АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
910

! ./л'
И
* I

у = f <Х)
f'(X2)= tgd2<0
АЛГЕБРА И НАШ ШИЗА
УЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ
ДЛЯ 9 — 10 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ
ШКОЛЫ
Под редакцией
А. Н. Колмогорова
Допущено
Министерством просвещения СССР
8-е издание
МЭ£КВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1988
ББК 22.14я72
А45
АВТОРЫ:
А. Н. КОЛМОГОРОВ,
А. М. АБРАМОВ,
Б. Е. ВЕЙЦ,
О. С. ИВАШЕВ-МУСАТОВ,
Б. М. ИВЛЕВ,
С. И. ШВАРЦБУРД
Алгебра и начала анализа: Учеб, пособие для
А45 9—10 кл. сред, шк./ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов,
Б. Е. Вейц и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.—8-е изд.—
М.: Просвещение, 1988.—335 с.: ил.
ISBN 5-09-000586-9
А	И"Ф- письмо -88	ББК 22.14я72 + 22.161я72
103(03)—88
© Издательство «Просвещение», 1980
© Издательство «Просвещение», 1986,
ISBN 5-09-000586-9	с изменениями
Глава I
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
1. Тригонометрические функции числового аргумента
1. Вы уже знакомы с радианной мерой углов. Каждый угол
плоскости является центральным углом окружности с центром
в его вершине. Угол в 1 радиан — это такой центральный угол,
длина дуги которого равна радиусу окружности (рис. 1). Ра-
дианная и градусная меры связаны зависимостью 180° = л ра-
диан; угол в п° равен радиан.
1 ом
При радианном измерении углов упрощается ряд формул.
Так, для окружности радиуса г длина / ее дуги в а радиан на-
ходится по формуле
/ = аг;	(1)
площадь S сектора круга радиуса г, дуга которого содержит а
радиан, такова:
S = ay-.	(2)
Формулы (1) и (2) проще аналогичных формул
180
S3tr2n
^"Збо" для вычисления ДЛИНЫ дуги окружности и площади
сектора, дуги которых (величиной и0) измерены с помощью
градусной меры. Наличие у радианной меры ряда преимуществ
(см. также п. 20) привело к тому, что в тригонометрии предпо-
читают пользоваться радианной, а не градусной мерой.
Из курса алгебры VIII клас-
са вы знаете, как определяется пово-
рот на угол в а радиан, где а — произ-
вольное действительное число. Знакомы
вам и определения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса числового аргу-
мента. Напомним их.
Проведем окружность произволь-
ного радиуса R с центром в
координат. Пусть при повороте
ром О на угол а начальный
начале
с цент-
радиус
з
О А переходит в радиус ОВ (рис. 2, а), а х и у — абсцисса и орди-
ната точки В. По определению
sin а=-^-; cos а=-£-; tg а=^-; ctg а=-у-.	(3)
А	А	•*	у
В курсе алгебры отмечалось, что значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса зависят только от а и не зависят от R.
Поэтому можно считать, что /? = 1. Это позволяет несколько
упростить определения.
Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем
называть единичной окружностью. Ордината точки Ра единич-
ной окружности, полученной при повороте точки Ро(1; 0) на
угол а радиан, называется синусом угла а, а абсцисса этой
точки — косинусом угла а (рис. 2,6). Тангенсом угла а назы-
sin a	cos а
вается отношение ------, а котангенсом а — отношение	—,
cos a	sin а
Пример. Найдем значения синуса, косинуса, тангенса
и котангенса угла Координаты точки ?2л (рис. 3) нетрудно
з
найти, воспользовавшись свойством прямоугольного треугольни-
1 л/з
ка с углом 30°: х =—у=-~. Поэтому
. 2л -\/3 2л 1	. 2л	2л 1
s,nT=T: cos-=--;	= —V3; ctg—.
Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса
и котангенса углов, указанных в верхней строке следующей
таблицы*:
* Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла
находятся с помощью калькулятора или таблиц. (Здесь и далее имеются в
виду «Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса.)
4
а	0	л бГ	л т	л з-	л 2“	2л 3	Зл 4	5л Т	л	7л ~6	5л Т	4л т	Зл	5л Т	7л 4	11л "б”	2л
sin а	0	1 ~2	Л? 2	V? 2	1	Уз 2"	У? 2	1 ~2	0	_ 1 ~~2		_Уз 2	-1	1	_У? 2	1 ~~2	0
cos а	1	УЗ т	V? 2	1 2	0	_ 1 2	_У? 2	2	- 1	1	2		1_ 2"	0	1 ~2	2	£ 2	1
tg а	0		1	Уз	-	-Уз	-1		1_ <3	0.	1	1	V3	-		-1		1_ Уз	0
ctg а	-	л/з	1	i Уз	0	1	-1	-т/5	-	Уз '	1	1 V3	0		-1	-т/З	-
Далее мы считаем, что все углы измерены в радианной мере
и поэтому обозначение рад, как правило, опускается. Договорив-
шись считать единицу измерения углов (1 радиан) фиксирован-
ной, мы получаем, в частности, возможность рассматривать
тригонометрические функции числового аргумента. Например,
синус числа х — это синус угла в х радиан; косинус числа х —
косинус угла в х радиан и т. д.
Для решения ряда задач полезно иметь представление о
линии тангенсов. Проведём касательную / к единичной окруж-
ности в точке Ро (рис. 4). Пусть а — произвольное число, для-
которого cos а#=0. Тогда точка Ра (cos a; sin а) не лежит на оси
ординат и, следовательно, прямая ОР* пересекает / в некоторой
точке Та с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки.
Для этого заметим, что прямая ОРа проходит через точки
0(0; 0) и Ра (cos a; sin а) и, значит, имеет уравнение у —х tg а.
Абсцисса точки Та, лежащей на этой прямой, равна 1. Из урав-
нения прямой ОРа находим, что ордината точки Та равна tg а.
Итак, ордината точки пересечения прямых ОРа и I равна танген-
су угла а. Поэтому прямую / и называют линией тангенсов.
2. Сопоставив каждому действительному числу х его синус
(или косинус), получим функцию t/ = sinx (соответственно
t/ = cosx). Каждая из них определе-
на на всей числовой прямой.
Областью значений функций синус и
косинус является отрезок [ — 1; 1 ], по-
скольку и ординаты, и абсциссы
точек единичной окружности прини-
мают все значения от -—1 до 1.
Числовые функции, заданные ра-
венствами r/ = tgx и £/ = ctg х, назы-
вают соответственно тангенсом и ко-
тангенсом. Областью определения
функции тангенс является множе-
ство всех чисел х, для которых
cos х=#0, т. е. все числа %, не равные
5
-+лп (п пробегает множество Z всех целых чисел). Область
определения котангенса состоит из всех чисел х, при которых
sinx#=0, т. е. из всех чисел, не равных ли, где n£Z.
Область значений тангенса и котангенса — вся числовая пря-
мая. Докажем это для функции tg х. Пусть уо — произвольное
действительное число. Рассмотрим точку Т (1; уо). Как было пока-
зано выше, igZ-TOx — yo. Следовательно, функция tg х прини-
мает любое действительное значение i/о, что и требовалось до-
казать.
Свойства тригонометрических функций, известные вам из
курса VIII класса, приведены в разделе «Материал для повто-
рения». Здесь выделим два из них.
Для любого х из области определения соответствующей три-
гонометрической функции справедливы равенства:
I) sin v —х) = — sin х; cos (—-x) = cos х;
tg(—х)=—tgx; ctg( —х)=—ctgx.
2) sin (x + 2лп) == sin x; cos (x + 2лп) = cos x;
tg (x + nn) = tg x; ctg (x-f-nn) = ctg x
(n — произвольное целое число).
3. Построим график функции синус на отрезке [0; 2л]. Для
этого отметим на оси ординат точки (0; —1) и (0; 1), а на оси
абсцисс — точку с абсциссой 2л (обратите внимание: длина от-
резка [0; 2л] приближенно равна 6,28). Разделим отрезок [0; 2л]
на 16 равных частей и построим окружность радиуса 1 с центром
в произвольной точке оси абсцисс (рис. 5). Для построения точ-
ки графика с абсциссой а воспользуемся определением синуса:
найдем точку Ра на построенной окружности и проведем че-
рез Рл прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 5). Точка пе-
ресечения этой прямой и прямой х= а искомая, так как ее
ордината совпадает с ординатой точки Ра, а по определению
sin а равен ординате Ра.
На рисунке 5 показано построение 16 точек графика. Соеди-
няя их плавной кривой, получаем эскиз графика синуса на отрез-
ке [0; 2л]. Для построения графика синуса вне этого отрезка
заметим, что sin (х+ 2лп) — sin х. Поэтому во всех точках,
Рис. 5.
6
отличающихся на 2лл от произвольного значения х0 из отрез-
ка [0; 2л], значения синуса совпадают и, следовательно, гра-
фик синуса на всей прямой получается из графика на отрез-
ке [0; 2л] с помощью параллельных переносов вдоль оси Ох
(вправо и влево) на 2л, 4л, 6л и т. д. (рис. 6). График синуса
называется синусоидой.
Для построения графика функции y — cosx вспомним, что
cos x = sin	и, следовательно, значение косинуса в про-
извольной точке хо равно значению синуса в точке х0+у.
Это означает, что точка графика косинуса, имеющая произ-
вольную абсциссу хо, получается из точки с абсциссой хо+у
графика синуса с помощью параллельного переноса на расстоя-
ние у в отрицательном направлении оси Ох. Поэтому график
функции r/ = cosx — это синусоида, сдвинутая вдоль оси Ох
на -у влево (рис. 7).
Построение графика тангенса на интервале —у; -у^
(рис. 8) аналогично построению, описанному в .случае синуса.
(Значение функции t/ = tg х находится с помощью линии танген-
сов.) Вследствие тождества tg(x + nn) = tg х график тангенса
на всей прямой (рис. 9) получается из графика на интервале
/ л л \	Л
—у; у I параллельными переносами вдоль оси Ох (вправо
и влево) на л, 2л и т. д. График функции tg х называют танген-
соидой.
График котангенса приведен на рисунке 10.
▼* Синус, косинус, тангенс и котангенс называют часто основ-
ными тригонометрическими функциями. Иногда рассматривают
Рис. 9.
8
еще две основные тригонометрические функции — секанс и ко-
секанс (обозначаются соответственно sec и cosec):
1 1
sec а =-------, cosec а =-—
cos а	sin а
Для того чтобы понять, почему основных тригонометриче-
ских функций именно 6, заметим, что тригонометрические функ-
ции острого угла а можно определить как отношения сторон
прямоугольного треугольника с острым углом а (рис. 11). Таких
отношений 6:
• a	b . а , b
sin а==—; cos а =—; tg а=—; ctg а=—;
с	с ъ Ь ’	& а
seca=4-; cosec а=—. w
b	a v
Упражнения
1.	Выразите в радианной мере величины углов:
а) 135°; б) 36°; в) 250°; г) 330°.
2.	Выразите в градусной мере величины углов:
а) -т-л; б) ——л; в) 1; г) 5.
о	4
3.
4.
5.
С помощью калькулятора (или таблиц)
меры углов: а) 17°; б) 43°24'; в) 139°;
С помощью калькулятора (или таб-
лиц) найдите градусные меры углов:
а) 0,5585; б) 0,8098; в) 3,1416;
г) 4,4454.
В какой четверти находится точка Ра,
если:
а) а=^;	б) а=-£;
в) а = 5,2л;	г) а=—3,1л?
найдите радианные
г) 158°36'.
9
6*. На какой угол надо повернуть минутную стрелку часов,
чтобы перевести часы: а) вперед на 6 мин; б) назад на
6 мин? (Часы разрешается переводить только по часовой
стрелке.)
7. Известны величина а дуги (в радианах) и радиус г содер-
жащей эту дугу окружности. Вычислите длину I дуги, если:
а) г —1, а = 2; б) r= 1, а = 0,1; в) г = 4, а = ^-; г) г= 10,
О
л
а==То'
8. Вычислите площадь сектора, если известны радиус г кру-
га и величина а центрального утла сектора (в радианах):
а) г—1, а=2; б) г=1, а=0,1; в) г = 4, а/=^-; г) г= 10,
О
Л -
а=То-’
9. а) Точка движется по окружности радиуса 30 см со ско-
ростью 600 м/мин. Выразите ее угловую скорость в радианах
в секунду.
б)	Найдите угловую скорость часовой, минутной и секунд-
ной стрелок (в радианах в минуту).
10.	Постройте точки Ра единичной окружности для углов а,
указанных в первой строке таблицы на с. 5, и проверьте пра-
вильность заполнения этой таблицы.
11.	Может ли косинус быть равным:
а) 0,67; б) -{1; в) ; г) ^-?
л/29
12.	Может ли синус быть равным: а) —2,5; б) -р в) —	?
13.	Укажите все значения х, для которых:
a) sinx = 0; б) cosx = 0; в) sinx=l; г) cosx=l;
д) sinx= —1; е) cosx= —1.
14.	Укажите все значения х, для которых:
a) tgx = O; б) ctgx = 0; в) tgx = l; г) tg х= — 1;
д) ctgx=l* е) ctgx= —1.
15.	На миллиметровой бумаге постройте единичную окруж-
ность, а затем углы а, такие, что:
a) sin а = 0,;	б) cosa = 0,2;	в) sin а=—0,7;
г) cos а =—0,4;	д) tg а = 0,5;	е) tga = l,4;
ж) tgtx=—0,6; з) tga=—2.
16.	Найдите значения sin a, cos а, tg а и ctg а, если:
а) а——20л; б) а=—л; в) а=-^~ , г) а=----------— .
17.	С помощью калькулятора (или таблиц) найдите значения
sin a, cos а, tg а и ctg а, если а равно.:
а) 0,19; б) -0,9; в) 1,37; г) -2,7.
18.	С помощью калькулятора (или таблиц) найдите значения
sin a, cos а, tg а и ctg а, если а равно:
а) 19°; б) 111°; в) 12°24'; г) 100°25'.
10
19.	Определите знаки значений- sin a, cos а, tg а и ctg а,
если а равно:
а)	б) -|-л; в} у-л;	г) —у л.
2tt Определите аник выражения:
a) sm 70° eos 70° tg 100°; б) sin- 130° cos ( — 15°) tg (—100°);
в> sin 1 cos 3-tg 7;	r) sin 8 cos 0,2 tg ( — 6,2).
21. Найдите числовое значение выражения:
s-нъ.Q4~3 cos 4-sin2 6) 3 sin —2 cos 0-f-tg2
в) sm2y-|-ctg у+ 2 cos3 л; г) sin2 у- — cos2 у + д/3 tg у
22. Найдите числовое значение выражения:
a) 3sin(2a-{-y)—2е©»-(за—у) при a=y-;
6| 4со&(3а—yj+tg (-£-+«) при a=y;
в| sin.2 (a—-у)+3 tg (2'a—yj при a=y ;
r> cos (a+-y)tg (2a—у ) при a=y.
23. Пользуясь калькулятором (или таблицей), найдите значе-
ежя функции, выбирая значения аргумента с шагом 0,3,
и постройте на миллиметровой бумаге график функции у
на отрезке [0; 2л]:
а) y = sinx; б) y = cosx; в) r/ = tgx; r)*(/ = ctgx.
24. Найдате приближенно, пользуясь соответствующим гра-
фиком:
а) sin 0,6; б) cos 0,9; в) tg 1,2; г)* ctg 0,3.
25*. Докажите, что: а) точки Ра и Рр симметричны относитель-
но оси Ох тогда и только тогда, когда а = 2лп —р, nfZ;
б) точки Ра и Рр симметричны относительно оси Оу тогда
и только тогда, когда а = (2н + 1) л — р, ngZ; в) точки Ра и Рр
симметричны относительно начала координат тогда и только
тогда, когда a = (2n + 1) л + р, n£Z.
2. Основные формулы тригонометрии
Из курса алгебры VIII класса вам известны многие формулы
тригонометрии. Для того чтобы повторить их, выполните упраж-
нения, приведенные в этом пункте (формулы см. в разделе «Ма-
териал для повторения»).
▼ Новыми для вас являются формулы половинного аргумента:
(I)
eos^+д/1^.	(2)
11
Рис. 12.
Рис. 13.
+ а I —X /1 —cos а
^т=± vr+^T-
Рис. 14.
(3)
или минус
перед
часть.
Применяя эти формулы, мы ставим знак плюс
корнем в зависимости от того, какой знак имеет левая
Если известно, в какой четверти расположен угол а, то сделать
это нетрудно — см. примеры в конце пункта. Известные из
VIII класса правила определения знаков тригонометрических
функций вы можете вспомнить, рассмотрев рисунки 12—14.
Для вывода формул (1) и (2) запишем формулу двойного
аргумента cos 2/ = cos21 — sin2 /, подставив вместо t значение у-:
cos а = cos2 у —- sin2 у-.
Выражая правую часть этого равенства только через синус
или только через косинус с помощью формулы sin2 y-+cos2 у-= 1,
находим:	2 а
cos а= 1 —2 sin — или cos а = 2 cos -к—1-
2	£
Отсюда
2 а _1 — cos а
sin Т- 2
cos2-^1.^0.?*
(4)
(5)
2
Из формулы (4) следует формула (1), а из (5) —формула
(2). Разделив почленно равенство (4) на (5), получаем, что
I 2 а __1 — cos а
£ 2	1 4- cos а ’
(6)
откуда следует формула (3).
Умножая числитель и знаменатель правой части равенства
а
sm
tg «_в 1
® 2	а
COSy
(7)
12
на 2 cos -2-, находим:
а
sm v
tg _£L=---2.
s 2	а
cosT
2 sin — cos -у
2 cos2 у
sin а
1 4-cos а ’
т. е.
> а _____ sin а
° 2	1 4- cos а ’
(8)
Аналогично, умножая числитель и знаменатель правой части
равенства (7) на 2 sin -2-, приходим к формуле
1 а 1 — cos а
® 2	sin а
(9)
Формулы (8) и (9) менее удобны при вычислении tg чем
формула (3), поскольку их правые части содержат и sin а,
и cos а, а правая часть формулы (3) — только cos а. С другой
стороны, формулы (8) и (9) не содержат знаки ± и корня и
в некоторых случаях имеют преимущество перед формулой (3).
Пример 1. Найдем sin без помощи таблиц:
(перед корнем стоит знак плюс, поскольку угол I четвер-
ти и, следовательно, sin-p|-i>0).
Пример 2. Найдем значение tg без помощи таблиц.
8
Заметим, что — угол II четверти. Поэтому tg — <0 и, сле-
довательно, '	8
Пример 3. Найдем sin cos — и tg если известно,
что cos а = 0,8 и 0<а< —.
2
13
Угол — находится в первой четверти, и, значит, sin-^->0,
cos-|->0, tg-2->0. Поэтому
sin -2-=-yL^=VOJ «0,3162,
cos ^=-у-±^==тД9« 0,9486,
tg^=-\A5^Vb=_L» 0,3333. ▼
Б 2	* 1 +о,в V о з
Упражнения
Формулы, связывающие тригонометрические функции
одного аргумента
26.	Могут ли синус и косинус одного и того же аргумента
быть равными соответственно: а) 0,6 и —0,8; б) —0,4 и 0,7;
в) |и|;г)0и0;д) 1 и -1; е) А. и -f?
27.	По данному значению одной из тригонометрических функ-
ций и интервалу, в котором находится а, найдите значения
других трех основных тригонометрических функций:
a) sin а=А, 0<а<-£-; б) cos а=—-£-<а<л;
5	2	5	2
в) tg <х=^т-,	г) ctg а= — 7, ^•<а<2л;
О	a	Z
sin а= —|-, у-<а<3л;	е) tg а= —2, 0<а<^.
28.	Вычислите:
а) •гг^2_< если cos а=7Т и ^г-<а<2л;
' 14-ctga	13	2
б)
cos а-f-ctg а
ctg а
если cos а= —-- и
<3	2
29.	Докажите, что при 0<асправедливы равенства:
а) Vl-sin2_a=__cosa_ . б) -Ji+cosq _ - Jj^cosa = 2	ц
sina Vl- c°s2 a	’1—cosa	Vi+cosa
Упростите выражение* (30—32).
30.	a) cos a tg a —sin a;	6) cos a—sin a ctg a;
в) cos4 a (1-Mg2 a) + sin2 a; r) J**	« •
♦ Формулировка «упростите выражение» предполагает выполнение чисто
формальных преобразований. Полученное выражение может быть определено на
множестве, включающем в себя область определения исходного выражения.
Однако находить эти области не требуется, если это не оговорено особо.
14
31 а\ 2sin*p—1 ♦ б) 1 ~2 cos2 У- •
’ sin p+cos р ’	cos <р—sin <р ’
b	nl 2 cos*x—1 .	1 I 1
' 2sin2x—1 ’	7 1+sin у ' 1 —sin у
32.	a) sin2 t —sin4 t-j-cos4 /;
6)	cos2x — cos4 %4-sin4 x;
в)	sin2 a—sin2 0— cos2 04-cos2 a;
r)	sin2 a sin2 04-cos2 a cos2 04-sin2 a cos2 04-cos2 a sin2 0.
Формулы приведения
33.	Приведите к значению тригонометрической функции аргу-
мента, принадлежащего отрезку jo; -2-J:
а) sin^; 6) cos 212;	в) tg(-^2);	г) sin(-^);
д) tg 800°; е) sin ( — 405°); ж) cos (—600°); з) ctg (—945°).
34.	Докажите тождество:
а) sin ^-4- a )=cos 0—a); 6) tg (л — a)=ctg (“ba ) •
35.	Упростите выражение:
а	) 2 tg у —tg (у —л)4-ctg (у~у);
б	) —sin (—a)  tg(90° —a) - cosa .
' sin (180° —a) ctg a sin (90° + a) ’
x tg (180°—a) cos (180° —a) tg (90°—a) .
'	sin (90°-f-a) ctg (90°+a) tg (90° +a) ’
V tg (270° — a) sin 130° cos 320° sin 270°
7	ctg (180° — a) cos 50° sin 220° cos 360° ’
36.	Вычислите без помощи таблиц и калькулятора:
а)	10 ctg 135° sin 225° cos 315°;
б)	8 sin -f-cos -2- tg	ctg Z2.
v	О	О	О
Формулы сложения и их следствия
Вычислите (37—38).
37.	а) cos 0,3л sin 0,2л + sin 0,3л cos 0,2л;
б)	cos-2-cos ^2 — sin Л-sin у-;
в)	cos 35° sin 65°— sin 35° cos 65°;
г)	cos 79° cos 34° 4-sin 79° sin 34°.
38. a)
. л , . 4л
tgT5 + tgT5
1	* л . 4л
б)
. 2л .5л
tg~3~~tgT2
. . . 2л. 5л
1+tgTtg12
15
tg 22° -|-tg 23° . r) tg72° —tg42°
1 — tg 22° tg 23° ’	7 1 +tg 72° tg 42° ’
39.	Вычислите cos (a 4-P), если:
a)	sin a=y-, cos 3 = —-у-<а<л, -|-<3<л;
6)	sin a = sin P—yy’	•—<Р<л.
40.	Вычислите sin (a 4-P), если:
a)	cos a=—, sin Р=—— и 0<а<—, л<₽< —,
13	о	z	z
б)	cos a = cos р= —— и —<а< л, л< р< —.
41.	Вычислите tg (х-\-у) и tg(x —-у), если:
a) tg х = 1,2 и tg г/ = 0,7; б) tgx——0,2 и tgy=l,5.
42.	Упростите выражение:
а) sin a cos 3a —cos a sin 3a; 6) cos 4a cos a 4-sin 4a sin a;
в) cos (a + -£-)-|-cos ‘(a—£г);г) sin (₽ + -y)~~ sin (₽—О
43. Докажите тождество:
a) l±lo=tg(-2-+<py, 6) cos<+sin..<=tgf4+H;
7 1 — tg <p s \ 4 T/ 7 cos/ —sin/ 6 \4	/
sin (a + p)
cos a cos 0
tg a + tg P;
B)
Г)
cos (a + P) cos (a — P) — sin (a + P) sin (a — p) = cos 2a.
44.	Известно, что sin a = 0,6 и 0<a<-^-. Вычислите:
a) sin 2a; 6) cos 2a; в) tg 2a; r) ctg 2a.
45.	Известно, что cos p=—и sin P3>0- Вычислите:
a) sin 2P; 6) cos 2P; в) tg 2P; r) ctg 2p.
46.	Докажите равенство:
a) sin -j~- cos -jy=6) 1 —4 sin2 p cos2 p = cos2 2p.
47.	Упростите выражение:
а) ----— ; б) 1 — 2 sin2 <p + cos 2<p; в) cos 4x4-2 sin2 2x;
г) (cos214- 2 sin t cos t — sin2t)2.
48.	Преобразуйте в произведение выражение:
а) sin 50°4-sin 70°; б) cos 27° 4-cos 63°;
в) sin — sin	r) cos^- —cos^-.
18	9	э	э
49.	Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:
а) cos 105° +cos 75°; б) cos 15°-cos 75°;
в) sin-у-sin7p	r) cosTf+cos IT’
16
50.	Упростите выражение:
a)	cos (-2-4- ф)+ cos (-2—ср) ;
б)	cos (-2-4-ср)—cos —ср);
ч sin 50° — sin 10°.
в' sin 20°
г)* sin2 (а—2.)— cos2 (а 4--^) .
51.	Докажите тождество:
sin а + sin За = t 2а;	б)
cos а + cos За
cos (а 4- Р) 4- cos (а — fl)_
sin (a4-₽)4"Sin (а — fl)
Ctg a;
в)
sin а2 sin 2а 4- sin За
cos а 4-2 cos 2а 4-cos За
= tg 2а;
г)
tg(<x + P)-tga-tgpr_t g
tg a tg(a-f-p)
Формулы половинного аргумента
52*. Найдите sin -2-, cos -2- и tg -2-, если:
a) cosa=—Ц-, л<а<-у-; б) cosa=-|-, у_<а<2л.
53*. Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:
а) sin -2-; б) cos -2-; в) tg -2-; г) sin ; д) cos-2-;
О	О	О	1Z	1 Z
е) tg£.
54*. Докажите тождество:
а) 1 4-sin Р = 2 cos2 (-2-|-);б) 1—sin ср = 2 sin2 (-2-£-);
l-tg24
в) cos х=-------;
•+‘g24
55*. Упростите выражение:
а) 1+^ tg2-b-cos2 у;
1—cosy	2	’
В) l^sjnX-tgZfjL-
1 4-sin x 6 \ 4	2 /
2tg4
r) sin x=---.
l+‘g2y
6> |^ctg=f-sin= <p;
r) l+tg!(f~f).
56*. Преобразуйте в произведение выражение:
а)	1-|-sin ср + cos ср;	б) 1 — sin срcos ср;
в) 1 4-sin <р — cos ф;	г) 1 —sin ф•—cos ф.
Известно, что а4-Р4“Т = л, причем а, р и у положитель-
ны. Докажите тождество (57—59).
57*« а) sin a4-sin й4^Ш?==4 cos ~-cos -|-cos -Is—
f	'	2	2. .2 -1
I	17	' f
6)	sin a + sin p —sin y = 4 sin --sin -|-cos
в)	cos a + cos p + cos у = 1 4- 4 sin y-sin y-sin
r) cos a + cos p — cos у = 4 cos “|“cos ~|~5*п -
58*. a) tg a + tg p + tg y = tg a tg p tg y;
6)	ctg-^-+ctg-|-+ctg-b=ctg-2-ctg^-ctg^-.
59*. a) sin 2a + sin 2P4-sin 2y = 4 sin a sin p sin y;
6)	cos 2a + cos 2p + cos 2y = — 1 — 4 cos a cos p cos y-;
в)	cos2 a + cos2 p + cos2 у = 1 — 2 cos a cos p cos у;
г)	sin2 a-psin2 p + sin2y = 2-f-2 cos a cos p cos y.
§ 2.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
3. Функция
1.	С понятием функции вы познакомились в курсе алгебры
VI—VIII классов. При изучении начал анализа удобно принять
следующее определение.
Функцией с областью определения D называется соответст-
вие, при котором каждому числу х из множества D сопостав-
ляется некоторое вполне определенное число у.
Функции обозначаются обычно латинскими (а иногда гре-
ческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Чис-
ло у, соответствующее числу х, называют значением функции f
в точке х и обозначают f (х). Область определения функции f
обозначают D (/). Множество, состоящее из всех чисел f (х),
где х принадлежит области определения функции называют
областью значений функции f и обозначают Е (f).
Пример 1. С помощью формулы
(1)
каждому х из отрезка [—1; 1] сопоставляется (ставится в соот-
ветствие) значение f (х). Например:
ЦО)=УГ^О5=1; Щ)=0;
Н-1)=о.
Поэтому естественно считать,
что эта формула задает функцию,
область определения которой — от-
резок [ — 1; IJ. Область значений этой
функции — отрезок [О; 1 ] (рис. 15).
Коротко можно записать:
D (/)=[—!; 1], £(П=[0; 1].
18
Чаще всего -функцию задают с помощью какой-либо форму-
лы. При этом если не дано дополнительных ограничений, то
областью определения функции, заданной формулой, считают
множество всех значений переменной, при которых эта формула
имеет смысл.
Пример 2. Формула
fU)=X
имеет смысл при всех	поэтому областью определения
функции f считают множество всех не равных нулю дей-
ствительных чисел. Область ее значений совпадает с областью
определения и является объединением интервалов {—«о;О)
я оо).
Объединением двух множеств А и В называется множество,
каждый элемент которого принадлежит котя бы одному из мно-
жеств А и В. Объединение Л и В обозначается так: AUB. На-
пример, объединением отрезков [0; 2] и [Г, 3] является отрезок
[0; 3].
Символом U удобно пользоваться для обозначения число-
вых множеств, которые можно представить в виде объединения
числовых „промежутков. Так, ответ в примере 2 можно запи-
сать так:
D^=E^=(-«>;0)iU(6; «=)•
Пример 3. Область определения функций f (х) = sin х и
/(ж)=С05х — вся числовая прямая:
£)fsin)=(—оо" оо); D'(cos)=(—оо; оо).
Область значений этих функций — отрезок [ — I; I ]:
E(siri)=[-l; I]; E(cos)={-1; 4
Область опредежния функ-
ции g—ig-x—объединение всех
интервалов вида
(-f+лп; пп ),
где ngZ, а область ее значе-
wh — вся числовая прямая:
00; «>).
Пример 4.. Целой частью
числа х (обозначается [х]) на-
зывается наиболыжецелоечис-
-но, не превосходящее х. Поста-
вив в соответствие каждому дей-
ствительному числу х его целую
часть, -получим функцию f (*х) =
=[*], область определения кото-
Рис. 16.
19
Рис. 17.
рой — множество /? действи-
тельных чисел, а область значе-
ний — множество Z целых чи-
сел (рис. 16).
Разность х — [х] называют
дробной частью числа х и обо-
значают {х}. График функции
f(x) = {x} изображен на рисун-
ке 17.
Обычно для обозначения чисел из области определения функ-
ции f выбирают определенную букву, называемую независимой
переменной или аргументом*^ чаще всего это буква х. Условив-
шись об этом, вместо оборота «функция f, заданная формулой
/(х) = х2» для краткости говорят «функция f (х)=х2» или просто
«функция х2». Для обозначения соответствующих значений
функции чаще всего выбирают букву у. Сделав этот выбор,
можно, например, говорить «функция у = х2». Однако следует
понимать, что равенства f(x) = x2, f (у) = у2, u = z2 определяют
одну и ту же функцию.
▼ Функцию f с областью определения D и областью значе-
ний Е называют также отображением множества D на множест-
во Е. Можно сказать, например, что формула (1) задает отобра-
жение f отрезка [—1; 1] на отрезок [0; 1]. Тем сакгым слова «функ-
ция» и «отображение» являются синонимами.
Нередко рассматривают функции (отображения), область
определения или область значений которых не являются число-
выми множествами. С такими примерами, по существу, вы уже
встречались на уроках геометрии. Например, площадь много-
угольника при фиксированной единице измерения площадей —
это функция, область определения которой — множество мно-
гоугольников плоскости, а область значений — множество не-
отрицательных действительных чисел (площадь 0 имеют «вы-
рожденные многоугольники», например отрезок).
Движение (преобразование подобия), переводящее фигуру
F в фигуру £', также является отображением (функцией):
область определения — фигура F, а область значений — фи-
гура F'.
Понятие «отображение» относится к числу основных понятий
всей математики. С его помощью можно дать такое определе-
ние функции: функцией с областью определения D и областью
значений Е называется отображение множества D на множест-
во £, при котором каждому элементу множества D соответствует
один вполне определенный элемент множества Е, а каждый эле-
мент множества Е поставлен в соответствие некоторому (хотя
бы одному) элементу множества D. ▼
2.	Графиком функции f называют множество точек (х; у)
координатной плоскости, где = а х «пробегает» всю об-
ласть определения функции f. Для того чтобы подмножество
20
координатной плоскости являлось графиком какой-либо функ-
ции, необходимо, чтобы это подмножество имело не более одной
общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Например,
множество, изображенное на рисунке 18, не является графиком
функции, так как оно содержит две точки с одной и той же
абсциссой а, но разными ординатами Ь\ и 62. Если бы мы сочли
это множество графиком функции, то пришлось бы считать, что
эта функция имеет при х — а сразу два значения Ь\ и 62, что
противоречит определению функции.
Часто функцию задают графически — предъявляют ее гра-
фик. При этом для любого хо из области определения легко
найти соответствующее значение функции (рис. 19).
3.	Функцию f называют возрастающей на множестве Р, если
большему значению аргумента из этого множества соответству-
ет большее значение функции. Другими словами, функция f воз-
растает на множестве Р, если для любых х\ и х2 из множества Р,
таких, что xi>x2, выполнено неравенство f (xi)>f (х2).
Функцию f называют убывающей на множестве Р, если
большему значению аргумента из этого множества соответст-
вует меньшее значение функции, т. е. для любых xi и х2, принад-
лежащих множеству Р и таких, что х\>х2, выполнено нера-
венство f (xi)< f (х2).
П р и мер 5. Функция y = xn(nEN} возрастает при нечет-
ном п на всей числовой прямой. При четном п функция у = хп
возрастает на промежутке [0; оо) и убывает на промежутке
(—оо;0].
Докажем сначала, что функция у = хп возрастает на про-
межутке [0; оо) при любом натуральном п. Пусть Х|>хг^0.
Тогда по свойству степени х">х". Теперь рассмотрим случай
четного п. Пусть хг<Х1^0, тогда —х?>—xi^O, и потому
(~х2)п>(—Х|)я, т. е. хг>х". Этим доказано убывание на (— оо; 0]
функции у=хп при четном п.
Осталось рассмотреть случай нечетного п. Если X2<0<Xi,
то X2<0<xf. Если X2<xi<0, то — х2> — Х!>0, и потому
(~ *2)">( — xi)” т. е. —х"> —х", откуда следует, что хг<х”. Мы
видим, что для нечетного п из неравенства хг<х( следует не-
21
равенство хг<х?. Итак, функция у = хп при нечетном п воз-
растает на всей числовой прямой.
Пример 6. Докажем, что если функция f возрастает на всей
числовой прямой, то функция у— — f (х) убывает на всей числовой
прямой.
Пусть Л1>хг, тогда в силу возрастания функции f выполнено
неравенство f (xi)> f (х?), откуда — f (*i)< — f (*2). Итак, для лю-
бых действительных Xi и х?, таких, что Xj >хг, выполнено неравен-
ство — f (xi)< — f (хг), а это и означает, что функция ^=—f(x)
убывает.
Пример 7. Функция f (х) = {х) (дробная часть х) возрастает
на каждом промежутке [л; n+Ц где п — любое целое число
(см. рис. 17).
При исследовании функций на возрастание и убывание надо
указывать промежутки возрастания и убывания максимальной
длины. Так, можно было бы сказать, что функция f (х) = {х} возрас-
тает на промежутках.[л; л + 0,5). Это верно, нотакой ответ неполон.
4.	Рассмотрим функции, области определения которых сим-
метричны относительно начала координат, т. е. вместе с произ-
вольным числом х область определения содержит и число ( —х).
Для таких функций определены понятия четности и нечетности.
Функция f называется четной, если для любого х из ее об-
ласти определения —x) = f(x) (рис. 20}. Функция f нечетна,
если для любого х из области определения /( — х)=— f (х)
(рис. 21).
Пример 8. Функция f (х) = х4 четная, а функция g (х)' = х3 не-
четная. Действительно, область определения каждой из них
(это вся числовая прямая) симметрична относительно точки О и
для любого х выполнены равенства
f(-x) = (-x)4=x*=f(x),
g(—х)—( — X) 3 = —х3 = —g(x).
Графики функций х4 и х3 изображены на рисунках 22 и 23.
При построении графиков четных и нечетных функций будем
пользоваться следующими известными вам свойствами.
График четной функции симметричен относительно оси орди-
22
нат, а график нечетной функции симмет-
ричен относительно начала координат.
Пример 9. Функция/<х)=р^чет-
ная, так как ее область определения сим-
метрична относительно начала координат
(она состоит из всех чисел, отличных от
— 1, 0 и 1) и для всех x£D (f) выполнено
равенство
)	(_Х)3_(_Х)	. х-ж3 х3-х
График этой функции симметричен отно-
сительно оси Оу (рис. 24).
Пример 10. Функция f (х) = х+-~
нечетная (докажите это самостоятельно).
Ее график симметричен относительно на-
чала координат (рис. 25).
Пример 11. Основные тригономет-
рические функции синус, тангенс и котан-
генс являются нечетными, а косинус —
четной функцией. Поэтому графики сину-
са, тангенса и котангенса (см. рис. 6,
Я 10) симметричны относительно начала координат, а график
косинуса {см. рис. 7) — относительно оси ординат.
Пример 12. Функция /(x)=^iy при всех х#= —1 сов-
х -f-1
падает с нечетной функцией g (х)=х. Однако f не является ни
четной, ни нечетной функцией, так как ее область определения
23
не симметрична относительно точки О: 1 входит в область
определения f, а — 1 нет.
Пример 13. Функция f (х) = х2 + х не является ни четной, ни
нечетной. Ее область определения симметрична относительно точ-
ки О, но, например, f (1) = 2, f ( — 1) = 0, т. е. при х= 1 не выполнено
ни равенство /(!) = /(—!), ни равенство f (1) = —f (— 1).
Упражнения
60.	Найдите значения функции в указанных точках:
a)	f (х) = х + у- в точках 1, —1, 10, 2/;
б)	g (х) = д/х2 1 в точках 0, 1, —1, 3/;
в)	<р (0 = 2 sin 4/ в точках л, 1, — х\
г)	cp(z) = 3cos (z—в точках -у, —1, / + ~-л.
61.	a) f (х) = |х| =	’	’ а
V —л, если X и.
Найдите значения f (0), f ( —3)', f (2), f (/2);
{1, если х>>0,
0, если х = 0,
— 1, если х<0.
Найдите значения f (2), f ( —3), f (/2).
62.	Найдите область определения функции, заданной формулой:
a) f (х) — ах-}-Ь\ б) f (x) = ax34-6x24-cx + d;
В) f (x)=Vx2+l; г) f (x) = V%2— 1;
Д)	е)	;
х24-3	х2 —5x4-6
Ж) /(х) =—L— ; з) /(х) =—L—.
4 cos2 X	COS X — 1
63.	Найдите область значений функции, заданной формулой:
a) f^=\-______.	б) f(x) — x',	в) f(x)=^;
г) f (х) = д/х2+ 1;	Д) f(x) = sin2 х;	е) f(x)=cos2x;
ж)* f(x) = [x2];	3)*f(x)= [—!—I
I x2+—Г
V т 2'
64.	Найдите область определения и область значений функций,
графики которых изображены на рисунке 26, а — в.
65.	а) Основание треугольника равно а, а высота h. Параллельно
данному основанию треугольника проведена прямая, отсекаю-
щая от него треугольник с высотой х. Выразите основание
и площадь отсеченного треугольника как функции от х.
б)	Параллельно диагонали квадрата со стороной а проведена
прямая (рис. 27), пересекающая квадрат. Задайте зависи-
мость между площадью S отсекаемой фигуры и расстоянием х
24
от этой прямой до вершины А
квадрата. Найдите область опре-
деления функции S (х). Начер-
тите ее график.
66.	Является ли графиком функции
фигура, изображенная: а) на ри-
сунке 28; б) на рисунке 29?
67.	Постройте график функции:
a)	t/ = x24~2x— 3;
б)	у = х2 — 5x4-6;
1	2
в)	; г)
д)	у=х3+1;	е) t/ = (x—I)3;
ж)	у=^[х\	з) у—^х—\.
68.	Нарисуйте эскиз графика какой-
либо функции:
а)	возрастающей на промежут-
ке ( — оо; 2] и убывающей на
промежутке [2; оо);
б)	возрастающей на промежут-
ках (— оо; — 2] и [0; 1] и убы-
вающей на промежутках [ — 2; 0]
и [1; оо).
Найдите промежутки возраста-
ния и убывания функции (69—70).
69.	a) f(x)=—3x4-2;
б) f(x) = x —2;
В)	f W= -^-х24-2;
г) f (х)= — 2х2 + 6х —7.
а)
S)
6)
Рис. 26.
•70. a) f(x)=-L_i;
в) f(x)=-\/x;
б) ш=--Н
г) f(x)=—Vx.
Докажите следующие утверждения (71—73).
71.	а) Функция f (х) = х2 является возрастающей на промежутке
[0; оо) и убывающей на промежутке 1 — оо; 0];
б)	функция f (х) = ~- является убывающей на каждом из
промежутков (—оо;0) и (0; оо), но не на их объединении.
72.	а) Если функция f возрастает на промежутке /, то функция
kf (при й>0) тоже возрастает на этом промежутке;
б) если функция / возрастает на промежутке /, то функция kf
(при £<0) убывает на этом промежутке.
73.	а) Функция f возрастает на множестве Р тогда и только
тогда, когда разности х\-~х2 и f (xj) —-f(х2) имеют одинако-
вые знаки для любых xi и х2 из множества P(xi#=x2);
б) функция f убывает на множестве Р тогда и только тогда,
когда разности xi—x2 и f (xi) — f (х2) имеют разные знаки для
любых Xi и х2 из множества Р(х\^х2).
74.	Докажите четность функции:
а) х2 + х4;	б) -р-+2;	в) л)х2 + I;	г) |х3|;
д) sin х2;	е) sin |х|;	ж) cos 2х;	з) |x|-(-cosx.
75.	Докажите нечетность функции:
а) х3 + х; б)	в) ; г) х5 —х;
д) sin х3; е) tg 5х; ж)	;	3)
х	sin х cos х
Какие из указанных ниже функций являются четными, какие
нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными
(76—77)?
76.	a) sinx + ctgx; б) |sin х|; в) x4 + tg2x+l;
г) X3 + tg2 X 4- 1.
77.	a) cos х — tg х; б)	; в) sin xcosxtgx+1;
г) (х2+ 1) sin х.
78.	а) Докажите, что функция у — — является четной, и по-*
стройте ее график.
б)	Докажите, что функция у—является нечетной, и по-
стройте ее график.
79.	а) Постройте в одной и той же системе координат графики
функций	^ = “7'+2 и У = ~х—2* (Предварительно
найдите значения этих функций в точках ±3, ±2, ±1, db-j-.)
б) Докажите, что график функции f(x) + 6 получается из
графика функции f (х) параллельным переносом вдоль оси
ординат на расстояние Ь вверх (если Ь>0) или вниз
(если b <0).
26
80.	а) Постройте в одной и той же системе координат графики
функций //=-—, //“TZ2 и ^=хТ2 (пРеДваРительно найдите
значения этих функций в точках ±1; ±3; ±4; ±4”)’
б) Докажите, что график функции f(x — а) получается из
графика функции f (х) параллельным переносом вдоль оси
абсцисс на расстояние а вправо (если а>0) или влево
(если d<0).
4.	Исследование функций
1.	Начиная с VI класса вы строили графики функций «по точ-
кам». Во многих случаях этот метод дает хорошие результаты, если,
конечно, отметить достаточно большое число точек. Однако
при этом приходится составлять большие таблицы значений функ-
ций, а главное, можно не заметить существенных особенностей
функции и в итоге ошибиться при построении графика.
Предположим, например, что, вычислив значения функции в
15 точках и отметив соответствующие точки графика на координат-
ной плоскости, мы пришли к рисунку 30. Естественно предполо-
жить, что эскиз графика близок к непрерывной кривой, проходя-
щей через все эти точки (рис. 31). Однако «настоящий» график
(естественно, также проходящий через эти точки) может быть со-
вершенно не похож на этот эскиз (рис. 32, 33).
Для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять
характерные особенности функции, т. е. предварительно провести
ее исследование. Посмотрим на примере функции	= ~—
х +1 ’
какие вопросы полезно включить в такое исследование.
1)	Найдем область определения функции. В данном случае
D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х2+ 1 не об-
27
ращается в нуль. Следовательно, каждой точке оси абсцисс со-
ответствует некоторая точка графика.
2)	Заметим, что функция f (х) четная: для любого x£R
Поэтому достаточно исследовать функцию и построить ее график
при х^О — после этого остается отразить построенный график от-
носительно оси ординат.
3)	Найдем точки пересечения графика f с осями координат.
Ось ординат график f пересекает в точке (0; f (0)). Значение
f (0) равно 1. Поэтому график проходит через точку (0; 1).
Для того чтобы найти точки пересечения графика функ-
ции f с осью абсцисс, надо решить уравнение f (х) = 0. В данном
случае уравнение —---= 0 не имеет корней и, значит, график f
не пересекает ось абсцисс.
4)	Выясним, на каких промежутках f принимает положитель-
ные, а на каких — отрицательные значения. На этих промежут-
ках — их называют промежутками знакопостоянства функции —
график функции лежит выше (соответственно ниже) оси абсцисс.
В данном случае, поскольку при любом х значение х2+ 1 положи-
тельно, f(x)>0 на всей числовой прямой.
5)	Существенно облегчают построение графика f сведения о
том, на каких промежутках функция f возрастает или убывает
(эти промежутки называют промежутками возрастания или
убывания функции). Докажем, что для рассматриваемой функции
промежуток возрастания — это (—оо; 0], а промежуток убыва-
ния — [0; оо).
Пусть xi и х2 — два значения из промежутка [0; оо), причем
Х1>Х2. Поскольку Х1 и Х2 ПОЛОЖИТеЛЬНЫ, ТО ИЗ условия Х1>Х2
следует: х2>х2, х2+1>Х2+1 и, наконец,
28
1 1
Xl + 1 X2 + 1
Итак, f (xj)<f (x2), t. e. f убывает на промежутке [0; оо).
На промежутке (—оо; 0] функция f возрастает. Доказа-
тельство проводится аналогично (можно также воспользоваться
четностью f).
6)	Найдем значения функции в точках, в которых возрастание
сменяется убыванием или наоборот. В нашем случае имеется лишь
одна точка, принадлежащая одновременно и промежутку воз-
растания, и промежутку убывания,— это точка с абсциссой 0
и ординатой f (0)=1.
7)	Заметим, наконец, что при неограниченном увеличении
х значение х2+1 неограниченно возрастает, а поэтому значение
y-j-y, напротив, приближается к нулю.
Полученных в ходе исследования сведений о функции —
достаточно для построения ее графика.
Построим точку графика (0; 1). Мы установили, что [0; оо) —
промежуток убывания функции f. Поэтому правее точки с абсцис-
сой 0 график f рисуем в виде кривой, которая «идет вниз»
(рис. 34). Так как /(х)>0 при любом х, эта кривая не может
спуститься ниже оси абсцисс, причем (см. п. 7 исследования)
при продолжении вправо график неограниченно приближается к
оси абсцисс. Остается воспользоваться четностью функции f:
график f получаем, симметрично отразив построенную для х^О
кривую относительно оси ординат (рис. 35).
2. На рисунке 36 изображен график функции f (х) = х3 — Зх,
построение которого основано на следующих результатах исследо-
вания этой функции. (Исследование проведите самостоятельно;
воспользуйтесь решением задачи 84, г.)
1)	Функция / (х) = х3 — Зх определена на всей числовой прямой.
2)	f (х) = х3 —Зх — нечетная функция, поэтому достаточно по-
строить ее график при х^О, а затем отразить его относительно
начала координат.
3)	Точка пересечения графика f с осью ординат — это точка
(0; 0). График f пересекает ось абсцисс в точках (0; 0), (—	0) и
29
(V3; О). Строя график /, мы долж-
ны провести искомую кривую че-
рез эти точки.
4)	Значения f положительны,
если х>-\/3 или —	—
на промежутках (д/3; оо) и ( — ^З; 0)
график f лежит выше оси абсцисс.
f (х) отрицательна на промежут-
ках (—оо;д/3) и (0; д/З)— здесь
график лежит ниже оси абсцисс.
5)	Промежутками возрастания
функции f являются промежутки
[1; оо) и (—оо; — 1]. Промежуток
убывания — отрезок [—1; 1].
6)	Точками, в которых возра-
стание функции сменяется убыва-
нием (или наоборот), являются точки с абсциссами -1 и 1:
f (1)= —2, f(—1) = 2.
7)	При неограниченном увеличении ,|х| значения |/| неогра-
ниченно возрастают (см. рис. 36).
Как видно из рассмотренных примеров, при построении
графиков важно найти точки, в которых возрастание функ-
ции сменяется убыванием и наоборот (в * случае функции
f(x) = —— такой точкой является точка 0; для функции
jr-j-l
|(х) = х3 —Зх мы нашли две точки: — 1 и 1). Такие точки называют
точками максимума и минимума.
Определение. Точка хо называется точкой минимума
функции если для всех х из некоторой окрестности точки
хо выполнено неравенство f (x)^f (xq) (рис. 37).
Определение. Точка х© называется точкой максимума
функции f, если для всех х из некоторой окрестности точки
хо выполнено неравенство f (x)^f (хо) (рис. 38).
В окрестности точек максимума (точки xi, х2, хз— рис. 39)
л
О	х2 х
Рис. 39.
график функции, как правило, имеет вид «холма», а в окрестности
точек минимума график функции изображается в виде «впадины»
(см. рис. 39, точки х4, Xs и хв — точки минимума).
Для точек максимума и минимума принято общее название —
их называют точками экстремума*, а значения функции в этих
точках — экстремумами функции.
3.	Далее при исследовании функций мы будем придерживаться
описанной схемы. В общем случае схема исследования предусмат-
ривает решение следующих задач.
1)	Найти область определения данной функции f.
2)	Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчаю-
щими исследование (является ли функция /: а) четной или не-
четной; б) периодической**).
3)	Вычислить координаты точек пересечения графика f с осями
координат.
4)	Найти промежутки знакопостоянства функции f.
5)	Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на
каких убывает.
6)	Найти точки экстремума функции и вычислить значения
f в этих точках.
7)	Исследовать поведение функции f при больших (по моду-
лю) значениях аргумента.
Необходимо заметить, что этот план имеет примерный харак-
тер. Например, функция f (х)=-~ не определена в точке 0 и при
построении ее графика надо исследовать поведение f при зна-
чениях х, близких к нулю. Часто тот или иной этап исследо-
вания приходится опускать. Однако по возможности в ходе иссле-
дования функций желательно придерживаться этой схемы.
Наиболее трудным этапом исследования функций является,
как правило, поиск промежутков возрастания (убывания), а
также точек экстремума. В следующей главе вы познакомитесь
с общим методом решения этих задач, основанным на приме-
нении понятий математического анализа.
* Латинское слово extremum в переводе на русский язык означает «крайний».
** Определение периодической функции см. в п. 5.
31
Упражнения
81. Укажите промежутки возрастания и убывания, точки макси-
мума и минимума функций, графики которых изображены на
рисунках 40—43.
Проведите исследование функции по общей схеме и построй-
	те	ее график (82—84).		
82.	а)	f(x) = 2x + 3;	б)	f (х)=-3x4-2;
	в)	f (х) = х2— Зх + 2;	г)	f (х) = 3—х —2х2.
83.	а)	Нх) = ^+1;	б)	
	в)		г)	
	д)		е)	
84.	а)	f (х) = х4 + 2х2+ 1;	б)	f (x) = x4-—2x2;
	в)	f (х) = х3-|-Зх;	г)	f (x) = x3 — 3x.
Рис. 41.
32
§ 3.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
5. Периодичность тригонометрических функций
Вы уже знаете, что для любого числа х выполнено равенство
sin (х 4-2л) = sin х. Отсюда следует, что значения синуса совпа-
дают во всех точках, отличающихся на 2лп, где п — произвольное
целое число. Это свойство функции синус называется периодич-
ностью, а число 2л — периодом синуса.
Вообще, говоря о периодичности функции f с периодом Г,
предполагают, что Т=#0, а область определения f вместе с каждой
точкой х содержит и все точки, получающиеся из х параллель-
ными переносами вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние
пТ (п — любое натуральное число). При этом допущении опреде-
ление периодической функции формулируется так.
Определение. Функцию f называют периодической с пе-
риодом Т=#0, если для любого х из области определения f зна-
чения этой функции в точках х и х-\-Т равны, т. е.
f(x + T)=f(x).
С примерами периодических функций вы уже знакомы. По-
скольку sin (х4-2л) = sin х и cos (х4-2л) = cos х для любого дей-
ствительного х, синус и косинус — периодические функции с пе-
риодом 2л. Тангенс и котангенс — периодические функции с пе-
риодом л, так как tg(x4-^) = tgx и ctg (х 4-я) = ctg х.
Очевидно, что если функция f — периодическая с периодом Г,
то при любом целом п=#0 число пТ тоже период этой функции.
Например, при п = 3, воспользовавшись несколько раз определе-
нием периодической функции, находим:
f (х + ЗГ)=f ((х + 2Т) + Г)=f (х + 2Т)=f((x + Г) + Т) =
=/(х+Г)=/(х).
Докажем, что
наименьший положительный пе-
риод функций sin х и cos х
равен 2л.
Как уже отмечалось, 2л яв-
ляется периодом этих функций.
Поэтому остается доказать, что
положительное число, меньшее
2л, не может быть их периодом.
а)	Если Т — произвольный пе-
риод косинуса, то'cos (а+ 7') =
=cos а при любом а. Полагая
®=0, находим cos 7 = cos 0= 1.
Наименьшее положительное число
Л для которого cos Т = 1, есть
2л (рис. 44).
2 Заказ 216	33
б)	Пусть Т — произвольный положительный период синуса.
Тогда sin (а + Г) = sin а при любом а. Полагая а=у-, полу-
чаем sin (г + 2L) = sin у-= 1. Но sin х=1 только при х=-~+
+ 2лп (n£Z). Поэтому Т = 2лп. Наименьшее положительное число
вида 2шг есть 2л.
Для функций tg х и ctg х наименьшим положительным перио-
дом является число л.
Если Т — положительный период тангенса, то tg Т =
= tg (04-T) = tg 0 = 0. Так как на интервале (0; л) тангенс нулей
не имеет, Т^л. Ранее доказано, что л — период функции tgx и,
значит, это есть наименьший положительный период тангенса.
Для функции ctg х доказательство аналогично.
Периодичностью основных тригонометрических функций мы
уже фактически пользовались при построении их графиков. Спра- |
ведливо следующее общее утверждение: для построения графика |
периодической функции с периодом Т достаточно провести по- д
строение на отрезке [0; Т] и затем полученную кривую параллель- J
но перенести на расстояния пТ вправо и влево вдоль оси Ох
(рис. 45), где п — любое натуральное число.	.Я
Действительно, пусть (х0; уо) — точка графика периодической JI
функции f. Тогда точка хо + пТ при любом целом п принадлежит Я
области определения f (см. замечание в начале пункта) и Я
вследствие периодичности f справедливо равенство f(xo + «T)= Я
=f(xo) = r/o. Значит, точка (xo + nT; r/G), полученная при парал- Я
лельном переносе точки (хо; уо) вдоль оси Ох на расстояние Я
пТ, тоже принадлежит графику f,	Я
▼ Справедливо следующее утверждение.	Я
Если То — наименьший положительный период функции ft Я
то все периоды этой функции кратны То, т. е. если Т — любой Л
период f, то	Я
T = nTOl	Я
где п — целое число, не равное нулю.	Я
Докажем это методом от противного. Предположим, что суще- Я
ствует такой период Гi функции f, что -р- не есть целое число. Я
Тогда	Т1 = пГо + /,	I
у I	я
' АГ'Л.
-2Т-77] Т2Т 37* Я
Рис. 45.	Я
34	Я
где ©</ < То, an — целое число. Но То и Ti — периоды функции
f, и потому для любого х из области определения f числа хЦ-Ti и
x+l—(x + Ti)—пТо принадлежат области определения f и
f (х + Г)=f (х + Т1 — п То)=f (х+Т1)=f (х).
Мы получили, что положительное число /, меньшее То, есть
период функции f. Это противоречит предположению, что То —
наименьший положительный период функции f. Следовательно,
наше допущение неверно и —— целое число, ж
То	v
Упражнения
85.	Является ли периодической функция:
a) f(x)=l; б) f(x)=x2; в) f (х)=±; г) /(х) = {х)?
86.	Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью триго-
нометрических функций и другими свойствами, представьте в
виде значений тригонометрических функций от аргумента, вы-
раженного наименьшим возможным положительным числом
градусов или радиан:
a) sin 405°; б) cos-^-; в) tg 3333°; г) ctg л);
д) cos(—1985°); е) sin(-^); ж) tg-^-n;3) cos^-.
87.	Даны функции:
a) y=stn 2х; б) t/=xcosx; в) y=tg2x; г) y = cos-£-;
Д) У=4.	5
Укажите среди них периодические и найдите наименьший
положительный период каждой из них.
Найдите наименьший положительный период функции
(88—89).
88.	a) cos 2х; б) sin-|-; в) tg 4х; г) cosx + sinx.
89.	a) cos(3x—2); б) sin (i-f-1); B)*ctg-^-; г)* ctg(3x-2).
90.	На каждом из рисунков 46—49 приведена часть графика
некоторой функции, имеющей период Г. Продолжите график
на отрезок [ 2Т; ЗГ].
2*
35
91.	Может ли периодическая функция возрастать на всей число-
вой прямой?
6.	Исследование функции y = sinx
Исследование синуса (так же, как и других основных тригоно-
метрических функций) проведем по схеме, описанной в п. 4.
1.	Область определения синуса — вся числовая прямая, а
область значений — отрезок [ — 1; 1]:
D(sin) = R, E(sin)=[—1; 4
2.	а) Синус — нечетная функция:
sin ( —х)= —sin х для всех x£R.
б)	Синус — периодическая функция с периодом 2л:
sin (x + 2n) = sin х для всех x£R
(как показано в п. 5, 2л — наименьший положительный период
синуса).
3.	Нулями синуса являются точки
х = ли, где n£Z.
4.	Укажем промежутки знакопостоянства синуса: это интер-
валы (2лл; л + 2ли), на которых значения синуса положительны,
и интервалы (л + 2ли; 2л + 2лп)— здесь синус принимает отри-
цательные значения, n£Z.
5.	Промежутки возрастания синуса — отрезки
[—тг+2лп; у-+2лп| где ngZ;
промежутки убывания — отрезки
£~-+2лп; ~--|-2nnJ где ngZ.
6.	Синус имеет максимумы, равные 1, в точках
-у-+2лп, где n£Z;
минимумы, равные— 1, в точках
у-+2лп, где ngZ.
Доказательства первых четырех свойств даны в предыду-
щих пунктах (повторите их). Поэтому остается доказать свойства
5 и 6.
Докажем, что на промежутках £—~]-2лп; -^—i~2nnj синус
возрастает. В силу периодичности синуса доказательство доста-
3$
точно провести для отрезка	Для лю^ых двух чисел
Xi и *2 из этого отрезка, таких, что Х1<ь, применяя формулу
разности синусов, находим:
sin Х2 —sin xi =2 cos sin -	•	(1)
Из неравенства —~<Jxi <хг<^у-следует, что
0<_2— ^ТИ ~Т<~2~<Т-
Поэтому cos Х|^->0, sin *2~Х| >0 и, следовательно, правая
часть равенства (1) положительна, т. е. sin xi <sin х%. Тем самым
доказано, что синус возрастает на указанных промежутках.
Аналогично доказывается, что промежутки у—|-2jin; y-4-2jinJ
являются промежутками убывания синуса (проведите это рас-
суждение самостоятельно).
Свойство 6 — очевидное следствие свойства 5. Достаточно
заметить, например, что точки у-4-2лп являются общими концами
промежутков возрастания и убывания синуса, причем в этих точ-
ках возрастание сменяется убыванием. Значение синуса в этих точ-
ках равно 1.
Проведенное исследование функции y = sinx позволяет по-
строить график этой функции (рис. 50), который ранее мы строили
по точкам.
Упражнения
92.	Найдите область определения функции:
а)	—г;	б) -4— ; в) sin х2; г) sin—.
93.	Найдите область значений функции:
a) sin 2х; б) 2 sin х; в) sin2 Зх; г) у-sin2 х.
94.	Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
a) sin 2х; б) —sin-£-;	в) ; г) sin2 х.
7	2	7 sin х 7
37
95.	Расставьте в порядке возрастания числа:
a)	sin 20°, sin 100°, sin ( — 30°), sin ( — 250°), sin 170°;
6)	sin 1,8; sin 2,3; sin ; sin (— 1); sin у- л)-
96.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) sin Зх; б) sin	в) sin( —2х);
г) sin (2х—J-).
97.	Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному урав-
нению или неравенству. Отметьте на единичной окружности
точки Pt, для которых соответствующие значения удовлетво-
ряют данному соотношению:
a) sin/=^;6) sinf=—-у-;в) sinг) sin	—у.
98.	Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному уравне-
нию или неравенству. Постройте график синуса и на оси
абсцисс покажите множество точек х, являющихся решениями
соответствующего уравнения или неравенства:
\ •	л/з -гч •	л/2 ч •	ч •	л/2
a) sin х — --у ; б) sin х=^ ; в) sin х^-у-; г) sin х> —у--
99. Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) sin 2х; б) sin (х—у); в) sin^x4--y); г) sin -у.
7. Исследование функции y = cosx
Сформулируем основные свойства косинуса.
1.	Область определения функции t/ = cosx — вся числовая
прямая, а область значений — отрезок [ — 1; 1]:
D (cos)=Rf E(cos) = [-1; 1].
2.	а) Косинус — четная функция:
cos (—x) = cos х для всех x^R.
б)	Косинус — периодическая функция с периодом 2л:
cos (х4-2л) = cos х для всех x^R
(2л — наименьший положительный период косинуса).
3.	Нулями косинуса являются точки
х=у-4~лп, где n£Z-
4.	Промежутками знакопостоянства косинуса являются интер-
валы (—у4-2ли; —-}-2лп), на которых значения косинуса
положительны, и интервалы |-2ля, -у4"2ллг^ — здесь косинус
принимает отрицательные значения, n£Z.
38
-1
Рис. 51.
5.	Промежутки возрастания косинуса — отрезки
[ — л+2ли; 2ли], где n£Z\
промежутки убывания — отрезки
[2лп; л2л/г], где ngZ.
6.	Косинус имеет максимумы, равные 1, в точках
х=2л/г, где n£Z\
точками минимума косинуса являются точки
х = л4“2л/г, где n£Z,
в которых значения косинуса равны —1.
Доказательство свойств 5 и 6 можно провести примерно так
же, как и в предыдущем пункте (надо применить формулу
разности косинусов). Проще воспользоваться формулой приве-
дения cos x = sin (*4—j-) • Из нее сразу следует, например, что
промежутками возрастания косинуса являются промежутки, по-
лученные из промежутков возрастания синуса сдвигом на -у влево.
Как уже отмечалось в п. 1, из этой формулы вытекает, что график
косинуса (рис. 51) есть синусоида, сдвинутая влево на
Упражнения
100.	Найдите область определения функции:
а)	1 » в) CQS *2’> г) cos — •
cos х ' cos х -Н	' х
101.	Найдите область значений функции:
а) —cos2x; б) 2 cos х; в) cos2x4-l;
г) -1-cos2x4-1-
102.	Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
a) cos Зх; б) cos -%-; в) —— ; г) cos2 х.
2	' cos х '
ЮЗ. Расставьте в порядке возрастания числа:
a)	cos 20°, cos ( — 30°), cos 70°, cos 170°, cos 135°,
cos (—100°);
6)	cos 1,2, cos ( — 0,1), cos -|-л, cos( —1), cos-^1, cos 3.
□	'	4
39
104.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) — cos Зх; б) cos (х—в) cos -у)’
г) cos(2x—
105.	Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному урав-
нению или неравенству. Отметьте на единичной окружности
точки Pt, для которых соответствующие значения t удовлетво-
ряют данному соотношению:
a) cos/=^; б) cos/=—в) cos/<^;
г) cos
106.	Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному урав-
нению или неравенству. Постройте график косинуса и на оси
абсцисс покажите множество точек х, являющихся решения-
ми соответствующего уравнения или неравенства:
a) cosx=^-; б) cosx=—в) cosx<^;
г) cos х<---
107.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) cos 2x4-2; б) cos (х—; в) cos (х4----) ;
г) cos.
8.	Исследование функции ^ = tgx
Сформулируем основные свойства тангенса.
1.	Область определения тангенса — множество всех действи-
тельных чисел, кроме чисел вида -у-4-лп, где n£Z; область
значений — вся числовая прямая.
2.	а) Тангенс — нечетная функция:
tg ( —х)= — tg х для всех x£D (tg).
б)	Функция tg х периодическая, ее период равен л:
tg(x4-tt) = tgx для всех xgD(tg)
л — наименьший положительный период тангенса).
3.	Нули тангенса — точки
1 х = т\п, где ngZ.
4.	Промежутками знакопостоянства тангенса являются интер-
валы (ли; ~-4-nfl)> на которых тангенс положителен, и интерва-
лы (——Илл; лп), на которых тангенс принимает отрицатель-
ные значения, n£Z
40
5.	Тангенс возрастает на промежут-
ках (—£-+лп; у-4-лп), где ngZ.
6.	Функция y = tgx не имеет экст-
ремумов.
Новым является только свойство 5.
Докажем его. В силу периодичности
тангенса доказательство достаточно
провести для интервала (—F’T”)‘
Пусть xi и Х2 — произвольные числа
из этого интервала, такие, что х2>Х|.
Надо доказать, что tg x2>tg xi.
.	, sin X2 sin xi
g X2 g Xi cos X2	cos Xi
sin X2 cos xi — sin xi cos x2 sin (хг —xi)
COS X1 COS X2
COS Xi COS X2
По предположению —^-<xi <x2<-^-. Поэтому cosxi>0,
cos x2> 0. A так как 0<x2 — xi<n, то и sin (x2 — xi)>0.
Следовательно, tg x2 —tg xi >0, t. e. tg x2>tg xi, что и требова-
лось доказать.
График тангенса изображен на рисунках 52 (—~-<х<-~-^ и
Рассмотрим подробнее поведение функции tg х в окрестности
точки у-. Если х<~- и х приближается к то соответствую-
щие значения tg х положительны и неограниченно возрастают (как
говорят, «стремятся к бесконечности»). Действительно, при этом
sin х приближается к 1, a cos х к 0 и поэтому тангенс
(tg ~~~ ) будет принимать положительные неограниченно воз-
растающие значения.
Рис. 53.
41
Аналогичные рассуждения показывают, что при приближении
х Ку справа (т. е. при	значения тангенса неограниченно
возрастают по модулю, но отрицательны (говорят, что тангенс
«стремится к минус бесконечности»).
В соответствии с этим замечанием график функции тангенс
при х, стремящемся к —|-лл, приближается к прямой
х=А--|-лп, причем при х<-£-+ лп график «неограниченно подни-
мается вверх», а при	ли «неограниченно опускается вниз».
Эту особенность поведения тангенса можно понять из рассмотре-
ния графика (см. рис. 53).
Упражнения
108. Найдите область определения функции:
a) te (л+f); 6) 2tg(—2х); ») г) .
109. Найдите область значений функции:
a) tg 2х; б) 4tg-j-; в) — tg2x; г) -|-tg2x4-l.
ПО. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
a) tg Зх; б) — tg-у; в) tg2x; г) — tg2x+l.
111.	Расставьте в порядке возрастания числа:
a)	tg 10°, tg 100°, tg (-20°), tg (-110°), tg 200°;
6)	tg 2, tg 4, tg6, tg (-8), tgf, tgH-л.
112.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) tg 2х; б) tg (—x+-j-);	в) — tg{x+-J-j; г) tg у-.
113.	Найдите множество точек, удовлетворяющих данному урав-
нению или неравенству. Отметьте на единичной окружности
точки Ptl для которых соответствующие значения t удовлетво-
ряют данному соотношению:
a) tgZ=l; б) tg/= — л/3;	в) tg/<V3; г) tgt> -1.
114.	Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному урав-
нению или неравенству. Постройте график тангенса и на оси
абсцисс покажите множество точек, являющихся решениями
соответствующего уравнения или неравенства:
a) tgx=—-1;	б) tgx=-V3; в) tg х< —д/З; г) tg х> 1.
115.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) tg 2х; б) tg(x+y-); в) -tg(x+-2-); г) tg(y+«).
42
. Исследование функции ^ = ctgx
Основные свойства котангенса таковы.
1.	Область определения котангенса — множество всех дей-
ствительных чисел, кроме точек ли, где ngZ; область значений
котангенса — вся числовая прямая.
2.	а) Котангенс — нечетная функция:
ctg ( — х)= — ctg х для всех х£ D (ctg).
б)	Функция t/ = ctgx периодическая, ее период равен л:
ctg (^ + ^) = ctg х для всех x£D (ctg)
(л — наименьший положительный период котангенса).
3.	Нулями котангенса являются точки
—ИngZ.
4.	Промежутки знакопостоянства — интервалы (ли, |-лл),
на которых котангенс положителен, и интервалы (—~-4-лп, лп),
на которых котангенс отрицателен, ngZ.
5.	Котангенс убывает на промежутках (ли, л + лп), ngZ.
6.	Функция i/ = ctgx не имеет экстремумов.
График котангенса изображен на рисунке 54.
Упражнения
116*. Найдите область определения функции:
a)	б) ctg( —2х); в) г)
117*. Найдите область значений функции:
a) ctg 2х; б) 3 ctg в) ctg2x; г) 4-ctg2*+l.
43
118*. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
a) ctg 2х; б) — ctg; в) ctg2 х; г) ctg2 х 4-1.
119*. Расставьте в порядке возрастания числа:
a)	ctg 10°, ctg 100°, ctg( —20°), ctg(-110°), ctg315°;
6)	ctg 2, ctg 4, ctg 6, ctg 8, ctg -p ctg (—ул).
120*. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) ctg 2х; б) ctg (—х-|-^-) I в) — ctg -р) ; г) ctg2 х.
121*. Найдите множество точек, удовлетворяющих данному
уравнению или неравенству. Отметьте на единичной окруж-
ности точки Л, для которых соответствующие значения
t удовлетворяют данному соотношению:
a)ctg/= — 1; б) ctg/ = -—;	в) ctg/C-д/З; г) ctg/3^1.
122*. Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному
уравнению или неравенству. Постройте график котанген-
са и на оси абсцисс покажите множество точек, явля-
ющихся решениями соответствующего уравнения или не-
равенства:
a) ctg х = 1; б) ctgx = V3; в) ctg х< —-\/3; г) ctgx>l.
123*. Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) ctg 2х; б) ctg (х—; в) —etg^x-p-—); г) ctg2 2х.
§ 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
10. Арксинус, арккосинус и арктангенс
1.	Начнем с одного важного утверждения (его называют
Теоремой о корне), которым удобно пользоваться при решении
уравнений.
Теорема. Пусть функция f возрастает (или убывает) на
промежутке I, а число а — любое из значений, принимаемых
f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет един-
ственный корень в промежутке I.
Доказательство проведем для возрастающей функции (в слу-
чае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию
теоремы число а — значение функции f, принимаемое на про-
межутке /, т. е. в промежутке / существует такое число Ь,
что f(b) = a. Покажем, что b — единственный корень уравнения
f(x) = a. Допустим, что на промежутке / есть еще число с^Ь,
такое, что f (c) = a==f (Ь). Тогда или с<.Ь, или с>Ь. Но функ-
ция f возрастает на промежутке /, поэтому либо f(c)<f(b),
44
либо f (c)>f (6). Это противоречит равенству f (с) = f (6). Сле-
довательно, сделанное предположение неверно и в промежут-
ке /, кроме числа Ь, других корней уравнения f(x) = a нет.
2.	Как вы знаете, функция синус возрастает на отрезке
£—и принимает все значения от —1 до 1. Следова-
тельно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что
]а| 1, в промежутке £—существует единственный ко-
рень b уравнения sinx = a. Это число b называют арксинусом
числа а и обозначают arcsin а (рис. 55). Итак,
арксинусом числа а называется такое число из отрезка
£—-тг], что его синус равен а.
Пример 1. Найдем arcsin
• л/2 л	. л -у2 л Г л л 1
arcsin у=—, так как sin —и — £[-у; у].
Пример 2. Найдем arcsin (—1-).
Угол (из промежутка £—5-; у]), синус которого есть
равен —Поэтому arcsin (—^-)=—
2	о	\	2 /	6
Значение арксинуса можно находить по таблицам -(или
пользуясь калькулятором). Чтобы найти arcsin а, находят с по-
мощью таблицы значений синуса угол в а°, лежащий в пре-
делах — 90°^а°^90°, для которого sina = a. Затем выра-
жают ос° в радианах (при этом пользуются таблицей перевода
градусной меры углов в радианную).
Пример 3. Найдем arcsin 0,9063. Согласно таблицам
0,9063 «sin 65°,
65°«1,1345 (рад),
arcsin 0,9063 «1,1345.
45
Зл	у*
так как cos — = —и
4	2
3.	Функция косинус убывает на от-
резке {0; л] и принимает все значения
от — 1 до 1. Поэтому для любого чис-
ла а, такого, что |а| С1. в отрезке
[0; л] существует единственный корень
Ъ уравнения cosx=a. Это число Ъ на-
зывают арккосинусом числа а и обозна-
чают arccos а (рис. 56).
Арккосинусом числа а называется
такое число из отрезка [0; л], что его
косинус равен а.
Пример 4. arccos ^=-2-, так как
C0STи Т^0;
Пример 5. arccos
Т^[0; 4
4.	На интервале (—функция тангенс возрастает и
принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в
интервале (—существует единственный корень Ь урав-
нения tgx = a. Это число Ь называют арктангенсом числа а
и обозначают arctg а (рис. 57). Итак,
арктангенсом числа а называется такое число из интервала
(—F’ Т")' что его тангенс Равен а-
Пример 6. arctg 1 =-р так как tg-^-=l и	—р -р).
Пример 7. arctg (—д/3)=±= —
□
так как tg (—= —-\/3
и е — Y
3 С \	2	2/
▼ 5. Функция котангенс на интервале (0; л) убывает и прини-
мает все значения из R. Поэтому для любого числа а в ин-
тервале (0; л) существует единственный корень b уравнения
ctg х=а. Это число b называют арккотангенсом числа а и
обозначают arcctg а:
арккотангенсом числа а называется такое число из интервала
(0; л), что его котангенс равен а.
Пример 8. arcctg -у=-2-. так как ctg -|-=4= И ^"€(0; 4
у 3	У 3
Пример 9. arcctg(—-\/3)=-у-, так как ctg^- =—л/3 и
^б(0; 4
46
Упражнения
Вычислите (124—131).
124.	a) arcsin 0; б) arcsin 1; в) arcsin(— 1); г) arcsin—-;
д) arcsin^-; е) arcsin	ж) arcsin )•
125.	a) arcsin 0,3024;	б) arcsin 0,4305;
в) arcsin 0,3033;	г) arcsin 0,7801.
126.	a) arccos 0; б) arccos Г, в) arccos (—1); г) arccos-—;
д) arccos (—7-); е) arccos^; ж) arccos (—^).
127.	a) arccos 0,2164; б) arccos 0,8771;
в) arccos 0,6081; г) arccos 0,5666.
128.	a) arctg 0; б) arctg(—1); в) arctg т/З; г) arctg-^;
-уз
д) arctg у
129.	a) arctg0,3541; б) arctg 2,300; в) arctg( — 5); г) arctg 10
130*. a) arcctg 0; б) arcctg 1; в) arcctg(—1);
г) arcctg-д/З; д) arcctg
131*. a) arcctg 0,7080;	б) arcctg 6,386;
в) arcctg 5;	г) arcctg (—10).
132.	Вместо звездочки поставьте знак равенства или неравенства,
чтобы получилось верное соотношение:
a)	arcsin-^~*arccos ;
б)	arcsin (—|-)*arccos^;
в) arctg l*arccos
Вычислите (133—135).
г) arctg (—-\/3)*arcsin
133.	a) arcsin+arccos
6)	arcsin (—+ arccos
в)
• т/3 .
arcsin + arccos
г) arcsin (—-у) +arccos^.
134.	a) arctg->/3 +arctg (—I);	б) arctg + arctg 1;
v 3
в) arctg (—1)+arcsin г) arctg V3 + arccos
)+arclg4f
д)
arcsin
47
9
135*. a) arcctg д/3 + arctg д/З;
6) arctg ( —V5) + arcctg ( —^З);
в) arcctg д/34-arctg (—
' V3'
r) arcctg (—^/3) +arctg (---И.
136.	Докажите, что для любых чисел xi и Х2 из отрезка [—1; 1]
из неравенства xi<X2 следует неравенство:
a) arcsin xi < arcsin хг; б) arccos X] >arccos Х2.
137.	Докажите, что для любых чисел xi и Х2 из неравенства
xi<X2 следует неравенство:
a) arctg xi < arctg х2; б) arcctg xi > arcctg x2.
Расставьте в порядке возрастания числа (138—139).
138.	a) arcsin 0,8; arcsin (— 0,3); arcsin 0,9;
б)	arcsin ( — 0,5); arcsin ( — 0,7); arcsin 0,2;
в)	arccos 0,4; arccos (— 0,2); arccos (— 0,8);
r) arccos 0,9; arccos (— 0,7); arccos 0,6.
139.	a) arctg 100; arctg 1; arctg 0,3;
6)	arctg (—100); arctg ( — 2); arctg (—1);
B)*arcctg 12; arcctg 1; arcctg 0,2;
r)*arcctg ( — 20); arcctg (—10); arcctg (—1).
140*. Докажите равенства:
a)	arcsin x +arccos x=y- для любого xg[ — 1; 1 ];
6)	arctg x +arcctg x=y- для любого x.
141*. Найдите значение:
a) arcsin (sin 10);	6) arccos (cos 12);
в)	arctg (tg 2);	r) arcctg (ctg ( — 3)).
11. Решение простейших тригонометрических уравнений
1. Начнем с’уравнения
cos/ = a,	(1)
где а — произвольное действительное число. Исследуем, сколько
решений имеет это уравнение в зависимости от значения а
и каковы они.
Очевидно, что если |а|>1, то уравнение (1) не имеет
решений, поскольку |cos /|	1 для любого t.
Пусть |а|^Д. Надо найти все такие числа /, что cos t = a.
На отрезке [0; л] существует в точности одно решение урав-
нения (1) —это число arccos а.
Косинус — четная функция, и, значит, на отрезке [ — л; 0]
уравнение (1) также имеет в точности одно решение — число
— arccos а. Итак, уравнение cosf = a на отрезке [ — л; л] длины
2л имеет два решения: /=±arccosa (совпадающие при а=1).
48
Вследствие периодичности функции y = cos t все остальные
решения отличаются от этих на 2nn(n£Z\ т. е. формула корней
уравнения (1) такова:
t = ± arccos а + 2лп, п £Z.	(2)
(Обратите внимание: этой формулой можно пользоваться только
при |а| < 1.)
Решение уравнения (1) можно проиллюстрировать на еди-
ничной окружности. По определению cos t — это абсцисса точ-
ки Pt единичной окружности. Если |а| <1, то таких точек
две (рис. 58, а); если же а=1 или а=—-1, то одна (рис. 58, б).
При а=1 числа arccos а и —arccos а совпадают (они рав-
ны нулю), поэтому решения уравнения
cos t = 1
принято записывать в виде
£ = 2лп, n£Z.
«Особая» форма записи решений уравнения (1) принята
для а — — 1 и а = 0:
cos/ = —1 при / = л + 2лп, ngZ;
C9S/ = 0 При /=у-4-ЛП, n£Z.
Пример 1. Решим уравнение
cos
По формуле (2)	2
х = ± arccos -у- + 2лп, п g Z.
Поскольку arccos -i- =Чг-, приходим к ответу
Z о
х — ±-£- + 2лп, n£Z.
О
49
Пример 2. Решим уравнение
cos х= —0,2756.
По формуле (2) х= ± arccos ( — 0,2756)+ 2лп. Значение
arccos ( — 0,2756) находим с помощью калькулятора: оно при-
ближенно равно 1,8500. Итак,
х = ±хо + 2лп (ngZ), где х0~ 1,8500.
Пример 3. Решим уравнение
По формуле (2)
2х—±arccos -у ) + 2ли, n£Zt
т. е.
2х—т~= ±4“л4“2лл,
4	о
откуда
х=^-±^ + лп, n£Z.
О 1Z
2. Уравнение	. . Л
r	sin t — a	(о)
не имеет решений при |я|>1, так как |sin/|<Il для любого
t. При |а| < 1 на отрезке |—2-; -2-1 уравнение (3) имеет в точно-
сти одно решение Zi = arcsin а. На промежутке	функция
sin х убывает и принимает все значения от —1 до 1, поэтому
уравнение (3) имеет и на этом отрезке один корень. Из ри-
сунка 59, а видно, что этот корень есть число /2, равное
л —arcsin а. Действительно,
sin /2 = sin (л — £i) = sin t\=a.
Кроме того, поскольку —имеем: —
и л—тр^л —л+-тр т. е. число f2 принадлежит отрезку
Г л . Зл 1
|_2 ’ 2 J
Итак, уравнение (3) на отрезке [“"тр^г] имеет два ре-
шения: fi = arcsina и £2 = л — arcsin а (совпадающие при а = 1).
Учитывая периодичность синуса (с периодом 2л), получаем
такие формулы для записи всех решений уравнения:
t = arcsin а + 2лп,	(4)
/ = л — arcsin « + 2л/г, n^Z.	(5)
50
Удобно решения уравнения (3) записывать не двумя, а од-
ной формулой:
/=(—!)* arcsin a-j-nk, k£Z.	(6)
Как нетрудно убедиться, при четных k = 2n из формулы (6)
находим все решения, записанные формулой (4); при нечетных
&=2п-|-1 — решения, записываемые формулой (5).
Решение уравнения (3) удобно иллюстрировать на единичной
окружности (рис. 59). По определению sin t есть ордината
точки Pt единичной окружности. Если |а| <1, то таких точек
две (рис. 59, а); при а=±1 одна (рис. 59, б).
Если а=1, то числа arcsin-а и л—-arcsin а совпадают
(они равны поэтому решение уравнения
sin /=1
принято записывать так:
t ==-^-4-2лп, n£Z.
При а= — 1 и а=0 принята следующая запись решений:
sin t— — 1, если t = —2~ + 2пп, n£Z,
sin t=Q, если t—лп, n£Z.
Пример 4. Решим уравнение
sin
По формуле (6) х=(—1)* arcsin 4-л£, k£Z, т. е.
х=(-1)*-2--{-л6, k£Z.
51
Пример 5. Решим уравнение
sin х = 0,3714.
Согласно формуле (6)
х=(— 1)" arcsin 0,3714 + шг, n£Z.
С помощью калькулятора находим: arcsin 0,3714» 0,3805.
Пример 6. Решим уравнение
’'"(т-пг) =	
По формуле (6)
arcsin (-^)+яЛ, k£Z.
Так как arcsin (—имеем:
+ 2л6, k£Z.
О	Z
3. При любом t в интервале (—-у) имеется в точности
одно такое число /, что tg / = а, — это arctg а.
Поэтому уравнение
tg t = a
(7)
имеет на интервале (—-~-у длины л в точности один ко-
рень. Так как тангенс — периодическая функция с периодом л,
остальные корни уравнения (7) от-
личаются от найденного на лп (n£Z),
т. е.
f = arctg a-f-ли, n£Z. (8)
Решение уравнения tg/ = a удобно
иллюстрировать, рассматривая ли-
нию тангенсов (рис. 60). Напомним,
что tg t — это ордината точки Tt
пересечения прямой OPt{ с линией
тангенсов (см. п. 1). Для любого
числа а на линии тангенсов есть
лишь одна точка с ординатой а (точ-
ка Т (Г, а)). Прямая ОТ пересекает-
ся с единичной окружностью в двух
(л Л \
-----------------------------2~’ ~2~/
соответствует точка Pt.правой полу-
плоскости, такая, что А = arctg а.
52
Пример 7. Решим уравнение
tgx = V3.
По формуле (8) находим решение х = arctg-д/З + лп, ngZ,
а так как arctg	приходим к окончательному ответу:
о
x = -^--f-jin, n£Z.
м
Пример 8. Решим уравнение
tgx = 5,177.
Из формулы (8) следует, что
х = arctg 5,177 +шг, n£Z.
С помощью калькулятора находим: arctg 5,177« 1,3800.
Пример 9. Решим уравнение
ctg х = —д/З-
Это уравнение равносильно уравнению
tgx=—
у О
которое решаем с помощью формулы (8):
x = arctg (—^)+ли=—£- + лп, n£Z.
\	л/3 /	6
Упражнения
Решите уравнения (142—150).
142.	а)	COS -г= 2 ’ 6) COS х=^~-; в)	cos х= —i-; г)	COS X— —	2 '
143.	а)	1	л/3 sinx=—; б) sin %=-!£-; в)	sin х= —г)	sin x = —	2 ’
144.	а)	CQ нЧ к * ЪЛ ко II ч ЬЛ	tgx= —1; г)	tgx= —	1 Л/S'
145. 146. 147. 148.	а) а) а) а) в)	ctgx=l; б) ctg х=~~г; в) sin х= —0,6; б) cos х = 0,3; cos2x=-^-; б) sin 4х = 0; б> *г(-“)=^5;	г)	ctg х = — 1; г) ; в) tg х— —3,5; в) tg3x=l; t	-J2 ctgf =1.	ctgx=- r) ctg X — r) tg4x =	1 2,5. = 3.
53
149. a) sin(x—6) cos(l-x)=0;
в) tg x+y-)=V3; r) ctg (x+-£-)=—V3.
150. a) sin (-4x+-=-)=--1-;	6) cos ^--5x)=l-;
B) tg(-^—т)=^;	г) З‘п(т-1)=О-
151*. Докажите, что все решения уравнения ctg t = a находятся
по формуле t — arcctg а + ли, ngZ.
12. Решение простейших тригонометрических неравенств
Решение неравенств, содержащих тригонометрические функ-
ции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств
вида	.
sin,r<a, cosx^a, tgx>a и т. п.
Рассмотрим на примерах способы их решения.
Пример 1. Решим неравенство
sin/<-!-.	(1)
Это неравенство означает, что все точки Pt единичной ок-
ружности при значениях /, удовлетворяющих данному нера-
венству, имеют ординату, меньшую Множество всех таких
точек — дуга /, выделенная на рисунке 61 (причем концы дуги /,
имеющие ординату не входят в рассматриваемое множе-
ство, поскольку они не удовлетворяют условию: ординаты их
не меньше, а равны
точки Pt выделенной
Запишем условие принадлежности
дуге. Концы дуги I — точки и Р$п.
Г ё"
Замечая, что Р5^ = р получаем, что
Г “Г
решения неравенства (1), принадлежа-
щие промежутку [—-|-л; длины 2л,
таковы:
(Обратите внимание: неравенства строгие,
поскольку строгим является исходное не-
равенство.) Вследствие периодичности си-
нуса остальные решения получаются до-
бавлением к найденным чисел вида 2ли,
где n£Z, т. е. окончательный ответ таков:
54
-~+2nn<t<^-+2nn, n£Z.
Пример 2. Решим неравенство
cos2/> — y-	(2)
Обозначив 2t через а, немного упростим исходное нера-
венство:
cos	—i-.
(3)
Это неравенство означает, что все точки Ра единичной ок-
ружности при значениях а, удовлетворяющих условию (3),
имеют абсциссы, большие или равные —~ (рис. 62). Все эти
точки лежат правее прямой х=—или на самой этой пря-
мой. Значит, множество всех таких точек есть дуга, выделен-
ная на рисунке 62. В отличие от предыдущего примера концы
этой дуги входят в искомое множество: абсциссы этих концов
равны —~ и, значит, удовлетворяют неравенству (3).
Заметим, что концы дуги / — точки Ргя и Р_2л. Ограничива-
з з
Ясь пока рассмотрением углов а, лежащих в пределах от —л
до л, условие принадлежности Ра дуге I можно записать так:
(4)
Вследствие периодичности косинуса любое другое решение
неравенства (3) отличается от значений, удовлетворяющих соот-
ношению (4), на 2лп, т. е. множество решений неравенства
(3) состоит из чисел а, таких, что
—^ + 2лп<а<^- + 2лп, n£Z.
о	з
Переходя снова к переменной /, по-
лучаем ответ:
-^ + 2ли^2/^^ + 2ли,
3	3
—+ n£Z.
3	3
Пример 3. Решим неравенство
tgW-	(5)
Вследствие периодичности тангенса
55
неравенство достаточно решить для
/С (—Если t — решение нера-
венства (5), то ордината точки Tt линии
тангенсов (см. п.1), равная tg t, должна
быть больше или равна 1. Все такие точки
лежат на луче АТ (рис. 63). Соответ-
ствующие точкам Tt этого луча точки Pt
единичной окружности заполняют дугу,
выделенную на рисунке 63. Для точек Pt
этой дуги выполняется неравенство
л , л
4	2 ‘
Чтобы выписать ответ, остается учесть
периодичность тангенса:
+	+шг, n£Z.
Упражнения
Решите неравенство (152—158).
152.	a) sinx<^; б) sinx>^; в) sinx< —
г) sin х >0,055.
153.	a) cosx>^-; б) cosx<-l-; в) cosx> —
2	2'2
г) cos х> 0,7900.
154.	a)tgx<-\/3; б) tgx>A; в) tgx< — д/З; г) tgx>10.
V д
155.	a) ctgx>—б) ctgx>l; в) ctgx<-^-;
г) ctgx<—5.
156.	a) sin2x>-|-; б) cos^<^; в) tg (—|-)<1;
г)* ctg^>-100.
и
157.	a) sin(^--x)<^; б) 2 cos (2x+-^-)<V3;
в) V3tg (-J--х)>1;	г)* ctg (-2х+-=-)< 1.
158.	a) sin х cos-|--|-sin-j-cos х<-|-; 6) 2sinxcosx>^;
в) sin -2- cos x + cos sin x< 1; r)	1-
6	6	\	/ l—tgxtg2x
56
13. Примеры решения тригонометрических уравнений
и систем уравнений
В п. 11 было показано, как решать простейшие тригоно-
метрические уравнения. Решение более сложных тригонометри-
ческих уравнений требует знания формул, выражающих свой-
ства тригонометрических функций. Рассмотрим некоторые при-
меры.
Пример 1. Решим уравнение
6 sin2 х — 5 sin %+ 1 =0.	(1)
Введем новую переменную t/ = sinx. Тогда уравнение (1)
можно будет записать в виде
бу2 — 5у 4-1=0.
Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат
£/=4- и Следовательно, sinx =или sin х—±-. В пер-
2. О	X	о
вом случае получим решение
х = (—l)fe arcsin +лй, т. е. х = ( — l)fe + k£Z.
Во втором случае имеем:
х = (—l)m arcsin + т. е. х = (—1)т х04-ят, /ngZ,
1 &
где хо = arcsin — «0,34.
Пример 2. Решим уравнение
6 cos2 х — 5 sin х 4-5 = 0.
Заменяя cos2 х на 1 — sin2 х, приходим к квадратному урав-
нению относительно sin х:
6 (1 — sin2 х) — 5 sin х -|-5 = 0,
откуда — 6 sin2 х —5 sin х4~ 11 =0, т. е.
6 sin2 х4-5 sin х — 11 =0.
Как и в примере 1, введем новую переменную, обозначив
sinx = t/. Тогда §у2 + §у — 11 =0, откуда у=\ или £/= —У».
Уравнение sin х= — -у- не имеет решений, так как | --У» | >1.
Решая уравнение sinx=l, находим
х=-“-4-2л£; k£Z.
Пример 3. Уравнение
cos 2х4-sin х = 0
57
также сводится к квадратному уравнению, если cos 2х заме-
нить выражением 1—2sin2x, а потом sin х обозначить через у
(доведите решение до конца).
Пример 4. Решим уравнение
tg *4-2 ctg х = 3.
Обозначим tg х через у. Поскольку ctgx=~y, получаем
уравнение
у+— = 3.
v У
Оно приводится к квадратному уравнению у2 — 3у-f-2 = 0 (при
условии i/=#0). Его корни: у = 2 и у=\.
1) tgx = 2, x = arctg 2-|-л£, т. е. х = х0 + л&, kfzZ, где х0 =
= arctg 2« 1,11.
2) tg х = 1, х=~- + лй, k£Z.
Пример 5. Решим уравнение
3 sin2 х — 4 sin х cos х + cos2 х = 0.	(2)
Значения аргумента, при которых cosx = 0, не являются ре-
шениями этого уравнения, так как если cosx = 0, то должно
выполняться равенство 3sin2x = 0, а косинус и синус не мо-
гут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части
уравнения разделить на cos2x (или на sin2x) и при этом по-
лучить уравнение, равносильное уравнению (2):
3tg2x — 4 tgx+l=O,
откуда
tg х=1 или tg х=—.
О
Следовательно,
+ ngZ, или х = arctgлп, ngZ.
4	о
Пример 6. Уравнение
sin2 х —sin 2х = 0
после замены sin 2х на 2 sin х cos х приводится к уравнению
sin2x —2 sin х cos х = 0.
Разложим левую часть на множители:
sin х (sin х —2 cos х) = 0,
откуда sinx = 0, т. е. х = лп, ngZ, или
sin х —2 cos х = 0, tgx = 2, т. е. х = arctg 2 + ли, n£Z,
х=хо + лп, n£Z, где x0 = arctg 2« 1,11.
58
Как и в примере 5, можно было разделить обе части урав-
нения на cos2 х и получить уравнение
tg2 х — 2 tg х = 0.
Если же делить на sin2 х, то нужно учесть, что те х, при
которых sin х = 0,— решения данного уравнения. Поэтому к кор-
ням полученного после деления на sin2 х уравнения
ctgx—у- = о
надо добавить корни уравнения sinx = 0.
Многие другие уравнения, например уравнение sin2x —
— sin х cos x + cos2 x = 0 или уравнение sin3 x + 2 sin2'x cos x —
— 3 sin x cos2 x-f-2 cos3 x = 0 и т. п., также решаются делением
левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в
степени, равной степени уравнения. Предварительно надо прове-
рить, являются ли значения х, для которых cosx = 0 (sinx = 0
при делении на sin" х), решениями данного уравнения. Так, урав-
нения второй степени делят на cos2 х (или sin2 х), а третьей —
на cos3 х (или sin3 х). Потом заменой tg х (или ctg х) на у
получают алгебраическое уравнение.
Пример 7. Решим систему уравнений
р-«=Т'
| sin х = 2 sin у.
Из первого уравнения находим: у=х-—^-. Тогда 2 sin у —
= 2sin(x—-у ) = 2 (sin х cos у—cos х sin-у) = 2(sinx~ +
+-у cos x)=sin X+V3 cos x, второе уравнение системы примет
вид: sin x = sin х+?/3 cos х, откуда cos х = 0, х=-у-J-лп, где ngZ.
Далее находим:
5л л .	5л	7л г,
У=Х----3'=‘2" + Шг--3”==Л/1--6*’ n^Z'
Ответ: х=-у4-л/г, у = лл-~, n£Z.
Упражнения
Решите уравнения (159—166).
159.	а) 1 4-cos x+cos 2х = 0;	б) 3—cos2 х — 3sinx=0;
в) 4 sin х = 4 —cos2 х;	r) tg x-f-ctg х=2-|~.
59
6)
r)
6)
r)
6)
3 cos x 4- 4	*
-----=1;
Зд/2 sin x — 1
3	=1-
5 tg x4-8
4	_ 1
л/З tgx + 5— 2
2 sin x4~7 _2»
l,5sinx4~3 *
160.	a) cos ^-= 1 -f-cos x;
в) 5 cos x + 12 sin x— 13;
161.	a) 1—cos x =2 sin
в) cos 2x = 2-|- sin x;
162.	a) cos x4-sin x = 0;
в)
163.	a)
в)
164.	a)
в)
165.	a)
в)
6)
3 cos2 x = 4 sin x cos x — sin2 x;
6)	tgx —tg	x)=l;
r) 3 cos x —2 sin 2x = 0.
6) 1 + cos x —2 cos
r) n/3 sin x — cos x = 0.
cos2 x — 3 sin x cos x = — 1
r) 4 cos2 x — 7 sin 2x = 2
- = 2;
3 sin *4-4
—=-%------=L
3-y2 cos x — 1
--------= Г
5ctgx4-8
2	1
V3ctgx-]-5 4
2 cos x 4- 7 2-
1,5 cos x 4-3	’
3 —ctg X.
5
ctgx + 2
166. a) . 15 = 11 —2 sin x; 6) —^tt= 11 — 2 cos x;
sin x 4-1	' cos x 4-1
в) -—= 2ctgx—1;
tgx4-l &
167. Решите систему уравнений:
a) ( sin x-f-cos t/ = 0,
( sin2 x-f-cos21/ =—;
в) f x —z/=—A-,
( cos2 лх —cos2ra/ = 0;
r) - -10, =3—-ctg x.
' tgx4-2	&
6) J sin x cos у = 0,25,
sin у cos x = 0,75;
r) ( * + y=^,
1 tgxtgy=-l-.
Сведения из истории
Задачи, которые теперь решаются при помощи тригонометри-
ческих функций, возникли давно. Особенно серьезные требо-
вания к умению решать такие задачи в древности предъявляла
астрономия. Астрономов интересовали соотношения между сторо-
нами и углами сферических треугольников, составленных из ле-
жащих на сфере дуг больших кругов. Они неплохо справля-
лись с более сложными задачами, чем задачи на «решение»
плоских треугольников, которыми вы занимались в VIII классе.
Вместо наших таблиц тригонометрических функций древние
математики составляли таблицы длин хорд, стягивающих дуги
заданной длины. Самые ранние такие таблицы, составленные
50
греческими математиками еще в III—II вв. до н. э., не дошли
до нас. Наиболее древние сохранившиеся таблицы длин хорд
были составлены в Александрии астрономом Птолемеем
(II в. н. э.). Они содержат длины хорд окружности с шагом
30'. Длины хорд записаны в виде трехзначных шестидесяте-
ричных дробей, т. е. в виде
а } b 1 с
60	60^ ‘~60т’
где а, Ь, с — целые числа от 0 до 59.
Тригонометрические функции sin, cos, tg, ctg, sec, cosec
как отношения длин отрезков, проведенных в окружности, встре-
чаются у индийских и арабских математиков в V—X вв. Ин-
дийский математик Ариабхата (конец V в.) знал формулу
sin2 a + cos2 а = 1 и даже формулу для синуса, косинуса и тан-
генса половинного угла, которые служили ему для составления
таблиц этих функций.
В Западной Европе тригонометрия активно развивалась в
XV—XVI вв. Ряд результатов принадлежит французскому мате-
матику Ф. Виету (1540—1603). С возникновением дифферен-
циального исчисления были найдены формулы для производных
тригонометрических функций. Они по существу были известны
уже И. Ньютону. Их геометрический вывод можно найти у
Коте с а (1682—1716). Достаточно ясные представления о по-
ведении тригонометрических функций при изменении аргумента
от —оо до + оо встречаются у Д. Валлиса (1616—1703).
Но, вообще говоря, математики до Л. Эйлера (1707—1783)
не проявляли в этом отношении большой последовательности и
в связи с отдельными задачами ограничивали область опреде-
ления тригонометрических функций различным образом. Не
было ясности и в отношении того, что имеется в виду: чис-
ловые функции числового аргумента или зависимость длин от-
резков от величин углов или длин дуг.
Современный вид теория тригонометрических функций при-
обрела только у Л. Эйлера, в частности в его книге «Вве-
дение в анализ бесконечно малых» (1748).
Вопросы и задачи на повторение
1. 1) Что такое угол в I радиан? Запишите формулы, свя-
зывающие радианную и градусную меры.
2) Переведите в радианную меру угол: а) 360°; б) —180°;
в) 18°; г) 1°.
3) Переведите в градусную меру угол:
а) л рад; б) -у- рад; в) —рад; г) 1 рад.
2. 1) Что такое единичная окружность? Дайте определения
синуса и косинуса угла а.
2)	Найдите (не пользуясь калькулятором или таблицами)
значения sin а и cos а, если а равно:
а) -^; б) -т-л; в) —|-я; г) 30°; д) 570°; е) -240°.
ОТ1	О
(Предварительно постройте на единичной окружности точ-
ку Ра.)
3)	Найдите значения sin а и cos а с помощью калькулятора
или таблиц, если а равно:
а) 23°24'; б) 102°8'; в) 1,2; г) -0,7.
3.1)	Дайте определения тангенса и котангенса угла а. При
каких значениях а определены tg а и ctg а? Что такое ли-
ния тангенсов?
2) Найдите (не пользуясь таблицами и калькулятором) зна-
чения tg а и ctg а, если а равно:
а) 30°; б) 45°; в) -2-я; г) д) --%.
4	о	4
3) Найдите значения tg а и ctg а с помощью калькулято-
ра или таблиц, если а равно:
а) 39°12'; б) 146°7'; в) 1,7; г) -0,4.
4. 1) Запишите формулы, связывающие значения тригонометри-
ческих функций одного аргумента.
2) Упростите выражение:
а) 1 +tg2 а; б) 1 4-ctg2 а; в) (sin а + cos а)2; г) (sin а—cos а)2.
3) Докажите тождество:
. cos а 1 ч-sin а.	sin а 1 +cos а
1—sin a cose ’	' 1— cos a	sin а
5. 1) Укажите знаки sin a, cos а, tg а и ctg а в зависимости
от того, в какой координатной четверти лежит а.
2) Определите знак:
a) sin 11°; б) sin-|-n; в) cos 112°; г) cos (—-
д) tg 100°; е) tg(—^-я); ж) ctg (—100°); з) ctg 8.
3) По данному значению одной из тригонометрических
функций и интервалу, в котором находится а, найдите зна-
чения других трех основных тригонометрических функций:
sin , —<а<л; б) cos а=—, 0<а<—;
в) tg а=-£-, л<а<-у;	г) ctg а= —3, ^-<а<2л.
6. 1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания
формул приведения. Запишите несколько формул приведения.
2)	Приведите к значению тригонометрической функции
острого угла:
a) sin 231°; б) cos (-500°); в) tg(-y-n); г) созфл.
62
3)	Упростите выражение:
а)	sin^+cos^-4-tg^-;
б)	sin (180° —a) cos (180°4-а) tg ( —а)
sin (а —270°) ctg + )cos (~а—)
7. 1) Запишите формулы косинуса, синуса, тангенса суммы
(и разности).
2) Вычислите (не пользуясь таблицами) значение синуса,
косинуса и тангенса:
а) 77;	75° (воспользуйтесь тем, что =-^--------;
75° = 45°+30°).
3) Докажите тождество:
a) sin^a-f--^-) -|-sin^a—^-) =7/3sina;
tga + tg(60° —a)	/о.
’ 1 — tg a tg (60° — a) У '
в) sin (tt+&=tg<x+tgP;
' cos a cos ₽	°
r) cos 2a cos 3a —sin 2a sin 3a = cos 5a.
8. Запишите формулы двойного аргумента.
2) Вычислите sin 2a, cos 2a, tg 2a и ctg 2a, если известно,
что:
a) cos a=-|- и	6) sin a=||- и cosa<0.
3) Упростите выражение:
a)	cos2 a— 1); б) 1—(cos a —sin a)2.
9. 1) Запишите формулы суммы и разности косинусов (си-
нусов) .
2) Вычислите* не пользуясь таблицами:
а) cos 117° + cos 63°; б) sin 225° —sin 75°;
в) sto-jj+sinfj: г) cos "ПГ—cos 17•
3) Упростите выражение:
°> S‘n7™';	6) sin(i+a)+si„(f-a)
Докажите тождество:
В) .уНозЗа =ctg2a.
sin a + sin 3a
г) sin 2a + sin 4a + sin 6a = 4 sin 3a cos 2a cos a.
10*. 1) Запишите формулы половинного аргумента.
2) Найдите sin cos-у-, tg-^- и ctg у-, если известно, что:
а) cos а =-|-	2л; б) sin a = —и л<а<л.
3	2	3	2
63
3) Упростите выражение:
sin а . а • о	1 +cos а> 2 а 2
a) —-----ctg-—sin2 а;	б) ------tg2 ——cos2 а.
1 + cos а	2	' 1 — cos а ° 2
11. 1) Что такое функция, ее область определения и область
значений?
2) Найдите область определения функции:
a) y = V3^; б) у = 2^з; в) у=^А_;
г) y=ti7=rr; д)
3) Найдите область значений функции:
а) У=±~>	б) +	в) у = х2 — 1;
г) r/ = 2 sin х-|-1;	д) z/ = tg2x;	е) z/ = cos2x.
12.	1) Что такое график функции?
2)	Является ли множество точек, изображенное на рисун-
ке 64, графиком какой-либо функции?^
3)	Постройте график функции:
а) £/=—2x-f-3; б)	в) у = х2 — 2х\ г) у=-у/х+\.
13.	1) Дайте определения возрастающей и убывающей функции.
2)	Найдите промежутки возрастания и промежутки убы-
вания функции, график которой изображен на рисунке 65.
3)	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) у=— 3x4-1; б) у=—в) у = 2х2 + 4х; г) у=х4.
14.	1) Дайте определения точек экстремума (точек максимума
и точек минимума) функции. Что такое экстремум функции?
2) Укажите точки максимума и минимума функции, график
которой изображен на рисунке 65.
3) Найдите точки максимума и минимума функции:
а) у=(х-3)2 + 2; б) у=1-(х-2)2;
в) y = sinx;	г) у= tgx.
15.	1) Какие задачи решаются в ходе исследования функции?
2)	Проведите исследование функции:
64
a) у — x2 — 4x4-3;	6) y = cosx —2;
12
в) у = 2 sin х + 1;	г) у———.
3)	Постройте графики этих функций.
16.	1) Дайте определения четной и нечетной функции. Каким
свойством обладают графики четной и нечетной функции?
2) Выясните, какая из указанных ниже функций является
четной, а какая нечетной:
а) у = х2-,	б) у = х5;	в)
г) у = х + х3;	д)	е) у=|х|.
3)	Какие из функций являются четными, какие нечетными,
какие не являются ни четными, ни нечетными:
a) f (x) = sin Зх;	б) g(x) = xsinx;
в) /z(x) = ^^;	г) w(x) = x + cosx?
17.	1) Дайте определение периодической функции. Что такое
период функции? Каким свойством обладает график перио-
дической функции?
2) Какой наименьший положительный период имеет функция:
a) t/ = sinx; б) i/ = cosx; в) y = tg х; г) i/ = ctgx?
3) Найдите наименьший положительный период функции:
a) f(x) = sin2x;	б) g(x) = cos-~-;
в) h (x) = tg у“+1;	г) и (x) = cos (4х+ 1).
18.	1) Перечислите основные свойства синуса, косинуса и тан-
генса.
2)	Пользуясь свойством соответствующей функции, дока-
жите неравенства:
a)	sin 290°<sin 310°<sin 370°<sin 400°<sin 430°;
6)	cos ( —317°)>cos ( —280°)>cos (-213°)>cos (-193°);
в)	tg ( —253°)<tg ( —200°)<tg (- 175°)<tg (- 147°)<
<tg(—112°);
r) sin 4,7 <sin 5,1 <sin 5,6 < sin 6,2 < sin 7<sin 7,8.
3)	Постройте график функции (сделав параллельный пере-
нос синусоиды вдоль оси абсцисс):
a) i/ = sin (х —£-);	б) t/ = cos (х+у-) .
19.	1) Сформулируйте теорему о корне.
2)	Дайте определение арксинуса числа. Для каких чисел
определен арксинус?
3)	Вычислите:
a)arcsin0; б) arcsin 1; в) arcsin—-; г) arcsin
20.	1) Дайте определение арккосинуса числа.
2)	Для каких чисел определен арккосинус?
3)	Вычислите:
3 Заказ 216
65
a) arccos 0; 6) arccos 1; в) arccos-—; r) arccos ( —
21.	1) Дайте определение арктангенса числа.
2)	Для каких чисел определен арктангенс?
3)	Вычислите:
a) arctg 0; б) arctg 1; в) arctg( — 1); г) arctg-\/3.
22.	1) Запишите формулы для решения простейших тригоно-
метрических уравнений: sinx = a, cosx = a, tgx = a.
2) При каких а простейшие тригонометрические уравнения
имеют решения?
3) С помощью единичной окружности укажите углы а, яв-
ляющиеся решениями уравнения:
a) sin а = 0,7;	б) cos а= — 0,3;
в) tga=— 2;	г) sin 0,4.
23.	Решите уравнение:
a)	cos2 х — sin2 х= 1;	б)	4 sin х cos х = ^2\
в)	2 sin2 %4-3 sin х==2;	г)	2 cos2 х — 5 cos х = 3;
д)	tg2 х — 4 tg х 4-3 = 0;	е)	6 sin2 х — 4 sin х cos х	= 1.
24.	Укажите с помощью единичной окружности углы	а,	являю-
щиеся решениями неравенства:
a) sin а>—б) cosa^—;
_/з
в) tga<3;	г) sin
Дополнительные упражнения к главе I
168. Может ли синус (косинус) быть равным:
a) V10; б) a + J_. в) a . r) 2-^(а>0, 6>0)?
Упростите выражение (169—172).
IfiQ at tg2« l+ctg2oc.	ctg p-ctg a .
l+tg2a ctg2 a *	tga —tgP ’
B) tg P+tga .	r) sin a sin p . g
7 ctg p +ctg a’ 7 cos a cos p 5
170. а) 1 4-tg2 <p — tg2 <p (cos2 <p+ 1);
б) (1 4-sin2 cp) ctg2 ср—1—ctg2 <p;
sin a sin p
r) Fos_ctg p cos p.
sin p
171. a) (3 sin x + 2 cos x)24-(2 sin x —3 cos x)2;
6) tg2 x —sin2 x —tg2 x sin2 x;
в) (tg <p4-1 )24-(tg <p— l)24-(ctg <p4- l)24-(ctg <p—l)2;
r) л/sin2 P (1 4-ctg p)4-cos2 3 (1 4-tg 0).
66
179	cos a + sin	a .	6Y P~cus P
IZZ* a'	sin a —cos	a ’	Z	sin ₽ + cos p	*
173.	Вычислите значение выражения -	если:
r	2cosa —3sina
a) tga=-|-;	6) ctga—
в) tga=—1~;	r) tga = —2.
174.	Дано: sin /4-cos t = m. Выразите через m:
a) sin t cos t; 6) sin3 Z-f-cos31.
175.	Дано: tg <p + ctg <p = /n. Выразите через m:
a) tg2 <p + ctg2 <p;	6) tg3 cp + ctg3 cp.
176.	а) Дано: cos2 a —sin2 0 — 0,5. Найдите sin2 a —cos2 0.
б)	Дано: sin2 a-|-cos2 0> 1. Докажите, что cos2a +
4-sin2 0< 1.
Докажите тождества (177—184).
177.	sin2 a sin2 04-sin2 a cos2 0 + cos2 a = 1.
178.	(tg a + ctg a)2 —(tg a —ctg a)2 = 4.
179. a)
sin2 a .2 cos2 a_______
tg2 a ctg2 a
sin2 a = 1;
6)
180. a)
1 —4 sin21 cos21_____
(sin t -|- cos t)2
1 — 2 sin t COS t.
t — sin31
14-am t cos t
= cos t — sin t\
6)
cos3 /4-sin31
1 — sin t cos t
= cos f+ sin t.
181 al "V1 ~CQS Z — lsin » б)	lcos
' V 14- cost 14-cost’ ' *14-sint 14-sint’
182. (sin a + tg a) (cos a + ctg a) = (l +sin a) (1 +cos a).
188. sin3 a (1 +ctg a) + cos3 a (1 +tg a) = sin a + cos a.
Vi —2 sin t cos t । 2 sin t cos t	. .	.	.	.
184.	—7-2--;--2^ —----------= sin / + cos /, если sin />cos t.
Sin2/—COS2/ ' Sin/4-COS/	'
185.	С помощью формул приведения замените значением триго-
нометрической функции острого угла:
а) cos 108°; б) sin 250°; в) tg 165°; г) cos 317°;
д) sin (-157°); е) tg(-144°).
186.	Приведите к значению тригонометрической функции угла
первой четверти:
а) sin^b; 6} cos|j; в) ctg у-; г) sin у-.
187.	Приведите к значению тригонометрической функции поло-
жительного угла, меньшего 45°:
а) cos 89°; б) tg68°; в) sin 71°; г) ctg 47°.
188.	Приведите к значению тригонометрической функции наи-
меньшего положительного аргумента:
а) sin^; б) cos2y-n; в)	г) cos

