35. 1 90. 6,75. 1 9 1 . 1 00. 1 92. 6. 1 93. 2 1 6. 1 94. 80. 1 95. 28.
1 96. 2. 1 97. 448. 1 98. 49. 1 99. 7,2. 200. 4. 20 1 .
203. 204. 27.
205. 8. 206.
207.
208. 4,2. 209. 90. 2 1 0. 45. 2 1 1 . 2. 2 1 2.
2 1 3.
2 1 4. 2 1 5.
2 1 6.
2 1 7. 2 1 8. 2 1 9. 220.
22 1 .
222. 223.
224.
226. 227. 1 1 . 228. 229.
230.
23 1 .
232.
233. -6, 234.
235. 236.
237. о. 238. 2.
239. 162. 240.
24 1 .
242.
243.
244.
246.
245.
247.
248.
249.
250.
25 1 . 252.
253.
254.
255. 256. 257. 258. 25. 259. 8. 260. 2,6. 26 1 . 40. 262. 475. 263. 2.
264. 4. 265.
266. 60. 267. 22. 268. 1 2. 269. 5. 270. 1 6. 27 1 . 37.
272. 1 4. 273. 1 20. 274. 1 20. 275. 1 ,2. 276. 8. 277. 1 00. 278. 45. 279. 300.
280. 72. 28 1 . 800. 282. 20. 283.
284. 285. 16. 286. 16. 287. 288. 1 1 .
289.
296. -2.
290.
29 1 .
292.
293. -6. 294.
295.
297.
299.
.N'o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
929,9
676,8
109
10 370
17
26
72
50,5
21,5
16,5
14
4
142
322,4
25
16
182
. 90
350,2
375
2
3
Ответы к тре н и ровоч н ы м вариантам
Ответы к заданиям 1 - 1 2 ( начало )
4
5
6
7
8
9
10
11
12
97,5 0,6
-11
60
0,11
4
40
12
126
3
2
110 0,375 0,17
135
-5
27
7 27,5
40
6
4
4,5
1
3
12
0,375
72
4
20
6
25
4
1
0,375
5
1
6,5
2
-9
138
7
12
-2,5
16
18
10,5 0,0015 - 1 ,5
25 -2,5 15
-1
67
10
14 0,0056 -0,25
12
10
38,4 -1,5 20
-2
58
6
7
875 13,5 0,79
9,5
0,8
18
2
2
21
-11
44
14
12
0,87
2
2
16
6,5
6
39
-6
0,8 0,2
о 1056 2 4,05
7,5
12
4,875
20
-11
4
0,6
7
2,2
13
6,25
-21 648
0,25
5
-25
7
0,7
2010 -0,6 0,3125 15,2
4
15
1200
3
8
- 1 ,875
30
0,5
3
34
2005 0,8
9
1800
6
6
17
27
9
504 4,5 0,67
0,39
-6
2,55
6
6
16
4
14
200 -4,5 0,17
14
-9
200
4
0,28
1
0,8
11
4190 24 0,0252 - 1
168
8
64 800
о
12 0,0201
0,6
-1 ,25 264 13,5 0,6 6 317 000
6
90
о
19
9
-9
12
0,4
13
8
9,6
-4
16
3
9
4
7
7
16
23
0,6
-6
6
-0,5
3
14
27 - 12 0,75
7
4
9
-1
- 19,5
0,08
-9
36
31
35
-2
23
9,6
-10
0,02
6,5
3
-5
.N'2
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Ответ ы к задания м
1
840
300
63 720
184 800
11
4
6
7
23 000
8300
3
15
52
364
38
120
21
8
156 600
240 000
2
3
4
5
6
7
1-12
с.;
00
о
( око нчание )
8
9
10
11
12
216
133
1
2
8
8
6 0,999992 132 1 ,25 7
-3
158
35 1 19
6
8 2,5 0,999973 36,5 4,25 84
2
0,2
1 ,2 4
2,8 32,16 920 12
8
6
5
4,2 56,36 20 -241
18
0,2
8
3
0,8 5
5
4
4
11
10
39
700 63
4
1650
4
0,375
2560
550 60
3
6
0,375
36
5
6
8
3
4
1
2,5 60 0,25
4 4,5
9
16 10,5
69
10,5 60 3,5
3
1
123
1 ,5
18 1 ,28
3 5,5
-7 31
1
590 20
0,496
64 .
3,5 68
52 393,75
1
-9 85 1 1 2
144 144
891
9
3
0,325
52
48
4
18
0,2
5
80
39
3 19,5
3
0,03
7
150
0,3 154 -5
16
10
0,05
6
8
6
6125 40
1
4
7,68
135
1
3
8
0,505
26
2
7,28
30 156
2
96
3
0,326
2 2,5
5
1
9
70 0,5
60
20
864
0,46
5,5 5
5
7
77
62,5 2,8
10
6912
12
0,466
1 ,5 2
8
15
4
7
4
2,75 4,5
8
5,8 108
54 12
9
-1
16
59
16
36 122
16
5
5
5
171
4
0,5
30 120
- 1 19,5 3
0,25
3 6,75
14
30
60
158
50
0,5
3
1
,5
5
6
6
а
tiJ
rь
�
>;
�
rь
1
�
�
�
°'
-%
�
:z::
�
Е!::
№
1
Ответы
14
13
Е Z;
Е Z;
16
17
19
18
Е Z;
_
•
•
а
;! .
.,,
�
:><:
�
.,,
1
�
�
�
tЖ!
