Математика
!R»‘
техникумов
Математика
для-
техникумов
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ 2
Издание третье, переработанное
Под редакцией Г. Н. ЯКОВЛЕВА
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
о качестве учебника оля средних специальных учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТ УРЫ
19 8 3
ББК 22.1
М34
УДК 51 (075.3)
Математика для техникумов. Алгебра и нагала анализа: Учебник.
Ч. 2/Каченсвский М. И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Лукан-
кчн Г. Л. и др., Под ред. Г. Н. Яковлева.— 3-е изд., перераб. -М.:
Науке. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1388.— 272 с. — ISBN 5-02-013743-Х.
Является второй частью учебника «Алгебра и начала анализа»,
написанного в соответствии с действующей программой по математике
для техникумов на базе неполной средней школы. (Первая часть
вышла в 1987 г.)
Книга существенно переэаботана и сокращена: упрощено изло-
жение, приведена в порядок система упражнений, ряд обязательных
тем из второй части перенесен в первую, а именно: неопределенный
интеграл, определенный ин’.еграл и его приложения.
2-е издание вышло в 1981 г.
Для учащихся техникумов па базе неполной средней школы.
Рецензент
преподаватель Ленинградского радиоанпаратостроительного тех-
никума кандидат педагогических наук Л. Ю. Сергиенко
1702010300—121
М 053(02)-88
св. пл. 107-88
ISBN 6-02-013743-Х
© Издательство «Наука».
Глаьиая редакция
физвко-мэтематщескей
литературы, 1$81;
переработанное. 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . ..................................... .	7
Глаза 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА............................. 9
§ 1.	Определение комплексных чисел.................... 9
1.	Предварительные замечания (9). 2. Определение комп-
лексного числа. Свойства операций над комплексными
числами (11). 3. Решение квадратных уравнений с
отрицательным дискриминантом (16).
Вопросы для контроля............................. 13
Упражнения 1.1 — 1.13............................ 19
§ 2.	Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль
и аргументы комплексного	числа...................  20
1.	Комплексная плоскость (20). 2. Модуль комплексного
числа (22). 3. Аргументы комплексного числа (24).
Вопросы для контроля............................  25
Упражнения 1 14—1 26............................. 25
§ 3.	Различные формы записи комплексных чисел Операции 26
над комплексными числами в тригонометрической и по-
казательной формах.................................... 26
1.	Алгебраическая и тригонометрическая формы записи
комплексного числа (26) 2. Умножение и деление комп-
лексных чисел, записанных в тригонометрической форме
(29). 3. Возведение в степень л извлечение корня (30).
4. Комплексная степень числа е (33). 5. Показательная
форма записи комплексного числа (34).
Вопросы для контроля ............................ 36
Упражнения 1.27—1.42 ............................ 37
Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ	УРАВНЕНИЯ..........	40
§ 4.	Примеры дифференциальных уравнений ...	...	40
1.	Размножение бактерий (40). 2. Радиоактивный распад
(42) 3. Общие замечания сб уравнениях образования
и распада вещества (43). 4. Дифференциальное уравне-
ние кривой, которая в каждой своей точке имеет зада иную
касательную (44).
Вопроси для контроля............................. 45
Упражнения 2.1 —2.8............................   45
3
§ 5.	Основные понятия к определения теории дифференциаль-
ных уравнений первого порядка ............................ 46
Вопросы для контроля................................. 48
Упражнения 2.9—2.12.................................. 49
§ 6.	Уравнения с разделяющимися переменными.............. 49
1.	Определения и примеры (49). 2. Правило нахождения
общего решения (52).
Вопросы дчя контроля....................... .......	55
Упражнения 2.13—2.19...............................   55
5 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 56
1. Линейные однородные уравнения (56). 2, Общее реше-
ние линейного уравнения первого порядка (57) 3. Метод
вариации постоянной (59).
Вопросы для контроля................................. 60
Упражнения 2.20— 2.23 ............................... 60
§ 8. Примеры дифференциальных уравнений второго порядка 61
I Уравнение движения точки (61). 2. Движение точки
под действием госгоянной силы (62). 3. Движение точки
под действием периодической силы (64). 4. Движение
точки под действием силы, пропорциональной скорости
(65).
Вопросы для контроля................................ 66
Упражнения 2.24—2.29 ................................ 66
§ 9.	Гармонические колебания............................. 67
1. Уравнение гармонических колебаний (37). 2. Колебания
точки под действием упругой силы (69). 3. Колебания
математического маятника (70).
Вопросы для контроля ................................ 72
Упражнения 2.30— 2.33 . ............................. 72
g 10. Линейные дифференциальные уравнения ыорого порядка
с постоянными коэффициентами ......................... .	73
1.	Дифференциальные уравнения второго псрядка (73).
2.	Линейные однородные уравнения с постоянными коэф-
фициентами (73). 3. Характеристическое уравнение (75).
4.	Случай комплексных решений характеристического
уравнения (76). 5. Случай, когда характеристическое
уравнение имеет одно решение (77). 6. Неоднородные
линейные уравнения (78).
Вопросы для контроля................................ 79
Упражнения 2.34—2.37 ............................... 63
Глава 3. КОМБИНАТОРИКА И ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ
СТЕПЕНИ БИНОМА.................................. 81
§ 11.	Основные понятия комбинаторики: размещения, переста-
новки, сочетания . .	.......................... 81
1.	Примеры простейших комбинаторных згдач. Понятие
выборки (81) 2. Размещения и перестановки (84). 3. Со-
четания (87).
Вопросы для контроля . .	............. . .	89
Упражнения 3.1—3.20 ............................ 89
4
§ 12.	Формула Ньютона................................... 90
Вопросы для контроля .............................. 95
Упражнения 3.21 — 3.34 . . . . .................... 95
Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...................
§ 13.	Случайные события. Вероятность события............
1.	Случайные события и операции над ними (97). 2. Опыт
с равновероятными исходами. Классическое определение
вероятности события (101).
Ворросы для контроля .............................
Упражнения 4 1—4.8................................
§ 14.	Основные теоремы и формулы теории вероятностей . , .
1,	Теорема сложения (106). 2. Условная вероятности.
Теорема умножения. Независимость событий (108). 3. Фер 
мула полной вероятности (114). 4. Формулы Байеса (116).
Вопросы для контроля .............................
Упражнения 4 9—4.30 ......................... ...
§ 15.	Формула Бернулли ................................
Вопросы для контроля..............................
Упражнения 4 31—4.38 .............................
§ 16.	Случайные величины................................
1.	Закон распределения случайной величины (126).
2,	Биномиальное распределение^'(128). 3. Математическое
ожидание случайной величины (129). 4. Дисперсия слу-
чайной величины (131). 5. Понятие о законе больших
чисел (Г34). 6. Неравенство Чебышева и доказательство
закона больших чисел в форме Бернулли (135).
Вопросы для контроля..............................
Упражнения 4.30— 4.БЗ.............................
97
97
105
10Й
106
II?
121
125
125
126
139
139
Глаза 5. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ............. 141
§ 17.	Числовые ряды ........................... 141
1. Определение ряда него суммы (141). 2. Ряды с неотри-
цательными членами (145). 3. Абсолютно и условно
сходящиеся ряды (149). 4. Последовательности и ряды с
комплексными членами (152).
Вопросы для контроля..............................  156
Упражнения 5.1—5.5................................. 156
§ 18.	Степенные ряды..................................... 157
1.	Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда
(157). 2. Степенные ряды с действительными членами (162).
Вопросы для контроля ...... ....................... 165
Упражнения 5.6 — 5.8.......................... ...	165
§ 19.	Ряды Тейлора....................................... 165
1.	Формула Тейлора (165). 2. Формула Гейлора для неко-
торых элементарных функций (170). 3. Ряды Тейлора
(173). 4. Функции ег, sin г и cos г (176).
Вопросы для контроля............................... 177
Упражнения 5 9 — 5.12............................   177
5
Глава 6. РЯДЫ ФУРЬЕ...................................... 179
§ 20.	Ряды Фурье для периодических функций с периодом
Г—2 л.................................................... 179
1.	Постановка задачи и определение ряда Фурье (179).
2.	Теорема о сходимости ряда Фурье (185). 3. Ряды Фурье
для четных и нечетных функций (188). 4. Разложение
функций, заданных на отрезке вида [a; a-f-2n] (191).
Вопросы для контроля:........................., .	194
Упражнения G.1 — 6.5............................... 195
§ 21.	Ряды Фурье для периодических функций с произвольным
периодом 7’= 21, />0 ..... .............................. 196
1.	Определение ряда Фурье (193). 2. Ряды Фурье для
четных и нечетных функций (1991. 3. Разложение функ-
ций, заданных на отрезке вида (а; a-f-2/J (201).
Вопросы для контроля..............................  202
Упражнения 6.6—6-10................................ 202
§ 22.	Комплексная форма рядов Фурье...................... 203
1.	Ряды Фурье для функций с периодом 2г. (203). 2. Ряды
Фурье для функций с произвольным периодом Т=21 (208).
Вопросы для контроля................................ 2Ю
Упражнения 6.11—6.13............................... 210
Глаза 7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И КРАТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ..................................  211
$ 23. Функции многих переменных.................. 211
1. Определение функции многих пеоемецтых (211). 2. Не-
прерывность функций многих переменных (212). 3. Частные
г.рсизвсдные (213). 4. Пределы функций многих переменных
(215). 5. Дифференциалы функций многих переменных (216).
Вопросы для контроля............................... 218
Упражнения 7.1—7.10 . . ........................... 219
$ 24. Кратные интегралы..............................    219
1. Определение и свойства двойного интеграла (случай
прямоугольника) (219). 2. Сведение двойкою интеграла
к повторному' (случай прямоугольника) (221). 3. Опре-
деление дверного интеграла для произвольной области
(223). 4. Тройные интегралы (225).
Упражнения 7.11—7.16..............................  226
§ 25.	Приложения кратных интегралов	........ 226
1.	Масса плоской пластинки переменной плотности (226).
2.	Объем тела (228). 3. Масса тела переменной плотности
(229).
Упражнения 7.17—7.19.............................. 230
Глава 8 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 231
§ 26.	Основные гонягия и задачи математической статистики 231
1.	Предмет математической статистики (231). 2. Выборки
и выборочные распределения (232). 3. Графические изоб-
ражения выборки. Полигон и гистограмма (236). 4. Вы-
борочные характеристики (239).
в
Вопросы для контроля........................ 242
Упражнения 8.1 — 8.16....................... 242
§ 27.	Статистические оценки неизвестных параметров.	244
1.	Точечные оценки. Несмещенность и состоятельность
оценки (244). 2. Интервальные оценки (247).
Вопроси для контроля ....................... 249
Упражнения 8.17—8 23 ....................... 249
§ 28.	Обработка результатов измерений методом наименьших
квадратов.......................................  250
Вопросы для контроля ................	255
Упражнения 8.24—8.26 .....................   255
ОТВЕТЫ........................................... 257
ПРИЛОЖЕНИЕ....................................... 271
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является второй частью учебника
«Алгебра и начала анализа», написанного в соответствии
с программой по математике для средних специальных
учебных заведений, ведущих подготовку специалистов на
базе неполной средней школы. В этой части учебники со-
держится материал, который является обязательным не
для всех специальностей.
Значительная часть материала существенно перерабо-
тана. Добавлена новая глава «Элементы математической
статистики». В конце каждого параграфа приводятся
вопросы для контроля и упражнения для самостоятельной
работы учащихся. В изложении учебного материала, в
терминологии к обозначениях выдерживается преемствен-
ность с курсом математики неполной средней школы.
Авторы выражают благодарность преподавателю мате-
матики Ленинградского радиоаппаратосгроительного тех-
никума кандидату педагогических наук Л. Ю. Сергиенко
ва советы и замечания.
Глава 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
g 1. Определение комплексных чисел
1. Предварительные замечания. Во многих разделах
математики и ее приложений невозможно ограничиться
рассмотрением лишь действительных чисел. Это заставляет
обобщить понятие числа и ввести в рассмотрение множе-
ство комплексных чисел, включающее множество действи-
тельных чисел.
С расширением множества рассматриваемых чисел мы
неоднократно встречались. Наше представление о числе
изменялось по мере расширения круга задач, которые
необходимо решать.
Если для счета отдельных предметов достаточно на-
туральных чисел, то, например, для решения уравнений
px + q = Ot где p(-N и натуральных чисел мало —
нужны рациональные числа. В свою очередь, рациональ-
ных чисел оказывается недостаточно для измерения длин
отрезков. Чтобы любому отрезку можно было приписать
длину, необходимо добавить к рациональным числам числа
иррациональные, т. е. под числом понимать действительное
число. Ограничившись рассмотрением только рациональ-
ных чисел, невозможно было бы решить уравнение хг—2 = 0,
так как в множестве рациональных чисел это урапнение
не имеет решений.
Но и действительных чисел оказывается недостаточно
для решения алгебраических уравнений. Ведь в множестве
действительных чисел не имеют решений квадратные урав-
нения с отрицательным дискриминантом, в том числе
простейшие квадратные уравнения с натуральными коэф-
фициентами, например: х2 + 1 = 0, х2 + х + 1 = 0.
Для решения ал;ебраических уравнений требуется даль-
нейшее обобщение понятия числа, введение комплексных
чисел. Оказывается, что в множестве комплексных чисел
содержатся не только все решения каждого квадратного
уравнения, но и все решения алгебраических уравнений
9
любой степени с действительными или комплексными
коэффициентами.
Комплексные числа часто называют мнимыми. Это
название не вполне удачно, так как оно может создать
представление о комплексных числах как о чем-то не-
реальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные
числа стали употребляться еще в XVI веке, они долго
продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то
реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле
этого слова. Одному из создателей дифференциального и
интегрального исчислений, немецкому математику Г. Лейб-
ницу (1646—1716), принадлежат, например, такие слова:
«Комплексное число—это тонкое и поразительное сред-
ство божественного духа, почти амфибия между бытием
и небытием». Сейчас от всей этой мистики не осталось
ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа». Уже
во времена К. Гаусса (1777—1855) было дано геометри-
ческое истолкование комплексных чисел как точек пло-
скости. Трудами выдающихся математиков XIX века
О. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса на базе комп-
лексных чисел была построена одна из самых красивых
математических дисциплин — теория функций комплексной
переменной.
Прежде чем давать определение комплексных чисел,
обсудим следующие вопросы: какими свойствами должны
обладать новые числа, какие операции желательно ввести
для них, каким законам должны подчиняться введенные
операции?
Для новых чисел необходимо ввести понятие равенства.
Должны быть определены операции сложения и умноже-
ния новых чисел, причем так, чтобы для этих операций
имели место переместительное, сочетательное и распреде-
лительное свойства. В том случае, когда комплексные
числа совпадают с действительными, новые операции сло-
жения и умножения должны превращаться в известные
операции сложения и умножения действительных чисел.
Поскольку мы хотим, чтобы в множестве комплексных
чисел уравнение х2 Ь 1 = 0 имело решение, нужно ввести
некоторое новое число и считать его решением этого урав-
нения. Будем обозначать это новое число символом (бук-
вой) i. Таким образом, для числа i справедливо равенство
I2 4-1=0 или, поскольку мы хотим, чтобы для новых
чисел правила преобразования равенств оставались преж-
ними,
t2 = —1.
10
Далее, следует пополнить множество действительных
чисел новыми числами Ы, их называют мнимыми или
чисто мнимыми и считают произведениями действительных
чисел b на число i. Наконец, сумму действительного
числа а и мнимого числа Ы будем записывать в виде а 4- bi.
Для обозначения сложения употребляют знак «Ч-»,
при записи произведения сомножители пишут рядом, спу-
ская точку—знак умножения. Равные комплексные числа
соединяют обычным знаком равенства « —».
Сумму чисел а,р-Ьр и а2-\-Ь21 естественно определить
следующим образом:
(а + by) + (а2 + ЬЛ) — (av + а2) 4* (К 4- i>2) I.
Умножение двух комплексных чисел а^Ьу и а2 + ЬЛ
желательно определить так, чтобы его можно было вы-
полнить по обычному правилу умножения двучленов.
Применяя это правило, получаем
(a, 4- bj) (а2 4- Ь2Г) = ира2 4 агЬ21 4- atbLi 4- ЬгЬ212
или, в силу равенства i* =— 1,
(«1 4- М («2 4- ЬЛ) = (а^—&Д) 4-	4- аф1) i.
Итак, множество комплексных чисел должно включать
в себя множество действительных чисел; в этом множестве
должны быть ох’.ределены операции сложения и умножения,
подчиняющиеся обычным алгебраическим законам; введен-
ные операции не должны противоречить операциям сложе-
ния и умножения действительных чисел. ч
2. Определение комплексного числа. Свойства операций
над комплексными числами. Комплексными числами на-
зываются выражения вида а + Ы (а и b—действительные
числа, i—некоторый символ), для которых следующим
образом вводятся понятие равенства и операции сложения
и умножения:
а)	два комплексных числа а,. 4- Ьр и а2 4- b2i называются
разными, если а1 = «2 и Ьг — b2; в противном случае они
называются неравными;
б)	суммой чисел а, 4-i'll и аг + Ьр называется число
(а± 4- оа) 4- (i>i 4- Ь2) I;
в)	произведением чисел а24- Ьр и a2 + b2i называется
число
(йа—£Д) 4- («Д 4 й^) I.
И
Таким образом, сложение и умножение комплексных
чисел производятся по следующим правилам:
(й(+ М)+ (ua4 bti) — («1 + а,)+ (Ьх+ ^а) Ь (1)
(«1 + ЗД (а2 и- Ь2Г) = (a ta2—b2b2) 4 (а Д 4  a2bt) I,	(2)
Комплексные числа часто обозначают одной буквой,
обычно используя для этого буквы г или о», иногда бук-
вами с индексами, например: zlt г2, и>0. Равенство z = a + bi
как раз и означает, что комплексное число а 4 Ы обозна-
чено буквой 2.
Введенные операции сложения и умножения обладают
следующими свойствами,
1. Переместительное свойство сложения:
2x4- z2 = z2+z2.
2. Сочетательное свойство сложения:
(г1 + гг) 4- zs = 2х 4- (?2 4- г9).
8. Для любых комплексных чисел 2, и г2 существует
комплексное число г такое, что г1 + г = г2. Это число
называется разностью чисел z2 и z2 и обозначается
za —Zx-
4. Переместительное свойство умножения:
г122 = 2гг1.
3. Сочетательное свойство умножения:
(z1z2)zs = 21 (22z3).
6, Для любых комплексных чисел 2x^04-Ci и г2
существует число г такое, что zxz = z2. Эго число назы-
вается частным комплексных чисел г2 и 2j и обозначается
Y. Деление на комплексное число 0 4- 0i, которое назы-
вается нулем, невозможно.
7. Распределительное свойство;
Zi (z24-z8) = ZxZ24-ZxZ8.
Все перечисленные свойства операций сложения и
умножения вытекают из определений этих операций и
равенства комплексных чисел. Докажем свойства 3, б, 7;
проверку остальных свойств рекомендуется провести са-
мостоятельно.
12
Доказательство свойства 3.
□	Пусть z1 = a1 + b1i, гг=--а2 +b2i и z — x-\-yi. Тогда
равенство z1+z = z3 запишется так:
(«1 + М + (х + yi) =-- аг -f- by.
Согласно формуле (1) получаем
(аг 4- х) + (Ь2 + у) i = a2 + b2i,
откуда следует, что х и у обязаны удовлетворять системе
двух уравнений
f <ц + х^а2,
I &i-4 -y = b,.
Эта система имеет единственное решение	х — а2—а,,
y = b2~b1.
Итак, разность комплексных чисел гя и г< всегда су-
ществует, причем
z2—zf = (аг—а,) 4- (bt—bji. 	(3)
Формула (3) дает правило вычитания комплексных
чисел.
Доказательство свойства 6.
□	Пусть z1 = a14-M, za = aa4-bJi и z*=x-\-yi. Тогда
равенство z1z = zi запишется так:
(aL 4- by) (х 4 yi)«аг 4 bj.
Согласно формуле (2) получаем
(aye—byj) 4- (ауу 4- bye) i*= а, 4- Ь21,
откуда следует, что х и у удовлетворяют системе двух
линейных уравнений
I ayc—byj = a2,
Определитель этой системы
is ’4;
не равен нулю, так как по предположению af 4- by 0 4- Oi.
Поэтому система имеет единственное решение, которое
легко находится:
„__Oifla4~^i^a	а\Ь2—а2Ь\
„а । t? ’
Л14-О1	С14-
Таким образом, частное двух комплексных чисел при
условии, что делитель отличен ог нуля, всегда существует,
1S
причем
_ Gjagrt-feifta , а4з—aa&i • _	z^\
a* + tf ’Г af+£
Формула (4) дает правило деления комплексных чисел.
Положив в формуле (4) at = c, bi = 0, а2 = а, bt = b,
получаем правило деления комплексного числа па дей-
ствительное число
a-j-W а	Ь .
с	с	с
Положив в формуле (4) ах = 0, b±= d, а2 — а, b2 = b,
получаем правило деления комплексного числа на чисто
мнимое число
c-j-bl b а }
~dl~~ d ~~d1'
Доказательство свойства 7.
О Пусть ai = af + feti, z2 = а2 4 b2i, z3 = a3 + bsi. Вычис-
ляем левую часть равенства:
«1 (г, 4 z3) = (at + bj) (л2 4 a3 4 (b2 4- bs) i) =
=- a, (a2 + c/д) — 6X (b2 + 6,) + (6i (a2 4 a,) 4 (62 4 68)) I -
= aLa2 + ага3—6Д—6;63 4 (610, 4 b^a3 4 <hb2 4 a^) i.
Вычисляем правую часть:
«Л 4 ZjZj = (о£ - 6ii) (o2 4 62i) + (at 4 6ii) (a, 4 63f) =
= axa2—6t62 + (аД 4 6]O2) i +'<Xi03—6t63 4- (аЛ 4- bva3) I =
= OiOj 4- OiO3—6Д—bLb3 4- (bLa3 4- Ьха3 4- аД 4- a3b3) I.
Следовательно, (z2 4 z3) — ZiZ2 4- zxz3. g
Из сказанного выше следует, что сложение и умноже-
ние комплексных чисел подчиняются тем же законам, что
и сложение и умножение действительных чисел.
Легко усматривается, что в результате сложения, умно-
жения, вычитания и деления комплексных чисел вида
а4-0« всегда получаются числа такого же вида. Кроме
того, видно, что правила действий с такими числами
полностью совпадают с соответствующими правилами дей
сгвий с действительными числами. Эти два обстоятельства
позволяют отождествить комплексное число a bOt с дей-
ствительным числом а и считать, что a4-0i = a, Например,
04 Ci-О, 1 4 Oi= 1, —1 4-Oi = —1.
Таким образом, множество действительных чисел яв-
ляется частью множества комплексных чисел.
14
Действительное число а называется действительной
частью комплексного числа а + bi. Действительное число b
пазывг ется мнимой частью комплексного числа а 4- Ы.
Комплексные числа вида Q + bi называют чисто мни-
мыми и обозначают просто Ы. Например, 0—2i = — 2г,
О + И = г.
Комплексное число I принято называть мнимой еди-
ницей.
Согласно определению комплексных чисел два числа
Zi = fli>+ и га = а2 + &2* равны тогда и только тогда,
когда а^ = а2, bt = b2, т. е. когда равны и действительные,
и мнимые части комплексных чисел. Обратим внимание
на то, что одно равенство z2 ~ z2 комплексных чисел рав-
носильно двум равенствам а^ — а2, b1 = b, действительных
чисел. Заметим еще, что понятия «больше», «меньше» для
комплексных чисел не определяются. Записи z > О,
1 + *<2 и им подобные лишены всякого смысла.
Вернемся к формуле (2), определяющей умножение
комплексных чисел. Положив в ней аг «= а2 = О, bL = Ьй= 1,
получим важное соотношение
Н = —1,
или, применяя для произведения Н сокращенное обозна-
чение **=*2,
? = -1.	(5)
Таким образом, определение умножения, даваемое
формулой (2), обеспечивает существование решения урав-
нения х2 + 1 = 0.
Отметим еще, что формула (2) не нуждается в запоми-
нании, так как получается автоматически, если формально
перемножить двучлены tZi + Sj и аг + Ьг1 по обычному
правилу умножения двучленов и затем в соответствии
о формулой (5) заменить i'2 на —1.
Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных
чисел Zi = 2 +5> и г2 =—1 + 7i.
Д По формуле (1) находим
Z1 + z2 = (2 + 5i) + (-1 + 7i) = 1 + 12*.
Произведение находцм формальным перемножением
двучленов 2 + 5* и —1 + 7* с последующим учетом соот-
ношения (5):
ziz2 — (2 + 5i) (— 1 + 7i) =
= —2+14*—5* + 35i2 = —37 + 9*. д
13
Пример 2. Найти сумму и произведение комплекс-
ных чисел tt — x + yi и га = х—yi.
& Сумму находим по формуле (1);
Эт + Zfc= («+ yi) + (x—yi) = 2х.
Произведение находим ио правилу умножения дву членов:
ZjZ2 = (х + yi) (x—yi) = x2—xyi + xyi—y2i2 = xa+ y2. ▲
Числа x-i yi и x—yi называются сопряженными комп-
лексными числами. Число, сопряженное числу г, обозна-
чается z. Пример 2 показывает, что сумма г-У г сопря-
женных чисел есть всегда число действительное, а произ-
ведение zz—число действительное и, более того, неотрица-
тельное.
Пример 3. Даны комплексные числа Zj=—1 + 6/
и za = 2 + 5t. Найти разность z4—zt и частное у-.
А По формуле (3) находим
za—Zj = (2 + 5i)—(— 1+6/)— 3— i.
Частное находим по формуле (4):
7а_ 2+5/ _(— 1).2+6.5 (—1)-5—2-6. 28	17 . .
Я-—1+6/“ (-1)2 + 62 b (—1)2 + 62 1~ 37	37** Ж
Пример 4< Найти комплексное число
(1+0(1-2»)
3 + /
А Перемножив числа, стоящие в числителе, получим
_1 —2/+/—2/«	3—/
г~ з+/	“ 3+/-
Далее можно воспользоваться формулой (4), но удоб-
нее поступить иначе. Умножим числитель и знаменатель
дроби з * на число, сопряженное знаменателю, т. е.
на 3—i Тогда получим
_ (3—0(3—0_ 9—3/—3/ + /2	8—6/	4	3.
Z "(3 + 0(3—0—	9+1	— 10 ~ 5	5,#*
3.	Решение квадратных уравнений с отрицательным
дискриминантом. В курсе алгебры рассматривались квад-
ратные уравнения
ах2 + Ьх + с— 0,	а+=0,	(1)
16
с действительными коэффициентами а, Ь, с. Там было
показано, что если дискриминант D = b2—4ас уравнения (1)
неотрицателен, то решения такого уравнения находятся
по формуле
В случае, если D < 0, говорилось, что уравнение не
имеет решений.
Покажем, что в множестве комплексных чисел урав-
нение (1) имеет решение и тогда, когда дискриминант
уравнения отрицателен.
□ В учебнике алгебры доказывалось, что уравнение (1)
равносильно уравнению
\X + 1Se)—4а»’
из которого при 0^0 и получалась формула (2) для
корней квадратного уравнения.
Пусть D < 0. Преобразуем уравнение (3) следующим
образом:
и получим
ь . . V’TdT ь . КГоТ
х = — з- + I 4L, х = —й-------I —s—-•
2а 2а	2а 2а
Следовательно, если дискриминант D отрицателен, квад-
ратное уравнение (1) имеет два сопряженных комплексных
корня:
-&+.-/Г6Т Y _-b-iV\p-
—	2.л	’	2а ' и
Для единообразия записи формулы для корней квад-
ратного уравнения удобно в случае D < 0 комплексное
число i К | D | обозначать через KL Например, »И5 = "К—5.
Тогда во всех случаях формула для корней квадратного
уравнения будет записываться в виде (2).
Таким образом, в множестве комплексных чисел урав-
нение
ах2 + Ьх 4- с = 0, a, b, с £ R, а 0,
17
всегда разрешимо. Если D — b3—4ас —О, то уравнение
имеет един корень; если D=£O, то уравнение имеет два
корня. Во всех случаях для корней квадратного уравне-
ния справедлива формула
— ь±У"й	...
*=------> (4)
в которой в случае D < 0 под символом VU понимается
.число i Г | О |.
Если квадратное уравнение имеет вид
ах3 + 2рх + с = О,
то для нахождения корней удобнее пользоваться упро-
щенной формулой
(5)
Пример 1. Рещить уравнение 5xv4 6х + 5 — 0.
А По формуле (б) находим
—3 ±/9^25 _ —3 ± К^Тб’ _ -3 ± i К* 1’-W
Ъ ~	5	~	5
Следовательно,
3,4.	3	4 . д
+ хг = -у-у1. ▲
Пример 2. Решить уравнение 2z’ + 3z + 3 = 0.
А По формуле (4) получаем
- 3±/9~^4 -3±/=Л5
г -----------=----------.
Так как К—15 = iK15, то
Вопросы для контроля
1. Как определяется равенство комплексных чисел?
2. Как производится сложение, вычитание, умножение и деле-
ние комплексных чисел?
3. Какими свойствами обладают сложение и умножение комплекс-
ных чисел?
4, Всякие ли два комплексных числа можно перемножить?
Всегда ли одно комплексное число можно разделить на другое?
5. Укажите числа, квадрат которых равен отрицательному чи-
слу —4.
18
G. Какие числа называют чисто мнимыми?
7.	Какое число, 1 или 1, является мнимой частью числа 1 -( 1?
8.	Какие числа называются сопряженными комплексными чи-
слами?
9.	Какие числа удовлетворяют равенству z = z?
10.	Укажите сопряженные числа для чисел 1 — i, 2i, 2.
11.	Могут ли числа 1 и i быть корнями какого нибудь квадрат-
ного уравнения с действительными коэффициентами?
Упражнения
1.1. Найдите сумму и произведение комплексных чисел Zj и гг,
если: »
1)	Zi. —5+41, z2 =— 2+3i;
2)	2i = 0,5—3,21, z2= 1,5—0,81;
3)	zj = —8—71, z2 =—31;
4)	21 = 5 + ^ 31, za —5— У 31.
1.2. Найдите разность z2—zi и частное —, если;
Ч
1)	21=14-1, Zg=l — 1;
2)	2i=l 4-21, z2 = 5;
3)	2i =—1 + V 31, z2 = — /j + Oi!
4)	21 = 4—]/’ bi, гг — а+У bl.
1.3. Вычислите:
1.4. Найдите действительную часть комплексного числа.)
1) г= (1 -Ь203
21 г—5-r2t	3~~4* I А
’	2—51. 4+31 "* 1 ’
1.5.	Найдите мнимую часть комплексного числа:
1)	z= (2-1)’(2+111); 2) г=-у^+1».
1.6.	Найдите комплексные числа
1)г=/+«±1. 2)
'	+ 1—71 ’ ’	(3 + 21)3—(2+1)2 ’
3)г = (2+1)*; 4) г=^1-^-+1ЬЦ21.
1.7.	Решите уравнении:
1)	(1 - гЦ1 + 21) + (1 -12) (3 - 40 = 1 + 71;
2)	z2+z = 0.
t.8. При каких действительных значениях х и у комплексные
числа 21 = <*—7х+9у1 и z2 = j/2l + 20i —12 равны?
19
1.9.	При каких дсйстьительпых значениях х и у комплексные
числа п = 9уа—4— 10x1 и гг=8у2 + 2017 являются сопряженными?
1.10.	Докажите равенства:
1,| Zi+zt=#i4-Zj; 2) ZiZ2 = ?iZj.
1.11.	Решите снесем) уравнений
I Zi+2?2«= 1+ /,
( 3zx+izj = 2—31.
1.12.	Решите уравнения:
1)	ха+25 = 0; 2) t2—21 + 5 = 0;
3)	36z»+3£z+13 = 0; 4) 5ха+2х+2 = 0;
5)	ха-6х+16 = 0; 6) Зх7—14х+^=0;
7)	zs+8=G; 8J z4—Зга—4 = 0.
1.13.	Составьте приведеаное квадратное уравнение с действитель-
ными коэффициентами, имеющее данный корень:
1) 21; 2) 1—31; 3) —4—1/2.
§ 2. Геометрическая интерпретация
комплексных чисел. Модуль и аргументы
комплексного числа
1. Комплексная плоскость. Как известно, между мно-
жеством действительных чисел и множеством точек прямой
можно установить взаимно однозначное соответствие.
Существование такого соответствия позволяет использо-
вать в алгебре и анализе геометрические соображения,
которые часто оказываются весьма полезными. Геоме-
трическая терминология и геометрические соображения
с успехом используются и при
изучении комплексных чисел.
Каждому комплексному чис-
лу а-\-Ы поставим в соответст-
вие точку М (а; о) координат-
ной плоскости, т. е. точку, абс-
цисса которой равна действитель-
ной части комплексного числа, а
ордината— мнимой части. Каж-
дой точке М (а; Ь) координат-
ной плоскости поставим в со-
ответствие комплексное число
a — bt (рис. 1). Установленное
взаимно однозначным. Оно дает
соответствие является
возможность интерпретировать (истолковывать) комплекс-
ные числа как точки некоторой плоскости, на которой
выбрана система координат. Сама координатная плоскость
называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс
называется действительной осью, так как на ней распо-
20
ложены точки, соответствующие комплексным числама + Qi,
т. е. соответствующие действительным числам. Ось орди-
нат называется мнимой осью—на ней лежат течки, соот-
ветствующие чисто мнимым комплексным числам 0-t-W.
Не менее важной и удобной является интерпретация
>
комплексного числа а + Ы как вектора ОМ (рис. 1), т. е.
вектора, исходящего из начала координат 0(0: 0) и иду-
щего в точку М {а; Ь). Разумеется, вместо вектора ОМ
можно ззять любой равный ему вектор. Очевидно, что
каждому вектору плоскости с началом в точке 0(0; 0),
концом в точке /И (о; Ь) соответствует комплексное число
а + Ы, и наоборот. Нулевому вектору соответствует ком-
плексное число O-f-Oi.
Соответствие, установленное между множенном ком-
плексных чисел, с одной стороны, и множествами точек
или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные
числа называть точками или векторами и говорить, на-
пример, о векторе а + Ы или точке а + Ы.
Изображение комплексных чисел векторами позволяет
дать простое геометрическое истолкование операциям над
комплексными числами. Остановимся пока только на сло-
жении и вычитании комплексных чисел. Геометрический
смысл умножения будет выяснен позже.
При сложении чисел Zi — n^ + b^i и г2 = аг + Ь21 скла-
дываются их действительные и мнимые части (рис. 2). При
сложении соответствующих им векторов ОМ, и ОМ3 скла-
дываются их координаты. Поэтому сумме zr + z2 чисел z(
-------------------------------------►
и z2 будет соответствовать вектор ОМ, равный сумме
векторов ОМ, и 0М2. Совершенно аналогично устанавли-
вается, что разность чисел гх—z2 соответствует век-
21
тору M2Mj (или ОУ), равному разности OMj~OM2 вех-
торов OMj и ОМ2 (рис. 3).
2. Модуль комплексного числа. Перейдем к рассмотрению
понятия модуля комплексного числа.
Определение. Модулем комплексного числа назы-
вается длина вектора, соответствующего этому числу.
Для модуля числа z используется обозначение |z|.
Часто модуль обозначают также буквой г. По теореме
Пифагора (см. рис. 1) для модуля комплексного числа
z = a + 6( легко получается следующая важная формула:
|z| = Kaa+62,
выражающая модуль числа через его действительную и
мнимую части.
Для действительного числа z = а + Qi модуль совпадает
с абсолютной величиной числа:
|z|='|a+ С7|=--Ка3 = |а|.
Сопряженные числа z - а + Ы и z = а—Ы имеют, очевидно,
одинаковые модули.
Результат, полученный в примере 2 § 1, теперь можно
записать гак:
2-7=1 2|2 = |7[»,
т. е. произведение сопряженных чисел равно квадрату их
модуля.
Отметим теперь, что для деления комплексных чисел
можно не запоминать формулу (4) из § 1.
Соотношение
^2	_ ^2^1__^2^1
<7 “	~ I «112
дает возможность свести деление чисел z2 и zr к умноже-
нию чисел zt и z2 и к делению произведения z„z. на дей-
ствительное положительное число (zj2. В примере 4 § 1
мы уже пользовались этим приемом. Продемонстрируем
этот прием еще на одном примере.
Пример 1. Найти частное /~J..
Л Умножив числитель и знаменатель дроби на число,
сопряженное знаменателю, получим
i—1	(i_ 1) (4+5i)	4j+5i*-4-5i_	9	1 . A
4—5i ~ (4—51)(4-f-5i) —	16-(-25	41 41 Ж
22
В заключение этого пункта остановимся еще на гео-
метрическом смысле модуля разности двух комплексных
чисел.
Согласно определению модуля {г,—z21 есть длина лекто-
ра Zj—z2. Вектор zt—z2 изображен на рис. 3. Это вектор
" > “ >
ОД7 =MaMit и его длина равна расстоянию между точка-
ми Mi и М2. Таким образом, модуль разности двух комп-
лексных чисел есть расстояние между точками комплекс-
ной плоскости, которые соответствуют этим числам.
Это полезное геометрическое истолкование модуля разно-
сти двух комплексных чисел позволяет при решении не-
которых задач использовать простые геометрические факты.
Пример 2. Какое множество точек комплексной
плоскости задается условием:
а)	|г—1—i | = | z -+•1 + i |,
б)	+
в)	l<lz + 2|<2?
Л а) Условию
удовлетворяют те и только те точки комплексной пло-
скости, которые одинаково удалены от точек гг = 1 + i и
z2 = — I — i. Множество точек плоскости, равноудаленных
от двух заданных точек, представляет собой прямую,
перпендикулярную отрезку, соединяющему данные точки,
и проходящую через его середину. На рис 4 изображена
прямая I, являющаяся искомым множеством.
б) Соотношению
|г+/|=1
удовлетворяют те и только те точки комплексной плоско-
сти, которые удалены от точки zt =— I на расстояние,
равное единице. Такие точки лежат на окружности еди-
ничного радиуса с центром в точке zt =— i (рис. 5).
23
в) Из геометрического истолкования модуля разности
двух комплексных чисел следует, что комплексные числа z,
удовлетворяющие условию
1 | z 4 21 2,
расположены внутри и на границе кольца, образованного
двумя концентрическими окружностями с центром в точке
Рис. 6
Zj==—2 и с радиусами, равными 1 и 2. На рис. 6 иско-
мое множество точек заштриховано.
3. Аргументы комплексного числа- Комплексные числа z,
имеющие один и тот же модуль | z | = г, соответствуют,
очевидно, точкам комплексной плоскости, расположенным
на окружности радиуса г с центром в точке z = 0 (рис. 7).
Следовательно, если г 0, то существует бесконечно мною
комплексных чисел с данным модулем г. Модуль, равный
нулю, имеет только одно комплексное число, а именно z = 0.
Геометрически очевидно, что для того, чтобы из мно-
жества комплексных чисел с данным модулем т=/-0 выде-
лить какое-либо конкретное число г, достаточно задать
направление вектора г (например, задать угол <р, см. рис. 7).
Определение. Аргументом комплексного числа г^О
называется угол между положительным направлением дей-
ствительной оси и вектором z, причем угол считается по-
ложительным, если отсчет ведется против часозой стрелки,
и отрицательным, если отсчет производится по часовой
стрелке.
Для обозначения аргументов комплексного числа z =
=а-\-Ы используется обозначение argz или arg (а + bi).
Заданием модуля и аргумента комплексное число опре-
деляется однозначно. Для числа z = 0 аргумент не опре-
деляется, но в этом и только в этом случае число задается
только своим модулем.
24
Аргумент комплексного числа, в отличие от модуля,
определяется не однозначно.. Например, аргументами числа
—1 + 1 являются следующие углы: 44 =<Р2 = -^- + 2л,
Рис. 8
<ря= -j—2я (рис. 8) и, вообще, каждый из углов
= -^4-2л6, k£Z. Любые два аргумента комплексного
числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2л.
Вопросы для контроля
1	Как геометрически интерпретируются (ис-олковываются) комп-
лексные числа?
2.	Как геометрически истолковываются сумма и разность комп-
лексных чисел?
3.	Как располагаются па комплексной плоскости числа: а) гиг;
б) z и (—г)?
4.	Что называется модулем комплексного числа? Как вычисляется
модуль числа а+14?
5.	В чем состоит геометрический смысл модуля разности дву»
комплексных чисел?
6.	Что называется аргументом комплексного числа?
7.	Всякое ли комплексное число имеет аргумент?
8.	Может ли разность аргументов комплексного числа быть рав-
ной 99л, 100л?
Упражнения
1.	14 Постройте векторы: г = 3+21, г = 5—4i, z=—6+3i, z~
= — 1 — i z = cos 30°— i sin 30°, г — cos 150c -j- i sin 150е, z = —2, г -- i.
1.1	5. На комплексной плоскости даны точки zj, z2, zs, являю-
щиеся тремя последовательными вершинами некоторого параллело-
грамма. Найдите четвертую вершину этого параллелограмма.
1.1	6. На комплексной плоскости даны точки zi = 6 +8i, z2 = 4—-3i.
Найдите комплексные числа, соответствующие точкам, лежащим на
биссектрисе угла, образованного векторами г, и гг.
1.1	7. Найдчте модуль комплексного числа:
1)	» = —3; 2) z = — i; 3) а=7;
4)z=l — i; 5} z = cos n+isinn;
6) z = —5-2/ 6i.
25
1.18. Решите уравнения:
1) | г| —:г = 1--А’; 2) г1 24-3|г| = 0;
3) г« + | г |»=0.
1.19. Решите систему уравнений
|a + l-i| = l3+2i-z| = |a-H|.
1.20. Какое множество точек комплексной плоскости задается
ювием:
1) г|<1; 2) |г| = 2; 3) |г—1|с0;
4) z-f-21 < | г—21; Б) | г-,’-1 ( < | z—f |;
6) г+2» —1|<2; 7) 2< | г-1 -4-2/1 < 3;
8)з1п|гГ>0; 9) 1g | г—101 [<1;
10) |гД2+Зг4-37=0?
1.21. Решите систему уравнений
( |г + 1| = |г4-2|,
) |3z4-9] = |5z4-101|.
1.22. Найдите аргументы комплексного числа:
1) z=i; 2) z=14-<; 3) z=—1;
4)	г —8, 5) г — —31; 6) 2 — 2—21.
1.23.	Какое множестве точек комплексной .плоскости задается
условием.
1)	один из аргументов числа г равен нулю;
2)	един из гргумен-ов равен -у;
3)	один из аргументов равен ’J ;
4)	один из аргументов <р удовлетворяет неравенствам 2л < <р < Зл;
5)	один из аргументов <р удовлетворяет неравенствам 0< ф < 2л?
1.24.	Какое множество точек комплексной плоскости задается
условием
arg г = (2п 4-1) л,	«gZ?
1.25.	Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих условию
|г4-1 — 1|<1, найдите, число, имеющее наименьший положительный
аргумент.
1.26.	Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих условию
|г—51|<,3, найдите число, имеющее наименьший положительный
аргумент.
§ 3. Различные формы записи комплексных чисел.
Операции над комплексными числами
в тригонометрической и показательной формах
1. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи
комплексного числа. Запись комплексного числа г в виде
а 4- bi называется алгебраической формой записи комплекс-
ного числа.
Помимо алгебраической формы используются и другие
формы записи комплексных чисел—тригонометрическая
форма и показательная фирма.
26
Рассмотрим тригонометрическую (popму записи комп-
лексных чисел. О показательной форме записи будет рас-
сказано в п. 5.
Действительная и мнимая части комплексного числа
z = а + Ы выражаются через его модуль ] z | = г и аргу-
мент q> следующим образом:
а = гсозф,
\ b = /-зшф.
Эта связь легко устанавливается при рассмотрении рис. 7.
Комплексное число г может быть, следовательно, запи-
сано в виде
z— г (cos ф 4- тэтф).
ЗдефЬ г—модуль комплексного числа, а ф—аргумент.
Запись комплексного числа в виде
г — г (cos ф + i sin ф)
называется тригонометрической фермой записи.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
во многих случаях оказывается более удобной, чем алгебраи-
ческая.
Для того чтобы перейти от алгебраической формы
записи комплексного числа z=a+W к тригонометрической,
достаточно пайти его модуль и один из аргументов. Модуль
определяется по формуле
г = Уа2 + Ь*.
Зная модуль г, аргумент находим из системы
а
СОЗф — —
ь
ЗШф = —.
Пример 1. Записать число г=1—i в тригонометри-
ческой форме.
А Находим модуль
|г] =г = /р + (_ 1)2 = /2.
Для аргумента ф получаем систему
cos ф
Sit! ф
1
П'
1
V "2*
2/
Одним из решений этой системы будет, например,
7н
q>=-j-, и, следовательно, данное комплексное число в
тригонометрической форме запишется так:
1 — т = И2^соз~4-tsin-^y ▲
Замечание 1. Для решения системы (1) во многих
случаях удобно перейти к уравнению
tg<P = 4-	<2)
Это уравнение является следствием системы (1). Оно
получается в результате почленного деления второго урав-
нения системы на первое. Каждое решение системы (1)
является решением уравнения (2). Обратное утверждение
неверно, и, следовательно, уравнение (2) не равносильно
системе (1). Но если решения уравнения (2) найдены, то
выбрать из них те, которые удовлетворяют системе (1),
очень просто. Для этого надо посмотреть, в какой четверти
комплексной плоскости находится точка z — a + bi. Из
алгебраической формы записи комплексного числа это всегда
легко усматривается. Рассмотрим соответствующий пример.
Пример 2. Записать число г = —1 — 1^3 i в триго-
нометрической форме.
А Находим модуль данного числа
г=|— 1- /311 = К(— 1 )*"+?— К3)2 = 2.
Аргументы числа z удовлетворяют уравнению
tg<p = J/3.
Решения этого уравнения:
Ф = -г + лп, п 6 Z.
О
Так как число г — —1—V 3 i расположено в третьей
четверти комплексной плоскости, то значения
<р = -^-+2лй, k£Z,
о
следует отбросить: они не удовлетворяют системе (1).
В качестве аргумента числа z = —1—\^3i можно взять,
например, <р = + л.
Исак,
—1-—КЗГ= 2 f соз-^4-. &
\ о	о /
28
Замечание 2. Разумеется, переходить от системы
(1) к уравнению (2) следует не всегда. Например, при
о = 0 это не только не нужно, но и невозможно. В .этом
случае очевидно, что аргументом числа будет либо ф =
Зл
(если Ь > 0), либо ф=4 (если b < 0).
2. Умножение и деление комплексных чисел, записан’
ных в тригонометрической форме. Тригонометрическая
форма записи комплексных чисел сказывается очень удоб-
ной при умножении и делении чисел. Пусть
Z, = (cos Ф1 + i sin фх) и z2 = r4 (cos ф2 + i sin фа)
— два числа, записанных в тригонометрической форме.
Тогда
ZA — Гхга (cos ф! cos ф2—sin фх sin ф2 +
4- i sin ф| cos ф2 4- i cos Фх sin Фа),
или
z,z2 = rtr, (cos (фх 4- ф2) + i sin (<рх - фг)).	(I)
Таким образом, справедливо следующее утверждение!
модуль произведения двух комплексных чисел равен про-
изведению модулей этих чисел, сумма аргументов сомно-
жителей является аргументом произведения.
Для частного, умножая числитель и знаменатель на
число cos ф2—1з1пф2, получаем
?х ri (cos <рх + i sin <рJ (cos ф2 — t sin ф2) _
г2 r2 (cos ф2 + i sin <p2) (cos ф2 — i sin ф7)
_ /г (cos фг cos ф2 + sin ф] sin w2 +1 sin фх cos ф2 — i cos фх sin ф2)
r2 (cos2ip2 + sin2 ф2)	’
или
-J- = 7;(cos(Ti—ф2) +(йЩф,—ф2)).	(2)
Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел
равен частному модулей этих чисел, разность аргументов
делимого и делителя является аргументом частного.
Пример. Записать в тригонометрической форме комп-
лексное число
1 cos -2— »sin-^Л (^"34- О
г = ~---------ГтН - - -
Л Число Zx = cos-'}- — (sin-у имеет модуль, равный 1,
аргумент Фх = —y;za = K3 4-S имеет модуль 2, аргумент
29
л>	• <	> /* л	3 л
<p2=-g-; z3=l—1 имеет модуль у 2, аргумент Ф3 = — .
Поэтому | z | =	= Г 2, аргумент
,	л . л Зл 11
Ф = Ф1 + Ф£~Фз=-б“—= -12Я*
Следовательно,
z
. А
Формула (1) позволяет дать геометрическое истолкова-
ние операции умножения комплексного числа z на комп-
лексное число z0. Про-
изведение чисел z и z0
есть, вектор, который
может быть получен но
воротом вектора z на
угол, равный аргумен-
ту числа z„ и растяже-
нием (сжатием) его в | z01
раз (сие. 9).
Частный случай—
умножение числа z на
мнимую единицу i—оз-
начает поворот вектора
л
угол у.
г против часовой стрелки на
3. Возведение в степень и извлечение корни. Форму-
ла (1) п. 2 для произведения двух комплексных чисел
можег быть обобщена на случай п сомножителей. Исполь-
зуя метод математической индукции, легко получить сле-
дующий результат:
модуль произведения п комплексных чисел равен про-
изведению модулей всех сомножителей, сумма аргументов
всех сомножителей является аргументом произведения
комплексных чисел.
Отсюда как частный случай получается формула
(г(со£ф~Ь t sin $))" = rn (cosn<p-|- isinnq?), (1)
дающая правило возведения комплексного	числа
т (cos ф + i sin ip) в целую положительную степень:
при возведении комплексного числа в степень с нату-
ральным показателем его модуль возводится в степень
с тем ясе показателем, а аргумент умножается на пока-
затель степени.
30
Пример I. Возвести в девятую степень комплекс-
ное число
z=K3—т.
Л .Модуль числа z равен 2, а одним из аргументов
является <р = — поэтому модуль числа z* равен В",
з
а аргумент числа з“ равен 9ф=— ул. Следовательно,
(У3—2‘ । cos t — ф-) + i sin > — ту- ) = 512i. ▲
Перейдем к операции извлечения корня данной сте-
пени из комплексного числа.
Число z называется корнем степени п из числа w
(обозначается Уи>), если zn — w.
Из данного определения вытекает, что каждое реше-
ние уравнения zn=^w является корнем степени п из
числа w. Другими словами, для того чтобы извлечь ко-
рень степени п из числа w, достаточно решить уравнение
zn = w.
Если w—0, то при любом п уравнение zn — w имеет
одно и только одно решение z = 0. Если ю 0, то и z У= Э,
а следовательно, и г, и w можно представить в тригоно-
метрической форме:
z = г (cos <р +1 sin ф), w = s (cos ф + i sin ф).
Уравнение zn = w примет вид
rn (cos пф + i sin пф) = s (cos ф + I sin ф).
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда
равны их модули, а аргументы отличаются слагаемым,
кратным 2л. Следовательно,
Гп = S И Пф — ф + Ink,
или
л/*™	Ф । 2п ,	, — м
г= 1/ s и ф = —4-----k, k£Z
' ж п 1 п ’ Ч-
Итак, все решения уравнения ап=-ш могут быть запи-
саны следующим образом:
где k = 0, 1, 2, ..., п— 1.
При других целых значениях k мы не получим дру-
гих комплексных чисел.
31
Например, при k — n получаем
гп- v^s (cos (Д + 2л) + isin(¥•+ 2л)) =
= J/s ^cos £+1 sin-~) = г,.
Таким образом, если а»=/=0, то существует ровно п
корней степени п из числа w; все они находятся по фор-
муле (2). Все корни степени п из числа w имеют один
и тот же модуль j/s, но разные аргументы, отличаю-
щиеся слагаемым, кратным числу ~. Отсюда следует, что
комплексные числа, являющееся корнями степени п из
комплексного числа w, соответствуют точкам комплексной
плоскости, расположенным в вершинах правильного п-
угольника, вписанного в окружность радиуса у/ s с цент-
ром в точке z = 0.
Сделаем еще одно замечание относительно обозначения
У w. Символ у/ w не имеет однозначного смысла. Поэтому,
употребляя его, следует четко представлять себе, что под
этим символом подразумевается. Например, используя
запись V—1, следует позаботиться о том, чтобы было
ясно, понимается ли под этим символом пара комплексных
чисел i и —/ или одно, и если одно, то какое именно.
Заметим, что в и. 3 § 1 при решении квадратного урав-
нения с отрицательным дискриминантом под символом V D
понималось, как теперь должно быть ясно, одно из зна-
чений квадратного корпя из отрицательного числа D, рав-
ное г/|П|.	____
Пример 2. Найти все значения у/—16.
А Запишем число w——16 в тригонометрической форме:
w= —16= 16 (cos л 4- i sin л).
Формула (2) в нашем случае дает
2u=-2(cos(4 + 4r^ + isin(4 + -rr^L	h 2>3.
к \	\ 4 1 4 j	\4 ' 4	] ] 1
Следовательно,
г0 — 2 i cos	i sin-j) = /2 + i’K2,
z1 = 2^cos-^ + isin-^-) = —/2 + i/2,
za = 2 ' cos ~ + i sin —•) = — /2—i К2,
z8 = 2i cos ^p+ isin-^ '=/2—iV 2.
82
На рис. 10 изображены все четыре значения у/—16.
Точки, соответствующие числам z0, zn z2, z8, находятся
в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2
с центром в точке г==0. А
4. Комплексная степень числа е. Введем понятие комп-
лексной степени числа е. Операция возведения числа е
в комплексную степень z — х -|- yi определяется фор-
мулой
e* = e*(cosy + isiny). (I)
Пример 1.	Возвести
число е в степень г, если:
a) z = 1 + Л б) z = у 1,
в) z — ni.
А По формуле (1) нахо-
дим:
а)	е'+‘ = е (сое 1 + I sin 1),
я .
б)	е2 = cos у +1 sin у = I,
в) e"l = cosn + tsinn = —1. А
Пример 2. Найти модуль и аргументы числа ez=ex~r vi.
Л Действительная и мнимая части комплексного числа е*
соответственно равны excosy и е* sin у. Следовательно,
| ег | <= V (е* cos уу + (ех sin у)г = V а2* — е*.