67
189.	Вычислите без таблиц и калькулятора:
a)	sin 75° cos 75°;
б)	10 ctg 135° sin 210° cos 225°;
в)	2 sin2 225° — ctg 330° tg 405°;
r)	sin 167° sin 107°4-sin 257° sin 197°.
190.	Упростите выражение:	/ n	\	( л \
/ „	\	ctg 1 —-a Ism (p—l
a) cos («-«) ctg (—a);	6)	c\,	;
1	2	\
1	— Sirr lyy + x /	2 / ч
в)	42	б) 7 •	r) cos2 (л-a)
1— sin2 (л + x) ’	.	/3л	\‘
7	1 —cos — a I
191.	Докажите тождество:	42	'
sin a —sin 3a	.
o) ---------— = — Ci 2a;
cos a — cos 3a
sin (x-n)tg (x-y )
B) f3n , \ . .	’=-1;
COS ^ctg(n — x)
r) sin2 (a-630°) = 1 _|_cos (a_90°).
14-sin( —a)
192.	Докажите, что следующие функции являются четными:
а) tg2 х; б) |xl+cosx; в) ; г)
193.	Докажите, что следующие функции являются нечетными:
х . х	, q \ 3 । •	\ sinx4-x
а) sin—;	б) tg5 х; в) x3 + sinx; г)	•
О	А •р LUo Л
194.	Объясните, почему указанные ниже функции не являются
ни четными, ни нечетными. Периодические ли они?
а) \х\ б) —в) х+1; г) х2 + х+1; д) sinx-|-cosx.
195.	а) Вычислите sinf-^-4-a) , если sina=4- и 0<а<-£-.
\ Ъ /	о	2.
б)	Вычислите sin(y—а) , если tga = 2 и л<а<у-.
196.	Вычислите cos(a-f-p), если:
a)	cosa=——, sin ЖаС-у, -у <₽<л;
б)	cosa=4-> sinp=-^r, 4^<а<2л>
О	1 о Z	Z
197.	Вычислите sin (а — Р), если:
a)	sina=— cosp=—-у<а<2л, л<р<-у-;
б) cos a = sin р=4-, <а <2л, -^-<р<л.
о Z	Z
68
198.	Дано: tga=-j-, tg Р = -|-. H;
a) tg(a + 0); б) tg(a — ₽);
199.	Докажите равенство:
sin 32° cos 15° +cos 32° sin 15'
4-cos 26° sin 21°.
200.	Упростите выражение:
v sin 35° cos 20° — cos 35° sin 20° .
a) -------------------------,
cos 44° cos 29°4-sin 44° sin 29°
x cos a cos p — cos (a -f~ P) .
' cos (a —P) —sin a sin p
идите:
В) ctg(a + 0); г) ctg (a — ₽).
= sin 26° cos 21° +
л 2л л . 2л
sin — cos —— cos — sin —
U) о	o’
ол л . <5л . л
COST4COSH+slnT4S,nT4
r\ sin (a + P) + sin (a —fl)
' cos (a 4- p) 4- cos (a — p) ’
Докажите тождества (201—207).
201. а)
(sin x4~ cos x);
6)	COS (x + 4-) = -y(c°S x — sin X).
202.	a) sin (a —0) sin (a0) = cos2 0 —cos2 a,
6) cos (a + P) cos (a —P) = cos2 p —sin2 a;
в) cos + —ctg a ctg p — 1;
' sin a sin p &
tg“+tg (t~“)
r)--------^r-2\=1-
1—	tg a tg (-4—<4
sin (4+^)—cos (4 + x)	tg44+a)-l
203.	a) —-------------(=tgx; 6) —1*------(—= sin 2a.
sin (t+4+cos (t+jc)	tg2 (t+“)+1
204. a)
tg4a —tg3a
1 4-tg 4a tg 3a ®
6) tg2a-tga=^-^.
205. a)
cos 2a __cos a —sin a .
1 4-sin 2a cos a4-sin a ’
g\ 1—cos 2a4-sin 2a__ .	„
14-cos 2a-f-sin 2a °
206.	a) (sin x cos //4-cos x sin i/)2 + (cos x cos y — sin x sin y)2= 1;
6)	sin3 x (1 — ctg x)4-cos3 x (tg x— 1) = sin x —cos x.
207.	a) tg(f4-f)-tg(f-f) = 2tgx;
6)	-2osa. =fg
1 4-sin a ® \ 4	2 /
208*. Найдите sin-^-, cos-y-, tg и ctg если:
a) sina = 0,8 и
6)	tga = 3y- и 180°<a<270°.
69
Представьте в виде произведения (209—210).
209.	a) sin2 х—sin2 у; б) tg2a—tg2fk
210.	a) cos х + cos 2х + cos Зх + cos 4х;
б)	sin х + sin 2х + sin Зх + sin 4х.
211.	Следующие выражения преобразуйте в произведение вве-
дением вспомогательного аргумента ^например, 1 =sin
a) 1+sina; б) sin а; в) ^+sin а;
г) sin 35°; д) ~—sin2 а;	е) —cos2 а.
212*. Пользуясь формулами, выражающими sin a, cos a, tg а,
ctg а через tg (см. № 240), найдите:
а)	sin a, cos a, tg а и ctg a, если tg~-=3;
6)	sin 2a, tg 2a, cos 2a и ctg 2a, если tg a=-y-.
Решите уравнение (213—217).
213.	а) 3 cos 2x = 7 sin x; 6) 2 cos 2x = 7 cos x.
214.	a) sin4-^—cos4y-=y-;	6) cos4 x —sin4 x=^.
215.	a) cos2 x + 4 sin2 x = 2 sin 2x; 6) sin2 x—^sin 2x = cos2 x.
216.	a) 4 (1+cos x) = 3 sin2 y-cos
6)	4 (1 —cos x) = 3 sin “ttc°s2
217.	a) sin x + sin 3x = 0;	6) sin 5x — sin x = 0;
в) cos 2x — cos6x = 0;	r) cos 4x + cos 2x = 0.
Решите неравенство (218—223).
218.	a) 4-sin2 х+4-sin2 2x<cos 2x;
4	4
6)	sin x (cos x — sin x) < 2.
219.	a) cos2 x + cos2 2x +cos2 3x +cos2 4x^2;
6)	cos 2x < cos 3x — cos 4x.
220.	a) -\/3 tg2 x —4 tg х + л/3>0;
6)	-y/3 ctg2 x — 4 ctg х+-д/3>0;
в)	4sin2x — 2 (-\/2 — 1) sin x—-\/2<0;
r)	4 cos2 x + 2 (д/2 — 1) cos x —^/2<0.
221.	a) 1^±1<2; 6) 1^±|>2.
' 3sinx4-l	3 cos x4-1
222.	a) —, <11 -2 sin x; 6) —<11-2 cos x.
sinx + l	' cosx+1
223.	a) —2—-<2-tgx; 6) -- -2 , ,>2-ctg x.
tgx + l	s	ctgx+l	b
70
224.	Проверьте равенство:
a) arccos 0 + arcsin ^=^-; б) arccos (—1) +arccos 1 = л;
в) arcsin (—^) + arcsin ^=0; г) arcsin -i-+ arccos 4"=4’-
225.	Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) arcsin arcsin-i-;	б) arcsin arccos
в) arcsin (—|-)+arccos (-g) 1 г) arctg (—1) +arctg ^3.
Докажите тождество (226—227).
226.	a) cos (arcsin —х2; б) sin (arccos х)=_\/1 — х2;
в) tg (arcctg х)=-^-;	г) ctg (arctg х)=-^-.
227.	a) cos (arctg x)=—-4= ;	6) sin (arctg x)=—==;
•\Ч+хг	-уЦ-ж*
X	1
в) cos (arcctg x)=—== ; r) sin (arcctg x)=—==.
Vi+x2	V1+?
228.	Докажите, что при всех допустимых значениях выполнено
неравенство
sinx + tgx
cos х 4-ctgx'^’
Докажите тождество (229—234).
229.	a) cos6 04-sin6 0 = 1 — 3 sin2 0 cos2 0;
б)	3 (sin4 0 + cos4 0)—2 (sin6 04-cos6 0) = 1.
230.	a) ----1-----=—L+tf” .....;
1-J-slnacosa l^tga + tg a
6)	sin^1«=1+tga + tg2a+tg3a
231.	a) sin* cos T~5in Фcos ?+sin л = 1 + cos <p 4- tg Ф;
COS ф (1 — COS ф)
g\ 1+ctg2 ф + sin2 ф + sin2 ф ctg2 ф_ 1	.	1
2 cos2 ф + sin2 ф— 1	cos2 ф cos2 ф sin2 ф"
232.	sin(P —?) I sin (y —a) . sin(a —P)__q
cos p cos у cos у cos a	cos a cos p
2M-	ctgf-tgf=2«tga.
234.	~sin 3g=s—ctg 2a
cos a — cos 3a
Упростите выражение (235—237).
235.	а) —L+Sin 2x	• б) 1-sin 2x .
(sin x-f-cos x)2	7 (sin x —cos x)2 *
71
236.	a) 1 — 8 sin21 cos21\	6) 2 cos2——1.
907	* 4~ cos 4x4~ sin 4x .	—v /1 ~ cos cp । —\ /1 -4~ cos <p
1 —cos 4x4-sin 4x *	V 1 4~cos <p * 1— cos <p
238.	Найдите значения sin 4a и cos 4a, если tg2a = 8.
239.	Найдите значение sin 4a, если tg a = 3.
240.	Докажите формулы:
a)	sin acos 0=-|-(sin (a + P) + sin (a — 0));
6)	cos a cos 0=-|-(cos (a —0)4-cos (a + 0));
в) sin a sin 0=y-(cos (a —0) —cos (a-f-0));
a	i i 2 a
. • 2tST	v	'~tgT
r) sin a—---------; д) cosa=-------------;
l+tg2y	)+‘g2T
„ . a	2 a
2tgV	l-‘g V
e) tga —----------; ж) ctga =------------.
!-tg2-J	2tg-f
При решении упражнений 241—249 используйте формулы из
упражнения 240.
Преобразуйте выражение (241—243).
241.	а) cos 40° cos 50°; б) cos 7^ cos БГ;
в) sin sin ; г) sin 105° sin 15°—Ь
24	24	4	7	4
242.	а) sin (х +	sin (х—j-) ; б) sin	sin (а — -у-) ;
в)	cos (* + 0) cos (x — 0);	r)	sin (x-f-a) sin (x — a).
243.	a)	4 sin 30° sin 20° sin 10°;	6)	4 cos 60° cos 20° cos 10°;
в)	4 sin 25° cos 15° sin 5°;	r)	8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8°.
Представьте в виде, удобном для вычисления без таблиц,
и вычислите (244—246).
244.	а) 2 sin 22°30' cos 7°30'; б) cos 45° cos 15°.
245.	a) sin 52°30' sin 7°30'; б) sin-^-sin^-.
246.	a) cos-jj cos-j-; б) 8 cos 10° cos 50° cos 70°.
247.	Понизьте степень тригонометрической функции в выражении:
а) 2 cos2 х; б) 2sin2x; в) 2 cos2 х cos 2х; г) cos^xsin2x;
д) sin2 6х; е) cos2 4х.
248.	Докажите тождество:
а) 2 sin 4х sin 2x + cos 6x = cos 2х;
б) sin3 х cos2 х = 4-sin х—J- sin 5x4-4г sin 3x;
8	16	16
в) sin 5x cos 3x cos 6x=-~(sin 14x 4-sin 2x4-sin 8x — sin 4x).
249. Верно ли равенство sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°=-—-?
72
Решите уравнение (250—251).
250.	a) sin (-2—sin —х)=1;
б)	cos (-2—J-x)+cos	—х)=1.
251.	а) 3 sin х + 4 cos х = 2;	б) 5 sin х + 12 cos х— 13;
в) sin х — 2cosx=l;	г) 2 sin x-J-cos х = 2.
252.	Решите неравенство:
а) |sin х| + |cos х|	1; б) tg x + ctg х^-\/3+-^-.
253.	Докажите формулы:
a)	arcsin ( — a)— —arcsin а при любом а(Е[— 1; 1];
б)	arctg ( — a)— —arctg а при любом а;
в)	arccos ( — а) —л —arccos а при любом а£[— 1; 1];
г)	arccos —arcsin а при любом а£[—1; 1].
Глава II
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ
14. Приближенное вычисление значений функций
Напомним сначала определения, известные из курса ал-
гебры.
Абсолютной погрешностью приближенного значения х
числа а называется модуль разности между числом и его прибли-
женным значением. Таким образом, абсолютная погрешность
приближенного равенства х~а есть число |х—-а|.
Если абсолютная погрешность приближенного значения х
числа а не превосходит ft, т. е. |х — al^ft, то х называют
приближенным значением числа а с точностью до ft.
Пример 1. 4"~0,33 с точностью до 0,01;
и
1,4142 с точностью до 0,0001;
л» 3,14159265 с точностью до 0,00000001.
Вообще, десятичные приближения действительного числа х
с точностью до 10“л являются приближенными значениями числа
х с точностью до 10“л, т. е.
Хп~Х И Хп~Х с точностью до 10”Л
Часто при вычислении значения функции f в точке а при-
ходится находить значение функции f не в самой точке а, а в
близкой к ней точке х. Например, если а = л, то для вычислений
берем х«3,14 или х«3,1416 и т. д. При решении подобных
задач необходимо уметь оценивать точность проводимых вычис-
лений. Приведем два примера.
Пример 2. Рассмотрим такую задачу: измерить длину
стороны данного квадрата и вычислить его площадь, исполь-
зуя результаты измерения.
Пусть точное значение длины стороны квадрата равно а.
Тогда точное значение площади S есть а2. В результате из-
мерения получим некоторое приближенное значение х длины
стороны: х = а4-Дх*, где |Дх| —абсолютная погрешность изме-
* Символ Дх читается «дельта икс>; Д — греческая буква, которая употреб-
ляется для обозначения разностей и погрешностей. В данном случае
Дх=х — а.
74
рения. Поэтому площадь будет вычислена с абсолютной пог-
решностью:
|AS| = |х2 —а2| = |(а +Дх)2 — а2| = |2аДх+(Дх)2|.
Из этого равенства видно, что при повышении точности из-
мерения, т. е. при всех очень маленьких | Дх|, слагаемые 2аДх
и (Дх)2 малы и поэтому соответствующее значение площади бу-
дет мало отличаться от а2. Например, если а=п/8, то, про-
водя измерения с точностью до 1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм и т. д.,
мы получим следующие значения длины стороны и точности
измерения длины стороны (в метрах), площади и абсолютной
погрешности ее вычисления (в квадратных метрах):
Длина стороны	Точность, измерения длины стороны	Площадь*	Абсолютная погрешность при вычислении площади
3	1	9	1
2,8	0,1	7,84	0,16
2,83	0,01	8,009	0,009
2,828	0,001	7,9976	0,0024
2,8284	0,0001	7,99985	0,00015
2,82843	0,00001	8,000016	0,000016
Попробуем установить, с какой точностью должна быть изме-
рена длина стороны квадрата, для того чтобы добиться напе-
ред заданной точности h при вычислении площади S квадрата.
Договоримся сразу считать, что измерения проведены с точ-
ностью не менее 1 м, т. е. |Дх|^1. Тогда
|Д5| = |(2а + Дх) Дх| = |2а +Дх| |Ах| <(2а +1)|Дх|.
Допустим, что мы хотим добиться точности Л при вычисле-
нии площади квадрата. Для этого достаточно провести изме-
рения с такой точностью, что (2а + 1)|ДхКй, т. е. |Дх|<
^2аТТ (и’ конечно> 1ДхК1). Так, в рассмотренном примере
а=^8 и точность Л =0,001 будет заведомо достигнута, если
взять | Дх| > так как в этом случае
|Дх1 < 1 — 0,001 <" 0,001
'""/ООО 2-3+1 2^8 + 1’
Пример 3. Пусть координата материальной точки, дви-
жущейся по прямой, в момент времени t равна $(/)=2/2. Найдем
мгновенную скорость точки в момент / = 1 с.
Приближенное значение площади приведено с одной запасной цифрой.
75
Перемещение точки за промежуток времени [1; 1+Д/] дли-
тельности А/ (при А/>0) равно
$ (1 + A/)-s (1)=2 (1 + Д/)2 — 2 = 4Д/+ 2 (Д/)2,
а ее. средняя скорость на этом промежутке есть
% (Д/)=4А^Нг = 4 + 2Д/.	(1)
Формула (1) верна и при отрицательных А/: перемещение
точки за промежуток [1 + А/; 1] равно s (1) — s (1 -|-А/) = — 4А/—
— 2 (А/)2, а длительность этого промежутка равна —А/.
В качестве значения мгновенной скорости хотелось бы взять
иср (0), но это значение не определено (на 0 делить нельзя!).
Однако ясно, что при всех малых | А/1 значения иср (А/) с на-
перед заданной точностью приближаются числом 4, так как тогда
мало и слагаемое 2А/. Действительно, чтобы обеспечить (на-
перед заданную) точность h в приближенном равенстве иср (А/)«4,
достаточно взять 12А/1 < ft, т. е. выбрать промежуток времени
» h
длительности, не превосходящей —.
Принято говорить, что функция f (х) стремится к пределу
L при х, стремящемся к а*, если можно обеспечить любую
наперед заданную точность ft приближенного равенства f(x)^L
за счет уменьшения погрешности |Дх| = |х — а| в значении ар-
гумента, Короче: приближенное равенство f(x)~L при хха
может выполняться с любой точностью. Вместо слова «стре-
мится» в записи принято ставить стрелку:
f (х)->£ при х->а.
Это же записывают иначе:
lim f (x) — L.
х-+а
Значок lim — сокращенная запись латинского limes, которое в
переводе означает «предел». Запись lim f(x) = L читается: «пре-
х-»-а
дел f (х) при х, стремящемся к а, равен L».
В рассмотренных выше примерах 2 и 3 было показано, что
S(x)->8	при	(т. е. lim S(x) = 8);
v (Д/)->4 при Д/—>0	(т. е. limy (Д/) = 4).
и	Д/->0
Пример 4. Пусть f (x) = ftx-|-ft (ft и b — постоянные). До-
кажем, что
f (х) -> ka + Ь при х а.
* Значение х — а не рассматривается, и соответственно Дх=/=0.
76
Найдем абсолютную погрешность приближенного равенства
f (x)^ka-\-b. Она равна
\f{x)-ka-b\ = \k{a + ^ + b-ka-b\ = \k\\^x\.
При k = 0 имеем даже точное равенство. Если же й=#0, то
равенство f (x)^ka-\-b выполнено с любой наперед заданной
точностью /г, если взять IAxIC-^t.
|я|
Пусть функции f (х) и g (х) при х->а имеют пределы А и В
соответственно. Это означает, что приближенные равенства f
«А и g (х)^В выполняются с любой точностью при всех х, доста-
точно близких к а. Но если мы умеем находить приближенные
значения чисел Л и В с любой точностью, то с любой точностью
можно вычислить и значения A-f-B, АВ и -4- (при В=И=0).
Например, для вычисления суммы А + В с точностью h достаточно
вычислить каждое из слагаемых с точностью до и сложить
их. Поэтому справедливы следующие правила вычисления пре-
делов (их доказательство не входит в курс средней школы).
Пусть f (х)->А и g (х)-+В при х-^а. Тогда при х->а:
1)	f« + g(x)-M + B;
2)	f«g(x)->AS;
з> (при
S \х) D
Упражнения
254.	Найдите десятичные приближения по недостатку и по избыт-
ку с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001 для числа:
а) 0,2664; б) —1,27; в) 4-; г) ~4~-
6	7
255.	а) Проверьте, что числа 2,6 и 2,7 являются десятичными
приближениями числа -у/7 с точностью до 0,1 по недостатку и
избытку соответственно.
б) Проверьте, что числа 2,23 и 2,24 являются десятичны-
ми приближениями числа с точностью до 0,01 по не-
достатку и избытку соответственно.
256.	а) Известно, что х=0,5638413..., у = 1,3411825... . Найдите
пять первых десятичных знаков суммы х-\-у.
б) Известно, что х = 2,5475781... , //=1,3292160... . Най-
дите пять первых десятичных знаков разности х — у,
257. Найдите с точностью до 0,001:
а) Т+Т; б) т+^; в) л/З + л/5; г) V10-V2.
258. Свободно падающее тело за время t проходит расстояние
5=~-(/ измеряется в секундах, S — в метрах). Найдите
77
мгновенную скорость тела в момент времени: а) / = 2с;
б) /; в) в момен когда тело пройдет расстояние 1 м;
г) в момент, когда тело пройдет расстояние S (g = 9,8 м/с2).
259. Участок земли имеет форму прямоугольника со сторонами
15 и а. С какой точностью надо измерить сторону а пря-
моугольника, чтобы вычислить с точностью до 10“2 его:
а) периметр; б) площадь?
260. Укажите наибольшее 6, при котором для всех точек х=/= —2
261.
262.
263.
264.
265.
из о — окрестности точки (— 2) с точностью до h выполня-
ется приближенное равенство f(x)a*— 4 для ft=0,l; 0,01;
0,001, если: a) f(*) = 3x + 2; б) /(х)=^-=£.
В момент t после начала движения тело, брошенное вверх
с начальной скоростью v0, находится на высоте h (f) = u0/—
(vo измеряется в метрах в секунду, t — в секундах). Найдите
мгновенную скорость тела в момент времени: a) f=l с;
б) t\ в) в момент, когда тело достигнет наибольшей высоты;
г) в момент падения тела на землю.
Известно, что	a g(x)-> — 3 при х -> 2. Найдите
предел, к которому при х -> 2 стремится функция:
a) f(x)+g(x)- б) f(x)-g(x); в) — f(x); г) 2/(х)—3g(x).
Известно, что limf(x) = 3; limg(x)=—2. Найдите пре-
X-»-— 1	х-»- — 1
дел, к которому при х -> — 1 стремится функция:
а)	Ш; (2(хх. в) 2f(x)+3g(x) .	. 2f2 (x)-5g(x)
' gW б) ' W’ В) 3/(х)—g(x)’ Г) f(x)+2g« •
Пусть Пт/(х)=Л, limg(x) = B. Докажите, пользуясь пра-
х-^а	х-+а
вилами вычисления пределов, что:
a) lim Cf (х) = СД, где С — постоянная;
б)	lim (f (х) — g (х))=Л — В.
х-^а
Дана функция f (*)==	- Докажите, что при х->2
справедливы утверждения:
а) х3->23; Зх2-»3-22; б) х3-Зх2->23-3• 22;
в)	х2-2х + 7->22-2-24-7;	г) f (x)-»f (2).
266*. Дана дробно-рациональная функция f(x)=“^> где Р W и
q (х)— многочлены, причем p(x) = aox"-|-aix',_| + „.+
4-an_ix4-an; q (x) = boxm -\-b\Xm~l + ... + &m-ix + 6m.
Докажите, что при х->а справедливы утверждения:
а) х'->а' для любого натурального t", б) Сх'->Са', где С —
постоянная; t£N', в) р(х)->р(а); г) f (х)(а), если
q
78
15. Приращение функции
Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее
изменение. Например, согласно закону Гука сила упругости пру-
жины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изме-
нение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к
промежутку времени, за который было совершено это переме-
щение, и т. д.
При сравнении значения функции f в некоторой фикси-
рованной точке хо со значениями этой функции в различных
точках х, лежащих в окрестности хо, удобно выражать раз-
ность f(x) — f(xo) через разность х —Хо, пользуясь понятиями
«приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их
смысл.
Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой ок-
рестности фиксированной точки хо. Разность х —хо называется
приращением независимой переменной (или аргумента) в точке хо
и обозначается Дх. Таким образом,
Дх — X — Хо,
откуда следует, что х = хо + Дх.
Говорят также, что первоначальное значение хо «получило
приращение Дх>. Вследствие этого значение функции f изме-
нился на величину
f (х) — f (х0) = f (х0 + Дх)—f (хо).
Эта разность называется приращением функции f в точке
Хо, соответствующим приращению Дх, и обозначается символом
Д/ (читается «дельта эф»), т. е. по определению
Д/ = f (Хо + Дх) — f (хо),
откуда
f (х) = f (хо 4- Дх)=f (хо)+kf.
Обратите внимание на то, что при фиксированном хо при-
ращение Д/ есть функция от Дх.
Д/ называют также приращением зависимой переменной и
обозначают через Ду для функции y = f(x).
Пример I. Найдем приращения Дх и Д/ в точке хо, если
f(x) = x2, х0 = 2 и: а) х=1,9; б) х = 2,1.
а)	Дх=х—хо= 1,9 —2= — 0,1.
&f = f (] ,9)- f (2) = 1,92 - 22 = - 0,39.
б)	Дх = х—хо = 2,1—2 = 0,1.
(2,1)—f	(2) = 2,12 —22 = 0,41.
Пример 2. Дан куб с ребром а. Найдем погрешность
ДГ в вычислении объема этого куба, если при измерении длины
ребра была допущена погрешность Дх.
По определению приращения х = а + Дх, тогда
Д V = V (х) — V (а) = (а -f- Дх)3 — а3 = За2Дх + За (Дх)2+(Дх)3.
79
Геометрический смысл при-
ращений Дх и \у можно по-
нять, рассмотрев рисунок 66.
Прямую /, проходящую че-
рез любые две точки графика
функции f, называют секущей
к графику f. Угловой коэффи-
циент k секущей, проходящей
через точки (хо; уо) и (х; у\ равен
. Его удобно выразить че-
X — Xq
рез приращения Дх и Ду (см.
рис. 66):
£ = tg а=^-.
Дх
Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx-\-b равен
тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.
Упражнения
267.	Для функции у — 2x4-5 найдите: а) х и Ду, если хо = 3 и
Дх = 0,2; б) х и Ду, если хо = 4 и Дх = 0,06; в) Ду, если
Хо = 4 и Дх = 0,1; г) Ду, если хо = 7 и Дх = 0,01.
268.	Для функции у = х2 найдите приращения Дх и Ду, если:
а)	х = 2,5 и	хо = 2;	б) х = 3,9 и хо = 3,75;
в)	х = — 1,2	и хо — — 1;	г) х — — 2,7 и хо= — 2,5.
269.	Для функции у—— найдите Ду, если:
а)	х0 = 9, Дх = 0,06;	б) хо = 4,О2, Дх = 0,02;
в)	хо = 5,О6,	Дх=—0,3;	г) х0 = 6, Дх= — 0,02.
270.	Выразите приращение функции в точке хо через хо и Дх,
если:
а) у = 5 — Зх; б) y = 2^/x; в) f(x) = 3x2; г) f(x) = 2x —х2.
271.	Найдите /(х04-ДД f (хо4~ A*) —f (*о), ? ^Хо +	~ -х- , вел и:
a) f(x) = x2; б) f (х) = ах + Ь; в) f (х) = ах2 + Ьх + с;
г) f(x) = x3.
272.	Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
у = х2, проходящей через точки (х0; уо) и (хо + Л*’» Уо + &у\
если:
а) хо=1, Дх = 0,1;	б) хо=1, Дх=—0,1;
в) Хо—1, Дх = 0,001; г) Хо=1, Дх=—0,0001.
273.	Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
у = х3. проходящей через точки (хо; уо) и (хо4-Лх; у04"Ау),
если:
а) Хо —2, Дх = 0,1;	б) хо = 2, Дх = 0,01;
в) х0 = 2, Дх = 0,001; г) х0 = 2, Дх = 0,0001.
80
274.	а) Докажите признак возрастания: функция f возрастает
на промежутке / тогда и только тогда, когда для любых
двух значений х и х + Дх(Дх=#0) из промежутка / выпол-
нено условие
б) Сформулируйте и докажите аналогичный признак убы-
вания функции на промежутке /.
275*. Пользуясь признаками возрастания (убывания) функции
(см. предыдущее упражнение), найдите промежутки возра-
стания (убывания) функции:
a) f(x) = 2x4-3;	б) g(x) = 7 — 5х;
в) р(х)=х2;	г) g(x) = 3 — x2.
16. Понятие о производной.
Касательная к графику функции
Графики практически всех известных вам функций изобра-
жались в виде «гладких» кривых (см., например, график функции
у = х2— рис. 67, а). С другой стороны, график функции у=\х\
(рис. 68) не является «гладкой» кривой в окрестности точки
(0; 0). Проанализируем, как геометрически устроена «гладкая»
кривая, на примере графика функции у = х2 при значениях, близ-
ких к 1. Для этого составим таблицу ее значений с шагом 0,1
на промежутке [0,5; 1,5].
X	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5
х2	0,25	0,36	0,49	0,64	0,81	1,00	1,21	1,44	1,69	1,96	2,25
а затем с шагом 0,01 на промежутке [0,95; 1,05]:
X	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99	1,00	1,01	1,02	1,03	1,04	1,05
х2	0,9025	0,9216	0,9409	0,9604	0,9801	1,00	1,0201	1,0404	1,0609	1,0816	1,1025
2х — 1	0,9000	0,9200	0,9400	0,9600	0,9800	1,00	1,0200	1,0400	1,0600	1,0800	1,1000
Д	0,0025	0,0016	0,0009	0,0004	0,0001	0,00	0,0001	0,0004	0,0009	0,0016	0,0025
Увеличим единицу масштаба, принятую при построении графика
У = х2 (см. рис. 67, а), сначала в 10, а затем в 100 раз и, восполь-
зовавшись таблицами, построим на миллиметровой бумаге график
этой функции на отрезках [0,5; 1,5] (рис. 67,6) и [0,95; 1,05]
(рис. 67, в). Мы видим, что при значениях аргумента, близких
к 1, график практически не отличается от отрезка прямой
81
а)	б)	в)
Рис. 67

