МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Л.А. Максимов, И.Я. Полищук
ЛЕКЦИИ
ПО ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКЕ
Рекомендовано
Учебно-методи ческим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области прикладных математики и физики
в качестве учеб) пособия
МОСКВА 2007
УДК 53() 1(075)
ББК 22.317я7.3
М17
Рецензенты:
Кафедра молекулярной физики Московски о
инженерно-физического института (государственного университета)
Док тор физико-математических наук, профессор Немцов
Максимов Л.А., Полищук И.Я.
М17 Лекции по физической кинетике: Учебное пособие. —
М.: МФТИ, 2007.— 184 с.
ISBN 5-7417-0170-1
1 [особие представляет собой расширенный вариант лекций по физи-
ческой кинетике, читаемых авторами студентам МФТИ. Изложены основы
! диетической теории газов, кристаллических и аморфных твердых тел и
азмы.
Предназначено для студентов физических и физико-технических
жультетов университетов, изучающих теоретическую физику, и препода-
на гелей.
УДК 530Л (075)
ББК 22.317я73
ISBN 5-7417-0170-1
С Максимов Л.А., Полищук И.Я . 2007
с Московский физике'- технический плоим
(гостдарственный ' iiiiBepcifiei). 2|)0п
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ	6
Глава 1. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ГАЗОВ........................................ 9
1.1.	Уравнение Больцмана ................ 9
1.2.	Пределы применимости уравнения Больцмана
для молекулярных газов .................... 16
1.3.	Свойства интеграла столкновений ...... 20
1.4.	Принцип детального равновесия ........ 28
1.5.	Уравнения перноса (Уравнения Трэда). Вывод
уравнений гидродинамики из кинетического урав-
нения ..................................... 32
1.6.	т-приближение и локально-равновесное рас-
пределение Максвелла-Больцмана ............ 37
1.7.	Вычисление коэффициентов вязкости в т-при-
ближении методом Трэда..................... 40
1.8.	Вычисление коэффициентов теплопроводности
в т-приближении методом Трэда ............. 45
1.9.	Линеаризация уравнения Больцмана по мало-
му параметру отклонения от локально-равновес-
ного распределения ........................ 49
1.10.	Левая часть кинетического уравнения . 51
1.11.	Линеаризация интеграла столкновений по ма-
лому отклонению от локально-равновесного рас-
пределения. Оператор столкновения и его свой-
ства. Обоснование т-приближения ........... 54
1.12.	Вычисление вязкости методом Чепмена-Эн-
скога.................................... 57
1.12.	Обоснование метода Чепмена-Энскога .. 60
1.13.	Одномоментное приближение............ 64
3
1 II Вычисление теплопроводности ........ 67
1.1 j. Явления переноса в газе максвелловских мо-
лекул .................................... 70
Глава 2. КИНЕТИКА КРИСТАЛЛИЧЕС-
КИХ СИСТЕМ................................. 76
2.1.	Колебания кристаллической решетки .. 76
2.2.	Кинетическое уравнение для фононов. Тепло-
проводность диэлектриков ................ 80
2.3.	Зависимость коэффициента теплопроводности
диэлектриков от температуры ............. 83
2.4.	Явления переноса в металлах. Электропровод-
ность ................................... 87
2.5.	Зависимость коэффициентов переноса
в металлах от температуры ............... 97
2.6.	Остаточное сопротивление ............ 102
Глава 3. КИНЕТИКА АМОРФНЫХ
СИСТЕМ ................................... 105
3.1.	Туннельная модель ................. 108
3.2.	Взаимодействие ДУС с фононами ..... 110
3.3.	Однофононная релаксация ДУС ....... 114
3.4.	Релаксация фононов на ДУС ......... 117
3.5.	Низкотемпературная теплопроводность амор-
фных систем ............................ 119
3.6.	Зависимость теплоемкости аморфных систем
от времени ............................. 120
3.7.	Насыщение резонансного поглощения . 122
3.8.	Диэлектрическая проницаемость аморфных
систем ................................. 123
3.9.	Прыжковая проводимость ............ 125
3.10.	Закон Мотта....................... 127
3.11.	Кулоновская щель .... 128
4
3.12.	Закон Эфроса-Шкловского........ 129
Глава 4. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО
ОТКЛИКА ................................. 131
4.1.	Матрица плотности.................. 131
4.2.	Отклик на механическое возмущение . 134
4.3.	Двухвременные запаздывающие функции
Грина и флуктуационно-диссипационная теоре-
ма ..................................... 137
4.4.	Отклик на электричесое поле. Электропро-
водность .............................. 139
4.5.	Броуновское движение .............. 143
4.6.	Уравнения Блоха и электронный парамаг-
нитный резонанс (ЭПР) ................. 146
Глава 5. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПЛАЗМЕ ................................ 154
5.1.	Уравнение Власова................. 154
5.2.	Равновесное решение уравнения Власова ... 155
5.3.	Решение линеаризованного уравнения Вла-
сова .................................. 158
5.4.	Собственные колебания плазмы ..... 161
5.5.	Физический смысл собственных колебаний
плазмы ................................. 163
5.6.	Затухание Ландау ................. 164
5.7.	Условие применимости линеаризованого
уравнения Власова....................... 170
5.8.	Пучковая неустойчивость в плазме . 171
5.9.	Вычисление диэлектрической проницаемости
плазмы в диффузионном приближении ...... 176
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................. 182
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................   183
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время опубликовано много хороших учеб-
ников по физической кинетике. Венцом этой пирамиды яв-
ляется 10-й том знаменитого курса Ландау и Лифшица
(Е.М. Лифшиц и Л.П. Питаевский. Физическая кинети-
ка). Несмотря на свой основательный характер, этот курс
в первую очередь предназначен для тех, кто активно за-
нимается теоретической физикой, а многие его главы до-
ступны лишь достаточно подготовленному читателю. В то
/ке время знакомство с основными методами физической
кинетики в настоящее время необходимо не только тра-
цщионным потребителям этой области науки (физикам и
математикам), но и, например, тем, кто собирается специ-
ализироваться в области актуальных в настоящее время
информационных техологий и наноэлектроники.
В предлагаемой книге мы попытаиись продемонстри-
ровать методы физической кинетики для описания кине-
тических и релаксационных явлений в нейтральных газах,
кристаллических диэлектриках и металлах, аморфных си-
стем, низкотемпературной разреженной плазме. Изложе-
ние начинается с вывода на физическом уровне строго-
сти кинетического уравнения Больцмана. Выводятся ос-
новные свойства больцмановского интеграла столкнове-
ний. Затем излагается метод Трэда для решения кинетиче-
ского уравнения Больцмана (13-моментное приближение).
При этом получаются выражения для расчета кинетиче-
ских характеристик нейтральных газов. Подробно изло-
6
жен метод Чепмена-Энскога - основной метод расчета ки-
нетики газов в настоящее время.
Наряду с кинетикой нейтральных газов рассмотрены
вопросы кинетики конденсированного состояния. Эта часть
книги затрагивает как идеальные кристаллы, так и аморф-
ные системы. Насколько нам известно, в отечественной
учебной литературе кинетика аморфных систем излагает-
ся впервые. Природа кинетических явлений в системах,
содержащих свободные электроны, зависит от концентра-
ции последних. При большой концентрации электронов их
следует описывать в рамках статистики Ферми. В сильно
нагретой плазме можно ограничиться статистикой Больц-
мана. Мы рассматриваем оба предельных случая - кине-
тические явления (электро- и теплопроводность) в метал-
лах и кинетические явления в бесстолкновителыюй плаз-
ме. В последнем случае мы опираемся на систему уравне-
ний Власова. И наконец, в книге даются основные понятия
теории линейного отклика, одного из современных мето-
дов расчета кинетических характеристик систем многих
частиц.
При написании книги мы использовали учебное посо-
бие А. Ильина и Л.А. Максимова "Физическая кинетика",
изданного в МФТИ более 30 лет назад.
Материал, представленный в учебном пособии, соответ-
ствует семестровому курсу. Однако в МФТИ многие важ-
ные вопросы изучаются на практических занятиях, кото-
рые являются неотъемлемой частью учебного процесса. В
дальнейшем мы предполагаем дополнить это пособие теми
задачами с решениями, которые предлагаются студентам
на семинарских занятиях.
Основной задачей авторов было изложение материа-
ла, который позволил бы студентам приступить к чтению
журнальной литературы и специальных книг. При отборе
7
материала мы руководствовались целями и задачами ин-
новационной образовательной программы МФТИ "НАУ-
КОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ И ЭКОНОМИКА ИННОВА-
ЦИЙ'^ основывались на опыте чтения лекций студентам
МФТИ в течение нескольких десятков лет, а также обме-
ном мнениями с нашими активно работающими в физике
коллегами.
8
глава 1
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
1.1. Уравнение Больцмана
Рассмотрим разреженный газ в отсутствие внешних по-
лей. Разреженность газа нам нужна для того, чтобы в
дальнейшем рассматривать только двойные соударения,
пренебрегая тройными, и т.д. Полный набор квантово-меха-
нических величин, определяющих состояние отдельной мо-
лекулы такого газа, можно считать состоящим из скоро-
сти v движения центра масс молекулы и вращательного
и колебательного квантовых чисел (М, п), описывающих
внутренние степени свободы1. Совокупность всех этих ве-
личин обозначим буквой Г: Г = (v,M, п), а о молекуле,
обладающей таким набором, будем говорить, что она на-
ходится в Г-состоянии.
Основным понятием кинетической теории газов явля-
ется так называемая функция распределения
f (г, Г, t), которую мы определим следующим образом. Вы-
делим в газе некоторый объем dV с координатой г. Этот
объем должен содержать такое количество частиц, чтобы
его хватило для статистического описания газа. С другой
стороны, он должен быть столь малым, чтобы можно бы-
ло считать все статистические величины постоянными на
'Условие квазиклассичности вращения h2/21 Т. Это условие может
нарушаться только для легких газов Нг, HD, D2. Поэтому вращение для
них надо рассматривать квантово-механически.
9
протяжении этого объема. Объем, удовлетворяющий этим
условиям, называют физически бесконечно малым.
Одночастичиая функция распределения определяет чис-
ло молекул газа, находящихся в состояниях между Г и
Г + с1Г внутри физически бесконечно малого объема dV в
момент времени t :
dN = f (г, Г, t) dVdV.	(1.1)
Подчеркнем еще раз, что координата г, входящая в опреде-
ление функции распределения, по есть координата отдель-
ной молекулы, а является координатой выделенного фи-
зически бесконечно малого объема. Таким образом, сово-
купность (г, Г) образует точку фазового пространства, все
компоненты которого независимы друг от друга и принци-
пиально не зависят от времени. Из определения функции
распределения видно, что она является плотностью числа
частиц в таком фазовом пространстве в момент време-
ни t.
Через одночастичную функцию распределения выра-
жаются все основные физические величины, характеризу-
ющие макроскопическое состояние газа: плотность числа
1
частиц n(r,t) = j drf-, скорость в точке г V =— J dTfv,
средняя энергия молекулы	п
(здесь £in - внутренняя энергия молекулы); поток энергии
v; поток импульса П,^. = J dVfmViVf;.
Интегрирование по Г, вообще говоря, включает в себя сум-
мирование по колебательным квантовым числам.