Аргументы находим из системы
а
СОЗф =
b
sin ф = —.
Эта система в рассматриваемом случае принимает вид
ех cos у
COS ф = —= cos у,
ех sin у
81Пф =----^-2- = Sin:y.
Ее решения у = у у2пп, n£Z.
Итак,
\ег | = а*,
arg ег = у + 2пп,	n£Z. А
2 Алгрбпя. ч. 2
33
Отметим основные свойства комплексной степени
числа е.
ezi
1.	а) |г1+га = ег1в*>, б) eTi-z» = —, т- е. для eg сохра-
няются обычные свойства степени.
Докажем свойство а).
□ Пусть t1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i, тогда
е^е2> = exi (cos уг 4- г sin у,) е** (cos у2 4- i sin у2) =
— g*,gx, (cos соз уг — sin ух sin у*
+ i (sin ух cos у2 + cos ух sin г/2)) =
= (cos (ух + у2) 4- i sin (ух + у2)) =
= gx, + хг + I + у2) — gxL + «1 t+х, + уsi — ezl+z,_ |
Свойство б) доказывается аналогично.
2.	Для действительных значений z = x4-0t
ег = е*,
т. е. комплексная степень числа е в этом случае совпа-
дает с ранее изученной действительной степенью числа е.
□ По формуле (1) имеем
йг _ ех+of _ e* (cos о _р j sin 0) = а*. 
3.	Для каждого n^Z справедливо равенство
g^nni= |
□ В самом деле, по формуле (I) получаем
e2^nt — cos 2кп 4- i sin 2лп = 1. 
4.	Для любого комплексного числа г справедливо
равенство
ег+!яЧ/ = Сг, n£Z.
□ Действительно, по свойству 1 можем записать
gZ+ 2Лт _ gXg2nni^
Теперь, учитывая свойство 3, получаем
gz+ 2mi — gx_
5.	Показательная форма записи комплексного числа.
Положим в формуле (1) п. 4 з = »ф, Ф^Л?. Тогда получим
e’<t = cos ф 4- i sin ф.
Эта важная формула называется формулой Эйлера.
Ранее было показано, что каждое комплексное число
г^О можно представить в тригонометрической форме:
z — г (cos ф 4 i sin ф).
34
Отсюда и из формулы Эйлера следует, что каждое
комплексное число z =/= О можно записать и в такой форме:
z = re'f
Запись комплексного числа в виде z — ге^ называется
показательной формой записи. Здесь г—модуль комп-
лексного числа, а <р—его аргумент.
Пример 1. Представить в показательной ферме комп-
лексное число
У 3	1 .
2~ 8	8 1’
А Находим модуль числа
“ 4
и один из его аргументов
.	1	л
tgq> = -FT> Ф = —6
(так как z находится в четвертой четверти). Следовательно,
г =	. А
Показательная форма записи комплексного числа яв-
ляется более компактной по сравнению, с тригонометри-
ческой.
Умножение и деление комплексных чисел, а также
возведение в натуральную степень и извлечение корня, как
правило, удобно проводить, предварительно записав комп-
лексные числа в показательной форме.
Пусть 2i = r1e,’<f’1 и г2 = г2е"’’», тогда
zxz2 = г}е‘91г2е‘^ = r1r2ei^'+^\	(1)
Здесь мы воспользовались доказанным выше свойством 1а)
комплексной степени числа е.
Используя свойство 16), легко получаем
—fl" ’ — —ei’«Pi-n>.),
-a	r2el<₽! rt
Пример 2. Записать в показательной форме комп-
лексное число
(2)
z —
Л . . Л
cosT2“HinT2
1—	i
2*
35
Л Каждое из чисел —КЗ + Л сея g—iein-^, 1 — i
представим в показательной форме:
. ел
—/3 + т = 2е
со«тв—isin^ = cos ( — уГ) + isin ( — ^=<?
1а	1а	\ 1а ]	\ 1а !
1—т = К2е ‘ 4 .
Используя формулы (I) и (2), получаем
Зная формулу Эйлера, можно переписать формулу для
возведения комплексного числа в натуральную степень
следующим образом:
(ге‘ч>)п = rnein<s>.	(3)
Формула, дающая все решения уравнения zn — w, бла-
годаря формуле Эйлера также может быть переписана
в более компактном виде:
z___ z_ г Л
z* = /se'* = /$« \ " п Л	А = 0, 1, .... п—1. (4)
Пример 3. Представить в показательной форме комп-
лексное число z = (—1 -н т)6.
А Записываем в показательной форме основание сте-
пени и применяем формулу (3):
Пример 4. Записать все значения корня |/И34-i
в показательной форме.
А Представляем число ИЗ +1 в показательной форме
и применяем формулу (4):
j//3 + i=l^2е^ = У2е (”+т*), k = Q, 1,2,3. Д
Вопросы для контроля
1.	Как записываются комплексные числа в алгебраической и
тригонометрической формах?
2.	Как перейти от алгебраической формы записи комплексною
числа к тригонометрической форме?
зе
3.	Что называется корнем степени п > 1 из комплексного числа?
4.	Сформулируйте правила умножения, деления, возведения в сте-
пень, извлечения корня для комплексных чисел, записанных в триго-
нометрической форме.
5.	Как определяется- Тсо^тлексиая степень числа е? Каковы ее
свойства? Укажите на комплексной плоскости точки, соответствующие
я . зл .ел -
— J -I ,, ,	I	I ш ,
числам е 2, Зе 4 , 5е 2 .
6.	Запишите формулу Эйлера.
7.	Как записываются комплексные числа в показательной форме?
8.	В чем заключаются правила умножения, деления, возведения
в степень, извлечения корня для чисел, записанных в показательной
форме?
9.	Пусть z — re!<t. Как записывается в показательной форме
число z?
Упражнения
1.2	7. Представьте з тригонометрической форме комплексное число:
I) z = V"3—i; 2) г —— 2; 3) 4=1;
4) z=i17; 5) г=—cossin-y;
~	1 Г 3 .	_	,	!0л , . , 10л
о) г = —у---— «> 7) z=l-t-eos-g—Msln —
1.28. Представьте в алгебраической и тригонометрической фор-
мах комплексное число:
z =
1)
2)
4)
5)
cos --psta-g-
г= 4л Т 4 л- ’ 3) г="7Г4 0Гг
cos—i sin—
О	о
5л , . , 5л
-cos -^4- т sin -jy
г— 13л	. . 13л ’
cos— -«sin —
f л . , л \ / 1 У" 3 \
ccsy-‘Sin-3
z=—--------------.
I
1.29. Представьте в тригонометрической форме комплексное число:
_ 5 (cos 100°-1- i sin 10Q-) j.
1,2	3 (cos 40°— i sin 40°) ’
sin
2)	?= —
2л
COS —
o
i— 1
37
1,30.	При повороте на угол -у по часовой стрелке и удлинении
едва раза вектор =24*51 переходит в вектор г2. Найдите комп-
лексное число, соответствующее вектору z2
1.31.	Вектор г =—2-j-3i повернут на 180J и удлинен в 1,5 раза.
Найдите комплексное число, соответствующее получившемуся вектору,
1.32.	Запишите комплексное число в алгебраической форме:
1)
3)
5)
• cosT5+‘sinT^
г \ й 7
z=(cos31°4-1sin31°)~i0; 4)
г= (-f 2+.Y2)' : 6)2
(1т08
(i-О’•
1.33. Запишите комплексное число в тригонометрической форме:
1) г=(Кз -01ос; 2)
/1_1_Л2гс + 1
3)	• «ёЛГ: 4) z=(tgl-l)4,
5) z=(tg2—I)4; 6) z= sln-^-f-1 ^14-cos—') ! ,
1.34. При каких целых значениях п справедливо равенство
(1 +
1.35. Найдите все значения у w, если:
1) W-— i, п = 2; 2} w=—1, п=3;
3) л=81, п=3; 4) о>=1, я=5.
1.36. Решите уравнения:
1) г3—1 = 1; 2) z4—1=1;
3) г5— 1— iV 3=0; 4) z6 4-64 = 0.
1.37.	Запишите число
/ 5 f- 121-F ><5- -121
/5=121—/5=121
в алгебраической форме при условии, что действительные части /б +121
и /5—121 отрицательны.
1.38.	Найдите корни уравнения
г10—г5—992 = 0,
действительные части которых отрицательны.
1.39.	Представьте в алгебраической форме комплексное число:
—— ni +1 eni
1) г=е8"1; 2) a=t 3	;
31+74 3ni—i
3)	z = e ’	2 .
1.40.	Представьте в показательной форме комплексное число: 1
1) г = -/12-21, 2) z=-cosy+isiny.
38
1.41.	Запишите в показательной и алгебраической формая комп-
лексное число.
1)	г = 5е 4-0,26	( cos	— Isin	'1
/ 1 i Л\“3	_
2)	г=|де j 3) ? = (/ 8-/)’;
4)	1	• 5) г = ±2л<1±£Ж,
1 (cos 12°-t-isin 12°)5 ’ ’	i
1.42.	Используя формулу (4) п. 5, найдите вое значения у/ш, если»
1) го=1, л=3;_2) ш>=—1, п — 4;
3) w — —4-j-V 48», л=3;
4) w ——1 — 1^ 3 i, n = 4.
Глава 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 4.	Примеры дифференциальных уравнений
1.	Размножение бактерий. На опытах с бактериями
установлено, что скорость размножения бактерий пропор-
циональна их количеству, если, конечно, для них имеется
достаточный запас пищи.
Так как сами бактерии очень малы, а их количество
велико, то можно считать, что масса бактерий с течением
времени меняется непрерывно. Тогда скорость прироста
массы бактерий называется скоростью размножения.
Если через x = x(t) обозначить массу всех бактерий в мо-
мент времени t, то будет скоростью размножения этих
бактерий. Так как скорость размножения -£ пропорцио-
нальна количеству бактерий, то существует постоянная k
такая, что
у=Ы	(О
По условию х(/) и х'(t) — неотрицательные, поэтому
коэффициент k тоже неотрицательный. Очевидно, что ин-
тересным является лишь случай k > 0, так как при & — О
никакого размножения не происходит.
Уравнение (1) является простейшим примером диффе-
ренциально гс уравнения. Оно называется дифференциале-
ным уравнением размножения. Искомым неизвестным урав-
нения (1) является функция х = х (0, которая в уравнение
входит вместе со своей производной х' (t).
Легко проверить, чю любая функция вида
x = Cekt,	(2)
где С—некоторая постоянная, является решением урав-
нения (1). Действительно,
= 4 (Сеи) = С ± = Cke^ = k (Сеы) = kx.
40
В § 6 будет доказано, что все решения уравнения (1)
задаются формулой (2). Поэтому функция (2), где С —
произвольная постоянная, называется общин решением
уравнения (1).
Сделаем несколько замечаний о том, как используются
дифференциальное уравнение (1) и ею общее решение (2)
при исследовании процесса размножения.
Очевидно, что коэффициент k зависит от вида бакте-
рий и от внешних условий.
Если мы знаем значение коэффициента k и массу т0
бактерий в некоторый момент времени /0, то по формуле (2)
получим массу бактерий в любой момент времени t. Дей-
ствительно, пусть
x(t,) = m0.	(3)
Тогда
mQ = Се^о, С = тие -kt°,
и, следовательно,
х(0 =	(4)
Функция (4) является решением уравнения (1) и, кроме
того, удовлетворяет условию (3).
Условие (3) называется начальным условием.
Таким образом, уравнение (1) имеет бесконечное мно-
жество решений, а задание начального условия выделяет
единственное решение из этого множества.
На практике часто возникает следующая ситуация.
Известно, что размножение некоторого вида бактерий при
данных условиях идет по закону x = x(t), удовлетворяю-
щему уравнению вида (I), но неизвестно значение коэф-
фициента k. Требуется определить коэффициент я и найти
закон размножения данного вида бактерий при данных
условиях.
В этом случае общее решение (2) уравнения (1) содер-
жит двз неизвестные постоянные С и k.
Как и выше, из начальною условия (3) найдем по-
стоянную С и получим
x(f) = туе™-™.	(5)
Для нахождения неизвестного k подсчитаем массу бакте-
рий в некоторый момент времени > /0: пусть эта масса
равна от,. Тогда
41
и, следовательно,
_	1 |п ОТ] _ 1птх—In ffte
tj—-to	m0	t-i— (ц
Подставив найденное значение коэффициента k в фор-
мулу (5), получим
р-А» 1п пи.
х(/) = тпе^~^ т»,
или

t-to
2.	Радиоактивный распад. Из эксперимента известно,
что скорость распада радиоактивного вещества пропор
циональна имеющемуся количеству вещества.
Таким образом, если через x = x(t) обозначить массу
вещества, еще не распавшегося к моменту времени t, то
dx
скорость распада —ц удовлетворяет следующему уравнению:
МО.	(1)
где k—некоторая положительная постоянная.
В уравнении (1) перед k поставлен знак минус, так
как х (t) > 0, а <_ 0.
Уравнение (1) называется дифференциальном уравне-
нием радиоактивного распада.
Можно показать (см. § 6), что любая функция вида
х = Се-м,	(2)
где С—некоторая постоянная, является решением урав-
нения (1) и других решений это уравнение не имеет.
Другими словами, формула (2), где С—произвольная
постоянная, задает общее решение уравнения (1).
Коэффициент k определяется лишь видом радиоактив-
ного вещества. Постоянная С может быть найдена из
начального условия в некоторый момент времени ta. Дей-
ствительно, пусть
Х((0) = /720.	(3)
Тогда из формулы (2) при t = ta получаем
C = naefez«.
42
Следовательно, решение
x =	(4)
будет удовлетворять начальному условию (3).
На практике скорость распада радиоактивного вещества
характеризуется так называемым периодом полураспада,
т. е. временем, за которое распадается половина имею-
щегося вещества. Обозначим период полураспада через Т
и выразим k через Т.
Из (4) при /=/0 + 7’ имеем
и поэтому
AT = jp2, k = ^-.
Таким образом,
t-i,
---Ш 2
х — пгае т ,
или
t-n
х= т(2 т .
В частности, если /о=^О, то
_ у
х = тЛ2 т.
3.	Общие замечания об уравнениях образования и
распада вещества. Многие процессы образования или
распада вещества (см. предыдущие пункты) удовлетворяют
следующему условию: скорость изменения количества
вещества пропорциональна некоторой функции от имею-
щегося количества вещества в рассматриваемый момент
времени.
Пусть x(t)—количество вещества в момент времени t.
Тогда для рассматриваемого процесса справедливо урав-
нение
х' — kf (х),
где f—некоторая функция от х, характеризующая дан-
ный провесе, a k—коэффициент пропорциональности. Ко-
эффициент k может быть постоянным, т. е Ее зависеть
от времени t, а может и зависеть от t. Например, в урав-
нении размножения бактерий коэффициент k не будет
постоянным, если условия (температура, освещение и т. д.),
при которых происходит размножение, меняются во время
эксперимента.
43
Таким образом, в общем случае имеем уравнение
x'==k(t)f(x).
Такие дифференциальные уравнения будут изучаться
в § б.
4.	Дифференциальное уравнение кривой, которая в каж-
дой своей точке имеет заданную касательную. Пусть G —
некоторое множество точек М плоскости, на которой
введена прямоугольная система координат, и пусть х, у—
координаты точки М. Так как между точками плос-
кости и парами чисел (х; у) имеется взаимно однозначное
соответствие, то говорят, что G- множество точек (х; у).
Если каждой течке (х; у) из множества Q ставится
в соответствие некоторое действительное число / (х; у),
то f называется функцией точки (х; у) или функцией
двух переменных х, у, определенной на множестве G, и
обозначается / (х; у), (х; y)£G.
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Найти уравнение кривой, которая в каждой своей
точке с координатами х, у имеет касательную с заданным
угловым коэффициентом /(х; у).
Другими словами, надо найти функцию у = <р(х), кото-
рая удовлетворяет уравнению
y’ = f(x-> у),	(1)
где у' — производная по х от искомой функции. Это урав-
нение называется дифференциалоным уравнением, функ-
ция ф(х)—его решением, а кривая, заданная уравнением
у = ср (х), — интегральной кривой.
Рассмотрим один частный случай.
Пусть функция f зависит только от х и определена
на некотором интервале (а; &). Уравнение
y' = f{x)	(2)
решается ь теории неопределенных интегралов. Было по-
казано, что все решения этого уравнения задаются формулой
у= $ f(x)ax.
Эта формула содержит неядно произвольную постоянную С.
Действительно, если F (х)—некоторая первообразная функ-
ции /(х), то
у = Е(х) + С.	(3)
Таким образом, уравнение (2) имеет бесконечное мно-
жество решений. Любая кривая, заданная уравнением (3)
44
при фиксированном С, является решением поставленной
задачи.
Из теории определенных интегралов известно, что
у любой непрерывной функции f(x) имеется первообраз-
ная и этой первообразной является интеграл с перемен-
ным верхним пределом. Следовательно,
X
!/ = \f(t)dt + c.
Хо
Кривая, заданная этим уравнением, проходит через точку
с координатами х0, С. Следовательно, через каждую точ-
ку (х0; уа), где хоё(а; Ь), проходит единственная интег-
ральная кривая
X
У = $ f (О dt 4 у9.
Вопросы для контроля
1.	Напишите простейшее дифференциальное уравнение размно-
жения.
2.	Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения
размножения?
3.	Сколько решений имеет дифференциальное уравнение размно-
жения? Что называется начальным условием?
4.	Напишите дифференциальное уравнение радиоактивного рас-
пада. Сколько решений имеет это уравнение? Ках выделить единст-
венное решение?
Упражнения
2.1.	Известно, что за 1 час масса бактерий удваивается и что
скорость размножения бактерий прямо пропорциональна наличному
количеству бактерий. Для данного шда бактерий напишите диффе-
ренциальное уравнение размножения и найдите его общее решение.
2.2.	Известж , что за 1 час масса радиоактивного вещества умень-
шается на 1%. Напишите дифференциальное уравнение распада и
найдите его общее решение.
2.3.	Найдите период полураспада радиоактивного вещества, опи-
санного в упр. 2.2.
2.4.	В баке находится ЮОл раствора, содержащего 10 кг соли,
В бах со скоростью Зл в минуту подается вода, и одновременно со
скоростью 2л а минуту раствор выливается из бака, причем концен-
трация раствора остается все время равномерной благодаря переме-
шиванию Сколько соли е баке останется через час?
2.5.	Некоторое вещество преобразуется в другое со скоростью,
пропорциональной количеству еще не преобразовавшегося вещества.
Через1 час. после начала процесса оставалось 33,4 г вещества, чЗрен
3 часа—9,7 г, Сколько вещества было в начале процесса?
45
2	6, Найдите уравнение кривой, преходящей через точку Л1 (0; 4),
если угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен
ординате этей точки.
2.7.	Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидко-
сти. пропорционально угловой скорости (коэффициент пропорциональ-
ности равен k). В начальный момент времени / = 0 угловая скорость
была равна ш0. Определите угловую скорость в произвольный момент
времени t > 0.
2.8.	Согласно закону Ньютона скорость охлаждения тела в воз-
духе пропорциональна разности между температурой тела и темпера-
турой воздуха. За 20 минут при температуре воздуха 20 °C тело
охладилось от 100 °C до 60 °C. Определите зависимость температуры
тела от времени. Через сколько минут температура тела понизится
до 30 °C?
§	5. Основные понятия и определения теории
дифференциальных уравнений первого порядка
Уравнения, в которых неизвестными являются функ-
ции и в которые входят не только сами функции, но и
их производные, называются дифференциальными урав-
нениями.
Если в уравнение входит первая производная и не
входят производные более высокого порядка, го это урав-
нение называется дифференциальным уравнением первого
порядка. Если же в уравнение входит вторая производная
и не входят производные более высокого порядка, то оно на-
зывается дифференциальным уравнением второго порядка.
Аналогично определяются дифференциальные уравнения
третьего порядка, четвертого порядка и т. д.
Вообще, порядком дифференциального уравнения назы-
вается порядок старшей производной (искомой функции),
входящей в это урагнение.
Во многих примерах (см. предыдущий параграф) иско-
мые функции являются функциями времени t. В этом
случае искомые функции обозначаются через x = x(r),
у— y(f) и т. п. В общем случае независимая переменная,
как и обычно, будет обозначаться через х, а искомые
функции—через у — у(х), z--=z(x) и т. п. Возможны и
другие обозначения.
В общем случае дифференциальное уравнение первого
порядка можно записать в следующем виде:
Р(х-, у, у') = 0,	(1)
где у = у(х)—искомая неизвестная функция, г/' = у'(х) —
ее производная по х, a F—заданная функция перемен-
ных X, у, у’.
46
Дифференциальные уравнения, рассмотренные в пре-
дыдущем параграфе, имеют вид
y' = f(x; у).	(2)
Такие уравнения называются разрешенными относи-
тельно производной.
Функция ф(х), xg(a; Ь), называется решением диффе-
ренциального уравнения (2), если она имеет производную
ф' (х) на (а-, Ь) и если для любого х g (а; Ь) справедливо
равенство
ф'(х) = /(х; ф(х)).
Другими словами, функция <р(х), х£(а;Ь), называется
решением дифференциального уравнения (2), если урав-
нение (2) при подстановке ее вместо у обращается в т ож-
дество по х на интервале (а; Ъ).
Аналогично определяется решение дифференциального
уравнения (1).
В дальнейшем рассматриваются лишь уравнения, раз-
решенные относительно производной, т. е. уравнения
вида (2), или уравнения, которые приводятся к уравне-
ниям вида (2).
Задание уравнения зида (2) равносильно заданию
функции f(x; у) переменных х, у. Геометрически функция f
переменных х, у—это функция, определенная на некото-
ром множестве G точек плоскости с координатами х, у.
Любая кривая, заданная уравнением у — ф (х), х € (а; Ь),
где ср(х)—некоторое решение уравнения (2), называется
интегральной кривой дифференциального уравнения (2).
Из этого ог ределения следует, что интегральная кри-
вая уравнения (2) полностью лежит в области G. в кото-
рой определена функция f, и что интегральная кривая
в каждой своей точке М (х; у) имеет касательную, угло-
вой коэффициент которой равен значению функции f в этой
точке М.
Задача нахождения решения уравнения (2), удовлет-
воряющего условию
У(х0) = уЙ,	(3)
где х0, у0—заданные числа, называется задачей Коши.
Условие (3) называется начальным условием. Решение
уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию (3),
называется решением задачи Коши (2), (3).
Решение задачи Коши имеет простой геометрический
смысл. Действительно, согласно данным определениям,
47
решить задачу Коши (2), (3) означает найти интеграль-
ную кривую уравнения (2), которая проходит через за-
данную точку Л4,(х0; у0).
Отметим без доказательства, что если функция f(x; у)
удовлетворяет некоторым достаточно общим условиям, то
через каждую точку области G, в которой определена
функция f, проходит единственная интегральная кривая
уравнения (2). Таким образом, это дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество решений.
Рассмотренные примеры показывают, что множество
всех решений дифференциального уравнения, как прави-
ло, задается формулой
у = Ф(х; С),	(4)
где С—произвольная постоянная.
Функция (4), которая при каждом фиксированном
значении С как функция от х является решением урав-
нения (2), называется общим решением уравнения (2).
Каждое решение уравнения (2), которое получается
из общего решения (4) при конкретном значении постоян-
ной С, называется частным решением.
Сделаем последнее замечание относительно уравнений
вида (2).
Умножив обе части уравнения (2) на дифференциал
независимой переменной dx, получим уравнение, содержа-
щее дифференциалы:
dy=f(x\ y)dx.	(5)
Уравнение (5) также называется дифференциальным урав-
нением первого порядка. Из определения дифференциала
следует, что уравнение (5) равносильно уравнению (2).
Вопросы для контроля
1.	Какое уравнение называется дифференциальным?
2.	Какое дифференциальное уравнение называется уравнением
первого порядка?
3.	Какое дифференциальное уравнение называется уравнением
второго порядка?
4.	Что называется порядком дифференциального уравнения?
5.	Напишите общий вид дифференциального уравнения первого
порядка.
6.	Какой вид имеет дифференциальное уравнение первого порядка,
разрешенное относительно производной?
7.	Что ьазызается решением дифференциальною уравнения
(*; {/)?
48
8.	Что называется интегральной кривой дифференциального
уравнения y' = f(x; у)?
9.	Как формулируется задача Коши для дифференциального
уравнения y’ = f(x; у)?
10.	Что называется общим решением дифференциального уравне-
ния y’ = f lx; у)? Как из общего решения получить частное решение?
Упражнения
2.9. Являются ли следующие функции:
1) y = 'sinx—1; 2) y = e~’ta*;
3) y = sinx,
решениями уравнения
у' +у cos х=-^- sin 2х?
2.1Г Являются ли функции:
1) у = /1^3; 2) у=—
3) у-^С-х2 (С — произвольная положительная постоянная),
решениями уравнения
xdx-J-y dy=O?
2.11. Найдите значения а, при ко-орых заданная функция является
решением уравнения:
J) y = ea*-|--L<x у'4-2у = е«;	2) у=(х2—х)«, у'=~ £ у ;
О	£Ху
3) у — ха, хгу"Щ2ху'—6у=0.
2.12. При каких значениях А и а функция у = A cos“x будет
решением уравнения y' = ytgx?
§ 6. Уравнения с разделяющимися переменными
1. Определения и примеры. Дифференциальные урав-
нения вида
У'= f(x) g (у),	(1)
где f(x) и g (у)—заданные функции, называются уравне-
ниями с разделяющимися переменными.
Очевидно, что если число а является решением урав-
нения g(y)=-0, то функция у = а (постоянная) является
решением уравнения (1).
Для тех у, для которых giy)^^ уравнение (1) рав-
носильно уравнению
Р (у)у' — [(х)>	(2)
г» Нй-Лг
В этом уравнении переменная у присут-
ствует лишь в левой части, а переменная х—лишь в пра-
вой части. Поэтому вместо слов «перейдем от уравнения
(1) к уравнению (2)» часто говорят «в уравнении (1) раз-
делим переменные».
49
В дифференциалах уравнение (2) имеет вид
Р (У) dy = f (х) ах.	(3)
Здесь слева стоит дифференциал некоторой функции Р (у),
зависящей от у, а справа—дифференциал функции F (х),
зависящей от х.
Проинтегрировав обе части уравнения (2) по х, по-
лучим
P(y) = F(x) + C,	(4)
где С—произвольная постоянная. Следовательно, если
дифференцируемая функция у — ф (х), х^(а; Ь), является
решением уравнения (2), то она является решением урав-
нения (4) при некотором значении постоянной С, т. е.
Р(ф(х)) = Е(х) + С	(5)
для любого х С (а; Ь). И наоборот, если дифференцируемая
функция </ = ф(х), х$(а; Ь), является решением уравне-
ния (4), то ока является решением дифференциального
уравнения (2). Действительно, дифференцируя по х обе
части равенства (5), получаем
р(Ф<х)) ф' (х) = /(х),
а это и означает, что функция ф(х) удовлетворяет урав-
нению (2).
Таким образом, любое решение дифференциальною
уравнения (2) получается из формулы (4). В этом случае
будем говорить, что формула (4) задает общее решение
уравнения (2).
Все решения уравнения (2) являются и решениями
уравнения (1); других решений в области, где g(y)=£C,
уравнение (1) не имеет. Если функция g(y) обращается
в нуль, го уравнение (I) имеет, кроме того, решения
вида у=- а, где число а таково, ^то g(a) = 0.
Пример 1. Найти все решения уравнения
(6)
Л Уравнение (6) является уравнением с разделяющи-
мися переменными. Обе части уравнения (6) разделим на
1 + у2 и проинтегрируем по х обе части полученного
уравнения
Так как левая часть уравнения (7) является производной
по х от функции aretgz/, где у = у(х), то после интегри-
БО
рования получим
arc lg у = х + С,
где С—произвольная постоянная. Отсюда следует, что
i/=tg(x4 С).
Это и есть общее решение уравнения (6). Других реше-
ний уравнение (6) не имеет. Схема расположения соответ-
ствующих интегральных кривых изображена на рис. 11.
Все они получаются из кри-
вой	сдвигом влево
или вправо но оси Ох. ▲
Рис. 12
решения уравнения
/-2 Г?	(8)
Д Уравнение (8) является уравнением с разделяю-
щимися переменными. Очевидно, что функция у = 0 яв-
ляется его решением.
Пусть теперь у > 0. В дифференциалах уравнение (8)
имеет вид
d«/=2|/ ydx.
Разделив переменные г. этом уравнении:
и проинтегрировав, получим
V У = х+С,
где С—произвольная постоянная. Отсюда следует, что
у = (х-гС)2, причем х 4- С ^0.
Таким образом, при каждом фиксированном значении
постоянной С функция
у = (х4-С)?, х^—С,
является решением уравнения (8). Других решений это
уравнение в полуплоскости у > 0 не имеет.
Схема расположения интегральных кривых уравне-
ния (8) изображена на рис. 12. В полуплоскости у > 0
51
каждая интегральная кривая получается из ветви пара-
болы
у = х2, х > О,
сдвигом влево или вправо по оси Ох. Прямая у = 0, т. е.
ось Ох, также является интегральной кривой.
2. Правило нахождения общего решения. Для нахож-
дения общего решения дифференциального уравнения
с разделяющимися переменными следует:
1)	разделить переменные, т. е. преобразовать данное
уравнение к виду
p(y)dy = f(x)dx;	(1)
2)	проинтегрировать обе части полученного уравнения
по у и х соответственно, т. е, найти некоторою перво-
образную Р (у) функции р(у) и некоторую первообраз-
ную F (х) функции f(x);
3)	написать уравнение
P(y)-=F(x) + C,	(2)
где С—произвольная постоянная.
Решив уравнение (2) относительно у, получим общее
решение дифференциального уравнения (1):
у = <р(х; С),
которое называется	также общим	решением	уравнения
y' = f(x)g(y).	(3)
Заметим, что уравнение (3) может иметь и другие
решения.	Например,	уравнение, у	которого	g(y) обра-
щается в	нуль в точке ус, имеет	решение	у—у9. Это
решение может не входить в ебгг.ее решение, т. е. оно
не получается из общего решения ни при каком зна-
чении постоянной С. Поэтому, чтобы указать все ре-
шения уравнения (3), надо найти еще все решения
уравнения g (у) = 0.
Пример 1. Решить уравнение
у'=^ху.	(4)
А Это уравнение является уравнением с разделяющи-
мися переменными. Разделив переменные:
— — х dxt
У
В2
и проинтегрировав, получим
ln|j/| = yx2+ep
где С\—произвольная постоянная. Отсюда следует, что
“ X2
| «/j = ec‘-e2 ,
или
У^СрУх\	(5)
где С = ± еС1.
Правая часть уравнения (4) обращается в нуль при
у=0, поэтому оно имеет решение z/ = 0. Это решение
получается из (5) при С=0. Таким образом, формула (5),
где С—произвольная постоянная, задает все решения
уравнения (4). ▲
Пример 2. Найти все решения дифференциального
уравнения
У' = ху\
А Очевидно, что у = С является решением данного
уравнения. Пусть теперь у#=С. Тогда
^— = xdx
У2
и, следозательно,
Таким образом, общее решение данного уравнения
имеет вид
2
ЯС’
где С—произвольная постоянная. Заметим, что решение
у*гО не получается из ) общего решения ни при каком
значении постоянной С. 4,
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
А Разделив переменные:
ydy = — xdx,
и проинтегрировав, получим
у* + х2 = С.
Очевидно, что здесь С > 0. Положим С — R2.
53
Полученное уравнение является уравнением окружности
радиуса /? с центром в точке (0; 0). Оно при каждом
фиксированном > О определяет две дифференцируемые
функции
±И Я2—х2.	xg(—R),
которые и являются решениями данного уравнения. Других
решений это уравнение не имеет.
Интегральными кривыми данного уравнения являются
полуокружности, расположенные в нижней и верхней
открытых полуплоскостях (рис.
13). ▲
Замечание. У равнение,
рассмотренное в примере 3, в
дифференциалах имеет вид
ydy + xdx = 0.
В такой записи переменные х
и у являются равноправными:
можно считать у функцией от
х, а можно и наоборот. Поэто-
му иногда говорят, что интег-
ральными кривыми этого урав-
нения являются окружности с центром в начале коор-
динат.
Пример 4. Решить уравнение
, хи eos х
“=-т+Г
(6)
А Очевидно, что постоянная функция у = 0 является
решением.
Пусть теперь у 0 Разделим переменные:
1 + у) dy — х cos xdx.
Проинтегрировав левую часть этого уравнения по у,
а правую по х, получим уравнение
у 4- In | у | = х sin х + cos х 4 С,	(7)
где С—произвольная постоянная.
Чтобы найти общее решение уравнения (6), нужно
решить уравнение (7) относительно у. К сожалению, это
сделать невозможно, так как решения не выражаются
через элементарные функции. Однако задача нахождения
общего решения дифференциального уравнения сведена
54
к решению уравнения, ие содержащего производных.
В этом случае будем говорить, что общее решение урав-
нения (6) определяется формулой (7). Кривые, координаты
точек которых удовлетворяют уравнению (7), при некото-
ром значении постоянной С будут интегральными кривыми
уравнения (6). Прямая у = 0 также будет интегральней
кривой уравнения (б). А
Вопросы для контроля
1.	Какое дифференциальное уравнение называется уравнением
с разделяющимися переменными?
2.	Напиши~е формулу, задающую общее решение уравнения
р (у) dy = t(x) dx.
3.	Как найти все решения дифференциального уравнения у' —
= f(*)g(№
Упражнения
2.13 Решите уравнения:
1)y'=xH-sinx; 2) у’^-е-У-1; 3)^=|±|;
4)	У1—хау'+ху—0; 5) (б1п*)/ = ф1пф;
6)	у'=ех+у; 7) у sir х dx+cos х dy-=0;
6)	еу (1 4-л«> djy—2х(1+е«) dx = O;
9)	(14~х)Л/ — 2ydx\ 10) ху dx-\ (х +1) dy — 0;
11) (l + t/2 *jdr—xdy = 0.
2.14. Найдите все решения уравнений.
1) У’= У У2’. ?)	1—у*-, '
3) /=4хКй " И 4) ху'+у = у2’,
5)	dy—xy(y + 2)dx — 0;
6)	у sin4 х dx ydy~0.
2.15.	Найдите решение задачи Кеши:
I)	tx' — 2х, х (2) = 3;
2)	(1 — Лх'-х = 0, х(0)=Г,
3	х(Гз)=-1
хЩ-Р)’ И '	2'
2.16.	Найдите интегральные кривые уравнения, проходящие через
заданную точку Л1:
=	Л4(1; 1); Л1(1; 0);
2) dx—V 1 — х« dy = O, Л1(^; 0].
2.17. Найдите все кривые, обладающие свойством: если через
любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат,
до пересечения с осями координат, то кризая разделит полученный
прямоугольник на две фигуры, площади которых относятся как 1:2.
2.18. Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За пер-
вые 10 с гело проходит 100 м, за 15 с—200 м, Какой путь пройдет
тело за время it
55
2,19.	Найдите уравнения интегральных кривых, проходящих через
заданную точку М:
1) (1+е*)ад'-=е«, М СО; 0);
2) хУ I - уЧхЦ-уУX—x^dy—O, М (0; 1).
§ 7.	Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
1.	Линейные однородные уравнения. Дифференциаль-
ные уравнения вида
/=/(*)? + £(*)>	(1)
где f(x) и g(x)—некоторые заданные функции, назы-
ваются линейными дифференциальными уравнениями пер-
вого порядка. Если g (х) = 0, то линейное дифференциаль-
ное уравнение (1) называется однородным. Оно имеет вид
y' = f<x)y.	(2)
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися
переменными;
Следовательно, если у=£^, то
In] i/|= [f(x)dx.
Обозначим через F (х) какую-нибудь первообразную
функции f(x). Тогда
ln|«/| = f (х) + С3,	|i/| = ^
где Ci—произвольная постоянная. Отсюда следует, что
общее решение уравнения (2) задается формулой
y=CeFw,	(3)
где С—произвольная постоянная. В частности, при С=0
получается решение и = 0.
Напомним, что линейное однородное уравнение y'-ky,
где k—некоторая постоянная, уже изучалось. Было пока-
зано, что его общее решение имеет вид*
// = СвЧ
Обычно формула (3) для общего решения линейного
однородного уравнения (2) записывается в следующем виде;
z/=cJZWd*.	(4)
Пример. Решить уравнение #' = ysinx.
56
Л По формуле (4) получаем
у=Се] =Се~стх. А.
2.	Общее решение линейного уравнения первого по-
рядка. Линейное дифференциальное уравнение первого
порядка
y' = f(x)y i-g(x)	(1)
называется неоднородным, если g(x)=zfeO.
Если / (х) = 0, то уравнение (1) принимает вид y'=g (х),
Как известно, общее решение этого уравнения задается
формулой
У = J? (х) dx или y — Ci(x) + C,
где G(x)—некоторая первообразная функции g(x), г С —
произвольная постоянная.
Докажем теорему об общем решении линейного неодно-
родного уравнения (1).
Теорема. Если у=ч>(х)—некоторое решение уравне-
ния (1), то все решения этого уравнения задаются фор-
мулой
y=Ce^Mdx + q>(x),	(2)
где С—произвольная постоянная.
Другими словами, общее решение линейного неодно-
родного уравнения равно сумме общего решения соответ-
ствующего линейного однородного уравнения и частного
решения данного уравнения.
□ Формулу (2) запишем в следующем виде:
у = CeF м + ф (х),	(3)
где F (х)—некоторая первообразная функции /(х). Под-
становкой функции (3) в уравнение (1) убеждаемся, что
эта функция при любом значении постоянной С является
решением уравнения (1). Действительно, так хак ф'(х) =
=-/(х)ф(х)4-£(х), то'
у' = Се1'' <*> • Р' (х) + <р' (х) = CeF ™ -f(x) + f (х) <р (х) 4- g (х) «=
= f(x)y + g(x).
Пусть теперь ф(х)—некоторое решение уравнения (1).
Тогда функция у = ф(х)—<р(х) является решением линей-
ного однородного уравнения у' = f (х) у. Действительно,
у' = ф' (х)— <р' (х) = f (х) ф (х) + g (х)—f (х) <р (х)—g (х) =
= / W (4 (*)—Ч> W) = f (х) у.
57
Поэтому существует постоянная С такая, что
ф (х)—ф (х) = СеF <*>,
так как любое решение уравнения y' = f(x)y имеет вид
CeF w. Следовательно,
ф (х) = CeF <*> + <р (х).
Таким образом, любое решение уравнения (1) полу-
чается по формуле (3) (или (2)) при некотором значении
постоянной С. М
Из доказанной теоремы следует, что для нахождения
общею решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы
одно его частное решение.
Для линейного уравнения вида
y' = ky+b,	(4)
где k и b—некоторые числа и	частное решение
легко находится. Им будет, как легко проверить, посто-
янная функция у =—	Поэтому общее решение урав-
нения (4) имеет вид
Пример 1. Решить уравнение
у' + 2у 4- 3 = 0.
Л У этого уравнения k——2, b=—3.
Следовательно, общее решение определяется формулой
у = Се~^—
где (7—произвольная постоянная. Л
Пример 2. Найти общее решение дифференциального
уравнения
у' + ху = 4х.
Л Подбором находим, что функция у = 4 является реше-
нием данного линейного неоднородного уравнения. Найдем
теперь общее решение соответствующего однородного урав-
нения:
у' + ху—0.
По формуле (4) из п. 1 получаем, что общее реше-
ние этого уравнения имеет вид
у-Се^х\
58
По доказанной теореме общее решение данного линейч
кого неоднородного уравнения задается формулой
_2_х«
у = Се * +4,
где С—произвольная постоянная. А
3.	Метод вариации постоянной. Укажем метод отыска-
ния частного решения неоднородного уравнения
/ =	(1)
Пусть
i/=--CeF«	(2)
является общим решением линейного однородного урав-
нения
y'=f(x)y,	(3)
тогда частное решение неоднородного уравнения (1) будем
искать в следующем виде:
у = и (х) eF <*>,	(4)
где и(х)—неизвестная функция. Подставив функцию (4)
в уравнение (1), получим
и''е?-Ь tuff = flier + g
и, окончательно,
t4 = g(x)»"FW.
Следовательно, функция и(х) является некоторой перво-
образной для функции g (x)e-Fw.
Таким образом, чтобы найти частное решение неодно-
родного уравнения (1), надо в общем решении (2) соот-
ветствующего однородного уравнения (3) постоянную С
заменить некоторой первообразной для функции g(x) e~F{x}.
Этот метод нахождения частного решения называется
методом вариации постоянной
Пример 1. Решить уравнение
-2-х»
у' + ху = е 2 .	(5)
А Для этого уравнения частное решение найти подбо-
ром не удается. Найдем его методом вариации постоянной.
Так как общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид
-—X»
У-Се 2 ,
59
то частное решение неоднородного уравнения следует
искать в следующем виде:
у=и(х)е 2 ,
где и (х)—неизвестная функция. Подставив в уравнение,
получим
_______L х2 2_ х2
u' = e 2 -а2 = 1.
Отсюда находим
и (х) = X.
Следовательно, частное решение уравнения (5) имеет вид
1 ,
---------хг
у = хе 2 ,
а общее решение, согласно теореме п. 2, выражается фор-
мулой
у ---- Се 2 х -|- хе 2 х ,	(6)
где С—произвольная постоянная. Ж
Пример 2. Найти частное решение уравнения (5),
которое удовлетворяет условию у (0)^=1.
Д Из формулы (6) для общего решения и условия
у(0)=1 находим С=1, поэтому решением поставленной
задачи будет
_ Д х* _± хг
у = е 2 +хе 2 .▲
Вопросы для контроля
1.	Какое дифференциальное уравнение называется линейным диф-
ференциальным уравнением первого пооядка?
2-	Какой вид имеет однородное линейное дифференциальное урав-
нение перзого порядка?
3.	Напишите формулу общего решения для уравнения у' =f (х) у.
4.	Когда линейное дифференциальное уравнение первого порядка
называв! с я неоднородным?
5.	Напишите формулу для общего решения линейного неоднород-
ного уравнения.
6.	Что находится методом вариации постоянной?
7.	Опишите метод вариации постоянной.
Упражнения
2.	29. Решите уравнения.
1) х'= — у-М2; 2) х' = 2/~2/х;
3)	x'4-xtgZ =—!—;
1 cos t
60
4)	х' = 2/х+(/ —/3)е<2;
9
5)	/(/3+1)х'4 (2г3—1)х = х2--
2.21. Найдите решеьие, удовлетворяющее начальному услсрию:
1)	(9—/2)х' + /х = 9, х(3)=3;
2)	х'—х tg/=—!—, х(0) = 0;
cos t '
3)	х' = х sin t -I- 2 sin 2/, x (0) = 1,
4)	(t -j- 1) dx = (2x 4- (f + Ip) dt, x (0) = 2.
2	22. Электрическая цепь состоит из последовательно включении»
источника постоянного тока, дающего напряжение V, сопротивления R,
самоиндукции L и выключателя, который включается при /=С Най-
дите зависимость силы тока от времени.
2.	23. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных
источника тока, напряжение которого меняется по закону Е = V sin fot,
сопротивления R и самоиндукции L. Найдите силу тока в цепи при
установившемся режиме.
§ 8.	Примеры дифференциальных уравнений
второго порядка
1.	Уравнение движения точки. Рассмотрим движение
точки Р массы т по прямой I под действием силы F. Для
этого на I выберем некоторую точку О и некоторое на-
правление, например слева на-
право (рис. 14). Тогда положе-	~д --------------*
ние точки Р на прямой I в
момент времени I характери-	Рис. 14
зустся координатой x=-~x(t).
Как известно, первая производная х' (/) является ско-
ростью точки Р, а вторая производная х" (/)—ускорением
точки Р в момент времени t Поэтому в силу второго
закона Ньютона справедливо следующее уравнение:
mx"(t) = F,	(1)
которое называется уравнением движения точки Р.
В общем случае сила F в уравнении (1) может зави-
сеть от времени t, от положения точки х и от скорости
x'(Z), т. е. в общем, случае уравнение (1) имеет вид
tnx* = F(t; х; х'),	(2)
где F—заданная функция переменных I, х, х'.
Так как уравнение (2) содержит производную второго
порядка, то оно является дифференциальным уравнением
второго порядка.
Функция qp (t), t С (а; &), называется решением уравне-
ния (2), если она имеет производные ф' (t) и ф(/) на
интервале (а; Ь) и если для любого / С (а; Ь) справедливо
61
равенство
ту” (t) = F (t-, ф(/); <p' (/)),
т. . e, если уравнение обращается в тождество по t при
подстановке <р (Z) вместо х.
Как известно из физики, для однозначного описания
движения точки, кроме уравнения движения, необходимо
задать положение и скорость точки в некоторый момент
времени
x(tQ) = x0, х' (4) = v0.	(3)
Условия (3) называются начальными условиями или
условиями Коши, а задача отыскания решения уравне-
ния (2), удовлетворяющего начальным условиям (3), на-
зывается задачей Коши. Доказывается, что для широкого
класса уравнений (2) задача Коши имеет единственное
решение.
2.	Движение точки под действием постоянной силы.
Рассмотрим сначала случай, когда сила F не меняется
в процессе движения точки Р, т. е. когда сила F постоян-
ная Тогда уравнение движения имеет вид
х" = а,	(1)
Р
где а= Из уравнения (1) следует, что скорость v=x‘
удовлетворяет дифференциальному уравнению первого
порядка
v' = а.	(2)
Как известно из теории неопределенных интегралов,
формула
v—at + Ci,
где Cj—произвольная постоянная, задает все решения
уравнения (2). Следовательно, решение уравнения второго
порядка (1) сводится к решению дифференциального урав-
нения первого порядка
х — at -f- Cj.	(3)
Интегрированием по t получаем
x = ±aP + CLt + Cv	(4)
где С2—произвольная постоянная.
Таким образом, формула (4) содержит все решения
уравнения (1), и поэтому она называется общим решением
уравнения (1).
62
Общее решение дифференциального уравнения (1) вто-
рого порядка содержит две произвольные постоянные
Ct и С2. При каждых конкретных значениях постоянных
Сх и С2 в формуле (4) получаются решения, которые на-
зываются частными решениями.
Чтобы получить частное решение, зададим начальные
условия:
x(tt) = x0, x'(ta) = vQ.	(5)
Тогда для нахождения С\ и С2 получаем следующую
систему линейных алгебраических уравнений:
| *2	^*2 = х°’
I	4“ С2 = Цр
Решив эту систему относительно С, и С, и подставив
найденные значения в формулу (4), получим решение
задачи Киши для уравнения (1) с начальными усло-
виями (б)
Однако на практике для нахождения решения задачи
Коши (1), (5) поступают следующим образом.
Интегрируя по t от /0 до t обе части уравнения (1):
t	t
’ х"(l)dt = ‘ adt,
to	to
по формуле Ньютона—Лейбница получают дифференциаль-
ное уравнение первого порядка
х’ (i)—x'(t^ — a(t—t9).
Снова интегрируя no i от /0 до t, получают
х(0 -х (Q-x' (/0) (t-Q =
Следовательно,
х = | (/- Q2 + x’ (/0) (t-Q + x (/0).
Теперь, чтобы получить решение, удовлетворяющее на-
чальным условиям (5), нужно вместо х(1ь) написать х0,
а вместо х' (tQ) написать t>0.
Таким образом, решение задачи Коши (1), (5) имеет вид
х= у (t—	+ t)0 (t — fc) + xc.
Пример. Рассмотрим движение материальной точки
под действием силы тяжести. Для этого ось Ох направим
63
вертикально зниз и, для простоты, положим = 0. Тогда
уравнение движения имеет вид x" = g, где gas 9,8 м/с2 —
ускорение свободного падения. Решая это уравнение,
получаем
X =  2~ + Vot -F Хо.
3.	Движение точки под действием периодической силы.
Пусть сила F, действующая на точку Р массы т. зависит
от времени t следующим образом.
Г = A cos (со/ 4- а),
где А > 0 и со > 0.
Тогда уравнение движения имеет вид
тх" = A cos (со/ + а).
Найдем решения этого уравнения. Для этого обе его
части проинтегрируем по / от /0 до /. Тогда
t
тх' (t)- тх' (/0) = А \ cos (со/ 4- a) dt — — sin (со/ -Ь а) =
у	СО	р,
*0
= J. sin (со/ 4- а)—“ sin (со/о 4- а)
и, следовательно,
А	А
*'	sin (<й/ + а) 4 Х ~~^т Sin + “)•
Снова интегрированием по t от /0 до / получаем
X (/)—X (/») = ~ -'L COS (со/ + а) 4- ^-г cos (со/е + а) 4-
4 '	“Sin(co/04-a) (/—/0).
Таким образом,
А	А
X ~ cos № + a) + cos <”*•4 a> +
+ (v« ~	s in	+a)) —Q+
где x0 = x(/j), v0 = x'(/0)- В частности, если /о=^О, то
А	А	I А \
*=- Wcos(®/ + a)+ Jwcosa+ (/о- — sina ,/ + х„.
Отметим, что полученное решение содержит две про-
извольные постоянные—начальные данные хЛ и v0.
64
4. Движение точки под действием силы, пропорцио-
нальной скорости. Пусть на точку Р массы tn действуют
две силы: постоянная сила F, направленная в сторону
движения точки, и сила, пропорциональная скорости и
направленная против движения. Тогда уравнение движе-
ния точки Р имеет вид
mx" — F—kx',	(1)
где k—коэффициент пропорциональности, причем k > 0.
Проинтегрировав по t обе части уравнения (I), по-
лучим
тх' = Ft — kx + С,	(2)
где С—произвольная постоянная.
Уравнение (2) является линейным уравнением. Чтобы
найти его общее решение, нужно найти общее решение,
соответствующею однородного уравнения
nix' = — kx	(3)
и какое-нибудь частное решение неоднородного уравне-
ния (2).
Общее решение уравнения (3) задается формулой
д=С^е т ,
где Ci—произвольная постоянная.
Найдем частное решение уравнения (2). Это частное
решение будем искать в виде линейной функции
x = At + B	(4)
с неизвестными коэффициентами Л и В.
Для определения А и В функцию (4) подсгавим в
уравнение (2):
А т = Ft— kA i—kB + C.
Так как это равенство должно быть справедливым для
любого t, то при / = 0 получаем уравнение
Ат = — kB + С,
а при /=1 — уравнение
F—kA—0.
Таким образом,
Л F u С Fn
а функция
С Нп
Т
является частным решением уравнения (2).
3 Алгебпя. q . 2
65
Согласно теореме, доказанной в предыдущем параграфе,
общее решение уравнения (2) задается ^юрмулой
<л	к>	к к -
Положим
ba~'~k IP
Очевидно, что если С—произвольная постоянная, то
и С2—произвольная постоянная. Поэтому общее решение
уравнения (1) имеет вид
_♦*.	р
х=-С,е " +С2 + Т/.	(5)
Из формулы /’б) следует, что движение точки Р про-
р
исходит почти с постоянной скоростью, равной -% . Этот
факт широко используется на практике. Например, на
этом основано применение парашюта. Когда человек
спускается на парашюте, на него действует сила тяжести
F— tng и сила сопротивления воздуха, которая пропор-
циональна скорости и направлена против движения. Дви-
жение (спуск) человека на парашюте описывается урав-
нением вида (5).
Вопросы для контроля
1.	Напишите уравнение движения точки массы т по прямой под
действием силы F.
2.	Что называется задачей Коши для дифференциального урав-
нения второго порядка?
3.	Напишите общее решение уравнения движения точки под дей-
ствием постоянной силы. Сколько произвольных постоянных содер-
жит это общее решение?
4.	Напиши-е уравнение движения -очки под действием периоди-
ческой силы. Сколько произвольных постоянных содержит его общее
решение?
5.	Напишите уравнение движения точки по прямой под дейст-
вием силы, пропорциональной скорости.
Упражнения
2.24.	Лодке сообщена начальная скорость о0 = 6 м/с. Через 69 се-
кунд после начала движения скорость лодки уменьшилась вдвое.
Найдите закон движения лодки, если сила сопротивления воды прямо
пропорциональна скорости лодки.
66
2.25.	Тело массы т брошено вертикально вверх со скоростью
Vo- На него действует сила тяжести и сила сопротивления, равная 2kmv.
Найдите расстояние тела от точки бросания в момент времени t.
2.26.	Пуля входит в доску толщины h см со скоростью пв м/с, а
вылетает из доски со скоростью vx м/с. Определите время движения
пули через доску, если известно, что сила сопротивления доски дви-
жению пули пропорциональна квадрату скорости пули.
2.27.	Напишите уравнение прямолинейного движения точки мас-
сы т под действием силы F = № и найдите общее решение получен-
ного уравнения.
2.28.	Решите уравнение
2х’-Н3=1.
2.29.	Решите задачу Коши
Г х"=5/«+0,1;
I х(0) = 1; х'(0)=0.
§ 9, Гармонические колебания
1. Уравнение гармонических колебаний. Рассмотрим
уравнение
х" +	= 0,	(1)
где ©—некоторое положительное число.
Непосредственной подстановкой проверяется, что функ-
ция
х — A cos (a>t + а)	(2)
для любых постоянных Лиа является решением урав-
нения (1). Можно показать, что других решений уравне-
ние (1) не имеет. Это утверждение примем без доказа-
тельства.
Таким образом, формула (2) задает общее решение
уравнения (1).
Функция (2) при любых заданных A, ю и а описыва-
ет гармонический колебательный процесс. Число |Л| на-
зывается амплитудой, а число а—начальной фазой или
просто фазой колебания (2). Уравнение (1) называется
уравнением гармонических колебаний. Положительное чис-
ло © называется частотой колебания. Легко подсчитать,
что число колебаний в единицу времени определяется
формулой
Отметим, что общее решение (2) уравнения (1) содер-
жит две произвольные постоянные: амплитуду А и на-
чальную фазу а. Для их определения нужно задать два
условия, например, можно задать два начальных условия
з*	67
ачи Коши:
x(t<s) = x<>, х'(t0)v0.	(3)
Тогда для определения постоянных Лиа получается
следующая система уравнений:
I A cos (<в/0 + а) = ха,
z	(4)
* — Лю sin (<в/0 4- а) = о0.
