/
Текст
-o' -.л,,; ил ;i
Математика
для
техникумов
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ 1
Издание третье, переработанное
Под редакцией Г. Н. ЯКОВЛЕВА
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования CGGP
в качестве учебника
для средних специальных учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
S5K22.1
М34
УДК 51 (075.3)
Математика для техникумов. Алгебра и качала анализа:
Учебник. Ч. 1/Качсновский М. И., Колягшт ГО. М., Кутасов А. Д.,
Лукавкин Г. Л. и др.; Под .ред. Г. Н, Яковлева. — 3-е изд., пере-
раб. — И.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.—464 с.
Книга, является первой частью учебника «Алгебра и начала ана-
лиза», написанного в соответствии с действующей программой но
математике для техникумов на базе неполной средней школы.
При подготовке третьего издания книга существенно перерабо-
тана: упрошено изложение, приведена в порядок система упражнений,
ряд обязательных тем из второй части перенесен в первую, а именно,
неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения.
2-е издание вышло з 1981 г.
Для учащихся техникумов на базе неполной средней школы.
Рецензент
преподаватель Ленинградского радиоаппаратостроителыюго тех-
никума кандидат педагогических наук Л. Ю. Сергиенко
.. 1702010000-138 .. 07
М—0бЗЖ8Г“ 68 87
© Издательство «Наука*.
Главная редакция
фпзико-м,-,теК1Я гтеск ой
литературы. 1981 ; пере-
ргбетаиное, 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ 9
Глава 1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.................... И
§ 1. Множества и операции над ними.................... 11
1. Мгохестзо и его элементы. Подмножества (11). 2. Пе-
ресечение множеств (12). 3. Объединение множеств (13)
4. Вычитание множеств. Дополнение до множества (13).
Вопросы для коктооля ........................... 14
Упражнения 1.1 —1.20 ............................. 14
§ 2. Рациональные числа............................... JS
1. Натуральные и целые числа (16). 2. Рациональные
числа (15). 3. Представление рациональных чисел деся-
тичными дробями (17). 4. Рациональные числа и беско-
нечные периодические десятичные дроби (19).
Вопросы для контроля ............................. 24
Упражнения 1.21 — 1.32............................ 24
§ 3. Действительные числа . .,........................ 25
1. Множество действительных чисел (25). 2. Действия
над действительными числами (26). 3. Десятичные приб-
лижения действительных чисел (27). 4. Координатная
ось и числовая прямая (31).
Вопросы для контроля ............................. 33
Упражнения 1.33—1.43 ............................. 33
§ 4. Приближенные значения и погрешности приближений . . 34
1. Приближенное значение величины. Абсолютная погреш-
ность приближения. Граница абсолютной погрешности
(34). 2. Относительная погрешность. Граница относи-
тельной погрешности (36). 3. Округление и погрешность
округления (39).
Вопросы для контроля ............................. 41
Упражнения 1.44—1.51.............................. 42
§ 5. Погрешности вычислений с приближенными значениями .
1. Погрешность суммы (42ц 2. Погрешность разности
(44). 3. Погрешность произведения (45). 4. Погреш-
ность частного (47)- 5. Погрешность степени и корня
(50). 6. Вычисления с заданной точностью (51).
Вопросы для контроля ............................. 52
Упражнения 1.52—1,60 ............................. 52
3
J 6. Практические приемы приближенных вычислений .... 52
1. Запись чисел в стандартном виде (52). 2. Верные и
.сомнительные цифры в записи приближенного значения
(53). 3. Сложение и вычитание приближенных значений
(55). 4, Умножение и деление приближенных значений
(57).
Вопросы для контроля ................................... 60
Упражнения 1.61 —1.72................................. 60
Глава 2*. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕЛ1АТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКИ................................................... 62
§ 7. Высказывания и предложения, зависящие от переменкой
1. Высказывания (62). 2. Предложения, зависящие от
переменной (63). 3. Знаки общности и существования
(64).
Вопросы для контроля................................ 65
Упражнения 2.1—2.7.................................. 66
§ 8. Метод математической индукции....................... 67
1. Принцип и метод математической индукции (67). 2.
Обобщение метода математической индукции (69).
Вопросы для контроля ............................... 70
Упражнения 2.8—2.12 ............................... 70
5 9. Различные виды теорем и их взаимосвязь ............. 70
1. Взаимно обратные теоремы (70). 2. Взаимно противо-
положные теоремы (72). 3. Необходимые и достаточные
условия (73).
Вопросы для контроля ............................... 75
Упражнения 2..13 —2.19.............................. 75
Глава 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ ... 77
§ 10. Уравнения и системы уравнений ..................... 77
1. Квадратные уравнения (77). 2. Уравнения с одним
неизвестным (общий случай) (78). 3. Уравнения и си-
стемы уравнений с двумя неизвестными (81).
Вопросы для контроля ............................... 86
Упражнения 3.1—3.6.................................. 86
§ 11. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестны-
ми и определители второго порядка ... .............. 88
1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвест-
ными (88). 2. Геометрическая иллюстрация решения
систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(92). 3. Определи’ели второго порядка (94). 4. Свой-
ства определителей вювогс порядка (96).
Вопросы для контроля ................................ 98
Упражнения 3.7 — 3.18................................ 99
§ 12. Определители третьего порядка и их свойства....... 100
1. Матрицы и определители третьего порядка (100). 2.
Свойства определителей третьего порядка (102),
Вопросы для контроля .............................. 104
Упражнения 3.19—"3.25............................... 104
§ 13”. Системы линейных уравнений со многими неизвестными 105
1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвест-
ными (105). 2. Системы линейных уравнений с п неиз-
вестными (111).
4
Вопросы для контроля.............................. 115
Упражнения 3.26 — 3.32 ............................ 116
§ 14. Неравенства и системы неравенств................... 117
1. Неравенства с одним неизвестным (117$. 2. Линей-
ные неравенства. Неравенства с модулем (! 19). 3. Квад-
рат тыс неравенства (121). 4. Рациональные неравенства
(123). 5. Системы неравенств (124).
Вопросы для контроля ............................ 126
Упражнения 3 33—3.38 .............................. 128
§ 15. Понятие о задачах линейного программирования 129
Упражнения 3.39 — 3.41 ........................... 132
Глава 4. ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕ-
ДЕЛЫ ..................................................
§ 16. Функции..........................................
.. Понятие функции (134). 2. Функции и отображения
(135). 3. Числовые функции (135). 4. Способы задания
функции (135). 5. Функция, обратная к данной функции
(137). 6. Четные и нечетные функции (139). 7. Перио-
дические функции (140). 8. Монотонные функции (142).
Вопросы для контроля .............................
Упражнения 4.1—4.13...............................
§ 17. Последовательности................................
1. Числовые последовательности (146). 2. Монотонные
последовательности (149). 3. Ограниченные и неограни-
ченные последовательности (151).
Вопросы для контроля .............................
Упражнения 4.14 — 4 28 ...........................
§ 18. Предел последовательности.........................
1. Предел ’ числовой последовательности Сходящиеся, и
расходящиеся числовые последовательности (156). 2. Гео-
метрический смысл сходимости последовательности (159).
3 Необходимое условие существования предела последо-
вательности (160). 4. Единственность предела последова-
тельности (161). 5. Бесконечно малые последовательности.
Основные теоремы о бесконечно малых последовательнос-
тях (161). 6. Теоремы о пределах последовательностей
(164). 7. Бесконечно большие последовательности. Связь
между бесконечно большой и бесконечно малой последова-
тельностями (167). 8 Существование предела у монотон-
ной ограниченной последовательности (169). 9. Понятие
числового ряда (170). 10. Сумма бесконечной убывающей
геометрической прогрессии (172).
Зопрссы для контроля ..............................
Упражнения 4.29—4.39 .............................
§ 19. Предел функции ............................. . . .
1. Предел функции в точке (176).' 2. Теорема о един-
ственности предела (178). 3. Теоремы о пределах (178).
4. Односторонние пределы (181). 5. О пределе функции
при х— > ±ж. Бесконечный предел функции (182).
Вопросы для контроля .............................
Упражнения 4.40—4.47 .......................... . .
§ 20. Непрерывные функции...............................
1. Понятие непрерывной функции (187). 2. Примеры
(189). 3. О непрерывности функции на множестве (190).
134
134
143
144
146
153
154
156
174
174
176
185
186
187
5
4 Точки разрыва (191). 5. Свойства непрерывных функ-
ций (191).
Вопросы для контроля................................... 194
Упражнения 4.48 — 4.49................................. 194
Глава 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ............... 196
§ 21. Степени и логарифмы.................... 196
1. Арифметические корни (196). 2. Степень с рацио-
нальным показателем (198). 3. Степень с действительным
показателем (199). 4. Логарифмы (201). 5. Основные свой
ства логарифмов (202). 6. Формула перехода от логариф-
мов по одному основанию к логарифмам по другому ос-
нованию (203).
Вопросы для контроля 204.
Упражнения 5.1—5.16................................. 205
§ 22. Показательная, логарифмическая и степенная функции 208
1. Показательная функция (208). 2. Логарифмическая
функция (210). 3. Степенная функция (213).
Вопросы для контроля 215
Упражнения 5.17 — 5.27.............................. 215
§ 23. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 216
1. Показательные уравнения (216). 2. Логарифмические
уравнения (219). 3 Показательные и логарифмические
неравенства (222).
Упражнения 5.28—5.36 ............................... 225
§ 24. Тригонометрические функции числового аргумента . . . 227
1. Радианное измерение углов и дуг (227). 2. Синус,
косинус, тангенс и котангенс действительного числа (230).
3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса и котан-
генса (233). 4. Тригонометрические функции и их про
стейшие свойства (235).
Вопросы для контроля ................................. 238
Упражнения 5.37 — 5.50 ............................... 238
§ 25. Основные формулы тригонометрии, их следствия .... 239
1. Тригонометрические функции суммы и разности двух
аргументов (239). 2. Формулы приведения (242). 3. Три-
гонометрические функции двойного и половинного аргу-
ментов (244). 4 Преобразование произведения тригоно-
метрических функций в сумму и разность, и наоборот
(247). 5*. Преобразование выражений a sin a-}- b cos а (249).
Вопросы для контроля ............................... 249
Упражнения 5.51 — 5.94 ............................. 250
§ 26. Три1 онометрические функции, их графики............ 255
1. Непрерывность тригонометрических функций (255)
2. Свойства и графики функций t/ = sinx и y=cosx (256)
3. Свойства и графики функций i/ = tgx и !/-=ctgx (259)
4. График гармонического колебания (260)/
Вопросы для контроля................................. 263
Упражнение 5.95 .... 263
§ 27. Обратные тригонометрические функции ................ 264
1. Функция арксинус и ее график (264). 2. Функция
арккосинус и ее график (265). 3. Функции арктангенс
и арккотангенс и их i рафики (267).
Вопросы для контроля ................................ 270
Упражнения 5.96 — 5.105 ............................. 270
6
§ 28. Тригонометрические уравнения ......................... 271
1. Простейшие тригонометрические уравнения (271).
2. Примеры решения тригонометрических уравнений (276).
Упражнения 5.106 — 5.116 .............................. 283
Глава 6. ПРОИЗВОДНАЯ............................. 286
§ 29. Производная.............................. . 286
1. Задачи, приводящие к понятию производной (286)
2. Производная функции (289). 3. Вычисление произвол
пой на основе ее определения (291). 4. Нелреоывность
дифференцируемой функции (292).
Вопросы для контроля............................... 291
Упражнения 6.1—6.6 294
§ 30. Производная суммы, разности, произведения и частного
функций................................................ 294
1. Производная суммы и разности функций (294). 2. Про-
изводная произведения функций (295). 3. Производная
частного двух функций (2S6).
Вопросы для контроля
Упражнения 6.7—6 12 ................................ 297
§ 31. Производная сложной и обратной функций ............ 298
1. Сложная функция (298). 2. Производная сложной 298
функции (299). 3*. Производная обраткой функции (300).
Вопросы для контроля............................... 301
Упражнения 6.13 — 6.15 .......................... 301
§ 32, Производные некоторых элементарных функций .... 301
1*. Пределы, связанные с числом е (301). 2. Производ-
ная показательной функции (302), 3. Производная лога-
рифмической функции (304). 4. Производная степенной
функции (305). 5. Производная синуса (307). 6. Произ-
водная косинуса (308). 7. Производная тангенса (308).
8. Производная котангенса (309). 9. Производная аркси-
нуса (309). 10. Производная арккосинуса (31С). 11. Про-
изводная арктангенса (311). 12. Производная арккотан-
генса (312). 13. Таблица производных (313). 14. Про-
изводные высших порядков (314),
Вопросы для контроля.............................. 315
Упражнения 6.16—6.52 315
§ 33. Дифференциал функции-............................ 318
I Определение дифференциала функции (318). 2. Гео-
метрический смысл дифференциала (319). 3. Приложение
дифференциала к приближенным вычислениям (320).
Вопросы для контроля.............................. 322
Упражнения 6.53 — 6 55 322
Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 323
§ 34. Касательная и нормаль к кривой .................. 323
L Определение касательной и нормали к 'кривой (323).
2. Геометрический смысл производной (324). 3. Уравненйя
касательной и нормали к кривой (325).
Вопросы для контроля ............................. 328
Упражнения 7.1—7.8................................ 328
§ 35. Некоторые применения производной в физике........ 329
1. Задача о теплоемкости тела (329). 2. Задача о ско-
рости химической реакции (329). 3. Задача о линейной
7
плотности стержня (330). 4, Механический смысл второй
производной (ускорение) (331).
Вопросы для контроля ............................. 331
Упражнения 7.9—7.19............................... 332
3 38. Приложение производной к исследованию возрастания
и убывания функции ................................ 332
1. Необходимые условия возрастания и убывания функ-
ции (332) 2. Теорема Лагранжа (333). 3. Достаточные
условия возрастания и убывания .функции (334). 4. Пра-
вило нахождения интервалов монотонности (335).
Вопросы для контроля................................ 336
Упражнение 7.20 ................................. 336-
б 37. Исследование экстремумов функции................... 337
1. О понятии экстремума функции (337). 2. Необходимое
условие существования экстремума (338). 3. Достаточные
условия существования экстремума (339). 4. Правила на-
хождения экстремумов' функции (340).
Вопросы для контроля.............................. 342
Упражнение 7.21................................... 342
§ 38. Выпуклость графика функции....................... 342
1. О понятии выпуклости графика функции (342).. 2. Дос-
таточное условие выпуклости графика функции (344).
3. Точки перегиба (345). 4. Исследование квадратичной
функции (34'7).
Вопросы для контроля.............................. 350
Упражнения 7.22 — 7.23 ........................... 351
§ 39. Построение графиков функций ..................... 351
1. Асимптоты (351). 2. Призеры noci роения графиков'
функций (354).
Упражнения 7.24 — 7.25 ........................... 369
§ 40. Решение задач на максимум и минимум 369
Упражнения 7.26 — 7.40 ........................... 363
Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ....................... 365
§41. Неопределенный интеграл и его свойства............365
1. Первообразная и неопределенный интеграл (36с). 2. Ос-
новные свойства неопределенного интеграла (367). 3. Таб-
лица неопределенных интегралов (368).
Вопросы для контроля.............................. 370
§ 42. Методы интегрирования............................ 370
1. Метод непосредственного интегрирования (370). 2. Ин-
тегрирование методом замены переменной (метод подста-
новки) (373). 3*. Интегрирование по частям (380).
Упражнения 8 1—8.21 .............................. 384
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 389
§ 43. Площадь криволинейной трапеции 389
Вопросы для контроля.............................. 393
Упражнения 3.1—9.2................................ 393
§ 44. Определенный интеграл . . 393
1. Определение интеграла (393). 2*. Пример неинтегри-
руемой функции (396). 3. Основные сзойстза определен-
ных интегралов (396). 4. Следствия ил основных свойств
определенных интегралов (398). 5. Теорема о среднем
8
(399). б. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом (400).
Вопросы для контроля ............................ 402
Упражнения 9.3 — 9.5............................. 402
§ 45. Методы вычисления определенных интегралоз....... 403
1. Формула Ньютона—Лейбница (403). 2. Вычисление
определенных интегралов методом подстановки (409).
3*. Формула интегрирования по частям длй определен-
ного интеграла (413).
Вопросы для контроля............................. 415
Упражнения 9.6 — 9.16.......................... 415
§ 46. Приближенные методы вычисления определенных интег-
ралов ........................................... . 417
1. Фоэмула прямоугольников (417). 2. Форл1ула трапе-
ций (418).
Упражнения 9.17 — 9.23 .......................... 422
Глава 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 424
6 47. Вычисление площадей плоских фигур с помощью опре-
деленного интеграла .................................. 424
Упражнения 10.1 —10.8............................ 428
§ 48. Применение определенного интеграла при решении физиче-
ских задач...................................... 429
1. Задача с вычислении пути (429). 2. Задача о силе
давления жидкости (431). 3. Работа переменной силы (433),
Упражнения 10.9—10.26 . . ....................... 436
ОТВЕТЫ
437
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является первой частью учебника
«Алгебра и начала анализа», написанного в соответствии с
программой по математике, утвержденной в 1985 году для
средних специальных учебных заведений, ведущих подго-
товку специалистов на базе 8 классов общеобразователь-
ной школы.
В новом издании при сохранении структуры учебника
предыдущего издания проведено перераспределение учеб-
ного материала: дополнительные и некоторые обязатель-
ные темы, необходимые для небольшого числа специаль-
ностей, сосредоточены во второй части. Некоторые главы
и параграфы существенно сокращены. Полностью перера-
ботана глава «Вычислительная математика». В связи с
реализацией реформы средней общеобразовательной и
специальной школы содержание и методика изложения
всего учебного материала подверглись переработке в на-
правлении большей доступности и усиления прикладной
направленности курса математики.
Изложение теоретического материала сопровождается
разбором большого числа задач и упражнений. В конце
каждого параграфа приводятся вопросы для контроля и
упражнения для самостоятельной работы учащихся
В новом издании существенно переработана и расширена
система упражнений.
Учебники написаны с учетом школьной программы,
в них выдерживается преемственность с курсом матема-
тики неполной средней школы как в изложении учебного
материала, так и в вопросах обозначений и терминоло-
гии.
Авторы считают своим долгом выразить благодар-
ность преподавателю математики Ленинградского радиоап-
паратостроительного техникума кандидату педагогических
наук Л. 10. Сергиенко, которая внимательно прочитала
рукопись и сделала ряд ценных замечаний.
Ю
Глава I
МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Множества и операции над ними
1. Множество и его элементы. Подмножества. Множе-
ство представляет собой соединение, совокупность, собра-
ние некоторых предметов, объединенных по какому-либо
признаку. Например, множество учащихся класса, мно-
жество букв алфавита, множество цифр десятичной нуме-
рации, множество чисел первого десятка, множество . на-
туральных чисел, множество точек на прямой, множество
книг на полке и т. д.
Предметы, из которых состоит множество, называются
его элементами (например, буква «к»—элемент множе-
ства букв русского алфавита).
Элементы множества обозначают малыми буквами ла-
тинского или греческого алфавита. Для обозначения
множеств используют заглавные буквы латинского алфа-
вита или запись со скобками. Например, Д, В или {ос;
Р; Я-
Запись а Г А означает, что элемент а принадлежит
множеству А. Запись а(£Д означает, что элемент а не
принадлежит множеству' А. Например, если У—множе-
ство натуральных чисел, то 2gAT, 0$N.
Множество считается заданным (известным), если или
перечислены все его элементы, или указано таксе свой-
ство его элементов, которое позволяет судить о том, при-
надлежит данный элемент множеству или пет.
Так, например, гсворя о множестве М всех четных
чисел, мы указываем свойство его элементов: каждое
число, принадлежащее этому множеству, делится нацело
иа два. Это записывается так:
М = {х£ЛГ|х ; 2}.
Здесь фигурные скобки указывают на наличие .множества;
Знак | (вертикальная палочка) заменяет слова «таких, что»
(или «такие, что»); знак «:» читается как «делится на-
11
тело»; о знаке 6 сказано ранее; буквой W обозначено
множество натуральных чисел.
Буквальное чтение этой записи таково: «Множество
Л{—это множество натуральных чисел х таких, что каж-
дое из них делится нацело на 2». Можно прочитать и
короче: «М— множество натуральных чисел, делящихся
на 2», или «М—множество четных натуральных чисел»
Множества, состоящие из одних и тех же элементов,
называются равными (одинаковыми). Если множества А
и В равны, то пишут А — В.
Если любой элемент множества В является и элемен-
том множества А, то множество В называется подмноже-
ством (частью) множества А. Б этом случае говорят,
что В содержится в А или А содержит В, и пишут Вс. А
или АсэВ
В силу этого определения любое множество является
своим подмножеством.
Для удобства рассматривают и множество, которое
не содержит ни одного элемента. Такое множество назы-
вается пустым и обозначается символом 0.
По определению, пустое множество является подмно-
жеством любого множества.
Теким образом, у любого множества А всегда име-
ются два очевидных подмножества А и 0.
Пример. Найти все подмножества множества
Д = {1; 2; 3}.
Д Подмножествами данного множества являются мно-
жества
{!}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}, 0.
Других подмножеств множество А не имеет. А
2. Пересечение множеств. Рассмотрим множество на-
туральных чисел, кратных числу 2, и множество нату-
ральных чисел, кратных числу 3. Нетрудно заметить, что
множество чисел, кратных числу б, состоит из элементов,
которые входят в каждое из двух рассмотренных множеств.
Множество С, состоящее из всех тех и только тех
элементов, которые принадлежат каждому из данных
множеств А и В, называется пересечением множеств А и
В и обозначается А Л В (П—знак пересечения).
На рис. 1 изображены множества А а В и их пере-
сечение.
Для точечных множеств (например, геометрических
фигур) смысл термина «пересечение множеств» ссответст-
J2
вует привычному для нас смыслу термина «пересечение
фигур». Так, например, если прямая имеет две точки пе-
ресечения с некоторой окружностью, то множество, яв-
ляющееся пересечением множеств точек окружности и
прямой, состоит из двух элементов (точек). Пересечение
множеств точек отрезков АВ и CD (рис.“2) есть отрезок СВ.
Рис. 1
Два множества, пересечение которых является пустым
множеством, называются непересекающимися множествами.
3. Объединение множеств. Объединением множеств А
и В называется такое множество С, которое состоит из
всех элементов множеств Л и В и только из них. В этом
случае пишут С = /. иВ (U—знак объединения).
Например, объединением отрезков АВ и CD является
отрезок AD (см. рис. 2),
{1; 2; 3} и {4; 5) ={1; 2; 3; 4; 5}.
Если множества А и В имеют общие элементы' (т. е.
А Г! В #= 0), то каждый из этих общих элементов берется
в множестве С только один раз.
Например,
{1; 2; 3}U [3; 4} = (1; 2; 3; 4}.
4. Вычитание множеств. Дополнение до множества.
Пусть даны дза множества А и В. Множестве С, которое
состоит из всех элементов множества А, не принадлежа-
щих множеству В, называется разностью множеств А и
В и обозначается А\В (рис. 3).
Например,
если А — {1; 2; 3; 4}, В = {1; 2}, то
Л\3 = {3; 4};
если А = {1; 2, 3}, В={3; 4; 5; 6], то
А\В ={1; 2};
если А —{1; 2; 5}, В = {3; 4}, то А\В.= {1; 2; 5}S
если А = {1; 2}, В = {1; 2; 3}, то А\В —0-
13
Если Лой, то разность А\В называется дополнением
множества В до множества А (рис. 4).
Отметим, что результат операции «дополнение» суще-
ственно зависит от того множества, до которого «допол-
няется» данное множество. Например, дополнением мно-
жества целых чисел до множества всех рациональных
чисел является множество всех дробных чисел; если же
рассматривать дополнение множества целых чисел до
множества действительных чисел, то дополнением этого
множества будет множество всех дробных и всех ирра-
циональных чисел.
Вопроси для контроля
1. Какими способами можно задеть множество?
2. Какие множества называются равными?
3. Что называется подмножеством данного множества?
4. Какое множество называется пустым?
5. Что называется пересечением множеств?
6. Какие множества называются непересекающимися?
7, Что называется объединением множеств?
8. Что называется разностью множеств?
9. Что называется дополнением множества?
10. 3 каком случае разность есть дополнение множества
В до множества А?
Упражнения
1.1. Найдите множество корней уравнения
(х2—1) (х2+5х + 6) = 0.
1.2. Найдите множество всех целых чисел, удовлетворяющих не-
равенству х2«;5.
1.3, Пусть М—множество всех корней уравнения
xs4-Sx4+x3-l = 0.
Какие из чисел 1; —1; являются элементами множества Л4?
14
1.4. Найдите все подмножества множества 4 = {3; 4; 5}
1.5. Сколько подмножеств у множества, состоящего
1) из одного элемента;
2) из двух элементов;
3) из трёх элементов;
4) из пяти элементов;
5) из десяти элементов?
1.6. Найдите А П С, если
1) 4 = {3; 4; 5},
2) 4 = {0; 1; 7; й},
3) 4={1; 3; 5; 7},
4) 4 = {1; 2; 3},
В = {3; 5; 6};
Я = {—7; 0; 6; 9);
В>=г{2; 4; 6; 8};
В = {—1; 0; 1; 2; 3}.
1.7. Пусть М — множество всех корчей уравнения 2xe-|-x3-f-x^0.
Найдите пересечение этого множества с множествами А ==31; 2; 3k
В = {0; 1; —1}, С = {—2; —1; 1}
1.8. Найдите A |J В для множеств А и В, указанных в упр. 1.6.
1 9. Найдите 4\8 и В\4 для множеств А и В, указанных в
упр. 1.6.
1.10. Найдите /.\Л1, В\М, С\М для множеств А, В, С, М,
указанных в упр. 1 7.
1.11. Найдите объединение множеств 4\УИ, В\Л1, С\Л1, кото-
рые определены в упр 1.10.'
1.12. Найдите дополнение множества А до множества В, если
1) 4 = {1; 2; 3}, 5 = {0; 1; 2; 3; 5};
2) Л = {1, 2; 3}, В=^у ; 0; 1; 2; 3; 4
3) 4 = {0; 1}, В = {—1; 0; 1; —2).
1.13. Чему равны A (J В, А П В, А\В, если А с В?
1.14. Найдите множества A (J В, А Л В, A U С, А Л С, В (J С,
В П С, если
А = {—4; —3; —2; —1; 0; 1; 2},
В = {4; 3; 2; 1; 0; —1; —2},
С = {—4; —3; —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4).
1.15. Найдите A (J В (J С и А ("1 В Г) С, где А, В, С определены
в упр. 1.14.
1.16. Пусть /V—множество натуральных чисел, Z— множество
целых чисел, а множества А. В, С определены в упр. 1.14» Найдите
Я П X В Г Z, В J Z, N П Z (.4 П В) Г) Л.
1.17. Пусть N—множестве натуральных чисел, Z—множество
целых чисел, Q— множество рациональных чисел, Л—множество
действительных чисел. Как эти множества связаны между собой?
1.18. Найдите все элементы множеств
M = {x€Q|2x = 3}, E = {x£N]x—3 < 5}.
1.19. Пусть Fi — множество всех параллелограммов, В2 —множе-
ство всех прямоугольников, В3 —множество всех рембов, — мно-
жество всех квадратов. Найдите множества
Pi Л F„ F2 П F3, F2 (J Fs u f, U Fi, Ft П B2 Л Fз П F«
1.20. Докажите равенства
(4 U В) Л С=(А Л Q U {В П С).
(4 Л В) U С = (4 U Q П (В U С}.
15
§ 2. Рациональные числа
1. Натуральные и целые числа. Представления о чис-
лах у человечества складывались постепенно под влия-
нием требований практики.
Натуральные числа 1,2,3, .. появились в связи с
необходимостью подсчета предметов, т. е. с необходимо-
стью ответить на вопрос: «Сколько элементов содержит
данное множество?». Например, пересчитав книги, стоя-
щие на полках книжного шкафа, мы говорим, что на
первой полке 5 книг, на второй полке 8 книг и т. д.
Если же одна из полок книжного шкафа свободна от
книг (на ней могут находиться тетради или другие пред-
меты), то мы говорим, что на этой полке 0 (нуль) книг.
Если к множеству всех натуральных чисел ЛГ={1;
2; 3; ...} присоединить число 0, то получим множества
неотрицательных целых чисел Z0 = {0, 1; 2; 3; ...}.
Одних только неотрицательных целых чисел для ре-
шения задач, поставленных практикой, а значит, и мате-
матических задач, отражающих данную реальную ситуа-
цию, оказалось недостаточно. Так, чтобы охарактеризовать
температуру воздуха выше и ниже нуля, а также дви-
жение в противоположных направлениях, требуются
противоположные числа. Например, температуру воздуха
в шесть градусов тепла и шесть градусов мороза харак-
теризуют соответственно 4-6 °C и —6 °C. Числа 6 и —6 на-
зываются противоположными числами: —6 противополож-
но 6, а 6 противоположно —6. В общем случае для
натурального числа п противоположным будёт,—п, э для
числа —п противоположным будет число п. Нуль счи-
тают противоположным самому себе.
Натуральные числа, числа, противоположные нату-
ральным, и нуль составляют множество Z целых чисел.
В множестве целых чисел определены операции сло-
жения, вычитания и умножения, в результате этих опе-
раций всегда получится целое число. Операция деления
в множестве целых чисел определена не для любых двух
целых чисел. Например, число 2 нельзя разделить на
число 3 так, чтобы в результате получилось целое число..
2. Рациональные числа. Решение практических задач,
связанных с делением и измерением величин, привело к
необходимости расширения множества целых чисел, вве-
дения дробных чисел.
Целые и дробные числа составляют множество Q ра-
циональных чисел.
16
Дадим более полное описание множества рациональ-
ных чисел.
Положительными рациональными числами называются
числа зида , где р и п — натуральные числа. Такие
числа называются еще положительными обыкновенными
дробями Число р называется числителем дроби, а число
п—знаменателем дроби.
Числа вида —у, где р и п — натуральные числа,
называются отрицательными рациональными числами. Их
еще называют отрицательными обыкновенными дробями.
Любое отрицательное и положительное целое число
можно представить в виде обыкновенной дроби, у кото-
рой знаменатель равен 1. Например,
Число 0 можно представить в виде обыкновенной дроби,
у которой числитель равен нулю:
Две обыкновенные' дроби считаются равными, если
одна из них получается нз другой умножением числителя
и знаменателя на одно и то же натуральное число. На-
пример,
_1__ 2 __3_____1___ 5
3 “ 6 “ 9 ’ 2 ~ 10'
Для любых двух обыкновенных дробей определены
операции сложения, вычитания, умножения и деления
(кроме деления на нуль).
Множество всех обыкновенных дробей (положительных,
отрицательных и равных нулю) образует множество Q.
рациональных чисел.
3. Представление рациональных чисел десятичными
дробями. Если знаменатель обыкновенной дроби равен
натуральной степени числа 10, то эту дробь можно за-
писать в виде конечной десятичной дроби. Например,
— —03- — — 23- — — 1 23-
10 U’d’ 10 100“
__Х^—0 7- —— = —17
10 ’ 10 11 •
Очевидна, любую конечную десятичную дробь можно за-
писать в виде обыкновенной дроби, причем после сокра-
щения ее знаменатель не имеет других простых делите-
лей, кроме 2 и 5.
Пример 1. Записать в виде несократимых обыкно-
венных дробей следующие десятичные дроби:
0,2; - 0,25; 1,4.
Д Имеем
0,2 =
2 1 .
5 ’
—0,25
25 _ __ 1 .
100 — 4 ’
1,4 =
14 7
10 ~ -5 ’
Верно и обратное утверждение: если знаменатель
дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5,
то эту доебь можно представить конечной десятичной
дробью. Для этого нужно числитель и знаменатель дроби
умножить на соответствующие степени чисел 2 и 5, а
можно воспользоваться способом «деления уголком» чис-
лителя на знаменатель.
Пример 2. Записать в виде десятичных дробер сле-
дующие обыкновенные дроби:
3 6 __7
50 ’ 25 ’ 20 •
Л Воспользуемся способом
знаменателя на степени чисел
домножения числителя и
2 и 5:
____I______Z15 0 35
20— 100— и’'30’
Аналогичный результат получим и способом «деления
уголком» числителя на знаменатель. А
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби
имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь
не может быть записана в виде конечной десятичной
дроби. Применив к ией способ «деления уголком», мы не
получим конечную десятичную дробь.
18
Например,
1=0,333...; —1 = —0,333...,
О и
где точки означают, что цифра 3 периодически повторя-
ется бесконечно много раз. Аналогично,
1 = 0,555.V.; —1 = —0,555. н
Выражения вида 0,333,..; —0,333...; 0,555...;
—0,555... называются бесконечными десятичными дробями.
Следовательно, каждое рациональное число предста-
вимо в виде конечной или бесконечной десятичной дроби:
Яо.Я^Яз. .. ,
где а0—целое число, а каждое из alt а3, а3, ...—одна
из цигрр 0, 1,2, ..., 9.
4. Рациональные числа и бесконечные периодические
десятичные дробиг Бесконечная десятичная дробь назы-
вается периодической, если у нее, начиная с некоторого
места, все десятичные знаки периодически повторяются.
Например, бесконечные десятичные дроби
0,333...; —0,333...;
1,2444...; —2,5151...
являются периодическими. Бесконечная десятичная дробь
3,125787878... ,
где точки означают, что цифры 7, 8 периодически пов-
торяются бесконечно много раз, тоже является периоди-
ческой.
Для записи бесконечных периодических десятичных
дробей имеется специальное обозначение. Например,
вместо 0,333... пишут 0,(3):
0,333... =0,(3).
Аналогично,
—0,333... = —0,(3);
3,125787878... =3,125(78).
Число, записанное в скобках, называется периодом
рассматриваемой дроби. Поэтому дроби 0,(3); —0,(3);
3,125(78) читаются соответственно так:^ «нуль целых и три
в периоде», «минус нуль целых и три в периоде», «три
19
целых, сто двадцать пять тысячных и семьдесят восемь
з периоде».
Теорема 1. Каждое рациональное число представимо
в виде конечной или бесконечной периодической десятич-
ной дроби.
Например, рациональное число ц представляется в
виде десятичной периодической дроби 0,(45), причем для
получения такого представления достаточно разделить
число 5 на 11:
-*5 | 11
±4_ 0,45
60
55
Получив остаток, равный 5, мы можем дальше не вести
вычислений, так как остатки и цифры в частном будут
повторяться. Поэтому 21 = 0,4545... =0,(45), т. е. имеем
пуль целых и 45 в периоде.
В общем случае для произвольного рационального
• т
числа ± —, где т и п — натуральные числа, поступают
аналогично: деляг т на п. Так как при делении на п
для остатка имеется лишь п возможных значений 0, 1,
2, ..., п — 1, то не более чем через п шагов в частном
от деления т на п начнется повторение десятичных зна-
ков. Последнее означает, что деление т на п приводит
к конечной или бесконечной периодической десятичной
дроби.
Замечание. Для единообразия иногда конечные де-
сятичные. дроби удобно записывать в виде бесконечных
периодических десятичных дробей, у которых справа пос-
ле десятичных знаков, отличных от нуля; на месте
последующих десятичных знаков стоят нули. Например,
0,25 = 0,25000 ... =0,25(0);
—1,2 =-1,2000... =—1,2(0).
Целые числа также записывают в виде бесконечных
периодических десятичных дробей, у которых справа от
запятой на месте десятичных знаке в стоят нули. Например,
15= 15,000... = 15,(0); —6 = —6,000... =—6,(0).
20
Учитывая это замечание, теорему 1 можно сформули-
ровать короче: каждое рациональное число представимо
в вид?, бесконечной периодической десятичной дроби.
Верно и обратное утверждение: каждая бесконечная
периодическая десятичная дробь является представлением
некоторого рационального числа.
В общем виде это утверждение доказывать не будем.
Покажем лишь на примерах, как по бесконечной пери-
одической десятичной дроби можно найти рациональное
число, представлением которого она является.
Пример 1. Найти рациональное число, представле-
нием которого является периодическая дробь 0,(7).
А Чтобы умножить бесконечную десятичную дробь на
10, достаточно в данной десятичной дроби запятую пере-
нести на один десятичный знак вправо. Поэтому
0,(7)-10 = 7,(7).
Последняя дробь равна сумме натурального числа 7 и
десятичной дроби 0,(7):
7,(7) = 7+ 0,(7).
Обозначим через х искомое рациональное число. Тогда
из предыдущих равенств получаем уравнение
10% = 7 +%,
7
из которого следует, что * —
Проверкой убеждаемся, что действительно
4 = 0,(7). Д
Пример 2. Найти рациональное число, равное пе-
риодической дроби 1,2(3).
А Обозначим
х = 0,2(3).
Тогда
10х = 2,(3),
100% =23,(3).
Из второго равенства почленно вычтем первое, в резуль-
тате получим
90% = 23 —2,
_23—2_<1 7_
Х~ 90 — 90~2С’
37
Следовательно, 1,2(3) = 1 + х=^.
21
Проверкой убеждаемся, что действительно
й-1,2(3). А
Пример 3. Найти рациональное число, равное пе-
риодической дроби 0,12(34).
А Искомое рациональное число обозначим через х:
х = 0,12(34).
Г огда
100х= 12,(34),
19 000х= 1234,(34).
Из второго равенства почленно вычтем первое, в резуль-
тате мы получим
9900% = 1234—12,
. _ 1 234-12 _ 1 222 _ 611
Х ~ 9 900 ~ 9 900 “ 4 950 '
Делением уголком можно убедиться, что действительно
^-0,12(34). А
Пример 4. Найти рациональное число, равное пе-
риодической дроби 0,2(9).
Л Искомое рациональное число обозначим через хГ
х = 0,2(9).
Тогда
10х = 2,(9),
100х = 29.(9),
и поэтому
90х = 29—2,
_29-| 27 1 пч
Х~ 90 “ 90 — 10==U’'5,
Следовательно,
0,2(9) = 0,3. А
Вообще, любая бесконечная периодическая десятичная
дробь с периодом 9 равна некоторой конечной десятич-
ной дрсби. Отметим, что методом «деления уголком» ни-
когда не получится бесконечная периодическая десятичная
дробь с периодом 9.
В дальнейшем при представлении рациональных чисел
десятичными дробями будем исключать из рассмотрения
бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9.
22
Сформулируем правила обращения периодической де-
сятичной дрсбн в обыкновенную.
Бесконечная периодическая дробь называется чистой,
если у нее первый период начинается сразу после запятой.
В противном случае она называется смешанной.
Чтобы чистую периодическую дробь
0,(«i.. .ал)
обратить в обыкновенную, поступим следующим образом:
1) обозначим ее, например, через х:
х = 0,(рц....а„у,
2) умножим на 10", где п— число цифр в периоде,
обе части этого равенства:
10«i=a1.. .ал,(а^. ,а„);
3) из второго равенства почленно вычтем первое:
10"х—х = . .а„.
В результате получим линейное уравнение относительно х:
(10м — l)xr=oti.. .ап,
из которого находим
«п
* 10м —1 •
Следовательно, чистая периодическая дробь 0,(ар..ал)
равна обыкновенной; у которой числитель равен периоду
«J. .а„, а знаменатель равен 10м — 1, где п—число цифр
в периоде.
Чтобы смешанную периодическую дробь
ОД--‘^(<4 •••«„)
обратить в обыкновенную, поступим следующим образом:
1) обозначим ее через х:
х = 0,^ . .pM(aj.. • <%„);
2) умножим на 10й, где т—число цифр до первого
периода, обе части этого равенства:
Ю'п.х = рр..ри,(аР..ап);
3) умножим это равенство еще на 10м, где п—число
цифр в периоде:
1О'а+м-х^р1.. .риах.. .ал,(аР . .ал);
23
4) из последнего равенства почленно вычтем второе:
10и+"-х— 1Ост-х = 01.. .ргаи,. • • • -Р,л-
В результате получим линейное уравнение относительно х:
10“(Ю" — !)* = ₽!• • -Рл- • -а„—Pi- • -Рда,
сз которого находим
____________________ Р1 • . .tt п Р1 • • Р гг
10«(Ю"—1)
Следовательно, смешанная периодическая дробь вида
0,р>1.. • P.„(at. . ,ап) равна обыкновенной, у которой числи-
тель равен разности
0т • • P,ZA- • а,— Pl - • -Рд>.
а знаменатель равен произведению 1071 (10"—1), где т —
число цифр до первого периода, а п—число цифр в периоде.
Вопросы для контроля
1. Какие числа называются целыми?
2. Какие операции определены в множестве целых чисел?
3. Какие числа называются рациональными?
4. Какие операции определены в множестве рациональных чисел?
5. Какую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной
десятичной дроби?
6. Какая бесконечная десятичная дробь называется периодической?
7. Что называется периодом бесконечной‘десятичной дроби?
8 Каким образом обыкновенную дробь можно разложить в ко-
нечную или бесконечную десятичную дробь?
9. Какая бесконечная периодическая дробь называется чистой?
10. Каким образом чистую периодическую дробь можно обратить
в обыкновенную?
11. Какая бесконечная периодическая дробь называется смешанной?
12. Каким образом смешанную периодическую дробь можно
обратить в обыкновенную?
Упражнения
1.21. Найдите все целые числа от 20 до 40, которые делятся на 3.
1.22. Найдите все простые числа от 10 до 30.
1.23. Существует ли двузначное число, которое равно сумме своих
цифр?
1.24. Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству
|х— 11 < 4.
1.25. Найдите значения выражений:
х2 + *+1 . 9. г’ + 2л
} X3 — х+1 ’ 1 х3-| 1
при х = 2; х=-|-; х = 0,3.
1.26. Найдите 5 %, 10 %, 125 % от числа 240.
1.27. Найдите число, п процентов которого равны 15, если
1) м=15; 2) /г = 25; 3) ,4=125.
1.28. Какие из следующих обыкновенных дробен представимы
конечными десятичными дробями:
1 10 17 20 27,
7’ 13’ 20’ 17’ 125 ‘
1,29. Представьте в виде конечных или бесконечных десятичных
дробей следующие рациональные числа:
_1_ _4 3 _ 2_ 13.
Ъ 9 ’ 9 ’ 00 ’ ' 3 ’ 50 ’
7 Ц й ’3 и
зо’ з ’ бо’ и’ 13‘
1.30. Найдите рациональные числа, представлением которых яв-
ляются следующие бесконечные периодические десятичные дроби:
1) 0,(51); ’,(13); -0,(25); 2,(125); —0,(113);
2) 0,3(51); 2,1(23); 0,2(125); —1,31(12); 1,25(13).
1.31. Найдите сумму и разность следующих рациональных чисел:
1) а = 0,(3), Ь = 1,(7);
2) а = — 1,(21), 5 = 0,(5),
3) а= 1,(2), Ь= 1,0(4).
1.32. Найдите произведение и частное рациональных чисел, ука-
занных в упр. 1.31.
§ 3. Действительные числа
1. Множество, действительных чисел. Множество всех
конечных. и бесконечных десятичных дробей называется
множеством действительных чисел, а каждая такая дробь
называется действительным числом. Множество всех дей-
ствительных чисел обозначается R. Напомним, что бес-
конечные периодические десятичные дроби с периодом 9
исключаются, так как каждая из таких дробей равна
некоторой конечной десятичной дроби.
Как следует из предыдущего параграфа, множество Q
всех рациональных чисел является подмножеством мно-
жества /? всех действительных чисел.
Действительные числа, не являющиеся рациональными,
называются иррациональными. Иррациональные числа
изображаются бесконечными непериодическими десятич-
ными дробями.
25
Следующая теорема утверждает, что число V2 яв-
ляется иррациональным. Напомним, что —это поло-
жительный корень уравнения № = 2. В частности, У'2 —
это длина диагонали единичного квадрата. Следовательно,
иррациональные числа ‘возникают даже в самых простых
алгебраических и геометрических задачах.
Теорема 2, Не существует рационального числа,
квадрат которого равен числу 2.
□ Доказательство будем проводить методом от про-
тивного. Допустим, что существует рациональное число,
квадрат которого равен 2, представимое несократимой
дробью —. Тогда имеем
f-V = 2, ^ = 2, т2=12п2.
\п / п? ’
Следовательно, число т2—четное, но тогда и число т—
четное. В самом деле, если бы т = 2k + 1 (т. е. было
нечетным), то т2 = (4£2 + 4£)-t-1—нечетное, так как
(4/г2 4- 4k)—четное.
Но если т—четное число, т. е. т — 2k, то
4й2 = 2л2, п2*=2/г2,
ч
т. е. число п2—четное, г значит, и число п—четное.
Итак, наше допущение привело к тому, что оба числа
т и п оказались четными, что вступает в противоречие
с предположением о несократимости дроби . Это проти-
воречие показывает, что мы сделали неправильное допу-
щение о существовании рационального числа, квадрат
которого равен 2.
Следовательно, число t' 2 иррациональное. ЕЗ
Можно показать, что
К2= 1,41421356...
Число л, являющееся отношением длины окружности
к диаметру, тоже является иррациональным числом. Для
него имеем
л = 3,14159...
2. Действия над действительными числами. Для любой
бесконечной десятичной дроби (действительного числа)
х = aQ,aLa2.. .а„ап+\... конечная десятичная дробь хп —
=ae,a1ai.. .ап называется н-м отрезком этой дроби.
26
Рассмотрим два действительных числа:
x=.a^,aia.ia3... и у — Ъ3,ЬхЬ^Ь3 ..
(напомним, что из рассмотрения исключаются бесконечные
периодические десятичные дроби е периодом 9).
“ Числа хну считаются равными, если они изобра-
жаются одной и той же бесконечной десятичной дробью.
В противном случае действительные числа х и у считаются
неравными.
Другими словами, х — у, если хп = уп при любом п,
и х^= у, если найдется т такое, что х,л=£у,л.
Считается, что число х больше числа у (или число у
меньше числа-%), если найдется ,т такое, что хт> ут.
В этом случае пишут х > у или у < х.
Например,
1,467. ..< 2,458., так как 1<2 (здесь .*п = 0);
1,467... < 1,476. .., так как 1,46 < 1,47 (здесь т = 2);
— 2,4793... <—2,4737, так как —2,479 <—2,473
(здесь т—-3).
Чтобы приближенно найти сумму, разность, произве-
дение и частное двух бесконечных десятичных дробей,
нужно проделать соответствующие "действия (сложение,
вычитание, умножение, деление) над n-ми' отрезками этих
бесконечных десятичных дробей. Для этого можно вос-
пользоваться любым микрокалькулятором.
Следовательно,
х + у^хп + уп,
Х — у^Хп — уп,
ху « х„уп,
У Уп '
При делении, конечно, предполагается, что у=^0 и уп 0.
Очевидно, чем больше п, тем с большей точностью
будут вычислены результаты соответствующих действий.
Оценка точности вычислений будет рассмотрена ниже.
3. Десятичные приближения действительных чисел.
Для любого положительного числа
х •. •
число лп = а0,а1а2.. называется п-м десятичным при-
ближением числа х с недостатком с точностью до 10-п,
а число х'^ — ай,ауш,.. .а„+ 10_" называется п-м десятич-
ным приближением с избытком с точностью до 10"".
27
Например, для числа /3 = 1,7321... числа
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7321
являются десятичными приближениями с недостатком
соответственно с точностью до 1, до 0,1, до 0,01, до
0,001, до 0,0001, а числа
2, 1,8; 1,74; 1,733; 1,7322
являются десятичными приближениями с избытком с
точностью до 1, до 0,1 и т. д.
Заметим, что для положительного числа n-е десятичное •
приближение с недостатком совпадает с п-м отрезком
соответствующей бесконечной десятичной дроби.
Для любого отрицательного числа
x = — a„a1a2...cinan+i..., где а0>0,
n-е десятичные приближения определяются следующим
образом:
Хп = . • С1п*
В этом случае n-е десятичное приближение с избытком
совпадает с n-м отрезком соответствующей бесконечной
десятичной дроби.
Очевидно, что десятичные приближения любого числам
х обладают следующим свойством: если tn < п, то
< Хп < X < х"п < хГт.
Таким образом, любое десятичное приближение числа
х с недостатком не больше числа х, а любое десятичное
приближение с избытком не меньше числа х. Кроме того,
по мере возрастания точности десятичные приближения
с недостатком не убывают, а десятичные приближения с
избытком не возрастают.
Используя десятичные приближения с недостатком и
с избытком, можно оценить точность приближенных вы-
числений с действительными числами. Как это делается,
рассмотрим па примерах.
Пример 1. Зная два первых десятичных знака у
бесконечных десятичных дробей, равных я и/2:
л = 3,14...; /2 = 1,41.
28
найти приближенно сумму этих чисел и оценить точность
полученного приближения.
А Очевидно, можно считать, что
л 4 /2 эд 4,55.
Оценим точность этого приближенного равенства
Из данных условий следует
3,14 сС л еС 3,15,
1,41 1,42.
Сложив почленно эти неравенства, получим
4,55^л + /2<4,57.
Отсюда следует, что
0<(л+ /2) —4,55<4,57 —4,55 = 0,02,
0Х,57Хл +/2X4,57 —4,55 = 0,02.
В этом случае говорят, что
л + /2эд 4,55 и л 4- /2 эд 4,57
с точностью до 0,02. Чтобы подчеркнуть, что 4,55 <7 л + /2,
а 4,57 35 л ± /2, говорят, что число 4,55 является при-
ближением с недостатком (снизу), а число 4,57—прибли-
жением с избытком (сверху) суммы л + /2 с точностью
цо 0,02.
Возможно, одно из этих приближений является более
точным, чем второе, по, исходя только из данных усло-
вий, нельзя сказать, какое из них более точное.
Более точное приближение суммы л + /2 дает среднее
арифметическое найдейных приближений с недостатком и
с избытком. Именно,
л + /2 эд 4,50
с точностью до 0,01, так как
|л + /2 — 4,560,01.
В этом случае пишут л +/2 = 4,56 ±0,01. А
Пример 2. Исходя из условий предыдущего примера,
найти приближенно разность л—/2 и оценить точность
полученного приближения.
29
А Можно считать, что
л—/2 «1,73.
Оценим точность этого приближенного равенства. Так как
3,14 —1,42 < л—К2< 3,15 —1,41,
1,72<л—/2<1,74,
то, очевидно,
я —/2^1,73 ±0,01,
т. е. л — /2 « 1,73 с точностью до 0;01, А
Пример 3. Исходя из условий примера 1, найти
приближенно произведение л |/"2 и оценить точность по-
лученного приближения-
А Так как
3,14<л<3,15,
1,41 </2< 1,42,
то _
3,14-1,41 <лК2<3,15-1,42.
Выполнив умножение конечных десятичных дробей, получим
4,4274 < л/2 <4,5130.
Следовательно, число 4.4274 является приближением с
недостатком, г 4,5130—приближением с избытком про
изведения л)/"2.
Так как сомножители произведения были взяты с
точностью до одной сотой, то и у приближений естественно
оставлять только сотые знаки. Тогда
4,42 < л/2 <4,52.
Из этих неравенств следует, что
л/2 «4,47
с точностью до 0,05, т. е.
л К2 = 4,47±0,05. А
(О приближенных вычислениях более подробно будет
рассказано в следующих параграфах.)
Пример 4. Исходя из условий примера 1, найти
приближенно частное -у=- и оценить точность получен-
кого приближения.
ЗЭ
ДТак как
3,14п ^3,15
Г~42 j/Y М> ’
то, вычислив частные конечных десятичных дробей со-
ответственно с недостатком и с избытком с точностью до
одной тысячной, получим неравенство
2,211 < 2,235,
из которого следует, что
-Д- = 2,223 ± 0,012
или
-Д-= 2,22 ± 0,02. Д
4. Координатная ось и числовая прямая. На пло-
скости рассмотрим некоторую прямую. На этой прямой
зафиксируем некоторую точку О. Эта точка О, которую
будем называть начальной точкой, данную прямую раз-
бивает на два луча (рис. 5). На одном из этих лучей
О А
О 1
Рис. 5
выберем некоторую 'точку А и отрезок ОА примем за
единицу длины. Отрезок ОА называется единичным от-
резком, а точка А —единичной точкой. Выбор единичной
точки А на прямой с начальной точкой О определяет на
этой прямой положительное направление. Луч О А назы-
вается положительным лучом, а противоположный луч —
отрицательным лучом.
Прямая, на которой выбраны начальная и единичная
точки, называется координатной осью или координатной
прямой.
На рис. б координатная прямая нарисована горизон-
тально с единичной точкой А, лежащей вправо от на-
чальной точки О, т. е. за положительное направление
выбрано направление слева направо. Вообще же, коорди-
натная ось на плоскости может располагаться произ-
вольно, и положительное направление на ней может быть
31
выбрано удобным образом. Например, если координатная
ось расположена вертикально, то за положительное на-
правление на ней может быть выбрано как направление
вверх, так и направление вниз.
О А м
0 1 ъ
Рис. 6
Каждой точке М координатной оси поставим в соот-
ветствие действительное число х (рис. 6) по следующим
правилам:
1) начальной точке О поставим в соответствие число
х = 0;
2) точке М, принадлежащей положительному лучу,
поставим в соответствие число х = |О/И|;
3) точке М, принадлежащей отрицательному лучу,
поставим в соответствие число х =— | ОМ |.
Здесь |СЛ4| — длина отрезка ОМ, измеренного при
помощи единичного отрезка ОА.
Число х, которое, согласно этим правилам, ставится
з соответствие точке М координатной оси, называется
координатой точки М.
Очевидно, что каждая точка координатной оси имеет
единственную координату и, наоборот, каждое действи-
тельное число является координатой, единственной точки
координатной оси. В этом случае говорят, что между
точками -координатной оси и множеством R действитель-
ных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.
Поэтому множество R называют иногда числовой прямой,
а действительные числа—точками числовой прямой.
Напомним определения и обозначения некоторых под-
множеств множества действительных чисел (или подмно-
жеств числовой прямой), которые были изучены в школе.
Множество всех действительных чисел х, удовлетво-
ряющих условию называется замкнутым про-
межутком или отрезком с началом в точке а и концом
в точке Ъ и обозначается [а; Ь].
Множество всех действительных чисел х таких, что
а < х < Ь, называется открытым промежутком или ин-
тервалом с началом в точке а и концом в точке Ь и
обозначается (а; Ь).
Множество всех действительных чисел х таких, что
называется полуоткрытым промежутком и
32
обозначается [а; Ь)'. Аналогично определяется промежуток
(а; &].
Множество всех х > а называется бесконечным проме-
жутком и обозначается (а; +• оо). Аналогично опреде-
ляются бесконечные промежутки [п; +оо), (—ос; 6),
(—°°;
Множество Ц также иногда называется бесконечным
промежутком и обозначается (--оо; -Ь оо).
Вопросы для контроля
1. Что называется множеством действительных чисел?
2. Какие числа называются иррациональными?
3. Каким образом на практике может возникнуть рациональное
число?
4. Какие действительные числа называются равными?
5. Что называется n-м отрезком данной бесконечной десятичной
дроби?
С. В каком случае одно действительное число больше другого?’
7. Каким образом приближенно можно найти сумму, разность,
произведение и частное двух бесконечных десятичных дробей-
8 Что называется п-м десятичным приближением данного числа
в недостатком с точностью до 10-л?
9. Что называется п-м десятичным приближением данного числа
с избытком с точностью 10-"?
10. Какими свойствами обладают десятичные приближения с не-
достатком и с избытком?
11. Что называется координатной прямой?
12. Ч^о называется координатой точки на прямой?
13. Что называется числовой прямой?
14 Что называется числовым отрезком?
15. Что называэтся интервалом?
16. Что называется числовым промехкутком?
17. Какой промежуток называется полуоткрытым?
18. Какие промежутки называются бесконечными?
Упражнения
1.33. Докажите, что уравнение xi = 3 не имеет рациональных
торней.
1.34. Докажите, “то число V 5 является иррациональным.
Пользуясь калькулятором, найдите несколько знаков в десятичном
разложении этого числа
1.35. Сравните следующие пары действительных чисел.
1) 2,39748 ... и 2,39784 ...; 2) 2,3874 ... и 0,3874 ...;
3) 1,2030 ... и 1,2093 ...; 4) 4,8181 ... и 4,(881 ...;
5) 17,2 ... и L ; 6) -4 и 0.428 ...;
5 7 ?
2 Алгебра, ч, 1 Заё
7) —10,003 ... и —10,030 ...; 8) —0,025 ... и —0,052 ...
1.36. Пользуясь калькулятором, вычислите значения выражений!
11 1 • х‘+1
' х-3 ’ ' *>+2х
при х=0,18; х—; х = 0,(3); х = У~2 ; х=г..
1.37. Найдите десятичные приближения с точностью до 0,01
с недостатком и с избытком для чисел:
1) 0,37893; 2) 1,4978; 3) —4,5678; 4) —3,7326;
5) К 5; 6) —К"5: 7) К 7; 8) —/7;
9) Т: 10) “А1 1Г) 7: 12) ~7‘
1.38. Докажите, что числа 1,4142 и 1,4143 являются десятичными
приближениями числа У 2 соответственно с недостатком и с избыт-
ком с точностью де 0,0001.
1.39. Докажите, что числа —1,7322 и —1,7321 являются деся-
тичными приближениями числа —К 3 соответственно с недостатком
и с избытком с точностью до 0,0001.
1.40. Пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,01
сумму и разность следующих чисел:
1) У 2 и У 3; 2) У 5 и 0,(15);
3) V 3 и Уб; 4) У 6 и 1,1(2).
1.41. Пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,01
произведение и частное чисел, указанных в упр 1.40.
1.42. Какая из двух точек находится на координатной прямой
левее и какая правее, если эти точки имеют координаты:
3
1) 2,3934 и 2,3443 ...; 2) 15,55 ... и 15у;
3) —1,001 ... и —1,010 ...; 4) 0 и —1,56 ...;
5) 2,34 ...и —3,345 ...?
1.43. Какая из двух точек находится на координатной прямой
дальше ст начальной точки О, если эти точки имеют координаты;
1) 4,783 . и 4,793 ...; 2) 3,5678 ... и 2,7893 ...;
3) —15,604 и —15,040 ...; 4) —0,20 ... и —0,30 . .?
§ 4. Приближенные значения
и погрешности приближений
1. Приближенное значение величины. Абсолютная по-
грешность приближения. Граница абсолютной погрешности.
В практической деятельности человеку приходится изме-
рять различные величины, учитывать материалы и про-
дукты труда, производить различные вычисления Резуль-
татами измерений, подсчетов и вычислений являются
числа. Числа, полученные в результате измерения, лишь
приблизительно, с некоторой точностью, характеризуют
искомые величины. Точаые измерения невозможны ввиду
34
неточности измерительных приборов, несовершенства
наших органов зрения, да и сами измеряемые объекты
иногда не позволяют определить их величину с любой
точностью.
Пусть результат измерения или вычисления величины х
с некоторой точностью равен а. Тогда а называется при-
ближенным значением (или приближением) величины х.
Причем, если а^х, то а называется приближенным гна
чением с недостатком, (или приближением снизу), а если
н^х, то а называется приближенным значением с избыт-
ком (или приближением сверху) величины х.
Разность точного и приближенного значений величины
называется погрешностью приближения.
Так, если х—точнее значение, а—приближенное зна-
чение, то разность х—а—погрешность приближения
Если ее обозначим через Ах, то получим
х — а-1- Ах,
т. е. истинное значение равно сумме приближенного зна-
чения и погрешности приближения.
Модуль разности точного и приближенного значений
величины называется абсолютной погрешностью прибли-
жения.
Следовательно, если Дх = х—а — погрешность прибли-
жения, то |Дх| = |х—я|— абсолютная погрешность
приближения.
Пример 1. Известно, что —0,333 является прибли-
женным значением для —; . Найти погрешность и аб-
солютную погоешность этого приближения.
Л Здесь х=—, а — — 0,333. Тогда, согласно опре-
делению погрешности приближения,
Л 1 , n ООО 1 . 333 1
Ах — х а — 3 + 0,333 — з + ] ооо “ з ооо '
Следовательно, погрешность приближения равна
— отгпг > а абсолютная погрешность приближения равна
о UUU
3 000
Во многих практически важных случаях нельзя найти
абсолютную погрешность приближения из,-за того, что не-
известно точное значение величины. Одпако можно указать
2* 35
положительное число, больше которого эта абсолютная
погрешность быть не может.
Любое положительное число, которое больше или
равно абсолютной погрешности, называется границей аб-
солютней погрешности.
Следовательно, если х—точное значение, а—прибли-
женное значение, Ах = х—а—погрешность приближения,
то любое число h, удовлетворяющее неравенству | \х | h,
является границей абсолютной погрешности. В этом случае
говорят, что величина х приближенно с точностью до h
равна а, и пишут
хяа с точностью до ft
или х=-а±й. Запись x — a±zh означает, что истинное
значение величины х заключено между границами а—h
и a-v h, т. е.
а—he'.x^a + h.
Если известно, что а является приближенным значе-
нием величины х, и требуется определить границу абсо-
лютной погрешности этого приближенного значения, то
эту задачу обычно формулируют так: «Определить (пайти)
точность приближенного равенства хдаи».
Пример 2. Известно, что л = 3,14 ... Найти точность
приближенного равенства л да 3,14.
А Мы не знаем всех десятичных знаков в разложении
числа л в. б этом смысле мы не знаем истинного значе-
ния л. Следовательно, мы не можем найти погрешность
и абсолютную погрешность данного приближения. Однако
мы можем указать границу абсолютной погрешности.
Действительно, так как
3,14С.л<3,15,
то 0 л—3,14 «с; 0,01, и поэтому л да 3,14 с точностью
до 0,01, т. е. л = 3,14 ± 0,01. А
2. Относительная погрешность. Гракица относительной
погрешности. Абсолютная погрешность приближения не
характеризует качества измерений. Действительно, если
мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то
в том случае, когда речь идет об определении длины ка-
рандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью
до 1 см определять длину или ширину волейбольной пло-
щадки, то это будет высокая тонкость.
Зб
Пример 1. При измерении длины I и диаметра d
проводника получили
/ = (10,0 ± 0,1) м, t/ = (2,5 ± 0,1) мм.
Какое из этих измерений точнее?
Л Измерение длины проводника производилось с точ-
ностью до 0,1 м= 100 мм, а измерение диаметра провод-
ника—с точностою до 0,1мм. Казалось бы, что точнее
измерен диаметр проводника. Однако это не так.
При измерении длины проводника допускается абсо-
лютная погрешность в 100 мм на 10 000 мм, и, следова-
тельно, допустимая абсолютная погрешность составляет
измеряемой величины. При измерении диаметра допусти-
мая абсолютная погрешность составляет
2d = 0,04 = 4 %
Z»о
измеряемой величины. Следовательно, измерение длины
проводника выполнено точнее. Д
Для характеристики качества, измерения вводится
понятие относительной погрешности.
Отношение абсолютной- погрешности приближения
к модулю приближенного значения величины называется
относительней погрешностью приближения.
Следовательно, если х—точное значение, а—прибли-
женное значение, то отношение
И-И _ | х —g|
|а| |а|
является относительной погрешностью приближения.
Относительную погрешность часто выражают в про-
центах.
В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще
всего бывает размерной величиной, относительная погреш-
ность является безразмерной величиной.
Пример 2. Известно, что 0,111 является прибли-
женным значением для d. Найти абсолютную и относи-
тельную погрешности этого приближения.
31
А Здесь x = -g-, a = 0,111. Тогда
Дх = х—a = -g-—0,111 =g-^
Дх _ 1 1 _. 1
a " 9 000 ’0,111 — 999 ‘
Следовательно, абсолютная погрешность приближения
равна onnn', а относительная погрешность равна • А
У Uvv УУУ
Как уже отмечалось, во многих практически важных
случаях нельзя найти абсолютную погрешность, а можно
указать лишь границу абсолютной погрешности. В этих
случаях нельзя найти и относительную погрешность, но
можно найти границу относительной погрешности.
Любое положительное чибло, которое больше или равно
относительной погрешности, называется границей отно-
сительной погрешности.
Следовательно, если Дх—погрешность приближения,
то любое число 6, удовлетворяющее неравенству
1<>|
является границей относительной погрешности. В част-
ности, если h—граница абсолютной погрешности, то число
является границей относительной погрешности приближе-
ния а. Отсюда, зная границу относительной погрешности,
можно найти границу абсолютной погрешности:
ft = 6| а|.
Если известно, что а является приближенным значе-
нием величины х, и требуется определить границу отно-
сительной погрешности этого приближенного значения,
то эту задачу формулируют так: «Определить (найти)
относительную точность приближенного равенства х«а».
Пример 3. Известно, что К2=1,41 Найти от-
носительную точность приближенного равенства |/ 2^1,41.
А Здесь х = И2, a = 1,41, Дх = К2—1,41. Очевидно,
что
0 < Ах < 1,42—4,41 = 0,01
38
\х ,.0,01
а ^=1,41
1
141 ’
и поэтому граница абсолютней погрешности равна 0,01,
а граница относительной погрешности равна 0,008.
Следовательно, К 2 « 1,41 с относительной точностью
до 0,008. В этом случае говорят, что К 2яй 1,41 с точ-
ностью до 0,8%. Д
Пример 4. Известно, что х ~ 2,56 с точностью до
10%. Найти границу абсолютной погрешности.
А По условию, граница относительной погрешности
равна 0,1. Следовательно, граница абсолютной погрешно-
сти равна 0.1-2,56 = 0,256. Д
3. Округление и погрешность округления. На практике
результаты измерений и вычислений обычно выражаются
в виде конечных десятичных дробей. Если в десятичной
дроби, равной точному или приближенному значению
некоторой величины, десятичных знаков больше, чем это
необходимо по практическим соображениям, то эту дробь
округляют. Операция округления десятичной дроби со-
стоит в отбрасывании единиц младших разрядов начиная
с некоторого. Полученное число принимается за прибли-
женное значение этой дроби.
Абсолютная-погрешность, допускаемая при скруглении,
называется ошибкой округления.
Существуют три способа округления положительных
десятичных дробей: округление с недостатком, округление
с избытком и округление с наименьшей ошибкой.,
Округление с недостатком до единиц некоторого раз-
ряда состоит в отбрасывании единиц всех .младших раз-
рядов. При таком округлении все цифры десятичной дроби
до данного разряда включительно не меняются, а цифры
младших разрядов заменяются нулями. Например, если
х = 23,467, то округления с недостатком до сотых, деся-
тых, единиц, десятков соответственно равны
23,46; 23,4; 23; 20.
Сшибки округления соответственно равны
0,007; 0,067; 0,467; 3,467.
Округление с избытком до единиц некоторого разряда
отличается от округления с недостатком тем, что число
единиц данного разряда увеличивается на единицу.
Например, если х = 23,467, то округления с избытком
до сотых, десятых, единиц, десятков соответственно равны
23,47; 23,5; 24; 30.
Ошибки округления соответственно равны
0,003; 0,033; 0,533; 6,533.
♦
Нееле округления 2,996 до сотых с избытком полу-
чим 3,00. Псследние две цифры 00 здесь оставлены для
того, чтобы помнить, что округление произведено до сотых.
Этот пример показывает, что при округлении с избытком
могут меняться все цифры.
Самым распространенным округлением является окру-
гление с наименьшей погрешностью. Оно производится по
следующим правилам:
1) единицы младших разрядов отбрасываются;
2) число единиц данного разряда не меняется, если
следующая цифра данной дроби меньше 5, и увеличивается
на единицу, если следующая цифра больше или равна 5.
Например, если х = 23,467, то округления с наимень-
шей погрешностью до сотых, десятых, единиц, десятков
соответственно равны
23,47; 23,5; 23; 20.
Ошибки округления соответственно равны
0,003; 0,033; 0,467; 3,467.
Правила округления с наименьшей погрешностью
обычно называют правилами округления десятичных дробей.
Пример 1. Пусть х — 274,61. Выполнить округление
с недостатком и с избытком до десятых, единиц, десятков
и сотен.
ДСогласно определению округления с недостатком до
десятых, единиц, десятков, сотен соответственно равны
274,6; 274; 270; 200.
Ошибки этих округлений равны
0,01; 0,61; 4,61; 74,61.
Округлениями с избытком соответственно будут
274,7; 275; 280; 300,
а их ошибками —
0,09, 0,39; 5,39; 25,39. Д
<0
Пример 2. Пусть х — 274,61. Выполнить округление
до десятых, единиц, десятков и сотен по правилам округ-
ления дробей (т. е. с наименьшей погрешностью).
Л Согласно правилу округления десятичных дробей
имеем
274,6; 275; 270, 300.
Ошибки этих округлений соответственно равны
0,01; 0,39; 4,61; 25,39. А
Из правил округления следует, что ошибка округле-
ния с наименьшей погрешностью не превышает половины
единицы последнего сохраняемого разряда. При округле-
нии с недостатком и с избытком погрешность может быть
больше половины единицы последнего сохраняемого раз-
ряда, но не превышает единицы этого разряда.
Пусть число а является приближением величины х
с точностью до ft, т. е.
№-а ±h.
Тогда, если а—округление числа а с ошибкой округле-
ния а, то
х = а ± (й+ а),
т. е. х«а с точностью до ft + а. Следовательно, при
округлении приближения к его погрешности добавляется
ошибка округления.
Пример 3. Пусть х— 1,23± 0,02. Округлить при-
ближение до десятых и найти границу абсолютной погреш-
ности нового приближения.
Л По правилам округления получаем- новое прибли-
жение 1,2 с ошибкой округления 0,03. Следовательно,
х — 1,2 Ч~ 0,05. Д
Вопросы для контроля
1. Что называется приближенным значением с недостатком?
2. Что называется приближенным значением с избытком?
3. Что называется погрешностью приближения?
4. Что называется абсолютной погрешностью приближения?
5. Что называется границей абсолютной погрешности?
б. Что называется относительной погрешностью приближения?
7, Размерной или безразмерной величиной является относитель-
ная погрешность?
8, Что называется границей относительной погрешности?
9, Как связаны границы абсолютной и относительной погреш-
ностей?
10. Что называется округлением десятичной дроби?
11. Что такое ошибка округления?
12. Какое округление называется округлением с недостатком?
13. Какое округление называется округлением с избытком?
14. Что называется округлением с наименьшей погрешностью'!*
15. Что называется правилами округления десятичных дробей?
Упражнения
1.4 4. Найдите погрешность и абсолютную погрешность прибли-
женного значения а величины х, если
5 5
1)x.= -q-; 0=1,6; 2) х =—— \а =—1,66;
О о
3* 3
3)х=д; а = 0,273; 4)*=П; а = 0’2727'
1.4 5. Определите точность приближенного равенства х ж а, если
1) х= 1,23156...; о=1,23;
2) х = —0,12765 ...; о = —0,127;
3) х = 2,875(3); о = 2,875.
1.46. Граница, абсолютной погрешности приближенного значения а
числа х равна h. Найдите границы, в которых заключено число х,
если
1) а = 23; Л = 0,5; 2) а= 1,5; /: = 0,01;
3) а = —2,32; /г = 0,1; 4) o = 4,55; 7i = 0,Q5.
1.47. Найдите относительную погрешность приближенного зна
ченпя о величины х из упр. 1.44.
1.48. Определите относительную точность приближенного равен-
ства х я а для х и а из упр. 1.45
1.49. Известно, что х х а с точностью до р процентов. Найдите
I рапицу абсолютной погрешности, если
1) а = 2,75; р = 20; 2) а=1,3; р=10;
3)а= 237;р=1; 4) а= 1,49; р = С, 1.
I'.SO. Скруглите с недостатком и с избытком до тысячных, сотых
п десятых следующие десятичные дроби:
1) 0,3253. 2) 1,23789; 3) 24,00391; 4) —3,7426.
Найдите ошибки округления.
1 51. Округлите по правилам округления до тысячных, со:ых
и десятых десятичные дроби из упр. 1.50. Найдите ошибки округ-
ления.
§ 5. Погрешности вычислений
с приближенными значениями
1. Погрешность суммы. Пусть хъа с точностью до
hi, у b с точностью до й2. Найдем точность h, с кото-
рой сумма а + b приближает сумму х + у.
42
□ Имеем
х = а + Ах,
y = b + \у,
где Ах и Ау—погрешности приближения х и у. Сложив
почленно эти равенства, получим равенство
х + у — а b 4- Ах -|- Ау,
из которого следует, что погрешность приближения суммы
равна сумме погрешностей приближений слагаемых, т. е.
А (х + у) — Ах + Ау.
Так как модуль суммы не превышает суммы модулей
слагаемых, то
|А(х±у||<|Ах| + |Ау|.
Следовательно, абсолютная погрешность приближения
суммы не превышает суммы абсолютных погрешностей
приближений слагаемых, и поэтому
| А (х + у) К йх + Л2. □
Таким образом, справедливо следующее правило под-
счета точности суммы: граница абсолютной погрешности
суммы приближенных значений равна сумме границ абсо-
лютных погрешностей слагаемых, т. е. если хгаа с точ-
ностью до hi, yxtc точностью до Ht, то х± у »а 4- b
с точностью до
h=hi + Л».
Пример 1. Найти сумму х 4- у, если
х = 5,1 ±0,05, у = 2,3 ±0,05,
Д Здесь й1 = Л2 = 0,05. По правилу подсчета точности
суммы получаем
h = /г, 4- h, = 0,05 + 0,05 = 0,1.
Следовательно, х± у « 5,1 ±2,3=7,4 с точностью до 0,1, т.е.
х4-у = 7,4 ± 0,1. А
Пример 2. Найти периметр треугольника АВС,
если | АВ | = 03 4 ± 0 1, | ВС | = 47,3 ± 0,1 и |СД| =
= 73,1 ±0,1.
Л Если через Р обозначить периметр данного треуголь-
ника:
Р = |ДВ1 + |ВС| + 1СЛ |,
43
то
Ряв 63,4+ 47,8 ±73,1 = 184,3
с точностью до й = 0,1+ 0,1+0,1 =0,3, т. е.
Р = 184,3 ±0,3. А
2. Погрешность разности. Пусть х ж а с точностью до
/г,, у tab с точностью до ht. Найдем точность h, с кото-
рой разносшь а—b приближает разность х—у.
□ Из равенства
х—у —а—Ь + (Д«—Ду)
следует, что погрешность приближения разности равна
разности погрешностей приближений уменьшаемого и вычи-
таемого, т. е.
Д (х—у) = кх—\у.
Следовательно,
|Д(х—у)|<| Дх| + | Ду|,
т. е. абсолютная погрешность приближения разности не
превышает суммы абсолютных погрешностей приближений
уменьшаемого и вычитаемого, и поэтому
|A(x-y)|</i, + /+B
Таким образом, справедливо следующее правило под-
счета точности разности: граница абсолютной погрешно-
сти разности приближенных значений равна 'сумме границ
абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого,
т. е. если х ж а с. точностью до hi, у tub е точностью
до ht, то х—уха—Ъ с точностью до h — hi + h^.
Пример 1. Найти разность х—у, если
х = 7,5 ±0.05, у = 3,4 ±0,02.
А Здесь Л, = 0,05, /?2 = 0,02. По правилу подсчета точ-
ности разности имеем h — 0,07. Следовательно,
х—у — 4,1 ± 0,07. А
Пример 2. Масса ящика с конфетами равна т,-=
= (7,3 ± 0,05) кг, масса пустого ящика разна т2 =
= (0,8 ± С,05) кг. Найти массу конфет.
А. Если через т обозначить массу конфет:
m = /7ij—/нг>
44
то, согласно правилу подсчета точности разности, /и=6,5 кг
с точностью до С, 1 кг, т. е.
/и = (6,5 ± 0,1) кг. Д
Пример 3. Найти разность х—у, если х«7,3
с точностью до 1%, у« 0 8 с точностью до 2%.
Л Сначала найдем границы абсолютных погрешностей hr
и h2 для х и у:
^ = 7,3-0,01 = 0,073,
/г2 = 0,8 0,02 = 0.016.
Тогда граница абсолютной погрешности суммы вычисляется
по формуле
/1 = 0,073+0,016 = 0,089.
Скруглив 0,089 с избытком до сотых,'получим
х—у = 6,5 -+ 0,09.
По /i = 0,09 и приближенному значению 6,5 находим
границу относительной погрешности:
б= 0^09 = о,О138 ...
6,5
Следовательно, х—у ж 6,5 с относительной точностью
до 0,014. Если относительную точность выразить в про-
центах, то получим
х—у «6,5 с точностью до 1,4%.Д
3. Погрешность произведения. Как было показано,
абсолютная погрешность суммы оценивается суммой абсо-
лютных погрешностей слагаемых. Такой простой сценки
абсолютной погрешности произведения через абсолютные
погрешности сомножителей не существует. Однако для
относительной погрешности произведения можно получить
аналогичную оценку через относительные погрешности
сомножителей.
Пусть с относительной точностью до 6,, у tab
с относительной точностью до 62 Найдем относительную
точность 6, с которой ab приближает произведение ху.
□ Перемножив почленно два равенства:
х = а + Лх,
у = Ь + &у,
получим равенство
xy = ab + й- Ду + Ь- &х + Дх-Ду,
41
из которого для абсолютной погрешности произведения
получается оценка
| ху—a b j < | а | • I Л у j + | b | • | А х | + ] А х | • | А у |.
Разделив обе части этого неравенства на |аб| = |а||б|,
получим
|ху—ab| |Лх| , [Aj/I , I Ах| |At/|
|ab) *=» |a| |Ь; |a| ' |b| ‘
Здесь слева стоит относительная погрешность произведе-
ния, а справа—сумма трех слагаемых: относительных
погрешностей первого и второго сомножителей и произве-
дения этих погрешностей. Обычно относительные погреш-
ности являются достаточно малыми. Тогда их произведе-
нием можно пренебречь и считать, что относительная
погрешность произведения приближений не превышает
суммы относительных погрешностей сомножителей. В
На практике пользуются следующим правилом под-
счета точности произведения: граница относительной
погрешности произведения равна сумме границ относи-
тельных погрешностей сомножителей, т. е. если ххед.
с относительной точностью до б1( у хе b с относительной
точностью до 62, то ху га ао с относительной точностью
до 6, где
6 = 6,+ 62.
Если же относительная точность выражена в процен-
тах, то это утверждение формулируется так: если х хе а
с точностью до а %, у хе Ь. с точностью до 3 %, чо ху хе ab
с точностью до у %, где у = a + р.
Пример 1. Найти площадь прямоугольника шири-
ны х и длины у, если х хе 4 м и у хе 5,4 м с точностью до 1 %.
ЛЕсли S—площадь данного прямоугольника, то, как
известно, S — xy, и поэтому S приближенно равна
4м-5,4м = 21,6м2.
Тогда по правилу подсчета точности произведения полу-
чаем
5 хе 21,6м2 с точностью до 2%,
т. е. с относительной точностью до 0,02,
Найдем границу абсолютней погрешности произведения:
Л = 0,02-2] ,6м2 = 0,432 м2.
Следовательно, S« 21,6 м2 с точностью до 0,432 и2. Д
46
Пример 2. Найти площадь прямоугольника шири-
ны х и длины у, если х — (4,0 ± 0,05) м и у = (5,4 ± 0,05) м.
Л Из данные задачи следует, что приближенное зна-
чение площади S равно
4,0м-5,4м = 21,6м2.
Так как граница абсолютней погрешности измерения
ширины и длины равна 0,05 м, то границы относительных
погрешностей равны
0,05 _ 1 0,05 _ 1
4,0 ~80 И 5,4 —108’
Тогда граница относительной погрешности для произве-
дения равна сумме этих границ:
1 1 _ 47
80 '108 ’2 160’
а граница абсолютной погрешности равна
5^.21,6м2 = 0,47мг.
2 ibU
Следовательно,
S — (21,6 ± 0,47) м2. Д
4. Погрешность частного. Пусть х s» а с относительней
точностью до 81, у яв b с относительной точностью до 6а.
Найдем относительную точность 6, с которой число -у при-
ближает частное (при условии, что у#-0 и Ь^-0).
□ Если а—приближеннее значение х с погрешностью Дх,
b—приближенное значение у с погрешностью Ду, а с=у —
приближенное значение частного z= *с погрешностью Лг, то
. ха а-|-Дх а Ъ-Ах—с-Ду
Лг — 7— 'ь ~ Ь 1-Ду ь - ~Ь •
Следовательно.
1 Az| _ р*Дх— а-Ду | Р | I Дх Д</ I Р| / | Дх| . |Ду| \
Pl Id-pl PI рГ I а b ;</| |а| f р| 1 •
Так как приближенное значение обычно мало отли-
чается от истинного значения величины, те можно счи-
тать, что
равно единице. Тогда относительная погреш-
ность частного не превышает суммы относительных погреш-
ностей делимого и делителя. Й
На практике пользуются следующим правилом под-
счета точности частного: граница относительной погреш-
ности частного равна сумме границ относительных погреш-
ностей делимого и делителя, т. е. если хка с относи-
тельной точностью до 6,, у « b с относительной точностью
до 6,, то л. с относительной точностью до 6, где
2 у ь
б = 6; + 62.
Пример 1. Вычислить г = -^-, если 12,3 и у <^23,5
с точностью до 1 %.
Л Пэ правилу подсчета точности частного получаем
х 12,3 о0,-
— « 7^-7- с точностью ДО 2 то ,
У 23,5 ’
т. е. с относительной точностью до 0,02.
Найдем границу абсолютной погрешности частного:
h-=~ 0,02 = ^- = 0,01046 •••
ZoO
Взяв значение h с избытком с точностью до 19~4, получим
±=g± 00105
Так как
1^2 — о 523
то
J§ = 0,523 >0,001.
Следовательно,
— = 0,523 ±0,0115.
у ~
Округлив 0,523 до сотых, получим
- = 0,52 ±0,0115.
у
Наконец, округлив точность до 10~3 с избытком, получим
— = 0,52 ±0,012. Д
У — , «
48
Пример 2. Вычислить г = —, если х-=47.2 ±0,5,
#=19,4±0,1.
Л Для вычисления точности h приближенного значенье
47,2 _ 236_л доп
19,4 ~ ’ •
частного — можно сначала найти относительные точно
сти 61 и 62 делимого и делителя:
л - °>5 л — 0.1
— 47,2’ °2~19,4‘
затем найти границу 6 относительной погрешности част-
ного:
6 — 6j + 62
и, наконец, найти /г:
Л=17б-
Мы не будем проводить эти вычисления до конца
Вычислим частное у*по способу границ.
По условию,
47,15 47,25,
19,3
Следовательно,
47,15 х 47,25
19,5 у 19,3 ’
Так как
4^. = 2>41794..„ ^ = 2,44815.;.,
то отсюда получаем границы для частного:
2,4179 <—<2,4482.
У
За приближенное значение частного у
арифметическое этих границ:
возьмем
среднее
2,4179 + 2,4482
2
= 2,4331.
Тогда точность h вычисляется по формуле
h
_ 2,4482—2,4179 0,0303
2 “2
0,0152.
4Г
Следовательно,
— = 2,4331 ± 0,0152.
у
После соответствующих округлений получаем
- = 2,43 ± 0,02. Д
У
Напомним, что способом границ вычисляются прибли-
женные значения с недостатком и с избытком для суммы,
разности, произведения и частного двух действительных
чисел. Как показывает решение примера 2, способом гра-
ниц можно пользоваться и для вычислений с приближен-
ными значениями. Однако при большом количестве вычисле-
ний обычно пользуются практическими приемами при-
ближенных вычислений, а они основаны на правилах
подсчета точности.
5. Погрешность степени и керня. Пусть хха с отно-
сительной точностью 6. Найдем относительную точность,
с которой а", где пСЛГ, приближает степень хп.
Так как n-я степень—эго произведение п одинаковых
сомножителей, то из правила подсчета тсчнссти произве-
дения получается следующее правило подсчета точности
степени: граница относительной погрешности степени
равна произведению границы относительной погрешности
основания на показатель степени, т. е. если х « а с отно-
сительной точностью до 6, то х"хап с относительной
точностью до пб.
Пример 1. Найти степень х*, если х « 2 с точностью
до 2,5%.
Д По правилу подсчета точности степени получаем
л4 ~ 24 с точностью до 4-2,5%, т. е. х4 ов 16 с точностью
до 10%.
Найдем границу' абсолютной погрешности степени:
Л= 160,1 = 1,6.
Следовательно, х4яе 16 с точностью до 1,6. А
Из правила подсчета точности степени получается сле-
дующее правило подсчета точности корня: граница отно-
сительной погрешности корня п-й степени в п раз меньше
границы относительной погрешности подкоренного числа.
Пример 2. Найти уг х, если х ж 32 с точностью
до 2,5%.
Д По правилу подсчета точности корня получаем
i/x«2 с точностью до 0,5%.
60
Следовательно,
l/z«2c точностью до 0,01.А
6. Вычисления с заданной точностью. В предыдущих
пунктах решались задачи, в которых требовалось оценить
погрешность результата действий с приближенными зна-
чениями, зная оценки погрешности этих приближенных
значений.
Во многих случаях требуется решить обратную задачу,
в которой требуется установить, каковы должны быть
погрешности данных приближенных значений, чтобы резуль-
тат вычислений получился с наперед заданной точностью.
Пример 1. С какой относительной точностью надо
изморить сторону квадрата, чтобы при вычислении его
площади относительная погрешность не превышала 1%?
ЛЕсли сторона квадрата равна а, то, как известно,
его площадь S вычисляется по формуле
S = a2.
Следовательно, сторону квадрата нужно измерить
с точностью до 0,5%. Тогда площадь квадрата будет
вычислена с точностью до 1 %. А
Пример 2. Известно, что длина х стороны квадрата
более 9 см, но менее 10 см. С какой точностью надо изме-
рить сторону квадрата, чтобы погрешность площади,
вычисленной во формуле. S = а2, не превышала' 1см2?
А Из неравенств
|AS| - ! 4
S о3 ^81
следует, что граница относительной погрешности площади
. равна 1; отсюда и из правила подсчета точности степени
(или корня) следует, что длину стороны квадрата нужно
„ 1
измерить с относительной точностью до
Следовательно, сторону квадрата нужно измерить
с точностью до
^•9 см = 1см,
чтобы погрешность площади .не превышала I си2.
51
Так как
1 .1 п е
-оСМ> = см = 0,5 мм,
lo ZU
го после округления получаехМ: сторону квадрата надо
измерить с точностью до 0,5 мм. А
Вопросы дня контроля
1. Чему разна граница абсолютной погрешности суммы?
2. Чему равна граница абсолютной погрешности разности?
3. Чему равна граница относительной погрешности произведения?
4. Чему равна граница относительной погрешности частного?
5. Чему равна граница относительной погрешности степени?
6. Чему равна граница относительной погрешности корня?
Упражнения
1. 52. Найдите сумму х-\-у, если
1) х = 7,8 ± 0,05, у= 3,4 ± 0,05;
2) х=--2,6 ± 0,01, 1,5 ±0,02;
3) х= 1,25 ± 0,05, у-— 1,02 ± 0,02,
4) х=7,1 ± 0,18, р = 6,2±0,02.
1.53. Для х и у, определенных в упр. 1.52, найдите разность х—у.
1.54. Найдите произведение хр, если
1) х « 3,2 с точностью до 0,5 %, у & 2,35 с точностью до 1 %;
2) х а 3,5 с точностью до 1 %, у ~ 1,23 с точностью до 0,5 %;
2) х аг 0,43 с точностью до 0,1 %, у аг 4,3 с Точностью до 1 %.
1.55. Для х и у, определенных в упр, 1.54, найдите частное А.
1.58. Известно, что длина ребра куба измерена с точностью
до 0,5%. С какой точностью будет вычислен объем куба?
1.57. Найдите границу относительной погрешности [/ 26,4 ±0,1.
1.58 Известно, что длина рёбра куба более 5 см, но менее 6 см.
какой точностью надо измерить ребро куба, чтобы погрешность
объема не превышала 2 см3?
1.59. С какой относительной точностью необходимо измерить
длину, ширину и высоту комнаты, чтобы погрешность вычисленного
.бъема комнаты не превышала 1%?
1.60. Известно, что гаг 15см с точностью до 1 ,см. Скакойточно-
тью надо измерить радиус круга и сколько десятичных знаков надо
.-зять у числа л, чтобы при вычислении площади круга по формуле
5 = яг? абсолютная погрешность не превышала Зсм2?
§ 6. Практические приемы приближенных вычислений
1. Запись чисел в стандартном виде. Всякое положи-
тельное число можно записать в виде а-10*, где число а
удовлетворяет неравенствам
1 <а< 10,
.2
а число k—целое. Если число записано в гаком виде, то
говорят, что оно записано в стандартном виде. Целое
число k называется порядком данного числа.
Например, порядок числа 27 = 2,7-10 равен 1, порядок
числа 0,03 — 3-10-2 равен —2, порядок числа 1,5 = 1,5 -10°
равен 0.
На практике значения величин часто сравниваются по
порядку. Например, говорят, что величина х на порядок
больше величины у. Это означает, что порядок значения
величины х 'на единицу больше порядка значения вели-
чины у.
Ясно, что если порядок числа х существенно больше
порядка числа у, то числа х + у, х—у и х имеют один
порядок, и можно считать, что x + ytstx и х—укх
с-достаточно хорошей точностью.
Например, если х — 2-10-2 и у = 2,5-10~4, то
х +у = (2 + 2,5-10~2)-10-2 = 2,025-10-2
и, следовательно,
х + у «2-10-а
с точностью до 3,5-10“4.
Аналогично,
х—у = (2—2,5-10-2)- 10-2 да 2- 10~2
с точностью до 2,5 10~4.
Если порядок числа х равен п, а порядок числа у
равен т, то порядок произведения ху равен п + т или
п + т + 1.
Напримео, если х=1,3.103, у = 2,Ы0“1, то ху =
= 2,73-102; если х = 5-10“3, у = 3,2-10, тоху = 1,6 10-1.
Если порядок числа х равен п, а порядок числа у
равен гп, то порядок частного — равенп—тилип—т—1,
Например, если х = 2,4-10~2, у = 1,2-10-3, то -^- = 2-10
и — = 5-10“2.
X
Отметим, что при решении многих задач практического
и теоретического характера важно знать только порядок
величин.
2. Верные и сомнительные ци рры в записи прибли-
женного значения. На практике результаты измерений
и вычислений обычно выражаются в виде конечных деся-
тичных дробей. Поэтому можно говорить о первой, вто-
рой и, вообще, /г-й цифре приближенного значения.
53
Цифра какого-либо разряда в записи приближенного
значения называется верной, если граница абсолютной
погрешности приближения не прнвышает единицы этого
разряда.
Если же граница абсолютной погрешности приближе-
ния больше единицы разряда, в котором записана цифра,
то эта цифра называется сомнительной.
Например, если х = 2,353 ± 0,002, то у приближен-
ного значения 2,353 величины х последняя цифра 3 сомни-
тельная, а все другие верные.
Ясно, что если некоторая цифра верная, то и все пре-
дыдущие цифры верные.
Если же некоторая цифра сомнительная, то и все после-
дующие цифры сомнительные.
При округлении десятичной дроби с недостатком или
с избытком получаются приближенные значения этой дроби,
у которых все цифры верные.
При округлении десятичной дроби по правилам округ-
ления (т. е. с наименьшей ошибкой округления) полу-
чается приближенное значение, погрешность которого не
превышает половины единицы разряда, до которого про-
изводилось скругление.
Цифра в записи приближенного значения называется
строго верной, если его абсолютная погрешность не пре-
вышает половины единицы разряда, ь котором записана
эта цифра.
Следовательно, при округлении десятичной дроби но
правилам округления получается приближенное значение,
у которого вес цифры строго верные.
Пример 1. Пусть х = 2,351 ± 0,0005. Указать вер-
ные цифры приближенного значения 2,351.
ДТак как 0,0005 < 0,001, то последняя цифра 1 при-
ближенною значения является верной. Верными будут
все цифры этого приближения; более того, они будут
строго верными. А
Пример 2. Пусть х = 2,352 ± 0,002. Указать верные
и сомнительные цифры приближенного значения 2,352.
Л Так как 0,002 > 0,001, где 0,001—единица разряда
последней цифры 2 приближенного значения, то эта цифра
сомнительная.,Легко видеть, что цифра 5 является вер-
ной, а значит, верными будут и все предыдущие цифры. А
Приближенное значение принято записывать так, чтобы
все цифры в его записи были верными. Чтобы удовлетво-
рить этому условию, иногда приходится пользоваться
записью приближенных значений в стандартном виде.
54
Если в записи приближенного значения а величины х
все цифры верные, го пишут хха без указания точности.
Например,
х ж 9,3
х да 9,30
х да 30
означает,
означает,
означает,
что х = 9,3 ±0,1;
что х — 9,30 ± 0,01;
что х = 30 ± 1.
Если же х = 530± 10, то приближенное значение 530
записывают в стандартном виде 5,3- 1G2 и пишут х да
да5,3-!02, так как у приближенного значения 530 цифры
5 и 3 верные, а цифра 0 сомнительная.
Приближенное равенство х да 530 означает, что х =
= 530±1. Приближенное равенство хда530 можно записать
и так: х да 5,30-102 (здесь цифра 0 у 5,30 верная).
3. Сложение и вычитание приближенных значений.
Как известно, граница абсолютной погрешности суммы и
разности приближенных значений равна сумме границ
абсолютных погрешностей приближений, т. е. если х =
=а±а, г/ = й±[3, то
х-^ y — a + b±h, х—у = а—b+h,
где й = а±р.
П'р.имер 1. Пусть х да 12,5, уда 3,1 и десятичные
знаки приближенных значений строго верные. Найти х ± у
и х—у с точностью до верных десятичных знаков.
А По условию, десятичные знаки приближений, т. е.
цифра 5 у числа 12 5 и цифра 1 у числа 3,1, являются
строго верными, а это означает, что
х = 12,5 ±0,05, т/ = 3,1 ±0.05.
По формулам сложения и вычитания приближенных зна-
чений получаем
х + у= 15,5 ±0,1,
х—у = 9,4 ± 0,1.
Десятичные знаки полученных приближенных значе-
ний суммы и разнести являются верными. Следовательно,
можно написать
х ± у да 15,6, х—у да 9,4. Д
Пример 2. Пусть хда 12,5, удаЗ,126, причем деся-
тичные знаки приближений строго верные. Найти х ± у
и х—у с точностью до верных десятичных знаков.
55
Д По условию,
х = 12,5 ± 0,05,
у = 3,126 ±0,0005.
Отсюда получаем
х± у — 15,626 ± 0,0505,
х—у~ 9,374 ±0,0505.
У полученных приближенных значений суммы и раз-
ности два последних десятичных знака сомнительные.
После округления с точностью до верных десятичных
знаков получаем
х±у йз 15,6, х—у « 9,4.
