'АЛГЕБРА
НАЧАЛА’АНАЛИЗА'1
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С.Н. Олехник, М.К. Потапов,
П.И. Пасиченко
АЛГЕБРА И
НАЧАЛА АНАЛИЗА
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ
УЧАЩИХСЯ 10-11 КПА ССОВ
МОСКВА
1998
ББК 22.141
0-53
С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко
Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства.
Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11
классов. — М.: Экзамен (Серия ‘Экзамен”), 1998. — 192с.
ISBN 5-8212-0010-5
В данном учебно-методическом пособим приводятся
методы решений уравнений и неравенств, основанные на
геометрических соображениях, свойствах функций
(монотонности, ограниченности, четности), применении
производной. Книга ставит своей целью познакомить
школьников с различными, основанными на материале
программы общеобразовательной средней школы, методами
решения задач, проиллюстрировать широкие возможности
использования хорошо усвоенных школьных знаний и
привить читателю навыки употреблять различные методы
рассуждений при .решении задач. Для школьников,
абитуриентов, руководителей математических кружков,
учителей.
© Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И., текст,
составление, 1998 г.
© “1 Федеративная Книготорговая Компания”, 1998 г.
©‘Экзамен”, 1998 г.
Оглавление
/
От авторов .............................. 8
Глава I. Алгебраические уравнения и
'неравенства  .......................... 10
1.1.	Разложение многочлена на множители ...... 10
1.1.1.	Вынесение общего множителя.... 11
1.1.2.	Применение формул сокращенного умно-
жения...............’................ 11
1.1.3.	Выделение полного квадрата.... 12
1.1.4.	Группировка................... 12
1.1.5.	Метод неопределенных коэффициентов. . 13
1.1.6.	Подбор корня многочлена по его старше-
му и свободному коэффициентам........	14
1.1.7.	Метод введения параметра...... 15
1.1.8.	Метод введения новой неизвестной. ... 16
1.1.9.	Комбинирование различных методов. . . 17
1.2.	Простейшие способы решения алгебраических ,
уравнений. . ............................ 18
1.3.	Симметрические и возвратные уравнения .... 22
1.3.1.	Симметрические уравнения третьей
степени.............................. 22
1.3.2.	Симметрические уравнения четвертой
степени.............................. 23
1.3.3.	Возвратные уравнения. . .....  24
1.3.4.	Уравнения четвертой степени с дополни-
тельными условиями на коэффициенты. .	28
1.4.	Некоторые способы решения алгебраических
уравнений..................................... 30
1.4.1.	Умножение уравнения на функцию. ... 30
* 1.4.2. Угадывание корня уравнения.......... 32
1.4.3. Использование симметричности уравнения. 35
1.4.4.	Использование суперпозиции функций. . 37
1.4.5. Исследование уравнения на промежутках
действительной оси.................. 38
1.5.	Решение алгебраических неравенств......... 39
1.5.1.	Простейшие способы решения алгебраи-
ческих неравенств......................... 39
1.5.2.	Метод интервалов................... 42
1.5.3.	Обобщенный метод интервалов........ 45
Задачи......................................... 50
Глава II. Уравнения и неравенства,
содержащие радикалы, степени, логарифмы и
модули......................................  54
2.1.	Уравнения и неравенства,
содержащие неизвестную под знаком
радикала...................................... 54
2.1.1.	Возведение в степень............... 54
2.1.2.	Уравнения вида \/f(x) ± у/д(х) = Л(аг). . 57
2.1.3.	Уравнения вида y/f(x) ± у/д(х) = <р(х). .	60
2.1.4.	Умножение уравнения или неравенства
на функцию.......................... 62
2.2.	Уравнения и неравенства, содержащие
неизвестную в основании логарифмов............. 66
2.2.1.	Переход к числовому основанию..... 66
2.2.2.	Переход к основанию, содержащему неиз-
вестную  ........................... 70
2.2.3.	Уравнения вида log^j h(x) = logv(a.) д(х),
logz(±) <р(х) =loga(a;) <р(х)............. 72
2.2.4.	Уравнения вида logy^, д(х) — а..... 73
4
2.2.5. Неравенства вида log^tTj f(x) > log^) g(x) 75
2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвест-
ную в основании и показателе степени...... 78
2.4.	Уравнения и неравенства, содержащие неизвест-
ную под знаком абсолютной величины............ 83
2.4.1.	Раскрытие знаков модулей........  .	83
2.4.2.	. Уравнения вида |/(хг)| = д(х). . .. 85
2.4.3.	Неравенства вида |/(ж)| < д(х)....... 86
2.4.4.	Неравенства вида \f(x)\>g(x)......... 86
2.4.5.	Уравнения и неравенства вида
|/(®)1 = И*)|, |/(®)| <	........ 88
2.4.6.	Использование свойств абсолютной вели-
чины................'..................... 90
Задачи.......................................... 92
Глава III. Способ замены неизвестных при ре-
шении уравнений .......................    .	96
^3.1. Алгебраические уравнения................ 96
3.1.1.	Понижение степени уравнения........ 96
3.1.2.	Уравнения вида (ж 4- а)4 4- (х 4- /?)4 = с. . 98
3.1.3.	Уравнения вида
(х — а)(х — /3)(х — у){х — 6) = А.. 98
3.1.4.	Уравнения вида
{ах2 4- bix 4- с)(ах2 4- Ь^х 4- с) — Ах2 ... 99
3.1.5.	. Уравнения вида
(х — а)(х - (3)(х — 7)(я — 5) = Ах2 .... 100
3.1.6.	Уравнения вида а{сх2 4- ргх 4- q)2 4-
4-Ь(ся2 4-^2# 4- q}2 = Ах2 .......... 102
3.1.7.	Уравнения вида Р(х) = 0,
где Р(х) = Р(а — х)......................103
3.2.	Рациональные уравнения...................104
3.2.1.	Упрощение уравнения................105
3.2.2.	Уравнения вида
5
3.2.3.	Уравнения вида
<*i* + ai+_+<*nZ + an=D..........1Q8
х 4- bi	х 4- Ъп
_ л . __	сцх 4“ bi
3.2.4.	Уравнения вида----------4-
Pix2 4- qix 4- Г1
I а^х 4- Ъг	апх 4- Ьп __
Р1Х2 4- q%x 4- г2 рпх2 4- qnx 4- тп
= а .............:........ по
л л	aix2 4- bix 4- Ci
3.2.5.	Уравнения вида----------Ь
а1Я4-Д
, ом? + Ъ^х + С2 апх2 + Ьпх + Сп
Ч------—3----1- • •+-!---—а---- = Л114
&2Х 4- fa	апх + 0п
21- Ж
3.2.6.	Уравнения вида —%—------1-
ах* + &1 х + С
4--9 YY---i—+ • • • 4-2 ,—--— — В	113
ах2 4- Ь2Х 4- с	ах2 4- Ь^х 4- с
3.3.	Иррациональные уравнения.....................................................114
3.3.1.	Уравнения вида	у/ах 4- b ± у/сх 4- d = f(x). 114
3.3^2.	Уравнения вида	—	я ± \/х — 6 = d. . .	117
3.3.3.	Сведение решения иррационального	«
уравнения к решению тригонометричес-
кого уравнения.........................................................121
3.4.	Уравнения вида ао/п(ж) + aifn~\x)g(x) 4- • • •
4-	4- апдп(х) = 0...............................................125
3.5.	Решение некоторых уравнений сведением их к
решению систем уравнений относительно новых
неизвестных....................................131
Задачи..........................................................................  138
Глава IV. Решение уравнении и неравенств с
использованием свойств входящих в них функ-
ции ............................................................................ 143
4.1.	Применение основных свойств функций......143
4.1.1.	Использование ОДЗ......................................................143
4.1.2.	Использование ограниченности функций. 146
4.1.3.	Использование монотонности функции. . 150
4.1.4.	Использование графиков функций.....154
6
4.1.5.	Метод интервалов для непрерывных
функций................................... 161
4.2.	Решение некоторых уравнений и неравенств
сведением их к решению систем уравнений или
неравенств относительно той же неизвестной 163
4.2.1. Уравнения вида
/2(®) + fl (®) + • • • + /*(ж) •= о.
I/1WI + |/2(*)| + •• + 1Л(х)| = 0 ... .163
4.2.2.	Неравенства вида
/i2(^) + /22W + --- + /)1W>0,
1/1 (®)| + |/2(*)| +  - + 1/п(*)1 >0.165
4.2.3.	Использование ограниченности функций. 167
4.2.4.	Использование свойств синуса и косинуса. 169
4.2.5.	Использование числовых неравенств. . . . 173
4.3.	Применение производной......................174
4.3.1.	Использование монотонности функции. . 175
4.3.2.	Использование наибольшего и наимень-
шего значений функпии.............  .	177
4.3.3.	Применение теоремы Лагранжа. . . . . . 180
Задачи.......................................... 181
Ответы...........................................188
/
От авторов
Есть много уравнений и неравенств, которые счи-
таются для школьников задачами повышенной труд-
ности.
Для решения таких задач лучше применять не тра-
диционные методы, а приемы, которые не совсем при-
вычны для школьников.
В этом пособии систематизирован ряд таких при-
емов.
Приводятся методы решения уравнений и нера-
венств, основанные на геометрических соображени-
ях, свойствах функций (монотонность, ограничен-
ность, четность), применение производной и т.д.
Пособие ставит своей целью познакомить школь-
ников с различными, основанными на материале про-
граммы общеобразовательной средней школы мето-
дами решения, казалось бы, трудных задач, проил-
люстрировать широкие возможности использования
хорошо усвоенных школьных знаний, привить чита-
телю навыки употребления нестандартных методов
рассуждения при решениии задач.
Пособие предназначено, в первую очередь, для уча-
щихся математических классов и школ, для слуша-
телей подготовительных отделений и курсов вузов с
повышенными требованиями по математике.
В то.же время авторы считают, что при знании
8
приведенных в пособии приемов многие трудные за-
дачи окажутся вполне посильными для любого школь-
ника.
В пособии считаются известными основные опре-
деления и факты из теории уравнений и неравенств:
равносильность уравнений и неравенств, уравнение-
следствие, совокупность уравнений, система уравне-
ний и т.д. Желающим освежить эти сведения реко-
мендуем следующую книгу, где эти сведения имеют-
ся.
Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И.
’’Алгебра и начала анализа.” М.: 1 Федеративная Книготор-
говая Компания, 1998, — 736 с.
Глава I
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
В этой главе рассматриваются алгебраические уравнения
степени п, т.е. уравнения вида
Рп(х) = О	(I)
и алгебраические неравенства степени п, т.е. неравенства ви-
да
ВД > О	(II)
и
Рп{х) < О,	(III)
где Рп(х) — многочлен степени п, т.е.
Рп(я) =	4- aixn-1 4- • • • 4- an-ix 4- an, ао / 0. (IV)
При решении алгебраических уравнений и неравенств час-
то приходится разлагать многочлен Рп(х) на множители, по-
этому § 1.1 посвящен этому вопросу.
§ 1.1.	Разложение многочлена
на множители
Разложить многочлен на множители — это значит пред-
ставить его в виде произведения двух или нескольких мно-
гочленов. В этом параграфе приводятся некоторые методы
разложения многочленов в произведение множителей первой и
второй степени, поскольку знания такого разложения доста-
точно для решения алгебраических уравнений и неравенств.
1.1.1.	Вынесение общего множителя. Если все члены
многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скоб-
ки, получим разложение многочлена на множители.
Пример 1. Разложить на множители многочлен
ж3 - Зя2 4- 4я.
Решение. Все члены данного многочлена содержат общий
множитель х. Вынося его за скобки, получим разложение дан-
ного многочлена на множители
ж3 — Зя2 4- 4х = х (ж2 Зх 4- 4).
1.1.2.	Применение формул сокращенного умноже-
ния. Иногда многочлен Рп(х) можно разложить на множите-
ли, используя формулы сокращенного умножения:
а2—Ъ2 = (а-Ща + Ь),
а3 4- Ь3 = (в + b)(a2 — ab + Ъ2),
а3 — Ь3 = (а — Ь)(а2 + ab + Ь2),
а4 — Ь4 = (a2-b2)(a2 + b2),.
а5 — Ь5 = (а — Ь)(а4 4- a3b 4- a2b2 + ab3 4- Ь4),
ап-Ьп = (а- 6)(ап-1 4-ап-2Ь 4-ап-362 4-• • • 4-
+а2Ьп~3 4- abn~2 4- Ь”"1), п G N.
Пример 2. Разложить на множители многочлен
(х2 4- 2ж)2 - (х 4-1)2.
Решение. Применяя формулу а2— Ь2 = (а—Ь)(а4-Ь), имеем
(я2 4- 2х)2 — (х 4-1)2 = (х2 4- 2х — х — 1)(ж2 4- 2х 4- х 4-1) =
= (х2 4- х — 1)(®2 4- Зх 4-1).
11
Пример 3. Разложить на множители многочлен
(4® - З)3 - (2® - I)3.
Решение. Применяя формулу a3 — b3 = (a — b)(a2+ab+b2),
имеем
(4® -г З)3 - (2® - I)3 =
= ((4® - 3) - (2® -1))((4® - З)2 4- (4® - 3) (2® -1)4- (2® -1)2) =
= (2® — 2) (1б®2 — 24® 4-94- 8®2 — 6® — 4® 4- 3 4- 4®2 — 4® 4-1) =
= (2® — 2)(28®2 — 38®4-13).
1.1.3.	Выделение полного квадрата. Иногда много-
член можно разложить на множители, если воспользоваться
сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как
правило, формулой разности квадратов.
Пример 4. Разложить на множители многочлен
х4 4- 6я2 — 10.
Решение. Выделяя полный квадрат, а затем применяя
формулу разности квадратов, имеем х4 4- 6х2 — 10 =
= (ж2)2 f 2 • 3 • х2 4- З2 - З2 - 10 = (х2 4- З)2 - (х/19)2 =
= (я2 + 3 - х/19) О2 4-3 4- У19).
1.1.4.	Группировка. Этот способ применяется чаще все-
го в сочетании со способом вынесения за скобки общего мно-
жителя. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в
многочлене и дальнейшего объединения в группы таким обра-
зом, чтобы после вынесения (если это можно) общего множи-
теля из каждого слагаемого в данной группе в скобке получи-
лось выражение, являющееся в свою очередь общим множите-
лем для каждой группы.
Пример 5. Разложить на множители многочлен
х4 — 5.т2 4- х3 — 5х.
12
Решение. Объединим в одну группу первое и второе сла-
гаемые, а в другую — третье и четвертое слагаемые. Тогда
имеем л4 - 5 л2 4- х3 — 5 л = (л4 — 5л2) 4- (л3 - 5л). Вынося
из первой скобки множитель л2, а из второй скобки л, полу-
чаем (л4 — 5л2) 4- (л3 — 5л) = л2 (л2 — 5) 4- л (л2 — 5). Нако-
нец, вынося за скобку общий множитель л2 — 5, получаем, что
л2 (л2 — 5) 4- л (л2 — 5) = (л2 — 5) (л2 4- л), и, наконец, вынося за
скобки множитель л, получим, что
л4 — 5л2 4- л3 — 5л = (л2 — 5)(л 4- 1)л.
1.1.5.	Метод неопределенных коэффициентов. Суть
этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид
множителей — многочленов, на которые разлагается данный
многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:
1)	два многочлена тождественно равны тогда и только то-
гда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях
л;
2)	любой многочлен третьей степени разлагается в произ-
ведение линейного и квадратного множителей;
3)	любой многочлен четвертой степени разлагается в про-
изведение двух многочленов второй степени.
Пример 6. Разложить на множители многочлен
л3 — 5л2 4- 7л - 3.
Решение. Будем искать многочлены л—а и /?1Л24-/?2£4-$з
такие, что справедливо тождественное равенство
л3 - 5л2 4-7л — 3 = (л - о)(Дл2 4*/?2^ 4-/?з)<	(1)
Правую часть этого равенства можно записать в виде
fax3 + (fa - a fa )х2 + (fa - a fa)x- a fa.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях л в ле-
вой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств
13
для нахождения а, Дг,	/Зз:
& - а$1 = -5,
- &02 = 7,
а/?з =3.
Легко видеть, что этим равенствам удовлетворяют числа
0i = 1, 02 = -2, 0з = 1, а = 3, а это означает, что мно-
гочлен ж3 — 5х2 4- 7ж — 3 разлагается на множители х - 3 и
х2 - 2х 4-1.
1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и
свободному коэффициентам. Иногда при разложении мно-
гочлена на множители бывают полезными следующие утвер-
ждения:
1) если многочлен ап 4- an-ix4 1-аожп, во 0 0, с целыми
коэффициентами имеет рациональный корень xq = p/q (где
p/q — несократимая дробь, р G Z, q G N), то р — делитель
свободного члена ап, a q — делитель старшего коэффициента
«о;
2) если каким-либо образом подобран корень х = а мно-
гочлена Ря(ж) степени п, то многочлен Рп(х) можно предста-
вить в виде Рп(ж) = (ж —а)Рп_1(ж), где Рп~1(ж) — многочлен
степени п — 1.
Многочлен Рп-1(ж) можно найти либо делением многочле-
на Рп(ж) на двучлен (ж — а) “столбиком”, либо соответству-
ющей группировкой слагаемых многочлена и выделением из
них множителя х — а, либо методом неопределенных коэффи-
циентов.
Пример 7. Разложить на множители многочлен
ж4 — 5ж3 4- 7ж* - 5ж 4- 6.
Решение. Поскольку коэффициент при ж4 равен 1, то ра-
циональные корни данного многочлена, если они существуют.
14
являются делителями числа 6, т.е. могут быть целыми числа-
ми 3:1, ±2, ±3, ±6. Обозначим данный многочлен через Pj(x).
Так как Р4Ц) = 4 и РД-Т) = 23, то числа 1 и -1 не являют-
ся корнями многочлена Поскольку Pi(2) = О, то х = 2
является корнем многочлена Pi(x), ц, значит, данный много-
член делится на двучлен х — 2. Поэтому
х4 — 5х34- 7х2 — 5x4-6 х — 2
х4 - 2х3 х3 - Зх24-~х -3
— Зх34- 7х2-5х4-6
— Зх34- 6х2______
х2 —5x4-6
х2 — 2х
-3x4-6
-3x4-6
Следовательно, Pj(x) = (х — 2)(х3 — Зх2 4- х — 3). Так как
х3 — Зх2 4- х - 3 = х2(х — 3) 4- (х — 3) = (х — 3)(х2 + 1), то
х4 — 5х3 4- 7х2 — 5х 4- 6 = (х — 2)(х — 3)(х2 4-1).
1.1.7.	Метод введения параметра. Иногда при разло-
жении многочлена на множители помогает метод введения па-
раметра. Суть этого метода поясним на следующем примере.
Пример 8. Разложить на множители многочлен
х3 - (7з + 1) ж2 + 3.
. Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а.
х3 - (а 4- 1)х2 4- а2,
который при а = л/3 превращается в заданный многочлен.
Запишем этот многочлен как квадратный трехчлен относи-
тельно а:
а2 — ах2 4- (х3 — х2).
Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена
есть ai = х и «2 = х2 — х, то справедливо равенство а2 — ах2 4-
15
4-(ж3 — х2) = (а — х)(а — х2 4- ж). Следовательно, многочлен х3 —
— (а/3 4- 1) х2 4-3 разлагается на множители а/3—х и V3—x2+x,
т.е.
х3 - ^а/3 4-1) х2 4- 3 = (х - а/3)(х2 -х - а/3).
1.1.8.	Метод введения новой неизвестной. В неко-
торых случаях путем замены выражения /(ж), входящего в
многочлен Рп(х), через у можно получить многочлен относи-
тельно 2/, который уже легко разложить на множители. Затем
после замейы у на f(x) получаем разложение на множители
многочлена Рп (х).
Пример 9. Разложить на множители многочлен
х(х 4- 1)(я 4- 2)(х 4- 3) - 15.
РЕШЕНИЕ. Преобразуем данный многочлен следующим об-
разом:
х(х + 1)(ж 4- 2) (я 4- 3) - 15 = [,ф 4- 3)] [(я 4-1)(ж 4- 2)] - 15 =
= (х2 4- Зж)(ж2 4- Зх 4- 2) — 15.
Обозначим х2 4- Зх через у. Тогда имеем
у(у 4- 2) - 15 = у2 4- 2у - 15 = у2 4- 2у 4-1 - 16 =
= (У +1)2 - 16 = (у 4-1 4- 4)(у 4-1 - 4) = (у 4- 5)(у - 3).
Поэтому
х(х 4- 1)(х 4- 2)(х 4- 3) — 15 = (.г2 4- Зх 4- 5)(ш2 4- Зх - 3).
ПРИМЕР 10. Разложить на множители многочлен
(х - 4)4 + (ж 4-2)4.
16
Решение. Обозначим ——ж 2 = х -1 через у. Тогда
(х - 4)4 4- (х 4- 2)2 = (у- З)4 4- (у 4- З)4 = у4 - 12у3 4- 54У2 -
- 108з/ 4- 814- у4 4- 12у3 4- 54у2 4-108?/ 4- 81 =
= 2у44-Ю8т/24-162 = 2(j/44-54j/24-81) = 2 [(у2 4- 27)2 - 648] =
= 2 (у2- 4- 27 - л/648) (у2 4-. 27 4- Тб48) =
= 2 ((ж - I)2 4- 27 - л/648) ((ж - I)2 4- 27 4- л/б4в) =
= 2 (ж2— 2х 4- 28-18^) (ж2 - 2х 4- 28 4-1875) .
1.1.9.	Комбинирование различных методов. Часто
при разложении многочлена на множители приходится приме-
нять последовательно несколько из рассмотренных выше ме-
тодов.
Пример 11. Разложить на множители многочлен
х* — Зя2 4- 4х — 3.
Решение. Применяя группировку, перепишем многочлен
в виде
ж4 — Зя2 4- 4х — 3 = (ж4 — 2ж2) — (ж2 — 4ж 4- 3).
Применяя к первой скобке метод выделения полного квадрата,
имеем
ж4 — Зж2 4- 4ж — 3 = (ж4 — 2 • 1 • ж2 4-12) — (ж2 — 4ж 4- 4).
Применяя формулу полного квадрата, можно теперь запи-
сать, что
ж4 — Зж2 4- 4ж — 3 = (ж2 — I)2 — (ж — 2)2.
Наконец, применяя' формулу разности квадратов, получим,
что
ж4 — Зж2 4- 4ж — 3 = (ж2 — 1 4- ж — 2)(ж2 — 1 — ж + 2) =
= (ж2 4- ж - 3)(ж2 - ж 4-1).
17
$ 1.2. Простейшие способы решения
алгебраических уравнений
В случае ,п = 1 уравнение (I) обычно записывается в виде
ая + Ь = 0,	«0 0
(1)
и называется уравнением первой степени. Уравнение (1) имеет
единственный корень жо = —Ь/а.
В случае п = 2 уравнение (I) обычно записывается в виде
ах2 + Ьх + с = 0,	«00	(2)
и называется квадратным уравнением.
Хорошо известно, что если дискриминант D = Ь2 — 4ас
квадратного трехчлена ах2 + Ьх 4- с:
а) отрицателен, то уравнение (2) не имеет корней;
. б) положителен, то уравнение (2) имеет два различных кор-
ня
—Ъ + л/Ь2 — 4ас	—& — у/b2 - 4ас ,_х
11 =----------Га--------' 11 =-------------Га-------;	(3)
, в) равен нулю, то уравнение (2) имеет единственный ко-
ft ™
рень хо =	. Иногда в этом случае говорят, что уравне-
ние (2) имеет два совпадающих корня жх = х% = ——. Легко
2а
видеть, что они также отыскиваются по формулам (3).
При п = 3 и п — 4 существуют формулы для нахождения
корней алгебраических уравнений третьей и четвертой степе-
ней, однако в силу их громоздкости они применяются редко.
В общем случае не существует формул для нахождения
корней любого алгебраического уравнения более высокой сте-
пени, чем четыре. Тем не менее достаточно часто приходится
решать алгебраические уравнения степени большей, чем два.
Если многочлен Рп(х) записан в виде произведения много-
членов первой и второй степени, то уравнение (I) равносильно
18
совокупности соответствующих уравнений первой и второй
степени', формулы решения которых приведены выше.
Пример 1. Решить уравнение
(ж-2)(ж2 + Заг + 2) = 0.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
уравнений ж — 2=0иж^4-Зж4-2 = 0. Решение первого из
этих уравнений есть xi = 2. Решения второго уравнения есть
х2 = —2 и хз = — 1. Следовательно, решения исходного урав-
нения есть #1 = 2, х2 = —2 и ж3 = -1.
Ответ: х± = 2, х2 = -2, ж3 = -1.
Если многочлен Рп(х) имеет степень большую, чем 2, и
не разложен на множители первой и второй степени, то его
сначала надо каким-либо способом разложить на такие мно-
жители, а затем заменить уравнение (I) равносильной ему со-
вокупностью уравнений.
Приведем решения некоторых алгебраических уравнений
Рп(ж) = 0; основанные-на разложении его левой части— мно-
гочлена — на множители методами, изложеннными в
предыдущем параграфе.
Пример 2. Решить уравнение
- 2а;2 - 12ш - 8 = 0.	(4)
Решение. Поскольку
ж4 - 2ж2 - 12tr - 8 = ж4 + 2ж2 4- 1 - 4т2 - 12ж- 9 =
= (ж2 4-1)2 - (2ж 4- З)2 = (ж2 4-1 — 2ж - 3)(ж2 4-1 4- 2ж 4- 3),
то данное уравнение равносильно совокупности двух уравне-
ний	4
ж2 - 2ж - 2 = 0 и ж2 4- 2ж 4- 4 = 0.
Второе уравнение этой совокупности решений не имеет, ре-
шения первого есть = 1 4- v^3 и ж3 = 1 — л/З. Эти числа и
являются решениями уравнения (4).
Отввг: жь = 1 + аД х? = 1 -
Пример 3. Решить уравнение
х3 4- Зх 4- 5д/2 = 0.
Решение. Будем искать многчлены х 4- а и fax2 4- fax 4- fa
такие, что справедливо тождественное равенство
(х 4- a)(/?i£2 4- fax 4- fa) = х3 + 3х + 5х/2.
Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях неизвестного х в левой и правой частях этого равенства,,
имеем систему равенств
Ifa = 1,
fa + a fa = 0,
faot 4- fa = 3,
а/?з = 5л/2.
Этой системе равенств удовлетворяют числа fa = 1, fa =
= —\/2, fa = 5, а = л/2. Поэтому справедливо разложение
многочлена на множители:
х3 4- Зх 4- 5\/2 = (х 4-	(х2 - V2x 4“ б) ,
откуда следует, что исходное уравнение равносильно совокуп-
ности уравнений
х 4- V2 = 0 и х2 -	4-5 = 0.
Эта совокупность имеет единственное решение х = —л/2.
Ответ: х = -д/2.
Пример 4. Решить уравнение
х3 4- Зж2 — 2х - 2 = 0.
Решение. Поскольку коэффициенты многочлена — целые
числа и старший коэффициент равен 1, то рациональные кор-
ни многочлена, если они есть, могут быть только среди чисел
20
£1 и ±2. Легко проверить, что х = 1 есть корень многочлена.
Значит, данный многочлен делится на х — 1. Произведем деле-
ние многочлена ж3 4- Зж2 ~ 2ж — 2 на двучлен х — 1 “столбиком”:
ж3 4- Зж2 - 2ж -2	ж — 1
ж3 —ж2 ж24-4ж4-2
4ж2— 2ж— 2
4ж2 — 4ж
_2ж-2
2ж—2
О
Следовательно, ж3+Зж2— 2ж-2 = (ж-1)(ж24-4ж4-2), и исход-
ное уравнение равносильно совокупности уравнений ж — 1 = О
и ж2 4- 4ж 4- 2 = О, откуда получаем, что решения исходного
уравнения есть Ж1 = 1, ж2 = -2-4- \/2, ж3 = -2 — \/2. ’
Ответ: жх = 1, ж2 = -2 4- л/2, ж3 = -2 - \/2.
ПРИМЕР 5. Решить уравнение
ж4 - 2х/3®2 - х + 3 - д/З = 0.	(5)
Решение. Обозначим у/3 = а и рассмотрим уравнение с
параметром: ж4 - 2аж2 - ж 4- а2 — а = 0.
Рассматривая это уравнение как квадратное относительно
а, разложим его левую часть на множители
ж4 - 2аж2 - ж 4- а2 - а = (а - ж2 4- ж)(а - ж2 — ж - 1).
Значит, уравнение (5) равносильно совокупности уравнений
ж2 — ж — у/3 = 0 и ж2 4- ж 4-1 — у/3 = 0.
Множество решений первого уравнения есть
1 4- \/1 + 4\/3	1 + \/1-4х/3
хг --------2------ и. =---------2—.
Множество решений второго уравнения есть
-1 +л/4х/3-3	-1-\/4х/3-3
Хз = ------------- И Х4 = —-------—---—.
21
Следовательно, неходкое уравнение имеет четыре корня: х\,
X2f хз и Х4.
л	1 +а/1+4ч/3	1 + л/1-4л/5
Ответ: xi =-----—-----, х2 =-------—‘,
-1 + VW3-3	-1 - х/4д/3-3
хз- 2	»®4 -	2
§ 1.3. Симметрические и возвратные
уравнения
1.3.1. Симметрические уравнения третьей степе-
ни. Уравнения вида
ах3 + bx2 +Ьх + а = 0. а 0 О,	(1)
называются симметрическими уравнениями третьей степе-
ни. Поскольку аж3 4- Ьх2 + Ьх + а ~ а(х3 4- 1) 4- Ьх{х 4- 1) =
= а(х 4- 1)(ж2 - х 4* 1) 4- Ьх(х 4-1) = (х 4- 1)(аж2 + (Ь — а)х 4- а),
то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений
х4-1=0 и ах2 4- (Ь — а)х 4- а = О,
решить которую не представляет труда.
Пример 1. Решить уравнение
Зж3 4-4ж2 4-4ж 4-3 = 0.	(2)
Решение. Уравнение (2) является симметрическим урав-
нением третьей степени. Поскольку Зж3 4- 4ж2 4- 4ж 4- 3 =
= З(ж3 4- 1) 4- 4ж(ж 4-1) = (ж 4- 1)(3ж2 — Зж 4- 3 4- 4ж) =
= (ж 4- 1)(3ж2 4- ж 4- 3), то уравнение (2) равносильно сово-
купности уравнений
х 4-1 = 0 и Зж2 4- ж 4- 3 = 0.
Решение первого из этих уравнений есть ж = — 1, второе урав-
нение решений не имеет.
Ответ: ж = -1.
22
1.3.2. Симметрические' уравнения четвертой сте-
пени. Уравнения вида
аж4 + Ьх3 + сх3 + Ьх + а = 0, а £ 0,	(3)
называются симметрическими уравнениями четвертой сте-
пени.
Поскольку х = 0 не является корнем уравнения (3), то раз-
делив обе части уравнения (3) на я:2, получим уравнение рав-
носильное исходному (3):
ах2 4-	4- Ьх 4- - 4- с = 0.	(4)
х2 х
Перепишем уравнение (4) в виде:
4-6
4-с = 0.
В этом уравнении сделаем замену х 4- — = у. тогда получим
квадратное уравнение	х
ау2 4- by 4- с - 2а = 0.	(5)
Если уравнение (5) имеет два корня yi и у2> то исходное
уравнение равносильно совокупности уравнений
ж2 - xyi 4-1 = 0 и х2 — ху2 4-1 = 0.
Если же уравнение (5) имеет один корень уо, то исходное
уравнение равносильно уравнению х2 — уох 4-1 = 0.
Наконец, если уравнение (5) не имеет корней, то и исходное
уравнение также не имеет корней.
Пример 2. Решить уравнение
х4 — 5ж3 4- 8а;2 — 5х 4-1 = 0.	(6)
Решение. Данное уравнение является симметрическим
Уравнением четвертой степени.. Так как х = 0 не является
23
его корнем, то, разделив уравнение (6) на я2, получим равно-
сильное ему уравнение
а:2 — 5ж + 8 — — += 0.	(7)
X X2
Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение (7) в виде
х2 4- i — 5 ( х + - J 4-8 — 0
х2 \	х)
или в виде
( 2 1V _ ( 1\ „ Л
(ж2 4— ) — 5 ( ж 4— I 4- 6 = 0;
\ х J \ х J
' 1
Положив ж 4— *= ?/, получим уравнение
х
у2 - 5у 4- 6 = 0,
имеющее два корня yi = 2 и у2 = 3. Следовательно, исходное
уравнение равносильно совокупности уравнений
1 1 о
х ~\— = 2 и х 4— = 3.
х	х
Решение первого уравнения этой совокупности есть xi = 1,
34-д/5	З-л/5
а решения второго есть х2 = —-— и хз = —-—. .
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: х\,
Х2 и Хз.
,	3 4-д/5	З-у/5
Ответ: xi — 1, х2 = —~, хз = —~.
и
1.3.3. Возвратные уравнения. Уравнения вида
аож2п+1 + ахо:2” + аъх2п~х Ч-F ап®п+1 +
+ Хапхп + А’ая-х®”-1 + • • • + а0А2п+1 = 0, (8)
аож2” + aix2n 1 4- О2Х2п 2 Ч-1- an~ixn+1 + апхп +
+ Аап-х®"-1 + А2оп_2жп-2 + • • • + А"а0 = 0, (9)
24
где А — фиксированное число и ао / 0 называются возврат-
ными^ уравнениями.
При А = 1 уравнения (8) и (9) являются симметрическими
уравнениями соотвественно нечетной и четной степеней. Воз-
вратное уравнение нечетной степени (8) всегда имеет корень
х = — А, поскольку это уравнение можно переписать в виде
ao(x2n+1 + A2n+1) + (цф2”"1 + А2”-1) + • • • + апхп(х + А) = О
и при х = — А выражения в каждой скобке обращаются в нуль.
Выделив множитель х 4- А из каждой скобки, можно доказать,
что уравнение (8) равносильно совокупности уравнений: урав-
нения х 4 А = 0 и некоторого возвратного уравнения четной
степени.
Для решения возвратного уравнения четной степени по-
ступают следующим образом.
Поскольку х = 0 не есть корень уравнения (9), то, разделив
уравнение (9) на хп и сгруппировав члены, получим уравнение
+ ап—1 ( х Ч— ) 4 ап = 0. (10)
\ х J
Положим ж + - = w, тогда имеем
х
= 4Хи2 4 2А2
и т.д., и уравнение (10) степени 2п относительно х запишем
в виде алгебраического уравнения степени п относительно
25
и. Таким ©бразомг мы от уравнения степени 2п перешли к
уравнению степени п. Если теперь удастся решить получен-
ное уравнение степени пг то найдутся все корни уравнения
(эк
Пример 3. Решить уравнение
2я4 4- Зя* - Зх2 - Зх + 2 = 0.	(11)
Решение. Уравнение (11) является возвратным уравнени-
ем четвертой степени (Л = — 1). Поскольку х = 0 не является
корнем этого уравнения, то оно равносильно уравнению
2я24-Зя — 3— — + — = 0.