Из нее следует, что
А1 cos4 (®/0 4- а) 4- Л4 sin4 (о/, 4- а) = xj 4-	>
и, следовательно,
2
Д2_	5^
Не ограничивая общности, можно считать, что А > О,
Теперь, зная амплитуду А, из системы (4) по форму-
лам тригонометрии находится начальная фаза а.
Из формулы (2) легко получить другой вид общего
решения уравнения (1). Действительно,
х = А (cosot соза—sin®/ sma) =
=-A cos a cos и/—Asina sin®/.
Положив здесь C1 = Acosa, С, = -rAsina, получим
x=C1cosco/4-C2sin®t	(5)
При решении конкретных задач следует использовать
как формулу (2), так и формулу (5).
Например, если по условию задачи известны ампли-
туда и начальная фаза колебания, то, конечно, следует
пользоваться формулой (2). Однако для решения задачи
Коши с начальными условиями
х(0) = хс, л'(0) = по	(6)
удобнее пользоваться формулой (5).
Пример. Решить задачу Коши для уравнения (1) с
начальными условиями (6).
А Согласно формуле (5) общее решение данного урав-
нения имеет вид
х = Cj cos cut 4- С2 sin at,
66
Из первого начального условия х(0) —х0 получаем
С1 = х0. Л’ так как
х' = — CrQ sin <о/ + С2(о cos at,
то в силу второго начального условия х'(0)--Ос находим
v0= С£а, т. е. Сг = -^-. Таким образом, функция
х = х0 cos at +	sin at
является решением задачи Коши (1), (6), и других реше-
ний эта задача не имеет. А
2. Колебания точки под действием упругой силы.
Рассмотрим движение точки Р массы т под действием
силы F, с которой на точку Р	д-
действует некоторая упругая	ьа
пружина, как это показано на
рис, 15.	Я О Р ™
Для составления уравнения	РисМ5
движения точки Р на пря-
мой, по которой движется точка Р, введем координату х,
приняв за начало О положение равновесия точки Р, а за
положительное направление—направление слева направо.
Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движе-
ния точки имеет вид
По закону Гука упругая сила F прямо пропорциональна
отклонению точки Р от положения равновесия и направ-
лена против движения. Поэтому
F = — kx,
гмг число k > 0 называется коэффициентом упругости
данной пружины.
Таким образом, уравнение движения точки Р имеет
вид
тх* 4- £х = 0.	(1)
Это уравнение является уравнением гармонических коле-
баний с частотой
Поэтому его общее решение имеет вид
Х=Лсоз( у t 4 а
6Э
ЕЛИ
x=C,cos z + c2sin t.
Согласно общим формулам, решением задачи Коши
для уравнения (J) с начальными условиями
х(О)=-хо, х'(0) = ос	(2)
будет функция
/k j ,	- ПХ • “ k 1
^t + v0 У — s:n У —
Амплитуда этого гармонического колебания вычисля-
ется по формуле	_______
Л = ]/ xl + ^vl.
Заметим, что частота колебания точки Р не зависит
от начальных условий; она определяется лишь массой
точки Р и упругостью пружины. Амплитуда А сущест-
венно зависит от начальных условий, то же самое можно
сказать и о начальной фазе.
Рассмотпим два частных случая решения задачи Ко-
ши (1), (2).
Пусть с0 = 0 и х0 > 0. Тогда
x = .r0cos	t,
т. е. А = х0 и ос —0. Эта функция описывает гармониче-
ские колебания точки Р массы т, которая в начальный
момент времени 1о — О была выпущена из точки с коор-
динатой х0 > 0 с нулевой скоростью.
Пусть теперь хо = О и > 0. Тогда
и, следовательно, A = v0 у -%- и а =— у. Эта функция
списывает гармонические колебания точки Р, которая в
начальный момент времени /о = 0 была' выпущена из по-
ложения равновесия со скоростью v0.
3. Колебания математического маятника. Математиче-
ский маятник представляет ссбой точку Р массы т, ко-
торая под действием силы тяжести движется по окруж-
ности, лежащей в ве'ргикалыюй плоскости. Радиус этой
окружности называется длиной маятника.
70
На окружности движения маятника введем угловую
координату ф, приняв за точку О самую нижнюю точку
окружности, а за положительное направление—направле-
ние слева направо (рис. 16).
Точка Р находится под действием силы тяжести F —
= mg. направленной вертикально
две составляющие Ff и F2. Состав-
ляющая Fu направленная по ра-
диусу окружности, не произво-
дит движения: она уравновешива-
ется другими силами. Составляю-
щая F2, направленная по каса-
тельной к окружности, является
той силой, которая приводит в
движение по окружности точку
Р. Величина силы F3 равна
mg sin<p, и эта сила направлена
вниз. Разложим F на
против возрастания угла ф, поэто-
му уравнение движения математического маятника имеет вид
/л/гр" - — trig sin ср,
где ф"—угловое ускорение, а /ф"—линейное ускорение
точки Р.
Сократив на т, получим уравнение
Лр' + £з1пф = 0,
которое и называется уравнением математического маят-
ника.
Решение этого уравнения представляет большие труд-
ности.
Если рассматривать только малые колебания маятни-
ка, т. е. считать, что координата ф по модулю мала, то
sin ср можно заменить на ф. В результате получим при-
ближенное уравнение
/ф" + £ф = 0.
Оно называется уравнением малых колебаний математи-
ческого маятника. Очевидно, что это уравнение ^является
уравнением гармонических колебаний с ® = j- . Его
общее решение имеет вид
Ф = А со; f у /4- а),
или
ф'= Cj cos t + С2 sin у jt.
71
Как и в предыдущем пункте, можно рассмотреть задачу
Коши с соответствующими начальными условиями и най-
ти ее решение.
Отметим, что частота © малых колебаний маятника
зависит лишь от длины маятника и
нием длины.
Число малых колебаний маятника в секунду опреде-
ляется формулой
убывает с возраста-
v =
где g «9,5 м/с2, а I—длина маятника в метрах.
Вопросы для контроля
1.	Какое дифференциальное уравнение называется уравнением
гармонических колебаний?
2.	Какая функция описывает гармонический колебательный про-
цесс?
3.	Что называется амплитудой, начальной фазой и частотой гар-
монических колебаний?
4.	Что нужно задать, чтобы из общего решения выделить част-
ное решение?
S.	Напишите уравнение движения точки под действием упругой
силы.
6	Напишите уравнение математического маятника.
7.	Напишите уравнение малых колебаний математического маят-
ника.
8.	Как, зная длину маятника, определить число его малых ко-
лебаний в секунду?
Упражнения
2.	30. Найдите уравнение гармонических колебаний, которому
удовлетворяет функция х= sin 14 cos t
2.3	1. Какая из функций описывает гармонический колебательный
процесс:
1)	х-—sir. t -|-cos 1;	2) x=/sin<;
3)	x — sin/-j-cos 2/; 4) x=cos/4-l?
2.3	2. Математический маятник длины I выводится из положения
равновесия малым горизонтальным перемещением точки подвеса на
расстояние а. Найдите отклонение маятника.
2.3	3 Тяжелая однородная цепочка массы т и длины I лежит на
гладком горизонтальном столе так, что половина ее свешивается со
стола. Определите движение цепочки во время ее соскальзывания со
стола и найдите время соскальзывания.
72
§ 10. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Дифференциальные уравнения второго порядка.
В рбщем случае дифференциальное уравнение второго по-
рядка можно записать в следующем виде:
Р(г, у, у'-, y") = Q,	(1)
где у—у(х)— искомая неизвестная функция, у' = у' (х) к
у"=г/"(х)—ее производные по х первого и второю по-
рядков, a F—заданная функция переменных х, у, у', у”.
Функция <р(х), х£(а; Ь), называется решением диффе-
ренциального уравнения (1), если она имеет производные
ф' (х) и ф" (х) и если для любого х f (а; Ь) справедливо
равенство
Р(х-, ф(х); ф'(х); ф'(х)|=0.
Другими словами, функция ф(х), х называется
решением уравнения (1), если при подстановке ф(х) вме-
сто у это уравнение обращается в тождество по х.
Дифференциальное уравнение вида
/=/(*; У\ У'),	(2)
где f- заданная функция переменных х, у, у', называ-
ется уравнением, разрешенным относительно второй про-
изводной. При достаточно общих предположениях дока-
зано, что для любых начальных условий
у(х0) = уе, у'(хй) = уа,	(3)
принадлежащих области определения функции [, сущест-
вует, и притом единственное, решение у=и(х) уравне-
ния (2), удовлетворяющее условиям (3).
Мы не будем давать строгой формулировки этого ут-
верждения. Заметим лишь, что оно составляет основное
содержание одной из фундаментальных теорем теории
дифференциальных уравнений—теоремы Коши
2. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами. Дифференциальные уравнения вида
y"+py,Jrqy=^f(x),	(1)
где р и q—некоторые числа, называются линейными диф-
ференциальными уравнениями второго порядка. Функция
/ (х) называется свободным членом или правой частью
уравнения (1).
73
Если f(x) = Q, то дифференциальное уравнение назы-
вается линейным однородным уравнением. Оно имеет вид
у" + py' + qy = G.	(2)
В этом пункте будем изучать только уравнения вида (2)
Пример 1. Найти все решения уравнения
У"-У-0	(3)
Л Легко проверить, что функция у — ех является ре-
шением данного уравнения. Аналогично проверяется, что
и функция у=е~х является решением уравнения (3). По-
кажем, что при любых постоянных Ci и Ся функция
^ = С1а«-1-С<*	(4)
является решением уравнения (3). Имеем
у’= С^—С2е~х,
у"=С1ех-{ С2е~х = у,
что и требовалось доказать.
Таким образом, любая функция вида (4) является ре-
шением уравнения (3). Более того, других решений это
уравнение не имеет. Действительно, пусть у = <р(х)—не-
которое решение уравнения (3) и пусть
=	<₽'(<>) = f4	(5)
Найдем функцию вида (4), которая удовлетворяет этим
условиям. Имеем
J Уо= + С2,
t Уч — Ci
и поэтому
/-> . *А> + </0	р  Ург—Уь
Ь1-----2	>	------- •.
Следовательно, функция
у==У^ех + ^е-х
является решением задачи Коши (3), (5).
В силу единственности решения задачи Коши
т. е. функиия q>(jr) получается из (4) при соответствую-
щих значениях постоянных Ct и Са.
74
Таким образом, формула (4) задает общее решение
уравнения (3). ▲
Пример 2. Решить уравнение
/-4z/ = 0.	(6)
Л Как и в примере 1, решение этого уравнения будем
искать в виде
У — еКх,
где X—неизвестное число. Подставив эту функцию в
уравнение, получим
№**—4^=0.
Следовательно, функция вида еКх удовлетворяет урав-
нению (6) тогда и только тогда, когда Z. удовлетворяет
уравнению
Xе—4 = 0.
Этому уравнению удовлетворяют два числа %х = 2 и Аа =
=—2, и поэтому функции е** и е~2х являются решени-
ями уравнения (6) (что, в частности, проверяется и непо-
средственно).
Теперь, как и в примере 1, можно показать, что об-
щее решение уравнения (6) задается формулой
y=C.eix^ С^~2Х,
где Су и С,—произвольные постоянные. А
3.	Характеристическое уравнение. Рассмотренные при-
меры наводят на мысль—попытаться и в общем случае
искать решения вида еХх. Пусть задано линейное одно-
родное уравнение с постоянными коэффициентами
y"-vpy' + qy = O.	(1)
Подставим функцию еКх в уравнение (1):
X2eXjc р).е>х + qeKx — 0.
Отсюда следует, что функция еКх является решением
уравнения (1) тогда и только тогда, когда % удовлетво-
ряет уравнению
^ + pk+q = O.	(2)
Уравнение (2) называется характеристическим урав-
нением дифференциального уравнения (1).
Заметим, что характеристическое уравнение получается
из дифференциального заменой у" на ??, у' на X и у на 1.
75
Рассмотрим случай, когда характеристическое уравне-
ние имеет два действительных решения и Ха.
В этом случае общее решение уравнения (1) задается
<|)ормулой
у = Сге^х + С2ек«*,	(3)
где С\ и С2—произвольные постоянные
Тот факт, что функция (3) удовлетворяет уравнению
(1), проверяется непосредственной подстановкой, а то, что
других решений уравнение (1) не имеет, следует из тео-
ремы Коши (для уравнения (1) все ее условия выполнены).
Пример. Найти общее решение уравнения
/ + 4/ + Зу = 0.	(4)
А Напишем характеристическое уравнение данного
дифференциального уравнения:
Хв 4-4Х 4-3 «= 0.
Это уравнение имеет два решения: =—1 и Х2==-3.
По формуле (3) получаем общее решение уравнения (4):
y^Cte~x + Cte-^. д
4.	Случай комплексных решений характеристического
уравнения. Рассмотрим линейное однородное уравнение
с постоянными коэффициентами:
у" + ру' + qy=-- о	(1)
Пусть его характеристическое уравнениа
%8 4* рХ 4- у = 0	(2)
не имеет действительных решений. В этом случае
Обозначим это число через о2. Уравнение (2) имеет два
комплексно сопряженных решения:
X —a+iw и Х = а—io,
р
где а = —у.
Тогда
еХх -	= еаис (cos i sjn фд.)
Рассмотрим действительную и мнимую -части этой комп-
лекснозначкой функции:
е“к cos ох,	s in ox.
Уб
Непосредственной проверкой легко убедиться, что эти
функции являются решениями дифференциального урав-
нения (1). (Проверьте самостоятельно.)
Как и выше, можно показать,' что в этом случае об-
щее решение уравнения (1) задается формулой
у — Су?* cos и>х + Су?сх sin сох,	(3)
где Сг и С,—произвольные постоянные.
Пример. Решить уравнение
/ + 2у' + 2с/ = 0.
Л Напишем характеристическое уравнение:
АЛ + 2Ы-2 = 0.
Оно имеет два комплексно сопряженных решения: к —
= —14-1'и к ——1 — i.
Найдем действительную и мнимую части функции ем:
__ е-х (cos х 4- i sin х) = е~х cos х + ie_*£inx.
А затем по формуле (3) находим общее решение данного
дифференциального уравнения:
y = CLe~xcosx + Сге' хsinx. А
Замечание. К этому типу уравнений относится
уравнение гармонических колебаний
£/" + <О11/г=0.
Его общее решение имеет вид
у = Сх cos «их + С.2 sin ох.
5.	Случай, когда характеристическое уравнение имеет'
одно решение. Пусть характеристическое уравнение
ла + /Д-Н = 0,	(1)
соответствующее дифференциальному уравнению
if tpy' + qy = O,	(2)
имеет один корень к—а кратности 2. Тогда р ——2а,
q — a2. Как и выше, легко проверяется, что функция езг
является решением уравнения (2). Покажем, что а этом
случае и функция хеах является решением уравнения (2).
Имеем
у = хе00', и' = е“* + ахе™, у"« 2аеР-х ф а2хеах
77
и, далее,
у" + ру' -J- qy = 2аггхх + а?хе°-х + реах + рахе?* -ф qxe7X —
= е“Л (2а + р) + xeav (а3 + pa -F q) —
= г™ (2а—2а) -ф хеах (а3—2а3 + а3) — 0.
Таким образом, функции е°“ и хеГ1Х являются реше-
ниями уравнения (2), и поэтому любая функция вида
у=С^ЧС^	(3)
также является решением уравнения (2). Из теоремы
Коши следует, что других решений это уравнение не
имеет.
Пример. Найти общее решение уравнения
/ + 2/ + j/ = 0.
Д Характеристическое уравнение имеет одно решение
Х= 1. Следовательно (см. формулу (3)), общее решение
данного дифференциального уравнения имеет вид
у — CLcx + С.2хех,
где С£ и С2—произвольные постоянные. А
6.	Неоднородные линейные уравнения. Сделаем не-
сколько замечаний относительно неоднородных линейных
дифференциальных уравнений	s
y"+pq' + qy=f(x).	(1)
Как и в случае линейных дифференциальных уравне-
ний первого порядка, общее решение уравнения (1) яв-
ляется суммой некоторого частного его решения и общего
решения соответствующего однородного уравнения
+ W =	(2)
Используя это замечание, рассмотрим два примера.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
/ + 2/-Зу=1.	(3)
Л Подбором находим, что функция «/ = — у является
частным решением уравнения (3). Найдем теперь общее
решение линейною однородного уравнения
/ + 2/-Зу = О.	(4)
Его характеристическое уравнение
1» + 2Х—3 = 0
78
имеет решения &Д=—3,	1. Следовательно, общее ре-
шение уравнения (4) имеет вид
у = С1е“3* + С2е\
Так как общее решение неоднородного уравнения яв-
ляется суммой некоторого его частного решения и общею
решения соответствующего однородного уравнения, то об-
щее решение уравнения (3) задастся формулой
у^-С.е-^+С^—. а
Пример 2. Пайтя общее решение уравнения
у" + 2у'—Зу — х.	(5)
д Частное решение уравнения (5) будем искать в виде
у = Ах+ В,
где А и В—неизвестные числа. Подставив эту функцию
в уравнение (5), получим
2Л— З/х—ЗЯ — х.
Из этого' равенства следует, что
J 2А — ЗВ-О,
(	—ЗА=1,
и поэтому
Л = -у, В = -|.
Следовательно, функция
1	2
У~ 3 х 9
является частным решением уравнения (б), г его общее
решение (см. пример 1) имеет вид
у^С^+С.^—А
Вопросы для контроля
1.	Как записать в ебцем случае дифференциальное уравнение
второго порядка?
2.	Что называется решением дифференциального уравнения вто-
рого порядка?
3.	Какой вид имеет дифференциальное уравнение второго порядка,
разрешенное относительно второй производной?
79
4.	Запишите в общем виде линейное дифференциальное уравне-
ние второго порядка.
5.	Какое дифференциальное уравнение второго порядка назы-
вается линейным однородным уравнением?
6.	Что называется характеристическим уравнением? Для каквд
дифференциальных уравнений оно определено?
7.	Напишите общее решение линейного однородного уравнения
в случае, когда характеристическое уравнение имеет два (различных)
действительных решения.
8.	Напишите общее решение линейного однородного уравнения
в случае, ’ когда характеристическое уравнение не имеет действитель-
ных решений.
9.	Напишите общее решение линейного однородного уравнения
в случае, когда характеристическое уравнение имеет одно решение.
10.	Как получить общее решение линейного неоднородного урав-
нения второго порядка?
Упражнения
2.34.	Решите уравнения:
1)	х"--2х' —0; 2) х’ ф 5х' + 6х=0:
3)	Зх”- 2х'~ 8х = 0; 4) х’4-4х'-р 13х=0;
5)	х" + х'фх=.О; 6) Г—6х'+0х=0;
7;	—х=2; 8) хЧ 2х'=2;
9)	х”-|-9х^9; 10) х"— 2х'
11)	х"—3x' + 2x=sin t; 12) х’ + х=4 sin t.
2.35.	Найдите решения уравнений, удовлетворяющие заданным
начальным условиям:
I)	х"—Зх'+2х ^0, х(0) = 2, х''0; —3;
2)	х"+2х'+5х=0 х(0)=х'(0)=1;
3)	х'+6х'+9х=0, х(0) = 2, х'(0)=1;
4)	x" + 2x'J-2x^0, х(0) = а, х’ (.') = &;
М Xя — х' —6х = 2, х(0)=1, х'(0)=0;
6)	х”— 9х = 2—t. х(С) —0, х'(0)=1;
7)	x"-f-4x = 2 cos it, х(0) —0, х(0) = 4.
2.	36. При каких значениях а и ₽ все решения уравнения
х’-фах'-f f$x=O
являются периодическими функциями?
2.	37. При каких значениях « уравнение
х’-|-ах=0
имеет решения, удовлетворяющие условиям х(0)=х(л) = С?
Глава 3
КОМБИНАТОРИКА И ФОРМУЛА НЬЮТОНА
ДЛЯ СТЕПЕНИ БИНОМА
§ 11. Основные понятия комбинаторики: размещения,
перестановки, сочетания
1.	Примеры простейших комбинаторных задач. Поня-
тие выборки. В математике и других науках, в повсе-
дневной жизни часто приходится решать задачи, в кото-
рых требуется из элементов некоторого конечного мно-
жества составлять различные комбинации, удовлетворяющие
каким-либо условиям, и подсчитывать число всех таких
комбинаций. Такие задачи получили название комбина-
торных. Раздел математики, занимающийся решением таких
задач, называют комбинаторикой. Методы комбинаторики
находят широкое применение в теории вероятностей, в тео-
рии управляющих систем, в разработке и эксплуатации
вычислительных машин. Хотя отдельными комбинатор-
ными задачами занимались еще древнегреческие матема-
тики, основания комбинаторики как науки были зало-
жены математиками XVII и XVIII веков, прежде всего
Паскалем (1623 -1662), Лейбницем (1646--1716) и Бер-
нулли (1654—1705).
В этом параграфе будут рассмотрены основные понятия
комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.
Начнем с решении трех типичных для комбинаторики задач.
Пример 1. В группе 20 учащихся. Сколькими спо-
собами могут быть выбраны комсорг и профорг при усло-
вии, что каждый учащийся может быгь избран только на
одну из этих должностей?
Д Пусть сначала избирается комсорг. Поскольку каж-
дый член группы может быть избран комсоргом, то, оче-
видно, есть 20 способов его выбора. Тогда профоргом
может стать каждый из оставшихся 19 человек. Любой из
20 способов выбора комсорга может осуществиться вместе
с любым из 19 способов выбора профорга. Поэтому всего
существует 20 19 = 380 способов выбора комсорга и
профорга, а
81
Пример 2. Для дежурства в классе в течение недели
(кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими спо-
собами можно установить очередность дежурств, если каж-
дый учащийся дежурит один раз?
Л В понедельник может дежурить любой из выделен-
ных шести человек. Во вторник может дежурить каждый
из еще не дежуривших пяти учащихся. Следовательно,
раскисание дежурств на первые два дня недели можно
составить 6-5 = 30 способами. К среде остаются четыре
человека, которые еще не дежурили, и поэтому на среду
дежурного можно будет назначить 4 способами. Каждый
из этих способов может комбинироваться с любым из 30
способов выбора дежурных на понедельник и вторник.
Таким образом, существует 6-5-4= 120 способов установ-
ления очередности дежурств на первую половину недели.
В четверг сможет дежурить любой из трех еще не дежу-
ривших учащихся, в пятницу—любой из двух еще не
дежуривших. К субботе выбора не будет, так как останется
один человек, который еще не дежурил. O.i и будет дежур-
ным в субботу. Ясно, что число способов, которыми можно
установить очередность дежурств учащихся, равно
6-5-4-3-2 1=720. <
Пример 3. Группу учащихся техникума должна эк-
заменовать по математике комиссия из двух преподава-
телей. Сколькими способами может быть составлена такая
комиссия, если в техникуме пять преподавателей мате-
матики?
д Обозначив преподавателей буквами А, В, С, D, Е,
можно выписать все возможные экзаменационные комис-
сии, а именно:
АЗ, AC, AD, АЕ, ВС,
BD, BE, CD, СЕ, DE,
и увидеть, что их число равно десяти. Л
Замечание. Конечно, такое решение примера 3
должно вызывать чувство неудовлетворения. Ведь если бы
преподавателей было не пять человек, а, например, четыр-
надцать и составить комиссию требовалось бы не из двух
человек, а, допустим, из семи, то попытка получить резуль-
тат тем же способом окончилась бы полным провалом,
так как в этом случае можно образовать (как это будет
показано ниже) более трех тысяч различных экзаменацион-
ных комиссий.
Прежде чем переходить к введению новых понятий и
к выводу общих формул, позволяющих решать подобные
82
задачи, посмотрим, что общего в этих примерах и есть ли
какое-нибудь существенное различие между ними. Прежде
всего отметим, что во всех трех примерах рассматривается
некоторое конечное множество, состоящее из тех или иных
элементов. В примере 1 это множестве учащихся, содер-
жащее 20 элементов, в примере 2—шестиэлементное мно-
жество дежурных, в примере 3—пятиэлементное множе-
ство преподавателей. Во всех случаях из рассматриваемого
множества выбиралось определенное число элементов.
Задача же каждый раз состояла в том, чтобы подсчитать,
сколькими различными способами можно осуществить
такую выборку: сколькими способами можно выбрать ком-
сорга и профорга, распределить дежурных по дням недели,
выделить преподавателей для проведения экзамена.
Наряду с отмеченным сходством, при рассмотрении
примерев 1—3 выявляется одно очень важное различие,
существующее между ними. Оно заключается в том, что
в примерах I, 2 и в примере 3 совершенно по-разпому
понимаются слова «различные способы». В примере 3 по-
рядок выбора элементов был не важен и не принимался
во внимание. Назначение в комиссию сначала преподава-
теля Петрова, а затем Иванова или наобопот—это один
способ выбора, а нс два. Б примере 1, напротив, выбор
учащегося Иванова комсоргом, Петрова старостой и выбор
Петрова комсоргом, а Ивакоза старостой—это два раз-
личных способа выбора. В примере 2 различные способы
распределения дежурных могли отличаться друг от друга
только порядком следования дежурств.
Если из множества, содержащего п элементов, каким-то
способом отобраны k элементов (ks^n), то говорят, что
из этого множества произведена выборка объема k.
Если порядок расположения элементов выборки при-
нимают во внимание, то выборки называют упорядочен-
ными. Таким образом, две упорядоченные выборки счи-
тают различными, если они отличаются либо составом
элементов, либо нх расположением.
В том случае, когда порядок расположения элементов
не учитывают, выборки называют неупорядоченными. Сле-
довательно, две неупорядоченные выборки считают раз-
личными, если в одной из них есть хотя бы один эле-
мент, которого нет в другой.
Например, для множества состоящего из трех элемен-
тов а, Ь, с, существуют три различные неупорядоченные
выборки объема 2 (а&, Ьс. ас) и шесть различных упоря-
доченных выборок того же объема (ab, Ьс, ас, ba, ch, са).
83
2.	Размещения и перестановки.
Определение 1. Всякая упорядоченная выборка
объема k из множества, содержащего п элементов <п > k),
называется размещением из п элементов по k элементов.
В комбинаторных задачах необлодимо уметь подсчи-
тывать число всех размещений из п элементов по k,Эле-
ментов. Для обозначения этого числа применяется спе-
циальный символ Ап (читается: «число размещений из п
по fo> или «а из п по А») *). Теперь видно, что в примере 1
предыдущего пункта требовалось найти число размещений
из 20 элементов по 2 элемента, и из решения этого при-
мера следует, что Д|о = 20-19 = 380.
В общем случае на вопрос о числе размещений из п
элементов по k элементов дает ответ следующая
Те> рема 1. Число размещений из п элементов по k
элементов равно произведению k последовательных- нату-
ральных чисел от п до п—k + 1 включительно, т. е.
Л* = п(п—1)(п—2).. .(я—#+1),	k>0.	(1)
□ Число размещений из п элементов пс k элементов
равно числу всех упорядоченных выборок объема k из
множества, содержащего п элементов. В качестве первого
элемента выборки можно взять любой элемент множества,
и так как в множестве п элементов, то существует п спо-
собов выбора первого элемента. Вторым элементом в вы-
борке может быть любой из оставшихся (после выбора
первого) элементов. Поэтому существует п— 1 способ выбора
второго элемента. Каждый из способов выбора первого
элемента может объединяться с каждым из способов выбора
второго, и, следовательно, существует п(п—1) способов
выбора первых двух элементов выборки. После выбора
первых двух элементов остаются п—2 возможности для
выбора третьего элемента, и опять-таки каждая из этих
возможностей может комбинироваться с любой из возмож-
ностей выбора первых двух элементов, т. е. выбор первых
трех элементов может быть осуществлен п{п—1)(п—2)
способами. Последний, k-й элемент может быть выбран
п—&+1 способами, так как к моменту выбора k-ro эле-
мента k—1 элементов уже выбраны и осталось, следова-
тельно, п—(k — 1) элементов.
Таким образом, число всех упорядоченных выборок
объема k из множества, содержащего п элементов, равно
•) А—первая буква французского слева arrangement, что озна-
чает «размещение», «приведение в порядок».
84
произведению всех натуральных чисел от п до п—(Л—1)
включительно. 
Заметим, что приведенное доказательство является обоб-
щением рассуждения, использованного при решении при-
мера 1 п. 1.
' Формулу (1) удобно записывать в другом виде. Будем
для краткости произведение п(п—1)(п—2)...3-2-1, т.е.
произведение всех натуральных чисел от л до 1, обозна-
чать символом п! (читается: «эн факториал»). Используя
знак факториала, можно, например, записать
П = 1,
21 = 2-1=2,
31 = 3-2-1=6,
4! =4-3-2-1 = 24,
5! =5-4-3-2 1 = 120
Умножим и разделим произведение, стоящее в правой части
формулы (1), на (и—fe)l Тогда получим
лк __ п(п—1)(п—2)...(п—Л4-1)(п—k)l
Лп'-------------(^й	’
или
= (п-#г	№
При выводе формул (1) и (2) предполагалось, что k > 0
и л > 0. Для удобства принято считать, что Л®-=1 и
Л®=1 Отметим, что значение Л® получается и из фор-
мулы (2):
до я! . «I . 1
Лп ~ (п-0)! ~ л! “ Ь
Если условиться, что 01 = 1, то и значение Л, будет
получаться из формулы (2):
до О'_________'___1
°- (0—0)! “ 1 “
Пример 1. Группа учащихся изучает семь учебных
дисциплин. Сколькими способами можно составить распи
сание занятий на понедельник, если в этот день недели
должно быть четыре различных урока?
д Из семи учебных дисциплин нужно выбрать четыре
и распределить (разместить) их по четырем урокам. Число
способов, которыми это можно сделать, равно числу упо-
рядоченных выборок объема 4 из множества, содержащею
85
семь элементов, т. е. числу размещений иэ 7 элементов
по 4. По формуле (1), полагая в ней n = 7, k = 4, полу-
чаем 44 = 7 6-5-4 = 840. ▲
Пример 2. Вычислить — 1И~7	.
>118
Л Применяя формулу (2), находим	'Oi
и 5   191	л« —	д-*  181
ли	14!1 Лао	14?’ z*18---14Г *
Следовательно,
Д++°о_ 191 + 201 _ 19! (1+20)	,, 9, ,QQ ж
д«,	~	18!	“	18!	-19-21-399. А
Определение 2. Размещения из п элементов по п
элементов называются перестановками из п элементов.
Из определения следует, что перестановки являются
частным случаем размещений. Так как каждая переста-
новка содержит все п элементов множества, то различные
перестановки отличаются друг от друга только порядком
элементов. Число перестановок из п элементов (его обоз-
начают Р„*)) равно числу всех упорядоченных выборок
объема п из множества, содержащего п элементов. В при-
мере 2 п. 1 требовалось найти число всех перестановок
из шести элементов (число всех возможных перестановок
дежурных). Это число оказалось равным 720, следова-
тельно, Л, = 720.
Теорема 2. Число перестановок из п элементов
равно п\.
□ Согласно определению 2 имеем
Р — Д’;
'п — п».
По формуле (2), положив в ней k = n, получаем
р =+5=—-2L_=^ = n1. 
”	" (п — л)!	01
Пример 3. Сколько шестизначных чисел, кратных
пяти, можко составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при ус-
ловии, что в числе цифры не повторяются?
Д Цифра 5 должна стоять на последнем месте. Осталь-
ные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах
в любом порядке. Следовательно, искомое число шести-
значных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок
из пяти элементов, т. е. 51 = 5-4-3-2 = 120. А
*) Р— .первая буква французского слова permut a lion— переста-
новка.
86
3.	Сочетания.
Определение. Всякая неупорядоченная выборка
объема k из множества, содержащего л элементов
называется сочетанием из п элементов по k элементов.
Число всех сочетаний из п элементов по k элементов
обозначается символом С% (читается- «число сочетаний из п
по Ь или «це из п по &») *). В примере 3 п. 1 было най-
дено число сочетаний из б элементов по 2 элемента, при-
чем оказалось, что С1~ 10.
Теорема. Число сочетаний из п элементов по k эле-
ментов равно произведению всех натуральных чисел опг п
до п—kA- 1 включительно, деленному на k\, т. е.
Qk = п (”—!)(” —2)••(»—(।}
П Найдем зависимость между С„ и А*- Число разме-
щений -Ап, т. е. число всех упорядоченных выборок объ-
ема k из множества, содержащего п элементов, можно
найти следующим образом. Сначала образовать все неупо-
рядоченные выборки объема k. Их число равно С%, а затем
из каждой неупорядоченной выборки перестановкой ее
элементов; получить все упорядоченные выборки, при этом
из каждой неупорядоченной получится А! упорядоченных
выборок, так как каждую выборку объема k можно упо-
рядочить /г! способами. Так как упорядоченных выборок
объема k в k\ раз больше, чем неупорядоченных, то
Ak
A„ = k\C^, откуда С* = ~,
Но А* = л(п — 1).. .(п—k+ 1), следовательно, формула (I)
верна. 
Формулу (I) можно записать и в таком виде:
= &
Используя формулы (1) или (2), легко можно подсчитать
число всех экзаменационных комиссий, состоящих из 7
человек, при общем числе экзаменаторов, равном 14 (см.
замечание к примеру 3 п. 1). Положив, например, в фор-
муле (1) п = 14, k = 7, получим
СЬ=И'13'|"‘8= 3432
♦) С—первая буква французского слова combinaison—готеталие.
Заметим еще, что вместо Сп иногда пишут , ' 
87
Пример 1. Сколько матчей будет сыграно в футболь-
ном чемпионате с участием 16 команд, если каждые дес
команды ьстречаются между собой один раз?
А Число матчей равно числу неупорядоченных выборок
объема 2 из множества, содержащего 16 элементов, т. е.
равно С?#. По формуле (1) находим
C?. = 2645=i20 д
V
Пример 2. Хоккейная команда состоит из 2 врата-
рей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими спосо-
бами тренер может образовать стартовую шестерку, состоя-
щую из >ратаря, двух защитников и трех нападающих?
Л Вратаря можно выбрать С| = 2 способами, защит-
никоз—С? =-^- = 21 способом, нападающих—С?о =
10*9«8
= -----=120 способами. Следовательно, существует
2 21 • 120 = 5040 способов образования стартовой ше-
стерки. ▲
Числа обладают некоторыми интересными и важными
свойствами. Отметим два таких свойства.
Первое свойство:
C4n = C«-ft.	(3)
□ С помощью формулы (2) получаем
f'n-fe_______________________________pfr п
n ~ (rt—(rt—*))1 (п—й)1 - Л1(п—А)!
Пользуясь этим свойством, можно упрощать вычисление
чисел С* в тех случаях, когда & > у, например:
С“ = Сч = —уу—= 455.
Второе свойство:
££1 = С*+|]-С*	(k<n).	(4)
□ Применяя формулу (2), находим
, Ck	I П|
«»-*) + №+4) =
_________1)1__________Z'ft+l Ка
(«+1—(«4-l))i (А4-1)!_n+v “
Вопроси для контроля
1.	Что называют выборкой объема й? Какие выборки считают
различными?
2,	Что такое размещения, перестановки, сочетания?
3.	Дайте определение символа п!.
4.	Какие формулы существуют для подсчета числа размещений,
числа перестановок, числа сочетаний?
5,	Какими свойствами обладают числа С^?
Упражнения
3.1. Вычислите:
51	’ ’ 51 161 "
Л"р 4- /120 t
Xzo
. PolC? 4 С?) .	Р>+1
’	Апк'ЛРк-п
С) "(п-j)!'	(k<n)’
3.2.	Найдите п, если’
(Й2ап);
1) 4=18ЛЬ; 2) Л£Р„_4 = 42Р„_а;
3)	Рп+а= 132ЛлРп_^;
4)	(п+5)! = 240 (п—й)1 ЛйХ»;
5)	12С"(.з-=55Лл+1; 6) An+j-j-Cn+3= 126;
7) Сд+Сл= ИСл+i; 8) '+,—C”+s= 15 (л+ 2);
9) 7Т=4г+4г: 10)/Йс’+1=п(л+1)С^.
L4 Cfi Се
3.3. Найдите область определения функции f (х) и множество ее
значений:
1)/(х) = Л^; 2)/(х) = СЙ1Л
3.4.	Решите неравенства:
1)	Сто-1 > 2Cf0; 2) 8Cjos < ЗСЙЬ1.
3.5.	Сколько различных двузначных чисел можно образовать
из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых
цифр?
3.8.	Сколько различных двузначных чисел можно образовать из
цифр 1, 2, 3, 4?
3.7.	Из цифр 0, 1, 2, 3 составлены все возможные четырехзнач-
ные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько
получилось чисел? Сколько среди них четных чисел?
3.8.	Сколько различных перестановок можно образовать из букв
следующих слов: 1) зебра; 3) барси; 3) водород; 4) абракадабра?
3.9.	Сколькими способами можно составить расписание занятий
на понедельник, если в этот день должно быть пять уроков- алгебра,
геометрия, история, география и литература, причем алгебра и геомет-
рия не должны следовать непосредственно друг за другом?
3.10.	Сколькими способами можно расположить в ряд б белых
и 4 черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом? Шары
одного цвета неотличимы друг от друга.
3.11. Укротителю диких зверей предстоит вывести на арену цирка
одного за другим пять львов и четыре тигра. Сколькими способами
89
он может это сделать, причем так, чтобы никакие дза тигра не юли
непосредственно друг за другом?
3.13.	На пять сотрудников выделены три путевки. Сколькими
способами их можно распределить, если:
1)	все путевки различны;
2)	все путевки одинаковы?
3.13.	В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выде-
лить двух человек для дежурства, если:
1)	один из них должен быть старшим;
2)	старшего быть не должно?
3.14.	В почтовом ящике 38 отделений. Сколькими способами
можно положить в ящик 35 одинаковых открыток так, чтобы в каж
дом отделении было не более одной открытки?
3.15.	В розыгрыше первенства но футболу было сыграно 153 матча.
Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько
команд участвовало ь розыгрыше первенства?
3.16.	В шахматном турнире, где участники встречаются между
собой один раз, два шахматиста выбыли по болезни, успев сыграть
только по три партии каждый. Сколько шахматистов начали туркир,
если всего было сыграно 84 партии?
8.17.	Сколько диагоналей имеет выпуклый десятиугольник?
3.18.	Никакие три диагонали выпуклого десятиугольника не пе-
ресекаются в одной точке. Определите число точек пересечения
диагоналей.
3.19.	Во вззоде 3 сержанта и 30 солдат. Сколькими способами
можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?
3.20.	Буквы азбуки Морзе представляют .".обей набор «точек»
и «тире». Сколько букв может быть в азбуке Морзе, если;
1)	буква не должна содержать более четырех знаков;
2)	буква не должна содержать более пяти знаков?
§ 12. Формула Ньютона
Легко проверить, что известные формулы
(a + b)2=-a2 + 2ab + b2,
(а 4- Ь)3 = а* + За2Ь 4- ЗаЬ2 + Ь3
можно записать и так:
(аф6)а = С?й'фСЖФ,
(а + Ь)3 = С&3 4 С13а2Ь 4 С\аЬ2 + С^а.
Возникает естественная гипотеза; не будут ли спра-
ведливы аналогичные формулы для четвертей, пятой и
вообще любой натуральной степени бинома?
Выясним сначала, будет ли справедлива аналогичная
формула для четвертой степени. Для этого обе части фор-
мулы для (а + Ь)3 умножим на а + Ь. Тогда получим
(а 4 Ь)* = (С°3а3 4 С'3а2Ь + Clab2 - С^=) (а т Ь) =
= С“а44 CJa’l>4-W4 (Г3аЬ*+С1а3Ь+С&2Ь2+С1аЬ3+(?3Ь*=
= О' + (CJ 4 С?) а3Ь 4 (СВ 4- Cj) a2b2 + (CJ 4- Ci) ab3 + С’#.
90
Учитывая, что
Г»0_Г»0 Г1 t А) __	/>2	Г>2
U3—U4, U3 "Т U3—U4, U3~t U3— и4,
рз I Г>2_______ Г»3 рз_А4
U3T U3—U4, U3—и4>
убеждаемся в справедливости формулы
(а + Ь)1 = С?а4 + C\a3b + ClaW + Ciao3 + С|М.
Таким образом, нам удалось, используя формулу для
третьей степени бинома, получить аналогичную формулу
для четвертой степени. Проведенное рассуждение, во-пер-
вых, подтверждаег гипотезу и, во-вторых, наталкивает
на мысль воспользоваться для ее доказательства методом
математической индукции.
Теорема. Дм произвольных чисел а и b и произ-
вольного натурального числа п справедлива формула
(а + Ьу- 2 С£ап"*6* =
*=о
= Супап + С^-'-Ь-и ... +С£аЛ-*^+ ... + <?#»». (1)
□ Для п=1 формула (1) имеет вид
(a + &y = C?a + CJ6,
и, так как С* = С}=1, она, очевидно, верна.
Предположим, что формула справедлива для п = т, т. е.
(а + Ь)Л= 2 Сктат~11Ь*.
Л=-0
Тогда
(a+2>)e+1=(d + t) 2 Ckma*-*&^
А= О
= 2 С*а'л+1~А1»А+ 2	=
ft=0	4=0
= С^а',+14- 2 С£-аи+1"^* + 2
£=1 1
т
^с;пат+3+ 2 (am + C^)a^-^bk-iC^\
к=1
Учитывая, что
Со  г*о	। pk-i pk pin ptn+i
in—su/n “r	um+i>
получаем
(а + Ь)и,-1= 2 С^ат+'-кЬ*.
Л-о
91
Таким образом, из справедливости формулы (I) для
п—-т следует ее справедливость для п = т + 1, и так как
формула верна и при п— 1, то на основании принципа
математической индукции ее справедливость установлена
для всех натуральных значений п. *
Формула (1) носит имя великого английского физика
и математика И. Ньютона. Правая часть ее называется
разложением натуральной степени бинома. Коэффи-
циенты Скп называются биномиальными коэффициентами.
Формулу Ньютона используют во многих разделах
математики и ее приложений Эта формула потребуется
нам в следующей главе при изучении теории вероятностей.
Отметим некоторые характерные особенности формулы
Ньютона.
1.	Правая часть формулы Ньютона содержит п+1
слагаемое.
2.	Каждое слагаемое имеет вид
Слагаемое	стоящее на (k+ 1)-м месте, удобно
считать k-м членом разложения и обозначать через Тк, т. е.
7\ = Cfc"-W.	(2)
При этом условии Т0 = С?ар — нулевой член разложения,
Tl-=Cinan~lb—первый член разложения, Тп=СпЬп—п-й
член разложения.
3.	Показатели степени а в каждом следующем члене
разложения на единицу меньше, чем в предыдущем, пока-
затели степени b—на единицу больше. Сумма показателей
степени а и b в каждом члене разложения равнг п
4.	Коэффициенты разложения, одинаково удаленные
от нулевого и от л-го членов разложения, равны, так
как С£ — СЦ~к.
Формулу Ньютона можно записать еще и в таком виде:
п
(а + ьу = У п<"~1)	ап~W	(3)
fe=0
или, не используя знака суммы,
(а + b)n = ап + пап"1Ь + —~ — ап~*Ь* + ...
... +	+	+ bn (4)
Здесь биномиальные коэффициенты С„ заменены их
выражениями согласно формуле для числа сочетаний.
Пример 1. Возвести в седьмую степень двучлен
х+ 1.
92
Л Положив в формуле (1) а-у. 6= 1, « = 7, получим
7
(х4- 1)’= 2 С*х’“« =
4 = 0
= Пх’ -г С]х* 4- CU’ + С?х* + С$х* + С?ха + С?х 4 С’ =
^.x’ + 7x* + ^xsd-^x4 ^х3+ухЧ7х+1 =
= х’ 4- 7х* 4- 21х* 4- 35х4 4- 35ха 4- 21х2 4- 7х 4-1. А
Пример 2. Возвести в пятую степень двучлен х—у.
А Воспользуемся формулой (3), положив в ней а = х,
Ь ——у, п = 5. Тогда
(х-у? = Д д(д-0 •-("-*+1^-4(_уу =
= Xs 4 5х* (— у) 4-	х3 (— у)2 4-
+ 52-ха (- УУ + 5х (- у)* 4- (- УУ =*
= х5—5х*у 4-1 Oxsy2 — 1 Qx2y3 4- 5ху*—у6. А
Пример 3. Вычислить (1 4- О’-
А Положив в формуле (4) а—1, b — i, re —6, получим
(l-4-0*=14-6i4-¥i24-^»B + ^«44-6/8 + i‘ =
= 1 4- 6i -15—207 4-15 4- 6i— 1 = — 8i. A
Пример 4. Найти девятый член разложения для
, I 1 । Va
степени бинома ( -4-х) •
А Положив в формуле (2) «=4 12, k = 9, а = —, Ь = х,
найдем
7, = СЪ ( у ' х» = С?гх" = х* = 220х\ ▲
Пример 5. Найти номер члена разложения степени
бинома
который не заьисит от t.
А Запишем k-a член разложения, положив в фор-
муле (2) « = 20, а == j/ 7, b = —j- :
7# = (3/7)2’- (- j-)* = (- 1)* С^оt	'*.
93
Для независимости 7\ от t необходимо и достаточно,
чтобы
Следовательно, пятый член разложения не зависит от I. А
Пример 6. Найти сумму всех биномиальных коэф-
фициентов.
А Положив в формуле (1) с= I, &=1, будем иметь
п
(1 + 1)п=2сг
к.-О
Таким образом,
2a=c;+ci+c2n+...+cs=2'’. ▲
ft=0
Пример 7. Найти наибольший коэффициент много-
члена
Л Обозначим коэффициент многочлена прих* через
Используя формулу (I), расположим данный многочлен
по возрастающим степеням переменной х:
Для отыскания наибольшего коэффициента ак решим не-
равенство	т. е.
Разделив обе части неравенства на , получим
Cfe-i	ърк
или
10!	2-10!
(6— ))! (10—6+ 1)! ft! (10—6)! •
После дальнейших очевидных сокращений будем иметь
____L__<2. Д-<20_______2k + 2 ь< —
щ-6+1^6’_______________+ +	3.
Таким образом, доказано, что
а» < «г < •  • < аг
94
22
Очевидно, что при k > у имеет место противоположное
неравенство ak_i > ak, т. е. коэффициенты многочлена,
начиная с седьмого, убывают.
Итак, коэффициент а7 является наибольшим среди всех
одиннадцати коэффициентов данного многочлена. Наиболь-
ший коэффициент равен
С’ (—Y (—У ▲
I0k3 / к 3; • Ж
Вопросы для контроля
1.	Сформулируйте теорему о разложении натуральной степени
бинома по фоомуле Ньютона.
2.	Укажите характерные особенности формулы Ньютока.
3.	Запишите формулу для й-го члена разложения.
4.	Чему равна сумма всех биномиальных коэффициентов?
Упражнения
МУ
3.21.	Напишите формулу Ньютона для степени бинома!
1)	(х2—у)’; 2) (За2—2Ь)*.
3.22.	Найдите разложение степени бинома:
1)
3.23.	Найдите разложение степени бинома и упростите полученное
выражение.
1)	(|<2-/3)6; 2) (1-Н/3)4.
3.24.	Найдите:
1)	седьмой член разложения (2х—3):о;
2)	четвертый член разложения
1
9
3.25.	Найдите:
/1	,	\10
1)	средний член разложения ( -уу—+ у х )
2)	два средних члена разложения (lAz — jZЬ )13.
3.26.	Найдите член разложения, не зависящий от х:
„	2) (1+Г7)”
3.27.	Найдите член разложения, не зависящий от г:
1)	/ ’_.._2]/'lYl; 2) (z^J-a-V2)^.
\ ф/z2	/
3.28.	Четвертый член разложения степени бинома

не содержит а. Найдите показатель степени п.
95
3.29. Сумма
бинома
биномиальных коэффициентов разложения степени
(2'+т)
равна 256 Найдите член разложения, не зависящий or х.
3.30.	Найдите рациональные члены разложения:
1)	(/з + /2)11; 2) (Г 5-Г 2)в.
3.31.	Найдите наибольший коэффициент многочлена:
п / 1 . 1 V’0. <« / 1 । 9 \1г
1)	\ 2 + 2 Х) ’ 2) V 104-10’
3.32.	Найдите коэффициент многочлена;
1)	(1 +хя — х3)9 при хч;
2)	(1 +3x4 2.+)10 при х*.
3.33.	Вычислите суммы:
п-2	п
1) 2 Ф 2) 2 <—
k=2	Л=-0
3.34. Найдите сумму, коэффициентов мчогочлена:
1) (2х—I)1»»; 2) (*’—х- )»»,
Глава 4
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 13. Случайные события. Вероятность события
1. Случайные события и операции над ними. Под
случайным событием, связанным с некоторым опытом,
понимается всякое событие, которое при осуществлении
этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Если, например, опыт заключается в подбрасывании
монеты, то случайным событием, связанным с этим опы-
том, будет «выпадение герба»: в одних случаях монета
упадет так, что сверху окажется герб, т. е. событие «вы-
падение герба» произойдет, в других—монета ляжет
гербом вниз и, следовательно, событие не осуществится.
Случайными событиями являются также: «выпадение
шестерки» при бросании игральной кости, выход из строя
электролампы в течение определенного времени, гибель
клетки под действием радиоактивного облучения. Во
всех перечисленных случаях невозможно предсказать за-
ранее, до опыта, произойдет или не произойдет соответ-
ствующее событие, так как результат зависит от слиш-
ком многих факторов, учесть которые не представляется
возможным. Никакая наука, в том числе и математика,
не претендует на то,, чтобы делать какие-либо предска-
зания относительно исхода какого-либо одного подоб-
ного эксперимента. Изучать случайное событие можно
только тогда, когда есть хотя бы принципиальная воз-
можность повторить опыт многократно и каждый раз
фиксировать осуществление (пли неосуществление) рас-
сматриваемого события.
При выполнении этого условия можно ввести понятие
о частоте случайного события. Пусть при « кратном
осуществлении опыта событие наступило k раз, тогда
отношение — даст частоту случайного события.
Пример 1. Французский естествоиспытатель Бк?ф-
фон, изучая случайные события, провел опыт с подбра-
4 А л гр fin а и. 2
97
сыванием монеты 4040 раз. Герб выпал в 2048 случаях.
Следовательно, частота события «выпадение герба» в данном
эксперименте равна
||« 0,507 «0,5.
Пример 2. По теории Менделя при скрещивании
желтого гороха с желтым примерно в одном случае из
четырех получается зеленый горох. Для проверки этой
теории опыт по скрещиванию желтого гороха был про-
веден 34 153 раза. В 8506 случаях получился зеленый
горох. Частота события «появление зеленого гороха» в
проведенном эксперименте равна
^063 « 0,252 «0,25.
частота события
I
к -j , а частота
мало отличалась
статистической
частоты, являются предметом
математической дисциплины —
Эксперименты, рассмотренные в примерах 1, 2, повто-
рялись неоднократно, и всякий раз, когда число прово-
димых опытов было достаточно велико,
«выпадение герба» сказывалась близкой
события «появление зеленого гороха»
от -г. Описанное явление называется
4
устойчивостью частоты события. Эксперименты показы-
вают, что свойство статистической устойчивости присуще
многим случайным событиям, представляющим интерес
для практики. События, обладающие свойсгвом стати-
стической устойчивости
изучения специальной
теории вероятностей.
Теория вероятностей возникла в XVII веке в работах
Паскаля, Ферма и Гюйгенса, причем ее первоначальное
развитие связано с исследованием азартных игр. Следует
отметить, что и в настоящее время при изучении и при-
менении теории вероятностей азартные игры «исполь-
зуются» довольно широко. Деле в тем, что случайные
события, встречающиеся в азартных играх, обладая
свойством статистической устойчивости частоты, имеют
к тому же и другие преимущества. Они отличаются
простотой, дают возможность четко поставить задачу, не
загромождая ее побочными факторами, присущими той
или иной специальной области знаний. Наконец, они
обеспечивают возможность неограниченной эксперимен-
тальной проверки полученных закономерностей, гак как
98
именно в азартных играх можно сколько угодно раз ста-
вить один и тот же опыт. Случайные события, связанные
с азартными играми, служат, таким образом, чрезвы-
чайно удобными моделями при изучении более сложных
и, главное, более важных практических задач.
Теория вероятностей, начав свой путь с анализа си-
туаций, возникающих в азартных играх, с выдачи ре-
комендаций игрокам в кости, превратилась в науку, без
помощи которой сейчас не обходится пи физика, ни
астрономия, ни экономика, ни лингвистика. Более того,
в последнее время теория вероятностей стала основой
развития многих новых научных направлений, таких, как
математическая статистика, теория информации, теория
массового обслуживания. Выдающуюся роль в становле-
нии чеории вероятностей как математической науки
сыграли Я. Бернулли, А Муавр, П. Лаплас, К. Гаусс,
С. Пуассон. Большой вклад в ее развитие внесли русские
ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов,
ряд основополагающих результатов в различных областях
теории вероятностей получен советским математиком
А. Н. Колмогоровым.
В теории вероятностей случайные события принято
обозначать большими буквами латинского алфавита: А,
В, С и т. д., иногда снабжая их индексами, например:
Ар Прилагательное «случайные» для краткости часто
спускают и говорят просто «события».
Событие, всегда осуществляющееся при проведении
опыта, называют достоверны» событием.
В том случае, когда событие заведомо не может
произойти в результате опыта, его называют невоз-
можным.
Если в урне находятся только белые шары, а опыт
заключается в извлечении наудачу шара из урпы, то
событие «извлечен белый шар» является достоверным,
а событие «извлечен черный шар»—невозможным. Досто-
верные события будем обозначать буквой U, невозмож-
ные—буквой V.
События А и В называются равносильными (равными),
если А происходит тогда и только тогда, когда происхо-
дит В. Радрюсильные события соединяют знаком равенства,
т. е. пишут А — В. В опыте с подбрасыванием игральной
кости событие «выпала шестерка» и событие «выпала грань
с наибольшим возможным номером» равносильны.
Для каждого события А можно рассматривать собы-
тие, заключающееся в том, что событие А не произошло.
4*	99
Его называют противоположным к А н обозначают И.
Для достоверного и невозможного событий полагают
(J=V, V=U. Если опыт состоит в том, что стрелок про-
изводит выстрел по мишени, то событие «мишень поваже-
на» и событие «стрелок не попал в мишень» являются
противоположными друг к другу.
Для событий вводятся операции сложения и умножения.
