/
Автор: Яковлев Г.Н.
Теги: алгебра анализ математика математический анализ естественные науки
Год: 1981
Текст
Математика
для
техникумов
Математика
для
техникумов
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
ЧАСТЬ 1
Издание 2-е, переработанное
и дополненное
Под редакцией Г. Н. ЯКОВЛЕВА
Допущено Министерством высшего
.и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для средних
специальных учебных заведений
МОСКВА «наука»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 1
22.10 М32 УДК 512 Коллектив авторов: М. И. КАЧЕНОВСКИЙ, Ю. М. КОЛЯГИН, А. Д. КУТАСОВ, Г. Л. ЛУКАНКИН, В. А. ОГАНЕСЯН, Г. Н. ЯКОВЛЕВ
Мечислав Игнатьевич Каченовский,
Юрий Михайлович Калягин,
Александр Дмитриевич Кутасов,
Геннадий Лаврович Луканкин,
Вачаган Арташесович Оганесян,
Геннадий Николаевич Яковлев
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Часть 1
М., 1981 г.» 33G стр. с илл.
Редактор Т. А. Панькова
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры С. Н. Макарова, Л. С. Сомова
ИБ № 1174 8
Сдано в набор 23.12.80. Подписано к печати 06.05.81. Бумага
84Х108‘/32, тип. № 3. Литературная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 18,58. Тираж 450 000 экз.
(2-й завод 200 001—450 000 экз.). Заказ Ns 24 34. Цена книги 70 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 1 7071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
20203-059
М 053 (02J-81 24-8Ц 1702050000
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................. 8
Глава 1. Вычислительная математика........... 9
§ 1. Вычисления в современной науке и технике. 9
§ 2. Приближенные значения и погрешности приближений . . 10
8 g
1. Приближенное значение величины. Абсолютная погрешность
приближения. Граница абсолютной погрешности (10). 2. Относи-
тельная погрешность. Гранина относительной погрешности (13).
.3. Запись приближений (15). 4. Округление чисел. Погрешность
округления (16).
§ 3. Пргрешности вычислений с приближенными данными . , 18
1. Погрешность суммы (18). 2, Погрешность разности (19).
3. Погрешность произведения (2 1). 4. Погрешность частного
(22). 5. Погрешность степени и корня (2 3). 6. Обратная задача
приближенных вычислений (25).
§ 4. Некоторые сведения о вычислительной технике ..... 26
Упражнения 1.1 — 1.20 (28).
Глава II. Простейшие понятия теории множеств и матема-
тической логики ................................. ..........
§ 5. Множества и операции над ними ...........
1. Множество и его элементы. Подмножества (30). 2. Пересече-
ние множеств (31). 3. Объединение множеств (32). 4. Вычита-
ние множеств. Дополнение до множества (32). 5. Прямое произ-
ведение двух множеств (33). 6. Эквивалентные множества (34).
Упражнения'2.1 — 2.16 (35).
§ 6. Первоначальные понятия математической логики .... 36
1 .• Высказывания (36). 2. Логические операции (37). 3. Свой-
ства логических операций (40). 4. Простейшие применения ал-
гебры высказываний (42). 5. Предложения, зависящие от пере-
менной (45). 6. Знаки общности и существования (47). 7. Метод
математической индукции (4 8).
Упражнения 2.17—2.31 (51).
§ 7. Различные виды теорем.и их взаимосвязь 53
1. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы (53).
2. Необходимые и достаточные условия (56).
Упражнения 2.32 — 2.38 (58).
3
§ 8. Действительные числа..................................... 59
1. Рациональные числа (59). 2. Периодические десятичные дро-
би (61). 3. Действительные числа (63). 4. Десятичные прибли-
жения действительных чисел (64). 5. Геометрическое изображе-
ние множества действительных чисел (65).
Упражнения 2.39—2.62 (68).
Глава III. Системы уравнений и неравенств.................... 71
§ 9. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
и определители второго порядка. . ,......................... 71
1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(71). 2. Геометрическая иллюстрация решения систем двух ли-
нейных уравнений с двумя неизвестными (75). 3. Определители
второго порядка (77). 4. Свойства определителей второго по-
рядка (80).
Упражнения 8.1—3.8 (82).
§ 1(Г. Определители третьего порядка и их свойства ..... 83
1. Матрицы и определители третьего порядка (83). 2. Свойства
определителей третьего порядйа (84).
Упражнения 3.9—3.15 (86).
§ 11. Системы линейных'уравнений со многими неизвестными 87
1. Системы трех линейных уравнений стремя неизвестными (87).
2. Системы линейных уравнений с п неизвестными (95).
Упражнения 3.1 6—3.26 (97).
§ 12. Нелинейные уравнения и системы............ ... 99
1. Квадратные уравнения (99). 2. Уравнения с одним неизвест-
ным (общий случай) (100). 3. Уравнения и системы уравнений со
многими неизвестными (ЮЗ).
Упражнения 3.27—3.31 (108).
§ 13. Неравенства и системы неравенств ... . . . . . 109
1. Неравенства о одним неизвестным (109). 2. Линейные нера-
венства (111). 3. Квадратные неравенства (114). 4. Рациональные
неравенства (116). 5. Системы неравенств (118).
Упражнения 3.32—3.37 (121).
§ 14. Понятие о задачах линейного программирования ... * 121
Упражнение 3.38 (125).
Глава IV. Функции. Последовательности. Пределы .... 126
§ 15. Функции , , ..................................... .... 126
1. Понятие функции (126). 2. Функции и отображения (127).
3. Числовые функции (128). 4. Способы задания функции (129).
5. Функция, обратная данной функции (132). .6. Четные и нечет-
ные функции (134). 7. Периодические функции (135). 8. Возрас-
тающие и убывающие функции (136).
Упражнения 4.1—4.12 (137). §
§ 16. Последовательности..................................... 139
1. Числовые последовательности (139). 2. Монотонные последова-
тельности (142). 3. Ограниченные и неограниченные последова-
тельности (144|.
Упражнения 4.13—4.23 (145).
4
§ 17. Предел последовательности , , 146
1. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходя-
щиеся числовые последовательности (146). 2- Геометрический
смысл сходимости последовательности (150). 3. Необходимое усло-
вие существования предела последовательности (151). 4. Единст-
вен иость предела последовательности (151). 5. Бесконечно малые
последовательности. Основные теоремы о бесконечно малых после-
довательностях (152). 6. Теоремы о пределах последовательностей
(154). 7. Теоремы о пределах в неравенствах (157). 8. Бесконечно
большие последовательности. Связь между бесконечно большой
и бесконечно малой последовательностями (158). 9. Существование
предела у монотонной ограниченной последовательности (160),.
10. Понятие числового ряда (162). 11. Сумма бесконечной убы-
кающей геометрической прогрессии (163).
Упражнения 4.24—4.34 (165).
§ 18. Предел функции ......................................... 166
1. Предел функция в точке (166). 2. Теорема о единственности
предела (168). 3. Теоремы о пределах (168). 4. Односторонние
пределы (171). 5. О пределе функции при х -► ±<». Бесконеч-
ный предел функции (173).
Упражнения 4.35^-4.42 (176).
§ 19. Непрерывные функции....................................... 177
1. Понятие непрерывной функции (177). 2. Примеры (179).
3. О непрерывности фуикцин на множестве (181). 4. Точки, раз-
рыва (181). 5. Свойства непрерывных функций (183).
Упражнения 4.43—4.44 ( 184).
Глава V. Элементарные функции 186
§ 20. Степени и логарифмы .............................. 186
1. Степени (186). 2. Логарифмы (187). 3. Формула перехода от
логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому ос-
нованию (189).
Упражнения 5.1—6.4 (18.9).
§ 21. Показательная, логарифмическая и степенная функции 190
1. Показательная функция (190)1. 2. Логарифмическая функция
(192). 3. Степенная функция (193).
Упражнения 6.6—5.13 (195).
§ 22. Показательные и логарифмические уравнения и нера-
венства ....... . 196
1. Показательные уравнения (196). 2. Логарифмические уравне-
ния (198). 3. Показательные и логарифмические неравенства (202).
Упражнения 6.14—6.21 (205).
§ 23. Тригонометрические функции числового аргумента , . , 206
1. Введение (206). 2. Радианное измерение углов и дуг (207).
3. Тригонометрические функции числового аргумента (210).
4. Простейшие свойства тригонометрических функций (214).
Упражнения 5.22—5.30 (216).
$ 24. Основные формулы тригонометрии и их следствия ... 217
1. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргу-
ментов (217). 2. Тригонометрические функции двойного и поло-
$
винного аргументов (220). 3. Преобразован»»произведения триго-
нометрических функций в сумму и разность и наоборот (222).
4. Непрерывностьтригонометрических функций (225). б.Трафики
тригонометрических функций (226).
Упражнения 5.31—5.64 (231).
§ 25, Обратные тригонометрические функции..................... 234
1. Функция арксинус и ее график (2 34). 2. Функция арккосинус
и ее график (235). 3. Функции арктангенс и ее график (236).
4. Функция арккотангенс и ее график (237).
Упражнения 5.65—5.67 (238).
§ 26. Тригонометрические уравнения ........................... 238
•1. Простейшие тригонометрические уравнения (238). 2. Примеры
решения тригонометрических уравнений (243).
Упражнения 5.68—5.69 (247).
Глав а. VI. Производная ► . • • 248
§ 27. Производная ........., . . . ....... .. г ....... . 248
1. Зндичн, приводящие-к понятию* производной1 (248)1 2. Произ-
водная функции (251). 3. Вычисление производной и» основе ее
определения (253). 4. .Непрерывность, дифференцируемой- фуаю>
ции (254).
Упражнения 6.Г— 6.8 (256).
§ 28. Производная суммы, разности, произведения' я- частного
функций..................................................... 256
1. Производная суммы и разности функций (2*56). 2. Производ-
ная произведения функций (25Z). 3.. Производная частного двух
функций (258).
Упражнения 6.7—6.12 (259).
§ 29. Производная сложной и обратной1 функций ...... 260
1. Сложная функция (260). 2. Производная сложной функции
(261). 3. Производная обратной функции (ДОЗ)*.
Упражнения 6,13—6U 5 (263).
§ 30. Производные некоторых элементарных1 функций .... 264
1. Пределы, связанные с числом е (264). X. Производная пока-
зательной функции (265). 3. Производная логарифмической-фу ни*
ции- (266). 4-. Проиаводнаи степенной, функция (267). 5. Произ-
воднаи синуса (269). 6. Производная косинуса (270). 7. Произ-
водная, тангенса (271). 8. Производная котангенса (271). 9. Про-
изводная арксинуса (272). 10. Производная арккосинуса (273).
И. Производная арктангенса (274). 12. Производная арккотан-
генса (274). 13. Таблица производвых (275). 14. Производные
высших порядков (276);
Упражнения 6U6— 6.62- (27.8).
Глава VII. Приложения одомздодной. 281
§ 31. Касательная и нормаль к кривой . - » . , » г, », .: . 281
1. Определение касательной и нормали к кривой (281). 2. Гео-
метрический смысл производной* (282). 3*. Уравиеиия касателыгой
и нормали к кривой* (283).
Упражнения 7.1—7.8(286).
6
§ 32. Некоторые применения производной в физике , , , , , 286
1. Задача о теплоемкости тела (286). 2. Задача о скорости хими-
ческой реакции (2 87). 3. Задача о линейной плотности стержня
(287). 4. Механический смысл второй производной (ускорение)
(288).
Упражнения 7.9—7.19 (289).
§ 33. Приложение производной к исследованию возрастания и
убывания функции............................................. 290
1. Необходимые условия возрастания и убывания функции (2 90).
2. Теорема Лагранжа (290). 3. Достаточные условия возрастания
и убывания функции (291). 4. Правило нахождения интервалов
монотонности (293).
Упражнение 7.20 (294).
§ 34. Исследование экстремумов функции , , . , . , . , , , 294
1. О понятии экстремума функции (2 94). 2. Необходимое усло-
вие существования экстремума (295). 3. Достаточные условия
существования экстремума (296).- 4. Правила нахождения экст-
ремумов функции (297).
Упражнение 7.21 (299).
§ 35. Выпуклость графика функции , . , . . > , < , . . , . 299
1. О понятии выпуклости графика функции (299). 2. Достаточное
условие выпуклости графика функции (301). 3. Точки пере-
гиба (302). 4. Исследование квадратичной функции (304).
Упражнения 7.22—7.23 (308).
§ 36. Построение графиков функций 308
1. Асимптоты (308). 2. Примеры построения графиков функций
(312).
Упражнения 7.24 —7.25 (317).
§ 37. Решение задач на максимум и минимум . . « « , , « . 318
Упражнения 7.26—7.40 (32 1).
Ответы ................................................ ? f 323
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является первой частью учебника
«Алгебра и начала анализа», написанного в соответствии
с новой программой по математике для средних специ-
альных учебных заведений. Здесь изложены теория пре-
делов для последовательностей и функций, основные по-
нятия и методы дифференциального исчисления и их
применения к геометрии и физике. Как и в первом из-
дании, в самом начале изложены элементы теории при-
ближенных вычислений и простейшие понятия теории
множеств и математической логики.
Во втором издании в эту книгу включена новая гла-
ва «Системы уравнений и неравенств», в которой изуча-
ются системы линейных уравнений, свойства определи-
телей, нелинейные уравнения и системы, а также нера-
венства и системы неравенств. Кроме того, введена глава
«Элементарные функции», в которой изучаются показа-
тельная, логарифмическая, степенная, тригонометриче-
ские и обратные тригонометрические функции.
Книга написана с учетом программ и учебников, дей-
ствующих в настоящее время в средней школе. Авторы
стремились познакомить учащихся с важнейшими поня-
тиями и методами, имеющими большое прикладное зна-
чение. Изложение теоретического материала сопровожда-
ется разбором задач и упражнений. В конце каждого
параграфа приводятся задачи для самостоятельной работы
учащихся.
Авторы считают своим приятным долгом выразить бла-
годарность профессору Я. С. Бугрову и заслуженному
учителю школы РСФСР Л. А. Клюевой, внимательно про-
читавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний.
Авторы благодарят также доцента М. III. Косса, прислав-
шего свои замечания и пожелания.
Глава I
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
§ 1. Вычисления в современной науке и технике
Измерения и вычисления с давних времен играют
важную роль в жизни общества. Необходимость подсчи-
тывать урожай, измерять емкость сосудов, размеры зе-
мельных участков, производить расчеты при строитель-
стве крупных сооружений, выполнять различные астро-
номические расчеты —вот неполный перечень задач, кото-
рые люди должны были решать еще в давние времена.
Одним из наиболее значительных событий последнего
времени необходимо считать освоение человечеством кос-
моса. Мы с волнением следим за полетами на Луну,
Венеру, Марс, за созданием пилотируемых орбитальных
станций. Запуск космического корабля был бы немыслим,
если, бы не был проведен точный расчет движения
корабля, а для этого требуется выполнить колоссальную
и сложную вычислительную работу.
В современный период, период научно-технической
революции, роль математических методов все возрастает.
Математические методы применяются не только в физике,
но и в химии, биологии, медицине, экономике, истории
и лингвистике.
Большую вычислительную работу приходится выпол-
нять математикам и инженерам в будничной, текущей
деятельности промышленных предприятий, научных ин-
ститутов, государственных учреждений, совхозов и кол-
хозов.
Вычислительные методы в настоящее время широко
применяются в экономических расчетах, в планировании
работы отдельного предприятия, области и всего народ-
ного хозяйства.
Имеется много задач, в которых для получения чис-
ленного результата требуются вычисления, превосходя-
щие возможности одного человека. Расчет упругих
9
напряжений в плотине, расчет сопротивлений, испытывае-
мых самолетами при полете, или траекторий снарядов —
вот примеры таких задач. Десятки инженеров-вычислите-
лей, используя различные вычислительные машины, вы-
полняют эту сложную вычислительную работу.
Появление ЭВМ вызвало революцию в технике вы-
числений. Но для того чтобы довести решение матема-
тических’задач до этапа, после которого они могут быть
переданы на вычислительную машину для получения
численных результатов, необходим тоже труд многих
вычислителей. Создание ЭВМ стимулировало развитие
самой математики, особенно ее прикладных направлений.
Вычисления теперь играют не вспомогательную, а основ-
ную роль во многих научных и технических достижениях.
Во всех случаях, когда нужно довести до конца решение
какой-либо математической задачи практического харак-
тера, необходимо получить численный результат. Если
исходные данные приближенные, то нельзя добиться
любой степени точности результата. Надо уметь оценивать
точность исходных данных, а также определять, какая
точность результата может быть достигнута и какая
точность результата нужна при практическом использова-
нии полученных численных результатов. В одних вычис-
лениях требуется получить результат с очень большой
точностью, а в других такая точность не требуется.
Отсюда ясно, что нужно организовывать вычисления
так, чтобы получать результаты с требуемой точностью
при минимальной затрате вычислительного труда. Для
достижения этой цели необходимо: 1) изучить принципы
и правила вычислений с приближенными данными; 2) ов-
ладеть необходимыми навыками рациональных вычислений
с помощью доступных средств, к которым относятся раз-
личные приемы устных вычислений, математические таб-
лицы, конторские счеты, счетные логарифмические линей-
ки, арифмометры, полуавтоматические и автоматические
вычислительные машины.
§ 2. Приближенные значения и погрешности
приближений
1. Приближенное значение величины. Абсолютная по-
грешность приближения. Граница абсолютной погрешнос-
тй. В практической деятельности человеку приходится
измерять различные величины, учитывать материалы и
10
продукты труда, производить различные вычисления.
Результатами различных измерений, подсчетов и вычисле-
ний являются числа. Числа, полученные в результате
измерения, лишь приблизительно, с некоторой степенью
точности характеризуют искомые величины. Точные из-
мерения невозможны ввиду неточности измерительных
приборов, несовершенства наших органов зрения, да и
сами измеряемые объекты иногда не позволяют определить
их величину с любой точностью.
Так, например, известно, что длина Суэцкого канала
160 км, расстояние по железной дороге от Москвы до
Ленинграда 651 км. Здесь мы имеем результаты измере-
ний, произведенных с точностью до километра. Если, на-
пример, длина прямоугольного участка 29 м, ширина
12 м, то, вероятно, измерения произведены с точностью
до метра, а долями метра пренебрегли,
Прежде чем произвести какое-либо измерение, необхо-
димо решить, с какой точностью его нужно выполнить,
т. е. какие доли единицы измерения надо при этом
принять во внимание, а какими пренебречь.
Если имеется некоторая величина а, истинное значение
которой неизвестно, а приближенное значение (прибли-
жение) этой величины равно х, то пишут а»х.
При различных измерениях одной и той же величины
будем получать различные приближения. Каждое из этих
приближений будет отличаться- от истинного значения
измеряемой величины, равного, например, а, на некото-
рую величину, которую мы будем называть погрешностью.
Определение. Если число х является приближенным
значением (приближением) некоторой величины, истинное
значение которой равно числу а, то модуль разности
чисел а и х называется абсолютной погрешностью дан-
ного приближения и обозначается Дах или просто Да.
Таким образом, по определению,
Дах = [а—- х|. (1)
Из этого определения следует, что
а==х±Дах. (2)
Если известно, о какой величине идет речь, то в обо-
значении Дах индекс а будем опускать и равенство (2)
записывать так:
а = х ± Ах. (3)
11
Пример 1. Составляя смету на какое-либо соору-
жение, мы получаем сумму 112 405 р. 27 к. и, желая
округлить полученную сумму, отбрасываем в ней копейки;
тогда абсолютная погрешность полученного таким обра-
зом приближения будет равна Дх= 112 405 р. 27 к.—
— 112 405 р. = 27 к.®0,27 р.
Пример 2. Как известно, 4-==0,333...
О
Вычислим абсолютную погрешность приближения
л ччч-
дх = |1_оззз|=1^——!--i-
Л | 3 ’ | 13000 3000I 3000'
Так как истинное значение искомой величины чаще
всего бывает неизвестно, то нельзя найти и абсолютную
погрешность приближения этой величины. Можно лишь
указать в каждом конкретном случае положительное
число, больше которого эта абсолютная погрешность быть
не может. Это число называется, границей абсолютной
погрешности приближения величины а и обозначается ha.
Таким образом, если х —произвольное приближение
величины а при заданной процедуре получения прибли-
жений, то
Дах = |а — х|<Лв. (4)
Из сказанного выше следует, что если ha является
границей абсолютной погрешности приближения величи-
ны а, то и любое число, большее ha, также будет границей
абсолютной погрешности приближения- величины а.
На практике принято выбирать в качестве границы
абсолютной погрешности возможно меньшее число, удов-
летворяющее неравенству (4).
Решив неравенство |а — x\^.ha, получим, что а заклю-
чено в границах
x — ha ^a^lx + ha.
Более строгое понятие границы абсолютной погреш-
ности можно дать следующим образом.
Пусть X — множество всевозможных приближений х
величины а при заданной процедуре получения прибли-
жений. Тогда любое число h, удовлетворяющее условию
[a — x\^h при любом х£Х, называется границей абсо-
лютной погрешности приближений из множества X. Обо-
значим через ha наименьшее из известных чисел h. Это
12
число ha и выбирают на практике в качестве границы
абсолютной погрешности.
Пример 3. Пусть нам необходимо измерить с по-
мощью рулетки ширину улицы, причем при измерении
мы можем ручаться за точность в 1 см, но не можем
ручаться за большую точность. В данном случае мы не
можем вычислить абсолютную погрешность полученного
измерения, так как не знаем, чему равна на самом деле
измеряемая нами длина. Данные о точности измерений
позволяют нам только утверждать, что абсолютная по-
грешность измерения не превосходит 1 см, т. е. границей
абсолютной погрешности полученного приближения может
быть число, равное^ 1 см.
Пример 4. Запись л «3,14 означает, что 3,14 —
приближенное' значение (приближение) числа л. Абсолют-
ная погрешность этого приближения равна
|л-3,14| = 0,0015926...,
и так как 0,0015926... < 0,002, то за границу абсолют-
ной погрешности можно принять число 0,002.
Пример 5. При измерении диаметра некоторого ци-
линдра использовали инструмент, который обеспечивает
точность измерения 0,5 мм, и получили, что приближен-
ное, значение длины диаметра равно 74 мм.
На основании этих данных можно утверждать, что
длина диаметра d удовлетворяет неравенству
74-0,5 74 + 0,5,
т. е.
73,5 74,5.
2. Относительная погрешность. Граница относитель-
ной погрешности. Абсолютная погрешность приближения
Не характеризует качества измерений. Действительно,
если мы измеряем с точностью до 1 ем какую-либо длину,
то в том случае, когда речь идет об определении длины
карандаша, это будет плохая точность. Если же с точ-
ностью до 1 см определить длину или ширину волей-
больной площадки, то это будет высокая точность.
Рассмотрим еще один пример. Получены результаты
измерения длины и диаметра проводника: длина провод-
ника /=10,0 ±0,1 м, диаметр d = 2,5 ± 0,1 мм. Какое из
этих измерений точнее?
При измерении длины проводника допущена погреш-
ность 0,1 м= 100 мм, при измерении диаметра провод-
13
ника —0,1 мм. Казалось бы, что точнее измерен диаметр
проводника. Однако это не так.
При измерении длины проводника допущена абсолют-
ная погрешность в 100 мм на 10 000 мм, и, следовательно,
погрешность составляет — 0,01 = 1 % измеряемой ве-
личины. При измерении диаметра погрешность составляет
^|=0,04 — 4% измеряемой величины. Таким образом,
измерение длины проводника выполнено точнее.
Для характеристики точности измерения вводится по-
нятие относительной погрешности.
Определение. Если Лах есть абсолютная погреш-
ность приближения х некоторой величины, истинное зна-
чение которой равно числу а, то отношение Дах к модулю
числа х называется относительной погрешностью прибли-
жения и обозначается еаах или сох.
Таким образом, по определению,
Относительную погрешность обычно выражают в про-
центах.
В рассмотренном выше примере относительная по-
грешность при измерении длины проводника равна 1%,
при измерении диаметра проводника равна 4%.
В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще
всего бывает размерной величиной, относительная погреш-
ность является безразмерной величиной.
В п. 1 указаны трудности определения абсолютной
погрешности приближения. Это можно повторить и о по-
грешности относительной. Поэтому на практике рассмат-
ривают не относительную погрешность, а так называемую
границу относительной погрешности: такое число Еа,
больше которого не может быть относительная погреш-
ность приближения искомой величины.
Таким образом, ыах^.Еа.
Если ha — граница абсолютной прогрешности прибли-
жений величины а, то Дах^йа и, следовательно,
Очевидно, что любое число Е, удовлетворяющее условию
~-г^.Е, будет границей относительной погрешности. На
Iх I
14
практике обычно известны некоторое приближение х вели-
чины а и граница абсолютной погрешности. Тогда за гра-
ницу относительной погрешности принимают число
£»=Д- (2)
Пример. Если л ж 3,14, то <0,002,
. 0,002 . п
< -3Д7 < 0,0007
и, следовательно, Е'л = 0,07%.
Иногда удобно вместо Еа писать Е(а).
Понятие границы относительной погрешности можно
дать и таким образом:
Пусть X— множество всевозможных приближений х
величины а при заданном процессе получения приближе-
ний. Тогда любое число Е, удовлетворяющее условию
A
при любом х С X называется границей относи-
тельной погрешности приближений из множества X. Через
Еа обозначим наименьшее из известных чисел Е. Это
число Еа и будем выбирать в качестве границы относи-
тельной погрешности.
3. Запись приближений. В записи числа, полученного
в результате измерения, обычно указывают его границу
абсолютной погрешности.
Например, если результат измерения, выполненного
с точностью до 0,5 см, равен 112 см, то записывают это так:
112 см ± 0;5 см.
Однако при вычислениях часто бывает трудно указы-
вать наряду с приближениями их погрешности. Записы-
вая приближение без указания погрешности, требуют,
чтобы по этой записи можно было судить о границе его
погрешности. Для этого вводится понятие верной цифры.
Цифра а в записи приближения называется верной,
если граница абсолютной погрешности не превосходит
единицы того разряда, в котором записана эта цифра.
Например, в приближении числа л, равном'3,14, все
цифры верные, так как его граница абсолютной погреш-
ности 0,002 < 0,01.
Ясно, что если а является^ верной, цифрой, то и все
предыдущие цифры тоже верные.
Если граница абсолютной погрешности приближения
больше единицы некоторого его разряда, то цифру этого
15
разряда (и всех следующих за ним разрядов) называют
сомнительной.
Рекомендуется записывать приближение, если не ука-
зана его граница абсолютной погрешности, так, чтобы
все записанные цифры были верные.
Например, если записано число 23,47 являющееся
приближением некоторой величины, то это означает, что
все цифры числа 23,47 верные, а граница абсолютной
погрешности этого числа не превосходит 0,01.
Если при вычислениях исходные числа имеют не-
сколько сомнительных цифр, то их нужно предварительно
округлить, сохраняя при этом одну сомнительную цифру.
Полученный результат необходимо округлить так, чтобы
в нем все цифры были верные, причем все его сомни-
тельные цифры отбрасывают по правилам округления,
если это десятичные знаки числа, и заменяют нулями,
если это цифры целой части числа.
Пример 1. Пусть число 14 535 является приближе-
нием некоторой искомой величины, граница абсолютной
погрешности которого равна 50. Последние две цифры
числа 14 535 сомнительные. Тогда при округлении числа
14 535 получим число 14 500; однако в другом каком-либо
случае может получиться число 14 500, у которого все
цифры верные. Чтобы различить эти два случая, число,
у которого нули записаны вместо сомнительных цифр,
запишем так: 145-10а или 14,5-10®.
Пример 2. Известно, что расстояние от Земли до
Солнца равно 1495-10^ км. Это значит, что мы имеем
приближение, которое содержит 4 верные цифры.
Пусть число х является приближением некоторой иско-
мой величины. Все верные цифры числа х, кроме нулей,
расположенных левее первой отличной от нуля цифры,
называются значащими цифрами.
Например, в числе 3,14—три значащие цифры, в числе
0,01255 —четыре, в числе 0,108 —три, в числе 0,1200 —
четыре, в числе 126-108 —три значащие цифры.
4. Округление чисел. Погрешность округления. При
выполнении вычислений часто возникает необходимость
в округлении чисел, т. е. в замене их числами с мень-
шим количеством значащих цифр.
Существуют три способа округления чисел:
1. Округление с недостатком до Л-й знача-
щей цифры состоит в отбрасывании всех цифр, начиная
с (Л+ 1 )-й.
16
2. Округленнее избытком отличается от округ-
ления с недостатком тем, что последняя сохраняемая
цифра увеличивается на единицу.
3. Округление с наименьшей погрешно-
стью отличается от округления с избытком тем, что
увеличение на единицу последней сохраняемой цифры
производится лишь в том случае, когда первая из отбра-
сываемых цифр больше 4.
Исключение: если округление с наименьшей по-
грешностью сводится к отбрасыванию только одной
цифры 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется;
если’ она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.
Для иллюстрации этих определений рассмотрим таб-
лицу 1.
Таблица 1
Число 274,67 Результат округления
с недостатком с избытком с наименьшей погрешностью
До 4-й значащей цифры 274,6 274,7 274,7
До 3-й значащей цифры .274 275 275
До 2-й значащей цифры 27-101 28-101 27-10*
До 1-й значащей цифры 2- 10а 3-10? 3-102
Из вышеуказанных правил округления приближенных
чисел следует, что погрешность, вызываемая округлением
с наименьшей погрешностью, не превышает половины
единицы последнего сохраняемого разряда, а при округ-
лении с недостатком или с избытком погрешность может
быть и больше половины единицы последнего сохраняе-
мого разряда, но не более целой единицы этого разряда.
Рассмотрим это на следующих примерах.
Пример 1. Дано *=723,467. После округления до
5-й значащей цифры с наименьшей погрешностью будем
иметь *«723,47, причем
Д* = 0,003 <1.0,01=0,005.
Пример 2. При округлении числа 274,67 до 4-й зна-
чащей цифры с недостатком получим 274,6. Абсолютная
погрешность округления равна 0,07, и, следовательно,
П
0,07 > у, но 0,07 <0,1, т. е. погрешность округления
больше половины единицы, но меньше единицы послед-
него сохраняемого разряда.
При округлении числа 274,67 до 4-й значащей цифры
с избытком или с наименьшей погрешностью абсолютная
погрешность равна 0,03, и. поэтому 0,03 < у• 0,1. Здесь
погрешность меньше половины единицы последнего сохра-
няемого разряда.
Если число х является приближением некоторой вели-
чины, то при округлении числа х к его первоначальной
погрешности добавляется еще - погрешность, вызванная
округлением.
Пример 3. Число 7,436 является приближением
искомой величины, истинное значение которой равно
числу а, т. е. а & 7,436# Согласно правилу записи при-
ближений, граница абсолютной погрешности этого при-
ближения равна 0,001. Округлим число 7,436 до 2-й зна-
чащей цифры. Тогда а 7,4 с. погрешностью Да = 0,001 +
+0,036=0,037, где число 0,036— погрешность округления.
§ 3. Погрешности вычислений с приближенными
данными
1. Погрешность суммы. Пусть х—некоторое прибли-
жение величины а, у — некоторое приближение величины 6.
Пусть Дх и &у — абсолютные погрешности соответствую-
щих приближений х и у. Найдем границу абсолютной
погрешности ha+b суммы х+у, являющейся приближением
суммы а-\-Ь.
Имеем
а=х +Дх,
Ь = у + Ду.
Сложим эти два равенства, получим
а + b = х + у + Дх + Ду.
Очевидно, что погрешность суммы приближений х и у.
равна сумме погрешностей слагаемых, т. е.
Д!(х + у) = Дх+Ду.
Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме
модулей слагаемых. Пдэтому
| Д (-v + y)( = | Дх + Ду К| Дх]+| Ду]. (I),
18.
Отсюда следует, что абсолютная погрешность суммы при-
ближений не превышает суммы абсолютных погрешностей
слагаемых. Следовательно, за границу абсолютной по-
грешности суммы можно принять сумму границ абсолют-
ных погрешностей слагаемых.
Обозначив границу абсолютной погрешности вели-
чины а через ha, а величины b через hb, будем иметь
ha+b = ha + hb. (2)
Пример 1. Для определения периметра треуголь-
ника измерили его стороны и получили а = 63,4 ±0,1 м,
£ = 47,8 ± 0,1 м, с = 73,1 ± 0,1 м. Тогда
Р «а4-6±с = 63,4 м + 47,8 м + 73,1 м « 184,3 м,
+ 0,3 м.
Следовательно, Р — 184,3 ±0,3 м.
.Из формулы (2) следует, что граница абсолютной
погрешности суммы не может быть меньше границы абсо-
лютной погрешности каждого приближения, даже наиме-
нее точного. И с какой бы степенью точности не было
определено другое слагаемое, мы не можем за его счет
увеличить точность суммы.
Отсюда вытекает правило сложения приближений,
которое иногда применяется при вычислениях.
При сложении чисел, являющихся приближениями
некоторых величин, в результате следует поставить столь-
ко, цифр после запятой, сколько их.имеет приблюкение,
данное с наименьшим числом цифр после запятой.
Пример 2. Вычислить сумму приближений:
3,21017 + 0,43 + 0,027215.
Округлим первое и третье слагаемые так, чтобы после
запятой было две цифры, и выполним сложение.
Получим
3^1+0143 + 0,03=3,67.
Если бы мы выполнили сложение, не округляя сла-
гаемых, то в результате получили бы число 3,667385,
граница абсолютной погрешности которого равна 0,010011.
Таким образом, в числе 3,667385 цифры последних четы-
рех разрядов сомнительные, и их.нужно отбросить.
2. Погрешность разности. Пусть Дх и Д# —погреш-
ности приближений х и у соответственно величин а и Ь.
19
Тогда
а = х + Дх,
Ь = у + Ьу.
Вычтем из первого равенства второе, получим
а—b = (х—у) + (Ах — &у).
Очевидно, что погрешность разности приближений равна
разности погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т. е.
Д (х—0) = Дх—Ду,
или
А (х —у) = Дх±(— &у).
А тогда, рассуждая так же, как в случае сложения,
будем иметь
|Д(а:-у)| = |Дх4-(—Ду)|<|Дх|±|Ду|.
Отсюда следует, что абсолютная погрешность разности
не превышает суммы абсолютных погрешностей умень-
шаемого и вычитаемого.
За границу абсолютной погрешности разности можно
принять сумму границ абсолютных погрешностей умень-
шаемого и вычитаемого.
Таким образом,
= + (1)
Пример 1. Масса ящика с конфетами равна т =
= 7,3 ±0,05 кг, пустого — mt = 0,82 ± 0,05 кг. Найдем
массу конфет т2:
т — т1~7,3 кг — 0,82 кг = 6,48 кг,
hmt = hm+hm, = O,l кг.
Итак, тг = 6,48 ±0,1 кг, или после округления тг=
= 6,5 ±0,12 кг. Здесь к погрешности разности 0,1 при-
бавлена погрешность округления 0,02.
Из формулы (1) следует, что граница абсолютной
погрешности разности не может быть меньше границы
абсолютной погрешности каждого приближения. Отсюда
вытекает правило вычитания приближений, применяемое
иногда при вычислениях.
При вычитании чисел, являющихся приближениями
некоторых величин, в результате следует оставить столько
цифр после запятой, сколько их имеет приближение
с наименьшим числом цифр после запятой.
20
TI ример 2. Найти разность 1541,23 — 20,1143. В вы-
читаемом без ущерба для точности результата достаточно
после запятой сохранить две цифры. Само действие вычи-
тание необходимо произвести так:
1541,23-20,1143» 1541,23-20,11 = 1521,12.
3. Погрешность произведения. Рассмотрим произведе-
ние чисел х и у, являющихся приближениями величин
а и Ь. Обозначим через Дх погрешность приближения х,
а через Ду— погрешность приближения у г
Имеем
а = х-|-Дх,
Ь=у + Ду.
Перемножив эти два равенства, получим
ab = ху -J- Дх • у -J- х • Д у + Дх • Ду.
Абсолютная погрешность произведения ху равна
) ab — ху | = | Дх-у -|-х• Ду + Дх-Л//1,
и поэтому
| аб—хг/) < | Дх-z/Ц-1 х-Д^/1 +1 Дх • Дг/1.
Разделив обе части полученного неравенства на |xz/|,
получим
|аЬ—ху | | Дх-у1 . | х-Ду | |Лх-Ду |
1*У I "Г \ху | ~Г | ху | ’
Учитывая, что модуль произведения равен произведе-
нию модулей сомножителей, будем иметь
I ab—xy\ | Дх| | Ду | . | Дх | . | Ду |
\ху ] ^kl^iyi^ixi'iyi’
Здесь левая часть неравенства представляет собой отно-
сительную погрешность
сительную погрешность
сительную погрешность
отбрасывая здесь малую
I Дх |
произведения ху, 4—Д — отно-
1*1
приближения х, а -jyp— отно-
приближения у. Следовательно,
величину । । , полу-
чим неравенство
п ШаЪХУ ^аХ + “>ьУ-
Таким образом, относительная погрешность произведе-
ния приближений не превышает суммы относительных
погрешностей сомножителей. Отсюда следует, что сумма
21
границ относительных погрешностей сомножителей явля-
ется границей относительной погрешности произведе-
ния» т. е.
Еаь ~‘&а (О
Пример 1. Определим площадь комнаты по данным:
ширина а — 4,0 -4- 0,05 м, длина b = 5,4 ± 0,05 м.
Так как .S«4,0-5,4 = 21,6 и £J = £a + E1, = ^+^,
то, в силу (2) п. 2 § 2, мы можем найти границу абсо-
лютной погрешности hs ~S-Es = 0,47. Итак, S = 21,6 ±
±0,47 (м2).
Из формулы (1) следует, что граница относительной
погрешности произведения не может быть меньше гра-
ницы относительной погрешности наименее точного из
сомножителей. Поэтому здесь, как и в предыдущих дей-
ствиях, не имеет смысла сохранять в сомножителях из-
лишнее количество значащих цифр.
Иногда при вычислениях для сокращения объема ра-
боты полезно руководствоваться следующим правилом:
При умножении приближений с различным числом зна-
чащих цифр в результате следует сохранить столько знача-
щих цифр, сколько их имеет приближение с наименьшим
числом значащих цифр.
Пример 2. Найти произведение приближений хх=
= 16,43 и х2 — 2,7539.
Перемножив числа х{ и х2 и округлив результат до
четвертой значащей цифры, получим Xi-x2 = 45,25.
4. Погрешность частного. Если х— приближение вели-
чины д, погрешность которого Дх, a у— приближение
величины b с погрешностью Ду, то
, л , . . а х±Дх
а — X ± Дх, Ь = у ± Ду, -г —
У Ь у + ку
Вычислим сначала абсолютную погрешность частного:
I д х I_I а_г I_Iх± Дх__х I__I Дх-у—х>Ду|
I Л 7 I I 71 I У±Ду“71 ~ I Г
а затем относительную погрешность:
I д—I
х | у | I Дх-у—х-.Ду|
ту~ |±| I I
__ I у t Дх у ' ду I __ I _ у |. 1 |
|у+ДУ*х У±ДУ*у| 1у + Мг1 X у Г
22
Принимая во внимание, что Дг/ мало по сравнению
с //, абсолютную величину дроби Aj/ можно считать
равной единице. Тогда
х _ I Дх Ду I I Дх I I \у I
Ц) д — ----- — I | - | -4— | -|,
у I X у I X I I у |
Из последней! формулы вытекает, что относительная по-
грешность частного не превышает суммы относительных
погрешностей делимого и делителя. Следовательно, можно
считать, что граница относительной погрешности частного
равна сумме границ относительных погрешностей дели-
мого1 и делителя, т. е.
Еа_~Еа-}-Еь.
ь
(1)
Пример. Вычислить н = у, если
х — 47,2 ± 0,5, //=19,4±
Имеем
« ~ « 2,43,
+ 0.0158.
hu = и • Еи ъ 2,43 • 0,0158 « 0,039,
« = 2,43 ±0,039,
или после округления
и = 2,43 ±0,04.
5. Погрешность степени и корня. 1) Пусть u~ant
где « — натуральное число, и пусть ажх. Тогда, если
Еа — граница относительной погрешности приближения х
величины а, то
и = ап & хп — х • х • х •. *.. • х,
п сомножителей
и поэтому
Еи = Еа + Еа^ ' ' * = П ‘ Еа'
п слагаемых
Таким образом, граница относительной погрешности
степени равна произведению границы относительной по-
грешности основания на показатель степени, т. е.
Еи = п-Еа. (1)
23
2) Пусть и= {/а, где п — натуральное число, и пусть
ак х.
По формуле (1)
Еа = п-Еи
и, следовательно,
(2)
Таким образом, граница относительной погрешности
корня n-й степени в п раз меньше границы Относитель-
ной погрешности подкоренного числа.
Рассмотрим задачу, в которой используются установ-
ленные выше формулы.
Пример. Определить плотность р материала, из кото-
рого изготовлен _шар массой т = 34,7 ±0,05 кг, если
диаметр шара D = 2,49 ±0,01 дм.
Решение 1. Составим формулу для вычисления
плотности:
т 1
р = —, где и = -т-лО3.
г и ’ 6
Тогда
__________________________6m
р—nD3'
2. Составим схему вычислений. Возьмем л = 3,142±
±0,0005:
tn 34,7
bm 208,2
л 3,142
D 2,49
D2 6,200
D3 15,44
rtD3 48,51
_ 6m . ( кг \
P" nD3 4,29 \дм3/
3. Вычислим границу относительной погрешности:
E(p) = E(m)±E(n) + 3E(D),
E(m)=^< 0,0015,
£(") = TO?<0'00016-
3E(D) = ^-=1< 0,0121,
f (p) = 0,0138..
4. Вычислим границу абсолютной погрешности:
hp = р. Е (р) - 4,29♦ 0,0139 < 0,0597 < 0,06,
тогда
р = 4,29 ± 0,06 кг/дм’,
или после округления
р = 4,3 ± 0,07 кг/дм’.
6. Обратная задача приближенных вычислений. В прямой
задаче требуется найти приближенное значение функции
u = f(x,y,...,z) по данным приближенным значениям
аргументов
х = а±&а, y = b±&b,
и границу погрешности ha, которая выражается через
погрешности аргументов некоторой функции
ЛВ = Ф(ЛХ, hy, .... hg). (1)
На практике нередко приходится решать и обратную
задачу, в которой требуется узнать, с какой точностью
должны быть заданы значения аргументов х, у, ..., г,
чтобы вычислить соответствующие значения функции
u = f(x, у, г) с наперед заданной точностью ha.
Таким образом, при решении обратной задачи иско-
мыми являются границы погрешностей аргументов, свя-
з.анные с заданной границей погрешности функции ha
уравнением (1), и решение обратной задачи сводится
к составлению и решению уравнения ha = <р (hx, hy, ..., hg)
относительно hx, hy, ..., hz. Такое уравнение или имеет
бесконечное множество решений, или совсем не имеет
решений. Задача считается решенной, если .найдено хотя
бы одно решение такого уравнения.
Для решения обратной задачи, которая часто бывает
неопределенной, приходится вводить добавочные условия
об отношениях искомых погрешностей, например считать
их равными и тем самым уводить задачу к уравнению
с одним неизвестным.
Пример 1. Известно, что длина а стороны квадрата
более 9 см, но менее 10 см. С какой точностью надо из-
мерить сторону квадрата, чтобы погрешность площади не
превышала 1 см*?
25
Обозначим приближение длины а через х, а через ha—
границу абсолютной погрешности. Тогда
Е(а!) = 2Е(а) = ^.
Абсолютная погрешность площади
AS = E(«2)-S = E(n2)-x2 = ^-x2 = 2/ia-x,
2ha-x— 1 см2,
2-йй-9, ... = 1 см2.
Отсюда с недостатком ha~ 0,05 см. Следовательно, сто-
рону квадрата нужно измерить с точностью до 0,5 мм =
= 0,05 см.
Пример 2. С каким числом значащих цифр следует
взять V5, чтобы погрешность не превышала 0,3%?
Имеем _
я = ]Л5 = 2,
Еа = 0,003,
Лй = а-Ей> 2-0,003 = 0,006.
Следовательно, х = 2, ...±0,006. Отсюда ясно, что надо
значение V5 взять с тремя значащими цифрами.
§ 4. Некоторые сведения о вычислительной технике
В зависимости от точности исходных данных и целей
проведения вычислений пользуются различными вычисли-
тельными средствами. Работникам многих массовых про-
фессий значительно облегчают расчеты и позволяют эко-
номить время и труд на производство различных вычис-
лений русские счеты, счетные логарифмические линейки,
арифмометры и всевозможные карманные и настольные
электронные вычислители (микро- и миникалькуляторы).
К классу миникалькуляторов в настоящее время в
нашей стране относятся семейство электронных настоль-
ных калькуляторов «Искра» и семейство калькуляторов
«Электроника», в которое входит и несколько типов кар-
манных калькуляторов.
Машины семейств «Электроника» и «Искра» предназ-
начены главным образом для решения несложных инже-
нерных, бухгалтерских и учетных задач с точностью
26
порядка 8—10 значащих цифр. Во многих из них пре-
дусмотрена возможность автоматического вычисления
значений элементарных функций и имеются элементы
программного управления.
С быстрым ростом технической оснащенности нашей
промышленности и сельского хозяйства, с развитием науки
все более и более увеличивается потребность во всевоз-
можных вычислениях. Располагая быстродействующими
электронными вычислительными машинами (ЭВМ) иссле-
дователь теперь может решать такие задачи, которые
раньше даже не ставились, поскольку их решение тре-
бовало слишком много времени.
Электронные вычислительные^ машины применяются,
например, для численного решения уравнений. Первые
вычислительные машины разрабатывались именно для
такого рода вычислений.
В настоящее время ЭВМ с успехом используются для
управления технологическими процессами. Если управ-
ление быстропротекающим процессом требует сложных
вычислений, основанных на данных, получаемых в ходе
этого процесса, то без ЭВМ подобная задача была бы
вообще неосуществима,
Сложные бухгалтерские расчеты, статистическая об-
работка, обработка информации и многие другие важные
работы могут быть реализованы на современных вычисли-
тельных машинах.
ЭВМ могут выполнять логические операции, поэтому
на них можно решать и логические задачи. Например,
ЭВМ может играть в шахматы. Для осуществления игры
составляется программа, содержащая логические операции.
Во всякой ЭВМ имеются следующие крупные узлы
£йли устройства):
1) запоминающее устройство, или память, для храпе-
ния команд, исходных данных и программы работы;
2) арифметико-логическое устройство для выполнения
арифметических и логических операций;
3) устройство управления для расшифровки команд
или инструкций, поступающих из запоминающего устрой-
ства, и для управления работой других узлов машины;
4) устройства ввода —вывода для заполнения запоми-
нающего устройства машины программами и данными,
которые подлежат обработке, и вывода результатов. Устрой-
ства вывода позволяют представить результаты работы
машины в форме, пригодной для дальнейшего использо-
27
вания: в виде таблиц, графиков, изображений на теле-
визионных экранах.
В Советском Союзе нашли широкое применение малые
электронные машины семейства «Мир» и семейства «Наири».
Это малогабаритные машины, предназначенные для выпол-
нения сравнительно несложных инженерных расчетов в
КБ и НИИ. Одним из важных достоинств малых ЭВМ
является их относительно небольшая стоимость и про-
стота использования.
Для решения широкого круга задач, связанных с ариф-
метической и логической обработкой данных, создаются
универсальные ЭВМ, или ЭВМ общего назначения. У нас
в стране хорошо известны машины -семейства ЕС ЭВМ
(Единой Системы Электронных Вычислительных Машин),
созданного содружеством социалистических стран. Это
семейство включает малые ЭВМ общего назначения
(ЕС-1010, ЁС-1020, ЕС-1021), средние ЭВМ общего назна-
чения (ЕС-1022, ЕС-1030, ЕС-1033, ЕС-1035, ЕС-1040) и
машины большой производительности (ЕС-1050, ЕС-1060,
ЕС-1065).
До* недавнего времени к классу сверхмощных машин
относилась советская машина БЭСМ-6. Она занимает осо-
бое место в развитии отечественной вычислительной тех-
ники. Машины БЭСМ-6 и вычислительные комплексы,
заданные на их основе, до сих пор используются при
решении наиболее важных задач народного хозяйства,
науки и обороны.
Упражнения
1.1. Почему недопустима следующая запись скорости света
в пустоте: с = 300 000 км/с? Как ее исправить, если в данном числе
известна только первая цифра?
1.2. Какая разница между следующими записями:
4,508; 0,4508.10; 0,045 08-102?
1.3. В каждом из следующих приближенных чисел укажите вер-
ные и сомнительные цифры:
0,4035 с погрешностью 0,0025;
3,20 кг с погрешностью 0,005 кг;
5137 м с погрешностью Юм.
Округлите данные числа так, чтобы в каждом из них было не более
одной сомнительной цифры, и найдите новые погрешности.
1.4. Запишите число л с тремя и четырьмя знаками после запя-
той н определите погрешности.
1.В. Запишите 3 с четырьмя знаками после запятой и опре-
делите границу ^абсолютной погрешности полученного приближения.
28
1.6. При определении длины в 23,37 км измерение велось с точ-
ностью до 5 м. Определите границу абсолютной погрешности.
1.7. Скорость света в пустоте на основании ряда определений
не менее 299 700 км/с и не более 300 000 км/с. Обычно ее принимают
равной 300 000 км/с. Какова граница абсолютной погрешности?
р 1.8. Покажите на примерах, почему о точности измерения ве-
личины можно судить по относительной погрешности, но нельзя су-
дить по абсолютной.
1.9. Покажите, почему нет надобности вычислять значение по-
грешности с большим числом значащих цифр и достаточно брать ее
с одной или в крайнем случае двумя значащими цифрами и почему
при округлении погрешности надо ее увеличивать, а нельзя умень-
шать.
1.Ю. Определите границу относительной погрешности при записи
7 5
дробей -д-, — в виде десятичной дроби с 4 знаками после запятой.
1.11. При определении длины I измерение велось с точностью
до 50 м. Найдите границы абсолютной и относительной погрешностей
результата измерений, если /«18,40 км.
1.12. Число 9,8066 является приближением ускорения силы тя-
жести с пятью верными' цифрами (для широты 45°). Найдите границы
абсолютной и относительной погрешностей этого приближения.
1.13. Дано х = 28,54 ±0,7. Округлите это число так, чтобы было
не более одной сомнительной цифры, а затем определите границу
относительной погрешности полученного числа.
1.14. Дано х = а± 0,02 а. Найдите границу относительной по-
грешности числа 'а.
1.15. Дано |х—а | «С 0,004а. Найдите границу относительной
погрешности приближения.
1.16. С каким числом значащих цифр надо извлечь )/~Тб, чтобы
получить приближенное значение корня с точностью до 0,005%?
1.17. Кусок медного провода длиной / = 58,3±0,05м имеет
массу щ = 2б5±1 г. Найдите диаметр этого провода, если плотность
меди р = 8,8 ±0,05 г/см8.
1.18. При определении ускорения силы тяжести g методом обо-
ротного маятника применяется формула # = л2— , где /—длина ма-
ятника, t—период его простого колебания. Измерение величин / и i
при одном из таких определений дало следующие результаты:
/ = 50,02±0,01 см,
/ = 0,7098 ±0,0001 с.
Найдите по этим данным ускорение силы тяжести g и границы его
погрешностей (абсолютной и относительной).
1.19. Вычислите угловую скорость по формуле w=
Ф
t
в кото-
рой <р = 23’±Г, /=18±1 с. *
1.20. Определите массу керосина в цилиндрическом баке, радиус
основания которого равен 8,6±0,1 дм, высота 21,4±0,05дм. Плот-
ность керосина равна 0,8±0,05 кг/дм3.
Глава II
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
§ 5. Множества и операции над ними1)
1. Множество и его элементы. Подмножества. Мно-
жество представляет собой соединение, совокупность,
собрание некоторых предметов, объединенных по какому-
либо признаку. Например, множество учащихся класса,
множество букв , алфавита, множество цифр десятичной
нумерации,..множество чисел первого десятка, множество
натуральных чисел, множество точек на прямой, множе-
ство книг на полке и т. д.
Предметы, из которых состоит множество, называются
его элементами (например, буква «к» —элемент множе-
ства букв русского алфавита).
Элементы множества обозначают малыми буквами ла-
тинского ’или греческого алфавитов. Для обозначения
множеств используют заглавные буквы латинского алфа-
вита или запись со скобками. Например,
Л, (а; 0; у).
Запись сс С А означает, что элемент а принадлежит
множеству А. Запись а^А означает, что элемент а не
принадлежит множеству А. Например, если :N— множе-
ство натуральных чисел, то 2£ДГ, 0(£ЛТ
Множество считается заданным (известным), если или
перечислены все его элементы, или указано такое свой-
ство его элементов, которое позволяет судить о том, при-
надлежит данный элемент множеству или нет2).
Так, например, говоря о множестве М всех четных
чисел, мы указываем характеристическое свойство его
элементов: каждое число, принадлежащее этому множе-
*) Предполагается, что учащиеся могут знакомиться с материа-
лом §§ 5 — 7 по мере необходимости.
2) Такие свойства называют характеристическими свойствами.
30
ству, делится нацело на два. Это записывается так:
М = ; 2}.
Здесь фигурные скобки указывают на наличие множества;
знак [ (вертикальная палочка) заменяет слова «таких,
что» (или «такие, что»); знак «;» читается как «делится
нацело»; о знаке «С» сказано ранее; буквой N обозна-
чено множество натуральных чисел. Буквальное чтение
этой записи таково: «Множество М —это множество на-
туральных чисел х таких, что каждое из них делится
нацело на 2». Можно прочитать и короче: «М —множе-
ство натуральных чисел, делящихся на 2», или: «М —
множество четных натуральных чисел».
Множества, состоящие из одних и тех же элементов,
называются равными (одинаковыми). Если множества А
и В равны, то пишут А = В.
Если любой элемент множества В является и элемен-
том множества А, то множество В называется подмно-
жеством (частью) множества А. В этом случае говорят,
что В содержится в А или А содержит В, и пишут Во. А
или АсзВ.
В силу этого определения, любое множество является
своим подмножеством.
Для удобства рассматривают и множество, которое
не содержит ни одного элемента. Такое множество назы-
вается пустым и обозначается символом 0.
По определению, пустое множество является подмно-
жеством любого множества.
Таким образом, у любого множества А всегда имеется
два очевидных подмножества А и 0.
Пример. Пусть Л={1; 2; 3}. Множества {!}, {2},
(3}, {1; 2}, {1; 3}, (2; 3}, 0 и {1; 2; 3} являются под-
множествами множества А.
2, Пересечение множеств, Рассмотрим множество на-
туральных чисел, кратных числу 2, и множество нату-
ральных чисел, кратных числу 3. Нетрудно заметить,
что множество чисел, кратных числу 6, состоит из эле-
ментов, которые входят в каждое из двух рассмотренных
множеств.
Множество С, состоящее из всех тех и только тех
Элементов, которые принадлежат каждому из данных
Множеств А и В, называется пересечением множеств А
и В и обозначается (здесь П — знак пересечения).
31
На рис. 1 изображены множества А и В и их пере-
сечение.
Для точечных множеств (например, геометрических
фигур) смысл термина «пересечение множеств» соответ-
ствует привычному для нас смыслу термина «пересечение
фигур». Так, например, если прямая имеет две точки
пересечения с некоторой окружностью, то множество,
являющееся пересечением множеств точек окружности и
прямой, состоит из двух элементов (точек). Пересечение
множеств точек отрезков АВ и CD (рис. 2) есть отрезок СВ.
Два множества, пересечение которых является пустым
множеством, называются непересекающимися множествами.
3. Объединение множеств. Объединением множеств А
и В называется такое множество С, которое состоит из
всех элементов множеств А и В и только из них. В этом
случае пишут С=ЛиВ (IJ —знак объединения).
Примеры. [ЛВ] и [CD] = [ЛР] (см. рис. 2),
(1; 2; 3} U {4; 5} = {1; 2; 3; 4; 5}.
Если множества А и В имеют общие элементы (т. е.
А П В =/= 0), то каждый из этих общих элементов берется
в множестве С только один раз.
Например,
{1; 2; 3} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}.
4. Вычитание множеств. Дополнение до множества.
Пусть даны два множества А и В. Множество С, которое
состоит из всех элементов множества Л, не принадлежа-
щих множеству В, называется разностью множеств А
и В и обозначается Л\В: С=Л\В (рис. 3).
Примеры.
а) Если Л = {1; 2; 3; 4}, В = {1; 2}, то Л\В = {3; 4};
б) если Л = {1; 2; 3}, В = {3; 4; 5; 6}, то Л\В=]1; 2};
32
в) если А = {1; 2; 5}, В = {3; 4}, то Л\В = {1; 2; 5};
г) если А = {1; 2}, В = {1; 2; 3}, то А\В = 0.
Если Лз>В, то разность Л\В называется дополнением
множества В до множества Л (рис. 4).
Отметим, что результат операции «дополнение» суще-
ственно зависит от того множества, до которого «допол-
няется» данное множество. Например, дополнением мно-
жества целых чисел до множества всех рациональных
чисел является множество всех дробных чисел; если же
рассматривать дополнение множества целых чисел до
Рис. 3^
Рис. 4,
множества действительных чисел, то дополнением этого
множества будет множество всех дробных и всех ирра-
циональных чисел.
5. Прямое произведение двух множеств. Прямым про-
изведением множеств А и В называется множество, эле-
ментами которого являются все упорядоченные пары (х; у),
в которых первым компонентом является элемент из Л,
вторым компонентом —элемент из В. Прямое произведение
множеств А и В обозначается Ах В1).
Пример. Пусть Л = {2; 5; 7; 9}, В = {2; 4; 7}. Тогда
ЛхВ = {(2; 2); (2; 4); (2; 7); (5; 2); (5; 4); (5; 7); (7; 2);
(7; 4); (7; 7); (9; 2); (9; 4); (9; 7)}.
Может случиться, что множества Л и В будут одина-
ковы. Тогда их прямое произведение называют декарто-
вым квадратом и обозначают Л х Л = Л2.
Для описания прямого произведения множеств часто
бывает удобным использовать «геометрический язык».
*) Иногда применяют другое название — «декартово произведение
множеств».
2 Алгебпа. ч. 1
33
При этом элементы множества Ах В называют точками.
Например, если Z(x; у) — точка числовой плоскости, то
х£А называют абсциссой, а у £ В—ординатой точки Z.
Эта терминология понятна, если обратить внимание на
то, что множество точек плоскости является по существу
прямым произведением вида где /? —множество
действительных чисел.
6» Эквивалентные множества. Говорят, что между мно-
жествами А и В установлено взаимно однозначное соот-
ветствие, если каждому элементу множества А соответ-
ствует (поставлен в пару с ним)
единственный элемент множест-
ва В и, обратно, каждому эле-
менту множества В соответствует
единственный элемент множест-
ва А, причем различным элемен-
там одного множества соот-
Рис, 5, ветствуют различные элементы
другого множества (рис. 5).
Множества, между которыми можно установить вза-
имно однозначное соответствие,, называют эквивалентными.
Если множества А и В эквивалентны, то пишут А~ В.
Очевидно, что если А~В и В^С, то А~С.'
Понятно, что если А = В, то А~В. Однако обратное
утверждение неверно: равносильные множества могут
быть и не одинаковыми. Например, если 4 = {3; 4; 5; 6;
7; 8; 9} и В —{множество дней недели}, то А~В, но
А=/= В.
Множество А называется конечным, если существует
такое натуральное число п, что множество А эквива-
лентно множеству {1; 2; ...; п}. В этом случае говорят,
что множество А содержит п элементов.
Существует два способа установления равносильности
двух конечных множеств: 1) установить непосредственно
взаимно однозначное соответствие между их элементами;
2) пересчитать элементы множеств и сравнить число эле-
ментов в каждом из них.
Конечное множество, состоящее из п элементов, назы-
вается упорядоченным, если его элементы каким-либо об-
разом занумерованы натуральными числами 1, 2, ..., п.
Так, например, множество учащихся класса может
быть упорядочено: фамилии каждого из учащихся в жур-
нале можно занумеровать натуральными числами (первый
по списку, второй по списку и т. д.).
34
Упражнения
2.1. Возьмите две различные точки А и В и приведите два луча
[ЛХ) и (ВУ) так, чтобы Н£[ЛХ), Л£[ВУ). Сколько различных
лучей, отрезков и прямых образовалось на чертеже?
2.2. Назовите и изобразите фигуру, которая является объедине-
нием лучей (см. упр. 2.1):
а) [ЛХ) и [ЛУ); б) [ВХ) и (ВУ); в) [ВХ) и [ЛК); г) (ЛХ) и
(ВУ); Д) (ЛУ) и [ВУ); е) (ВХ) и (ЛХ).
2.3. Назовите и изобразите фигуру, которая является пересече-
нием лучей, объединение которых требовалось найти в упр. 2.2.
2.4. Назовите и покажите фигуру, которая является объедине-
нием (см. упр. 2.1):
а) луча ЛУ и отрезка АВ;
б) луча ВХ и отрезка АВ;
в) луча ЛХ и прямой ХУ;
г) луча ЛУ и прямой ХУ;
д) отрезка ЛВ и прямой ХУ.
2.5. Назовите и изобразите фигуру, которая является пересече-
нием фигур, объединение которых требовалось найти в упр. 2.4,
2.6. Пусть
Л = {—4; -3; -2; — 1; О; 1; 2},
В=44; 3; 2; 1; 0; -1; -2},
С = {—4; -3; 3; 4}.
Найдите множества ЛиВ, Л^В, ЛуС, ЛАС, B(JC,
2.7. Пусть —множество натуральных чисел, Z—множество
целых чисел, а множества Л, В и С определены в упр. 2.6. Найдите
Л ПАТ, BAZ, Ли/V. B(JZ, NAZ, (ЛПВ)ААГ.
2.8. Пусть М—множество значений выражения 3,5—9а при
а = — 1; 0,35. Запишите все подмножества А1.
2.9. Прочитайте следующие записи:
а£Л, а^А, CqD> 0сА, \FczE, Л~В, Л = В,
Л1|В = С, ЛАВ = £>, Л\& = Е, AxB = L.
Приведите по одному примеру, иллюстрирующему каждую запись.
2.10. Пусть N—множество натуральных чисел, Z—множество
целых чисел, Q— множество рациональных чисел, R—множество
действительных чисел. Как эти множества связаны между собой?
2.11. Прочитайте записи:
Л1 = {х£ 9|2х = 3}, E = {x£tf|x—3 < 5}, F = {x£W| х-З}.
Задайте множества М и Е перечислением их элементов. Почему
множество F этим способом задать не удается? Назовите первые
четыре элемента множества F.
2.12. Пусть Ft—множество всевозможных параллелограммов,
F2—множество прямоугольников, F3—множество ромбов, —мно-
жество квадратов. Запишите результаты операций:
а)Г2АГ3; б) F.UF.U/’tUFf.
2.13. Укажите пустые множества среди следующих:
а) множество целых корней уравнения ха—9=0;
б) множество целых корней уравнения x^-|-9 = 0;
2*
35
в) множество действительных корней уравнения -^-^0;
г) множество натуральных чисел, меньших 1;
д) множество натуральных чисел, не являющихся ни простыми,
ни составными.
2.14. Пусть
Л={7; 8; 9}, В = {8; 9}.
Найдите ЛП5» ЛОВ, Л\В, ЛхВ. Сделайте то же самое для мно-
жеств Л1 = {1; 2) и.В1 = {1; 2}, а также для множеств Л8 = {1; 2}
и fl,= {3; 4).
2.15. В круг вписан квадрат. Пусть Л—множество точек дан-
ного круга и В — множество точек квадрата. Найдите Ли В, Др В,
Л\В, В\Л.
2.16. Из 40 учащихся техникума 32 выписывают газету «Комсо-
мольская правда», 2! выписывают журнал «Юность», 15 учащихся
выписывают и газету, и журнал. Сколько учащихся не выписывают
ни журнала, ни газеты?
§ 6. Первоначальные понятия математической логики
1» Высказывания. В курсе математики 8-летней школы
вы уже встречались с понятием высказывания. Вызнаете,
что под высказыванием понимают всякое утверждение
(суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно
истинно (верно) или ложно (неверно). Примерами выска-
зываний могут служить следующие утверждения:
1. Москва —столица СССР.
2. Число 7 простое.
3. Слон — насекомое.
4. 5 >10.
5. 2СО + О2 = 2СО2.
Утверждения 1, 2, 5, как известно, истинны, а 3 и 4
ложны.
Высказывания могут быть образованы с помощью
слов или каких-либо знаков (символов). Конечно, не всякое
предложение, не всякий набор символов, даже если они
имеют смысл, является высказыванием. Например, утверж-
дения «в техникум поступить легко», «х>0», «число 13
несчастливое» высказываниями не являются, так как
судить об их истинности или ложности невозможно.
Не являются высказываниями и предложения, содер-
жащие определения (Геометрической фигурой называется
любое множество точек), призывы (Храните деньги в сбе-
регательной кассе!), вопросы (Был звонок?).
Подчеркнем еще раз, что каждое высказывание или
истинно или ложно. Одновременно быть истинным и лож-
ным высказывание не может.
36
2. Логические операции. В § 5 рассматривались опе-
рации над множествами. При помощи операций допол-
нения, пересечения, объединения из данных множеств
получались новые множества. Подобно этому вводятся
операции и для высказываний. Новые высказывания
образуются из данных высказываний при помощи так
называемых логических связок, к которым относятся
частица «не», союзы «и», «или», слова «если..., то...»,
«тогда и только тогда, когда...». •
1. Операция отрицания. Эта логическая опе-
рация соответствует в обыденной речи частице «не».
Когда мы отрицаем что-то, то обычно присоединяем
к сказуемому частицу «не» или опускаем ее, если она
уже была. Например, если мы хотим сказать, что выска-
зывания «у—целое число», «дождь не идет» неверны, мы
1
говорим соответственно «у—не целое число», «дождь
идет».
Каждому высказыванию р можно сопоставить утверж-
дение, заключающееся в том, что высказывание р ложно.
Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следо-
вательно, само является высказыванием. Это новое
высказывание обозначают через р и называют отрица-
нием высказывания р. В высказывании р говорится, что
р ложно. Следовательно, р истинно, если р ложно, и,
наоборот, р ложно, если р истинно. Например, для
высказывания «число 6 простое» отрицание можно по-
строить так: «число 6 не простое», или «неверно, что
число 6 простое», или «число 6 составное». В данном
случае исходное высказывание ложно, поэтому его отри-
цание истинно.
В тех случаях, когда высказывания содержат матема-
тические знаки, при построении отрицания обычно также
используют соответствующие знаки. Ниже слева запи-
саны некоторые высказывания, справа их отрицания:
2^N (истинно),
2<^3 (истинно),
2 + 3 = 5 (истинно),
N с R (истинно),
2(£N (ложно);
2 > 3 (ложно);
2 + 3#= 5 (ложно);
N R (ложно).
2. Конъюнкция высказываний. Из данных
высказываний можно получить новое высказывание при
37
помощи союза «и». Например, из высказываний «число 2
простое» и «число 2 четное» можно образовать новое
высказывание: «число 2 простое и четное».
Высказывание, составленное из данных высказыва-
ний р и q при помощи союза «и» называют конъюнкцией
и обозначают р /\q (читают: «р и р»).
Конъюнкция р /\q считается истинным высказыванием
в том и только -в том случае, когда оба высказывания
р и q истинны.
Конъюнкция высказываний «Петя не любит матема-
тику», «Петя любит физику» есть высказывание «Петя не
любит математику и любит физику». Это новое выска-
зывание истинно только тогда, когда Петя не любит
математику, но любит физику. Во всех остальных слу-
чаях, т. е. когда Петя:
не любит математику и не любит физику,
любит математику и любит физику,
любит математику, но не любит физику,
конъюнкция, данных высказываний представляет собой
ложное высказывание.
Если р есть высказывание 2 < 3, a q — высказывание
3 < 4, то высказывание р /\q обычно записывают в виде
двойного неравенства 2<3<4. Высказывание р f\q
в данном случае истинно, так как истинны оба выска-
зывания р и q.. Двойное неравенство 3 < 4 < 2 является
ложным. Оно представляет собой конъюнкцию двух
высказываний 3 < 4 и 4 < 2, из которых истинно только
первое.
Отметим, что для образования конъюнкции в русском
языке помимо союза «и» используются также союзы «а»,
«но», «хотя», «однако».
3. Дизъюнкция высказываний. Новое вы-
сказывание можно образовать из данных высказываний
при помощи союза «или». Например, из высказываний
«данный треугольник прямоугольный», «данный тре-
угольник равнобедренный» получается высказывание
«данный треугольник прямоугольный или равнобедрен-
ный».
Высказывание, составленное из данных высказываний
р и q при помощи союза «или» называют дизъюнкцией
и обозначают р V q (читают: «р или р»).
Дизъюнкция высказываний р и q считается истинным
высказыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя
бы одно из данных высказываний.
33
Пусть, например, высказывания р и q таковы: «15
больше 9» и «2 больше 9». Тогда высказывание р V q
(«15 больше 9 или 2 больше 9») истинно, так как истинно
высказывание р.
Для- высказываний «завтра первый урок физика»,
«завтра первый урок математика» дизъюнкцией будет
высказывание «завтра первый урок физика или матема-
тика». Это высказывание окажется истинным, если на
первом уроке будет физика или математика, и ложным,
если на первом уроке будет любой другой предмет или
урока вообще не будет.
Нестрогое числовое неравенство, например 7 10, яв-
ляется дизъюнкцией двух высказываний 7 < 10 и 7 = 10.
Так как первое высказывание истинно, то истинна и
дизъюнкция, т. е. неравенство 7^10 верно. Нестрогое
неравенство 7^7 есть дизъюнкция двух высказываний
7<7 и 7 = 7. Так как второе высказывание истинно, то
и дизъюнкция истинна, т. е. 7^7 —верное неравенство.
4. Импликация высказываний. Два выска-
зывания могут быть «связаны» между собой при помощи
слов «если..., то...». Например, «если завтра не будет
дождя, то мы поедем за город» или «если данное число
делится на 2 и на 3, то оно делится на 6».
Высказывание, образованное из данных высказыва-
ний р и q при помощи слов «если..., то...», называют
импликацией и обозначают p—>q (читают: «если р, то qy>
или «из р следует <?»). Высказывание р называют при
этом условием, а высказывание q — заключением. Для двух
только что рассмотренных высказываний условиями яв-
ляются высказывания «завтра не будет дождя» и «данное
число делится на 2 и на 3», а заключениями— «мы по-
едем за город» и «число делится на 6».