X X2
Последнее уравнение перепишем в виде
2(®2 + -V)+3(s-“
\	\ X
-3 = 0
или в виде
2
п (	1
+ 3 ( х---
\	х
-3 = 0.
(12)
Положив х—- = у, запишем уравнение (12) в виде 2i/2+3y+l =
X
= 0. Корни этого уравнения есть у\ = -1 и у2 = -1/2. Следо-
вательно, исходное уравнение (11) равносильно совокупности
уравнений
1	11
я—— = — 1 И X-~
х	х 2
И Х2
2
Решения первого уравнения этой совокупности есть х^ =
-1-\/5
-------------------------, а решения второго хз =
. .	-1-У17
= --------- и х4 — --------. Следовательно, эти четыре
4	4
корня и являются корнями исходного уравнения.
26
-1 + л/5	-1-V5
Ответ: хг =-------, ж2 = —-----> Хз
-1- х/17
®4 = —------•
Пример 4. Решить уравнение
4
х* + Зж4 - ж3 4- 2ж2 - 24ж - 32 = G.
(13)
Решение. Уравнение (13) является возвратным уравнени-
ем степени 5 (А = —2), так как его можно записать в виде
ж6 + Зж4 - ж3 - ж2(—2) 4- Зж(—2)3 4- (-2)5 = 0..
Так как по сказанному выше х = 2 является его корнем, то,
сгруппировав члены уравнения, перепишем его в виде
(ж® - 32) 4- Зж(ж3 - 8) - ж2 (ж - 2) = G. (14)
Применяя формулы разности пятых и третьих степеней и вы-
делив множитель (ж — 2), перепишем уравнение (14) в виде
(х — 2)(ж4 + 2ж3 4- 4ж2 + 8х 4-16) 4-
+ Зж(ж — 2)(ж2 4- 2х 4- 4) - ж2 (ж — 2) = 0. (15)
Уравнение (15) равносильно совокупности уравнений
х - 2 = 0,
ж4 4- 2ж3 4- 4ж2 4- 8ж 4-16 4- Зж(ж2 4- 2ж 4- 4) — х2 = 0.
Уравнение (16) запишем в виде
х4 4- 5ж3 4- 9ж2 4- 20ж 4-16 = 0.	(17)
Уравнение ;(17) является возвратным уравнением четвертой
степени (А = 4). В самом деле, уравнение (17) можно записать
так:
ж4 4- 5ж3 4- 9ж2 4- 5 • х • 4 4* 42 = 0.	(18)
27
Так как х = 0 не является корнем уравнения (18), то, разделив
его на х2 и сгруппировав члены, получим уравнение
/	4-2 \	/	4 \
( х 4—) + 5 I х 4— ] 4- 9 = 0,	(19)
\	х2,)	\	xj
равносильное уравнению (18).
4
Положим х 4— =2/, тогда уравнение (19) перепишется в
.т
виде у2 - 8 4- 5у 4- 9 = 0.
п	>	-5 4-л/21
Решения последнего уравнения есть yi = ------------ и
—5 — л/21
2/2 =---------. Следовательно, уравнение (16) в свою очередь
равносильно совокупности уравнений
4
ж4-- =
х
-5 4-х/21	4	-5 - л/21
-------- и х 4— =-------------
2	х 2
Первое из этих уравнений решений не имеет. Решения второго
уравнения есть
-5 - л/21 + VlOV^l - 18
4 __________:
-5 - у/21 - \/10у/21 - 18
Итак, исходное уравнение (13) имеет три корня: xi,х-2 и
Хз-
Л -5 - л/21 + a/IOv'H -18
Ответ: xi = 2, х^ =----------------------
-5 - \/21 - а/Юл/21 - 18
То = --------------------.
1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнитель-
ными условиями на коэффициенты. Рассмотрим уравне-
ние четвертой степени
axi 4- Ьх3 4- сх~ 4- dx 4- f = О,
(20)
28
где а^О, Ь/0, й0Ои/ =
Так как х = 0 не есть корень этого уравнения, то, разделив
его на ж2, получим уравнение
ах2 + — +Ьх+- + с = 0.
х2 х
Обозначив Ъх + = у и учитывая, что
о	f	а 2 d2\	а	/,	d\2	,
ах2 4-	= т? ( Ъ2х2 4- -у )	=	г?	( Ьх 4- - )	-2bd	==
х2	b2 \ • х2 J	Ь2	\ ж/
= Д(г/2-2М), (21)
перепишем уравнение в виде
*	а о	Л d '
то У + у + с- 2а- = 0.
о2	b
После нахождения решений этого уравнения мы найдем реше-
ния исходного уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
х4 + 2а;3 - 11а;2 + 4х + 4 = 0.	(22)
Решение. В данном уравнении а = 1,6 = 2, d = 4, / = 4.
ad»2
Поскольку а 0, Ь 0, d / 0, f = -р-> то это уравнение
рассматриваемого типа. Поскольку х = 0 не является корнем
уравнения (21), то, разделив это уравнение на х2 и сгруппи-
/	2\2	/	2\
ровав его члены, получим уравнение ж 4— ) 4- 2 I ж 4— ) —
\	х /	\	х /
-15 = 0, равносильное уравнению (21). Так как решения урав-
нения у2 4- 2у — 15 = 0 есть yi = — 5 и у2 = 3, то исходное
уравнение (21) равносильно совокупности уравнений
2	2
х 4- - = 3 и х 4- - = —5,
х	х
29
решения которой есть Ж1 — 2,^з =	=--z—
_-5-Л7
#4	2	*
'	-5+V17	-5-
Ответ: Хх = 2, Х2 — 1, ЯГз =---, ж4 =--
£	Л
§ 1.4. Некоторые искусственные способы
- решения алгебраических уравнений
В этом параграфе будут приведены некоторые нестан
дартные способы решения; алгебраических уравнений.
1.4.1. Умножение уравнения на функцию. Иногда ре-
шение алгебраического уравнения существенно облегчается,
если умножить обе его части на некоторую функцию - много-
член от неизвестной. Нри этом надо помнить, что возможно
появление лишних корней - корней многочлена, на который
умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на много-
член, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение,
либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каж-
дый из таких корней надо обязательно подставить в исходное
уравнение и установить, является ли это число его корнем.
Пример 1. Решить уравнение
х3 — ж6 4- х4 — х2 4- Г = б.	(1)
Решение. Умножив обе части уравнения на многочлен
х2 4-1, не имеющий корней, получим уравнение
(х2 4- 1)(ж8 - х6 4- х4 - х2 4-1) = Q,	(2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в
виде
х1& 4-1 = 0.
(3)
30
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, по-
этому и уравнение (1) их не имеет.
Ответ: нет решений.
Пример 2. Решить уравнение
&е3 - х2 - 20ж + 12 = 0.
(4)
Решение. Умножив обе части уравнения на многочлен'
х + 1/2, получим уравнение
6т4 + 2ш3 — ^х2 + 2х + 6 = 0,	(5)
л
являющееся следствием уравнения (4), так как уравнение (5)
имеет корень х = —1/2, не являющийся корнем уравнения (4).
Уравнение (5) есть симметрическое уравнение четвертой
степени. Поскольку х = 0 не является корнем уравнения (5),
то разделив обе его части на 2х2 и перегруппировав его члены,
получим уравнение
0/2	1	А	(	1\	41	Л
3 (х2 + — ) + ( х + - )--	= 0,
\ х2 J \ х) 4
(6)
равносильное уравнению (5). Обозначив у = х+ перепишем
х
уравнение (6) в виде
(7)
Зу2 + у -	= 0.
Уравнение (7) имеет два корня: уд = —5/2 и у? = 13/6. Поэто-
му уравнение (6) равносильно совокупности уравнений
1 = 5
х 2'
Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня урав-
нения (6), а тем самым и уравнения (5,):
2	3 .	_	1
xi = д, х2 = х3 = -2, хд =
1	13
® + - — — и
X 6
31
Так как корень Х4 = —1/2 является посторонним для урав-
нения (4). то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три
корня: х±. Х2у хз.
Ответ: хх = 2/3. х2 = 3/2. х3 = -2.
Замечание. Прием, рассмотренный в примере 2. можно
применять к уравнениям, которые после умножения на неко-
торый многочлен превращаются в возвратные или симметри-
ческие уравнения.
Например, таким образом можно решать уравнения вида
ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = 0.	(8)
где а 0. d 0. с / а, а(с — а) = d(b — d). В самом деле.
а
умножив это уравнение на многочлен х 4- 3, получим симме-
о	d
трическое уравнение четвертой степени, среди корней кото-
рого содержится и корень х == — Отметим, что этот корень
а
может быть посторонним корнем для уравнения (8).
1.4.2. Угадывание корня уравнения. Иногда внешний
вид уравнения подсказывает, какое число является корнем
уравнения..
Пример 3. Решить уравнение
X3 + Зх - 123 - 3 • 12 = 0.
Решение. Из внешнего вида этого уравнения очевидно,
что х = 12 есть его корень. Для нахождения остальных корней
преобразуем многочлен
х3 4- Зх — (123 + 3 • 12) = (х3 - 123) + 3(х - 12) =
= (х - 12)(х2 4- 12х 4-122 4- 3) = (х - 12)(х2 4- 12х 4-147).
Так как многочлен х2 4- 12x4-147 не имеет корней, то исходное
уравнение имеет единственный корень х = 12.
Ответ: х = 12.
32
Пример 4. Решить уравнение
х3 — Зх = а3 -к
ал
где а — отличное от нуля число.
Решение. Так как
(9)
3.1	(	1V „ 2 1 п 1	(	1\3	„ /	1
и Ч—о — I d Ч— ) — 3d *-3d • — = [ d Ч— ) — 3 ( а Ч—
аг \ d J	a d£ \ a J V d
1
то отсюда заключаем, что = а Ч— есть один из корней
д
исходного уравнения. Разделив многочлен х3 — Зх - а3 —т на
1 а
двучлен х — d---, получим, что
д
х3 - Зх- (а3 Ч- Л-
\ а3
т.е. остальные корни уравнения (9) совпадают со всеми кор-
нями уравнения
/	]\	/ ]\2
х2 Ч- х I д Ч"	- )	+	( d Ч- - )	-3 = 0.	(10)
\	d j	\ d J
Дискриминант квадратного уравнения (10) есть
a)	D > 0 быть не может.
б)	D = 0 лишь при d = 1 и при d = —1.
2-199
33
Итак, уравнение (10) не имеет корней при а2 1, имеет 1
единственный корень х = — 1 при а = 1 и единственный корень I
х = 1 при а = —1. Добавляя еще один корень х = а 4- 1/а I
находим все корни исходного уравнения.	;
Ответ: при а = 1 два корня a?i = 2, Х2 = —1;	"
при а = — 1 два корня = —2, #2 = 1;	1
при а2 0 1 и а 0 0 один корень xi = а 4- 1/а.	|
Пример 5. Решить уравнение	|
х(х2 — а) = т(х2 4- 2тх 4- а),
где а и т — данные числа.
Решение. Из внешнего вида уравнения очевидно, что х =
—т является корнем.
Для нахождения остальных корней уравнения перенесем
все его члены в одну сторону и разложим полученный много-
член на множители. Тогда получим, что уравнение (11) можно
записать в виде
(х 4- ш)(яг2 — 2тх — а) = 0.	(12)
Уравнение (12) равносильно совокупности уравнений
#4-т—0 и ж2 ~ 2тж - а = 0.	(13)
Первое уравнение совокупности (13) имеет единственный
корень Xi =? —т, а второе уравнение имеет решения в зависи-
мости от дискриминанта:
а)	если т2 4- а > 0, то будет два корня,
б)	если т2 4- а — 0, то будет один корень,
в)	если т2х4- а < 0, то корней нет.
Отсюда легко находятся корни уравнения (11).
Ответ: при т2 4- а < 0 х± = —т;
при т2 4- а = 0 xi = —тп, Х2 = т;
при т2 4- а > 0 Xi = —т, я>2 = т — л/т2 + а,
4*з •= т 4- \/т2 4- а.
34
и»--
Пример 6. Решить уравнение
х(х 4-1) 4- (х + 1)(.т+ 2) 4- (х 4- 2)(х 4-3) + (ж4- 3)(ж 4-4)4-
4- (дМ- 4)(аг 4- 5) 4- (х 4- 5)(я 4- 6) 4- (х 4- 6)(ж 4- 7)4-
4- (х 4- 7)(ш 4- 8) 4- (х 4- 8)(х + 9) 4- (х 4- 9)(ж 4-10) =
= 1 • 2 4- 2 • 3 4- 3 • 4 4- 4 • 5 4- 5 • 6 4- 6 • 7 4- 7 • 8 4- 8 • 9 4- 9 • 10.
Решение. Легко заметить, что xi = 0 и х2 = —10 являют-
ся решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это
уравнение перепишется как квадратное. А это означает, что
оно может иметь не более двух корней. Так как два корня
этого уравнения найдены, то тем самым оно и решена.
Ответ: ан = 0, х2 = -10.
1.4.3. Использование симметричности уравнения.
Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симме-
тричность — подсказывает способ решения уравнения.
Пример 7. Решить уравнение
(х2 - х 4-1)3 _ х2(х ~ I)2
(5 -V5 + 1F ~ 5(л/5 — I)2*
(14)
Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подска-
зывает, что одиниз корней уравнения (14) есть .Т] = у/&. Од-
нако для нахождения остальных корней этого уравнения при-
ем, предложенный в предыдущем пункте (разложение много-
члена на множители), здесь мало поможет. Перепишем урав-
нение (14) в несколько ином виде.
Поскольку справедливы тождественные равенства
я2-.г 4-1 =	+4’
/ 1\2 1
х(х-1) = [а;- - ]
2
35
то уравнение (14) можно переписать так:
(5-\/5 + 1)3
- I)2
(15)
Теперь очевидно, что если xq — корень уравнения (15), то
Xi = 1 — xq также корень уравнения (15), поскольку
Покажем, что если Xi, Xi / 0, xi / Тресть корень урав-
нения (14), то Х2 = — также есть корень этого уравнения.
Х1
Действительно, так как
Г---+1У
X2 — £2 + I)3 _ \T2	£1 J _
xl(X2~ I)2 ~ 1/1	\2
О I	1 I
xf \Xl J
_ (1 - Xi 4- x3)3 _ (x'f - Xi + I)3
то отсюда и вытекает это утверждение.
Итак, если #i, Ж1 0, Xi 1 — корень уравнения (14), то
оно имеет еще корни
1	.1
, 1 Х1, 1	—’
T1	X!
1
1--1-’
т.е. уравнение (14) имеет корни
*5,	~ ~~г
i Я	1
Хз = 1 - v5, X4 =

, 1 1
—	1	, Xfj — j •
V5	1-^g
36
Поскольку уравнение (14) есть алгебраическое уравнение ше-
стой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким
образом, мы нашли все корни уравнения (14).
лл	/Е 1	1 г	1
Ответ: xi == у5,	жз = 1 — уо, ж*4 —---т=.
у 5	1 - у 5
-1	1	__	1
— 1	Хб —	* .
1.4.4. Использование суперпозиции функций. Ино-
гда можно найти корень уравнения, если заметить, что функ-
ция, находящаяся в одной из частей уравнения, является су-
перпозицией некоторых более простых функций.
Пример 8. Решить уравнение
(ж2 4- 2ж - 5)2 4- 2(ж2 4- 2ж - 5) - 5 = ж. (16)
Решение. Обозначим f(x) = ж2’4- 2х — 5, тогда уравне-
ние (16) можно переписать в виде /(/(ж)) = х. Теперь очевид-
но, что если хо — корень уравнения /(ж) = ж, то Жо и корень
уравнения f(f (ж)) = ж. Корни уравнения ж2 + 2ж — 5 = ж есть
-14-V^l	-1 ~ V21 „
Х1 = ---------- и Х2 — --------. Следовательно, и уравне-
ние (16) имеет эти корни. Переписав уравнение (16) в виде
ж4 4- 4ж3 — 4ж2 — 17ж.Ч-10 = О
(17)
и разделив многочлен ж4 -I- 4ж3 — 4ж2 — 17ж 4-10 на многочлен
(ж—Ж1)(ж —жг), получим, что уравнение (17) можно записать в
виде (ж2 4-ж — 5)(ж24-3ж — 2) = 0. Следовательно, корнями урав-
нения (16) наряду с Ж1 и Ж2 являются также корни уравнения
о п Л Л	—3 4-л/17	-З-х/17
х* 4- Зж - 2 = 0, т.е. числа жз =---и Ж4 =---.
-14-у^Т	—1 — \/21	—3 4-л/17
Ответ: Ж1 =------, ж2 =----------, ж3 ----,
Z	A	Z
-З-х/17
Ж4 = —I—
37
1.4.5* Исследование уравнения на промежутках
действительной оси. Иногда решения уравнения можно
найти, исследуя его на разных числовых промежутках.
Пример 9. Решить уравнение
2х9 - х5 4- х - 2 = 0.	(18)
Решение. Перепишем уравнение в виде 2(ж9 — 1) — х(гг4 —
-1) = 0 или, используя формулу разности
ап-Ъп = (а — Ь)(ап-1 + ап~2Ь + • • • +аЪп~2 + Ь”'1),
в виде	/
(ж - 1)(2ж8 4- 2ж7 4- 2ж6 4- 2ж6 4- ж4 4- ж3 4- ж2 4- х 4- 2) = 0.
Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть
х = 1. Докажем, что уравнение
2ж8 4* 2ж7 4- 2ж6 4- 2ж5 4- ж4 4- ж3 4- ж2 4- ж 4- 2 = 0.	(19)
решений не имеет.
Разобьем числовую ось на промежутки (-оо; —1], (—1;0] и
(0; -boo).
Для любого ж из промежутка (0;4-оо) имеем, что левая
часть уравнения (19) положительна, поэтому на этом проме-
жутке уравнение решений не имеет.
Поскольку
2ж8 4- 2ж7 4- 2ж6 4- 2ж5 4- ж4 4- ж3 4- ж2 4- ж 4- 2 =
= 2ж8 4- 2ж6 (ж 4-1) 4- 2ж4(ж 4-1) 4-
4- ж2(ж 4-1) 4-(ж 4-1) 4- (1 - ж4),
то для любого ж из промужутка (—1; 0] этот многочлен по-
ложителен. Это означает, что на промежутке (—1; 0] уравне-
ние (19) также не имеет решений.
Поскольку
2ж8 4- 2ж7 4- 2ж6 4- 2ж5 4- ж4 4- ж3 4- ж2 4- ж 4- 2 =
= 2ж7(ж 4-1) 4- 2ж5(ж 4-1) 4- ж3(ж 4-1) 4- ж(ж 4-1) 4-2,
38
то для любого х из промежутка (—оо; ~1] этот многочлен по
ложителен. Следовательно, и на промежутке (—оо; — 1] у равно
ние (19) не имеет решений.
Итак, данное уравнение (19) имеет единственное решение
х = 1.
Ответ: х = 1.
§ 1.5.	Решение алгебраических неравенств
1.5.1.	Простейшие способы решения алгебраичес-
ких неравенств. Так как, умножая неравенство (III) на (~1).
его можно привести к виду (II), а умножая неравенство (II) на
(—1), его можно привести к виду (III), то дальше будем счи-
тать, что в неравенствах (II) и (III) положителен коэффициент
при старшем члене, т.е. что ао > 0.
Таким образом, в этом пункте рассматриваются только
неравенства вида
OQXn + 01 хп 1 4--F ап > 0	(1)
аожп 4- aixn~l -I-F ап < 0,	(2)
где Оо > 0.
В случае п = 1 неравенства (1) и (2) обычно записывают в
виде
ах + Ь>	о > 0,	(3)
ах 4- Ъ < 0, а > 0	(4)
и называют неравенствами первой степени.
39
Множество решений неравенства (3) есть промежуток
; 4-оо ), множество решений неравенства (4) есть проме-
а /
/
жуток I —оо;—— I.
В случае п = 2 неравенства (1) и (2) обычно записывают в
виде
ах2 4- Ьх 4- с > 0, а > О,
ах2 4- Ьх 4- с < 0, а > О
(5)
(6)
и называют квадратными неравенствами.
Решения неравенств (5) и (6) зависят от знака дискрими-
нанта D = Ь2 — 4ас квадратного трехчлена ах2 4- Ьх 4- с и
приведены в таблице.
В случае п > 3 многочлен (IV) надо сначала разложить на
множители и затем либо заменить неравенство равносильной
ему совокупностью систем неравенств, либо применить изло-
женный ниже метод интервалов.
Отметим, что при разложении на множители, конечно,
можно пользоваться всеми теми же методами, которые были
изложены при решении уравнений.
40
Таблица
Неравенство	Дискриминант D и корни	Множество решении и график квадратного трехчлена ах2 + Ъх +с	
ах2 + Ъх + О^ а > 0	Z>>0, «1 < Х2		/ {—оо < х < xi}U / и{я?2 < х < 4-оо} -Л/"/г/""/"/ .
			
	II -°I<N o' « 1 11 н 11 ч ’ S . н II		. / {-оо < х < яо}и / U{#o < х < 4~оо}
	D<0, корней нет		{-00 < X < +оо}
ах2 + Ьх 4- с < 0, а > 0	D > 0, Ж1 < Х2	3]	/ {xi < X < Хъ} у——’
	п "In 0-1 11 н 11 е> о g * и		1 нет решений
	D<0	J	7
41
Пример 1. Решить неравенство
х3 - За;2 + Зх - 2 > 0.	(7)
Решение. Разложим методом группировки на множители
многочлен, находящийся в левой части неравенства
т3 - Зх2 -Ь Зх - 2 = х2(х — 2) - х(х — 2) 4-(ж — 2) =
= (х — 2)(#2 — х 4-1).
Тогда неравенство (7) можно переписать в виде
(х - 2)(я2 - х 4-1) > 0.	(8)
Так как х2 — х 4* 1 >0 для любого х, то неравенство (8) рав-
носильно неравенству х — 2 > 0.
Решения этого неравенства, а значит, и исходного, есть
все х > 2.
Ответ: 2 < х < 4-оо.
1.5.2.	Метод интервалов. В основе этого метода лежит
следующее свойства двучлена х — о: точка о делит числовую
ось на две части — справа от точки а двучлен х — а положи-
телен, а слева от точки а — отрицателен.
Пусть требуется решить неравенство
(х — О1)(ж — оз)... (ж ~ ®п) > 0,	(9)
где ох, 02,... ,оп^1, ап — фиксированные числа, среди кото-
рых нет равных, причем такие, что oi < 02 < • • • < Q^n-i <
on.
Рассмотрим многочлен
Р(х) = (х - aj(a; - а2) • • • (ж - ап).	(10)
Для любого числа xq такого, что хо > оп> соответствую-
щее числовое значение любого сомножителя в произведении
(10) положительно, а значит, P(xq) > 0. Для любого числа xi,
42
взятого из интервала (ап-1,ап), соответствующее числовое
значение любого из множителей, кроме множителя (х — ап),
положительно, поэтому число P(xi) < 0 и т.д.
На этом рассуждении и основан метод интервалов, состо-
ящий в следующем: на числовую ось наносят числа oi, «25 • • •
... ,оп; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. чи-
сла оп, ставят знак плюс, в следующем за ним справа нале-
во интервале ставят знак минус, затем — знак плюс, затем
— знак минус и т.д. Тогда множеством всех решений нера-
венства (9) будет объединение всех промежутков, в которых
стоит знак плюс, а множеством решений неравенства
(ж - О1)(ж - а2)... (ж - ап) < О,	(И)
где ai < оз < • • • < будет объединение всех промежутков,
в которых стоит знак минус.
Пример 2. Решить неравенство
(ж 4- 3)(s - 4)(2.т 4- 5) < 0.	(12)
Решение. Перепишем неравенство в виде
2(ж - (-3))(ж - (—5/2))(х - 4) < 0.
Отметим на координатной оси числа (—3), (—5/2) и 4 и рас-
ставим знаки плюс и минус так, как указано на рис. 1.
Решениями неравенства (12) будут все х из объединения
промежутков (—оо; -3) и (—5/2;4).
Ответ: -оо < х < -3; —5/2 < х < 4.
43
Пример 3. Решить неравенство
х7 4- 8а.'4 — а:3 — 8 > 0.
Решение. Перепишем неравенство (13) в виде
(13)
(а:4 - 1) (ат3 4- 8) > 0
ИЛИ
(а* - 1)(ж 4- l)(ar2 + 1)(ат 4- 2)(а;2 - 2х 4- 4) > 0.	(14)
Поскольку х2 4-1 > 0 и х2 -2а? 4-4 > 0 для любого дей-
ствительного х, то неравенство (14) равносильно неравенству
(х -1) (а; 4-1)(аг 4- 2) > 0. Применяя метод интервалов, находим	,
решения последнего, а значит и исходного неравенства: это
будут все х из двух промежутков —2 < х < —1, 1 < х < 4-ос
(рис. 2).
Ответ: -2 < х < -1; 1 < х < 4-оо.
Метод интервалов можно применять и при решении нера- .
венств вида	’
S4>°,	 (15) i
Qw	i
где P(x) и Q(x) —многочлены, если заметить, что на множе-
стве всех действительных чисел неравенство (15) равносильно <
неравенству Р(х)  Q(x) > Q.	г
Рис. 2
Пример 4. Решить неравенство
(х2 — 5х + 6)(4 — х)
х2 + Зх + 2.	<
(16)
44

Решение. Неравенство (16) равносильно неравенству
(я2 — 5х 4- 6)(4 - х)(х2 4- Зх + 2) < 0.
Перепишем это неравенство в виде
(х - 2)(ж - 3)(я - 4)(ж 4- 1)(я 4- 2) > 0.	(17)
Применяя метод интервалов (рис. 3), получим, что реше-
ниями неравенства (17), а значит, и решениями исходного не-
равенства, являются все х из трех промежутков — 2 < х < -1,
2 < ш < 3, 4<х < 4-оо.
Ответ: -2 < х < -1; 2 < х < 3; 4 < х < 4-оо.
1.5.3.	Обобщенный метод интервалов. Иногда алге-
браические неравенства степеней более высоких, чем два, пу-
тем равносильных преобразований приводятся к виду
(х - Oi)A1 (х - а2)к2 ... (я - an-i)^”1 (^ - &п)кп > О,
где Al, k2i... укп — целые положительные числа; а2,...
... , ап — действительные числа, среди которых нет равных,
такие что oi < а2 < ... < an^i < ап-
Такие неравенства могут быть решены с помощью так. на-
зываемого обобщенного метода интервалов.
В основе его лежит следующее свойство двучлена (х — а)п:
точка а делит числовую ось на две части, причем:
а)	если п четное, то выражение (х — а)п справа и слева от
точки х = а сохраняет положительный знак,
45
б)	если п нечетное, то выражение (х — а)п справа от точки
х = а положительно, а слева от точки х = а отрицательно.
Рассмотрим многочлен
Р[х) = (х - Q1)*1 (х - а2)*2... (ж - an^i)kn^ (х - ап)кп,
(18)
гдео!1 < 02 < •. • <
Для любого числа xq такого, что то > ап, соответствую-
щее значение любого сомножителя в (18) положительно, по-
этому числовое значение Р(#о) также положительно.
Для любого xi, взятого из интервала (an-i,an), соответ-
ствующее значение любого сомножителя в (18), кроме послед-
него, положительно, а соответствующее значение последнего
сомножителя положительно, если кп — четное число, и от-
рицательно, если кп — нечетное число. Поэтому число Р(х\)
положительно, если кп — четное число, и P(xi) отрицательно,
если кп — нечетное число.
Аналогично показывается, что если известен знак Р(х) на
интервале (аг-,аг-+1), то на промежутке (ai-i,ai) знак Р(х)
определяется по следующему правилу. Многочлен Р(т) при пе-
реходе через точку аг:
а)	меняет знак на. противоположный знаку Р(х) на
(а$,а<+1), если ki — нечетное число;
б)	не меняет знака (тот же знак, что у Р(ж) на (а;,а/+1)).
если ki — четное число.
На этом рассуждении и основан обобщенный метод интер-
валов: на числовую ось наносят числа ai, аг,... ,ап; в про-
межутке справа от наибольшего из корней многочлена ста-
вят знак плюс, а затем, двигаясь справа налево, при переходе
через очередной корень а$ меняют знак, если ki — нечетное
число, и сохраняют знак, если ki — четное число.
Пример 5. Решить неравенство
(х + 7)(2х - 5)3(6 - х)5(3х + 10)4 < О. (19)
Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде
(х - (-7))(х - (- 10/3))4(х - 5/2)3(х - 6)5 > 0.	(20)
46-
Для решения этого неравенства применим обобщенный метод
интервалов. На числовой оси отметим числа —7, —10/3, 5/2, Ь
(рис. 4). Справа от наибольшего числа (числа 6) ставим знак
плюс. При переходе через точку х = 6 многочлен
Р(х) = (х - (-7))(ж - (- 10/3))4О - 5/2)3(ж - 6)5 (21)
Рис. 4
меняет знак, так как двучлен (х — 6) содержится в нечетной
степени, поэтому в промежутке (5/2; 6) ставим знак минус.
При переходе через точку х = 5/2 многочлен Р(х) меняет
знак,так как двучлен (ж—5/2) содержится в произведении (21)
в нечетной степени, поэтому в промежутке (—10/3; 5/2) ста-
вим знак плюс. При переходе через точку х = —10/3 мно-
гочлен Р(ж) не меняет знака, так как двучлен (ж - (—10/3))
содержится в произведении (21) в четной степени, поэтому в
промежутке (—7; —10/3) ставим знак плюс. Наконец, при пе-
реходе через точку ж = —7 многочлен Р(ж) меняет знак, так
как двучлен (ж -I- 7) содержится в произведении (21) в первой
степени, поэтому в промежутке (—оо; —7) ставим знак минус.
Решением неравенства (20), а значит, и равносильного ему
исходного неравенства будет совокупность промежутков, где
стоит знак плюс, т.е. объединение множеств —7 < ж < —10/3,
—10/3 < ж < 5/2 и 6 < ж < Ч-оо.
Ответ: -7 < ж < -10/3; -10/3 < ж < 5/2; 6 < ж < 4-оо.
47
(22)
Замечание 1. Обобщенный метод интервалов можно при-
менять и при решении неравенств
Р(£)
<Э(ж)
где Р(х) и Q(x) — многочлены, если заметить, что на множе-
стве всех действительных чисел неравенство (22) равносильно
неравенству
P(x)Q(x) > 0.
Пример 6. Решить неравенство
(ж2 + 1)(ж2 — 1)2(ж — З)4
(х + 2)2(2ж - З)5
Решение. Неравенство (23) равносильно неравенству
(ж2 + 1)(ж2 - 1)2(ж - 3)4(гг + 2)2(2ж - З)5 < 0.
(23)
Поскольку х2 + 1 > 0 при любом х, то последнее неравенство
равносильно неравенству
(х - 1)2(.т + l)2(s - 3)4(ж 4- 2)2(я - 3/2)5 < 0.
Рис. 5
Применим обобщенный метод интервалов. На числовой оси
отметим точки —2, —1,1, 3/2 и 3 и расставим знаки, как ука-
зано на рис. 5. Те промежутки, где стоит знак минус, и дадут
все решения неравенства (23).
Ответ: -2 < х < -1; -1 < х < 1; 1 < х < 3/2.
Замечание 2. Обобщенный метод интервалов можно при-
менять и так:
1) найти все различные корни «1, «2,...,«*; «1 < а% <
... <ak (к < n) многочлена Рп(я);
2) выяснить знак многочлена’Рп(х) на каждом из интер-
валов (a^ai+i), i = 1,2,... ,fc — 1, (—оо, «1) и («*,4-оо), под-
ставляя в Рп(х) вместо х любое число из этого интервала.
Пример 7. Решить неравенство
(1 4- я)(1 - Зя)(4 - я2)3(2 4- 5я)(1 - я)2 > 0.	(24)
Решение. Многочлен Р(х) = (1 - Зя)(4 - я2)3(2 4- 5я)(14-
я)(1 — я)2 обращается в нуль в точках х = 1/3, х = 2, х = -2,
# = -5/2, я = —1,я = 1. Эти точки разделяют числовую ось
на семь промежутков (рис. 6). Так как при х = 3
Рис. б
имеем 1-Зя < 0, (4-я2)3 < 0, 24-5я > 0,14-я > 0, (1-я)2 > О,
то Р(3) > 0, поэтому справа от точки я = 2, т.е. в промежутке
2 < я < 4-оо, ставим знак плюс. Затем рассмотрим, например,
я = 3/2 из промежутка 1 < я < 2. Так как при я = 3/2 имеем
1 - Зя < 0, (4 - я2)3 > 0, 2 4- 5я > О, 1 4- я > О, (1 - я)2 > О,
то Р(3/2) < 0, поэтому справа от точки я = 2 в промежутке
1 < я < 2 ставим знак минус. Поступая аналогично, расставим
знаки плюс или минус, как указано на рис. 6.
Решением неравенства(24) будет объединение всех тех
промежутков, в которых поставлен знак плюс, т.е. это бу-
дет объединение промежутков 2 < я < 4-6о, —Т < я < 1/3,
—5/2 < я < -2.
Ответ: 2 < я < 4-оо; -1 < я < 1/3; -5/2 < я < -2.
49
1
Задачи
Решить уравнение
1.	х3 - 2т2 - 9 = 0.
2.	6т3 - т2 - 20гс +12 = 0.
3.	г3 - 6т2 + 5т + 12 = 0.
4.	(х - I)3 + (2х + З)3 = 27т3 + 8.
5.	т3 - (л/2 +1) х2 + 2 = 0.
6.	9т3 - 13т - 6 = 0.
_ з 27	.1
7.	хл —— = 4-ж.
8	2
8.	4л/2ж3 - 22т2 + 17\/2х -6 = 0.
9.	т3 - Зт = 64 +
64
10.	х(х +1) + (т +1)(т + 2) + (ж + 2)(т + 3) + (ж+ 3)(т +4)4-
+(« + 4)(т + 5) = 1-2 + 2-3 + 3-4 + 4-5.
11.	а?1-(25 +7^)ж2+ 1=0.
\	25/
12.	т4+ 2т3 - т = 2.
13.	т4 + Зт3 + 4т2 + 6т + 4 = 0.
14.	Ют4 + Зт3 + 5х2 + 5т + 8 = 0.
15.	4т4 + 4т3 + Зт2 — т — 1 = 0.
16.	т4 — х3 — 2т2 + Зт — 3 = 0.
17.	т4 - 6т3 + 7т2 + 6т - 8 = 0.
50
18.	х4 — 2х3 - х2 — 2т 4-1 = 0.
19.	т4 4- т3 - 15т2 - Ют + 50 = 0.
20.	х4 - 22т2 - 5т 4- 2 = 0.
21.	ж5 — Зх4 — т3 4- 5т2 4- х — 1 = 0.
22.	а;5 - 2т4 - 6т3 4- 12т2 4- х - 2 = 0.
23.	т6(1 — х) — т3(1 — х2) 4- х — х2 = 0.
24.	- 6т4 4- 8т2 = -3.
25.	{х 4-1)4 =2(1 4- т4).
26.	6(1 4- т2)2 = 25(1 - т2).
27.	х4 - 2^2х2 - х 4-'2 - -Д = 0.
28.	(2т2 - За: 4-1)(2т2 4- 5х 4-1) = 9а:2.