{;:
�
::i;
i;j
:::
•
Е Z;
Е Z
•
4
15
•
_
3
задан и я м 1 3 - 1 9 ( начал о )
а) 1Гk, k
( - оо ; - �] u а)да;
б) нет;
j + 1Гn, n Е Z;
1 75v'46
2 (О ; 1 ) U [8; 4 + v'Т7) � 847 00012 u { ± � ; o}u
7
в ) 10 9
14
б ) -57Г" - 1 41Г. - 41Г
3
u [�; +оо)
а) 1Гk, k
( - оо ; - �] u а) да; .
- � + 1Гn, n
224 v'Т7 (О; l ] U [ � ; 1 ) 8yS5 1 6600001" U{±0,8; O}U б ) нет;
15
5
в ) 10 27
28
б) 171Г . - 41Г " 131Г . - 31Г
u
оо)
[�;
+.
4
4
а) i + 1Гk, k
а) да;
б) нет;
135 [- 1 ; 2) [4 ; 5) 9,6 910000 12 (- 3 ; - 1) [ 1 ; 3) в ) 92, 83, 74,
± 3: + 27Гn, n
65, 56, 47,
38, 29, 20
б) 137Г . 71Г . 97Г
4 2. 2
а)да;
а) 1Гk, k Е
б ) нет;
� + 1Гn, n
972 [- 2 ; 2 ) u (2 ; 3) 4,8 625 000 12 (- 3 ; - 1) u [1 ; 3) в)1 73,200,164,191,155,182,
146, 137, 128,
б) 57Г . 21Г " 91Г
4. 4
119, 110, 101
•
2
к
u
u
Z;
Е Z
•
Ci.)
00
№
5
6
7
8
Ответы
14
13
к
заданиям 1 3 - 1 9 ( п ро дол жен и е )
15
16
17
19
18
i + 7rn, Е Z;
а ) нет;
v/22; -2)U
2уз9 ( - 00; 8 - 5 �] U [3 ; 8) 7 : 29 10 млн рублей (-8 + 2v13
� + 7rk, k Е Z;
13
u( -2; - 6) бв)) нет;
4
11
б ) 71" ,' 7!" , 7!"
2 4' 2
a ) � + 7rn, n E Z;
-2 - 2V7)u ба )) да;
4 (5 ; 5 + �] U [7; + оо ) 31 : 6 7 млн рублей ( - 3 2 J58;
нет;
7rk, k Е Z;
2У7; -6)
u(
Vi7
в)
25
б) 37!" 871" . 271"
3'
а ) i + 1rk, k Е Z;
(-oo ; -2) U ( - 2; - � ) u а ) да;
4
б ) нет;
10
± + 27rn, n Е Z; 18 v'13 ( - 4 ; -3] U [ - _/з; }з ]
5
4
v'5
в) 8
+
2
2
{O}
)
;
u
(
u
u
(�
оо
;
)
. 5
.
9
771"
7!"
б) ;; 4 ' 4
а ) � + 1rk, k Е Z;
2
а ) да;
4
у?9
1
5
.
О
�
О
10
u
4
± + 27rn, Е Z;
[ д_
[ � ; ) ( � ] бв)) нет;
13
4
vто
У2 ' ]
lО
.
б) 371" 747!"
2'
С;,)
00
!'.,:)
п
а)
;
_
�
п
;
а
tiJ
rь
�
:а;
�
rь
"tj
�
�
о
�
�
°'
{i
�
:t;
�
Е::
N2
Ответы
14
13
к
задан и я м
15
13 - 19
( п родолже н ие )
16
17
18
а) � + 27rk, k Е Z;
::f: ± 7 5;
З7r + 27rn n Е Z· arccos 5
w 7 a :f: ±5;
5)
[3
9
;
4 a :f: O
12
4
б ) !!:4 .' 37f'4
a :f: ± 20.
а) ± 2; + 27rk, k Е Z;
3'
11
3
1
О; )
fl
arcsin
2
10
(
a :f: ±4;
4
б ) - 437f' .' _ 27f'3
a :f: O
a ) 7rk, k Z;
::f: О;
-� + 27rm, m Z;
10vГз ( -9; -6v'2J [-8; 6v'2] 2v'19 20 a :f: ± �5 '·
11
- З47r + 27rn n Е
a ::f: ±2
237r
.
.
6) 5'lf',. 217r
67r
.4
а
'
•
Е
Е
•
•
4
z·'
u
а
,
19
а)да;
б )да;
в) 28
а) да;
бда ;
в) 19
а
ti!
.,,
�
><:
l
i
�
:§
�
�
'5
�
�э::
а)б нет;
)да;
в) 109
•
�
с,.,
№
12
Ответы
� + 1rk, k Е Z;
±� + 27rn, n Е Z;
_
а)
30 ( - 15; - 10 V2]
- � + 27rn,
п
б ) 2 371"
6
а ) 271"
3
Е
u [- 14; 10V2]
Z;
45 °
+ 27rn n Е Z·
•
•
6 ) - 1671"
60°
3
15
15
16
17
18
а
12V7 14
1!:. + 7rk k e Z ·
a ) 7rn.
2 . '
4 . 8
п
б) 371" '. 71" . 971" '. 571" '. 371"
' 8 4 2
4
•
( 2 ; 3)
( 7 - 2J65 '. 7 - 2v'57 ) u
u (3 ; 4)U
u ( 7 + 2У57 '. 7 + 2v'65)
(-oo; - 2 )U
30
u { � } u (5; 6]
а
а
1171" . - 971" . - 2571"
2
2 .
6
•
14
задания м 1 3 - 1 9 ( п ро до лжен и е )
а)
б)
13
14
13
к
2499 V2 20
968
:/= О;
С>.)
19 .
=1= ±1;
а ) нет;
б ) да;
в ) 168
+оо)
а ) нет;
б ) да;
в) 93
=1= ±4
( 9;
�
а ) нет;
!blQ 10 (- 15; - 10 ) U [О; 30) б ) нет;
5
в) 1 1
6
vГт
(-4; -3,8) U {-3,5}U а ) нет;
б ) да;
14
в ) 1800
u [- Jo ; i ]
�.,,
�
�
�
.,,
1
�
�
�
t2'
{5
�
�о::
!"