Эволюция функции распределения f во времени опи-
сывается кинетическим уравнением. Впервые подобное урав-
10
пение получил и исследовал Л. Больцман в 1872 г. на ос-
нове наглядных физических соображений о балансе числа
частиц в Г-состоянии в элементе фазового объема с учетом
парных столкновений между ними. Успехи современной
кинетики в значительной степени связаны с уравнением
Больцмана или с различными его модификациями.
В кинетической теории существует целое большое на-
правление "Теория кинетических уравнений". Задача на-
шего курса много скромнее: дать общее представление о
применимости идей кинетики (на основании уравнения Бо-
льцмана) к разреженному газу, плазме и твердому телу.
Поэтому для нас уравнение Больцмана - это постулат, и
мы лишь поясним физический смысл каждого члена этого
уравнения (кстати, такова концепция и самого Больцмана)
и перечислим критерии его применимости (одни - обосно-
ванно, другие - со ссылкой на подобный анализ).
Выделим в газе некоторый объем ДУ и проследим за
d&Nr
скоростью изменения —-— числа частиц ДТУр, находя-
сь/:
щихся в Г-состоянии внутри такого объема:
ДУГ= / dV/(r,r,i).
Это изменение может происходить как за счет того, что
часть частиц в Г-состоянии уходит из ДУ через границы
этого объема (благодаря наличию потока /v), так и за счет
столкновений (в результате чего может наблюдаться как
приход в Г-состояние из других состояний внутри выде-
ленного объема, так и уход из него). Поэтому для скоро-
сти изменения числа частиц в Г-состоянии внутри объема
ДУ имеем
11
здесь справа первый член выражает уход частиц из Г-
состояния из объема ДУ, второй - уход из Г-состояния
за счет столкновений.
По теореме Гаусса:
</> dSfv = [ dVV-(fv),	(1.3)
J	J AV
а вследствие произвольности выделенного объема:
Обратим внимание на то, что скорость v можно выно-
сить из-под знака V, поскольку г и v являются независи-
мыми компонентами фазового пространства:
V • (/v) = vV/.
(1-5)
Член
описывает изменение числа частиц в Г-состо-
st
янии в единице объема в единицу времени благодаря столк-
новениям. Найдем эту величину.
Будем считать, что для разреженного газа играют роль
только бинарные столкновения, а вероятность тройных и
т.д. взаимодействий ничтожно мала, и, кроме того, что
взаимодействия между парами частиц независимы (то есть,
как говорят, такие взаимодействия никак не коррелирова-
Пусть в единичном объеме находятся молекулы в со-
стояниях Г и Г1, и гн(ГГ! —> Г'Г}) есть вероятность того,
что в единицу времени при взаимодействии этих молекул
они перейдут в состояния Г' и Г',. Тогда
st
12
i ircb и в дальнейшем принимаем обозначения:
/(r,r,t) = /;
/ (г, Г', t) =/';
/(r.rx.t) = ,Л;
/(гХ.*) = Л";
wQTi -4 ГТ'Л = w;
wjrTi -> ГГ1) = w'.
Первая сумма в (1.6) характеризует уход частиц из Г-
состояния, вторая сумма - приход в него.
Действительно, в единице объема в Г-состоянии содер-
жится f молекул, в Гх- состоянии - Д молекул. Поэтому
в единицу времени в единице объема в результате столк-
новений из состояний Г и Г; в состояния Г7 и Tj попа-
дут w (ГГ1 —> РГД ffi молекул. Если просуммировать это
произведение по Г1, Г', Гр то получим общий уход из Г-
состояния за единицу времени в единице объема. Смысл
второй суммы - общий приход в Г-состояние.
Если Г-состояния непрерывны, то
(1-8)
где п означает суммирование по колебательным степеням
свободы, коль скоро они играют роль.
Таким образом, для / (г, Г, f) получаем уравнение, от-
крытое Больцманом и носящее его имя:
Ц- + (W) f = - [ dr.dT'dr^ {wfh - w'f'fi} = -Ist,
dt	J
(1-9)
где Ist - так называемый интеграл столкновений в форме
Больцмана.
13
Обобщим левую часть уравнения Больцмана на случай
присутствия внешних полей. Ясно, что Г-состояние в про-
цессе движения между столкновениями во внешнем поле
изменяется (например, mv = Fext), и мы учтем это измене-
ние, введя в левую часть члены
(не учитывая
при этом изменение колебательных квантовых чисел п):
ЭМ
Покажем, что любая функция от энергии Е обращает ле-
вую часть уравнения Больцмана в тождественный нуль.
Действител ьно,
д f Е) Г д Е z	. дЕ -дЕ}
дЕ ( dt k ’ dv дМ J
df(E)dE
дЕ dt ’
так как полная энергия молекулы сохраняется и в присут-
ствии внешних полей.
Интеграл столкновений в виде (1.9) зачастую оказыва-
ется не очень удобным для практических вычислений, ко-
гда более полезно введение дифференциального сечения
рассеяния da. Эта величина определяется как количество
частиц в единице объема, рассеянных в фиксированное ко-
нечное состояние за единицу времени:
dN „г ~	.
— = N^Qda.	(1.10
dt
Здесь Q - поток налетающих частиц, Ni - число рассеи-
вателей в единице объема.
14
Взяв в качестве М величину fidl\— число частиц в
единице объема, находящихся в состояниях от Г1 до +
<7Г1, а в качестве Q величину gf - поток частиц в Г-состоянии
(обладающих скоростью v) и налетающих на частицы, на-
ходящиеся в Г1-состоянии (обладающих скоростью Vi), с
относительной скоростью
9= |v-Vi|,
(1.11)
получаем, что
dN
-T7=9ffidr1da- da = dcr (ГГ}ГЦ).	(1.12)
Cv v
Выше было показано, что
dN
— = wffidTrdr'dr^w = w (ГГ\ Г'Ц).	(1.13)
Сравнение (1.12) и (1.13) дает
wdr'dr^ = gd<j,
и интеграл столкновений принимает форму
Ist = J {gdaff, - g'da'ffi} •	(1-14)
Упростим последнюю формулу. Запишем законы сохране-
ния импульса и энергии для столкновения двух одинако-
вых частиц вдали от радиуса их взаимодействия:
11ерейдем к другим переменным: скоростям центра инер-
гельным скоростям сталкивающихся частиц - g = v — Vi
15
и gz = v'-v'p В этих переменных законы сохранения вы-
глядят особенно просто:
G = G',
2	/2
g = g •
Если, к тому же, считать (что не всегда так), что для диф-
ференциального сечения рассеяния справедливо
da1 - da,
то интеграл столкновений принимает особенно простой вид:
I,t= / didder {ffy-f'fy'}.	(1.15)
1.2. Пределы применимости уравнения Больцмана
для молекулярных газов
Приведем характерные параметры физической кинети-
ки газов: го ~ 10-8 см - характерный размер молекулы
(характерный радиус взаимодействия);
Ту ~ 10~6 — п-1/3 см - характерное расстояние между
молекулами в газе при нормальных температурах и дав-
лениях; п — 2.7 • 1019см-3 - число Лошмидта;
Г2 — 10~5 см - средняя длина свободного пробега моле-
кулы при нормальных температурах и давлениях;
тз - характерный размер, на котором меняются макро-
скопические параметры п (г, £) - плотность, V (г, £) - ско-
рость, Т (г, t) - температура газа.
Приведем еще оценку характерных времен, с которыми
приходится иметь дело в кинетической теории газов. Мы
делаем при этом естественное предположение, что харак-
терной скоростью движения молекулы является ее тепло-
вая скорость vt (—) ~ 105см/с. Тот же порядок вели-
чины имеет скорость распространения макроскопических
16
возмущений в газе, то есть скорость звука (если, разуме-
ется, речь не идет об ударной волне). Тогда
^0	_1*1	и
т0 ~	~ 10 с - время взаимодействия сталкиваю-
V'p
щихся молекул;
Т2 ~	~ 10“10 с - время свободного пробега моле-
кул, которое, как будет ясно из дальнейшего, по порядку
величины сравнимо с так называемым временем релакса-
ции, то есть временем установления термодинамического
равновесия;
Гз
тз ~----характерный период изменения макроскопи-
vT
ческих параметров газа.
Мы будем рассматривать только парные столкновения
молекул, пренебрегая тройными и т.д. столкновениями.
Действительно, тройное столкновение происходит, когда
налетающая частица рассеивается сразу на двух молеку-
лах, отстоящих друг от друга на расстоянии, равном или
меньшем радиуса взаимодействия (размера молекулы). Ве-
роятность обнаружения в объеме порядка Гц одновременно
/ \ з
( ^0 \	. п—5
двух частиц равна I —	~ 10 , и при нормальных тем-
\П/
пературах и давлениях тройными столкновениями можно
пренебречь.
В кинетике газов нас будут интересовать явления пе-
реноса, для которых гз Г2, или тз 72. В этом случае
можно считать, что имеет место локальное термодинами-
ческое равновесие, то есть распределение молекул близко
к распределению Больцмана, но параметры этого распре-
деления n(r, i), V (г, £), Т (г, t) являются функциями ко-
ординат и времени.
Используя для интеграла столкновений форму (1.15),
оценим его величину.
Мы заведомо увеличим интеграл столкновений, если
17
отбросим член, описывающий "приход" в Г-состояние:
Величина г-1 является полным числом столкновений в
единицу времени частицы в состоянии Г со всеми осталь-
ными частицами.
По порядку величины
д ~ vT ~ 105 см/с;
j da — atot ~ а2 ~ 10-14 см2;
J </Г1 Л « п ~ 1019см-3
(здесь atot - полное сечение; а - размер молекулы).
Поэтому
г-1 ~ vTatotn ~ 1О10 с-1.
Величина т ~ 1О-10 с, по смыслу, является, следовательно,
средним временем между двумя столкновениями, то есть
временем свободного пробега т%.
Теперь обсудим границы применимости уравнения Боль-
цмана для молекулярных газов.
1.	В дальнейшем мы убедимся, что распределение Макс-
велла обращает одновременно в нуль и левую, и правую
части уравнения Больцмана. С другой стороны, распре-
деление Максвелла есть термодинамически равновесное
распределение идеального газа, то есть газа, для кото-
рого можно пренебречь потенциальной энергией взаимо-
действия по сравнению со средней кинетической энергией
суТ, где су - теплоемкость на одну молекулу, Т -- темпе-
ратура. Средняя потенциальная энергия частицы газа по
порядку величины равна произведению характерной энер-
гии Uq взаимодействия данной частицы с другой частицей
18
на вероятность того, что вторая частица находится вбли-
зи первой внутри области взаимодействия: (го/г1 Г , гДе го
- радиус взаимодействия частиц, ri - среднее расстояние
между частицами. Таким образом, газ можно считать иде-
альным, когда
Uo (го/п)3 « cvT.