zy = 2x—1 (см. две нижние стро-
ки второй таблицы, где А —
абсолютная погрешность при-
ближенного равенства х*«
«2х —1). Так, на отрезке [0,95;
1,05] абсолютная погрешность
приближенного равенства х2«
«2х — 1 не превосходит 0,0025,
а на отрезке [0,995; 1,005] —
не превосходит 0,000025, т. е.
точки графика как бы «выст-
раиваются» вдоль прямой у = 2х —1. Действительно, А =
= |х2 —(2х—1)| =(х—I)2, при этом |х—1|<0,05 для всех х
из отрезка [0,95; 1,05] и |х— 11 <0,005 для всех х из отрезка
[0,995; 1,005].
К аналогичным выводам можно прийти, рассматривая другие
точки параболы у — х2. Представим себе, например, что график
этой функции в окрестности .начала координат изображен на
большом листе бумаги, причем отрезок [ — 0,001; 0,001] изобра-
жается отрезком длиной 2 м. Значение у в точках —0,001 и
0,001 равно 0,000001. В принятом масштабе длина отрезка
[0; 0,000001] равна 1 мм. Поэтому график функции у=х2, рас-
смотренный на этом промежутке, лежит в очень вытянутом
прямоугольнике с основанием 2 м и высотой 1 мм, т. е. практи-
чески не отличается от отрезка оси абсцисс.
Иначе дело обстоит с графиком функции у=\х\ в окрестности
точки 0: не существует прямой, приближающей график функции
у=|х| в окрестности точки 0 (и слева, и справа).
Возникает естественная задача. Допустим, что график функции
f (х) — гладкая кривая в точке х0, т. е. неограниченно при-
ближается к отрезку некоторой прямой I при уменьшении ок-
рестности точки хо, в которой рассматривается график. Опре-
делим точное положение /.
Координаты одной точки прямой I известны — это точка
(хо; f (хо)). Поэтому остается найти угловой коэффициент прямой /.
Способ его вычисления основан на следующих соображениях.
Рассмотрим в качестве примера функцию у = х2. Ее график
в малой окрестности точки хо близок к отрезку некоторой прямой I.
Поэтому угловые коэффициенты секущих, проходящих через
точки (хо; хо) и (х; х2), близки к угловому коэффициенту /, если х
мало отличается от хо.
Угловой коэффициент k (Ах) секущей (см. п. 15) равен
где Аг/ — приращение функции у=х2 в точке х0, соответствую-
щее приращению Ах. Например, при хо= 1 справедливо равенство
k (Дх)== 2Ax+ML == 2 + Дх (Дх #= 0).
'	' Л v	Ay	Av	'	'
Но 2 + Ах 2 при Ах 0 (действительно, абсолютная
83
погрешность приближенного равенства 2 4-Дх^2 равна |Дх| и
приближенное равенство выполняется с любой наперед заданной
точностью h при всех Дх, для которых | Дх| </z).
Следовательно, стремится к числу 2 при Дх -> О, т. е.
2 при Дх -> 0.
Дх
Таким образом, угловой коэффициент прямой /, проходя-
щей через точку (1; 1), равен 2. Уравнение этой прямой, как и
предполагалось выше, таково: у — 2х—\.
Прямую, с которой практически сливается график функции f
в некоторой окрестности точки хо, называют касательной к
графику функции f в точке (хо; f (хо)). А угловой коэффициент
этой касательной называют производной функции f в точке хо.
Мы показали таким образом, что производная функции
f (х) = х2 в точке 1 равна 2, а уравнение касательной к графику f
в этой точке есть у = 2х — 1.
Найдем теперь производную функции у — х2 в произвольной
точке х0.-
k (Дх)	=	= 2X0 + Дх.
4	7 Дх	Дх	Дх
Но 2хо + Дх -> 2хо при Дх -> 0. Поэтому -> 2хо при
Дх-> 0, т. е. производная функции у = х2 в произвольной точке
Хо равна 2х0. Коротко это записывают так:
(х2)' = 2х.
Упражнения
276.	Составьте таблицу значений функции у = х2 — х на отрезке
[0,5; 1,5] с шагом 0,1, а затем с шагом 0,01 на отрезке
[0,95; 1,05]. Пользуясь этими таблицами, постройте график
функции у=х2— х на миллиметровой бумаге. Постройте
на этом же чертеже график функции у = 2х — 1.
277.	Найдите значение производной функции у = 2х — 3 в точке:
а) 1; б) 3; в) а; г) х0.
278.	Найдите значение производной функции у=х2 — х в точке:
a) -j-; б) 1; в) —Ь	Г) Хо.
279.	Докажите, что значение производной линейной функции
y = kx-\-b в любой точке х равно угловому коэффициенту
прямой, являющейся графиком этой функции. Каково
уравнение касательной к графику функции y — kx-\-b, про-
ходящей через точку графика с абсциссой хо?
280.	Для функции у=-^-х2 вычислите значения в точке хо=-|-
при Дх, равном —, —, —, —, —, —.
84
281.	К какому числу стремится отношение для функции
при Дх -> 0 в точке:
а) х0=1; б) х0=-|-; в) х0 =—г) х0=х?
17. Определение производной.
Примеры вычисления производной
В предыдущем пункте вы познакомились с понятием произ-
водной и нашли производную функции у = х2. Дадим общее опре-
деление.
Определение. Производной функции f в точке хо назы-
вается число, к которому стремится отношение
А/	f(xo + Ax)-~f(xo)
Дх	Дх
при Дх, стремящемся к нулю.
Производная функции f в точке х0 обозначается f' (х0)
(читается: «эф штрих от хо»), т. е. по определению
f' (х0)= lim
Дл О
f (хо4-Лх)~f (Хр)
Дх
Функцию, имеющую производную в точке хо, называют
дифференцируемой в этой точке. Пусть D\ — множество точек, в
которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому
числу x£D\ число f' (х), получим функцию с областью определения
D\. Эта функция называется производной функции y—f(x) и
обозначается /'(х) (или просто у').
Нахождение производной данной функции f называется
дифференцированием.
Основной результат предыдущего пункта можно теперь сфор-
мулировать так:
функция х2 дифференцируема в любой точке х, и ее произ-
водная равна 2х, т. е.
(х2)' = 2х.
Приведем примеры вычисления производных некоторых
функций.
Пример 1. Найдем производную функции у = £х-|-С
(k и С — постоянные).
Пусть хо — произвольная точка. Найдем отношение
ДI/ (k (хо Ч- Ах) С)—(kx0 4~ С)  k
Дх	Дх	Дх
Следовательно,	ПРИ Д*О (см. пример 4 из п. 14)
и поэтому y' = k для любой точки хо. Итак,
(kx + С)' = k.
85
Из этой формулы, полагая й=0, а затем k = 1 и С=0, получа-
ем следствия.
1. Производная постоянной функции равна нулю:
С'=0.
2. Производная функции у=х равна 1:
х' = 1.
Пример 2. Докажем, что (х3)' = 3х2.
Выразим отношение приращения функции х3 в произвольной
точке хо к соответствующему приращению Дх:
= (^.+ ^)3-^ = 34Дх +	+ (Дх)» = 3xg + Зхо Дх + (ДХ)2.
При Дх О слагаемые (Дх)2 и Зх0Дх также стремятся к нулю.
Поэтому сумма ЗхоДх+(Дх)2 стремится к нулю при Дх ->• 0. Итак,
^•-►Зхо при Дх-► 0, т. е. (х3)' = Зх2.
Пример 3. Докажем, что (-^-) = —-^-(х#=0).
При, любом хо =/= 0
Аг/ / 1______1\ 1   х0 —х0 —Ах _____________1____
Ах \хо4-Лх	хо / Ах	Ах«хо (хо +Ах)	хо(хоЧ-Ах)
Если Дх -+ 0, то хо + Дх -*• хо, —J-r-► —. Поэтому
Хо "Г Ах Хо
-----►--------------=----V При Дх -> 0.
Хо (хо 4- Ах)	Хо • хо Хо
Итак, стремится к пределу —при Дх -> 0. Это означает,
Дх	Хо
ЧТ0(тУ=-у-
Во всех приведенных примерах функции имели производную
в каждой точке области определения. Далее мы увидим, что
многочлены, как и любые рациональные функции, а также
тригонометрические функции, дифференцируемы во всех точках
своей области определения. Не следует, однако, думать, что
вообще любая функция имеет производную в каждой внутренней
точке области определения. Приведем пример.
Пример 4. Найдем производную функции f (х)= |х|:
f ____ |v|_J сини
' ' I —х, если х<0.
Рассмотрим график этой функции (см. рис. 68). Для любого
х>0в некоторой окрестности точки х0>0 функция |х| равна х,
поэтому производная |х| в таких точках равна х', т. е. |х|' = 1
при положительных значениях х. Так как |х| = — х при х<0,
то |хГ = — 1 при отрицательных х. Как отмечалось в предыдущем
86
пункте, эта функция не имеет производной в точке 0. Итак,
{1 при х>0,
не существует при х = 0,
— 1 при х<0.
V Докажем (методом от противного), что функция |х| не
имеет производной в нуле.
Допустим, что эта функция имеет производную в точке 0, т. е.
стремится к некоторому пределу А при Дх 0. Тогда
Д/(0) л	-
приближенное равенство  --ду ж А верно с любой наперед задан-
ной точностью h при всех Дх, достаточно близких к 0. Выбирая
Л< 1, находим, что для таких Дх верно неравенство
I Дх I
В частности, при Дх>0
11 — Л| < 1, т. е. — 1<1 — Д < 1 или
Для Дх<0
I — 1 — А | < 1, т. е. — 1 < — 1 — А < 1 или
— 2<Д<0.
(О
(2)
Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше
допущение о существовании производной функции |х| в нуле
неверно. V
Упражнения
282. Пользуясь определением производной, найдите значения
производной функции:
a) h (x) = ax + b в точках 2 и 4; б) f (х)=— в точках 1 и 4.
283. Для функции f(x) = ?/x найдите:
а) Г(1); б) Г (4); в) /'(25); г) /' (х).
284*. Для функции g (х)=Дг найдите:
a) g'(l); 6) £Г'(—1)1 в) g'(2); г) g' (х).
Пользуясь определением, найдите производную функции
(285—286).	.
285. а) 3 —2х; б) -ух — 7; в) х24~2х; г) 3 —2х —х2.
286. а) ax2 + ftx + c; б) х3; в) х3— х;	г)
287*. Докажите, что:
а) (х4)' = 4х3;	б) ( —уХ4)' = -2х3;
в) (V*3)' =4-^;	г> (~7г) =— T7F-
87
18.	Правила вычисления производных
Существует несколько правил вычисления производных.
1)	Если функции и и v дифференцируемы в точке хо, то их
сумма дифференцируема в этой точке и
(u + v)' = и' -f-y' .*
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производ-
ных.
Для доказательства вычислим сначала приращение суммы
функций в рассматриваемой точке xq:
Д (и + у) = (и (х0 + Лх) + v (х0 + Лх)) — (и (х0) + v (х0)) =
= (и (хо + Дх)—-и (xo)) + (v (хо + Дх) — v (хо)) = Ди +Ду.
A (u + v)	\и , Аи
Следовательно, —!—-=-—Нт--
Ах Ах 1 Ах
Функции и и v дифференцируемы в точке хо, т. е. при Дх О
Ан , Аи	,
-к--и у 7-----v -
Ах	Ьх
Тогда	и,' + при Дх->0 (см. правила вычисления
пределов, п. 14), т. е. (u-|-y)' = u'4-y'.
Лемма. Если функция f дифференцируема в точке хо, то
Д/ О при &х 0, т. е. f (х0 + Дх)	f (хо) при Дх 0.
Действительно, Д/=	Дхf'(хо)-О==О при Дх->0, так как
-> f' (*о), а Дх -> 0.
Итак, Д/ 0 при Дх -> 0, т. е. для дифференцируемых функций
f (хо + Дх)	f (хо) при Дх -> 0.
2)	Если функции и и v дифференцируемы в точке хо, то их
произведение дифференцируемо в этой точке и
(uv}' — u'v-\-uv'
(значения функций и их производных вычисляются в точке хо).
▼ Для доказательства найдем сначала приращение произ-
ведения:
Д (uv) = и (х0 + Дх) v (х0 + Дх) — и (х0) v (х0) =
= (и (х0) + Ди) (v (хо) + Ду) — и (хо) V (хо) =
= и (х0) v (xq) + &u V (хо) + « (хо)-Ду + ku kv — u (х0) у (х0) =
= Ди у (хо) + и (хо) Ду + Ди Ду.
Отсюда а / ч а	а	а
A (uv) \и / \ .	/ ч Аи . А Аи
—= (Хо) + и (х0) -7- + Aw т” •
Ах Ах 4 7	4 7 Ах 1 Ах
* В этом пункте значения производных функций мнив точке хо обозна-
чаются для краткости через и' и и' соответственно.
88
В силу дифференцируемости функций и и и в точке х0 при
Дх О имеем:
Au , Au , А ~
--	> U , -т-> V , /XU -> 0.
Ах-----------Ах
Поэтому
А^— -> н'у (х0) +W (х0) У'4-0- v' — u'v (х0) + « (хо) v't
т. е. (uvY = u'v -\-uv', что и требовалось доказать. ▼
Следствие. Если функция и (х) дифференцируема в х0,
а С — постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и
(Си)' = Си'.
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за
знак производной.
Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из
п. 17 фактом: С' = 0.
(Си)' = С'и-\- Си' ==Q- w + Си' = Си'.
3)	Если функции и и v дифференцируемы в точке х0 и функция
v не равна нулю в этой точке, то частное также дифферен-
цируемо в Хо и
(и \ '_u'v — uv'
V /	1?
(значения функций и их производных вычисляются в точке хо).
▼ Выведем сначала формулу
/ 1 \'_ v'
\ V /
Для этого найдем приращение функции
д / 1 \ __	1_______1	___ у (х0) — и (хр4-Ах) __—Ди_____
\vj u(xo4-Ax) v (хо)	v (хо) v (хо + Ах)	v (х0) (у (х0) + Аи)
Отсюда
дА -г
Ах v (х0) (и (хо) + Ли)
При Дх0 имеем:	(в силУ дифференцируемости v
в точке хо), Ди -> 0 (по доказанной лемме).
Поэтому
где для краткости положено v (xo)=v в правых частях равенств.
89
Теперь, пользуясь правилам нахождения производной произве-
дения функций, находим производную частного:
(Н\'	(	1 I 1 V и' I ~v' u'v — uv' _
--) = \U ] = U +W‘( ] =- Vй------------2~ = — r—• ▼
V /	\ V /	V	\ V / U	V	V2	▼
Пример!. Применяя доказанные правила, а также формулы
п. 17, найдем производные функций:
р	°> ‘‘“Г V 7ТГ-
Решение.
а)	(х2-4)/=^'-(т)/=2х-(—?)=2х+?'>
V- (x2)'(*3+i)-*2(x3+iy _	_
' кт+т? (ТТЛ5
_ 2х(*3+1).-х2(Зх2+0) _ 2х*+2х-3х4 _ 2х-х4
(Р+iy	(ТЧПу _ (х3+1/ •
Формула для вычисления производной степенной функции
хл, где п — произвольное натуральное число, большее 1, такова:
(xy = nxrt~!.	(1)
Формула производной функции х2 уже известна:
(х2)' = 2х.
Пользуясь формулой дифференцирования произведения,
получаем:
(х3)' = (х2 • х)' = (х2)' • х + х2 (х)' = 2х • х + х2 • 1 =Зх2,
(х4)' = (х3*х)' = (х3у «x-f-x3 (х)' = 3х2-х + х?-1 = 4х3.
Заметим теперь, что
(х2)' = 2х2~1; (х3)'==Зх3'"1; (х4)' = 4х4“\ т. е.
для п = 2, 3 и 4 формула (1) доказана. Продолжая аналогичные
вычисления, убеждаемся в справедливости формулы (1) для
и = 5, 6 и т. д.
▼ Докажем, что формула (1) верна для любого натурального
п> 4.
Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что
(xk)' = kxk~l.
Покажем, что тогда формула (1) верна при п— А 4-1.
Действительно,
(хл+1)'= (х-х), = (хл)' x-\-xk (xy = kxk~l-x + xk = kxk + xk =
= (k+V)xk.
Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что
она верна и при и = 5, но тогда она верна и при и = 6, а следо-
вательно, и при п — 7 и т. д. до любого натурального п (строгое
90
доказательство основано на методе математической индукции —
см. упр. 678). V
Если n = 1 или п = 0, то при х=Н=0 эта формула также справед-
лива. Действительно, по формуле (1) при х=#=0
(х')' = 1 -х1-1 = 1 •х° = 1.
(х°)' = 0«хо_1 = 0,
что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже
известными из предыдущего пункта.
Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда
п= — т, где т — число натуральное. Применяя правило диф-
ференцирования частного и пользуясь уже доказанной для нату-
ральных т формулой (1), получаем при хУ=0:
_ (2_)'	,^5Г=
\ Л /	J	Л	Л
= — тх~т~1 =пхп~'.
Таким образом,
для любого целого п и любого х (х=^0 при л^1)
(хп)' = лх"_|.
П р и м е р 2. Найдем производные функции: а) х-5; б) Зх7—^-.
Решение.	х
а) (х-5)'= —5х-5-1 = —5х“6;
б)	(Зх7—=3 (х7)' —5 (х-3)' = 3-7«х6 —5 (—3) х~4 =
= 21х6+^..
Упражнения
Найдите производную функции (288—295).
288. а) х10; б) 2х7; в) х~5; г) Зх~3.
*»• а) ±•> 37г> У-
290. а) 8^/х; б) 3^/х^; в) —; г) —
291.	а) х7-Зх2-х + 5;	б) 2х,0-х8 + Зх3;
в) 2х6—Ь	Г) _*_-Зх4.
X	X
292.	а) 7х5 + 2^-, б)
о 2х
b)*-^-+^; г)*х^-2.—
х-V?
293.	a) l±fo. ;	б)	ч	Зх-2_.	х	1—7х
’ 3 —5х ’	1	5x-f-8 ’	’	4 —6х ’	’	I —9х	’
294.	а) (х + 1)^; б) (2х-1)-^; в) ; г) .
фс	ZX 1
91
295.	1 4-х2 *	4 4-х *	в)* (3 + x2)(2-Vr);
	г)* (2-4- + 7^)(7-л	:2)-
	Вычислите производные функции f в указанных точках	
	(296—297).	
296.	f(x) = x2 —Зх в точках: а) 0; б) — 1; в) х;	г) х4-1.
297.	f М =	- в точках: '	2 + х	
	а) 0; б) —3; в) х;	г) 21.
298.	Для функции f(x) = x —	4 д/х найдите:
	а) Г (4); б) Г (0,01);	В) Г (х)-, г) Г (2— х).
19. Производная сложной функции
1. Начнем с примера.
Пример 1. Пусть требуется вычислить по заданному значе-
нию х соответствующее значение z функции ft, заданной формулой
z = h (х) = ?/1 ~*2-
Для этого надо сначала вычислить по заданному х значение
y=f W=i— Л
а затем уже по этому у вычислить
z = g(y) = ^y-
Итак, функция f переводит х в у, а функция g переводит
у в z. Говорят, что ft есть сложная функция, составленная из
функций g и f, и пишут:
Чтобы вычислить значение сложной функции ft (х) — g (f (х))
в произвольной точке х, сначала вычисляют значение у «внут-
ренней» функции f в этой точке, а затем g (у).
Какова область определения сложной функции g (f (х))?
Это — множество всех тех х из области определения функции f,
для которых / (х) входит в область определения функции g.
В рассматриваемом примере областью определения функции f
является вся числовая прямая. Значение ft (х) определено, если
значение f (х) принадлежит области определения функции
g(y} = ^. Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство
i/^О, т. е. 1—х2^0, и, значит, область определения функции
g (f (*)) — это отрезок [ — 1; 1].
2. В предыдущих пунктах вы научились находить производ-
ные рациональных функций, в частности многочленов. Однако
задача вычисления производной функции f (х) = (2х + 3),0°, хотя и
сводится к нахождению производной многочлена, требует очень
92
большого объема работы: надо представить (2х4-3)100 в виде
многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной
суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач,
доказав правило вычисления производной сложной функции.
Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g
имеет производную в точке yo = f (хо), то сложная функция
h(x) = g (J (х)) также имеет производную в точке хо, причем
(1)
V Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при
Дх=/=0 рассмотреть дробь и установить, что -> g' (у0) Г (хо)
при Дх-»-0. Введем обозначения &y = f (хо + Дх)—f (х0) = Д/.
Тогда Д/г = h (хо + Дх) — h (хо) = g(f (х0 + Дх))—g(f (х0))=g(yo +
+ Ду) —g (уо)=Ag и Ду->0 при Дх->0, так как f дифферен-
цируема в точке хо. Далее доказательство мы проведем только для
таких функций f, у которых Д/#=0 в некоторой окрестности
точки хо. Тогда	S’ (yo)'f (*о) при Дх-> 0,
Дх Ду Дх Ду Дх	7 1 4 7 г
так как Г (*о) при Дх -> 0, а -> g' (у0) при &у -> 0, что
выполнено при Дх-> 0 (как это отмечалось выше). ▼
П р и м е р 2. Вернемся к поставленной выше задаче и найдем
производную функции h (х) = (2х + 3)100.
Функцию h можно представить в виде сложной функции
A(x) = g(f(x)), где g(*/) = i/T y = f (х) = 2х + 3.
Так как f' (х) = 2, g' (у) = 100//99,
h' (х) = 2 • 1 ОСН/99 = 200 (2х + 3)".
Пример 3. Найдем производную функции h (x) = n/3x2 +1.
Так как Л (х) = g (f (х)), где у = f (х) = Зх2 + 1, g (у}=ЧУ’
g' (//) = —~ и y' = f' (х) = 6х, получаем
г, Z / \	1	Z 6х	Зх
А М =----—*У =-----—	...- .
2\£	2V3x24-1	л/Зх24-1
Упражнения
Найдите область определения функции (299—300).
299. а) у = Л/9-х4; в) у=- 1	— ; 300. а) у — -ф.— -у/х;	б) y=Vxa-0,25; г) у=—4=^. •д/р—7 б) у=л/т+1;
В) у = —А	 ; V3 —х— 1	г) у= -yl —V1 —X
93
301.	Заданы функции f(x)=2 — х—х2; g(x)—^x-, р(х)=-^-^.
Задайте с помощью формул функции:
a)f(?W);	б) g(f(x));	в) f (р (х));
г) p(f(x)); д) g(p(xj); е) p \g(x)).
302.	Представьте функции, заданные в упражнениях 299, 300,
как сложные функции, составленные из более простых
функций.
303.	Найдите такую функцию /, что f(g(x))=x, если:
a) g(x)=x2, х>0; б) £(х) = Л£;	в) £(*)=4':
г) g(x) = 2x;	д) g(x)=3x + 2; е) g (х) = х2 + 1, х<0.
Найдите производную функции (304—307).	_5
304.	а) (2х —7)14;	б) (34-5х)10;	в)(7х-1)"3; г) (-ух + 2) .
305.	а) л/2х + 3; б) уЗ—|-х;
в) -\/5х — 8; г) -у/7 — 4х.
306.	a) V4x2-1; б) д/-|-х2 + 7;
в) л/9х2—16; г) л/7-Зх3.
307.	а) (5х-2)13-(Зх + 7)20; б) (Зх-1)|5 + (2х + 3)4;
в) -\j6x —- 8 ~\/4х2 — 3; г) ~^9 + 2х~~-\/0,5х2 — 2.
20.	Производные тригонометрических функций
1.	Докажем, что функция синус имеет производную в любой
точке и
(sin х)'= cos х.	(1)
Применяя формулу sin а — sin р = 2 cos sin , находим:
, Дх \ . Дж
А .	• / । а \ •	2coslxo4-— ) sin
A sin x   sin (x0 4~ Ax) — sin xp  _\	2 /	2  
Дх	Ax	Ax
. Ax
Sin T /	, Ax \
=_^-с°Цхо+-).
2
Для вывода формулы (1) достаточно показать, что:
. Ах
sin v
а)	——-----> 1 при Дх -> 0;
~2
б)	COS (хо ) -► cos Хо при Дх 0.
94
Опираясь на эти утверждения, полу-
чим формулу (1). Действительно, при
Дх О
Дх
(xo4-£)-*1-cos х0 =
Дх	\	2 /
= COS Хо.
V Утверждения а) и б), на которые мы
опирались выше, имеют наглядный гео-
метрический смысл.
а)	Отложим на единичной окружно-
сти от точки Ро в обе стороны дуги РоЛ и РоВ длины (рис. 69).
Тогда длина дуги АВ равна |Дх|, а длина хорды АВ равна
2 J sin у-1. При малых |Дх| длина хорды АВ практически не
отличается от длины стягиваемой ею дуги АВ. (Этим фактом
вы уже пользовались в курсе геометрии при выводе формулы
длины окружности. Действительно, при больших п верно, как
известно, приближенное равенство Рп~С, где Рп — периметр
правильного вписанного и-угольника, а С — длина окружности.
Значит, длина стороны такого многоугольника приближенно рав-
на длине дуги, которую эта сторона стягивает.) Следовательно,
АВ
МВ
Дх
1 при Дх -> 0.
б)	Рассматривая рисунок 69, замечаем, что длина хорды АВ
меньше длины дуги АВ, т. е.
2 sin
Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим
неравенством, находим:
| cos (хоЧ-—) —cos хо | = | — 2 sin sin	| С
< |2 sin I
I 41	2
Отсюда следует, что приближенное равенство cos (хо+4г)«
~cos хо выполняется с любой заданной точностью h при всех
I Дх| <2й, а это и означает, что cos (*o+^j~) -> cos Хо при Дх -► ().▼
П р и м е р. По формуле дифференцирования сложной функции
(sin (ах + b))' = a cos (ах + Ь).
2. Выведем формулы дифференцирования косинуса, тангенса и
котангенса:
95
(cos x)' = — sin x,
(tg xY =-----,
v b 7 COS X
(ctg x)' =-------Д-----
& 7 sin2 X
(2)
(3)
(4)
(Каждая из этих формул справедлива в любой точке области
определения соответствующей функции.)
Вывод формулы (2) основан на равенствах posx =
= sin —х), cos —x)=sin х и правиле дифференцирования
сложной функции:
(cos x)' = (sin —х)) = — cos 0^—х) = — sin х.
Чтобы доказать формулы (3) и (4), применим формулу для
нахождения производной частного и выведенные формулы произ-
водной синуса и косинуса:
,,	/ sin х V sin' х cos х — cos' х sin х	cos2x + sin2x	1
(tg x) = (---) =----------g-------—--------1---=—2—;
' b 7	\ cos X /	cos X	COS X	COS X
t .	у / cos x Y  cos' x sin x —sin' x cos x  
' ® 7	\ sin x /	sin2 x
__ — sin2x — cos2 x  	1
sin2 x	sin2 x ’
Упражнения
Найдите производную функции (308—314).
308.	a) 4~sin х; б) 4 cos х; в) sin x + cos х; г) tgx + ctgx.
309.	а) sin Зх;	б) sin (— 2х); в) 5 sin 2х;	г) ——sin Зх.
О
310.	a) cos 2х; б) cos( —Зх); в) —^-cos 4х; г) 3 cos (—^-х).
2	\ о /
311.	a) tg 2х;	6)tg(-3x); в) 3 tg р г) —pg 2х.
О	Z
312.	a) ctg 5х; б) — ctg( — 2х); в) 4ctg-£-; г) — 7 ctg Р
313.	a) sin 0-х+ л)’> б) sin —х);
в) cos 0гх*“л)’ г) cos
314.	a) sin ^2х+-у);	б) cos (-|-х— 1);
в) tg(3x —7);	г) ctg(-l-x + ^-).
/| ( 315^Найдите, в каких точках обращается в нуль производная
z, * функции:
96
a) f (x) —2 sin x — x\ 6) g (x) = cos x+~-x;
в) f (x) = sin x-f-cos x\ r) g(x) = tgx —2x.
Найдите производную функции (316—317).
316.	a)	x sin x; 6) x2 cos x;	B)	sin2 x;
r)	tg2 x; д) sin2 x 4-cos2 x; e)	tgx + ctgx.
317.	a)	cos 2x sin x + sin 2x cos x;	6)	sin 2t cos t — sin	t	cos	2/;
в)	cos 3/cos 2/4-sin 3/sin 2f;	r)	cos / cos 2/— sin	f	sin	2/.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ, ГЕОМЕТРИИ
И ФИЗИКЕ
21. Метод интервалов
1. В п. 14 отмечалось, что при вычислении значения функции f
в точке а часто приходится вычислять значение f не в самой
точке а, а в близкой к ней точке х. Именно с такой ситуацией
мы, как правило, сталкиваемся при проведении приближенных
вычислений.
Существуют, однако, функции, при вычислении значений
которых в точках х, близких к хо, мы получим значения, заметно
отличающиеся от f (х0). Рассмотрим, например, значения функции
/(х) = {х} ({х} — дробная часть числа х; график {х} изображен
на рис. 70) в точках, близких к точкам хо = п, где п — натураль-
ное число. Так, для точки хо = 2 справедливо равенство
f (2)={2}=0.
Мы не можем вычислить значение этой функции, например с
точностью до 0,5, вычисляя значение f в точках, близких к
Хо = 2: при отрицательных значениях Дх, близких к нулю,
{х} будет близка к 1 и абсолютная погрешность |{х} — {2}| будет
больше 0,5.
Этот пример показывает, что не всегда приближенное равен-
ство f(x)^f(a) выполняется с большой точностью, если х вы-
брано близко к а.
Функцию /, для которой приближенное равенство f(x)^f(a)
выполняется с любой, наперед заданной точностью для всех х,
достаточно близких к а, назы-
вают непрерывной в точке а.
Иными словами, функция f не-
прерывна в точке а, если ма-
лым изменениям аргумента в
этой точке отвечают малые из-
менения функции. Это же мож-
но выразить иначе: функция f
Рис. 70.
4 Заказ 216
97
непрерывна в точке а, если А/ -> О при Ах 0, или
f (*) f (а) ПРИ х а.	(1)
Функцию, непрерывную в каждой точке некоторого проме-
жутка 7, называют непрерывной на этом промежутке (промежу-
ток J называют промежутком непрерывности функции f). При
переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке
значение функции меняется мало, и график f на этом промежутке
представляет собой непрерывную линию, которую можно*
«нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги».
Как было показано в п. 18, функция, дифференцируемая в
точке а, непрерывна в этой точке. Все рациональные и тригоно-
метрические функции дифференцируемы во всех точках своих
областей определения. Следовательно, эти функции непрерывны в
каждой из этих точек и поэтому приближенные равенства
f(x)»f(a) выполняются с любой точностью для всех х, доста-
точно близких к а.
Например, из дифференцируемости функции f(x) = x2 на
всей прямой, а функции f (х)=-~ на промежутках (—оо;0) и
(0; оо) вытекает непрерывность этих функций на соответствую-
щих промежутках (рис. 71, 72).
Замечание. Обратное утверждение, однако, неверно.
Примером функции, непрерывной в точке нуль, но не дифферен-
цируемой в этой точке, является функция |х|. Непрерывность
этой функции в точке 0 очевидна: А|х| <Zh для любого /г>0,
если |х| </z. В п. 17 было показано, что функция |х| не диф-
ференцируема в точке 0.
2. Во многих случаях удобно пользоваться следующим
свойством непрерывных функций.
Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обра-
щается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный
знак.
* Так, во всяком случае, обстоит дело для непрерывных функций, изучае-
мых в школьном курсе.
98
Действительно, допустим, что
найдутся такие точки xi и х2
интервала (a; 6), что
f(xi)<0, a f (х2)>0.
Тогда непрерывная кривая, соединяющая точки А (хг, f (xi))
и В (х2; f (х2)), разделенные прямой у = 0, пересекает эту прямую
в некоторой точке хз данного интервала (рис. 73)*, т. е. f (х3) = 0.
Это противоречит условию: функция f не обращается на интервале
(а; Ь) в нуль.
На этом факте (его полное доказательство приводится в
курсах математического анализа) основан метод решения не-
равенства с одной переменной, называемый методом интервалов.
Опишем его.
Пусть функция f непрерывна на интервале J и обращается
в нуль в конечном числе точек этого интервала. Этими точками
J разбивается на интервалы, в каждом из которых f сохраняет
постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно
вычислить значение функции в какой-либо одной точке для каждо-
го такого интервала. Этот знак удобно отмечать на координатной
прямой.
Пример. Решим неравенство
х2-1
х2 —5x4-6
(2)
Функция
fW=
х2~ 1
х2 — 5х 4- 6
непрерывна в каждой точке своей области определения (это
дробно-рациональная функция) и обращается в нуль в точках
—-1 и 1. Область определения этой функции — вся числовая
прямая^ за исключением нулей знаменателя, т. е. точек 2 и 3.
Эти точки и точки — 1 и 1 разбивают область определения
f на 5 промежутков (рис. 74). На рисунке отмечен знак f в
каждом из соответствующих интервалов. Неравенство (2) не-
строгое, поэтому точки — 1 и 1 (нули функции f) включаются
в соответствующие промежутки. Рассматривая рисунок 74, можно
выписать ответ: решение неравенства — объединение промежут-
ков (— оо; — 1]; [1; 2) и (3; оо).
* Действительно, представим себе, что точки А и В находятся на разных
берегах реки, изображаемой интервалом (а; Ь). Ясно, что туристу, для того чтобы
попасть та А в В, надо где-то перейти реку.
Упражнения
318. Укажите промежутки непрерывности функции:
б)
г)
а) х3 —2х;
ч х2 —5x4-6 .
В' х3—8	’
х4 —2x4-5 .
х24- 1
х34-8
х2 4-2х
Решите методом интервалов неравенство (319—321).
319. а)	(х—1) (х —2) (х —3)<0; б) (х+1)(х-4)(х + 8)>0;
в)	(х-2)(х-4) п.	. (х-3)(х4-1) (х4-3)(х-1) " и’	4 (л-|-3)(х-4)
320. а)	х2 — 5х4-4^0;	б) х2 — Зх — 4<0;
в)	х4 — 10х5+ 9^0; г) х4 —5х2 —6>0.
321*. а)	(х2-1)(хз_1)(х4_1)>0; б) (х-Зт4^х~7)_<0.
1
х~ 1
г) “ 4 (х — 3) < 0.
22. Касательная к графику функции
1. С понятием касательной к графику вы уже знакомы (п. 16).
Дадим точное определение этого понятия.
Касательной к графику функции * f, дифференцируемой в
точке хо, называется прямая, проходящая через точку (хо; f (хо))
и имеющая угловой коэффициент f' (хо).
Как и в случае параболы, график функции f, дифферен-
цируемой в точке хо, в малой окрестности точки х0 практически
не отличается от отрезка касательной. Действительно, существо-
вание производной f' (хо) означает, что для малых Дх
^1’Ы.
т. е. угловой коэффициент секущей, проходящей через точки
(xo;f(xo)) и (хо + Дх; f (хо +Дх)), практически равен угловому
коэффициенту касательной (рис. 75). Это и означает, что точки
(х; f (х)) при малых Дх очень близки к касательной.
Условие -> f' (хо) при Дх -> 0 позволяет дать геометри-
ческое определение касательной. И касательная /, и
секущих проходят через точку А (хо; f (хо)) графика,
чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную
точку Л, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой
коэффициент секущей при Дх -> 0 стремится к угловому
коэффициенту касательной f' (хо). Поэтому говорят, что касатель-
ная есть предельное положение секущей при Дх -> 0.
Имея в виду геометрическое определение касательной, мы
получим, что существование производной функции f в точке хо
100
любая из
Для того
эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке
(хо; f (хо)) графика, причем угловой коэффициент этой касатель-
ной равен f' (хо). В этом состоит геометрический смысл произ-
водной.
Пусть нам задан график дифференцируемой функции. Для
практического построения касательной к графику f в точке
А (х0; f (х0)) надо, поворачивая линейку вокруг точки Л, найти
такое ее положение, при котором график возможно теснее
примыкает к краю линейки. Зафиксировав линейку в этом положе-
нии, проводим касательную.
Построим приблизительно касательные к графику функции f в
точках xi, Х2, хз (рис. 76) и отметим углы, которые образуют
эти касательные с осью абсцисс. По определению касательной
производная функции f в точке хо равна тангенсу угла наклона
касательной к оси абсцисс. Мы видим, что угол оц острый,
угол аз тупой, а прямая I параллельна оси Ох, т. е. угол между I
и осью абсцисс равен нулю. Тангенс острого угла положителен,
а тупого отрицателен, поэтому
Г (xi)>0, Г (х2) = 0; /' (х3)<0.
Построение касательных в отдельных точках позволяет более
точно строить эскизы графиков функций. Так, например, для
построения графика функции синус предварительно находим, что
в точках 0, у ил производная синуса равна 1, 0 и 1 соответ-
ственно. Построим прямые, проходящие
("5~; О и 0) с Угловыми коэффициентами
ственно (рис. 77). Остается вписать в по-
лученную трапецию, образованную этими
прямыми и осью Ох, график синуса так,
чтобы при х, равном 0, -у и л, он ка-
сался соответствующих прямых.
Отметим, что график синуса в доста-
точно большой окрестности нуля прак-
через точки (0; 0),
1, 0 и 1 соответ-
101
тически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы
по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1 см.
Тогда
sin 0,5 «0,479425, т. е. | sin 0,5 — 0,51 «0,02,
и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длины 0,2 мм.
Поэтому график функции y = sinx в интервале ( — 0,5; 0,5)
будет отклоняться от прямой (в вертикальном направлении)
у=х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине
проводимой линии.
2. Выведем теперь уравнение касательной к графику функции
f в точке А (х0; f (х0)).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом f' (хо) имеет вид:
У=Г (хо)-х + &.
Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная
проходит через точку А:
f (*о) — f' (хо) • хо + Ь, откуда b = f (х0) — f' (х0) • х0
и, значит, уравнение касательной таково:
или	y=f' (*о) x—f (х0) • Хо+f (Хо)
y=f M+f' (хо)(х—Хо).	(1)
Пример 1. Найдем уравнение касательной к графику функции
f (х)=х3 — 2х24- 1 в точке с абсциссой 2.
В этом примере хо = 2, f (хо)=/(2) = 23 — 2-22 +1 = 1> Г (х)=
= 3х2 —4х, f' (хо) = Г (2) = 3-22—4-2 = 4. Подставляя эти числа в
уравнение (1), получаем уравнение касательной:
у = 1 + 4 (х — 2), т. е. у = 4х — 7.
Пример 2. Выведем уравнение касательной к параболе
у=х2 в точке с абсциссой Хо.
Решение. Имеем:	у (х0) = х2,
у' (хо)=2хо.
Подставляя эти значения в
уравнение (1) касательной, по-
лучаем:
у=хо + 2хо (х — Хо),
т. е. у = 2хох—хо.
Например, при хо = 1 полу-
чаем касательную, имеющую
уравнение у=2х—1.
Найдем координаты точки Т
пересечения касательной к па-
раболе в точке А (хо; хо) с
осью Ох (рис. 78). Если (xg 0)—
координаты точки Т, то, по-
скольку Т принадлежит каса-
102
тельной (и, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению
касательной), имеем:
О ==2хо*1 — *о.
Если хо#=О, то *1=у-.
Полученный результат дает простой способ построения каса-
тельной к параболе в любой ее точке А (кроме вершины): до-
статочно соединить точку А с точкой Г, делящей отрезок оси Ох
с концами 0 и хо пополам: прямая АТ — искомая касательная.
3. Геометрический смысл производной позволяет дать нагляд-
ную иллюстрацию многих фактов математического анализа. При-
ведем пример.
Рассмотрим функцию f, дифференцируемую в каждой точке
некоторого промежутка; а и b — произвольные точки из этого про-
межутка. Проведем через точки A (a; f (а)) и В f (Ь)) прямую
АВ и рассмотрим прямую /, не имеющую общих точек с графиком
f и параллельную прямой АВ. Будем перемещать эту прямую /
по направлению к графику f так, чтобы она оставалась парал-
лельной АВ. Зафиксируем положение /о этой прямой в момент,
когда у нее появятся общие точки с графиком f. Из рисунка 79
видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка ка-
сания прямой /о с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки
через с. Тогда
Г (c) = tg а,
где а — угол между прямой /о и осью абсцисс. Но I||ДВ, поэтому
угол а равен углу наклона секущей АВ, т. е.
Мы показали, что на интервале (а; Ь) найдется такая точка с,
что (рис. 80)
103
Эта формула называется формулой Лагранжа*.
Упражнения
322.	Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ-
ции f в указанной точке:
a) f(x) = x2, Л1 ( —3; 9); б) f(x) = x\ М (-2; -8);
В) f(x)=4-^, М(0;0); г) f(x)= —М (1; -2).
323.	Под каким углом пересекаются с прямой Ох в каждой из
точек пересечения** следующие кривые (укажите тангенс
этого угла):
a) f (х) = х2 —3x4-2; б) f(x) = x3 —Зх?
324.	Под каким углом пересекается с прямой Оу кривая:
а) У=-^-(х — I)2: б) у=—зр?
325.	Напишите уравнение касательной к графику функции f в
точках с указанной абсциссой:
a) f(x) = x2, х— — 1, х = 0, х=1; б) у = х\ х = 2;
в)	х—— 1, х=1;	г) у = ~\[х, х — 4.
23. Формулы для приближенных вычислений
Рассмотрим такую задачу: вычислить приближенное значение
sin 1°, не пользуясь таблицами или калькулятором.
В курсе геометрии с помощью свойств прямоугольных тре-
угольников были найдены значения синусов углов в 30°, 45°, 60°
и т. д. Однако общего способа вычисления синусов углов, который
можно было бы применить в данном случае, мы пока не знаем.
Можно, правда, заметить, что угол в 1° близок к нулю, и, восполь-
зовавшись непрерывностью синуса (это вытекает из доказанной в
п. 20 дифференцируемости синуса в любой точке), взять в качестве
приближенного значение синуса в нуле:
sin l°^sin 0°— 0.
Найдя теперь значение sin 1°, получаем приближенное
равенство:
sin 1°«0,0174524.
Следовательно, полученное со ссылкой на непрерывность функ-
ции синус приближение довольно грубо — оно отличается от
истинного значения почти на 0,02.
* Лагранж Жозеф Луи (1736—1813)—французский математик и
механик.
** Углом между линиями L\ и в точке Р их пересечения называется
угол между касательными к ним в точке Р.
104
Существенно большую точность дает применение в этом случае
общей формулы для приближенного вычисления значения
функции f, дифференцируемой в хо. Цля вывода такой форму-
лы заметим, что при Дх, мало отличающихся от нуля, график
f (х) на малом отрезке [хо —-ft; xo + ft] примыкает к касательной к
графику f, проходящей через точку (х0; f (х0)). Поэтому значения
f (х) на этом отрезке мало отличаются от значений линейной
функции, графиком которой служит эта касательная. Уравнение
касательной известно:
у = f (хо) + f' (х0) (х — Хо).
Следовательно, при малых Ах значения f (х) приближенно
могут быть найдены по формуле
/ (х)«/(хо) + /'(х0) Дх.	(1)
Если точка хо такова, что значения f (х0) и (хо) нетрудно
вычислить, то формула (1) позволяет находить значения f (х) при
х, достаточно близких к хо. Так, в рассматриваемой выше
задаче естественно взять в качестве точки хо значение 0, поскольку
углы в 0° и 1° мало отличаются. Значения f (хо) и (х0)
известны: f (0) = 0; f' (x)=cos х, и поэтому /' (0)= 1. Переведя 1° в
радианную меру, находим, что 1 ° =у^-л< 0,0174533. По форму-
ле (1) получаем:
sin +	0174533.
1 o(J
Это значение отличается от найденного менее, чем на 0,000001,
т. е. абсолютная погрешность приближения sin 1 °^0,0174533
меньше 0,000001.
Выведем приближенные формулы
V1+Ax«1+4-Ax	(2)
и	2
(1 + Дх)л« 1 4-пДх, п — целое число.	(3)
Для вывода формулы (2) возьмем функцию /(х) = -д/х и вос-
пользуемся приближенной формулой (1) при х0=1 и х=хо +
+ Дх = 1 + Дх. Имеем: /(хо) = л/Т=1 и f' (х) = —, откуда
2 д/х
ff (xo)~f' (1)=—В силу формулы (1)
f (Х) = УГ+Д1« 1 +-i-Ax.
Пример 1. Вычислим приближенные значения: а) ->/1,06;
б) д/4,08. Воспользуемся формулой (2):
а)	7Гбб=л/Г+0,06« 1 +-L.0,06= 1,03;
б)	VW = 2VE02^2 (14~*0,02^=2,02.
105
Для вывода формулы. (3) рассмотрим, функцию f(x)=xn и
воспользуемся приближенной формулой (1) при хо = 1 и
х=хо + Дх = 1 + Дх. Имеем: f(x0)=ln=l и f' (х) = пхл-1, откуда
f' (xo) — f' (!) = «• Iя-1 =п. В силу формулы (1.)
f (х) = (1 + Дх)"« 1+пДх.
Пример 2. Вычислим приближенное значение (1,001)’°°.
Понятно, что непосредственное возведение числа 1,001 в сте-
пень 100 потребует очень больших вычислений. Существенно
упрощает дело применение формулы (3). Полагая в этой формуле
Дх = 0,001 и п=100, находим:
1,001,00 = (1 -f-О,ОО1)1оо« 1 + 100-0,001 = 1,10.
Значение 1,00110°, вычисленное с помощью калькулятора, равно
1,10512.
Пример 3. Вычислим приближенное значение .
Воспользуемся формулой (3) при п = —30:
77^ =(1 -0,003)-30 ~ 1 + (-30) (-0,003)= 1 +0,09 = 1,09.
Упражнения
326.	Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значе-
a) sin 0,02; б) tg 0,02; в) sin —0,041; г) cos Нг~+ 0,02J
327.	Вычислите с помощью формулы (2) приближенные значения:
а) 71,004; б) 70,994; в) пДб; г) ТТ5?84.
328.	Вычислите, пользуясь формулой (3), приближенные зна-
чения:
а) 1,002’°°; б) О,99820; в) 1.OOO3200; г) 2,99750.
Найдите приближенные значения (329—331).
329'	(1.ООЗ)20 ’	(O.998)40 ’	В) 0,9994 ’	’
330.	a) sin 31°; б) sin 29°;	в) cos 61°; г) cos 59°.
331.	a) tg31°; б) tg 29°; в) tg 44°; г) tg 46°.
24. Производная в физике и технике
1.	Напомним, как определялась скорость движения в курсе фи-
зики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка
движется по координатной прямой, причем задан закон движения,
т. е. координата х этой точки есть известная функция х (t) време-
ни t. За промежуток времени от to до to + At перемещение точки
равно х (to + Дt) — х (to) = Дх, а ее средняя скорость
(1)
106
При At<0 формула (1) также верна: перемещение равно
х (to) —х (to + At)=—Дх, а продолжительность промежутка вре-
мени равна —At.
Обычно характер движения бывает таким, что при малых
At средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с
большой степенью точности можно считать равномерным (см.
пример 3 п. 14). Другими словами, значение средней скорости
при At->-0 стремится к некоторому вполне определенному значе-
нию, которое и называют мгновенной скоростью v (to) этой точки
в момент времени to. Итак,
°ср (ДС=77-*У (М при At->0.
Но по определению производной
при Д/—>0.
Поэтому считают, что мгновенная скорость v (/) определена
(только) для любой дифференцируемой функции х (/), при этом
v(t)=x'(t),	(2)
Коротко говорят: производная от координаты, по времени
есть скорость, В этом состоит механический смысл производной.
Мгновенная скорость может принимать как положительные,
так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если ско-
рость на каком-либо промежутке времени (6; /2) положительна, то
точка движется в положительном направлении, т. е. координата
х (/) растет с течением времени, а если v (/) отрицательна, то
координата х (/) убывает.
▼ В более сложных случаях точка движется на плоскости или в
пространстве. Тогда скорость — векторная величина и с помощью
формулы (2) определяют каждую из координат вектора v ({).▼
Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость
v движения точки есть функция от времени /, т. е. v = v (f).
А производная этой функции называется ускорением движения:
a = v'(f).
Коротко говорят: производная от скорости по времени есть
ускорение.
Пример 1. Рассмотрим падение материальной точки. Если
координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное
положение материальной точки совпадает с 0, то, как известно
из физики,
Тогда скорость падения точки в момент времени t равна
107
а ускорение
a = (gt)' = g
есть величина постоянная.
Рассмотрим более общий случай.
Пример 2. Пусть зависимость от времени координаты то-
чки, движущейся по прямой, выражается формулой
х (/)=-|-/2 +vo/ + xo,
где а#=0, vo и хо — постоянные. Найдем скорость и ускорение
движения.
Решение. Найдем скорость этого движения:
v=x' (/) =	+ W + %о) —2 о = Clt 4” Vq.
Так как нам известна скорость движения как функция времени,
мы можем найти ускорение этого движения:
v' = -\-voY — а.
Мы видим, что ускорение при движении по квадратичному
закону постоянно и равно а. Если а>>0, то это равноускоренное
движение, если же а<0, то равнозамедленное. Отметим также,
что vo = v(O), а хо = х(О).
В главе III мы докажем, что если при движении по прямой
ускорение а постоянно, то движение происходит по квадратичному
закону:
х —	+ *о,
где vo — начальная скорость точки, а хо — начальная коор-
дината.
2.	Пусть y = f (х) — произвольная дифференцируемая функция.
Тогда мы можем рассмотреть движение материальной точки по
координатной прямой, совершаемое согласно закону х = /(/). Ме-
ханический смысл производной позволяет дать наглядную интер-
претацию теорем дифференциального исчисления.
Пример 3. Пусть f и g — две дифференцируемые функции.
Рассмотрим следующее (относительное) движение по прямой.
Дана подвижная система координат, связанная с поездом, начало
которой (кабина машиниста) движется относительно начала не-
подвижной системы координат (станции) по закону xi =/(/).
В подвижной системе координат (поезде) материальная точка со-
вершает движение по закону хг (t) = g (t). Тогда координата х этой
точки относительно неподвижной системы координат равна
х = Х14-Х2, а ее скорость равна v (/) = х' (/). С другой стороны, по
закону сложения скоростей
V (/) = V! (0 + V2 (0 = х( (0 + Х2 (/).
108
Итак, мы получили с помощью механического смысла произ-
водной известную формулу:
tf+gY=f'+g'-
Пример 4. Пусть материальная точка движется по коор-
динатной прямой согласно закону
Тогда ее средняя скорость на промежутке	равна
Мгновенная скорость v (Z) в точках промежутка [а; Ь] не может
быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то
момент /оЕ [а; Ь] мгновенная скорость равна средней, т. е. най-
дется такое [а; 6], что
= (3)
Итак, мы получили механическую интерпретацию формулы
Лагранжа.
С помощью производных функций, характеризующих физиче-
ские явления, задаются и другие физические величины. Например,
мощность (по определению) есть производная работы по времени.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 5. Пусть дан неоднородный стержень, причем из-
вестна масса т (Г) любого его куска длины I (I отсчитывается
от фиксированного конца стержня). Хотя стержень неоднороден,
естественно полагать, что плотность его небольшой части
(на участке от I до Z-f-AZ) примерно одна и та же, причем,
чем меньше А/, тем в меньших пределах на этом участке изменяет-
ся плотность. Поэтому за характеристику распределения плот-
ности стержня в зависимости от I принимают линейную плот-
ность d(l) = tn' (/).
С другими примерами применения производной в физике и
механике вы познакомитесь в ходе решения задач.
▼ Примерб. Выведем свойство параболы, имеющее приме-
нения в оптике и технике.
Поверхность, получающаяся при вращении параболы у —ах2
вокруг оси Оу, называется параболоидом вращения. Представим
себе, что внутренняя поверхность параболоида — зеркальная
поверхность и это параболическое зеркало освещается пучком
лучей света, параллельных оси Оу.
Рассмотрим сечение этого зеркала плоскостью а, проходящей
через ось Оу. Это сечение представляет собой такую же параболу
У—х2 (ось Ох выбираем в плоскости сечения, а=1). Согласно
законам оптики отраженный луч света будет лежать в плоскости а,
причем этот луч образует с касательной к параболе такой же
угол, как и падающий луч МА (рис. 81).
109
Мы докажем, что все лучи, параллель-
ные оси Оу, после отражения пересекутся
в одной точке оси Оу.
Обозначим через F точку пересечения
произвольного отраженного луча с осью
Оу. Прямая АТ — касательная к пара-
боле в точке А. Из законов отражения
света (см. рис. 81) сразу следует, что
Z_TAM = Z-.FAP. Но луч МА параллелен
оси Оу, поэтому /LFPA = Z. ТАМ (как
углы с соответственно параллельными
сторонами). Следовательно, zLFPA =
= Z_FAP, т. е. треугольник FPA равно-
бедренный и FA = FP. Точка А (х0; у0) ле-
жит на параболе, поэтому уо = х2. Уравнение касательной АТ
имеет вид: у = 2хох — х2, из него найдем ординату ур точки Р:
ур = 2хо-О — хо, т. е. уР=>— уо. Если ординату точки F обозна-
чим у, то FP = y + yo. Длина FА = ~\Jxq + (у о — yf, и поэтому
(вспомним, что FA = FP) верно равенство (у+уо)—х1 + (уь-~у) ,
т. е. у2 + 2ууо + уо={/о + ^о — %ууо+у2, откуда 4yyQ=yQ и (по-
скольку уо=/=О) У=^--
Это и означает, что все лучи, параллельные оси параболи-
ческого зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую
называют фокусом параболического зеркала (точку F называют
также фокусом параболы у = х2).
На этом свойстве основано устройство параболических теле-
скопов. Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде параллель-
ного пучка. Изготовив параболический телескоп и поместив в его
фокус фотопластинку, мы получаем возможность усилить световой
сигнал, идущий от звезды. Этот же принцип лежит в основе
создания параболических антенн, позволяющих усилить радио-
сигналы.
Если же поместить в фокусе параболического зеркала источник
света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие
от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий
пучок, параллельный оси зеркала. Этот факт находит применение
при изготовлении прожекторов и фонарей, различных проекторов,
зеркала которых изготавливают в форме параболоидов. V
Упражнения
332.	Человек удаляется со скоростью 8 км/ч от подножия башни
высотой 60 м. Какова скорость его удаления от вершины баш-
ни, когда он находится на расстоянии 80 м от ее основания?
333.	Вращение тела вокруг оси совершается по закону
<р (/)=»3/2—-4/+ 2.
по
Найдите угловую скорость <о (f) в произвольный момент вре-
мени t и при / = 4(ф — угол вращения в радианах, со —
скорость в радианах в секунду, t — время в секундах).
334.	Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачи-
вается на угол ср (f) = 4f — 0,3/2 Найдите: 1) угловую ско-
рость со (/) вращения маховика в момент времени t = 2c\
2) в какой момент времени маховик остановится (ср (/) —
угол в радианах, t — время в секундах).
335.	Пусть точка движется прямолинейно по закону
х(/) = 2/3 + / — 1.
Найдите ускорение в момент времени t. В какой момент
времени ускорение будет равно: а) 1 см/с2; б) 2 см/с2
(х (/) — перемещение в сантиметрах, t — время в секундах)?
336. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(/) =
= /2~Н~Н. Координата х измеряется в сантиметрах, время
t — в секундах. Найдите: а) действующую силу; б) кине-
тическую энергию Е тела через 2 с после начала движения.
337. Пусть известно, что для любой точки С стержня АВ длиной
20 см, отстоящей от точки А на расстоянии I см, масса
куска стержня АС в граммах определяется по формуле
т (/) = З/2 + 5/. Найдите линейную плотность стержня:
а) в середине отрезка АВ\ б) в конце В стержня.
338.	Найдите силу F, действующую на материальную точку с
массой т, движущуюся прямолинейно по закону
x(f) = 2/3 — t2 при f = 2.
339.	Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-^[t. Пока-
жите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.
/3
340. Пусть точка движется прямолинейно по закону х (/) = ——+
+ 3/2—-5 (время измеряется в секундах, координата — в мет-
рах). Найдите: а) момент времени f, когда ускорение
точки равно нулю; б) с какой скоростью движется в этот
момент точка.
341. По прямой движутся две материальные точки по законам
Xj(/) = 4/2 —3 и х2(/) = /3. В каком промежутке времени
скорость первой точки больше скорости второй точки?
§ 7. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
25. Признак возрастания (убывания) функции
В п. 4 вы видели, что одна из основных задач исследования
функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убыва-
ния. Такое исследование легко провести с помощью производной.
Сформулируем соответствующие утверждения.
111
Достаточный признак возрастания функ-
ции. Если f' (х) >0 в каждой точке интервала I, то функция
f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции.
Если f' (х) <0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает
на I.
Доказательство этих признаков проводится на основании фор-
мулы Лагранжа (см. п. 22). Возьмем два любых числа xi и хг из
интервала /. Пусть xi <хг. По формуле Лагранжа существует чис-
ло с6 (хг, хг), такое, что
7,^,т1к1)=г (С).	(1)
Число с принадлежит интервалу /, так как точки xi и хг принадле-
жат /. Если /'>0 на /, то f'(c)>0 и потому f(xi)<f(x2)— это
следует из формулы (1), так как хг — Xi>0. Этим доказано воз-
растание функции f на /. Если же f'<0 на /, то f' (с)<0 и потому
f (xi)>f (хг) — следует из формулы (1), так как хг—Xi>0. Этим
доказано убывание функции f на /.
▼ Наглядный смысл признаков ясен из таких физических рас-
суждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).
Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет
координату y — f (/). Тогда скорость этой точки в момент времени t
равна f'(t) (см. п. 24). Если f'(/)>0 в каждый момент времени
t промежутка /, то точка движется в положительном направлении
оси ординат, т. е.
если Л</г, то f (/г).
Это означает, что функция f возрастает на промежутке /. V
Пример 1. Найдем промежутки возрастания (убывания) и
построим график функции
f (х) —х —х3.
Решение. Данная функция определена на множестве всех
действительных чисел. Из равенства
/' (х)=1—Зх2
следует, что f' (х)>0, если 1 — Зх2>0. Решая это неравенство ме-
тодом интервалов (рис. 82), получйм, что f' (х)>>0 на интервале
(—~	) и, значит, на этом интервале f возрастает.
' уЗ уЗ '
Аналогично f' (х)<0 на интервалах ( —оо;--- ) и ( —; оо),
е '	7з/ \уз /
поэтому на этих интервалах f убывает.
Далее вычислим значения f
112
2
с / 1 \ J__________________/ 1
’''л/З'	т/З	'т/З
2
з
На координатной плоскости
отметим точки М ( —;-----)
\ 7з з<з'
и М (—; -А= ) и нарисуем гра-
'т/3 3 -\/3	/	1	1 \
фик функции, возрастающей на интервале ( ——) и убыва-
\ уЗ уЗ/
(рис-83)'
функция f примера 1, непрерывная
возрастает на отрезке I —р;
ющей на интервалах ( — оо;
Из рисунка 83 видно, что
в точках —и —
и убывает на промежутках оо; —и [^’> 00)•
Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из
концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присое-
динить к этому промежутку (как точки —— и — в примере 1).
7з V3
Мы примем этот факт без доказательства.
Замечание 2. Для решения неравенств f'>0 и f'<0
удобно пользоваться следующим приемом: точки, в которых
производная равна 0 или не существует, разбивают область опре-
деления функции f на промежутки, в каждом из которых f' со-
храняет постоянный знак. Его можно определить, вычислив зна-
чение f' в какой-нибудь точке промежутка. В случае, когда f'
непрерывна на этих промежутках, законность применения тако-
го приема следует из п. 21.
Пример! Найдем промежутки возрастания (убывания) и
построим график функции
f(x) = 2x+-^ .
Решение. Область определения данной функции — объеди-
нение промежутков ( — оо; 0) и (0; оо);
и f'(x) = o при х=1. Точки 0 и 1 разбивают область определения
функции f на три интервала (— оо;0), (0; 1) и (1; оо). Согласно
замечанию 2 в каждом из них f' сохраняет постоянный знак. Знак
производной в каждом из этих
интервалов отмечен на рисун-
ке 84.
Следовательно, данная функ-
ция возрастает на интервалах
113
0	1
Рис. 84.
оо;0) и (1; оо). Поскольку f не-
прерывна в точке 1, то эту точку
можно (в силу замечания 1) при-
соединить к промежутку, на котором
функция f возрастает. Окончательно
получаем, что f возрастает на про-
межутках (-— оо; 0) и [1; оо). Далее,
f' (х)<0 на интервале (0; 1) и по-
этому (с учетом замечания 1) f убы-
вает на промежутке (0; 1].
Точка 0 не входит в D (f)t од-
нако при стремлении х к 0 слагае-
мое р- неограниченно возрастает.
Поэтому и значения f неограниченно
возрастают. В точке 1 функция принимает значение 3.
Отметим теперь на координатной плоскости точку М (1; 3) и на-
рисуем график функции, возрастающей на промежутках (—- оо; 0)
и [1; оо) и убывающей на промежутке (0; 1] (рис. 85).
Упражнения
Определите промежутки возрастания и убывания функции
(342—345).
342. a) f(x) = 3x4-1; б)		g(x) = -4x4-2;	
	В) Цх)=±-х — 1; г) О	g	
343.	а) fW=-p б) Я(х) =		1_ Зх	; •)
344. 345.	г) (х) = 2————- . 7 х 7	0,5х— 1 a) v(x)=x2‘, в) У (х} = 5х2 — Зх+ 1; a) h (х) = х3 — 27х; в) h (х) = х3 + Зх2 — 9х + 1;		б) f(x)=(x—I)2; г) f (х) = х2 — 2x4-5- б) й (х)=х2 (х — 3); г) g (х) = 2-9x4-Зх2—х3
26. Критические точки функции,
ее максимумы и минимумы
Внутренние точки области определения функции, в которых ее
производная равна нулю или не существует, называются крити-
ческими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при
построении графика функции, поскольку только они могут быть
точками экстремума функции (рис. 86 и 87). Сформулируем со-
ответствующее утверждение — его называют теоремой Ферма*.
* Эта теорема была открыта французским математиком Пьером Ферма
(1601 — 1665).	F
114
Необходимый признак экстремума. Если точка
хо является точкой экстремума функции f и в этой точке суще-
ствует производная f', то она равна нулю: f' (хо)=0.
Достаточно доказать, что если /' (хо)=#О, то точка хо не может
быть точкой экстремума. По определению производной
(Хо)
X — Хо
с любой наперед заданной точностью h для всех х, достаточно
близких к хо- Если /' (хо)>О, то, взяв h<Zf'(хо), получим, что
f(x)~f (Хо)^ Q
X — ХО
для всех х, достаточно близких к хо. Теперь заметим, что если
х>хо, то f (x)>f (хо) и, значит, хо не является точкой максимума.
Взяв точку х такую, что х<хо, получим f (x)<Zf (хо), и, следова-
тельно, хо не может быть и точкой минимума f. Случай f' (хо)<О
разбирается аналогично.
Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое
“условие экстремума: из того, что производная в точке хо обраща-
ется в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция
имеет экстремум. Например, производная функции х3 обращается
в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет
(рис. 88).
До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых
производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки,
в которых производная не существует. В этих точках функция
также может иметь или не иметь экстремум.
Пример 1. Рассмотрим функцию /(х)=|х| (рис. 89). Эта
функция не имеет производной в 0. Значит, это критическая
точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.
Пример 2. Рассмотрим функцию f(x) = 2x+lx| (рис. 90).
По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстре-
115
мума. В этой точке функция не имеет и производной.
В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке
О производную, то f(x) — 2х также имеет производную в 0. Но
f (х) — 2х = |х|, а функция |х| в точке 0 не дифференцируема
(см. п. 17), т. е. мы пришли к противоречию. Значит, функция
f в точке 0 производной не имеет.
Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстре-
мумов функции требуется в первую очередь найти ее критические
точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том,
действительно ли данная критическая точка есть точка экстре-
мума, требует дополнительного исследования. При этом часто по-
могают такие достаточные условия существования экстремума в
точке.
Признак максимума функции. Если функция f не-
прерывна в точке xq, a f' (х) >0 на интервале (а; хо) и f' (х) <0
на интервале (хо; Ь), то точка хо является точкой максимума
функции f.
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого при-
знака: если в точке хо производная меняет знак с плюса на минус,
то хо есть точка максимума.
Доказательство. Производная f' > 0 на интервале (а; хо),
а функция f непрерывна в точке хо, следовательно (см. п. 25),
функция f возрастает на промежутке (а; хо] и потому f (x)<f(xo)
для всех х из интервала (а; хо).
На промежутке [хо; Ь) функция f убывает (доказательство ана-
логично) и потому f (x)<f (хо) для всех х из интервала (хо; Ь).
Итак, f (x)<f (хо) для всех х#=хо из интервала (а; &), т. е. хо
есть точка максимума функции f.
▼ Признак максимума имеет простой механический смысл. Мы
можем считать, что f (х) — это координата точки, движущейся по
оси Оу, в момент времени х, a f' (х) — скорость точки в этот момент.
По условию скорость точки за промежуток времени, предшеству-
ющий хо, положительна. Поэтому в течение этого времени точка
двигается в положительном направлении, она поднимается по оси
Оу до точки f (хо), т. е. f (x)<Zf (хо) при х<хо. В момент хо точка
на мгновение останавливается (ее скорость в этот момент равна
нулю или не определена), а затем начинает опускаться по оси
(по условию скорость f' (х) меньше нуля при х>хо), т. е.
116
y=Jx-x-
Рис. 91.
f (x)<f (x0). Итак, в окрестности хо имеем
f (x) < f (хо)- Точка х0 — точка макси-
мума.- ▼
Признак минимума функ-
ции. Если функция f непрерывна в точке
Xq, a f' (х)<0 на интервале (а; х0) и
f'(х)>0 на интервале (хо; £), то точка
хо является точкой минимума функции f.
Удобно пользоваться упрощенной фор-
мулировкой этого признака: если в точ-
ке хо производная меняет знак с минуса на
плюс, то хо есть точка минимума.
Доказательство этого признака аналогично доказательству
признака максимума (полезно провести его самостоятельно).
Пример 3. Найдем точки экстремума функции f (х) = 3х —х3.
Производная этой функции, равная 3 —Зх2, определена во
всех точках и обращается в нуль в точках — 1 и +1. В точке — 1
производная меняет знак с минуса на плюс (/'<0 при х<-1 и
f'>0 при — 1 <х< 1). В точке 4-1 производная меняет знак
с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума,
получаем, что точка —1 является точкой минимума, а точка
4-1 —точкой максимума функции f. График функции изображен
на рисунке 91.
Упражнения
Найдите критические точки приведенных ниже функций,
выяснив, какие из них являются точками максимума, а
какие — точками минимума (346—348).
346.	a) f(x) = 2x —7; . б) f (x)=-L —j-x;
в) g(x)=-|-x2 —Зх; г) g (х) = 4 — 2х + 7х2.
347.	a) f(x)=f+f; б) f(x)=f+f;
в) g(x) = x2—~-х4; г) g (х) = 2х34-бх2 —18x4-120.
348.	а) у(х) = -у^; б) v (х)=-д/*2 + И
в)*
г)*
—	1 при х^ — 1,
х при — 1 <х< 1,
1 при х> 1;
—	2х при х^ —2,
х2 при —2<х<2,
6 —х при х^2.
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстрему-
мы (349—350).
117
349. a)	f (x) — 4x2 — 6x;	6)	g (x)=-|-x2 — 3x;
в)	f (х)=х34-Зх2;	r)	g(x) = l +x — x3.
350. a)	»W = 2i=l;	6)„W=i=l..
в)	uW=!i=a₽=4;	r) bW=-J£-,.
Л	Л	Л j
351.
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстрему
мы и постройте ее график:
а) f (х)=6х5+ 15х4 + 10х3;
в) fW=ra;
X -f-o
б) g(x)=x4 (х—12)2;
г)
27. Примеры применения производной
к исследованию функций
Вы уже знаете (п. 4), что построение графика функции лучше
начинать с ее исследования, которое состоит в том, что для дан-
ной функции f: 1) находят ее область определения; 2) выясняют,
является ли функция f четной или нечетной, периодической. Далее
находят: 3) точки пересечения графика f с осями координат;
4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки возрастания
и убывания; 6) точки экстремума и значения f в этих точках.
На основании такого исследования строится график функции.
Исследование функций на возрастание (убывание) и на экстре-
мум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала
находят производную функции f и ее критические точки, а затем
выясняют, какие из них являются точками экстремума.
Пример 1. Исследуем функцию
f (х) = Зх5 - 5х3 4- 2
и построим ее график.
Проведем исследование по указанной схеме.
1) О (/)=/?, так как f — многочлен.
2) Функция f не является ни четной, ни нечетной (докажите
это самостоятельно).
3),4) График f пересекается с осью ординат в точке
(0; f (0)), т. е. в точке (0; 2). Чтобы найти точки пересечения гра-
фика f с осью абсцисс, надо решить уравнение Зх5 — 5х34-2 = 0,
один из корней которого (х = 1) легко находится. Другие корни
(если они есть) могут быть найдены только приближенно. По-
этому для данной функции остальные точки пересечения
графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства мы на-
ходить не будем (как уже отмечалось в п. 4, приведенная схема
имеет примерный характер).
5) ,6) Найдем производную функции f:
Г (х) = 15х4 - 15х2 = 15х2 (х2 - 1).
118
Заметим, что f'(x)=O, если х2 (х2 — 1) —0, т. е. при значениях
аргумента, равных 0, — 1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три
критические точки.
Составляем таблицу:
X	(—оо; — 1)	— 1	(-1; о)	0	(0; 1)	1	(>; °0)
f'W	+	0	—	0	—	0	+
		4		2		0	
		max				min	
В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания
критические точки функции и ограниченные ими промежутки.
Во второй строке отмечены знаки производной на этих проме-
жутках. (На каждом таком интервале знак производной не
меняется, его можно найти, определив знак производной в какой-
либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке запи-
саны выводы о ходе изменения данной функции: «	» — возраста-
ет, « х » — убывает, а в четвертой — о виде критических точек
(пп. 5 и 6 приведенной выше схемы). Критическая точка 0 функции
/ не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке
таблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения
функции на промежутке между критическими точками часто мож-
но сделать, сравнив значения функции на концах этого промежут-
ка (вместо определения знака производной). Например,
f (0)<f ( — 1) (2<4), поэтому на промежутке (—1;0) функция
убывает (и, следовательно, f'^0 на этом промежутке).
Строим график функции (рис. 92). Это построение удобно
вести по промежуткам, которые указаны в таблице. Например,
в таблице указано, что f убывает на интервале (0; 1). Функция f
непрерывна в точках 0 и 1 (так как она непрерывна всюду),
следовательно, она убывает на отрезке [0; Г]. Поэтому рисуем
график убывающим на отрезке [0; 1] от значения f (0) = 2 до зна-
чения f (1) = 0. При этом касательные к графику в точках 0, ±1
должны быть горизонтальными — во вто-
рой строке таблицы сказано, что в этих
точках производная равна нулю. Анало-
гично строится график и на остальных
промежутках.
Пример 2. Исследуем функцию си-
нус и построим ее график. Эта функция
определена и непрерывна на всей число-
вой прямой. Но так как она периодиче-
ская с периодом 2л и нечетная, доста-
Рис. 92.
119
Рис. 93.
точно провести ее исследование на отрез-
ке [0; л].
Производная этой функции (sin'x =
= cos х) определена всюду и обращается в
нуль на отрезке [0; л] в точке Эта
точка является критической. Заполняем
таблицу:
X	0	(ч)	л “Г		л
sin' х	1	+	0	—	— 1
sin х	0		1		0
			max		
Пользуясь проведенным исследованием, строим график функ-
ции j/ = sinx на отрезке [0; л]. На рисунке 93 в точках с
абсциссами 0, у и л проведены касательные с угловыми коэффи-
циентами 1, 0 и — 1 соответственно (см. табл.) для более точного
построения графика. Ввиду того что функция синус нечетна
и имеет период 2л, ее график симметричен относительно точки О
и переходит в себя при параллельных переносах вдоль оси
Ох на расстояние 2л. График функции r/ = sin х на всей области
определения R приведен на рисунке 50.
Пример 3. Найдем число корней уравнения
2х3 —Зх2—12х—11 =0.
Рассмотрим функцию / (х) = 2х3 —Зх2—12х—11. Ее область
определения D (/) = (—оо; оо). Для отыскания критических
точек функции f найдем ее производную: f' (х) = 6х — 6х—12.
Эта производная обращается в нуль в точках х= — 1 и х = 2.
Заполним таблицу:
X	(— —1)	-1	(-1:2)	2	(2; оо)
rw	+	0	—	0	+
	X	— 4	•X	-31	/
		max		min	
120
На промежутке (—оо; —1] функция возрастает от -оо до
— 4, поэтому на этом промежутке уравнение f (х) = 0 корней не
имеет; на промежутке [— 1; 2] уравнение также не имеет кор-
ней, так как на этом промежутке f убывает от —4 до —31;
наконец, на промежутке [2; оо) функция / возрастает от —31
до бесконечности, поэтому на этом промежутке уравнение
^(х) = 0 имеет в точности один корень. Итак, уравнение
2х3 —Зх2—12х—11 =0
имеет один корень (и этот корень принадлежит интервалу
(2; оо))-
Упражнения
Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график
(352—353).
352.	a) f (х) — х2 — 2x4-8;	б) f (х)= — х24~5х — 4;
в) g (х) = х24-*4-1;	г) g (х) = х2 — 6x4-9.
353.	a) /(x)=-ix2 + 3x-4,5; б) f (х) = -1-Х2+х + 1.-,
в) g(x)=-4-f-f; r)£W=4+^+f.
Исследуйте функцию и постройте ее график (354—356).
354.	a)	f (х)= —х34-3х —2;	б)	f (х) = Зх2-х3;
в)	g(x) = x34-3x-|-2;	г)	g(x)=-|-x34-x2 — Зх.
355.	a)	f (х) = х4-2х3 + 3;	б)	f (х) = х4-2х2-3;
в)	g (х) = 3х5 — 5х3;	г)	g (х) = 9х5 + Зх3.
3S6.	а) /(х)=р~;	6)fW = ^>;
В)	g (х)=х л/2 —X ;	г) g (х) = х2 Vl +х .
Решите квадратичное неравенство (357—358).
357.	а)	2-f-x —х2>0;	б)	х2 — 2х4-3>0;
в)	х24-8х4-16<0;	г)	-х24-6х-9>0.
358.	а)	2х24-6х4-5>0;	б)	6х2+х-2<0;
в)	0,Зх24-х4-0,3<0;	г)	--i-x24-|'x-1>°-
359.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) f (х) = 1 — 1,5х — Зх2 — 2,5х3; б) g(x) = x3— 6х24-15х — 2;
в)Л(х) —х5—i-x3 —х —2;	г) g-(x)=^- ——6x4-1.
О	О О
Исследуйте тригонометрическую функцию и постройте ее
график (360—361).
360.	a) f (x)=-i-sin Зх; б) g (х) = 2 cos ;
о	2
121
в) h (х) = —tg (4x4-л);
361. a) f (x) = sin x + cos x;
в) f (x) = sin2x+-sin x;
r) 3(x)=-|-sin (2x—0.
6) g (x) = sin x — tg x;
r) S (x)== cos2x — cos x.
362. а) Докажите, что функция f (x) = 3 cos ^x+~j+4x воз-
растает на всей числовой прямой.
б) Докажите, что функция f (х) = sin х —2х+-~- убывает на
всей числовой прямой.
28. Наибольшее и наименьшее значения функции
Решение многих практических задач часто сводится к на-
хождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной
на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема
Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке
[а; 6] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наимень-
шее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; &], в которых
f принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ь] значения.
Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке
[а; 6], но имеет на этом отрезке лишь конечное число критичес-
ких точек, укажем правило отыскания наибольшего и наимень-
шего значений f.
Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; &] крити-
ческих точек. Тогда (см. п. 25) она возрастает или убывает на
этом отрезке (рис. 94, 95) и, значит, наибольшее и наименьшее зна-
чения функции f на отрезке [а; Ь] — это значения f в концах
а и Ь.
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; Ь] конечное число
критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; Ь] на конеч-
ное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэто-
му (см. предыдущий абзац) наибольшее и наименьшее значения
функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в
критических точках функции или в точках а и Ь.
Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значе-
ния функции, имеющей на отрезке конечное число критических
точек, нужно вычислить значения функции во всех критических
точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее.
122
Рис. 96.
Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения
функции у (х)=х3—1,5х2 —6х +1 на отрезке [ — 2; 0].
Решение. Сначала найдем критические точки. Так как
производная у' = 3х2 —Зх —6 определена для любого х, остается
решить уравнение у' = 0. Решая его, находим: у' = 0 при х= — 1
и х=2.
Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел
t/(—2)= —1, у (— 1) —4,5 и у (0)=1 (критическая точка х = 2 не
принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее
значение достигается в точке — 2 и равно — 1, а наибольшее —
в точке — 1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:
max у (х)=у (- 1) = 4,5; min у (х)=у (-2)= - 1.
[-2; 0]	[-2; 0]
Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо
изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 96)
квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна
быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максималь-
ным?
Решение. Обозначим через х длину стороны основания
коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны
-|~(а—х), а объем коробки равен
-у-(а — х)х2.
По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0<х<а,
т. е. принадлежит интервалу (0; а). Таким образом, нам надо
найти наибольшее значение функции
V (х)=^-(а —х) х2
123
на интервале (0; а). Но правило отыскания наименьших и наи-
больших значений функции было сформулировано для отрезка.
Функция V (х) непрерывна на всей числовой прямой, поэтому
будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; а] и по-
том сделаем выводы для решаемой нами задачи. Находим крити-
ческие точки функции:
V' (х) = ах—|-х2, ах—~х2 = 0, т. е. х —0 или х = -|-а,
Так как V (0) = 0 и V (а) = 0, свое наибольшее на отрезке значение
о
функция V достигает при х=—а, т. е.
О
max V (х)= V №~a}=^a3-
Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а],
следовательно, и внутри интервала (0; а). Итак, сторона осно-
вания коробки должна быть -|-а.
▼ ПримерЗ. Пусть материальная точка движется из точки
М нижней полуплоскости в точку N верхней полуплоскости
(рис. 97) так, что в нижней полуплоскости ее скорость постоянна
и равна vi, а в верхней — ц2. По какому пути должна двигаться
точка, чтобы на весь путь затратить минимум времени?
Решение. Если vi = ц2, то искомый путь есть отрезок MN.
Если же Ц1#=и2, то точка должна двигаться по ломаной M0N,
причем положение точки О следует определить так, чтобы на путь
M0N было затрачено наименьшее время. Пусть отрезок МО
точка проходит за время Л, a ON — за время Z2. Проведем
отрезки ММ' .LM'N', NN' _LM'N' и положим
х=М'О, h{=MM\ hz — NN', l = M'N'.
Тогда путь MON будет пройден за время
t (х)=Л + h=^+
VI V2	Vi	V2
По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству О^х^С/,
т. е. принадлежит отрезку [0; /]. На этом отрезке надо найти
наименьшее значение функции t (х). Ищем критические точки
функции:
/ ' /	, Х_________1 ,	1~~Х ...  Х_______1 — Х ,
k } V\	^2 + (/_X)^ V\-MO V2-ON ’
t' (х) = 0, если т^:4=йгг-=—, т. путь точки должен быть таким,
4 7	МО ON V2
что (см. рис. 97)
124
sin a _Vi	/1 \
sin p V2 ’
Покажем, что критическая точ-
ка только одна. Для этого вы-
числим производную функции f(x):
(/' fx\y =___—।----------h2---------,
Vi 4-х2)3	—x)2)3
Она положительна, следователь-
но, функция t' (х) возрастает и
может иметь только один нуль в
точке хо. Так как
Рис. 97.
Г (0)
—~7—<Г°'
а Г (/)
t>i -л/Л?-Н2 >
то V <0 на (0; хо) и /'>0 на (хо; /), т. е. производная в точке хо
меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.
Фактически найти точку хо можно только приближенно.
В курсе физики вы узнаете, что именно по закону (1) пре-
ломляются лучи света при переходе из одной среды в другую
(угол а называется углом падения, а угол р — углом преломле-
ния). Таким образом, луч света распространяется по такому пути,
при котором время его распространения будет наименьшим.
В этом состоит известный из физики принцип Ферма. ▼
Упражнения
363.	Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
f (х)==х4-8х2-9
на отрезке: а) [—1; 1]; б) [0; 3].
364.	Материальная точка совершает прямолинейное движение по
закону s (/) = 5/-|-2/2—|-/3, где s (/) — путь в метрах и
t — время в секундах. В какой момент времени скорость
движения точки будет наибольшей и какова величина этой
наибольшей скорости?
365.	Покажите, что из всех равнобедренных треугольников, впи-
санных в данный круг, наибольшую площадь имеет равно-
сторонний треугольник.
366.	Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с за-
данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобед-
ренный треугольник.
367.	Данное положительное число разложите на два слагаемых
так, чтобы их произведение было наибольшим.
125
368.	Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллеле-
пипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л
жидкости. При каких размерах на его изготовление уйдет
наименьшее количество материала?
369.	Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей
точки шоссе. С буровой надо направить курьера в насе-
ленный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомяну-
той точки шоссе (считаем шоссе прямолинейным). Скорость
курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч.
К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее
время достичь населенного пункта?
29. Гармонические колебания
Производную от производной f' функции f называют второй
производной функции f и обозначают f" (читается: «эф два
штриха»). Например,
sin'x = cosx; sin" x = cos'x= —sin х,
cos' x= —sin x\ cos" x= —sin' x = —cos x.	(1)
Вторая производная помогает более подробно исследовать по-
ведение функции. Первая производная есть скорость изменения
функции, а вторая производная есть скорость изменения этой
скорости.
Анализируя формулы (1), можно заметить, что вторые произ-
водные функций sin и cos отличаются от самих функций только
знаком. Иначе говоря, обе эти функции удовлетворяют при всех
значениях аргумента t уравнению
В физике, в частности в механике, большую роль играют
функции f, которые удовлетворяют уравнению
Г(/)=-ш2Н/),	(2)
где со — положительная постоянная.
Разберем задачу из механики, приводящую к уравнению та-
кого вида. Пусть к шарику массы пг прикреплена расположен-
ная горизонтально пружина, другой конец которой закреплен
(рис. 98, а), и пусть в состоянии, равновесия координата х центра
шарика равна нулю. При перемещении центра в точку с коорди-
натой х#=0 возникает сила, стремящаяся вернуть шарик в по-
ложение равновесия. Согласно закону Гука эта сила пропорцио-
нальна перемещению х, т. е.
F — — kx,
где k — положительная константа (рис. 98, б). По второму закону
Ньютона F — та, поэтому, учитывая, что при движении по прямой
ускорение есть вторая производная от координаты, имеем:
та (t) = mx" (t) = F == — kx (/), т. е.
х"(0=-^-х(С.
tn
Иначе говоря, движение центра шарика под действием сил
упругости подчинено уравнению (2) при
Говорят, что физическая величина, изменяющаяся во времени
в соответствии с уравнением (2), совершает гармоническое коле-
бание. Само уравнение (2) называют дифференциальным уравне-
нием гармонических колебаний.
Проверим, что при любых постоянных А, со и ср функция
f (/) = A cos (<о/ + ср)	(3)
есть решение уравнения (2). В самом деле, пользуясь формулой
для производной сложной функции, получаем:
Г (0== —Лео sin (tot + ф),
f" (/) = -Л о2 cos (<0/ + ф)= -to2f (/).
Верно и обратное: любое решение уравнения (2) есть функция
вида (3), причем обычно выбирают Л^О, <р£[0; 2л]. Доказа-
тельство этого выходит за рамки школьного курса.
$сно, что максимальное значение модуля функции f, задавае-
мой формулой (3), равно Л. Константу Л называют амплитудой
колебания, константу <о — угловой частотой колебания, а кон-
станту ф — начальной фазой колебания.
Графики гармонических колебаний — синусоиды. Например,
на рисунках 99, 1Q0 изображены графики гармонических коле-
бании £/=1,5 cos	) и у = 3 cos (2x-f-4).
Подробнее с гармоническими колебаниями вы познакомитесь в
курсе физики X класса.
Рис. 99.
127
Упражнения
370.	Проверьте, что функция у (/) является решением данного
дифференциального уравнения:
a)	y(0==3cos (2/ + л); z/"=— 4//;
б)	У (0=4 Sin	У"=—Ту’
в)	У (0 = 2 cos 4/; у" 4- 1 бу = 0;
г)	y(O=4-sin(o.1<+1); У"+0.01 у=0.
371.	Напишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания:
а) х = 2 cos (2/ — 1);	б) х = 6,4 cos +	;
в) x = 4sin (з/—J-);	г) х = 0,71 sin (0.3/-0.7).
372.	Укажите амплитуду, начальную фазу и угловую частоту
колебания, преобразовав правую часть к виду A cos (w/4-<p):
а) у (0 = 0,8 sin(-j-f + n);
б)	У (0= ~4 cos (2/--f-) ;
в)	у (0 = 2 sin -2-cos 14-2 sin t cos -2-;
г)	у (0=3-bcos 2/ + 3 ^sin 2t.
373.	Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифферен-
циального уравнения:
а) у"=—25у;б) у"=—1-у; в) 4у"4-у = 0;г) Ху"4-4у=0.
128
Сведения из истории
Переломным в истории математики явился XVII в. Декарт
ввел в употребление метод координат для изучения расположен-
ных в плоскости кривых. Развитие естествознания привело к
необходимости исследования изменения функций, в особенности
функций, выражающих зависимость координат движущихся тел
и других физических величин от времени. Производная приме-
нялась при нахождении экстремумов функций, касательных к
разнообразным линиям и т. п. Первые работы Декарта, Паскаля
и Ферма уже содержали в себе по существу правила нахождения
производных от любых многочленов.
В настоящее время математическим анализом называют часть
математики, которая изучает дифференциальное и интегральное
исчисление (с элементами интегрального исчисления вы позна-
комитесь в X классе). Систематическое учение о производных —
дифференциальное исчисление — было развито немецким мате-
матиком и философом Г. Лейбницем (1646—1716) и
английским математиком и основателем современного матема-
тического естествознания И. Ньютоном (1643—1727).
Современное определение числовой функции, в котором это
понятие освобождалось от способа задания, было дано незави-
симо друг от друга русским математиком Н. И. Лобачевским
в 1834 г. и немецким математиком Л. Дирихле в 1837 г. Основ-
ная идея этих определений заключалась в следующем: не су-
щественно, каким образом каждому х поставлено в соответствие
определенное значение f (х), важно только, что это соответствие
установлено.
Современное же понятие функции с произвольными областями
определения и значений (не обязательно числовыми), а также
современная терминология и обозначения сформировались по
существу совсем недавно — в первой половине текущего столетия.
Наглядный смысл понятия предела функции был ясен матема-
тикам XVII в. Они умели фактически правильно находить преде-
лы. Но строгие определения понятий предела последовательно-
сти и предела функции, сохранившиеся до наших дней, были
даны лишь в 1821 г. французским математиком О. Коши
(1789—1857) и далеко не сразу были всеми поняты.
Определение предела функции, по Коши, формулируется так:
«Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся
к а, если для любого числа 8>0 можно подобрать такое число
6>0, что If (х)—Д|<8 для всех х, удовлетворяющих нера-
венству 0< |х — а| <6».
Эта формулировка есть точное содержание высказывания, по-
мещенного в п. 14: приближенное равенство f(x)~A при хжа
может выполняться с любой наперед заданной точностью. Дейст-
вительно, абсолютная погрешность приближенного равенства
f(x)^A есть выражение |f(x)—-Д|. То, что приближенное ра-
5 Заказ 21 G	129
енство f(x)'«4 при хха может выполняться с любой, на-
еред заданной точностью означает следующее: какую бы точность
ычислений мы ни задали (она задается положительным числом
е, где е — греческая буква «эпсилон», ее принято употреблять по
традиции), можно подобрать такую границу для абсолютных
погрешностей приближенных равенств хка— ее обозначают
положительным числом б (б — греческая буква «дельта»), что
при 0< |х—а| Сб погрешность приближенного равенства f (x)tvA
не выйдет за пределы заданной точности вычислений, т. е. If (х)—
—Л| <е.
Приведем, например, доказательство правила (см. п. 14):
если f(x)-Ml и g(x)-*-B при х-+а, то f (x) + g (х)->Л 4-В при
х->а.
Возьмем любое положительное число е. Тогда число —>0
и потому (по определению Коши):
1)	из условия f (х)-*Л при х->а следует, что можно подобрать
число б, > 0, такое, что |/м_л|<^	(|)
для всех х, удовлетворяющих неравенству Ос|х — а|Сб,;
2)	из условия g (х)-^В при х-*а следует, что можно подобрать
число бг>0, такое, что
|g(x)-B|<f	(2)
для всех х, удовлетворяющих неравенству Ос|х —а|Сбг.
Обозначим через б наименьшее из чисел 61 и бг. Тогда для
любого х, удовлетворяющего неравенству Ос|х—а|сб, выпол-
нены неравенства (1) и (2); для этих х имеем:
|(/(х) + г(х))-(Л + В)| = |(Г(х)-Л)+(ёг(х)-В)|<
< If (х)-Л | + |g (х)-В| Cf=е.
Этим доказано, что f (x) + g (х)->Л +В при х-+а.
Остальные правила (для произведения и частного) доказы-
ваются аналогично.
Яркие характеристики глубины переворота в математике,
происшедшего в XVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс.
Энгельс писал: «Поворотным пунктом в математике была де-
картова переменная величина. Благодаря этому в математику
вошли движение и диалектика». Но начальный период развития
новых ветвей математики, связанных с понятиями функции,
бесконечно малых величин, пределов и производных, был оха-
рактеризован Марксом как «мистический».
Лозунгом многих математиков. XVII в. был: «Двигайтесь
вперед, и вера в правильность результатов к вам придет».
Только после работ Коши в течение XIX в. начала матема-
тического анализа получили логическое обоснование. Для этого,
в частности, была необходима строгая теория действительных
чисел. А она была развита только во второй половине XIX в.
Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором.
130
п - х Вопросы и задачи на повторение
'g« у*^й|дЛлижрииое равенство х^а выполнено с абсолютной
* 1пигр^й1йостью Л. Что это означает?
^’Найдите с точностью до 0,001:	<—
<тг~г-; б) ^+2; в) г) v-у-
3)	Выпишите десятичные приближения с недостатком и
избытком для числа 4,2537481... с точностью до:
а) 1; б) 0,1; в) 0,01; г) 0,00001.
2.	1) Что означает запись f (х) -> L при х а?
2)	Сформулируйте правила вычисления пределов.
3)	К какому числу стремится функция f (Дх) при Дх -> 0,
:если:	1
а) /(Дх)=(2 + Дх)2-4; б) НМ=т+д7-^
»>	г)
3.	1) Что такое приращение аргумента и приращение функции?
2)	В чем состоит геометрический смысл приращений Дх и А/?
отношения -~?
Дх
3)	Найдите ~~ (в точке хо), если:
a) f(x)=^-; б) f(x)=x2 —х; в) f(x) = x3+x.
4.	1) Дайте определение производной функции в точке.
2)	'Пользуясь определением, найдите производную функции f
в точке хо, если:
а)
f (х) = 2х— 1, х0= — 4; б) f (х) = х2, хо= — 3;
Хо = 3:	г)	х0 = 2.
Найдите производную функции:
f(x)== х2; б) f(x)=3x + x2; в) f(x)=-^-+l.
Сформулируйте правила вычисления производных.
Чему равна производная функции хп (п — целое число)?
Найдите производную функции:
/(х)=х3 —2х2+1;
Л о
f (х) = (8 —5х)20;
f (x)=sin Зх;
Дайте определение
б)
г)
е)
з)
f (x)=(x+2) sin x;
I (9 + 7х)5 ’
f (х) = 4 tg 5х.
функции,
3)
а)
5.	1)
2)
3)
а)
в)
Д)
ж)
6.	1)
промежутке.
‘2) Опишите метод интервалов.
3) Решите неравенство:
; a) i(x-l)(x+2)(x + 3)>0; б)
5*	13!
непрерывной в точке, на
L>_U+_2_.
х *4-1 ' х4-2 *
в) ,16х‘-! + 7х+10+2)^0; г) (2 sin х—1) (2 cos2 х—1)<0.
7.	1) Какая прямая называется касательной к графику функ-
ции f в точке (хо; f (хо))? В чем состоит геометрический
смысл производной?
2)	Запишите уравнение касательной к графику функции Д
проходящей через точку (х0; f (хо)).
3)	Напишите уравнение касательной к графику функции f
при х = хо, если:
а) f(x) — x2, Хо=—б) f(x)=—, х0 = 2;
%	2п
в) f (x)=sin х, хо — п; г) f (x) = cos х, Хо=—•
8.	1) Запишите общую формулу для приближенного вычисления
значения функции, дифференцируемой в точке хо.
2)	Выпишите формулы для приближенного вычисления
значений функции: a) f (х) = хл; б) f (x)=cos х; в) f (х)=-\/1 +•*•
3) Вычислите приближенные значения:
а) л/9Ж; б) (, J6l)l0- ; в) (0.999)'5; г) cos 29°.
9.	1) В чем состоит механический смысл производной?
2)	Тело движется по прямой согласно закону х (/). Каковы его
мгновенная скорость и ускорение в момент времени /?
3)	Найдите скорость и ускорение точки, если:
а) х(/) = 5/ — /2; б) х (/) = cos	(со — постоянная).
10.	1) Запишите формулу Лагранжа.
2)	Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.
3)	Исследуйте на возрастание (убывание) функцию:
а) у = х4 — 4х; б)
в) у=х2+—;	г) у = 2 sin x-j-cos 2х.
11.	1) Что называют критической точкой функции?
2)	Сформулируйте признаки максимума (минимума) функции.
3)	Исследуйте на максимум и минимум функцию:
а) у=х4 — 2х2; б)
в) у = х2+—;	г) у-= 2 sin х + cos 2х.
12.	1) Опишите схему исследования функции.
2)	Исследуйте с помощью производной функцию:
a) f (х) = 2х — х2 — 8; б) f (х) = 2х24-3х— 1.
3)	Исследуйте по общей схеме функцию f и постройте ее
график: a) f (х)=х2—б) f(x)=sin2x—sin х.
13.	1) Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наи-
меньшего значений функции на отрезке.
2)	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке:
а) f(x)==3x2 —х3 на [—1;4]; б) f (x)=x-sin 2х на [0; -yj.
132
14.	1) Дайте определение второй производной функции. Что такое
дифференциальное уравнение гармонического колебания?
2) Проверьте, что функция у (t) является решением данного
дифференциального уравнения:
а)	у (/)=2 cos (/—£-), у"= — у,
б)	у (/) = 3 sin (0,3/+ 1), у"4-0,09у = 0.
3) Напишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания:
a) x = 2cos(/—1); б) х=2 sin (0,4/ — 7).
Дополнительные упражнения к главе II
374. f (t/) = 2t/34-3y2 —2у+1. Найдите:
а) f'(x); б) Г(0); в) Г(—1); г) Г (2х —1).
375. f (х)=-|-х44--|-х3—|-х2 — х. Найдите:
а) f'(x); б) Г(0); в) f' (1); г) f'(/2).
376.	* Докажите правило нахождения производной суммы конеч-
ного числа функций.
377.	Докажите правило нахождения производной для произве-
дения трех функций и, v, w.
(и • v • w)' = и' • v • w + и • и' • w + и • v • w'.
378.	u(z)=j±^. Найдите:
а) и' (г); б) м'(х —3); в) и'(0); г) и' (z2).
379.	f(/)=%^- Найдите:
а) Г(0; б) Г (4); в) f'(l); г) Г (г2)-
380.	g(x)=S£±3. Найдите:
5^+2
a) g’ (х); б) g'(4); в) g' (1); г) g' (х2).
381.	а) /г(ц)=^^Ч^~4. Найдите h' («).
б)	v (х)=р- — р- + р-. Найдите v' (х).
Найдите и'(а), если ы(а)=^г+^-.
Найдите Ф'(и), если Ф (у)=^-+Зу-5.
Постройте график функции у=-\ДхТ(х —3).
идите производную функции (383—384).
«йзгъу- V (х)=(х2 —2х + 3) (3? + 2х+1);
•	0) f W=(ах + b) (сх2 + dx 4- е);
 - «О f (у)=(3у +1) (у -3). Найдите f' (х), f' (0); f' (2);
г) g (и)—би2 (5u3 +1). Найдите g’ (у), g' (0), g'(— 1).
133
382.
в)
г)
а)
X
б)
г)
у=^/3— 2х;
f (f)=7/4 —f3+ ^ — 1 • Найдите f' (/), f' (2);
£(у) = “\^| • Найдите g' (x), g'(2).
385. В какой точке графика функции у=-\[х касательная накло-
нена к оси абсцисс: а) под углом в 45°; б) под углом
в 60° ?
386.	Постройте график какой-нибудь функции, у которой в
заданной точке хо:
a)	f(xo) = O и [' (хо) = О;
б)	f (хо)=О и f' (х0)<0;
в)	f (хо)=О и f' (Хо)>О.
Найдите промежутки возрастания (убывания) функции
(387—392).
387.	«(х)=^у.
388.	f (х)=2х2 + Зх+4.
389.	g(x) = 3x2 + 2x + l.
390.	g(x)=-|-x3+-|-x2—2х — 2.
391.	g (х)=3х2-2х+ 1-
392.	f(x)=x4~.
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы
функцию (393—395).
393.	s	394.	395. f (х)=^/г2-х2.
При помощи производной постройте график функции
(396—404).
396. у=х2 (х - 2)2. 397. у=х4 - 4х2.	398. у=х3 — Зх2 - 9х.
399. у=х34-Зх24-1.	400. у=^-4-^—х2.
401. y = (f)2(x-5)3. 402. У=8.^1.
403. у=х -\/2—х2. 404. у=-\/х4--\/4—х.
405.	Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
а) <р(х) = Зх24-4х4-2; б) f (х)=уХ2-Зх-Н;
в) g (х)= — Зх24-5х — 4; г) и(х)=—|-х24-2х-|-5.
406.	По виду графика квадратичной функции (рис. 101, а, б, в)
определите знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта.
134
Решите неравенство (407—408).
407.	а)	Зх2 — 2х —1<0;	б)	6х2 + х — 2<0;
в)	х2 — 2х+1<0;	г)	—-L-x2 —2х + 5>0.
408.	а)	4х2 +4x4-1 >0;	б)	Зх2 + 7х — 7>0;
в)	9х4— 10x^4- 1<0;	г)	4х4+10х2 —66>0.
400. Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) g (х) = 3х — 2х2-|-4;	б) h (х) = Зх4 - Зх2 + 5;
в) и (х) = х3 — Зх2 + 2;	г) w (х)=х3 + х.
410.	Найдите наименьшее и наибольшее значения функции g (х) =
=х3 —3х2 + 3 на отрезке: а) [—1; 1]; б) [1; 3].
411.	Найдите наименьшее и наибольшее значения функции Л (х) =
= 2х3 — 9х2 + 2 на отрезке: а) [—1; 1]; б) [1; 3].
412.	Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг (одна сто-
рона прямоугольника лежит на диаметре полукруга), най-
дите прямоугольник наибольшей площади.
4ГЗ. Найдите отношение высоты к диаметру конуса, который при
заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность.
414.	Как согнуть кусок проволоки данной длины /, чтобы пло-
щадь ограниченного ею прямоугольника была наибольшей?
415.	Какой из равнобедренных треугольников с заданным пери-
метром 2р имеет наибольшую площадь?
416.	а) Представьте число 10 в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наимень-
шей.
б)	Число 8 представьте в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
417.	В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высотой
8 см вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит
на основании треугольника. Какова должна быть высота
прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь?
135
418.	Найдите число, которое в сумме со своим квадратом дает
этой сумме наименьшее значение.
419.	Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А
берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, нахо-
дящегося на берегу на расстоянии 5 км от Л. Лодка движется
со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в
час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать
лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?
420.	Из всех цилиндров заданного объема 16л м3 найдите ци-
линдр с наименьшей площадью полной поверхности.
421.	Концы отрезка АВ длиной 5 м скользят по координат-
ным осям. Скорость перемещения конца А равна 2 м/с.
Каков модуль скорости перемещения конца В в тот момент,
когда конец А находится от начала координат на расстоянии
3 м?
422.	Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний
конец лестницы начинает скользить с постоянной ско-
ростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент
времени t верхний конец лестницы, с каким ускорением?
423.	Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его
части AM растет пропорционально квадрату расстояния
точки М от конца А и равна 10 г при ЛЛ4 = 2 см. Найдите:
1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой
его точке; 2) линейную плотность стержня в точках А и В.
424.	Тело, масса которого т, движется прямолинейно по закону
$ (/) = а/2 + ₽/+ у (а, р, у — постоянные). Докажите, что
сила, действующая на точку, постоянна.
425.	Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален
квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за
8 с. Определите угловую скорость колеса через 48 с после
начала вращения.
426.	Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной
скоростью 40 м/с. Определите: а) на какой высоте от по-
верхности земли оно будет через 1 с; б) через сколько се-
кунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии
от земли? (Считать £=10 м/с2.)
427.	Круглый металлический диск расширяется при нагревании
так, что его радиус равномерно увеличивается на 0,01 см/с.
С какой скоростью увеличивается его площадь в тот момент,
когда его радиус равен 2 см?
428.	Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой горизонталь-
ной дорожкой, по которой идет человек, рост которого равен
1,8 м. С какой скоростью удлиняется ёго тень, если он
удаляется со скоростью 50 м/мин?
429.	Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите
прямоугольник наибольшей площади.
136
Глава III
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ
30. Определение первообразной
Вспомним пример применения дифференцирования в меха-
нике. Если в начальный момент времени 1 = 0 скорость тела равна
О, т. е. и(0)=0, то при свободном падении тело к моменту вре-
мени t пройдет путь
s(Z)=f/2	(1)
Дифференцированием находим скорость:
s'(t)=v(t)=gt.	(2)
Второе дифференцирование дает ускорение:
v'(3)
т. е. ускорение постоянно.
Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Но
более типично для механики другое положение: задан закон, кото-
рому подчиняется ускорение а (/) (в нашем случае оно постоян-
но); требуется найти закон изменения скорости v (/) и найти
координату s (/). Иными словами, по заданной производной
функции и' (/), равной а (/), надо найти v (t), а затем по производ-
ной s' (/), равной v (/), найти s (/).
Для решения таких задач служит операция интегрирования,
обратная операции дифференцирования. С ней мы познакомимся
в этой главе.
Определение. Функция F называется первообразной
для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого
промежутка
F'(x)=f(x).	(4)
„3
Пример 1. Функция Г(х)=— есть первообразная для
функции f(x)=x2 на интервале (—оо; оо), так как
f'w-
Для всех х £ (— оо; оо).
137
у.3
Легко заметить, что —+ 7 имеет ту же самую производную
О
х2. Поэтому и функция 7j- + 7 есть первообразная для х2 на R.
Ясно, что вместо 7 можно поставить любую постоянную. Таким
образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет
бесконечно много решений. В следующем пункте вы увидите, как
найти все эти решения.
Пример 2. Для функции f (х) = ~г на интервале (0; оо)
первообразной является функция Г(х) = 2?Д, так как
' £'(х)=(2-^)'=2.-^=-Ь=Цх)
2ух ух
для всех х из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция
2-^х + С при любой постоянной С есть первообразная для функции
— на том же интервале (0; оо).
7*	1
▼ Пример 3. Функция F (х) = — не является первообраз-
ной для функции /(х)= — -р- на промежутке (—оо; оо), так как
равенство F' (x) = f(x) не выполнено в точке 0.
Однако в каждом из промежутков ( — оо; 0) и (0; оо) функция
F является первообразной для f.
При решении многих задач приходится иметь дело с несколько
более общим случаем. Например, для функции f (х) = 3у[х на
интервале (0; оо) первообразной будет функция F (х) = 2хл/х. Эта
функция F не определена при х<0, и потому нельзя говорить
о производной F в нуле. Однако ДГ (0) = 2Дх^Дх при Дх>0 и
ДГ(0)->0 при Дх->0 и Дх>0. Поэтому говорят, что функция F
есть первообразная для функции f на промежутке [0; оо), в ко-
торый точка х = 0 уже включается. В общем случае положение
аналогично: функцию F называют первообразной для функции
f на промежутке [а, 6), если F' = f в интервале (а, Ь) и AF (а)->0
при Дх->0 и Дх>0. Функцию F называют первообразной для
функции f на промежутке (а; 6], если F' = f на интервале (а, Ь)
и ДГ (6)->0 при Дх->0 и Дх<0. Аналогично определяется перво-
образная в общем случае и для других промежутков. ▼
Упражнения
Докажите, что функция F есть первообразная для функции
f на указанном промежутке (430—433).
430. a) F(x) = x5; f(x) = 5x4; х£ (— оо; оо);
б)	F (x) = sin х + 3; f (x) = cos х; х£ (—- оо ; оо);
в)	F (х)=-|-х~3; f (х)= —х~4;	(0; оо);
г)	F (х) = 4 — cos х; f (х) = sin х; х Е (— оо; оо).
138
431; a) F (x)—4x-\fx‘, f (х)—(ху/х-, x£ (0; oo);
6) F(x)=tgx-^; f(x)=^; xe
в) F(x) = 0,4V^-5; f (x)=-\^r; x£ (0; oo);
r) f(x)=3—ctgx, fW=^77‘.	(°;«)-
432.	a) F(x)= — ^=, f(x)=-^; x€ (0; oo);
6)	F(x)=—; f(x)=~; *€ (-oo;0);
V—x Vtxr
в)	F(x) = 14—-Ц f(x)=-^; x€ (0; oo);
r) F(x) = 9—I-; f(x)=^-; x€ (-oo;0).
433.	a) F(x)=-yx2; f(x)=x; x£R;
6)	F(x)=y-x7; f(x)=x6; x£/?;
в)	F (x) = sin2 x; f(x) = sin2x; x^R-,
r)	F (x) = sin 3x; f (x)=3 cos 3x; x£R.
Найдите первообразную для функции f на R (434 — 435).
434.	a) f(x)=2-|-; б) f(x)=x; в) f(x)=x3; г) f(x)=x4.
435.	a) f(x) = sinx; б) f(x) = cosx; в) f(x) = sin5x;
г) f (x) = cos7x;
31. Основное свойство первообразной
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной
функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи
важную роль играет признак постоянства функции.
Если F' (х)=0 на некотором промежутке /, то функция
F — постоянная на этом промежутке.
Доказательство. Зафиксируем некоторое хо из про-
межутка I. Тогда для любого числа х из этого промежутка в силу
формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное
между х и хо, что
F(x)-F(x0) = F' (с)(х-хо).
Так как с^1 (с лежит между числами х и хо из этого промежутка),
Г'(с)=0 (по условию) и, значит,
F(x)-F(xo)=O.
Итак, для всех х из промежутка /
F(x) = F(x0),
т. е.‘функция F сохраняет постоянное значение.
Докажем теперь основное свойство первообразных.
139
Общий вид первообразных для функции f (х) на промежутке I
есть
F(x)+C,	(1)
где С — произвольная постоянная, a F (х) — одна из перво-
образных для функции f (х) на промежутке I.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы
два свойства первообразной: 1) какое бы число ни поставить в
выражение (1) вместо С, получится первообразная для f (х) на
промежутке I; 2) какую бы первообразную Ф (х) для f на про-
межутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для
всех х из промежутка / будет выполнено равенство
Ф(х) = Г(х)4-С.
Доказательство. 1) По условию функция F — перво-
образная для функции f на промежутке /. Следовательно,
F'(x)=fW
для любого хСД поэтому
(F (х) + су = F' (х) + С' = f (х)+0=f (х),
т. е. F(x) + C — первообразная для функции f (х).
2) Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на
том же промежутке /, т. е.
Ф'(х)=Ш
для всех х£/. Тогда
(Ф (х) - F (х))' = Ф' (х) - F' (х) = f (х) - f (х) = 0.
Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что раз-
ность Ф(х) —Г(х) есть функция, постоянная на промежутке /.
Таким образом, для всех х из промежутка /
Ф(х)-Г(х) = С, т. е. Ф(х) = Г(х)+С,
что и требовалось доказать.
Основному свойству первообраз-
ных можно придать геометрический
смысл: графики любых двух перво-
образных для функции f получают-
ся друг из друга параллельным
переносом вдоль оси Оу (рис. 102).
Пример 1. Точка движется по
прямой с постоянным ускорени-
ем а. В начальный момент /о = О
точка имеет начальную коорда-
нату хо и начальную скорость #о.
Найдем координату х(/) точки, кдк
функцию от времени.
140