N
�
�
�
№
16
17
18
19
2
0
Ответы
14
13
а ) 1Гn , n Е Z ;
2
б ) 7Г ' О·' 7Г '. 7Г '' 37Г
2
2
2
8Vб
.
а) - 1!:. + 27Гn, n Е Z;
3
77Г
6)
3
а ) 27Г + 27Гn, n Е Z;
3
107Г
б)
а) х
=
47Г
3 ' 3
± 1!:.3 + 1Гn,
nЕ
6) 27Г . 47Г . 57Г . 77Г . 87Г
3' 3' 3' 3' 3
7Г + 7Гn , n
a) x = 4
2
77Г
97Г
,
, ll7Г
6)
4 ' 4 ' 4
Z;
·
Е Z'
к
задан и я м
15
13 - 19
16
( п родолже н и е )
17
(- 3 ; 1) U { 1 ,6}U
U [2 ; +oo)
19
4 V6
7
18
[ -�; - :.i ] u
U(O; оо )
19
а ) да;
б) нет;
в) 1660
�
( -oo ; -5) U
2
U(- 3 ; -1 )
� ( 1 3 - 6 v'2 ) ( v'з - 1)
8
( 5,5; + оо )
а) 2020;
б) да;
в) 1
5 у'39
8
(-4; -2)U
U( - l ; +oo)
1!.. ( 25 - 12 v'2) ( v'з - 1)
16
12
(1·2 ' 49 ) u
U{4} U (1; ; �)
а ) да;
6 ) -999;
в) 1
8 32
41
(- oo; - l )U
U(- l ; l ) U
U ( l; +oo)
5103
169
585 640
V48I [ - log3 2; log3 2}
3
52
25
682 500
а
;\
rь
�
:.:
�
�
�
�
51
�
t2'
�
�
�
iiJ
:::
а ) да;
(- 1 ; - 0 , 3]U
6) нет;
u{O; 0,4; 0 , 5; 12,5} в)
1500
( оо; � ) u
u (o; Ю u
а ) нет;
б) нет;
в ) 3 03 2
U(3; + оо )
�
c:.n
.N'2
От в еты
14
13
а) х = 27Г3 7Гk, k Е
21
27Г , 57Г 87Г
б)
- �
3' 3
22
23
3 ' 3
а) - � + 27Гl, l Е Z;
77Г
б) 4' 4
а) - 1 , 5 ; 5;
(- 1 ) " � + 1Гn, Е
б) - 1 , 5 ; �
�
п
а ) 0 , 5 ; 5;
24
Z;
+
± � + 27Гn,
б ) О,5;
±�
п
Е
Z;
Z;
к
задан иям 1 3 - 1 9 ( п ро дол жение )
15
16
17
72
3
79800
841
4
arctg
�
[1 - Jб ; O )U
U( 3 ; 1 Jб]u
( 5; 6 )
arctg
�
( -3; - 2 )
+
u(4; 5) u
arccos 1 19 (4; log 5
195
arccos
u
(4; 5]
18
19
Vj
00
С°)
u (о; � ) u
а) -86; -21;
б) 5; 180;
u ( � ; i2 ) u
в ) 4; -2
+
u ( i2 ; оо)
; 27;
{2} u [ i ; �: ) u а)6) 3±21;
в) -62; - 18;
u (�: ; +оо)
15; 31
( - оо ; о)
а)да;
2}
+
32{v13
б) нет;
)
4
(fз?;
u
)
о
-fзт
(
13
629) U [5 ; 6 ) 3
;
2 v13 (log3 4; 2) U ( 2 ; + оо ) 72 ( 2 + v13) 11 [ -6 ,· - 210
u [-4 , 8·, 6)
37 ]
5
в) 3
а)да;
б) 2;
в) 5
а
iil
"'
�
�
�
�
�
�
�
�
1:а
ь;
�
�
:i:
�
о::
Nt1
25
Ответы
13
� + 2?rn, Е Z;
(-l ) k +l � + ?rk,
задан и я м
15
13 - 19
16
( п родолже н и е )
18
17
19
п
а)
kEZ
б) -
14
к
771" . _ 1 771" .
6 '
2'
137!"
- 6 .' - 37!"2 .' - 57!"6
а ) - � + 2?rn , Е
( - l ) k � + ?rk , Е
26
б ) - 1171" . _ 57!".
6 ' 2'
_ 771" . - �
6' 2
п
п
а) да;
( - 2; l -2v'5 ] u 15 . ( 2 - v'з)
( оо - 2 )U
б ) нет ;
3
a.rctg �
2
u( � ; + оо) в) 21 600
5 u [ I + 15 ; 3)
2
-
i;j
<Ь
�
�
�
<Ь
1
�
.с:
��
1:11
�
�
::i;
�
�
Z;
Z
;
а
a.rct g VПЗ
[0 ; 2 )
+
425 . {2
16
v'з)
а) да;
[- 3,5 ; 5)U
4 u { l 3 - �v'373 } б ) нет;
в) 19044
""
00 .
"'1
Na
13
27 1
471" + 27r k, k Е Z;
3
б ) - 20
3
28 1
а)
71"
а ) - 371"
б)
_
+
4
1971"
4
2?r k , k Е Z;
Ответы
14
к
15
зада ния м 1 3 - 1 9 ( п ро дол жение )
� 1 ( 2; 3)U
3 U( 3; 4) U { 5 }
16
17
18
19
Ci.)