Это условие выполняется в двух случаях. Либо когда вза-
имодействие Uo между молекулами достаточно мало, либо
когда газ достаточно разрежен. В газе нейтральных моле-
кул Uo ~ Тс, где Тс - критическая температура перехода
жидкость-пар. Поскольку обычно Т < ТС} то условие иде-
альности сводится к требованию
го «Си.	(1.16)
2.	Баланс частиц при столкновении мы подсчитыва-
ли, опираясь на понятие вероятности парных столкнове-
ний частиц в единице объема в единицу времени W. Это
понятие можно ввести только в том случае, когда каждая
молекула газа большую часть времени проводит в свобод-
ном состоянии, не взаимодействуя с остальными молеку-
лами, а для этого необходимо потребовать, чтобы время т?
(длина г2) свободного пробега было много больше времени
то (радиуса Го) взаимодействия:
То < Т2, Го < Г2.
(1-17)
Имея в виду эти неравенства, часто говорят, что урав-
нение Больцмана "сглажено", "огрублено" по интервалам
времени tq и пространства го-
3.	Одночастичная функция распределения f введена
нами для физически бесконечно малого объема, то есть
т0 Г3. Если бы это было не так, то построение интеграла
19
столкновений значительно бы усложнилось. Поэтому мы
считаем заведомо выполненными неравенства
То « Т3, Го < Г3.
(118)
4.	В интеграле столкновений в форме Больцмана не
учтены ни парные корреляции между молекулами, ни трой-
ные столкновения. Анализ цепочки Боголюбова, скажем,
показывает, что эти эффекты взаимосвязаны, и ими мож-
но пренебречь, если гд П-
5.	Наконец, при наличии внешних полей характер столк-
новений, вообще говоря, меняется. Однако такими изме-
нениями характера столкновений можно пренебречь, по-
скольку в газах практически всегда внешние силы слабы
по сравнению с силами молекулярного взаимодействия.
1.3. Свойства интеграла столкновений
Закон унитарности столкновений в применении к пар-
ным столкновениям имеет вид
w (п\ гт;) dr'di^ = / w (гт; ггх)
или, в более краткой записи,
wdr'dVi = / w'dVdr^.	(1.19)
Словами это можно сказать так: вероятность того, что при
столкновении двух молекул в состояниях Г и Г\ в резуль-
тате получатся любые другие состояния Гу и Гр равна ве-
роятности того, что молекулы, находящиеся в любых со-
стояниях Г' и Гр столкнувшись, окажутся в состояниях Г
и Гр
Докажем закон унитарности столкновений.
20
Вывод соответствующих соотношений удобнее прово-
дить в терминах квантовой механики, рассматривая веро-
ятности перехода между состояниями системы, образую-
щими дискретный спектр. Из квантовой механики извест-
но, что амплитуды вероятностей перехода между различ-
ными состояниями системы образуют унитарную матрицу
S, для которой справедливо условие SS+ = 1. Условие
унитарности можно переписать в виде
(1.20)
В частности, при i = к имеем
(1.21)
Величина IS"^]2 имеет смысл вероятности перехода из со-
стояния п в состояние г, а соотношение (1.21) означает,
что сумма вероятностей перехода из состояния п в данное
состояние г равна единице.
Условие унитарности можно также переписать в виде
S+S — 1, откуда, в частности, следует, что
(1-22)
Последнее соотношение означает, что сумма вероятностей
перехода из данного состояния i в любое состояние п равна
единице. Вычитая из обеих частей равенств (1.21) и (1.22)
величину |Sa |2 - вероятность системе остаться в состоянии
г - и приравнивая левые части полученных выражений,
находим
21
Это и есть искомое равенство, которое в терминах функ-
ции w имеет вид (1.19).
С использованием закона унитарности столкновений ин-
теграл столкновений запишется намного проще:
У	{/А - /'//} .
(1-23)
Это видно из следующего. Рассмотрим цепочку:
f dTidr'dr^wf j\ = f dVifft f dVd^w =
= f dTJfi } dVdr^w' = f dr^r'dr^w'f /1.
(1.24)
Закон унитарности столкновений использован при перехо-
де от первой строки ко второй в формуле (1-24).
Свойство 1
Представим, что газ находится в локально-равновес-
ном состоянии, т.е.
f = fW = Ce-^; С = С(r,t); Т = T(r,t).
Вычислим фигурную скобку в интеграле столкновений (1.23):
.	,	о ( Е+Е1	+	\
{/Л - f fi } = с (е г - е т \ = 0.
При получении последнего равенства мы воспользовались
тем, что рассматриваемая фигурная скобка входит в выра-
жение для интеграла столкновений, помноженной на веро-
ятность w. Последняя же отлична от нуля только при усло-
вии Е + Ei = Е' + Е[, означающем закон сохранения энер-
гии при столкновении. Таким образом, мы приходим к пер-
вому свойству интеграла столкновений: локально-равнове-
сное распределение обращает его в нуль Ist (р°)) = 0.
22
Свойство 2
Пусть А = Л (Г) - какая-то функция состояния одной
молекулы. Рассмотрим интеграл
[ dVIstA (Г) =
d^A^^wffr-w'f'f’^.
Здесь мы ввели обозначение г/4 Г — с/Гс/ГгсТ'с/ГЛ Сделаем
замену переменных Г <—> Гр Тогда А(Г) -» А(Г1), a w и
w' переходят сами в себя при таком преобразовании, так
как являются симметричными функциями по параметрам
сталкивающихся (рассеянных) частиц. Поэтому
J dnstA (Г) =
= | fd4r {(Л + A) Wf А-(А + A) w'f 'Л'} .
£
В первом слагаемом в фигурных скобках сделаем замену
переменных:
г«—>г', Г1 *—>г;.
При такой замене
Л А, Л! А1? f л, Л - Л> - w'.
В результате окончательно имеем
[ dWstA (Г) = i I d4V {(A + А - л - A) w'f 'л'
(1.25)
Поскольку интеграл столкновений — Ist есть изменение толь-
ко за счет столкновений числа частиц в состоянии Г в
единице объема за единицу времени (то есть без учета гра-
диентных членов в уравнении Больцмана), то — f dristA (Г)
23
есть изменение величины J dFfA (Г) благодаря столкнове-
ниям.
Итак:
1.	— f drIst ~ изменение за счет столкновений плотно-
сти числа частиц п = f dFf;
2.	— J dWstmv - изменение за счет столкновений им-
пульса единицы объема газа nmV = J dF/mv;
3.	— J dristE - изменение за счет столкновений энергии
единицы объема газа Е = f dFf Е (Е - средняя энергия
молекулы).
Из формулы (1.25) следует, что изменение аддитивных
интегралов движения за счет столкновений равно нулю.
Поэтому
1.	f drIst = 0.
2.	J dristrny = 0.
3.	f dFIstE = 0.
Последние два равенства следуют из закона сохране-
ния энергии и импульса при столкновении, поскольку w'
отлично от нуля только при этом условии.
Свойство 3
Покажем, что благодаря столкновениям энтропия га-
за может только возрастать (Я-теорема Больцмана). По
определению, полная энтропия газа
S - У dVdTfr In j- - У dVs,
где s - плотность энтропии. Скорость изменения энтропии
дается выражением
dS f лт/лг д f 1 е
dt	J dtn /г
24
Из кинетического уравнения следует, что
dfr . dfr
.dfr _
P д -Gt-
ap
Имеем
dVут-ifv In —.
Последний интеграл преобразуется в равный нулю инте-
грал по поверхности, которая может быть выбрана вне
объема, занимаемого газом, где функция распределения
равна нулю. Аналогично в нуль обращается производная,
связанная с потоком энтропии в импульсном пространстве.
Итак, энтропия может изменяться только за счет столк-
новений. Согласно (1.25), изменение плотности энтропии
в единицу времени из-за столкновений равно
Добавим к правой части полученного соотношения тожде-
ственный нуль, воспользовавшись свойством (1.23):
О = dVIst 1 = 1 f d*rw'{f h-f ’h '} •
25
Поэтому
Рассмотрим функцию y = xlnx+l — х. При положитель-
ных х эта функция имеет минимум в точке 1п.т = 0, то
есть при х = 1 ymin = у (1) = 0. Следовательно, функция
п f'K
у положительно определена. Полагая х =  - , получа-
f Ji
ем, что выражение в фигурных скобках в последнем вы-
ражении неотрицательно. Поэтому s = f drist In /г > 0.
Согласно свойству 1 интеграла столкновений равновес-
ная функция распределения обращает его в нуль. Поэто-
му, как и должно быть, в соответствии со вторым началом
термодинамики энтропия равновесного состояния не изме-
няется. Важно отметить, что при выводе свойств 1-3 мы
не использовали никаких дополнительных предположений
относительно поведения w, за исключением свойства уни-
тарности столкновений. Обратим внимание, что за счет
столкновений энтропия возрастает локально в любой вы-
деленной части системы. Если же вычислять полное из-
менение энтропии в выделенном объеме, то его энтропия
может и уменьшаться за счет "перетекания" энтропии. Ра-
зумеется, для всей системы энтропия может только воз-
растать.
В статистической физике закон возрастания энтропии
вводится как постулат. В кинетической же теории этот за-
кон является следствием уравнения Больцмана и закона
унитарности столкновений. Возникает вопрос: какой по-
стулат заменяет в кинетической теории 2-е начало термо-
динамики? Таким постулатом в кинетической теории слу-
жит гипотеза о молекулярном хаосе. В самом деле, при
построении интеграла столкновений мы без доказатель-
ства приняли, что при подсчете числа сталкивающихся
26
частиц можно использовать одночастичные функции рас-
пределения, и полностью пренебрегли корреляциями меж-
ду сталкивающимися частицами.
Н.Н. Боголюбов показал, что фактически для выво-
да интеграла столкновений в форме Больцмана требуется
еще меньше: достаточно потребовать выполнение принци-
па ослабления корреляций, согласно которому двухчастич-
ная функция распределения, то есть вероятность найти од-
ну частицу в точке щ, когда вторая находится в точке г2,
стремится к произведению вероятностей нахождения од-
ной частицы нахождения в точке ri, а другой в точке г2
(то есть корреляционная функция стремится к нулю), ко-
гда расстояние между частицами |ri — г2| стремится к бес-
конечности.
Таким образом, можно сказать, что принцип ослабле-
ния корреляций является тем постулатом, который в кине-
тической теории заменяет второе начало термодинамики
и который приводит к необратимости статистических про-
цессов, описываемых в рамках уравнения Больцмана.
Докажем, что для газа, находящегося в сосуде с зер-
кальными стенками, столкновения молекул являются един-
ственно возможным источником производства энтропии.
Вместо явного введения граничных условий, описыва-
ющих зеркальное отражение молекул от стенок, удобнее
ввести потенциальную энергию:
внутри сосуда,
вне сосуда.
(1-26)
Этот профиль энергии порождает силу F = — V(7 , кото-
рая отлична от нуля только на стенке и запрещает частице
выйти из сосуда. В отсутствие других внешних сил урав-
нение Больцмана имеет вид
27
Изменение энтропии во времени равно
clVdr—
Преимущество введения (1.26) состоит в том, что в выра-
жении (1-27) интегрирование можно проводить по всему
пространству, имея в виду, что вне сосуда f — 0 в силу то-
го, что там потенциальная энергия равна бесконечности.
Интегрирование по частям дает
dVdTv f
= - j dVdVvVf =
= 0,
ар
= 0.
Откуда, как и требовалось доказать,
dVdrist In f.
1.4. Принцип детального равновесия
Закон унитарности столкновений
28
I wdVdr^ = I w'dV'dr^
является интегральным соотношением между w и w'.