- Так как х' (t)—v (/) и v' (f)=a (/),
из условия а(/) = а получаем:
v* (t) = a.
Отсюда следует, что
у(0=а/ + Сь	(2)
Подставляя /о = О в (2), находим:
С| — ио и, значит,
х' (t)=v (t} = at + v0.
Следовательно,
x(0=^+«o/ + C2.	(3)
Чтобы найти С2, подставим в (3)
значение /о = 0. Получим С2=хо-
Итак,
x(t}=a^- + vot+xo.	рис- 103'
Пример 2. Найдем для функции первообразную*, гра-
•ух
фик которой проходит через точку М (9; —2).
Любая первообразная функции записывается в виде
2Vr + C.
Графики этих первообразных изображены на рисунке 103.
Координаты точки М (9; —2) графика искомой первообраз-
ной должны удовлетворять уравнению 2д/9-|-С=— 2.
Отсюда находим, что С= — 8. Следовательно, искомая перво-
образная такова: F (х)=2-у/х — 8.
Ниже приводится таблица первообразных для некоторых
функций:
Функция	k (посто- янная)	хп (Л“.)	1 у/х	sin х	COS X	1 cos2 X	1 sin2 x
Общий вид первообраз- ной	kx -|- С	+ 1 г+т+с	2-^х + С	— cos х + + С	sin x-j-C	tgx + C	— ctgx + + c
♦ Для краткости при нахождении первообразной функции f промежуток, на
втором задана f, обычно не указывают. Имеются в виду промежутки возмож-
но большей длины. Так, в рассматриваемом случае естественно считать, что
функция f (х)=-- задана на интервале (0; оо).
141
Проверьте правильность заполнения этой таблицы самостоя-
тельно.
Упражнения
436.	Проверьте, что функция F есть первообразная для функции f:
a) F (x) = sin х —х cos х; f (х)=х sin х;
б)	F (x) = cos х-|-х sin х; f (х)=х cos х;
. в) F(x)=V?+T; f (*)=-=
Найдите для функции f первообразную, график которой
проходит через заданную точку М (437—438).
437.	a) f(x)=x3;	1); б) f (х)=^; М (f; о) ;
в) f (x) = sin х; М (0; 3); г) f (х)= -2; М (3; 5).
438.	a) f (x)=-L; М 3 Y, б) f (x) = cos х; М 0 ) ;
в) f (x)=Vx; Л4(9; 10); г) f (х)=-1- ; М (4; 4).
439.	Для функции f найдите первообразную Т7, принимающую
заданное значение в указанной точке:
a) f(x) = x2-, F(3)=0; б)	F(l)=-1;
в) f(x) = sinx; F(n)=7; г) f(x)=^r^;
32.	Три правила нахождения первообразных
Правила отыскания первообразных похожи на соответствую-
щие правила дифференцирования.
1.	Если F есть первообразная для f, a G — первообразная
для g, то F + G есть первообразная для f+g.
Действительно, так как F'=f и G'=g, по правилу вычисле-
ния производной суммы имеем:
(F + G)' = F'+G' = f+g.
2.	Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то
kF есть первообразная для kf.
Действительно, постоянный множитель можно выносить за
знак производной, поэтому
(kF)' = kF' = kf.
3.	Если F (х) есть первообразная для функции f (х), a k
и b— постоянные, причем Л#=0, то -%-F (kx-j-b) есть перво-
образная для функции f (kx + b).
142
I , Действительно, по правилу вычисления производной сложной
функции имеем:
0-F (kx+b))'=-^-F'(kx + b)-k=f (kx + b).
Приведем примеры применения этих правил.
Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функ-
ции Х3+±
Так как для функции х3 одна из первообразных есть —,
а для функции р- одной из первообразных является функция
—по правилу 1 находим: для функции х3+р-одной из пер-
вообразных будет функция  Ответ:  |—|- С.
Пример 2. Найдем одну из первообразных для f (x) = 5cosx.
Так как для функции cos х одна из первообразных есть sin х,
применяя правило 2, получаем ответ: 5 sin х.
Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции
sin(3x —2).
Для функции sin х одной из первообразных является — cos х,
поэтому по правилу 3 искомая первообразная равна
—i-cos (Зх —2).
О
Пример 4. Найдем одну из первообразных для функции
1
(7 —Зх)5 '
z	I
Так как для функции первообразной является функция
—, по правилу 3 искомая первообразная равна
1 . —1 _ 1
—з'4(7—Зх)4 12(7 —Зх)4 ‘
Пример 5. Материальная точка массы 2 кг движется по
оси Ох под действием силы, направленной вдоль оси. В момент
времени / эта сила равна F (f)=3t— 2. Найдите закон х(/) дви-
жения точки, если известно, что при /=2с скорость точки равна
3 м/с, а координата х=1 (F — сила в ньютонах, t — время
; в секундах, х — путь в метрах).
‘	Решение. Согласно второму закону Ньютона
bF— та.
Поэтому ускорение а=— и
tn
a(0=£=v/~1-
143
Скорость точки v (/) есть первообразная для ее ускорения а (/),
поэтому	„
Постоянную С1 находим из условия v (2) = 3:
4 —24-Ci = 3, т. е. Ci = 2 и
v(J)=^t2-t + 2.
Координата х (/) есть первообразная для скорости v (/), поэтому
х(/)=-|-/3-^2 + 2/ + С2.
Постоянную С2 находим из условия х(2) = 1:
_L.8-4-4 + 4 + C2=l, С2=-3.
4	2
Итак, закон движения точки
x(f)=-L/3_^2+2/_3.
Упражнения
Найдите (общий вид первообразных для функции (440—
442).	'
440.	а) 5х2 —1; б) р—4 sin х; в) kx + b-, г) ах2 -\-bx-\-c.
441.	а) 1— cos Зх; б) .	; в) —; г) 7 sin ---------тт- •
’	sin2 Зх ’ cos2 5х	3 cos2 4х
442.	а) —; б) —; в) ; г) 8 (И — Зх)5.
' -\/Зх —2	V2x + 7	(5х-7)3	’ v '
443.	Камень брошен вверх с поверхности земли. Пренебрегая
сопротивлением воздуха и считая ускорение силы свобод-
ного падения g«9,8 м/с2, найдите: 1) наибольшую высоту
подъема камня в зависимости от начальной скорости и0;
2) скорость камня в самом верхнем положении; 3) время,
через которое камень упадет на землю, если скорость из-
меряется в метрах в секунду.
444*. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени
от / = 0 до / = 5с, если скорость точки меняется по за-
кону v = 9,8f — 0,003/2. Найдите ускорение этой точки в
конце пути (.скорость измеряется в метрах в секунду).
445*. Скорость движущейся точки меняется по закону у=*=
= Rta-\Jt. Найдите путь, пройденный этой точкой за про-
межуток времени от / = 0 до / = 4, и ее ускорение в конце
пути.
144
.	446. Материальная точка массы m движется по оси Ох под
действием силы, направление которой параллельно этой
оси. В момент времени t эта сила равна F (/). Найдите за-
кон х(0 движения точки, если известно7, что при t = tQ ско-
рость точки равна v0, а ее координата равна хо (F (/) изме-
ряется в ньютонах, t — в секундах, v — в метрах в секунду,
И*	т— в килограммах). Решение проведите при следующих
• '	числовых данных:
j.	a) F(t) = 6 — 9t, /о=1, vo = 4, xo=—5, m = 3;
j	6) F(t)=~-, v0 = 1, x0 = 2,5, m = 5;
|	в) F (/)= 14 sin /, /о = л, Vo = 2, %o = 3, m = 7;
h	r) F (/)= 18 cos /, Zo = O, v0=—5, xo==9, m = 6.
§ 9. ИНТЕГРАЛ
33. Площадь криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [а; Ь] оси Ох задана непрерывная функ-
ция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графи-
ком этой функции, отрезком [а; Ь] и прямыми х — а и х = Ь
(рис. 104), называют криволинейной трапецией. Различные при-
меры криволинейных трапеций приведены на рисунках 105—108.
При вычислении площадей криволинейных трапеций пользу-
ются следующей теоремой.
Теорема. Пусть f — непрерывная и неотрицательная на
отрезке [а; 6] функция, S — площадь соответствующей криво-
линейной трапеции (см. рис. 104). Если F есть первообразная для
f на отрезке [а; &], то
S=F(b)-F(a).	(1)
Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), опреде-
ленную на отрезке [а; Ь]. Если х = а, то S (а) = 0. Если a<Zx^b,
то S (х) — площадь той части криволинейной трапеции, которая
расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точ-
ку М (х; 0) (рис. 109). Отметим, что S (b) = S (S — площадь кри-
волинейной трапеции).
Докажем, что
S'(x) = H4	(2)
Действительно, по определению производной надо доказать,
что
-> f (х) при Дх -> 0.
(3)
Выясним геометрический смысл числителя AS (х). Для про-
стоты рассмотрим случай Ах>0. Поскольку AS (x)=S (x-j-Ax)—
— S(x), то AS (x) — площадь фигуры, заштрихованной на ри-
сунке НО. Возьмем тейерь прямоугольник той же площади
AS (х), опирающийся на отрезок [х;х-+-Ах] (рис. 111). Верхняя
сторона прямоугольника пересекает график функции (в силу ее
непрерывности) в некоторой точке с абсциссой с^[х;х + Ах]
(иначе его площадь будет или больше AS (х), или меньше).
Следовательно, высота прямоугольника равна f (с). По формуле
площади прямоугольника имеем: AS (х) = f (с)• Ах, откуда
(с). Эта формула верна и при Ах<0. Поскольку точка с
146
лежит между х и х + Дх, то с стре-
мится к х при Дх->0. Так как
функция f непрерывна, f (х)
при Дх->0. Итак, Ц^->/(х)
при Дх -+ 0.
Формула (2) доказана.
Мы получили, что функция S (х)
есть первообразная для функции
f (х). Поэтому в силу основного
свойства первообразных для всех
х£[а; ft] имеем:
S(x)=F(x)4-C,
где С — некоторая постоянная, a F (х) — одна из первообраз-
ных для функции f. Для нахождения С подставим х = а:
F(a)+C=S(a)=Q,
откуда С — — F (а). Следовательно,
S(x)=F(x)-F(a).	(4)
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (ft),
подставляя в формулу (4) x = ft, получим:
S = S(ft)=F(ft)-F(a).
Пример. Вычислим площадь S криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции f(x) = x2 и опирающейся на от-
резок [1; 2] (рис. 112).
Решение. Для функции f (х)=х2 первообразной является
X3
функция F (х) = -х-.
Следовательно,
93 I3 7
S = F(2)-F(1)=4—L=2_.
▼ Вы видели, что вычисление производной
функции в большинстве случаев связано лишь
с трудностями вычислительного характера.
Сложнее обстоит дело с нахождением перво-
образных. Так, не сразу ясно, имеет ли дан-
ная функция первообразную или не имеет.
В связи с этим отметим, что любая непрерыв-
ная на промежутке / функция имеет на этом
промежутке первообразную. Некоторое разъ-
яснение этого факта дает доказательство фор-
мулы (2), приведенное выше. Однако перво-
образные некоторых функций нельзя записать
с помощью изучаемых в школе функций. Так
обстоит дело, например, с функцией -у/х3 + 1. ▼
147
Упражнения
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (447—
448).
447. а) у = х2‘, у = 0; х = 3;	б) y = cosx; y — Q; х = 0; х=-^-;
в) y = sinx; у = 0; 0^х<л; г) у=р-; у = 0; х=1; х = 2.
448. а) у = 2х — х2; у = 0',	б) у = (х + 2)2; у = 0; х=0;
в) у = р-; у = 4;х = 8;	г) у = х3; у = 0; х= I.
34. Интеграл. Формула
Ньютона — Лейбница
Существует другой подход к задаче вычисления площади
криволинейной трапеции.
Для простоты будем считать функцию f неотрицательной
и непрерывной на отрезке [а; &]; тогда площадь S соответствую-
щей криволинейной трапе^йи можно приближенно подсчитать
следующим образом.
Разобьем отрезок [а; Ь] на п отрезков одинаковой длины точ-
ками xo = a<xi <хг< <хл_1 <хл = 6, и пусть
\х = ^^=хк — Xk-\, где fc = l, 2, ...» и—1, п.
п
На каждом из отрезков [х^ —i;x&] как на основании построим
прямоугольник высоты f(xk-\)> Площадь этого прямоугольника
равна
f(x*_1).Ax = ^f(x*_1),
а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 113) равна
$«=—(/ (хо)+f (х>) + ...+/ (х„- 0).
В силу непрерывности функции f объединение построенных
прямоугольников при большом и, т. е. при малом Ах, «почти
совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией. По-
этому возникает предположение, что Srt«S при больших п и это
приближенное равенство выполняется с любой точностью. Ко-
ротко говорят: «Srt стремится к 5 при п, стремящемся к беско-
нечности» — и пишут S* S при п -> оо.
Предположение это правильно. Более того, для любой непре-
рывной на отрезке [а; Ь] функции f (не обязательно неотрица-
тельной) доказано, что Sn стремится (при п -> оо) к некоторому
числу. Это число называют (по определению) интегралом функ-
ь
ции f от а до b и обозначают J f (х) dx, т. е.
л
148
b
Sn^ \ f (x) dx при n -> oo,	(1)
(читается: «интеграл от а до b эф от икс дэ икс»). Числа а и b
называются пределами интегрирования: а — нижним пределом,
b — верхним. Знак $ называется знаком интеграла. Функция f на-
зывается подынтегральной функцией, а переменная х — пере-
менной интегрирования.
Итак, если f(x)^O на отрезке [а; Ь], то площадь S соответст-
вующей криволинейной трапеции выражается формулой
ь
S=\f(x)dx.	(2)
а
▼ Для приближенного вычисления интеграла можно рас-
сматривать суммы Sn. Лучше, однако, воспользоваться суммами
s"(х2)+...+и*-.)+4-f un)),
слагаемые которых равны в случае положительной функции f
площадям трапеций, «вписанных» в криволинейную трапецию
и ограниченных ломаными, как это изображено на рисунке 114.
Действительно, применяя формулу площади трапеции, полу-
чаем:
с _ H*o) + f (*i) 6-g , f (x1)4-f(x2) ь-а .	__
2	’ п	2	п *
~ ~(~f (xo) + f (xi) + f (хг) + . . + y-f(xn)).	▼
Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции
ь
S = F (b)—F (а) и S = J f^dx,
вывод: если F — первообразная для f на [а; Ь], то
\ f (х) dx — F (b)—F (а).	' (3)
149
Формула (3) называется формулой Ньютона — Лейбница.
Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a; ft].
Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона — Лейб-
ница.
Пример 1. Вычислим
2
J x2dx.
— 1
Поскольку для функции х2 первообразной является функ-
№
ция -Х-,
J	=
J	о □
— 1
Для удобства записи приращение функции F принято сокра-
щенно обозначать F (х) | , т. е.
F(ft)-F(a) = F(x)| ".
а
Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона — Лейб-
ница обычно записывают в виде
J f(x) dx = F(x)|	(4)
Пример 2. Пользуясь введенными обозначениями, получим:
л
О
= —cos л —( — cos 0) = 2.
а
Замечание. Данное нами определение интеграла не
позволяет говорить, например, об интеграле от — 1 до 2 функ-
1
ции р-, так как эта функция не является непрерывной на отрез-
ке [— 1; 2]. Заметим также, что функция
----не является первообразной для функ-
х 1
ции р- на этом отрезке, поскольку точка О,
принадлежащая отрезку, не входит в об-
, 1
ласть определения функции р-.
Пример 3. Вычислим площадь фи-
гуры, ограниченной линиями
у=1—х и у = 3 — 2х — х2.
Нарисуем эти линии (рис. 115) и най-
150
дем ^абсциссы точек их пересечения из уравнения
1 —х = 3 — 2х—х2.
Решая это уравнение, находим: х= 1 и х= —2. Искомая площадь
может быть получена как разность площадей криволинейной
трапеции BADC и треугольника ВАС. По формуле (2)
SBADC= J (3-2x-x2)dx = (3x-x2-4-)|’_2 =
= 3-1—i—3-( —2)+( —2)2+Ц^=9;
$\мвс==-Г 3 •3 = Т-
Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна
5— SBADC—Здвас—тр
Замечание. Удобно расширить понятие интеграла, по-
лагая по определению при а^Ь
Ь	а
$ f (х) dx= — j f (х) dx.
a	b
При таком соглашении формула Ньютона — Лейбница ока-
а
зывается верной при произвольных а и b (в частности, J f (х) dx = 0).
а
Упражнения
Вычислите интеграл (449—451).
449.
450.
dx
cos2 х
dx
7* ’
2
г) j x3dx.
— 2
о
г) $ sin xdx.
— л
Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фи-
гуры, ограниченной линиями (452—453).
452.	а) у=х3, х=1, х = 3, у = 0;	б) у = х4, у = 0, х=1;
151
в) z/ = 2+x —х2, у = 0; г) у = cos х, у — 0, |xl<-y.
453.	а) у — х2, у = 2х\	б) у = х2, у = х3\
в) У=4г, У=х, х = 2;	г) у=-\[х, у — х.
454.	Докажите, что если функция f (х) непрерывна на отрезке
ь
[а; Ь] и f(x)<0, то $ f(x)dx=—S, где S — площадь соот-
а
ветствующей криволинейной трапеции.
Ь	с	b
455.	Докажите, что $ f (х) </х=ЦДх) dx + $ f(x)dx.
а	а '	с
456.	Покажите, что интеграл
ь
j f (х) dx
а
функции, график которой изображен на рисунке 116, равен
Si — S2 + S3 (криволинейные трапеции, имеющие площади
Si, S2, S3, заштрихованы).
457.	Докажите формулу вычисления производной от интеграла
с переменным верхним пределом интегрирования:
(\f(t)dt)' = f(x),
а
где f (х) — функция, непрерывная на интервале, содержа-
щем точки а и х.
458.	Пусть материальная точка движется по прямой со ско-
ростью v (/). Докажите, что ее координату х (/) можно най-
t
ти по формуле х(/) = Хо+$ v(f)dt,
to
где xq = x(Jo) — начальная координата точки.
459.	Пусть материальная точка
Рис. 116.
движется по прямой с ускоре-
нием а (/). Докажите, что ее
скорость v (?) можно найти по
формуле
/
v (t)=u0+ $ a (t) dt,
/о
где vo==v (to)—начальная ско-
рость точки.
152
35 ▼. Вычисление объемов тел
Пусть задано тело объемом V, причем известно следующее:
имеется такая прямая (рис. 117), что, какую бы ялоскость,
перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна
площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпен-
дикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следо-
вательно, каждому числу х (из отрезка [а; &], см. рис. 117)
поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь
сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; &] за-
дана функция S (х). Если функция S (х) непрерывна на отрез-
ке [а; Ь], то справедлива формула
ь
V=\s(x)dx.	(1)
а
Полное доказательство этой формулы дается в курсах матема-
тического анализа, а здесь остановимся на наглядных сообра-
жениях, приводящих к ней.
Разобьем отрезок [а; Ь] на п отрезков равной длины точка-
ми xo = a<xi <х2<... <хл-1 <Ь=хп, и пусть
Дх = ---- = Х/г — Х/г-1, Й=1, 2, ..., П
П
(см. п. 34). Через каждую точку Xk проведем плоскость а*,
перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное
тело на слои (рис. 118, 119). Объем слоя, заключенного между
плоскостями a*_j и а*, при достаточно больших п приближенно
равен площади S(x/e-i) сечения, умноженной на «толщину слоя»
Дх, и потому
V&S (хо) Дх-f-S (xi) Дх-f-.. .-f-S (хп-1) Дх= Vn-
Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше
слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше п. Поэтому
Vn -> V при п -> оо. Но по определению интеграла
ь
Vn -> j S (х) dx при п -> оо.
Рис. 117.	Рис. 118.
153
Рис. 119.
-|-л7?3. Проведем ось Ох через центр ша-
ра О (рис. 120). Каждая плоскость,
перпендикулярная оси Ох и пересекаю-
щая отрезок [ — 7?; /?] этой оси в точке х,
дает в сечении с шаром круг радиуса
y/R2 — x2. Площадь этого круга
S (х)=л (7/?2 —х2)2 = л (/?2 — х2).
Следовательно, по формуле (1)
V=	л (/?2 — x2}dx = n(R2x—j-x3)!	=
-R =-§-л/?3-
Пример 2. Докажем, что объем конуса высоты И и ра-
диуса основания R равен 4-л/?2Я.
О
Проведем ось Ох через вершину конуса О перпендикулярно
его основанию (рис. 121). Каждая плоскость, перпендикулярная
оси Ох и пересекающая отрезок [0; Н] этой оси в точке х дает
в сечении с конусом круг радиуса -^-х. Площадь этого круга
2	2
S(x)=n(-£-x) ==л('д) х2-
Следовательно, по формуле (1)
н J 9
у=5я(4)х2ах==л7^'т\н=-тп^н-
Пример 3. Докажем, что объем пирамиды с высотой И и
площадью основания S равен -г-HS, а объем усеченной пирами-
ды высоты Н с площадями оснований S и s равен-5-// (S-|-s+VSs).
О
Пусть точка О — вершина пирамиды (рис. 122). Проведем
через точку О ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды.
Основания усеченной пирамиды пересекают ось Ох в точках а
и Ь. Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекаю-
щая отрезок [а; Ь] этой оси в точке х, дает в сечении много-
угольник, подобный многоугольнику —
основанию пирамиды. Поэтому площадь
сечения
S (х) равна Ах2,
и в частности,
s = S(a) = ka2 и S = S(b) = kb2.
Объем усеченной пирамиды вычисляем по
формуле (1):
154
+ kab + ka2) =
и
=4(5+V^+4
В случае пирамиды s = 0 и мы приходим к формуле V—-^-HS.
О
Пример 4. Пусть криволинейная трапеция опирается на
отрезок [а; 6] оси Ох и ограничена сверху графиком функции f,
неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; 6]. При враще-
нии этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох получаем тело
(рис. 123), объем которого находится по формуле:
ь
Vл?2 (х) dx.
(2)
Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох
я пересекающая отрезок [a; 6J этой оси в точке х, дает в сечении
с телом круг радиуса f (х) и площади S (х) = л/2 (х) (рис. 124).
Отсюда по формуле (1) получается формула (2).
Упражнения
460.	Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) У=х2+1, х = 0, х=1, у = 0; б) у=1—х2, у = 0;
в) y=V*> х=1, у=0;	г) у = -\[х, х= 1, х = 4, у = 0.
155
461.	Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
а)	y = x-f-2, (/=1, х = 0, х = 2;
б)	i/ = 2x, у==х + 3, х = 0, х=1;
в)	£/ = х2, у = х\ г) у =	у^=х.
462.	Найдите объем шарового сегмента радиуса R и высоты Н.
463. Выведите формулу для объема шарового сектора, радиус
которого /?, а угол в осевом сечении а.
464.	Выведите формулу для объема усеченного конуса высо-
ты Н с радиусами оснований /? и г.
Сведения из истории
ь
В п. 34 мы определили интеграл J f (х) dx как число, к кото-
2^
f (xk) &х при и->оо (т. е. Дх->0,
2 — знак суммы).
Такое определение интеграла не требует предварительного
знакомства с понятием производной и опирающимся на него
понятием первообразной. Математики XVII и XVIII вв. не поль-
зовались понятием предела. Они говорили вместо этого о «сумме
бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых». На-
пример, площадь криволинейной трапеции (рис. 125) они пред-
ставляли себе составленной из вертикальных отрезков длины
f (х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бес-
конечно малой величине f (х) dx. В соответствии с таким понима-
нием искомая площадь считалась равной сумме
S= S f(x)dx
а<х<Ь
бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда
даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме —
нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном
числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой (кажущейся теперь по меньшей мере сомнитель-
ной) основе И, Кеплер в своих сочинениях «Новая астроно-
мия» (1609) и «Стереометрия винных бочек» (1615) правильно
вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограни-
ченной эллипсом) и объемов (разрезая тело на бесконечно тон-
кие пластинки). Эти исследования были продолжены Б. К а-
в а л ь е р и (1598— 1647).
Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный
Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополни-
тельных предположениях. Объясним принцип Кавальери на при-
мере. Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной
на рисунке 126, где кривые, ограничивающие фигуру снизу
и сверху, имеют уравнения y = f(x) и y = f (х)+С.
Представляя себе нашу фигуру состоящей из «неделимых»,
156
по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, за-
мечаем, что все они имеют общую длину С. Передвигая их в вер-
тикальном направлении, мы можем составить из них прямо-
угольник с основанием Ь — а и высотой С, Поэтому искомая
площадь равна площади полученного прямоугольника, т. е.
S = Si=C(6-a).
Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур
формулируется так. Пусть прямые некоторого пучка параллель-
ных пересекают фигуры Ф1 и Фг по отрезкам равной длины
(рис. 127). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны*. Аналогичный
принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при
нахождении объемов.
В абстрактном виде интеграл
ь
J f (х) dx
а
был определен Лейбницем как «сумма всех ординат» точек гра-
фика функции (имеется, конечно, в виду, что ординаты умножены
на «бесконечно малое» приращение dx абсциссы). Современное
обозначение интеграла по существу восходит к Лейбницу, ко-
* В духе рассуждений математиков XVIII в. мы опускаем оговорки, без
которых утверждение не совсем точно.
торый суммы обозначал большой буквой S. Название «интеграл»
принадлежит ученику Лейбница Я. Бернулли.
Таким образом, интеграл сначала появился независимо от
производной. Поэтому было большим открытием установление
связи между операциями дифференцирования и интегрирования,
которая в общем виде была найдена Лейбницем и Ньюто-
ном: если
F'(x)=f(x),	(1)
ТО	Г
F(x)=\ f(z)dz+C.	(2)
а
Обратно, из (2) вытекает (1).
Систематическое исследование интегрирования элементарных
функций было завершено Эйлером в его книге «Интегральное ис-
числение». Вскоре выяснилось, что далеко не все интегралы от
элементарных функций выражаются через элементарные функции.
Великий русский математик П. Л. Чебышев (1821 —1894)
полностью исследовал этот вопрос для некоторых классов ирра-
циональных функций (так называемых дифференциальных би-
номов) .
Современное понятие определенного интеграла как предела
интегральных сумм принадлежит О. Коши.
Вопросы и задачи на повторение
1.	1) Дайте определение первообразной.
2)	Является ли функция F (х)=-~первообразной для функ-
ции f(x)=— -р- на промежутке:
а) (-5; — 1);Х б) [2; 10]; в) [—17; -3); г) ( — 7; 5)?
3)	Является ли функция F первообразной для функции f на
заданном промежутке:
a)	F (x) = x\—xt f(x) = 2x—1 на /?;
б)	F(x) = x3, f(x) = 3x2 на Я;
В) F(x) = tgx, f(x)=^ на ^);
г) F(x) = cosx, f(x)=—sin х на /??
2.	1) Сформулируйте признак постоянства функции. Сформу-
лируйте основное свойство первообразной.
2)	Выпишите общий вид первообразных для функции:
a)	f(x)=k (k — постоянная);.
б)	f(x) = kx+b (k и b — постоянные);
в)	fM — x0 (а — целое число, — 1);
г)	f(x) = sinx;fl) f(x)=cos х; е) f	: ж) f (х)=^-^.
3)	Найдите первообразную F для функции f, принима-
ющую заданное значение в данной точке:
158
a) f (x)=2x —3, F(l)=5; 6) f (x)=sin x;	= 2.
3.	!)• Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
2)	Найдите общий вид первообразных для функции:
a) f(x)=l—х —х2; б) f(x)=-V + -y ;
х 2 ух
в) f (х)=sin Зх-----—; г) f (х)=-р2=— 10 cos 2х.
cos2 4	^7х-1
О
3)	Найдите для функции f первообразную, график которой
проходит через точку А:
a) f (х)= - А (0; -3); б) f (х)=л/2 cos х, А (^-; -2)
4.	1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Сфор-
мулируйте теорему о вычислении площади криволинейной
трапеции.
2)	Приведите примеры криволинейных трапеций.
3)	Изобразите криволинейную трапецию и найдите ее площадь:
a) y = sin х, t/ = 0, х.=—-, х = ~-;	б) y = x3t у = 0, х = 1, х = 2;
в) I/= (х — 1 )2, £/= 0, х = 3;	г) у = 4х —х3, £/ = 0, х>0.
5.	Г) Что называется интегралом?
2)	Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите инг
теграл:	л
3	" 2"	г	г
a) J x2dx; б) $ sin xdx; в) )	; г) .
- Г	-3	1
3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х2, у = 3х', б) у —6—х —х , у = 0.
Дополнительные упражнения к главе III
Найдите общий вид первообразных для функции (465—466).
465. а) 7 —4х; б) х24-4х—7;
в)	ах3 + bx? + сх + d (а, Ь, с и d — постоянные);
г)	2 sin -4 + 3 cos 6х.
О
6)^: 4
В)	cos2 8х ’	(х+3)2 sin2 Зх
467.	Найдите для функции f первообразную, график которой
проходит через заданную точку:
a) f(x)=-L, Af (9; 1); б) /(х)=Дг, М(1; -3);
в) f(x)---М(-1; 5); г) f(x)=—L-, м(^-- -2).
уо — х	cos х \ 4	/
189
468.	График одной из первообразных для функции проходит
через точку (9; 15), а второй — через точку (1; 1). График
какой из первообразных расположен выше?
Вычислите интеграл (469—471).
2л	л
469.	а) sin -j-dx; б) sin (Зх—dx;
-л	о
Зл	л
ч С dx х С dx
В) \ -----; г) \-------.
!	9 "	J . 9 "
О cos у я Sin “3*
2
3	6	5
470. a) J (1 +2x)9dx; б) $ (2 —у) dx;
О	3 4	'
3	2
В)	ГН (2Х-1!/	dX-
л	2л
471*. a) J sin2 xdx\ б) Jcos2 nxdx, n£N',
— л	0
2л	2л
в) J sin 3xcos 5xdx; г) J sin kx sin mx dx; m£N, k£N.
о	0
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (472—
473).
472. a) у=—4 у = 0; х=1,х = 4; б) у=4-, у = 0, х=1, х = 5;
ух
в) у=^уу = 7 — Зх;	г) у = 2 — х — х2, у = 0.
473. а) у = х2, у — 2х — х2; б) у = х2л, у=1;
в) у = х2 — 2x4-2, y = 2-f-4x —х2.
474*. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг
оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) у = х2, х = 0, х=1, у = 0; в) у = х3, х = 0, х=1, у = 0;
б) у=х2, х=1, х = 3, у = 0;	г) у=х4, х = 0, х=1, у = 0.
475.	Докажите равенство:
а)	W + £ W) dx=\ f (x) dx+$ g (x) dx;
a	a	a
b	b
6)	kf (x) dx = k J f (x) dx (k — постоянная);
a	a
160
k	kb + c
D	с
в)	f {kx-\-c)dx — -^ ] f (x)dx, где k и с — постоянные, k =4 0.
a	ka 4“ с
476.	Пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, покажите, что
интеграл не зависит от обозначения переменной интегри-
рования, т. е.
ь	ь	ь
\f(x)dx=\f(t) dt=\f(z) dz = ....
а	а	а
477*. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
a)	y = sinx, х = 0, х = л, у = 0;	в) у = х2, у = х\
б)	y = cosx, х = 0, у = 0; г) х2 + (у — Ь)2 = а2, Ь>а.
478*. Докажите, что функция F есть первообразная для функции
f на указанном промежутке:
a)	F(x)=|x|, f(x)=l, х£(0, оо);
б)	F(x)=|x|, f(x)=-l, х€(-оо;’0);
в)	F(x) = x-^, f(x)=|x|, x£R.
479*. Докажите:
ь
a)	J f (x) dx>0, если f(x)>0 на отрезке [a, &];
a
b	b
6)	J f (x) dx< J g (x) dx, если f(x)<g(x) на отрезке [a; b],
a	a
a+T	T
в)	J f (x) dx = J f (x) dx при любом a, если f (x -f- T) = f (x)
a	0
для всех xfzR.
480*. Докажите:
a
a)	j f(x)dx = 0, если f ( — x)= — f (x) для всех x из отрезка
— a
[ — a; a];
a	a
6)	J f (x) dx = 2 J f (x) dx, если f( —x) = f(x) для всех x из
— a	0
отрезка [ — a; a];
ь	b
B) | J f (x) dx | J | f (x) | dx при a<b.
a	"a
6 Заказ 21G
161
Глава IV
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИИ
§ 10. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ
36. Корень п-й степени и его свойства
1. С понятием квадратного корня из числа а вы уже знако-
мы: это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично
определяется корень п-й степени из числа а, где п — произволь-
ное натуральное число, большее 1.
Определение. Корнем n-й степени из числа а называется
такое число, n-я степень которого равна а.
Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3,
так как З3 = 27. Числа 2 и —2 являются корнями шестой
степени из числа 64, поскольку 26 = 64 и ( —2)6 = 64.
Согласно данному определению корень n-й степени из числа
а — это произвольное решение уравнения хп = а. Число корней
этого уравнения зависит от и и а. Рассмотрим функцию
f(x) = xn. Как известно, на промежутке [0, оо) эта функция
при любом п возрастает и принимает все значения из проме-
жутка [0; оо). По теореме о корне (п. 10) уравнение хп = а
для любого а£[0; оо) имеет неотрицательный корень и притом
только один. Его называют арифметическим корнем п-й степени
из числа а и обозначают число п называют показателем
корня, а само число а — подкоренным выражением.
Определение. Арифметическим корнем п-й степени из
числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого
равна а.
Пример 2. Найдем значения: а) ^8; б)
а) ^/8 = 2, так как 23 = 8 и 2 > 0;
При четных п функция f(x) = xn четна. Отсюда следует, что
если а>0, то уравнение хп = а, кроме корня х\=1\[а, имеет
также корень Х2= — *\[а. Если а=0, то корень один: х = 0; если
а<0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная
степень любого числа неотрицательна.
Итак, при четном п существуют два корня п-й степени
из любого положительного числа а; корень п-й сурпени
из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицатель-
ных чисел не существует.
162
ёр: З. Уравнение х4 = 81 имеет два корня: это числа
Таквм образом, существуют два корня четвертой
стёпенж из 81. При этом Ь/81 — это неотрицательное число, т. е.
\^Т=3, а —3= — W-	.
П р и м ё р 4. Положительным корнем уравнения х =3 являет-
ся число rfi. Это число (так же, впрочем, как и число — А/З)
иррационально. Его десятичные знаки можно вычислять последо-
вательно:
1 <^/3<2, так как 1*<3<24;
1,3<А/^< 1-4, так как 1,34<3< 1,44, и т. д.
(Убедитесь, что Д/3= 1,31607...)
При нечетных значениях п функция f(x) = xn возрастает на
всей числовой прямой; ее область значений — множество всех
действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим,
что уравнение хп = а имеет в точности один корень при
любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого
значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают 1\/а.
Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из
любого числа а и притом только один.
Для корней нечетной степени справедливо равенство
Vz:a=-5/a-
В самом деле,
(-5/S)n = (- l)?.(V^)n= - 1 -а = — а,
т. е. число — есть корень п-н степени из — а. Но такой
корень при нечетном п единствен. Следовательно, а = —
Равенство ^—а = —\[а (при нечетном п) позволяет выразить
корень нечетной степени из отрицательного числа через арифме-
тический корень той же степени. Например, ^/—71= —^/71;
VZZ27=’-V57=~3.
Замечание 1. Для любого х
Ч/хп=1 1*1» если п четно;
* I х, если п нечетно
(докажите это свойство самостоятельно).
Замечание 2. Как вы уже знаете, корень второй степе-
ни из числа называют кадратным корнем, а показатель 2 корня
при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозна-
чают просто -у7). Корень третьей степени называют кубическим
корнем.
Пример 5. Решим уравнения: а) х5 = —• 11; б) х8 = 7.
а)	По определению корня n-й степени число х — корень
пятой степени из —11. Показатель корня — нечетное число 5,
поэтому такой корень существует и притом только один: это
V— Н. Ответ записывают так: х= — VT1.
б)	По определению корня n-й степени решением уравнения
%8 = 7 является число ^/7. Так как 8 — число четное^—^/7 также
является решением данного уравнения. Итак, Х|=^/7, X2=~*V7.
Ответ можно записать так:
2. Сформулируем и докажем основные свойства арифметичес-
ких корней п-й степени.
Для любых натуральных чисел п и k, больших 1, и любых
неотрицательных чисел а и b выполнены равенства:
1°. 1/ab
2°.
v Ь <\[ь
3°. VVa =п^а.
4°.
5°.	={^а)к.
Докажем свойство 1°. По определению \[ab — это такое неотри-
цательное число, п-я степень которого равна ab. Число 4/a**\/b
неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справедливость
равенства	— ab, которое вытекает из свойств степени
с натуральным показателем и определения корня n-й степени:
(Va • W = (W • (W = <&.
Аналогично доказываются следующие три свойства:
& >0 п /5/«у= (5/5Г = * .
ц/ь Уч/ь/	ь ’
и (л/\^)лЛ==((л/\^)лУ = (V^/ = a>
Va > 0 и (^а)л* = ((W/ =
Докажем теперь свойство 5°. Заметим, что n-я степень числа
(^[а)к равна ak:
^)k)n =	= ((^Г = ak.
По определению арифметического корня (t\/ay)k = i\fak (так как
(^>0).
Приведем примеры применения свойств 1 — 5 к решению
задач на преобразование числовых выражений, содержащих
корни.
.г .г 4 ГТ
Пример 6. Преобразуем выражения: а)	б) у 5—;
в) г) 2V128; Д) V1283.	Ч
а) По свойству 1° V8’V4 = V32 —2;
164
в)	7W —	(свойство 3°);
г)	по свойству 4° 2J\/128 = 2J\/27=V2;
д)	применяя свойство 5°, находим: V1283 = (VT28)3 = 23 = 8.
Докажем следующее свойство арифметического корня.
6°. Для любых чисел а и Ь, таких, что 0^.а<.Ь, выпол-
няется неравенство
^~а<^Ь.
Проведем доказательство методом от противного. Допустим,
что	Тогда по свойству степеней с натуральным пока
зателем	т. е. а~^Ь. Это противоречит условию
а<&.
Пример 7. Сравним числа у2 и уЗ.
Представим ^2 и 73 в виде корней с одним и тем же
показателем: ^/2 = lj\^s = *^/32, а 73 =’733 ='V27 (при этом
мы воспользовались свойством 4°). Из неравенства 32 >27
и свойства 6° следует, что '^/32 > '^/27, и, значит, ^/2 > 73.
Пример 8. Решим неравенство х6>20.
Это неравенство равносильно неравенству № — 20 >0. Так как
функция х6—20 непрерывна, можно воспользоваться методом
интервалов. Уравнение х6 — 20=0 имеет два корня: 720 и
—720. Эти числа разбивают прямую на три промежут-
ка. Решение данного неравенства — объединение двух из них:
(-оо; -V20) и (720; оо).
Упражнения
481. Проверьте справедливость равенства:
а) УГб = 2; б) 7^1=-1;	в) 7625 = 5;	г) *VT=1;
д) >\/0 = 0; е) lV1024 = 2;	ж) Т343 = 7;
з) 7~243=—3.
482. Верно ли равенство:
а) -711-6-72=3—72;	б) -74-273= 1--73;
в) 71977-50=77-2;	г) 77-572=72-1?
483. Вычислите:
б) V=32 ;
165
484. Упростите:
a) (-VTT)4; б) (W; в) (3V=3)5;
г)	д)	е) Уб^.
Найдите значение числового выражения (485—487).
485. a) V16-625; 6) У8-343; в) У32-243; г) УО,00001 -32;
д) У24Л);	е) V48T27; ж) У160-625; з) У75-45.
486. a) V27-V9; б) УТб-У^8; в) УЭ-УЭ; г) У-25-^5;
488.	Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли
женное значение корня:
а) л/7Т;	б) 713^1; в) УГГ; г) УПЩ;
д) V2J; е) УТЗ;	ж) УШ; з) УГЗЛ
489.	Какое из чисел больше:
а)	^/2 или У§;	б) У0^2 или УбД
в)	У1,8 или 1;	г) ‘Уб^8 или 1;
12 /	—	18 / q	______
д)	УТГ или	е) у —или *У0,43;
ж)	У—0,2 или 0;	3) или ?
490.	Сравните числа:
а) У7 и У40;
в) У? и ‘У87;
д) У^2 и У^4;
ж) У—5 и У—3;
б) л/5 и У500;
г) У<ХЗ и У0^05;
е) У=5 и У—3;
з) узгбл и у^з.
491.	Найдите первые два десятичных знака (после запятой)
числа:
а) л/7; б) УЗ; в) Уб; г) \/2.
492.	Вынесите множители за знак корня (а>0, 6>0):
а) -\/4а;	б) У186;	в) У64с;	г) Уа5;
д) Узгб3'; е) Уб4а	ж) У~128а?; з) Уба|2&2с4.
166
. 493. Внесите множитель под знак корня (а>0, 6>0):
. «) 2д/3; б) 3^5;	в) 2д/^.;	г) аА/7;
д) bSfi, е) — brfi-,	ж) — а&У^4; з)
494.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе (приведите
к,виду а^Ь, где а — рациональное число, a b — натураль-
ное):
а) 6 *ji	в X®' W
д) 3 ; е) £	Ж» i 3)
Vi2 V?	^27^25
495.	Представьте в виде число:
a) VW;	б)	ААЛА*; в)	Vе*2 V^‘>
г) ‘V363’;	д)	’V255; е)	ЦйРь*.
Решите уравнение (496—498).
496.	а) х3=4;	б)	х3 4-4 = 0;	в) х4 =	10;	г)	х6=5;
д) х5 = 3;	е)	х10—15=0;	ж) х6 —64 = 0;	з)	х7 4-128 = 0.
497.	а) 16х4—1=0;	б) 0,01х34-10=0;
в) 0,02х6 —1,28=0;	г) 12-2-—^-х2 = 0.
,	'44
498.	а) ->/х=5; б)%/х=—0,7; в) Цх = 0; г) \[х = 2.
499.	Решите уравнение с помощью подстановки t=\[x или /=^/х:
a) V*-3V*4-2 = 0; б) V*4-V*=2;
в) —	4-6=0; г) %/х—5^/x = Q.
500.	Решите неравенство:
а) х3<?5;	б) х4<3;	в) х72> 11;	г) х'°>2;
д) V*>2; е) ^/x<Z—7;	ж) \/х^З;	з) %/х^—2.
501.	При каких значениях а верно равенство:
a) -^aF=— а\ б) \[^=а\ в) ^[с^=а\
г) ^^^"=|а|;	д) \/a5’=|al; е) \[^=—а>
502. Упростите выражение:
a)	-^aF, где а>0;
в) где а>0;
ж)	а>0;
б)	где а<0;
г)	гДе а=С0;
е)
з)	а^0.
167
503.	Найдите значение выражения:
а) л/З—V5-V3+V5;	б) д/э~ V65-A/9 +л/65;
в) Vio+V73-Vio—V73;	г>
504.	Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит
знака корня:
\	1	/?\	3	\ а— ~\/2	\ Ь — -у/7
а) п=—б) ——в) ---------------г) --------~г;
-V3 + V2	V7-V5	a-j-^2 2b—fi>
„х 1	. лЧ 2	ч 2	ч За
V2-V3 ’	V5+W; Ж a-Vb; 3 V5+V*
37. Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком
корня, называют иррациональными. Таково, например, уравнение
V* —2 = 0.
Приведем примеры решения иррациональных уравнений.
Пример 1. Решим уравнение
VvT:z5 = 2.	(1)
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
х2 — 5 = 4.
Отсюда следует, что
х2 = 9, т. е. х = 3 и х=—3.
Проверим, что полученные числа являются решением уравнения
(1). Действительно, при подстановке их в это уравнение полу-
чаются-я^рные равенства
л/35^5 = 2 и д/(-3)1!-5 = 2.
Следовательно, х = 3 и х=— 3 — решения уравнения (1).
Пример 2. Решим уравнение
= х —2.	(2)
Возведем в квадрат обе части уравнения (2):
х = х2 —4x4-4.
После упрощений получаем квадратное уравнение
х2 —5x4“ 4 = 0,
корни которого суть х=1 и х = 4. Проверим, являются ли
168
полученные числа решениями з-аданного уравнения (2)* При
подстановке числа 4 в уравнение (2) получаем верное равенство
-^/4=4 — 2. При подстановке же числа 1 получаем в правой части
— 1, а в левой части — число 1. Следовательно, число 1 не
является решением уравнения (2) — говорят, что это посторонний
корень (полученный в результате принятого способа решения
этого уравнения). Решением уравнения (2) является только
число 4.
Пример 3. Решим уравнение
7x^2 =	(3)
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
х2 — 2 = х.
Получаем квадратное уравнение
х2 —х —2 = 0,
корни которого суть х= —1 и х = 2. Сразу ясно, что число
— 1 не является корнем уравнения (3), так как обе части этого
уравнения не определены при х = — 1. При подстановке в уравне-
ние (3) числа 2 получаем верное равенство -д/22 —2 = -д/2. Следо-
вательно, решением уравнения (3) является только число 2.
Число — 1 есть посторонний корень.
Пример 4. Решим уравнение
~у/х — 6=п/4 —х.	(4)
Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем: х — 6 =
= 4—-х, 2х=10 и х = 5. Подстановкой убеждаемся, что число
5 не является корнем уравнения (4). Поэтому уравнение не имеет
решений.
Мы видим, что при решении иррациональных уравнения
полученные решения требуют проверки, потому, например, что
неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное
равенство. В самом деле, неверное равенство 1 = — 1 при возве-
дении в квадрат дает верное равенство 12 = (—-1)2.
Иногда гораздо удобнее решать иррациональные уравнения,
используя равносильные переходы. Например, по определению
корнем 2п-й степени из f называется такое неотрицательное
число g, что g2n = f. Другими словами, уравнение 2VT= g равно-
сильно системе
Т*-Че* чт°бы решить уравнение 21y[f = gt надо решить уравнение
(5) и проверить для его корней выполнение условия (6).
169
Пример 5. Решим уравнение
V^2 = x-8.	(7)
По определению квадратного корня уравнение
^х — 2 = х — 8 равносильно системе
( х —2=(х —8)2,	(8)
I х — 8>0.	(9)
Решаем уравнение (8), равносильное уравнению
х2_17х + 66 = 0
Его корни суть 11 и 6, но условие (9) выполняется только
для х=11. Поэтому уравнение (7) имеет один корень х=11.
Пример 6. Решим систему уравнений
I х+у = 28.
Положив и — \[х и v=K[y, приходим к системе
)	f u + v = 4,	(10)
/	I «34-р3 = 28.
Разложим левую часть второго уравнения на множители:
и3 + V3 = (и + v) (и? — UV + V2).
Из первого уравнения следует, что u + v = 4. Поэтому система
(10) равносильна системе
/ u + v = 4,
I и2-— uv + v2 = 7.
Подставляя во второе уравнение значение и, найденное
из первого (и = 4 — и), приходим к уравнению
u2 —u(4 —u)+(4 —и)2 = 7, т. е. и2 — 4и + 3 = 0.
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: = l
и ^2=3. Соответствующие значения v таковы: uj=3 и ^2 = 1-
Переходя к переменным х и yt получаем:
^Jx = Ui, т. е. xi = u?=l; z/i = vf = 27; х2 = ^2 = 27; «/2 = и2 = 1.
Ответ: (1; 27); (27; 1).
Упражнения
Решите уравнение (505—507).
505.	a) V13-x2 = 3;	б) Vx2-4x-l=2;
в) х—V* +1 =5; г) 4 4-V2x4-3=x —2.
170
508. а) I х + у=1,
I х3+у3 = 7;
в) Г х-Ьу+у=9,
I (f±^=20;
у
509. а) ( -L_|-_L= 4
J Vx Vi/ 4
506.	a) -/x+ 1 Vx 4-6 = 6;	6) -yfx-^2 — x — 2x\
=’ -Ж-Д r> ^ЙГ=^'
507.	a) Vx2 + 2x+10 = 2x—1;	6) Vx2 + x+1 =* —4;
в) ~\]2x2 + 5x + 1 = x — 1;	r) л/17 + 2x — 3x2 = x +1.
Решите систему уравнений (508—509).
6) f х2 + ху — —2,
I у2+ху = 3;
г) ( х4+у4 = 82,
I ху = 3.
б) f V^">/y + V^/y= 12,
I ху = 64;
к ху = 9;
в) Г л/х+у+Ух —у=6, г) Г —у=1'
I У(х + у)3(х —у)2=8,	I х2 + 3у2=16.
х>у;
38. Степень с рациональным показателем
Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показате-
лем. Напомним свойства таких степеней.
Для любых чисел а, b и любых целых чисел тип спра-
ведливы равенства:
ат.ал = ат+л; ат:ап==ат~п (а=/=0);
{ат}п^атп\
(aby = an'b“-, (-£)’=-£ (й#=0);
а'=сг, а°=1 (а=/=0).
Отметим также следующее свойство;
если т > /г, то ат > ап при а > 1 и а™ < ап при 0 < а < 1.
В этом пункте мы обобщим^ понятие степени числа, придав
смысл выражениям типа 20,3, 81, 4 2 и т. д. Естественно при
этом дать определение так, чтобы степени с рациональными
показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их ча-
стью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, п-я
171
т
степень числа ап должна быть равна ат. Действительно, если
свойство
(ap)q = apq
выполняется, то
т	т
{a!')n = ai'"'= ат.
Последнее равенство означает (по определению корня п-й
т
степени), что число а" есть корень n-й степени из числа ат.
Таким образом, приходим к следующему определению.
Определение. Степенью числа а>0 с рациональным
показателем г=-^~> где m — целое число, ап — натуральное
(п> 1), называется число !у/ая.
Итак, по определению
m
(1)
Степень числа 0 определена только для положительных по-
казателей; по определению 0г = 0 для любого г>0.
Пример 1. По определению степени с дробным показателем
_1_	_5	_ 7_
74 =V7; 2G =V25=V32; а
—
Пример 2. Найдем значения числовых выражений 83;
814 и 128 7.
Воспользовавшись определением степени с дробными пока-
зателем и свойствами корней, имеем:
± 1
83=V8 = 2; 81 4 =V8F=(V8T)3 = 33 = 27;
_ 2	___
128 7= Vf28^=(Vi28)_2=2-2=-L.
Замечание 1. Из определения степени с дробным пока-
зателем сразу следует, что для любого положительного а и
любого рационального г число аг положительно.
Замечание 2. Любое рациональное число допускает раз-
личные записи его в виде дроби, поскольку — = — для любого
натурального k. Значение аг также не зависит от формы записи
рационального числа г. В самом деле, из свойств корней следует,
что
mk	m
апк = "А/62"*	—ап.
172
При а<0 рациональная степень числа а не определяется,
и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) и для
а<0, то, например, значение ( — 8)3 равнялось бы V-8, т. е.
*	1	2
— 2. Но, с другой стороны, —, и поэтому должно выпол-
няться равенство
1	1
-2 = (-8)3 =( —8)6 =V(-8)2=V85’=2.
Покажем теперь, что при сформулированном выше определении
степени с рациональным показателем сохраняются основные свой-
ства степеней, верные для целых показателей (разница заклю-
чается в том, что приводимые далее свойства верны только
L для положительных оснований).
Для любых рациональных чисел г и s и любых положительных
а и b справедливы равенства:
1°. ar-as = ar+s.
2°. ar:as = ar”s.
3°. (ar)s==ars.
4°. (ab)r = ar'br.
\ о/ о
t	Для доказательства этих свойств надо воспользоваться оп-
ределением степени с рациональным показателем и доказанны-
ми в п. 36 свойствами корней. Докажем, например, свойства 1°,
3° и 4°. Пусть г—и	где п и q — натуральные числа,
t а т и.р — целые. Тогда
__	___ mq + np
ar•as — r\[a^= лУат<7+пр=а nq =ar+s'

Свойства 2° и 5° доказываются аналогично (проведите соот-
ветствующие рассуждения самостоятельно).
1 _ 2
Пример 3. Найдем значение выражения (\/40-24):5 4.
Имеем:
1 --	1 2	24.1 1-4-2
А/4б-2 4:5 4 =V2^5-2 4 -5 4 =2 4 4 -54 4 =21-5, = 10
173
Пример 4. Преобразуем выражения:
а)
2	।
а2-Ь~2 .
। 1 >
б)
а^-Ь"
ао.8 + ао.4ьо.7 + 61л •
а* +Ь*
Имеем:
а)	-Аа*)г~{Ь')г . {а* -Ь^{а^+Ь*)_а\	.
а*+Ь~* а*+Ъ*	а*+Ъ*
Л\ . а'я-Ьи _	(а0'4)3-^0-7)3	_ ол /.0.7
б)	aW + ad,4ftO.7 + 6l.4 — (a».4)2 + a0,4Z>0,7 + (60,7)2 —a 6	•
Отметим следующие два свойства степеней с рациональными
показателями.
6°. Пусть г — рациональное число и 0<.а<Ь. Тогда
а'<.Ь' при г>0,
ar>br при г<_0.
7°. Для любых рациональных чисел г и s из неравенства
r>s следует, что
a'>as при а>1,
ar<as ирм/0<а<1.
Докажем свойство 6°. Если г>0, то г можно записать в
виде г=—, где тип — натуральные числа. Из неравенства
0<.a<Zb и свойств степени с целым показателем следует, что
am<.bm. По свойству корней (свойство 6°, п. 36) из этого нера-
венства получаем
т. е. а'<Ь'.
В случае г<0 проводится аналогичное рассуждение.
Для доказательства свойства 7° приведем сначала рацио-
нальные числа г и з к общему знаменателю:	и s=-£-,
где п — натуральное число, а m и р —целые. Из неравенства
г>з следует, что т>р. Если a> 1, то an=^/a>-1, и по свойству
степени с целым показателем
2	2
(a’)”>(a7.
\
1	т	1	р
Остается заметить, что (ап)т=-ап =аг и (an'f = an =asi.
Случай 0<а<1 разбирается аналогично.
174
•4
£
Пример 5. Сравним числа V& и 2 3.
Запишем V8 в виде степени с рациональным показателем:
3	2	2
V8 = 25. По свойству 7° получаем 23>25, так как
“	о о
Пример 6. Сравним числа 2300 и З200.
Запишем эти числа в виде степеней с одинаковым показа-
телем:
2зоо
_(23yoo_gioo. 3200 _/32)10° _ дЮО
Так как 8 <9, по свойству 6° получаем:
8юо
<9100, т. е. 2300
<3200.
Упражнения
Представьте выражение в виде степени с рациональным по-
казателем (510—51 Г).
510. а)	б)	Vs5;	в)	V3'7;	г)	V^51;
д)	V52;	е)	V7-11;	ж)	V2-15;	з)	'^/ь~7.
51f. a)	2V&i;	б)	3-V3V;	в>	г)
д)	V^’V^5; е)	ж)	Д/а2Ца-	з)
512. Представьте выражение в виде корня из числа:
4	3	2
а) 77; б) 41,25;	в) 3-2 5;	г) 2-8п;
—	_ 2	1 2	2 2
д) а8; е) 26 3;	ж) b3 с7;	з) а4:65.
Найдите значение числового выражения (513—514).
513. а)
г)
ж)
£
164;	б) 2430,4;
82:(8®-92); Д) (-g.)’;
£
(100 000)0,3- • (0.000 001)3;
3 —
в) 8 3 .81°-25;
514. а)
б)