Суммой (объединением) событий называется событие,
которое осуществляется тогда и только тогда, когда про-
исходит хотя бы одно из данных событий. Сумму собы-
тий А и В обозначают Л и В.
Произведением (пересечением) событий называется со-
бытие, осуществляющееся только в том случае, когда
данные события происходят одновременно. Произведение
событий Л и В обозначают А(]В
Пример 3. Пусть опыт заключается в том, что из
колоды вынимается наудачу одна карта, и пусть событие
Zj состоит в том, что карта оказалась дамой, а событие
Л,—в том, что выбрана карта пиковой масти. Тогда со-
бытие ЛхиЛа состоит в том, что выбрана дама или карта
пиковой масти, а событие Л1лЛ2—в том, что из холоди
выбрана дама пик.
Легко видетв, что операции сложения и умножения
обладают следующими свойствами-
1.	Переместительное свойство:
ЛиВ = ВиЛ, ЛПВ=ВГ)Л.
2.	Сочетательное свойство!
ЛщВиС) = (Л UB)UC, Л П(ВПС) = (Л ПВ)ПС.
3.	Распределительное свойство:
А П (В и С) = (Л П В) U (Л П С).
Пример 4 Рассмотрим в опвгге с подбрасыванием
игральной кости события: Л ^—появление четного числа,
Ла—появление шестерки, Ла—появление числа, большего
двойки. Тогда Л1цЛгиЛа—событие, состоящее в том,
что выпала грань, занумерованная одним из чисел; 2, 3,
4, 5, 6; Лг П Л2П Ла— событие, заключающееся в выпаде-
нии грани с шестеркой.
Пример 5. Пусть в опыте с подбрасыванием кости
Л,-—событие, состоящее в том, что кость выпала гранью
с цифрой (. Тогда Л1иЛаи...иЛ,—событие, состоящее
в том, что кость выпала одной из своих шести граней, а
событие Л1рЛаП...Г)Ла заключается в том, что кость
юо
выпала всеми своими гранями одновременно. Очевидно, что
л£ил2и... ил.-i/, ЛхпЛ2П ... ПЛ<, = Г.
События Лх и Л« называются несовместными, если
ЛхпЛ2 = У.
События Лх, Л2, ..., Ат (ту» 2) называются попарно
несовместными, если любые два из этих событий несов-
местны.
Говорят, что события Лх, Л2, ..., Ат образуют пол-
ную систему событий, если их сумма является достовер-
ным событием.
События, рассмотренные в примере 4, полной системы
событий не образуют. Напротив, события из примера 5
образуют полную систему, более того, они образуют пол-
ную систему попарно несовместных событий.
2. Опыт с равновероятными исходами. Классическое
определение вероятности события. Рассмотрим полную
систему попарно несовместных событий
и2, .... ип,
связанную с некоторым опытом. Предположим, что в этом
опыте осуществление каждого из событий U,, U2, ..., Un
равновозможно, т. е. предположим, что не существует ни-
каких объективных оснований считать, что одно из собы-
тий является более возможным, чем другое. Такой опыт
будем называть опытом с равновероятными исходами.
В этом случае будем гоьорить, что события 1/х, б/,, ..
..., Un равновероятны и что вероятность каждого из
этих событий равна 1/п.
События t/x, С/2, ..., Vn называются исходами или
элементарными событиями.
Пример 1. Вернемся копыту с подбрасыванием
игральной кости. Пусть £/,—событие, состоящее в том,
что кость выпала гранью с цифрой i. Гак как кость пред-
полагается однородной и симметричной, то все исходы
опыта естественно считать одинаково возможными. Следо-
вательно, рассматриваемый опыт является опытом с рав-
новероятными исходами, события l/x, U2, ..., Ut равно-
вероятны и вероятность каждого из них равна
Рассмотрим теперь событие А, связанное с опытом с
равновероятными исходами, и пусть Л наступает тогда,
когда осуществляется один из каких-то k исходов, и не
наступает, если осуществляется любой из оставшихся п—k
101
исходов. Будем говорить, что исходы, приводящие к на-
ступлению события Д, благоприятствуют событию А.
Определение. Вероятностью Р(Л) события А,
связанного с опытом с равновероятными исходами, назы-
вается отношение числа исходов, благоприятствующих со-
бытию А, к числу всех исходов.
Таким образом, если п—число всех исходов, a k —
число исходов, благоприятствующих событию Д, то
Эта формула читается так: «вероятность события 4
равна ~ г>. Р—первая буква английского слова «probabi-
lity»—вероятность.
Пример 2. В опыте с игральной костью (см. при-
мер 1) событию А (число выпавших очков кратно 3) бла-
гоприятствуют два элементарных события U3 и 17в; собы-
тию В (выпало простое число) благоприятствуют Ut,
U3; событию С (выпало 7 очков) не благоприятствует ни
одно из шести элементарных событий; событию D (число
выпавших очков меньше 7) благоприятствуют все шесть
элементарных событий. Следовательно,
',и)=4=|. р(В)=|=4.,
р(С)-4-о, p(D)-A-=i.
Приведенное определение вероятности события назы-
вается классическим определением вероятности.
Вероятность события удовлетворяет неравенствам
О^Р(Д)< 1,
что непосредственно следует из определения, так как оче-
видно, что
Невозможному событию V пе благоприятствует ни одно
из элементарных событий, и поэтому
P(V)-J-o.
Достоверное событие U осуществляется при наступле-
нии каждого из элементарных событий, и, следовательно,
Р((/) = |~Ь
Элементарному событию (7,- (t=l, 2, ..., п) благоприят-
ствует только одно элементарное событие (оно само), и,
102
следовательно,
= f=l, 2, n,
что соответствует данному ранее определению.
Пример 3. Монета бросается дважды. Какова веро-
ятность того, что хотя бы един раз выпадет герб?
А Здесь элементарными событиями будут следующие
4 события.
—оба раза выпал герб,
U2—герб появился только при первом бросании,
(/л—герб появился только при втором бросании,
Ut—герб не появился ни разу.
Благоприятствовать событию А (появлению герба хотя
бы один раз) будут t/j, U.lt U3. Следовательно, Р(А) = -^-. а
Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл
две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры раз-
личны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что
номер набран правильно?
А Дье последние цифры можно набрать /1,0 способами,
а благоприятствовать событию А (цифры набраны пра-
вильно) будет только один способ. Поэтому
Р^)=!Л^==1О:9 = 9б’
Пример 5. Среди 100 электроламп 5 испорченных.
Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 ламлы
окажутся исправными?
А Из 190 электроламп 3 ламлы можно выбрать Ci00
способами. Три исправных лампы из общего числа 95
исправленных ламп можно выбрать C3si способами. Сле-
довательно, искомая вероятность равна
р С95	95.94'93 п ас
Р = ^ = ТбОЩ9Щ8^0’86- А
Пример 6. При игре в «Спортлото» на специальной
карточке отмечаются 6 номеров из 49. Во время тиража
определяются 6 выигравших («счастливых») номера. Ка-
кова при этом вероятность угадать ровно 3 «счастливых»
номера?
А Число всех способов выбора 6 номеров из 49 равно
С2,. Подсчитаем число всех благоприятных исходов. Три
номера из G «счастливых» можно выбрать С% способами.
Каждый из этих способов может осуществляться вместе
103
с каждым из способов выбора 3 номеров из 43 «не»
счастливых» номеров. Поэтому число всех благоприятных
исходов равно С2-С|3, а вероятность Р угадать 3 «счаст-
ливых» номера равна
СЗ
г — в*^43
с4%
Используя формулу С* = fe[ > получаем
6!	431 61.431	43.41.5
Г ~3!3! ’ 3140! ’ 49! — 47.23.11'7.3-2 ’
С помощью микрокалькулятора легко подсчитать, что
0,0176. ±
Пример 7. Показать, что более вероятно при бро-
сании 4 костей получить хотя бы один раз шестерку, чем
при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз дзе ше-
стерки. (Задача поставлена в XVII веке перед Паскалем
неким де Мере и носит ею имя. Де Мере, игравший в
кости, ошибочно считал описанные события равновероят-
ными.)
Л Пусть А—событие, состоящее в том, что при бро-
сании 4 костей по крайней мере на одной из них по-
явится шестерка.
При бросании одной кости возможно 6 исходов, при
бросании двух костей— 62 исходов, при бросании трех и
четырех костей—соответственно 68 и 64 исходов. Среди
всех этих 64 исходов будет, очевидно, 54 таких, при ко-
торых шестерка не выпадет ни разу. Следовательно, бла-
гоприятных событию А исходов будет 6’—5\ и поэтому
Пусть В—событие, состоящее в том, что при броса-
ниях пары костей по крайней мере один раз появятся
сразу две шестерки. При бросании пары костей один раз
возможно 36 исходов, при двух бросаниях пары костей
возможно 362 исходов, при 24 бросаниях пары костей
возможно 3624 исходов. Среди всех этих 3624 исходов бу-
дет 3524 таких, при которых ни разу не выпадут одно-
временно две шестерки. Следовательно, благоприятных
событию В исходов будет 3624—3524, и поэтому
РI - 3624-3524 _ . _ / 35 у*
 зь24 \36/ ’
104
С помощью микрокалькулятора легко подсчитать, что
Р (А) «0,52, Р (й) «0,49. д
Замечание. Классическое определение вероятности
события не является унизерсальным, пригодным для изу-
чения произвольных случайных событий. Оно применимо
только в простейших случаях, когда удается свести дело
к рассмотрению конечного множества равповозможных
событий. В более сложных опытах приходится считаться
и с тем, что число различных исходов может быть бес-
конечным, и с тем, что семи исходы не являются равно-
возможными. Поэтому в теории вероятностей, наряду с
классическим определением, используются и другие опре-
деления вероятности события.
При так называемом статистическом определении ве-
роятность события определяется исходя из понятия ча-
стоты события и ее статистической устойчивости. Напри-
мер, при скрещивании желтого гороха с желтым (см.
пример 2 п. J) за вероятность события «появление зеле-
1
ного гороха» принимается число, равное , так как имен-
но около этого числа, как показывают эксперименты,
группируются частоты рассматриваемого события.
В современных математических курсах вероятность
определяется аксиоматически как функция Р (А), опреде-
ленная на множестве событий и удовлетворяющая следу-
ющим трем аксиомам:
1.	Для произвольного события А справедливо нера-
венство Р (А) 0
2.	Вероятность достоверного события равна единице.
3.	Вероятность суммы попарно несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий.
Вопросы для контроля
1.	Какое событие называют: а) достоверным; б) невозможным?
2.	Как определяются: а) противоположное собктие; б) сумма со-
бытий; в) произведение событий?
3.	Какими свойствами обладают операции сложения и умножения
событий?
4.	В каком случае два события называют несовместными?
5.	Что такое полная система событий?
6	С’[юрмулируйте классическое определение вероятности.
7.	Чему равны вероятности: а) достоверного события; б) невоз-
можного события?
8.	Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?
105
Упражнения
4.1.	По мишени произведено три '.ыстрела. Пусть событие состо-
ит в том, что i-й выстрел удачный, В чем заключаются следующие
события: ,
1)	2) Л1ПЛПЛ,;
3) (Л1ПЛ2ПЛз)и(Л’1ЛЛаЛЛ3)и(Л1ПЛгПЛ8р
4.2.	Электрическая цепь составлена по схеме, изображенной на
рисунке.
Как выражаются события В и В через события Л,- (г = 1, 2, 3), если
событие В заключается в тем, чти цепь MN не проводит ток, а со-
бытие А; состоит в том, что элемент I вышел из строя?
4.3.	По мишени производится два выстрела. Образуют ли собы-
тия А .(мишень поражена) и В (по крайней мере один выстрел был
неудачным) полную систему событий? Являются ли события А и В
несовместными?
4.4.	Укажите три события, которые не являются попарно несов-
местными. но образуют полную систему событий.
4.5.	Из урны, в которой находятся 3 белых, 4 черных и 5 крас
ных шаров, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что
вынутый шар окажется:
1)	белым; 2) черным; 3) желтым; 4) красным?
4.6.	Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того,
что сумм?, очков, ьыпачших на двух костях, окажется равной 8?
4.7.	В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность
того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов дза будут
выигрышными?
4.8.	Первенство по баскетболу разыгрывают 18 команд, среди ко
торых 2 команды экстракласса. Для уменьшения общего числа игр
команды путем жеребьевки разбиваются на две равные группы. Ка-
кова вероятность того, чго две команды экстракласса окажутся:
1) ь разных подгруппах;
2) в одной подгруппе?
§ 14. Основные теоремы и формулы
теории вероятностей
1. Теорема слежения. В рассмотренных выше приме-
рах вероятность событий вычислялась непосредственно,
исходя из определения. К сожалению, этот путь приво-
дит к успеху только в самых простых случаях. Обычно
же прямой подсчет как всех исходов, так и тех из них,
которые являются благоприятствующими, оказывается не-
удобным, а иногда и практически невозможным из-за
своей чрезмерной сложности. Вычисление вероятностей
событий, как правило, можно существенно упростить, если
106
использовать теоремы, устанавливающие связи между ве-
роятностями событий.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
Р (Л U В) = Р (Л) +Р(В).	(1)
□ Пусть событию А благоприятствуют k исходов,
событию В—I исходо1’ События А и В несовместны, по-
этому среди исходов (/z (i=l, 2, ..., п) нет таких, ко-
торые одновременно благоприятствовали бы и событию А,
и событию В. Следовательно, событию A (J В будет бла-
гоприятствовать ровно kA-l исходов. Но определению ве-
роятности имеем
Р(/1) = 4, Р(5) = |, Р(ЛиВ) = -^±1,
откуда и следует утверждение теоремы, Ц
Доказанная теорема называется теоремой сложения
несовместных событий.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных
событий равна единице, т. е.
Р(Д) + Р(Д)=1.	(2)
□ Поскольку события А и А несовместны, к ним при-
менима теорема сложения:
РМиЯ) = Р0) + Р(А).
Учитывая, что событие Ли Л достоверное и что поэтому
Р (A U Л) = 1, получаем Р (Л) + Р (А) =-1. И
Обобщением теоремы сложения на случай любого ко-
нечного числа событий является следующее утверждение:
вероятность суммы попарно несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
Р(Д1иЛ2и...иЯЛ) = Р(Д,) + Р(Аг)+... + Р(Яи). (3)
Доказательство аналогично доказательству для случая
двух слагаемых.
Теорема сложения для двух событий обобщается и в
другом направлении. Если отказаться от требования обя-
зательной несовместности событий, то можно доказать
более общую теорему, из которой доказанная ранее тео-
рема 1 получается как частный случай.
Теорема 2. Вероятность суммы двух произволь-
ных событий равна сумме вероятностей событий без
107
вероятности их произведения, т. е.
Р(ЛиВ; = Р(Л)4-Р(В)—Р(4ПВ).	(4)
□ Пусть событию А благоприятствуют k исходов, со-
бытию В—I исходов, и пусть q исходов благоприятствуют
совместному осуществлению событий А и В. Если число
всех исходов равно п, то по определению вероятности
Р(Л)=4» Р(В)в|, Р(ЛпВ)гХ.
Легко видеть, что событию
вовать в этом случае k-\ l— q
A(jB будут благоприятст-
исходов, и, следовательно,
P(A|jB)=±Ll=£
___£=.
= Р(Л)-гР(В)-Р(Лп5). 
В частном случае, когда события несовместны, т. е.
А П В = V и Р (А п В) = О, получается ранее доказанная
теорема 1.
2. Условная вероятность. Теорема умножения. Неза-
висимость событий. Простейшие наблюдения показывают,
что в одних случаях осуществление одного события никак
не влияет на вероятность осуществления другого, в дру-
гих случаях, наоборот, наступление одного события су-
щественно изменяет вероятность наступления другого.
Например, в опыте с двукратным подбрасыванием мо-
неты вероятность события «герб появился при вторичном
подбрасывании монеты» не зависит от того, произошло
или не произошло событие «герб появился при первом
подбрасывании монеты». В опыте с извлечением (без воз-
вращения) шаров из урны, содержащей один белый шар
И один черный, отношение между событиями «шар, извле-
ченный первым, оказался белым» и «шар, извлеченный
вторым, оказался белым» совсем иное: осуществление од-
ного события в этом случае приводит к тому, что другое
становится невозможным.
Рассмотрим события А и В, связанные с некоторым
опытом. Пусть событию В благоприятствуют I исходов,
событию А П В — q исходов. Отношение у, т. е. отноше-
ние числа исходсь, благоприятствующих событию А п В,
к числу исходов, благоприятствующих событию В, назы-
вается условной вероятностью события А при условии В
и обозначается Р(Д|В).
108
Таким образом, по определению
Поясним данное определение примером. Пусть опыт
заключается в однократном бросании игральной кости,
событие В—выпадение четного числа очков, событие А —
выпадение шестерки В этом случае событию В благопри-
ятствуют 3 исхода (/ = 3), событию Afl В благоприятст-
вует только один исход (q=l). Следовательно, условная
вероятность события А при условии В равна -2. = ~, т. е.
Р(А|В) = 1.
Теорема 1. Для условной вероятности Р(А |В) спра-
ведлива формум
Р(А|В) = ^Ш^.	(1)
□ Пусть I — число исходов, благоприятствующих со-
бытию В; q—число исходов, благоприятствующих собы-
тию А п Б. Тогда
P(A|B) = f,
или
Р(А(В)= 2g-,
где п—число всех исходов. Учитывая, что
-2-«Р(АпЯ) и g«P(B),
получаем формулу (1). ц
Для условной вероятности события В при условии А
совершенно аналогично получается формула
Р(В|А)~^Л*).	(2)
Каждая из формул (1) и (2) называется формулой ус-
ловной вероятности
Теорема 2. Вероятность произведения двух произ-
вольных событий равна вероятности одного из этих со-
бытий, умноженной на условную вероятность другого,
при условии, что первое произошло.
□ Для доказательства достаточно переписать формулы
(1) и (2) в следующем виде:
Р(АПВ) = Р(А)Р(В|А) = Р(В)Р(А|Б). а	(3)
Теорема 2 называется теоремой умножения.
109
Используя понятие условной вероятности, можно ввести
важное понятие независимости двух событий.
Определение 1. Событие А называется независи-
мым от события В, если условная вероятность события А
при условии В равна вероятности события А, т. е. если
Р(А|В) = Р(Л).
В противном случае, т. е. если Р(Д | В) ^Р(А), собы-
тие Л называется зависимым от события В.
Из формулы (3) следует, что если событие А является
независимым от В, то событие В будет независимым от А.
Таким образом, свойство независимости оказывается вза-
имным.
Пример 1. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается
одна. Являются ли события А (появился туз) и В (вынута
карта красной масти) независимыми?
Л Из общего числа 36 элементарных событий событию Л
4	1
благоприятствуют 4, поэтому Р(А) = ^х = -д-. Если собы-
тие В произошло, то это означает, что осуществилось
одно из 18 элементарных событий, среди которых событию А
2	1
благоприятствуют два, следовательно, Р(Д |Й)= —= у.
Итак, Р (А |В) = Р (А), т. е. события А и В независимы. А
Из теоремы умножения как частный случай получается
теорема умножения для независимых событий.
Теорема 3. Вероятность произведения двух незави-
симых событий равна произведению вероятностей этих
событий:
Р(ДПВ) = Р(А)Р(В).	(4)
□ Если А и В—независимые события, то Р(В\А) =
= Р(В), и формула (3) превращается в формулу (4). И
Обобщим теорему 3 на случай любого конечного числа
событий. Дадим прежде всего следующее определение.
Определение 2. События А1Т Д2, .... Ат (т>2)
называются независимыми в совокупности, если каждое из
этих событий и событие, являющееся произведением лю
бого числа остальных событий, независимы.
Поясним разницу между попарной независимостью
и независимостью в совокупности на примере трех собы-
тий. Для попарной независимости событий А, В, С необ-
ходимо, чтобы события А и В, В и С, С и А были не-
зависимы. Для независимости в совокупности, помимо
этого, нужна независимость еще трех пар событий:
А и В ПС, В и СпД, С и АП В.
по
Теорема 4. Вероятность произведения независимых
в совокупности событий равна произведению вероятностей
этих событий.
□ Докажем теорему для случая трех событий. Пусть
А, В, С—независимые в совокупности события, тогда
Р(ЛЛВЛС) = Р(Д)Р(В)Р(С).	(5)
Положим В fl С = D и, поскольку события А к D незави-
симы, по теореме 3 можем записать
Р(Д П£Г1С) = Р(ДПО) = Р(Д)Р(Й),
по В и С также независимы, и поэтому
Р(В) = Р(ВпС) = Р(В)Р(С).
Подставляя P(D) в первую из формул, получаем фор-
мулу (5). (Я
Методом математической индукции теорема 4 легко
доказывается для любого конечного числа независимых
в совокупности событий.
Замечание. Теоремы сложения и умножения дока-
заны здесь для опытов с равновероятными исходами.
Однако все полученные формулы сохраняют свою силу
и в более сложных случаях, когда классическое опреде-
ление вероятности оказывается недостаточным и при-
ходится исходить из статистического или аксиоматического
определений. При аксиоматическом построении теории
вероятностей формула (1) п. 1, как уже отмечалось, при-
нимается за аксиому, в связи с чем ее называют законом
сложения вероятностей. Формулами (1) и (4) вводятся
понятия условней вероятности и независимости событий.
В следующих примерах доказанные теоремы использу-
ются для вычисления вероятностей различных событий.
Пример 2. Из партии изделий ОТК проверяет по-
ловину и признает годной всю партию, если среди про-
веренных изделий бракованных не более одного. Какова
вероятность того, что партия из 2G изделий, в которой
2 бракованных, будет признана годной?
Л Пусть событие А состоит в том, что среди проверяе-
мых изделий бракованных не окажется, а событие В —
в том, что среди отобранных для проверки изделий одно
бракованное. Партия изделий будет признана годной,
если произойдет событие A U В. События Л и В несов-
местны и, следовательно, справедлива формула
Р(Л иВ) = Р(Л) + Р(В)
ш
Подсчитаем вероятность события А. Из 20 изделий можно
«иобрать для проверки 19 изделий Са? способами. Из не-
бракованных изделий 10 изделий отбираются спосо-
- гт b/Л. й 18П0!	Ю-9	9
бами. Поэтому Р(Д) = -к — —   ------=—.
J	Сад 8I20!	20-19 38
Для события В количество благоприятных исходов
равно C?8-Cs (число способов отбора 9 небракованных
Изделий и одного бракованного), и поэтому
Р (В} С‘8С* —18‘10110! S ;0'10,2 20
*	919120!	26-19' ‘ 38 ‘
По теореме сложения для несовместных событий получаем
Р(ЛиВ)=«+|=§. А
Пример 3. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается
одна. Какова вероятность того, что будет вынута Айка
или туз?
А События А (выбрана пика) и В (появился туз) не
являются несовместными. Поэтому для вычисления иско-
мой вероятности события А и В воспользуемся формулой
Р(Л иВ) = Р(Л) + Р(В) — Р(Л|1В).
Вероятности событий А, В и А Г1В легко подсчиты-
ваются:
р(Л)=|, р(В)=-|, р(лпв)^-!.
Таким образом, Р(Л uB) = y+-g~=
Пример 4. Участок электрической цепи состоит из
п последовательно соединенных элементов, каждый из
которых работает независимо от остальных. Известна
вероятность невыхода из строя за определенный проме-
жуток времени (так называемая надежность) каждого
элемента: ри р2, .... рп. Найти вероятность исправной
работы всего участка цепи (надежность участка).
м
/I
2
t
к Обозначим через Л,- событие, заключающееся о ис-
правной работе элемента i, через А—событие, состоящее
в нормальной работе всего участка. Тогда
4=л1плап... ГМ„
й, поскольку события А,- независимы в совокупности,
р(Л) = р(А) Р(Л)...р(Д„)- Р1р2...Рп. А
112
Пример 5. Участок электрической цепи состоит из п
параллельно соединенных элементов, каждый из которых
работает независимо от остальных. Известна вероятность
невыхода из строя за определенный промежуток времени
каждого элемента: plt р2, ..рп. Определить вероятность
исправной работы всего участка цепи (надежность участка).
Л Пусть 4,- и А—события, рассмотренные в примере 4,
Для определения вероятности события А удобно пред-
варительно вычислить вероятность события А. Легко со-
образить, что
4 = А, Г)ЛП • • • П4„,
так как весь участок цепи выходит из строя тогда и только
тогда, когда выходят из строя все элементы цепи. По условию
задачи события А,- независимы в совокупности, следова-
тельно, события Ai также независимы в совокупности.
Согласно теореме умножения для независимых в совокуп-
ности событий получаем
Р(Д) = Р(Д1)Р(4Г)...Р(ЛЙ),
откуда
1-P(4) = (l-P(A1))(1-P(4i))...(l-P(4n)),
и, следовательно,
Р(4)=1-(1-Р1)(1-д.)...(1-рп). ▲
Пример 6. Рассматривается та же схема, что
и в предыдущем примере, но р1 = р9=...= рп — р — 0,7.
Сколько элементов должен содержать участок электри-
ческой цепи, чтобы его надежность превышала 0,99?
Л Согласно результату, полученному в предыдущем
примере, Р(4)= 1—(1—р)°. Для числа элементов п полу-
чаем неравенство
1 — (!—/?)"> 0,99,
113
решая которое находим п:
(1—р)"<0,01,
»lg(l-/))<llf0,01—2, n>-5jX_.
2
Если /? = 0,7, то п > — jgo~3 3,8, т. е. в этом случае
участок цепи должен содержать не менее 4 элементов. А
3. Формула полг:ой вероятности. Пусть , Я2, ..., Нп—
полная система попарно несовместных событий, связанная
с некоторым опытом, и А—произвольное событие, свя-
занное с тем же опытом. Очевидно, что для произвольного
события А справедливо равенство
А = А П17.
С другой стороны, по определению полней системы событий
... (1Н„,
и поэтому
А = А П(ЯгиЯ2и ... UH„).
Последнее соотношение, используя распределительное свой-
ство сложения и умножения, можно переписать так:
Д = (ЛпЯ])и(>1 Л#2)и ... и(Л (\Нп).
Очевидно, если события //,, На, ..., Нп попарно не-
совместны, то и события А G А П ..., А П Нп также
попарно несовместны. В самом деле,
(А Л Я,) Л И П Яу) = (А Л А) П (Hi П Hj) = А П V = V
для любых i и / (i #= /).
По теореме сложения для попарно несовместных со-
бытий получаем
Р(Д) = Р(А ЛЯ1)4-Р(ЛЛЯ,)+ ... +Р(ДЛ/7„),
или, короче,
п
Р(Л)= 2р(Лля.).
i=l
Но пс теореме умножения
Р(АП///) = Р(ЯЛР(Л|Я<),
и, следовательно,
р(А)=2р(///)Р(Д|я1).	(1)
i=i
114
Эта формула называется формулой полной вероятности.
События Hlt Н3, ..Нп обычно называют гипотезами
Формула (1) используется в тех случаях, когда непо-
средственно найти вероятность события А трудно, в то
время как условные вероятности Р (Л | 77J и вероятности
гипотез Р(Н/) вычисляются легко.
Пример 1. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом
цехе, 20— во втором, остальные—в третьем. Первый
и третий цехи дают продукцию отличного качества с ве-
роятностью 0,9, второй цех — с вероятностью 0,6. Какова
вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отлич-
ного качества?
Л Пусть событие А состоит в том, что выбрана деталь
отличного качества. Через Ни Н2, Н3 обозначим события
(гипотезы), заключающиеся в том, что выбранная деталь
изготовлена соответственно в первом, во втором и в третьем
цехах. Вероятности гипотез легко находятся:
p(//,)=g, ₽wj=g.
Условные вероятности события А при условии, что
имеют место гипотезы Н„ Нг или HSl заданы, причем
Р (А ^0 = 0,9, Р (А | Я;) = 0,6, Р (А I Я,) = 0,9.
По формуле полной вероятности находим искомую
вероятность:
Р (А) = Р (Я,) Р (А1Ях) + Р (Я4) Р (А IЯ2) + Р (Я.) Р (A i Я3) =
__9 18 _6 20 _9 12_39 , 7Ч .
~ 10 * 50'г 10 ’ 50+10'50 “50	и>'°- А
Пример 2. Студент Петров знает не все экзамена-
ционные билеты. Что для него выгоднее: отвечать первым
или вторым?
Л Будем называть «хорошими» те билеты, которые
Петров знает. Предположим, что число «хороших» биле-
тов равно k при общем числе всех билетов п (к < п).
Тогда вероятность события А (Петров взял «хороший»
билет) в том случае, когда он отвечает первым, равна
р(Д)=А. в случае, когда Петров отвечает вторым, для
определения вероятности события А рассмотрим две гипо-
тезы: Я] (студенту, отвечавшему до Петрова, достался
«хороший» билет) и Я4 (студент, отвечавший первым, вы-
тащил «плохой» билет). Вероятности гипотез HL и Яг,
Ш
очевидно, равны
Р(Я1) = | и Р(Л2) = ^.
Условная вероятность события Л при условии осущест-
вления гипотезы Нг равна
РИ1^)=~.
В случае, если имела место вторая гипотеза, условная
вероятность события А равна
По формуле полной вероятности находим
Р (Л) = Р (/Л) Р (Д | /7г) + Р (Яе) Р (Л | Д2) .=
_ k k—y.n — k
п ' п— 1 " п
А* 1	/ L. It # \
п—1
Таким образом, вероятность получить «хороший» билет
одна и та же в обеих случаях, г. е. не зависит от того,
отвечает Петров первым или вторым. ▲
4. Формулы Байеса. Представим себе следующую си-
туацию. Имеется урна, в которой лежат три шара. Шары
могут быть либо белого цвета,, либо черного, но совершенно
не известно, сколько в урне белых шаров и сколько чер-
ных. В этих условиях можно выдвинуть четыре гипотезы
о цвете шаров в урне, а именно: гипотезу /7е—в урпе
0 шаров белого цвета, гипотезу —в урне 1 белый шар,
гипотезу Н2—в урне 2 белых шара и, наконец, гипотезу
Нь—в урне 3 белых шара. Все эти гипотезы приходится
считать равновероятными, поскольку пет никаких сведений
о количестве белых шаров в урне. Допустим теперь, что
из урлы наудачу вынимается один шар и он оказывается
белым. Ясно, что после проделанного эксперимента уже
совершенно неестественно считать, что все четыре гипотезы
с количестве белых шаров в урпе одинаково вероятны.
Поскольку случайно вынутый шар оказался белым, есть
основания считать более вероятным, что белых шаров в урне
больше, чем черных, а' гипотезу /70 после состоявшегося
эксперимента вообще придется отбросить. Таким образом,
тот факт, что случайно вынутый шар оказался белым,
заставляет нас переоценить вероятности гипотез. Эта пере-
оценка вероятностей гипотез осуществляется с помощью
формул Байеса, которые легко выводятся из теоремы умно-
жения и формулы полной вероятности.
П6
Пусть А—произвольное событие и Ях, Нг...Нп—
полная система попарно несовместных событий, тогда по
теореме умножения
Р (Л П Ht) - Р (Л) Р (Я, I Я) = Р (Я,) Р (Я | Я,.),
откуда
Р(Я^|Л) = Р(^И|-^,	/=1,2,......п.
Заменяя теперь Р (Я) ее выражением по формуле полной
вероятности, получаем формулы
Р(Яг|Я) = ? №) Р И | Я,)	1=1, 2,..., n (1)
2Р(Я,)Р(Л|Я/)
i= 1
Их называют формулами Байеса
Формулы (1) дают выражения для условных вероятно-
стей гипотез Я,- при условии, что произошло событие Я,
через вероятности Р(Я,) и условные вероятности Р (А | Я,),
вычисленные до тсго, как событие А осуществилось.
Вернемся к задаче о переоценке вероятностей гипотез
в случае урны с тремя тарами. Пусть Я — событие, заклю-
чающееся в том, что вынутый наудачу из урны шар ока-
зался белым. Вероятности события А при условии, что
имеют место гипотезы Яп, Ях, Я2, Я„ легко вычисляются:
Р(Я|Яо) = О,	P(A|^) = 1,
Р(Л|Я2) = 1,	Р(Я|Яв)=1,
а так как все предположения о количестве белых шаров
ь урне одинаково правдоподобны, то
Р(Яо) = |, P(^)=l, Р(Я2) = 1, Р(Я8)=|.
По формуле полной вероятности вычисляется Р (А):
Р(Д)	• у + т • у + т*1 = У*
Тогда по формулам Байеса получаем
1.0	1.1
Р(Я.|Я)=1г- = 0,	P(flxjA)=lIl = l
У	2
1.1	1.1	,
Р^Л)^-!,!^!, Р(Я,|Я) = 1г-=1.
У	2
117
Таким образом, если до того, как из урны был вынут
шар, у нас не было никаких оснований отдавать предпо-
чтение какой-либо из четырех гипотез и вероятность каж-
дой из них мы вынуждены были считать равной то
после того, как был вынут белый шар, мы переоцениваем
вероятности гипотез, причем вероятности того, что в урне
было 0, 1, 2, 3 белых шара, считаем равными соответ-
а 1	1	1
етвенно 0, -g-, -у, - .
Пример. Партия деталей изготовлена тремя рабо-
чими, причем первый рабочий изготовил 25 % всех дета-
лей, второй—35%, третий-—40%. В продукции первого
рабочего брак составляет 5 %, в продукции второго—4%
и в продукции третьего —2%. Случайно выбранная для
контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероят-
ность того, что она изготовлена вторым рабочим?
Л Обозначим через Ht и Н3 гипотезы, заключаю-
щиеся в том, что случайно выбранная для контроля деталь
изготовлена соответственно первым, вторым и третьим ра-
бочим. Так как первый рабочий изготовил 25 %, второй —
35 % и третий—40 % всех деталей, то
Р (Я,) = 0,25, Р (/Л) = 0,35, Р(Я,) = 0,4.
Пусть А—событие, состоящее в том, что выбранная для
контроля деталь оказывается бракованной. Вероятности
события А при условии, что имеют место гипотезы Яп
Я2 и Я3, даны в условии задачи, а именно-
Р (Л , II = 0,05, Р (Л | Я2) = 0,04, Р (Л , Я3) = 0,02.
По формуле Байеса находим
Р(Н __________________________________________________
	р(н1)^а\н1)+р(Н3)р(А{н2)^р(Н3)?(а\ня')
0,35.0,04	35.4	28
— 0,25.0,U5—0,35 0,04-i 0,4-0,02 "25.54-35.4 + 40'2 ^69’ *
Вопросы для контроля
1.	Сформулируйте теорему сложения: а) для несовместных собы-
тий, б) для двух произвольных событий.
2.	Чему равна вероятность события А, если вероятность собы-
тия А равна 0,3?
3.	Запишите формулу для условной вероятности события А при
условии, что событие В произошло.
4.	Сформулируйте теорему умножения: а) для двух произвольных
событий; б) для независимых событий.
5.	Запишите формулу полной вероятности.
118
Упражнения
4	.9 Докажите, что если события А и Я независимы, то события
Л я В также независимы.
440	. Докажите, что если события А и В независимы, то события
А и К также независимы.
4.11-	Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень
равны сост-стств, нно С,7 и 0,8. производят по едкому выстрелу.
'Лгоедсачте вероятность:
1)	хотя бы одного попадания в мишень;
2)	одного попадания в мишень.
4.12.	Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислите ве-
роятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором
два вопроса.
4.1Х	Могут ли несовместные события быть попарно независимыми’
4.14.	Являются ли независимыми в совокупное™ события, обра-
зующие .толкую систему событий?
4.15.	Опыт состоит в двукратном подбрасывании монеты. Рассмот-
рим события А <герб выпал в пергый раз). В (герб выпал хотя бы
одни раз), С (герб выпал lo второй раз). Определите, згвксимы или
пезазнскмы пары собы:ай А и В, В и С, С и А.
4.16.	Бросаются две игральные кости. Рассмотрите события:
А—на первой кости выпало нечетное число очков:
В—	на второй кости выпало нечетное число очков;
С—сумма очков, выпавших на двух костях, нечетна.
Будут- ли события А, В, С попарно независимыми? Буду’ ли они
независимыми в совокупности?
4.17,	Рабочий обслуживает 3 станка, каждый из которых работает
иезаьгевмо от двух других. Вероятности того, что за смену станки
не потребуют вмешательсва рабо-.его равны, соответственно
Р1 = 0,4, р3 —0,3, рз = 0,2.
Найдите вероятность того, что за смену по крайней мере один
станок потребует вмсшатсльствг рабочего.
4.18.	Участок электрической цепи состоит из трех элементов,
каждый из которых работает независимо от двух других. Элементы
не выходят из строя за определенный промежуток времени соответ-
ственно с зероитЕостьй? ^=0,9, pt— p3=Q,7 Определите вероятность
нормальной работы всего участка.
4	19. Два участка электрической цепи составлены по схемам, изо-
бражэнним на рисунке. Каждый элемент работает независимо ог
119
остальных и не выходит из строя в течение определенного промежутка
времени г вероятностью у. Определите вероятность нормальной ра-
боту* каждого участка. Какой участок цепи является более падежным?
4.20.	В телевизоре 12 ламп. Каждая лампа работает независимо
от остальных и не выходит из строя в течение года с вероятностью р.
Какова вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа
выйдет из строя’
4.21	Сколько раз нужно бросить игральную коегь, чтобы ше-
стерка появилась хотя бы один раз с вероятностью, большей 0,9?
4.22.	Из урны, содержащей 2 белых и 4 черных ьчара, двое по-
очередно извлекают по одному шару. Определите для каждого участ-
ника вероятность первым извлечь белый шар.
4.23.	Прибор работает в двух режимах: в благоприятном и не-
благоприятном, причем в благоприятном режиме работа прибора про-
исходит в 80 % всех случаев. Вероятность выхода прибора из строя
в течение часа при благоприятном режиме работы равна 0,1, при
неблагоприятном—0,7. Определите вероятность безотказной работы
прибора в течение часа.
4.24.	Три станка производят соотьетс!ценно 50%, 30 % и 20 %
всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 1 %,
2 % и 1,5 %. Какова вероятность того, что выбранное наугад изде-
лие окажется бракованным?
4.25.	Радиолампа поступила с одного из трех заводов соответ-
ственно с вероятностями 0,25; 9,50 и 0,25. Вероятность выйти из строя
в течение года для ламп, изготовленных первым заводом, равна 0,1,
вторым заводом—0,2 и третьим—0,4. Определите вероятность того,
что лампа проработает год.
4.28.	Два автомата производят одинаковые изделия. Производи-
тельность первого автомата вдвое больше производительности второго.
Первый автомат дает 60 % первосортных изделий, второй—84%.
Наудачу гыбраннос изделье сказалось первосортным. Какова вероят-
ность того, чтр оно изготовлено первым автоматом?
4.27.	Известно, что 9G % выпускаемой продукции удовлетворяет
стандарту. Упрощенный контроль признает пригодной стандартную
продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную—с аерсятностыо
0,05 Каковы вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный
контроль, удовлетворяет стандарту?
4.28.	Прибои состоит из двух узлов, причем для работы прибора
необходима испрззиость каждого узла. Надежность (вероятность без-
отказной работы в течение времени /) первого узла равна pr, ито-
рого—ра. Прибор испытывался в течение времени t и вышел из строя.
Определите вероятность того, что вышел из строя только первый узел,
а второй исправен.
4.29.	В урне лежат четыре шара, причем все предположения
о числе белых" шаров в урне одинаково вероятны. Взятый наудачу
из урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что и сле-
дующий шар, вынутый из урны, также окажется белым?
4.30.	В урне лежа г п шаров, причем все предположения о числе
белых шаров, находящихся в урне, одинаково вероятны. Взятый на-
удачу из урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что и
следующий шар, извлеченный из урны, также окажется белым?
12С
§ 15. Формула Бернулли
До сих пор мы рассматривали случайные события, свя-
занные с некоторыми единичными опытами. Однако и для
практики, и для самой теории вероятностей гораздо боль-
ший интерес представляет изучение серии одинаковых
опытов, которые производятся независимо. Примерами
серий независимых опытов могут служить подбрасывание
монеты, стрельба по мишени, выбор изделия для контроля
в тех случаях, когда все эти опыты делаются многократно
и в одинаковых условиях. Задача ставится следующим
образом.
Пусть случайное событие Л осуществляется в некото-
ром опыте с вероятностью р. Какова вероятность Р„(й)
того, что при «кратном воспроизведении опыта событие А
произойдет ровно k раз?
Рассмотрим сначала серию из четырех опытов, в
каждом из которых событие А наступает с вероятностью р,
и попытаемся определить вероятность Р4(2) того, что в
четырех опытах событие А произойдет ровно два раза.
Обозначим через Аи Л3, Л3 и Л4 события, заключаю-
щиеся в том, что событие А произошло соответственно
в первом, втором, третьем и четвертом опытах. Тогда
событие, состоящее в том, что А произошло ровно два
раза, может быть записано как сумма следующих не-
совместных событий:
Ai П А2 f । .41 п А^
Ai П А2 П Л3 П Л4
АПАПЛПА
Л1ПЛ2ПЛ3ПЛ4
л,(1'*3пл3пл4
(Л произошло в 1-м и 2-м опытах),
(Л произошло в 1-м и 3-м опытах),
(Л произошло в 1-м и 4-м опытах),
(Л произошло во 2-м и 3-м опытах),
(Л произошло во 2-м и 4-м опытах),
(Л произошло в 3-м и 4-м опытах).
Здесь выписано С4 событий, так как существует именно
столько способов двукратного осуществления события Л
в четырех опытах. Вероятность каждого из этих событий
по теореме умножения равна р2(1—р)2, т. е. одна и та же.
По теореме сложения для нессзместных событий по-
лучаем
Р4(2) = С1/>2(1-р)2.
В общем случае формула для Р„(Л) получается совер-
шенно аналогично.
Обозначим через Л,- (/=1, 2, ..., /г) событие, заклю-
чающееся в тем, что событие А происходит в i-м опыте.
121
Тогда событие, состоящее в том, что А наступило ровно
fe раз, представляется а виде суммы следующих несовмест-
ных событий:
Д1ПА1!П • Л^АГ)^А+}П ...	(А произошло
в первых
k опытах),
А, ПАаЛ • •• Г) АЛ_*П ДЯ_*+1Л .. • ПД„ (А произошло
в последних
k опытах).
Здесь должно быть выписано событий, так как именно
таково число способов fe-кратного осуществления события
А в п опытах.
По теореме умножения вероятность каждого из этих
событий равна
р* (I—р')п~1е.
Применяя теорему сложения для несовместных собы-
тий, получаем
Р„(*) = С^(1(1)
Эта формула называется формулой Бернулли для серии
независимых опытов.
Пример 1. По мишени производится пять выстре-
лов, причем вероятность попадания при каждом выстреле
равна 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет
поражена тремя выстрелами?
А По формуле Бернулли, положив n=5, fe=3, р=0,8,
находим
р5 (3) = С30,83  0,2а - 0,2048 «0,2. ▲
Пример 2. В приборе 4 лампы. Вероятность выхода
из строя в течение года для каждой лампы равна -?.
Какова вероятность того, что в течение года придется
заменить не менее половины всех ламп?
Д Применяя формулу Бернулли, находим вероятность
того, что в течение года выйдут из строя две лампы:
ТРИ лампЫ! С*1 еГ чегЫРе лампы:
122
Пэ теореме сложения для несовместных событий иско-
мая вероятность равна
<з(Ж)'+« (№«(*)'=
_ 150 + 20-1-1 _ 171 _ 19	*
6*	— 1296 " 144 U’161 Ж
В формуле (1) положим 1—p = q- Тогда
Эти вероятности являются коэффициентами многочлена
(qP-px)n, так как
(q + pxf = 2 (С&"-*Р*)х* = 2 P.W**»	(2)
k=q	4=0
В связи с этим многочлен (q + px)n называют производя-
щим многочленом для вероятностей ^-кратного осуществ-
ления события А в серии из п независимых ипытоз.
В тех случаях, когда необходимо найти все вероятно-
сти Р„(/г) (k = Q, 1, . ..,п), удобно выписать производя-
щий многочлен и разложить его по формуле Ньютона.
Коэффициенты многочлена дадут искомые вероятности.
Отметим еще, что иногда требуется найти наивероят-
нейшее число наступлений события А в серии из п неза-
висимых опытов. Другими словами, требуется определить
такие значения k, при которых величина C^qn~kp!l (при
постоянном и) принимает наибольшее значение. Из фор-
мулы (2) следует, что эта задача равносильна отысканию
наибольшего коэффициента производящего многочлена
(<7 + дх)п. В § 12 (см. пример 7) было показано, как на-
ходить наибольший коэффициент многочленов такого вида.
Пример 3. Четыре элемента вычислительного устрой-
ства работают независимо. Вероятность безотказной работы
з
за время t для каждого элемента равна Найти веро-
ятность того, что в течение времени t:
а)	ни один элемент не будет работать безотказно;
б)	только один элемент будет работать безотказно;
в)	дза элемента не откажут;
г)	три элемента будут работать исправно;
д)	все четыре будут работать исправно.
А Здесь опыт заключается в наблюдении за работой
одного элемента в течение времени t, событие А — в без-
отказной работе элемента в течение заданного времени.
Событие А имеет вероятность	противоположное
123
событие ~А происходит с вероятностью q = у. Устройство
содержи! четыре элемента, следовательно, опыт произво-
дится четыре раза, т. е. п = 4.
Для решения задачи составим производящий многочлен:
Коэффициенты этого многочлена дают искомые вероят-
ности:
а)	вероятность того, что ни один элемент не будет ра-
ботать безотказно, равна коэффициенту при х°, т. е.
Р4(0)=(1)4« 0,004;
б)	вероятность того, что только один элемент будет
работать безотказно, равна коэффициенту при х, т. е.
P4(l) = 4(AJS4«0,048,
в)	вероятность безотказной работы дзух элементов равна
коэффициенту при х2, т. е.
г)	вероятность безотказной работы трех элементов равна
коэффициенту при х’, т. е.
р4(3)=44‘(|у«о.422;
д)	вероятность того, что все четыре элемента будут
работать безогказно, равна коэффициенту при х\ т, е.
Р4(4)=(4У«0,314. ▲
Пример 4. Событие А при однократном осуществле-
нии опыта наступает с вероятностью у. Опыт произво-
дится 10 раз. Какой исход этого эксперимента имеет наи-
большую вероятность? Чему она равна?
Л Производящий многочлен в этом случае имеет вид
124
В примере 7 § 12 было установлено, что наибольшим
коэффициентом этого многочлена является коэффициент
(1	/ 2 \7
у I ( у I • Таким образом, наибольшую
вероятность имеет следующий исход эксперимента: собы-
тие А произойдет 7 раз. Вероятность такого исхода
pw(7)=c;0(|y(|y«0,26.
Каждый из 10 других исходов эксперимента имеет мепь-
шую вероятность. А
Вопросы для контроля
1.	Вероятности каких событий можно вычислять по формуле Бер-
нулли? Как записывается эта формула?
2.	Что такое производящий многочлен? Каков вероятностный
смысл его коэффициентов?
3.	Если событие А наступает в некотором опыте с вероятностью
у и опыт проводится 5 раз, то как в этом случае записывается про-
изводящий многочлен?
Упражнения
4.31.	Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того,
что герб' выпадет два раза?
4.32.	Вероятность'того, что суточный расход газа на предприя~ии
не превысит нормы, равна 0,9. Какова вероятность того, что в тече-
ние недели предприятие трижды допустит перерасход газа?
4.33	Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что
герб выпадет не менее двух раз?
4.34.	Если вероятности выигрыша и проигрыша в одной партии
одинаковы и равны 0,5, тс что более вероятно: 1) выиграть три пар-
тии из четырех или пять из восьми; 2) выиграть не менее трех партий
из четырех или не менее пяти партий из восьми?
4.35.	Событие А при однократном осуществлении опыта наступает
2
с вероятностью . Определите вероятность того, что при пятикрат-
ном осуществлении опыта событие А произойдет 5 раз, 4 раза, 3 раза,
2 раза, 1 раз, не произойдет ни разу.
4.33.	По мишени производится 100 выстрелов. Каково на и вероят-
нейшее число попаданий, если вероятность попадания в мишень при
5 L
одном выстреле равна • - ?
4.37.	Рабочий обслуживает 50 станков. Вероятность того, что
в течение смены станок потребует регулировки, равна . Что более
вероятно: 1) регулировки потребуют 17 станков; 2) регулировки по-
требуют 16 станков?
125
4.38.	В приборе шесть лаып. При повышении напряжения в цепи
каждая лампа выходит из строя независимо от других с вероятностью
0,3. При перегорании трех или меньшего числа ламп прибор не выхо-
дит из строя. При перегорании четырех ламп прибор выходы из
строя с вероятностью 0,3, при перегорании пяти ламп—с вгроят-
нос’ъю 0,7, при перегорании шести ламп — с вероятностью 1. Опреде
лиге вероятность выхода прибора из строя при повыше ним напряжения.
§ 16. Случайные величины
1. Закон распределения случайной величины. Под слу-
чайной величиной, связанной с некоторым опытом, пони-
мается всякая величина, которая при осуществлении этого
опыта принимает то или иное числовое значение. В пре-
дыдущих параграфах мы уже встречались с разнообраз-
ными случайными величинами. В опыте с подбрасыванием
игральной кости нас интересовало число выпавших очков,
т. е. величина, которая в зависимости ог случая прини-
мала одно из следующих шести значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
При стрельбе по мишени пятью выстрелами мы также
имели дело со случайной величиной (числом попаданий
в мишень), которая могла принимать значения 0, 1, 2,
3, 4, 5. Примерами случайных величин могут служить
также:
а)	количество бракованных изделий в определенной
партии,
б)	величина надоя молока от одной коровы в течение
года,
в)	количество солнечных пятен с площадью, большей
некоторого определенного значения, зарегистрированных
астрономом в течение дня на солнечном диске,
г)	число лепестков в цветке сирени,
д)	количество дорожно-транспортных происшествий
в городе з течение суток.
Для полной характеристики случайной величины не-
обходимо прежде всего знать те значения, которые она
может принимать. Но этого, разумеется, недостаточно.
Помимо этого нужно знать, с какой вероятностью случай-
ная величина принимает то или иное значение.
Будем обозначать случайную величину буквой X, ее
значения буквами
^1» -"^Г • • • « %П9
а соответствующие вероятности, с которыми эти значения
принимаются, буквами
Pl'	> Рп‘
126
Если для случайной величины X известны все значе-
ния хх, хг, ..хп, которые она может принимать, и все
вероятности рх, /?2, .... рп, с которыми эти значения при-
нимаются, то говорят, что задан закон распределения слу-
чайной величины X или просто распределение величины X.
Закон распределения удобно записывать в виде сле-
дующей таблицы:
случайней величины, а под ними, во второй строке,—со-
ответствующие вероятности.
Рассмотрим п случайных событий:
Лх—случайная-величина X приняла значение хх,
А.г—случайная величина X приняла значение х2,
А„—случайная величина X приняла значение х„.
Очевидно, что сумма событий Лх, Д2, ..., Ап является
досговерным событием, так как одно из значений хх,
х2, . ..,хо случайная величина обязательно принимает.
Поэтому Р (Лх и А2 и ... U Л„) = 1.
Кроме тою, события Лх, А2, ..., А „ несовместны, так
как случайная величина при однократном осуществлении
опыта может принять только одно из значений хх, х2, ..., х„.
По теореме сложения для несовместных событий получаем
Р(Л1) + Р(Д2)+...+Р(Лп)=1,
т. е. рх + р2 + . •. +/?„ = 1, или, короче,
2/^1-	(2)
fe— 1
Следовательно, сумма всех чисел, стоящих во второй стро-
ке таблицы (1), дающей закон распределения случайной
величины X, должна быть равна единице.
Пример 1. Пусть случайная величина X—число
очков, выпавших при подбрасывании игральной кости.
Найти закон распределения.
А Случайная величина X принимает значения
хх = 1, хв = 2, ...» х„ = 6
127
с зерэятпосгями

Поэтому закон распределения задается таблицей
причем вероятность попадания при каждом выстреле равна
0,8 Рассматривается случайная величина X—число по-
паданий в мишень. Найти ее закон распределения.
Л Случайная величина X может принимать следующие
значения;
х1 = 0, х2=1, х3 — 2, х4 = 3.
Для определения соответствующих вероятностей соста-
вим производящий многочлен:
(0,2 + 0,8х)3 = 0,2s + 3 • 0,22 • 0,8х + 3•0,2• С,82х2 + 0,88х3.
Известно, что коэффициент при хк дает вероятность
того, что случайная величина X примет значение, рав-
ное k. Поэтому
р1 = 0,23 = 0,008,
^ = 3 0,2’ 0,8-0,090,
р9 = 3-0,2-0,82 = 0,384,
= 0,8s-0,512.
Таким образом, закон распределения случайной вели-
чины X имеет вид
0	1	2	3
0,008	0,096	0,384	0,512
2. Биномиальное распределение, Рассмотрим случай-
ную величину X—число появлений события А в серии
из п независимых опытов, в каждом из которых А насту-
пает с вероятностью р.
128
Случайная величина X может, очевидно, принимать
одно из следующих значений:
О, 1, 2, ..., k, .... п.
Вероятность события, состоящего в том, что случайная
величина X примет значение, равное k, определяется, как
мы знаем, формулой Бернулли:
Рп (k) = Cknp*qn~*, где q = 1 --р
Такое распределение случайной величины называется
биномиальным распределением или распределением Бер-
нулли. Распределение Бернулли полностью задается двумя
параметрами: числом п всех опытов и вероятностью р,
с которой событие происходит в каждом отдельном опыте.
Условие (2) из п. 1 для биномиального распределения
принимает вид
п	п
k=C	k—0
Для доказательства справедливости этого равенства
достаточно в тождестве
(q-rpx)n = S C^qn~kpks^
к-0
положить X = 1.
3.	Математическое ожидание случайной величины. Важ-
ной числовой характеристикой случайной величины явля-
ется ее среднее значение или математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием слу-
чайной величины называется число, равное сумме произ-
ведений всех значений случайной величины на вероятности
этих значений.
.Математическое ожидание случайной величины X обо-
значается МЛ. Если случайная величина X принимает
значения xt, х2, ..., хп соответственно с вероятностями
ра, .... рп, то согласно определению
п
MX=^xKpk.	(1)
Я=1
Математическое ожидание называют средним значением
случайной величины, так как оно указывает некоторое
«среднее число», около которого группируются все значе-
ния случайной величины.