Импликация p==>q считается ложным высказыванием
только в том случае, когда условие {высказывание р)
истинно, а заключение {высказывание q) ложно.
Например, высказывания
«если число 24 делится на 2 и на 3, то оно делится
на 6»,
«если число 45 делится на 2 и на 3, то оно делится
на 6»,
«если число 25 делится на 7, то оно делится на 5»
являются истинными.
Примером ложной импликации может служить выска-
зывание «если число 24 делится на 2 и на 3, то оно
39
делится на 7». Здесь условие истинно, а заключение
ложно. В этом и только в этом случае импликация яв-
ляется ложным высказыванием.
Подчеркнем ещё раз, что если высказывание р ложно,
то каково бы ни было высказывание q, импликация
p=5>q считается истинным высказыванием. Другими сло-
вами, из неверного условия следует все, что угодно.
Например, утверждение «если 2 > 3, то существуют
ведьмы» является истинным.
5. Эквиваленция высказываний. Часто но-
вые высказывания конструируются из данных при помощи
слов «тогда и только тогда, когда...». Например, из двух
высказываний «данное число делится на 4» и «данное
число делится на 2» можно образовать высказывание
«данное число делится на 4 тогда и только тогда, когда
оно делится на 2».
Высказывание, образованное из данных высказываний
р и q при помощи слов «тогда и только тогда, когда...»
называют эквиваленцией (или двойной импликацией)
и обозначают р ф» q.
Эквиваленция р & q истинна в том и только в том
случае, когда оба высказывания р и q истинны или когда
они оба ложны.
Например, высказывания
«число 24 делится на 4 тогда и только тогда, когда оно
делится на 2» и «число 25 делится на четыре тогда и
только тогда, когда оно делится на 2» являются истин-
ными высказываниями.
Эквиваленция «число 24 делится на 5 тогда и только
тогда, когда оно делится на 4» является ложным выска-
зыванием, так как одно из образующих ее высказываний
ложно, а другое истинно.
3. Свойства логических операций. Пусть р и (/ — про-
извольные высказывания. Рассмотрим все высказывания
вида p\/q и все высказывания вида q\Jр.
Возможны следующие четыре случая:
1) р и q истинны, 2) р истинно, q ложно, 3) р ложно,
q истинно, 4) р и q ложны. Очевидно, чт'о независимо
от того, какой из этих случаев имеет место, высказыва-
ния р\/q и q\Jр будут всегда одновременно истинными
или одновременно ложными, т. е., как говорят, будут
равносильными. Равносильные высказывания соединяют
знаком равенства « = ».
40
Таким образом, для любых высказываний р и q спра-
ведлива формула
p\fq = q\fp. (1)
Эта формула выражает переместительное свойство
дизъюнкции.
Аналогично можно убедиться, что для любых выска-
зываний р, q, г справедливы следующие формулы:
p/\q = q/\p (2)
(переместительное свойство конъюнкции);
pV(7Vr) = (pVg)Vr, (3)
РЛ(дЛг) = (рлд)Лг (4)
(сочетательное свойство дизъюнкции и конъюнкции);
pA(<7Vr) = (pAg)V(pAr), (5)
pV(W) = (pV<7)A(pVr) (6)
(распределительные свойства);
pVg = pA?; (7)
p/\q = pVq\ (8)
р = р; (9)
p=$q = pVq. (10)
Докажем формулу (10), которая дает выражение для
импликации через дизъюнкцию й отрицание.
Рассмотрим все четыре возможных случая:
1. р и q истинны; в этом случае левая часть формулы
(10) является истинным высказыванием; правая часть
также представляет собой истинное высказывание, так
как истинно q.
2. р истинно, q ложно; в этом случае в левой части
формулы (10) условие истинно, а заключение ложно,
и поэтому левая часть формулы есть ложное высказыва-
ние; но правая часть —также ложное высказывание, так
как р и q — ложные высказывания.
3. р ложно, q истинно; в этом случае импликация
p^>q истинна; дизъюнкция pVq истинна, так как
истинно q.
4. р и q ложны; импликация p=$q истинна, так как
условие р ложно; дизъюнкция p\/q истинна, так как
р истинно.
41
Формулы (1)—(10) используются в логике для дока-
зательства других формул точно так же, как в обычной
алгебре при проведении тождественных преобразований
используются свойства сложения и умножения чисел:
переместительное, сочетательное, распределительное и
другие.
Пример. Доказать формулу
р=Ф 0 = р.
Последовательно применяя формулы (.10)), (9), (1),
получаем q=s> р = q\yp = q\/р = р\/q=j)=S> q.
4. Простейшие применения алгебры высказываний.
Начнем с примера применения алгебры высказываний
к решению «логических» задач.
Пример 1. На вопрос, кто из трех учащихся изучал
логику, был получен правильный ответ: если изучал
первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал
третий, то изучал и второй. Кто из учащихся изучал
логику?
Обозначим через рп р2, р3 высказывания, состоящие
соответственно в том, что первый, второй, третий уча-
щиеся изучали логику. Из условия задачи следует истин-
ность высказывания
(Р1 Ра) Л (Рз Ра)-
Обозначим это высказывание буквой s и упростим его,
применив дважды формулу (ГО):
s = (PiVp2)A(p3Vp2).
Для дальнейшего упрощения воспользуемся последо-
вательно формулами (7), (9) и (5):
s = (Pi V Ра) Л (Рз Лр2) = (Л V Ра) Л(р9 Лр2) =
= (Р1 ЛРз Лр2) V (р2 Л Рз Л р2).
Но высказывание р2Лр2 очевидно ложно, а, следова-
тельно, ложно и высказывание (р2ЛРзЛр2)- Поэтому
из истинности s вытекает истинность высказывания
Р1Лр3Лр2, а это означает, что логику изучал третий
учащийся, а первый и второй, не изучали.
Алгебра высказываний применяется при анализе ре-
лейно-ламповых схем. Физическая природа таких схем
42
(будем называть их переключательными) может быть
самой разнообразной и нас сейчас не интересует. Под
переключательной схемой мы будем понимать схемати-
ческое изображение какого-либо устройства, содержащего
только двухпозиционные переключатели, т. е. переклю-
чатели, которые могут находиться в двух состояниях:
в замкнутом (ток проходит) и в разомкнутом (ток не
проходит). Связь между переключательными схемами
и алгеброй высказываний устанавливается следующим об-
разом. Каждому переключа-
телю ставится в соответствие
Р----
Рис, 6,
Рис. 7,
высказывание, истинное тогда, когда переключатель
замкнут, и ложное, если переключатель разомкнут.
На схемах переключатели будем обозначать теми же
буквами, что и соответствующие им высказывания.
Переключателям, соединенным параллельно, будет
соответствовать при этом дизъюнкция соответствующих
высказываний (рис. 6).
Переключателям, соединенным последовательно—конъ-
юнкция высказываний (рис. 7).
Ёсли два переключателя работают так, что один из
них замкнут, когда другой разомкнут, и наоборот, то им
ставятся в соответствие высказывания р и р.
Каждой переключательной схеме, таким образом,
будет поставлено в соответствие высказывание, истинное
тогда и только тогда, когда схема проводит ток. Это
высказывание можно исследовать методами математичес-
кой логики. Если такое высказывание удается упростить,
то соответствующая схема допускает аналогичное упро-
щение. Естественно считать из двух схем более простой
ту, которая содержит меньше переключателей.
Пример 2. Упростить схему, изображенную на
рис. 8.
Схема соответствует высказыванию
43
В силу формулы (5) это высказывание равносильно
такому
р/\(яуг).
Следовательно, данную схему можно заменить схемой,
изображенной на рис. 9.
Рис. 8.
Рис. 9.
Рис. 10,
Пример 3. Упростить схему, изображенную на
рис. 10.
Схема соответствует высказыванию
(PA/7)V((rVp)A7),
которое упрощается следующим образом:
(PA<7)V((/’VP)A^) = (PA<7)V(/'A^)V(PA^) =
= (PV(<7V<7))V(''A<7) = PV(/’A<7).
44
Следовательно, рассматриваемая схема может быть
заменена более простой, изображенной на рис. 11 и со-
держащей только три переключателя. Исходная схема
содержала 5 переключателей.
р
Рис. II.
5. Предложения, зависящие от переменной. В мате-
матике и других науках наряду с высказываниями при-
ходится иметь дело с различными утверждениями (пред-
ложениями), зависящими от одной или нескольких пере-
менных. Например, предложение «п —простое число»
зависит- от переменной и, принимающей натуральные
значения. При одних значениях п оно истинно, при дру-
гих—ложно. Уравнения и неравенства также являются
такого рода предложениями. Неравенство х+1 > 0 пред-
ставляет собой предложение, зависящее от переменной х.
Истинность или ложность этого предложения зависит от
того, какое значение переменной выбрать: при х = 0,
например, оно истинно, при х = — 1 ложно. Уравнение
х—у= 1 является предложением, зависящим от двух
переменных х и у. Если, например, х=1, //=» 0, то оно
истинно; если х = 0, у=\, то оно ложнр.
Предложения, зависящие от переменных, будем обоз-
начать p(n), q(x), г(х,у) и т. д. Для каждого предло-
жения должно быть указано, на каком множестве оно
рассматривается или, как еще говорят, на каком мно-
жестве оно определено или задано. В тех случаях, когда
ясно о каком ‘множестве идет речь, для краткости вместо
р(х), х£ U, иногда будем писать просто р(х).
Предложение р(х), х£ U, не является высказыванием,
если оно рассматривается на всем множестве U. Но, если
р(х) рассмотреть при некотором конкретном значении
х = а, то утверждение р(а) будет либо истинно, либо
ложно, т. е. будет высказыванием.
Множество U, на котором задано предложение р(х),
можно разбить на два подмножества. Одно содержит те
элементы U, для которых р(х) истинно. Оно называется
45
множеством истинности предложения р(х). Другое под-
множество состоит из тех элементов U, для которых
р(х) ложно. Если первое из этих подмножеств обозначить
буквой А, то второе следует обозначать А, так как оно
является дополнением множества А до множества U.
Для предложения х2 — х < 0 множеством истинности А
является интервал ]0; 1[; множеством Л — объединение
промежутков ]—оо; 0] и [1; 4-°°[ (дополнение интервала
]0; 1 [ до всей числовой прямой).
Два предложения р(х) и q(x), заданные на одном
и том же множестве, называются равносильными, если их
множества истинности совпадают.
Например, два предложения (неравенства)
2х2 (х— 1) > 0 и х— 1 > 0
равносильны, так как множеством истинности каждого
из них является промежуток ]1; 4-оо[.
Для предложений, зависящих от переменной, так же,
как и для высказываний, можно ввести логические
операции.
Отрицанием предложения р(х), x£U, называется
предложение, определенное на том же множестве U и об-
ращающееся в истинное высказывание для тех и только
тех значений х, для которых р(х) ложно.
Отрицание р(%) обозначается р(х). Ясно, что если
Л —множество истинности р(х), то множеством истинности
р(х) будет А. На рис. 12,о схематически изображены
множества U, А, А. Множество Л заштриховано.
Аналогично определяются и другие логические опе-
рации.
Например, импликацией p(x)=s>q(x) предложений
р(х) и q(x), определенных на множестве U, называется
46
предложение, определенное на том же множестве U и об-
ращающееся в ложное высказывание для тех и только
тех значений х, для которых условие р (х) истинно,
а заключение q (х) ложно. На рис. 12,6 штриховкой
показано множество истинности импликации p(x)=$>q(x)
(Л и В —множества истинности р(х) и q (x)).
6. Знаки общности и существования. С предложе-
ниями, зависящими от переменных, связаны два вида
часто встречающихся утверждений.
1. Предложение р(х), x£U, обращается в истинное
высказывание для всех элементов множества U.
2. Предложение р(х), x£U, обращается в истинное
высказывание хотя бы для одного элемента множества U\
другими словами, существует элемент а£ U, для которого
р (а) — истинное высказывание.
В математике принято записывать такие утверждения
кратко, используя для этого специальные знаки: знак
общности V (перевернутая первая буква английского
слова АП — все) и знак существования 3 (перевернутая
первая буква английского слова Exists —существует).
Знак общности V заменяет слова «все», «всякий», «каж-
дый», «любой». Знак существования 3 употребляется вместо
слов «хотя бы один», «найдется», «существует».
Используя знаки V и 3, утверждения 1 и 2 можно
записать кратко следующим образом:
1. (Yx)p(x) и 2. (Зх)р(х).
Заметим, что первое утверждение означает, что мно-
жеством истинности предложения р (х) является мно-
жество U. Следовательно, если р(х) хотя бы для одного
значения х£ U ложно, то утверждение 1 ложно. Второе
утверждение означает, что множество истинности предло-
жения р(х) не пусто. Следовательно, второе утверждение
ложно только тогда, когда р (х) ложно при всех х.
Каждое из предложений 1, 2 либо истинно, либо
ложно и, следовательно, является высказыванием.
Например, если р (х) есть предложение ха >0, х С R,
то высказывание (Yx) р (х) ложно, а высказывание (Зх)р(х)
истинно. Если ^(х) —предложение х2^=0, x£R, то оба
высказывания (Yx)ty(x) и (Зх)^(х) истинны. Если г(х) —
предложение ха+1 <0, х£/?, то высказывания (Yx)r(x)
и (Зх)г(х) ложны.
Подчеркнем еще раз, что для того чтобы опровергнуть
высказывание вида (Yx) р (х), x£U, достаточно указать
только один элемент а £ U, для которого р {а) ложно.
47
Элемент а множества U, для которого предложение
р (х)~ неверно, называется контрпримером для высказы-
вания (Yx)p(x).
Таким образом, чтобы убедиться в ложности высказы-
вания достаточно найти (или, как еще говорят,
построить) один контрпример. Пусть р(л), n^N,— пред-
ложение «число л2 +л+ 41—простое». Для высказывания
(Yn)p(n), т. е. для высказываний «при всех натуральных
значениях число л2 + л + 41 простое», элемент л = 40
является контрпримером, так как число 402 + 40 + 41 =
= 40-41+41 делится на 41, т. е. не является простым.
Интересно отметить, что для всех л < 40 предложение
Л (л) истинно.
7. Метод математической индукции. В предыдущем
пункте уже отмечалось, что для доказательства ложности
высказывания, имеющего вид (Yx)p(x), х£ U, достаточно
указать один элемент a£U такой, что р(а) ложно (по-
строить контрпример). А для того чтобы убедиться в ис-
тинности высказывания (Yx)p(x), x£U, необходимо
проверить справедливость предложения р(х) для всех
элементов множества U. В случае, если множество U
содержит мало элементов, можно попытаться все их
перебрать и для каждого установить истинность предло-
жения р (х). Если же U—бесконечное множество или
хотя и конечное, но содержит много элементов, доказать
истинность высказывания (Yx)p(x) можно лишь логи-
ческим рассуждением.
В тех случаях, когда предложение задано на мно-
жестве натуральных чисел, истинность высказывания
(Yn)р (л), n£N, часто удается доказать методом мате-
матической индукции. Этот метод основан на так назы-
ваемом принципе математической индукции (аксиоме
индукции), который можно сформулировать следующим
образом.
Предложение р (л) считается истинным для всех на-
туральных значений переменной, если выполнены следую-
щие два условия:
1) предложение р(п) истинно для п=1;
2) из предположения, что р(л) истинно для n = k
(где k —любое натуральное число) следует, что оно ис-
тинно и для следующего значения n = k-\-\.
Под методом математической индукции понимают сле-
дующий способ доказательства. Если требуется доказать
48
истинность предложения р(п) для всех натуральных
значений п, то сначала (шаг 1) проверяют истинность
высказывания р(1) и затем (шаг 2), допустив истинность
высказывания р(Л), доказывают истинность высказыва-
ния р(Л4-1). Если доказательство верно для каждого
натурального значения k, то в соответствии с принципом
математической индукции предложение р(п) является
истинным для всех значений п.
Пример 1. Доказать равенство
1а4-2а4-За4-... 4-па- -(2п'+ °, n£N. (1)
Это равенство представляет собой предложение р(п),
заданное на множестве натуральных чисел. Докажем
истинность р(п) для всех значений п методом математи-
ческой индукции.
Шаг 1. р(1) очевидно*истинно, так как
1а 1-2.(2.14-1)
6
Шаг 2. Предположим, что р(Л) истинно, т. е. спра-
ведливо равенство
1 э j 2а । ,,, । k2 = 1
Прибавив к обеим, частям равенства (Zs4~ 1)а» получим
Р4-2а4- • • • 4-Ла+(Л4- l)a = -(fe+1)6^+1)4-(fe4- 1)а.
Преобразуем правую часть равенства следующим образом:
*(*+П(2* + 1) + jу = (2/г?4~7k 4~6) =
_ (А4-1)(Л4г2)(2*4-3)
6“ ’
Следовательно,
Р-] 22 | ... | (h | i)^(*+1)((*4-D4-i)(2«t4-l)4-D
а это означает, что р(&4-1) истинно. Это рассуждение
верно при любом k, поэтому равенство (1) доказано.
Пример 2^ Доказать неравенство
(1 4-ос)" 1 4-па> а>—1, (2)
Это неравенство называется неравенством Бернулли.
49
Шаг 1. При п=1 получаем истинное высказывание
1 +а^> 1 + <Х;
Шаг 2. Предположим, что неравенство верно при
п = k, т. е.
(!+«)*> 1+to.
Умножив обе части неравенства на 1 +а (это можно сде-
лать, так как а>—1), получим
(1 +а)*+* > (1 +to)-(l+a)> 1+(&+l)a+6aa.
Учитывая, что 6аа^0, приходим к неравенству
(1 1+(6 + 1)М
Итак, предположив, что данное неравенство верно для
n = k, мы доказали, что оно верно и для п = k + 1. Дока-
зательство, очевидно, остается справедливым для каждого
значения k. Следовательно, неравенство (2) доказано.
Иногда метод математической индукции применяют,для
доказательства истинности предложения р (п) не для всех
натуральных значений п, а для всех п, больших некото-
рого натурального числа tn. В таких случаях шаг 1 состоит
в проверке истинности высказывания р (т).
Пример 3. Определить, при каких натуральных
значениях п верно неравенство
2^>«2 + 4п + 5. (3)
Рассматривая значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, убеждаемся
в том, что при этих значениях данное неравенство неверно.
Например, при п = 6 получаем 2е = 64 > 6а + 4 • 6 + 5 = 65,
т. е. ложное неравенство.
Докажем методом математической индукции, что при
всех значениях nZ>7 неравенство верно.
Шаг 1. При п = 7 получаем
27 = 128 >7а + 4« 7 + 5 = 82,
т. е. при п = 7 неравенство верно.
Шаг 2. Предположим, что неравенство верно для
некоторого значения n = k, т. е.
2* > £2 + 46 + 5.
Умножив обе части неравенства на 2 и преобразовав
правую часть, получим
2ft+i > 26а + 86+10 = (6+1)а + 4(6 + 1) + 5 + 6»+ 26.
60
Учитывая, что &2 + 2&>0, можем написать
2*+г > (£ + 1)2 + 4 (&+ 1) + 5.
Следовательно, данное неравенство верно прип = & + 1.
Проведенное доказательство справедливо при всех значе-
ниях k^7.
Итак, методом математической индукции доказано, что
неравенство (3) верно для всех значений п ^7. В самом
начале мы убедились в том, что для п < 7 оно неверно.
Ответ. п^7.
Упражнения
2.17. Среди следующих предложений выделите те, которые являются
высказываниями и установите истинны они или ложны:
а) великий русский поэт А. С. Пушкин родился в 1799 году;
б) Луна — спутник Марса;
в) 3+/Т;
г) 17.2 + 3 = 37;
д) 3 2& 2+1;
е) любое натуральное число положительно;
ж) существуют различные породы собак;
з) Валерий Харламов — самый популярный хоккеист,
2.18. Даны два высказывания:
р—«число 3 является делителем числа 174»#
q — «идет дождь».
В чем заключаются высказывания:
а) р; б) pVq; в) г) ?=><?; д) ~р =Ф q\ е) р ФФ q?
Какие из этих высказываний истинны, если р истинно, q ложно?
2.19. По мишени произведено три выстрела. Рассмотрите выска-
зывания
pk — «мишень поражена /?-м выстрелом», k = l, 2, 3.
Что означают следующие высказывания:
a) pivp2vp3; б) р1Лр2лр3; в) (piV/72)aps?
Какие из этих трех высказываний истинны, если истинно р3, а
Pi и р2 — ложны?
2.20. Какие из высказываний р, q, г должны быть истинны и
какие ложны, чтобы высказывание ((pVp)At?) => г было истинным?
2.21. Виктор, Роман, Юрий, Сергей заняли на математической
олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении
мест, они дали три таких ответа:
а) Роман — первый, Сергей — второй;
б) Роман — второй, Виктор—третий;
в) Юрий — второй, Виктор — четвертый.
Как распределились места, если в каждом из ответов только одно
утверждение истинно?
2.22. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач
Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас имеет
белые, один черные и один рыжие волосы, но ни у одного нет волос
51
того цвета, на который указывает его фамилия»,— заметил черново-
лосый. «Ты прав»,—сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
2.23. Упростите схему, изображенную на рис. 13.
2.24. Даны два предложения на множестве натуральных чисел п,
удовлетворяющих условию 3^л<12, р (л)— «число 3—делитель
числа л» и q (л) — «число л не превосходит G». Найдите множество
истинности для предложений:
а) р (л); б) q (tty, в) р(л); г) q (л);
Д) р(и)А<Г(йУ; е) p(n)=^q (л).
2.25. Какие из следующих утверждений являются высказываниями?
Какие из высказываний истинны и какие ложны?
а) Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна сво-
бодному члену;
б) сумма корней любого приведенного квадратного уравнения равна
свободному члену;
в) существует приведенное квадратное уравнение, сумма корней
которого равна свободному члену?
2.26. Дана система
2х—ау — 3;
Зх-\-у = а.
При каких значениях а истинны следующие предложения:
а) р (а) — «при любом а система имеет хотя бы одно решение»;
б) q (а) — «существует а, при котором система имеет хотя бы одно
решение»?
2.27. Методом математической индукции докажите, что при любом
натуральном л верно равенство:
а) 14-34-5+ ... + (2и—П = л2;
б) Р + 32+ 52+ ... + (2л— 1)2=П ;
О
в) 1.2+2.3+3.4+... +(л— 1)и= ;
. 1 , । ।_______1__=_2L_-
Г) 1-3Т3.5Т'”Т(2и —1)(2л+1) 2и+1 ’
. 1 . 1 . 1 . , 1 _ п
Д) l-5'i~5.9't9.13't’” ‘ (4и—3)(4п+1) 4и+1 ’
52
2.28. Методом математической индукции докажите, что при любом
натуральном п:
а) п (2п2—Зп4-1) делится нацело на 6;
б) п5 — п делится нацело на 5.
2.29. При каких натуральных значениях п верно неравенство
3я > 2я 4- 7п?
2.30. Методом математической индукции докажите истинность не-
равенства
. 1 J_>
n-f- 1 n-j-2 2л 14
для всех натуральных п > 1.
2.31. Докажите, что любую сумму денег, большую? копеек, можно
разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами.
§ 7. Различные виды теорем и их взаимосвязь
1. Взаимно обратные и взаимно противоположные тео-
ремы. Теоремы в математике, как правило, формулируются
(или могут быть сформулированы) в таком виде:
Для каждого элемента х множества U из предложения
р (х) следует предложение q (х).
Используя обозначения предыдущего параграфа, каж-
дую теорему такого вида можно записать следующим об-
разом:
(Vx) (р (х) => q (х)), x£U. (1)
Предложение р(х) называется условием теоремы; пред-
ложение q(x)—заключением теоремы.
Рассмотрим, например, теорему: «Если четырехуголь-
ник х — параллелограмм, то его диагонали точкой пересе-
чения делятся пополам». Здесь условием теоремы является
предложение р(х): четырехугольник х —параллелограмм,
и заключением теоремы —предложение q (х): диагонали
четырехугольника х точкой пересечения делятся пополам.
Оба предложения р(х) и <?(х) заданы на множестве U
всех четырехугольников.
Рассмотрим еще один пример. Пусть р (х) — предложе-
ние «параллелограмм х является ромбом»; ^(х) —предло-
жение «диагонали параллелограмма х взаимно перпенди-
кулярны». Оба предложения заданы на множестве U всех
параллелограммов. Тогда теорема вида (1) состоит в сле-
дующем:
«Для любого параллелограмма верно утверждение: если
параллелограмм —ром‘б, то его диагонали взаимно перпен-
дикулярны». Обычно эту теорему формулируют короче:
S3
«Диагонали ромба взаимно перпендикулярны». Но под
этой краткой формулировкой подразумевается именно то,
что содержится в той развернутой формулировке, кото-
рую мы только что дали.
В дальнейшем теоремы, имеющие вид (1), будем запи-
сывать короче:
р(х)=£<?(х).
Определение. Теоремы р (х) =£ q (х) и q (х) =5> р (х)
называются взаимно обратными.
Иногда одну из этих теорем называют прямой, тогда-
другую называют обратной. Ясно, что любую из двух
взаимно обратных теорем можно принять за прямую.
Из данного определения видно, что, поменяв местами
в формулировке прямой теоремы условие и заключение,
мы получим формулировку обратной.
Важно понимать, что для пары взаимно обратных
теорем могут осуществляться все три возможности, а
именно:
1) обе теоремы могут быть верными;
2) одна из теорем может быть верной, а другая не-
верной;
3) обе теоремы могут быть неверны.
Приведем соответствующие примеры.
Теоремы «Если сумма цифр натурального числа де-
лится на 3, то и число делится на 3» и «Если натураль-
ное число делится на 3, то и его суйма цифр делится на 3»
являются взаимно обратными. Из арифметики известно,
что обе-эти теоремы верны.
Теоремы «Если четырехугольник —прямоугольник, то
его диагонали конгруэнтны» и «Если диагонали четырех-
угольника конгруэнтны, то четырехугольник — прямо-
угольник» также являются взаимно обратными. Как из-
вестно, первая из этих теорем верна. Вторая теорема
неверна: в качестве контрпримера можно взять равнобоч-
ную трапецию.
Этот пример показывает, что из двух взаимно обрат-
ных теорем одна может быть верна, другая —неверна.
Для теоремы «Если хотя бы одно из двух натуральных
чисел делится на 3, то и их сумма делится на 3» обрат-
ная формулируется так: «Если сумма двух натуральных
чисел делится на 3, то по крайней мере одно из слагае-
мых делится на 3». Очевидно, что обе эти теоремы (и
прямая, и обратная) неверны.
54
Перейдем к понятию противоположной теоремы:.
Определение. Теоремы
p(x)=$>q(x) и p(x)^>q(x)
называются взаимно противоположными.
Если, следовательно, в формулировке некоторой тео-
ремы заменить условие и заключение их отрицаниями, то
-получится формулировка теоремы, противоположной ис-
ходной.
Например, для теоремы «Если четырехугольник —па-
раллелограмм, то его диагонали точкой пересечения де-
лятся пополам» противоположная формулируется следую-
щим образом: «Если четырехугольник не является парал-
лелограммом, то его диагонали точкой пересечения не
делятся пополам». В данном случае обе теоремы верны.
Нетрудно привести пример двух взаимно противополож-
ных теорем, из которых одна будет верной, а другая
неверной.
Из предыдущих определений и рассуждений следует,
что для каждой теоремы
Р (*) =» Я {х)
можно сформулировать еще три теоремы:
обратную:
я\х)^р(х),
противоположную: р (х) =>/? (х),
и противоположную обратной: q (х)=$> р(х).
Возьмем в качестве исходной теорему «Если четырех-
угольник-ромб, то его диагонали взаимно перпендику-
лярны» (теорема верна).
Тогда указанные три теоремы формулируются так:
обратная теорема: «Если диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны, то четырехуголь- д
ник является ромбом» (теорема неверна, см.
рис. 14), / \
противоположная теорема: «Если четы- / \
рехугольник не ромб, то его диагонали не / \
перпендикулярны» (теорема неверна, см. /________\
рис. 14), Хи
противоположная обратной: «Если диаго-
пали четырехугольника не взаимно перпенди- рИс. 14.
55
куляряы, то четырехугольник не является ромбом» (тео-
рема верна).
В рассмотренном примере прямая теорема и противо-
положная обратной оказались истинными, а обратная и
противоположная—ложными. Это совпадение не является
случайным. Между этими четырьмя видами теорем суще-
ствует тесная взаимосвязь, а именно:
1) теоремы
р(х) => <7(х) и ~q~(xj р~(х),
т. е. прямая и противоположная обратной, одновременно
истинны или ложны;
2) теоремы
q (х) => р (х) и д(*)=»7й)»
т. е. обратная и противоположная, также -одновременно
истинны или ложны.
Отсюда следует, что нет необходимости доказывать все
четыре теоремы. Доказав, например, прямую и обратную
теоремы, мы тем самым устанавливаем истинность всех
четырех теорем.
Иногда доказательство прямой теоремы p(x)=$»q(x)
связано с некоторыми трудностями. В таких случаях сле-
дует попытаться доказать теорему q (х)=$>р(х), из истин-
ности которой вытекает истинность исходной теоремы.
Известный метод «доказательства от противного» как раз
и состоит в том, что вместо прямой теоремы доказывают
противоположную обратной.
2. Необходимые и достаточные условия. При форму-
лировке теорем часто используют термины «достаточно»,
«необходимо»' «необходимо и достаточно». Выясним смысл
этих терминов.
Если теорема p(x)=s>q(x) верна, то условие теоремы
р(х) называют достаточным условием для заключения
q(x), а заключение теоремы q(x) называют необходимым
условием для р (х).
Рассмотрим еще раз теорему «Если четырехугольник —
прямоугольник, то его диагонали конгруэнтны». Эта тео-
рема верна, и, следовательно, условие теоремы является
достаточным условием для заключения, т. е. для того
чтобы диагонали четырехугольника были конгруэнтны,
достаточно, чтобы четырехугольник был прямоугольни-
ком.
56
Заключение этой теоремы является необходимым усло-
вием для условия теоремы, т. е. для того чтобы четырех-
угольник был прямоугольником, необходимо, чтобы диа-
гонали четырехугольника были конгруэнтны.
Если справедлива не только теорема p(x)=S>q(x), но
и ей обратная q(x)=S>p(x), то р(х) является необходимым
и достаточным условием для q (х), a q (х) необходимым и
достаточным условием для р(х).
Рассмотрим теорему «Если сумма цифр натурального
числа делится на 3, то и число делится на 3». Выше уже
отмечалось, что эта теорема и теорема ей обратная верны.
Поэтому, можно сказать, что для делимости числа на 3
необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа дели-
лась на 3.
Следует помнить, что в тех случаях, когда в теореме
содержатся слова «необходимо и достаточно», доказатель-
ство обязательно должно состоять из доказательства не-
обходимости и доказательства достаточности. Ведь в такой
формулировке на самом деле объединены формулировки
двух теорем: прямой и обратной. Каждая нуждается в до-
казательстве, так как из справедливости одной не следует
справедливость другой.
Пример. Заменить многоточия словами «достаточно»,
«необходимо», «необходимо и достаточно» так, чтобы полу-
чились верные утверждения:
а) для того чтобы выиграть в лотерее, ... иметь хотя
бы один лотерейный билет;
б) для того чтобы сумма двух действительных чисел
была числом рациональным, ..., чтобы каждое слагаемое
было рациональным числом;
в) для того чтобы треугольник был равнобедренным,
..., чтобы углы при основании были конгруэнтны.
Решение, а) Многоточие следует заменить словом
«необходимо». Если многоточие заменить словом «доста-
точно», получится ложное утверждение.
б) Истинное утверждение получится, если многоточие
заменить словом «достаточно». Условие, чтобы каждое
слагаемое было числом рациональным, не является необ-
ходимым. Например, сумма иррациональных чисел 1 + J/2
и 1 — 1/2 является рациональным числом.
в) При замене многоточия словами «необходимо», «до-
статочно», «необходимо и достаточно» получаются, оче-
видно, истинные утверждения.
67
Вместо слов «необходимо и достаточно» часто употреб-
ляют также слова «тогда и только тогда», «в том и только
в том случае», «те и только те». Полезно иметь в виду,
что рассматриваемые отдельно части этих связок также
имеют смысл. Например, слова «только в том случае»,
«только тогда» заменяют слово «необходимо», а слова
«тогда», «в том случае» заменяют слово «достаточно». Заме-
тим еще, что иногда слово «условие» заменяют словом
«признак» и говорят о необходимом признаке, или говорят
о достаточном признаке, или, наконец, о необходимом и
достаточном признаке.
Например, делимость суммы цифр числа на 9 есть
достаточный и необходимый признак делимости числа на 9.
Упражнения
2.32. Приведите пример двух взаимно противоположных теорем,
из которых одна была бы верна, а другая неверна.
2.33. Какие из следующих шести теорем являются по отношению
друг к другу обратными, противоположными, противоположными об-
ратным? Какие из этих теорем верны?
а) Если каждое из двух натуральных чисел делится нацело на 7,
то их сумма делится на 7;
б) если ни одно из двух чисел не делится на 7, то и их сумма
не делится на 7;
в) если хотя бы одно из двух чисел делится на 7, то и их сумма
делится на 7;
г) если сумма двух чисел делится- на 7, то каждое слагаемое
делится на 7;
д) если сумма двух чисел не делится на 7, то ни одно из слагае-
мых не делится на 7;
е) если сумма двух чисел не делится на 7, то хотя бы одно из
слагаемых не делится на 7.
2.34. Для каждой из теорем сформулируйте обратную:
а) если в четырехугольник можно вписать окружность, то этот
четырехугольник представляет собой ромб;
б) если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг
него можно описать окружность;
в) если многоугольник является четырехугольником, то сумма
его внутренних углов равна 360°.
2.35. Дана теорема: «В любом четырехугольнике, который является
прямоугольником, диагонали конгруэнтны». Сформулируйте теоремы
обратную, противоположную и противоположную обратной. Какие из
этих четырех теорем верны?
2.36. Дана теорема: «Если существует число х, при котором много-
член x2-\-px-\-q принимает отрицательное значение, то квадратное
уравнение х2-\-px-\-q = 0 имеет два положительных корня».
Сформулируйте обратную, противоположную и противоположную
обратной теоремы. Какие из них верны?
2.37. В следующих предложениях замените многоточия словами
«необходимо и достаточно», «необходимо, но не достаточно», «доста-
точно, но не необходимо» так, чтобы получились верные утверждения:
58
а) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, ...,
чтобы прямые, проведенные через середины противоположных сторон,
были его осями симметрии;
ф цяя того чтобы уравнение х3—тлело два положи-
тельных корня,...., чтобы выполнялось условие $ > &
2.38. Докажите или опровергните утверждения:
а) для делимости числа ла—1 (п^5) на 24 достаточно, чтобы п
было простым числом;
б) для делимости тасла я3—1 (д>5) на 2А необходимо» чтобы п
было простым числом.
§ 8. Действительные числа
1. Рациональные числа. В курсе математики восьми-
летней школы вы встречались с различными числами:
натуральными, целыми и рациональными. Представления
о числах у человечества складывались постепенно, под
влиянием требований практики. Например, натуральные
числа появились в связи о необходимостью подсчета
предметов, т. е. с необходимостью ответить на вопрос:
«Сколько элементов содержит данное конечное множество?».
Так, пересчитав книги, стоящие на полках книжного
шкафа, мы говорим, что на первой полке имеется 5 книг, т. е.
множество книг на первой полке содержит 5 элементов
(книг), а на второй полке—8 книг, т. е. множество книг
на второй полке состоит из 8 элементов (книг), и т. д.
Однако может иметь место и такая ситуация: одна
из полок книжного шкафа свободна от книг (на ней
могут находиться тетради или другие предметы), т. е.
множество книг на этой полке—пустое множество, так
как ему не принадлежит ни один элемент (книга). В этом
случае число нуль дает возможность ответить на вопрос:
«Сколько элементов содержит данное множество?»
Если присоединить к множеству всех натуральных
чисел N={1; 2; 3;...} число 0, то получим множество не-
отрицательных целых чисел Zo= {О', 1; 2; 3;...}.
Одних только неотрицательных целых чисел для реше-
ния задач, поставленных практикой, а значит, и мате-
матических задач, отражающих данную реальную ситуа-
цию, оказалось недостаточно. Так, чТобы охарактеризовать
температуру воздуха выше и ниже нуля, а также дви-
жение в противоположных направлениях, требуются про-
тивоположные числа. Например, температуру воздуха в
шесть градусов тепла и шесть градусов мороза характе-
ризуют соответственно 4-6° и —6°. Числа 6 и —6 на-
зываются противоположными числами: —6 противопо-
59
ложно 6, а 6 противоположно —6. В общем случае для
натурального числа п противоположным будет —п, а
для числа —п противоположным будет число п. Нуль
считают противоположным самому себе.
Натуральные числа, числа, противоположные нату-
ральным, и нуль составляют множество. Z целых чисел.
Измерение величин привело к необходимости расши-
рения множества целых чисел, введения дробных чисел.
Например, высота Спасской башни Московского Кремля
составляет 71 м, диаметр циферблата Кремлевских ку-
рантов—6,12 м, длина часовой стрелки—2,97 м, а ми-
нутной—3,28 м, территория города Москвы—878,7 кма,
на 17 января 1979 г. число жителей в г. Москве соста-
вило 8,011 млн. человек, в г. Москве средняя темпе-
ратура самого холодного месяца (января) —10,2 °C,
а самого теплого (июля) +18,1 °C. Или другой пример:
ЛС з
академический час продолжается 45 минут или часа,
а одна из перемен—10 минут или часа.
Целые и дробные числа составляют множество Q ра-
циональных чисел.
Любое рациональное число можно записать в виде
дроби -2-, где m£Z и n£N (т. е. числитель есть целое
число, а знаменатель — натуральное).
Рациональное число может быть записано разными
дробями. Например,
1 2 7 ю
3 “ 6 “21 “30 ’
2 _ —2 —10— —14 _20
5“5“25“35“50’
, Л —7 —14 —140
—1.4 = — =---=-----
5 10 100 ’
о = _з__б__ зо л —£_2._2.
° 1 2 10 ’ и 1 “ 8 “ю*
Как видно из приведенных примеров, среди дробей,
изображающих данное рациональное число, всегда име-
ется единственная несократимая дробь; для целых чисел —
это дробь, знаменатель которой равен 1.
Пусть дано рациональное число — . Деля числитель
на знаменатель, получаем конечную или бесконечную де-
60'
сятичную дробь. Например,
•1=0,25; 1 = 0,5555
-1—1,2; =? = —0,428571428571
Условимся изображать конечную десятичную дробь в
виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа
после десятичных знаков, отличных от нуля, на месте
последующих десятичных знаков стоят нули, например
1 = 0,25 = 0.25000 —4 = — 1,200...
4 О
Целые числа также условимся записывать в виде
бесконечной десятичной дроби, у которой справа от за-
пятой на месте десятичных знаков стоят нули, например,
15=15,000...; —6 = —6,000...
Итак, любое рациональное число представимо в виде
бесконечной десятичной дроби:
где а0—целое число, а каждое из апа2,а3, ...—это
одна из цифр 0, 1, 2, ...» 9.
2. Периодические десятичные дроби. В предыдущем
пункте мы записывали рациональные числа в виде бес-
конечных десятичных дробей, так, что, начиная с неко-
торого места, все десятичные знаки у этих дробей
начинали повторяться, например 0,2500... и 0,5555 ...
Такие десятичные дроби получили название бесконечных
периодических десятичных дробей.
Определение. Бесконечная десятичная дробь
называется периодической, если существуют такие нату-
ральные числа N и р, что
ап+р=лап для любого nZ^N.
Например, 0,5555... есть периодическая десятичная
дробь, так как, положив N = 1 и р= 1, имеем a„+i =а„ = 5
для любого п^>1. Число 0,25000... также представлено
в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
В самом деле, положив N = 3, р= 1, получим an+i = an = 0
для любого п^З.
61
Число —3,125787878... также записано в виде бес-
конечной десятичной периодической дроби, так как, по-
ложив N = 4 ир = 2, получим ап+2 = ап для любого 4.
Действительно, для любого ni>4 имеема„ = 7 при четных
п и ап = 8 при нечетных п.
Для записи бесконечных периодических дробей принято
употреблять такие обозначения: дробь 6,2500... обозна-
чают 6,25 (0); дробь 0,555... записывают в виде 0,(5),
дробь —3,125787878 можно записать как —3,125(78).
Число, записанное в скобках, называют периодом. По-
этому дробь 6,25(0) читается как «шесть целых, двадцать
пять сотых и нуль в периоде», 0,(5) читается как «нуль
целых и пять в периоде», а —3,125(78) читается как
«минус три целых, сто двадцать пять тысячных и семь-
десят восемь в периоде».
Каждое рациональное число может быть представлено
бесконечной периодической десятичной дробью.
и 5
Например, рациональное число уу представляется в
виде десятичной периодической дроби 0,(45), причем для
получения такого представления достаточно разделить
число 5 на 11:
_>5 |11
44 0,46
60
55
—> 5
Получив остаток, равный 5, мы можем дальше не вести
вычислений, так как остатки и цифры в частном будут
повторяться. Поэтому уу=0,4545... =0,(45), т.е. имеем
нуль целых и 45 в периоде.
В общем случае, для произвольного рационального
числа где т и п—натуральные числа, поступают
аналогично: делят т на п. Так как при делении на п
для остатка имеется лишь п возможных значений 0, 1,2...
п—1, то не более чем через п шагов в, частном от
деления т на п начнется повторение десятичных знаков.
Последнее означает, что деление т на п приводит к
периодической десятичной дроби.
Дальше, после изучения суммы бесконечной геометри-
ческой прогрессии будет доказано, что каждая бесконечная
62
периодическая десятичная дробь представляет собой рацио-
нальное число.
Замечание. Позднее будет доказано, что всякая
бесконечная периодическая десятичная дробь, имеющая
своим периодом девятку, равна бесконечной десятичной
периодической дроби с периодом, равным нулю, у ко-
торой десятичный разряд, предшествующий периоду, уве-
личен на единицу по сравнению с разрядом исходной дроби.
Например, бесконечные периодические дроби 0,2(9) и 0,3(0)
являются представлениями одного и того же рациональ-
ного. числа. Однако если воспользоваться алгоритмом
деления, а именно, делить 3 на 10, то получим только
одну бесконечную периодическую десятичную дробь вида
0,3(0).
В дальнейшем при представлении рациональных чисел
бесконечными периодическими десятичными дробями ус-
ловимся исключать из рассмотрения бесконечные перио-
дические дроби, период которых равен девяти.
3. Действительные числа. Множество всех бесконечных
десятичных дробей называется множеством действительных
чисел и обозначается /?. Как следует из предыдущего,
множество Q всех рациональных чисел является подмно-
жеством множества R.
Действительные числа, не являющиеся рациональными,
называются иррациональными. Следующая теорема утвер-
ждает, что число \/~2 является иррациональным.
Теорема. Не существует рационального числа, квад-
рат которого равен числу 2.
Доказательство. Доказательство будем прово-
дить методом от противного. Допустим, что существует
рациональное число, квадрат которого равен 2, предста-
вимое несократимой дробью Тогда имеем
= 2 =Ф = 2 = 2п2.
Следовательно; т$ есть число четное, но тогда и число
т является четным. В самом деле, если бы /п = 2£+1
(т. е. было нечетным), то т? = (4£? + 4k) + 1 нечетное, так
как (W-f-4^) четное. Но если т—четное число, то
т = 2k => W —/п? => 4k2- = 2п2 => п? = 2k2.
Из последнего следует, что число п2 четное, а значит, и
число п четное. Итак, наше допущение привело к тому,
63
что оба числа тип оказались четными. Но этот вывод
вступает в противоречие с предложением о несократимости
дроби —. Это противоречие показывает, что мы сделали
неправильное допущение о существовании рационального
числа, квадрат которого.-равен 2.
Следовательно, число У" 2 иррациональное:
/Г = 1,41421356...
Другим примером иррационального числа может служить
число л, т. е. число, являющееся отношением длины
окружности к диаметру; его представление в виде беско-
нечной десятичной дроби следующее: л = 3,14159...
Для любой, бесконечной десятичной дроби (действи-
тельного числа) х = а0,а1а2.. ,апап+1... конечная деся-
тичная дробь хп = а^ага2... ап называется п-м отрезком
этой дроби.
Рассмотрим два действительных числа:
х = а0, ага,а.л... и у = Ьо,b1b.2b3...
Числа х и у считаются равными, если равны их целые
части и соответствующие десятичные знаки, т. е. х = у,
если а;- = b{, i = 0, 1, 2, 3, .. Если же целые части дробей
различны или одна из дробей имеет десятичный знак, не
совпадающий с. соответствующим десятичным знаком дру-
гой дроби, то эти два действительных числа считаются
неравными.
Другими словами, числа х и у равны, если хп = уп
для любого п, и не равны, если найдется т такое, что
Хт^=Ут‘ При этом, если хт^>ут, то х>«/. Например,
1,467... <2,458...; —3,425<— 1,329...;
— 1,347... <0,3588.. 4,5897 ..<4,8597...;
—2,4793.. .<—2,4637 —0,3256.. .<—0,3228...
4. Десятичные приближения действительных чисел. Для
любого положительного числа
x = a0,Oi^2. • -^rfln+i’ • •
число Хп = а0>а1а2- ап называется п-м десятичным
приближением числа х с недостатком с точностью до 10~",
а число х'п = а0, аха2. .tzn4-10~" называется п-м деся-
тичны#. приближением с избытком с точностью до 10~".
64
Например, для числа ]/Т = 1,7321... числа
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7321
являются десятичными приближениями с недостатком
соответственно с точностью до 1, до 0,1, до 0,01, до
0,001, до 0,0001, а числа
2; 1,8;Ч,74; 1,733; 1,7322
являются десятичными приближениями с избытком с точ-
ностью до 1, до 0,1 и т. д.
Заметим, что для положительного числа д-е десятич-
ное приближение с недостатком совпадает с n-м отрезком
соответствующей бесконечной десятичной дроби.
Для любого отрицательного числа
X = Gg, ^1^2 ^rfin + 1 • * • t ^Д® flo
/?-е десятичные приближения определяются следующим
образом:
. 1
%п О0, Оп |0л »
х; = — а„а.а2 ап.
В этом случае n-е десятичное приближение с избыт-
ком совпадает с n-м отрезком соответствующей беско-
нечной десятичной дроби.
Очевидно, что десятичные приближения любого чи-
сла х обладают следующим свойством: если, т < п, то
^5 %П '^5
X
Таким образом, любое десятичное приближение чи-
сла х с недостатком не больше числа х, а любое деся-
тичное приближение с избытком не меньше числа х.
Кроме того, по мере возрастания точности десятичные
приближения с недостатком не убывают, а десятичные
приближения с избытком не возрастают.
5. Геометрическое изображение множества действи-
тельных чисел. Рассмотрим в плоскости горизонтальную
прямую, на которой выберем направление, например,
слева направо, и точки О и А так, что [ОД] —единичный
отрезок, т. е. | О А | = 1, и точка А лежит правее точки О
(рис. 15). Такую прямую О А назовем координатной
прямой. 1
По известному правилу (а именно, откладывая еди-
ницу масштаба или ее часть вправо или влево от точки О)
Алгебра, ч. 1 65
мы каждому рациональному числу х можем поставить
в соответствие точку В на прямой ОА такую, что вы-
полняются условия:
1) точка В находится справа от точки О, если х > О,
и слева от точки О, если х < 0;
« ...». . । ....... »
0 1S 9
Рис. 15.
2) отрезок ОВ имеет длину, равную. |х|.
Это соответствие обратимо: каждой точке М коорди-
натной прямой ОА (рис. 16) соответствует вполне опре^-
деленное число хм, удовлетворяющее следующим условиям:
Л
0 1
N
9ц
И
а
Рис. 16.
О 1*м|“длина отрезка ОМ, измеренного при помощи
единичного отрезка О А;
* 2) = | хм | > 0, если точка М лежит справа от точки
О, и хм =—|хм| < 0, если М лежит слева от точки О;
3) хл1 = 0, если точка М совпадает с точкой О.
Это число хм называют координатой точкй М.
В силу сказанного выше, можно не делать различия
между действительным числом и изображающей его точ-
кой. Именно, под точкой координатной прямой понимать
действительное число (координату этой точки) и, наобо-
рот, под действительным числом понимать соответствую-
щую ему точку координатной прямой.
Пусть М и N -.-две точки координатной прямой Ох
(рис. 16), имеющие соответственно координаты хм и xN,
тогда расстояние | MN | выражается через координаты этих
точек по формуле
|^|=|Х№ ХМ\.
Доказательство этой формулы проведем, например, для
случая, когда точки М и N располагаются по правую
сторону от точки О, т. е. 0 < хм < xN. Тогда
| MN | = | ON | -1 ОМ | = xN-xu = |хы~хм |.
66
В других случаях, т. е. когда точки расположены по
левую сторону от точки О или по разные стороны от
нее, эта формула доказываемся аналогично.
Множество /? действительных чисел называют числовой
прямой, а сами действительные числа — точками этой
прямой.
Напомним определения и обозначения различных под-
множеств множества действительных чисел (или подмно-
жеств числовой прямой), которые были изучены в курсе
математики 8-летней школы.
Множество всех действительных чисел х, удовлетво-
ряющих условию а^х^.Ь, называется замкнутым про-
межутком, или отрезком, с началом в точке а и концом
в точке b и обозначается [а; Ь].
Множество всех действительных чисел х таких, что
а < х < Ь, называются открытым промежутком или ин-
тервалом с началом в точке а и концом в точке b и обозна-
чается ]а; Ь[.
Множество всех действительных чисел х таких, что
а<^х<Ь, называется полуоткрытым промежутком и
обозначается [а; 6[. Аналогично определяется промежуток
]а; Ь].
Множество всех х > а называется бесконечным проме-
жутком и обозначается ]а; -j-oo[. Аналогично опреде-
ляются бесконечные промежутки [а; 4-оо[, ] — оо; 6[,
]-о°; Ь].
Множество R также иногда называется бесконечным
промежутком и обозначается ]—оо; +оо[.
Пример 1. Решить неравенство |х—3|^1.
Решение. Так как |х — 31 означает расстояние между
точками (числами) х и 3, то решить данное неравенство —
- (////,'///////л_____
Q 1 I 3 Ь в
Рис. 17.
это значит найти множество таких точек (действительных
чисел), расстояние от которых до точки 3 не превосходит 1.
На единичное расстояние от точки 3 удалены влево точка 2
и вправо точка 4. Менее чем на 1 от точки 3 удалены
точки, расположенные между ними (рис. 17). Таким об-
разом, множество решений данного неравенства есть от-
резок [2; 4].
3* 67
Выше было указано, что между множеством действи-
тельных чисел и множеством точек прямой существует
взаимно однозначное соответствие. Аналогично существует
взаимно однозначное соответствие между упорядоченными
парами действительных чисел и точками координатной пло-
скости. Поэтому целесообразно множество упорядоченных
пар действительных чисел называть числовой плоскостью,
а любую упорядоченную пару— точкой числовой плоскости.
Числовую плоскость будем обозначать символом R2 (чи-
тается «эр два»). Так же, как и в случае числовой пря-
мой, на числовой плоскости можно применять геометри-
ческую терминологию. Так, например, множество пар
(х; ~y)^Rz, координаты которых удовлетворяют уравнению
у = х, есть прямая, а именно биссектриса I и III коор-
динатных углов. Множество точек (х; у) £ R2, координаты
которых удовлетворяют уравнению у = х2, есть парабола.
Пример 2. Описать на геометрическом языке мно-
жество точек (х; у), удовлетворяющих условию
(х + 1) Q/ —2) = 0.
Решение. Так как или х~К1—0, или у — 2 = 0‘, то
заданное множество есть объединение множеств точек
прямых х = —1 и у =2.
Упражнения
2.39. Какие элементы множества
Л 13 9
Л = <—90; —12,3; -5; — 4 ; 0; 4 ; 5; 14; 18 4 ; 90
I 6 4 5
являются натуральными числами, целыми числами, дробными числами,
рациональными числами, отрицательными числами, неотрицательными
числами?
2.40. Составьте подмножества множества
В = /—35; —32 4-; —21; —4; 0; -4; 3; 4; 8; 9; 16; 21
I 3 4
элементами которых являются: а) натуральные числа; б) целые числа;
в) дроби; г) нечетные числа; д) числа, кратные 4; е) отрицательные
числа.
2.41. Какие из следующих утверждений NcZ9, ZotzN.NcZ,
ZcN, ZczQ, QcZ справедливы?
2.42. Для заданных множеств А и U убедитесь в том, что А с U:
а) Л = {—15; —12; 14; 20},
t/ = {—20; —15; —14; —12; 0; 2; 3; 12; 14; 16; 20; 30};
б) Д = {—8; —7; 0; 3; 4; 7},
t/ = {—12; —9; —8; —7; —3; 0; 1; 3; 4; 6; 7; 14}.
2.43. Какое множество является дополнением:
68
а) множества натуральных чисел до множества неотрицательных
цёлых чисел;
б) множества четных чисел до множества целых чисел;
в) множества неотрицательных целых чисел до множества рацио-
нальных чисел,
г) множества положительных рациональных чисел до множества
рациональных чисел;
д) множества неположительных рациональных чисел до множе-
ства рациональных чисел?
2.44. Представьте в виде отношения целого числа к натуральному
следующие числа:
а> —20; —12; 0; 5; 36; 75;
в)-41;-2,3;-1±;0,4;8±;*||.
2.45. Представьте в виде несократимой дроби — , где m£Z
и n£N. следующие числа:
о 12'140 1 Ч
а) -9; 1; 3—; — ;-10,5; б) -11 4 ; 3; -20; -54; 0,5.
15 14 /V 2 У
2.4в. Запишите в виде бесконечных десятичных дробей следую-
щие числа:
а) -5; б) 4> в) - ; г}-—14,93; д) -0,3; е) 5,3; ж) 2-;
О о
ч 1 . . 11
3) 7 ’ и) зо •
2.47. Представьте число в виде бесконечной десятичной дроби.
Объясните, почему эта дробь является периодической:
ч 5 _ 8 . 7 .23 . 40
а>- 9; 4 Т; В)~30; Г> -9; ТТ'
2.48. Какие из чисел
-4; 0; °’(,)
являются рациональными? Каждое рациональное число представьте
в виде отношения -у-, где m^Z, n£N.
2.49. Сравните следующие пары действительных чисел:
а) 2,39748... и 2,39784...; б) 2,3874... и 0,3874...;
в) 1,2030... и 1,2003...; г) 4,8181... и 4,1881...;
Д) 17,2... и у; е) - у и 0,428...;
Ж) — 10,003... и —10,030...; з) —0,025... и —0,052...
2.50. Найдите десятичные приближения с точностью до 0,01
с недостатком и избытком для чисел:
а) 0,37893; б) 1,4978; в) —4,5678; г) — 3,7326; д) /"б;
е) — / 5; ж) / 7; з) — V 7, и) — ; к) —— ; л) — ; м) — у.
2.51. Докажите, что числа 1,4142 и 1,4143 являются десятичными
приближениями числа У 2 соответственно с недостатком и с избыт-
ком с точностью до 0,0001.
69
2.52. Докажите, что числа — 1,7322 и —1,7321 являются деся-
тичными приближениями числа — у 3 соответственно с недостатком
и с избытком с точностью до 0,0001.
2.53. На координатной прямой постройте точки t координатами:
1 2
— ; ——; 2,1; —1,5. Найдите расстояния между этими точками.
£ о
2.54. Постройте отрезки длины У 2, У 3, У~5. У 7 (исполь-
зуйте теорему Пифагора).
2.55. На координатной прямой постройте точки с координатами:
— V~2; У1-, —У1; У1; — У~5; У 5; — /“7; У~7.
2.56. Какая из двух точек находится на координатной прямой
левее и какая правее, если эти точки имеют координаты:
а) 2,3934 и 2,3443 ...; б) 15,55 и 15;
в) — 1,001 ... и — 1,010 .... г) 0 и — 1,56
д) 2,34 ... и —3,345 ...?
2.57. Какая из двух точек находится на координатной прямой
дальше от начальной точки 0, если эти точки имеют координаты:
а) 4,783 ... и 4,793 ...; б) 3,5678 ... и 2,7893 ...;
в) — 15,004 ... и — 15,040 ...; г) —0,20 ... и —0,30 ...?
2.58- На координатной прямой указать множество точек, коор-
динаты которых удовлетворяют соотношению:.
а) | х | = 2; б) | х | < 3; в) | х | 8; г) | лГ| >' 9;
д) | х | = /~3; е) | х | > J<2; ж) | х | < /б; з) | х | ,
О
2.59. Решите уравнения и неравенства:
а) |х—21=3; б) |х—2]<3; в) ] 13—х| = 1;
г) 113—х [S-4; д) |х + 4|=5; е) |х4-4|^5.
2.60. Решите неравенства:
а) б) > 0;
x-f-З х—5
I—х 4—х
в) < 0; г) 0.
’ *4-7 ' х—8
2.61. Запишите в виде, уравнения или неравенства предложение
с переменной и укажите множество значений переменной, при ко-
торой это предложение истинно:
а) расстояние между точками М (х) и N (4) координатной прямой
равно 5;
б) расстояние между точками М(х) и N (— 3) координатной
прямой меньше 2;'
в) расстояние между точками М (х) и N (1) координатной пря-
мой не больше 0,5;
г> расстояние между точками М (—4) и N (х) координатной
прямой не меньше -g-.
2.62. Опишите на геометрическом языке и изобразите на коор-
динатной плоскости следующие множества:
а) (х—3) (у—3) =0; б) (х4-4) (у4-5) =0; в) ^ = 0;
г) х > 0; у «СО; д) х > 0; у< 5; е) х < 0, у^—2.
Глава III
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 9. Системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными и определители
второго порядка
1. Системы двух линейных уравнений с двумя неиз-
вестными. Напомним, что линейным уравнением называется
уравнение вида
ах + by = с,
где а, Ь, с —заданные числа, а х, у —искомые неизвестные.
Числа а, b называются коэффициентами уравнения или
коэффициентами при неизвестных, а число с—правой ча-
стью уравнения или свободным членом.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными:
a^-hb.y^c^
a2x+b2y = c2. 1 '
Очевидно, если все коэффициенты и правые части
Уравнений системы (1) равны нулю, то любая пара-чисел
(х; у) является решением системы. Если все коэффици-
енты уравнений -системы равны нулю, а правые части
уравнений не все равны нулю, то система (1) не имеет
решений.
В дальнейшем будем рассматривать только такие си-
стемы, в которых хотя"’ бы один коэффициент одного из
уравнений отличен от нуля.
Пусть, напримёр, Ь2=/=0. Тогда система (1) равносильна
(эквивалентна) системе
т. е. если пара чисел (х0; у0) является решением системы (1),
то она является и решением системы (2), и наоборот.
71
Второе уравнение системы (2) умножим на и полу-
ченное уравнение вычтем почленно из первого уравнения:
(а‘-ъь‘)х=с,~ъь<- <3)
Заменив теперь первое уравнение системы (2) на урав-
нение (3), получим систему
^bl)x = cl-^bit
Ьг Ьг '
(4)
которая, очевидно, равносильна системе (2).
Если а,—^гЬ,=/=0, т. е. а,Ьг — то из первого
°2
уравнения находим, что
„__ С2^1 /С\
ахЬ2—a9bi ’ V ’
Подставляя это значение х во второе уравнение си-
стемы (4), находим
v ai&a — aa&i
Для простоты введем обозначения:
афг— а2Ьх = Д,
сгЬ^ = Дх,
aic2 a2?f ~
тогда формулы (5) и (6) можно записать так:
Формулы (5) и (6) называются формулами Крамера.
Таким образом, если a,ba — a3bt0, то система (4)
имеет единственное решение, которое находится по фор-
мулам {5), (6).
Так как система (4) равносильна системе (1), то ре-
шение системы (4) является и решением системы (1).
Пусть теперь
0. (7)
72
Тогда система (4) имеет вид
| 0-х=с,-%Ь,,
I — х -4- и — ~
( Ьг bt •
Очевидно, эта система не имеет решений, если
q —
Если же
то любая пара чисел (х; у), где
является решением системы (8).
Таким образом, доказаны следующие утверждения.
Если Д#=0, то система (1) имеет единственное реше-
ние, которое находится по формулам Крамера (5), (6).
Если Д = О, то система (1) или не имеет решений,«или
имеет бесконечное множество решений.
Случай Д = 0 рассмотрим подробнее. Пусть, как и
выше, .Ьъ =/= 0. Тогда, положив k = , получим (см. фор-
мулу (7)) at = ka3t bt = kbt. Таким образом, в этом случае
система (1) имеет вид
I ka3x + kb3y=cit
I asx+ &^ = q.
Очевидно, что эта система имеет хотя бы одно решение
тогда и только тогда, когда
q = kct.
Итак, если Д = 0 и Ьа=/=0, то система (1) имеет ре-
шение тогда и только тогда, когда первое уравнение си-
стемы получается из второго почленным умножением на
число k= .
“2
В наших рассуждениях .мы предполагали, что Ьа^=0.
Это предположение не умаляет общности, так как если,
например, 0, то, поменяв местами уравнения, придем
к тем же выводам. Если же q^O, то, поменяв местами
73
уравнения и неизвестные, снова придем к разобранному
случаю.
Частным, но важным случаем систем вида (1) является
система двух линейных однородных уравнений с двумя
неизвестными:
f о1х + &1г/ = 0, q
( аах4"М = 0- ' '
Эта система всегда имеет решение
х = 0, i/ = 0.
Из предыдущего следует, что если Д у= 0, то система (9)
имеет единственное решение х = 0, у = 0, которое полу-
чается по формулам Крамера.
Если же Д = 0 и, например, ^=/=0, то ее решением
является любое решение уравнения
а1х4-Ь1*/ = 0,
т. е. любая пара чисел (х; у), где
У= —%х, хбЯ
Пример 1. Решить систему двух уравнений с двумя
неизвестными:
тогда
f 5х-3//=16,
I X 4- 2у = 11.
Решение. Выпишем и вычислим
Д = 5-2—1 •(—3) = 13t
Дх= 16-2—11 •(— 3)=В5,
Ду = 5-11 — 16-1 = 39;
г__ А* _Q5__г __________39 _ о
х~~ д 13 °’ у & ~
Ответ. х = 5, у=3.
Пример 2. Решить систему
I 2x-J-3t/= 13,
L 4x4-6//= 20.
Решение. Разделив второе уравнение на 2, получим
равносильную данной систему
( 2x4-3// = 13,
1 2х 4-3// = 10,
74
которая противоречива; следовательно, данная система
решений не имеет.
Пример 3. Решить систему
I 4х — Зу = 7,
I 20х—15# =35.
Решение. Разделив второе уравнение системы на 5,
получим
I 4х —3# = 7,
( 4х-3# = 7.
Система равносильна одному уравнению с двумя неиз-
вестными и имеет бесконечное множество решений
/ —7\ п
(х; ——) , где х£к.
Пример 4. Решить систему двух однородных урав-
нений с двумя неизвестными:
( 5х 4- Зу = О,
( 2х—4# = 0.
Решение. Вычислим А:
А = 5-(—4) —2-3 = —26.
Так как А =/= 0, то система имеет единственное нулевое
решение: х = 0, # = 0. ...
Пример 5. Решить систему
( Зх + 5# = О,
I 9х+15# = 0;
Решение. Так как
А = 3 • 15 — 9-5 = О,
то система имеет бесконечное множество решений:
(3 \
х; — -=-х) , где x$R.
О ] '
2. Геометрическая иллюстрация решения систем двух
линейных уравнений с двумя неизвестными. Как пока-
зано выше, при решении систем двух уравнений с двумя
неизвестными возможны три различных случая:
1) система имеет единственное решение;
2) система не имеет решений;
3) система имеет бесконечное множество решений.
75
Перечисленные случаи легко истолковать геометри-
чески. Напомним, что каждое линейное уравнение с двумя
неизвестными, у которого хотя бы один из коэффициен-
тов при неизвестных отличен от нуля, на плоскости
определяет прямую.
1) Если прямые и /2 пересекаются, т. е. имеют одну
общую точку с координатами (лг0; #0), то система линей-
ных уравнений, являющихся
уравнениями этих прямых,
имеет единственное решение
(х0; Уо)' Наоборот, -если си-
стема двух линейных урав-
нений с двумя неизвестными
имеет единственное решение
(х0; у0), то прямые li и /2,
определяемые уравнениями
системы, пересекаются в точ-
ке (х0; у0) (рис. 18).
2) Если прямые и /2 па-
раллельны и не имеют общих
точек, то система линейных
уравнений, являющихся урав-
нениями этих прямых, не имеет решений. Наоборот, если
система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
не имеет решений, то прямые и /2, определяемые этими
уравнениями, не имеют общих точек, т. е. параллельны
и не совпадают (рис. 19).
3) Если прямые и /2 совпадают, т. е. каждая точка
первой прямой одновременно является и точкой второй
прямой, то соответствующая система уравнений имеет
76
бесконечное множество решений. Наоборот, если система
двух линейных уравнений имеет бесконечное множество
решений, то прямые и /а, определяемые уравнениями
этой системы, совпадают (рис. 20).
Пример. Найти координаты точки пересечения
прямых, заданных уравнениями
Зх + 2у — 13 = 0,
4х — Зу — 6 = 0.
Решение. Найти координаты точки пересечения
прямых —это значит найти решение системы
( 3х + 2г/=13,
( 4х — Зу = 6.
Вычислим Д, Дх и Ду:
Д = 3-(—3) —4-2 = — 17,
Дг = 13-(—3) —6-2 = —51,
Ду = 3 6-4 13=—34;
следовательно,
Ах —51 о А у —34 о
=.=Й7 = 3' 4' = ^ = =Г7=2-
Ответ. х = 3, у = 2.
3. Определители второго порядка. Рассмотрим квад-
ратную таблицу вида
к а ">
где blt а2, Ь2 —некоторые числа. Любая такая таблица
называется квадратной матрицей второго порядка. Числа
ait as, ba называются элементами матрицы.
Определение. Число —аД- называется о пре-
делите лем матрицы (1) и обозначается
о2 Ь2
(2)
Таким образом, согласно определению
Определитель квадратной матрицы второго порядка
называется определителем второго порядка.
77
Числа ait blt az, bz называются элементами определи-
теля. Видно, что элементы определителя в его обозначе*
нии расположены в форме квадрата. Диагональ, на кото-
рой находятся элементы аг и bz, называется главной,
а диагональ, на которой находятся элементы az и Ьи—
побочной.
Теперь можно сформулировать следующее правило
вычисления определителей второго порядка:
Для того чтобы вычислить определитель второго по-
рядка, нужно из произведения элементов, стоящих на
главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоя-
щих на побочной диагонали.
Пример 1. Вычислить определитель второго порядка
1111-
Решение. На главной диагонали стоят элементы 2
и 7, их произведение 2-7=14; на побочной диагонали
стоят элементы 3 и 4, их произведение 3-4== 12.
По определению
|^| = 14-12 = 2.
Ответ. 2.
Аналогично
|зб|=3.2-4-5 = -14, |Э_«| = 3.(-4)-5.0=-12.
Теперь формулы Крамера
для решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными можно записать в следующем виде:
так как
Y — - Cl 61 cz bz y = - al ci Сз cz
ai 6i a2 6a 01 61 Gg bz
Oi 6i . . ^a^i = Д,
с2 61 _ 62 '\bz —czbi
at <Н = де.
(3)
При рассмотрении формул (3) легко установить пра-
вило получения определителей, стоящих в числителях,
из определителя, стоящего в знаменателе: каждый опре-
делитель в числителе получается из определителя в зна-
менателе путем замены столбца коэффициентов при опре-
деляемом неизвестном на столбец правых частей системы.
В самом деле, Дх получается из Д заменой аг и а2 на
С} и а Ду —заменой и Ь2 на q и с2.
Пример 2. Решить систему двух линейных уравне-
ний с двумя неизвестными:
I 5x4-2# = 29,
I 3х4-4# = 23.
Решение. Выпишем и вычислим определители Д,
Дх и Ду:
Д = |з ^| = 5-4-2-3 = 14,
Дх = |§ ||=29 4-2-23 = 70,
Д =|5 29| = 5.23 —3-29 = 28.
Таким образом,
_ 70 с 28 „
Х 14-5’ У~ 14“ 2‘
Ответ. х = 5, у = 2.
П р и м-е р 3. Решить систему уравнений
| 4x4-3# —28 = 0,
( Зх—5#—21=0.
Решение. Приведем систему к стандартному виду:
1 4х4-3# = 28,
1 Зх —5# = 21.
Выпишем и вычислим определители Д, Дх и Ду1
а=|з4|=4(~5)-3-3—29-
Л« = |“ _з| = 28(—5) —3-21-----203,
л,=|з!1|=4-2|-28-3=0-
Таким образом,
Ответ, х — 7, у = 0.
4. Свойства определителей второго порядка. Сформу-
лируем основные свойства определителей второго порядка.
Свойство 1.
I _ I ai
Ga ^2 I I ^2
т. е. определитель не изменится, если в нем строки заме-
нить на столбцы, а столбцы —на строки.
Это свойство утверждает равноправие строк и столб-
цов. Поэтому в дальнейшем все свойства определителей
будем формулировать только для строк.
Свойство 2.
Oj bi I I Па ^2
Ga ^2 I I Gi bi
т. e. если в определителе переставить местами строки,
то определитель изменит только знак.
Свойство 3.
I kai kbi I = I <71 bi
I а9 Gj I \a2 b9
т. e. если все элементы строки имеют общий множитель,
то его можно вынести за знак определителя. Другими
словами, если все элементы какой-либо строки определи-
теля умножить на некоторое число, то определитель
умножится на это число.
Свойство 4.
fli + G] ^4- bi
и2 b2
Gi bl I 01 bl
а2 b21 о2 Ь2
т. е. если все элементы какой-либо строки есть суммы
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух опре-
делителей, в одном из-которых суммы заменены их пер-
выми слагаемыми, а во втором—вторыми.
Следствие 1. Определитель, у которого элементы
одной строки соответственно равны элементам другой
строки, равен нулю.
Следствие 2. Если в определителе элементы одной
строки соответственно пропорциональны элементам дру-
гой строки, то определитель равен нулю.
Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки
соответственно прибавить элементы другой строки или
числа, им пропорциональные, то определитель не изме-
нится.
Иначе, если к строке прибавить другую строку, умно-
женную на некоторое число, то определитель не изме-
нится.
Все сформулированные выше свойства легко доказы-
ваются простым вычислением. *
Покажем на примерах, как использовать эти свойства
при вычислении определителей.
Пример 1. Вычислить определитель
л _ 1325 -1321
а — 1175 —601-
Решение. Вынесем сначала из первого столбца
общий множитель 25 за знак определителя:
А = 25|'Г-^|.