В кинетической теории одноатомного газа использует-
ся так называемый принцип детального равновесия, со-
гласно которому w = w1. Для многоатомного газа это ра-
венство, вообще говоря, несправедливо. Однако имеет ме-
сто обобщенный принцип детального равновесия, который
следует из симметрии уравнений классической и кванто-
вой механики относительно обращения времени. Действи-
тельно, уравнение mr = — F сохраняет свой вид при замене
t —> — t. В квантовой механике при такой замене надо пе-
рейти к комплексно-сопряженному состоянию. Поэтому
w (ГГ1 гт;) = w (r'^rf ГгГ[),
или короче
w = wT.	(1.28)
Так,если Г = (v, М), то Гт = (—V, — М).
Во многих случаях, кроме симметрии обращения по
времени, имеет место симметрия уравнений движения от-
носительно инверсии. При этом, если Г = (v, М) , то Г7 =
= (—V, М). Тогда
w (гг! -+ гт;) = w (Г'7Г'7	Г7Г{).
Вместо равенства w -- wT и w = ш7 дают w - wTI, то есть
w (ГГ! ГТ'Д = w (Г/Т7Г;Т7	ГГ7Г^7),	(1.29)
причем ГТ7 = (+v, — М). Принцип детального равновесия
в форме (1.29) имеет место во всех случаях, кроме стерео-
изомерных (оптически активных) молекул, для которых
преобразование инверсии переводит молекулы в стерео-
изомерные формы. Очевидно, что для одноатомных газов
формула (1.29) принимает особенно простой вид:
w (vvi—» v'v'J = w (v'v'x —> wx).	(1.30)
Заметим, что в квантовой механике большинство вза-
имодействий являются четными по моменту. Исключение
составляют взаимодействия типа спин-орбита, которые от-
носительно малы. Если ими пренебречь, то вероятность
столкновений становится четной функцией по моментам, и
принцип детального равновесия принимает свой простей-
ший вид w = w' и для многоатомных молекул.
Проследим, какую форму приобретает принцип деталь-
ного равновесия при столкновении молекулы с макроско-
пическим телом, например при столкновении молекулы со
стенкой.
Если состояния тела до столкновения 7 и после столк-
новения 7' строго заданы, то принцип детального равно-
весия имеет прежний вид:
w (Г7 -э Г'7') = w (Г/Т7г' ГТ7Т).	(1.31)
Согласно статистической механике, макроскопическая си-
стема находится в состоянии 7 с вероятностью
ру = е т .
Поэтому статистически усредненная вероятность прихода
молекулы из состояния Г в состояние Г' при столкновении
с макроскопическим телом равна
W (Г -» Г') = Pyw (г7 rV) •	(1.32)
30
Используя механическое равенство (1.31), получаем
w (Г —> Г7) — pyw (Г'Т'ут' —> ГТ7Т).
77'
Энергии состояний, симметричных по времени, совпада-
ют:
Еу = ЕуТ,ру = Р-уТ-	(1.33)
Кроме того, суммирование по 7 и 7' идет по всем состоя-
ниям и его можно заменить на суммирование по всем со-
стояниям 7Г и 7/Т. Это дает
w (Г —> Г') = У p^t w
(VT1T' _ ГТ7Т)
Из закона сохранения энергии при столкновении следует,
что

Поэтому
уТ у/Т
Справа, с точностью до обозначений, стоит выражение
(1.32). Следовательно,
w (Г —>
-»• Гт) .
Это означает, что при описании столкновений молекулы
с макроскопическим объектом принцип детального равно-
весия сохраняет свой механический вид только в случае
упругого столкновения.
31
1.5. Уравнения переноса (уравнения Трэда). Вывод
уравнений гидродинамики из кинетического
уравнения
Функция распределения молекул не является непосред-
ственно измеряемой величиной. На самом деле, измеряют-
ся плотность газа п(г, t), его скорость V(r, t), температура
T(r, f) и другие макроскопические величины А, которые
принято называть моментами функции распределения, по-
скольку они связаны с функцией распределения соотноше-
ниями типа
nA(r,t) = / dVf (г, Г, t) А (Г).
Ниже мы изложим метод Трэда, один из наиболее эф-
фективных методов решения кинетического уравнения.
В этом методе получается замкнутая система уравнений
для моментов макроскопических величин, определяющих
свойства системы. Мы увидим, что метод Трэда применим
не только к нейтральным газам, но и к твердым телам при
исследовании кинетики электронов и фононов.
Проинтегрируем уравнение Больцмана по всем состоя-
ниям молекулы Г :

dnst.
По определению f dTf — n(r, f) - плотность числа частиц.
Операцию дифференцирования по координатам можно
вынести из-под знака интеграла по состояниям. Поэтому
[= V [dVvf = V (nV),
где V - скорость физически бесконечно малого объема
газа.
32
Согласно свойству 2 интеграла столкновений
[ dTIst = 0.
Таким образом, мы получили уравнение непрерывности
Умножим теперь кинетическое уравнение Больцмана на
некоторую функцию состояния молекулы А (Г) и проин-
тегрируем по всем Г :
J dTfA + У* dr A (vV) / = - / dVIstA.
По определению
У dTfA = nA.
Далее
У dr A (vV) f = V У dr Av/
так как оператор V на v и А не действует.
Пусть u — v — V - скорость молекулы в системе коор-
динат, в которой элемент газа, содержащий эту молекулу,
покоится. Тогда
/ с/Г/Av = / dT/A (u + V) = V f drfA + f dT/Au =
= nAV+ f dT/Au.
Очевидно, что первый член в последнем равенстве описы-
вает перенос величины А вместе с газом, второй - перенос
этой величины в системе, где данный элемент газа поко-
ится.
33
Таким образом, получаем
dristA.
(1-34)
Распишем подробнее первые два члена:
^-А + AV (nV) +n (VVA)
= п (^-А + (VVA) | п^А
(at k 7 J dt
(при выводе последнего соотношения использовано урав-
нение непрерывности).
Таким образом, величина А обязана удовлетворять урав-
нению, которое можно трактовать как уравнение переноса
величины А :
тЛа + V [ drfAu = - I dWstA. (1.35)
Действительно, первый член этого уравнения есть перенос
величины А вместе с данным элементом газа, второй -
перенос величины А в той системе координат, где данный
элемент газа покоится, а справа стоит изменение величины
nA за счет столкновений.
Если имеется полный набор физических величин { Ап\ ,
то совокупность уравнений (1.35) для этих величин экви-
валентна уравнению Больцмана.
Иногда уравнение (1.35) удобно записывать в форме
[ dr/A + V
dt J
V / dTfA +V / dTfAu =
(1.36)
dristA.
34
Из всей совокупности подобных уравнений выделенную
роль играют уравнения для интегралов движения, для ко-
торых, согласно свойству (2) интеграла столкновений, пра-
вая часть обращается в нуль.
Пусть А (Г) = mv{ - импульс молекулы. Тогда
пт—Ц + Vfc dT fmviUk= О
dt I
I dr fmu,uk = f dr fm(V,+ uk =
j dr !ти.ик = П.к,
поскольку Vi f dTfiik = 0 по смыслу величины u. В тер-
минах гидродинамики
ПгД; P&ik &ik
где, как будет показано ниже, коэффициент р имеет смысл
давления, a aik - тензор вязких напряжений, причем Spcr =
Таким образом, мы получили еще одно уравнение гид-
родинамики (уравнение Навье-Стокса):
+ VfcHjfc = 0.
dt
(1-37)
В гидродинамике вид тензора <Jik получается из феноме-
нологических соображений. В кинетической теории газов
вид этого тензора будет получен из решения кинетиче-
ского уравнения. Одновременно будет найдено выражение
для коэффициента вязкости через микроскопические ха-
рактеристики взаимодействия молекул.
35
Пусть теперь
Тогда
А (Г) = Е =
mv2
~2~
Подставляя в это уравнение выражение v = V + и, полу-
чим
mV2
2
По определению температура неравновесного газа нахо-
дится как
Далее
f drfEm = / dVfUi (
= mVk f dT/щик + f d
mV2 mu
2 +
/ mu2
2
— “I- mukVfc T
- плотность потока энергии в той системе отсчета, где рас-
сматриваемый элемент газа покоится, т.е. поток тепла.
Итак, в отсутствие внешних сил
d
п—
+ Vj (Knifc + qi) = 0.
36
Используя уравнение Навье-Стокса, получим уравнение
переноса тепла в газе:
ПСу	“Ь П-j/c V2 V/c + ViQi — 0.
(1.38)
Если в рассматриваемой задаче газ покоится, т.е. V = О,
d д
то — = — и. следовательно,
dt dt
ПСу
+ Vift = о,
что является обычным уравнением теплопроводности.
В гидродинамике выражение для потока тепла опреде-
ляется феноменологически. В кинетической теории газов
оно следует из уравнения Больцмана.
1.6. т-приближение и локально-равновесное
распределение Максвелла—Больцмана
Обычно при решении кинетических задач наибольшую
трудность представляет вычисление правой части уравне-
ния Больцмана. Более того, интеграл столкновений точ-
но вычисляется только в некоторых весьма специальных
случаях, и поэтому приходится прибегать к его модельно-
му представлению. Наиболее популярно так называемое
т- приближение. В этом приближении интеграл столкно-
вений записывается в виде
st

где т - константа, имеющая размерность времени,
/° - локально-равновесное распределение.
Локально-равновесным является распределение вида
,.п	,	\	\3/2 - '"(v-vtr.O)2
/° = n(r,t} I	—- I е 2T(r,t) ,
37
в котором, в отличие от распределения Максвелла, пара-
метры п, V, Т являются функциями координат и времени
и в точности совпадают соответственно с плотностью, ско-
ростью и температурой неравновесного состояния:
f drf° = fdTf = n (г, t); dr = d3v;
f dr f°v = f drfv = n (r, t) V (r, i);
pr/om(v~y(r,< =
Подчеркнем, что температурой неравновесного газа мы
называем (с точностью до су = 3/2) среднюю энергию мо-
лекулы газа в системе координат, где выбранный элемент
газа покоится. Такое определение удобно тем, что оно поз-
воляет считать справедливым уравнение состояния газа
р = пТ
в отсутствие термодинамического равновесия. Действитель-
но, механическое определение давления задается равен-
ством
1
Р
О
то есть давление есть сферическая часть тензора напря-
жений	= J dr fmuiUk- Поэтому
1 Г . о 2 f 1ГУ .mu2 _
P = 3 I dVfmu = з dVf~2~ = nT-
Представление интеграла столкновений в т-приближении
удовлетворяет всем трем основным свойствам реального
интеграла столкновений:
38
l)Ist (f °) = 0;
2) f dnstA = i { f dFf A -J dr f°A} = 0,
если A = l,v,E;	q 40\
3) s = fdTIaIn / = lj-dT(/-/»)ln/ =
= 7 / <*г (/- П in £ > o.
Равенство 2 обусловлено выбором параметров лока- льно-
равновесного распределения. При доказательстве равен-
ства 3 мы воспользовались тождеством
[ dT (f-f °) ln/° = 0,
которое доказывается подстановкой явного выражения для
/° и использованием соотношений (1.39) и неравенства
(х — 1) In я > 0,
справедливого при любых положительных х. Смысл кон-
станты т становится очевидным, если найти решение про-
странственно однородного уравнения Больцмана:
Это решение имеет вид
где 99 - начальное отклонение от локально-равновесного
распределения.