Отметим, что результат получился такой же, как и
в примере 1, хотя здесь у задавалось существенно точ-
нее. А
Вообще, если складываются или вычитаются два при-
ближенных значения, в записи которых все цифры строго
верные, то в сумме и разности Получается столько верных
десятичных знаков, сколько их имеет приближенное зна-
чение с наименьшим числом десятичных знаков.
Обычно в записи приближенных значений исходных
данных все цифры' строго верные Так, например, бывает,,
если они получены при измерении или при округлении.
Поэтому па практике пользуются следующим правилом:
в сумме и разности приближенных значений, в записи ко-
торых ссе цифры верные, оставляют столько десятичных
знаков, сколько их имеет приближенное значение с наи-
меньшим числом десятичных знаков. Во многих случаях
эти десятичные знаки будут не только верными, но и
строго верными.
Для простоты вычислений целесообразно произвести
округление по правилам округления. При округлении при-
ближенных значений в них оставляют на один верный
десятичный знак больше, чем их имеется в наименее точ-
ном приближении. В таких случаях говорят, что остав-
ляют одну запасную цифру.
Пример 3. Пусть и дй4,26 и и яз 2,71854. Найти
и + о и и —V.
Л Наименьшее число верных десятичных знаков имеет
число 4,26 (два десятичных знака). Скруглим число 2,71854,
оставив в нем на один десятичный знак больше:
2,71854 аи 2,719.
5S
Находим сумму и разность приближений:
4,20 + 2,719 = 6,979-,
4,26—2,719= 1,541,
Округлив полученные значения до сотых, получим
и + v « 6,98,
и—v « 1,54.
Вес это решение записывают короче:
и + V & 4,26 4- 2,71854 « 4,26 + 2,719 = 6,979 « 6,98,
ц—г «4,26—2,71854 «4,26 —2,719=1,541 « 1,54. А
Пример 4. Найти сумму чисел х и у, если х«
«1,32-10*. у« 1,25:105.
А.Чтобы здесь применить правило сложения прибли-
женных значений, следует вынести за скобку 105. Тогда
имеем х + у « 1,32 • 10* + 1,25 • 105 = 105 (1,32 • 10"*+1,25) =
= 105 (0,132+ 1,25)= 1,382-105 « 1,38-10?.
Следовательно,
х + у« 1,38-10’. Д
4. Умножение и деление приближенных значений. Из-
вестно, что граница относительной погрешности произве-
дения и частного приближенных значений равна сумме
границ относительных погрешностей этих приближенных
значений, т. е. если х«а с относительной точностью
ухЬ с относительной точностью 62, то ху « сЬ с отно-
сительной ТОЧНОСТЬЮ 6=б! + 6?.
Чтобы сформулировать правило умножения и деления
приближенных значений, которым обычно пользуются,
введем понятие значащей цифры.
Значащими цифрами называются все верные цифры
в записи приближенного значения, кроме нулей, стоящих
перед первой отличной от нуля цифрой. Например, у при-
ближенного значения 2,75 все цифры значащие, у 2,70
все цифры значащие (значащей будет и последняя цифра 0),
а у 0,020 только две значащие цифры: цифра 2 и послед-
няя цифра 0.
Если приближенное значение записано в стандартном
виде а- 10й, где 1^а< 10, то все верные цифры будут
и значащими цифрами.
Например, если
х«2,10 10-3, у«3,01-103,
то у приближенных значений в множителе, стоящем перед
степенью 10, все цифры и верные, и значащие.
Граница относительной погрешности не зависит от по-
рядка числа, но существенно зависит от числа значащих
цифр.
Например, если xtn 1,3-104, то <5 = ^ при любом k.
Если же х» 1,30-104, го 6 = jig при любом k.
Пример 1. Найти произведение ху и частное — , если
х= 1,2 ±0,05, «/ = 0,3 ±0,05.
Л Граница относительной погрешности произведения и
частного вычисляется по формуле
- 0,05 0,05 _ 0,5 0,5
0— 1,2 + 0,3 — 12 + 3 ‘
Тогда ху » 0,36 с точностью до Л^О.Зб-б, -у »4 с точ-
ностью до й2 = 4-б.
Найдем ht и /«/’
hr = 0,5• 0,03± 0,5-0,12 = 0,075,
'".4+4=4-«да3
Следовательно,
W = 3,6 ±0,075, — = 4 ±0,84.
Отметим, что полученные приближенные значения имеют1
по одной значащей цифре. А
Пример 2. Найти произведение ху, если
а) х= 100,00 ± 0,005, у = 0,10 ± 0,005;
б) х = 300,00 ±0,005, «/ = 0,10 ± 0,005.
АВ первом случае имеем ху» 10 с точностью до
'‘='0-(йПИ>+тт)-0-50<)5-
Во втором случае ху » 30 с точностью до
h = ЗЭ- (з(?Йб + пт) = °-0005 + 1 -5 = 1 >5005-
Приближенное значение произведения в первом слу-
чае имеет две значащие цифры, а во втором случае—только
одну значащую цифру. А
В рассмотренных примерах, как легко видеть, в про
изведении и в частном приближенных значений полу-
58
чается столько же значащих цифр, сколько их имеет при-
ближенное значение с меньшим числом значащих цифр,
или на одну цифру меньше. Это утверждение справед-
ливо и в общем случае. Поэтому на практике пользуются
следующим правилом: в произведении и частном прибли-
женных значений оставляют столько цифр, не считая
нулей, стоящих впереди, сколько значащих цифр имеет
приближенное значение с меньшим числом значащих цифр.
Тогда произведение и частное получаются со всеми
верными цифрами, кроме, быть может, последней.
Чтобы избежать лишней работы, целесообразно округ-
лить то приближенное значение, у которого значащих
цифр больше. При округлении в нем оставляют столько
значащих цифр, сколько их имеет приближенное значение
с меньшим числом значащих цифр, и одну запасную цифру.
Пример 3. Найти произведение чисел х« 1,5268 и
у «0,62.
Л Множителем с меньшим числом значащих цифр яв-
ляется 0,62, у него две значащие цифры. Второй множи-
тель имеет пять значащих цифр. Округлим его до трех
значащих цифр;
1,5268^1,53.
Перемножим полученные приближения!
1,53 0,62 — 0,9486.
Округлив это значение до двух цифр, не считая первого
нуля, получим
ху « 0,95.
Если произведение ху используется в дальнейших вы-
числениях, то округляют до трех цифр, не считая первого
нуля. Тогда ху яа 0,949 (здесь последняя цифра запасная). Д
Пример 4. Найти значение выражения для х,
у из примера 3.
Д В примере 3 мы получили ху т 0,949 с одной запас-
ной цифрой.
Найдем сумму х-Ру:
х + у& 1,5268 + 0,62 = 2,1468 «2,147
(здесь последняя цифра запасная).
Теперь имеем
59
где последнее приближенное равенство выполняется с точ-
ностью до 0,001.
Так как в записи знаменателя три значащие цифры,
а в записи числителя значащих цифр только две, то
-^«0,44.
х+у
Вопросы для контроля
1. Что называется записью числа з стандартном виде?
2. Что называется порядком числа?
3. Какая цифра в десятичной записи приближенного значения
называется верной?
4, Какая цифра з десятичной записи приближенного значения
называется сомнительной?
5. Какая цифра в десятичной записи приближенного значения
называется строго верной?
6. Как принято записывать приближенные значения?
7. В чем состоит правило сложения и вычитания приближенных
значении?
8. Какая цифра называется значащей?
9. В чем. состоит правило умножения и деления приближенных
значений?
Упражнения
1.61. Запишите в стандартном виде следующие числа;
0,523; 0,031; 302,25; 37,4.10’; 0,3.10-?; 1,2.10"?.
1.62. Определите порядки следующих чисел:
0,3; 3,51; 321,24; 21; 5*1Й‘; 0,1.10-?; 47,510-».
1.63. Укажите верные и сомнительные цифры в записи прибли-
женных значений:
1) х= 1,256 ± 0,013; 2) у = 1,37 ± 0,01;
3) г=0,0.36 i 0,01; 4) а=3,40 £ 0,01.
1.64 - Какова точность приближенных равенств:
ж «1,25, у » 1,25.10?,
г к. 13,20, и w 1,51.10-»,
если в записи приближенных значений все цифры верные?
1.65 . Какова точность приближенных равенств из упр. 1.64, если
з записи приближенных значений все цифры строго верные?
1.60 Найдите сумму x4-w. если
1} х и 1,34, у к 2,30;
2) х » 4,331, у я 5,7;
3) ха: 2,0.10», у » 1,25-10’;
4) х я 1,7-10’, у я 7,1-Ю-Ч
1.67. Найдите разность х—у, где хну определены в упр. 1.G6
60
следующих приближенных зпа-
и=1,50-103, t> = 2,700-10-2.
следующих приближенных зна-
1.68. Укажите значащие цифры
чений:
х«2,10, у я 20,1, г» 0,0210,
1.69 Укажите значащйс цифры
чений:
1) х = 2,10 ± 0,02; 2) х—20,1 ± 0,1;
3) х=1,50-103± 103; 4) х = 2,700-10-2+0,001.
1.70. Найдите произведение ху, если
1) х х 12,6, у х 2,10;
2) хх 1,2-10*; у х 3-10’;
3) хх 25,678. ух 1,23;
4) хх 4,8-102,. у х 1,331-10-3.
Для вычисления произведения рекомендуется пользоваться кальку-
лятором.
1.71. Найдите частное— для х и у, определенных в упр. 1.70.
У
тт X
Для вычисления частного — рекомендуется пользоваться калькуля-
тором.
хи
1.72. Найдите значение выражения -г, -я для х и у, определен-
ие
ных в упр. 1.70. Для вычислений рекомендуется пользоваться каль-
кулятором.
С1
Глава 2*г)
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
логики
§ 7. Высказывания и предложения, зависящие
от переменной
1. Высказывания. Под высказыванием донимают всякое
утверждение (суждение), о котором имеет смысл говорить,
что оно истинно (верно) или ложно (неверно). Примерами
высказываний могут служить следующие утверждения;
1. Столица СССР—.Москва.
2. Число 7 простое.
3. Слон—насекомое.
4. 5 > 10.
5. 2СО + О3 = 2СОг.
Утверждения 1, 2, 5, как известно, истинны, а 3 и 4
ложны.
Высказывания могут быть образованы с помощью слов
или каких-либо знаков (символов). Конечно, не всякое
предложение, не всякий набор символов, даже если они
имеют смысл, является высказыванием. Например, утверж-
дения «в техникум поступить легко», «л > 0», «число 13
несчастливое» высказываниями не являются, так как судить
об их истинности или ложности невозможно.
Не являются высказываниями и предложения, содер-
жащие определения (Геометрической фигурой называется
любое множество точек)., призывы (Храните деньги в сбе-
регательной кассе!), вопросы (Был звонок?).
Подчеркнем еще раз, что каждое высказывание или
истинно, или ложно. Одновременно быть истинным и
ложным высказывание не может.
Каждому высказыванию р можно сопоставить утверж-
дение, заключающееся в том, что высказывание р ложно.
Такое утверждение либо истинно, либо ложно и, следо-
вательно, само является высказыванием. Это новое вы-
1) Здесь и далее а вез дочкой * отмечен материал, выходящий за
рамки программы.
02
сказывание обозначают через р _и называют отрицанием
высказывания р. В высказывании р говорится, что р ложно.
Следовательно, р истинно, если р ложно, и, наоборот, р
ложно, если р истинно. Например, для высказывания
«число 6 простое» отрицание можно построить так: «число 6
не простое», или «неверно, что число 6 простое», или
«число 6 составное». В данном случае исходное высказы-
вание ложно, поэтому его отрицание истинно.
В тех случаях, когда высказывания содержат матема-
тические знаки, гри построении отрицания обычно также
используют соответствующие знаки. Ниже слева записаны
некоторые высказывания, справа—их отрицания:
2 a n
2<3
2 + 3 = 5
Nc/?
(истинно),
(истинно),
(истинно),
(истинно),
2>3
2 + 3=/:5
(ложно);
(ложно);
(ложно),
(ложно).
2. Предложения, зависящие от переменной. В матема-
тике и других науках наряду с высказываниями прихо-
дится иметь дело с различными утверждениями (предло-
жениями), зависящими от одной или нескольких перемен-
ных. Например, предложение «л -простое число» зави-
сит от переменной п, принимающей натуральные значения.
При одних значениях п оно истинно, при других—ложно.
Уравнения и неравенства также являются такого рода
предложениями. Неравенство х-(-1 > 0 представляет собой
предложение, зависящее от переменной х. Истинность или
ложность этого предложения зависит от того, какое зна-
чение переменной выбрать: при X — G, например, оно
истинно, при х=— 1 ложно. Уравнение х—у = 1 является
предложением, зависящим от двух переменных х и у.
Если, например, x=l,j/ = O, то оно истинно; если л = 0,
t/=l, то опо ложно.
Предложения, зависящие от переменных, будем обо-
значать р(п), q(x), г(х, у) и т. д. Для каждого предло-
жения должно быть указано, на каком множестве оно
рассматривается или, как еще говорят, на каком множе-
стве оно определено или задано. В тех случаях, когда
ясно, о каком множестве идет речь, для краткости вместо
р(х), x^U, иногда будем писать просто р(х).
Предложение р(х), x^U, не является высказыванием,
если оно рассматривается на всем множестве U. Но если
р(х) рассмотреть при некотором конкретном значении
63
х = а, то утверждение р(а) будет либо истинно, либо
ложно, т. е. будет высказыванием.
Множество U, на котором задано предложение р{х),
можно разбить на два подмножества. Одно содержит те
элементы U, для которых р(х) истинно. Оно называется
множеством истинности предложения р(х). Другое под-
множество состоит, из тех элементов V, для которых р(х)
ложно. Если первое из этих подмножеств обозначить бук-
вой А, то второе следует обозначать А, так как оно яв-
ляется дополнением множества А до множества U.
Для предложения №—х < 0 множеством истинности А
является интервал (0; 1); множеством А—объединение
промежутков (—оо; 0] и [1; 4-ос) (дополнение интервала
(0; 1) до всей числовой прямой).
Два предложения р(х) и q(x), заданные на одном и
том же множестве, называются равносильными, если их
множества истинности совпадают.
Например, два предложения (неравенства)
2хг(х—1)> 0 и х—1>0
Рис 7
равносильны, так как множеством истинности каждого
из них является промежуток (1; +оо).
Отрицанием предложения р(х), х^О, называется пред-
ложение, определенное на том же множестве U и обра-
щающееся в истинное высказывание для
тех и только тех значений х, для кою
рых р(х) ложно.
Отрицание р(х) обозначается р(х). Яс-
но, что если А—множество истинности
р(х),_то множеством истинности р(х) бу-
дет А. На рис. 7 схематически изобра-
жены множества О, А, А. Множество
А заштриховано.
3. Знаки общности и существования. С предложениями,
зависящими от переменных, связаны два вида часто встре-
чающихся утверждений.
1. Предложение р(х), x$U, обращается в истиннее
высказывание для всех элементов множества U,
2. Предложение р(х), x^U, обращается в истинное
высказывание хотя бы для одного элемента множества U;
другими словами, существует элемент a$U, для которого
р (а) — истинное высказывание.
В математике принято записывать такие утверждения
кратко, используя для этого специальные знаки; знак
64
общности V (перевернутая первая буква английского
слова АП—все) и знак существования 3 (перевернутая
первая буква английского слова Exists—существует)
Знак общности V заменяет слова «все», «всякий», «каж-
дый», «любой». Знак существования 3 употребляется вместо
слов «хотя бы один», «найдется», «существует».
Используя знаки V и Э, утверждения 1 и 2 можно
записать кратко следующим образом:
1. (Ух)р(х). 2. (Зх)р(х).
Заметим, что первое утверждение означает, что мно-
жеством истинности предложения р(х) является множе-
ство U. Следовательно, если р(х) хотя бы для одного
значения x$U ложно, то утверждение 1 ложно. Второе
утверждение означает, что множество истинности предло-
жения р(х) непусто. Следовательно, второе утверждение
ложно только тогда, когда р(х) ложно при всех х.
Каждое из предложений 1, 2 либо истинно, либо ложно
и, следовательно, является высказыванием.
Например, если р(х) есть предложение х* > 0, х£/?,
то высказывание (Vx)p(x) ложно, а высказывание (Эх) р(к)
истинно. Если q(x)— предложение х2)>0. %£/?, го оба
высказывания (Ух)^(х) и (3x)(/(x) истинны. Если г(х)—
предложение х24- 1 <0, xfR, то высказывания (Vx)r(x)
и (Зх) г (х) ложны.
Подчеркнем еще раз, что для того, чтобы опроверг-
нуть высказывание, вида (Vx)p(x), x^U, достаточно ука-
зать только один элемент а £ U, Для которого р (а) ложно.
Элемент а множества U, для которого предложение р(х)
неверно, называется контрпримерам для высказывания
(Ух)р(х).
Таким образом, чтобы убедиться в ложности высказы-
вания (Ух)р(х), достаточно найти (или, как еще говорят,
построить) один контрпример. Пусть p(n), n^N,— пред-
ложение «число п2 + п -t-41—простое». Для высказывания
(Vn)p(n), т. е. для высказывания «при всех натуральных
значениях число п2 4- п 4-41 — простое», элемент п — 40
является контрпримером, так как число 402 4-40 4-41 —
^=40-41 4-41 делится на 41, т е. не является простым.
Интересно отметить, что для всех п < 40 предложение
pin) истинно.
Вопросы для контроля
1. Что называется высказыванием?
2. Что называется отрицанием данного высказывания?
3 Алгебра, ч. I 65
3. Что называется множеством истинности предложения с пере-
менной?
4. Какие два предложения с переменной называются равносиль-
ными?
5. Что называется отрицанием предложения с переменной?
6. В чем состоит высказывание (ух) р (х)?
7. В чем состоит высказывание (Эх) р (х)?
8. Что называется контрпримером для высказывания (ух) р (х)?
Упражнения
2.1. Среди следующих предложений выделите те, которые яв-
ляются высказываниями, й установите, истинны они или ложны:
1) великий русский пезт А. С. Пушкин родился в 1799 году;
2) Луна—спутник Марса;
Д) 3+/Г;
1) 17.2 4-3=37,
5) 3Ss2-hl;
6) любое натуральное число положительно;
7) существуют различные породы собак.
2.2. Даны два высказывания:
р— «число 3 является делителем числа 174»,
q— «идет дождь».
В чем заключаются высказывания р и п?
2.3. Виктор, Роман, Юрий, Сергей заняли на математической
олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении
мест, они дали три таких ответа:
1) Роман —первый, Сергей—второй;
2) Роман —второй, Виктор—третий;
3) Юрий — второй, Виктор—четвертый.
Как распределились места, если в каждом из ответов только
одно утверждение истинно?
2.4. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач
Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас имеет
белые, один черные и один рыжие волосы, но ни у одного нет золэа
того цвета, на который указывает его фамилия»,— заметил черноволо-
сый. «Ты прав»,--сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
2.5. Даны два предложения на множестве натуральных чисел п,
удовлетворяющих условию 3<ns£12, р (и)— «число 3—делитель
числа п» и q (п) — «число п не превосходит 6». Найдите множество
истинности для предложений:
1) р(п): 2) ?(л); 3) р (п); 4) q (и).
2.6. Какие из следующих предложений являются высказываниями?
Какие из высказываний истинны и какие ложны:
1) сумма корней приведенного квадратного уравнения равна сво-
бодному члену;
2) сумма корней любого приведенного квадратного уравнения
равна свободнрму члену;
3) существует приведенное квадратное уравнение, сумма корней
которого равна свободному члену?
65
2.7. Дана система
'2х—ау = 3,
1 ЗхЦ-у = а.
При каких значениях а истинны следующие предложения:
1) р (а) — «при любсм а система имеет хотя бы одно решение»;
2) q (а) — «существует а, при котором система имеет хотя бы
одто решение»?
§ 8. Метод математической индукции
1. Принцип и метод математической индукции. В пре-
дыдущем параграфе уже отмечалось, что для доказатель-
ства ложности высказывания, имеющего вид (Yx)p(x),
х (Е U, достаточно указать один элемент a g U такой, что
р(а) ложно (построить контрпример). А для того чтобы
убедиться в истинности высказывания (Vx)p(x), x^U,
необходимо проверить справедливость предложения р(х)
для всех элементов множества t/. В случае, если мно-
жество U содержит мало элементов, можно попытаться
все их перебрать и для каждого установить истинность
предложения р(х). Если же U—бесконечное множество
или хотя и конечное, но содержит много элементов, до-
казать истинность высказывания (Vx) р (х) можно лишь
логическим рассуждением.
В тех случаях, когда предложение задано на мно-
жестве натуральных чисел, истинность высказывания
(Vn)p(n), n£N, часто удается доказать методом мате-
матической индукции. Этот метод оснсваи на так назы-
ваемом принципе математической индукции (аксиоме ин-
дукции), который можно сформулировать следующим
образом.
Предложение р (п) считается истинным для всех нату-
ральных значений переменной, если выполнены следующие
два условия:
1) предложение р(п) истинно для п=1;
2) для любого натурального k из предположения, что
р(л) истинно для n — k, следует, что оно истинно и для
n — k-\-1.
Под методом математической индукции понимают сле-
дующий способ доказательства. Если требуется доказать
истинность предложения р(п) для всех натуральных зна-
чений п, то сначала проверяют истинность высказывания
/>(1) и затем, допустив истинность высказывания p(k),
доказывают истинность высказывания р(^4-1). Если вы-
сказывание р(1) истинно и для каждого натуральною
3* 67
значения k из предложения истинности p(k) следует
истинность p(fe+l), то в соответствии с принципом мате-
матической индукции предложение р(п) является истин-
ным для всех значений п.
Пример 1. Доказать равенство
Р + 22 4. З2 + ... + и2 = Д h г№г+. (1)
А Это равенство представляет собой предложение р(п),
заданное па множестве натуральных чисел. Докажем
истинность р (п) для всех значений п методом математи-
ческой индукции.
Очевидно, р(1) истинно, так как
1а l-2.f2.14-l)
6 -
Предположим, что p(k) истинно, т. е. справедливо ра-
венство
12 4 22 | ... । k2 — ^^4~ D (2Л>4-1) .
Прибавив к обеим частям равенства (й+1)2, получим
12Ч-22 4- ... 4-Л2 + (^4- 1 )2 = 4-(А;4- 1 )2.
Преобразуем правую часть равенства следующим образом:
A(fe+lH2feM) +(fe+ ])2 = А+1(2й2 + 7й + б) =
_ (*4-1)(й4-2)(2*+3)
6 '
Следовательно,
Р + 2»+ ... 4- (fe + 1)2 = <*4-1) ((fe-t-l)4-l) (2 (^+1)4-1),
а это означает, что p(fc-l-I) истинно. Это рассуждение
верно при любом k, поэтому равенство (1) доказано. А
Пример 2. Доказать неравенство
(1+'а)*^ 1 4-па, а. >—1, n£N. (2)
Это неравенство называется неравенством Бернулли.
А При п—1 получаем истинное высказывание 1+«^
1 -р ст.
Предположим, что неравенство верно при n = k, т. е.
(1 4 а)* >== 1 4 ka.
68
Умножив обе части неравенства на 1 4- а (это можно сде-
лать, так как а > —1), получим
(1 + а)6+1^(1 4-/га)(1 + а) = 1 + (Л + l)a + fex\
Учитывая, что /га2^0, приходим к неравенству
(1 + a)ft+I^ 1 + (£ + 1)а.
Итак, предположив, что данное неравенство верно для
n = k, мы доказали, что оно верно и для/г = А+1. Дока-
зательство, очевидно, остается справедливым для каждого
значения k. Следовательно, неравенство (2) доказано, Д
2. Обобщение метода математической индукции, Иногда
метод математической индукции применяют для доказа-
тельства истинности предложения р (п) не для всех нату-
ральных значений п, а для всех п, начиная с некоторого
натурального числа т. В таких случаях сначала прове-
ряется истинность высказывания р (т).
Пример 1. Определить, при каких натуральных зна-
чениях п верно неравенство
2" > пг + 4п + 5. (I)
А Рассматривая значения п — 1, 2, 3,4, 5,6, убеждаемся
в том, что при этих значениях данное неравенство не-
верно. Например, при п—6 получаем 2е = 64 >6’ +
+ 4-6 + 5 = 65, т. е. ложное неравенство.
Докажем методом математической индукции, что при
псех значениях п^7 неравенство верно.
При п = 7 получаем
27 = 128 > 72 + 4-74-5 = 82,
т. е. при п — 7 неравенство верно.
Предположим, что неравенство верно для некоторого
значения n — k, т. е.
2fe>^ + 4^+5.
Умножив обе части неравенства на 2 и преобразовав
правую часть, получим
2*+1>2А;а + 8^+ 10 = (fe+ l)2 + 4(fe + 1) + 5 + k* + 2k.
Учитывая, что А24-2^>С, можем написать
2*+i>(£+l)3 + 4(k+l) + 5.
Следовательно, данное неравенство верно при л = А+ 1.
Проведенное доказательство справедливо при всех значе-
ниях k>*7.
69
Итак, методом математической индукции доказано,
что неравенство (1) верно для всех значений п ^7.
В саном начале мы убедились в том, что для п < 7 оно
неверно.
Ответ: п^7.&
Вопросы для контроля
1. В чем состоит принцип математической индукции?
2. 3 чем состоит метод математической индукции?
3. Какое нсравснстьо называется неравенством Бернулли?
4- В чем состоит обобщение метода математической индукции?
Упражнении
2.8. Методом математической индукции докажите, что при любсм
натуральном п верны равенства:
1) 1+3-1-54-...+(2п— 1) = п2;
2) Р + 32 + 52+...+(2.ч—1)2= »(2л-1)12л Н) .
О
3)
1.2 + 2.а+3.4+...+(л-1)й =
(п— 1) h (п+ 1)
3
4) 1.3 + 3.5+"-+(2п- 1)(2лН1) 2л — 1 '
1 • । 1 1 в
' 1-5 5-9 ’t9-13’t~ ' ""Г (4л—3) (4л-(-1) — 4г.+ 1 '
2.9. Методом математической индукции докажите, что при любом
натуральном п
1) п (2л2 — Зл +1) делится нацело на 6;
2) л5—л делится нацело на 5.
2.10. Методом математической индукции докажите формулы об-
щего члена и суммы п первых членов
1) арифметической црсгрсссии;
2) геоме1рической прогрессии.
2.11. Методом математической индукции докажите истинность
неравенства
л+1тл + 2~ ~2л 24
для всех натуральных л > 1.
2.12. Докажите, что любую сумму денег, большую 7 копеек,
можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными моне«
таки.
§ 9. Различные зады теорем и их взаимосвязь
1. Взаимно обратные теоремы. Теоремы в математике,
как правило, формулируются (или могут быть сформу-
лированы) в таком виде.
70
Для каждого элемента х множества U из предложе-
ния р(х) следует предложение q(x).
Следовательно, каждую теорем у такого вида можно
записать следующим образом:
(Vx)(p(x)=?7(x)), x^U. (1)
Предложение р (х) называется условием теоремы, пред-
ложение q (х)—заключением теоремы.
Рассмотрим, например, теорему: «Если четырехуголь-
ник х—параллелограмм, то его диагонали точкой пере-
сечения делятся пополам». Здесь условием теоремы является
предложение р(х): четырехугольник х—параллелограмм
и заключением теоремы—предложение q (ху. диагонали
четырехугольника х точкой пересечения делятся, пополам.
Оба предложения р (х) и q (х) заданы на множестве U
всех четырехугольников.
Рассмотрим еще один пример Пусть р(х)—предложе-
ние «параллелограмм х является ромбом», <7 (х)—предло-
жение «диагонали параллелограмма х взаимно перпенди-
кулярны». Оба предложения заданы на множестве U всех
параллелограммов. Тогда теорема вида (1) состоит в сле-
дующем: «Для любого параллелограмма верно утвержде-
ние: если параллелограмм — ромб, то его диагонали взаимно
перпендикулярны». Обычно эту теорему формулируют
короче: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».
Но под этой краткой формулировкой подразумевается
именно то, что содержится в той развернутой формули-
ровке, которую мы только что дали.
В дальнейшем теоремы, имеющие вид (1), будем запи-
сывать короче:
Р (х) => q (х).
Теоремы
р(х)=><?(х) и ?(х)=>/?(х)
называются взаимно обратными.
Иногда одну из этих теорем называют прямой, тогда
другую называют обратной. Ясно, что любую из двух
взаимно обратных теорем можно принять за прямую.
Из данного определения видно, что, поменяв местами
в формулировке прямой теоремы условие и заключение,
мы получим формулировку обратной.
Важно понимать, что для пары взаимно обратных тео-
рем могут осуществляться все три возможности, а именно:
1) обе теоремы могут быть верными;
71
2) одна из теорем может быть верной, а другая —
неверной;
3) обе теоремы могут быть неверны.
Приведем соответствующие примеры.
Теоремы «Если сумма цифр натурального числа де-
лится на 3, то и число делится на 3» и «Если натураль-
ное число делится на 3, то и его сумма цифр делится
на 3» являются взаимно обратными. Из арифметики из-
вестно, что обе эти теоремы верны.
Теоремы «Если четырехугольник—прямоугольник, то
его диагонали равны» и «Если диагонали четырехуголь-
ника равны, то четырехугольник — прямоугольник» также
являются взаимно обратными. Как известно, первая из
этих теорем верна. Вторая теорема неверна: в качестве
контрпримера можно взять равнобочную трапецию.
Этот пример показывает, что из двух взаимно обрат-
ных теорем одна может быть верна, другая — неверна.
Дли теоремы «Если хотя бы одно из двух натураль-
ных чисел делится на 3, тс и их сумма делится на 3»
обратная формулируется так: «Если сумма двух натураль-
ных чисел делится на 3, то по крайней мере одно- из-
слагаемых делится на 3». Очевидно, что обе эти теоремы
(и прямая, и обратная) неверны.
2. Взаимно противоположные теоремы. Теоремы
p{x)-^q(х) и р(х) У(х)
называются взаимно противоположными.
Следовательно, если в формулировке некоторой тео-
ремы заменить условие и заключение их отрицаниями,
то получится формулировка теоремы, противоположной
исходной.
Например, для теоремы «Если четырехугольник—парал-
лелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся
пополам» противоположная формулируется следующим об-
разом: «Если четырехугольник не является параллелограм-
мом, то его диагонали точкой пересечения не делятся
пополам». В данном случае обе теоремы верны. Нетрудно
привести пример двух взаимно противоположных теорем,
из которых одна будет верной, а другая — неверной.
Для каждой теоремы
р (х) 7 (х)
можно сформулировать еще три теоремы:
обратную: <?(х)=» р(х);
противоположную: р (х) => q (х);
72
противоположную обратной: q(x‘)^p(x).
Возьмем в качестве исходной теорему «Если четырех*
угольник — ромб, то его диагонали взаимно перпендику-
лярны» (теорема верка).
Тогда указанные три теоремы формулируются так:
обратная теорема: «Если диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны, то четырех-
угольник является ромбом» (теорема не- А
верна) (рис. 8); / \
противоположная теорема: «Если че- , \
тырехугольник не ромб, тс его диагона- ' \
ли не перпендикулярны» (теорема невер- / \
на; см. рис. 8); -----
противоположная обратной: «Если ди- Х./'
агопали четырехугольника не взаимно пер-
пендикулярны. то четырехугольник не яв- Рис. 8
ляется ромбом» (теорема верна).
В рассмотренном примере прямая теорема и противо-
положная обратной оказались истинными, а обратная и
противоположная—ложными. Это совпадение не является
случайным. Между этими четырьмя видами теорем сущест-
вует тесная взаимосвязь, а именно:
1) теоремы
р(х)=><?(х) и
т. е. прямая и противоположная обратной, одновременно
истинны или ложны;
2) теоремы
q (х) р (х) и ~р~(х) => (х),
т. е. обратная и противоположная, также одновременно
истинны или ложны.
Отсюда следует, что нет необходимости доказывать
все четыре теоремы. Доказав, например, прямую и обрат-
ную теоремы, мы тем самым устанавливаем истинность
всех четырех теорем.
Иногда доказательство прямой теоремы р (х) (х)
связано с некоторыми трудностями. В таких случаях
следует попытаться доказать теорему </(х) (х), из
истинности которой вытекает истинность исходной тео-
ремы. Известный метод «доказательства ог противного»
как раз и состоит в том, что вместо прямой теоремы до-
казывают противоположную обратней.
3. Необходимые и достаточные условия. При формули-
ровке теорем часто используют термины «достаточно», «необ-
73
ходимо», «необходимо и достаточно». Выясним смысл этих
терминов.
Если теорема р(х)=>7(х) верна, то условие теооемы
р(х) называют достаточным условием для заключения q(x),
а заключение теоремы q (х) называют необходимым усло-
вием для р(х).
Рассмотрим еще раз теорему «Если четырехугольник —
прямоугольник, то его диагонали равны». Эта теорема
верна, и, следовательно, условие теоремы является
достаточны^ условием для заключения, т. е. для то-
го чтобы диагонали четырехугольника были равны,
достаточно, чтобы четырехугольник был прямоуголь-
ником.
Заключение этой теоремы является необходимым усло-
вием для условия теоремы, т. е. для того чтобы четырех-
угольник был прямоугольником, необходимо, чтобы диаго-
нали четырехугольника были равны.
Если справедлива не только теорема р(х)=>7(х), но
и ей обратная q (х)=5> р (х), то р(х) является необходимым
и достаточным условием для q(x), а д(х)—необходимым
и достаточным условием для р(х).
Рассмотрим теорему «Если сумма цифр натуральною
числа делится на 3, то и число делится на 3». Выше
уже отмечалось, что эта теорема и теорема, ей обратная,
верны. Поэтому можно сказать, что для делимости числа
на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр числа
делилась на 3.
Следует помнить, что в тех случаях, когда в теореме
содержатся слова «необходимо и достаточно», доказатель-
ство обязательно должно состоять из доказательства необ-
ходимости и доказательства достаточности. Ведь в такой
формулировке на самом деле объединены формулировки
двух теорем: прямой и обратной. Каждая нуждается в до-
казательстве, так как из справедливости одной не следует
справедливость другой.
Пример. Заменить многоточия словами «необходимо»,
«достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы полу-
чились верные утверждения:
а) для того чтобы выиграть в лотерее, ... иметь хотя
бы один лотерейный билет;
б) для того чтобы сумма двух действительных чисел
была числом рациональным, ..., чтобы каждое слагаемое
было рациональным числом;
в) для того чтобы треугольник был равнобедренным,
.... чтобы углы при основании были равны.
74
Л а) Многоточие следует заменить словом «необходимо .
Если многоточие заменить словом «достаточно», получится
ложное утверждение.
б) Истинное утверждение получится, если многоточие
заменить словом «достаточно». Условие, чтобы каждое
слагаемое было числом рациональным, не является необхо-
димым. Например, сумма иррациональных чисел 1 + J/5
и 1—К2 является рациональным числом.
в) При замене многоточия словами «необходимо», «до-
статочно», «необходимо и достаточно» получаются, оче-
видно, 'истинные утверждения. А
Вместо слов «необходимо и достаточно» часто употреб-
ляют также слова «тогда и только тогда», «в том и только
в том случае», «те и только те». Полезно иметь в виду,
что рассматриваемые отдельно части этих связок также
имеют смысл. Например, слова «только в том случае»,
«только тогда» заменяют слово «необходимо», а слова
«тогда», «в том случае» заменяют слово «достаточно». Заме-
тим еще, что иногда слово «условие» заменяют словом «приз-
нак» и говорят о необходимом признаке, или говорят о до-
статочном признаке, или, наконец, о необходимом и до-
статочном признаке.
Например, делимость суммы цифр числа на 9 есть
достаточный и необходимый признак делимости числа на 9.
Вопросы для контроля
1. Что называется условием теоремы?
2. Что называется заключением теоремы?
3. Какие теоремы называются взаимно обратными?
4. Какие теоремы называются взаимно противоположными?
5. В чем состоит метод доказательства от прстивного?
6. Что называется достаточным условием?
7. Что называется необходимым условием?
8. Какое условие называется необходимым и достаточным?
Упражнения
2. 13. Приведите пример двух взаимно противоположных теорем,
из которых одна была бы верна, а другая —неверна.
2.1 4. Какие из следующих шести теорем являются по отношению
друг к другу обратными, противоположными, противоположными
обратным? Какие из этих теорем верны:
1) если каждое из двух натуральных чисел делится нацело на 7,
то их сумма делится на 7;
2) если ни одно из двух чисел не делится на 7, то и их сумма
не делится на 7;
75
3) если хотя бы одно из двух чисел делится на 7, то и их сумма
делится на 7;
4) если сумма двух чисел делится на 7, то каждое слагаемое
делится на 7;
5} если сумма двух чисел не делится на 7, то ни одно из сла-
гаемых не делится на 7;
6) если сумма двух чисел не делится на 7, то хотя оы одно из
слагаемых не делится па 7?
2.15. Для каждой из -еорем сформулируйте обэатную:
1) если в четырехугольник можно вписать окружность, то этот
четырехугольник представляет собой ромб;
2) если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг
него можно описать окружность;
3) если многоугольник является четырехугольником, то сумма его
внутренних углов равна 360’.
2.16. Дана теорема: «В любом четырехугольнике, который яв-
ляется прямоугольником, диагонали равны». Сформулируйте теоремы:
обратную, противоположную и противоположную обратной. Какие из
этих четырех теорем верны?
2.17. *Дана теорема: «Если существует число х, при котором мно-
гочлен xz.+px+q принимает отрицательное значение, то квадратное
уравнение х?4-р*-*-<7=0 имеет два положительных корня», Сформу-
лируйте обратную, противоположную и противоположную обратной
теоремы. Какие из них верны?
2.18. В следующих предложениях замените многоточия словами
«необходимо и достаточно», «необходимо, но не достаточно», «доста-
точно, но не необходимо» так, чтобы получились верные утверждения:
1) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, ,,,,
чтобы прямые, проведенные через середины противоположных сторон,
были его осями симметрии;
2) для того чтобы уравнение х1—2x-j-q=0 имело два положи-
тельных корня, >>>, чтобы выполнялось условие q > 0.
2.19. Докажите или опрогергните утверждения:
1) для делимости числа а?-1 (пЭ»5) на 24 достаточно, чтобы п
было простым числом;
2) для делимости числа л4.—1 (nSs5) на. 24 необходимо, чтобы п
было простым числом,
Глава 3
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
§ 10». Уравнения и системы уравнений
1. Квадратные уравнения. Любое равенство вида
f(x) = g(x), (!)
где/О') и g(x)— некоторые функции, называется уравне-
нием 'с одним неизвестным х (или с одной переменней х):
f (х) называется левой частью, a g(x)—правой чартью
уравнения (1).
Число а называется решением (или корнем) уравнения
с неизвестным х, если при подстановке а вместо х в обе
части уравнения получается верное числовое равенство.
Решить уравнение—значит найти все решения этого урав-
нения.
Простейшими нелинейными уравнениями являются
квадратные уравнения. Напомним, основные определения
и формулы, относящиеся к квадратным уравнениям.
Уравнение вида
ах2 + Ьх + с — 0, (2)
где а, Ь, с—некоторые числа, причем а =/=0, называется
квадратным. Очевидно, что уравнение (2) имеет те же
решения, что и каждое из уравнений
, , ь с
х2 Н— х =----,
а а ’
X?+ 2-^x4 b2 Ь2
(3)
с
4а2. 4аг а ’
2__Ь2— 4а с
4а^~ '
Число D = b2—4ас называется дискриминантом квад-
ратного уравнения (2). Из уравнения (3) следует, что
если D < 0, то квадратное уравнение не имеет решений
на множестве действительных чисел, так как квадрат дей-
ствительного числа не может быть отрицательным. Если
77
D--0, то квадратное уравнение имеет одно решение
х==—2., а если О > О, то квадратное уравнение имеет
два. решения
Л 2а — 2а
Таким образом, квадратное уравнение не имеет реше-
ний на множестве действительных чисел, если D < 0; имеет
одно решение, если 72 = 0; имеет два решения, если D > 0.
Причем все решения квадратного уравнения (2), если они
есть, находятся по формуле
(4)
Заметим, что для уравнения
ах2 + 2рх 4- с — 0
формула (4) принимает вид
— р± У~р~йС
а
В частности, для уравнения х24-2рх + е = 0 имеем
х =— р р2—с.
Пример 1. Решить уравнение Зх2 4-5х 4-2 = 0.
Л Так как D = 5’—4-3-2=1, то данное уравнение
имеет два решения
5-1_ . 54-1 2
2.з — 1 и х2 2-3 ~ 3 '
2
Ответ: хх — —1; хг =— j.A.
Пример 2. Решить уравнение х2 4-2x4-2 = 0.
Л Так как О = 22—4-2 = —4, то данное уравнение
решений не имеет на множестве действительных чисел.
Ответ: действительных корней нет. Д
2. Уравнения с одним неизвестным (общий случай).
Пусть заданы два уравнения. Если любое решение пер-
вого уравнения является решением второго уравнения,
то второе уравнение называется следствием первого.
Если уравнение fi(x)—gi(x) является следствием
уравнения fi(x) — gi (х), то будем писать
А (х) = (х) =Ф А (х) = g, (х).
78
Два уравнения называются равносильными (или эквива-
лентными), если у них одно и то же множество решений.
Очевидно, если уравнения равносильны, то каждое из них
является следствием другого. В этом случае будем писать
Л (х) = 61 W &f2(x) = g2(x).
Сформулируем несколько утверждений, которые назы-
ваются правилами преобразования уравнений.
1) Для любых f (х) и g(x)
f(x) = g(x)&f(x)—g(x)=O.
□ Действительно, если хй—решение первого уравне-
ния, т. е. /(x0) = g(xc), то f (xQ)—g(х0) т. е. хс —ре-
шение второго уравнения, и наоборот.^
2) Если функция (р (х) определена для всех х, то
f (*) = g (х) =>f (х) ф (х) = g (х) ф (х).
□ Действительно, если f (x0) = g (х0), то и f (х0) ф (х0) —
— S (хо) (х«) Однако получившееся уравнение может
иметь решения, которые не являются решениями исход-
ного уравнения .□
Например, уравнение х2 = — 1 не имеет решений, а
уравнение х3=—х имеет решение х = 0.
3) Каждое решение уравнения f (х) g (х) = 0 есть реше-
ние либо уравнения /(х) = 0, либо уравнения g(x)=0,
т. е.
f(x)g (x) = Q=$f (х)'=*0 или g(x)=0.
□ Действительно, если f (х0) g(xo) = O, то либо f (хо)=О,
либо g(x0) — 0. (Конечно, возможен и случай, когда
f(_vo) = O и £(ко) = О.) Однако, если /Дха)=Л), но g(x) не
определена при х = х0, то х0 не является решением урав-
нения f (х) g (х) = 0.Е
Например,
х • = С-4>х = 0 или х =—3,
|х|
причем число —.3 является решением данного.уравнения,
а число 0 не является решением, так как оно не вхо-
х I 3
дит в область определения функции -уХ- .
4) Для любых f (х) и g (х) и любого п g N
f(x) = g (х) => (f (х))" = (g (Х))л.
79
Здесь в общем случае нельзя поставить знак равно
гильности о. Например, уравнение х — х—1 не имеет
решений, а уравнение х3 — (х—I)2 имеет решение х=0,5.
Пример 1. Решить уравнение '^гх — .
А Умножим обе части данного уравнения на
(3—х) (2х{-1). Тогда
Й = ^^>(х+1)(2х4-1) = (2-х)(3-;х)Ф»
Ф» 2х2 + Зх 4- 1 = G — ох 4- х? & х3 + 8х—5 = 0.
Последнее квадратное уравнение имеет корни
xlt 2 = -4 ± И ТйТб = -4 ± |f Л.
Следовательно, решениями данного уравнения могут
быть лишь числа —4 4-1^21 и —4—1^21. Проверкой убеж-
даемся, что оба эти числа являются решениями данного
уравнения.
Ответ: xt=—4 4-’/~21; х2 =—4—К21.А
Пример 2. Решить уравнение
Зх—6 _ Зх 2х
(х—1)(х-р2) — х"П •
А Умножим обе Части данного уравнения на произве-
дение (х—1)(х4-2). Тогда
Зх—6 = Зх(х4- 2) — 2х(х— 1) Ф>
гФ Зх—6 = х’ 4- 8х фф ха 4- 5х 4- 6 = 0.
Последнее квадратное уравнение имеет корни Xj = —3,
х2 = —2.
Проверкой убеждаемся, что число —3 является реше-
нием, а —2 пе является решением данною уравнения
(при х = —2 не определены обе части уравнения).
Ответ: х — —3. А
Пример 3. Решить уравнение
(х— 1)(х‘4- Зх— 1) 4-х= 1.
А (х— 1)(х24-Зх— 1)4-х= 1 ф»
О (х— 1) (х2 4- Зх— 1) 4- х— 1 = 0 ф»
(х— 1) (X2 4- Зх) = 0 ф> (х— 1) х (х 4- 3) = 0.
Ответ: хх = —3; х2 = 0; х3 = 1. А
so
Пример 4. Решить уравнение |Лх4-3=х4-1.
А р х 4~ 3 = х 4-1 х 4- 3 = х2 + 2х 4- 1
4Ф х2 4- х—2 = 0 <=> (х4- 2) (х— 1) - О.
Следовательно, только числа —2 -и 1 могут быть ре-
шениями данного уравнения. Проверкой убеждаемся, что
число 1 является решением, а число —2 не является
решением данного уравнения. Действительно, j/~x^3— 2
их4-1=2 при х=1, а при х = —2 имеем Ух+‘3 = 1,
' по х4-1 = —I.
Ответ: х — 1, А
Пример 5. Решить уравнение
И2Г=5 + KFH = /хТЗ.
Л Возведем обе части уравнения в квадрат)
2х—5 4-2|/(2х—5)(х4- 1) 4-х 4- 1 = х4-6.
Приведем подобные члены и уединим корень в одной части
уравнения, а остальные члены уравнения перенесем в дру-
гую часть уравнения:
К(2х—5Дх4- 1) = 5—х.
* )
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим
(2х—5)(х4- 1) = 25— 10x4-х2,
2х2—Зх— 5 — 25 — 1 Ох 4- х2,
х24-7х—30-= О,
Xi~ —10, х, = 3.
Проверкой убеждаемся, что х, — —10 не является корнем,
а х2 = 3 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = 3. А
Пример 6. Решить биквадратное уравнение
х4—Зх2 — 4 = 0.
А Введем замену х2 = р, получим у2 — Зу—4 = 0. Ре-
шая это уравнение, найдем Уг = 4, у.г —'—1, откуда х* = 4,
х2 = —1. Второе уравнение не имеет действительных кор-
ней; из первого уравнения получаем хх = —2, х2 = 2
Ответ: xit 2 = ±2. Л
3. Уравнения и системы уравнений с двумя неизвест-
ными. Равенство вида / (х, y) — g(x, у), где f (х, у) и
g (х, у) — некоторые функции переменных х и у, называется
6 Алгебра, ч. 1 81
уравнением с двумя неизвестными х и у (или с двумя пе-
ременными х и у). Решением уравнения с двумя неизвест-
ными х и у называется любая пара чисел (о; Ь\ такая,
что при замене в уравнении х на п и у на Ъ получается
верное числовое равенство.
Множество точек плоскости, координаты которых яв-
ляются решениями уравнения, называется графиком этого
уравнения.
Например, графиком уравнения х2 4- у2 = R2, где R > О,
является окружность радиуса R с центром в точке (0; 0).
Графиком уравнения у = ах2-}-Ьх4-с, где а, Ь, с—неко-
торые числа, причем является парабола.
Как и для уравнений с одним неизвестным, если каж-
дое решение первого уравнения является решением вто-
рого уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого. Два уравнения называются равносильными, если
они имеют одно и то же множество решений.
Решением системы уравнений называется обшее реше-
ние всех уравнений данной системы.
Например, числа х = 2 и у = 3 являются решением
системы
I х + у = 5,
I х—у — —1,
так как они являются решением каждого из уравнений
этой системы.
Две системы уравнений называются равносильными,
если они имеют одно и то же множество решений,
Например, системы
| х + у = 5, ( 2х + Зу — 13,
( х—у =—1 ( х = у—1
равносильны, так как решением первой системы является
пара чисел (2; 3) и решением второй системы является
пара чисел (2, 3).
Сформулируем (без доказательства) несколько правил
преобразования систем уравнений.
1) Если в системе одно уравнение заменить на равно-
сильное, то получим систему, равносильную данной.
2) Пусть система содержит уравнение вида x — q, где
х—некоторое неизвестное, a —функция, не зависящая
от х. Тогда, если во всех других уравнениях системы
вместо х подставить <р, то получим систему, равносиль-
ную данной.
Это правило называется правилом подстановки.
82
3) Если в системе, содержащей уравнения f =g и
= уравнение / = g заменить уравнением/ +ф = £-г
(суммой уравнений), то получим систему, равносильную
данной.
Это правило называется правилом сложения.
4) Система, содержащая уравнение вида f-g=O, рас-
падается на две системы: в одной это уравнение заме-
нено уравнением f — Q, а в другой—уравнением g = 0.
Причем, если уравнение f-g — O равносильно совокупно-
сти уравнений / = 0 и g — 0, то данная система равно-
сильна совокупности данных систем, т. е. множество
решений данной системы есть объединение множеств реше-
ний этих систем.
Это правило иногда называется правилом множителей.
Методы решения систем уравнений рассмотрим на кон-
кретных примерах.
Пример 1. Решить систему уравнений
х2 + у2 = 25,
X—у =5.
Д Из второго уравнения системы находим £=у + 5.
Подставив это выражение для х в первое уравнение, по-
лучим уравнение (у + 5)2 + у2 — 25, содержащее только
неизвестное у. Решим это уравнение:
2у2+ 10у = 0, yt = 0 и у2 — — 5.
Из уравнения х = у + 5 находим Хх = 5, х2=0.
Таким образом, данная система имеет два решения
(5; 0) и (0; —5), и других решений нет.
Ответ: (5; 0); (0; —5). А
Примененный здесь метод решения называется мето-
дом подстановки (см. правило 2) илк методом исключения.
Запишем предыдущее решение, используя понятие рав-
носильности систем:
х2 т У2 ~ 25, J x = t/ + 5, j х = у + 5,
х—у = 5 1 (у -г 5)2 -г у2 = 25 \ у (у + 5) = 0
/ ( х=у + о, ( х = у + 5,\
О < п или < - п «Ф
\(у = 0 [y-yQ^Oj
f ( х=6, ( х= 0, \
У~® к У=*~ 5J
Здесь мы воспользовались по порядку правилами 1 и 2,
правилом 1, правилом 4 и снова правилом 2.
6’ 83
Обычно такая подробная запись решения не делается.
Однако, чтобы быть уверенным, что получены все реше-
ния и только они, необходимо во всех случаях уметь
выписывать соответствующую цепочку равносильных систем
или следствий.
Прим е«р 2. Решить систему уравнений
у2—1 — х- 4- 2х,
X* + y*=3xy + 1.
Л Из первого уравнения системы получаем у2 — (х + I)2,
т. е. // = *4-1 или у =— х—1. Следовательно (см. пра-
вило 4), данная система равносильна совокупности сле-
дующих двух систем:
| у—х-\- 1, ( у = — х — 1,
\ х2 -t- у2 — Зху 4-1 И I х2 4- у2 = Зла/ 4-1.
Полученные системы решим методом подстановки.
Пусть сначала у — х+\. Тогда, в силу второго урав-
нения, имеем
х24- (х4- 1)2 = 3х(х4-1)4-1,
и поэтому х24-х = 0, = О, хг — —1.
№ уравнения г/ = х4-1 находим i/i—1, t/2 — О
Пусть теперь у = — х—1. Тогда
х24-(х4-1)2 = —Зх(х4-1)4-1,
5х24-5х=0, х(х4-1).= 0,
и поэтому х3 = 0, х4 =—1, у3 — —1, г/4 = 0.
Ответ: (0; 1); (—1; С), (0; —1). Д
Пример 3. Решить систему уравнений
X2-^2 _ 5)
х*—ху + у* = 7.
Л Из второго уравнения почленно вычтем первое
уравнение. Полученное уравнение
— xz/4-2i/2 = 2
не имеет решений, у которых у = 0, поэтому оно равно-
сильно уравнению
34
Следовательно (см. правило 3), данная система равно-
сильна системе
( —у2=-5,
Эту систему будем решать методом- подстановки!
= 3/-13«‘-Н=0.
Последнее уравнение является квадратным относи-
тельно квадрата неизвестного (такие уравнения называются
биквадратными), и поэтому
2 _ 13 ± K1G9—4-3-4 13 ф 11
У ~ 6 “ 6 ’
г. е. у* = 4 или уг — -$>
О
Таким образом, данная система равносильна совокуп-
ности двух систем!
(Х_2.Д=1,
< у ’и у
1^-4 =
Из первой системы находим г/, = 2, у2 = —2, Xi = 3,
= —3, т. е. первая система имеет два решения (3; 2),
(—3; —2). Из второй системы находим у3 => >
1 4 К 3 4 V 3
У., = — -TF- , *з =-г-. у—. т. е. вторая си-
У о о о
/ 4 1 \ ( 4 1 \
стена имеет два решения {-, I -7=;--------------= ).
\ f3’ КЗ/ U f Ъ)
Ответ:
(3; 2); -(—3; —2); (-; (4= 5--------------
\. /з Кз/ \/з 1Лз/
Пример 4. Решить систему уравнений
I х + у = ху +1,
( х2 + у2 = ху -j- 3.
Л Записав второе уравнение б виде (х-f-у)2 = 3ху + 3,
видим, что данную систему можно рассматривать как
систему с новыми неизвестными и — х-гу и v = xy. Для
85
этих новых неизвестных получаем систему
ц = ц_4- 1,
и2 3v + 3.
Подставив и = v 4- 1 во второе уравнение, получим (у + 1)2 =
= 3и + 3, и®—v—2 = 0, о4 =—1, о2 = 2.
Из уравнения u — v+l находим Ui = 0, и2 — 3.
Таким образом, данная система равносильна совокуп-
ности двух систем
х + у = 0, | х + у = 3,
xr/ = —1 ( ху = 2.
Из первой системы находим у~ — х, хв = 1, и, следо-
вательно, Xi=l, х2 — —1, Уг — —1,
Из второй системы находим т/= 3—х, х(3—x) = 2,
и, следовательно, х3=1, х4 = 2, у3 — 2, у4 = 1.
Ответ: (1; —1); (—1; 1); (1/2); (2; 1).А
Примененный здесь метод решения называется мето-
дом введения новых неизвестных.
Вопросы для контроля
1. Что называется решением (корнем) уравнения с одним неиз-
вестным?
2. Какое уравнение называется квадратным?
3. Что называется дискриминантом квадратного уравнения?
4. Когда квадратное уравнение имеет два разных корня?
б. Когда квадратное уравнение имеет один корень?
6. Когда квадратное уравнение не имеет решений в множестве
действительных чисел?
7. Когда одно из двух уравнений называется следствием,другого?
8 Какие уравнения называются равносильными?
9. Что называется решением уравнения с двумя неизвестными?
10. Что называется графиком уравнения с двумя неизвестными?
11. Что называется решением системы двух уравнений с двумя
неизвестными?
Упражнения
3.1. Решите уравнения:
1) х-~ 1U+ 30—0;
3) х?4~ 8х— 33 = 0;
5) х-~ 6х—135 = 0;
7) (2х+3)2 —(X—2)? = 5;
9) xi -7х24-12 = 0;
11) х*4-х2 —6 = 0;
2) х2—19x4-88 = 0;
4) х24- 4х—32 = 0;
G) 5х2—16x4- 3 = 0;
8) (х—2)2 —9 = 0;
10) 2х4-5х2 4-2 = 0;
12) х44-3х2 4-2 = 0.
86
3.2. Равносильны ли уравнения:
1) х—4 = 0 и (х—4) (х+5) =0;
2) х2— Зх = 0 и х—3 = 0;
ЗМ-1-s» «-1+7=в=5+7Гв;
5) 2х = х4-2 и (2х)? = (х+2)?;
6) 2х—3 = 5 и (2х—3)? = 25?
3.3. Решите уравнения:
. 1 , 1 х2 —2 . х2 —2х—5 1
х х+1 — х2+х : ,(Х—3)(х—1)+"х-3—:
3) ттг+ёт = Ж(^х+1)=0.
3 4. Решите уравнения:
1) /х=Л = 3; 2) 3 + /Г+1=4;
3) /4?+5 = х; 4) х+У'хЗ —9 = 21
5) УЗх+4+х=2х; 6) /7+3 = 9-х;
7) /7+5+ 1=х; 8) 5/х^ = х+2;
9)/7~Т-/2Т+0 = х+3; 10) V2ж+15=3.+/7=1;
1)) /27+5 + /7=Т=8; 12) /7+? +/57+8 = 7;
13) /7=1 /7^4 = 6; 14) /х /Г=х = х.
3.5. Решите уравнения:
1) х4—8х2 —9 = 0;
3) 4х4+11х2—3 = 0;
5) х —5/ х + 6 = 0;
7) х^+Зх*1 — 4 = 0:
2) х4—9х2 + 20 = 0;
4) Зх4 — 4х2 + 1=0;
6) Зх + 5/х—2 = 0;
3.6- Решите системы уравнений:
1)
3)
5)
7)
9)
х+«/ = 5,
х? — </2 = 5;
x?+j/? = 74,
х—1/=2;
х__2_
У “3 ’
х?+у?=208;
10х+Зу= 13,
ху = —1;
х+Юу=1,
х? — 2г/= 1;
Jx2+y2 = 25,
) х3-1/=5;
(х—f/= 1,
\x2+xz/+у? = 37;
Г 5х—2у = 3,
}ху = —0,2;
я. f х2 + +—Эху—х+у+9 = О,
8) \у-х = 2;
|П. (^+/ + 3^ = -!,
^A?+i/i+y=3.
87
§ 11. Системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными и определители
второго порядка
1. Системы двух линейных уравнений с двумя неиз-
вестными. Напомним, что линейным уравнением назы-
вается уравнение вида
ах + Ьу = с,
где а, Ь, с—заданные числа, а х, у—искомые неизвест-
ные. Числа а, b называются коэффициентами уравнения
или коэффициентами при неизвестных, а число с—правой
частью уравнения или свободным членом.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными:
а1х-\-Ь1у=а,
а2х Н-Ь£у = с2. * '
Очевидно, если все коэффициенты и правые части
уравнений системы (1) равны пулю, то любая пара чисел
(х; у) является решением системы. Если все коэффициенты
уравнений системы равны нулю, а правые части уравне-
ний не все равны нулю, то система (1) не имеет решений.
В дальнейшем будем рассматривать только такие си-
стемы, в которых хотя бы один коэффициент одного из
уравнений отличен от нуля.
Пусть, например, Ь2^0. Тогда система (1) равносильна
системе
' alx^b1y = ci,
т. е. если пара чисел (х0; рс) является решением систе-
мы (1), то она является и решением системы (2), и на-
оборот.
Второе уравнение системы (2) умножим па и полу-
ченное уравнение вычтем почленно из первого уравнения:
bi>x=c1-^-bl. (3)
Заменив теперь первое уравнение системы (2) на
ненке (3), получим систему
( (at-^biy = c1-^bi,
I ь, + у ь2 ’
урав-
(4)
которая, очевидно, равносильна системе (2).
88
Если аг—^-ЬгфО, т_ е. аф2—аД=/=О, то из первого
уравнения находим, что
(5)
% _ С] Ь2 — c.^bi
а2Ь2-~ a2bf
Подставляя это значение х во второе уравнение си-
стемы (4), находим
У
^1^2 — ^2^1
01 ^2 — ^2^1
Для простоты введем обозначения:
аф2 —a2bt = Л,
С; b2 с2Ь2 = Ал,
atc2 — а2с\ = Ьу;
тогда формулы (5) и (6) можно записать так:
Av Дт,
х — , у = -Л •
Д ’ а Л
Формулы (5) и (6) называются формулами Крамера
(швейцарский математик, 1704—1752гг.).
Таким образом, если аф2—а2Ь} =£ 0.' то система (4)
имеет единственное решение, которое находится го фор-
мулам (5), (6).
Так как система (4) равносильна системе (1), то ре-
шение системы (4) является и решением системы (1).
Пусть теперь
(6)
(7)
Тогда система (4) имеет вид
( 0-x=vx—bt,
I *2
\ъх+у-%-
Очевидно, эта система не имеет решений, если
сх Ь2 С.
ta
(8)
Если же
89
то любая пара чисел (х; у), где
»-%-%х' х^>
является решением системы (8).
Таким образом, доказаны следующие утверждения.
Если А^=0. то система (1) имеет единственное реше-
ние,' которое находится по формулам Крамера (5), (6).
Если А = 0, то система (1) или не имеет решений, или
имеет бесконечное множество решений.
Случай Д = 0 рассмотрим подробнее.
Пусть, как и выше, Ь2¥=0. Тогда, положив k = ~ ,
получим (см. формулу (7)) a1 = ka2, bi — kb^. Таким обра-
зом, в этом случае система (1) имеет вид
( ka2x +kb^y — Ci,
I a2x-t-b2t/ = c2.
Очевидно, что эта система имеет хотя бы одно решение
тогда и только тогда, когда
£1 = ^2*
Итак, если А = 0 и 6,^-0, то система (1) имеет ре-
шение тогда и только тогда, когда первое уравнение си-
стемы получается из второго почленным умножением на
число k = -±.
^2
В наших рассуждениях мы предполагали, что Ь2 #= 0.
Это предположение не умаляет общности, так как если,
например, Ь^С, то, поменяв местами уравнения, придем
к тем же выводам. Если же ах --/= 0, то, поменяв местами
уравнения и неизвестные, снова придем к разобранному
случаю.
Частным, по важным случаем систем вида (1) является
система двух линейных однородных уравнений с двумя
неизвестными:
( + &,«/=-0,
1 a2x + i>tr/ = 0. '
Эта система всегда имеет решение
х = 0, у = 0.
Из предыдущего следует, что если А ^0, тосиетема (9)
имеет единственное решение х = 0, «/ = 0.
90
Если же А = 0 и, например, bj-^-O, то ее решением
является любое решение уравнения
агх + byj — О,
т. е. любая пара чисел (х; у), где
у =—^х, x£R.
Пример 1. Решить систему двух уравнений с двумя
неизвестными:
Зх— Зу = 16,
х + 2у=11.
Д Выпишем и вычислим
Л — 5 2 —1-(—3) = 13,
Дх=16-2 —11.(—3) = 65,
А^5-11 —16-1 = 39;
тогда
Ответ: х = 5, у — 3. Д
Пример 2, Решить систему
2х н- Зу — 13,
4х + бу = 20.
ДРазделив второе уравнение на 9] получим равно-
сильную данной систему
2х + Зу*= 13,
2x4- Зу = 10,
которая противоречива; следовательно, данная система
решений не имеет.
Пример 3. РенЬтть систему
4х— Зу= 7,
20х—15у — 35.
Д Разделив второе уравнение системы на 5, получим
4х—Зу = 7,
4х—'бу —7.
91
Система равносильна одному уравнению с двумя неиз-
вестными и имеет бесконечное множество решений
(х; » где x£R. А
Пример 4. Решить систему двух однородных урав-
нений о двумя неизвестными:
J 5х + 3// = О,
z- \ 2х—Ау^О.
' А Вычислим Д)
Д«=5-(—4)—2-3 = —26,
Так как Д^О, тО система имеет единственное нулевое
решение! х = С, А
Пример 5. Решить систему
( 3x4* 5//=0,
I 9x4- 16// = 0.
А Так как
Д = 3-18—9-8 = 0,
то система имеет бесконечное множество решений!
(ж; —-у*' » гдех^Д. А
2. Геометрическая иллюстрация решения систем двух
линейных уравнений с двумя неизвестными. Как показано
выше, при решении систем двух уравнений о двумя неиз-
вестными возможны три различных случая)
1) система имеет единственное решение!
2) система не имеет решений;
3) система имеет бесконечное множество решений.
Рис. 9
Рис. 10
Перечисленные случаи' легко истолковать геометри-
чески. Папомним, что каждое линейное уравнение с двумя
неизвестными, у которого хотя бы один из коэффициен-
тов при неизвестных отличен от нуля, на плоскости.
определяет прямую.
I) Если прямые /j и /2 пересекаются, т. е. имеют одну
общую точку с координасгами (х0; у0), то система линей-
ных уравнений, являющихся урав-
нениями этих прямых, имеет един-
ственное решение (х0; У о)- Наобо-
рот, если система двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
имеет единственное решение (хс;
у„), то прямые li и /2, определяе-
мые уравнениями системы, пересе-
каются в точке (хс; t/?) (рис. 9)
2) Если прямые lf и /2 парал-
лельны и не имеют общих точек,
то система линейных уравнений,
являющихся уравнениями этих пря-
мых, не имеет решений. Наоборот,
если система двух линейных уравнений с двумя неизвест-
ными не имеет решений, то прямые и /2, определяемые
этими уравнениями, не имеют общих точек, т. е. парал-
лельны и не совпадают (рис. 10).
3) Если прямые It и /2 совпадают, т. е. каждая точка
первой прямой одновременно является и точкой второй
прямой, то соответствующая система уравнений имеет
бесконечное множество решений. Наоборот, еслц система
двух линейных уравнений имеет бесконечное множество
решений, то прямые It и /2, определяемые уравнениями
этой системы, совпадают (рис. 11).
Пример. Найти координаты точки пересечения пря-
мых, заданных уравнениями
Зх + 2у—13 = 0,
4х—Зу— 6 = 0.
А Найти координаты точки М пересечения данных
прямых — это значит найти решение системы
Зх-|- 2у = 13,
4х—Зу — 6.
S3
Вычислим А, Дх и Л.у:
( Д = 3 • (—3) — 4-2 — —17,
,ДХ=13.(—3)—6-2 = —51,
Ду = 3 6 —4-13 = —34;
следовательно,
v _ АХ "SI _ О
Х~ 17
Ответ: М (3; 2). А
3. Определители второго
ную таблицу вида
—34 о
У~~~ -17 ”'2-
порядка. Рассмотрим квадрат-
СП
где аь аг, Ьг—некоторые числа. Любая такая таблица
называется квадратной матрицей второго порядка. Числа
«х, bi, a.it Ьг называются элементами матрицы.
Определение. Число щЬ2—называется опре-
делителем матрицы (1) и обозначается
Таким образом, согласно определению
Определитель квадратной матрицы второго порядка
называется определителем второго порядка.
Числа ai, .bi, а2, b$ называются элементами определи-
теля. Видно, что элементы определителя в его обозначе-
нии расположены в форме квадрата. Диагональ, на ко-
торой находятся элементы at и д2, называется главной,
а диагональ, на которой находятся элементы а2 и bit —
побочной.
Теперь можно сформулировать следующее правило
вычисления определителей второго порядка:
Для того чтобы вычислить определитель второго по-
рядка, нужно из произведения элементов, стоящих на
главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоя-
щих на побочной диагонали.
Пример 1. Вычислить определитель второго порядка
I2 41
13 7|
94
£ На главной диагонали стоят элементы 2 и 7, их
произведение 2-7=14, на побочной диагонали стоят
элементы 3 и 4, их произведение 3-4=12.
По определению,
|з Ц-^-12-2-
Ответ-. 2. А
Пример 2. Вычислить определители!
»)|: Л-
Ла)|3 *|=3-2-4-5=-14;б)|| J|=3 (-4)-5-С=
=—12. Д
Формулы Крамера
для решения системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными можно записать в следующем виде!
V — Ci bl с2 Ь2 СН Я а2 с2 131
Л ai bi CI2 b% " > У <4 bi а2 b2 i
так как
at
И
Сг
at
а2
= a1bi—a2bi=&,
— Cjb2 = Дд.,
? = ахс2—ОА^Д .
При рассмотрении формул (3) легко установить пра-
вило получения определителей, стоящих в числителях,
из определителя, стоящего в знаменателе: каждый опре-
делитель в числителе получается из определителя в зна-
менателе путем замены столбца коэффициентов при опре-
деляемом неизвестном на столбец правых частей системы.
В самом деле, ДЛ получается из Д заменой и а2 на
и с2, а Ду —заменой Ьг и Ь2 на Ci и с2.
Пример 3. Решить систему двух линейных уравне-
ний с двумя неизвестными:
5х + 2у = 29,
Зх + 4у = 23.
95
Д Выпишем и вычислим определители Д, А, и Ду:
Д= $ 2| = 5-4—2-3 = 14,
3 4]
Д* = g ; =29-4-2-23 = 70,
’ 2 =5 2Э-3-29„-2в.
Таким образом,
х-70-5
Х~ 14-Ь’
28
14
= 2.
Ответ: х — д, у = 2. А
Пример 4. Решить систему уравнений
/ 4к+3у—28 = 0,
( З.г—бу—21=0.
Л Приведем систему к стандартному виду!
I 4х + 3у‘=2д,
{ Зх—5у — 21,
Выпишем и вычислим определители Д, Аж и Д#1
Д= J _|| = 4-(-5)-3-3 = -29,
Лх= _g|=28-(-5)—3 21 = —2СЗ,
\-|з “|-4 2‘-28'3=0-
Таким образом,
—203 , 0 л
х~ 7-
Ответ: х = 7, t/ = 0. А
4. Свойства определителей второго порядка. Сформу-
лируем основные свойства определителей второго порядка.
Свойство 1.
a? I Ьх />2
т. е. определитель не изменится, если в нем строки заме-
нить на столбцы, а столбцы—на строки.
Это свойство утверждает равноправие строк и столб-
цов. Поэтому в дальнейшем все свойства определителей
будем формулировать только для строк.
96
I <и &i I = _ I °2 b-iI
I a2 b2 I | «i Oi I ’
т. e. если в, определителе переставить местами строки,
то определитель изменит только знак.
Свойство 3.
I kat kbt I _ I at bi I
|«2 Й2 I l<^2 I *
т e. если все элементы строки имеют общий множитель,
то его можно вынести за знак определителя. Другими
словами, если все элементы какой-либо строки определи-
теля умножить на некоторое число, то определитель
умножится на это число.
Свойство 4.
oi4oi ^i + ^i
<?2 Й-
к,
кг
&1
йг
01 bi
й2
т. е. если все элементы какой-либо строки есть суммы
двух слагаемых, то определитель равен сумме двух опре-
делителей, в одном из которых суммы заменены их пер-
выми слагаемыми, а во втором—вторыми.
Следствие 1. Определитель, у которого элементы
одной строки соответственно равны элементам другой
строки, равен нулю.
Следствие 2. Если в определителе элементы одной
строки соответственно пропорциональны элементам дру-
гой строки, тс определитель равен нулю.
Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки
соответственно .прибавить элементы другой строки или
числа, им пропорциональные, то определитель не изме-
нится.
Иначе, если к строке прибавить другую строку, умно-
женную на некоторое число, то определитель не изме-
нится
Все сформулированные' выше свойства легко доказы-
ваются простым вычислением.
Покажем на примерах, как использовать эти свойства
при вычислении определителей.
Пример 1. Вычислить определитель
.1325 —1321
Л — [175 -бо|’
4 Алгебра, ч. I
97
Л Вынесем сначала из первого столбца общий множи-
тель 25 за знак определителя:
. ок 113 —1321
А₽25| 7 _б0|,
а из второго столбца общий множитель —12:
А = 25-(—12) | “|.
Затем из первой строки получившегося определителя
вычтем его вторую строку:
Д-25.(-12)|' f|.
Теперь вынесем из первой строки общий множитель 6:
А = 25.(—12)-б|| '! = — 1800-(5-7) = Зб00.Д
Пример 2. Вычислить определитель
I 105 55 j
Л “ |245 154 |'
Л Из первой строки вынесем общий множитель 5, а из
второй 7;
'Д = 5-?1з1 й|-
Вынесем теперь общий множитель 7 из первого столбца
и 11 из второго столбца:
Д = 35.7.11|3 ,51 = 2 695. Д
| Э I
Вопросы для контроля
1. Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя
неизвестными?
2. Какие формулы называются формулами Крамера?
3. Когда система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
имеет единственное решение?
4. В чем заключается геометрическая иллюстрация решения си-
стемы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
5. Может ли система двух линейных уравнений с двумя неиз-
вестными иметь два и только два решения?
6. Что называется матрицей второго порядка? Что называется
ее определителем?
93
7. Сформулируйте правило вычисления определителя второго
порядка.
8. Запишите формулы Крамера с помощью определителей.
9 Перечислите свойства определителей.
10 Когда система двух линейных уравнений о двумя неизвест-
ными а) имеет бесконечное множество решений; б) не имеет решений?
Упражнения
3.7. Вычислите определители второго порядка:
3.8. Вычислите определители второго порядка:
п log232 logs 27 2) sin 45° tg 45°
1) logA 16 logs 125 . 2) etg 45° sin 45° |
log28 log1/s27 cos 0° sin 60°
3) logs 1 1g loco » V"3 sin 90° 4
3.9 . При каком значении k система двух линейных уравнений
с двумя неизвестными
f Зх-ф4:/=17,
\ 4х4-&/~ 4
имеет решение х = 3, у — 2?
3.10- Решите уравнения:
1)
3)
4)
+ | -0; 2) +
| О 1 | А
3 15—х* _|9 5
1 5 ~|4 х ’
Л*—3 5Ш5х 3 —7x18
—4 1+| 4 2 **|5
1
—4
0;
= 3.
3.11. С помощью определителей решите следующие системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными:
1 Зх—2у=5, I 4х +- «/=17,
' | 4х+ «/=14; ; \ Зх—5«/ = 7;
1 5х-%=-16, .. J 5х—2у—6=0,
} ( 2хф-4«/=22; > \ 7х—5у—4=0;
1 3x4-4j/ = 9, 1 4х-3«- 7 = 0,
' | 2х—5«/=6; ( 8х—Gy—14=0.
3.12. Найдите решения систем двух однородных линейных урав-
нений с двумя неизвестными:
1 3x-j-2y = 0,
I 5х—3(/ = 0;
1 х — 7у = 0,
12х-|- 15т/ = 0;
Зх—2«/ = 0
6х—4«/=0;
2х—Зу = 0,
4х — by — Q\
4х--5у=0,
7х4-2«/=0;
3x4- 5«/ = 0,
5х 4- Зг/=0.
2) {
5) {
3
2
3) {
6) {
99
3.13. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных
своими уравнениями;
4х—3z/— 7 = 0, 5х-4у- 9 = 0,
’ Зх + 2у—18 = 0; ’ 2х4-3у—22 = 0.
3.14. Решите системы уравнений графически:-
1 Зх— у = 5, J Зх + 2у=4,
7 \ 2х+3у=7; 7 \ 9х + 6у=1;
„ I 2х—Зу=12, ') Зх—4у = 7,
7 \ — х—4у = 5; ' | 6х—8у=14.
3.15. При каком значении k система двух линейных уравнений
с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений':
( 5x—ky—3, .
3.16. При каксм значении k система двух линейных уравнений
с двумя неизвестными не имеет решений:
1 Зх—fa/= 9, I х+ у=3,
7 \ 2х+7у = 4; 7 \ 3x-|-3j/ = fa>
3.17. При каких значениях а система уравнений
1 (а—1) х—4p = ll-j-a1
I — х 4* (а + 2) у = 2
имеет единственное решение, бесконечное множество решении и не
имеет решений?
3.18. Решите систему
; х— (а— 1)у= 1,
г ах—2z/=4—а, aQR.
§ 12. Определители третьего порядка
и их свойства
1. Матрицы и определители третьего порядка, Рассмот-
рим квадратную таблицу вида
аг
а2
а3
bi
Ьг
Ьз
fa II
Сз’ .
fa
(1)
где а\, bit cir аг, Ъ2, сг, а3, bs, с3—некоторые числа. Любая
такая таблица называется квадратной матрицей третьего
порядка. Числа ait blt а, • • > с3 называются элементами
матрицы (1).
Определение. Число'
юо
называется определителем матрицы (1) и обозначается
ai bi Ci
0-2 ^2 ^2
#3 ^3 с3
,(2;)
Таким образом, согласно определению
Ci С1
<4 52 с2
а3 Ь3 с3
= 01
Н2 с2|_ь |аа ^1 + С1р2 Ы
I Ь3 с3 I 1 | аз с3 | 1 ] а3 о3 |
(3)
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
называется определителем третьего порядка.
Из бйр'еделения видно, что определитель третьего по-
рядка выражается через определители второго порядка.
Формулу (3) называют разложением определителя треть-
его порядка по элементам первой строки.
Пример 1. Вычислить определитель
3 —4
1 6
3 —2
2
5
Д Разложим определитель по элементам первой строки:
д=2|4 _о|—з| f JI-4I 1 JI.
I о — z, 1 I —1 z 1 I —1 О |
Следовательно,
A = 2-(—2—18)—3-(—10 + 6)—4-(15 + 1) =
= 2-(—20)—3-(—4)—4-16 = —92.
Ответ: A = —92. Д
Пример 2. Вычислить определители:
a)
Да)
5
в) 3
7
2 1
4 5 ;
2 3
3 2 1
2 4 5
1 2 3
1
б) 5
= 3|)
—2 3
4 2 •
1 —3
И)
зН? Il+’l? ’!=
= 3.2—2-1 + 1-0 = 4;
1
б) 5
3
О
2
4
0
1
5
= 1 .(—14) + 2-(—21) -г 3-(—7) = —77;
= 5П 5|-°|/ 1| + °|г (| = 5'»=зо.д
3
2
1
3
5 0 0
3 2 1
7 4 5
101
2. Свойства определителей третьего порядка. Опреде-
лители третьего порядка обладают, теми же свойствами,
что и определители второго порядка; убедиться в этом
можно непосредственным вычислением.
Сформулируем основные свойства определителей треть-
его порядка.
Свойство 1. Определитель не изменится, если в нем
строки заменить на- столбцы, а столбцы—на строки.
Это свойство утверждает равноправие стро'к и столб-
цов. Поэтому в дальнейшем все свойства будем формули-
ровать лишь для строк.
Свойство 2. Если в определителе переставить ме-
стами две какие-либо строки, то определитель изменит
только знак.
Свойство 3. Если все элементы какой-либо строки
имеют общий множитель, то его можно вынести за знак
определителя.
Другими словами, если все элементы какой-либо строки
умножить на некоторое число, то определитель умножится
на это число.
Свойство 4. Если у определителя все элементы ка-
кой-либо строки заданы как суммы двух - слагаемых, то
определитель равен сумме двух определителей, в одном из
которых суммы заменены их первыми слагаемыми, а ео вто-
ром—вторыми.
Это свойство определителя справедливо и для случая,
когда элементы какой-либо строки равны сумме не двух,
а большего числа слагаемых.
Следствие I. Определитель, у которого две какие-
либо строки одинаковы, равен нулю.
Следствие 2. Если в определителе элементы одной
строки пропорциональны элементам какой-либо другой
строки, то определитель равен нулю.
Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки
соответственно прибавить элементы любой другой строки
или числа, им пропорциональные, то определитель не из-
менится.
Покажем на примерах, как полозоваться этими свойст-
вами при вычислении определителей.
Пример 1. Вычислить определитель
—14 21 2Я
6 —9 12
10 15 —20
2Я
12
102
Д Выносим за знак определителя общие множители
элементов каждой строки:
Д = 7-3 5
а затем третью строку прибавим к первой и ко второй:
О
4
2
Д—105-
6 О
О О
3 -4
Разложив получившийся определитель по элементам пер-
вой строки, получим
Д=105 • (—6)|J _J| = 630 16=10 080.
Ответ- Д = 10 080. А
Пример 2. Вычислить определитель
17
36
20
Д =
29 41
—24 60
27 46
Д Вынесем общий множитель элементов второй строки
за знак определителя:
17
Д= 12
3
20
29 41
—2 5
27 46
Прибавив к первой строке вторую, получим
20 27
А=12 3-2
20 27
46
5
46
= 0
так как определитель имеет две одинаковые строки.
Ответ: Д = 0. Д
П р и м е р-> 3. Вычислить определитель
49
23
95
Д =
37 41
37 .41
74 82
Л Из первой строки вычтем вторую, а затем получив-
шийся определитель разложим по элементам первой строки:
Д =
26
23
95
0 0
37 41
74 82
= 26
I37
I74
41| =
82 |
0.
Ответ: Д = 0. А
103
Пример 4. Вычислить определитель
9
36
6
Д =
4 1
48 30
8 6
Л Вынесем общий множитель элементов второй строки
(число 6) и общий множитель элементов третьей строки
(число 2), а затем вынесем общий множитель элементов
первого столбца (число 3) и общий множитель элементов
второго столбца (число 4):
9
6
3
4 1
8 5
4 3
А —6'2
= 6-2'3.4
3 1 1
2 2 5
1 1 3
Вычислив теперь последний определитель:
? ? з|-|Т з| + |?
получим Д = 6.2.3-4-2 = 288,
Ответ: Д = 288 Л
Вопросы для контроля
1. Что называется матрицей третьего порядка?
2. Что называется определителем третьего порядка?
3. Перечислите свойства определителей.
4. Объясните, почему определители
1 2 3
4 5 6 и
1 2 3
1 4 3
2 5 6
3 6 9
равны нулю.
Упражнения
3.19. Вычислите определители:
1 2 3
2 3 1
3 1 2
1)
1 2 2
2 3 3
36 12 24 ;
—2 3
5 0
1 6
104
3.20. Докажите равенство определителей, не вычисляя их:
1 3 2 3—12 1 —1 1 2 1 5
4 7 11 sss 2 4 6 = 2 3—5 = —1 3 1
5 10 13 5 6 11 4 1 —3 1 2 4
Указание. Воспользуйтесь свойствами определителей.
3.21. Решите
3 5
х —4
—I х
Решите
1)
3.22.
уравнения:
7
6 =0; 2)
—3
уравнения:
х2,
—2
3
х
3
—2
4 5 =9; 3)
1
8 = 0;
1
2) 1
3
—2
3
х2
3.23. Докажите,
Xi yt 1
х2 Уз 1
Хз Уз 1
—5
3
что
1
1
1
1
1-Ьх
1
= ху,
0.
х 2
—4 — Чх
6 6
= (*1—х2) (Уг—Уз) — (*2—Хз) (У1 — у г).
3.24 Решите уравнение
№— 1
Xs- 8
х3—27
3.25. Решите уравнение
1+х
I
1
= 0.
3
1
I
х
4
2
х
3
5
7
§ 13*. Системы линейных уравнений
со многими неизвестными
1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвест-
ными. Рассмотрим систему трех линейных уравнений
с тремя неизвестными:
(алх + Ьгу + c-yz = di,
а2х-4-b2y -i-c2z = d2, (1)
а3х + b3y + csz=d3.
Тройка чисел (х0; у0', г0) называется решением системы
(1), если ври подстановке этих чисел в уравнения системы
вместо х, у и z получаются верные числовые равенства.
105
Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты
при неизвестных равны нулю:
at = b{ = ct — 0, i = l, 2, 3
В этом случае, если все свободные члены уравнений
системы равны нулю:
== d%=== z О >
то, очевидно, любая тройка чисел (х, у; г) является реше-
нием этой системы. Если же не все свободные члены урав-
нений равны нулю, то система не имеет решений.
Рассмотрим теперь более интересный случай, когда
не все коэффициенты уравнений системы (1) равны нулю.
Покажем, что в этом случае решение системы (1) всегда
можно свести к решению' некоторой системы двух урав-
нений с двумя неизвестными. Пусть, например, не равен
нулю коэффициент с3. Тогда из третьего уравнения си-
стемы (1) можно выразить z через^х и у:
z — —азХ— (2)
Подставив это выважение для г в первое и второе урав-
нения системы (1), мы исключим неизвестное z и получим
систему двух уравнений с неизвестными х и у. Методы
исследования и решения таких систем были подробно
изучены в § 11. Решив полученную систему двух уравнений
с двумя неизвестными х и у, по формуле (2) найдем зна-
чение третьего неизвестного z. Заметим, что вместо г можно
исключать любое неизвестное и что исключаемое неизвест-
ное можно находить из любого уравнения, в которое оно
входит.
Таким образом, решение системы трех уравнений
с тремя неизвестными путем исключения одного из неиз-
вестных всегда можно свести к решению системы двух
уравнений с двумя неизвестными. Такой метод решения
систем называется методом исключения. Отметим, что ис-
ключать неизвестное можно и другими способами, напри-
мер путем почленного сложения уравнений или сложения
одного уравнения системы с другим уравнением, предва-
рительно умноженным на какое-либо число (см. пример 2).
Пример 1. Решить систему
х 2у -}- 4 г = 31,
5х + у + 2г — 29,
Зл- — у + z — 10.
106
Д Из третьего уравнения системы находим
2 = 10—Зх + у.
Подставляем найденное выражение для г в первоа
и второе уравнения системы:
' я +2у + 4 (10—Зх + у) = 31,
( 5х + у + 2(10—Зх + у)=29.
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными
х и у. После упрощения будем иметь
( 11х—6у = 9,
\ х—Зу =—9.
Решив эту систему любым из описанных в § 11 способов,
найдем х = 3, у = 4. Теперь находим соответствующее зна-
чение г:
г= 10—3 3 + 4 = 5.
Ответ: (3; 4; 5). А
Пример 2. Решить систему
(х+3у + 2 = 6,
2х + Зу + 32 = 13,
Зх + Зу + 2 = 8.
Л Вычтем ’почленно из второго уравнения системы
первое уравнение, предварительно умноженное на 2, и из
третьего уравнения — первое, предварительно умноженное
на 3. Тогда получим ’ систему
' х + Зу+ 2 = 6,
' — 3 у + 2 = 1,
—бу—2z =—10.
Вычтем из третьего уравнения второе, предварительно
умноженное на 2. Получим
(X + Зу + 2 == 6 ,
— Зу + 2=1,
—4z = —12.
В результате преобразований получили так называемую
треугольную систему уравнений. Треугольные системы
уравнений легко решаются. В самом деле, из последнего
уравнения видно, что 2 = 3. Из второго уравнения находим
У = ~$, из первого получаем х=1.
С тест: f 1; ; 3 ,. Д
107
Замечание. Решение системы линейных уравнений
путем сведения ее к треугольной системе уравнений на-
зывается методом Гаусса. Этет метод является частным
случаем метода исключения переменных. Он применим
к системам с любым числом уравнений и неизвестных.
Метод Гаусса широко используется при численном реше-
нии систем, содержащих иногда десятки и сотни уравне-
ний и неизвестных, па современных электронных вычис-
лительных машинах.
Пример 3. Решить систему двух уравнений с тремя
неизвестными!
t Зх +2у—£=12,
I 2х—Зу 4- 2 = 1.
А Данная система является частным случаем системы
трех уравнений с тремя неизвестными. 3 качестве третьего
уравнения можно рассматривать, например, первое
уравнение, второе уравнение или, наконец, уравнение
0-х4-0 у4-0-2 = 0.
Сложив почленно уравнения данной системы, получим
уравнение
5х— у = 13.
Следовательно, у = 5х—13. Подставив это значение
для у во второе уравнение, найдем
2 = 1 —2x4- 3(5х—13) = 13х—38
Таким образом, любая тройка чисел
х, у = 5х—13, г=13х—38,
где х£/?, является решением данной системы,, и других
решений нет.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений
(х; 5х—13; 1 Зх — 38), х£7?. А
Пример 4. Решить систему
2х4-3у— г = 0,
4х + бу—За = 0.
А Из первого уравнения находим
z = 2х + Зу.
Подставив во второе уравнение, получим
4х + бу—3 (2х + Зу) = 0,
108
т. е. 2х + Зу = 0. Следовательно,
2
у =— ух, z —2х—2х = 0.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений
^х; —у х; С ], хС/?. Д
Пример б. Решить систему
Зх 4~ 8у = 30,
• 2x4-3//— г — 8,
х 4-5^/4- г = 22.
Д Сложив почленно второе и третье уравнения, исклю-
чаем неизвестное z:
Зх 4- 8у = 30
Полученное уравнение совпадает с первым уравнением
данной системы. Следовательно, данная система равно-
сильна системе двух уравнений с тремя неизвестными:
Зх 4- Зу = 30,
х 4“ ор 4_ 2 = 22.
Положим г = с, где с—произвольное число, и решим
систему относительно х и у\
Зх 4- Зу = 30,
х 4-5у = 22—с.
Так как определитель А = | ^ ^| = 7 не равен нулю, то
система имеет решение при любом с. Вычислив опреде-
лители
д. = |гЛ “I"8*-26’ Mi 22-J-36-^
по формулам Крамера находим
8с—26 36—Зс
Х~ 7 'У— 7 •
Таким образом, любая тройка чисел
где является решением системы, и других решений
данная система не имеет.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений
1 —у — ; —у— ; с 1, с—произвольное число. А
109-
При решении систем двух уравнений с двумя неизвест-
ными использовались определители второго порядка (§11).
Аналогично, при решении системы (1) грех уравнений
с тремя неизвестными иногда удобно использовать опре-
делители третьего порядка.
Определитель
bi
^2 С2
Ьз сз
at
а2
Д =
«з
называется определителем системы (1). Можно доказать,
что если определитель Д^О, то система (1) имеет един-
ственное решение, которое может быть найдено по фор
мулам
где Дх, А,,, Д7—определители, получающиеся из опреде-
лителя Д заменой соответственно первого, второго,
третьего столбцов столбцом из свободных членов системы (1).
Формулы (3) называются формулами Крамера для си-
стемы (1) трех уравнений с тремя неизвестными.
Если Д = 0, тс система (1) либо не имеет решений,
либо имеет бесконечное множество решений, которые
могут быть найдены методом исключения.
Пример 6. Решить систему
f 2x4- 3//+ 14,
< Зх— z/ + 2z = 5,
I х + 2у— z = 7.
Л Вычислим определитель системы
2 3
3 —1
1 2
Д =
= 2-(- 3)- 3-(—5)4-17=16.
Так как Д-У=0, то спсгема имеет единственное решение.
Вычислим теперь ДЛ., Ду и Дг:
310
Подставив найденные значения определителей в фор-
мулы Крамера (3), получим
Д£_32_2 Лр_48_3 __Дг_1б_1
д ~16~А У- д _1б~г—
Ответ-, (2; 3; 1). Д
Пример 7. Определить, при каких значениях а
система уравнений
их+ у-1 2=1,
X 4- ау + 2 =/£?,
х + у + az —az
имеет единственное решение, бесконечное множество ре-
шенйй, не имеет решений.
Л Вычислим определитель системы
нн
= а(а2— 1)—(а— 1) + 1 —а —(а— 1) (а2 + а—2) =
= (а-1)2 (а + 2).
При всех значениях а, кроме а=1 и а =—2, опреде-
литель системы не равен нулю и, следовательно, система
имеет единственное решение. При а=1 система равно-
сильна одному уравнению с тремя неизвестными
x+y+z— 1,
которое имеет бесконечное множество решений.
Докажем, что при а — —2 система не имеет решений.
Допустим противное: пусть (х0; t/0; z0)—решение Тогда
—2х0 + у0 + z0 = Г,
*о —2«/0+ z0 = —2,
х0 + ус —2z0 = 4.
Сложив почленно эти три уравнения, получаем 0=3,
т. е. сделанное предположение неверно.
Ответ: при а — —2 система решений не имеет, при
а=1 система.имеет бесконечное множестзо решений, при
всех остальных значениях а система имеет единственное
решение. Д
2. Системы линейных уравнений с п неизвестными.
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвест-
ными. При большом числе неизвестных и уравнений
111
неизвестные обозначаются одной буквой с разными ин-
дексами, например
Xi, Х2, . . . , Хп,
а коэффициенты уравнения — буквой с двумя индексами-,
например
air где 1 = 1, 2, .... т, j=l, 2, .п.
Здесь первый индекс обозначает номер уравнения, а вто-
рой— номер неизвестного, при котором стоит этот коэф-
фициент.
В таких обозначениях система трех линейных урав-
нений с тремя неизвестными имеет вид
(0ц*1 4- «1»*а Ь =- bt,
021*1 “I” 022*2 4" 023*3 = Ь3,
031*1 4- 032*2 4” 033*3 Ь3<
Система m линейных уравнений с п неизвестными
имеет вид
| 0Ц-У14~012*2 4- • • • 4-0i„*B —bi,
J 021*1 4- 022*2 4- • • • 4- 02п*л —Ьц
! 0ОТА 4- 0М*2 4- • • • + 0,вв*„ = ьт.
Зачистим, что число неизвестных п и число уравне-
ний т в общем случае между собой никак не связаны.
Возможны все три случая:
т — п, т<_п, т>п.
Решением уравнения с п неизвестными xlt х2, ..., хп
называется любая конечная последовательность из п чисел
{ср, ср, сп) такая, что при х^ — с^ х, = с2, ..., хп--=сп
уравнение превращается в верное числовое равенство.
Решением системы (1) называется любая конечная
последовательность из п чисел ер, ...; с,>, которая
является решением каждого из уравнений системы.
Как и системы с двумя и тремя неизвестными, си-
стемы пг линейных уравнений с п неизвестными решаются
методом исключения неизвестных.
Решение системы из т уравнений с п неизвестными
исключением одного из неизвестных всегда сводится
к решению системы из т—1 -уравнений с п—1 неиз-
вестными.
112
В частности, решение системы из четырех уравнений
с четырьмя неизвестными сводится к решению системы
трех уравнений с тремя неизвестными.
Пример 1. Решить систему
2х3 + х2—4х3 + 3,х4 = —4,
—4.г2 + Зх3—2л4 = — 1,
Зх4 4“ 2х2—2х3 -f” *4 3,
2хх 4- 4х2—2х3—Зх4 = 6.
А Сначала из. первого, третьего и четвертого уравне-
ний исключаем неизвестное хц Для этого второе уравне-
ние умножим па 3 и вычтем почленно из третьего урав-
нения, а затем снова второе уравнение умножим на 2
и вычтем почленно из четвертого и первого уравнений.
Получим следующую систему:
| хх— 4х24- Зх,—2х4 = —1,
14х2 — 11х3 4- 7х4 = 6,
12х2— 8х3 + *4 = 8,
9х2— 10х3 4- 7х4 — —2,
равносильную данной системе.
Решение этой системы сводится к решению системы
трех последних уравнений с тремя неизвестными:
( 14х2—11х34-7х4 = 6,
; 12ха— 8х3 4- х4 = 8,
| 9х2 — 1Сх, + 7х4 = —2.
Такие системы уже решались в предыдущем параграфе.
Решив ее одним из известных методов, например методом
исключения неизвестных, найдем х2 = 2, х3 = 2, х4 = 0,
а затем из уравнения
хх—4х2 + Зх3—2х4 = — 1
найдем хх:
хх = —1 + 4-2—3-2 + 2 0=1.