а из второго столбца общий множитель —12:
Д = 25-(—12)| Ч “|.
Затем из первой строки получившегося определителя
вычтем его вторую строку:
Д = 25.(-12)|«
Теперь вынееем из первой строки общий множитель 6:
Д = 25*(— 12);б|) ’| = -1800-(5-7) = 3600.
Пример 2. Вычислить определитель
л _ 1105 551
а 1245 154 1-
Решение. Из первой строки вынесем общий мно-
житель 5, а из второй 7:
А-5.7|^
Вынесем теперь общий множитель 7 из первого столбца
и 11 из второго столбца:
Д=35-7.11|^| = 2695.
81
Упражнения
3.1. Вычислите определители второго порядка:
»)|!т21: «Гир »>|-ЙЬ
-> |U|: *|о’Ь о lit .
3.2. Вычислите определители:
.] loga32 log3 27 I I sin 45“ tg45“ I
'I log4 16 logs 125 Г ’ I ctg 45° sin 45“ Г
3.3. С помощью определителей найдите координаты точки пере-
сечения прямых, заданных уравнениями:
3x4*20—13 = 0, 4х—Зу—6 = 0.
3.4. При каком значении k система двух линейных уравнений
с двумя неизвестными
( 3x4-4//= 17,
| 4x4- ky = 4
имеет решение х = 3, у = 2?
3.5. Решите уравнения:
\ 2 1 12Х 5 а)х+3 1 -0; б)х.+|’ JI
В) 3.15—х2 1 5
Г) х2—3 51 -4 1|
3.6. С помощью определителей решите следующие системы двух
линейных уравнений с- двумя неизвестными:
( Зх—20 = 5, I 4x4- 0=17,
' ) 4x4- */=14; * I Зх—50 = 7;
I 5х—30=16, . I 5х—2у—6=0,
В) ) 2x4- 4у = 22; ° \ 7х —5//-4 = 0;
j 3x4-4//= 9, ч I 4х—Зу— 7 = 0г
Д) | 2х —5// = 6; ’ \ 8х—6//—14=0.
3.7. Найдите решения систем двух однородных линейных урав-
нений с двумя неизвестными:
j Зх4-2// = 0, i Зх—2у—0,
а) | 5х—3// = 0; } | 6х—40 = 0;
1 4х—50=0, I х-|-'7//=0,
' | 7х4-2// = 0; ’ I 2х4-15у = 0;
J 2х—30=0, 1 3x4-50 = 0,
д< j 4х—6р = 0; е) | 5x4-30 = 0.
82
3.8. С помощью определителей найдите координаты точки пере*
сечения прямых, заданных своими уравнениями:
4х—3z/— 7 = 0, бит—4v— 9 = 0,
&c+2y—18 = 0; J 2x4-32/—22=0,
§ IO. Определители третьего порядка и их свойства
1. Матрицы и определители третьего порядка. Рас*
смотрим квадратную таблицу вида
|«т *1 А |
a* bt ca|, (1)
Дэ Ья Са||
где Cf, ait bit c9t a3t b3, ca—некоторые числа. Любая*
такая таблица называется квадратной матрицей третьего
порядка. Числа а1г Ьи си с3 называются элементами
матрицы (1).
Определение. Число
at\b* N+ql* М
’ | Ьа с81 11 ая с311 11 о, Ья)
называется определителем матрицы (1) и обозначается
ai bi Cj
Да bt с,
Дз Ь3 Сэ
Таким образом, согласно определению
ai bi Cf
а2 Ь9 са = сц
аз bg ca
I*» с,| . I at с,| I «а Ь21
1*8 с3| 01 |аа Сз|+С1|л9 ЬзГ
(2>
(3)
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
называется определителем третьего порядка.
Из определения видно, что определитель третьего по-
рядка выражается через определители второго порядка.
Формулу (3) называют разложением определителя тре?
тьего порядка по элементам первой строки.
Пример. Вычислить определитель
Д =
2 3—4
5 1 6
-1 3 —2
Решение. Разложим определитель по элементам пер-
вой строки:
^2|UM-U|-4|JU|.
83
Следовательно,
Д = 2-(—2—18) —3-(—10 + 6) —4-(15 + 1) =
= 2-(—20)-3-(—4) —4’16 = —92.
Ответ. Д =—92.
Аналогично
3 2 1
2 4 5
I 2 3
= 3122| ? 1| +1|? 21=32-2-1 +10=4;
1 —2 3
5 4 2
3 1 -3
5 0 0
3 2 1
7 4 5
= Ь(—14) + 2-(—21> + 3.(—7) = —77;
= 5|^|-0|3 >| + 0|3 *| = 5.6 = 30.
2. Свойства определителей третьего порядка. Опреде-
лители третьего порядка обладают теми же свойствами,
что и определители второго порядка; убедиться в этом
можно непосредственным вычислением.
Сформулируем основные свойства определителей тре-
тьего порядка. '
Свойство 1. Определитель- не изменится, если в нем
строки заменить на столбцы, а столбцы —на строки.
Это свойство утверждает равноправие строк и столб-
цов. Поэтому в дальнейшем, все свойства будем форму-
лировать лишь для строк.
Свойство 2 Если в определителе переставить мес-
тами две какие-либо строки, то определитель изменит
знак.
Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки
имеют общий множитель, то его можно вынести за знак
определителя.
Другими словами, если все элементы какой-либо строки
умножить на некоторое число, то определитель умно-
жится на это число.
Свойство 4. Если у определителя все элементы
какой-либо строки заданы как суммы двух, слагаемых, то
определитель равен сумме двух определителей, в одном из
которых суммы заменены их первыми слагаемыми, а во
втором — вторыми.
Это свойство определителя справедливо и для случая,
когда элементы какой-либо строки равны сумме не двух,
а большего числа слагаемых.
84
Следствие 1. Определитель, у которого две какие-
либо строки одинаковы, равен нулю.
Следствие 2. Если в определителе элементы одной
строки пропорциональны элементам какой-либо другой
строки, то определитель равен нулю.
Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки
соответственно прибавить элементы любой другой строки
или числа, им пропорциональные, то определитель не из-
менится.
Покажем на примерах, как пользоваться этими свой-
ствами при вычислении определителей.
Пример 1. Вычислить определитель
Д =
— 14 21 28
6 —9 12
10 15 —20
Решение. Выносим за знак определителя общие
множители элементов каждой строки:
Д = 7-3-5
-2 3 4
2—3 4
2 3—4
а затем третью строку прибавим к первой и ко второй:
Д= 105-
0 6 о
4 0 О
2 3—4
Разложив получившийся определитель по элементам пер-
вой строки, получим
Д = 105 • (—6) 12 | -= 630-16 = 10 080/
Ответ. Д= 10080.
Пример 2. Вычислить определитель
Д =
17 29 41
36 —24 60
20 27 46
Решение. Вынесем общий множитель элементов
второй строки за.знак определителя:
Д= 12
17 29 41
3 —2 5
20 27 46
85
Прибавив к первой строке вторую, получим
Д = 12
20 27 46
3-2 5
20 27 46
= 0,
так как определитель имеет две одинаковые строки.
Ответ. Д = 0.
П р и мв р 3. Вычислить определитель
Д =
49 37 41
23 37 41
95 74 82
Решение. Из первой строки вычтем вторую, а затем
получившийся определитель разложим по элементам пер-
вой строки:
Д =
26 0 0
23 37 41
95 74 82
= 26|37^| = о.
Ответ. Д = 0.
Пример 4. Вычислить определитель
Д =
9 4 1
36 48 30
6 8 6
Решение. Вынесем общий множитель элементов вто-
рой строки (число 6) и общий множитель элементов
третьей строки (число 2), а затем вынесем общий мно-
житель элементов первого столбца (число 3) и общий
множитель элементов второго столбца (число 4):
Д = 6-2
941 311
6 8 5 = 6-2-3-4 2 2 5
343 113
Вычислив теперь последний определитель:
3 1 1
2 2 5
1 1 3
= 3|?W£|+|??|=3-i=2.
получим Д = 6-2-3*4-2 = 288.
Ответ. Д = 288.
Упражнения
3.9. Вычислите определитель третьеге-порядка
1 2 3
2 3 1.
3 1 2
86
ЗЛО. Вычислите определитель
1
Т
36
2_ 1
3 3
12 24
____1_ £
3 4
3.11. Докажите равенство определителей, не вычисляя их:
1 3 2
4 7 11
5 10 13
3—12
2 4 6
5 6 11
1 -1 '1
2 3—5
4 1 —3
2 1 5
—1 3 1
I 2 4
Указание. Воспользоваться свойствами определителей,
3.12. Решите уравнения:
3 5 7 x 1 2 x —4 6
a) x —4 6 = 0; 6) 3 4 5 = 9; в) 2 —2x 6 =0,
—1 x —3 —2 1 x 3 5 7
3.|3. Рещите уравнения:
x —31 x8 3 2 14 31 „
a) 1 « (N СЧ 1 1 : oo — • —2 1 2 3 1 1 1—5 x + |21|-8=°
6) 1 3 1 3 x8 2 + | 3 4 Нэт!-0-
3.14. Докажите, что
1 1
J 14-х
I 1
1
1
1+У
=ху.
3.15. Докажите, что
Х1 Ух
Xi у2
хз Уз
= (Х1 — х2) (Hi—ya) — (Xi — ха) (У1—У2).
§11. Системы линейных уравнений со многими
неизвестными
1. Системы трех линейных уравнений с тремя неиз-
вестными. Рассмотрим систему трех линейных уравнений
с тремя неизвестными:
+ M + cAz = dl,
a2x + b2y + c2z = d2, (1)
a9x + b3y + caz = da.
1
1
I
87
Систему (1) записывают короче:
ape + bty + ctr=dit i = 1, 2, 3.
Здесь a{, bit clt d/ —некоторые заданные числа, a x, у,
z — искомые неизвестные.
Как известно, тройка чисел (х0; у9\ г0) называется
решением системы (1), если при подстановке их в урав-
нения системы вместо хг у и z получаются верные
числовые равенства.
Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты
при неизвестных равны нулю:
ai= Ь/ ==*7 = 0, 1=1, 2, 3.
В этом случае, если все свободные члены уравнений
системы равны нулю:
dj — d8 — — 0,
то, очевидно, любая тройка чисел (х; у, z) является ре-
шением этой системы. Если же не все свободные члены
уравнений равны нулю, то система не имеет решений.
Рассмотрим теперь более интересный случай, когда
не все коэффициенты уравнений системы (1) равны нулю.
Пусть, например, ся#=0. Тогда данная система равно-
сильна следующей:
( a1x + bly + ctz = dt,
] а2х +bty + ctz = dt,
!ая । ।
— X +— у+ г = — .
ся с? Ся
Последнее уравнение этой системы умножим на ct и вычтем
почленно из первого уравнения, в результате получим
уравнение
(fli— )* + (&! —^cAy=di — ~~сх. (2)
Аналогично, умножая последнее уравнение на с8 и вычитая
почленно из второго уравнения, получаем
(ai--^cAx + (bt—-^cAy=di-^-ci. (3)
Очевидно, что система
f (ахс3 — а3сх) х + (Ьхс9 — b3ct) у = dxc3 — d3ch
^з*-г) % Т" (bfC* Ь9са) у — d8Cs d8c8, /4 \
I 7Lx+71^-bz = 7L’
\ с8 с8 с8
83
которой первое уравнение получается из (2), а второе
из (3) умножением на с3, равносильна системе (1).
Таким образом, если с9 =£ 0, то исследование системы (1)
сводится к исследованию системы двух линейных урав-
нений с двумя неизвестными:
( («Л b3Cl)y = dlCa 4А.
I (огс<| ~~~ OjC,) X (ЬgCj ^3^2) У = ^г^з ^з^з•
Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты
уравнений системы (5) равны нулю. Тогда, если свобод-
ные члены уравнений системы (5) равны нулю, то любая
пара чисел (х; у) является решением системы (5) и, сле-
довательно, любая тройка чисел (х; у\ г), где
хе/?, yen. г = ^-^х—^у,
^3 Сз Сз
является решением системы (1). Если же хотя бы у од-
ного из уравнений системы (5) свободный член отличен
от нуля, то система (5), а следовательно, и система (1)
не имеют решений.
Рассмотрим случай, когда не все коэффициенты урав-
нений системы (5) равны нулю. Пусть, например,
^2^3 ^3^2 О'
Первое уравнение системы (5) умножим на Ь3с3 — Ь3сг, вто-
рое—на — (ЬуС3 — Ь3сг) и сложим; после очевидных пре-
образований получим уравнение
Д-х = Лх,
где
Oj bi cj di ь, a
д = С?2 bi Ci , дх= dg bt ct
Оя bf Cj ds b3 c3
Таким образом, если Ь2ся — Ьвсъ =/=0, тр система (5)
эквивалентна системе
Г Дх=Дх,
। °2ся— % I ^г^з — dac?
\ ^асэ— ^згз ^2сз— Ь9с^
Если Д = Дх = 0, то, очевидно, любая пара чисел (х; у),
где
YC D и — __а*С*— a»Ci У
* ’ У btca-b3ct ЬзС-ЬзСз*
является решением системы (5).
(6)
89
Из (6) и последнего уравнения системы (4) находим
г _ bada— b9dg fl2d3—a9bg %
b9c9—btfj —“bg/cg
(7)
Следовательно, если Д = ДХ = О и bgCa —b9c2 =^0, то
любая тройка чисел (х; у, г), где x£R, а у и г находятся
по формулам (6) и (7), является решением системы (1).
Если Д = 0, а Дх=/=0, то система (5)г а следовательно,
и система {1) не имеют решений.
Пусть теперь Д^£=0. Тогда
х= —
х д
Подставив это значение х во второе уравнение системы (5),
найдем
где
v
01 01
Др = ал сз .
Оа d9 с.
Наконец, подставив полученные значения х и у в третье
уравнение системы (4), получим
г д ’
где
Д,=
at bi
а9 bg d9
аз b9 d9
Следовательно, если Д=/=0, то система (1) имеет един-
ственное решение, которое находится по формулам
Д* Ду Д« /оч
* = ~ »=Т- г = Т• <8)
Эти формулы называются формулами Крамера.
Определитель Д называется определителем системы (1).
Таким образом, доказаны следующие утверждения.
Если определитель линейной системы не равен нулю,
то система имеет единственное решение. Если же опре-
делитель системы равен нулю, то она или не имеет реше-
ний, или имеет бесконечное множество решений.
90
Заметим, что определители Дх, Ду, Дг, входящие
в формулы Крамера, получаются из определителя Д заме-
ной столбца из коэффициентов при соответствующих неиз-
вестных на столбец из свободных членов.
Метод исследования и решения системы (1), который
был только что рассмотрен, называется методом исклю-
чения неизвестных или методом Гаусса.
При условии с3 =/=0 из третьего уравнения системы (1)
неизвестное г выражается через к и у, и это значение
для z подставляется в первое и второе уравнения. В ре-
зультате получается система двух уравнений с двумя не-
известными. В этом случае говорят, что система трех урав-
нений с тремя неизвестными исключением неизвестного г
сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными.
Заметим, что вместо г можно исключать любое неизвест-
ное и что исключаемое неизвестное можно находить из
любого, уравнения, в которое оно входит.
Пример 1. Решить систему
{х = 3,
2х 4-^ = 8,
4х — 2у—2 = 3.
Решение. Подставив х = 3 во второе уравнение
системы, получим г/ = 8 — 2х = 8 —2-3 = 2.
Подставив в третье уравнение системы х = 3, у = 2,
получим z = 4х — 2у — 3 = 4-3 — 2-2 — 3 = 5.
Ответ. х = 3, у = 2, г = 5.
Пример 2. Решить систему
f 2х + 3н=13,
< х—2z/ = —4,
I Зх + у — 2 = 3.
Решение. Из .первых двух уравнений системы на-
ходим х = 2, у = 3.
Подставив в третье уравнение системы х = 2 и у = 3,
получим г = 3-24-3 — 3 = 6.
Ответ. (2; 3; 6).
Пример 3. Решить с помощью определителей систему
трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
' 2х4-3^4-г= 14,
< Зх—1/4-2г = 5,
х+2у —г = 7.
91
Решение. Вычислим определитель системы
2 з
Д = 3 -1
1 2
2 =2-(—3)-3-(—5)4-1-7=16.
Так как А=?^0, то система имеет единственное решение.
Вычислим теперь Ах, Ду и А/
14 3 1
Дх =
5-1 2 =14-(—3)-3.(—19)4-1-17 = 32,
7 2—1
2 14 1
з 5 2 =2.(-19)-14.(—5)4-1-16 = 48,
1 7 -1
2 3 14
3-1 5 =2.(-17)-3.164-14-7=16.
1 2 7
Подставив найденные определители в формулы Кра-
мера, получим
Д* 32 П Д„ 48 О Дг 16 t
“УТб-2’ у~~ь~ Те-3’ г=“"д ~ Тб~ •
Ответ. (2; 3; 1).
Пример 4. Решить систему
{Зх 4- = 30»
2х 4- Зу — г = 8,
х 4- 5y4-z = 22.
Решение. Из третьего уравнения находим
г= 22 — х — Зу.
Найденное значение для г подставим во второе уравне-
ние, тогда
2х-\-Зу — (22 — х — Зу) = 8,
или
Зх 4“ Зу = 30.
Полученное уравнение совпадает с первым уравнением
данной системы. Следовательно, данная система равно-
сильна системе двух уравнений с тремя неизвестными
( Зх4-8у = ЗО,
\ x + 5y + z = 22.
92
Из первого уравнения находим
у = 1(ЗО-Зх) = |(1О-х),
а из второго
г=22-х-5у = 22-х-^(10-х) = -д-(26 + 7х)
Таким образом, любая тройка чисел
г, # = у(10 — х), г = -^(26 + 7х),
где x£R, является решением данной системы, и других
решений эта система не„ имеет.
Пример 5. Решить систему
( 4х — 3f/ + 2z = 11,
\ 2% —1,5(/+ z = 5,5,
| 6% — 4,5^4-3z = 16,5.
Решение. Так как второе уравнение системы полу -
чается из первого делением на 2, а третье уравнение
получается из первого умножением на 1,5, то система
сводится к одному уравнению
4х — 3i/4-2z= 11.
Решением этого уравнения, а следовательно, и данной
системы является любая тройка чисел у\ — ,
где х, y$R.
Пример 6. Решить систему двух уравнений с тремя
неизвестными:
( Зх^2у — г= 12,
\ 2х — Зу + г= 1.
Решение. Данная система является частным случаем
системы трех уравнений с тремя неизвестными. В каче-
стве третьего уравнения можнб рассматривать, например,
первое уравнение, второе уравнение или, наконец, урав-
нение 0-х + 0-у-\-0«г = 0. Аналогичная система была
рассмотрена в примере 4.
Сложив почленно уравнения данной системы, получим
Уравнение
5х — у= 13.
93
Следовательно, у = Ьх —13. Подставив это значение
для у во второе уравнение, найдем
2 = 1 -2x4-3 (5х- 13)= 13х— 38.
Таким образом, любая тройка чисел
х, у = Ьх —13, г= 13х—38,
где х£Я, является решением данной системы, и других
решений нет.
Пример 7. Решить систему
2x4- Зу— z = 0,
4x4-6# — 3z = 0.
Решение. Решим эту систему относительно у и г.
Из первого уравнения находим
г = 2x4-3#.
Подставив во второе уравнение, получим
4х 4- 6# —«3 (2х 4- 3#) = 0,
т. е. 2х4-3# = 0. Следовательно,
у = — 4- х, z = 2х — 2х = 0.
О
Ответ, ^х; —-|-х; о) , x£R.
Пример 8. Решить систему
3x4-4#= 25,
5х —2# = 7,
х4- 3#= 15.
Решение. Данная система является частным слу-
чаем общей системы вида (1), у которой с1 = са = са = 0.
Все три уравнения этой системы не содержат неизвест-
ного z, так что данная система является системой трех
линейных уравнений с двумя неизвестными. Она также
решается методом исключения неизвестных.
Рассмотрим два последних уравнения системы:
5х —2#= 7,
х4-3#= 15.
94
решая эту систему, находим х = 3, у = 4. Так как эти
значения для х и у удовлетворяют и первому уравнению
данной системы!
3-3 + 4.4 = 25,
то система имеет решение х = 3, у = 4, и других решений
нет.
Заметим, что если данную систему рассматривать как
систему с тремя неизвестными х, у, г, то она имеет бес-
конечное множество решений: ее решением будет любая
тройка чисел (3; 4; г), где z£R.
Пример 9. Решить систему
' 2х + 3у = 13,
< Зх + у= 9,
5х — 4у = 1.
Решение. Из первых двух уравнений находим х = 2,
у=3. Подставляя эти значения в третье уравнение, видим,
что они ему не удовлетворяют. Следовательно, данная
система не имеет решений.
2. Системы линейных уравнений с п неизвестными.
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвест-
ными. При большом числе неизвестных и уравнений не-
известные обозначаются одной буквой с разными индек-
сами, например:
Х1, х8, ..., хп,
а коэффициенты уравнения—буквой с двумя индексами,
например:
а|7, где i=l, 2, ..., т\ /=1, 2, ..., п.
Здесь первый индекс обозначает номер уравнения, а вто-
рой—номер неизвестного, при котором стоит этот ко-
эффициент.
В таких обозначениях система трех уравнений с тремя
неизвестными имеет вид
^11^1 + ^13^3 4~ ^13^3 ^1»
* oaixt + п88х8 + пгзхя = bit
. ^31^1 + ^33^3 4“ ^83^3 = ^3"
Система т линейных уравнений с п неизвестными
имеет вид
4“ ^12^2 4~ • • • 4~ = ^.1»
^21-^1 4" ^22^2 4“ ' • • + ^1п^п = ^2» ( ] )
а,пхХх + ат2х.2 + ... + атпхп = Ьт.
i-e уравнение 4- ai2x2 4-... 4- а,пхп = Ь,- системы (1)
п
можно сокращенно записать в виде У аиХ/ = bh система
при этом запишется так:
f
п
J£aijXj = bit i=l, 2, т.
Знак 2 (греческая буква «сигма») называется знаком
суммирования; он означает, что нужно сложить выраже-
ния данного вида, придавая индексу суммирования i все
целые значения от значения, указанного под символом 2»
до значения, указанного над ним.
Заметим, что число неизвестных п и число уравнений т
в общем случае между собой никак не связаны. Возможны
все три случая:
т = п, т <п, т> п.
Напомним, что решением уравнения с п неизвестными
xlt х2, ..., хп называется любая конечная последователь-
ность из п чисел (с^, с2', ...; сп) такая, что при Xi = cit
х2 — с2, ..., хп = сп уравнение превращается в верное
числовое равенство.
Решением системы (1) называется любая конечная
последовательность из п чисел (ct; с2, ...; ся), которая
является решением каждого из уравнений системы.
Как и системы с двумя и тремя неизвестными, си-
стемы т линейных уравнений с п неизвестными решаются
методом исключения неизвестных.
Пример. Решить систему
2^+ х2 — 4х3 4~3х4 = — 4,
Xi — 4х2 4- Зх3 — 2х4 = — 1,
3%! 4- 2х2 — 2х3 + х4=- 3,
2Xj 4- 4х2 — 2х3 — Зх4 = 6.
96
Решение. Сначала из первого, третьего и четвертого
уравнений исключаем неизвестное хг Для этого второе
уравнение умножим на 3 и вычтем почленно из третьего
уравнения, а затем снова второе уравнение умножим на 2
и ‘вычтем почленно из первого и четвертого уравнений.
Получим следующую систему:
1х,—4х24- Зх3 —2х4 =—1,
1 4х2 — 11 хя 4- 7х4 = 6t
12х2— 8х3+ х4= 8,
9х2 — 10х3 + 7х4 = —2,
равносильную данной системе.
Решение этой системы сводится к решению системы
трех последних уравнений с тремя неизвестными:
р4х2—Ш3 + 7х4= 6,
\ 12ха — 8х3+ х4= 8,
| 9х2 — 10х3 4- 7х4 =—2.
Такие системы уже решались в предыдущем параграфе.
Решив ее одним из известных методов, например методом
исключения неизвестных, найдем ха = 2, х3 = 2, х4 = 0,
а затем из уравнения
х, — 4ха + Зх3 — 2х4 =*—1
найдем xt:
Х1 = —14-4-2 — 3-2 4-2-0= 1.
Таким образом, последовательность из четырех чисел
(1; 2; .2; 0) является решением данной системы, и других
решений нет.
Ответ. (1; 2; 2; 0).
Других примеров рассматривать не будем. Отметим
лишь, что решение системы из т уравнений с п неизвест-
ными исключением одного из неизвестных всегда сводится
к решению системы из т— 1 уравнений с п— 1 неизвест-
ными.
Упражнения
3.16. Решите систему
/ Зх— у-\- г— 4 = 0,
| х 4- 2у— г— 4 = 0,
V 2x4- !/4-2z —16 = 0,
4
Алгебра, ч. 1
97
3.17. Определите, имеет ли решение система
Зх+4у+ 1=0,
2х—5 у—30 = 0,
4х-)-2у—12 = 0,
3.18. Прямая задана уравнением
4х—by— 1 =0.
Установите, проходит ли она через точку пересечения прямых
заданных уравнениями
2x4-Зу—17 = 0,
х4-2у—10 = 0.
3.19. Решите уравнение
х3.— 1 х2—1 х—1 х3— 8 х2—4 х—2 =0
х3—27 х2—9 х—3
3.20. Решите уравнение
14-х 1 1
1 14-х 1 = =0.
1 1 14-х
3.21. Решите однородную систему ' х14-хз4-хз4-Х4=0, Xi—х2 —х84-х4=0, 4- х> — х3—х4 =0, < Xi4-x24-x8—х4 = 0.
3.22. Решите систему ( x4-2^4-3z—13 = 0, | 3x4-2^4~2z—16=0, ( 4х—2t/4-5z— 5=0.
3.23. Решите неизвестными: систему четырех линейных уравнений с четырьмя ' Зх-|-4у.— г— и = 3, 2х— у—2z4-2u= 9, xd“3y4-5z—4«= 2, ’ ч 4х—8у—3?4-Зп = 10.
3.24f Решите систему 1 х—(a—l}y=t, ( ах—2у = 4—а, а £ /?,
98
3.25. Решите следующие системы:
/ Xj — 2ха + 4хя = 6, / 2xj—Зха + х8 = 2,
а) | 2xj— х8 + 3х8 = 11, б) ! 2Х] + ха — 4х3 = 9,
( 4xi+ ха— 5ха = 9; \ 6х]—5ха + 2х8 = 17;
/ Xj + 2x2— х8= 9, / 2xi+ ха— Зх8 = —1,
в) I 2X1— х2 + 3х8= 13, г) Xi—Зха + 2х3= 10,
( 3xi + 2xa —5х8 = —1; 3X1 —4х2— хз = 5,
3.26. При каких значениях а система уравнений
( (а—1) х —4у= 1.1+а,
I —х + (а+2)^ = 2
имеет: единственное решение, много решений и не имеет решений?
§ 12. Нелинейные уравнения и системы
1. Квадратные уравнения. Любое предложение вида
f(x) = g(x), (1)
где f(x) и g(x) — некоторые функции, называется уравне-
нием с одним неизвестным х (или с одной переменной х);
f(x) называется левой частью, a g(x) —правой частью
уравнения (1).
Число а называется решением (или корнем) уравнения
с неизвестным х, если при подстановке а вместо х в обе
части уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение —значит найти все решения этого
уравнения.
Простейшими нелинейными уравнениями являются
квадратные уравнения. Напомним основные определения
и формулы, относящиеся к квадратным уравнениям.
Уравнение вида
ах2 + 6х + с = 0, (2)
где а, Ь, с —некоторые числа, причем а=/=0, называется
квадратным. Очевидно, что уравнение (2) имеет те же
решения, что и каждое из уравнений
, , Ь с
х2 Н— х -------,
' а а ’
s . п b . Ь2 Ь2 с
Х8 + 2«д-Х +-г-2=-гт-------
2а 4а2 4а2 а 3
Ь2—4ас
4а2
(3)
4»
Число D — b2 — 4ac называется дискриминантом крад-
ратного уравнения (2). Из уравнения (3) следует, что если
D < 0, то квадратное уравнение не имеет решений, так
как квадрат действительного числа не может быть отри-
цательным. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет
одно решение х =— а если D > 0, то квадратное
х
уравнение имеет два решения
ь KD
2а 4= 2а
Таким образом, квадратное уравнение не имеет ре-
шений, если D < 0, имеет одно решение, если D = 0,
и имеет два решения, если D > 0. Причем, все решения
квадратного уравнения (2), если они есть, находятся по
формуле
(4)
Заметим, что для уравнения
ах2 4- 2рх + с = 0
формула (4) принимает вид
х = — р ± Кр2 — QC
а
В частности, для уравнения х2.4-2рх4-с = 0, имеем
х = — р ±Vp2—p.
Пример 1. Решить уравнение Зх24-5x4-2 = 0.
Решение. Так как D = 52 —4-3-2= 1, то данное
уравнение имеет два решения
—5—1 . —54-1 2
Х1~ 2-3 “ И Х2 — 2.3 — 3 *
Ответ. <—1; —1->.
I о I
Пример 2. Решить уравнение х24-2x4-2 = 0.
Решение. Так как D — 22— 4-2 = —4, то данное
уравнение решений не имеет.
Ответ. 0.
2. Уравнения с одним неизвестным (общий случай).
Пусть заданы два уравнения. Если любое решение пер-
вого уравнения является решением второго уравнения,
то второе уравнение называется следствием первого.
100
Если уравнение fj(x)=«g,(x) является следствием
уравнения А(х) = ^(х), то будем писать
ft (х) = gi (х) =J> /2 (х) = g2 (х).
Два уравнения называются равносильными (или экви-
валентными), если у них одно и то же множество ре-
шений. Очевидно, если уравнения равносильны, то каж-
дое из них является следствием другого. В этом случае
будем писать
f i (x) = gi (x)e>f2 (x) = g3(x).
Сформулируем несколько утверждений, которые назы-
ваются правилами преобразования уравнений.
1) Для любых f (х) и g(x)
f(x) — g (х) f (х)—g (х) = 0.
Действительно, если х0 —решение первого уравнения,
т. е. /(x0) = g(x0), то f (х0) —g(xo) = O, т. е. х0 —решение
второго уравнения, и наоборот.
2) Если функция ф(х) определена для всех х, то
f (х) = g (х) =» f (х) ф (х) = g (х) ф (х).
Действительно, если f(x0) = g(x0), то и f (х0)ф(х0)=
—£(х0)ф(х0). Однако получившееся уравнение может
иметь решения, которые не являются решениями исход-
ного уравнения. Например, уравнение х2 = — 1 не имеет
решения, а уравнение х3 = —х имеет решение х = 0.
3) Каждое решение уравнения f (x)g(x) = 0 есть реше-
ние либо уравнения f(x) = O, либо уравнения g(x) = 0,
т. е.
f (х) g (х) = 0 => / (х) = 0 или £(х) = 0.
Действительно, если f (x0)g (х0) = 0, то либо f(xo)=0,
либо g(xo) = O. (Конечно, возможен и случай, когда
/(х0) —0 и g(xo) = O.) Однако, если f(xo) = 0, но g(x) не
определена при х = х0, то х0 не является решением урав-
нения f (х) g (х) = 0. Например,
X’ ^т = 0=?>х = 0 или х=—3,
1*1
причем число —3 является решением данного уравнения,
а число 0 не является решением, так как оно не входит
в область определения функции
х+3
1*1 •
101
4) Для любых f (х) и g(x) и любого n£N
f(x) = g (х) =Ф (/ (х))« = (g (х)У>.
Здесь в общем случае нельзя поставить знак равно-
сильности фф. Например, уравнение х=х— 1 не имеет
решений, а уравнение х2 = (х—I)2 имеет решение х = 0,5.
х —k* 1 2" х
Пример 1. Решить уравнение = 6 . .
О — X ^Х I
Решение. Умножим обе части данного уравнения
на (3—х) (2х + 1). Тогда
^=^=*^+1)(2х+’) = (2-х)(3-х) о
ФЭ 2х2 + Зх + 1 = G — 5х 4- х2 ФФ х8 4- 8х — 5 = 0.
Последнее квадратное уравнение имеет корни
х118 = —4 ± /ТбТб = — 4 ± /2Т.
Следовательно, решениями данного уравнения могут
быть лишь числа —4 + 1^21 и — 4 — K2L Проверкой
убеждаемся, что оба эти числа являются решениями
данного уравнения.
Ответ. {—4+К21; —4—К21}.
Пример 2. Решить уравнение
Зх—6 _ Зх 2х
(х—1)(х + 2) — ~х+2 •
Решение. Умножим обе части данного уравнения
на (х —1)(х4-2). Тогда
Зх — 6 = Зх(х+2) — 2х(х — 1)фф
ФФЗх — 6 = х2 + 8хфэх2 + 5х + 6 = 0.
Последнее квадратное уравнение имеет корни х, ——3,
х2 = —2.
Проверкой убеждаемся, что число —3 Является реше-
нием, а —2 не является решением данного уравнения
(при х=—2 не определены обе части уравнения).
Ответ. х = —3.
Пример 3. Решить уравнение
(х— l)(x8 + 3x— 1)+х= L
102
Решение.
])(xa + 3x-l) + x = 1 фф
ФФ(х — 1)(х24-3х — 1)4-х— 1 = Офф
ФФ(х — 1)(х24-Зх) = 0 фф (х— 1) х(х4-3) = 0.
Ответ. {—3; 0; 1].
Пример 4. Решить уравнение ]/х + 3 —х+1.
Решение.
х + 3 = х 1 х 3 = х* -|“ 2х -|- 1 фф
ФФх2 + х —2 = 0фф (х + 2)(х — 1) = 0.
Следовательно, только числа —2 и 1 могут быть ре-
шениями данного уравнения. Проверкой убеждаемся, что
число 1 является решением, а число —2 не является
решением данного уравнения. Действительно, К* + 3=2
и х+1=2 при х= 1, а при х=—2 имеем ]/х + 3=1,
но х 4-1 = —1.
Ответ. х= 1.
3. Уравнения и системы уравнений со многими неиз-
вестными. Любое предложение вида f (х, y) = g(x, у), где
f (х, у) и g(x, у) — некоторые функции переменных х и у,
называется уравнением с двумя неизвестными. х и у (или
с двумя переменными х и у). Решением уравнения с двумя
неизвестными х и у называется любая пара чисел (а; Ь)
такая, что при замене в уравнении х на а и у на b полу-
чается верное числовое равенство.
Аналогично определяются уравнения с тремя неиз-
вестными и решения таких уравнений. Отметим лишь,
что решениями уравнения с тремя неизвестными будут
тройки чисел (а; Ь; с).
Множество точек плоскости, координаты которых яв-
ляются решениями уравнения, называется графиком
этого уравнения.
Например, графиком уравнения (х—x0)84-(i/ — */0)а=/?а,
где Р > 0, является окружность радиуса Р с центром
в точке (х0; у0). Графиком уравнения i/ = axa4-bx + c,
где а, Ь, с — некоторые числа, причем а^О, является
парабола.
Как и для уравнений с одним неизвестным, если
каждое решение первого уравнения является решением
газ
второго уравнения, то второе уравнение называется след-
ствием первого. Два уравнения называются равносиль-
ными, если они имеют одно и то же множество решений.
Системы линейных уравнений рассматривались в преды-
дущих параграфах. Здесь будем рассматривать системы,
у которых хотя бы одно уравнение нелинейное
•Решением системы уравнений называется общее реше-
ние всех уравнений данной системы.
Решить систему уравнений —значит найти множество
всех ее решений. Геометрически множество всех решений
системы —это пересечение (общая часть) графиков урав-
нений системы. Например, решить систему уравнений
I (х —х0)а + (*/ —f/0)a = #a, /? > О,
\ у = ах* + Ьх + с, аф О,
— значит найти точки пересечения окружности радиуса R
с центром в точке (х0; у0) и параболы, заданной уравне-
нием у = ах* + /?х + с.
Две системы уравнений называются равносильными,
если они имеют одно и то же множество решений.
Сформулируем (без доказательства) несколько правил
преобразования систем уравнений.
1) Если в системе одно уравнение заменить на равно-
сильное, то получим систему, равносильную данной.
2) Пусть система содержит уравнение вида х = <р,. где
х—некоторое неизвестное, а ф —функция, не зависящая
от х. Тогда, если во всех других уравнениях системы
вместо х подставить <р, то получим систему, равносиль-
ную данной.
Это правило называется правилом подстановки.
3) Если в системе, содержащей уравнения f = g и
Ф = ф, уравнение f = g заменить уравнением f + =
(суммой уравнений), то получим систему, равносильную
данной.
Это правило называется правилом сложения.
4) Система, содержащая уравнение вида f-g=Q, рас-
падается на две системы: в одной это уравнение заме-
нено уравнением f = 0, а в другой — уравнением g = 0.
Причем, если уравнение f-g = ® равносильно совокуп-
ности уравнений f = 0 и g = 0, то данная система равно-
сильна совокупности данных систем, т. е множество
решений данной системы есть объединение множеств ре-
шений этих систем.
104
Это правило иногда называется правилом множителей.
Методы решения систем уравнений рассмотрим на
конкретных примерах.
Пример 1. Решить систему уравнений
I ха 4- у2 = 25,
I х — у = 5.
Решение. Из второго уравнения системы находим
х = //4-5. Подставив это выражение для х в первое урав-
нение, получим уравнение («/4-5)а + «/2= 25, содержащее
только неизвестное у. Решим это уравнение:
2#2 4- 10^ = 0, ^ = 0 и z/e = -j-5.
Из уравнения х = //4-5 находим xt = 5, х2 = 0.
Таким образом, данная система имеет два решения
(5; 0) и (0; —5), и других решений нет
Ответ. {(5; 0); (0; —5)}..
Примененный здесь метод решения называется мето-
дом подстановки (см. правило 2) или методом исключения-.
Запишем предыдущее решение, используя понятие
равносильности систем:
( ха + //а=25, | х = у4-5, | х = //4-5,
| х —// = 5 (//4-5)а4-№=25 ) z/(//4-5) = 0
/|х = {/4-5, ( х = //4-5,\
или < «
= 0 I i/ + 5 = 0 J
/ ( х = 5, ( х = 0, \
<=>[ < п или < _ .
\1 У = ® I = —5/
Здесь мы воспользовались по порядку правилами
1 и 2, правилом 1, правилом 4 и снова правилом 2
Обычно такая подробная запись решения не делается.
Однако, чтобы быть уверенным, что получены все реше-
ния и только они, необходимо во всех случаях уметь
выписывать соответствующую цепочку равносильных
систем или следствий.
Пример 2. Решить систему уравнений
у2 — 1 = х2 4- 2х,
ха 4- у2 = Зху 4- 1.
Решение. Из первого уравнения системы получаем
!/г = (х4-1)2, т. е. z/ = x4-l или у = —х—1. Следовательно
105
(см. правило 4), данная система равносильна совокуп-
ности следующих двух систем:.
y = x+\t I у — — х-\- 1,
X2 _|_ у2 = 2ху + 1 и I Ха + {/а = ЗХ{/+ 1.
Полученные системы решим методом подстановки.
Пусть сначала г/=х4-1. Тогда, в силу второго урав-
нения, имеем
• х24~ (х4~ I)2 = Зх (х4~ 1)4-1,
и поэтому ха4-х = 0, Xj = 0, х2 =— 1.
Из уравнения г/ = х4-1 находим Ух—1, у2 = ®.
Пусть теперь у = — х—1. Тогда
ха4-(х4- 1)2 = —Зх (х4-1)4-1,
5ха 4- 5х = 0, х (х 4-1) = О,
и поэтому х3 = 0, х4 = —1,'у3 = — 1, £/4 = 0.
Ответ. -{(0; 1); (— I; 0); (0; —1)}.
Пример 3. Решить систему уравнений
I х2 — у2 = 5,
1 х2 — ху-Ь у2 == 7.
Решение. Из второго уравнения почленно вычтем
первое уравнение. Полученное уравнение
— ху 4- 2у2 = 2
не имеет решений, у которых {/ = 0, поэтому оно равно-
сильно уравнению
Следовательно (см. правило 3), данная система равно-
сильна системе
' ха —//2 = 5,
Эту систему будем решать методом подстановки:
4 • -~г1)2 - у2 = 5, Зг/* — 13г/2 4- 4 =-0.
Последнее уравнение является квадратным относи-
тельно квадрата неизвестного (такие уравнения называ-
106
юте я биквадратными), и поэтому
„а = 13 ± /169-4-3-4 _ 13 ± 11
У 6 “6 ’
т. е. 1/* = 4 или «/’ = у-
Таким образом, данная система равносильна совокуп-
ности двух систем:
( о У2—1 ( о 02—I
х = 2 • —— , х = 2 • --,
I у \ у
) • и i - 1
р* = 4 - Р2 = Т-
Xj = 3,
(3; 2),
Из первой системы находим <^ = 2, у2 =—2,
х2 = — 3, т. е. первая система имеет два решения
Уз =
(— 3; —2). Из второй системы находим
У4 =
1 4 ^3
КзГ 3 3
стема имеет два решения
4 /3
х4 = —, т. е. вторая си-
4 1 \ / 4______1_\
Кз * /з/’ \ Кз ’ У~з) '
Ответ.
Пример 4. Решить систему уравнений
х + у = ху+ Ь
x2 + i/2^xi/-b3.
Решение. Записав второе уравнение в виде (хЦ-//)2—
—Зху4-3, видим, что данную систему можно рассматри-
вать как систему с новыми неизвестными и = х + у и v=xy.
Для этих новых неизвестных получаем систему
и = и4- 1»
u* = 3t»4-3.
Подставив н = и4-1 во второе уравнение, получим
(и4- l)a = 3v4-3, va—V—2 = 0, ^= — 1, и2 = 2.
Из уравнения U'=t>4-1 находим ^, = 0, мг = 3.
Таким образом, данная система равносильна совокуп-
ности двух систем
x4-t/ = 0, 1 x4-t/ = 3,
ху = —1 и t ху = 2.
107
Из первой системы находим у =—х, х2=1, и, следо-
вательно, хх = 1, х3 =—1, i/i = —1,
Из второй системы находим у = 3 — х, х(3 — х) = 2, и,
следовательно, л:э=1, х4^2, {/э = 2, yt= 1.
Ответ. {(1; —1); (—1; 1); (1; 2); (2; 1)}.
Примененный здесь метод решения называется мето-
дом введения новых неизвестных.
Упражнения
3.27. Решите уравнения:
а) х2 — 11x4-30 = 0; б) х2—19x4-88 = 0;
в) х2-|-8х—33 = 0; г) х24-4х—32 = 0;
д) х2—6х—135 = 0; е) 5х2—16x4-3 = 0;
ж) (2х4-3)2 —(х—2)2 = 5; з) (х—2)2—9 = 0;
и) х4 — 7х24-12 = 0; к) 2х*—5х24-2 = 0;
л) х*4-х2—6 = 0; м) х*4-Зх24-2 = 0.
3.28. Равносильны ли уравнения:
а) х—4 = 0 и (х—4)(х4-5)=0;
б) х2—Зх=0 н х—3 = 0;
в) х—1=5 и х—14---------=54----
х—6 г х—6
2 / 2 X
г) Г = 1 и (х—1)1----г— 11=0;
х—1 \х—1 J
д) 2х = х4-2 и (2х)2 = (х4-2)2;
е) 2х—3 = 5 и (2х—3)2 = 25?
3.29. Решите .уравнения:
1 , 1 _х2—2 х2—2х—5 1
х+х4-1 х24-х ’ ' (х—3)(х— 1)+х-3~ ’
, 7 . x-J-4 Зх2—38 „
в) 7+1~^~2х-2= х2-Г; г) (*+!) (6х2—5x4-0 =0.
3.30. Решите уравнения:
а) /7^1 = 3; б) 34- ГГ=2 = 4;
в) К 4x4-5 = х; г) х4- х2 — 9 = 21;
д) И/Зх-|-447х = 2х; е) 1<х + 3 = 9 —х;
ж) У' х4-54- 1 = х; з) 5 У х—2 = х4-2; л
и) Ух— 1 • 2x4-6 =х4-3; к) 2x4-15 = 34- j/”x—1;
л) V2x4-54- = 8; м) ^х^5-|- К 2x4-8 = 7;
н) Yx—1 • Ух-|-4=6; о) У"х ' Y1—х=х.
3.31. Решите системы уравнений:
•) 1 X+i'7% ч 4+!/Я425’
' ( х2 — $/2 = 5; I х2—у = 5;
( х24-у2 = 74, ) X—у=1,
’ \ х—у = 2; х24-ху4"У2 = 37;
108
л.)
_х __2
у ~ з ’
х2+у2= 208;
е)
5х—2t/ = 3,
ху =—0,2;
( Юх4-3у=13, ( x24-z/2—Зху — x-f-j/+9 = 0,
ЖЦ ку=—1; } I у—х=2;
( х+10у=1, / x24-y24-3t/=—1,
И) ) хг—2у=1; } I х2 + у2+«/ = 3.
§ 13. Неравенства и системы неравенств
1. Неравенства р одним неизвестным. Любое предло-
жение вида f (х) < g (х) (/ (х) меньше g (х)) или f (х) Cg (х)
(/(х) меньше или равно g(x)), где /(х) и g(x) —некото-
рые функции, называется неравенством с одним неиз-
вестным х (или с одной переменной х). Функция f (х)
называется левой частью, a g(x) — правой частью нера-
венства.
Заметим, что неравенства часто записывают и читают
в обратном порядке, именно: g(x) > f (х) (g(x) больше
f(x)) и аналогично g(x)^f(x) (g(x) больше или равно
f(x)). В этом случае g(x) называется левой, а /(х) —пра-
вой частью неравенства.
Неравенства вида f(x)<g(x) называются строгими,
а неравенства вида f (х) g (х) — нестрогими. В даль-
нейшем все определения и утверждения, как правило,
будут формулироваться для строгих неравенств.
Число а называется решением неравенства с одним
неизвестным, если при подстановке числа а вместо неиз-
вестного в обе части неравенства получаем верное число-
вое неравенство.
Например, число 0 является решением неравенства
2x4-1 >0, так как 2-04-1 = 1 > 0, а число —1 не яв-
ляется решением, так как 2-(—1)4-1 = — 1 < 0.
Применительно к неравенству /(x)<g(x) это опреде-
ление можно сформулировать следующим образом: число а
называется решением неравенства f (х) <g(x), если при
х = а обе части неравенства определены и f(a)<g(a).
В этом случае говорят, что число а удовлетворяет
неравенству f (х) < g (х).
Требование «решить данное неравенство» означает —
найти все решения этого неравенства или показать, что
оно не имеет решений.
Пример 1. Решить неравенство Зх—1 > 0.
109
Решение. «Легко видеть, что если некоторое число
удовлетворяет данному неравенству, то оно удовлетворяет
и неравенству х > -5-, и наоборот. Следовательно, любое
и
1
число, удовлетворяющее неравенству х > -у , является
решением данного неравенства, и других решении оно не
имеет. Как известно, множество всех таких чисел обозна-
у ; 4-оо^ и называется бесконечным интервалом.
Ответ. J у ; + оо [
Ответ можно записать и так: х -у. Такая запись
ответа также является правильной и допустимой.
Пример 2. Решить неравенство хг < 0.
Решение. Данное неравенство не имеет решений,
так как квадрат любого действительного числа больше
нуля (если х=/=0) или равен нулю (если х=0).
Ответ. Решений нет.
Если воспользоваться знаком пустого множества 0,
то этот вывод можно записать в следующем виде:
Ответ. 0
Два неравенства называются равносильными (или экви-
валентными), если они имеют одно и то же .множество
решений. Другими словами,, два неравенства называются
равносильными, если каждое, решение первого неравен-
ства является решением второго и каждое решение вто-
рого неравенства является решением первого или если
оба неравенств не имеют решений. Например, неравенства
Зх — 1 > 0 и 6х > 2, очевидно, равносильны. Неравенства
х2> 1 и х> 1 не являются равносильными, так как,
например, число —Q является решением первого нера.-
венства и не является решением, второго неравенства.
. Пусть заданы два неравенства fi(x)<gr1(x) и /2(х)<
<g2(x). Если любое решение первого неравенства
является решением и второго неравенства, то второе
неравенство называется следствием первого. В этом слу-
чае будем писать
fi (х) < gi (х) => fa (х) < ga (х).
Цапример, неравенство х2> 1 является следствием
неравенства х>.1, т. е. х> 1=>х2> 1.
Очевидно, два неравенства равносильны, если каждое
из них Является следствием другого. В этом случае будем
1W
писать
fi (х) < gi (x) фф (x) < g2 (x).
Например,
Зх— 1 >0 ффЗх > 1 4Фх > 4 .
<5
Докажем несколько утверждений о равносильности не-
равенств.
1) Неравенство f(x)<g(x) равносильно неравенству
f(x)-g(x)<0, т. е.
f (х) < g (х) фф f (x)—g(x) < 0.
Действительно, если х0 —решение первого неравенства,
т. е. f (х0) < g(х0), то f (х0)—g(x0)< 0, т. е. х0 —решение
второго неравенства. И наоборот, если х0 —решение вто-
рого неравенства, то хи —решение первого неравенства.
Аналогично доказывается, что
f (х) < g (х) ФФ g (х) — f (х) > 0.
2) Если число т положительное, то неравенство
f (х) < g(x) равносильно неравенству mf (х) < mg(x), т. е.
tnf (х) < mg (х) фф f (х) < g (х).
Если же т < 0, то
tnf (х) < mg (х)’ ФФ f (х) > g (х).
Пусть т > 0. Из свойств числовых неравенств сле-
дует: если х0 такое, что f(x0) < g(x0), то mf (xn)<mg(x0),
и наоборот. Это и означает, что если х0 —решение нера-
венства f(x)<g(x), то <х0 — решение и неравенства
mf (х) < mg(x), и наоборсуг. Следовательно, /п/(х)<
< mgfcc) <=>f (х) < g(x), если т > 0. Аналогично дока-
зывается, что mf (х) < mg(x) ttf (х) > g(x), если т < 0.
2. Линейные неравенства. Линейные и. квадратные
4 неравенства подробно изучались в. школе в 8-м классе.
Напомним соответствующие определения и методы ре-
шения.
Неравенства вида
ах 4- b > рх 4- q или ах 4- b > рх 4- q,
где а, Ь, р, —некоторые числа, называются линейными.
У линейного неравенства обе части являются линейными
функциями.
Ш
Очевидно, что неравенство ax-\-b > px-\-q равносильно
неравенству (a—p)x>q — b, а также и неравенству
(р — а) х <b — q.
Таким образом, изучение линейных неравенств сво-
дится к изучению неравенств вида
ах > b и ах <Ь,
где а и Ь — некоторые числа.
Очевидно, что
1) если а > 0, то
ах > b ФФ х > — ,
а
ах < о ФФ х < — ,
а
т. е. множеством решений неравенства ах>Ь является
бесконечный интервал 4-«>[» а множеством реше-
ний неравенства ах < b — бесконечный интервал
2) если а < 0, то
ь
ах > а ФФ х < — ,
а
. b
ах <Ь ФФх > — ,
а
т. е.
интервал
множеством решений неравенства ах >6 является
— со; а неравенства ах < Ь — интервал
Случай а = 0, т. е. неравенства вида 0-х >Ь и О-х<Ь,
следует рассмотреть особо. Действительно, если b > 0, то
неравенство4 0-х > b не имеет решений, а ‘неравенству
0-х <Ь удовлетворяет любое действительное число. Если
b < 0, то неравенство 0-х <6 не имеет решений, а нера-
венству 0-х >Ь удовлетворяет любое действительное
число. Если Ь = 0, то неравенства 0-х >Ь и 0-х <Ь ре-
шений не имеют.
Пример 1. Решить неравенства
а) 2х 4-1 > у х —2;
б) х 4" 1 х-* х 4~ 2j
в) 2х 4- 2 > 2х 4-1 •
112
Решение.
а) 2x4-1 >-| х—2 ффх > —3 фф х > —6;
б) х4-1 >х-}-2фф0-х> 1; следовательно, данное не-
равенство решении не имеет;
в) 2x4-2 > 2х-}-1 Ф^0«х> — 1; следовательно, дан-
ному неравенству удовлетворяет любое действительное
число, т. е. множество решений —это множество /? всех
действительных чисел.
Ответ, а) ] — 6; 4-оо[; б) 0; в) R.
Пример 2. Решить неравенство 2х4-|х|<1.
Решение. Данное неравенство не является линейным,
однако его решение сводится к решению линейных не-
равенств. Действительно, если рассматривать только
х 0, то 2х 4-1 х | = Зх и, следовательно, данное неравен-
ство принимает вид Зх < 1. Его неотрицательными реше-
ниями будут все числа из промежутка ^0;-^-^.
Пусть теперь х<0, тогда 2х4-|х| = 2х—х = х и дан-
ное неравенство принимает вид х< 1. Его отрицатель-
ными решениями будут все числа х < 0.
Объединив неотрицательные.и отрицательные решения
данного неравенства, получим, что любое число х <
является решением и других решений нет.
Ответ, х < у .
Пример 3. Решить неравенство
|х— 11 < [X4-2J4-1-
Решение. Очевидно, что
и аналогично
X— 1, если Xs > 1,
—х 4-1 » если XS ^1,
х 4" 2, если X s ^-2
—х —2, если X 5 с'-2
Следовательно, если x<t— 2, то данное неравенство
^принимает вид —х-}-1 < —х —24-1, т. е 0-х-< —2.
Отсюда следует, что на промежутке ]—оо; —2[ решений
нет. Если х£[—2; 1], то неравенство имеет вид —x-f-
4-1 <х4- 2 4-1, т. е. 2х> —2, и поэтому любое х> — 1
из отрезка [—2; 1], т. е. х£]— 1; 1], является решением.
113
Наконец, если х^\, то х — 1<х4-24-1, т. е.
0«х<4. Отсюда следует, что любое х> 1 является ре-
шением.
Объединив полученные решения, получим множество
всех решений:
]-1; 1]и[1; +оо[ = ]-1; + °°[-
Ответ, х > — 1.
3. Квадратные неравенства. Неравенства вида
ах3 + Ьх + с > 0, ах*+Ьх + с < О,
где а, Ь, с —некоторые числа, причем а=/=0, называются
квадратными.
Прежде всего изучим квадратичную функцию у =
=ах2 + Ьх-\-с при различных а=/=0, Ь и с.
Легко проверяется (см. п. 1 § .12)* что
ах3 + 6х4-с = а.((х+^У—, (1)
где D = Ь^—Аас — дискриминант квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с= 0. (2)
Если D > 0, то из (1)'по формуле для разности ква-.-
дратов получаем
ах' + Ьх+с = а (х + ~(х + + -^) ,
т. е.
ах2 4- Ьх Ч- с = а (х—хг) (х—х2),
где х1( х8 —корни квадратного уравнения (2).
Если D = 0, то из (1) следует, что
ах2 4- Ьх 4- с = а (х—х0)а,
где х0 = — ^—корень квадратного уравнения (2).
Если D < 0, то, очевидно,
fx4.A\a__e_ >_-£-> о
\ 2а / 4аг 4аа
для любого x^R.
Таким образом, если D<0, то квадратичная функция
у = ах2-\-kbx-{ с не обращается в нуль и не меняет знака,
а именно: ах2 + Ьх+с > 0, если а > 0, и аха4-Ьх4-с < 0,
если а<0 для любого x^R.
114
Если D = 0, то квадратичная функция у = ах24-Ьх 4- с
обращается в нуль только в одной точке х = х0 и не
меняет знака:
ах2 4- Ьх 4- с > 0, если а > О,
ах2 4- Ьх 4- с < 0, если а < О,
для любого х=/=-х0.
Если D > 0, то квадратичная функция д = ах2 + Ьх+с
обращается в нуль в двух точках х = хл и х = х2и в этих
точках меняет знак. Действительно, пусть для определен-
ности хг < х2, тогда
(х —XJ (х —х2) > О, если х < xlt
(x — Xi) (х—х2) < 0, если xt < х < х2,
(х — хг) (х — х2) > 0, если х > х2.
Следовательно, если D > 0, то на интервалах
] —оо; Xi[ и ]х2; 4-°о[
ах2 4- Ьх 4- с > 0, если а > О,
ах2 4- Ьх 4- с < 0, если а < О,
а на интервале ]хг; х2[
<7х2.4- Ьх 4~ с < 0, если а > О
ах2 4- Ьх 4- с > 0, если а < 0.
Пример 1. Решить неравенства
а) х2 — 5х—6 > 0; б) х2 — 5х—6 < 0;
в) х2 — 5х — 6^0; г) х2 — 5х — 6^0.
Решение. Квадратное, уравнение х2 —5х —6 = 0
имеет два корня: xt = —1, х2 = 6. Следовательно,
х2 — 5х—6 = (х4- 1)(х —6), поэтому х2 —5х —6>0, если
х <— 1 или х > 6, и х2 —5х —6 < 0, если —1 < х < 6.
Ответ, а) ]—оо; —1[и]6; 4-°°[; б) ]—1; 6[.
Чтобы решить неравенство в) нужно к решениям не-
равенства а) присоединить еще числа —1 и 6, которые
также являются решениями неравенства в).
Аналогично решается неравенство г).
Ответ. в) ] —оо; —1]и[6; 4~°о[; г) [—1; 6].
Пример 2. Найти интервалы знакопостойнства ква-
дратичной функции у=—2х2—7x4*4,
115
Решение. Квадратное уравнение —2ха — 7х + 4 = О
имеет два корня: xt =—4, ха = 0,5. Следовательно, у =
=. — 2(х4-4)(х — 0,5), и поэтому, если х<—4, то у<0,
если —4 < х < 0,5, то у > 0, если х > 0,5, то у < 0.
Ответ. Положительна на интервале ]—4; 0,5[ и отри-
цательна вне отрезка [—4; 0,5].
Пример 3. Решить неравенства
а) —х24-6х — 9 > 0; б)—х24-6х—9 < 0;
в) —х2Ч-6х — 9^0; г) —х24-6я — 9^0.
Решение. Очевидно, что —х24-6х—9 = — (х —З)2.
Следовательно, —х24-6х — 9<0 для любого х=/=3 и
— х24-6х —9 = 0 для х = 3.
Ответ, а) 0; б) ] — оо; 3[ и ]3; 4-°°[; в) 3; г) R.
Заметим, что эти ответы можно записать иначе:
а) решений нет; б) любое х=И=3; в)х = 3; г) любое х^ А?.
Пример 4. Решить неравенства
а) х24-6х4- Ю > 0; б) x24-6x-f-10<0;
в) х2 4- 6х 4-10 0; г) X2 4- 6х 4-1 о 0.
Решение. Квадратное уравнение х2 4-6x4-10 = 0
решений не имеет. Следовательно', квадратичная функция
£/ = х24-6х4-Ю нигде не обращается в нуль и не меняет
знака. Так как (/ = 10 >0 при х = 0, то х2'4-6х4- Ю > 0
для любого x^R.
Ответ, а) 7?; б) 0; в) R', г) 0.
4. Рациональные неравенства. Неравенства вида
Р| М Рг (х)
Qi (х) Q2 (х) ’
где Pi(x), Qi(x), Ра(х) и Q2(x) —некоторые многочлены,
называются рациональными. Простейшими примерами
рациональных неравенств являются линейные и квадрат-
ные неравенства.
Методы решения рациональных неравенств проиллю-
стрируем на примерах.
Пример 1. Решить неравенство ~^>1.
Решение. Данное неравенство равносильно нера-
венству
и поэтому любое число х>2 является решением и дру-
гих решений нет.
Ответ, х > 2.
116
х 4-1
Пример 2. Решить неравенство у-у> 1.
Решение. Очевидно, что
> I
2—х 2—х
1 >
' . 2—х
>0.
Отношение двух чисел положительно тогда ft только
тогда, когда числитель и знаменатель одного знака. Поэто-
му из последнего неравенства следует, что если 2х — 1 > 0,
то и 2 — х > 0, т. е. х должно удовлетворять двум нера-
венствам х > у и х < 2. Следовательно, любое число из
интервала ^у-,2^ является решением.
Если же 2х — 1 < 0, то и 2 — х < 0, т. е. х должно
удовлетворять неравенствам х < у и х > 2. Очевидно,
что таких чисел нет.
Ответ, jy; 2^
A-2^t х_j
Пример 3. Решить неравенство —— < 2х + 1.
Решение.
X2 + X—1 с, . , Х2А-Х—1 n 1 .
- ,— < 2х + 1 « - ,---2х — 1 < 0 «
Пусть х— 1 > 0, т. е. х> 1. Тогда х(х—2) > 0, и
поэтому х < 0 или х > 2. Следовательно, любое число
х > 2 является решением, и других решений, удовлет-
воряющих неравенству х> 1, данное неравенство не
имеет.
Если х— 1 < 0, т. е. х < 1, то х(х —2) < 0, и поэтому
х£]0; 2[. Следовательно, любое х£]0; 1[ является реше-
нием, и других решений, удовлетворяющих неравенству
х< 1, данное неравенство не имеет.
Ответ. ]0; 1[ и ]2; + оо[.
Пример 4. Решить неравенство | х | -f-1.
Решение. Данное неравенство не является рацио-
нальным, однако его решение сводится к решению рацио-
нальных неравенств.
117
Пусть сначала х^О. Тогда |х|4-1 =х4-1,
ЙЛ > х +1»(х + 1) (5-L, -1) > О «
(х+1) (2-2х) n (Х+1) (I -х)^ .
« —— > ° * —szq—> °-
Так как в рассматриваемом случае х + 1 > 1 > 0, то либо
одновр£менно 1—х^О и 2х—1 > 0, либо 1—х<^0 и
2х—1 <0.
Первой паре неравенств удовлетворяет любое число
х £ ]у ; 1|, второй паре неравенств не удовлетворяет ни
одно число. Следовательно, любое число из промежутка
jy; 1] является решением данного неравенства, и дру-
гих неотрицательных решений оно не имеет.
Пусть теперь х < 0. Тогда | х 14-1 = 1 — х,
itL>-x4-l »Л±'+х_1>о»
_ 2ха —2x-f-2_ Л х2 —х+1 о
Последнее неравенство, а следовательно, и данное,
отрицательных решений не имеет.
(1 \ 2 з —
х — у J 4- у > 0 для лю-
бого х£/?, а 2х—1<0 для любого х < 0, и поэтому
их отношение меньше нуля для любого х < 0.
Ответ, jy; 1]
Заметим, что число у не является решением неравен-
. 1
ства в примере 4, так как при ^ = у не определена ле-
вая ^асть неравенства.
5. Системы неравенств. Число а называется решением
системы неравенств с однЬм неизвестным, если оно
является решением каждого неравенства системы. Напри*
мер, число 1 является решением системы двух неравенств
ха4-х— 1 > 0,
х + 2>0,
а число—2 не является решением этой системы, так как
оно не является решением второго неравенства, хотя и
является решением первого неравенства.
118
Решить систему неравенств —значит найти множество
всех решений системы.
Две системы неравенств называются равносильными,
если они имеют одно и то же множество решений.
Приемы решений систем неравенств рассмотрим на
конкретных примерах.
Пример 1. Решить систему неравенств
J 2х -|- 1 > х 4* 2,
I х— 1 > 2х.
Решение. Данная система неравенств равносильна
системе
так как каждое неравенство системы заменено, равно-
сильным неравенством. Полученная система не имеет
решений, следовательно, и данная система не имеет
решений.
Ответ. 0.
Пример 2. Решить систему неравенств
. Зх < x4s2,
1 < ух + 2.
Решение. Данная система равносильна системе
I х<1,
1 Х<2,
’из которой следует, что решением будет любое число из
интервала ]—оо; ![ и других решений нет. **
Ответ. ]—оо; 1[.
Пример 3. Решить систему неравенств
хг — 3x-h2>0,
х — х2 + 2^0.
Решение. Так как уравнение х2 — 3x4 2 = 0 имеет
корни 1 и 2, то множеством решений неравенства х2—
—Зх 4-24^0 будет множество Д = ]— оо; 1]и[2; 4-оо[.
Далее, так как уравнение х—х24-2 = 0 имеет корни
—1 и 2, то множеством решений неравенства х — ха4-2^0
будет отрезок [—1; 2]. Следовательно, множеством
119
решений данной системы неравенств будет множество
ДП[-1; 2] = [—1; 1]U {2}.
Ответ. [—1; 1]U {2}
Пример 4. Изобразить на координатной плоскости
хОу множество решений системы неравенств
у ^х + 3,
У х + З.
(1)
Решение. На координатной плоскости хОу множе-
ство всех решений неравенства £/^х + 3 изображает
в виде множества точек по-
луплоскости, лежащих выше
(над) прямой у — х + 3 и па
этой прямой (рис. 21).
Аналогично множество ре-
шений неравенства —х-4-3
изображается в виде мно-
жества точек полуплоскости,
лежащих ниже (под) прямой
у = — x-f-З и на этой прямой
(рис. 22).
Ясно, что системе нера-
венств (I) удовлетворяют ко-
ординаты тех и только тех
точек, которые принадлежат
пересечению множеств точек, задаваемых ^аждым из не-
равенств системы (на рис. 23 искомое множество покрыто
двойной штриховкой).
120
Упражнения
3.32. Решите неравенства:
а) 5 (х—1)—х (7—х) < х8; б) (х—З)8 < х («4-2) 4-3;
3—2х „ 5x4-2 к 7 4x4-1
в)-5~+8>-2------А 5—з<-2----------j—
3.33. Решите неравенства:
а х4-1 < |х |; б) | Зх —9 | > 4х—5;
в) |3х—6| < х4-2; г) —3|х4-20| <—20;
д) |х4-3| > |х—2|; е)
3.34. Решите неравенства:
а)
в)
д'
Ж)
3.35. Решите неравенства;
2х 1
27=3+1 <°;
1^!+1 > 0;
3-8/Л 2 ’
Z— 1 2— 3
4z + 5 § ** 4г^3 1
3.36. Решите системы
Зх2—19x4-6 < 0;
2х24-3х—0;
и)
Г)
е)
9)
х2—2x4- 3SsO;
х24-9 < 6х;
х(х4-5)<2(х24-2);
(х4-4) (х4-6) < 6(х4-6).
а)
в)
Д)
а) < ' 0
I 2x4-3 > 3x4-5; 1
/ 3
I 2 (2х— 3) < 5х—— ,
в) \
j я 15х-8.
1 8х-5<——
' х4-2
D ____
1 2х— 1 Зх —4’
е)Ч<4-
У — 6 3
неравенств:
( Зх—5 > 23—4х
7x4-3 < 9х— 1;
4х — 5
Г)
7
3x4-8
4
3
3.37. Изобразите на координатной плоскости хОу множество ре-
шении каждой из следующих систем неравенств:
Х + У < 1. / х4-у < 1,
О) S
х S- 0; I f/^0;
2
{/<— J * + 4,
В) 2
*4-4-
§ 14. Понятие о задачах линейного программирования
’Начнем с рассмотрения одной простой задачи о пере-
возке хлеба.
Пример. Для снабжения трех районов города хле-
бом имеются два хлебозавода. Первый район ежедневно
потребляет хлеба 26 т, второй — 14 т, третий — Ют. Хлебо-
121
завод № 1 выпекает ежедневно 30 т хлеба, а хлебозавод
№ 2 —20 т. Стоимость в рублях доставки одной тонны
хлеба с каждого хлебозавода каждому району приведена
в таблице 2.
Та блица 2
Хлебозавод Район 1 —v • 2 3
№ 1 3 4 6
№ 2 3 5 2
Требуется составить наиболее экономный план (про-
грамму) перевозки хлеба»
Решение. Обозначим через х число тонн хлеба, ко-
торое будет перевозиться с хлебозавода № 1 в первый
район, а через {/ — число тонн хлеба, которое будет пе-
ревозиться с этого хлебозавода во второй район. Тогда
в третий район с хлебозавода № 1 будет перевозиться
30 — х — у тонн. Так как первый район ежедневно потреб-
ляет 26 тонн хлеба, то 26 — х тонн нужно доставлять
с хлебозавода № 2. Аналогично с хлебозавода № 2 нужно
доставлять второму району 14 — у, а третьему району
х + у — 20 — тонн хлеба.
Следовательно, ежедневный план перевозок хлеба мож-
но представить таблицей 3.
Легко видеть, что стоимость S всей перевозки равна
сумме попарных произведений чисел из таблицы 2 на
соответствующие числа таблицы 3:
S = Зх + 4у + 6 (30 — х—у) + 3 (26 — х) 4-
4-5(14 — у) 4-2 (* + {/ — 20),
1,22
т. е.
5 = 288 — 4х —5г/.
(I)
Так как количество хлеба, привозимого. в данный
район города, не может быть отрицательным, то все чи-
сла таблицы 3 должны быть'неотрицательными:
х >0,
У >0Л
30-х--у >0,
26- х> 0, (2)
% + —20>0.
Стоимость 5 можно рассматривать как функцию точ-
ки М, координаты которой удовлетворяют неравенствам
(2). Множество всех таких точек является многоугольни-
ком ABCDE (рис. 24). Функцию 5 называют целевой
Покажем, что целевая функция 5 свое наименьшее
значение принимает в одной из вершин многоугольника
ABCDE.
Пусть функция 5 принимает значение с в' некоторой
точке М многоугольника ABCDE. Очевидно, что это же
значение она принимает во всех точках прямой /, задан-
ной уравнением
288 —4х —5i/=с. (3)
В частности, стоимость 5 равна с в точках пересече-
ния прямой / с границей многоугольника ABCDE.
Очевидно, что если при некотором значении с прямая
(3) проходит через внутренние точки многоугольника
123
ABCDE, то и любая прямая, заданная уравнением
288 — 4х — 5у = с — 6,
при достаточно малом 6 > 0 также проходит через вну-
тренние точки многоугольника ABODE. Поэтому такое
значение функции 5 не может быть минимальным, и, сле-
довательно, наименьшее значение она принимает на пря-
мых, заданных уравнением вида (3), которые пересека-
ются только с границей многоугольника ABCDE.
Легко видеть, что любая прямая, которая пересекает-
ся только с границей многоугольника, обязательно про-
ходит через его вершину. Отсюда следует, что целевая
функция 5 принимает наименьшее значение в одной из
вершин многоугольника ABCDE.
Найдем теперь значения 5 в каждой из вершин много-
угольника ABCDE:
5(/4) = 288 —4«6 —5-14= 194,
5(В) = 288 —4-16 —5-14 = 154,
. 5(С) = 288 —4-26 —5-4 = 164,
5(0) = 288 —4-26 = 184,
5(Е) = 288-4.20 = 208.
Отсюда видно, что наименьшее значение 5 равно 154
и принимается в точке В, т. е. при х= 16, //=14.