Пример 1. Найти математическое ожидание числа
очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.
5 Алгебра, ч. 2	129
Л Распределение данной случайной величины X най-
дено в примере 1 пункта 1. По формуле (1) находим
6	в
МХ=£х^ = 2-£а = ±.^ = 3,5. ▲
Л=1	k=l
Пример 2. Найти математическое ожидание числа
появлений события А в серии из п независимых опытов,
в каждом из которых А наступает с вероятностью р.
А Вероятность того, что случайная величина X примет
значение k, согласно формуле Бернулли равна Р„ (А) =
= Cn<7n-ftpft. Следовательно, по формуле (1)
мх= 2 kpn(k).
k = 0
Для упрощения полученного выражения воспользуемся
тождеством
п
’ (<7 Ь рх)п = £ Р„ (k) хк.
Л=-0.
Продифференцировав по х обе части этого тождества,
получим
n(^ + px)"-1p= 2 kP„(k)x*~\
fc=0
Отсюда при х=1, учитывая, что р + <?=1, находим
п
V = 2 ЛР„ (Л).
Л-0
Следовательно,
МХ = пр.	(2)
Таким образом, математическое ожидание числа появ-
лений события А в серии из п независимых опытов, в каж-
дом из которых А наступает с вероятностью р, равно
произведению числа п всех опытов на вероятность р на-
ступления события в отдельном опыте
Другими словами, математическое ожидание случайной
величины, распределенной по биномиальному закону с
параметрами п и р, равно произведению пр. А
Пример 3. Найти математическое ожидание числа
бракованных изделий в партии из 10 000 изделий, если
каждое изделие может оказаться бракованным с вероят-
ностью 0,005.
130
Л. Число бракованных изделий—это случайная вели-
чина X, распределенная по биномиальному закину. Поэтому
по формуле (2) находим
МХ = 10 000-0,005 = 50 А
4.	Дисперсия случайной величины. Другой важной
числовой характеристикой случайной величины является
ее дисперсия.
Определение. Дисперсией случайной величины на-
зывается математическое ожидание квадрата отклонения
случайной величины от ее математического ожидания.
Дисперсия случайной величины X обозначается DX.
Следовательно,
DX = M(X-MX)2.
Пусть случайная величина X принимает значения х1у
ха, ..х„ соответственно с вероятностями plt р2, ..., рп.
Тогда квадрат отклонения случайной величины X от ее
математического ожидания есть случайная величина, кото-
рая принимает значения
(Xi—MX)2, (ха—MX)2, ..., (xk—MX)2....... (х„—MX)2
соответственно с вероятностями
Ро Р2. - - •. Рк- • • Рп-
Поэтому математическое ожидание так распределенной
случайной величины, т. е. дисперсию X, можно записать
следующим образом:
DX^2uft-MX)2^.-	(1)
fc=l
Дисперсия случайной величины характеризует степень
разброса, рассеивание случайной величины относительно
ее математического ожидания (среднего значения). Само
слово «дисперсия» означает «рассеивание».
Пример 1. Случайные величины X и Y такие, что
каждая из них с одинаковой вероятностью принимает лишь
два значения. X—значения —1 и 1, а У—значения —2
и 2. Найти DX и DF.
Л Из условия следует, что каждое свое значение слу-
чайные величины X и Y принимают с вероятностью 0,5.
Поэтому
МХ-(-1)4+14=--°.
МУ = (-2)4 + 24 = 0.
5*
131
Теперь, используя формулу (1), находим дисперсии:
DF =44+44=4- А
Пример 2. Законы распределения случайных вели-
чин X к Y заданы таблицами
Л Вычисляем математические ожидания:
МХ = (-2)4 + (-1)4+14 + 24 = 0’
му=(-2)4+(-1)4+14'Ь24=°-
По формуле (1) находим дисперсии:
dx“44+'4+‘4+44-2-
or=44+i-i.«e4+44=2'5
Случайные величины X и У принимают здесь одни и
те же значения, имеют одно и то же математическое ожи-
дание,^ но разброс случайной величины У больший, чем
у случайной величины X. Значения ±2, более удаленные
от математического ожидания, случайная величина У при-
нимает с большей вероятностью, чем случайная величина X,
а значения ±1, менее удаленные от математического ожи-
дания, У принимает с меньшей вероятностью, чем X.
Именно на это и указывает неравенство DX < ОУ. А
В примерах 1 и 2 дисперсии случайных величин вы-
числялись по формуле (1). Однако, как правило, для
вычисления дисперсии оказывается более удобной другая
формула. Для того чтобы получить ее, преобразуем прежде
всего правую часть формулы (1) следующим образом:
п	п
DX= 2 (xk-MXypb= 2 И-2(МХ)х>ч|(МХПр^
п	п	п
2	-2(МЛ) 2	+	2 Рл-
= 1	k= 1	fc= 1
132
Отсюда, учитывая, что
п	п
2р«=1 и 2 Здк=мх,
k=i	k-i
получим равенство
п
ох =2 4Рк-(мху.
k=i
Оставшаяся сумма в этом равенстве есть не что иное.
Такую случайную величину естественно назвать квадратом
случайной величины X и обозначить X2,
Таким образом, для дисперсии справедлива формула
DX = M(X2)—(MX)2.	(2)
Эта формула читается так- дисперсия случайной вели-
чины равна математическому ожиданию квадрата этой
величины без квадрата ее математического ожидания.
Пример 3. Найти дисперсию случайной величины X,
распределенной по биномиальному закону с параметрами
пир.
Л Б примере 2 предыдущею пункта было показано,
что ЬКХ = пр. Для вычисления дисперсии по формуле (2)
найдем М(Х2).
Заметим, что случайная величина X2 принимает зна-
чение k* с вероятностью pk=Pn(k) = Cknpkqn~l1, где k = C.
1, ..., п, а <7=1—р. Следовательно,
M(X2)=2^pft-2
k-0	k=0
Для упрощения получившейся суммы воспользуемся
тождеством
п
(q + px)n = 2 Рп (&)**•
k—0
Продифференцировав дважды по х обе части этого
тождества, получим нсвое тождество
п(п — I) (q + рх)п~2р2= 2 Pj.k)k(k—1) хк~2.
k — 1
133
Положив з нем х= 1, придем к равенству
п(п— 1)р®= 2 £(/?— l)Pft.
k= 1
Отсюда, учитывая, что
2 k2pk = М (X2) и 2	= м (X) — ПР>
k-i	s=i
находим
п (п — 1) рг - М (X2)—пр,
т. е.
М (X2) — п (п — 1) р2 4 пр.
Следовательно,
DX = п (п— 1) р2 4- пр—п*р'1 = пр—пр2
и, окончательно,
£>X = npq. ▲
5.	Понятие о законе больших чисел. Рассмотрим слу-
чайную величину X, равную числу наступлений события
А в серии из п независимых опытов, в каждом из кото-
рых событие А наступает с вероятностью р. Случайная вели-
чина может принять значение k, где любое из чисел
&
О, 1, 2, ..., п Отклонение частоты у наступлений со-
бытия А в серии из п опытов от вероятности р, с которой
событие А происходит в отдельном опыте, т. е.
14-4
также представляет собой случайную величину. Вероят-
ность того, что случайная величина |у—р| примет зна-
чение, не мепыпее некоторого положительного числа е,
будем обозначать Р Q у—р	•
Закон больших чисел утверждает: для любого поло-
жительного числа е вероятность того, что частота наступ-
лений события А в серии из п опытов отклоняется от
вероятности р, с которой А происходит в отдельном опыте,
не меньше чем на е, с ростом п стремится к нулю, т. е.
limP(l4~ p|>s) = °- (О
п " I /
Это утверждение называется законом больших чисел в
ферме Бернулли Из формулы (i) следует, что, как бы
134
мало ни было е, при достаточно большом п вероятность
неравенства
сколь угодно близка к нулю и, следовательно, вероятность
противоположного неравенства
сколь угодно близка к единице, т. е.
limP (I ~—р I < = 1.
Итак, с вероятностью, сколь угодно близкой к едини-
це, можно утверждать, что при достаточно большом
числе независимых опытов частота появления события
как угодно мало отличается от его вероятности в от-
дельном опыте.
В случаях, когда вероятность события неизвестна, закон
больших чисел позволяет принять за вероятность собы-
тия ею частоту, вычисленную при достаточно большом
числе опытов. Например, в связи с тем, что частота рож-
дений мальчиков при достаточно большом числе наблюде-
ний за рождаемостью оказывается близкой к числу 0,511,
именно это число принимается за вероятность рождения
мальчика. Знание этой вероятности позволяет делать
серьезные демографические прогнозы. Доказгтельство
закона больших чисел в форме Бернулли, опирающееся
на неравенство Чебышева, дается в следующем пункте.
6.	Неравенство Чебышева и доказательство закона
больших чисел в форме Бернулли. Рассмотрим абсолютную
величину отклонения случайной величины X от ее мате-
матического ожидания, т. е. рассмотрим случайную вели-
чину |Х—МХ|.
Вероятность того, что случайная величина |Х—ЛАХ |
примет значение, не меньшее некоторого положительного
числа е, будем обозначать Р (j X—МХ|^е).
Теорема Для произвольной случайной величины X
и произвольного положительного числа е справедливо не-
равенство 
Р(|Х-МХ|>в)<^,
т. е. вероятность того, что отклонение случайней вели-
чины X ст ее математического ожидания по абсолютной
135
величине будет не меньше произвольного положительного
числа е, не превосходит дисперсии X, деленной на &3.
Это и есть знаменитое неравенство П. Л. Чебышева,
с помощью которого в теории вероятностей доказываются
многие важные теоремы.
□ Пусть случайная величина X распределена по закону
Xi	...	*i	xl+l		xn
Pl	•..	Pl	Pi+i	* •»	Pn
Возьмем произвольное положительное число е. Тогда
все значения х4 (k— 1, 2. п) случайной величины X
можно разбить на два множества: к первому множеству
отнесем те значения хк, для которых выполняется нера-
венство
]х*—МХ|>е;	(1)
остальные значения, , т. е. те, для которых справедливо
противоположное неравенство
|xft—МХ|<е,	(2)
отнесем ко второму множеству. Заметим, что не исклю-
чается, что одно из этих множеств окажется пустым.
Не ограничивая общности, можно считать, что мы так
занумеровали значения случайной величины, что те зна-
чения, которые удовлетворяют неравенству (I), получили
номера от 1 до I, а остальные значения—номера от/+1
до п.
Рассмотрим теперь дисперсию случайной величины Х\
п
DX= 2 (xft-MX)’j7ft.
k=\
Так как все слагаемые этой суммы неотрицательны,
то, отбросив последние п— I слагаемых, мы можем только
уменьшить сумму, и поэтому
ох>2(ж*-мх)«л.
fe=i
Но теперь под знаком суммы остались только значе-
ния хк> для которых имеет место неравенство
|Xft—MX I >8.
136
Следовательно,
2 (-tfe—MX)'pft> 2 82Pft = e? 2 Рь-
k-l	4=1	4=1
I
Последняя сумма 2 Pk сеть вероятность того, что случай-
ная величина X примет одно из значений xlt х2, . ..,xz,
и поэтому 2 Рь есть вероятность того, что |Х—МХ|^е,
k— 1
т. е*
2рй-р(Н-мх|>8).
k~ 1
Таким образом, для дисперсии получена оценка
DX>a2P(|X—МХ|>е),
из которой следует неравенство Чебышева. 
Пример 1. Дисперсия случайной величины X равна
0,016. С помощью неравенства Чебышева оценить
Р(|Х—MX'>0,4).
Л Положив в неравенстве Чебышева DX = 0,016,
8 = 0,4, получим
Р(|Х-МХ|>0,4)<^ = 0,1. А
Пример 2. Прибор собран из 10 независимо рабо-
тающих элементов. Вероятность выхода из строя за время
t каждого элемента равна р = 0,05. Оценить с помощью
неравенства Чебышева вероятность того, что отклонение
числа элементов, вышедших из строя за время t, от ма-
тематического ожидания числа переставших работать за
то же время элементов скажется меньше 4.
Л Пусть X—случайная величина—число вышедших
из строя за время t элементов. Тогда
MX = пр = 10 • 0,05 = 0,5,	DX = прч = 0,5 0,95 = 0,475.
Следовательно, согласно неравенству Чебышева
PflX—МХ|>4)<^«0,3.
Поэтому искомая вероятность
Р(|Х—МХ]<4)> 1— Ц75«0,7. ▲
Используя, неравенство Чебышева, докажем закон боль-
ших чисел в форме Бернулли.
137
□ Пусть случайная величина X есть число наступле-
ний события А в серии из п независимых опытов, в каж-
дом из которых А наступает с вероятностью р. Случай-
пай величина X принимает значения k (k^C, 1,
Ранее (см. пп. 3 и 4) уже были вычислены математическое
ожидание и дисперсия случайной величины X:
ЬКХ = пр,	D X — npq.
Зададимся произвольным положительным числом
и запишем для случайной величины X неравенство Чебы-
шева:
bl
Заметим, что поскольку неравенство
\k—np\'^e1
равносильно неравенству
то
--p
\ I n I п /	81
Так как е,— произвольное положительное число, то —
также произвольное положительное число. Положив ^ = е,
получим следующую оценку для вероятности того, что
частота — наступления события А в серии из п опытов
отклоняется по абсолютной величине от вероятности р
наступления А в отдельном опыте не меньше чем на про-
извольное положительное число е:
—p
nea
Из полученной оценки, ввиду того, чго * 0 при
п-^-оо, сразу следует, что
limP
л->®
138
Вопросы для контроля
1.	Приведите пример какой-нибудь случайной величины.
2	Что называется распределением случайной величины?
3.	Какое распределение называется биномиальным?
4.	Дайте определение математического ожидания случайной ве-
личины.
£>. Что называется дисперсией случайной величины?
6,	Чему равны MX и ЭХ, если случайная величина распределе-
на биномиально с параметрами пир?
7.	Как связаны между собой MX, М (X3), DX?
8.	В сем состоит закон больших чисел в форме Бернулли?
Упражнения
4.39-	Мсжет ли распределение какой-либо случайной величины
задаваться таблицей:
0 п	1 2	10	п	• 2) -	1	2	' 3	4 ?
0,1	0,5	о,1	0,3		0	0,4	0,2	0,3
4.40.	Является ли закон распределения случайных величин, рас-
смотренных в примерах 1 и 2 п. 1, биномиалоным?
4.4£.	Моне"а подбрасывается три раза. Рассматривается случай-
ная величина X—число выпадений герба. Найдите распределение
случайной величины X.
4.42.	Случайная величина X—квадрат числа очков, выпавших
при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения.
4.43.	Производятся три независимых опыта, в каждом из которых
событие А появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная
величина X — частота появления события А в трех опытах. Найдите
закон .распределения случайной величины X.
4.44.	Случайная величина X имеет следующий закон распреде-
ления:
1	2	3
0,3	0,2	0,5
Найди~е MX и DX.
4.45.	Случайная величина X распределена по закону
2	4	6	8	10
1	1	1	1	1
4	8	4	8	4
Найдите MX и DX.
139
4.46.	Найдите MX и DX для случайной величины, рассмотренной:
Ь в vrp. 1.41; 2) в упр. 4.43
4.47.	Найдите MX для случайной величины X, рассмотренной
в упр. 4.42.
4.18.	Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад
вынимаются два шара. Найдите MX и DX, если X—число вынутых
белых шаров
4.49.	Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бра-
кованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие
может оказаться браксзанным с вероятностью 0,02.
4.50.	Из всей выпускаемой заводом продукции 95% составляют
изделия со знаком качества. Найдите математическое ожидание и
дисперсию числа изделий со знаком качества в партии из 5000 изде-
лий.
4.51.	Имеются 4 лампы, каждая из которых с вероятностью -у
имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектная лампа сразу пе-
регорает, и тогда ввинчивается следующая. Рассмотрите случайную
величину X—число ввинченных ламп. Найдите закон распределения,
математическое ожидание и дисперсию случайной величины X
4.52	При бросании трех костей игрок выигрывает 10 рублей,
если на всех костях выпадет шесть очков. В случае выпадения шести
очков только на двух коегях игрок получает рубль. Сколько должен
стоить билет, дающий право на участие в такой игре, чтобы игра
была выгодной?
4.53.	Мишень в тире представляет собой круг, разделенный на
три одинаковых сектора, занумерованных цифрами 1, 2, 3. Вовремя
выстрела мишень вращается, так что стрелок не различает секторов
и стреляет наугад. При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает
рубль, в сектор 2—два рубля, в сектор 3—три оубля. Стоимость
билета, дающего право па один выстрел, — полтора рубля. Выгодна
ли такая игра tomv, кто попадает в мишень с вероятностью: 1) 0,7;
2) 0,8; 3) 0,75?	/
Г л а г a 5
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 17. Числовые ряды
1. Определение ряда и его суммы. Пусть задана чи-
словая последовательность ап, n(^N. Тогда выражение
014-fl8+•	(1)
00
называется числовым рядом и обозначается 2°п- Следе-
п= I
вательно,
со
2 ап = О] + оа + ... + а„ + ...
П=1
Числа at, а.г, ... называются членами ряда (1), соот-
ветственно первым, вторым и т. д.; ап называется п-м или
общим членом ряда (1).
Суммы 5Х — alt S4 = аг + а2, ..., Sn — щ + ... + ап, ...
называются частичными суммами ряда (1).
Ряд
03	со
2 an+k = an+i±an+t+ ...*= 2 ак '(2)
Л=1	А=гп+1
называется п-м остатком ряда (J). Отметим, что у ряда
(2) первым членом является (/? + 1)-й член исходного ряда
(1) и Л-й член ряда (2) равен an+fc.
Ряд называется сходящимся, если последовательность
его частичных сумм сходится. Если последовательность
частичных сумм ряда расходится, то он называется рас-
ходящимся. Следовательно, ряд (1) называется сходящимся,
если существует предел
п
S= lim S„ = lim 2 ga-
co	CO fe = l
Этот предел называется суммой ряда (1).
Если ряд (1) сходится и .S —его сумма, то будем писать
к5 = 2 йь-
к = 1
141
Пример 1. Доказать, что ряд 2 <7Й сходится, если
k=i
|<?|<1, и расходится, если |д,|^1.
Д Этот ряд уже рассматривался при изучении суммы
геометрической прогрессии (см. Алгебра, часть 1, § 1S,
п. 10). Напомним, что
Sn =* у qk == -~Q_— для всех n$N.
А =1
Если |q|< 1, то lim 7',+1 = 0, н поэтому
Л -> <ю
Нтп s^iim-Ц^*-.
" п^оо 1-7	1-7
Следовательно, если |о| < 1, то данный ряд сходится и
Л=1
Если | q | > 1, то lim | <7|п+1 = + сю, поэтому последо-
п -> 00
вательность (<7ч+1) неограниченная и, следовательно, не
имеет предела. Отсюда следует, что последовательность
(S„) тоже не имеет предела, т. о. данный ряд расходится,
Пусть | q | = 1. Если q — 1, то
Sj= 1, S2 = 2, ..., Sn—n, ...
и, как легко видеть, данный ряд расходится.
Если <? =—1, то
Sf=—1, S’9=—1-Ь 1 = 0, S3 = —1, ....
т. е. частичные суммы с нечетными номерами равны “-1,
а с четными номерами равны 0. Такая последовательность
не имеет предела. Следовательно, если |д|=1, то данный
ряд расходится ▲.
Теорема 1. Если ряд сходится, то и любой его
остаток сходится. Если какой-нибудь остаток ряда схо-
дится, то и ряд сходится.
□ Пусть дан ряд 2as- Для любого п имеем
/г=1
n+N N	n + N	п
S,y+n*= 2 аА= 2 а* + 2 aft ~ $# + 2 aW+i=-Sv+£n<
k=i k=l	А = Л’ + 1	k=l
где S‘n—п-я частичная сумма N-ro остатка данного ряда.
142
Отсюда следует, что если ряд сходится и его сумма
равна S, то
lim SJ = lim (SN+n—S.v) =
П -> <x>	П-+ cn
= lim SN + n—— lim Sn—Sv = S—Sv
П -> »	n -* 00
и, следовательно, JV-й остаток ряда сходится. Наоборот,
если JV-Й остаток ряда сходится и его сумма равна Rn, то
lim S„ = lim SN + n= lim (S.v + S„)-
n -> co	n 00	n -> CD
= Sn + lim S„ = Sjv +
n -> X
и, следовательно, ряд сходится. 
Из доказательства теоремы 1 следует, что если S —
сумма данного ряда, то
S — Sv 4- AJ.v»
где Sv—/V-я частичная сумма, a R,v—сумма М-го остатка
данного ряда.
Теорема 2. Если ряды с общими членами ап и Ьп
сходятся и
tan=A, tbn = B;
п=1	п=1
то для любых чисел а и Д ряд с общим членом сп=аап+$Ьп
сходится и
2 (ааЛ-₽д„)=ШД + рВ.
П= 1
□ Действительно,
lim 2 (а«л +	= Um а 2 а4 + ₽ 2 ) —
= а lim 2 ak + ₽ Ия bk=-аА ±
n-> х 4=1	п->«4=1
а это и означает, что ряд с общим членом са = аап +
сходится и его сумма равна аЛ-|-рВ. В
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
2 (2 3-ЧЗ-21-»).
П=1
Л Общий член этого ряда имеет вид
Со = 2.(±)"+3.2.(|у.
143
Как показано в примере 1, ряды с общими членами
йл = (игУ и = СХ°ДЯГСЯ и
В силу теоремы 2 данный ряд сходится и
У (2.3“n + 3•21-’’) = 2.y4-6^7. ▲
П=1
Теорема 3 (несходимсе условие, сходимо-
сти ряда). Если ряд с общим членом а„ сходится, то
ап —* 0 при п—+ со.
со
□ Пусть ряд 2 ап сходится и его сумма равна S.
П=1
Тогда
ап = 2 flfe— 2	S„_i
k- 1	1
для любого n^2, й поэтому
lim an = lira (<$„—Sn_() = lira Sa — lim S„_i = S—S — 0. 
00	n-> CO	n->00
Пример 3. Исследовать па сходимость ряд
А Для этого ряда не выполняется необходимое условие
сходимости.
Действительно,
и, следовательно (см. Алгебра, часть 1, § 18, н. 8),
lira а„ — — .
п р
Таким образом, данный ряд расходится. ▲
144
X' 1
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд /. у •
п- 1
А Этот ряд называется гармоническим. Покажем, что
он расходится.
Заметим, что
k I-1
У у dr < для всех k б N.
k
Поэтому
П	П *+* .
5« = £ у >2 J “Г для всех "eJV-
А=1	к=1 А
А тэк как
п S+1	П+1
L И-И-Ч*,=1п<'1+1>'
Л= 1 к	1
ТО
S„ > In (п 4- 1) для всех n$N,
и, следовательно, limSn= + oc, т. е. гармонический ряд
П-> 00
расходится. ▲
Рассмотренный пример показывает, что из условия
lim ап — О
П-> 00
не следует сходимость ряда с общим членом ап. Это усло-
вие является необходимым, но не является достаточным
для сходимости ряда.
2. Ряды с неотрицательными членами. Прежде всего
заметим, что последовательность частичных сумм любого
ряда с неотрицательными членами является неубывающей.
сю
Действительно, пусть дан ряд 2 ап с неотрицательными
_	п= 1
членами: ап 0. Тогда
п	П+1
s„= 2 °* с 2 ак=^п+1 для всех п-
k-l	к= 1
Известно (см. Алгебра, часть 1, § 18, п. 8), что если
неубывающая последовательность ограничена, то она имеет
конечный предел. Если же она неограниченная, то она
145
является бесконечно большой (см. Алгебра, часть 1,
§ 18, п. 7); про нее говорят, что она расходится к 4-°°-
Поэтому, если ряд с неотрицательными членами расхо-
дится, то будем говорить, что он расходится к +<х> и что
его сумма равна -+ ос. Таким образом, справедлива сле-
дующая теорема.
Теорема 1. Если последовательность частичных
сумм ряда с неотрицательными членами ограничена, то
ряд сходится. Если последовательность частичных сумм
ряда с неотрицательными членами неограничеча, то ряд
расходится « -j-oo.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
00
(1)
Л=1
А Покажем, что если а> I, то ряд (1) сходится, а
если а^1, то ряд (1) расходится.
Для любого га > 2 при а > 1 имеем
П	п 1 л	п kn j
К-
Л=1	4=2 Л-1	4= 2’4-1
1 । С 11 *~а+1 Mi..1 - а-
-* + -a+ll, <	“а-Т
1
и поэтому, согласно теореме 1, при a> 1 ряд (1) схо-
дится.
В предыдущем пункте мы уже показали, что при
а = 1 ряд (1) расходится Покажем, что он расходится
при любом as^l. Имеем (см. пример 4 n. 1)
п	п
s.=Lsr>L4->in(i+»).
4=1	4=1
и поэтому lim S„ = -|-oo.
П->- СС
Таким образом, ряд (1) при а>1 сходится, а при
asCl расходится к 4-оо. А.
Теорема 2 (признак сравнения). Пусть для
СО	00
рядов 2«. и 2 ьа выполняется условие: существует N
п=1	п=1
такое, что 0 ^ап^Ьп для всех n^N.
Тогда, если ряд из Ьп сходится, то и ряд из а„ схо-
дится. Если же ряд из ап расходится, то и ряд из Ьп
расходится.
146
□ Если ряд из Ьп сходится, то сходится и любой его
оо
остаток (см. теорему 1 п. 1). Пусть В — 2 тогда
л=л/
П	п	00
i С: 2 bft 2 bk — В для всех л Л\
k=N	k~N	k~N
CD
т. e. последовательность частичных сумм ряда 2 ak ог*
k = N
раничена. Так как, кроме того, а*>0 для всех
п
то в силу теоремы 1 ряд 2 а* сходится. Следовательно,
k=N
оо
сходится и ряд 2 ак (см> теорему 1 п. I).
й=1
Если ряд из а„ расходится, то ряд из Ьп не может
сходиться, так как из его сходимости следует сходимость
ряда из ап. 
„	Л _	к' skia пх
Пример 2. Сходится ли ряд 7- —й»—• где х—не-
П=1
кагоров действительное число?
л -г	л Sin2 ПХ____1	V'' 1
А Так как С С——Сут Для всех п и ряд X у»
П=1
сходится (см. пример 1), то по признаку сравнения дан-
ный ряд сходится для любого x£R. А
00
Пример 3. Сходится ли ряд У, ?
Л=1
л т	1пл .	1	1
А . ак как —— > — для всех п > 3 и ряд 2j Т
п=1
расходится, то по признаку сравнения данный ряд рас-
ходится. ▲
00
Лемма. Пусть дан ряд 2 апс положительными нле-
П=1
нами. Тогда если существует q такое, что
q < 1 для всех п,	(2)
ап
то ряд сходится. Если же
Ea±L	1 $ля всех п	(3)
ап	'
то ряд расходится.
147
□ Если выполняется условие (2), то
?4-i С • С01?".
Следовательно,
для всех п.
со
А так как ряд 2 aiQn 'х> У которого 0 < q < 1, сходится,
и= 1
то по признаку сравнения данный ряд тоже сходится.
Если выполняется условие (3), то
an + i ап 5s- • • 2s а1>
т. е. ап ах > 0 для всех п. Отсюда следует, что для
ряда не выполняется необходимое условие сходимости и,
следовательно, ряд расходится. |
Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть для
ряда с положительными членами ап выполняется услоеие
lim fix’. =
П->® °п
Тогда если q< 1, то ряд сходится, а если q> 1, то
ряд расходится
□ Из определения предела последовательности сле-
дует, что для каждого 8 > 0 существует N такое, что
q—е < л"— < q + 8 для всех .
ап
Если q < 1, то, выбрав 8>0 так, что </Ч-8< 1, по-
лучим
< q + е < 1 для всех n^N,
ап
т. е. /V-й остаток данного ряда удовлетворяет условию (2)
леммы. Следовательно, ряд сходится.
Если д>1, то, выбрав е>0 так, что q—8> 1,
получим
a"+1 > Q —8 > 1 для всех п > У,
ап
•г. е. У-й остаток ряда удовлетворяет условию (3) леммы.
Следовательно, ряд расходятся. |
00
Пример 4. Сходится ли ряд V ~ ?
п = 1 2	'
148
д Здесь «„=£-, и поэтому
Иш -2и±1
п- * а ап
lim
П-» 00
(п+1).2"
п.2п^*
1
2 *
По признаку Даламбера данный ряд сходится. А
00
Пример 5. Сходится ли ряд У
Ю4	п=*
д Здесь о, = - , . Следовательно,
lim
П->т аП
..	10«-ч-п!
(nJ- 1)1 10"
lim
п-> со
10
п+1
о.
По признаку Даламбера данный ряд сходится, а
Замечание. Если
Нт ^"±1=1,	(4)
Л-*оо af
то ряд может как сходиться, так и расходиться. Напри-
со
мер, для ряда У, при любом а выполняется усло-
п= 1
вне (4). Одпако, при а> 1 ряд сходится, а при as^l
расходится (см. пример 1).
3.	Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Важный
класс сходящихся рядов образуют так называемые абсо-
лютно сходящиеся ряды. Прежде чем давать соответ-
ствующее определение, докажем следующую теорему.
со
Теорема 1. Если ряд 2 !апI сходится, то и ряд
п= 1
со
2 сходится.
п=1
□ Положим
„ _ I Дп| + ап _ __ I I —ага
2	’ Чп 2
Очевидно, что
0 рп | ап |, 0 < qn < | а„ | для всех п.
00	со
По признаку сравнения ряды 2 Рп и S Яп сходятся.
П= 1	Zl= 1
Л так как ап = рп—qn, то (см. теорему 2 п. 1) данный
ряд тоже сходится. |
149
Определение 1. Ряд 2 ап называется абсолютно
п=1
со
сходящимся, если сходится ряд 2 |°п!-
п= 1
Теорема 1 утверждает, что если ряд абсолютно схо-
дится, то он и просто сходится.
Для исследования рядов на абсолютную сходимость
можно пользоваться всеми признаками сходимости для
рядов с неотрицательными членами.
03
Теорема 2. IIусть для ряда £ а„ выполняется уело-
П=1
еие
lim J^jl- = <yr
П- * 00 I an I
Тогда если q<.\, то ряд. сходится абсолютно, а если
17 > 1, то ряд расходится.
□ Если р < 1, то абсолютная сходимость следует из
признака Даламбера для рядов с положительными чле-
нами. Если </> 1, то для ряда не выполняется необходи-
мое условие сходимости ряда (см. конец доказательства
леммы из п. 2) и, следовательно, ряд расходится, |
CD
Пример 1. Доказать, что ряд У —,гдеа>1,
л= 1
сходится абсолютно.
д Этот ряд сходится и, более того, сходится абсо-
лютно. Действительно, здесь
(—1)”-1	। । 1
ап~ па, » I Пп I— па ’
00
и ряд У , где а > 1, сходится. Следовательно, данный
п= 1
ряд сходится абсолютно и, в частности, он сходится. А
00
Пример 2. Сходится ли ряд У,	где а> Ь
1
а х—произвольное действительное число? Сходится ли он
абсолютно?
А Этот ряд сходится абсолютно, так как
Isin пх I 1
—для всех п,
со
и ряд У при а > 1 сходится, л
п-1
150
Пример 3. Сходится ли абсолютно ряд
п= I
где 0 < «	1?
д Данный ряд не является абсолютно сходящимся,
со
так как ряд , где а^1, расходи гея. Ниже будет
п-1
доказано, что данный ряд сходится при любом а > 0. А
Теорема 3 (признак Лейбница). Если после-
довательность (а,.) из положительных чисел убывает
00
и limo„ = 0, то ряд 2 (—l)’-1^ сходится.
П—1
□ Рассмотрим последовательность частичных сумм дан-
ного ряда с четными номерами:
2m
52,а-2(~1)*'Ч. tn^N.
k= i
Так как
т
sim-- at—a2 + ...	С2Я,= 2
k= i
и согласно условию а2к_1—atk^0, то последовательность
32я, m£N, возрастающая. С другой стороны,
S2m = a-. — (ai—а3)—...— a2„<at для всех т,
т. е. рассматриваемая последовательность ограниченная.
Следовательно, она имеет предел. Пусть
«4 lim Ssm.	(1)
m->co
Для частичных сумм с нечетными номерами имеем
lim 52m_1= lim (Slm—a1M)= lim S.tm— lim a2m = S. (2)
m-> ®	rn-+ co	®	co
Из (1) и (2) следует, что данный ряд сходится и его
сумма равна S, gg
Из признака Лейбница следует, что ряд
V Р"
ДЦ па
н- 1
сходится при любом а > 0. Однако он не является абсо-
лютно сходящимся, если С<а^1,
Определение 2. Ряд называется условно сходя-
щимся, если он является сходящимся, но не является
абсолютно сходящимся.
151
Например, оба ряда
ОС	со
n=l	n=l
сходятся. Однако если первый ряд абсолютно сходящийся,
то второй ряд не является абсолюгно сходящимся и, еле-
доьательно, является условно сходящимся.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают многими свой-
ствами обычных конечных сумм. В частности, для них
имеет место свойство, аналогичное свойству перемести-
тельности: сумма абсолютно сходящегося ряда не меня-
ется при любой перестановке членов ряда.
Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать по-
членно. Более точно Это утверждение формулируется еле-
оо	со
дующим образом: если ряды 5 «л. 5 Ьч абсолютно схс-
П=1	Я=1
со	со
дятся и А —	2 ап>	2	^п> 10 РЯД> членами которого
I	П=1
являются всевозможные произведения вида акЬп, абсолютно
сходится и его сумма равна произведению АВ.
Условно сходящиеся ряды по своим свойствам суще-
ственно отличаются от обычных конечных сумм. Напри-
мер, для них справедливо следующее утверждение: в ус-
ловно сходящемся ряде можно так переставить члены, что
полученный ряд будет сходиться к любому наперед задан-
ному числу Более того, можно так переставить члены
условно сходящегося ряда, что полученный ряд будет
расходиться.
4.	Последовательности и ряды с комплексными чле-
нами. Пусть задана последовательность комплексных
чисел
Zi, . . ., 2п, ...	(1)
Как и для действительных чисел, эту последовательность
будем обозначать (zn).
Определение Комплексное число z называется
пределом последовательности (г„), если
lim |z„—z| = 0,
где zn—г |—модуль комплексного числа z„—z.
Последовательность, имеющая предел, называется схо-
дящейся.
152
Если число z является пределом последовательности (zn),
то пишут
Нтгп = г или z„ —>z при /г—* ос
и говорят, что последовательность (гя) сходится к z.
Теорема 1. Последовательность комплексных чисел
zn = ап + ibn, п QN, сходится тогда и только тогда, когда
сходятся последовательности их действительных и мни-
мых частей, причем
lim z„ = lim a„ + ilim bn.
П-+<»	п-><х>
□ Пусть
lim ап = а. lim bn = b.
П-+<*>	П-ж
Покажем, что тогда lim z„ = z, где z = a-\-ib. Так как
п -><х
12п—г| = И(о„-а)Ч (Ьп—Ьу<'а,— а| +1Ьп—Ь|
и |ап—а|—>0, \Ьп—^0 при п—+ оо, то |zn—z|—>0
при п —* оо, т. е. Lim z„ = z.
n->®
Если же lim zn = z, где z = a + ib, то из неравенств
п->®
|а„—a|<|z„—z], \ЬЛ—b | < j z„—z|
следует, что |а„—а| —> 0 и	—fe| —► 0 при п —> оо, т. е.
liin ап=а, lim bn — b. g
Из теоремы 1 и соответствующих теорем для п.осле-
довгтельностеп действительных чисел вытекают следующие
утверждения для последовательностей комплексных чисел.
Следствие 1. Сходящая последовательность имеет
единственный предел.
Следствие 2. Если последовательности (zn) и (ш„)
сходящиеся, то предел суммы (z„ + te>„) равен сумме пре-
делов'.
lim (z„4-ffi»„)= lim ?n + lim sa„,
n->00	rt~>co	П-Х»
предел разности (гп—wn) равен разности пределов:
lim (zn—tt'rt) =4 lim z,—lim wn.
и предел произведения (znwn) равен произведению пределов:
lim znwn= lim z„ • lim wn.
n-*<x>	n~+tx> n-+<x>
153
Если, кроме того, zn=^0 и lim гп^0, то предел
П-+а>
частного . — ) равен частному пределов.
lim wn
Нш Wn ____________________________ n- >с°
п —>• со Zfi lim Zn
n->-®
Как и в п. 1, определяются ряды с комплексными
со
членами 2 ип' Для них остаются в силе все определе-
п= 1
ния и теоремы из п. 1. В частности, для рядов с комп-
лексными членами справедливо следующее необходимое
условие acaduMoctnut
со
Если ряд 2 мл сходится, то Нт «„40.
П=1	л-*-®
СО
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд 2 z"»
п- 1
где z—некоторое комплексное число.
д Если |г]^>1, то для данного ряда не выполняется
необходимое условие сходимости:
| z" | = | г |" > 1 для всех п,
и, следовательно, ряд расходится.
Если же | г | < 1, то ряд сходится. Действительно, для
n-й частичной суммы справедлива формула
п
S.=£* = -^
А=1	12
и поэтому
lim S — ~----------— lim z’.
п->х "	1~г l~z п + »
Так как |zn | = |z|" —> 0 при п—> оо, то lim г" = 0, и
П-*-00
поэтому
п
lim 21 2® —	• Ж.
п -*« k= 1	1 г
СО
Теорема 2. Пусть дан ряд 2 ип с комплексными
п= 1
со
членами. Тогда если ряд из модулей 2 lunl сходится, то
Л=1
и данный ряд сходится.
154
□ Пусть un — an + ibn и, следовательно, | ип | =
= К<£ + ^. Так как |a„|^|u„|, |Ьп|<|ык| и ряд
00
2 |«„| сходится, то по признаку сравнения ряды из ап
п= 1
и Ьп абсолютно сходятся. Пусть
1ап=-А, ±Ьп = В.
п=1	п= 1
Тогда по теореме 1 данный ряд сходится и
п	/ п	п \
lim 2 ик= lim I 2 ak +i 2 bk )=
Л->оо A= 1 Л->аэ \Л= 1	k= 1	/
n	n
— lim 2ttft+l iim bk — A-Y IB. g
n-*co Л=1	n->00 Л-1
Отметим, что, как и раньше, если ряд 2 1ы«1 схо"
л= 1
00 _
дится, то ряд 2 un называется абсолютно сходящимся,
п- 1
Следовательно, теорема 2 утверждает, что если ряд
с комплексными членами абсолютно сходится, то он и
просто сходится.
п
Пример 2. Доказать, что ряд	где z—нек0‘
п- 1
тсрое комплексное число, сходится абсолютно.
Л Здесь
Z”
и„ — —г ,
" п! ’
n!
Докажем, что ряд X, с действительными членами
п= 1
сходится при любом г.
Если z = 0, то ип—0, а ряд из нулей сходится. Если
2#= 0, то |zf > 0 и к ряду' можно применить признак
Даламбера. Имеем
Пт -! “«-и ।
п->ю , МИ I
lim
п
_И_
п+1
а>
для любого комплексного 2=^0, и поэтому ряд 2 I ип I схо-
п=1
дится.
155
00
_	2п
Таким образом, ряд сходится абсолютно при
п= 1
любом комплексном г. а
Вопросы для контроля
1.	Сформулируйте определение числового ряда.
2.	Что называется членом ряда, частичной суммой ряда, остат-
ком ряда?
3.	Какой ряд называется сходящимся? Приведите примеры схо-
дящихся рядов.
4.	Какой ряд называется расходящимся? Принедите примеры
расходящихся рядов.
5.	Чтс называется суммой ряда?
6	Как связаны сходимость ряда и сходимость его остатка?
7.	Сформулируйте необходимое условие сходимости числового
ряда. Является ли эго условие достаточным для сходимости ряда?
8.	Сформулируйте признак сходимости ряда с неотрицательными
членами.
9.	В чем состоит признак сравнения сходимости рядов с неотри-
цательными членами?
10.	Сформулируйте признак Даламбера.
11.	Какой ряд называется абсолютно сходящимся? Приведите
примеры абсолютно сходящихся рядов.
12.	При каком условии числовой ряд сходится абсолютно?
13.	Сформулируйте признак Лейбница.
14.	Какой ряд называется условно сходящимся? Приведите при-
меры условно сходящихся рядов
15.	Что называется пределом последовательности комплексных
чисел?
16.	Сформулируйте признак сходимости последовательности комп-
лексных чисел.
17.	Укажите достаточный признак абсолютней сходимости ряда
с комплексными членами.
Упражнения 5.1. Найдите суммы следующих рядов: ( 2«+1	2л— 1 ) ’	2) S п=1 4	п=1 СЮ	00 П=1	0=1 5) 2 ( 10’* + 102П + 1 ) п—1		1 (2п—1) (2rt-|- 1) ’ (~ 1)п . 7я ’
163
5.2	. Сходятся или расходятся следующие ряды:
£< 1000п-| 1 1	2) Z- (‘ + 7г) ’
п=1	л=1 4
оо
5.3. Используя признак
следующие ряды:
<х>
dL—«
пЧ 3
сравнения, исследуйте на сходимость
3>Е-Йг>
и=2	л=1
00	со
м V 1	V 1
" /п(п2 * 4-2) ’	/п(п+0 ’
5.4.	Используя признак Даламбера, исследуйте на сходимость
следующие ряды:
Л=1	/1=1
1=1	П=1
п — 1
5.5.	Исследуйте на абсолютную и условную сходимость следую-
щие ряды:
00
<>£
/1=1
со
«>£
Л=1
со
(— 0п+х. оч V О"*1»
h 2«-1
cos n .	. у, (— i)n .
п! *	' Inn ’
п=2
2п-’
§ >8. Степенные ряды
1, Радиус сходимости и круг сходимости степенного
ряда. В этом параграфе будем рассматривать ряды вида
2 an(z—г3)п,
п=0
157
где zn и at, aL, ..ап, ... — заданные комплексные числа,
a z—переменная, принимающая любое комплексное число
Такие ряды называются степенными рядами. Числа
ал, alt ..., ап, ... называются коэффициентами степен-
ного ряда (1).
Общий член ряда (1)
«л = «п(г-20)п
является функцией от г, и при каждом фиксированном
значении переменной z является некоторым комплексным
числом. Следовательно, при каждом значении перемен-
кой z ряд (1) является числовым рядом
Отметим, что у степенного ряда счет членов ведется
не с единицы, а с нуля: первый член называется пуле-
вым, второй — первым и т. д. Для степенного ряда такой
счет является естественным, так как нулевой член ы0
является произведением коэффициента а0 на многочлен
нулевой степени (z—z0)e = 1, первый член и± есть произве-
дение аг на z—z0 и, вообще, п-й член ип равен произве-
дению коэффициента ап на многочлен п-й степени (г—z0)n.
Так как между точками координатной плоскости и комп-
лексными числами имеется взаимно однозначное соот-
ветствие, то часто вместо «комплексное число z» говорит
«точка г». Так что если ряд (1) сходится при z = z1( то
говорят, что данный степенной ряд сходится в точке zx.
Множество всех точек г, в которых ряд сходится,
называется его областью сходимости. Заметим, что любой
степенной ряд вида (i) сходится в точке z0, так что область
сходимости любого степенного ряда содержит по крайней
мере одну точку. Дальнейшие сведения о виде области
сходимости степенного ряда получим из следующей заме-
чательной теоремы, носящей имя норвежского математика
Н. Абеля (1802—1829).
Теорема 1. Если степенной ряд (1) сходится в точке
21 #= z0, то он сходится абсолютно в любой точке z такой,
что jz—z0| < |Zj—z0|. Если же ряд(1) расходится в точке zt,
то он расходится в любой точке г, для которой | z—z01 >
>|Zi —z0|.
Другими словами, если степенной ряд (1) сходится
в точке Z; ^z0, то он сходится абсолютно в любой точке z
из круга |z—ze | < | Zi—z0|. Если же ряд (1) расходится
в точке Zj, то он расходится в любой точке, лежащей вне
круга |z—z01 С j zx--z, |. О поведении ряда в точках
окружности \г—1 = [ —zc | теорема Абеля ничего не
утверждает.
□ Очевидно, если числовой ряд
2 «„(*1 —*o)"
п-0
сходится, то общий член этого ряда ограничен.
Пусть |a„(zt—z0)n|<Al для всех п. Тогда, если
|2—ZjClZj—zttf, то
1 ап (z- а0)“ | = | ап (?!—?0)” | • (< М  qn,
где о = -М—-Цг < 1. Применив признак сравнения (с гео-
I Zi Zq |
метрической прогрессией), получим, что в любой точке г
из круга |г—z, | < | zx—ze| ряд сходится.
ею
Пусть теперь ряд 2 an(2i—2о)” расходится. Тогда
п=0
ряд (1) расходится в любой точке г2, для которой
| z2—z01 > | Zi—201, так как если бы он сходился в точке г^,
то он по доказанному должен сходиться в точке г±. 
Из теоремы Абеля следует, что для степенного ряда (1)
возможны три ситуации:
1)	ряд (1) сходится только в точке zft;
2)	ряд (1) сходится во всех точках г;
3)	существует число R > 0 такое, что для всех г из
круга \г—zj<7? ряд сходится, а для всех z, |z—z3|>
> R, ряд расходится.
Определение 1. Число 7? > О такое, что ряд (1)
сходится для всех z, |z—z01 < R, и расходится для всех z,
jz—г0| > /?, называется радиусом сходимости ряда (1).
Если ряд (1) сходится только в точке z0, то /? = 0. Если
ряд (1) сходится при любом г, то 7?^ + ои.
Таким образом, у любого степенного ряда есть радиус
сходимости R и, согласно определению, 0^fi^4-oo.
Определение 2. ^Множество всех точек г, удовлет-
воряющих неравенству |z—z01 < R, где R—радиус схо-
димости ряда (1), называется кругом сходимости ряда (1).
Отметим, что если 0 < R < + оо, то круг сходимости
ряда(1)—это открытый круг радиуса 7? с центром в точке г0.
Если R = + оо, то круг сходимости—это вся комплекс-
ная плоскость. Если /?=0, то ряд сходится только в точ-
ке z0.
Теорема 2. Если у степенного ряда (1) последова-
тельность (т— т 1 имеет конечный или бесконечный
159
предел, то
для радиуса сходимости справедлива формула
□ Пусть
R = lim
OP
I On I
1ал + 1|
lim
bril
I an+i |
A.
Рассмотрим сначала случай, когда 0 < А < 4- оо. Выбе-
со
рем некоторое г,-тДг0 и к числовому ряду 2 \ап I• I zi—го|°
применим признак Даламбера. Здесь ип =}ап]  \ —z0
И ПОЭТОМУ
lim ^"±1=.. пт Hn+i l-K-zoiy1^
П-*00 Un П-+00 I an I' I г1 го I”
= \Z1—ZO \ lim -77T- = I«i—2u)|A-
П-+Х I “л I	Л
Если -jf-1 ?i—г0|< 1, то ряд (1) сходится абсолютно,
еслч-^-IZi—гс|>1, то ряд расходится. Следовательно,
R=A.
Если А — 4- оо, то lim ^±^ = 0 для любого г=5^г0
«->•» “л
и, следовательно, ряд сходится при любом г, т. е.
7? = 4- оо.
Если А =- 0, то lim = 4-00 для любого г г0
П-г 00 “л
и, следовательно, ряд расходится при любом г=И=г0, а 370
и означает, что R = 0. 
В последнем пункте предыдущего параграфа рассмат-
ривались ряды
Там было показано, что первый ряд сходится для всех z,
|z| < 1, и расходится для всех г,	а второй ряд
сходится при всех г. Следовательно, у первого ряда
7?=1, а у второго ряда /? = 4-°°- Легко проверить, что
то же самое получается и по формуле (2).
Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда
00
у Z"
Zj 2п ’
п=0
160
Л Здесь =	> 0 для всех п. По формуле (2) нахо-
дим радиус сходимости:
R=* lim = 2.
Таким образом, данный ряд сходится во всех точках г,
|z| < 2, и расходится во всех точках z, |г|>2. Для
полноты исследования заметим, что этот ряд расходится
во всех точках г, ]z| = 2, так как в них не выполнено
необходимое условие сходимости ряда. А
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
«
V —
п*‘
П=1
Д У этого ряда все коэффициенты положительные: аг1 =
— -j > 0 для всех п. По формуле (2) получаем
00 а
Следовательно, |z|< 1—круг сходимости данного
ряда.
СО
Так как ряд У, — сходится, то данный ряд сходится
л= 1
абсолютно для любого z, ] г j — 1.
Таким образом, данный ряд сходится абсолютно при
всех z, |zj< 1, и расходится при других г. ▲
<»
г"
Замечание. Для ряда X — так же, как и выше,
п= 1
доказывается, что его радиус сходимости равен 1. Однако
на границе круга сходимости, т. е. на окружности | z | = 1,
имеются как точки, в которых ряд сходится, так и точки,
в которых ряд расходится. Например, в точке z=l ряд
расходится, а в точке г — — 1 по признаку Лейбница он
сходится.
со
Пример 3. Найти радиус сходимости ряда У
л=0
Д К этому ряду нельзя применить формулу (2), так как
у него все нечетные коэффициенты равны нулю:
и @2ц= ~2п всех п.
6 Алгебра, ч. 2
161
Для нахождения радиуса сходимости зафиксируем
некоторое значение 2=4=0 и применим признак Даламбера
I 2» |2и
к числовому ряду о общим членом «п = ~2« ' Имеем
|«n+iI .. | г|2 (n+X)-2n	|z|»
|u„|	2«+1|z|a«	2 *
Следовательно, если | z |2 < 2, то ряд сходится абсо-
лютно, а.если |z|2 > 2, то ряд расходится. Таким обра-
зом, 7? = К 2. ▲
2. Степенные ряди с действительными членами. Б этом
пункте будем рассматривать степенные ряды с действи-
тельными членами, т. е. ряды вида
со
£ ап(х—х0)",
п=Э
(О
где х0, с0, ах, .... с„, ...—заданные действительные
числа и х принимает лишь действительные значения.
Заметим, что если х принимает произвольное комп-
лексное значение z, то рассматриваемые ряды будут сте-
пенными рядами с комплексными членами, и поэтому
для них остаются в силе все определения и теоремы из
п. 1. Так что если 7?—радиус сходимости ряда (1), то
ряд расходится для всех х таких, что \х—хи|>7?,
и сходится для всех х таких, что | х—ха | < R, т. е. для
всех х из интервала (х0—R; х, + R), который называется
интервалом сходимости. В частности, если R = 4 оо, то
интервалом сходимости будет все множество действитель-
ных чисел R-- (—оо; 4- оо), а если 7? = 0, то ряд схо-
дится только в точке х0.
На интервале сходимости степенной ряд определяет
функцию
S(x)= 2 а„(х—х0)п.	(2)
п=0
Эта функция называется суммой степенного ряда.
Можно доказать, что сумма степенного ряда непре-
рывна и имеет непрерывные производные любого порядка
на интервале сходимости ряда. Кроме того, производная
суммы S' (х) является суммой ряда из производных, т. е.
S' (х) = 2 па„(х—Хо)”-1.	(3)
л = i
162
Аналогично,
S"(x)= 2 л(л—1)а„(х—ж.)»”,
л=2
S"'(x)= 2 п(п~1)(п — 2)а„(х—хл)п-ч
л=3
и т. д. В этом смысле иногда говорят, что дм степенных
рядов производная суммы равна сумме производных или
что степенные ряды можно дифференцировать почленно:
( 2	*»)“) = 2 (а„(х—х0)п)'.	(4)
\п=0	/	л=0
Это утверждение о почленном дифференцировании сте-
пенных рядов мы примем без доказательства. Также без
доказательства примем и следующее утверждение о почлен-
ном интегрировании степенных рядов:
интеграл от суммы степемного ряда равен сумме ряда
из интегралов от соответствующих членов данного ряда,
т. е.
п	Л Г
\ S (х) dx = 2 ' ап (х—х0)п dx	(5)
а	«=0а
для любого отрезка [а; 6] из интервала сходимости. Дру-
гими словами, степенной ряд на интервале сходимости
можно интегрировать почленно:
р 00	Я' ~
‘ 2	x0)ndx = 2 j ап{х—хЛ)пдх. (G)
а л=0	п-0а
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти сумму степенного ряда
Л Прежде всего найдем радиус сходимости R ряда (7).
У этого ряда коэффициенты задаются формулой ап —
'~п~—’ и ПОЭТОМУ (см- Ф°РМУЛУ СО п- О
R = lim т.'й-Ц-= Нт ^-1.
Следовательно, ряд (7) сходится на интервале (—1; 1)
к его сумма S(x) имеет непрерывную производную S'(х),
6*	163
причем согласно формуле (3) о почленном дифференциро-
вании степенного ряда
п=1	47	Л=1
Последний ряд на интервале (—1; 1) сходится к функ-
1
ЦИИ j-—, и поэтому
1 ~гх
Интегрируя, получаем S(x) = ln(l + х) + С, где С—неко-
торая постоянная. Так как S(0)=0, In (1+0) = О, то
и С = 0.
Таким образом,
00
E(-1r-ij~=in(i+x)
Л=1
для любого х из интервала (—1; 1), А
Пример 2. Найти сумму степенного ряда
2 пхп.	(8)
П=1
Д Здесь ап — п и
Следовательно, ряд (8) сходится на интервале (—1; 1) и
00	00	со
2 пхп — X 2 пхп~1 — х 2 (хп)'.
п=1	п=1	п=1
По формуле (4)
Таким образом,
00
У ПХп =______* _
fa (1-х)*
для любого х из интервала (—1, 1). ▲
164
Вопросы для контроля
1.	Какой ряд называется степенным?
2,	Какой вид имеет общий член степенного ряда?
3.	Что называется областью сходимости степенного ряда?
4.	Сформулируйте теорему Абеля.
5.	Что иазынаегся радиусом и кругом сходимости степенного
ряда?
6.	Напишите формулу для нахождения радиуса сходимости.
7.	Что называется суммой степенного ряда?
8.	Что называется интервалом сходимости степенного ряда?
9.	Можно ли степенной ряд дифференцировать и интегрировать
почленно?