Таким образом, последовательность из четырех чисел
(1; 2; 2; 0) является решением данной системы, и других
решений нет.
Ответ: (1; 2; 2, 0).Д
па
Пример 2. Решить систему
Xi — х34-2х4 = 6,
®1 4* ' АГ3 + Х4 = 4,
2х4—х24-Зх3—2х4=1, ''
Зх4—х24- х3— х4 = 0.
А Применим метод Гаусса. В первом уравнении коэф-
фициент при хг не равен 0 (если бы он оказался равным О,
в качестве первого уравнения следовало бы взять то,
в котором он не равен 0). Исключим неизвестное хг
из третьего и четвертого уравнений системы. Для этого
первое уравнение системы вычтем из второго уравнения;
первое уравнение системы умножим на 2 и вычтем из
третьего уравнения; первое уравнение системы умножим
на 3 и вычтем из четвертого уравнения.
Получим систему, равносильную данной:
Xi—х34-2х4 = 6,
х2—= —2>
—х24- 5х3—6х4 = —11,
—xi 4- 4х3—7х4 ——18.
(3)
Исключим хг из третьего и четвертого уравнений си-
стемы (3). Для этого сложим второе уравнение, системы
сначала с третьим, а затем с четвертым.
В результате получим систему, равносильную данной:
Xi—x34-2x4 = G,
х2 —х4-=—2,
5х3—7х4 = —13,
4х3—8х4 = —20.
(4)
Исключим теперь неизвестное х3 из третьего и четвертого
уравнений системы (4). Для этого третье уравнение си-
стемы (4) разделим на 5, умножим затем на 4 и вычтем
из четвертого уравнения.
Получим треугольную систему, равносильную данной;
। х4 — х3 4~ 2х4 = 6,
| х2—х4 = —2,
5х,—7х4 = —13,
12 48
- 5 “ 5 •
(5)
ш
Найдя из четвертого уравнения системы (5) xi — 4, под-
ставим это значение в третье уравнение системы и найдем
х3=^3; из второго уравнения системы находим х2 = 2, а из
первого—%!=!. Решением системы будет последователь-
ность (1; 2; 3; 4).
Ответ: система имеет единственное решение (1; 2; 3; 4). А
Пример 3. Решить систему
!Х1 + Х2 + Х3 + Xi ~ 2,
2лу н- Зх2 4- х3 4- х4 — 6,
Лк + х2—х3 = 4.
А Решим эту систему трех уравнений с четырьмя неиз-
вестными методом Гаусса. Из второго уравнения вычтем
почленно первое уравнение, предварительно умноженное
на 2, из третьего уравнения вычтем первое. Получи.м
треугольную систему уравнений
Х1 + Х2 + Х» Ч" Х4 — 2,
х2—Х3 ^Х1 = 2,
— 2х3—х4=-2,
равносильную исходной системе. Положив xi — c, где с —
произвольное число, из третьего уравнения системы на-
ходим х3 = —1—у, из 'второго находим х2=14~у, из
первого получаем xt = 2—с. Таким образом, любая после-
довательность из четырех чисел ( 2—с; Х+у I —1 — у; с : ,
где является решением данной системы, и других
решений система не имеет.
Ответ: система имеет бесконечное множество решений
(2—с; 1 + у, -1— у; с),
Вопросы для контроля
1. Что называется решением системы трех линейных уравнений
с тремя неизвестными?
2. В чем заключается метод Гаусса?
3. Запишите формулы Крамера для решения системы трех ли-
нейных уравнений с тремя неизвестными.
4. В каком случае формулы Крамера для решения системы трех
линейных уравнений с тоемя неизвестными неприменимы?
5. Приведите пример какой-либо системы трех линейных уравне-
ний с тремя неизвестными, которая а) имеет единственное решение;
б) имеет бесконечное множество решений; в) не имеет решений.
115
G. Как записывается линейное уравнение с п неизвестными в об-
щем виде?
7. Что называется решением уравнения с п неизвестными?
8. Что называется решением системы т уравнений с п неиз-
вестными?
9. Может ли однородная система т уравнений с п неизвестными
не иметь ни одного решения?
Упражнения •
3.2 6. Решите следующие системы.
1)
3)
Зх— У г— 4 = 0,
х-\-2у— г— 4 = 0,
2х + у+9г — 16 = 0;
х—2</ + 2г = — 5,
2х+ у— г = 5,
7х-\- у— г— 10;
2)
4)
— z — 7,
2х — у+ г = 2,
Зх — 5у+2z = —7;
х+2г/+3г—13 = 0,
3x-j-2y-j-2z — 16 = 0,
4х—2</-|-5г— 5=0.
3.? 7. Решите следующие системы:
। Xi —2xs+4xs = 6, ( 2хх'-3х2-р х3 = 2,
1) г 2x1— х2 + Зх3=11, 2) 2xi+ х2—4х3 = 9,
I 4xt+ х2—5х3 = 9; I Cxi--5x2-r 2х3= 17;
г Xi + 2x2— х3 = 9, / 2xi+ х2—Зх3=—1,
3) s 2xi— х2+3х3=13, 4) . Xi—Зхг+2х3 = 10,
I 3xi+2x2—5х3 = — 1; < Зхг—4xs— х3 = 5<
3.28. Or ределите, имеют ли решение следующие системы:
- Зх + 4 у + 1 = 0, । Зх — у = 3,
1) J 2х—бу—30 = 0, 2) J 4x-h7y=4,
I 4х—2у —12 = 0; ( — х+6^ = 9,
3.29. Прямая задана уравнением
4х—бу—1 =0.
Установите, проходит ли она через точку пересечения прямых,
заданных уравнениями
2x+3i/—17 = 0,
х + 2г,-—10 = 0.
3.30. Решите системы четырех линейных уравнений с четырьмя
неизвестными:
' Зх + 4у— г— н = 3,
1)
2х— у — 2z+2u = 9,
x + 3r/+5z — 4u = 2,
2)
. 4х—8у—3г+3н= 10;
Xi + x2+x3 + x4 = 0,
Х1—Х2 —х3 + х4 = 0,
Xi + xa—х3 — х4 = 0,
Х1+х2+л3— х4 = 0;
{Xi + х2—3х3+2х4 = 6,
х2+ х3 + Зх4=16,
Xi—2х2 — х4 =—6,
2X1—Зх2 + 2х3 =3>
4;
х + 2у + г = 8,
у + 3г 4- и = 15,
4х + г+ и— 11,
x-j-y +5и = 23,
116
3.31. При каких значениях а система уравнений
г x4-at/4-2z = 0,
< 2х-\- p4-3z = 0,
I 4х— у+7г = 0
имеет единственное решение?
3.32. При каких значениях а система уравнений
I 8х+ y-j-4z = 0,
- ах— у 4- z = 0,
I a2x4- 3z/+2z — О
имеет бесконечное множество решений?
§ 14. Неравенства и системы неравенств
1. Неравенства с. одним неизвестным. Неравенство
вида f(x)<g(x) иля f(x)^g(x), где f (х) и £(х) —неко-
торые функции, называется неравенством- с одним неиз-
вестным х (или с одной переменной х).
Неравенства вида f(x)<g(x) называются строгими,
& неравенства вида f (х) eCg (х)—нестрогими. В дальней-
шем все определения и утверждения, как правило, будут
формулироваться для строгих неравенств.
Число а называется решением неравенства с одним
неизвестным, если при подстановке числа а вместо неиз-
вестного в неравенство получаем верное числовое нера-
венство.
В этом случае говорят, что щисло а удовлетворяет
неравенству f (х) < g(x).
Например, число 0 является решением неравенства
2х + 1 > 0, так как 2 • 0 + 1 = 1 > 0, а число —1 не яв-
'ляется решением, так как 2-(—1)+1 =—1 < 0.
Требование «решить данное неравенстве» означает —
найти все решения этого неравенства или показать, что
оно не имеет решений.
Пример 1. Решить неравенство
Зх— 1 > 0.
А Очевидно, что если некоторое число удовлетворяет
данному неравенству, то оно удовлетворяет и неравенству
х>~, и наоборот. Следовательно, любое число, удовлет-
воряющее неравенству х>-|-, является решением дан-
ного неравенства, и других решений око не имеет.
Ответ: (у; + оо Д
117
Ответ можно записать и так: х>у. Такая запись
ответа также является правильной и допустимой.
Пример 2. Решить неравенство х2 < 0.
Л Данное неравенство не имеет решений, так как квад-
рат любого действительного числа больше нуля (если
х у= 0) или равен нулю (если х — 0).
Ответ: решений нет. А
Два неравенства называются равносильными (или вкви-
залентными), если они имеют одно и то же множество
решений. Другими словами, два неравенства называются
равносильными, если каждое решение первого неравенства
является решением второго и каждое решение второго
неравенства является решением первого или если оба
неравенства не имеют решений.
Например, неравенства Зх—1>0 и 6х>2 равно-
сильны. Неравенства х2 > 1 и х > 1 не являются равно-
сильными, так как, например, число —2 является реше-
нием первого неравенства и не является решением второго
неравенства
Пусть заданы два неравенства Л(х)<^(х) и /г(х) <
< g2 (х). Если любое решение первого неравенства
является решением и второго неравенства, то второе нера-
венство называется следствием первого. В этом случае
будем писать
/1 (х) < gi (*) => (х) < Sz (х).
Например, неравенство х2 > 1 является следствием
неравенства х > 1, т. е. х > 1 => х2 > 1.
Очевидно, два неравенства равносильны, если каждое
из них является следствием другого. В этом случае будем
писать
/1 (х) < gi (х) фф /? (х) < g2 (х).
Например,
Зх — 1 > 0 Зх > 1.
Докажем несколько теорем о равносильности неравенств.
1) Неравенство f{x)<g(x) равносильно неравенству
f(x)—g{$ < 0, т. е.
f (х)< g(x)^f (х) — g (х) < 0.
□ Действительно, если х0 — решение первого неравен-
ства, т. е. / (х0) < g (х0), то /Ч)—g(r0) < 0, т. е. х0 —
решение второго неравенства. И наоборот, если х0— ре-
И8
шение второго неравенства, то х0—решение первого не-
равенства
Аналогично доказывается, что
f (®) < g(.X)&g(x)—f(*) > О.ЕЗ
2) Если число т положительное, то неравенство
f(x)<g(x) равносильно неравенству mf (х) mg (х), т. е
(х) < mg (х) фф f (х) < g (х),
Если же т < 0, то
mf (х) < mg (х) ФФ f (х) >g(x).
□ Пусть т > 0. Из свойств числовых неравенств еле
дует: если х0 такое, что f(x0) < g(x0}, то mf (х0) < mg(x0)
н наоборот. Эго и означает, что если х0— решение нера-
венства f(x) < g(x), то х0—решение и неравенства
mf (x)>mg (х), и наоборот. Следовательно, mf (х) < mg (х)<=>
&f(x) < g(x), если tn > 0. Аналогично доказывается,
что mf (х) < mg (х) ф> f (х) > g (х), если т < 0. ЕЗ
2. Линейные неравенства. Неравенства с модулем.
Линейные и квадратные неравенства подробно изучались
в школе. Напомним соответствующие определения и ме-
тоды решения.
Неравенства вида
ax-\-b> рх + q или ах -г b рх 4- q,
где a, b, р, q — некоторые числа, называются линейными.
Обе части линейного неравенства являются линейными
функциями.
Решение линейных неравенств сводится к решению
неравенств вида
ах > b и ах < Ь,
где а и b—некоторые числа. Очевидно, что
1) если а > 0, то
ах> b & х>
а
ах <_Ь & х < —,
а
т. е. множеством решений неравенства ах > Ь является
бесконечный интервал 4-то), а множеством реше-
ний неравенства ах < Ь —-бесконечный интервал —ос; ;
J19
ax > b & х
ax <b &x
b_
a ’
b_
a ’
т. e. множеством решений неравенства ax > b является
интервал —оо; а неравенства ax < b—интервал
+°°)-
Случай a = 0, т. e. неравенства вида С'Т>Ьи0х<1>,
следует рассмотреть особо. Действительно, если b > 0, то
неравенство 0-х > b не имеет решений, а неравенству
0-х <!? удовлетворяет любое действительное число. Если
b < 0, то неравенство О х <6 не имеет решений, а нера-
венству Ох > b удовлетворяет любое действительное число.
Если Ь — 0, то неравенства 0 х>& и'0-х< & решений
не имеют.
Пример 1. Решить неравенства:
а) 2x4- 1 > -£*— 2;
б) х 4-1 > х 4- 2;
в) 2х 4- 2 > 2х 4- 1 •
Да) 2x4- 1 > 1-х—2 <=>4-х > — 3« х>—6;
л
6)х4-1>* + 2ф>0-х>1; следовательно, данное не-
равенство решений не имеет,
в) 2x4-2 > 2x4-1 фэ 0-х > — 1; следовательно, дан-
ному неравенству удовлетворяет любое действительное
число, т. е. множество решений—это множество R всех
действительных чисел. А
Пример 2. Решить неравенство 2х 4-1 х | < 1.
дДанное неравенство не является линейным, однако
его решение сводится к решению линейных неравенств.
Действительно, если рассматривать только х^О, то
2х4-|х| = 3х и, следовательно, данное неравенство при-
нимает вид Зх <_ 1. Его неотрицательными решениями
будут все числа из промежутка ^0; у).
Пусть теперь х < 0; тогда 2х4-|х| = 2х—х — х и дан-
ное неравенство принимает вид х<1. Его отрицатель-
ными решениями будут все числа х < 0.
120
Объединив неотрицательные и отрицательные решения
данного неравенства, получим, что любое число х << у
является решением и других решений нет.
Ответ: х < — А
О
Пример 3. Решить неравенство
| х—1| < j х + 21 4- 1.
Л Разобьем числовую прямую на три промежутка:
х<—2, —2^х< 1, х>1.
Если х<—2, то данное неравенство принимает вид
— х+1<—х—2+1, т. е. 0-х<—2. Отсюда следует,
что на промежутке (— оо; —2) решений нет.
Если —2^х<1, то данное неравенство принимает
вид — х + 1 < х + 2 + 1, т. е. 2х >— 2, откуда х > — 1.
Поэтому на промежутке [—2, 1) решением будет любое
х€(-1; 1)-
Если х^1, то данное неравенство принимает вид
х—1<х + 2+Г, т. е. 0-х <4. Поэтому на данном про-
межутке решением неравенства будут числа х^>1.
Объединив полученные решения, получим множество
всех решений: х> — 1-
Ответ: х~> — I. А
3. Квадратные неравенства. Неравенства вида
ах2 + Ьх + с> 0, ах?+Ьх + с < 0,
где а, Ь, с—некоторые числа, причем а#=0, называются
квадратными.
Известно, что если дискриминант квадратного урав-
нения D > 0, то квадратный трехчлен можно представить
в виде
ах2 + Ьх + с = а (х— xt) (х—х2),
где х,, х2—корни квадратного уравнения
ох2 + Ьх + с —0. (1)
Если D — 0, то
ах" + Ьх + с = а(х—х0)2,
где х0 = х1 = х5 — корень квадратного уравнения (1).
Если D > 0, то квадратичная функция у — ах" ч- Ьх + с
обращается в нуль в двух точках x — xt и х = х2 и в этих
точках меняет знак. Действительно, пусть для опреде-.
121
ленности Xi < х2; тогда
(х—Xj)(x—хг) > О,
(•*—xj(x—х2) < О,
(х—xj (х—-х2) > О,
если х < х1;
если хх < х < XgS
если х > х2.
Следовательно, если D > 0, то на интервалах (—оо; хх)
и (х2; + оо)
ах’ + Ьх 4- с > 0, если а > О,
ах2 + Ьх -и с < 0, если а < О,
а на интервале (хг; х2)
ах2 4- Ьх 4- с < 0, если а > О,
ах2 4 &х4 с > 0, если а < О
Если D = 0, то квадратичная функция у — ах2 + Ьх-\-с
обращается в нуль только в одной точке х = х0 и не ме-
няет знака:
ах2 4- Ьх 4- с > 0, если а > О,
ах2 4- Ьх 4- с < 0, если а < О,
для любого х=/=хс.
Если D < 0, то квадратное уравнение (1) не имеет
действительных корней, т. е. квадратичная функция
у = ах2 4- Ьх4- с не обращается в нуль и не меняет знака,
а именно: ах2 4 Ьх 4- с > 0, если а > 0, и ах2 4- Ьх 4- с < О,
если а < 0, для любого х t R
П р и м е'р 1. Решить неравенства:
а) х2 — 5х — 6 > 0; б) х2—5х—б < 0;
в) х2—5х—б.>0; г) х’—5х—6<20.
Да) Квадратное уравнение х2—5х—6 = 0 имеет два
корня: хх = —1, х2 = 6. Следовательно,
х2—5х—6=(х4~ 1) (х—6),
поэтому х2—5х—6 > 0, если х < — 1 или х > 6.
б) х2—5х—G < 0, если —1 < х < 6.
в) Чтобы решить неравенство х2— 5х—6^0, нужно
к решениям неравенства а) присоединить еще числа —1 и
6, которые также являются решениями данного нера-
венства. Следовательно, х 4С—1 или х^б.
г) Из б) и в) следует, что —1 ^х^б. А
Пример 2. Найти интервалы знакопостоянства
квадратичной функции у = —2л2—7x4-4.
122
А Уравнение —2x2—7x4-4 = 0 имеет два корня: хг=*
= —4, х2 = 0,5. Следовательно, у = —2 (х 4- 4) (х—0,5),
и поэтому, если х < —4, то у < 0; если —4 < х < 0,5,
то у > 0; если х > 0,5. то у < 0.
Ответ: положительна на интервале (—4; 0,5) и отри-
цательна вне отрезка [—4; 0,5]. А
Пример 3. Решить неравенства:
а) —х?4-6х—9 > 0; б) —х24-6х—9 < 0;
в) —х2-+-6х—9^0; г) —x2-t-6x—9=sC0. (
ЛОчевидно, что —х24-6х—9 = — (х—З)2. Следова-
тельно, —х24- 6х—9 < 0 для любого х^З и —х24- 6х—
— 9 = 0 для х = 3.
Ответ: а) решений нет; б) любое хт^З; в) х = 3;
г) любое xg/?. А
Пример 4. Решить неравенства:
а) x2-|-6x-t- 10 > 0; б) х24- 6x4- 10 < 0;
в) х2 4- 6х 4-10 0; г) х2 4- 6х 4- Ю 0.
А Квадратное уравнение х2-) 6x4-10 = 0 решений не
имеет. Следовательно, квадратичная функция р = х24-
4-6х4-Ю нигде не обращается в нуль и не меняет знака.
Так как у > 10 при х = 0, то х2 4-6x4-10 > 0 для лю-
бого х£/?.
Ответ: а) любое x$R; б) решений нет; в) любое
х£/?; г) решений нет. А
4. Рациональные неравенства. Неравенства вида
Р1(х) Р2 (X)
<?1(х) <А(х)’
где РДх), ^Дх), Р 2(х) и <?2(х)—некоторые многочлены,
называются рациональными. Простейшими примерами ра-
циональных неравенств являются линейные и квадрат-
ные неравенства.
Методы решения рациональных неравенств проиллюст-
рируем на примерах.
Пример 1. Решить неравенство ^^>1.
А Данное неравенство равносильно неравенству
и поэтому любое число х > 2 является решением и дру-
гих решений нет.
Ответ: х > 2. Д
Пример 2. Решить неравенство > 1.
123
Д Очевидно, что
*+1 - 1 *+1
2-х 2-х
0 ° fey > °'
i
Отношение двух чисел положительно тогда и только
тогда, когда числитель и знаменатель одного знака. По-
этому из последнего неравенства следует, что если
2л— 1 > 0, то и 2—х>0, т. е. х должно удовлетворять
двум неравенствам х > и х < 2. Следовательно, любое
{ 1 о'
число из интервала (-%; 2 । является решением.
Если же 2х—1 < О, то и 2—х<0, т. е. х должно
удовлетворять неравенствам х < у и х > 2. Очевидно,
что таких чисел нет.
Ответ'. -у < х < 2. А
Пример 3. Решить неравенство + !•
Д < 2х+ 1 & х-±^±—2х-1 < 0
Ф^х(х—2)(х—1) > 0.
Решая последнее неравенство методом интервалов (рис. 12),
получим 0 < х < 1, х > 2. Д
——о
0 О
© ®
-«—О о
1QZ
Рис. 12
5. Системы неравенств. Число а называется решением
системы неравенств с одним неизвестным, если оно явля-
ется решением каждого неравенства системы.
Например, число 1 является решением системы двух
неравенств
х2 -j- х— 1 > 0,
х + 2>0,
а число —2 -не является решением этой системы, так как
оно не является решением второго неравенства, хотя и
является решением первого неравенства.
124
Решить систему неравенств—значит найти множество
всех решений системы.
Две системы неравенств называются равносильными,
если они имеют одно и то же множество решений.
Приемы решений систем неравенств рассмотрим на
конкретных примерах
Пример 1. Решить систему неравенств
( Зх<%4-2,
х + 1 < х + 2.
Д данная . система равносильна системе <
{ х < 2.
Ответ: х < 1. А
Пример 2. Решить систему неравенств
J 2х + 1 > х + 2,
| х—1>2х.
ДДанная система неравенств раьнусильна системе
[ х > 1,
< J х так как каждое неравенство системы заменено
равносильным неравенством. Полученная система не имеет
решений, следовательно, и данная не имеет решений. А
Пример 3. Решить систему неравенств
[ х2—Зх + 2^0,
' х—хг + 2>0.
ДДанная система равносильна системе
1 (х—1)(х~2)>0,
( — (Х+ 1)(х—2)>0.
Решая первое неравенство системы методом интерва-
лов, получим (рис. 13) х<1 или х^2.
Рис. 13
-1 Z
Рис. 14
Решая второе неравенство системы, получим (рис. 14)
—1 <х<2.
125
Объединяя найденные числовые промежутки, получим
— 1<х^1 и х = 2.Д
Пример 4. Изобразить на координатной плоскости
хОу множество решений системы неравенств
t/^sx + 3,
3.
(1)
Л На координатной плоскости хОу множество всех
решений неравенства у'^х 4-3. изображается п виде мно-
жества точек полуплоскости, лежащих выше (над) прямой
у = х4-3 и на этой прямой (рис. 15).
Аналогично, множество решений неравенства
—%4-3 изображается в
УА виде множества точек полу-
плоскости, лежащих ниже
(под) прямой у=—х-рЗ и
на этой прямой (рис. 1G).
Ясно, что системе нера-
венств (1) удовлетворяют ко-
ординаты тех и только тех
точек, которые принадлежат
пересечению множеств точек,
задаваемых каждым из не-
равенств системы (на рис. 17
искомое множество покрыто
двойной штриховкой). Д
123
Пример 5. Решить систему неравенств
J 2у—3x4- 5 < О,
( Зу 4- 4х—1 > 0.
Л1) Выражаем у из каждого неравенства системы:
{.. 3 5
У < 2 Х 2 ’
' л 1
у>-|х+4.
2) Строим прямые у = -',х— и у = —7х + 4"-
3) Первому неравенству системы будут удовлетворять
координаты всех точек полуплоскости, лежащих ниже
Рис. J8
прямой у = — х—у; второму неравенству системы будут
удовлетворять координаты всех точек плоскости, лежа-
4 1
Щих выше прямой у=—tx4~v-
о <5
4) Данной системе неравенств удовлетворяют коорди-
наты тех и только тех точек плоскости, которые явля-
127
ются общими для первого и второго из указанных мно-
жеств точек (на рис. 18 искомое множество точек по-
крыто двойной штриховкой). А
Вопросы для контроля
1. Что называется решением неравенства с одним неизвестным?
2. Какие два неравенства называются равносильными?
3. В каком случае одно неравенство является следствием другого?
4. Какое неравенство называется линейным?
5. Какое неравенство называется квадратным?
6. Приведите приме? квадратного неравенства, которое яэ имеет
решений.
7. Дайте определение рационального неравенства.
Упражнения
3 33. Решите неравенства:
1) 5(х—1)—х(7—х) < х2;
3) ^+8 >
2) (х—3)? < х(х+2)+3;
4) 5_±<Z_l*+ie
> 3 < 2 8
3. 34. Решите неравенства:
1)х+1<|х|; 2) | Зх—9 | > 4х—5;.
3) I3x-6j < х+2; 4) -3|х+20Г<- 20;
б) ]х+3| >|х—2|; 6) |Зх-2|—5< |х4-1|<
3. 35. Решите неравенства:
1) х24-х —бТаО; 2) х2 —2X-L-37&0;
3) Зх2 — 19х-|-6 < 0; 4) х24-9 < 6х;
б) 2х24-3х—5<0; 6) х(х4-5)<2(х24-2);
7) Ох2.—7x 4-2 > 0; 8) (Х4-4) (х4-6) < 6 (х 4-6).
3.36. Решите неравенства:
Dg^+K», 2)£±1>3;
3) > °' ;
X г— 1 z-З . 5—у 2
0J 4г4-5 4>—3 ’ 1 у-6 < 3 ’
3.37. Решите системы неравенств:
х4-2 > 2x4-3,
2х 4* 8 х* Зх -|- о;
2 (2х—3) < 5х—
о к 15х—8
8х-5 < - — ;
Зх—5 > 23 — 4х,
7х-|- 3 < 9х— I,
4х—5
——< х4-3,
Зх 4- 8 _ . .
-j— > 2x4-4.
128
3.38. Изобразите на координатной плоскости хСЛ/ множество ре-
шений каждой из следующих систем неравенств:
| * + !/< I >
1 !/=э0,
2
(/<--х + 4,
^Г + 4;
4)
6)
S)
— 4<xss6,
—3 < у 2;
( х— 15э0,
у— 1тэ0,
х+ у— 3s? О,
— 6х—7;/ + 42>0;
j 2х-т-у—2 > О,
| х—2y-j-2 < 0.
§ 15. Понятие о задачах линейного программирования
Начнем с рассмотрения одной простой задачи о пере-
возке- хлеба.
Пример. Для снабжения трех районов города хле-
бом, имеются два хлебозавода. Первый район ежедневно-
потребляет хлеба 26 т, второй —14 т, третий —16 т.
Хлебозавод № 1 выпекает ежедневно 30 т хлеба, а хле-
бозавод № 2—20 т. Стоимость в рублях доставки-одной
тонны хлеба с каждого хлебозавода каждому району при-
ведена в таблице
Хлебозавод Район
1 2 3
№ 1 3 4 6
№ 2 3 5 2
Требуется составить наиболее экономный план (про-
грамму) перевозки хлеба.
Д Обозначим через х число тонн хлеба, которое бу-
дет перевозиться с хлебозавода № 1 в первый район, а
через у—число тонн хлеба, которое будет перевозиться
с этого хлебозавода во второй район. Тогда в третий
район с хлебозавода № 1 будет перевозиться 30—х—«/тонн.
Так как первый район ежедневно потребляет 26 тонн
5 Алгебра, ч. 1 129
хлеба, то 2G—х тонн нужно доставлять с хлебозавода
№ 2. Аналогично с хлебозавода № 2 нужно доставлять
второму району 14—у, а третьему району х-]-у—20 —
тонн хлеба.
Следовательно, ежедневный план перевозок хлеба
можно представить таблицей
Хлебозавод Район
1 2 3
№ 1 X У 30 — х — у
№ 2 26-х 14-1/ х-\-у — 20
Легко видеть, что стоимость S всей перевозки равна
сумме попарных произведений чисел из первой таблицы
на соответствующие числа второй таблицы:
S — Зх -4- 4г/ -j- 6 (30—х—у) + 3 (2G—х) +
4 5(14-</) + 2(х + у-20),
т. е.
5 = 288—4х—5у. (1)
Так как количество хлеба, привозимого в данный
район города, не может быть отрицательным, то все числа
второй таблицы должны быть неотрицательными:
х>0,
.#>0,
30—х—
26—х>0, ’• >
14—
I х + у—20^0.
Стоимость 5 можно рассматривать как функцию точ-
ки М, координаты которой удовлетворяют неравенствам
(2). Множество всех таких точек является многоуголь-
ником ABCDE (рис. 19). Функцию S называют целевой
функцией.
Покажем, что целевая функция S свое наименьшее
значение принимает в одной из вершин мнегоугольника
ABCDE.
Пусть функция S принимает значение с в некоторой
течке М многоугольника ABCDE. Очевидно, что эго же
130
значение она принимает, во всех точках прямой I, задан
ной уравнением
288—4х—5у = с. (3)
В частности, стоимость S равна с в точках пересече-
ния прямой I с границей многоугольника ABCDE.
Очевидно, что если при некотором значении с прямая
(3) проходит через внутренние точки многоугольника
ABCDE, то и любая прямая, заданная уравнением
288—4х — 5у — с—6,
при достаточно малом 6 > 0 также проходит через вну-
тренние точки многоугольника ABCDE. Поэтому такое
значение функции S не может быть минимальным, и,
следовательно, наименьшее значение она принимает на
прямых, заданных уравнением вида (3), которые пересе-
каются только с границей многоугольника ABCDE.
Легко видеть, что любая прямая, которая пересека-
ется только с границей многоугольника, обязательно
проходит через его вершину. Отсюда следует, что целевая
Функция 5 принимает наименьшее значение в одной из
вершин многоугольника ABCDE.
Найдем теперь значения S в каждой из вершин мно-
гоугольника ABCDE:
S(A) = 288—4-6 — 5-14— !94,
S(B) = 288—4-16 —5-14=154,
S(C) = 288—4-26—5-4=164,
S(D) = 288 — 4-26 = 184,
S(£) = 288-4-20 = 208.
5*
131
Отсюда видно, что наименьшее значение S равно 154
и принимается в точке В, т. е. при х=1&, //=14.
Таким образом, самый экономный план (самая эко-
номная программа) перевозки хлеба задается следующей
таблицей:
Хлебозагод Район
1 2 3
№ 1 16 14 0
№ 2 10 0 10
Заметим, что наибольшее значение стоимости S равно-
208 и принимается в точке Е (20; 0). Соответствующий
план перевозок является самым дорогим. По сравнению
с ням самый экономный способ перевозки дает экономию
в 54 рубля ежедневно, а за год около 20 тысяч рублей. А
Мы рассмотрели простейшую транспортную задачу.
Многие вопросы экономики и планирования сводятся к
подобного рода задачам.
Заметим, что в рассмотренной задаче целевая функ-
ция является линейной функцией своих переменных и
ограничения задаются линейными неравенствами. Поэтому
такие задачи называются задачами линейного программи-
рования. Таким образом, задачи линейного программиро-
вания—это задачи нахождения оптимальных производст-
венных программ в случае, когда целевая функция и
ограничения линейные.
Упражнения
3.39. Найдите наибольшее значение функции s — 2(x-J-y) при
условии, что х и у удовлетворяют ограничениям:
< Зх—2у-{-6^0,
Зх+ у — 3^5 0,
( 3-х 5s 0.
3.40 Найдите наименьшее значение функции s=12x-|-4z/ при
условии, что х и у удовлетворяют ограничениям:
(х+у — 2^0,
у—хРг0,
2х-15?С,
4— у 5=0.
3.41. Два хлебозавода выпекают хлеб для трех населенных пунк-
тов, хлебозавод № 1 выпекает ежедневно 40 т хлеба, хлебозавод
132
№ 2- 20 т. Населенный пункт № 1 ежедневно потребляет 30 т хле-
ба, населенный пункт № 2—20 т, населенный пункт № 3—10 т.
Стоимость доставки одной тонны хлеба в рублях с каждого хлебо-
завода в каждый населенный пункт задана таблицей
Хлебозавод Населенный пункт
1 2 3
№ 1 3 4 5
№ 2 3 5 2
Требуется составить наиболее экономный план доставки хлеба.
Глава 4
ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛЫ
§ 16. Функции
1. Понятие функции. Одним из. важнейших математи-
ческих понятий является понятие функции. В этом по-
нятии наиболее ярко воплощается материалистическая
природа математики, ее тесная связь с различными яв-
лениями реальной действительности.
Вы уже знакомы с некоторыми конкретными видами
функций: линейной, квадратичной, рациональной и т. д.
Дадим определение функции в общем виде.
Пусть заданы множества А и В. Через х обозначим
произвольный элемент множества А, а через у — произ-
вольный элемент множества В. Тогда, если каждому
элементу х по какому-то правилу / поставлен в соответ-
ствие элемент у, единственный для каждого х, то гово-
рят, что на множестве А задана функция f со значени-
ями из множества В, и пишут f: А —> В или y — f(x),
х^А. Кроме /' употребляют и другие обозначения: F,g,
ср и т. п.
Например, запись
у^х\ хе[-1; I], (I)
обозначает функцию, заданную на числовом отрезке
[—1; 1], которая каждому числу х из aioro отрезка
ставит в соответствие число у, равное х2.
Пусть задана функция y = f(x), х£А. Тогда х назы-
вается аргументом или независимой переменной, а у—
значением функции или зависимой переменной. Множество
А называется областью определения функции, а множе-
ство всех у, поставленных в соответствие хотя бы од-
ному из х,—множеством значений функции. Область оп-
ределения функции называют также областью значений
аргумента или областью изменения независимой пере-
менной.
Для функции у = х2, xg[—I; 1], областью определе-
ния является отрезок [—1; 1], а множеством значений —
134
отрезок [0, 1]. Для функции
z/ = xa, х£[0; 1],
областью определения является отрезок [0; 1], а множе-
ством значений —отрезок [0, 1]. Для функции
у = х2, x(iR,
областью определения является множество 7? всех дей-
ствительных чисел, а множеством значений—множество
всех неотрицательных действительных чисел.
2. Функции и отображения. Если А и В—множества
точек плоскости или пространства, то функция f: А—> В
называется отображением f множества А в множество В.
Причем, если множество значений отображения [ совпа
дает с множеством В, то говорят, что f отображает мно-
жество А на множество 8. В общем случае в множестве
В может быть элемент, который не соответствует ни од-
ному элементу из множества А.
Если при отображении f: А —> В каждый элемент из
множества В поставлен в соответствие единственному
элементу из множества А, то это отображение называется
взаимно однозначным или обратимым.
3. Числовые функции. Мы будем в основном изучать
числовые функции, т. е. функции, у которых область оп-
ределения и множество значений являются числовыми
множествами.
Примерами числовых функций являются функции
r/ = 2.v-+3, x^R, y — Vx—1,
= x£R, xy-.l.
Другим примером числовой функции является функ-
ция у = [х], x£R. Здесь [х]—целая часть числа х, т. е.
наибольшее целое число, не превосходящее х. Например,
[1] = 1, [1,5] = 1, [—0,2] = —1, |у] = 9-
4. Способы задания функции. Напомним основные
способы задания функции.
На практике широко применяется табличный
способ. Метеорологи, например, составляют таблицы
выпавших осадков в различных пунктах («точках») зем-
ного шара. Эти различные «точки» земного шара высту-
пают в данном случае в роли «значений аргумента», а
количество осадков—в роли «значений функции».
135
Числовые функции чаще всего задаются так называ-
емым аналитическим способом. Эют способ удо-
бен, ко1да множество А является бесконечным. При та-
ком способе указывается область определения функции
(множество А) и формулируется закон (задается формула),
по которому каждому х С А сопоставляется соответству-
ющий ему у G R
Например, функция у = х2, x£R, задана аналитически.
Заметим, что одной и той же формулой можно зада-
вать различные функции в зависимости от указания мно-
жества Д. Так, функции
у — х2, x$R, и у = х2, x£N,
— различные функции; первая —квадратичная функция,
вторая — числовая последовательность вида 1; 4; 9;
1G; .. . ; п2, ...
Если числовая функция, заданная формулой y—j(\'),
определена на множестве тех значений переменной х, при
которых выражение f (х) имеет смысл, то при задании
функции формулой область ее определения обычно не
указывается.
Например, если числовая функция )(х) —х-—5x4-6
определена для всех x£R, то опа обычно задается фор
мулой без указания области ее определения; если функ-
ция 1(х)=х‘ — 5x-t-6 задана на некотором подмножестве
множества R, то зто специально оговаривается.
Если функция задана формулой у — без указа-
ния области ее определения, то предполагается, что
область определения этой функции — множество всех дей-
ствительных чисел, кроме числа 3 Г при х = 3 выражение
4 \
—е не имеет смысла .
х—з )
Иногда числовые функции на различных числовых
промежутках задаются различными формулами.
Такова, например, функция
j 2x4-1, x&R, х < О,
= | x^Z?, х>0.
В случаях,' когда формулу, по которой каждому х£А
сопоставляется y^R, записать трудно (или невозможно),
пользуются словесным описанием способа, задаю-
щего функцию. Таково, например, задание функции [х],
рассмотренной в предыдущем пункте.
136
На практике часто пользуются геометрическим
(или графическим) способом задания функции.
Этот способ удобен, когда аналитически задать
довольно трудно. Кроме того,
при изучении многих процес-
сов используются приборы, ко-
торые не могут «говорить» на
языке формул. Однако с по-
мощью этих приборов получа-
ются кривые, по которым
можно судить о свойствах изу-
чаемой функции.
В медицине, например,
широко используются электро-
кардиографы. С помощью этих приборов можно получить
функцию
электрокардиограммы — кривые, которые отражают изме-
нение электрических импульсов, возникающих в мышце
сердца. Такие кривые помогают врачу
делать правильные заключения о ра-
боте сердца человека..
Геометрический способ задания функ-
ции используется в математике также
для иллюстрации тех или иных
свойств функции.
Множество всех точек плоскости с
координатами х и y~f(x) называют
графиком функции f(x), х$А.
Задать функцию геометрически —
значит задать (изобразить) ее график
(рис. 29).
5. Функция, обратная к данной
функции. Вы уже знакомились с по-
нятием функции, обратной к данной.
Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Рис. 21
Пусть, например, задана функция
z/ = x2, x€[O;2j.
Она определена иа отрезке [0; 2] и принимает любое
значение из отрезка [0; 4] (рис. 21). Как и полагается
функции, она каждому х£[0; 2] ставит в соответствие
единственное y = x2g[0; 4]. Кроме того, эта функция об-
ладает еще таким свойством: каждое у G [0; 4] поставлено
в соответствие единственному х = V у g [0; 2]. Такие функ-
ции называются обратимыми.
137
Функция у— fix'), Д, называется обратимой’, если
каждое значение у из множества значений функции по-
ставлено в соответствие единственному
Пусть В—множество значений функции y=f(x), х£А,
и пусть эта функция f: А—* В—обратимая. Тогда на
множестве В определена функция f-1: В—*А, которая
каждому у£В ставит в соответствие х£Л, для которого
По определению, из
У = {(х), хеА,
следует
x = f~l(y), х^В,
где В—множество значений функции f.
Функция f-1: В—* А называется обратной функцией
к функции /: А —* В.
Очевидно, функция f-1: В—> А имеет обратную.
Именно, обратной к /~3 будет функция f. Поэтому функ-
ции f и f-1 называются взаимно обратными.
Пример 1. Доказать, что функция
у —2х—1, xg[2; 5],
— обратимая, и найти обратную функцию.
Л Уравнение у — ‘2,х—1 при любом у однозначно ре-
шается относительно х:
Следовательно, данная функция—обратимая.
Полученная формула, выражающая х через у, задает
обратную функцию. Чтобы определить эту функцию пол-
ностью, найдем ее область задания.
Обратная функция определена на множестве значений
данной функции. Из условий следует, что этим множест-
вом является отрезок [3; 9].
Следователвно, функция
Х = t/€[3;9],
является обратной к данной.
В полученной записи обратной функции независимая
переменная обозначается через у, а зависимая—через х.
Иногда бывает удобным, чтобы у обратной функции за-
висимая и независимая переменные обозначились так же,
как и у данной функции. Тогда, заменив обозначения х
138
на у и у на х, получим функцию
*£[3;9],
обратную к данной. А
Переобозначение переменных, которое было произве-
дено в конце решения примера 1, удобно в тех случаях,
когда требуется изобразить гра-
фики взаимно обратных функций
в одной системе координат.
Отметим, что графики вза-
имно обратных функций у = /(х)
и y = f~4x) ^всегда симметричны
относительно прямой у = х.
Пример 2. Является ли об-
ратимой функция у = х2, х£[—1, Рис. 22
1]?
Л Эта функция не является обратимой, так как, на
пример, значение У = -^- получается при двух значениях
г£[—1; 1]: х = -^ и х =—(рис. 22).А
6. Четные и нечетные функции. Функция f с обла-
стью определения А называется четной, если для любого
х из множества А выполняется равенство /(—х) = /(х).
Примерами четных функций являются функции
f(x) = x2 + 2, Ж = И + 1>
f(x) = -|x|, f(x) = 2^ + 2-\
определенные на всей числовой прямой, функция f (х) —
= К1 — х2, определенная на отрезке [—1; 1], и функция
f(x) = -^-, определенная для всех х=^0.
Отметим, что график четной функции симметричен
относительно оси ординат (например, рис. 23). Это свой-
ство четной функции можно ис-
пользовать при построении ее
графика. Именно, можно пост-
роить ее график Для х.>0 и
отразить получившуюся кривую
симметрично относительно оси ор-
динат. ’
Функция f с областью опре-
деления А называется нечетной,
13Э
если для любого х из множества А выполняется равенство
/(-Л-) = -/(.Т).
Примерами нечетных функций являются функции
Нл-) = х3, /(т) = х-|х|, /(х) = 2--2-\
определенные на всей числовой прямой, функция f (х)—
= х]А1—х2, определенная для хф[—1; 1], и функция
f(x) = y, определенная для всех ЛтФО.
Заметим, что график нечетней функции симметричен
относительно начала координат (например, рис. 24). Этим
свойством нечеткой функции можно пользоваться при
t построении ее графика, а именно, по-
। строить график функции для х^О и
/ отразить его симметрично относитель-
по начала координат.
/ Числовое множество А назовем сим-
! матричным относительно начала ко-
I ординат, если этому множеству вместе
______ У _____с числом х принадлежит и противопо-
С I ложное ему число —х.
/ Примерами таких множеств явля-
/ ются любой интервал вида (—а; а),
I множество {—4; —2} и (2; 4}, множест-
/ во Q рациональных чисел и т. и,
। В силу определения, для того
Рис. 24 чтобы функция y = f(x), х£А, была
четной или нечетной, необходимо, что-
бы х и —х принадлежали множеству А, т. е. область оп-
ределения А этой функции была множеством, симметрич-
ным относительно начала координат. Последнее условие
удобно использовать при решении вопроса о четности и
нечетности функций. Например, функция f(x) = ]/~x пе
является нк четной, пи нечетной, так как она опреде-
лена на множестве (0; -ф оо), которое не является сим-
метричным относительно начала координат. Ясно также,
что указанное выше условие не является достаточным.
В этом легко убедиться, рассмотрев, капример, функцию
/(х) = х-ф1, определенную на всей числовой прямой.
Сна не является ни четной, ни нечеткой. Вместе с тем
область определения этой функции является множеством,
симметричным относительно начала координат.
7. Периодические функции. Функция f с областью
определения А называется периодической, если сущест-
вует число I 0 такое, что для любого х из множества
140
А выполняется равенство
В этом случае число / называется периодом функции f.
Если число I является периодом функции f, то оче-
видно, что ее периодами будут также числа nl, где п —
любое целее число, кроме 0.
Пример. Исследовать на периодичность функцию
/(х) = х—[х].
Л Эта функция называется дробной частью числа х.
Вычислим несколько ее значений:
/(2) = 2 —2 = 0,
/(5,32) = 5,32—5=0,32;
/(0,32) = 0,32—0 = 0,32;
/(—3,21) = —3,21—(—4) = —3,21 4-4 = 0,79;
/(—0,21) = 0,21—(—1) =—0,21 + 1 =0,79.
При прибавлении к х любого целого числа а получим
/ (х -+- а) = (х + а) — [(х + а)] = (х 4- а) — [х] —а=х—[х]=/ (х).
Это означает, что данная функция периодическая и ее
периодом является любое целое число, кроме нуля.Д
Часто используется наименьший положительный пе-
риод функции / (если говорят просто о периоде функции,
то под этим обычно понимают наименьший положитель-
ный период, если он су-
ществует).
Можно доказать, что
если /0 — наименьший по-
ложительный период функ-
ции /, то любой ее период
выражается формулой / =
— п!0, где п —целое, не Рис. 25
равное пулю число.
Ясно, что в предыдущем примере наименьший поло-
жительный период равен 1. Из определения периодиче-
ской функции следует, что график периодической функ-
ции будет «повторять» себя через промежуток длины 1В,
равной наименьшему положительному периоду. Поэтому,
если функция y = f(x) имеет наименьший положительный
период, равный /0, то достаточно построить ее график
на любом промежутке вида as^x<a р/0. Смещая пост-
роенный график вдоль осн абсцисс на отрезки длины /0,
получим график функции у = /(х).
141
Например, достаточно построить график функции
f (х) — х—[х] на промежутке О О < 1 (ее период равен 1),
а затем,, перемещая его вдоль оси абсцисс, получить
график этой функции (рис. 25).
8. Монотонные функции. Числовая функция f назы-
вается строго возрастающей, если для любых хг и х2 из
области определения j таких, что х2 < х2, выполняется
неравенство / (х,) < / (х2).
Например, линейная функция f(x) = ax + b является
строго возрастающей на R, если а > 0.
Действительно, если Xi<x2, то
{(хг)—1(х.) = а(хг—xj > 0.
Числовая функция [ называется возрастающей, если
для любых Xj и х2 из области определения f таких, что
Рис. 26
мера еще функцию /(х) =
строго убывающая.
Пусть Xj < х2; тогда
х, < х2, выполняется неравен-
ство f (x^^f (х2). Например,
функция f (х) = [х] является
возрастающей на /? (рис. 26).
Числовая функция j на-
зывается строго убывающей,1
если для любых Xj и х2 из
области определения f таких,
что Xi < х2, выполняется не-
равенство f (Xj) > f (х,).
Очевидно, линейная функ-
ция f (х) = ах + Ь, где а < 0,
является строго убывающей
на R. Рассмотрим для при-
х3, х£/?, и покажем, что она
/ (*2) — t М = — х3 + х? = — (х2 — xt) (xi + XjXj+xf).
А так как х2 + х2х2 + х3 > 0 для любых xt и х2^х,, то
Числовая функция f называется убывающей, если для
любых Xj и х2 из области определения f таких, что х2 < х2,
выполняется неравенство f (xj f (х2). Например, функ-
ция /(х) = — [х] является убывающей на /? (рис. 27).
На рис. 28 изображен график еще одной убывающей
функции.
Легко видеть, что если функция /(х)—строго возра-
стающая (возрастающая), то функция—f (х) — строго убы-
вающая (убывающая), и наоборот.
142
Строго возрастающие, возрастающие, строго убываю-
щие и убывающие функции образуют класс монотонных
функций.
Теорема. Если функция строго возрастающая или
строго убывающая, то она имеет обратную. Причем строго
возрастающая функция имеет строго возрастающую обрат
ную, а строго убывающая—строго убывающую обратную.
□ Пусть функция /(х), х£А, является строго возра-
стающей и пусть В—множество значений этой функции.
Тогда каждое у £В поставлено в соответствие только одно-
му х^А. Действительно, предположение, что для некото-
рого t/0€S выполняются условия y<i = f(Xi) и Ус — [(х2), где
лд < х2, противоречит тому, что f (xt) < f (х2), так как
/ (х)—строю возрастающая функция.
Таким образом, функция f устанавливает взаимно одно-
значное соответствие между множествами Л и В и поэтому
имеет обратную функцию f~1(y), у£В.
Покажем, что обратная функция—строго возрастаю-
щая.
Пусть у^В, уг£В и уг<у2 и пусть
х2 = /-1(«/2). Из строгого возрастания функции f следует,
что Xj < х2. Действительно, если предположим, что х1'Р^х2,
то получим f/i = f(xI)^/'(x2) = t/2, что противоречит усло-
вию уц < у2. Следовательно, обратная функция—строго
возрастающая.
Случай строго убывающей функции рассматривается
аналогично. Z3
Вопросы для контроля
1. Что такое функция?
2 Что называется областью определения функции?
3. Что такое график функции?
143
4. Какие способы задания функции зы знаете? Приведите при-
меры различных способов задания функции.
5. Какая функция называется обратимой?
6. Какие функции называются взаимно обратными?
7. Сформулируйте определения четной и нечетной функций.
Приведите примеры таких функций.
8. Какие функции называются периодическими? Приведите при-
зеры периодических и непериодических фупкций.
9. Как расположены графики взаимно обратных функций?
10. Какие геометрические особенности имеют области определения
четных и нечетных функций?
11. Какие геометрические особенности имеют графики четных, нечет-
ных и периодических функций?
12. Какая функция называется возрастающей? Когда она назы-
вается строго возрастающей? Приведите примеры таких функций.
13. Какая функция называется убывающей? Когда опа назы-
вается строго убывающей? Приведите примеры таких функций.
14. Какие функции называются монотонными? Приведите при-
меры монотонных функций.
Упражнении
4.1. Найдите /(5), f • f (—^>0. если
1)/(х) = Х»; 2)
3) / (х) = 3х«—5х-|-1; 4)
4.2. Найдите область определения функции, заданной формулой:
Г)у=х2~х; 2)у=\х\ — 2; 3)у^-~-,
4)« = 7Ет'’ = С)
4.3. Постройте графики функций:
1) у — х2—4; 2) у —Зх-- 1; 3) у = х2 — бх-фб;
4)у=|5х-4|; 5) у = —Д-]х|; 6) У = ~у-
4.4. Постройте графики функций:
{1, если х > 0, ,
0, еслих = 0, 2) f(x) = J с=лп *S*0,
-1, если х < 0; 1~*3' если х < 0.
4.5. Какие из указанных на рис. 29 линий являются трафиками
функций?
144
4.6. Установите, какие из данных функций имеют сбратнис (обра
тимы); у обратимых функций найдите обратные:
Ч^Зх-2-, 2)»-^;
4.7. Установите, какие из данных функций четные, какие не-
1) f(x) = x»-5; 2) f(x) = x+l; 3) /(х)=)1-х|;
4) f (х) = х3-Нх, S) f(xj = —х»;
7) f (х) = /Т7^; 3) f (х) = К2х^х?.
4.8 Будет ли функция f (х) периодической,
1) f(*)=7;
9\ f ( > _ / Ь еслп х—рациональное число,
' ’ 10, если х —иррациональное число;
3) /(х) = 2[х] + 1;
4) /W=[>.]_|,
‘ Алгебра, ч. I
145
4.9. Какие из следующих функций строго возрастают при х > 0;
1) у — 2х — 1; 2) у = х2-5- 3) г/ = у?
4.10. Какие из следующих функций строго убывают при х < 0:
9
1) — х+1; 2) у= — X2+1; 3)у = —?
4.11. Какие из указанных на рис. 30 линий являются графиками
монотонных функций?
4.12. Решите графически уравнения:
2
1) х2 — 5х ф- 6; 2) х2 = х; 3)- | х — 11 = 2; 4) — = х.
4.13- Решите графически неравенства:
1) 2х— 1>х+1; 2)х2>х; 3) х2—7х+12 > 3.
§ 17. Последовательности
1. Числовые последовательности. Известные вам из
курса математики неполной средней школы арифмети-
ческая и геометрическая прогрессии представляют собой
примеры числовых последовательностей. Например, ариф-
метическая про-рессия с первым членом ах=1 и раз-
ностью d = 2 есть бесконечная числовая последователь-
ность вида
1; 3; 5; ...; 1 J-2(n— I); ...
Геометрическая прогрессия, первый член которой at— 1
1
и знаменатель q = -=, т е. прогрессия вида
1-1. 1. _J_.
’ з ’ 9 ’ З"-1 ’ ’
также бесконечная последовательность.
Задать числовую последовательность —эго значит задать
правило, по которому каждому натуральному числу п
(номеру) соответствует одно и только одно действитель-
ное число ап (значение члена последовательности с номе-
ром п), т. е. задать функцию, область определения кото-
рой есть множество У всех натуральных чисел.
Определение. Бесконечной числовой последователь-
ностью называется числовая функция, определенная ва
множестве всех натуральных чисел.
В общем виде бесконечная последовательность записы-
вается так:
rzj; а2; су, ...; а„; ... или (я„).
В учебной и научной литературе употребляется и сле-
дующее обозначение последовательности: {а0}. В дальнейшем
146
будем использовать также следующее обозначение: ar, nf^N.
Число С] есть первый член последовательности, а2—вто-
рой, .... ап — п-й (общий) член последовательности, а числа
1, 2, ..,, и—номера соответствующих членов последова-
тельности.
Напомним основные способы задания бесконечной по-
следовательности.
1. Последовательность может быть задана с помощью
формулы, указывающей, как по номеру п члена последо-
вательности вычислить его значение ап.
Пример 1 Рассмотрим последовательность (ап),
заданную формулой
n^N.
Используя эту формулу, можно вычислить любой член
последовательности. Например,
в1 = 1±^ = 0, fe=4±^=.l,
п т. д. Следовательно, данная последовательность имеет вид
0; 1; 0; 1; ...
Условимся вместо слов «рассмотрим последователь-
ность (ап), заданную формулой an=f(n), n$N», говорить
короче: «рассмотрим последовательность ап — f (п), п <= N»,
или еще короче: «пусть а„ = /(«)».
(_ ПП +1
Пример 2. Пусть ап — -—|—.
Эта последовательность имеет вид
1- _1. 1. _L- ...
8 ’ 27’ 64’
Пример 3. Пусть ая = 3, n£N. Тогда последова-
тельность имеет вид 3; 3; 3; ... Каждый член данной
последовательности принимает значение, равное трем.
Последовательность, у которой все члены принимают
равные между собой значения, называется постоянной
последовательностью,
2. Укажем еще один способ задания последовательно-
сти—реку р р ентн ый (индуктивный) способ.
Этот способ задания последовательности состоит в том,
что указывается правило (обычно это формула), позволяю-
щее вычислить общий член последовательности через
147
предыдущие, и задается несколько начальных членов
последовательности.
Формула, позволяющая вычислить общий член после-
довательности через предыдущие члены, носит название
рекуррентного соотношения. Примером рекуррентного
соотношения может служить формула
«v=2an_i —(1)
Отметим, что заданием только рекуррентного соотно-
шения последовательность Полностью не определяется.
Зое деле в том, что первые члены последовательности
нельзя вычислить пс рекуррентному соотношению. Напри-
мер, формула (1) не имеет смысла при п — 1 и п = 2, так
как члены а, и с номерами 0 и —1 не существуют,
поэтому значения ах и а2 надо задавать дополнительно.
Такне значения ах и а. для данной последовательности
называются начальными. Далее, начиная с а3, рекуррент-
ное соотношение н начальные члены и аг позволяют
вычислить любой член последовательности.
Пусть, например, ^ = 1, а3 = 0. Тогда
й3^2я2——Г — —1,
e4 = 2a3—1)— 0 = —2,
о’=2О4-а3 = 2.(-2)-(-1)=-3
и т д. Таким образом, рассмотренная выше последова-
тельность будет задана, если указаны формула ап =
— 2ап_1—ап_2 и первые два члена последовательности
а, = 1 и а2 = 6
3. Последовательность может быть задана словесно,
т. е. описанием ее членов. Например:
а) последовательность (а„), где ап—десятичное при-
ближение 12с избытком е точностью до л-го десятичного
знака,; вычисление показывает, что
ах —2, о, = 1,5; а3—1,42; ai = 1,415;
б) последовательность (ип), где ап — ч-е, четное число;
начало этой последовательности имеет вид 2; 4, 6; 8; 10;
12; ...;
в) последовательность (ап), где а„ = 2, если п—четнрэ,
и аГ1 = 0, если п—нечетное.
Заметим, что в последнем случае легко находится фор-
мула для общего члена: а„=1+(—1)п.
При изучении последовательностей удобно использо-
вать их геометрическое изображение. Для этого исполь-
зуются в основном следующие два способа:
148
1) Так как последовательность (а„) есть функция,
ная на N, то ее можно изобразить как график этой
ции, т. е. на плоскости рассмотреть множество
М,., n^N, с координатами (п;
а„). На рис. 31 таким способом
изображена последовательность
ал = 7, n£N.
2) Члены последовательно-
сти (а„) можно изобразить
точками х — ап, nf^N, числовой
задаи-
функ-
точек
1,7? __s__„
f 2 3 Ч 5 х
Рис. 31
оси.
Таким способом на рис. 32 изображена последователь-
ность а„ = ±, n£N.
а3
о 1 11 Т
5 4 3 2
Рис. 32
На рис. 33, 34 изображена последовательность ап —
_HJzi!22( n£N, рассмотренная выше в примере 1.
Я
/-----------л
—. I . L
О f 1 2 3 А I
Рис. 33
Ркс. 34
2. Монотонные последовательности. К монотонным
последовательностям откосят строго убывающие, убываю-
щие, строго возрастающие и возрастающие последова-
тельности.
Последовательность (а„) называется строго убывающей,
если каждый предыдущий член больше последующего,
т. е. если
а3 > а2 > а3 >
>а„> an+i
9^
1
О
Короче, последовательность (ап) называется строго убы-
вающей, если ап+1 < ал для всех п.
Например, последовательность
1; 1/2»; 1/3»; ...; 1/н»; ...
14Э
строго убывающая, так как 1/(п-(-1)г< 1/п2 для всех п.
На рис. 35, где члены последовательности изображены
точками числовой оси, каждая точка, соответствующая
последующему члену an+i, лежит левее точки, соответст-
вующей предыдущему члену ап.
: а«а6
~О~ТТ
15 9
к
Рпс. 55
Последовательность (а„) называется убывающей, если
an+i^an для всех п, или, другими словами, каждый пре-
дыдущий член не меньше последующего.
тт 111111
Например, последовательность
является убывающей, так как предыдущий член не меньше
доследующего. Если члены последовательности изобразить
точками числовой прямой, то каждая точка, соответствую-
щая последующему члену an+i, будет лежать не правее
точки, соответствующей предыдущему члену ап (рис 36).
a2'<at
Рис. 3G
Последовательность (&„) называется строго возрастаю-
щей, если каждый последующий член больше предыду-
щего, т. е. если
<к < а2 < ая <
<ап< an+i <...
Короче, последовательность (а„) называется строго воз-
растающей, если ап < а„+1 для всех п.
Последовательность ап = 3fI~1 , nCN,— строго возра-
стающая, так как
3«-р2 3n-j 1 1 _
•щ+1 — ап — п+1 п — п(п-Н)
и, следовательно, an+t > ап для всех п. На рис. 37, где
члены последовательности изображены точками числовой
оси, каждая точка, которая соответствует последующему Л
члену ая+1, лежит правее точки, соответствующей пре-
дыдущему члену а„.
150
Последовательность (а„) называется возрастающей,
если а„^а„+1 для всех п, или, другими словами, если
каждый последующий член не меньше предыдущего.
Cf 42 С; йЦ
2 я
3 4
Рис. 37
Например, последовательность 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4;...
есть возрастающая, так как каждый последующий член
не меньше предыдущего. Если члены последовательности
изобразить точками числовой прямой, то каждая точка.
a1',a2< a3la'H aSiaS’, аГ>а8>
2
Рис. 33
соответствующая последующему члену а„+ь будет лежать
не левее точки, соответствующей предыдущему члену ап
(рас. 38).
Очевидно, что не всякая последователыюст, является
монотонной. Например, последовательности
1; 2; 4-: 4; 1; 6; ... и 1; 0; 1; 0; 1; 0, 1; 0; ...
О D
не являются монотонными.
3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Последовательность (а„) называется ограниченной, если
существуют числа Мит такие, что для любого п имеет
место неравенство
В противном случае она называется неограниченной.
Имеются неограниченные последовательности трех видов.
1. Последовательность такова, что для нее существует
число т и не существует числа М. В этом случае про
неограниченную последовательность говорят, что она яв-
ляется ограниченной снизу и неограниченной сверху.
2. Для последовательности существует число М и не
существует числа т. В этом случае о неограниченной
последовательности говорят, что опа является ограничен-
ной сверху и неограниченной снизу.
3. Последовательность такова, что для нее не сущест-
вуют оба числа т и М. Тогда говорят, что такая после-
довательность является неограниченной и сверху, и снизу.
Например, последовательности «„ — — и а„ = (— • У‘ —
ограниченные, так как 0^ еб I и —1 С" (—1)” 1 для лю-
бого n£N, Последовательности a,t--=n,an——2п,ап=(—1)'!п
являются неограниченными. Действительно, последователь-
ность ап = п будет ограниченной снизу, так как I С п
для любого n£N, и неограниченной сверху, так как не
существует числа М такого, что п^М для любого
п t АЛ
Аналогично доказывается, что последовательность
ап=—2п является ограниченной сверху и неограничен-
ной снизу, а последовательность ап = (—1)пп является
неограниченной и сверху, и снизу.
Геометрически ограниченность последовательности (ап)
означает существование отрезка [м; М], на котором поме-
щены все члены этой последовательности. Одновременно
заметим, что для неограниченной последовательности (а„)
такого отрезка [щ; УМ], которому принадлежат все чле-
ны а,„ не существует. Например, для ограниченной после-
довательности ^-Д- ) число т = 0 и число УИ — 1, так как
1 для любого Таким образом, все члены
данной последовательности принадлежат отрезку [0; 11.
Для неограниченной последовательности ап =—2n,n£N,
число М равно —2, а числа т не существует, В самом
деле, всегда найдется член последовательности а,- такой,
что а, = —21 < т, т. е. не принадлежит отрезку [т; Л1],
где т <—2—любое число. Для этого достаточно взять
номер i> — Зг ] ‘ Следовательно, не существует отрезка
[т; Л4], которому принадлежали бы все члены данной
последовательности.
Заметим, что в случае монотонной последовательно-
сти нахождение числа т (или числа УИ) облегчается, так
как для строго возрастающей (или возрастающей) после-
довательности m — alt ибо at^an, n£N, а для строю
убывающей (или убывающей) последовательности М-— а,,
ибо ап,^аи n(tN. Поэтому для установления ограничен-
ности строго возрастающей (или возрастающей) последо-
вательности достаточно установить ограниченность сверху
(т. е. найти число УИ), а для oiраниченности строго убы-
вающей (или убывающей) последовательности достаточ-
но установить ограниченность снизу (т. е, найти чис-
ло т).
152
Например, последовательность a„ —1—, л£Л’,—
строго возрастающая, поэтому m = для любого
нб/J. Так как 1—-^-<1 для любого n£N, тоЛ1 = 1.
Следовательно, данная последовательность—ограничен-
ная. Последовательность а„ = 1 + , л С Л\— строго убы-
вающая, поэтому М = аг = 2^ап для любого n£N. Так
как 1 < 1 + для любого п £N, то т = 1. Следовательно,
данная последовательность—отраниченная.
И в закпючение отметим, что последовательность (а„)
будет ограниченной тогда и только тогда, когда сущест-
вует такое число В, что ; ап | В для любого л Действи-
тельно, достаточно положить В равным наибольшему из
чисел j т | и | М |.
Например, для ограниченной последовательности
^+7) числа лг = 1 и Л1 = 2, поэтому В —2, т. е.
I 1 + 1 2 для любого n^N.
□ опросы для К О II Т |. о л я
1. Что н <зываегея последовательностью?
2. Какие способы задания последовательностей вы знаете?
3. Приведите пример задания последовательности с помощью
формулы п-го члена.
4. Приведите пример рекуррентного задания последователь-
ности.
5. Приведите пример слозесиого задания последовательности.
6. Какая последовательность называется возрастающей? В каком
случае опа называется строго возрастающей? Приведите примеры
таких последовательностей.
7. Какая последовательность называется убывающей? Когда она
называется строго убывающей? Приведите примеры таких последо-
вательностей.
8. Приведите примеры немонотонных последовательностей.
9. Какая последовательность называется ограниченной? Приве-
дите примеры монотонных ограниченных последовательностей.
10. Приведите примеры неограниченных последовательностей,
в том числе неограниченных сверху и неограниченных снизу.
153
Упражнения
4.14. Выпишите первые шесть членов следующих последователь-
ностей:
°о-п+1: 3) а"- п2+4 :
4) ал = £, 5) «л = 2«+А; 6) а„ = Ц^.
4.15. Является ли членом последовательности ал = п2 4-2ч-|-1
число:
1) 289; 2) 361; 3) 1000; 4) 223?
4.16. Содержится ли среди членов последовательности а,{—п?—17п
число*
1) —30; 2) —72; 3) -100?
Если содержится, то какой номер имеет этот член?
4.17. Найдите первые пять членов последовательности (а,,), если
1) 01 = 1, а.,+1 = а, + 1; 2) ал = 7, ал + 1 = сл—3;
3) а, = —5, ал+1=-2ал; 4) ai=-g, ал+1=>^~;
5) ах = ^2, а,7 + 1 — '1г2-{-ал; 6) ai = a2= 1, ал+2 = ал + а„+£.
4.18. Выпишите первые четыре члена последовательностей, сос-
тавленных из десятичных приближений с избытком и с недостатком
для следующих иррациональных чисел:
1) /З; 2) /Т; 3) ^Т.
4.19. Напишите формулу общего члена последовательности, пер-
вые пять членов которой ссвпадают со следующими:
1) 3-2; 5-22; 7-2’; 9-2*; 11-2’;
щ 1- J, 3 • ±. 1.
' 2’ 22’ 23’ 24’ 22’
31 —• —• —• -L- —-
’ 1-2’ 2-3’ 3-4' 4-5’ 5-6’
[ 1 X 2 7 2X2 / 3 X 2 / 4 X 2 / 5 X 2
4) Ы ; Ы Ц"?: Ы : :
5)1;-U;
2 V 2 3 /3 ’ 4 К* 5 /"5
4.20. Изобразите геометрически (двумя способами) следующие
последовательности, заданные общими членами:
1)ал=—!—; 2) ew= (—!)“—; 3)0., = ^^!;
' п + Г ’ п 2п
1 + (— I)"-1 1+(-1)”
4)а«=^‘> 5) ал = — ——; ь) а« = —•
7)ал = ^-; 8)ал=-^, 9) ал=2 + 1; 10) ал = 3-1,
п п п п
4.21. Установите, какие из следующих последовательностей яв-
ляются монотонными, а какие немонотонными:
!)ал=^-3; 2) а„ = ^; 3) ап = (-1)" п —С;
154
4___«2
4) ап = п2 — 7л-|-6; 5) ап — 6) ап ~ ;
П1 п П* + 1 *
10) 1; 1; —• —• — _!_• -L -L- ...
; ’ 2 2 4 ’ 4 6’ 6 ’
11) 1; 1; 3, 3; 5; 5; 7, 7; ...;
121 ’ г * Т'’= Г
4.22 » Установите, что последовательность (аД заданная рекур*
рентно:
24-ая ,
Ся + 1=-2^Г И Я1 = 3>
строго убывает.
4.23 . Установите, что последовательность (а„), заданная рекур-
1 + а* 9
рентно: a/l+i =----- и ai = 2, строго возрастает.
ап
4.24 . Какие из данных последовательностей ограничены и какие
неограничены:
1) вв = 2-; 2) an = ^j; 3) я„ = (—1)” л;
4) а„ = (-1)"д?; 5)о„ = Ц^; 6) а„= 1+<~1)Я"1;
10) ап = 3-«; 11) a„ = /in?
4.25. Последовательность (а„) задана рекуррентно:
ах = 0 и an+i
_gn+3
4 ‘
Докажите, что она ограничена.
4.26. Последовательность (а„) задана рскуррентно’
а1 = 0, а2=1 и ап + 1 — ап~^а"~1
2
Докажите, что она ограничена.
4.27. Последовательность (аг.) задана рекуррентно:
«1=^2 и an+i = an4-1.
Докажите, что она неограничена.
4.28, Последовательность (ап) задана рекуррентне:
ах=1 и ап+1
14-On
Докажите, что она неограничена.
155
§ 18. Предел последовательности
1. Предел числовой последовательности. Сходящиеся
и расходящиеся числовые последовательности. Рассмотрим
п оследователь ность
п^- <’>
Легко видеть, что значения членов этой последова-
тельности по мере возрастания их номера п располага-
ются сксль угодно близко к числу 3. Поставим перед собой
задачу—придать этому утверждению точную математи-
ческую формулировку. С этой целью сначала ответим на
следующий вопрос.
Каким должно быть п, чтобы модуль разности ап — 3
был меньше 0,001?
Так как
|0,_3| = |^_з|-|-1| = ±
то неравенство |а„—3|< 0,001 выполняется для любого
п> л; = 1000
Для произвольного положительного г неравенство
|а„—3|<е (2)
равносильно неравенству п >Так как нас интересуют
натуральные значения п, то имеем: неравенство (2) вы-
полняется для любою где —целая
часть числа -. В этом случае говорят, что предел иосле-
, довательности (1) равен 3, и пишут
Сформулируем теперь определение предела последо-
вательности.
Определение 1. Число а называется пределом
последовательности (ап), если для каждою положитель-
ного числа б найдется такое натуральное число N, что
для любого п> N выполняется неравенство
|а„ —а|<е.
В этом случае пишут
lim ап*=а
п-><х>
156
или
ап —* а при п —► оо
и говорят: «Последовательность (а„) имеет пределом чис-
ло а» или «Последовательность (ап) сходится к числу а».
Рассмотренный пример показывает, что выбор N за-
висит от числа е, т. е. N = N(e).
Определение 2. Последовательность, имеющая
предел, называется сходящейся, а не имеющая предела —
расходящейся.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Доказать, что
lim
П->со
Зга-4-1
2га—1
3
2"
Найти номера N (е) такие, что при п > N
Зга + 1
2га--1
3
2
< е
для е = 0,1; 0,01; 0,001.
з
ДСогласно определению предела число у будет пре-
делом последовательности с общим членом о» = 2д—Г
если для любого е>0 найдется номер N = N(e) такой,
что выполняется неравенство
1^-41 = 1ВЧ-41 < 6 при п > (3)
Так как
I 3/i +1
12/г— 1
II
5
2 (2га— 1)’
то неравенство (3) равносильно неравенству
> 2,5+е
которое справедливо для любого п >-------
Таким сбразом,
3 1 - 2,5+е
у <е при п>
157
Из последнего следует, что в качестве номера Л’ (е) мож-
2,54-е [2,54-81
но взять целую часть числа — , т. е. Л = .
Итак, мы установили, что
lim
3«4-1_ 3
2n—I 2'
Перейдем теперь к нахождению номера W (е) в зави-
симости от конкретно заданного е. Пусть, например,
е = 0,1; тогда
т. е. Л/(0,1)= 13.
13 I
ап—у < 0,1 справедли-
во для всех п > 13.
Используя формулу М = p’f-"7-]» легко вычисляем
значения N при е = 0,01; 0,001: W (0,01) = 125
и АГ (0,001) = 1250
В заключение отметим, что так как данная последо-
вательность имеет предел, то эта последовательность
—сходящаяся Д.
Пример 2. Доказать, что lim т^ = 0.
П->00
Д Возьмем некоторое е>0 и рассмотрим неравенство
-L<e. Так как 10"^ 14-9л, то ттг'С гт-гг и, следова-
тельно,-X < е, если J- < в. Тогда, положив Л'=1^-1,
10' УЛ | УЕ J
получим
для любого п > N =
Это и означает, что lim t^ = 0.A
Пример 3. Доказать, что последовательности (а„)
и (а„) десятичных приближений числа а сходятся к это-
му числу:
lim a„ = lim а/, = а.
n-+oo n->eo
158
Л Как известно, для десятичных приближений дейст-
вительного Числа а Имеют место неравенства
!«,>-<* и IX—аI<157?
В примере 2 было установлено, что для каждого е > О
существует W 1 тЛкое, что < е для любого п > iV.
Следовательно,
|а„ — а|<е и |а„—а|<в
для любого п > Af =
Согласно определению предела это означает
lim а„ = а и lim а„ — а. Д
П->СО /7->С©
2. Геометрический смысл схсдимости последовательно-
сти. Пусть lim ап — а\ тогда, согласно определению преде-
ла, для каждого е > 0 существует jV такое, что
\ап—а| < с для всех п > Л’.
Так как
(|ач—а| < е) <д>(—с < ап—а < е) (а — ь < ап < а 4-е),
то все члены последовательности (а„), сходящейся к чис-
лу а, с номерами п > N, т. е. члены aN+i, aN^ и т. д.,
‘5 7/
___।___ .
a-s a. a+s
Рпс. 39
а
лежат в интервале (а—е; а 4- е) (рис. 39). Напомним,
что интервал (а—е; а 4-е), где е > О, называется
^-окрестностью точки а
Итак, если последовательность (ап) сходится к числу
а, то геометрически это означает, что каждой е-окрестно-
сти течки а принадлежат все члены данной последова-
тельности, начиная с некоторого номера, а вне ее может
находиться лишь конечное число членов.
Например, последовательность имеет своим пре-
делом нуль. Поэтому, каково бы ни было число е > О,
159
интерпал (—е; 4-е) (окрестность точки нуль) будет со-
держать почти все члены последовательности, т. е. все
члены последовательности, за исключением их конечного
числа. В самом деле, решая неравенство полу-
чим, что 0 < — < г для п —, т. е. все члены данной
последовательности с номерами п, большими номера
= находятся в е-окрестности нуля, а вне ее на-
ходится лишь конечное число членов последовательности,
номера которых не превосходят Л/.
Рассмотрим еще пример. Пусть дана последователь-
ность
0; 1; 0; 1;
Эта последовательность предела не имеет. В самом
деле, каково бы ни было число а, можно указать такую
его е-окрестяость, что вне ее заведомо лежит бесконечное
число членов данной последовательности. Действительно,
так как,, расстояние между точками 0 и 1 равно 1, то в
интервале вида {а—е; а + е), где 0<е<-^-, не содер-
жится либо.0, либо 1». т, е. всякий раз вне указанной
е-окрестности точки а будет находиться бесконечное чис-
ло членов данной., последовательности. Следовательно,
у любого числа а имеется е-окрестность, вне которой на-
ходится бесконечное число членов данной последователь-
ности, а это и означает, что данная последовательность
предела не имеет, т. е. она расходящаяся.-
3. Необходимее условие существования предела после-
довательности.
Теорема. Если последовательность имеет предел,
та сна ограничена.
□ Из определения предела следует: если последова-
тельность (с„) имеет своим пределом число а, то, напри-
мер, для 8=1 найдется номертакой, что вне интервала
(а—1; а+ 1) могут оказаться лишь члены а1( аг, aiV.
Среди чисел Ох, с2, ..., aN, а — 1, а 4-1 найдем наимень-
шее и наибольшее и обозначим их соответственно через
т и М. Очевидно, что т^ап<М для всех п, т. е.
последовательность (ап) ограничена. □
Из доказанной теоремы следует, что ограниченность
последовательности есть необходимое условие сущсство-
1G0
, вания предела. Последним обстоятельством часто поль-
зуются для установления отсутствия предела у после-
довательности. Например, последовательность ап =
= п(1 + (—1)"), n£N,—неограниченная и поэтому пре-
дела не имеет.
4. Единственность предела последовательности.
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность
имеет только один предел.
□ Доказательство будем проводить методом от про-
тивного. Допустим, что имеется последовательность (а,),
которая имсег два различных предела а и Ь. Пусть а < Ь.
Тогда, положив е = ^2> 0. получим
V
а + &<Ь—е. (1)
Так как lim ап — а, го, согласно определению предела,
«-►со
для E — существует такое Afj, что для всех п > W,
|ал—с|<в и, в частности, a„<n + e. С другой сто-
роны, так как lima„ = &, то существует Лг2 такое, что
«-►<»
для всех п. > N2 | ап--&| < е и, в частности, b—s < ап.
Положив N=max {(Vf, N2} ’), получим, что b—г < а„ < a-f-e
для nP>N, но это противоречит неравенству (1). Следо-
вательно, последовательность не может иметь двух раз-
личных пределов. ЕЭ
5. Бесконечно малые последовательности. Основные тсо
ремы о бесконечно малых последовательностях. Доказа-
тельства теорем о пределах существенно облегчаются,
если ввести понятие бесконечно малой последователь-
ности.
Определение. Последовательность называется бес-
конечно малой, если ее предел равен нулю.
Например, последовательность является беско-
нечно малой, так как ее предел равен пулю. Последова-
тельность ( j также бесконечно малая, так как
lim ttL = O (см. пример 2 из п. 1).
«-►00
Здесь и везде в дальнейшем символом maxfex; Ctl ••JC/t} бу-
дем обозначать наибольшее из чисел С;, сг, .сп.
6 Алгебра, ч. 1
161
Теорема 1. Для тоги чтобы число а было пределом
последовательности (ап), необходимо и достаточно, что-
бы ап имело представление ап = а + а„, где (а„) — беско-
нечно малая последовательность.
□ Пусть lim а„ = а. Тогда для каждого 8>0 сущест-
п-*о»
вует N = N(e) такое, что
|аЛ—а|<8 для всех n>N. (1)
Положим аЛ = а„—а, тогда
|at, | < е для всех п > N. (2)
Отсюда следует, что lim a„ = 0.
n->w
Таким образом, если число а — предел последователь-
ности (ап), то ап = а-\-ап, где (а„)—бесконечно малая
последовательн ость.
Аналогично доказывается и обратное утверждение, так
как из (2) следует (1),ЕЗ
Например, последовательность '^-у' имеет предел,
равный 3.
П „ Зя Зл+З—3 о 3
Действительно, ап = —г = —4-:— = 3------т-г.
" Л + 1 Я-f-l Я + 1
3 / з \
Так как lim—п = 0, то (—г-г—бесконечно малая
\«+М
последовательность. Таким образом, в силу теоремы 1
предел рассматриваемой последовательности равен 3.
Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последо-
вательностей есть бесконечно малая последовательность.
□ Пусть (an) и (Ь„)— две бесконечно малые последо-
вательности. Тогда для каждого е > 0 найдется такое,
что
g
\ап‘ <-2 для всех п >
(3)
и найдется такое, что
I Ьп | < у для всех п > А\.
(4)
Положив AZ = max {Np, Л/J, получим, что для любого
n > N неравенства (3) и (4) имеют место одновременно.
Поэтому для любого п > N получим
I ап + I I ап I 4’ I I < у 4" "2 = 61
1€2
Поскольку е > 0 было взято произвольным, то тем
самым установлено, что lim (an + bn) — 0, т. е. лоследова-
Г2->Х>
тельность (а„ + &„)—бесконечно малая □
Например, ! —и I ——бесконечно малые после-
1 \/г Ч~ 1/ \.п +1 /
довательности. Их сумма —также бесконечно ма-
лая последовательность.
Аналогично доказывается, что сумма любого конечного
числа бесконечно малых последовательностей является
бесконечно малой.последовательностью.
Теорема 3. ‘Произведение бесконечно малой последо-
вательности на ограниченную последовательность есть
бесконечно малая последовательность.
□ Пусть (Ь„) — ограниченная последовательность и пусть
| bti | М для всех п. (5)
Пусть, далее, (ап)—бесконечно малая последователь-
ность. Тогда для каждого е>0 существует N = N(е) та-
кое, что
К К лгр Для всех п>М.
Из неравенств (5) и (6) следует, что
для любого п > М. А это и озе ачает, что
lim anbn — О,
т. е. последовательность (ачЬп)—бесконечно малая. ЕЗ
Например, последовательность — бесконечно ма-
/2л-1\ „
лая, а последовательность i ’ —ограниченная. Их
/2л-1\ л
произведение , )—бесконечно малая последователь-
ность, так как
lim^T^O.
Заметим далее, что теорема 3 имеет' место и для случая,
когда ограниченная последовательность не имеет преде-
ла. Например, последовательность бесконечно ма-
6*
163
лая, а (—1)"—ограниченная последовательность, не име-
ющая предела. Их произведение, последовательность ап==
— -^г'—, « € N,— бесконечно малая, так как lim д-яг- = 0.
“ П->00 2
Замечание. Так как бесконечно малая последова-
тельность имеет предел, т. е. ограничена (см. п. 3), то
из теоремы 3 следует, что произведение двух бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно малая после-
довательность.
Например, I и — бесконечно малые последо-
вательности. Их произведение, последовательность I - у—
бесконечно малая
6. Теоремы о пределах последовательностей. При вы-
числении пределов часто приходится использовать теоремы
о пределе суммы, разности, произведения и частного.
Теорема 1 (о пределе суммы). Если последователь-
ности (ап) и (Ьп) сходятся, то последовательность (а„+Ьп)
также сходится и
lim (а„ + й„) = lim ап + lim b,t.
П->&> П-*<Х)
□ Пусть
lim а„ = а и lim bn=b',
П-+СО
тогда по теореме 1 из п. 5
а¥*=а + ап, где (а„) — бесконечно малая,
Ь„ = Ь + Р„, где ф„) — бесконечно малая.
Складывая эти равенства, получим
ап + blt = (a + b) + {а„ + (3,г).
Так как сумма дзух бесконечно малых последовательнос-
тей есть бесконечно малая последовательность, то (а„-ЬР„) —
бесконечно малая. Таким образом, согласно теореме 1
из п. 5 имеем
lim (a„ + 6„) = o + 6= lim о„-|- lim bn.№
П-+СП П-+Ф n-+<X>
Методом математической индукции можно доказать, что
предел суммы конечного числа последовательностей, име-
ющих пределы, существует и равен сумме пределов этих
последовательностей.
Теорема 2 (о пределе произведения). Если последо-
вательности (аг>) и (Ьп) сходятся, то последовательность
164
(anb„) также сходится и
lim (йА)~(Нтал)<1йпэп).
«-►со «-><ю П->со
С Пусть
lim ап = а и lim Ьч = Ь\
тогда (см. теорему 1 из п. 5)
4я = й + а„ и b„ = i4-p„,
где (а„) и (р„)—бесконечно малые. Перемножив послед-
ние равенства, получим
= ab + (Ьап + <, + а„₽„).
Из теорем 2 и 3 и замечания из п. 5 следует, что (Ьа„+
4- ар„ + —бесконечно малая последовательность.
Следовательно, согласно теореме 1 из п. 5
lim (&„&,,) = ab = (lim a„) (lim &„). D
«-►оо «-►oo n->x
Методом математической индукции доказывается, что
предел проиоведения конечного числа сходящихся последо-
вательностей существуети равен произведению их пределов.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вы-
носить за знак предела'.
lim (сап)— сdim ап.
□ Согласно теореме 2
lim (са„) = lim с- lim ап — с • Пт ап ,
«-►со «-►<» «->» п->со
так как litn<j = c. ЕЗ
«-►оо
Следствие 2, Если последовательности (ап) и (Ьп)
сходятся, то последовательность (а„—Ьп) также сходит-
ся и
lim (а,—t>n) = lim lim bn.
П-><уз П-ь-У)
□ Согласно теореме 1
lim {ап—bn) ~ lim (ап + (—1)&„) =lim а„ + lim (—1) Ъп.
п-*<х> -П-+<Х> «—►СЮ «->со
Далее, с учетом следствия i получим
lim (ап—Ь„) =• lim ап— lim bn. ЕН
«-►со ««►» «-><»
165
Приведем без доказательства теорему о пределе част но гр.
Теорема 3. Если последовательности и (Ь„), еде
ЬП^0, сходятся и lim^.y^O, те последовательность
Л->а>
\тг ) также сходится и
\bnJ
lim
П->а>
lim ап
ап____п-^ср
b~~~ lim bn'
П~+&>
Рассмотрим примеры вычисления пределов с помощью
теорем с пределах.
Пример 1. Найти пределы:
a) lim
П->со
; б) 1ГЩ
13 —7л’ 3 — n—4ni
в) lim
л->со
Зл2—Зт— 1
4— 5л— л3
Л а) Числитель и знаменатель представляют собой рас-
ходящиеся последовательности (так как они несгракиче-
кы), поэтому непосредственно применять теорему о пре-
деле частного нельзя. В этом случае поступим так: чи-
слитель и знаменатель разделим на п (от этого дробь не
изменится), а затем применим доказанные теоремы о пре-
делах последовательностей Приведем подробную запись
вычисления предела:
8- — Dm (в-—
п \ П )
.. 8 л — 3 ..
hm Г5——— lim -то—
13 “7л n-« }1..7
n
lim
б) Нт
7 „ “ 3—п — 4л?
П -> GO
. .. Зл2—Зл—1
в) lira ----------s- = lim
' 4 — 5/2 — /1э
n-х» * ua a n->-<x
3
lim 8 — lim — Л
1 —> oo П -* сю П О--------V
8
lim' 13 Г 7 0-7“ 7-
hm----hm 7
Д-x» П
i_£_±
8 lim —=
«-►<»__J_4
л3 л
A_£_l
тлтг°-А
я3 n2.
При доказательстве некоторых теорем и решении задач
удобно пользоваться следующей теоремой.
166
Теорема. Если между членами трех последователь-
ностей (ап), (Ьа) и (с„) выполняются неравенства
t^c„^.bn, причем пределы (ап) и (t>„) существуют и равны
между собой, то и предел (сп) существует и равен об-
щему пределу (ап) и (Ь„).
□ Пусть
lim ап = а и lim bn = а.
П-*3>
Тогда, согласно определению предела последовательности,
для каждого е > 0 найдется такое Л\, что
а—е<н„<а + е для всех n>.Vf,
и найдется такое /V2, что
а—е<£/„<а + е для всех п > /V2.
Поэтому, если п > N = max {A'f, N2}, то
а—е < ап С сп С Ьа < а + е
и, следовательно,
|с„—а|<е. (1)
Таким образом, для каждого е > 0 существует такое /V,
что для всех n > N выполняется неравенство (1). А это
и означает, что limc„ — а. ES
Л->00
Пример 2. Найти lim -sinn.
Я-*СО
ДТак как
О < — sin п < — и lim — — О,
то, согласно доказанной теореме, lim -j-sinn = 0. 4
7. Бесконечно большие последовательности. Связь меж-
ду бесконечно большой и бесконечно малой последователь-
ностями.
Определение. Последовательность (о„) называется
бесконечно большой, если для каждого положительного
числа А найдется такое натуральное число .V, что для
любого п > N выполняется неравенство |ап|>А. В этом
случае пишут
lim ап — оо.
л-* со
Например, limn=oo, т. е. последовательность (я) —
П->со
бесконечно большая.
1G7
Теорема. Если последовательность (ап), где. ап Ф 0,—
бесконечно большак, то последовательность (— I—беско-
\<hi)
нечно малая, и наоборот.
□ Пусть (ап)— бесконечно большая последовательность.
Тогда, согласно определению, для каждого А > 0 найдет-
ся N такое, что
| а„ | > .4 для всех п > N. (1)
Положив е='-, из соотношения (1) получим
/1
1^.1 V
—г < т = е для всех п > N.
\ап1 Л
Так как е здесь может быть произвольным положи-
тельным числом, ю это и означает, что Пт — = 0, т. е.
последовательность I —) — бесконечно малая.
Пусть теперь последовательность (пл) —бесконечно ма-
лая. Тогда, по определению, для каждою е > 0 найдет-
ся IV такое, что
| аП | < е для всех п > Л7. (2)
Положив Л = у>0, из соотношения (2) получим
т *-j- > — = А для всех п > У,
I а« I 8
т. е. последовательность ( — '—бесконечно большая. □
\ап /
Например, последовательность — бесконечно ма-
рая, а последовательность (п)—бесконечно большая.
Пример. Доказать,' что lim у" = О, если q| < 1, и
limg’, = oo, если [/у| > 1.
ЛЕсли |<?|> 1, то | q — 1-p/i, где h > 0, и согласно
неравенству Бернулли (см. § 8, п. 1, пример 2)
|9|’’ = (14-й)»>1 J-ftn. (3)
Очевидно, что
lim (14-/ш) = оо,
т. с. последовательность (1 -Ь hn}— бесконечно большая.
Из неравенства (3) следует, что последовательность
168
тоже бесконечно большая, т. е.
Нтг?” = оо.
Пусть теперь |<?|< 1. Если q — 0, то </"—О для лю-
бого натурального п и, следовательно,
lim qn = 0.
Л->СО
Если же </=/=0, то |у|> 1. По только что доказанному
последовательность ( Д, n^N,— бесконечно большая.
В силу теоремы о. связи между бесконечно большой и
бесконечно малой последовательностями последователь-
ность qn, n(zN,— бесконечно малая, т. е. lim «у" = 0. А
П->СО
8. Существование предела у монотонной ограниченной
последовательности. Для установления существования пре-
дела последовательности широко используется следующий
достаточный признак существования предела.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная
ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательства этой теоремы мы не приводим. Заме-
тим, что в теореме Вейерштрасса сформулированы доста-
точные условия существования предела последователь-
ности, но способ нахождения этого предела не указы-
вается.
Пример Используя теорему Вейерштрасса, дока-
зать существование предела у последовательности с об-
щим членом
а« = (* +7) . п € N
А Рассмотрим вспомогательную последовательность с
общим членом
\ " /
Очевидно, что эта последовательность ограничена снизу,
так как Ь„ > 0. Докажем, что она убывает»
169
Согласно неравенству Бернулли при п^2
( +/15— 1) > 1 + («+ 1~ Н-л_1 —п_ 1
т. е.
Таким образом, для любого п^2
bn-i п
Ь„ П — 1
п — 1 _ J
п
Отсюда следует, что последовательность (Ьп) убывает.
Кроме того, она ограничена, так как 0 bn bi для
любого n£N Следовательно, по теореме Вейерштрасса
последовательность (Ь„) имеет предел.
Рассмотрим теперь предел последовательности (а„):
П-+<х>
г i I \ =Пга
1,га Н- »-»
Итак, lim \ 4--^-)" существует. Этот предел принято
п->со \ п /
обозначать буквой е, т. е.
lim (l + -iy=e.
Число е играет большую роль в математике, естествозна-
нии и технике. Это число иррациональное, с точностью
до 10-4 оно равно 2,7183.А
&. Понятие числового ряда. Для заданной числовой
последовательности (а„) выражение вида
00
2 ал = Ог + а24-аз-Н. • + <*„+• • (1)
п= 1
называется бесконечным числовым рядом.
В этом случае а„ называется п-м (общим) членом ряда.
Суммы S1 — u1, $3 = ^4-412, Si = al + а2 + а3 и т. д. на-
зываются частичными суммами ряда (1), сумма S’„=^a14-
4- а24- • • • 4- ап называется п-й частичной суммой.
170
Определение. Если последовательность частичных
сумм ряда сходится, то ряд называется сходящимся, а
предел последовательности частичных сумм называется
суммой ряда.
Если последовательность частичных сумм расходится,
"to ряд называется расходящимся.
Пример 1. Пусть дан ряд
2 (-1)’-х = 1-1 + 1-...+(-1)"-х+..;
п= 1
Последовательность частичных сумм этого ряда
31==1, S2 = 0, S,«l, S,— О, .... S2„_1=l, S2n = 0,
03
предела не имеет, значит, ряд 2 (— О"-1 расходится.
П=1
Пример 2. Рассмотрим ряд
X п{л + !) = Ь2^'2Тз ' • + п (л +1) + • ••
п= 1
Построим последовательность частичных сумм этого
ряда:
Легко видеть, что
lim S„ = lim (1— —= 1.
П->00 Л->оо \
Значит, данный ряд, согласно определению, сходится, и
его сумма равна 1, т. е.
X Г(гГ+Т) =
п= 1
Пример 3. Рассмотрим бесконечную десятичную
дробь .., с помощью которой представляется
действительное число а. Эту дробь можно записать в
17i
следующем виде:
(2)
т. е. в виде некоторого числового ряда. Очевидно, ча-
стичные суммы этого ряда являются десятичными при-
ближениями числа а с недостатком: S„ = a„_i. Так как
(см. пример 3 из п. 1) lim ал = а, то ряд (2) сходится
п
и его сумма равна а.
10. Сумма бесконечной убывающей геометрической
профессии. Рассмотрим геометрическую прогрессию, т. с.
последовательность с общим членом а„ = aiqn~i.
Покажем, то ряд, составленный из членов этой по-
следовательности ,
ai + «ig + «i?a+• • •+ai<7""’+ • •• (1)
при | >71 < 1 сходится, и найдем его сумму.
Как известно, при <?=^=1 для суммы п первых членог
этой прогрессии, т. е. для п й частичной суммы ряда (1),
имеет место формула
е _ (1 — <7")
1 — q '
Поэтому, если |</|< 1, то
lim
п->сс
о _ 01
1— q
Г— lim qn
п-+<п
at .
так как lim qn = 0.
co
Итак, мы установили, что ряд (1) сходится при |<?| < 1.
Сумма ряда, составленного из членов бесконечной
убывающей геометрической прогрессии, называется сум-
мой этой прогрессии. Таким образом, имеем следующую
формулу для вычисления суммы бесконечной убывающей
геометрической прогрессии:
(2)
где а, —первый член прогрессии, g (|<?| < 1) —знаменатель
прогрессии.
Пример 1. Найти сумму ряда
1+(—4)+4+(—+(—т)" 1+---
172
А Так как последовательность (а„), где ап — у—yj ,
представляет собой геометрическую прогрессию, у кото-
рой = 1 и q = — у, то данный ряд сходится и его
сумма вычисляется по формуле (2):
\ 3 J 3
Рассмотрим некоторую бесконечную периодическую
десятичную дробь a — a(.,a1a2...am(b1b2...bn'). Покажем,
что эта дробь изображает рациональное число. Восполь-
зуемся формулой (2):
а=«р,од.. .а,, + + Потг+рг?+ • • • =
^1^2••-Ьп I
— о0,о:1а2... ат -| |QCT+n • ~
1—То*
. blb2.. ,ьп
= а0,а1а2. ..ат +
Итак,
а = а0,«1а2.. ..Ьа) =
= а0 ,asa2 ...ат + . (3)
Пример 2. Представить периодические десятичные
дроби 0,(28514) и 3,2(63) в виде обыкновенных дробей.
А Используя формулу (3), получаем:
WooE714\_n । 285 714 _ 285 714 _ 2-142 857 _ 2 .
v,(^o0/14) —U+1()в_1 — 999 999 —7.142 857’' 7 ’
"63) = 3,2 ф- р?.ц02_ j) — 3 4~То “* Гб-99 ~
q.2,7 о 29 .
= 3 + ю + по -311О'“
Замечание. Положим в формуле (3) п = 1 и = 9,
то1 да
9 , 1
а — ао>а1^2- • • ат “Ь Юга (10_1) йе>^1й2 • ' • ат + (Qm *
Таким образом, всякая десятичная периодическая
дробь с периодом, равным девяти, равна конечной деся-
тичной дроби, у которой десятичный разряд, предше-
ствующий периоду, увеличен на единицу по сравнению
с исходной дробью.
173
Например, 1(9) = 2, В самом деле,
1>(s) = i + iol-T-1 + 1=2-
Аналогично имеем 6,3(9) = 6,4. Действительно,
«ЭД = 6-3+к>П^п = 6-3+го’6,4-
Вопросы для контроля
1. Что называется пределом последовательности?