Таким образом, самый экономный план (самая эконом-
ная программа) перевозки хлеба задается следующей
таблицей 4.
Заметим, что наибольшее значение стоимости 5 равно
208 и принимается в точке Е (20; 0). Соответствующий
план перевозок является самым дорогим. По сравнению
с ним самый экономный способ перевозки дает экономию
в 54 рубля ежедневно, а за год около 20 тысяч рублей.
124
Мы рассмотрели простейшую транспортную задачу.
Многие вопросы экономики и планирования сводятся
к подобного рода задачам.
Заметим, что в рассмотренной задаче целевая функция
является линейной функцией своих переменных и огра-
ничения задаются линейными неравенствами. .Поэтому та-
кие задачи называются задачами линейного программиро-
вания. Таким образом, задачи линейного программирова-
ла.-это задачи нахождения оптимальных производст-
венных программ в случае, когда целевая функция и
ограничения линейные.
Упражнение
• 3.38. Два хлебозавода выпекают хлеб для трех населенных пунк-
тов, хлебозавод № 1 выпекает ежедневно 40 т хлеба, хлебозавод №2 —
20 т. Населенный пункт № 1 ежедневно потребляет 30 т хлеба, насе-
ленный пункт № 2—20т, населенный пункт № 3—Ют. Стоимость
доставки одной тонны хлеба в рублях с каждого хлебозавода в каж-
дый населенный пункт задана таблицей 5.
Требуется составить наиболее экономный план доставки хлеба.
Глава IV
ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛЫ
§ 15. Функции
К Понятие функции. Одним из важнейших математи-
ческих понятий является понятие функции. В этом по-
нятии наиболее ярко воплощается материалистическая
природа математики, ее тесная связь с различными яв-
лениями реальной действительности.
Из курса математики 8-летней школы вы уже знакомы
с некоторыми конкретными видами функций (линейной,
квадратичной, логарифмической и т. д.).
Продолжим изучение этого важного вопроса.
Пусть А — множество правильных многоугольников
со стороной равной 2 см, а -В —множество периметров
этих многоугольников. Ясно, что каждому из данных
многоугольников можно сопоставить определенное число —
его периметр. Так, треугольнику из множества А сопо-
ставляется число 6, квадрату— число 8, пятиугольнику —
число 10 и т. д.
В этом случае говорят, что между элементами множе-
ства А и элементами множества В задано определенное
соответствие.
Соответствие может быть установлено не только между
двумя множествами, но и между элементами одного мно-
жества.
Пусть, например, А = (2; 3; 4; 5; 6}. Выделим такие
пары чисел из А, в которых второе число пары делится
нацело на первое: (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (2; 4),
(2; 6), (3; 6). Мы получим соответствие между данными
числами, которое установлено делимостью второго числа
пары на первое’ из того же множества чисел.
Среди всевозможных соответствий можно выделить та-
кие, которые не имеют пар с одинаковыми первыми и
различными вторыми элементами (рис. 25, 26). Такие
соответствия называют функциями.
126
Соответствие между множествами А и В называется
функцией, если каждому элементу множества А поставлен
в пару единственный элемент множества В. Множество А
в этом случае называется областью определения функции.
функция обычно .обозначается символами f, <р, гр и т. п.
функция f с областью определения А и значениями из В
обозначается f: А —► В.
Пусть х — произвольный элемент множества А, а у —
элемент множества В. Элемент у, поставленный в пару
с элементом, х, обозначается f(x) и называется значением
функции.
Множество всех у£В, являющихся значениями функ-
ции f, называется множеством значений функции.
Нередко для функции f применяют и такое обозначе-
ние: y = f(x), х^А. При этом х называют аргументом, а
у—значением функции. Область определения функции на-
зывают также областью значений аргумента.
Обозначение y = f(x), х£А, удобно при вычислении
значений функции.
Например, если f(x)=x*, х£ R, то f (5)=25, f( — =
1
= т и т. д.
4
2. Функции и отображения. Вспомним, что в геомет-
рии функции называют другим «именем» —отображение.
Различают Два вида отображений: отображение неко-
торого множества А на множество В (рис. 27) и отобра-
жения множества А в множество В (рис. 28).
Предлоги «на» и «в» имеют в этом случае особое зна-
чение. В первом случае множество значений отображения
совпадает с В (в множестве В нет «свободных» элементов);
во втором случае множество значений Отображения яв-
ляется подмножеством множества В (в множестве В могут
быть «свободные» элементы).
127
И в том и в другом случае множество А «свободных»
от данной функциональной связи элементов не имеет.
Среди отображений (или функций) особое место зани-
мают так называемые взаимно однозначные (или обратимые)
отображения. Такие отображения характеризуются тем,
что пары с различными первыми элементами имеют раз-
личные вторые элементы и пары с различными вторыми
элементами имеют различные первые элементы (рис. 29.)
В частности, обратимые отображения плоскости на себя
называют геометрическими преобразованиями этой пло-
скости.
3. Числовые функции. Соответствия могут быть заданы
на множествах различной природы; значит, и функция
____________________ как частный случай соответствия
ХГ) ,» <_также может иметь своей облас-
Z Г ) ffj тью определения и множеством
—г—*—"*------т---•/ значений различные множества,
I 3 ( например множества людей,.
\ । предметов, событий, чисел, то-
ЧеК И т. д.
В школьном курсе матема-
Рис- 29 • тики в основном изучаются так
называемые числовые функции.
Пусть задана функция /: А —* В. Если множества А
и В числовые, т. е. A a: R и Вс /?, то функцию / назы-
вают числовой функцией.
Числовая функция f будет задана, если заданы мно-
жества А и В и указано, как по произвольному х£А
можно найти (вычислить) соответствующий ему у^В.
Многие алгебраические выражения с одной переменной
х, x(^R, определяют числовые функции.
В самом деле, мы знаем, что каждому значению пе-
ременной х из области определения выражения соответст-
128
вует число, которое называется числовым значением дан-
ного выражения для данного значения аргумента и которое
является результатом указанных операций:
f (х) = 2х + 3 или f (х) = х-^~.
Если вычисления не могут быть осуществлены для не-
которых значений х, то эти значения не принадлежат об-
ласти определения, т. е. функция не определена для та-
ких значений х.
Например, функция f (х) = не определена для
х= 1; функция f (х) = Ух- 1 не определена для х< 1.
Так как значения функции обозначают через у, то чис-
ловые функции часто записывают так:
f/ = 2x + 3,
Х2+ 1 _ п . ,
x=#l.
Рассмотренные функций определялись с помощью ал-
гебраических операций. Однако существует много число-
вых функций, которые определяются иначе. Рассмотрим
одну из них.
Каждому действительному числу х поставим в соответ-
ствие наибольшее целое число, не превосходящее х. Это
число называется целой частью х и обозначается [х]. Та-
ким образом определена числовая функция, так как каж-
дому числу х соответствует по данному определению един-
ственное целое число. Ниже представлена таблица 6 не-
скольких значений этой функции.
Таблица 6
X —0,274 0,333... 1 *1,5 3,141592...
[X] — 1 0 1 1 3
4. Способы задания функции. Напомним основные спо-
собы задания функции.
Чтобы задать функцию, определенную на множестве А
со значениями из В, достаточно указать, как для каж-
дого элемента х£ Л найти соответствующий ему элемент
из В.
$ Алгебра, ч. 1 129
Если множество А конечное, то такую функцию можно
задать перечислением всех элементов (всех пар значений
аргумента и функции). Такое перечисление, можно пред-
ставить в виде таблицы.
Так, например, числовая функция /(х) = №, опреде-
ленная на множестве
А = {U.2; 3; 4; 5; 6; 7},
может быть задана таблицей 7.
Табличный-спосбб широко применяется в прак-
тике. Метеорологи, например, составляют, таблицы выпав-
ших осадков в различных пунктах («точках») земного шара.
Эти различные «точки» земного шара выступают в данном
случае в роли «значений аргумента», а количество осад-
ков в роли «значений функции».
Числовые функции чаще всего задаются так называ-
емым аналитическим способом. Этот способ бо-
лее удобен, когда множество А является бесконечным.
В этом случае надо указать область определения
функции (множество А) и сформулировать закон (запи-
сать формулу), по которому каждому А сопоставляется
соответствующий ему y£R.
Например, функция t/ = x2, x£R, задана аналити-
чески. *
Заметим, что одной и той же формулой можно зада-
вать различные функции в зависимости от указания мно-
жества А.
Так функции
y — x2t xgR, й у = х2, x£N,
— различные функции; первая —квадратичная функция,
вторая —числовая последовательность вида 1; 4; 9; 16;... ;~
п2; ...
Если числовая функция, заданная формулой y = f(x),
определена на множестве тех значений переменной х, при’
130
которых выражение f(x) имеет смысл, то при задании
функции формулой область ее определения обычно не
указывается.
Например, если числовая функция f (х)=х2 — 5х + 6
определена для всех x£R, то она обычно задается фор-
мулой без указания области ее определения; если функ-
ция f(x) = x2 — 5х + 6 задана на некотором подмножестве
множества /?, то это специально оговаривается. Если
функция задана .формулой = без указания области
ее определения, то предполагается, что область опреде-
ления этой функции — множество всех действительных
(4
при х = 3 выражение —= не имеет смы-
Иногда числовые функции на различных числовых про-
межутках задаются различными формулами.
Такова, например, функция
/(*) = {
2x4-1,
х»,
x£R,
x£Rt
х < О,
х^О.
В случаях, когда формулу, по которой каждому х@А
сопоставляется y£R, записать трудно (или невозможно),
пользуются словесным описанием способа, задаю-
щего функцию. Таково, например', задание функции [х],
рассмотренной в предыдущем пункте.
На практике часто пользуются геоме’трическим
(или графическим) способом задания функции.
Этот способ удобен, когда аналитически задать функцию
довольно трудно. Кроме того, при изучении многих про-
цессов используются приборы, которые не могут «гово-
рить» на языке формул. Однако с помощью этих приборов
получаются кривые, по которым можно судить о харак-
тере изучаемой функции.
В медицине, например, широко используются электро-
кардиографы. С помощью этих приборов можно получить
электрокардиограммы—кривые, которые отражают измене-
ние электрических импульсов, возникающих в мышце серд-
ца. Такие кривые помогают врачу сделать правильные за-
ключения о работе сердца человека.
Геометрический способ задания функции часто исполь-
зуется в математике для иллюстрации тех или иных свойств
функции.
5* 131
Числовая функция f(x),x^A, полностью определяется
заданием множества пар с = {(х; у) | х С A; y = f (х)} число-
вой (координатной) плоскости.
Изображение этого множества на координатной пло-
скости называется графиком данной функции f.
Задать функцию геометрически —значит задать (изо-
бразить) ее график (рис. 30).
б. Функция, обратная данной функции. В курсе ма-
тематики 8-летней школы вы уже знакомились с понятием
функции, обратной данной.
Рассмотрим этот вопрос
подробнее.
Пример 1. Дано мно-
жество учеников А и множе-
ство портфелей В. На мно-
жестве А задано функцио-
нальное соответствие «имеет».
Эти два множества нахо-
дятся во взаимно однозначном
соответствии (т. е. каждому
ученику из множества А со-
этфель из множества В и об-
ратно), поэтому для функции f — «имеет» — существует
обратная ей функция ф —«принадлежит».
Рис. 31.
Пример 2. Соответствие,- обратное соответствию
(функции) [(х) = хг, где х £ [0; 1], также является функ-
цией (рис. 31, а)\ соответствие, обратное функции /(х)=№,
где х£[—1; 1], функцией не является (рис. 31,6).
Функция f называется обратимой, если соответствие ф,
обратное данному, также является функцией. В этом слу-
чае функции f и ср называют взаимно обратными функ-
циями; функцию ф называют функцией^ обратной f, и
"обозначают
132
Пусть Л —область определения обратимой функции f,
а В—множество ее значений. По определению, изу=/(х),
х$А, следует x = f~1(y), у^В. При этом, если Xi=£xt,
то У1=/=у2, и обратно (здесь = y2 = f.M)t т. е.
различным значениям х соответствуют различные значе-
ния у, и различным значениям у соответствуют различные
значения х.
Ясно, что областью определения является множе-
ство значений f, а множество значений f'1 есть область
определения функции f.
Если числовая функция f задана аналитически фор-
мулой y = f (х), то эта формула представляет собой урав-
нение с двумя переменными х и у. Всякое такое уравне-
ние задает два взаимно обратных соответствия: одно между
множеством А (значений переменной х) и множеством В
(значений переменной у), а другое между множествами
В и А.
Пусть задана обратимая функция y = f(x), х£А. Оче-
видно, чтобы задать множество пар (у\ х), определяющих
функцию f-1, обратную ft достаточно решить уравнение
y = f(x) относительно х (если это возможно), выразив тем
самым переменную х, через у: x = f~1(y).
Пример 3. Найти функцию, обратную функции
у = 2х — 1, х£ [2; 5].
Выразим х через у из уравнения t/ = 2x—1; тогда-
2 ’
Заменив обозначения, получим функцию
0=^, Хб[3;9],
обратную данной.
Если область определения функции f и множество
ее значений совпадают, и функция f обратима (т. е. f:
А —> А и f”1: А —* Д), то для любого х£А имеем
Г.1 (/(*))=/(Г1 (*)) = *.
т. е. композиция отображений f и f-1 является тождест-
венным отображением.
Заметим также, что графики Ьзаимно обратных, функ-
ций у = f (х) и у = (х) всегда" симметричны относительно
прямой у = х.
133
6. Четные я нечетные функции. Функция f с областью
определения А называется -четной, если для любого к С А
значение —х также принадлежит А и выполняется ра-
венство [(—,x) = f(x). .
Примерами четных функций являются, функции
f(x) = x>-h2, f (х) = | х |+ 1,
f(x) = -|x|, /(х) = 2»-|-2-«,
определенные на всей числовой прямой, и функция f(x)=
= V 1—х2, определенная на отрезке [—1; 1].
Отметим, что график четной функции симметричен от-
носительно оси ординат (например, рис. 32). Это свойство
। четной функции можно использо-
вать при построении ее графика.
Именно, можно построить ее гра-
________ >. фик для х>0и отразить полу-
/ 31 чившуюся кривую симметрично
/ ««-1Ж относительно оси ординат.
Функция f с областью опреде-
' ления А называется нечетной,
Рис. 32. если для любого х£А значение
—х принадлежит А и выполняет-
ся равенство f(— х) = — f(x).
Примерами нечетных функций являются функции
f(x) = x3, / (х) = х • | х |, f(x) = 2x — 2~х,
определенные на всей числовой прямой, и функция f(x) =
= xV 1—х2, определенная для х£[—1; 1].
Заметим, что график нечетной функции симметричен
относительно- начала'координат (например, рис. 33). Этим
свойством нечетной функции можно пользоваться при
построении ее графика, а'.именно, построить график функ-
ции для х>0 и отразить его симметрично относительно
начала координат.
Числовое множество А назовем симметричным отно-
сительно начала координат, если этому множеству вместе
с числом х принадлежит и противоположное ему число —х.
Примерами таких множеств являются любой интервал
вида ]—а-, а[, множество {—4;—2} U {2; 4},'множество Q
рациональных чисел и т. п.
В силу определения, для того чтобы функция y = f (х),
х£А, была четной или нечетной, необходимо, чтобы
134
область определения А этой функции была множеством,
симметричным относительно начала координат. Ясно, что
это условие не является достаточным. В этом легко убе-
диться, рассмотрев, например, функ-
цию f (х) — X +1', определенную на /
всей числовой прямой. Она не яв- I
ляется ни четной, ни нечетной.
Вместе с тем область определения /
этой функции является множеством, /
симметричным относительно-начала /
координат. . д,
7. Периодические функции. Функ- Q х
ция f с областью определения А /
называется периодической, если су- /
ществует число /у=0 такое, что для /
любого х£А числа x-lux-j-l /
также принадлежат А и выполняет- /
ся равенство
f(x-l) = f (х) = Мх + /). • •
В этом случае число I называется периодом функции f.
Если число / является периодом функции f, то оче-
видно, что ее периодами будут также числа nl, где п —
любое целое число, кроме 0.
Пример. Пусть f(x) = x—[х]. Эта функция назы-
вается дробной частью числа х и обозначается {х}.
Напомним, как вычисляются значения этой функции:
{5,32} =5,32 — 5 = 0,32; »
{0,32} = 0,32-0 = 0,32;
{—3,21} = — 3?21 -(—4>= — 3,21 + 4 = 0,79;
{—0,21} = 0,21 - (—1) = —0,21 + 1 = 0,79.
При прибавлении к х любого целого числа а получим
{х + а} = (х-|-а) —[(x-f-a)]=(x + a) —[х] —а = х—[х]={х}.
Это означает, что функция f(x}={x} периодическая
и ее периодом является любое целое число.
Особенно часто используется наименьший положитель-
ный период функции f (если говорят просто о периоде
функции, то под этим обычно понимают наименьший поло-
жительный период, если он существует).
Можно доказать, что если /0 —наименьший положи-
тельный период функции f, то любой ее период выражается
формулой 1 = п1й, где и —целое не равное нулю число.
135
Ясно, что в предыдущем примере наименьший поло-
жительный период равен 1. Из определения периодической
функции следует, что график периодической функции
будет «повторять» себя через промежуток длины /0, равной
наименьшему положительному периоду. Поэтому, если
функция у = f (х)- имеет, наименьший положительный пе-
риод, равный /0, то достаточно построить ее график на
любом промежутке вида а х а + /0. Смещая построен-
ный график вдоль оси абсцисс на отрезки длины /0, полу-
чим график функции y = f(x)'.
Например, достаточно построить график функции у =
= (х} на отрезке O^x^l (ее период равен 1), азатем,
перемещая его вдоль оси абсцисс, получить график этой
функции (рис. 34).
8. Возрастающие и убывающие функции. Числовая
функция f называется возрастающей, если для любых X!
и хя из области определения f таких, что xt < хг, выпол-
няется неравенство f (jq) < f (х2).
Например, линейная функция f (х) = ах-\-Ь является
возрастающей на /?, если а > 0.
Действительно, если xr<Zx2, то
f(x2)—f (xt) = а (х2 - хх) > 0.
Числовая функция f называется убывающей, если для лю-
бых Xi и ха из области определения f такцх, что хх < х2,
выполняется неравенство /(xj > f(x2).
Очевидно, линейная функция f(x) = ax-\-b, гдеа<0,
является убывающей на /?. Рассмотрим, для примера, еще
функцию / (х) =— х3, x£fl, и покажем, что она убываю-
щая.
Пусть Xi < х2, тогда
f M—f М = — xl + х? = — (х2 — xj (х$4-XiX2 4- xj).
А так как х% + XiX2 + xf > 0 для любых xt и x2=/=Xi, то
136
Легко видеть, что если функция f(x) возрастающая,
то функция —f(x) убывающая, и наоборот.
Теорема. Если функция возрастающая или убываю-
щая, то она имеет обратную. Причем возрастающая функ-
ция имеет возрастающую обратную, а убывающая—убы-
вающую обратную.
Доказательство. Пусть функция f (х), х С А, яв-
ляется возрастающей, и пусть В —множество значений
этой функции. Тогда каждое у£В поставлено в соответ-
ствие только одному х С А. Действительно, предположение,
что для некоторого у0£В выполняется условие: yQ = f(xi)
и y9 = f(x2), где хх < х2, противоречит тому, что /(xt)<
<f(xa), так как f(x) —возрастающая функция.
Таким образом, функция f устанавливает взаимно
однозначное соответствие между множествами А и В, и
поэтому имеет обратную функцию 1 (*/), у^В.
Покажем, что обратная функция возрастающая.
Пусть ух^В, у2$В и У!<у2, и пусть Xi = /~1(£/1),
x2 = f~*(y2). Из возрастания функции f следует, что
Xj<xa. Действительно, если • предположим, что хх^ха,
то получим У1 = [(х1)'^[(х2) = у2, что противоречит усло-
вию у! <у2. Следовательно, обратная функция возрастаю-
щая.
Случай .убывающей функции рассматривается анало-
гично.
Упражнения
4.1. Найдите /(5), /(-1), , /(—2,1), если
\ и J
а) /(х)=х3; б) /(х)= <-£2~;
в) /(х)=3х2—5х+1; r)/(x) = ^j.
4.2. Найдите область определения следующих функций:
а) у = х2 — х; б) {/ = |х|—2; в) У=^~^',
г)!,= 7=Г; »> »=х»-5х+4';
4.3. Постройте графики функций;
а) у = хг—4; .6) у = 3х—1; в) {/ = х2—5х-(-6;
г)у = |5х—4|; д)у=—^|х|; е) .
137
4.4.-Постройте ₽рафики функций:
{1, если х > О,
О, если х = О,
—1, если х < О;
_ . . . ( 2х—1, если х^О,
<!)/« = < _Х2, если х < 0.
4.5. Какие из указанных на рис. 35 графиков являются графи-
ками функций?
I) г)
Рис. 35.
4.6. Найдите функцию, обратную данной:
ч „ Л -ч 5 . 2х—5
а) у = 3х—2; б) У=—^ ; в)
г) £ = |х—2|; д) t/ = x2.
4.7. Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:
, а) /(х)=х2—5; б) /(х)=х-Н;
в) f(*) = | I— *1; г) ;(х)==х3 + х;
Д) f (х) = - х2; е) / (х) = -^~- .
а) /(*) = {
4.8. Будет ли функция f (х) периодической:
1, если х—рациональное число,
0, если х—иррациональное, число;
б) /(х) = 7?
138
4.9. Какая из следующих функций возрастающая при х > 0:
к
a)t/==2x—1; б) у = х2 —5; в) г/= — ?
4.10. Какая из следующих функций убывающая при х < 0:
9
а) у = — *4-Г, б)у = —х24-1; в) У=у ?
4Л1. Решите графически уравнения:
2
а) х2 = 5х4-6; б) х2=х; в) |х—1|=2; г) —=х>
4.12. Решите графически неравенства:
а) 2х—1 > *4-1; б) х2 > х; в) х2—7x4-12 > 3.
§ 16. Последовательности
1. Числовые последовательности. С числовыми после-
довательностями вы уже знакомились в курсе математики
8-летней школы. Так, рассмотренные в 8 классе ариф-
метическая и геометрическая прогрессии представляют
собой примеры числовых последовательностей. Например,
арифметическая прогрессия с первым членом ^=1 и раз-
ностью d—1 есть 'бесконечная числовая последователь-
ность вида
1; 2; 3; ...; и;
Аналогично, если рассмотреть геометрическую прогрес-
сию, первый член которой ar = 1 и знаменатель q = у, т. е.
прогрессию вида
1- ь. 1. _j_.
у ’2’4’ ’
то также получим бесконечную последовательность.
Следовательно, задать числовую последовательность —
это значит задать соответствие, при котором каждому
натуральному числу и (номеру) соответствует одно и
только одно действительное число f (и) (значение члена
последовательности с номером п), т. е. задать функцию,
.область определения которой есть множество N всех на-
туральных чисел.
Определение. Бесконечной числовой последователь-'
ностью называется числовая функция /, определенная на
множестве всех натуральных чисел.
В общем виде бесконечная последовательность запи-
сывается так:
Ml); f(2); /(n); ....
139
а если положить an = f(ri), то
а/, ла; а3; ая; или (а„р).
В дальнейшем будем использовать также следующее обо-
значение: ап, n£N. Число at есть первый член последова-
тельности, а2—второй.......ап — п-й (общий) член, после-
довательности, а числа 1,2, ..., п — номера соответствую-
щих членов последовательности.
Напомним основные способы задания бесконечной по-
следовательности.
1. Последовательность может быть задана с помощью
формулы, указывающей, как по номеру п члена последо-
вательности вычислить его значение ап.
Пример 1. Рассмотрим последовательность (ая), за-
данную формулой
а„=2±Ь1£, „6ЛГ.
Используя эту формулу, можно вычислить любой член
последовательности. Например,
«1— 2 — 2 — и, а2— 2 _ 2 — 1,
1+(-1)3 1-1 п
а3 = — 2 - - = -у = 0 И Т. Д.
Следовательно, данная последовательность имеет вид
0; 1; 0; 1;
Условимся вместо, слов «рассмотрим последователь
ность (ая), заданную формулой ая = (р (n), л £ ЛГ», говорить
короче: «рассмотрим последовательность а„ = (р(л), n^N»,
или еще короче: «пусть ая = (р(п)».
Пример 2. Пусть ап = -—.
Эта последовательность имеет вид
1- __L. 1. _1.
4’9’ 16 ’
Пример 3. Пусть ая = 7, n£N. Тогда последова-
тельность имеет вид 7; 7; 7; т. е. все члены данной
*) В учебной и научной литературе употребляется и следующее
обозначение последовательности: {ая}.
140
последовательности принимают равные между собой зна-
чения.
Последовательность, у которой всё члены принимают
равные между собой значения, называется постоянной
последовательностью.
2. Укажем еще один способ задания последователь-
ности—ре куррентный (индуктивный) способ.
Этот способ задания последовательности состоит в том,
что указывается правило (обычно это формула), позволяю-
щее вычислить общий член последовательности через пре-
дыдущие, и задаются несколько начальных членов после-
довательности.
’ Формула, позволяющая вычислить общий член после-
довательности через предыдущие члены, носит название
рекуррентного соотношения. Примером рекуррентного со-
отношения может служить формула
оп = 2ои_1 оп_2. (1)
Отметим, что заданием рекуррентного соотношения
последовательность полностью не определяется. Все дело
в том, что первые члены последовательности нельзя вы-
числить по рекуррентному соотношению. Например, фор-
мула (1) не имеет смысла при п= 1 и п = 2, так как члены
а0 и a_i с номерами 0 и —1 не существуют, поэтому
значения ах и а2 надо задавать дополнительно. Такие
значения и а2 для данной последовательности назы-
ваются начальными. Далее, начиная с а9, рекуррентное
соотношение и начальные члены и а2 позволят вычислить
любой член рассматриваемой последовательности.
Пусть, например, ах = 1, а2 = 0. Тогда
а3 = 2а2 — = 2 • 0 — 1 = —1;
а4 = 2а3 — а2 = 2-(—1) —0 = —2;
а5 = 2а4 —а3 = 2-(—2) —(—1) = —3;
ав = 2а6 — а4 = 2 • (-3) - (-2) = -4;
а7 = 2ав — а6 = 2-(—4) — (—3) = — 5 и т. д.
3. В некоторых случаях последовательность мож'ёт
быть задана словесно, т. е. описанием ее членов. Напри-
мер,
а) последовательность (ап), где ап — десятичное прибли-
жение /2 с избытком с точностью до n-го десятичного
знака; вычисление показывает, что
а1 = 2;аа=1,5; а3 = 1,42; а4=1,415;
141
б) последовательность (ал), где ал-н-е простое число;
начало этоу последовательности имеет вид 2; 3; 5; 7; 11;
13; ...;
в) последовательность (ап), где ап=2, если п четное,
и если п нечетное.
Заметим, что в последнем случае легко находится фор-
мула для общего члена: ал=1 + (—1)и.
у- •
г * « , . , «1 ъ
1 '-2 $ ? 5 я 0 1/з1/ц1/ъ 1/Z 1s
Рис. 36, Рис. 37.
При изучении последовательностей удобно использо-
вать их геометрическое изображение. Для этого исполь-
зуются в основном следующие два способа.
I) Так как последовательность (ал) есть функция, за-
данная на N, то можно изобразить график этой функции,
т. е. на плоскости рассмотреть множество точек Мп, n^N,
с координатами (п; ап). На рис. 36 таким способом изобра-
жена последовательность ап = -^-, n£N
Рис. 38.
Q 1 s
Рис. 39,
2) Члены последовательности (ал) можно изобразить
точками x = ant n£N, числовой оси.
Таким способом на рис. 37 изображена последователь-
ность ап = -^-, n^N.
На рис. 38, 39 изображена последовательность ап =
= •, n^N, рассмотренная выше.
2. Монотонные последовательности. К монотонным по-
следовательностям относят убывающие, невозрастающие,
возрастающие и неубывающие последовательности.
142
Последовательность (ап) называется убывающей, если
каждый предыдущий член больше последующего, т. е. если
> а2 > а3 >
п и,л + 1
Короче, последовательность (ая) называется убываю-
щей, если ал+1-<а„ для всех п.
Последовательность (ал) называется невозрастающей,
если an+i ап для всех п, или, другими словами, каждый
предыдущий член не меньше последующего.
Последовательность (ап) Называется возрастающей,
если каждый последующий член больше предыдущего,
т. е. если
а1 < аг < аз < • • • < ап < an + i • )
Короче, последовательность (ап) называется возрастаю-
щей, если ап < an+i для всех п.
Последовательность (ап) называется неубывающей, если
an^.an+i для всех п, или, другими словами, если каждый
последующий член не меньше предыдущего.
t frfs ____________________________f?
О 1_1_ 1 1 ' Я
16 9 4
Рис. 40.
Свойство монотонности последовательности проиллю-
стрируем на примерах, используя для этого геометриче-
ское изображение последовательности.
Например, последовательность убывающая, так
как < “г Для всех п’ На рис. 40, где члены после-
довательности изображены точками числовой оси, каждая
точка, соответствующая последующему члену an+i, лежит
левее точки, соответствующей предыдущему чдену ап.
Последовательность ап = -п~^- , n£N, возрастающая,
так как
Зп + 2 Зп—1 _ 1 ~
ап+1 — ап~ п п(п+1) U
и, следовательно, an+i>an для всех п. На рис. 41, где
члены последовательности изображены точками Числовой
оси, каждая точка, которая соответствует последующему
143
члену an+I, лежит правее точки, соответствующей преды-
дущему члену ап.
Очевидно, что не всякая последовательность является
монотонной. Например, последовательности
1; 2; 4-; 4; 1; 6; и 0; 1; 0; 1; 0; 1;
О О ,
не являются монотонными.
о
1
Of 02 Wk
2 2*5 8*113
3 4
Рис. 41.
3. Ограниченные и неограниченные последовательно-
сти. Последовательность |а„) называется ограниченной,
если существуют числа М и т такие, что для любого п
имеет место неравенство т^ап^М.
В противном случае она называется неограниченной.
Например, последовательности *ап = и ап = (—I)”
ограниченные, так как 0 I и—1^(—1)л^1для
любого n^N. Последовательности ап=п, а„ = — п, ап =
= (—1)лп являются неограниченными.
Последовательность ап = п будет ограниченной снизу,
так как 1 п для любого п £ N, и неограниченной сверху,
так как не существует числа М такого, что п М для
любого Аналогично, последовательность а„= — п
является ограниченной сверху и неограниченной снизу, а
последовательность а„ = (—1)лп является неограниченной
и сверху и снизу.
Геометрически ограниченность последовательности (ап)
означает существование отрезка [tn, Af], на котором поме-
щены все члены этой последовательности. Справедливость
этого утверждения следует из того факта, что все члены
ограниченной последовательности удовлетворяют неравен-
ству т <Zan М.
Очевидно, что последовательность (ал) будет ограни-
ченной тогда и только тогда, когда существует такое
число В, что | а„ | <1В для любого п. Действительно, доста-
точно положить В равным наибольшему из чисел | m I и
|М|.
144
Упражнения
4.13. Выпишите первые шесть членов следующих последователь-
ностей:
л3 Зп2— 1
а) оп— ,л+1 ; б) ап— п2+1 ;
х (-1)” н
в) ап пз_|-4 ’ г) °п цп' »
1 (—1)"
д) a„=3« + ^-; е) 0„=-L—L-.
4.14. Является ли членом последовательности о„ = п24-2п4-1
число:
а) 289; б)‘ 361; в) 1000; г) 223?
4.15. Содержится ли среди членов последовательности ап = п2— \7п
число:
а) —30; б) —72; в) —100?
Если содержится, то какой номер имеет этот член?
4.16. Найдите первые пять членов последовательности (оп), если
a) Gi = l, a„ + i = a„4-l; б) ал = 7, an+i = an—3;
в) Gi = —5, ап + 1=2ап; r)ai=-^-; fl„ + 1 = -L;
о ап
д) Oi= J<2, an+i=yr2-\-an; е) ai = a2 = l, o„+9 = a„+an + i.
4.17. Выпишите'первые четыре члена последовательностей, состав-
ленных из десятичных приближений _с избытком и с недостатком для
следующих иррациональных чисел:
а) У^З; б) в) /*7
4.18. ' Напишите формулу общего члена последовательности, пер-
вые пять членов которой совпадают со следующими:
а) 3-2; 5-22; 7-23; 9-24; 11-25;
°' 2 ’ 22 ’ 23 ’ 24 ’ 25 ’
1 1.1.11.
В) 1-2 ’ 2-3 ’ 3-4 1 4-5 ’ 5-6’
4.19. Изобразите геометрически (двумя способами) следующие
последовательности, заданные общими, членами:
а>а»=-4т= «) B)a"=-2iL:
Г) Л) «„= l + (;l)"~- ; е)
145
4.20. Установите, какие из следующих последовательностей яв-
ляются монотонными, а какие немонотонными:
. 2п— 3 Л n-f-4 . . . с
а) ; б) о„=~—; в) ап={— 1)«п—6;
п п
4__я®
г)' а„=па-—7п+6; д) а„=Зпа-|-5л4-6; е) а„=—;
Ж) ап—, з) ап—— , и) ап — .
4.21. Какие из данных последовательностей ограничены и какие
не ограничены:
а) ап = ~’> 'б) ап = -^~г', в) ап = (— 1)«п;
п п— 1
. ( пп 1_1_( Пл-1
г) а„ = (-1)"п*; Д) а„=А-22_; е) ;
. • 2п х п—5 .
ж)Ол=ьг+з; ">°"=2";
к) ап = 3~п; л) ап = пп?
4.22. Последовательность (ап) задана рекуррентно:
Oi = 0 и an+i=—— .
Докажите, что она~ограничена.
4.23. Последовательность (о„) задана рекуррентно:
Докажите, что она ограничена.
§ 17. Предел последовательности
1. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и
расходящиеся числовые последовательности. Рассмотрим
последовательность
= n£N. (1)
Легко видеть, что значения членов этой последователь-
ности по мере возрастания их номера п располагаются
сколь угодно близко к 3. Поставим перед собой задачу —
придать этому утверждению точную математическую фор-
мулировку. С этой целью сначала ответим на следующий
вопрос.
Каким должно быть п,. чтобы модуль разности ап — 3
был меньше 0,001?
146
Так как
то неравенство |ав —3|< 0,001 выполняется для любого
n>tfe=1000.
Для произвольного положительного е неравенство
|а„—3|<е (2)
равносильно неравенству п > —. Так как нас интересуют
натуральные значения п, то имеем: неравенство (2) выпол-
няется для любого n> N = [yj , где —целая часть
числа . В этом случае говорят, что предел последова-
тельности (1) равен 3, и пишут
... Зп—1 о
lim -----= 3,
„ . „ п
п -+ ОО
Сформулируем теперь определение предела последова-
тельности.
Определение 1. Число а называется пределом по-
следовательности (ап), если для каждого положительного
числа е найдется такое натуральное число N, что для
любого п> N выполняется неравенство
|а„—а|<е.
В этом случае пишут
lim ап — а
п -> 00
или
ап —> а при п —> оо
и говорят: «Последовательность (ап) имеет пределом число
а» или «Последовательность (ап) сходится к числу а».
Рассмотренный пример показывает, что выбор iV зави-
сит от числа е, т. е. # = #(8).
Определение 2. Последовательность, имеющая
Предел, называется сходящейся, а не имеющая предела —
расходящейся.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление пре-
дела последовательности, -используя определение предела.
147
2 *
Пример 1. Докажите, что
.. Зп4-1 3
Дт.2^Г-----
Найдите номера N (е) такие, что при п> N
I Зп+1 з | .
I аСТ—21 <е
для е = 0,1; 0,01; 0,001. Полученные результаты оформите
в виде таблицы.
Решение. Согласно определению предела число
будет пределом последовательности с общим членом ап ~
= 3” , если для любого е > 0 найдется номер N = АГ (е)
такой, что выполняется неравенство
k—I-|=|l£=r-4|<e пРи n>N- <3>
Так как
I Зп+1 3 1 *5
|2п—1 2| — 2(2п — 1) ’
то неравенство (3) равносильно неравенству
2.5
2п— 1 <е’
л 2,5+е
которое справедливо для любого п > ——
Таким образом,
к-4
П>^
Из последнего следует, что в качестве номера УУ (е)
2,5+е кТ Г2,5 + е1
можно взять целую часть числа ——, т. е. N = —х-—
Итак, мы установили, что
.. Згв+1 3
Перейдем теперь к нахождению номера N (е) в зависи-
мости от конкретно заданного е. Пусть,, например, е =
= 0,1; тогда
У
13.
148
Следовательно, неравенство |ая—-|-|<0,1 справед-
ливо для всех п> 13.
Используя формулу > легко вычисляем
значения 2V при е = 0,01; 0,001.
Зависимость номера W (е) от е указана в таблице 8.
Таблица 8
е 0,1 0,01 0,001
N 13 125 1250
В заключение отметим, что тЯк как данная последо-
вательность имеет предел, равный 3/2, то эта последова-
тельность сходящаяся.
Пример 2. Доказать, что lim -^— = 0.
Решение. Возьмем некоторое в>0 и рассмотрим
неравенство -^-<е. Так как 10п^ 1 + 9п, то f •
1 1 ~
и, следовательно, < е, если < е. Тогда, положив
ЛГ = , получим
для любого n> N =
Это и означает, что lim -^— = 0.
Пример 3. Доказать, что последовательности (ап)
и (а„) десятичных приближений числа а сходятся к этому
числу:
lim ап = lim а’п = а.
Л —► оо П -> ОО
Решение. Легко видеть, что для десятичных прибли-
жений действительного числа а имеют место неравенства
149
В примере 2 было установлено, что для каждого в > О
существует такое, что Для любого
п > N. Поэтому
|а„— а|<8 и |а„—а|<е
для любого ti > N «= [ijf] •
Следовательно, согласно определению предела
lim ал = а и lim а^=а.
Л —► оо Л —► оо
2. Геометрический смысл сходимости последовательно-
сти. Пусть lim ап = а, тогда, согласно определению пре-
дела, для любого 8 0 существует W такой, что
|ал —а| < 8 для всех' п > N.
Так как
(|ал — а| < е) (— е < ап — а <е)& (а — е < ап <а + е\
то все члены последовательности (ал), сходящейся к числу
а, с номерами n>W, т. е. члены aN+1, aN+a и т. д., по-
падают (рис. 42) в Интер-
р------- } вал ]а—е; а+е[. Нэпом-
ним, что интервал ]а — е;
Рис. 42. а + е[, где 8 > 0, называет-
ся е-окрестностью точки а.
Итак, если последовательность (ап) сходится к числу а,
то геометрически это означает, что каждой е-окрестностй
точки а принадлежат все члены данной последовательно-
сти, начиная с некоторого номера, а вне ее может нахо-
диться лишь конечное число членов.
Например, последовательность имеет сзэим пре-
делом нуль. Поэтому, каково бы ни было число е > О,
интервал ]—в; + е[ (окрестность точки .нуль) будет со-
держать почти все члены последовательности, т. е. все
члены последовательности, за исключением их конечного
числа. В самом деле, решая неравенство |^-j<8, полу-
чим, что 0 < ± < е для п>-|-, т. е. все члены данной
последовательности с номерами п, большими номера /V =
= Г— | , находятся в 8-окрестности нуля, а вне ее нахо-
150
дится лишь конечное число членов последовательности,
номера которых не превосходят /V.
Рассмотрим еще пример. Пусть дана последователь-
ность
0; 1; 0; 1;
Эта последовательность предела не имеет. В самом
деле, каково бы ни было число а, можно указать такую
его е-окрестность, что вне ее заведомо лежит бесконечное
число членов данной последовательности. Действительно,
так как расстояние между точками 0 и 1 равуо 1, то
в интервале вида ]а —в; а + в[, где 0 <е <у, не содер-
жится, по крайней мере, либо 0, либо 1, т. е. всякий раз
вне указанной е-окрестности точки а будет находиться
бесконечное число членов данной последовательности.
Следовательно, у любого числа а имеется е-окрестность,
вне которой находится бесконечное число членов данной
последовательности, а это и означает, что данная после-
довательность предела не имеет, т. е. она расходящаяся.
3. Необходимое условие существований предела после-
довательности. Из определения предела следует: если по-
следовательность (ап) имеет своим пределом число а, то,
например, для е = 1 найдется номер N такой, что вне интер-
вала ]а— 1; 1[ могут оказаться лишь члены аг, а2,
..., aN. Среди чисел ап а2, aN, а—1, а+1 найдем
наименьшее и наибольшее и обозначим их соответственно
через т и М. Очевидно, что для всех п, т. е.
последовательность (ап) ограничена.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема. Если последовательность имеет предел, то
она ограничена.
Другими словами, ограниченность последовательности
есть необходимое условие существования предела. Послед-
ним обстоятельством пользуются для установления отсут-
ствия предела у последовательности. Например, последо-
вательность ап = п(1+(—1)"), n£N, неограниченная, и
поэтому предела не имеет.
4. Единственность пределу последовательности.
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность
имеет только один предел.
Доказательство. Доказательство будем прово-
дить методом от ^противного. Допустим, что имеется
151
последовательность (ап), которая имеет два различных пре-
дела а и Ь. Пусть а<£>. Тогда, положив е = ^=^>0,
получим
а + е<Ь —е. (1)
Так как lim ап = а, то, согласно определению предела,
п —► ОО
дляе = —-j— существует такое Л\, что для всех л >
О
|а„—а|<е и, в частности, ап < а4-е. С другой стороны,
так как lim an = b, то существует Уа такое, что для всех
л> Na |ай —b|<e и, в частности, 6 —е<ап. Положив
У = шах{Л\; ЛЦ ‘), получим, что b — е<ап<а4-е для
п> V, но это противоречит неравенству (1). Следовательно,
последовательность не может иметь двух различных пре-
делов.
5. Бесконечно малые последовательности. Основные
теоремы о бесконечно малых последовательностях. Дока-
зательства теорем о пределах существенно облегчаются,
если ввести понятие бесконечно малой последовательности.
Определение. Последовательность называется бес-
конечно малой, если ее предел равен нулю.
Например, последовательность является беско-
нечно малой, так как ее предел равен нулю. Последователь-
ность также бесконечно малая, так как lim —О
(см. пример 2 из п. 1).
Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последо-
вательностей есть бесконечно ма/ая последовательность.
Доказательство. Пусть- (ап) и (Ьп) — две беско-
нечно малые последовательности. Тогда для каждого е > О
найдется такое, что
|ап|<у для всех п > Nlt (1)
и найдется N2 такое, что
| Ьп | < у для всех п > ЛГа. (2)
Здесь и везде в дальнейшем символом max {tj; с2; ...; сп]
будем обозначать наибольшее из чисел ct, с2, ...» сп.
152
Положив W = max{Af1; ЛЦ, получим, что для Любого
неравенства (1) и (2) имеют место одновременно.
Поэтому для любого п > N получим
1«» + М<|о„1 + 1М<1 + | = е.
Поскольку е > 0 было взято произвольным, то тем
самым установлено, что lim (а„ + &п) = 0, т. е. последова-
П —► оо
тельность (ап + Ьп) бесконечно малая.
Теорема 1 доказана.
Аналогично доказывается, что сумма любого конечного
числа бесконечно малых последовательностей является
бесконечно малой последовательностью.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой последо-
вательности на ограниченную последовательность есть бес-
конечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть (Ьп) — ограниченная по-
следовательность, и пусть
| Ьп | М для всех п. (3)
Пусть, далее, (ап) — бесконечно малая последователь-
ность. Тогда для каждого е > 0, существует W = Af(e)
такое, что
1ал|<мТТ для всех n>N‘ (4)
Из неравенств (3) и (4) следует, что
|аД1 = |о.|-1М<м^Т-Л«<е
для любого n > tf. А это и означает, что
lim anb=Q,
п п. »
т. е. последовательность (апЬп) бесконечно малая. Тео-
рема 2 доказана.
Так как бесконечно малая последовательность ограни-
чена, то из теоремы 2 следует, что произведение двух
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно
малая последовательность. '
Теорема 3. Для того чтобы число а было пределом
последовательности (ап), необходимо и достаточно, чтобы
ап имело представление ап = а+ап, где (ап)—бесконечно
малая последовательность.
153
Доказательство. Пусть limап=а. Тогда для каж-
п -* »
дого е > 0 существует N = N (е) такое, что
|яп —а|<е для всех п>Ы. (5)
Положим <хп = ап — а, тогда
|ап | < е для всех п > N. (6)
Отсюда следует, что liman = 0.
л -> оо
Таким образом, если число а —предел последователь-
ности (а„), то ап = а + ап, где (an) —бесконечно малая
последовательность.
Аналогично доказывается и обратное утверждение,
так как из (6) следует .(5). Теорема 3 доказана.
6. Теоремы о пределах последовательностей. При вычис-
лении пределов часто приходится использовать теоремы
о пределе суммы, разности, произведения и частного.
Теорема 1 (о пределе суммы). Если последователь-
ности (ап) и (Ьп) сходятся, то последовательность (ап-\-Ьп)>
также сходится и
lim (an + bn) = lim ап+ lim Ьп.
Л—>00 Л-> оо Л —> оо
Доказательство. Пусть
lim ап = a, lim bn = Ь,
тогда ио первой части теоремы 3 из п. 5:
ап = а+ал, где (ап)—бесконечно малая,
bn = b + $n, .где $„) — бесконечно малая.
Складыв'ая эти равенства, получим
a«+^ = (a + ft) + (an + Pn).
Так как .сумма двух бесконечно малых последователь-
ностей есть бесконечно малая последовательность, то
(ая + Ря) — бесконечно малая. Таким образом, согласно
теореме 3 из п. 5, имеем
lim (an + bn) = a + b= lim + lim bn.
Теорема доказана.
Методом математической индукции можно доказать,
что предел суммы конечного числа последовательностей,
154
имеющих пределы, существует и равен сумме пределов этих
последовательностей.
Теорема 2 (о пределе произведения). Если последо-
вательности (ап) и (Ьп) сходятся, то последовательность
(апЬп) также сходится и'
lim (a„b(r) = /lima„Wlim ЪЛ.
п -* 00 \Л->оо / \Л->оо /
Доказательство. Пусть
limaH = a и limbn = 6,
Л—> оо Л—> оо
тогда (см. теорему 3 из п. 5)
ап = а + ап и bn = fc + pn,
где (ап) и (0П) — бесконечно малые. Перемножив послед-
ние равенства, получим
' ’ anbn = ab + (&а„ + $„•+а„(3„) •
Из теорем 1 и 2 п. 5 следует, что (frzn 4-apn+aJ3n) —
бесконечно малая последовательность. Следовательно,
согласно теореме 3 из п. 5,
lim (anbn) = ab = ( lim аа\ / lim ЬЛ.
Я-*» \Л-> оо J J
Теорема доказана.
Методом математической индукции доказывается, что
предел произведения конечного числа сходящихся последо-
вательностей существует и равен произведению их пре-
делов.
Для примера проведем доказательство для трех со-
множителей. Пусть
liman = a, lim6„ = b и limcn = c.
Л—>°° л—>оо Л -* оо
Согласно теореме 2 имеем lim (an-bn) = а5. Так как для
двух сомножителей теорема доказана, то
lim (anbncn)=( lim ааЬЛ lim cn^(ab)c = abc.
П-+ ОО \Д->ео / л-о-оо
Следствие 1. Постоянный множитель можно выно-
сить за знак предела'.
lim (сап)=с- lim ап.
155
Доказательство. Согласно теореме 2,
lim (сап)= Пт с> Нтай = о lim
Л-><» Л->оо Л-><» Л—>оо
так как Птс=с.
Л—► оо
Следствие 2. Если Последовательности (ап) и (Ьп)схо-
дятся, то последовательность (ап—Ьп) также сходится и
lim (ап—bn)= lim аА— lim bn.
П-+ао п—>оо ft —> до
Доказательство. Согласно теореме 1,
lim (an—bn)= Пт (an + (—l)bn)= Пт ап + Пт (—1)Ь„.
И —► оо ао Поо Н —► оо
Далее, с учетом следствия 1, получим
lim (ап — bn)= lim ап— Пт Ьп.
Приведем без доказательства теорему о пределе част-
ного.
Теорема 3. Если последовательности (ап) и (Ьп),
где Ьп #= 0, сходятся и lim bn #= 0, то последовательность
П —► оо
(г5) также сходится и
\ьп/
Рассмотрим примеры вычисления пределов с помощью
теорем о. пределах.
Пример. Найти предел
lim
п —► 00
8п—3
13—7п
Решение. Числитель и знаменатель представляют
собой расходящиеся последовательности (так как они не
ограничены), поэтому непосредственно применять теорему
о пределе частного нельзя. В этом случае поступают так:
числитель и знаменатель делят на п (от этого дробь не
изменится), а затем применяют теорему о пределе част-
ного и разности. Приведем подробную запись вычисле-
156
ния предела:*
8л—3
1пп 13_7п
п -*°°
8— — lim [8——^ lim 8— lim —
|. Л П -* ОО \ Л j л —► po Л —► ОО л 8—— 0 8
= *ЕГ7 = Пт (12-7) = lim L3_lim7==0~ = -T'
/1 —► оо \ Л / fl —> оо ft fl —► оо
Аналогично вычисляются и следующие пределы:
.. 8(л2—Зл—4) он л2—Зл—4
lim ------jr~ = 8 lim 5----7-5 =
3—л—4л2 3— л—4л2
п —К ОО Л —оо
,_3_±
" л8 = 8.± = -2,
= 8 lim
4-1-»
л2 л
__L
.. Зл3—Зл—1 .. л л2 л» О
lim -7—= г- = lim -j—= = —,
л^оо 4-5Л-Л3 _4__5_1 -1
л3 л2
О
7. Теоремы о пределах в неравенствах. При доказа-
тельстве некоторых теорем и решении чадач удобно поль-
зоваться следующей теоремой.
Теорема 1. Если между членами трех последователь-
ностей (ап), (Ьп) и (сп) выполняются неравенства ап^.сп^
^Ьп, причем пределы (ап) и (Ьп) существуют и равны
между собой, то и предел (сп) существует и равен общему
пределу (ап) и (Ьп).
Доказательство. Пусть
lima„ = a и limb„ = a.
Тогда, согласно определению предела последовательно-
сти, для каждого е > 0 найдется такое что
а — е<ап<а4-8 для всех.г^А^,
и найдется такое ^2, что
а — е<6„<а + е для всех п > Ма.
Поэтому, если n > Af = max {Aff, TV2}, то
a —e <a„ a +в
и, следовательно,
[сп-а\<в. (1)
157
Таким образом, для каждого 8 > 0 существует такое V,
что для всех n> 2V выполняется неравенство (1). А это
и означает, что Пшсл = а. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть последовательности (ап) и (Ьп)
сходятся к а и b соответственно. Тогда, если а<Ь, то
существует такое N, что ап < Ьп для всех п > /V.
Доказательство. Положим в = . Тогда су-
ществует Nt такое, что для всех n>Nt |ал—а|<в й,
в частности,
ап<а + в = ^. (2)
Аналогично существует Afa такое, что для всех п > 2Va
|ЬЛ —Ь|<8 и, в частности,
6„>i-e = 5±5. (3)
Из (2) и (3) следует, что ап < Ьп для всех n>rN =
= max {A\; N2}. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть последовательности (ал) и (Ьп)
сходятся к а и b соответственно. Тогда, если существует
N такое, что ап^Ьп для всех п > /V, то а^.Ь.
Доказательство будем проводить методом от
противного. Допустим, что а > Ь. Тогда, в силу теоре-
мы 2, существует А\ такое, что ап > Ьп для всех п > Nit
но это противоречит условию теоремы. Следовательно,
наше предположение неверно. Теорема доказана.
Следствие. Если последовательность (ап) сходится
и ап^.с для всех n£N, то
Теорема 3 утверждает, что в неравенствах можно пере-
ходить к пределам, если пределы левой и правой частей,
неравенства существуют. Именно, нестрогое неравенство
ап^Ьп переходит в нестрогое неравенство а^.Ь. Заме-
тим, что неравенство ая < Ьп в пределе может перейти
в равенство а = Ь. Например, -^ > О для любого n£N,
однако lim — = 0.
/I > оо
8. Бесконечно большие последовательности. Связь
между бесконечно большой и бесконечно малой последо-
вательностями.
Определение. Последовательность (ап) называется
бесконечно большой, если для каждого положительного
J58
числа А найдется такое натуральное число N, что для
любого п> N выполняется неравенство |о^| > А. В этом
случае пишут
lim ап= оо.
Л->оо
Например, limn = oo, т. е. последовательность (п)
П оо
бесконечно большая.
Теорема. Если последовательность (ап), где ап=£0,
бесконечно большая, то последовательность (—) беско-
\ап/
нечно малая, и наоборот.
Доказательство. Пусть (ап) —бесконечно боль-
шая последовательность. Тогда, согласно определению,
для каждого Д->0 найдется Л/ такое, что
| ап | > А для всех п > N. (1)
Положив е = -^-, из соотношения (1) получим
--Г<Т = 8 для всех
I ап I Л
Так как е здесь может бкть произвольным положи-
тельным числом, то это и означает, что lim — = 0, т. е.
П->оо ап
последовательность бесконечно малая.
* Пусть теперь последовательность (ап) бесконечно малая.
Тогда, по определению, для каждого е>0 найдете^ N
такое, что
| ап | < е для всех м > (2)
Положив й = у > 0, из соотношения (2) получим
1 1 Л д,
-—г > — = А для всех п> N,
1ал| в А ’
т. е. последовательность бесконечно большая.
Пример. Доказать, что limg" = 0, если |g| < 1, и
оо
lim = оо, если | q | > 1.
Л—> оо
159
Решение. Если |^|> 1, то | q | = 1Ч-Л, где h > О,
и согласно неравенству Бернулли (см. § 6, п. 7, пример 2),
= 1+Ап. (3)
Очевидно, что
firn (1 + hri)
— °°>
т. е. последовательность (\-\-.hn) бесконечно большая.
Из неравенства (3) следует, что последовательность (7**)
тоже бесконечно большая, т. е^
lim qn = 00.
Пусть теперь | q j < 1. Если q = 0, то qn = 0 для любого
натурального п, и, следовательно,
lim q" = 0.
П —► 00
Если же q=/=0, то
1. -По только что доказанному
n£N, бесконечно большая.
последовательность
В силу теоремы о связи между бесконечно большой и
бесконечно малой последовательностями, последователь-
ность qn, n£N, бесконечно малая, т. е. limQ" = 0.
9. Существование предела у монотонной ограниченной
последовательности. Для установления существования
предела последовательности широко используется сле-
дующий достаточный признак существования предела.
Теоре_ма Вейерштрасса. Всякая монотонная
ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательства этой теоремы мы не приводим. Заме-
тим, что в теореме Вейерштрасса сформулированы доста-
точные условия существования предела последователь-
ности, но способ нахождения - этого предела не указы-
вается.
Пример. Рассмотрим последовательность с общим
членом
а
п
Ч' + т)
и, используя теорему Вейерштрасса, докажем существо-
вание у нее предела.
160
Решение. Рассмотрим вспомогательную последова-
тельность с общим членом
ьй=(14--У+х
Эта последовательность ограничена снизу, так как Ьп>0.
Докажем, что она убывает.
( 1 V ( п \п
bn-i \1 л — 1) \п—1/ п2п + 1
~Ьп /| . JV + 1 “ /п-Н\п + х “ (п+1)л + х(я— i)"~
\ *" п ) \ п J
__ (л2)п + 1 п—1 / Л2 П— 1 _2 / | . 1 \п+1 п—1
(п2—l)n + 1 П~ \л2— 1/ п \ I" п2— 1J д'
Согласно неравенству Бернулли, при п^2
(1 \ п +1 1 1 я
1 + пг-| ) > !+(«+ 1)--тЦ = 1н—Ч = -\,
1 п2— 1/ ' ' п2—1 п—1 л— 1 ’
Таким образом, для любого п ^2
bn-i п . л—I _ j
ьп л—1 ’ л
Отсюда следует, что последовательность (6П) убывает.
По теореме Вейерштрасса предел последовательности (Ь„)
существует.
Рассмотрим теперь предел последовательности (ап):
/ 1\л+1
Г .. Л . IV г \' + ^)
lim ап = lim I I 4—) = lim ----------— =
п о» л->оо\ | I__
' п
Um bn
= lim ——рг = lim bn.
«-*“ I+— lim ( 14-—) п*+°*
л л->оД nJ
Итак, lim (14--^-)" существует. Этот предел принято
обозначать буквой е, т. е.
lim ( 1 4- —V = е.
п^Л л/
Число е играет большую роль в математике, естествозна-
Алгебра, ч. 1 161
нии и технике. Это число иррациональное, с точностью
до 10”4 оно равно 2,7183.
10. Понятие числового ряда. Для заданной число-
вой последовательности (ап) выражение вида
00
2 ап = at: 4-аг 4- аз + • • • + ап 4" • • ♦ (1.)
п = 1
называется бесконечным числовым рядом.
В этом случае ап называется п-м (общим) членом ряда.
Суммы 51 = 01, S2 = Oi+a2, Sa=Oi + a2 + a3 и т. д. назы-
ваются частичными суммами ряда сумма S„ = Oi +
а2 + ... 4-а„ называется п-й частичной суммой.
Определение. Если последовательность частичных
сумм ряда сходится, то ряд называется сходящимся, а пре-
дел частичных сумм называется суммой ряда.
Если последовательность частичных сумм расходится,
то ряд называется расходящимся.
Пример 1. Пусть дан ряд
2 1-1+ 1-...г
П = 1
Последовательность частичных сумм этого ряда
«£=1, s2=o, s,= i,
S.= o....S, „.J=l, SM = 0,
предела не имеет, значит, ряд 2 (—I)""1 расходится.
Л = 1
Пример 2. Рассмотрим ряд
У ——4- —4- —
Zun(rt+D 1>2^2-3 ' 3-4
п = 1
1
п(п+1)
Построим последовательность частичных сумм этого
ряда:
Q __ ___ 1 _ I 1
dj —Of —Ь2—1 2’
Q -П -LZ7 - 1 I 1 - ( 1 'UP И-1 1
•>1 —ь2-|-2-3—V 2 /’f'\ 2 3 J 3’
== 4-4- • • 4-1 —4") 4" (~2—з ) 4"
+.(т“т)+ • • • + — 4) 4- = 1 “Туг
162
Легко видеть, что
Hm Sn= lim = 1.
Л->оо Л->® V П । 1 ✓
Значит, данный ряд, согласно определению, сходится, и
его сумма равна 1, т. е.
Zun(n-H)
п = 1
Пример 3; Рассмотрим бесконечную десятичную
дробь с помощью которой представляется
действительное число а. Эту дробь можно записать в сле-
дующем виде:
fl° + lo + fQ2+’*-+i^+-”» (2)
т. е. в виде некоторого числового ряда. Очевидно, час-
тичные суммы этого ряда являются десятичными прибли-
жениями числа а с недостатком: Sn = an_f. Ранее было
доказано, что liman = a. Следовательно, ряд (2у сходится,
п оо
и его сумма равна а.
11. Сумма бесконечной убывающей геометрической
прогрессии. Рассмотрим геометрическую прогрессию, т. е.
последовательность с общим членом an = a1qn~l.
Покажем, что ряд, составленный из членов этой по-
следовательности ,
«i + M + ai<72+• • •(D
при |q|< 1 сходится, и найдем его сумму.
Как известно, при q=£l для суммы п первых членов
этой прогрессии, т. е. для n-й частичной суммы ряда (1),
имеет место формула
о с, (! — ?”)
1— q *
Поэтому, если |q|< 1, то
так как lim qn = 0.
n-> «
Итак, мы установили, что ряд (1) сходится при < 1.
Сумма ряда, составленного из членов бесконечной
убывающей геометрической прогрессии, называется сум-
6* 163
мой этой прогрессии. Таким образом, имеем следующую
формулу дЛя вычисления суммы бесконечной геометри-
ческой прогрессии:
S = i^. (2)
где ах — первый член прогрессии, q (| q | < 1) —знамена-
тель прогрессии.
Пример 1. Найти сумму ряда
\ \ * / / \ д /
Решение. Так как последовательность (а„), где
—у)" представляет собой геометрическую про-
грессию, у которой = 1 и q = —у (I<71 = у < 1) , то
данный ряд сходится и его сумма вычисляется по фор-
муле (2):
Q _ _ 1 _ 1 _ 3
— 1 — q~ /_ _1_\ ~ _4 — 4 ’
\ 3') 3
Рассмотрим некоторую бесконечную периодическую
десятичную дробь а = а0,а1а2 ... am(blb2 .,. bn). Покажем,
что эта дробь изображает рациональное число. Восполь-
зуемся формулой (2):
ОС — CZq, С1]С12
Итак,
а I bib2 ... . bjb2 ... bn
«=^0,^2
. bib2 • • bn
• • um> IQm + n
1
1-----—
10n
«0> ^1^2
bib2 ... bn
•* m "Г iqw (IQn— j)'
« = «0,^2 ... am (bjb2 ...bn) =
= aot (3)
Пример 2. Используя формулу (3), представьте бес-
конечные десятичные периодические дроби в виде обыкно-
венных:
а) О,(285714) = О+^5
285 714 _ 2-142 857
999 999 “ 7-142 857
2
7 ’
164
6) 43,2(63) = 43,2 +15^-Г) = 43+^ + 1^ =
— 43 _i_ А _1_ _Z_ — 43
^ю^по 46НО'
Замечание. Положим в формуле (3) п=1 и bf — 9,
тогда
„ . Э .1
ОС О0» ^1^2 • • • ат “Ь j(уп (jо»_j) °0» ^1^2 • • • &т “Ь igm •
Таким образом, всякая десятичная периодическая
дробь с периодом, равным девяти, равна конечной деся-
тичной дроби, у которой десятичный разряд, предшест-
вующий периоду, увеличен на единицу по сравнению
с исходной дробью.
Упражнения
4.24. Докажите, что
. ' 2п — 5 Л
a) lim ------= 2;
ч .. 2л —3 1
в) lim -—;
„ 4л+ 5 2
Л —► со 1
(—11я
б) lim —— =0;
» п
г)Л”^тт=0-
. __ 5л 4-6 _ т. *
4.25. lim —г-г=5. Каким должно быть п, чтобы число
„ л 4-1
Л оо ।
^"5 — 5 I было меньше 0,1 и 0,01?
л+1 |
Каким должно быть л, чтобы число
и 0,001?
Каким должно быть л, Фгобы число
4.26. Вт ——=-
_ т 24- л
Л оо 1
-4-1 было меньше
" I
.. л2—1
Jim 2л2 + л~2’'
1.
0,1
4.27.
Л2-Т
2л24-л 2
4.28. Установите, какие из последовательностей (ав) сходящиеся,
а какие расходящиеся:
ч 4л+ 2 (-3)я4-2
а) °п~~2п~ ’ б) Оп~ 2
в) ав=1+—;
г) ав = 2я—1; д) ав = л2—1; е) ап— ] .
4.29. Найдите пределы:
. .. 2л—3
а>
, Зл2+2
Г’
Л —> оо
б) Вт в)
Л —> оо
х 1—л—л3
д) „ JL (Зп+1)3 ’
3—л
165
e) lira
2л
Зл-Н
з) lim
л2
; и) lim
п -> <
2ла + 5 .
л24-л—1 ’
+4+---+^
4.30. Какие из следующих высказываний истинны:
а) если последовательность не ограничена, то она не имеет
предела:
б) если последовательность имеет предел, то она ограничена;
в) если последовательность не монотонна, то она не имеет
предела;
г) если последовательность имеет предел, то она монотонна?
4.31. Выясните существование предела у следующих последова-
тельностей:
ч 1 кх 4 . я-4*1
а) йп~ 2п’ б) °п—4п—3’ В) Оп~ л2 + 2 ’
г) an=yi> ап^—- е) аи=д_(_1)л;
ж) ап = п — (— 1)и + 1; з) an=j~;
И) йп= 1 К) 0 “т) • • (1 “2^) •
4.32. Цайдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
. о. 4. 8. 16 . XX 1. 1 1 1 .
а) 2’ 5 ’ 25’ 125’ б) ’ 4 ’ 16’ 64’
1 . 1.1. 1 . 1 . 1 1 .
В) 2 ’ 6 ’ 18’ 54’ Г) ’ 2 ’ 12’ 72’
4.33. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (ап),
если известно, что
ч 1 3 хх , 1
а) б) а3 =—1; q = —\
л л 1ч 1 1
в) а2 = — 2, q = —-^-, г) а3 = —— , q = — —,
4.34. Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 0,82 (63); 6) 13,83(54); в) 8,4 (57);
г) —10,3 (621); д) — 32,2 (54); е) 3,09 (04).
§ 18. Предел функции
1. Предел функции в точке. Сформулируем определе-
ние предела функции в точке.
Определение. Пусть функция f(x) определена
в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может,
самой точки а. Число В называется пределом функций
166
f (x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для
любой последовательности значений аргумента хп=£а,
n^N, сходящейся к а, последовательность соответствую-
щих значений функции f(xn), n^N, сходится к числу В.
В этом случае пишут
lim f (х) = В или / (х) —> В при х —+ а.
х -* а
Короче, В= lim f(x), если lim f(xn) = B для любой
х -> а п-»-<х>
последовательности хп=£а, n£N, сходящейся к а.
Если же для некоторой последовательности значений
аргумента хп^а, n£N, сходящейся к а, последователь-
ность соответствующих значений функции f (хп), n£N,
прёдела не имеет, то функция f(x) не имеет предела
в точке а. Аналогично функция /(х) не имеет предела
в точке а, если для двух различных последовательностей
значений аргумента, сходящихся к а, последовательности
соответствующих значений функции имеют разные пре-
делы. 4
Из определения предела следует, что если f(x)—+B
при х—то f (х) — В —> 0 при х—+ а. Введем обозна-
чение а(х) = /(х) — В. Тогда f{x) = B-}-a(x), гдеa(x) —►<)
при х —> а.
Очевидно, число В является пределом функции /(х)
при х—+а тогда и только тогда, когда f (х) можно пред-
ставить в виде
f(x) = B+a(x),
где а (х) —> 0 при х —► а.
Отметим, что точка а~ в которой рассматривается
предёл функции f (х), может принадлежать области опре-
деления функции £(х), а может и не принадлежать. При
нахождении предела функции в точке не рассматривается
значение функции в этой точке.
Используя определение предела, найдем пределы не-
которых функций.
Пример 1. Докажем, что предел постоянной функ-
ции равен этой же постоянной.
Решение. Пусть f(x) = c для всех х из некоторого
интервала, содержащего точку а. Тогда для любой по-
следовательности (х„) такой, что хл —о при п—+со,
имеем f(xn) = c и
lira f(x„) = c.
п -> о»
167
Следовательно,
lim f (x) = lim c — c.
x a x -»• a
Пример 2. Докажем, что для f (х) = х
lim f(x) = lim x = a.
x -> a x -* a
Решение. Для любой (xn) такой, что хп —+ а при
п —> оо имеем
lim f(xn) — lim хп = а.
П оо 00
Следовательно, согласно определению предела,
lim х = а.
к а
2. Теорема о единственности предела.
Теорема. Функция не может иметь двух разных
пределов в точке.
Доказательство. Доказательство проведем мето-
дом от противного. Пусть в точке х = а функция f (х)
имеет два различных предела А и В.
Согласно определению предела, для любой последо-
вательности значений аргумента xn, n£N, такой, что
х„=/=а и lim хп = а, имеем
п -* «О
lim f(xn) = A, lim f(xn) = B.
п -* оо Л —► оо
В силу единственности предела последовательности
отсюда получаем равенство А = В, которое противоречит
предположению. Следовательно, функция не* может иметь
двух разных пределов в точке. Теорема доказана.
3. Теоремы о пределах. Основные теоремы о пределах
функций (о пределе суммы, произведения и частного),
облегчающие вычисление пределов, аналогичны соответ-
ствующим теоремам о пределах последовательностей.
Теорема 4. Предел суммы (разности) функций
равен сумме (разности) их пределов, если последние су-
ществуют:
lim (f(x)±g(x)) = lim f(x) ± lim g(x).
x -> a x -> a x -* a
Теорема 2. Предел произведения функций равен
произведению их пределов, если последние существуют:
lim (f(x)g(x)) = lim f (х) lim g(x).
x -+ a x -* a x -> a
168
Следствие. Постоянный множитель можно выно-
сить за знак предела, т. е.
lim (с/(х))=с lim f(x},
х -* а х -* а
если lim f(x) существует,
к -> а
Теорема 3. Предел отношения двух функций равен
отношению их пределов, если последние существуют и пре-
дел делителя отличен от нуля:
. lim f(х)
lim ____
x _ a g W Um g (x) 1
x -► a
если lim g (x) #= 0.
x -> a
Доказательство. Пусть
lim f (x) = А и lim g (x) = В ф 0.
x -► a x -»• a
Согласно определению предела функции в точке, для
любой последовательности значений х„ аргумента такой,
что хпфа и lim х„ — а, имеем
п -+ оо
lim f(xn) = A и lim g(xn) = B=£Q.
Используя последние равенства и теорему о пределе
частного для сходящихся последовательностей, получаем
lim
П —> ОО
f (хп)
g(Xn)
lim f(xn)
п —> » /\
lim g(x„)—“fi" ’
fl —► оо
Отсюда следует, что
lim
х -> а
g(x) В
т. е.
lim f (х)
lim .
x-+a g(x) lim g(x)
x -* a
Теорема доказана.
Теоремы 1 и 2 доказываются аналогично.
При изучении пределов функций иногда полезно ис-
пользовать следующую «теорему о пределе про-
меж у то чно-й ф'ункции».
Теорема 4. Если
lim ф(х) = В, lim ф(х) = В
х -> а х а
169
и в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может,
самой точки а, выполняются неравенства
ф(х)</(х)<1|>(х),
то
lim =
х -> а
Эта теорема слёдует из соответствующей теоремы для
последовательностей.
Теорема 5. Если-функция,f (х) имеет предел в точке
х = а и для всех х из некоторой окрестности
точки х = а, то
lim / (х)
х -> а
Эта теорема, является следствием соответствующего
утверждения для последовательностей.
Пример 1. Найти lim (9ха — 6х + 8).
X -> 1
Решение. Применив теоремы о пределах суммы,
разности и произведения, получим
lim (9х2 — 6х + 8)= lim (9ха)— lim (6х) + lim 8»
X 1 X -> 1 X -+ 1 X -> 1
=9 lim ха —6 lim х + 8 = 9 ( lim хА • ( lim хА —6-1 + 8=
X-> 1 X -> 1 \Х —> 1 J \ X -> 1 J
= 91.1-6.1+8 = 11.