Упражнения
5.6	. Найдите радиусы сходимости следующих степенных рядов:
л-О	п=0
оо	оо	оо *
5’2>-
л=0	л-0	л=1
5.7	. Найдите круги сходимости следующих степенных рядов:
2, £<£+£.;
л=0	л = 0
п = 0	п-З
5.8	. Найдите промежутки сходимости следующих рядов:
1)
3)
5)
х2*-1; 2) 2
ft=i
n=l
у х2"-1
1 Z* (2n— 1) Г •
n= 1
§ 19. Ряды Тейлора
1. Формула Тейлора. Пусть функция f (х) определена и
имеет непрерывную производную f (х) в некоторой ок-
рестности точки х0. Тогда по формуле Ньютона—Лейбница
X
165
Если функция f(x), кроме того, имеет вторую непре-
рывную производную /"(х), то по формуле интегрирова-
ния по частям
J f' (t) at = — $ f (t) d (х — t) =
Xq
= - f (t) (X — t) f + f Г (/) (X-t) dt =3
Ho *
*o
X
= f (x0)(x-x0) + $f(i)(x-t)dt
и, следовательно,
f W = f (x0) + f (x,) (x— x0) + J f (t)(x— t) dt.
x.
Далее, если f(x) имеет третью непрерывную производ-
ную f"' (х), тс
X	X
$ г и) (х -1) dt=$ г (о d < - 4 (х- o’) -
х0	х9
X
~ - 4 (х- tyr (/) £+4 j г (i) (x-tydt -
х9
X
с*»)	+4 j f!! (о (х -
*0
и, следовательно,
f (*) = f (*о) + f' (*о) (х—хс) +
X
(Х-Хо)’ + 4j f" (0 (*-ог dt.
Аналогично, если f(x) имеет четвертую непрерывную про-
изводную /IV(x), то
f(x)r=f (х0) + f (х0) (х—х0) +-Ц^ (х—х0)2 +
X
+ О^)(Л_М3 + .31_ I /IV(0(x_03t//>
х0
166
и т. д. Вообще, если f(x) имеет (п ф 1)-ю непрерывную
производную (х), то
f (*) ~ f W + (х -х0) Ф(х-*,? + ...
.. • +~Г^(*-х»)',+7гУ/‘’+И(0(*-0В^ (’)
*0
Эта формула называется формулой Тейлора функции f(x)
в точке х0 с остат.очным членом в интегральной фирме.
Мноючлен
f (^) +Цр (х—ха)+ ...+	(х—х0)в
называется многочленом Тейлора, а функция
=	(2)
х0
называется остаточным членом.
Если считать, по определению, что f (х0) = f(<” (xft)
и 0!= 1, то формулу Тейлора (1) можно записать в более
компактной форме:
f(x)= £-^^(х-х0)*ф₽„(х).	(3)
k=0
Согласно теореме о среднем, примененной к интегралу
(2), существует число £, лежащее между х, и х, такое, что
X
R. W=тг f<n+1) © J (х- 0ndt =	<x-^)n+1-
*о
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Если функция ; (х) имеет на интервале
(х0—6; х, ф 6) непрерывную производную (п ф 1)-го порядка,
то для любого —6; х4-6) существует В, лежащее
между х0 и х, такое, что
+ <x-xJn+i- (0
fr=0
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточ-
ньм членом в форме г!агранжа. Правая часть формулы
Тейлора (1), (3) или (4) называется разложением функции
f(x) по формуле Тейлора в точке х0 до п-го порядка.
167
(5)
Теорема 2. Пусть функция f (х) имеет на интервале
(хо—Ь; Хо + 6) непрерывную производную (л + 1)-го порядка.
Тогда, если существуют числа а^, СЦ, ..., ап и непрерыв-
ная функция <р(х) такие, что
f(x)=^ аЛ(х—х0)* + <р(х)(х—Xo)n+i
для любого х из (х0—6; х0 + 6), то
ак=^, * = 0,1......................п,
т. е. правая часть формулы (5) является разложением
функции f (х) по формуле Тейлора в точке х0 до п-го порядка.
□ Из (5) и формулы Тейлора (4) следует, что
а0 + Й! (х—х0) + ... + ап (х—х0)” + <р (х) (х—х0)п+1 =
= / (х0) + Г (х0) (х—х0) + •. • +	(х —х0)» +
\^п+п®(х Х р+1
При х = х„ получаем a0 = f(x0). Следовательно,
Й! + аг (х—х0) + ... + а„ (х—х0)п-1 + <р (х) (х—
= r(x.)+£W(^)+...+/^
хо)п —'
TH— <х~ хо)"’‘ +
Ф (л+1)1 Хо> •
/*п) м
п!
При х = х0 получаем й1 = /'(х0).
Аналогично доказывается, что
й = а
/ X ЛЛ + Х)(Й М
и, наконец, <Р(х) = '^+1у. 
Заметим, что правая часть формулы (5) называется
разложением функции по степеням х—х0 до п-го порядка.
Следовательно, теорема 2 утверждает, что разложение
функции f(x) по степеням х—х0 до п-го порядка един-
ственное—это разложение функции f(x) по формуле Тей-
лора.
Пример 1. Разложить функцию f (х) — ех по формуле
Тейлора в точке хэ = 0 до третьего порядка.
А Так как f'(x) = ex, f"(x) = ex, f" (х) = ех, fiv (х) = ех
и f (0) = f' (0) = f" (0) = f"' (0) = 1, то для любого x £ /?
^=l+x + 4 + ^ + ^x<,
где £ лежит между x и нулем. ▲
168
Пример 2. Разложить функцию sinx по степеням
х—х„ до третьего порядка.
Л Имеем (sinx/ = cosx, (sin х)* = —sinx, (sinx)'"=«
= —ccsx. Следовательно,
sin x = sin x0 + cos x0 • (x—x0) +
+ -7^ (X -Xo)‘ + —3^ (x-x,)« + ₽э (X),
где
Л
/?, (X) = J (x-/)’ sin t dt =^1 (x-xe)4;
точка ? лежит между x0 и x.
Особенно простой вид разложения sinjf по формуле
Тейлора получается в течке хо = О. Действительно,
х3 sin £ .
sinx = x—~ j—41*-х1.
Легко видеть, что формула Тейлора для sinx в точке
х0 —О до четвертого порядка имеет вид
х3 , cos Е .
SinX = X--зу- + —gr*X •,
где Е лежит между х и нулем. ▲
Пример. 3. Какую погрешность имеет приближение
уЗ	Г д л 1
sinx«x—g- для х из отрезка —у; ?
А Из формулы Тейлора (см. пример 2) следует, что
Самые грубые подсчеты показывают, что указанное
приближение sinx на отрезке ; у] имеет абсолют-
ную погрешность, не превышающую 0,01. А
Пример 4. Разложить функцию f(х) = e,inх по фор-
муле Тейлора в точке хо = О до третьего порядка.
Л Рассмотрим функцию 0>. Для нее справедливо следую-
щее разложение (см. пример 1):
е"-1-Ц,+£+4+-Я-|Л
где т] лежит между у и нулем.
Положив здесь у == sinx, получим
е,,п X - 1 -j. sin х 4- 2 (sin х)2 4-1 (sin х}3 + J - (sin x)4.
169
В примере 2 было показана, что
х* , гоя? .
smx=x—
Следовательно,
= 1 + х + 4**-Ь <? (*)**»
где ф(х)—некоторая непрерывная функция.
Согласно теореме 2 это и есть нужное разложение. А
2. Формула Тейлора для некоторых элементарных функ-
ций. В этом пункте получим разложения по формуле
Тейлора з точке хс = 0 до n-го порядка функций ё*, sinx,
cosx, 1п(1+х) и (1 + х)“.
1.	Формула Тейлора для функции f(x) = ex
з точке х0 —0 Имеем f’(x) = ex, {"(х) = ех н, вообще,
(х) = ех. Поэтому формула Тейлора для функции в*
в точке хо = О имеет вид
*•2	уП
e*=l+x-r^-4-...+^r + /?ft(r),
где
* /
^(x) = ±'j(x- fyPdt
о
(МИЯ
xn+1.
Таким образом, формула Тейлора для е* в точке ц,=&0
с остаточным член ом з форме Лагранжа имеет вид
ех
= y^+^_es
Z- £!' ^(п + 1)Г ’
fc=0
где 5 лежит между х и 0.
2.	Формула Тейлора для функции f(x) = sinx
в точке х0 — 0. Имеем
(sinx)' = cosx=sin^y + x  ,
(sinx)*=(sin( J + x))' = sin ^2-у+х)
170
и т. д. Для п-й производной по индукции получаем
(sin Х)<Л) =; sin ' п — — X У
Следовательно, (0) =* siji Др-, и поэтому f<n)(0) —0
для четных п и р*+1)(0) = (—1)я для нечетных п = 2/г+1.
Таким образом, формула Тейлора для sinx в точке
х0 = 0 с остаточным членом в интегральной форме имеет вид
sinx —х а;+ 5Г+•••+(—0 (2n-|-i)i +
+Ш+Й] <Л-02п+8соз^/,
о
а с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид
sinx = x —-4-—4-	j ~1)” хвп+14-
sinx х з| + 5| + • • •-Т(2п + 1)1Х	+
I_ПП + 1
| < О	х2”4-8 cost
+ (2п4-3)! С0 6’
где точка £ лежит между 0 и х.
При помощи знака суммы 2 последняя формула запи-
сывается следующим образом:
81П X —	+ 1 I ( _—L у2П 4-5 CCS fc
sinx — 2^(2* + !)!	+(2n-|3)l*
k= о
3.	Формула Тейлора для функции f(x) — cosx
в точке хо = О. Как и для sinx, доказывается формула
(cos x)w = COS ' n -5- + X ).
Для четных п — 2k
(cos x):2>) = cos (kn + x) (—1 )* cos x,
а для нечетных n = 2k + 1
(cosx)(2ft+1) = cos(kn. + -tt + x . =(—l)ft1 *sinx.
Следовательно,
№X=l-i+^+...+-^-^+'
+^TW?Jt-/)“+’cosM<-
171
а формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
имеет вид
cos х =•	х8* + (2„4-2)! xtn+? cos
/г=0
где течка ' лежит между 0 и х.
4.	Формула Тейлора для функции f(x) =
— 1п(1+х) в точке хо = 0. Имеем
f ^=Т+х’ f ^ = (Г+*)*’	^ = (Г+х)5
и т. Де По индукции получаем
и
f">(0) = (—1)!.
Следовательно,
1п(1 + х) = х-т + т^т+...+(-1)" *- +
я+1 (1 + §)л+1’
где ё лежит между х и 0, Короче,
Л=1
Заменив х на —х, получим следующее разложение:
1/1	\ vх" + 1	1
1п(1— х)- —	Tqrf (i_g)n+i-
k=i
5.	Формула Тейлора для функции f(x) =
— (1 4-х)а в точке хэ —0. Так как
f‘(x) = a(l 4-х)1*-1, f"(x) = a(a—1)(1 4-х)“-г
и, вообще,
f{k>(x) = a(a—1).. .(a—fe+ 1)(1 4-£)““*,
(1 4-	1 +ax + g (ct~ ° x« + a («~») («~2) + >t>
|. «(а-1)--4«-л + 1)л.я +
’ ' ’ +“(a~«+i)ia~n) + g)a~n-1^+1,
где E лежит между x и 0.
172
В частности, если а — г), тс формула Тейлора является
формулой Ньютона для бинома
(1+х)»= 1 + rtx + C^+ ... +С^»= 2 Cknx\
*=0
По аналогии в общем случае также пишут
(1 + х)“ = 2 С£х* + Q+1 (1 + t)a-n"1 *п+\
Л=Э
где
rk a(a-l)...(a-A+l) p# i
При a =—1 получаем C*; = (—1)*, и поэтому
(1+ *)-*= 2 (—!)*** + (— l)n+1(l-t-fc)-'*-2*"4’1'.'
t=c
3.	Ряды Тейлора. Пусть функция f (х) определена и имеет
производные всех порядков в некоторой окрестности
точки х0. Тогда степенной ряд
(>)
П=0
называется рядом Тейлора функции f(x) в точке х0.
Лемма Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x)
сходился к f(x) в точке х, необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке остаток формулы Тейлора стремился
к нулю при п-+ ОС.
□ Из формулы Тейлора
>=0
следует, что если ₽п(х) —>0 при п—> оо, то
lim У Ц^(х — x0)ft = lim (/(х)-Я„(х)) = / (х),
т. е. ряд (1) сходится к /(х).
Наоборот, если ряд (1) сходится к f (х), то
limfl„(x)= lim f/(x)—У ^'^-(х—х0)Л=
п->»	л-к»\	“	/
₽-./(х)~ lim ^£^1(х-Хо)*=О. 
п-ж£о
173
Теорема 1. Ряд Тейлора функции г* для любого
x^R сходится к 5х, tn. е.
90 ««
ж для всех x$R.
П-0
(2)
□ Прежде всего покажем, что ряд (2) сходится абсо-
лютно при любом х. Если х = 0, то это очевидно.
Xй
Обгтрий член ряда (2) имеет вид = и, следова-
тельно,
lim
п СО
для любого х 0. По признаку Даламбера ряд абсолютно
сходится при любом хУ»0, и, следовательно,
| х In
lim J-T7—= 0 для всех x$R.
П-*- со
Теперь из формулы Тейлора
4=Э
х* । /п+*  Д
fei u«+i)i
в пределе при п ос следует равенство (2). К
Теорема 2. Ряд Тейлора функции sinx для любого
x£R сходится к sinx, т. е.
sinx= 52 (—бля всех xg/f> (3)
п=0
□ Здесь
«„=4-1)”
и поэтому
JfSn + I
(2п+1)1 ’
Нт 1ц»+11 - Нт 1*Г
nZZ 1«»1
для любого х 7^ 0. По признаку Даламбера ряд (3) сходит-
ся абсолютно при любом хт*=0 Следовательно, при любом х
lim
П -* 00

0.
Теперь из формулы Тейлора
„: у _ V -	* Х8*+Х J_ (~1)В'*'Х у?л + ? cos g
Sinx —2^ Х Т (2П-|-3)| л C0S«
k- о
174
и того, что
(—1)П + Х
(2n-f 3)1
д-зп+з
COS?;
|Х|2П4-3
(2л 4-3)!
при п—► оо, следует, что ряд (3) сходится к sinx. 
Аналогично доказывается и следующая теорема.
Теорема 3. Ряд Тейлора функции cosx для любого
сходится к cosx, т. е.
cosx= £
п= и
для всех x^R.
(4)
Теорема 4. Ряд Тейлора функции 1п(1 + х) для
любого х£(—1; 1) сходится к In(14-х), т. е.
<ю
In (1 + х) — У*,	—х“ для всех х£(—1; О* (5)
Л=1
□ В примере 1 п. 2 § 18 было доказано, что степенной
ряд (5) сходится для любою х из интервала (—1; 1) и
его сумма равна in(l + x). g
Теорема 5. Ряд Тейлора функции (1+х)а для лю-
бого х£(—1; 1) сходится к (1 + х)“. т. е.
со
(1-гх)“—2 для всех xg(—1; I).	(6)
n='J
□ Если а равно нулю или натуральному числу, то
ряд (G) является конечной суммой. В остальных случаях
все коэффициенты степенного ряда (6) ап = С^ отличны от
куля. Следовательно, радиус сходимости вычисляется по
формуле
!im
П-> О»
I ап I
I ««+11
Н1П
п -> со
п+1
|а-п'
lim
П -> со
п+1
п—а
Таким образом, степенной ряд (6) сходится для любого х
из интервала (--1; 1) и расходится для любого х, |х|> 1.
Пусть /(х)—сумма ряда (6). Тогда, дифференцируя
ряд почленно, получаем
rw=
= £ пС^х"-' = а + а(а-1)х+ -(”"2- х2+ ...
П=1
, а ух—1) ..(а—п+1)	,
*••+	(п=1)! Х +•••
П5
Умножим это равенство на (I + х):
(14-x)f (х) = а + <хх + а'а—1)х4 а (а—1) Xs 4- ...
, а (а—1).. .(а—и +1) „„„J ,
‘	рПЛ)! Х +
+ «(^^-+0 х» +	+ ЛГ+ ...
(а—Г),, .(а—л 4-J)
(»—1)1	+
+ («-1)...(«-»+1)<а=Д1х,+ ...|_а^1 + ах4. ...
... +мЕ=1Ьп,<г=«±п;(.+...'м.
Решая дифференциальное уравнение (1 4- х) f (х) = а/ (х),
получаем f (х) = С (1 4- х)“.
Для нахождения постоянной С положим х = 0. Тогда
/ (0) = С, а так как /(0) = 1, то и С=1. Следовательно.
f(x) = (l+x)“. 
4. Функции ег, sin г и cos z. Из теорем 1, 2 и 3 п. 3
и теоремы Абеля для степенных рядов следует, что ряды
V —	V (~1)" z2n+1 V (~~ЦП
Z- nl ’ Z= (2n4-t)l	’ Zj (2n)l
п—0	п—0	п=0
сходятся для любого комплексного г. Положим, по опре-
делению,
г- sinz = V _±L2T_Z2n+1
Ч, «1 ’	(2п 4-1)1
п-0	п-0 '	’
п=0 ' '
Функции ег, sinz и cosz определены для любого ком-
плексного z, причем для действительного z = x это изве-
стные функции a*, sinx и созх
Для z = iy, где у--действительное, имеем
n=0	ft=0 k ’	4=0
1
(2ГПЛ
®	со
i.	i/2^	ь	+1
= 2^ (~ 1)А(2ш + 12- (—0*^TnM = cos^ + ‘sin#
4=0	V ’	4=0	' ~ '
Таким образом,
е'» = cos z/л- i sin у
176
и аналогично
e"'» = cosy—I sin у.
Можно доказать, что
п=0	А=0	т=0
Из этих формул следует, что если z = х + iy, то спра-
ведливо равенство
г2 — е* е'ч — 6х (cos у j- i sin у).
Заметим, что этим равенствам ранее, в гл. 1, опреде-
лялось е2 для комплексных ?. Следовательно, новое опре-
деление е1 не противоречит ранее данному определению.
Вопросыдля контроля
]. Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в интет раль-
нсй форме.
2.	Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа. Для каких функций справедлива эта формула?
3.	Напишите формулы Тейлора для функций е*, sin х, cos х,
1и(1-|-х) и (1 +*)“• в точке х0 — О,
4.	Какой ряд называется рядом Тейлора функции?
5.	Напишите разложения функций ех, sinx, cos х. In (I+х) и
(1 +*)“ в ряд Тейлора в точке хо = О. Найдите интервалы сходимости
для этих рядов.
6.	Дайте определения функций е2, sin г, cos г комплексного
переменного г.
Упражнения
5.9.	Разложите по формуле Тейлора в точке хэ = 0 следующие
функции:
1)	In cos х до четвертого порядка,
2)	sin (sin х) до третьего порядка;
3)	tg х до пятого порядка.
5.10.	Какую погрешность имеют приближения:
Г л л 1
1)	tgx « *+-3- на отрезке —-g-; -g- Г,
2)	j/1+хл !-}—я— г- на отрезке [0; 1]?
2 о
5.11.	Разложите в ряд по степеням х следующие функции и най-
дате радиусы сходимости полученных рядов:
1)	у = е-'2'	2)	у=2*/«;
3) У =	4>	y^eos3x;
б) ^=(1-х)«	1	6)	‘
177
7) У=
9) У=
1.
ха4-2*+3
х2-5х+е
'• У"' хг-2х—3 :
5.12. Разложите в ряд пс степи, ям х следующие функции и най-
дите радиусы сходимости полученных рядов:
1) у — aratgx;	2) j/=arcslnx;
3) #=arccosx; 4) у—-, arctg *+-|- 1г -—.
X	X
5)	6)р-у-^Л;
О	о
X
7)
с
Указание. Полезно рассмотреть производные заданных функ-
ций.
Глава 6
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 20. Ряды Фурье для периодических функций
с периодом Т=2л
1. Постановка задачи и определение ряда Фурье.
В предыдущей главе изучались разложения функций
в степенные ряды, т. е. разложения сложных функций
на простые степенные функции вида ап(х—х0)п. Такие
разложения не всегда возможны и не всегда удобны а
приложениях. При изучении сложных периодических
процессов естественно возникает задача о представлении
функций, описывающих эти процессы, в виде суммы ко-
нечного или бесконечного числа простых периодических
функций.
В качестве таких функций берутся простые гармоники,
т. е. функции вида
A sin (qx 4-a)	(1)
или, что то же самое, функции вида
a cos сох + b sin ах.
Если о = 0, то функция (1) является постоянной, а
если со=/=0, то она является периодической с периодом
2л
-4-. В частности, каждая простая гармоника с <о = п, где
п—целое, имеет 2л в качестве одного из своих периодов.
Рассмотрим задачу о разложении 2л-периодичсской
функции f(x) в ряд тида
СЮ
у- + (an cos пх + Ьп sin пх) =
п= 1
«=-у-|-а, cos х +btSin л-f a2cos 2х 4- 62 sin 2х 4- ...
... 4- ап cos пх 4- bn sin пх 4-.... (2)
где а0, Я1, Ь,у ..., ап, Ьп, ...—некоторые числа. Такие
ряды называются тригонометрическими, а числа а9, ...
IW
..a„, b„, ... —их коэффициентами. Член называется
свободным членом. Свободный член берется п виде -у ради
удобства.
При условии, что тригонометрический ряд (2) сходится
к функции f(x), найдем формулы, выражающие коэффи-
циенты ряда (2) через функцию /(х). Для простоты будем
предполагать, что функция /(х) равна сумме конечного
числа простых гармоник:
N
f(*)=-y-bX (a4cos/!x + b„sin лх) =
= у + a1cosx + &1sinx+ ... -4- aNzosNx + bNsinNx. (3)
Проинтегрировав равенство (3) по х от —л до л, по-
лучим
j f (х) dx = у 2л = аЛл,
так как интегралы от cosnx и sinnx равны нулю. Сле-
довательно,
йо=4 $ f^dx‘
(4)
Умножив равенство (3) на cosx и проинтегрировав
по х от —л до л, получим
У f(x)cosxdx = a1 cosaxdr,
так как интегралы от других слагаемых равны нулю.
Действительно,
ycosxdx=-y  cosxdx = y з1пхР=0,
У Z^slnxcosxdx=s*~bisin’x|"n = 0
180
и, наконец, если N > I, то
Л
' ал-cos ^Vx cos х dx ==
-Я
л
= ya2V J (cos(Af+I)x + ccs(jV—l)x)dx=s
— Я
1 I sin (N + 1) X sin (AT— 1) x \ |л n
— 2 Ял\ ЛГ4-1	+ N—1 Л-я = и’
у djySinNxcosxdx —
-я
= bN--g S (s'n(^+0 *+sin(JV—l)x)dx =
-л
1 A ( cosW+l)* cos (V—1) |л n
'~2°K\	N+\ V-l Л-л~и'
Вычислим теперь интеграл от cos’x:
л	л
С 9 j С 1 + cos 2х ,	1 о
у cosaxdx= \ ----g—ах = у2л = л.
-л	-л
Следовательно,
л
аг =— у f (х) cosх dx.
-л
Аналогично, умножив равенство (3) на sinx и проин-
тегрировав по х от —л до л, получим
л
» f (х) sinxdx^
-л
И вообще, умножив равенство (3) на cos пх и проинтегри-
ровав по х ст —л до л, получим
л
У f (х) cos пх dx,	(5)
-л
а умножив на sin их и проинтегрировав по х от —л
до л, получим
л
= i У f(x)smnxdx.	(6)
-Я
181
Таким образом, в простейшем случае, когда f(x) есть
сумма конечного числа гармоник с периодом 2л, полу-
чены формулы (4), (5), (6), выражающие коэффициенты
а01 ип, Ьп через f(x).
Рассмотрим теперь произвольную 2л-периодическую
функцию или просто функцию, определенную лишь на
отрезке [—л; л].
Определение. Пусть функция f(х) определена и
интегрируема на отрезке [—л; л]. Тогда тригонометри-
ческий ряд
СО
— -г X	cos пх + bn sin пх),	(2)
П-1
коэффициенты которого определены по формулам
Л
= “ j f(x)dx,
-Л
л
ап = -п- 1 f(x) CCS nxdx,
-л
л
^=“ j f W sin nxdx,
-Л
(4)
(5)
(€)
называется рядом Фурье функции f(x), а коэффициенты
а0, ап, Ьа—коэффициентами Фурье функции
Если ряд (2) является рядом Фурье функции f(x), го
будем писать
00
f (*)	cos Пх + bn sin пх).
п=1
Из определения следует, что' найти ряд Фурье данной
функции—значит найти коэффициенты Фурье этой функ-
ции по формулам (4), (5), (6) и написать тригонометри-
ческий ряд (2) с этими коэффициентами.
Пример 1. Найти ряд Фурье функции f(x) = signx,
х£[—л; я]-
А Напомним, что
signx = -
О,
1,
если х < О,
если х = О,
если х > 0.
182
По формулам (4), (5), (6) находим
Л
а0 = — С sign х ах = О,
Л J
-л
л
ая = -i- У sign х cos nxdx = О,
-л
л
b„=-^' sign х sin nx dx —
—Я
л	О
1 С	1 Р
= — \ sinnxdx------\	sinnxdx =
Л .1	nJ
О	-Л
1 COS пх Iя , 1 cos лх 1°
л п |0 И~ |-л —
= 1 —созил . 2 =X(]_(_iyi)
ПЛ	ПЛ '	'	1 >’
Следовательно,
-Л 2
7^(1 — (—1)")sinпх.
Л=1
4
Так как bijt — 0, a	, то полученный
ряд Фурье можно записать проще:
50
f w ~ S (2А—1)л Sin (2*~ 0 *
k = 1
или, что то же самое,
f(v\ — 4 V stn (М-1)* .
' W л 2.	2А- I • <
А=1
Пример 2. Найти ряд Фурье функции /’(х) = |х|,
х£[—л; л],
Д По формуле (4) находим
л	л	О
а0 = — С Ixi'dx — — \xdx—- С xdx.
Л J 1	1 Л J	Л J
-л	О	-л
Сделав замену в последнем интеграле (заменив х на —х),
получим
Л
а0 = 4 С xdx х’ Г—л.
nJ	Л 10
18&
Аналогично, по формуле (5) находим
Л
а„= 2. I |x|cosnxdx =
— Л
л	О	л
= ±§xcosnxdx—2- | х cos пх dx§ х cos nxdx.
О	-л	О
К полученному интегралу применим формулу интегриро-
вания по частям:
I cos пх
7i п
Я*
Следовательно,
п - 2 (-0я-1
п ~ п П» ’
л _	4
т. е. aik — 0, aik_i— л ^3.
Наконец, по формуле (6) находим
Л
bn— -	|х| sinnxdt —
-Л
л	0
ip	]р
==— \ zsin nxdx--\ xsmnxdx—Q.
я J	nJ
О	-Л
Таким образом,
f/v\ п 4 V cosr(2fe—1)х А
f 'Х> ~ Т я (2А-i)« • *
я= 1
Замечание. Ряд Фурье определен для любой ин-
тегрируемой функции, заданной на отрезке [—л; л].
Однако если этот ряд сходится, то его сумма, очевидно,
будет периодической функцией с периодом Т = 2л. В этом
смысле этот ряд естественно считать рядом Фурье 2л-перио-
дической функции, которая получается из данной перио-
дическим продолжением с интервала (—л; л) на всю
действительную прямую /? (в точке х — п она может быть
задана произвольным образом, ряд Фурье от этого не
меняется).
1«4
2. Теорема о сходимости ряда Фурье. Функция f<x)
называется кусочно монотонной на некотором промежутке,
если этот промежуток можно разбить на конечное число
промежутков, на каждом из которых она монотонна.
Например, функция f (х) = sign х, х g [—л; л], кусочно моно-
тонная: она постоянна на промежутках [—л; 0), (0; я].
Функция f(x) = |x|, х^[—л; л], тоже кусочно монотон-
ная, так как сна убывающая на отрезке [—л; 0] и воз-
растающая на огрезкс [0; л].
Приведем без доказательства следующую теорему
о сходимости ряда Фурье.
Теорема. Если 2л-периодическая функция f (х) огра-
ничена и кусочно монотонна на отрезке [—л; л], то ряд
Фурье этой функции сходится во всех точках R. При-
чем в точках непрерывности функции f(x) он сходится
.	f(x— 0) + f(хЧ-0)
к f(x), а в точках разрыва—к v ' 2—•
Другими словами, ограниченная 2л- периодическая
функция, кусочно монотонная на отрезке [—л; л], раз-
лагается в ряд Фурье по всех точках непрерывности.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию /(*)«
— signx, —л; л], и построить график суммы ряда
Фурье.
А В предыдущем пункте (см. пример 1) мы уже нашли
ряд Фурье данной функции:
Данная функция не может быть продолжена перио-
дически с периодом 2л на всю действительную прямую /?,
Я
~2/г -я
3/г х
Рис. 17
так как —л) = —1, а /(л)=1. Однако, например,
функцию f(x) = signx, х£[—л; л), уже можно периоди-
чески с периодом 2л продолжить на R. К полученной
2л-периодической функции (ее график изображен на
рис. 17) применим теорему о сходимости ряда Фурье.

Из нее следует, что
sign х = £ ^gj:1)a' sin (2k— 1) х
для любого х£(—л; л), так как на интервалах (—л; 0)
и (0; л) данная функция непрерывна, а в точке х=0
предел слева равен —1, а предел справа равен +*•
Аналогично получаем, что
»
sign (х—2л) =	Sin ^к~х
дак любого х£(л; Зл). И вообще,
ОС
sign (х—2£л) = X ’ ifiF sin <2^—Ох
для любого хё((2д—1)л; (2р + 1)л), p£Z- В точках
х = (2р+1)л ряд сходится к 0. График суммы ряда
Фурье данной функции изображен на рис. 18.
и^
-----*-	71------*-	-----—
-2*т	£ Лг" ЗгГ х
-----*j-7	----►
Ркс. .8
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию
/(х) = |х|, х£[—л; л], и построить график суммы ряда
Фурье.
А В предыдущем пункте (см. пример 2) было пока-
зано, что
fiv\ п ——У 008 <2Й~ Ц К
'w~2 л 6-! (2fe-l)« *
«= 1
Данная функция может быть продолжена периодически
с периодом 2л на всю действительную прямую R, так
как /(—л) = /(л)=-л К продолженной 2л-периодической
функции (рис. 19) применим теорему о сходимости ряда
Фурье. Из нее следует, что
1г1 «_±У
1И! = Т_ Л (2й—1)3
186
для любого х£[—л; л]. Следовательно, графиком суммы
ряда Фурье будет график продолженной 2л-периодической
функции (см. рис. 19). А
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию
( 0, если х€[—л; 0],
। sinx, если х£[0; л],
и построить график суммы ряда Фурье,
А По формулам для коэффициентов Фурье находим
л	я
-л	О z
л
bn — ~ i" sinxsinnxdx —
о
Л
=	(cos(n—1)х— cos(n + 1)х) Jx = 0,
с
Л
bi == i(! —cos 2х)dx Т= 4 ;
о
л
ап = 2- у sin х cos nxdx =
b
Л
= 2^-'« (sin (n + 1) x—sin (n — 1) x) dx —
0
1 I CO? (n+D* ! cos (tl~ l)_x\ Iя _ (—I)4-1—1 n,
2л V n+1 * n—1 До Г Л (n2—1) ’	’
л
а< = — \ sinxcosxdx^O.
л j
0
W7
Следовательно,
00
11. V4 (—11й*1—1
~ 7 +2 s;:u +	i) • COSпХ~
л=2	'	'
1,1.	2 V cus 2kx
+ Sin X —— 2.	--т- .
л 2	л “ 4я3 — 1
«= 1
Продолжим данную функцию на R периодически
с периодом 2л. Полученная функция будет непрерывной
на R и кусочно монотонной на [—л; л] (рис. 2Q). Из
Рис. 29
Зя х
теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что ряд Фурье
данной функции сходится к продолженной 2л-перкодиче-
ской функции для любого x^R. ▲
3. Ряды Фурье для четных я нечетных функций.
Прежде всего докажем следующее полезное утверждение.
Лемма. Если интегрируемая функция f(x),
х£[—Л П> то
i	i
f (х) dx — 2 f (х) dx,	(1)
-i	о
а если нечетная, то
i
\f(x)dx = b.	(2)
-i
□ Имеем
i	i	о
’ f(x)dx = J f (x)cZx-b ^f(x)dx.
-i	о	-i
В последнем	интеграле	сделаем	замену	х= — I. Тогда
о	с	I
y(x)dx^ — \f (— t) dt = ^ f (— 0 dt,
-i	i	о
и поэтому
' I	I	I
J f(x)dx— J f (x)dx+ J f (— x) dx	(3)
-too
188
(в последнем интеграле переменная интегрирования снова
обозначена х).
Из формулы (3) следует, что если f(x) четная, то
справедливо равенство (1), а если нечетная, то—равен-
ство (2). 
Рассмотрим теперь четную функцию f (х), х Q [— л; л].
Для нее., в силу доказанной леммы, имеем
Л
9 Р
во = ур(*Мх,	(4)
О
л
а„ = У f (х) cos пх dx,	(5)
о
^„ = 0.
так как для любого n^N функция /(x)cosnx четная,
а функция f(x)sinnx нечетная. Следовательно, если функ-
ция /(х) четная, то ее ряд Фурье содержит лишь сво-
бодный член и члены с cosnx, т. е.
со
Ж ~ у a„cosrtx,
п-1
причем коэффициенты Фурье а0 и ап вычисляются по
формулам (4), (5).
Для нечетной функции f(x), х£[—л; л], получаем
ао = О, а„ = 0,
Л
bn = -^^f(x)smnxdx,	(6)
о
так как функция f (х) cosnx нечетная, а функция f (x)sinnx
четная. Следовательно, ряд Фурье нечетной функции f(x)
содержит лишь члены с sinnx, т. е.
f (х) ~ 2 6ftsinnx,
п= I
причем коэффициенты Фурье Ьп вычисляются по фор-
муле (6).
Функция f (х) — sigr.x, xg[—л; л], рассмотренная
в примере 1 предыдущего пункта, является нечетной,
поэтому ее ряд Фурье содержит лишь члены с sinnx.
Функция fW = |x|, х£[—л; л], рассмотренная в прн-
169
мере 2 п. 2, является четкой, и поэтому ее ряд Фурье
содержит лишь свободный член и члены с cosnx.
Иногда требуется некоторую функцию f(x), опреде-
ленную на отрезке [—л; 0] или на отрезке [0; я], раз-
ложить л ряд Фурье только по косинусам или только
по синусам. Если данную функцию продолжим на отрезок
[—л; л] четным образом, то ряд Фурье полученной четной
функции не будет содержать членов с синусами. Если же
данную функцию продолжим на отрезок [—л; л] нечет-
ным образом, то ряд Фурье полученной функции будет
содержать только члены с синусами.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье по косинусам
функцию f(x) = sinx, х£[0; л].
А Продолжим данную функцию на отрезок [—л; л|
четным образом и найдем коэффициенты Фурье получен-
ной функции.
Прежде всего заметим, что получим функцию |s<nx|,
x^R. Далее, так как эта функция четная, то 6п = 0 для
любого и
л
2 0	4
а0 = — \ sinxdx=- —,
° л J	п	’
о
л
2 0.	.
= — \ sin х cos х dx =. 0,
Л J
о
л
ап= A J sinхcosnxdx =;
о
л
= (sin (п + 1) х—sin (п— 1) х) dx — ~	~ , п 2.
о
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что
। .	,	2	4	V
Sin X = —— — 2u
* л л
к= 1
cos 2А
44»-1
для любого x$R А
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) = x, х(=[—л; 0J: а) по косинусам; б) по синусам.
А Чтобы разложить данную функцию по косинусам,
необходимо ее продолжить на [С: л] четным образом.
Таким продолжением будет функция f (х)=| х |, xg [—л; л].
В примере 2 предыдущего пункта было найдено разложе-
1&С
пие в ряд Фурье этой функции. Именно,
л 4 у» cos (2*—1) х
Х~ 2 л	(2й—1)«
4=1
для любого xg[—л; 0].
Нечетным продолжением данной функции будет функ-
ция f(x) = x, xg[—л; л]. Для нее имеем: <zo = O и аЛ = 0
для любого ng Л'.
Найдем коэффициенты Ьп\
Я
Ь„ = -М xsipnxdx=
Л X
я
= _ 2	С COSnxdt=,(—1)»«| .
л п |0 лл J	'Л
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что
(—l)n+1-^ sinnx
пв 1
для любого xg(—л; л). В точках —л и л этот ряд
сходится к 0, так как все его члены равны 0. (Это сле-
дует и из теоремы о сходимости ряда Фурье.) График
суммы этого ряда изображен на рис. 21. А
4. Разложение функций, заданных на отрезке вида
[а; а2л]. Заметим, что любую 2л-периодическую функ-
цию достаточно задать на некотором отрезке длины 2л.
В остальных точках опа будет определена в силу перио-
дичности. Найдем формулы, выражающие коэффициенты
Фурье этой функции через ее значения на произвольном
отрезке длины 2л, т. е. на произвольном отрезке вида
[а; а + 2л]. Предварительно докажем следующее общее
утверждение.
191
Лемма. Если ограниченная функция f(x) с периодом
Т> 0 имеет конечное число точек разрыва на любом про-
межутке длины Т, то
Г	а+Т
 f (х) dx = J f (х) dx
О	a
дм любого a^R.
• П Имеем
Т	а	а+Т	Т
jj f(x)dx=^ f(x)dx+ J f(x)dx+ J f(x)dx.
о	о	a	mT
Преобразуем последний интеграл:
Т	а+Т	а	а
J f(x)ax — — \ f(x)dx— — ^f(x+T)dx = — J f(x)dx.
a+T	TO	0
Следовательно, интегралы от 0 до а и от а-\-Т до Т
в сумме дают нуль. 
Пусть теперь f(x)—2л-периодическая функция, а ав,
ап, Ьп—ее коэффициенты Фурье. Из леммы следует, что
значение интеграла от f(x) по любому отрезку |а;а+2л]
длины 2л одно и то же, поэтому
а+2л
J f(x)dx.	(I)
а
Аналогично,
0т2п
а, = - У f(x)cosnxdx,	(2)
а
а + 2п
Ьп = — \ f(x) sin nxdx	(3)
для любого а С R, так как функции f(x)cosnx и /(x)sinRX
периодические с периодом 2л.
Пусть на отрезке [а; а + 2л] длины 2л задана функ-
ция / (х). Продолжим ее периодически с периодом 2л на
всю числовую прямую R (может быть, для этого при-
дется изменить значение /(х) в одной или обеих точках а
и аф-2л). Ряд Фурье полученной 2л-периодической функ-
ции называется рядом Фурье данной функции f(x),
х£[а; а 4-2л]. В этом случае коэффициенты Фурье есте-
ственно вычислять по формулам (1), (2), (3).
192
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) = signx, хе [—у ; v],
и построить график суммы ряда Фурье.
А По формулам (1), (2), (3) находим
Зл/2	0	Зл/2
j	J (—0^+4 J dx=l,
-Л/2	-л/2	О
О	Зл/2
1	Г	1
а„ =---v cosnxdx-l—	’	cos nxdx —
Л	J	Л	J
-Л/2	О
—sin nx |о , s’nnx рл/2 2	. пл
--------- -I----------—------------sin-?.-,
ЛЯ	I- л/2	пл |о	пл 2
О	Зл/2
1	р	1	р
Ьп =-I sin/irdx4-	- \ sinnxdx=*
Л	J	nJ
-Л/2	0
cosnxio cosnx|3n/2 2 /, пл \
=------I----------==--------- 1—COS-K^-J.
пл - Л/2 пл О пл \ -	2 J
Изменим значение f (х) в точке х =*-£-, положив
=—1’ и ПР°Д°ЛЖИМ эту функцию периодически
с периодом 2л на всю числовую прямую К. Из теоремы
У
{ «г । J « —
-f МДя- /д'	-'д' да
Рис. 22
о сходимости ряда' Фурье следует, что ряд Фурье данной
функции сходится к signx для любого	,
а в точках—у и у сходится к 0. График суммы ряда
Фурье изображен на рис. 22. ▲
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f (х)=ха;
хе [0; 2л]. ч
7 ДЯГАЙПА О 9
193
Л По формулам (I), (2), (3) находим
«с -
И^^=з^<2я)’ = 1л*
о
2Л
с„ = — x2cosnxdx =ix2———’|2It — — f xsinnxdx^
".nJ	л n |o nr. J
0
2л
,	1 C > • j 1 . '—cos nx гл ,2 С	j
b„ — -- \ x2sinnxax=—x2------I J---* xcosnxdx —
п л J	л n b ' nn J
/Таким образом,
/(x) ~	cos nx—sin nx
Изменим значение f (x) в точкех = 2л, положив jf(2n)=0,
и продолжим эту функцию периодически с периодом 2л
на всю числовую прямую. Продолженная функция будет
разрывной в точках х = 2/тл, p^Z, а в остальных точ-
ках —непрерывней.
Креме того, она возрастающая на [0; 2 л). Следова-
тельно, в силу теоремы о сходимости ряда Фурье
,	4 „ , ХД [ 4	4л .
X2 = V Л2 + Л -» cos пх------sin пх
о	\П	П
для любого хб(0; 2л), а в точках х=;0 и х=2л этот
ряд сходится к (2л)2 = 2л2. Д
Вопросы для контроля
1.	Какая функция называется периодической?
2.	Какой ряд называется тригонометрическим рядом?
3.	Какой ряд называется рядом Фурье функции? Напишите
формулы для коэффициентов Фурье.
4.	Сфсрмулируйте теорему о сходимости ряда Фурье,
5.	Какая функция называется четной (нечетной)?
194
6,	Какай вил имеет ряд Фурье для четных и для нечетных
функций?
7.	Можно ли разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
f(x)=sin2x, *€{0; л]?
8.	Можно ли разложить в ряд Фурье по синусам функцию
f(х) = sin*+ cosx, х£(— л; 0)?
9.	Можно ли разложить в ряд Фурье по синусам функцию
/(х)==х2, х£[—л; л]?
10.	Как выражаются коэффициенты Фурье функции через ее зна
чения на произвольном промежутке длины 2л?
Упражнения
8,1. Найдите ряд Фурье следующих функций!
n fM -J 2> всли 0),
' ' ' '	| 5, если х£[0; л];
2) f(x) = cos.2x, х£[—л; л];
я\ //и-) 2а’ если	°)>
если х£[0; л].
6.2 Разложите в ряд Фурье следующие функции (в каждом еду»
чае постройте график суммы полученного ряда)1
1) /'(х) = 81Пу, xg[—л; л];
2) / (x)=(sin x-J-cosx)2, х£[—л; л];
1)
2)	= {
4) f(x) = x2. х£[—л; л].
6.3. Разложите в ряд Фурье по косинусам следующие фуцкцик)
1, если х([[0) 1],
0, если x£(.lj л];
1—	если xg[0;2),
0,	если х£[2;л);
3) /• (х) = Зх2—блх+2л2, х g [0; л].
8 4. Разложите з ряд Фурье по синусам следующие функции!
1)	f (*) = ecs х,	хg (0; л);
2)	f (х) = sin -у ,	х£[0;л);
3)	/(х) = х(л—х), xg[0; л].
6.5.	Разложите в ряд Фур-е следующие 2л-периодические функции»
, если х€(0; 2л),
0, если Хж>0;
х, если х£(1; <+2л),
1+л, если х = 1.
79	195
1) /« = ]
2)
§ 21. Ряды Фурье для периодических функций
с произвольным периодом 7=21,
1. Определение ряда Фурье. Любая периодическая
функция /' (х) с периодом 7 = 2/, I > 0, заменой х = - t
преобразуется в функцию ср (г) =- j i с периодом 2л.
Действительно,
<₽(/+2n) = f(4(/4-2n)Uf(l/ + 2/) = f(l/') = <?(/).
\ *1	j	\ «It	1	\ JV /
Если же функция /}(х) задана только на отрезке [—/; /],
Z > О, то функция <р(/) будет задана только на отрезке
[—л; л].
Напишем ряд Фурье для функции <р(/):
со
ф (/) ~	-j-	(ап cos nt + bn sin nt).
n= 1
Отсюда, после замены / = ух, получаем соответствующий
тригонометрический ряд для функции f(x)i
00
£/ х До I Vя [	ПЛХ 1 t. • ппх \
f(x)~f-t-2- I апcos-г&„sm-у-).
Этот ряд называется рядам Фурье функции f(x). Для
коэффициентов а0, ап, Ьп, которые, как и раньше, назы-
ваются коэффициентами Фурье функции /(х), получаются
следующие формулы:
ab^\\f(x)dx,	(i)
-i
i
an=4J f(x)cos—j~dx,	(2)
bn-^^f(x)sin^dx.^	(3)
-i
Действительно,
л	л	I
“• “I j ФwЛ- f /(4')-TJ/w
-B	' -Л	-/
Л	1
an J^(4 cosn/d/=<-j- C/(x)cos-"r-dx,
-я 7
1S6
где сделана замена / = -уХ. Аналогично доказывается и
формула (3).
Из теоремы о сходимости ряда Фурье для 2л-периодн-
ческой функции следует соответствующая теорема о сходи-
мости ряда Фурье для функции с произвольным периодом.
Теорема. Если 21-периодическая функция f{x) огра-
ничена и кусочно монотонна на отрезке [—/; Z], I > О,
2	а I (Х— 0) 4-Нх+О)	, «
то ее ряд Фурье сходится к —---—!—- в любой точке
x£R. В частности, в точках непрерывности функции
ряд сходится к f(x).
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию
j 0, если хб[—1; 0),
1 1> есля !]•
и построить график суммы этого ряда.
Д По формулам (1), (2), (3), в которых для данной
функции I=1, получаем
1	1
a0=^dx=l, ап = cas пах dx=0,
о	о
1
, С .	, cosnnxli 1 ,,	___„ .
bn^ymnnxdx =---------— |о₽= —(l-cosnn).
о
Из последнего равенства следует, что если п четное, то
Рис. 23
6„ = 0, т. е.
. 2
btk-i
< л	t. 2
= а если п нечетное, то д =—, т» е.
2/г	»	п пп
тнт—п— • Следовательно,
(2k— 1) л
f (*) ~ -2 + £ ТаГЛрГ sin <2/г~1)пх-
ь= 1 '
197
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, чго
полученный ряд сходится к данной функции для любого х
из интервала (—1; 1), кроме х = 0. Легко видеть, что
в точках х = С, х = —1, х=1 он сходится к у. График
суммы ряда Фурье данной функции изображен на рис. 23. ▲
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) —cosx,
и построить график суммы этого ряда.
Д По формулам (1), (2), (3), в которых для данной
функции Z = y, получаем
|л/2
|—Я/2
4
я
л/2
2 Р	2	|:
а0 = — \ cosxdx = —sinX'
Л J	Л I
-л/2
2 Я'’2
ап~ — ' cosxcos2nA^x =
-П/2
л; 2
==у j (cos(2n4- l)x-|-ccs(2n— l)x)dx =
-л/2
I 2sln(2n4-l)y	. 2sfn(2rt—l)y
л 2n-[-l	л 2ra—1
__2 f 1__________1
' л ’ 2ra 4-1	2/t—l
4 (—1)”+*
л 4га2 — 1
Данная функция четная, и поэтому Ьп — С для любого
n£N.
Продолжим данную функцию периодически с перио-
дом л на всю действительную прямую R. Продолженной
Рис. 24
функцией будет | cos х |, xcR. Она, очевидно, будет не-
прерывной на R и кусочно монотонной на —у; -у) .
198
Следовательно, в силу теоремы о сходимости ряда Фурье
|cosxH| + ±£ T^-cos2nx
n=l
для любого x£R. График этой функции изображен на
рис. 24. ▲
2, Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Если
функция f(x), х£[—/; Z], где I > 0, четная, то, очевидно,
функция f (х) cos четная, а функция f (х) sin нечет-
ная, и поэтому (см. лемму из п. 3 § 20)
i
a^^f^dx, '	(1)
о
i
an^=^f(x)cos^dx	(2)
и Ьп = 0 для любого п^Ы.
Аналогично, если функция f (х), х£[—Л /]» нечетная,
то функция f(x)cos^~ нечетная, а функция f(x)s'm^-
четная, и поэтому а^ — О, ап = 0 и
i
&„ = 4p(x)sin^p-dx	(3)
о
для любого n£N.
Следовательно, если функция f(x), х£[— I; /], чет-
ная, то ।
00
f(*)~ -f+2-ancos—-
п=\
где коэффициенты а0 и ап вычисляются по формулам (1), (2).
Если же /(х) нечетная, то
00
f(x)^2^bn3in-r,:
п= 1
где Ь„ вычисляется по формуле (3).
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f (х) = х,
хб[-1; 1].
199
д Данная функция является нечетной, поэтому ао = О
и а„ —0 для любого Далее,
1
Ь„ — 2 2 х sin rmxdx —
и
1
о cos пл* |1 , 2 f	.
»— 2х-------------1,созштхах =
пл [с 1 пл J
о
яч---— COS ПЛ —— (—1)"+1.
пл	пл '	'
Следовательно,
СО
f W ~ L (-1)"+г sin плх.
п= 1
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что
со
' *==£ (—1)п+1 ^sinnnx
‘' z пл
п= 1
для любого х£(—1; 1). В точках х——1 и №1 этот
ряд сходится к 0. А
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) = x\ хе[—1;|].
Д Данная функция четная, поэтому 6„ = 0 для любого
n$N. Далее,
1/2
О
1/2
ап — 4 ,x’cos2n.nxdX =
о
1/2
. ,81п2плх|>/2	2 о	,
4х’ —о---1-------l. 2х sin 2плх dx =«
2пл (о пл J
1/2
4 cos 2плх 11/2	2_ С о cos пп ^4-1)п
“ пл* 2пл |о +(пл)2 \^^лхах- (пя)?	7^7’
Следовательно,
ZW-^ + £b^cos2nnx,
2С9
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что
= То + V t Vs с03 2плх
12	(пл)2
п=1
, Г 1 И д
для любого х £ — у; у . А
3. Разложение функций, заданных на отрезке вида
[а; а-]-21]. Из леммы п. 4 § 20 следует, что интеграл от
периодической функции с периодом Т = 21 по любому
отрезку длины 2/ один и тот же., Поэтому для коэффици-
ентов Фурье периодической функции f(x) с периодом
Т = 2/ справедливы формулы
a + 21
Оо = 4'	f(x)dx,	(1)
а
а+21
Д»=Т J /(x)cos-^dx,	(2)
а
а + 21
ЬЯ=Т J f(x)sin^dx,	(3)
а
где а—произвольное действительное число.
Пусть на отрезке [а; а + 21] длины 21 > 0 задана функ-
ция / (х). Продолжим ее периодически с периодом 21 на
всю числовую прямую R (может быть, для этого при-
дется изменить значение /(х) в точках а и а + 21). Ряд
Фурье полученной периодической функции называется
рядом Фурье данной функции f(x), х£\а, а + 21]. В этом
случае коэффициенты Фурье следует вычислять по фор-
мулам (1), (2), (3).
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию /(х) = х,
-*€10; 1] и построить график суммы этого ряда.
Д По формулам (1), (2), (3), в которой для данной
функции а = 0 и / = получаем
1
а0 = 2 ' xdx = 1,
о
1 , 1
ап = 2 . х cos 2ллх dx = 2х	|*—TTF J s*n	dx — 0»
о	о
2С1
bn — 2 x sin 2zwcx dx —
о
= - 2x	+ ± f cos 2плхdx = - ± .
2nn |o пл J	пл
0
Следовательно,
co
...	1 V sin 2aax
fW~2-
n= 1
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что
со
‘Ч-s
Л=1
sin 2inx/
пл \
для любого х£ (0; 1). В точках х = 0 и х=1 полученный
Л
• х . Xzl х . х х
X X 2 X X / *
—-	-—* 1
о 7	2.	3 я
Рис. 25
ряд сходится к у. График суммы ряда Фурье данной
функции изображен на рис. 25. А.
Вопросы для контроля
1. Какой вид имеет ряд Фурье для периодической функции с про-
извольным периодом?
2. По каким формулам вычисляются коэффициенты Фурье функ-
ции с произвольным периодом?
3. Сформулируйте теорему о разложении функции в ряд Фурье
на отрезке [а; a-J-2/J.
4. Какой вид имеет ряд Фурье для четных и нечетных функций?
5. Как разложить в ряд Фурье функцию на некотором отрезке?
Упражнения
R 6. Разложите в ряд Фурье следующие функции (в каждом слу-
чае постройте график суммы полученного ряда)!
1) Z(x)=|x|, xG-1; II;
202
х, если х£[0; 1),
2—х, если х£[1; 2];
А, если xg(0; I),
О, если х@М; 21);
если xg[0; 1),
если х €П; 2),
х,
1,
3—х, если xg[2; 3].
6,7. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию
х, если xg{0; 1),
2—х, если х$[1; 2].
Фурье периодическую с периодом Т = 1
4) f(x) =
6.8. Разложите в ряд
функцию
( 1—х, если xg(0; 1),
) 0,5, если х = 0.
6.9. Разложите в ряд Фурье периодическую с периодом Т= 10
функцию
,	. 10—х, если х£(5; 15),
1 * ~ I 0,
6.10 Разложите я ряд Фурье
функцию
f{x)=
1,
3-х,
О,
если х = 5.
периодическую с периодом Т — 4
хё[0; 1),
х€[1;2),
*€[2;3),
*£13; 4).
если
если
если
если
§ 22. Комплексная форма рядов Фурье
1. Ряды Фурье для функций с периодом 2л.
f(x)—периодическая функция с периодом 7' = 2л,
рируемая па отрезке [—л; л]. Напишем ее ряд
Пусть
интег-
Фурье:
(ап cos пх j- bn sin пх),
п~ 1
и преобразуем общий член этого ряда.
Из формулы Эйлера (см. гл. 1, § 3, п. 5)
е‘<р = cos ф + i sin ф
(1)
следует, что
е~'ч> _ cos ф—i sin ф.
Из этих равенств, как из системы двух линейных
нений относительно созф и зшф, находим, что
2	’
**Ф=	31 •
урав-
costp
(2)
(3)
203
для любого ф£/С. Полученные формулы также называ-
ются формулами Эйлера.