29.	{х 4- З)4 4- (а: 4- 5)4 = 16.
30.	х4 4- 4т - 1 = 0.
31.	т4 - 4т3 - 1 = 0.
Решить неравенство
32.	х3 - 6т2 4- 12т - 10 > 0.
33.	(а:2 4- х 4- 1)(т2 4- х 4- 2) < 12.
34.	а:3 — х > 336.
35.	2т3 4- х 4- у/2 > 0.
36.	т3 — (л/З — 1) т2 — 3 < 0.
37.	х4 - 2з? 4- 8т - 3 > 0.
38.	т4 - .г2 4- 2т — 1 > 0.
51
39.	a:4 - 4а: 4- 3 > 0.
40.	х4 4-1 - Зх3 + Зх > 0.
41.	(5 -ж)4 4- (2 - х)4 > 17.
42.	(х - 1)(ж - 3)(ж - 4)(ж - 6) > 17.
43.	(6ж 4- 5)(3ж 4- 2) (ж 4-1) < 29.
44.	(х2 — х)2 4- 3(ж2 — х) 4- 2 > 0.
45.	а:12 — х9 4- х4 — х 4-1 > 0.
46.	х4 — а:3 — Юж2 4- 2ж 4- 4 < 0.
47.	(х 4-1)4 >2(1 4- ж4).
48.	Зж2 (х - 4)2 < 32 - 5(ж - 2)2.
49.	(х 4- 2)(2 - ж)2 < 0.
50.	(х - 1)(ж 4- 2)(ж - 3) < 0.
51.	(2ж — 3)(ж 4-4)(2 — ж) > 0.
52.	(х 4- 3)(3ж - 2)2(ж -4) < 0.
53.	(ж — 1)2(х 4-2)3ж > 0.
54.	(ж3 - 1)(ж4 - 1)(ж5 - 1) < 0.
55.	(ж2-3x4-2) (ж2-х) < 0.
56.
(х2-1)(4-х2) <0
58.
(2х - 3)4(3ж 4- 1)3(х2 4- ж)2
(ж2 4- х 4-1) (ж2 — 25)
(х + 3)4(х + 2)2
(х+-5)2-
52
59.
60.
(a:2 - 1)(ж3 4-1)2 n '
x* - 1
xs 4- x6 — 4z4 4- x2 4- 1 q
ж8 — ж5 4- x2 — x 4-1
Глава II
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА,
СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛЫ,
СТЕПЕНИ, ЛОГАРИФМЫ И
МОДУЛИ
§ 2.1. Уравнения и неравенства,
содержащие неизвестную под знаком
радикала
2.1.1. Возведение в степень. Основным методом реше-
ния уравнений и неравенств, содержащих радикалы, является
возведение, возможно даже неоднократное, обеих частей урав-
нения или неравенства в соответствующую степень.
При возведении обеих частей уравнения или неравенства в
степень надо следить за равносильностью преобразований.
Для уравнений можно не следить за равносильностью, то-
гда в конце решения надо делать проверку найденных корней.
Пример 1. Решить неравенство
у/8х 4- 7 - у/х 4- 2 < д/х 4- 3.	(1)
Решение. ОДЗ1 неравенства состоит из всех я?, удовлетво-
ХОДЗ (область допустимых значений) уравнения f(x) — 0 (неравен-
ства f(x) > 0) это множество всех значений хо, для каждого из которых
выражение /(я?о) имеет смысл.
ряющих одновременно условиям
&г 4- 7 > 0, х 4- 2 > 0, х 4- 3 > О,
т.е. ОДЗ есть все х из промежутка [—7/8;4-оо). Перепишем
неравенство (1) в виде
х/8х4-7 < \/х -р2 4- у/х 4- 3.	(2)
На ОДЗ обе части неравенства (2) неотрицательны, поэтому,
возводя обе части этого неравенства в квадрат, получим на
ОДЗ исходного неравенства равносильное ему неравенство
6® + 2 < 2^(ж + 2)(я; + 3).	(3)
На ОДЗ неравенства выражение 6х + 2 принимает как поло-
жительные, так и отрицательные значения, поэтому разобьем
ОДЗ на два промежутка [—7/8; —1/3] и (-1/3; 4-оо). Для любо-
го х, принадлежащего промежутку [-7/8; -1/3], левая часть
неравенства (3) неположительная, а правая — положительная.
Это означает, что для каждого из таких х неравенство (3)
выполняется.
Если х принадлежит промежутку (—1/3; -Foo}, то обе ча-
сти неравенства (3) положительны и оно на это области рав-
носильно неравенству
(Зх + I)2 < (х 4- 2)(х 4- 3),
т.е. неравенству
8х2 4- х - 5 < 0.
(О
Решениями неравенства (4) являются все х из промежутка
— 1 —л/161	-1 + \/161 *
----—---- < х < -----—----. Ддя х из этого промежутка
условию —1/3 < х < 4-оо удовлетворяют только х из проме-
жутка
55
Объединяя полученные решения в каждом из двух случаев,
получаем, что решениями исходного неравенства являются все
7	-1 4->/161
х из промежутка -- < х <------—-----.
о _________16
г. 7 /	. -1 + \/161
Ответ: --	<	х <----—-----•
о	16
Пример 2. Решить уравнение
/ж 4 2 4 у/х 4 1 = 7.	(5)
Решение. ОДЗ уравнения (5) есть все х > —1. На ОДЗ обе
части уравнения (5) положительны, поэтому после возведения
в квадрат получим уравнение
х 4 2 4 2>\/(х 4 2) (ж 4 1) 4 х 4 1 ~ 49,	(6)
равносильное для х > -1 уравнению (5). Перепишем уравне-
ние (6) в виде
у/(х + 2)(х + 1) = 23- х.	(7)
Для любого х > 23 левая часть уравнения (7) положительна, а
правая отрицательна. Следовательно, среди х > 23 нет реше-
ний уравнения (7).
Для — 1 < х < 23 левая часть уравнения (7) неотрицатель-
на, поэтому после возведения в квадрат получим уравнение
Сг + 2)(а; + 1) = (23- х)2,	(8)
равносильное для этих х уравнению (7). Уравнение (8) имеет
527
единственный корень х$ =• ^ак как эт0 нисло хо удовле-
творяет условию -1 < х < 23, то то является корнем уравне-
ния (5), равносильного уравнению (8) для этих т.
527
Ответ: ж =
Пример 3. Решить уравнение
у/8х 414 /Зх - 5 = /7x 4 4 4 /2х - 2.	(9)
56
Решение. Перепишем уравнение (9) в виде
V8a: +1 - 72а:-2 = л/7ж + 4 - л/Зх -5.	(10)
Возводя обе части уравнения (10) в квадрат, получим урав-
некие
8я + 1 4- 2я - 2 — 2\/8гг -Ь 1л/2ж - 2 =
= 7х 4- 4 + Зх — 5 — 2х/7ж 4- 4л/3ж - 5,
являющееся следствием исходного уравнения (9). Последнее
уравнение можно переписать в виде
4- 1\/2я? — 2 = 5/75~Т4\//Зж~-^5.
Следствием этого уравнения является уравнение
(Зх 4- 1)(2ш — 2) = (7х 4- 4)(3я - 5).	(И)
Решения уравнения (11) есть xi = 3 и Х2 = —6/5. Так как
уравнение (11) — следствие уравнения (9), то надо проверить,
являются ли xi и Х2 его корнями. Подставляя эти значения
х в исходное уравнение, получаем, что х = 3 является его
решением, а х = —6/5 не является.
Ответ: х = 3.
Замечание. Если уравнение {5) решать переходом к след-
ствию, то проверка найденного корня была бы затруднитель-
на. Если уравнение (9) решать с помощью равносильных пре-
образований, то его решение будет намного сложнее, чем при-
веденное выше.
Поэтому при решении уравнений с радикалами надо уметь
пользовться любым из этих способов..
2.1.2. Уравнения вида y/f(x)±y/g(x) = h(x). Уравне-
ние
77w±v^) = ^)	(12)
можно решить при помощи описанного в пункте 2.1.1 основ-
ного метода, но иногда их можно решить следующим образом.
Рассмотрим решение уравнении типа (12) на множестве М
— тех значений х, для которых h(x) 0.
Пусть xq— корень уравнения
4-	= 7i(ar)	(13)
и h(xo) 0. Тогда справедливо числовое равенство
\//(яо) + \/д(х0) = h(x0).	(14)
Найдем разность чисел
Л^о) - р(®о) = «(®о)	(15)
и запишем равенство (15) в виде
(у/М ~	(v7(®a) + л/й^о)} = «(жо)- (16)
Используя равенство (14), запишем равенство (16) в виде
(17)
Равенство (17) означает, что число хо есть корень уравнения
(18)
Таким образом, уравнение (18) является следствием уравне- •
ния (13) на множестве Л/. Складывая уравнения (13) и (18) и
умножая полученное уравнение на й(ж), получим уравнение
2y/f^)h(x) = f(x) - д(х) + h2(x),	(19)
также являющееся следствием уравнения (13) на множестве
М. Возведя уравнение (19) в квадрат и решив полученное
уравнение, надо сделать проверку найденных корней, т.е. про-
верить, являются ли его корни корнями исходного уравнения
(13).
58
Замечание. Если xi — корень уравнения (13) и h(xi) =
= 0, то xt также есть корень уравнения (19). Следовательно,
уравнение (19) есть следствие уравнения (13).
Отметим, что точно так же показывается, что уравнение
(19) есть следствие уравнения
- \fg{x) = h(x).
Пример 4. Решить уравнение
л/3®2 - 5® 4- 7 4- \/3®2 - 7® 4- 2 = 3.	(20)
Решение. Поскольку разность подкоренных выражений
З®2 — 5® 4- 7 и З®2 — 7® 4- 2 есть 2® 4- 5 и
(•/З®2 - 5® 4-7)2 - (a/3®2-7®4-2)2 =
- (<\/3®2-5® + 7 - \/3®2 -7®4-2) х
X (д/3®2 - 5® 4- 7 4- д/3®2-7®4-2) ,
то уравнение
д/3®2-5®4-7 - а/3®2-7®4-2 =	(21)
О
является следствием исходного уравнения. Тогда, складывая
уравнения (20) и (21), получим уравнение
2i/3®2 - 5® 4- 7 =	(22)
V
также являющееся следствием уравнения (20). Возводя обе ча-
сти уравнения (22) в квадрат, получим уравнение
являющееся следствием исходного уравнения. Решения урав-
нения (23) есть xi = 2 и а?2 = 7/26. Проверкой убеждаемся,
что оба эти числа являются корнями исходного уравнения.
Ответ: xi = 2, х? = 7/26.
59
2.1.3. Уравнения вида у/(ж) ± у/д(х) == <р(ж). Урав-
нение
3
(24)
можно решать следующим методом.
Пусть жо — корень уравнения (24). Тогда справедливо чи-
словое равенство
+	=	(25)
После возведения равенства (25) в куб получим равенство
Л^о) + 3\Х/(ж0) У</(ж0) (\//(^о) + У<7(а?о)) + </(яо) = ^3(^о),
откуда в силу (25) имеем равенство
3^/ f(x0)y/g(x0)<p(x0) = </(zo) - f(x0) - р(хо). (26)
Равенство (26) означает, что жо есть корень уравнений
ЗУ/(ж) \/д(х)<р(х) = <р3(х) - /(ж) - д(х).	(27)
Таким образом, уравнение (27) есть следствие уравнения (24).
Возведя уравнение (27) в куб и решив полученное уравнение,
надо проверить, являются ли найденные корни корнями ис-
ходного уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
Жй 4-	= 1.	(28)
Решение. Возведя обе части уравнения в куб, получим
уравнение
Зх - 2 + 3 У(2ж - 1)(ж - 1)(^2ж - 1 + v'.t - 1) = 1,
равносильное исходному. Подставляя вместо выражения
\/2ж — 1 4- у/х — 1 единицу, получаем уравнение
Зх - 2 4- 3 </(2ж - 1)(ж - 1) = 1,	(29)
60
являющееся следствием исходного уравнения.
Уравнение (29) перепишем так:
У(2х - 1)(ж - 1) = 1 - х.	. (30)
Возводя обе части уравнения (30) в куб, получаем уравнение
(2я-1)(я-1) = (1-я)3,	(31)
равносильное уравнению (30). Решения уравнения (31) есть
xi — 0 и Х2 == 1. Проверка показывает, что Xi = 0 не является
корнем исходного уравнения, а Х2 == 1 является его корнем.
Ответ: х = 1.
Частным случаем уравнения (24) является уравнение вида
У7ф+У^=УЩ)+У^).	(32)
Уравнение (32) после возведения обеих частей в третью сте-
пень и замены выражения 4- \/д(х) на y/h(x) + ^/г(я),
приводится к уравнению
/(®) + 9^) ~ Л(я) - т(х) =
= 3 (Ww - У/(*М®)) (W) + УФ)), (33)
которое есть следствие исходного уравнения. В некоторых
случаях уравнение (33) можно решить и тем самым найти чи-
сла, среди которых содержатся корни исходного уравнения
(32).
Пример 6. Решить уравнение
tyx + У®3 — ж 4-1 = у/х 4-1 4- у/х3 — х. (34)
Решение. Возведя обе части уравнения (34) в третью сте-
пень, имеем уравнение
®4-х3 — ®4-14- ЗУ®У®3 — ж 4-1 (у® 4- У®3 — ® 4-1) =
= ® 4-1 4- ®3 — х +
4- ЗУ® 4- 1У®3 — ® (-&Х 4-14- У®3 — ®) , (35)
61
равносильное исходному. Заменяя выражение
tyx 4- %х3 - ж 4 1 выражением $аг41 4-	— т, получим
уравнение, являющееся следствием исходного
— ж 41 — у/х 4 1\/ж3 — х^ х
х (&Z + 1 + у/х3 - х) = 0. (36)
Уравнение (36) равносильно совокупности двух уравнении
tyx у/х3 — х + 1 — %х + 1у/х3 — х = 0
и	(37)
tyx 41 4 у/х3 — х = 0.
Решения первого уравнения совокупности (37) есть х = 0,
х = х/2 и х ~ —\/2. Решение второго уравнения совокупно-
сти (37) есть х = — 1.
Проверка показывает, что х = 0, х = —д/2, х = \/2 и
х = -1 являются корнями исходного уравнения.
Ответ: х = — у/2, х = —1, х = 0, х — \/2.
Замечание. Уравнение вида
У№) - МШ + ^ix) = <р{х)	(38)
можно решать следующим образом.	___
Умножая обе части уравнения на \//(-т) 4 у/д(х), перейдем
к уравнению
f (я) + 9&} - ( У/(я) +	(39)
являющемуся следствием уравнения (38). Далее уравнение (39)
можно решать так, как это предлагалось в этом пункте. Толь-
ко надо помнить, что уравнение (39) есть следствие уравнения
(38).
2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на
функции*. В некоторых случаях полезно- умножение обеих
62
частей уравнения или неравенства, содержащих радикалы, на
некоторую функцию, имеющую смысл на их ОДЗ.
При решении уравнения этим способом надо либо следить
за равносильностью преобразований на ОДЗ исходного урав-
нения, либо в конце решения надо делать проверку, так как
могут появиться посторонние корни.
При решении неравенства надо следить за равносильно-
стью преобразований неравенства на его ОДЗ, и поэтому мож-
но умножать обе части неравенства на функцию, принимаю-
щую на ОДЗ неравенства только значения одного знака, либо
разбивать ОДЗ на промежутки, на которых функция знакопо-
стоянна, и делать равносильные преобразования на этих про-
межутках.
Пример 7. Решить уравнение
х = (д/1 4-х 4-1) (д/1 4-х 4- х2 4- х — 7) .	(40)
Решение. Умножив обе части уравнения на функцию
VTTx — 1, получим уравнение
х (V14- х - 1) = х (VTTx 4- х2 4- х — 7) ,	(41)
являющееся следствием уравнения (40). Перепишем уравнение
(41) в виде
х(->/1 4-х + 1 4-	4-х4- х2 4-х —7) —	(42)
Следствием уравнения (42) является уравнение
х(х2 4- х — 6) = 0.	(43)
Решениями уравнения (42) являются Xi = 0, Х2 = 2 и хз = -3.
Проверка показывает, что Х2 = 2 является корнем исходного
уравнения, a xi = 0 и хз = —3 не являются его корнями.
Ответ: х = 2.
Пример 8. Решить уравнение
у/(х + 2) (2а: - 1) - 3\^Тё =
= 4 -	- 1) + ЗТх + 2. (44)
. @3
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех лг, удовлетворя-
ющих одновременно условиям х 4- 2 > О, ж 4- 6 > О, (т 4- 6) (2ж -
1) > 0, (х 4- 2)(2ж - 1) > 0, т.е. ОДЗ есть все х > 1/2. На ОДЗ
уравнение (44) можно переписать в виде
у/х 4- 2у/2х — 1 — 3\/ж 4- 6 = 4 - у/х 4- 6\/2х - 1 4- Зу/х 4- 2
или в виде
(а/7Т2 4- х/ГГб) (V2x - 1 - 3) = 4.	(45)
После умножения обеих частей уравнения (45) на функцию
х/я 4-6~х/я 4-2, принимающую на ОДЗ уравнения (44) только
положительные значения, получим уравнение
у/2х - 1 -3 = \/ж4-6 - у/х 4-2,	(46)
равносильное исходному на его ОДЗ. Поскольку выражение
у/2х — 1 — 3 обращается в нуль при х = 5, то разобьем мно-
жество х > 1/2 на два множества: 1/2 < х < 5 и х > 5.
Для любого х Е [1/2; 5] левая часть уравнения (46) неположи-
тельна, а правая положительна. Значит, ни одно из этих х не
может быть решением уравнения (46), а значит, и исходного
уравнения.
Для любого х G (5; 4-оо) обе части уравнения (46) положи-,
тельны, и оно на этом множестве равносильно уравнению
2х - 1 4- 9 - 6\/2ж — 1 = х 4- 6 4- 2 - 2\/х 4- 6\/ж 4-2,
т.е. уравнению
3>/2х - 1 = у/х + б/ж4-2.	(47)
Уравнение (47) на множестве х > 5 равносильно уравнению
9(2х - 1) = х2 4- 8х 4-12,
т.е. уравнению
х2 — 10# 4- 21 = 0.	(48)
64
Решения уравнения (48) есть xi = 7 и = 3. Из этих значений
х условию х > 5 удовлетворяет только х = 7, оно и является
решением исходного уравнения.
Ответ: х == 7.
Пример 9. Решить неравенство
х/4 — х2 - х - |х| - 1 > 0.	(49)
Решение. ОДЗ неравенства (49) состоит из всех х, для
которых — 2 < х < 2. Поскольку на ОДЗ х/4 — ж2 4- ж 4- |ж| 4-1 >
> 0, получим неравенство
(4 - х2) - (х 4- |ж| 4-1)2 > 0.
(50)
равносильное исходному на множестве -2 < х < 2.
При 0 < х < 2 имеем |ж| = х и неравенство (50) перепи-
шется в виде
(51)
4 — х2 — 4х2 — 4х — 1 > 0.
Решения неравенства (51) составляют промежуток
—2 — х/19	—2 4- у/19
------	< х <	--. Поэтому для этих х решения не-
5------------------------5
/гм	Л —2 4-х/19
равенства (50) составляют промежуток 0 < х <----------.
5
При — 2 < х < 0 неравенство (50) перепишется в виде
4 - х2 - 1 > 0.	(52)
Решения неравенства (52) составляют промежуток
—х/3 < х < х/3. Поэтому решением неравенства (50) при рас-
сматриваемых условиях будет промежуток у/3 < х < 0. Сле-
довательно, множеством решений неравенства (49) является
объединение промежутков
Л	- 2 4-х/19	/х
0 < х <---------- и — х/3 < х < 0,
5
т.е. интервал
х/19-2
< х <------
О
19 — 2
5	*
3-199
65
§ 2.2. Уравнения и неравенства,
содержащие неизвестную в основании
логарифмов
В этом параграфе рассматриваются уравнения и неравен-
ства вида
log,,^) /(®) =	9&),	(1)
f(x) > к^(а!) д(х).	(2)
При решении таких уравнений и неравенств надо учиты-
вать, что их ОДЗ определяется из условий:
1)	на ОДЗ все функции /(ж), р(ж), ip(x) и ^(ж) имеют смысл;
2)	на ОДЗ основания логарифмов, т.е. функции у?(ж) и
должны удовлетворять условиям <р(х) > 0, ^Д(ж) > 0, <р(х) / 1,
V>(a:) /1;
3)	на ОДЗ функции, находящиеся под знаком логарифма,
должны быть положительны, т.е. на ОДЗ должны выполнять-
ся неравенства f(x) > 0, д(х) > 0.
2.2.1. Переход к числовому основанию. Одним из ос-
новных способов решения уравнений и неравенств вида (1) и
(2) является следующий.
1.	Найти ОДЗ уравнения или неравенства.
2.	Перейти в логарифмах к некоторому основанию а, где а
— фиксированное число, а > 0 и а / 1, т.е. заменить уравне-
ние (1) равносильным ему на ОДЗ уравнением
10ga /(ж) _ iQgqflfc)	/3)
lOge <р(х) log,, V’C®) ’
а неравенство (2) — равносильным ему на ОДЗ неравенством
10gq fl?) . iQgqfl(s)	f4)
loga V’C®) log» ^(®) ’
3.	Решить полученное стандартное по внешнему виду урав-
нение (3) (или неравенство (4)) на ОДЗ исходного уравнения
66
(или неравенства)* Его решения и будут решения исходного
уравнения (или неравенства).
Заметим, что ОДЗ уравнений (1) и (3) и неравенств (2) и
(4) совпадают, поэтому можно сразу переходить от уравне-
ния (1) к уравнению (3) и неравенства (2) к неравенству (4) и
решать их на своей ОДЗ.
Пример 1. Решить уравнение
logx(2x + 1) = log2a:3+a.2 (4a>3 + 4z2 + x).	(5)
Решение. ОДЗ уравнения (5) состоит из всех х, одновре-
менно удовлетворяющих условиям х > 0, х / 1, 2х 4- 1 > О,
2а;3 4- х2 > 0, 2ж3 4- а:2 / 1, 4Х3 4- 4х2 4- х > 0, т.е. ОДЗ состоит
из двух промежутков 0<х<1и1<а;< 4-оо. Переходя в (5)
к логарифмам по основанию, например, 2, получим уравнение
log2(2a; 4-1) _ log2(4a;3 4- 4а;2 4- х)
log2 х ~	log2(2a;3 4- X2)	’
равносильное уравнению (5) на ОДЗ. Поскольку для этих х
имеем log2(4x3 4- 4.т2 4- х) — log2 х 4- 21og2(2a; 4-1) и log2(2a;3 4-
4-ж2) = 21og2 х4-Iog2(2х4-1), то уравнение (6) можно записать
в виде
log2(2a; 4-1) _ log2 а; 4- 2 log2(2a; 4-1)
log2 х	2 log2 x 4- log2 (2x 4-1)
или, так как на ОДЗ Iog2 х 0 0, в виде
21og2(2a; 4-1)
log2(2a; 4-1) _________log2a:
log2* 2 [ log2(2a;4-l)
log2®
(6)
(7)
log, (2r4-l)
Обозначим —----------- через t, тогда уравнение (7) можно
.	1 + 2t тэ
переписать в виде t = 2 + t ' ^ешения послеДнего уравнения
е<;ть fi = 1 и <2. = “1- Следовательно, уравнение (7) равно-
сильно на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений
log2(2ar 4-1) = х и log2(2s + l) =
log2 х	log2 х
3»
67
Пепвое из уравнений этой совокупности не имеет решений, а
решение второго уравнения есть х = 1/2. Это число принад-
лежит ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является
единственным его решением.
Ответ: х = 1/2.
Пример 2. Решить неравенство
logj (2 + х) > logj.2 (х2 * * * * + 2х).	(8)
Решение. ОДЗ неравенства (8) состоит из всех ж, одно-
временно удовлетворяющих условиям 2 4- х > 0, х2 4- 2х, х > О,
х 1, х2 > 0, х2 / 1, т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков:
0<ж<1и1<т< 4-оо.
Перейдем в логарифмах неравенства (8) к логарифмам по
основанию, например, 2. В результате получим неравенство
log2(2 + ar)	log2(s2 + 2а:)
log2 х log2 х2 9
равносильное исходному на его ОДЗ. Поскольку на ОДЗ ис-
ходного неравенства имеем log2(#2 4- 2х) = log2 х 4- log2(2 4- х)
и log2 х2 = 2 log2 ж, то неравенство (9) для этих х можно пере-
писать в виде	,
log2(2 4- х) > log2 ж 4- log2(2 4- ж)
log2 х	2 log2 х ’
или в виде
log2(2 4- ж) - log2 х > 0
log2 х	’
или, наконец, в виде
Ing 2-j-x
-ft-*- > 0.	(10)
log2 х
2 4“ х 2
Так как------= - 4-1, то на ОДЗ исходного неравенства
х х
2 4" х	2 4" х
----> 1, следовательно, log2------> О'. Поэтому неравенство
68
(10) равносильно неравенству log2 я > 0. Решения последнего
неравенства есть все х > 1. Поскольку все х > 1 входят в ОДЗ
исходного неравенства, то все они являются его решениями.
Ответ: 1 < х < +оо.
Отметим, что иногда при решении уравнений и неравенств
вида (1) и (2) нецелесообразно переходить к некоторому по-
стоянному основанию, так как это может сделать более гро-
моздкой запись уравнения (или неравенства) и не облегчит
процесс его решения.
Пример 3. Решить уравнение
loSi-2®(6а?2 ~ 5ж + 1) - logi-зд. (4ж2 - 4ж + 1) = 2. (11)
Решение. Поскольку 4ж2 — 4х 4-1 = (2х — I)2 = (1 — 2ж)2,
6ж2 — 5х + 1 = (1 — Зж)(1 — 2ж), то ОДЗ исходного уравнения
состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условию
1 - 2х > 0, 1- 2ж/1, 1 — Зж > 0» 1 —Зж/1,
т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков: —оо <ж<0и0<ж<
1/3. Легко видеть, что переход в логарифмах к некоторому
основанию а приведет к громоздким выражениям. Поэтому
поступим иначе: преобразуем уравнение на его ОДЗ. Исходное
уравнение на своей ОДЗ равносильно уравнению
bgi-2®(l “ Зж) + log^Jl - 2ж) - 21og1_3a.(l - 2ж) = 2,
т.е. уравнению
bgl-2x(l - Зж) - 21og^3x(l - 2ж) = 1.	(12)
Обозначим log1_2a. (1 -т Зж) через z. Тогда поскольку на ОДЗ
10gl-3*(l " 2а:) = logl_2l(l - Зх) ’
2
то уравнение (12) можно записать в виде z--== 1. Это урав-
z
нение имеет корни zi = — 1 и z2 = 2. Следовательно, исходное
69
уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух урав-
нений:
logi-2®(l“3^) = “l и logi-2a:(l-3a;) = 2.	(13)
Первое из этих уравнений равносильно на расматриваемой
области х < 1/3, х 0 0 уравнению
logi-23 (1 - Зж) = log^
т.е. уравнению
1-Зт =
1
1 —2ж*
Это уравнение имеет два корня: xi = 0 и х% = 5/6, из кото-
рых ни один не входит в рассматриваемую область, и поэтому
не является решением исходного уравнения. Второе уравнение
совокупности (13) равносильно на области х < -, х 0, урав-
нению 1 — Зх = (1 — 2т)2, решения которого есть тз = 0 и
Т4 = 1 /4. Из этих значений только #4 = 1/4 входит в рассма-
триваемую область, и поэтому является единственным корнем
исходного уравнения.
Ответ: х = 1/4.
2.2.2. Переход к основанию, содержащему неиз-
вестную. Иногда при решении уравнений и неравенств ви-
да (1) и (2) переходят к логарифмам по другому основанию,
содержащему х. При этом надо помнить, что может произой-
ти сужение ОДЗ, а следовательно, и потеря корня. Поэтому
при переходе в уравнении (или неравенстве) к логарифмам
по некоторому основанию Л(я), содержащему ж, вначале на-
до проверить, что h(x) > 0 для рассматриваемых х, а также
проверить, не являются ли значения х, при которых h(x) = 1,
решениями исходного уравнения, после чего уже переходить
к основанию Л(т), но уже для тех ж, для которых h(x) > 0 и
h(x) / 1.
70
Пример 4. Решить уравнение
log| х2 - log8, х3 = 0.
(14)
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех ж, удо-
влетворяющих условиям х > 0, х 4, х 0 1/8.
Будем решать это уравнение, переходя к логарифмам по
основанию х. Прежде чем сделать этот переход, проверим,
является ли х = 1 корнем исходного уравнения. Подставляя
1 вместо х в уравнение (14), получаем, что х = 1 есть его
корень. Перейдя теперь в уравнении (14) к логарифмам по
основанию х (учитывая, что х > 0, х 0 1, х 0 4, х 1/8),
получим уравнение
log» X2 _ log, X3
log,? l°gx8x ’
037 4
(15)
равносильное исходному уравнению на множестве х > 0, х 0
4, х 0 1/8 и я 0 1. Уравнение (15) для этих х можно перепи-
сать так:
2____________3 Q
1 - log, 4 log, 8 + 1 ~
(16)
Поскольку 1 - logx 4 0 0 и 1 + logx 8 0 0 для рассматриваемых
ж, то уравнение равносильно уравнению
2(1 4-log,8) -3(1 -log,4) = 0
или уравнению
121oga.2 = l,.
имеющему единственный корень х = 212. Так как этот корень
входит в рассматриваемое множество х > 0, х 0 1, х 0 4,
ж 0 1/8, то он и является решением исходного уравнения на
этом множестве.
Ответ: х = 212, х = 1.
71
2.2.3. Уравнения вида log^^j Л(аг) = log^) р(®)>
iog/d) 4>{х) = logs(l) 9?(г). Уравнения
log^ h(x) = logv(a:) g(x),	(17)
l°g/(«) ¥’(®) = logsfs) ¥>(*)	(18)
можно решать и таким способом:
1.	Перейти от этих уравнений к их следствиям, т.е. от урав-
нения (17) к уравнению
h(x) = д(х),	(19)
а от уравнения (18) к совокупности уравнений
/(ж) = д(х) и <р(х) = 1.	(20)
2.	Решить уравнение (19) или совокупность уравнений (20).
3.	Проверить, какие из найденных корней будут корнями
исходного уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
l°gl+:c+sin х (х +Ж — 1) = logl-bz+sin я (3^ 4" 2).	(21)
Решение. Уравнение
х2 4- х - 1 - Зх + 2	(22)
является следствием уравнения (21). Переписав уравнение (22)
в виде х2 — 2х — 3 = 0, находим его корни xi = 3 и Х2 = —1.
При Х2 = —1 функция, находящаяся в основании- логарифмов,
принимает отрицательное значение 14-#2+sin л2 = — sinl < 0,
т.е. Х2 не удовлетворяет уравнению (21). При xi = 3 функция,
находящаяся в основании логарифмов, принимает значение,
большее нуля и не равное 1, так как 14-Ж14-sin х^ = 44-sin 3 > 4,
т.е. удовлетворяет уравнению (21).
Ответ: х = 3.
72
Пример б. Решить уравнение
l°Ssin x+cos2 a+Vcosa:	V	—
Jogsin ®4-l+\/cos x	у/х~ — x) . (23)
Решение. Совокупность уравнений
sin# + cos2 x + -/cosж = sins 4-14- /cosж,
1 Г2-------	1	(24)
1-уя2 -# = 1,
является следствием уравнения (23). Ясно, что все решения
первого уравнения совокупности (24) есть решения уравне-
ния cos# = 1, т.е. Xk = 2лк, к 6 Z. При любом хь = 2лЛ,
к € Z, функция sin# 4- cos2 # 4- /cos# равна 2, т.е. при этих
хь основания логарифмов в уравнении (23) равны 2. Поэто-
му решениями уравнения (23) будут те Xk = 2л&, к е Z, для
которых 1 — /#* — Xk > 0. Легко видеть, что только #о = 0
удовлетворяет этому условию, а следовательно, является ре-
шением уравнения (23).	_______
Решения уравнения 1 — у/х2 — х = 1 есть #' — 0 и хп = 1.
Так как sin 1 > sin л/4 = /2/2, cos 1 > cos л/3 = 1/2, то sin 14-
/2	1	/2
+1 4- /cosl > 1, sin 1 4- cos2 1 4- /cos 1 > — 4- -7 4- — > 1.
2	4	2
Значит, хп = 1 удовлетворяет уравнению (23). Следовательно,
решениями уравнения (23) являются # = 0 и # = 1.
Ответ: # = 0, # = 1.
2.2.4.	Уравнения вида logy^^ д(х) = а. Если в уравне-
нии
log/(«) 9(х) = а
(25)
а = п, где п— натуральное число, то следствием уравнения
(25) является уравнение
9(*) = [/(*)]"•	(26)
73
Если же а = 0, то следствием уравнения (25) является уравне-
ние
р(я) = 1.	(27).
Уравнение вида (25) можно решать, следовательно, так:
1.	Перейти от этого уравнения при натуральном п к урав-
нению (26), а при п = 0 к уравнению (27).
2.	Решить уравнение (26) или уравнение (27).
3.	Проверить, какие из найденных корней будут корнями
исходного уравнения.
Замечание. Конечно, можно считать, что при любом дей-
ствительном числе а следствием уравнения (25) является урав-
нение
р(а>) = [/(®)]“,
но тогда надо уточнять, что понимается под функцией [/ (т)]°.
Пример 7. Решить уравнение
log2x_1 (2л2 + 4® + 1) = 2.	(28)
Решение. Уравнение
2®2 4-4® +1 = (2® — I)2	(29)
является следствием уравнения (28). Переписав уравнение (29)
в виде 2®2 — 8® = 0, находим его корни ®i = 4 и х? = 0. Легко
видеть, что = 4 является корнем уравнения (28), а ®2 = 0
не является его корнем.
Ответ: х = 4.	,
Пример 8. Решить уравнение
log,, cos я = 0.	(30)
Решение. Следствием уравнения (30) является уравнение
cos® = 1, решения которого есть ® = 2тгА;, k € Z. Ясно, что
из этих х уравнению (30) будут удовлетворять лишь ® = 2?rfc,
fceN.
Ответ: ® = 2?rfc, к е N.
74
2.2.5.	Неравенства вида log^) f(x) > logv(a!) g(x).
Согласно общему методу решения неравенств, содержащих не-
известную в основании логарифмов, неравенство
togy(®) /(®) > bgv(«) X®)	(31)
равносильно при а > 1 неравенству
lOgq / (Ж) > 10gafl(g)
10g„¥>(z)	10g0£(®)’
которое можно переписать в виде
foga/(®)-logafl(®)
logqVfc)
Последнее неравенство равносильно совокупности систем ве-
ра- венств
/ logq f(x) - loga д(х) >0, f loga f(x) - logo g(x) < 0,
( lOgq <P(X) >0	( lOgq <P(X) < 0
или совокупности систем неравенств
( /(®) > д(х) >0,	/ 0 < /(ж) < д(х),
<	и <	(32)
[ <р(х) >1	I 0 < <р(х) < 1.