Пример 2. Найти lim -—6-.
х -> 2 х 2
Решение. Здесь предел знаменателя равен нулю,
поэтому воспользоваться .теоремой о пределе частного
нельзя. Разложим числитель на множители:
ха — 5х + 6 = (х — 3) (х — 2).
Так как при нахождении предела в точке 2 рассматри-
ваются лишь х=/=2, то можно сократить на х —2, и по-
этому
lim
х-> 2
х2—5х+6__
х—2
lim
х -+ 2 х 2
= lim (х —3) = 2 —3 = —1.
х-+ 2
Пример 3. Найти lim —* .
Н Н Х-+1 У х-\
170
Решение.
Прежде всего покажем, что
lim pGc= 1.
Х-> 1.
Для любого х > О
|У7-1|
1*—П
/7+1
и поэтому для любой последовательности (х„) такой, что
х„ > 0 и lim хп = 1, имеем
п -► оо
11 ОХд—1| О при 71 —* ОО,
т. е. lim Vx^=l. Это и доказывает, что V~x —> 1 при
п -* ОО
х —> 1.
Теперь
lim
х-> 1
Х-1 = ,:т (х-1)(/ х+1) _
/7-1 (Г X-О (/7+1)
= lira </*+0= lim (у7+ ])= I +1 =2.
х -> 1 XI х —> 1
4. Односторонние пределы. В приведенном в п. 1 оп-
ределении предела функции в точке аргумент х принимает
значения х„ из окрестности точки а, кроме х = а, как
слева, так и справа от а.
Если при нахождении предела рассматривать значе-
ния х только слева от а, то такой предел называется
левым или левосторонним и обозначается
lim / (х) = lim f(x) = f (а 4-0);
х -+ а-0 х -* а
х < а
а если рассматривать значения х только справа от точки а,
то такой предел называется правым или правосторонним
и обозначается
lim f(x) = lim f(x) = f (a 4-0).
x -+ a+0 x -► a
x > a
Левый и правый пределы называются односторонними
пределами, а просто предел иногда называется двусто-
ронним.
В случае, когда изучают односторонние пределы
в точке х = 0 (т. е. при х —> 0), запись упрощают и пи-
171
шут для левостороннего предела lim f(x) = f(—0), а для
х -> -0
правостороннего lim f (x) = f (+0).
х~* +о
Сформулируем теперь точные определения односторон-
них пределов.
Определение. Пусть /(х) определена на интер-
вале ]а; 6[. Число В называется правым (правосторонним)
пределом функции f (х) в точке а, если для любой после-
довательности значений аргумента хп, n£N, такой, что
хп > а и lim х„ = а, последовательность соответствующих
П -* оо
значений функции /(х„), n£N, сходится к В.
Аналогично число С называется левым (левосторонним)
пределом функции f(x) в точке Ь, если С= lim f(xn) для
п —► оо
любой последовательности значений аргумента хп, n£N,
такой, что х„ < b и lim xn = b.
Установим связь между односторонними пределами
и пределом функции f в некоторой точке х0.
Пусть f (х) определена в некоторой окрестности
точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, т. е. f(x)
заведомо определена на некоторых интервалах вида
]а; х0[ и ]х0; Ь[.
Из самих определений следует, что если у f (х) суще-
ствует предел в точке х0 и 4
lim f(x) = А, (1)
X -> х0
то односторонние пределы /(хо + О) и f(x0 — 0) также
существуют и
f(xQ + O) = f(xo — 0) = А. (2)
Верно и обратное утверждение: если имеет место (2),
то имеет место и (1).
Таким образом, для установления существования пре-
дела функции / (х) веточке х0 необходимо и достаточно
проверить выполнение следующих трех условий: а) суще-
ствование левого предела; б) существование правого пре-
дела; в) совпадение односторонних пределов.
Пример 1. Пусть /(х) = |х| (рис. 43). Эта функция
определена на всей числовой прямой. Так как f(x) = — х
для х, удовлетворяющих неравенству х < 0, то
f (—0) = lim (— х) = 0.
172
Аналогично
f(4-0)= lim x = 0.
x-> +0
Таким образом, f(-{-O) = f(—0) = 0.
Так как односторонние пределы в точке нуль совпали,
то предел функции. f(x) в точке нуль существует и равен
их общему значению, т. е.
lim f(x) = lim |x| = 0.
c —► 0 x -► 0
Рис. 43.
Пример 2. Пусть
1 — х3,
2 + х,
если
если
х <11,
х > 1.
Данная функция (рис. 44) определена на всей числовой
прямой. Вычислим односторонние пределы этой функции
в точке х = 1:
f(l-0) = lim (— х3) = — 1,
х -+ 1 -0
/(14-0)= lim (24-х) = 3
х -> 1 +0
Итак, f (1 — 0) #=/(1 4-0). Следовательно, данная функция
не имеет предела в точке х = 1.
5. О пределе функции при х —► ± оо. Бесконечный пре-
дел функции. При изучении свойств функций приходится
рассматривать предел функции в бесконечности, беско-
нечный предел функции в точке, а также бесконечный
предел, в бесконечности.
Остановимся подробнее на пределе функции в беско-
нечности, т. е. при х—>4-‘°° и при х—► — оо. _
Определение. Пусть функция /(х) определена
на всей числовой прямой. Число В называется пределом
173
f(x) при x—>4-oo, если lim f(xn) = B для любой после-
Л -> 00
довательности (хп) такой, что lim хл=4-°°« 4
В этом случае пишут
Нт Цх) = В.
х -* +«
Аналогично lim f(x) = C, если lim f (хп) = С для любой
X -> — 00 л -> 00
(хл) такой, что lim хп = — оо.
Л 00
Пр и м е р 1. Доказать, что
г *2~1 1
Решение. Рассмотрим произвольную последователь-
ность (хл) такую, что
lim хл = + оо.
Л -> ОО
fM
сходится к 1, то
Так как последовательность
Хп — 1 1 4 — ж»
—2 Т 2 » П С Аг ,
xn-f-3 Afn-j-3
согласно определению
ж!1”. й + 3 = Ь
Легко видеть,
чтр и
г х2—1 1
Х* + 3-1'
В ряде случаев поведение функции f(x) разное при
х —>-|-оо и при х—> —оо. Например, для функции
т/’9х2 -i--!
f(x) = определенной для всех х^1, имеем
lim хт = -3, lim
X—l *->+« AC—1
Поэтому при исследовании свойств функций рассматри-
вают как lim f(x), так и lim f(x).
X -> + 00 Х->—«
Кроме рассмотренного случая конечного предела функ-.
ции f(x) при х—>а (или х—>4=оо) используется поня-
тие бесконечного предела. Например, функция f(x) = -^-,
174
определенная для всех х=/=0 (рис. 45), принимает сколь
угодно большие значения при х —► 0. В этом случае го-
ворят, что функция в точке х = 0 имеет своим пределом
бесконечность, и пишут lim -^-=00.
х -* 0 х
Сформулируем определение бесконечного предела:
если для любой последовательности значений аргумента
(хя) такой, что хп=£а и lim. хп = а, имеет место
П -* оо
lim f(x„) = oo, т0 говорят, что предел функции f(x)
П-* со
в точке а есть бесконеч-
ность, и пишут
lim f (х) = оо.
х -> а
Если в данном опреде-
лении условие хя#=а за-
менить на условие хп < а
(или а < хя), то получим
определение бесконечного
левого предела (соответст-
венно правого предела) Рис. 45.
функции f (х) в точке а.
Аналогично определяются бесконечные пределы в бес-
конечности, т. е. пределы вида lim f(x) = oo.
Л Ч- оо
Пример 2. Найти предел
Зха4-х4-4
14—х2—Xе
lim
X -»• + ОО
Решение. Разделим чисдитель и знаменатель на х8,
тогда
3 > ± , ±
.. Зх34-х4~4 .. ~г х2 ' х3 3 о
11ГП Ь -Т~2~ = *1гп ~~И----5-----= Г =—3.
— х2—х3 + Л 14____1__ -1
X3 X
Пример 3. Найти предел lim (|/х24-1—х).
00
Ре ш е н и е.
х) = lim
lim - (и хг+ 1
X—►+ оо
х2 -|-1 4-х х->-+оо у/ х2 4" 1 %
175
Если lim f (х) = оо, то функция f (х) называется бес-
х-+а
конечно большой при х-^-а. Если же lim / (х) = 0, то
функция f(x) называется бесконечно малой при х-^а.
Аналогично определяются бесконечно большие и беско-
нечно малые функции при х—► — оо, х—*4-оо.
Заметим, что, так же как и для последовательностей,
имеет место следующее утверждение: если функция f(x)
бесконечно малая при х—>а и f(x)#=O для хфа из
некоторой окрестности точки а, то функция беско-
нечно большая при х—>а.
Верно и обратное утверждение: если функция f(x)
бесконечно большая при х —► а, то функция
нечно малая при х—
Пример 4. Функция f(x)=x является
малой при х —► 0 и бесконечно большой при
при х —► + ОО.
Функция f(x) = Y является бесконечно
1 л
-7-г-г беско-
f (х)
бесконечно
х—> — оо и
малой при
х —> + оо и при х —> — оо и бесконечно большой при х —* О
(аналогично при х-> + 0и при х—*— 0).
Пример 5. Функция f(x) = [x] (целая часть от х),
как легко видеть, является бесконечно большой при
х—> — оо и при х—► + °о-
Функция f (х) = ]х} (дробная часть от х) является бес-
конечно малой при х—*4-0 и не является бесконечно
малой при х—►—0, так как легко показать, что
lim {х} = lim х = 0; lim {х} = lim (1 4~х)= 1.
JK-+ + O х-> + 0 х-*-0 х-*-0
Упражнения
4.35. Используя определение предела функции, докажите спра-
ведливость равенств:
a) lim2x = 8; б) lim (3—12х) = —3; в) lim (Зх?—2)=1.
х-*4 1 х-*1
2
4.36. Найдите следующие пределы:
а)
в)
уЗ-4-х2__11
lim(x4 —2x4-5); б) lim * ;
Х-»4 Х-.-1 оХ2 4" 5
х34-8 .. х2—4
11т Vli.9 ; г) 11т 11т
Х-»-2 X-f-Z Х-»+2 X — 2
х2-|-х—2
X—1
176
р/1-f-X—1
х
e) lim
х->0
ж) lim
Х->1
У 5—х—2
/2^х—1
з) lim
х->0
4.37. Для следующих функций выясните существование предела
в точках .—2; —1; 0; 1; 2:
*)/« = {_;,’ х<0;' б>'« = {
•)/И-И г) /(x)=i±l±L;
2—х, х > 0,
х2, х<0;
Д) / U) = {*}; е) f (х) = <j Х + * + 1 ’ * £
4.38. Найдите левый и правый пределы функции
. ч ( — х-Н при х«С 1,
’«П 2х—1 „рн х>1
в точке х = 1.
4.39. Найдите левый и правый пределы функции
в точке х = 2.
ф(х)=------—
х + 2х “ 2
4.40. Вычислите пределы:
Зх2—5х—6
7х2-|-8х—9
а) Нт 6) lim
Х->±оо Х->±оо
в) lim х5 Тх; г) Ит (К*2-Н ——1);
X->zfcoo* Х->±°°
д) lim ( У х24- х— 1 — У~х2 —х 4-1).
X—► + оо
AAt „ . .. 12х24-5
4.41. Найдите lim „ п .
4.42. Найдите пределы:
a) 11m
X -> + 00
5х2 +2x4-7
х2 —Зх —5
х—8
3—х4- 10х2
в)
11m
Х-> + оо
|<9х24-2 —х
4x4-11
§ 19. Непрерывные функции
1. Понятие непрерывной функции. Впервые с непре-
рывными функциями вы встречались и широко исполь-
зовали их свойства при построении графиков простей-
ших функций, хотя сам термин «непрерывная функция»
не употребляли, а тем более определение этого понятия
177
вам не давалось. На первых этапах построение графиков
простейших функций, например у = ах + Ь, у —ах* или
у^=ах\ совершается по точкам. А именно, составляют
таблицу значений функции, соответствующих определен-
ным значениям аргумента, затем на плоскости, в которой
задана система координат, строят точки, координаты
которых занесены в таблицу; соединив отмеченные точки
«сплошной линией»^ получают график функции. Это можно
делать не всегда, а только в том случае, если функция
непрерывная (тогда график ее есть линия сплошная).
Определение. Функция /(х), х£]а; &[, называется
непрерывной в точке х0£]а;. Ь[, если предел функции f (х)
в точке х0 существует и равен значению функции в этой
точке:
Iim/(x) = /:(x0).
х-*х0
Согласно данному определению, непрерывность функ-
ции f в точке х0 означает выполнимость следующих
условий:
1) функция f должна быть определена в точке х0;
2) у функции f должен существовать предел в точке х0;
3) предел функции f в точке х0 совпадает со значе-
нием функции в этой точке.
Например, функция /(х) = х2 определена на всей чис-
ловой прямой и
lim ха= 1.
Х-*1
Так как f(l)=l, т. е. значение f(x) = xa в точке х=1
совпадает с пределом при х—► 1, то,’согласно определе-
нию, функция f(x) = x2 непрерывна в точке х=1.
Если использовать определение левого и правого пре-
делов функции, то можно определить левостороннюю и
правостороннюю непрерывности функции, а именно: функ-
ция называется непрерывной слева в точке х0, если
lim f(x) = f(xe),
х ->х0 - О
и непрерывной справа в точке х0, если
lim f(x) = f(x0).
х-*-х0 + О
Например, функция f (х) = {х), где {х}—дробная часть
числа х, непрерывна всюду, за исключением целочислен-
178
них значений аргумента х\ в которых она непрерывна
справа (см. рис. 34).
Дадим другую формулировку определения непрерыв-
ности функции через приращения функции и аргумента.
Пусть задана функция f(x), х£]а; &[, и пусть х0 —
некоторое значение аргумента из интервала ]а; &[. Тогда,
если х Е ]а; &[— Другое фиксированное значение аргумента,
то разность х —х0 называется при-
ращением аргумента и обозначается
Дх, т. е. Дх = х —х0. В этих обозна-
чениях х = х04-Дх.
Разность
f (х) -f (х0) = f (х„ + Дх) - f (х0)
называется приращением функции f
в точке х0 и обозначается Д/ или
&у (рис. 46).
Если функция f непрерывна в точке х0, то, согласно
определению,
\imf(x)=f (х0)
х-+х0
и, следовательно, lim(/(x) —/(хо)) = О, а это значит, что
х-+х0
lim Д/ = 0.
Дх-+0 ,
Из последнего соотношения следует, что если f(x) не-
прерывна в точке х0, то малому приращению аргумента
соответствует малое приращение функции, или, точнее,
приращение функции f есть функция, бесконечно малая
при Дх—»-0.
Следовательно, можно дать определение непрерывно-
сти функции в точке в следующем виде: функция /(х),
х £ ]а; &[, называется непрерывной в точке х0 £ ]я; 6[,
если ее приращение в этой точке есть функция бесконеч-
но малая'при Дх—>-0.
2. Примеры.
Пример 1. Исследуем на непрерывность в точке
хо = О функцию /(x) = signx (читается «сигнум х» или
«знак х»):
signx=
для
для
для
х > 0,
х = 0,
х <0.
179
Из задания функции (рис. 47) видно, что
f(—0)«= lim (—1)«= —1,
х-+-0
f(+0)= lim 1 = 1.
Таким образом, /(—0)#=/(+0), т. е. односторонние пре-
делы существуют, но различны, поэтому функция /(%)=
=signx не имеет предела и,
тем более, не является непре-
рывной в точке хо = О.
Пример 2. Пусть
f (*) = l signx|.
Исследуем данную функцию
непрерывность в точке х0 = 0
л
о
Рис. 47.
на
(рис. 48).
Так как f(x)=l для *4=0, то limf(x)=l.
х-+0
Таким обфазом, предел данной функции в точке хо=О
существует, но он не равен /(0), так как / (0) = 0, и
поэтому функция f (х) = | sign х | не является непрерывной
в точке хо = О.
Рис. 48.
Пример 3. Пусть дана функция
Дх)=Н ДЛЯ
I X для
х^ 1,
Исследуем данную функцию
ность в точке х0 = 1. Так как
f(l—0)= lim
(рис. 49) на непрерыв-
х= 1,
/(1+0)= lim ±=1,
О
В
X
180
то
lim f (x) = 1.
X->1
Таким образом, мы установили, что в точке х0=1
предел функции существует и равен значению функции,
а это значит, что рассматриваемая функция непрерывна
в точке х0 = 1-
Пример 4. Пусть f (х) = д^ , х£/?, х=#3 (рис. 50).
Рассматриваемая .функция не является непрерывной
в точке х0 = 3, так как она не определена при х = 3.
3. О непрерывности функции на множестве. Функция
называется непрерывной на интервале ]а; Ь[, если она
непрерывна в каждой точке
интервала. Функция назы-
вается непрерывной на от-
резке [а; д], если она непре-
рывна на «интервале ]а; д[,
непрерывна справа в точке а
и непрерывна слева в точ-
ке Ь.
Отметим, что для непре-
рывности функции на отрезке
[а; д], как это видно из оп-
ределения, не требуется не-
прерывности функции на кон-
цах отрезка. В точках а и b
(концах отрезка [а; Ь]) тре-
буется только односторонняя
непрерывность функции.
Например, фу-нкция f(x)=K—х2 + 3х — 2, где 1<х<2,
является функцией, непрерывной на этом отрезке, так
как она непрерывна в каждой точке интервала ]1; 2[,
непрерывна справа в точке х= 1 и непрерывна слева в
точке х = 2.
4. Точки разрыва. Если функция f (х) непрерывна
в точке х0, то точка х0 называется точкой непрерывности
функции f(x). В противном случае, т. е. когда предел
функции f(x) в точке х0 не существует или существует,
но не равен f (х0), функция f(x) называется разрывной
в точке хи, а точка х0 — точкой разрыва функции f(x).
В частности, если f (х) определена во всех точках интер-
вала ]а; 6[, кроме точки х0 £ ]а; &[, то х0 —также точка
разрыва функции /(х).
181
Из сказанного следует, что в точке разрыва функция
может быть определена, но не являться непрерывной
в этой точке (см. примеры 1, 2 п. 2) и не определена
в такой точке, хотя определена в некоторой «проколотой»
окрестности этой точки, например точка х0 = 3 в рас-
смотренном выше примере 4 п. 2.
В первом случае точка разрыва принадлежит области
определения функции (примеры 1, 2), во втором случае
не принадлежит ей (пример 4).
Точка разрыва функции называется точкой разрыва
первого рода, если функция в этой точке имеет конечные
пределы справа и слева. Во всех остальных случаях точка
разрыва называется точкой разрыва второго рода.
В рассмотренных выше примерах точка хо = О (см.
примеры 1, 2) есть точка разрыва первого рода, а точка
х0 = 3 (см. пример 4) —точка разрыва второго рода. Дей-
ствительно, если f(x) = signx, то
f(—0) = —1, f(+0) = l,
т. е. односторонние пределы функции f (х) в точке хе = 0
существуют и конечны. Согласно определению, точка хо=О
является точкой разрыва первого рода этой функции.
Докажем теперь, что для функции — точка
х0 = 3 является точкой разрыва второго рода. Рассмотрим
пределы слева и справа этой функции в точке х0 = 3:
lim -Ц=4-оо, lim = — оо.
х->3-0° * х->3 + 0о-х
Таким образом, односторонние пределы функции f(x)
в точке х0 = 3 бесконечны, а это, согласно определению,
означает, что в точке х0 = 3 функция f (х) имеет разрыв
второго рода.
При построении графиков функций, имеющих точки
разрыва, следует иметь в виду следующее: если х0 —точка
разрыва первого рода функции f(x), то график функции
f (х) в точке х0 претерпевает конечный скачок, равный
/(хо4-О) — f(x0 — 0) (если f(xo + O)=/=f(xo —0)); если же
х0 —точка разрыва второго рода, функции /(х), то по
крайней мере один из пределов справа или слева в точке х0
не существует или равен бесконечности. Так, в примере 1
график функции f(x) делает в точке хо = О скачок:
f(+0)-f (-0)= 1 - (-1) = 2.
182
В примере 4 пределы слева и справа для функции
/(х) = 3“ в точке хо = О равны бесконечности.
5. Свойства непрерывных функций. В этом пункте мы
будем рассматривать функции, определенные на одном и
том же множестве, например некотором промежутке. При-
ведем без доказательства некоторые теоремы.
Теорема 1. Сумма конечного числа функций, не-
прерывных в точке а, ,есть функция, непрерывная в этой
точке.
Теорема 2. Произведение конечного числа функций,
непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой
точке.
Теорема 3. Отношение двух функций, непрерывных
в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если
значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от
нуля в точке а.
Теоремы 1, 2, 3 следуют из соответствующих теорем
для пределов функций.
Пример 1. Функция f(x) = xn, где n£N, непрерыв-
на на всей числовой прямой.
Действительно, так как
f (х) = хп = х х ... х,
п сомножителей
то из теоремы 2, учитывая непрерывность х, получим,
что эта функция непрерывна всюду на числовой прямой.
Пример 2. f(x) — cxn (с —константа) непрерывна на
всей числовой прямой.
Справедливость этого утверждения следует из тео-
ремы 2 и примера 1.
Теорема 4. Многочлен есть функция, непрерывная
на всей числовой прямой.
Доказательство. Пусть
f (х) = аохп + щх"'1 + ... + an_iX + ап.
fo(x) = aoxn, f1(x) = a1xn~\ ..., fB_f (х) = а„_гх,
представляют собой функции, непрерывные
числовой прямой (см. пример 2). Следовательно,
Функции
fn (х) = ап
всюду на
рассматривая многочлен как сумму этих функций, из тео-
ремы 1 получим, что многочлен есть функция, непрерыв-
ная на /?.
Теорема 5. Любая дробно-рациональная функция
непрерывна в каждой точке своей области определения.
183
Доказательство. Дробно-рациональная функция
имеет вид
f /х\ = р W
'W Q(X)>
где Р(х) и Q (х) — некоторые многочлены.
Так как Р(х) и Q(x) непрерывны на всей числовой
прямой и в области определения функции f(x) многочлен
Q(x) отличен от нуля, то f (х) непрерывна в своей обла-
сти определения (см. теорему 3).
Например, функция f (x) = 4x_^_j непрерывна на всей
7
числовой прямой, кроме точки х = — , в которой зна-
менатель дроби обращается в нуль. Функция же
г/ х х3+4хг + х-Н
непрерывна всюду на R, так как знаменатель нигде не
обращается в нуль.
Функции, непрерывные на отрезке, обладают целым
рядом важных свойств. Приведем без доказательства не-
которые из теорем, характеризующие эти свойства.
Теорема 6. Если функция f непрерывна на отрезке
[«; Ь] и на концах его принимает значения разных знаков,
то внутри отрезка [а; Ь] найдется хотя бы одна точка,
в которой данная функция обращается в нуль.
Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке,
то среди значений, принимаемых ею на этом отрезке,
существуют наименьшее и наибольшее значения. При этом
она принимает все значения между наибольшим и наимень-
шим значениями.
Упражнения
4.43. Исследуйте непрерывность следующих функций:
а) /(х) = 2х-]~1 в точках х—1, х =—1;
. I *2 — 1, х<0, Л ,
б) f (х) —\ q х>0 В точках х = 0» х =—1 и х = 1;
. . I х, х<0,
в) / W = \ , , 2 Л в точках х ——1, х —О и х = 2;
+х » * > о»
г) /(х)=х—1Х1 в точках х = —4, х = 0 и х = 3;
. , . . / 2|х|, |х|< 1,
д) /(х) = < ' . в точках х = —1, х=0 и х — 3.
I 1» х > 1,
184
4.44. Найдите пределы:
a) lim (4х—х3); б) Пт (х2 + 3х—5); в) Пт ;
х -* -1 х -* 2 х-»-2^Х-{-2
3x4-х2
г) Пт '—-г-;
х->0 2х24-х-Н
х2—1
Д)
Ж)х ! 5х2+4х—1 ’
х2—2х—3
Пт “2—Е—Гс > е)
ах2—5x4-6
х6—1
Нт —т:—г; и)
1 X3 —1
з)
х2—3x4-2
(-► 1 х2—4x4-3
х3 — Зх — 2
х3—8
Пт
с -► 2
к)
н)
п)
1/ х—1—2 V х —
lim —------=--; л) Нт ------— ; м) Нт
X-> 5 X —5 . х_>8 х—8 ’
Нт ; о) Нт - ;
X-0 /7+3—2 х-0/х2+4—2
lim ---r---;
х-*о Кб^х— К5 + х
х— 1
/х-1
/2х+10-4
р) 11тэ—tzzq—
х -» 3 X о
Глава! V
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 20. Степени и логарифмы
1. Степени. В курсе алгебры 8 класса вы уже по-
знакомились с некоторыми свойствами степеней с рацио-
нальными показателями. Напомним эти свойства.
Пусть а и b обозначают положительные действитель-
ные числа, а г, /у и г2 —произвольные рациональные
числа. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) •аг» = а''» + га;.
2) (аг*у» = аг*г»\
3) \ab)r = arbr\
5) если а > 1 и гх < г2, то < аг»;
6) если 0 < а <'1 и < г2, то ari > аг>;
7) если а < b и г > 0, то ar < br,t
8) если а < b и г < 0, то ar > Ьг.
Дадим определение степени с любым действительным
показателем а.
Определение. Пусть действительное число а за-
•писано в виде бесконечной десятичной дроби, и пусть ап,
neN, — последовательность его десятичных приближений
с недостатком. Тогда для любого действительного числа
а > 0 степень определяется равенством
яа= limo°4
Л—>оо
(1)
Докажем, что для любого действительного числа а
и любого действительного числа а > 0 степень аа суще-
ствует, т. е. существует предел (1).
Для любого действительного числа а последователь-
ность его десятичных приближений с недостатком (ап)
186
является неубывающей и ограниченной. Пусть, напри-
мер', для всех п, где р —целое число. Тогда, если
а > 1, то последовательность (аа«*) в силу свойства сте-
пеней с рациональными показателями будет неубываю-
щей и ограниченной сверху числом пр, а если 0<а<С 1,
то (а'п) будет невозрастающей и ограниченной снизу
нулем. Из теоремы о пределе монотонной ограниченной
последовательности следует, что предел (1) существует
в обоих случаях.
Степени с действительными показателями обладают
всеми свойствами степеней с рациональными показателями.
Сформулируем эти свойства.
Пусть а и b обозначают положительные действитель-
ные числа; а х, xlt ха —произвольные действительные
числа. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) axtaxt=axt+xt;
2) (ах')х* = ах'х*\
3) (дЬу = ах^Ьх\
5) если а > 1 и <х2, то ах* < ах*\
6) если 0 < а < 1 и хх < ха, то > ах*\
7) если а < b и х > 0, то ах <’ЬЖ;
8) если а < b и х < 0, то ах > Ъх.
Эти свойства степеней с действительными показате-
лями примем без доказательства.
2. Логарифмы. В курсе алгебры 8 класса было дано
-определение логарифма числа по данному основанию и
достаточно подробно изучались свойства десятичных ло-
гарифмов. Напомним это определение и сформулируем
основные свойства логарифмов.
Определение. Пусть а > 0 и а =# 1. Число а на-
зывается логарифмом числа 6 > О по основанию а, если
аа = Ь.
Логарифм числа b по основанию а обозначается loga6.
По самому определению
a]ogab = b.
Это равенство является просто другой формой опреде-
ления логарифма.
187
Из определения следует, что логарифм определен лишь
для положительных чисел. Примем без доказательства,
что логарифм определен для любого положительного
действительного числа.
Сформулируем основные свойства логарифмов.
Пусть а, хх, х2 и х обозначают положительные дей-
ствительные числа, причем а=/=1. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) loge(x1x2) = logax1 + logflx2;
2) logflx“ = alogflx;
3) если а > 1 и хх < х2, то logn хг < logfl х2;
4) если 0<a< 1 и хх < х2, то logfl хх > logfl х2.
Эти утверждения являются непосредственными след-
ствиями соответствующих свойств степени.
Действительно, из определения логарифма и свойства 1
степени следует, что
Xlx2 = a,oga*’ aloga*1 2 = aIog^‘+Iog^,
и поэтому
loga (Х1Х2) = 1 ogfl хх + logfl х2.
Аналогично
xa = (aIoga*)a = aa Iog<
и, следовательно,
logfl xa = alogflx.
Пусть теперь а > 1 и хх < х2. Если бы было logflxx^
logflх2, то, в силу свойства степени,
al°gflX.
т. е. хх х2. Полученное неравенство противоречит тому,
что хх < х2. Следовательно, должно быть
log,, xx<logflx2.
Аналогично доказывается и свойство 4 логарифмов.
Из свойств 1 и 2 логарифмов следует, что
logfly- = logfl *i-log,, ха.
л2
Действительно,
1 ogfl 77 = log* = logfl X1 + log« Х2’Х = log« Xi ~ log‘ *2-
188
3. Формула перехода от логарифмов по одному осно-
ванию к логарифмам по другому основанию. Пусть а > О,
Ь>0, а^=1, 6=/=1 ис>0.
По определению логарифма
и поэтому (см. свойство 2 логарифмов)
logbc = logao logb а.
Эта формула обычно записывается в таком виде:
log „г=12^,
6a logb а
и называется формулой перехода к другому основанию.
Полученная формула позволяет находить логарифмы чи-
сел по основанию а, если известны логарифмы по осно-
ванию Ь. Эта формула очень часто применяется при ре-
шении логарифмических уравнений и неравенств. Из нее,
в частности, следует, что
log b =.
5a logb а
Наиболее употребительными на практике являются
десятичные логарифмы, когда в качестве основания бе-
рется число 10, и натуральные логарифмы, когда в ка-
честве основания берется число е= lim ( 1 + — )
Десятичный логарифм числа b обозначается lg b,
а натуральный логарифм обозначается 1п&.
Упражнения
5.1. Сравните между собой следующие пары чисел:
а) 21'7 и 20,8; б) (l)1’’ и (у)°’8
в)3°’7иЗГя; г) и
5.2. Дана последовательность ап — 28л-1, n£/V.
Докажите, что показатели членов этой последовательности обра-
зуют арифметическую прогрессию, а сами члены — геометрическую
прогрессию. Найдите разность первой прогрессии и знаменатель
второй.
5.3. Решите уравнения:
/IV /IX* /IX*
а) 2* = 3; б) =2; в) 5*=Ш г) (у) =-3.
189
5.4. Вычислите:
a) 7log’ •; б) 0,l1Qg°’14; в) loga a’jj/a*;
г) log6 l°g2 logs log2 512.
§ 21. Показательная логарифмическая
и степенная функции
1. Показательная функция. Пусть задано некоторое
число а > 0, аф 1. Тогда' функция
у = ах, x$R, (1)
называется показательной функцией.
По самому определению показательная функция опре-
делена-на множестве R всех действительных чисел. Мно-
жеством значений показательной функции является мно-
жество R+ всех положительных действительных чисел.
Действительно, для любого иа > 0 существует ха =-
= logat/0, и поэтому ах* = у0.
Из свойств 5 и 6 степеней следует, что если а > 1,
то показательная функция (1) возрастающая, а если
0<а<1, то показательная функция (1) убывающая.
Т ё о р е м а 1. Показательная функция непрерывна
в любой точке xc^R.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда а > 1.
Пусть (хп)—некоторая последовательность, сходящаяся
Покажем, что последовательность уп = аХп, n£N,
сходится к у0 = ах°.
Возьмем некоторое е > 0. Не ограничивая общности,
будем считать,-что e<z/0. Тогда из'свойств логарифмов
следует, что
loge (у0 - 8) < х0 < toge (у0 4- е).
Так как lim хп = х0, то существует Nt такое, что
п -* 00
loga(r/0 —е) < хп ДЛЯ1 п > ^1» и существует Л/в такое, что
хп < loga (у0 + е) для п> У2. Через W обозначим наи-
большее из чисел и N*. Тогда для любого n > N
справедливо неравенство
loga (#о - е) < хп < loga (у0 + е).
Отсюда следует, что
у0 — е <ах" < у0 + г
190
для любого п> N. Так как е — произвольное положитель-
ное число, то, следовательно, доказано, что lim аХп = у0.
П -* о»
А так как (хп) — произвольная последовательность, схо-
дящаяся к х0, то
lim ах = ах°.
х^х0
Если 0 < а < 1, то a~l > 1 и, следовательно,
lim ах =
X —► Хо
Теорема доказана.
Теорема 2. Если а> 1, /ио
lim ах = 4- оо, lima* = 0.
Х->+» Х-> —оо
Доказательство. Пусть (хп) — произвольная по-
следовательность такая, что limxn=4-°°- Покажем,
ZI—► 09
что последовательность уп = аХп, n£N, стремится к +оо
при п—>оо.
Возьмем некоторое М > 0. Так как хп—► 4-°°» то
существует N такое, что хп > loga М для любого n > N.
Следовательно, ах«> М для любого и > N. Отсюда, в силу
произвольности Л4, следует, что lim а*п = +оо. Атак как
последовательность (хп) произвольная, удовлетворяющая
лишь условию lim хп = 4-9°» то тем самым доказано, что
П -> оо
lim ах= 4- оо.
Х->+ оо
Аналогично доказывается второе утверждение.
Пусть последовательность (х„) такая, что lim хп = —оо.
Г1-* оо
Возьмем некоторое е > 0. Так как хп—►— оо, то сущест-
вует N такое, что для любого п > N хп < loga е и, следо-
вательно, а*п<е. Отсюда, как и выше, следует, что
lima*« = 0 и, наконец, lim а* = 0.
Л -> оо “ оо
Теорема доказана.
Следствие. Если 0 < а< 1, то
lim а* = 0, lim а*=4-оо.
+ оо Х-> - 00
191
Схема графиков показательных функций представлена
на рис. 51. Графики наглядно иллюстрируют рассмотрен-
ные выше основные свойства показательной функции.
2. Логарифмическая функция. Пусть задано некото-
рое число а > 0, а =/=1. Тогда функция
z/=logex, x£/?+, (1)
называется логарифмической функцией.
Если а = е, то логарифмическая функция обозначается
z/=lnx, а если а =10, то обозначается # = lgx.
По определению логарифмическая функция определена
на множестве R+ всех положительных действительных
чисел. Из определения
логарифма числа по дан-
ному основанию следует,
что логарифмическая
функция является функ-
цией, обратной показа-
тельной. Действительно,
если логарифмическая
функция y = \ogax числу
а ставит в соответствие
число Р, т. е. p = logaa,
то показательная функция у = ах числу р ставит в соот-
ветствие число а, т. е. а = ар, и наоборот. Очевидно, что
областью значений логарифмической функции является
множество R всех действительных чисел.
Из свойств 3 и 4 логарифмов (см. п. 2 § 20) следует,
что если a> 1, то логарифмическая функция (1) возра-
стающая, а если.0<а<1, то убывающая.
Теорема 1. Логарифмическая функция непрерывна
в любой точке x0£R+.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда а > 1.
Пусть (хп) — некоторая последовательность такая, что
хп > 0 и lim*n = x0, где х0 > 0. Покажем, что последо-
вательность yn = \0gaXn, n£N, СХОДИТСЯ К #o=l°gaxo-
Возьмем,некоторое е > 0. Тогда
< х0 < а&»+е.
х0 при п—>оо, то существует такое,
для любого п > и существует такое,
для любого л > N2. Через N обозначим
Так как хп—►
что хп > аУ•-е
что хп <ау°+*
192
наибольшее из чисел и AZa. Тогда, если n> N, то
< хп < д{/о+е
и, следовательно,
у0 — & < logexrt < г/о+е.
Так как е>0 произвольное, то lim logax„ = i/0. А так
как (хп) — произвольная последовательность, сходящаяся
к х0, то lim loga х = у0.
х->х0
Если 0<a< 1, то, очевидно, b = a~l> 1. Используя
формулу перехода к другому основанию, получаем
lim log х = lim logb * — logfrх° = log х
log,х irn^ |ogtа- |ogtа log,х„.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если a> 1, то
lim logaх = + оо, lim logflx =— сэ.
Х-> + ОО Х-> + О
Эта Теорема доказывается аналогично теореме 2 из п.1.
Следствие. Если 0 < а < 1, то
lim 1 oga. х = — оо, lim ldgfl х = + оо.
X-»- + 00 X—> + О
Схема графиков логарифмических функций представ
лена на рис. 52. Графики наглядно иллюстрируют основ
ные свойства логарифмичес-
кой функции.
3. Степенная функция.
Для любого действительного
числа а функция
у = ха, х£/?+, (1)
называется степенной функ-
цией с показателем а.
По самому определению
степенная функция опреде-
лена на множестве /?+ всех
Рис. 52.
положительных действитель-
ных чисел. Очевидно, что множество R+ является мно-
жеством значений степенной функции при любом а=/=0.
Действительно, значение у0 > 0 степенная функция (1)
с показателем а=/=0 принимает в точке х0 = у01/а.
7 Алгебра, ч. 1
193
Если а = 0, то для любого х>0. Из свойств
степеней следует, что степенная функция с положитель-
ным показателем возрастающая, а с отрицательным по-
казателем убывающая.
Теорема 1. Степенная функция непрерывна в любой
точке х0£/?+.
Доказательство. Представим степенную функцию
следующим образом: xa = ealnx, x£R+.
Пусть теперь (%„) — некоторая последовательность
действительных чисел таких, что хп > 0 и х№—>хв при
п—>-оо. Так как функция р = 1пх непрерывна в любой
точке х9 > 0, то последовательность уп = ln.x„, n € V, схо-
дится к у0 = 1пх0. А так как функция еау^(еа)у непре-
рывна в любой точке у0, то еа!,п'—+еау'> при п—>-00. Та-
ким образом,
lim х® = lim еаУп = е0^* =еа 1п х* = х?
для любой последовательности (хп) такой, что хп > 0 и
limxe = xe. Согласно определению это и означает, что
функция непрерывна в любой точке х0 > 0.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если а > 0, то
lim х“ = +оо, lim х® = 0.
Х-+ + to Х-+ + 0
Доказательство. Пусть последовательность (х„)
такая, что х№ 0 для всех n£N и хп—> + оо при п —> сю.
Тогда уп = In хп —*+00 при п —► оо, и потому х% = (е®)*« —*
—►-(-оо при п—»-оо.
Первая часть теоремы доказана. Докажем вторую часть.
Пусть теперь (хя) такая, что х„ > 0 и х„—«-0 при
п—»-оо. Тогда уп = Inхп—► —оо при п—>-оо, и поэтому
Хп={еа,)Уп —к0 при п—► оо.
Теорема доказана.
Следствие. Если а<0, то
limx®=0, limxa=+oo.
Х-+ + ОО Х->- + О
На рис. 53 изображены схемы графиков степенных
функций при a> 1, a = 1 иа£]0; 1[.
На рис. 54 изображен график степенной функции
при a < 0.
Замечание. Для некоторых а степень ха определена
не только для х > 0. Например, если а—натуральное
число: а=п, то степень хп определена для любого х £ /?.
Если а = —п, где п — натуральное число, то степень х~п
определена для любого x£R, х=£0. Функции у = ха,
x£R, и y = x~n, x£Rt х =/=(), часто также называются
степенными.
Эти функции являются четными, если п четное, и
нечетными/ если п нечетное. Если п нечетное, то функ-
ции у = хп и у = х~п имеют обратные х = у'!1я и х = у~Х1п.
Эти функции также называются степенными. Так, напри-
мер, считают, что формула у = х1/9 х задает функ-
цию, определенную на множестве R всех действительных
чисел. Она называется степенной функцией е показате-
лем 1/3.
Упражнения
6.5. Постройте на одном чертеже графики функций у = 3*?
/ з \х
у==2*, «/= I у j , Укажите сходство и различие графиков эти»
функций.
5.6. Выполните аналогичное предыдущему задание для функций
/ 1 \* / 1 \* / 2 \*
’ y==\JJ 1 ’
5.7. Найдите область определения и множество значений следую-
щих функций:
а) 0-2'х>; б) «/«-2*; в)у«|3*-3|.
Постройте графики этих функций.
5.8. Постройте на одном и том же чертеже графики функций
0*=log8x, |/»=log8t6x, z/ = log6x, Укажите сходство и различие
в графиках этих функций,
7* 195
5.9. Выполните аналогичное предыдущему задание для функций
y=log1/3x, y=log0 6x, y=log1/4 х.
5.10. Найдите область определения и множество значений сле-
дующих функций:
a)y=log2|r|; б) y=log05|x|; в) у=-| log8 х |;
r) = |log1/2x|; Д) tf=log2(— х)\ е) у = \ log1/2 (— х) |.
Постройте графики этих функций.
5.11. Постройте на одном и том же чертеже графики функций
у — х, у = х2, y = xl^t у = хъ1*, у = х3^2 Укажите сходство и раз-
личие графиков этих функций.
5.12. Может ли график функции # = хЛ, где г—рациональное
число, проходить через точку А (2; 3)?
5.13. Дана функция у = хп. Покажите, что при любом n£N
график функции проходит через начало координат и точку (1; 1).
§ 22. Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства
1. Показательные уравнения. Показательными урав-
нениями обычно называют такие уравнения, в которых
неизвестное содержится только в показателе степени.
Так, например, уравнения 2Х+7— 7 = 0, 3х =1 будут по-
казательными, а уравнения 2х+1 = х, х-Зх = х уже не
являются показательными.
Методы и приемы решения показательных уравнений
рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 1. Решить уравнение 42Х-1 = 2Х.
Решение. Логарифмируя обе части этого уравнения
по основанию 2, получаем f
(2х—1) loga4 = x, (1)
а так как loga 4 = 2, то
2(2х—1) = х. (2)
2
Из последнего уравнения находим, что х=-^. Это зна-
чение и только это значение х будет решением данного
уравнения, так как уравнение (2) равносильно уравнению
(1), а уравнение (1) равносильно исходному уравнению.
Весь процесс решения кратко можно записать в сле-
дующем виде:
42х-1 = 2хфф (2х— 1) loga 4 = х<Ф 2(2х — 1) = х<Фх = 4-
Ответ. .
196
Пример 2. Решить уравнение
№=8.w-.
2 К2
Решение. Прежде всего заметим, что
0,125 = (0,5)3 = (у у = 2“3;
2 К 2 = 21 +*/« = 2’/» = 21 *5;
0,25 = (0,5)2 = (уУ = 2-2-
Следовательно, данное уравнение равносильно следую-
щему:
2~з (х-о,5) _ 21»». 23 • 2-2 (1“х)
Логарифмируя обе части последнего уравнения по осно-
ванию 2, получаем уравнение
—3(х-0,5)= 1,5 + 3-2(1-х),
решения которого и только они будут решениями исход-
ного уравнения.
Решая последнее уравнение, получаем
—5х = —1,5+1,5 + 3-2
и, наконец, 5х = —1.
Ответ. {—0,2}.
Пример 3. Решить уравнение 4*-1 = 33*.
Решение. Логарифмируя обе части данного уравне-
ния по основанию 4, получаем, что
х— 1 = Зх log4 3
и, следовательно,
_ 1
Х~ 1— 31og43 ’
Во всех предыдущих примерах применялся при реше-
нии один и тот же метод—метод логарифмирования обеих
частей уравнения по одному и тому же основанию. Этот
метод основан на том, что два положительных числа
равны тогд? и только тогда, когда равны их логарифмы
по одному и тому же основанию.
197
Пример 4. Решить уравнение
2-9х —Зх+1—2 = 0.
Решение. Так как данному уравнению можно при-
дать вид
2-(3*)а —3-3* —2 = 0,
то, положив (/ = 3*, относительно у получим квадратное
уравнение
2</а — Зу — 2 = 0.
Решив это уравнение, получим у = 2 и у = — 1/i. По-
следнее равенство невозможно, так как 3х > 0. Следова-
тельно, Зх=*2. .
Ответ. x=log,2.
Здесь мы применили прием, который называется ме-
тодом замены переменной. Отметим, что этот прием может
привести к появлению так называемых посторонних ре-
шений. Так, в примере 4 после замены у = Зх получаем
относительно у квадратное уравнение. Очевидно, что если
Xi — решение исходного уравнения, то ух = 3*> — решение
полученного квадратного уравнения. Однако у квадрат-
ного уравнения есть решение (у = — х/2), которое не соот-
ветствует никакому решению исходного уравнения.
В заключение рассмотрим еще один пример уравнения,
которое решается методом замены переменной.
Пример 5. Решить уравнение
2**+l —4** = 1.
Решение. Заменой, переменной у = 2х* данное урав-
нение сводится к следующему квадратному уравнению;
2у —У* = Ь
которое имеет только одно решение у=Л. Из уравнения
1=2Х* находим, что х = 0. Проверкой убеждаемся, что
х-=0 действительно Является решением данного уравнения.
2. Логарифмические уравнения. Логарифмическими
уравнениями обычно называют такие уравнения, в кото-
рых неизвестное содержится только под знаком логарифма
(в частности, в основании логарифма). Так, например,
уравнения 21og2x — 7 = 0, log* 2 = 4 будут логарифмиче-
скими, а уравнение Igx —ха = 0 уже не является лога-
рифмическим.
198
Методы решения логарифмических уравнений проил-
люстрируем на конкретных примерах.
Пример 1. Решить уравнение
log2(3x—2) = log1/2x.
Решение. Так как по формуле перехода к другому
основанию
log., x = -logiX = —log х
log,’/» — 1 ’
то данное уравнение равносильно следующему:
log2(3x — 2) = logax"1. (1)
Очевидно, если логарифмы двух чисел по одному’и тому
же основанию равны, то равны и сами эти числа. Поэтому
если некоторое х0 удовлетворяет уравнению (1), то оно
удовлетворяет и уравнению
Зх-2 = х-\ (2)
т. е. уравнению
Зх2 — 2х = 1.
Решениями этого квадратного уравнения будут х=1
и х = —’/8.
Из наших рассуждений следует, что все решения дан-
ного уравнения принадлежат множеству {1; —*4}.
Однако нужно особо отметить, что не все числа этого
множества обязательно будут решениями данного урав-
нения.
Проверкой .убеждаемся, что толькр х = 1 является
решением данного уравнения.
Ответ. {]}.
Символически ходфешения можно записать следующим
образом:
log9 (Зх — 2) = log>/t х ФФ 1 og2 (Зх — 2) = log2 х~»=>
=ФЗх — 2 = х"1 ФФ Зх2 — 2х= 1 ффх = 1 и х = — J/3.
Здесь при переходе от уравнения (1) к уравнению (2)
поставлен знак =Ф, а не знак ФФ, так как решение урав-
нения (2) может не быть решением уравнения (1).
Пример 2. Решить уравнение
1g (х —2) + lg(x —3)= 1 —lg5.
199
Решение.
lg(x —2) + lg(x —3)~ 1 — lg5=> lg (x — 2) (x — 3) =
= lg2=>(x — 2)(x — 3) = 2ф>х = 4 и x=l.
Проверкой убеждаемся, что х = 4 будет решением данного
уравнения, а х= I не будет решением, так как при х = 1
не определена (не имеет смысла) левая часть уравнения.
Ответ. |4}.
Укажем еще другой метод решения этого уравнения,
основанный на предварительном нахождении множества
всех значений х, для которых определены (имеют смысл)
обе части уравнения. Это множество обычно называется
областью определения уравнения или областью допустимых
значений переменной.
Функция 1g (х—2) определена лишь для х > 2, а функ-
ция lg.(x — 3) лишь для х > 3, поэтому левая часть дан-
ного уравнения определена лишь для х > 3 и, в частности,
все решения данного уравнения принадлежат интервалу
]3; + оо[.
Из свойств логарифмов следует, что х > 3 удовлетво-
ряет данному уравнению тогда и только тогда, когда оно
удовлетворяет уравнению
lg(x-2)(x-3) = lg2.
Далее, х > 3 удовлетворяет этому уравнению тогда
и только тогда, когда оно удовлетворяет уравнению
(х —2) (х — 3) = 2,
а этому уравнению среди х > 3 удовлетворяет лишь х — 4.
Следовательно, х = 4 является решением данного уравне-
ния и других решений нет.
Кратко эти рассуждения можно записать следующим
образом.
На интервале ]3; +°°[, т. е. на области определения
данного уравнения,
lg(x-2) + lg(x-3)=I-lg5^1g(x-2) (x-3) = lg2«
(х — 2) (х — 3) = 2 х =* 4.
Пример 3. Решить уравнение
41og, 1g х= 1g х— lgax+ 1.
Решение. Правая часть уравнения определена для
всех х > 0, а левая часть —для всех х, для которых
lgx>0, т. е. для х> 1. Следовательно, областью опре-
200
деления данного уравнения является интервал ]1; +<»[.
На этом интервале, т. е. для х > 1,
410g, ig х — 22 iog2 ig x — (2,oe> *)» = (1g x)2.
Поэтому на интервале ]1; +<ю[ данное уривнение равно*
сильно уравнению
21g2 х — Igx — 1 =0.
Решая это уравнение как квадратное относительно Igx,
получаем два решения
lgx = l и lgx = — х/а.
Второе решение не удовлетворяет условию lgx>0«
Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению
lg х= 1 и имеет единственное решение х = 10.
Ответ. {10}.
Заметим, что при решении последнего уравнения мы
фактически воспользовались заменой переменной у = 1g х,
Пример 4. Решить уравнение
1о83 V~x х + 1о8зх V* = 0.
Решение. Прежде всего в логарифмах перейдем
к основанию 3' и преобразуем полученные выражения:
log, v- х = -^«4=. = ,
v log33 К* l+1/alog3x
1 пп 1/Т = log3
r 1og33x l + log3x *
Эти равенства являются тождествами по х. Поэтому дан-
ное уравнение можно записать в следующем виде:
logs* I Vglog»* А
1 -Г/2 10g3X ' l+log3X
Сделаем замену у = log3x и решим полученное урав-
нение:
У I 1/аУ -Па, (1 +^+1/а + 1/4У)^_ п
1+х/2^1+У (l-P^U+y)
^у = 0 или J +4 у = 0-
Следовательно, объединение решений уравнений log3x = 0
и log3х = — ®/5, т. е. х= 1 и х = 3~в/б, является множе-
ством всех решений данного уравнения.
Ответ: {1; 3~6/8}.
201
Пример 5. Решить уравнение
lg(l — л:)—71gx= 2 lg(x —3).
Решение. Левая часть этого .уравнения определена
для х, удовлетворяющих условиям 1—х>0 и х>0,
т. е. для х С ]0; 1[, а правая часть —для х>3. Следо-
вательно, это уравнение не имеет решений.
Пример 6. Решить уравнение
log, JC* + 10gJx-10 __1_
х - Х2 •
Решение. Это уравнение, строго говоря, не является
логарифмическим, однако, логарифмируя обе его части
по основанию 3, получаем равносильное ему логарифми-
ческое уравнение
(2 log8 х + logj х — 10) log3 х = — 2 log8 x.
Это уравнение равносильно следующим двум:
log8x = 0 и log^x + 2 log8x—8 = 0.
Решая последнее уравнение относительно log3 х, получаем
l«g3*=—1±3, т. ё. log8x = 2, log8№—4.
Ответ. {1; 9; х/81}.
3. Показательные и логарифмические неравенства.
Методы решения показательных и логарифмических нера-
венств, как и методы решений соответствующих уравне-
ний, рассмотрим на конкретных примерах. Основные
приемы решения этих неравенств опираются на свойства
возрастания или убывания соответствующих функций.
Пример 1. Решить неравенство 32х > 3х-2.
Решение. Показательная функция с основанием,
большим 1, возрастает, поэтому
32х > зх-2^2х>х — 2«х>— 2.
Ответ. {х£/?|х> — 2} или, короче, ] —2;
Пример 2. Решить неравенство 3*~2-2Х>22.
Решение.
3*~а-2х > £2 фэ 6х-З-2 > 22о6х> 6а4Фх> 2.
Ответ. ]2; +«>[.
Пример 3. Решить неравенство (yj * > ’
202
Решение. Так как (у)* и показательная функ-
ция с основанием, меньшим 1, убывает, то данное нера-
венство выполняется для тех и только тех х, для которых
2х — 1 < 4, т. е. для х < 2,5.
Ответ. ] — оо; 2,5[.
Пример 4. Решить неравенство 2* > 3.
Решение. Прологарифмируем обе части данного
неравенства по основанию 2. i
Из свойств степеней и логарифмов следует, что
2* > 3 ФФ х > log, 3.
Ответ. ] 16ga 3; 4-оо[.
(1 I
у) < Т ’
Решение. Прологарифмируем обе части данного
неравенства по основанию у, затем воспользуемся тем,
что показательная функция с основанием, меньшим 1,
убывает. Тогда
(у) <у ФФх» — 2х> 2.’
Решая полученное квадратное неравенство, находим, что
х> 1+/3 или х < 1— Гз. Следовательно, множеством
решений данного неравенства является объединение двух
интервалов ]1 +К3; 4-°°[ и ] — оо; 1— К3[.
Ответ. ]—оо; 1 —р^З [ и ] 1 4-4-°°[.
Пример 6. Решить неравенство
log, (2х + 1) < loga 5.
Решение. Если некоторое х удовлетворяет заданному
нера’венству, то оно удовлетворяет неравенству
2x4-1 >0,
так как логарифм определен лишь для положительных
чисел, и неравенству
2x4-1 <5,
так как логарифмическая функция с основанием, боль-
шим 1, возрастает.
Очевидно, и наоборот, если х удовлетворяет этим двум
неравенствам, то х удовлетворяет и данному неравенству.
203
Решая полученную систему неравенств, находим, что
0,5 и х < 2, т. е. х£] — 0,5; 2[..
Ход решения символически записывается следующим
образом:
( 2x4-1 >0 ( х>—0,5
log3 (2x4-1) < log35^| 2х4-1<5^\х<2
ФФ — 0,5 < х < 2 фф х £ ] —0,5; 2[.
Ответ. ] —0,5; 2[.
Пример 7. Решить неравенство
l°go,в (3*4-1) < log0,5 (х—1).
Решение. Левая часть неравенства определена лишь
для х таких, что 3x4-1 > 0, а правая—для х> 1. Учи-
тывая это замечание и используя свойство убывания ло-
гарифмической функции с основанием, меньшим 1, полу-
чаем, что данное неравенство эквивалентно следующей
системе неравенств:
3x4-1 > 0,
х > 1,
Зх 4-1 > х — 1.
Решением этой системы будет любое х>1, и других
решений она не имеет.
Ответ. ]1; 4-°°[-
Пример 8. Решить неравенство
logi-x(x- 2)>- 1.
Решение. Левая часть неравенства определена для х,
удовлетворяющих условиям:
1—х>0,
х —2> 0,
, 1-х #= 1.
Очевидно, что нет ни одного действительного числа,
которое удовлетворяло бы этим условиям. Поэтому данное
неравенство не имеет решений, т. е. множество его реше-
ний пусто.
Ответ. 0.
204
Упражнения
5.14. Решите уравнения:
а) 3*-‘ = 81; б) 9~ = 27*’-1; в)
г) 1,8х1_5х~х1 = 5,832; д) 21 «3х—Зх+4 = 5х + а—5Х+3;
х__i_ х__i_ x+J_
е) 3 а—2ах = 4 а—3* а; ж) 27.3?<х+х>—Зх+а=2;
з) 2х+а+Ух«- з _5,2х+’/^4-8=0; и) 2х+2-«х = 2а, где а
действительное число.
5.15. Решите уравнения:
а) Зх + 14-Зх=108;
б) 7«Зх+х—5х+? = Зх+4 —5Х+3;
в) 52x4-1 = 5x4-4; Г) 4х~а—17.2х-‘4-1 =0;
д) 2Х,-Х—3x* = 3xI~1—2х,+а;
е) 5х2—3x2+i = 2 (б*2-1—Зх’-?);
/ 7 \ Х4-1 / 5 \ — (Х4-1)
ж) f g-j • (у J =343х+3:125х+з,
5.16. Решите уравнения:
а>^^=2; б> iog1/8(x-/H^i6)=-i;
В) lg(2x)4-lg(x4-3) = lg(12x-4);
г) loga (3?х~? + 7) =2+log2 (Зх-Х+1);
Д) (3-lgx4-lg3) 1gх = 2 1g 34-2; е) -L Jg (х* !gx) = lg/7;
ж) log3 x-|-logjf 3 = 2,5; 3) 9.3Iogjc 4 — ) °g* 1/8 =0.
5.17» Решите уравнения:
a) llg(x?4-2x)-lg /7+2=0;
6) 41gax—2 = lgxa; в) 4 lgax+lgx? = 2;
r) 0,5 loga (xa—2x) —loga V 6—x = 0;
Д) 14-Iog2 (3x+l) = loga (x?—5);
e) loga (4—x)+log2 (1 —2x) =2 loga 3;
ж) 1g (169 + x3)-31g (x+ 1) =0;
3) lg (x-9)+ 2 1g /2x-l=2;
и) loga (9x-1 + 7) = 2 loga (Зх-Х+1);
к) xi+lgx =0,001 -a/\ л) lg(4x-6)+lg (J-gj = 2;
m) lg? x — lgxa = lg? 3 + 4- log3/—3.
d 1/ 1/3
205
6.18. Решите неравенства:
а) 4-* > 64; б) 0,3* < з|-; в) 6* > 13j
V
— — + 2
г) 0,5*2"4* < 8; д) 2х 4-4* <68; е) 4* < 2*+*4-3;
ж) (4*~1)х/а > 4; з) 2*4-2?*+’—3»22*+* >—3,
5.19. Решите неравенства:
а) -^-^0,04; 6)0,25*^-^-;
в) 3?*+б<3*+?4-2; г) (0,04)5*-*’-8 < 625}
— ч / 3 \ 1/* , /"з
д) 2*4-1 < з.2 а ; еЦт/ < V Т•
6.20. Решите неравенства:
a) loga/ax > 25; б) logx (х?4-1) > 2;
jc I 3
В) logo,»# («—1)4-logo,15 (*4-1) > logo,is3; r) > h
д) 24-loga /x4-l > 1— l°g1/a V 4—x2;
e) log1/a(*4-8) —log1/2(x—3) > log1/a3x;
ж) 4g(sZx)' > $ Уleg* l°g«x > — h
и) I5,o*«’.x1 + ,o*‘e* > 1.
5.21. Решите неравенства:
a) log0,e (2—5x)<—2; 6) loga (4—3x) <—3;
в) log4 (3—4x)Ss— 1; r) log0,a (15—2x)^s—2;
Д) logio (0,6-f- 2x) ^s—0,25; e) log0(8 (3—5x) 0} >
ж) (l®go,eO>216) log* (5—2x)<0;
3) logo,2 (2—5x) 0; и) 25 > 5logs <4 ’ 3X);
K) 0.4»S0,4toeM<»-“>; л)
i i >их -p I uX
M> H> lg’<100x) + lg>(10x)+lex<14.
logo.e (4*4-0J
§ 23. Тригонометрические функции
числового аргумента
1. Введение. Изложение дальнейшего материала стро-
ится на базе 8-летней школы. Основное содержание прой-
денного материала дано ниже.
Основные соотношения между тригоно-
метрическими функциями:
.о, я , . sin а . сова
sin2 а 4-cos2 а = 1, tga=-, ctga=«—;—.
’ ь cos а ’ ь sin а
206
Выражение
ц и й угла —a
функции угла а:
sin(—а) = — sin а,
tg(— а) = — tga,
тригонометрических функ-
ч е ре з
тригонометрические
cos (—а) = cos а,
cig (—а) = — ctga.
Выражение тригонометрических функ
ций углов 90° ±а, 180° ± а через тригономет
рические функции у
sin (90°+а) = cosa,
cos (90° 4- а) = — sin а,
tg (90° + а) = — ctga,
ctg (90° + a) = — tg a,
sin (180°+a) = — sin a,
cos (180®+ a) = — cosa,
tg (180° + a)= tga,
ctg (180е + a) = ctg a,
л a ct:
sin (90° — a) = cos-a*
cos (90° — a) = sin a,
tg (90°—a) = ctga,
ctg (90°—a) = tga,
sin (180® —a) = sin a,
cos (180°—a)== —cos a,
tg (180°—a) = —tga,
ctg (180° — a) = — ctga.
Значения тригонометрических функций
для некоторых углов:
2. Радианное измерение углов и дуг. Любой угол
можно рассматривать как результат вращения луча
в плоскости вокруг начальной точки. Вращая луч вокруг
точки О от начального положения ОА до конечного поло-
жения ОВ, получим угол ЛОВ (рис. 55).
Понятие об измерении углов известно из геометрии.
При измерении углов принимают некоторый определен-
207
ный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют
другие углы.
За единицу измерения можно принять любой угол.
На практике уже более трех тысяч лет за единицу
измерения величины угла принята 1/зв0 часть полного
й оборота, которую называют градусом,
s В технике за единицу измере-
.S ния углов принимают полный обо-
jS рот.
s\ В мореплавании за единицу из-
1— ——... мерения углов принят румб, равный
А J/92 части полного оборота.
Рис- 55. В артиллерии за единицу изме-
рения углов принята 1/в0 часть пол-
ного оборота, которую называют большим делением уг-
ломера (0,01 часть большого деления угломера назы-
вают малым делением угломера).
В связи с развитием техники появилась потребность
измерять круговые движения (т. е. повороты на сколь
угодно большие углы и различ-
ные колебательные процессы,
связанные с круговым движе-
нием). Появилась потребность
в новой, универсальной едини-
це измерения дуг и углов.
Такой единицей оказалась ра-
дианная (радиусная) мера угла,
она появилась в трудах Нью-
тона (1643—1727) и Лейбница
(1646—1716) и вошла в науку
благодаря трудам академика
Петербургской академии наук
Леонарда Эйлера (1707—1783).
Пусть дана некрторая единичная окружность, т. е.
окружность с центром в некоторой точке О и с радиу-
сом, равным единице масштаба. Выберем на этой окруж-
ности некоторую точку А (рис. 56)-.
Каждому числу а£]0; 2л[ поставим в соответствие
точку Ма данной единичной окружности такую, что длина
дуги АМа равна а, причем дуга АМа откладывается от
точки А против часовой стрелки. Числу 0 и числу 2л
поставим в соответствие точку А. Таким образом, между
точками единичной окружности и числами промежутка
[0; 2л[ установлено взаимно однозначное соответствие.
208
Число а называется радианной мерой дуги АМа и соот-
ветственно угла АОМа.
Из этого определения следует, что угол, радианная
мера которого равна 1,—это угол, который конгруэнтен
центральному углу единичной окружности, опирающемуся
на дугу единичной длины.
Из формулы для вычисления длины дуги окружности
следует формула, связывающая радианную и градусную
меры угла. Действительно, если а —длина дуги единичной
окружности, градусная мера которой равна р, то
а~ 180 ’
Таким образом, дуга в 1 радиан содержит 180/л гра-
дусов:
180°
л
57°17'45*.
Дуга в, Г содержит л/180' радиан:
^«0,0175.
Для перевода меры угла из градусной в радианную
и обратно существуют таблицы (см., например, Б ра-
ди с В. М. Четырехзначные математические таблицы.—
М.: «Просвещение», 1974, с. 59—61).
Приведем таблицу для углов и дуг, которые встре-
чаются часто.
Таблица 9
Градусы 360° 180° 90° 60° 46° 30° 18° 15° 10° - 1°
Радианы 2л л л "2 л т л Т л Т л То л 12 л 18 л 180 — R 180*Р
Снова рассмотрим единичную окружность с выбранной
точкой А (см. рис. 56).
Каждому числу а£] —2л; 0[ поставим в соответствие
точку Ма данной единичной окружности такую, что длина
дуги АМа равна |а| и дуга АМа откладывается от точки А
по часовой -стрелке (рис. 57). Числу —2л поставим
в соответствие точку А.
209
Произвольное число а представим следующим образом:
а = а0 + 2Лл,
где & —некоторое целое число, а а0£] —2л; 2л[. Заме-
тим, что для любого а такое представление возможно.
Теперь числу а поставим в соответствие ту же точку, что
и числу а0, т. е. точки 7Иа и Мао совпадают.
Таким образом, выше построено соответствие между
действительными числами и точками единичной окруж-
ности. Из самого построения этого соответствия следует,
что точки Ма+ая, Ма_ад, Ма совпадают.
О точке Ма говорят, что она получается из точки А
поворотом на |а| радиан против часовой стрелки, если
а > 0, и по часовой стрелке, если
а < 0. Вращение против часовой
стрелки иногда называют враще-
нием в положительном направле-
нии, а вращение по часовой стрел-
ке— вращением в отрицательном
направлении.
3. Тригонометрические функ-
ции числового аргумента. В пре-
дыдущем пункте установлено со-
ответствие между множеством дей-
ствительных- чисел и множеством
точек единичной окружности.
Каждому действительному числу а поставлена в соответ-
ствие точка Ма единичной окружности.
Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система
координат так, что ее начало совпадает с центром рас-
сматриваемой единичной окружности, а единичная точка
оси абсцисс совпадает с точкой А.
Пусть ха, ул — координаты точки Ма. Тогда каждому
числу а поставлены в соответствие два числа ха
Число уа называется синусом а и обозначается
а число ха называется косинусом а и обозначается
Функция sina, a^R, называется синусом.
Функция cosa, a£/?, называется косинусом.
Из определения синуса и косинуса следует, что
И уа.
sin а,
cos а.
cos2a -j-sin^a = 1
для любого a£/?.
13
Пример 1. Найти синус числа а = -^-л.
210
Решение. Так как
13 _П । п
__л_ —_|-2л,
то этому числу соответствует та же точка /Ия/«» что
и числу л/6. Опустим из точки Л4я/в перпендикуляр Л4я/вР
на ось Ох (рис. 58), имеем IРЛ4я/в | = у. В прямоугольном
треугольнике РОМ длина ги-
потенузы ОМпц равна 1 (так
как окружность единичная),
длина катета РМп/6 равна 0,5
(как катет, лежащий против
угла в 30°). Следовательно,
ордината точки Мпц рав-
на 0,5.
13
Ответ, sin у л = 0,5.
sin а
Отношение----- называет-
cos а
с я тангенсом а и обозна-
чается tgd. Легко видеть, что
tga определен для всех
действительных чисел а=£±у+л£, k£Z.
Функция tga, а С/?, а ±у + лЛ, k£Z, называется
тангенсом.
Отношение называется котангенсом а и обозна-
sm a
чается ctga. Легко видеть, что ctga определен для всех
действительных чисел а=^л£, k£Z.
Функция ctga, а£/?, а^=л^, k£Z, называется ко-
тангенсом.
Из определения тангенса и котангенса следует, что
tg a - ctga= 1
для всех значений а, при которых и tga и ctga имеют
смысл, т. е. при всех а£/?, кроме а = /?у, k£Z.
3 3
Пример 2. Найти tgyn и ctg-ул.
Решение. Числу Зл/4 на числовой окружности
соответствует точка М, которая является концом дуги
в 135°. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ох.
Треугольник 0MN прямоугольный и равнобедренный
211
(рис. 59). Следовательно, точка М. имеет координаты
V~2
у = и поэтому
. 3 у , , 3 х ,
tg-7-Ji = -y = — 1; ctg —л= —= —1.
° 4 х ь 4 у
3 3
Ответ, tg — л = ctg у л = — 1.
Пример 3. Доказать, что
1 + tg а_1 -f-2 sin а cos а
1—tga cos2 а—sin2 а
Доказательство. Преобразуем правую часть,
заменив в числителе 1 на sin2a + cos2 а. Получим
1 + 2 sin a cos a_sin2 a4~cos2 a-f- 2 sin a cos a_
cos2 a—sin2 a cos2 a—sin2 a
______(sina+cos a)2__________sin a-f- cos a
(cos a—sin a) (cos a-f-sin a)_cos a—sin a ’
Разделим числитель и знаменатель на cosa:
sin a-f-cosa_ 1 -f-tg a
cosa—sina 1—tga
Итак, получили выражение, которое находится в
левой части заданного равенства, что и требовалось
доказать.
Пример 4. Упростить выражение
Д = 8 - I 8
1 4* cos a * 1 — cos a
212
решение. Имеем
- /8 (1—cos a)-f-8 (1 4-cos а) / 16 4
V 1—cos2 а V sin2 а | sin а | ’
Следовательно, 4 = —, если sin а > 0, и А=-----,
sina’ ’ sin а ’
если sina < 0.
Сделаем несколько замечаний относительно знаков
значений тригонометрических функций.
Пусть, как и выше, Л4а —точка единичной окруж-
ности с центром в начале координат, соответствующая
Рис. 60.
числу а. Тогда, согласно определению, cos а—абсцисса,
а sina —ордината точки Л4а. Поэтому, если Л4а лежит
в первой четверти координатной плоскости, то cos а и
sina положительны; если Ма — во второй четверти, то
cos а отрицателен-, а sina положителен; если Ма — в третьей
четверти, то cos а и sina отрицательны; если Ма — в чет-
вертой четверти, то cos а положителен, а sina отрица-
телен.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по
четвертям показаны на рис. 60, а, б, в. Тангенс и котан-
генс положительны, если Ма лежит в первой или в третьей
четвертях, и отрицательны, если Ма лежит во второй
или четвертой четвертях.
П р и ме.р 5. Дано sina=3/5, 0 < a < я/2. Найти cosa.
Решение. Точка Ма находится в первой четверти;
следовательно, cosa =
Ответ, cos a = 4/5.
3 л
Пример 6. Дано sina = —, <а <
О Z
л. Найти cosa.
213
Решение. Точка Ма находится во второй четверти,
следовательно, cosa = —4/5.
Ответ. cosa = — 4/5.
Пример 7. Дано sin a = 3/5. Найти cosa.
Решение. В задаче не указано, в какой четверти
находится точка /Иа, поэтому однозначного ответа дать
нельзя. По условию задачи sina>0, следовательно,
точка Ма находится либо в первой, либо во второй чет-
верти; в первой четверти косинус — число положитель-
ное, а во второй —отрицательное.
Ответ. Если 0<а<л/2, то cosa =4/5, если л/2 <
<а<л, то cosa = — 4/5.
Пример 8. Дано tg а = — 4/3, Зл/2 < а < 2л* Вы-
числить sin а.
Решение. Точка /Иа в четвертой четверти; следо-.
вательно,*
tga .3 4
sin а = гт— = —7- -=т7 = —.
V 1+tg‘a , / П5 5
V +9
(Из двух знаков выбрали
плюс, так как синус и тан-
генс в четвертой четверти
одного знака.)
4. Простейшие свойства
тригонометрических функций.
Теорема 1. Косинус—
функция четная, а синус —
нечетная.
Доказательство.
Пусть, как обычно, Ма-
точка единичной окружности
с центром в начале коорди-
нат, соответствующая числу
а, а Л4_а— точка этой ок-
ружности, соответствующая
числу —а. По определению синуса и косинуса, точка
Ма имеет координаты cosa и sin а, а точка М_а— коор-
динаты cos(—а) и sin(—а) (рис. 61).