2. В чем заключается геометрический смысл сходимости последо-
вательности?
3. Сформулируйте необходимое условие существования предела
последовательности.
4 Сколько пределов может иметь последовательность?
5. Какая последовательность называется бесконечно малой? При-
ведите пример.
6. Какая последовательность называется бескснечно большой?
Приведите пример.
7. Сформулируйте теорему о пределе суммы двух последователь-
ностей.
8. Сформулируйте теорему о пределе произведения дзух последо-
вательностей.
9. Сформулируйте теорему о пределе отношения двух последова-
тельностей.
10. Сформулируйте теорему с пределе монотонней последователь-
ности (теорему Вейерштрасса).
11. Что называется бесконечным числовым рядом?
12. Какой ряд называется сходящимся’
13. Какой ряд называется расходящимся?
14. Приведите формулу для суммы бесконечной убывающей
геометрической прогрессии.
Упражнения
4.29. Докажите, что
I) lim ^^=2; 2) lim ЬЛ^=о;
ft go fl п -* ОО fl
3) lim тЦ-г=4"'» 4) lim . =0.
л-» .«,4г: -f-5 2 'п_тог.?+1
4.30. lira Каким должно быть и, чтобы число
п -►« я 4* *
ion ^6 — r| было меньше од и 0,01?
I п -L. II 1 *
174
4.31. lim L-r— =— 1. Каким должно быть п. чтобы число
П -> 00 Л-\-П
я-г—+1 было меньше 0,1; 0,001?
Р+п 1
. „„ п2 — 1 1
4.32. lim
j ii2 — 1 "f
|2n?+n 2
* Каким должно быть п, чтобы число
I было меньше 0,01; 0,001?
4.33. Установите, какие из последовательностей сходящиеся, а
какие расходящиеся;
4) ап—2п — 1; 5) а„ = п2.-1; 6) п3’
4.34. Найдите пределы:
2л—3 о. ,. 1 ,, 3 —п
1) km —я; 2) lim ; 3) lim я—п ;
п-х^п — 8' ' п^^2п’ '„„„2/141’
4)
. Зл'4-2 _ 1-п—п3
hm ; 5) hm —я—г-тт-;
„„„1—4 ч2’ ' „ „ „ <3п + 1)ь ’
6)
S)
lim
п -> оо
lim
/I -» «о
n'i
_ V i2n3-|-5
7) hm -т—.—!—- ;
n » n?4-n— 1
i±
!+
; 9) lim
1
2n
T
3"
4.35. Какие из следующих утверждений верны:
1) если последовательность неограничена, то она не имеет предела;
2) еслч последовательность имеет предел, то она ограничена;
3} если последовательность немонотонна, то она не имеет предела;
4) если последовательность имеет предел, то она монотонна?
4.36. Выясните существование предела у следующих последова-
тельностей;
,, 1 4 Оч /14-1
1) ап-~ 1 2) а«“4П_ 3 : 3) а'1~-'п2 +5 :
4) аГ‘ = зп ’ 5) а«~4Й> а»=п_(_ 1)И >
*0) en = f 1 2')(1 2“ ) ‘
4.37 Найдите сумму бесконечных геометрических прогрессий;
2’ 5 ’ 25’ 125’ •••’ 2) ’ 4 ’ 16 ’ 64 ’ •••’
о .___1_ . _1_ .__L - -41 3-__L • —L •_____1 -
2 ’ 6’1»’ 54’ ' ’ 2 ’ 12’ 72
175
4.38. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
(а„), если известно, что
,. 1 3 .1
1) 2) а3 = — 1, <7=у ;
3) я2 = — 2, </= — 2-; 4) а3 = — ~ , q= — у.
4.39. Запишите в виде обыкновенной дроби:
1) 0,82(63); 2) 13,83(54); 3) 8,4(57);
4) -10,3(621); 5) —32,2(54); 6) 3,09(04).
§ 19. Предел функции
1. Предел функции в точке. Сформулируем определе-
ние предела функции в точке, используя определение
предела последовательности.
Определение. Пусть функция f(x) определена в
некоторой окрестности точки а,.кроме, быть может, са-
мой точки а. Число В называется пределом функции f(x)
в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой
последовательности значений аргумента хпФа, n£N,
сходящейся к а, последовательность соответствующих
значений функции f(xn), n£.N, сходится к числу В.
В этом случае пишут
Um f(x) — B или f (х) —В при х—>а.
х~+а
Короче, В = lim f(x), если lim f (х„) —В для любой
х-+а п
последовательности хп^=а, n^N, сходящейся к а.
Пример 1. Докажите, что lim х2 = 0.
х-+0
Л Рассмотрим любую последовательность значений
аргумента х„=т^0, n^N, сходящуюся к нулю, т. е.
limx„ = 0. Тогда, так как f(x) — x2, то lim / (хп) =
П->со п-*оо
— lim Хп = lim хп • lim х„ = 0.
П-* ОО 00 П->00
Следовательно, lim х2 = С. А
х->0
у2__1
Пример 2 Докажите, что iim -—г=2.
х-»1 х 1
А Рассмотрим любую последовательность значений
аргумента х„#= 1, n£N, сходящуюся к 1, т. е. lim х„=1.
СО
v2__ |
Тогда, так как f(x) — т0
г2_ 1
lim f (хп) = lim -2—= lim (x„ + 1) = 2.
n-»CT n n->uo
176
Следовательно,
lim ——г — 2. A
x->i x~l
Если же для некоторой последовательности значений
аргумента хп^а, n£N, сходящейся к а, последователь-
ность соответствующих значений функций f(xa), ft£N,
предела не имеет, то функция /(х) не имеет предела в
точке а. Функция f (х) не имеет предела в точке а и
тогда, когда для двух различных последовательностей
значений аргумента, сходящихся к а, последовательности
соответствующих значений функции имеют разные пределы.
Пример 3. Доказать, что lim-Д-пе существует.
Л Рассмотрим последовательность, сходящуюся к пулю:
1
Хд = —, п б N. 1 огда 1 im f (х„) = lim -т- = 1 • Рассмотрим
Л П->0О П->С0 1
П
теперь другую последовательность, сходящуюся к нулю:
1
х'п~—— , n$N. Тогда lim /(x„) = lim —Д = —1. Так
п п-+т n-t-ю _
п
как для двух различных последовательностей аргумента,
сходящихся к пулю, последовательности соответствующих
значений функции имеют разные пределы, то предел
функции /(х) — -Д- в гочке'х —О не существует. А
Iх I
Отметим, что точка a, d которой рассматривается пре-
дел функции f(x), может принадлежать области опреде-
ления функции /(х) (см. пример 1), а может и не при-
надлежать, так как при нахождении предела функции в
точке не рассматривается значение функции в этой точке
(см. пример 2).
Используя определение предела, найдем пределы не-
которых функций.
Пример 4 Доказать, что предел постоянной функции
равен этой же постоянной.
Д Пусть /(х) = с для всех х из некоторого интервала,
содержащего точку а. Тогда для любой последователь-
ности (хД такой, что х„ —> а при п —>• со, имеем f (хп) = с и
lim f(xn) = c.
n-f-ж
Алгебра, ч. I
177
Следовательно,
lim f(x) = lim c = c. A
x->a x->a
Пример 5. Доказать, что для /(х) — х,
lim/(x) = limx — а.
х-+а х-+а
А Для любой последовательности (х„) такой, что хп —> а
при п —► ос, имеем
hm f (хп) = lim хп — а.
П~*со ' Н->со
Следовательно, согласно определению предела
limx = а. Ф.
х->а
2. Теорема о единственности предела.
Теорема. Функция не может иметь двух разных
пределов в точке-
□ Доказательство проведем методом от противного.
Пусть в точке х=а функция f (х) имеет два различных
предела А и В.
Согласно определению предела для любой последова-
тельности значений аргумента х„, n£N, такой, что х„=£а
и limx„=-o, имеем
п-><х>
llmf(xn) = A, !im/(x„) = B.
П->со П-><ю
В силу единственности предела последовательности
отсюда получаем равенство А—В, которое противоречит
предположению. Следовательно, функция не может иметь
двух разных пределов в точке. □
3. Теоремы о пределах. Основные теоремы с пределах
функций (о пределе суммы, произведения и частного), об-
легчающие вычисление пределов, аналогичны соответст-
вующим теоремам о пределах последовательностей.
Теорема 1. Предел суммы (разности) функций равен
сумме (разности) их пределов, если последние существуют:
lim (f (х) ± g (х)) = Em f (х) ± lim g (х).
х~+а х->а
Теорема 2. Предел произведения функций равен про-
изведению их пределов, если последние существуют'.
lim (/ (х) • g (х)) = lim f (х) - lim g (x).
x~+a x-+a x->a
178,
Следствие. Постоянный множитель можно выносить
за знак, предела, т. е.
lim (с/ (х)) = dim f (х),
х~+а х->а
если lim / (х) существует.
х-*а
Теорема 3. Предел отношения двух функций равен
отношению их пределов, если последние существуют и
предел делителя отличен от нуля:
flx} lira f W
lim - --)- = —____
Г-" S W Hm g (x) ’
x-+a
если lim#(x)=y-0.
x->a
□ Пусть
lim f (x) = А и lim g (x) — В =A= 0.
x-ta x-*a
Согласно определению предела функции в точке для
любой последовательности значений хп аргумента такой,
что х„ а и lint х„ = а, имеем
П-*-со
lim f (x„) = А и lim g (х,) = В ф 0.
fl->CO гг—><ю
Используя последние равенства и теорему о пределе
частного для сходящихся последовательностей, получаем
Нш I (х„) .
„А lim g(x„) В
n->c©
Отсюда следует, что
li m А = A, т. e lim ? Y • S
x_^aS(.x) В x_a g(x) iimg(x) "
x-+a
Теоремы 1 и 2 доказываются аналогично.
При изучении пределов функций иногда полезно ис-
пользовать следующую «теорему с пределе про-
межуточной функции».
Теорема 4. Г.сли
lim tp(x) = B, lim ф (х) — В
х~+а х-^-а
и в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может,
самой точки а, выполняются неравенства
Ф(х)^/(х)^ф(х),
179
то
lim f (х) = Б
х->а
Эта теорема следует из соответствующей теоремы для
последовательностей.
Пример 1. Найти lira(9х2 — 6х+8).
Л Применив теоремы о пределах суммы, разности и
произведения, получим
lim (9х2—6x4- В) = lim (9х2)—lim (6х) 4- lim 8 =
=91imx2—61imx 4- 8 = 9 flimxA • flimx\ — 6-14-8 =
X»1 X—>1 \x->l / v—i /
= 9-l-l—6-1 4-8= 11. Д
Пример 2. Найти lim—/—.
x->-2 x 2
Л Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому вос-
пользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Разло-
жим числитель на множители:
х2 — 5х 4- 6 = (х— 3) (х—2).
Так как прн нахождении предела в точке 2 рассматри-
ваются лишь х =# 2, то можно сократить па х—2, и поэтому
lim = lim ^~У2~3) = lim (х- 3) = 2 -3 =—1. Д
Х->-2 X — Z х_),2 X X х_^2
• X — 1
Пример 3. Найти lim.
Д Прежде всего покажем, что
lim х = 1.
Л—> 1
Так как для любого х > О
0<|Их-1| = -^Н<|х-1|,
V *4-1
поэтому по теореме 4 имеем, что hm.(Kx—1) = 0, т. е.
lim К* = 1 •
х-+1
Следовательно,
= lim ' Hm (/* + i) = 2. Д
х->1 * 1 X-fl
160
Замечание. В примерах 2 и 3 при х = 2 и х = 1
соответственно числитель и знаменатель дроби обращаются
в нуль. В таких случаях говорят, что имеется неопреде-
0
лекность вида -д-, а нахождение предела называют рас-
0
крытием неопределенности вида
4. Односторонние пределы. В приведенном в и. 1 опре-
делении предела функции в точке аргумент х принимает
значения х„ из окрестности точки, а, кроме х = а, как
слева, так и справа от а-
Если при нахождении предела рассматривать значе-
ния х только слеза от а, то такой предел называется
левым или левосторонним и обозначается
lim f(x); lim/(x) или f(a — 0),
х-+а - 0 х-
х<а
а если рассматривать значения х только справа от точки а,
то такой предел называется правым или правосторонним
и обозначается
lim fix')-, lim-f(x) или /(а-рО).
х->а+0
х>а
Левый и правый пределы называются односторонними
пределами, а предел иногда называется двусторонним.
В случае, когда изучают односторонние пределы в точке
х —0 (т. е. при х—>0), запись упрощают и пишут для
левостороннего предела lim f(x) = /(—0), а для право-
х-»-0
стороннего—lim f(x) = f (-(--О).
+ 0
Из определений следует, что если у f (х) существует
предел в точке х0 и
Пт/(х) = Л, (1)
то односторонние пределы f(xo + 0) и f(xu—0) также су-
ществуют и
f(xo + O) = f(xo—С)х=Л. (2)
Верно и обратное утверждение: если имеет место (2),
то имеет место и (1).
Таким образом, для установления существования пре-
дела функции f (х) в точке ха достаточно проверить вы-
полнение следующих трех условий-, а) существование
181
левого предела-, б) существование правого предела-, в) сов'
падение односторонних пределов.
Пример 1. Найти предел функции /(х) = |х| при
х -* 0.
Л Данная функция определена на всей числовой пря-
мой (рис. 40). Так как /(х) = —х для х, удовлетворяющих
неравенству х < 0, то
/(—0) = lim (— х) = 0.
Л--»-0
Аналогично,
/(4-0)= lim х = 0.
х->+0
Рис. 40
Таким образом, /(4-0) = /(—0) =0.
Так как односторонние пределы в точке нуль совпали,
то предел функции /(х) в точке нуль существует и равен
их общему значению, т. е.
lim/(x) = lim|x| = 0.- А
х-'О х-*0
Пример 2. Доказать; что функ-
ция
\ 2 - J — х3, если х<1,
\ - ^Х^~\2+х, если х>1
. 1_lX —J---1---1-L>-
?. -/ о у г х не имеет предела в точке х= 1.
-/ - ' Л Данная функция (рис. 41) опре-
делена на всей числовой прямой.
Вычислим односторонние пределы
Рис. 41
этой функции в точке х = 1:
/(1—0) = lim (—хг) = —1,
л-И -0
/(1 4-0)= lim (24-х) = 3.
ж-*1 +0
Итак, /(1—0) =5^/(1+ 0)- Следовательно, данная функция
не имеет предела в точке х— 1. Л
5. О пределе функции при х —> ± <х>. Бесконечный
предел функции. При изучении свойств функций прихо-
дится рассматривать предел функции б бесконечности, бес-
конечный предел функции в точке, а также бесконечный
предел в бесконечности.
Остановимся подробнее на пределе функции в беско-
нечности, т. е. при х—>4-90 и при х—*—оо.
1В2
Пусть функция / (х) определена на всей числовой
прямой. Число В называется пределом функции f(x)
при х—>+°о, если lim/(xn) = B для любой последователь-
Л->00
ности (хп) такой, что lim хп = 4-со.
п->со
В этом случае пишут lim f(x) = B, Аналогично.
Х->4-со
lim f(x) = C, если lim/(x„) = C для любой (хп) такой,
—<ю п->а>
что lim хп — — со.
л->оэ
д.2_ [
Пример 1. Доказать, что lim 1.
X—> + оо Х т «
ДРассмотрим ироизьольную последовательность (х„)
такую, что
lim х„ — 4-оо.
•Так как последовательность
сходится к 1, то, согласно определению,
... х2—1
I.
Легко видеть, что и
V-2_1
В ряде случаев поведение функции f (х) разное при
х— >4-оо и при х —* — оо. Например, для функции /(х)=
1/* Лу2 1 1
t= 1—, определенной для всех х^=1, имеем
Um К§±1,-3, lim 1£§+L_3.
Х-»-00 Х 1 Х 1
Поэтому при исследовании свойств функций рассматри-
вают как lim /(х), так и lim f (х).
Х-* 4- оо Л-> — ®
Кроме рассмотренного случая конечного предела функ-
ции /(х) при х—»-а (или х—>-±оо) используется понятие
бесконечного предела. Например, функция /(х)?=Л-, опре-
деленная для всех х=4-0 (рис. 42), принимает сколь угодно
большие значения при х—-> О В этом случае говорят, что
183
функция в точке х = 0 имеет своим пределом бсскопеч-
1- 1
НОСТЬ, И пишут 11Ш—=00.
Л-сО Х-
Сформулируем определение бесконечного предела; если
для любой последовательности значений аргумента (хп)
и I такой, что х„ #= а и lira хп =
Г1—> 00
Рис 42
дела (соответственно
= а, имеет место lira f.(xr.) =
= оо, то говорят, что предел
функции f (х) в точке а есть
бесконечность, и пишут
lim /(Х) = Оо.
х->а
Если в данном определе-
„ нии условие хп #=а заменить
J на условие хп < а (или х„>
> а), то получим определе-
ние бесконечного левого пре-
правого предела) функции /(х) в
точке и.
Аналогично определяются бесконечные пределы в бес-
конечности, т. е. пределы вида lim / (х) = оо.
х-*± ОС-
Пример 2. Найти предел lira •
Д Разделим числитель и знаменатель на г3, тогда
lim
й»+<ю
Зх3+х+4 ,.т ^^хЗ^х3 3
X* X
З.Д
Замечание 1. В примерах 1 и 2 при х—>-+ос чи-
слитель и знаменатель стремятся к бесконечности. В таких
случаях говорят, что имеется неопределенность вида — ,
а нахождение предела называют раскрытием неопределен*
ности вида
Пример 3. Найти предел lim (Их£4-1—х).
X—> + оо
Д lim .(/FTT-x)= lim (Гха+1-х)(р + 1+х)_
Х->+» Х-> + Ъ /хЧ-1-i-X
.. X2 +1—X? .. 1 „ ,
₽= hm <--Е-—— Еш г- ------------= 0. А
Х-+ + « \ хЗ - j- 1 -|- X jr-» + I^XiS-pl-pX
184
Замечание 2. В примере 3 рассмотрена неопреде-
ленность вида СО--0О.
Если lim/(x) = oo, то функция f(x) назыгается беско-
к-* а
нечно большой при х~* а. Если же lim / (х) — С, то функ-
ция f (х) называется бесконечно малой при х-»-а. Анало-
гично определяются бесконечно большие и бесконечно
малые функции при х—<—со, х —►4-00.
Заметим, что, так же как и для последовательностей,
имеет место следующее утверждение: если функция /(х)—
бесконечно малая при х—*а и /(х)^0 для х=/=а из не-
которой окрестности точки а, то функция Д-»—бесконечно
I W
большая при х—>а.
Верно и обратное утверждение: если функция /(х) —
бесконечно большая при х—+а, то функция ц-—беско-
нечно малая при х—>а.
Например, функция f(x) — x является бесконечно
малой при х~>0 и бесконечно большой при х—» — сю и
при х—► + ОО.
Функция /(х)=а-|- является бесконечно малой при
х—>4-оо и при х—+ — оо и бесконечно большой при х —>0
(аналогично при <—♦4’0 и. при х—♦—0).
Например, функция. /(х) = [х] (целая часть от х),
как легко видеть, является бесконечно большой при
х—J—оо и при х—>4-оо.
Функция Г(х) —х—[х] (дробная часть от х) является
бесконечно малой при х—>-t-0 и не является бесконечно
малой при к—*—0, так как легко показать, что
lim f(x)= lim х=0, lim /(х) = lim (14-х)=1.
л» + 0 х-»+Э Х-»-0 х^-0
Вопросы для контроля
1. Что называется пределом функции?
2. Сколько пределов может иметь функция в точке?
3. Сформулируйте теорему о пределе суммы (разности) двух
функций.
4. Сформулируйте теорему о пределе произведения двух функций.
5. Сформулируйте теорему о пределе отношения дьух функций.
6. Сформулируйте теорему о пределе промежуточной функции.
7. Что называется правым (правосторонним) пределом функции
в точке?
135
8. Что называется левым (левосторонним) пределом функции
в точке?
9. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существо-
вания предела функции в точке.
10. Что называется пределом функции при х ->-|~оо (при х — оо)?
11. Что называется бесконечным пределом функции?
12. Какая функция называется бесконечно большой при х -> а?
13. Какая функция называется бесконечно малой при х->а?
Упражнения
4.40. Используя определение предела функции, докажите спра-
ведливость равенств:
1) lim 2x —8; 2) lim (3 — 12x) = —3; 3) lim (3a£—2) = L
x-»4 *->1/2 x—>1
4.41. Найдите следующие пределы:
1) lim (x4—2х-Т-5);
3)
lim
4)
X34-X2-11
} Л-1 ад+5
x2 —4
lim -----
x—2
5)
7)
9)
x?+x—2
lim —>—;;
л-i x—1
.. хг — 4x— 2l
lim-----=-,
x’t x—7
,, V5^x-2
lim ;
x-»i /2—x—1
6)
lim
Х-+о
lim
10) lim
6x—16
xt-j-x—2
; 8)
4.42 Выясните сушестзование предела в точках —2; —1; 0; 1;2
для следующих функций:
3)/(х) = [х]; 4) /W&^±LX-1 ;
5) Цх) = х-[х]; 6) f (х) = < г
1 «V, Л лц
4.43. Найдите левый и
правый пределы функции
. , I — х4-1 при х С 1,
Ф(х) — < „ . н
т ; 2х—1 при х > 1
в точке х= 1.
4.44. Найдите лезый и правый пределы функции
ф(Л) =--------—
в точке х = 2,
18G
4.45. Вычислите пределы:
n lim l — 3-*, <Ъ 1!т Зх1!—5х--6
° 2*4-3^ } *1±« "7x?-8x-9 ’
8) ;1ш \з(Х^1)3 3, ? 4) lim
Ж->±<» Л /,Л~ ОЛ х-*±<х
б) lim (Кх?4-х-1 -/ха-х4-1 ).
Х-» I
4.46. Найдите 11m
4xi-J-9
4.47. Найдите пределы:
1) Пт — ~t-2x-J,-7 , ~
' х 1+- ха- Зх—Ь ’ ’
,. К9хЦ 2—х
3) lim J ,,---------.
х->+~ 4x4-11
х-8
3—х'4-10х2 1
lim
§ 20. Непрерывные функции
1. Понятие непрерывной функции. Впервые с непре-
рывными функциями вы встречались и широко использо- ,
вали их свойства при построении графиков простейших
функций, хотя сам термин «непрерывная функция» не ’
употребляли, а тем более определение этого понятия вам
не давалось. На первых этапах построение графиков
простейших функций, например y=ax4-t, y = axi или
у = ах\ совершается по точкам. А именно, составляют
таблицу значений функции, соответствующих определен-
ным значениям аргумента, затем на плоскости, в которой
задана система координат, строят точки, координаты ко-
торых занесены в таблицу; соединив отмеченные точки
«сплошной линией», получают график функции. Это можно
делать не всегда, а только в том случае, если функция
непрерывная (тогда графйк ее есть линия сплошная).
Определение. Функция f(x), х£(а; Ъ), называется
непрерывной в точке хъ € («; b), если предел функции f (х)
в точке х0 существует и равен значению функции в этой
точке:
lim /(x) = f (х0).
X -> х0
Согласно данному определению непрерывность функ-
ции f в точке х0 означает выполнимость следующих усло-
вий:
1) функция f должна быть определена в точке х0;
2) у функции / должен существовать предел в точке х0;
187
3) предел функции f в точке х0 совпадает со значением
функции з этой точке.
Например, функция f (х) = х2 определена на всей число-
вой прямой, и
lim х2= !.
Л —> 1
Так как f (1) = 1, т. е. значение f(x) = x2 в точке х=1
совпадает с пределом при х—>1, то, согласно определе-
нию, функция /(х) = х2 непрерывна в точке х=^1.
Если использовать лезый и правый пределы функции,
то можно определить левостороннюю и правостороннюю
непрерывности функции, а именно: функция называется
непрерывной слева в течке хс, если
lim /(х) = /(х0),
Х-+Хо-О
и непрерывней справа в точке х0, если
lim J(x) = f(x0).
X -► *о+ о
Например, функция f(x) — x— [х] непрерывка всюду,
за исключением целочисленных значений аргумента х,
то разность х—ха
и обозначается Ах,
х = х0 Ах.
Разность
в которых она непрерывна справа
(см. рис. 25).
Дадим другую формулировку оп-
ределения непрерывности функции
через приращения функции и аргу-
мента.
Пусть задана функция f(x),
b), и пусть х0 — некоторое
значение аргумента из интервала
(а; Ь). Тогда, если х£(а;6)—другое
фиксированное значение аргумента,
называется приращением аргумента
т. е. Ах = х—х0. В этих обозначениях
f (*) — f (*о) =/ (-v0 -I- Ах) —f (х0)
называется приращением функции f в точке х0 и обозна-
чается А/ или Ау (рис. 43).
Если функция f непрерывна в точке х0, то, согласно
определению,
lim f(x)=f(x0)
Х-*Хо
188
и, следовательно, lim (f(x)—/(хо)) = О, а это значит, что
X-+XQ
lim Д/ = 0,
Дл -> О
Из последнего соотношения следует, что если f(x)
непрерывна в точке х0, то малому приращению аргумента
соответствует малое приращение функции или, точнее,
приращение функции f есть функция, бесконечно малая
при Лх—>0.
Следовательно, можно дать определение непрерывности
функции в точке в следующем виде: функция f(x), х£ (а; ^)>
называется непрерывной в точке х0£(а; Ь), если ее при-
ращение в этой точке есть функция, бесконечно малая
при Лх—+0.
2. Примеры.
Пример 1. Исследовать на непрерывность в точке
хо = О функцию f(x) — signx (читается «сигнум х» или
«знак х»);
{1 для х> 0,
0 для х — 0,
—1 для х < 0-
А Из задания функции (рис. 44) видно, что
Н-0)- lim (-1) = -!,
-С
/(4-0) = lim 1 = 1.
х-> +0
Таким образом, /(—0) (4-0), т. е. односторонние
пределы существуют, но различны, поэтому функция
№
о
Рис. 44
Рис. 45
/(х) = signx не имеет предела и тем более не являет-
ся непрерывной в точке хо = 0. А
Пример 2. Исследовать данную функцию /(х)=| signx |
на непрерывность в точке х0 = 0 (рис. 45).
189
А Таи как [(х)=1 для х^О. то lim
х—*• о
Таким образом, предел функции в точке хс —О суще-
ствует, но он не равен /(О), так как f(Q) = O, и поэтому
функция f (х) — | sign х |
не является непрерывной
в точке хс = 0. Д
Пример 3.
вать функцию
Исследо-
~ для
X для
(рис. 46) на непрерывность в точке
А Так как
f(l — 0)=я 11m х-1, /(14-0)’=’ lim 1=1, f(l) = l,
Ж - 1-0 X — 1+0 X
то точке хс == 1 предел функции существует и равен зна-
чению функции, а это значит,
что рассматриваемая функ-
ция непрерывна в точке
х0 = 1. А
Пример 4. Исследо-
вать функцию f (х) = yj-. ,
x<tR, х^З (рис. 47), на не-
прерывность в точке х — 3,
А Рассматриваемая функ-
ция не является непрерывной
в точке х„ = 3, так как она
не определена при х = 3. А
3. О непрерывности функ-
ции на множестве. Функция
называется непрерывной на
непрерывна в каждой точке
она
интервале (а; Ь), если
интервала. Функция называется непрерывной на отрез-
ке [а; &], если она непрерывна на интервале (а; Ь),
непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Отметим, что для непрерывности функции на отрезке
[а; 6], как это видно из определения, не требуется непре-
рывности функции на концах отрезка. В точках а и b
(концах отрезка [а; &]) требуется только односторонняя
непрерывность функции-
190
Например, функция
f (х) = J/'— хМ- Зх— 2, где 1< х< 2,
является функцией, непрерывной па этом отрезке, так
как она непрерывна в каждой точке интервала (I; 2), не-
прерывна справа в точке х—1 и непрерывна слева в
точке х = 2. '
4. Точки разрыва. Если функция f(x) непрерывна
в точке х0, то точка х0 называется точкой непрерывности.
функции / (х). В противном случае, т. е. когда предел
функции f (х) в точке х0 не существует или существует,
но не равен f (xu), функция / (х) называется разрывной
в точке х0, а точка ха—точкой разрыва функции f (х).
Если f(x) определена во всех точках интервала (а; Ь),
кроме точки х0€(й; Ь), то х0 также называется точкой
разрыва функции /(х).
Из сказанного следует, что в точке разрыва функция
может быть определена (см. примеры 1, 2 н. 2) и не опре-
делена в такой точке, хотя определена в некоторой «про-
колотой» окрестнос1И этой точки, например точки х0 = 3
в рассмотренном выше примере 4 п. 2.
В первом случае точка разрыва принадлежит области
определении функции (примеры 1, 2), во втором случае
не принадлежит ей (пример 4).
5. Свойства непрерывных функций. В этом пункте мы
будем рассматривать функции, определенные на одном и
том же множестве, например некотором промежутке. При-
ведем без доказательства некоторые теоремы.
Теорема 1. Сумма конечного числа функций, непре-
рывных в точке а,, есть функция, непрерывная в этой точке.
Теорема 2. Произведение конечного числа функций,
непрерывных е точке а, есть функция, непрерывная в этой
точке.
Теорема 3. Отношение двух функций, непрерывных
в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если
значение функции, столицей в знаменателе, отлично от
нуля в точке а.
Теоремы 1, 2, 3 следуют из соответствующих теорем
для пределов функций.
Пример 1. Доказать, что функция f(x) = x", где
п 6 N, непрерывна на всей числовой прямой.
Д Действительно, так как
f (х) — хп — х X ... X,
п сомножителей
19!
то из теоремы 2, учитывая непрерывность х, получим,
что функция непрерывна всюду на числовой прямой. А
Очевидно, что и функция f(x) — схп (с—константа)
непрерывна на всей числовой прямой.
Справедливость этого утверждения следует из теоремы 2
в примера 1.
Теорема 4. Многочлен есть функция, непрерывная
на всей числовой прямой.
□ Пусть
f (х) = аЛхп 4- tZiX""1 + ... + ап_гх + ап.
Функции f^(x)^aaxn, fn_i(х)>=a„_iX,
fn(x) — at, предст авляют собой функции, непрерывные всюду
па числовой прямой (см. пример 2). Следовательно, рас-
сматривая многочлен как сумму этих функций, из тео-
ремы 1 получим, что многочлен есть функция, непрерыв-
ная на /?. Й
Теорема 5. Любая рациональная функция непрерывна,
в каждой точке своей области определения.
□ Рациональная функция имеет вид
f (х) — р
Z W 0. w >
где Р(х) и Q(r)—некоторые многочлены.
Так как Р (х) и Q(x) непрерывны на всей числовой
прямой и в области определения функции f (х) многочлен
Q (х) отличен от нуля, то f(x) непрерывна ь своей области
определения (см. теорему 3). В
Например, функция f (х) = . ~ непрерывна иа всей
7
числовой прямой, кроме точки х = —, в которой зна-
менатель дроби обращается в нуль. Функция же
х/.л я«+4*-Н+1
СЧ-х-Н
непрерывна всюду на R, так как знаменатель нигде не
обращается в нуль.
Функции, непрерывные на отрезке, обладают целым
рядом важных свойств. Приведем без доказательства не-
которые из теорем, характеризующие эти свойства.
Теорема 6. Если функция f непрерывна на отрезке
[щ й] и на концах его принимает значения разных знаков,
то внутри отрезка [а; Ь\ найдется хотя бы одна точка,
в которой данная функция обращается в нуль.
192
Эго свойство имеет простой геометрический смысл: если
непрерывная функция на концах отрезка принимает зна-
чения разных знаков, то кривая, являющаяся графиком
этой функции, должна пересечь ось Ох.
Таким образом, функция, удовлетво-
ряющая условиям теоремы 6, пересе-
кает ось Ох, т. е. существует хотя бы
одна точка, в которой данная функция
обращается в нуль.
Например, так как функция /(х) =
= — х3, х£[—1; 2],— непрерывная,
/(—1) = + 1>0 и /(2) = —8<0, то
согласно теореме 6 существует точка,
в которой функция обращается б нуль.
Действительно, в точке х—0 функция
f(x) =— х3 обращается в пуль, т. е-
7 (0) = 0 (рис. 48).
Приведем пример непрерывной функ-
ции, удовлетворяющей условиям тео-
ремы 6, у которой имеется несколько
точек, в которых она принимает значе-
уд
-2
Рис. 48
2 3 х
--3
Рис. 49
нйя, равные нулю. Функция j (х) ==
=х3—2х2, хС[—1; 3],— непрерывная,
/(—1) = — 3<0 и /(3) = 9>0. Легко
видеть, что в точках х = 0 и х = 2 дан-
ная функция обращается в нуль, т. е.
/(0) = 0и/(2) = 0 (рис. 49).
Заметим, что с помощью теоремы 6
можно устанавливать существование
нулей функции и находить их при-
ближенное значение.
Например, рассмотрим непрерывную
функцию /(х) = х4—х— 1, х£[1; 2]. 'Гак
как f (1)=—1 < 0 и f (2) = 13 > 0, то сог-
ласно теореме 6 функция имеет нуль.на _
отрезке [1; 2]. Разделим отрезок [1, 2] -/
пополам, найдем его середину Xi=l,5.
Так как f (1,5)^2,56> 0, го, следова-
тельно, на отрезке [1; 1,5] функция имеет
нуль. Разделим отрезок [1; 1,5] пополам,
найдем его середину х3= 1,25; так как
/(1,25) яз 0,19 > 0, то на отрезке [1;
1,25] функция имеет нуль. Разделим отрезок [1; 1,25]
пополам, найдем его середину х3 = 1,125. Так как
/(1,125)« —0,525 < 0, то на отрезке [1,125; 1,25] функция
193
имеет нуль. Таким образом, нами. установлено существо-
вание нуля у данной функции и найдено его приближен-
ное значение с точностью до 0,025.
Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке,
то среди значений, принимаемых сю на этом отрезке,
существуют наименьшее и наибольшее значения. При этом
она принимает все значения между наибольшим и наимень-
шим значениями.
Например, непрерывная функция f(x) = x3—2№,
—1; 3], принимает наибольшее значение в точке
х — 3, т. е. f(3) = 9, наименьшее значение—в точкех =—1,
т. е. /(—1) =—3, а множество значений функции есть
отрезок [—3; 9] (см. рис, 49).
Вопросы для контроля
1. Какая функция называется непрерывкой?
2. Какая течка называется точкой непрерывности функции?
3. Какая точка называется точкой разрыва функции?
4. Сформулируйте теорему о сумме конечного числа непрерывных
функций.
5. Ссормулируйтс теорему о произведении конечного числа не-
прерывных функций.
С Сформулируйте теорему об отношении двух непрерывных
функций.
7. Всякий ли многочлен является непрерывной функцией?
3 Любая ли рациональная функция является непрерывной
функцией?
Упражнения
4 48. Исследуйте на непрерывность следующие функции:
1) J(x)='8x-f-l в точках х=1, х=—1;
(х2-—1, х<0, „ . ,
2) / (х) = 4 _ _ „ в точках х=0, х — —1 и х=1]
3) / W = -)1^’X2I о’ в 10ЧМХ Х =—!, х=0 и x = 2j
4) f(x) = x—|х[ в точках х=—4, х=0 и х=3?
б) = |^|^}’ в точках х=—1, х=0 и
4.49. Найдите пределы:
I) lim (4х-х3); 2) lim (х? 4 Зх— 5);
X +• -1 г-— 2
Зх—8 „ Зхф-х?
3) х1™ 4х j-2 5 4\Х1?о 2хНх-t-l 5
194
.. x2—2x -3 c
5\Лтз~5хг6-}
7\11П11 5x2 + 4x—1
o. .. x3—3x—2
^Л^-хЗ-б :
У7-2
lim —--г—:
x—8
1 —x
л2—1
11)
;3)
15)
x2—3x4-2 t
i x2— 4x |-3 ’
Xе — 1
; 8) lim —3—
X - I x3—1
T^T-2
x—5
x--l
/х — 1
X2
10) lim
X -» 5
12) lim з
lim - ---,
X - U Vx+3 — 2
x
; 14) lim
I* л 2x-j-10 ”4
hm ---, ; 16) l:m ----—5-----
< ,o )/5-x-/5--x x-s x-3
Глава 5
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 21. Степени и логарифмы
1. Арифметические корни. Из школьного курса алгебры
известно, что арифметическим квадратным корнем из
числа а называется неотрицательное число, квадрат ко-
торого равен а.
Арифметический квадратный корень из числа а обозна-
чается )' а.
Например,
/49 = 7; /6 = 0;
/6д)625-=0,25; VT2 = \b\.
Основными свойствами квадратных корней являются сле-
дующие:
/ ab = / а /&, а 0, b Дт 0;
т/4 °>°> ь>°-
г h Vb
Часто при решении задач приходится находить корни
уравнения
хп — а, где n£N.
Например, решить уравнение
х4 = 16.
Это уравнение имеет-два действительных керня: лу = 2
и х, = -*-2. Корень X! = 2—положительное число. Это число
называют арифметическим корнем четвертой степени из
числа 10 и обозначают /16. Отрицательный корень х2 —
= —2 уравнения х4 = 16 обозначается —/16.
Введем понятие корня n-й степени из неотрицатель-
ного числа. Корнем n-й степени из неотрицательного
числа называется неотрицательное число, n-я степень
которого равна данному числу.
196
Этот корень называю? арифметическим корнем п-й
степени (п^2) из неотрицательного числа (а;>0) и ooq-
значают а. Если п — 2, то вместо р/ а пишут К а.
Например, число 3 является арифметическим корнем
шестой степени из числа 729, т. е. |/729 — 3.
Существуют также корни нечетной степени из отр
нательных чисел. Например, число —2 есть корень пятой
степени из числа —32, т. е. —32 = —2.
Корень нечетной степени из отрицательного числа
обозначается тем же символом 2*+{/а.
Основные свойства арифметического корня га-й степени
1. Корень из произведения:
(1)
где «^0, n£N, п^2.
2. Корень из дроби:
где а О, b > 0, п £ ДГ, п 2.
3. Возведение корня в
степень:
(3)
где д>0, tn^.N, n£N, п^2.
4. Извлечение корня из корня;
= (4)
где а^О, m£N, n£N, т^2, п^-2.
Докажем первое из этих свойств.
□ Левая и правая части равенства (1) — неотрицатель-
ные числа, так как а^О.'Ь^О, и корни—арифметиче-
ские. По свойству степени с натуральным показателем и
определению корня л-й степени получаем
(п/а• рЬУ = (/~а)п (/Г)" = ab. ЕЗ
Аналогично доказываются и другие свойства корня.
4 /" Гб |/256
Пример 1. Вычислить: а) |/ : б) —у^-:
в)/Уб4; г) У'-2^-8.
197
2 Степень с рациональным показателем. Определим
степень положительного действительного числа с рацио-
нальным показателем.
Пусть ц>0, г = — , где тогда степень
,аг определяется равенством
т
а~ = / ат.
Например,
27" =j/27 = 3; 8т=.(|/&)* = 22 = 4;
О)
125з = (|zz ]25)2 = 25; 36“ 2 = И36’1= 1/i
г ОО О]
Свойства степени с рациональным пока-
зателем.
Пусть а и b—положительные действительные числа,
а г, /у и г2—произвольные рациональные числа. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1) аг»-аг« = аг*+г«;
2) =
3) (aby = a'br-,
5) если а > 1 и /у < г2, то аг> < аТ>\
6) если 0 < а < 1 и iy < г2> то аг> > аг*;
7) если а < b и г > 0, то ar < Ьг;
8) если а < b и г < 0, то ar > Ьг\
свойства
монотон-
ности
степени
198
9) если а=^1, arit=ar*l то rt = r2.
Например;
АН 12
1) 23 .2® =2» = 23 —8;
2
((4П’Ч4)М;
3) (1625)“=1б“.25“=4-5 = 20;
А — —
4 /4\"2 _ (4) 2 _ (22) 2 _ 2-1 _ 3 .
' \ 9 ) _J_ “ — 3-1 — 2 ’
(9) 2 (З2) 2
-А 3 2
5) 7 3 > 7 4, так как 7 > 1 и —7 < —т-;
6) (у)1 '<'(4')1’29’ так как °<4<1 н
А А ' 1
7) 2 s < 36 , так как 2 < 3 и j > 0;
8) 2 5 > 3 ь , так как 2 < 3 и —-= < 0.
_& i
Пример. Упростить —--— + b2.
аТ+йТ
+tx_
. а 2 -+-52 а 2 -Ьб2
lilt
= а 2 —b2 + b 2 — а2. А
3. Степень с действительным показателем. Покажем,
как можно определить степень с иррациональным пока-
зателем на примере степени 5К 3.
Обозначим через ff, г2, г3, .... гп, ... последователь-
ность десятичных приближений числа КЗ с недостатком:
/•1=1,7: г2 = 1,73; г3= 1,732; г4 = 1,7320; ...
Эти числа являются рациональными, для них определены
степени:
51»?; 51>W; 51,73г; б1’*’80;
Эта последовательность возрастает и ограничена сверху.
По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Этот предел
199
обозначается 5,z 3. Поэтому можно записать
5^ = 11m 5'“.
Л->00
Дадим определение степени с любым действительным
показателем а
Определение. Пусть действительное число а запи-
сано в виде бесконечной десятичной дроби и пусть а,.,
п ё Л/,— последовательность его десятичных приближений
с недостатком. Тогда для любого действительного числа
а > 0 степень определяется равенством
— lim аап. (1)
«-►эд
Докажем, что для любого действительного числа а и любого
действительного числа а > 0 степень а* существует, т. е. существует
предел (1).
Г1 Для любого действительного числа а последовательность его
десятичных приближений с недостатком (а„) является неубывающей
в ограниченной. Пусть, например, для всех п, где б — пелоэ
число Тогда, если а>1, то последовательность (аап) в силу свой-
ства степеней с рациональными показателями будет возрастающей
и ограниченной сверху числом а"1, а если С < а <1, то (аал) будет
убывающей и ограниченной снизу нулем. Из теоремы о пределе мо-
нотонной ограниченной последовательности следует, что предел (1)
существует в обоих случаях. Й
Степени с действительными показателями обладают
всеми свойствами степеней с рациональными показателями.
Сформулируем эти свойства.
Если а и Ь~—положительные действительные числа,
а х, Xj, х2—произвольные действительные числа, то спра-
ведливы следующие утверждения:
1) = йл.+ха—умножение степеней;
2) —возведение степени в степень;
3) (ab)x = ах Ьх— возведение произведения в степень;
л. / а \х ах ,
4) ( yj = -^-—возведение дроби в степень;
5) если а >1 и хх < х2, то ах< <
6) если 0 < а < 1 и хг < х2, то axi > ах>\
7) если а <Ь и х > С, то ах < Ьх\
8) если а < b и х < 0, то ах > Ьх\
9) если а > 0, а=^1, ах> = ахг, то Xj=x2.
свойства
монотон-
ности
степени
Эти свойства степеней с действительными показате-
лями примем без доказательства.
Пример 1. Сравнить числа 3^ 2 и 3l,tl.
2С0
А Так как 3 > 1 и ]^2 > J ,41, ю по свойству возра-
стания степени Зу 2 > З1’41. Д
£,2 У~7-3 , J5 -2 1/-7
Пример 2. Упростить —=-——г—г=—•
(л,Г 6 + 2)2-V 6
А Применяя свойства степени с действительным пока-
зателем, получаем
^2 V 7-3 . ^6 - 2 Y~i
^V*6 + 2)2 — V~6
J2 V'i-з +6 — 2 V 7
Д^”б + 2)-(«-Г"б)
b3 A
Пример 3. Решить уравнение 8гх ~21гУ\
Л Так как Я2* = (23)2* = 2”, то уравнение можно запи-
сать так: 2>х = 2121 3. По свойству равенства степеней с
одинаковым основанием 6х= 12)/ 5, откуда х = 2)/5. А
4. Логарифмы, Во многих задачах требуется уметь
решать уравнения вида ах — Ь. Для этого надо найти
показатель степени по данным значениям степени и ее
основания. С этой целью рассмотрим понятие логарифма
числа.
Логарифмом числа Ь>0 по основанию а > 0, а=#1,
называется показатель степени, в которую надо возвести
число а, чтобы получить число Ь.
Логарифм числа b по основанию а обозначается logc b.
По определению,
alogab —
Эго равенство является просто другой формой определения
логарифма, его часто называют основным логарифмическим
тождеством.
Например:
1)3 = log2 8, так как 23 = 8;
2) —3 = log8^, так как 3~3 = ^;
3) 2 = logj/-6-5, так как (И 5)г = 5;
4) у = log3/3, так как 32 = КЗ;
5) 61о?« ’ = 7; 6) 3,ог’^ = у.
Пример 1. Вычислить: a) logl/5 25; б) log27243.
Да) Пусть log1/6 25 — х. Тогда по определению лога-
201
рифма ( ; Л = 25, откуда . = (э ' св°йСТЕУ мо-
нотонности степени х =— 2.
Ответ: 1 og1/8 25 — — 2.
б) Пусть !og27 243=x, Тогда по определению лога-
рифма 27* = 243, откуда 30*t=35, Зх = 5, * = -|^
5
Ответ: lcg27 243 = -g-. А
Действие нахождения логарифма числа называют ло-
гарифмированием. Отметим особые случаи.
Если а > 0, а у=1, то
1) loga а = 1, так как а1 —а;
2) 1=0- ТЭК КЭК О’=1«
Например, icge6=l; log, 1 —-0.
Пример 2 Вычислить 7_» !°£’2.
д7-з!ог, =1 Д
Пример 3. При каких значениях х существует
А По определению логарифма Решая это не-
равенство, получим 1<х<4. А
5. Основные свойства логарифмов. Из определения
следует, что логарифм определен лишь для положитель-
ных чисел. Примем без доказательства, что логарифм
определен для любого положительного действительного
числа.
Сформулируем основные свойства логарифмов.
Пусть a, xlt х± и х—положительные действительные
числа, причем а=£1. Тогда справедливы следующие утвер-
ждения:
1) loga (хгх2) = loga Xj + loga х2—логарифм произведения.
□ По определению логарифма и свойству умножения
степеней имеем
Х^Х2 = Xio)°^a хг — %i + logax2*
и поэтому по определению логарифма
10ga СМг) «= 10ga Xi + 10ga X2. 3
2) logax“ = <xlogax—логарифм степени.
□ Аналогично, по определению логарифма и свойству
возведения степени в. степень имеем
= (a!°sa = аа ,э8« х,
202
и, следовательно,
logex“=alogex.H
3) log0-^- = logaxx —logcx2 — логарифм частного,
□ Из свойств 1 и 2 логарифмов следует
1 Og„ -7- = 10g0 (Х^1) = 10go Xi + loga X;1 = 10ga Xi — loga x2. S
A2
4) Если a > 1 и Xi < x2, 'j свойства
TO 10ga Xt < logflX2. I MOHOTOH-
5) Если 0 < a <1 и x, < x2, ности
то log0Xj > logax2. ) логарифма
□ Пусть a > 1 и x, < х2. Если бы было loga хг loga x,,
то в силу свойства степени
flloga *1 flloga х2,
т. e. x,^x2. Полученное неравенство противоречит тому,
что X] < х2. Следовательно,
loga Xi < logax2.0
Аналогично доказывается и свойство 5 монотонности
логарифма.
Пример Вычислить: а) log8164-log84; б) log, 375—
— logb 3; в) у Iog3364-logs2-lcg3K6—у1оч38.
Да) log816 + log, 4 = logg(16-4) = log, 64 = 2;
б) 1о& 375-!og53 = log6^ = log,125 = 3;
в) у log336 + log,2 — log, Кб -у logs 8 =
= log3 K36 + leg- 2 — (log3 К 6 + log- У~8) =
^ogs ^B^=iog9_2L =
К 6- V 8 V48
= logs -4 = 1обг К 3 = A
6. Формула перехода от логарифмов по одному осно-
ванию к логарифмам по другому основанию. По опреде-
лению логарифма
с—^аС, где с>0, а > 0, а^1.
Прологарифмируем обе части равенства по основанию
Ъ > 0, 1:
logo с = logb a:°e«с.
203
По свойству логарифма степени полупим
log6c=lngac-logba.
Эта формула обычно записывается в таком виде:
logac
_1 gbC
log;, а
и называется формулой перехода к другому основанию.
Полученная формула позволяет находить логарифмы чисел
по основанию а, если известны логарифмы по основанию Ь.
Эта формула очень часто применяется при решении лога-
рифмических уравнений и неравенств. Из нее, в частности,
следует, что
lcga b =» у--—.
Ьа logb О
Пример. Вычислить log32 2.
ДПерейдем к логарифмам по основанию 2, используя
формулу перехода:
1о« 2 = logii2 = —
*Og32 z - 10g2 за - 5 •
Ответ: log32 2 — . А
О
Наиболее употребительными на практике являются
десятичные логарифмы, когда в качестве основания берется
число 10, и натуральные логарифмы, когда в качестве
основания берется число е— lim fl + — ' , е«2,7.
/1—>05 V ” 1
Десятичный логарифм числа b обозначается lg Ь, а на-
туральный логарифм обозначается 1п&.
Применяя формулу перехода, можно свести вычисле-
ние логарифма числа по любому основанию к вычисле-
ниям десятичных или натуральных логарифмов по спе-
циальным таблицам логарифмов или на микрокалькуляторе.
Вопросы для контроля
1. Дайте определение арифметического квадратного корня из
числа. Приведите пример.
2. Дайте- определение корня n-й степени из числа. Приведите
примеры.
3. Каковы основные свойства корня п-й степени?
4 Дайте определение степени с рациональным показателем, При-
ведите пример.
£04
5. Поясните, что понимается год степенью с иррациональным по-
казателем на примере 31<2,
6. Назовите основные свойства степени с действительным пока-
зателем.
7. Дайте определение логарифма числа. Запишите ^основное лога-
рифмическое тождество.
8. Назовите основные свойства логарифмов.
9. Запишите формулу перехода от логарифма по одному основа-
нию к логарифму по другому основанию. Приведите пример.
10. Какие логарифмы называют натуральными, десятичными?
Упражнения
5.1. Найдите значения выражений:
1) /9-2t>.ICO; 2) /64-36-10000;
3) :000-27-8; 4) |764-125-729;
5) р/16-625-81; 6) УОД08ЬО,0016-625;
7) I/ ^5.100000; 8) ^/Ьдбоб 1-32-’о.00243.
5.2. Вычислите:
» /S' 3> /я- 4>
5) ^/2-^/1; 6) ^192. j/rl; 7)®/l8-|/’|;
______ __ ________ 4 / о _ ____
8) р/16-р/2; 9) «/24» у ; 10) «/0,09-«/0,3- «/0,3-
5'.3. Вычислите:
1) j/XvT5; 2) JJ* 3) ]/"16» • (I)'-0,125;
4) |//274-^у • (0,5)4; 5) 6) «/З2^;
” ]/8>
10' / 729’
5.4. Вычислите:
. К2С0-К8 . /32-З/юз
6) ' 71.; 6) —J71—
205
5.5. Вычислите:
? 8 35 11 3 1 1 2
1) 2 5 *2®"; 2) 48 3) *91О:9Г; 4) 53 :53 ;
3 L ~ * 2
3 9
г / 4 124 .З4 G1.7.21.3
8) 46* .(у)*; 9) -------—; Ю)
4 4
Е 6. Выведите общий
множитель за скобки:
4 4
Г 9а3 -55 „ г
У ; 2) —ё г—За*.
1) а —а2 ; 2) 15а62 -\-5а2 Ь;
1 1 2 1
3) («/)4 — (хг)4 ; 4) IQx’ — 5х 3 .
5.7. Упростите (воспользуйтесь тождеством а?—Ь2. — (а—Ь) (а 4-6)):
2 2_
, х:> —У*
) ~ L L у • ' ~i_ 2
х3 — у3 За* —Ьл
5.8. Упростите (воспользуйтесь тождеством а3 + Ь3 = (а + b) X
Х(а2 — ab-i-b1) или а3—63 = (а—Ь) (а2. 4-ай^-62)):
2 2
а — Ь a-\-b а3 4-63 1
’) 1—Г ; 2) ~^ь~- -Т~Т~
а3 — Ь3 а3 4-53 а3 —Ь3
Зу xS-у3 । 1
Х + У ‘ L L L L '
х3 —х3 у3 + у3
2 2
4> * + у , Х—У _ у3 -У3
L 1.1. L L L 1. L L L ’
х3 — х3 у3-\-у3 х3 4-х3 у3 |-j<3 х3 — у3
5.9. Сравните между собой следующие пары чисел'.
2
1) 93 и
93 ; 2) 24.’ и 2°.8; 3) (y)1'’ и (т)0’1*1
и
/ । \ ^6
; 6) 3" и З3-44;
4) 4Гб2 и 4Гб’; 5)
206
5.10. Вычислите:
2-зП8ГГ 2)41-2/з16/з
' ’ 7 лО J.V к .1 1.1/ е
I54+2V3
4) ------=--------= •
' 56 + 2!/? .33 + 2V3 ’
5) (9Г&-1 2—32Гь~3) .3'-2УТ;
6) (72^2 —49^2-1).7-2/2_
5.11. Решите уравнения:
1) 3--3"; 2) ; 3) 4) 5>=(|)’;
5) 16* = 4,Г”; 6) 32*=2»л; 7) 5х Г~= р/б"; 8) 25х = 5 р/б;
9) (КЗГ = З^Г, 10)75»=—l;ll)^-by*=l; 12)^y';v ^=1.
5.12. Вычислите:
1) loglt 144; 2) logj_jj-; 3) log^256; 4) iog5g^; 5) lg 1000;
~ t
6) 1g 0,0001.
5.13. Вычислите:
•) log/7 9 /3 ; 2) logK-7 j/49 ; 3) log/7 T/^ J
4) 1g 10 1^100: 5) 7^3, ?; С) 0,11ое<>ч 4; 7) 3? i°g3 4;
2-3 log , 2
. / 1 \'log, 6 1/2
8) 7-logi»; 9) ,yj ; 1C) 5
5.14. Вычислите:
1) log6 logs logs log2 512; 2) logtt а2 у/a2\
3) Icgia 2 J-logn 72; 4) log5 35 —log6 7;
5) ~ log47 + log4 32—у log4 28; G) log3 12—у bg3 32-f-y 1ogs 6,
5.15. Вычислите, если lg3» 0,477; lg2?s0,301; Igb я 0,699:
1) lcge 3; 2) log2 5; 3) logs V S’; 4) log8 j/9.
5 16. При каких значениях x существуют выражения
1) 2)
_ , 6—х . . 5х+3
oge Зх‘П": 4)
207
§ 22. Показательная, логарифмическая
и степенная функции
1. Показательная функция. Пусть задано некоторое
число а > 0, а=£ 1. Тогда функция
У = ах, x^R, (I)
называется показательной функцией.
Основные свойства показательной функ-
ци и.
1. По определению, показательная функция определе-
на на множестве R всех действительных чисел.
2. Множеством значений показательной функции явля-
ется множество /?+ всех положительных действительных
чисел.
Действительно, для любого г/с > О существует х9 =
= loga уа, и поэтому ах^уа.
3. Показательная функция является строго возрастаю-
щей, если я> 1, и строго убывающей, если 0 <а < 1.
Это следует из свойств монотонности степени с дейст-
вительным показателем.
4. Показательная функция непрерывна в .любой точке
хй С R, так как можно доказать, что для любого а > О,
1, будет выполняться условие
lim ах — ах<>.
х ->х0
5. Если а>1, то lim а*=-j-oo, lima* = 0j.
+ а» д» — <х> '
Если 0 < а < 1, то lijn ах = 0, lim ах =. -ф оо.
х-+ + да — со
Пример 1. Построить график функции у = 3х.
А Вычислим значения функции для нескольких значе-
ний аргумента:
№—2, г/ = у; х = — 1,у = у; х = 0, р=1;
х = 1, у — 3\ х — 2, у —9.
Построим эти точки. Основание степени больше 1, сле-
довательно, функция строго возрастает, т. е. с увеличе-
нием аргумента значения функции увеличиваются. Учи-
тывая, что функция определена на всей числовой прямой
и непрерывна, соединяем найденные точки графика сплош-
ной линией (рис. 50). Л
В общем случае для а > 1 график показательной
функции имеет вид (рис. 51). *
£08
Пример 2. Построить график функции // = {-=).
у о j
Д Вычислим значения функции для нескольких зна-
чений аргумента:
х =—2, у = 9; х=—1, у = 3; х = 0, г/=1;
1 1 о 1
* = у=-з; *=2, у = -д-
Построим эти точки. Основание степени меньше 1,
следовательно, функция строго убывает, т. е. с увеличе-
нием аргумента значения функции уменьшаются. Учиты-
вая, что функция определена на всей числовой прямой
Рис. 50
и непрерывна, соединяем найденные точки графика сплош-
ной линией (рис. 52). Д
В общем случае для 0 < а < 1 график показательной
функции имеет вид (рис. 53).
Отметим, что графики всех показательных функций
проходят через точку (0; 1).
Пример 3. Используя график, найти корни уразне-
ния ^y^x = %4-3.
Л Левая часть уравнения представляет собой показа-
тельную функцию, правая—линейную. Построим на одной
координатной плоскости графики функций у =(-jl п
у = х-\-3 (рис. 54),
Алгебра, ч. I
20Э
Из рисунка видно, что абсцисса точки пересечения
графиков приблизительно равна —1. Проверим значение
— 1, подставив его Вместо х в уравнение. Проверка пока-
зывает, что х =— 1—корень уравнения. Рисунок показы-
вает, что других корней уравнение пе имеет. Д
2. Логарифмическая функция. Пусть задано некоторое
число а > 0, 1. Тогда функция
y = iogax, х£/?+, (1)
называется логарифмической функцией.
Если а = е, то логарифмическая функция обозначается
г/ = 1пх, а если а =10, то обозначается y = \gx.
Основные свойства логарифмической
функции
1. По определению, логарифмическая функция опре-
делена на множестве R_ всех положительных действитель-
ных чисел.
2. Из определения логарифма числа по данному осно-
ванию следует, что логарифмическая функция является
функцией, обратной к показательной. Действительно, если
логарифмическая функция у — logaX числу а ставит в
соответствие число р, т. е. p = logaa, то показательная
функция у — ах числу р ставит в соответствие число а,
т. е. а = с9, и наоборот. Поэтому множеством значений
логарифмической функции является множеством R всех
действительных чисел.
3. Логарифмическая функция является строго возра-
стающей, если а > 1, и строго убывающей, если 0 < а < 1.
Это следует из свойств монотонности лога рифма-
4. Логарифмическая функция непрерывна в любой точке
х0£7?+, так как можно доказать, что для любого а>0,
210
a =5^1, будег выполняться условие
lim log0 х = logex0.
X-*-X9
5. Если a > 1, to
lim logax=-|-oo) lim logax ——co.
X->+O> X->+0
Если 0 < a < 1, то
lim loga x = —oo, lim log0x=4-oo.
X-> + ® X-*- + 0
Пример 1. Построить график функции y = log3x.
для нескольких значе-
А Вычислим значения функции для нескольких значе-
ний аргумента:
х = = — 2; х = у, у ——1; х=1, у = 0;
х = 3, у=1; х = 9, z/ = 2.
Построим эти точки. Основание логарифма больше 1,
поэтому функция строго возрастает. Учитывая, что функ-
ция определена на множестве
положительных чисел и непре-
рывна, соединяем построенные
точки сплошной линией (рис.
55) А
В общем случае для а > 1
график логарифмической функ-
ции имеет вид (рис. 56).
Пример 2. Построить
график функции г/= log’-^/a х.
А Вычислим значения функц
ний аргумента:
1 о 1
*=-9» №2; *=-3 > у
Х= 3, у=—1; х-
= |; х=1, У = О;
= 9, у = -2.
211
Построим эти точки. Используя свойства функции
y — ^gi/зХ и данные точки, строим график (рис. 57). А
В общем случае для 0 < а < 1 график логарифмиче-
ской функции имеет вид (рис. 58).
Отметим, что графики всех логарифмических функций
Пример 3. Решить неравенство
logx/2X<2. (2)
Л Представим правую часть неравенства в виде лога-
, 1
рифма по основанию — , тогда
logi/2x< log1/2-^. (3)
Так как логарифмическая функция у = log,/гх определена
для х > 0 и убывает, то из (3) следует х > 1/4.
С помощью графика проиллюстрируем решение дан-
ного неравенства.
На одной координатной плоскости построим графики
функций у —log1/2x и у —2 и найдем точку пересечения
этих графиков (рис. 59); ее координаты 2 . Из ри-
212
сунка видно, что при х > -^- график логарифмической
функции у— '.ogi/2 х лежит ниже графика линейной функ-
ции р = 2, т. е. выполняется неравенство log1/2x<2.A
3. Степенная функция. Для любого действительного
числа а функция
т/ = №, x$R+, (1)
называется степенной функцией с показателем а.
Замечание. Для некоторых а степень определе-
на не только для х > 0. Так, если а—натуральное число
(а = п), то степень хп определена для любого x^R.
Например, у = №; у = х3; у — х1. Если а =—п, где п —
натуральное число, то степень х"п определена для любого
х$/?, х=т^0. Например, у — х~г = ^\ y — x~i = ^.
Поэтому функции у — хп, x^R, и у = х~п, x^R, х=А0,
часто также называют степенными.
Эти функции являются четными, если и—четное, и
нечетными, если п—нечетное Например, у = №, у = х*—
четные функции, у = х3, у — хъ. — нечетные функции. Если
п—нечетное, то функции у — хп и у = х~п имеют обрат-
ные: у—х1^ и у — х~1/п. Например, функции у — х3 и
y — x~i имеют соответственно обратные; y = x1/3,y = x~1/i.
Эти функции также-называют степенными. Так, считают,
что формула у — х1Р = \/х задает функцию, определенную
на множестве R всех действительных чисел. Она назы-
вается степенной функцией с показателем 1/3.
Так как любая степенная функция определена при
х > 0, то в общем виде степенную функцию определяют
так, как это записано в начале этого пункта.
Основные свойства степенной функции.
1. По определению степенной функции она определена
на множестве R^ всех положительных действительных
чисел.
2. Множество R^ является множеством значений сте-
пенной функции при любом а =/=(). Действительно, значе-
ние > 0 'степенная функция (1) с показателем
принимает в точке £о=^}/а.
Если а = 0, то хР- — 1 для любого х > 0.
3. Степенная функция с положительным показателем
является строго возрастающей, степенная функция с отри-
цательным показателем является строго убывающей. Это
следует из свойств монотонности степени.
213
4. Степенная функция непрерывна в любой точке
х0СЛ4, так как можно доказать, что
Игл х% — х%.
П-> <г>
5. Если а > 0, то
lim ха = + ос, lim ха = 0.
ЛГ-Э- + О
Если а < 0, то
lim х“ = 0, lim ха = 4-ое.
Х->+ со Х->+ 0
На рис. 60 изображены схемы графиков степенных
функций при а> 1, а= 1 и а£(С; 1).
На рис. 6! изображен график степенной функции при
а < 0.
2
Пример. Построить график функции у = х3 ,
Д Областью определения этой функции является мно-
жестве всех действительных чисел. Функция t/ = j/x3—?
четная, т. е. ее график симметричен относительно оси
ординат.
214
Построим часть графика функции для г^О; для этого
вычислим несколько значений функции: х=0, у — 0}
х=1, i/=l; х = 8, у = 4. Построим эти точки. Так как
2
показатель степени > 0, функция при х > 0 строго
возрастает; она непрерывна на этом промежутке. Соеди-
нив построенные точки сплошной линией и выполнив
симметрию этой части графика относительно оси Оу, по-
лучим график данной функции (рис. 62). А
Вопросы для контроля
1. Дате определение показательной функции. Назовите основные
свойства этой функции и укажите, как эти свойства иллюстрируются
графиком функции.
2. Изобразите схематически график показательной функции
у = сх для случаев 0 < а < 1; а > 1.
3. Дайта определение логарифмической функции. Назовите основ-
ные свойства этой функции и укажите, как эти свойства иллюстри-
руются графиком функции.
4. Изобразите схематически график логарифмической функции
£ = 1og0x Для случаев 0 < а <; а > 1.
5. Дайте определение степенной функции. Призедите примеры
степенных функций.
6. Назовите основные свойства степенной функции, определенной
па множестве положительных чисел, и укажите, как эти свойства
иллюстрируются графиком функции.
Упражнения
5.17. Постройте на одном чертеже графики функций у = Зх,
г з \х
р=2*, у — l'2'l • Укажите сходство и различие графиков этих
функций.
5.18. Выполните аналогичное предыдущему задание для функций
[ 1 V / 1 / 2 \*
\ 3 / ’ У'~ V2 ) ' У\ 3 / *
5.19. Найдите область определения и множество значений сле-
дующих функций:
1) 2) у— 2«; 3) 4) к-12-(у)’|;
5) = + 7) ,=(!)-<-.
Постройте графики этих функций.
5.20. Решите графически уравнения:
1) 2х=х?; 2) 2х=4х; 3) 2х = х3; 4) 2*-1=хф1;
5) 2Х = 5 —Зх; 6) 2'xi=x+I.
215
5.21. Пос'ройте на одном и том же чертеже графики функций
^=log3x, t/ = logoi5x. z/ = log5x. Укажите сходство и различие в гра-
фиках этих функций.
5.22. Выполните аналогичное предыдущему задание для функций
l/=l°gi/3A:> f/ = logo,5x. F=log1/4x.
5.23. Найдите область определения и множество значений сле-
дующих функций:
1) 0=log£|x|; 2) </ = logM|-J|; 3) t/ = |logsx|;
4) У=| log1/2x|; 5) // = log2(—x); 6) 0 = |-Og1/2 (-x) |.
Постройте графики этих функций.
5.24. С помощью графика проиллюстрируйте решение неравенств:
I) log3x<2; 2) logsхSa2; 3) log1/s х < — 1;
4) loe1/8X^1‘
5.25. Постройте на одном и том же чертеже графики функций
t/ = x, у = х2, у = хч2, i, = х2/3, у = х312. Укажите сходство и различие
графиков этих функций.
5.26. Может ли график функции у—хг, где г—рациональное
число, проходить через точку А (2; 3)?
5.27. Дана функция у = хп. Покажите, что при любом n£N
график функции проходит «срез начало координат и точку (1; 1).
§ 23. Показательные и логарифмические уравнении
и неравенства
1. Показательные уравнения. Показательными уравне-
ниями обычно называют такие уравнения, в которых неиз-
вестное содержится только в показателе степени. Так,
например, уравнения 2*+7—7 = 0, Зг = 1 будут показатель-
ными, а уравнения 2*+’ — х, х-Зх=^х уже не являются
показательными.
Методы и приемы решения показательных уравнений
рассмотрим на конкретных примерах.
Примеп 1. Решить уравнение 42*-1 = 2*.
А Приведем левую часть уравнения к основанию 2:
2? = 2х,
По свойству равенства степеней с одинаковыми осно-
ваниями получим 2(2х—1)=х, откуда
4х—2 — х,
Зх = 2,
Процесс решения можно записать символически:
О
^2Х= 2Х&2(2х—\)^ х&Ъх^2&х=^. &
216
Пример 2. Решить уравнение 4-“-1 = 33\
Л Логарифмируя обе части данного уравнения по осно-
ванию 4, получаем
х— 1 = Зх log4 3,
и, следовательно,
1
Х~ Ч-Ло^З*
В символической записи решение выглядит так:
4*-i = 32Л log4 4»-х _ iOg4 33* х— 1 _
= 3xlog<3^x = ra^.A
Пример 3. Решить уравнение
(0,125^-0.3 = 8 5 х>
2/2 '
А Прежде всего заметим, что
0,125 = (0,5)3 = (iy = 2-3
2j<2 = 21+^ = 2^':=21’5’
0,25 = (0,5)2 = (iy = 2-?.
Следовательно, данное уравнение равносильно следующему:
или
2~3 (Х-0;Ь>-1.Ь —23-2 Ц-Х>а
По свойству равенства степеней с одинаковыми основа-
ниями (или логарифмируя обе части уравнения по основа-
нию 2) имеем
— 3(х—0,5) —1,5 = 3—2 (1 —х),
— 3x4-1,5 —1,5 = 3—2-р2х,
5х = —1,
х = -|. Д
Во всех предыдущих примерах применялся при решении
один и тот же метод—метод логарифмирования обеих
частей уравнения по одному и тому же основанию. Этот
метод основан на том, что два положительных числа равны
217
тогда и только тогда, когда равны их логарифмы по одному
и тому же основанию, т. е.
Ь = сФ> logab = logac, где &>9, с>0, сг>0, а=/=1.
Применяя свойство равенства с одинаковыми основа-
ниями степеней, мы по существу используем тот же метод,
так как
b = c & а'°8а 6 — а 0811 °.
Пример 4. Решить уравнение 4х+2—3-4х-1 =122.
д 4*+* — 3.4*-1 = 122 & 4х'1 (43 — 3) = 122 О
ФФ 4Х~» • 61 = 122 4х"1 = 2 <=> 22х~? = 2 фь
Ф>2х—2=1ф>х = -|- ,Д
Пример 5. Решить уравнение 5х-3 = 7Х-3.
Л Делим обе части уравнения на 7х-3 Ф О, 14-)* 3 = 1.
Так как fyY=l, то (уУ ? = (т')°’ 0ГКУДа х—3 = 0,
х = З.Д
Пример 6. Решить уравнение 2-9* — 3х41—2 = 0.
Л Так как данному уравнению можно придать вид
2-(Зх)2—3-3Х—2 = 0,
то, положив у = Зх, относительно у получим квадратное
уравнение
2t/3— Зу—2 = 0.
Решив это уравнение, получим у = 2 и у =— у. Последнее
равенство невозможно, так как 3х > 0. Следовательно,
3х = 2.
Ответ: x = log32.A
Здесь мы применили прием, который называется мето-
дом замены переменной. Отметим, что этот Прием может
привести к появлению так называемых посторонних кор-
ней. Так, в примере 6 после замены у— 3 х получаем отно-
сительно у квадратное уравнение. Очевидно, что если —
корень исходного уравнения, то z/! = 3x>—корень получен-
ного квадратного уравнения. Однако у квадратного урав-
нения есть корень (у = —1/2), который не соответствует
никакому корню исходного уравнения. Поэтому при реше-
нии уравнений методом замены переменной необходима
проверка.
218
В заключение рассмотрим еще один пример уравнения,
которое решается методом замены переменной.
Пример 7. Решить уравнение 2х2 —4х* = 1.
А Заменой переменной у —2х2 данное уравнение сьо*
дится к следующему квадратному уравнению:
2i/-y2=l,
которое имеет только одно решение у — 1. Из уравнения
1=2х2 находим, что х = 0. Проверкой убеждаемся, что
х = 0 действительно является решением данного уравне-
ния. А
2. Логарифмические уравнения. Логарифмическими
уравнениями обычно называют такие уравнения, в которых
неизвестное содержится только под знаком логарифма (в
частности, в основании логарифма). Так, например, урав-
нения 21og,x—7 = 0, logx2 = 4 будут логарифмическими,
а уравнение 1g х—Xs = 0 уже не является логарифмическим.
Методы решения логарифмических уравнений проил-
люстрируем на конкретных примерах.
Пример 1. Решить уравнение Iog7(4x—3) = 2.
А По определению логарифма
4х—3 = 72, откуда 4х—3 = 49,
4х = 52,
х=13.
Проверкой убеждаемся, что х=13 — корень данною урав-
нения. А
Пример 2. Решить уравнение lg(x--2) + 1g(х—3) =
= i-:g5.
А Преобразуем обе части данного уравнения, используя
свойства логарифмов:
lg(x—2)(х—3) = lg 10—lg5,
ig(x-2)(x-3) = lg2. (1)
Если логарифмы двух чисел по одному и тому же
основанию равны, то равны и сами эти числа. Поэтому,
если некоторое х0 удовлетворяет уравнению (1), то оно
удовлетворяет и уравнению
(х—2)(х—3) = 2, (2)
т. е. уравнению
х2—5х + 4 = 0.
Корнями этого квадратного уравнения являются числа 1
н 4. Проверкой убеждаемся, что х=4 будет решением дан-
219
ного уравнения, ах = 1 не будет решением, так как при
Х=1 не определена (нс имеет смысла) левая часть исход-
ного уравнения.
Кратко решение этого уравнения можно записать так:
1g (х—2) + 1g (х—3) = 1— lg5=>lg(x—2)(х—3) =
= lg2=>(x—2)(х—3) = 2ш = 4 и х=1.
Проверка:
1g(4—2) + 1g (4—3) — 1—1g 5, Ig2 = lg2.
lg(l—2) + lg (1 — 3) = 1 — lg 5 — равенство не имеет
смысла.
Укажем еще другой метод решения этого уравнения,
основанный ка предварительном нахождении множества
всех значений х, для которых определены (имеют смысл)
обе части уравнения. Это множество обычно называется
областью определения уравнения или областью допусти-
мых значений переменной.
Функция 1g (х—2) определена лишь для х> 2, а функ-
ция 1g (х — 3)—лишь для х>3, поэтому левая часть дан-
ного уравнения определена лишь для х > 3 и, в частности,
все решения данного уравнения принадлежат интервалу
(3; + ос).
Из свойств логарифмов следует', что х > 3 удовлетворяет
данному уравнению тогда и только тогда, когда оно удов-
летворяет уравнению
1g (х—2)(х—3) = 1g 2.
Далее, х > 3 удовлетворяет этому уравнению тогда и
только тогда, когда оно удовлетворяет уравнению
(х—2) (х—3) = 2,
а этому уравнению среди х > 3 удовлетворяет лишь х = 4.
Следовательно, х —4 является корнем данного уравнения,
и других корней пет.
Кратко эти рассуждения риежно записать следующим
образом.
На интервале (3; + оо), т. е. на области определения
данного уравнения,
1g (х—2) 4- lg (х—3) =< 1 — 1g 5 lg (х—2) (х—3) = lg 2 <->
О (х—2) (х—3) — 2 & х = 4.
Ответ: х = 4. Д
Пример 3. Решить уравнение log„(3x—2) = logi/ax.
229
А Так как по формуле перехода к другому основанию
log2T
то данное уравнение равносильно следующему!
log2 (Зх—2) = log2 х“\ (3)
откуда
Зх—2=х-\ (4)
Зх-2 = 1,
Зх2—2х— 1 =0,
, 1
Xi = 1, Х? = — у .
Проверкой убеждаемся, что только х=1 является
решением данного уравнения.
Ход решения можно записать следующим образом:
lcg2 (Зх—2) = logi/г х & log2 (Зх—2) = log2 х"1 ->
=>3х—2 = х-хоЗх2—2х=1<=>х=1 и х =—1/3.
Здесь при переходе от уравнения (3) к уравнению (4)
поставлен знак =>, а не знак так как решение урав-
нения (4) может не быть решением уравнения (3).
Ответ: х= 1. А
Пример 4. Решить уравнение 41о®2 Igx=lgx—lg2x-f-l.
А Правая часть уравнения определена для всех х>0,
а левая часть—для всех х, для которых 1g х> 0, т. е.
для х> 1. Следовательно, областью определения данного
уравнения является интервал (1; 4-оо), На этом интер-
вале, т. е. для х> 1, левая часть уравнения принимает
вид
4i°g, ig х — (2г)1о^2 'g* = (2*°g2 ’g*)2 = (1g x)?.
Поэтому на интервале (1; 4-оо) данное уравнение равно-
сильно уравнению
21g? х—Igx— 1 =0.
Решая эго уравнение как квадратное относительно Igx,
получаем- два решения:
igx=l и 1g х = —1/2.
221
Второе решение не удовлетворяет условию igx>0.
Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению
lgx=I и имеет единственный корень х=10.
Ornsetn: х = 10. Л
Заметим, что при решении последнего уравнения можно
воспользоваться заменой переменной t/ = lgx.
Пример 5. Решить уравнение lg(1—х)—71gx =
= 21g(x—3).
Л Левая часть этого уравнения определена для х, удов-
летворяющих условиям 1 —х > 0 и х > 0, т. е. для 0 <
< х < 1, а правая часть—для х>3. Следовательно, это
уравнение не имеет решений. А
Пример 6. Решить уравнение X'°s>xt+\og3x-^
АЭго уравнение, строго говоря, не является логариф-
мическим, однако, логарифмируя обе его части по осно-
ванию 3, получаем равносильное ему логарифмическое
уравнение;
(2 logs х 4- iogl х —10) logs х = — 2 lcg3 x,
(2 logs x + logs x — 10) logs x + 2 logs x — 0,
logs x (2 log3 x -r log! x—Д 0 + 2>= 0,
logs x (2 log3 x + log.? x—8) = 0.
Это уравнение равносильно следующим двум:
logjX —0 или Icgix-b 2 log3x—8 = 0.
Решая первое из них, получим Xj = l.
Решая второе уравнение относительно 1.og3x, получим
log3x =—1 ± 3, т. е. log3x = 2, lcg3x = — 4, откуда'
Проверка показывает, что вес корни удовлетворяют дан-
ному уравнению.
Ответ: х| = 1, хг = 9, х3 = gy-. А
3. Показательные и логарифмические неравенства.
Методы решения показательных и логарифмических нера-
венств рассмотрим на конкретных примерах. Основные
приемы решения этих неравенств опираются на свойства
возрастания или убывания соответствующих функций.
Пример 1. Решить неравенство 3aj: > 3х-?.
222
Д Показательная функция с основанием, большим 1.
возрастает, поэтому
32« > у-? & 2Х > х—2 &х> —2.
Ответ: х > — 2. Д
/ 1 \2>;—X т
Пример 2. Решить неравенство (у)' >р*
ДТак как тё=\Т) и показательная функция с осно-
ванием, меньшим 1, убывает, то данное неравенств* вы-
полняется для тех и только тех х, для которых 2х —
— 1 < 4, т. е. для х < 2,5. '
Ответ: х < 2,5. Д
Пример 3. Решить неравенство 3*_2-2*>22.
ДЗ*~2-2* > 22 о 3Х-3"2-2Л > 22
Ф* 3х-2х > -Д 6* > 6?ф> х > 2. А
Пример 4. Решить неравенство 2* > 3.
Д Прологарифмируем обе части данного неравенства
но основанию 2, получим
х log2 2 > ioga 3,
х > 1 og2 3. Д
(1 \ Х$ 2Х J
— ' < -g-.
Д Прологарифмируем обе части данного неравенства
по основанию , затем воспользуемся тем, что показа-
тельная функция с основанием, меньшим 1, убывает. Тогда
I)*'-2* < 4 &х2~2* > 3 >0.
Решая полученное квадратное неравенство, находим, что
х > 3 или х < — 1.
Ответ: х < — 1 или х'> 3. Д
Пример 6. Решить неравенство Iog3(2xJ-1) < log, 5,
ДЕсли некоторое х удовлетворяет заданному нера-
венству, то оно удовлетворяет нераиепстьу
2х+ 1 >0,
так как логарифм определен лишь для положительных
чисел, и неравенству
2х+ 1 < 5,
2-3
так как логарифмическая функция с основанием, боль-
шим 1, возрастает.
Очевидно, и наоборот, если х удовлетворяет этим двум
неравенствам, то х удовлетворяет и данному неравенству.
Решая систему неравенств
1 2х + 1 > О,
\ 2х + 1 < 5,
находим, что — 0,5 < х < 2.
Ход решения этого неравенства можно записать сле-
дующим образом:
( 2хр-1>0, ( х>—0,5,
lob(2.v+l)<log,Se. 2х+1<5 ®
<=>—0,5 < х < 2.
Ответ: —0,5 < х < 2. Д
Пример 7. Решить неравенство log3(5x—6) < 2.
Д log3 (5х—б) < 2 & logj (5х—6) < log3 9 о
I 5х—6 <9, • ( 5х< 15, х< 3> 6
\ 5х—6 > 0 ° ( 5х > 6 х > ~ & "5
Л о
< х < 3. А
Пример 8. Решить неравенство log3i!)(Зх-р 1) <
< logo.U*—!)•
Л Левая часть неравенства определена лишь для х
таких, что Зх-р1>0, а правая—для х > 1. Учитывая
это замечание и используя свойство убывания логарифми-
ческой функции с основанием, меньшим 1, получаем, что
данное неравенство равносильно следующей системе нера-
венств:
Зх -р 1 0,
х > 1,
Зх + 1 > х — 1J
Решением этой системы будет любое х> 1, и других
решений она не имеет.
Ответ: х > 1. Л
Пример 9. Решить неравенство '.ogf..x(x—2)^ — 1.
Д Левая часть неравенства определена для х, удовлет-
воряющих условиям
1 —х > 0,
х—2 > 0,
1 —х 1.
221
Очевидно, что нет ни одного действительного числа,
которое удовлетворяло бы этим условиям. Поэтому дан-
ное неравенство не имеет решений. Д
Упражнения
5.^8. Решите уравнения:
1) (2- =(т1 • 2) 2?*=5*; 3) 3* = 7Х/2;
х-з
4) 5*-3=23-*; 5) 5 2 = ?*~3;
С) 2*+2+3-2*+1+7-2* =68; 7) 42*-*+42*'-2 — 42*-4 = 310;
8) 54*+3-54*-2=140; 9) (у)* —1О.(-уУ+9 = О;
10) 10-25*+18-5* —4 = 0,
5.29. Решите уравнения:
1) З^-6 = 81; 2) 9 2 = 27**-1; 3) ^yj =(д) :
4) 1,8*2-5*~и = 5,832; 5) 21-3*—3*+4 = 5*+2 —5*+3;
X — X — X I 1
6) 3 ~ 2 —22* = 4*~ 2 — 3 2 ; 7) 27>32 <*+1>_3*+з = 2;
3) у»+2+Т*,-»_5.2*+1Л*’-3+8 = 0; 9) 2*+2-* = 2а,
где а—действительное число.
5.30. Решите уравнения:
1) з*+1+3*=108; 2) 7-3*+1 —5*+2=3*-4—5*+3;
3) 52*+2=5*+4; 4) 4*~2—17.2*-4 +1 =0,
5) 2*2-1-—3*2 = 3*2~1—2*2+2; 6) 5*2 —3*2+1 = 2(5*2-1 —З*2-2);
/ 7 \х+1 / 5 \ -:л + 1)
7) (у) .(у) =343*+3:125*+3,
5.31. Решите уравнения:
1) log4 (5ж + 6) =0; 2) log1/5 ^7х + ^=2;
3) lg(2x)+!g(x+3) = lg(12x-4); 4) lg-jj^=2;
5) log1/2(x-/F=H6) = -l;
6) log2(32*-2+7) =2 + log2 (3*-i +1);
7) (3-igx+lg3)!gx = 2ig3+2; 8) 1 lg(x2 lg*^lg /7;
log; 4 / i \ 10gvV
9) 'og3x + :ogx3 = 2,5; 10)9-3 ~ e=0.
5.32. Решите уравнения:
1) у lg(^-i-2x)-lg /7+2 = 0;
225
2) 41g?x—2=lgx2, 3) 41g?x+lgx? = 2>
4) 0,5 1 og2 (x? — 2л) — log2 V 6—x = 0;
5) 1 + loga (3x +1) = log2 (*?—5);
6) ;og2 (4 — x) + log2 (1 — 2л) = 2 log2 3;
7) 1g (169+ x3)-3 lg (x+1)^0; 8) lg (x-9)+2 1g l<2x-l = 2;
9) log2 (9«-i+7) = 2 log2 (3*’>+1);
10) x14 = 0,C01-a/3; 11) lg(4*-6) + )g(J_6)=2;
12) lg? x— !g x? = lg? 3+4 log3/— 3.
5.33. Решите неравенства:
1) 4* > 64; 2) 0,3^- < 3 4 ; 3) 6* > 13;
О
— —+2
4) 0,5*‘-«* < 8; 5) 2*+4* <68; 6)4*<2*+l+3j
7) (4W)»« > 4; 8) 2*+2«*+3—3.2?*+1> —3.
5.34. Решите неравенства:
1)4^0,04; 2) 0,25*<4* 3) З2* *•? <3*+2 + 2;
5х о
х-1
4) (0,04)5*-*г~8 < 625; 5) 2*+1<3-22 ;
5.35. Решите неравенства:
1) logo,s(2—5л)<—2; 2) log2 (4 —Зл)<-3;
3) iog4 (3 — 4л) —1; 4) Iog0i2 (15—2x)fe—2;
5) logie (0,6 + 2х) Sa—0,25; 6) log0|8 (8—5х) 5а 0;
7) ('ogc.e 0,216) logs (5— 2x) < 0; 8) logn,2 (2 —5x) 5s 0;
9) 25 > 5 10g‘ 10) 0,425s0,4 log«.‘ <3-2*);
11) log1/2 (x? + 2x—8)52—4; 12) log6 (x2 — 3x+2) 5a 1;
,3. logo.H5x+3) 13л+13,99
ld) 11,02+ 19x ’’ ' loge,8(4x+5)~~i0’
15) lg2 (100x) + lg3 (10x) + lg x< 14.
5.36. Решите неравенства:
1) logs (2x—7) > 2; 2) log3/3 (x— 1) < —2;
2) logo.zs (x—0 + logo,2s (x+ 1) > ogoi24 3;
4) log1/2(x + 8) —logV2(x—3) > logt/2 3x;
5) 2 + log2 x+1 > 1 — logi/г V Г^л2; 6) log3/г x > 25';
-gS";? ;> 3; 8) 10g* > 2; 9) > *1
10) Kiog^/3x-log3x> —1; 11) 15lc^3.x1+:°8‘{r> 1.
226
§ 24. Тригонометрические функции числового аргумента
1. Радианное измерение углов и дуг. Любой угол можно
рассматривать как результат вращения луча в плоскости
вокруг начальной точки. Вращая луч вокруг точки О от
начального положения ОД до конечного положения ОВ,
получим угол АОВ (рис. 63).
При измерении углов некоторый определенный угол
принимают за единицу измерения и с ее помощью изме-
ряют другие углы. За единицу измерения можно принять
любой угол.
На практике уже более трех тысяч лет за единицу
измерения величины угла принята 1/360 часть полного
оборота, которую называют граду-
сом. В технике за единицу измере- s
ния углов принимают полный ебс- s'
рот. В мореплавании за единицу s'
измерения углов принят румб, рав-
пый 1/32 части полного оборота, ps ----------------
В артиллерии за единицу измере- л
ния углов принята 1/60 часть Рис 63
полного оборота, которую называют
большим делением угломера (0,01 часть большого деле-
ния угломера называют малым делением угломера),
В связи с развитием техники появилась потребность
измерять круговые движения (т. е. повороты на сколь
угодно большие углы и различные колебательные про-
цессы, связанные с круговым движением). Появилась
потребность в новой, универсальной единице измерения
дуг и углов. Такой единицей оказалась радианная (ра-
диусная) мера угла; она появилась в трудах Ньютона
(1643—1727) и Лейбница (1646—1716) и вошла в науку
благодаря трудам академика Петербургской академии наук
Леонарда Эйлера (1707—1783).
Пусть дана некоторая единичная окружность, т. е.
окружность с центром в некоторой точке О и с радиусом,
равным единице масштаба. Выберем на этой окружности
некоторую точку А (рис. 64).
Каждому числу «€(0; 2л) поставим в соответствие
точку Ма данной единичной окружности такую, что длина
дуги ЛЛ4а равна а, причем дуга А/Иа откладывается от
точки А против часовой стрелки. Числу 0 и числу 2л
поставим в соответствие точку А. Таким образом, между
точками единичной окружности и числами промежутка
[0; 2л) установлено взаимно однозначное соответствие.
8» 227
торой равна радиусу,
Число а называется радианной мерой дуги АМа и
соответственно угла АОМа.
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина кр-
называется углом в 1 радиан (рад)-
Длина дуги единичной окружно-
сти, градусная мера которой р,
равна
2 Л * 1 Q Л Q
360° ’ Р= 180° ’ Р’
Если а—длина дуги единич-
ной окружности, градусная мера
которой равна р, то
«=-^-Р. (1)
Здесь а — радианная мера
центрального угла, опирающе-
гося на дугу единичной окружности, содержащую Р гра-
дусов. Поэтому мы получили формулу, связывающую
радианную и градусную меры угла.
Таким образом, дуга в 1 радиан содержит 180/я гра-
дусов:
— «5747'45".
л
Дуга в Г содержит л/180 радиан:
« 0,0175 рад.
Приведем таблицу часто встречающихся углов и дуг
в градусной и радианной мерах:
Градусы 360’ 180° 90° 60° 45° зо° 18° 15° 10° 1°
Радианы 2л Л Л т л 3 Л т Л т Л 10 Л тг Л 18 л 180 Л R 1«0>Р
Пример 1. Найти градусную меру угла, равного -у
радиан.
228
ДИз формулы (1) следует, что
Итак, угол в А - радиан содержит 120е. А
Пример 2, Найти радианную меру угла, равного 54°.
ДПо формуле (1) имеем
(JT f 4 о \
"Твб3”' 54 ) рад = То’ Рад-
Итак, угол в 54° содержит -jy радиана. А
Как правило, при обозначении меры угла в радианах
наименование «рад» опускают и пишут, например,
Для перевода меоы угла из градусной в радианную
и обратно можно использовать таблицы (см., например,
Брадис В. М. Четырехзначные
математические таблицы. — М.:
Просвещение. 1974.— С. 59—61), а
также микрокалькуляторы. \
Рассмотрим снова единичную
окружность с выбранной точкой А 4
(рис. 65). /
Каждому числу a £ (—2л; 0) по-
ставим в соответствие точку Ма дан-
ной единичной окружности такую,
что длина дуги ЛЛ4а равна |а| и
дуга АМа откладывается от точки А по часовой стрелке.
Числу —2л поставим в соответствие точку А.
Произвольное число а представим следующим образом:
а — а0 + 26л,
где k—некоторое целое число, а.0£(—2л; 2л). Заметим,
что для любого а такое представление возможно. Теперь
числу а.-поставим в соответствие ту же точку, что и
числу а0, т. е, точки Ма и Ма„ совпадают.
Таким образом, построено соответствие между дейст-
вительными числами и точками единичной окружности.
Из самого построения этого соответствия следует, что
течки Ма+2п, Ma_in, Ма совпадают.
229
О точке Ма говорят, что она получается из точки А
поворотом на |а| радиан против часовой стрелки, если
а > 0, и по часовой стрелке, если а < 0 Вращение про-
тив часовой стрелки иногда • называют вращением в поло-
жительном направлении, а вращение по часовой стрелке —
вращением в отрицательном направлении.
2. Синус, косинус, тангенс и котангенс действитель-
ною числа. В предыдущем пункте установлено соответст-
вие между множеством действительных чисел и множе-
ством точек единичной окружности. Каждому действи-
тельному числу а поставлена в соответствие точка Ма
единичной окружности.
Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система
координат так, что ее начало совпадает с центром рас-
сматриваемой единичной окружности, а единичная точка
оси абсцисс совпадает с точкой А (рис. 66).
Пусть хи, уа—координаты точки Л4а. Тогда каждому
числу а поставлены в соответствие два числа ха и уа.
Число уа называется синусом а и обозначается sin а, а
число ха называе тся косинусом а и обозначается cos а.
Так как точка Л4а лежит на окружности единичного ра-
диуса, ее координаты удовлетворяют равенству
Ха + Уа = 1,
откуда cos2a4-sinsa = l для любого ag/?.
Пример 1. Найти синус числа а = ^л.
А Так как
13 л , о
6 л
230
действи-
обозна-
действи-
ю этому числу соответствует та лее точка МП/в, что и
числу л/6. Опустим из точки Л1п/6 перпендикуляр МЯ/6Р
на ось Ох (рис. 67); имеем I РМя/й | — у. В прямоуголь
ном треугольнике РОМ. длина гипотенузы О.Ия/в равна 1
(так как окружность единичная), длина катета РМп/л
равна 0,5 (как кагета, лежащего против угла в 30°).
Следовательно, ордината точки Л4п/в разка 0,5.
13
Ответ', sin л = 6,5. Д
О
Отношение называется тангенсом а и обознача-
cos а
, . sin а
ется tga, т. е. tga--^.
Легко видеть, что tga определен для всех
тельных чисел а=/=4у- + л/г, /гСо-
отношение называется котангенсом а и
sir. a
. , cos a
чается cig a, т. e. ct g a —- s-j^.
Легко видеть, что etga определен для всех
тельных чисел а л/г, k С Z.
Из определения тангенса
и котангенса следует, что
lga-clga — 1
для всех значений а, при
которых и tga, и etga имеют
смысл, т. е. при всех a G R,
кроме а — /г —, /г ё' Z
з
Пример 2. Найти tg л
, з
и ctg-j-л.
Д Числу Зл/4 на число-
вой окружности соответствует
точка Л1, которая является концом дуги в 135°. Опустим
из точки М перпендикуляр на ось Ох. Треугольник
0MN — прямоугольный и равнобедренный (рис. 68). Сле-
.. /2
довательно, точка М имеет координаты х =------- , у =
V2
— -ру— , и поэтому
= Д ——1 etg-j-л —- —— ~1.
ь 4 х > 4 у
231
3 3
Ответ: tgл = ctgл = —1 A
г-. on 14-tga 1+2 sin a cos a
Пример 3. Доказать, что —
Л Преобразуем правую часть, заменив в числителе 1
на sin2 a + cos2 а. Получим
1+2 sin a cos a sin2 а +cos2 а +2 sin a cos а_
cos2 а — sin2 a cos2 а — sin2 а
________(sin я + cos а)2____sin cc + cosa
(cos a- - sin a) (cos a + sin a) cos a — sin a '
Разделим числитель и знаменатель на ccsa^O:
sin a j-cosa 1 +tg oc
cos a — sir: a ~ 1—tg a '
Итак, получили выражение, которое находится в ле-
вой части заданного равенства, что и требовалось дока-
зать. А
Пример 4. Решить уравнение cosx=l.
Л Абсциссу, разную 1, на единичной окружности
(рис. 69) имеет точка А, а также точки, совпадающие с
точкой А, т. е. получаемые поворотом этой точки на 2л
радиан (по или против часовой стрелки). Поэтому дан-
ному уравнению удовлетворяют числа вида 2яй, где k С Z.
Ответ: x — 2nk, k CZ.A
Пример 5. Решить уравнение sinx=l.
Л Ординату, равную 1, на единичной окружности
имеет точка В (рис. 70), а также течки, совпадающие с
точкой В, т. е. полученные поворотом этой точки на 2л
радиан (по или против часовой стрелки). Поэтому дан-
232
ному уравнению удовлетворяют числа вида -у4-2л&,
где k~Z.