Поэтому неравенство вида (31) можно решать следующим
образом:
1. Перейти от неравенства (31) к равносильной совокупно-
сти неравенств (32),
2. Решить совокупность неравенств (32), ее решения и бу-
дут решениями неравенства (31).
Пример 9. Решить неравенство
logj.2 (х2 - 4ж + 3) > logj.2 х2.	(33).
Решение. Неравенство (33) равносильно совокупности
двух систем неравенств:
( х2 > 1,
[ х2 - 4х 4- 3 > х2 > 0,	)
75
О < х2 < 1,
О < х2 — 4х + 3 < х2.
(35)
Система (34) равносильна совокупности двух систем:
х > 1,	х < -1,
и <
— 4ж + 3 > О	- 4х + 3 > О,
из которых первая не имеет решений, а решения второй со-
ставляют промежуток —оо < х < —1.
Система (35) равносильна совокупности систем неравенств
О < х < 1,
х2 - 4а; + 3 > О,
- 4х + 3 < О
- 1 < х < О,
х2 — 4а; + 3 > О,
- 4а; + 3 < 0.
Решения первой системы этой совокупности есть множество
3
- < х < 1, а вторая система решений не имеет.
4
Следовательно, решениями исходного неравенства являют-
ся все х из объединения двух промежутков — оо < х < —1 и
3
7 < X < 1.
4
3
Ответ; -оо < х < -1; - < х < 1.
Процесс решения неравенства вида (31) иногда оформляют
следующим образом:
1.	Находят ОДЗ неравенства (31).
2.	Разбивают ОДЗ неравенства (31) на два множества М\
и М2: Mi — та часть ОДЗ, где <р(х) > 1, М2 — та часть ОДЗ,
где 0 < <р(х) < 1.
3.	На Mi решают неравенство f(x) > д(х), равносильное
на Mi исходному неравенству.
3.	На М2 решают неравенство f{x) < д[х), равносильное
на М2 исходному неравенству.
Объединяя решения, найденные на Mi и М2, получают все
решения исходного неравенства.
76
Пример 10. Решить неравенство
3® + 2
х + 2
logx
1.
(36)
Решение. ОДЗ неравенства (361 пределяется из условий
Зх 4- 2
> 0,----— > 0, х 0 1, т.е. ОДЗ состоит из двух промежут-
х 4- 2
а)	Пусть х > 1. Для этих х исходное неравенство равно-
сильно неравенству
Зх + 2
-----> х
х + 2
(37)
Так как х 4- 2 > 0 для рассматриваемых ж, то неравенство
(37) равносильно неравенству Зх 4- 2 > х(х 4- 2), котрое можно
записать в виде
х2 — х - 2 < 0.
(38)
Решениями неравенства (38) являются все х из промежутка
—1 < х < 2. Из этих х условию х > 1 удовлетворяют х из
промежутка 1 < х < 2.
Следовательно, в случае а) решения исходного неравенства
составляют промежуток 1 < х < 2.
б)	Пусть 0 < х < 1. Для этих х исходное неравенство рав-
носильно неравенству
Зх 4- 2
----< х
ж 4-2
(39)
Так как х + 2 > 0 для рассматриваемых ж, то неравенство (39)
равносильно неравенству Зх 4- 2 < х(х 4- 2), которое можно
записать в виде
ж2 - х - 2 > 0.
(40)
Решениями неравенства (40) являются все х из двух проме-
жутков —оо < ж < — 1 и 2 < ж < 4-оо. Ни одно из этих х не
удовлетворяет условию 0 < х < 1.
77

Следовательно, в случае б) исходное неравенство не имеет
решений.
Поэтому решениями неравенства (36) являются х из про-
межутка 1 < х < 2.
Ответ: 1 < х < 2. 7
§ 2.3.	Уравнения и неравенства,
содержащие неизвестную в основании и
показателе степени
В этом параграфе рассматриваются уравнения и неравен-
ства вида
f(x)^=g(x)k^,	(1)
/«(х) > g(x)h{x),	(2)
в том случае, когда обе функции /(ж) и д(х) положительны
на множестве Mi, принадлежащем общей части (пересечении)
областей существования функций /(ж), #(ж), <р(х) и h(x) и хотя
бы одна из двух функций ip(x) или h(x) не является числом.
Общим способом решения таких уравнений и неравенств
является следующий.
1.	Отыскивается множество М — общая часть (пересече-
ние) областей существования функций /(я), д(х)> и h(x).
2.	Отыскивается множество Mi С М, где функции /(ж) и
д(х) положительны.
3.	Затем путем логарифмирования левой и правой частей
уравнения или неравенства по некоторому основанию а (а > О,
а / 1) уравнение (1) заменяется равносильным ему на Mi
уравнением
9?(ж) loga f(x) = h(x) loga g(x),	(3)
а неравенство (2) — равносильным ему на Mi неравенством
¥?(х) loga f(x) > h(x) loga g(x), a > 1.	(4)
78
4.	На множестве Mi решается стандартное по внешнему
виду уравнение (3) или неравенство (4).
Пример 1. Решить уравнение
-7=к= = (Зх - 5),о«*<2+5^2).
уЗх — 5
Решение. Множество М — общая часть (пересечение)
областей существования функций f(x) = —j==,	g(x) =
у/Зх — 5
= Зх — 5, h(x) = logi/2s(2 + 5я — х2) — состоит из всех лг,
одновременно удовлетворяющих условиям
Зх - 5 > О,
2 4- Зх — х2 >0;
Решая эту систему неравенств, находим, что множество М
5	54-л/з5 „
есть интервал ~ < х < --------. На множестве М функции
/(ж) и д(х) положительны. Пользуясь формулами
logi/252 = -ilog52 и	= (За; - 5)~1/2,
перепишем уравнение в виде
(За; - 5)-1/2 = (Зх - 5)-1/21088(2+5о:-гг)
Логарифмируя это уравнение, например, по основанию 2, по-
лучим уравнение
log2(3a; - 5) = log5(2 + 5а; - а;2) • log2(3a; - 5), (5)
равносильное исходному уравнению на М.
Уравнение (5) можно переписать в виде
log2(3a; - 5) • (logs(2 + 5х - а:2) - 1) = 0,
откуда следует, что оно равносильно на М совокупности двух
уравнений
log2(3T — 5) = 0 и log5(2 4- Зх — х2) = 1.
79
Первое уравнение имеет единственный корень xi = 2, ко-
торый входит в множество М. Второе уравнение равносильно
на М квадратному уравнению 2 4- 5х — х2 = 5, которое име-
5 + \/13	5 - х/13
ет два корня х2 = ------- и хз = ------. Из этих чисел
л	___
„	5 + ч/13 г,
в М лежит только х2 = --------. Следовательно, исходное
уравнение имеет два корня х± и х2,
п 54-У13
Ответ: х^ = 2, х2 = —-—.
Пример 2. Решить уравнение
(ж2 + х + 1)«-6^+в = (х 4- з)’-б^+6.
Решение. Множество М — общая часть (пересечение)
областей существования функций f(x) = х2+х+1±д(х) = ж 4-3,
<р(х) = х — 5\/х 4- 6 есть все х > 0. На множестве М функции
f(x) и д(х) положительны. Поэтому логарифмируя обе части
уравнения, например, по основанию 2, получим уравнение
(х - &/х 4- 6) log2(х2 4- х -I-1) = (х - 5>/х 4- 6) log2(х 4- 3),
равносильное исходному на М.
Полученное уравнение можно переписать в виде
(х - 5\/х 4- 6)(log2 (х2 4- х 4-1) ~ log2(# 4- 3)) = 0,
откуда следует, что оно равносильно на М совокупности двух
уравнений
л-5\/ж4-6 = 0 и log2(rr2 4- х 4-1) - log2(.T 4-3) = 0.
Первое уравнение имеет два корня х\ = 4 и х2 = 9, входящие
в М. Второе уравнение равносильно на М уравнению х2 4-
х 4- 1 = х 4- 3, имеющему два корня хз = \/2 и Х4 = —
из которых в М входит только хз = \/2. Итак, решениями
исходного уравнения являются xi = 4, х2 = 9 и хз = у/2.
Ответ: хх = 4, х2 - 9, х3 = у/2.
80
ПРИМЕР 3. Решить неравенство
Я1о82 Vх < 22+tl°g2*.	(6)
Решение. Множество М — общая часть (пересечение)
областей существования функций f(x) = ж, ip(x) = log2 у/х,
h(x) = 2 + - log2 ж — состоит из всех х из промежутка 0 < х <
< +оо. На этом множестве М положительны функции /(ж) =
х и д(х) = 2. Поэтому, логарифмируя неравенство (6) по осно-
ванию 2, получим равносильное ему на М неравенство
log2 у/х log2 х < 2 + | log2 X.
Перепишем это неравенство в виде (log2 ж)2 < 8 или в виде
-Vs < log2 ж < Vs.	(7)
Решениями неравенства (7) являются все ж из промежутка
ж < 2^\ Все эти ж входят в М и поэтому являют-
ся решениями исходного неравенства.
Ответ: 2“^ < ж < 2^.
Пример 4. Решить неравенство
X "Г £» I	/ X \
ж 4-1 /	> \ж4-2/
(8)
Решение. Множество М — общая часть областей суще-
ствования функций /(ж) =	&(х) = ‘ +’2>	= я2 —
—Vх 4-2 — есть все ж из промежутка 0 < ж < оо. Если ж = О,
то проверкой убеждаемся, что оно является решением нера-
венства (8).
Рассмотрим множество Mi = (0,4-оо). На этом множестве
функции /(ж) и д(х) положительны, поэтому, логарифмируя
неравенство (8) по основанию 2, получим равносильное ему
на Mi неравенство
(а? - у/х 4- 2) log2 (777) > (х2 - у/х + 2) log2 . (9)
\® + 1 /	х + Z
81
Неравенство (9) равносильно на Mi совокупности
г х2 - у/х 4- 2 > О,
< х 4- 2 х
i х 4-1 > х 4- 2
>0,
(Ю)
г х2 — у/х 4- 2 < 0,
< х х 4- 2
» х 4- 2 > х 4-1
>0.
(И)
Докажем, что для любого х > 0 выполняется неравенство я2 —
—у/х 4- 2 > 0. В самом деле, при любом х, 0 < х < 1, имеем
0 < у/х < 1 и 0 < х2 < 1, поэтому
х2 - у/х 4-2 = х2 4-14- (1 — у/х) > 0.
При любом х > 1 имеем х2 > у/х, поэтому х2 — у/х 4- 2 > 0.
Следовательно, на множестве х > 0 система (11) решений не
имеет, а система (10) равносильна неравенству
х 4- 2 х'
х 4-1 > х 4- 2’
(12)
Поскольку при х > 0 имеем ж 4-1 > 0 и ж 4-2 > 0, то неравенство
(12) для х > 0 равносильно неравенству (х 4- 2)2 > х(х 4-1),
которое можно переписать в виде Зх 4- 4 > 0. Последнее нера-
венство справедливо для любого х > 0. Следовательно, нера-
венство (12) справедливо для любого х > 0. Поэтому множе-
ство решений исходного неравенства на множестве Mi есть
все х > 0. Объединяя это множество решений с решением
х = 0, получаем, что множеством всех решений исходного не-
равенства являются х из промежутка 0 < х < 4-оо.
Ответ: 0 < х < 4-оо.
82
§ 2.4.	Уравнения и неравенства,
содержащие неизвестную под знаком
абсолютной величины
2.4.1.	Раскрытие знаков модулей. Основной метод ре-
шения уравнений и неравенств, содержащих модули, состоит
в следующем: надо разбить ОДЗ уравнения или неравенства
на множества, на каждом из которых каждое из выражений,
находящихся под знаком модуля, сохраняет знак. На каждом
таком множестве уравнение или неравенство записывается без7
знака модуля и затем решается на этом множестве. Объеди-
нение решений, найденных на всех этих множествах - частях
ОДЗ уравнения или неравенства, составляет множество всех
его решений.
Пример 1. Решить уравнение
ж22®+1 4- 2|ж~3|+2 = Ж22|ж-31+4 4- 2®”1.	(1)
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех действительных
х. Разобьем ОДЗ на два промежутка:
а)	х — 3 > 0;
б)	х - 3 < 0.
а)	Пусть х > 3, тогда |ж — 3| = х — 3 и уравнение (1) запи-
шется на этом множетве так:
ш22х+1 + 2®-1 = Х22®+1 4- 2®""1.
Это уравнение превращается в верное числовое равенство для
любого действительного ж, т.е. его решениями являются все
действительные х. Из них условию х > 3 удовлетворяют все х
из промежутка [3; 4-оо). Они и являются решениями уравнения
(1) в случае а).
б)	Пусть х < 3, тогда |ж — 3| = —х 4- 3 и уравнение (1)
запишется на этом множетве так:
х22ж+1 + 2-®+5 == ж22“®+7 4- 2х'1
или
(2х - 64 • 2”х)(4#2 — 1) = 0.	(2)
83
Решения этого уравнения есть х± = 1/2, х2 = —1/2, х% = 3. Из »
этих значений условию х < 3 удовлетворяют только х± = 1/2
и ж2 = —1/2. Итак, решения уравнения (1) есть х\ = 1/2,
= -1/2 и все х из промежутка [Я; 4-оо).
Ответ: х^ = 1/2; х2 = -1/2; 3 < х < оо.
Пример 2. Решить неравенство
|ж2 - ж| 4-11 ~ x/log2(l -I- ж)| > \Zlog2(l 4- х) - х2 + х. (3)
Решение. ОДЗ неравенства состоит из всех х, удовле-
творяющих условию х > 0. Так как функции у = х2 — х и
у = 1 - i/log2(l 4-х) меняют знак на области х > 0, прохо-
дя через точку х = 1, то разобьем ОДЗ на два промежутка:
0<я<1и1<я< 4-оо.
а)	Если 0 < л < 1, то ж2 — ® < 0 и 1 - \/iog2’(l 4-ж) > 0.
Поэтому неравенство (3) запишется для этих х в виде
-х2 4- х 4-1 -	4- ж) > \/log2(l 4- ат) - х2 4- х.
т.е. в виде
x/log2(l + х) <
Решения этого неравенства есть 0<ж<24—1. Все эти х
удовлетворяют условию 0 < х < 1, а. значит, являются реше-
ниями исходного неравенства (3).	__________
б)	Если 1 < х < 4-оо, то х2 - х > 0 и 1 — ^log2(l 4- я) < 0.
Поэтому неравенство (3) перепишется в виде
х2 - х 4- 0og2(l + я) - 1 > v^bg2(l 4- х) - х2 4- х,
т.е. в виде 2х2 2х — 1 > 0. Решения этого неравенства со-
1 — л/3	14-а/З
ставляют два промежутка: —оо < х < —-— и —-— < х <
< 4-оо. Из этих х условию х > 1 удовлетворяют все х из про-
14-л/З
межутка —~— < х < 4-оо, поэтому все они являются реше-
ниями неравенства (3). Множеством всех решений исходного
84
неравенства (3) будет объединение решений, найденных в слу-
чаях а) и б).
Ответ: 0 < х < 2$ - 1; 1 *	< х < +оо.
А
2.4.2. Уравнения вида |/(#)| = д(х). Уравнение
|/(Ж)| = 5(х)	(4)
можно решать основным методом. Однако в некоторых слу-
чаях полезно уравнение (4) решать следующим образом:
1. Найти ту часть ОДЗ уравнения (4), где д(х) > 0.
2. На этой области уравнение (4) равносильно совокупно-
сти двух уравнений
/(а:) = д(х) и - f(x) = д(х).
Решения этой совокупности, принадлежащие рассматривае-
мой области, и дадут решение уравнения (4).
Пример 3. Решить уравнение
|2Ж - cos# - 5| = 2х 4- 2 4- cos#.	(5)
Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные
#. Очевидно, что на ОДЗ, т.е. для любого действительного #,
2х 4- 2 4- cos х > 0. .
Поэтому уравнение (5) равносильно совокупности уравнений
2х - cos# - 5 = 2х 4- 2 4- cos#
и
—(2Ж - cos# — 5) = 2Ж 4- 2 4- cos#.
Первое уравнение решений не имеет, а второе равносильно
уравнению 2х == 3/2, имеющему единственный корень # =
1 з
log2 2‘
. Ответ: х = log2 3/2.
85
2.4.3. Неравенства вида |/(л)| < д(х). Неравенство
|/(®)| < д(х)	(6)
можно решать основным способом. Однако, иногда бывает по-
лезно .заменить неравенство (6) равносильной ему системой
неравенств
Г /О) < 5(я),
, - /(я) <
Пример 4. Решить неравенство
|я7 4- 4я5 4- х2 4- 2х — 3| < х7 + 4я5 - х2 — 2х 4- 3.	(7)
Решение. Данное неравенство равносильно системе нера-
венств
х7 4- 4а;5 4- х2 4- 2х — 3 < х7 4- 4ж5 - х2 — 2х 4- 3,
- (х7 4- 4ж5 4- х2 4- 2х — 3) < х7 4- 4ж5 — х2 - 2х 4- 3,
' которую можно переписать в виде
х2 4- 2х - 3 < О,
хь(х2 4- 4) > 0.
(8)
Решения первого неравенства системы (8) составляют проме-
жуток —3 < х < 1, решения второго составляют промежуток
0 < х < 4-оо. Следовательно, решения системы неравенств (8),
а значит, и исходного неравенства (7) составляют промежу-
ток 0 < х < 1.
Ответ: 0 < х < 1.
2.4.4. Неравенства вида |/(ж)| > д(х). Неравенство
1/001 > д(х)
(9)
можно решать основным способом. Однако иногда бывает по-
лезно разбить ОДЗ неравенства (9) на две части иначе, а имен-
но:
86
1. Найти область, где д(х) < 0. Все х из этой области дают
решение неравенства (9).
2. Найти область, где д(х) > 0 и на ней рассмотреть нера-
венство
/2(ж) > 92^)-
Объединение найденных решений и дает все решения неравен-
ства (9).
Пример 5. Решить неравенство
|v#2 — х 4-1 — 2х 4-1| > \/х2 — ж 4- 1 4- 2х.	(10)
Решение. ОДЗ неравенства (10) состоит из всех действи-
тельных х.	}
а) Найдем те х, для которых
у/х2 — ж 4-1 4- 2х < 0.	(11)
Перепишем неравенство (11) в виде
\/х2 - ж 4-1 < -2ж.	(12)
Ясно, что никакое х из промежутка 0 < х < 4-оо не является
решением неравенства (12). Пусть х < 0, для этих х неравен-
ство (12) равносильно неравенству
х2 - х 4-1 < 4ж2.
(13)
Решения неравенства (13) составляют два промежутка:
-1-У13	-14-VT3
-оо < х < ------—— и ------------ < х < 4-оо. Из этих х
л 6	о
условию х < 0 удовлетворяют лишь х из промежутка —оо <
—1 — \/13
< х <----------. Следовательно, решениями неравенства (11)
о
1 4- ч/13
являются все х из промежутка — оо < х < —-------, все эти
6
х являются решениями исходного неравенства (10).
87
б) Теперь на множестве х >----------рассмотрим нера-
венство
(у/х2 — я: + 1 - 2я + 1) >	-7+1 + 2х^ . (14)
Неравенство (14) можно переписать в виде
2(1 - 4ж)л/я2 — ж + 1 > -(1 - 4ж).	(15)
Ясно, что х = 1/4 не есть решение неравенства (15). Для лю-
бого х > 1/4 левая часть неравенства (15) отрицательна, а
правая положительна, следовательно, среди х > 1/4 нет реше-
ний неравенства (15). Для любого х < 1/4 левая часть нера-
венства (15) положительна, а правая отрицательна, следова-
тельно, любое из этих х является решением неравенства (15).
yi	-1-713
Из этих х в множество х > --------- входят все х из про-
6
1 + 713	i п
межутка-------— < х < -. Все они являются решениями
о	4
исходного неравенства (10).
Объединяя решения, найденные в пунктах а) и б), получаем
решения исходного неравенства.
Ответ: -оо < х < 1/4.
2.4.5. Уравнения и неравенства вида |/(х)| = |^(ж)[,
|/(ж)| < |#(ж)|. Уравнение
1№)1 =	(16)
и неравенство
1/(*)1 <
(17)
можно решать согласно общему методу. Однако иногда быва-
ет полезно заменить уравнение (16) уравнением f2(x) = д2(х),
т.е. уравнением (/(ж) + g(x))(f(x) - д{х)) = 0, равносильным
ему на его ОДЗ, а неравенство (17) неравенством f2(x) <
}
88
д2(х), т.е. неравенством (/(ж) 4- g(x))(f(x) - д(х)) < 0, рав-
носильным ему на его ОДЗ.
Пример 6. Решить неравенство
|ж3 — sin х\ < |2ж3 4- sin ж|.	(18)
Решение. ОДЗ этого неравенства есть все действитель-
ные х. Неравенство (18) равносильно неравенству
(х3— sin х + 2#3 4- sin ж) (ж3 — sin х — 2а?3 — sin#) < О,
которое можно переписать в виде ж3(ж3 4-2sin#) > 0. Решени-
ем этого неравенства является любое действительное х кроме
х = 0. В самом деле, для любого ж, принадлежащего проме-
жутку (—оо; -7г], имеем х3 < 0 и х3 4- 2 sin х < -7Г3 4- 2 < 0,
поэтому я3 (я3 4- 2 sin х) > 0 для любого такого х. Для любо-
го ж, принадлежащего промежутку (-тг; 0), имеем х3 < 0 и
sin# < 0, поэтому х3 4- sin# < 0 и #3(#3 4- sin#) > 0. В си-
лу четности функции #3(#3 4- 2sin#) получаем, что все # > 0
также являются решениями неравенства. Очевидно, что ж = 0
неравенству не удовлетворяет.
Ответ: -оо <#<0;0<#< 4-оо.
Пример 7. Решить уравнение
|#3 4- # 4-1| = |#2 4- 3# - 1|.	(19)
Решение. ОДЗ уравнения (19) есть все действительные #.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение
(#3 4- # 4-1 — #2 - Зж 4-1)(ж3 4- ж 4-1 4- ж2 4- Зж - 1) = 0,
равносильное исходному. Это уравнение можно переписать в
виде (ж3 - ж2 - 2ж 4- 2) (ж3 4- ж2 4- 4ж) = 0, откуда следует, что
оно равносильно совокупности уравнений
ж3 4- ж2 4- 4# = 0,	(20)
и
ж3 — ж2 — 2ж*4-2 = 0.	’	(21)
89
Так как я3 4-я2 4-4# = х(х2+х+4) и дискриминант квадратного
трехчлена х2 4- х 4- 4 отрицателен, то уравнение (20) имеет
единственный корень х± = 0. Поскольку ж3 — х2 - 2х 4- 2 =
= х2(ж-1)-2(ж-1) = (ж-1)(ж2-2) = (ж-1) (ж — у/2) (ж 4- у/2),
то решения уравнения (21) есть ж2 = 1, жз = и ж< = — \/2.
Итак, исходное уравнение имеет четыре корня: xi = 0,
ж2 = 1, жз = \/2 и Ж4 = — х/2.
Ответ: жх = 0, Х2 = 1, хз = \/2, х$ = -у/2.
2.4.6. Использование свойств абсолютной величи-
ны. При решении уравнений и неравенств с модулем иногда
бывает полезно решать их не по основному методу, а приме-
нять различные свойства абсолютных величин действитель-
ных чисел.
Пример 8. Решить уравнение
| у/х2 — х - я| 4- |ж 4- у/х{ = у/х2 — х 4- \/х.	(22)
Решение. Обозначим у/х2 — х — х через а и х 4- у/х через
Ъ. Тогда уравнение (22) можно записать в виде
|а| 4- |Ь| = а 4- Ь.	(23)
Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство
(23) возможно тогда и только тогда, когда одновременно а > 0
и Ь > 0. Поэтому исходное уравнение (22) равносильно системе
неравенств
{у/х2 — х — х > 0,
х 4- у/х >0.
Решение этой системы неравенств, а значит, и исходного урав-
нения есть х = 0.
Ответ: х = 0.
Пример 9. Решить уравнение
J^| + |log2,| = _±S^	(24)
1 —log2#| t |log2a:-l|
90
Решение. ОДЗ уравнения (24) есть все х > 0, кроме х = 2.
Поскольку для любого х из ОДЗ
10g2^
|log2®-l|
log-2
log2 х -1
то уравнение (24) можно переписать так:
(25)
Обозначим
log2^
1 - log2 х
через а и log2 х через Ь, тогда уравнение
(25) можно переписать так:
|а| 4- |Ь| = |а 4- Ь|.
(26)
Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство
(26) имеет место тогда и только тогда, когда
аЪ > 0.
Это означает, что решения уравнения (24) совпадают с реше*
ниями неравенства
Jssk- >о.
log2 X - 1
(27)
Решениями неравенства (27), а значит, и исходного уравнения,
являются х = 1 и все х из промежутка 2 < х < 4-оо.
Ответ: х = 1; 2 < х < 4-оо.
Пример 10. Решить неравенство
|ж| 4-17 — я| 4-2|ж —’2| <4.	(28)
Решение. Для любого х < 2 имеем 7 — х > 5, поэтому |х| 4-
4-17 — т| 4- 2|я — 2| > 5, а это означает, что ни одно из х < 2 не
является решением неравенства (28).
91
Для любого х > 4 имеем |ж| > 4, и поэтому |ж|4-|7—ж|4-2|я—
2| > 4, а это означает, что ни одно х > 4 также не является
решением неравенства (28).
Для любого х из промежутка 2 < х < 4 имеем 3 < 7—х < 5,
поэтому |7 — х\ > 3 и |ж| > 2. Следовательно, |ж| +17 — ж| 4-2|ж -
2| > 5, а это означает, что ни одно х из промежутка 2 < х < 4
не является решением неравенства (28).
Итак, неравенство (28) не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Задачи
Решить уравнение
1.	у/х 4- 3 4- у/х 4- 2 = 7.
2.	\/Зж 4-19 4- \/Зж - 2 = у/7х 4-114- у/2х.
3.	4-1 - у/х — у/х - 3.
4.	\/11ж 4- 3 — \/2 — х = \/9ж 4- 7 — у/х — 2.
5.	\/22-а:4-\/10-г;4 = 2.
6.	УТ=х + ^7+15 = 2.
7.	\/а:3 — а: + 5 = \/а:3 + х2 — 1.
8.	+ $2^х = $3 - 2х.
9.	^® + 59-§'7+22 = 1.
10.	§/57+1 + ^х = 1.
11.	у/2х + 1 + у/х = \/2х2 + 4а; — 22,.
12.	х + у/х + у/х + 2 + >Ух2 + 2х = 7/2.
92
13.	х/2г24-5г —2 - \/2ж2 4- 5г - 9 = 1.
14.	+ ^Г^2 = &2х=3.
15.	Уз?-Ух^1 = 1.
16.	у/4х2 4- 9г 4- 5 — у/2г2 4- г — 1 = у/х2 — 1.
17.	\/Зг2 + 5г + 8 - х/Зг2 4- 5г 4-1 = 1.
18.	х/г 4- х/Г^Тб = ^г=8.
19.	х/3г2-7г + 3 — х/г2 - 2 = х/Зг2 - 5г - 1 -
—х/г2 — Зг + 4.
20.	^г+Т+^гТ2+-^гТЗ = 0.
21.	У(1 + г)2 - \/1-г2 + У(1-г)2 = 1.
22.	х/г2 —1 = (г 4- 7)i/^4-
23.	г 4-1 = (\/2 + г + 1)(л/2 + г 4- г2 4- г - 7).
24.	yjx + 3 - 4у/х -14- ^/г 4- 8 — 6х/г - 1 = 1.
25.	+ У (г - I)3 - г + 2 =	{/(г - I)3 - г 4- 1.
х/2 4-г + х/2-г 2
2Ь. --> —  .;	= —.
х/2 4-г - у/2 - х х
27.	х/г2 + г + 1 — х/г2 — Зг + 7 = х/г2 — г + 2 —
• — х/г2 — 5г 4- 8.
28.	г = {у/хП 4- 2)(л/2г 4- 6 - 1).
29.	|г3 — 2г — 3| = |г3 — 2г 4- 5|.
30.	log2 (х4 — х/г4 — 4 4- г2 4- 2^ =
= log2 (г8 - у/г4 -"4 4- г2 - ю).
93
31.	(logx 2)(log2x 2)(log2 4x) = 1.
32.	log3(7® 4-- 1|) = logg(47® -.3 4- 4|7® - 1|).
35.	;te-3^--^T-^+|4-,| =
34.	2 logx 3 4- log3x 3 4-3 log9x 3 = 0.
ж2
35.	(log4® 4- 2)Iog16x4 = Iogx4 • log4
36.	log^j(® 4-1® - 2|) = logx(5® - 6 4- 5|® - 2|).
37.	log2^_^+2(4® - 47? - 47®® 4- 84) = 2.
38.	log(x_2)2 (4 - 4® 4- ®2) = 2 4- log(x_2)2 (® 4- 5)2.
39.	log1_2x(6®2 — 5® 4-1) — logi_3x(4®2 — 4® 4-1) = 2.
40.	logjx ®2 - 14 log16x ®3 4- 40 log4X 7® = 0.
41.	|ic|log3(a!»-+-3®) _ (ж2 + 3a;)log3(l-a:).
42.	(2 4- sin®)*2-® = (2 4- cos®)®2-*.
43.	(1 4- ®2 4- ®4 4- sin2 ®)2®-1 = (1 4- ®2 4- ®4 4- sin2 ®)2-®.
44.	.= (1 — x2) !+•»» .
7Г^?2	'
45.	(1 4- ®4 4- cos®)4/1-12 = (1 4- ®4 4-sin®)^1-®2.
Решить неравенство
46.	у/2х — 3 + у/4х 4- 1 > 4.
47.	у/х — 1 + у/2х + 2 > 4.
48.	4- 3 > >/а: — 9 4- у/5 — х.
49.	у/Зх — 1 — у/х + 1 < у/х + 2.
50.	5/2®-1 + л/ЗаГ^2 < 5/4®-3 + у/Ьх - 4.
51.	л/®4 4- 2а;2 — 1 — у/2х4 + х2 + 1 < у/х2 + х.	*
52.	|л/а:2 — а: +1 — 2а; 4-1| > у/х2 — х 4-14- 2а;.
53.	у/х 4- 2 — у/5х > 4х — 2.
54.	у/х 4-1 4-1 < 4а;2 4- у/Зх.
55.	log2(2® 4-1 - а;2) > log^-1 4-1 - х) + 1.
56.	' log| (logj. VO-а;) > 0.
57.	log* 2х < ^/1обг(2а;3).
58.	(х2 4- х 4- 1)*2-5а:+в > (а;2 + 2)х2~5х+6.
59.	(а;2 4-1)2+® > (ж2 4-1)5®"3.
60.	х2-'^+^х > 1
95
Глава III
СПОСОБ ЗАМЕНЫ
НЕИЗВЕСТНЫХ ПРИ РЕШЕНИИ
УРАВНЕНИЙ
Если дано уравнение
F(f(x))=0,	(I)
то заменой неизвестной у z= f(x) оно сначала сводится к урав-
нению
F(j/) = O,	(И)
а потом после нахождения всех решений уравнения (II)
Уъ 3/2,-.,	3/п,-.
сводится к решению совокупности уравнений
=У1, . f(x) =У2,... , /(ж) =уп>... .	(III)
Этот прием достаточно хорошо известен, и поэтому в этой
главе ему уделяется мало внимания. В основном в этой главе
рассматриваются замены неизвестных для различных част-
ных случаев уравнений, не записанных в виде (I).
§ 3.1.	Алгебраические уравнения
3.1.1.	Понижение степени уравнения. Некоторые ал-
гебраические уравнения заменой в них некоторого многочлена
одной буквой могут быть сведены к алгебраическим уравне-
ниям, степень которых меньше степени исходного уравнения
и решение которых проще.
Пример 1. Решить уравнение
(ж2 4-т4-2)(х2 4-±4-3) = 6.	(1)
Решение. Обозначим х2 4- х 4- 2 через t, тогда уравнение
(1) можно переписать в виде t(t 4-1) = 6. Последнее уравне-
ние имеет корни ti = 2 и = —3. Следовательно, уравне-
ние (1) равносильно совокупности уравнений х2 4- х 2 = 2
и х2 4- х 4- 2 = —3. Решения первого уравнения этой совокуп-
ности есть xi = 0 и Х2 = —1. Решения второго уравнения
-14-х/21	-1 — л/2Т п
есть хз = --------, Х4 = --------• Решениями уравнения
(1)	ЯВЛЯЮТСЯ Хд, Х2, Хз и Х4.
гч	A i -14- л/21	—1 — \/21
Ответ: х± — О, Х2 = -1, хз =------, х± =----------.
Пример 2. Решить уравнение
(6т 4- 7)2(3х 4- 4)(т 4-1) = 1.	(2)
Решение. Умножив обе части уравнения на 12 и обозна-
чив 6х 4- 6 через z, получим уравнение (z 4- l)2(z 4- 2)z = 12.
Переписав это уравнение в виде
(z2 + 2z + l)(z2 + 2z) = 12	(3)
и обозначив z2 4- 2z через и, перепишем уравнение (3) в виде
(и 4- 1)и = 12. Последнее уравнение имеет корни щ = 3 и
U2 = —4. Поэтому получаем, что уравнение (3) равносильно
совокупности двух уравнений z2 4- 2z = 3 и z2 4- 2z = -4.
Решения этой совокупности уравнений есть z\ = -3 и = 1,
т.е. уравнение (2) равносильно совокупности уравнений
6x4-6 =—3	и	6т 4-6 =	1.	(4)
3	5
Решениями совокупности	(4)	являются	xi	=	— - и хч = —
2	о
они и являются решениями уравнения (2).
Ответ: xi = -3/2, хч = -5/6.
4-199
97
3.1.2.	Уравнения вида (ж4-а)44-(#4-/3)4 = с. Уравнение
(х 4- а)4 + (х + /?)4 = с,	(5)
где а, Р и с— данные числа, можно свести к биквадратному
уравнению с помощью здмены неизвестной
(х 4- а) 4- (х 4- Р)
я=--------2--------’
т.е. замены
Пример 3. Решить уравнение
(х - I)4 + (х + З)4 = 82.	(6)
_	(х - 1) + (х + 3)
Решение. Обозначим ------------------ через т. е. сдела-
ем замену переменных у = я 4-1 или х = у — 1. Тогда уравнение
(6) можно переписать в виде (у — 2)4 4- (у + 2)4 = 82 или, при-
меняя формулу (а 4- Ь)4 = а4 4- 4а3Ь 4- 6а2 Ь2 4- 4аЬ3 4- Ь4, в виде
2т/4 + 48г/2 4-2 • 16 = 82.	(7)
Поскольку корни квадратного уравнения z2 4- 24я—25 = 0 есть
zi = 1 и Z2 = —25, то решения уравнения (7) есть решения со-
вокупности уравнений у2 = 1 и у2 = —25. Эта совокупность
уравнений имеет два решения = 1 и у2 — —1. Следователь-
но, решения уравнения (6) есть = 0 и #2 = “2.
Ответ: xi = 0, х2 = -2.	- '
3.1.3.	Уравнения вида (х — а)(гг — Р)(х — *у)(х —	= А.