Таким образом, т имеет смысл времени релаксации рас-
пределения к своему локально-равновесному значению. Поз-
же мы покажем, что т-приближение является вполне при-
личным приближением, когда отклонение от равновесия
39
имеет вид, близкий к одной из собственных функций так
называемого оператора столкновений.
Следует оговорить, что т-приближение нужно с осто-
рожностью применять в нестационарных задачах (распро-
странение звука, собственные колебания плазмы), в кото-
рых зависимость п, V, Т от г и t диктуется не внешними
условиями, а самим решением кинетического уравнения.
В этих случаях п, V, Т являются функционалами от вида
решения f и простота вида т-приближения весьма обман-
чива.
1.7. Вычисление коэффициентов вязкости
в т-приближении методом Трэда
Перейдем к вычислению тензора вязких напряжений
<7ifc применительно к одноатомному газу. Найдем уравне-
ние переноса тензора вязких напряжений:
aik = - / dT /тщик + p5ik.
Прежде всего перепишем это уравнение в виде
&гк
Для одноатомного газа по определению
mu
Поэтому
о\к = - / drfm {щик} + dik (~пТ + р).
40
Чтобы Spa = 0, необходимо выбрать коэффициент/) = пТ.
Согласно уравнению состояния (для локально-равновесного
распределения), р = пТ. Поэтому в случае локально-равно-
весного распределения диагональную часть тензора П мож-
но интерпретировать как давление. Итак,
aik = - / dr fm {ujUfc} .
В уравнении
+V / dV fAu = - / dWstA
(1.41)
сделаем подстановку А (Г) = m {viVk}  Получим
— f dTfm {viVk} + Vz (Vi f dTfm {ед}) +
+Vz f drm {ед} fui = - f dWstm {ед} .
(1-42)
Преобразуем первый интеграл (равный второму) следую-
щим образом:
J dr fm {(И + щ) (К + ик)} = тпп {ЦVk} - aik.
Здесь f dr f m {Угик +	= 0 от того, что газ как целое
покоится в системе отсчета, движущейся со скоростью V,
то есть f dr fmuk = 0.
Рассмотрим третий интеграл в левой части уравнения
(1-42):
J dTmf {(И + щ) (Vk + и*:)} щ = ViVk f dTm /щ+
+ f dTfm{ViUk + UiVk}ui + f drfm {щик} ut.
(1-43)
41
Первый член тождественно равен нулю, второй равен
Из курса гидродинамики известно, что тензор вязких на-
пряжений пропорционален производным от скорости <згк ~
dVk
~ ——, то есть обратно пропорционален масштабу неод-
породности. Поэтому в выражении (1.44) можно прене-
бречь членами, содержащими crifc, по сравнению с члена-
ми, содержащими давление р, если ограничиться крупно-
масштабными неоднородными состояниями газа. По этой
же причине можно опустить последний член в выражении
(1.43). Мы не будем доказывать это обстоятельство строго,
но заметим, что в случае локально-равновесного распре-
деления этот член обращается в нуль в силу нечетности
подынтегрального выражения. Это соответствует отсут-
ствию вязкого потока при локально-равновесном распре-
делении. Итак, третий интеграл в левой части уравнения
Грэда (1.41) равен
В т-приближении правая часть уравнения Трэда равна
&ik
При получении последнего равенства мы воспользовались
42
свойством 2 (см. (1.40)) и тем, что
d Г/ 0 {щик} =
^Sik [ dr f 0 {щи,} = 0.
Последнее непосредственно проверяется и означает отсут-
ствие вязкого потока при локально-равновесном распреде-
лении.
Собирая все члены, получим
(1-45)
Преобразуем первые два члена следующим образом:
— (mn {УгИ} - Oik) =
дп	( dVk I	daik
1 J dt	I dt J dt
VtmnVt {VVk} - ViVoik = m {VVk} ^mV+
+mnVi'Vi {VjVfc} — 'ViVaik =
= m {УЭД VznI4 + IrnnVi {VNiVk} -
В силу уравнения непрерывности первые члены этих со-
отношений в сумме дают нуль. Оставшиеся члены перепи-
сываются в виде
daik
— V; (Vi<7ik) •
Далее преобразуем оставшийся в левой части (1.45) член:
43
- vfc (рЦ) + Vi (рИ) - -5ikVi (pVt) =
= 2p{Vi,I4} + 2{Vi,Vfcp}.
В результате находим
Первые два члена преобразуем, используя уравнение Навье-
Стокса (1.37). Тогда окончательно находим
2тп {Vi, Vi&ik} -	(1-46)
-V/ (W) + 2p{Vi,n} = ^.
Если скорость газа медленно меняется и почти однород-
на, так что можно пренебречь производными от тензора
вязких напряжений, то
О ГО V !	Р'*	9V‘	2 Л V Р
= 2рт { V,, М) = ч -----F ------t,tV,V, .
\ UXi VXfc 3	J
Это - обычное гидродинамическое выражение для тензо-
ра вязких напряжений. При выводе этого выражения был
еще отброшен член ~ erik^iV.. Это можно сделать, когда
V 1
гз т’
где гз - характерный масштаб неоднородности скорости.
44
(J помощью понятия длины свободного пробега Г2 — vtt
это неравенство переписывается в виде
V Г-2
---- < 1.	(1.47)
Поскольку почти всегда можно перейти в систему отсче-
та, где скорость газа V мала по сравнению со скоростью
звука с ~ vt (за исключением случая ударной волны), то
последнее условие почти всегда выполняется, и, следова-
тельно, практически всегда можно записывать уравнение
переноса для aik в виде
Если скорость меняется периодически: V ~ е то
Отсюда видно, что обычное выражение для тензора вяз-
ких напряжений справедливо при а>т 1, то есть для
достаточно медленно изменяющихся движений. При этом
же условии справедливо уравнение Навье-Стокса.
Обратим внимание, что попутно с построением уравне-
ния переноса для сщ мы вычислили коэффициент дина-
мической вязкости т] = рт, который, как и в элементарной
теории явлений переноса, известной из курса общей физи-
ки, оказывается пропорциональным времени релаксации.
1.8. Вычисление коэффициентов теплопроводности
в т-приближении методом Трэда
Перейдем теперь к построению уравнения переноса по-
тока тепла:
45
Подставим в уравнение
+V / dr fAu = - /
выражение
и перейдем в систему отсчета, в которой газ как целое
покоится (это означает, что везде вместо v можно писать
и). Тогда
Ограничимся локально-равновесным распределением при
вычислении второго члена:
ти
f ^ukUi = ^5ik J
1 mnv^ 5mnT2 5pT
= odik-о-5!! - о-T~°ik = n-°ik-
3	2	2 m2 2 m
Здесь мы вначале воспользовались тем, что при усредне-
нии по сферически симметричному распределению усред-
нение по направлениям эквивалентно замене:
'LL fa'll i
1
а затем формулой
dV f °v2k = nv2k(2k 4- 1)!!, vT = у/т/^.
46
Правую часть уравнения переноса тепла вычислим в
т-приближении:
,гт ти2
ал lst—T-Ui -
Здесь мы воспользовались тем, что в равновесном состоя-
нии поток тепла равен нулю. Таким образом,
В покоящемся газе давление постоянно, а 5/2 есть теп-
лоемкость ср. Поэтому уравнение переноса потока тепла
перепишется в виде
Если температура меняется по закону Т ~ е гш\ то
1 — шт
Мы видим, что. выражение для потока тепла принимает
свой гидродинамический вид
Qi = ~х\7гТ
только в случае, когда период температурных колебаний
велик по сравнению с временем релаксации
шт 1.
Попутно с выяснением пределов применимости гидроди-
намического приближения мы нашли величину кинетиче-
ского коэффициента, коэффициента теплопроводности х.
47
Метод вычисления кинетических коэффициентов, опи-
рающийся на систему уравнений переноса, называется ме-
тодом Трэда. Проанализируем, что представляет собой си-
стема уравнений гидродинамики вместе с входящими ту-
да кинетическими коэффициентами с точки зрения метода
Г рэда.
Напомним определение момента функции распределе-
ния:
пЛ(гД) = / dTf (г,Г,£)А(Г).
При выводе уравнений гидродинамики для получения урав
нения непрерывности нам понадобился один момент: А (Г)
= 1; вывод уравнения Навье-Стокса потребовал еще три
момента: А (Г) = гтц (при этом, однако, мы не получили
замкнутой системы уравнений: появились новые величи-
ны - тензоры П^ и соответственно <т^); уравнение перено-
са тепла получилось при рассмотрении переноса величины
9
TYIV
А (Г) = Е = ——I- £in (то есть еще один момент, но опять
без явного вида <?,)• В этом разделе при вычислении тен-
зора <7ik мы ввели еще 5 моментов А (Г) = т {щщ} . (след
тензора равен нулю); и, наконец, при вычислении д, - еще
. ти2
3 момента А (Г) = —— щ.
Общее число введенных таким образом моментов рав-
но 13. Такое приближение претендует на более детальное
описание природы, чем это делает гидродинамика, кото-
рая получается из 13-моментного приближения как част-
ный случай решения дисперсионных уравнений для сггк
и 7г-
48
1.9. Линеаризация уравнения Больцмана по малому
параметру отклонения от локально-равновесного
распределения
В предыдущем разделе мы нашли в т-приближении ки-
нетические коэффициенты, исходя из уравнений переноса.
Сейчас мы обратимся к изучению наиболее употребитель-
ного в настоящее время метода вычисления кинетических
коэффициентов - метода Чепмена-Энскога.
Напомним кратко связь гидродинамики с кинетической
теорией. Уравнения гидродинамики описывают плотность
числа частиц п(г, £), скорость газа V (г, t) и температуру
Т (г, t) как функцию координат и времени. Система гид-
родинамических уравнений является замкнутой только в
том случае, когда тензор вязких напряжений и поток теп-
ла выражаются через градиенты п, V, Т.
В курсе гидродинамики доказывается, что
&ik
-<5ifcdivV
+ CdivV;
Qi - -xViT,
причем кинетические коэффициенты ту, ф х рассматрива-
ются как эмпирические параметры.
Вычисление кинетических коэффициентов является ос-
новной задачей кинетической теории газов, то есть их вы-
ражение через микроскопические характеристики взаимо-
действия молекул.
При решении такой задачи необходимо помнить, что
характерные размеры и времена, на которых меняются
макроскопические величины n(r, t), V(r,i),
Т (г, t), велики по сравнению со средней длиной свобод-
ного пробега молекул. Это означает, что функция распре-
деления f близка к локально-равновесной /°, и поэтому
49
вместо решения нелинейного уравнения Больцмана доста-
точно решать задачу, линеаризованную по малому откло-
нению х от /° :
/о(1 + х),1х1 «С 1,
о
m(v — V(r,t))2
2T(r,t)
где х - мера отклонения состояния газа от равновесного
состояния.