Так как точки Л4а и Л4_а симметричны относительно
оси Ох, то их абсциссы совпадают, а ординаты противо-
положны. Следовательно,
cos (— a) = cos a, sin(—a) = — sin a
для любого Теорема 1 доказана.
214
Следствие. Тангенс и котангенс — функции не-
четные-
Действительно,
. . ч sin (—a) —sinа .
tg(— а) = —; v =----------= — tg а,
=»' ’ cos (— a) cos а °
. , х cos (— a) cos а ,
ctg (— а) = —у--;---------= — ctg а
°' ' sin (— а) — sin а 6
для любого допустимого а £ /?.
Пример 1.
I л\ л Уз / л\ ? л 1
COS \ 6 ) ~C0S *6 — ~~2~ ’ Sin \ б}3 Sn‘6 Т ’
ctg ( —= —/3 .
Пример 2.
cos (— 135°) = cos 135° = — J/T/2,
sin (—135°) = — sin 135° = — ]/T/2,
tg (— 135°) = — tg 135° = 1, ctg (—135°) = — ct g 135° = 1.
Теорема 2. Функции синус и косинус являются
периодическими функциями. Наименьший положительный
период синуса и косинуса равен 2л.
Доказательство. Числам а, а 4-2 л и а —2л
соответствует одна и та же точка единичной окружности
с центром в начале координат, поэтому
cos (а ± 2л) = cos a, sin(a± 2л) = sin а
для любого Следовательно, число 2л является
периодом синуса и косинуса.
Функция sin а на отрезке [0; 2л] обращается в нуль
при а = 0, ’а = л и а = 2л. Поэтому, если у синуса есть
положительный период, меньший 2л, то он равен л.
Однако л не является периодом синуса, так как
л 1 X л । ।
Siny=l, НО Siniy+nj^—1.
Следовательно, 2л — наименьший положительный пе-
риод синуса.
Аналогично доказывается, что 2л —наименьший поло-
жительный период косинуса.
215
Теорема 2 доказана.
Заметим, что под периодом функции обычно пони-
мается ее наименьший положительный период, и поэтому
теорему 2 часто формулируют так: синус и косинус явля-
Рис. 62,
ются периодическими функциями
с периодом 2л.
Прежде чем доказывать теоре-
му о периодичности тангенса и
котангенса заметим, что
sin (а ± л) = — sina,
cos (а ± л) = — cos а
(1)
(2)
для любого а £ /?. Действительно,
числам а и а±л на единичной
окружности (рис. 62) соответству-
ют точки Ма и 7Иа±л, симметрич-
начала координат, и поэтому Ьправед-
ные относительно
ливы формулы (1) и (2).
Теорема 3. Тангенс и котангенс являются периоди-
ческими функциями. Наименьший положительный период
тангенса и котангенса равен л.
Доказательство. Из формул (1) и (2) следует, что
tg(a±n) = tga, ctg (а ± л) = ctga
для любого допустимого а£/?, т. е. число л —период
тангенса и котангенса. А так как расстояние между
соседними нулями и у тангенса и у котангенса равно л,
то л —наименьший период. Теорема 3 доказана.
Коротко теорему 3 можно сформулировать так: тан-
генс и котангенс являются периодическими функциями
с периодом л.
Упражнения
5.22. Дано sin a = 0,8*, у < a < л. Требуется вычислить cosa,
tga и ctga..
4
5.23. Найдите sina, cosa и tga, если известно, что ctga =—
и 0 < а< л.
5.24. Могут ли иметь место следующие равенства для одного и
того же значения аргумента а:
а) sina = 3/5, cosa =—4/5; б) siHa = —12/13, cosa=5/13;
в) sin a = —0,8, cos a = —0,6; t) sina= ^40/7, cos a = 3/7?
216
5.25, Установите, могут ли иметь место следующие равенства
для одного и того же значения аргумента:
sina=l/5, cosa = 2 уТГ/б, tga=l/yr24.
5.26. Какие значения будет принимать sin а, если cosa ~ 0,7538?
5.27. Дано cosa=6/c, 0 < b < с, 0 < a < л/2. Найдите tga,
5.28. Найдите tga+ctga, если cosa = —3/5, л > a > л/2,
5.29. Докажите, что
а) tg2a—sin2 a = tg2 a sin2 a;
6) sin3 a (1 -f-ctg a) 4-cos3 a (1 -f-tg a) =sin a-|-cosa;
в) cos2a(2tga4- 1) (tga-|-2)—5sinacosa = 2;
. n . sin4 a+cos4 a 1
ГI 4 ~I - -- -—•
' sin2 a cos2 a cos2 a sin2 a’
/1—sina , , /1 4-sin a 2
----“----1- 1/ —! -----------r.
14~ sin a r 1 —sin a |cosa|
5.30. Упростите следующие выражения при всех а, для которых
они определены:
а) (sina—cosa)24-(sina4-cosa)2;
6) (cosa-tga)24-(sina-ctga)2;
ч 1—sin2a
в) 4-----5-
' 1 —cos2 a
\cosa
§ 24. Основные формулы тригонометрии и их следствия
1, Тригонометрические функции суммы и разности
двух аргументов. Пусть даны два действительных числа
аир. Рассмотрим простейший
случай, когда а*^ 0, Р 0,
а + Р 2л.
Пусть точка М единичной
окружности соответствует дей-
ствительному числу а4~Р, ее
координаты будут координата-
ми радиус-вектора ОМ. Имеем
ОМ = i cos (a 4- Р) 4- j sin (a4~P).
(1)
Введем другую систему координат, которая полу-
чается из первой поворотом на угол а против часовой
стрелки (рис. 63). Тогда для того же радиус-вектора ОМ
в новой системе получим
ОМ = V cos р 4-/ sin р. (2)
217
Выразим теперь единичные векторы новой системы через
единичные векторы старой системы:
= Zcosa4-Jsina, /=^— i sina4-/cosa.
Теперь равенство (2) можно записать так:
OM-(i cos a 4- j sin a) cos 0 4- (— i sin a 4- J cos a) sin 0,
t. e.
ОМ = i (cos a cos 0 — sin a sin 0) 4-У (sin a cos 0 4- cos a sin 0).
(3)
В силу единственности разложения вектора по двум
базисным векторам, .сравнивая равенства (1) и (3), полу-
чаем формулы для синуса и косинуса суммы:
sin (a 4-0) = sina cos 0 +cos a sin 0
и
cos (a + 0) = cos a cos 0 — sin a sin 0.
В общем случае эти формулы доказываются анало-
гично. Будем считать, что они доказаны для любых дей-
ствительных чисел а и 0. Заменив в них 0 на —0, полу-
чим формулы для синуса и косинуса разности:
sin (a — 0) = sin a cos 0 — cos a sin 0,
cos (a—0) = cos a cos 04-sin a sin0.
Тангенс и котангенс суммы двух аргументов можно'
получить из предыдущих формул:
. , . о. sin (а 4-fl) х sin a cos fl-j-cosasinfl
® ' "г- Р/ cos (а_|_ pj- cos a cos fl — sin a sin 0 *
Так как для аргументов у 4-яА тангенс не существует,
то нужно считать, что a4-0 =#у4-k£Z. Полученная
формула будет
правой части
Получим
проще, если числитель и знаменатель ее
разделить на произведение cosacos0.
tg(a+₽)=,t^+t«p.
1 1 — tgatg fl
Если в этой формуле вместо 0 поставить —0, то, так
как тангенс —функция нечетная, получим
tg(a-P) = 4^H-
& 1+tgatgfl
218
Отметим, что в последних формулах числа а, р, а+Р
и.а—Р не являются числами вида у + л^, k£Z,
Пример 1. Вычислить cos 75° и sin 75°.
Решен ие.
cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° — sin 45° sin 30°
yj 1 Кб-Г2«П9Д
2 2 2 2 4
sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°=
/2" Гз . /2* 1 K6+/2" ~’QR
= —• —+—-T =-----------4-~ 0.96.
Ответ, sin 75° « 0,96, cos 75° 0,25.
Пример 2. Доказать, Что
. (я \ (л \
sin (у —al—cos a, cosf-g—al=sina
<
для любого
Решение. По формуле для синуса разности двух
аргументов получим
. / я \ . я л
sin -z—a I =sin-x- • cosa —cos-x- • sina =cosa.
\ Z 1 Z ♦ Z
Аналогично по формуле для косинуса разности
[я \ л . . л
cos ( у— a ] = cos у • cosa-f-sin у • sina = sina.
Пример 3. Вычислить sin 15°.
Решение.
sin 15° = sin (45° — 30°) = sin 45° cos 30° — cos 45° sin 30°=
_/2 /3 ^2 1_Гб-К2~П9Г.
2 ,2 2*2“ 4 ~
Ответ, sin 15° « 0,25.
Пример 4. Дано sin a = 0,6, sinp = Q$. Известно,
что у < ос < л и у < Р < л. Найти sin(a-f-P) и
cos (a + P).
Решение.
cos a = — /1—0,62 = — 0,8, cos р = — /1 Хо,82=— 0,6,
sin(a + pj = 0,6-(-0,6)H-(—0,8)-0,8 = —1,
cos (a + Р) = (—0,8) • (— 0,6) - 0,6 0,8
219
2. Тригонометрические функции двойного и половин-
ного аргументов. Формулы двойного аргумента выражают
тригонометрические функции аргумента 2а через триго-
нометрические функции аргумента а.
Если в формуле для косинуса суммы положить 0 = а,
то. получим
cos 2а = cos (а + а) = cos а cos а — sin а sin а,
и следовательно,
cos 2а = cos2 а — sin2 а.
Итак, косинус двойного аргумента равен разности квад-
ратов косинуса и синуса данного аргумента.
Если в формуле для .синуса суммы положить 0 = а,
то получим
sin 2а = sin (а +а) = sin а cos а + sin а cos а,
и следовательно,
sin 2а*=2 sina cosa.
Итак, синус двойного аргумента равен удвоенному произ-
ведению синуса и косинуса данного аргумента.
Аналогично выводятся формулы двойного аргумента
для тангенса и котангенса:
Пример 1. tg a = 3/4. Найти tg 2a.
Решен ие.
Пример 2. sina = 0,8, 0<a<y. Найти sin2a.
Решение.
sin 2a = 2 sina cosa = 2 • 0,8 cos a =
= 1,6 /1—sin2a= 1,6 /1-0,82 = 0,96.
220
Если выразить правую часть формулы для cos 2а
только через одну тригонометрическую функцию (синус
или косинус), то получим
cos 2а = 1 — 2sin2a,
cos 2а = 2 cos2 а — 1.
Эти формулы дают возможность выразить sin’a и
cos2 а через cos 2a:
. , I—cos 2a
sin2 a=---------
, 1 +cos 2a
cos2 a = —!—g---
Пример 3. Вычислить sina, если cos2a = 4/5 и
О < a < л/2.
Решение.
1 — —
sin>a = 12Z^!=_5=o,l.
Следовательно, sina = K0,1, так как sina>0.
Пример 4. Вычислить sin4г и cos-^.
1 о о
_ я V~2
Решение. Так как соз-^- = -!2— > то
К2+ К 2
2
2 V2—
Перед корнем ставится знак
• Л Л
плюс, так . как sin-Q->0
О
И COS -3- > 0.
о
Пример 5. Известно,
, Зл т т и a
л<а<-2~. Наити cos.
3
что sina = —- , где
о
221
/ g 4
Решение. Находим cosa = — у 1— ^ = — у.
л -«* оь Зл а> л
Так как у < у. < “» то cos у < 9> и поэтому
3< Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму и разность и наоборот. Если тождества
sin (а + 0) = sin а cos 0 + cosa sin 0,
sin (a — 0)=sinacos0 — cos a sin0
сложить почленно, то получим
sin (а + 0)4- sin (а — 0) = 2 sin a cos 0, (1)
т. е,
sin a cos 0 = 1 (sin (а 4- 0) 4- sin (a—0)).
Если тождества
cos (a 4- 0) = cos a cos 0 — sin a sin 0,
cos (a — 0) = cosa cos 0 4- sina sin 0
сложить почленно, то. получим
cos a cos 0 = 1 (cos (a 4- 0) 4- cos (a — 0)), (2)1
а если вычесть, то получим J
sin a sin 0 = 1 (cos (a — 0) — cos (a 4- 0))f (3)
В формуле (1) положим a4-0«x, a—0«i/, Тогда
« = Ф,
и из формулы (1) получаем
sin х 4- sin у = 2 sin -у2 cos —,
т? е. сумма синусов равна удвоенному произведению синуса
полусуммы на косинус полуразности данных аргументов, j
Заменив в последней формуле у на —у, получим
г» • х—у х’-4-у
sin х — sin у = 2 sin -у2 COS —у2 ,
222
т. е. разность синусов равна удвоенному произведению си-
нуса полу разности . на косинус полусуммы данных аргу-
ментов.
Для суммы и разности, косинусов из (2) и (3) полу-
чаются следующие формулы:
। о х~Ьу х—У
cos х + cos у = 2 cos -н-2 cos ——,
1 2 2
л • Х+У • х—У
cos х — cos у = — 2 sin —Sin .
Сумма косинусов равна удвоенному произведению коси-
нуса полусуммы на косинус полуразности данных аргу-
ментов.
Разность косинусов равна минус удвоенному произве-
дению синуса полусуммы на синус полуразности данных
аргументов.
Пример 1. Вычислить sin75°4-sin 15°
Решение.
7Со, . 1КО О • 75°+15° 75°—15°
sin 75 4- sin 15—2 sin —у— cos-
К'2 V 3 _ /~6
1 2
=» 2 sin 45° cos 30° = 2 •
3 я
Пример 2. Вычислить sin ^л — sin^ .
Решение.
5 __я 5
.5 .л ь 4 12я 12 Т2п + 12
Sin 73 л — Sin 73 = 2 sin-5---cos----=---=Я
iZ IZ Z 2
= 2 sin Я cos = 4
Пример 3. Вычислить cos75° +cos 15°.
Ре’шение.
cos 75° + cos 15° = 2 cos 75 ^~15 cos 75 =*
= 2cos 45° cos 30^ = 2.-^-.-^- = -^-.
5 л
Пример 4. Вычислить cos-jH л — cos ух .
223
Решение.
5 я 5 я
5 я п . Т2П+Т2 . 12П 12
COS — Л — COS == — 2 • Sin-5----sin----=----—
1 £ 1 & £• L
п . л . л О Л 1 К 2
° 2sin 4 sin б — 2- 2 • 2 — 2 .
При решении некоторых задач, например при иссле-
довании гармонических колебаний, бывает необходимо
преобразовать в произведение выражение вида
asina + 6cosa.
Обозначим
r = /a2 + 62.
Тогда для любых чисел а И b всегда найдется такое ф, что
а = гсозф и Ь = гз1Пф, (4)
и данную сумму можно записать так:
a sin a + b cos a = r (cos ф sin a + sin ф cos a) = r sin (a + ф).
Зная г, из равенств (4), находим
a a b Ь
т г ^Га2 + Ь2 г У а2+&2
Пример 5. Пусть точка М под действием силы
совершает вдоль оси Оу гармоническое колебание
у = 2 sin ^л/ + , а под действием силы F2 — гармони-
ческое колебание у = 3 sin nt.
Определить, какое движение будет совершать точка М
при одновременном действии обеих сил.
Решение. По законам механики точка М будет со-
вершать колебание
t/ = 2sin ( nt + v ) +3sinn/ =
= 2sin nt cos v + 2 cos nt sin ~ + 3 sin nt =
о о
= 4 sin nt + У 3 cos nt.
Преобразуем полученную сумму в произведение. Имеем
г = 42 + (/3)2 = /T9;
224
следовательно,
4
COS ф =-7=- ,
/19
sin ф
/19 ’
и по таблицам находим ф ж 0,4078.
Итак, у = 4 sin nt + ]/3 cos nt 19 sin (л/ + 0,4078).
Это означает, что точка Л4 при одновременном действии
двух сил Ff и F2 (направленных вдоль оси Оу) будет
совершать гармоническое колебание с амплитудой / 19,
начальной фазой ф л? 0,4078
при действии силы или F2.
4. Непрерывность триго*
неметрических функций.
Лемма. ; Для любого
действительного числа а та-
кого, что 0 < | а | < у , спра-
ведливо неравенство
sin ОС 1 / 1 \
cosa < < 1. (1)
Доказательство.
Пусть сначала 0 < a < -у .
с той же частотой, как
Рис. 64.
Построим единичный круг и угол АОВ величины а (рис. 64).
Далее, опустим перпендикуляр BD из точки В на ра-
диус ОА и построим треугольник АОС, подобный тре-
угольнику DOB. Тогда
5д АОВ SceifcT. АОВ < АОС,
где Зд—площадь треугольника, SceKT. — площадь сектора.
Так как |BD| = sina и | АС | = tg а, то
Яд лов = у|ОЛ |-|BD| = y sina,
SceKT. АОВ ~ ~2 a* Aoc = T । । ‘ I = "2 a’
Сравнивая эти площади, получаем
sina <a < tga.
Разделив все члены этого неравенства на sina, получим
, . a . 1 ' sina . .
1<—- <-------- или cosa<—< 1,
sina cosa о
8 Алгебра, ч. 1 225
Заметим, что функции cos а и четные, и поэтому
неравенство (1) справедливо не только для а£^0; у^
но и для — Т’ о[* Лемма доказана.
Из неравенства (1) следует, что
| sina | < |a|
для любого —у; у[, а^О.
А так как sinO = O и | since| 1, то
|-sina|^|a| (2)
для любого а£/?.
Теорема. Тригонометрические функции sinx и cosx
непрерывны в любой точке х0 £ /?.
Доказательство. Для любых действительных чип
сел х и х9 справедливо равенство
п • х—х9 . х4-Хд
sin х — sm xe = 2 sin 2' cos ,
и поэтому, в силу неравенства (2),
| sin х — sin х9,| = 21 sin | • | cos |
т. е.
| sin х — sin хв К | х — х01.
Из последнего неравенства следует, что. sin х —> sin хв
при х Хд, а это и означает непрерывность sin х в точке х0.
Аналогично доказывается непрерывность косинуса.
Следствие. Тригонометрические функции tg х и
etg х непрерывны в любой точке области определения.
Это утверждение следует из доказанной теоремы и
теоремы о непрерывности частного непрерывных функций.
5. Графики тригонометрических функций. В предыду-
щих пунктах показано, что функция г/= sinx, х£/?, не-
прерывная, периодическая с периодом 2л, нечетная и
ограниченная, причем | sin х | 1 для любого x£R. Гра-
фик синуса, который называется синусоидой, изображен
на рис. 65.
226
Функция у = cos х, x£R, непрерывная, периодическая
с периодом 2л, четная и ограниченная: ] cos х | 1 для
любого x£R. Так как cos х = sin (х + •7) Для любого
х€Я, то график функции cosx, х£/?, получается из гра-
фика функции sinx, х^Я, смещением вдоль оси абсцисс
/-
-я
7
Рис. 65.
влево на отрезок длины . Следовательно, графиком ко-
синуса будет смещенная синусоида (рис. 66).
Рис. 66,
Графики функций t/=tgx и # = ctgx изображены на
рис. 67 и рис. 68.
Пусть даны две функции у = sinx и i/ = 3sinx. По-
строим графики данных функций на одном чертеже
(рис. 69). Легко видеть, что при одном и том же значе-
нии х ордината графика функции t/ = 3sinx в три раза
больше ординаты графика функции t/ = sinx. Можно ска-
зать, что график функции t/ = 3sinx получается из гра-
фика функции t/ = sinx растяжением вдоль оси ординат.
Вообще график функции t/ = £sinx, k > 0, получается
из графика функции i/ = sinx растяжением в k раз вдоль
оси ординат. Если £ < 0, то график функции у —k sinx
симметричен относительно оси абсцисс графику функции
t/ = |£|sinx.
Число |£| при изучении гармонических колебаний
называют размахом, или амплитудой, колебаний,
8* 227
Рис. 67,
Рис, 69,
На рис. 70 даны графики функций
a) i/ = sinx; б) r/ = 2sinx; в) i/ = 0,5sinx.
Пусть даны две функции r/ = sinx и r/ = sin2x. По-
строим графики этих функций па одном чертеже (рис. 71).
Рис. 70,
Можно сказать, что график функции sin2x получается
из графика функции sinx сжатием вдоль оси абсцисс.
Вообще график функции у— sinox, а > 0, получается
из графика функции i/ = sinx сжатием (растяжением)
вдоль оси абсцисс в а раз. Если а < 0, то график функ-
ции у = sin ах симметричен относительно оси абсцисс гра-
фику функции i/ = sin(—а)х.
На рис. 72 даны графики функций
i/ = sinx, ^/ = sin0,5x, t/ = sin2x.
Пусть дайы две функции z/ = sinx и t/ = sin ^х +7’) •
Построим графики этих функций (рис. 73). Можно
229
сказать, что график функции у = sin^x + получается
параллельным смещением синусоиды уsinx вдоль оси
абсцисс влево на отрезок длины у.
В общем виде синусоида t/ = sin(x + <Po) получается
из синусоиды у = sinx смещением ее вдоль оси абсцисс
на отрезок длины | <р01 влево, если <р0 > 0, и вправо, если
ф»<0.
Пример. Дана функция у = 3 sin ^2x-f-|-) . Требуется
описать словами, как выглядит ёе график.
Решение. Это деформированная синусоида. Данную
функцию представим следующим образом:
#=3sin2 (к -Ь•
\ * " /
Так как k=3 > 0, то синусоида растянута вдоль оси
ординат; так как а=2>0, то синусоида сжата вдоль
оси абсцисс; так как <р0 = л/12 > 0, то синусоида смещена
влево вдоль оси абсцисс на отрезок длины л/12.
230
Вообще для построения графика функции
z/ = ^sin(ax + (px)), а=/=0,
ее представляют следующим образом:
у = k sin а (х 4-
Тогда легко видеть, что график этой функции получается
из графика функции у = k sin ах смещением вдоль оси
абсцисс на отрезок длины -уур влево, если -^ > 0, и
вправо, если ^<0.
Упражнения
5.31. Вычислите:
a) sin 14° cos 31°4-sin 31° cos 14°;
б) sin 55е cos 35°-f-sin 35° cos 55°;
в) sin 63° cos 33°—cos 63° sin 33°;
r) sin 24° cos 36° — cos 24° sin (—36°); д) sin 105®.
«• * sin (a4-P) 4* sin (a—P)
6.32. Упростите выражение -—}—-- :
H H sin (a+p) —sin (a—P)
5.33. Вычислите:
a) sin 47° cos 43° + sin 43° cos 47°;
6) sin 80° cos 10°-f-cos 80° sin 10°;
в) cos 5° cos 40°—sin 5° sin 40°;
r) cos 127® sin 37° — cos 37® sin 127°; д) cos 105®.
6.34. Вычислите sin(a4-p)> если
cos a = •— 8/17, <osP = 4/5, л < a < Зл/2 < p < 2л.
5.35. Чему равно значение sin(a4"P)> если
sin a= 12/13, cos P=—3/5, 0 < a < л/2, л < p < Зл/2.
5.36. Упростите выражение sin 4--y j 4-s*n —jjj •
5.37. Докажите, что cos?a—sin?p = cos(a—P)cos(a4-P).
5.39, Найдите tg(a4-p), если
tga = 3/4, cos P =3/5 и 0 < a < л/2, 0 < p < л/2.
5.40. Вычислите tg (a-f-P), если
sina= 1/K5, tgp=l/3 и 0 < a < л/2, 0 < P < л/2.
5.41. Вычислите tg (a—P), если
cos a = 2/К tfc P=l/3 и 0 < a < л/2, 0 < p < л/2.
231
5.42. Найдите cos 2а и tg 2а, если sin а = 0,8, 0 < а < у •
5.43. Найдите sin 2а, если cos а = 8/13, sina> 0.
5.44. Что больше sin 2а или 2 sin а, если 0 < а < л/2?
5.45. Упростите выражения: а)
2 tg 30°
1—tg2 30”
б) I -j- cos 2a—2 sin1 a.
5.46. Докажите, что cos 15° sin 15° =0,25.
5.47. Известно, что cos2a = 0,5. Найдите cos2a.
5.48. Вычислите:
a) sin 2a, если cos a = 3/5 и 0 < a < л/2;
6) cos 2a, если sina = —4/5 и л < a < Зл/2;
в) tg2a, если cos a = — 3/5 и л/2 < a < л;
г) ctg 2a, если tga = 2 и 0 < a < л/2.
5.49. Докажите, что
2 tg у 1—tg 8y
sina =--------, cosa=-------------
l+tgay 1+t.g8f
для любого допустимого a £ /?.
5.50. Упростите выражения при всех а, для которых они опре-
делены:
2 cos а—sin 2а 2 sin а — sin 2а
' sin2 а — sma4~cos2a ' cosa—cos2 а—sin2a’
. / । Зл \
1 —sin I 2a-|—)
B\______\.
’ sm (л—За)— sin (— a) ’
2 sin2 a
I -j- cos (л—2a)
— sin2 a;
sin a—0,5 sin (л 4~2a) t
If ( I \
14-sm (
2 cos2 a .
------n~=—r-=— — cos1 a;
1—sin (1,5 л4-2a)
ж)
K)
cos (2л—2a) . »
—---------r2 — sin2 a;
ctg2 a— 1
tg2 a-cos2 a—cos1 a
cos 2a
1 —tg2a
cos2 a;
5.51. Вычислите, не пользуясь таблицами:
а) sin 82’30' cos 52’30'; б) sin 82’30' cos 37’30';
в) cos 37’30' cos 7’30'; г) cos 82°30' соз.ЗГЗО';
д) cos 75° cos 105’; е) cos 45° cos 75°.
5.52. Произведения представьте в виде сумм:
а) sin 10’sin 20’; б) sin45° сов 30°; в) cos 35е sin 25е;
г) cos 55е cos 206; д) sin (х4-a) sin (х—а);
е) sin (х4-a) cos (х—а); ж) cos (х4-а) сов (х—а).
5.53. Докажите, что 2 si па sin 2а 4-cos За = соз а.
232
5.54. Вычислите без применения таблиц:
a) sin 105°-j- sin 75°; Ъ) sin 105°—sin 75°;
ч . Н . . 5 . . II .5
в) sin —л4~ sin— л; г) sin —л—sin— л;
. л . . 7 . л . 7
Д) cos T2^~Sin Т2е) C0S 12~SinT2 П‘
5.55. Упростите данные выражения:
\ • / Л < \ I f • f Л I \ » {л \
a) sin -z-+a +sin — a ; 6) sin v4~a —sin — — a ).
у О / \ / \ J \ 3 /
5.56. Данные выражения представьте в виде произведений:
|/~*3 _
а) 14-2sina; б) 1—2sina; в) --------[-sina; г) КЗ—2sina.
5.57. Вычислите без применения таблиц:
а) eqs 97° 4-cos 83°; б) cos 105°—cos 75°;
’ 11 , 5 . 11 5
в) cosл+cos is л; г) cos —л—cos —
5.58. Упростите данные выражения:
а) cos (a60°)-j-cos (a—60°); 6) cos (a4-60°)—cos (a—60°).
5.59. Докажите, что
а) 2 (sin a4- cos a) = У 8 sin (a4~ 45°);
6) 2 (sin a—cos a) = У~8 sin (a—45°).
5.60. Представьте в виде произведений следующие выражения:
а) 0,54-cos а; б) 0,5 — cosa; в) cos а 4-1; г) 1—cosa.
_ .. cos а4-cos За
5.61. Упростите выражение ----/—:.
• r sina4-sin3a
5.62. Вычислите
cos 95° 4-cos 94° 4-cos 93° 4- cos 85° 4-cos 86° 4-cos 87°.
5.63. Вычислите предел:
а) lim sin.3x; х-*0 б) lim cos 4х; х->0
в) lim tg 2х; х->0 г) Um etg 2х; х > я
д) lim sin х; л х“” Т е) lim cos Зх; л
ж) lim cos 2х; л 3 а) О lim (cos’х4-sin* х). л в
5.64. Постройте иа одном и том же чертеже графики функций:
(х \
—Г/ ’
В) 0 = СО8Х И у = 2 СОЗ К', г) У'«COS X И 0=COs2JC.
233
§ 25. Обратные тригонометрические функции'
1. Функция арксинус и ее график. Функция у = sin х
на отрезке [—у; yj возрастает и непрерывна; следо-
вательно, она имеет обратную функцию, возрастающую
(см. § 15, п. 8) и непрерывную.
Функция, обратная для функции # = slnx,
—у-; у-]» называется арксинусом и обозначается
arcsin.
Согласно определению обратной функции, областью
определений арксинуса будет отрезок [—1; 1], а множе-
„ Г л л"|
ством значении —отрезок —у; у .
Отметим, что график функции
у = arcsin х, х£[—1; 1],
симметричен графику функции # = sinx,. х£ [—у-; у^| ,
относительно биссектрисы координатных углов первой и
третьей четвертей (рис. 74).
234
Вычислим некоторые значения арксинуса:
следовательно, arcsin (— 1) = — —
следовательно, arcsin
л
3
sin| V := K2 2 • f K2> следовательно, arcsin (— л . 4 *
sin j f rt \ i 6) = 1 2 ’ следовательно, arcsin (—-0 =к — Л "6 1
sinO = 0, следовательно, arcsin 0- =0;
л Sin-F- 0 sin-J 4 £ 2 ’ K2 2 ’ следовательно, следовательно, arcsin у • О arcsin я - 6 _ я 4 •
sin -5- 15 = КЗ 2 • следовательно, Кз arcsin _ я 3 1
. Л sin2 I, следовательно, arcsin 1 _ я -Т‘
Другие значения функции arcsin находят с помощью
таблиц.
2. Функция арккосинус и ее график. Функция у — cosх
на отрезке [0; л] убывает и непрерывна; следовательно,
она имееет обратную функцию, убывающую и непре-
рывную.
235
Функция, обратная для функции y = cosx, х£[0;л],
называется арккосинусом и обозначается arccos.
Согласно определению обратной функции, областью
определения арккосинуса будет отрезок [—1; 1], а мно-
жеством значений — отрезок [0; л]. График функции
у = arccosх, х£[— 1; 1], симметричен графику функции
y = cosx, х£[0;л], относительно биссектрисы коорди-
натных углов первой и третьей четверти (рис. 75).
Вычислим несколько значений функции арккосинуса:
cos 0=1, следовательно, arccos 1 = 0;
л Кз П л
cos -тг = -Ц- , следовательно, arccos -4г- = -х-;
О 2 I о
л Л V2 л
cos = -4>— , следовательно, arccos-^— = ;
3/2" / -3
cos -г л =—т;-, следовательно, arccosl —4г- )=—л;
4 2 \ 2 / -4
cos л = —1, следовательно, arccos (—1)=;л.
3. Функция арктангенс и ее график. Функция тан-
генс непрерывная и строго возрастающая на интервале
y=arctgj?
Рис. 76,
j — у у^» следовательно, она имеет обратную функцию,
которая непрерывна и строго возрастает.
Функция, обратная для функции */=tgx, х£ j — у; у[,
называется арктангенсом и обозначается arctg.
236
Согласно определению обратной функции, областью
определения арктангенса будет интервал ]—оо; оо[, а мно-
жество значений —интервал ] — v’>y[
График функции -у = arctg х, x£R, симметричен гра-
фику функции z/ = tgx, xCj — у > у[» относительно
биссектрисы координатных углов первой и третьей чет-
вертей (рис. 76).'
Вычислим несколько значений арктангенса:
следовательно, arctg 1 = у;
следовательно, arctg (—1) = — -у;
следовательно, arctgV~3 = ;
следовательно, arctg (—V3) = — у;
. Кз л
следовательно, arctg ;
О о
tg ( — -5-^ =—^ , следовательно, arctg (—-^) = —
° \ О / □ \ о / о
Другие значения арктангенса находят по таблицам.
4. Функция арккотангенс и ее график. На интервале
]0; л[ функция котангенс убывает, кроме того, она не-
прерывна в каждой точке интервала ]0; л[; следовательно,
‘в(-т)1---’•
на интервале ]0; л[ эта функция имеет обратную функ-
цию, которая является убывающей и непрерывной.
237
Функция, обратная для функции z/ = ctgx, хС ]0; л[,
называется арккотангенсом и обозначается arcctg.
Согласно определению обратной функций, областью
определения арккотангенса будет /?, а множеством
значений —интервал ]0; л[. График функции i/ = arcctgx,
дан на рис. 77. Этот график симметричен графику
функции i/ = ctgx, хС]0;л[, относительно биссектрисы
координатных углов первой и третьей четвертей.
Вычислим несколько значений арккотангенса:
ctg = 1, следовательно' arcctg 1=у’,
ctg (~г) =—1* следовательно, arcctg (—1) = ^;
. л У~з , Гз л
ctg -у = -Чт-, следовательно, arcctg Ат- = -у ;
U О О О
. /2л\ КЗ * / 2л
Ctg (-у) = — следовательно, arcctg!—у- 1=-у;
ctg у = р/~3, следовательно, arcctg Y 3 = у;
» следовательно, arcctg (—1^3) = у.
Другие значения арккотангенса находят по таблицам.
Упражнения
5.65. Найдите значения’ функции y = arccosx—arctg2x, если х
равно 0; —1/2; —Y 3 /2.
5.66. Найдите значения функции z/ = arcctg2x—arcsinx, если х
равно — К 3/2; —1/2; 1/2; / 3/2.
5.67. Постройте графики следующих функций:
а) у = 2 arcsin х; б) y = arcsin2x;
V 1 X х
в) ^ = yarccosx; г) = arccos у .
§ 26. Тригонометрические уравнения
1. Простейшие тригонометрические уравнения. Прос-
тейшими тригонометрическими уравнениями являются
уравнения вида
sinx = a, cosx = a, tgx = c; ctgx = a,
где а—данное число.
2Э8
Очень важно уметь решать простейшие тригономет-
рические уравнения, так как все способы и приемы ре-
шения любых тригонометрических уравнений заключа-
ются в сведении их к простейшим.
1. Рассмотрим уравнение вида
sinx = a. - (1)
Так как |slnx|^l, то уравнение (1) приа>1 и
при а<—1 решений не имеет (рис. 78).
Если а= 1, то уравнение (1) принимает вид sinx= 1;
его решения будут
х==у4-2Ал, k£Z.
(2)
Если а = — 1, то уравнение (1) принимает вид sinx = —1;
его решения будут
х = — y + k^Z. (3)
Пусть теперь |а| < 1. Так как период синуса равен 2л,
то для решения уравнения (1) достаточно найти все ре-
шения на любом отрезке длины 2л.
На отрезке [—у ’ У ] функция синус имеет два про-
межутка своей строгой монотонности: отрезок £— V» у] *
на котором функция возрастает и принимает только один
раз значение а; отрезок ; y-j , где функция убывает
и принимает только один раз значение а.
Решение уравнения (1) на отрезке [—у» у] будет
arcsin а (по определению арксинуса). Для решения
239
уравнения (1) на отрезке [у'» у] применим формулу
sin х = sin (л — х). Очевидно, что если х^ [у I у] • то
(л—х)£^—у J у} • и ПОЭТОМУ решением уравнения
sin (л — х) = а на отрезке [у'» у] будет л—х = arcsin а,
т. е. х = л —arcsina.
Для получения всех решений уравнения (1) к каж-
дому из двух полученных решений прибавим числа вида 2Ал,
где k £ Z. Следовательно,
х = arcsin а+ 2£л, (4)
х = л — arcsin а+ 2£л. (5)
Обе серии решений можно объединить:
х = (—1 )* arcsin а + л£, k£Z. (6)
В самом деле, при k четном получается формула (4),
при k нечетном получается формула (5).
Пример Г. Решить уравнение sin Зх — КЗ/2,
Решение. Согласно формуле (6),
i/y
Зх=(—1)* arcsin —у—-]-Лл, k£Z.
Так как arcsin-^3 =-у , то Зх = (—1)*~--]-лЛ.
Ответ. х = (— + • k£Z.
У о
Пример 2. Решить уравнение sin2x =—1.
Решение. По формуле (3) имеем 2х = — у + 2Ля.
Ответ. х = — -у + Лл, k£Z.
2. Рассмотрим уравнение вида
cosx = a, (7)
Так как | cos х | 1, то уравнение (7) при а > 1 и при
а <—1 решений не имеет (рис. 79).
Если а = 1, то уравнение (7) принимает вид cosx= 1,
его решения будут
х = 2лА, k^Z. (8)
240
Если а => — 1, то уравнение (7) принимает вид cos х= — 1,
его решения будут
х = л-|-2лЛ, т. е. х = л(2Z? + 1), k^Z. (9)
Пусть теперь | а | < 1. Так как период косинуса равен
2л, 'то для решения уравнения (7) достаточно найти все
решения на любом отрезке длины 2л.
На отрезке [—л; л] функция косинус имеет два про-
межутка своей строгой монотонности: отрезок [—л; 0],
на котором функция возрастает и принимает только один
раз значение а, и отрезок [0; л], г^е функция убывает и
принимает только один раз значение а. Таким образом,
на каждом из этих двух отрезков [—л; 0] и [0; л] урав-
нение (7) имеет по одному решению. Решение уравнения
(7) на отрезке [0; л] есть arccosa. Решение уравнения (7)
на отрезке [—л; 0] есть — arccosa, потому что функция
косинус четная. Решениями уравнения (7) на отрезке
[—л; л] будут числа ±arccosa.
Для получения всех решений уравнения (7) к каж-
дому из полученных решения прибавим числа 2Лл, k£Z.
Следовательно,
х = ±агссоза + 2^л, k^Z, (10)
Пример 3. Решить уравнение cos3x=l/2.
Решение.
Зх = ±arccos у 4- 2£л = ± у + 2Лл.
эт 2
Ответ. х=±у + уЛл, k^Z.
Пример 4. Решить уравнение cos5x = 0.
241
Решение.*
5х = у + nk, k^Z.
Ответ, k£Z.
Пример 5. Решить уравнение cos2/ = — I.
Решение.
2t = n-{-2kn, k£Z.
Ответ, t = у + nk, k£Z.
3. Рассмотрим уравнение вида
tgx=a. (11)
Так как период тангенса равен л, то для того чтобы
найти все решения уравнения (11), достаточно найти все
его решения на любом отрезке длины л. По определению
арктангенса решение - уравнения (11) на промежутке
]~т;есть arctsx-
Для того чтобы получить все решения уравнения (11),
нужно к решению, полученному на отрезке длины л,
прибавить nk, k£Z. Следовательно,
х = arctg а +л/г, k^Z. (12)
Пример 6. Решить уравнение tg3x =—1.
Решение. По, формуле (12)
3x = arctg(—1) + л/г, k£Z\
так как arctg (—1) = — у, то Зх =— у-|-л/г.
Ответ. х = — £ + ^, k£Z.
1Z о
4. Рассмотрим уравнение вида
ctgx = a. (13)
Период функции котангенс равен л. Для получения
всех решений уравнения (13) достаточно найти все реше-
ния этого уравнения на любом отрезке длины л. Выберем
промежуток ]0; л[. Решение уравнения (13) на проме-
жутке ]0; л[ будет arcctgа (на основании определения
арккотангенса).
Для того чтобы получить все решения уравнения (13),
нужно к решению, полученному на отрезке длины л,
242
прибавить число, равное nk, k^Z. Следовательно,
х = arcctg а 4~ k^Z. (14)
Пример 7. Решить уравнение ctg2x =—1,
Решение. По формуле (14)
2x = arcctg(—4)4-л&, k^Z\
так как arcctg(—1) = ^-, то 2х = ^-4-л&.
Ответ. х = + k£Z.
О Z
Пример 8. Решить уравнение ctg 5х = Р^З/З.
Решение. По формуле (14)
5x = arcctg Хр + л&, k£Z.
Так как arcctg Хр = 2L, то 5х = -^-4-лЛ.
Ответ. х = + k£Z.
OU О
2. Примеры решения тригонометрических уравнений*
В предыдущем параграфе было показано, как решать
простейшие тригонометрические уравнения. Покажем на
примерах, как решаются более сложные уравнения.
Пример 1. Решить уравнение 2sina%4-3cosx = 0.
Решение. Заменим sinax на I—cosax, получим
2 cos’ х — 3 cos х — 2 = 0.
Решим это уравнение относительно косинуса:
Составим два простейших уравнения:
cosx = 2 и cos х =—1/2.
Первое уравнение решений не имеет, так как —1 ^cosx^L
Второе уравнение имеет решение:
х = ± arccos ( —4- 2Лл=± 4- 2&л;
\ „ Z ] о
Ответ, х = ± 4- 2Лл> k £ Z,
V
Пример 2. Решить уравнение cos2x = sin’x.
Решение. Заменив sin’x по формуле
получим уравнение, в котором имеется только одна функция:
cos 2х = 1—c?s 2х или 3 cos 2х = 1,
откуда получаем, 2х= ± arccos у 4-2л£.
Ответ. х = ± у arccosy 4-л£, k^Z.
Пример 3. Решить уравнение
sin х tgx 4-1 = sinx 4-tgx.
Решение. Перенесем все члены уравнения в левую
часть:
sinxtgx + 1 — sinx—tgx = О,
и разложим левую часть полученного уравнения на мно-
жители:
(sin х — l)(tg х— 1) = 0.
Следовательно, или sinx—1 = 0, или tgx—1 = 0. Реше-
ниями уравнений будут
х = у 4- 2лЛ и х = | + лЛ, k С Z.
Ответ, х = у 4- 2лА и х = у 4- k £ Z.
Особо следует отметить, что если при некотором зна-
чении аргумента один из сомножителей обращается в
нуль, а при других хотя бы один теряет смысл, то и
все произведение теряет смысл; такие значения аргумен-
та (неизвестного) решениями уравнения не являются.
Например, пусть дано уравнение
tgxsin2x = 0;
Ясно, что оно распадается на два ^простейших урав-
нения tgx=0 и sin2x = 0, их решениями будут x = nk и
х = пп/2.
Первый сомножитель tgx теряет смысл при
x = £+fai=(2*+l)£.
Z» А
244
Все эти значения х содержатся в множестве решений
второго уравнения при п — 26+1 (нечетном). Они не яв-
ляются решениями данного уравнения (их иногда назы-
вают посторонними решениями).
При n = 2k решения второго уравнения являются ре-
шениями первого уравнения. Таким образом, решениями
данного уравнения будут x=nk.
При решении тригонометрических уравнений выпол-
няются преобразования над выражениями, входящими в
уравнение. Если в результате преобразований область
допустимых значений для х расширилась, то могут по-
явиться посторонние решения, а если сузилась, то воз-
можна потеря решений.
Пл sin 2х I —I— cos 2х
ример 4. Решить уравнение --------— = —z------.
r r 1— cos2x 2cosx
Реше н ие. Так как
siп 2х _2 sin х cos х_cos х
1—cos 2х 2sm2x sin дс *
1 4- cos 2х 2 cos2 x
—s-----= о-----= COS X,
2 cos x 2 cos x ’
то получаем уравнение
COS X , . 1X Л
cosx = -— или cos x (sin X — l) = 0.
sinx ' '
Его решениями будут х = у + Лл, k^Z.
Так как правая часть заданного уравнения при
х=уЦ-л& теряет смысл, то все найденные для х значе-
ния не являются решениями.
Потерять же решения мы не могли, так как при
переходе от данного уравнения к полученному, множе-
ство допустимых значений для х расширилось.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
П р и м е р 5. Решить уравнение 5 sin2xH-3 cos’x=4sin2%.
Решение. Заменим sin2x на 2sinxcosх:
5 sin2 х — 8 sin х cos x + 3 cos2 x = 0.
Разделим, обе части полученного уравнения на cos2 х (убе-
дитесь, что cosx=#0):
5 tg2x—8tgx + 3 = 0.
Заменив tgx на получим 5z/2—8r/+3 = 0, откуда ^ = 1
245
и yt = 3/5, или tgx=l и tgx = 3/5. Из первого уравне-
ния следует, чтох=у 4- а из второго—x=arctg-|-4-ji£.!
Ответ. x = ^-±nk, x = arctg-|-4-nk, k£Z.
Пример 6. Решить уравнение cos2х — cos6х.
Решение. Запишем данное уравнение иначе:
cos 2х —cos 6х = 0.
По формуле разности косинусов имеем
2 sin 4х sin 2х = 0.
Если sin4x = 0, то х = лп/4; если sin2x = 0, то х^лп/2.
Вторая серия решений содержится в первой.
Ответ, х —лп/4, n^Z.
Пример 7. Решить уравнение 7slnx=3cos2x.
Решение. Так как cos2x = 1 — 2sin8x, то
7 sinx = 3 — 6sln8x.
Обозначим sinx через у, тогда 7у = 3—бу*. Получен-
ное квадратное уравнение имеет решения
^=1/3, yt = — 3/2.
Из уравнение sinх= 1/3 получаем
х = (— 1)* arcsin 4-4- nk, k^Z.
□
Уравнение slnx = —3/2 решений не имеет, так как
| sinx|^1 для любого х.
Ответ, х = (—1 )к arcsin 4- 4- nk, k£Z.
□
Пример 8. Решить уравнение tgx4-tg (т+х)-— 2-
Решение. По формуле для тангенса суммы имеем
о I 4 т I Л 1 — tff X
V 7 1-tg-Jtgx
Теперь данное уравнение можно записать в виде
2.
Из этого уравнения находим tgх—±:УЗ. Если tgx=]/3,
246
то х = 4 + л^‘» если tgx = —КЗ, то х = — 4 + лй, где
# о и
k$Z.
Ответ. х = ±4 + лЛ, k£Z.
О
Упражнения
5.68. Решите уравнения:
1. 2cos2 x-f-4 sin2х = 3; 2. 2(cos2x—sin2x)='l;
3. sin4x—cos4x = 0,5; 4. sinx—cosx»=0;
5. 3sin2x—eos2x = 0; 6. sinx—yr3cosx = 0;
7. 2 cos (aH-x) cos (a—x) 4-0,75 = cos 2 a;
8. tg(x4-j^4-tg (x—j)=2ctgx;
9. sin2x—cos2x = 0,5; 10. sin3x4-sinx = 0;
11. sin5x = sinx; 12. cos 4x4-cos x = 0;
13. cos2x=cosx; 14. cos2x = —cosGx;
15. cos2x—cos6x = 0; 16. cos 3x = sinx;
17. sinx4-cos x= 1; 18. tg5x = tg3x;
19. tg4x = tg2x; 20. 1—tg2x = 2tgx;
21. 1—4 sin2 x-|-sin2 2x = 0; 22. cos 2x = 2 sin2 x;
23. tgx=tg2x; 24. tg 2x—3tgx = 0;
25. 1—cosx = sin2-^-;
26. tg ^4“*) "Нё *4-2 = 0; 27. 7 sin x—3 cos 2x = 0;
28. 4 sin2 x4-2 cos2 x—3sin2x = 0;
29. cos 4x cos 2x = cos 5x cos x.
5.6 9. Решите уравнения:
1. (sinx—l)tgx = 0; 2. cos3x—cosx = 0;
3. 4 sinx4-3 cosx = —3; 4. ^3sin (x-f--?- )=sin f ~—x );
\ 4 / \ 4 J
5. 8sinx—l=4cos2x; 0. 2sin2x = 3cosx;
7. sin2x—2 У~3 cos2x = 0; 8. 2sin?x= V~3sin 2x;
9. 2cos2x4-3sinx = 0; 10. 3sinx = 2cos2x;
11. cos 2x-j-cosx = 0; 12. cos? (л—x)—2cosx = 3j
13. sin 2x = 2 sin2 x; 14. cos2 (1,5л—x) — 3sinx = 4;
15. tgx—2ctgx=l; 16. 4sin2x—3cos2x = 3;
17. 2cos?x—|/~3sin2x = 0; 18. cosx—cos (л—2x)=0;
19. cosx—sin л4-2*^=—1; 20. 1 —cos 2x = sin x;
21. 14-cos2x = cosx; 22. 3 cos x4-5sin j=;-lj
23. sinx—cos x = 4 sinx cos2 x;
2< tg±.tgx=tg-|-4-tgx.
Глава VI
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 27. Производная
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Рас-
смотрим прямолинейное движение материальной точки и
протекание тока в электрической цепи и изучим связан-
ные с ними понятия.
Прямолинейное движение материальной
точки (задача о мгновенной, с кор ости). Пусть
материальная точка М движется
5/*^? п0 прямой линии. На этой пря-
---4 -у *--------->- мой выберем .определенное нап-
~-------------------равление, начало отсчета (точку
° О) и единицу масштаба (рис. 80).
Рис,. 80. Каждому моменту времени t со-
ответствует путь s, пройденный
точкой М от точки отсчета О за время t, т. е. путь
есть функция времени:
s = f«), /€[0;Т].
Эта функция называется законом движения точки М.
Из всех движений материальной точки простейшим
является равномерное движение по прямой. Из курса фи-
зики известно, что прямолинейное движение точки назы-
вается равномерным, если точка за любые равные по дли-
тельности промежутки времени проходит равные пути.
Скоростью прямолинейного равномерного движения назы-
вается путь, пройденный точкой в единицу времени.
Из сказанного видно, что при равномерном движении
скорость движения постоянна. На практике поезда, ав-
томобили, пароходы, самолеты, ракеты и космические
корабли равномерно и прямолинейно движутся лишь на
некоторых участках пути, а в общем случае их движе-
ние неравномерное. При неравномерном движении точка
за разные, но равные по длительности, промежутки вре-
248
мени может проходить разные пути. Следовательно, нерав-
номерное движение (в отличие от равномерного) нельзя
полностью охарактеризовать указанием пути, пройденного
точкой за тот или иной промежуток времени. Поэтому
для характеристики неравномерного движения точки ис-
пользуется понятие средней скорости.
Пусть материальная точка движется по закону s = f(f)t
/£[0;Т] (см. рис. 80). Если s0 = f(t0) и то сред-
ней скоростью движения за промежуток времени от мо-
мента t0 до момента называется число
Из курса физики ^известно, что свободное падение тел
происходит по закону s(t) = ^, где g—ускорение сво-
бодно падающего тела (g« 9,8 м/с8), / — время (в секун-
дах), s —путь (в метрах).
Вычислим путь, пройденный телом за первую секун-
ду, т. е. за промежуток времени от момента /о = Ос до
момента = 1 с:
s(l)-s(0)=(^l-£2)w 4,9 м.
Следовательно, средняя скорость движения тела за первую
секунду равна vcp(0; 1)« 4,9 м/с.
Вычислим теперь путь, пройденный телом за десятую
секунду, т. е. за промежуток времени от момента /в = 9с
до момента f^lOc:
s (10) - s (9) = « 93,1 м.
Итак, средняя скорость движения тела за десятую секунду
равна иср(9; 10) «93,1 м/с.
Таким образом, свободное падение тел есть движение
неравномерное, так как за разные, но равные по длитель-
ности, промежутки времени тело проходит различные
пути. Заметим, что и средние скорости у свободно падаю-
щего тела в разные, но равные по длительности, проме-
жутки времени (например, от /в»0с до tt = 1 с й от
/0 = 9с до /1==10с) различны.
Найдем среднюю скорость свободно падающего телй
за промежуток времени от начала падения, т. е. от t9 — 0 с
до момента 10 с:
. /л »(10)—*(0) <-0>\ 1 .п .
(°; Ю) = ю-а - (h—V)• и * 49 м/с.
249
Сравнивая средние скорости fcp(0; 10) «49 м/с,
иср(0; 1)«4,9 м/с и fcp(9; 10) «93,1 м/с, видим, что
средняя скорость для всего промежутка времени от /о = 0 с
до /1=10с отлична от средних скоростей для первой и
последней секунд из указанного промежутка времени.
Итак, если точка движется неравномерно, то, зная
среднюю скорость для некоторого промежутка времени,
невозможно установить скорость в какой-либо момент
времени из этого промежутка. А это значит, что средняя
скорость не может полностью характеризовать неравно-
мерное движение, для его характеристики вводят так
называемую мгновенную скорость.
Пусть точка движется по закону $ = /(/), /£[0; Г].
Тогда за промежуток времени длительности i — t0 между
моментами времени /0 и t точка проходит путь, равный
/(/)—/(/0), со средней скоростью
Мо-О" t_tt
Очевидно, что средняя скорость пср(/0; О'тем полнее
характеризует движение за промежутки времени от t0 до
t, чем меньше длительность этого промежутка.-Предел
средней скорости за промежуток времени от t0 до / при
/, стремящемся к /0, называется мгновенной скоростью
v(t0) в момент времени /0, т. е.
и (/0) = lim vcp (/0; t) =iim
t-+ta t-*ta I — I0
Пример 1. Найдем мгновенную скорость в момент
времени t0 свободного падения тела.
Решение. Так как свободное падение тела происхо-
gt2
дит по закону 2 ’ то
. .. s(t) — s(t0) j. 2 2
у (t0) = hm -4—= lim ——т— =>
= -f lim = f
Итак, при свободном падении тело,движется co скоростью
u(t) = gt.
Пример 2. Лифт после включения движется по закону
5(/)= 1,5/» +2^ + 12,
250
где s —путь (в метрах), / — время (в секундах). Найдем
мгновенную скорость в момент времени /0.
Решение. По определению мгновенной скорости по-
лучаем
V(Q = lim lim
i-+t9 t~t4 t+t9 •
= Km 5(<i-<»)+2.('-'<>) = Jim(1,5(<+<,)+2)-3/,+2.
t-+t9 l~l0 t-+t9
Следовательно, лифт после включения движется со ско-
ростью у (/) = 3/ 4- 2.
Протекание тока в электрической цепи
(задача о мгновенной величине тока). Пред-
ставим себе электрическую цепь с некоторым источником
тока. Обозначим через q = q(t) количество электричества
(в кулонах), протекающее через поперечное сечение про-
водника'за время t. Тогда q (О— q(t0) есть количество
электричества, протекающее через указанное сечение за
промежуток времени от момента /0 до момента /Р Сред-
ней силой тока /ср за указанный промежуток времени
называется число
г j if. / \ <(/i) я (to)
'ср 'cp'/fri ^11
В случае постоянного тока средняя сила тока /ср будет
одинаковой для любых различных, но одинаковых по дли-
тельности промежутков времени. Если в цепи переменный
ток, то /ср будет различной для различных, но одинако-
вых по длительности промежутков времени. Поэтому для
характеристики цепи переменного тока вводят понятие
мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент
времени: мгновенной силой тока 1 (/0) в момент времени t9
называется предел (если он существует), к которому стре-
мится средняя сила тока за промежуток времени от ta
до t при /, стремящемся к /0, т. е.
/ = Нт /„(<,; 0 = lim.‘?(<>~’(<,>.
t-+t. f-+t9 ' —'о
2. Производная функции. В рассмотренных выше зада-
чах речь шла о мгновенной скорости движения и о мгно-
венной силе тока. Введение этих понятий происходило
с помощью некоторого предела. Можно привести еще
немало задач, для решения которых также необходимо
отыскивать скорости изменения некоторой функции,
251
например нахождение линейной плотности неоднородного
стержня, теплоемкости тела при нагревании, угловой
скорости вращающегося тела и др.
Определение. Пусть задана функция / (х), х £ ]а; 6[,
и пусть х0 —некоторая точка интервала ]а; Ь[. Предел
lim '<*)-/(*.)
„ X — х0
называется производной функции f (х) в точке х0 и обозна-
чается f' (х0).
Таким образом, по определению,
Г(х.) = lim '(х£'-(х,). (1)
х->х0 Л
Функция, имеющая производную в некоторой точке, на-
зывается дифференцируемой в этой точке.
Согласно определению предела (см. § 18) равенство (1)
можно записать в следующем виде:
Z(^~^W = /'(-t.)+a(x),
Л^Ло
где ос (х) —► 0 при х —► Хо. Следовательно,
f (х) — / (х0) = (/' (х0) + а (х)) (х - х0), (2)
где ос (х) —► О при х —► х0, или
(х0) + (х0)(Х—хо)+ос(х)(х—хо), (3)
где ос(х) —*0 при х —► х0.
формула (3) играет важную роль как в курсе мате-
матического анализа, так и во многих разделах естест-
вознания.
Используя понятия приращения аргумента и функции,
определение производной формулируется следующим обра-
зом: производной функции f(x) в точке х0 называется
предел отношения приращения функции Д/(х0) в точке х0
к приращению аргумента Дх, когда приращение аргумента
стремится к нулю.
Производная функции y = f(x), x£]a; д[, в точке х
обозначается через f (х) или у' (читается: «эф штрих
в точке икс» или «игрек штрих»). Итак,
lim lim
Дх-+0 Дх->0
/ (х+Дх)—/(*)
Дх
(4)
252
Часто для обозначения производной используется символ
(читается «де эф по де икс»).
Операция нахождения производной от данной функций
называется дифференцированием. Происхождение такого
названия можно связать прежде всего с тем, что до пере-
хода к пределу рассматривается отношение разностей,
а разность на латинском языке обозначается словом dif-
ferentia. Функция f (х), х£]а; д[, имеющая в каждой
точке интервала ]а; b[ производную, называется диффе-
ренцируемой на этом интервале.
Возвращаясь к задачам, рассмотренным'в п. 1, можем
сказать следующее:
1) мгновенная скорость движения v(t) в момент вре-
мени t есть производная от пути по времени, т. е.
»(0=^ = s' (0;
2) мгновенная сила тока / (t) в момент t есть произ-
водная от количества электричества q(t) по времени, т. е.
/(0=^=?'«).
3. Вычисление производной на основе ее определения.
Исходя из определения производной, сформулируем сле-
дующее правило нахождения производной функции
в точке.
Чтобы вычислить производную функции f (х) в точке
хв нужно:
1) найти разность f(x) — / (х0);
пх - /(х)— f(x0)
2) наити отношение -~х ’
3) найти предел этого отношения при х —► хв:
lira Z(x’ZZ(Xo>=/'(x0).
Поясним это правило нахождения производной на при-
мерах.
Пример 1. Пусть /(х) = с, x£R, где с—некоторая
константа. Найти производную f (х).
Решение. 1) Находим разность
f (х)-/(хо) = с-с«О.
2) Находим отношение
/(х)-/(хй) о 0
X—Хв X —хв
3) Находим предел
lim /М-Н£о)= пт 0 = 0,
Х->Х0 х Ха х->х0
получим f' (х) == (с)' = 0.
Итак, производная постоянной равна нулю.
Пример 2. Найти производную линейной функции
f (x) = kx-{-b.
Решение. 1) Находим разность
f(x)—f (х0) = (kx + b) — (kx0 + b) = k (х — х0).
2) Находим отношение
— f (х0) = 6(х—х0) = k
х—х0 X—х0
3) Предел этого отношения для любого х0 равен k.
Итак, /'(х0) = (Лх0 + &)' = k.
Пример 3. Дано f (х) = х®,- x£R. Найти f (х).
Решен ие.
1) Вычисляем разность
f (х) — f (х0) = х3 — 4 = (х — х0) (х2 + хх0 + х20).
2) Находим отношение
3) Вычисляем предел
lim (ха 4- хх0 + Xq) = Зх®.
Таким образом, /'(хо)=3х2. Так как функция f(x) = x3
имеет производную в любой точке х = х0£/?, то будем
писать (х3)' = Зха.
4. Непрерывность дифференцируемой функции» Уста-
новим необходимое условие существования производной.
Теорема. Если функция f (х) имеет производную
в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. По условию теоремы функция f
в точке х0 дифференцируема. Как известно, для функции,
дифференцируемой в точке, имеет место следующая фор-
мула (см. формулу (3) в п. 2):
f (х) = f (х0) + (f (х0) + а (х)) (х - х0), (1)
254
где а (х) —► О при х —► х0. Переходя к пределу при х —► х0
в равенстве (1), получаем
limf(x) = f(x0),
х-*х0
что и означает непрерывность функции f в точке х0.
Т-еорема доказана.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что
если функция, не является непрерывной в некоторой точке,
то она в этой точке не имеет
производной, т. е. непрерыв-
ность в точке — необходимое
условие дифференцируемости К У
в точке. Однако следует за-
метить, что непрерывность
функции в точке не является
достаточным условием су; ff' " /
ществования производной и
этой функции в рассматри- Рис. 81.
ваемой точке, т. е. из не-
прерывности’ функции в точке не следует ее дифферен-
цируемость в этой точке.
Пример. Найти производную функции
/ (х) = |х[.
Решение. Так как f(x) = x при х>0 и f(x) =— х
при х<0 (рис. 81), то, используя значение производной
для линейной функции, получим
!1, если х > О,
-1 если х<0
Докажем, что функция /(х) = |х| в точке х = 0 не
имеет производной.
Если х<^0, то f(x) = — х, и поэтому
Hm Пт =5=_1.
*->-о х-0 х^_0 х
Если х>0, то /(х)=х, и поэтому
Iim «±±а=Ишд=1.
лг-> + 0 х 0 х-»- + 0 х
Следовательно, функция f(x) = |x| не имеет производ-
ной в точке х = 0.
255
Упражнения
6.1. Самолет ТУ-104 пролетает путь от Москвы до Ташкента,
равный 2736 км, за 3,8 ч. Определите среднюю скорость движения
самолета.
6.2. Расстояние между Москвой и Новосибирском 3200 км. Ско-
рый поезд проходит это расстояние за 64 ч. Определите среднюю
скорость движения поезда.
6.3. Точка движется прямолинейно по 'закону
... . . at1 2
s(O = Vo* + —
(здесь и везде дальше s—путь в метрах, t — время в секундах),
Найдите мгновенную скорость этой точки:
а) в начальный момент времени / = 0;
б) в момент времени t0. ~
6.4. Точка движется прямолинейно по закону
s(t)=3t2—2/4-3.
Найдите мгновенную скорость этой точки:
а) в начальный момент времени /=0;
б) через 5 с после начала движения;
в) в момент времени /=2с.
6.5. Найдите мгновенную скорость тела в момент времени i9, дви-
гающегося по закону:
a) s(t) = 2 /Г;-б) 5(0 = ^; в) s (/) = /» 4-К?-
d-f-r
6.6. Найдите производные следующих функций в точках х=х0,
х — 1, х = 5:
а)/(х)=ха; б) /(х)=2ха4-1; в)_/ (х) = (х4-3)а;
Г)/(х)=х’4-2ж4-1; д)/(х)=Кх;
е) f (х) = 1 —х3; ж) / (х) = К* — ха.
§ 28. Производная суммы, разности, произведения
и частного функций
1. Производная суммы и разности функций.
Теорема. Если функции и(х) и v(x) имеют произ
водные во всех точках интервала ]а; 6[, то
(и (х) ± V (х))' = и'.(х) ± и' (х)
для любого х£]а; Ь[. Короче,
(u±v)' = и' ±v'.
Доказательство. Сумму функций и (х) 4- и (х), где
х£]а; 6[, которая представляет собой новую функцию,
обозначим через f(x) и найдем производную этой функ-
ции, исходя из определения,
256
Пусть х0 —некоторая точка интервала ]а; Ь[. Тогда,
f (х0) = lim ^(х)-~Д^ =
> ' V / у
X “► Л
= Iim (х) 4- о (*)) — (Ц (*о) 4- О (*о)) Jjm “(xh—н(Хр) |
х -> Xt Х Х0 х-* Xt Х Хо
4- Urn v tyzv (х°> = и' (х0) -I- vf (х8).
Х-+Х, X —х0
Итак, /7х0) = ы'(х0) 4-v'(x0). Так как х0 — произвольная
точка интервала ]а; Ь[, то имеем
Г (х) = (и (х) + v (х))' = и* (х) + v' (х).
Случай разности рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Примеры.
а) (ха 4- х + 5)' = (ха)' + (х + 5)' = 2х 4-1;
б) (хэ 4- /х)' = (х3)' 4- (/х)' = Зха 4- —U= ;
2 у х
в) (ха 4- 4х 4-15)' = (ха)' 4- (4х 4-15)' = 2х 4- 4.
Замечание. Методом математической индукции
доказывается справедливость формулы (х) 4- н2 (х) 4- • • •
4-нЛ(х))* = «1 (х) 4-Иг (х) 4- 4-«Их) для любого
конечного числа слагаемых.
2. Производная произведения функций.
Теорема. Если функции и(х) и и(х) имеют произ-
водные во всех точках интервала ]а; 6[, то
[и (х) и (х)]' = и’ (х) и (х) 4- и (х) v' (х)
для любого х£]а; Ь[. Короче,
(uv)' = и и 4* uv'
Доказательство. Обозначим произведение u(x)t’(x)
через f (х), хС]а; Ь[, и найдем производную этой функции,
исходя из определения.
Пусть х0 —некоторая точка интервала ]а; Ь[. Тогда
/'(х0)= lim
X-fXt х *0
lim и W~^(xo)v(ro)
X Xq
Далее, так как
Ц(х)ц(х) —u(x0)v(x0)=®
= (ц (х) — и (х0)) V (X) 4- и (х0) (и (х) — V (х0)),
9 Алгебра, ч. 1
257
то
г м = шп. «ю+«
и, следовательно,
Г (х0) = v (х0) и' (х0) 4- и (х0) v' (х0).
Так как х0 — произвольная точка интервала ]а; Ь[, то
имеем
f' (х)«(и (х) v (х))' = и' (х) v (х) + v' (х) и (х).
Теорема доказана.
Примеры.
а) ((х 4- 5) (х—8))'«(х+5)' (х — 8) + (х — 8)' (х + 5) =
= Ь(х-8)+1.(х + 5)=2х—3;
б) (ха (2х—7))' ~ (ха)' (2х-7) + х2 (2х—7)' =
= 2х (2х - 7) + ха • 2 = 6ха - 14х;
в) (р4 х (5 — Зх))' = (У х)' (5 — Зх) + Vх (5 — Зх)' =
=тй(5 -Зх)+К * (-3)==•
А A L J Л L J л
Следствие. Постоянный множитель можно выно-
сить за знак производной:
(af(x))'=afr (х).
Доказательство. Применив теорему о производ-
ной произведения к af(x), где а —число, получим
(а/ (х))' = (а)' f(x) 4- af' (х) = 0 • /= (х) 4- af' (x)=af' (х).
Примеры.
a> (.т) =3 <х) = з*;
б) (4+вх)'=(4)'+(5х)'=4(х’)'+5м'==х‘+5-
3. Производная частного двух функций.
Теорема. Если функции и(х) и о(х) имеют произ-
водные во всех точках интервала ]а; 6[, причем v(x)y=0
для любого х £ ]а; &[, то
/ и (х) \ ' _ и' (х) V (к) —и (х) у' (х)
\о(х)У “ и2(х)
258
для любого х£ ]а; Ь[. Короче,
f и\'__________________vu' — uv'
\V J V2
Доказательство. Обозначим частное через
/(х) и найдем /'(х), используя определение производной.
Пусть х0 — некоторая точка интервала ]а; 6[. Тогда
lim — И*о)_ u(x)v(xo) — U(X0) V(x)_~
' W Д Xo x~xo ~ Д v to v to) (*“*<>)
__J_________________________ um u(x)v(x0) — u(x0)v(x)
"2(*о)Дхо x — xo
Далее, так как
u(x)v(x0) — и (x0)v (x) =
= (u (x) — и (x0)) и (x0) + и (x0) (v (xn)—v (x)),
TO
f'M("(~.w v ы -u м
и, следовательно,
p \ _ v to) «' (*<►)—« (*o) v' (*o)
/ ^(Xo)
Так как x0 —произвольная точка интервала ]а; 6[, то
в последней формуле х0 можно заменить на х. Теорема
доказана.
Примеры.
} к / (*+1)2
_ (х4-1)-9— (J4-9r).l _ 8
“ (г + 1)2 “(х + 1)4’
/ хэ у_(4—х) (х3)' — х3(4—х)'_
' —х) (4 — х)2
__(4 — х) Зх2—х3 (—1) 12х2—2Х3
(4—х)2 (4—х)2
Упражнения
6.7. Используя примеры из п. 3 § 27, п. 1 § 28 я упражнение
6.& к § 27, найдите производные следующих функций:
а)/(х)=х+1; б) g (х)=х2 + х+ 1; в) h (х) = V х+х2+3;
г) v (х) =х3+ У~х\ д) у (х) =х3 + х?+ У~х+4;
е) u (х) = 1 + 4х+х3; ж) w (х) =3*+41 + х2+х®.
9*
259
8.8. Найдите производные следующих функций, используя при-
меры из п. 3 § 27, п. 1 § 28 и упражнение 6.6 к § 27:
3 4
a)/W—8г, 6)f(x) = — x', в) /(*)= —у х;
г) f (х) = Зх-|- — Зх2; д) f (*) = 1 —5х—Зх3+4 К*!
е) f (х) = (х— 9) (x-f-l); ж) f (х) =х3 (х—/~х);
з) К*); и) / (х) = (х2 —Зх—1) (1 —4х—Зх3).
6.9. Докажите, что производная разности двух функций равна
разности их производных, если эти производные существуют.
6.10. Докажите формулу для нахождения производной от произ-
ведения трех дифференцируемых функций:
(uvwy = u'vw-j- uv'w-j- иии/.
8.11. Найдите производные в точке х=| следующих функций:
. . . . Зх— 1 х2— 1 х3
aHW=5T+4; 6>«W = 4=8i; 2,h()=iJ=2i;
г) V (х) = : Д) и (х) = * 3 >
' Зх —х3 х2—5
6.12. Докажите справедливость формулы для дифференцируемой
в точке х функции f (где f (х) / 0):
k V _—kf (х)
/(*)/ ~ f2(x) ’
где k — число.
§ 29. Производная сложной и обратной функций
1. Сложная функция. Понятие сложной функции ши-
роко используется в математике. Со сложными функциями
мы уже неоднократно встречались в курсе математики
при рассмотрении различных вопросов.
Пусть заданы две функции у = g(x) и z = tp(i/), причем
область определения функции (р содержит множество
значений функции g. Функция, заданная формулой
z = <p(g(x)), называется сложной функцией, составленной
из функций g и <р, или суперпозицией функций g и <р.
Например, функция tt/ = 31g(l+xs) есть сложная
функция, составленная из более простых функций
z = 31gi/ и у = 1 +х*.
Подобным же образом можно рассматривать сложные
функции, являющиеся суперпозицией более чем двух
260
функций. Например, функция z = lg(1 +Кх) может быть
рассмотрена как суперпозиция следующих функций:
г = 1g и, и= 1 + у, y = Vx.
Пример. Для функций g (х) = хъ + V х и <р (х) = 1g х+
+ х’ + 1 составьте £(ф(х)) и ф(£(х)).
Решение.
£ [ф (х)] = (1g х + х3 + 1 )а + V lgx+x3 + l,
<₽[g(*)] = lg (ха+/х) + (ха + / х)8 + 1.
Рассмотренный пример показывает, что результат
суперпозиции двух различных функций зависит от по-
рядка, в котором эти функции следуют, т. е. вообще
говоря, ф(£(х))^£(<р(х)), если ф(х)=?Ь£(х).