Уравнение
(х - а)(я - Р)(х — 7)(ж - 6} = Д,	(8)
где числа а, /3, 7, S и А таковы, что а<Р<'у<ЗиР — а =
= 6 заменой неизвестных
х — а 4- х — Р 4- х — 7 4- х — £
у=--------------4-------—
98
сводится к биквадратному уравнению.
Пример 4. Решить уравнение
(х 4- 1)(ж +£)(я 4- 4)(ж 4- 5) = 10.	(9)
Решение. Сделаем замену неизвестных
я4-14-#4-24-я4“44-я4-5
У =------------4------------’
т.е. у = х 4- 3 или х = у ~ 3. Тогда уравнение (9) можно пере-
писать в виде (у — 2)(2/ — 1) (з/ + 1)(г/ + 2) = 10, т.е. в виде
(j/2 — 4)(у2 — 1) = 10.	(10)
Биквадратное уравнение (10) имеет два корня: у^ = — у/в и
2/2 = л/б. Следовательно, уравнение (9) также имеет два корня:
Xi — —\/б — 3 и Х2 = у/б — 3.
Ответ: хг = -\/б - 3, х2 = х/б - 3.
3.1.4.	Уравнения вида (ах2+bix+c)(ax2+Ь2х+с) — Ах2.
Уравнение
. (ах2 4- biX 4- с)(ах2 4- Ь2х 4- с) = Ах2,	(11)
где с / 0 и А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив
уравнение (11) на х2, получим равносильное ему уравнение
(ах + “ + ^1) (ах + ~ + Ьг) - А = 0,
( с
которое после замены неизвестной у = ах 4— перепишется
х
в виде квадратного уравнения, решение которого не предста-
вляет трудностей.
Пример 5. Решить уравнение
(х2 4- х 4- 2)(х2 4- 2х 4- 2) = 2х2.	(12)
4*
99
Решение. Так как х = 0 не является корнем уравнения
(12), то, разделив его на х2> получим равносильное ему урав-
нение
(х 4-1 4—) (х 4- 2 4—J =: 2.
\ xj \ ху
п '	2
Делая замену неизвестной у = х 4—, получим уравнение
х
(у 4- 1)(з/ 4- 2) = 2, которое имеет два корня: yi = 0 и у2 = ~3.
Следовательно, исходное уравнение (12) равносильно совокуп-
ности уравнений
2	2
ж 4--= О и а;4-- = -3.
х	х
Эта совокупность имеет два корня: xi = — 1 и х2 = —2.
Ответ: х\ = -1, х2 = -2.
Замечание. Уравнение вида
а#4 4- /Зя3 4- ух2 4- 6х 4 А = О,
у которого </v и а А > 0, всегда можно привести к виду
о у А
(11)	и, более того, считая о > 0 и А > О, к виду
(у/ах2 4- л/а) (у/ах2 4- -Д
х2.
3.1.5.	Уравнения вида (ж — а)(х — /3)(х — у)(х — 5) = Ах2.
Уравнение
(х - а)(х - /3)(х - 7)(я - 5) = Ах2,	(13)
где числа о, 0, 7, 6 и А таковы, что о/З = 7<5 / 0, можно
переписать, перемножив первую скобку со второй, а третью
с четвертой, в виде
(х2 - х(а 4- /3) 4- а0)(х2 - х(у 4- 6) 4- 7<$) = Ах2,
т.е. уравнение (13) теперь записано в виде (11), и его решение
можно проводить так же, как решение уравнения (11).
100
Пример 6. Решить уравнение
(х — 2)(х — 1)(ж - 8)(я - 4) = 7я2.	(14)
Решение. Уравнение (14) имеет вид (13), поэтому перепи-
шем его в виде
[(Ж-2)(Ж -4)][(я - 1)(ог'- 8)] = 7х2
или в виде
(ж2 — 6ж 4- 8)(я2 — 9ж 4- 8) = 7х2.
Так как х = 0 не есть решение этого уравнения, то, разделив
его обе части на ж2, получим равносильное исходному уравне-
ние — 6 4- ^0	— 9 4-	= 7. Делая замену переменных
g
# 4— = J/, получаем квадратное уравнение (у — 6) (у — 9) = 7,
15 4-\/37	15 — \/37
решения которого есть yi = —— и у2 = - • Следо-
вательно, исходное уравнение (14) равносильно совокупности
уравнений
8	15 4- л/37	8	15 - \/37
х 4- ” =------~---- и х 4- - =--------------
х 2	х 2
Решения первого уравнения этой совокупности есть
15 4-V37
2
х2 =---------
.—\ 2
15 + ^\ _32
2
второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Итак,
исходное уравнение имеет корни х\ и х2>
101
Ответ:
.15 + а/37 + л/30л/37 + 134
4___________'
15 + л/37 - х/ЗОх/ЗТ + 134
3.1.6.	Уравнения вида а(сх2 + pix 4- q)2 4- Цех2 + Р2Х 4-
4-g)2 = Ах2. Уравнение
a(cx2 4-pix 4- q)2 4- Цех2 + p2X 4- q)2 = Ax2, (15)
где числа a, b, c, q, А таковы, что a 0 0, b 0 О, c 0 0, q 0 0,
A 0 0, не имеет корня x = 0, поэтому, разделив уравнение
(15) на х2, получим равносильное ему уравнение
а (сх4-- 4-pi) 4- Ъ (сх 4- 4-рг) = А,
и	, Я
которое после замены неизвестной у = сх 4- — перепишется
в виде квадратного уравнения, решение которого не предста-
вляет трудностей.
Пример 7. Решить уравнение
3(х2 4- 2х - I)2 - 2(х2 4- Зх - I)2 4- 5т2 = 0.	(16)
Решение. Так как х = 0 не является корнем уравнения
(16), то, разделив обе его части на х2, получим уравнение
/	1\2	/	1V
3 1x4-2--) -21x4-3— — ) 4-5 = 0,	(17)
\	xj	\	х/
равносильное уравнению (16). Сделав замену неизвестной
х — — = 2/, уравнение (17) перепишем в виде
х
3(3/ + 2)2 - 2(0 4- З)2 + 5 = 0.	(18)
102
Квадратное уравнение (18) имеет два корня: yi = 1 и у2 = -1.
Поэтому уравнение (17) равносильно совокупности уравнений
х — — = 1 и я — — = — 1.	(19)
х	х
Совокупность уравнений (19) имеет четыре корня:
—1 — х/5	-1 + л/5	1 - х/5	1 + У5
#1 = -------, х2 - -----, Х3 = -, Х4 = ---~. Они
Z	Z	£
будут корнями уравнения (16).
-1-У5	-1 + л/5	1 — х/5
Ответ:	= —-----, х2 = —----, х3 = —-—,
z -	z	z
1 + V5
xi = —й—•
а\21
-) , при этом многочлен Р(х) должен
3.1.7. Уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) = Р(а — х).
Пусть многочлен Р(х) обладает свойством: для некоторого
фиксированного числа а справедливо тождественное равен-
ство Р(х) = Р(а — ж). Тогда можнЪ показать, что существует
многочлен Q(y) такой, что справедливо тождественное равен-
ство Р(х) = Q (х —
быть четной степени.
Поэтому уравнение Р(х) = 0 можно переписать в этом слу-
чае в виде уравнения Q(y) = 0, где	, степень
которого меньше степени уравнения Р(х) = 0.
Для решения таких уравнений можно поступить следую-
щим образом: сначала сделать замену неизвестной х = у 4- -,
тогда получим алгебраическое уравнение той же степени 2&,
что и уравнение Р(х) = 0, но уже содержащее только четные
степени у. Делая затем замену неизвестной t = j/2, получим
алгебраическое уравнение уже степени к.
Пример 8. Решить уравнение
Xs + (2 - а;)8 - 48(ж - 1)2(а:2 - 2х + 2)2 - 32(я: - I)4 = 32.
(20)
103
Решение. Рассмотрим многочлен
Р(х) = я8 4- (2 - я)8 - 48(ш - 1)2(ж2 -2х + 2)2 - 32(ж - I)4 - 32,
Поскольку легко проверить, что Р(2-ж) = Р(ж), то уравнение
(20) есть уравнение рассматриваемого вида. Сделаем замену
неизвестной у = х — 1 или х ~ у 4- 1, тогда уравнение (20)
перепишется в виде
[(2/ +1)2]4 + Ку -1)2]4 - 48у2(г/2 + I)2 - 32у4 - 32 = 0.(21)
Так как (у + I)2 = у2 + 1 + 2у, а (у - I)2 = у2 4-1 - 2у,
то, подставляя эти выражения в левую часть уравнения (21)
и раскрывая четвертые степени по формуле
(а 4- Ь)4 = а4 4- 4а3Ь 4- 6а2Ь2 4- 4аЬ3 4- Ь4,
получим, что уравнение (21) перепишется в виде
(у2 4-1)4 = 16.	(22)
Уравнение (22) имеет два корня: yi = — 1 и У2 = 1. Следова-
тельно, исходное уравнение имеет также два корня xi = 0 и
Х2 = 2.
Ответ: xi = 0, х2 = 2.
§ 3.2.	Рациональные уравнения
Уравнения вида
= 0,	(I)
где Н(х) и Q(x) - многочлены, называются рациональными.
Найдя корни уравнения Н(х) = 0, затем надо проверить,
какие из них не являются корнями уравнения Q(x) = 0. Эти
корни и только они будут решениями уравнения (I).
В этом параграфе приводятся некоторые специальные ме-
тоды решения уравнений вида (I).
104
3.2.1.	Упрощение уравнения. При помощи замены не-
известных рациональное уравнение часто сводится к алгебра-
ическому или более простому рациональному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение
т2 -1-1 2т+ 3 _ 29
2ж + 3 + ж2 + 1 ” 10'
(1)
Решение. Обозначив
т2 4-1
2т 4-3
через 2/, данное уравнение пе-
1	29
репишем в виде у 4- - = —. Поскольку у = 0 не есть решение
этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению
10у2 ~ 291/ 4-10 == 0. Решения этого уравнения есть 2/1 = 5/2 и
2/2 = 2/5. Следовательно, уравнение (1) равносильно совокуп-
ности уравнений
т2 4-1 _ 5 т2 4-1_2
2ж + 3“ 2 И 2ж + 3 —5’
Первое из этих уравнений на множестве всех т / -3/2 равно-
сильно уравнению
2т2 - Ют -13 = 0,	(3)
а второе - уравнению
5т2 — 4т — 1 = 0.
(4)
Решения уравнения (3) есть тх =-----и Т2 =----%--•
шения уравнения (4) есть Тз = 1ит4 = —1/5. Следовательно,
решениями уравнения (1) будут числа тх, Т2, Т3, Т4.
54-л/Й	5-д/51	.	1
Ответ: тх = —±, т2 = —-—, ж3 = 1, т4 =
2	Z	О
Пример 2. Решить уравнение
£!+48 = 10/£^4\
3 х2 {З х)
(5)
105
Решение. Обозначим ~ — — через и, тогда уравнение (5)
перепишется в виде
3u2 - 10и 4- 8 = 0.
(6)
Уравнение (6) имеет два корня: щ = 2 и U2 = 4/3. Поэтому
уравнение (5) равносильно совокупности уравнений
х 4	х	4	4
-	— 2 и 		-
Ах----------------3-х-3
Решения первого уравнения этой совокупности есть хг =
3 ^/21	3 — \/21
—----_---и Х2 = -------. Решения второго уравнения есть
хз = — 2 и Х4 = 6. Следовательно, решениями исходного урав-
нения (5) ЯВЛЯЮТСЯ числа Х1, Х2, Яз> #4-
3 + х/21	3-х/2Т
Ответ: xi — —-—, Х2 = —-—, х3 =	.т4 — б,
3.2.2.	Уравнения вида
<*1	<*2	___
X 4- /31 х 4- /32 х 4- /Зт
Уравнение
я 4- ft х 4- /32 х 4- /Зт
(7)
при некоторых условиях на числа со, А, fa может быть решено
следующим образом. Группируя члены уравнения (7) по два и
суммируя каждую пару, надо получить в числителе многочле-
ны первой или нулевой степени, отличающиеся только число-
выми множителями, а в знаменателях - трехчлены с одинако-
выми двумя членами, содержащими х, тогда после замены пе-
ременных полученное уравнение будет либо иметь также вид
(7), но с меньшим числом слагаемых, либо будет равносильно
совокупности Двух уравнений, одно из которых будет первой
степени, а второе будет уравнением вида (7), но с меньшим
числом слагаемых.
106
ПРИМЕР 3. Решить уравнение
11 1 1 1
—1"---т -----п “Ь Л 4*  1	~ 0.
х т+1	х+2	ж+З х + 4
РЕШЕНИЕ. Сгруппировав в левой части уравнения (8) пер-
вый член с последним, а второй с предпоследним, перепишем
уравнение (8) в виде
/1	1 \ / 1	1 А 1
( ~	~, 7. + ~ 1ч ) +	= 0.	(9)
\ х 4 j	х 4“ 1 х 4“ 3 j х 4“ 2
Суммируя в каждой скобке слагаемые, перепишем уравне-
ние (9) в виде
2(ш4-2)	2(ж 4~ 2)	1 =Q
х2 4- 4х х2 4- 4х 4- 3 х 4- 2
Так как х = — 2 не есть решение уравнения (10), то, разде-
лив это уравнение на 2 (х 4- 2), получим уравнение
1 1 1
х2 4- 4х + х2 4- 4х 4- 3 + 2(х2 4- 4х 4- 4)	’
равносильное уравнению (10). Сделаем замену неизвестного
х2 4- 4х = и, тогда уравнение (11) перепишется в виде
11 1
—।----—	----- — о.
и и 4- 3	2(и 4- 4)
Таким образом, решение уравнения (8) с пятью слагаемыми в
левой части сведено к решению уравнения (12) того же вида,
но с тремя слагаемыми в левой части. Суммируя все члены в
левой части уравнения (12), перепишем его в виде
5и2 4-25м 4-24 _Q
2и(и 4- 3)(и 4- 4)
(8)
(Ю)
(12)
(13)
Решения уравнения 5и2 4- 25w + 24 = 0 есть щ =,-—--и
-а/145 „	'	, .
—-----. Ни одно из этих чисел не обращает в нуль
и2 =
107
знаменатель рациональной функции в левой части уравнения
(13). Следовательно, уравнение (13) имеет эти два корня, и по-
этому исходное уравнение (8) равносильно совокупности урав-
нений
.<>	.	—25 4*7145	2 л -25-7145
аг + 4я =--—---- и х 4 4х ------—----
Решения первого уравнения этой совокупности есть
Решения второго уравнения из этой совокупности есть
Поэтому исходное уравнение имеет корни xi, X2/Z3, #4-
Ответ:
QjX + О1 Л2Х + 02
Х + Ь1 X + i>2
(14)
3.2.3.	Уравнения вида 
4-----:— = D. Уравнение
оцх + Qi	#2# 4- Q2 __апж 4- ап __ р
х + 61 а? + Ь2	х + Ьп ~
при некоторых условиях на числа од,’6$ о/ и D можно решить
так: надо выделить целую часть в каждой из дробей уравне-
ния, т.е. заменить уравнение (14) уравнением
ai + -’ll/’ + а2 + П7Г + ••• + <*«+ 74 » ‘
X +1>1	X + 02	х-т оп
108
свести его к виду (7) и затем решить его способом, описанным
в предыдущем пункте.
Пример 4. Решить уравнение
х + 4 а: — 4 ж + 8 х —8	8
х — 1 ж + 1 х — 2 х + 2~ 3’
(15)
Решение. Запишем уравнение (15) в виде
1 +
5
х — 1
+ 1-
5
х+ 1
8
3
или в виде
5___5_\ _ / 10 _ 10 \ _ 8
х — 1 х+1) \® —2 x + 2J 3'
(16)
Суммируя слагаемые в скобках, перепишем уравнение (16) в
виде
10	40	8
х2 — 1	х2 — 4	3
(17)
Делая замену неизвестного х2 — и, перепишем уравнение (17)
в виде
10 _ 40	8
и —1 и—4 "о
Суммируя члены в левой части уравнения (18), перепишем его
в виде
4и2 - 65н + 16
(и — 1)(ц — 4)
(19)
Легко видеть, что уравнение (19) имеет два корня: ui = 16
и «2 = 1/4. Следовательно, исходное уравнение (15) имеет
четыре корня: Xi — 4, ®2 — —4,	= 1/2 и xt = -1/2.
Ответ: = 4, а:2 = -4, хз = 1/2, х4 = -1/2.
109
а\х 4“ bi
3.2.4.	Уравнения вида---5---------
pix* 4- qix 4- Г1
+ &2	|___| апж 4- bn _
P2Z2 + q2X 4- r2 pnx2 4- qnx 4- rn
4-
Уравнение вида
airc4-6i + azx 4- b2 4.... 4. anX + bn - л
pi ж2 4- qix 4- П	p2x2 4- q2X 4- r2 pnx2 4- qnx 4- rn
при некоторых условиях на числа а^, bi, pi, qi, тг и А можно
решать так: разложив (если это, конечно, возможно) каждую
из дробей в левой части уравнения (20) в сумму простейших
дробей
сцх + bi _ Ai Bi
PiX2 +qix + ri x + & ж 4- 7/
свести уравнение (20) к виду (7), затем, проведя удобную пе-
регруппировку членов полученного уравнения, решать его ме-
тодом, изложенным в пункте 3.2.2.
Пример 5. Решить уравнение
ж4-1 ж 4-6	_	ж4-2	ж 4- 5
ж2 4- 2ж + ж2 4- 12ж 4-35 ж2 4- 4ж 4- 3 + ж2 4- Юж 4- 24^|)
Решение. Поскольку ж2 4- 2ж = ж(ж 4- 2), ж2 4- 12ж 4- 35 =
= (ж4-5)(ж4-7), ж24-4ж4-3 = (ж4Л)(ж4-3) и х2 4-Юж4-24 = (ж 4-
4) (ж 4- 6), то, умножив числитель каждой дроби в уравнении
(21) на 2 и заметив,что 2(ж4-1) = ж4-ж4-2, 2(ж4-6) = ж4-74-ж4-5,
2(ж4-2) = ж4-14-ж4-3, 2(ж4-5) = ж + 44-ж4-6, уравнение (21)
можно записать в виде
1111
— 4”	1 4~ ———- 4" *”" —— —
х х+2 х + 5 х + 7
= —— +	+ -1— + —. (22)
лс + 1 х + 3 х + 4 х + 6 v 7
110
Уравнение (22) имеет вид (7). Перегруппировав слагаемые в
этом уравнении, перепишем его в виде
1 1 \ _
х + 2^ х + 5 J
( i ,	1 \ , ( 1	1
— I —_	_|_ ..... I I    —	.
\x4-l х 4- 6J \#4-3 х 4- 4
или в виде
2т 4-7 2т 4-7	_
т2 4- 7х х2 4- 7х 4-10
__ 2т 4" 7 2т 4- 7
х2 4- 7х 4- 6	т2 4- 7х 4- 12 ‘
(23)
Уравнение (23) равносильно совокупности уравнений
2х 4- 7 = 0
и	’	(24)
1 1 _ 1 -1
х2 4- 7х х2 4- 7х 4- 10 х2 4- 7х 4- 6 х2 + 7х + 12'
в виде
или в виде
Для решения второго уравнения совокупности (24) сделаем
замену неизвестного х2 4- 7х 4- 6 = z'. Тогда оно перепишется
1 1 _ 1 1
z-6^z4-4	2"*"«4-6
2z - 2 2z 4- 6
(.-б)и + 4)-ф7б)=0-	<“>
Суммируя все члены в левой части уравнения (25), перепишем
его в виде
z 4-6z 4-18	_	/ 25)
ф4-4)(^6)(г-6)’и	< }
Так как уравнение z2 4- 6з 4-18 = 0 не имеет корней, то урав-
нение (26) их также не имеет.
111
Первое уравнение совокупности (24) имеет единственный
корень х = —7/2. Поскольку этот корень входит в ОДЗ второ-
го уравнения совокупности (24), то он является единственным
корнем совокупности (24), а значит, и исходного уравнения.
Ответ: х = -7/2.
„„„	aix2 + fax + ci
3.2.S. Уравнения вида	д
! аг®2 4- bjX 4- С2	апж2 4- Ьпх 4- с»
агж 4* 02	опх 4- 0п
aix2 4- fax 4- Ci аъх2 4- l>2® 4- сг
оцх 4- 01	«2® 4- 02
= А. Уравнение
апх2 4- Ьпх 4- с,
апх 4- 0п
(27)
при некоторых условиях на числа a,, bi, Ci, 0, и А после
представления каждого слагаемого в левой части в виде
<цх2 + fax + ci	Bi
------—	=	+ fa 4- •
OtiX + fa----------I
может быть сведено к виду (7).
Пример 6. Решить уравнение
х2 4- х 4-1 х2 4- 2х 4- 2 х2 4- Зж 4- 3
ж 4-1 ж 4- 2	х 4- 3
ж2 4- 4ж 4- 4
х 4- 4
= 0.
(28)
виде
—----X---— = 0
х+З х + 4
— x —
(29)
Решение. Перепишем уравнение (28) в
1	2	3
х 4----г 4- х 4--г
х + 1 х 4- 2
или в виде
-2-4-^__________2_____— = о.
ж 4- 1 х 4-2 ж 4- 3 ж 4- 4
•Таким образом, уравнение (28) сведено к виду (7). Теперь,
группируя первый член с последним, а второй с третьим, пе-
репишем уравнение (29) в виде
—-------------------= о.
х2 4- 5х 4- 4 х2 4- 5ж 4- 6
112
Это уравнение равносильно совокупности уравнений
3	1
X = О И “5-----3----7 + “о--г----Z = 0.	(30)
х2 4- 5х 4- 4 х2 4- 5х 4- 6	' 7
Последнее уравнение совокупности (30) можно переписать в
виде
2ж2 4-Юж 4-11
(ж 4- 1)(ж 4- 4)(ж 4- 2)(ж 4- 3) ~
о	—5 4-\/3	—5 — \/3
Решения этого уравнения есть х± =---~---и ж? =--------»
так как х = 0 входит в ОДЗ второго уравнения совокупности
_5 4- л/3
(30), то совокупность(ЗО) имеет три корня: х± = ------,
А
-5- \/3
х2 =----g---» Хз = “се они есть Решения исходного урав-
нения.
_	-5 4- 7з -5 - УЗ
Ответ: ц = —-—, х2 = -—-—, х3 = 0.
3.2.6. Уравнения вида —5—	+ —о-.-/-— + • • •
ах* + bix 4- с ах* 4- Ь2х 4- с
Д.^ж
+ «^+btx + c=B-
Aix	Акх
ах2 4- bix + с ах2 4- bkX 4- с
(31)
при некоторых условиях на числа а, с, bi и А заменой неиз-
С
вестного ах 4— = у можно свести к уравнению вида
4*...+... 4- 4*
У 4- bl у+ bk
Пример 7. Решить уравнение
Зж
4ж	_
4ж2 — 8ж 4- 7 + 4ж2 — 10ж 4- 7
= в.
(32)
Решение. Так как ж = 0 не является решением уравнения
(32), то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в
113
левой части на х, перепишем его в виде
-----—т+------------2------- = 1.	(33)
4я - 8 4- - 4ж - 10 4- -
х	х
Сделав замену переменных 4х 4— =	перепишем уравнение
х
(33) в виде
4	3
£-8*у-10~
(34)
Решения уравнения (34) есть yi = 16 и уч = 9. Поэтому урав-
нение (33) равносильно совокупности уравнений
7	7
4х 4- ~ = 16 и 4х + — = 9.	(35)
х	х
Корни первого уравнения этой совокупности есть
7
Х2 = -• Второе уравнение решений не имеет. Следовательно,
совокупность (35), а значит, и исходное уравнение имеют два
корня: х\ и Х2-
Ответ: xi = 1/2, х2 = 7/2/
§3.3. Иррациональные уравнения
3.3.1. Уравнения вида у/ах 4- Ь±\/сх 4- d = /(х). Урав-
нение
Vax + b 4- y/cx + d := /(ж)	(1)
при некоторых условиях на числа а, 6, с, d и функцию f(x)
можно решать так: возведя уравнение (1) в квадрат, получить
уравнение
2i/(ax + b)(cx4-d) = f2(x) - (ах 4- Ъ 4- сх 4- d),	(2)
являющееся следствием уравнения (1). Если окажется, что
/2(x)-(ax4-64-cx4-d) = (ах4-6)(сж4-<£)4->4, где А — некоторое
114
число, то, делая замену неизвестного у =± у/{ах 4- Ь) {сх 4- d),
перепишем уравнение (2) в виде
у2 - 2у 4- А = 0.	(3)
Если уравнение (3) имеет решения yi и у% ( включая случай
2/1 = 2/г), то совокупность уравнений
(ах 4- Ь)(сх 4“ d) = у2, {ах 4- b){c$ + d) = 2/2
является следствием уравнения (1) и, найдя ее корни, надо
проверить, какие из них являются корнями уравнения (1). Ес-
ли же уравнение (3) не имеет решений, то не имеет решений
и уравнение (1).
Отметим, что при решении уравнения (1) можно не перехо-
дить к следствиям, а на каждом этапе следить за равносильно-
стью переходов. Отметим еще, что иногда таким же способом
может быть решено уравнение вида
Vax + b — Vex 4- d = f(x).	(4)
Приведем примеры решения уравнений вида (1) и (4) перехо-
дом к следствию и равносильными переходами.
Пример 1. Решить уравнение
у/х + 1 - х/12-х = х/-х2 +11® - 23.	(5)
Решение. Возводя обе части уравнения (5) в квадрат, по-
лучаем уравнение
13 - 2\/—®2 + 11® + 12 = -®2 + 11® - 23,	(6)
являющееся следствием исходного уравнения. Сделав замену
неизвестного \/-х2 4- 11ж 4-12 = у. уравнение (6) можно пере-
писать в виде 13 — 2у = у2 — 35. Решения этого квадратного
уравнения есть yi = 6 и у 2 = - 8. Поэтому совокупность урав-
нений
>/-®2 + 11® + 12 = 6 и xZ-x2 + 11® + 12 = -8
115
есть следствие уравнения (5). Уравнение у—ж2 4- 11а? +12 —
—8 решений не имеет. Решения уравнения л/—а?2 + 11а? + 12 =
б есть a?i == 3 и а?2 = 8. Проверка показывает, что х = 8 есть
решение исходного уравнения, а а? = 3 не есть его решение.
Следовательно, исходное уравнение имеет один корень х = 8.
Ответ: а? == 8.
Пример 2. Решить уравнение
у/х+ 7 - д/9 — х = ат2 + 2а? + 63	(7)
Решение. ОДЗ уравнения состоит из а?, удовлетворяющих
одновременно условиям а? + 7 > 0, 9 — а? > 0, —а?2 + 2а? + 62 > О,	i
т.е. ОДЗ есть промежуток —7 < а? < 9. Для а? из ОДЗ, удовле-	
творяющих условию а? + 7 < 9 - а?, т.е. для а? из промежутка	\
—7 < х < 1 левая часть уравнения (7) отрицательна, а правая	I
неотрицательна, значит, ни одно из этих а? решением уравне-	|
ния быть не может.	i
Пусть а? € [1; 9]. Для таких а? обе части уравнения (7) нео-
трицательны, и поэтому оно равносильно на этом множестве |
уравнению	J
•S
16 - 2 У-z2 + 2х + 63 = (7-®2 + 2х + бз)2.	(8)	J
Сделав замену неизвестной >/-а?2 + 2а? + 63 = и, перепишем	I
уравнение (8) в виде и2+2и—16 = 0. Решения этого уравнения	;
есть wi = —1+\/17 и U2 = — 1 — >/17. Следовательно, уравнение
(8) равносильно совокупности уравнений	I
\/-х'2 + 2х + 63 = -1 - 717
и	____________ (9)	
\j-xi + 2х + 63 = -1 + 717.
Первое уравнение совокупности (9) решений не имеет. Вто-
рое уравнение для х € [1;9] равносильно уравнению -а?2 +
+2а? + 63 = 18 - 2\/17, имеющему корни a?i == 1 + \/46 + 2>/17
и а?2 = 1 V 46 + 2\/17. Из этих чисел только a?i попадает в
116
промежуток 1 < х < 9. Следовательно, только xi является
корнем исходного уравнения.
Ответ: х = 1 + а/46 + 2\/17.
3.3.2.	Уравнения вида \/а - х±\/х - b = d. Уравнение
Уа- х + Ух — b = d,	* (10)
где a, bt d — данные числа, а > Ь, d > 0, можно решать следу-
ющим образом.
1.	Возведя обе части уравнения в квадрат, получим урав-
нение
\/а-х 4- Vx - b = d2 - 2 У (а - х)(х - Ь),	(11)
являющееся следствием уравнения (10).
2.	Возведя обе части уравнения (11) в квадрат, получим
уравнение
а - b 4- 2\/(а — я)(я - b) = р2 — 2ty(a — x)(x - b)j , (12)
являющееся следствием уравнения (11).
3.	Сделав замену неизвестной у = -У(а - х)(х — Ь), перепи-
шем уравнение (12) в виде
а — 64-2з/2 = (d2 — 2j/)2.	(13)
Уравнение (13) есть квадратное уравнение относительно у.
Если оно имеет два корня yi и у2, то получим совокупность
уравнений
(а — х)(х — Ь) = 1/1 и (а — х)(х — 6) = у^
являющуюся следствием уравнения (10). Решив эти квадрат-
ные относительно х уравнения, надо проверить, являются ли
найденные корни корнями уравнения (10). Если уравнение (13)
имеет одно решение 2/о> то получаем уравнение (а — х)(х — Ь) ’==
117
= 2/q, являющееся следствием уравнения (10). Решив это урав-
нение, надо проверить, являются ли найденные его корни кор-
нями уравнения (10). Наконец, если уравнение (13) не имеет ;
корней, то и уравнение (10) не имеет корней.
Заметим, что аналогично решаются и уравнение вида •
*	у/а — х — \/х — Ь = d.	(14) i
Пример 3. Решить уравнение
W^+#eT15 = 4.	(15) :
Решение. Возведя обе части уравнения (15) в квадрат,
получим уравнение	1
__________i
+ V^T15 = 16-2</(17 - ж)(ж + 15),	(16)
являющееся следствием уравнения (15). Если возведем уравне-
ние (16) в квадрат, то получим уравнение	|
112 - 32^(17 - х}(х + 15) + ^(17 - х)(ж + 15) = 0, (17) \
являющееся следствием уравнения (16). Сделав замену неиз- J
вестной </(17 — х}(х + 15) = и, уравнение (17) перепишем в
виде и2 — 32и + 112 = 0. Решения этого уравнения есть иг = 4
и «2 = 28. Следовательно, имеем совокупность уравнений
</(17 - х)(х +15) = 4 и </(17 - а?)(® +15) = 28, (18) :
являющуюся следствием исходного уравнения (15).
Первое уравнение из совокупности (18) имеет единственное £
решение х\ = 1. Второе уравнение этой совокупности реше-
ний не имеет. Следовательно, совокупность (18) имеет един-
ственное решение х = 1. Проверка показывает, что х = 1 есть
решение исходного уравнения.
Ответ: х = 1.
В некоторых случаях проверка найденных корней уравне-
ния-следствия затруднительна, поэтому приведем еще способ
118
решения уравнений типа (10), основанный на его равносиль-
ных преобразованиях.
1.	Найдем ОДЗ уравнения (10).. ОДЗ есть промежуток
Ь < х < а.
2.	На ОДЗ обе части уравнения (10) неотрицательны, по-
этому после возведения в квадрат уравнения (10) получим
уравнение
у/а-х + у/х - b = d2 - 2 ^/(а - ж) (ж - 6).	(19)
равносильное уравнению (10) на его ОДЗ.
3.	На области b < х < а уравнение (19) равносильно урав-
нению
(у/а — я 4- у/х — bj = р2 — 2у/(а~ х)(х — ft)j . (20)
Действительно, любое решение уравнения (19) есть решение
уравнения (20), так как при возведении в квадрат корни урав-
нения не теряются. Любое решение уравнения (20) есть либо
решение уравнения (19), либо решение уравнения
у/а — х + у/х — Ь = — [d2 — 2\/(а — х)(х — b)j .	(21)
Перепишем уравнение (21) в виде
[у/а — х — у/х — b} = —d2.	(22)
Так как d 0, то уравнение (22) не имеет решений, ибо на
ОДЗ левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Сле-
довательно, любое решение уравнения (20) есть решение урав-
нения (19).
Итак, уравнение (20) равносильно уравнению (10) на его
ОДЗ.
4.	Обозначив у = ^/(а — х)(х — 6), перепишем уравнение
(20)в виде
а — d 4-2?/2 = (d2 — 2?/)2.	(23)
119
Уравнение (23) квадратное относительно у. Если оно имеет
два решения у^ и у2 (не исключая случая уг = 2/2), то получаем
совокупность уравнений
у/(а — х)(х — Ь) = У1 и \/(а-х)(х-Ь) = у2,	(24)
равносильную исходному уравнению (10) на его ОДЗ. Если
уравнение (23) не имеет решений, то и уравнение (10) не имеет
решений.
Пример 4. Решить уравнение
+ tfrT15 = 3.	(25) ‘
Решение. ОДЗ уравнения есть промежуток -15 < х < 17.
На ОДЗ обе части уравнения (25) неотрицательны, поэтому i
после возведения в квадрат, получим уравнение	1
у/17=х + \/Г+15 = 9-2 </(17 - х)(х + 15),	(26) i
равносильное исходному на его ОДЗ. Уравнение	j
(у/Т7~—х + л/яГТТ5)2 = (э - 2 <^(17 - х)(х + 15))2, (27) |
равносильно уравнению (26) на его ОДЗ. Перепишем уравне- |
ние (27) в виде	!
32 + 2^(17 - х)(х + 15) = (9 - 2</(17 - ж)(а: + 15))2. (28)
Сделав замену неизвестной </(17 — х)(х + 15) = z, перепишем
уравнение (28)в виде	’
2z2-36г + 49 = 0.	|
Решения этого уравнения есть z\ — 18+^tje и _ 18~у?ёб
Следовательно, имеем совокупность уравнений
«/7TZ vj—• ,	18 + л/266
1/(17-х)(х + 15) =--------
и	(29) ’
./г—----w---ттт 18-7266
7(Г7-®)(® + 15) =---------,
А
120
i
г равносильную исходному уравнению на его ОДЗ.
Первое уравнение совокупности (29) решений не имеет,
второе уравнение имеет два корня:
хг = 1 + а 256 —
= 1 “
Оба эти корня входят в ОДЗ исходного уравнения и поэтому
являются его корнями.
Ответ:
^2 = 1-
256 —
18 + V266
2
Замечание. Уравнение вида — /(х) ± tff(x) — Ь = d
заменой неизвестной у = f(x) сводится к уравнению вида (10)
или вида (14).
3.3.3. Сведение решения иррационального уравне-
ния к решению тригонометрического уравнения. За-
меной незвестной решение иррациональных уравнений ино-
гда можно свести к решению тригонометрических уравнений.
При этом полезными могут оказаться следующие замены не-
известной.
1.	Если в уравнение входит радикал у/а2 — ж2, то можно
сделать замену х = asint или х = a cost.
2.	Если в уравнение входит радикал у/a2 + я2, то можно
сделать замену х = atgt.