Ответ: х = у , k g Z. А
3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса и ко-
тангенса. Пусть, как и выше, Л1О—точка единичной ок-
ружности с центром в начале координат, соответствую-
щая числу а. Тогда, согласно определению, cos а—абс-
цисса, a sin а—ордината точки Л4а. Поэтому, если
лежит в первой четверти координатной плоскости, то
cos а и sin а положительны; если —во второй четвер-
ти, то cosa отрицателен, a sina положителен; если —
в третьей четверти, то cosa и smа отрицательны; если
1Ла — в четвертой четверти, го cosa положителен, а sina
отрицателен.
Тангенс и котангенс положительны, если Ми лежит
в первой или третьей четверти, и отрицательны, если
Л4а лежит во второй или четвертой четверти.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса пока-
заны на рис. '71, а, б, в.
5
Пример 1. Найти знаки чисел: а) sin у л; б) ctg280°.
л \ т Зтт . 5л л
Ла) Так как л < —у<—у, тс sin-у < 0.
б) Так как 270° < 280° < 360°, то etg 280’ < 0. А
Зная определения sina, cosa, tga, etga и основные
соотношения
sin2a + cos2a = 1; tgactga=l
233
можно установить следующие зависимости, представлен-
ные в таблице
sin a = ± У1 — cos? a tga ± _J
yrl+tg2a Уl-|-ctg2a
cos a — ± У 1 — sin2 a 1 ± С1й“
У 1-f-tg* a У l-f-ctg2a
tga = sin a У 1—sin2 a У1 — cos2 a ± cos a 1 etga
ctg« = у 1— Sin2 a sin a CQS a У1 — cos2a 1 tga
Заметим, что два знака (J-) перед радикалом означают две фор-
мулы, каждая из которых справедлива для определенных значений а,
Например, если то sin а—У Г—cos2«; если жел<а<
< 2л, то sin а = — У1 - -cos2a-
Пример 2. Дапо sina = .y, 0 < а <-у. Найти cos а.
А Точка Л4а находится в первой четверги, слсдова-
тсльно, cosa = у 1— - =у.
„ 4 .
Ответ,-, cosa = -=-.A
э
3 л
Пр и мео 3. Дано sina = -r, тг<а<л. Найти cosa.
О а
А Точка Ма находится во второй четверти, следова-
тельно, cosa =—4/5.
Ответ- cosa — —4/5 &
Пример 4. Дане sin a = 3/5. Найти cosa.
АВ задаче не указано, в какой четверти находится
точка /Иа, поэтому однозначного ответа дать нельзя. По
условию задачи sina>0, следовательно, точка Ма нахо-
дится либо в первой, либо во второй четверти; в первой
четверти косинус—число положительное, а во второй —
отрицательное.
Ответ-, если 0 < a < л/2, то cos a = 4/5; если л/2 <
< a < л, то cos a = —4/5. A
234
Пример 5. Дано tg а =; —4/3, Зл/2 < а < 2л. Вы-
числить sin а.
Л Точка Л4а в четвертой четверти, следовательно,
4
Kl+tg5a ’ ^/'1 + 16 5’
(Из двух знаков выбрали плюс, так как синус и тангенс
в четвертой четверти одного знака.)А
Пример G. Упростить выражение
Л Имеем
8 + —8.. .
i-j-cosa 1 1— cos a"
А
cos а) -г 8 (1 + cos a) 15 4
1 — cos? a V sin2 a | sina [ ’
Следовательно, если sina>0, и Л =
sin a
=----— , если sin a < 0. Д
sin a ’ '
4. Тригонометрические функции и их простейшие
свойства. Определим тригонометрические функции. Функ-
ция y = sinx, х (t/?, называ-
ется синусом.
Функция y — cosx, x£R,
называется косинусом.
Функция z/=tgx, x^R,
х -j- лй, А 6 Z, называет-
ся тангенсом.
Функция t/_—etgx, x^R,
~ называется
Рис. 72
х Ф nk, k£Z,
котангенсом.
Теорема 1. Косинус—
функция четкая,
нечетная.
□ Пусть, как обычно, Ма—точка единичной окруж-
ности с центром в начале координат, соответствующая
числу а, а Л1_а—точка этой окружности, соотвегствую-
щая числу —а. По определению синуса и косинуса точка
Ми имеет координаты cos а и sina, а точка Л4_а—ко-
ординаты cos(—<х) и sin(—а) (рис. 72).
Так как точки Ма и М_о симметричны относительно
оси Ох, го их абсциссы совпадают, а ординаты противо-
235
а синус —
положим. Следовательно,
cos (—а) = cos a, sin(—а) =—sina
для любого а £7?. Е
Например,
( л\ я Уз . / л\ .я 1
СС \ oJ=cos-6==-V’ SJ4~6j = ”s,n ТТ~Г’
cos (—135°) = cos 135° = — /2/2,
sin (—135°) = —sin 135° -= — /2/2.
Следствие. Тангенс и котангенс—функции нечет-
ные.
□ Действительно,
. , . sir, (—а) —sina ,
fg ( —«) = -Jos (_ а)- = -с“а- = “>
ptg(-a) = = -ctg а
для любого допустимого а g Н Е
Например,
to(_ «3e-taA =_________₽
й V 6 J & 6 /у’
ctg(—|)--ctg-^-/3’,
tg(—135°) = —tg 135°= 1, ctg (—135°) ——ctg 135°= I.
Теорема 2 Функции синус и косинус являются пе-
риодическими функциями. Наименьший положительный
период синуса и косинуса равен 2л.
□ Числам а, а + 2л и а—2л соответствует одна и та
же точка единичной окружности с центром в начале ко-
ординат, поэтому
соз(а ± 2л) = cos a, sin (а ± 2л) — sin а
для любого a G R Следовательно, число 2л является пе-
риодом синуса и косинуса.
Функция sir. а на отоезке [0; 2л] обращается в нуль
при а = 0, а = л и а = 2л.. Поэтому, если у синуса есть
положительный период, меньший 2л, то он равен л.
Однако л не является периодом синуса, так как
sin —=1? НО Sin ( у + л 1 = —1.
Следовательно, 2л — наименьший положительный пе-
риод синуса.
236
Аналогично доказывается, что 2л—наименьший поло-
жительный период косинуса. □
Заметим, что код периодом функции обычно пони-
мается се наименьший положительный период, и поэтому
теорему 2 часто формулируют так: синус и косинус явля-
ются периодическими функциями с периодом 2л.
Прежде чем доказывать теорему о периодичности тан-
генса и котангенса, заметим, что
sin(a±n) =—sina, (1)
соэ(а±л) =—cosa (2)
для любого Действительно, числам а и а±л па
единичной окружности (рис. 73) соответствуют точки Л4а
и Ма ± л, симметричные относи-
тельно начала координат, и по-
этому справедливы Формулы (1)
и (Й-
Теорема 3. Тангенс и ко-
тангенс являются периодическими
функциями. Наименьший положи-
тельный период тангенса и ко-
тангенса равен л.
□ Из формул (1) и (2) следует,
что
tg(a±n) — tga, ctg(a± л) = etg а
для любого допустимого a g/?, т. е. число л — период
тангенса и котангенса. А так как расстояние между со-
седними нулями и у тангенса, и у котангенса равно л,
то л—наименьший период. £3
Коротко теорему 3 можно сформулировать так: тан-
генс и котангенс являются периодическими функциями
с периодом л.
При м е р. Вычислить значение выражения
cos (—5a) + clg *1^^—sin(—-y-) + 3ctg(—у-).
Л Пользуясь свойствами четности (нечетности) и пе-
риодичности тригонометрических функций, получаем
cos (—5л) + etg -— j — sin —J-j -4 3сtg J =
г— 111 тс । • 5л л I 5л
= cos 5л —etg+ sin~2---3ctg —
== cos л — etg ~ 4- sin у—3 etg ~ =
= -1—04-1-3=--—ЗА.
237
Вопросы для контроля
L Дайте определение угла в 1 радиан.
2. Какова формула, связывающая радианную и' градусную меры
угла?
3. Как определяются синус, косинус, тангенс и котангенс дейст-
вительного числа?
4. Каким основным соотношением связаны синус и косинус
действительного числа?
5. Каким основным соотношением связаны тангенс и котангенс
действительного числа?
6, Дайте определение основных тригонометрических функций.
7. Назовите основные свойства тригонометрических функций.
8. Каковы значения тригонометрических функций для следую-
u л л л л л Зл .
щих значении аргумента: 0, -г, —, —, л, -75-?
о 4 о 2 2
9. Каковы знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в раз-
личных координатных четвертях?
У пражнения
5.3 7. 1) Какова радианная мера угла, выраженного в градусах:
80°; 05°; 100°; 160°; 244,38°; 146,18°; 27,13°; 42,7°?
2) Какова градусная мера угла, выраженного в радианах:
— ; ; 4; 1,57; 0,6400; 3,6270?
о о
5.3 8. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки
А (1; 0) на угол:
1) 9л; 2) ; 3) ; 4) -225°;
5) ~ ± 8л; 6) ± 4л.
5.39. Решите уравнения:
1) sir. х=—1; 2) sln*=0; 3) cosx=0; 4) cosx =—1;
5) 3slnx-f-sin?x-i-cos?x=l; 6) 3 sin? x 4-4 cos2 x —4.
5.40. Вычислите:
1) sin —4 cos y+2 tg — ;
2) j/Ysinj4-3ctg,^-5cos-y-;
3) J/T stn(—765°} — cos (— IHO^+tgCSS’+KS Ctg(-240°);
.. , о.,,/ 13л X / 7л X , / 21л X
4) cos (—Зл)+зш I---— 1— cig (-j-) — tg t--—J.
5.41. Решите уравнения:
J) s!n(—x)«=—1; 2) cos (—x) = l; 3) sin (—2x)=0;
4) cos(—3x) = — I.
238
5.42. Найдите знаки чисел:
1) sin 217°; 2) cos -у-; 3) tg 4; 4) ctg 237°;
5) sin 2,6л; 6) cos 1,2л.
Найдите эти числа с помощью микрокалькулятора.
5.43. Дано sin а = 0,8, л/2 < а < л. Вычислите cos а, tg а и
ctg а.
5.44. Найдите sin а, ccs а и tg а, если известно, что ctg а =
= —4/3 и 0 < а < л.
5.45. Могут ли иметь место следующие равенства для одного и
того же значения аргумента а:
1) sina = 3/5, cosa =—4/5; 2) slna =—12/13. cosa = 5/13;
3) sina =—0,8, cosa = —0,6;
4) sin a= |/*40/7, cos a = 3/7; 5) sina=l, cosa=l?
5.46. Чему равен sin a, если cos a » 0, 7533?
5.47. Дано cosa=i/c, 0 < b < c, 0 < a < л/2. Найдите tg a.
5.48. Найдите tga-|-ctga, если cosa = —3/5, л/2 < a < л.
5.'49. Докажите, что
1) tg^a — sin? a = tg? a sin? a:
2) sin3a(14-ctg aj-j-cos-’atl -f-tg a) = sin a4-cos a;
3) eos?a(2tga+l) (tga-|-2)—5sinacosa=2;
sin4 a+cos4 о 1 .
' “ sin2 a cos* a ’ cos2 a sin? a ’
- -1/” 1 — sin a . Г1 4 sin a___2
V 14-sina^ V 1 — sina |ccsa['
5.50. Упростите следующие выражения при всех а, для которых
они определены:
1) (sina—cos а)? + (sin a + cos a)2;
2} (cosa-tg a)? + (sin a-clg a)2;
3) 4) ---tgaW——1-tgaY
1 — cos2 a \ccsa / \,cosa 1 )
§ 25. Основные формулы тригонометрии, их следствия
1. Тригонометрические функции суммы и разности двух
аргументов. Пусть даны два действительных числа аир.
Рассмотрим простейший случай, когда а^0, р^0,
a + р^2л.
Пусть точка М единичной окружности соответствует
действительному числу a-t-0; се координаты будут коор-
динатами ’радиус-вектора ОМ (рис. 74). Имеем
ОА4— icos(a + P)+/sin(a-|-₽). (1)
Введем другую систему координат, которая получается
из первой поворотом на угол а против часовой стрелки.
23S
Тогда для того же радиус-вектора ОМ в новой системе
получим
O.M=rcos£+j'slnp. (2)
Выразим теперь единичные векторы новой системы через
единичные векторы старой системы (рис. 75):
r=dcosa+,/sina, J' — —/sina-ЬУ cosa.
Теперь равенство (2) можно записать так:
ОМ = (/ cosa +J sina) cosp + ( —i sin a-}-J cos a) sinP,
t. e.
OM — i (cos a cos p — sin a sin P) 4-
+У (sin a cos p b cos a sin P). (3)
В силу единственности разложения вектора по двум
базисным векторам, сравнивая равенства (1) и (3), полу-
чаем формулы для синуса и косинуса суммы:
sin (a + р) = sina cosР + cos a sinP
и
cos (a + P) = cos a cos P—sin a sin p.
В общем случае эти формулы доказываются гнало
гично. Будем считать, что они доказаны для любых
действительных чисел а и р. Заменив в них р на —р,
получим формулы для синуса и косинуса разности:
sin (а—p) = sinacosp — cos a sin р,
cos (а—р) = cos a cos р + sin a sin р. -
240
Тангенс и котангенс суммы двух аргументов можно
получить из предыдущих формул:
ig (« + ₽)
sin (а -И;
ccs (а ф» Р)
sin a cos р -f~ соз сс sir, р
cos ct cos 3 -sin о. si., p*
Так как для аргументов ^-ф-лй тангенс не существует,
то нужно считать, что аф-0у=уф-лй, k G Z. Полученная
формула будет проще, если числитель и знаменатель ее
правой части разделить на произведение cos a cos 0. По-
лучим
, де tga+tgp
g(«-.+ ₽)- i_tgatgp •
Если в этой формуле вместо р поставить —0, то,
так как тангенс—функция нечетная, получим
<8<»-и°,и~ЛУ
Отметим, что в последних формулах числа а, 0, а ф 0
и а—0 не являются числами вида -уф-лй, k£Z.
Пример 1. Используя формулы сложения, вычис-
лить cos 75° и sin 75°.
A cos 75° = cos (45° ф- 3Q°) = cos 45° cos 30°—
/2 J<3 /2 1 _ КЗ-К? _ п ОС
— sin 4э sin <50 — —2— * —2“-— • ~2 —-4----0,^5,
sin 75° = sin (45° ф- 30°) = sin 45° cos 30° ф- cos 45° sin 30° =
Пример 2. Дано sin a = 0,5, sin 0 = 0,8. Известно,
что л/2 < a < л и л/2 < 0 < л. Найти sin (а ф- 0) и
соэ(аф- 0).
A cosa = —К1 — 0,62= —0,8, соз0 =—К1 — 0,82 =
= —0,6,
sin (аф- 0) = 0,6(—0,6) ф- (—0,8)-0,8 = —1,
cos (а ф- 0) = (—0,8) • (—0,6) — 0,6 • 0,8 — 0. А
Апгебра, ч. I
241
Пример 3. Упростить выражение
Л Используя формулу синуса разности, получим
• ( . л\ { л \ / , я \ / п \
sin ( x-hy 1 - cos I x—— cos . * + — bsin lx—j 1 =
=sin ((x+-y)-~ y)) = sin у = L A
П л XT 1-}-tg 2,4-tg 0,15
Пример 4. Упростить tg2>4_tg0tl5'-
Allo формуле тангенса разности получим
1-l-tg 2,4.tg O,Jb__ 1 __ 1 _ctpg25 a
tg2,4 — tg 0,15 -tg(2,4—0,15)~tg2,25" g ’ **
Пример 5. Решить уравнение
sin x-cos у-J-sin y-cosx = 0.
А Так как
x . . x . Зх
sin x • cos у + sm у • cos x — sin у ,
Зх Зх
то sin-у =0. Следовательно, у = д&} т. е.
2
x — -,-nk, где b£Z.
2
Ответ: x—-x-nk, k£Z. &
о
2. Формулы приведения. Формулы, выражающие три-
гонометрические функции от аргументов
л 3
—а;у±а; ул±а; 2л«±а
через тригонометрические функции аргумента а, где а —
любое допустимое значение аргумента, называются фор-
мулами приведения.
242
Все формулы приведения даны в следующей таблице:
Аргумент Функция
СОЗ sin tg etg
— а cos а — sina — tga —etga
8 + К |см — sin а cos а — etga — tga
Л тг-01 sin а cosa cig a tg a
л-j-a —cos а — sin a tga etga
л —а Зл . — cos а sin a —tga — etga
-У !-а sin а — cos a — cig a — tga
Зл ~2 а — sin а — cos a etga tg a
2л-(-а cos а sin a tg a etga
2л—а cos а — sin a — tga — etga
Любая из формул приведения может быть выведена с по-
мощью формул суммы и разности двух эр"ументов.
Пример 1. Доказать, что
!л \ / л \
sin I у—al=-cosa, cos I у—al = sina
для любого a£R.
Allo формуле для синуса разности двух аргументов
получим
sin ^у—a.) = sin 4 • cosa— cos у • sin а = cos а.
Аналогично, по формуле для косинуса разности
cos (у—a ) = cos у • cosa + sin у • sina —sin a. A
Свойство периодичности позволяет сводить вычисления
значений тригонометрических функций любого действи-
тельного аргумента к вычислению их значений для аргу-
мента в промежутке от 0 до 2я (для тангенса и котан-
генса—в промежутке от С до л).
Формулы приведения позволяют свести вычисления
значений тригонометрических функций любого аргумента,
принадлежащего области определения этих функций,
к вычислению их значений в промежутке от 0 до у.
243
Пример 2. Вычислить cos-g-.
Пример 3. Упростить выражение
sin (д + «) + соз(л + а)+ tg ^-у-—a) + ctg(2n—а).
Д sin (у+ а) 4-cos (л 4 а) 4- tg 1 -у-—а ) +
4 ctg (2 л — а) = cos а — cos а 4 ctg а—ctg а = 0. Д
Пример 4. Решить уравнение cos (л — 0,5г) 4-
4- cos (л 4 0,5х) — 0.
Л — cos 0,5х—cos 0.5х — 0,
— 2 cos 0,5х = 0,
cos 0,5х 0,
0,5х = у 4 nk,
х = л 4 2л&, где /г 4 Z.
Ответ. х = л-(?^4 1), &CZ. Д
3. Тригонометрические функции двойного и половин-
ного аргументов. Формулы двойного аргумента выражают
тригонометрические функции аргумента 2a через триго-
нометрические функции аргумента а.
Если в формуле для косинуса суммы положить Р = а,
то получим
cos 2а = cos (а 4 а) = cos а cos а—sin a sin а,
и, следовательно.
cos 2а — cos2 а—sin2 а.
Итак, косинус двойного аргумента равен разности квад-
ратов косинуса и синуса данного аргумента.
Если в формуле для синуса суммы положить Р = а,
то получим
sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + sin a cos a,
и, следовательно,
sin 2a = 2 sin a cos a.
244
Итак, синус двойного аргумента равен удвоенному про-
изведению синуса и косинуса данного аргумента.
Аналогично выводятся формулы двойного аргумента
для тангенса и котангенса:
2 tga
1—tg?a
и
_ etg2 a— 1
2 etg a
Пример 1. Дано tga = 3/4, Вычислить lg2a,
2.1
. , „ 2tga 4 О з A
A tg2a — 1_.tg2a — /3\2“ 3 7 A
* V 4 J
Пример 2. Дано sin a — 0,8, 0 < a < л/2. Вычис-
лить sin 2a.
A sin2a = 2sinacosa = 2-0,8cosa-=
= 1,6 Kl—sin2a= 1,бУ1—0,82 = 0,96.A
Пример 3 Решить уравнение sin 3x cos 3x4-у = 0-
A sin Зх cos 3x4-у = 0,
2 sin Зх cos Зх 4- 1 =0,
sin 6x = —1,
6x = —у |-2nfe,
x=~+^-k, fegZ.A
Если выразить правую часть формулы для cos 2a
только через одну тригонометрическую функцию (синус
или косинус), го получим
cos 2a = 1 - -2 sin2 a,
cos 2a = 2 cos2 a— I.
Эти формулы дают возможность выразить
cos2 а и tg2a через cos 2a:
. , 1 — cos 2a
sin2 a =-------,
„ 14-cos 2a
cos2 a —------->
, , 1 —cos 2a
fS a=; ГгДАЙ-
sin2 a,
245
Эти формулы иногда называют формулами понижении
степени.
Пример 4. Вычислить sina, если cos2a~4/5 и
О < a < л/2.
1 ._—
ДИмеем: sin2а- ———у^- = 0,1.
Следовательно, sina = Ko,l, так как sina> О.Д
Пример 5. Вычислить sin и cos Д.
1 * о о
Л т л /2”
ДТак как cosy = -4j-, то
/. , К2 г_____=
1-1 2 I/2+/2
—Г—=---2--’
/, V*2 ____=
__2 _И2-Г 2
2 — 2
Перед корнем ставится знак плюс, так как siny>0
и cos-5- > 0. А
О
Пример 6. Известно, что sina==—g-, где л<а<
< Зл/2. Вычислить cos у.
Л Находим cosa =— у 1—^ = — у. Так как у<
, а Зл a . Л
то cos у < 0, и поэтому
Пример 7. Решить уравнение 1 + cos4x =—2cos2x.
Д l + cos4x = — 2cos2x,
2 eos? 2x = — 2 cos 2x,
cos2 2x + cos 2x — 0,. ч
cos 2x (cos 2x + I) = 0,
24G
cos2x = 0 или cos 2x4-1 =0,
2x~ у 4- nkf cos 2x = — 1,
K = k£Z, 2х = л + 2лЛ,
т: Z
=“2" b л&, k G Z. th
4. Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму и разность, и наоборот. Если тождества
sin (а + Р) = sin а cos р + cos а sin р,
sin (а—P) = sinacosp — cos а sin р
сложить почленно, то получим
sin (а + Р) + sin (а—Р) = 2 sin а cos р,
т. е.
sin а cos р — у (sin(a + P) + sin (а— р)). (1)
Если тождества
cos (а + р) = cos a cos Р—sin a sin р,
cos (а—Р) = cosacusP + sin a sin р
сложить почленно, то получим
cos a cos Р — (cos (а + Р) + cos (а—Р)), (2)
а если вычесть, то получим
sin а sin р — у (cos (а—Р)—cos (w + Р)). (3)
В формуле (1) положим а + Р = х, а—P = z/. Тогда
«-ф. 0 = ^,
и из формулы (1) получаем
п • х+У х—и
Sin X + Sin IJ — 2 Sin —5-- cos —o—,
' -J 2 2 ’
т. e. сумма синусов равна удвоенному произведению синуса
полусуммы на косинус палуразноети данных аргументов.
Заменив в последней формуле у на —у, получим
sinx—sin у = 2 sin cos Фф,
247
т. с. разность синусов равна удвоенному произведению си-
нуса полу разности на косинус полусуммы данных аргу-
ментов.
Для суммы и разности косинусов из (2) и (3) полу-
чаются следующие, формулы:
о х-\-у х—у
cos х + cos у —: 2 cos —— cos —у2,
т. е. сумма косинусов равна удвоенному произведению ко-
синуса полусуммы на косинус полу разности данных аргу-
ментов;
п х + и . X—и
COSX — cosy — —2 sin—-~ Sin—т-2.
2 2’
т. е. разность косинусов равна удвоенному произведению
синуса полусуммы на синус полу разности данных аргумен-
тов. взятому со знаком минус.
Пример 1. Упростить sin 2а cos За—у sir. ба.
Л sin 2а cos За—у sin ба =
= у (sin (— а) + sin 5а)—у sin 5а =
= — у sina + y sm ба—у sin 5а= —у sina. А
Пример 2. Вычислить sin 75°н-sin 15°.
A sin 75° + sin 15° = 2 sin CQS =
= 2 sin 45° cos 30° = 2 . = Д.
v/*"2 5
Пример 3. Реишть уравнение -y-cosx = sin-.',,-n —
л
-Slni2'_
. У 2 .5 .л
А у-COS X = Sin у 31— SlHy,
5 л 5 л
/"2 о * 12л— .2 12л+Т2
-у- COS № 2 Sin---g---COS---------,
У~2 о л л
•Нт - COS X — 2 Sin -т- COS —,
2 6 4 ’
о 1 yi
2 cosx —2- 2*2’
cosx=l,
x = 2nfe, A
248
5*. Преобразование выражений a sin a-j-b cos а. При решении не-
которых задач, например при исследовании гармонических колебаний,
бывает необходимо преобразовать в произведение выражение вида
a sin а + b cos а.
Обозначим
г = / а2. + Ы.
Тогда для любых чисел а и b всегда найдется такое <р, что
a = rccs<p и & = rsin(p, (1)
и данную сумму можно записать так:
a sin а + b cos а = г (cos ф sin а sin <р cos а) = г sin (гх-{-ф).
Зная г, из равенств (1) находим
а а . b Ь
cos ф =—=— , sm ф = —=—.
г /оЯ-Ь- г /a‘t-{-W
1. Пусть точка М под действием силы Fi
л/-)- —
?2 — I армоническое колебание у—'6 sin nt.
Пример
вдоль оси Оу
действием силы
совершав г
), а под
Определить, какое движение будет совершать точка Л4 при одно-
временном действии обеих сил.
Л По законам механики точка М будет совершать колебание
у = 2 sin! л/-|-
JX тс
= 2 sin nt cos 4-2 cos л/ sin -5—{-3 sin r.t =
o <3
= 4 sin л?-]-/ 3 cos nt.
Преобразуем полученную сумму в произведение, Имеем
г = К 45 +£/3)* = /Те,
следовательно,
4 , , /3
ссзф——sin <р = ,
/19 * Y /19
и ио таблицам находим ф « 0,4078.
Итак, у —4 sin л/-|-/ Зсозл/ » /19 sin (л/-{• 0,4078). Это озна-
чает, что точка М при одновременном действии двух сил и F2
(направленных вдоль оси Оу) будет совершать гармоническое колеба-
ние с амплитудой /19, начальной фазой ф я 0,4078 и с той же ча-
стотой, как при действии силы Fi или F2.
Вопросы для контроля
1. Запишите формулы сложения для тригонометрических функций.
2. Выведите формулы приведения для аргументов тр+а, г.— а.
3, Запишите формулы двойного и половинного аргументов.
249
4. Выведите формулы для cos 2а, cos у.
5. Запишите формулы преобразования произведения тригономет-
рических функций в сумму и разность.
6. Запишите формулы преобразования суммы и разности тригоно-
метрических функций в произведение.
Упражнения
5.51. Вычислите:
1) sin 14° cos 31°-f-sin 31° cos 14°;
2) stn 55° cos 35° 4- sin 35° cos 55°;
3) sin 53c cos 33° — cos 63’ sin 33°;
4) sin 24° cos 36°—cos 24° sin (—36°); 5) sin i05°; 6) cos 105°»
5.52. Вычислите: '
1) cos 5° cos 40’—,sin 5° sin 40°;
2) cos 127° cos 37° 4-stn 37° sin 127°;
3) sin 45’30' ccs 43’30* — sin 43°3C' cos 46°30';
4) cos 113’30' cos 53’30'4-sin 113°30' sin53°30';
_ч 11л Зл Зл 11л
5) cos у ccs--sin—--sin —
13л 4л , 4л 13л
6) sin -у- cos ---sin — cos —.
5.53. Упростите выражения;
1) cos a cos 2а—sin а sin 2а;
2) cos (63° 4-а) cos а-|- sin (60°4- а) sin а;
3) sin (^+2^ cos ( * 2p)-|-cos (-J-jV) sin f ^-2^
4) sin ^a-f-yj—sin ^a—-yj ;
sin (a 4~ P) +sin (a—P) #
' 5in(a4~P) — sin(a~P)’
C) cos 5p 4- sin 2p sin 3p.
5.54. Вычислите sin(a4-P)> если
cos a =— 8/17, cos P = 4/5, л < a < Зл/2 < p < 2л.
5 55. Чему равно значение sin(a4-p), если
sin a= 12/13, cos P=— 3/5, 0 < a < л/2, л < P < Зл/2?
5.5G. Вычислите cos(a4-P) и rns(a—p), если sina=5/13, sinP =
=—3/5, л/2 <а<л, л < 8 < Зл/2.
5.57. Докажите тождества:
1) sin(a4 Р)—sin (a—₽) = 2 cos a sin р;
К *2
(sin a-j-cos a);
2) sin
, sin (a—p) 4-2 cos a sin P _
; 2 cos a cos P—cos(a —p) — й P''
4) cos? a — sin? p = cos (a — P) cos (a 4- p).
250
5.58. Решите уравнения:
1) cos Зх cos 2х" — sin Зх sir. 2х = 1;
. Зх х Зх . х .
2) sin-у cos —cos т-sm-т-=0;
3) У 2cos (45°+x)-|-sin х = —1; 4) sin Зх—sin х cos 2x^0.
5.59. Вычислите:
fgir+tg43° . tgl9°—tg41® f
1 1-tg 17°tg43°’ ’ 14-tgl9°tg41o1
1+tg 77*30'tg 32*30' k3 K12
} tg77°30'—tg32°30' ’ 4) '. n. , . jT*
g e •Ig 12
5.60. Найдите tg(a + P), если
tga = 3/4, cos₽ = 3/5 и 0 < a < л/2, 0 < p < it/2.
5.61. Вычислите tg(a + f), если
sin a = 1/ У 5, tg p = 1/3 и 0 < a < n/2, 0 < p < л/2.
5.62. Вычислите tg (a — P), если
cosa — НУ 5, tg p= 1/3 и 0 < a < л/2, 0 < P < л/2.
5.63. Вычислите:
1) sin 330°; 2) cos 570°; 3) ctg 225°; 4) tg 135°;
5) sin (—930°); 6) ctg (-3810е); 7) cos-^ ; 8) tg |'_ .
О \ 4 у
9) sin 2010° + 4 tg (— 855°) J- / 3 cos (— 1590°);
10) У"2 sin (--6cos (-j+2 tg -1!”- У 3 ctg
5.64. Докажите тождества:
1) tga-tg(-^4-a)=— 1; sln *ctg (t+p') 2) т-5- / sA 5^V=— sin Pl sin (a—л)*sin (2л—a)*cos (a—2л) o) г 7-q г = Stu* a: Sin 1 y-a ] • ctg 1 —+a? • ctg (л-a) 4) cos (45° + a) = s in (45°—a). 5.65. ^Вычислите sin-у, cos-g-j ^2“> если sina = 0t6 и
0< л ,a<y. 5.66. Вычислите siny,cos—tg у t если cosa = —и
T < a < л.
25]
Б.57. Упростите выражения:
.. l-|-cos2a л. . ,, , _ ,
2) ‘gad+cosSa);
3) !_-CQS«. 4) 2 cos? f -£-a^ — sin2a.
sina \ 4 j
Б.53. Докажите тождества:
8) l-tftna = 2sin? f 45’--j) ; 4) • tg?3x=.
6.69. Решите уравнения:
1) l-| -cosx=2cos-^-; 2) 1—cos y=2 sin;
8)-i sin 4x-|-2 cos? x—1 =0; 4) 2 sin? x— 3 cos 2x — — 3.
Б.70. Произведения представьте в виде сумм:
I) sin 10° sin 20“; 2) sin 45° cos 30°; 3) cos 35’sin 25°;
4) cos 55° cos 20*; 5) sin (x-)-a) sin (x—a);
6) sin (x4-a) ccs (x—a); 7) cos (x-|-a) cos (x— a).
Б.71. Вычислите, не пользуясь таблицами:
1) sin 82°30' cos 52’30'; 2) sin 82’30' cos 37°30';|
8) cos 37°30' cos 7’30'; 4) co? 82“30' cos 37°30'; j
D) cos 75° cos 105°; 6) cos 45’co» 75°.
5.72. Упростите выражения:
I) cos 50° cos 20’—— cos 76’;
2) 2sln 70° sin 10’4-cos 80°;
b) 2cosacos2a—cos3a; 4) 2sin -|-a ' • cos ( -r-—a^ — 1.
5.73. Докажите, что
1) 2sinasin2a4-cos3a = cosa;
2) 2 sin a sin 3a4-2 cos 7a cos 3a—cos 10a — cos 2a
6.74. Вычислите без применения таблиц:
1) sin ! 05° 4-sin 75°;
11 5
3) Sln^n4 sin 12 я;
_ л , , 7
Б) ccs 4- sin л;
7) cos97’4-cos83°;
л. 11 , 5
9) cos л 4-cos i2 л;
2) sin 105°—sin 75°;
.. . 11 . 5
4) sin л —sin n-fi
л . 7
6) cos sin л;
8) cos 105° —ccs 75°;
in. 11 5
10) cos — cos —j л.
5.75. Упростите данные выражения:
1) sin fy+ci ,4-sin (y—I 2) sin
252
3) cos (a 4 60°) + cos (a — 60°); 4} cos (a 4- 60°)—cos (a — 60°);
cos a-J-cos 3a . / re . л \ / a , л \
о) -г----—-t- ; 6) sin -Я-4 -5- —cos -77-4- — .
sin a f sin 3a ’ ^2'3/ \ 2 ' b )
5.76. Данные выражения представьте в виде произведений:
3 г—
1) 1+2 sin а; 2) 1—2 sin а; 3) ~—|-sina; 4) J'3—2 sin а;
5) 0,5 + cosa; 6) 0,5—cos а; 7) cosa + 1; 8) 1 —cosa.
5.77. Докажите, что
1) 2 (sin a + cos a) = У 8 sin (a4 45°);
2) 2 (sin a — ccs a) = У 8 sin (a—45°);
3) sin a —sin 2a 4 sin 3a = 4 sin у cos a cos + J
. cos 4a+cos 2a —cos 3a , „ ,
4) -7—n—— r-----—n—= ctg 3a ’
sin 2a + sin 4a — sin 3a & J
5.78. Вычислите
cos &5C + cos 9 4° + cos 93° + cos 85э + cos 86° + cos 87°.
5.79. Решите уравнения:
1) sin бх + sin x=0;
2) sin ^x + ^^— sin
3) cos 2x + cos w = 0;
4) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x;
5) ——'sin x = cos 75° + cos 15°;
У~2 5 л
6) —2 • CCSX= COS-jj Л- COSy., >
5.80. Упростите выражения
делены:
при всех a, для которых сии cape-
1) 1 4 cos 2a—2 sin? a;
2cos a—sin 2a
2) —г-----1----i---«— 1
' sin? a—sin a+cos?.a
i—sin f 2a +^-^)
4) -------fc---
' sin (л—3a)—sin (—a) ’
2 sin2 a
1+cos (n—2a) * S) * *
cos (2л—2a)
ctg2a—1
tg2 a cos2 a—cos2
cos 2a
5)
7)
?)
2sin a — sin 2a
cos a—cos2 a —sin? a’
sin a—0,5 sir. (n4-2a) t
fl 1 Л 1 \
1 + sir. ( —+a 1
2 cos? a
--------------------cos*
1—sin (l,5n+2a)
sin у + 2a^
1 —tg?a
cos? a;
253
5.81. Докажите тождества:
1) cos4 -2- — sin4 = cos а; 2) (sir a -|- cos а)2. — 1 = sin 2а*
И
3) sin2a»—tga = cos2atgaj 4) 2 cos2 —1=—sin2a.
5.82. Докажите, что cos 15° sin 15° — 0,25,
5.83. Известно, что cos 2a = 0,5. Найдите cos2 a.
5.84. Докажите, что
2tgT I-lg2|
sina —--------. cosa=->----------
i+tg2y
для любого допустимого a^i?.
5.85. Решите уравнения:
1) sin2x—2slnx —0; 2) cos x-]-sin2 ~= 1;
3) cos?x = sln?x; 4) slii2xcos2x—^=0.
5.88. Выразите значения функции данного аргумента через зна-
чения функции вдвое большего аргумента:
1) cos2 15°; 2) sin21,5a; 3) sin2। 45° ; 4) cos2 fa —
5.87. Решите уравнения:
1) cos 2x i = l; 2) sin (л-|-Зх)=0;
, [ x ' / л , x \ _
3) sin I л—yj —cos ( + 2/ = °:
4) sin ; ^у-4тЗх I -OS x-j-sin 3xsin (л--х) = —1.
5.88. Выразите функции данного аргумента через функции вдвое
меньшего аргумента:
1) sin 54°; 2) cos 106°; 3) tg 68°; 4) sin 40;
5) cos3a; 6) sin^^-— a ;; 7) cos ^-^4-2a^;
8) sir. -j; 9) cos-^-; 1°) sin —a .
5.89. Вычислите:
1) 2 sin 15’co3150; 2) go°' -;
3) cos2 £ - sin- 4 > 4) 1 - 2 sin2 75°;
О о
1 _t^2 75°
5) 2 sin 75° cos 75°; 6)
5.C0. Вычислите:
1) sin 2a, если cosa= 3/5 и 0 < a < л/2;
2) cos 2af если sin a = —4/5 и n < a < Зл/2;
254
3) tg2a, если cos a = —3/5 и л/2 < a < л;
4) ctg 2a, если tga = 2 и 0 < a < n/2.
5. 91. Найдите cos 2a и tg2a, если sina = 0,8, C < a <n/2.
5 92- Найдите sin2a, если cosa = 8/13, sina >0.
5. 93. Что больше: sin 2a или 2 sin a; если 0 < a <л/2?
5. 94, Упростите выражения:
2 ts 30'
1) 2 sin 40° sin 60%
3) 2cosf a\cos, -y-|-a ';4)(cos 15°—cos7d°) (sin75°-]-sin 15°).
§ 26. Тригонометрические функции, их графики
1. Непрерывность тригонометрических функций.
Лемма. Для любого действительного числа а такого,
что 0<|а|<л/2, справедливо неравенство
. sina . . ...
cosa<------< 1. (1)
□ Пусть сначала 0 < а <
круг и угол /10/? величины
а (рис. 76). Далее опустим
перпендикуляр BD из точки
В на радиус ОА и построим
треугольник АОС. Тогда
S,\AOB < SceKT_ АСВ < S^AOC)
гдеЗд—площадь треугольни-
ка. SCCKT—площадь сектора.
Так как |BD| = sina и
|4C| = lga, то
л/2. Построим единичный
S&AOB = 1-1 о А I • I BD I = ^-sina,
Зсект ЛОВ ~ у «, — l|O.4|.|XC| = lfga.
Сравнивая эти площади, получаем
sina <a < tga.
Разделив все члены этого неравенства на sina, по-
лучим
. . a . 1
1 < —— <------- или
sin a cos a
cosa <
sin or
a
J.
255
Заметим, что функции, cos а и s-l‘--четные, и поэтому
неравенства (1) справедливы не только для ag 0; у),
но и для у ; о) ЕЗ
Из неравенства (1) следует, что
| sin а | < | <х |
для любого a g ' — у; ' , a 0.
А так как sin0 = 0 и |sina|^l, то
|sina|d«| (2)
для любого ag/?.
Теорема. Тригонометрические функции sin хм cosx
непрерывны в любой точке х„ g R.
□ Для любых действительных Фисел х и х0 справед-
ливо равенство
sinx—81ПХ0 = 2з!П- у2- COS—у2-,
и поэтому, в силу неравенства (2),
|sin х—sir. х01 = 21 siu x^— | • | cos |
<2 |^|.l=|x~x0|,
t. e.
| sin x—sin xc | | x—Xo |.
Из последнего неравенства следует, что sinx —>sinx0
при х—<-х0, а это и означает непрерывность sinx
в точке х0.
Аналогично доказывается непрерывность косинуса. □
Следствие. Тригонометрические функции tg х u.ctg х
непрерывны в любой точке области определения.
Это утверждение следует из доказанной теоремы и
теоремы о непрерывности частного непрерывных функций.
2. Свойства и графики функций у = sinx и_y = cos.r.
В предыдущих пунктах показано, что функция у==&пх,
х g —непрерывная, периодическая с периодом 2л, не-
четная и ограниченная, причем |sinx|^l для любого
x^R- Используем изученные свойства функции у = sinx
для построения ее графика.
И-ак, функция у —sinx обладает следующими свой-
ства миг
256
1) Область определения—множество/? действительных
чисел,
2) Множество значений функции—отрезок [—1; 1], т. е.
график функции располагается в полосе, ограниченной
прямыми у ——1 и у=>1.
3) Синус—функция периодическая с периодом 2л; при
построении графика можно ограничиться его построением
на отрезке длиной 2л (папример, на отрезке от —л до л),
а затем выполнить параллельные переносы построенной
части графика на 2л&, kQZ
4) Синус—функция нечетная; график функции сим-
метричен относительно начала координат, и поэтому его
можно построить на отрезке [0; л], а затем симметрией
получить его на отрезке [—л; 6].
5) Синус—функция непрерывная на всей числовой
прямой.
Построим график функции y = sinx.
Решая урапкение $inx = 0 па отрезке [0; л], находим
xt —0, х,— л, т. е. график функции пересекает в этих
точках ось абсцисс, На отрезке I 0; yj синус возрастает
от 0 до 1; на отрезке ^у; л^ синус убывает от 1 до 0.
Возьмем несколько промежуточных значений наогрезке
[0; л] и составим таблицу
X 0 Л б- Л 4 Л "з ю| а 2п ~з Зл Т 5 я Т Л
у = sin х 0 1 2 О 2 КЗ 2 1 2 К2 2 1 2 0
Построим эти точки на координатной плоскости и
соединим их плавной линией (рис. 77). Выполнив после-
207
дсвательно- симметрию полученной части графика относи-
тельно начала координат, а затем параллельные переносы
на 2лй( k £ Z, получим график функции у — sin х, кото-
рый называется синусоидой (рис. 78).
Рис. 78
6) Нулями функции являются точки х=п£, k£Z.
7) Функция t/ = sinx строго возрастает or — 1 до 1 на
_ промежутках [ — у 4-2л/г; у 4-2лй , k € Z, и строго убы-
вает на промежутках ^у4-2л&; ~-|-2n/cj, k^Z
8) Функция у = sinx имеет минимумы, равные —1,
в точках х — — у4-2л&, k£.Z, и имеет максимумы, рав-
ные 1, в точках х = у 4- 2л/г.
Так как cosx = sin(x4 у) для любого xg/?, то гра-
фик функции cosx, x^R, получается из графика функ-
ции sinx, x^R, смещением вдоль оси абсцисс влево на
отрезок длины у. Следовательно, графиком косинуса бу-
дет смешенная синусоида (рис. 79), называемая косину-
соидой
Перечислим основные свойства функции z/ —cosx.
1) Область определения--множестве R.
2) Множество значений функции —отрезок [—li 1].
3) Косинус—функция периодическая с периодом 2л.
4) Косинус—функция четная (график симметричен
относительно оси Оу).
5) Косинус-функция непрерывная в любой точке
x^R-
6) Нулями функции ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ k С Z.
7) Функция строго возрастает ст —1 до 1 па промежут-
ках [—л + 2л/?; 2nfe], k^.Z, и строго убывает от 1 до—1
на промежутках [2лА; я + 2лк], k£Z.
8) Функция имеет минимумы, равные — 1, в точках
x = n + 2nfe, & (SZ, и максимумы, равные 1, в точках х —
— 2л&, k£Z.
3. Свойства и трафики функций j = tgxr Hj=ctgx.
Функция y — tgx обладает следующими свойствами:
1) Область определения—множество R, кроме точек
х=у + nk, k£,Z.
2) Множество значений—множество R.
3) Тангенс—функция периодическая с периодом л;
при построении графика можно сначала построить его на
I л л \
интервале I — у; у I.
4) Тангенс—функция нечетная; ее график симметричен
относительно начала координат, и поэтому можно начи-
нать построение с промежутка [б; у) .
5) Тангенс — функция непрерывная в любой точке
области определения.
Для построения графика функции y = tgx возьмем
несколько точек на промежутке f 0; у) и построим гра-
фик у — tg х на этом промежутке. Выполнив последова-
тельно симметрию относительно начала координат и парал-
лельные переносы на nk, k£ Z, получим график функции
№tgx, называемый тангенсоидой (рис. 80).
б) Нулями функции являются точки x — nk, Z
7) Тангенс строго возрастает на каждом промежутке
(—y-t-nfe; + л/? ), k£ Z.
Так как etg г — — tg^x + y ), то график функции
у=зetg х получается из графика функции y = tgx парал-
лельным переносом вдоль оси абсцисс влево на у и по-
следующей симметрией относительно оси Ох. График
9’ 259
4. График гармонического колебания. Пусть даны две
функции
y = sinx и t/ = 3sinx.
Построим графики данных функций на одном чертеже
(рис. 82). Легко видеть, что график функции #=3sin*’
получается из графика функции y = sinx растяжением
вдоль оси ординат.
Вообще, график функции y = Asinx, А> 0, получается
из графика функции ^ = sinx растяжением в k раз вдоль
оси ординат. Если k < 0, то график функции i/ = £sinx
симметричен относительно оси абсцисс графику функции
у — | k | sin х.
260
Число |&| при изучении гармонических колебаний
называют размахом, или амплитудой колебаний.
На рис. 83 даны графики функций:
</ = sinx; у = 2 sinx; у = 0,5 sinx.
Пусть даны две функции
г/= sinx и y = sin2x.
Построим графики этих функций на одном чертеже
(рис. 84). Можно сказать, что график функции ,y = sin2x
получается из графика функции y=sinx сжатием вдоль
оси абсцисс.
Рис. 83
Вообще, график функции у = sin ах, а > 0, получается
из графика функции у = sinx сжатием (растяжением)
вдоль оси абсцисс в а раз. Если а < 0, то график функ-
ции у = sin ах симметричен относительно оси абсцисс гра-
фику функции у = fein (—а)х.
261
На рис. 85 даны графики функций
«/ = sinx, у — sin 0,5 г, z/ = sin2x.
Пусть даны две функции £/ = sinx и z/ = sin , х +у) •
Построим графики этих функций (рис. 86). Можно ска-
зать, что график функции у = sin х + J получается
параллельным смещением синусоиды y = sinx вдоль оси
абсписс влево на отрезок длины .
В общем виде синусоида z/ = sin(x-t-<рс) получается
из синусоиды «/ = sinx смещением ее вдоль оси абсцисс
р01 влево, если <р4 > 0, и вправе,
на отрезок длины
если <р0 < 0.
Описать
Пример. Дана функция y = 3sin
словами, как выглядит ее график.
Л Это деформированная синусоида. Данную функцию
представим следующим образом:
у= 3sin2(\ +Д) .
S62
Так как £ = 3>0, то синусоида растянута вдоль оси
ординат; так как а = 2>0, то синусоида сжата вдоль
оси абсцисс; так как ф0 = р, > 0, то синусоида смещена
влево вдоль оси абсцисс на отрезок длины ™. Д
Вообще, для построения графика функции
y = fesin(ax + ф0), а
ее представляют следующим образом:
y — k3ma(x + •
Тогда легко видеть, что график этой функции получается
из графика функции y = ksinax смещением вдоль оси
если — < 0.
а
Вопросы Для контроля
1. Изобразите схематически графики функций у= sinх, </=созх,
y = tgx, J/='CtgX.
2. Назовите основные свойства функций у — sin х, у — cos х, у =
= tgx, </ = ctgx.
Как эти свойства иллюстрируются на графиках?
Упражнение
6. 95. Постройте на одном и том же чертеже графики функций:
1) у— slnx и у— — 2sinx;
2) y=slnx и y=sin^— 4^!
3) у = созх и у = 2 cos х;
4) y=cosx и ^ = соз2х;
263
X, X
5) y=sto-|—1 и y=l — sir v;
X X
C) y= cos yH И i/=l —cosy.
§ 27. Обратные тригонометрические функции*
1. Функция арксинус и ее график. Пусть дана еди-
ничная окружность с центром з начале координат и пря-
мая у = а, где ] а | 1 (рис. 87). Тогда одна из точек
пересечения прямой и окружности принадлежит полуок-
ружности САВ, т. е. существует такое действительное
Рис 87
число а. которое удовлетворяет равенству sina-=a, Где
— . Такое число называют арксинусом числа а.
Определение. Арксинусом числа а, где |а|1,
называют такое число а из промежутка —у; у^ , си-
нус которого равен а. Арксинус числа а обозначают так:
arcsina (читается «арксинуса»).
Пример 1. Найти arcsiny.
л т .эх 1 JT зт л , | JT ж
А хаккакзш ^- = уи —у ,то arcsiny=y. А
Пример 2. Найти arcsin^—
лт I я \ 1 л _ Г л л Т
Л Так как sin и — — 1 то
. ( 1 \ л А L J
arcsin ( — -н — —ё
Z о
264
Пример 3. Найти arcsin0,975.
АС помощью таблиц или микрокалькулятора находим
arcsin 0,975 да 1,346721 да 1,35. А
Функция r/ = sinx на отрезке f—у; yj строго воз-
растает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную
функцию, строго возрастающую (см. § 16, п. 8) и непре-
рывную.
Функция, обратная для функции у -sin х,х С —у Jyj,
называется арксинусом и обозначается у — arcsin х,
хе|—I; ч-
Итак, согласно определению обратной функции, об-
ластью определения арксинуса является отрезок '—1; 1], а
множеством значений—отрезок •
Отметим, что график функции
y = arcsinx, —1; 1],
симметричен графику функции z/ = sirlx,
относительно биссектрисы координатных углов первой
и третьей четвертей (рис. 88).
2. Функция арккосинус в ее график. Пусть дана еди-
ничная окружность с центром в начале координат и пря-
мая х = а, где |а|<1 (рис. 89). Тогда одна из точек
265
пересечения прямой и окружности принадлежит полуок-
ружности ABDt т. е. существует такое действительное
число а, которое удовлетворяет равенству cosa —а, где
О^а^л. Такое число называют арккосинусом.числа а.
Определение. Арккосинусом числа а, где |a|^ 1,
называется такое число а из промежутка [0; л], косинус
которого равен а.
Арккосинус числа а обозначается так: arccosп (чита-
ется «арккосинус а»).
Пример 1. Найти arccos •
л -г я Г*" 2 jt — гл 1 yf* 2 л *
Л Так как cos-- = и [0; л], то а1ссоЗу-=—. Д
Пример 2. Найти arccos^—
ДТак как cos-j = —-Цр и -у(:[0;я], то
( /2\ Зл .
arccos I — -у I = — . Д
Пример 3. Найти arccos 0,2.
АС помощью таблиц или микрокалькулятора находим
arccos 0,2 « 1,3694383 » 1,4. Д
Функция у — cos х на отрезке [0; л] строго убывает и
непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию,
строго убывающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции i/ = cosx, х£{0;л],
называется арккосинусом и обозначается у — агсссз х,
1].
Итак, согласно определению обратной функции, об-
ластью определения арккосинуса является отрезок [—1; 1],
266
а множеством значений—отрезок [0; л]. График функции
z/ = arcccsx, xg[—1; 1], симметричен графику функции
y = cosx, х£{0;л], относительно биссектрисы координат-
ных углов первой н третьей четвертей (рис. 90).
3. Функции арктангенс и арккотангенс и их графики.
Пусть числу а соответствует точка М (х; у)' единичной
окружности. Тогда tga-— Поэтому равенство
Рис. 91
tga = a можно записать 'в виде — = т или у —ах. Это
означает, что если точка М, соответствундцая числу а,
лежит на окружности и на прямой у —ах, то верно ра-
венство tga = a.
267
Одна из точек пересечения прямой у—ах и единичной
окружности принадлежит полуокружности САВ (рис. 91),
т. е. существует такое действительное число а, которое
удовлетворяет равенству 1g а = а, где —у < а < у . Та-
кое число называют арктангенсом числа а.
Определение. Арктангенсом числа а называется
такое число agi —у; у), тангенс которого равен а.
Арктангенс числа а обозначают так; aretga (читает-
ся «арктангенс /л»).
Пример 1. Найти arctg У 3.
Л Так как tgy=K"3 и (—у; то
О О \ л I
arctg/3-4.A
О
Пример 2, Найти arctg (—У 3).
ЛТак как tgf— у)= — К Зи —(—£ 5 4) > то
arctg (— К”3) = — у • А
Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая
на интервале | —у; -у) ; следовательно, она имеет обрат-
ную функцию, которая непрерывна и строго возрастает.
Функция, обратная для функции у—tgx.xg у! у),
называется арктангенсом и обозначается у = arctg х, x$ft.
Итак, согласно определению обратной функции, об-
ластью определения арктангенса является интервал
(—оо, оо), а множеством значений — интервал (—У’у).
268
График функции у — arctgx, x£R, симметричен гра-
фику функции у = tg х, х £ (— Т ’ Т 1 ’ относительно бис-
сектрисы координатных углов первой и третьей четвертей
(рис. 92).
Определение. Арккотангенсом числа а называется
такое число а^(0; л), котангенс которого равен а.
Арккотангенс числа а обозначают arcctg а (читается
«арккотангенс а»).
Пример 3. Найти arcctg (—1).
ЛТак KaKctg?£ = —1 n^g(0;л),Toarcctg(— 1)=~.А
На интервале (0; л) функция котангенс строго убыва-
ет; кроме Того, она непрерывна в каждой течке этого
интервала; следовательно, на интервале (0; л) эта функ-
ция имеет обратную функцию, которая является строго
убывающей и непрерывной.
Функция, обратная для функции у — etgx, х£(Э;л),
называется арккотангенсом и обозначается у = arcctg.'к,
х £ /?.
Итак, согласно определению обратной функции, об-
ластью определения арккотангенса будет R, а множеством
значений—интервал (0; л). График функции у = arcctg х,
дан на рис. 93. Этот график симметричен графику
функции y = ctgx, х.€(0; л), относительно биссектрисы
координатных углов первой и третьей четвертей.
269
Вопросы для контроля
1. Дайте определение арксинуса числа, приведите примеры,
2. Дайте определение функции р =arcsin х. Назовите ее основные
гвойства. Нарисуйте график этой функции.
3. Дайте определение арккосинуса числа, приведите примеры.
4. Дайте определение функции г/=агосозх. Назовите ее основные
свойства. Нарисуйте график этой функции.
5. Дайте определение арктангенса числа. Приведите примеры.
6.. Дайте определение функции y«=arotgx, Назовите ее основные
свойства. Нарисуйте график этой функции.
Упражнения
5.93. Найдите:
/ тЛ'зХ Кз
1) arcsin (—1); 2) arcsin 1; 3) arcsin ( — у- ); 4) arcsin —g— ;
5) arcsin I--arcsin - g-~; 7) arasinO.
5.97. Найдитр:
7 V"3\ У~3
1) arccos (—1); 2) arcoos 1; 3) arccos (—^2~)’ arccos 4-g—;
5) arccos —; 0) arccos-^-; 7) arccos0.
5.98. Найдите:
/ 1Л"з\
1) arctg 1; 2) arctg (—1); 3) arctg (-!-—);
\ J
1Л“3
4) arctg—-—; 5) arctgO.
о
5.99. Найдите:
1) arcctg 1; 2) arcctg 0; 3) arcctg
5) arcctg У 3; 6) arcctg (— ]/"3).
5.100. Найдите с помощью микрокалькулятора:
1) arcsir. 0,8221, 2) arcsin (—0,4051); 3) arccos 0,9128;
4) arccos (—0,9703); 5) arotg 2,194; 6) arctg (—7,897);
7) arcctg 3,70C; 8) arcctg (--264,4).
5.101. Найдите:
( V 3X> t V3
(-----o- ) 1 4; arcctg 4-— ;
\ - О / о
1) arcsin-J-arctgf--arccosf — ; 2) aroctg(—У 3)—
— arcsin
arccos-
Б)
7) sin [ arccos
в) tg Эд arccos—g- ) 1 9) arocos fsin — ^ ; 10) arctg etg^
270
5.102. Решите уравнения:
1) a resin 2х= —2) arctg (х—1) = -2-;
3) arccos-^ = y; 4) antclg (*+1) = ^.
5.103. Найдите значения функции i/=arccos х—arctg 2х, если х
равно 0; —1/2; — 3/2.
5.104. Найдите значения функции у—-aroctg 2х—arcsin х, если х
равно — ]/"3.’2; —1/2; 1/2; 3/2.
5.105. Постройте графики следующих функций:
1) z/ = 2arcsin х; 2) у--arcsin 2х;
1 х
3) У—-г arccos х; 4) у=атссоч-^-,
Л 2
§ 28. Тригонометрические уравнения
1. Простейшие тригонометрические уравнения. Прос-
тейшими тригонометрическими уравнениями являются
уравнения вида
sinx = a, cosx —о, tgx = a, ctgx = a,
где а—данное число.
Очень важно уметь решать простейшие тригонометри-
ческие уравнения, так как нее способы и приемы реше-
ния любых тригонометрических уравнений заключаются в
сведении их к простейшим.
1. Уравнение вида
sinx —а. (1)
Так как |sir.х|1, то уравнение (I) при <т> 1 и при
а<—1 решений не имеет (рис. 94).
271
Если а=1, то уравнение (1) принимает вид sinx = 1;
его решения:
х=у4-2Ь, feCZ. (2)
Если а = — 1, то уравнение (1) принимает пид sinx^—1;
его решений!
— y+2fet, k£_Z. (3)
Пусть теперь |а| < 1. Так как период синуса равен 2л,
то для решения уравнения (1) достаточно 'найти все ре-
шения на любом отрезке длины 2л.
На отрезке —у-; yj функция синус имеет два про-
межутка своей строгой монотонности: отрезок f—yjyj,
на котором функция возрастает и принимает только один
раз значение а; отрезок [у! у]. где функция убывает
и принимает только один раз значение а.
Решением уравнения (1) на отрезке — у; yj будет
arcsina (по определению арксинуса). Для решения урав-
нения (1) на отрезке , : - применим формулу sinx =
= sin (л—х). Очевидно, что если х £ J 4 ; у ], то (л—х) £
С 1 — у; у j t и поэтому решением уравнения sin (л—х) = а
[л 3л1
у ’> у будет л—х=агсыпа, т.е. х=л—arcsinn.
Для получения всех решений уравнения (J) к каж-
дому из двух полученных решений прибавим числа вида
2kn, где k£Z: Следовательно,
х = arcsan а 4-2^л, (4)
х = л—arcsin а + 2£л. (5)
Обе серии решений можно объединить:
х=(—l)*arcsina + n&, k£Z. (6)
В самом деле, при k четном [получается формула (4),
при k нечетном получается формула (5).
Пример 1. Решить уравнение —
ДСогласно формуле (6)
Зх—(—l)4arcsin + йл, fegZ.
272
Так как arcsin-y--=y, то Зх=(—1)*-у 4. л£.
Ответ- x=(-l)fty+^, k^Z.L
Пример 2. Решить уравнение sin2№— 1.
ДПо формуле (3) имеем 2х —— у4-2У?л.
-Ответ: x— — ^ + kn, k^Z. д
Пример 3. Решить уравнение sirt№—0,4099.
Д Согласно формуле (6)
х — (—l)*arcsin (—0,4099)4-nk, k£Z.
Используя микрокалькулятор или таблицы, находим
х«(—1)4—24°12')4-180°fe, fe£Z
х«(—1)*+124°12'4-180пй, k^Z.A,
2. Уравнение вида
cosx = a. (7)
Так как 1 cos х («SC 1, то уравнение (7) при а> 1 и при
а <—1 решений не имеет (рис. 95).
Если 0=1, то уравнение (7) принимает вид cosx=l;
его решения:
х — 2я&, k£.Z> (8)
Если а=—1, то уравнение (7) принимает вид cos х=—1;
его решения:
х = л4-2лй, т. е. х = л(2&Н-1), k£Z. (9)
Пусть теперь |а| < 1. Так как период косинуса равен
2л, то для решения уравнения (7) достаточно найти все
решения на любом отрезке длины 2л.
273
На' отрезке [— л; п] функция косинус имеет два
промежутка строгой монотонности: отрезок [—л. 0], па
котором функция возрастает и принимает только один
раз значение а, и отрезок [0; л], где функция убывает и
принимает только один раз значение а. Таким образом,
на каждом из этих двух отрезков [—л; 0] и [0; л] урав-
нение (7) имеет по одному решению. Решение уравнения
(7) на отрезке [0; л] есть arccosа. Решение уравнения (7)
на отрезке [—л; 0] есть —arccosa, потому что функция
косинус четная. Решениями • уравнения (7) на отрезке
[—л; л] будут числа ±arccosa.
Для получения всех решений уравнения (7) к каждому
из полученных решений прибавим числа 2йл, k£Z. Сле-
довательно,
x = ±arccosc +2/?л, k£Z. (10)
Пример 4. Решить уравнение cos3x=l/2.
А По формуле (10) имеем
Зх = ± arccos 4- + 2йл = ± -5- + 2/гл.
Z о
jx 2
Ответ: х = Tty + yfar, fe£Z. Д
Пример 5. Решить уравнение cos5x = 0.
А5х=у + л&, k£Z.
Ответ-, х = 7^ + -г , kfZ. Д
10 и
Пример 6. Решить уравнение cos2/ = —0,5.
А По формуле (10) имеем
2/= ± arccos (—0,5) + 2&л, k£Z,
2/= + (л—arccos 0,5) + 2/?л, fegZ,
2( = ±-y- + 2for, k^Z,
/ — i —й—|- fejx, k £ Z.
о
Ответ: t = Ь- + kn, k£Z.&
3. Уравнение вида
tgx=a. (11)
Так как период тангенса равен л, то для того чтобы
найти все решения уравнения (11), достаточно найти все
его решения на любом отрезке длины л. По определению
274
арктангенса решение уразпения (11) па промежутке
{— у • у J есть аге1ёп-
Для того чтобы получить нее решения уравнения (11),
нужно к решению, полученному на отрезке длины л, при-
бавить nk, k^Z. Следовательно,
х — arctgu + ak, k£Z (12)
Пример 7 Решить уравнение tgЗх = —1.
Л По формуле (12)
Зх — arc tg (—1) + nk, Z\
так как arctg(—1) = — то Зх =— -2-+лй.
Ответ: х——k^Z.h.
Пример 8. Решить уравнение tgx = 2,793.
ДПо формуле (12) имеем
х = arc tg 2,793 + л/г, /e£Z.
Используя микрокалькулятор или таблицы, находим
хяв 1,1397 + nk, k^Z.h.
4. Уравнение вида
etgx — a. (13)
Период функции котангенс равен л. Для получения
всех решений уравнения (13) достаточно найти все реше-
ния этого уравнения на любом отрезке длины л. Выберем
промежуток (0; л). Решение уравнения (13) на промежут-
ке (0; л) будет arcctg я (на основании определения арк-
котангенса).
Для того чтобы получить все решения уравнения (13),
нужно к решению, полученному на отрезке длины л, при-
бавить числа, равные nk, k^Z Следовательно,
х = arcctg а + nk, k£Z. (14)
Пример 9- Решить уравнение ctg2x ——1.
ДПо формуле (14)
2х = arcctg (—1) + лА, k£Z:
так как arcctg (—1) = -^'-, то 2х=;-^-+лА:.
Ответ: х = + k^Z.h
о Z
275
Пример 10. Решить уравнение ctg5x = К3/3.
ЛЕо формуле (14)
i/"3
5x = arcctg-~-4-k£Z.
Так как arcctg — у, то 5х = у + л&.
Ответ: г=те + -^-, AgZ. А
1 э о
2. Примеры решения тригонометрических уравнений.
В предыдущем пункте было показано, как решать про-
стейшие тригонометрические уравнения. Покажем на при-
мерах, как решаются более сложные уравнения.
Сводная таблица решения простейших
тригонометрических уравнений
Уравнение Решение Частные случаи
a= — 1 a=0 a= 1
sin х = а, х= (—1)А arcsin а+ л , x 2 + x = nk, х = у+2лй.
|а|< 1 +-лй, k £ Z k^Z kQZ k g Z
cosx = a, х= ± arocos a-f- x = nj-2n&, П г’ X. x = --\-nk, x = 2^k,
|а|<1 —2л&, k Z k € z k^Z « € 2
tgx = a x = arctg a—r.k, л , *=-T+ x = nk,
k£Z k Z k£Z k € z
ctgx = a x = arcdg a4-nk, 3л x = “4— х = у + л^, x = —+ л^,
k£Z k £ z k Q Z k£Z
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Пример 1. Решить уравнение 2sin2x + 3cosx = 0.
Л Заменив sin2x на 1—cos2x, получим
2 cos2 х—3 cos х—2 — G.
Решим это уравнение относительно косинуса:
3 ± /У '-4-2^2 3 ± 5
cosx= „о-----------=—г-.
276
Составим два простейших уравнения:
cosx = 2 и cos х =—]/2.
Первое уравнение решений не имеет, так как —1 cos х<11.
Второе уравнение имеет решение
х = ± arccos (—= ± + 2Ад.
\ “ / *=*
Ответ-, х = ± -£ + 2йл, k С Z. Д
о
Пример 2. Решить уравнение 7sinx = 3cos2x.
Л Так как ccs2x=l—2sin2x, то
7 sinx —3—6sin2x,
6sin*x-+7 sinx—3 = 0.
Получили квадратное уравнение относительно sirtx. Обо-
значим sinx через у, тогда 5у‘‘ + 7у—3 = 0. Полученное
квадратное уравнение имеет решения
у2 = —3/2.
Из уравнения sinx=l/3 получаем
х — (—l)ftarcsin4- + tik, k£Z.
О
Уравнение sinx =—3/2 решений не имеет, так как
|sinx|<.l для любого х.
Ответг х = (—1)*arcsin j + nk, k$Z Д
Пример 3. Решить уравнение 51g2х—13tgx—6—0.
Л Это уравнение является квадратным относительно
tgx. Обозначим tgx через у, тогда 5уг— 13у—б —0. Полу-
о 2
чениое квадратное уравнение имеет корни уг = 3, г/2= — -g-.
Из уравнения tgx = 3 получаем
х = arctg 3+- rc/f, k£Z.
2
Из уравнения tgx = — получаем
х = arctg f+ k£Z,
' 2
х——arctg g- 4- nk, k£Z.
2
Ответ: x=arctg 34-лй,х=—arctg-g-+n^, k ^Z Д
277
2. Уравнения, решаемые разложением ле-
вой части на множители
Пример 4. Решить уравнение sinx tgx + 1 = sinx4-
4- tgx.
Л Перенесем все члены уравнения в левую часты
sinx igx 4- 1—sinx—tgx = O
и разложим левую часть полученного уравнения на мно-
жители:
(sinx—1) (tg х—Г) = 0.
Следовательно, или sinx—1=0, или tgx—1=0. Реше-
ниями уравнении будут
x = y + 2nfe и x — -^-\-nk, k£Z.
Решение x = y + 2nfe не удовлетворяет исходному урав-
нению, так как тангенс при этих значениях не существует.
Ответ-. х = : -l-nfe, k^Z. A
Особи следует отметить, что если при некотором зна-
чении аргумента один из сомножителей обращается в нуль,
а при других хотд бы один теряет смысл, то и все про-
изведение теряет смысл; такие значения аргумента (неиз-
вестного) решениями уравнения не являются.
Приведем еще один пример. Пусть дано уравнение
tgxsin2x = 0.
Ясно, что оно распадается на два простейших уравне-
ния tgx = O и sin2x = 0; их решениями будут х = лЛ
и х = лп/2.
Первый сомножитель tgx теряет смысл при
х = |-4Лл = (2А>4-1)у.
Все эти значения х содержатся в множестве решений вто-
рого уравнения при » = 2й4-1 (нечетном). Они не яв-
ляются решениями данного уравнения (их иногда называют
посторонними решениями).
При n — 2k решения второго уравнения являются реше-
ниями первого уравнения. Таким образом, решениями
данного уравнения будут х = лЛ.
При решении тригонометрических уравнений выпол-
няются преобразования над выражениями, входящими
278
в уравнение. Если в результате преобразований область
допустимых значений дли х расширилась, то могут по-
явиться посторонние решения, а если сузилась, то воз-
можна потеря решений.
т-. е т-> sin 2х 1 + cos 2х
Пример 5. Решить уравнение = 2созх
А Так как
sin 2х 2 sin х cos г cos х
1 — cos2х 2sin2х sinx ’
1 -j- cos 2x 2 cos2 x
_j-------= -----= cos x
2 cos x 2 cos x '
то получаем уравнение
cosx . . t\ A
CQ3X = —;-- ИЛИ COS X (SinX—l) = 0,
sin x ' ' ’
следовательно, или cosx = 0, или sinx—1=0. Из урав-
нения cusx = 0 получаем
х = у -f- nk; k$Z.
Из уравнения sinx—1 = 0 получаем
х = у + 2nk, k^Z.
Все значения х — - + 2nk содержатся в множестве реше-
ний х — у + nk при четных значениях k, т. е. решениями
будут X = у Н- п/?, k € Z.
Так как правая часть заданного уравнения при х =
=т=у4-лй теряет смысл, то все найденные для х значения
не являются решениями.
Потерять же решения мы не могли, так как при пере-
ходе от данного уравнения к полученному множество
допустимых значений для х расширилось.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений. А
3. Уравнения, однородные относительно
sinx и созх
Пример 6. Решить уравнение 5sin2x + 3cos2x =
= 4sin2x.
А Заменим sin2x на 2 sinxcosxi
5 sin2 x—8 sin x ccs x + 3 cos2 x = 0.
279
Разделим обе части полученного уравнения на cos2 х (убе-
дитесь, что cosx^O):
5 tg2 х—8 tg х + 3 = 0.
Заменив tgx па у, получим бу2 — Sy 4 3 = 0. откуда у, = 1
и у2 = 3/б или^х=1 и tgx = 3/5. Из первого уравнения
следует, что х = -^4-л/г, а из второго следует х =
arctg -g-4- nk.
Ответ: х=-^4-л/г, х = arctg4-л/г, kQZ А
Пример 7. Решить уравнение 3sin2х—4sinxcosх4-
4- 5 sin2 — 2.
А Так как sin2' — x) = cos2x, то
3sin2x—4 sin x cos x 4- 5cos2x — 2 = 0.
Заменив 2 на 2 (sin2 x 4-cos2 x), получим
3 sin2 x— 4 sin x cos x 4- 5 cos2 x—2 (sin2 x 4- cos2 x) = 0,
откуда
sin2 x—4 sin x cos x 4- 3 cos2 x = 0.
Разделив обе части полученного уравнения на cos2x,
получим
tg2x—4 tgx4-3 = 0,
откуда tg х = 1 или tgx = 3. Из первого уравнения сле-
дует, что х = 4' 4-nk, k£Z, а из второго следует, что
х— arctg 3 4- л/г, k С Z.
Ответ: х -г nk, х = arctg 3 4-л/г, k^Z.A.
4. Другие примеры решения тригономет-
рических уравнений
Пример 8. Решить уравнение cos 2х = cos 6х.
Д Запишем данное уравнение иначе!
cos2x—cos 0х = 0.
По формуле разности косинусов имеем
2 sin 4xsin2x = 0.
280
Если sin4x = 0, то х = л£/4; если sin2x = Cf то, x=eak/2.
Вторая серия решений содержится в первой.
Ответ:. х=л/г/4, k^Z.h.
Пример 9. Решить уравнение cos 2х = sin1 2 х.
А Заменив sin3x по формуле
получим уравнение, в котором имеется только одна функция:
cos2x =------------------- или 3cos2x=l,
откуда получаем 2х = ± arccosy ф 2nk.
Ответ: х—±.4гarccos4 + nk, k^Z.h.
Пример 10. Решить уравнение sin6xcos2x =
= sin 5xcos 3x.
А Преобразуем произведения тригонометрических функ-
ций в суммы.
4- (sin4x + sin8x) = y (sin2x + sin8x),
откуда
sin4x=?sin2x
или
sin4x—sin2x —0.
По формуле разности синусов имеем
2sinxcos3x = 0.
Следовательно, sinx —0 или cos3x = 0, и поэтому
х = л/г или Зх = у -| лА, k Z.
Ответ: x = nk, x = -^ + -'4fe, k£Z.£x
Пример 11. Решить уравнение КЗsinx+ cosx= 1.
А Используя формулы
о . X X
Sinx= 2 SlHy COS-у,
, X . , X
COS X = cos2 -- —sin2.--,
1 • 9 * t » X
1 =Sin" у + COS2 у,
281
запишем данное уравнение иначе:
]/ 3 ^2siny cos
откуда
. 9 X . о X , 9 X
— Sin2 v = Sin2 -y + cos2
z z z
2 sin2у—2 К 3sin-^ соху —0.
Полученное уравнение является однородным относительно
sin у и cos у. Разделив обе части этого уравнения на
cos2 у, получим
2tg2|-2/3 tg| = O,
tg2 |-Кз tg|=O.
Вынося общий множитель tgy за скобки, получаем
tg у ! tg 4—V 3) = 0, откуда
или tg4 = K3,
у = arctg V3+ nfe,
х = 2arctg КЗ + 2:tk —
= k£Z.
О
Ответ'. x = 2nk, x=^-+2nk, k£Z.&.
О
Пример 12. Решить уравнение tgx-|-tg , =
ДПо формуле для тангенса суммы имеем
tg (д4. Л = tg^+tg 1 = 1±!£*
tg J = 0
f = ^-
x=2n/j, k£Z,
-2.
Теперь данное уравнение можно записать в виде
'S'+Ж—
откуда
tg2x = 3.
282
Из этого уравнения находим tgx = ± K4' Если tg х—-
то x = ~ + nk; если tgx = — КЗ, то х — — 4 + лЛ, где
о О
k$z.
Ответ'. х=±4+лА, k£Z.&
О
Упражнения
5.106. Решите уравнения:
1) sin (Л—Л) = 0; 2) sin ^2х+у) = 1{
3) sinx=X^-; 4) 2sinx= — 1^2";
5) sln2x=-p; 6) 2sin2x =—1;
7)sta|=—8) 2sin-i=r3?
3
9) sin a — —; 10) sin x=—0,25.
D
5.107. Решите уравнения:
1) cos 1 x+-5-) = 1; 2) \ / cos । 2x—) = — 1; \ 4 у
3) 2cosx=/2: 4) »S« — >2:
Уз 5) cos3x = -^—; 6) ros3„_’^;
7) cos(l— x)=b 8) О Q> ьо| >< 1 ф-|я 1 »a|-
9) cosf=-10) 5.108. Решите уравнения: cos 4r= —0,25.
1) tg 2x^/3; 2) tg2x=-/3:
3) tg{/3x+|)=-i^; \ v J О 4)3tg^3x+^-^-/3’3
5) ctgraj 6) ctg^-^Tj
7>IS(2*-Ts)"‘” 8) ctg (2x-t-45°)= ~ I j
9)tg(x-y) = 3; 5.109. Решите уравнения: 10) ctg x) = — 2.
1) sin? x—2 sin x—3 = 0; 2) 2 sin? x—5 созх4-1=0}
8) 2 sin’ , —x)—3sin + * 1 to II о
283
4) tg2 x |-2 tg х-~3 = 0; 5) ctg2 2x — tg — 2x ; — 2 = 0;
6) 2 cos2 % + 4 sin2 x = 3; 7) 2 (cos2 x—sin2x) = l;
8) sin4 x— cos4 x — 0,5; 9) 3 sin2 x—cos? x = 0;
10) tg4x—tg? x— 12 = 0.
5.110. Решите уравнения:
I) (sin x— I) tg x = 0; 2) 2 cos x ctg 3x = ctg 3x;
3) sin 3x4-sin x = 0; . 4) sin 5x = sinx;
5) cos4x-|-cosx = 0; 6) cos 2x = cosx;
7) cos 2x = sin I 6x — ); 8) cos (3x—2ii)H-sin(=—x
9) cos2x4-cos(n-|-6x) = 0; 10) cos3x = sinx.
5 111. Решите уравнения-
1) sinx—cosx = 0, 2) sinx— У 3 cosx = 0;
3) 3 sin2 x—7 sin x cos x4-2 cos2 x = 0;
4) 4 sin2 x-4-2 cos2 x—3 sin '2x = 0;
5) 4 sin2 x—2sinxcosx=l;
(Л \
- -J-x 1=2;
7) sin2x—cos2x=0,5; 8) sin2x—2J/.3 cos2x=0;
9) 2 sin2 x= )^3 sin2x; 10) sin 2x = 2 sin? x;
11) sin x-|-cos x= 1; 12) 4 sin x + 3 cos x= — 3,
5.112. Решите уравнения:
1) cos 4x cos 2x= cos 5x cos x;
2) sin 6x cos 2x = sin 5x cos 3x;
3) cos 2x cos 3x = sin 6x sin x;
4) cos 3x cos x~ sin 3x sin x;
5) 2 cos (a+x) cos (a—x)-|-0,75 = co.s 2a;
6) tg5x = tg3x; 7) tg4x = tg2x.
5.113. Решите уравнения:
1) 1 — tg2 x—-2 tgx; 2) 1 — 4 sin2 x4-sin? 2x = 0j
3) cos 2x= 2 sin2 x; 4) tgx = tg2x; 5) tg2x—3tgx=0|
С) 1—cos x—- sin2 7) 7 sinx—3cos2x = 0.
5.114. Решите уравнения:
1) cos Зх —cos x = 0; 2) tg — -[-x^ 4-1g x4-2 = 0;
3) tg ^x+jy-}-tg ^x—j^)=2ctgx;
4) К3 sin ^x-j- =sin — x^;
5) 8 sinx—l=4cos2x; 6) 2 sin2 x = 3cos x,‘
5,115. Решите уравнения:
1) 2 cos2 x-f-3 sin x = 0; 2) 3 sin x=2 cos? x;
2М
2) cos 2x-H cosx=0; 4) соз" (л—x)—2cosx=3;
5) cos? (1,5л—x)— 3sinx=4; 6) tgx—2ctgx=l;
7) 4sin2x—3cos2x=3,
5.116. Решите уравнения:
1) 2cos?x— 3 sin 2x= 0;
/3 \
2) cosx—cos (л—2x) = 0; 3) cosx—sin ( -g n-J-2x j ——1;
4) 1—ccs-2x = sinx; 5) 1 -|-cos 2x = cos x;
6} 3 cos x-|-5 sin-^-=— 1; 7) sinx—cosx = 4 sinxcos2 x;
8) tg у . tgx = tg^-y^x.
Глава 6
ПРОИЗВОДНАЯ
4 • * * ? *-
^о=гио)
Рис. 9G
§ 29. Производная
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Рас-
смотрим прямолинейное движение материальной точки и
протекание тока в электрической иепи и изучим связан-
ные с ними понятия.
Прямолинейное движение материальной
точки (задача о мгновенной скорости). Пусть
материальная точка М движется по прямой линии. На
этой прямой выберем определенное направление, начало
отсчета (точку О) и единицу масштаба (рис. 96). Каждо-
му моменту времени t соответствует путь s, пройденный
точкой М от точки отсчета О за время I, т. е. путь есть
функция времени:
/€[0; Л-
* Эта функция называется зако-
ном движения точки М.
Из всех движений мате-
риальной точки простейшим
является равномерное движение по прямой. Из курса фи-
зики известно, что прямолинейное движение точки назы-
вается равномерным, если точка за любые равные по дли-
тельности промежутки времени проходит равные пути.
Скоростью прямолинейного равномерного движения на-
зывается путь, пройденный точкой в единицу времени.
Из сказанного видно, что при равномерном движении
скорость движения постоянна. На практике поезда, авто-
мобили, пароходы, самолеты, ракеты и космические ко-
рабли равномерно и прямолинейно движутся лишь па
некоторых участках пути, а в общем случае их движение
неравномерное. При неравномерном движении точка за
разные, но равные по длительности, промежутки времени
может проходить разные пути. Следовательно, неравно-
мерное движение (в отличие от равномерного) нельзя
28&
полностью охарактеризовать указанием пути, пройденно
го точкой за тот или иной промежуток времени. Поэтому
для характеристики неразномерного движения точки ис-
пользуется понятие средней скорости.
Пусть материальная точка движется по закону з = /(/)»
/€[0, Г] (см. рис. 96). Если s0 = f(ta) и Si = f(4), то
средней скоростью движения за промежуток времени от
момента 4 до момента ti называется число
.. (/ . / \ s« f (4) f (4)
Pcp-Vcp(4» h)-h_to- ti_to .
Из курса физики известно, что свободное падение тел
г/2
происходит по закону s(/)=S2", где g—ускорение сво-
бодно падающего тела (#«9,8 м/с1), t—время (в секун-
дах), s—путь (в метрах).
Вычислим путь, прейденный телом за первую секун-
ду, т. е. за промежуток времени от момента 4 = 0 с до
момента 4=1 с;
s(l)~s(0) = (^—<^)«4,9 м.
Следовательно, средняя скорость движения тела за пер-
вую секунду равна »tp(0; 1) « 4,9 м/с.
Вычислим теперь путь, пройденный телом за десятую
секунду, т. е. за промежуток времени от момента 4 = 9 с
до момента 4 = 10 с:
s(10)-s(9) = (£^-^-}«93,l м.
Итак, средняя скорость движения тела за десятую секун-
ду равна оср(9; 10) «93,1 м/с.
Таким образом, свободное падение тел есть движение
неравномерное, так как за разные, но равные по дли-
тельности, промежутки времени тело проходит различные
пути. Заметим, что и средние скорости у свободно падаю-
щего тела в разные, но равные по длительности, проме-
жутки времени (например, от 4 = 0 с до 4 = 1 с и от
4 = 9 с до 4 = 10 с) различны.
Найдем среднюю скорость свободно падающего тела
за промежуток времени от начала падения, т. е. от 4 = 0 с
до момента 4 = 10 с:
v /О- s 5
Рср щ_о
g-io2
2
g-02\
2 J
• ^«49 м/с.
287
Сравнивая средние скорости оср(0;. 10) «49 м/с,
оср(0; 1)«4,9 м/с и иср (9; 10) «93,1 м/с, видим, что
средняя скорость для всего промежутка времени от /0— 0 с
до /к=10 с отлична от средних скоростей для первой и
последней секунд из указанного промежутка времени.
Итак, если точка движется неравномерно, то, зная
среднюю скорость для некоторого промежутка времени,
невозможно установить скорость в какой-либо момент
времени из этого промежутка. А это значит, что средняя
скорость не может полностью характеризовать неравно-
мерное движение, для его характеристики вводят так
называемую мгновенную скорость.
Пусть точка движется по закону s = f(l), Т].
Тогда за промежуток времени длительности t—19 между
моментами времени ta и t точка проходит путь, равный
/(/)—со средней скоростью
► »о
Очевидно, что средняя скорость оср(/0; 0 тем полнее ха-
рактеризует движение за промежутки времени от ta до
t, чем меньше Длительность этого промежутка. Предел
средней скорости за промежуток времени от /0 до / при
t, стремящемся к ta, вызывается мгновенной скоростью
v(tt) в момент времени ta, т. е.
и (/0) = lim ucp (/0; t) — lim
м, ‘~ta
Пример 1. Найти скорость в момент времени %
свободного падения тела.
А Так как свободное падение тела происходит по за-
лг?
кону то
p(Zc) = lim
$(0-гз(<о)__и 2________2
t-ta t~t9
Q = gla.
Итак, при свободном падении тело движется сс скоростью
Д
Пример 2. Лифт после включения движется по за-
кону
S (0^1,5^+ 2^+12,
288
где s—путь (в метрах), / — время (в секундах). Найдем
мгновенную скорость в момент времени t0.
/ХПо определению мгновенной скорости получаем
„ (У _ п m _11 m (>«-'-2>Tia)-(:.5(;+2...+i2) =
м, м„ l~‘o
= lim lim (1,5 (t + /0) + 2) = 3/0 + 2.
M, 1 — f0 M,
Следовательно, лифт после включения движется со ско-
ростью о(/) = 3/ + 2.Д
Протекапие тока' в электрической цепи
(задача о мгновенной величине тока). Пред-
ставим себе электрическую цепь с некоторым источником
тока- Обозначим через q = q(t) количество электричества
(в кулонах), протекающее через поперечное сечение про-
водника за время t. Тома q(tL) — q(ta) есть количество
электричества, протекающее через указанное сечение за
промежуюк времени от момента ta до момента 4. Сред-
ней силой тока /ср за указанный промежуток времени
называется число
г __J (f • / \________Я (£*)— (/о)
1 ср 'ср\2 * 4о> 41/ - _f
В случае постоянного тока средняя сила тока /ср бу-
дет одинаковой для любых различных, но одинаковых
по длительности промежутков времени. Если в цепи пе-
ременный тек, то /ср будет различней для различных,
но одинаковых по длительности промежутков времени.
Поэтому для характеристики цепи переменного тока вво-
дят понятие мгновенной силы тока в данный момент
времени: мгновенной силой тока I (/0) в момент времени ta
называется предел (если он существует), к которому стре-
мится средняя сила тока за промежуток времени от t0
до t при t, стремящемся к /0, т. е.
/ = lim/cp(/0; /) = lin-/q
2. Производная функции. В рассмотренных выше за-
дачах речь шла о мгновенной скорости движения и о
мгновенной силе тока. Введение этих понятий происхо-
дило с помощью некоторого предела. Можно привести
еще немало задач, для решения которых также необхо-
димо отыскивать скорость изменения некоторой функции,
например нахождение линейной плотности неоднородного
Ю Алгебра, ч. I 239
стержня, теплоемкости тела при нагревании, угловой ско-
рости вращающегося тела.
О п редел е н и е. Пусть задана функция f (х), х£(а-, Ь),
и пусть х0—некоторая точка интервала (а; Ъ) Предел
lim
х^х„ х-х,
называется производной функции f (х) в точке хв и обоз-
начается f (х0).
Таким образом, по определению,
/'(x0) = !im (1)
Л Л0
Функция, имеющая производную в некоторой точке, на-
зывается дифференцируемой в этой точке.
Согласно определению предела (см. § 19) равенство (1)
можно записать в следующем виде:
х - - х0
где а(х)—>0 при х—» х0. Следовательно,
I (х) -1 (хф = ([' (л0) + а (х)) (х—х0), (2)
где а(х) — >0 при х—>х0, или
f(x) = j (хф + / ’ (хф (х—хф + а (х) (х—хф, (3)
где а(х)-->0 при х—► х0.
Формула (3) играет важную роль как в курсе мате-
матического анализа, так и во многих разделах естест-
вознания.
Используя понятия приращения аргумента и функции,
определение производной формулируется следующим об-
разом: производной функции f(x) в точке хв называется
предел отношения приращения функции А/2 (хф в точке х0
к приращению аргумента Ах, когда приращение аргу-
мента стремится к нулю.
Производная функции y = f(x), х£(а; Ь), в точке х
обозначается через f (х) или у' (читается: «эф штрих в
точке икс» или «игрек штрих»). Итак,
Г (х) = lim = lim (4)
Часто для обозначения производной используется символ
df , , ,
^читается «де эф по де икс»).
290
Операция нахождения производной от данной функ-
ции называется дифференцированием. Происхождение та-
кого названия можно Связать прежде всего с тем, что
до перехода к пределу рассматривается отношение раз-
ностей, а разность на латинском языке обозначается
словом differentia. Функция f(x), Ь), имеющая в
каждой точке интервала (а; Ь) производную, называется
дифференцируемой на этом интервале.
Возвращаясь к задачам, рассмотренным в п. 1, можем
сказать следующее:
1) мгновенная скорость движения v(t) в момент вре-
мени t есть производная от пути по времени, т. е.
t,(0 = ^)==s'(0;
2) мгновенная сила тока / (/) в момент t есть произ-
водная от количества электричества q(t) по времени, т. е.
3. Вычисление производной на основе ее определения.
Исходя из определения производной, сформулируем сле-
дующее' правило нахождения производной функции в
точке.
Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке
х0 нужно:
1) найти разность f (х)—/(х0);
I (х) — 1 (х0)
2) наити отношение --------;
X — Хо
3) найги предел этого отношения при х—*л.о.
Поясним это правило нахождения производной на
примерах.
Пример 1. Пусть /(х) = с, x^R, где с—некоторая
константа. Найти производную f (х).
Л 1) Находим разность
f W—= с=0.
2) Находим отношение
I (х) — [ (х,0 о 0
х— х0 х^- Го
291
3) Находим предел
Пт lim 0 = 0,
x-ix, х Х° х-+ха
»
получим f' (х) = (с)' =0.
Итак, производная постоянной равна нулю. А
Пример 2. Найти производную линейной функции
/ (x) = kx±b.
А 1) Находим разность
f (x)—f (х„) = (kx + b)—(kxt + b) = k (x— x0).
2) Находим отношение
(Xc) __ k (x—x0) _k
x—xa X—x0
3) Предел этого отношения для любого х0 равен k.
Итак, f! (хс) = k. А
Пример 3. Дано f(x) — x3, x£R. Найти f (х),
А 1) Вычисляем разность
/ (*)—/ М — *о <= (х—х0) № + -В Л»)»
2) Находим отношение
Г (x',—f (Хс) _ (X—ЛС) 'X2-) ХХС t-Хб)_
X—Хо X—Хс
х2 + хх0-]-х%.
3) Вычисляем предел
lim (х2 + ххо-[-хь) — Зхо.
Таким образом,. f'(xc) = 3xo. Так как функция f(x)==x3
имеет производную в любой течке x — x0^R, то будем
писать (Xs)' = Зх2, А
4. Непрерывность дифференцируемой функции. Уста-
новим необходимее условие существования производной.
Теорема. Если функция f(x) имеет производную в
точке х0, то она непрерывна в этой точке.
□ Но условию теоремы функция f в точке ха диффе-
ренцируема. Как известно, для функции, дифференциру-
емой в точке, имеет место следующая формула (см. фор-
мулу (3) в п. 2)з
/ (х) = f (Хэ) + (/' (х„) + а (х)) (х—хс), (1)
292
где а(х) —>С при х —>-х0. Переходя.к пведелу прих—*хе
в равенстве (1), получаем
Цш /(х),= /(х0),
Х~>Х0
что и означает непрерывность функции f в точке х0. £]
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что
если функция не является непрерывной в некоторой -/очке,
то она в этой точке не имеет
производной, т. е. непрерыв-
ность в точке—необходимое
условие дифференцируемости з
точке. Однако следует заметить^
что непрерывность функции в
точке не является достаточным
условием существования про-
изводной этой функции в рас-
Рис. 97
смат-риваемой точке, т. е. из
непрерывности функции в точ-
ке нс следует ее дифференцируемость в этой точке.
Пример. Найти производную функции
f(x) = |x|.
А Так как f (х) — х при х > 0 и f (х) = — х при х < О
(рис. 97), то, используя формулу для производной ли-
нейной функции, получим
Г(х) = (|х|)' = {
1, если х > О,
— 1, если х < 0.
Докажем, что функция f (х) = ! х | в точке х = 0 не
имеет производной.
Если х<0, то f(x) = —х, и поэтому
lim
0
Ш-НО)
х—0
= lim
о
1.
—х
X
Если х> 0, то /(х)=х, и поэтому
Hm = Пт £ = 1.
*->+ о х-*+ о *
Следовательно, функция f(x) = [x[ не имеет производ-
ной в точке х=О. А
293
Вопросы для контроля
1. Что называется производной функции в точке?
2, Какая функция называется дифференцируемой?
3. Чему равна производная постоянной?
4. Сформулируйте необходимое условие дифференцируемости функ-
ции.
5. Приведите примеры функций, которые не имеют производной
в некоторой точке.
Упражнения
6.1. Самолет пролетает путь от Москвы до Ташкента, равный
2736 км, за 3,8 ч. Определите среднюю скорость движения самолета.
6.2- Расстояние между Москвой и Новосибирском 3200 км. Сад
рый поезд проходит это расстояние за 64 ч. Определите среднюю
скорость движения поезда
6.3. Точка движется прямолинейно по закону
/у/2
s(l) = tV+2i-
(здесь и везде дальше s — путь в метрах, i— время в секундах). Най-
дите мгновенную скорость этой точки:
1) при / = 0;
2) при t — ta.
6.4- Точка движется прямолинейно по закону
s(/) = 3Z1 2 —2/-J-3.
Найдите мгновенную скорость этой точки
1) в начальный момент времени Z = 0;
2) через 5 с после начала движения;
3) з момент времени / = 2с.
6.5. Найдите мгновенную скорость тела в момент времени
движущегося по закону:
1)s(/) = 2/7; 2)S(1) = -L.; 3) 5(/) = /Ч-К7.
О —I
6.6. Найдите производные следующих функций в точках х = х0,
х = 1, х = 5'
1) f(x) = x2; 2) /(х) = 2х2+1; 3) f (х) = (х-|- З)2;
4) / (х) = х3 * + 2х+ 1, 5) f (х) =
6) f(x)=l-х8; 7) f(x)=K7 —х2
§ 30. Производная суммы, разнести, произведения
и частною функций
1. Производная суммы и разности функций.
Теорема. Если функции и(х) и t>(x) имеют произ-
водные во всех точках интервала (а; Ь), то
(U (X) ± о (х))' = и' (х) ± v' (х)
291
для любого х£(а; Ь). Короче,
(и ± о)' = и' ± v'.
□ Сумму функций u(x) + v(x), где л С (а-, Ь), которая
представляет собой новую функцию, обозначим через f(x)
и найдем производную этой функции, исходя из опреде-
ления.
Пусть х0— некоторая точка интервала (а; Ь). Тогда
f(x0)= Игл
х-*х9
f (*)—/' fa) lim (» fa -I- V fa) — (u fa) + V fa))
x x0 X-f-X0 x x0
- llm «<-H.W+ Hn, +
X-+XQ Л Л° Х-+Хо л
Итак, /' (х0) =н' (х0) 4- у' (х0). Так как х0 — произвольная
точка интервала (а; Ь), то имеем
f (х) = (и (х) -|- v (х))' = и' (х) 4- о' (х).
Случай разности рассматривается аналогично g
Пример ы.
а) (х2 4 х 4 5)'= (х2)'-| (х 4-5)' = 2x4 1;
б) (х3 4- У х) = (х3)' + (1\) = Зх2 + -^= ;
2 у х
в) (х2 + 4х + 15)' = (х2)' 4 (4x4- 15)' = 2х-| 4.
Замечание. Методом математической индукции до-
казывается справедливость формулы
(их (х) 4- иг (х) 4- • • -н ик (х))' =-= и'; (х) 4 а', (х; ... 4 и,, (х)
для любого конечного числа слагаемых.
2. Производная произведения функций.
Теорема. Если функции и(х) и н(х) илкют произ-
водные во всех точках интервала (а\ Ь), то
{и (х) V (х))' = и' (х) V (х) 4- и (х) v' (х)
для любого xQ(a-, b). Короче,
(uv)' =u'v+ ио'.
□ Обозначим произведение и (х)у (х) через / (х), х С (а; Ь),
и найдем производную этой функции, исходя из опреде-
ления.
Пусть х0 — некоторая точка интервала (а; Ь). Тогда
Um f lim
X-TXtt Х~ Х° X-fXa
х—х0
295
Далее, так как
и (х) и (х)—и (Хс) V (х0) ,=
= (и (х)—и (хо)) V (х) + и (х0) (о (х)—V (х0)),
то
Г - lim V(X) + и(х,))
и, следовательно,
/' (Хо) = v (х0) и' (х0) + и (х0) v’ (хй).