00
00
а) да, числа
вида 325, 3250,
32 500, . . . ;
б) нет;
в ) числа вида
12;
{9}
=
ООО Р, (
325U,
О
2 v'15 I А = 180
-1
U
)
;
15 ООО Р,
16 325,
...;
500,
32
D = 203 400 р
65, 650,
6500, . . . ;
975, 9750,
97 500, . . .
n=
S
а) да, числа
вида 625, 6250,
62 500, . . . ;
б) нет;
в ) числа вида
n = 9;
�
m S = 765 000 Р. - оо ; - 25 ) U
1 25, 31250,
3 ( -6 ; -5 ) u { O } 2 А = 85 000 Р, u( [ - l · O) 16 3312
500, . . . ;
D = 841 500 Р
'
625, 6250,
62 500, . . . ;
9375, 93 750,
937 500, . . .
о
ёiJ
<Ь
�
:а;
-tl
�
�
�
;§
�
g;
�
�
��
N2
13
� + 27rn, n Е
29
а)
30
а)
31
а) ±
32
Ответы
б)
Z!:.
4
� + 27rn, n Е
б) -
б)
1171" .
1!:
Z;
Z;
6 ' 6
5; + 27rn,
571" . 771"
6 ' 6
nЕ
_ 1!:
задан и я м
48( 2 + \/'2)
_
50(1 + 2\/'2)
Z;
(-l)n+l � + 7rn, n Е
б) - 371" .
4' 4
а)
14
к
Z;
3
4,8
13- 19
15
( � ; 1 ) U [ i; + оо )
( � ; S)
U { 3} U
U [3, 6 ; + oo)
(- 5 ; -4) U ( -4 ; - 3)U
u [ - 2; t J
( -6 ; -5 ) U (- 5 ;
u [ - 3; - i ]
-4) U
( п р одолжен ие )
16
144V5
21 + 8V5
72y'f5
7
17
5
8
18
{ - 4 } u [ 12 ;
19
а ) да;
+оо) б ) нет;
в) 40
( - оо; - 1;J u
u [1;; +оо)
32
367 440 11 ( - 2 13 m ;
36
414 720 11
а ) нет;
б ) нет;
в) 79
а ) да;
+ оо б ) нет;
[�; + оо)
) в) 5
о
ti!
�
�
�
�
-ё;
gQ
�
�
t2'
�
�
�
i;j
О!::
а ) нет;
б) да;
в) 4; 5
с.з
00
ф
.N't
Ответы
13
?rk k '
2'
33 -� + ?rm, m e Z;
б) 571" .. 1171" . 37!"
2
а) i + 271"�, n Z;
34 2?rk, k Е Z;
6) 571"
2
а) ± � + ?r k k Z;
35
б) 47!" . 57!". 771" . 87!"
3. 3' 3. 3
а) ± !!: + ?rk· k z·
6
36
. 771". _ 57!"
6) - 1171"
6 -6. 6
е z·
а)
4 •
;
'
•
Е
Е
е
•
14
к
задани ям 1 3
-
16
15
1 9 ( продолжение )
17
< � 3,
2171" о i + 27rn, n Е 98 V2 1 200 000 J:J
х
х =
2771"
3v'3
16V2
21
N
-
(0 ; 11") u (7r ; 8]
[2 ; + оо)
[ - i ; + oo )
108
4
160
320 000 Р
18
19
[6 ; 30]
а) да;.
б) да;
в ) нет
. [2 ; 5]
а) да;
б) да;
в ) нет
{ � } и [о ; � ]
-
С>.)
а) да;
6) да;
�
в)
3
.
91
а)
225 '
5 432 000 Р { � } u [о; �] 6) 22 .
225 '
-
в) да
8
о
а!
"'
�
�
�
"'
1
�
�
�
ta
{:
�
::i::
�
:с:
N11
37
38
Ответы
14
13
к
задан и я м
15
13- 19
( окончан и е )
16
17
18
а) � + � n, n Е Z
± 2; + 27rk, k Е Z;
47r. _ 57r
6) - 77f'.
4 .- 3 . 4
a ) (- l )n � + 'lf'n, n E Z;
� + 'lf'k k Е z·
arccos fl [1; log2 3 ) U ( 2 ; + оо )
3
Е
'lf' j
Е Z;
Z;
а ) нет;
б ) да ;
в) нет
.,,t;j
�
�
�
.,,
1
�
�
�
t2'
7f'
4
4 2.
6 ) - 57r. _ 77f'6 .' _ 37r4
4'
a )arctg * + ?Тn, n Z;
2
45v'3
39 arctg J + 'lf' k , k Е Z;
6) arctg * ; arctg 2J
а) arctg4 + 'lf'n, n
arctg 2 + 'lf'n, n Е
40 6) arctg 4 ; arctg 2;
1 80v'3
arctg 2 + arctg 4 + 7r;
arctg 2 + 27r ; arctg 4 + 27r
•
25 : 27 5 1 6000 [о; �)
19
а
(- оо ;
log5 3] U ( 1; log5 7) 48 : 49 259000 (о ; � )
а) нет;
б) да;
в) нет
1
[ - {'ZI ; o) u
u(o; 1 + /21 ]
25 ( 1 + v'З) 1 300 ( - 2 ; 3 1 ) 6)а) нет;
8;
2
в) 72300
[ 1 -2v'5; o) u
u(О; 1 +2v'5]
8 1 ( v'3 + 1) 1 70 [-1; 3 + v"7] а6)) д24;а;
2
в) 345 600
�
�
�
�
о::
с.з
ф
ЕГЭ
У •1 е б н о е и зд а н и е
Лысенко Фёдор Фёдорови ч , Кулабухов Сергей Ю р ье в и ч ,
Иванов Се р ге й Олегови ч , Коннова Ел е н а Ге н р и е в н а ,
Фридман Ел е н а М ихайл о вн а , Ханин Д м и тр и й И горе в и ч ,
Авилов Н и кола й И ванович , Дерезин С вятослав Ви кторо в и ч ,
Домашенко Ал кес андр М ихайлови ч , Корянов Анатол и й Георги е в и ч ,
Кривенко В и ктор М ихайл о вич , Резникова Н и на М и хайл о в н а ,
Талипова Кл а р а А н варо в н а , Уваровский Александр П а влович ,
Чурилкина Еле н а Э р н стовна , Яrудин Ан вар Фаридович
МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВ КА К ЕГЭ-202 1 .