121
3.	Если в уравнение входит радикал х/а;2 — а2, то можно
а	а
сделать замену х = -—- или х =---
sin t	cos t
Пример 5. Решить уравнение
уж2 4-1 — х =
5
2у/х*~+1'
(30)
Решение. ОДЗ уравнения (30) есть все действительные х.
Сделаем замену незвестной х = tgt, где можно считать, что
—7г/2 < t < 7г/2. Тогда уравнение (30) запишется в виде
1	. 5
---7 -tgt = - cost
cost	2
(31)
Поскольку cost 0 для рассматриваемых t, то уравнение (31)
для этих t равносильно уравнению
2 — 2sint = 5(1 — sin21).	(32)
Уравнение (32) равносильно совокупности уравнений
3
sint = 1 и sint — —
о
(33)
Из решений этих уравнений промежутку —тг/2 < х < тг/2 при-
надлежит только t = arcsin(—3/5). Поэтому соответствующие
х есть
х = tgarcsin(-3/5) =
sin(arcsin(-3/5)) =	—3/5	_ _д
cos(arcsin(—3/5))	^/1 - 9/25
Ответ: х = -3/4.
Пример 6. Решить уравнение
х 35
1+7^т=12-
(34)
Решение. ОДЗ уравнения (34) состоит из всех х, удо-
влетворяющих условию |ж| > 1. Ясно, что никакое отрица-
тельное х из ОДЗ не может быть решением уравнения (34).
122
Следовательно, все решения уравнения (34) лежат в области
1 < х < Ч-оо. Сделаем замену неизвестной х = -Д-, где мож-
sm t
но считать, что 0 < t < тг/2. Тогда уравнение (34) можно
переписать в виде
1	1	35
sint	cost	12’
(35) -
Это уравнение для рассматриваемых t равносильно уравне-
нию
12 (sin 14- cos t) = 35 sin t cos t,	(36)
которое для этих t равносильно уравнению
24(sint -kcost) = 35[(sint 4- cost)2 - 1].	(37)
Делая замену неизвестной sin 14-cost = г, уравнение (37) мож-
но переписать в виде
35г2 - 24г - 35 = 0.	(38)
5	7
Уравнение (38) имеет корни г^ = -- и гз = Поэтому урав-
7	5
нение (37) равносильно совокупности уравнений
cost 4-sint =-5/7 и cost 4-sint = 7/5.	(39)
Первое уравнение совокупности (39) не имеет решений из про-
межутка 0 < t < тг/2, так как для любого to из этого проме-
жутка cos to 4-sin to > 0. Следовательно, все решения уравнения
(35), удовлетворяющие условию 0 < t < тг/2, содержатся сре-
ди решений второго уравнения совокупности (39). Обозначая
2/ = sin t, это уравнение для рассматриваемых t можно запи-
сать в виде
у + д/1 - у2 = 7/5.
(40)
Уравнение (40) имеет два корня: = 3/5 и 2/2 — 4/5. Поэтому
уравнение (35) на промежутке 0 < t < тг/2 имеет два решения:
123
3	4
ti arcsin - и й = arcsin -, а это означает, что уравнение (34)
5	5
имеет два корня: xi = 5/3 и »2 = 5/4.
Ответ: xi = 5/3, х2 = 5/4.
Пример 7. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравне-
ние
&г(2ж2 - 1)(&? - 8х2 4-1) = 1?	(41)
Решение. Так как искомые корни удовлетворяют условию
0 < х < 1, то делаем замену неизвестной х == cost Тогда
каждому корню хо € [0; 1] исходного уравнения будет соот-
ветствовать ровно один корень to € [0;тг/2], где Хо = cosfo»
уравнения
8 cos t(2 cos21 - 1) (8 cos41 - 8 cos214-1) = 1,	(42)
и, наоборот, каждому корню t± e [0; тг/2] уравнения (42) соот-
ветствует ровно один корень х\ € [0; 1] уравнения (41). Таким
образом, задача может быть переформулирована так: сколько
корней на промежутке 0 < t < тг/2 имеет уравнение (42)?
Поскольку 2 cos21 — 1 = cos 2t, 8 cos41 — 8 cos214-1 = cos 4t,
то препишем уравнение (42) в виде
8 cos t cos 2t cos 4t = 1.	(43)
Так как t = 0 не есть корень уравнения (43), то оно равно-
сильно на промежутке t € (0; тг/2] уравнению
8 sin t cos t cos 2t cos 4t = sin t,
или уравнению sin St = sin t, или, наконец, уравнению
.	7t	9i	_	fAA\
sin — cos — = 0.	(44)
z	£
Решения уравнения (44) есть
2	2
t = утгп, n 6 Z, и t = - (тг/2 + тгт), m G Z.
124
Из этих чисел условию 0 < t < тг/2 удовлетворяют только три
2
числа ti = -7Г, i2 = 7г/9 и £з = тг/З. Следовательно, исходное
уравнение (41) имеет на отрезке [0; 1] три корня.
Ответ: три корня.
§ 3.4.	Уравнения вида
aofn(x) +	+ • • • + an-1f(x)gn~1(x) +
й„рп(ж) = 0
Уравнения вида
aofn(x) + aifn~1(x)g(x) + -" +
+ an-.if(x)gn~1(x)^angn(x) = 0, (1)
где оо И 0 и хотя бы один из коэффициентов а2, ..., аЛ
отличен от нуля, можно решать следующим образом.
1.	Решить уравнение
р(х) = 0.
(2)
Найти те решения уравнения (2), которые являются решения-
ми уравнения f(x) = 0. Все эти решения являются решениями
уравнения (1).
2.	На множестве всех действительных чисел, исключая най-
денные корни уравнения (1), его надо заменить равносильным
ему на этом множестве уравнением
Оо
+ fill
(№)\
_n
' WW °

Сделав замену неизвестной у = /(ж)/д(х), переписать уравне-
ние (3) в виде
аоуп + aij/"'1 + • • • + ап-1у + ап = 0.	(4)
125
Алгебраическое уравнение (4) имеет не более чем п корней
2/2, ••• ,2/т, где т < п, найдя их, уравнение (3) заменить
со вокупностью уравнений
5(я)
= У1,-
/(*)
’ <7(я)
— Ут*
(5)
Все решения совокупности (5), принадлежащие рассматрива-
емому множеству, являются решениями уравнения (1).
3.	Объединение решений, найденных в п. 1 и п. 2, и есть
множество всех решений уравнения (1).
Приведем несколько примеров решения уравнений вида (1).
Пример 1. Решить уравнение
(ж2 4- 4ж 4- 8)2 4- Зх3 4- 14ж2 4- 24# = 0.	(6)
Решение. Перепишем уравнение (6) в виде
(ж2.4- 4ж 4- 8)2 4- Зж(ж2 4- 4х 4- 8) 4- 2ж2 = 0.	(7)
Теперь очевидно, что уравнение (7) — уравнение вида (1). По-
скольку х = 0 не является корнем уравнения ж2 4- 4х 4- 8 = 0,
то, разделив уравнение (7) на ж2, получим равносильное ему
уравнение
^2 + 4ж + 8У +	+ 2 = 0
\ X J \ X J
ж2 4“ 4ж 4“ 8
Сделав замену неизвестной-----------= у, перепишем урав-
ж
нение (8) в виде
3/2 + 3j/ + 2 = 0.	(9)
Так как уравнение (9) имеет два корня: у± = — 1 и у2 = —2, то
уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
ж2 4- 4ж 4- 8	„ ж2 4- 4ж 4- 8
	— -1 и 	
ж------------------------ж
126
Первое уравнение этой совокупности не имеет решений. Вто-
рое уравнение этой совокупности имеет два корня: х\ = —4
и Х2 = —2. Поэтому уравнение (8), а следовательно, и равно-
сильное ему уравнение (6) имеют два корня: х\ и х2.
Ответ: тх = -4, х2 = -2.
Пример 2. Решить уравнение
»2 —1	»2-1 »2-1
4»2+»+1 4- 3 • 6*2+®+1 = 4 • 9«2+®+1.	(Ю)
х2-1
Решение. Разделив обе части уравнения (10) на 9®2+®+1,
получим уравнение
равносильное уравнению (10). Сделав замену неизвестной
= у, перепишем уравнение (11) в виде
у2 + Зу - 4 - 0.
(12)
Уравнение (12) имеет два корня: yi = 1 и у2 = —4. Следова-
тельно, уравнение (11), а значит, и равносильное ему уравне-
ние (10) равносильны совокупности уравнений
Решения первого уравнения этой совокупности есть x\ = 1 и
х2 = —1. Второе уравнение решений не имеет.
Ответ: хг = 1, х2 = -к
Пример 3. Решить уравнение
log|(T2 4- ж) 4- loga (ж2 + ж) 1°£4	+
4- 2 log2 (т2 4- ж) log2 4т - 4 log2 4т = 0. (13)
127
Решение. Поскольку х = 1/4 (корень уравнения log4 4х =
= 0) не является корнем уравнения log2 (х2 4- х) = 0, то урав-
нение (13) равносильно уравнению
logoff2 + ж) + к>$(х2 + х) + 2log2(s2 + a;) _ 4 _ q {14)
log4 4х log4 4х	log4 4х
~	u logo (ж2 + х)
Сделав замену неизвестной —~--------= у, перепишем урав-
log4 4х
нение (14) в виде
у3 4- У2 4- 2у - 4 = 0.	(15)
Уравнение (15) имеет единственный корень у = 1. Следова-
тельно, исходное уравнение (13) равносильно уравнению
log2(x2 4- х) = log4 4х.	(16)
ОДЗ уравнения (16) есть х > 0, поэтому на этом множестве
оно равносильно уравнению (х2 4- х)2 = 4х, т. е. уравнению
х4 4- 2х3 4- х2 = 4х, или, наконец, поскольку х / 0, уравнению
х3 4-2х2 4-х -4 = 0.	(17)
Уравнение (17) имеет единственный корень х = 1. Этот ко-
рень содержится в множестве х > 0. Следовательно, исходное
уравнение (13) также имеет этот же единственный корень.
Ответ: х = 1.
Пример 4. Решить уравнение
\/(2х 4- х/1 4- X2)2 - 5 УЗх2 - 1 4- 6 ^/(2х - \/1 4-х2)2 = 0.
(18)
Решение. Поскольку Зх24-1 = (2x4- \/1 +'х2)(2х—\Л 4-х2),
то уравнение (18) можно переписать в виде
У(2х 4- \/1 4- х2)2 - 5^(2х 4- х/1 4" х2)(2х - х/14- х2) 4-
4- 6 \/(2х —	4-х2)2 = 0.
128
• Так как х = 1/\/3 - корень уравнения 2х — /Ня2 = 0 -
не является корнем уравнения 2х 4 \/1 4 х2 = 0, то исходное
уравнение (18) равносильно уравнению
.__ч 2	/--
2х 4 71 4 я2 1 з / 2х 4 V1 4 ж2
-517——+6 = 0.	(19)
у 2х — V1 + х2
3
— \/1 + а;2
„	u з/Зх + i/l + х2
Сделав замену неизвестной «/-------т== = у, перепишем
у 2а; - vl + х2
уравнение (19) в виде
у2- 5у + 6 = 0.	(20)
Уравнение (20) имеет два корня yi = 2 и у2 = 3. Следователь-
но, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
3 2х +Vl+ х2 _	3 2x + VTTa? _
4 /	у " Л ju И 4 /	•	'  I. —' О•	(2 X)
У 2х — V1 + х2	у 2х — л/1 +х2
Первое уравнение совокупности (21)* равносильно уравнению
2х + V1 + х^ = 8 (2х — VI + х2), т. е. уравнению
14а; = 9\/Г+аЛ	(22)
Уравнение (22) имеет единственный корень xi = 9/V115. Вто-
рое уравнение совокупности (21) равносильно уравнению 2х +
+\/1 + а;2 = 27 (2а: — \/1 + а;2), т. е. уравнению
13а; = 7\/1 + а:2.
(23)
Уравнение (23) имеет единственный корень х2 = 7/\/120. Сле-
довательно, совокупность (21), а значит, и исходное уравнение
имеют два корня: х\ и #2-
Ответ: = 9/х/И5, х2 = 7/л/120.
К уравнению вида (1) приводятся уравнения вида
A cos2 ах 4 В sin ах cos ах 4 С cos2 ах 4
4- Е sin 2ах 4 F cos 2ах 4 D = О
5-199
129
после применения формул синуса и косинуса двойного угла:
sin2ax = 2 sin ах cos ах, cos2az = cos2 az - sin2 az и тожде-
ства D = J9(sin2 ax + cos2 az).
Пример 5. Решить уравнение
3cos2 5z — 7 sin lOz + 4 sin2 5z = 6.	(24)
РЕШЕНИЕ. Применяя формулы синуса и косинуса двойного
угла и тождество 6 = 6 sin2 5z+6 cos2 5z, уравнение (24) можно
переписать в виде
2 sin2 5z +14 sin 5z cos 5z + 3 cos2 5z = 0.	(25)
Поскольку те z, для которых cos 5z = 0 не есть решения урав-
нения sin 5z = 0, то, разделив уравнение (25) на сов2 5х, полу-
чим уравнение
2tg25z + 14tg5z + 3 = O,	(26)
равносильное уравнению (24). Сделав замену неизвестной
tg5z = х, перепишем уравнение (26) в,виде
2z2 + 14z + 3 = 0.	(27)
Так как уравнение (27) имеет два корня: zi = ------ и
-7-л/43	....
z2 =---------, то уравнение (24) равносильно совокупности
£
уравнении
tg5z =
—7 —>/2з
2
Решения этой совокупности есть
х = 7 arctg 1 О	1	( — 7 + \/43 \ лк , _ 2	)+5’ *€Z’
х = 7 arctg I а	1	(-7 - л/4з\ mi	- 	— + 5’ "6Ь
130
Эти решения и есть решения исходного уравнения.
Ответ:
к е Z,
neZ.
§ 3.5. Решение некоторых уравнении сведе-
нием их к решению систем уравнений от-
носительно новых неизвестных
В некоторых случаях решение уравнения можно свести к
решению системы уравнении относительно вводимых новых
неизвестных. Этот прием мы проиллюстрируем на примерах.
ПРИМЕР 1. Решить уравнение
(2 -т)5 + (® - З)5 + 1 =0.	(1)
РЕШЕНИЕ. Пусть ®о — решение уравнения (1). Вводим но-
вые неизвестные н = 2 - хо, v = хо - 3. Ясно, что и и v
удовлетворяют системе уравнений
{» + «=->>	(2)
l«= + v5 = -l.	1'
Поскольку, как легко проверить,
и5 + Vs = (и 4- «)(((« + v)2 - 2uv)2 — uv(u 4- v)2 4- u2v2),
то систему (2) можно переписать в виде
(« + * = -1, ,3)
ци + v)(((и 4- г,)2 — 2uv)2 — uv(u 4- v)2 4- u2v2) = -1.
Подставляя во второе уравнение системы (3) число —1 вместо
и 4- v, получаем уравнение (1 — 2uv)2 — uv 4- u2«2 = 1, которое
«•
131
можно переписать в виде 5(uv)2 — 5(ыи) = 0, откуда либо uv =
= 0, либо uv = 1.
Таким образом, для нахождения и и v имеем две системы
уравнений:
{и + и = -1,	Jw + v = -l,
uv = 0,	| uv = 1.
Вторая система решений не имеет. Решения первой системы
есть ui = 0, Vi = -1 и U2 = -1, V2 = 0, откуда следует, что
решения уравнения (1) содержатся среди чисел xfQ = 2, Xq = 3.
Проверка показывает, что оба эти числа являются решениями
уравнения (1).
Ответ: xi = 2,	= 3.
Пример 2. Решить уравнение
’2+^=ю- (4)
Решение. Пусть xq — решение уравнения (4). Введем но-
Зя*о	'
вую неизвестную уо = ---. Тогда, для нахождения xq и уо
3 + хо
имеем систему уравнений
{3(#о - Уо) ~ %оУо = О,
+1/о =40.	U
Поскольку £q + 2/q = (xq — 2/0)2 + 2жо2/о, то, вводя новые неиз-
вестные uq = xq—2/о, Vo = жо2/о, систему (5) можно переписать
в виде
{Зно — Vo — О,
Uq + 2vo = 40.
Решения этой системы есть пары чисел uq = 4, Vo = 12 и «о —
= -10, Vo = —30, откуда для нахождения xq и уо получаем
системы уравнений
{	“2/о = 4,	(жо-2/о = -Ю,
хоуо = 12,	1 жо2/о = -30.
132

Решения первой из этих систем есть xq = —2, уо = -6 и xq = 6,
2/о = 2. Вторая система решений не имеет. Итак, все решения
уравнения (4) содержатся среди чисел хо = — 2 и xQ = 6.
Проверка показывает, что эти числа являются решениями
уравнения (4).
Ответ: xi = -2, х2 = 6.
Пример 3. Решить уравнение
_^===X+Vi^.	(6)
Решение. Пусть я?о — решение уравнения (6). Введем но-
вую неизвестную ^/35 ™ Xq = т/q, тогда хо и уо являются ре-
шением системы уравнений
30
------= хо + 2/о,
хоуо
жо + Уо ~ 35.
(7)
Вводя новые неизвестные и = а?о + 2/о> v = ^о2/о> перепишем
систему (7) в виде
uv = 30,
и3 — 3uv — 35.
(8)
Решения системы (8) есть и = 5, v = 6. Следовательно, для
нахождения х& и уо получаем систему уравнений
{so + Уо = 5,
хоУо = 6.
Эта система имеет две пары решений: хг0 = 2, у$ = 3 и х$ — 3,
2/о = 2. Итак, все решения уравнения (6) содержатся среди
чисел х = 2 и х = 3. Проверка показывает, что оба эти числа
являются корнями уравнения (6).
Ответ: хг = 2, х2 = 3.
Пример 4. Решить уравнение
^ж + 45 - ^7^16 = 1.	(9)
133
Решение. Пусть хо — решение уравнения (9). Введем но-
вые неизвестные 4- 45 = и, у/х$ — 16 = th Тогда и и v
являются решениями системы уравнений
и — v = 1,
и3 — v3 = 61.
Эта система равносильна системе
и — v = 1,
(и — v)(u2 4- ни 4- v2) = 61
или системе
и = v 4-1,
(v 4-1)2 4- v(v + 1) 4* v2 = 61.
(Ю)
Решения системы (10) есть vi = 4, щ = 5; v2 = — 5, и2 = —4, a
это означает, что решениями уравнения (9) могут быть только
числа Xq = 80 и х% = -109. Проверка показывает, что эти
числа являются решениями уравнения (9).
Ответ: хг - 80, х2 = -109.
Пример 5. Решить уравнение
'ж 4-	4-4 = 4.
(И)
Решение. Пусть хо — решение уравнения (11). Введем
новые неизвестные и2 = х0 и v3 = xq 4- 4, тогда и и v удовле-
творяют системе уравнений
|гл| 4- v = 4,
v3 — и2 = 4.
(12)
Из первого уравнения |и| = 4 — v. Подставляя вместо |и| вы-
ражение 4 — v во второе уравнение системы (12), имеем урав-
нение v3 — (4 — и)2 — 4 = 0. Это уравнение имеет единственное
решение v = 2, но тогда х$ = 4. Итак, возможное значение
134
корня уравнения (11) есть ®о = 4. Подставляя это значение xq
в уравнение (11), получаем, что оно есть его решение.
Ответ: х = 4.
Пример б. Решить уравнение
V^IO 4-х2 4-х + </7-х2-х = 3.	(13)
Решение. Пусть хр — решение уравнения (13). Введем
новые неизвестные ^10 4- х$ + хр = и а у/7 — х§ — хр = v,
тогда и и v являются решениями системы уравнении
{и + v — 3,
и4 4-г4 = 17.
Решениями этой системы являются щ = 1, Vi = 2 и ti2 = 2,
v2 = 1, откуда следует, что хр удовлетворяет либо уравнению
^10 + ®о 4-хр = 1, либо уравнению ^10 4-xjj 4-хр = 2. Пер-
вое из этих уравнений решений не имеет. Решения второго
уравнения есть Хр = 2 и х% = -3. Итак, решения уравнения
(13) содержатся среди Чисел х'о = 2 и Xq = —3. Подставляя
эти числа в уравнение (13), видим, что они являются его ре-
шениями.
Ответ: xi = 2, х2 = -3.
Пример 7. Решить уравнение
^87 + pog2(42® - 3 • 4® 4- б)]2 - 5 log2(42® - 3 • 4® 4- б) 4-
4- </7 4- [tog2(42* - 3 • 4® + б)]2 - 5 log,(42® - 3 • 4® 4- 6) = 4.
(14)
Решение. Обозначим
/(х) = pog2(42* - 3 • 4’ 4- б)]2 - 5log2(42* - 3 • 4” 4- 6).
Тогда уравнение (14) перепишется в виде
<У87 4-/(т) 4- $<7 + /(х) = 4..	(15)
135
Пусть xq — решение уравнения (15). Введем новые неизвест-
ные х/87 4- /(хо) = и, \/14- Л^о) = V. Тогда « и v являются
решениями системы уравнений
и 4- v = 4,
и4 - v4 = 80.
(16)
Из первого уравнения этой системы и = 4 — V. Подставляя
вместо и во второе уравнение 4 — и, получаем уравнение v3 —
—6v24-16v—11 = 0. Это уравнение имеет единственный корень
v = 1, откуда следует, что у/7 4- Л^о) = 1» и я?о удовлетворяет
уравнению
[log2(42® - 3 • 4® 4- 6)]2 - 5 log2(42® - 3 • 4х 4- 6) + 6 = 0.
(17)
Так как уравнение у2 -51/4-6 = 0 имеет два корня yi = 2 и У2 ==
= 3, то уравнение (17) равносильно совокупности уравнений
log2(42® — 3 • 4® 4-6) = 2 и log2(42® - 3-4® 4-6) = 3,
которая в свою очередь равносильна совокупности уравнений
42®-3-4® + 6 = 4 и 42®— 3-4®4-6 = 8.
Перепишем последнюю совокупность уравнений в виде
42®-3-4® 4-2 = 0 и 42®-3’4®-2 = 0.	(18)
Так как уравнение z2 — 3z 4- 2 = 0 имеет два корня: z^ = 1
и Z2 = 2, то первое уравнение совокупности (18) равносиль-
но совокупности двух уравнений: 4® = 1 и 4я = 2, решения
которой есть xi = 0 и х% = 1/2.
Так как уравнение z2 — 3z — 2 = 0 имеет два корня: zi =
34-VI7	З-а/17
=----_---и z^ =-------’ то второе, уравнение совокупности
(18) равносильно совокупности двух уравнений:

3 - д/17
и 4» —
136-

имеющей единственное решение х$ = log4------. Итак, все
корни уравнения (14) содержатся среди чисел xi — 0,	= 1/2,
\	3 + У17
®з = 1о&---2—.
Подставляя эти числа в уравнение (14), убеждаемся в том»
что они есть его решения.
3 4- л/17
Ответ: xi = 0, хъ = 1/2, ятз = log4 —-—
Пример 8. Решить уравнение
^2 sin ж - 1 4- v^sinz - 2 = 2.	(19)
Решение. Пусть жо — решение уравнения (19). Введем
новые неизвестные и = \/2 sin жо - 1 и v — ^Ззтжо - 2. Тогда
и и v являются решениями системы уравнений
{и 4- v = 2,
3u4 - 2v4 = 1.
Из первого уравнения этой системы и = 2—v. Подставляя 2- v
вместо и во второе уравнение, получаем уравнение
V4 - 24г? 4- 72г? - 96г; 4- 47 = 0.	(20)
Легко видеть, что уравнение (20) имеет корень v = 1. Раз-
делив многочлен, находящийся в левой части уравнения (20),
на v — 1, получим тождество v4 — 24г? 4- 72г? — 96г; 4- 47 =
(у - 1)(г? — 23г? 4- 49г; — 47), откуда следует, что кроме v = 1
остальные корни уравнения (20) есть корни уравнения
г? - 23г? 4- 49г; - 47 = 0.
(21)
Ясно, что надо искать лишь те корни уравнения (20), которые
удовлетворяют условию 0 < v < 2. Поскольку г? — 23г? 4-
49г; — 47 = (г? — 8) - (23г? — 49г; 4- 39), то очевидно, что при
0 < v < 2 имеем г? - 8 < 0 и 23г? - 49г; 4- 39 > 0. Поэтому
г? — 23г? 4- 49г; — 47 < 0 при любом v из промежутка 0 < г’ <
137

2. Следовательно, уравнение (21) не имеет корней на отрезке
О < v < 2.
Таким образом, все корни уравнения (19) содержатся среди
корней уравнения
3sin# —2 = 1.	(22)
Перепишем уравнение (22) в виде
sina; = l.	(23)
Уравнение (23) имеет решения х = тг/2 + 2?rfc, к G Z. Итак, все
корни уравнения (19) содержатся среди чисел х = — 4- 2тгЛ,
к Е	7
Подставляя эти числа в уравнение (19), убеждаемся в том,
что все они являются его решениями;
Ответ: х = 4- 2тгЛг, к € Z.
Замечание. Конечно, уравнение (19) можно решить про-
ще. Действительно, поскольку 2 sin я — 1 < 1 и 3sinz — 2 < 1.
то уравнение (19) равносильно уравнению sin ж = 1.
Задачи
Решить уравнение
1.	(ж2 + х + 1)(ж2 4- х 4- 2) = 12.
2.	(8ж 4- 7)2(4ж + 3)(ж 4-1) = 9/2.
3.	(6ж 4- 5)2(3z 4- 2)(z 4-1) = 35.
4.	(х2 4- 2х 4- 7) = (4 4- 2х 4- х2)(х2 +2х + 3).
5.	(14- х 4- х2)(6 - х — ж2) = 10.
138
6.	(х - 1)(х + 2)(х - 3)(х + 4) = 144.
- 7. х(х - 1)(ж - 2)(ж - 3) = 24.
8.	(х — 4)4+х4 =82.
9.	(х - I)4 + (х + З)4 = 626.
10.	(х2 4- Зх + 4) (а;2 4- 4х.+ 5) = 2(х +1)2.
11.	(х - 1)(ж - 2)(х - 4)(® - 5) = 7(яг - З)2.
12.	(х2 - lG)(x - З)2 + 9а:2 = 0.
13.	х4 + (1 - х)4 - (х -1/2)2 - 25/8 = а
14.	(х2 -Зх + 1)(а>2 + Зх 4- 2) (ж2 - 9х + 20) = -30.
15.	(2х2 — Зж + 1)(2ж2 4- 5х 4- 1) = 9а;2.
16.	(х + 2)(х + 3) (х 4- 8)(х 4-12) = 4s2.
17.	х4 - 2®3 - х2 - 2х 4-1 = 0.
18.	х4 - 8s3 - 4х2 4- 16а; 4- 4 = 0.
19.	(х2 — 6а: - 9)2 = х3 — 4а;2 — 9а:.
20.	(х3 4- х2 4- 1)2 4- (а;3 - х2 4-1)2 = 2а:4. 
21.	9а:4 - 6а:3 - 18а:2 - 2х 4-1 = 0.
22.	х6 - 6х4 4- а:3 4- 9а:2 - Зх - 1 = 0.
23.	(14-s)8 4-(14-а:2)4 = 2а;4.
24.	1 4- х5 = 2(1 4- а;)5.
25.	(х2 - х 4-1)4 — 8х2(а;2 - х 4-1)2 4- 16а:4 = 0.
/
26.	х3 4- 1/а:3 4- х2 4- 1/х2 4- х 4- 1/х = 6.
27.	х3 4- 1/х3 = 6(а: 4- 1/х).
139
4x2 —8x + 7 + 4x2 — 10® 4-7
1	3	=	10
2x2 — x 4-1	2x2 — x 4- 3	2x2 — x 4- 7 ’
x — 1	® 4-2 _ x 4- 5 x 4- 3
X4-2	x-1	x4-3	x4-5'
«И »(» + 1)(a; + 4)(a;4-3)4-1 о
(x 4-2)2(x 4-5)(x — 1) 4-2
32.	x2 4- x 4-1 x2 4- 3® 4-1 _ 5 x2 + 2x + 1 !_ x2 4- 4x 4-1 6 ’
33.	x2 4- 2x 4- 2 x2 4- 8x 4- 20 _ x2 4- 4x 4- 6 x2 4- 6® 4-12 x4-l * x + 4	x4-2	x4-3
34.	x2 — 8,5x 4-15 _	3x x2 — 9x 4-15 x2 — 8® 4-15 ‘
35.	x2 4- 2® 4- 3	x — 1	_	1 x — 1	' x2 4- 2x 4- 3 X x'
36.	2 , < 2* V r. * +U-2j =5'
37,	>± 25l! X +(x4-5)2-11-
38.	/x4-6\/'x4-4\2	/ x — 6\ / x 4-9\2 _ x2 4- 36 \x —6/\x —4/	\x4-6/\x — 9/	“ x2 36
39.	5	4	21	5	4	21 x — 1	4- 2	' г - 3	x 4-1 x —	2 1 x 4- 3 *
40.	- X2 X + (14-x)2 _L
41.	x2	X 2 - x2 ' 2 - x “ ’
42.	(x 4-1)5 _ 81 x5 4-1 “ 1Г
140

х4 4- 13®2 4- 36 _ 1
®2(®4 4-36) — 2'
®2 4- ® 4-1 _ 7 х + 1
’ х2 — х + 1 ~ 9 х - 1'
^5 2 + у/2х + х2 _ 2
2	- у/2х 4- х2 ~ х2‘
46.	-5—------4------------= -.
х2 4- 2® — 2	®2 — 2® 4- 3	2
47.	sin2®(sin® 4-cos®) = \/2.
48.	sin3 х - cos3 х = 14- sinх cos х.
49.	sin3 х 4- cos3 x = sinx 4- cos®.
50.	3cos®4-sin® = tg2
At
51.	5cos3®+ 3cos® = 3sin4®.
52.	4®2 - 7Vx2 - 2® = 8® - 3.
53.	y/x — ^/13 — ® =	®2 4-13® — 35.
54.	y/x 4- 6 — ->/10 — x = y/—x2 4- 4® 4- 62.
55.	^18^x 4- ^® + 14 - 4.
56.	-У77 + ® 4- ^20^® = 5.
57.	^100- ® 4- ^®-18 = 4.
58.
У Ai	у X
59.	У(8 4-®)2 - </(® 4- 8)(8 - ®) 4- ^/(8 - ®)2 = 4.
60.	^/(x - 2)2 - tf(2 - x)(7 4- ®) + ^/(7 4-®)2 = 3.
61.	8®2(1 — x2) + 8xVl — x2 = (® 4- Vl 4- ®2)2.
141

62.	tfx^l + tfx=2 = &2x - 3
63.	= 5.
64.	Jx + y/x — y/1 — x = 1.
65.	&2~—x = 1 -VjT=T.
6_6t ^33-® + ^®=3.
67. у/ x — 2 -i- y/2x 5 + xZ® ’’b 2 + 3y/2x — 5 = 7^2.
68.
\/ж — 2 =
5a;2 - Юж +16
a:2 + 6® + 4
69. Sl,7n=i^
® + 9
70 34-2\/a;2 + 3® - 4 _ 2a: + 5
°' 5 + 3>/a;2 + 3a;-4 ~ 3a: 4- 8‘
Глава IV
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ
ВХОДЯЩИХ В НИХ ФУНКЦИЙ
§4.1. Применение основных свойств функ-
ций	/
4.1.1. Использование ОДЗ. Иногда знание ОДЗ позво-
ляет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет ре-
шений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или не-
равенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.
Пример 1. Решить уравнение
\/3-ж = log5 (я - 3),
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех ат, одно-
временно удовлетворяющих условиям 3—ж > О и я —3 > 0, т.е.
ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и за-
вершается, так как установлено, что ни одно число не может
являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней.
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить уравнение
л/1 sin = v^-|sin#[ 4- tg х.	(1)
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех хг одно-
временно удовлетворяющих условиям [sin— | smx| > О,
я / — + тгп, п е Z, т. е. ОДЗ есть х = irk, к е Z. Подста-
вляя эти значения х в уравнение (1), получаем, что его левая
и правая части равны 0, а это означает, что все х = irk, к G Z,
являются его решениями.
Ответ: х = тгЛ, к € Z.
Пример 3. Решить неравенство
+ \/т4-1 < 2х - log2(1 + ж4).	(2)
Решение. ОДЗ неравенства (2) состоит из всех х, одно-
временно удовлетворяющих условиям 1 — х2 > 0, ж4 — 1 > 0.
т. е. ОДЗ состоит из двух чисел xi = 1 и Х2 = —1. Подста-
вляя xi = 1 в неравенство (2), получаем, что его левая часть
равна 0, правая равна 2 — log2 2 = 1, т. е. = 1 есть реше-
ние неравенства (2). Подставляя = -1 в неравенство (2),
получаем, что X2 = —1 не является его решением, посколь-
ку левая часть неравенства (2) равна 0, а правая часть равна
2"1 - log22 = -1/2.
Ответ: х = 1.
Пример 4. Решить неравенство
log5 х < \/1 -ж4.	(3)
Решение. ОДЗ неравенства (3) есть все ж, удовлетворяю-
щие условию 0 < х < 1. Ясно, что х == 1 не является реше-
нием неравенства (3). Для х из промежутка 0 < х < 1 имеем
togs я < 0, а \/1 — х4 > 0. Следовательно, все х из промежутка
0 < х < 1 являются решениями неравенства (3).
Ответ: 0 < х < 1.
Пример 5. Решить неравенство
л/ж + З 4- tfT^x < у/3.	(4)
Решение. ОДЗ неравенства (4) есть все х из промежутка
—3 < ж < 9. Разобьем это множество на два промежутка
—3<т<0и0<ж<9.
Для х из промежутка — 3 < х < 0 имеем у/х + 3 > 0,
^9 - х > 'Уд = у/3. Следовательно, у/х + 3 + </9 -х > у/3
144
на этом промежутке, и поэтому неравенство (4) не Имеет ре-
шений на этом промежутке.
Пусть х принадлежит промежутку 0 < х < 9, тогда
^#4-3 > \/3 и - х > 0. Следовательно, у/х 4- 3 4-	>
> \/3 для таких ж, и, значит, на этом промежутке неравенство
(4) также не имеет решений.
Итак, неравенство (4) решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Замечания. 1. При решении уравнений необязательно на-
ходить ОДЗ. Иногда проще перейти к следствию и проверить
найденные корни (соответствующие примеры уже были в пре-
дыдущих главах).
2. При решении неравенств иногда можно не находить
ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему си-
стеме неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет
решений, либо знание его решения помогает решить систему
неравенств.
Пример 6. Решить неравенство
log2(2® +1 - х2) > log2(2®-1 +1 - х) +1.	(5)
Решение. Отыскание ОДЗ неравенства есть непростая за-
дача, поэтому поступим иначе. Неравенство (5) равносильно
системе неравенств
' 2х + 1 - х2 > 0,
< 2®-1 4-1 - х > 0,	(6)
. 2х + 1 - х2 > 2(2Х~1 + 1 - х).