4	1
V36-23:3®;
8	7
1 —
2437 -(7V7)3.
175
515. Какое из чисел больше:
1 _ 1 ±
а) х3; б) х 4; в) (х—I)5;
518. При каких значениях переменной
а) (а7)3 = а; б) (а3)3=сг,
4)4 = -а; д) (а°-7й = а.
516. Какое из выражений имеет смысл:
а) 53;	б) 5 3;	в) О7;
г) О-7;	д) ( —З)4;	е) (-3)’7?
517. Найдите область определения выражения:
г) (*+1) 7 •
а верно равенство:
в) (а3)3= —а;
е> ?
Упростите выражение и вычислите его значение (519—520).
_1
519.	a) 273 +(-jL)_°'75 - 250-5;	б> 81°’75+(тЬ') 3 “ (i)
в) (г.б'-’+ОЛ'^С^+л/ОЛ); г) З-3 VE5:(0,25V216V9).
520.	a) W?+	; б) A/32V4+	5—3^^;
V 2
в) 5V4V192 +7^18^8? .
V12V24 + 6V375
Упростите выражение (521—522).
521.	а)	б) 
\ fl 4~ b	v z — 8
В)	2	2	1	1 >	)	2	1
а3 + ^3 — а3Ь~*	z1 4-2z3 4-4
176

522. a)
в)
(->Д-Ц)(х2-т/х) 1
(х+^х+х^х)-'
(W (-V^W4
11 1
б) (Х2+у2)2 —(4xt/)2;
523. Разложите на множители:
j_	i
а) З + З2; б) 4 — 43; в) а—а
1 1 11
д) (Зх)2—(5х)2;	е) с2+с4;
11 1 1
2; г) (ах)3+(ау)3;
1 ± ± 1
ж) а+а2 + Ь2 а2 +Ь 2;
з) х3у3 — х3 —у3 4-1.
§ 11. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИИ
39. Показательная функция
Зафиксируем положительное число а и поставим в соответ-
tn
ствие каждому числу число ап. Тем самым получим число-
вую функцию f(x)=a*, опре-
деленную на множестве Q ра-
циональных чисел и облада-
ющую перечисленными в п. 38
свойствами. При а=1 функ-
ция ах постоянна, так как
1*=1 для любого рациональ-
ного х.
Нанесем несколько точек
графика функции 2х, предвари-
тельно вычислив с помощью
калькулятора значения 2х на
отрезке [—2; 3] с шагом -i-
(рис. 128, а), а затем с шагом
-g- (рис. 128,6). Продолжая
мысленно такие же построения
с шагом -i и т. д.,
мы видим, что получающиеся
точки можно соединить плавной
кривой, которую естественно
считать графиком некоторой
177
178
функции,определенной и возра-
стающей уже на всей числовой
прямой и принимающей значе-
т
ния 2" в рациональных точках
х=^ (рис. 128, в). Построив
достаточно большое число точек
графика функции (рис.
129, а, б), мы увидим, что ана-
логичными свойствами обла-
дает и эта функция (отли-
чие состоит в том, что функ-
ция (-4 ) убывает на R, рис.
129, в).
Эти наблюдения подсказы-
вают, что справедливо следую-
щее предложение.
Для любого положительного
числа а существует, и притом
только одна, функция, опреде-
ленная на всей числовой пря-
мой, возрастающая при а > 1
(убывающая при 0<Za<Z\) и
—
принимающая значения а п при
рациональных значениях х=-^
аргумента. Эту функцию на-
зывают показательной функ-
цией с основанием а (обозна-
чают ах). Графики функции
ах для некоторых значе-
ний а изображены на рисун-
ке 130.
▼ Наметим схему доказатель-
ства сформулированного предло-
жения в случае а> 1.
Функция ах должна быть
возрастающей. Поэтому при лю-
бых рациональных rt и г2, та-
ких, что ri < х < Г2, значение ах
должн§ удовлетворять нера-
венствам
ar'<ax
179
Выбирая значения г( и г2, приближающиеся к х, можно
заметить, что и соответствующие значения а'1 и а'3 будут мало
отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только
одно, число у, которое больше всех а'1 для всех рациональных
ri<x и меньше всех а'3 для всех рациональных г2>х. Это
число у по определению есть ах.
Например, вычислив с помощью калькулятора значения
функции 2* в точках хп и х’п, где хп и х'п — десятичные прибли-
жения числа х=-\/3, мы обнаружим, что, чем ближе х„ и Хп к
-у/З, тем меньше отличаются 2Хя и 2Хя.
Так как 1<-ТЗ<2*,
2,=2<2V5<22 = 4.
1,7 <-\/3 < 1,8 и, значит,
21,7 « 3,2490096 < 2^< 218 » 3,4822022.
Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближе-
ния -у/3 по недостатку и избытку, приходим к неравенствам:
21,73	а 3,3172782 <	^2^<21,74	?	к 3,3403517;
21’732	а 3,3218801<	2^°<^ 21’733	а 3,3241834;
21,7320 £	» 3,3218801 <	^2‘>/з<^ 21,7321 £	«3,3221104;
21,73205 £	»3,3219952<2?/5< 21-73206 s		«3,3220182;
21,732050 £	s 3,3219952<	^2 ^<21,732051 ?	«3,3219975.
Значение 2^, вычисленное на калькуляторе, таково:
2^3,321997.
После того как определена показательная функция, надо до-
казывать ее основные свойства. V
Перечислим основные свойства показательной функции у = ах
(их доказательство выходит за рамки школьного курса).
1. Область определения функции ах — множество R действи-
тельных чисел.
2. Область значений функции ах (при а =/= 1) — множество
/?+ всех положительных действительных
чисел. При а=1 функция ах при всех х
постоянна: она равна 1.
3. При а>1 функция ах возрастает
на всей числовой прямой; при 0<а<1
функция ах убывает на множестве R
(рис. 131).
4. При любых действительных значе-
ниях х и у справедливы равенства,
axav=ax+v-, ?С=ах-у-,
а*
180
W'-aW, (-0=-£
(axy> — ax!>.
Эти формулы называют основными свойствами степеней.
Свойства 3) и 4) означают, что для функции ах, опреде-
ленной на всей числовой прямой, остаются верными свойства
функции ах, которая сначала была определена только для ра-
циональных х (см. свойства 1°—7°, п. 38).
Упражнения
524.	Изобразите схематически график функции:
а) у = 5Х; б) у = 0,3х;
525.	Вычислите:
в) у=1х; г) у = 0х.
б)
г) 18^.3<^-уг.
'> ((i)* 2
з) (3^-V?
а) 8^:23^;
в) 24л/3:2з/27-31-л/3;
Д) (($V;
ж) (5^V3.
526.	Какое из чисел больше:
а) или 2-1,5;
в) 5-0,4^ или 2-2,5~0,5;
527.	Угостите выражение:
a)	;
в) а^-а1,3:^а3^;
д) (а72)72;
ж) (а**-1)(д«*--а*)-'.
(а^ + а^ + а3^)-1’
6)3^ или (-А-) 2'25;
б)
г) хп-\/х2:х*л;
е)
з) •д/(хп+ул)2-(4^ху)л.
528.	Укажите область значений функции:
а) 3х;	б) 0,7х;	в) Iх;	г) 0х;
Д) 2|х|;	е) 0,7|х|;	ж)3х — 1;	з) 2 —0,7х.
529.	Вычислите с точностью до 0,0001 (пользуясь таблицами
или калькулятором) значения:
а) Ю'-7 и 101,8; б) 101-73 и 101’74; в) 10*-732 и 101-733; г) Ю'-7320
и Ю1-7321.
Найдите, пользуясь полученными результатами, значение
10^ с точностью до 0,01.
181
40. Решение показательных уравнений и неравенств
1. Рассмотрим простейшее показательное уравнение
ах = ас,	(1)
где а>0 и а#=1. Функция ах на промежутке (—оо; оо) возра-
стает при а> 1 (убывает при 0<а<1) и принимает все поло-
жительные значения. Применяя теорему о корне (п. 10), по-
лучаем, что уравнение (1) при любом положительном а, отличном
от 1, имеет единственный корень. Очевидно, что этим кор-
нем является число с (рис. 132).
Пример 1. Решим уравнение
7x~2=V49.
£
Заметим, что 49 = 72, а ^/49 = 73. Поэтому данное уравне-
ние можно записать в виде
£
7х-2 = 7з
Следовательно, корнями данного уравнения являются только
2	2
такие числа х, для которых х—2 = — т. е. х=2—. Ответ:
О	О
х = 24
Пример 2. Решим уравнение
5x’-2x-i = 25
Перепишем его в виде
5х’-2х-1_52
Корнями этого уравнения являются только такие числа х,
для которых х2 — 2х— 1=2. Приходим к квадратному уравнению,
корни которого — числа 3 и — 1. О т в е т: 3; — 1.
Рис. 132.
182
Пример 3. Решим уравнение
6х+1-|-35«6*_| = 71.
Заметим, что 6х+1 = 36"6х-1. Поэтому данное уравнение мож-
но записать в виде Зб-б*"' + 35-6*-' = 71, т. е. 71.6х-' = 71,
откуда 6х-1 = 1, х— 1 =0 и х — 1. Ответ: 1.
Пример 4. Решим уравнение
4х-5-2х + 4 = 0.
Сделаем замену переменной /=2Х. Заметим, что 4Х=(2Х)2 = /2.
Поэтому данное уравнение принимает вид
/2_5/_|_4 = 0.
Найдем решения этого квадратного уравнения: /1 = 1 и <2 = 4.
Решая уравнения замены 2х =1 и 2х = 4, получаем: х = 0 и х = 2.
Ответ: 0; 2.
2. Решение простейших показательных неравенств основано
на известном свойстве функции ах: эта функция возрастает при
а>1 и убывает при 0<а<1.
Пример 5. Решим неравенство
0,57-3х<4.
Пользуясь тем, что 0,5~2 = 4, перепишем заданное неравен-
ство в виде
Ч_.	0,57-3х<0,5-2.
Показательная функция 0,5* убывает, так как 0,5 < 1. Поэто-
му данное неравенство равносильно неравенству 7 —Зх>—2,
откуда х<3. Ответ: (— оо; 3).
Пример 6. Решим неравенство
6х’+2х> б3
Показательная функция 6‘ возрастает, так как б>1. По-
этому данное неравенство равносильно неравенству х2 + 2х>3.
Решением этого неравенства, а, следовательно, и исходного, слу-
жит объединение интервалов (—оо; —3) и (1; оо).
Пример 7. Решим неравенство
(4)-^+3<О.