2. Производная сложной функции.
Теорема. Пусть функция y — g(x), х£]а; 6[, имеет
производную в точке х0£]а; Ь[, а функция z=-q(y) опре-
делена на интервале, содержащем множество значений
функции g, и имеет производную в точке у0 = g(x0). Тогда
сложная функция f (х) = ф (£ (х)) имеет производную
в точке х0, которая вычисляется по формуле f' (х0) =
= ф' (yQ)g' (х0) или, опуская значения аргументов,
dz_dz dy
dx dy dx'
Доказательство. По условию теоремы функция
а = ф(£/) имеет производную в точке у0, поэтому (см.
формулу (2) из п. 2 § 27) имеем
Ф (У) - Ф (Уч) = (ф' (Уч) +«(У)) (У - Уч), (1)
где
lim a(g) = 0. (2)
У-+Уъ
Аналогично y = g(x) имеет производную в точке х0,
и поэтому
У - Уч = g (*) - g (х0) = (g' Ы + 0 (х)) (х - х0), (3)
где
lim |3(х) = 0. (4)
хв
Используя равенства (1) и (3), получим
f (х) — f (Хо) = Ф (£ (х)) - ф (g (х0))«
= Ф (у) ~ Ф (Уч) = (ф'(0о) + а (У)) (g’ (*о) +0 (*)) U-^o). (5)
261
Здесь мы функцию а (у) определили и в точке у9, поло-
жив а (у0) = 0 (см. (2)).
Так как g(x) имеет производную в точке х0, а значит,
и непрерывна в этой точке, то
y = g(x) — y0 при х—* х0.
Поэтому из равенства (2) следует, что
lim а (у) = lim а (g (х)) = 0. (6)
Ж -> Хо X -> X,
Найдем теперь производную сложной функции, исполь-
зуя определение производной и соотношения (4), (6) и (5):
lim = Пт (<р'(1/о) + а(5(х)))(^(^о)+.РМ) =
Х->Х0 Л *0 X-fXt
==<₽' (Уо) g' М.
Таким образом,
Г (*о) = ф' M-g' W
или, в других обозначениях,
dz________________________dz dy
dx~~dy dx‘
Теорема доказана.
Пример 1. Найти производную функции f(x) =
- (х2 + 3х+ 10)а.
Решение. Будем рассматривать данную функцию
как сложную, а именно, как суперпозицию функций
z=t/’ и у = х2 + Зх+10. Тогда, согласно формуле (7),
получим
f' W=| • а - ОТ' <х*+Зх +1 °)' =
= 2^.(2x+3) = 2(x! + 3x+ 10)(2х+3).
Пример 2. Найти производную функции /г(х) =
__/ х \э
\х4-1)
Решение. Представим данную функцию как супер-
позицию двух функций z = у3 и у — —.
x-j- 1
Согласно формуле (7), получим
/г' — — • — = ( х V — З/v2 1 — Зх2
W dy dx ' \х-Н/ У (х+1)2~ (х4-1)4 ’
262
3. Производная обратной функции.
Теорема. Если функция f (х), х С ]а; Ь[, и ее обрат-
ная функция f~l(y) имеют производные, то
df~l(y) . 1 ,п
dy df(x) ’
dx
Опуская значения аргументов, получаем.
dx 1 ,1
— = — или X = — .
dy dy у'
dx
Доказательство. Рассмотрим сложную функцию
Ь[. По определению обратной функции,
Н(/(х))=х
для любого х£]а; Ь[. По теореме о производной сложной
функции имеем
df-l(y) df(x)_.
dy dx
Отсюда и следует формула (1). Теорема доказана.
Пример. Найти производную функции у = х1/3,
х > 0.
Решение. Данная функция является обратной к функ-
ции х = уэ, у > 0. Следовательно,
^ = J- = J-=-1_ = -Lx-2/3
dx dx Зу* Зха/3 3
dy
Упражнения
6.13. Для заданных функций /(х) = х2+3х—1, g(x) = lgx-f-3
и ft(x) = /T-fAZZl. составьте f (g), f (Л), g (ft), g(f), hfj), h(g).
* I 1
6.14. Заданные функции представьте в виде суперпозиции более
простых функций:
а) ц = ^+Зх+4; 6) У = х,+5х + |:
в) y = ]f х—2 /~х; г) у= lg (3x24-x-f-4);
Д)^7Т=ЙГГ е)у=^м:
ж) у -----; з) у =-------------.
З-i \ *+ 1g х 4— У х+ 1g (1+ х)
263
6.15. Найдите производные следующих функций:
б) р=(х2-3)а;
/ х2+*+1 V
\х3 —Зх2— 5х/
я) ^=(23+15х+х8)2;
§ 30. Производные некоторых элементарных функций
1. Пределы, связанные с числом е. В п. 9 § 17 мы
доказали, что
lim (1 +—У
\ nJ
существует, и значение этого предела обозначили е.
Так как [г] г [z] + 1, то, положив /г = [г], полу-
чим неравенства
(1+ ' y<fi + ±y<fi+iw-
\ «+ 1/ \ 2 ) \ П )
для любого z > 1. Отсюда и из теоремы о пределе про-
межуточной функции, используя результаты п. 9 § 17,
заключаем, что
lim (1 + — \ = е. (1)
Заменой переменной // = — г из формулы (1) можно
вывести
lim (l+-iy = e. (2)
В формулах (1) и (2) сделаем замены z = 1/х и у = 1/х
соответственно. Так как х —► 0 при z—»-Н-оо и при
у —> — оо, то
lim (1+х)1/х = е. (3)
Из формулы (3) следует, что
lim——— = 1. (4)
х -> О х
Действительно, так как
lim 1п = Нт 1п(1+х)1/х,
х-+ о х х -> о
то, используя непрерывность логарифмической функции
и формулу (3), получим
lim In (1 + х)1/х = In е = 1.
О
264
Далее, из формулы (4) следует
lim^=l. (б)
/-♦о 1
Действительно, положив / = In (14-х), получим
lim = lim , — 1•
/-о * х->0,П 0+*)
2. Производная показательной функции, Рассмотрим
функцию f(x) = ex, x£R.
Теорема. Функция ех имеет производную в каждой
точке числовой прямой, и ее производная вычисляется по
формуле
(gxy^gx. (1)
Доказательство. Пусть х0 — некоторая точка чи-
словой прямой. Тогда
/'(x<,)=lim lim
X -+ Хв Х Х° х -> Хл Х Х0
Используя формулу (5) п. 1, отсюда получаем
Г (х0) = ех« lim е* х°~1 = ех*.
x-+xt х Л°
Итак, f'(x0) = ex<>.
Так как х0— произвольная точка числовой прямой,
то в последней формуле х0 можно заменить на х. Таким
образом, имеем
Г (х) = (ех)'=ех.
Следствие. Показательная функция / (х) = ах, х € /?.
где а > 0, а#= 1, дифференцируема в каждой точке число-
вой прямой, и ее производная вычисляется по формуле
(ах)' —ах\па. (2)
Доказательство. Используя формулу производ-
ной сложной функции, а затем формулу (1), получаем
/'(«) = е* 1п а (х aY = еХ ,n а In а = ах In а.
Таким образом, (ахУ = ах In а.
Пример 1. Найти производную функции у = ех +’.
Решение. Используя формулу производной сложной
функции и формулу (1), находим производную данной
функции:
/ S=(ex*+J)' — ex*+* (х2 + 1)' = e*2+J-2x.
265
Пример2. Продифференцировать функциюу=8х*+х+1.
Решение. Производную данной функции находим,
используя формулу производной сложной функции и фор-
мулу (2):
у' = (8’х1+*+»>' = 83*‘+*+х in 8. (Зх8 + х + 1У =
= 83x*+*+1 In 8-(6х4-!)•
Пример 3. Найти производную функции
5 .
— х* + х+3
у = (х34-4х4- 16)44
Решение. Используя сначала формулы для произ-
водной произведения и сложной функции, а затем фор-
мулу (2), получим
t/ = (x3-f-4x + 16)' 4Т ж‘+х+3 + (4“х’+х+3) (х3 4-4x4- 16) =
=44 * +*+3.(Зх84-4) +4 4 * +х+3-1п4- ^-|-х2+х4-3) х
±х«+х+3 /
X (х34-4x4-16) = 44 Г Зхг + 4 + 1п4х
X ^ух4-1) (х3 4-4x4- 16)).
3. Производная логарифмической функции. Рассмотрим
функцию у= In х, х€ R+- Найдем ее производную, исходя
из определения и используя формулу (4) из п. 1:
/=lim In (Х4-ДХ)- lnx =
дх -> о
Таким образом,
(1пх)' = у. (1)
Рассмотрим теперь логарифмическую функцию t/ = logax,
х£/?+, где a>0, 1. Как известно, logax = j^, и
поэтому
(logax)' = —. (2)
' ba ' х In a v '
Следовательно, нами доказана следующая теорема.
266
Теорема. Логарифмическая функция дифференцируй
ема в своей области определения, и ее производная вычис-
ляется по формуле (2).
Пример 1. Продифференцировать функцию
у = In (х’4-3x4-9).
Решение. Используя формулу производной сложной
функции и формулу (1), получаем
t /1 / а I о । л\\* (х2 4* 3x4*9)* 2x4*3
у' = (In (х2 4- Зх 4- 9)) = 2 , 0 , о = ? । о •
° 1 1 и х24-Зх-}-9 х“4*3х4“9
Пример 2. Найти производную функции
у = 1 og2 (х3 4- Зх3 4- 4х4- 2).
Решение. Производную данной функции находим,
используя формулу производной сложной функции и фор-
мулу (2):
У’ = (loga (х3 4- Зх2 4- 4х 4- 2))' =
(х3 4- Зх2 4- 4х 4- 2)' _ Зх24-6х4-4
₽ (x34-3x24-4x4-2) In 2~(х34-3х24-4х4-2)1п2 •
Пример 3. Найти производную функции
г/ = (х24-3) In(2x4-1).
Решение. Используя формулы для производной про-
изведения в сложной функции, а также формулу (1), по-
лучим
/ = (х2 4- 3)' In (2х 4-1) 4- (*’ 4- 3) (In (2х 4-1))' =
= 2х In (2х + 1)+(х’+3) =
= 2х1п(2х+ 1)+^±3
4. Производная степенной функции. Рассмотрим сте-
пенную функцию у=ха, где а£/?. Обычно степенная
функция, если а — произвольное действительное число,
рассматривается для х > 0, т. е. на интервале ]0; 4-°°[-
Тогда
In х
и поэтому, согласно правилу дифференцирования сложной
функции,
(ха)' — (еа1пх)' = еа 1пл (а 1пх)' = ха-^- = аха~1,
267
т. е.
(ха)' зах"-1,
(1)
Заметим, что для некоторых а, например натуральных,
степенная функция определена на всей числовой прямой.
Положим х =— г, z > 0, получим хР- — (—z)a — (—l)az“.
Так как постоянный множитель можно выносить за знак
производной, то, используя формулу (1) и теорему о про-
изводной сложной функции, получаем
(хаУ = ((—1 )“?“)' = (—1 )а (гаУ = (—!)“ ага~ lz' =
z=(—1)а-az®-1-(—I) = (—!)«-(—l)a = axa-x,
т. e.
(xa)' =axa~1.
Таким образом, и для этого случая верна формула
(1).
Примеры.
а) Пусть у = х, тогда у' = (х)' = 1 •х1-1= 1;
б) пусть у = х10, тогда у' = (х10)' = Юх10-1 = Юх’;
в) если у = У~х, то t/' = (Кх) = (х2 ) =у^2 1==
г) если у = хУ 3, то / = (хУ 3)' = Уз хГз" 1;
д) если(/=^/х4, то / =(J/x4)'=(х4/5)'
. 1 ' ( 1 V
е) пусть у = — , тогда у = ( —] =
’ 1 у 3 Кх+1 у \3 /Тн /
=4((х+о т) =4 • (—4) <*+2 ~l(*+i)'=—4х
х(х4-1)-3/М=-1(х4-1)-3/а.
Из формулы (1) для случая a = n, где n£N, и пра-
вила дифференцирования суммы следует, что многочлен
есть дифференцируемая на числовой прямой функция, причем
(aox'l4-a1x""l4-... +ап.1х + ап)' =
= naoxn~l-j-(n— l)a1x«-84-...4-an_i, (2)
268
Так как дробно-рациональная функция представима
в виде частного двух многочленов, то из формулы (2) и
теоремы о производной частного следует, что дробно-ра-
циональная функция дифференцируема во всей своей области
определения.
Примеры.
а) Пусть t/ = x3+3x5+Юг7, тогда t/' = 3xa+15r4 + 70re;
б) если у=13х* + У х + 4—тле, то / = 52г3+ —
х х 2 у х
— 16х-3 +90г-11.
5, Производная синуса. Напомним (см. п. 4 § 25),
что
- sin ос - 1 л - 1 I . л
cos а <-----< I, если 0 < а < -т-.
а 1 1 2
Из этого неравенства при а—>0 получаем
i: sina . ...
Ilm„-—=>• 1
a-> 0 “
Согласно определению производной, имеем
(sinx)'=lim ^ОН-ад-si..*
Дх -> 0
Заменим разность в числителе на произведение по фор-
муле
• □ a 4-6 a—3
sin a — sin р = 2 cos sin .
Тогда
n f . Ax\ . Ax
2cos I x-|—— I sin —
(sin x)' = lim ---——2----------.
ДХ-+0
По теореме о пределе произведения имеем
Ах
/ Ах \ Si0 ~2~
(sinx)'= lim cos ( х + ) • lim ——
Дх-+0 V 2 / Дх->0 AL
2
В силу непрерывности косинуса
,. ( > Ах \
lim cos г 4- -п- = cos х.
Дх->-0 \ 2 /
Из формулы (1)
при “=— получаем
Дх
sm-s-
lim -^-=1.
Дх->о
2
(sinx)' =cosx.
Следовательно,
Примеры.
a) (sin 5х)' = cos 5х (5х)' = 5 cos 5х;
б) (sin Зх2)' = cos Зх2 (Зх2)' = 6х cos Зх2;
в) (sin3 2х)' = 3 sin2 2х (sin 2х)' =
= 3 sin2 2х cos 2х (2х)' = 6 sin2 2х cos 2х.
6. Производная косинуса. Согласно определению про-
изводной, имеем
(cosx)' = lim
Дл->0
Заменим разность в числителе на произведение по фор-
муле
Q п . а+6 . а—6
cos а —cos р =—2 sin—^-sm—.
2 2
Тогда
. Дх . / । Дх \
—sin —sin X-}-—
(cosx)' = lim ---------Г-+----- =
дл->о
2
Дх
sinT / л \
= — lim —-— lim sin (x-f- —).
Дл-»0 Дл->0 \ 2 J
2
Так как
lim sin (x4--^-) =sinx,
Дх-»0 \ 2 /
TO
(cosx)' = — sinx.
270
Примеры.
a) (cos Зх)' — — sin Зх (Зх)' = — 3 sin Зх;
б) (cos3x2)' = — sin3x*(3x2)' = — 6xsin3x2;
в) (cos* Зх)' = 2 cos Зх (cos Зх)' =
= 2 cos Зх (— sin Зх) (Зх)' = — 3 sin 6х.
7. Производная тангенса. Пусть дана функция
f(x) = tgx, x$R, х^=±у + яп.
По определению,
. sin х
tg X =------------------------.
ь COS X
Применим формулу
/ и V__vu’ — ии’
\ и / и2
Тогда
cos х (sin xY—sinx (cos г)'
(‘е*) =—1—Ьгг------------—
__cos x cos x—sin x (— sin x) 1
cos2 X cos2 X ’
Таким образом,
(tg x)' =—V •
' b ' COS2X
Примеры.
a) (tg 3x)' = —Ls- (3x)' = —;
' v ° ' cos2 3xv ' cos2 3x
6) (tg3 2x)' = 3 tg»2л(tg 2x)' = 3 tg» 2x(2x)' =
c sin2 2x
= o—rx-;
cos4 2x ’
B) (tg» (Зх» 4-Х))' = 2 tg (Зх»4- X) (tg (Зх» 4- x))' =
- 2 tg (Зх- + x) (Зх= 4- x)' = 2 (6x 4-1) 3^.
8, Производная котангенса. Пусть дана функция
f(x) = ctgx, x£R, х^=пп.
По определению,
. cos X
ctg х = —.
ь sin X
Применим формулу
271
Тогда
(ctg х)'
sinx (cos x)'—cos x (sin x)' sinx (— sinx) — cos x cos x
sin2x sin2x
t. e,
(ctg*)'
sin2 x
Примеры.
a) (ctg 4л)' = - (4л)' = -
6) (ctga5x)' = 3ctg25x(ctg5x)' =
= 3ctg25x-^-(5x)'= — ;
b sin25x x ’ s.n4 5x ’
в) (ctg8 x2)' = 5 ctg4 x2 (ctg x2)' =
= 5 ctg4 x2 "Ц. (x2)' = — lOx cos6 *2.
& sin2x2 v ’ sin" X2
9. Производная арксинуса. Функция
y~ arcsin x, xC[—1; 1]» (1)
является обратной к функции
_ Г л л 1
X = S\ny, 1/^^—
(2)
Найдем производную функции (1) на интервале ]—1; 1[
по правилу дифференцирования обратной функции:
. 1 1
(arcsin х) == 7-гг =-.
' ’ (sin у) cost/
Выразим теперь cost/ через х. Так как
cos у = ]/~ 1 — sin2 у,
то, учитывая равенство (2), имеем
cosz/ = K 1 — х2.
Перед корнем следует брать знак « + >» потому что
cost/ на интервале j—положителен.
Таким образом,
(arcsin х) = _
’ /1-х2
Пример 1. Дана функция // = arcsin/х. Найти ее
производную.
272
Решение.
1
(/*)' = 1____________1_____________
1-(/х)2 2/x/l-x 2 ]<х(1-х)*
Пример 2. Дана функция у = х3 arcsinx. Найти ее
производную.
Решение.
у' = (х3)' arcsin х + (arcsln х)' х3 =» Зха arcsin х 4
X3
КГ=Х2
10. Производная арккосинуса. Функция
t/ = arccosx, х£[—1; 1], (1)
является обратной к функции
x = cosz/, у £ [0; л]. (2)
Найдем производную функции (1) на интервале ]—1; 1[
по правилу дифференцирования обратной функции:
, 1 1
(arccos х) -------7 =----;—.
V ’ (cost/) sin у
Выразим теперь sin у через х. Так как
slnz/ = y 1 — cos2//,
то, учитывая (2), имеем
sln// = ’K 1 — х2.
Перед корнем следует брать знак « + », потому что
sin у на интервале ]0; л[ положителен.
Таким образом,
(arccos хУ = —
1
/Г^х2
Пример 1. Дана функция у = arccosх3. Найти ее
производную.
Решение.
, _ (х3)' _ _ Зх2
У = — /1 — Xе ~ КТ32*® ’
Пример 2. Найти производную функции у =
*= (arccos х)3.
Ю Алгебра, ч. 1
273
Решение.
, • ч/ 3 (arccos х)а
у = 3(arccos х)2 (arccos х) =-^===—.
11. Производная арктангенса. Функция
1/= arctg х, (1)
является обратной к функции
x=tgy, J/s]—|;у[. (2)
Найдем производную функции (1) по правилу диффе-
ренцирования обратной функции:
(arctg x)'=-^r=cos2^.
Выразим теперь cos2 у через х. Из равенства
1 + х2 = 1Н- tg2 у = -Л-
1 I -to » COS2У
следует, что
а • 1
COS2 у = -гп—2 •
1 -]-ха
•Таким образом,
(arctg х)^-^.
Пример 1. Дана функция у = arctg(х2 —3). Найти
ее производную.
Решен ие.
У = 1-f- (х2—З)2 ~ Ю ’
Пример 2. Дана функция у = (arctgИх)3. Найти
ее производную.
Решение.
у' = 3 (arctg Их)3 (arctg Их)' =
_ 3 (arctg И*)3 (vQ\' _ з (arctg‘Их~У .
l-f-(Kx)3 V ' 2 (14-х) Их ’
12. Производная арккотангенса. Функция
i/ = arcctgx, х£Я, (1)
274
является обратной к функции
х — ctgу, у£]0; л[.
Найдем производную функции (1) по правилу диффе-
ренцирования обратной функции:
(arcctg хУ = . ) = — sin2 у.
v ь 1 (ctg у)' и
Выразим теперь sin2 у через х. Из равенства
1 +х2= 1 + ctg8 у = *1
' to » SIH2 у -
следует, что sin2y = -~-^-.
Таким образом,
(arcctg х)' = —yJ--.
Пример 1, Дана функция у = arcctgх3. Найти ее
производную.
Решение.
у 1-Нх3)2 (х ) 14-х9 ’
Зх
Пример 2. Дана функция у = arcctg —• Найти
ее производную.
Решение.
, 1 ( 3*
у ~ Зх V \ ~
* 1+\14-x2J
1 3(14-х2) — 2/Зх =
. . / Зх \2 (14-Х2)3
14-X2)
_ 3(14-х2)—6х2_ 3(х2— 1)
“ X4 4-11х24-1 ~х44-11ха4-1 •
13, Таблица производных. В этом пункте собраны из-
вестные нам формулы дифференцирования.
1. (с)' = 0 (с —константа).
2. (хаУ =ах“"1, где а£/?. В частности,
(х)'= 1,
Ю* Ж
3. (a*)' = a* In а. В частности,
(е*)' = е*.
4. (1о£ах)' = И^- в частности,
(1пх)'=у,
=х ш ю •
5. (sinx)' = cosх.
6. (cosx)' =— sinx.
7. (tgx)' = —V- •
8. (ctgx)'=--Д—•
' b ’ sin2x
9. (arcsin х)'=у1—-.
10. (arccos x)' = -^.J_^-,
11. (arctg x)' = -q^.
12. (arcctg x)' = — .
13. '(f(x)+g(x))'«=f (x) + g' (x).
14. (f (x) g (x))' - f (x) g (x) + f (x) g' (x).
1 WgW-ZWg' <*)
UwJ " £2(O
i df (g (x)) df (t/) . dg(x)
dx dy dx '
17 df-4y\_ ’1
dy df(x) ’
* dx
14. Производные высших порядков. Пусть функция
у = f (х) определена на интервале ]а; Ь[, и пусть в каж-
дой точке этого интервала она имеет производную f (х);
тогда f (х) можно назвать первой производной (или про-
изводной первого порядка) данной функции. Рассмотрим
функцию g(x) = f (х), х£]а; Ь[. Если g(x) имеет произ-
водную в точке х0 £ Ь[, то эту производную называют
второй производной (или производной второго порядка)
276-
данной функции f(x) в точке х0 и обозначают Г(х„) или
da/(x0)
dx2
Короче, вторая производная —это производная от пер-
вой производной, т. е.
y’=(y) или — g.,
(/’ (*))’ = t" W или
v x ' dx \dx J dx2
Производная от f" (x), t. e. (f" (x))' = f'" (x), называется
третьей производной (или производной третьего порядка)
данной функции f (х) и т. д. Вообще n-й производной (или
производной n-го порядка) функции y = f(x) в точке х
(или на некотором интервале ]а; Ь[) называется произ-
водная от производной (и—1)-го порядка в этой точке х
(или на этом интервале ]а; Ь[). Она обозначается
» тт» У(п} или /(и) (•*)•
dxn ’ dxn * & i \ /
Примеры.
а) Если / (х) = х3 + Зха + 1, то
/' (х) = Зха + 6х, f" (х) = 6х + 6,
f,п (X) = 6, f1 v (х) = fv (х) = ... = f<«> (x) = 0;
б) если у = х 1пх, то
у' = (х)' (1п х) + X (In х) = 1 • In X + X • — = In х + 1,
S' = (l+lnx)' = (l)' + (lnx)' =0 + 4 = 7.
1V ( 1 V 2-х 2
У X3 ’
.'V 2(-3)_-2.3
У ~ x* x4 ’
z/Vi = 2(-3)(^4)x-5 = ^,
и вообще
(-l)"1.2-3...(n-l)(n-2)
У ~ x”-!
если n>s3.
277
Упражнения
6.16. Найдите производные следующих функций:
а) У=(*+ 1)е*; б) у=х2е*2+3*; в) у =
г) $/=х-23*+*2; д) у = (Зх + Ъх*+х?)А*\
е) у=^±1-14*’+3*+Б; ж) у = (х24-4) e-*2j
ех
-Х| + 5Х+4~
3) у = (х24-х3+1)2 в-; и) y=(x2+x3+7x)3*2+3e*+i°.
6.17. Найдите производные следующих функций;
In X -X2
а),= ^-1)1пх»; «)!/= — ; в)
г) у = ах* In (х2-|-4х4-12); д) у = е<*+1>1п (х-(-5);
е) # = (Зх-Н) logB(x-H4-x2).
6.18. Найдите производные следующих функций:
а) у = х1Л0; б) у — — х6; в) y=y/Zx7; г) у = \/х+ Ух-,
Д)
1 . х24-3х+х7
у=—т=‘» е) у=—z^--- - •;
5 УТТх Ух2 4-1
з) у — х 6 и) у=х ;
к) у=(2^/х24-Зх34-х7)Б; л) y=(lg Frx"+x‘/’4-12^’)’)
м)у=^1п Кх+J/х4 + -^у°.
6.19. Найдите пределы:
ч sin 5х „ sin Зх
a) Um --------; б) lim —;
х -> О X х ->• 0 ™
. .. 5х
в) lim . -;
х _> о sin 6х
г)
lim
х-> О
4 sin2 х.
х2 5
. v tg 2х . ,. 1—cosx
Д) lim -2—; е) lim ----j---.
х -+• О X х -* О X
6.20. Найдите производные следующих функций:
a) y = sin2x; б) y = Sinax; в) y = cos3x;
г) y = cosox; д) y = sin2x—cos Зх; е) у = х—cos2x;
. 0,10-9,- . sin Зх . 1 — sin 2х
ж) y=2x34-3sin25x; з). У=—=— ; и) у =----------
□ £
6.21. Найдите производные следующих функций:
a) y = xcosx; б) y = xsinx; в) y=sinxcosx;
г) у = sin 2х cos Зх; д) у = sin ах cos Ьх;
е) y=sin2x; ж) y = cos3x; з) у = cos2 ах\
и) = sin” ах; к) y=eosnax.
278
6.22. Найдите производные следующих функций:
a) y = tg2x—clg2x; б) y=xctgx; в) y = tg3 x-|-tg3x; *
г) y=ctg 2х—tg22x; д) y = (sinx4-cosx)2;
e)y = sin2x—cos2x; ж) y=tg2ax; з) y = sin(2x2—x);
и) у =-ccs~ (x-|-л); к) y=sin x-f-cos 2x + tg Зх.
6.23. Докажите формулу cos2x = cos2x—sm2x почленным диф-
ференцированием тождества sin 2х= 2 sin х cos^x.
6.24. Найдите производные следующих функций:
. „ х 1 . „ . sin ох
a) у —3cos — ; б) y=-^-sm3x; в) у=—-—;
r)y = x2cos(x—1); д) y = sin (34-2x)4-cos(3-|-2x);
е) у = 2 sin3 4х; ж) y=-g ; a)y = 2tg3x—3tg2x;
О
в) y = 2tg3 4х; к) y = 4ctg32x.
6.25. Найдите- производные следующих функций:
a) y = arcsin7x; б) y = arcsinax; в) y=marcsin пх.
6.23. Дана функция y = arcsinx2. Найдите ее производную.
6.27. Дана функция у = arcsin х~ Найдите ее производную.
2х3
6.28. Найдите производную функции у = arcsin -у.
« 1
6.29. Докажите, что (arcsin х)'-]- (arccos х)' = 0.
6.30. Дано у = х2 arcsin х. Найдите у'.
6.31. Найдите производные следующих функций:
а) у = arccos 4х; б) у = arccos ах; в) у = m arccos пх.
6.32. Дана функция y=ardcosx2. Найдите ее производную.
6.33. Докажите, что (arccos х-1)'=------ - .
6.34. Найдите производную функции у = х2 arccos х.
6.35. Дано у — arcsin х+arccos х. Найдите у'.
9—х2
6.36. Докажите, что если у=arccos д_|_х2~» то у =
6х
(х2 + 9)-|х| •
6.37. Найдите производные следующих функций:
а) у —arctg Зх; б) у = arctg тх; в) y = /narctgnx.
6.38. Докажите, что (arctg х)'+ (arcctg х)' = 0.
6.39. Дано y = arctg-^ Найдите у'.
6.40. Найдите производную функции y = x2arctgxa.
6.41. Дана функция у = arctg У 4х2-^1. Найдите у'.
х
6.42. Найдите производную функции у = arctg
у а2—х2
6.43. Найдите производные следующих функций:
a) y = arcctg2x; б) y = arcctg пх; в) у = тarcctg пх.
6.44. Дано у = arcctg х"1.. Найдите у'.
279
6.45.
6.46.
6.47.
6.48.
Найдите производную функции y = (arotg2x)2.
Дано 0 = x2arcctgx. Найдите у'.
Найдите производную функции f(x) = aroctg
Дано
2х
Т+х2
у = arcsin 2х -f- arctg Зх-[- arccos 2х -f- arcctg Зх.
Найдите у'
6.49. Найдите производные следующих функций:
\ 5 а 4 Q 3 « л\ 7х8 + К 2 X2 + К 5
а) у = хь—6х4— 8х3 — 1; б) у =---—---------;
У х—1
в) f(x) = (3x—х2—хЮ)(К^+Зх7-8);
г) f (х) = (х10 + Зхп+ р/х2) In х;
Д) f(O = G + КТ*)^2-1; е) f(O = (lnf+
6.50. Найдите производные высших порядков:
а) у= sin х; б) 1/ = (х'+3)4;
в) 0 = cosx; г) у =
д) у= 1 _|_х5_^ех; е) t/ = ё2дг-|-sinЗх.
6.51. Сколько раз нужно продифференцировать функцию
у = (х2+ 1 )60, чтобы в результате получился многочлен 30-й степени?
6.52. Докажите, что для функции y = x2-f-ex справедливо ра-
венство yiv = yv.
Глава VII
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§31. Касательная и нормаль к кривой
1. Определение касательной и Нормали к кривой.
В курсе геометрии вы уже встречались с понятием ка-
сательной, а именно, касательная к окружности опреде-
лялась как прямая, лежащая в одной плоскости с окруж-
ностью и имеющая с ней единственную общую точку.
Однако такое определение касательной неприменимо для
случая произвольной кривой. Так, например, оси Ох и Оу
имеют по одной общей точке с параболой г/ = х2 (рис. 82).
Однако ось Ох — касательная
является касательной к ней.
к параболе, а ось Оу не
Определим касательную к кривой L в точке Мо в об-
щем случае.
Пусть М — некоторая точка кривой L, отличная от Ма
(рис. 83). Прямая М0М, проходящая через точки Мо и М,
называется секущей кривой L.
Если точку М перемещать по кривой L, приближая
к точке Л40, то .секущая (М0М) будет поворачиваться
вокруг точки Мо, занимая соответственно положения
(М0М), (М0ЛГ), (М0М") и т. д.
281
Если секущая (М0Д4) будет стремиться занять некото-
рое предельное положение (М0Т) при стремлении точки М
вдоль кривой L к точке /Ио, то прямая (Л40Т) называется
касательной к кривой L в точке Л40.
Отметим, что не всякая кривая в любой точке имеет
касательную. Простейшим примером такой кривой может
Рис. 84.
служить график функции у = | х |
(см. рис. 81). Эта кривая в точке
(0; 0) не имеет касательной.
Прямая, проходящая через
точку Мо перпендикулярно ка-
сательной к кривой L в точке
Л10, называется нормалью к кри-
вой L в точке Л1а.
Например, если прямая МвТ
касательная к кривой L в точке
Мо, то прямая Л1вУ, (M^)J_
_L(A4eT) (рис. 84), является нор-
малью к данной кривой L в
точке Мо.
2. Геометрический смысл производной. Пусть, кривая L
является графиком непрерывной функции y=f (х), х £ ] а; Ь[
(рис. 85). На кривой L рассмотрим точки Мо (х0; у0)
о
и М (х; у) и проведем се-
кущую (М0М). Очевидно,
если k = tg р — ее угловой
коэффициент, то
tcB --
ё н х — х0
Пусть теперь х —> х0, т. е.
абсцисса точки М приб-
лижается к абсциссе точки
Мо и, следовательно, точ-
ка М стремится к точке
Мо, оставаясь на кривой
L. При этих условиях се-
кущая (Л4вЛ4), вообще го-
вращаясь вокруг точки Л40,
воря, меняет свое положение,
т. е. изменяется угол р.
Если функция /(х) дифференцируема в точке ха, то
lim tg₽= lim = /'(*.)
X_,X0 Х-+Ж. *0
и, следовательно, существует прямая Л40Т, являющаяся
предельным положением секущей при приближении точ-
ки М по кривой к Л40. Эта прямая, как известно/будет
касательной к кривой L в точке Л40.
Таким образом, если функция у = f (х) дифференци-
руема в точке то ее график имеет касательную в точке
(х0; f W)> угловой коэффициент которой равен /' (х0).
Сказанное позволяет дать следующее геометрическое
истолкование производной: производная функции f(x)
в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной
к графику функции в точке (х0; /(х0)).
3. Уравнения касательной и нормали к кривой. Из
курса геометрии вы знаете, что в прямоугольной декарто-
вой системе координат уравнение прямой с угловым коэф-
фициентом k, проходящей через точку Л40 (x0;i/0), имеет вид
У-Уь = Ь(х-х0). (1)
Поэтому, положив в уравнении (1) y0 = f(x0) и k = f' (х0),
получим уравнение касательной к кривой L в-точке
(х0; f (х0)):
y-f M = f' (xoj(x-xe). (2)
Как известно, условием перпендикулярности прямых,
задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами k
и klt является условие 6-^ = —1. Следовательно, урав-
нение нормали к кривой L в точке М0(х0; f(x0)) имеет вид
У—f W(х - хо) • (3)
Замечание 1. Уравнение (3) задает нормаль к гра-
фику L функции y = f(x) в точке (х0; f(x0)), если суще-
ствует отличная от нуля производная f' (хв). Если f’ (хо)=0,
то касательная к кривой L в такой точке будет парал-
лельна оси Ох, а ее уравнение (как это легко видеть из
уравнения (2)) будет иметь вид y = f(x0). Из определения
же нормали следует, что нормаль к кривой L в такой
точке будет перпендикулярна оси Ох, а ее уравнение
имеет вид х = х0. Если же f'(x0) = oo, то касательная
к кривой L в такой точке параллельна оси Оу и имеет
уравнение х = х0, а нормаль параллельна оси Ох и имеет
уравнение y=f (х0).
Замечание 2. В дальнейшем для краткости вместо
«касательная к графику функции #=f(x)» будем гово-
рить «касательная к кривой У=*{{х)*.
283
Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали
к параболе // = х2 — 2x4-5 в точках с абсциссами хх = 0,5
и х2= 1 (рис. 86).
Решение. Найдем значения функции f (х)=ха —2x4-5
в заданных точках: /(0,5) = 4,25, f(l) = 4. Далее, так
как Г (х) = 2х —2 = 2(х—1), то f (0,5) = — 1, f (1) = 0.
Подставив найденные значения’ функции и ее произ-
водной в (2) и (3), получим уравнения касательных и нор-
малей.
В точке с абсциссой-Xj = 0,5
z/ —4,25 =-1-(х—0,5),
г/ —4,25=—^(х —0,5).
Следовательно, прямая у =— х4-4,75 —касательная, а
прямая г/=х4-3,75 — нормаль к параболе в тбчке (0,5; 4,25).
В точке с абсциссой х2=1: у — 4 = 0(х— 1). Таким
Пример 2. Найдите уравнения касательных и нор-
малей к кривой f/ = x3 в точках с абсциссами Xi =— 1,
х2 = 0, х3= 1 (рис. 87).
Решение. Найдем значения функции f(x) = x3 при
х1 = —1, х2 = 0 и х3= 1: f (—1) = — 1, f (0) = 0 и/ (1) = 1.
Так как /' (х)=(х3)'=3ха, то /' (—1)=3, /' (0)=0и/' (1)=3.
Подставив найденные значения функции и ее производ-
294
ной в (2) и (3), получим уравнения касательных и нор-
малей.
Касательные и нормали имеют соответственно уравне-
ния:
а) в точке с абсциссой хх =—1:
// = Зх + 2 и //= — ух — у;
б) в точке с абсциссой ха = 0:
у = 0 и х = 0;
в) в точке с абсциссой х3 = 1:
// = 3х —2 и у~ —
О о
Пример 3. Найдите уравнения касательных и нор-
малей к кривой у = ^х2 в точках с абсциссами xt = —1,
ха=*0 и хя= 1 (рис. 88).
Решение. Вычислим значения функции f(x) = VZ
в заданных точках: f(—1)=1, f(0) = 0 и f(l)=l. Най-
дем производную данной функции f (х) = -3--= и подсчи-
3 1/ х
таем ее значения в заданных точках: f' (—1)=-—2/3,
f'(0) = oo и f'(l) = 2/3. Подставив найденные значения
функции и ее производной в (2) и (3), найдем следующие
уравнения касательных и нормалей:
а) при хх = — 1
2,1 3.5.
У=— ух+у и ^ = ух+у;
285
б) при ха = 1
2.1 3.5
*=з х + Т и У = --2х + т-
Так как /' (0)= оо, то, согласно За ме та нию I, пря-
мая х = 0 (ось ординат).—касательная, а прямая у = 0
(ось абсцисс)—нормаль к данной кривой в точке (0; 0).
Упражнения
7.1. Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе
у = 2х24-1 в точках с абсциссами jq = — 1, Ха = 0 и ха = 1.
7.2. Найдите уравнения касательных и нормалей к кривой
№
у = -у- — 2х2 4-3x4- L в. точках с абсциссами Xj=0, х2=1 и х3 = 3.
7.3. Найдите угол наклона касательной к кубической параболе
у—х3 в точках с абсциссами хг=— )/"3/3, х2 = 0) и Хз=* V 3/3.
7.4. Найдите угловой коэффициент касательной ккривой у=х—ха
в точках с абсциссами1 Хх=О и га=1/2.
7.5. В какой точке касательная к кривой у = 1пх наклонена
к оси Ох под_углом, величина которого равна л/4?
7.6. Под каким углом касательная к кривой у = ех в точке (0; 1)
пересекает ось Ох?
7.7. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе
у = х2 в точках (1; 1), (—1; 1); (2; 4) и (—2; 4).
4х—
7.8. У параболы у = —-— проведены касательные в точках (0; 0),
(2; 1) и (4; 0), Найдите величины их углов наклона к оси Ох.
§ 32, Некоторые применения производной в физике
В п. 1 § 27 мы уже рассмотрели задачи о нахож-
дении мгновенной скорости прямолинейного движения
точки и о мгновенной величине тока, Цри решении
которых использовалась производная. Рассмотрим еще
несколько задач, при решении которых применяется про-
изводная.
1. Задача о теплоемкости тела. Чтобы температура
тела с массой в 1 г повысилась от € градусов до т гра-
дусов, телу необходимо сообщить определенное количество
тепла Q. Значит, Q есть функция температуры т, до ко-
торой тело нагревается: Q = Q (t).
Пусть температура тела повысилась с т0 до т. Коли-
чество тепла, затраченное для этого нагревания, равно
'Q(t) —Q(t0). Отношение
3(т)-(?(тд)
т—
Ж
есть количество тепла, которое необходимо «в среднем»
для нагревания тела на 1° при изменении температуры
от т0 до т. Это отношение называется средней тепло-
емкостью данного тела в температурном промежутке [т0; т]
и обозначается сср.
Так как средняя теплоемкость не дает представления
о теплоемкости для любого значения температуры т, то
вводится понятие теплоемкости при данной температуре т0
(в данной точке т0).
Теплоемкостью при температуре т0 (в данной точке т0)
называется предел
lim сср= lim
Итак, теплоемкость с(т) при температуре т есть про-
изводная от количества тепла Q (т), получаемого телом,
по температуре т, т. е.
c(t) = -^ = Q' (г).
2. Задача е скорости химической реакции. Пусть не-
которое вещество вступает в химическую реакцию. Коли-
чество этого вещества, вступившее уже в реакцию к мо-
менту времени t, обозначим через y(t). Таким образом,
у есть функция времени, т. е. переменной t. Пусть [/0;/]—
некоторый промежуток времени, тогда y(t) — y(t0) равно
количеству вещества, вступившего в реакцию за проме-
жуток времени от момента t0 до момента t, а отношение
у выразит среднюю скорость химической ре-
акции за промежуток времени ]70; /]. Для характе-
ристики скорости химической реакции в данный мо-
мент /0 следует рассмотреть предел этого отношения при
По-
следовательно, скорость химической реакции в дан-
ный момент времени t есть производная от количества
вещества y{tY участвующего в реакции, по времени /,
т. е. равна у (/).
3. Задача о линейной плотности стержня. Пусть дан
стержень длины I (рис. 89). Стержнем называют такое
физическое тело, которое по форме приближается к от-
резкупрямой линии, поперечное сечение его мало и оди-
наково на всем его протяжении. Каждому отрезку стержня
длины х, О^.х^/, отмеряемому от одного фиксирован-
287
ного конца, соответствует определенная масса т, т. е
масса стержня есть функция его длины: т = т (х), х £ [0; /].
Стержень называют однородным, если любые два его уча-
стка одинаковой длины имеют одинаковую* массу. В этом
случае отношение массы любого участка стержня к его
длине есть одна и та же величина р, которую называют
линейной плотностью стержня. Стержень называют не-
однородным, если на два участка одинаковой длины при-
т(х) ходится, вообще говоря, раз-
(----личные массы. Таким* обра-
------------ зом\ для неоднородного стерж-
ня встает вопрос о скорости
I изменения массы стержня в
зависимости от его длины.
Пусть т (х)—т (х0)—мас-
са части стержня между тбч-
соответственно на расстоянии
где 0 ^х0 < х . Тогда отноше-
о
&
Рис. 89.
ками, расположенными
и х от начала отрезка,
т (х)—tn(xn) а v
ние ——----— называют средней линеинои плотностью
х—х0 г
стержня на указанном участке и обозначают рср.
В случае неоднородного стержня ’средняя линейная
плотность рср не может полностью характеризовать ско-
рость изменения массы стержня. Поэтому для неоднород-
ных стержней вводится понятие линейной плотности в-дан-
ной точке. Линейная плотность р (х0) стержня в точке х0
определяется, следующим образом:
р(х0)= lim рср= lim = гп' (х0).
х^х0 х-»х0 Х—Хо
Итак, линейная плотность стержня в точке х есть про-
изводная по х от переменной массы т(х).
4. Механический смысл второй производной (ускоре-
ние). Пусть материальная точка движется прямолинейно
и s = s(t), t С [0; Т],— закон движения. Тогда скорость
v(t) равна
S'
Скорость движения v (/) есть в свою очередь функция
времени. Поэтому можно рассмотреть скорость изменения
скорости
V' (0 = (5'(0)' = «'(0 = -^
288
Заимствуя термин из механики, получим, что s* (/) есть
ускорение движения в рассматриваемый момент времени t.
Итак, ускорение a(t) движения в данный момент вре-
мени t есть производная от скорости v(t) по времени,
или вторая производная от пути по времени:
dt dt2 ’
Пример. Пусть скорость прямолинейного движения
изменяется по закону v (t) = 5 + 3/ + 6/2 (м/с). Найти уско-
рение в .момент времени t = 2с.
Решение. Так кака(/)=^р, то, найдя
. а(/) = а'(0 = 3+12/(м/с2),
получим, что
а(2) = 3+ 12-2 = 27 (м/с2)
Упражнения
7.9. Тело движется прямолинейно по закону s(/) = 3-f-2/4-^2 (м).
Определите его скорость и ускорение в момент времени ^=1 с
и /2 = 3 с.
7.10. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется
законом и(0 = 4^4-5/2 (м/с). Какое ускорение будет иметь тело
через 5 с после начала движения?
, 7.11. Докажите, что если тело движется по закону $(/) = ое*4-
-)-Ье_*(м), то его ускорение равно пройденному п^ти.
7.12. Точка движется прямолинейно по закону s = t . Дока-
жите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.
7.13. Тело, масса которого tn = 0,5 (кг), движется прямолинейно
по закону s (/) =2f2-f-1—3 (м). Найдите кинетическую энергию тела
через 7 с после начала движения.
7.14. Найдите величину силы F, действующей на точку с мас-
сой tn, движущуюся по закону s(t) = t2—4t* (м), при f = 3c.
7.15. Точка массы tn движется по закону s (t) = 3/24-7^-f-9 (м).
Докажите, что сила, действующая на точку, постоянна.
7.16. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом,
за t секунд поворачивается на угол qp=tz-f-b/—ct2, где а, b и с —
положительные постоянные. Определите угловую скорость и ускоре-
ние вращения, а также через какое время колесо остановится.
7.17. Количество электричества, протекшего через проводник, на-
чиная с момента времени t = 0, дается формулой g=2f2-t-3f-[-1.
Найдите силу тока в конце пятой секунды.
7.18. Количество тепла Q Дж, необходимого для нагревания 1кг
воды от 0 °C до /°C, определяется формулой Q = /-|-0.00002/2 -f-
-)-0,0000003f3. Вычислите теплоемкость воды для: а) / = 30°С; б) t =
= 100 °C.
7.19. Зависимость между количеством х вещества, получаемого
в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравне-
нием х = А (1 -)-е_Л*). Определите скорость реакции.
.289
§ 33. Приложение производной к исследованию
возрастания и убывания функции
1. Необходимые условия возрастания и убывания функ-
ции. Докажем сначала теорему о необходимом условии
возрастания функции на интервале. •
Теорема 1. Если дифференцируемая функция f(х),
х£]а; 6[, возрастает на интервале ]а; Ь[, то
для любого х из интервала ]а; 6[.
Доказательство. Согласно определению возра-
стающей на ]а; 6[ функции, если х> х0, то f (х) > f (х0),
а если х < х0, то f(x) < f(x0). Следовательно, для любых
х0 и х из ]а; Ь[, х=/=хЛ, справедливо неравенство
/(х)—/(х0) > Q
X — х0
Так как \(х\ дифференцируема на ]а; 6[, то, переходя
к пределу в последнем неравенстве при х —► #0, получим
Г(х) = lim
X -> XQ Х *о
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь теорему о необходимом условии
убывания функции на интервале.
Теорема 2. Если дифференцируемая функция f(x),
х£]а; д[, убывает на интервале ]а\ 6[, то /'(хо)^О для
любого х0 из интервала ]а; д[.
Доказательство. Так как функция f (х) убываю-
щая, то функция Г(х) =— f (х) возрастающая, и поэтому,
в силу теоремы 1, F' (х0) = — f' (х0) 0 для любого
х0£]а; Отсюда следует, что Г(хо)^О для любого
х0£ а; 6[. Теорема 2 доказана.
Интервалы, на которых функция возрастает или
убывает, называются интервалами монотонности этой
функции.
Заметим без доказательства, что если функция f(x)
возрастающая (убывающая) на интервале ]а; Ь[ и непре-
рывна в точках а и Ь, то она будет возрастающей (убы-
вающей) и на отрезке [а; Ь]).
2. Теорема Лагранжа. При доказательстве теорем о до-
статочных условиях монотонности функции существенно
используется следующая теорема, которая называется
теоремой Лагранжа.
290
Теорема JTar рта н ж а. Если функция f (х), х£[а; 6],
непрерывна на отрезке [а;. Ь] и дифференцируема на ин-
тервале ]й; Ь[, то найдётся точка с £ ]а; Ь[ такая, что
имеет место формула
(a) = fJ1(c)(b—a). (1)
Формулу (1) называют формулой Лагранжа или фор-
мулой конечных приращений.
Мы приводим теорему Лагранжа без доказательства,
поясним лишь геометрический смысл этой теоремы (см.
рис. 90). На графике функции f(x) рассмотрим, точки
А (л; f (а)) и В (Ь; f-(b)). Легко видеть, что угловой коэф-
фициент секущей (АВ), проходящей через точки А* и В,
равен f . Запишем формулу (1.).в следующем.виде:
/' (с^'ть-аа)- (2)
Вспоминая геометрический смысл производной,' можно
сказать, что формула (2), а следовательно, и формула (1)
означает следующее: на интервале ]а; Ь[ найдется точка с
такая; что угловой коэффициент касательной к графику
функции f:(x) в точке С с абсциссой, равной- с, совпа-
дает с угловым, коэффициентом^ секущей^ (АВ), т. е. суще-
ствует касательная к. графику данной функции, которая
параллельна секущей (АВ).
3. Достаточные условия возрастания и убывания функ-
ции. Сначала'сформулируем и докажем теорему о, доста-
точном условии возрастания функции.
Теорема 1. Если -функция f имеет положительную
производную в- каждой точке интервала ]а; Ь[, то функ-
ция f возрастает на интервале ]а; Ь[.
291
Доказательство. Пусть xt и хя —две произволь-
ные точки интервала ]а; 6[, удовлетворяющие условию
xt < ха. Тогда по теореме Лагранжа существует точка
c€]xt; xg[ такая, что
f M-f(xl) = ft (с) (Xt — Xj.
Так как по условию теоремы /'(х)>0 и ха —%! > 0, то
из последней формулы следует, что f (ха) > f (xj. Послед-
нее, согласно определению возрастающей функции, и озна-
чает, что функция f возрастает на интервале ]а; 6[. Тео-
рема доказана.
Аналогично доказывается и следующая теорема о до-
статочном условии убывания функции.
Теорема 2. Если функция f имеет отрицательную
производную в каждой точке интервала ]а; 6[, то функ-
ция f убывает на интервале ]а; Ь[.
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции
f (х) = -|-х3 —2х + 1.
О
Решение. Данная функция определена и диффе-
ренцируема на всей числовой прямой, причем f (х) =
= 2(ха—1). Так как f' (х) > 0 для]_х|> 1, то, согласно
теореме 1, данная функция возрастает -на интервалах
]— Од; —1[ И ]1; + оо[. Так как f (х) < 0 для |х| < 1,
то, согласно теореме 2, данная функция убывает на ин-
тервале ]— 1; 1[.
Пример 2. Найти интервалы монотонности функции
/(х)=Зх+| + 5.
А*
Решение. Область определения функции —вся чис-
ловая прямая, кроме точки х=0, т. е. состоит из интер-
валов ]—°0*, 0[ и ]0; +°°[. Найдем производную:
. Q _1
Производная представляет собой дробь, знак которой
будет определяться знаком числителя, так как знамена-
тель положителен. Таким образом, /' (х)хС 0 для всех х
из интервалов ]—1; 0[ и ]0; 1[; значит, согласно тео-
292 s
реме 2, на интервалах ]—1; 0[ и ]0; 1[ данная функция
убывает. Так как f' (х) > 0 для всех х из интервалов
]—оо; —1[ и ]1; + оо[, то, согласно теореме 1, функ-
ция f (х) на этих интервалах возрастает. Итак, функция
f (х) возрастает на интервалах ]—оо; — 1[ и ]1; + оо[
и убывает на интервалах ]—1; 0[ и ]0; 1[.
Замечание. В теоремах 1 и 2 сформулированы до-
статочные условия монотонности функции, которые не
являются необходимыми. Действительно, функция f(x) =
= х3 возрастает на всей числовой оси, и в то же время
в точке х = 0 ее производная равна 0.
4. Правило' нахождения интервалов монотонности.
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов
монотонности функции:
1) Вычисляем производную f (х) данной функции f(x),
а затем находим точки, в которых ff (х) равна нулю или
не существует. Эти точки.называются критическими для
функции f (х).
2) Критическими точками область определения функ-
ции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из кото-
рых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интер-
валы будут интервалами монотонности.
3) Исследуем знак f (х) на каждом из найденных ин-
тервалов. Если на рассматриваемом интервале f' (х) > 0,
то на этом интервале f (х) возрастает, если же (х)<0,
то на таком интервале f (х) убывает.
Пример. Найти интервалы монотонности функции
f(x) = x 1пх + 3х.
Решение. 1) Заданная функция определена и имеет
производную во всех точках интервала ]0; оо[. Вычис-
ляем производную данной функции: f' (х) = 1 + lnx + З =
= 4 + 1пх. Из уравнения /' (х) = 4 + 1пх = 0 следует, что
х = е~* — единственная критическая точка.
2) Так как х = е~4 — критическая точка, то, следова-
тельно, интервалы ]0; е-4[ и ]е-4; +оо[ являются ин-
тервалами монотонности.
3) Исследуем знак /' (х) на каждом из этих- интерва-
лов, решая неравенства 1пх + 4<0 и 1пх + 4>0.
Так как f' (х) < 0 для любого х£]0; е-4[, то на ин-
тервале ]0; е~4[ данная функция убывает.
Так как f’ (х) > 0 для х>е-4, то на интервале
]е-4; + оо[ данная функция возрастает.
293
Упражнение
7.20. Определите интервалы монотонности следующих функций:
а) /(х) =5х—2; 6) /(х)=4-9ж; в) =
□Л
г) д) H*)=x*+*-U е)7(х)=(х-Н)’;
ж) f(x)=7x24- 14x4-1; з) / (х) = 3х4 —6х24-4;
и) f (х)=х(х2 —3); к) / (х) =х3 (1 —х);
л) /(^=727.!: м)
§ 34. Исследование экстремумов функции
1. О понятии экстремума функции.
Определение 1. Точка х0 из области определения
функции f(x) называется точкой минимума этой функ-
ции, если существует такая 6-окрестность ]х0 — 6;х04~6[
точки х0, что для всех х^=х0 из этой 6-окрестности вы-
полняется неравенство f (х) > f (х0).
Определение 2. Точка х0 из области определения
функции f(x) называется точкой максимума этой функ-
ции, если существует такая 6-окрестность ]х0 —6; х04~б[
точки х0, что для всех х=£хй из этой 6-окрестности вы-
полняется неравенство f (х) < f (х0).
Точки максимума и минимума функции называются
точками экстремума данной функции, а значения функ-
ции в точках максимума и минимума называются мак-
симумом и минимумом функции или экстремумами
функции.
Рассмотрим функцию f (х), определенную на отрезке
[а; Ь] (рис. 91). Точки хп ха и хв—точки максимума,
294’
a x2, x4 и х,—точки минимума. Из графика данной
функции видно, что минимум функции в точке х = х4
больше максимума этой функции в точке x = xv Послед-
нее обстоятельство не вступает в противоречие с опре-
делениями экстремумов функции, так как в определениях
экстремумов сравниваются значения функции в точке
со значениями функции из некоторой, окрестности этой
точки. Таким образом, понятие экстремума всегда свя-
зано с определенной окрестностью данной точки (опре-
деленным местом) из области определения функции, а нс
со всей областью. Поэтому иногда для обозначения этого
понятия употребляется термин локальный экстремум, т. е.
экстремум, связанный с определенным местом.
Замечание. Точки а и Ь (см. рис. 91) не отно-
сятся к экстремальным точкам функции /, так как они
не являются внутреннимих) для области определения
данной функции, а значит, у точек а и b не существует
6-окрестностей, принадлежащих области определения дан-
ной функции.
2. Необходимое условие существования экстремума.
Рассмотрим сначала необходимое условие существования
экстремума для дифференцируемой функции.
Теорема Ферма. Если точка х0.является точкой
экстремума функции y=f(x), определенной в некоторой
окрестности точки х0, и в этой точке существует про-
изводная У (х&), то она равна нулю: У (хо) = О.
Доказательство. Для определенности будем счи-
тать, что х0 — точка максимума. Согласно определению,
это значит, что существует 6-окрестность точки xfl такая,
что для всех х=/=ха из этой 6-окрестности выполняется
неравенство f (х) < f (хв).
По условию теоремы функция f (х) имеет в точке
производную. Поэтому, с одной стороны,
f(x,)= lim
х-+х,-0‘ Л Ло
так как х— х0 < 0 и f (х)—f (х0) < 0 для всех
х£]х0 —6; х0[; а с, другой стороны,
ГМ= lim <0,
-1) Внутренней точкой множества называется такая точка, кото-
рая принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрест-
ностью.
293
так как х—х0 > 0 и f (х) — f (х0) < 0 для всех х£
£]х0; х04-6[. Следовательно, /' (хо) = О.
Доказательство для точки минимума проводится
аналогично.
Замечание. В теореме Ферма установлено лишь
необходимое условие существования экстремума. Это усло-
вие позволяет лишь выделить точки, в которых функ-
ция может иметь экстремум. Это значит, что не всякая
критическая точка является экстремальной. Например,
функция f(x) = x3 имеет в точке х = 0 производную,
равную нулю, но для этой функции точка х^О не
является экстремальной (см. п. 1).
Мы рассмотрели те критические точки, в которых
производная функции равна нулю, эти точки иногда на-
зывают стационарными. Рассмотрим критические точки,
в которых функция не имеет производных.
Пример 1. Пусть ' - - -
§ 27 было установлено,
f(x) = |x | (см. рис. 81). В п. 4
что в точке х = 0 производной
данной функции не существует.
Следовательно, точка х~0 —
критическая точка. Так как
f (х) > 0 для всех х #= 0, а
f(0)=0, то, следовательно,
f (х) > f (0) для всех х =/= 0. По-
следнее и означает, согласно
определению 1, что точка х = 0
Ьсть точка минимума функции
f(x) = |x|.
Пример 2. Пусть f(x) =
=3х —|х[ (рис. 92). В точке
х = 0 данная функция не имеет
производной, т. е. х = 0—кри-
тическая точка данной функции.
Так как для всех х<0
f(x)</(0), а для всех х > 0
х = 0 данная функция не имеет
f(x)>f(O), то в точке
экстремума.
3. Достаточные условия существования экстремума.
Условимся в следующей терминологии: будем гово-
рить, что некоторая функция <р(х) меняет знак с плюса
на минус при переходе через точку х0, если существует
такая 6-окрестность ]х0 —6; х0 + 6[ точки х0, что слева
от точки х0» т. е. для х£]х0— 6; х0[, функция <р(х)>0,
а справа от точки, т. е. для х£]х0; х0 + 6[, функция
29G
ф (х) < 0. Аналогично уславливаются в терминологии
о перемене знака функции с минуса на плюс при пере-
ходе через точку х0.
Теорема 1. Пусть функция f (х) непрерывна в точке
х0 и в ее 6-окрестности имеет производную, кроме, быть
может, самой точки х0. Тогда
а) если производная f' (х) при переходе через точку х0
меняет знак с плюса на* минус, то точка. х0 является
точкой максимума функции f (х);
б) если производная *f' (х) при переходе через точку х0
меняет .знак с минуса на плюс, то точка х0 является
точкой минимума функции f (х);
в) если существует окрестность ]х0 — б; х0 + б[ точки
х0, в Которой производная f' (х) сохраняет свой знак, то
в точке х0 данная функция f (х) не имеет экстремума.
Доказательство. Пусть производная f' (х) при
переходе через точку х0 меняет знак с плюса на минус.
Это значит, что существует число б > 0 такое, что
f' (х) > 0 для всех х из интервала ]х0 — б; х0[ и f (х)<0
для всех х из интервала ]х0; х0 4-б[. Так как f (х) > 0
для х£]х0— б; х0[, то по теореме 1 из п. 1 § 33 сле-
дует, что-на интервале ]х0 —б; х0[ функция f (х) возрас-
тает. Следовательно, f (х) < f (х0) для всех х из интервала
]х0 —б; х0[. Так как /' (х) < 0 для х £ ]х0; х0 + б[, то по
теореме 2 из п. 1 § 33 следует, что на интервале ]х0;
х0 + б[ функция f (х) убывает. Поэтому f (х) < f (х0) для
всех х из интервала ]х0; х0 + б[г Таким образом, f (х) <
<f(x0) для всех х#=х0 из интервала ]х0 —б; х0 + б[,
т. е. согласно определению 2 п. 1 точка х0 есть точка
максимума функции f (х).
Доказательство случаев б) и в) аналогично.
Сформулируем теперь достаточные условия существо-
вания экстремума в терминах значений производной вто-
рого порядка.
Теорема 2. Если функция f (х), определенная в не-
которой окрестности точки х0, имеет первую и вторую
производные и /'(хо) = О, a f" (хо)=#О, то 'в .точке х0
функция f (х) имеет экстремум, причем максимум, если
(х0) < 0, и минимум, если f" (х0) > 0.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 1.
4. Правила нахождения экстремумов функции.
Правило 1. Пусть f (х) определена и непрерывна
в некотором интервале ]а; Ь[, имеет производную всюду
•297
в интервале ]«; i[, кроме, быть может, конечного числа
точек, и имеет не более конечного числа стационарных
точек. Тогда для нахождения экстремумов функции надо:
1) найти критические точки функции f(x), т. е. точки,
в которых или f' (х) = 0 или f' (х) не существует;
2) исследовать знак производной /'(х) в некоторой
й-окрестности каждой критической точки. Прн этом, если
f (х) меняет знак при переходе через такую точку, то
функция f (х) в этой- точке имеет экстремум. А именно,
если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке
минимум; если с плюса на минус, то в этой точке мак-
симум. Если же знак /' (х) не меняется при переходе
через рассматриваемую точку, то функция f (х) не имеет
экстремума в этой точке.
Пример 1. Найти экстремумы функции / (х) = х2/3х
Х(х—3), x£R.
Решение. 1) Вычислим производную данной функции-
/ (x) = -v=.
3 / х
и найдем критические точки: f' (х) = 0, если х = 6/5;
f'(x) не существует в точке х = 0.
Итак, критические точки: хх = 0 и х2 = 6/5.
2) Исследуем знак производной f (х) в некоторой
окрестности каждой критической точки. Результат иссле-
дования записываем в таблицу 10.
Таблица 10
X — со < х < 0 х=0 0<х < А 5 х=£ 5 А < х < 4- оо о
Г W + не сущест- вует — 0 +
/ W возрастает максимум, = 0 убывает минимум, и—2,03 возрастает
Пример 2. Найти экстремумы функции f(x) = |x|.
Решение. Данная функция определена на всей чис-
ловой прямой, причем f' (х) =— 1 для х<0 и f (х)=1
для х > 0. Очевидно (см. рис. 81), что точка х = 0 явля-
ется точкой минимума данной функции.
Правило 2. Чтобы найти экстремумы функции, надо
1) найти стационарные точки xz, t = l, 2, п,
функции f(x);
2) в-каждой стационарной точке xz, i=l, 2..........
вычислить вторую производную: если вторая производ-
ная положительна, то эта точка—точка минимума дан-
ной функций, если вторая производная отрицательна, то
эта точка—точка максимума; если вторая производная
равна нулю, то для установления экстремума необходимо
использовать первое правило.
Пример 3. Найти экстремумы функции
f(x) = 4~ 2%а+ 5*
Решение. 1) Вычисляем первую производную:
f' (х) = х3 —4х = х(х2 — 4),
и находим стационарные точки: xt = —2, х2 = 0_, х3 = 2.
2) Вычисляем вторую производную: f"(x) = 3x2—4,
и подсчитываем ее значения в стационарных точках:
f (—2) = 8>0,<Г(0) = —4 <0, f*(2) = 8>0.
Следовательно, данная функция имеет:
а) в точке х = — 2 минимум, равный f(—2) = 1, так
как /="(—2)> 0;
б) в точке х = 0 максимум, равный / (0) = 5, так как
Г (0) <0;
в) в точке х = 2 минимум, равный f(2)=l, так как
Г (2) > 0.
Упражнение
7.21. Найдите экстремумы следующих функций:
а) / (х) = 14-4х—х2; б) / (х) =34-ха—6х;
в) /(х)=-^-х4—ха4-5; г) /(х) = у%3—х*4-5;
A) f W +4 • е) / (х) = Кх ; ж) / (х) = у^х ;
з /—
з) f(x) — V х2 и) / (х)=х2е-*; к) / (х) = е*4-г*;
л) /(х)=х!пх; м) / (х) =-1-4-In х.
§ 35. Выпуклость графика функции
1. О понятии выпуклости графика функции. На рис. 93
изображены графики функций, каждая из которых яв-
ляется возрастающей на отрезке [а; Ь], однако хорошо
299
видно различие в их поведении; в случае а) график_функ-
ции" обращен выпуклостью вниз; в случае б) —выпук-
лостью вверх; в случае в) на интервале ]а; с[ график
функции обращен выпуклостью вверх, а на интервале
]с; 6[ —выпуклостью вниз. С геометрической точки зре-
ния смысл выражения «обращен выпуклостью вниз» ил
«обращен выпуклостью вверх» вполне понятен. Придадим
теперь этим выражениям точный математический смысл
и дадим критерий для выяснения того, в какую сторону
обращена выпуклость графика функции.
Определение. Г рафик непрерывно дифференцируе-
мой функции /(х), х£]а; д[, называется выпуклым вверх
на интервале ]а;.Ь[, если производная /'(х) убывает на
]а; д[. А если f' (х) возрастает на ]а; 6[, то график этой
функции называется выпуклым вниз.
Легко видеть, что если график функции выпуклый
вверх, то все его точки лежат ниже любой его касатель-
ной (рис. 94, а), так как угловой коэффициент касатель-
ной уменьшается с возрастанием х. А если график вы-
пуклый вниз (рис. 94, б), то все точки лежат выше любой
его касательной (кроме; конечно, самой точки касания).
зоо
Определение. Интервалы,на которых график функ-
ции выпуклый вверх или вниз, называются интервалами
выпуклости графика функции.
2. Достаточное условие выпуклости графика функциц.
Теорема. Пусть функция f (х), х £ ]а; д[, имеет пер-
вую и вторую производные. Тогда, если f'(x)<0 для
всех х £ ]а; д[, то на интервале ]а; Ь[ график функции
f(x) выпуклый вверх, если же f"(x)>0 для всех х£]а;д[,
то график функции f(x) выпуклый вниз на ]а; д[.
Доказательство. Если f"(x) < 0 для всех х £ ]а, д[,
то согласно теореме 2 из п. 1 § 33, функция /' (х) убы-
вает на интервале ]а; Ь[. Следовательно, согласно опре-
делению, график функции f(x) на интервале ]а; Ь[ вы-
пуклый вверх. Если же /"(х)>0 для всех х £ ]а; д[, то,
согласно теореме 1 из п. 1 § 33, функция /' (х) возрастает
на интервале ]а, д[. Таким образом, согласно определе-
нию, график функции f (х) на интервале ]а; 6[ выпуклый
вниз.
Теорема доказана.
Условие знакопостоянства второй производной, яв-
ляясь достаточным условием выпуклости (вверх или вниз)
графика функции, не является вместе с тем необходимым
условием. Так, например, гра-
фик функций f (х) = х4 + 1 вы-
пуклый вниз на всей числовой
прямой, однако ее вторая про-
изводная f" (х) = 12х2 обращается
в нуль в точке х = 0 (рис. 95).
Сформулируем теперь прави-
ло нахождения интервалов вы-
пуклости графика функции.
Пусть функция y = f(x),
х£]а; д[, имеет в интервале
]а; 6[ производную второго пор
конечного числа точек, и f" (х) имеет не более конечного
числа нулей в интервале ]а; Ь[.
Тогда для нахождения интервалов выпуклости графика
надо
1) найти все точки, в которых или f"(x) = O или f(x)
не существует (эти точки называются критическими точ-
ками функции по второй производной);
2) в каждом из интервалов,’ на которые разбивается
интервал ]а; 6[ критическими точками, найденными в пер-
вом пункте данного правила, устанавливается знак f” (х).
Рис. 95.
' а
кроме, быть может,
301
Если в рассматриваемом интервале j” (х) > О, то на
этом интервале график функции выпуклый вниз, если же
(х) < 0, то выпуклый вверх. ♦
Пример 1. Найти интервалы выпуклости графика
функции /:(х) = х3.
Решение. Данная функция на всей числовой прямой
имеет производные f' (х) = Зха и f (х) = 6х. Следовательно,
имеется одна критическая точка
по второй производной. Она раз-
бивает' числовую прямую на два
интервала ]—ср; 0[ и ]0; Ч-оо[.
Так как /"(х)>0 для всех
х>0 и f"(х) <0 для'всехх<О,
то график функции выпуклый
вниз на интервале ]0; Ч-оо[ и вы-
пуклый вверх на интервале
]—оо; 0[ (рис. 96).
Рис. 96.
Рис. 97.
Пример 2. Найти интервалы выпуклости графика
функции f (х) = хе~х. , 1
Решение. Данная функция на всей числовой пря-
мой имеет производные /' (х)=е~х (1 — х) и Г(х) =
=е~х(х —2). Найдем критические точки функции (пр
второй производной): х = 2.
Точка х=2 разбивает интервал ]—оо; +оо[ на два
интервала ]—оо; 2[ и ]2; +<зо[.
Так как f" (х) < 0 для всех х < 2, то график данной
функции обращен выпуклостью вверх на интервале
]— оо; 2[, а такжак f (х) > 0'для х > 2, то график обра-
щен выпуклостью вниз на интервале ]2; +<»[ (рцс. 97).
3. Точки перегиба. Как следует из примера 1 пре-
дыдущего пункта, точка с абсциссой х = 0 графика функ-
ции /(х) = х3 является одновременно ‘концом интервала
302-
выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз.
Аналогичным свойством обладает точка с абсциссой х = 2
графика функции f(x) = xe~x.
Определение. Точка графика дифференцируемой
функции, являющаяся одновременно концом интервала
выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз,
называется точкой перегиба графика этой функции.
Очевидно, что в точке перегиба касательная к гра-
фику кривой должна, с одной стороны, находиться выше
графика кривой, а с дру-
гой,— ниже его, т. е. пе-
ресекать кривую в этой
точке (рис. 98).
Теорема 1 (необ-
ходимое условие).
Пусть функция f(x) на
интервале ]а; Ь[ имеет
непрерывную производную
второго порядка. Тогда,
если точка с абсциссой
х0 С ]а; является точкой перегиба графика этой функ-
ции, mof"(x0) = 0.
Доказательство. Доказательство будем прово-
дить методом от противного. Допустим, что /"(*») < О
(цли f” (Хо) > 0). В силу непрерывности второй произ-
водной найдется 6-окрестность точки х0 такая, что f (х)<0
(соответственно f (х) > 0) для всех х на этой окрест-
ности. По теореме из п. 2 данного параграфа график
данной функции на интервале ]х0 —6; х04-6[ будет вы-
пуклый вверх (соответственно вниз). Последнее противо-
речит тому,, что Хо является точкой перегиба. Значит,
f'(xo) = O, что и требовалось доказать.
Теорема 2 (достаточное условие). Пусть
функция f(x) на интервале ]а; Ь[ имеет производную вто-
рого порядка. Тогда, если f (х) меняет знак при переходе
аргумента через х0 С ]я; Ь(, то х0 является абсциссой точки
перегиба графика данной функции.