Реальная и локально-равновесная функции распреде-
ления дают точные значения плотности, скорости и тем-
пературы:
п = / ЛУо = / drfa (1 + х),
nV= / <ir/„v= / dr/0(l + x)v,
(1.48)
(1.49)
Условие для неравновесной добавки может быть представ-
лено в виде
(х, I) = / Л7„х = о,
<Х. и> = f dr faxu = О,
(x^} = fdrfoX^ = 0.
То есть функция х ортогональна интегралам движения,
если при определении скалярного произведения иметь в
виду весовой множитель f°.
50
1.10. Левая часть кинетического уравнения
Левая часть уравнения Больцмана в нулевом прибли-
жении по х имеет вид
dt
+ (W) f
N =
+ (W)	= faN,
at
O\nfo mi f
-gr + (^f0.
Величина N не равна нулю, поскольку параметры п (г, t),
V (г, t), Т (г, t) локально-равновесного распределения за-
висят от времени и координат.
При термодинамическом равновесии плотность газа, ско-
рость и температура являются постоянными величинами,
и, следовательно, функция х есть мера отклонения состо-
яния газа от равновесного состояния, выраженная через
градиенты п (г, £), V (г, £), Т (г, t).
Введя скорость u = v — V, в которой данный элемент
газа покоится, получим
Заменим в последнем выражении полные производные по
времени величин п (г, t), V (г, i) ,Т (г, i) их градиентами со-
гласно уравнениям гидродинамики, записанным в линей-
ном по градиентам приближении.
51
Уравнение непрерывности имеет вид
dn
dt
= — ndivV.
Уравнение
nCv
dT
dt
d" njfcVjVfe d- ViQi 0
(1.50)
в линейном по градиентам приближении получится, если
и qi вычислять в нулевом порядке, так как сама опе-
рация Vj дает первый порядок, а учет х дает еще один
порядок по градиентам. Поэтому
По определению р = 1/ЗПгг = - f dTfomUiUi =
О
tub'll 2
 - - -= -псуТ — тгТ. Симметричный тензор
= Z / Я-к
Пг£ = adik / dTfQmu2 = 3>abikp,
откуда
Поэтому
Зр = Пгг -= 9ар —> а = 1/3.
П^Д; dj,kP-
Тогда уравнение для переноса тепла (1.50) запишется в
следующем виде:
dT
nCv ——h pdiv V = 0.
dt
52
I [ерепишем уравнение Навье-Стокса
ш-Ц + VfeIIifc - 0.
at
в линейном по градиентам приближении. В этом прибли-
жении
^kPbik = Vip.
Поэтому
mn^- = —S7p = —riVT — TVn,
dt
. dT m
n dt
2 dT m .	.. dV
dt T v dt
m 2 2pdivV
—z---------h
---— u (—nVT — TVn) -
птТ
^u2divV - 4=u (nVT + TVn).
К полученному выражению следует добавить
mu2
т
Члены, пропорциональные Vn, взаимно уничтожаются. Итак,
N =
(и V) In Т +
m
53
1.11. Линеаризация интеграла столкновений по
малому отклонению от локально-равновесного
распределения. Оператор столкновения и его
свойства. Обоснование т-приближения
Определим вид интеграла столкновений (см. (1.23))
Ist = / d^dr'd^w' {fh -
в линейном приближении по малому отклонению от рав-
новесного распределения:
-/"'Л" (1 + /)(1+ /,)}«
dTw'/^x + xi-V-x'i};
поскольку f°fi = /°1 /°'; напомним, что d3T = dridT'dTi.
Введем обозначение Ist = /о^Х> где
&Х = [ d3Vw'f^ {x + Xi-x' - Xi} •
Скалярное произведение уже было определено выше сле-
дующим образом:
{a,b) = J dTfoab.
Поэтому
= У б/Г/о^Пу.
Для одноатомных газов w = w'. Отсюда следует самосо-
пряженность оператора П.
54
В самом деле, представим исследуемое скалярное про-
изведение в виде
= fd4?/ °/i°^w' {x + xi - x' - Xi} =
= (r w ro = pTf O/1W {x + xi - x' - xi} -
=	°/1°^'(^ + ^1){х + Х1}-
/ dT/«7, W (^ + V1) {/+ x'J.
(151)
Первый интеграл в правой части (1.51) симметричен отно-
сительно замены ip «—> х- В последнем интеграле делаем
замену Г <—► Г';	► Г) Учитывая, что w = w' и
f°f? = находим
f d’rfffw' W + y>l) {* + »} =
= ^/dT/»7«w(x + xi){v,' + v;}.
Поэтому последний интеграл также не изменяется при пре-
образовании «—> Xi чт0 доказывает самосопряженность
оператора Q:
(у,&х} = \х,Ыр} 
Докажем неотрицательность диагональных матричных
элементов этого оператора. Для этого воспользуемся зако-
ном возрастания энтропии (см. свойство 3 интеграла столк-
новений):
J dTIst\nf>Q,
который представим в виде
f dr 1st In f - f dTIst In f° + f dnst In (1 + x) «
~ f dVIstX = f dFxfo^X = (x, &x) > 0.
55
Пусть
^Фп — ^пФт
где фп - полный набор ортогональных функций. Для функ-
ции
тп
(1-52)
имеем
Откуда следует, что Qn > 0, так как (^>п, Фп) > 0. Если
функция 'фп - интеграл движения, то собственное значение
= 0. Покажем, что ненулевые Qn имеют смысл частот
релаксации.
Пространственно однородное уравнение Больцмана с
линеаризованным интегралом столкновений имеет вид
4 (/о (1 + х)) =
ut
(1.53)
Для стационарного локально-равновесного распределения
имеем
/о^Х = -/о^Х-
ot
Перепишем его в форме
тп	m
Поскольку ipm - ортогональный набор, то
(^Ст
dt
= Cm (0) е
56
Если предположить, что все Пп равны, то
1st = fo^X =	= &foX =		(l-54)
т
Величина Q обозначена как т-1. Такое приближение назы-
вается приближением времени релаксации или т-приближе-
нием. т-приближение можно применять и в случае нерав-
ных друг другу значений Qn, если в приличном прибли-
жении можно ограничиться одним членом ряда (1.52).
1.12. Вычисление вязкости методом
Чепмена—Энскога
Пусть температура газа однородна (VT = 0). Тогда
неравновесность газа обусловлена неоднородным распре-
делением скорости потока V. В этом случае
(1.55)
Любой тензор второго ранга есть суперпозиция своих непри-
водимых частей Т^°\Ту , {Та/з} , определенных следующим
образом:
(1.56)
Та/з = ^а/зТ^ + еа/зуТ^ + {Та/з} ;
Применим это представление к тензору 
VpVa = -6a/3divV+еа^ (rotV)7 + {V^K} .
57
Поскольку
^j/3^ja^l3a'y ^а^/З^а/Зу О,
ТО
77Z (	1	\
N = — [ иаи0 - -6а0и2 ) {V/jKJ =
-Z \	о	/
Д7 {^ог^Л {^/З^а} >
так как (иаи/з — -дари2) и {V^V^} - симметричные тен-
зоры.
Таким образом, линеаризованное уравнение Больцмана
принимает вид
QX + — {иаиЛ {V/jKJ = 0.	(1.57)
Оператор Q действует только на Г и не действует на коор-
динаты. Поэтому легко избавиться от функции
{V^K}.
Ищем решение в виде
X = S {V^VQ} Х«Ц ^Хав + {uaU0} = 0.
Если решение х известно, то
o-ik - pSik - nifc = p6ik - f drf 0 (1 + x) muiUk =
= pdik - f drf °muiuk - f drf QxmUiUk-
Второй интеграл уже считался выше и равен р5д. Поэтому
(Цк = - / drf \muiuk.
58
В силу известного свойства скалярного произведения
(и2Х) — 0 можно в подынтегральном выражении заменить
щик на {wilt*;} . Поэтому
crik = - f drf °xm {wjWfc} = -m {{щик} x) =
ТП?
rjri	Xotfi) ^]ika/3 {V/jK} ,	(1.58)
Vika,в =	({WjUfc} Хав) = (XaffflXik} •
Выражение (1.58) определяет связь между тензором вяз-
ких напряжений и градиентом скорости. Следовательно,
тензор rjikap является обобщенным кинетическим коэффи-
циентом вязкости.
Ниже мы увидим, что в изотропном случае он сводится
к скаляру - коэффициенту первой вязкости г;.
Покажем на примере тензора Vika/з, каким образом прин-
цип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера непо-
средственно следует из уравнения Больцмана. Если спра-
ведлив принцип детального равновесия w — w', то опера-
тор Q является самосопряженным:
(Ха/З^Хгк) = {Xik^Xaff} * Vika/3 — Va/3ik-,
что является содержанием принципа Онсагера.
Вследствие 77-теоремы Больцмана диагональные эле-
менты оператора Q неотрицательны:
Vikik — 0.
Это условие означает, что диагональные кинетические ко-
эффициенты всегда неотрицательны. Заметим, что поло-
жительность кинетических коэффициентов в термодина-
мике доказывается из постулата возрастания энтропии, а
в кинетической теории и закон возрастания энтропии, и
59
положительность кинетических коэффициентов являются
следствиями уравнения Больцмана и закона унитарности
столкновений.
Итак, задача вычисления любого кинетического коэф-
фициента х сводится к решению уравнения
Qx + W = 0,	(1.59)
причем с точностью до множителя х = (х, Qy) •
Интегрирование этого уравнения может быть точно про-
ведено в простейших модельных случаях. В общем случае
оно решается приближенно, и наиболее употребительным
приближенным методом решения является так называе-
мый метод моментов, или метод Чепмена-Энскога.
1.13. Обоснование метода Чепмена-Энскога
Обоснование этого метода проводится с помощью ва-
риационного принципа.
Домножим уравнение (1.59) на f°x и проинтегрируем
по Г:
(х> ^х) + (N, х) = О-
Рассмотрим класс функций, определенных условием
(<f>,	+ (N, f>) — 0.	(1.60)
Легко проверить, что таких функций бесконечно много,
поскольку любая функция
(W)
(V», W)
удовлетворяет этому уравнению:
(W)2
('ф, Q^)2
(W)2
(Ф, ОД)

60
Покажем, что из всех функций, удовлетворяющих усло-
вию (1.60), максимальное значение для функционала {<р, fit/?)
даст точное решение кинетического уравнения (1.59). В са-
мом деле, из закона возрастания энтропии следует, что
А = ((<р - х), fi (<р - х)) > 0.
Раскроем это выражение, считая оператор fi самосопря-
женным и учитывая соотношения (1.59) и (1.60):
(<А fi<p) - (<р, fix) - (х, fi<p) + (х, fix) =
= (<Р, fi<p) + (х, fix) - 2 (</?, fix) =
= (<а fi<p) + (х, fix) + 2 (<А К) =
= (х, fix) - (<p, fi<p) > 0.
Знак равенства имеет место при условии х = Отсюда
следует, что уравнение (1.59) можно представить как ре-
шение вариационной задачи на условный экстремум функ-
ционала (</?, fit/?) при условии (1.60).
Приближенное решение уравнения (1.59) будем искать
в виде конечного разложения:
71=710
V СпФп (Г) ,
П=1
где {tpn (Г)} - некоторый набор линейно независимых функ-
ций.