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.
40 тренировочных вариантов по демоверсии 202 1 года
П од реда кuией Ф. Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Н ал о говая л ьгота: изда н и е соответствует коду
Обложка М.
Корректоры И.
95 3000
ОК
Сафиуллина
С. Кулабухов
Бобякова, Н. Пимонова
005-93
Ком п ьютер н ая вё рстка
60х841/16•
П одп исано в п е ч ать с ориги н ал - макета
Формат
25.08 . 2020.
Бумага т и пографс кая .
20 ООО экз.
Заказ №
121.
Гарн итура Тай м е . Печать офсетная . Усл . н е ' I .
Тир аж
:1
23. 15.
Отпечатано в соответстви и с кач еством п р едоставл е н н ы х
347900,
диапозитивов в ООО «Август»
г.
Таганрог, ул . Л е с н ая биржа,
68.
(ОКП)
Пособия издательства «Легион)) можно приобрести:
И НТЕ Р Н ЕТ- М А ГАЗ И Н Ы
www. tegionr.ru
www.taЫrint.ru
www . ozon.ru
www.umtit.ru
www .chitai-gorod . ru
www.my-shop.ru
АД Ы Г ЕЯ Р Е С П У БЛ И КА
«Планета» 8-986-709-03- 2 7
М а й ко п
Н ефтекамск
«Книжный м и р» 8-928-473-1 7-41
«Пла нета » 8-91 7-443-66-50
АЛТА Й Р Е С П У БЛ И КА
Горно-Алтай с к
Центр учебно-наглядных пособ и й
( 38822)4- 1 5 - 5 5
АЛТА Й С К И Й К РАЙ
Октябр ь ски й
«Планета» (34767) 5-12-62
И П Н а с ы ров Р. Ш . 8-927-933-62-91
Стерлитамак
«Пла нета» 8-91 7-04 1 -18-30
Туй маз ы
Б а рн аул
«Пла нета » (3478 2 ) 7 - 2 2 - 2 5
«Учмаркет» (3852) 50-00-50; 36-30-61
«Библионик» (3852)36-37-90
Уф а
Б и й ск
«Дом КНИГИ» (3854)35 -56-74
А М У РС КАЯ О БЛ АСТЬ
Благове щенск
«Уч коллектор» (4162)3 3-07-96
«Пла нета» (34766)3-12-23
А Р ХА Н ГЕЛ ЬС КАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть. магазинов «Буквоед»
8-800-2 50-06- 18; (812)601-06-01
А рха нгел ь ск
«АВФкнига» (8182) 20-70-80
АСТРАХА Н С КАЯ О БЛАСТЬ
Астрахан ь
« И нститут технологий» (85 1 ) 2 5 2 -41 -00
« Ш кол ьный м и р» 8-967-335-23-28
« Глобус» (85 1 ) 2 72-77-93
БА Ш КО РТОСТАН Р Е С П У БЛ И КА
Б и рск
«ШКОЛ Ь Н И К» 8-987-582-52-05
«Пла нета » (3472)41-54-59
УМЦ «Э Д вис» (3472)82 -56-30
«Знание» (3472)73-40-85
Б ЕЛ ГО Р ОДСКАЯ О БЛ АСТЬ
« Букватория» (47 2 2 ) 35-6 1 -83
« Библ иотеч н ы й коллектор» (47 2 2 ) 34- 1 1-52
Б Р Я Н С КАЯ О БЛ АСТЬ
« П роспект» 8-9 15-532-2 7-5 7
« Ш кол ь н ы й город» (483 2 ) 6 1 -38-48
« К н и ж н ы й дво рик» 8-903-868-0 1 - 1 3
И П Трубко Н . 3 . (4832) 59-59-39
Б У РЯТ И Я Р Е С П У БЛ И КА
« П ол и н о м » (3012)51-5 1-66
« П родаЛ итЪ» ( 3 0 1 2 ) 2 2-30-50,
М анда нова Елена Семёновна
8-950-387-03- 1 3
.,
ВЛ АД И М И Р С КАЯ О Б Л АСТЬ
Сеть магазинов « Глобус» (49 2 2 ) 38 � 02-58
Влади м и р
И П М итина Л . Г. (49 2 2 )47-09-01
В И П КРО и м е н и Л. И . Нови ковой
(4922)45-12-01
В ОЛ ГО Г РАД С КАЯ О Б Л АСТ Ь
И Р КУТСК АЯ О БЛ АСТ Ь
« П родаЛитЪ» ( 3 9 5 2 ) 24 - 1 7 - 7 7
«СибВерк- Бай кал» ( 3 9 5 2 )48- 2 1 -90
Сеть магазинов «Касса ндра» (8442 ) 9 7 - 58-00
Сеть м а газинов «Уч ител ь» (8442 )4 2 - 1 7 - 7 1
Нал ьч и к
В о л гогра д
Центр « К н и га »
« Гра Н и Ка»
КА БА РД И Н О- БАЛ КА Р С КАЯ Р Е С П У БЛ И КА
(8622)42-66-57
(844 2 ) 54-88- 24
КАЛ М Ы К И Я Р Е С П У БЛ И КА
В ОЛ О ГОДСКАЯ О БЛ АСТ Ь
Сеть магазинов «Буквоед» 8-800-2 50-06- 18
Э л и ста
«Уч ител ь>>