Третье неравенство этой системы равносильно неравен-
ству х2 — 2х 4-1 < 0, не имеющему решений. Следовательно,
система неравенств (6) не имеет решений, значит, и неравен-
ство (5) не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить неравенство
Vsin# < \/1- ]#| + sin я.	(7)
145
Решение. Нахождение ОДЗ неравенства (7) есть трудная
задача. Поэтому поступим иначе. Неравенство (7) равносиль-
но системе неравенств
{sinx>0,
1 - ]я| 4 sin# > О,	(в)
sin я: < 1 - (т| 4 sin я;.
Третье неравенство этой системы имеет решениями все х
из промежутка — 1 < х < 1. Первое неравенство системы (8)
справедливо не для всех х из этого промежутка, а лишь для х
из промежутка 0 < х < 1. Для всех х из промежутка О < х < 1
второе неравенство справедливо. Следовательно, множеством
решении системы (8) является промежуток О < х < 1.
Ответ: 0 < х < 1.
4.1.2. Использование ограниченности функций.
При решении уравнений и неравенств свойство ограниченно-
сти снизу или сверху функции на некотором множестве часто
играет определяющую роль.
Например, если для всех х из некоторого множества М
справедливы неравенства /(#) > А и д{х) < Л, где А некото-
рое число, то на множестве М уравнение /(#) = и нера-
венство /(#) < д(х) решений не имеют.
Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом слу-
чае говорят о сохранении знака функций f(x) и д(х) на мно-
жестве М.
Пример 8. Решить уравнение
8ш(ж3 4- 2х2 4-1) = х2 4- 2х 4- 3.
Решение. Для любого действительного числа х имеем
sin(#3 4 2х2 4-1) < 1, х2 4 2х 4- 3 = (х 4 I)2 4 2 > 2. Поскольку
для любого значения х леьая часть уравнения не превосходит
единицы, а правая часть всегда не меньше двух, то данное
уравнение не имеет решений. . _	..
Ответ: нет решений.
146
Пример 9. Решить уравнение
ж3 — х - sin тгж = 0.	(9)
Решение. Очевидно, что ж — 0, ж = 1, ж = — 1 являются
решениями уравнения (9). Для нахождения других решений
уравнения (9) в силу нечетности функции f{x) = ж3 — ж —
sin тгж достаточно найти его решения в области х > б, х
1, поскольку если жо > О является его решением, то и (—жо)
также является его решением.
Разобьем множество ж > 0, х / 1, на два промежутка:
(0;1) и (1;+оо).
Перепишем уравнение (9) в виде ж3 — х = sin тгж. На проме-
жутке (0; 1) функция д (ж) = ж3 — ж принимает только отрица-
тельные значения, поскольку ж3 < ж, а функция Л(ж) = sin тгж
только положительные. Следовательно, на этом промежутке
уравнение (9) не имеет решений.
Пусть ж принадлежит промежутку (1;4-оо). Для каждого
из таких значений ж функция д{х) — ж3 — ж принимает поло-
жительные значения, функция Л(ж) = sin тгж принимает зна-
чения разных знаков, причем на промежутке (1;2] функция
Мх) = sin тгж неположительна. Следовательно, на промежутке
(1;2] уравнение (9) решений не имеет.
Если же ж > 2, то | 31птгж| < 1, ж3 — ж = ж(ж2 -1) > 2 -3 = 6,
а это означает, что и на промежутке (2; 4-оо) уравнение (9)
также не имеет решении.
Итак, ж = 0, ж = 1 и ж = -1 и только они являются реше-
ниями исходного уравнения.
Ответ: жх = 0, жз = 1, жз = -1.
Пример 10. Решить неравенство
 1 — ж
—— < 2х.	(10)
1 -}-ж
Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все действительные
ж, кроме ж = —1. Разобьем ОДЗ на три множества: —оо < ж <
—1, — 1 < ж < О, О < ж < -f-оо и рассмотрим неравенство (10)
на каждом из этих промежутков.
147
Пусть —оо < х < —1. Для каждого из этих х имеем д(х) =
1 — х
= ----< 0, a f{x) = 2х > 0. Следовательно, все эти х явля-
1 4- х
ются решениями неравенства (10).
Пусть -1 < х < 0. Для каждого из этих х имеем д(х} = 1 —
2х
------> 1, a f(x) = 2х < 1. Следовательно, ни одно из этих
1 4- х
х не является решением неравенства (10).
Пусть 0 < х < 4-оо. Для каждого из этих х имеем д(х) = 1—
2х
------ < 1, a f(x) = 2® > 1. Следовательно, все эти х явля-
14-х
ются решениями неравенства (10).
Ответ: -оо < х < -1; 0 < х < 4-оо.
Пример 11. Решить уравнение
2тгзшх = |х — тг/2| — |х 4- тг/2|.	(11)
Решение. Обозначим |х - тг/2| - |х 4- тг/2| через /(х). Из
определения абсолютной величины следует, что f(x) = тг при
х < -тг/2, f(x) == -2х при -тг/2 < х < тг/2 и /(ж) = -тг при
# > тг/2. Поэтому, если х < -тг/2, то уравнение (11) мож-
но переписать в виде 2Trsinx = тг, т.е. в виде sin я = 1/2.
Это уравнение имеет решения х = (—1)птг/6 4- тгп, п € Z.
Из этих значений х условию х < —тг/2 удовлетворяют только
х = (-1)птг/б4-тгп, п = -1, —2,.... Если х > тг/2, то уравнение
(11) можно переписать в виде 2Trsinx = —тг, т. е. в виде sinx =
—1/2. Это уравнение имеет решения х = (—1)т+1тг/6 4- тгт,
m € Z. Из этих значений х условию х > тг/2 удовлетворяют
только х = (-l)w+1Tr/6 4- тгт, m = 1,2,....
Рассмотрим х из промежутка (—тг/2; тг/2). На этом проме-
жутке уравнение (11) можно переписать в виде 2тг sin х = —2х,
т. е. в виде
sinx=-^.	(12)
7Г
Ясно, что х = 0 есть решение уравнения (12), а значит, и ис-
ходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение
(12) на промежутке (—тг/2; тг/2) не имеет.
148
Для х £ 0 уравнение (12) равносильно уравнению
sin ж __ 1
х тг *
Для любого значения х Е (—тг/2; 0) U (0; тг/2), функция /(ж) =
sin ж
=-----принимает только положительные значения, поэтому
X	-
уравнение (12) не имеет решений на множестве (—тг/2; 0) U
U(0; тг/2).
Ответ: х = 0, х = (-• 1)птг/6 4- тгп, п = -1, -2,...;
х = (-1)т4'1тг/6 4- 7гтп, т = 1,2,....
.Пример 12. Решить уравнение
sin5 х 4--= cos5 х Н-----(13)
cos7 ж	sin ж
Решение. Пусть жо есть решение уравнения (13), тогда
справедливы равенство
---	cos5 жо = —т-sin5 жо.	(14)
cos' жо-----------------------------------sin Жо
и неравенства |совжо| < 1 и |зшжо| < 1. Из справедливости
неравенств получаем, что левая часть равенства (14) имеет
1 ’
тот же знак, что и —=—, т. е. тот же знак, что и совжо, а
cos7 жо
правая часть — тот же знак, что и зтжо» Но так как sin^o и
соэжо удовлетворяют равенству (14), то они имеют одинако-
вые знаки.
Перепишем равенство (14), в виде
cos7 ж© sin7 жо(вш5 жо - cos5 жо) = cos7 жо - sin7 жо. (15)
Применяя формулу сокращенного умножения
а2/+1 _ b2W = (а _ Ь)(а2/ a21-lfr + . . , + Ь21у
перепишем равенство (15) в виде
149
(зшжо - cosxq)J(±q) = O>
(16)
где
/(ж0) = (sin Xq COS #o)7(sin4 Xq + SIH3 Xq COS£q + • • • + COS4 Xq) +
4- (sin6 xq 4- sm5£o cosxq 4- • • • 4- cos6 Xq).
Так как sinxo и созжо имеют одинаковые знаки, то /(жо) > 0.
Поэтому из равенства (16) следует, что для любого решения
уравнения (13) справедливо равенство sinxa = cosxq.
Таким образом, любое решение уравнение (13) удовлетво-
ряет уравнению
8шж = созж.	(17)
Очевидно, что любое решение уравнения (17) есть решение
уравнения (13). Следовательно, уравнение (13) равносильно
уравнению (17). Решения уравнения (17) есть х = тг/4 4- як,
к е Z, они и только они есть решения уравнения (13).
Ответ: х = тг/4 + як,ке Z.
Замечание. Точно так же, как в примере 12, можно до-
казать, что уравнение
sin2n”x х 4- —...... = cos2n"x х 4-	" г
COS2’71”1 х •	snrm 1X
где п, т — любые натуральные числа, равносильно уравнению
sin я: = cos#, и затем решать это более простое уравнение.
4.1.3. Использование монотонности функции. Реше-
ние уравнений и неравенств с использованием свойства моно-
тонности основывается на следующих утверждениях.
1. Пусть /(ж) — непрерывная и строго монотонная функ-
ция на промежутке I, тогда уравнение /(ж) = С, где С —
данная константа, может иметь не более одного решения на
промежутке Z.
2. Пусть /(ж) и д(х) - непрерывные на промежутке Т функ-
ции, /(ж) строго возрастает, а д(х) строго убывает на этом
150,
промежутке, тогда уравнение f(x) = д(х) может иметь не бо-
лее одного решения на промежутке Т.
Отметим, что в качестве промежутка Т могут быть беско-
нечный промежуток (—оо; +оо), полубесконечные промежут-
ки (а;+оо), (—оо;а), (а;+оо), (—оо; а], отрезки, интервалы и
полуинтервалы.
Пример 13. Решить уравнение
ж.2*2+2®+3==64.	(18)
Решение. Очевидно, что х < 0 не может являться реше-
нием уравнения (18), так как тогда х • 2® +2ж+3 < 0. Для х > 0
функция у = х * 2® +2®+3 непрерывна и строго возрастает,
как произведение двух непрерывных положительных строго
возрастающих для этих х функций f = х и д = 2® +2*+3. Зна-
чит, в области х > О функция у — х • 2® +2®+3 принимает
каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что
х = 1 является решением уравнения (18), следовательно, это
его единственное решение.
Ответ: х = 1.
Пример 14. Решить неравенство
2®+3*4-4® <3.	(19)
Решение. Каждая из функций у = 2®, у = 3®, у = 4®
непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, та-
кой же является и исходная функция у = 2® + 3® + 4®. Легко
видеть, что при х = 0 функция у = 2®+3®+4® принимает зна-
чение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой
функции при х > 0 имеем 2® + 3® + 4® > 3, при х < 0 имеем
2® + 3® + 4® < 3. Следовательно, решениями неравенства (19)
являются все х < 0.
Ответ: -оо < х < 0.
Пример 15. Решить уравнение
^18^® -	= 2.	(20)
151
I
Решение. Область допустимых значений уравнения (20)
есть промежуток 2 < х < 18. На ОДЗ функции f(x) =
= ~$х — 2 и д(х) = ^/18 — х непрерывны и строго убыва-
ют, следовательно, непрерывна и убывает функция. h(x) =
v^l8 — x—tfx — 2. Поэтому каждое свое значение функция h(x)
принимает только в одной точке. Так как Л(2) = 2, то х = 2
является единственным корнем исходного уравнения.
Ответ: х = 2.
Пример 16. Решить неравенство
tyx + 2ж3 + log3(a; + 2) — -/1 — х < 4.	(21)
Решение. ОДЗ неравенства (21) есть промежуток 0 < х <
< 1. На ОДЗ функция f(x) = tyx 4- 2ж3 4- log3(a 4- 2) - \/1 - х
является непрерывной и строго возрастающей. Так как /(1) =
= 4, то все значения х из множества [0; 1) удовлетворяют ис-
ходному неравенству.
Ответ: 0 < х < 1.
ПРИМЕР 17. Решить уравнение
10g2 (|® - 1| + 1) +	- I)4 = 2.	(22)
Решение. Перепишем уравнение (22) в виде
log2(|T - 1| 4-1) = 2 - У(ж - 1)4.
Рассмотрим непрерывные функции f(x) = log2(|® — 11 4-1) и
д(х) = — {/(ж — I)4 4^2. Функция /(я?) убывает на промежутке
(—оо; 1] и возрастает на промежутке [1;4-оо). Функция д(х)
убывает на промежутке [1; 4-оо) и возрастает на промежутке
(-оо; 1]. Так как на промежутке [1; 4-оо) функция f(x) возра-
стает, а функция д (ж) убывает и обе функции непрерывны,
то на этом промежутке уравнение f(x) = д(х) может иметь
не более одного корня. Легко проверить, что таким корнем
является число х = 2*. Так как на промежутке (-^оо; 1] функ-
ция /(ж) убывает, а функция д(х) возрастает и обе функции
152
непрерывны, то на этом промежутке уравнение /(ж) = д(х)
также может иметь не более одаогожорня. Легко видеть, что
таким числом является число х = 4). Итак, данное уравнение
(22) имеет два корня х\ = О, х2 = 2.
Ответ: х^ = 0, х2 = 2.
Пример 18. Решить неравенство
V2-x2 > х3 + х - 1.	(23)
Решение. ОДЗ неравенства (23) есть все х из промежутка
-у/2 < х < л/2. Все х из промежутка —у/2 < х < 0 являются
решениями исходного неравенства (23), так как для каждого
такого х имеем, что функция /(ж) = ^2 — ж2 неотрицательна,
а функция д(х) = ж3 + х — 1 отрицательна.
Рассмотрим неравенство (23) на промежутке (0; х/2]. По-
скольку функция д(х) непрерывна и строго возрастает на
этом промежутке, а функция /(ж) непрерывна и строго убы-
вает, то, если уравнение /(ж) = д(х) имеет корень на этом
промежутке, то он единственный. Легко видеть, что таким
корнем является число ж = 1.
Для каждого ж из промежутка (0; 1) имеем, что /(ж) =
= у/2 — ж2 > 1, а д(х) = ж3 4- ж 1 < 1. Поэтому все ж из этого
промежутка являются решениями исходного неравенства (23).
Для каждого ж из промежутка (Г, д/2] имеем /(ж) =
= $2 — ж2 < 1, а д(х) = ж3 + ж — 1 > 1. Поэтому такие ж
не удовлетворяют данному неравенству (23).
Итак, решениями исходного неравенства (23) являются все
ж из промежутка [-\/2; 1).
Ответ: -у/2 < ж < 1.
Пример 19. Сколько действительных корней имеет урав-
нение
аж3 4- Ьх 4- с = 0,	(24)
если числа а и Ь одного знака?
Решение. Так как числа а и Ъ одного знака, то Ъ/а > 0
для любого ж и ж 2 4- b/а 0. При с = 0 и ab > 0 очевидно,
153
что уравнение (24) имеет единственный корень х = 0. Пусть
с / 0. Перепишем данное уравнение в виде
а
—х =
с
1
J. -
•С Т
а
(25)
функция /(®) = -5—77- Для каждого х € (—оо; +оо) при-
х* + bj а
шшаки положительные значения и является непрерывной и
строго возрастающей на промежутке (—оо;0] и непрерывной
и строго убывающей на промежутке [0; +оо). Если а/с > 0, то
функция д(х) — —х непрерывна и строго убывает на всей
оси —оо < х < +оо и принимает все положительные значения
для х е (-оо;0) и отрицательные значения для х е (0;4-оо).
Поэтому уравнение (25) имеет единственный корень на про-
межутке (-оо;0). Если а/с < 0, то функция д(х) — —х не-
u	с
прерывна и строго возрастает на всей оси —оо < х < Ч-ос
и принимает все положительные значения для х 6 (0; -Foo) и
отрицательные значения для х € (—оо;0). Поэтому уравнение
(25) имеет единственный корень на промежутке (0; Ч-оо).
Ответ: единственный корень.
4.1.4. Использование графиков функций. При реше-
нии уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть
эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же си-
стеме координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяс-
нить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы
на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было
очевидно.
Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает най-
ти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя,
ответ еще надо обосновать.
Пример 20. Решить неравенство
У1 — л2 < Уб — х.
(26)
154
Решение. ОДЗ неравенства (26) есть все х из промежут-
ка Эскизы графиков функций f(x) = \/1 — х2 и д(х) =
л/5 — х представлены на рис. 7. Из рисунка следует, что для
всех х из ОДЗ неравенство (26) справедливо.
Докажем это. Для каждого х € [—1; 1} имеем Q < f(x) < 1,
а для каждого такого х имеем, что \/5 — х >	> 1. Значит,
для каждого х Е [-1; 1] имеем /(ж) < 1 < д(х). Следователь-
но, решениями неравенства (26) будут все х из промежутка
Ответ: -1 < х < 1.
Пример 21. Решить уравнение
х2 + 2х + 3 = >/4 -х2.	(27)
Решение. ОДЗ уравнения (27) есть все х из промежутка
-2 < х < 2. Эскизы графиков функций f(x) = х2 4- 2х 4- 3
и д(х) = д/4 — х2 представлены на рис. 8. Проведем прямую
у = 2.’ Из рисунка следует, что график функции f(x) лежит
не ниже этой прямой, а график функций д(х) не выше. При
этом эти графики касаются прямой у = 2 в разных точках.
Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это.
155
Для каждого х 6 [-2; 2] имеем \/4 — х2 < 2, а х2 4- 2х 4- 3 =
(х 4- I)2 4- 2 > 2. При этом f(x) = 2 только для х = —1, а
д(х) = 2 только для х = 0. Это означает, что уравнение (27)
не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 22. Решить уравнение
^4-ж=^Г=7.	(28)
. Решение. Эскизы графиков функций f(x) = хь 4- х и
д(х) — tyx — 7 представлены на рис. 9. Легко проверяется, что
156
точка С—1; -2) является точкой пересечения графиков функ-
ций f{x) и д(х), т. е. х = —1 есть решение уравнения (28).
Проведем прямую у = х — 1. Из рисунка следует, что она рас-
положена между графиками функций у = /(я) и у = д(х)> Это
наблюдение и помогает доказать, что других решений урав-
нение (28) не имеет.
Рис. 9
Для этого докажем, что для х из промежутка (—1;4-оо)
справедливы неравенства хь 4-я > я—1 их—1 > у/х ~ 7, а дляя
из промежутка (—оо; —1) справедливы неравенства у/х — 7 >
> я—1 и я54-я < х—1. Очевидно, что неравенство я54-я > я-1
справедливо для я > — 1, а неравенство я5 4- я < я — 1 для
я < — 1. Решим неравенство у/х — 7 > я - 1. Это неравенство
равносильно неравенству я — 7 > (я -* I)3, которое можно пе-
157
реписать в виде (г + 1){(ж — 2)2 + 2] < 0. Решениями этого
неравенства являются все х < — 1. Точно так же показывает-
ся, что решениями неравенства tyx - 7 < х — 1 являются все
х > —1.
Следовательно, требуемое утверждение доказано, и урав-
нение (28) имеет единственный корень х = — 1.
Ответ: х = -1.
Пример 23. Решить неравенство
6	1 + log2(2 4-ж)
2x-f-l	х
(29)
Решение. Область допустимых значений данного нера-
венства состоит из всех х, удовлетворяющих условиям х > -2,
х ф —1/2, х О, т. е. ОДЗ состоит из трех промежутков
-2 < х < -1/2, -1/2 < ж < 0, 0 < ж < +оо. Рассмотрим нера-
венство (29) на каждом из этих промежутке®. Отметим, что
в области — 2 < х < 0, х / —1/2, оно равносильно неравенству
4т__1
log2(2-^)>——,	(30)
“Г* х
а в области х > 0 оно равносильно неравенству
— 1
log2(2 + x)<——.	(31)
2Х + 1
Эскизы графиков функций f(x) = log2(2 + х) и д(х) —
приведены на рис. 10. Из рисунка видно, что д(х) > f(x) на
промежутке (-2; -1/2) и f(x) > д(х) на каждом из промежут-
ков (—1/2;0) и (0;4-оо). Поэтому неравенство (31) не имеет
решений, а неравенство (30) будет иметь решениями все х из
промежутка (—1/2; 0).
Докажем это.
158
Рис. 10
а)	Пусть -2 < х < —1/2.- Неравенство (29) равносильно
на этом промежутке неравенству (30). Легко видеть^ что для
каждого х из этого интервала справедливы неравенства
log2(2 + ж) < Iog2 | < 1,
4х -1	„	3
2ж + 1 “ 2х + 1 > ‘
Следовательно, неравенство (30), а вместе с ним и исходное
неравенство (29) не имеют решений на интервале —2 < х <
<-1/2.
б)	Пусть -1/2 < х < 0. Тогда неравенство (29) также рав-
150,
носильно неравенству (30). Для каждого х из этого интервала
(1 \	3
2 - о ) = 1О82 9 > °’
£ J	£л
4х — 1	_
2ГИ<0-
Следовательно, любое такое х является решением неравенства
(30), а поэтому и исходного неравенства (29).
в)	Пусть х > 0. На этом множестве исходное неравенство
равносильно неравенству (31). Очевидно/ что для любого х из
этого множества справедливы неравенства
4ж - 1	3
2х 4- 1 2х 4-1 < ’
1 < log2(2 4- ж).
Отсюда следует: 1) неравенство (31) не имеет решений на том
множестве, где log2(z4-2) > 2, т. е. неравенство (31) не имеет
решений на множестве 2 < х < 4-оо; 2) неравенство (31) не
1
имеет решений на том множестве, где ---г < 1- Учитывая,
2х 4-1 “	'	-
что в рассматриваемом случае х > 0, получаем, что неравен-
ство (31) не имеет решений на множестве 0 < х < 1. Остается
найти решения неравенства (31), принадлежащие интервалу
На этом интервале
log2(2 + ж) > log2 3,
4ж~1_.д	3	<2	3--7
2ж + 1 2ж +1	5	5’
Покажем теперь, что справедливо числовое неравенство
log23>7/5.	(32)
Действительно, поскольку З5 > 27, то 3 > 27/^, откуда и оче-
видна справедливость неравенства (32). Итак, на интервале
1 < х < 2 имеем
4х 1
log2(2 + ж) > log2 3 > 7/5 > 2ж + -.
160
Значит, неравенство (31) не имеет решений на интервале
1 < х < 2. Подводя итог, получаем, что множество решений
исходного неравенства есть интервал -1/2 < х < 0.
Ответ: —1/2 < х < 0.
4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функ-
ций. Пусть надо решить неравенство /(ж) > 0 (или неравен-
ство /(ж) < 0). Пусть ОДЗ этого неравенства состоит из объ-
единения конечного числа промежутков Х^ к = 1,2,...,п, за-
нумерованных в порядке следования слева направо. При этом,
если n > 1, то и Хп могут быть соответственно бесконеч-
ными промежутками (~оо;а) ((-оо;а]) и (Ь;+оо) ([Ь;4-оо)).
Промежутки	соответственно могут быть отрез-
ками [с; dfj, интервалами (c;d) и полуинтервалами [c;d), (с; d].
В случае же п = 1X может быть любым из перечисленных про-
межутков, а также промежутком (—оо;+оо). проверим спра-
ведливость неравенства в каждой точке-конце отрезка или по-
луинтервала. Предположим также, что на каждом из проме-
жутков Xk функция /(ж) непрерывна и имеет конечное число
нулей. Выбросим из ОДЗ неравенства все эти нули и концы
отрезков или полуинтервалов Хь- При этом некоторые из про-
межутков Xk могут разбиться на конечное число интервалов.
На каждом из них функция /(ж) непрерывна и не обращается
в нуль. Значит, на каждом из них она сохраняет постоянный
знак, т. е. для каждого ж из этого интервала она принимает
только либо положительные, либо отрицательные значения.
Выбирая в каждом из них некоторую точку жо и вычисляя
знак /(жо), этот знак ставят над ним. Тогда решением нера-
венства /(ж) > 0 будет объединение тех интервалов, над кото-
рыми поставлен знак плюс, а решением неравенства /(ж) < 0
будет объединение тех интервалов, цад которыми поставлен
знак минус.
Пример 24. Решить неравенство
- 1(4 - х) log3 (3 + х) > 0.	(33)
6499
161
Решение. ОДЗ неравенства (33) состоит из всех ж, одно-
временно удовлетворяющих условиям ж2—1> 0 и 3+х > 0, т. е.
ОДЗ есть объединение двух промежутков: (—3;—1)и [1;4-оо).
Нули функции /(ж) = \/ж2 — 1(4 — rr)Iog3(3•+ ж) есть ж^ = 1,
ж2 = — 1, жз == 4, Ж4 = —2. Выбросив их из ОДЗ, получим ин-
тервалы (-3; -2), (-2; —1), (1;4), (4; +оо) (рис. 11), Определим
знаки функции на каждом из них.
Поскольку /(-2,5) < 0, -2,5 € (—3; —2); /(-1,5) > О,
-1,5 G (-2;-1); /(2) > 0, 2 G (1;4); /(5) < О, 5 G (4;+оо),
то на интервалах (4; +оо) и (—3; —2) функция /(ж) принимает
отрицательные значения, а на промежутках (—2;—1) и (1;4)
— положительные значения.
Следовательно, множеством решений неравенства (33) яв-
ляется объединение интервалов (—2; —1), (1;4).
Ответ: -2 < ж < -1; 1 < ж < 4.
Пример 25. Решить неравенство
Решение. ОДЗ неравенства (34) состоит из всех ж, одно-
временно удовлетворяющих условиям I — ж -Ь ж2 > 0 и log2(l —
ж + ж2) 0, т. е. ОДЗ состоит из трех промежутков: (—оо;0).
(0; 1) и (1;4-оо). Нули функции
fM - (1^ + 3|-1)(4-22д-1)(а;2 + ^)
+ х2 + 1)
есть xi = —1, Х2 = 3/2, хз = —2, х* = —4. Выбросив их
из ОДЗ, получим интервалы Zi = (—00;—4), = (—4;—2),
162
= (—2;—1), Z4 = (—1;0), Z5 = (0; 1), Z6 = (1;3/2),
Z? = (3/2;-Ьоо) (рис. 12). Легко видеть, что /(-5) > 0,
-5 е Zi; /(-3) < 0, -3 € z2; /(-3/2) > О, —3/2 6 z3:
/(—1/2) < 0, -1/2 € Z4; /(1/2) < 0, 1/2 € Z5; /(5/4) > О,
5/4 € Zjs; /(2) < 0, 2 € Z7. Следовательно, множеством реше-
ний неравенства (34) является объединение интервалов: —4 <
3
х < —2; —1<ж<0;0<д;<1;-<ж< 4-оо.
е.	Л
з
Ответ: -4 < х < -2; -1 < х < 0; 0 < х < 1; - < х < Ч-оо.
z	2
+ х.	+
<•2	-1
Рис. 12
§ 4.2., Решение некоторых уравнений и
неравенств сведением их к решению си-
стем уравнений или неравенств относи-
тельно той же неизвестной
4.2.1. Уравнения вида Ц (х) + /ffa) 4-F /fef®) — 0»
1Л(®)1 + 1Л(®)| 4-1- l/fe(®)| = 0- Уравнения вида
71 (®) + fl (х) + • • • + f£(x) = 0,
+ |/2(®)| + ----HAWI =0
(1)
(2)
равносильны системе уравнений
(А(х)=о.
(3)

в*
Пример 1. Решить уравнение
х4 + 5 • 4® + 4ж2 • 2х - 2 • 2х + 1 0.	(4)
Решение. Перепишем уравнение (4) в виде
(ж2 + 2 • 2®)2 + (2х - I)2 = 0,	(5)
откуда очевидно, что уравнение (5) равносильно системе урав-
нений
2х - 1 = 0,
х2 + 2 • 2х = 0.
(6)
Первое уравнение этой системы имеет единственное решение
л = 0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы
(6). Следовательно, система (6) не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 2. Решить уравнение
\/х2 - 6х + 9 + ^/log|/7(#2 — 4х 4- 4) = 0.	(7)
Решение. Перепишем уравнение (7) в виде
|я - 3| 4-1 log1/7(s2 - 4х 4- 4)| =*0.
Это уравнение равносильно системе уравнений
{х — 3 = 0,
1о61/7(^2 ~	4- 4) = 0.
Решение первого из этих уравнений есть х = 3. Проверка по-
казывает, что это число также является и решением второго
уравнения системы (8). Следовательно, х = 3 является реше-
нием исходного уравнения (7).
Ответ: х = 3.
Отметим, что к системе (3) сводится и ряд других урав-
нений. Приведем пример.
164
ПРИМЕР 3. Решить уравнение
log2 (1 + \/х* + ж2^ + log2(1 + ж2) = 0.	(9)
РЕШЕНИЕ. Для любых х справедливы неравенства
log2 (1 + х/т4 + ж2^ > 0,
log2(l+ o:2) >0.	,
Поэтому уравнение (9) равносильно системе уравнений
{log2 (1 + х/ж4 + ж2^ = О,
log2(l + ж2) = О,
имеющей единственное решение ж = 0.
Ответ: ж = 0.
4.2.2. Неравенства вида /12(ж) + /2 (ж) 4---F /2(ж) > 0,
|/1(ж)| + |/з(®)| + • • +|/п(®)| > 0. Решениями неравенств вида
fi&) + f%(x) + --- + /2(ж) >0,	(10)
1Л(*)1 + |/2(я)| + •• • + |/п(®)1 > 0	(11)
являются все х из их ОДЗ, за исключением тех ж, которые
являются решениями системы уравнений
' fi(x) = О,
<	:	(12)
./п(х) = 0.
Пример 4. Решить неравенство
(1оё2ж - I)2 4- (ж - 2)2 > 0.	(13)
Решение. ОДЗ неравенства (13) есть все х > 0. Для нахо-
ждения решений неравенства (13) надо исключить из его ОДЗ
165
все решения системы уравнении
log2x- I = 0,
х — 2 = 0.
Эта система имеет единственное решение х = 2, следователь-
но, решениями неравенства (13) являются все х > 0, кроме
х = 2.
Ответ: 0 < х <2; 2 < х < 4-оо-	,
Пример 5. Решить неравенство
(14)
Решение. ОДЗ неравенства (14} есть все х G К. Перепи-
шем неравенство (14) в виде
т2 — 7Г2 I
Т—И >0.
1 4- х2 I
Для любого х справедливы неравенства
Т2 — 7Г2
-Т—~ 5>°-
14-х2 ;
|sin2x - sin4 х| 4-
| sin2 х - sin4 х| > 0,
Поэтому неравенство (14) не выполняется лишь для таких х,
что одновременно
«»2
. 9	.dr	•*>	Л
sin х — sm х = 0, —---г- = О,
1 + х2
Т. е. ДЛЯ X = Л И X = —Л.
Следовательно, решениями исходного неравенства (14) яв-
ляются все х, кроме х = л и х = —л.
Ответ: -оо < х < -л; —л<®<л;л<ж< +оо.
Отметим, что к системе (12) сводятся иногда и другие не-
равенства.
Пример 6. Решить неравенства
♦/< л (х2 +х \	п
«71 - cos4 ( ——л I + 2^1	- I > 0.
V х, 4 J
(15)
166
Решение. ОДЗ неравенства (15) являются все х, удовле-
творяющие условию 1 — дг4 > 0, т. е. ОДЗ есть все х € [—1; 1].
На ОДЗ справедливы неравенства
1 л f '+ х \ л
1 — cos4 ( —-—7Г 1 > О,
\ 4 J ~
_ j > 0
Поэтому неравенство (15) выполняется для всех х из ОДЗ,
кроме тех, которые удовлетворяют системе уравнений
3 <// л fx2 + х \
\ 1 — cos4 { —-----7Г ) = О,
< У к 4	/
_ ! = 0
Решениями второго уравнения этой системы являются xi = 1
и X2 = — 1» Из них первому уравнению удовлетворяет только
х = —1. Итак, решениями данного неравенства (15) являются
все х из промежутка -1 < х < 1.
Ответ: -1 < х < 1.
4.2.3. Использование ограниченности функции. Ес-
ли при решении уравнения
/(ж) = д(х)
(16)
удается показать, что для всех х из некоторого множества М
справедливы неравенства J(x) < А и д(х) > Л, то на множе-
стве М уравнение (16) равносильно системе уравнений
/(®) = А,
д(х) = А.
(17)
Пример 7. Решить уравнение
4аг 4- 4х +17 = -=------т
167
Решение. Перепишем это уравнение в виде
/	1 \2	з
(а; + ±) 4-4= ~------------•	(18)
V 2J /	1\2 3
I х--I 4- —
Д 2/	4
Очевидно, что для любых действительных х имеем
/	1V
0(аО=(л + -) + 4 >4, /(®) =
\ .A J
Следовательно, уравнение (18) равносильно системе уравне-
V	\
НИИ	А
1\2
® + л) +4 = 4,
<0 /
Эта система уравнений не имеет решений, поэтому исходное
уравнение также не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 8. Решить уравнение
cos2 (х sin х) = 14- log2 \/х2 + я 4-1.	(19)
Решение. ОДЗ уравнения (19) являются все действитель-
ные числа х. Для любых х имеем
cos2(a;sina;) <1, 14- log2 \/ж2 4- ж 4-1 > 1.
Следовательно, уравнение (19) равносильно системе уравне-
ний
{cos2 (х sin х) = 1,
о t_________-_____ (20)
logs V Ж2 4- X 4-1 = 0.
Решения второго уравнения системы (20) есть я = Ои я = -1.
Из этих значений первому уравнению удовлетворяет только
168
х = 0, которое, следовательно, является единственным реше-
нием исходного уравнения.
Ответ: х = 0.
Пример 9. Решить уравнение
cos7 х 4- sin5 х = 1.	(21)
Решение. Поскольку cos2 х 4- sin2 х = 1, то уравнение (21)
можно переписать в виде cos7 х 4- sin5 х = cos2 х 4- sin2 ж, или в
виде -
cos2 ж(соз5 х — 1) = sin2 ж(1 — sin3 х),	(22)
Поскольку для любого действительного х имеем cos5 х — 1 < 0,
cos2 х > 0, sin2 х > 0, 1 — sin3 х > 0, то уравнение (22) равно-
сильно системе уравнений
{cos2 x(cos5 х - 1) = 0,
sin2 ж(1 — sin3 х) = 0.
Система (23) равносильна совокупности систем уравнений
cos ж = 0,
sin ж = 1,
sin х = 0,
cos ж = 1.
(24)
тг
Решения первой из этих систем есть х = — 4- 2тг&, к € Z,
второй х = 2тгтп, т е Z. Все эти решения и будут решениями
исходного уравнения.
Ответ: х = 2тгт, х = ~ 4- 2тг&; т, к е Z,
4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса. Ре-
шение большого количества тригонометрических уравнений
может быть сведено к решению систем уравнений. Примера-
ми таких уравнений могут служить следующие:
sin аж • sin 0х = ±1,
sin аж • cos/Зж = ±1,
(25)
Л(зшаж)т 4-B(cos/3x)n — ±(|Л| 4-|B|),
A(sin ax)m 4; B(sin/?x)n = ±(|Л| 4- |B|),
169
где а, А и В — данные действительные числа, пит —
данные натуральные числа. При решении таких уравнений ис-
пользуется следующее свойство синуса: если для некоторого
числа жо справедливо строгое неравенство |sinaxo| < 1, то
такое число xq не может быть корнем ни одного из уравнений
(25). Аналогично, при решении уравнений
созат • cos /Зх = ±lt
A(cosax)w 4- В (cos/Зх)п = ±(|A| 4- |B|)
используется свойство косинуса: если для некоторого числа xq
справедливо строгое неравенство | cos ато] < 1, то такое число
жо не может быть корнем ни одного из этих уравнений.