Тогда, как следствие вариационного принципа, наилуч-
шим приближением функции такого вида к точному реше-
нию будет функция, коэффициенты сп которой приводят
к максимальному значению величины:
72=710
СпСт Птп
71=1
61
и удовлетворяют условию (1.60):
(1-61)
ГДе С1тп — ^\Фт1 ^Фп) 1 ^к (.Фк,	.
Коэффициенты сп будем искать методом неопределен-
ных множителей Лагранжа. Для этого составим функцию
Согласно методу Лагранжа,
Умножим последнее выражение на ск и просуммируем по
к = 1 4- по:
2(1 А) CfcCmQnm А CfcTVfc 0.
кт	к
Используя то, что обе суммы в последнем выражении рав-
ны между собой с точностью до знака (см. (1.61)) и не
равны нулю, получаем
2 (1 - А) + А = 0; А = 2.
Найденное значение А подставим в выражение (1.62). То-
гда
Ст С1кп + Nk = 0.	(1.63)
т
Таким образом, для определения По коэффициентов ск мы
имеем систему линейных алгебраических неоднородных ура-
внений.
Если число коэффициентов по стремится к бесконечно-
сти, то система уравнений (1.63) эквивалентна исходному
интегральному уравнению (1.59) и определяет точное ре-
шение задачи в виде разложения по полному набору функ-
ций {>п(Г)}.
В случае конечного числа «о эта система уравнений
определяет приближенное решение уравнения (1.59), при-
чем, как следует из вариационного принципа, это решение
дает значение кинетического коэффициента кпо = (</?, Q<p),
которое меньше точного значения этого коэффициента.
Вариационный принцип не дает возможности опреде-
лить точность вычисления кинетического коэффициента,
но гарантирует, что
ОО ’
Приближенное решение тем ближе к точному значению
(при заданном по), чем меньше недиагональные матрич-
ные элементы Qmn по сравнению с диагональными. В част-
ности, если система функций {V’n (Г)} совпадает с систе-
мой собственных функций оператора столкновений, т.е.
^"0/1 -- Qnl/)n,
то матрица Qmn диагональна и метод моментов сразу при-
водит к точному решению задачи:
Nk
Cfc — —“—.
Обычно решение задачи на собственные значения опера-
тора неизвестно, и в качестве функций ipn выбирают набор
ортогональных полиномов от скорости, причем в качестве
01 берут неоднородность N, так что
Nk = (iPk,N} = (N,N)Skl.
63
Практика показывает, что метод моментов дает хорошее
приближение уже для достаточно небольшого По- Физи-
ческой причиной этого является то, что в нейтральных
газах потенциал взаимодействия молекул - короткодей-
ствующий и вероятность столкновения слабо зависит от
относительной скорости сталкивающихся частиц.
Обычно уже одномоментное приближение оказывается
достаточно удовлетворительным, двухмоментное прибли-
жение меняет кинетические коэффициенты не более чем
на 10%, а последующие приближения дают поправку не
более 1%. Исключением из этого правила является приме-
нение метода моментов к плазме. В этом случае хороший
результат получается только при п « 10. Это связано с
тем, что вероятность столкновения при кулоновском вза-
имодействии сильно зависит от относительной скорости
сталкивающихся частиц (~ 1/уотн “ формула Резерфор-
да).
1.14. Одномоментное приближение
Повторим решение задачи
&Х + N = 0
в одномоментном приближении. Ищем х в виде х = cN.
Умножим исходное уравнение на N f 0 и проинтегрируем
по всем Г :
cQ/vtv + (TV, TV) = 0.
Отсюда следует, что
(TV, TV)
с =---------.
0-NN
Интеграл столкновений равен
Л. = /“Six = —f°N = --f«x = Ц - /») ,
С	с
64
В этом приближении оператор Q сводится к умножению
па т~х.
Раньше мы показали, что тензор вязких напряжений
равен
7]ika(3	>
TH2
1]ika/3 TjT ({^z^A:} Xafi) ч
где Xafi удовлетворяет уравнению
^X&fl Т {мс/мд} 0.
В т-приближснии
1	Г	1
~Хп0 "Р	0*
Следовательно,
Ха/3 {^а^д} ’
Таким образом,
ш2т
^7?fca/3	? {^а^д})	(1*64)
=	/ d3V f ° {ЩМ/J {uaU0} .
Для вычисления этого интеграла следует заметить, что
он обращается в нуль, если хотя бы одна из компонент по-
вторяется нечетное число раз. В силу симметрии подынте-
грального выражения интеграл можно представить в виде
VikaP — -ASikSftfi 4-	-|- С8ifl8ka-
65
Поскольку
Т В6а(} + С5oi(),
то
ИЛИ
ЗА + В + С - 0.
Из явного вида интеграла следует (симметрия кинетиче-
ских коэффициентов), ЧТО riikal3 = r)a/3ik> ПОЭТОМУ В = С.
Тогда получаем, что
В = С =
и
'Qikaff
Упростим правую часть соотношения (1.64) по парам ин-
дексов г, а и к, /3:

С другой стороны, из (1.65) следует, что rjikik = 10В. От-
сюда следует, что
(ufc> =4(А; + 1)!!,
Поскольку
66
то
Таким образом,
И
Qika/З 1~р
{V^K} =
Обратим внимание, что выражение для коэффициента вяз-
кости в точности совпадает с выражением, которое может
быть получено из элементарных соображений.
1.15.	Вычисление теплопроводности
Перейдем к вычислению коэффициента теплопровод-
ности методом Чепмена-Энскога. Будем считать, что газ
как целое покоится, а его неравновесность обусловлена ис-
ключительно неоднородным стационарным распределени-
ем температуры Т (R), то есть в газе создан градиент тем-
пературы. В этом случае неоднородность
67
и линеаризованное уравнение Больцмана имеет вид
Ищем решение этого уравнения в виде
X = ХоУа 111Т.
Тогда
ти
(1.67)
Пусть решение уравнения (1.66) известно. Вычислим по-
ток энергии
qa = /	= / dTf0 (1 + х) ^~иа.
Поскольку при локально-равновесном распределении теп-
ловой поток отсутствует, то
J UaXpVpT =
V/jT = —КарЧцТ.

Здесь, добавляя в интеграл член -Г, мы воспользовались
тем, что (х, Wa) = 0. Поэтому коэффициент теплопровод-
ности
(1.68)
68
В т-приближении уравнение (1.67) переписывается как
и имеет решение
Вычисление интеграла производится элементарно
1" ! б/Г y*Q След тензора К"” = ЗА = Т. f ( т \2 1 [ ~ тп < —-	— / [k2T7 nJ 25 + 4 f 1 /т\2 / + 4 л зв) 4 \М J	) Поэтому 4 = Следовательно, ^а/3 —	/ ти2 5 \2	- \ 2Т 2 / U(yU@ ~ Ао<*/3- г	/	2	г \ 2 / п (ти 5 \	9 /drAUr -2) “ = <гг/„и®-2^|1 [drfaui + T2nJ - [ dVfnu21 = п J	J mJ	2 \T/ \MJ рт 15 т 2 рг 5 ртср m2 m х _ Ртср  K'Vafi') тп 69
1.16.	Явления переноса в газе максвелловских
молекул
Покажем, что линеаризованное кинетическое уравне-
ние
Qx + N = о
может быть точно решено в одном очень важном частном
случае, когда вероятность столкновений gda не зависит
от относительной скорости сталкивающихся частиц. Этот
случай был обнаружен Максвеллом, и газ, в котором вза-
имодействие между молекулами приводит к подобной си-
туации, называется максвелловским.
Из курса механики известно, что при рассеянии в поле
U ~ г~п дифференциальное сечение рассеяния имеет вид
da = Ф (0) д ndO,
где 0 - угол рассеяния; элемент телесного угла dO =
= sin OdOdtp-, д - скорость частицы на бесконечности, а в
случае взаимодействия двух молекул - относительная ско-
рость их движения в системе центра инерции. Нетрудно
видеть, что при п = 4 вероятность столкновений не зави-
сит от д и имеет наиболее простой вид
gda = Ф (#) dO.
(1.69)
Таким образом, максвелловские молекулы взаимодейству-
ют друг с другом по закону
Запишем оператор столкновений через дифференци-
альное сечение рассеяния da аналогично тому, как мы это
70
делали для интеграла столкновений. Для этого достаточ-
но вспомнить, что w'dTTi — gda. Поэтому
Q* = У dr.dr'dr^0 (х + Х1 - х' - x'i) W' =
= У dVigdatf (х + Xi ~ х' - х'х),
и для газа максвелловских молекул (1.69) оператор столк-
новений принимает вид
Пх = У (0) dO fA° (х + Xi - х' - Х1) 	(1-70)
При определении коэффициента вязкости (см. (1.64)) мы
показали, что он может быть найден, если вычислить ска-
лярное произведение:
772^
ЦИса/З гр ‘fifc} i Хар) i	(1-71)
при этом	- неприводимый тензор, а Хар является
решением уравнения
&ХаР {^i>^b} — 0-	(1’72)
Если мы докажем теперь, что функция {гг^, г/д,} является
собственной функцией оператора столкновений (1.70), то
тем самым мы точно решим уравнение (1-72).
Итак, вычислим
Q{uq,m^} = Ух/Г^ОФ^) /х°х (1.73)
х [{«а, М + {«01,^1} - {<,^,} - {wzQ1,u^} .
В квадратных скобках этого интеграла перейдем к но-
вым переменным - скорости движения центра инерции
71
сталкивающихся частиц G и к относительным скоростям
сталкивающихся частиц g и g/. Подобная процедура нам
уже знакома:
lgl = 1g'
(1.74)
В этих переменных квадратная скобка в (1.73) принимает
вид
{9а9(з} - {9«9р}
Выражение (1.73) содержит интегрирование по азимуталь-
ному углу </?. Единственной подынтегральной функцией,
зависящей от него, является • Поэтому имеет смысл
усреднить ее по этому углу, тем более, что из соображений
симметрии понятно, что от него ничего не должно зави-
сеть.
Неприводимый тензор
______________ -1	/»27Г
является, очевидно, функцией угла рассеяния 9.
В самом общем случае тензор второго ранга Та@, явля-
ющийся функцией вектора А, может быть представлен в
форме
Тар = fi (А2) + ea/3~fAy /2 (А2) + {АаА^} /з (А2) ,
где е<щ7 - совершенно антисимметричный единичный тен-
зор третьего ранга, a fi, /2, /3 _ произвольные функции.
Если Та0 - неприводимый симметричный тензор, то
fi — /2 = 0. Действительно, условие /2 = 0 следует из
72
симметрии тензора Та/з, а условие /1=0 следует из требо-
вания Таа = 0.
——-——
Применяя эти соображения к тензору (ff'affgf > являю-
щемуся функцией вектора g, получим
= f W {^дв} 
Вспоминая, что {<4*4} = д'ад'я ~ У>а@д2, и домножая обе
части на дад@., получим
Но д'ада = д2 cos 6, где в - угол рассеяния в системе центра
масс. Поэтому
f W = | (3cos20- 1).