В О Р О Н Е Ж С КАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть магазинов «Амиталь» (473)224-24-90
Сеть магазинов «Риокса» (473) 2 2 1 -08-66
ДА Г Е СТА Н Р Е С П У БЛ И КА
(84 7 2 2 )4-04-79
КАЛ И Н И Н Г РАДСКАЯ О Б Л АСТЬ
Сеть магазинов « Буквоед» 8-800 - 2 50-06 - 1 8
Кал и н и н г рад
«МЧ»
(40 1 2 ) 6 3 - 10-88
Де рб е нт
Дагеста нский И РО 8-963-418-85-41
И П Ш исинов И . Ш . 8 - 9 2 8 - 5 8 5 - � 4-ОО
КАЛ У Ж СКАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть магазинов « Глобус»
КАМ Ч АТС К И Й КРА Й
М ахач к ала
Дагестанский И РО 8-963-418-85-41
� П Абдурахманов Н . Г. 8-928-062-77-73
« м и р К Н И Г» 8 - 9 2 8 - 9 6 9 - 7 7 - 7 8
« Ш кол ь н ы й базар» (87 2 2 ) 5 6 - 8 7 - 3 7
Хасав ю рт
« Ш КОЛ Ь Н И К» 8-928 -67 4 - 5 4 - 7 5
Е В Р Е Й СКАЯ А О
«Меди а М и р» 8 - 9 6 2 - 5 0 1 - 5 2 - 9 7
(484 2 ) 7 7-45-99
П етро павловск-Кам ч атски й
«Новая книга» ( 4 1 5 2 ) 4 1 - 1 2-60; 43-36-08
КА РАЧ А Е В О - Ч Е Р К Е С С КАЯ Р ЕС П У БЛ И КА
Ч е ркесск
ООО « К н и готорг»
(8782 ) 20-34-89
КА Р ЕЛ И Я Р Е С П У БЛ И КА
Сеть мага з и н о в « Буквоед» 8-800- 250-06- 1 8
П етроза водск
З А Б А Й КАЛ Ь С К И Й К РА Й
ООО « М и стериум»
Ч ита
« П родаЛ итЪ» ( 3 0 2 2 ) 2 1 -09 -9 5
« Генезис» ( 3 0 2 2 ) 3 5 -84-87
«Учител ь» ( 3 0 2 2 ) 2 1 - 2 5 - 3 5
ТС «Ваша к н и га» ( 3 0 2 2 ) 2 1 -0 9 - 1 0
(8142)76-81-35
К Е М Е Р О В С КАЯ О БЛ АСТЬ
К е м е р о во
« К н и ж н ы й м и р » ( Г К «СибВерк»)
(384) 2 2 1 - 1 4-88
Кис е п ё в ск
Хи л о к
ТС « Ваша к н и га»
8 - 9 1 4 - 3 6 8- 2 5 - 3 2
(38464) 2 2 3 - 5 2
И В А Н О В С КАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть м а газинов « Гл обус»
И ваново
ООО « П и фагор»
«Киселё вск К н и га» (ГК «СибВерк»)
(493 2 ) 5 8-55-74
�
Н о в о кузн ецк
«Учебник» 8- 96 1 - 709-00-24
К И Р О В С КАЯ О БЛ АСТЬ
(49 3 2 ) 5 8- 1 2 - 4
М А Р И Й ЭЛ Р Е С П У БЛ И КА
«Хорошие К Н И Г И » (83 6 2 ) 4 2 -88-55
« М и р К Н И Г И » ( 8 3 6 2 ) 63-4 1 - 5 5
Ки р о в
И П Воробьёва Е . Л . 8 - 9 2 2 - 6 6 5 - 1 5 - 7 7
ТД «Дел ьта» (83 3 2 ) 3 1 - 2 0 - 1 5
КЦ «УЛ ИСС» ( 8 3 3 2 ) 54-86-45
'
ТЦ « М и ке» (8332)25- 10-88
ТЦ Gгeen Haus (833 2 ) 2 5-10-77
Назарово
Б илле Надежда Ти мофеевна 8-9 13-197-1 2-61
К О СТР О М СКАЯ О Б ЛАСТЬ
«Леонардо» ( 494.2 ) 3 1-53-76
МУП г. Костромы « Ш кольник»
( 494 2 ) 5 1 -42-55; 3 1 - 50-28
К У Р ГА Н С КАЯ О БЛ АСТЬ
Курга н
« К н и ж н ы й кит» ( 3 5 2 2 ) 23-64-05
« Класс» ( 3 5 2 2 )46-57-02
К Р Ы М Р Е С П У БЛ И КА И С Е В АСТО П ОЛ Ь
КУ Р С КАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть магазинов « К р ы м к н и га»
(3652) 60-04-54
Сеть м а газинов «Оnти м и ст» (47 1 2 )73-04-00
Ев патория
«АистёНОЮ> (47 1 2 ) 52-86-10
«ПОЗНА Й КА» 8-978-104-57-99
Симфероп ол ь
И П С и н и ца Г. Л . 8-978-736-72 -04
« Всё ДЛЯ Ш КОЛ Ы» 8-978-090-87-28
ИП Ясницкий М . В . 8-978-767-08-90
С евасто пол ь
И П С и н и ца Г. Л . 8-978-736-72-04
« Гала» 8-978-044- 10-68
К РАС Н ОДА Р С К И Й К РА Й
Сеть магазинов « Когорта»
(861)238-24-21 (оnт), 262-36-08 (розница)
Сеть магазинов « И нтеллект» (86 1 ) 2 54-25-67
Сергей В и кторович 8-9 1 8-46 7-48-04
Арма ви р