Преобразуем общий член ряда Фурье (1) функции f(x)
с помощью формул Эйлера (2), (3):
gir.x л.е-1пх einx__g-inx
an cos пх -r b,t sin nx = an------b bn----21--”
_ ginx^e-inx	einx^e-inx qn-lbn -x an+lb„ lnx
— «n 2	2	2 e 4	2	’
Введем обозначения;	'
r — S®. r — ap ~ r —	ш
co— 2 ’	—	2	* u~n 2	9	' '
где n£N. Тогда для Л’-й частичной суммы ряда (1) по-
лучим выражение	ч
N	' N
у + Х (a.,cosnx-i-b„sin«x) = ce + ^ (cneinx + с_пе~{пх) =
/1=1	/1=1
— сп ±с1е‘х + с_1е~‘х + ... +cNe‘Mx-rC^fje^iNx.
Переставив местами слагаемые, окончательно получим
N
у + У, (ап cos пх + bn sin пх) —
= c-Ne~iNx+ • • • + с_хе~‘х + с0 +с1е/х+ ... -t-cNe!Nx~
N
X С^РХ
p = ~N
(здесь суммирование идет по всем целым р о г —N до N).
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что
если функция f(x) на отрезке [—л; л] ограничена и ку-
сочно монотонна, а в точке х непрерывна, то
f(x)= lim 2 сре‘Рх.
N-+t> p=-N
В этом случае будем писать
f(x)^'icpe‘Px.
— 00
Выразим коэффициенты ср через функцию /(х). Имеет :
если р — 0, то
Л
ся — ~2= ~ j / (*) dx;
-л
set
если р = п > 0, то
ср =	'' — -;1-- f (x) (cos пх—i sin пх) dx =
= 27 j / W e~:nX dx = i 1 f W e~ipX dx>
-Л	-Л
если же p =— n < 0, to
я	я
cp = P e<nx dx=i J f w e~!px dx-
-Я	-Л
Таким образом, для любого целого р справедлива фор-
мула
л >
с/,==‘2л У f(x)e ,рх dx.	(5)
Коэффициенты ср, определяемые по формуле (5), назы-
вайся комплексными коэффициентами Фурье функции
f(x), ё выражение
называется комплексной формой ряда Фурье функции [ (х).
Заметим, что коэффициенты Фурье, а следователь^ и
ряд Фурье, можно написать для дюбой. функции, спредё-
ленной и интегрируемой йа отрезке [—л; л]. Вообще,
лйбую функцию f(x), определенную на произвольном
отрезке [а; а 4 2л] длины 2л, после видоизменения ее зна-
чений в точках а и а 4-2л так, чтобы f (а) — [(а + 2п),
mqxho продолжить периодически с периодом 2л на всю
действительную прямую /?. Ряд Фурьё подученной 2л-
пёриодиЧеской функции называется рядом Фурье данной
функции. Так как интеграл от 2л-йерИодической ФУНКЦИИ
по любому отрезку длины 2л один и тот же, то ксэфф^
дНеИШ Фурье функции / (х), зг данной на отрезке [а, а-|-2л],
еётсётйенно вычислять по формуйё
а+2л
j	(0)
а
Пример 1. Написать ряд Фурье в комплексной форме
функции /(х) sign х, х£ [— л; л].
205
Л Коэффициенты Фурье и ряд Фурье данной функции
были найдены в примере 1 п. 1 § 20. Поэтому по фор-
мулам (4) находим
Следовательно, ср — 0 для четных р и ср =— — для не-
четных целых р, и поэтому
+ со
f(x\~___V _____—___е1(2к+1)х
— 00	"
где суммирование идет по всем целым k от —сх> до -фоо.
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что
+ »
— 00
для любого х из интервала (— я; л). Отметим, что, со-
гласно определению, это равенство означает:
«
s:gnI“.'±
для любого Х$(—Л! л). ▲
Пример 2. Найти комплексные коэффициенты Фурье
функции
(	0, если х С [— л; 0],
!'Х/~ | sinx, если х€[0; л].
Д Коэффициенты Фурье данной функции были найдены
в примера 3 п. 2 § 20, и поэтому для нахождения комп-
лексццх коэффициентов Фурье ср можно воспользоваться
соответствующими значениями для а0, ап, Ьп. Однако най-
дем ср непосредственно по формуле (5). Имеем
Л	л
If*	.	IP
^=2я ' Нх)е~‘Р* ^х~~2п ) slliX'e~‘px dx=i
-Л	О
я ,	п
*= аИ ~	~ e~ipx =-sir J а~р) х - е~1 <1+?) *)Лх-
и	’ о
S06
В частности,
О
Так как
е‘п = cos л +1 sin л =—1,
e-in _ cos я—j sin л = —!,
то
_ J_ f=2_ 2 \_r_L
С° 4ni \ i i J ' " л ‘
Если p= 1, то
л	л
о	о
Аналогично,
С-1=Л ((e**—
1 4лт J '	' 4i
e
Пусть теперь |p|^=l; тогда
_ 1	i e-fu+/)xi«
CP 4ni i (1 — p) Jo ‘ 4л/ i (1 + p) fo
_ cos (1 — p) л—£. cos (1+р)л—1 _ _ 1 —(—i)1--^ t 1 —(—l)*+f
— 4n(l — p)	—4л(1+р}	4л(1 — p) 4n(I-f-p) *'
Отсюда видно, что если р нечетное и 1, то Су=.О,
а если р четное, то
2	,	2	1
СР~ 4л(1— р) + 4л(1-|- р)‘ 1т(1—р*) ’
Таким образом,
^ = Л(1~р5» если Р четное,
Cjp = O, если р нечетное и |р|=И=Ь
ср = — j-, если |д|= 1. ▲
Пример 3. Разложить в ряд Фурье (в комплексной
форме) функцию f(x) = xa, х€[0; 2л].
А По формуле (6) находим
2л
о
Следовательно, если р~0, то
с°~ 2л
2Л
О
x?dx~
1 (2n)s_j4n.a
2л “3	3 '
Если же р#=0, то, интегрируя по частям, получаем
2л
с -_Lx*c2il2nj__L.C 2xt-;>*dx=
СР~^Х ~\0 + ТлрГ j ххе ах
2Л
= —4£-е-‘>2Я+-М
tp	1 pnt J
о
2л
„SS+* г-^Г—{- f e-<A'dv»“+i,.
p 1 pni — ip jj p’nj	V r
Таким образом,
f (x) ~4- ”2 + S 7 ( 7 + ™ clpx‘
— 00
pgfc 0
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что ряд
Фурье данной функции сходится к хг для любого х из
интервала (0; 2л). А.
2. Ряды Фурье для функций с произвольным периодом
Т=21. Пусть функция f(x) периодическая с периодом
Т = 2/ и интегрируемая на отрезке [—/; /]. Как и для 2л-
периодических функций, выражение
+ 00	рлх
2 сРе 1 ,
где коэффициенты ср находятся формуле
I	. рях
СР = ^[ J 1 dX-
(1)
'называется комплексной формой ряда Фурье периодической
функции f(x) с периодом Т = 21. Коэффициенты ср назы-
ваются комплексными коэффициентами Фурье функции f(x).
Заметим, что любую функцию f(x), определенную на
произвольном отрезке [а; а + Т] длины Т > 0, после ви-
доизменения ее значений в точках а и аЦ-Т так, чтобы
f (а) = f (а + Т), можно продолжить периодически с перио-
дом Т на всю действительную прямую /?. Ряд Фурье по-
208
лученной периодической функции с периодом Т называется
рядом Фурье данной функции. Коэффициенты Фурье функ-
ции f (х), х € [а; а + Т], естественно вычислять по формуле
а+Т	.гоях
СР~Т $	т dx'	(2)
а
Пример 1. Найти комплексные коэффициенты Фурье
функции
j 0, если х£[—Г, 0),
f(X)~ у j, xgp); J].
Д По формуле (1) находим
1
1 с .	1
С о — 2 ' ох — 2 ’
о
1
Ср —'j • J e~ipnxdx
о
1 е-1рЛХ |1
2 — 1ря ]г

для р 0. Следовательно, с0 — у, ср = 0 для четных р Ф 0
и ср = ^~- для нечетных р. ▲
Пример 2. Разложить в ряд Фурье (в комплексной
форме) функцию /(х) = х, х£[0; 1].
А По формуле (2), з которой для данной функции
с = 0 и 7 = 1, находим
1
с0 = J х dx = -2 ,
о
1 1
Je- Прпх ; I	1 р
хе~12ряхdx —х-——^г— +	\ е-<2глх^х =
— (2рл |о 1 t2pn J
о	о
e-2pni	j	I
—2рл< — 2рл1 ' 2рл
для р=#0. Следовательно,
+ 00
— GO Г
Из теоремы о сходимости ряда Фурье следует, что ряд
Фурье данной функции сходится кх для любого х£(0; 1).
В точках х = 0 и х=1 он сходится к у. А
209
Вопросы для контроля
1.	Напишите формулы Эйлера.
2.	По каким формулам вычисляются комплексные коэффициенты
Фурье 2л-периодическсй функции?
3,	Какое выражение называется комплексной формой ряда Фурье
2л-периодической функции?
4.	По каким формулам вычисляются комплексные коэффициенты
Фурье 2'-периодической функции?
Упражнения
6.	11. Разложите в ряд Фурье (в комплексной ферме) функцию
/(х) = е*,	х£(—л; л).
Найдите значение суммы s(x) полученного ряда при х = л.
6.	12. Разложите в ряд Фурье (в комплексной форме) периодичес-
кую с периодом Т = л функцию
6.	13. Разложите в ряд Фурье (в комплексной ферме) периодичес-
кую с периодом Т=3 функцию
/(«) = •
если х£(0; 1),
если x=Q; 1,
если xg(l;3).
Глава 7
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 23.	Функции многих переменных
1.	Определение функции многих переменных. Рассмот-
рим функцию f(M), M&G, которая каждой точке М мно-
жества G (плоскости или пространства) ставит в соответ-
ствие некоторое число f(M). Если G—множество точек
координатной плоскости, то вместо f(M) пишут f (х; у),
где х, у—координаты точки MgG, и говорят, что задана
функция двух переменных f (х; у), (х; у) G G.
Таким образом, функцией двух переменных f(x; у),
(х; у)£ G, называется функция, которая каждой паре чисел
(х\ y)$G ставит в соответствие некоторое число /(х; у).
Например,
f (*; У) = х* + у2, (х; у) G
— функция двух переменных хну, определенная для все-
возможных значений переменных х, у, т. е. на всей коор-
динатной плоскости J?2. Она каждой точке (х; у) G № ставит
в соответствие число z = х? + у2-
Аналогично определяются функции трех и большею
числа переменных.
Например,
;i(x> у; ?) — ^+yt ,
ft U; у; г; г) = Ух2 + у2 + zs sin t.
Функция Л—функция трех переменных х, у и г, опре-
деленная для всех значений х, у, г, удовлетворяющих
неравенствам х2 + у2^/=0 и г2^1. Она каждой точке
(х; у; г) из указанного множества ставит в соответствие
V
число
Функция f,—функция четырех переменных х, у, г и t,
определенная для всевозможных значений переменных х,
у, z, t. Можно считать, что х, у, г — это координаты
211
точки пространства, а I—время. Функция Д каждой чет-
верке чисел (х; у; г; I) ставит в соответствие число
и = Их2 + уъ + z2 sin t.
В дальнейшем для краткости все определения и утверж-
дения будем формулировать лишь для функций двух пере-
менных. На функции трех и большего числа переменных,
как это будет видно, они легко обобщаются.
2.	Непрерывность функций многих переменных. Функ-
ция /(х; у), (х; y)G.G, называется непрерывной в точке
(х„; Уч) € G, если для любой последовательности точек
(х„; Уп) € G такой, что х„ — х0, уП -> уа при п —> ос,
числовая последовательность (f(xn; уп)) сходится и
,«/„) = /(х0; yr„).
п-+<х>
Функция f(x; у) называется непрерывной на множестве
G, если она непрерывна в каждой течке этого множества.
Пример 1. Показать, что функция
f(x>
Л Ц
непрерывна е любой точке своей области определения.
Л Данная функция определена вс всех точках (х; у),
кроме точек, у которых х8 = у1. Пусть (x^| уп)—некоторая
точка из области определения функции /, т. е. xl^yf.
Тогда для любой последовательности точек (х„; уп) такой,
что х^^уп и х„—>х0, yn—t Уч при п—> ос, имеем
lim f (х„; у„) = lim	= ~т °— = f	J у»).
П-+а>	П-+<£> %п — Уп	Хо — уо
Следовательно, данная функция непрерывна в произволь-
ной точке (х0; у0) из области определения,
Заметим, что здесь мы воспользовались свойствами
пределов последовательностей. ▲
Пример 2. Показать, что функция трех переменных
' ' “ 1	V1—Л 
непрерывна в любой точке из области определения.
Л Данная функция определена на множестве G точек
(х, у, г), удовлетворяющих неравенствам | z | <1, х8 4- уг < 1.
Пусть (х0; Уч, zc) g G. Тогда для любой последователь-
ности точек (х„; уа; zn)^G такой, что Х„->хс, уп —> у«,
212
zn->zQ при n —> оо, имеем
litn/(xn; уп\ zn) =
П~+<х>

— Zn
>= lim —/ 1 —— s=±..z°=- = f (x0; %; 20),
n->co у \^Xn — yn у 1 —xo —</0
что и требовалось доказать. А
Как и для функций одной переменной, для функций
многих переменных доказываются следующие утверждения:
сумма и произведение двух непрерывных на множестве
G функций являются непрерывными на G функциями’,
отношение двух непреросвных на Q функций является
непрерывной функцией во всех точках множества G, в кото-
рых знаменатель не обращается в нуль.
3.	Частные производные. Пусть функция f(x\ у) опре-
делена в некоторой окрестности точки (х0; ус). При фикси-
рованном у — у0 получим функцию f (х; уи), зависящую
только от одной переменной х, а при х = х0 получим функ-
цию /(х0; у) только от у. Производная функции /(х; ус)
при х = х0 называется частной производной по х функции
/(х; у) в точке (х0; у0) и обозначается
—х-(х0; у0) или ДДх0; ус),
а производная функции /(х0: у) при у — уц называется
частной производной по у функции f (х; у) в точке (х0; у6)
и обозначается
-^-(x,; i/0) или Д,(х0; у0).
Коротко определение частных производных можно
сформулировать следующим образом: /\(х; у)—это произ-
водная по х функции /(х; у) при фиксированном у, а
f'y(x; У)—это производная по у функции f(x; у) при
фиксированном х. Следовательно, частные производные
функций находятся по обычным правилам дифференциро-
вания: нужно лить при дифференцировании по х перемен-
ную у считать постоянной, а при дифференцировании по у
считать постоянной х.
Например, если /(х; у) = х*у\ то
f ’x (х> У) =	— У3 (хгУх = У3 • 2х = 2ху5,
(х; у) = (х^ = ха = ха• Зу^ = Зх2ра.
213
Аналогично, если z^x2z/ + xsinxz/, то
= ту	+ * sin ху) -= у • 2х +	(х sin ху) =>
2ху -Ь sin ху И- ху cos ху,
^ = -^{хгу + х$т ху) = х2 + хя cos ху.
Частные производные f'x(x\ у) и fy(x, у) функции f(x; у),
если они существуют в каждой точке (х; у) некоторой
области, сами являются функциями двух переменных.
Следовательно, для них также можно рассматривать част-
ные производные.
IT	Of df
Частные производные от частных производных и
называются частными производными, второго порядка
функции [ (х; у). Очевидно, функция /(х; у) двух перемен-
ных имеет четыре частных производных второго порядка:
\	-LLdL\
дх \ дх ]' ду \ дх )' дх \ ду )’ ду \ ду }'
„	д / df \ д ( Of \
Производные	и	называются част-
ду2'
ными производными второго пооядка по х и по у соогвет-
d2f
ственно и обозначаются и
тг	0 (
Частные производные —
смешанными производными второго порядка. Можно дока-
называются
зать, что если смешанные производные непрерывны, то
они равны. В случае равенства их обозначают .
Пример 1. Найти частные производные первого и
второго порядков функции
z = ex* + у sin х.
Д Сначала найдем частные производные первого по-
рядка:
-^• = yeJCi' -f-ycosx, ~ = xt?*a + sin х.
дх я 1 а ’ ду
Затем найдем частные производные второго порядка:
7х- = «/2^в-t/sinx, -^ = x2exv.
Для смешанных производных имеем
w () = w (^в) +cos х=+cos х=i )
214
и, следовательно,
g-x-d- = ex^ + xyex« + cosx. к
Пример 2. Найти частные производные функции
z = f(x; у), удовлетворяющей уравнению
xz + yt%z=xy +1.	(1)
Л Продифференцируем равенство (1) по х, считая
переменную г функцией от х и у. В результате получим
уравнение
,3г.	1 дг
z 4-х -s—Ь у —г—х— — у,
дх " cos? г дх J
из которого находим
дг (у—г) cos3 г
~дх Гсо.а г 4-1,
Аналогично находим частную производную но у.
я-=г-Н- tgz-f- у—«—-т- —х,
ду ' °	' J cos4 г ду ’
дг _ х соьа г—ski г со? г .
ду у+х cos’ г
4. Пределы функций многих переменных. Пусть функ-
ция /(х; у) определена в некоторой окрестности точки
(л"о> Ус)> кроме, может быть, самой точки (х0; у0).
Число А называется пределом функции f(x; у) при
х—>х0, у—> у0, если для любой последовательности точек
(х„; уа) таких, что х„ х0, у„ ул при п ос и (х„; уа}
Ф (хс; г/0), числовая последовательность zn = f (хп; уп),п£ N,
сходится к числу А. В этом случае пишут
А — lim f(x; у)
х-+х0
У-*Уо
или f (х; у) —> А при х —► х0, у уа.
Очевидно, что если f (х; у) - *4 при х-->х0, у -> уй, то
Их; у) = А 4-а(х; у),
где а (х; у) —> 0 при х -> х0, у —► у0.
Так как предел функции многих переменных сводится
к пределу числовой последовательности, то для функций
многих переменных справедливы теоремы о пределе суммы,
разности, произведения и частного двух функций, анало-
215
точные соответствующим теоремам для функций одной
переменной.
Пример 1. Найти предел функции
f(x;
при х—* 0. г/ —> 0.
А Данная функция определена во всех точках (х; у)
плоскости, кроме точки (0; 0), и \f(x; у) |	| х |.
Пусть (хп, уп), n^N,— некоторая последовательность
точек плоскости такая, что (xn;	0) и хп—>0,
0 при л —* оо Тогда
l/Un;	—0 при л->оо.
Следовательно, f(x, у)—>0 при х—>0, у-+0. А
Пример 2. Доказать, что функция
f<x>
не имеет предела при х—>0, у—> 0.
1	(_ПЛ
А Рассмотрим последовательности х„ = — и уп = —п—,
п£М. Очевидно, что х„—>0, у„~*0 при л-^оо, однако
f(x„,	— не имеет предела при л—>оо. Следова-
тельно, данная функция пе имеет предела при х —+ О,
//-0. А
Из определения предела функции в точке следует, что
если f(x; «/)-*f(x0; у0) при х—>хс, у-^Уо, го функция
f(x; у) непрерывна в точке (х0; t/0). И наоборот, если
функция f(x; у), определенная в некоторой окрестности
точки (х0; ул), непрерывна в точке (х0: у„), то
lira / (х; у) = /(х0; у0).
X-t-Xf,
У-+Уь
5. Дифференциалы функций многих переменных. Раз-
ность
Л,Ж у) = /(х + Дх; у f-Дг/)—/(х; у)
называется полным приращением функции f(x; у), а раз-
ности
ДД? ^) = 7(х+Дх; у)—f(x; у),
\f{x- y) — f(x', y+&tft—f(x; у)
называются частными приращениями функции f (х; у) по
х и по у соответственно.
210
Полное приращение функции можно представить в виде
суммы частных приращений. Действительно,
Sf(x; y)-f(x+Sx; y + Sy)—f(x; y + Sy) +
+ f (х\ у + Ay)—f (х; у) = A J (х; у 4- Ду) + А/ (х; у').
Если функция f (х; у) имеет частные производные
fx(x; у) и [у(х, у), то, очевидно,
AJ(x; y) = f'x(x; у) Ax 4-а Ax,
А/(х; y) = fy(x; у) Ду 4-Р Ay,
где a —> 0 и P —> 0 при Ах —> С, Лу —> 0.
Произведения f'x(x\ y)Sx и f'y(x; у) Sy называются
частными дифференциалами функции f(x; у) по х и по у
соответственно.
Если функция /(х; у) имеет непрерывные частные произ-
водные Д(х; у) и fy(x; у), то сумма частных дифферен-
циалов
y) = fx(x', y)Sx + fi(x-, у)Sy
называется полным дифференциалом функции f(x; у)
в точке (х; у).
Приращения независимых переменных Дх и Ду обычно
обозначают dx и dy. Тогда
df (х> у) = f'x (х; у) dx + fy (х; у) dy.	(1)
Можно показать, что
Af(x; y) = d/(x; у) 4-a Дх 4-Р Ay,
где а—+0, р—>0 при Лх-->0, Ду-->0. Это утверждение
можно сформулировать так:
полное приращение функции f(x; у) в точке (х; у) при-
ближенно равно дифференциалу этой функции в этой же
точке, т. е.
А/ (х: у) « df (х; у) = fx (х; у) Ах 4- fy (х; у) Лу. (2)
Пример 1. Найти полный дифференциал функции
z = х sin ху.
А Найдем сначала частные производные;
да	.	,
— = sin ху + X cos ху • у = sin ху 4- ху cos ху,
-L — x2 cos ху.
Следовательно,
dz = (sin ху 4- ху cos ху) dx 4- (х2 cos ху) dy.
217
Это есть полный дифференциал данной функции в про-
извольной точке (х; у). Чтобы найти дифференциал в кон-
кретной точке, нужно вместо х и у подставить координаты
этой точки. Например,
dz(0; 0) = O-dx-f G di/ —О,
dz(l.; 0) — 0-dxx-1 -dy^dy,
dz(Q\ l) = 0-dx + 0-d</ = 0,
dz(l; 1) — (sin 1 -j- cos 1) dx + ccs 1 -dy. A
Пример 2. При помощи дифференциала вычислить
приближенное значение функции / (х; у) = V Xs + уг в точ-
ках (3,1; 3,9) и (2,9; 4,1).
Д Рассматриваемые точки лежат вблизи точки (3; 4),
в которой легко вычисляется значение функции: f (3; 4) = 5.
Найдем дифференциал данной функции в точке (3; 4)1
г.(*	ip'4)-!-0-6'
/Л»	/;(3; 4=4-од
Следовательно,
d/(3; 4) = Д(3; 4) Дх 4-^(3; 4) Az/ = 0,6Ax + 0,8Aj/.
Из формулы (2) следует, что
/(З + Дх; 4 + Ду)«/(3, 4) + 0,6Дх Ф 0,8Д</.
Для точки (3,1; 3,9) имеем Дх —0,1, Ду =— 0,1,
и поэтому
/(3.1; 3,9) «> 5 + 0,8 • 0.1 — 0,8 • 0,1 = 4,98-
Для точки (2,9; 4,1) имеем Дх—— 0,1, Ду = 0,1,
и поэтому
/(2,9; 4,1) «>5—0,6 0.1 + 0,8-0,1=5,02. А
Вопросы для контроля
1.	Что называется функцией двух переменных?
2.	Какая функция двух переменных назызается непрерывной
в точке? Приведите примеры непрерывных в точке функций,
3.	Сформулируйте теоремы о непрерывности суммы, разности,
произведения и отношения двух непрерывных функций.
4.	Что назызается частной производной функции?
5.	Как определяются частные производные ъторого порядка?
6.	Какие производные второго порядка называются смешанными?
218
7.	Сформулируйте определение предела в точке функции двух
переменных.
8.	Что называется частным дифференциалом? Что называется
полным дифференциалом?
Упражнения
7.1.	Докажете, что функция f (х; у} = sin xsin у непрерывна в лю-
бой точке (х;	_
_ „ т, .	,	.	V1 — ху
7.2,	Найдите область определения функции z=-L-j-и дока-
х --у
жите, что эта функция непрерывна в области определения.
7.3.	Докажите, что функция f (х; у), равная 0, если ху = 0, и 1,
если ху #• 0, не является непрерывной в точке (0; 0).
7.4.	Найдите частные производные следующих функций двух
переменных:
1)	z = xsln^-|-0Sinx; 2) z—tg (х
3) у—х2 sin (aZ-J-x); 4) s—Vx2-f-y*.
7.5, Найдите частные производные следующих функций трех пере-
менных:
1) z = (x2 + j/’) sin 1; 2) и — ху-~хг + уг+1;
3)	г =xyexVt cos yt; 4) V=xfrx2-|- у2 etg xt.
7.6.	Найдите частные производные второго порядка следующих
функций:
1)	z = xy-|-x sin у, 2) z = xy-4-x4-y,
3)	и=-у sir. (х-|-а/), 4) u = xy-(-xz-|-i/z-|-x2 + y2-j-z2.
7.7.	Найдите частные производные функции z = f(x; у), удовле-
творяющей уравнению х24-т/24 ?2 = 1.
7.8	Найдите предел функции f(x; у)~‘	? г' при х—>0,
X “f- у
if—>0.
7.9.	Найдите полные дифференциалы следующих функций:
1)	z=cosxy; 2) г — х2у + ху2;
3) z — xe^-i-y etgx.
7.19. При помещи дифференциала вычислите приближенно зна-
чения функции f (х; у) = ех sin (х + у) в точках (0,1; 0,2) и (0,2; 0,1).
§ 24. Кратные интегралы
к Определение и свойства двойного интеграла (случай
прямоугольника). Пусть функция f(x; у) определена на
прямоугольнике G: a^Zx^b, cs^y^d (рис. 26).
Отрезок [а; Ь] оси Ох точками
, Ь—а .	- л 1
х, = a J---i, i = 0, 1, ..., п,
i	п >	’	’	>	»
разобьем на п отрезков	i=l, .... п, длины
&хОтрезок [с; dj оси Оу точками
У/ = с + ——I, / = 0. 1> •••>
219
разобьем на п отрезков у,], 7=1, ...» п, длины
d~^c-. Тогда прямоугольник G разобьется на п- при-
моугольников 6,у, площадь
каждого из которых равна
Составим двойную сумму
2- 2 7(5/1 Ч/)МА«//. (Ь
i = 1 / = 1
где т],)—некоторая точка
прямоугольника 6,7. Эта сум-
ма называется интегральней
суммой функции f (х; у).
Если предел интегральной суммы (1) при гг--*оо
существует и не зависит от выбора точек (|/( т]/)» т0 он
называется двойным интегралом от функции f(x, у) по
G и обозначается
5$7(^> у) dxdy.
а
Таким образом, согласно определению
р Р	п п
у) dxdy=lim £ £ 7(5<; Л/)А*/АУ/-
G	Л-*® Г=1 / = 1
Очевидно, что
J \ dxdy — пл. G,
а
т. е. интеграл от 1 по G равен площади G.
Из определения двойного интеграла и соответствующих
свойств пределов последовательностей сразу получается
следующее важное утверждение:
если интегралы от функций f (х; у) и g (х; у) по G
существуют, то для любых чисел а и ft интеграл по G
от функции af(x; y) + ftg(x; у) существует и
y) + $S(x> у)) dxdy —
а
= a jj f (x; у) dxdy + p \g (x; y)dxdy. (2)
о	a
Отсюда, в частности, следует, что постоянный мно-
житель можно выносить за знак интеграла и что интег-
220
рал от суммы двух функций равен сумме интегралов ст
этих функций.
Докажем формулу (2):
j ’ («/ (•*; У) + (0 УУ) dx dy =
о
2 3(а/(1/; 1]/)+ ₽£&•',	=
п-> <х> i- 1 / = 1
п п
= a lim 2 2 / &; П/) Лх,- Аг/У +
n-> со i = 1 / = 1
-Ь р lim 2 2 gfal =
п-> со i = I / = 1
= а^/(х; y]dxdy + $^g(x; y)dxdy.
6	G
Здесь мы сначала воспользовались определением двойного
интеграла, затем теоремой о пределе суммы двух после-
доьательностей и теоремой о вынесении постоянного мно-
жителя за знак предела и, наконец, снопа определением
двойного интеграла.
2.	Сведение двойного интеграла к повторному (случай
прямоугольника). Пусть функция f(x; у) определена и
непрерывна на прямоугольнике G: a^x^b, cs^y^d.
Покажем, что вычисление двойного интеграла от /(х; у)
по G сводится к вычислению двух однократных интегралов:
интеграла по х от а до b и интеграла по у от с до d.
Отрезок [а; &] осн Ох точками xh i — 0, 1, п,
разобьем на п равных по длине отрезков [x/.f, х,]. Тогда
существуют такие	х,], что
ь	п	п
\ Дх; y)dx-^ \ /(х; y)dx~ 2	У)&х1 (Р
а
для любого d].
Далее, отрезок [с; л] оси Оу точками У/, j = 0, 1, ..., п,
разобьем на п равных по длине отрезков уД. Тогда
существуют такие Л/€[#/-<{ J//1» 410
d , Ь	х
и J f(x-, y)dx\dy=.
С \<Х
" rZ /г	\	° /р6
ж 2 j ( $ f(^5 y)dx jdy= 2 ( J f(x< ^)dx Лур (2)
/ i~l \a	/
221
Из формул (1) и (2) получаем формулу
р / ?	\ п п
\ ( \ f (х; у) dx ) dy = 2 .2 f &•; ту) Ax? Ду,. (3)
с \а	J i — 1 / — 1
Так как в (3) левая часть есть число, а правая при
п —* оо стремится к двойному интегралу от f (х; у) по G,
то окончательно получаем следующую формулу:
d / Ь	ч
$Р(х; y)dxdy~ у \ f(x; y)dx\dy, (4)
G	с \a	/
которая называется формулой сведения двойного интеграла
к повторному.
Повторный интеграл, стоящий в правой части фор-
мулы (4), обычно записывают иначе, а именно так, что
формула (4) принимает вид
d ь
$ $ f (х; у) dx dy = J dy J f (x; y) dx. (4')
в	c a
Аьалогично этой формуле доказывается и другая фор-
мула сведения двойного интеграла к повторному:
b d
$$ f(x; у) dxdy — $ dx J / (x; y)dy.
G	a c
(5)
Пример 1. Вычислить двойной интеграл ст функ-
ции f(x; у) = хl 2 +ysinxy по квадрату' G: Os^x^l,
Л Воспользуемся формулой сведения двойного интег-
рала к повторному. Тогда
1 1
$ (х2 + У sin ху) dx dy ^\dy  (х2 + у sin xy) dx.
g	с о
Сначала, считая у постоянным, вычислим интеграл но х:
l (х2 + У sinxy)dx= —cosxy ) Р =
о
1	. 1	4
= у —-созу+ 1 = у—cosy.
622
Затем от полученной функции вычислим интеграл но у.
Тогда
1
v , (х2 + у sin ху) dx dy —	— cos у '\dy=:
g	о 4
4	II 4	. 1	*
= у— Sinz/l =у — sin 1. А
Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функ-
ции /(х; у] = у cos х + xev по прямоугольнику G: Ог^х^л,
Д Воспользуемся формулой (5):
л 1
', \ f(x; у) dx dy =. J dx ( (у cos x + xey) dy =
g	о о
*= 1 ' ^-cosx'ixe»^ ' dx —
• J \ *	/10=0
0
я	ял
t= J (у cosx+ex—x'idx — -\ j cosxdx-h (e — 1)xdx=
о	с	0
=4.0+(e-l)4|U^(.,-l).A.
3.	Определение двойного интеграла для произвольной
области. Пусть функция f (х; у) определена на некоторой ог-
раниченной области Сточек (х; у) координатной плоскости.
Через Со обозначим наименьший прямоугольник, который
содержит область G и стороны которого параллельны
осям координат (рис. 27). Через /0(х; у) обозначим функ-
цию, ксгорая равна f (х; у) на G и нулю вне С. Теперь
по определению положим
J$f(x; y)dxdy=^fe(x-, y)dxdy.	(1)
о	а„
223
Пусть область G ограничена слева и справа прямыми
х = а и х — Ь, а снизу и сверху графиками непрерывных
функций t/ — фДх) и t/ = <p2(x) Тогда из (1) получаем
Ь , d	ч
И y)dxdy = и j М*; y)dy]dx =
О	а Хе	'
= Ц $ f(x;y)dy}dx,
а \ф.*(х)	J
так как при фиксированном х функция /0(х; у) равна
f(x; у) на отрезке [^(х); <р2 (х)] и нулю вне этого отрезка.
Таким образом, для двойного интеграла пр области G:
аг^х^й, <Pi(x)s^ysC<p2(x) справедлива следующая
формула:
ь Ф1 (*)
y)dxdy=S dx J f(x; у) dy. (2)
G	a <p, (x)
Аналогично, если область 6 ограничена снизу и сверху
y = d, & слева и справа графиками непре-
рывных функций X — ф) (у) и х = ф2 (у), то
d ф» (и)
^f(.x; y)dxdy=\dy j f(x; y)dx. (3)
G	c Tbi (y)
Формулы (2), (3), как и формулы
(4), (5) п. 2, называются формулами
сведения двойного интеграла к повтор-
ному.
Пример 1. Вычислить ийтеграл
(xy+y^dxdy,
где G—область, ограниченная прямымих, у = 2х их= 1
(рис. 28).
А Воспользуемся формулой (2):
1 2х
V(xy + у2) dxdy-\dx^ (ху + у2) dy «
О х
£24
Пример 2, Вычислить двойной интеграл от функции
z = xy по кругу радиуса 7? с центром в начале координат
Л Через обозначим круг радиуса /? с центром
в точке (0; 0). Тогда
R VR'-K*	R
 ,xydxdy = dx j xydy—	▲
-R	-R
4, Тройные интегралы. Ограничимся рассмотрением
лишь интегралов от функций / (х; у, г), определенных на
прямоугольном параллелепипеде G. а3 ^х^/?1; а^у^Ьг,
а3^.г <1Ь3. Как и при определении двойного интеграла,
каждый отрезок [ад Ьг], [а2; &2], [а3; 7>3] соответствующей
оси точками х;, у, и гк разобьем на п разных по длине
отрезков и составим интегральную сумму
п п п
2 2 2f(V> V- -Ч-
f=i/=i*=i
где
В|€[-*'|-1> ^1], Ч/€[т//-1> Уi\i
Если интегральная сумма имеет предел при п —+ <х>
и этот предел не зависит от выбора тр, то он назы-
вается тройным интегралом от функции f(x; у; z) по G
и обозначается
Для этого
доказываются
а
а
а
\	/(*: У> z)dxdydz.
aJ
интеграла, как и для двойного интеграла,
следующие формулы:
bl ь, ъ,
у, z) dxdy dz =Л dx dyf (х\ у, z)dz,
fli а2 а3
b2 bi b3
у; z)dxdydz=\dy^dx\f(x\ у; z)dz,
d2 dj О3
Ь, Ьг bt
у, z)dxdydz— ^dz\ dy^ f(x\ у; z\dx
аз аг а.
и т. д. Всего, очевидно, имеется шесть формул сведения
тройного интеграла по О к повторному интегралу.
Пример. Вычислить интеграл от функции f(х; у, г) —
=x + xy + xyz по кубу G:	1, 0 у^ 1, Os^z.^l.
8 Алгебра, ч. 2	225
Л Для вычисления интеграла воспользуемся одной
из формул сведения тройного интеграла к повторному:
$$$ f(x\ у, z)dxdydz~
“ а
ill	11
в= V dx \ dy § (х + ху-J- xyz) dz = dx I + ху +	\dy-=
ООО	00
=	\ (jc + -|-^)^ = y(x + ^-x)dx=rJ.y = -g-. А
оо	о 4
Упражнения
7.11.	Вычислите двойной интеграл по прямоугольнику
— 1 < х< 1,	I от следующих функций:
1)	f (х; у) = х2у + cos у; 2) f (х; у) = х sin t, + у cos х;
3)	f(x; Si) = xse*’+>'; 4) f(x; у) = х sin - 4—2 •
G:
7.12.	Вычислите двойной интеграл "( J (х—2у 4-хе&) dx dy,
G
где (j — множество течек (х; у) таких, что 0<х<а, 0^.у^,хг.
7.13.	Вычислите двойкой иктеграл от функции г = хухгу2
по области G, ограниченной кривыми у — х2 и у = х3.
7.14.	Вычислите двойной интеграл от функции f (х; у> — 2х-\-Зху
по треугольнику с вершинами в точках Д(—1; 0), В (0; 1}, С (I, 6).
7.15.	Вычислите двойной интеграл от функции г — х2у по полу-
кругу х24 у2<1, у^0.
7.16.	Вычислите тройной интеграл пс прямоугольному параллеле-
пипеду G: 0<х<1, —1<у<1» 0<,г<1 от следующих функций:
1} u=xuz; 2) и-ху—уг-^-хг;
3) и = x2z cos у.
§ 25. Приложения кратных интегралов
1. Масса плоской пластинки переменкой плотности.
Пусть требуется определить массу т некоторой тонкой
прямоугольной пластинки G (рис. 29). Если пластинка
однородная, то, как хороню из-
вестно,
tn = pab, (1)
где р—поверхностная плотность,
а а, b—размеры пластинки. Если
же пластинка неоднородная, т. е.
плотность р есть функция точки!
Р = ₽(*•>
226
то для вычисления массы т поступим следующим обра-
зом. Прямыми, параллельными осям координат и задан-
ными уравнениями
<а . п ,
х — х, = —,	i-О, 1, ..., п,
‘ п ’	' ’	’ ’
У = У; = ^ . 7 = 0, 1. • • •> п,
прямоугольник G разобьем на п2 прямоугольников (рис. 30)
и составим сумму
п п
2 2р(?<; л?)Лх,д1/7,	(2)
i — 1 / = 1
где	*,]»	У]}- Эта сумма приближенно
равна т и, очевидно, стремится к т при п —+ оо. Так
как, с другой стороны, предел суммы (2) при п —-> оо
равен интегралу от функции р(х; у) но G, то, следова-
тельно,
т== $^р(х; y)dxdy.	(3)
а
Таким образом, масса т пластинки G с переменной
поверхностной плотностью р(х; у) равна двойному интег-
ралу от р(х; у) по G.
Заметим; что формула (3) справедлива для ограниченной
пластинки произвольной формы.
Пример 1. Вычислить массу квадратной пластинки G
со стороной длины а, поверхностная плотность которой
в точке P&G равна fe(a2—г2), где г—расстояние от
точки Р до центра квадрата, a k—некоторая посто-
янная.
А Выберем систему координат, связанную с рассмат-
риваемой пластинкой, так, как это указано на рис. 31.
8*
227
Тогда
p = fe(a2—х2—у2')
и, следовательно,
0/2	о/2
tn—V\k(a2—x2—y2)dxdy=k \ dx ( (a2—x2—у^у =
в	-a/2	-0/2
= b._*a4f'‘
J |-о/a	о |-o/2

Пример 2. Вычислить массу треугольной пластинки
G: O^x^l, O^ys^x с поверхностной плотностью р =
= 1 + ху.
Л По форму те (3) получаем
1 х
/Ц= И (i + xz/)dxdy= J- dx$ (1 4 xy")dy-
'а	о о
I , X	\	1
r= CH (1 + xy)dy dx = § (х+х~ )	+"Й) |о ~
Э М	'	о
___5 а
— 2 + 8 — 8 • Ж
2. Объем тела. Пусть на прямоугольнике G: а^х^.Ь,
задана неотрицательная функция z^f(x, у').
Найдем формулу для объема V тела, координаты точек
которого удовлетворяют условиям: (х; y)^G, 0<?<
<f(*; У) (рис- 32).
228
Для функции f(x; у), (х\ у)£в, составим интеграль-
ную сумму
п п
2 2 /(!•; п,)ЧЧ/-
i=i j~ 1
Эта сумма приближенно равна объему V и, очевидно,
стремится к V при п -* оо. Следовательно,
y^dxdy-
G
Заметим, что эта формула справедлива и в том случае,
когда G—произвольная область, ограниченная гладкими
кривыми.
Пример. Найти объем V тела, ограниченного плос-
костями х=1, у = х, у — 2х, 2 = 0 и поверхностью z =
= Х3+ у2.
А Область G, в которой определена функция
2 = ха+ у'1,
изображена на рис. 28. Следовательно,
V= (х2 + y^dxdy^
а
1 2х	11
= ' dx । (х3 + у2) dy = х3 dx + J f ~1 **; dx =•
Ox	О	С '	* 1
1 , 1 С- , ,	1,71	5	.
— 4 + 3 J 7х ~ 4	3 ’ 4 ~ 6 '
0
3. Масса тела переменной плотности. Как для массы
плоской пластинки с переменной поверхностной плот-
ностью р = р(х; у), так и для массы т зела G с перемен-
ной плотностью р = р(х; у; z), (х; у; z)^Q, можно полу-
чить следующую формулу:
у, z)dxdydz,	(1)
т. е. масса тела G с переменной плотностью р (х; у: г) разна
тройному интегралу по G от этой плотности.
Пример. Вычислить массу куба G: Os^x^l,
0<.ys^l, O^z^l с переменной плотностью р = х + у-|-
+ ? + 1-
229
Д По 'формуле (1) получаем
т ~	(х + У + 2 + 1) &У dz =
jg
i	i	i
= Jxdx + J ^^£/+У^Й2-|-1=-2’ + ‘2' + ’2"4"1='2'’ A
0 c c
Упражнения
7.17.	Найдите массу прямоугольного треугольника с катетами
2 и 3 см, если его плотность в то1>ке Р равна (1 +г) г/см2, где г —
расстояние от точки Р до катета длины 2 см.
7.18.	Найдите обоем тела, ограниченного поверхностями 2—0,
г = ху, х — 0, у —0, х—1, у=1.
7.19.	Найдите массу прямого кругового цилиндра радиуса R
И высоты h, если его плотность в точке Р равна max {/"i! г2}> где
Г1> Га—расстояния от точки Р до оснований.
Глава 8
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 26. Основные понятия и задачи математической
статистики
1.	Предмет математической статистики. В математи-
ческой статистике разрабатываются теории и методы обра-
ботки информации о массовых явлениях. Исходным мате-
риалом для всякого статистического исследования являются
статистические данные. Под статистическими данными
понимают сведения о числе объектов какой-либо более
или менее обширной совокупности, обладающих теми или
иными признаками. Статистическими данными являются,
например, сведения: а) о числе отличников в каждом из
техникумов данного юрода; б) о числе сорняков, обнару-
женных во время каждой из 100 проверок зерна; в) о числе
участников игры «Спортлото», угадавших 6 номеров в каж-
дом из тиражей, состоявшихся в течение года; г) о числе
военнообязанных, имеющих рост 2 м, и т. д.
На основании статистических данных часто можно
делать вполне определенные научно обоснованные выводы,
представляющие большую ценность для науки и практики.
Для этого статистические данные должны быть предвари-
тельно определенным образом систематизированы и обра-
ботаны. Математическая статистика как раз и изучает
математические методы систематизации, обработки и исполь-
зования статистических данных для научных и производ-
ственных целей. Одним из основных меюдов обработки
статистических данных является выборочный метод (см. да-
лее, и. 2).
Методы математической статистики широко применяются
в самых различных областях знаний — в физике, звездной
астрономии, экономике, геологии, гидрологии, климатоло-
гии, биологии, медицине и др. Также широко исполь-
зуется математическая статистика и в промышленности.
Достаточно указать на вопросы организации надежного
контроля за качеством выпускаемой продукции.
23]
Основой математической статистики служит теория
вероятностей, в которой изучаются математические модели
реальных случайных явлений. Методы математической
статистики дают возможность на основе экспериментальных
данных определять вероятностные характеристики этих
моделей: математические ожидания,, дисперсии, законы
распределения и многие другие характеристики. Можно
сказать поэтому, что математическая статистика является
тем звеном, которое связывает реальные случайные явления
с их математическими вероятностными моделями.
Среди многих важных задач, решаемых современной
математической статистикой, выделим следующие две.
В прикладных задачах вероятность исследуемого события
обычно неизвестна. Она определяется приближенно по
статистическим данным. Дать оценку полученной на основе
опытных данных вероятности события—одна из основных
задач математической статистики.
В практических задачах нередко удается в результате
анализа исследуемой случайной величины определить ее
распределение с точностью до некоторого неизвестного
параметра. Дгть оценку этого параметра в виде числа
(так называемое точечное оценивание, см § 27, п. 1) или
интервала, в котором с заданной вероятностью заключено
значение неизвестного параметра (так называемое интер-
вальное оценивание, см. § 27, п. 2),— еще одна основная
задача математической статистики,
Математическая статистика возникла в XVII веке одно-
временно с теорией вероятностей. Решения первых задач
математической статистики содержатся в сочинениях созда-
телей теории вероятностей — Я. Бернулли, П. Лапласа,
С. Пуассона. В России методы математической статистики
в применении к демографии и страховому делу развивал
В. Я Буняковский. Решающее значение для всего даль-
нейшего развития математической статистики имели работы
представителей русской классической школы теории вероят-
ностей П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова.
Развитие методов математической статистики связано также
с именами К. Пирсона, Р. Фишера, Ю. Неймана и совет-
ских математиков А. Н. Колмогорова, Ю. В. Линника,
К). В. Прохорова.
2.	Выбцрки и выборочные распределения. В самых
различных областях производственной и научной деятель-
ности приходится проводить изучение (обследование, изме-
рение, проверку) объектов, принадлежащих некоторой
совокупности, по какому-либо признаку. При этом иногда
232
приходится исследовать каждый объект совокупности, т. с,
проводить сплошное исследование. Но во многих других
случаях в силу различных причин исследовать каждый
объект невыгодно или даже невозможно. Например, если
рассматриваемая совокупность содержит слишком много
объектов или если исследование требует больших затрат
времени или является дорогостоящим, то проводить сплош-
ное исследование по крайней мере нерентабельно. Следует
иметь также в виду, что иногда исследование объекта
связано с его уничтожением. Например, при испытании
готового изделия на разрыв сплошное исследование лишено
всякого смысла.
Поэтому на практике гораздо чаще применяется выбо-
рочное исследование. При выборочном исследовании из
всей совокупности отбирают некоторым образом опреде-
ленное число объектов и только их подвергают исследо-
ванию. При этом совокупность всех исследуемых объектов
называют генеральной совокупностью.
Выборочной совокупностью или просто выборкой назы-
вают совокупность случайно оюбранных объектов из гене-
ральной совокупности.
Под случайным отбором при образовании выборки
понимают такой отбор, при котором все объекты генераль-
ной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть
в выборку.
Выборка может проводиться двумя основными спосо-
бами. При первом объект извлекается из генеральной
совокупности, исследуется, возвращается в исходную
генеральную совокупность; затем снова извлекается неко-
торый объект, исследуется и возвращается в генеральную
совокупность и т. д. Полученную таким образом выборку
называют повторной. При втором способе после исследо-
вания объекты в генеральную совокупность не возвра-
щаются, и выборку в этом случае называют бесповторной.
Таким образом, при бесповторной выборке каждый
объект исследуется только один раз, при повторной
выборке один и тот же объект может подвергаться иссле-
дованию несколько раз.
Число объектов выборочной или генеральной совокуп-
ности называют объемом выборки. Например, если из
10 000 изделий для контроля отобрано '00 изделий, то
объем генеральной совокупности N = 10 000, а объем вы-
борки п — 1С0.
Математическая статистика занимается вопросом: можно
ли, установив какое-либо свойство выборки, считать, что
233
это свойство с определенной вероятностью присуще всей
генеральной совокупности?
Для того чтобы по выборке можно было с определен-
ной уверенностью судить о всей генера льной совокупности,
выборка должна достаточно полно отражать изучаемое
свойство объектов генеральной совокупности, быть доста-
точно представительной (репрезентативной). Для того чтобы
выборка была представительной, необходимо, чтобы отбор
объектов в выборку осуществлялся дейст вительно случайно.
Необходимо также, чтобы изучаемому свойству была при-
суща статистическая устойчивое! ь: при многократном по-
вторении исследования должна иметь место ста 1истическая
устойчивость частот наблюдаемых событий.
Для статистической обработки результаты исследо-
вания объектов, составляющих выборку, представляют
(в определенных физических единицах) в виде числовой
выборки, т. е. в виде последовательности чисел хп х?, .,,, хп.
Это могут быть, например, результаты п измерений длин де-
талей (в см), попавших в выборку, или результаты наблюде-
ний за временем работы (в ч) п приборов до выхода их
из строя. Числовую выборку получают также при.измере-
ниях других случайных величин.
Разность между наибольшим значением числовой вы-
борки и ее наименьшим значением называют размахом
выборки.
Выборку, представляющую собой неубывающую после-
довательность чисел, называют вариационным рядом. Оче-
видно, что любую числовую выборку можно записать
в виде вариационного ряда. Например, записав значения
выборки
1, 10, —2, 1, 0, 1, 10, 7, —2, 10, 10, 7
в виде неубывающей последовательности, получим вариа-
ционный ряд
—2, —2, 0, 1, 1, 1, 7, 7, Ю, 10. 10, 10.
Размах выборки равен 10—(—2)^12.
Пусть при исследовании некоторой 1енеральной сово-
купности получена числовая выборка объема п, причем
значение xt встретилось в еыборкс п1 раз, значение х2—
па раз, ..., значение хь—пк раз. Числа п,, л?, ..., пк
называют частотами, а их отношения к объему’ выборки,
П1 «2	Пь
т. е. отношения —, —, ...,	— относительными час-
п	п	п
тотами соответствующих значений х:, х2, ..хк выборки.
231
Очевидно, что сумма частот равна объему выборки,
а сумма относительных частот равна единице, т. е.
«i +паН-...+nft = п, -у + -—+ • • • +’7^=-
Последовательность пар
(Xj, /lj), (х2,	• ••> (х^,	(1)
В первой строке таблицы записывают значения вы-
борки, во второй—их соответствующие частот?j.
Рассмотрим таблицу, в которой, в отличие от таб-
лицы (Г), во второй строке записаны не частоты, а отно-
сительные частоты соответствующих значений выборки:
Xj	х3	*3	...	X/	...	Хй
к,		Пз		л,-		"ft
п	п	п		п		п
Этой таблицей задается так называемое выборочное рас-
пределение. Полезно сравнить таблицу выборочного рас-
пределения с таблицей (1) § 16, с помощью которой
задавалось распределение случайной величины. Распреде-
ление случайной величины задавалось указанием всех се
значений и их соответствующих вероятностей. Для зада-
ния выборочного распределения указываются все значения
выборки и их соответствующие относительные частоты.
Пример. Для выборки
3, 8, — 1, 3, 0, 5, 3, —1, 3, 5
определить объем и размах. Записать выборку в виде
вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найти
выборочное распределение.
А Объем выборки п = 10. ее размах равен 8—(—1) = 9.
235
Записав значения выборки в виде неубывающей после-
довательности, получим вариационный ряд
—1, —1, 0, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 8.
Статистический ряд можно записать в виде последова-
тельности пар чисел
Для контроля находим сумму частот
2+ 14-4 + 2+ 1 = 10
и убеждаемся в том, что она равна объему выборки.
Вычислив относительные частоты, найдем выборочное
распределение
—1	0	3	5	6
2	1	4	2	1
10	10	10	10	10
Для контроля убеждаемся в том, что сумма относи-
тельных частот равна единице:
2 - I4.I4I + I-I ▲
10т10т10т10'г10“1,
3.	Графическис изображения выборки. Полигон и гисто-
грамма. Для наглядного представления о выборке часто
используют различные графические изображения выборки.
Простейшими изображениями выборки являются полигон
к гистограмма. Пусть выборка задана статистическим
рядом
(Л4 п,), (х2; п2), .... (хк; пк).	(1)
Полигоном частот называют ломаную с вершинами в точ-
ках (1).
На рис. 33 построен полигон частот для выборки, рас-
смотренной в примере п. 2.
236
Полигоном относительных частот называют ломаную
с вершинами в точках
(Ж1’ 7г)’ (*2’ ?)’ •••’ (**’ "г)'
Ясно, что полигон относительных частот получается
из полигона частот сжатием вдоль оси ординат в п раз,
где п—объем выборки.
При большом объеме выборки более наглядное пред-
ставление о ней дает гистограмма. Для построения гисто-
граммы частот промежуток от наименьшего значения вы-
борки до наибольшего ее значения разбивают на несколько
частичных промежутков длины h. Для каждого частич-
ного промежутка подсчитывают сумму s, частот значений
выборки, попавших в этот промежуток. Значение х,- вы-
борки, совпавшее с правым концом промежутка, относят
к следующему промежутку (если х,-—не наибольшее зна-
чение выборки).
Затем на каждом частичном промежутке, как на осно-
вании, строят прямоугольник с высотой -у. Объединение
всех построенных таким образом прямоугольников назы-
вают гистограммой частот.
Итак, гистограммой частот называют ступенчатую
фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями ко-
торых являются частичные промежутки длины ft, а высо-
тами—отрезки длины у-, где sz—сумма частот значений
выборки, попавших в i-й промежуток.
Из определения гистограммы ясно, что ее площадь
равна объему выборки.
В практических задачах в зависимости от объема
выборки в большинстве случаев целесообразно брать
10—20 частичных промежутков.
237
Совершенно аналогично определяют и строят гисто-
грамму относительных частот,
Гистограммой относительных частот называют сту-
пенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, осно-
ваниями которых являются частичные промежутки длины h,
Wi
а высотами—отрезки длины -у , где иг—суммы относи-
тельных частот значений выборки, попавших в t-й проме-
жуток.
Площадь гистограммы относительных частот, очевидно,
равна единице.
II ример. В результате измерения напряжения (ь воль-
тах) в электросети получена выборка
218,	221,	215,	225,	225,	217,
224,	220,	220,	219,	221,	219,
222,	227,	218,	220,	223.	230,
223,	21G,	224,	227,	220,	222.
Построить		гистограмму		частот, если число частичных	
промежутков равно 5.
Л Наименьшее значение выборки равно 215, наиболь-
шее—230. Находим длину частичных промежутков h —
230___215
=»-----—=3. Подсчитываем с учетом краткости число
значений выборки, попавших в каждый промежуток. Для
первого промежутка [215; 218) это число равно 3, для
второго [218; 221) оно равно 8, для третьего [221; 224)—6,
для четвертого [224; 227)—5, для пятого [227; 230]—2.