Так как х0 —произвольная точка интервала (а; Ь), то
имеем:
f (х) = (и (х) v (х))' = и' (х) v (х) 4- и’ (х) и (х). о
Пример ы.
а) ((х + 5) (х—8))' = (х + 5)' (х—8) + (х—8)' (х4- 5) =
= 1 -(х—8) + 1 fx 5) = 2х—3;
б) (х2(2х—7))'= (х2)' (2х—7) + х2(2х—7)' =
= 2х (2х— 7) + ха -2 =6х* — 14х;
в) f/х (5 — Зх)) =₽ ( Кх)' (5—Зх) + У х (5—Зх)' ;=
Следствие. Постоянный множитель можно выно-
сить за знак производной}
(«/(*))' — af (х).
□ Применив теорему о производной произведения к
af (х), где а — число, получим
(а/ (х))' = (а)4 / (х) + af (x) = G-f (х) + af (х) = af (х).
При меры.
а) 3 j — з (х ) — з х,
б) + 5хY = (уУ + (5х)' = 1 (х’)' + 5 (х)' = х’+ 5.
3. Производная частного двух функций.
Теорема, Если функции и(х) и v (х) имеют произ-
водные со всех точках интервала (а; Ь), причем о(х)^0
для любого х^(а\ Ь), то
/ и (х) X' _ и' (л) у (л/ — „ (х) ъ' (х)
\ V (х) J V? (х)
296
для любого х£(а; Ь). Короче,
/ u_y _vu'—иу*
\ v J V? *
□ Обозначим частное через ] (х) и найдем /'(х),
используя определение производной.
Пусть х0—некоторая точка интервала (а; Ь). Тогда
f(x0)=litn = =
ЛГ-Хо х~ хо V W°W (X~ *о)
1 jjm »(х) V(X0)—U(x0)o(x)
х~хо
Далее, так как
и (х) v (х0) — и (х0) и (л) =
= (и (х)—и (х0)) v (х0) + и (х0) (у (х0) — v (х)),
то
rw=i“«
V v*0/ x—^Xq » **0 * «
и, следовательно,
Г(Л») =
V (х,) и' (х0) — и (xai у' (хд)
№)
Так как х0 — произвольная точка интервала (о; t), то в
последней формуле ха можно заменить на х. □
Отметим частный случай доказанной формулы:
\ V ) V?
Примеры.
/14-9Х\'- (х+1)(1+9х)'-(1+Эх) (х±]Г_
’ \*+1 ) (х+<)2
(х+1).9 — (Н-9х)-1 8
fn ( х3 У _ (4 —х) (х3)' —х3 {4 —«)'_
°' \4—х/ ~ (4 —х)2
_ (4—х)3х*—х3 (—1)___12х2 — 2х3
(4^х)5 “ (4—х;2 •
Вопросы для контроля
1. Сформулируйте теорему о производной суммы (разности) двух
функций.
2. Сформулируйте теорему о производной . произведения двух
функций.
3. Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.
297
Упрая:некпя
6.7. Найдите производные следующих функций:
1) 7(х) = х4-1; 2) g(x) = x*4-x4-l: 3) Л (х) = Ух 4 №-}-3;
4) v (х) — х3 4- У х ; 5) у (х) = х34-х2 Ц-У х 4-4;
6) и (х) = 1 4-4x4-х3; 7) w (х) = Зх-|-41 -|-х2-j-x3.
6.8. Найдите производные следующих функций:
1)/(х) = —8х; 2) f (х)=|х; 3) f (х)=— х;
4) f (х) = 3х4-]/ х — Зх2; 5) f (х) = 1 — 5х— Зх34-4 Ух ;
6) f (х) = (х—9) (х4- I); 7) f (х) = X3 (х- Ух);
8) Ш=у( x’-yfrj; 9) f (х) = (х2 —Зх—1) (1 — 4х—Зх3),
6.9. Докажите, что производная разности двух функций равна
разности их производных, если эти производные существуют.
6.10. Докажите формулу для нахождения производной от произ-
ведения трех дифференцируемых функций:
(uvw)' — и’VW 4- UV'w 4- uvw'.
6.11. Найдите производные в точке х=1 следующих функций:
____________ 1 у2__ 1 уЗ
I) f (Х) = ^— ; 2) g (х)=£-^- ; 3) !г (х)=-,— ъ- ;
' ' ' - 5х 4- 4 ' s ' 4 — 8х ' х2 — 2х
, Ух ,. ,, Ух д Ух-2х3—5х3
4) V W=3K-? ; 5) ц(х) = -?--у- ; 6) ^(х)= х .
6.12. Докажите, что если функция f (х) дифференцируема и
I (х) j. 0, то для любого числа k справедлива формула:
/ k у___—kf’ (х)
\П*У ГУ)
§31. Произропная сложной и обратной функций
1. Сложная функция. Понятие сложной функции ши-
роко используется в математике. Со сложными функциями
мы уже неоднократно встречались в курсе математики
при рассмотрении различных вопросов.
Пусть заданы две функции y = g(x) и г--ср(у), причем
область определения функции ср содержит множество
значений функции g. Функция, заданная формулой
г = <-р(§(х)), называется сложной функцией, составленной
из функций g и <р, или суперпозицией функций g и ср.
Например, функция z = 31g(l 4-№) есть сложная
функция, составленная из более простых функций
z = 31gy и у= 1 4-х2.
Подобным же образом можно рассматривать сложные
функции, являющиеся суперпозицией более чем двух
298
функций. Например, функция z = lg(l + I/x) может быть
рассмотрена как суперпозиция следующих функций:
г "1g о, v= 1 + у, у = 1^х.
Пример. Для функций g (х) — х2 4-} гх и <р (х) = 1g х +
Ь х3 + 1 составьте g (ф (х)) и ф (g (х)).
Д Используя определение сложной функции, получаем
g (ср (х)) = (1g х + х3 + 1 )2 -г /igx + x?+ 1,
<₽ (g (*)) = 1g (к2 + /*} + (x2 4- r x)3 +1,4
Рассмотренный пример показывает, что результат
суперпозиции двух различных функций зависит от по-
рядка, в котором эти функции следуют, т. е. вообще
говоря, <p(g(x))^g(<p(x)), если <p(x)=^g(x).
2. Производная сложной функции.
Теорема. Пусть функция y=g(x), xg(a; ft), имеет
производную в точке х0 g (a; ft), в функция г — <р(у) опре-
делена на интервале, содержащем множество значений
функции g, и имеет производную в точке у-—ц(хф. Тогда
сложная функция f (x) = <p(g(x)) имеет производную в
точке х0, которая вычисляется по формуле f (х0) =
= ф' (Vo) g'M иЛ1), опуская значения аргументов,
dz dz dy , ,.
dx dy dx' ' *
□ Доказательство теоремы проведем для случая, когда
функции ф н g есть строго монотонные функции. Рас-
смотрим равенство
/(х) —/(х0) _ <р (g (х))- <р ,
х—х0 х—х0 * ' ’
По условию теоремы z/ = g(x) и r/9 = g(x„), поэтому
g(x)—ё(хф = у — у0 и равенство (2) можно записать так:
/ (х)—/ (х0) _ _ <рф)—cp(t/o) . gW—g(x0). .g
x—x0 y — Уй X,—x0 * ' '
Так как g(x) имеет производную в точке х0, а значит,
и непрерывна в этой точке, то
y^g(x)-^yQ при х—>х0,
т. е.
у—^Уй при х—>х0. (4)
Найдем теперь производную сложной функции, ис-
пользуя определение производной и равенства (3) и (4):
lim Н*)-Н*о). ]im <pfe)—<р(уо) lirn ?W-gW. .
X-*X„ x~'x0 X-+Xo У Уо X-»-Xa X Xo
'1аким образом,
f (хп)--=(р' (y0)-g' (x.)
или, в других обозначениях,
dz _ dz dy
dx dy" dx ' 1
Пример 1. Найти производную функции f (х) —
= (№ + 3x4-10)2.
Л Будем рассматривать данную функцию как сложную,
а именно, как суперпозицию функций г —у2 и у — х2 +
4-3x+J0. Тогда, согласно формуле (1), получим
^^ = Ч'55=(Л' (х’ + 3х + ,0>' =
= 2у-(2х+3) = 2(х2 + Зх+Ю) (2х + 3).Д
Пример 2. Найти производную функции h (х) =
= (Ау.
\х 1 /
А Представим данную функцию как суперпозицию
двух функций г—у3 и у =
Согласно формуле (1) получим
h' (х} — — • ~ — (u3Y (—~' — Зг/2 1 — д
п ^~dy dx~(y ' U-hJ ~ У (х+1)?‘"(х+1)1'а
3*. Производная обратной функции.
Теорема. Если функция f(x), xg(c; &), и ее обрат-
ная функция /’“’•(«/) имеют производные, то
df-' (у). 1 п
dy df (х) • И
dx
Опуская значения аргументов, получаем
dx 1 ,1
— = -т- или X =-Г,
dy dy у'
dx
□ Рассмотрим сложную функцию /-3(/(х)), х£(а; Ь).
По определению обратной функции,
ГЧ/(х)) = х
300
для любого х£(а; Ь). По теореме о производной сложной
функции имеем
#(*) t
dy dx ’
Отсюда и следует формула (1). □
Пример. Найти- производную функции у — х1^,
х > О
А Данная функция является обратной к функции
х=,у\ у > 0. Следовательно,
^==J_-=-L=_!_=1x-2/3 а
dx dx 3y'i зх2/з 3 Л ’ “
dy
Вопросы для контроля
1. Какую функцию называют сложной?
2. Приведите примеры сложных функций.
3. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
4. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
Упражнения
6. 13. Для заданных функций f (х) — хг.-\-Зх—1, g(x) = lgx-|-3
и /t (х) = V~X 4- составьте f (g), f (h), g(h), g (J), h (f), h (g).
X -j- 1
6. 14. Заданные функции представьте в виде суперпозиции более
простых функций:
1) = / ж?+3*+4 ; 2) У=~£—; 3) у = Кх—2 /Д ;
4) y = lg(3x2+x4-4); 5) у= —-_J ; 6) у= } —5;
}<3- igx lg(x24-x3)’
_ х+1 о. УД
7) у—-----==-----; 8) у =-------—-----------,
3+K*-Hg* 4—Kx-Hg(J+х)
6.15. Найдите производные следующих функций:
1) у = (23-t-15x4 х3)2; 2) у=(х2-3)3;
Щ »+* V. x24-x-bl м
\ ха—х/ ’ \х3 — Зх2 — 5х J
§ 32. Производные некоторых элементарных функций
1*. Пределы, связанные с числом е. В,п. 9 § 18 мы
доказали, что
lim fl 4-— У
существует, и этот предел обозначили буквой е.
301
Так как [z] z < [z] + 1, то, положив n = [z], полу-
чим неравенства
(1 +
1 y^f1+lYc(l + iy+I
л+1/ \ ‘ \ п /
для любого z> 1. Отсюда и из теоремы о пределе про-
межуточной функции, используя результаты п. 9 § 18,
заключаем, что
Пш । l + jY =е. (1)
Заменой переменной у =—z из формулы (1) можно
вывести
lim
у -* - «о
В формулах (1) и (2) сделаем замены z=l/x и у=1/х
соответственно. Так как х—О при z-^ + оо и при
у —* — оо, ТО
lim 11 + х)1/х = е. (3)
х -*о
Из формулы (3) следует, что
lim М:.+ *) = 1. (4)
х-> О х
Действительно, так как
lim •PA.' .tA = lim In (1 -I- x)*4
x ->• 0 X x -> 0
то, используя непрерывность логарифмической функции
и формулу (3), получим
I’m In(1 + x)1/Jt = Ine = 1.
x -> О
Далее, из формулы (4) следует
lim ^7^= 1. (5)
<-> о 1
Действительно, положив 1 = 1п(1 4-х), получим
е<-1
lim-----
/—О 1
lim । = 1.
х_>о ln(‘+x)
2. Производная показательной функции Рассмотрим
функцию f(x)—e*, x£R.
302
Теорема. Функция ех имеет производную в каждой
точке числовой прямой, и ее производная вычисляется по
формуле
(е*)' —(1)
□ Пусть х0—некоторая точка числовой прямой. Тогда
f(х0)= lim = lim е--^.
X -* Х„ Х Х0 Х->- Х„ Х Хо
Используя формулу (5) п. 1, отсюда получаем
, рХ-Хп__1
/ (х0) = е*° lim -----= ех°.
1 v 07 х-.х„
Итак, f (х0)=е*<>.
Так как х0—произвольная точка числовой прямой,
то в последней формуле х0 можно заменить на х. Таким
образом, имеем
f (х) = (ех)' —е* Я
Следствие. Показательная функция f ix) — ax, x£R,
где а > 0, а =/-• 1, дифференцируема в каждой точке число-
вой прямой, и ее производная вычисляется по формуле
(ахУ — ах In а. (2)
□ Используя формулу производной сложной функции,
а затем формулу (1), получаем
f (х) = (е* in °)' = ех |п ° (х In а)' = ё* 1п а In а = ах In а.
Таким образом, (ах)' = ах Ina. 3
Пример 1. Найти производную функции y = exU 1.
Л Используя формулу производной сложной функции
и формулу (1), находим производную данной функции:
у’ = (е*2+1)' = ех‘‘+1 (х2 4- 1)' = ех‘^1 • 2х. А
Пример 2. Продифференцировать функцию t^S^+^+i.
А Производную данной функции находим, используя
формулу производной сложной функции и формулу (2):
у’ =,(88Ж’+Л + 1)' ^узх2 + л + 1 |п8-(3х2 + х+ !)' =
= 8’-*г*ж*1 1п8.(6х+ 1). А
Пример 3. Найти производную функции
у — (ха + 4х 4- 16) 4 4 % +Х+Зф
ЗОЭ
Л Используя сначала формулы для производной про-
изведения и сложной функции, а затём формулу (2),
получим
г/ = (х»+4х+ 16)' 4Тх2+х+3+’
+ (4Тх2+х+3) (хз + 4х+16) =4’5’x2+x+3.(3x2+4) +
Ч-4^‘+х+3-1П4-(-|-х2 +х + 3у(х3 + 4х+16)=.
ь=4Тл+х+1,/зЛ2+4+]Л4 у х + 1) (х34- 4х + 16) А
3. Производная логарифмической функции. Рассмотрим
функцию
у — logax, х€/?+> где а>0, а^1.
Теорема. Логарифмическая функция дифференци-
руема в своей области определения, и ее производная
вычисляется по формуле
□ Рассмотрим сначала функцию у — \с\х, х£/?+. Най-
дем ее производную, исходя из определения и используя
формулу (4) из п. 1:
,= liffl 1п(х+^)-1пХ
J Ах -> О Д*
= Нт —^-т—
Дх->0 Дх
Таким образом,
(1пх)'=у
(О
Рассмотрим теперь логарифмическую функцию y-^!cgox,
где я>0, а-И=1. Как известно, loge х — , и поэтому
= (2)
Пример 1. Продифференцировать функцию
у = In (х? ф Зх + 9).
304
А Используя формулу производной сложной функции
п формулу (1), получаем
+ + .Л
Пр и мер 2. Найти производную функции
У = log» (*3 + Зх2 + 4х + 2).
А Производную данной функции находим, используя
формулу производной сложной функции и формулу (2):
У' = (log2 (х3 + Зх2 4- 4х + 2))' =
(х3+ 3x4-4x4 2)' .. Зх2-| 6x4-4 д
“(х3 + 8х2 + 4х + 2; Ini “'(х3+Зх2 + 4х4-2) 1п2 ’ А
Пример 3. Найти производную функции
у = (х2 + 3) ln(2x+ 1).
Л Используя формулы для производной произведения
и сложной функции, а также формулу (1), получим
у’ = (х2 + 3)' in (2х Ai) + (х* + 3) (In (2х 4-1))' =
= 2х In (2х + 1) + (х2 + 3) =
= 2xln(2x+l) + ^g±^.A
4. Производная степенной функции. Рассмотрим функ-
цию у = ха, х €/?-,, где а (;/?
Теорема. Степенная функция дифференцируема
в своей области определения, и ее производная вычисляется
по формуле
(х»)' =аха"1.
□ Пусть у = х“, хё7?+, где а£/?. Тогда
__gtx In х
и поэтому, согласно правилу дифференцирования сложной
функции,
(Xй)' = (е« i« *)' - еР In х (a In х\ = хР — = ах«“ х,
т. е.
(x“)' = ax“^.S (1)
Замечание. Для некоторых а, например натураль-
ных, степенная функция определена на всей числовой
305
прямой. Положим х =— г, г > 0, получим х“ = (—z)a ~
=--(—l)“z“. Так как постоянный множитель можно выносить
за знак производной, то, используя формулу (1) и теорему
о производной сложной функции, получаем
(х“)' = ((—1)“?“)' = (—1)« (г«)' = (—l^az^’z' =
= (—1)“ • az0-1 • (— 1) = (— 1 )a-]za-"a • (—1 )2 = ccx»"1,
t. e.
(x“)' = axa~1.
Таким образом, и для этого случая верна формула (1).
Примеры,
а) Пусть у = х, тогда у' — (х)' =• 1 -х1-1 = 1;
б) пусть у = х1а, тогда у' — (х10)' = Юх10-1 = Юх8;
в) если у — У х, то у = (И-*) = ( х 2 ) = 4- х 9 1 =
г) если y — xv то у' = (:д 8) — V Зх1/
д) если z/={/x4, тс (/’ = (] zx4) = (х4/9)'=-| х*1/4;
ч 1 ' / • V
е) пусть у =-- - ,—-, тогда у = ( п г~— —
’ у У З/х+1 <3 К*+1/
= =|-(-|)(х+1Г^"1(х4-1)' =
= -1(х+ 1)-’/М =-4(х+ l)-s/2.
Из формулы (1) для случая а = п, где n$N, и пра-
вила дифференцирования суммы следует, что многочлен
есть дифференцируемая на числовой прямой функция, причем
(аохп -|- ajX"-1 + . • + «„_1Х + аф' =
= пайхп~у + {п— аххп~г + ... +a„_f. (2)
Так как рациональная функция представима в виде
частного двух многочленов, то из формулы (2) и теоремы
о производной частного следует, что рациональная функция
дифференцируема во всей своей области определения.
Примеры.
а) Пусть z/= х3 J-Зх? + 10х’, тогда у' = Зх2-]- 15х4-г70х’;
б) если у= 13х44 х + ^- — -Д , те z/ = 52x3-]- 1 —
— 16х-э90x“J1.
306
5. Производная синуса, Рассмотрим функцию у = з!п х,
x^R
Теорема Синус есть функция, дифференцируемая
в каждой точке числовой прямой, и ее производная вычис-
ляется по формуле
(sinx)' — cos X.
□ Напомним (см. п. 1 § 26), что
. sin ос 1 /д -z I i
cos а < — - < 1, если 0 < а, < -у.
Из этого неравенства при а —> 0 получаем
1 * sin СС 1 /1 \
= (1)
а-> 0 а
Согласно определению производной имеем
, . ,, sln(x-l-Ax)— sinx
(sinx) — lim — ---г---------.
Дх->- о &х
Заменим разность в числителе на произведение по
муле.
Q о а 4-В а—(3
sina—sinp = 2cos—y-i-sin—.
Тогда
„ I . Лх\ , \х
2 cos ( г4—>- sin —
(sinx)'= lim ---------------v ~ '---------
вх -> О ax
.По теореме о пределе произведения имеем
sir
(sinx)'= lim cosfx-|—lim —г'~-
v \ 2 1 u-o A?
2
В силу непрерывности косинуса
lim cos f x —— 1 = cos x.
ДХ -> 0 \ 2 I
Ду
Из формулы (1) при а = -9— получаем
фор-
lim
-> О
. Дх
sin —
Дх
2
= 1.
Следовательно,
(sinx)'=^cosx. 0
307
Примеры.
a) (sin 5х)' = cos 5х (5х)' — 5 cos 5xi;
б) (sin 3xs)' = cos Зх? (Зх2)' = 6r cos Зх2;
в) (sin3 2х)' = 3 sin2 2х (sin 2х)' =
= 3 sin2 2х cos 2х (2х)' = 6 sin? 2х cos 2х.
6. Производная косинуса. Рассмотрим функцию у =
— cosx, xg R.
Теорема. Косинус есть функция, дифференцируемая
в каждой точке числовой прямой, и ее производная вычис-
ляется по формуле
(cosx)' =— sinx.
□ Так как cosx = sin^y—х; , го, используя формулу
производной сложной функции, получаем
(cosx) = ( Sin I -у—Xj =( 2—xj cosf 2—x| — — sinx. Ш
Примеры.
a) (cos 3x)' = — sin 3x (3x)' = —3 sin 3x;
6) (cos 3x2)' — — sin 3x2 (3x2)' = —6x sin 3xa;
в) (cos2 3x)' = 2 cos3x (cos3x)' =
= 2 cos 3x (— sin Зх) (3x)' = —3 sin 6x.
7. Производная тангенса. Рассмотрим функцию
f(x) = t8*> X£R> х=/--±у + зт.
Теорема. Тангенс есть функция, дифференцируемая
в своей области определения, и ее производная вычисляется
по формуле
(igx)' = ——.
□ По определению,
Применим формулу
Тогда
Л, cosx(sinx)' — sin х (cos х)'
(tg^) — —
__cos x cos x—sin x (— sin x) 1
cos2x cos?x ’
308
Таким образом,
Примеры.
а) (tg Зх)' = —(Зх)' — —-?=- 5
' ' & " cos2 Зх ' ' cos2 Зх
б) (tg3 2х)' = 3 tg2 2х (tg 2х)' « 3 tg2 2х —(2х)' =
__sin2 2х
~ J cos4 2л ’
в) (tg2 (Зх2 + х))' = 2 tg (Зх2 + х) (tg (Зх2 + х))' J
=2 tg (Зх2 + х) ссз, (;и, _j_ х) (Зх? + х) = 2 (6х + 1) •
8. Производная котангенса. Рассмотрим функцию
f (х) =5 ctg х, х $ R, пп.
Теорема. Котангенс есть функция, дифференци-
руемая в своей области определения, и ее производная
вычисляется по формуле
(ctgx) =----Г-5-.
' & ' sin2 х
□ Так как ctgx = tg । ~—х) , то
(ctgx)' = (tg(y—x)} =
.Примеры.
1 4
a) (ctg4x)^-^nj(4x)
б) (ctgi5x)' = 3ctg25x(clg5x),=
= 3 ctg2 5х^-(5х)'= —15 ;
ь sin? 5х4 ' sin4 5х *
в) (ctg® х2)' = 5 ctg4 х2 (ctg х2)'=
^5ctg4x2-^ (х2)' = -10х .
9. Производная арксинуса. Рассмотрим функцию
у — arcsinx, xg[—1; 1].
Теорема. Арксинус есть функция, дифференцируемая
в каждой точке интервала (—1; 1), и ее производная
309
вычисляется по формуле
, • ч' 1
i arcsin X; ——^=-.
' ’ } 1-х2
□ Функция
y = arcsinx, х(Е[—1; 1], (1)
является обратной к функции
x = siny, [ — у! у]- (2)
Найдем производную функции (1) на интервале (—1; 1)
до правилу дифференцирования обратной функции!
/ • v 1 1
(arcsin х) — г— =-----.
' - (sin у) cos.«
Выразим теперь cos у через х. Так как
cos у =4 1 —sin’y,
то, учитывая равенство (2), имеем
cos у = V1 —Xй.
Перед корнем следует брать знак «+», потому что
cosy на интервале (—положителен.
Таким образом,
(arcsinх)' = * ..г . Й
У 1-х2
Примеры.
a) (arcsin ф х) — у . =>—_L —=
I ]_(/~х)2 2/ х / 1-х
_____1____.
= 2/х (1 — х) ’
б) (х3 arcsin х)' = (х3)' arcsin х + (arcsin х)' х8 —
А Х^
= Зх2 arcsin г 4—_______
/1-х2
10. Производная арккосинуса. Рассмотрим функцию
у = arccos х, х£[—1; 1].
Теорема. Арккосинус есть функция, дифференцируе-
мая в каждой точке интервала (—1; 1), и ее производная
310
вычисляется по формуле
V 1
। arccos х) =----—
У 1 — х2.
□ Функция
у arccos х, *(*[--!; 1], (1)
является обратной к функции
x-=cosy, уё[0; л]. (2)
Найдем производную функции (1) на интервале (—1; 1)
по правилу дифференцирования обратной функции:
, ,, 1 1
arccos х) =,---Г7 =---:—.
' (cos у) Sin у
Выразим теперь sin у через х. Так как
sin у = У1 —cos2y,
то, учитывая (2), имеем
sin у = V 1 —х2.
Перед корнем следует брать знак «+», потому что
sin у на интервале (0; л) положителен.
Таким образом,
(arccos х)' = —-7=1==-. Я
У 1 — х2
Примеры.
a) (arccosх3)' =--=------------т ;
' ' / 1 - х« К1 - х*
б) ((arccos х)3)'= 3 (arccos х)2 (arccos х)' = — — ^-°-s .
у 1 — X2
11. Производная арктангенса. Рассмотрим функцию
у = arctgx, х£/?.
Т еорема. Арктангенс есть функция, дифференцируе-
мая в каждой точке числовой прямой, и ее производная
вычисляется по формуле
(arctgx)' = -j-Д^.
□ Функция
у = arc tgx, х£/?,
(1)
311
является обратной к функции
x=tgy, у!у)- (2)
Найдем производную функции (1) по правилу дифферен-
цирования обратной функции:
(arctgx)'=jti^4=ieos’y.
Выразим теперь cos2 у через х, используя равенство (2).
Из равенства
1 + х2 = 1 -j- tg2 у— 1
° J cos.у
следует, что
. 1
COS2 У — -гл—2 •'
Таким образом,
(arctgx)'=Y^-.S
Пример ы.
1 > 9 у
a) (arctg (х2—3)) = j ,н/!_3)т(х2—3) = 'х4—6х2 + 10;
б) ((arctg ргх)3)' = 3 (arctg Их)2 (arctg j/’x)' =
3(arctg ./•-)< ". з (arctg /"?]*
i + (KT)2 2(1+х)У7
12. Производная арккотангенса. Рассмотрим функцию
у = arcc+g х, х С R-
Теорема. Арккотангенс есть функция, дифференци-
руемая в каждой точке числовой прямой, и ее производная
вычисляется по формуле
(arcctgx)' = —
□ Функция
^F=arcptgx, x£R, (1)
является обратной к функции
x = Hgy, у 6(0; л). (2)
Найдем производную функции (1) по правилу диффе-
ренцирования обратной функции:
(arcctg х)' — -—ф—г = — sin2 у.
' ь ' (ctg у) J
312
Выразим теперь sin2 г/ через х, используя равенство (2).
Из равенства
1 + х2 = 1 + ctg2y = —'-г—
1 ° J sin? у
• > 1
следует, что sin2 у =
* ~т~х-
Таким образом,
(arcctg х)' = —у—.ЕЗ
Примеры.
a) (arcctg х’)'=- 5
~ , Зх у 1 3(i-f-x2)—2х-3х
С) arcctg J — / зл * (i-j-x2)2 ~
"Ц 1 -1-х?)
3(1+х2) —6х2 3(х2—1)
~ х4+ 11х?+ 1 х4+ llx?4- 1 •
13. Таблица производных. В этом пункте собраны из-
вестные нам формулы дифференцирования.
1. (с') —О (с—константа).
2. {х^)' — 1хха~1, где ос (Е/£.
В частности, (х') = 1, (]/~х)' = —1 .
3. (ах)г = ах 1п а.
В частности, (ех)'=ех.
4. (Iogax)' = —г—.
' Ьа ' х 1п а
В частности, (1пх)' = у, (1g х)'х|0 .
5. (sinx)' = cosx.
6. (cosx)'= — sinx.
7- =
8. (ctgx)'=----г4—,
v ° ' Sill? X
9. (aicsinx)'= —-.
у 1 — x?
10. (arccos x)^-
11. (arctg
313
12. (arcctg х)' — — у—
13. (f (x) + g f (x)±g'(x).
14. (f(x) g (x))'= f (x) g (x) + f (x) g' (x).
1 г ( ' — f' (x) g ( <) — f (x) g’ (x)
\s«;
[6 df (g (*)) __ df (y) ' da (x) ,
dx dy dx
17 1
dy df (x) ’
dx
14. Производные высших порядков. Пусть функция
y=>f(X) определена на интервале (а; Ь), и пусть в каж-
дой точке этого интервала она имеет производную /' (х);
тогда f (х) можно назвать первой производной (или про-
изводной первого порядка) данной функции. Рассмотрим
функцию g (х) = f (х), xg(a; &). Если g(x) имеет произ-
водную в точке х0£(а; Ь), то эту производную называют
второй производной (или производной второго порядка)
данной функции / (х) в точке х0 и обозначают /" (х0) или
d1! (хр)
dx*
Короче, вторая производная—это производная от пер-
вой производной, т. е.
„ , d ! dy\ d2«
y=(y) или
(/'(x))'=/"(x) ИЛИ -л
v v n ‘ ' dx\dxj dx2
Производная от j" (x), t. e (/" (x))' = f" (x), называется
третьей производной (или производной третьего порядка)
данной функции f (х) и т. д.-Вообще n-й производной (или
производной п-го порядка) функции у = /(х) в точке х
(или на некотором интервале (а; Ь)) называется произ-
водная от производной («—1)-го порядка в этой точке х
(или на этом интервале (а; Ь)). Она обозначается
dnu dnl
=ГУ-, или /‘"'(х).
dxn dx“ ’ 1 ' >
Пример ы.
а) Если / (х) = х3 -|- Зх3 4- 1, то
f (х) = Зх2 + 6х, /'"(х) = 6х + 6,
(х) = 6, /'V (х) = /V (,v) с= ... «= /<«»(х) = 0;
314
б) если y = xlnx, то
у' == (х)' (In х) + х (In х)' = 1 • In х + х • у — !п м 4-11
/=(1+ 1пх)'= (!)' +(1пл)' ^0 + 1 = 1,
f/v, = 2(-3)(-4)x^ = ^
и вообще
(_1ГЬ2.3...(П-2)
гП-1 3
если п 3.
Вопросы для контроля
1. Сформулируйте теорему о производной показательней функции.
2. Сформулируйте теорему о производной логарифмической
функции
3. Сформулируйте теорему о производной степенной функции.
4. Сформулируйте теорему о производной синуса.
5. Сформулируйте теорему о производной косинуса.
6 Сформулируйте теорему о производной тангенса.
7. Сформулируйте теорему о производной котангенса.
8. Приведите формулу для нахождения производной арксинуса.
9. Приведите формулу для нахождения производной арккосинуса.
10. Приведите формулу для нахождения производной арктан-
генса,
11. Приведите формулу для нахождения производной арккотан-
генса.
12. Что называется второй производной (производной второго
порядка) данной функции?
13. Что называется п-й производной (производной n-го порядка)
данной функции?
Упражнения
6.16. Найдите производные следующих функций:
1) у= (x-f-1) ех; 2) у = х2ех2+3х; 3) у-- х У * ;
4) у = х-23х+*2; 5) у= (Зх-р5х? + х3)-4х^
315
6) у=3^+1-14*.‘+’*+‘; 7) v=(x?4-4)e-^;
-№ + 5x+ —
8) у—-(x24-x3+1) 2 . 5; 9) у=-(х24-хя+7х)3х’+»»*и<.
6.17. Найдите производные следующих функций!
1) у = (ха —1) In л-3; 2) ; 3)
4) у~-ах'' 1г. (х?-|-4х-|-12); 5) </ = e<JC+1Hn (х-|-5)?
6) у = (Зх -|-4) logo (х (-1 + х2).
«,1в. Найдите производные следующих функций;
1) у-х11’1-'; 2) р = — х6; 3) j/=i/x7;
6 '----- _ 1
4)y=/x+K*i б)//«-г-н=;
5у 11х
х2 + Зх -{- х7
"=ТЖ!
7)У =
8)г/ = хГб; 9)// = х®;
10) у=(2/ х2фЗх3 + х7)5; П) y = (igj/ x+x,/J4-12r 4)’j
12) ₽=^ln/x+j/x’-f-^ ,
6.19. Найдите пределы.
,, .. sin 5х ,. s п Зх
1 lim------------; 2 lira - -.—
’ х->о х х-о 4х
. , 4 sin’ х ,. tg 2х
’4) Inn ------г,— ; 5) Ига-------------;
X “► 0 X ** 11
; 3) lira -Д- ;
д->в sin 6х
„ ,. 1— COS X
6) lira-------;----
х-0 X2
6.20. 1 [айдите производные следующих функций:
1) y=-sin2x; 2) у = sin ах; 3) у — cos Зх;
4) у -=cosflx; 5) j/=- sin 2х—cos Зх; 6) у = х—cos 2х;
„ п ч . о 9 с оч =1п Зл m 1— sin 2х
7) р = 2х!-|-3 sin 5х; 8) у==—, 9) у=-------g---.
6.21, Найдите производные следующих функций:
1) y-xcosx; 2) y = xeinx; 3) у = sinx cos х;
4) y=sin 2х cos Зх; 5) p = sinaxcos Ьх; 6) j/^snrlx;
7) у—eps’x; 8) (/—cos3 ax; 9) i/—-sin" ax; 10) i/ = cos”ax1
6.22. Найдите производные следующих функций:
1) i/ = tg 2х —ctg2x; 2) y = xctgx; 3) (/ = tg3x +tg Зх;.
4) y = ctg2x— tg22x; 5) y — (sin x-|-cosx)2;
6) y = s\i'?x— cos2 x; 7) p = tg2ax; 8) y —sin (2x2 — x);
9) (/-—cos2 (х-1-л); 10) i/ = sinx-|-cos2x-|-lg3x.
6.23. Докажите формулу cos2x=cos2x — sin2 x почленным диф-
ференцированием тождества sin 2x = 2 sin x cos x.
6.24. Найдите производные следующих функций:
1 о х 1 , 0 Оч sin ах
1) у — Зсоз - ; 2) У—2 sin Зх; 3) у~—— ;
4) у — х2 cos (х—1); 5) z/ = sin (3-|-2x)-[-cos (3-|-2х);
С/ у— 2 sin3 4х; 7) {/—8) у = 2 tg Зх—3 tg 2х;
9) у - - 2 tg3 4х; 10) у 4 ctg3 2х.
6.25. Найдите производные следующих функций:
1) у— arcsin 7х; 2) у = arcsin ах; 3) у = т arcsin пх,
6.26. Дана функция у = arcsin х3. Найдите ее производную.
6.27. Дана функция у = arcsin х-1/3. Найдите се производную»
6.28. Найдите производную функции y = arcsln —-j—,
6.29- Докажите, что (arcsin х)'-f-(arccos х)'= 0.
6.30- Дано у — х2 arcsin х. Найдите у'.
6.31. Найдите производные следующих функций:
1) у — arccos 4х; 2) у — arccos ах; 3) у — т arccos пх.
6.32. Дана функция у — arccos х?. Найдите ее производную»
Докажите, что (arccosх~1)'=---------- ,
6.33.
8.34.
6.35.
6.36.
6.42.
Найдите производную функции у — х2. arccos».
Дано у = arcsin х 4-arccos х. Найдите у'-.
9—х? , 6х
Докажите, что если у = arccos^---г. то у' =. — ,
9 ". х. \х. 4-9) | х |
6 37. Найдите производные следующих функций:
1) y = arctg3x; 2) y = arctg/nx; 3) у — т arctg пх,
6.38. Докажите, что (arctg x)'4-(arcctg х)'=0.
6.39. Дано i,- = aratg^- Найдите у*.
6.40. Найдите производную функции y = x?arcfgx3.
6.41. Дана функция у = arctg уг4х? — 1. Найдите у'.
Найдите производную функции у=arctg ------------
У а2—х3
Найдите производные следующих функций:
1) y = arcctg2x; 2) у—-arcctg rrx; 3) у—tnarcctgпх.
6.44. Дано у — arcctg х-1. Найдите у'.
6.45. Найдите производную функции у— (arcctg 2х)3.
5J6. Дано у=х2 arcctg х. Найдите у'
2х
Найдите производную функции f (х) = arcctg
Дачо
y = arcsln 2x4-arctg Зх4-arccos 2x4-arcctgЗх.
Найдите у'-,
6.49. Найдите производные следующих функций:
6.43.
6.46.
6.47.
6.48.
1) у = хь— bx4—8х3— 1; 2) у —
3) f ,x) = (3x-x3 —хМГ x4-3x7-8);
4) f (x; = (x104-3xu4- x?) In x;
5) f (/).= (/+/7)г'2-1; C) Zffl = (ln/+^)^'3.
6.50. Найдите производные высших порядков:
1) y=sinx; 2) у = (х-|-Э)4; 3) y=cosx;
4} у=ех-±-х2.; 5) у — 14-»54'e't; 6) y = a?*4-sinЗх.
317
6.51. Сколько раз нужно продифференцировать функцию у =
= (х2. + 1)60> чтобы в результате получился многочлен 30-й степени?
6.52. Докажите, что для функции у = х2.-\-ех справедливо ра-
IV v
велство у ~-у .
§ 33. Дифференциал функции
1. Определение дифференциала функции. Согласно
определению производной функции f в точке х0 имеем
f (х0)= lim (1)-
Ла;-> 0 ах
Используя свойство предела, равенство (1) можно
записать з виде
= f (х0) + <х(Ах),
где а(Дх)—>-0 при Ах—*0. Итак,
А/ (хэ) = f (х0) Ах + а (Ах) Ах. (2)
Из формулы (2) следует, что если функция f имеет
пооизводную в точке х0, то приращение этой функции в
х, можно представить в виде двух слагаемых.
Пусть ;'(Хо)=/=О. Тогда первое слагаемое /'(х,)Дх в
формуле (2) пропорционально Ах, так как f (х0) не зави-
сит от Ах, т. е оно линейно относительно Ах.
Поскольку lira f (х0) • Ах = 0, то первое слагаемое есть
Ах-> 0
бесконечно малая при Ах—>-0. Второе слагаемое в фор-
муле (2) также есть бесконечно малая при Ах—-0, при-
а (Дх) Дх ,
чем такая, что отношение ,, . , - снова есть бесконечно
/' (х0) дх
малая при Ах—>0, ибс
Нт =
(х0) Дх
Поэтому первое слагаемое f (х0) Ах является в случае,
когда /'(х0)у=0, главной частью приращения функции в
точке х0.
Определение. Если функция [ (х) в точке х0 имеет
производную f (х0), то произведение г' (х0) Ах называется
дифференциалом функции f в точке х0 и обозначается df (х0).
Таким образом,
df (х„) = f (х0) Ах.
Заметив, что dx = x'Ax = Ax, определим дифференциал
независимой переменной как ее приращение. Тогда полу-
318
чим, что дифференциал функции в точке выражается фор-
мулой
df (*♦) = f' (х0) dx.
Если функция /(г) имеет производную в каждой
точке интервала (а; &), то
df (x) = f' (х) dx. (3)
Из последнего равенства следует, что
т. е. производная функции есть частное от деления диф-
ференциала этой функции на дифференциал аргумента.
Формула (3) позволяет вычислять дифференциалы функ-
ций, если известны их производные. Так, например,
de = (с)' dx — 0 • dx = О,
где с—постоянная,
dx2 = (х3)' dx = 2хах,
d (Зх3 + 4х + 7) = (Зх3 + 4х + 7)' dx = (9х2 + 4) dx,
d (sin х + xs) = (sin x + x3)' dx = (соз x + Зх2) dx,
d (ex + cos 3x) = (ex + cos 3x)' dx = (ex — 3 s in 3x) dx,
d In x = (In x)' dx = •
2. Геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим
дифференцируемую функцию y = f(x), х£(а; ft), график
которой изображен на рис. 98.
Из /\MKL имеем
|К£| = |Л1Т| tga.
319
Так как >МФ| = Дх и tga-—/' (х0), то | KL | = f' (х0) \х.
Следовательно,
dy~\KL\.
Последнее равенство позволяет дать следующее геомет-
рическое истолкование дифференциала: если
функция f имеет производную в точке х0, то дифферен-
циал функции f в точке х0 равен приращению ординаты
касательной,^ проведенной к графику данной функции
в точке с абсциссой х0, при переходе от точки Касания
в точку с абсциссой (х04-Лх).
Замечание. Легко видеть (см. рис. 98), что диффе-
ренциал функции в точке, вообще говоря, не совпадает
с приращением этой функции в той же точке;
dy^ty, так как | /СЛ | =£ | NL |.
Однако при малых значениях Дх приращение функ-
ции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.
kytady. Этс приближение широко используется как в
самой математике, так и в ер приложениях, так как оно
позволяет легко вычислять приращение функции с неболь-
шой погрешностью. Геометрически замена Д(/ на dy озна-
чает замену дуги кривой MN отрезком прямой МК..
Следовательно, на небольшом участке изменения аргумента;
всякую дифференцируемую функцию можно рассматривать'
как линейную.
3 заключение заметим, что дифференциал линейкой
функции совпадает с ее приращением. В самом деле,
d (kx + b) — (kx л- b)' dx = k dx,
Д (kx + b) —1& (x -f- Дх) + b]—(kx + b) = k\x — kdx,
t. e.
d (kx -|- b) — Д (kx + by
3. Приложение дифференциала к приближенным зы-
числениям. Из определения дифференциала функции в
точке х0 следует, что
&f (хо)—df (х0) —а (Ах) Дх,
где lim а(Дх) —0.
Д.с-»-0
Следовательно, df (х0) является приближением Д/(х0)
в точке х01 причем абсолютная погрешность такого при-
ближения стремится к нулю при Дх—>0.. Более того,
если f (х0) 0, то относительная погрешность также
стремится к нулю при Дх—>0.
320
В самом деле,
lim I Иш |^Лх| 0
Все сказанное означает, что для дифференцируемой
в точке х, функции f, у которой f при всех
достаточно малых Ах имеет место следующая формула;
Af(x0) «d/(x0), т. е. A/(xc)«f (х0)Ах. (1)
Формула (1) является основной для простейших при-
ближенных вычислений.
Пример 1. Пусть / (х) = /х, х € (0; + оо).
Так как для x=?s=O
f'(x)=-Lxn
то, используя формулу (1), получим для Хо ;/= 0 и
достаточно малых Ах
всех
А/ М = 4- Ах — Vх Хо « Ах.
Таким образом, для всех достаточно малых Ах
т/х0 ф- Ах « /х0 + \х.
Пользуясь формулой (2), вычислим К3,998:
р 3/598 = /4^0Д02 « /4 + =
= 2—0,0005 =: 1,9995.
Для вычисления /243,45 также воспользуемся фор-
мулой (2):
/Ж45 = /243+0,4.) & /243 + °,455.^~ =*
= 3 + -^« 3,001.
(2)
Пример 2. Пусть f(x)==sinx, x^R. Известно, что
f (x)^cosx. Поэтому, используя формулу (1), получим
J для любого х R и всех достаточно малых Ах
А/ (х0) = sin (х0 + Ах)—sin х0 « cos хв Ах.
Итак, для всех достаточно малых Ах
sin (х0 + Ах) « sin хс + cos х0 Ах, (3)
11 Алгебра, ч. I
321
В частности, при хс = 0 из формулы (3) получим
sin Дх аг Дх
для всех достаточно малых Ах.
Если в формуле (3) положить х = ~, то получим
sin^y 4-Дх^ «^(l + Ax)
для всех достаточно малых Дх.
Пример 3. Если /(х) = 1пх, xg(0; 4- оо), то f (х) *=
= -i-. Поэтому для х0 > 0 согласно формуле (1) для всех
достаточно малых Дх будем иметь
Д/ (х0) = 1п(х04-Дх) —1пхс а^-,
Л0
т. е.
1п(х04-Дх) а 1пх0-н4“« (4)
АО
В частности, при х0=1 из формулы (4) следует
1п (1 + Дх) а Дх
для всех достаточно малых Дх.
Вопросы для контроля
1. Ч)О называемся дифференциалом функции?
2, В чем заключается геометрический смысл дифференциала
функции?
Упражнения
6.63. Докажите, что для всех достаточно малых значений х имеют
место следующие формулы;
1) е* и 1 + х; 2) tg х к х\ 3) arcsin х sv х; 4) arctg х их.
6.54. Найдите приближенные значения:
1) К'9Д 2) р/З; 3) j/24; 4) ]/з0; 5) р/З; 6) р/эО.
6.55Л ВыЛслите приближенно:
1) р/б5; 2) ]/1000; 3) 125,1324; 4) sta29°; 5) In 1,05;
6) cos91°; 7) tg44°; 8) 1п(<?4-0:1); 9) ln0,97.
322
Глава 7
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 31. Касательная и нормаль к криеой
1. Определение касательной и нормали к кривой.
В курсе геометрии вы уже встречались с понятием ка-
сательной, а именно, касательная к окружности опреде-
лялась как прямая, лежащая в одной плоскости с окруж-
ностью и имеющая с ней единственную общую точку.
Однако такое определение касательной неприменимо для
случая произвольной кривой. Так, например, оси Ох и Оу
имеют по одной общей точке с параболой у — х* (рис. 99).
Однако ось Ох—касательная к параболе, а ось Оу не
является касательной к ней.
Определим касательную к кривой Ь в точке Л10 в об-
щем случае.
Пусть М—некоторая произвольная точка кривой L,
которая отлична от Мо и может располагаться на кривой
L как слева, так и справа от нее (оис. 100). Прямая МйМ,
проходящая через точки Л10 и М, называется секущей
кривой L.
Если точку М перемещать по кривой L, приближая
к точке Ме, то секущая М0А4 будет поворачиваться
323
вокруг точки Л40, занимая ’ соответственно положения
и т. д.
Если секущая М0М будет стремиться'занять некото-
рое предельное положение М„Т при стремлении точки М
вдоль кривой L к точке то
прямая М0Т называется каса-
тельной к кривой L в точке Л40.
Отметим, что не всякая кри-
вая. в любой точке имеет ка-
сательную. Простейшим приме-
ром такой кривой может слу-
жить график функции у — |х|
(см. рис. 40). Эта кривая в точ-
ке (0; 0) не имеет касательной.
Прямая, проходящая че-
рез точку Мо перпендикулярно
касательной к кривой L в точке
Л10, называется нормалью к кривой L в точке Л40.
Например, если прямая МпТ—касательная к кривой L
в точке Л4С, то прямая M0N, M0N I МВТ (рис. 101),
является нормалью к данной кривой L в точке Мй.
2. Геометрический смысл производной/- Пусть кривая L
является графиком непрерывной функции y<=f(x), xg(a; b)
(рис. 102). Па кривой L рассмотрим точки Мц(х^ у6) и
М (х; у) и проведем секущую М0М. Очевидно, если
£ = tgP—ее угловой коэффициент, то
/(*о).
X — хй
S24
Пусть теперь х—>-х0, т. е. абсцисса точки М приближается
к абсциссе точки Мл и, следовательно, точка М. стремится
к точке Мо, оставаясь на кривой L. При этих условиях
секущая Af0Af, вообще говоря, меняет свое положение,
вращаясь вокруг точки Л10, т. е. изменяется угол р.
Если функция f (х) дифференцируема в точке х0, то
Ига tgp= lira
Х-+Х, Х^-Хо. Л 'хо
и, следовательно, существует прямая М^Т, являющаяся
предельным положением секущей при приближении точ
ки М по кривой к Мо. Эта прямая, как известно, будет
касательной к кривой L в течке Л10.
Таким образом, если функция у — f (х) дифференци-
руема в точке х0, то ее график имеет касательную в точке
(х,; f(xo))< угловой коэффициент которой равен f (х9).
Сказанное позволяет дать следующее геометрическое
истолкование производной: производная функции f (х) в
точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к гра-
фику функции в точке (х0; f(x0)).
3. Уравнения касательной и нормали к кривой. Из
курса геометрии вы знаете, что в прямоугольной декарто-
вой системе координат уравнение прямой с углозым коэф-
фициентом k, проходящей через точку М0(х0; у0), имеет вид
У—ya = k(x—xe). (1)
Поэтому, положив в уравнении (1) £/0 = / (^о) и ^ — {'(хф,
получим уравнение касательной к кривой L в точке
(-^о> f (*о)) •
у—х„). (2)
Как известно, условием перпендикулярности прямых,
задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами /г
и klt является условие, k-ki — —L Следовательно, урав-
нение нормали к кривой L в точке Л1о (х0; f (х0)) имеет вид
У~ = — р-^(х—л0). (3)
Замечание 1. Уравнение (3) задает нормаль к гра-
фику L функции у=г=/(х) в точке (xf; (х0)), если сущест-
вует отличная от нуля производная f (хс). Если f'(xo) = O,
то касательная к кривой L в такой точке будет парал-
лельна оси Ох, а ее уравнение (как это легко видеть из
уравнения (2)) будет иметь вид y—f^x^. Из определения же
нормали следует, что нормалв к кривой L в такой точке
325
будет 'перпендикулярна осн Ох, а ее уравнение имеет вид
х = хс. Если же f'(xe)=>oo, то касательная к кривой L
в такой точке параллельна оси Оу и имеет уравнение
х = х0, а нормаль параллельна
оси Ох и имеет уравнение у —
чм-
Замечание 2. В даль-
нейшем для краткости вместо
«касательная к графику функ-
ции у — f (х)» будем говорить «ка-.
сагельная к кривой y = f(x)».
Пример 1. Найта уравне-
ния касательных и нормалей к
параболе у — х2—2x4 5 в точ-
ках с абсциссами х^О.5 и
х2=1 (рис, 103).
Д Найдем значения функции /(x) = xs—2x4-5 в задан-
ных точках: /(0,5) = 4,25, /(1) = 4. Далее, так как f (х)—
= 2х—2 = 2(х—1), то /'(0,5) = —1, /' (1) = 0.
Подставив найденные значения функции и ее произ-
водной в (2) и (3), получим уравнения касательных и нор-
малей.
В точке с абсциссой xj = 0,5
у—4,25 = — 1-(х—0,5),
2/—4,25 = —-^(х —0,5).
225
Следовательно, прямая у——х4-4,75—касательная, а пря-
мая t/ = x4-3,75—нормаль к параболе з точке (0,5; 4,25).
В точке с абсциссой х2 — 1: у—4 = 0 (г—1). Таким
образом, прямая # = 4—касательная к параболе в точке
(1; 4), а значит, прямая х=1—нормаль к параболе в этой
точке.Д
Пример 2. Найти уравнения касательных и норма
лей к кривой у — хъ в точках с абсциссами хх =— 1, х2 = 0,
х3=1 (рис. 104).
Д Найдем значения функции f(x) = x3 при Xj -— 1,
х2 —0 и х3 = 1: f (— 1) = — 1, f (0) = 0 и f (1) = 1. Так как
/'(х) = (хз)' = 3х\ то f'(-l) = 3, f(.0) = 0 и f'(l) = 3.
Подставив найденные значения функции и ее производ-
ной в (2) и (3), получим уравнения касательных и нор-
малей.
Касательные и нормали имеют соответственно уравне-
ния:
а) в точке с абсциссой х± — — 1:
у = 3x4-2 и у = — -|-х—у ;
б) в точке с абсциссой х2 = 0:
y = Q и х = 0;
в) в точке с абсциссой х3 = 1:
у — Зх—2 и у = — 4-Х4-4-Д
□ О
Пример 3. Найти уравнения касательных и норма-
лей к кривой у — jZx2 в точках с абсциссами х2 = — 1,
х2 = 0 и х3=1 (рис. 105).
327
Д Вычислим значения функции f (%) = р/х* в заданных
точках: /(—!) = 1, /(0) = 0 и /(1)^1. Найдем произьод-
' 2
иую данной функции f (х) — ,, г_ и подсчитаем ее зна-
3 у х
чейия в заданных точках: /'(—1) = — 2/3, /'(0) = оо и
)'(!) = 2/3. Подставив найденные значения функции и ее
производной в (2) и (3), найдем следующие уравнения
касательных и нормалей:
а) при X, = — 1
2,1 3,6
у = — + j и //=тх + ‘2;
б) при х3 — 1
2,1 3,5
Z/=3-’r+-3 и г/ = —ух + у-
Так как /'(0) — оо, то, согласно Замечанию 1, пря-
мая я = 0 (ось ординат)—касательная, а прямая у = 0 (ось
абсцисс)—нормаль к данной кривой в точке (0; 0).Д
Вопросы для контроля
1 Какая прямая называется касательной к кривой?
2. Какая прямая называется нормалью к кривой?
3. Сформулируйте, в чем состоит геометрический смысл произ
водной.
4. Запишите уравнение касательной к кривой,
5. Запишите уравнение нормали к кривой.
Упражнения
7.1. Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе
г/== 2х“1 в точках с абсциссами Xi =—1, хй = 0 и х$=1.
7.2. Найдите уравнения касательных и нормалей к кривой у =
— -3—2х2ф-Зхф-1 в точках с абсциссами xp = 0; х2= 1 и х3 = 3.
7.3. Найдите угол наклона касательной к кривой у — х1 в течках
с абсциссами хх =—У 3/3, х2 = 0 и х3 — У 3/3.
7.4. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у—х—х2
в точках с абсциссами Xi = 0 и х3=1/2.
7.5. В какой точке касательная к кривой i/=lnx наклонена
к оси Ох год углем л/4?
7 6. Под каким углом касательная к кривой у —в* в точке (0; 1)
пересекает ось Ох?
7.7. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе
е/=х2 в точках (1: 1), (—1; 1); (2; 4) и (—2j 4).
4^__
7.8. У параболы у — —проведены касательные в точках
(0; 0), (2; 1) и (4; 0). Найдите углы наклона касательных к оси Ох.
328
§ 35. Некоторые применения производной в физике
В п. 1 § 29 мы утке рассмотрели задачи о нахожде-
нии мгновенной скорости прямолинейного движения точки
и о мгновенной величине тока, при решении которых
использовалась производная. Рассмотрим еще несколько
задач, при решении которых применяется производная.
1. Задача о теплоемкости тела. Чтобы температура
тела масссй в 1 г повысилась от 0 градусов до т гра-
дусов, телу необходимо сообщить определенное количество
тепла Q. Значит, Q есть функция температуры т, до кото-
рой тело нагревается: Q = Q(x).
Пусть температура тела повысилась с т0 до т. Коли-
чество тепла, затраченное для этого нагревания, равно
Q(x)—Q(ie). Отношение
Q (т>—Q (-Q
т—т0
есть количество тепла, которое необходимо «ь среднем»
для нагревания тела на 1° при изменении температуры
от т0 до т. Эго отношение называется средней теплоем-
костью данного тела в температурном промежутке. [т0; т]
и обозначается сср.
Так как средняя теплоемкость'не даст представления
о теплоемкости для любого значения температуры т, то
вводится понятие теплоемкости при данной температуре т0
(в данной точке т0).
Теплоемкостью при температуре т0 (в данной точке т0)
называется предел
lim ctp = lim =
т-*т. т->т<, т—То
Итак, теплоемкость с(т) при температуре т есть про-
изводная от количества тепла Q (т), получаемого телом,
по температуре т, т. е.
с(г) = -^ = О'(т).
2. Задача о скорости химической реакции. Пусть не-
которое вещество вступает в химическую реакцию. Коли-
чество этого вещества, вступившее уже в реакцию к мо-
менту времени t, обозначим через y{t). Таким образом,
у есть функция времени, т. е. переменной /. Пусть
[/с; /] — некоторый промежуток времени, тогда у (/)—у(/а)
равно количеству вещества, вступившего в реакцию за
329
промежуток времени от момента t0 Д° момента I, а отно-
шение 215^^ выразит среднюю скорость химической
реакции за промежуток времени [/0; /]. Для характерис-
тики скорости химической реакции б данный момент ta
следует рассмотреть предел этого отношения при t—tit-
Следовательно, скорость химической реакции в дан-
ный момент времени t есть производная от количества
вещества y(t), участвующе-
го в реакции, по времени t,
f ' т. е равна у' (/).
' ' 3. Задача о линейной
1 I—плотности стержня. Пусть дан
0 хо х 1 стержень длины I (рис. 106).
п Стержнем называют такое
физическое тело, которое по
форме приближается к от-
резку прямой линии, поперечное сечение ею мало и оди-
наково на всем его протяжении. Каждому отрезку стержня
длины х, 0 х I, отмеряемому от одного фиксирован-
ного конца, соответствует определенная масса т, т. е. масса
стержня есть функция его длины: т = т(х), х£|0; /].
Стержень называют однородным, если любые два его
участка одинаковой длины имеют одинаковую массу. В этом
случае отношение массы любого участка стержня к его
длине есть одна и та же величина р, которую называют
линейной плотностью стержня. Стержень называют не-
однородным, если на два участка одинаковой длины при-
ходятся, вообще говоря, различные массы. Таким обра-
зом, для неоднородного стержня встает вопрос о скорости
изменения массы стержня в зависимости от его длины.
Пусть т(х)— т(х0)—масса части стержня между точ-
ками, расположенными соответственно на расстоянии х0
и х'от начала отрезка, где 0^хс < х^С/. Тогда отноше-
tr (х) — т (хэ) - „„
ние ——-----— называют средней линейной плотностью
X—х0
стержня на указанном участке и обозначают рср.
В случае неоднородного стержня средняя линейная
плотность рср не может полностью характеризовать ско-
рость изменения массы стержня. Поэтому для неоднород-
ных стержней вводится понятие линейной плотности в дан-
ной точке. Линейная плотность р(х0) стержня в точке х0
определяется следующим образом:
р(х0)= lim рср= lim- —= т' (х0).
Х->Х0 Л
330
Итак, линейная плотность стержня в точке х есть произ-
водная по х от переменной массы т(х).
4. Alexaнический смысл второй производной (ускоре-
ние). Пусть материальная точка движется прямолинейно
и «=•«(?), t G 10; Т],— закон движения. Тогда скорость
v(t) равна
Скорость движения о(/) есть в свею очередь функция
времени. Поэтому можно рассмотреть скорость изменения
скорости
Заимствуя термин из механики, получим, что s" (/) есть
ускорение движения в рассматриваемый момент времени t.
Итак, ускорение a(t) движения в данный момент вре-
мени t есть производная от скорости и(/) по времени,
или вторая производная от пути по времени:
....
dt dt'i
Пример. Пусть точка совершает прямолинейное дви-
жение по закону
х= 5 3/ -Т 2/3,
где t—время. Найти ускорение.
А Так как 10 а=12/.А
вопросы для контроля
1. Что называется теплоемкостью в данной точке? По какой фор-
муле она вычисляется?
2. Что называется скоростью химической реакции в данный мо-
мент времени? По какой формуле она вычисляется?
3. Что называется линейной плотностью стержня в данной точке?
По какой формуле она вычисляется?
4. Сформулируйте, в чем состоит механический смысл второй
производной.
331
Упражнения
7,9. Тело движется прямолинейно по закону s ( I) = 34-2/4 /Мм).
Определите его скорость и ускорением моменты времени /у=1 с и
с.
7.10. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется
законом v (/) = 4/ 4*5/? (м/с). Какое ускорение будет иметь тело через
5 с после начала движения?
7.11. Докажите, что если тело движется по закону s(t) = aet 4-
4- Ье~* (м), то его ускорение равно пройденному пути.
7,12. Точка движется прямолинейно по закону з=У I . Дока-
жите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.
7.13. Тело, масса которого .71 = 0,5 кг, движется прямолинейно
по закону з(/) = 2/?4~/—3 (м). Найдите кинетическую энергию тела
через 7 с после начала движения.
7.14. Найдите величину силы F, действующей на точку мас-
сой гп, движущуюся по закону «(/) = /?— 4/4 (м), при / = 3 с.
7.15. Точка мессой т движется по закону s (/) =3/?4-7/4-У (м).
Докажите, что сила, действующая на точку, постоянна.
7.1С. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за
t секунд поворачивается на угол q> = a4“^—с'?, где а, Ь и с —
положительные постоянные. Определите угловую скорость и ускоре-
ние вращения, а также через какое время колесо остановится.
7.17. Количество электричества, протекшего через проводник, на-
чиная с момента времени t = 0, дается формулой <7--2/?4~3/-|- Ь
Найдите силу тска в конце питой секунды.
7.18. Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания
1 кг воды от 0 ;С до t °C, определяется фоомулой Q = /J-0,00002/? 4-
-4- ОгООООСО.З/3. Вычислите теплоемкость воды для 1) / = 30 °C; 2) </=
= 100 °C.
7.19. Зависимость между количеством х вещества, получаемсго
в некоторой химической реакции, и временем i выражается уравне-
нием х = А (1 -ье“л(). Определите скорость реакции.
§ 36. Приложение производной к исследованию
возрастания и убывания функции
1. Необходимые условия возрастания и убывания функ-
ции. Докажем сначала теорему о необходимом условии
возрастания функции на интервале.
Теорема 1. Если дифференцируемая функция f(x),
х£(а; Ь), возрастает на интервале (а; Ь), то f (х)^0
для любого х из интервала (а\ Ь).
С Согласно определению возрастающей па (а; Ь) функ-
ции, если х > х0, то f (х) > f (хф, а если х < х0, fo f (х)
^/(х0). Следовательно, для любых х0 и х из (а; Ь),
x#=x0, справедливо неравенство
/(х)-Т(хд)
х—х0
832
Так ,кэк /,(х) дифференцируема на (а; Ь), то,--переходя
к пределу в последнем- неравенстве при х—получим
/' (х) = lim > 0. В
X -+ х0 х х?
Рассмотрим теперь теорему о необходимом условии
убывания функции на интервале.
Теорема 2. Если дифференцируемая функция f(x),
х(Ца; Ь), убывает на интервале (а; Ь), то /'(х)<0 для
любого х из интервала (а-, Ь).
ПТак как функция /(х)—убывающая, то функция
Fix) = —/ (х)—возрастающая, и поэтому, в силу теоремы 1,
F'(x) =— /'(х)^0 для любого xg(a; Р). Отсюда сле-
дует, что /'(х)£^.О для любого х£(а; Ь). ГЗ
Интервалы, на которых функция возрастает или
убывает, называются интервалами монотонности этой
функции.
Заметим без доказательства, что если функция /(х)—
возрастающая (убывающая) па интервале (а; Ь) и непре-
рывна в точках а и Ь, то она будет возрастающей (убы-
вающей) и на отрезке [а; Ь]).
2. Теорема Лагранжа. При доказательстве теорем
о достаточных условиях монотонности функции сущест-
венно используется следующая теорема, которая назы-
вается теоремой Лагранжа.
Теорема Лагранжа. Если функция f (х), х € [а; д],
непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на ин-
тервале (а, Ь), то найдется точка с£(а\ Ь) такая, что
имеет место формула
f (b)—f (a) '='ff (c)(b—a). (1)
Формулу (1) называют формулой Лагранжа или фор-
мулой конечных приращений.
Мы приводим теорему Лагранжа без доказательства, по-
ясним лишь геометрический смысл этой теоремы (рис. 107).
Па графике функции f (х) рассмотрим точки A (a; /(c))
и B(b-, Легко видеть, что угловой коэффициент
секущей А В, проходящей через точки А и В, равен
• Запишем формулу (1) в следующем виде:
f'(c)=f(blZfaa} • (2)
Вспоминая геометрический смысл производной, можно
сказать, что формула (2), а следовательно, и формула (1)
333
означает следующее: на интервале (а; Ь) найдется точи а с
такая, что угловой коэффициент касательной к графику
функции ; (х) в точке С с абсциссой, равной с, Совпадает
с угловым коэффициентом секущей АВ, т. е существует
касательная к графику данной функции, которая парал-
лельна секущей АВ.
3. Достаточные условия возрастания к убывания функ-
ции. Сначала сформулируем и докажем теорему о доста-
точном условии возрастания функции.
Теорема 1. Если функция f имеет неотрицательную
производную в каждой точке интервала (д, Ь), то функ-
ция f возрастает на интервале (а; Ь).
□ Пусть х1 и х2—две произвольные точки интервала
(а; Ь), удовлетворяющие условию xt < xv Тогда по тео-
реме Лагранжа существует точка cg(xf, х2) такая, что
f(x2)—f(x1) = f (с) (х2— ХР).
Так как по условию теоремы Д(х)>0 и хг—xi 0. то
из последней формулы следует, что f(x2) ^>.f(x1)- Послед-
нее, согласно определению возрастающей функций, и озна-
чает, что функция f возрастает на интервале (д; й).ЕП
Аналогично доказывается и следующая теорема о до-
статочном условии убывания функции.
Теорема 2. Если функция f имеет неположитель-
ную производную в каждой точке интервала (д; й), то
функция f убывает на интервале (а; Ь).
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции
f (х) = 4%’—2х+ 1.
Л Данная функция определена и дифференцируема на
всей числовой прямой, причем /'(х) = 2(х2—1). Так как
334
для |x| > 1, то, согласно теореме 1, данная
функция возрастает на интервалах (— оо; —1) и (1; 4-оо).
Так как /'(*)< 0 для |х|< 1, то, согласно теореме 2,
данная функция убывает на интервале (•—1; 1). А
Пример 2. Найти интервалы монотонности функции
/(х) = Зх + у4-5.
Л Область определения функции—вся числовая прямая,
кроме точки х = 0, т. е. состоит из интервалов (—оо; 0)
и (0; 4- оо). Найдем производную;
я 3 о х2—1
/ (Х)=3—^ = 3-5-.
Производная представляет собой дробь, знак которой бу-
дет определяться знаком числителя, так как знаменатель
положителен. Таким образом, /'(х)<0 для всех х из ин-
тервалов (—1; 0) и (0; 1); значит, согласно теореме 2, на
интервалах (—1; 0) и (0; I) данная функция убывает.
Так как /'(х)>0 для всех х из интервалов (—ос; —1)
и (1; + ос), ю, согласно теореме 1, функция f (х) на этих
интервалах возрастает. Итак, функция f (х) возрастает на
интервалах (—оо; —1) и (1; -|-оо) и убывает на интерва-
лах (—1; 0) и (0; 1).Д
Заметим, что если функция имеет положительную про-
изводную в каждой точке интервала, то она является
строго возрастающей па этом интервале. Если же функция
имеет отрицательную производную в каждой точке интер-
вала, то такая функция будет строго убывающей на этом
интервале. Указанные условия являются достаточными,
но не будут необходимыми условиями. Действительно,
функция /(х) = х3 строго возрастает на всей числовой
оси, и в то же время в точке х = 0 ее производная равна 0.
4. Правило нахождения интервалов монотонности.
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов
монотонности функции.
1) Вычисляем производную f'(x) данной функции f (х),
а затем находим точки, в которых f (х) равна нулю или
не существует. Эти точки называются критическими для
функции /(х).
2) Критическими точками область определения функ-
ции /(х) разбивается на интервалы, на каждом из которых
производная /' (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы
будут интервалами монотонности.
335
3) Определяем знак f' (х) на каждом из найденных ин-
тервалов. Если на рассматриваемом интервале /'(х!>0
то на этом интервале / (х) возрастает, если же /' (х) С О,
то на таком интервале , (х) убывает.
Пример. Найти интервалы монотонности функции
f (x) = xln-x4 Зх.
А 1) Заданная функция определена и имеет производ-
ную во всех точках интервала (0: оо). Вычисляем произ-
водную данной функции: f (х) = 1 4- In х 4- 3 = 4 4- In х. Из
уравнения /'(х) = 4-ф 1Ах==0 следует, что х = е"‘—един-
ственная критическая точка.
2) Так как х=е~4‘—критическая точка, то, следова-
тельно, интервалы (0; <*“4) и (е-1; 4-оо) являются интер-
валами монотонности. •
3) Исследуем знак (х) на каждом из этих интервалов,
решая неравенства 1пх’+4<0 и 1пх + 4>0.
Так как f (х) < 0 для любого х£(0; е~4), то на ин-
тервале (0; е~4) данная функция убывает.
Так как f' (х) > 0 для х>е-4, то на интервале (е-4;
4 оо) данная функция возрастает. А
Вопроси для контроля
1. Сформулируйте необходимое условие возрастания функции на
интервале.
2. Сформулируйте необходимое условие убывания функции на
интервале.
3. Какие интервалы называются интервалами монотонности
функции?
4. Сформулируйте теорему Лагранжа.
5. Сформулируйте достаточное условие возрастания функции на
интервале.
6. Сформулируйте достаточное условие убывания функции на
интервале. '
7. Кские точки называются критическими для функции?
Я. Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности.
Упражнения
7.20. Определите интервалы монотонности ‘следующих функций;
1) /(х) = 5х—2; 2) f(x)=4-9x, 3) /(*) —
4H<*>=5=J! 5) f(x)^x?4-x-l; 6) f(x) = (x+l)’j
£36
7)J (x) =7x«4-i4*4-l; 8) f (x) = Зх4 — 6хг-f-4; 9) f (x)=x (x?.^3);
X V®
10) f (X) =л* (1 - x); 11) f (x) = —; 12) f (x) =-j^—.
л i” 1 1 — X
§ 37. Исследование экстремумов функции
1. О понятии экстремума функции.
Определение 1. Точка х0 называется точкой ми-
нимума функции f (х), если существует такая окрестность
точки х0, что для всех х=/=х0 из этой окрестности выпол-
няется неравенство f (х) > f (хс).
Определение 2. Точка х0 называется точкой ма-
ксимума функции f (х), если существует такая окрестность
точки х0, что для всех х#=х0 из этой окрестности вы-
полняется неравенство f (х) < f (х0).
Точки максимума и минимума функции называются
точками экстремума данной функции, а значения функ-
ции в точках максимума и минимума называются мак-
симумами и минимумами функции или экстремумами
функции.
Рассмотрим функцию [ (х), определенную на отрезке
[п; Э] (рис. 108). Точки х4, х3 и xs—точки максимума,
а х2, х4 и х7—точки минимума. Из графика данной функ-
ции видно, что минимум функции в течке х = х4 больше
максимума этой функции в точке х = х4. Последнее обстоя-
тельство не противоречит определению экстремумов функ-
ции, так как в определении экстремумов сравниваются
значения функции в точке со значениями функции из
некоторой окрестности этой точки. Таким образом, понятие
337
экстремума всегда связано с определенной окрестностью
данной точки (определенным местом) из области опреде-
ления функции, а не со всей областью. Поэтому иногда
для обозначения этого понятия употребляется термин ло-
кальный экстремум, т. е. экстремум, связанный с опреде-
ленным местом.
Замечание. Точки а и b (см. рис. 108) не отно-
сятся к экстремальным точкам функции f, так как у точек
а и b не существует 6 окрестностей, принадлежащих об-
ласти определения данной функции.
2. Необходимое условие существования экстремума.
Рассмотрим сначала необходимое условие существования
экстремума для дифференцируемой функции.
Теорема Ферма. Если точка ха является точкой
экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует
производная f (хс); то она равна нулю: f'(x0) = Q.
С Для определенности будем считать,* что х0—точка
максимума. Согласно определению это значит, что сущест-
вует fi-окрестяость точки xQ такая, что для всех х=£ха
из этой 6-окрестности выполняется неравенство /(х) <)(х0).
По условию теоремы функция f (х) имеет в точке х0
производную. Поэтому, с одной стороны,
f(xe) = lim
х-*хо-О х~х1
так как х—х0 < 0 и / (х)—/(х0)<0 для всех х£
С(х0—6; хс), а с другой стороны,
f(x0)= lim
Х-»Хо+0 Х Лс
так как х—х0 > 0 -и /(х)—/(ха)<0 для всех х(Е(х3;
х0 + 6). Следовательно, /' (х0) = 0.
Доказательство для точки минимума проводится ана-
логично. L3
Замечание. В теореме Ферма установлено лишь
необходимое условие существования экстремума. Эго усло-
вие позволяет лишь выделить точки, в которых Функция
может иметь экстремум. Это значит, что не всякая крити-
ческая точка является экстремальной. Например, функция
/(х) = х3 имеет в точке х—0 производную, равную нулю,
но для этой функции точка х = 0 не является экстре-
мальной.
Мы рассмотрели те критические точки, в которых
производная функции равна нулю, эти точки иногда на-
338
зывают стационарными. Рассмотрим критические точки,
в которых функция не имеет производных.
Пример 1. Пусть f(x) = |xl (см. рис. 40). В п. 4
§ 29 было установлено, что в точке х = 0 производной
данной функции не существует. Следовательно, точка
х = 0—критическая точка. Так как f (х) > 0 для всех
х=/=0, а f(0)=0, то, следовательно, /(х)>/’(0) для всех
х-у^О. Последнее, и означа-
ет, согласно определению 1,
что точка х = 0 есть точ-
ка минимума функции f(x) =
Hxl-
Пример 2. Пусть f(x) =
=3х—|х| (рис. 109). В точке
х = 0 данная функция не имеет
производной, т. е х = 0 — кри-
тическая точка данной функ-
ции. Так как для всех х < 0
f (х) <f (0), а для всех х > 0
/(х)>/(0), то в точке х = 0
данная функция не имеет экст-
ремума.
3. Достаточные условия
существования экстремума. Ус-
ловимся в следующей терминологии: будем говорить,
что некоторая функция <р (х) меняет знак с плюса на ми-
нус при переходе через точку х0, если существует такая
б-окрестность (х0 — 6; х0 + 6) точки х0, что слева от точки х0,
т. е. для хё(х0—5; х&), функция <р(х)>0, а-справа от
точки, т е. для xg(x0; х0 + б), функция ф(х)<0. Ана-
логично уславливаются в терминологии о перемене зна-
ка функции с минуса на плюс при переходе через точ-
ку х0.
Теорема 1. Пусть функция f (х) непрерывна в точке
х0 и в ее б окрестности имеет производную, кроме, быть
может, самой точки х0. Тогда
а) если производная f (х) при переходе через точку хе
меняет знак с плюса на минус, то точка х0 является
точкой максимума функции f(x);
б) если производная f' (х) при переходе через точку хэ
меняет знак с минуса на плюс, то точка х0 является
точкой минимума функции f (х);
в) если существует окрестность (хэ—б; х04-б) точки
х0, в которой производная f (х) сохраняет свой знак, то
в точке хэ данная функция f (х) не имеет экстремума.
339
□ Пусть производная [' (xj при переходе через точку'х9
меняет знак с плюса на минус. Эю значит, что сущест-
вует число б > 0 такое, что f (х) > 0 для всех х из ин-
тервала (х0— 6: х0) и /' (х) < 0 для всех х из интервала
(х0; х04-б). Так как /'(х) > О для х(Е(х0—б; х0), то по
теореме 1 из п. 3 § 36 следует, что па интервале (х0—б: х0)
функция / (х) возрастает. Следовательно, f (х) < / (х0) для
всех х из интервала (х0—б; х0). Так как f (х) < 0 для
х£(х0; х04-б), то пс теореме 2 из п. 3 § 36 следует, что
на интервале (х0; х04-б) функция f (х) убывает. Поэтому
f (*) < f CU Для всех х из интервала (х0; х0 + б). Таким
образом, / (х) < / (х„) для всех х=/=х0 из интервала (х0—б;
х0 + б), т. е. согласно определению 2 .п. 1 точка х0 есть
точка максимума функции f(x).
Доказательстве случаев б) и в) аналогично. ЕЗ
Сформулируем теперь достаточные условия существо-
вания экстремума в терминах значений производной вто-
рого порядка.
Теорема .2. Если функция f(x), определенная в не-
которой окрестности точки х0, имеет первую и вторую
производные и f (х0) = 0, a f" (х0) 0, то в точке х0
функция f (х) имеет экстремум, причем максимум, если
f“ (х,>) < 0, и минимум, если f (хэ) > 0.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 1.
4. Правила нахождения экстремумов функции.
Правило 1. Пусть /(х) определена и непрерывна
ь некотором интервале (а; б), имеет производную всюду
в интервале (а; б), кроме, быть может, конечного числа
Точек, и имеет не более конечного числа стационарных
точек. Тогда для нахождения экстремумов функции надо:
1) найти критические точки функции f(x), т. е. точки,
в которых или f' (х) = 0 или f (х) не существует,
2) исследовать знак производной /' (х) в некоторой
б-окрестносги каждой критической точки. При этом, если
['(х) меняет знак при переходе через такую точку, то
функция / (х) в этой точке имеет экстремум. А именно,
если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке
минимум; если с плюса на минус, то в этой точке мак-
симум. Если же знак /' (х) не меняется при переходе
через рассматриваемую точку, то функция f (х) не имеет
экстремума в этой точке.
Пример 1. Найти экстремумы функции
f (х) = х2/3 (х—3), х С Л?.
340
Л I) Вычислим производную данной функции:
и найдем критические точки: (х) = О, если х — 6/5; /'(х)
не существует в точке х = 0
Итак, критические точки: х,=0 и х2—6/5.
2) Исследуем знак производной f (х) в некоторой
окрестности каждой критической точки.
Имеем: f'(x)>0 для всех х<0 и f (х) < 0 для всех
xg(0; 1). Поэтому, согласно теореме 1 (см. п. 3), точка
х = 0 является точкой максимума, причем максимум фун-
кции равен /(О)--^О.
Далее, так как f (х) < 0 для всех х g f 0; — и f (х) > О
.6 I/O, 6
для всех х>-д-, то по теореме 1 (см. п. Заточка x=-j-
является точкой минимума, причем минимум функции
равен f w—2,03. Д
Правило 2. Пусть функция f(x), хg(а; Ь), непре-,
рывна и имеет вторую производную всюду на (с; Ь), кро-
ме, быть может, конечного числа точек. Тогда, - чтобы
найти экстремумы функции, надо:
1) найти стационарные точки функции f(x)’,
2) в каждой стационарной точке вычислить вторую
производную: если вторая производная положительна, то
эта точка—точка минимума данной функции, если вторая
производная отрицательна, то эта точка—точка макси-
мума; если вторая производная равна нулю, то для уста-
новления экстремума необходимо использовать первое пра-
вило.
Пример 2. Найти экстремумы функции
f(x)~£-2x* + 5.
А 1) Вычисляем первую производную:
f (х) — х1'—4х = х(х“—4)
и находим стационарные точки: Xj =—2, х, — 0, х3 —2.
2) Вычисляем вторую производную: /"(х) —Зх2—4 и
подсчитываем ее значения в стационарных точках:
f(—2)==£>0, f(0) = —4<0, f(2) = 8>0.
841
Следовательно, данная функция имеет:
а) в точке х ——2 минимум, равный f(—2)—1;
б) в точке х==0 максимум, равный f(C) = 5;
в) в точке х = 2 минимум, равный / (2) — 1. А
Вопросы для контроля
1. Какая точка называется точкой минимума функции?
2. Какая точка называется точкой максимума функции?
3. Какие точки называются точками экстремума функции?
4. • Что называется максимумом функции?
5. Что называется минимумом функции?
6. Какие значения функции называются экстремумами функции?
7. Сформулируйте теорему Ферма (необходимое условие существо-
вания экстремума).
8. Какие точки называкгея стационарными?
9. Сформулируйте достаточное условие существования экстремума
с помощью производной первого порядка.
10. Сформулируйте достаточное условие существооания экстре-
мума с помощью производной второго порядка.
И Сформулируйте правило нахождения экстремума функции с
помощью производной первого порядка.
12. Сформулируйте правило нахождения экстремума функции с
помощью производной второго порядка.
Упражнение
7 21. Найдите экстремумы следующих функций:
1) / (х) = 1-[-4х—хг; 2) f (х) = 3-(-х2 —6х;
3)/(х)-|х‘-х?+5; 4) f(x)=lx3-х4-ф-5;
5)/W — = 7)/(х)={/ х;
8) f (х) = р/х2; 9} f (х) =-х2е-*; 10) / (*) =еЛ +р~*;
11) f (х) = х 1пх; 12) f (x)=-i—[-In х.
§ 38. Выпуклость графика функции
1, О понятии выпуклости графика Функции. На рис. ПО
изображены графики функций, каждая из которых явля-
ется возрастающей на отрезке [a; &J, однако хорошо
видно различие в их поведении; в случае а) график Функ-
ции обращен выпуклостью вниз; в случае б) — выпук-
лостью вверх; в случае в) на интервале (а; с) график
342
функции обращен выпуклостью вверх, а на интервале
(с; Ь)~выпуклостью вниз. С геометрической точки зре-
ния смысл выражения «обращен выпуклостью вниз» и
«обращен выпуклостью вверх» вполне понятен. Придадим
эти»: выражениям точный математический смысл и дадим
критерий для выяснения того, в какую сторону обращена
выпуклость графика функции.
Определение 1. График непрерывно дифференцируе-
мой функции /(х), х£(а; b), называется выпуклым вверх
на интервале (а; Ь), если производная f (х) убывает на
(я; Ь). А если f' (х) возрастает на (а; Ь), то график этой
функции называется выпуклым вниз.
Легко видеть, что если график функции выпуклый
вверх, то все его точки лежат ниже любой еро касатель-
ной (рис. 111, а), так как угловой коэффициент касатель-
ной уменьшается с возрастанием х. А если трафик вы- ।
пуклый вниз (рис. 111, б), то все точки лежат выше лю
бой его касательной (кроме, конечно, самой точки каса-
ния).
Определение 2. Интервалы, на которых график
функции выпуклый вверх или вниз, называются интерва-
лами выпуклости графика функции.
343
2. Достаточное условие выпуклости графика функции.
Теорема. Пусть функция f (х), xQ(a; b), имеет пер-
вую и вторую производные. Тогда, если f" (х) < 0 дм всея
х£(а; Ь), то на интервале (а; Ь) график функции f(x)
выпуклый вверх, если же /" (х) > 0 для всех х £ (а; Ь), то
график функции [ (х) выпуклый вниз на (а; Ь).
□ Если /"(х) <0 для всех х£(а, Ь), то, согласно тео
реме 2 из п. 3 § 36, функция f (х) убывает на интервале
(а; о). Следовательно, согласно
i । определению, график функции
I I f (х) на интервале (а; Ь) выпук-
1 / лый вверх. Если же /"(х)>0
\ для всех х£(а; Ь), то, соглас-
но теореме 1 из п. 3 § 36,
1 функция f (х) возрастает на ин-
-------Т—?----------Т тервале (а, Ь). Таким образом,
согласно определению, график
Рис. 112 функции f (х) на интервале
(а; Ь) выпуклый вниз. ЕЗ
Условие знакоьосюянства второй производной, явля-
ясь достаточным условием выпуклости (вверх или вниз)
графика функции, не является вместе с тем необходимым
условием. Так, например, график функции f(x)s=x4+i
выпуклый вниз на всей числовой прямой, однако ее вто-
рая производная /"(х)—12х2 обращается в нуль в точке
х = 0 (рис. 112).
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов
выпуклости графика функции.
Пусть функция y — f(x), х£(а; Ь), имеет в интервале
(а; Ь) производную второго порядка кроме, быть может,
конечного числа точек, и f" (х) имеет не более конечного
числа нулей в интервале (а; о).
Тогда для нахождения интервалов выпуклости графи-
ка этой функции надо:
1) найти все точки, в которых или /"(х)=С, или /" (х)
не существует (эти точки называются критическими точ-
ками функции по второй производной);
2) в каждом из интервалов, на которые разбивается
интервал (а; Ь) критическими точками, найденными в пер-
вом пункте данного правила, установить знак /"(х).
Если в рассматриваемом интервале /" (х) > 0, то на
этом интервале график функции выпуклый вниз, если же
/"(х)<0, то выпуклый вверх.
Пример 1. Найти интервалы выпуклости графика
функции /(х) = х3.
344
Л Данная функция на всей числовой прямой- имеет
производные /' (х) = Зх2 и /* (х) = 6х. Следовательно,- 'име-
ется одна критическая точка по второй производной. Она
разбивает числовую прямую на два интервала (— оо; 0)
и (0; 4- ос\
Так как /’ (х) > 0 для всех х > 0 и f (х) < 0 для всех
х < 0, то график функции выпуклый вниз на интервале
Рис. ИЗ
(0; 4- ос) и выпуклый вверх на
интервале (—оо; ())(рис. 113). А
Пример 2. Найти интер-
валы выпуклости графика функ-
ции / (х) = хе”-*.
Л Данная функция на всей
числовой прямей имеет произ-
водные f'(x) = е~х (1—х) и
/"(х)==е”-*(х—2). Найдем кри-
тические точки функции (по
второй производной): х = 2.
Точка х = 2 разбивает числовую прямую на два интер-
вала (—оо; 2) и (2; -4- оо).
Так как /'(х)<0 для всех х <2, то на интервале
(—оо; 2) график данной функции обращен выпуклостью
вверх, а так как [и(х)>0 для х>2, то на интервале
(2; 4- ос) график обращен выпуклостью вниз (рис. 114). А
.3. Точки перегиба. Как следует из примера 1 преды-
дущего пункта, точка х — 0 для функции f (х) = х3 является
одновременно конном интервала выпуклости вверх и
концом интервала выпуклости вниз. Аналогичным свойст-
вом обладает точка х = 2 для функции / (х)=хе”*.
Определение. Точка графика дифференцируемой
функции, абсцисса которой является одновременно концом
интервала выпуклости вверх и концом интервала выпук-
лости вниз, называется точкой перегиба графика этой
функции.
345
Очевидно, что в точке перегиба касательная к графику
кривой должна, с одной стороны, находиться выше гра-
фика кривой, а с другой, — ниже его, т. е. пересекать
кривую в этой точке (рис. 115).
Теорема 1 (необходимое условие). Пусть
функция f (х) на интервале (а-, Ь) имеет непрерывную про-
изводную второго порядка. Тогда, если точка с абсциссой
*о € (с; й) является точкой перегиба графика этой функ-
ции, то /"(хо) = О.
□ Доказательство будем проводить методом от против
кого, Допустим, что f'(x,j)<0 (или f" (х0)> 0). В силу
непрерывности второй произ-
водной найдется 6-окрестность
точки х0 такая, что f" (х) < 0
(соответственно f” (х) > 0)
для всех х на этой окрестно-
сти. По теореме из п. 2 дан-
ного параграфа график дан-
^*^ной функции на интервале
Рис ц5 (^—6, хв + б) будет выпук-
лый вверх (соответственно
Последнее противоречит тему, что х0 является
перегиба. Значит, [" (хо) = О,Д
а.
о
вниз),
точкой
Теорема 2 (достаточное условие). Пусть
функция f (х) на интервале (а; Ь) имеет производную вто-
рого порядка. Тогда, если f" (х) меняет знак при переходе
аргумента через хй£(а, Ь), то х0 является абсциссой точ-
ки перегиба графика данной функции.
□ Пусть f" (х) при переходе через точку х0 меняет знак
с минуса на „плюс. Тогда в силу теоремы из и. 2 точка х0
такова, что, с одной стороны, от точки х0 график функ-
ции у = /(х) обращен выпуклостью вверх, а с другой
стороны, от этой точки х0 обращен выпуклостью вниз.
Последнее, согласно определению, означает, что точка
(х0; f (хо))—точка перегиба графика функции f(x). Анало-
гично доказывается, что и в случае, когда /" (х) при пере-
ходе через точку х0 меняет знак с плюса на минус, точка
(х9; f (хо))—точка перегиба графика функции Цх). □
Сформулируем правило нахождения точек перегиба
графика функции.
Пусть функция g = f(x)i х£(сц Ъ), имеет в интервале
(а; Ь) производную второго порядка, кроме, быть может,
конечного числа точек, и f" (х) имеет не более конечного
числа нулей в интервале {а; Ь). Тогда для нахождения
точек перегиба графика этой функции нужно:
346
1) найти критические точки функции по второй про-
изводной;
2) исследовать знак второй производной в некоторой
окрестности критической точки.
Если /" (х) меняет знак при переходе аргумента через
критическую точку х0, то (х0; f(x0))—точка перегиба гра-
фика данной функции.
Пример. Найти точки перегиба графика функции
f(x) = x4 —2х3 + 1.
Л/Чанная функция на всей числовой прямой имеет
производные
f (х) = 4х3 — бх2,
/"(х)= 12х(х—I).
Найдем крг;тические точки функции (по второй про-
изводной) из уравнения f"(x) — 0, т. е. 12х(х—1) = 0.
Итак, Xj = 0 и х2 = 1 — критические точки данной функции.
Выясним теперь знак у /" (х) в окрестности каждой кри-
тической точки хх = 0 и х2=1.
Если х<0, то f" (х) > 0; если xg(0; 1), то /"(х)<0.
Таким образом, точка (хх; f(x1)) = (O; 1)—точка перегиба.
Если xG(l—6; 1), то f"(x)<0, а если xg(l; 1 4-6),
то f" (х) > 0 Следовательно, точка (х2; /(х2)) = (1; 0) —
точка перегиба. А
4. Исследование квадратичной функции. Как известно,
функция / (х) = ах‘ + Ьх + с, где х С R и а =£ 0, называется
квадратичной, а многочлен ах2 4- Ьх 4- с, а=^=0, часто назы-
вают квадратным трехчленом. Квадратичная функция
определена и непрерывна на всей числовой прямой, т. е.
для любого х из .’Л Производная этой функции f (х) =
= 2ах + b существует при любом х £ R и обращается в нуль
в единственной точке х0 =—. Вычислим значение
функции f (х) в точке xuj
f (x«) = / 2а) = —4а ’
где D — b2—4ас—дискриминант квадратного трехчлена.
Напомним, что знаком дискриминанта D определяется
число и существование действительных корней квадрат-
ного трехчлена ахЧ-бхф щ
347
а) если D > 0,. то трехчлен имеет два действительных
корня:
^+/0 .
2а '
ь— V D
X-L—-------77-- и X,
б) если £) = 0, то трехчлен имеет один действительный
корень:
Ь
Х«----
в) если If < 0, то трехчлен не имеет действительных
корней, т. е. не существует действительного числа, явля-
ющегося корнем квадратного трехчлена.
Найдем интервалы монотонности и экстремумы квад-
ратичной функции, используя ее производную.
а) Если а > 0, то f (х) < 0 при х < х0 и д (х) > 0 при
х > х0. Следовательно, функция f (ж) убывает на интер-
вале (—оо; х0) и возрастает на интервале (х0; + со).
Так как f (л0) ----0 и производная f (х) при Переходе х
через точку х0 меняет знак с минуса на плюох то функ-
ция f (х) имеет в точке х0 минимум, т. е.
34 s
б) Если а < С, то /' (х). > 0 при х < х, и fr (х) < 0 при
х > х». Поэтому квадратичная функция / (х) возрастает
на интервале (—оо; х0) и убывает на интервале (х0; 4- ос).
Так как f (хв) = 0 и производная f (х) при переходе х
через точку х0 меняет знак с плюса на минус, то функ-
ция { (х) имеет в точке х0 максимум, т. е.
Lax = /(-v«)="y<>-
График квадратичной функции не имеет точек перегиба,
так как /" (х) — 2а =/= 0 для любо1 о x$R. Он обращен
выпуклостью вниз, если а > 0, и
вверх, если а < 0.
В зависимости ст знака дис-
криминанта D каждый из рас-
смотренных случаев разбивается
еще па три подслучая. Графики
каждого из 6 подслучаев квадра-
тичной функции изображены на
рис. 116.
Пример 1. Построить гра-
фик функции / (х) = хг — 4х— 5.
А При построении используем
результаты проведенного исследо-
вания квадратичной функции. Так
как для нашего случая а=1 >0
и D = t2—4ас — (—4)J—4«Ь(—5) = 36->0, то мы имеем
дело со случаем 1Р Найдем координаты вершины пара-
болы, являющейся графиком данной функции:
Ъ —4 о
V°~ 2а ~ 2-1 “2
И
й - / (хо) = f (2) = 24—4 2- 5 = -9.
Таким образом, данная функция в точке х0-2 имеет
минимум, т. е. froin = f (2) = —9. Решая уравнение х?—4х—
—5=0, найдем абсциссы точек пересечения графика функ-
ции с осью Ox: Xj =—1 и х2 = 5.
Найдем значение функции в точке х=0: /(0) =—5.
Следовательно, парабола пересекает ось Оу в точке
(0; —о). График данной функции изображен на рис. 117. А
Пример 2. Построить график функции /(х) =
= —^-х? + 2х—3.
О
349
Л Так как а= — у < 0 и D — &— 4ас—21 2—4 ( —у) х
х(—3) = 4—4 = 0, то мы имеем дело со случаем П2.
Положив х = 0, получим / (0) =—3, т. е. график функции
пересекает ось Оу в точке (0; —3). Найдем координаты
вершины параболы:
хо=-^=3’ йо=НЗ)₽=о.
График данной функции изображен на рис. 118. А
Пример 3. Построить график функции f(x)=a
=— Зхг + 2х— 1.
Л Б данном случае а = —3 < 0 и
D = b"'—4ос = 22 — 4( — 3)(—1) = — 8 < 0,
поэтому имеет место случай П3. Положив х = 0, получим
/(0) =—1, т. е. график пересекает ось Оу в точке (0; —1).
Найдем теперь координаты зерщины параболы:
Ь 2 1
Ха 2а~ 2-(—3) ~ 3
График данной функции изображен на рис. 119. А
Вопросы для контроля
1. Какой график называемся выпуклым вверх?
2. Какой график называется выпуклым вниз?
3. Какие интервалы называются интервалами выпуклости графика
функции?
3S0
4. Сформулируйте достаточное условие выпуклости графика
функции.
5. Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости
графика функции.
6. Какая точка называется точкой перегиба графика функции?
7, Сформулируйте необходимое условие существования точки
перегиба графика функции.
8. Сформулируйте достаточное условие существования точки пе-
региба графика функции.
9; Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика
функции.
Упражнения
7. 22. Для графиков следующих функций найдите интервалы, в
которых график функций обращен выпуклостью вверх и вниз:
1) f (4=x3-6x2+ 12x4-4; 2) f (х) = («+1)4;
3) f(x)=x4— 6х2---4; 4) / (x)=x44-8x?-|-JG.
7.23. Исследуйте квадратичные функции и постройте их графики:
1) f (х) = х24-2х-3; 2) f (х) = 4х2 — 6х—7;
3) /(х) = 3+4х-х2; 4)/(х)=.-1х24-х-15
5) /(х) = — 4х24 2х—1; 6)f(x)j=—g-х';-|-2х—5}
7) f(x) = x2 J-x—2; 8) f(x) = x?—2х + 3.
§ 39. Построение графиков функций
1. Асимптоты. Прямая y = kx + b называется асимпто-
той графика функции / (х) при х-->4-оо, если
lim (/ (х)—kx— Ь)=дО.
Л-> + оо
Таким образом, если прямая у — kx + b является асимп-
тотой графика функции J (х) при х —* + оо, то функция
а (х) = /(х)—kx—b
является бесконечно малой при х—>+оэ.