Сделаем замену t
тогда
и
неравенство
перепишется в виде
/2—28/ + 3<0.
О
183
Решением этого квадратичного неравенства служит интервал
9^, т. е. все числа /, удовлетворяющие неравенству -у<
<Zt<Z9. Следовательно, решением данного неравенства являют-
1 / 1 \х
ся числа х, удовлетворяющие неравенству -у <7 -у! <9, и толь-
I	_2	t
ко такие числа. Но -|= (-у). 9=	, а функция
убывает, поскольку 4-< 1 • Поэтому решением неравенства 4-<
О	О
<9 будут числа х, удовлетворяющие неравенству
Упражнения
Решите уравнение (530—534).
530. а) 4‘ = 64; в) 3' = 81; в) 25-=-Ь
«> (!)'-£; '> (4)'=^ «)
531.	а) 2Х=1;	б) лх=1;	в)
(. чх3~9х	_ ч
-^)	=1; Д) 73^=9;	е)
г) 8х =16;
з) GW-
gx2—5х — 10	।.
-^/2Г-^3Г=36;
532.	а) 36-Х = 3ЗХ-2;
в)
д) Зх2~х-2 = 81;
ж) 2x2+x-°-5 = 4V2;
533.	а) 4х+,4-4х = 320;
в) 7х+2 + 4.7х-‘=347;
/ Q \ 3* + 1	/ 7 \ 5х — 9
6> (4-) -(4-) >
г) 2х5х = 0,Ь(10х-')5;
/ 1 \ *2 + 2* — 5
е) (4-)	-25;
2Л2 + Х_О,5_^
3) ( 7/	7 •
б) 2«Зх+* -4.3Х“2= 150;
о (4Г’-(4Г=«-
534. а)
б) 2-Зх+' + 2-32~х = 56;
в)
4,96;
г) 4^=^-j. 16= 10-2^^.
Решите неравенство (535—539).
535. а) 2Х>^-;	б) (4-)‘<1; в) (0,3)х>0,09; г) (-^<-1-;
д) (0,2)х>^; е) ^>27;	ж) 0,52х< 1;	з) ^<49.
184
536. а)	23“5x<8;	б)	0,42х+‘>0,16;
в)	32“х>27;	г)	0,75-2*<0,49;
д)	103х+2>100;	е)	45“2х<0,25;
ж)	(0,3)7+4х> 0,027;	з)	0,65"2х<0,36.
537. а)	Зх2<Зх+6;	б)	0,78-х2>0,72х;
>	(тГМ4)';	г>	ю—->ю-;
д)	е) (^”>4'-’-;
ж) 3.9!‘-=> (!:)”"''• з) 2.8’^'<(^У + !.
538. а)	4х— 10-2х4- 16<0;	б)	0,04х —26-(0,2)х+25<0;
в)	9х—-^+±>0;	г)	25х-4-5х-5>0.
о	О
539. а)	2х2>(1-)2Х_3;	б)	З4х+3< {Х}*2;
в)	(^Г<(^5Г+3-75;	г)	(^у2<8.(^)'3-2\
41. Понятие об обратной функции
В ходе исследования различных функций вы неоднократно
решали такую задачу: вычислить значение функции f по данному
значению хо аргумента. Часто приходится рассматривать и обрат-
ную задачу: найти значения аргумента, при которых функция f
принимает данное значение уо.
Рассмотрим два примера.
1) Пусть f (x) = kx^-b	Чтобы найти значения аргу-
мента х, при которых f(x) = i/o, надо решить уравнение f (x)=yQ,
т. е. уравнение
kx + b = у о.
Решая его, находим, что при любом уо оно имеет решение
и притом только одно:
k '
2) Для функции f (х)=х2 уравнение f(x)=y0 при у0>0
имеет два решения: х\—-у[уъ, х2——л[у^ (если z/o = O, реше-
ние одно: хо = О).
Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной
точке области определения, называют обратимой. Таким образом,
при &=/=0 функция f (x) = fex + & обратима, а функция f(x)=x2
(определенная на всей числовой прямой) не является обратимой.
185
Замечание. Из определения обратимой функции сразу
следует, что если функция f обратима, а яисло а принад-
лежит области значений E(f), то уравнение-/-^:)=а имеет реше-
ние и притом только одно.
Пусть f — произвольная обратимая функция. Для любого
числа у0 из ее области значений Е (f) имеется в точности одно
значение хо, принадлежащее области определения D (f), такое,
что f (хо)=уо- Поставив в соответствие каждому у0 это значе-
ние хо, получим новую функцию g с областью определения
Е (/) и областью значений D (J). Например, для обратимой функ-
ции f (x)=kx + b (£=#0) значение новой функции g в произволь-
ной точке уо задается формулой
Я(Уо)=^.
Выбирая для аргумента функции g привычное обозначение х,
находим, что
г(х)=^-
Определение. Функцию g, которая в каждой точке х об-
ласти значений обратимой функции f принимает такое значение у,
что f (у)=х, называют обратной к функции f.
Как показано выше, функцией, обратной к функции f(x) =
= kx + b (&#=0), является функция g(x)=^~. Рассмотрим дру-
гой пример.
Пример 1. Докажем, что функция f(x)=x3 обратима, и
выведем формулу, задающую функцию y=g(x)t обратную к f.
По определению обратной функции сначала надо доказать,
186
что уравнение f(y)=x при любом значении х имеет инственное
решение у. В данном случае это уравнение таково:
У3=х-
Оно имеет единственное решение у=\[х при любом х (см. п. 36).
Поэтому функция f (х)—х3 обратима и обратной к ней является
функция
g (х)=Цх.
Графики этих функций изображены на рисунках 133 и Г34.
Если задан график обратимой функции /, то график функции
g, обратной к f, нетрудно построить, пользуясь следующим
утверждением.
График функции g> обратной к функции f, симметричен
графику f относительно прямой у=х.
Докажем это свойство. Заметим, что по графику функции f
можно найти графически значение обратной к / функции g в произ-
вольной точке а. Для этого нужно взять точку с координа-
той а не на горизонтальной оси (как это обычно делается),
а на вертикальной (рис. 135).
Из определения обратной функции следует, что значение g (а)
равно b (см. рис. 135) .
Таким образом, если считать, что выбрана несколько необыч-
ная система координат (аргумент откладывается на вертикаль-
ной оси, а значения функции — на горизонтальной), то можно
сказать, что график обратной к f функции g — это график
функции f (построенный в обычной системе координат). Для
того чтобы изобразить график g в привычной системе коор-
динат, надо отразить график f относительно прямой у=х
(рис. 136).
Теорема (об обратной функции). Если функция f воз-
растает (или убывает) на промежутке I, то она обратима.
Обратная к f функция g, определенная в области значений f,
также является возрастающей (соответственно убывающей).
187
▼ Доказательство. Положим
для определенности, что функция f воз-
растающая. Обратимость функции f—
очевидное следствие теоремы о корне
(п. 10). Поэтому остается доказать,
что функция g, обратная к f, возрастает
на множестве Е (J).
Пусть xi и х2 — произвольные значе-
ния из Е (/), такие, что xi > х2, и пусть
!/i=g(xi), f/2 = g(x2).
По определению обратной функции
х1—[ (f/О И X2 = f(y2).
Воспользовавшись условием (f — возра-
стающая функция), находим, что допущение у^уг приводит
к выводу f («/,)</ (у2), т. е. х^х2. Это противоречит предпо-
ложению xi > х2. Поэтому у1 > у2, т. е. из условия xt > х2 сле-
дует, что g (xt)> g (х2).
Именно это и требовалось доказать. ▼
Пример 2. Как отмечалось выше, функция f(x)=x2 не
является обратимой. Однако функция /*, определенная на про-
межутке [0; оо) формулой f*(x)=x2, возрастает на этом проме-
жутке и, значит, имеет обратную. Обратной к функции f* явля-
ется функция -ух. Графики этих функций изображены на ри-
сунке 137.
Вообще функция х" при любом натуральном п возрастает
на промежутке [0; оо) и поэтому имеет обратную. Обратной к
функции х" является функция 1\[х. Графики функций х" при
некоторых значениях п и обратных к ним функций 1\[х изобра-
жены на рисунках 138, 139.
188
Упражнения
540.	Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к дан-
ной функции f. Укажите область определения и область
значений функции g:
a)	f(x) = 2x + l;	б)
в)	f(x)=—2x4-1;	г)
Д)	р	е)
ж)	f (х)=2х2 (х>0);	з)
f x-i;
f(x)=^/x+i.
541.	Составьте таблицу значений функции f (%) на отрезке [—1; 1]
с шагом 0,1 и затем постройте на миллиметровой бумаге
график этой функции на отрезке [—1; 1]. Постройте
график функции, обратной к f (х):
а) f(x) = 2x3+l;	б) f(x)=-2x3+l.
189
542.	По заданному графику функции f найдите значения обрат-
ной к f функции g в точках —2, 1 и 3. Постройте график
функции g, укажите ее область определения и область
значений:
a)	(рис. 140);	б) f(x) = f2(x) (рис. 141);
в) /М=/з(х) (рис. 142);	г) f(x) = f<(x) (рис. 143).
543.	Докажите, что функция f имеет обратную на указанном
промежутке. Постройте график функции, обратной к ft
a) f (х)=х2 + 1, х^О;	б) f (х)=х, х£( — оо; оо);
в) f(x)=V*> *>0;	г) f(x) = x3+l, х€(-оо;оо);
Д) f (x)=sin х, х6[—е) f (x) = cos х, х£[0; л];
ж) f(x) = tgx, хЕ(—у ;у); з) f (x)=ctgx, х6(0; л).
42.	Логарифмическая функция
Показательная функция f(x)=ax при а>1 возрастает на R,
а при 0<а<1 убывает на Jf; область ее значений — множест-
во R+ Следовательно, она обратима (п. 41) и для нее определена
обратная функция g (х), область определения которой — множест-
во R+ положительных чисел, а область значений — множество R.
Эту функцию называют логарифмической с основанием а и обо-
значают g(x)=logex. Логарифмическую функцию с основанием
10 обозначают 1g.
По определению функции g, обратной к f, ее значение
g(x) есть такое число у, что f(y) — x. В данном случае у — logax,
a f (у) = а9 = а1оъ’1С. Итак,
al°g.x_x для любого х>0.	(1)
Иными словами, логарифм числа х по основанию а есть
показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы
получить х.
Тождество a,og“x=x (где х>0, а>0 и а^1) называют
основным логарифмическим тождеством.
Пример 1. Найдем значение: a) log2 32; б) log50,04.
а)	Заметим, что 32=25, т. е., для того чтобы получить число
32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, log2 32 = 5.
б)	Заметим, что 0,04=-^-=5-2, поэтому toga 0,04= — 2.
Пример 2. Найдем логарифм числа по основанию -у/З.
Заметим, что (V3)~4=-i-. Поэтому по определению логариф-
У	X
ма logl/3’-|-= —4.
190
.< Пример 3. Найдем число х такое,
что: a) loge x=-|-; б) log* 8=—
Воспользуемся основным логарифми-
ческим тождеством:
a)	x=8,og8X=83 =2;
б)	х1ое‘8=8, т. е. х 4 =8,
4
откуда х=8	3=-]б-
Функция g(x)=logox как обратная к
функции f(x)=ax (возрастающей при
а> 1 и убывающей при 0<а<1) возрастает при а> 1 и убы-
вает при 0<a< 1 на всей области определения. График функции
y=logax симметричен графику функции у = ах относительно пря-
мой у=х, поскольку эти функции взаимно обратны. Графики
логарифмической функции при разных основаниях приведены
на рисунке 144.
Основные свойства логарифмической функции вытекают из
свойств показательной функции и теоремы об обратной функции.
Перечислим их.
1.	Область определения логарифмической функции — множе-
ство всех положительных чисел: D(loga)=/f+.
2.	Область значений логарифмической функции — множество
всех действительных чисел: Е (loga)=
3.	Логарифмическая функция на всей области определе-
ния /?+ возрастает при а~> 1 и убывает при 0<а<1.
4.	”
а)
б)
в)
г)
д)
При любом a>0 (а#=1) выполнены равенства:
logel=0;
logaa=l;
•oga(xz/) = logax + loga у при х>0, у>0;
loga-y=logax — loga у при х>0, у>0;
для любого числа х>0 и любого p£R
logox₽ = ploga X.
Свойства 1—3 доказаны выше. Доказательство свойств
4 (а—д) (их называют основными свойствами логарифмов) будут
приведены в следующем пункте.
Пример 4. Найдем область определения функции f(x)—
= logs (4 — 5х).
Область определения логарифмической функции f (/)=loge t —
множество J?+. Поэтому заданная функция определена только
Для тех х, при которых 4 —5х>0, т. е. при х<0,8. Следова-
тельно, областью определения заданной функции является
интервал (—оо; 0,8).
191
—	_	Пример 5. Найдем об-
j	5	ласть определения функции
~2	7	f (x) = log2(x2 — Зх — 4).
Как и в предыдущем при-
₽ис‘ 145'	мере, функция f определена
для всех тех х, при которых
х2 — Зх — 4>0. Решая это квадратное неравенство, получаем,
что D (f) — объединение интервалов (— оо; — 1) и (4; оо).
Пример 6. Найдем область определения функции
f(x)=logz-yz77-
Решая методом интервалов неравенство
2х+3 п
5-7х ’
находим (рис. 145), что D(f)=( ~у* т) •
Упражнения
Найдите логарифм по основанию а числа, представленного
в виде степени с основанием а (544—545).
544.	а) 32 = 9;	б) З3 = 27;	в) 34 = 81;
г) 3-'=-i-;	Д) 2-3=4;	е) 5-2 = 0,04;
О	о
ж) 5°=1; з) 92 =3.
545.	а) УТб = 2;	б) V125 = 5;	в) 749 = 7;
£ £
Г) VsT=3;	д) 273 =9;	е) 325 = 8;
£ £
ж) 814 =27; з) 1253 =25.
Проверьте справедливость равенства (546—547).
546.	a) log2 16 = 4; б) logs 125 = 3; в) log3-^-=—4; г) log3 ^3=
= —5; д) log? 343 = 3; е) logs 0,04=—2; ж) logie 1 =0;
з) 1g 0,01 =-2.
547.	a) logj_9=—2; б) logo,s4=—2; в) log^8 = 6;
г) l°g2V2128=-у; д) logo.2 0,008 = 3; е) log0>2 125= — 3;
ж) log л 27=-6; з) log^0,2= —2.
* у
192
548.	Упростите выражение, пользуясь основным логарифми-
ческим тождеством:
а) г10*27; б) l,7loglj2; в) 3,8,оезвП; г) л10""5-2.
Найдите число х (549—552).
549. a) log5x = 2; г) log4 х = — 3;	6)log3x= — 1;	B)log7x	2; A)log±x=— 3; e)log^x = 0;
ж) log£ х = — 3; 6	з) log £ x = 2. 7
550. a) log* 81 =4; в) log* 0,25=—2;	6) log, 27 = 3; r) log-75 x=-|--
551. a) log, л/2 = - 4; в) log,y-= —1; 552. a) log, 72=-^-; в) log,-i-=—р	6) log, 16= —0,8; r) log, 0,64=—2. 6) log, 16 = 0,8; r) log, 16=-y. □
Найдите область определения функции (553—555).
553.	a) log3(x —5);	б) log0,3 (7 — Зх);	в) log7 (2x4-3);
г) log„(10 — 5х);	д) log5 (9—х2);	е) logo.i (х2 — 4);
ж) logvio (64-х —х2); з) log^(x2 — 2х — 3).
554.	a) loge^f; б) log7^±l;
в) 1о§°’9|т|7; г)
555.	Изобразите схематически график функции:
a) f/ = log2x;	б) y = logV5x;
в) t/ = log0.3x;	г) f/ = logl/5Jx.
43.	Основные свойства логарифмов
Докажем свойства 4 (а—д) логарифмической функции, сфор-
мулированные в предыдущем пункте (напомним, что а>0, a=# 1):
а) loga 1=0, так как а° = 1 для любого а.
б)	logea = l, так как а'=а.
в)	Докажем, что для любых положительных чисел х и у
loga (ху) = logo х 4- logo у.
7 States 216	193
Короче говорят так: «логарифм произведения равен сумме
логарифмов».
Для доказательства воспользуемся основным логарифми-
ческим тождеством:
х = у = а'°*аУ.	(1)
Перемножая почленно эти равенства, получаем:
Ху — (jloga * . alog« и — aloga X + toga У >
т. е. xz/=a,og<,x+log»s. Следовательно, по определению логарифма
logo (ху) = loga X + loga у.
г)	Докажем, что для любых положительных чисел х и у
loga = 10ga X — 10ga У-
Короче говорят так: «логарифм частного равен разности
логарифмов».
Для доказательства воспользуемся равенствами (1)
JL = -____=	х ~ loSa У.
У flloge у
Следовательно, по определению логарифма
10ga — = loga X — 10ga У-
У
д)	Для любого числа х>0и любого действительного р
'	loga ХР = р loga X,
j	т. е. логарифм степени равен произведению показателя этой сте-
пени на логарифм основания этой степени.	;
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:	;
х = а1°ёаХ, поэтому xp = (a,ogflX)p=aplogxiX.	'
Следовательно, по определению логарифма loga хр=р loga х. |
Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе |
преобразований выражений, содержащих логарифмы. Докажем, J
например, формулу перехода от одного основания логарифма к 1
другому основанию:	1
1	х	Я
(2)1
Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. 1
при х>0, а>0 и h>0 и
194	1
I
По правилу логарифмирования степени и основному логариф-
мическому тождеству получаем:
log» x = log» (aIOBoX) = loga x«log» a,
т. e.
1 ogt, x = logo x - log» a.
Разделив обе части этого равенства на log» а, приходим к
формуле (2).
С помощью формулы перехода можно найти значение лога-
рифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов,
составленные для какого-нибудь одного основания Ь. Наиболее
употребительны таблицы десятичных и натуральных логариф-
мов- (десятичными называют логарифмы по основанию 10, с на-
туральными логарифмами вы познакомитесь в п. 45).
Пример 1. Найдем logo.s 7.
Пользуясь калькулятором (или таблицами), находим:
1g 7 «0,8451 и 1g 0,3«0,4771 — 1 =—0,5229.
Следовательно, по формуле (2)
1ео.з7«-^-«-1,б1б2.*
Пример 2. Известно, что log2 5 = а и log2 3 = &. Выразим
log2 300 через а и Ь.
Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:
log2 300 = log2 (3-52’22) = log2 3 + 2 log2 5 + 2 log2 2 = & + 2a + 2.
Пример Я. Выразим логарифм по основанию 2 выражения
8а3 W через логарифмы по основанию 2 чисел а и Ь. (Коротко
говорят: прологарифмируем данное выражение по основанию 2.)
Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:
4_
log2 (8а3 VF) = log2 (23- а3 • Ь т) = 3 log2 2 + 3 log2 а +-^ log2 b =
= 3 + 3 log2 а 4—y log2 b.
Пример 4. Найдем х, если
log5 х = logs 7 + 2 logs 3 — 3 logs 2.
Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь
основными свойствами логарифмов:
logs Х=logs 7+ logs з2 - logs 23 = logs	= logs
о	а
Т. е. logs х = logsи потому х=^-.
о	8
7*
195
Пример 5. Найдем значение выражения "i'g /
Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем
числитель и знаменатель этой дроби:
1g 72-lg 9 = lg -^=lg 8 = 3 1g 2;
1g 28 —1g 7 = lg-y- = lg 4 = 2 1g 2.
Следовательно,
lg 72 —lg 9 __3 lg 2 _ 3
Ig28-lg7 2 1g 2	2’
Пример 6. Что больше: Iog2 3 + log2 7 или log2(3 + 7)?
По основному свойству логарифмов
log2 3 4-log2 7 = log2 21.
А так как
log2 (3-f-7) = log2 Ю и 10<21,
а основание логарифма 2 (2> 1), то
log2 10 < log2 21,
следовательно,
log2 3 + log2 7 >• log2 (3 + 7).
Упражнения
по основанию
по основанию 10:
6) °’la •
r2 бу-1,7
r)-^—
_ 3 ,0.3
556.	Известно, что logs2 = a и logs 3 = 6. Выразите через а и 6:
a) logs 12; б) logs 1,5; в) logs 72; г) logs 30.
557.	Прологарифмируйте
а) 9а4 \[Ь- б)
558.	Прологарифмируйте
2 2 _ 2
а) (100г 3 d2) 3 ;
В)
Р 6<75
559.	Вычислите без таблиц и вычислительных инструментов:,
a) logi2 4 + logi2 3; б) log3 2-j-log3 4,5; в) log2 7 —log2-^-;
г) lg8 + lg 125; д) lg 13 —lg 130;	e) loge 34-loge 12;
») logys 2 + l°gs 6,25; з) logyj 25 — log3 7-Ц-.
196
560.	Докажите, что:
a) logs 7 4-log?3>2; б) logj 3-|-log3-g-С — 2;
2
в) 4 logs 7_ 7 logs 4.	г) 3 l°g2 5_ 5 logs з
56L Найдите х, если:
a)	logs x = log3 l,54-log3 8;
б)	log? x = log? 12 — log? 4;
в)	logo.3 x = 2 logo.3 6 — logo.s 12;
r) logn x = 3 log„4 — 2 log„ 6.
562.	Найдите значение выражения:
a) 1.0g3 \6; 6) log2 11—log244; в) logo.3 9 — 2 logo,з 10;
logs 4
Ig8+,lg 18
’ 2 1g2 + lg3’
563.	Что больше:
a)	logs 4 4-logs 7 или logs (44-7);
6)	logs 2 +logs 1,5 или logs (24-1,5);
в)	logo,7 34-log0,7 4 или logo,7 (3 4" 4);
r) logo.e 1,3 4-logo,в 1,2 или logo.s (1,34-1,2)?
44. Решение логарифмических уравнений и неравенств
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение
logo x — b.
Функция logo х возрастает (или убывает) на промежутке
(0; оо) и принимает на этом промежутке все действительные
значения (рис. 146). По теореме о корне (п. 10) отсюда следует,
что для любого Ь данное уравнение имеет и притом только
одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует,
что аь является таким решением.
Рис. 146.
197
Пример 1. Решим уравнение
log2 (х2 + 4х + 3) = 3.
Данному уравнению удовлетворяют только те значения х, для
которых выполнено равенство
х2 + 4х + 3 = 23.
Мы получили квадратное уравнение х24-4х — 5 = 0. Его корни —
числа 1 и —5. Следовательно, решением данного уравнения
являются два числа 1 и —5.
Пример 2. Решим уравнение
logs (2х + 3) = logs (х 4- 1).
Это уравнение определено только для тех значений х, при
которых выполнены неравенства 2x4-3 >0 и х+1>0. Для
этих х данное уравнение равносильно уравнению 2х + 3 = х+1.
Отсюда находим х = — 2. Число х= — 2 не удовлетворяет, однако,
неравенству х+1>0. Следовательно, данное уравнение корней
не имеет.
Пример 3. Решим уравнение
logx(x2 —2x4-2)= 1.
Этому уравнению удовлетворяют только такие числа х, для
которых выполнены два неравенства х> 0 и х=И= 1 (х — основание
логарифмической функции) и одно равенство
х2 —2х4-2 = х|,
т. е.
х2-Зх + 2 = 0.
Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но х=1 не
может быть решением данного уравнения. Следовательно, реше-
нием данного уравнения является только число 2.
Пример 4. Решим неравенство
log2 (5-2х)> — 2.	(1)
з
Число —2 равно log i 9. Поэтому данное неравенство можно
переписать в виде 3
log(5 —2x)>log2 9.	(2)
з	з
Функция log 1 t определена при />0 и убывает на /?+,
3
так как —^<1. Следовательно, неравенству (2) удовлетворяют
о
только такие числа х, для которых выполнено условие
0<5 —2х<9, откуда — 2<х<2,5.
Итак, решение данного неравенства есть интервал ( — 2; 2,5)
198
Пример 5. Решите уравнение
logs х —log .дх —3 = 0.
Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем
замену переменной / = logsx, тогда
logs 75	2_
2
Теперь данное уравнение перепишется в виде 1г — 2/ —3 = 0.
Корни этого квадратного уравнения 3 и —1. Решая уравнения
замены logsx = 3 и logsx= —1, находим: х = 53=125 и
х=5_|=0,2.
Пример 6. Решим систему уравнений
(lg(x2 + y2) = 2,
I log2x — 4 = log2 3 —log2 у.
Первое уравнение системы равносильно уравнению х2 + у2= 100,
х 3
а второе — уравнению —=—, причем х>»0 и у>0. Таким
образом, мы приходим к системе, состоящей из двух урав-
нений х2 + у2 =100, ху = 48, и двух неравенств х>0 и у>0.
Вычитая почленно из первого уравнения удвоенное второе урав-
нение, получаем:
х24-1/2—-2ху = 4,
т. е.
(х—у)2 = 4,
откуда
х — у = 2
или
X—у — —2.
Следовательно, у=х — 2 или у=х + 2. Подставляя эти вы-
ражения для у во второе уравнение системы, получаем:
а) если у = х — 2, то
х(х — 2)=48(
х2 —2х —48 = 0,
х=8 или х = — 6.
Так как х>0, оставляем корень х = 8 и тогда у = 6;
б) если у=х + 2, то
х (х + 2)=48;
х2 + 2х - 48 = 0,
х = — 8 или х = 6.
Но так как х>0, х = 6 и тогда у = 8.
199
Итак, данная система уравнений имеет два решения:
а) х = 8, t/ = 6; б) х = 6, t/ = 8.
Заметим еще, что с помощью логарифмов можно записать
корень любого показательного уравнения вида а* = &, где &>0
(чего мы не могли еще сделать, решая примеры в п. 40).
Этот корень имеет вид: x = loga&.
Пример 7. Решим уравнение 51-3х = 7.
' По основному логарифмическому тождеству 7 = 5Iog5? и урав-
нение записывается в виде
51 —з* = 5 logs7
откуда 1—3x = log57 и ----------т" logs 7.
□ □
Упражнения
Решите уравнение (564—566).				
564.	а)	2х = 10;	б)	(0,3)х = 7;
	в)	9х = 0,7;	г)	10х = л;
	д)	log3 х = 2;	е)	logo,4 х— — 1;
	ж)	1g х= —2;	з)	log9x=—i-.
565.	а)	log2(3 — х)=	0;	б) logo.3 (5 + 2х)= 1;
	в)	logд (2х — 4) 3	= —	2; г) logn (x24-2x + 3) = logn 6.
566.	а)	32-5х=7;	б)	0,24~х=3;
	в)	5Х’=7;	г)	Зх’+4х=9.
Решите неравенство (567—570).
567. а)		logs х>2; logo,zx>5;’	б) log? х< 0,1; г) logo,2х<—2.
	в)		
568.	а)	3х <5;	б) 0,8х<11;
	в)	1,72х-‘>7;	г) 0,32“х> 12.
569.	а) в)	log2 (х2—X — 1g (х2 — х + 8)	4)<3;	б) logs (12 —2х —х2)>2; >Г,	г) log„(x+l) + log„x<log„2.
570.	а) в)	lg2x + 2 1g х: 4х —2 х <2;	>3;	б) logix —log2x<6; г>(4-)'-Ч4Г>з-
571. Что больше:
а)	logs 5 или log? 4;	б)	logo,3 2 или	logs 3;
в)	log2 Ю или logs 30;	г)	logs Ю или	logs 57?
200
572. Выразите Igx через 1g а и lg b, где а>0, 6>0; х>0:
а) х=^=;	б) х2 = а2'54/бт;
в) K[x = a^h[^-; г) \[х^—(л[а.у^Ьг Е .
Решите уравнение (573—575).
573. a) loga х = loga 3 4-loga 5; б) loga х = loga 12 —2 loga 2;
в) loga X = logys 2 + log2 3; г) loga *4-4- loga 2 = logai 3;
a
Д) Ig2x=l;	e) log2 x — log3 x — 2 = 0;
ж) logi x-plogo,2 x = 2;	з) logi (x4-1)-log2 (x4-1)=5.
4
574. a) x,gx=10 000;	6) x'ogsX= 125x2;
в) xloglX-2=8;	r) xloglx~3=-i- .
™ “> vb+-d+2 = 1;	6) TE^7+iH+3-,;
в) log!i+rJ4 = 5; г) 2 1оелх + 1ое,Ц- = 3.
log* *	J
Решите систему уравнений (576—579).
576. a) ( х4-у = 7,	б) ( log4 x4-log4 у= 1 4-log4 9,
I lg *+lg y= 1;	lx4-y —20 = 0;
в) ( lg (*24-y2)=2.	r) ( log! (x4-i/) = 2,
I log48 x4-log48 y= 1;	<	~3
( log5(x —y) = 2.
577. a) ( 3х4-3^=12,
( 3x+y = 27;
6)
log2
3
log2
3
x4-log2 y = 2,
3
x —logj y = 4;
3
в) ( 101+lg(x+y)=50,
I IgU—y)4-lg(*4-y) = 2 — lg 5;
32x — 2* = 725,
3x-2 2 =25.
578. a) f y — log3x=l,
I xs = 312;
6) ( 3g-9x = 81,
I lg (x + y)2 — lg * = 2 lg3;
в) f 3l+2l°g3to-j:)=48>
i 2 log5 (2t/ — x — 12) = log5 (y — x)4- logs (y 4- x)\
( ___!__+_____L_
J Igy— 1 ~ lg 1/4-1
I lg2y — 2х = 5.
= 2“x,
201
579. а) ( 2CO$*+2COS!'=5, б)
I COSX-I---!—
I 2	C0S!,=4*
g2 tg x-f-cos у_g
9C0S^—81tgx=2;
в) f log2 sin x + log2 sin y = — 2,
I logs cos x + logs cos у = 1 —- log3 4;
(1 \ COS у
т) 
( log2 (sin X — COS y) + log2 (sin X 4“ cos y) = — 1.
§ 12. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
45. Производная и первообразная показательной функции
В предыдущих пунктах графики показательной функции изо-
бражались в виде гладких линий (без изломов), к которым в каж-
дой точке можно провести касательную. Но существование каса-
тельной к графику функции в точке равносильно ее дифференци-
руемости в этой точке. Поэтому естественно предположить, что
показательная функция дифференцируема во всех точках.
Нарисуем несколько графиков функции ах для а, равного
2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 147), и проведем (мысленно) к ним касательные
в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси
абсцисс приблизительно равны 35, 40, 48 и 51° соответ-
ственно, т. е. с возрастанием а угловой коэффициент касатель-
ной к графику функции ах в точке М (0; 1) постепенно увели-
чивается от tg 35° до tg51°. Представляется очевидным, что,
увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при
котором угловой коэффициент соответствующей касательной ра-
вен 1 (т. е. угол наклона равен 45°). Вот точная формулировка
этого предложения (мы принимаем его без доказательства):
Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число
обозначают буквой е), что показательная функция у = ех в точке 0
имеет производную, равную 1, т. е.
Дх ,
—при Дх->0.	(1)
Теорема 1. Показательная функция ех дифференцируема в
каждой точке и
(ех)'=ех.
Доказательство. Найдем сначала приращение функции
у = ех в точке х$:
\y=±eXa+tiX — ex,‘ = ex°etix—ех’,=ех> (е^— 1).
202
Пользуясь условием (1), находим:
д«	/х-1
Дх Дх	Дх
ех° при Дх->0.
По определению производной отсюда следует, что
у' = ех, т. е. (ex)/ = e,t при любом х.
Пример 1. Найдем производную функции е5х:
(е5х)' = е5х (5х)' = 5<?5х.
Замечание. Доказано, что число е иррационально и
поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериоди-
203
ческой дроби. С помощью электронных вычислительных машин
найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые
знаки этой дроби таковы:
е = 2,71828... .
Функцию ех часто называют экспонентой и обозначают
ехр х (читается: «эксп от икс»).
Так как число е положительно и отлично от 1, можно
рассматривать логарифм по основанию е.
Определение. Натуральным логарифмом (обозначает-
ся In) называется логарифм по основанию е:
х	lnX = 10geX.	(2)
По основному логарифмическому тождеству для любого поло-
жительного числа а
е,па=а.
Поэтому любая показательная функция ах может быть записа-
на в виде
ax = (elnfl)x = exlna.	(3)
Выведем формулу производной показательной функции при
произвольном значении а.
Теорема 2. При любом положительном а функция ах диф-
ференцируема в каждой точке х и
(ах)'=ах1па.	(4)
Доказательство. Из формулы (3) по теореме о про-
изводной сложной функции получаем, что функция ах(а>0)
дифференцируема при любом х и
(ах)' = (ех ln а)' = в? ln а In а = ах In а.	(5)
Следствие. Показательная функция ах непрерывна в каж-
дой точке своей области определения, т. е. при любом а>0и лю-
бом хо имеем:
ax-+aXQ при х—>-хо.
Это вытекает из дифференцируемости показательной функции
и леммы о непрерывности дифференцируемой функции (см. с. 88).
Пример 2. Найдем производные функций 2х и 5"3х.
По формуле (4) имеем:
(2Х)'==2Х In 2,
(5“3х)' = ( —3)-5~3х In 5.
Пример 3. Исследуем функцию у = хех на возрастание
(убывание) и экстремум.
Найдем производную этой функции:
у' = (хеху = х'ех + х (ехУ = ех + хех = ех (1 + х).
204
Так как ех>0 для любого х, то знак у'
совпадает со знаком (1+х). Следова-
тельно, у'>® на промежутке ( — 1; оо),
поэтому у возрастает на промежутке
[ —-1; оо). На промежутке (— оо ; — 1) име-
ем у' <0, поэтому у убывает на проме-
жутке (— оо ; — 1]. В точке хо = — 1 про-
изводная меняет знак с минуса на плюс,
и, значит, хо= —1 является точкой ми-
нимума.
Эскиз графика функции приведен на
рисунке 148.
Из теорем 1 и 2 следует теорема 3.
Теорема 3. Функция ех есть первообразная для функции
ех на R. Функция есть первообразная для функции ах на R.
Действительно, In а — постоянная и поэтому
(=—!— (ахУ =
\ In а / Ina v ’
-г-!— ах1п а — ах
in а
CL*
при любом х. Этим доказано, что есть первообразная для
функции ах на R. А из равенства (ех)' = ех для всех х следует,
что ех есть первообразная для функции ех на R.
Пример 4. Найдем первообразные для функций: а) 5х;
б) 4-2х; в) 4е3х—10.0,6х.
Пользуясь теоремой 3 и правилами
нахождения первообразных, выписываем
ответы:
а)
в) -^-е3х— 10-
О
0,6х
In 0,6
Пример 5. Найдем площадь фигу-
ры, ограниченной линиями
у = Зх, i/ = 0, х= —1, х = 2..
Указанная фигура есть криволинейная
трапеция (рис. 149). Поэтому ее пло-
щадь S находим по формуле площади
криволинейной трапеции:’
2	2
-| =
— I
9	3“*	26
Рис. 149
In 3
In 3	3 In 3 *
205
5х .	4-2* .
In 5 ’	’ 1п2 ’
Упражнения
580. Найдите по таблице натуральных логарифмов (или с по-
мощью калькулятора):
a) In 3; б) In 56; в) In 47; г) In 1,7.
Найдите производную функции (581—582).
581.	а)	е3х; х	б)	е~2х\	В)	г) X	е3-5х;
	д)	е 2 — Зе9,х;	е)	е5х4-4е	ж)	1,77 + 1; з)	35х — 7.25-7х.
582.	а)	2xcos х;	б)	7‘2 tg Зх;	в)	х3е~х\ г)	n/xctg 5х;
	д)	ех .	е)	3*	.	ж)	г8 —-—;	з) 4х4-5 ’	'	0,3-*
		х2+1’		2Х + 5Х ’			->/х 4-0,5
583.	Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум функ-
цию:
а) хе~х\ б) хе5х ; в) х22 х; г) х40,7х.
584.	Напишите уравнение касательной к графику функции f в
точке с абсциссой хо, если:
a) f(x) = ex, х0 = О; б) f (х)=Зх, х0 = 1.
585.	Найдите первообразную для функции:
а) 4х;	б) 7-ех;	в) 5-Зх;	г) 2-0,9х-5,6х;
д) <?2х;	е) 2-‘0х;	ж) 125~7х;	з) 2,34 + 5х.
586.	Вычислите интеграл:
I	I	1	2
а) ( 2xdx; б) J 0,5xdx; в) $ 4xdx ; г) $ 9xdx.
-2	0	-1	_ 2
2
587.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у — ех, у = 0, х = 0, х= 1;
б)	у —2х, у = 0, х = — 1, х = 2;
в)	у = ех, y = e2xt х— 1;
г)	у = Зх, у = 9х, х=1.
46.	Производная логарифмической функции
Докажем, что при любом х>0 выполнено равенство
1п'х=2-.	(1)
По основному логарифмическому тождеству х = е1пх при всех по-
ложительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна
206
и та же функция • (определенная на /?+). Поэтому производные
функций х и е1п* равны, т. е.
х' = (е1пх)'.	(2)
Производную правой части вычисляем по правилу нахождения
производной сложной функции и теореме 1 (п. 45):
(e,njt)' = elnx.ln' х = х In' х,
а х' — 1.
Подставляем найденные производные в равенство (2):
1=х1п'х, откуда 1п'х=-у.
▼ Остается только объяснить, почему можно пользоваться
правилом нахождения производной сложной функции. Для этого
надо показать, Что логарифмическая функция дифференцируема
в каждой точке. Графики функций i/ = logox и у — ах симметрич-
ны относительно прямой у = х. Так как показательная функция
дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается
в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную
касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической
функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это
равносильно дифференцируемости логарифмической функции на
ее области определения. ▼
Пр и мер 1. Найдем производные функций: а) 1п(5-|-2х),
б) log3x; в) log7(2x).
6) (logjx)'=(41f)'=_±_;
2	1
2x In 7 x In 7
в
Пример 2. Исследуем функцию у = х2 In х на возрастание,
убывание, экстремум и построим ее график.
Функция определена при х>0. Найдем производную этой
функции:
у' = 2х In х + х2	= 2х In х + х = 2х(1п х-|--у) •
Так как х> О, знаку' совпадает со знаком (in х-|—0 .Отсюда
следует, что у'>0 на промежутке ; оо) и поэтому на про-
межутке оо) функция возрастает; на промежутке (0;-^=)
производная у' отрицательна, поэтому у убывает на промежутке
207
(О; -М . В точке производная меняет знак с минуса на плюс,
X ’у/е-л	-у/е
значит, это точка минимума.
Эскиз графика функции приведен на рисунке 150.
Формула (.1) показывает, что для функции ^-на промежутке
(0; оо) любая первообразная может быть записана в виде
Inx-f-C.	(3)
Функция имеет первообразную и на промежутке ( — оо; 0),
это функция In ( — х). Действительно,
(ln(-x))'=-L.(-l)=4-.	(4)
Так как |х| =х при х>0 и |х| = — х при х<0, мы доказали,
что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообразной
для функции является функция In |х|.
Пример 3. Для функции первообразные равны
In 1х4-3| + С (на любом промежутке, не содержащем точку —3).
Для функции общий вид первообразных -|-ln 15х4“71 4-С
(на любом промежутке, не содержащем точку —^-).
Пример 4. Найдем площадь фигуры, ограниченной линия-
ми у——, у —0, х=1, х = 2 (рис. 151).
х 1
Поскольку In х при х>0 есть первообразная для — , площадь
интересующей нас криволинейной трапеции равна
S = ln2 —In 1=1п 2.
208
Упражнения
Найдите производную функции (588—589).
588.	a) in 2х;	б) logo.3 х\	в) log7(2-f-3x); г) logo,2 (9 + 5х);
д) log2 7х; е) 1п(1+3х); ж) In 6х;	з) х3 In х.
589.	а)	б)	> в) Зх> г) sfelgx.
590*. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точ-
ке с абсциссой хо, если?
a)	f(x) = lnx, Хо=1;	б) f (х) = 1п х, Хо = 3;
в) f(x) = \gx, хо=1;	г) f (x)=log3 х, х0 = 9.
591.
Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремум
функцию:
а) х In х; б) xln2x; в)
г)
In X
592.	Найдите одну из первообразных для функции:
\	1	\	3	ч 2	з
х+5 ’ б) 3 + 2х ’ В) 7х+1 ’ Г) х
593.	Вычислите интеграл:
7	а	10
а)^; 6)J^(O>I); В)	г) (
11	-1-4
594.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = 0, £/=--, х=1, х = 3;
б)	z/ = 0, £/=--, х==2, х = 5;
в)	у — 0, у — -—, х = 4, х=10;
г)	у = 0, у=-^> х = 0,3, х=1.
47. Степенная функция и ее производная
1. Вы уже знаете, что для любого действительного числа р
и каждого положительного х определено число хр. Тем самым
на промежутке (0; оо) при фиксированном р определена функ-
ция f, заданная формулой
f(x) = x”.
Эта функция называется степенной (с показателем степени р).
Если р>0, то степенная функция определена и при х = 0,
поскольку (У = 0. При целых р степенная функция определена и для
х<0. При четных р это функция четная, а при нечетных р — не-
четная. Поэтому исследование степенной функции достаточно про-
водить только на промежутке (0; оо).
209
В предыдущих разделах курса были получены формулы для
производной функции хр лишь при целых показателях степени,
а также р=-у. Теперь нам остается вывести формулу для про-
изводной стеиенной функции при произвольном действительном
показателе степени р:
(xp)'=pxp~i.	(1)
Действительно, так как х = е1пх, то хр = ер1пх. Отсюда по
правилу вычисления производной сложной функции получаем:
(хрУ =(е₽У = ер lnх(р In х)' = х?-р=рхр~ I
Формула (1) доказана.
При р<0 степенная функция убывает на промежутке (0;оо),
поскольку (х?)'=рхр~' <0 при х>0. Кроме того, надо учесть, что
при х = 0 степенная функция равна 0 и xp-*~Q при х-»-0 их>0.
Поэтому точка 0 присоединяется к промежутку возрастания, т. е.
при р>0 степенная функция возрастает на промежутке [0; оо).
Примеры графиков степенной функции при различных р при-
ведены на рисунках 152—154.
2. Выведем приближенную формулу
(1 + Дх)“« 1-|-аДх	(2)
(приближение тем точнее, чем меньше Дх).
Рассмотрим функцию f(x)=x“ и воспользуемся приближенной
формулой
Ях)«/(хо)+//(хо)Дх,	(3)
известной из п. 23, при Хо=1 и х=1-(-Дх. Имеем: f(x0) = /(l)= 1
и f'(x)—axa~l, откуда f'(xo)=f'(l) = a« 1“_| = а. По формуле (3)
f(x)=(l + Дх)а« 1 4-аДх.
Чаще всего эту формулу применяют для вычисления корней,
п	1
Полагая а=—, находим:
1
Пример. Вычислим приближенные значения: а)
б) ^03; в) ‘Viooo.
Воспользуемся формулой (4):
£
а)	Уй08=(1+0,08)4 «1+^-0,08= 1,02;
б)	w3=V27(i+T)=3-Vi+T«3(i+4-^)-
«3,0011.
Значение ^7,03 с восемью знаками после запятой таково:
V27^3« 3,0011107.
в)	Заметим, что 210=1024. Имеем:
1У™ = |^2т^24=2.л/1-М«2-(1--^-бг) «1.995.
•	Л	\	1 V *Л&	/
Из формулы (1) следует, что производной степенной функ-
ции f(x)=x'> является степенная функция (f'(x) = px₽~1). Иначе
обстоит дело с первообразной степенной функции.
При р^— 1 общий вид первообразной степенной функции
f (х)=х^ как легко проверить, таков: F	При р= —1,
как известно, первообразной функции / является функция вида
In |х|-ЬС.
Упражнения
595.	Изобразите схематически график функции и найдите ее
производную:	<
a)	б) g(x)=x”; в) и (х)=х~е; г) п(х)=х3,1.
596.	На рисунке 155 построены графики функций у=^/х, у=Цх',
у=±\[х (х>0).
а)	Найдите по графику значения -у/2, ^3, V3.
б)	Найдите значения у2, ^/3, 4Д, пользуясь таблицами или
калькулятором.
в)	Вычислите приближенные значения д/2, ^/3 и \^3, поль-
зуясь формулой (4).
Указание: 2=1,42+0,04; 3= 1,43+0,256; 3=1,34 +
4-0,1439.
г)	Сравните полученные результаты.
597.	Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значения:
L	L
а) (8>3)3; б) V§T; в) ^6253; г) 484.
598.	Найдите приближенные значения:
а) -^32- б) V30; в) V90; г) Ш
599.	Найдите общий вид первообразных функции:
а) y = x2J; б) у = х'^5', в) у ——i-x-^;	г) Зх-1.
211
Рис. 155.
600.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у=0, у=х^, х=0, х— 1;
б)	у — 0, У=~> х = 3, х = 5;
в)	у = 0, у = х~ол, х= 1, х = 32;
г)	у=х^; У=-^, х = 2.
48. Дифференциальное уравнение показательного роста
и показательного убывания
Решение многих задач физики, техники, биологии и социаль-
ных наук сводится к математической задаче нахождения функ-
ций /, удовлетворяющих дифференциальному уравнению
f'(x)=kf(x),	(1)
где k — некоторая константа.
Зная формулу производной показательной функции, легко
догадаться, что решением уравнения (1) является любая функ-
ция вида
f(x) = Ce^,	(2)
где С— постоянная. Так как С произвольно, у дифференциального
уравнения (1) бесконечно много решений.
Докажем, что других решений, кроме функций вида (2), урав-
нение (1) не имеет. Для этого рассмотрим произвольную функцию
f, удовлетворяющую уравнению (1), и вспомогательную функцию
F(x)=f(x>"4	(3)
Найдем производную функции F:
F' (x)=f' (х) e~kx + f (х) (е-кх)'=Г (х) e~kx-kf (х) е~кх.
Подставляя kf(x) вместо f' (х) из уравнения (1), получим:
F' (х) = kf (х) е~кх - kf (х) е~кх = 0.
Из равенства производной функции F нулю следует, что F(x)=C
при всех х. Из (3) получаем:
f (х) е~кх = С, откуда f (х) = Секх,
что и требовалось доказать.
Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы пред-
полагали, что функция f определена и удовлетворяет уравне-
нию (1) на всей числовой прямой. В конкретных задачах часто
приходится рассматривать функции, удовлетворяющие уравнению
(1) только на некотором промежутке. Естественно, что в таком слу-
чае формула (2) будет давать общее решение задачи только на
промежутке, на котором выполняется уравнение (1).
213
Смысл дифференциального уравнения (1) заключается в том,
что скорость изменения функции в точке х пропорциональна
значению самой функции в этой точке. Это уравнение часто
встречается при решении практических задач.
Пример 1. (Радиоактивный распад.) Пусть в начальный
момент времени масса радиоактивного вещества равна
/и(О) = /По.	(4) *
Известно, что скорость уменьшения массы вещества т (f) со
временем t пропорциональна его количеству, т. е. что выполнено
уравнение
m'(/)= — km (f)t
#>0. По установленному выше
т (t)=Ce~kt.
Константа С находится из условия (4). А именно при t = Q
m^^m(Q) — Ce^k'Q—Cy т. е. С = /п0.
Окончательно получаем:
т (f) —т^е^м.	(5)
Рассмотренный пример типичен: чтобы выделить из бесконечно-
го числа решений дифференциального уравнения одно, обычно
требуется еще ввести «начальные условия» (в нашем случае это
условие (4)).
Промежуток времени Г, через который масса радиоактивно-
го вещества уменьшается в два раза, называют «периодом полу-
распада» этого вещества. Зная Г, можно найти k. Так как
m (Т)=-£-/По, т. е. /и<>е~*г=-|-то,
имеем:
Следовательно, ekT=2, &Т = Гп2, откуда
Например, для радия Т«1550 лет. Поэтому (если время
измеряется в годах)
‘“ТКИ’»0'000447'
Через миллион лет от начальной массы радия то останется
только
т (106)«тое~**Тя}О,6- 1О~|94то.
214
▼ Пример 2. Пусть население страны возрастает на 2%
в год. С неплохим приближением можно считать, что зависимость
численности населения страны S = S (/) от времени (исчисляемого
в годах) подчинена уравнению
S' (f)=0,02S (О
и, следовательно, задается формулой
S(/) = S0e0’02/,
где So = S(0) — численность населения в начальной дате наших
расчетов.
Пример 3. Пусть тело, имеющее в начальный момент вре-
мени температуру Го, помещено в среду температуры Гь Естествен-
но, что при r0<Ti тело будет постепенно нагреваться, а при
Го> Г| — охлаждаться.
Предположим (хотя это и довольно грубое приближение к
действительности), что скорость изменения температуры тела Г(f)
пропорциональна разности температур. Это значит, что*
г (t)= —k(T—ГО.	(6)
Чтобы найти решение уравнения (6), рассмотрим функцию
Из (6) следует:
Г (0=-W
Общее решение этого уравнения имеет вид:
Ш = Се~к‘.
Следовательно,
7’(/)=Ce-w4-T'1.	(7)
При / = 0 имеем:
То = Т (0) = Се~к 0 -h Tt = С + Т{,
откуда
С=Г0-Гь
Окончательно получаем, что решение уравнения (6), удовлет-
воряющее начальному условию
Г(О)=Го,	(8)
имеет вид:
Г(0=Г1+ (Го-ГОе^.	(9)
* Поставив в правой части уравнения (6) знак минус, мы считаем коэффи-
циент k положительным в соответствии со сказанным о направлении изменения
температуры Т при T>7’i и при Т<Л\.
215
На рисунке 156 изображены схемати-
чески графики функций
Г=Г(/),
соответствующие различным начальным
значениям Го. Все они при f, стремящемся
к бесконечности, приближаются к стацио-
нарному решению
Г(/)=ГЬ	(10)
которое получается при Го = Г|, т. е. при
Рис. 156.
условии, что в начальный момент тело имеет температуру ок-
ружающей среды. ▼
Вы встречаетесь с дифференциальными уравнениями третий
раз. Напомним два предыдущих случая.
1. При вертикальном движении под действием силы тяжести
координата точки z единичной массы удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
*"(0 = £-
(И)
Общее решение этого уравнения имеет вид:
z(/)=Zo + voZ+-f-^	(12)
где
Zo = z (0), Vo = z' (0).
(13)
Задав z0 и i>o, мы получим уже единственное решение.
2. При гармонических колебаниях в соответствии с диффе-
ренциальным уравнением
у"(/)=-<о2у(0	(14)
общее решение имеет вид:
у (/) = Л cos (<о/4-ф),	(15)
где А и ср — произвольные константы. Но эти константы можно
определить, если заданы начальные условия
У (О) = Уо, у’ (O)=Vo.
Эти примеры позволяют понять, насколько мощным аппара-
том исследования являются дифференциальные уравнения. Очень
часто элементарные законы, управляющие каким-либо процес-
сом, записываются в виде дифференциальных уравнений, а для
того чтобы выяснить, как процесс развертывается во времени,
приходится эти дифференциальные уравнения решать.
216
Упражнения
601.	Докажите, что функция у = 5е3х удовлетворяет уравнению
У' = ЗУ-	.	_ -2*
602.	Докажите,, что функция у = 7е	удовлетворяет уравне-
нию у' = — 2у.
603.	Докажите, что функция у = 3е~7х удовлетворяет уравне-
нию у' = —7у.
604*. От tn мг радия С через t мин радиоактивного распада
осталось п мг. Найдите период полураспада радия С.
605*. К началу радиоактивного распада имели 1 г радия А.
Через сколько минут его останется 0,125 г, если его период
полураспада равен 3 мин?
606*. Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч.
Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз?
607*. Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет,
если период его полураспада равен 1550 лет.
608*. Докажите, что если функция f имеет производную на R
и для любых двух значений Х\ и х? выполняется равенство
f (xi+x2) = f (xi)f (х2), то f(x) = eax или f(x) = O для xQR.
609*. Одно тело имеет температуру 200°, а другое 100°. Через
10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой 0°
первое тело остыло до температуры 100°, а второе — до 80°.
Через сколько минут температуры тел сравняются?
610*. Два тела имеют одинаковую температуру 100°. Они выне-
сены на воздух (его температура 0°). Через 10 мин темпе-
ратура одного тела стала 80°, а второго 64°. Через сколь-
ко минут после начала остывания разность их темпера-
тур будет равна 25°?
611*. Моторная лодка движется со скоростью 30 км/ч. Какова
скорость лодки через 3 мин после выключения мотора?
(Воспользуйтесь тем, что скорость лодки v (/) удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению v' (t)— — kv (/) (где
v — скорость в метрах в минуту).
Сведения из истории
Дробные показатели степени и наиболее простые правила
действий над степенями с дробными показателями встречались
в XIV в. у французского математика Н. О р е с м а (1323—1382).
Франц Н. Шюке (XV в.) рассматривал степени с отрица-
тельными и нулевым показателями.
Немецкий математик М. Штифель (1486—1567) ввел на-
звание «показатели» (exponenten) и дал определение а°=1 при
а=#0. Сопоставляя натуральные числа с натуральными степе-
нями одного и того же основания, он для этого частного случая
пришел к соотношениям log (aft) = log a-f-log &, log-^-= log а —
-log b.	b
217
Логарифмы были введены (независимо друг от друга) англий-
ским математиком Дж. Непером (1550—1617) и швейцар-
ским математиком И. Бюрги (1552—1632). Теорию логариф-
мов развил Непер. Он разработал способы вычисления арифме-
тических выражений с помощью логарифмов и составил подроб-
ные таблицы логарифмов. Таблицы Непера мало отличались от
современных таблиц натуральных логарифмов. Десятичные ло-
гарифмы были введены английским математиком Г. Бриггсом
<1556—1630). Лейбниц еще в конце XVII в. с помощью правил
логарифмирования решал показательные уравнения. Использо-
вание таблиц логарифмов, а позже логарифмической линейки
значительно упростило вычисления, и они долго были одним из
основных средств вычислений. Французский математик Лаплас
говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычисли-
телей.
Вопросы и задачи на повторение
1. 1) Дайте определение корня п-й степени из числа. Что такое
арифметический корень п-й степени?
2) Найдите значение:
a)	б) V625; в) 7^128; г) у д) Ух)п.
3) Решите уравнение:
а) х3 = 125; б) х4 = 64;	в) х5= — г) х4=—-16.
2. 1) Сформулируйте основные свойства арифметических корней.
2) Преобразуйте выражение:
3) Какое из чисел больше:
a)	или V5;
в) V128 или ^/4;
б)	Vs или V3;
г) 2100 или 1ОО20?
3. 1) Дайте определение степени с рациональным показателем и
сформулируйте основные свойства таких степеней.
2) Найдите значение:
1	L	2--	_L L
а) 16 4; б) (^)4; в)	г) 764:2 5(210)6.
3) Какое из чисел больше:
5_	_2_	_3_
a) V16 или 24;	б) 3 3 или 9 4;
в) 0,Зг или 0,3	г) 5 3 или 5-0,6?
218
4.
5.
1)	Сформулируйте основные свойства показательной функции.
2)	Постройте график функции:
а) у=\х-, б) у=(т); в) у=&с’ г) 
3)	Какое из чисел больше:
а)	20,4 или 23; б) 1,2-^ или 1,2^;
в) (1)* или ; г) 0,3я или 0,3~3?
1) а) Найдите корни уравнения ах = ас (а>0, а=/=1).
б)	Решите неравенство ах>ас (рассмотрите два случая
0<а< 1 и а>1).
2) Решите уравнение:
а) 27х = 9Г;
в) 0,5х2+х-2’5=-\/2;
3) Решите неравенство:
б)	Зх+2 — 3х = 72;
г) 9х+3 + Зх+2 = 18.
; в) 5х2+'>4-; г) 0,2х41 >5.
6.	1) Что такое обратная функция? Приведите примеры функ-
ции и ей обратной. Сформулируйте теорему об обратной функ-
ции.
2)	Сформулируйте свойство графика обратной функции. По-
стройте график функции f и обратной к ней функции, если:
a) f(x)=2x + 3;	б) f(x)=x3;
в) f(x)=x2, х>0;	г) f (х)=х2, х^.0.
3)	Задайте формулой функцию, обратную к функции f, если:
a) f(x)= -Зх + 2; б) f(x)=x3-H;
в) Н*)=7Гз:	г) f (х) = х2, х<0.
Л “Т" О
7.	1) Дайте определение логарифмической функции и сформу-
лируйте ее основные свойства.
2)	Постройте график функции:
a) y = log4x; б) z/ = log5x; в) y = logix; г) y = logix.
5	4
3)	Какое из чисел больше:
a) logs 5 или log3 6; б) log i 5 или log 1 б;
Г	г
в) 1g 7 или 3 1g 2; г) log2 3 или log3 2?
8.	1) Сформулируйте основные свойства логарифмов.
2)	Прологарифмируйте по основанию а выражение:
a) lQb7\[?, а = 2;	б) а=10;
V100&’
в) 27-4г, а = 3; г) -1- _, а=0,7.
с	с\[с
219
3)	Найдите х, если:
a)	logs х = logs 1,5 4--i-logs 8;
б)	lg х= 1 4-2 lg 3—-|-lg 125;
в)	log2x = 2 1og25—log2 84-10g2 0,2;
г)	log3x = 5 log3 74—I logs 27-| logs 16.
О	z
9.	1) а) Укажите все корни уравнения \ogax = b (а>0, а=/=1).
б) Решите неравенство
logo x>logfl с
(рассмотрите два случая:	и а>1).
2) Решите уравнение:
a) log2 (х—15) = 4; б) 1g (х2 —2х —4) = lg 11;
в) 1п2(х — 2) = 4;	г) lg2 x-f-2 lg х = 8.
3) Решите неравенство:
a) log0,6X>2; б) log7 х< 1;
в) 1пх^— 3; г) Igx^—2.
10.	1) Что такое число е? Какую производную имеет функция
у = ех? у = ах?
2)	Найдите производную функции:
a) f(x) = e2x; б) g(x) = e-3x; в) и(х) = 3е7х“1;
г) v (х) = 5 — 2е4“3х
3)	Найдите общий вид первообразных для функции:
а) Нх) = е2х; б) g (х) = е“3х; в) и(х) = 5е0,7х;
г) v (х) = е5х — 7е“4х.
11.	1) Какую производную имеет функция In х? Найдите общий
вид первообразных для функции —.
2)	Найдите производную функции:
a) In Зх; б) In (7 — 2х).
3)	Найдите общий вид первообразных для функции:
a) f(x)=-b б) g (*)=—
12.	1) Какую производную имеет степенная функция х₽?
2)	Постройте график функции:
а) у = х7; б) у = х-4; в) у=х0,3; г) у — х^.
(Найдите производную данной функции.)
3)	Найдите приближенное значение:
a) Ш б) У127Д
220
Дополнительные упражнения к главе IV
Изобразите схематически график функции (612—613).
(1 \ х
—) ; в) t/ = logo,6x; г) y = log„x.
613.	a) z/ = lg( — х);	б) y = lg(x —3);
в) y = lg(* + 3);	г) z/ = lgx + 3.
Решите уравнение (614—619).
614.	а) Зх = 7; б) 2х-7х=10;
1--
в) 53-2х = 4; г) 0,3 2=53х.
615.	a) In (4-J-2x —х2)=0; б) 1п(2х + 3е)=1;
в) In (х2 —х4-2) = 1п 4; г) In (х24-3х+ l)=ln 11.
616.	а) е'-х = ех; б) ех-1=р-; в) 2'-х = 5; г) 25~3х = 74.
617.	a) logsX= —1;	б) logsx = logs7;
в) logs х=—logs 7; г) log2 х = 3 —log2 7.
618.	a) log^ х = 3;	б) logo,3X = 2;
2
в) log3 (logs х) = 0;	г) log4(log2x)=—1~.
619.	a) log2 sin х-J~ 1 =0;	б) logs (2Х+1)=2;
в) In (0,5 + х) = 1п 0,5 — In х;	г) logx 2-|-log2 х=-^-.
620.	a) 2sinx= 1; б) 4COSX=2; в) 8Х+ 18х = 2-27х;
г) 25х— 10х = 2-4х
621.	Вычислите:
a) log3 2 - log< 3 -... - logi 1 10; б) loge 16, если logi2 27 = a.
Решите неравенство (622—625).
622.	a) 1g х4" lg (х — 1 )< 1g 6; б) logo.s х> log2 (3 — 2х);
в) logx2>0;	г) log2_хЗ<0.
623.	а) 1пх>2; б) In х<5; в) 1пх<—3; г) logs х^—2.
624.	a)	б) 0,7х<0,49;
в) 0,2х>А;	г) J_<27.
625.	а) 1,72-3х<7; б) 2Х<-Ь
в) Зх2+х< 10,g9; г) ex + 2>J-.
221
626.	Докажите формулу:
a) loga fr=-r----- ; б) loga 6 = loga'b'.
tog* a
Решите уравнение (627—630).
627.	a) logx 3 —log* 5 = 2;	6) logx_2 (x2-6x-|- 10)= 1;
в) 2 log7 Vx = log7 (9 —2x);	r)	lg (4,5 — x) = lg 4,5 — lg x.
628.	a) -ylg (2x — 1) = 1 — lg Vх-9‘,
6)	logi x = 4 —3 logs x;
в)	log3 Vх — 5 + logs у/2х —3 = 1;
1	1 I 2	_ i
U S + lgx^ l-lgx~ '
629.	a) xlog'x=16; 6) xlogjX-2 = 27;
в) xlgx=100x; r) xlog,x= 125x2.
630. a) log4 х 4-logx2 2 = 1;		б) logs х• log? х = logs 7; г) lg х-j-logx 10 = 2,5. 634).
	в) logs x + log7x = logs 35; Решите неравенство (631 —	
631.	a) logo.s (2,3 —2х)< 1; б) в) log9 (2 4-х)> 0,5;	г)	logo,? (Зх —2)> 1; logo (24- x)<0,5.
632.	a) logs (3 —х)< — 1; б) в) logo.s (2 — 5х)>2; г)	logo.7 (1 4“2x)>2; lg(4 —3x)>2.
633.	a) logx 17>logx 11;	б) в) log* 0,5< logx 7;	г)	logx 2 > logx 5; logx 0,8>logx 3.
634.	а) In (34-2х —х2+е2)>2; б) 1п2х —2<1пх; в) 1g х— 1 <2 logx 10;	г) logo,2 loS2“j“2>°- Найдите область определения функции (635—637).	
635.	a) logo(x—1);	б) в) log„(4 —х);	г)	logo,2 (x4-2);
636.	a) log2 (х2 —2х —3);	б) в) log £ (х2 —4x4-6); г) 4	log? (64-x —x2); log2.5 (x 4-6x4-9).
637.	a) In ~~~; б) In sin х; Зх 4- 5	в) lg COS x; r). loga lx|.
Пользуясь таблицами десятичных логарифмов, найдите
(638—639).
638.	a) logo,? 5,3; б) loge.i 0,17; в) log„ е; г) log)9 23.
639.	a) Vh7; б) в) 2,ЗЛ г) е\
222
640.	Какое из чисел больше:
a) log i 4- или log ' б> ,о£2 3 или 1о£з 2;
2 3	3
в) log7 3 или logs 9;	г) log2 Ю или logs 90?
Вычислите производную функции (641—647).
641.	а) е9х; б) Зе~2х; в) -£•;	г)3х.
642.	а) 5_,,х; б)	в) 92-5х; г) 5х sin 2х.
643.	а) —б) ^[xigx\ в)	г) —ггз-
COS X	ух	X -Г о
644.	a) esinx; б) ecosx; в) 35tgx; г) 72c,gx.
645.	a) log3x; б) 1g 5х; в) lg(34-4x); г) log9(3 —2х).
646.	а) х3 In х; б) 3х In (5х); в) J г) ~(2х} .
647.	a) In (sin х); б) In (tg х); в) logu (х34-4-/г + 5);
г) lg (sin Зх + 2Х).
648.	Напишите уравнение касательной к графику функции f
в точке с абсциссой х9:
a) f(x) = e2x, хо = О;	б) f(x)=10x, х0=1;
в) / (х)=1п (2х), х0=-±-;	г) f (x)=lg (Зх), х0=-у.
Постройте график функции (649—651).
649*. a) f(x)=ln2x; б) g(x) = exsinx;
в) f(x) = x2ex-, г) р (х)=х logi х.
650*. а) “(х)= ^,„27; б) u(x) = tg3x — 3 tg х;
в) h (х) —  х ; г) w (х) = 1п3 х — 3 In х.
651*. а) р (х)=3 log2 х —log3 х; б) g (х)= [п х_ ;
в) fW=-7-;	г) f(x)=-4-.
е	е»
Найдите первообразную для функции (652—653).
в52-а’тЬ- «ТЙТ?:	г> 7^7-
653- а) б) V?7; в) г) х".
223
654.	Вычислите интеграл:
20	-2	-4
к	f dx	f	dx	\	(	dx	x	[	dx
a>	J—;	6> J	зТ+7:	B)	J	—’ r)	J 7ЙТ
I	-2	-3	-2
655.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	г/=~-, у = 0, х = 2, х=10;
б)	У~, у = 3, х = 2;
в)	У=-у. У = х+\, х = 3;
г)	f/=4‘> Х + У = 4-
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
656.	Докажите, что любое рациональное число может быть
представлено в виде бесконечной периодической десятичной
дроби.
657.	Докажите, что при обращении рационального числа в
бесконечную десятичную дробь (при помощи деления) не
может получиться период (9).
658.	Докажите, что любая бесконечная периодическая деся-
тичная дробь есть запись некоторого рационального числа.
659.	Докажите иррациональность числа 3,272772777277772...
(после первой двойки стоит одна семерка, после второй —
две, после третьей — три и т. д., после п-й двойки стоит
п семерок и т. д.).
Докажите иррациональность числа (660—661).
660.	а) б)л/4-; в) W; г) 1g 5; д) 1g 43.
661.	a) V3+V5; б) л/2 + л/З;	В) V2 + V3+V5.
662.	Докажите, что если натуральное число а не является полным
квадратом, то — иррациональное число.
663.	Разложите на множители:
а) х4 + 4; б) (x2 + y2)3 + (z2 —х2)3 —(y2 + z2)3;
в) (x+y + z)3 —х3 —у3 —z3; г) х3 + у3 + z3 — 3xyz.
664.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
->/2+V3 ’	л/2 + л/3 + л/5’ В) W + V5 + W’
665.	Докажите, что никакое рациональное число г нельзя
представить в виде
r = k л/2 + р л/3,
где k и р — целые числа, отличные от нуля.
666.	Докажите, что числа -д/2, -у/3 и д/5 не могут быть никакими
(не обязательно соседними) членами одной арифметической
или геометрической прогрессии.
8 Заказ 216 ,	225
667.	Докажите формулу:
а)	у'б--,У =д/;
б)
668.	Упростите выражение:
а)	-767-42^/2+719-6-^;
б)	Vsi — 4 V77—V47 —4 Тзз;
в)	V94-42-V5+V129-56 V5.
При решении № 669 и 670 воспользуйтесь определением
предела последовательности:
lim ап = А,
П -► со
если для любого числа 8>0 можно подобрать такой но-
мер N, что
|а„-Л|<е
при всех п> N.
669.	Докажите теорему: если для любого п
ап^Ьп^сп и lim а„ = Итсп = А,
П -> ОО	П -> оо
то существует и lim ЬПу также равный А.
П -> ОО	v
670.	Последовательность называют бесконечно малой, если ее
предел равен нулю. Докажите, что: а) сумма двух бесконечно
малых последовательностей является бесконечно малой;
б) произведение ограниченной последовательности (т. е. та-
кой, что |ал| <.М для любого и, где М — некоторое число)
на бесконечно малую является бесконечно малой; в) равен-
ств0	lim ал = Л
П -> оо
выполняется тогда и только тогда, когда последовательность
Ьп = ап — А бесконечно мала.
671.	Докажите теоремы о пределе суммы, произведения и частно-
го последовательностей, пользуясь результатом задачи 670.
672.	Функцию f называют бесконечно малой в точке а, если
lim f (х) = 0.
х -> а
Сформулируйте и докажите теоремы, аналогичные теоре-
мам задачи 670 для бесконечно малых функций.
673.	Докажите теоремы о пределе суммы, произведения и
частного двух функций, пользуясь результатом задачи 672.
674.	Вычислите предел последовательности:
a) lim (А.-1.....^1) ; б) lim (2^^^...^.
я -* со \	zn /	псо
226
675.	На основании определения предела докажите равенство:
a) lim -^ = 0; б) lim ^/а=1 (а>0); в) lim ^п=\.
Л-*ОЭ^	п -* ОО	л оо
676.
Вычислите предел функции:
а)
lim  |._2- ;
X-5 -73x4-85-10
б)
677.	Докажите, что если существует lim хл, то существует и
П -> оо
lim Х1+Х2 + -,+Хя, , равный limxn.
Л—>-оо	Л	Л-*-со
Решение задач 678—682 основано на принципе математи-
ческой индукции, который часто принимают за одну из
аксиом арифметики. Этот принцип формулируется так.
Если предложение, зависящее от натурального числа п:
а) верно для некоторого начального значения п = по и
б) из допущения, что оно верно для n = k, где k^no —
произвольное натуральное число, вытекает, что предложение
верно и для п = k + 1,
то предложение верно для любого натурального п^по.
678. Докажите методом математической индукции равенство:
б)	12 + З2 + 52 +... +(2п - 1 )2 = п (2п ~ У +1}-;
в)	13 * * б) + 334-53 + ...+(2п- 1)3 = л2 (2л2- 1);
г)	ы 1 + 2-2!+ 3-3!+ ...+ п-и! =(и + 1)!— 1,
где и! = 1 -2-3-...-п;
х 1_____।	1	।	1 I ।	1	"
4*5	5-6	6-7	(и 4-3) (az 4-4)	4(«4-4) ’
е) 22 + 62 +... + (4л -2)2 = ±£п—1№п+У. 
ж)	? _1_ - J _1_	7 I I____________Z_I 1   1 •
7 1 *8 ' 8.15 ' 15*22 ‘	(7п —6)(7дг 4-1; 7п-Н ’
з) —!—।---!___I__1 _l 4_______!____I 1	— 1
7 4«8 ' 8* 12 ‘ 12* 16	“ 4п(4н4-4)^ 16 (п 4-1)	16 ’
679. Докажите неравенство (методом математической индукции):
а) |sin пх\ |sin х|;
б) ——I—!—к 4---------!—> 1-
7 п4-1^п4-2^‘ ^Зл4-1	’
в) (1+й)л>1+и/г для любого натурального п J>2, ft> —1
и (неравенство Бернулли);
г) (1 + А)п>> 1 + n/z + ft2 для любого натурального
п>3 и й>0.
8*
227
680.	Докажите методом математической индукции, что для любого
натурального числа п:
а) 62л-1 + 1 кратно 7; б) З3л+2 + 24л+1 кратно 11;
в) 4л+15п—1 кратно 9; г) 72л— 1 кратно 48.
681.	Докажите методом математической индукции, что п прямых
плоскости делят плоскость не более чем на 1	ча-
стей.
682.	Докажите методом математической индукции, что п
плоскостей делят пространство не более чем на
(п 4- 1) (п2 — п 6)
частей.
6
683.	Докажите, что для любого числа М найдется такое нату-
ральное п, что сумма
будет больше М.
684.	Для функции f(x)=x |х| найдите f' (0).
685.	Докажите, что функция f(x) = VxT не имеет производной
в точке 0.
686.	Найдите способ построения касательной к графику функции
у = х3, аналогичный примеру 2 из п. 22.
687.	По эскизу графика квадратичной функции у — ах2 + Ьх-\-с
определите знаки коэффициентов а, Ь и с и дискриминанта D
(рис. 157). Опишите способ нахождения знаков а, 6, с и D
в общем виде.
688.	Найдите n-ю производную функции	•
689.	Среди функций вида f (х) = ах + Ь найдите все такие, что:
a)	f (f W) = f W для любого x\
6)	f (f (x)) = x Для любого х.
Уа /	690. Найдите функции f2 (х) = f (j (х)),
\	/	М*) = ННЖ)) и т. д., fn(x) =
\	/	=f (х))...)) и укажите область
—X-------------л раз
\	/7	/ х	определения fn (х), если:
\	/	a) f(x)=3-x;
\ / б>
в)	f(x)=~^.
Рис. 157.	691. Обратима ли функция х —2{х)?
223
Рис. 158.	Рис. 159.
692.	Среди функций вида: а) у=—; б) y=^j,
найдите все, совпадающие с обратными к самим себе.
693.	Докажите, что график любой дробно-линейной функции
У = ’cx+d (ПРИ £ =А 0 и ad — Ьс^=О) может быть получен из гра-
фика y=~Y параллельным переносом. Укажите коэффи-
циент k.
694.	Дан график функции f (рис. 158—159). Постройте эскиз
графика функции:
a) y = f( — 2х);	б) y = f(|x|);	в) y=\f(x)\;
Г) y=f(l—x);	д) у — - f (-|х|); е) У=~^
(для функции, заданной на рисунке 159, f (0) = 1).
695.	Приведите пример обратимой функции, определенной на
отрезке [0; 1] и имеющей две точки экстремума.
696.	Докажите, что любое кубическое уравнение х3 + ax2-f-&х+
+ с = 0 имеет хотя бы один действительный корень.
697.	Докажите, что существует в точности одна невертикальная
прямая /, проходящая через заданную точку М параболы
у = ах2 + Ьх + с и не имеющая с параболой других общих
точек. Докажите, что прямая I есть касательная к параболе
в точке М.
698.	Докажите, что треугольник, образованный касательной к
гиперболе ху = сг и осями координат, имеет постоянную
площадь, равную 2a2, а точка касания является центром
окружности, описанной около этого треугольника.
699.	Изобразите на координатной плоскости множества то-
чек Mkt где Mk (k = 0, 1, 2,...) — множество точек М (х; у),
таких, что из точки М (х; у) можно провести в точности k
касательных к параболе у = х2.
700.	Докажите, что если функция f дифференцируема в каждой
точке числовой прямой и для любых значений xi и х2
выполнено равенство f (xi + x2) = f (*i) + f (x2), то f' (x) —
постоянная.
22Э
701.	Докажите, что многочлен степени п имеет не более чем п
корней и не более чем (п — 1) точек экстремума.
702.	Докажите, что каждое свое значение многочлен степени п
принимает не более чем п раз.
703.	Пусть # (х)=-£-^- —дробно-рациональная функция (п —
степень р (х), т — степень q (х)). Докажите, что:
а)	/?(х) каждое свое значение принимает не более чем при
& = тах(/п, п) значениях х;
б)	/?(х) имеет не более чем (m-|-n —1) точку экстремума,
если т^п, и не более чем (т-\-п — 2) точек экстремума,
если т — п.
704.	Выведите формулы производных обратных тригонометри-
ческих функций:
a) arcsin' х=—; б) arccos' х —----------,	;
’	VT-?
в) arctg'х=-у-рр-; г) arcctg'х =—•
705.	Докажите тождество:
a)	arcsin х +arccos х=-у;
б)	arctg x-j-arcctg х=-^-.
706.	Докажите, что любая функция с симметричной относи-
тельно точки 0 областью определения представляется,
притом единственным образом, в виде суммы четной и
нечетной функций.
707.	На рисунках 160—162 изображена часть графика периоди-
ческой функции, определенной на всей числовой прямой.
Каким может быть период функции (Укажите все
возможные значения периода.)
708.	Дополните (если это возможно) графики функций, изобра-
женных на рисунках Г63—165, до графиков периодических
функций с наименьшим положительным периодом Т,
являющихся при этом:
а)	четными;
б)	нечетными.
Рис. 160.
709.	Существуют ли периодические функции, у которых: а) все
рациональные числа являются периодами, а все иррацио-
нальные — нет; б) все иррациональные числа являются
периодами, а все рациональные — нет?
710.	При каких п функция f может иметь в точности п точек
экстремума, если известно, что /:
а) четная;
б)	нечетная;
в)	периодическая функция?
711.	Докажите, что функция f не является периодической:
a) f (x) = cos x-cos (xn/2);	6) f (x)=cos x + cos (x
в) f(x) = sinx2;	r) f (x) = sinV*-
712.	Докажите, что сумма двух непрерывных периодических
функций, не имеющих общих периодов, не является периоди-
ческой (считайте, что обе функции определены на всей
числовой прямой).
713.	Докажите, что sin 47° + sin 61 ° — sin 11° —sin 25°=cos 7°.
714.	Упростите:
a)	sin x + sin 2x+sin Зх + ... + sin nx; ,
6)	cos x + cos 5x + cos 9x +... + cos (4n — 3) x.
715.	Известно, что
Z.A+ Z.B4- Z.C= 180°,	=sin£
a b c
Докажите, что
а2 = б24-с2—2b c cos A
(Z.A, Z.B и Z.C не обязательно положительные).
716.	Докажите, что выражение
a sin x+b cos х
можно представить в виде
A cos (х 4- ф),
где А=^а2 + Ь2.
231
717.	Докажите, что если стороны а, b и с треугольника обра- зуют арифметическую прогрессию, то ctg -g-, ctg у и ctg также образуют арифметическую прогрессию.
718.	Докажите, что, для того чтобы sin х и cos х одновременно были рациональными, необходимо и достаточно, чтобы tg~- был рационален.
719.	Докажите, что: а)	16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°= 1; 6)	cos2 3 + cos2 1 — cos 4 cos 2=1.
720.	Пусть при движении по прямой тело массы т в точке с координатой х обладает потенциальной энергией и (х). Докажите, что: а)	координата x(t) тела при движении по прямой удовлет- воряет дифференциальному уравнению тх" (f) = — и' (%); б)	потенциальная энергия и материальной точки массы т, совершающей гармоническое колебание х"=—<о2х, равна kx2 —, где k = mu> (положите и(0) = 0).
721.	Докажите, что полная энергия »-« tnv ।	/ \ £=—+«(%) материальной точки массы т, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется (и (х) — потенциальная энергия).
722.	Пусть xi (/) и х2 (/) — два решения уравнения х" (t)=- <о2 x(t). Докажите, что функции xi(t) —x2(t) и kx\ (f), где k — произвольное число, также являются решениями этого уравнения.
723.	Докажите, что существует решение уравнения х" (/) = — <o2x(t), имеющее вид:	х=д cos (ш/ + (р)> удовлетворяющее начальным условиям х(О) = хо, х'(0)=уо.
724.	Пользуясь результатами задач 722—723, докажите, что любое решение дифференциального уравнения х" (/)= — w2x (t) может быть записано в виде х = A cos (<ot + ф)-
232
725.
726.
727.
728.
Пусть точка Р (/) равномерно дви-
жется по окружности числовой пло-
скости радиуса А с центром в на-
чале координат против часовой стрел-
ки, проходя (о радиан за единицу
времени. Пусть вектор ОР в началь-
ном положении OPq образует угол
Ф с положительным направлением
оси Ох (рис. 166). Покажите, что
координата проекции точки Р (/)
на ось Ох совершает гармоническое
колебание, и определите соответст-
вующие константы Д, со и ф.
Рис. 166.
Используя результат задачи 725, покажите, что сумма двух
гармонических колебаний с общей частотой является
гармоническим колебанием той же частоты.
Докажите, что сумма двух гармонических колебаний с
общей частотой является гармоническим колебанием той же
частоты, пользуясь результатом задачи 722.
Докажите, что сумма двух гармонических колебаний
xi (0 — cos (<0|/ + ф1) и Х2 (/) = Д2 cos ((02/ + фг)
будет периодической функцией тогда и только тогда, когда
отношение частот есть рациональное число г, т. е.
(01
— = Г.
(02
729.	Пусть f (х) — многочлен степени не выше 3. Докажите, что
ь
j f (х)с1х==£^-(У'+4У2 + Уз),
а
где yi=f(a), y2=f(^^ , y3 = f(b).
730.	Капля воды с начальной массой М падает под действием
силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно
массу т. Какова работа сил тяжести за время от начала
падения капли до ее полного испарения?
731.	Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести
надо произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса
высоты Н и радиуса основания /?? Плотность песка равна р,
и его поднимают с плоскости основания конуса.
732.	Однородная треугольная пластинка с основанием а = 40 см
и высотой ft = 30 см вращается вокруг основания с постоян-
ной угловой скоростью (о = 5л с”1. Найдите кинетическую
энергию пластинки, если ее толщина d = 0,2 см, а плотность
материала, из которого изготовлена пластинка, равна
р = 2,2 г/см3 (толщиной пластинки пренебречь).
733.	Найдите центр масс однородного полукруга радиуса /?.
734.	Найдите центр масс однородного полушара радиуса R.
735.	Докажите, что работа, которая производится против силы
выталкивания воды при погружении однородного тела в воду,
равна pgVh, где р — плотность воды, g — ускорение
свободного падения, h — глубина погружения центра масс
части тела, находящейся в воде, V — ее объем.
736.	Вычислите интеграл:
с8 5—%	г Ч—7
а) \ — ....— dx:	б) \ х~\11 —x-dx;
л
У
в) j (cos2 x + cos4 х) sin х dx.
n
~~2
737.	Найдите производную функции f(x)=x*.
738.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
а)	б) у = х2е~х-, в) у = ->/х\пх; г) у= | {%}—^-| .
739.	Найдите область значений функции:
a) cos2 х —cos х; б) 3 cos х —4 sin х — 2;
в) 4Х + 2Х;	г) х*(х>0).
740.	Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют условию:
а) х7+-1 ^°’	|х+^ + |х — ^|=4;
в) W; г) —!;
/V I	|	у_ 1
д) М<[у]; е) М>М-
741.	С помощью интегралов найдите предел:
a) lim —(sin—+sin —-}-••• + sin
rt->oo fl \ fl	fl	fl J
б> '™(7Тт+7гЬ+ -+^);
B) lim Г+УД;^---(р>0);
H->OO	fl
742.	Сколько действительных корней имеет уравнение:
а) х3 —4х2 —Зх + 5 = 0; б) х3—9х = а (а — параметр)?
234
743.	Докажите, что число
рационально.
744.	При каких основаниях а существуют числа х, равные
своему логарифму (т. е. выполняется условие x = logflx)?
745.	При каких значениях параметров (а, b и С) определен
интеграл:
ь	ъ	ь
\ f dx	С	\ С dx
а)}7=2’ бЧ^с; В))7+С?
а	0	а
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. Действительные числа
1°. С натуральными числами 1, 2, 3,... и целыми (0, ±1, ±2,
±3,...) вы знакомы из курса начальной школы. Числа, которые
можно представить в виде г=-у, где п — натуральное число, а
т — целое, называют рациональными. Арифметические действия
над рациональными числами (в том числе и целыми) осуще-
ствляются по известным правилам.
Любое рациональное число г=-~ можно представить в виде
бесконечной десятичной дроби:
г = ±ао, ••• ап...,
где ао — целое неотрицательное число; аь аг, .... ап, ... — цифры.
Для этого’ надо разделить числитель дроби на ее знаменатель.
Например, при обращении числа ii| в бесконечную десятичную
дробь находим:
110	101
— 101	1,089108
“J500
808
"520
909
“ПО
101
900
808
Полученная дробь 1,08910891... — периодическая, так как
остатки от деления (это 9,90,92,11,9...), а, следовательно,
и цифры частного (1,0,8,9...) периодически повторяются. По-
вторяющуюся группу цифр называют периодом дроби; при записи
период заключают в круглые скобки. В данном случае дробь
iip= 1,08910891... записывается в виде iip= 1, (0891). В общем
236 .
случае при делении также получается периодическая десятичная
дробь. (В самом деле, остаток от деления целого числа на нату-
ральное п может быть равен 0,1,..., п— 1, т. е. существуют в
точности и—1 различных ненулевых остатков от деления на п.
Следовательно, в процессе деления на п «столбиком» когда-то
встретится остаток, уже встречающийся ранее. Затем остатки,
а значит, и цифры в частном будут периодически повторяться;
при этом длина периода не больше и—1.) Если при делении
встретится остаток 0, то получим конечную десятичную дробь,
которую также можно записать в виде бесконечной периоди-
ческой дроби, дописывая справа бесконечную последователь-
ность нулей. Например,
4 = о,3125 = 0,3125000... = 0,3125 (0).
16
В процессе деления не могут получиться бесконечные деся-
тичные дроби с периодом (9). Такие дроби исключают из рассмот-
рения, т. е. не считают их записью действительного числа.
Таким образом, любое рациональное число можно предста-
вить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, не
имеющей периодом (9). Верно и обратное: любая бесконечная
периодическая десятичная дробь есть представление некоторого
рационального числа. Один из способов обращения бесконечных
периодических дробей в обыкновенные описан далее.
2°. Как известно из курса геометрии, длина диагонали квад-
рата со стороной 1 должна выражаться положительным числом,
квадрат которого равен 2 (это число обозначают V2). Дока-
жем методом от противного, что такого рационального числа не
существует.
Пусть г = -~, где —несократимая дробь и ~j = r2 = 2
(г>0, поэтому т и п — натуральные числа). Из равенства
т2 = 2п2 получаем, что т — четное число, т. е. m = 2k. Подставляя
в равенство т2 = 2п2 вместо т число 2k, находим: 4k2 = 2n2, т. е.
n2 — 2k2. Отсюда следует, что п — также четное число. Получили
противоречие: дробь -^-сократима (на 2).
Действительные числа, не являющиеся рациональными, назы-
вают иррациональными. Любое иррациональное число а можно
представить в виде бесконечной десятичной дроби. Эта дробь не
может быть периодической (в противном случае а — рацио-
нальное число). Верно и обратное: любая бесконечная десятич-
ная непериодическая дробь есть представление некоторого ирра-
ционального числа.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел. С арифметическими операциями над
действительными числами вы знакомы (см. также с. 238). В ходе
проведения вычислений, встречающихся на практике, действи-
237
тельные числа округляют с требуемой точностью и оперируют с
конечными десятичными дробями.
3°. Для обозначения числовых множеств приняты следующие
символы:
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Z& — множество целых неотрицательных цисел;
Q — множество рациональных чисел;
Qq — множество неотрицательных рациональных чисел;
R — множество действительных чисел;
/?+— множество положительных действительных чисел.
Как легко проверить, эти числовые множества удовлетворяют
следующим соотношениям*:
JVczZczQcz/?.
2. Основные законы арифметических действий
и свойства неравенств. Формулы сокращенного умножения
1°. Для любых действительных чисел а, b и с справедливы сле-
дующие равенства:
а)	a + b = b-\-a (переместительный закон сложения);
б)	(a + b)-\-c = a + (b + с) (сочетательный закон сложения);
в)	ab = ba (переместительный закон умножения);
г)	(ab) с = а(Ьс) (сочетательный закон умножения);
д)	(a^-b) с = ас + Ьс (распределительный закон).
Из этих законов следуют аналогичные свойства для вычита-
ния и деления, например:
(a — b) с = ас — be, (a + b):c=a:c + b:c.
Из любых двух разных действительных чисел одно больше
другого (правила сравнения приведены на с. 296). Если число а
больше числа b (обозначается a>b)t то говорят также, что Ь
меньше a(b<Za\
2°. Перечислим основные свойства неравенств:
а)	если а>Ь и Ь>с, то а>с, где а, &, с — любые действи-
тельные числа.
Если а>Ь (а и Ь.—любые действительные числа), то:
б)	a + ob + c, где с — любое действительное число;
в)	aobc, где с—любое положительное действительное
число;
г)	ас<Ьс, где с — любое отрицательное действительное
число.
* Говорят, что множество А содержится в множестве В (пишут: ЛсВ),
если каждый элемент множества А является и элементом множества В.
238
Из приведенных выше свойств числовых неравенств можно по-
лучить такие следствия:
д)	если а>Ь и c>d, то a-\-c>b-\-d и a—-d>b~с (теоре-
мы о почленном сложении и вычитании числовых неравенств);
е)	пусть а, Ь, с и d — произвольные положительные числа,
a>b, c>d, тогда ac>bd и	(теоремы о почленном ум-
ножении и делении числовых неравенств с положительными
членами).
3°. С помощью свойств арифметических действий легко дока-
зываются следующие известные «формулы сокращенного умно-
жения», которые часто применяются при выполнении тождест-
венных преобразований:
a2 — b2 = (a — b) (а4-Ь),
а3 — Ь3=(а — b) (a2 + ab + Ь2),
a3 + b3 = (a-]-b) (а2 — ab + &2),
(а + 6)2 = а2 + 2аЬ + &2,
(а — b)2 = а2 — 2аЬ + Ь2,
(а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3,
(а — Ь)3 = а3 — За2Ь + ЗаЬ2 — Ь3.
3.	Числовая прямая и числовая плоскость
Из курса алгебры вы знаете, что действительные числа удобно
изображать точками координатной прямой. На уроках геометрии
в VII классе вы изучали, как вводятся координаты на плоскости
и как по координатам двух точек прямой (плоскости) можно
найти расстояние между этими точками. Напомним соответствую-
щие формулы.
Теорема 1. Для любых двух точек А (хА) и В (хв) коорди-
натной прямой расстояние
АВ=\хв—ха\.
Пример 1. Найдем расстояние между точками А ( — 7,1)
и В (4,3).
По теореме 1 расстояние
АВ — \хв — хл|.
По условию
хл=—7,1, хв==4,3,
следовательно,
ДВ= |4,3 —( — 7,1)1,
ДВ = П,4.
Ответ: 11,4.
Теорема 2. Для любых двух точек А (х\; у\) и В (х2; уъ)
координатной плоскости расстояние
АВ = (х2 — Хг)2 + (уг— у\У.
Пример 2. Найдем расстояние между точками А ( — 0,2; 2,6)
и В (0,3; 1,4).
По теореме 2 расстояние
А В = V(-«2 —Х|)2 + (у2 —У|)2.
По условию х\—— 0,2,	yi=2,6,
х2 = 0,3,	у2=1,4,
следовательно,
АВ = -7(0,3 - (- 0,2))2 + (1,4- 2,6)2,
AB = V0,52 + (-l,2)2,
45 = 71,69,
45=1,3.
Ответ: 1,3.
Установленное взаимно однозначное соответствие между дей-
ствительными числами х и изображающими их точками М (х) ко-
ординатной прямой позволяет, говоря о числах, пользоваться
геометрической терминологией.
Будем считать координатную прямую расположенной горизон-
тально, а за положительное направление на ней^выберем на-
правление слева направо. Тогда неравенство х< у "означает, что
точка М (х) лежит слева от точки М (у). Удобно говорить, что
само число х ле^ит левее числа у. Если x<z<y или f/<z<x,
то говорят (в обоих случаях), что число г лежит между числами
х и у. Число	.	.
а	\у — х,
выражающее расстояние между точками М (х) и М (у), удобно
называть просто расстоянием между числами х и у.
Само множество R всех действительных чисел называют
числовой прямой*, а его элементы (т. е. числа) — точками чис-
ловой прямой.
Простейшие множества в R называются промежутками. Пере-
числим их.
Отрезок с концами а и Ь (обозначается [а; 6]) есть мно-
жество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а^х^й.
Интервал с концами а и Ь (обозначается (а; Ь)) есть мно-
жество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству a<Zx<b.
* Заметьте, что координатных прямых много, а числовая прямая одна — мно-
жество действительных чисел.
240
Полуоткрытые промежутки с концами	---♦”...
а и Ь:	а+
[а; Ь) — множество всех чисел х, удовлет-	Рис- 167-
воряющих неравенству
(а; &] — множество всех чисел х, удовлетворяющих нера-
венству а<.х^Ь.
Число Ь — а называют длиной промежутка с концами а и &.
Бесконечные интервалы:
(а; оо) — множество всех чисел х, удовлетворяющих неравен-
ству х>а;
(—оо;6)— множество всех чисел х, удовлетворяющих нера-
венству х<Ь.
Бесконечные промежутки (замкнутые):
[а; оо) — множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
х^а;
(—оо;6]—множество всех чисел х, удовлетворяющих нера-
венству х^Ь.
Интервал вида (а — 6; а + 6), где 6>0, называют также
^-окрестностью точки а (рис. 167). Можно сказать, например,
что все десятичные приближения по недостатку и по избытку к
числу д/2, начиная с третьего (т. е. приближения -\[2 с точ-
ностью до 10~п при п^З), попадают в 6-окрестность точки д/2
при 6 = 0,001.
Точку а называют внутренней точкой области определения
функции D (f), если можно подобрать 6-окрестность точки а,
целиком входящую в D (f).
Пример 3. Пусть промежуток / = [3; оо) есть область
определения некоторой функции. Тогда точка 7 — внутренняя
точка промежутка /, так как интервал (5; 9) есть 2-окрестность
точки 7 и целиком входит в /.
По аналогии с числовой прямой множество упорядоченных
пар действительных чисел называют числовой плоскостью, а лю-
бую упорядоченную пару действительных чисел — точкой число-
вой плоскости. Числовую плоскость принято обозначать симво-
лом Я2(читается: «эр два»). На одной и той же плоскости можно
многими способами изображать точки числовой плоскости, кото-
рая сама по себе при этом не меняется — она остается просто
множеством пар действительных чисел.
К точкам числовой плоскости также можно применять гео-
метрическую терминологию. Например, множество точек (х; i/)g/?2,
координаты которых удовлетворяют уравнению
ах-\-Ьу-\-с = 0
(хотя бы одно из чисел а или Ь отлично от нуля), естественно
назвать прямой, так как изображением этого множества на
координатной плоскости является прямая.
241
Множество точек (х; у)СЛ2, координаты которых удовлетво-
ряют неравенству
х* + у*<г2 (г>0),
изображается на координатной плоскости кругом радиуса г с
центром в начале координат. Поэтому такое подмножество
числовой плоскости также называется кругом радиуса г с центром
в точке О (0; 0).
4.	Приближенные вычисления
1°. Абсолютной погрешностью приближенного значения х
числа а называется модуль разности числа и его приближенного
значения, т. е.
|х — а|.
Если известно, что абсолютная погрешность приближенного
значения х числа а не превосходит й, то говорят, что а равно х с
точностью до h. Коротко записывают это так:
а = х±й.
Пример 1. При взвешивании на рычажных весах при на-
личии гирь 1 г, 2 г, 5 г, 10 г, 20 г и т. д. (указаны самые ма-
ленькие гири) мы находим массу предметов с точностью до
0,001 (массу измеряем в килограммах).
Относительной погрешностью приближенного значения х
числа а называется отношение абсолютной погрешности к мо-
дулю приближенного значения, т. е.
|х—д|
|х|
Пример 2. Абсолютная погрешность приближенного зна-
чения 0,3 числа равна
|-L-03|=J-
13	U,'3I	30’
а относительная погрешность равна
Обычно точное значение абсолютной погрешности неизвестно,
а известна точность приближения й. В этом случае мы можем
оценить (сверху) относительную погрешность: она не превосходит
При оценке относительной погрешности полученный результат
округляют в большую сторону (т. е. заменяют приближенным
значением по избытку), оставляя одну значащую цифру.
2Ф2
Пример 3. Расстояние от Земли до Луны равно
I = 384 000 Чн 500 км.
Оценим относительную погрешность данного измерения.
Относительная погрешность не превосходит
-^2-=0,00130208... «0,002 = 0,2%.
ООтг иии
Относительная погрешность, как правило, достаточно малая
величина, ее обычно выражают, как в примере 3, в процентах.
2°. Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме
нулей, стоящих вначале.
Пример 4. В числе 0,00634 — три значащие цифры: 6, 3, 4» а
в числе 40,10 — четыре значащие цифры: 4, 0, 1, 0.
Стандартным видом числа а называют его запись в виде про-
изведения Ь- 10л, где	10 и п — целое число.
Пример 5. Запишем в стандартном виде числа 23 100 000;
0,07635; 0,03-10"4. Имеем: 23 100 000 = 2,31 • 107; 0,07635 =
= 7,635-10”2; 0,03-10~4 = 3-10"«.
Цифру m в записи приближенного значения называют верной,
если абсолютная погрешность приближения не превосходит еди-
ницы того разряда, в котором стоит цифра т.
Пример 6. Известно, что а = 2,35±0,25. В записи прибли-
женного значения 2,35 верной является только цифра 2.
Обычно в записи приближенных значений чисел стараются
оставить только верные цифры. При этом в математических таб-
лицах и справочниках границу абсолютной погрешности не ука-
зывают.
П р и м е р 7. По четырехзначным математическим табли-
цам В. М. Брадиса находим:
sin 23° = 0,3907.
Подразумевается, что абсолютная погрешность выписанного
значения синуса не превосходит 0,0001.
Пример 8. Согласно одному из справочников масса
Солнца равна 1,990-Ю30 кг. Подразумевается, что приведен-
ное значение имеет точность 0,001 • 103°= 1027.
3°. Абсолютная погрешность суммы и разности не превосхо-
дит суммы абсолютных погрешностей исходных данных. Отно-
сительная погрешность произведения и частного не превосхо-
дит суммы относительных погрешностей исходных данных.
Например, если а = 2,35±0,01 и Ь = 5,61 ±0,01, то а + А =
=7,96±0,02, Ь — а = 3,26±0,02, !^~^35'5’611 < °-01 4. М*
2,35-5,61	2,35 * от
куда	2,35-5,61] <0,01-5,61 4-0,01-2,35<0,08, т. е.
а& = 13,2±0,1.
243
5.	Проценты
Процентом называют одну сотую часть целого (принятого за
единицу). Для нахождения числа Л, составляющего р% от числа
М, пользуются «формулой процентов»:
<»
Эту же формулу используют для решения еще двух задач: а) за-
даны числа А и Mt требуется узнать, сколько процентов от М
составляет А (т. е. найти р); б) известно, что число А состав-
ляет р% от числа Л4, требуется найти число М (Л и р заданы).
Пример 1. Рабочий за смену изготовил 96 деталей вместо
положенных по плану 80 деталей. На сколько процентов он пере-
выполнил план?
Требуется определить, сколько процентов число 96 — 80=16
составляет от числа 80. По формуле (1) получаем, что искомое
число р равно:
Пример 2. Известно, что число учащихся, посещающих
факультатив по литературе, равно 80% от числа учащихся, по-
сещающих факультатив по математике. Сколько процентов
составляет число посещающих факультатив по математике от
числа посещающих факультатив по литературе?
Пусть число учащихся, посещающих факультатив по мате-
матике, равно т, а факультатив по литературе — /. По условию
(см. формулу (1))
/=^=0,8т.
Требуется определить, сколько процентов число tn составляет
от числа / = 0,8/п. По формуле (1) получаем:
по/ /и* 100%  т*100% 19^0/
6.	Пропорции
Пропорцией называют равенство вида
а_________________________ с
b — d 1
где а, &, с, d — некоторые числа, причем &#=0, d=/=0.
Числа а и d называют крайними членами пропорции, а числа
Ь и с — средними членами пропорции.
Основное свойство (верной) пропорции: произведение средних
членов пропорции равно произведению ее крайних членов.
244
Пример. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 10,
ВС=14 биссектриса угла АВС делит сторону АС на две части,
одна из которых на 2 больше другой. Найдем сторону АС тре-
угольника.
Обозначим меньшую из двух частей через х. Пользуясь тем,
что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противо-
лежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим
сторонам, найдем х из пропорции
х + 2 _ 14
х 10 ’
В силу основного свойства пропорции
10(х + 2)=14х,
откуда
х = 5 и ЛС = х + (х + 2)=12.
7.	Последовательности
Числовую функцию f, область определения которой — мно-
жество натуральных чисел, называют бесконечной числовой по-
следовательностью (или просто последовательностью). Зна-
чение этой функции в точке п обозначают fni а саму последо-
вательность — (f„). (Для обозначения последовательностей чаще
всего выбирают первые буквы латинского алфавита: (ал), (Ьл),
(сл) и т. д.)
Существуют два основных способа задания числовых после-
довательностей: 1) с помощью формулы и-го члена; 2) рекур-
рентно, при этом задают k первых членов последовательности.
и формулу, выражающую (при всех п^1) ал+* через k преды-
дущих членов (чаще всего k=\ или fe = 2).
Пример 1. Формула ал = 2и задает последовательность
четных натуральных чисел.
Пример 2. Рекуррентная формула а\ = 1, а2== 1, и ал+2 =
= ал4-ал + 1 при и>1 задает бесконечную числовую последо-
вательность:
czi = l, а2=1, аз —2, а4 = 3,	= а6 = 8, а7=13, ... .
Эту последовательность называют последовательностью Фибо-
наччи.
Иногда рассматривают конечные числовые последователь-
ности — числовые функции, заданные на множестве п первых
натуральных чисел.
. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная
со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и
тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Это
число d называют разностью арифметической прогрессии.
245
Арифметическую прогрессию с первым членом ai и разностью
d можно задать рекуррентно: ои задано и a„+i=art4-d
при п1.
Последовательность (а„) является арифметической прогрес-
сией тогда и только тогда, когда для любого п > 1 выполнено
равенство
ап
Дл- 1 4~ Дл-Ь 1
2
Для арифметической прогрессии (an)
an = at+(n— V)d,	(1)
Sn = ^-n,	(2)
Sa = 2^n2-Vd.n,	(2')
где d— разность прогрессии, a S„— сумма ее первых п членов.
Пример 3. Найдем формулу п-го члена и сумму первых
100 членов арифметической прогрессии с первым членом at = 3
и разностью d= — 1.
По формуле (1) получаем:
а» = 014-(я — l)d = 3-|-(n— !)•(— 1)=4 — п.
Итак, an = 4 — п.
По формуле (2)
с __ О|+йл___ ЗЦ-4 — п
г>л———-я—	2	’
откуда
SIOo=-^~ 100= -93-50= -4650.
П р и м е р 4. Известно, что сумма первых п членов арифмети-
ческой прогрессии с первым членом 24 и разностью —2 равна 100.
Найдем п.
По формуле (2А) получаем:
100 = 2-24+М:^-|)п,
т. е.
п2~25п +100 = 0,
откуда и = 5 или и = 20.
Числовую последовательность, первый член которой отличен
от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествую-
щему члену, умноженному на одно и то же отличное от нуля чис-
ло q, называют геометрической прогрессией. Это число q назы-
вают знаменателем прогрессии.
246
Геометрическую прогрессию с первым членом Ь\ и знамена-
телем q можно задать рекуррентно: &i=#0 задано и &л+1 =
= bnq при 1.
Последовательность (&л) является геометрической прогрессией
тогда и только тогда, когда для любого п> 1 выполнено равенство
1 bn+i-
Для геометрической прогрессии (Ьп)
	bn = b.qn-1-,	(3)
при 9=/= 1	9-1 ’	(4)
при 9=1	Sn = nbi,	(4')
где q— знаменатель прогрессии, a Sn— сумма ее первых п членов.
Пример 5. В геометрической прогрессии 6з = 8, Ь$ = 2.
Требуется найти сумму ее первых 7 членов.
По формуле (3) имеем:
( М2 = 8,
I М4 = 2.
Разделив второе из полученных уравнений почленно на первое,
получим 92 = 0,25, откуда 9 = 0,5 или q=— 0,5, a &i=8:<72 = 32.
По формуле (4) при 9 = 0,5 получаем:
а при q= —0,5
Суммой S бесконечной геометрической прогрессии при | q | < 1
называют число S, к которому стремится S„ при п->оо, при этом
S=T“f
Пример 6. Обратим бесконечную периодическую дробь
а==0,31212121212... = 0,3(12) в обыкновенную.
Запишем а в виде
g=±+^L, + ,.J?
10 “ 1000 “ 100000 “
247
По формуле (5) при &1=-1L	получаем:
IUUU	1 ии
12
1000
12 .	12
1000 "г- 100000
1	100
12 _ 2
990	165 ’
994-4
103
Следовательно. а=—-i--------------------—-------.
А D lc,/1Dnu’ u 165 ззо ззо
8. Степени и корни
Степенью числа а с натуральным показателем и, большим 1,
называется произведение п множителей, каждый из которых
равен а:
аП =^'а'а '• • -‘a-v
п множителей
Степенью числа а с показателем 1 называется само число а:
а1 —а.
Степенью числа а=#0 с показателем 0 называется число 1:
а°=1.
Степенью числа а=#0 с целым отрицательным показате-
лем п называется число -4т :
а п
...............	- -	.. iff 11 .111 inn~	11
2
Основные свойства степеней с целым показателем (а=/=0,
&=#=0, zngZ, n£Z):
a) am-an = am+n\
б) am:an = am~n;
в) (am)n==amn-
г) (ab)n = anbn;
д) (a:b)n = an:bn.
При а = 0 (и & = 0) все эти свойства также верны в случае,
когда определены обе части выписанных равенств.
Пример 1. Требуется упростить выражение
(27x"V)8-(32x3)5:(6y2)24
и вычислить его значение при х = 2, // = -\/3.
248
Пользуясь свойствами степеней с целыми показателями, по-
лучаем:
(21 х~ У)8 • (З2х3)5: (бу2)24 =
= (З3)8 • (х~2)8 • (у6)8 • (25)5 • (х3)5: (2 • З)24: (t/2)24 =
= 324.х-16У8.225.х|5 : 224 : 324:/8 =
_224-24 >х- 16+ 15	48-48 ф225-24 —21	1 — 2
V	х
Итак, данное выражение не зависит от у (важно только, что
уу=0), его значение при х = 2 равно 1.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется
такое неотрицательное число Ь, квадрат которого равен а. Для
арифметического квадратного корня из а принято обозначение
-у/a. Таким образом, Ь=^[а, если Ь2 = а и &^0. Легко видеть,
что -\[а существует только для неотрицательных а.
Свойства арифметического квадратного корня:
а)	-7^= lah
б)	-у/аЬ	где а^О, 6^0;
х -у I а -у/a	л ,
в)	где а>0, Ь>0.
Пример 2. Вынесем а и b из-под знака корня: -\[2а6Ь\
Если а = 0, то указанное выражение равно 0. Если же а=#0,
то (так как подкоренное выражение должно быть неотри-
цательным). Имеем:
лу=л/уу= la31;
y[b^= ~^Ь2-Ь = -yfb?• -yfb — b ~\[b
(так как &^0), поэтому
у/^ь5=/0 при а = 0’
I |а3| b -\[2Ь при а#=0.
Пример 3. Внесем а под знак корня: а -у/ЗЬ.
Если а^О, то a=\a\=^/cF-, если же а <0, то а— — |а| =
= —-у/а?. Итак,
гкт ( -\13а2Ь при а>0 (если а = 0, то 6>0),
£2 ~\/OU  1 /л п.	—
I —-xjia b при а<0.
Пример 4. Представим -\[ab в виде произведения.
Под знаком корня должно стоять неотрицательное число,
поэтому а&^0. Рассмотрим два случая: 1) а^О и 6^0;
2) а<0 и &<0.
В первом случае по свойству б) имеем ->{ab=^a--y[b.
249
Во втором случае сначала представим ab в виде произведе-
ния неотрицательных чисел: ab=( — а)*( — Ь)— и только потом
воспользуемся свойством б):
~^ab =V( —а) •( — &)=* V—fr.
Итак,
при а>0,
V—я- V — fr при а	0, b С 0.
9.	Прямая пропорциональность
Прямой пропорциональностью называют функцию вида y = kx,
где k — некоторое действительное число, отличное от нуля
{k называют коэффициентом пропорциональности).
Для любых двух пар соответственных значений переменных
(хи 1/1) и (х2; у2), где хь х2, Уь У2 отличны от нуля, верно равенство
Xi *2
Пример 1. Путь, пройденный телом при движении по пря-
мой с постоянной скоростью, прямо пропорционален времени
движения.
Пример 2. Пусть переменная у пропорциональна пере-
менной х с коэффициентом k\, а переменная z пропорциональна
переменной у с коэффициентом ft2. Тогда переменная z пропор-
циональна переменной х с коэффициентом k^ki.
В самом деле, z = k2y = k2k\x.
Графиком функции y = kx является прямая, проходящая че-
рез начало координат, с угловым коэффициентом k (тангенс
угла наклона прямой к оси Ох равен k).
Докажем это. Проведем прямую через начало координат О
и точку А (1; k). Для любой точки М (х; у), принадлежащей пря-
мой ОА (рис. 168), векторы ОА и ОМ
параллельны. Поэтому вектор ОМ полу-
чается из вектора ОА умножением на
число х, т. е. ОМ = хОА. Координаты
вектора ОМ есть х и у. Коорди-
наты вектора ОА есть___и fe, поэтому
координаты вектора хОА есть х и kx.
Сравнивая координаты векторов ОМ и
хОЛ, получаем: y—kx. Итак, доказано,
что координаты х и у любой точки
прямой ОА удовлетворяют равенству
y = kx. Теперь надо доказать, что любая
точка графика функции y = fex лежит на
250
прямой О А. Для этого проведем* через точ-
ку (х; 0) прямую, параллельную оси Оу.
Эта* прямая пересекает прямую ОА в точке
М (х; у). Но выше было доказано, что для
точек прямой ОА выполнено равенство
y = kx. Следовательно, точка М принад-
надлежит графику функции y=kx. Точ-
ка А лежит на линии, тангенсов, поэ-
тому & = tga, где а — величина угла
между прямой ОА и осью абсцисс.
Пример 3. На рисунке 169 изобра-
жены графики функций y=kx при разных
й(й=±0,‘5; ±3; ±1).
Пример 4. Площадь треугольника
равна 0,5 ah, поэтому для треугольников,
у которых две вершины лежат на одной из
параллельных прямых, а третья — на дру-
гой из этих прямых (рис. 170), площадь прямо пропорциональна
длине основания с коэффициентом пропорциональности й=0,5й
(й — расстояние между этими прямыми). Это следует из приве-
денной выше формулы S—0,5ah. Длина основания треугольни-
ка— положительная, величина, поэтому график данной зависи-
мости— открытый луч (рис. 171) .
Пример 5. Площадь сектора ^S=-^-/?2a) круга радиу-
са R прямо пропорциональна радианной мере дуги сектора с ко-
эффициентом пропорциональности k=-^-R2 (где R — радиус сек-
тора). Графиком данной зависимости служит отрезок с конца-
ми 0(0; 0) и М (2л; л/?2). (рис. 172).
Пример 6. Кинетическая энергия материальной точки
массы т прямо пропорциональна v2 (квадрату скорости точки)
с: A=-y/n.
Если переменная у пропорциональна переменной х с коэффи-
циентом пропорциональности k, то переменная х (при й#=0)
пропорциональна переменной у с коэффициентом пропорцио-
нальности
k
Рис. 171.
251
Рис. 172.
10.	Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называют функцию вида
k
У=-
где k — некоторое действительное число, отличное от нуля. Число
k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Ни одна из переменных х и у не может принимать значения 0.
И область определения, и область значений этой функции есть
множество всех действительных чисел, отличных от нуля.
Для любых двух пар соответственных значений переменных
(xi; yi) и (х2; t/г) верно равенство
У\ =_У2.
Х2 Xi
так как у\Х\ = y2X2 = k.
Пример 1. При равномерном движении по прямой время,
затрачиваемое телом на прохождение заданного пути, обратно
пропорционально скорости движения.
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х
с коэффициентом пропорциональности k, то переменная х об-
ратно пропорциональна переменной у с тем же коэффициентом
обратной пропорциональности.
Графиком функции У—-~ является кривая, состоящая из двух
ветвей. График функции У=-~ называется гиперболой.
Пример 2. На рисунке 173 изображены графики функ-
ций, заданных формулой у=— при разных k ( k = ± 1; ±2; ±4") •
X	\	о /
Рис. 173
Отметим, что гиперболой на-
зывают также любую кривую,
получающуюся из графика
k
функции У — ~ при помощи
движений.
Пример 3. Графики функ-
ций у=-1-+2 и	(рис.
174—175) являются гипербола-
ми, так как они получаются
из графика функции У~-^~ па-
раллельным переносом.
График функции У=~~ при
252
k>0 расположен в I и III координатных углах (рис. 176), а при
Л<0— во II и IV координатных углах (рис. 177).
Так как функция У-~- нечетная, то ее график симметричен
относительно начала координат.
253
Функция У=~ непрерывна на полупрямых (—оо; 0) и
(0; оо). В точке х = 0 функция не определена.
2
Пример 4. Функция // = — убывает на промежутках
х 1
(—оо;0) и (0; оо) (рис. 178), а функция у = 3 —	- возрастает
на промежутках (—оо; —1) и (—1; оо) (рис. 179).
11.	Линейная функция
Линейной функцией называется функция вида
y = kx-\-b,
где k и b — некоторые числа.
Область определения линейной функции — вся числовая
прямая R* Область значений при £=#0 — также вся числовая
прямая R, При k = G область значений состоит из одной точки Ь.
Линейная функция f (x) = kx-\-b дифференцируема на всей
числовой прямой. Так как ее производная в каждой точке рав-
на k, то при k>0 функция f возрастает на ( — оо; оо), при k<.0
функция f убывает на (— оо; оо), а при k = 0 функция постоян-
ная.
При k = 0 каждая точка является критической точкой функ-
ции, так как в каждой точке производная равна 0; при k=/=0
критических точек нет.
Линейная функция не имеет экстремумов при £=#0.
Графиком линейной функции служит прямая с угловым коэф-
фициентом k. При &=#<) эта прямая есть образ графика пря-
мой пропорциональности y = kx при параллельном переносе
(рис. 180).
Если y = kx-\-b, то говорят, что переменная у линейно за-
висит от переменной х. При этом если £#=0, то их линейно за-
1 Ь
висит от у, поскольку тогда х=—у—
На рисунках 1.81 —183 изображены графики линейных функ-
254
Рис. 185.
ций при различных k и b (рис. 181 при fe== 1 и b = ± 1; ±0,6; ±3;
рис. 182 при k = 0,6 и b = — 1; 0; 1; 2,5; рис. 183 при &=—2
и b= — 1, £=?=—0,5 и fr = 4).
Прямые y = k\X-\-b\ и y = k2x-\-b2 параллельны тогда и толь-
ко тогда, когда ki = k2 (рис. 184).
Эти прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда
^j^2== —1 (объясните почему, рис. 185).
Прямые с одним и тем же коэффициентом b проходят через
одну точку — точку М (0; Ь) (рис. 186).
Любая прямая, не параллельная оси ординат, служит гра-
фиком некоторой линейной функции (см. рис. 180). Коэффициент
b равен ординате точки пересечения этой прямой с осью орди-
нат, коэффициент k — тангенсу угла между прямой и осью Ох.
Если Mi (хг; i/i) и М2 (х2; у2) — две точки прямой, то
У-2~У\
Х2 —Xi
(рис. 187).
Линейным уравнением с двумя переменными х и у называют
уравнение вида ах-\-Ьу-\-с = 0, где а, b и с — действительные
числа. Если а и b одновременно не обращаются в нуль, то гра-
фиком этого уравнения является прямая:
«вертикальная» прямая х= —при Ь = 0
(рис. 188), и график линейной функции
у=—^-х—с— при 6#=0 (угловой коэф-
«	t а\
фициент /? = —.
Любая прямая плоскости есть график
некоторого линейного уравнения.
Графики линейных уравнений при раз-
личных а, Ь и с изображены на рисунке 189.
12.	Квадратный трехчлен
1°. Разложение квадратного трехчлена на множители. Функ-
цию
у = ахЦ- Ьх-\-с,
где а, Ь, с— некоторые действительные числа, причем а=/=0, на-
зывают квадратичной, а выражение
ах2 + Ьх-\-с
называют квадратным трехчленом.
Преобразуем квадратный трехчлен:
ах2 + йх + с = а(х2+-^-х+-^-)=а(х2 + 2.^-х+(^-) -
Выражение
Ь2 — 4ас
называют дискриминантом квадратного трехчлена и обозначают
буквой D, т. е.
D = Ь2 — 4ас.
Если Z>>0, то (1) можно разложить на множители:
•V&2 — 4ас
2а
-y/b2 — 4ac
2а
4-±-
‘2а
= а (х — xi) (х — х2),
256
— b—Tjb*—4ac	— b+^/b*—4ac
ГДв Xt--------Та-----’ Х2 ~ Т
Окончательно получаем:
ах2 + bx + c = a (х—xi) (х—х2).
(2)
Если же D<0, то
при всех действительных значениях х, поэтому ах24-6х-|-с=/=0
ни при каком действительном х. Отсюда следует, что выражение
ах2+6х+с нельзя разложить на линейные множители, т. е.
нельзя представить в виде
(рх+?) (ex+f),
так как это произведение обращается в нуль при х =—— и
f	Р
х= ——.
е
2°. Корни квадратного уравнения. Квадратным уравнением
называют уравнение вида
ах2 + 6х + с = 0	(3)
при а=/=0.
При Ь2 — 4ас>0 уравнение (1) равносильно уравнению
а (х—Xi) (х—х2)=0,	(4)
где xi и х2— выражения, полученные в п. 1°. Так как произ-
ведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомно-
жителей равен нулю, то полученное уравнение имеет корни х=х\
и х=х2. Эти корни совпадают при Ь2—4ас — 0.
При Ь2 — 4ас<0 уравнение (3) не имеет действительных
корней, так как в этом случае выражение ax2-j-bx + c не обра-
щается в нуль (см. п. 1°).
Итак, при О<0 уравнение ax2-j-bx-f-c=0 не имеет дейст-
вительных корней, при 0 = 0 имеет один корень х =—
при О>0 имеет два действительных корня, которые принято
записывать одной формулой:
..  —4ас
Таким образом, число действительных корней квадратного урав-
нения зависит от знака дискриминанта D.
Пример 1. Дискриминант квадратного уравнения
6х2—х— 1 =0
равен I2 —4«6*(—1) = 25>0, поэтому данное уравнение имеет
9 Заказ 216	257
два корня
— 6 VZ?2 — 4ас _ 1 ±5
Х~ 2а ~ 2-6 ’
т. е.
1 1
Х|==__ и х2=—.
Кроме того, квадратный трехчлен 6х2— х— 1 можно разложить
на множители:
6х2_х-1 = б(х + |-)(х-4-)=(Зх+1)(2х-1).
Пример 2. Дискриминант квадратного уравнения
2х2 — Зх 4-2=0 отрицателен, так как D=32— 4-2-2=—7<0.
Поэтому данное уравнение не имеет действительных корней и
трехчлен 2х2 —3x4-2 нельзя разложить на линейные множители.
Пример 3. Уравнение 9х24- 12х-|-4 = 0 имеет один корень
х— —так как его дискриминант равен нулю:
£>=122 —4-9-4 = 0.
Разложение трехчлена 9х2 4- 12x4- 4 на множители имеет вид:
9х24-12х4-4=(Зх4-2)2.
Формулу корней квадратного уравнения с «четным» вторым
коэффициентом b = 2k удобнее записывать в таком виде:
Х =	(5,}
Для приведенного квадратного уравнения, т. е. при а = 1, полу-
чаем формулу
"= -т±л/(4-)’-с-	®
Пример 4. Для решения уравнения Зх2—2х—1=0 удобно
воспользоваться формулой (5'):
V - lzhVla-3.(-l) _ 1±2
3	3	’
т. е.
t	I
х\ = 1; Х2= —
258
3®. Теорема Виета. Найдем сумму и произведение корней
уравнения ах? + Ьх + с = 0;
.	— 6—4ас j — b+-Jb2—4ac	— b — b	b
Xi +*2=----------------+---------£-------=-2^—= —a'
( — b—-y/b2 — 4ac \ / — b-}--yJb2—4ac \ _
X1X2-\ to 7\ 2a )~
__ (—b)2—(-y/b2 — 4ac)2  4ac  c
4a2	4a2	a
Итак, справедлива теорема: сумма корней квадратного урав-
нения ах2 + Ьх+с=0 равна —а их произведение равно
Пример 5. Уравнение 5х2— 11x4-4 = 0 имеет два корня,
так как его дискриминант положителен (0 = 41 >0). Сумма этих
корней равна —а произведение равно
Для составления квадратного уравнения с заданными корнями
и в некоторых случаях для решения уравнений применяют теорему,
обратную теореме Виета:
Произвольные числа xi и х2 служат корнями квадратного урав-
нения	X2 —(Х|4-Х2)Х4-Х|Х2 = О.
Для доказательства достаточно подставить значения x=xi и
х=х2 в это уравнение.
Пример 6. Числа 0,2 и 4,5 служат корнями уравнения
х2 - (0,2 4- 4,5) х 4- 0,2 • 4,5=О,
т. е. уравнения х2—4,7x-f-0,9=0.
Заметим, что уравнение х2 — 4,7x4- 0,9=0 равносильно уравне-
нию а(х2 — 4,7х-+-0,9) = 0, где а — любое отличное от нуля
действительное число; например, при а =10 получаем уравнение
1 Ох2-47x4-9=0.
4°. График квадратичной функции.
График квадратичной функции имеет
вид, изображенный на рисунке 190, и на-
зывается параболой.
Приравнивая к нулю производную	I	/
у'—2ах-\-Ь квадратичной функции, полу-	\	/
чаем, что эта функция имеет одну критиче- \	/
скую точку хо = — . Точка графика с та-	— —V---------J—а-
кой абсциссой называется вершиной	\	/
параболы, ордината этой точки равна	\	/
Уо=а ( -±}2 + b( -±\+с=-^-4-ас
а \	2а) + \	2а) + 4а '	Рис. 190.
9*	259
	а>о	а<0
0>0	АА „	ГГ.
0=0	V....	А
D<0	к.	А".
Рис. 191.
При а>0 «ветви» параболы направлены вверх, а при а<0 —
вниз. Каждый из этих двух случаев разбивается на три подслучая
в зависимости от числа корней уравнения.
Расположение графика по отношению к оси абсцисс во всех
шести подслучаях изображено на рисунке 191.
Пример 7. По виду графика квадратного трехчлена опреде-
лим знаки коэффициентов a, bt с и дискриминанта D (рис. 192).
Ветви параболы направлены вниз, поэтому а<0. Абсцисса
вершины параболы хо положительна, так как вершина параболы
находится в правой полуплоскости. Из формулы хо=-—полу-
чаем, что числа а и b разных знаков, т. е. Ь>0. Ордината точки
пересечения графика с осью Оу равна c = f (0); она отрицательна,
поэтому г<0. Наконец, график имеет одну общую точку с осью
абсцисс (касается этой оси), т. е. уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет
один корень и, следовательно, D = 0.
Итак,
а<0, &>0, с<0, 0 = 0.
5°. Решение квадратичных неравенств.
Проще всего квадратичные неравенства
решать при помощи метода интерва-
лов (см. п. 21).
Полезно, однако, помнить, что знак
квадратного трехчлена совпадает со зна-
260
ком коэффициента при х2 на всей числовой прямой, кроме про-
межутка между корнями (если действительные корни сущест-
вуют).
Пример 8. Корнями квадратного трехчлена
2х2 —Зх —5
являются числа — 1 и 2,5. Так как коэффициент при х2 положите-
лен (он равен 2), то 2х2 — Зх — 5>0 на промежутках (—со; — 1)
и (2,5; оо) и 2х2 — Зх — 5<0 на промежутке (—1; 2,5).
Пример 9. Неравенство — х2 + 3х—11>0 не имеет реше-
ний, так как трехчлен — х2 + 3х— 11 не имеет действительных
корней (его дискриминант D=— 35 отрицателен и коэффициент
при х2 отрицателен).
Пример 10. Множество решений неравенства
—x2-f-3x—11 <0
есть вся числовая прямая.
Пример 11. Множество решений неравенства
16х2 — 24x4-9^0
состоит из одной точки х=-|- (так как £) = 242—16-9-4 = 0
и корни уравнения 16х2 —24x4-9 = 0 совпадают: Х|=Х2=-|"У
13.	Выражения с переменными
1°. Выражения, содержащие переменные, могут принимать
разные значения в зависимости от значений переменных. Значения
двух выражений с переменными при одних и тех же значениях
переменных называют соответственными значениями выражений,
например соответственными значениями выражений cos х и 2х при
х=0 будут значения 1 и 0.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл,
называют допустимыми значениями переменных.
Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих
в него переменных, называется тождеством.
Два выражения, принимающие равные соответственные зна-
чения при всех допустимых для них значениях переменных, назы-
вают тождественно равными, а замену одного выражения другим,
ему тождественно равным,— тождественным преобразованием
выражения.
Например, In |х| =-|-1п (х2) есть тождество при всех отлич-
ных от нуля действительных числах.
Пример 1. Выражения и тождественно равны при
всех х#=0 и любых у.
261
2°. Многочлены. Произведение числовых множителей и нату-
ральных степеней переменных называют одночленом.
Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают
все входящие в одночлен числовые множители, а произведения
одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой
переменной. Числовой множитель называют коэффициентом од-
ночлена. Сумму показателей степеней переменных называют сте-
пенью одночлена.
Пример 2. 7ху2х3у«21 ’( — а) — одночлен от переменныхх, у,
ас коэффициентом —147 степени $•(! 4-2-|-3-|- 1 +1 =8). Стан-
дартный вид его: — 147х4у3а.
Многочленом называют сумму одночленов. Для приведения
многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него
одночленов заменяют одночленом стандартного вида я приводят
подобные члены. Степенью многочлена называют наибольшую из
степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения
его к стандартному виду.
Пример 3. Стандартный вид многочлена
ху2ху3 + Зху2х—4ух2у4 + Зх2у5—2х2у
это Зх2у2 — 2х2у, а его степень равна 4.
Произведение одночлена на многочлен равно сумме произведе-
ний одночлена на каждый член многочлена.
Пример 4. 2by (x3 + 2xy + b2y) = 2bx3y+4bxy2 + 2b3y2.
Произведение двух многочленов равно сумме произведений
каждого члена первого многочлена на каждый член второго много-
члена.
Пример 5. (х2 — Зх + 1)(х—2) =
в?.х+Л(-2)+(-Зх)-х+(-Зх).(-2)+1 -х+1 •(-2)=
—х3—2х* — Зх2 -f- 6х + х—2=х3 — 5х2 + 7х — 2.
Многочлены называют также целыми алгебраическими вы-
ражениями.
Разложйть многочлен на множители означает представить его
в виде произведения многочленов или одночлена на многочлен.
При этом используются следующие приемы.
а)	Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 6. 9ах2 — 6а2х= Зах (Зх— 2а).
б)	Группировка.
Пример 7. х3—Зх24-х+1=х3 — х2 — 2х2-|-2х—х-)-1 =
=х2(х- 1)—2х(х— I)-(х- 1)=(х— 1) (х2—2х— 1).
в)	Разложение квадратного трехчлена на множители (см.
п. 12).
г)	Тождества сокращенного умножения.
Корнем многочлена с одной переменной называется значение
переменной, при котором многочлен обращается в нуль.
3°. Дробя. Пробью называют выражение, имеющее вид -£,
где а и b — некоторые выражения (числовые или выражения с
переменными). Областью определения дроби служит множество
268
значений переменных, при которых определено каждое из выра-
жений а и Ь и
Основное свойство дроби. Равенство ?£-=-?- яв-
ис о
ляется тождеством на множестве значений переменных, при кото-
рых определены обе части этого тождества.
2х(х I 1	2х
Пример 8. Равенство =^~т является тождеством
при всех х=/= ± 1.
Преобразование 1 рациональных выраже-
ний. На множестве значений переменных, при которых опреде-
лены левые и правые части написанных ниже равенств, эти
равенства* являются
ч a b ab
а)
)
тождествами:
а . с ad
б) Т
ч a j с __ad+bc
Г) d ~ bd
14.	Уравнения, неравенства, системы
1°. Уравнения и неравенства с одной переменной. Уравнением
(неравенством) с одной переменной называется равенство (не-
равенство) , содержащее эту переменную. Переменную в уравнении
(неравенстве) часто называют неизвестным.
Корнем (или решением) уравнения с одной переменной назы-
вается значение переменной, при подстановке которого в уравне-
ние получается верное равенство.
Пример 1. Число 5 — корень уравнения х3 = 25, а число 1
не является корнем этого уравнения.
Решением неравенства с одной переменной называется значе-
ние переменной, которое обращает его в верное числовое неравен-
ство.
Пример 2. Число 4 — решение неравенства х2<25, а число
—8 не является решением этого неравенства.
Решить уравнение (неравенство) — значит найти все его
решения (или доказать, что их нет).
Два уравнения (неравенства) с одной переменной называются
равносильными, если множества их решений совпадают (другими
словами, если они имеют одни и те же.решения). При краткой
записи решения вместо слова «равносильно» часто ставят знак о.
Пример 3. Уравнения Зх—6 = 8 и (х—2)2=0 равносильны,
так как каждое из них имеет один корень х=2; можно записать:
Зх—6=0ч> (х—2)2 = 0. Уравнение х=0 равносильно неравенст-
ву х2^0, т. е. х = 0 о х? 0.
При решении уравнений и неравенств с одной переменной
пользуются основными правилами и приемами, сформулирован-
ными ниже. Пусть выражение С (х) определено на всей числовой
прямой. Тогда верны следующие утверждения.
263
1)	Если к обеим частям уравнения (неравенства) прибавить
одно и то же выражение С (х), то получится уравнение (нера-
венство), равносильное данному.
1а) Следствие. Любое слагаемое можно переносить из
одной части уравнения (неравенства) в другую с противопо-
ложным знаком, после этого получается уравнение (неравенство),
равносильное данному.
П р.и м е р 4. Неравенства х — 1 >0 и х— 1 + 1 >0+ 1 равно-
сильны. Уравнения x-)--i-=-y- и х=-|-- равносильны. Однако
если выполнить вычитание в правой части последнего уравнения,
то получим уравнение х = 0, не равносильное этим уравнениям
(оно имеет корень х=0, а уравнения x-f--^-=-^- и х=-|-не
имеют корней). Дело в том, что при вычитании мы расширили об-
ласть определения уравнения.
2а) Если обе части уравнения умножить (или разделить)
на одно и то же выражение С (х), не обращающееся в нуль ни при
каком х, то получится уравнение, равносильное данному.
26)	Если обе части неравенства умножить (или разделить) на
одно и то же выражение С (х), положительное при всех х, то по-
лучится неравенство, равносильное данному.
2в) Если обе части неравенства умножить (или разделить)
на одно и то же выражение С (х), отрицательное при всех х, и знак
неравенства изменить на противоположный, то получится нера-
венство, равносильное данному.
Пример 5. Решим неравенство 9 — 5х>0. Имеем:
9—5х>0о—5х>—9ох<1,8. Ответ: (— оо; 1,8).
П р и м е р 6. Обе части уравнения (х—2) (х+2)=2 (х—2)
нельзя разделить на выражение (х—2), так как это выражение об-
ращается в нуль при х==2. При делении будет потерян корень
х=2. Исходное уравнение имеет два корня 0 и 2, а получен-
ное после деления на (х—2) уравнение х-|-2=2 имеет один ко-
рень 0.
Если выражение С (х) определено не всюду или в некоторых
точках не выполнены условия, наложенные на С (х) в правилах 1 и
2, то аналогичные правила формулируются сложнее. Например,
уравнение
равносильно системе
ff(x) = O,
I S (х)#=0.
j	j	3^2_ ।
Пример 7. Решим уравнение ——*1 • Имеем*
X 1 X 1 XI
264
1__._!__ Зх2—1 х—1+х+1 —Зх2+1
x+Ux-l х2—1	х2—1
— Зх2+2х+1
х2— 1
Зх2 — 2х— 1 =0,
х2- 1=#0
(х#=±1,	) ох=_____—
I Х= 1 ИЛИ Х=--—	3 '
о
Ответ: х=—х-.
О
2°. Уравнения и неравенства с несколькими переменными. Так
называются уравнения и неравенства, содержащие две или боль-
шее число переменных. Чаще всего встречаются уравнения и
неравенства, содержащие две или три переменных. Решением
уравнения (неравенства) с двумя переменными называется упоря-
доченная пара* значений этих переменных, обращающая это
уравнение (неравенство) в верное числовое равенство (неравен-
ство). Если в уравнение (неравенство) входят переменные х и у,
то принято на первом месте писать значение переменной х, а на
втором — значение у.
Пр и мер 8. Пара (2; 1) является решением уравнения
х2 + у = 5, а пара (1; 2) —нет.
В общем случае необходимо указывать, значение какой из
переменных стоит на первом месте, а какой — на втором.
Пример 9. Уравнение (и+2)2+(^ — 3)2=0 имеет единствен-
ное решение (f; и) = (3; —2). Или можно записать так: и=—2,
/=3.
Аналогично определяется решение уравнения (неравенства) с
тремя и более переменными. Например, решением уравнения с
тремя переменными называют упорядоченную тройку чисел, при
подстановке которых вместо соответствующих переменных урав-
нение обращается в верное равенство. Если это переменные
х, у и z, то принято на первом месте записывать значение
х9 на втором — значение у, а на третьем — значение z. В остальных
случаях, как правило, нужно указывать порядок, в котором
записываются значения переменных.
Два уравнения (неравенства) с несколькими переменными на-
зываются равносильными, если они содержат одни и те же пере-
менные и имеют одинаковые решения (т. е. множества соот-
ветствующих пар, троек и т. п. совпадают).
Правила преобразования уравнений (неравенств) с несколь-
кими переменными совершенно аналогичны правилам 1 и 2 для
уравнений (неравенств) с одной переменной.
Слово «упорядоченная» часто опускают.
265
Пример 10. Уравнения х2—1 и?=1/+1 равносильны
(по правилу, аналогичному правилу 1а)). Неравенства ^^-<3
и х—t/<3(y2+l) равносильны (см. правило 26)).
Уравнения (неравенства) с двумя и более переменными, как
правило, имеют бесконечно много решений (хотя уравнение
примера 9 имеет всего одно решение, а неравенство х2 + «/24-о>24-
+t2+а2<.0 с пятью переменными вовсе не имеет решений).
Поэтому принято каждое решение (х0; уо) уравнения (неравен-
ства) с двумя переменными х и у изображать точкой с координата-
ми (хо; уо) на координатной плоскости. Множество всех таких точек
называют графиком этого уравнения (соответственно множеством
решений неравенства).
Пример 11. На рисунках 193 и 194 изображены графики
уравнений х=у1 и x2 = i/3, а на рисунках 195 и 196 — мно-
жества решений неравенств х2+у2<9 и х>у2.
Пример 12. Графиком линейного уравнения 2x-}-3z/=— 5
является прямая (рис. 197). Построить ее проще всего по
двум точкам: при х=0 «/= —|-, т. е. одна точка (О; —|-) , а при
t/ = 0 х=---1, т. е. вторая точка (--1; о). Можно брать и
266
другие значения переменных:
при у—\ х= — 4, т. е. одна
точка (—4; 1), при у= — 1 х=
== — 1 т. е. вторая точка
(-1; -1).
3°. Системы уравнений и не-
равенств. Пусть задано не-
сколько уравнений (или нера-
венств, или уравнений и нера-
венств) с одними и теми же пе-
ременными и пусть при этом
требуется найти решения, об-
щие для всех уравнений (не-
равенств). В этом случае говорят, что задана система уравнений
(соответственно неравенств, уравнений и неравенств). Решением
систему, например, с двумя переменными называется упорядочен-
ная пара значений переменных, обращающая каждое из уравне-
ний (неравенств), входящих в систему, в верное равенство (не-
равенство). Решить систему — значит найти все ее решения или
доказать, что решений нет. Аналогично определяются системы с
одной переменной, с тремя и более переменными.
Пример 13. Решим систему неравенств с одной переменной:
{-^>2хк	(х—3~>4х
4х—1	14х—1<0
Г 3х>3	К ...	- 1
I Х<-Г |х<—
\	4	4
Ответ: (— оо; —1).
При решении систем уравнений пользуются следующими пра-
вилами преобразования систем в равносильные (для определен-
ности считаем, что переменных две, для систем с тремя и более
переменными правила аналогичны).
1)	Правило подстановки: если одна из переменных
системы выражена через остальные (т. е. одно из уравнений си-
стемы имеет вид: y=f(x)), то при подстановке выражения
f (х) вместо у во все остальные уравнения системы получается
равносильная данной система.
2)	Правило замены: если одно из уравнений системы
заменить на равносильное, то получится система, равносильная
исходной.
3)	Правило сложения: если к одному из уравнений
системы добавить почленно другое уравнение, умноженное на
некоторое число, то получится система, равносильная исходной.
267
Пример 14. Решим систему ( -^-4--^-=^- >
I х+у=5.
Пользуясь правилом замены, получаем:
/ х । у  13 г х . у __ 13	/ х । 5—х__ 13
J у х 6 ’ J у ‘ х 6 ’ о< 5 —х	х 6 ’
I х4-у = б I у=5—х I у=5 — х.
Решим первое уравнение:
х2+(5-х)2	13	( 6 (х2 4- (5 - х)2) = 1 Зх (5 - х),
х(5 — х)	6	| X (5 — х)#=0
[ х2 — 5х 4-6 = 0,	,	9
<>1х(5-х)#=0	^х~3 или * — 2.
Пользуясь тем, что у=5—х, находим: у=5—3 = 2 и у=5 — 2=3.
Ответ: (2; 3), (3; 2).
4°. Системы линейных уравнений. Будем считать, что в каждом
из уравнений системы
(aix + biy=ci,	/.ч
I 02*+ Ь^у = С2	' '
с двумя переменными хотя бы один из коэффициентов при перемен-
ных отличен от нуля. Графиками таких уравнений являются две
прямые на плоскости. Возможны три случая взаимного располо-
жения двух прямых на плоскости: 1) прямые пересекаются (си-
стема имеет одно решение, рис. 198); 2) прямые параллельны и не
имеют общих точек (система не имеет решений, рис. 199);
3) прямые совпадают (система имеет бесконечно много решений,
рис. 200).
Пример 15. При каком значении параметра а система
| х4-у=1,
I ах — 4у=3
имеет решение?
При решении этой задачи воспользуемся геометрическим смыс-
лом системы линейных уравнений. Угловой коэффициент прямой,
задаваемой первым уравнени-
ем, равен —1, а угловой коэф-
фициент прямой, задаваемой
вторым уравнением системы,
равен Поэтому при — 1,
т. е. при —4, эти прямые
пересекаются и, следователь-
но, система имеет единственное
решение. При а= — 4 эти пря-
мые параллельны (так как име-
ют равные угловые коэффи-
циенты) и не совпадают
(рис. 201) и, следовательно, система не имеет решений. От-
вет: При а=й= —4.
Для решения системы двух линейных уравнений с двумя пе-
ременными чаще всего пользуются правилом сложения или пра-
вилом подстановки.
Пример 16. Решим систему
Г 2х + 3у=3,
I Зх—у = 10.
Прибавив к первому уравнению системы второе, умноженное
на 3, получим систему, равносильную заданной:
{ 11х=33,
I Зх—у — 10.
Из первого уравнения системы находим, что х=3, а затем находим
из второго уравнения у=3х —10, откуда У= — 1.
Ответ: (3; — 1).
Другой способ решения основан на правиле подстановки. Из
второго уравнения системы находим: у = 3х —10. Подставляя
вместо у в первое уравнение системы Зх—10, получаем систему,
равносильную заданной:
(2х + 3 (Зх- 10)=3,
I у=3х—10.
Из первого уравнения находим, что х—3, а затем из второго,
что у = 3*3—10= —1.
▼ Иногда рассматривают геометрическую иллюстрацию систем
трех линейных уравнений с тремя переменными. (В каждом из
уравнений хотя бы один из коэффициентов при переменных счита-
ется отличным от нуля — в этом случае уравнение определяет
плоскость в пространстве.) Из-за трудностей исследования взаим-
ного расположения трех плоскостей в пространстве, заданных сво-
ими уравнениями, эта иллюстрация большого практического зна-
чения не имеет. ▼
269
15. Преобразование графиков функций
Часто график одной функции можно получить из графика
другой с помощью геометрических преобразований. Такими гео-
метрическими преобразованиями являются параллельные пере-
носы вдоль осей координат, сжатия и растяжения к осям.
Рассмотрим в отдельности каждое преобразование.
1°. Параллельный перенос графика вдоль оси ординат. Гра-
фик функции g, где
g (x) = f (х) + а,
получается из графика функции f с помощью параллельного
переноса на вектор г (0; а) (рис. 202). Если число а положительно,
то график параллельно переносится вдоль оси ординат вверх,
а если а отрицательно, то вниз.
Пример 1. График квадратного трехчлена у=х2 + 3 полу-
чается из графика функции у=х2 параллельным переносом
на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (рис. 203), а график
функции у=х2 —5— на 5 единиц вниз.
2°. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс. На
рисунке 204 изображены три графика — графики функций f,
g и h. При этом g (x) = f (х + а) и ft (x) = f (x+ft). График функции
-5
Рис. 203.
g получается из графика функции f
параллельным переносом на вектор
7 ( — а; 0). На рисунке 204 для функции
g(x) число а равно 2, а для функции
h (х) число b равно — 3.
Пример 2. График квадратного
трехчлена y—(x-{-df получается из гра-
фика у=х2 параллельным переносом
на вектор г( — а; 0) (рис. 205, а = 2,5 и
а =—3,5).
Возьмем любую точку (х; у) на графи-
ке функции f. Координаты этой точки
удовлетворяют равенству y=f (х). При па-
раллельном переносе на вектор 7(—а; 0)
точка (х; у) перейдет в точку (х—а; у).
Координаты полученной точки удовлет-
воряют равенству y=f (х—а+а), т. е.
y=g(x—а). Следовательно, после па-
раллельного переноса точка (х; у) ока-
зывается на графике функции g. Ана-
логично проверяется, что каждая точка
графика функции g получается после
этого переноса из некоторой точки гра-
фика функции f.
Пример 3. На рисунке 206 график
квадратного трехчлена g (х)=(х —З)2—2
270
смещен параллельно оси ординат на 2 вниз и параллельно оси
абсцисс на 3 вправо по отношению к графику f(x)=x2. Таким
образом, график функции g получен из графика функции f
параллельным переносом на вектор г (3; —2).
Пример 4. Преобразовав квадратный трехчлен к виду
у=ах2 + Ьх + с = а(х+-^)	,
получим, что график функции у = ах2 + Ьх-\-с получается из гра-
фика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса на
вектор	• П>аФик функции у=ах? симмет-
ричен относительно оси ординат (так как это четная функция).
Следовательно, график функции у = ах2-\-Ьх-\-с симметричен
относительно образа оси ординат при этом переносе, т. е. прямой
х = —.
2а
▼ 3°. Растяжение и сжатие графика к осн абсцисс. На рисун-
ке 207 изображены графики трех функций f, g и ft. При этом
g(x)—af(x), где а>1, и ft (x)=bf (х), где 0<ft<l. От умноже-
ния всех значений функции f на число а>1 ординаты всех
271
Рис. 209.
точек графика функции f уве-
личиваются в а раз и получа-
ется растяжение графика от
оси абсцисс в а раз. От ум-
ножения всех значений функ-
ции f на число Ь, 0<6<1,
ординаты всех точек’ графика
функции f уменьшаются в -у-
раз и получается сжатие гра-
фика к оси абсцисс в раз.
Пример 5. График функ-
ции у = 2х2 (рис. 208) получа-
ется из графика функции у — х2 растяжением графика от оси
абсцисс в 2 раза, а график функции у = 0,5х2— сжатием к оси
абсцисс в 2 раза.
4°. Растяжение и сжатие графика к оси ординат. График
функции