Доказательство. Пусть f"(х) при переходе через
точку хв меняет знак с минуса на плюс. Тогда в силу
теоремы из п. 2 точка х0 такова, что, с одной стороны,
от точки х^ график функции у = /(х) обращен выпук-
лостью вверх, а с другой стороны, от этой точки х0
обращен выпуклостью вниз. Последнее, согласно опре-
делению, означает, что точка (х0; f(x0))—точка перегиба
заз
графика функции f (х). Аналогично доказывается, что и
в случае, когда f” (х) при переходе через точку хи ме-
няет знак с плюса на минус, точка (х0; /(х0)) —точка
перегиба графика функции f (х).
Теорема доказана.
Таким образом, для нахождения точек перегиба гра-
фика функции /(х), х£]а; Ь[, нужно:
1)’найти критические точки функции по второй про-
изводной;
2) исследовать знак второй производной в некоторой
окрестности критической точки.
Тогда, если f" (х) меняет знак при переходе аргумента
через критическую точку хъ, то (х0; f(x0)) — точка пере-
гиба графика данной функции.
Пример. Найти точки перегиба графика функции
f (х) = х4 — 2х3 4-1.
Решение. Данная функция на всей числовой пря-
мой имеет производные
f' (х) = 4х9 — 6х2,
Г (х)= 12х (х-1).
Найдем критические точки функции (по второй про-
изводной) из уравнения f"(x) = O, т. е. 12х(х—1) = 0.
Итак, Xj = 0 и xs= 1—критические точки данной
функции.
Выясним теперь знак f” (х) в окрестности точек Xj = О
и х2 = 1.
Если х£] —6; 0[, то f"(x)>0', если х£]0; б[, то
f" (х) < 0. Таким образом, точка (хх; / (xj) = (0; 1) —точка
перегиба.
Если х£]1— 6; 1[, то f (х) < 0, а если х£]1; 1 + 6[,
то f'(x)>0. Следовательно, точка. (х2; /(хе)) = (1; 0) —
точка перегиба.
4. Исследование квадратичной функции. Функция
f (х) = ах2 4-Ьх + с, где х£/? и а=#=0, называется квадра-
тичной, а многочлен аха4-Ьх + с, а=/=0, часто называют
квадратным трехчленом. Квадратичная функция опреде-
лена и непрерывна на всей числовой прямой, т. е. для
любого х из R. Производная этой функции f' (х) = 2ах + b
существует при любом х £R и обращается в нуль в един-
ственной точке х0 = — . Вычислим значение у0 функции
304
f (x) в точке x0:
f(x0) = f (—=a • -7-2+b • (—4-c=«
* ' uz ' \ 2a J 4a2 \ 2a J 1
__ b2 '______b2—4ac D
4a ~*~C 4a 4a ’
где D = b2 — 4ac—дискриминант квадратного трехчлена.
Напомним, что знаком дискриминанта D определяется
число и существование действительных корней квадрат-
ного трехчлена ах2 -j-bx-^-c:
а) если D > 0, то трехчлен имеет два действительных
корня:
b—]/7) b+V~D
х< =-----— и х» =--------Цг—;
1 2а 2 2а ’
б) если D = 0, то трехчлен имеет один действительный
корень:
ь
Х° ~ 2а ’
в) если D < 0, то трехчлен не имеет действительных
корЛй, т. е. не существует действительного числа, явля-
ющегося корнем квадратного трехчлена.
Найдем интервалы монотонности и экстремумы квад-
ратичной функции, используя ее производную:
а) если а > 0, то f (х) < 0 при х < х0 и f' (х)>0 при
х > х0% Следовательно, функция f (х) убывает на интер-
вале ] —оо; х0[ и возрастает на интервале ]х0; + оо[.
Так как fr (хо) = О и производная f' (х) при переходе х
через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то функ-
ция / (х) имеет в точке х0 минимум, т. е.
f mln = f W ~ У О’
б) Если а < 0, то f (х) > 0 при х < х0 и f (х) < О
при х > х0. Поэтому квадратичная функция f (х) возра-
стает на интервале ]—оо; х0[ и убывает на интервале
]х0; + оо[. Так как f (хо) = О и производная f (х) при
переходе х через точку х0 меняет знак с плюса на минус,
то функция f(x) имеет в точке х0 максимум, т. е.
fmax = f (*о) ~ У О-
График квадратичной функции не имеет точек пере-
гиба, так как f (х) = 2а#=0 для любого x£R. Он обра-
щен выпуклостью вниз, если а > 0, и вверх, если а < 0.
И Алгебра, ч. 1 305
В зависимости от знака дискриминанта D каждый из
рассмотренных случаев разбивается еще на три подслучая.
Графики каждого из 6 подслучаев квадратичной функции
изображены на рис. 99.
* a^Q
Рис. 99.
Пример 1. Построить график функции f(x) = № —
— 4х —5.
Решение. При построении используем результаты
проведенного исследования квадратичной функции. Так
как для нашего случая а = 1 > О и D = b*—4ас = (—4)а —
— 41(—5) = 36>0, то мы имеем дело со случаем I*.
Найдем координаты вершины параболы, являющейся гра-
фиком данной функции:
Ь —4 о
Х°~ 2а“ 2.1 = 2
Л=Нх,)=Ц2)-»-42-5----9.
306
Таким образом, данная функция в точке х0=2 имеет ми-
нимум, т. е. = — 9. Решая уравнение ха — 4х—
— 5 = 0, найдем абсциссы точек
функции с осью Ox: Xj = —1 и
х2 = 5.
Найдем значение функции в
точке х = 0: f (0) = — 5. Следова-
тельно., парабола пересекает ось
Оу в точке (0; —5). График дан-
ной функции изображен на рис. 100.
П р и м е р 2. Построить трафик
функции f (х) = — у х2 + 2х — 3.
Решение. Так как. а =
= — 4-<0 и D = b2— 4ас =
пересечения графика
= 22 — 4 (—- ) (—3) = 4 — 4 = 0, Рис‘ 100‘
то мы имеем дело со случаем П2. Положив х = 0, полу-
чим f (0) = — 3, т. е. график функции пересекает ось
Оу в точке (0; —3). Найдем координаты вершины пара-
болы:
х0 = —^ = 3, Уо — f (3) = 0.
График данной функции изображен на рис. 101»
Пример 3. Построить график функции f(x) =
= — Зх2 + 2х— 1.
Решение. В данном случае а = — 3<0 и
D = fo2 —4ас= 22 —4 (—3)(-1)=— 8 < 0,
и*
307
поэтому имеет место случай П3. Положив х = 0, получим
f(0) =—1, т. е. график пересекает ось Оу в точке
(0; —1). Найдем теперь координаты вершины параболы:
_ ь _ 2 _ 1
Х° — 2а — 2-(—3) “ 3
и
^(т)=-3(уУ+24--1=-4-
\ о / \ о / и о
График данной функции изображен на рис. 102.
Упражнения
7.22. Для графиков следующих функций найдите интервалы, в
которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз:
а) /(х) = х3—6ха4- 12x4-4; б) f (х) = (х4-1)4;
в) f(x) = x* — бх’4-4; г) /(х) = х44-8ха4-16.
7.23. Исследуйте квадратичные функции и постройте их графики:
а) /(х)=ха4-2х—3; б) f (х) =4ха—6х— 7;
в) •/(х)—-34-4х—ха; г) /(х) = —1х84-х—1;
Д) f (*)= — 4ха4-2х— 1; е) /(х) = — у ха-|-2х—5;
ж) f(x)=x24-x—2; з) f (х) = ха — 2x4-3.
§ 36. Построение графиков функций
1. Асимптоты. Прямая y = kx-\-b называется асимп-
тотой графика функции f(x) при х—>4-°о, если
lim (f (х) — kx —b) = 0.
X -+• + ОО
Таким образом, если прямая y = kx-\-b является асимп-
тотой графика функции f(x) при х—>4-°°, то функция
а (х) = f (х) — kx — b
является бесконечно малой при х—»4-°°-
Отсюда следует, что
Ь4-а(х)
X X *
и поэтому
k = lim ,
Г 4.™ X
Л —> т ОО /
308
так как
lim ±Н5И = о.
V X
X -*+ 00
Далее,
&=/ (x) — kx—ct(x),
и поэтому
b= lim (f(x)—kx).
X + 00
Аналогично определяется и находится асимптота гра-
фика функции f (х) при х—► —ОО.
Пример 1. Пусть f (х) = •
Тогда
k= lim ^> = lim ^!+L = 3,
x-++~ X x_+oo xa
b= lim (f(x)—kx)= lim (-1—3x^= lim — = 0.
Г —b. -L no «* —k. _L m V X J V _ь. -1_ М X
Итак, прямая r/ = 3x является асимптотой графика
функции f (х) при х—► + оо. Легко убедиться, что эта же
прямая у = 3х является асимптотой и при х—► — оо. Гра-
фик функции изображен на рис. 103.
Пример 2. Пусть / (х) = 2х+х .
х-г1
Так как
k= lim lim
X -► ± оо X х_* ±оо
2х24-х _9
x(x-H)-Z’
b= lim (/(х)— kx)= lim (—2х
X -* ± ОО X ± 00 \ 1
то прямая у=2х— 1 является асимптотой графика дан-
ной функции при х—► — оо и при х—> + оо. График
функции изображен на рис. 104.
Пример 3. Пусть дана функция
/ (X) = у (/л? + х+1 +/х!-х+0.
309
Вычислим пределы:
. .. f(x) 1 .. К^4-х+1 + / ? —х+1 .
k = lim = -тг lim ------!—=—— --------J-— = 1,
х^+ся X 2x^+oo x
b= lim (f(x) — kx) =
X -* + 00
= -^ lim (Kx2 + %4-1+У x2 —x+1 — 2x)==0.
Итак, прямая z/ = x является асимптотой графика данной
функции при х—► + <».
Рассмотрим теперь пределы при х—►—оо:
k = lim ^1 = 1 lim y^+A+J+^^+L^-l,
X 2 x_>_e> x
b = lim (/ (x) — kx) =
= ^- lim (Кха + х + 1-f-K*’—x + l+2x) = 0.
Следовательно, прямая y = — x является асимптотой
для графика данной функции при х—»• — оо. Изображение
графика дано на рис. 105.
310
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой
графика функции f(x), если
lim /(х)=оо или lim f.(x)^=oo.
х -* а-0 х-+ а+0
Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот
графика функции f (х) в качестве точки а, через которую
может проходить вертикальная асимптота, следует рас-
4
Пример 4. Пусть /(х) = - 2_4 . Рассмотрим точки
х = 2 и х = — 2. Имеем
lim f(x) = lim -^4-Л =qq,
х -+ ± 2 х + ±2 . 4
и поэтому прямые х = 2 и х = — 2 являются вертикаль-
ными асимптотами графика данной функции.
График функции f (х) = ~2^д- изображен на рис. 106.
Пример 5. Пусть дана функция /(х) = -4~;—.
х и *)
Рассмотрим точки х = 0 и х=1, где эта функция не
определена. В этих .точках
— (*—Л2) = +°°’ —1)^) =~ °°’
Следовательно, прямые х = 0 и х=1 являются верти-
кальными асимптотами графика данной функции. Кроме
того, прямая у = 0 является асимптотой графика функции
при х —► ±оо.
.311
Изображение графика функции дано на рис. 107,
2. Примеры построения графиков функций. При по-
строении графиков функций можно использовать следую-
щую схему.
1) Найти область определения функции, если она за-
ранее не указана.
2) Проверить функцию на четность и нечетность.
3) Исследовать функцию на периодичность.
4) Найти точки пересечения графика функции с осями
координат.
5) Найти интервалы знакопостоянства функции.
6) Найти асимптоты графика функции.
7) Исследовать функцию на монотонность.
8) Найти точки экстремума функции.
9) Найти точки перегиба и интервалы выпуклости
графика функции.
10) Построить график.
Отметим, что не всегда нужно точно следовать данной
схеме при построении графика функции. Иногда для по-
строения графика функции достаточно пп. 1) —6).
Др и мер 1. Построить график функции f{x) =
— х3
~~ х2—1 *
Решение. 1) Область определения функции —вся
числовая прямая* кроме x = -f-l, х = —1.
312
2) f (x) — нечетная функция, так как f(—х) =—f(x).
Поэтому для построения графика y = f(x) достаточно ис-
следовать ее для х^О.
3) Функция непериодическая.
4) График функции пересекает оси координат только
в точке (0; 0).
Точки хх =—1, х2 = 0' и х«=1 разбивают числовую
прямую на четыре интервала:
]—оо; —1[, ]-1; 0[, ]0; 1[ и ]1; + <х>[.
5) Найдем знаки функции лишь в интервалах ]0; 1[
и ]1; 4-оо[:
Таблица 11
X 0 < х < 1 1 <Х< 4-00
fix) — 4-
В силу нечетности данной функции ее знак на интер-
валах ]—оо; —1[ и ]—1; 0[ соответственно « —» и « + ».
6) Так как
lim f(x) = ±oo и lim f(x) = ±oo,
х -*• + 1 ± 0 х 1 ± 0
то. прямые х=1 и х =—1 являются вертикальными
асимптотами. А так -*как
y3
—2:— = 1
X(X2—1)
X3
X
fix)
lim Lw.= lim
Х->±<» X X->±'
lim (/(%) — kx)= lim r
-> ± ОО X ->±® \ Л 1
то график данной функции имеет асимптоту у = х.
7) Найдем производную:
р(х)-*2(х-^
1 (х2—I)2 •
Она существует во всех точках числовой прямой, кроме
х=±1, и равна нулю в точках х = 0 и х = ±КЗ.
Поэтому критическими точками функции будут
хх =—1^3, ха =—1, х8 = 0, х4 = 1, х6 = 1/Г3.
Изучим поведение f (х) в окрестности каждой крити-
ческой точки. Вследствие нечетности f (х) достаточно
313
рассмотреть знак f' (х) на промежутках ]—1; 0[, ]0; 1[,
]1;]/3[ и ]ГЗ; + оо[. Результаты исследования запи-
шем в таблицу 12.
Таблица 12
X —1<х<0 х = 0 0<х<1 1<х<уг3 х= /3’<х<+оо
Г W — 0 — — 0 +
/(*) убывает нетэкст- ремума убывает убывает минимум 3 Уз 2 возрастает
В точках х =—1 и х=1 функция не имеет экстре-
мума, так как эти точки не принадлежат области опре-
деления- данной функции.
В силу нечетности функции, можно утверждать, что
при х —— j/З-данная функция имеет максимум.
8) Чтобы исследовать график функции на выпуклость,
найдем вторую производную
f„ 2х(ха + 3)
/ W— (ха —I)3 ’
и критические точки данной функции (по второй произ-
водной): Д"(х) = 0 при х = 0 и /"(х) не существует при
х — ± 1. Однако точки х = ± 1 не принадлежат области
определения функции, поэтому точка перегиба может быть
только в точке с абсциссой х = 0’.
Исследуем знак второй производной и результаты ис-
следования запишем в таблицу 13.
Таблица 13
X х< —1 —1 <х<0 х^О 0<х<1 Х>1
Г W — + 0 — +
/(4 выпуклость вверх выпуклость вниз точка перегиба выпуклость вверх выпуклость вниз
314
9) На основе проведенного исследования функции
строим ее график (рис. 108).
П’р и ме р 2. Построить график функции / (х) = 5(хх~2^
Решение. 1) Область определения функции — вся чис-
ловая ось, кроме точки х = 0.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Функция непериодическая.
__2)
4) Найдем нули функции. Решив уравнение х2 = 0,
получим х = 2. Таким образом, график функции пересе-
кает ось абсцисс в точке х = 2. Далее, так как х=--0 не
входит в область определения функции, то график функ-
ции ось ординат не пересекает.
5) Точки х = 0 и х = 2 разбивают числовую ось на
три интервала ] — оо-м0[, ]0; 2[ и ]2; 4-оо[, в каждом
из которых значения функции имеют постоянные знаки
(см. таблицу 14).
Таблица 14
X — оо <х<0 0<х<2 2<х< + 00
/(X) — — — 4-
315
6) Найдем асимптоты графика функции. Так как
lim /(%) = lim — О,
X -* ±И> X -+ ± оо л
г /(*) 1- 5 (х—2) п
lim = lim ——- = О,
Х х
X —► ± °0 X ± со
то прямая 1/ = 0,,т. е. ось абсцисс, является горизонталь-
ной асимптотой. А так как
lim /(х) = lim -^=^- = оо,
х-> ± 0 х -> ± о Л
то прямая х = 0, т. е. ось ординат, является вертикаль-
ной асимптотой.
7) Найдем производную
Г(Х)=^.
она существует и конечна в области определения данной
функции. Поэтому критическими точками функции /(х)
(по первой производной) будут Xj = O и х2 = 4.
Изучим поведение функции на интервалах ] — оо; 0[,
]0; 4[ и ]4; +оо[. Результаты исследования запишем в
таблицу 15.
В точке х = 0 функция не имеет экстремума, так как
эта точка не принадлежит области определения данной
функции.
316
Таблица 15
X — оо <х<0 0<х<4 х = 4 4<х<-|-оо
f W — 0 —
убывает возрастает максимум ~0,6 убывает
8) Чтобы исследовать график функции на выпуклость
и определить точки перегиба, найдем вторую производ-
ную:
и критические точки данной функции f (х) (по второй
производной): f"(x) = Q при"х = 6 и f" (х) не существует
в точке х = 0. Так как точка х = 0 не принадлежит об-
ласти определения данной функции, то точкой перегиба
может оказаться лишь точка с абсциссой х = 6. Иссле-
дуем знак второй производной и результаты исследова-
ний запишем в таблицу 16.
Таблица 16
X — оо <х<0 0<х<6 х = 6 6<х< 4- оо
Г м — — 0
fix) выпуклость вверх выпуклость вверх точка перегиба выпуклость вниз
9) Используя результаты исследования функции, стро-
им ее график (рис. 109).
Упражнения
7.24. Найдите асимптоты графиков функций:
1 х3 j----
а) у = ’ б) У = х^1 ’ В) х2 — 1;
х х2+6х—5 . х4 . 1
г^=-----------;
7.25. Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
317
a) /(x) = x3 — 3xa —x+3; 6) f (x) = x< — 10xa-f-9;
B)/(x) = -^+2x= + 3; r) ZW = (2x+X|7(2-x)!
.... 1 xt<x (* + l)(2—-X)
д) f (*)-(x+i)‘(x—2) ; еЦ(х) 2x+3 1
. t i^x (x— 0 (x~2) \ t / \ 1
Ж) f W = -1---1------; 3) f« = —_5x+6 ;
1
и) f '(*) — x'2—4 ; K) 7 (*) = 2 x . Л) 7 (x) = X In x.
§ 37. Решение задач на максимум и минимум
На практике часто приходится рассматривать задачи,
связанные с нахождением наибольшего или наименьшего
значения из всех тех значений, которые функция прини-
мает на-некотором отрезке. Если известно, что на отрез-
ке [а; 6] функция f(x) монотонна, то наименьшее и наи-
большее значения достигаются в концах отрезку, а именно,
если /(х)—возрастающая функция, то / (а) —наименьшее
значение, a f (b) — наибольшее значение функции f (х);
если Же f (х) — убывающая функция, то f (а) — наиболь-
шее значение, а /(^ — наимень-
шее значение фУнкц-ии f(x).
Например, функция /(х) = х2,
х £[0; 1], возрастает на отрезке
[0; 1]. Следовательно, /(0) = 0 —
наименьшее значение' функции,
a f(l)= 1—наибольшее значение
(рис. НО).
Пусть теперь f (х) не является
монотонной на отрезке [а; Ь], но
известно, что f (х) непрерывна на
отрезке [а; Ь] и имеет производную
во всех точках отрезка [а; 6], за исключением, быть
может, конечного числа точек, и имеет не более конечного
числа стационарных точек. Тогда наибольшее и наимень-
шее значения на этом отрезке функция принимает либо
в одной из критических точек, принадлежащих ]а; 6[,
либо на концах отрезка [а; 6].
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее зна-
чения функции f (х) = ха/3 (х — 2) на отрезках: а) [—8; —1]
и б) [—1; 1].
318
Решение. Функция f(x) определена на всей число-
вой прямой и имеет производную
на всей числовой прямой, кроме х — 0.
Критическими точками данной функции будут х = 0
и х = 0,8..
а) На отрезке [—8; —1] данная функция возрастает,
так как /' (х) > 0 для любого х£[—8; —1].
Следовательно, на отрезке [—8; —1] функция прини-
мает наименьшее значение прих = —8, а наибольшее зна*
чение при х = — 1:
/наим. = /(-8) =-40, /наиб. =/(—0=—3.
б) Обе критические точки функции принадлежат от-
резку [—1; 1). Следовательно, наибольшее и. наименьшее
значения данной функции на отрезке [—1; 1] находятся
среди значений
/(—1) = —3, f(0) = 0, /(0,8)«—1,03 и /(!)=-!,
И ПОЭТОМУ /наиб. = 0, /наим. = — 3.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее зна-
чения функции / (х) = 2х3 — 9х2'+ 12х — 3 на отрезке [0; 3].
Решен не. Решив уравнение /' (х) = 6ха — 18х-4-12=
= 6 (х—1)(х —2) = 0, найдем критические точки х=1
и х = 2.
Наименьшее из чисел
Л f(0) = -3, /(1) = 2, f(2)=l, f(3) = 6
будет наименьшим значением, а наибольшее — наибольшим
значением данной функции на отрезке [0; 3].
Ответ, fнаим. = 3, fнаиб. = 6.
Рассмотрим несколько задач с конкретным содержа-
нием, для решения которых необходимо найти наиболь-
шее или наименьшее значение некоторой функции.
Пример 3. Какой из прямоугольников с перимет-
ром 2р имеет наибольшую площадь?
Решение. Прямоугольников с периметром 2р имеется
бесконечное множество; Наша задача — выделить из этого
множества прямоугольников прямоугольник, площадь ко-
торого будет наибол’ьшей.
319
Если через х обозначить длину одной из сторон прямо-
угольника, то длина другой стороны равна р — х, а пло-
щадь S такого прямоугольника равна х(р — х).
Найдем критические точки функции
S = x(p—х), х£[0; р].
Так как S'=p — 2x, то х = р/2 — критическая точка
этой функции. На [0; р/2] функция S возрастает, а на
[р/2; р] убывает. Следова-
тельно, при х = р/2 площадь
S будет наибольшей.
Ответ. Из прямоугольни-
ков с периметром 2р наиболь-
шую площадь имеет квадрат
со стороной р/2.
Пример 4. Из квад-
ратного листа жести со сто-
роной а надо изготовить бак
с квадратным основанием
без крышки наибольшего
объема.
Решение. Обозначим
через х длину стороны выре-
заемого квадрата (рис. 111). Так как в основании бака
квадрат, то О^х^у и объем бака будет определяться
по формуле
V (х) = (а — 2х)2х, где 0^х^а/2.
Таким образом, задача ^свелась к отысканию наибольшего
значения функции V (х) на отрезке [0; а/2].
Так как V' (х) = а2— 8ах4-12х2, то, решив уравнение
12х2 — 8ах + а2 = 0, найдем стационарные точки функции
У(х): х = а/6 и х = а/2.
Рассмотрим далее значения функции V в точках х^О,
ха = а/6 и х3 = а/2. Так как
У(0)=0, у(д) = ^ И у(|)=0,
то функция V (х) принимает наибольшее значение на от-
резке [0; а/2] в точке х=а/6. Итак, при х = а/6 объем
бака будет наибольшим.
Ответ: Унаиб. = V = .
320
Упражнения
7.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих
функций: 1
а) /(х)=х3—Зх на отрезках [—0,5; 0,5] и [—1,5; 2];
б) /(х)=х4 — 8х2—9 на отрезках [—1; 1], [0; 3] и [—3; 5];
в) f (х) = — х*-]-2х2-|-3 на отрезках [—0,5; 0,Z], [—2; 0], [—2; 2]
и [0; 4];
г) /(х) = р/х2(2—х) на отрезках [—6; —1] и [—2; 1].
7.27. Требуется сделать коробку, объем которой должен рав-
няться 108 см3. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно.
Каковы должны быть ее размеры,
чтобы на ее изготовление пошло наи-
меньшее количество материала?
7.28. Требуется огородить прово-
лочной сеткой длиной а прямоуголь-
ный участок, прилегающий к стене.
Найти размеры участка, при которых
его площадь будет наибольшей.
7.29. Материальная точка совер-
шает прямолинейное движение по
9
закону $ (/) = 5/-J-2/?— у t3, где
$—путь-в метрах, t—время в секун-
дах. В какой момент времени t ско-
рость движения точки будет наиболь-
шей и какова величина этой наиболь-
шей скорости?
7.30. Из куска картона 32 смХ
Х20 см требуется изготовить откры-
тую сверху коробку наибольшей
вместимости, вырезая по углам квад-
раты и затем загибая выступы для образования боковых сторон ко-
робки. Найдите объем коробки.
7.31. Сечение туннеля (или шлюзового канала) имеет форму прямо- /
угольника, завершаемого полукругом (рис. 112).
а) Зная периметр сечения 2р, определите, при каком радиусе
полукруга площадь сечения будет наибольшей.
б) Зная площадь сечения s, определите, при каких условиях
периметр сечения будет наименьшим.
7.32. Лампа висит над центром круглого стола радиуса /?. При
какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего
на краю стола, будет наилучшей (освещенность прямо пропорцио-
нальна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорцио-
нальна квадрату расстояния от источника света).
7.33. Докажите, что из всех равнобедренных треугольников,
вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторон-
ний треугольник.
7.34. Найдите положительное число х, чтобы разность х—х2 была
наибольшей.
7.35. Найдите . число, которое в сумме со своим квадратом дает
этой сумме наименьшее значение.
321
7,36. Установлено, что энергия, отдаваемая электрическим эле-
fa/^
ментом, определяется по формуле IT = , где Е—электродви-
жущая сила элемента; г—внутреннее сопротивление; R—внешнее
сопротивление. Каким должно быть сопротивление цепй, чтобы от-
даваемая элементом энергия W была наибольшей?
7.37» Даны прямая и две точки С и D по одну сторону от пря-
мой. Найдите такую точку К на этой прямой, для которой сумма
расстояний была бы наименьшей.
7.38. На странице книги печатный текст должен занимать (вместе
с промежутками между строками) S см2. Ширина полей на странице
слева и справа должна быть равна К см, а сверху и снизу—d см.
Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы
должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
7.39. Определите сопротивление внешней цепи, при котором-бата-
рея из двух последовательно соединенных аккумуляторов сможет раз-
вить максимальную полезную мощность. ЭДС батареи 2,5 В, внутрен-
нее сопротивление 0,16 Ом. Чему равна максимальная полезная мощ-
ность?
7.40. Найдите наибольшую площадь прямоугольника, вершины
которого находятся в начале декартовой системы координат,.на осих,
на оси t/ и на параболе у = 4—х2.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА I
1.1. Правильно 3-106 км/с. 1.2. Разницы нет. 1.3. В первом слу-
чае цифры; 0, 4, 0 верные, цифры 3 и 5 сомнительные; во втором
случае все цифры верные; в третьем случае цифры' 5, 1, 3 верные,
а цифра 7 "сомнительная; 0,404 ± 0,003; 3,20 ± 0,005; 5137 ± 10.
1.4. 3,141 ± 0,0006; 3,1415 ± 0,0001. 1.5.1,7320 ±0,00006. 1.6. Л =0,005.
1.7.' й = 300. 1.10. 0,00004; 0,00007. 1.11. /г = 0,05; £ = 0,003.'
1.12. Л = 0,0001; £ = 0,00002. 1.13. 28,5/ £ = 0,03. 1.14. £ = 0,02.
1.15. £ = 0,004. 1.16. С пятью значащими цифрами. 1.17.'D = 0,0811 ±
± 0,0005 см. 1.18.g =979,9 см/с2;/гя=О,5 см/с2; £,, = 0,0005. 1.19.
1,3 ± 0,12 с-1. 1.20. т = 4,0 ±-075 т.
ГЛАВА II
2.1. Четыре луча; [АХ), [АУ), [ВХ) и [ВУ); один отрезок [АВ];
одна прямая (ХУ). 2.2. а) (ХУ); б) (ХУГ, в) (ХУ)\]АВ[; Т) (ХУ);
д) [ВУ); е) [АХ). 2.3. а) А; б) В; в) .0; г) [ABJ; д) [АУ); е) [ВХ).
2.4. а) [ВУ); б) [АХ); в) (ХУ); г} (ХУ); д) (ХУ). 2.5. а) А; б) В;
в) (АХ); г) (АУ); д) [АВ]. 2.6. С; {—2; —Г; 0; 1; 2}; С; А; С.
2.7. {1; 2}; В; {-4; —3; —2; —1; 0; 1; 2; ...}; Z, N; {1; 2}.
2.8. 0; {0,35}; {12,5}; {0,35; 12,5}. 2,10. NqZcQcR. 2.11. М=
={3/2}; £ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; F = {3; 6; 9; 12; ...}. 2.12. a) F4;
б) Fp 2.13. б); в); г). 2.14. Af|B = B, A(JB = A, А\В = {7},
АхВ = {(7; 8); (8; 8); (9; 8); (7; 9); (8; 9); (9; 9)}; А1иВ1 = А1ПВ1=
= А1 = В1, A1\B1 = 0, AiXB^Kl; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2)};
А2ПВ2 = 0, А2иВ2 = {1; 2; 3; 4}, А2\В2 = {1; 2}, А2хВ2 = {(1; 3);
(1; 4); (2; 3); (2; 4)}. 2.15. А; В; множество точек круга, не при-
надлежащих квадрату; 0: 2.16. 2. 2.17. Высказываниями являются:
а), б), г), д), е), ж), из них б) — ложно. 2.18. а) «174 не делится
нацело на 3» ложно; б) «число 3 является делителем числа 174 или
идет дождь» истинно; в) «число 3—Делитель числа 174 и идет дождь»
ложно; г) «если 174 делится на 3, то идет дождь» ложно; д) «если
174 не делится на .3, 10 идет дождь» истинно; е) «174 делится на’З
тогда и только тогда, когда не «дет дождь» истинно. 2.19. а) «Ми-
шень поражена л о крайней мере одним выстрелом» истинно; б) «все
три выстрела попали в цель» ложно; в) «из первых двух выстрелов
хотя бы один неудачный, а третий удачный» истинно. 2.20. Высказы-
вание ((pv-p)Ag) => г истинно всегда,' т. е. независимо от того,
истинны или ложны р, д, г. 2.21. Роман, Юрий, Виктор, Сергей.
2.22. Черный. 2.23.'См. рис. 113. 2.24. 3) {3; 6; 9; 1-2}; б) {3; 4; 5; 6};
в) {4; 5; 7; 8; 10; 11}; г) {7; 8; 9; 10; 11; 12}; д) {9; 12};
323
н
р
Рис. 113.
е) {3; 4; 5; 6; 9; 12}. 2.25. Второе и третье, причем второе ложно,
а третье истинно. 2.26. а) а#;—2/3; б) а—любое. 2.29. п^4.
2.32. Если четырехугольник — ромб,- то его диагонали взаимно пер-
пендикулярны. Если четырехугольник — не ромб, то его диагонали
не перпендикулярны. Первая теорема верна, вторая неверна.
2.33. Взаимно обратные теоремы
1 и 4, 2 и 5; взаимно противопо-
ложные 2 и 3, 4 и 6; противо-
»» поЛожные обратным 1 и 6, 3 и 5.
" Теоремы 1 и 6 верны, остальные
неверны. 2.35. Прямая н противо-
положная обратной верны; обрат-
ная и противоположная неверны.
2.36. Теорема неверна, обратная и
противоположная теоремы верны;
противоположная обратной неверна. 2.37. а) необходимо и достаточно;
б) необходимо, но недостаточно. 2.38. а) верно; б) неверно (л = 25).
2.39.- Натуральные числа: 5; 14; 90; целые числа: —90; —5; 0; 5;
1 3 2
14; 90; дробные числа: —12,3; — — ; — ; 18 — ; рациональные числа:
все числа из множества А; отрицательные числа:
1 3
—— ; неотрицательные ЧЙвад^О; ; 5;
8; 9; 16; 2F}; б) {—35; —21; —4;
в) <(-32-!-; 11 Г) {-35; —21; 3;
е) <(—35; -32 2-; -21;
* ч~20 ~12 0
2.44. а)—;-р; -;
36 115 п ,е ч —9 23
_ ; _ . 2.45. а) —
2.46. а) —5,000..
д) —0,3000
и) 0,3666..
г) 2,555...; д) 3,636363... .2.48.
2.49. а) 2,39748... < 2,39784
> 1,2003...; I j -r.uiui... ..., а/ к ,л... , cj —
<0Д28...; ж)—1-0,003... >— 10,030...; з) —0,025. ..>—0,052
2.50. а) 0,37 и 0,38; б) 1,49 и 1,50; в) —4,57 и —4,56; г) —3,74
и —3,73; д) 2,23 и 2,24; е) —2,24 и —2,23; ж) 2,64 и 2,65; з) —2,65
и —2,64; и) 0,66 и 0,67; к) —0,67 и —0,66; л) 2,14 и 2,15; м) —2,15 и
—2,14. 2.56. а) Первая правее; б) совпадают; в) первая левее; г) вторая
левее; д) вторая левее. 2.57. а) Вторая; б) первая; в) вторая; г) вторая.
2.58. а) {—2; 2}; б) [—3; 3]; в) ]—оо; -£] и [8; оо
и }9; +оо(; д) {- /1; К З}; е) - К2
ж) [—Кб; К"5]; з) ]~"°о;
2.59. а) {-1; 5}; б) [-1; 5J; в) {12; 14}; "г) ]—оо;^9] и [17; + »[;
90; —12,3; —5;
9
14; 18 у; 90. 2.40. а) {3; 4;
0; 3; 4; 8; 9; 16; 21};
9; 21}; д) {-4; 0; 4; 8; 16};
NcZ0;
—29
б) —;
—23 3
2 ’ 1
—4?. 2.41.
5_/36. 75.
1’1
27. 2
15’ 7 ’ 1
; б) 4,000..
е) 5,3000
2.47. а) —0,555...;
-3. 28
7 1 11
б)'2,3874... > 0,3874
..; г) 4,8181...>4,1881...
; ж)—1Ю,003... >— 10,030.
-#;б>
; в) —0,2000...;
ж) 0,875000...; з)
б) 2,666...
' -5. 6
3 1
2_
5 ’
1
NcZ; ZcQ.
—23 -13
10 ’ 9 '
—20 ’ —48
1 ’9’2’
г) —14,9300...;
0,142857142...;
; в) —0,233...;
— 17 . _0_. _1_
’ 10’1’9’
..; в) 1,2030... >
. 87 .
7 <
; г) ]— оо; —9[
и
V~i.
3 ’
324
д) {-9; 1}; е) ]-оо; -9] и [1; +«[. 2.60. а) ]-3; 4]; б) ]—оо; —
и ]5; + оо[; в) ]— оо; —7[ и ]1; + оо[, г) [4; 8[. 2.61. а) | х—4 1=5;
{-1; 9}; б) |х + 3| < 2; ]-5; -1[; в) |х—1|^0,5; [0,5; 1,5];
г) |х+4|5*-|-; ]—оо; —4,2] и [—3,8; + оо[.
ГЛАВА III
3.1. а) 29; б) 18; в) 12; г) 6; д) 20; е) —4. 3.2. а) 9; б) —у.
3.3. (3; 2). 3.4.' k = —4. 3.5. а) —5 и 3; б) —4 и 5; в) 4 и 5; г) —2 и —1.
3.6. а) (3; 2); б) (4; ,1); в) (5; 3); г) (2; 2); д) (3, 0); е) x£R,
ys=l(4x-7). 3.7. а) (0; 0); б) (х; у) , x£R, в) (0; 0); г) (0; 0);
д) (х; у) , x£R, е) (0; 0). 3.8. а) (4; 3); б) (5; 4). 3.9. -18.
3.10. —у. 3.12. а) —у и 2; б) у и у ; в) —у и 2. 3.13. а) 0 и 2;
б) —3 и 6. 3.16. (1; 4; 5). 3.17. Имеет. 3.18. Проходит. 3.19. 1; 2 и 3.
3.20. {—3; 0}. 3.21. (0; 0; 0; 0). 3.22. (2; 4; 1). 3.23. (3; 1; 4; 6),
" 3—ос 2
3.24. Если а/ —1, а# 2, то х=—-г-, у =-----. Если а = —1,
ОС—|— I 1
то решений нет. Если а = 2, то х-=с, у = с—1, где c£R.
3.25. a) (4; 3; 2); б) (5; 3; 1); в) (3; 5; 4);. г) (6; 2; 5). 3.26. При
а = —3 много решений, при а = 2 нет решений, при других
единственное решение. 3.27. а) {5; Q}; б) {11; 8}; в) {3; —11}; г) {4; —8};
д) {-9; 15}; е) /3; 11; ж) <( - ; ol; з) {-1; 5}; и) {±2; ± /З-};
к) |± ]/*2; ± -; л) ± м) 0. 3.28. а) Нет; б) нет; в) нет;
г) да; д) нет; е) нет. 3.29. а) 3; б) решения нет; в) {6; —2,2};
г) 4-; 44 • 3-30- а) 10; б)3:в)5;г) т: д) * е) ъ ж)4;
з) {3; 18}; и) 5; к) {5; 17}; л) 10; м) 4; н) 5; о) jo; у|>.
3.31. а) (3; 2); б) {(0; -5); (3; 4); (-3; 4)}; в) {(-5; -7);
(7; 5)}; г) {(-3; -4); (4; 3)}; д) {(8; 12); (-8; -12)};
е) {(0,2; -1); (0,4; -0,5)}; ж) {(1; -1) ; (-у; 5^;
з){(—5; -3); (3; 5)}; и){(1; 0); (-у ; 55)} ; к) {(1; -2); (-1; -2)}.
3.32.а)]-у; + оо [ ; б) ]1;-|-оо|\ в) ]-оо; 4[; г) j - оо; — у .
3.33. а)х<—у ; б) х<2; в) ]1; 4[; г) 1—оо; ~y[u] — у 1 + « ;
Д) л>—у J е) ]—1; 4[.
3.34. а) ]- оо; -3] U [2; + <ю[; б) R-
325
в)
ж)
б)
Д)
б)
Г) 0; Д) [-у; 1] ;е) ]—оо; 1] и [4; Ч-оо[;
1 £; -1-ооГ ; 3) ]-6; 2[. 3.35. & ]1; .1,5[>
uJ‘8:+°’L: г)]°'5:М’
)-1,25; 0,75[; е) ]-оо; 5,4[ ]6; +оо[. З.'Зб. а) ]-оо; -2[>
_ 26 28 Г
3 ; 5.1 *
; г)
ГЛАВА IV
4.1. а) 125; —1;
24,73; г)-|-;-1у
1; -9,261; б) 7; 1; 2-J-; -0,1; в) 51; 9; --L
Z/ о * □
1 qn
;-4-i-; 4.2. a) К. б) /?; в) Я\{3};
£ 01
г) /?\{1}; д) /?\{1; 4}; е) (0; +оо[.
1.2 54-х 4х-|-5
=Тл+т: б) у“~; в>
4.5. а); в). 4.6. а) у—
д) нет (/братвой функции.
4.7. а) Четная; 6} ни четная, ни нечетная; в) ни четная, ни нечетная;
г) нечетная; д) четная, е) ни четная, ни нечетная. 4.8.' а) Да; б) да.,
4.9. а) и б). 4.10. а) и в). 4.14. а) Да; б) да; в) нет, г)'нет.
4.15. а) л=2; б) л=8 и п = 9; в) нет. 4.18. а) (2л-}-1) 2я;
Л 1 / fi \ 2 |
б) — ; в) -----------; г) (--------] ; д) —*=-. 4.20. Монотонные:
2я п (л-]-1) \2л-Н/ «Кл
а), б), д), е) ж); немонотонные: в), г), з/, и). 4.21. Ограничены: а), б),
д), е), ж), з), к); не ограничены: в), г), и), л). 4.25. л > 9; л > 99.
4.26. л > 28; п > 298. 4.27. п > 26; л > 251. 4.28. Последовательности
а), в), е) сходящиеся; б), г), д) расходящиеся. 4.29. а) у! 6) 0;
в) — yi г) —у; д) — е) у; ж) 2; а) у; и) у . 4.30. а); б),
4.31. Существует у а), б), в), г), д), е), и), к); не существует у ж), з),
л ч 10 4 ч 3 > 18 Л оо , 25 343 8
4.32. а) т; б) в) г) —g. 4.33. а) й; б) —g-; в)
27
8
999
1100
,919
1100’
LSI
•> W
к ,л67 . „14
Г) ” Г°Т85 : Д) -3255;
179 II ' II
е) ЗуЙо' 4‘3®’ 25Э; б> в) ь2; г)-4: А) 3; е)0:
326
4.37. a) He существует в точке 0, существует в остальных точках;
б) не существует в точке 0, существует в остальных точках; в) не
существует ни в одной из данных точек; г) не существует в точке О,
существует в остальных точках; д) не существует ни в одной изданных
точек; е) не существует в точке 2, существует в остальных точках.
1 3 3
4.38. 0; 1. 4.39. у ;• 0. 4.40. а) -у; б) у; в) 1; г) 0; д) 1. 4.41. 3.
4.42. а) 5; б) 0; в) -у . 4.43. а) Непрерывна в обеих точках; б) раз-
рывна в точке х —0, непрерывна в остальных точках; в) разрывна
в точке х = 0, непрерывна в остальных точках; г) непрерывна во всех
данных точках; д) разрывна в точке х =—1, непрерывна в остальных
точках. 4.44. а) —3; б) б; в)
—г) °; д)4;е) ж) 3)-2;
О Z о
. 3 1 1 _
и) —; к) —; л) — ; м) 3; н)
4 4 12
4
ГЛАВА V
/IX1»7 ! 1 \0-8 V—
5.1. а) 21-7 > 2°<8; б) (у) <(у) 1 в) З0.7 < 3V я ;
4У*в> 5-2' 3 и 81 5,3‘ а) 1о^3’ б> — 1’ в) 0; г) 0’
5.4. а) 2; б) 4; в) у ; г) 0. 5.7. а) Область определения: /?, множество
значений: [1; Н-оо[; б) область определения: /?, множество значений:
]—оо; 0[; в) область определения: /?, множество значений: [0; + <»[.
5.10. а) Область определения: множество значений:
J—оо; 4-оо[; б) область определения: J?\{0}, множество значений:
/?; в) область определения: /? + , множество значений [0; -|-оо[;
г) область определения: /?+, множество значений: {0; Ч-оо{; д) об-
ласть определения: ]— оо; О[, множество значений: /?; е) область
определения: ]—оо; 0[, множество значений: [0; +<»[. 5.12. Нет.
5.14. а) 9; б) 1 и —|; в) 1 ; г) —2 и 7; д) —1; е) 1,5; ж) -2;
О
2; и) log2 (а ± Yа1 — 1), где 1. 5.15. а) 3; б) — 1; в)
0 и 4; д) ±КЗ; е) ±/з"; ж) -7. 5.16. а) §; б)
ио
3)
Г)
В)
3)
0;
5;
1 и 2; г) 1 и 2; д) 30 и 100; е) 1 и 10; ж) У~3 и 9;
2 и 4. 5.17. а) 1; б) 10 и 10-,/1; в) 10*/а и 10"1;
г) —2 и 3; д) 7; е) —у; ж) 7; з) 13; и) 2; к) 0,01 и 10; л) 2J
м) — и 30. 5.18. а) х > 3;
О
х > 3; д) х < 0 и х > 1; е)
б) х > —1; в) х > loge 13; г) х < 1 и
х < I og2 3; ж) х < — 1 и х > 2; з) х£/?.
5.19. а) ]—«о;. 2]; б) [1,5; + оо[; в) j—оо; -2]; г) J2; 3[; д) J—Г;
4-1 [; е) ]0; 2[. 5.20. а) 0 < х < и х > 32; б) х > 1; в) 1 < х?< 2;
327
г) 1 < X < 3; д) 0 < X < 2; е) х > 4; ж) 2 < х<3;з)у<х<-|-
и х > 1; и) О < х <-1 и х >у. 5.21. а) х<—б) 1^<^< 1у;
в) x<j^; г) — 5<х<7,5; д) -0,05<х; е) 0,4<х<0,6;
ж) 2<х < 2,5; з) 0,2^х < 0,4; и) — 7 < х < 1 у ; к) 1,42<х < 1,5;
л) —0,58 < х<—0,4; м) —1,25 < х<—1,23 и х> —1;
1 4
н) —— <х<10. 5.22. cosa=—0,6; tga = —-5-. 5.23. sin a=
Kio® - 3 4
=0,6; cos a =—0,8. ^5.24. а) Да; б) да; в) да; г) да. 5.25. Могут.
i/~r2_______________________25
5.26. «±0,6572. 5.27. Г ——. 5.28. —75' 5.30. а) 2;
ь id
б> в> : г> '• а> б) в)4: г) 4^
Д) £2+j£J. 5.32. tgactgp. 5.33. а) 1; б) 1; в) -£?; г) -1;
д) . 5.34. - . 5.35. - . 5.36. sin а. 5.38. а) КЗ;
4 85 65
б) —tg 22° «—0,4040. 5.39. Не существует. 5.40. 1. 5.41. -у-.
5.42. cos2a = — ^=; tg 2a = — . 5.43. — . 5.44. 2 sina> sin 2a.
do l 1ОУ
5.45. а) /3; б) 2 cos 2a. 5.47. 4-- 5.48. а) б) — в)
* z,o £O 1
3 1
r) —5.50. a) 2 cos a; 6) —2 sin a; в) 7г-; г) sin a; д) c0s2a;
4 > 2 sma
e) sin2 a; ж) 0; з) 0; и) —1. 5.51. а) -+ ; б) «O+£j;
в) Zi+KL г) д) е)
5.52. а) у (cos 10°—cos 30°); б) у (sin 75°±sin 15°);
в) у (sin 60°—sin 10°); г) y(cos 75°±cos 35°); д)у(сов2а — cos2x);
е) у (sin 2a±sin 2х); ж) у (cos 2a±cos 2х). 5.54. а) /2± /3;
б) 0; в) -О-; г) -1р; д) /г± / 3 ; е) 0. 5.55. а) У~3 cos a;
б) sina. 5.56. а) 4sin ^15°±у^ cos ^15°—у^ ;
б) 4 sin f 15°- ^cos( 15°± 4^) ’> в) 2sin (зО°4--^соз(з00--?-Л ;
328 .
г) 4sin (зо°— у) cos (зо°4-у) . 5.57. а) 0; б) —1^2 — /3;
i/~2 1/~6 —
в)-----у- ; г) — -у-. 5.58. a) cos а; б) — У 3 sin а.
5.60. а) 2cos ^30° + у) cos (з0°—у) ;
б) —2sin (з0° + у) sin (ЗО°— |) ; в) 2cos2y; г) 2sin2y.
5.61. ctg2а. 5.62. 0. 5.63. a) 0; б) 1; в) 0; г) 0; д) 1; е) 0; ж)—у;
’> 1(3 Г-з+1). з.«з. з.И.
5.68. 1. ±-5-4-nk-, 2. n*±-J; 3. 4. 4+^*;
4 о 3 4
5. л*±4г'> 6. 7. nk ± -^-arccos (—0,75); 8. nk ± 4г;
О о Z О
n , л «л я* nk л 2л* , л 2л*
9. л*±у; 10. -у; 11. у и— +-у; 12. — + уИ—;
13. 14. у + у и у + у; 15. у; 16. nk-
и ^4-?-; 17. 2л* и 2л*+-£; 18. л*; 19. 4г i
2 о 2 2
20. arctg(—1 ± К2)4-л*; 21. ; 22. л* + 4г; 23. л*;
4 2 о
24. л* и nk ±-5-; 25. 2л*; 26. л*± 27. (— l)fearcsin-^--)-л*;
о о о
28. у4-л* и a?ctgy4-n*i 29. у,
5.69. 1. л*; 2. -у-; 3. л4-2л* и 2л*—2arctg 0,75; 4. nk—у;
5. я*4-(—1)лу; 8. 2л* 4 у! 7. у4~л* и у4~л*; 8. .л* и
л*4-у; 9. л* —(—1)*у; 10. л*4-(—1)*у; 11.
12. л4-2л*; 13. л*ил*4-у; 14. 2л*—у; 15. л*—у и n*4-arctg2;
16. у4“я* и n*4-arctgy; 17. у4~л* и у-(-л*; 18. J*
19. л*4-у и 2л* ± у л; 20. л* и л*4~ (—1)* у ; 21. у-(-л* и
2л* ±у; 22. (-1)^ + 1 у-(-2л*; 23. у (4*-Г) и nk - у;
24. ,2л* и 2 (л*—arctg 3),
329
ГЛАВА VI
6.1. 720 км/ч. 6.2. 50 км/ч. 6.3. а) м/с; б) Uo+^/o м/с.
6.4. а) —2 м/с; б) 28 м/с; в) 10 м/с. 6.5. а) —т=-; б) — /, ,а- ;
(3“Но)а
в) 3,?4---у=- . 6.6. а) 2х0; 2г 10;
2 F^o
г) Зх?+2; 5; 77; д) ---1-= ; 4-;
2 I/ *
б) 4х0; 4; 20; в) 2(х04-3); 8; 16;
—е) -Зх?; -3; -75;
2 /Т
ж)---^=- —2х0; -4; ------^-10. 6.7. а) 1; б) 2х+1;
2 /То 2 2 /Т
В) •-^=-t-2x; г) Зх2-]—--4=-; д) 3x24-2x-f- 1 ; е) 4-]-Зх2;
2ух 2ух 2ух
3 4 1
ж) 34-2х+ Зх2. 6.8. а) —8; б) ; в) ; г) 3-]-------— ~6х-,
» у 2 у х
9 7 _ 9 __
д) —5 —9х24--7=- ; е) 2х—8; ж) 4х3—— х2 / х; з) x2-j- — /Т ;
у х .2 7
17 1 1
и) 14-26Х—Зх2-]-36x3-15х*. 6.11. а) II; б) -Л; в) -3; г) ;
о1 2 4
5 11
д) --; е) 6.13. / (g) = lg2 х-]-9 Igx-]-17,
О Ч
f(h) = ( /Т-]—х> । +з ( /Т-]—। — 1 >
' ' ' \ 1 х24-1 / \ х24-1 1
g(A) = lg ( /Т-|- ^4-3, g(/)=Jg (х24-3х—1)4-3,
Л (/) = |/ х24-3х—1 4-•. a (g) = Klg*4-3 4-
+.#ж+б£1цо- 6-14- !,=/(е)' где: а)
g (х) = х24-Зх4-4; б) /(X) = Y ’ ё W=*2+-5x4- 1; в) /(х)= V х2—2х,
g(x)=/xi г) ZW = lg*> g(x) =Зх2-]-х4-4; д) /(х) = -р=-,
g(x). = 3-lgx; е) Д(х) = -г1-, g(x)=x24-x3; ж) / W = a +1 2.,
э) ZW=4_*+|*(1 + x8).
2 (14-х) (1— 2х—х2)
. (х2—х)3 ’
6.16. а) (х4-2)е*;
6.15. а) 6 (х24-5) (х34-15x4-23); 6) 6х (х2—З)2; в)
3 (х24-х4-1 )2 (5 4-6х—5х2 — 2х3 — х*)
Г) (х3—Зх2 —5х?
б) (2х34-3х24-2х)е*г+3*; в) (2х—х2— 1)е~*; г) ((2x24-3x)ln 2-J-1)-23*+*2;
д) (34-10х4-Зх24-(6х24-10х34-2х4) 1п4)-4*2; (2—Зх)е~* —
— (2х-]-3) In 14-14*г+3*+3; ж) — 2 (х24-3х) e~x’; з) (2х-]-Зх24-
330
-Х* + 5Х + —
+ (х» + л»_ 1) (5 — 2х) 1п2)-2 5; и) (Зх24-2х4-74-2х(х-Н8)х
Х(х2 + х+7) In 3) • 3x2+38x + 1°. 6.17. а) 6х In х-|-3 ;
б) (Хч—1П х): в) Х ’ flX’(2x lnfl •n(x2+4x+12)+
+ ^+X4t+ 12 ) ; Д) e* + 1 (|п<х+5>+^) ; e> 31°бб(*+1+*2) +
+ тй^птгт- 6. is. a) 100хвВ; 6) “5x*i
7 i 1 л । i i
107^ ’ 5/(х+Кх)Л 2J<7/’ Юх /Пх
6x8 + 7x® + xa4~ 2x4-3 . 29 . 2
K(*2-H)3 ’ '42x 4p/"x2® Зхр/х2
а) Кбх1'5"1; и) ял"-1;
к) 5(2 р/724-Зх3+ х7)4[ —4-9х2+7х®Y
\ Зр/ х J
л) 3 (1g Кх + х1/3+12
2х In 10
м) 10
2
х3
6.19. а) 5;
б) А; в) y; r) 4; д) 2; e) 1.
is) —3sin3x; r) —a sin ах; д)
ж) 6x24- 15 sin Юх; 3) cos Зх; и)
6) sin x-j-xcosx; в) cos 2x;
д) a cos ax cos bx—b sin ax sin’fcx;
3) — a sin 2ax;
6.22. a) 44-2’tg2 2x4-2 ctg2 2x;
в) 3 tg2x’(14-tg2x) + 3 (14-tg23x);
—4 tg 2x (14- tg2 2x); д) 2 cos 2x;
4-tg2ax); 3) (4x — l)cos(2x2—x)
6.20. а) 2 cos 2х;
2 cos 2x4- 3 sin Зх; е)
—cos2x. 6.21. a) cosx—xsinx;
г) 2cos2xcos3x—3sin2xsin3x;
е)
и) па sin"”1 ах cos ах;
б) a cos ах;
l-|-2sin2x;
sin2x; ж) —3 cos2 xsinx;
к) —па cos"-1 ах sin ах.
.6) ctg х—х (l-|-ctg2x);
г) —2 (1.4- ctg2 2х) —
) 2sin2x; ж)2а!§ах(14-
и) — sin2x; к) cosx —
х 3
— 2 sin 2x4-3 (1 + tg2 Зх). 6.24. a) — sin у; б) ycos3x; в) cosax;
г) 2xcos(x—I)—x2sin(x—1); д) 2cos(34-2x)—2sin(34-2x);
e) 24 sin2 4x cos 4x; ж) 14-tg23x; з) 6 (tg2 Зх—tg22x);
7
и) 24tg24x(l 4~tg24x); к) — 24ctg22x(14-ctg22x). 6.25. a) ;
у 1—49x2
„ no 2x „ m — 1
6.26. —.
’ К I —x*
е)
л a . mn
—?== ’> B) — .
|<l_a3x2 у 1—n2x2
6.27. ---7==-.
2x /х—I
6 28. б*2' ** I «
1 - x4
6.30. 2x arcsin х-l—, — .
331
6.31. . 4 а . тп а) „ "т; б) _ _ ; в) г .. , К1 —16х2 У1—а2х2 /1—п2х2 2х . х2
6.32. 6.34. 2х arccos х —= . 6.35.0. V1 — х* у 1 — X2
6.37. ч 3 „ tn . тп _ _л 1 , л а) 1 I П~Я > б) ТП 2~2 » в) . 1 1 а~~~2 • в-39- ~ ТП 2 > 14-9х2 14-ог2х2 14-л2х2 14-х2
6.40. 2х3 1 1 2х arctg х2 4-т-^-7. 6.41. . 6.42. -. * + хУ4х2 —1 Уо2--х2
6.43. . 2 п тп а 14- 4х2 ’ ' 14- л2х2 ’ D 14- п2х2 *
6.44. 1 , л. л 4 arctg 2х rt . х2 14-х2 14- 4х2 ь 14- х2
6.47. . 6.48. 0. 6.49. а) бх4—24Х3—24х2; х44-6х24-1 ’
6) . 1 ((56х7 + 2хК2) (К*-1)--4= (7*“+ /2*а+ V5)\
( У*— О \ 2 К х /
в) (3—2х— 10х9) ( /х4-3х7—8)4-(Зх—х2—х19) (4-21хЛ ;
\2 у х /
г) (10х9+ЗЗх104-ух~Б/7) Inх+х9 + Зх*°-|-х-6/7;
д) (г/2+2/ /7+1+-±_)е<2-1;
е) (т+“(in ' + ^)) е<
6.50. a) sin (х+-^~У n£N’, б) у' =4 (х4-3)3, у" = 12 (х-^-З)2,
у'" =24 (х + З), i/IV=^24, yv=yvi = ... =0; b)cos^x-}—»
n£/V; г) у'=ех-}-2х, у" — ех-}-2, у"' =у№ = ...=ех’, д) |/=5х44-
-}-ех, 0" = 2Ох3+е* у'" =60х24~ех, у^ = 120x4-е* t/V = 1204-e*,
yv\ =yv\\ = ... -ех; е) 2Л e2*4~3” sin ^Зх 4- -у~), n£N.
6.51. 70.
ГЛАВА VII
1 13
7.1. г/ = —4х—1, y=-x-j~—; у=1, х = 0; р = 4х—1, у =
= —-^х-^-~. 7.2. у = Зх+1, у = — ~^*4-1; Х = И У=1>
х = 3. 7.3.45°; 0°; 45°. 7.4. 1; 0. 7.5. (1; 0). 7.6. 45°. 7.7. 2;
—2; 4; —4. 7.8. 45°; 0°; 135°. 7.9. о(П = 4 (м/с), о(1) = 2 (м/с2);
v(3) =8 (м/с), о(3) = 2 (м/с2). 7.10. 54 (м/с2). 7.13. 210,25 (Дж).
7.14.439 /п. 7.16. со = —2с/4-Ь; р = — 2с; t=^ 7.17. 23А.
7.18. а) 1,00201 Дж/кг-град; б) 1,013 Дж/кг-град.
332
7.19. v = —kAe~kt. 7.20. а) Возрастает на Z?; б) убывает на Z?;
в) убывает на ]—оо; 0[(J]0; 4-оо[; г) возрастает на ]—оо; 5[U
U]5; + оо[; д) убывает на J— оо; —и возрастает на
; + оо е) возрастает на ] — оо; —|- оо[; ж) убывает на
]—оо; —1[ и возрастает на ]—1; +«[; з) убывает на ] —оо; —1[
и на ]0; 1[, возрастает на ]—1; 0[ и на ]1; -f- оо[; и) возрастает
на ] —оо; —1 [и на] 1; + оо [ , убывает на ] —1; 1 ]; к) возрастает
1 з
на I — оо; —
J ’
и на ] 1; оо
J — оо; 1 [ и на
и убывает на j —; + оо л) убывает на ]—оо; —1[
возрастает на ]—1; +1(; м) возрастает на
]1:4 [ убывает На ] 4 ’ + °° [ 7'21‘ Мак*
симум при х = 2; б) минимум при х = 3; в) минимум при х = — У 2
и х= максимум при х = 0; г) максимум при х=-^-; д) макси-
мум при х ——4, минимум при х = 4; е) нет экстремумов;
ж) нет экстремумов; з) минимум при х = 0; и) минимум
при х = 0; максимум при х = 2; к) минимум при х = 0; л) мини-
мум при х = —; м) минимум дтри х=1. 7.22. а) Выпукла вверх на
] — оо; 2[, выпукла вниз на ] 2; 4-оо [ ; б) выпукла вниз на
Z?; в) выпукла вниз на ] — оо; — 1 [и] 1;-f-оо [ , выпукла
вверх на ]— 1; -f-1 [; г) выпукла вниз на Z?. 7.23. а) Убы-
вает на ] — оо;—1 [ , возрастает на ]—х =—1—точка
минимума, fmin — f (— О = — 4; б) убывает на - оо; возра-
]3*Г 3 • / 3 \ 37
—;+ оо I , х = ——точка минимума, = — j ----- —;
в) возрастает на ] — оо; 2[, убывает на ] 2;-роо [ , х = 2—точка
максимума, /тах = /(2) = 7; г) возрастает на ] — оо; 2[ , убывает на
] 2; + оо [ , х= 2—точка максимума, /тах = / (2) = 0; д) возрастает
на J — оо; — убывает на j — ; -f- оо , х = ——точка макси-
. . ( 1 \ 3 , г- г «Г
мума, /тах = /I — I =—— ; е) возрастает'на ]—оо; 5[, убывает
на ] 5; +00 [ • * = 5—точка максимума, /тах = / (5) = 0; ж) убывает
на j—оо; —£ возрастает на ; + оо х = ——точка
/ 1 \ 9
минимума, /пйп=/(—2”)=—Т’ У^ывает на 1—°0’ Н» в03'
растает на ]1; +»[, х=1—точка минимума, — f (1) = 2.
7.24. а) х = 2; у = 0; б) х=1; в) у = —х при х—о-— оо. и
у = х при х—>+°о; г) х = 0 и ^ = х-|-6; д) х = — 1 и у = х—3;
е) х=1, х = —1 и у = 0. 7.25. а) Область определения: /?; функ-
ция не является ни четной, ни нечетной; функция непериодическая;
график пересекает ось абсцисс в точках (—1; 0), (Г, 0), (3; 0) и ось
ординат в точке (0; 3); / (х) > 0 на ] —1; 1 [ и ] 3; -р оо [, / (х) < О
на ] —оо; —1 [ и JI; 3[; асимптот нет; возрастает на
333
2 /З '
3
2 /3 '
—’— и
a
2 /3
3
, 2/3.
3 ’
имеет максимум в точке х=1
, убывает на
2 /3" Х
2 I /max ~ 3,06, И
выпукла вверх на
перегиба; б) область
непериодическая;
минимум в точке х=14---, /min «—3,06;
] — оо; 1 [ и вниз на ] 1; 4- оо [ ; к = 1 —точка
определения: /?; функция четная; функция
график пересекает ось абсцисс в точках f—3; 0), (—1; 0), (1; 0),
(3; 0) и ось ординат в точке (0; 9); / (х) > 0 на ] — оо; —3 [, ]—Г, 1 [
и ] 3; + оо [ , / (х) < 0 на ] —3; —1 ( и ] 1; 3 [ ; асимптот нет; возра-
стает на ] — /б-; 0 ( и ] /б; '+ оо [ , убывает на ] — оо; — /"б [
и ] 0; /б [ ; имеет максимум в точке х = 0, /max = 9, и минимум
в точках х= ±/б\/min=—16; выпукла вверхща —
и вниз на — оо;
и
/_5
3 ’
_5 . 5_ ‘
3 ’ Г 3
£ _
3
функция четная;
абсцисс в точ.
в точке {0; 3);
х = ±
3
точки перегиба; в) область определения: R,
функция непериодическая; график пересекает ось
ках (—/3; 0) и (/Т; 0) и ось ординат
/(х)<0 на_ ]—оо; — /3 [ и ] / 3 ; + оо [, / (х) > 0 на
] — /з; /з"[ ; асимптот нет; возрастает на ] — оо; —1 [ и ]0; 1[,
убывает на ] —1; 0 [ и ] 1; 4-оо [ ; имеет максимумы в точках х = ± 1,
/max = 4, и минимум в точке х = 0, /пйП = 3; выпукла вверх на
V/T + оо [ и вниз на J —1/ /”3”;
Т к х к
— —точки перегиба; г) область определения:
и
2^U^2;-|-oo функция не*является ни
ни нечетной; функция непериодическая; график пересекает ось
в точке (1; 0) и ось ординат в точке ^0;
-у [ и ] 1; 2[, /(х) < 0 на ]-1;
вертикальные асимптоты: х = — -^- и х = 2, прямая у = 0—асимптота
при х—> ± оо; возрастает на каждом интервале своей области опре-
делений; экстремумов нет; выпукла вниз
и вверх на j —-у ; х0 £ и ] 2; 4- оо [,
д) область определения ] — оо; —1[
функция.не является ни четной, ни нечетной; функция непериоди-
ческая; график не пересекает оси абсцисс и пересекает ось ординат
в точке ^.0;----; / (х) > 0 на ] — оо; — 1 [ и ] 2; 4- оо [, /(х) < О
на ]—1; 2 вертикальные асимптоты: х-]-1=0 и х = 2, прямая
334
Х= ±
— °о;
четной.
абсцисс
на —оо;
на
х0 ~ 0,83—точка перегиба;
U 1-1; 2[ и 12,+ ооВ
у = 0—асимптота при х—► ± оо; возрастает на j — оо; —1[ и
j—1; £ , убывает на j ; 2^и J 2; + оо [ ; имеет максимум веточке
1 4
х=~2 > /тах = —-д выпукла вниз нз ] —оо; —1 [ и J2;-|-oo [ л
точек перегиба нет; е) область определения:
вверх на ]—I; 2
функция не является ни четной,
ни нечетной; функция непериодическая, график пересекает ось абсцисс
/ 2 \
в точках (—1; 0) и (2; 0) и ось ординат в точке I 0; — 1 ; f (х) > 0
\ /
на оо; — у Ги ] — 1; 2[ , f (х) < 0 на! -у; —I Ги ] 2; + оо [;
вертикальная асимптота:
3 1,5
х = —% , прямая у —— ~2'x~i ~4—асимп-
тота при х —>- ± оо; возрастает на
убывает на
имеет максимум в
3+ V~7 3
2 ’ 2_
3+ У1
2
точке
. 4-/7 . 3+/7 . К7+4
/max =-ту— > и минимум в точке х =-, /min = —
1 3 Г
выпукла вниз на —оо; —— и вверх на
перегиба нет; ж) область определения: ] — оо; О |J J 0; -f- оо [ ; функ-
ция не является ни четной, ни нечетной; функция непериодическая;
график пересекает ось абсцисс в точках (1; 0); (2; 0) и не пересекает
оси ординат; f (х) > 0 на ]0; Ц и ]2; 4-оо[, f (х) < 0 на ]—оо; 0[ и
]1; 2[; вертикальная асимптота: х = 0, прямая у = х—3 является
асимптотой при х—>- ±оо; возрастает на ]—оо; —и ]>/Г2; + «[»
убывает на ]—2; о[ и ]0; К2[; имеет максимум в точке
х = —Уг2, /тах = —(2 -j-З), и минимум в точке х=уг2,
Лп1п = 2 У^2—3; Выпукла вниз на ]0; оо[ и вверх на ]—оо; 0[,
точек перегиба нет; з) область определения: ]—оо; 2[ (J ]2; 3[ (J ]3;
+оо [; функция не является ни четной, ни нечетной; функция непе-
риодическая; график не пересекает оси абсцисс и пересекает ось
ординат в,точке ^0; ; /(х) > 0 на ]—оо; 2[ и ]3; —F °°[,
на ]2; 3(; вертикальные асимптоты: х = 2 и х = 3; прямая у = 0 —
асимптота при х—► ±оо; возрастает на ]—оо; 2[ и ^2; у£, убы-
вает на ]|;з[ и ]3; 4-оо_[; имеет максимум в точке х=у,
/max’—— 4; выпукла вниз на ]—оо; 2[ и ]3; -f-oo[ и вверх на ]2; 3[;
335
точек перегиба нет; и) область определения: ]—оо; —2[ U ]—2; 2[(J
U ]2; Н~оо[; функция четная; функция непериодическая; график пе-
ресекает ось абсцисс в точках (—3; 0) и (3; 0) и ось ординат в точке
/ о \
0; ; /(х) > 0 на ]— оо; —3[, ]—2; 2[ и ]3; + »[, f (х) < 0 на
]—3; —2[ и ]2; 3[; вертикальные асимптоты: х = —2 и х = 2; прямая
у=1 — асимптота при х—>-±оо; возрастает на ]0; 2[ и ]2; -|-оо[,
убывает на ]—оо; —2[ и ]—2;' 0[; имеет минимум при х = 0,
9
/min='4- > выпукла вниз на ]—2; 2[ и вверх на ]—оо; —2[ и ]2;-|-оо[;
точек перегиба нет; к) область определения: ]—оо; 0[ (J ]0; +<»[;
функция не является ни четной, ни нечетной; функция неперио-
дическая; график не пересекает ни оси абсцисс, ни оси ординат;
/(х) > 0 на всей области определения; х = 0—вертикальная асимп-
тота, t/=l—асимптота при х—»-±оо; убывает на каждом интервале
своей области определения; экстремумов нет; выпукла вверх на
] — оо; — In /2 [и вниз на ] —In 2 ; 0 [ и ]0; + оо[; х = —In Ри-
точка перегиба; л) область определения: ]0; + оо[; функция не являет-
ся ни четной, ни нечетной; функция непериодическая; график пересе-
кает ось абсцисс в точке (1; 0) и не пересекает оси ординат; /(х)<0
на ]0; 1[, / (х) > 0 на ]1; +<»[; асимптот нет; убывает на |0; — Г,
1 1 , Г 1 f *
возрастает на |-р + оо ; х = ~—точка минимума, /min =------------- ;
выпукла вниз на всей области определения; точек перегиба нет.
7.26. а) На [-0,5; 0,5]: /наиб. = f (-0,5) - 1,375, /иаим. = / (0,5) =
=—1,375; на [—1,5; 2]: /иаиб. = /( О = 2, /найм. — f (0 ——2; б) на
[-1; 1]: /наиб.=/(0) = -9, /наим. = /(1)=/(-1) = _16; на [0; 3]:
/наиб. = /(3)=0, /найм. = /(2) = -25; на [-3; 5]: /наиб. = /(5) = 416,
/найм. = /(-2) =/(2) = -25; в) на ]-0,5; 0,7[: /Наиб. = /(0,7)=
= 3,7399, /найм. — / (0) — 3; на [ 2; 0]: /наиб. — /(—1) — 4, /найм.—
= /(—2)=—5; на [-2; 2]: /наи6. = / (1) = / (—1) = 4, /наим. = /(-2) =
= /(2)=—5; на [0; 4]: /наиб=/(!_)_= 4, /найм. =/(4) =—221; г) на
[-6; -1]; /наиб. = /(-6) = 8р/зб, /наим. = /(-1)=3; на [-2; 1]:
/наиб. 2) =4 р/4 , /наим. = / (0)=0. 7.27. 6 смХб смхЗ см.
7.28. 4х£. 7.29. 1 с; 7 м/с. 7.30. 512 см3. 7.31. а) -^-г;
4 2 л4-4
/оо лГ о 1 1
. 7.32. R . 7.34. —.7.35. 7.36. Энергия,
4-|-л 2 2 2 г »
отдаваемая электрическим элементом, будет наибольшей, когда R=r.
7.37. Обе прямые СК и RD должны образовывать с данной прямой
равные углы. 7.38. x = 2d-f- ; t/ = 2/?4- j/". 7.39. W =
E2R
= _|_rja* Л=г = 0,16Ом, lFmax = 9,8 Вт. 7,40. Наибольшая пло-
16 2
щадь равна —— при х = —
3 /3 ><3