Отсюда следует, что
Ь|-я(х)
X X
и поэтому
k= lim f-&,
*->+«> Л
так как
Пт
«-» + » Х
35|
Далее, b = f(x)—kx—a(x) и поэтому
b — lim (/ (x)—kx).
Л» + CO
Аналогично определяется и находится асимптота гра-
фика функции fix) при х—*—оо.
Пример 1. Найги асимптоты графика функции f (х) =
Зх* + 1
X '
ДТак как
k~ lim lim ^# = 3,
Л^+» X x^+a.
&= lim (f(x)—kx) — lim ( — — Зх') — k lim — = 0,
*->+co *->+» X x V x->+ •» * X
то прямая z/ —Зх является асимптотой графика функции
J (х) при х—>-т-оо. Легко убедиться, что эта же прямая
у = 3х является асимптотой и при х—>—оо. График
функции изображен на рис. 120. А
Пример 2. Найти асимптоты графика функции f (х)—
2х’4-х
= х И *
352
Л Так как
k~ lim = lim -2f±* 2,
х-Ш> X ^±.„ х(л+1)
b=* lim (/(x) —kx) — lim f2/j"T—2-x^ =
X->±o> X->-±cd \ X 1 1 J
X
то прямая у —lx—1 является асимптотой графика дан-
ной функции при х—> — оо и при х —>4-оэ. График
функции изображен на рис. 121, Д
Пример 3. Пусть дана функция
/(*) = -§• (К*2 + X + 1 + V X3 — X 4~ 1).
Найти асимптоты.
Л Вычислим пределы:
Л-Ига Ш-i lira +
х->+ сг X 2 х-> + ю X
b — lim (f (х)—kx) -=>
Х-++ л
= ‘lim (Их3 + х+-1 4-Kx2—х4-1—2х) = 0.
* *->+оо
Итак, прямая у — х является асимптотой графика данной
функции при к—>4-ос.
Рассмотрим теперь пределы при х —>—оо;
Ига Ш ' пт
Х-> - да * X _ да X
b— lim (/ (х)—kx) —
Х->-да
— 4- lim (Их4 4- х 4-1 4- Vхг—х 4-1 4- 2х) = 0.
& *-h- 00
Следовательно, прямая «/ = — х является асимптотой
для графика данной функции при х—-—оо. Изображе-
ние графика Дапо на рис> 122. Д
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой
графика функции f(x), если
11т/(х)==оо или lim f(x) = .oo.
.r-Hj-0 *-*а + 0
.353
Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот
графика функции f (х) в качестве точки а, через которую
может проходить вертикальная асимптота, следует рас*
сматривать точки разрыва данной функции f(x).
Пример 4. Пусть Найти асимптоты.
Л Рассмотрим точки х = 2 и х — — 2. Имеем
lim f(x) = Um =
лг->±2л- 4
и поэтому прямые х—2 и х =—2 являются вертикаль-
ными асимптотами графика данной функции.
4‘
График функции изображен на рис, 123. Д
Пример 5. Пусть -дана функция /(х) = 4—т—
X* (X—1)5
Найти асимптоты.
Л Рассмотрим точки х = 0 и х = 1, где эта функция не
определена. В этих точках
(X—1)?) = + °°’ К™ (х—1)3) = —°° •
Следовательно, прямые х — 0 и х«1 являются верти-
кальными асимптотами графика данной функции. Кроме
того, прямая у = 0 является асимптотой графика функ-
ции при х—
Изображение графика функции дано на рис. 124. Д
2. Примеры построения графиков функций. При по-
строении графиков функций можно использовать следую-
щую схему!
354
1) Найти область определения функции, если она за-
ранее не указана.
2) Проверить функцию на четность и нечетность.
3) Исследовать функцию на
4) Найти точки пере-
сечения графика функ-
ции с осями координат.
5) Найти интервалы
знакопостоянстьа функ-
ции.
6) Найти асимптоты
.графика функции.
7) Исследовать функ-
цию на монотонность.
8) Найти точки экст-
ремума функции.
9) Найти точки пе-
региба и интервалы
выпуклости графика
периодич кость.
Рис. 124
функции.
10) Построить график.
Отметим, что не всегда нужно точно следовать данной
схеме при построении графика функции. Иногда для по-
строения графика функции достаточно пп. 1)—6).
Пример 1. Построить график функции ; (х)» ,
Д 1) Область определения функции — вся числовая
прямая, кроме х = + х =—1.
2) f(x)— нечетная, функция, так как f(—х) =— )(х).
Поэтому для построения графика y = f(x) достаточно ис-
следовать ее для х^>0.
3) Функция непериодическая.
4) График функции пересекает оси координат ''только
в точке (С; 0).
Точки Xi = —1, х?--0 и х8 = 1 разбивают числовую
прямую на четыре интервала:
(—оо; —Ч), (—1; 0), (0, 1) и (1; -т-оо).
5) Найдем знаки функции лишь в интервалах (0; 1) и
(1; +°°)-
f (х) < 0 для всех хё(0; 1),
f (х) > 0 для всех х£(1; +«>).
В силу нечетности данной функции имеем
f (х) < 0 для всех х£(—оо; —1),
/(х) > 0 для всех х£(—1; 0).
355
6) Так как
lim f(x)=±oo и lim /(х) = ±°о,
х->+1±0 л->-1±0
то прямые х=1 и х--=—1 являются вертикальными
асимптотами. А так как
lim — = lim
X-+J-HC Х *->±оо
Л3
Х(Х2—1)
1,
lim (/(%)—kx) = lim
х->± оо X->± <»
(я=1
ю график данной функции имеет асимптоту у — х.
7) Найдем производную;
х2 (х2—3)
(jcFZIj? ’
/'W
Она существует во всех точках числовой прямой, кроме
х=±1, и равна нулю в точках х = 0 и х = ±УЗ Поэ-
тому критическими точками функция будут
х±о= — У 3, х2 = —1, Xj-O, х4=1, хБ = К 3.
Изучим поведение /г.(х) в окрестности каждой крити-
ческой точки. Вследствие нечетности / (х) достаточно рас-
смотреть знак/' (х) на промежутках (—1; 0), (0; 1), (1; У 3)
и (|/"3; 4-оо). Результаты исследования запишем в таблицу
X —1<х<0 х = 0 0<х<1 1<х<У 3 х~У 3 V" 3-<Я<~|-00
f‘W — 0 — — б +
1{Х) убывает нет экст- ремума убывает (убывает минимум зКз 2 возрастает
В точках х =— 1 и х=Г функция не имеет экстрему-
ма, так как эти течки -не принадлежат области опреде-
ления данной функции. ’
В силу нечетности функции можно утверждать, что
при х*= — У 3 данная функция имеет максимум.
8) Чтобы исследовать график функции на выпуклость,
найдем вторую производную!
/j-ч?х (х-4~3)
356
и критические точки данной функции (по второй произ-
водной): /"(«) = 0 при х=0 и /" (х) нс существует при
х=±1. Однако точки х=₽±1 не принадлежат области
определения функции, поэтому точка перегиба может быть
только в точке с абсциссой х=-0.
Исследуем знак второй производной и результаты
исследования запишем в таблицу
X х<—1 —1<х<0 х=0 0<х<1 х>1
Г(Х) — + 0 — +
f W выпуклость вверх выпуклость вниз точка перегиба выпуклость вверх выпуклость вниз
9) На основе проведенного исследования функции
строим ее график (рис. 125). Л.
357
П р и м е р 2. Построить график функции f (х) ~ ' *7— .
Д 1) Область определения функции—вся числовая ось,
кроме точки х=0.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Функция непериодическая.
4) Найдем нули функции. Решив уравнение -*=0,
получим х = 2. Таким образом, график функции пересе-
кает ось абсцисс в точке х = 2. Далее, так как х=0 не
входит в область определения функции, то график функ-
ции ось ординат не пересекает.
5) Точки х —0 и х = 2 разбивают числовую ось натри
интервала (—ос; С), (0; 2) и (2; -}-оо), в каждом из кото-
рых значения функции имеют постоянные знаки (см.
таблицу):
X — оо <л<0 0<х<2 2<х< + ос
f W — — +
6) Найдем асимптоты графика функции. Так как
lim f(x) = lim Ц=^ = 0,
Л->± ОЭ Л'
lim lim ^7^ = 0,
X-*± ® .r->±00
то црямая у — 0, т. е. ось абсцисс, является горизонталь-
ной асимптотой. А так как
lim /(х) = lim —
х->±0 *
то прямая х=0, т. е. ось ординат, является вертикаль-
ной асимптотой.
7) Найдем производную:
f(x) = ^;
/ \ / х3 >
она существует и конечна в области определения данной
функции. Поэтому критическими точками функции f (х)
(по первой производной) будут х1=0ил2 = 4.
358
Изучим поведение функции на интервалах (—оо; 0),
(0; 4) и (4; -J-оо). Результаты исследования запишем в
таблицу
X — Оо<Х<0 0<х<4 х = 4 4< х<-poo
/'(X) — + 0 —
/(X) убывагт возрастает максимум «0,6 убывает
В точке х = 0 функция не имеет экстремума, так как
эта точка не принадлежит области определения данной
8) Чтобы исследовать график функции на выпуклость
и определить точки ^перегиба, найдем вторую производ-
ную:
Г(х) = !о^-б)
и критические точки данной функции f (х) (по второй
производной): f'(x)=-0 при х=6 и /"(х) не существует в
точке х = 0. Так как точка х = 0не принадлежит области
определения данной функции, го точкой перегиба может
оказаться лишь точка с абсциссой х = 6, Исследуем знак
35?
второй производной и результаты исследований запишем
в таблицу
X — ф <х<0 0<х<6 х=6 6<х<Н-эо
гщ — 0 +
/.(•*) выпуклреть вверх выпуклость вверх точка перегиба выпуклость вниз
9) Используя результаты исследования функции, стро-
им ее график (рис. 126). А
Упражнения
7.24. Найдите асимптоты графиков функций:
1) > 2> ^7=7; 3) //=/^1;
х2-рбх—5 с, ** сч 1
4)у=--------; 5)^=^.; б)у=т- -2.
7.25. Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
1) / (х) = хЗ-Зх2-х4-3: 2) I (х)=х*— 10х2+9;
3) f (х) = -х^4-2х2 + 3; 4) I (х) = ;
5),w=_^.
7) f (x) =; ₽) f (x) = 2 * й;
' ' ' ’ x x2 —5x-f-6
9) 10) f(x)=2~; 11) /(x)=xlr.x § *
§ 40. Решение задач на максимум и минимум
На практике часто приходится рассматривать задачи,
связанные с нахождением наибольшего или наименьшего
значения из всех тех значений, которые функция прини-
мает на некотором отрезке. Если известно, что на отрез-
ке [а; Ь] функция f (х) монотонна, то наименьшее и наи-
большее значения достигаются в концах отрезка, а именно,
если f (х) — возрастающая функция, то f(a)—наименьшее
значение, а / (t)—наибольшее значение функции / (х); если
же f(x) — убывающая функция,, то / (а)—наибольшее зна-
чение, a f (b)'— наименьшее значение функции / (х). На-
пример, функция / (х)-х!, х g [0; 1], возрастает на отрезке
360
[0; 1]. Следовательно, f(0) — 0—наименьшее значение
функции, a [(!)•=!—наибольшее значение (рис. 127).
Пусть теперь f(x) не является монотонной на отрезке
[а; Ь], но известно, что f(x) непрерывна на отрезке [а; д]
и имеет производную во всех
течках отрезка [я; й], за исклю-
чением, быть может, конечного
числа точек, и имеет не более ко-
нечного числа стационарных то-
чек. Тогда наибольшее и наимень-
шее значения на этом отрезке
функция принимает либо в одной
из критических точек, принадле-
жащих (а; Ь), либо на концах от-
резка [о; Ь].
Пример 1. Найти наибольшее
и наименьшее значе-
ния функции / (х) — х2/3 (х—2) на отрезках! а) ,г—8;—1]
и б) [—1; 1].
Д Функция / (х) определена на всей числовой прямой
и имеет производную
5х—4
3/
х
на всей числовой прямой, кроме х—-0.
Критическими точками данной функции будут х = 0 и
х = 0,8.
а) На отрезке [—8; —1] данная функция возрастает,
так как f'{x) > 0 для любого х£[—8; —1].
Следовательно, на отрезке [—8; —1] функция, прини-
мает наименьшее значение при х = —8, а наибольшее
значение при х =—1:
= f (~8) - -40, /ваиб = /(.-!) = -3.
б) Обе критические точки функции принадлежат от-
резку [-1; Ц. Следовательно, наибольшее и наименьшее
значения данной функции на отрезке [-1; 1] находятся
среди значений
Н-1) = -з, /(0) = 0, 1,03 И /(Ъ=-1,
и поэтому 7„аи6 = 0, /наим = —З.А
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значе-
ния функции /(х) = 2х3—9х24- 12л—3 на отрезке [0; 3].
Л Решив уравнение f '(х) = 6х2— 18х 4-12 = 6 (х—1) (х —
— 2) = 0, найдем критические точки х=1 и х=2.
363
Наименьшее из чисел
f(0) = -3, Д1) = 2, f(2)= 1, f(3) = 6
Рис. J28
будет наименьшим значением, а наибольшее—наибольшим
значением данной функции на отрезке [0; 3]. Поэтому
f иаьм = 3 И /наиб “ 6. А
Рассмотрим- несколько задач с конкретным содержа-
нием, для решения которых необходимо найти наиболь-
шее или наименьшее значе-
ние некоторой функции.
Пример 3. Какой из
прямоугольников с перимет-
ром 2р имеет наибольшую
площадь?
А Прямоугольников с пе-
риметром 2р имеется беско-
нечное множество. Наша за-
дача—выделить из этого мно-
жества прямоугольников пря-
моугольник, площадь кото-
рого будет наибольшей.
Если через х обозначить
длину одной из сторон пря-
моугольника, то длина другой стороны равнас р—х, а
площадь 3 такого прямоугольника равна х(р—х).
Найдем критические точки функции
S — x(p—х), х£[0;р].
Так как S' = р—2х, то х = р/2—критическая точк^.
этой функции. Па [0; р/2] функция 3 возрастает, а на
[р/2; р] убывает. Следовательно, при х — р/2 площадь 3
будет наибольшей.
Ответ: из прямоугольников с периметром 2р наиболь-
шую площадь имеет квадрат со стороной р/2. А
Пример 4. Из квадратного листа жести со стороной
а надо изготовить бак с квадратным основанием без крыш-
ки наибольшего объема.
А Обозначим через х длину стороны вырезаемого квад-
рата (рис. 128). Так как в основании бака квадрат, то
0 х у и объем бака будет определяться по формуле
V (х) = (а—2х')'1 х, где 0 <6 х «/2.
Таким образом, задача свелась к отысканию наибольшего
значения функции V (х) на отрезке [0, а/2].
362
' ак как V'(x) = a3—8ох4-12хг, то, решив уравнение
12х2—8ах + о2 = 0, найдем стационарные точки функции
V£x): х = а/6 и х = а/2.
Рассмотрим далее значения функции V в точках fc=0,
х2^а/& и х3 = а/2. Так как
Р(О) = С, И v(y)=Q,
то функция V (х) принимает наибольшее значение па от-
резке [0; й/2] в точке х = а/6. Итак, при х = а/6 объем
бака будет наибольшим.
Ответ: Унай6 = V . А
Упражнения
7-26, Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих
функций:
1) f(x) = x3—Зх на отрезках [—0,5; 0,6] и Г—1,5; 2];
2) ! ix) = x*—8x5—9 на отрезках [—1; 1], [0; 3] и [—3; 5];
3) f(x) =— х*4-2х?4-3 на отрезках [—0,5; 0,7]. [—2; 0], {—2; 2]
и [0; 4];
4) f(x)=f/х2 (2—х) на отрезках [—6; —1] и [—2; 1].
7. 27. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться
103 см3. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно- Каковы
должны быть ее размеры, чтобы на ее
изготовление пошло наименьшее ко-
личество материала?
7.28. Требуется огородить прово-
лочной сеткой данной а прямоуголь-
ный участок, прилегающий к стене.
Найти размеры участка, при которых
его площадь будет наибольшей.
7.29. Материальная точка со
вершает прямолинейное движение по
о
закону s (/) = 5/-|-2/5—д-/3, где s—
О
путь в метрах, t — время в секундах.
В ^сакой момент времени t скорость
движения точки будет наибольшей и
какова величина этой наибольшей
скорости?
7.30. Из куска картона 32смХ
Х20см требуется изготовить откры-
тую сверху коробку наибольшей еме
стимости, вырезая по углам квадраты
Ц. ZE
е; 3
Рис. 129
и затем загибая выступы для образования боковых сторон коробки.
Найдите объем коробки.
7.31. Сечение туннеля (или шлюзового канала) имеет форму пря-
моугольника, завершаемого полукругом (рис. 129).
1) Зная периметр сечения 2р, определите, при каком радиусе
полукруга площадь сечения будет наибольшей,
363
2) Зная площадь сечения S, определите, при каких условиях пе-
риметр сечения будет наименьшим.
7.32. Лампа висит над центром круглого стола радиуса R. При
какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего па
краю стола, будет наилучшей (освещенности прямо пропорциональна
косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квад-
рату расстояния от источника света)?
7.33. Докажите, что из всех равнобедренных треугольников, впи-
санных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний
треугольник.
7.34. Найдите положительное число х, чтобы разноси х—х*. была
на) большей.
7.35. Найдите число, которое в сумме со своим квадратом дает
этой сумме наименьшее значение.
7.36. Установлено, что энергия, отдаваемая электрическим эле-
ментом, определяется по формуле где Е— электродви-
жущая сила элемента, г—внутреннее сопротивление, R--внешнее
сопротивление. Каким должно быть сопротивление цепи, чтобы отда-
ваемая элементом энергия IT была наибольшей?
7.37. Даны прямая и две точки С и D по одну сторону от пря
мой. Найдите такую точку А на этой прямой, для которой сумма
расстояний CA-f-AD была бы наименьшей.
7.38 На странице книги печатный текст должен занимать (вместе
с промежутками между строками) 5 (см2). Ширина полей па странице
слепа и справа должна быть равна К (см), а сверху и снизу-— d (см).
Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы
должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
7.39. Определите сопротивление внешней цепи, при котором ба-
тарея из двух последовательно соединенных аккумулятору сможет
развить максимальную полезную мощность. ЭДС батареи 2,5 в, внут-
реннее сопротивление 0,16 Ом. Чему равна максимальная полезная
мощность?
7.40. Найдите наибольшую Площадь прямоугольника, вершины
которого находятся в начале декартовой системы координат, на осях,
на оси у и на параболе у— '4—xl.
364
Глава 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 41. Неопределенный интеграл и его свойства
I. Первообразная и неопределенный интеграл. Е диф-
ференциальном исчислении мы решали задачу нахождения
производной или дифференциала заданной функции. В ма-
тематике и ее приложениях часто приходится решать
обратную задачу: по заданной производной находить новую
функцию, производная которой равна заданной функции.
Например, если нам известна скорость v — v(t), f€[o; fr],
прямолинейного движения материальной точки, а мы долж-
ны узнать путь s, пройденный этой точкой, то, зная, что
^-=‘ц? ’мы как раз должны будем но заданной производ-
ds К' *
пой .найти функцию s. Нахождение функции, по
ее производной или дифференциалу рассматривается в
интегральном. исчислении• Функцию, восстанавливаемую
по заданной ее производной или дифференциалу, назы-
вают первообразной.
Определение 1. Функция F(х) называется первооб-
разной для функции f (х) на некотором промежутке, если
для всех значений х из этого промежутка выполняется
равенство
^(х) = /(х).
Например, для функции /(х)=-3х2, x£R, первообраз-
ной во всех точках действительной оси будет функция
Г(х) = х:|, так как F' (х) = Зх2 = / (х) для каждого x£R.
Заметим, что F1(x) = х3-р 1, или Г3(х)=х3 — 5, или, вооб-
ще, Г3(х)==х3Ч-С, где С—произвольная константа, также
являются первообразными для функции /(х) = 3х2, xQR,
так как эти функции имеют одну и ту же производную,
равную Зх2.
Таким образом, функция f(x)-=3x2, xgR, имеет бес-
конечное множество первообразных. Следующая теорема
365
показывает, как найти все первообразные заданной функ-
ции, знак одну из них.
Теорема. Если функция F (х) является первообразной
для функции f (х) на некотором промежутке, то множе-
ство всех первообразных для функции f на этом проме-
жутке задается формулой F(x)-\-C,
□ Любая функция вида F(x) + C, где С—некоторая
постоянная, является первообразной для f(x). Действи-
тельно,
(F(x) + C)' = F'(x) = /(x).
Докажем теперь, что любая первообразная для f пред-
ставима в виде F(x) + C, где С—некоторое число.
Пусть Ф(х) — первообразная для f (х), т.^е. Ф' (х) = / (х).
Рассмотрим вспомогательную функцию ф(х)=Ф(х) —F(x)
и покажем, что она является постоянной.
Пусть х± и х2—две произвольные точки рассматри-
ваемою промежутка и пусть, например, xt < х2. По тео-
реме Лангранжа найдется течка йС(хх; х2) такая, что
ф (*») — Ф (+) = ф' (0 (х2—xt).
Так как <р' (х) = Ф' (х)—F' (х) = / (х)—f (х) = 0 для всех
х и, в частности, <р'(с) = О, то <р (х2) — ф (xt). Итак,
ф(хг) —ф(*1) Д'151 любых хх и х2. Следовательно, <р(х) = С,
где С—некоторое число, т. е.
O(x) = F(x) + C □
Из доказанной теоремы следует, что графики первооб-
разных функции у = f (х) получаются из графика какой-
нибудь одной первообразной F(x) параллельным перено-
сом графика функции y=F(x) вдоль оси ординат.
Пример. Для функции f(х) = — , х£(0; + оо), найти
первообразную F (х), график которой проходит через
точку (2; 2).
А Так как при всех xg(0; + ио) верно равенство
(1пх)' = ~ , то 1пх—одна из первообразных функции
^(х) = —. По доказанной теореме искомая первообразная
F (х) должна иметь вид F(x) = lnx4 С, где С — некоторая
постоянная. Постоянную С находим из условия F (2) = 2,
т. е. 1п2+.С = 2, откуда С = 2 — In 2. Следовательно,
F (х) = In х 4-2—In 2 = In 4+2. А
356
Определение 2. Множество всех первообразных
функции f(x) на некотором промежутке называется неоп-
ределенным интегралом от функции / (х) на этом проме-
жутке и обозначается символом
$/(x)dx. (1)
Этот символ читается так: «интеграл от f(x) по dx».
Таким образом, согласно определению,
^f{x)dx — {F(x)-t-C}, (2)
где F (х) — какая-либо первообразная функции f (х), а С—
произвольная постоянная. Формулу (2) принято записы-
вать без фигурных скобок, опуская обозначение множе-
ства
\ f (x)dx = F(x)-± С.
Символ J называется знаком интеграла, fix')—подынтег-
ральной функцией, f(x)dx—подынтегральным выраже-
нием, х—переменной интегрирования.
Нахождение функции по ее производной или по се
дифференциалу называется интегрированием функции.
Интегрирование—действие, обратное дифференцированию.
Правильность интегрирования можно проверить диффе-
ренцированием. Например,
(2х + 3) dx = х2 + Зх + С,
так как
(х2-р Зх~ЬС) = 2х-1- 3
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
1. Если функция /(х) имеет первообразную, то
(J/(x)dx) = f(x), d(J/(x)dx)=/(x)iir. (1)
□ Пусть F{x) — одна из первообразных функции f (х),
тогда, по определению,
J f (х) dx — F (х) + С,
где Е'(х) = /(х) или dF (х) = / (х) dx. Следовательно,
( J / (х) dx)' = (F (х) + С)' = F' (х) = f (х),
d($f (x)dx) =^d(F(x)-bQ = d/?(x)=/(x) dx.E
36Г
2. Если / (х)—дифференцируемая функция, то
f (х) dx = f (х) 4- С,
df (х) = f (х) 4- С.
(2)
□ Так как df (х) = f (x)dx и f является первообразной
для своей производной то
' df (х) = J f (х) dx = f (х) 4- С. □
3. Если функция f (х) имеет первообразную, то при
а#=0 верно равенство
J й/ (х) dx = a j f (х) dx. (3)
Это свойство означает, что постоянный отличный от куля
множитель можно выносить за знак интеграла.
4. Если функции f (х) и g(x) имеют первообразные,
то
(/(x)4-ff(x))dx= f (x)dx + $ g(x)dx. (4)
Это свойство означает, что интег рал ст суммы двух функ-
ций равен сумме интегралов от этих функций
Доказательство свойств 3 и 4 аналогично доказатель-
ству первых двух свойств.
Формула (4) естественным образом обобщается на слу-
чай суммы /г(п>2) функций.
Пример. Найти \ (2 sin х 4- Зв-*) dx.
Л. Согласно свойствам 4 и 3 неопределенного интеграла
получаем
' (2sinx4- 3a-*)dr= \ 2 sinxdx4- J 3e-*dx —
= 2 J sinxJx 4- 3 j <?-*dx = —2 cosx—Зе-* 4-C:
Последнее равенство следует из известных формул:
(—cosх)'— sinx и (—г-*)' = е-*. А
3. Таблица неопределенных интегралов. Из определе-
ния интеграла следует, что всякая формула для произ-
водной конкретной функции, т. е. формула вида
(x) = f(x),
может быть записана в виде интегральной формулы:
j f (х) dx -= F (х) 4- С.
<368
Используя это соображение и таблицу производных, соста-
вим таблицу неопределенных интегралов.
1. ^Odx = C, С—константа.
2. = -f-С, а^=—1.
3. j-£ = ln|x| + C.
4. f axdx^ а>0, а^=1.
J 1а а ' ’ '
В частности,. ех dx — ех + С.
5. \ cosxdx-^sinx + C.
6, sinxdx =—созх + С.
7’ $Ж=18Х + С’
*• Ш=-^х+с-
]0- L-^ = iln|Sl+C’ а^0'
11. f г /** — arosinгД 4"С, а
12. [_^== = ln(x+KF+T‘} + C, а^О.
J у хг^- аг
13. f-7^= = ln!x4V~<Т*\ + С, а=^0.
J у х*—а'
Каждая из формул 1 —13 справедлива на каждом
промежутке, принадлежащем области определен'ия'Тод-
интегральиой функции. Справедливость каждой Из при-
веденных формул можно установить дифференцированием.
Проверим, например, формулу 3.
Здесь надо рассмотреть два случая
1) Пусть х > 0; тогда |х| = х и формула 3-примет вид
f *£ = 1пх + С.
J х
Дифференцируя, получим
(lnx + Q ^-l f-0 = y.
36Э
2) Пусть х < 0; тогда |х| = —х и формула 3 имеет вид
^ = ln(-x) + C.
Дифференцируя, будем иметь
(1п(_х) + С)' = -14-0 = 1.
Интегралы, приведенные в рассмотренной выше табли-
це, получили название табличных интегралов.
Вопросы для контроля
1. Какая функция называется первообразной для функции /(х),
jrg(a; 6)?
2. Что называется неопределенным интегралом функции /(х)?
3. Верны ли утверждения: г) первообразная суммы двух функ-
ций равна сумме первообразных этих функций; б) неопределенный
интеграл разности двух функций равен соответствующей разности
интегралов от этих функций?
4. Почему формула (3) неверна при а = 0?
5. Докажите справедливость формул 10—12 для табличных ин-
тегралов.
§ 42. Методы интегрирования
1. Метод непосредственного интегрирования. Непосред-
ственным интегрированием называется такой метод вы-
числения интегралов, при котором они сводятся к таб-
личным путем применения к ним основных свойств неопре-
деленных интегралов. При этом подынтегральную функцию
обычно предварительно соответствующим образом преоб-
разуют.
Пример 1. Найти ^(1+Kx)2dx. ।
Д Преобразовав подынтегральную функцию и восполь-
зовавшись свойствами 4 и 3 интеграла, находим
\ (1 + дх == \ (1 + 2 Ух -Ь х) dx —
= ' dx + 2 j Ух4х + §xdx=x+ 4x^~xi^-~ + C.
Последнее равенство получено с помощью табличного
интеграла 2 соответственно при й = 0,а-у и а—1. А
Пример 2. Найти \--x—dx.
3/0
А Интеграл сводится к табличным интегралам 3 и 2
(а = 3):
J- = 2 J -x- + Jx3dx = 21njx|+^- + C. А
Пример 3. Найти 3*• 4’*dx.
Л Преобразовав подынтегральную функцию, приводим
интеграл к табличному интегралу 4 (а = 48):
j3*-4aJcdx = J 3*16xdx = § 48*dx=^y4-C. А
Пример 4. Найти j cos2 у dx.
Л Так как 2 cos*-^ = 1 4-cos х, то
t
С cos2 dx = С (1 + cos х) dx = -i- (x 4- sin x) + C. A
Пример 5, Найти 254-4x2 •
А Путем простых преобразований подынтегральной
функции приходим к табличному интегралу 9 t а = 4):
f dx f dx If dx
j j “TJ(| )‘+*~
“T'f ,,c;sf +C=raaretgS+c.A
2 2
Пример б. Найти \ •
А Интеграл приводится к табличному интегралу 9
(а-КЗ):
х2dx Р 34-х2—3 (* 34-х2 , , С — 3dx ,
34-х2 3-х2 ax~J 34-й-
'’И-3УзТз-="х-3 7Тагс‘6'Й+с=
= х— Кз arctg -^=- 4- С. А
Пример 7. Найти
dx
Зх? -У •
371
хКЗ—К Б
*/з + /Е
~-^=Ип
.2 У 15
Пример^. Найти С р-т^- •
А Сводим интеграл к табличному интегралу 11
I f dx 1 х . 1 • п . *
= у1 — , ......--ы — arcsin ——1-С—у arcsin Зх + С. А
J ’/ (4j-* . _j_______________
Пример 9. Найти ' х +4~4 ~4dx.
н н J Кх*-16
А Данный интеграл сводится к табличным интегралам
12 и 13 (а = 2):
№ + 4 —4 У х2 —4 Р dx С dx
У х*-УГ ~ J Ух^7 J Ух^-4
— In|х4 Ух2—4| — 4 In(х-Ь Ух2 + 4) + С. А
Пример 10. Найти^^^2-.
А Так как sin2x + cos2x= 1, то
1_____________.sin2 x-f-cos: х_ 1
Sin2 X COS? X sin? X COS2 X COS2 X
1 I
sin2 x
Таким образом, интеграл сводится к табличным интегра-
лам 7 и 8:
5ЖЖ? “ j 757Т'I' J Е?7 "+ С-Л
372
2. Интегрирование методом замены переменной (метод
подстановки). В основе метода подстановки (или метода
замены переменной) вычисления неопределенных интегра-
лов лежит следующая формула, являющаяся простым
следствием правила дифференцирования сложной функции:
S f (g (*)) §' W <*х = F (g W) + С, (1)
где F {/) —какая-либо первообразная функции f (t), t = g (х).
Действительно, согласно этому правилу получаем
(Р (g (*)) + Q' = Р' (g W) g' W = f (g (*)) g' (*)•
Правую часть формулы (1) обычно записывают в виде
\f(f)dt, (2)
где t = g{x).
Из формулы (1) следует, что если подынтегральное
5 выражение имеет вид
f(g(x))g' (x)dx~ f {g (х)) dg (х) (3)
или приводится к эюму виду, то интеграл
\l(g(x}]g' [x)dx
можно свести к интегралу (2) с помощью замены пере-
менной, положив t—g(x).
Пример 1. Найти cos (5х 4- 3) dx.
А Подынтегральное выражение приводи тся к виду (3):
cos (5х 4- 3).dx = 4- cos (5х 4- 3) d (5х + 3)
(здесь f (х) — cos (5х + 3), g (х) = 5х + 3). Сделав замену
переменной t = 5х 4- 3, получим
'j cos (5х 4- 3) dx = -4 cos tdt — 4; С = 22 'У с’. А
Пример 2 Найти (2x4-l)utix.
Л Так как
(2х-Н 1/Мх = 4(2х4- l)led(2x+ 1),
то, положив / = 2х 4- 1. получим
J(2x-h l)'®dx = y J (2х4- i)l4(2x-|- 0 =
373
Пример 3. Найти '< хе** dx.
Д Положив / = х2, находим
'‘xe’c2dx = yje^dx2=y d/=-le<^C=4-|e*‘ + C-А
'Пример 4. Найти
Д Подынтегральное выражение приводится к виду
1 d(4p3x2)
9 ’ 4+3x3 ’
Положив ? = 4 + Зх3, получим
Р х2 dx 1 Cd(4+3x3) 1 1* dt
J ГТЗх3 —"s’ J 44-3x5“ ~ 9" J ~
=41n|/| + C=-lln|4-|-3x5[ + C.A
1 Пример 5. Найти jj-e1/xdx.
Д Положим Z = v, тогда x-^- и ir=—Таким
X Z J5
образом,
C 4- dx = f /V ( — = — f e* dt«
J xi J \ ti j J
r=—e'4-C = —е^4-С. Д
Пример 6. Найти f ___=-.
r J Кil + Юх—x2
ДТак как 11 + Юх—x2 = 36—(x—5)2, то с помощью
замены переменной t — x—5 интеграл сводится к таблич-
ному интегралу!
Г dx__________Г_____dx_____f d (х—5)
J Vff+Tox^x? ~ J 36--(x—5)2 — J /б2—Jjt—fc)2
— i r: -—arcsin—hC и arcsin---C. A
J / 62 — ti 6 6 1
Пример 7. Найти $ x К1 — x2 dx.
Д Сделаем подстановку t = 1 —x2, тогда dt = — 2x dx,
t. e. xdx=z—Поэтому
JxKl — x2dx= /1 = — у j f^ldt^
^5 0 О
374
Пример 8. Найти ' sinxcos’xdx.
Л Положим / = cosx, тогда di ——sin xdx. Следова-
тельно,
J sinxcos7xdx = — \ I’ dt — —g--|-C = — —* x- + C. A
По и мер 9. Найти ?-т~.
г 1 ,) sinx
А П е р в ы й способ. Преобразовав подынтегральное
выражение
dx _ sin xdx_— dcosx
sin x sin2 x ~ 1 — cos2 x
и положив / = cosx, приходим к табличному интегралу 10:
С <*_ = С ~ =11п| +С--=гJ- 1г.1а_с +С.
J sinx J I2 —1 2 р+И . 2 1-f-ccsx 1
Второй способ. Преобразуем подынтегральное вы-
ражение следующим образом:
dx _ d 2____________1__ ^2________J lg 2
sin x ~ . x x .x , x . x
Sin у COS у tgy COS2 у tgy
и положим и = tg у. Тогда получим
Уж=У7 = 1“1“1 + С-1"|'8т| + СЛ
Пример 10. Найти
к F J /1-х2
dx
А Положим t — arcsin х, тогда dt = —, Таким
/1-х2-
образом,
J /1-х2 J з з
Пример 11. Найти f—•
F J 1 + / х
А Сделаем замену переменной, положив x = t2,
Тогда, так как dx = 2idt, получим
f-^- = 2f^ = 2(l±^d?==
J 14/х J 1-Н J
= 2 ^di— 2jT^y = 2z-21n(l + /) + C =
= 2/’x-21n(l 4- /1) + С.А
375
Пример 12. Найти I -7-----
А Положим ех — 1 = Z2, t > 0, тогда
exdx = 2tdt, dx = ^-v
Следовательно,
17^Т-2У4т-=2агс‘8А+с-
— 2 arctg У ех — 1 н- С. А
Пример 13. Найти § У4--хгdx.
ДПоложим x = 2&in/, Н|=Су, тогда dx = 2costdt
и ^ = arcs!ny. Следовательно,
У 4—х2 = У 4—4 sin21 — 2 У1 —sin21 — 2 cos t.
Таким образом,
J У4 — x2dx'= $ 2 cos t-2 cos tdt = 4 ( cos21 di =
= 2 } (1 + ccs 2l) dt = 2t + sin 2t + C.
Так как
sin 2t — 2 sin i cos t = 2 sin t У1 — sin21 =
-2.i У
TO
У 4—x2dx = 2arcsin-^- У 4—x2 -pC. A
Пример 14. Найти J sinaxcosbxdx, cy=0, b y=0.
А Преобразовав произведение тригонометрических
функций в сумму согласно известной формуле
, sin (a —1>) x4-sin (а 4- fc) х
sin ах cos их = — --—----4—-,
получим
\ sinGXCosi>xd.v = y \ sin (а—b)xdx + у J sin (а Ч- b)xdx.
Если а±Ь-#=0, то, положи# 1 = (а—Ь) х в первом интег-
376
рале и u = {a-\-b)x во втором, найдем
> sin (а—b)xdx — J d/ ~
cos/ t /-> _ cos (а— 6) х , п
~ —+ ~Ь 1 Gi’
j s>m(a-^b)xdx — , du =
cos и , r cos (a -|- b) x ,
“ а|-ГЛ!“ a + b +G*-
Следовательно, если a ± b 0, to
J sin ax cos bx dx = — --
/cos (a — b) x . cos (a4-b', x\ . p
\ a_ b a4=7 J -l" G'
При a±b — Q интеграл вычисляется еще проще:
sin ах cos ах ах — у J sin 2ах dx
cos 2 ах
4а
Аналогично вычисляются интегралы
J sin ах sin bx dx, cos ах cos bxdx, а -А О, b Ф 0.
Пример 15. Найти интегралы от рациональных функ-
ций:
j х2-3х -!0dx: 2> Jх2} 2x-H
о, f Зх—2 , ..Г х34~1 ,
3) \ ч—1—t~idx-, 4) \-5—- —<idx.
’ J хг— 4х+о ’ ’ Jx24-x—2
АВ этом примере все подынтегральные функции имеют
вид
p»w
х24-рх4-</’
где Рп (х) — многочлен степени п. Способ интегрирования
таких дробей зависит от того, имеет ли корни знаменатель
дроби и является ли рациональная дробь правильной
(л < 2) или неправильной (л ^2).
1) Здесь подынтегральная функция является правиль-
ной рациональной дробью, знаменатель имеет два корня:
х = 2, х = —5. Представим подынтегральную функцию в виде
суммы:
__3x4-5 _ А В
х2 4- Зх — 1С — х—2 "•* хЧ-5
377
и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой
части к общему знаменателю;
3x4-5 _Д(х4-5)4-В(х—2)
х2--3х —10“ х24-3х—10
Из этого равенства следует тождество
3x4-5 = А (х 4- 5)4- В (х—2).
Полагая в полученном тождестве х = 2, находим ТА — 11,
Л=у. Полагая х — —5, получаем —ТВ ——10, В = у.
Следовательно, подынтегральная функция представима
в виде
3x4-5 11/7 10/7
х24-3х —10 х —2_Гх4-5‘
Поэтому.
р Зх-|-5 _П f dx । Ю ? dx
J х?4-Зх-10йХ-'ТJ x^2+7,) xT$~
11 In | x—2 14- 10 In |x4-51 . p
------------y— 4- c
2) В этом случае знаменатель рациональной дроби имеет
кратный корень х ——1. Представим подынтегральную
функцию в виде суммы:
7х—1 А , В
*«4-2х |-1 “ х4-1 ’"(х-Н)2
и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой
части к общему знаменателю:
7х—1 А (х 4-1)4-Д
х24-2х4-1~ х? 4-2x4-1
Из полученного равенства следует тождество
Тх—1 — А (х4- 1)4- В.
Полагая в нем х = —1, находим В = --8, полагая х = 0,
получаем Л4-В =—1, т. е. Л = 7. Следовательно,
7х—1 _ 7 8
х24 2х;-1 х4-1 (x-f-l)2’
Поэтому
С 1Х~1 rfv_7f dx о Гd (*+')_
Jx24-2x-H Jrf-1 J(x4-1)2~
= 71n|x4-l|4-?48l + C-
878
3) Знаменатель рациональной функции не имеет корней.
Представим подынтегральную функцию в виде суммы:
Зх—Ji Л (х?- 4x4-5)'' , D 1
xl — 4x+3~ х1.— 4x4-5 Dxi— 4x4-5’
Для определения коэффициентов А и В получаем тождество
Зх—2 —А (2х—4) + В.
Полагая здесь, например, х = 2, а затем х = 0, получим
В = 4 и —4Д В ——2, т. е. А —у. Следовательно,
С 3*~2 Яг _ Л С 4 (х?—4x4-5) . и____dx - _
Jx?^4x4-5“ 2 J х?—4x4-5 J (х—2)24-1
= у 1п (х2—4x4- 5) 4- 4 arctg (х—2) 4- С.
4) Подынтегральная функция не является правильной
рациональной дробью, так как степень числителя равна 3.
В таких случаях следует, разделив числитель на знаме-
натель, представить неправильную дробь в виде суммы
многочлена и правильной рациональной дроби. В данном
случае, после деления многочлена х34-1 на многочлен
х2 4- х—2, получим
х3)-1 _. Зх—1
х?4-х—2 Х ~'x?-f-x—2*
Многочлен х2 4- х—2 — (х— 1) (х 4- 2) имеет два корня: х = 1
и х =—2. Поэтому далее поступаем так же, как и при
решении примера 1):
Зх—1 _ X в
х2+х—2 х— 1”*”х4-2’
Зх— 1 = А (х4- 2) 4-В (х— 1);
/
2 7
при х=1 получаем 4 = у , при х ——2 получаем В — -^.
Таким образом,
л3 4-1 у , 2/3. 7/3
xi-x—2 ‘гх—1 1 х4-2’
Следовательно,
\ xi^~x2T2dx=T~* + 4,nlx— 1l + 4 In |х 4-214-С-А
379
3*. Интегрирование по частям. Согласно правилу диф-
ференцирования произведения имеем
d (uv) = vdu-iи dv.
Поэтому
adv =d(uv)—vdu.
Интегрируя обе части этого равенства, получим
J и dv — J d (uv) — J v du.
Используя сеойство неопределенных интегралов;
$ d (uv) =* uv + С,
получим формулу
^udv = uv — ^vdu. (1)
Эта формула называется формулой интегрирования по
частям.
Пример 1. Найти ^xexdx.
А Положим
и=х, dv=ex dxt\
тогда
dti-dx, v — ex.
Таким образом, используя формулу (1), будем иметь
\ хеЛ dx = хех —' e*dx — хех — ех 4- С.
Замечание. Если при решении этого примера мы
положили бы
и—ех, dv=xdx
и, следовательно,
du — exdx, v — ~,
то, применив формулу (1), получили бы
хех dx=^ ех—
х*е* dx,
т. е. интегрирование по частям привело бы к интегралу
более сложному, чем исходный. А
При использовании формулы интегрирования по частям
для нахождения интегралов ог произведения нельзя дать
380
общее правило для определения того, какой сомножитель
в подынтегральном выражении следует обозначать через и
и какой через dv. Ограничимся поэтому следующими ре-
комендациями:
1) Применение формулы интегрирования ло частям
целесообразно в тех случаях, когда подынтегральное вы-
ражение удается представить в виде произведения двух
множителей и и dv таким образом, чтобы интегрирование
выражений dv и vdu было более простой задачей, чем
интегрирование исходного выражения udv.
2) При вычислении интегралов вида
j Р (х) Inxdx, j Р (х) arcsinxdx, § Р (х) arctgxdx,
где Р (х)—многочлен, за функцию и принимается Соот-
ветственно 1пх, arcsin х, arctg х (см. примеры 2, 4).
3) При вычислении интегралов вида
\ Р (х) еах dx, J Р (х) sin ах dx, 1 Р (х) cos ахdx, а^О,
за и принимается многочлен Р (х) (см. примеры 1, 3).
Если многочлен Р.(л) выше первой степени, то опера-
цию интегрирования по частям следует применить нес-
колько раз (см. пример 5).
4) При вычислении интегралов вида
еах sin Ьх dx, 'еах cos Ьх dx, а2 4 b2 =/* О,
формула интегрирования по частям применяется последо-
вательно два раза, причем оба раза за и выбирается либо
показательная функция, либо тригонометрическая. После
двукратного интегрирования по частям получается линей-
ное уравнение относительно искомого интеграла (см. при-
мер 6).
Пример 2. Найти . Inxdx.
А Положим
и = 1пх, dv — dx,
тогда
, dx
du = —, v = x.
X ’
Отсюда, согласно формуле (1),
J Inxdx —xlhx — I x •y- = xinx— • dx ==•
:=xlnx—Х4-С.Д
381
Пример 3. Найти xcosxdx.
Л Положим
и = х, dv =а cos х dx,
тогда
du — dx, v = sin x.
Поэтому, используя формулу (1), имеем
Ухccsxdx = xsinx—j sinxdx— хз1пх4созхфС.д
Пример 4. Найти хarctgxdx.
А Положим
u = arctgx, du — xdXj
тогда
, dx . x’
dw~14-xV V~T’
Следовательно,
J x arctg x dx = 4,- aictgx—y J ~~.
Вычислим отдельно последний интеграл:
С xUx 014-х?—1. о. f dx .
jr+^-J-rnr^i TT^^x~aicfgx+C>
Итак, \
Jxarctgxdx. =-y irctgx—у 4~y afctgx4-C =
= ^±larctgx—y + C. д
Пример 5. Найти j x (x—5) sin 2x dx.
Д Положим
u—x?—ox, dv — sin2xdx,
тогда
du = (2x—5) dx, v = — .
По формуле (1) получаем
j x(x—5)sin2xdx =
" ~ cos 2x + T (2x~ 5)cos 2x dx‘
382
Для вычисления последнего интеграла еще раз применим
интегрирование по частям, положив
и = 2х—5, dv = cos2xdx.
Так как du—2dx, v = 2* , то
\ (2x— 5) cos 2x dx =s 2*~5 sin 2x—§ sin 2x dx =»
D^sin^ + 2^I + C(j
Таким образом,
j x(x—9)sin2xdx=*
₽s—-^-y— cos ~ sin + 4"cos 2x + C =»
l + 10x— 2x4_0 2x— 5 „ _
*=----4----cos 2x 4- —4 SI n 2x -f- С. Д
Пример 6. Найти F (x) = ‘ e3x sin 2x dx.
Д Положим
и — e3*, dv — sin 2x dx,
тогда du 3e3z dx> v==_ £^12x .
По формуле (1) получаем
F (x) = — -1- е’л cos 2* 4- у ? eM cos %x d*'
Для нахождения последнего интеграла применим еще
раз формулу интегрирования по частям:
и — езх, dv = cos 2х dx,
du — Зе3* dx, v= у sin 2x.
Тогда
P 1 3 p
\ e3x cos 2x dx = e™ sin 2x —e3* sin 2x dx ==
— ~ e3*sin 2x—у F (x).
Таким образом, для F (x) получаем уравнение
F(x) = — 4cos 2x4-у (у e3*sin2x—у ,
из которого находим
F(x) -4fiW(3sin2x—2 cos 2x) 4-С. д
383
Замечание. Выше мы познакомились с некоторыми
приемами вычисления неопределенных интегралов. Сле-
дует иметь з виду, что не у всякой элементарной функ-
ции первообразная есть элементарная функция. В том
случае, когда первообразная некоторой элементарной
функции f, мляется элементарной функцией, говорят, что
интеграл J f (x)dx выражается через элементарные функции
или что этот интеграл можно найти или вычислить. Если
же интеграл не выражается через элементарные функции,
то говорят, что интеграл нельзя найти или что интеграл
нельзя вычислить. В следующей главе будет доказано (см.
п. 6 J 44), что для всякой непрерывной функции f(x)
первообразная существует, т. е. существует неопределен-
ный интеграл J f(x)dx. Однако первообразная функции f(x)
может быть функцией неэлементарной. Так, например, для
следующих функций
,/т-:—i smx 1
У 1 + Xs, в х , ---. —
’ х ’ 1пх
первообразная существует на любом промежутке, где
функция непрерывна. Но, как можно доказать, перво-
образная каждой из этих функций есть функция неэле-
' ментарная. Поэтому про интегралы
^/т+x^dx, fje^dx, ^dx,
говорят, что они не выражаются через элементарные
функции или что их нельзя найти, Нельзя вычислить.
У пражнения
8.1. Докажите, что функция F (х) является первообразной для
функции f(х) на всей числовой прямой:
3
1) F (х) = 2х1-|--^- x4-f-5, f (х) = 3 (х-|-2) х2 3;
2) Г(х) = 2х 4 е?*, f (х) = 2(14-ег*);
3) F (х) = sin хcos х, f (х) = cos 2x;
4) F (x) = x-ln (1-4x»), f (x) = -^^--.
8.2. Докажите, что на указанном промежутке функция F (х) явля-
ется первообразной для функции f (х):
1) F (х)=х 4--^-, f (х) - 1 — , х > 0;
2) F(xj = 2 fx4|x3/V /(4 = ^. ж>°;
3 ух
384
. . . sin X
3) F(x)=-’-tg4x,
4) F (x) = arccos —,
x
8.3. Являйся ли на
я
Т:
f (х) — 8 sin х cos Зх;
f (х) = 2s1-1 •» cos х;
f(x)=0;
f« = 0?
f (x) = - • _, x > i.
--------------... ------ всей числовой прямой функция F (х) перво-
образной для функции f (х):
1) F (х) = 2 cos 2х—cos 4х,
2) F(x) = 2’<n«,
3) F (х) = a ref g х -f- aroctg х,
4) F (х) = sign х,
8. 4. Какая из функций
Ft =у sir.’x +1, F2 =3 —^-со$2х, Fs =4 — cos2x
является первообразной для функции f — sin х cos х?
8. 5 Найдите для функции y = f (х) первообразную, график кото-
рой проходит через точку (х0; </0):
J) у = 2х-3, (3; 3); 2) У = -^ , X > 2, (4; 0);
3) у = х\ (2; 3)? 4) у= ±, х < 0, (-3; 4);
5) _L=+sin(l+x), (1; 1); 6) у = |х|, (-2; 4).
2 у х
8.0, Пусть функция F (х) является первообразной функции / (х)
на всей числовой прямой. Верны ли следующие утверждения:
1) если / (х)— периодическая функция, го F (х) —периодическая;
2) если f (х)— нечетная функция, то F(x) —четная;
3) если f (х) — четная функция, то F (х) — нечетная?
8. 7. Найдите какую-либо первообразную функции f (х):
1) f (х) = 14-х4; 2) f (х) = х3(х3 — 1);
3) f(x) — (x2.— 1)а; 4) f (х) = 2х3 — 5хг—7х—3;
5) = *>0; 0) /(х)=75-+7?-+т, х С °;
7) f (X) = ; 8) / (х) = <
(/ х ух
8.8. Найдите неопределенные интегралы:
1) \ {ах4 6) dx-, 2) j , (ax24-bx-t~c) dxi
3) f (7—Зх—x3)dx; 4) ’ i x (x-|-1) (x4-2) dx;
Б) 6) j 'x8 — 3x5—x34-l . i x3 ix'
С»+1)^-3) dx. 8) j ’ x3—3x34-3x— 1 dx I X3 —X
8.9. Найдито неопределенные интегралы:
J X У X J ' л
.385
~ f-j/ Г(/2+1)(х2-2)
J) J у xr x у xdx; 4) j----------5^7=-----dx.
8.10. Найдите неопределенные интегралы:
1) \ (V 4- 5cos «) dx; 2) ' (2 sir x + 2х) dx;
3). j ( 7i/~x+7x) dX; 4) J dx;
5) £ 2*32*<tx; 6) f 21?21 dx;
J J sin x
7) ( sin2 ,y dx; 8) £ ctg2 x dx.
8.11. Найдите неопределенные
1) C—,
’ J 164-Эх2 ’
f x3 4-2x2 4-5x 4-13
3) J ---^T5-------dx'
5) Г ;
J Ку- 4x2
7)
J /1-х*
интегралы;
2) C_^_.
’ J 5-2x2'
4) ? x44-4xV
€) f J? ;
J К7x2—8
|V^3j^
J V X* — 9
8.12. Применяя подходящие подстаиоькп,
найдите интегралы:
1) <3x— l)Mx;
qy f *3 •
3 J *4-3’
5) x2-!-1.0*4-41 ’
} J x2 4-8X-4-25 ’
2) (2x4-7)8dx;
f xdx
’ J (x- I)12 ’
~ f dx
’ J x24-7x —8 ’
m f dx _
< J 5--12x-9x2‘
8.13. Применяя подходящие подстановки, найдите интегралы:
Р xdx
J (1-х2)2'’
п С 6*+7
3) 1 ! 4—ГТ dx
' J Зх24-7х4-4
0 хМх .
5) J 7?П ’
° J х-° 4 1 ’
xdx
х‘4-6х24-5 ’
.. Г Зх2—1
4) ’ | Xs—х4-1 d*’
6) [* x2dx
) (34-5x9?5
8) ' [*х24-1 л 1 А 1 «ДР, )х’4-1
8.14. Применяя подходящие подстановки, найдите интегралы»
0 J /2- 5xdx;
3) f xdx .
' J /2хТз ’
366
5) f л ; 6) f dx ;
J I<27+6*-*2 j /x2-;-4*4-7
7) f dX ; |8) Г — dx . ;
J J КX»4-?«
9) i x У З*2 — 1 dx; 10) ? *2 / *-•4-1 dx.
8.15. Применяя подходящие подстановки, найдите интегралы-
x* dx;
'e*1 dx;
-r=- dx;
C _2JL_.
J 14 e!' ’
5) C-/*A
J У 4 — etx
8.16. Применяя подходящие подстановки, найдите интегралы:
3) J sinxsin3xdx;
c. C , x 2* .
5) I sin — cos -5- dx;
*1 <> <5
4)
dx;
\ sin (lid 4- ф) dt, © & 0,
\ cos 8л cos 3x dx;
J К X
cos у cos J dx;
6)
9) J sin*xdx;
cos* xdx;
dx
cos X ’
13) , etgxdx;
15) J ecos*sinxdx;
8.17. Применяя подходящие подстановки^ найдите интегралы:
С 1п2х
1) I-----dx;
J х
a f dx
J (1 4-xs) arctg х ’
f arosin’x .
5) I - -г-. — dx;
J V 1 - x2
8.18. Найдите интегралы от рациональных функций:
sin У x .
----F=----dx.
In x dx
4)
2* j
:—dx;
arccos x .
T—
2) J
ч
xdx
х2— 5*4-6 ’
(*4 2) dx
х?4-*4-1 *
(х-|-3) dx _
х2 —4*4-4 ’
*2dx
х2—4*4-3 ’
13*
337
8.IS*. Применяя тегралы: метод интегрирования ио частям, найдите ин-
1) » xe~?xdx; 2) f х2* dx;
3) \ х sin х dx; 4) \ х cos (5х--7) dx;
5) \ ‘3х—4) Inxdx; C) \ arcsin x dx;
7) arccos хdx; 8.20*. Применяя тегралы; 8) \ arctg xdx метод интегрирования по частям, найдите ин-
1) х2‘с"х dx; 2) J х2sin xdx;
3) In* х dx; 4) Jarocos2x4x;
5) р 6) j ebxsin ^2x—, dx.
8.2i*. Применяя различные методы, найдите интегралы;
1) x3e~K‘dx; 2) f eVx dx;
3) С pfx sin р х dx; 4) С — — dx;
5) C x arctg x2dx; 6) C x arccos -i- dx, x > 1.
.Глава 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 43. Площадь криволинейной трапеции
Рассмотрим какую-нибудь неотрицательную непрерыв-
ную функцию f(x), х£[я; &].
Фигура АаЬВ (рис 139), ограниченная отрезком оси
абсцисс, отрезками вертикальных прямых х — а м х-Ь
и графиком заданной функции, называется криволинейной
трапецией, определяемой графиком функции // — /(х),
х С- [а; Ь].
Другими словами, криволинейная трапеция—это мно-
жество точек плоскости, координаты которых х, у удов-
летворяют условиям
а^х^Ь, 0^ys^/(x).
Найдем площадь этой криволинейной трапеции. Для
этого отрезок [а; Ы точками
xl=a + b-^i, t=0, 1, ...» п,
разобьем на л равных по длине отрезков
[a; xj; [хх; xj, ..., [х„_^ Ь]
и проведём через точки вертикальные прямые. При этом
криволинейная трапеция АаЬВ разобьется па п частей
(рис. 131, п=1), причем площадь Z-й части не меньше
339
miiXi—rX^i) и не больше/ИДх,—xz_i), где/п,. игМ,—
соответственно наименьшее и наибольшее значения функ-
ции f(х) на отрезке [х^; xj, « = 1, 2, ..., п.
Следовательно, площадь всей криволинейной трапеции
АаЬВ не меньше суммы
п
/их Axf + ... + tn„ Ахп =± 2 w. Ах,
i=i
и не больше суммы
Mt Axj-f- ... + Мп Ах„ = 2 М, Axz,
<= I
где Ax,= xz—х;_<. Обозначив эти суммы соответственно
sn и S„, получим, что площадь 3Л(Гбй криволинейной тра-
пеции АаЬВ удовлетворяет неравенствам
яп 1**ЛаЬВ
Здесь s„—площадь ступенчатой фигуры, которая содер-
жится в данной криволинейной трапеции, а —площадь
ступенчатой фигуры, которая содержит данную криволи-
нейную трапецию. При достаточно мелком разбиении
отрезка [а; Ь], т. е. при достаточно большом п,' площади
этих фигур мало отличаются друг от друга и от площади
криволинейной трапеции. Следовательно, можно считать,
что последовательности (s„) и (S„) имеют один и тот же
предел и этот предел равен площади фигуры АаЬВ.:
Это утверждение получено в предположении сущест,
вования площади у рассматриваемой криволинейной тра-
пеции, однако мы еще не дали определения этого понятия.
Проведенные рассуждения делают естественным .следую-
щее определение.
Определение. Пусть задана непрерывная неотри-
цательная функция f(x), х£[а; Ь]. Тогда, если пределы
последовательностей (s„) и (S.J существуют и равны, то
их общее значение называется площадью криволинейной
трапеции, заданной графиком этой функции.
В следующем параграфе будет сформулировано утверж-
дение, из которого следует, что любая криволинейная
трапеция имеет площадь.
Пример 1.. Показать, что площадь прямоугольного
треугольника (рис. 132) с вершинами в точках. (О; 0),
(а; 0) и (а; Ь) согласно данному определению равна
т. е. вычисляется по известной формуле.
3W
Д Данный треугольник является’ криволинейной тра-
пецией, определяемой Графиком функций •
°Ь
Отрезок [0;, а} точками = i*-G, 1, ..., п, раз-
делим на п отрезков длины ~. Тогда „(см. рис, 132, м^=4.)
— г)’
И‘поэтому •’
п
V ь г i\ а _а>} (n—l')it_ub [ t_____1_\
— Ч.а-„3’ 2 “ 2 V «Г
1= 1
п
V b . a ab п (п-|-1) аЬ 7 , . 1 \
Ьп~£*х"п 1 ~~~п2 * 2 " 2 \ +
Отсюда видно, что
lims„ = hm«Sn =
Л-*<о л-><в Z
Таким образом, доказано, что площадь данного треуголь-
Пример 2, Найти площадь S фигуры, ограниченной
частью параболы у^=хг и отрезками прямых у = 0 и х = а,
а>0 (рис. 133).
А Как н в примере 1, отрезок [0; а] точками х,=
ft i, 1 = 0, 1, ..., п, разделим на п отрезков длины 2 .
39.1
Тогда
п /=1 " 1=1
5„ = —У,х? = ^’Х‘г-
П ft ь . fii
i=l i=l
В п. 1 § 8 было доказано, что
у с, м(" + 1)(2п+1^
1=1 6
Следовательно,
е _ л3 п (п +1) (2л 4-1) _ а3 f, , 1 \ Л i i 1 \
^"“п3-------------------6 3 1/ + п 1 +‘2п )'
а3 (п—1) п (2п — J) _ а3 ( т 1 \ / 1 1 \
S"~ 7F 6 — Tv — л У \ 2л
и поэтому
а3
S == lim sn = lim S„ = — (кв. ед.). A
«-►co- «->co
Замечание 1. Рассмотрим снова криволинейную
трапецию АаЬВ и, как и обычно, отрезок [о; Ь] точками
xh 1 = 0, 1, ...,«, разобьем на «отрезков рапной длины.
На каждом отрезке xj произвольным образом вы-
берем некоторую точку и обозначим ее ct.
Если, как и выше, т1 и М{—наименьшее и наиболь-
шее значения функции f на отрезке [x,_i; xj, то, очевидно,
где (=1, .... п. Умножим каждое из этих неравенств
на Дх,-=х(-—и. полученные неравенства почленно сло-
жим. Тогда получим следующее неравенство!
2 ггц С 2 / (с/) ^xi 2 Дхг
«=1 i=l 1=1
Отсюда следует, что предел
lira 2/(^)Дзг/
П->® 1= 1
существует, не зависит от выбора точек ct и всегда равен
площади фигуры АаоВ.
392
Таким образом,
п
lim
$АаЬВ’ (1)
П-*сс f= 1
Замечание 2. Выше отрезок [а; Ь] разбивался на
п равных по длине отрезков. Можно доказать, что фор-
мула (1) остается справедливой и в том случае, если
отрезок [a; разбивать на п отрезков произвольное!
длины, но таких, что наибольшая из длин этих отрезков
стремится к нулю при п—>-ос.
Вопросы для контроля
1. Что называется площадью криволинейной трапеции, заданной
графиком функции y = f (х), х£[а; fc]?
2. Изобразите криволинейную трапецию, заданную графиком
функции
_( —х, если х£[— л; 0],
; sinx, если *€(0; я].
3. Является ли фигура, определяемая неравенствами
0<х<л, sinx<yc;x,
криволинейной трапецией?
Упражнения
9.1. Исходя из определения площади криволинейной трапеции,
вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=ех,
осью абсцисс и прямыми х—0 и х=1.
Указание Воспользуйтесь формулой для суммы членов гео-
метрической прогрессии.
9.2. Исходя из определения площади криволинейной трапеции,
вычислите плошадь фигуры, ограниченной графиком функции у— sinx,
*6(0; 1], осью абсцисс и прямой х=1-
Указавие. Воспользуйтесь формулой
§ 44. Определенный интеграл
1. Определение интеграла. Рассмотрим функцию Цх),
определенную на отрезке [а; Ь]. Как и в § 43, отрезок
[а; Ь] точками
x^a + ^^i, i = 0, 1........
разобьем на п равных по длпне отрезков.
.393
:'В каждом1 из этих отрезков I == 1, ../, п,
произвольным образом выберем по одной тойке и обозна-
чим их с,-.
Тогда сумма
п
f (g) л*! 4-... 4- f (сп) Лх„ = 2 / (Q) Лхь
Г <=1 -г .
где tkxl = xi—xt_i, называется кнггегролб.-гой суммой функ»
ции /.
Очевидно, эта сумма зависит и от того, как разбит
отрезок [с; Ь], и от того, как выбраны точки сР
Определение; Если предел
lim 2/(oz)A%7 (1)
существует и нс зависит от выбора точек с,-, то функция [
называется интегрируемой на отрезке [а; Ь] а предел (1)
называется определенным интегралом от функции f на
отрезке [о; Ь] и обозначается
ь
' f (х) dx.
а
Это обозначение читается так: «интеграл от а до b от
функции / (х) по dx» или, короче, «интеграл ог а до b от
/ (х) dx».
Знак {j называется знакам интеграла, функция f—
подынтегральной функцией, переменная х—переменной
интегрирования, выражение / (x)dx—подынтегральным вы-
ражением. Числа а и b называются пределами интегри-
рования, соответственно нижним и верхним.
Таким образом, согласно определению,
? п
\f{x)dx = lim % f (с{) &х{. (2)
а i= 1
Если f (х)—неотрицательная непрерывная функция,
то, сравнивая формулу (2) с формулой (1) § 43, получаем
t
8 AabB = $ / (Х) (3)
а
т. ё. задача о нахождении площади криволинейной тра-
пеции АаЬВ (см. рис. 130) сводится к вычислению опре-
деленного интеграла.
Ж
Геометрический тмысл интеграла для непрерывной не-
отрицательной функции f (х) заключается в том, рто ин-
теграл
ъ
\ [ (х) dx
а.,
равен площади криволинейной тралении, определяемой
функцией f (х), х£[а; &].
Выше мы предполагали, что нижний предел интегри-
рования меньше верхнего. Такое ограничение иногда вы-
зывает некоторые неудобства, Чтобы освободиться от -этого
ограничении, полагают по определению:
если а — Ь, то
ь
$f(x)dx = 0; (4)
а
если, а > Ь, то
Ь а
^f(x)dx= — \ f (х) dx. (5)
а i-
Последняя .формула означает, что если в интеграле
поменять местами пределы интегрирования, то интеграл
изменит знак. Формулы (4) и (5) позволяют прм всюду
в дальнейшем считать, что нижний предел интегрирова-
ния меньше верхнего.
Заметим еще, что интеграл не зависит от того, какой
буквой обозначена переменная интегрирования, так что.
например,
ь ь ь
J f(x)dx=\ f(t)dt = ^f(u)du.
а а а
Приведем без доказательства следующую теорему, даю-
щую достаточное условие интегрируемости функции на
отрезке.
Теорема. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
[а; 6], то она интегрируема на этом отрезке.
Заметим, что ограниченные функции; встречающиеся
на практике, как правило, интегрируемы на любом отрезке,
на котором они заданы.
Можно доказать, например, что
1) если функция ограничена и непрерывна на. некото-
ром отрезке, за исключением конечного числа точгк, то
она интегрируема на этом отрезке-,
395
2) если функция монотонна на некотором отрезке,
то сна интегрируема на этом отрезке.
2*. Пример неннтегрируемой функции. На отрезке [0; 1]
рассмотрим функцию Дирихле. Опа равна 1 в рациональ-
ных точках и нулю в иррациональных точках. Поэтому,
если в интегральных суммах в качестве точек q выбирать
иррациональные точки, то
2 f (Cj) Hxt — 2 0 Axz = 0
1= 1 is I
и, следовательно, предел этих сумм при п—>+ оо равен 0.
А если в качестве q выбирать рациональные точки, то
2 f (с^ Axz = 2 1 • М = 2 Ах, =а 1
i=i i = i i=i
и, следовательно; предел этих сумм равен 1.
Таким образом, для функции Дирихле на отрезке [0; I]
предел интегральных сумм зависит от выбора точек с,.
Это и означает, что функция Дирихле не является инте-
грируемой.
3. Основные свойства определенных интегралов.
Свойство 1. Для любого действительного числа а
ь
^adx — аф—а). (1)
а
□ В самом деле, для любой интегральной суммы функ-
ции fix) —а, хё[а; Ь], имеем
п п п
(с{) Дх/ — 2а Ах, = «2 Ax,=-a(i—а),
i=i i=i i=i
и поэтому предел таких сумм при п—>оо равен
а(Ь—а). Й
Свойство 2. Если функция f (х) интегрируема на
отрезке [о; t>j, то для любого действительного числа а
функция а/ (х) также интегрируема на [и; Ь] и
ь ь
$ а/ (х) dx = а J. f(x) dx, (2)
а а
т. е. постоянный миожитель можно выносить за знак
интеграла
396.
□ Для любой интегральной суммы функции а/ (.г) ш^еем
п п
2а/(с/)Ах/^а
is 1 i= 1
и поэтому
п п
lim 2 а/ От) ^xi = « Нт 21 (f i) ^xi —a\f(x) dx,
п-»а 1=1 п->®»=1
а это и означает, что функция а/ (х) интегрируема на
[а; й] и справедлива формула (2). Q
Свойство 3. Если функций f (х) и g(x) интегри-
руемы на отрезке [а; й], то их сумма f (х) ф g (х) также
интегрируема на [а; й] и
ь ь ь
\(f(x) + g(x))dx=<\lf(x')dx+\g(x)dx, (3)
а а а
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
□ Действительно,
п
з (f (х) + g (х)) dx = lim 2 (f <ct) + g (с()) &х, =.
" П->а 1= 1
= Нт 2 / (<т) &х( + lim 2 ё (ф) &xt =
п~хх i=l n->a>i=l
b b
= J f (x) dx + g (x’) dx. E3
a a
Свойстве 4. Если на отрезке [а; bj функции f(х)
и g(x) интегрируемы и
f(x)^g(x),
то справедливо неравенство
ь ь
J f (x)dx<5 8(x)dx. (4)
а а
□ В самом деле, из неравенства 7(x)^g(x) следует,
что для любых интегральных сумм для функций f(x) и
g(x) выполняется неравенство
.2/(с/)Лх/< ^g(Ci) hXji
i-L 1=1
397
из которого в проделе при n^-*-f-oo получается нера-
венство (4).£3
Следующее свойство приведем без доказательства.
Свойство 5. Если функция f(х) интегрируема на
отрезках [а; с] и [с; 6], то
Ь с Ь
< / (х) dx = J { (х) dx+^f (х) dx. (5>
а а с
4. Следствия из основных свойств определенных ин-
тегралов.
Следствие 1. Если на отрезке [а; Ь] функции j (х\,
g(x) и ф(х) интегрируемы и
(х) С” Mg (х),
то
ь ь ь
т^ <р(х) d.x<\ f (x)dx М о (х) dx. (1)
а а а
В частности, если m^f(х)=СМ, то
ь
т(Ь—а) < J f (x)dxМ {Ь—а). (2)
а
□ Неравенство (1) является непосредственным след-
ствием свойства 4 и свойства 2. Неравенство (2) следует
из неравенства (I) при ср(*) = g(х) = 1 и свойства 1. ЕЗ
Пример 1. Найти приближенное значение интеграла
я/з
f* dx
J 2-|- cos х'
о
Л На отрезке [б; yj верно неравенство
О cos х 1,
поэтому для подынтегральной функции справедлива оцен-
ка
1 1 1
3 ** 2 cos х 2 1
1 л
Положив в формуле (2) /(х) ~ 2-4-cos? а==®’ &="2’
1 1
Л1=у, получим
Я/'З
л Г _____dx _ л
6 J 2-i-cos х 4 '
«
398
Следовательно, за. приближенное значение, интеграла
Л/6-|-Л/'4 5л л лг п
можно взять число---------— = 14 ~ При этом погреш-
ность не-будет превышать
Л 5jl Л Л Л
Т —2Т = 24 ~ и’1,5.
Точное значение дачного интеграла, как будет показано
л
в примере 5 п.. 2 § 45, равно, « 0,50. А
Следствие 2 Если на отрезке [а; Ь] функции /' (х)
и'g (х) интегрируемы и
\J{x)\^Mg(x),
то
ь ь
\ f (x)dx ^.M^g(х)dx.
В частности, если |/(х)|^М, то
f(x)dx М (b—а).
(4)
ПИз неравенства | / (x)j Mg (х) следует, что
— Mg (х) dx-^f (x) dx Mg (х) dx
и поэтому (см. следствие 1 при /пф(х)=«—Mg(x))
Ь b t
— М g(x)dx^ . f(x)dx^.M \g(x)dX)
a a a
а это и означает, что выполняется неравенство (3). Не-
равенство (4) является частным случаем неравенства (3)
при g(x) = 1.0
5. Тесрема о среднем. Для непрерывной функции
справедлива следующая теорема, которая называется те-
оремой о среднем для определенного интеграла.
Теорема. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
[а; 6], то на этом отрезке существует такая точка с,
чтс
ь
\f(x)dx~f(p)(b—a).
(1)
39?
I
□ Обозначим через т и М соответственно-наименьшее
и наибольшее значении функции f (х) на отрезке |а; ty.
Тогда m^.f(x)^M для любого х g [я; Ь), и поэтому
ь
т.(Ь—а) С J f (х) dx^.M (b—a).
Разделив почленно это неравенство на b—а > О, по-
лучим неравенство
ь
т т-^— С f (х) dx <1 М.
о—a j
а
Отсюда и следует формула (1). Действительно, так как
f(x) непрерывна на [й; Ь], то она принимает любое зна-
чение на отрезке [tn\ М] и, в частности, значение, равное
ь
> (x)dx, т. е. существует такая точка eg [а; 6], что
а
b
f(x)dx.&
а
Для неотрицательной функции теорема о среднем
имеет простое геометрическое истолкование: площадь кри-
волинейной трапеции, соответ-
ствующей функции f, равна
площади прямоугольника, у
которого основание равно ос-
нованию трапеции, а высота
равна одному из значений функ-
ции (рис. 134).
Замечание. Формула (l)t
справедлива не только для ин-
тегралов, у которых нижний
меньше верхнего, по и для ин-
предел интегрирования
гегралов, у которых нижний предел больше верхнего.
Для доказательства следует воспользоваться формулой (5)
п. 1.
6. Определенный интеграл с переменным верхним пре-
делом. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [д; Ь].
Тогда она интегрируема на любом отрезке [а; х], гдв
xg[fl; Ь]. Рассмотрим функцию —
X
Ф(х) « J /(0dtt хg [a; &].
a
(1)
400
Эта функция называется интегралом с переменным верх-
ним пределом.
Теорема. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
[а; ft], то функция (1) имеет производную на этом от-
резке и
X
Ф'(х) = т т. е. ~$f(t)dt~f(x). (2)
а
Эта теорема называется теоремой о дифференцирова-
нии интеграла по верхнему пределу.
Кратко ее можно сформулировать следующим образом:
производная интеграла от непрерывной функции по верх-
нему пределу равна' подынтегральной функции.
□ Из определения функции Ф(х) и свойств интеграла
(см. свойство 5) следует, что
Ф(х)—Ф (х0) = J f (0dt — J f (0 dt = $ f (t) dt
a a xa
для любых x и x0 из [a, ft]. К последнему интегралу
применим теорему о среднем (см. также замечание в кон-
це п. 5). Тогда
Ф (х)—Ф (х0) = f (с) (х—х0),
где с€[х0; х], если хэ < х, и с£[х; х0], если х<х0.
Таким образом, для любого х=/-х0 найдется такое с,
лежащее между х и х0, что
Ф (х) —Ф М
X Xq
По определению производной находим
Ф' (хс) = lim = lim f (ф = / (хс).
Х~^Х0 Л 0 X-+Xq
Последнее равенство получено из предположения, что
функция f (х) непрерывна на отрезке [с, ft] и, следова-
тельно, непрерывна в точке х0. Так как хс—произволь-
ная точка отрезка [a; ft], то Ф' (х) = [(х), что и требова-
лось доказать. □
Следствие. Для каждой непрерывной на отрезке
функции существует первообразная,
СВ силу доказанной теоремы, если функция /(х),
xg[a; ft], непрерывна, то первообразной для нее является
14 Алгебра, ч. I 401
функция
X
\ f (х) dx, х£ [a; Ь] - ЕЗ
а
Вопросы для контроля
1. Чю называется определенным интегралом от функции f на
отрезке [а1 &]?
2. В чем заключается геометрический смысл определенного ин-
теграла от непрерывной неотрицательной функции?
3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла,
покажите, что
1 2
1) J 2) f|x—l|dx=l.
-1 о
4. Какие из следующих утверждений верны:
а) если функция непрерывна на некотором отрезке, то она ин-
тегрируема на нем;
6} если функция интегрируема на некотором отэезке, то сна
непрерывна на этом отрезке;
в) если функция интегрируема на некотором отрезке, то опа ог-
раничена на нем?
5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
6. Докажите неравенства
1’
5 < \ < 6.
-1
7. С помощью формулы (3) п. 4 докажите для любой интегриру-
емой функции / (х), х£[а; Ь'„ неравенство
' ь ь
^f(x)dx < р f (х)| dx
а а
(модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля).
8. Сформулируйте теорему о среднем В чем состоит геометри-
ческий смысл этой тесремы в случае неотрицательной функции?
9, Сформулируйте теорему о дифференцировании интеграла по
верхнему пределу.
Упражнения
9.3. Выясните, какой из интегралов больше:
г УТ
1) sin х2 dx или \ sin х2 dx;
о о
402
.1
2) f stnx2dx
о
i
3) ex* dx
o
2
4) ( ех* dx
1
или
или
или
9,4. Запишите з виде интеграла с переменным верхним пределом
ту первообразную функции y = f(x), которая проходит через задан-
ную точку:
V) !/ = х\ (-1;0); 2) (1; 2).
9.5. Найдите производные:
ь ь
d С d f*
1) 27 \ sin х2 dx; 2) J* ) sln*2 dx;
а а
Ъ
3)~?sinx2dx.
а
§ 45. Методы вычисления определенных интегралов
1. Формула Ньютона—Лейбница.
Теорема. Если функция f (х) непрерывна на отрезке
[о; Ь], а функция F (х) является первообразной для f (х)
на этом отрезке, то справедлива формула
ъ
\f(x)dx^F(b)—F(a). (1)
Эта формула называется формулой Ньютона—Лейб-
ница,.
□ Из теоремы о дифференцировании интеграла по верх-
нему пределу следует, что функция
Ф(х)=ф(/)<И
О
является первообразной для функции /(х) на отрезке
[а; &]. Так как и функция F(х) является первообразной
для f (х) на |а; Ь], то разность Ф(х)— F (х) равна неко-
торой постоянной С па всем отрезке [а; 6], т. е.
Ф (х) = F (х) + С.
14*
403
Положив здесь сначала х —а, а затем х — Ь, получим
Ф(и)-£(и) + С, Ф(Ь) = Г(Ь) + С.
Так как Ф;а) = 0, то С=—F(a), и поэтому
C(b) = F(M—F(a),
Ф (b) = f (х) dx.
Следовательно,
/ (х) dx — Л (Ь)—F (а). £2
Разность F ф)— F (а) часто записывают с помощью
знака Двойной подстановки: F (х) |*, и тогда формула (1)
принимает вид
и •
$/(x)dx = F(x)|».
(2)
Как уже отмечалось, формула (1) называется форму-
лой Ньютона—Лейбница. Она названа в честь двух ве-
ликих создателей дифференциального и интегрального
исчислений И. Ньютсна и Г. Лейбница. Два исчисления,
дгфференциальное и интегральное, развиваемые независи-
мо, с получением этой формулы оказываются тесно свя-
занными и объединяются в единую теорию—математи-
ческий анализ, так что формула Ньютсна—Лейбница по
праву может бьпь названа центральной теоремой матема-
тического анализа.
Формула Ньютона—Лейбница позволяет вычислять
определенные интегралы без интегральных сумм’ и пре-
дельного перехода в тех случаях, когда известна хотя
бы одна первообразная’ подынтегральной функции. Фор-
мула Ньютона—Лейбница дает возможность вычислять
определенные интегралы с помощью неопределенных. Ме-
тоды нахождения неопределенных интегралов были рас-
смотрены в главе 8.
Пример 1. Вычислить J sinxdx.
о
404
Л Для функции sinx первообразной является функция
/7(х) =—cosx. По формуле Ньютона—Лейбница находим
Л
J sin xdx = F (л) — F (0)=—cosn-|-cosO=— (—1)+ 1 =2. Д
о
1
Sdx
ТТ—•
о *+*
А Первообразной для подынтегральной функции явля-
ется функция F(x) = ln(l Н-х). Применяя формулу (2),
получаем
jT^=Fl(x)^ = ln(l-t-x)|^ = ln2.A
О
1
р (/Х
Пример 3. Вычислить \
о
А Так как
yq^-arctgx + C,
то но формуле (2) находим
1
JrTP""arctsx + C|o^arcfg 1 +с—arctgO—C = i. Д
о
Пример 4. Найти площадь 5’ фигуры, ограниченной
частью параболы у — хг и отрезками прямых у —к и х = а,
а > 0 (см. рис. 133).
А Эта задача была решена в § 43 (пример 2) путем
составления интегральных сумм с последующим предель-
ным переходом. Развитая после этого теория позволяет
решить эту задачу гораздо проще. Заданная фигура яв-
ляется криволинейной трапецией, и, следовательно, ее
площадь равна определенному интегралу
S=JJ x‘dx;
о
Jx^
ХМх = -д--г С, ТО
S — (x’dx — ,j = a3- (кв. ед.). Д
о
405
Пример 5. Вычислить интегралы:
2 Л/З 0
•> 2) f dx -е- ; 7 J sin2 X cos2 xf 3) xe'2dx;
11 Я/i -1
1 2 e
4) С . ! J 4 + Зх3’ 5) J И 4—хг dx; 6) \ Inxdx.
0 0 1
Л 1) В примере 2 п. 1 § 42 был найден неопределен-
ный интеграл
jl±^dx = 21n|x| + ^ + С.
Применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем
2
С£±£4а-х = 21п|х| + ^|2--21п2 + 4—1 = ?4-21п 2,
J х 1 1 4 |i 4 4
1
2) Соответствующий неопределенный интеграл был вы-
числен ранее (см. пример 10 п. 1 § 42):
С . 2 dx-— = tg х—ctg х + С.
Применяя формулу (2), получаем
Л/З
(* dx < 1д/3 1/”5 1 2
\ —-----г- = a:—ctg х । = |1 3--5= = -7=.
J sm2 х cos2 х ° & |л/4 1С3 у з
л/4 ’ ’
3) С помощью замены переменной в примере 3 п. 2
§ 42 был найден интеграл
\xe'’dx = ±e*2 + C.
Следовательно,
о
Г . 1 Г21 ° 1 — е
J хе* dx = -^ex (_!=—.
-1
4) Неопределенный интеграл был найден в примере 4
п. 2 § 42:
Jiw=4U1|4+3x’l+a
405
Поэтому
I
^4^=т1п14+М;=41пт-
о
5) Неопределенный интеграл был найден в примере 13
п. 2 § 42 с помощью замены переменной:
' V 4 — х'1 dx — 2 arcsin у + уК4— х2 4- С.
По формуле (2} вычисляем определенный интеграл
2
\ (/”4—xMx = 2arcslny+ уИ4—x2|2 = 2arcsin 1 ==л.
о
Заметим, что с геометрической точки зрения получен-
ный результат очевиден, так как данный интеграл равен
площади четверти круга радиуса 2.
6) Неопределенный интеграл был уже найден методом
интегрирования по частям (см. пример 2 п. 3 § 42):
: in х dx — х In х—х 4- С.
По формуле Ньютона—Лейбница вычисляем определен-
ный интеграл
е
lnxdx = xlnx—x|*=alnc—а 4- 1 = 1 4
л/6
л* dx
Пример G. Вычислить \ ч--------.
r r J 1 ~r COS х
о
Д Найдем неопределенный интеграл
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем
Л/2
О dx , х |л/2 л . *
J 1-т-cos х ~ Т () — VS4—
о
8
Пример 7. Вычислить J (И2х 4- f/х) dx.
о
407
Л Используй свойства 3 и 2 определенного интеграла
и формулу Ньютона—Лейбница, находим
8 8 8
(К2х+ х) dx = V 2 '' х1/2 Дх + х1/3 dx —
О’ 0 0
=v 2 • 4 х^ |8о+4 |’=кв5+4 =*
в«+12=** Д
2
Пример 8, Вычислить '-/(x)dx, где
о
( ех, если х € 10; 1],
/(х)=^2х, если хё(1, 2].
А Так как интеграл от 0 до 2 равен сумме интегра-
лов от 0 до 1 и от 1 до 2 (согласно свойству 5 опреде-
ленных интегралов), то
2 1 2
d,v + p^x-e«|; + «.|>
= е— 14-4 — !=<?]-2. А
Пример 9. Доказать неравенства
100
1 . С e~xdx . 1
300 <• J х-НОО < Too •
о
А Па отрезке [0; 100] имеют место неравенства
1 <- 1 <" 1
200 *4-100 100 '
Поэтому для подынтегральной функции имеем оценку
е~х е~х е~х
Too" *4-100 ТОО •
Положив в формуле (1) п. 4 § 44
/М = ГПоо- =
т=2бб’ ^ = 166’ fl = 0> &=1()0’
408
приходим к неравенствам
100 100 too
200 J е Xdx j 4-ю’о Too J е X(ix-
0 0 с
1С0
SI1 00
е~х dx ——е~х L =1—е-т, то
о
100
1—е-1«» Р e~xdx 1 — е-’00
200 J х+’ОО 100 •
о
,, 1-е-101 1 1 —е-i’»
Учитывая очевидные неравенства ——
1
> эдо, получаем
юо
Р е~х dx
J х+ЮО
2. Вычисление определенных интегралов методом под*
становии. При вычислении определенных интегралов, как
и неопределенных, широко используется метод подста-
новки или метод замены переменной интегрирования.
Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна в любой
точке х — y(t), где t $ [а; 0], и пусть а = ср(а), Ь = фф).
Тогда, если функция <р (/) имеет непрерывную производную,
то справедлива следующая формула:
ь Р
$/(х)</х = $/(ф(г))ф'(0^.
а а
(1)
Эта формула называется формулой замены переменной
интегрирования в определенном интеграле.
С Так как функция f (х) непрерывна, то она имеет
первообразную. Обозначим ее b (х). Тогда сложная функ-
ция F (ф (/)) будет первообразной для функции / (ф (/)) ср' (/)•
Вычислим теперь интегралы от функции f (х) и функции
/(ф(О)ф’(0 по формуле Ньютона—Лейбница:
ь
\f(x)dx = F(b}-F(a), (2)
а
Р
\f (ф (0) ф' (0 dt = F (ф Ф))—F (ф (а)). (3)
а
4091
По условию, b —<р(Р), а а — ф(а), и поэтому правые части
в формулах (2) и (3) равны. Следовательно, равны и ле-
вые части, т. е- справедлива формула (1).®
Формулу (1) можно записать в следующем виде:
ъ а
J (4)
а а
Таким образом, при замене переменной интегрирова-
ния х = <р (/) следует под знаком интеграла всюду заме-
нить х на (/) и соответствующим образом изменить пре-
делы интегрирования.
При вычислении определенных интегралов формулы
(1) и (4) применяют не только слева направо, но неправа
налево (см. пример 2).
з
Пример 1. Вычислить \ х Ki + xdx,
о
Л Применим формулу (4), положив х=/2— 1, t > 0.
Находим dx = ‘2idt, К1+х=Л новые пределы интегри-
рования а=1, р = 2. Следовательно,
3 2
' x/T+«dx = 2 J /2(/2—l)d/ =
6 -1
2 2
=2W-2W=4|,’-2t|>
1 1
_ 9/32-1 8—1\ 136 д
*ч 5 3 ) ~ 15 • А
Я/2
Пример 2. Вычислить ' t?sin' cos t dt.
о
А Запишем подынтегральное выражение в виде
e,ln 1 cos t dt = esin ‘ d sin t.
Полагая sin/ = x согласно формуле (4), применяя ее спра-
ва налево, получим
л/2 1
?s,n1cos /dt — \ ехdx— —е — 1. А
о о
Пример 3. Пусть функция f(x) непрерывна на от-
резке [—Z; /]. Доказать, что
410
1) если f(x)—нечетная функция, то
i
J f (х) dx = 0;
(5)
2) если f (х) — четная функция, то
i i
\f(x)dx=*2^f(x)dx. (б)
-I '0
Л Представим интеграл в виде суммы интегралов!
i о I
J f (x)dx— J f (х) dx + 1 f (x) dx.
-i -i о
В интеграле по отрезку [—I; 0] сделаем замену перемен-
ной, положив х— —I. Тогда получим
0 0/
§ f (х) dx = — J / (—t)dt = ^f(— t) dt.
-i i о
Следовательно,
i i it
f (x) dx = \ f(— x) dx 4 [ (x) dx = (f (—x) + f (x)) dx.
-i о i о о
Если f (x)— нечетная функция, то f(—x)-^f(x) = G и фор-
мула (5) доказана. Если / (х)—четная функция, то f (—х)4-
ф-/ (х) = 2/(х) и формула (6) доказана. А
1
Пример 4. Вычислить’ , (х cos х 4- sin х 4- х10) dx.
-i
Л Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
1 1
(х cos х 4- sin х) dx и х10 dx.
-1 -1
Первый интеграл равен пулю, так как подынтегральная
функция нечетная и отрезок интегрирования симметричен
относительно точки Л = 0. Учитывая еще, что функция
х10—четная, находим
1 1
С С yii 11 о
। (xcosx4-sinx + xi:i)dx = 2 \ xlcdx,= 2-j-pl . Д
-1 о
411
л/2
Пример 5. Вычислить J2"+^sx’
о
Л Для вычисления интеграла положим
тогда
1 —t£s "о" 1 t2 2d/
СО8Х₽=-------7- = ТТ72> * = 2arctg/, dx=-.--.
Htg?| 1+/- 1+/-
Находим новые пределы интегрирования: tg 0 — 0, tg у= 1.
Следовательно,
л/2 1
(* dx _9С 1 + Л dt
J 24-cosx Z ,) 24 2/24-1 —/V 14-Z2
о о
i i d —^=-
.. c_^_ = _2_ Г V3 -
C=“J34-/^ V’
0 ° \/‘3/
-Йагс187з |>73arcte7T“nhA
Пример G. Вычислить площадь S фигуры, ограни-
ченной графиком функции у — х2 У 9—х2 и осью абсцисс.
ЛДанная фигура является криволинейной трапецией,
соответствующей графику функции
у — х2КЭ—X2, х£[—3; 3].
Поэтому
3
5 = J х2У9—x2dx.
-з
Так как подынтегральная функция четная, то (см. при-
мер 3)
з
•S = 2 \ х2У9—x2dx.
о
Для вычисления интеграла положим x=3sinZ, тогда
ах = 3 cos tdt, У 9—х2 = 3ссз/, новые пределы иптегри-
412
рованпя: 0 й р Следовательно,
л/2 л/2
S —- 2 • 3* j sin21 cos2 tdt — p j sin2 2/ d! =
о о
n/2
81 Cl — cos 4/ ,. 81/, sin 4/\ I’l/a 81 , . .
= 2-J—2—dz==z(z---------— ) o =y« (кв- ед).А
o —
3*. Формула интегрирования по частям для опреде-
ленного «интеграла. Пусть функции и(л), р(х) имеют не-
прерывные производные на отрезке [а; д]. Тогда, как
известно, справедливо равенство
(да)' — u'v + uv'.
Из него интегрированием по х от а до Ь находим
Л b ь
\ (цц)' dx = uv |д = J u’vdx.+ J да' dx.
а а а
Из последнего равенства получаем формулу
ь ь
S|d Г
udv = uv\a—\vdu. (1)
а а
Эта формула называется формулой интегрирования по
частям для определенного интеграла.
Формула интегрирования но частям сводит вычисление
одного интеграла к вычислению другого интеграла. При"
использовании формулы (1) следует иметь в виду-все те
рекомендации, которые были даны б п. 3 § 42 относи-
тельно применения формулы интегрирования по частям
для неопределенного интеграла.
1
Пример 1. Вычислить Jln(l+x2)dx.
о
ZS Положим
и — 1п(1 4-х2), dv=dx,
тогда
du — T-r-^dx, v = x.
1 ’
413
Применяя формулу интегрирования по частям для
определенного интеграла, получаем
1 1
. In(1 + x2)dx = xln(l 4-х2) |^—2 —
о о
О 0 0
= 1п2—2 -ф 2arctg л |^ = In2—2ф-у . А
л
Пример 2. Вычислить Jx2 cos xdx.
о
А Положим
и — х2, dv = cvsxdx,
тогда
du — 2xdx, у = sinx.
Согласно формуле (1) находим
л л л
J x2cosxdx = x2sinx|^—2 \ xsinxdx ——2 \ xsinxdx.
о оо
К полученному интегралу Снова применим формулу инте-
грировании по частям. Положим
и=х, dv — smxdx^
тогда
du = dx, v=— cosx
и, следовательно,
л а
f . , |л г
; хsinxdx — — xcosx 0+ j cosxdx=
о о
, . 1Л
=—л cos л 4-sinx Л.
Таким образом,
Л
' х2cosxdx — — 2л. A
о
-414
Вопросы для контроля
1. Запишите формулу Ньютона — Лейбница.
2. Объясните, почему неверен следующий результат:
У^=1п|х| |^ = lnl-lnl=0.
— 1
3. В чем заключается формула замены переменной интегрирова-
ния в определенном интеграле?
•2
S3 /-----
у 1—xixdx нельзя вычислить
о
с помощью подстановки x = sin/.
5. Объясните, нечему верно равенство
1
С X cos х . п
j Т+^Л=О
-1
6. Запишите формулу интегрирования по частям для определен-
ного интеграла.
Упражнения
9.6. Вычислите интегралы;
9.7. Вычислите интегралы:
4
1)
9
С х—1
dx
1 ’ ‘
is
ex С dX
7)
—2х’
о
3,5
dx
dx
у 4^3х ’
б)
Кб Ч-4х—х’ ‘
1
2
о
1
о
415
9.8. Вычислите интегралы:
л/4 л л
1) sin 4х dx; 2) sin 2х dx; 3) । sin2 у dx;
О о -Я.
л/2 л I
4) J sin2 x cos xdx; 5) J sin x cos2 x dx; 6) Jtgxdx;
о -n -1
П/2 Л/2
_ Г cos x lx . g Г cos x dx
' J sin* x ’ J 6—5 sin x-f-sin? x*
Jt/6 (L
9.9. Вычислите интегралы:
1
1) :2a dx;
о
2) j («*—I)‘«*dx;
о
ex dx
ex — 1 ’
9.10. Вычислите интегралы:
dx
X in X
cos In x ,
---- — dx.
x
9.11* . Вычислите интегралы:
1) (1—x)e~xdx;
о
Я’/4
4) J sin V xdx;
о
1
7) arctg V xdx;
о
Л/2
2) x sin x dx; 3)
b
i
5) , xln(l -j-x2)dx;
о
n
8) : ex sin xdx.
о
л/2
\ x2 sin x dx;
о
1
C) arccos x dx;
о
9.12. Вычислите интегралы:
2л 2л
1) sin px sin qx dx; 2) cos px cos qx dx;
о b
2л
3} \ sin px cos qx dx, p, q £ N
n ,
9.13. Докажите, что если f (x), x£ (—co; H-co), — непрерывная
периодическая с периодом Т функция, то для любо”о числа а верно
равенство
а + Т Т
\ ! (х) dx = J f (х) dx.
о о
416
100л
9.14. Вычислите
У1 - cos 2х dx.
9.15. Докажите неравенства:
200 1
С е~5х 1 С х,а 1
1) ° < i X-r- dx < 0,005; 2)-----< I —- .= dx < ж;
J 204-х 7 20 2 J ]Л14-х* 20’
О О
V1
’ 33 < J (lO-f-sinx) (1-f-x2) 4 30’
о
Л/2
” /п<.1 г/и-
л/6
9.16. Найдите площадь криволинейной трапеции, соответствующей
графику функций:
1) j/ = sinx, х g [0; л]; 2) у —4/.—х2, х £ [0; 4];
3) У = х(х— 1) (х-2), х б [0; 1]; 4) !/=—, х £ [1; е];
5) у = е~х, х £ (0; 1]; 6) t/ = tg х, х Q Г0; I.
L J
§ 46. Приближенные методы вычисления
определенных интегралов
На практике часто требуется вычислять определенные
интегралы от функций, для которых не удается найти
первообразных В таких случаях, как правило, ограни-
чиваются нахождением лишь приближенного значения
рассматриваемого интеграла.