Пример 10. Решить уравнение
sin х • cos 4х •= 1.	(26)
Решение. Если xq — решение уравнения (26), то либо
sinxo = 1, либо sinxo = — 1. Действительно, если бы | sin xq | <
1, то из уравнения (26) следовало бы, что |cos4xo| > 1, что,
естественно, невозможно. Но если shiTo = 1, то из уравне-
ния (26) следует, что cos4tq = 1, если же sin то = —1, то
cos4xo = г-1. Следовательно, любое решение уравнения (26)
является решением совокупности двух систем уравнений:
{sin то = 1,
л 1	<27>
cos4tq = 1, v
sin то = -1,
cos4tq = —1.
(28)
Легко видеть, что любое решение системы (27) и любое реше-
ние системы (28) есть решение уравнения (26). Следовательно,
уравнение (26) равносильно совокупности систем уравнений
(27) и (28). Решим эти системы.
170
Первое уравнение системы (27) имеет решения
х = тг/2 4- 2тг&, к Е Z.
Все они удовлетворяют второму уравнению этой системы, т.
е. являются решениями системы (27).
Первое уравнение системы (28) имеет решения
ж = -^ + 2тг/, leZ.
Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению
этой системы. Поэтому система (28)^ не имеет решений.
Итак, решения исходного уравнения (26) совпадают с ре-
шениями системы (27).
Ответ: х - тг/2 4- 2тг/?, к е Z.
Пример 11. Решить уравнение
3 cos4 2х - 2 sin® х = 5.	(29)
Решение. Если xq есть решение уравнения (29), то
| cos 2tq | = 1, ибо в противном случае было бы справедливо не-
равенство | sin то| > 1, что невозможно. Но если |cos2xo| = 1,
то из уравнения (29) следует, что sina?e = — 1. Поэтому любое
решение уравнения (29) является решением системы уравне-
ний:
sin ж = —1,
| cos 2х| = 1.
|30)
Легко видеть, что любое решение системы (30) есть реше-
ние уравнения (29). Следовательно, уравнение (29) равносиль-
но системе уравнений (30).
Первое уравнение системы (30) имеет решения
х “ — ~ 4- 2тг1г IG Z-
&
171
cos Зя = —
cos lx = —
Все они удовлетворяют второму уравнению системы (30), т.
являются решениями уравнения (29).
Ответ: х =	+ 2тг1,1 е 2.
Пример 12. Решить уравнение	|
cos3 Зх -к cos11 7х = -2.	(31)	|
Решение. Если х$ — решение уравнения (31), то созЗт© =	|
—1 (в противном случае cos7^o < -1, что невозможно). Но |
тогда cos7^o = — 1» Следовательно; любое решение уравнения |
(31) есть решение системы уравнений	J
I
(32)	(
I
I
Легко видеть, что любое решение системы (32) есть решение |
уравнения (31). Поэтому уравнение (31) равносильно системе S
(32).	Ч
Первое уравнение системы (32)	имеет решения	|
я- 2?rfc	,	_	I
хк = х 4—5~>	к 6	Z.	,(
О О	|
Найдем те из этих решений, которые будут удовлетворять |
второму уравнению системы (32). Это будут те хь> для ка- |
ждого из которых найдется число т Е 2 такое, что будет |
(зз) I
1
(34) J
Поскольку кат целые числа, то равенство (34) справедливо ;
лишь тогда, когда т = 7t + 3, t е Z, но тогда к = 3t +1, t е Z.
Итак, решениями системы (32) являются Хк, где к = 3t+1.
t € Z, т. е. х = + 2?rt + t € Z.
Ответ: х = it + 2-xt, teZ.
справедливо равенство
7тг 14тгАт
— + ——- = тг + 2тГШ.
о о
Перепишем равенство (33) в виде
, 3m — 2
к = —=—.
172
4.2.5. Использование числовых неравенств. Иногда,
применяя то или иное числовое неравенство к одной из частей
уравнения (неравенства), его можно заменить равносильной
ему системой уравнений. Примером такого неравенства явля-
ется неравенство между средним арифметическим и средним
а + b г-г
геометрическим > vao, где а и 6 — неотрицательные
а
числа, причем равенство здесь возможно лишь при а = Ь.
Часто бывает полезно пользоваться следствиями из этих
1 Л 1 Л
неравенств, например, а + - > 2 при а > 0, причем а 4- - = 2
а	1	а
тогда и только тогда, когда а = 1, или а 4- - < —2 при а < О,
1 а
причем а 4- - = —2 тогда и только тогда, когда а = —1.
л
Пример 13. Решить уравнение
...	л
\Лг2 + 2®+ 4 + -7========= = 4 - logl (х2 + х4 + 1). (35)
- у/х2 + 2х +4	_
Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные
числа. Переписав левую часть уравнения (35) в виде
у/х2 4- 2я 4- 4	2
2	+ у/х2 4- 2# 4- 4
замечаем, что она не меньше четырех, как сумма двух взаим-
но обратных положительных величин, и только при х = 0 она
равна четырем. В то же время правая часть при х = 0 также
равна четырем, а для всех х -/ 0 меньше, четырех. Следова-
тельно, х = 0 есть единственное решение уравнения (35).
Ответ: х = 0.
Пример 14. Решить уравнение
1 1 \
sin8 х	cos2 2л/
(sin8 х 4- cos2 2x) = 4 cos2 \1 —л— х2.
V 4	(36)
Решение. Докажем, что для любых положительных чисел
173
аиЪ справедливо неравенство
/1 1\
(- + |)(а + Ь)>Ч.
\а bj
(37)
В самом деле, применяя неравенство о среднем арифметиче-
ском и среднем геометрическом сначала к числам 1/а и 1/Ь, а
затем к числам а и Ь, имеем
Поскольку на ОДЗ уравнения (36) имеем sin8 х > 0, cos2 2х >
О, то, применяя неравенство (37), получаем, что для любого
такого х леъъя часть уравнения (36) не меньше 4. В то же
/тг2
время на ОДЗ уравнения (36) 4 cos2 у —— х2 < 4. Следова-
тельно, уравнение (36) равносильно системе уравнений
|	1—।------1_ ] (sin8 х 4- cos2 2х) 4,
\sin8z cos2 2х
2 Аг2 Т -
cos у —— х2 = 1.
V 4
(38)
Из последнего уравнения системы (38) находим его решения
= тг/2 и = —тг/2. Подставляя эти значения в первое
уравнение системы (38), получаем, что они являются его ре-
шениями. Следовательно, х± = тг/2 и = —тг/2 являются
решениями исходного уравнения (36).
Ответ: xi = тг/2,	= -тг/2.
§ 4.3.	Применение производной.
В предыдущих параграфах были рассмотрены применения
некоторых свойств функций, входящих в уравнение, напри-
мер, свойства монотонности, ограниченности, существования
174
наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос
о монотонности, об ограниченности и в особенности о нахо-
ждении наибольшего и наименьшего значений функций эле-
ментарными методами требует трудоемких и тонких иссле-
дований, однако он существенно'упрощается при применении
производной. В этом параграфе будет показано применение
производной при решении уравнений и неравенств.
4.3.1.	Использование монотонности функции.
В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждения-
ми.
1.	Если функция f(x) имеет положительную производную
на промежутке I ((о; 5), (а;+оо), (—оо;а), (—со;+оо))у io эта
функция возрастает на этом промежутке.
2.	Если функция /(х) непрерывна на промежутке Т ([а; Ь],
[а; Ь), (а;Ь)т (а;+оо), (—оо;а]), и имеет внутри промежутка по-
ложительную (отрицательную) производную, то эта функция
возрастает (убывает) на промежутке 2.
3.	Если функция f(x) имеет на интервале (а;Ь) тождествен-
но равную нулю производную, то эта функция f(x) есть по-
стоянная на этом интервале.
Пример 1. Решить уравнение
я5 + ж3 — vfr — Зх + 4 = 0.	(1)
Решение. Рассмотрим функцию
f(x) = х5 + х3 —	— Зх + 4.
Область определения этой функции есть промежуток 1 =
=	На этом промежутке /(х) непрерывна, внутри
его имеет производную
Эта производная положительна внутри промежутка 2. Поэто-
му функция /(х) возрастает на промежутке 2. Следовательно,
175
она принимает каждое свое значение ровно в одной точке. А
это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня.
Легко видеть, что х = — 1 является корнем уравнения (1) и по
сказанному выше других корней оно не имеет.
Ответ: х = -1.
Пример 2. Решить неравенство
2'0л7 4- 28лб 4- 210я? - 35 sin 2л > 0.	(2)
Решение. Рассмотрим функцию f(x) == 20л7 4- 28л5 4-
4-210л — 35 sin 2л. Поскольку эта функция на промежутке Т =
= (—оо;4-оо) имеет производную f!(x) = 140л6 4- 140л4 4-
4-210 — 70 cos 2л, которая положительна на этом промежут- |
ке, то функция /(л) возрастает на промежутке Z и потому
принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Сле-
довательно, уравнение /(л) =0 может иметь не более одного
корня. Легко видеть, что таким корнем уравнения /(л) = 0
является л = 0. Поскольку функция f(x) определена на всей ;
прямой и непрерывна на ней, то для л < 0 имеем /(л) < 0, а
при л > 0 имеем /(л) > 0. Поэтому решениями неравенства |
(2) являются все л из промежутка (0; 4=-оо).	|
Ответ: 0 < л < 4-оо.	[
Пример 3. Решить неравенство	|
ех > 1 4? л.	(3) |
Решение. ОДЗ неравенства (3) есть промежуток Т = у
= (-оо;4-оо). Рассмотрим функцию /(л) = ех — 1 — л. Эта |
функция на промежутке I имеет производную f(x) = ех - 1. j
Легко видеть, что f(x) > 0 для любых л из промежутка J
0 < л < 4-оо. Так как на промежутке 0 < л < 4-оо функ- |
ция /(л) непрерывна, то это означает, что на промежутке £
0 < л < 4-оо функция /(л) возрастает. Поскольку /(0) = 0, то г
> 0 для любого л G (0; 4-оо). Поэтому любое л G (0; 4-оо)
является решением неравенства (3).	j
Так как f(x) < 0 для любого л в (—оо; 0) и /(л) непрерыв-
на на промежутке -оо < л < 0, то функция /(л) убывает на
176
промежутке -оо < х < 0. Поскольку /(0) = 0, то f(x) > 0 для
любого х е (—оо;0). Следовательно, любое х 6 (—оо;0) явля-
ется решением неравенства (3). Поскольку /(0) = 0, то х = 0
не есть решение неравенства (3);
Таким образом, все решения неравенства (3) составляют
два промежутка (0;+оо) и (—оо;0).
Ответ: 0 < х < 4-оо; -оо < х < 0.
4.3.2.	Использование наибольшего и наименьшего
значении функции. Справедливы следующие утверждения.
1. Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции,
принимаемое ею на интервале Х( (а;Ь)	{—оо;4-оо),
(а; 4-оо), (—оо; а)), может достигаться в тех точках интервала
Z, в которых ее производная равна нулю или не существует
(каждая такая точка называется критической точкой).
2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения не-
прерывной на отрезке [а; Ь] функции, имеющей на интерва-
ле (а; Ь) конечное число критических точек, достаточно вы-
числить значения функции во всех критических точках, при-
надлежащих интервалу (a;h), а также в концах отрезка и из
полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
3. Если в критической точке xq функция непрерывна, а ее
производная, проходя через эту точку, меняет знак с минуса
на плюс, то точка xQ — точка минимума, а если ее производ-
ная меняет знак с плюса на минус, то xq — точка максимума.
Пример 4. Решить уравнение
х2 4- 2х -I- 3 = (х2 4- х 4- 1)(#4 4“ х2 4- 4).	(4)
Решение. ОДЗ уравнения (4) есть промежуток X =
= (—оо; 4-оо). Так как х24-х4-1 > 0 для любого ж, то уравнение
(4) можно переписать в виде
х2 4- 2х 4- 3	4 , 2 । л
—— = х* 4- х2 4- 4
х2 4- х 4-1
177
или в виде
# -F 2	2 . «
--------------= х 4- х 4- 3.
хг2 1
(5)
Наименьшее значение функции f(x) = х4+х2+3 на промежут-
ке (—оо; 4-оо) есть 3. Найдем наибольшее значение на проме-
ли 4* 2
жутке (—оо; 4оо) функции д(х) = —х---Так как на про-
х* + х 4- 1
межутке (-оо; -2) функция д(х) отрицательна, а на проме-
жутке (—2; 4-оо) положительна, то наибольшее^эначение функ-
ция д(х) может принимать лишь на промежутке (—2; 4*оо).
Эта функция на промежутке (—оо; 4-оо) имеет производ-
ную
+ ® +	+ 2)(2х + 1) _ я2 + 4х + 1
9{Х)~	(х2 + х+1)2	“ (х24-х+Ц2’
которая обращается в нуль в точках xi — — 2 4- а/3 и х? — — 2-
—а/3. Поскольку на промежутке (—24* а/3; -Foo) имеем д'(х) <
О, а на промежутке (—2;—2 4- а/3) имеем д\х) > 0, то в силу
непрерывности функции д(х) заключаем, что она на проме-
. жутке [-2 4- а/3; 4-оо) убывает, а на промежутке [-2; -2 4- х/З]
возрастает. Следовательно, в точке х% = -2+а/З функция д(х)
f с 2а/3 + 3 _
принимает наибольшее значение, причем gyxi} — —----• По-
2а/3 + 3 о
—------ ------- < з, то ддя ляободпф ж справедливы неравен-
скольку
ства
/(х) > 3 >	> д(х~),
из которые следует, что уравнение (5) решений не имеет.
Следовательно, не имеет решений и равносильное ему
уравнение (4).
Ответ: решений нет.
Пример 5. Решить уравнение

(6)
178
Решение. ОДЗ уравнения (6) есть промежуток 2 < х < 4.
Рассмотрим непрерывную функцию /(ж) = tfx — 2 -I- — х
на отрезке [2;4]. Функция f{x) на интервале (2; 4) имеет про-
изводную
Г(х) = ±(х-2)~3/* - 1(4-ж)-з/4>
обращающуюся в нуль только при х = 3. Так как функция
f(x) непрерывна на отрезке (2; 4], то ее наибольшее и наимень-
шее значения находятся среди чисел У(3), /(2) и f (4). Так как
/(3) = 2, /(2) = /(4) = \/2 < 2, то наибольшее значение f(x)
есть /(3) = 2. Следовательно, уравнение (6) имеет единствен-
ный корень х = 3.
Ответ: х = 3.
Пример 6. Решить неравенство

(?)
Решение. ОДЗ неравенства (7) есть промежуток Z =
= {0; 4-оо). Рассмотрим непрерывную функцию f(x) = у/х$(1—
—ж) на промежутке (0; +оо). Эта функция имеет внутри про-
межутка (0; 4-оо) производную
/'(*) =	~^3/2 = #1/2 (х (1 -я) -х
л	\ и
Эта производная внутри промежутка Т обращается в нуль
3
только в точке #о = г - Поскольку для любой точки ж, находя-
5	3
щейся слева от точки xq = 7, имеем, что ff(x) > 0, а для любой
5
точки справа от xq имеем f(x) < 0, то в силу непрерывности
функции, f(x) на отрезке [0;3/5) возрастает, на промежут-
3
ке [3/5; +оо) убывает и точка xq = ~ есть точка максимума
функции f(x). Это означает^ что для любого х из Z, кроме ж©,
2 _______
справедливо неравенство f(x) < /(3/5), /(3/5) = -л/27/125.
179
rUи (л;+оол
Следовательно, решениями исходного неравенства (7) являют-
ся все х из двух промежутков
Ответ: 0 < х < 3/5; 3/5 < х < 4-оо.
Пример 7. Решить неравенство
1п(1 + а;) >х- —.	(8)
£
Решение. ОДЗ неравенства (8) есть промежуток Т —
= (-1; +оо). Рассмотрим функцию
/(а:) = 1п(1 + х) - х + —.
' А
Эта функция на промежутке (—1;4~оо) имеет производную
которая обращается в нуль в точке xq = 0.
Рассмотрим функцию f(x) сначала на промежутке Zi =
(—1; 0]. Так как f(x) непрерывна на промежутке Zi и для лю-
бой точки х внутри промежутка Т\ имеем f(x) > 0, то f(x)
возрастает на Тр Поскольку /(0) = 0, то f(x) < 0 для любого
х внутри Zi, т.е. ни одно х из промежутка li не есть решение
неравенства (8).
На промежутке I2 = [0; +оо) функция f(x) непрерывна,
для любой точки х внутри промежутка имеем f(x) > 0,
поэтому /(т) возрастает наХг. Поскольку /(0) = 0, то f(x) >
0 для любого х внутри I2, т. е. любое х из промежутка 0 <
х <4-оо есть решение неравенства (8).
Ответ: 0 < х < 4-оо.
4.3.3. Применение теоремы Лагранжа.
Теорема (Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [а;Ь] и имеет производную на интервале то
найдется такая точка с интервала (а; 6), что
/(Ь)-/(а) = /'(с)(Ь-а).
180
Пример 8» Решить уравнение
3.2Х+2 - 7х = 17.	(9)
Решение. Заметим, что х = — 2 и х = 1 являются корня-
ми уравнения (9)* Докажем, что других корней уравнение (9)
не имеет. Предположим, что уравнение (9) имеет три корня
< Х2 < хз. Рассмотрим функцию /(ж) = 3 • 2ж+2 - 7х - 17.
Данная функция непрерывна на всей прямой и имеет всюду
производную. По теореме Лагранжа имеем
f(x2) - f(xi) =	- Xi) = 0, XI < Cl < x2,
f(x3) - f{x2) = f'(c2)(x3 - x2) =0, X2 < C2 < x3.
Следовательно^ существуют хотя бы две точки ci и С2, в кото-
рых производная функции f(x) равна нулю. Однако функция
f'(x) — 3 • 2l+2 In 2 — 7 имеет только один корень. Этим доказа-
но, что данное уравнение (9) имеет только два корня: х = — 2
и х = 1.
Ответ: zi = -2, х2 = 1.
Задачи
Доказать что следующее уравнение не. имеет решений
1.	у/1=х +	= 1.
2.	х/2-я: = log5(я ~ 2).
3.	|я: - 2| + |ж2 - 3| = 0.
4.	|яг4 + 1| + |®2 + 4х - 5| = 1.
5.	а/2х4-5 + ^аГ+2 = 0.
6.	\/4 — х — у/х — 7 = 2.
181
7.	Г—# = 0.
8.	4- у/х + 5 = 2.
9.	f/or-h - = \f^x — 1.
V %
10.	2Ж*+1 = 1 - х8.
11.	tfx + 2- #£ТЗ = 2.
12.	sin х = х2 4- х 4-1.
—3
13.	1og,» = l + —.
14.	у/х = -ж2 4* 8х — 15.
15.	л/Ю + Зл/ж2 -14- х4у/5=х = 3.
16.	у/о — х 4- у/х — 4 = (х — 1)2(а: — 8).
17.	(х2 + х + 1)(ж2 4- 2а: + 3) = 1.
18.	logs(ж + 1) + 2 log5(a: - 1) = log5(l - х2) + 1.
19.	21og3(4 + х2) = log2(l - (х + З)2).
20.	log4 (xi + 1 4-	*	) = log4(2 - л/аГ+5).
\	X 4* X /
21.	sin4 х — sin2 За: 4- sin х = 3.
22.	. (sin х + у/З cos a:) sin 4х — 2.
23.	aj3(log2 х - 2Ж) + log2 а:(2® — а:) 4- 8*(ж — log2 х) = 0.
24.	у/х2 - х -2 = log2(l — х4).
25.	(а;2 + 2х + 2)(х2 - х 4-1) = 1.
26.	у/9 — х2 - log3(|a:| - 3) = 0.
27.	cos(sina:) = 1/2.
182
28.	sin2 x + sin2 y/2x + (1 + x)2 = 0.
29.	(x + 8)(4 - x)(\/x - 8 + 2) = 1.
30.	tf5=x + \/x~—2 = (x- l)2(a; - 6).
Решить уравнение
31.	cos® = 1 + ®8.
32.	x2x = 8.
33.	log^ cos2 x = xi.
34.	2И(*-2»)2 = |cosx|.
X
35.	log5(x + 1) = x.
30.	log2 x = 3 — x.
-Gb-
38.	log!/3 x = x — 4.
39.	12® + 5® = 13®.
40.	3® + 4® = 7.
41.	Xх = 27.
42.	i + 2y/x = 3x(l - In®).
x
43.	tfx=9 = (x-3)3 + 6.
44.	log3(l + x3) = 2x2 - 3x.
45.	sin ~^t= = x2 — 2\/3x + 4.
2\/3
40.	3* - 1 - (3® - 1| = 21og616 - x|.
183
Wl
•гл = -c£ ~ гжЛ + ж - гЛ +	’S9
•£ = I + хЛ + г - ЖЛ тэ
XZ - 9 = X zSo[ (I - х) + х |SO[ -89
х ^soa xf ins z = x г8оэ + xf Euis *29
’x9 = х(гЛг + £) + г(гЛг - £) тэ
'l + x e/t3oi = (i + X)SSO[X "од
f
'X ^SOO SOO = X gSOO -4-^6 gSOO *63
’S 4- #£uis = г(я£5оэ - a^soo) 'g<j
•£ = XQ glUlS - Xf „SOO Z ’ЛЗ
*X = Ж^7 SOO Ж Щ8 ’93
’I = x ssoo + x suxs ’53
•(ж Oluis +1) • £ = x 9UIS - X gins -f-9
-1- = X ts03 - x ^uis ’89
£
x-l
)a | ms ( ( ——4 a ]
/ • \ki + ®7 /
Щ8 гЖ -Г- Ж/У = X zX-f^X *29
•(Il - ®| + Il + ®|)^ = H-г IS
'S + Xf — zXf = X1L ins f ’09
, , 01 _SZ + yt
z(sa-<c)Z+ g	6f
( Л “ x ) “ z = Is " Ж1 + Il ~ Ж1 ‘8*
к\гщ /
’9 = Д-ИЛ + 2 + ^Л ’Zt
I пр
66.	2 cos2 —-— = Iog5(5 + ®) + j--------z--r .
6	°'	log5(5 + x)
Отг2
67.	4|rr| 4- -г-:—|siiirr| = 12тг — 1.
|ж|
68.	log,,^/g+^3 (a:2 ~ 2® 2) — loga+Vs^3'2 ~	~ 8)
69.	2-l®-2l log2(4x - a:2’- 2) = 1.
70.	(4x — x2 — 3) log2(l + cos2 irx) = 1.
Доказать что следующее неравенство не имеет решений
71.	7а;6 + х4 +1 < -1.
72.	77+2 - 77+4 >2.
73.	7Г7х + ТТ77! > 0.
74.	|х2 — х4 + 5sinx| < —1.
75.	|х —1| + |2х + 3| <0.
76.	у/2 — х 4- у/х — 4 < 1.
77.	|х2 — 1| + |х2 — 4х + 7| < 1.
78.	у/х2 + х +1 4- 	-1- = < 2.
V ж2 + х 4- 1
79.	77+Т + 777+1 + 3 < 72Ti + 1 + 2.
80-	2 О , О > 1 + 7х2-2ж + 3.
х2 — 2х 4- 3
Q-I ОЛ2—4ж-Ь9	_
81,	2	<1 + |х-ЗГ
82.	7® + 7а: + 5 < 2,2.
185
83.	17® + - >i/=2x-rl.
V х
84.	i/2x2-4x + 3 + у/х2 -4х +5 < 3/2.
85.	(х2 + х + 4)(х2 + 2х + 5) < 1.
86.	21og3(4 + а?) < log2(l - (х + 5)2).
87.	log4(2 + у/х) + log2(l + х2 + ж4) < 0.
88.	2^* + 3^ + 41+^ < 5.
8». у/4^х + у/х^Ъ <{х- 1)4(® - 5).
90.	7аГ+3 + ^9-ж < 1/3.
91.	у/4 + х + ^16-х < 2.
92.	у/х + 1/3 — х + у/х2 — 5х > \/3.
93.	|i/2|x| - l|log2(2 - 2х2) > 1.
94.	3—1«—21 log2(4x — х2 — 2) > 1.
95.	2^ + 3^ + 4v^+o,i < з
Решить неравенство
96.	х • 4х > 4.
97.	5х 4- 2х > 7.
98.	Ух^2+У4^х> у/2.
99.	+’УГ+П > 3.
100.	у/2-х-х2 < 2® + 1.
101.	1п(1 - х2) < х + 1/4.
102.	cosx >1 —
~ X2
186
103.	ех > 1 + х+ —.
X2
104.	1п(1 4- х) — х 4- — > 0.
z
105.	у/х^Т + х - 3 >5/2(я; - З)2 + 2® - 2.
106.	ех — 1 — 1п(1 4- х) > 0.
107.	д/Г+7-1- J +	>0.
2 о
.108. log2 х .< 3 - х.
109. arlog3 х < 18.
110.. 2^ + 3^+1 + 4^+2 > 20.
111. (г + 5)(3 - a;)(^/Г^4 + 2) < 0.
112. у/З^х + у/х = 1 > (ж - 1)4(ж- 7). .
113.	6 - 3*+1	10 х	2х + 1'
114.	2 4- log3 х	6 х-1	"2х-1‘
115.	tyx— tyx — 1 < 1.
Ответы
Глава I.
1. 3. 2. -2; 2/3; 3/2. 3. -1; 3; 4. 4. -1/2; -2/3; 3. 5. \/2;
в. -2/3;	7. -3/2;	8. ’ ;
2	' . 3	'	4	2\/2
Q
2; -у=. 9. 17/4. 10. 0; -5. 11. ±5; ±1/5. 12. 1; -2. 13. -1;
—2. 14. Нет решений. 15. ±1/2. 16. ±\/3. 17. 4; 1; —1; 2.
18.
21.
24.
ЦЛ 19.	20.
-1;	22. 2; х/2 ± 1; -д/2 ± 1. 23. 0; ±1.
±v/3; ±V *	25. 1 + л/З ± д/З + 2%/3. 26. -3; -2;
. 20.
1/2; 1/3. 27.	28. гЗ±Д
29. _3; _5. 30.	зъ ;
2	ч/2	x/2v^-l-l
—----32. 2 ± $2 < X < ±ОО. 33. -2 < X < 1.
1 + У2>/2 - 1
34. 7 < х < +оо. 35. -1/\/2 < х < +оо. 36. -оо < х < \/3.
37. 1 + \/2 < х < +оо; —оо < х < 1 — у/2. 38. —оо < х <
—1 — \/5
2	’
-1 + 5/5
2
< х < +оо. 39. —оо <ж<1;1<а;< +оо.
' 1 — \/5	1 + \/5
40. -оо <х < —-—; 1—\/2 < х < —-—; 1 + \/2 < х < +оо.
«	А
41. —оо <х <3;4<а: < +оо. 42. -оо < х <
7 - 5/13 + 4\/26
2	1
74- >/134-4v^6	_	, 1Л ,
----------------< х < 4-оо. 43. -оо < х < 1/3. 44. 
3 — л/17
4-оо. 45. —оо < х < 4-оо. 46. — 1 - >/3 < х <--------
.	2
%
5/3
4
/3
48.
60.
х < 2. 52. -3 < х < 2/3; 2/3 < х < 4. 53. -оо < х < -2;
О < х < 1; 1 < х < +оо. 54. — 1 < х < 1. 55. О < х < 1;
3 < х < 4-оо. 57. — 5 < х < —1; —1 < х < -1/3; 5 < х < 4-оо.
58. -оо < х < -5; -5 < х < -3; -3 < х < -2; -2 < х < 4-оо.
59. —оо < х < —1; — 1<аг<1;1<х< 4-оо. 60. — оо < х < — 1;
-1 < х < 1; 1• < х < 4-оо.
Глава II.
1. 478/49. 2. 2. 3. 4. 4. 2. 5. ±^/5. 6. 1. 7. 2. 8. 1. 9. 5; -86.
10. 0. 11. 4. 12. 25/28. 13. 2; -9/2. 14. 1. 15. 0; 1. 16. -1; 5.
17. 1; -8/3. 18. 8; 4 ^2 ±	. 19. 2. 20. -2. 21. 0. 22. -1;
-3. 23. 2. 24. 5 < х < 10. 25. 1; ±у/2 + 1; 0. 26. ±2. 27. 1/2;
3/2. 28. -3. 29. 1. 30. ±\/2. 31. 2^; 2~А 32. О < х < 1;
4. 33. 1 < х < 4. 34. 3"4/3; 1/л/З- 35. 4; 1/4; 16. 36. 5/2:
О < х < 1; 1 < х < 2. 37. 64. 38. ~3А^; -7-3„±У^ 39. 1/4
.	.. 1 -3 4-5/13 -3- х/13 3 Л , я-
40.1; 4; л/2/2. 41. -;------;---------; -. 42. 0; 1; - +тгп,
п € Z. 43. 0; 1. 44. 0; —7г/6. 45. ±1; тг/4. 46. 2 < х < 4-ос.
47. 45 - 16\/7 < х < 4-ос. 48. Нет решений. 49. | < х <
о
-15 +-У^. 50. 1 < х < 4-00. 51. -оо < х < -1; 5А/2-1 <
16	.	—
оо < х < 1/4. 53. О < х < 1/2. 54. 1/2 < х <
189
4-оо. 55. 1. 56. 2 < х < 5. 57. О < х < -гт=; 2 < х < 4-ос;
“ \/2
5
56. -1 < х < 2; 3 < х < 4-оо. 59. -оо <х<0;0<х<-.
4
60. О < х < 1/8; 1 < х < 2.
Глава III.
1. -2; 1. 2. -5/4; -1/2. 3.	4. -1. 5. -Ц/Й;
D	Z
6. 4; -5. 7. 4; -1. 8. 3; 1. 9. 2; -4.10. -2; -3.11. 3±
^2(3±2ч/2). 12. -1 ± 5/7. 13. | ±	14. 3±2^;
3± >/25 4-45/30 3± 4/25-45/^6 „ -3±5/7 2±5/2
-------2------;	------2	•	15.	—2—;	-у-
16. —4; -6; -15 ±2^. 17.-------------------------18. ±5/2; 4±\/18.19. -1;
9;	20. -1. 21. -1; -1/3; ЦД 22.
14-л/5 ±5/б(5-5/5) 1 — \/5 ± 1/б(5 4-\/5)
---------~. 23. Нет решений.
24. -1. 25.	26. 1. 27. —Д; ~3 ± — 28. 1/2; 7/2.
/	3 4. ./ПЭ
29.	-1/2; 1. 30. -13/5; -11. 31. -2 ± y4±-Zy---------:
, З-5/П9 оп -(15 4- 5/85) ±4/114 4-305^5 ,, п.
—Z zt \/*± т---. <5а. ------------— ---------------. оо. и,
V 2	14
—3/2. 34. 2; у; 3 ± /10. 3S. -1. 36. 1; -2. ЗТ.	38. 0;
6 ± ”j*.vgg. 39. ±/2; ±/3. 40.
5	л
41.1; Х 42.1/2; 2. 43. ±2. 44. 2.45.	46. 0;
±5/5. 47. тг/4 4- 2тгп, п 6 Z. 48. (—1)птг/4 4- тг/4 4- тгп, n е Z.
49. —тг/4 4- тгп, п G Z; тгт/2, m € Z. 50. тг/2 4- 2тг&, к € Z;
—ir/2 4- 2тг1,1 € Z; 2arctg3 + 2тгр, р € Z. 51. тг/2 4- тг&. к б Z;
190
2
(-1)пя/6+тгп, п 6 Z; (—I)m+1 arcsin -4-тгт, т € Z;. 52.1±\/5;
9/4; -1/4. 53. 9. 54. 2 ±\/50 + 2У15. 55. 2. 56. 4; -61. 57. 99;
19. 58. ±1/2. 59. 0. 60. -6; 1. 61. —±	62. 1; 2; 3/2,
63. -14; 5. 64. 16/25. 65. 1; 2; 10. 66. 1; 32. 67. 15. 68. 3.
69. -1. 70. 5.
Глава IV.
31. 0. 32. 2. 33. 0. 34. 0; 2тг. 35. 0. 36. 2. 37. -I. 38. 3. 39. 2.
40. 1. 41. 3. 42. 1. 43. 1. 44. 0; 2. 45. у/З. 46. 1; 11. 47. 2.
48. тг2/4. 49. >/5. 50. 1/2. 51. ±1/2. 52. 1/2. 53. 0. 54. Нет
решений. 55. л/2+2тгк, 2тгт,к EZ,m G Z. 56. Tr/2+2irk, к Е Z.
57. тг/2(4т + 3), т Е Z. 58. тг/2 + 2тгА:, к Е Z. 59. тг/2 + тгЛ,
kEZ. 60. 3. 61.1. 62.7Г/2+7ГП, n е Z. 63.2. 64. 3. 65. 0. 66. 0.
67. ±Зтг/2. 68. 1 ± \/11 + 4л/3. 69. 2. 70. 2. 96. 1 < х < +оо.
97. 1 < х < ±оо. 98. 2 < х < 4. 99. 2 < х < ±оо. 100. -2 <
х < 1.101. — 1 < х < 1.102. -оо < х < +оо. 103.0 < х < +оо.
104. О < х < +оо. 105. х = 5. 106. -1 < х < +оо. 107. О <
х < +оо. 108. О < х < 2. 109. О < х < 9. 110. О < х < +оо;
111. 4 < х < +оо. 112. 1 < х < 3. 113. О < х < 1/2.114.1/2 <
х < 1. 115. 1 < х < +оо.
С.Н. Олехник, М.К. Потапов,
П.И. Пасиченко
АЛГЕБРА И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
уравнения и неравенства
Учебно-методическое пособие
для учащихся 10-11классов
М: “Экзамен”, 1998—192 с.
ЛР№ 065970 от 24.06.98
Редактор — И.В. Юлин
Подписано в печать с диапозитивов 13.07.98
Формат 84x108/32. Гарнитура “Таймс”
Бумага типографская. Печать высокая.
Печ.л.6. Тираж 20 000. Заказ № 199
Издательство “ЭКЗАМЕН”
109819, Москва, Покровский б-p., д. 8, стр. 2
Дизайн обложки выполнен фирмой «Грэфик Арт»
101000, Москва, ул. М. Лубянка, д. 16/4, стр.1
тел. 925-0882
Текст отпечатан с диапозитивов во Владимирской книжной
типографии Комитета Российской Федерации по печати
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д.7
Качество печати соответствует качеству
представленных диапозитивов.
ПО ВОПРОСАМ РЕАЛИЗАЦИИ ОБРАЩАТЬСЯ
ПО ТЕЛ/ФАКС (095) 917-40-45, 917-52-09
ЭКЗАМЕН’ 99
Предлагаемые в этом году учебно-методические
пособия составлены профессорами и ведущими
преподавателями МГУ имени М.В. Ломоносова.
Материал полностью соответствует требованиям
современной программы средней школы.
ISBN 5-8212-0010-5
9 78582 1 200105