«Буквица» 8-918- 2 1 9 - 20-00
А н а па
И П Ладанов И. А. (86133)3-72-76
Краснодар
«Ремикс» (861 ) 2 6 7-24-49
Краснода рский ГБОУ И РО (86 1 ) 2 3 2-3 1-63
Лаз аре вское
ИП Зайцев А. А. (86 2 2 ) 70-74- 1 3
Н о воросси йс к
«Книжная лавка студента» (86 1 7 ) 30-64- 1 9
К РАС Н ОЯ Р С К И Й К РА Й
З еленогорск
«Былина» ( 3 9169) 3-46 - 1 5
Красн оярск
П родаЛ итЪ (391) 200- 15-50
« Грады> ( 3 9 1 ) 259-11-50
«КК И П К и П П РО» ( 3 9 1 ) 2 2 7-90-00
«Яр Книга» ( 3 9 1 ) 2 23-35-00
АНО ДПО О Ц «Развитие» ( 3 9 1 ) 2 1 2 - 1 2-60
Курск
Л Е Н И Н Г РАД СКАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть магазинов « Буквоед» 8-800-2 50-06- 1 8
Л И П Е Ц КАЯ О БЛ АСТЬ
ООО «Л КТФ Книжный клуб 3 6,6»
(4742)77-40-64; 48-79-32; 73-35-58
М О С КО В СКАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть «Ч ита й - город»
(495)733-91-68, 780-58-3 1
Сеть м а г а з и н о в «Торго в ы й Д о м Л а б и р и нт»
8-800-500-95-25
МОСКВА
ИМЦ « Глобус» (495)988-72-83
Сеть «Читай-город» (495)733-91-68, 780-58-31
«Торговый Дом "Абрис"» (49 5 ) 2 2 9-67-59
Торговый Дом « Б И БЛ И О ГЛОБУ.С»
(495) 7 8 1 - 1 9-00
«Торговый Дом Л а б и р и нт» 8-800-500-95-25
Горбунов С. В. 8-915-142-63-92
Московский дом книги (495)789-35-91
М а га з и н My-Shop.гu (495)638-53-38;
8-800-100-53-38
МУР М А Н СКАЯ О БЛАСТ Ь
«Тезей» (8152)41-26-09
Н И Ж Е ГО РОД С КАЯ О Б Л АСТЬ
И П Чернышев В. В. (83 1 )436-58-14
Н О В ГО Р ОД С КАЯ О БЛ АСТЬ
Сеть м а газинов « Буквоед» 8-800- 250-06-18
« П рометей» (8162) 77-82-96
Н О В О С И Б И Р С КАЯ О БЛ АСТЬ
« Б ибл и о н и к» (383)3 36-46-01
«СибВерК» (383) 200-01 - 5 5
« П л а нета - Н » (383)37 5-00-75
О М С КАЯ О БЛ АСТ Ь
«Алтай» (863)2 62-З 7-95
ИП Гл и н ков Д. Г. (86 З ) 3 2 2 - 1 2 -84
«Донская школа» (863) 2 6 7-56-1 1
И П Ермолаев А . Н . 8-961-3 28-67-59
О мск
«Сфера» ( 3 8 1 2 ) 56-42 -41
«Учебная л итература» ( 3 8 1 2 ) 24-45- 3 7
«Центр- к н и га» ( 3 8 1 2 ) 24-69-87
РЯ ЗА Н С КАЯ О БЛ АСТ Ь
Рязан ь
И П Итун и н М. Ф. 8-903-839-25-11
СА М А Р С К АЯ О Б Л АСТ Ь
О Р Е Н Б УР ГС КА Я О Б Л АСТ Ь
Сеть магазинов «Фирма Фол и а нт»
( 3 5 3 2 ) 7 7 -46-92
О РЛ О В С К А Я О БЛ АСТЬ
Сеть магазинов «Опти м и ст» 8-905-166-79-72
О р ёл
·«О рловский учебн ы й коллектор»
(486 2)5 9-20-34
П Е Н З Е Н С К АЯ О Б Л АСТ Ь
Пензенский областной Уч коллектор
(84 1 2 ) 95-54-59; 44- 6 1 - 5 1
П Е Р М С К И Й КРА Й
Сеть магазинов «М ЕТИДА-ОП Т»
(846) 2 6 9 - 1 7 - 2 7
Сеть м а газинов « Катюша» (846)302-08-40
С а ма ра
Магазин «Учебная книга» (846)995-58-68
СА Н КТ- П ЕТ Е Р Б У Р Г
« В Е К Развития» 8-9 1 1 -924-04-58
«Буквоед» 8-800-2 50-06-18
«Сан кт- П етербургский Дом К н и ги»
( 8 1 2 )448-23-57
Учебная к н и га (812)341-04-58
Ритон ( 8 1 2 ) 4 1 2 -64-37; З39-09-40
С А РАТО В С КАЯ О БЛ АСТ Ь
П е р мь
«Учеб н и к и » 8-91 9-446-19-87
«Л и ра-2» (342) 206-96-91
« П е рмский Торговый дом к н и г и »
(342)249-53-24
П К И М Ц « Глобус» (342 ) 2 1 2-34-26
П Р И М О Р С К И Й К РА Й
Влади восток
ИП П а рхоменко Е . П. 8-950-294-97-74
АО « П р и морский торго в ы й Дом книги»
(423)22 6-80-36
П С КО В С К А Я О БЛ АСТ Ь
«Золотая сова» (81 1 2 ) 66-2 5-04