получается из графика функции f растяжением в а раз при а>1
от оси ординат и сжатием в -i- раз к оси ординат при 0<а<1
(рис. 209).
-2^-^О	2^3^к
Рис. 211.
Уа
/////Ж///////
у]1	X
Рис. 212.
Действительно, после ука-
занного растяжения (сжатия)
точка с координатами (х; у) пе-
реходит в точку с координатами
(ах; у). Если точка (х; у) при-
надлежит графику функции f,
то y = f(x), т. е.
г/=/(у)=^И
а это означает, что точка (ах; у)
лежит на графике функции
g. Аналогично проверяется, что
каждая точка графика функ-
ции g получается растяжением
(сжатием) из некоторой точки
графика функции f.
Пример 6. График функ-
ции у = {0,5х} (рис. 210) получа-
ется из графика функции у = {х}
(рис. 211) растяжением в 2 раза
272
от оси ординат, а график функ-
ции у = {2х} (рис. 212) сжатием
в 2 раза к оси ординат.
Пример 7. График квад-
ратного трехчлена
у = 2х2 -}-2х-\- 1,5
(рис. 213), т. е.
^==2(х + "г) +
получается из графика функ-
ции у = х2 следующими преоб-
разованиями:
а)	растяжением в 2 раза от
оси абсцисс;
б)	параллельным переносом
на вектор г (0; 1);
в)	параллельным переносом
на вектор	0^ (вместо
и в) можно сразу сделать
параллельный перенос на вектор	0) .
Пример 8. График гармонического колебания у =
= 3 cos (2х + 4), т. е. t/ = 3 cos (2 (x-f-2)), получается из графика
косинуса следующей последовательностью преобразований:
1)	сжатием в 2 раза к оси ординат (рис. 214);
2)	параллельным переносом на вектор г( —-2; 0) (рис. 215);
Рис. 215.
273
10 Заказ 216
Рис. 216.
3)	растяжением в 3 раза от оси абсцисс (рис. 216).
Вообще графики гармонического колебания у= Л cos (сох + ф)
получаются из графика косинуса такой последовательностью
преобразований: 1) сжатием в раз к оси Оу\ 2) параллель-
ным переносом на вектор	; 3) растяжением в А раз
от оси Ох. ▼
16. Формулы сложения для тригонометрических функций
Возьмем на единичной окружности точки Ра, Ра_р и Ро
(рис. 217). Выпишем координаты этих точек (пользуясь опре-
делением синуса и косинуса):
Ра (cos a; sin а), Рр (cos 0; sin 0),
Ра_р (cos (а — 0); sin (а — 0)),
(1)
Ро(1;О).
Рис. 217.
Поскольку дуги РаРр и Ра_рРо равны,
то равны и длины отрезков РаРр и
Ра_рР0. Запишем это, пользуясь форму-
лой расстояния между точками, задан-
ными своими координатами (см. (1)):
V(cos a —cos 0)2 4-(sin а —sin 0)2 =
= V(C0S (а- 0)— I)24-sin2 (а —0).
Возведем обе части этого равенства
274
в квадрат и выполним преобразования, учитывая тождество
cos2 f+ sin2t = 1:
cos2 a —2 cos a cos p + cos2 p + sin2 a —2 sin a sin p + sin2p =
= cos2 (a —P) —2 cos (a —P)+ 1 + sin2 (a —p);
(cos2 a + sin2 a) + (cos2 p + sin2 p) — 2 (cos a cos p + sin a sin p) =
= (cos2 (a — p) + sin2 (a —p)) —2 cos (a —p) + 1;
2 — 2 (cos a cos p + sin a sin p) = 2 — 2 cos (a — p),
откуда получаем формулу косинуса разности:
cos (a — P) = cos a cos p + sin a sin p.	(2)
Из равенств
cos ( — p) = cos p и sin (— P)= —sin p
и формулы (2) следует:
cos (a + P) = cos (a — (— p)) = cos a cos (— p) + sin a sin (— p) =
= cos a cos p —sin a sin p.
Итак, формула косинуса суммы имеет вид:
cos (a + P) = cos a cos p —sin a sin p.	(3)
Пользуясь формулами
cos — a) = sin a, sin — a) — cos a,
которые следуют из формул (2) и (3), получаем:
sin (a + p) = cos((-£—a) —р) =
= cos	— a) cos p 4-sin	— a) sin p =
= sin a cos p + cos a sin p.
Следовательно,
sin (a + P) = sin a cos p + cos a sin p.	(4)
Из формулы (4) получаем:
sin (a —P) = sin (a + ( —P)) = sin a cos ( — P) + cos a sin ( —p) =
= sin a cos p —cos a sin p.
Следовательно,
sin (a —p) = sin a cos p —cos a sin p.	(5)
10*
275
Из формул (3) и (4):
. / । о\  sin (a 4~ fl)   sin a cos fl-j-cos a sin fl
sk г Р/ cos (a 4- fl) cos a cos fl — sin a sin fl
Поделив в этом равенстве числитель и знаменатель правой
на cos a cos р, получим:
tg(a + B)= *еи+М.
tg^-t-P) 1_ tg a tg p
части
(б)
Наконец,
tg (a-₽) = tg (« + (—₽))
tg<x + tg( —P)	tg a —tg p
1 — tg a tg ( — p) 1+tgatgP’
Следовательно,
tg (a-p)
tg a —tg p
1+tgatg p ’
(7)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1°. Длина дуги и площадь сектора. Длина С окружности
радиуса R равна 2л/?. Длина дуги в а радиан равна а/?, где
/? — радиус соответствующей окружности.
Площадь S круга радиуса R равна л/?2. Площадь сектора,
а/?2
дуга которого содержит а радианов, равна —-— (/? — радиус
дуги).
2°. Знаки значений тригонометрических функций (рис. 218).
Рис. 218.
3°. Формулы, связывающие тригонометрические функции од-
ного аргумента.
sin2 a-f-cos2 a = 1;
tg a
sin a .
cos a *
ctg a
cos a .
sin a ’
tg a ctg a= 1;
tg2 a + 1 =------— J ctg2 a + 1 =——
cos2 a b ‘ sin2 a
277
4°. Тригонометрические функции двойного аргумента,
sin 2а = 2 sin а cos а;
cos 2а = cos2 а — sin2 а = 1 — 2 sin2 а = 2 cos2 а — 1;
tg 2а =-7^".
&	1- tg2 а
5°. Тригонометрические функции половинного аргумента.
sin f -	i
соз^=±пД^:
£	" z
± a	/ 1 —cos a .
i a __ sin a _ 1 — cos a
® 2	1 + cos a sin a ’
6°. Формулы суммы и разности косинусов и синусов.
sin a + sin р = 2 sin —cos ;
sin a — sin p = 2 sin — cos —;
cos a + cos p = 2 cos —cos ;
cos a —cos p = — 2 sin-^-i-2- sin —~ .
7°. Формулы приведения.
и	л 1 T + a	л 4-a	3л T+a	— a	Л y-a	л — a	3л ~2~a
sin и	cos a	— sin a	— cos a	— sin a	cos a	sin a	— cos a
cos и	— sin a	— cos a	sin a	cos a	sin a	— cos a	— sin a
tg и	— Ctg a	tg a	— Ctg a	— tg a	Ctg a	— tg a	ctg a
Ctg и	— tg a	ctg a	— tg a	— ctg a	tg a	— Ctg a	tg a
278
8°. Основные свойства степеней с действ ителкиымм пока-'
зателями. Для любых положительных а и Ь и действительных
х и у справедливы равенства:
а)	а°=1;
б)	ах-ау = ах+у\
в)	ах'.ау = cf~y\
г)	«)* = </*;
д) (ab)x = axbx\
9°. Основные свойства логарифмов. Для любого а>0,
справедливы равенства:
a)	loga 1 =0;
б)	logaa=l;
в)	loga (ху) = loga х + loga У ПрИ Х>0, 4/> 0;
Г) 10ga loga X —loga У При Х>0, у>0;
Д) loga Хр = р loga X При Х>0, p£R',
е)	loga х = при х>0, b>0, b=£i;
ж)	а'°е-х—х при х>0 (основное логарифмическое тожде-
ство) .
10°. Формулы дифференцирования.
С' = 0; (х)' = 1; (xa) = ax“_| при a =# 1; sin'x = cosx;
cos' х=— sin х; tg'x =—К—; ctg'x=-----Д—;
ь cos2* ь	sin2*
(ех)' = ех; (ах)' = ах In а; \п'х=--;
(f+g)/=r+g'; (f-gY=f'g+fg,’>
(-7),==ПГ"’ (f^x+b)Y=kr(kx+b)-
(f(gW=f'(g(x)Yg'(xY
11°. Первообразные.
H4	(aZ-l)	sin X	COS X		1 sin2 x	1	e’	a’
	xe+l a +1	—cos x-f-C	sin x C	tgx + C	— ctg x + c	In Ixl+C	e*+C	i£s+c
279
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ ВСЕГО КУРСА
747.	Докажите, что п4 + 2и3 — п2 — 2п делится на 24 при n£N.
748.	Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содер-
жит 5 кг чистой меди, а второй кусок 4 кг. Сколько процен-
тов меди содержит первый кусок латуни, если второй содер-
жит меди на 15% больше первого?
749.	Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния
325 км, в новом расписании движения автобусов сокращено
на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса по
новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней
скорости, предусмотренной старым расписанием.
750.	Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна
15 км/ч, прошла вниз по течению реки 139-^- км и вернулась
обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь
затрачено 20 ч.
751.	Поезд должен был пройти 220 км за определенное время.
Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин,
и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, он увеличил
скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость
поезда.
280
752.	Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили
посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколь-
ко дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой
бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить
посадку деревьев на 6 дней раньше другой?
753.	Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна
сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести
изгородью. Найдите длину изгороди, если известно, что
площадь участка равна 1200 м2.
754.	К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды,
после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколь-
ко воды содержал раствор и какова была его концент-
рация?
755.	Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин.
Первая труба может его наполнить на 2 ч скорее, чем вторая.
За сколько времени каждая труба, действуя отдельно,
может наполнить бак?
756.	По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном
направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот
на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку
каждую минуту. Определите скорости точек.
757.	На строительстве Байкало-Амурской магистрали (БАМ)
бригада строителей за несколько дней должна была по плану
переместить 2160 м3 грунта. Первые три дня бригада выпол-
няла ежедневно установленную норму, а затем каждый день
перевыполняла норму на 80 м3, поэтому уже за день до срока
бригада переместила 2320 м3 грунта. Какова по плану
дневная норма бригады?
758.	В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры де-
сятков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это чис-
ло.
759.	Из двух жидкостей, плотность которых соответственно
1,2 г/см3 и 1,6 г/см3, составлена смесь массой 60 г. Сколько
граммов взято каждой жидкости и какова плотность смеси,
если ее 8 см3 имеют массу такую же, как масса всей менее
тяжелой из смешанных жидкостей?
760.	Укажите верные цифры в записи приближенного значения
числа:
а) 3,83±0,01; б) 1,380-104±0,001 • 104;
в) 7,441 ±0,1; г) 2,3-10"5±0,2-10“5.
761.	Вычислите а-\-Ьс, если ахЗ 71; &»0,017; с«2,3199.
762.	Пользуясь формулой
(1 + х)п	1 + пх,
вычислите приближенно:
а) 1,002s; б) 2.0063; в) 3,0014.
281
С А	О Е В
--1 — *-|	-----1	1	1----1	t	1--------	1-1	1--*•
2,5	2-1,5	1-0,5-0	0,5-1-1,5-2	2,5-5
Рис. 219.
763.	Докажите, что -^7 не является рациональным числом.
г~ 19
764.	Найдите сумму чисел -у2 и jy с точностью до 0,01.
765.	Докажите, что 1g 3 не является рациональным числом.
766. Вычислите без таблиц 1g 5* lg20 + (lg 2)2.
767.	Что больше:
4	7
а)		j— или-----— ;
lgT	Igy
б)	15,og3l° или lO10g3'5?
768.	Найдите координаты точек А, В, С (рис. 219).
769.	Найдите расстояние между точками координатной прямой:
а) Л (1,5) и В ( — 2);	б) Л (-10,3) и В (6,2);
в) Л (-3,6) и В (0);	г) Л ( — 5,7) и В (-7,1).
770.	Запишите в виде уравнения (или неравенства) условие, кото-
рому удовлетворяет координата точки Л (х) координатной
прямой, и решите его, если известно, что:
а) |ЛВ|=5, где В (5);	б) 1ЛВ| <3,5, где В(-1);
в) |ЛВ| <0,2, где В ( — 4,5);	г) |ЛВ|<^, где В (—12).
771.	Найдите расстояние между точками координатной плоскости:
а)	А (2; 5) и В(-1; 1);
б)	Л(-1;0) и В(1;0);
в)	С (7; 9) и D( — 5; 4);
г)	С(0,44; 2,54) и Д(-0,56; 1,54).
772.	Запишите в виде уравнения (или неравенства) условие, кото-
рому удовлетворяют координаты точки Л (х; у) координатной
плоскости, если известно, что:
а) | ЛВ| = 5, где В (0; 0);	б) |ЛВ| <5, где В (0; 0);
в) |ЛВ| = 1, где В (2; 3);	г) |ЛВ| > 1, где В (2; 3).
Найдите множество решений (773—775).
773.	а) |х| =5;	б) |х| <5;
в) |х|>5;	г) |х—10|=4.
774.	а) |х-10|<4; б) |х-10|>4; в) х2>4.
775.	а) х2<5; б) (х-1)2<9; в) (х+2)2<1.
282
Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют условию (776—779).
776.	а) х(у— 1)=0; б) (х-2) (у + 3)=0;
в) ху^О;	г) ху<0.
777.	а) (х —2)у>0;	б) х>0, у>-1;
в) О=0; г) (2х + Зу)(х-4у) = 0.
778.	а) |х —3| <1;	б) |х| <1, |у|<1;
в) |х| > 1, |у| > 1; г) |х —2|<1, |у + 3| < 1.
779.	а) х2 + у2 = 4;	б) х24-у2<4;
в) х2 + у2>4;	г) (х—1)2 + (у—1)2<9.
780.	Дано: f(x)=4±"L Найдите f
781.	Найдите сумму членов бесконечной геометрической про-
грессии:
/1\л—2	/1 \rt
а) Ьп=(—;	б) 6n=(-i-sin х) ;
в)	ПРИ	г) bn = ign х, где 0<х<-^-.
782.	Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 1,2(27); б) 2,(41); в) 0,(428571); г) 0,3(148).
783.	Какой четверти принадлежит угол:
а)	1200°; б) -1000°; в) 3,5л; _
г)	а + -|-л, где 0<а<~-;
д)	а —л, если а — угол III четверти;
е)	а —Зл, если 0<а<-^-?
784.	Какой четверти принадлежит число х, если:
a) sin х = 4 cos х; б) sin х —cos х= 1,2?
785.	Вычислите sin	+c°s 540°cos 290°cos 430°
cos2 1260°
786.	Найдите sin х, если cos х= 1~w и /п>0.
1 4-т
787.	Вычислите cos х, если sinx=-и ^-<х<2л.
-До 2
788.	Вычислите cos х, если sinxtgx = -|-.
789.	Вычислите tg-£-, если cos а=—У
2	5
283
790.	Вычислите tg а, если tg~-=V2.
791.	Вычислите без таблиц значений тригонометрических функций
значение sin 46° с точностью до 0,001, если cos 32° 0,848.
Указание, sin 46° = sin (30° + 16°).
792.	Дано: sin а=—, cos а>0.
Найдите tg а.
793.	Докажите следующие формулы приведения:
a) sin (2л —а)=—sin а; б) sin а) =—cos а;
в) cos (л + а) =—cos а; г) sin (л —a) = sin а;
д) cosа) = sin а; е) cosа) =—sin а.
794.	Докажите, что sin (а 4- л&) = ( — 1)* sin a, k£Z.
795.	Докажите тождество:
-д/1—cos_a_-^/l+cos_a_2	л<а<2л
V 1 -|~ cos ос	V 1 — cos а ь
796.	Решите неравенство:
а)	х2 — 14x-f- 15>0;	в) Зх2-5х-2<0;
б)	х2 — 3х 4-5^0;	г) 2х2 —9х —3<0.
797.	Найдите область определения функции:
а) у = 1g (Зх2 — 4х + 5),	б) t/ = lg (5х2 — 8х — 4);
в) f (х) = д/Зх2 —4x-f-5;	г) f (х) = V64-7X —Зх2.
798.	Заданы корни квадратного уравнения: xi = l—д/З и
Х2=14~л/3- Напишите уравнение.
799.	Найдите сумму кубов корней уравнения x2-f-2x —2 = 0.
800.	Какой вектор переводит параболу у = 2х2 в параболу
i/ = 2(x —З)2?
801.	Найдите с помощью производной координаты вершины пара-
болы:
а) £/ = Зх2 + 6х4“20;	б) z/ = 2x2 — 8x-f-5.
802.	Напишите уравнение параболы, получающейся из параболы
у ==—2х2 с помощью следующих двух преобразований:
а) растяжение в 2 раза от оси Оу, б) параллельный пе-
ренос г (0; 2).
803.	Напишите уравнение параболы, которая получается из па-
раболы у = ~-х2 параллельным переносом г( — 2; 3).
804.	По графику функций, изображенных на рисунках 220—223,
ответьте на вопросы:
1.	Каковы промежутки возрастания функции?
2.	Каковы промежутки убывания функции0
284
I
i

Рис. 223.
3.	Укажите точки, в которых функция имеет максимум или
минимум. Какие значения принимает функция в этих точках?
4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функ-
ций на отрезке [—2; 2]?
5.	В каких точках функция не является непрерывной и каковы
значения функции в этих точках?
6.	На каких промежутках функция непрерывна?
7.	Укажите точки, в которых производная равна нулю.
8.	Какие из функций могут быть периодическими с периодом,
меньшим 3, чему равен их наименьший положительный
период?
9.	Какие из этих функций четные и какие нечетные?
805.	Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у=(х—1)3 —3 (х—1); б) У==4+Т-
Постройте график функции (806—807).
806.	a) y = 2 1g(x —2);	б) у = 3 1п(х-|—1) + 1;
В) 3 cos(2x-4) +1; Г) t/ = <li!L<+C0S^-1 •
2	\	4/	sinx-cosx
у=^з-
807.	а) «/ = {!,5х—1);	б) «/ = {1,5 (х-1));
в) у= sinx-ctgx|;
sin х
808.	Найдите наименьший положительный период функции:
а)	f(x) = 3{x+0,25)4-1;
б)	р (x) = sin 1,5х-)-5 cos 0,75х;
в)	?(х)={1—2х).
Исследуйте на четность (нечетность) функцию (809—810).
809.	a) y = cos-^-=^-;	б) у = sin А—г*;
в) y = x3sinx;	г) у —х3 — х2.
810.	a) y = sin ;	б) у = tg ~~у ;
'	>	1	ь Зх—1 »
в) i/ = In(x4-Vx24-l); г) i/ = lg | 4±у| .
811*.Вычислите предел:
ч 1.	COS X	-.4 1.	cos 4х
а) lim ----------; б) lim—---------.
я sin х 4- cos х	' Л sin 2х — cos 2х
286
812*.Докажите, что функция y=sinx непрерывна в . любой
точке.
813.	Найдите производную функции:
a) y = 2x6-3,8x5+x-^; б)
в) y=(x-4-l)sin х —xcos2x;	г) y = 2tgx-lgx;
814.	Путь s точки М в зависимости от времени t выражается
формулой $=2/3 + 6/—1 (где s измеряется в метрах, t —
в минутах). Найдите скорость и ускорение точки М в момент
времени t = 3 мин.
815.	Докажите возрастание (или убывание) функции на R:
а)	у= — 0,2x5-f-0,5x4—х3-|-х2—х;
б)	у = х3-Зх2 + Зх + 21;
в)	у = 0,8х5 — х4 + Зх3 + 2х2 + 4х.
816.	Напишите уравнение касательной к графику функции
у—хг + 2х в точках пересечения этого графика с осью абс-
цисс и в точке с абсциссой х=1,5.
817.	Задайте формулой функцию, обратную функции f(x). Для
обратной функции укажите область определения и область
значений. Выясните, возрастает она или убывает:
а) f(x)=^;	б) f(x)=^;	в>
г) f(x)=2'+l;	д) f(x)=log3(x+2);	е) f (x)=lg^.
Найдите промежутки возрастания (убывания) и точки макси-
мума и минимума (818—820).
818. а)	У	1—-Зх’		б)	• ’ У	2—4х
в)			г) у=2*2-4*.
819. а)	6 In X У=—’	б)	у=х —In х;
в)	е* y=—v	г)	у = 2 sin х+3 cos х.
820. а)	у=х In х;	б)	y=cos 2х—2 cos х.
821.	Найдите наибольшее значение функции на R:
а) у=18х2 + 8х3-Зх4; б) -2х4+3х2-6.
822.	Какое положительное число, будучи сложенным с обратным
ему числом, дает наименьшую сумму?
823.	Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был
бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы
287
как 1:2. Каковы должны быть размеры всех ребер, чтобы <
полная поверхность была наименьшей?
824.	На окружности дана точка А. Провести хорду ВС па-
раллельно касательной в точке А так, чтобы площадь
треугольника АВС была наибольшей.
825.	Каков должен быть угол при вершине равнобедренного тре-
угольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в
этот треугольник круга был наибольшим?
826.	Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова
должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность
призмы была наименьшей?
827.	Требуется изготовить коническую воронку с образующей
I = 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее
объем был наибольшим?
828.	Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиуса /?.
829.	В конус, радиус основания которого R и высота //, требуется
вписать цилиндр, имеющий наибольшую полную поверх-
ность. Найдите радиус цилиндра.
830.	Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема
(плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
831.	Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного
около шара радиуса /?.
832.	Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного
около полушара радиуса /?, так, чтобы центр основания
конуса лежал в центре шара.	.
833.	Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать
балку прямоугольного сечения с основанием Ь и высотой ft.
Прочность балки пропорциональна bh2. При каких значениях
& и ft прочность балки будет наибольшей?
834.	Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукру-
гом. Определите размеры окна, имеющего наибольшую пло-
щадь при заданном периметре.
835.	По двум улицам движутся к перекрестку две машины с
постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что
улицы пересекаются под прямым углом, и зная, что в неко-
торый момент времени автомашины находятся от перекрестка
на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, че-
рез какое время расстояние между ними станет наименьшим.
836.	Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний
край на Г,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии	;;
от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение	|
было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е.
чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?
837.	Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м.
На каком расстоянии должен встать человек ростом (до
уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим
углом?
288
838.	Три пункта А, В, С не лежат на одной .прямой, причем
А АВС = 60°. Одновременно из точки А выходит автомобиль,
а из точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению
к В со скоростью 80 км/ч, поезд — к пункту С со скоростью
50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения)
расстояние между поездом и автомобилем будет наимень-
шим, если АВ = 200 км?
839.	На странице текст должен занимать 384 см2. Верхнее и
нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое — по 2 см.
Если принимать во внимание только экономию бумаги, то
каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
840.	Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Пер-
вая из них не зависит от скорости и равна 480 р. в час.
А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости,
причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна
30 р. в час. Требуется определить, при какой скорости общая
сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей.
841.	Решите неравенство:
(х—1)(х —2)	Qt
х —3	’
б) (^-3)(х-5) д
'	V _ )
х24-2х —3
х2 - 2х 4- 8
г)
х2 4- 5х 4- 4
х2 — 5х — 6
д) (X—1) (х —2) (х —3) (х —4)<0;
е) х4 — Зх2 + 2<0.
Найдите первообразную функции (842—844).
842. a) f(x) = x+-^;
б) /(х) = ^2х;
г) f(x) = x 5 + х 2.
в) f (х) = 2 sin х + cos Зх;
843. а) f(x) = 4L; ' 1 ' '	х4-4		б> 'И=ет? г) f (х) = 2х + 3х2.	
в)			
844. а)	/(х)=х3~3;У;	-1.	б)/(х) = Х3+л/2
845.	Найдите функцию, производная которой равна 2х —3 и
значение которой в точке 2 равно 2.
846.	Материальная точка движется по координатной прямой со
скоростью v (Z) = sin t cos t. Найдите уравнение движения
точки, если при ее координата равнялась 3.
847.	Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2; 3),
если угловой коэффициент ее касательной в точке с абсцис-
сой х равен Зх2.
289
848. Вычислите:
Л	л
3	б"
a) J cos xdx; б) j (cos Зх — sin 2х) dx.
л	л
б"	12
849.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций:
а)	у = 0,5х2 —3x-f-2 и у = х — 4;
б)	у = х2 — 5х-|-4 и у = 2х — 2;
в)	у=8—£-х2 и z/ = 3,5;
г)	у=х2 —Зх-|-4 и у=х4-1;
Д) У=— и У = 6 —х.
850.	Докажите неравенство:
а) т-f——^4, т>0; б) ;	1;
В) 4 + — >2, а>0, &>0;
' b 1 а
г)
д)
tgx4-ctgx>2, 0<х<-2-;
sin (-?+“)
-------—-----т-----Ь2
sin (-2 +т) Sin (12-т)
у-<2^3;
е) (1 -|-sin <p-|-cos <р) (1 —sin <p-|-cos <p) (1 4-sin <p—cos <p)X
X(sin q>4-cos <p— !)<: 1.
Решите уравнение (851—854).
1
V*4-1 —V*
851.
a)
—4=3;	6) Vx—4=-4-V2+x = 0.
i-V*	v 1
852.	a) tg5x»cosx = 0;	6) tg-^-cosx = 0;
в) sin 2x-|-sin 3x = 0;	r) sin x4~cos 2x = 0.
853.	a) 3 sin 3x-|-4 cos 3x=—5;
6)	5 sin 2x—12 cos 2x= 13;
в)	4cos^2x—4-12 sin2 ^2x—^ = 11;
r) 4 sin (Зх—у) 4-7 cos2 (Зх—
854.	a) |2x —5| = |7 —2x|;	6) |x-2| =2 |3-x|;
в) x24-Ix|—2 = 0;	r) x2 — 3 |x| 4-2=0.
290
Решите неравенство (855—856).
855.	а) в)	|3х — 2,5| >2;			б) г)	|5 —2х| < 1; 2х2 —5 |х)4-3>0.
		х2 —4	1х| 4-35	>0;		
856.	а)	х-}-2^ х -f- 3	>3; б)	1—Зх \-2х<	' 1;	
	в)	Зх 2-f-x^	>2; г)	3 — х	,_2_ • 3 •	
Решите систему уравнений (857—859).
857.	a) f	х — 31/=1,	б) Г 2jvЗг/= — 1, в)	Г 7х —2у= — 1, 1 Зх — 5у= 12.
		2х + у = 4±;	15х4-4у=1;	
858.	а) {	Зх — 9у=12, б) Г 2x4-бу = 5,	в) 4х-12у=16;	1х4-3у = 2,5;	(4х — бу = 8, 1 х— 1,5у = 2.
859.	а) {	х4-2у = 7,	б) (5х —8у = 0,	в) 2х-|-4у = 9;	1х— 1,6у=1;	(х4-у = 7, 1 2х 4- 2у = 11.
860.	При	каком значении параметра а система:	
	а) | ах — Зу = 4, б) [ х4-ау = 2,	в) (x-j- 1,5у = 4, | г — и— 4 •	l3x —2у = 6;	14х4-6у = а 1 х у 3 , имеет бесконечно много решений?		
861.	При а) {	каком значении параметра а система: 2x4-ay = 8, б) fx—у — 3,	в) 1 Зх —5у = 6;	1ах4-2у=—6;	1	[х —у = 2, 12х — 2у = а
б) I х + 2у —2 = 7,
{ 2х—у 4-2 = 2,
v Зх —5у4-2г= —7;
г) f x-3y-j-z = 7,
{ 3x4-у — 2г = 3,
I х + 7у —4z = 0.
б) ( —
J у х 6
( х4-у = 5.
863.
864.
не имеет решений?
862. Можно ли указать значение параметра а, при котором
система имеет решение:
а) (х— 5у = 7, б) fx-f-2y = a, в) (Зх — 2у = 6,
lax + y=—3;	12х-|-4у = 5;	\ах-\-у= — 3?
Решите систему уравнений (863—867).
a) f x+y + z=— 2,
( х — y + 2z=— 7
V 2х + Зу — z = 1;
в) | х — у — 2 = 5,
। 2x+y4-3z = 3,
v х —4у —6z = 7;
а) Г -у=2,
1 (х-1)2+у2=1;
865. a) f(х4-0,2)24-(у4-0,3)2 = 1, б) Jx-y=l,
lx 4- у = 0,9;	(х3—у3 = 7;
в) ( —Ц-------7-г = —.	г) (х34-у3 = 35,
I у2 —х —5 = 0;	1х4-У=5.
291
866.
867.
868.
2у3= 16,
V = 2;
-'+у-‘ = 5,
—24-у-2=13.
б) ( х3 + у3 = 9,
I ху = 2;
г) 1 х2 —ху = 28,
I у2 — ху= — 12.
неравенств:
а) ( (х—У)(х2—у2) = 45,
I х + у = 5;
в) J х2у34-х3у2= 12,
I х2у3 —х3у2 = 4;
а) Г х34-у3 = 7,
( х3у3 = — 8;
в) ( х2 + у4 = 5,
I ху2 = 2;
Решите систему
а)	( 2 (Зх— 1)<3 (4x4-1)4-16,
1 4 (2 4- х) <С Зх 4- 8;
б)	f 2х>3-----—,
I х . 2 / «ч__Зх — 20
ч z х+1 х X—1	п
В)	/ 4----Т>~4-------Х~2’
| 0,5х<2— х;
„	х+1	*+
2	3
1,5х —2,5<х.
Решите систему уравнений:
а)
г)
х— 1 о
4
869.
б)
' 4xi—2х2-|-Зх3 —4х<= 14,
< 2xi — Зх2— 2х3 — х4 =— 1,
Х| 4~ 4х2 И- 2х4 == — 1,
2xi — х24-хз = 4;
xi + 2x2 —хз —2х4= — 6,
< Зх| — х2 -f- Зхз -|- х4 = 4,
2х!4-Х2 —2х3 = 2,
2х2 — хз + 3х4 = 3.
870. Докажите, что две любые параболы подобны.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Математический анализ возник в XVII веке. Но полное его
обоснование было дано лишь в конце девятнадцатого столетия,
когда вслед за теорией пределов, созданной О. Коши (см.
с. 129), сразу в нескольких формах немецкими математиками
Р. Дедекиндом (1831 —1916), К. В е й е р ш т р а с с о м
(1815—1897) и Г. Кантором (1845—1918) была построена
теория действительного числа.
Первые представления о числах складывались постепенно под
влиянием практики. С давних пор числа употреблялись при счете
и измерении величин.
Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное ко-
нечное множество?» всегда выражается либо натуральным числом,
либо числом нуль. Следовательно, множество
{0; 1; 2; 3; ,...}
всех неотрицательных целых чисел обслуживает все потребности
счета.
Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние меж-
ду двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь
комнаты 16,45 квадратного метра и т. д.
Величины бывают разных родов. Приведем два примера.
1. Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и
кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выра-
жают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д.
2. Длительности промежутков времени тоже величины одного
и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах и
т. д.
Величины одного и того же рода можно сравнивать между
собой и складывать:
1 м>90 см;
3000 с<1 ч;
1 кг >720 г;
350 м + 650 м=1 км;
2 ч + З ч = 5 ч;
500 r-j-500 г= I кг.
Но бессмысленно спрашивать, что больше: 1 метр или 1 час,
и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность про-
293
межутков времени и расстояния — величины разного рода. Скла-
дывать и сравнивать величины разного рода нельзя.
Величины можно умножать на положительные числа и нуль.
В результате умножения величины а на неотрицательное число
х получается величина Ь = ха того же рода. Приведем несколь-
ко примеров:
5*20 см = 100 см=1 м;
0,01 • 20 см = 0,2 см = 2 мм;
0-20 см =0 см.
Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, можно
с ее помощью измерить любую другую величину а того же рода.
В результате измерения получим, что
а = хе,
где х— число.
Это число х называется числовым значением величины а при
единице измерения е. Числовое значение величины зависит от
выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты
имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в 1 м
(е=1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при
единице измерения в один сантиметр (е=1 см).
Пусть числовые значения величин а и b при одной и той
же единице измерения е равны х и у, т. е.
а=хе, Ь=уе.
Если b =/=0, то отношение — называют отношением величины акЬ.
у
Таковы простейшие сведения о величинах. Приведенное описа-
ние понятия величины опиралось на понятие числа. Но исто-
рический путь был иным: положительные действительные числа
появились как отношения величин (а точнее, как отношения
длин отрезков).
С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата
с его стороной стало ясно, что отношение длин отрезков не
всегда может быть выражено не только натуральным, но и
рациональным числом. Для того чтобы числовое значение
каждого отрезка при фиксированной единице измерения бы-
ло определено, требовалось введение новых чисел — иррацио-
нальных.
Все практические измерения величин имеют лишь прибли-
женный характер. Их результат с требуемой точностью можно
выразить при помощи рациональных дробей или более спе-
циальным образом при помощи конечных десятичных дробей.
Например, измеряя диагональ квадрата со стороной в 1 м с
точностью до одного сантиметра, мы обнаружим, что ее длина
приближенно равна 1,41 м. При измерении с точностью до од-
ного миллиметра получим, что эта длина приближенно равна
1,414 м.
294
Но в математике часто отвлекаются от нриблнжен*ГОго
характера практических измерений. Последовательный теорети-
ческий подход к измерению длин отрезков приводит к необхо-
димости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно
такими дробями представляются числа
— = 0,666...; ^/2= 1,41421356...; л = 3,14159265358...)
3
Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого
за единицу измерения, всегда может быть выражено числом,
представимым в виде бесконечной десятичной дроби.
Полная теория действительных чисел довольно сложна и не
входит в программу средней школы. Но с одним из спосо-
бов ее построения мы познакомимся в общих чертах.
1.	Принимают:
а)	каждому действительному числу соответствует (в качестве
его записи) бесконечная десятичная дробь:
х= ±а^\а2аз...ап---\
б)	каждая бесконечная десятичная дробь является записью
действительного числа.
Но при этом естественно считать десятичную дробь, закан-
чивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь
второй записью числа, выражающегося десятичной дробью, за-
канчивающейся бесконечной последовательностью нулей:
0,9999... = 1,0000...; 12,76599999...= 12,76600000...
Такое соглашение поясним примером:
0,(9) =3-0,(3) =3-1/3= 1.
Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с де-
вятКой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие
между множеством действительных чисел и множеством беско-
нечных десятичных дробей.
Число а0— это целая часть положительного числа х, а
х —ао=О,а1Я2аз...аЛ... —
дробная часть числа х.
Число
хЛ = я0, а{а2...ап
называют десятичным приближением х с точностью до 10~Л по
недостатку, а число
х£ = Хп+ 10“л
называют десятичным приближением с точностью до 10“п по
избытку для числа х = ао,а1Я2аз...ап... .
295
Если число х отрицательно, т. е.
х= —а^а\а2аз...ап---,
то полагают
х'п= — ао,а\а2аз^.ап и хл = х£—10“\
2.	Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По
определению число х меньше числа у, если хотя бы при одном
п выполнено неравенство
ХП Упу
где хп и уп— десятичные приближения с точностью до 10“л
по недостатку для чисел х и у, (Мы воспользовались тем,
что правило сравнения конечных десятичных дробей уже изве-
стно.)
3.	Определяют арифметические действия над действительными
числами (при этом также пользуются тем, что эти действия
уже определены для конечных десятичных дробей).
Суммой двух действительных чисел х и у (обозначается
х + у) называют такое действительное число z, что при любом
п выполнены неравенства
Хп + Уп^х + у<х'п + у'п.
В курсах математического анализа доказывается, что такое число
существует и определяется единственным образом.
Аналогично, произведением двух неотрицательных чисел х и
у называют такое число z (обозначается ху), что при любом
п выполнены неравенства
ХпУг^Ху<.ХпУп.
Такое число существует и определяется однозначно. Для
действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что
произведение неотрицательных чисел |х| и \у\ уже определе-
но, полагают ху= — \х\ \у\; в остальных случаях ху=\х\ |у|.
(Как обычно, модулем каждого из чисел ao,aifl2...an... и
— ao,aia2-..^n... называют число a0,aia2...art... .)
Вычитание определяется как действие, обратное сложению:
разностью х — у чисел х и у называется такое число z, что
i/ + z = x, а деление — как действие, обратное умножению:
частным х:у называется такое число z, что yz = x.
4.	Показывают, что неравенства и арифметические операции,
определенные указанным в п. 3 образом, сохраняют основные
свойства, присущие им в множестве рациональных чисел. Пере-
чень этих свойств приведен в «Материалах для повторения».
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава I
1. а) в) 2. а) 120°; в) ^1. 3. а) 0,2967; в) 2,4260. 4. а) 32°;
4	1о	л
в) 180°. 6. а) —б) —23,8л. 7. а) 2; в) 8. а) 1; в) 9. б) рад/мин;
и	О	О	uuU
— рад/мин; 2л рад/мин. 11. а) Да; в) нет. 12. а) Нет; в) да. 13. а) ля, n£Z\
ои
в) ~4~2лп, n£Z\ д) — ~4-2лл, n£Z. 14. а) ли, n^Z\ в), д) -^--|-лл, n£Z.
л/2	л/2
16. а) 0; 1; 0; не определен; в) ——; —-yi h 1- 17. а) 0,1889; 0,9820;
0,1923; 5,2000; в) 0,9800; 0,1994; 4,9131; 0,2035. 18. а) 0,3256; 0,9455; 0,3443; 2,9044;
в) 0,2147; 0,9767; 0,2199; 4,5483. 19. а) Все плюс; в) минус, плюс, минус,
минус. 20. а) Минус; в) минус. 21. а) 0,5; в) —0,5. 22. а} в) -у/3.
26. а), в) Да. 27. a) cosa=4‘>	ctga = 4-; в) sina =——;
О	4	О	10
5	5	л/5	2	д/б	5
cosa= — ctga=-^; д) cosa=—; tga=——; ctga=—%- 28. а)
30. а) 0; в) 1. 31. a) sin р —cos р; в) —1. 32. а) cos2/; в) 0. 33. а) — cos-^-;
О
в) — ctg-^-; д) ctg ж) — sin35. а) 2 tg у\ в) 1. 36. а) 5. 37. а) 1; в) 0,5.
О	1О	О
7 25
38. а) д/З; в) 1. 39. а) —0,28; б) —1. 41. а) И—; —. 42. а) —sin 2a;
в) д/3 cos a. 44. а) 0,96; б) 0,28; в) г) 47. а) в) 1. 48. а) -^3 cos 10°;
7	д/3
в) д/2 sin ~ . 49. а) 0; в) -д-f. 50. а) cos <р; в) д/З. 52. а) —|=-;
36	______ 2	____ д/26
1 с ео ч V2~V2 X /FT 1 ч V2 + V3 д/б + д/2 „ ч . о
“~~5‘ 53* а	’ б) * В ’ д) "" 2“	~-55<а) sin V’»
б) cos2 ср; в) 0; г) — Л----------.	56. а) 2 д/2 cos-^-cos ( ——»
14-sin a	2	\ 4	2/
в) 2д/2 sin fcos(^-. 60. а) 2;	-2;	10,1; 2/ + ^-, в) 0; 0;
2 sin 4; — 2 sin 4х. 61. а) 0; 3; 2; /2. 62. а) /?; в) д) Я; ж) множество
всех действительных чисел, кроме чисел вида ~-|-лп, где n£Z. 63. а) 1; в) [0; оо);
297
д) [0; 1); ж) множество Zo (всех неотрицательных целых чисел) 65. б) D(S)==
{•>	•> Л ^ал/2
а2 —х при 0<хС—
ал/2	69. а) Убывает на ( — оо; оо);
— х)2 при -~-<х<а-у2-
в) возрастает на (—оо; 0]; убывает ^на [0; оо). 70. а) Убывает на (— оо; 0)
и на (0; оо); в) возрастает на [0; оо). 76. а) Нечетная; в) четная. 77. а) Ни чет-
ная, ни нечетная; в) четная. 82. а) Возрастает на /?; в) убывает на ( —оо; 1,5],
возрастает на [1,5; оо); минимум в точке 1,5. 83. а) Убывает на (—оо; 0) и на
(0; оо); экстремумов нет; в) возрастает на (—оо; 0), убывает на (0; оо);
экстремумов нет. 84. а) Убывает на (—оо; 0], возрастает на [0; оо);
минимум в точке 0; б) убывает на (—оо; —1] и на [0; 1]; возрастает на
[— 1; 0] и на [1; оо). У к а з а н и е. Функция f четна, поэтому достаточно провести
исследование для х>0; при таких х имеем: f (x2) — f (xj) = (x2 — х2) (х24-х2 — 2),
и если x2>xi, то х2 —х?>0, поэтому f (x2)>f (xi) при х24-х2 — 2>0; отсюда сле-
дует, что f возрастает на промежутке [1; оо) (так как х2 + х2 — 2 > 0 при х2 >► Xi	1)
и убывает на промежутке [0; 1] (так как х24-х2 —2<0 при 0^xi<x2^l);
в) возрастает на промежутке (—оо; оо); г) возрастает на проме-
жутках (—оо; —1] и [1; оо), убывает на промежутке [— 1;	1].
Указание. Функция / нечетна, поэтому достаточно провести иссле-
дование для х^0, при таких х имеем: f (x2)—f (xi)=(x2 — xi) (x24-xix24-xf — 3),
и если х2>хь то f(x2)>/(xi) при x24-xix24-x2 — 3>0; отсюда следует, что
f возрастает на промежутке [1; оо) (так как x24-xix24-x2 — 3>0 при
Х2>Х|^1) и убывает на промежутке [0; 1] (так как x24-xix24-x2 —3<0
при O^xi<x2^l); учитывая нечетность f, получаем, что f возрастает на проме-
жутке (—оо; — 1) и убывает на промежутке [ — 1; 0], а следовательно, и на
промежутке [—1; 1} 85. а) Да; в) нет. 86. a) sin 45°; в) — ctg 3°; д) —cos 5°;
ж) —-ctg-£-. 87. а) л; в) 4г*» Д) любое число, отличное от 0. 88. а) л; в)
о	2.	4
2л	л
89. а) —; в) 2л. 91. Нет. 92. а) Множество всех чисел, кроме вида -^-4-2лл, n£Z;
□	£
в) R. 93. а) [—1; 1]; в) [0; 1]. 94. a) sin2x>0 на промежутках (ял; -^-4-ял),
n£Z; sin2x<0 на промежутках	—— 4-лл; ялу, n£Z\
• А	Л	я»	к
sin 2х=0 при ^=“2".	в) нулей нет, промежутки знакопостоянства
такие же, как у функции f(x)=sinx. 95. a) sin ( — 30°); sin 170°; sin 20°;
sin ( — 250°); sin 100°. 96. а) Возрастает на промежутках £—
л 2лл1	е	Г я ,	л , 2ял“|	_ _
*4—I» убывает на промежутках 4-	-х-4-у , n£Z\
о о j	LuoZuj
в) убывает на промежутках £—^-4-ял; -^-4-ял^| , n£Z; возрастает на проме-
Г-^-4-лп; ~4-ял|, n£Z. 98. а) х——^--|-2ял и х=^4“2ял, n£Z;
L 4	4 J	о	о
^4-2лп; -^-4-2лл1, n£Z. 100. а) Множество
о	о J
всех действительных
чисел, кроме чисел вида —4-пл, n£Z\ в) R. 101. а) [—1; 1]; в) {1; 2].
102. a) cos3x>0 на
я 2ял
3 ;
л 2лл\
6 +~37 ’
fl(:Z; cos3x<0 на
298
(л , 2лл л . 2лп\ _ пл	л . лп «
^4-—; у-4-—)	, «€^;	cos3x=0	при х=~4-—	a^Z;	в) нулей
нет, промежутки знакопостояиства такие же, как у функции f (х)—cos х.
103. б) cos 3; cos cos cos 1,2; cos (—1); cos ( — 0,1). 104. а) Возрастает
[2ли л , 2лл1 _	Г	л . 2лл 2лл1 , _
-у-; y + yd»	n£z>	убывает на |	j + —; “з"J ’	n^Z'f	В03Ра*
стает на [— Зл-|-6лл; бли], n^Z\ убывает на [6л и; Зл4-6лл], n£Z.
105. а) /=±~4-2лп, n^Z\ в) ~4-2лл</<~-|-2лл, n£Z. 106. а) х =
= ±“4-2лп, n£Z', в) ~4-2лп</<~4-2лп, n£Z. 108. а) х=/=~-|-лл,
о	4	4	4
n^Z\ в) х=/=^-» n^Z. 109. a) R\ в) (— оо; 0]. ПО. a) tg3x>0 на
(ли л , ли\	л / л , ли	лл\	, _	, _	_
; -Т-4-Ч-)	,	tg3x<0	на (	—^-4—х;	-И,	n£Z;	tg3x = 0	при
ООО/	\ о о о/
х=~, n£Z-, в) tg2х>0 на -у(л4-1н , n^Z\ tg2x = 0 при х = лп, n£Z.
111. a) tg 100°; tg( —20°); tg 10°; tg 200°; tg(-110°). 112. а) Возрастает на
/ л , лп л лл\	л	/ Зл . л ,	\
( —у+-2 ) » В) убывает на	—- 4-лп; —+лп), n£Z.
113. а) /=-^-4~ли, n£Z\ в) —^-4>лл</<-^-4-л/г, n£Z. 114. а) х =—^-4-ял,
n£Z\ в) —£--j-nn<x< —£• + ли, n£Z. 116. а) х^~ + лп, n£Z; в) х=/=^, n£Z.
117. a) J?; в) [0; оо). 118. a) ctg2x>0 на ; у+у) » «€Z; ctg2x<0 на
(-5-+-^; -2+-2J • n^z> ctg2x=0 при Х=—+—, n€Z; в) ctg2x>0 на
(лп; -у+ял) и (-^-+лл, я+лл) , ngZ; ctg2x=0 при х=-^- + ял, n^Z.
(13л\	л
—4-"); ctS2; ctg 8; ctg у, ctg 4. 120. а) Убывает на
(лп л . лл\ ,	/ 3 л , _	15л . о \
~2" ~2^—2/ * в) в03Растает на (-4+Злл;	—|-Злп) , n^Z. 121. а) / =
= —j-4-лл, n^Z\ в) ~+лл</<л4-лл, n£Z. 122= а) х=~4-лл, n^Z\
в) ^4-лл<х<л4-лн, n^Z, 124. а) 0; б)	в) —; г) ~;
о	2	2	о
д) 4; ж) —Г- 125- а) 0,3072; б) 0,4451; в) 0,3081; г) 0,8949.
о	4
126. а) 4: б) 0; в) л; г) 4; Д) е) ; ж) 127. а) 1,3526;
2	О	О	тЬ	О
б) 0,5009; в) 0,6554; г) 0,9685. 128. а) 0; б) —%-; в) 4: г) 4:
4	о	О
Д) -4- >29. а) 0,3403; б) 1,1606; ?) -1,3734; г) 1,4713. 130. а) б) 4!
о	2	4
а)	; г) 4; д) . 131. а) 0,9547; б) 0,1728; в) 0,2147; г) 3,0247. 132. а) Равно;
4 и О
б)	меньше; в) меньше; г) меньше. 133. а) ; б) ; в) ; г) —
2	2	12	6
299
i л л	\ n 5л .л . 7 л	«ос \ л	л \ л ч 2 л
134. а) -, б) в) -; г) -lg. 135. а) у; б) у; в) 0; г) у.
141. а) Зя—10; б) 4л —12; в) 2 —л; г) л —3. 142. а) ±-^- + 2лл, n£Z-,
в) ±^ + 2лл, n£Z. 143. а) (-1)" 4 + лл, n£Z-, в) (- 1)л+1 -£ + лл,
о	о	о
n£Z. 144. а) -^-4-лл, n^Z’, в) —^-4-лл, n£Z. 145. а) -^-4-лл, n£Z',
4	4	4
в) —~ + лп, n^Z. 146. а) (—1)яХо-|-ли, n£Z, х0 = arcsin ( — 0,6)«—0,6435;
в) —хо4-лп, n£Z, х0 = arctg 3,5« 1,2925. 147. а) ±-^4-лп, n^Z', в)
о	12	3
n^Z. 148. а) (—1)ял4-4лп, n£Z; в) —у4-3лл, n£Z. 149. а) у-}-
+(-1Г4 + л«. «ez; в) лл, n£Z. 150. а) *+(-I)" я+™, rtgZ; в) ^ + 2лл,
4	24	24	4	b
nez. 152. а) ~ +2лй<х<4 + 2лА, k£Z; в) ~ + 2nk<x< —£- + 2л6,
о	о	4	4
keZ. 153. а) -^- + 2л*<х<4 + 2лЛ, k£Z; в) -~+2nk<x<^ + 2nk, k£Z.
4	4	bo
154. а) —^-4-л/г <х<-^-4-л/г, k£Z; в)
Z	о
Л I ,	л , t
—— 4-лЯ<х< —-4-ля,
kez.
155. а) лк <х<^ 4-л&, k£Z\ в) -2-4-л/г<х< л-f-л/г, k£Z. 156. а) -^4-л&<
3	3	12
<х<5? + л/г, keZ\ в) —^--|-2л/г<х<л4-2л£, ke.Z. 157. а) —^? + 2л£<
<х<^ + 2л£, keZ-, в) -4 + л*<*<т^+л*. k£Z. 158. а) —^ + 2л*<
Ь	4	12	2
<х<----^-4-2л/г, k£Z\ б) л/г^х<~-|-л/г, k£Z\ в) (— оо; оо);
Ь	о	о
. л	, , л	, , 5л	, , л	, , Зл	.	5л	,	, „ „
г) тт; + ля<х< —4-ля, — 4-ля<х<-=-4-ля и -г-4-л/г < х<-7-4-л/г, k^Z.
12	Ь	12	2	4	Ь
tgx4-tg2x . _	л
1 tg ' tg2x = *g3x ПРИ Х’ пРинаДлежащих области оп-
Решение.
ределения левой части неравенства. Таким образом, нужно решить нера-
венство tg Зх>1 и исключить из полученного множества точки вида -4- л/,
л л/
-j--}- l^Z. Отметим с помощью линии тангенсов один из про-
межутков, состоящих из значений f(/ = 3x), удовлетворяющих не-
[Л Л\ тд
—; — I . Используя периодичность тангенса, полу-
чаем:	— 4-лллп, n^Z, откуда 72^"~3 ^Х<""б"”^~3 ’
Для того чтобы исключить указанные выше точки, удобно рассмотреть
промежутки длины л (и добавить лк, k£Z): tg Зх>1 при 12+яЙ<
л, ,5л, , . л, ,3л,	5л.
^х<-т-4-л/г, — 4-<х< —4-ля, — 4-ля<х< —4-ля. Исключаем числа вида
b 12	2	4	b
л , л , , Зл , , ,	_	Зл , ,
-у4-л/г, —+ л/г, —4-л/г, k£Z. В данном случае это числа вида — 4-л^,
kez. 159. a) ±^ + 2nfc, 4+я*> k^Z' б> 4+2л*> в) 4 + 2я*-
k^Z‘, г) «14-л/г, аг4-л/г, k£Z, ai = arctg 2« 1,11; аг = arctg у«0,46.
300
160. а) 4-4л/г, л4-2л&, k£Z\ б) а14~л/г, а24-л&, k£Zt а\ =
= arctg-——0,55; a2 = arctg	1,02; в) а4-2лА?, k^Z, а =
Z	Z
о	jr
= 2 arctg — «1,18; г) —|- л/г, (— 1/хо + л/г, k^Z, хо = arcsin 0,75 «0,85. 161. а) 2л/г,
О	Z
л4-4л/г, k^Z] б) л4~2л/г, 4л/г, k^Z\ в) (—1)*х0 4-л/г, kfzZ, хо = arcsin-^-«0,34;
г) -^-4-л&, kfzZ. 162. а) —^-4-л/г, k£Z\ б) -у-4~л/г, а4-л/г, k£Z, a = arctg2;
о	4	4
в) -^-4-л/г, а 4-л/г, kfzZ, а = arctg 3 « 1,25; г) ai+л/г, аг + л/г, k£Z, cti =
— 7—~\/83	, —7-|-л/53	_	2л ,
= arctg---—« — 1,43; a2 = arctg------—«0,11. 163. а) ±-~-4~2л/г,
Z	Z	о
k£Z\ в) (-1)*~ + л/г, fegZ. 164. а) —^+nk, k£Z; в) у + л/г, fegZ.
165. а) у + 2л/г, fegZ; в) лй, у+л*. *gZ. 166. а) (— 1)‘-^- + лй, fegZ;
в) ±а + лй, fegZ, а = arctg л/2~ 0,96. 167. а) ((—1)‘ ~ + л/г; ±^г+2л/г);
о	3
((—1)4 + '~ + л/г;	±-^-+2лп), k, ngZ; в)	k£Z-,
\	о	3	/	\ 2 о 2. о /
г) ^хо + л&; хо — л/г^ ; ^Х14-л/г; xi — nk) , k£Z\ хо = arctg -^-«0,46,
xi = arctg -^-«0,32. 168. а) Нет; в) да (кроме случая а = 6=0). 169. a) tg2 а;
<5
в) tg ос tg р. 170. a) cos2 (р; в) — 1. 171. а) 13; б) 0; в) . & 9-» r) |sin p4-cos р|.
sin £ф
172. a) ctg(a —j) ; б) tg(₽--j) . 173. a) 8; в) -L. 174. a)
6) ™ ff~w.2.175. a) m2—2; 6) m(m2—3).176. a) -0,5. 185. a) -sinl8°;e) -tgl5°;
д) —sin 23°. 186. a) sin	=cosв) —tg^. 187. a) sin 1°; в) cos 19°.
188. a) cos	в) tg-^- . 189. a) -i-; б) в) 1 -f-n/3; г) 0,5. 190. a) —sin a;
tE..	,ж.	6) _i|.	H*; 6) Z
198. a) -Zl; 6) -1; в) r) -83. 200. a) tg 15» = 2-^/3; 6) -tgi
QO	/1	/
,_ ,______ 4	Q	4	Q
в) tgatgP; r) tg a. 208. a) \^2; 2^/6^; 0,5; 2; 6) 4; —£•; —
О 5	3	4
209. a) sin (x+y) sin (x—y). 210. a) 4 coscos x cos 6) 4 coscos x sin
211. a) 2 sin —” cos —	^- = 2 cos2 n; 6) 2sin(30°—cos( 30°4--^);
v „ . 4a 4- л 4a — л
в) 2 sin—r—cos—r—;	r) 2 sin 5° cos 40°; д) sin (60°4- a) sin (60° — a);
о	о
e) sin (a+ 30°) sin (a —30°). 212. a) “4= ~T; ~4; 6>	4' 4'
213. a) (-l/xo + nfe, k^Z, x0 = arcsin 3-«0,34. 214. а) ±^+2лй, fegZ;
3	3
301
б) ±-^+лЛ, k£Z. 215. а + лЛ, k£Z. а = arctg0,5ж0,46. 216. а) л+2лй; ±а +
+4nfe, k£Z, а=2 arccos-i-яа 2,46. 217. a) k£Z; в) -j-, k£Z. 218. a) —g-+
+nk<x<-^+nk, k£Z; 6) /?. 219. a) —^+ лА<х<-^+л£, -^-+лй<х<
<??4-лА:, ^+nft<x<^p+лА:, x=-^-+nfe, k£Z. 220. a) —^-+лй<х<-^-+
10	1U	4	z	z	и
+ nk,-^- + nk<x<-^-+nk,k£Z; в)—^- + 2nk<x<-^ + 2nk, ^+2як<х<^+
o	z	6	4	4	о
+ 2л&, k£Z. 221. Указание, a) sin x>4- или sin x< —6) —^-<cos x<
Z	О	О
<y- 222, Указание. a) sinx>y; 6) cosx>y. 223. Указание.
a) tg x< — 1 или 0<tg x< 1; 6) — 1 <ctg x<0 или ctg x> 1. 225. a) в)
Z о
235. a), 6) 1. 236. a) cos 4/; 6) cost. 237. a) ctg2x; 6) r . —238.
I sin <p|	65	65
239. —241. a) -i- cos 10°; 6) -i-; в) r) 0.242. a) —~ cos 2x; 6) —cos (2a 4-
ZD	Z	4	4	Z	Z
+ 4r) I в)	4" (cos 2x4-cos 20);	r)	(cos	2a —cos 2x). 243.	a) cos 10° — ^;	6) -^4-
О / z	z	z z
+ cos 10°, в) cos 35°+cos 5° —cos 15°— r) cos l°+cos 3°+cos 5° + cos 7° +
+ cos 9° + cos 1 l° + cos 13°+cos 15е. 244. a) 0,5+т/о,5-0,2573; 6) *
245. a) ^=4 б) ^^1. 246. a) ffiH; 6) -fi. 247. a) l+cos2x; 6) l-cos2x;
в) 0,5+cos 2x+0,5 cos 4x; r) ------1- cos 4x; д) 4-cos 12x; e) 0,5+0,5 cos 8x.
О О	z z
249. Да. 250. a) (—1)‘а + лй, k£Z, a = arcsin —«0,62. 251. а) ai + 2nA:, аг +
уЗ
+ 2л£, k£Z, at =2 arctg-0,52; ₽ = 2 arctg^±3^1» 1,80; в) y +
-|-2л&, а4-2л£, k£Z, а = 2 arctg (—3)« —2,50. 252. a) R\ б) л^<х<-^ +
4-л£, ^ + nk^x<-^-\-nk, k£Z.
Глава II
254. a) 0,2 и 0,3; 0,26 и 0,27; 0,266 и 0,267; б) -1,3 и —1,2; —1,27 и —1,26;
в) 08 и 0,9; 0,83 и 0,84; 0,833 и 0,834. 256. а) 1,90502; б) 1,21836. 257.
а)	0,905;	б) 3,046; в)	3.968;	г) 1,748.	258.	а)	19,6; б) gt; в) 72g ж 4,43;
г)	-fiSg.	259. а) 0,005;	б)	0,0007.	260.	а)	±; А_; 262. а) -2;
в)	—1	263. а) —в)	0. 264.	a)	lim	Cf (х)= lim С-lim f (х)=С-Л;
б) lim (f (x)-g (x))=lim (f «+(-!)•£ (x))=lim f (x)+lim ((-l)-g (х))=Д +
ж-*а	ж-»-а	x->a	x-*a
4-(— 1) lim g(x)=4 4-(— 1)-B = 4 — B. 266. У к а з а и и е. а) Примените правило
х-*а
о пределе произведения; б) примените результат упражнения 264, а; в) при-
мените правило вычисления предела суммы и результат задачи б; г) примените
правило о пределе частного. 267. а) 3,2; 0,4; в) 0,2. 268. а) 0,5; 2,25; б) 0,15;
302
и^г) —0,2; 1.М. 209. .) -А-д; 0) -i; .) »•,; г) 270.
а) — ЗДх; б) 	в) 6х0Дх4-3 (Дх)2; г) Дх ( — 2 — 2х0 — Дх).
уХо 4~ Дх4-уХо
271. а) хо4-2хоДх-|-(Дх)2; 2хоДх4-(Дх)2; 2хо4-Дх; б) вХо + аДх + b; аЛх; а; г) х?4-
+Зх?Дх+Зхо(Дх)2+(Дх)3; Зх2Дх4-Зх0(Дх)24-(Дх)3; Зх§4-ЗхоДх4-(Дх)2. 272. а) 2,1;
б) 1,9; в) 2,001; г) 1,9999. 273. а) 12,61; б) 12,0601; в) 12,006001; г) 12,00060001.
275. б) Убывает на всей числовой прямой; г) возрастает на ( — оо; 0],
убывает на [0; оо). 277. а) 2; в) 2. 278. б) 1; г) 2х0—1. 282. а) а; а; б) — 1;
1	1	2
. 283. г) —284. б) 2; г)-----т. 285. а) —2; в) 2x4-2. 286. a) 2ax-R;
16	2ух	х
в) Зх2—Г, г) —у. 288. а) 10х9; в) -у. 289.
в)------Цт. 291. а) 7хв—6х—1; в) 12х5+Л- 292. а)
4х-\/х	х
, 7	3 г ч 3	.3
+р-т^; в)
в) 0. 294. a)
5хд/х ллл
—1- 296-
г)	5
’	4(1-Н)2-
4
х5"’
1	4
в)----Г; 290. а) — ;
х	ух
35х4+4--. 6) 4+
ух °
293’ а) (3 —5х/;
i±J. 295. a)	в)-----5-4-4х-
2х-у/х	0 +х )	2л/х
297. а) б) _5; в)
2
---Т=г- 299. а) [ —3;3]; в) (-2; 2).
2-yJx 2-у/х	)
а) —3; в) 2х —3.
298. б) -19; г)
300. а) [0; 4]; в) (-оо ; 2)U(2; 3]. 301. а) 2-д/^-х; б) л/2-х-х2; в) 2-
г) 2-ГХ\Х^' д)	е> 303- а> /W=^. в) f(x)=
\Х о)	1 X X	’X — О	X — 3
1	г —2	1
=—; д) f(x)=^-. 304. а) 28(2х-7)13; в) — 21 (7х—1)“4. 305. а)	;
*	3	4	9	^* + 3
в) ——==•. 306. а)	в) -—^==. 307. а) 65 (5х-2)’2-60 (3x4-7)19;
2/5?^	V4P-1	-\/9х2—16
3 4х	I	х	1
в)	...........; г) , —.—л---------. 308. а) — cos х; в) cos х —sin х.
д/бх—^8 д/4х-3	79 + 2^ 2д/0,5х2-2	3
9
309. а) 3 cos Зх; в) 10cos2x. 310. а) — 2 sin 2х; в) 2 sin 4х. 311. а) -
cos 2х
1	х 5	2	1 х .1.x
; в)------- . 313. а) —у cos у : в) у sin у.
Sin2y
3	315. а) ±4+2л*- б) sinx=-l-,
о	2
в) -----. 312. а) ---
2 х	sin2 5х
cos —
О
314. а) 2 cos (2x+-j); в)
т. е. х=4-4-2я£ или х — ^4-2л&, k£Z; в) tgx=l, т. е. х=4 + ^, k^Z\
о	о	4
г)	k^Z. 316. a) sinx4-xcosx; в) 2 sin х cos x = sin 2х; д) 0.
317. а) 3 cos Зх; в) —sin t. 318. а) /?; в) (— оо; 2) и (2; оо). 319. а) (— оо; 1 )(J
U (2; 3); в) (-оо; -3) U (1;2) U(4; оо). 320. а) (-оо; 1] U [4; оо); в) [-3; - 1]U
U[l; 3]. 321. а) х=-1, х> 1; б) х<-1, 3<х<7; в) (-оо; -1) (J [1-^; 0) U
и (1; 1 +т/2]; г) (-оо; -2) (J (2; 3). 322. а) -6; в) 1. 323. а) -у в точке (1; 0),
~ в точке (2; 0). 324. а) 45°. 325. в) у=— Зх— 6 и у=— 3x4-6; г) </=0,25x4-1.
303
326. a) 0,02; б) 0,02; в) 0,48-Д; г) у-0,01 «0,8560. 327. а) 1,002; б) 0,997;
в) 5,1; г) 3,98. 328. а) 1,2; в) 1,06; г) 350-0,95. 329. а) 0,94; б) 1,08; в) 1,0006;
г) 0,98. 330. а) ^.+^.«0.5151; в) 1-^^0,4849. 331. а) ± +
4—«0,6006; в) 1 —-^-«0,9651. 332. 6,4 км/ч. 333. (6/ —4) рад/с; 20 рад/с.
135	90
2	1	1
334. 1) 2,8 рад/с; 2) бу с. 335. 12/ см/с; а) с; б) у с. 336. а) 0,04 Н.
337. а) 65 г/см; б) 125 г/см. 340. а) 6 с; б) 18 м/с. 341. 0<1<1 342. а) Возра-
О
стает на R\ в) возрастает на R. 343. а) Убывает на (—оо;0) и на (0; оо);
в) возрастает на (-—оо;3) и на (3; оо). 344. а) Убывает на (— оо; 0], возрастает
на [0; оо); в) убывает на ( — оо; 0,3], возрастает на [0,3; оо). 345. а) Возрастает на
(—оо; —3] и на [3; оо), убывает на [ — 3; 3]; б) возрастает на (—:оо;0] и на
[2; оо), убывает на [0; 2]; в) возрастает на (—оо; —3] и на [1; оо), убывает на
[—3; 1]; г) убывает на (—оо; оо). 346. а) Критических точек нет; в) минимум
в точке 3. 347. а) Максимум в точке —3, минимум в точке 3; в) максимум
в точках — 1 и 1, минимум в точке 0. 348. а) Критических точек нет; в) х = — 1 —
точка минимума; х=1—точка максимума, любое х из объединения проме-
жутков (— оо; — 1) и (1; оо) — критическая точка, являющаяся одновременно
и точкой минимума, и точкой максимума. 349. а) Убывает на промежутке
/31	гз \	3
( —-оо; —I;	возрастает на промежутке I—; оо) ; минимум в точке у,
в) возрастает на промежутках (—оо; —-2] и [0; оо), убывает на промежутке
[—2; 0]; максимум в точке —2, минимум в точке 0. 350. а) Убывает на проме-
жутках — °о, и оо^ , критических точек нет; в) убывает на проме-
жутках (— оо;0) и [3,2; оо), возрастает на промежутке (0; 3,2]; максимум в точке
3,2. 351. а) Возрастает на (—оо; оо); б) возрастает на [0; 8] и на [12; оо),
убывает на v—оо,0) и на [8; 12]; х = 0 и х= 12 —точки минимума, х = 8 —
точка максимума; в) график функции приведен на рисунке 224; г) возрастает
на (—оо, 0] и на [2; оо), убывает на [0; 1) и на (1; 2]; х = 0—точка максимума,
х=2 — точка минимума. 352. б) Возрастает на (—оо;2,5], убывает на [2,5; оо);
х=2,5— точка максимума. 353. г) Убывает на ( — оо; —— I,возрастает на —5-; оо );
|	х		I о /
х=—5-------точка минимума. 354. а) Убывает на (—оо; —1] и на [1, оо), возра-
о
стает на [— 1; 1]; х—— 1—точка минимума, х=1— точка максимума;
б) график функции изображен на рисунке 225; в) возрастает на (—оо; оо).
355. а) График функции изображен на рисунке 226; г) возрастает на (— оо; оо).
356. а) График функции изображен
убывает на (— оо; — 1] и на [3; оо);
на рисунке 227; б) возрастает на [— 1; 3],
х — __ 1 — точка минимума, х = 3 — точка
максимума, график функции изобра-
жен на рисунке 228; в) возрастает на
/	41	Г 4	1
( — оо; — , убывает на I —; 21 ;
4
х=—-----точка максимума; г) возра-
стает на
4 1
1; —g- и на [0; оо), убы-
4 о1	4
— ; 0 ; х — —=-------точка
5	J	5
вает на
максимума, х = 0 — точка минимума.
357. а) (—1;2); в) 0 . 358. a) R\
в) — 3; —— . 359. а) Убывает на
304
(— oo; oo); б) возрастает на ( — oo; oo). 360. а) Воз-
[л , 2nk л , 2n,k~
—6"^—з“;	—Г" *
[л , 2nk л . 2л&‘
~6~ —3~’ ~2 —3~ ’
л 2nk
kgZ; x=— H—5—, k£Z,— точки максимума, x —
6	3
=—— _|—k^Z,— точки минимума, в) убы-
6	3
вает на промежутках —— 4—4-—
[Зл
——4-2л&;
-~4-2л£ , k£Zt убывает на промежутках £-^-4-2л&;
^?4-2л£ , k£Z; x=~ + 2nk, k£Zt— точки макси-
4 J	4
Зл
мума, х =—— 4~2л&, k^Z,— точки минимума;
в) возрастает на промежутках	—^-4-2л&;
-^-4-2л^ ; £—•~4«2л6;—4- 2л&] , k£Z, убы-
вает на промежутках £—^-4-2л&; —^-4-2л^ ,
£-—4-2лk\ ^?4-2лб| , k£Z\ х=-^--|-лп, n^Z,— точ-
ки максимума, х =—~4~2лk и х— — ^?4~2л/г,
о	о
k£Z,— точки минимума. 362. б) Указание.
f'(x)=cosx—2<0для любогохСЯ 363. a) min f (х) =
=f (—!) = /(!)= — 16;	^max^ f (x)==f (0)= —-9;
6) min f (x) = f (2) = —25; max f (x) — f (3) —0. 364. 1 c,
[0; 3]	[0; 3]
7 м/с. 365. Указание. Докажите, что
S2=h3 (2/? — h), где h — высота треугольника, a R — радиус описанного круга.
Далее можно искать максимум функции S (Л), но вычисления проще, если
воспользоваться тем, что площадь максимальна; когда ее квадрат максимален,
и искать максимум квадрата площади. 367. Слагаемые должны быть равными.
368. 15 см — высота, а 30 см — длина стороны основания бака. Указание.
Выразите полную поверхность S бака через а и V (V — объем) и найдите
9 4V
наименьшее значение функции S(a) = a +“- 369. В точку, удаленную на 3 км
от населенного пункта и на 12 км от ближайшей к буровой точки шоссе.
371. а) х"=—4х; в) х"=-9х. 372. а) Л =0,8;	в) А=2>
Z	о
5л
<р=—; (о=1. 373. Общий вид решений: а) £/=Л cos (5/4-ф); в) у=А cos (0,5/4-ф)-
374. а) 6х2+6х—2; в) -2. 375. б) -1; г) /6+/4-/2-1. 378. а)
(1	32)
•> ->	- •>	•> 4;
4^- - - & '>	-2",+6:/’2“±”
б) —:l, J6 25 Г) — ?2 —383. а) 12х3 —12х2 + 12x4-4; б) Засх2 +
' ххх	о v
+2(ad + 6c)x+(ae + M); в) 6х-8; -8; 4; г) 150s/4 4~ 12у; 0; 138. 384.
,	2	1  .1 4<3-3<2 + 2< . 12	/ 1 1 \
3 (2 + х2)т/2+Р ’	д/3^2х’	2-^4-*3 + *2-1 ’ -ЛТ ’ X 4 ’ 2/
387. Возрастает на (—оо; —1) и на (—1; оо). 388. Возрастает на
[ — 0,75; оо), убывает на (— оо; —0,75]. 389. Возрастает на £—^-; оо^, убывает
на - оо; —390. Возрастает на (—оо; — 2] и на [1; оо), убывает на
[—2; 1]. 391. Возрастает на |^~; оо^, убывает на oo;-i-j. ^92. Возрастает
на ( — оо; — 1] и на [Г, оо), убывает на { — 1; 0) и на (0; 1]. 393. t—0 — точка мак-
симума; возрастает на (—оо;0], убывает на [0; оо). 394. Возрастает на [1; оо),
убывает на ( — оо; — 1]; экстремумов нет. 395. х = 0—точка максимума;
возрастает на [—|г|;0], убывает на [0; |г|]. 398. График изображен на ри-
сунке 229. 403. График изображен на рисунке 230. 406. а) а<0;
6>0; с>0; D<0; в) а<0; 5<0; с<0; D>0. 407. а) [—Ь;1|;
в) 1. 408. а) оо; ——т]и [т; *] 409‘
4
а)	х = 0— точка максимума, х=“д-------точка минимума; возрастает на
i; б) х = 0— точка максимума,
1 л]	Г1	\	л
— ; 0 и на I— ; оо 1, убывает
-Л J	Ц/2	/
; в) график изображен на рисунке 231; г) функ-
410. a) max g (x) = g (0) = 3; min g (x) = g ( —1)= — 1;
[-1;И	[-НИ
min g (x) = g (2)= — 1. 411. a) min h (x) = h (— 1)= — 9;
(1;3]
(— oo; 0] и на ["д’» 00 у» убывает на |0;
1
х= ±—— точки минимума; возрастает на
л/2
( 1 1
на I — оо;------ и на
X л/SJ
ция возрастает на R.
б)	maxg(x)=g(3)=3;
11; 3]	...	.
max h (x) = h (0) = 2; 6) min h (x) = h (3)= — 25; max ft (x) = ft (1)= — 5. 412. Cto-
[—1;1]	[l;3]	[1;3]
рона, лежащая на диаметре, в 2 раза больше другой стороны. 413. 1 :-у2.
414. Прямоугольник должен быть квадратом. 415. Равносторонний. 416.
а) 10 = 54-5; б) 8 = 44-4. 417. 4 см. 418. —0,5. 419. К точке отрезка АВ,
удаленной от В на 1 км. 420. Решение. S = 2nr2 -j-2nrh. Из формулы
У = лг2/г выразим ft и подставим полученное значение в выражение для 8.
306
2У	2V
Получим: S (r) = 2nr* 2-|-—. Приравнивая S' (г) = 4лг —р- нулю, получаем:
V — 2лг3, т. е. г3 = 8. Убеждаемся, что точка г—2 — точка минимума функции
4/
S(r). Далее, У = 2лг3 = лг2Л, откуда h = 2r. 421. |У| = 1,5 м/с. 422. - ...-	м/с;
100	л/25— 4/
м/с2. 423. 1) 360 г; 5х г/см; 2) 0; 60 г/см. 425. Зл рад/с. 426. а) 45 м;
•7(25 — 4/)
б) 4 с; 90 м. 427. 0,04 л см2/с. 428. —м/мин. 429. Квадрат.
Глава III
434. а) 2.5х+С; в) ^г + С. 435. а) —cosx+C; в) —i-cos5x + C. 437. а) ^--3;
4	5	4
5) tgx—1; в) — cosx-f-4; г) -2x4-11. 438. а)	Ф sin х— 1;
2 г-	г-	х3	1
в) -«• xV* — 8; г) 2-^х. 439. а) -=—9; б)-2; в) —-cosx-|-6; г) tgx—2.
о	ох
II*	307
440. a) ~x+C; 6) -_L+4coSx + C; в) ^f+bx+C-, r) ^+b-£+cx + C.
441. a) x- — sin3x + C; 6) --Ictg3z + C; в) -|-tg5x + C; r) -2lcoSy +
+^-tg4x + C. 442. a) 1.^3^2 + C-, 6) 5t/2x+7-|-C; b) ~5 (5/~'7)z + C;
r) -y (ll-3x)6 + C. 443. 1)	2) 0; 3)	. 444. 122,375 m; 9,77 м/с2.
445. 8Я+ф; Я+-|-. 446. a) x (l) = Z2-y+y +1; 6) x (Z) = 5/+y-2;
в) x (7)=3 —2 sin/; r) x (/)= —3 cos /5/4-12. 447. a) 9; 6) 1; в) 2;
1	4	2
г) —. 448. a) —; 6) 2—. Указание. В качестве первообразной удобно
&	о	о
взять функцию —; в) 28-^-; г) . 449. а) ; б) 1; в) 1; г) 0.
о	о	4	о
450. a) ; б) —2,5; в) 1,5; г) -2. 451. а) 0,9; б) 2; в) 2; г) 0,4. 452. а) 20;
л/5
б) 4-1 в) 4,5; г) 2. 453. а) 14“’, б) ~. Решение. Из уравнения х2=х3
5	о 12
находим абсциссы точек пересечения графиков функций у=х2 и y=x3't~ это
х = 0 и х=1. Искомая площадь равна (рис. 232) S = J x2dx — ^ x3dx =
X3 11 X4 11	1	1	1	1
=—I—- I =—----------=—;	в) 1; г)	—.	454. Рассмотрим криволинейную
3 10	4 10	3	4	12	о
трапецию, ограниченную линиями у=— f (х\ # = 0, х — а и х = Ь (рис. 233).
Эта криволинейная трапеция симметрична исходной трапеции, поэтому ее пло-
щадь равна площади исходной трапеции, а так как — f (х) непрерывная не-
ft	ft	ft
отрицательная функция, то S — $ ( — f (х)) dx, откуда S = — J f (х) dx, т. е. ] f (х) dx =
ь	а	ь а	а
= -S. 455. Jf(x)dx = F (&)-/• (а) и \j(x)dx+\j(x)dx=F(c)-F(a)+F(b)-
—F(c) = F(b) — F(a). 457. ($ f (/) dt} ={F (x)-F (a})’ = F' (x)-Q=f (x). 458. Дей-
/	a	!p
ствительно, xz (/)=(xo + J v (w) du)’~ 0 4- v (f) (cm. № 457) их(О)=хо-Н v(u)du =
t0	'o
. л	ч 28л _ 16л л 15л л . 50л	.	.2л
=хо4-О=хо. 460. a) -jy ;б) — ; в) у; г) —. 461. а) у ; б) 11л; в) ;
r) .1. 462. ^(ЗЯ-Я). 463. ^/?’(l-cos-0. 464. ±nH (/?2 + /?r+r2).
465. a) 7x-2x2 + C; б) 4г + 2х2-7х + С; r) -10 cos 4+4- sin 6x + C.
о	о 2.
466. a) - 4 (3 + 2x)-3 + C; 6)	-Зх+С; в) l,5x2-4-tg8x + C;
о	о	4
Г)----4-o—Tctg3x + C- 467- a) 2-^/x —5; 6) —!—2; в) -2->/3^+9;
X ~г О О	X
,/q	710—1
г) tgx-3. 468. На 10; первый. 469. а) 3; б) 4 ; в) Э^З; г) 2^/3. 470. а)
.	2	2	2	20
«> + .>Г) ±.&
+	->-|г,Й4>-Н:--т(т-1)-
I
м
t
11
ii
f
и
fl
i
I
3/1	\	1
—^4 ——1)=—. 471. а) л; б) л. Указание. Воспользуйтесь формулой
8 ' У 1 С S 2	2Я	2л
cos2nx=----2°1_пх ; в) 0. Решение. J sin Зхcos 5xdx= — J (sin 8x — sin2x)dx—
2	0	о
1/1	1 \l2r 1 /	1	1 /	\
= 2\ "" 8" cos 8x + y cos 2x/l о ="2\ —8~(C0S 16jt~cos	cos 4л—cosO ) =
=-y (0 —0)==0; г) л при k — m, 0 при k^=m. Указание, sin kx sin mx —
=-i-(cos (k — m) x — cos (&4-/n) x) (при k = m это выражение равно -cos 2kx).
472. a) 2; 6)
графиков из
473. a) 1;
475. а) Пусть F (x) — первообразная для f (x), G (x) — первообразная для g (x).
b
Тогда F (x)4- G (x) — первообразная для f (x) + g (x). Поэтому J (f (x) + g (x)) dx =
a
=(F(x) + G(x))|;=F(6)+G(6)-F(a)-G(a)=f(6)-F(a) + G (6) - G(a)=
=\f (x)dx+Jg(x)dx; в)	(fex + c) dx=4- F (fex + c) I = F (kb + c) —
a	a	a	К	•	К
1	1	I kb+c i kb + c
—— F(ka-]-c)=~-F(t)\ ka+c=~- \ f (/) di. 476. По формуле Ньютона — Лейб-
я	/г	। /г kaJ+c