Следовательно, высоты прямоугольников (слева направо),
8	5 2
образующих гистограмму, равны 1, -у, 2, у , у. По полу-
ченным данным строим гистограмму (рис. 34). Для контроля
убеждаемся в том, что площадь гистограммы равна объему
23*
выборки:
3(1 + т+2+1+т)=24- *
4.	Выборочные характеристики. В теории вероятнос-
тей (§ 16) изучались числовые характеристики случайных
величин: математическое ожидание (среднее значение) и
дисперсия. В математической статистике аналогичные ха-
рактеристики вводятся для выборки.
Пусть имеется некоторая выборка объема п:
Xi, х2, .... х„.	(1)
Выборочным математическим ожиданием или выбороч-
ным средним называют среднее арифметическое значений
выборки.
Эту числовую характеристику выборки принято обозна-
чать X.
Таким образом, выборочное среднее для выборки (1)
определяется формулой
х =	Или МУх,. (2)
п ’	п ‘	' 1
(=1
Если выборка задана статистическим рядом (см, п. 2,
табл. (Г)) или выборочным распределением (п. 2, табл. (2)),
то формулу (2) естественно записать в следующем виде:
k
1	ь... или - = 1£	(3)
i— 1
Выборочной дисперсией называют среднее арифметиче-
ское квадратов отклонений значений выборки от выбороч-
ного среднего.
Выборочную дисперсию будем обозначать So.
Таким образом, выборочная дисперсия для выборки (1)
определяется формулой
е _ (Xi—х)2 + %—х)2+... + (хп—х)2
°	п	’
или
1	"	-
х)2- w
1=\
Если выборка задана статистическим рядом (п. 2, (Г)) или
выборочным распределением (л. 2, (2)), то формулу (4)
2»
можно записать так:
S	П1(Х1~х)2 + «2 (^2—Х)2+ . . » +»fe fa —х)2
1	п	’
или
1	_
-50 = -£п,(х,—х)2.	(5)
i=i
Формулы (4) и (5) можно преобразовать к более удобному
для вычислений виду. Преобразуем формулу (4) (для фор-
мулы (5) преобразование проводится аналогично):
, " - -
Ь’о = ~ V (х? - 2хх,- + (х)2) =
i= 1
\ п	-Г 1 п	X	1 _
i-1	\ (= j /
1 п	_	_	1 п	_
= 7 £ х|—2(х)2 + (X)2 = ± £ х?-(х)2.
<= 1	i= 1
Обозначим через (х2) выборочное среднее квадратов зна-
чений выборки:
___ । «
t=l
Тогда формула (4) примет вид
\-М-(х)2,	(6)
т. е. выборочная дисперсия равна среднему квадратов зна-
чений выборки без квадрата выборочного среднего.
Формула (6) аналогична Формуле (2), § 16. п. 4 для
дисперсии случайной величины.
В статистике наряду с выборочной дисперсией исполь-
зуется другая важная числовая характеристика выборки:
несмещенная выборочная дисперсия. Целесообразность вве-
дения этой характеристики, а также смысл слова «несме-
щенная» станут понятными при изучении следующего
параграфа.
Несмещенную выборочную дисперсию обозначим S и
определим формулой
S-~TS^	<7)
где Sc—выборочная дисперсия, п—объем выборки.
240
Используя формулу (4), получаем
... . "
е=1
Пример 1. Для выборки
4, б, 3, 2, 1, 2, 0, 7, 7, 3
найти выборочное среднее %, выборочную дисперсию 30,
несмещенную выборочную дисперсию о. .
Д Объем выборки а = 10. По формуле (2) находим
выборочное среднее
у 4+5-j-j-|-2+l + 2+74r7-u3 _ , .
X =-----------io------------- 3,4.
Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся
формулой (6). Для этого подсчитаем среднее квадратов
значений выборки
- 4*-Ма + ЗЧ-2а-ЬР+2*+78+7»+3* = 16 д
Теперь по формуле (6) находим
So = 16,6—3,4* = 5,04.
По формуле (7) вычисляем несмещенную выборочную дис-
персию
5 = -^-5,04 = 5,6. ▲
Пример 2. Для выборки
3, 8, —1, 3, 0, 5, 3, —1, 3, 5
найти выборочное среднее х, выборочную дисперсию So,
несмещенную выборочную дисперсию S.
Объем выборки п =10.
Выборочное среднее найдем по формуле (3)1
- 2.(-1)+4.3-Ь2.5+1.8_9Я
X—----------io---------4,0.
9 Алгебра, ч, 3
241
Вычислим среднее квадратов значений выборки:
.-) = 152
По формуле (б) получим выборочную дисперсию:
50= 15,2 — 2,82 = 7,3б.
Вычисляем несмещенную выборочную дисперсию. Для этого
используем формулу (7):
S —£9-7,36 «8,18. ▲
<	V
Вопросы для контроля
1.	Что называют: а) генеральной совокупностью; б) выборочной
совокупностью; в) объемом выборки?
2.	Дайте определение вариационного ряда. Что называется раз-
махом выборки?
3.	Как для данной выборки получают статистический ряд и вы-
борочное распределение?
4.	Какие графические изображения выборок Вы знаете?
5.	Чему равна площадь гистограммы относительных частот?
6.	Дайте определения выборочных характеристик: а) выборочного
среднего; б) выборочной дисперсии.
7.	Как связаны между собой выборочная дисперсия и несмещен-
ная выборочная дисперсия?
Упражнения
8.1.	Для выборки
7, 7, 2, 7, 7, 5, 5, 7, 5, 7
определите обьем выборки и ее размах. Запишите выборку в виде
вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выбороч-
ное распределение.
8.2.	Найдите выборочное распределение для каждой из следую-
щих выборок:
1)	5, 2, 8, —2, 5, —2, 0, 0, 8, 5;
2)	—], б, 10, 0, 0, 10, 10. О, 0;
3)	4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7.
8.3.	Для выборки, заданной статистическим рядом
0	3	5	10
10	5	7	> 3
постройте: 1) поли.'он частот; 2) полигон относительных частот.
242
8.4. Постройте полигон относительных частот для выборочного
распределения
17,	1S,	20,	10,	14,	16,	21,	21,	22,	22,
35,	27 ,	32,	24,	24,	24,	24 ,	27,	27,	27,
разбив промежуток от наименьшего значения выборки до наиболь-
шего ее значения на 5 промежутков.
8.6,	В результате 100 измерений некоторой физической величины
получена выборка, причем 10 значений выборки попали в промежу-
ток [—10; —6), 20 значений—в промежуток [—6; —2), 50 значений —
в промежуток [—2; 2), 12 значений —в промежуток [2; 6), 8 значе-
ний- в отрезок (6, 10]. Постройте гистограмму частот.
8.7.	Для выборки, 20 значений которой попали в промежуток
[—3; —1), 50 значений —в промежуток [—1; 1), 30 значений— и отре-
зок [1; 3], постройте гистограмму относительных частот.
8.8.	Для гыборки, заданной вариационным рядом
—20, —20, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 10, 10,
найдите выборочное среднее 7.
8,9.	Для выборки, заданной статистическим рядом
125	127	130	140
2	4	3	1
найдите выборочное среднее х.
8.11.	Для выборки
1, 1, 3, 3, —5, -5, 3, 1, 1, 1
найдите выборочную дисперсию Se.
9*
243
8.12.	Для выборки, заданной статистическим рядом
10	40	«0
найдите выборочною дисперсию 50
8.13.	Для выборки, заданной выборочным распределением
—20	0	15	20
1
/
3
26
найдите выборочную дисперсию S&
8.14.	Для выборки объема п=100 вычислена выборочная дис-
версия So=12,87. Найди>е несмещенную выборочную дисперсию 5.
8.15.	Найдите несмещенную выборочную дисперсию $ для вы-
борки, заданной статистическим рядом.
8.18	Четыре измерения длины, стержня дали следующие резуль-
таты: 18, 19, 21, 22 мм. Найдите- 1) еыбсрочную среднюю длины
стержня; 2) выборочную дисперсию; 3) несмещенную выборочную дис-
персию.
§	27. Статистические оценки неизвестных параметров
1. Точечные оценки. Несмещенность и состоятельность
оценки. Одной из основных задач математической стати-
стики, как уже отмечалось, является нахождение прибли-
женного значения некоторого неизвестного параметра а
случайной величины X по выборке ее значений
Xi> JCj, »., Хп,	(1)
полученной в результате п измерений (наблюдений, опы-
тен). Таким параметром может быть, например, матема-
тическое ожидание случайной величины или ее дисперсия.
Приближенное значение параметра а, вычисленное ка-
ким-либо способом по значениям выборки (1), в статистике
называют точечной оценкой этого параметра и обозна-
чают ап.
244
Замечание. Следует иметь в зиду, что значения
выборки являются случайными величинами: только от
случая зависит, что при &-м измерении получится число хк,
а не какое-нибудь другое значение случайной величины.
Поэтому и оценка ап— тоже случайная величина. На са-
мом деле оценка ап представляет собой числовую функ-
цию ог результатов п измерений.
Очевидно, что оценка ап не обязательно будет давать
удовлетворительное приближение для неизвестного пара-
метра а- Чтобы эта опенка представляла интерес для
практики, опа должна удовлетворять определенным тре-
бованиям, которые обеспечивают ее близость к оценивае-
мому параметру. Такими требованиями являются несме-
щенность и состоятельность.
Точечная оценка ап параметра а называется несмещенной,
если математическое ожидание оценки равно а, т. е. если
Ма„ = а.	(2)
В противном случае, т. е если Ма„=/= а, оценка назы-
вается смещенной. Использование несмещенных оценок
позволяет избежать систематических ошибок при замене
неизвестного параметра а его оценкой ал.
При большом количестве измерений требуют также,
чтобы с вероятностью, близкой к единице, оценка а„ мало
отличалась от параметра а.
Опенка ап параметра а называется состоятельной, если
для любого числа е > О
lim Р(|а„—а|<е)=1.	(3)
П-> СО
Использование состоятельных оценок обеспечивает сбли-
жение оценки с оцениваемым параметром при увеличении
объема выборки.
Пусть для случайной величины X в результате п из-
мерений получена выборка
*1, xt....х„.
В качестве оценки математического ожидания а = ЬКХ
случайной величины X, как правило, берут выборочное
математическое ожидание (выборочное среднее), т. е. пола-
гают
п
MX	xt>
245
Для оценки дисперсии а = ОХ используется несмещен-
ная выборочная дисперсия S:
п
D X « а„ = S = —L- 2 (xt—х)в.
i= 1
Можно доказать, что каждая из этих оценок является
несмещенной и состоятельной.
Заметим, что выборочная дисперсия
п
является смещенной оценкой для ОХ.
Доказательства этих утверждений мы не приводим,
так как они опираются на понятия и теоремы из теории
вероятностей, которые выходят за рамки программы по
математике для техникумов.
Приведем еще один пример точечной оценки. В § 15
изучалась случайная величина X—число появлений со-
бытия Л в серии из п независимых опытов, в каждом из
которых событие А наступает с вероятностью/?. В п. 5 § 16
отмечалось, что в случаях, когда вероятностьрнеизвестна,
эа ее значение принимают частоту события Л, вычисленную
при достаточно большом числе опытов. Другими словами,
в качестве оценки неизвестного параметра а = р случайной
величины, распределенной по биномиальному закону,
предлагалось использовать частоту наступлений собы-
тия Л в серии из п опытов, т. е. считать, что
 - ч — k
г> ъап =- .
г " п
В § 16 (п. 3, формула (2)) доказано, что математиче-
ское ожидание числа появлений события А в серии из п
независимых опытов, в каждом из которых А наступает
с вероятностью р, равно пр.
Следовательно,
Ma„ = M- = -Mfe = ^=p.
п п п П г
k
Таким образом, доказано, что частота — является не-
смещенной оценкой для неизвестной вероятности р.
Закон больших чисел в форме Бернулли (§ 16, п. 5,
формула (1)) означает, что частота является состоя-
тельной оценкой для вероятности р.
24G
2. Интерзальные оценки. Любая точечная оценка а„
неизвестного параметра а является случайной величиной.
Принимая оценку ап за значение параметра а, мы, как
правило, делаем ошибку, даже в том случае, когда оценка
является несмещенной и состоятельной. Поэтому важно
знать, каковы точность и надежность используемой оценки.
Задача состоит в том, чтобы уметь находить границы,
в которых с определенной вероятностью заключено неиз-
вестное значение параметра. Эту задачу решают следую-
щим образом.
Пусть по сделанной выборке удалось найти два числа а,
и а2 такие, что при любых значениях параметра а выпол-
няется равенство
Р (а £ (щ; щ)) = у.	(1)
В этом случае числа at и называют доверительными
границами, а интервал (ар, а2)—доверительным интер-
валом, соответствующими доверительной вероятности у.
Число у называют также надежностью оценки.
Нижняя и верхняя границы а2 и а2 доверительного
интервала находятся по сделанной выборке и, следова-
тельно, являются случайными величинами. Доверительный
интервал (ар а2) поэтому также определяется случайным
образом. Если случайное событие а£(ар происходит,
то говорят, что доверительный интервал (ар, а2) накрывает
неизвестный параметр а. Равенство (1) означает, что
интервал (а,, а«) накрывает неизвестный параметр а с ве-
роятностью у.
Выбор доверительной вероятности (надежности) опре-
деляется конкретными условиями. Обычно берут у равной
0,90; 0,95; 0,99. Если конкретные условия задачи позво-
ляют считать все события, вероятность которых меньше 0,10
(соответственно 0,05; 0,01), невозможными, то считают прак-
тически достоверным, что доверительный интервал накры-
вает неизвестный параметр, и за его значение принимают се-
редину доверительного интервала. При этом счи-
тается практически достоверным, что ошибка не будет
_ с«—а<
превосходить числа
В математической статистике разработаны разнообраз-
ные методы отыскания доверительных интервалов для
неизвестных параметров случайных величин. В качестве
примера расскажем, как можно найти доверительный ин-
247
тервал для неизвестного параметра р случайней величины,
распределенной по биномиальному закону.
Рассмотрим снова случайную величину X—число на-
ступлений события А в серии из п независимых опытов,
в каждом из которых событие А происходит с вероятно-
стью р. Как мы уже знаем, в случае, когда р неизвестно,
в качестве оценки вероятности р берегся частота, причем,
как доказало в предыдущем пункте, эта оценка является
несмещенной и состоятельной. Можно доказать, что при
большом числе опытов границы ау и а2 доверительного
интервала, соответствующего надежности у, могут быть
приближенно найдены по формулам
А	х k(n—k)
CL-t ~~	~~ I/ “——
1 п п г п ’
(2)
где k—число наступлений события А в п опытах, ах —
корень уравнения
X
Ф# (х) = Г dt ~ 7/2.
У 2л J
Корень этого уравнения находится по таблице значе-
ний функции Лапласа Ф0(х) (см. приложение). Форму-
лами (2) можно пользоваться при
п > 50, k > 5, п—Л >5,	(3)
т. е. во многих практически важных случаях. Если усло-
вия (3) не выполняются, для построения доверительного
интервала пользуются другими формулами.
Пример. С автоматической линии было отобрано и
проверено 400 деталей, 10 деталей оказались бракован-
ными. Найти доверительный интервал, накрывающий
с надежностью 0,9 неизвестную вероятность изготовления
бракованной детали.
А По условию имеем п = 400, А =10, у = 0,9 По за-
данной надежности у = 0,9 получаем уравнение Ф0(х) =
0 9
= -у- = 0,45. Из таблицы значений функции Лапласа Фо (х)
видно, что х«1,645. По формулам (2) находим границы
доверительного интервала:
„	10	1,645,/1Щ390 _п
flx = 400—400-У ~03 ~0’012'
а	1,645 / >0-390
а*~ 400 г 400 Г ~40б~ ~
248
Таким образом, если считать неизвестную вероятность
равной 0,025, то с вероятностью 0,9 ошибка не превзой-
дет 0,013. А
Вопросыдля контроля
1.	Какие требования предъявляются к точечным оценкам?
2	Дайте определения: а) несмещенной оценки; б) состоятельней
оценки.
3.	Приведите какой-либо пример смещенной оценки.
4.	Приведите какой-либо пример несмещенной и состоятельной
оценки.
5.	Объясните, что значит, что доверительный интервал (ая; ei)
накрывает неизвестный параметр а с надежностью у.
6	Каково определение функции Лапласа Фв (х)? Как эта функ-
ция используется для определения границ доверительного интервала,
соответствующего надежности у?
Упражнения
8.	17. Для случайной величины X получена выборка
2	5	7	10
16	12	8	14
Укажите несмещенную и состоятельную оценку для MX.
8.	18 Для случайной величины X получена выборка
Укажите несмещенную и состоятельную сценку для DX.
8.	19. В 100(10 сеансах игры с автоматом выигрыш отмечен
в 400 случаях. Укажите несмещенную и состоятельную оценку для
вероятности выигрыша при игре с таким автоматом.
8.2	С. Из большой партии изделий, изготовленных станком-авто-
малом, было отобрано '200 штук, при этом 70 изделий оказались
первосортными. Найдите доверительный интервал, накрывающий
с надежностью 0,85 неизвестную вероятность изготовления станком-
автоматом первосортного изделия.
8.2	1. Из большой партии транзисторов случайным образом было
отобрано 100 штук. При проверке оказалось, что 10 транзисторов не
соответствуют стандарту. Найдите доверительный интервал, накрываю-
щий с надежностью 0,95 долю нестандартных транзисторов во всей
партии.
249
8.2	2. Найдите доверительный интервал, накрывающий с надеж-
ностью 0,99 неизвестную верой 1ность изготовления автоматом нестан-
дартной детали, если среди 250 деталей оказалось только 218 стан-
дартных
8.2	3. В 1000 игр с игровым автоматом выигрыш был отмечен
в 100 случаях. Найдите доверительный интервал, накрывающий
с надежностью 1) 0,95; 2) 0,93 неизвестную вероятность выигрыша.
§28	. Обработка результатов измерений
методом наименьших квадратов
Пусть изучается зависимость между величинами X и Y
в случае, когда имеется возможность измерять значения
величины Y при различных значениях величины X, Если
величина X может принимать лишь конечное множество
значений и если при всех этих значениях возможно точное
измерение величины Y, то после конечного числа измере-
ний мы получим таблицу соответствующих значений X и К.
Очевидно, эта таблица описывает искомую функциональ-
ную зависимость. Однако даже в случае, когда величи-
на X принимает конечное множество значений, не всегда
имеется возможность провести измерения величины Y для
всех значений величины X, так как этих значений может
быть очень много или процесс измерения связан с уничто-
жением изучаемого объекта. Кроме того, при одном и том
же значении величины X, но при разных измерениях из-ва
неточности измерения могут получаться разные прибли-
женные значения величины Y. В общем случае прибли-
женные значения величины Y при фиксированном X яв-
ляются значениями некоторой случайной величины.
Из сказанного следует, что при помощи конечного
числа измерений, как правило, нельзя установить точную
функциональную зависимость между изучаемыми вели-
чинами.
Одной из важных задач математической статистики
является установление связи между двумя величинами по
известным выборкам их значений. В общем случае эта
задача формулируется следующим образом.
Пусть для п значений х2, ..., хп величины X
после серии из п измерений получена соответствующая
выборка значений величины Y: yL, yv ..., уп. По этим
данным требуется найти приближенный закон функцио-
нальной зависимости между величинами X и Y, причем
этот приближенный закон должен быть в некотсром смысле
наилучшим.
Если нет никакой дополнительной информации о виде
искомой функциональной зависимости, то поставленная
250
задача является неразрешимой. Поэтому на практике за-
дается вид функциональной зависимости с точностью до
некоторых параметров. Кроме того, определяется понятие
«паилучшего приближения функциональной зависимости».
Рассмотрим частный случай 'поставленной задачи, имею-
щей большое прикладное значение: среди всех линейных
функций у — ax-\-b, сце а и b—неизвестные параметры,
найти ту, которая дает наилучшее приближение функцио-
нальной зависимости между величинами Л и Y.
Для решения поставленной задачи используется метод
наименьших квадратов. В этом методе наилучшими зна-
чениями для параметров а и b считаются значения, при
которых является наименьшей сумма квадратов разностей
ахг--о, ул—ах2—Ь, .... уп—ах„—Ь,
где х1( хг, .... хп—выборка значений величины X,
а У11 Ун • ••» Уп—полученная выборка соответствующих
значений величины У. Другими словами, находят значе-
ния а и b параметров а и Ь, при которых функция
F(a; b) = £ (у;-ах.—Ьу
i = 1
принимает свое наименьшее значение. Прямая у — ах-\-Ь
называется прямой линией регрессии-
□ Найдем уравнения для определения а и Ь. Для
этого заметим, что функция F(a; b) как функция от а
при а = а принимает наименьшее значение. Поэтому про-
изводная этой функции по а при а = а равна нулю:
F'aia- b) = 0.	(1)
Аналогично функция F.(a; о) как функция от b при
b = b принимает наименьшее значение. Поэтому произвол
ная этой функции no b при Ь = Ь равна нулю:
Р'ь& &) = 0.	(2)
Следовательно, значения а = а и Ь — Ь, при которых
функция F(a; b) принимает свое наименьшее значение,
удовлетворяют системе уравнений (1), (2). Зга система
называется нормальной системой для определения прямой
линии регрессии. Найдя производные функции F (а; Ь)
251
по а и Ь, видим, что эта система имеет вид
2 (у,—ах,—Ь)х^0,
'	‘п1
2 G/,—ах,—&) = 0.
i = 1
Это — система двух линейных относительно а и b
уравнений. Введем обозначения:
п	л
(=1	/«1
п	п
(«Г *) = i &~й) = ~ ш
<=1	i=i
В этих обозначениях нормальная система имеет вид
/ (х, х)_а + х6 = (х, у),
\ ха+ Ь=у.
Она сильно упрощается, если х = 0, т. е. если среднее
значение выборки хь х2, ..., х„ равно нулю. В этом случае
Замечание 1. Так как выборка yit у2, ..., уп,
получаемая в результате измерений, является случайной,
то и значения й, b являются случайными. Во многих
практически важных случаях, когда между величинами X
и Y существует линейная зависимость Y — аХ + Ь, значе-
ния а и b являются «хорошими», т. е. несмещенными и
состоятельными оценками параметров а и Ь.
Замечание 2 Методом наименьших квадратов мо-
гут быть получены оценки параметров для более сложных
функциональных зависимостей: квадратичной ах* + Ьх + с,
гиперболической а + , показательной а + be?-* и др.
Пример 1. Результаты пяти измерений некоторой
величины Y, зависящей ог величины X, приведены в таб-
лице:
Xi	—2	-1,5	0	1,5	2
Vi	1,25	1,40	1,50	1,75	2,25
262
Построить прямую линию регрессии.
Л По результатам измерений вычисляем:
6	5
Хг = °> У~ = 1>63-
i* 1	i= 1
Так как среднее значение для выборки значений величины X
равно нулю, то находим: f> = «/=l,63.
Для нахождения а вычисляем:
Б
(х, х) =	х?=2,5;
i=i
5
X ^/=0,505.
i= 1
Тогда S_ « оде.
(Х, X)
Следовательно, прямая линия регрессии имеег урав-
нение
у = 0,202x4 1,63.
Она среди всех прямых наиболее точно изображает зави-
симость величины X от величины V. На рис. 35 отмечены
точки (х/( у?), полученные в результате измерений, и изо-
бражена прямая линия регрессии. ▲
Пример 2. При производстве некоторого продукта
его выход Y (кг/ч) линейно зависит от температуры X (°C)
реакции. Измерения выхода продукции при различных
температурах дали следующие результаты:
	32	73	45	93	40	75
4-1	15	95	40	138	22	100
253
Найти оценки параметров неизвестной линейной зави-
симости.
А По результатам измерений вычисляем
п	6
-IV 358	-	1 V 410.
Х — 2- Xi~ • У 6 Hi 6 '
1=1	f=l
6
.---1 V 24 252
(х,	— 6 ’
/=1
6
,---.	1 V 30429
(xt У) g XiVt = (j
i=i
Составим нормальную систему
24 252а+ 3585-30129,
358а+ 65 = 410-
Решив эту линейную систему, получим
а — а «2,1;	Ь—Ьх—54,8. ▲
Пример 3. Результаты измерений некоторой величи-
ны К, зависящей от величины X, представлены в таблице:
X,	2	3	4	5	6	7	8
VI	14	13	9	9	9	8	7
Найти уравнение прямой линии регрессии.
Д По результатам измерений вычисляем
7	7
-Iv - -IV 55
х=у2-х( = 5:	= у
Тад	f=i
Поместим начало координат з точку (х; 0), т. е. вместо х
будем рассматривать новую переменную х' — х—5. Тогда
результаты измерений принимают вид
Xt	-3	—2	—1	0	1	2	3
У1	14	13	9	9	9	8	7
Найдем уравнение прямой линии регрессии у — а'х' + Ь'.
254
Имеем
F'==y₽^«9,9;
(777)	-21-10
(х‘, X1)	(У + 4 + 1)
31
28
«—1,1.
Следовательно,
У = — 1,1х' + 9,9
или, возвращаясь к переменной х,
i/ = —1,1х+ 15,4. ▲
Вопросы для контроля
1.	Минимум какой функции рассматривается в методе наиыеиь*
ших квадратов?
2.	’1то называется прямой линией регрессии?
3.	Как составляется нормальная система для определения пргмой
линии регрессии?
4.	Как находятся оценки параметров неизвестной линейной зави-
симости между величинами методом наименьших квадратов?
Упражнения
8.	24. Результаты измерений некоторой величины К, зависящей
от температуры X. даны в таблице:
	—5	—4	—3	—2	—1	0	1	2	3	4	5
Vi	0,2	о.з	0,6	1.0	1,8	2,7	3,8	5,1	6,7	8,3	10,2
Найдите прямую линию регрессии.
8.	25. В таблице
Xi	50	100	140	180	240	270	40	300	210
У1	8	14	20	23	30	36	4	37	26
приведены результаты опытов, в которых исследовалась линейная
зависимость глубины Y проникновения снаряда в преграду от удель-
ной энергии X (1 соответствующих единицах). Найдите оценки пара-
метров этой зависимости и уравнение прямой линии регрессии.
255
8.	26. Резулыаты измерений величины Y, зависящей от X, при-
ведены в таблице:
Х(	66	70	75	80	82	85	90	92	95	98
У,	60	78	65	37	74	70	78	95	88	90
Xi	2,7	4,0	6,3	7,8	9.2	10,6	12,0	13,4	14,7
У/	17,0	16,2	13,3	13.0	9,7	9,9	6,2	5,8	5,7
Найдите уравнение прямой липки регрессии.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
1*1* 1) Zt -|-Z2 = 3 [-7i, zizt =—224-7i, 2) Zf-I-Zj— 2--4lr =
=—1,81 — 5,21; 3) Zij- гг——8— 101, ZiZ2=»21—241; 4) z14-zg=10,
= 26.
1.2. 1) za—Zf = —21, -2- = —1;	2) ?,-z, =4-21, -^=1-21;
Z£	Zt
1.3.
3) zi-z1=l-K 2Н-(К"3- V 3)1. -£ = K 2;
21 _
4) г,-Ч-2Гй
1+^1: S> »•
!3	7
*> §5{; 2) °! 3) ~2l: 4)
1.4. 1) —2; 2) О.
1.5. l)0;2)-U
i л	n	41_l63;. <n 22	5	ади_д|/.	л»	IS ,173.
I,e*	**	50 + 50 ’ 2) 159	318	' 3)	38+4,	4)	50 L
1,7,	!)	2) о, -1,	y±^l.
1.8.	(3; 44 (3;	5), (4; 4),	(4;	5).
1.9	(-2," —2),	(—2; 2).
1.11.	Zi = 1 — 1,	z2 — i.
1.12.	1) ±51; 2) l±2i; 3) —l±yi; 4) -1±11, 5) 3 ± /71;
6) у ± у 1; 7) -2, 1 ± K31; 8) ± 2; ± 1.
1.13. 1) 'xa4-4 = 0; 2) x« — 2*4-10 = 0; 3) xa4-8x4-18 = 0.
1.15«	—2za«
1.16.	/(7+0, /—произвольное положительное число.
1.17.	1) 3; 2) 1; 3) 7; 4) V 2; 5) 1; 6) 7.
1.18.	1) 2—Al; 2) 0, 31, —31; 3) Ы, b£R.
7
1.1». у4-|1.
1.20. I) Крус (вмесче с границей) с центром в точке z=-0 радиуса
R = 1; 2) окружность с центром в точке г=0 радиуса R — 2; 3) точ-
ка г = 1; 4) левая полуплоскость, ограниченней мнимой осью;
5) полуплоскость, ограниченная биссектрисами второго ч четвер-
того координатных углов и содержащая точку z =—1; 6) круг
257
1.21.
(вместе с границей) с центром в точке г=1—21 радиуса R = 2;
7) множество состоит из точек, лежащих внутри окружности
радиуса R — 3 с центром в точке г = 1—2» и вне или на окруж-
ности радиуса R — 2 с центром а той же точке; 8) множество
представляет собой бесконечную систему концентрических колец
с центром в точке z —С, в это множество входят кольца, содер-
жащие интервалы 2/гл < х < (2А-(-1) л, k£Z, действительной осн;
9) в множество входят все точки круга радиуса R-- Юс центром
в точке z=10i, кроме центра круга; 1С)
.^3 с центром ь точке г — —3
3	17.	3 _.
-Т-Т,: -2~2*-
окружность радиуса
1.22,	1) у+2л*. k^Z, 2) j-+2nk, kgZ; 3) л+2л£, kgZ;
It	JT
4) 2лй, fi£Z; 5) — у+2л£, tgZ; 6) — у+Зл*, k£Z.
1.23.	1) Действительная положительная полуось z — х > 0; 2) мнимая
полуось z—iy, у > 0; 3) мнимая полуось z = iy, у > 0; 4) верх-
няя полуплоскость z — x-^ iy, у > 0; 5) вся комплексная пло-
скость, за исключением точки z=0.
1.24.	Действительная отрицательная полуось г = х, х < 0.
1.25.	i.
12,16.
т+Г
1.26.
1.27. 1) 2 ^cos-^ sinyn^ ; 2) 2 (cos л-М sin л); 3) cos 0 + i sin 0;
., л ... л c. 4л ... 4л 4л ... 4«
4) cos-77+ f sin-д-; 6) cos +1 sin-=- ; 6) cos -5—Hsin-5-;
Z	z	0	0	00
5л /	14л	14л \
7) -2 cos ( cos -g-+ i sln^ j.
1.28. 1) z= 1 = cos Q+* sinO; 2) z==—5—t^i=eos ‘4 -f- i sin ;
Zi Л	о	о
I 1 / A I * f A\ 1 F 3 . 5л . . 5л
3) Z=y—-у (cos 0+» sin 0); 4) z=-y —F-y- 1= cos	-r- t sin -y;
5) z = — i —cos -y-'+ i sin -y-.
1.2S.	1) 4 (cos230° +(sin 230°); 2)/ 2sin-S-( cos-^-j-i sin 2~Y
о	0 \ Zu	zU j
1.30.	— 1Q+41.
c
1.31.	3—yi.
1.32.	1)	2) 1; 3) cos60°+»sin50°; 4)
5)	—2, 6) 2.
1.33.1)	2Wcos^-Hsin-y-) ;	2)	8 ( cos -y +1 sin -y- 'j;
3)	2 (cos 0-|-i sin 0), если n четное; 2 (cos л-|-i sir. л), если я не-
четное; 4) —— f(,cos4 + istn4); 5) (cos 2+iein 8);
on К 3л /	Л . . Л \
6)	—32 cos6-г- ( cos -5-+1 sin -jr- )*
0 \	z	z j
258
1.34.	n — 4k, k£Z.
n	K2_i<2, 21 1 + 1!^ _1
1.35.	1)	2 ‘ 1 2 ’	2	1 2 1	2 +	2 ’	’
-1— i ; 3) V3+-i, — /З-hi, — 27; 4) 1. cos 72°+i sir. 72°,
cos 144° + » sin 144°, cos 21G°-f- i sin 216°, cos 288°-|- i sin 288°.
1.36.	1) у/ 2 cos-y + isin/j,
• /7 7	17л	, 17л X
V 2 I cos уу+ isin-jy j i
/З^соз—+ tsin_g.J,
8/7 f 25л . . , 25л \
у/ 2 i cos-y + isln—- i;
5/~л (	7л ... 7л \
vO^cos-^-Hsto-, ),
T/\C0S"i5- + ,S,n—?
4) К 3 + i, 2i, -К"5+«.
1.37.	— yi.
'/ 2^cos^-+isin yL),
2)	yi^sj+islni),
8/7 (	17л	17л \
/ 2^3_г+181п_^,
3)	-/2. cosy+istajgj,
”/—7	13л ,. . 13л \
/ 2^08-jy+tStayyj,
X*2 cos—{-1 stayj
— /”3—| —2i, /"3—i.
1.38.	2 (cos 144°+i sin 14£), 2 (cos 2l6°+i sin 216°), ^31 (cos 108’ +
+ i sin 108°), — У31, у/31 (cos 252’H-t sin252°).
1.39.	1) e2 cos 1 —ieasin 1; 2) r; 3) — e1 sin3-|-te7 cos 3.
( 7Л (6Л
1.40. 1) 4e e j 2) e ’ .
-i-
1.41.1) егл^Г, 2) &	4 =4/’2—4/2i; 3) 64e‘^--64;
-k— I	—ni
4)e	5) 2’s*	=-2^i.
,.«.0	4-,!^, 2) п.нф.
8 Л/	1VU	__ ______ ________ ______
2e e\_2e 8 ;_4) {/J/8 + l ^9/8. - ^9/8-|-i p/1/8,
— У1/8-i //9/8, V 9/8—1 /’T78.
ГЛАВА 2
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
x' = tln2; x = C«2<.
x' — x lnO.99: x=C>0,99*.
T In 2
In 0,99’
3,9 кг.
259
2.5.	56,& г.
2.G.	у=4е».
2.7.	w =
2.8.	Т = 20— 8С 	; 60 мин.
2.9.	1) Да; 2) нет; 3) нет.
2.10.	1) Да; Щ да; 3) да.^
2.11.	1) а ——2; 2) а^=~; 3) а=2, а = —3.
2.12.	Д = 0, а любое; а =—1, А любое.
2.13.	1) У=~2—cosx-j-C; 2) | = ln (1— Се~х); 3) у — С (х— 1) — 1;
v---;	<-• ig —
4) у= CeVl~x ; 5) у=е 8 ;	6) у=—
7) y=Ccosx\ 8) g = ln(Cx8+C—1);
10) |/ = С(1-|-х)е-*; 11) 0=tglnCx.
In (С—е*), С > 0;
9) p=C(l+x)‘;
2.14. 1) 0=^(х+С)8, 0 = 0; 2) y=sln(x4-C), у=1, у=— 1|
3) {,= (х84С)8+1,у=1;4)!,=7-27-, 0=0; 5) У=—£--,
1 Т	Се — 1
Л / _ sln2x х \« л
0 = 0; b) 0=(^С+—-----у j , 0 = 0.
2.15.	1)	2) * = у^-р 3) х = -
2.16.	1) р = х; у = 0; 2) 0=arcsln х—у-.
2.17.	f = Cx8; 0» = Сх
2.18.	s=25-2?/s.
2.19.	1) (1 +0) е-« = In1-х; 2) ГТ^8+ /1^=1, 0=1.
1) х=С/-8+-1/3;	2) х=Се~<‘+1;	3) х=С cos /+«1п <}
О
2.20.
2.21.
2.22.
2,23.
6)Х-7ЧТ+Т-
I)	«-/;	2)	3) «-e<to>4+<—“'l
4) х 3(/+i)8-j-(/И-!)*,
vf
/ = — ( I — е L I. Указание.
грированию уравнения L-^—|-/?/=V
вии 7(0) = 0.
/ V , f ,	. <oL\
/= д-ц. j____ sin at — arctg-г.- ).
К ЯН©8/.8	\	R J
Задача сводится к ннте-
при начальном усло-
Указание. Задача
г<11 ,
сводится к отысканию периодического решения уравнения ~у +
+#/=Vsto<ij/ 2.24.x = 6CC(l — e_°’О19. Указание. Задача
сводится к интегрированию уравнений nix’—— Их' при начальных
условиях х(0) = 0, х'(С) = 6.
2С0
2,25.	(1 — e~ 8W) —fg" • Указание. Задача сводится
к отысканию решения уравнения /пх"+2А/пх' =—mg, удовлет-
воряющего условиям х (0) = 0, х' (0) — п0.
2.26.	Z=ZLL1ZJ<1c.
vot»i In -Li-
ya
2.27.	тхГ=&, x=-~^+C,t+C2.
2.28.	х = -1^4~«а + Сг<+С2.
5 I
2 29
2.30.	x!'+x=0.
2.31.	1) Описывает; 2), 3), 4) не описывают.
2.32.	x = a^l —cos j/	. Указание. Задача сводится к ин-
тегрированию уравнения lx'+gx= ag при начальных условиях
х(0)=х' (0)=0.	___
2.33.	х=4- (е^Г^Г<+е	Г = }Z^-1п(2 {-Кз)-
4	о
Указание. Удобно выбрать начало координат в точке, где в
начальный момент находится середина цепочки; тогда х
является, решением уравнения 2lx" = gx при условиях х(0) = /,
х' (0) = 0.
-±t
2.34.	1) х = С1+С2с»«; 2) *=С1е-а‘+С2е 3‘; 3) х=С^Cze 3 :
4) x = c-2f (Ci cos З^ + Сг sin 3/);
5)х=е-'/2^ Ci cos *QL/_|_c2sin-у-') I 6) x = es‘(Ci+C2t);
7)x = Cie-'+C2e‘-2; 8) x-=Ci + C2e-2(+/; 9) x = CiSin3/ +
+ C2 cos 3f + 1; 10) x=Cie-'4 C2e3'4-’-e«; 11) x=CLe* +
Э
+ C2e2/+pj(sin Z-f-3 cos/); 12) x=Cj sin/-|-C2cos t — 2/cos/.
2.35. 1) x = e*+e2f; 2) x = e-*(sin2/-) cos 2/); 3) x = e~31 (2+7/);
4) x=ae-t cos/ + (a+6) e-t sin/; 5) x=-^ r2*-}	—L;
□	iO	о
fl) x—^e3t—^je~3t-^‘ —у - 7) *=2sin 2<+ j-i sin 2/.
2.36. a=0, {) > C. 2.37. a — k3, k—целое число; x=Csintt,
C—произвольная постоянная.
ГЛАВА 3
3.1.	1) 5; 2) 969; 3) 256; 4)	5) k (*+1); 6) n.
3.2.	1)	9 и 10; 2)	7; 3) 10; 4) 11; 5) 8, 6) 7; 7) 13;	8)	27; 9)	2; 10)6.
3.3.	1)	{3; 4; 6} я	{1; 3; 2}: 2) (4, 5; 6; 7; 8; 9} к	{1;	9; 14;	15; 35}.
1Л.	1;	{8; 9; 10};	2) {0; 1; 2; ...; 27}.
3.5.	12.
251
3.6.	16.
3.7.	18, JO,
3.8.	1) 190, 2) 60; 3) 420; 4) 83 160.
3.9.	72.
3.10.	'5.
3.11.	43 200.
3.12.	1) GO. 2) 10.
3.13.	1) 870; 2) 435.
3.14.	8436,
3.15.	18.
3.16.	15.
3.17.	35.
3.18.	210
319.	40G0.
3.20.	1) 30; 2) 62,
6
3.21.	1) (x8—*)* = 2, d(x2)’-*(—	2C«V±
*=o
-+ 15xV—6.»V4V; 2) (3aa—2ft)» =
5
= 2 ^(3a2)5-«(-26)«-245ale—810<Лм-1080в»6»~720e463 |-
4-240a2Z>*—32d\	_	_
3,22.	)) (/£)’ + 7(/i)‘ + 21(/|), + 3s/| +
+35/z+!,(/±y+7(/zy+(/z)\
17Q9	1094 95fi
2) хи-16х,»+112х1’-448х'+1120х‘-1792x+^=-
3.23.	1) 109/"2-89/ 3; 2) 64_
3.24.	1) - -2099 520x3; 2) 126 j/a.
3.25.	1) 252J/x3; 2) 1726a3t2/'a, —1716й3Уа^З,
3.26.	1) 15; 2) 495.
3.27.	1) 5280, 2) 5005.
3.28.	10.
3,29.	1120.
3M 1) 2772; 2) 625; 7000; 7000; 1120; 16.
1	4 7 9 \12
3.31.	1) -2iorC?eOo; 2) y^j .
3.32.	1) 378. 2) 17 550.
3.33.	1) 2»~ 2(n+l); 2) 0.
3.34.	1) 1; 2) —1.
ГЛАВА 4
4,1.	1) По крайней мере один выстрел оказался удачным; 2} вес три
выстрела были удачными; 3) мишень поражена одним и только
одним выстрелом.
4.2.	Я = Л1и(ЛгПЛк), В = ЛгП(Л2иЛ,).
4.3.	ЛиВ = С', т. е. события Айв образуют полную систему со-
бытий. События Л и В не являются несовместными.
262
1	1
4.5.	1)	2) ||3)0;4)
4.7.	——• г
‘ • 1081 **
4.8.	1)	2) 8.
4.11.	1) 0.94; 2) 0,38.
4.13.	Не могут,
4.14.	Не являются.
4.15,	А и В зависимы, В и С зависимы, Л и С независимы,
4.16.	Попарно независимы, но не являются независимыми в созохуп-’
ности.
4 17. 0,978.
4.18.	0,819.
4.19.	р1 = р8(Й— р3), ра = р*(2—р)9, ра > pi, если 0 < р < 1.
4.20.	1—(1—р)Ч
4.21.	Г:о крайней мере 13 раз.
. ,, 3	2
4.22.	-=- и -=-.
о	о
4.23.	0,78.
4.24.	0,014
4.25.	и,775.
4.27.	0,998.
4.28.
1-	Pips,
4.29.	4-
О
2
4.30.
4.31.	я 0,04.
4.32.	я 0,02.
4.34.	1) Вероятность выигрыша трех партий из четырех больше ве-
роятности выигрыша пяти партий из восьми; 2) вероятность выиг-
рыша не менее пяти партий из восьми больше вероятности выиг-
рыша не менее трех партий из четырех.
4.35.	Р6 (5) « 0,132; РБ(4) = Р6 (3) » 0,329; РБ(2)»0,165; Р4 (1)«0,041;
РБ (0) « 0,004.
4.36.	84.
-7 { 1 f 2
4.37.	Вероятность одна и та же, так как СББ1 у I I у I =
1.	f 1 V» / 2
= Сь0 \ т т *
4.38, 0,026.
4.39.	1) Может; 2) ке может.
4,40.	В примере 1 не является, в примере 2 является.
263
0	1	2	3
0,125	0,375	0,375	0,125
4.44, MX = 2,2, OX = 0,76.
4.45.	MX = 6, OX — 9-
4.46.	1)MX=A,DX=4; 2) MX==-|x ^=4
Z	V	ZO
91
4.47.	MX=rl.
6
4	9
4.48.	MX=|, DX=^.
4.49. MX =100, DX — g.
4.52. Стоимость билета не должна превышать И копеек, так как
математическое ожидание выигрыша яз 11,6 копейки.
4.53. 1) Невыгодна; 2) выгодна; 3) игра «безобидная, так как мате-
матическое ожидание выигрыша равно нулю.
Г Л А г А 5
5.1.	1> -1; г> ±;3)|; 4)
5.2.	1) Расходится; 2) расходится; 3) расходится.
5.3.	1) Сходится; 2) расходится; 3) расходится; 4) сходится; 5) схо-
дится; 6) расходится.
5.4.	1) Сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится, 5) сходится.
5.5.	1) Сходится условно; 2) расходится; 3) сходился абсолютна;
4) сходится условно; 5) сходится условно, 6) сходится абсолютно.
264
б.в. 1) Л-2; 2) Л = 2, 3) Л=у/3; 4) Л-+»; 5) Л-0.
5.7. 1) |г—11 < 3; 2) | г-р’| < 2; 3) |г4-1 —i| <У 2; 4) вся комп-
лексная плоскость.
5.3. 1) (-1; 1), 2) (-1; 1); 3) [-2; 2); 4) (-е; е); 5) [-1; 1); 6) R,
5.». 1) In соьх—
уЗ о
3) tgx = x+^-+-^xb+...
5.10. 1) 0,006; 2) 0,07.
Л = п-оо; 2)
Л!
v3
2) sin (sin x) = л-—q-4*.
О
SUL 1) У,
п=0
ос
л= 1
S)£ (».+у.±1).хл, л-1;
п=0
7) i+L 1‘3"2лУ~1^ад. *=1; в)
хгп
П2*"-1
V" (1п 2)"
Zu 2"п1 Х ’ ос:
л-0
»
92п-1
’ я-
гг= 1
6)	л-n
л=0
л=1
л-С
11	2
2П4Х ЗЛ^Т
*=з>^-«-i	«-
n= 1
"iB*'"* R-,;5)Suwnr'”4 R=+”1
61 V -	( I)"_ x2n + l ^ = _|_oc- 7) V5 ( 1)" tn
J 2- (2n+1)1 (2n+1)	’ K ф ’ ° Zu (2п-1Рх*
л=С	n=l
ГЛАВА 6
•-1’’)т+|L —: 2>4+tcos2jc;
k=l
V’ ( 4cos(2fe“l)x 2 (— I)* sin kx \
+ 2-1 \ л(2й— l)a	Л
«2‘	<-1)*-14Йтг; 2> l + sin2x:
*=1
3) --J +
265
3) ,£	4)£-н£ (-0*^.
/2=1	Л=1
co	90
л л 1Ч	1 . 2 v	sinfc .	их	1 t 2 v4	sin2	L
6.3. 1)	—— У	—j— cos kx;	2)	— -4-— 5	~ м2	cos kx;
7	л 1 л Z-i k	'	n	1 л	k2
k= 1	/г= 1
3> isf
4=1
• ., 8 v 4sir. 24x	8	(—T)4~14sin4x
6-4-	4P--1 = 2)	— sra— =
4=2	4=1
„ 8 vp sin (24— 1) * ,
’	(24-1)? ' ;
co	00
л - V* Sin kx m , ..л л V4 Zsln& , COS k
6.5. l)^ ——:	2) rt+14-2^ , -j-tosto--------—
4=1	4=1 V
sin kx
ле 1	4 v4 cos (24-1) ях	O4 1	4 \\ cos (24— 1) лх
*1 2 h’Zj (24—1)* :	'2	(2Л—O’
4=1
, (24— 1) nx
sin -------
24—1 J
cos 24nx—9 cos —( ”
О
»	sinl2^
1>*~1	(2ft—Ip
. „ 10 v’’
6.9. —5
я
.1	1 sir. 24лх
6,8‘ 2'+It 2^ k *
4=1
(—1)* , 4лх
-r-sin— •
6.10. 4
1__cos (2^-D nx , (-l)V	(24-—1)ях
(24—2	+(24—1)«S	5
6.11. У
Л
p=-v>
6,ie 1 у
Л1	4p2 — I
s(n)=ch.7,
1 — ip	' 7
26$
6.13.
A A
3 T 2ni
o?	— i	i рлх
S
p= -co
P¥=O
ГЛАВА 7
7.2. {(х; у) J xj/< 1, х« 4 у2}.
„ . ,. dz , dz
7.4. 1) -^-=sinj/+»/cosx;~=xcosHsinx;2)-^-=i/c«!'tg(xfj/)-|-
л-,	еху
’ . "	ах2 zos (at-(-х);
е><У
cos2 (x + i/) ’
3)	= 2xsin (at +x)-|-x2 cos (at +x);
.. ds . x Os ____________2y2
’ дх	' 'dy"~ir^i-^‘
_ „	Л 02Z	d2Z
7.6, 1} -3-7=0; -5-5-=— x sin y; -, .
' dx2 dy2	*’ dxdy
d^z	d2u
3)	^4 = -ysin(x+atyf
dxdy	' dx2	v i
d2u
= — a2y sin (х+art; ,—— cos (x+ui);  3	.
’	'	’ dxdy ' 1	’ dxdt
дга	дги d2u d2u n
-3—7-=a cos (z-Ь o/);	4; ————— ——— = 2;
dydt '	'	’ ox2 dy2 dz2
d2u d2u _
~ dxdz ~~ dy dz ~
77	дг y
' ‘ dx z ’ dy z
7.8. 0.
7.9.	1) dz — — у sin xy dx—x sin xydy;
-t-(x2 + 2xy)dy; 3) dz=(eV——^7
7.10.	/ (0,1; 0,2) я= 0,3; f (0,2; 0,1) ® 0,3.
7.11.	1) 4-4-2 sin 1; 2) sin 1; 3) 1£zJ)1(£+2L ; 4) 0.
o	oC
a6 a2 . 1	»	1
7-12---5—2-t-2e°-2-
23
336 •
0.
2
15‘
1)	0; 2) 1; 3) -5J21.
£•	О
, i	d2z S’z n
1 + cost/; 2) — = ^ = 0;
32u
dy2 ’ dt'‘
d2u	, . .
ay sin (x-f-a/);
d2u
dxdy
+ (>x2 + 2xy)dy; 3) dz =
2) dz^(2xy+y2)dx +
! dx 4- (xey J- cig x) dy.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.	6.
7.18.	4-.
4
7.19.	4-пЯ’л2.
4
267
ГЛАВА 8
8.1. Обье^ равен 10, размах—5. Вариационный ряд: 2, 5, 5, 5, 7,
7, 7, 7, 7, 7. Статистический ряд:
2	5	7
1	3	6
Выборочное распределение:
2
_1_	_з	£
10	10	10
8.3. 1) См рис. 36; 2) см. рис. 37.
268
8,5, См. рис. 39.
8.6. Си. рис. 40.
269
6.7.	См. рис. 41.
W^u
0,25
0,15-----------..
0,1	I
------------------  I
I . I
1.1	!	 I ,.
-j -/fl17з&
РиС. 41
8.8.	* = —1.
8.9.	x_ = 128,8.
8.10.	*=1.
8.11.	So = 8,04.
8.12.	So = 721.
8.13.	So= 167,29.
8 14	. ]3
8Л5^ 1) Sx 5,25; 2) Sa J69.
8.16.	1) * = 20; 2) So = 2,5; 3) S=-^.
О
8.17.	Несмещенной и состоятельной оценкой является выборочное
среднее *=5,76.
8.18.	Несмещенной и состоятельной оценкой является несмещенная
выборочная дисперсия S = 6,93,
8.19 0,04.
8.20. (0,302; 0,398).
8.21. (0,041; 0,159).
8.22. (0,073; 0,183).
8.23.	1) (0,083; _0,119); 2) (0,076; 0,124).
8.24.	ах 1,0; Ьх 3,7.
8.25.	а «0,12; Ьх 1,00; // = 0,12*4-1»00.
8.26.	1) у = 0,8* (-12,2; 2) у = -1,1*4-20,3.
Приложение
ФРАГМЕНТ ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА
У 2л J
о
X	ф. М	X	Ф» W	X	Ф» W	X	Фо <х)
	• it	1,60	0,4452	1,85	0,4678	2,20	0,4861
» i i	• • .	1,61	0,4463	1,86	0,4686	2,22	0,4868
	. . .	1,62	0,4474	1,87	0,4693	2,24	0,4875
1,38	0,4162	1,63	0,4484	1,88	0,4699	2,26	0,4881
1,39	0,4177	1,64	0,4495	1,89	0,4706	2,28	0,4887
1,40	0,4192	1,65	0,4505	1,90	0,4713	2,30	0,4893
1,41	0,4207	1,66	0,4515	1,91	0,4719	2,32	0,4898
1,42	0,4222	1,67	0,4525	1,92	0,4726	2,34	0,4904
1,43	0,4236	1,68	0,4535	1,93	0,4732	2,36	0,4909
1,44	0,4251	1,69	0,4545	1,94	0,4738	2,38	0,4913
1,45	0,4265	1,70	0,4554	1,95	0,4744	2,40	0,4918
1,46	0,4279	1,71	0,4564	1,96	0,4750	2,42	0,4922
1,47	0,4292	1,72	0,4573	1,97	0,4756	2,44	0,4927
1,48	0,4306	1,73	0,4582	1,98	0,4761	2,46	0,4931
1,49	0,4319	1,74	0,4591	1,99	0,4767	2,48	0,4934
1,50	0,4332	1,75	0,4599	2,00	0,4772	2,50	0,4938
1,51	0,4345	1,76	0,4608	2,02	0,4783	2,52	0,4941
1,52	0,4357	1,77	0,4616	2,04	0,4793	2,54	0,4945
1,53	0,4370	1,78	0,4625	2,06	0,4803	2,56	0,4948
1,54	0,4382	1,79	0,4633	2,08	0,4812	2,58	0,4951
1,55	0,4394	1,80	0,4641	2,10	0,4821	2,60	0,4953
1,56	0,4406	1,81	0,4649	2,12	0,4830	2,62	0,4956
1,57	0,4418	1,82'	0,4656	2,14	0,4838	2,64	0,4959
1,58	0,4429	1,83	0,4664	2,16	0,4846	2,66	0,4961
1,59	0,4441	1,84	0,4671	2,18	0,4854	• • •	« • <
Качановский Мечислав Игнатьевич
Калягин Юрий Михайлович
Кутасов Александр Дмитриевич
Луканкин Геннадий Лавровая
Оганесян Вачаган Арташесович
Яковлев Генкадий Нико игевич
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Часть 2
“едактор Т. А. Панькова
Художественный редактор Г, Н. Кольчекко
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректоры О. М. Березина, М. Н Дронова
ИБ № 32326
Сдано в набор ll.lL.87. Подписано к печати 16.04 88. Формат 84X108/32
Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная. Печать высек."’. Усл. печ. л. 14,28
Усл. кр.-отт. 14,49. Уч.-езд.  15.17. Тираж 461 0 и акь. (1 й завод
1—200000 экз.) Заказ № 8-175. Цена 45 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука*
Главная редакции физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Набрано и сматрицировано в ордена Октябрьской Революции и ордена
Трудового Красноте Знамени МПО «Первая Образцовая типография» имени
А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торювлн.
113054, Москва, Валовая, 28
Отпечатано на Киевской книжной фабрике, 252054, Кнев-54, Воровского, 24.
45 к.