Р О СТО В С К АЯ О БЛ АСТ Ь
Сеть магазинов « М а г и стр» (863) 240-83-36
Сеть магазинов « Ростовкнига»
(86 З ) 2 9 5-89-36
Н о в оче р касск
Учеб н и к и « М а штаков» (86352) 2-35-53
« Глобус» (86 3 5 2 ) 2 - 28·50
И П В а с ил е н ко Н . Н. (86 3 ) 2 3 2 -30-48
Р о стов-н а-До ну
Сеть магазинов « П ол и графист»
(845 2 ) 29-22-92
С а ратов
« Гемера-Пл юс» (8452 ) 7 2-65-65
,
САХА ( Я К УТИ Я ) Р ЕС П У БЛ И КА
«Я кутс к и й книжный дом» (4 1 1 2 )42-01-83
Терехова Валентина Андреевна
8·914-102-93-61
С В Е РДЛ О В С К АЯ О БЛАСТЬ
Е катер и нбург
ТК «Л юмна» (343)228-10-70
«Дом КНИГИ» (343)289-40-45
Н ижн и й Тагил
ТК «Л юмна» (3435)379-732
С М ОЛ Е Н С К А Я О БЛ АСТ Ь
Сеть м а га з и н о в «Ч итай-город»
8-800-444-84-44
См оленск
« К ругозор» (48 1 2 )65-85-03
«Эрудит» (48 1 2 ) 65-62-94
СТАВ Р О П ОЛ ЬС К И Й К РАЙ
ООО «Регион к н и га» (34141)2 -59-96
«Твоя Книга» (8793)3 2-39-81
И жевск
Ессентукс кая
ИП Ш ихалеева Р. Р. 8-91 2-858- 1 5 - 7 2
« И НВИС» (34 1 2 ) 78-53-33; 78-16-24
«КНИГИ» (8796 1 ) 5 - 1 1-28
Став ро п ол ь
УЛ ЬЯ Н О В С КАЯ О Б Л АСТ Ь
«Книжн ы й дом» (8652) 28-07-30
«ЛАД Кни га» 8-968- 26 7-85-19
«Ста врополь-Сервис-Ш кола» (8652)5 7-4 7-25
Сеть магазинов «Глобус» (8422)67-55-77
Ул ь ян о вск
Всё для ш кол ы (84 2 3 ) 5 7-48-48
П яти горск
ИП Бердн и кова Л . А. (8793)33-88-80
П о кровское
ХА Б А Р О В С К И Й К РА Й
«Медиа М и р» (42 1 2 ) 6 1 -52-97
Х А НТ Ы - М А Н С И Й С К И Й АО
Хожаев Н . С. 8-906-47 2-72-41
ТО ГО АУ « И П КРО» (4752)63-05-08
ТА М Б О В С К А Я О БЛ АСТЬ
ТАТА РСТАН Р Е С П У БЛ И КА
Н ефте ю га нск
« К н и гол юб» (346)32 5-47-42
Н ижн ев а ртовск
«Учебная к н и га» (3466)40- 7 1 - 2 3
Каза н ь
Су ргут
« Пегас» (84 3 ) 2 7 2-73-73
ТД «Аист-П ресс» (843 ) 5 2 5-55-40; 525-56-15
«ЗабАВа» (346 2 ) 6 1 -89-20
« К н и габук» (3462)26-2 6-64
ТК Люмна (346 2 ) 9 5 - 1 4-46
Ал ь меть евс к
«Азбука» 8-987 - 2 2 2 -55-55
Н а бережные Ч ел н ы
«Грамотей» (8552)7 7-90-2 7
«Книжн ы й м и р» (8552)39-23-03
ТВ Е РС КА Я О Б Л АСТЬ
«ВООК-С Е Р В И С» (48 2 2 ) 5 5-42-41
«Ки рилл ица» (48 2 2 ) 3 2 -05-68
ТОМСКА Я О Б Л АСТЬ
ООО «УчСервис» (ГК «Сиб Верк»)
(3822)46-86-24
ТУЛ ЬСКА Я О Б Л АСТЬ
Сеть магазинов ООО «Букварь»
(4872) 70-00-94
ТЫ ВА Р Е С П У БЛ И КА
ГАУ ДПО «Тув и н с к и й И РОи П К»
(394 2 2 ) 2-35-46; 8-923-385-73-83
ТЮ М Е Н С КА Я О БЛ АСТЬ
ХА КАС И Я Р Е С П У БЛ И КА
ГАОУ РХ ДПО «Ха к И РО и П К» (3902)22-70- 1 2 ;
2 2-65-39
« К ругозор» ( 3 9 0 2 ) 2 2-36-40
«Абакан К н и га» (3902)26-55-96
Ч ЕЛ Я Б И Н СКА Я О БЛ АСТЬ
ООО « И нтерСервис ЛТД» ( 3 5 1 ) 247-74-01
«Урал-п ресс» ( 3 5 1 ) 2 20-70-97; 2 1 6-38-83
Ч Е Ч Е Н СКА Я Р Е С П У БЛ И КА
« И рСКОМ» 8-928-888- 10-10
Ч У В А Ш С КА Я Р Е С П У БЛ И КА
«Чувашский Учколлектор» (8352)56-24-75
Ч ебоксар ы
« Ш кол ьник» 8-927-999-70-53
Я МАЛ О - Н Е Н Е Ц К И Й АО
Н оябр ь ск
«Дом КНИГИ» (3496)34- 16-42
Я РОСЛА В С КАЯ О БЛ АСТ Ь
Тю мен ь
«Фол иа нт» (3452)56-25-45
УД М У Р ТСКА Я Р Е С П У БЛ И КА
Глазо в
Жуйков С. В. 8-904-247-77-89
ГОАУ ЯО « И РО» (485 2 ) 2 1 -06-83
ИП Клоновец М. Ю. (4855) 24-30-61
ДЛЯ ЗА М ЕТО К
ДЛЯ ЗАМ ЕТО К
ДЛЯ ЗА М ЕТО К