................ 1 1 _ ч
' .	, , . .	. .	.	2----2~ vv° <ьл'лу’
0,8; в) —. Указание. Найдите абсциссы точек пересечения
2 4	2
уравнения —^ — 7 — Зх, откуда Xi = 1, хг = 2, х3=—— ; г) 4,5.
б) 4,1
4
2
3 ’ '
9 . , в) 9. 474. а) б> 48-4л> в) ~7'< г> 4-
£П “р 1	и	i	и
ница все эти интегралы равны F (b) — F (а), где F — первообразная для функции f.
2л
477. а) — ; б) — ; в) -г= ; г) 2л2а26. 478. в) При х#=0 равенство F' (x) = f (х) прове-
Z 4	10
ряется легко; при х = 0 имеем: F' (0)= lim	= lim |х| — |0| =f (0). 479.
х-»о х х_>о
F	F /д\
а) По формуле Лагранжа —------------^- = F'(c)^0, так как с^\а\ Ь), поэтому
о —а
F (b) — F(a)^0, т. е. Jf(x)dx^O; б) воспользуйтесь результатом предыдущей
а
задачи и тем, что
г	г	*
5 g (х) dx—) f (х) dx = \(g (x)—f (х)) dx;
309
в) так как (F (х4- Т) — F (x)J' = f (х + Т) — f (х) = 0, то по признаку постоянства
функции F (х4-7’) — F (х)=С; для определения постоянной С подставим в это
т
равенство х=0; получим. G—F (04-Г)—F (0)=J f (у) dy\ таким образом, для лю-
о
т
бого X верно равенство F (х4-7’) —F (x) = J f (у) dy, в частности при х=а получаем:
о
e + г	т
F(a + T)-F(a}= J f (у) dy=\ f (у) dy.
а	•
480. a) (F (х) — F ( — x))' = f (х) — f ( — х) ( — l)=f (x)—f (х) = 0, поэтому F (х) —
— Г( —х) = С. Подставляя х = 0, находим: С = 0. Итак, F (a) — F ( — а) — 0, т. е.
а
J f (х) dx-О', б) указание. Покажите, воспользовавшись признаком постоян-
ства функции, что F (x)+F (—х}=С, причем C = F (ty+F ( — 0) — 2F (0) и, следо-
вательно, F (х) — F (—х) = 2 (Г (х) — F (0)) для любого х, в том числе и для х = а;
в) указание. Воспользуйтесь результатом задачи 479 б) и неравенствами
f(x)<|f(x)| и — f (x}^|f (х)|.
Глава IV
482. а), в) Да; б), г) нет. 483. а) 3; в)	3; д) -у	; ж) у. 484. а) 11; в) -729;
д)	21. 485. а) 10; в) 6;	д) 6; ж) 10. 486. а) 3; в)	3; д) 3;	ж) 2. 487.	а) 2; б) 1;
Q
в) 1,25; г) —	488.	а) 8,4261; б)	3,6346; в)	2,2240;	г) 2,1666;	д) 1,2936;
е)	1,3780; ж) 1,4678; з)	1,3375. 489. а)	Второе; в)	первое;	д) первое;	ж) второе.
490.	а) Первое больше; в) первое больше; д) первое больше; ж) первое меньше.
491.	а) 2,64; в) 1,70. 492. а) 2^/а; в) аЦс; д) 2Ь^2Ь; ж) -2atf&-, з) a3\c\tf>tF.
493. а) У12; в) V2; д) У^®-; ж) УйФ; з) 494. а) -|-УЗ; в) У7;
О
д) у V108; Ж) 2А/250. 495. a) ‘V7; в) ’У?; д) <5. 496. а) V?; в) ±У10; д) УЗ;
ж) ±2. 497. а) ±у; в) ±2. 498. а) 25; в) 0. 499. а) 1; 16; б) 1; в) 64; 729;
г) 46 656. 500. а) (—оо;У5); в) [УГГ; оо); д) (8; оо); ж) [0; 81]. 501. а) а<0;
в), г) при всех а; е) при а = 0. 502. а) а; б) V—а; г) —а; е) |а|; з) 2а. 503. а) 2;
в) 3; г) -4. 504. а) УЗ-л/2; в)	’ д) ~(У9+Уб+У4);
ж)	2(g2+^^+Wr) 505 aj _2. 2. в) 8. г) л 506 а) 3. б) 0. 0>4. ву 10. г) 5
507. а) 3; б) 0; в) 0; г) 2. 508. а) (2; -1), (-1;2); б) (-2; 3), (2; -3);
в) (4;1), (у; 4); О (3; 1), (1;3), (-
(9; 1); б) (1; 64), (64; 1); в) (12; 4),
»	511. 3) (32а)’; .)	; А)
3,-1), (—1;—3). 509. а) (1;9),
а) 11 2; в) 3’; д) 53; ж) 2~3;
13	2	2
; ж) а^; з) а \ 512. a)
310
9	1	г- 4
д) §2§; ж) ; з) т. 514. а) 4^3; в) - ;
г) А. 515. а) Второе; в) равны; д) первое; е) вто-
рое. 516. а), б), в), д) Имеют; г), е) нет.
517. а) [0; оо); в) [1; оо); г) (—1; оо). 518. а) а>6;
б) а^О; в) а=0; г) а^О; е) о=#0. 519. а) 12;
в) 1,9. 520. а)	б) ‘V32; в) Ц; г) 2VI8.
521. а) а05-*05; б) +—; в) а 3-Н 3;
I
г) z* -2. 522. а)
х г +4
л/*+1	, ч
-7=—-I б) х+у; в)
ух — 1
X 6 у 12
г) Va. 523. а) л/3(7з+1);
1 1
в) -Ja 1); д) У?(т/3—>/5); ж) (V^+V*) (л/а+ 1); з) (х 3 -1)(«/3 — 1). 524. а) Гра-
фик изображен на рисунке 234. 525. а) 1; б) 81; г) 54; е) ^3; з) -у. 526. а) Второе;
в) первое. 527. а) а; в) а1,3; д) а2; ж) а^+1; з) |хп —г/я|. 528. а) (0; оо); в) 1;
е) (0; !]; з) (-оо; 2). 529. г) 53,9510 и 53,9634; 10^ «53,96. 530. а) 3; в) —0,5;
д) 6; ж) -0,5. 531. а) 0; в)	; д) 4; ж) -4. 532. а) 2; в)	; д) -2; 3;
ж)	533. а) 3;в) 1. 534. а) 1; 2; в) 2. 535. а) (-1; оо); в) (-оо;2);
д) (—оо;2); ж) (0; оо). 536. а) [О; оо); в) (—оо; —1); д) (0; оо); ж) (—оо; — 1).
537. а) (—2; 3); в) (—оо; —2](J[3; оо); д) (—0,5; оо); ж) (А; оо) .
538. а) (1;3); в) (1; оо). 539. а) (-оо; -3)U(1; оо); в) (-оо; -7,5)U(-0,5; оо).
540. a) g(x)=x—-L; Е (g)—D (g)=R; д) g(x)= —-; £(g)=P(g)=(-~J 0)U
£	X
U(0; оо); ж) g(x)=-y/y; £ (g)=D (g)=[0; oo).
544. a) 2; в) 4; д) —3; ж) 0. 545. a) log,e2=-J-;
4
12	3
в) log49 7=-—; д) log27 9=—ж) logei 27=—.
z	о	4
548. a) 7; в) 11. 549. a) 25; в) A; д) 8; ж) 216.
8 ГТ
550. a) 3; в) 2. 551. а) ~y у; в) 9. 552. а) 4;
в) 729. 553. а) (5; оо); в) (—1,5; оо); д) (—3; 3);
ж) (-2; 3). 554. а) (-1; 2); в) ( —1<; А).
555. г) График изображен на рисунке 235.
556. а) 2а + Ь; б) Ь — а; в) За+ 26; г) 1+а + 6.
557. а) 2+4 log3 |а|+-^-log3 6; в) ~log3a +
2	°	1 b
+тт1обз6; г) — 2 logs \а\ +-K-log3 b.
1э	о
2	11	1
558. а) —3—9- 1g с—g- 1g <*; в) 1 +у lgp-lgg.
559. а) 1; в) 4; г)3; д) -1; ж) 2. 561. а) 12;
в) 3. 562. а) 2; в) 2. 563. а) Первое; в) второе.
311
564. a) 1 4 logs 5 «3,3219; в) logs 0,7®—0,1623; д) 9; ж) 0,01. 565. a) 2; в) 6,5.
566. a) ?—*?g3 7® 0,046; 6) 4 — logo.2 3®4,683; в) ±Vlogs 7; ^logs 7® 1,100.
567. a) (9; oo); в) (0; 0,16807); г) (25; oo). 568. a) (—oo; xo), xo = logs 5® 1,465;
6) (x0; oo), xo = logos 11 ® — 10,746; в) (x0; oo), xo = '°g'7^7^~ * ® 2,334;
r) (x0; oo), x0 = 2-logo.3 12®4,064. 569. 6) (—3; 1); г) (0, 1). 570. a) (0;
0,001)U(10; oo); в) (—oo; 1]. 571. a) logs 5; в) logz 10. 572. a) -i- lg a — lg 6;
; ж) — In 1,7-1,7 4. 582. a) 2х (In 2 cos x-
6" (In 3-In 2) + 15х (In 3-In 5)
(2^ + 57
в) 3A/2 1ga+-|-lg*. 573. a) 15; в) А; д) 10; 0,1; ж) 25; 0,2. 574. a) 100; 0,01;
в) 8; 0,5. 575. a) 100; 10s; в) 2. 576. a) (2; 5); (5; 2); в) (6; 8); (8; 6).
577. a) (1; 2); (2; 1); в) (4,5; 0,5). 578. a) (27; 4);	-з) ; в) (16; 20).
\81	/
579. a) f-^-4-nZr, 4г + 2л/^ ; Г~4-лЛ; 2л/—; k, l£.Z\ в) лб-f-л/; -?• —
-л£4-лЛ ; f-4 + лб + л/; —£-л* + л/\ kt l£Z. 580. а) 1,0986; в) 3,8501.
/	\ О	х О	/	X
'	'	2	1	~	1	~
581. а) Зе3х; в) 2хех ; д) уе 2 — 273е9,х;	— In 1 7.1 7 4 5R2 яЪ 9х Лп 2 гоя г —
— sinx); в) (Зх2 —х3)е-х; д)
з)	—^5 *п 9*9+^* 1п в’З+J) 583. а) возрастает на промежутке ( — оо; 1],
2-у/х (пД + О.б)2
убывает на промежутке [1; оо); б) убывает на промежутке (—оо; —0,2], воз-
растает на промежутке [ — 0,2; оо); в) убывает на промежутках (—оо; 0] и
Г1^2^ ’ °°) ’ В03Растает на промежутке £();	'» г) убывает на промежутках
[4	\	г 4 1
~I~q у» 00 ) • возрастает на промежутке 0; —)п'о 7~ * в
4	/	4	\
точке 0 функция имеет минимум, в точке — —?-максимум 1 ~~in(j~7~ >211.
584. а) У=х+1; б) У = 3+3 In 3 (х-1). 585. а) 2^+С; б) 7е’ + С-, г)
-И®+С; «> 4'+С; *>	” й“2да5; > &
«2,705. 587. а) е-1® 1,718; в) £-е+1» 1,476. 588. а) -1 ’ в) /o-uJLn ? ;
Z	Z	A	“Г ол ) ш /
«>	- >	3,'!+:;;zqr5+34
’ тЙо-¥ г> 2'g^'ex- ио- •> »—> »-
(х—9). 591. а) Убывает на промежутке (0; е~1 ],
возрастает на промежутке [е“‘; оо), в точке е~1
функция имеет минимум; б) график функции
изображен на рисунке 236; возрастает на про-
межутках (0; е-2] и [1; оо), убывает на проме-
жутке [е-2; 1]; г) убывает на промежутках (0; 1)
и (1; е], возрастает на промежутке [е; оо), в
точке е функция имеет минимум.
592. a) In 1x4-51; в) у In |7х+П. 593. a) In 7»
«1,946; в) 0,5 In 5® 0,805. 594. a) In 3® 1,099;
в) In 5 — In 2®0,916.	595.	{' (х)=т/3х^~';
312
6) g' (х)=—Xя , график изображен на рисунке 237; в) и'(х)=—ех е ’,
график изображен на рисунке 238; г) у'(х) = 0,1х °-9. 599. а) -^х3,7-|>С;
3 In Iх| 4-С. 600. a)—J—=л/2-1;в) 5; г) In 2 +^- (л/З -1)
604.;—. 605. 9 мин. 606. t =т!—»3,322 ч. 607.	«0,6395. 608. Ре-
Inm — Inn	1g 2
„ е,	~	,, , ч f (х 4- Дх) — f (х)
шение.	Пусть	f'(O)=a.	Тогда	f'(х)= lim---------------=
Лх->0	АХ
= Пт f W I	f (0)=f (x) Um -'AX\~ --- = / (x) f' (0)=a f (x). Поэтому
Дх-»-0	&x	Ax->0	^x
f(x)=Ceax, где C — некоторая постоянная. Далее, f (0) = Cefl’° = С и, сле-
довательно, C2 = C«C = f (0)-f (0) = f (O-j-O) = C, т. e. С =C, откуда C = 0
или C—\. Итак, f(x) = eax или f (x) = 0. Проверкой убеждаемся, что для
функций у = еах и £/ = 0 при любых Xi и х2 выпол-
няется равенство f (xi +x2) = f (xi) f (x2). 609.-^Ц^«
10 1г 2	g ,b
«14,75 (мин). 610. -^-«31,06 (мин). 611.
lg 1,25
500e «3,37 (м/мин). 612. График изображен
на рисунке 239.	614. a) logs 7« 1,7712;
г> niA'l^n^--0'2849-615- а) 3; б) ~е;
6 1g 5-|- 1g 0,3
в) -1; 2; г) -5; 2. 616. а) 0,5; б) In 3« 1,0986;
г) 5~74з10?2.?» —2,076. 617. б) 7; г) у. 618.
б) 0,09; в) 5; г) -^2. 619. a) (-l)‘y+nfe, fegZ;
б) 3; в) 0,5; г) 4. 620. a) nk, k£Z-, б) ±4 + 2nfe,
k£Z\ в) 0; г) log2,5 2«0,7565. 621. a) logu2«
«0,2891; б) - ^7ga? 622. а) (1; 3); б) (0; 0,5) U
U(l; 1,5); в) (1; оо); г) (1; 2). 623. а) (е2; оо);
в) (0; е”3). 624. а) (— оо; 0]; в) (—• оо; 2).
313
625. a) (x0; oo), x0=-—-0,5557;
г) (0; to). 627. a) -y/Ofi-, 6) 4; в) 3; г) 1,5; 3.
628. a) 13; б) 3; в) 6; г) 0,01; 0,001.
ol
629.	a) 0,25; 4; 6) -y 27; в) 0,1; 100; г) 0,2; 125.
О
630.	a) 2; б) у; 7; в) 7; г) -/10; 100.
631.	а) (—оо; 1); в) (1; оо). 632. а) (2,8; 3);
б) (-0,5; —0,255); в) (0,382; 0,4); г) (—оо; -32). 633. а) (1; оо); б) (0; 1);
в) (1; оо); г) (0; 1). 634. а) (-1;3); б) (e"'; е2); в) (0; 0,l)U(l; 100); г) (1-^5; -1)(J
(J(2; 1 +л/5). 635. а) (1; оо); в) (-оо; 4). 636. а) (-оо; - 1)(J(3; оо); б) (-2; 3);
(5	\
—у; 2}; б) объединение всех
промежутков вида (2л&; л4-2л£), k£Z\ в) объединение всех промежутков вида
( -у + 2лй; y + 2nfe), k£Z; г) (-оо; 0)Щ0; оо). 638. а) -4,6757; б) -1,5662;
в) 0,8736; г) 1,0649. 639. а) 1,112; в) 3,248;
в) второе. 641. а) 9е9*; в) — 35е“5х. 642. а)
643. a) J4!n2cosx±stax)_ _tgx
х	cos2x	3
г) 23,14. 640. а), б), г) первое;
-4 In 5-5~4х; в) —10 In 3-92~5х.
Vx	4x+sin2x
cos2 х	4х yj sjn2 х
2 3 ((х4+3) In 2—12х3)
3(х44-3)2
5 In Ч.
644. a) cosxes,nx; б) — sinxeC0SX; в)-----------%---
г)
б)
— 2 In 7-72 ctg *
sin2 х
645. а)
3x(ln31n(5x)+y) ; в)
1__. в) 41ее
х In 3 ’ ' 34-4х
х cos х In (7х) — sin х
х In* 7х
646.
О
а) Зх2 In х 4- х2;
2 V*4-6—V* In (2х)
2х(УЙ-з)*	’
2
647. a) ctg х; б) у-у; в)
0111 ZrA
3x2-V*4-2	lg е (3 cos 3x4-2х In 2)
Л^(х34-4^4-5)1п И ’ Г sin 3x4-2х
648. а) # = 2x4-1; б) у= 10 (In 10-х4-1 —In 10); в) #=2х— 1; г) #=3х lg е — 1g е.
649. а) Убывает на промежутке (0; 1], возрастает на промежутке [1; оо); б) воз-
растает на промежутках £—^4-2л/г; ^-|-2л&|, k£Z, убывает на
т+2я4
промежутках
у|
е2
1
1
1
у=-----—
7 1пХ~1
k£Z\
в точках
Зл
—4-2 л/г > k£Z, функция имеет
в точках —^-4-2л&, k£Z — минимумы; г) воз-
максимумы,
е
е2
х
Рис. 240.
л , n L	..........
--1—rw у» »	m<*i444xu j	a j	*
растает на промежутках (0; 4 1п2] и [1; оо),
_______________________________1 __________1
убывает на промежутке [4 ,n2; 1J (4 1п2«
«0,1353). 650. а) Убывает на промежут-
ках (0; е"1] и [е; оо)» возрастает на про-
межутке, [е”1; е} б) возрастает на проме-
жутках £—-^4-л 6; —^-4-л/г) и —g-4-л/г;
—убывает на промежутках
£—^-4-яЛ; -j-4-nfc|, k£Z\ функция имеет мак-
симумы в точках —^6^» минимумы в точках -j-4-^fe»
в) убывает на промежутках (0; 1] и [е2; оо), возрастает на промежутке
[1; е2]; в точке 1 функция имеет минимум, в точке е2 — максимум; г) воз-
растает на промежутках (0; е"1] н [е; оо), убывает на промежутке а].
651. а) Убывает на промежутках (0; 1] и [4; оо), возрастает на промежутке [1; 4J
б) график функции изображен на рисунке 240; в) возрастает на промежут-
ке (— оо; 3], убывает на промежутке [3; оо); в точке 3 функция имеет максимум,
критическая точка 0 не является точкой экстремума; г) возрастает на проме-
жутках (—оо; — 1] и [0; 1], убывает на промежутках [—1; 0] и [1; оо).
652. а) 1п|х4-7|4-С; б) 0,6 1п|5х4-11 4-С; в) -2,51п13 —2х| 4-С;
ю
г) - 0,81n|7 —5х| +С. 653. а) -|-1п|х|+С; б) 0,7х7 + С; в) 10^+С;
О
r»+i	In 7
г) -^-р+С. б54- а) 1п2» 0,6931; б) -^-«0,6486; в) In 2-In 3®-0,4055;
г) 0,5 In 5® 0,8047. 655. a) In 5® 1,6094; б) 3—3 In 2® 0,9206; в) 6—21пЗ®
®3,8028; г) 4-3 In 3®0,7042.
Задачи повышенной трудности
656. Указание. Воспользуйтесь тем, что при делении на q существует в точ-
ности различных ненулевых остатков, поэтому при обращении рациональ-
ного числа ~ в бесконечную десятичную дробь остатки, а следовательно, и цифры
в частном будут повторяться с периодом не более q—\. 657. Указание.
Пусть р — остаток, начиная с которого при обращении — в бесконечную де-
сятичную дробь в частном получаются только девятки. Тогда 1 >-£-> 1 —-10_*
для любого натурального k. 658. Указание. Бесконечная периодическая де-
сятичная дробь есть сумма конечной десятичной дроби и суммы бесконечной
геометрической прогрессии со знаменателем 10*, где k — число цифр в периоде.
659. Пусть k — длина периода этой дроби. Рассмотрим k цифр, начиная с
цифры, следующей за Л-й двойкой. Все эти цифры — семерки, поэтому период
дроби должен быть равен (77...77), что неверно: в этом случае все следующие
Л цифр
цифры должны быть равны семи. 660. в) Предположим, что	, где p£Z,
р	р3
q^N, —-----несократимая дробь. Тогда 3=-^, т. е. р3 = Зр3, откуда следует,
что р делится на 3. Подставляя р = 3/и в равенство р3 = 3^3, получаем: 27/и3 = Зр3,
т. е. 9/п3 = р3. Из последнего равенства видно, что q делится на 3. Получили
противоречие: дробь — сократима на 3; д) предположим противное: lg43=-^-,
при этом так как 1g 43 > О, то можно считать, что р и q— натуральные числа.
Из равенства 1g 43=— получаем: 1О’=43, откуда 10р = 43<?, а это равенство
ложно: его левая часть делится на 5, а правая — нет. 661. а) Пусть	=
где г — рациональное число. Тогда 34-2*д/3«д/54-5==г2, откуда дД5 =—%—,
что противоречит иррациональности дТ5; в) пусть д/24-д/3-|-д/5 = г, где г ра-
ционально. Тогда д/5 = г—д/2—д/З, откуда 5 = г2 4-2 4-3 — 2гд/2 — 2гд/3-}-2л/б. Да-
лее, г2 —2гу§=2гд/2 —2д/б, поэтому г44- 12г2 — 4г3д/3 = 8г2 4-24 — \6ryfi и г4 4-4г2—
— 24 = (4г3 — 16г)д/3, что противоречит иррациональности д/3 (так как4г3— 16г =/=0).
664. Указание, а) «Избавьтесь* сначала от б) сначала умножьте
числитель и знаменатель на д/24-д/З—	в) воспользуйтесь результатом за-
315
дачи 663 г). 666. Пусть л/2, л/З и соответственно (т+ В-й, (л 4- 1)-й и (p-f- 1)-й
члены геометрической прогрессии. Тогда 2 — b2q2m, 3 = b2q, 3 — b2q2pt где 6i>0
и (?>0 — первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Отсюда по-
9	о	/л \п—р / о\ т-л
лучасм:—= (?2 ^m~n\~ = q2 (*-р\1 \ = 1 —) = q2 («-«)(п~р) и 2я-р.5т-я=
= з(л-р + гл1-п) Если q<l, то обе части этого равенства — натураль-
ные числа (так как т>л>р), причем левая часть делится на 2, а пра-
вая — нет. Получаем противоречие с теоремой о единственности разложения
натурального числа на простые множители. Если же ?>1, то предварительно
надо переписать последнее равенство в виде 2р~пЗп~т — Зр~т. 668. а) 6;
б) V3 —V?; в) 669. При достаточно больших п будут (для заданного
е>0) выполнены неравенства A — eCan<A-j-E, А— е<ся<Л4-е; но тогда
Ьп^СпСА-^е и с«>а«>Л — е, т. е. Л — е<6я<Л-|-е, откуда |6Я—Л|<е.
670. б) Выберем е>0, тогда при достаточно больших п для бесконечно малой
последовательности (ая) будет выполнено неравенство	поэтому при
тех же п имеем: 1 апап | < —= е. 671.Указание. Сначала докажите, что схо-
М
дящаяся последовательность ограничена. Далее, например, для произведения
имеем: ая = Л4-ал, &я = В-|-рл, где Л и В — пределы последовательностей ап и bnt
ая и ря — бесконечно малые последовательности, поэтому апЬп — (А 4~ая) (В-|-ря) =
= аяря4-Лря4-Вая4-ЛВ; так как последовательность аяря + Лря-Ь Вая —бесконечно
малая (см. задачи 670 а) и б)), то в силу задачи 670 в) lim (апЬп) — АВ. 674. а) 0;
оо
5
б) 4. 676. а) —; б) —2. 677. Решение. Докажем, что для произвольного е>0
найдется такой номер N, что для всех п> N будет выполнено неравенство
I Х14-х2 ... +*л л I	л 1-
	Л <е, где Л=11гпхя. Рассмотрим такой номер АД что
।	П----------I	Л—► оо
। л । е	I Xi 4“ хг 4“ ... 4- хя . I
|х* — Л|<— при я>АД Тогда при имеем: | ----------------!-----------Л| ==
= I (*|-Л) + (*2-Л)+	+(х„-Л) I < I Х!+хг+ ... 4-х^-МЛ	
I	п	1^1	п	I
е е	Xi4"*24- ••• 4-Хлг,— N\A
— <-77 . Далее, lim----------------------------------0, по-
2	2	я->оо	п
этому при n>N, где 7V:>/Vi— некоторое число, выполняется неравенство
I х,+х2+ ... +х„1-Н1А |	| х, + х2+ ... +х„	. I
--------------------- <-77. Следовательно,-------------------Л <
I	п	12	I	* 1
I Х14-Х24- ••• 4"*#! — N\A \ Е Е Е
| +"2"<"2"+"2" = е- 6?9. а) Указание. Вос-
П
п
пользуйтесь равенством sin ((& 4-1) x) = sin (&х) cos х4- sin х cos (kx). 680. б) Ука-
зание. Обозначим число з3я+2_|_24я+1 через Вп. Тогда Вл + 1 = 16ВЯ4~ 11 -З3я+2
делится на 11, если Вп делится на 11. 681. Предварительно следует показать,
что п точек, расположенных на прямой, делят ее на «4-1 частей. Далее:
1 -2
а) при л = Г утверждение справедливо, так как 14----и одна пРямая
делит плоскость на две части; б) пусть утверждение верно для n — k, т. е.
(^4~ 1)
k прямых делят плоскость не более чем на 14-------—— частей. Докажем,
что утверждение верно для «=А?4-1- Выберем одну из & 4-1 прямых и будем
ее в дальнейшем считать (&4-1)-й. В силу предположения индукции оставшиеся
k прямых разделят плоскость не более чем на 14------------ частей; (&4-1)-я
прямая пересечет некоторые из оставшихся k прямых и потому разделится
316

J
точками пересечения не более чем на (Л+0 частей. Каждая из полученных
частей прямой разобьет одну из имевшихся частей плоскости на две, т. е.
к имевшимся не более чем I4------------ частям плоскости добавится еще не
k (k 4-1)
более чем &4-1. Всего получим не более чем 14----------------------=
= I	(частей). 682. При п = I утверждение справедливо, так как
2	(П4-1)(л2_п + 6) о
одна плоскость делит пространство на две части и ------------------=2 при
л = 1. Предположим, что утверждение справедливо для n — k, и докажем его
справедливость для	Выберем одну из плоскостей и рассмотрим пря-
мые пересечения этой плоскости с остальными k плоскостями. Этих прямых
не более k, и в силу задачи 681 они делят выбранную плоскость не более
k2 + k + 2
чем на ----------
скостеи разделят пространство не более чем на ---------------- частей. Каж-
дая часть выбранной плоскости может разделить одну из имевшихся частей
J
частей. В силу предположения индукции оставшиеся k пло-
(fe + l)(fe2-fe + 6)
„	е (Л + 1)(/г2-/г+6) , k2 + k + 2
пространства на две. Всего получим не более чем ---—-----------1-----------=
(fe + 2)(fe2+fe+6)
6
(частей),
что совпадает со значением выражения
(„ + 1)(„2_п+6)
-—— —- при п=/г + 1.
6
.	J ,	1	,
k имеем:	... +
683. Указание. Для любого натурального
1	1  А,  . А _ 1
2*4-1 2ft+2^ + ‘ *"	*	2^^	2 *
k слагаемых
1
684. 0. 685. Указание. 	=———L_ , а эта функция не
х —0	х ух
имеет предела при х, стремящемся к нулю. 686. Надо соединить точку (хо; хо) с точ-
кой 0^ оси абсцисс. 687. а>0, 6>0, с<0, D>0. Если ветви параболы
направлены вверх, то я>0, если вниз, то а<0. Знак b определяется из фор-
b	о
мулы Хо="'2а» где Xq — абсцисса вершины параболы. Знак с определяется
из равенства с=у(0). Наконец, знак дискриминанта D зависит от числа общих
точек параболы и оси абсцисс: если точек пересечения две, то D>0, если
общая точка одна (т. е. парабола касается оси), то D = 0, если общих точек нет,
то/ХО. 688. (—!)’• п!(^—L^). Указание. ^=^2 =
——I— !—т-. 689. a) f (x) = b или f (х)=х; б) f (х)==х или f (x) — b — х. 690. а) х
X & X 1
при четном л, 3 — х при нечетном л, область определения — R\ б) х при четном п,
— при нечетном л, область определения (для любого п) — множество всех
отличных от нуля действительных чисел; в) х при п вида 3k, --при п вида
X— 1	х
3&4-1 и —— при п вида 3^4-2; D = оо; 1)U(1; оо) при л = 1 и D (fn) =
=(—- оо; 0)U(0; l)U(h оо) при л>2. 691. Да. 692. а) —, а=/=0; б) х или
ах I b	ах
сх~а (при —а2). 696. Указание. Докажите, что при достаточно боль-
ших х левая часть этого уравнения положительна, а при достаточно больших
по модулю отрицательных х — отрицательна. 697. Уравнение прямой, проходя-
317
щей через точку (хо; уо) параболы и имеющей угловой коэффициент k, сле-
дующее: y—yo-}-k (х—Хо), где уо=ахо 4- бхо 4- с. Абсциссы общих точек этой
прямой и параболы находятся из уравнения ox24-6x4-c = i/o4-^ (х — х0). Это урав-
нение квадратное и имеет один корень, если его дискриминант обращается
в нуль, откуда k = 2ах04- b = у'(х0). 699. Мо— «внутренность» параболы у—х2,
Mi — сама парабола, М2 — внешняя часть параболы, М* при k^3 пусто.
701. Воспользуйтесь методом математической индукции и теоремой Лагранжа
(из теоремы Лагранжа следует, что между двумя корнями многочлена имеется
корень производной этого многочлена). 702. Пусть Р (х) принимает р раз зна-
чение А, р>п. Тогда многочлен Р(х)— А имеет степень п и имеет более
п корней, что противоречит результату предыдущей задачи. 703. а) Если Р(х)=
= С, то С — корень многочлена степени не выше k, так как тогда р (x) — Cq (х)—
=0, а р (х)—Сг? (х) — многочлен степени не выше k. 704. а) Обозна-
чим через f функцию f(x)=sinx. Тогда по формуле производной обратной
функции arcsin' х=—; г =---------------;—- . Далее, так как sin (arcsin х)=
/ (arcsin х) cos (arcsin х)	v '
[л л"]	/	• \ л------э t	Г л пТ	*
—g-, ”2"J » т0 cos (arcsm х)==*у1—аг (на промежутке I —— ; — |
косинус неотрицателен). Итак, arcsin'х = —=—; б) аналогично задаче а) по-
,	1	А-*2
лучаем: arccos х —----------------—........  —	(так как на промежутке
— sin (arccos х)	_х2	3
[0; л] синус неотрицателен, то sin (arccos x)=Vl — х2); в) аналогично задаче а)
получаем: arctg' x=cos2 (arctg х). Далее, так как tg (arctg х)=х, то cos2(arctg х)=
= —„•  •—-—,-з. Окончательно получаем: arctg' х== о . 705. а) Ре-
14-tg4* (arctg х) 14->г	J	&	14-х2
ш е н и е. Обозначим arcsin х4-arccos х через w (х). Тогда и’ (х)=arcsin' x-f-
4-arccos' х=— -----------——-=0. Следовательно, ы(х)=С, где С — постоян-
-у1~ х2 V1— х2
ная. Для того чтобы найти эту постоянную, достаточно вычислить и (0).
Имеем: C = u (0) = arcsin 04-arccos 0 = 04--^-=-^-. Для окончания доказатель-
2	f(x)4-f( — x)
ства надо проверить равенство в точках х=±1. 706. f (х) = —--------------4-
f(x)_ f(—х)	2
_|_L±-Z—±2--l t первое слагаемое — четная функция, второе — нечетная.
2 1
707. а) Т>2; б) 7 = 3, Т>Т0, где То&Ь-х-; в) 7’>7’О, где То«4,4. 708. Нельзя
о
дополнить: б) до четной; а) и б) до нечетной функции. 709. а) Да (напри-
мер, функция Дирихле — значение этой функции равно 1, если х рационально^
и 0, если х иррационально); б) нет, так как в этом случае -\/2 и 1 —--д/2
должны быть периодами этой функции, а их сумма 1 — нет. 710. а) При
любом л; б) при четном и; в) таких п нет. 711. а) Указание. Значение 1
функция принимает только в одной точке — точке 0; б) указание. Значение
2 функция принимает только в одной точке — точке 0; г) указание. «Рас-
стояние» между двумя соседними нулями функции Xi—n2k2 и Х2 = л2(&4-1)2
будет больше любого положительного Т при достаточно больших k\ Х2 — х\ —
= л2 (2k 4- 1)> Т при k >-?1—. 712. Указание. Непрерывная, перио-
2л
дическая, определенная на всей числовой прямой функция достигает своего
наибольшего (и наименьшего) значения. 713. Решение, (sin 47° 4-sin 61 °) —
— (sin 11° 4-sin 25°) = 2 sin 54° cos 7° —2 sin 18° cos 7° = 4 cos 7°sin 18° cos 36° =
_o 4sin 18° cos 18° cos36°	_o 2 sin 36° cos 36°	sin 72°
=cos 7------------—---------- cos 7° --------------- cos 7° - .    = cos 7°.
cos 18°	cos 18°	sin 72°
.	1	•	1 ,	, n
sin — nx sin — (tl 4- 1) x
714. a) --------;——----------. Указание. Умножьте и разделите каждое
sin 0,5х
318
cos X =
i+tff
1
на -у, а затем ум
примените три раза
слагаемое на sin 0,5х и примените формулу преобразования произведения си
_ sin 2nx cos (2л — 1) х
нусов в разность косинусов; о) -----si'n2x-----* Указание. Умножьте
и разделите каждое слагаемое на sin 2х. 715. Указание. Так как sin А =
=sin (л —В —С)—sin В cos С-|- cos В sin С, то из соотношения	=
=-S*^_ sin...C_ получаем: a = b cos С + с cos В. Аналогично b — acosC-]-
Ч-ссоэЛ и с—a cos В +6 cos А. Теперь осталось умножить первое из получен-
ных соотношений на а, второе на —Ь, третье на — с и сложить все три
равенства. 717. Указание. Воспользуйтесь теоремой синусов. 718. У к а-
2tgT	1 —tg2 у
з а н и е. Воспользуйтесь формулами sin х—-------, cos х =------------ и
‘+‘е2Т
tg~ = -—,COS х . 719. а) Указание. Замените cos 60°
2 sin х
ножьте и разделите полученное выражение на sin 20° и
формулу синуса двойного аргумента. 720. а) Зафиксируем какую-нибудь точку
х0. При перемещении тела из точки с координатой х0 в точку с координатой х
X
была совершена работа, равная $ f (z) dz, где f (х) — действующая на тело сила
хо
С другой стороны, как известно из курса физики, эта работа равна л(х0) — w (х).
Таким образом, и (хо)— и (х)= J f (z) dz, поэтому (л (х0) — и (х))' =( J f (z) dz ),
хо	хо
т. е. — w'(x)=f(x). Далее, согласно второму закону Ньютона f (x) = ma(x),
т. е. лгх" {/)= — и'(х). 721. Решение. По формуле производной сложной
—/ ~ mX' Х"^ U' Х' =
=х'(0 (лгх" (t) — f (х))==х' (/)«0=0. 724. Указание. Рассмотрите любое решение
х(7) этого уравнения. Пусть х(О)=хо, х'(О)=уо. Возьмем решение xi (/) диф-
ференциального уравнения с этими же начальными данными, имеющее вид.
xi (/) = Л cos (о/4-ф) (см. задачу 723). Тогда хг (/) = х(/) —Xi (/) также решение
этого уравнения (см. задачу 722) с начальными данными хг(0) = 0, хг(0)=0
..	л ^22(0.
И в силу задачи 721 полная энергия при этом движении равна 0: —^-Ч"
Ч- т<° *——== 0, откуда, в частности, следует, что Хг(0 = 0- 727. Указание
Достаточно доказать, что сумма (7)-f-хг (/) удовлетворяет дифференциальному
уравнению х''(/)= — <о2х (t), т. е. что (xi (/) Ч- х? (/))'' = — со2 (xi (t) -f- х2 (/)).
729. Указание. Проверьте формулу для функций у=1, У=х, у = х~ и ^ = xs
__л g2M3	Л	лр/?2Я2£
730.	* где g— ускорение свободного падения. 731.	. Решение.
Затраченная на преодоление силы тяжести работа равна приращению потенциальной
энергии песка. Объем усеченного конуса высоты Ах, ограниченного плоскостями,
проведенными параллельно основанию на расстоянии х и хЧ-Ах от него, равен
(с точностью до величин порядка Ах2) S (х) Ах, где S (х) — площадь сечения
конуса плоскостью, параллельной основанию, проведенной на расстоянии х от
нее. Приращение потенциальной энергии песка, заключенного в этом усечен-
ном конусе (с точностью до величин порядка Ах2), равна А£«pxS (х) gAx
Для определения S (х) рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 241) Высота
треугольника РСТ, проведенная к стороне РТ, равна Я —х. Из подобия тре-
РТ
угольников РСТ и АВС получаем:	=—--
АВ п
319
/7-х	пгг АВ (Я-х)
, откуда РТ =------------
H
(V
S(x) = n(0,5 РТ )2 = л/?2 —	. Обозначим че-
п
рез Е (х) потенциальную энергию песка в усе-
ченном конусе, ограниченном основанием и плос-
костью (параллельной основанию), проведенной
ДЕ лр/?2х (Н—х)2
на высоте х. Тогда Е (х)= lim —-----------g
дх-о Дх	Н
н	Н	2
и	А =Е(Н)—Е (p)=^E’(x)dx<=^p--g (Н2х—
2	Н	0
g	(Н2х	—	2Нх2	4- х3) dx —
лрЯ2 / Н2х2 2Нх3 , “4х  "
№ 8 \ 2	3
лрЯ2Я4 1	2	1 \
ТР	8 2	3 + 4 / ~
’ Р° 24 ~~~=О*** д2
части пластинки, отмеченная
ближенно равна pz/t/Дх; у находим из подобия тре-
угольников АВС и PQC: у=Л  —. Так как тол-
— 2Нх2
2H2g
н
>2
732.
Решение. Масса
на рисунке 242, при-
Рис. 242.
h
о
щиной пластинки мы пренебрегаем, то линейная
скорость каждой точки этой части (с точностью до
величин порядка Дх) равна сох, а приращение ДЕ
кинетической энергии за счет этой части (с точ-
ностью до величин порядка Дх2) равно
pad(o2x2 (h — х) Д х
----------------. Обозначим через Е (х) кинети-
чес кую энергию части BQPA. Тогда Е'(х) =
__ lim pada)2x2 (h — x)
2h
Наконец,
h
733.
тт	-
Центр масс однородного полукруга расположен на его оси симметрии на расстоянии —
Зл
от центра круга (рис. 243). Решение. Пусть центр полукруга совпадает с на-
чалом координат, а ось симметрии полукруга — с осью Ох. Разобьем отрезок
[0; Е] оси Ох на п равных частей длины Дх точками xi, хг, ..., xn~i и проведем пря-
мые x=xi, х=Х2,...» x=xn-i. Масса части полукруга, ограниченной пря-
мыми х=х, и х=х<+1(хо = О, хя = /?), приблизительно равна 2Дхр ^R2—x2 (р —
плотность полукруга). Заменим каждую такую часть материальной точкой та-
кой же массы, расположенной на оси Ох в точке с координатой х,. По формуле
координат центра масс конечной системы материальных точек* этот центр
лежит на оси Ох в точке с координатой
2хор-у/?2-7коДх4-2х|ру/?2—-xiAx-b ... 4-2хя_1рУ/?2 —хя_!Дх
2p-V>?s —х2Дх4-2рд//?2 —х?Дх4- ... 4-2р-\//?2 —х^-1 Дх
♦ Напомним, что центр масс конечной системы и материальных точек, имею-
щих массы mi, m2, ...» mn и имеющих относительно оси Oz координаты Zi, Z2, ...»
tnizi 4- m2z2 4-... 4- ^nzn
zn> имеет относительно этой оси координату-------;----;---:------.
mi 4-^22 4~ 4~mn
320
лежит на его оси сим-
довательно,
R
Числитель этой дроби есть интегральная сумма
для функции 2xvyR2—x2, знаменатель — интеграль-
ная сумма для функции 2р^//?2—х2. Далее, 2 $ -\[R2 — x2dx=
о
=0,5л/?2 как площадь полукруга радиуса R.
R
Для вычисления ) 2x~\[R2 — x2dx сначала отметим,
3 о
что ((/?2 —х2)^ )'=-|-.( — 2) х->//?2—х2, поэтому в
качестве первообразной для функции 2х -y/R^ — x2
з
2	-
можно взять функцию F (х) =—— (/?2 — х2)2. Сле-
/? ______
$ 2x^1 R2-x2 dx = F(R)—F (0) =
о
=0—~ R3) =-|- R3. Таким образом, переходя
к пределу при Ах->0, получаем:
2 D3
v ,.	,	3 * 4R
X — lim х =—------=“5—.
Дх->-0	1	-.о ОЛ
У л/?
734. Центр масс однородного полушара радиуса
3
метрии на расстоянии R от центра шара (рис. 244). Решение. Выбе-
о
рем систему координат так, что начало координат находится в центре шара,
а ограничивающая полушар плоскость совпадает с плоскостью Оху (рис. 245).
Из теоремы Пифагора следует, что радиус круга, являющегося сечением полуша-
ра плоскостью z = f, равен -^R^ — t2. Разобьем полушар на диски ширины А/.
Центр диска, ограниченного плоскостями z = t и z=/4-A/, лежит на оси Oz
в точке с координатой, равной t (с точностью до величин порядка А/), так
как этот диск имеет Oz осью симметрии. Масса Ат такого диска равна pV
(р — плотность полушара, V — объем диска), т. е. Ат « рл • (R2 —-12) А/.
При нахождении центра масс можно считать каждый диск материальной точ-
кой массы, равной массе диска и расположенной в центре масс этого диска.
По формуле координат центра масс конечной системы материальных точек
получаем, что центр масс полушара лежит на оси Oz в точке, координата
z которой приблизительно равна
<орл(£2-ф Д/+^рл(/?2-/?) А/+ ... + /„_1рл(Я2-/2_1)Д/
k ’ рл(Я2-гё)Д/+рл(Я2-фД<+ ... +ря(/?2-й_|)Д/	’
где tk = k^t. Числитель полученной дроби представляет собой интегральную
сумму для функции рл/(/?2 —/2), знаменатель — интегральную сумму для функ-
ции рл(/?2 —г). Чем меньше А/, тем точнее эта дробь выражает координату
центра масс полушара, иными словами, эта координата есть lim z (А/). При
я	r
А/->0 числитель стремится к ) рл/ (R2 — t2) dt, знаменатель — к J рл (R2 — /2) dt.
R	°	о
-	/ п2/2	/4\ 1*1	1
Jp«/(/?2-/2)dz p«(V-t) I о т£-т£_ з D
г~Т	=	/	| «	03	1 03	8
|рл(Я2-/2)Л	pn(/?2/—j-)|e	R ~3R	736. a) -135,6.
X
Решение. Сделаем замену	. Тогда x —4/ —4, 5 —x = 9 —4/. По
формуле замены найдем нижний и верхний пределы интегрирования:
1+’ 0 = 1 и 1 +4-28=8.
4	4
Таким образом, искомый интеграл равен
_Ц( ® -Ч^	, - <( ¥	0-<32-<>) -
1	*	=4 (40,5-74,4)=-135,6;
2
б) — 1— . Указание.
Рис. 247.
Сделайте замену переменной по формуле у=\—
737. х*(14-1пх). Указание. хх — ех]пх. 738. Гра-
фики функций изображены на рисунке 246, а—г.
739. а) [-0,25; 2]; б) [—7; 3J в) (0; оо);
г) [е е ; оо). Указание. Так как (Xх)' = хх (1 4-In х)
(см. задачу 737), то критическая точка одна:
х=—. В этой точке функция имеет минимум.
740. Множества изображены на рисунках 247
(для п. а)), 248 (для п. д)) и 249 (для п. е)).
2
741, а) —; б) In 2. Указание:
л	1
за скобку; в) —. 742. а)
—6-\/3<а<6^3 — три корня, при
Вынесите —
п
3; б) при
а — ±6^3 —
322
два корня, при остальных а — один корень.
743. Указание. Возведением в куб докажите,
корень уравнения х3—5х—12 —О, а это уравнение
имеет только один действительный корень.
1
744. При 0<а<1 и 1<а<ев. 745. а) При
{“<2’ " {&>2; б) C€(-°o;0)U(3; оо); в) при
(а< — С,
\b<-C
Рис. 248.
Задачи на повторение всего курса
746. а)х+1;б) — 4,/#=0, t> — 4; в) — а0’5-2а~‘'5
при а#= 1; г) * ° при а#= 1. 748. 25%. 749. 75 км/ч.
Уа
750. 4 км/ч. 751. 55 км/ч. 752. 6 и 12 дней.
753. 140 м. 754. 160 г, 20%. 755. 5 ч, 7 ч. 756. 4 м/с,
3 м/с. 757. 240 м3. 758. 35. 759. 12 г, 48 г, 1,5 г/см3.
760. а) 3; 8; 3; б) все; в) 7; 4. 761. 3,75.
762. а) 1,01; б) 8,072; в) 81,108. 764. 2,53. 766. 1.
767. а) —; б) равны. 769. а) 3,5, г) 1,4.
770. б) |х+П<3,5. 771. а) 5; г) У2. 772.
б) х2+У!<25; г) (х-2?+(у-3?>1. 773. б)_(-5;
5); г) 6; 14. 774. б) (- оо; 6)(J(14; оо). 775. [-У5; Уб]
Рис. 249.
777.	б)	Множество изображено	на	рис.	250.
778.	г)	Множество изображено	на	рис.	251.
779. г) Круг радиуса 3 с центром в точке (1; 1).
789. а при |а| > 1. 781. а)
.	2^[ab	. tg х
в) -----------• г) —-------
' а-2^ + *	' 1-tgx
782. а)
sin х
б) 2
!й:б>
sin х'
211;
99 ’
Рис. 250.
в) £; г) 11. 784. а) I или III; б) 11. 785. -1.
' 7	7 54
786.	±-Дт^-. 787. -1^- 788.	~ * . 789. ±2.
*+т УГб *
790. -2^2. 791. 0,719. 792.	. 796. а) (-оо;
7-У34)и(7+УЙ; оо); б) (- оо; оо); в) [ —; г] ;
г) (9-£05;	а) *
б) (-оо; —0,4)U(2; оо);. в) Я; г) (-у; з) .
798. х2—2х—2=0. 799.	-20. 800. (3; 0).
801. а) (—1; 17); б) (2; -3). 802. у=2-0,5х*.
803. 0=0,5 (х+2)2 4-3. 805. Графики изображены
323
на рисунке 252 а, б. 806. б) График изображен на рисунке 253; г) график
,	.	_	jik . —	лк
совпадает с графиком функции у = 2 при х^—, k£Z, при х=—,
ция не определена. 807.
k£Z, функ-
Графики изображены на рисунке 254 (в пп. в) и
г) графики совпадают). 808. а) 1; б) в) 0,5.
809. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная;
в) четная; г) ни четная, ни нечетная. 810. а),
б) Ни четная, ни нечетная; в), г) нечетная.
^2; б) —у/2. 813. а) 12х5 — 19x*-f-l;
р ; в) (х+1) cosx+sin х—cos2 x-j-sin 2х;
60х(3 —х2)
Д) (8х2 —З)3	'
816. У— — 2х—4;
б) -(ГПГ
2tgx-lge
2 1g х
COS2 X ’
36 м/мин2.
814. 60 м/мин;
л/ = 2х; у = 5х~2,25. 817. а) //= 1,5x4-1,5; воз-
растает на всей числовой прямой; б) z/=14—-L;
убывает на промежутках (—оо;0) и (0; оо);
в) !/=“г) */=log2(x— 1); д) у = Зх — 2;
Рис. 252.
324
б)
10х — 1
е) у —	. 818. а) Функция возрастает на
промежутках	и (4"’ °°)’ функция
постоянна в области определения, т. е. у ==—0,5
при х#=0,5; в) функция убывает на промежут-
ке (—оо; — 1]; возрастает на промежутке
[—1; оо). В точке —1 функция имеет минимум;
г) функция убывает на промежутке (—оо;2];
возрастает на промежутке [2; оо). В точке 2
функция имеет минимум. 819. а) Функция воз-
растает на промежутке (0; е], убывает на проме-
жутке [е; оо). В точке е функция имеет максимум
(рис. 255); б) функция убывает на промежут-
ке (0; 1]; возрастает на промежутке [1; оо). В точ-
ке 1 функция имеет минимум; б) функция убывает
на промежутках (—оо; —1) и (— 1; 0]; возрастает
на промежутке [0; оо). В точке 0 функция имеет
минимум. При х— — 1 функция не определена;
при х -> — 1 неограниченно растет |г/|; г) функ-
ция возрастает на промежутках [х0 — л4~2л&;
хо4-2л&], k£Z', убывает на промежутках [хо + 2л6;
хо4-л4-26л], k£Z-, в точках вида х04-2л&, k£Zt
мумы; в точках вида х04-л4-2л&, k£Zt функция
2
Хо = arctg—^0,59. 820. а) Функция убывает на промежутке
<5
функция имеет макси-
имеет минимумы;
^0;	; возрастает
на промежутке ; оо^ . В точке функция имеет минимум; б) в точках лб, kf:Zt
функция имеет максимумы; в точках 2л&±-^-, k£Z, функция имеет минимумы.
<5
821. a) i/(3)=135; 6)
при x —
. 822. 1. 823. 3 см, 6 cm, 4 cm.
824. На расстоянии 1,52? от точки касания. 825. — . Решение. Пусть основание
<5
треугольника имеет длину 26, а угол при основании 2а. Тогда (рис. 256)
г = ОН —НС Ag a = b tg а. Выразим b через заданную площадь S треугольника:
5
5=0,5 АС'ВН — b'b tg 2а, откуда b2 —	—• Будем искать наибольшее значение
///ж/. ////////
О 1 х	0	1	х
квадрата радиуса	r2 = fr2tg2a =
Stg2^ S(l—tg2<x)tg2a
2 tg а	2 tg а
1—tg2a
—“Tf (tg a~ tg3 a)- Обозначим tga —
— tg3 a через и (a). Нужно
наибольшее значение функции
1
tt) —	' i "
‘ 7 cos'* a
и' (a) = 0 при
найти
на отрезке 10; I ; и i
3 tg2 a _ 1 — 3 tg2 a .
cos2 a cos2 a ’
.	1	, , л
tga=±—, т. e. при а = ля±—,
k£Z. Из¥ точек такого вида только
Угол при вершине равен л~4а=-^-.
о
одна x=~q лежит на данном от-
резке. Далее, и (0)=ы( -i) =0,
(л \	2	К 4/
-gj = -. Таким образом, наи-
большее значение и (а) на отрезке
[_ Л1	л
0; —J достигается при а=~ .
826. W- 827. -см. 828. Ре-
т/з	т/З
ш е н и е. Рассмотрим осевое сечение цилиндра, вписанного в шар радиуса R
(рис. 257) По теореме Пифагора из треугольника АОВ находим: АВ2 = АО2 — ВО2,
h2
т. е. r2 = R2—— , где г — радиус основания цилиндра, h — его высота; У = лг2/1 =
Требуется определить наибольшее значение функции V (h) =
на отрезке [0; 2/?]. V'(Л) = л^/?2—~h2) . У'=0 при ЗЛ2 = 47?2,
т. е. при h =25 Так как	. .
V3 V(0)=V(2/?)=0, а V(-£ )>0,
*3	27?
то функция V (h) достигает наибольшего значения при	829. Решений нет
л/З	_
при R 0,5// и г = 0t5HR :(H-R) при R < 0,5/7. 830. R = 1,5г. 831. 4/?. 832. Н=R д/З.
Решение. Пусть около полушара радиуса R описан прямой круговой конус.
Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 258). Из подобия треугольников АОС и
Рис. 256.
326
X	R	2	7/2/?2 iz/,r4 1	2 г,
ОВС получаем: -^=5=?=—. откуда х
1
I н- ............. Л,(Я._ЗЯ>Я,
“3 я* h2—r2 ’ v (Я)	(я2-/?7	з(^-л7 •
V {Н)=0 при H=R-\/3. Остается проверить, что при этом значении Н функция
40
1/(7/) достигает наименьшего значения на промежутке (0; оо). 833. Ь-~- см,
/—	-у/3
/9	р	р	оо
/1==40“\/— см. 834. /?=——; Н=—835. ч. 836. 2,4 м. Решение.
V 3	л4-4	n-f-4	410
Пусть наблюдатель находится на расстоянии х от стены в точке О (рис. 259).
Требуется узнать, при каком х будет наибольший Z_EOB\ Z-EOB — Z-EOA —
— Z_BOAt поэтому
3z2_h8
^ЕОВ-^ВОЛ-^ОЛ)- t
X X
1 4х	л
Обозначим ц т~с через f (х). Так как 0< Z.EOB <— и на промежутке
Г л \	*” *
10; — ) тангенс возрастает, то достаточно найти х, при котором f (х) принимает
наибольшее значение иа промежутке [0; оо).
(х24-5,76)-х;2х	1,4(5,76 —х2) .
f W------(? + 5,76)2-1Л“---(?+5,76)2—’ f (х)-°
при х=2,4. На промежутке (2,4; оо) f' <0, поэтому при х£(2,4; оо) f(x)<f (2,4).
Аналогично f (x)<f (2,4) для х£[0; 2,4). Итак, при х=2,4 функция f достигает
наибольшего значения на промежутке [0; оо). 837. 4 -^2 м. 838. 1— ч. 8&9. Длина
страницы 30 см, ширина 20 см. Р е ш е н и е. Пусть длина страницы равна х. Тогда
* „	с 384 ттт
текст представляет собой прямоугольник со сторонами х—6 и ~. Ширина
334 , л	384х , .	_ к
страницы равна  .4.4, площадь равна —^-|-4x. Требуется определить
.	_, . 384х , .
наименьшее значение функции f(x)=——-{-4х
Г(х)=384-Х~^^+4=	Г(х)=0 при
4 (х—6)2=384«6, т. е. при х=30. При этом ши-
384
рина страницы равна 4-4=20. 840. 20 км/ч.
Решение. Вторая часть расходов равна kx3,
где через х обозначена скорость парохода,
k — коэффициент пропорциональности. Для опре-
деления k подставим х=10, тогда 30=1000/?,
откуда А?=0,03. Пароход пройдет 1 км пути за
— ч. За это время расходы будут равны
480*—4-0,03х3«—. Требуется определить наимень-
Х	Х	480
шее значение функции f(x)=——рО.ОЗх2 на проме-
жутке (0; оо); f'(х)= — ^п4-0,06х; f' (х)=0
на промежутке (6; оо);
327
, 480
при	т. е. при х = 20. Легко проверить, что в этой точке до-
стигается наименьшее значение функции. 841. а) (1; 2)0(3; оо); б) (— ©о; 2)0
0(3;5); в) (— оо; — 3] 0 [ 1; ~); г) (— 4; — 1)0(— 1; 6);	д) (1; 2)0(3; 4);
х2
е) {——1]0[1; л/2). 842. a) -4-In 1*1 4-С на любом промежутке, не содержа-
9	—	j	1
щем 0; б) -уд/2х24-С; в) — sin Зх —2 cos х4-С; г) —— х-4 — х"14-С.
843. а) 3 In |х4-4|4-С на любом промежутке, не содержащем точку —4;
I	Q	(х__п3
б) —— ctg 2х4-С; в) -Tr-tg2x4-C; г) х24-*34-С« 844. а) —-------|-С при х#=Г,
3	2	3
б) —!—х‘+^ + С. 845. х3—3%4-4. 846. —^-cos 2/4-3. 847. i/=x5-5.
4+^2	4
848. a) б) 7~2 Ат3^.. 849. а) 5-Ь б) 20-g-; в) 18; г) 1-Ь д) 12-
— 5 In 5«3,953. 851. а) 15; б) Ь. 852. а) , где *£Z; б) 2лй; -^4-л*, где fefZ;
3	5	2
в) ; л-|-2л£, где ££Z; г) -^-4-2лЛ; (— l)‘+l	где A6Z. 853. а) Я 4~
5	2	о	3
. 2л& t „	4 л л — а -
4~~ A"- >	cl— arccos— С, ^-т, v; ——
3	5	2
ч Л I а ,	, л а , 7л	л
в) т+т + л*; т-Т+л*; 24+пЙ;л/г~24’
2л 2л&
<Г+Т ’ ~з"_“9
^0,64; б) а4-nfe, где k£Z, а = arctg0,395;
л а , . 7л . с . л	ч а . 2л^ 2лЛ а
Т“ +nk‘ 24+"*: Л*~24 1 wfeeZ; г) Т +“ ’ Т“ •
^21 — где ££Z, а=arccos (—Ь)«1,64. 854. а) 3; б) 2-|-; 4;
— 2; 2. 855. а) (-°о; Ь]и[1,5; оо); б) (2; 3); в) (-оо; -3)(J(- 1; 1)11
и(3; оо); г) (—оо;-1,5]и[-1; 1]и[1.5; оо). 856. а) (-3,5;
в) (-оо;-2)U(4; оо); г) (-оо; 3,4)(J(4; оо). 857. a) (2;yJ; б) (1; -1);
в) (—1; —3). 858. a) (Зг/4-4; у\ где у£R\ б) (2,5 —Зг/; у), где у£R\ в) (1,5г/4-2; у\
2	1
где y£R. 859. а), б), в) 0 . 860. а) 3; б) ——; в) 16. 861. а) — 3~; б) таких
3	3
значений нет; в) а£Л, а#=4. 862. Да, при: а) а #=—0,2; б) а = 2,5; в) а£Л.
863. а) (—3; 2; -1); б) (2; 3; 1); в), г) 0. 864. а) (0,4; 0,8); б) (2; 3); (3; 2).
865. а) (0,4; 0,5); (0,6; 0,3); б) (2; 1); (-1; -2); в) (4; -3); (4; 3); г) (2; 3); (3; 2).
866. а) (4; 1); (1;4); б) (0,5; 4); в) (1;2); г) (-Ь±); (-Ь±). 867. а) (2; -1);
(—1;2); б) <1; 2); (2; 1); в) (1;<2); (1; —^); (2; 1); (2; -1); г) (7; 3); (-7; -3).
868. а) (—3,5; 0); б) (1; 4-|-); в) [-3;у); г) 0’ 869, а) (П0;2; — 1);
б) (1; —2; -1;2).
ОБОЗНАЧЕНИЯ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В УЧЕБНОМ
ПОСОБИИ
N	— множество	всех	нату-
Z	ральных чисел — множество всех		целых
z0	чисел — множество	всех	неотри-
Q	нательных — множество	целых всех	чисел рацио-
нальных чисел
	— множество всех действи-	
	тельных ч прямая	исел, числовая
		
л+	— множество тельных чисел	всех положи- действительных
R2	— числовая плоскость	
[а; 6]	— замкнутый (отрезок) и Ь, а<Ь	промежуток с концами а
(а; Ь)	— открытый	промежуток
(интервал) с концами а
и Ь, а<Ь
(а; 6], [а; Ь)— полуоткрытые промежут-
	ки с концами а и б, а<Ь
(а; оо), [а: оо), (—оо; 6), ( —оо; Ь]	— бесконечные промежутки
(— оо; оо )	— бесконечный промежуток,
а	числовая прямая — обозначение вектора
(а — б; а 4-6) — 6-окрестность точки а
[х]	— целая часть числа х
(х)	— дробная часть числа х
1х|	— модуль (абсолютная ве-
личина) числа х
fto	— значение функции f в точке x
0(f)	— область определения
	функции f
Е(П	— область значений функ-
	ции f
Дх	— приращение агрумента х
УМ. у	— приращение функции f в
	точке хо
Г м	— производная функции f
	в точке хо
sin	— функция синус
cos	— функция косинус
tg	— функция тангенс
ctg	— функция котангенс
e	— число е, основание пока-
	зательной функции, для
	которой
log»	— логарифм с основанием а
lg	— десятичный логарифм
In	— натуральный логарифм
	(логарифм с основани-
	ем е)
max f	— наибольшее	значение
[a; b]	функции f на отрезке
	[а; *]
min f	— наименьшее значение
[a; fr]	функции f на отрезке
	[а; *]
b	
Jf (x)dx	— интеграл функции f в
a	пределах от а до b
arcsin a	— арксинус числа а
arccos a	— арккосинус числа а
arctg a	— арктангенс числа а
arcctg a	— арккотангенс числа а
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная погрешность 74
аргумент функции 20
арифметическая прогрессия 245
----, разность 245
----, сумма п первых членов 246
----, формула л-го члена 246
арккосинус 46
арккотангенс 46
арксинус 45
арктангенс 46
Бесконечные интервалы 241
— промежутки 241
Внутренняя точка 241
выражение с переменными 261
Гармонические колебания 127
----, амплитуда 127
----, начальная фаза 127
----, угловая частота 127
геометрическая прогрессия 246
----бесконечная, сумма 247
----, знаменатель 246
----, сумма п первых членов 247
----, формула л-го члена 247
геометрический смысл производной 101
гипербола 252
график квадратичной функции 259
—	косинуса 7
—	котангенса 8
—	линейной функции 254
—	логарифмической — 191
—	показательной — 179
—	синуса 6
—	тангенса 7
—	уравнения 266
—	функции 20
графическое задание функции 21
Дискриминант квадратного трехчлена 256
дифференциальное уравнение гармони-
ческих колебаний 127
---- показательного роста и показа-
тельного убывания 213
дифференцирование функции 85
длина дуги 3
— промежутка 241
допустимые значения переменных 261
достаточный признак возрастания
функции 112
----убывания функция 112
дробь 262
— десятичная 236
----периодическая 236
—, основное свойство 263
Единичная окружность 4
Законы арифметических действий 238
знаки значений тригонометрических
функций 12
Интеграл 148
интегрирование 137
интервал 240
Касательная к графику функции 100
квадратный трехчлен 256
концы промежутка 241
корень квадратного трехчлена 257
— л-й степени из числа 162
----арифметический 162
— уравнения 263
----посторонний 169
косинус 4
котангенс 4
коэффициент прямой пропорциональной
зависимости 250
330
—	обратной----252
криволинейная трапеция 145
критическая точка функции 114
Линия тангенсов 5
логарифм натуральный 204
Мгновенная скорость 107
метод интервалов 99
механический смысл производной 107
многочлен 262
Независимая переменная 20
необходимый признак экстремума 115
неравенства квадратичные 260
—	логарифмические 197
—	показательные 182
—	тригонометрические 54
— числовые 238
Область значений функции 18
—определения функции 18
обратная пропорциональность 252
общий вид первообразных 140
объединение множеств 19
одночлен 262
окрестность точки 241
основное логарифмическое тождество 190
— свойство первообразной 139
основные свойства логарифмов 193
---степеней с действительным пока-
зателем 181
относительная погрешность 242
отрезок 240
Парабола 259
первообразная 137
период косинуса 33
—	котангенса 34
—	синуса 33
—	тангенса 34
площадь сектора 3
правила вычисления производных 88
—	нахождения первообразных 142
—	преобразования систем неравенств
в равносильные 264
-------уравнений------264
предел функции 76
пределы интегрирования 149
преобразование графиков функций 270
приближенное значение числа 74
признак максимума функции 116
признак минимума функции 117
принцип математической индукции 227
приращение аргумента 79
приращение функции 79
производная 85
—	вторая 126
—	логарифмической функции 206
—	показательной функции 202
—	постоянной 86
—	произведения 89
—	произведения постоянной на функ-
цию 89
сложной функции 93
—	степенной функции 210
—	суммы 88
—	тригонометрических функций 94
—	частного 89
промежуток 240
—	бесконечный 241
—	возрастания функции 28
—	знакопостоянства функции 28
—	полуоткрытый 241
—	убывания функции 28
пропорция 244
процент 244
прямая пропорциональность 250
Равносильность неравенств 263
—	систем уравнений (неравенств) 267
—	уравнений 263
равносильные неравенства с нескольки-
ми переменными 265
—	уравнения-------265
радиан 3
разложение квадратного трехчлена на
множители 256
расстояние между точками 239
решение квадратичных неравенств 260
—	неравенства 263
— уравнения 263
Секущая 80
синус 4
синусоида 7
система неравенств 267
— уравнений 267
---линейных 268
331
сложная функция 92
степень многочлена 262
— одночлена 262
схема исследования функции 31
Тангенс 4
тангенсоида 7
теорема Вейерштрасса 122
— Виета 259
— об обратной функции 187
—, обратная теореме Виета 259
—	о корне 44
—	Ферма 114
тождественные преобразования выра-
жений 261
тождество 261
точка критическая 114
—	максимума 30
—	минимума 30
—	экстремума 31
тригонометрические неравенства, ре-
шение 54
—	уравнения и системы уравнений, ре-
шение 57
Угловой коэффициент касательной 100
---- прямой 80
уравнение иррациональное 168
— квадратное 257
— линейное 255
— логарифмическое 197
— показательное 182
—	с несколькими переменными 265
—	с одной переменной 263
—	тригонометрическое 48
Формула корней квадратного уравне-
ния 257
---- приведенного 258
— косинуса разности 275
----суммы 275
—	Лагранжа 104
—	Ньютона — Лейбница 148
—	перехода к логарифмам с другим
основанием 194
— площади криволинейной трапе-
ции 149
—	синуса разности 275
---суммы 275
—	тангенса разности 276
---сумма 276
формулы дифференцирования 279
— половинного аргумента 11
— приведения 278
—, связывающие тригонометрические
функции одного аргумента 277
— сложения для тригонометрических
функций 275
— сокращенного умножения 239
— суммы и разности косинусов и си-
нусов 278
функция 18
—	возрастающая 21
—	дифференцируемая 85
—	дробная часть 20
—	линейная 254
—	логарифмическая 190
—	непрерывная в точке 97
—	непрерывная на промежутке 98
—	нечетная 22
—	обратная 186
—	периодическая 33
—	показательная 179
—	сложная 92
—	степенная 209
—	убывающая 21
—	целая часть 19
—	четная 22
Числа действительные 237
—	иррациональные 237
—	натуральные 236
—	рациональные 236
—	целые 236
число е 202
числовая плоскость 241
—	последовательность 245
—	прямая 240
Экстремум функции 31
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1.	Преобразования тригонометрических выражений.................... 3
1.	Тригонометрические функции числового аргумента...............—
2.	Основные формулы тригонометрии............................ 11
§ 2.	Основные свойства функций .................................... 18
3.	Функция
4.	Исследование	функций........................................27
§ 3.	Основные свойства тригонометрических функций ......	33
5.	Периодичность тригонометрических функций.....................—
6.	Исследование	функции	y = sinx...............................36
7.	Исследование	функции	y = cosx...............................38
8.	Исследование функции z/ = tgx...............................40
9.	Исследование функции y = ctgx...............................43
§ 4. Решение тригонометрических уравнений и неравенств..............44
10.	Арксинус, арккосинус и арктангенс.......................... —
11.	Решение простейших тригонометрических уравнений ....	48
12.	Решение простейших тригонометрических неравенств ....	54
13.	Примеры решения тригонометрических уравнений и систем урав-
нений ......................................................... 57
Сведения из истории.................................................60
Вопросы и задачи на повторение..................................... 61
Дополнительные упражнения	к	главе I..............................66
Глава II
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 5.	Производная .	......................................74
14.	Приближенное вычисление значений функции.............—
15.	Приращение функции...................................79
16.	Понятие о производной. Касательная к графику функции	...	81
17.	Определение производной. Примеры вычисления	производной	85
18.	Правила вычисления производных.......................88
19.	Производная сложной функции..........................92
20.	Производные тригонометрических функций..............94
333
$ 6. Применения производной к приближенным вычислениям, геометрии
и физике.........................................................97
21.	Метод интервалов ........................................... —
22.	Касательная к графику функции..............................100
23.	Формулы для приближенных вычислений........................104
24.	Производная в физике и технике.............................106
§7. Применения производной к исследованию функций...................111
25.	Признак возрастания (убывания) функций.......................—
26.	Критические точки функции, ее максимумы и минимумы ...	114
27.	Примеры применения производной к исследованию функций .	.	118
28.	Наибольшее и наименьшее значения функции...................122
29.	Гармонические колебания....................................126
Сведения из истории.................................................129
Вопросы и задачи на повторение......................................131
Дополнительные упражнения к главе	7/...............................133
Глава III.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 8. Первообразная	.........................................137
30.	Определение первообразной..................................—
31.	Основное свойство первообразной..........................139
32.	Три правила нахождения первообразных.....................142
§ 9. Интеграл ....................................................145
33.	Площадь криволинейной трапеции.............................—
34.	Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница.....................148
35.	Вычисление объемов тел...................................153
Сведения из истории...............................................156
Вопросы и задачи на	повторение....................................158
Дополнительные упражнения	к	главе III...........................159
Глава IV
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§10. Обобщение понятия степени...................................162
36.	Корень л-й степени и его свойства..........................—
37.	Иррациональные уравнения.................................168
38.	Степень с рациональным показателем.......................171
§11. Показательная и логарифмическая функции.....................177
39.	Показательная функция......................................—
40.	Решение показательных уравнений и неравенств.............182
41.	Понятие об обратной функции..............................185
42.	Логарифмическая функция..................................190
43.	Основные свойства логарифмов.............................193
44.	Решение логарифмических уравнений	и	неравенств ....	197
§ 12. Производная показательной и логарифмической функций .	.	202
45.	Производная и первообразная показательной функции ...	—-
46.	Производная логарифмической функции .	...............206
47.	Степенная функция и ее производная.......................209
334
48.	Дифференциальное уравнение показательного роста и показатель-
ного убывания................................................ 213
Сведения из истории................................................217
Вопросы и задачи на повторение.....................................218
Дополнительные упражнения к главе IV...............................221
Задачи повышенной трудности........................................225
Материал для повторения .	 236
Задачи на повторение всего курса...................................280
Приложение.........................................................293
Ответы и указания к упражнениям....................................297
Обозначения, встречающиеся в учебном пособии.......................329
Предметный указатель...............................................330
Учебное издание
Колмогоров Андрей Николаевич
Абрамов Александр Михайлович
Вейц Борис Ефимович и др.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Учебное пособие
для 9 и 10 классов
средней школы
Зав. редакцией Р. А. Хабиб
Редактор Л. Н. Беленовская
Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Л. Е. Козырева, Е. А. Сафронова
Переплет художника Б. Л. Николаева
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технические редакторы В. Ф. Коскина, Л. М. Абрамова
Корректоры Л. А. Ежова, Н. В. Красильникова
ИБ № 10942
Подписано к печати с диапозитивов 12.09.87. Формат 60Х901/1б- Бумага типографская № I.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 21 4- форзац 0,25. Усл. кр.-отт. 21,69.
Уч.-изд. л. 18,72 + форзац 0,35. Тираж 2 328 000 экз. Заказ № 216. Цена 35 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение> Государственного комитета РСФСР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Сведения о пользовании учебником
№	Фамилия и имя ученика	Учебный год	Состояние учебника	
			в начале года	в конце года
1				
2				
3				
4				
5				

a° = 1 Y е = 2,71828
a‘°9°b=b	toga1=0
Loga a = 1
logoy=Logax-Logay
loga(xy) = Logax + logay
logaxv= ylogax