В этом параграфе приведем две простейшие формулы
приближенного вычисления определенных интегралов —
формулу прямоугольников и формулу трапеций.
1. Формула прямоугольников. Пусть требуется вычис-
лить интеграл от а до b от функции fix). Как обычно,
отрезок [а; Ь] точками
xz = a4~ b~a i, i~ 0, 1, ..., п, (1)
разобьем на п равных по длине отрезков. В каждом от-
резке [х?_^ xj через с,- обозначим середину отрезка'
cs = , t = J, ..., п, и составим интегральную сумму
п п
(2)
/=1 " .=1
417
Если функция f (х) интегрируема на отрезке [a; Z>], то
п с
lim 2 / (с/)= j / (•*) dx- (3>
n -> 00 I = 1 a
Поэтому при достаточно большом п интегральную сумму (2)
можно принять за приближение искомого интеграла:
Ь п
p(x)dx«^£f(i^±^, 0)
• Л * — 1
Для неотрицательных функций это означает (рис. 135,
п = 4), что интеграл по отрезку [*,_!, х;], равный пло-
щади соответствующей криволи-
нейной трапеции, заменяется
площадью прямоугольника с
гем же основанием и высотой
/(с,). Поэтому формула (4) на-
зывается формулой прямоуголь-
ников для приближенного вы-
числения определенных интег-
Рис. 135 ралов.
Приведем без доказательства
оценку для абсолютной погрешности приближения, полу-
чаемого по формуле прямоугольников, для функций, имею-
щих непрерывную вторую производную:
Ь п
а ‘-1
М (Ь—а)3
24л?
(5)
где М—наибольшее значение функции | f (х) | на отрезке
[а\ Ь].
Из формулы (1) следует, что
х,-_14-х/ , Ь—а !. I \
—Т^- = а + —(1-Т?
Следовательно, формулу прямоугольников можно запи-
сать в следующем виде:,
Ъ п
+ (6)
2, Формула трапеций. Пусть, как и выше, требуется
вычислить интеграл от а до b от функции /(х). Отрезок
[а, Ь] точками
*<=«+ — h » = 0,
418
разобьем на п равных по длине отрезков и составим
интегральные суммы
п п
(1)
i=l i=l
п п
(2)
1=1 i=1
Если функция f (х) интегрируема на отрезке |а; Ь], то
Кт 2 f (xi-i) ^xi — Кт 2 f (xt) ^xi = \ Kx) dx.
П -► 07 I = 1 ' n -> CO t = 1 a
Поэтому при достаточно большом п каждую из интег-
ральных сумм (1), (2) можно принять за приближение
искомого интеграла. Однако в общем случае более точное
приближение дает среднее арифметическое этих сумм:
п
/(х.'-П+Кх.)
2
Таким образом, имеет место формула
Ь п
а 1“1
(3)
Эта формула называется формулой трапеций для при-
ближенного вычисления определенных интегралов^
Для неотрицательной функции f <х) эта формула имеет
простой геометрический смысл.
Именно, отрезок [а; £>] разби-
вается на п равных по длине
отрезков и площадь каждого
кусочка криволинейной тра-
пеции заменяется площадью
трапеции с основаниями /(x/.j),
/ (xf) и. высотой (рис. 136,
п — 4).
Оценка абсолютной погрешности приближения, полу-
чаемого по формуле трапеций, дается неравенством
6 п
а *= 1
М(Ь-а)3
12л? ’
(4)
419
где М—наибольшее значение функции |/'*(х) | на отрезке
Й *>].
Так как
S f М ~f(a) + f (.г,) +...+/ (хл.,),
1 = 1
i = 1
то
п п~1
у 1<±ЩЧ d.y /w.
1=1 1=1
Таким образом, формулу трапеций можно записать
в следующем виде:
® . / П-1 Ч
U(A)dx«^(/(o)4-/(b) + 2£/(a+^t-n. (5)
а X 1 = 1 /
I
Пример 1. Вычислить \ ел" dx по формуле прямо-
о
угольников и формуле трапеций с точностью до 10-2.
Л Применим сначала формулу прямоугольников. Опре-
делим с помощью неравенства (5) п. 1, на сколько частей
нужно разделить отрезок [0; 1] для достижения заданной
точности. Вычислим вторую производную подынтеграль-
ной функции:
f(x') — ex\ fr (x)-2xex*, f'(x) = 4xiex‘!+ 2ev\
Следовательно, на отрезке [0; 1] имеем
1Г(х)|<6е.
6^
Поэтому п должно удовлетворять неравенству лттт^ Ю-2.
Решая это неравенство, находим
Таким образом, для достижения нужной точности до-
статочно взять и = 9.
420
Согласно формуле (6) п. 1 получаем
с точностью до 10 "2.
Чтобы получить окончательный ответ, нужно еще вы-
числить значение функции f(x) — ex‘ в указанных точках.
С помощью микрокалькулятора в итоге получим 1,46.
Применим теперь формулу трапеций. В этом случае
должно выполняться неравенство
т. е. 5]/2е а 11,5. По формуле (5) п. 2 при п=12 на-
ходим
С Ли « + ЁI (А)) «1 •46
с точностью до 10"2. А
1
Пример 2. Вычислить i |/хг+ 1 sir. xdx по формуле
о
прямоугольников и формуле трапеций с точностью до 10 *.
Л Здесь f (х) — V х2 -г 1 sin х. Находим
f"(x) = 2х созх-1------------— sinx.
1 V ’ /х2+1 т (I +х2)3/2
Далее,
11' WI < /V4--4т+' <
4—2+ 1-.₽/3.
Следовательно, в формуле прямоугольников п должно
удовлетворять неравенству
т. е. n>-44=«2,7.
24п2 */12
421
По формуле (6) п. 1 при n = 3 с заданной точностью
получаем
1 з
j Кха+ 1 sin xdx Н’ — 4))“
В формуле трапеций п должно удовлетворять нера-
венству
ю-a т е
12/1? ’ ь
У.з
По формуле (5) при п = 4 с точностью 10-2 находим
1
\ И*3+ 1 sinxdx »
о
« 4 {4 sin 1+/ (4)+f (4)+' (4) °-56-А
Упражнения
1
С dx
9.17. Найдите приближенное значение интеграла. \-р по фор-
о
муле прямоугольников, разделив отрезок интегрирования на 10 частей.
9.18. Найдите приближенное значение интеграла
1
(4х— Зх2) dx
о
по формуле трапеций, разделив отрезок интегрирования на 10 частей
Найдите точное значение интеграла.
9.19. Определите, на сколько частей достаточно разделить отре-
зок [С; 1], чтобы абсолютная погрешность при вычислении интеграла
1
J У i-\-xdx
о
по формуле прямоугольников не превысила 10 -3.
9.20. Определите, на сколько частей достаточно разделить отре-
зок )0; 1], чтобы абсолютная погрешность при вычислении интеграла
1
> e~x‘dx
о
по формуле трапеций не превысила 10~2,
422
9.21. Вычислите с точностью до 10~2 интегралы:
2 п/2
,, С cos х . Г cos х ,
J) А----dx-, 2) \ т-—dx,
J х ’ ’ J l-i-ж
1 о
I
9.22. Вычислите с точностью до 10-8 интеграл e"**dx.
о
9.23. Вычислите с точностью до 1Э-1 интегралы:
2 8
.) jHT+^Л; 2) jjjt.
О 2
Глава 10
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 47. Вычисление площадей плоских фигур
с помощью определенного интеграла
Используя понятие определенного интеграла, дадим
общий метод вычисления площадей плоских фигур. Как
известно (§ 44), определенный интеграл от неотрицательной
непрерывной функции есть площадь соответствующей
криволинейной трапеции. В этом заключается геометри-
ческий смысл определенного
интеграла, на этом основано
его применение к вычислению 5-
площадей плоских фигур.
Рис. 137 Рис. 138
В § 44 доказано, что площадь криволинейной тра-
пеции аАВЬ (рис. 137), ограниченной графиком неотрица-
тельной непрерывной функции y = f(x), х g фт; Ь], отрез-
ком [a; t] оси Ох, отрезками прямых х = а и х=~-Ь, вы-
числяется по формуле
ь
S=^(x)dx. (1)
Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры,
ограниченной линиями y — f(x) = x2—2х~р2, х ——1,х = 2
и отрезком [—1; 2] оси Ох (рис. 138).
424
Л Данная фигура представляет собой криволинейную
трапецию, поэтому ее площадь вычисляется по формуле (1):
2
S— § (х2—2х+2)dx = -y |2 + =6. А
-1
Пусть теперь y — f(x), х£[а; Ь],— неположительная
непрерывная функция. В этом случае график этой функции
расположен под осью Ох (рис.
139) и
ь
а
Рассмотрим вспомогательную
функцию у = — / (л), х С [а, Ь].
Плсщадь криволинейной трапе-
ции аЛ'В'Ь, ограниченной гра-
фиком функции у =— j (х),. от-
резком [а; Ь] оси Ох, отрезка-
ми прямых х = а и х = Ь, вычи-
сляется
по формуле (1), т. е.
ь
S = — f (х) dx. (2)
а
Так как фигуры аА'В'Ь и аАВЬ симметричны относи-
тельно оси Ох, то их площади равны. Следовательно,
площадь фигуры аАВЬ может быть вычислена по фор-
муле (2).
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограничен-
ной линиями y = f(х)— р/х, х =—1 и г/= С (рис. 140).
АГрафик функции y—у/х, х£[—1; 0], расположен
под осью Ох, поэтому для вычисления площади данной
фигуры применим формулу (2):
о
3' = -J =
-1
Пусть теперь f(x), х£[й; Ь],— непрерывная на отрезке
[а; Ь] функция, график которой пересекает отрезок [а; Ь]
в> конечном числе точек. Из формул (1) и (2) следует, что
плсщадь плоской фигуры, ограниченной графиком функ-
ции f(x), отрезком [а; Ь] оси Ох, отрезками прямых л = а
425
и x — b, вычисляется по формуле
ъ
S — ^\f(x)\dx. (3)
а
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограничен'
ной отрезком ; л j оси Ох, графиком функции
у = cosx, отрезками прямых х = — ~ и х — п (рис. 141).
Рис. 140 Рис. 141
А График функции у = cosx на огэезке ----------л!
пересекает ось Ох в точках хх = — -^, х2 = у.
По формуле (3) находим
п
S— ( |cosx|dxs=
- 5Л/6
-л/2 л/2 л
— — $ cosxdx+ J cosxdx— J cosxdx —
— 5n/6 -л/2 л/2
1-П/2 |л/2 |л 7
= — sinx -4-sinx —31ПХ =-л-. A
-5Л/5 1 I—л/2 л/2 2
Рассмотрим теперь фигуру, ограниченную графиками
неотрицательных непрерывных функций (х), xg[a; &],
и /2(х), xg [а; Ь], и отрезками прямых х=а, х=Ь (рис. 142).
Площадь S этой фигуры равна разности площадей криво-
линейных трапеций аЛВЬ и aMNb. Следовательно,
ь ь ь
5 = J. fi (х) dx — /2 (х) dx =s (Д (х)—f2 (x)) dx. (4)
a a a
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограничен-
ной линиямиy — fi(x) = x+ 3 и у = f2(x) = х2 + 1 (рис. 143).
Л
420
Д Решая уравнение х4-3 —x2-f-l, найдем абсциссы
точек пересечения графиков функций и /2: хг —— 1
и хг = 2. Используя формулу (4), вычислим площадь фи-
гуры:
2 2
s = С (х + З —(х2+ l))dx = Г (—х2 + х + 2)(/х =
-1 -1
= (-1х9+ ’ х2 + 2х)|а =-|-.Д
« \ о £ / | — 1 ~
Если требуется вычислить площадь более сложной
фигуры, то стараются представить искомую площадь в виде
алгебраической суммы площадей криволинейных тртпт-
ций. Так, например, площадь фигуры, изображенной нд
рис. 144, “'вычисляется по формуле
$аАСс—ЗсСВЬ’
4:7
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограничен-
ней линиями у = У х, х€ [0; 1], у = х\ xg[l; 2], и у =
»=—№4-2x4- 4, х£[0; 2] (рис. 145).
Л Для вычисления площади данной фигуры достаточно
найти площадь криволинейной трапеции, соответствующей
графику функции
У ——х2 4-2x4-4, х С [0; 2],
и вычесть из нее площади криволинейных трапеций, обрг-
зованных графиками функций у = \^х, х£[0; 1], иу = х2,
х£ [1, 2]. Поэтому
2 1 2
S = J (— х2 4- 2х 4- 4) dx — I К х dx — J х2 dx —
о о I
[ х3 । г 1 л \ I2 2 j/— I1 х312 19 *
Упражнения
10.1 . Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у = №-|-1, у = 0, х = 0, х=2;
2) у=бх—х2, у = 0; 3) у — х3 — 4х, у = 0;
4) У=У^х—2, у — 0, х = 6;
5) у=1пх, у = 0, х=2, х = 8;
6) (/ = arcsinx, у = 0, х—~2 •
10.2 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у—х"1 — 5х-|-6, 7 = 0;
2) у = cosx, J/ = 0, х=0, х — 2л.
10.3 . Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой:
1) у = 2х—х2, у = х; 2) у = 2х—х2, у — —х;
х3 3
3) у=^-,{/ = 2~х; 4) у=6х—х2 —7, у = х-3;
б) у = 84-2х—х2, ^ = 2x4-4; 6) у3 —4х = 0, х—у—0.
10.4 . Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами:
1) у =—х2, у = х2--2х- 4;
2) 2у = х3.-\-х— 6, 2у=64~3х—х2;
3) у — ах, х3 = Ьу, а > 0, Ь > 0.
10.5 . Вычислите площадь фигуры, ограниченней линиями:
1) у=Ь—7х—х2, // = 2x4-16, х=0;
2) 7 = х3, х-|-7=2, у = 0;
уЗ у2 1
3) у=2х3, ; 4) У=-^ 1
5) y=V~x, у=х-2, х=0; 6) /7-Ь/7=1. х-Ы/=1;
2
7) 7=—х, i/ = sinx, х>0;
$38
8) у = sinx, у = cos x,
9) r/ = sin2x, j/ = xsinx, x£[0, л];
10) y = arcsin x, у = arccos X, y — 0.
10.S. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у =
=х?—2x4-3, касательной к ней в точке (3; 6) и осями координат,
10.7. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у =
= х?—2x4-2, касательной к ней б точке (3; 5) и осью ординат.
10.8. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямой х=1, ги-
перболой у=!ф- и касательной к ней в точке (2; 1,5).
§ 48. Применение определенного интеграла
при решении физических задач
1. Задача о вычислении пути. Пусть материальная
точка движется прямолинейно с некоторой скоростью
v = v(t). Требуется найти путь, который пройдет эта
точка за промежуток времени от / = а до t — b.
Сi Сj С
1_____ I __________I___>_________________1__
О a~t0 tf tn~b t
Рис. 140
В простейшем случае, если скорость постоянна, т. е.
v(/) = n0 = const, то путь, пройденный точкой, равен (по
определению, известному из курса физики) произведению
скорости на время движения:
- s — v0(b—а).
В общем случае, когда скорость непостоянна, посту-
пают следующим образом.
Промежуток времени [а; Л] разбивают точками г0 = а,
/1...../„_ъ in —b (t0 <_ tf tn) на п отрезков оди-
наковой длины (рис. 1 46). Длина каждого отрезка равна
= = ~1 = 1, 2, .... п.
Выбрав на каждом отрезке произвольную
точку сь составляют сумму
п
(1)
i = 1
Каждое слагаемое этой суммы дает приближенное
значение пути, пройденного материальной точкой за время
от f = до / = /,-. Следовательно, весь путь, пройденный
точкой за время от 1 = а до t = b, приближенно выра-
жается суммой (1). Это приближение будет тем лучше,
чем мельче отрезки разбиения. Поэтому путь s, пройден-
ный точкой за отрезок времени [a; Р], определяется как
предел суммы (1) при п—юе;
s= lim 2 <<?;•) А
Как известно (§ 44), этот предел есть определенный
интеграл от функции v(l) на отрезке {о, &]. Таким обра-
зом, путь s, пройденный за отрезок времени от t = a до
t = b материальной течкой, движущейся прямолинейно со
скоростью v(t), вычисляется по формуле
з = [ v (/) dt.
(2)
Пример 1. Тело движется прямолинейно со скоро-
стью n(f) = (3/2 + 4i‘+ 1)(м/с). Найти путь, пройденный
телом за первые Зс.
ДПо формуле (2) получим
s = 5 (З/2 + 4/ + 1) dt = (Р + 2Р +0 =48 (м). А
Пример 2. Тело движется прямолинейно со скоро-
стью 1ф) = (/ + 6/2)(м/с)- Найти путь, пройденный телом
за третью секунду.
ДПо формуле (2) находим
s = j(f + 5P) =
Р + 2Р
= 40,5(м). А
Пример 3. Определить, на какую максимальную
высоту поднимется камень, брошенный ог поверхности
Земли вертикально вверх со скоростью п0, если не учи-
тывать сопротивление воздуха,
ДВ этом случае скорость камня равна v(t)^=vQ—gt,
где g—ускорение свободного падения. Камень будет ле-
Положив в формуле (2) v(z) = v0—gf, a — Q,b=~,
430
О
У
i (
*4
Рис. 147
столба
получим.
V./в , х 2
С / .х . . ( I gt \ р«/в Vo- А
S=J (и°~= V) |о =2F'A
о
2. Задача с силе давления жидкости. Пусть пластина
в виде криволинейной трапеции погружена вертикально
в жидкость с плотностью
р так, что ее боковые сто-
роны параллельны поверх-
ности жидкости и находятся
ниже ее уровня соответствен-
но на расстоянии а и b
(рис. 147). Требуется опреде-
лить силу давления жидкости
на пластину.
Если пластина находится
в горизонтальном положении
на глубине h от поверхно-
сти жидкости, то сила дав-
ления Р жидкости в ньюто-
нах на нее будет равна весу
го основанием данную пластину, а высотой — глубину ft,
т. е.
P=gphS, (1)
где S — площадь пластины.
Если же пластина погружена в жидкость вертикально,
то по формуле (1) давление жидкости на нее не может
быть вычислено, так как в этом случае давление жидко-
сти на единицу площади пластины изменяется с глубиной
погружения, т. е. зависит ст расстояния площадки до
поверхности жидкости.
При решении задачи будем учитывать тог факт, что
по закону Паскаля давление в жидкости передается оди-
наково во всех направлениях, в том числе и на верти-
кальную площадку.
Для решения задачи разобьем пластину на п частей
(малых горизонтальных полосок) прямыми, параллельными
поверхности жидкости (т. е. параллельными осп Оу) и
проходящими через точки хс = а> хи • • • > хп-1> хп = Ь, где
х1 = а\-—^~1> i—d, 1, 2, ..., л.
Выделим одну из полосок (на рис. 147 она заштри-
хована), находящуюся на глубине х;. Для достаточно
431
узкой полоски давление во всех ее частях можно считать
приближенно одинаковым, а саму полоску можно принять
за прямоугольник с высотой Axz = xz—xz_1==— - иосно-
ванием, равным нижнему основанию полоски. Легко видеть,
что длина основания прямоугольника является функцией
от х. Обозначим эту функцию через f(x), х^[а; &].
Таким образом, силу давления Pz на i-ю полоску можно
приближенно вычислить по формуле (1), т. е.
Р; « gpf xt Ьх{.
Просуммировав силы давления жидкости на все по-
лоски, найдем приближенное значение силы давления
жидкости на всю пластину:
п
Р^' Ъ gpf (х,) xt Ьх,.
1 = 1
Точность приближенного равенства тем больше, чем ко-
роче отрезки, на которые разбит отрезок [а; &].
Таким образом, точное значение силы давления жид-
кости на пластину определяется по формуле
п
Р=lim 2 (*z) xi ^xi-
П -> со i = 1
Как известно (.§.'44), этот предел есть определенный
интеграл от функции gpxf (х) на отрезке [а; &].
„Таким образом, сила давления Р жидкости на верти-
кально погруженную в нее пластику, имеющую форму
криволинейной трапеции, соответствующей графику функ-
ции y — f(x), х $ [а; Ь], вычисляется по. формуле
ь
P~gp\xf(x)dx, (2)
а
где g—ускорение силы тяжести, р—плотность жидкости
Пример 1. Аквариум имеет форму прямоугольного
параллелепипеда. Найти силу давления воды (плотность
воды 1000 кг/м5), наполняющей акаариум, на одну из его
вертикальных стенок, размеры которой О,4мхО,7м.
Л Выберем систему координат так, чтобы оси Оу и Ох
соответственно содержали верхнее основание и вертикаль-
ную стенку аквариума (рис. 148). Для нахождения силы
давления воспользуемся формулой (2).
432
Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f (х) = 0,7,
х£[0; 0,4], пределы интегрирования а = 0 и 6 — 0,4.
Следовательно,
0,4 0,4
p=i000g С 0,7-xdx — 700g-у = 5Sg.
о о
Учитывая, что g ж 9,8 м/с2, получаем Р«548,8Н. А
Пример 2. Определить силу давления масла (плот-'
ность масла 900 кг/м3) на вертикальную стенку, имеющую
____ gZ___
П
ШШШь
gg-----т
х'
Рис. 148
форму полукруга радиуса /? —5 м, диаметр которого на-
ходится на поверхности масла.
А Выберем систему координат так, как показано на
рис. 149. Так как стенка есть полукруг радиуса /? = 5,
то f(x) = K52—х2, х£[0; 5]. Воспользуемся для нахож^
дения силы давления формулой (2). Для данного случая
р = 900 кг/м3, а — 0, b = 5, поэтому
5 0
/*=2g • 900 J х/5^<*dx = 900g • у (52 — х2)3/2 =
i) 5
= 600g-53 = 75 000g.
Так как g^9,8M/c2, то Рл//35кН. А
3. Работа переменной силы. Пусть материальная точка
под действием силы F движется по прямой. Если дейст-
вующая сила постоянна, а пройденный путь равен s, то,
как известно из курса физики, работа А этой силы F
гычисляется по формуле
A=F-s. (1)
Выведем формулу для подсчета работы А силы F в слу-
чае, когда сила не является постоянной. Пусть матери-
альная точка движется по оси Ох под действием силы,
проекция которой на ось Ох есть функция от х, Будем
15 Алгебра, ч. 1 433
обозначать се через f (х) и предполагать, что f есть не-
прерывная функция. Пусть под дейсгвием силы F мате-
риальная точка переместилась из точки М (а) в точку
М(Ь) (рис. 150).
Разобьем отрезок [а; Ь] точками xt=d+—^~i на п
частей [x;_ij х,] одинаковой длины Дх,= Ц^ . На каждом
отрезке [х,-,; х,] работу силы можно приближенно вычи-
слять по формуле (1), т. е считать ее равной f(c,-)Ax(-, **
М(а) Mb)
I____I----------1---------------->.
О а Ь т.
Рис. 150
где с(—некоторая точка отрезка [x,_i; х,]. Тогда работа
силы па отрезке [а; 6] будет приближенно выражаться
по формуле
2/(Cf)Ax,.. (2)
Точность приближения будет тем лучше, чем короче от-
резки, на которые разбит отрезок [п; Ь]. Поэтому точное
значение работы А определяется формулой
А — lim 2 /
Н —> со 1=1
Правая часть формулы (2) является интегральной суммой
функции f (х) на отрезке [а; Ь].
Следовательно, переходя в равенстве (2) к пределу
при п —♦ оо, получим
ь
Д = $ J (х) dx. (3)
а
Пример 1. Какую работу надо затратить, чтобы
растянуть пружину на С,05 м, если сила в 1 Н растягивает
се на'0,01 м?
ДПо закону Гука сила F, растягивающая пружину,
пропорциональна растяжению пружины, т. е. F — kx, где
х—величина растяжения, k—коэффициент пропорциональ-
ности. Следовательно, в нашем случае 1 Н = /?0,01 м,
откуда й=100 и F = / (х) = 1 ООх Работу, которую необ-
ходимо затратить для растяжения пружины па 0,05 м,
434
находим по формуле (3):
0.05- С,05
А = ( 100xdr = 50x2 = 0,125(Дж). А
о о
Пример 2. Пружина имеет длину 20см. Сила в 10 кг
растягивает ес на 2 см. Определить работу, затраченную
на растяжение пружины от 25 см до 35 см.
Д Выразим данные задачи в единицах системы СИ:
2см = 0,02м, 20см = 0,2м, Г=10кг=98,1 Н, 25см=0,25м
и 35см = 0,35 м. Используя условия задачи и закон Гука,
получим 98,1 Н =&-0,02 м, т. е. £ = 4905. Следовательно,
F = f (х) = 4905л-, Так как для данного случая а = 0,25 —
— 0,2 = 0,05 и 5 = 0.35—0,2 = 0,15, то, используя фор-
мулу (3), получим
0,15 0,15
А = 4905 С х dx = 4905 х— » 49,05 (Дж). Д
0;05 0,05
Пример 3. Определить работу, которую необходимо
затратить для того, чтобы * тело массы т поднять с по-
верхности Земли, радиус которой R, на высоту h.
А Согласно закону всемирного тяготения сила F, дей-
ствующая на тело массы т, равна
X2 ’
где М — масса Земли, х — расстояние от тела массы т
до центра Земли,' k—гравитационная постоянная. Так
как на поверхности Земли x — R, F = mg, то
mg — , откуда kM — gR},
п, следовательно,
Р = Цх} = ^-.
Искомую работу находим по формуле (3), положи: в ней
a — R, b — RA hi
Н-th R
A*=mgR* § ^ = mgR*±
К R+Л
15*
43&
Упражнения
10.0. Тело движется прямолинейно со скоростью v (/) = (21? +1)
(м/с). Найдите путь, пройденный телом за первые 5 с.
10.10. Тело движется прямолинейно со скоростью о (/)— (21’4-1)
(м/с). Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от
t = 1 с до I = 3 с.
10.11. Скорость теЛа, движущегося прямолинейно, задается фор-
мулой t>(/) = (12/—S/?) (м/с). Найдите путь, пройденный телом от на-
чала его движения дс остановки.
10.12. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же
момент из одной точки в одном направлении соответственно со ско-
ростями Uf (/) = (6/?-(-4/) (м/с) иоа(/) = 4/ (м/с). Через сколько секунд
расстояние между ними будет ревно 250 м?
10.13. Тело движется прямолинейно со скоростью о (/)—(4/-(-а)(м/с).
Найдите а, если известно, что путь, пройденный телом за 2 с от на-
чала движения, равен 48 м.
10.14. Тело движется по прямой со скоростью о (/) = (6/4~ 4) (м/с).
Найдите длину пути, пройденного телом за третью секунду.
10.15. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени
от / = 0 с до / = 5с, если точка двигалась прямолинейно со скоро-
стью v (1)= (9,8г — 0,003(?) (м/с).
10.16. Скорость движущейся по прямой точки меняется по закону
v (/) = (/?/-]- с К (м/с). Найдите путь, пройденный этой точкой за
промежуток времени от / — 0 с до / = 4 с.
10.17 Определите давление воды на стенку шлюза, длина кото-
рой 20 м и высота 5 м, считая шлюз доверху заполненным водой.
10.18. Вычислите давление воды на плотину, имеющую форму
трапеции, верхнее основание которой равно а, нижнее &(«> Ь), вы-
сота h. Предполагается, что поверхность воды достигает верхнего
края плотины. Подсчитайте давление для случая а = 400м, Ь- 200 м,
/1 = 20 м.
10.19. Определите силу давления воды на вертикальную стенку,
имеющую форму полукруга радиуса /? = 6м, диаметр которого нахо-
дится на поверхности воды.
10.20. Определите давление воды на вертикальный прямоуголь-
ный шлюз с Основанием 10м и высотой См. Определите также дав-
ление на нижнюю половику шлюза.
10.21. Вычислите силу давления воды на треугольную пластину
с основанием а а высотой Л, вертикально в нес погруженную (осно-
вание совпадает с уровнем воды).
10.22. Вычислите силу давления воды на вертикальную заслонку,
закрывающую трубу, если труба, лежащая горизонтально, наполовину
наполнена водой/Известно, что поперечным сечением трубы является
круг диамеч ром 6 м.
10.23. Вычислите работу, которую надо затратить на сжатие
пружины из 0,1 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила в 78 Н.
10.24- Какую работу надо затратить на сжатие пружины па 4 см,
если извест но, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см?
10.25. Сила в ОН растягивает пружину на 2 см. Какую работу
надо произвести, чтобы растянуть пружину на 6 см?
1С.26. Электрический заряд е0, сосредоточенный в точке х = 0,
отталкивает заряд е из точки х=а в точку х=Ь. Вычислите работу
силы отталкивания.
Указание. По закону Кулона сила взаимодействия зарядов
в вакууме равна Г — где х—расстояние между зарядами.
436
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
1.1.
1.2.
1.3.
1.4,
1.5.
1.6.
1.7.
1 8.
1.9.
{—3; -2; -1; 1}.
(0; — 1; i; —2; 2}.
0, {3} {4}, {5}, {3; 4}, (3; 5}, 14; 5}, {3; 4, 5}.
1) 2; 2) 4; 3) 8; 4) 2’ = 32; 5) 251>= Ю24.
1) if) 8 = {3; 5); 2) Д,]В = {0};
3) Лр,В = 0; 4) 4П8 = Л = {1; 2; 3}.
МЛ4 = 0. л*пв = {0; “О- МЦС={— 1}
1) A(JB = {3; 4; 5; 6}; 2) 4(JB ={-7; 0; 1; 6; 7; 3; 9};
3) А1|В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; 4) A(JB = {—1; 0; 1; 2; 3).
1) А\В = {4}, В\<4—{6};
2) А\В = {1; 7; 8‘ В\А={-7; 6; 9);
.3) Д\В = А = {1; 3; 5; 7}, В\А = В = {2; 4; 6; 8};
4) А\В = 0, В\А={—1; 0}.
.4\Л4 = А = {1; 2; 3}, В\М = {1}, С\54 = {-2; 1}.
(A\M)u(B\M)u(c\M)={i;3; -2}-
1) {0; 5}; 2) Н; 0; 4^ ; 3) {-1; -2}.
, Р = {-1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13. = Af\B = A, А\В = 0.
1.14. A(JB = {—4; -3; —2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} = С,
А(|В = {-2, —1; 0; 1; 2}.
АиС = С, Af)C=A, 3JC-C, /?ПС = В
1.15. AUSL'C=C. АГ!ВПС-АПВ = {—2; -1; 0; 1; 2}
1.16. Af)W={l; 2), B.pZ=B. H\JZ=Z,
N(]Z=N, (АПВ)ПМ?={11 2}.
1.17. NaZczQctt.
1.18. M =
1.19. Г1П^2 — ,La> —
F2 и F3 и Ft и Fl = Fr. Ft п F2 n F3 П F* -- F4.
1.21. 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39.
1.22. 11; 13; 17; 19; 23; 29.
1.23. He существует.
1.24. —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4.
125 n 1. 13. 13?. 12.
!.25. 1) 3 , 7 , 79 . 4 5 f
1.26. 12; 24; 300.
1.27. 1) 100; 2) 60; 3) 12.
17 27
1.28. Дроби , -Гт- представимы конечными десятичными дробями.
20 12о
19 627
30’ 1090’
437
л i) |м». oh j-». «>; -4=-». да;
2) ^=0.2 (3); Н=3, (6); ^=0,21 (6); 15=1, (1в)|
Н=0, (846153).
1О
rt 17 1Q OK
ЕЗО. 1) 0,(51) = ^; l,(13)=lg; -0,(25)=-|?
2,(125) = 2§; -0,(113)=-lg;
2) 0 3(5П-3^.=345=-^--56--
} ( М 10 9g 990 J30 165,
о 1 — 2 I 1_____2 61 • 0 2 (125~> .2^ _2123 .
2,1 (23)-2+ 1() 99 -24дб> 0,2(125)- 1(. ggg ,
_ . 31 П21__1 3112~31- 1 ЗС81 .
1,31(12)- 1 990(> — 19900 ,
. 2513 — 25 . 2488 .1244 . 622
!’25 = 1 +-9900~= ‘ 9900 =1 4930 =1 2475 '
1.31. 1) a+b=2, (1); а—Ь = — 1,(4);
2) а+Ь = — 0, (65): а—5 = —1,(76);
3) а3-5 = 2,2 (6). а—5 = 0.1 (7).
, „„ ,ч . 16 а 3 ... 200 а 24
1.32. 1) ab — 27 ; fc-16; 2) а5- 297 ' 5 — 11’
„а-517- а-55
3) Ь 405 ’5 47 ’
1.36. 1) —0,34919756; —0,35102038; -С,388ВЬ887; —2,4142152;
226,045;
2) 3,6124434; 1,3065388; 1,3015873; 1,0355339; 6,0923893.
t.40 1) /2 + /"3»3,15; У” 2- У“3 я - 0,32;
2) / 5 + 0, (15) « 2,39; К'Ь-О, (15) «2,08,
3) / 3+/"5 «3,97; /'З-у/’Т « — 0,50;
4) К 6 + 1,1 (2) «3,57; У б —1,1 (2) 1,33.
1.41.
1)
у 2-У 3«2,45; -++«0,82;
V 3
2) У 5-0, (15) « 0,34; ~ « 14,79;
V, (1D)
3) Уз.у'5«3,87; « 0,77;
4) У 6 + 1,1 (2) «3,57; У 6—1,1 (2) « 1,33
1.44. 1) Дх = ^; |Дх| = ^;
2) Ал )б0 ; |Лх|- 150<
438
1.45. 1) *=1,23 ± 0,002;
2) *= — 0,127 £ 0,001;
’ 3) * = 2,865 ± 0,0004.
1.46. 1) 22,5<*<2-3,5;
2) 1,49<*<1,5);
3; — 2,42<*<- 2,22;
4) 4,5<*<4,6.
,Л7’ 15-1,5 ~3^8==24 ’
2)
' 100-1,66 3-83 249
1.48. 1) 2^=2^0,001626, 0,17%;
2> ет^ж’3'007874’
3) -^2^ = -^gy = 0,0001396, 0,02%.
4,000 .4000
1.49. 1) 0,55; 2) 0,13; 3) 2,37; 4) 0,00149.
1.52. 1) *+(/=! 1,2 ±0,1; 2) х\-у = — 1,1 ± 0,03,
3) * + (/ = 2,27 ± 0,07; 4) *+(/ = 13,3 ± 0.2’.
1.53. 1) * —(/=4,4 ± 0,1; 2) х — у= — 4,1 ±0,03;
3) * — (/ = 0,23 ± 0,07; 4) *—(/ = 0,9 ± 0,2.
1.54. 1) ху ~ 7,52 q точностью до 1,5%, *(/ = 6,52 ± 0,113;
2) ху » 4,305 с точностью до 1,5%, *(/ = 4,3 ± 0,07;
3) ху х 1,849 с точностью до 1,1%, *(/= 1,85 ± 0,0204.
1.55. 1) у= 1,36 ± 0,0204 ; 2) у=2,85 ± 0,05;
3) -i-=0,1 ± 0,0011.
1.56. С точностью до 1,5%.
) 57. С точностью до 0,13%;
2,97761 ± 0,00376 = 2,9776 х 0,00377 = 2,978 ± 0,00417 =
= 2,978 ± 0,0042 = 2.98 ± 0.0062.
1.58. С точностью до 0,02 см.
1.59. С точностью до %.
О
1.60. С точностью до 0,25 мм; три десятичных знака.
1.61. 5,23-10-1; З.ЬЮ-2; 3,0285-Ю2; 3,74-103;
З-Ю-3; 1,2-10-s.
1.62. — 1; 0; 2; 1; 5; —3; — 2.
1.63. 1) Цифры 1, 2 верные; цифры 5, 6 сомнительные;
2) все цифры верные;
3) цифры 0, 0, 3 верные; цифра 6 сомнительная;
4) все цифры верные.
1.64. *=1,25 ± 0,01; (/ = (1,25 ± 0,01)-102= 125 ± 1;
г = 13,20 ± 0,01; и = (1,51 ± 0,01)-10"»..
1.05. *= 1,25 ± 0,005; (/ = (1,25 ± 0,005)-10*= ± 0,5;
г= 13,2 ± 0,005; « = (1,51 ± 0,05).10’3.
1.66. 1) 3,64; 2) 10,0; 3) 2,1-103; 4) 1,7-102.
1.67. 1) -0,96; 2) - 1,4; 3) 1,9-103; 1) 1,7-10?.
439
1.68 У л все цифры значащие; у у все цифры значащие; у г цифры
2, 1, 0 значащие; у и цифры 1, 5, О значащие; у г цифры 2,
7, О, 0. значащие.
1.69. 1) Цифры 2 и 1 значащие; 2) цифры 2, 0; 1 значащие;
5) цифры 1 и 5 значащие: 4) цифры 2 и 7 значащие.
1.70. 1) 26,5; 2) 3,6- 10Б; 3) 31,6; 4) 6.4.
1.71. 1) 6,00; 2) 0,04; 3) 20.9; 4) 3,61 - Ю4.
1.72. 1) 0,162; 2) 0,04; 3) 0,0478; 4) 2,8-10~\
ГЛАВА 2
2.1. 1) Истинно; 2) ложно; 3) не является высказыванием;
4) истинно, 5) истинно; С) истинно; 7) истинно.
2.2. р — «число 174 не делится на 3»; q— «пет дождя».
2 3. Роман, Юрий, Виктор,, Сергей.
2.4. Черный.
2.5. 1) {3; 6; 9; 12}; 2) (3; 4; 5; 6};
3) {4; 5; 7; 8; 10; 11}; 4) (7; 8; 9; 10; 11; 12}.
2.6. 1) Не является высказыванием; 2) высказывание, ложно;
3) высказывание, истинно. »
2.7. 1) a — 2/3; 2) а—любое.
2.13. Если четырехугольник — ромб, то его диагонали взаимно пер-
пендикулярны. Если четырехугольник — не ромб, то его диаго-
нали не перпендикулярны. Первая теорема верна, вторая не-
верна.
2.14. Взаимно обратные теоремы 1 и 4, 2 и 5; взаимно противополож-
ные 2 и 3, 4 и 6; противоположные обратным 1 и С, 3 и 5.
Теоремы 1 и 6 верны, остальные неверны.
2.16 Прямая и противоположная обратной верны; обратная и проти-
воположная неверны.
2.17. Теорема неверна, обратная и противоположная теоремы верны,
противоположная обратной неверна.
2.18. 1) Необходимо и достаточно; 2) необлод'имо, но недостаточно.
2.19. 1) Верно; 2) неверно (/1 = 25).
ГЛАВА 3
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
1) 5; 6; 2) Ц; 8; 3) 3; —11; 4) 4; —8; 5) —9; 15; С) 3; 4-;
О
7) - -у ; 0; 8) — 1; 5; 9) ±2; ± / 3; 10)
О
П) ± к 2; 12) нет корней;
1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет; 6) нет;
1) 3; 2) нет корней; 3) 6; —2,2; 4) —1; ;
О
2_
2 '
1) 10; 2) 3; 3) 5; 4) — ; 5) 4; 6) 6; 7) 4; 8) 3; 18; 9) 5; 10) 5; 17;
11) 10; 12) 4; 13) 5; 14) 0; у.
440
3.5. 1) ± 3; 2) 2; f К 5; 3) ± 1; 4) ± I- ± ; 5) 4; 9;
3.6. 1) (3; 2); 2) (0; -5); (-3; 4); (3; 4); 3) (-5; -7); (7; 5);
4) (—3; -4); (4; 3); 5) (3; 12); (-8; - 12); 6) (0,2; -1)1
(0,4; -0,5); 7) (-1; б) ; 8) (-5, -3); (3; 5);
9) (1; 0); 1; 11) ; 10) (1; -2), (-1; -2).
3.7. 1) 29; 2) 18; 3) 12; 4) 6; 5) 20; 6) -4.
3.8, 1) 9, 2) --; 3) 9; 4) -1 .
3.9. 4=—4.
3.10. 1) —5; 3; 2) -4; 5; 3) 4; 5; 4) —2; —1.
3.11. 1) (3; 2); 2) (4; 1); 3) (5; 3); 4) (2; 2); 5) (3; С);
6) (х; у(4х—7)) , где x£R
3.12. 1) (0; 0); 2) (_х; у) , где xgR; 3) (0; 0); 4) (0; 0); 5) (х; у) ,
где xQR, 6) (0, 0);
3.13. 1) (4; 3); 2) (5; 4).
(Qr_________________________________________________7 \
х; —-— I, где x^R.
3.15. 1) Л--у ; 2) fe = l.
3.16. 1) —10,5; 2) k£R, k #9.
3.17. При а С R, а ==—3, а^2 единственное решение; при а — —3
бесконечное множество решений; при а = 2 нет решений.
3.18. При а = — 1 нет решений; если а 2, а/:—1, то х=--—, ,
2
у=-----—Т ; если а = 2, то х = с, у=с— 1, где cQR.
1) —18; 2) - j; 3) —92; 4) 165.
1) -^;2;2)|-4;
1) 0; 2; 2) —3; 6.
1; 2; 3.
-3; 0.
1) (1; 1; 5); 2) (2; 3;
1) (4; 3; 2): 2) (5; 3;
1) Имеет; 2) не имеет.
Проходит.
1) (3; 1; 4, 6); 2) (0; С; 0; 0); 3) (8; 6; 4; 2); 4) (1; 2; 3; 4).
3.19.
3.21.
3) -у ; 2.
(1; у, у—3), 1де y£R; 4) (2; 4; 1)
3) (3; 5; 4); 4) (6; 2; 5).
1)
3.22.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
З.ЗС.
3.31. а^— 1.
3.32. а = 2; а — —4.
3.33. 1) (—2,5; 4-ос); 2) (0,75; + оо); 3) (—со; 4);4) (—оо; —9,75).
441
1 80 40
3.34. 1) х < —и-; 2) х < 2; 3) 1 < х < 4; 4) х < -% и х > ;
Z О О
5) х > — -g-; 6) —1 < х < 4.
3.35. 1) х < —3 и х > 2; 2) xgR; 3) ~ < х < 6; 4) нет решений;
5 1 2
5) —з-<х< 1; 6) х< 1 и x£s4, 7) х < — и х > -у;
z z о
8) —6 < х < 2.
5 3
3.36. 1) 1 < х < 1,5; 2) —2,5 < х < 2; 3) - < ц и х > у ;
4
4) 0,5 < х < -у ; 5) —1,25 < х < 0,75; 6) х < 5,4 и х > 6.
О
3.37. 1) х < —2; 2) х > 4; 3) —5,25 < х < 2; 4) ~ < х < ~ .
о о
3.39. » = 21.
3.40. «= 12.
3.41. Хлебозавод Населенный пункт
1 2 3
№ 1. № 2 20 т 10 т 20 т ' 0 0 10 т
ГЛАВА 4
4.1. 1) 125; —1; 1; —9.261; 2) 7; 1; 2-L; -0,1; 3) 51; 9; -1;
24,4) 1;
4.2. 1) R; 2) /?; 3) Я\{3}; 4) /?\{1}; 5) /?\{1; 4); 6) [0; ф-оо).
4.5. а, в.
ла п ' 1 ,2 о. 5-|-Х ... 4хф-5 .
4.6. 1) </—ух-|-у ; 2) У=—— ; 3) у =у-гу-; 4) нет обратной
функции; 5) нет обратной функции; 6) нет обратной функции.
4.7. 1) Четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) ни чегпая, ни нечет-
ная; 4) нечетная, 5) четная; 6) ни четная, ни нечетная; 7) ни
четная, ни нечетная; 8) ни четная, ни нечетная
4.8. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет.
4.9. 1) и 2).
4.10. 1) и 3).
4.11. а; в; д и е.
4.15. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет.
4.16. 1) п=2; п=15; 2) ге = 8 и п —9; 3) нет.
4Л9. 1) <2» + 1)2.; Ч 3) , 4) -. S) .
4.21. Монотонные; 1); 2); 5); 6); 7); 10); 11); немонотонные: 3); 4);
8); 9); 12).
442
4,24. Ограничены: I); 2); 5); 6); 7); 8); 10); не ограничены: 3); 4);
9); 11).
4.30. п > 9; п > 99.
4 31. п > 28, п > 2998.
4.32. и >26; п > 251.
4.33. Последовательности 1); 3); С) сходящиеся; 2); 4); 5) расходящиеся.
4.34. 1) 2) С; 3) -2-; 4) -j; 5) -1 ; 6) 2 ; 7) 2; 8) 2-,
Ч*
4.35. 1); 2).
4.36. Существует у 1); 2); 3); 4); 5); 6); 9); 10); не существует у 7); 8).
4.37. 1) у; 2) ; 3) |; 4) -Л.
9°9 . оч ,, 919 . _чо151 . . ..67 ,.14.. ,179
4,39‘ 1100’ 2) 3 1100’ 3)6 330* 4) 10 185 ' 3 32 55 ' 3 3 1980 *
4.41. 1) 253; 2) ; 3) 12; 4) 4; 5) 3; 6) С; 7) 10; S) 22 ; 9) 2-;
1*3 У 2
10) 1.
4.42. 1) Не существует в точке 0, существует в остальных точках;
2) не существует в точке 0, существует в остальных точках;
3) не существует ни в одной из данных точек, 4) не существует
в точке 0, существует в остальных точках; 5) не существует ни
в одной из данных точек; С) не существует в точке 2, сущест-
вует в остальных точках.
4.43. 0; 1.
4.44. 2-; 0.
4.45. —2;2) А; 3) 1; 4) 0; 5) 1.
4.46. 3. ‘
4.47. 1) 5; 2) 0; 3) 2- .
4.48. I) Непрерывна в обеих точках; 2) разрывна в точке х=0, не-
прерывна в остальных точках; 3) разрывна в точке х—0,
непрерывна в остальных течках; 4) непрерывна во асех данных
точках; 5) разрывна в течке х =—1, непрерывна в остальных
- точках.
4.49. 1) -3; 2) 5; 3) -±; 4) 0; 5) 4; 6) 2 ; 7) 2-; 6) 2, 9) |;
10; 2-; 11) 1; 12) 3; 13) ; В) 4; 15} -/5; 16) 2..
ГЛАВА 5
5.1. 1) 150; 2) 4860, 3) 60; 4) 180; 5) 30; 6) 0,3; 7) 5; 8) 0,06.
5.2. 1) 2- ; 2) 2- ; 3) |; 4) | ; 5) 2; 6) 4; 7) 3; 8) 2; 9) 2; 10) 0,3.
443
5.3. 1) 2; 2) 4; 3) 1; 4) 1,5; 5) 500, 6) 283; 7) 2; 8) — ; 9)2; 10) .
-5.4. 1) 5; 2) 3; 3) 2; 4) 2; 5) 8; 6) 5.
5.5. 1) 8; 2) 4; 3) 3; 4) 125; 5) A ; 6) у; 7) ~;8) 4; 9) 108;
10) 216.
— — — ( — —— ( — —А •
5.6. 1) а 2 \а 2 — 1J ; 2) 5а 2 b 2 \3а 2 4-5 2 J ; 3) х 4 4 — г 4 ) ’
. 1
4) 5х~3 (2х— 1).
1 2_
5.7. 1) х3 ; 2) Z>5 .
1 1 1
- — а3 Л3 2х3 - —
5 8. 1) 2а3 Ъ2 ; 2) : 3) —; 4) х3 -у
9) (£-У8-2 < 1; Ю) (_*ЦГ’"3 < 1
\ 6 у \ л )
5.10, 1) 4; 2) 4; 3) 48; 4) 1; 5) -6; 6) g.
5.11. 1) 1; 2) -у, 3) -1; 4) 0; 5) Ц1; 6) у ; 7) ;
Z О £ □ у
г/"? 8
8) — ; 9) ; 10) нет корней; 11) 0; 12) 0.
5.12, 1) 2; 2) 4; 3) —4; 4) —4; 5) 3; 6) —4.
10 9 7 1
5.13. 1) 5; 2) - ; 3) -у ; 4) -=-; 5) 2; 6) 4; 7) 16; 8) ; 9) 25;
О 2- □ У
10) 200.
5.14. 1) 0; 2) 4 1 3) 2; 4) 1; 5) 2; 6) £<
о
5.15. 1) 0,682 ; 2) 2,322; 3) 0,307; 4) 0,352.
3 1 1
5.16.1) —4<х<4; 2) —оо < х < у ; 2<х<3; 3) —-i- < х < 6;
Z 2-0
5.19. 1) Область определения — /?, множество значений — [1; +оо);
2) область определения — /?, множество значений—(—со; 0);
3) область определения— R, множество значений — (0; + 00);
4) область определения—/?, множество значений —[1; 4-°°):
5) область определения — /?, множество значений—(—1; 0i;
fi) область определения—R, множество значений — (—со; 1);
7) область определения—/?, множество значений —(—2; 4'00)-
444
5.23. 1) Область определения xfR, х 0; множество значений — R'<
2) область определения х£/?, * >* 0; Множество значений — R-
3) область определения—/?,.; множестве значений — [0; 4-ос)
4) область определения—/?+; множество значений — [0; -j-oo);
5) область определения — (—со; 0); множество значений — /?;
6) область определения —(оо; 0); множество значений —/?+
5.28. Нет.
о
5.28. 1) 0; 2} 0, 3) 0; 4) 3; 5) 3; 6) 2; 7) 2,5; 8) у; 9) 0; —2; 10) —1.
9
5.29. 1) 9; 2) 1; — 4 , 3) 1; 4) —2; 7; 5) —1; 6) 1,5; 7) —2; 8) 2;
О
9) loga (а ± а?— 1), где а^з 1.
5.30. 1) 3; 2) —1; 3) 0; 4) 0; 4; 5) ±}<3; fl) ± У 3 ; 7) —7.
5.31. 1) —1; 2) 0; 3) 1; 2; 4) ||; 5) 5; 6) 1; 2; 7) 30; 100; 8) 1; 10;
9) /3; 9; 10) 2; 4.
___1_ 1
5.32. 1) 1; 2) 10; 10 2 ; 3) 102 ; 10"1; 4) —2; 3; 5) 7; 6) -1;
7) 7; 8) 13; 9) 2; 10) 0,01; 10; 11) 2; 12) 30;^.
5.33. 1) х > 3; 2) х > —1; 3) х > log0 13; 4) х < 1 и х > 3; 5) х < 0
и х > 1; С) х < log? 3; 7) х < —1 и х > 2; 8) x£R.
5.34. 1) (-со; 2]; 2) [1,5; + «); 3) (—со; —2]; 4) (2; 3), 5) (—1; 1);
6) (0; 2).
2 7 1 11
5.35. 1) х< — -р- ; 2) I <х < 1 -s-; 3) х< ; 4) —5<х < 7,5;
О 24 О 10
5) х>—0,05; 6) 0,4<х < 0,6; 7) 2<х <2,5; 8) 0,2</<0,4..
9)-7<х<1у; 10) 1,42<х < 1,5; 11) —6<х<—4и2<
< х< 4; 12) — « < х<-1 н 4<x<J-«. 13) —0,58 < хsS,
«С —0,4; 14) —1,25 < х< —1,23 и х > —1.
5.3С. 1) х > 8; 2) х> 10; 3) 1 < х < 2; 4) х > 4;
5) 0 < х < 2; 6) 0 < х < и х > 32;
7) 2 < х < 3; 8) х > 1; 9) 1 < х <[3;
10) А- < х < у и х > 1 11) 0 < х < и х > у.
5.37. 1) 1,39; 1,13; 1,75; 2,79; 4,27; 2,55; 0,47; 0,75;
2) 22,5°; 108°; 229°; 89,9°; 36;7°;_208°. _
*3S. 1) (-1; »); 2) (0; -1); 3) ; 4) (- .
5.39. 1) — у+2лЛ, где k£Z; 2) nk, k£Z\ 3) у4-л*. k^Z',
4) л + 2лй, SgZ; 5) nk, k£Z; 6) nk, k£Z.
5.40. i) -y: 2)4; 3) —3;4) -1-
5.41. 1) -| + 2лй, k£Z-t 2) 2nk, k£Z;
44a
3) y*. k^Z-. 4) y + у*. k^Z.
5.42 1) — 0.6018; 2) -0,86G0; 3} 1,1578;
4) 0,6494; 5) 0,5878; 6) —0,8090
5.43. cos а = —0,6; tga =— A; ctga = —-Д
3
5.44. sir a = 0,6; cosa =—0,8; tga =—y.
5.45. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет.
5.48. ± 0,6572.
и
=« 4=.
5.50. 1) 2; 2) 1; 3) -Д— ; 4) 1.
~ ’ sin2 a ' _
Ml.2) , 3) Ь 4>а
5.52. 1) i2 ; 2) 0; 3) I; 4) 1 : 5) I; 6) 0.
5.53. 1) cos 3a, 2) ~; 3} 1; 4) /3cosa 5) tgactgp; 6) cos2pcos3fi.
5.58. 1) =~k, k£Z; 2) nk, k£Z;
D
3) л + 2л*, k^Z; 4) ~k, k£Z.
5.59. I) /3; 2) —tg 22° « —0,4040; 3) 1; 4) 1.
5.60. He существует.
5.61. L
5.62. A.
5.C3. I) -y; 2) -Ajl ; 3) 1; 4) -1; 5) A; 6) -/3; 7) -y ;
8) 1; 9) 2; 10) 5.
5.65. yU-- -^= • 1.
/10 ’ V 10 ’ 3
5.60. -Д— ; —Ur- • A
/10 /10 ’ 3 ‘
5.67. 1) ctg2 a, 2) sir. 2a; 3) tg у ; 4) 1.
5.69. 1) л4-2л^ и 4л£, k£Z;
2) 4лй и 2л-[-8лй, k£Z',
446
3) у (1+2Л), k£Z- 4) nk, kQZ.
8.70. !) i (cos 10°—cos 30°); 2) (sin 75" 4-sin 15е) j
3) у (sin 60°—sin 10е); 4) A (cos7504-cos35°)j
5) ~ (ios 2a — cos 2x); 6) A. (sin 2x j- sin 2a)j
4
7) у (cos 2x-(- cos 2«).
„ 13/1.. ч ££+£I; a, &±ZE, 4; Ц=1,
6)Ц=2:6)£/1.
8.72. 1) ; 2) у ; 3) cos a; 4) sin 2a.
.13,
2; ’
2 1
4) — У~3 sina;
2)
3)
Б.74. 1) /2-)-)<3; 2) 0; 3) ; 4) —
6) 0; 7) 0; 8) —/2-КЗ; 9) —
6.75. 1) У 3 cos a, 2) sin a; 3) cos a;
5) etg 2a; 6) sin a.
4 sin ^45° 4- -2. cos ! 15° — у ;
4sinfl&0-|Vosfl5°4-|j;
2 sin f 30°-J-у J Cos (30°_|Yj
481п(зо°—£)со5(з(Г4-£):
' ю°-у);
3O°-y)5
10, -1/
4)
5) 2 cos ( 30°
6) —2 sin
7) 2 cos2 у ; 8) sin2 у,
5.78. 0
5.79. 1) и £+4*. k^Z- 2) $-4-2л*, k^Z,
О *1 Z О
3) и Л4-2ЛЛ, k^Z; 4) k, k^Z;
u о 4
5) у4-2лА:, k^Z, б) л4-2лй, k£Z.
5.80. 1) 2 cos 2a; 2) 2 cos a; 3) —2 sin a; 4) —-?—;
7 2 sin oc
5) sina; 6) cos2 a; 7) sin2 a; 8) 0; 9) 0; 10) —L
5.83.
4
5.85. 1) nk, fegZ; 2) 2лА, k£Z-,
k£Z; 4) y+f *. k£Z.
г КЯ n l + cos30° t 1—cos3a „ 1—cos(90°+a).
o.oo. 1) 2 * 2 * 2 *
5.87. 1) -4-;-лй, k£Z', 2) 44 3) 2л*, k£Z; 4) % k, k$Z.
5.88. 1) 2 sin 27’cos 27°; 2) cos2 53°-sin2 53°; 3)
4) 2 sin 2(J cos 2(3; 5) cos2 1,5a — sin2 1.5a; 6) 2sin^y — у i X
Xcos 7) cos* f ~ 1 — sin? (4+“') ’> S' 2sln ~ x
\ 4 z / О / \ О J О
am 2a , 9 a 1ЛЧО , ( Я a \ (я a \
X cos -r-;9) cos2-j-— sin2-r ; 10)2sin -=-- cos -?•—tt •
o 4 4 \ О Z j \ О Z j
5.89. 1) 1; 2) 1; 3) 4) -£±; 5) 1; 6) -/3,
24 7 24 3
5.90. l)2-5;2) -25;3)7;4) -*
7 24
5.91. cos2a = — ; tga = — тг.
Zu I
5.92.
16 V 105
169
5.93. 2 sin a > sin 2a.
5.91. 1) sin 80°, 2) /3; 3) cos 2a; 4) 14?,
5.96. 1) -4; 2) 4 ; 3) -Д ; 4) ; 5) " j 6) Д ; 7) 0,
X Z O0 4 4
5.97. 1) л; 2) 0; 3) ~ ; 4) i ; 5) ; 6) i ; 7)
5.98. 1) 2).-J; 3) 4) 5) 0.
5.99. 1) 5- ; 2) J ; 3) ; 4) | ; 5) i ; 5)
5.ICO. 1) 55’18'; 2) —23’54'; 3) 24°6'; 4) 166°; 5) 65’30'; 6) —82’47'-
7) 15’6', 8) 179’50'.
5.101. 1) 2л; 2) л; 3) 4- ; 4) 1; 5) }Г 3; 6) / 3 ; 7) Д i 8) /3 ;
z z Z
‘9) У; 10) -у •
5.102. 1) -KI; 2) 3-t£j; 3) -гК’З; 4)
4 0 0
448
5 ЮЗ. у ;
1 in 7л
~ ’’ 6
5.104.
и
Пл л л
"ГТ: '12 ’ — б" •
5,106. 1) у+2л*, *gZ;2)^+nft, k^Z; 3) (— 1)*4 + я*. k£Z,
4) (_ ip+i-J+^.^Z; ^(-D^+yA.^GZjQC-l^+ix
k^Z-, 7) (-l)*^y+M, k£Z; 8) (- 1)« y+
+2n*. k£Z-, 9) (— l)ftarcsin4+n*. *£Z; 10) (— l)»nX
Xarcsink£Z.
5.107. 1) _i + 2nfc, k^Z; 2) ^- + r.k, k^Z\ 3) ± у+Йлй, k£Z;
3л t л t t '’f c\ * л I 2л . t. ‘•w /*\ 5л . 2л f
4) ± -4- + 2Л&, k£Z’, 5) 6) ± —-|-—fc,
k£Z-, 7) 1±4+2я*. k€z< 8) 4±^г + 4я*. k£z'.
o Z 6
1
. л—arccos -j-
9) i4arccos-=-+8nA. k£Z\ 10) ±-r-j-f 4 k, kCZ.
D «2
5.108. 1) 4+4*. *e^. 2) -4+4*, k^z- 3) 4*. k^Z,
о z о z □
4) -4+4 k, k^z-, 5) 4 +£л*. k(iZ-, 6) -^ + 2n*. k g Z;
У D x> и
7) 4+-" k, k^Z-, 8) 45’4-904 *gZ;9) 4+ aretg3+n*, k£Z,
Zaj Z О
10) 4+arcctg2+n*, k^Z,
5.109.1) — у+2л*, *gZ; 2) ±у^2п)г, k^Z; 3) ± ~ 4 2nk,
JT 1
k^Z\ 4) —+ л^ и —arbtg3+n&, 5) — arcctg2-|-и
^+y *. 6) ±4 + л*, *CZ; 7) ± £+лЛ, k^Z-,
8) i -г- k^Z’t 9) i k^Z\ 10) j; arctg 2-f-^ikt
о о
k£Z.
5.110. 1) nk, k^Z\ 2) ^-\-nk, k^Z\ ±4+2^, k£Z', 3) -/?,
Do. 2
r Л\ L, | L К 'T C\ I 2л , 2л , t —
*G-^; 4) ~* и б"Ь"з^’ *G-^> 5) y+y* и уk, k^z;
449
6) ^k, k£Z; 7) 5-4 -J ft и k^Z- 8) ^k, k£Z;
9) %k, k£Z, 10) ~^ + nk и -jH-f A k^Z.
5.111. 1) 4-|_лЛ, k£Z\ 2) y4*Jl^> ^€^1 arotg24-.nfe и
arctg-!j-4-4-л/>. k(?Z; 4) ~--\-nk и arotg-ij-n^, k^Z;5)^-+
4-ля и — aroig-^4 л4, ft^Z^C) y- + nk и arctg34-nft, k£Z<
о 4
7) ±••? ~nk, k^Z', 8) 4г4-л* и --“4-л^ ££Z;9) nk и
О Z о О
k£Z, 1C) nk и у4-лА, k^Z; 11) ink и 4 4-2л«, k£Z't
12) л4-2л£ 11 —2 arctg 0,75 4-2л£, k£Z.
5.112. 1) jk, k£Z; 2) ^k и ± j4-ft*. k^Z; 3) 4-4-4.* и |+
. л , .,_ n . л _ , л —arocos0,75
4-3 k> k^z> ^-s+-4k’ k^Z- 5) ±--------7------Ьяй>
k£Z; 6) nk,k£Z; 7) k, k(^Z.
5.113. 1) ^+y*,^Z.2)4+"fe( A€Z;3) ±^4-лА, keZ-, i)nk,
k^Z\ 5) nk и l-g-4-лй, k^Z\ 6) 2лй, fegZ; 7) (— l)*x
Xarcsln 4-4-nfe, k<^_Z.
«J
5.114. 1) Ь, k^Z- 2) ±-14-л$, k£Z-, 3) ±4+„fe, k£Z\
z о и
4) —Л+яй, k^Z- 5) (_1)«^+лй, k^Z; 6) ±-4-2пЙ,
k£Z,
5.115. 1) (—1)й+17+^. k^Z;
2) (-1)йх4*я*> k^Z> 3> 4 +
О оо
4)л(2Л4-1), k^Z; 5) — у4-2лй, 4gZ;
6) —4 4-лА п arctg24-nkt k^Z\
7) y4~3t^ и arctg-^4"n^> k^Z.
5.115. 1) у4-лЛ и 4-4-л*,
2) Jt4~2nA и ±44*2д£, k(^Z;
О
450
3) и ±Дг+2л*, k£Z;
О о
4) nk и (—1)«у4-л*, k£Z-
5) -£+л* и ± 4+2яй> 6) (-I)»*1 4+2л*, *££;
Z 0 О
7) —£+л* и | (4*4-3), *£Z;
8) 2л* и 2 (л*—arctg 3), *£Z.
ГЛАВА 6
6.1. 720 км/ч.
6.2. 50 км/ч.
1) v0 м/с; 2) v04-aZ0 м/с.
1) —2 м/с; 2) 28 м/с; 3) 10 м/с.
1) -4=: 2) 1—; 3) 3/024--4=‘
К Л> (34-W '2f/0
1) 2х0; 2; 10; 2) 4х0; 4; 20; 3)_2(х04-3); 8; 16;
4) Зх§4-2; 5; 77; 5)
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6) — Зх?; -3; —75;
1 . J_ ___
2 К~о ’ 2 ’ 2 ’
7^=+^'
-4=-Ю.
2 2 Кб
4) Зх2-)-^;
2х0;
6.7. 1) 1; 2) 2x4-1; 3)
5) Зх2 4-2x4--^--; 6) 44-Зх2;
6.8. 1). -8; 2) |; 3) -±; 4) 3-|-
9 7 __
5)—5-9х24—7=-! 6) 2х-8; 7) 4х>—2-х2 К х;
ух *
8) X2—|fx; 9) 1 4-26х —Зх24-36х3—15Х1.
7) 3-|-2х4-Зх2.
6х;
6.11.1) g; 2) -1; 3) —3; 4) 1; 5) ; 6)
6.13. f (g) = lg2 х + 9 lg х+ 17,
/и - ()!+3 (^'+,4^) -1.
g(ft) = lg(K*+^p)-|-3, g7) = lg(x24-3x-l)4-3,
А(/) = кх2+3х— 1 +^+^.-+l, h(g)=. KiI7+3 +
, lg*4-2
lg2x4-6 lgx4-10•
6.14. y = f(g), где 1) f(x)=K x, g (x) = x24-3x4-4; 2) f(x) =
g(x)=x24-5x4-l; 3) /(x)= Кx2—2x, g(x)=]/~~x;
451
4) f (*) = lg*, 8 '*) = 3x24-x4-4; 5) f ,
У *
g(x) = 3—Igx; 6) f(x) = -j^y, g(x)=x?4-x3;
7HW=3Tjf^l-
8) f W = 4-x+lg(l4-Л - S (*) = Г *
G.15. 1) 6 (x?+5) (x34-15x + 23); 2) Cx(x2—3)2;
2(14-x)(l— 2x—x2) 31x4 x4-l)2(54-6x—5x2—2x3—x<)
3) lx2. — xP 4 lx3 3x2 fixP ‘
0.16. 1) (x4-2)e*; 2) (2х34-3х24-адна+3*;
3) (2x- x«-l)e *; 4) ((2x24-3x) !n24-i).2b*-r*2;
Б) (34- 10x4-3x2-t-(6x24 10x34-2xl) In 4)-4*2;
6) (2-Зх) e~x —(2x4-3) In 14-14*2+3*+3;
7) —2 (х24-3х)е"*г; 3) (2x-(-3x2 )-(x24-x3—1) (5-2x) In 2)x
-x2 + 5x+-i-
X2 5;
9) (3x24-2x4-7 4-2x (х-J-18) (x24-x-L7) In 3) 2*2+м*+10.
G.17. 1) 6x Inx-t-- -*'—
2) -—f-r-j- f -—In x]; 3)
' (X—1)? \ X )
4) a*2 ^2xIna In (x24-4x4-12)-|-
5) ex+1^|n(x4-5')4--^-yJ ;
2x In x— x _
3 In* x ’
2x4-4
x2-f-4x-|- 12/ ’
6) 3 log., (x-H14-x2)4-
G.18. 1) lOOx»8; 2) — 5x4;
(3x4-4) ,2x4-1)
(x24-x-t-1) In 5
3) —-—;
’ 10
4) —/ =(4---------^7^1; 5)-------!-=;
5/(х4-К7)Л 2/ */ 10x|/|lx
6x»4-7x64-x34-2x4-3, 29________3_ ,
V(x?-|-l)3 42x iXX?3 3x xi
8) К'бх^6'-1; 9) м’-1;
10) 5(2 p/x~-!-3x34-x2)V—а-_ 4-Эх24-7хЛ;
\ 3 / t /
12) Ю (in/-
G.I9, I) S; 2) 4 3)1; 4) 4; S) 2; 6) 1.
6.20. 1) 2 cos 2x; 2) a cos ax; 3) —3sln3x;
4) —a sin ax; 5) 2 cos 2x-|-3 sin 3x;
452
6) l-|-2sin2x; 7) 6x2-f 15 sin lOx; 8) cos3x; 9) —cos lx.
6.21. 1) cosx—xsinx, 2) sin x-j-x cos x;
3) cos2x; 4) 2 cos 2x cos 3x—3 sin 2x sin 3x;
5) a cos ax cos bx— b sir. ax sin bx; 6) sin 2x;
7) — 3 cos1 x sin x; 8) — a sin 2ax;
9) na sin"-1 ax cos ax; 10) — na cos"“1 ax sin ax.
6,22. 1) 4 4-2 1 g2 2x 4-2 etg2 2x; 2) etg x—x (14-cfg2 x);
3) 3 tg2x (14-tg2 x) 4-3 (1 4-tg2 3x); 4) -2 (1 4-ctg2 2x) -
— 4 tg2x (1 4-tg2 2x); 5) 2cos2x; 6)2sin2x;
7) 2a (g ax (14-tg2 ox); 8) (4x—1) cos (2x3 —x);
9) — sin2x; 10) cos x—2 sin 2x-|-3 (1-|-tg2 3x).
6.24. 1) —sin у ; 2) -^-ecs3x; 3) cosax,
4) 2x cos (x—1)—x2 sin (x—1); 5) 2 cos (3-|-2x) — 2 sin (34-2x);
6) 24 sin1 4x cos 4x; 7) 1 4-tg23x; 8) 6 (tg2 3x—tg2 2x);
9) 24tg24x(l4-tg2 4x); 10) — 24 etg2 2x (14-etg2 2x).
6.25. 1) < l-u- j 2) a . ; 3) mn
Kl — 49x2 К1—д2х2 Kl—«2«2
6.26.
2x
V Г=х*‘
6.27. , .
2x Кx- 1
6 28 6x2| 1-x«|
6-28-- -J-—T7—
^2
6.30. 2x arcsin x-l—r= .
V1 - x2
6.31 .1)--r ; 2) - . “ ; 3)---
/1—16x2 /1 — a2x2 /1 —n2x2
6.34. 2x arccos x-----
/1 - x2
6.35. 0.
6-37. 1) 1+9хз J 2) 3) n2x" -
6.38. - x^0.
6.40. 2xarctg ^j.
6.41. 7-----.
x У 4x2 — 1
6.43. 1) j 4>,2-; 2) j n^2; 3)
mn
1 -f-n2x2'
453
6.45.
1 +4%2
6.46. 2хarcctg х —
6 47 2fr!=JL,
°"'' х‘+6х? + 1'
6.48. 0.
6.49. 1)
5х4—24х3-- 24х2;
2) ' -((56х7+2хГ 2) (/7-il-
ly х— 1)-
——!^= (7хь + /"2 х? + / 5));
2 у х
—х’о/ —^=+21^
\2/ х
3) (3—2х- 10х9) (Vх4-Зх’-8) + (Зх-х?
4) ^10х°+ЗЗх10 +у х-ь/’ 1вх+х*+3х1«+х-^7;
5) /2/2J-2//7-+ 1Н-
6) ^l4--2_+l2/?(ln/+V/^))e1/’<
6.50. I) ( sin x > n € <V; 2) «/' = 4 (x-|-3)3,
t/’=l2(x+3)2, t/'" = 24(x+3), t/iv = 24, yV=yVl =... =0;
3) cos x-J-—• n € AT; 4) y' — ex+2x, y"=ex-j-2,
«"'=<i/iV=...Lex. 5) i/; = 5x4+ex, / = 20х3+е«,
j/"'^60x2+e* t/iv^lSOx+e*. j/V=i20-;-e», c,vi =i/vii=>I>==e*.
6) 2’^+3" sin (Зх-t ), n £ N.
6.51. 70.
S.54. 1) 3,003; 2) 1,4435; 3) 2.89; 4) 3,11; 5) 1,442; 6) 3,08.
6.55. 1) 4,0208; 2) 1,995; 3) 5,00177; 4) 0,484; 5) 0,U5; 6) —0 0175;
7} 0 965; 8) 1,037; 9)—0,03.
ГЛАВА 7
7.1. ^ = -4x-lt!/=lx+^; f/=l, x=0;
z/ = 4x—1, </ = — 4*+^-
1 7
7.2. i/ = 3x4-l, y = — -Tj-x-J- l; У = ~^ । fc=l| У=1, x — 3.
7.3. 45е; 0°; 45°.
7.4. 1; 0.
7.5. (1; 0).
7.6. 45°.
7.7. 2; —2; 4; -4.
7.8. 45°’ 0 • ’35“.
7^ u(1) =r 4 (м/с)’, a (1) = 2 (м/с?); v (3) =B (м/с), a (3) = 2 (м/с2).
454
7.10. 5.4 (м/с2),
7.13 . 210 25 (Дж).
7.14. 430 т.
7.16 <о = — 2c(4-fc; Р-=— 2с; f = £.
7.17. 23 А.
7.18. 1) 1,00201 Дж/(кг-"С); 2) 1,013 Дж/(кг-лС).
7.19. v = — kAe-rt.
7.20. Возрастает на R; 2) убывает на R; 3) убывает на (— оо; 0)(J
U(0; +сс); 4) возрастает на (—оо; 5) (J (5; -}-со); 5) убывает
на ,—ос; —i-j и возрастает па f—g-; н-оо ); 6) возра-
1) и на (0; 1), возрастает
возрастает на (—оо; —1) и на
Дает на (—со; + ио); 7) убывает на (—со; —1) и возрастает
на (—1; 4-со); 8) убывает ча (—оо;
на (—1; 0) и на (1; 4-от); 9)
(( 3 \
— 00 ’ ~4 )
3 \ '
; -|-от j ; 11) убывает на (—
(1; -|-со), возрастает на (—1; +1); 12) возрастает на (—от; 1)
z 2 \ /3 \
и на ( 1; -% ) , убывает на | -г- ; + оо |.
оо; —1) и на
7,21. 1) Максимум при х = 2; 2) минимум при х = 3; 3) минимум при
х — —У 2 и х=У 2, максимум при х = 0; 4) максимум при
х—-^; 5) максимум при х — —4, минимум при х = 4; 6) нет
экстремумов; 7) нет экстремумов; 8) минимум при х = 0; 9) мини-
мум при х = 0; максимум при х = 2; 1С) минимум при х = 0;
11) минимум при х =—, 12) минимум при х=1.
7.22. 1) Выпукла вверх на (—оо; 2). выпукла вниз на (2; -)-оо);
2) выпукла вниз на R; 3) выпукла вниз на (—оо; —1)
и (1; +оо), выпукла вверх на (—1; +1); 4) выпукла вниз на R.
7.23. 1) Убывает на (—оо; —1), возрастает на (—1; -j- оо), х =—1 —
(3 \
— С°’ ~4 )’
/ 8 \ 8
возрастает на । ; -|—оо J х = —точка минимума, ,₽т,п =
(3 \ 37
у)=—4-; 3) возрастает на (—оо; 2), убывает на
(2; 4-со), х = 2 — точка максимума, /тач = /(2) =7; 4) возрастает
на (—оо; 2), убывает на (2; 4-со), с = 2—точка максимума,
I max == f (2) = 0; 5) возрастает на —со; , убывает на
/ 1 • . \ 1 / f / 1 \ ' 3
(4-; 4-от I , х = -^~точка максимума, /max = f I — 1 = —— ;
6) возрастает на (—оо; 5), убывает на (5; —|-оо), х —5 —точка
максимума, /п,ах = ((5) = 0; 7) убывает на (—со; —^-1 воз-
/ 1 , \ 1
растает на I —s-J 4-от I , х =----——точка минимума, /гп1п =
455
1 \. 9
—---------4"’> Ф убывает на (—on; 1), возрастает на
оок х=1—течка минимума, /mjn = /(l) = 2
-2; (/—0; 2) х=1; 3) у=— х при х—»— оо и у — х при
]- со; 4) х = 0 и у=х }-6; 5) х = —1 и </ = х—3; 6) х=1,
1 и У = °- _ .
7.24. 1) х
х —>
Х = -
7.25. 1) Область определения: Я; функция не является ни четной, ни
нечетной; функция непериодическая; график пересекает ось
абсцисс в точках (—1; 0)/(1; 0), (3; 0) и ось ординат в точке
(0; 3); f (х) >0 на (—1; 1) и (3; +°о), f (х) < 0 на (—со: —1)
и (1; 3); асимптот нет; возрастает на
— оо; 1
/,,2/3 . \ , /, 2 / 3 , 2 / 3\
и ~; 4-оо I, убывает на (1------------—; 14----к— I;
2 1/*"з
имеет максимум в точке х=1--=—, /тах к. 3,06, и минимум
О
в точке х = 1 4---г
О
/min « —3,06; выпукла вверх на (—со; 1)
и вниз на (1; 4-00): х=1— точка перегиба; 2) область опреде-
ления: Я; функция четная; функция непериодическая; график
пересекает ось абсцисс н точках (—3; 0), (—!; 0); (1; 0), (3; 0)
и ось ординат в точке (0; 9); f (х) > 0 на (— оо; —3), (—1; 1)
и (3; -I-00), f (х) < 0 на (—3; —1) и (1; 3), асимптот нет; воз-,
растает на (— / 5; 0) и (/ 5; 4 -со)• убывает на (— оо;—/5)
и (0; /5); имеет максимум в точке х = 0; /тах =9, и минимум
в точках х—± V 5, fnAn ——16; выпукла вверх на
и ; 4~ 00 ) . х= ± —точки перегиба; 3) область
определения: Я: функция четная; функция непериодическая;
график пересекает ось абсцисс в точках (— / 3; 0) и (/ 3; 0)
и ось ординат в точке (0; 3); f (х) < 0 на (—оо; —/ 3)
и (/3; 4-°°)> / (х) > 0 на (— / 3; / 3); асимптот нет; воз-
растает на (—со; —1) и (0; 1), убывает па (—1; 0) и (I; -J-cc);
имеет максимумы в точках х=+ 1, fmaK = 4, и минимум в точке
х = 0, /mln —3; выпукла вверх на (— со; —1// 3) и (1// 3; -|-оо)
и вниз на (—1// 3; 1//3); х=± -|- — точки перегиба;
4) область определения: f—ос; —Ц f-----------g : 2 |J(2; 4-«>);
функция не является ни четной, ни нечеткой; функция неперио-
дическая; график пересекает ось абсцисс в точке (1; 0) и ось
ординат в точке ^0; —; / (х) > 0 на — со;- —и £.И2)
/ (х) < 0 на — у ; и (2; 4-®°)1 вертикальные асимптоты;
х — —g- и х—-2; прямая у = 0— асимптота при х—»± ос; воз-
456
растает па каждом интервале своей области определения; экстре*
иумов пет; выпукла вниз на оо; —и (х0; 2) и вверх на
(—у; хв) и (2; -|-оо), х0 к 0,83—точка перегиба; 5) область
определения: (--оо;—1)U(—h 2)|J(2; + со); функция не яв-
ляется ни четной, ни нечетной; функция непериодическая; гра-
фик не пересекает ось абсцисс и пересекает ось ердинат в точке
: 0: — у) ; f (х) > 0 на (—оо; —1) и (2; -|-ос), f (х) < 0 на
(—1; 2); вертикальные асимптоты: х41=0 и х = 2, прямая
у = 0 — асимптота при х--»±оо; возрастает на (—оо; —1) и
—1; -1.) , убывает на ; 2у и (2; 4-оо); имеет максимум
1 , 4 ,
в точке х=-^-, /шах = — у ! выпукла вниз на (—оо; —1) и
(2; 4-ос) и вверх на (—1; 2); точек перегиба нет; 6) область
/ 3 \ / 3 \
определения: (—оо; —1 (J (-------^-; -ф-оо 1 ; функция не яв-
ляется ни четной, ни нечетной; функция непериодическая, гра-
фик пересекает ось абсцисс в точках (—1; 0) и (2; С) и ось
ординат в точке ( 0; -я-1 ; f (х) > С на • —оо; —-у ] и (—1; 2),
(3 \
—; —1 । и (2;-4-оо); вертикальная асимптота:
3 7 1 5
х=—, прямая у —— -^-х-]- — —асимптота при х—>±оо;
/ 34-/7 3 \ / 3 -34-/7
возрастает на (---J и I-------------% ’ ----2----
убывает на
максимум в точке х
34-/7 \ / -34-/ 7 , \
—------/ И \---2---- > +00 ) ’ имеет
—34-/7 , 4-/7
----г.-, ---9---» и минимум
в точке
3+/7
2
fmiiP=——о---S выпукла вниз на
—со; —и вверх на ------------; -(- оо J ; точек перегиба нет;
7) область отределения: (—оо; 0)U(0, 4*00); функция нс яв-
ляется ни четной, ни нечетной; функция непериодическая; гра-
фик пересекает ось абсцисс в точках (1: 0); (2; 0) и не пересе-
кает ось ординат; F (х) > С на (0 1) и (2; 4-оо), f (х) < 0 на
(—ос; 0) и (1; 2); вертикальная асимптота; х = 0, прямая ц=х— 3
является асимптотой при х—> ± ос; возрастает на (—ос; —/ 2)
и (/ 2; 4-0°), убывает на (—/ 2; 0) и (0; /7); имеет макси-
мум в точке х= — / 2, /п,ах = — (2 / 24-3), и минимум в точке
» х = / 2, /min = 2/ 2 — 3; выпукла вниз на (0: -ф- ос) и вверх
на (— оо; 0), течек перегиба нет; 8) область онределе-
457
ния: (—оо; 2)(J(2; 3)U(3; +<»); функция не является ни чет-
ной, ни нечетной; функция непериодическая; график не
пересекает ось абсцисс и пересекает ось ординат в точке
^0; -i-) f (х) > 0 на (— оо; 2) и (3; -f- ос), f (х) < 0 па (2; 3);
вертикальные асимптоты: х — 2 и х = 3; прямая р=0—асимптота
при х—► ± оо; возрастает на (—ос; 2) и 2; , убывает на
(5 \ 5
— ; 3 и (3; +оо); имеет максимум в точке х=~2 > /тах = —4;
выпукла вниз на (—оо; 2) и (3; + оо) и вверх на (2; 3); точек
перегиба нет; 9) область определения: (— оо; —2)(J(—2; 2)J
(J(2; -|-оо); функция четная; функция непериодическая; график
пересекает ось абсцисс в точках (—3; 0) и (3; 0) и ось ординат
в точке ( 0; -4-) ; / W > 0 на (—со; —3); (—2; 2) и (3; + оо),
f (х) < 0 на (—3; —2) и (2; 3); вертикальные асимптоты. х =—2
и х = 2; прямая у — 1 —асимптота при х—* ±оо; возрастает на
(0; 2) и (2; + оо), убывает на (—оо; —2) и (—2; 0); имеет ми-
9
нимум при х = 0, /т1а=—; выпукла вниз на (—2; 2) и вверх
на (— оо; —2) и (2; + со), точек перегиба пет; 10) область оп-
ределения; (—оо; 0)U(0; +00); функция не является ни чет-
ной, ни нечетной; функция непериодическая; график не пересе-
кает ни ось абсцисс, ни ось ординат; I (х) >0 на всей области
определения; х = 0 — вертикальная асимптота, у=1— асимптота
при х—► ±оо; убывает на каждом интервале своей области
определения, экстремумов нет; выпукла вверх на (— оо; —In ]^"2)
и вниз на (—1п/ 2; 0) и (0; 4 оо); х =—1п]^ 2—точка пере-
гиба; 11) область определения: (С; Н-оо); функция не является
ни четной, ни нечеткой, функция непериодическая; график пере-
секает ось абсцисс в точке (1; 0) и не пересекает ось ординат,
f (х) < 0 на (0; 1), f (х) >0 на (1; 4-оо)- асимптот нет; убывает
/ 1 \ / 1 . \ 1
на 10; —I, возрастает на I — ; 4- 00 I ; х= ——точка мини-
мума, fmin = —* • выпукла вниз на вгей области определения;
точек перегиба нет.
7.2G. 1) На I—-0,5; 0,3]: Л-аиб.= /( 0,5)= 1,375, /паям, = I (0,5) =
= —1,375; на [—1,5; 2]: /иаяб. = /(—0 = 2, /паям. = f (0 =—2;
2) на [-1; 1]: /наиг„ = /(0) = --9, /наи„. = / (1) = /(-1) = -1б;
г.з [0; 3]: /наиб. — / (3) = 0, /паям.= / (2) =—25; на f—3; 5]:
/наиб. = / (5) = 416, /НЭ11И. = /(-2) = /(2) = -25: 3) на (-0,5; 0,7):
/наиб. = /(0,7)=3,7399; /на,м. = /(0) = 3; па —2; 0J: /наяб =
= /( — 0 = 4, /иаим. = /( 2) = / (2)--5; на [—2; 2]: /наиб.=
= /(0 = /(~0 = 4, ,/11аи.. = /(-2)=/(2)=-5; на [0; 4):
/паяб. = /(1) = 4:_)НаИм. = /(4) = -221; 4) на [-6: -1]: /„аиб =
= /(—6) = J>®/36, /наим. = / (—0=3; на [ 2; 1]: /Наиб. = / ( 2)=
=43/1, /наим. = /(0) = 0.
7.27. бсмХбсмхЗсм.
458
a a
7 28, TXy.
7.29. 1 c; 7 м/с.
7.30.512 см3.
7.31. 1) ; 2) ]/" 2^-,
’ л-J- 4 ‘ г 44-я
7.32. R-КД.
7.34. y.
7.35. -1.
7.36. Энергия, отдаваемая электрическим элементом, будет наиболь-
шей, когда R — r.
7.37. Обе прямые СК и КО должны образовывать с данной прямой
равные углы.
7.38. M = 2d+ ]/у ! У=М+ у .
7 39 1Г = -
7.40. Наибольшая площадь равна
; /? = г=0,160м, IFtnax
16
3|<3
= 9,8 Вт.
2
при Х =
г 3
ГЛАВА 8
8.3.
8 4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет.
Fi. F2 и F3-
Ц ^-Зх+З; 2) ln^; 3) Л_+1; 4) ^-1; 5) V~х-
— cos(x-|-l)4-ccs2; 6) Л 4~6-
1) Нет; 2) да; 3} нет.
х , ох х' ** ох *б 2*3 I jx ** 5x3 7x9 о
П х+т; 2) -6—- ; 3) Т-тг+ж; -Зх:
5>-2И-т=. 6> "Ч'1-т-аИ л
8) -2 х5/2_ 2 хз/2 + 2х1/3.
о <3
1) ау + Ьх + С-, 2) +сх + С; 3) 7m-4x3-±^+C;
4) ^-+х3+х3 + С;5) ^—2х- I-C.6) х--х3-1п|х|-
-2^+С;7) 4+х+т-з1п1х|+с:8) 4-2*+Гп1х1+с-
1) -з7^+С; y^/^+y+S^x + qa) Ах 8/х^+С;
4> 3(4~4~2) У~х+С‘
459
8.10. l)3e*+5sinx+C; 2) -2cosx+^+C; 3)
lllZ О in /
5“ 2~~# 1Ax x — 9in x
4> -TF5-TH2+C=5)ra+c>6>2sIn^c-7)-T^+C;
8) — x—ctgx4-C.
6.11. 1) arctg y+C; 2) -J— In +<?;
12 4 2K1O */2—/ 5
3 x 1 1 x
3) b+2x+_arctg _^ + c: 4) arctg 4+C,
5) ^-arcsln^+C; 6) -4xrln|x-|- 'xf x? —4 |-bc;
Z ’J у 7 1 ’ 'I
7) arcsin x+ In (x+ \r Г+х2) + С;
8) ln(x+V^T3)-31n|x+/I^3j + C.
8.12. 1) l(3x-i)’+C; 2) l(2x+7)»+€; 3) 4—^4-9x-
lo lo O Z
-27ln|x+3| + C; 4)
6)|arcts£±-5+C; ф |tn|i=l|+C; 7)|„с,гф+С.
8.13. 1) l(l-x2)-i+C; 2) lln^xr+C; 3) In 13x^7x + 4|K;
Z О Л- "y~ О
4) 1п|хг-х+1|4-С; 5) ^tn(7x«+l)+C;
6) — 90 (3 + 5х8)6^С: ‘8arctg х’ + с;
1
1 х-------
8) —^=-ara1g—-Х- + С.
’ /2 /2
8.14. 1) -4(2-5х)’«+С; 2) | (1 +х)2/’ + С;
3) 1(х-3)/27+3-гС; 4) -1 (Зх2 + 8х4-32) }/2^-рС;
5) arcsfti~+C; 6) In (х+2+ Кх24-4х-н7) + С;
7) arcsin (2х—1}+С; 8) in : х+4+К^+Зх[-}-С;
I 2
9) 4 (Зх2-1)3/2 + С; 10) - (х3 + 1)3/2+С
у * У
8.15. 1) _±е-«’+С; 2) 4*Х‘ + С;
3) x-4-M+e3j;)-i-C; 4) 2е/;+С;
О
463
5) arcstn^+Cj 6) In 1 -K.
2 /e*+l+l
8.16, 1) 9sln|-
sin2x sin 4x , .. sln5x . sin 1 lx . .
3' 4 8 ’"C: 4) 10 '•' 22 *’C’
5) 3 cos-у—cosx-J-C? 6)sin^+3sIn-^-J-E{
^eosTr.sin^+q^ 8) * +C}
2 4co 1 2 4 *
n, , cossx . „ . sin5 x , _
9)—cosxH5—(-C; 10) sinx--------5—fc-Gt
О о
11) -^+CJ 12) ln|tg,_|+A)|+Cj
13) In I sinxI+C; 14) —l(i+cosx)‘/5+C;
15) _ecosx+c; 16) —2 cos /x +C.
8,17. 1) -V-J-Cj 2)4(!nx-2) Kl + lnx+C;
О <5
3) In | arctg x|+C; 4) ~ (arctg 2x)3/24-C;
О
1 2
5) -4-arcsir? x-[ C; 6) —— (arocos х)3/2+С<
8.18. 1) 31n|x—3| — 21n|x—2|~bC; 2) ln|x—-2|—
3) 1 In (x?+*+1) + У S’ arctg +c;
L уз
4) * + ‘2’ Ini x~~ 3| — ln| x—1 [ч-С.
8.19* . 1) —3^J.e-2x+C; 2) 2x+c'<
X 1
3) sin x—xcosx+Cj 4) — sln(5x—7)4-оё cos (5x—7)+Cj
D
5) x’— 4x^ In x— x?+4x+Ci
6) xarcslnx+l^l —x?4-(?5 7) xarccosx— Уt — x?4 C;
8) x arctg x—у ln(i+xS)4-C.
8.20*. 1) —(x?-)-2x4-2)6-*-l-C; 2) (2 — x?)cosx-j-2xsinx-j-C;
3) x(ln?x—21nx4-2)+C;
4) xarecos?x—2 УТ^- x? arccos x—2x4-C;
c. 1 . , , , , , z> /< sin2x —5cos2x _
5) у (sin x-f-cos x)ex-|C; 6) -'"j/~
461
8.21*. 1) - Х-+— е~х‘±С; 2) 2(/х — 1)Z*4-C;
3) 2 (2 —х) cos У х +4 У л sin Ух 4-С;
4) (Inlnx—1) lnjc-f-C; 5) ~ х2 arcig х2.—In (1 + х4)С:
С) 1: х2. arccos 1— Ух2.— 1 4-С.
ГЛАВА 9
0.1. (е— 1) кв. ед.
8.2. (1—cos!) кв. ед.
8.3, 1) Второй; 2) второй; 3) второй; 4) первый
х X
8.4. 1) j хМх; 2) j ^dx+2.
— 1 1
6.5. 1) 0; 2) sin b2; 3) —sin а’. >
8.6, 1)4; 2)jf; 3)^; 4) In 2; 5) -1; 6)llnl;
«5 0 Z Z A
4
7) arc’g 3 —arotg 2; 8) In-x-.
О
e.7, i)v; 2)?; 3)4; 4) и 5) ia? 6> 4-21пз:
о о • о
7) lnl±Kl; 8)-i.
I4-/2 6
8.8. 1)1; 2)0; 3) я; 4)1; 5)0; 6)0; 7)1; 8) Ini.
z о z о
89. 1)^1; 2)-(l=l^; 3) In(14-е); 4) arctge—1.
Z О t
8.10. 1)1; 2) In 2; 3) 4) sin I.
Z ТГ
e.jl*. 1)1; 2)1; 3) n—2; 4)2; 5) In 2—1; 6)1;
7)1-1; 8)elil.
6.12, 1) 0, если p q; л, если p —q; 2) 0, если о fi q\ л, если
p^q\ 3) 0.
8.14. 20'J У 2 .
32 1
8.16. 1) 2 кв. ед.; 2) у кв. ед.; 3) кв. ед.; 4) 1 кв. ед.;
8) Кв' ед’’ кв’ ед‘
©.17. 0,604.
8.18. 0,995; 1.
462
9.19. 11.
9.20. 4.
9.21. I) 0,09; 2) 0,67.
9.22. 0,746.
9.23. 1) 3,2413; 2) 1,1184,
ГЛАВА 10
2 16
10.1. 1)—-кв. ед.; 2) 35 кв.ед.; 3) 8 кв.ед.; 4)-5-кв.ед.;
О о
6) (22 1п2--6).кв, ед.; 6) ! — 4—у 1 I кв. ед.
10.2. 1) у кв. ед.; 2) 4 кв. ед.
10.3. 1) у кв. ед.; 2) 9 у кв. ед.; 3) 125 кв.ед.)
4) 9 Ех у кв. ед.; 5) 32 у кв. ед.; 6) 8 у кв. ед.
10.4. 1) 9 кв. ед.; 2) 125 „х — кв. ед.; 3) ab — кв, ед<
10.5. 1) у кв, ед,; 2) -|-кв. ед<; 3)36кв, ед.; 4) —у) кв.ед,;
к,. 16 „1 / л \
5) у кв. ед.; 6) у кв. ед.; 7) I—у I кв. ед.;
8) ()<2 — 1) кв. ед.; 9)-’ 4 9 10.6. — кв, ед. / 5 \ 10.8. Ип 2— у <в. ед. 10.10. 42 м. 10.12. 5 с. 10.14. 19 м. 10.16. м. \ / 10.18. 52, 523 МН. 6 10.20. 1,8 МН, 1,35 МН. 10.22. 1724,8 Н. 10.24. 0,16 Дж. 16.26. еее(±—Ц. — кв. ед.; 10) (^2 — 1) кв. ед. 10.7. 9 кв. ед. 10.9, ~ м. 10.11. 32 м. 10.13. а = 20. 10.15. 122.375 м. 10.17. 2,45 МН. 10.19. 1,4 МН. 10.21. ~ . 10.23. 39 Дж. 10.25. 0,54 Дж.
463
Мечислав Игнатьевич Каченовский,
Юрий Михайлович Колягин,
Александр Дмитриевич Кутасов,
Геннадий Лаирсьич Лукачкин,
Вачагач Арташесович Оганесян,
Геннадий Николаевич Яковлев
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Часть 1
Редактор Т. А. Панькова
Художественный редактор Т. Н. Кольченке
Технический редактор А. П. -Колесникова
Корректоры Г. В. Подвол^ская, Н. Б. Румянцева
ИВ № 32325
Сдано з набор 23.12.85 Подписано в почать 05.06.37. Формат
84 x1037м Бумага тип. 3. Литературная гарнитура. Печать высо-
кая. Усл. псч. л. 24 36. Усл. кр.-этг: 24.57: Уч:-изд: л: 25,56 Тираж
370 000 экз. (1-й завод 1—150 000 экз.). Заказ Xs 7841 Цена 95 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Паука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-7.1, Ленинский проспект. 15
НаОраю и сматрицировано в ордена Октябрьской Революции и ор-
дена Трудового Красного Знамени МПО «Цервой Образцовой типо-
графии» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государст-
венном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
ной торговли 113054, Москва, М-54. Валовая, 20
Отпечатано в типографии издательства «Коммуна», г. Воронеж, про-
спект Реабгиоции, 39.
о коп.