Подставляя все это в (1.73), получим
В соответствии с формулами (1.74) в интеграле по П пе-
рейдем к старым переменным (в лабораторную систему
координат):
с?Г1 /1°{^/з}= /	f1°{(ua-ual)(u0-u01')} =
/1° ({«аЦз} + {«al«01} - {«аЧ91} - {«а1«/?}) =
73
Здесь второй член в круглых скобках при ос (3 обра-
щается в нуль, в силу нечетности подынтегрального вы-
ражения, а при а = /3 обращение в пуль следует из то-
го, что интеграл от {itai'U0i} совпадает с интегралом от
- {аа] ?/О|} = 0. Обращение в нуль последних двух членов
следует из нечетности подынтегрального выражения.
Таким образом, для газа максвелловских молекул Хав —
= {un, up} является собственной функцией оператора столк-
новений:
Ф (0) Sill2 0 dO 	— Qt, .
Тем самым мы точно нашли частоту релаксации вязкого
потока:
=	/ $ (^) sin2 $ dO.
(1-75)
Подставляя время релаксации вязкого потока = Q 1 в
окончательную формулу для вязкости, получим
7/ = Т,, р.
Аналогично можно сосчитать коэффициент теплопровод-
ности максвелловского газа.
Газ максвелловских молекул представляет собой слу-
чай, когда
gder = Ф (д, cos в) sin Odddcf)
не зависит от д. В общем случае это не так. Однако при
вычислении матричных элементов оператора столкнове-
ний наибольшую роль играют столкновения, относитель-
ная скорость которых порядка тепловой скорости молекул
vr.
Покажем это. Переходя к координатам центра инерции,
найдем
74
dfvdfvifflgdatp (x + Xi ~ x' - Xi) =
= / d3Gd3gf° f° (g/v^) gdap (x + Xi - / - x'i) •
Вид матричного элемента показывает, что в сфериче-
ских координатах интегрирование по д входит с весом
о __ mff2
де .
Эта функция имеет достаточно острый максимум в точке
д = 2у/Т/т = 2vt и основной вклад в матричный эле-
мент вносят значения д = 2vt- При условии, что вероят-
ность столкновения является плавной функцией д, мат-
ричный элемент может быть вычислен с помощью теории
возмущений по отклонению от истинного сечения рассея-
ния максвелловских молекул.
75
глава 2
КИНЕТИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Цель данного раздела дать студентам хотя бы общее
представление о кинетических явлениях в твердых телах и
методах их исследования. Мы ограничимся простейшими
моделями структуры кристаллической решетки в диэлек-
триках и электронной структуры в металлах. Как и в ки-
нетической теории газов, основной задачей будет рассмот-
рение стационарных процессов переноса в твердых телах,
таких как теплопроводность, электропроводность, эффект
Холла, термоЭДС. При этом мы будем использовать кине-
тическое уравнение в его простейшей форме - т-приближе-
нии.
2.1.	Колебания кристаллической решетки
Изучение кинетики твердого тела начнем с диэлектри-
ков. Свойства таких материалов определяются колебани-
ями кристаллической решетки. Напомним основные поло-
жения квантовой теории твердого тела..
В идеальном кристалле атомы колеблются около поло-
жений равновесия, которые расположены в узлах строго
периодической решетки. Выбрав начало координат в од-
ном из узлов, множество положений определим векторами
вида
R =12^ + п2а2 + п3а3,
(2.1)
76
где а1,&2,аз - основные периоды решетки, П1,п2,пз - це-
лые числа. Координату атома, колеблющегося около узла
R, запишем в форме
г — R + u (R, t),
где u (R, t) — смещение от положения равновесия.
Зависимость смещений от времени определяется систе-
мой уравнений Ньютона:
тйд - Fj); а = x,y,z.
(2-2)
Здесь Ff{ - силы, действующие на атом, колеблющийся
около узла R, со стороны остальных атомов. В кристал-
ле, состоящем из N атомов, имеется 3N таких уравнений.
Обычно амплитуда колебаний мала, поэтому силы мож-
но рассматривать в линейном по амплитудам приближе-
нии. Тогда система 3N линейных уравнений (2.2) имеет
3N независимых решений. Эти решения называются соб-
ственными колебаниями решетки. Они имеют вид, очень
похожий на плоские волны в сплошной среде:
иа (R, t) =	(2.3)
В отличие от случая сплошной среды, волновой вектор к
определен неоднозначно. Векторы к и к + В определяют
одно и то же собственное колебание, если
В = mibi + m2b2 + m3b3,	(2.4)
причем
b;afc 27T(5i£.
(2.5)
Здесь mi,m2,m3 - целые числа. Векторы В задают поло-
жения узлов обратной решетки, основные периоды кото-
рой есть Ьх,Ь2,Ьз. В силу условия (2.5) колебания с вол-
новыми векторами к и к + В неразличимы.
77
Для простоты будем считать, что положения равнове-
сия атомов образуют простую кубическую решетку с пе-
риодом а. Тогда обратная решетка тоже - простая кубиче-
ская решетка с периодом 2тг/а. При этом волновой вектор
к всегда можно поместить внутрь куба
(2.6)
Этот элементарный куб в пространстве волновых векторов
называют зоной Бриллюэна.
Строго говоря, периодичность конечного кристалла на-
рушается на границах. Чтобы не заниматься свойствами
кристалла, связанными с его границами, на колебания кри-
сталла накладываются условия Борна-Кармана. Соглас-
но этим условиям, кристалл имеет форму куба размера
L, причем атомы на противоположных гранях колеблют-
ся одинаково:
(2.7)
Ясно, что для кристалла достаточно больших размеров ис-
кусственный характер этих условий роли не играет. Волны
вида (2.3) удовлетворяют условиям Борна-Кармана, если
волновой вектор принимает одно из 3N значений вида
2тг
кг = —li, где Li - целые числа.
L
Фазовый объем обратного пространства, приходящийся на
одно колебание, равен (^) . В элементе куба (2.6) объема
78
с/3к находится
dAk
состояний вида (2.3) и суммирование по этим состояниям
можно заменить на интегрирование по объему зоны Брил-
люэна (2.6):
(2-8)
Таким образом, в простом идеальном кристалле, состо-
ящем из N атомов, возможны собственные колебания с
различными значениями волнового вектора, причем, как
можно показать, для каждого к имеются три ветви колеба-
ний, различающихся значениями частоты и направлением
поляризации амплитуды uQ, всего 3N колебаний.
Согласно квантовой механике, энергия каждого коле-
бания может принимать лишь дискретные значения, рав-
ные
(s - номер ветви). Это означает, что энергия колебаний
кристалла полностью определяется указанием номера п
возбуждения для каждого собственного колебания с вол-
новым вектором к и номером ветви s:
п = п (к, s).
В целях наглядности, вместо слов номер п возбуждения
собственного колебания принято говорить число фононов с
заданными к, з. Если кристалл находится в состоянии тер-
модинамического равновесия, то это число задается рас-
пределением Бозе:
(2.9)
79
Аналогию между номером возбуждения и числом бозе-
частиц можно распространить и на случай неравновесного
состояния кристалла, описывая это состояние функцией
распределения фононов
п — п (k,s, г, t).
(2.10)
Такая функция показывает, сколько фононов с заданным
"импульсом" р = Кк. и энергией е — hx)^s имеется в дан-
ный момент в данном месте. Строгое обоснование возмож-
ности такого описания опирается па теорию неравновес-
ной матрицы плотности и выходит за рамки курса. Стоит
лишь заметить, что одновременное задание положения и
импульса фонона в (2.10) предполагает классический ха-
рактер поступательного движения, как и в случае обыч-
ного газа, состоящего из молекул. Последнее имеет место,
если распределение мало меняется на расстояниях поряд-
ка длины волны характерных колебаний Л.
Оценим ее. Характерная энергия колебений по порядку
величины совпадает с температурой Т. Если с - характер-
ная скорость звука, то
и, следовательно, распределением (2.10) можно пользо-
ваться практически во всех кинетических задачах.
2.2.	Кинетическое уравнение для фононов.
Теплопроводность диэлектриков
Напишем кинетическое уравнение для фононов. Если
фононы не рассеиваются, то их распределение удовлетво-
ряет условию непрерывности в фазовом пространстве (к, г):
дп
dt
4- V (vn) = 0.
(2.11)
80
Скорость распространения фононов в квазиклассическом
пределе определяется, очевидно, скоростью распростране-
ния волновых пакетов, то есть
групповой скоростью коле-
баний:
дш 1 дЕ
дп h дк
(2-12)
Если фононы рассеиваются друг на друге или на приме-
сях, то в правую часть уравнения (2.11) следует добавить
интеграл столкновений в виде
где т - время релаксации, а по - равновесная функция
распределения фононов. В результате кинетическое урав-
нение принимает вид
дп
dt
+ V (vn) = — (n — По) .
(2.13)
Найдем теплопроводность диэлектрика. Один фонон
дает вклад в поток энергии, равный ve. Полная плотность
потока энергии фононов кристалла равна
ven,
(2-14)
где суммирование идет по всем состояниям кристалла еди-
ничного объема (в формуле (2.8) нужно принять V = 1).
Умножая (2.13) на ve и суммируя, получим
(2.15)
Здесь мы воспользовались тем, что равновесное распреде-
ление вклада в поток энергии не дает. Кроме того, в левой
81
части тензор потока энергии записан в нулевом приближе-
нии по отклонению от термодинамического равновесия (в
духе кинетической теории газов). Поскольку равновесное
(точнее локально-равновесное) распределение зависит от
координат только через температуру, то
д v-	1
дхв	т
причем тензор теплопроводности имеет вид
d V-	z х
= ТЭТ '	v2-16)
Уравнение (2.15) принимает вид
+	=	(2.17)
и для стационарного случая получим знакомую из кине-
тической теории газов формулу
Qa —	flT.
(2.18)
Мы видим, что в общем случае теплопроводность кристал-
ла описывается тензором теплопроводности (2.16). В куби-
ческих кристаллах все три главные оси кристалла эквива-
лентны, и интегрирование по направлениям так же, как и
в случае газа, сводится к замене

Благодаря этому обстоятельству, тензор хар диагоналей:

где и = —т——
3 дТ
У2 н2гпо.
82
В дебаевском приближении все три акустические ветви
совпадают и равны ац =	= шу, — ск для всех к\ с -
скорость звука. Это дает
(2.19)
Здесь Е - энергия фононов в единице объема, С - удельная
теплоемкость кристалла. Как и следовало ожидать, коэф-
фициент теплопроводности кристалла очень похож по ви-
ду на коэффициент теплопроводности газов:
Срр	СрпТ т
mQ m
— rvi-Cp.
л г
2.3.	Зависимость коэффициента теплопроводности
диэлектриков от температуры
Для определения температурной зависимости коэффи-
циента теплопроводности диэлектриков от температуры
пронализируем величины, входящие в формулу (2.19).
Температурная зависимость теплоемкости от темпера-
туры известна из курса статистической физики: при высо-
ких температурах (температура Т Тд, где То - темпе-
ратура Дебая кристалла) С = 3JV, где N - число атомов в
единице объема, при низкой температуре С ~ Г3, Т 7д.
Для определения температурной зависимости времени ре-
лаксации вернемся к системе уравнений, определяющих
движение атомов кристалла:
= Fr
До сих пор мы ограничивались в разложении сил F по
смещениям линейным приближением и нашли, что атомы
совершают чисто гармонические колебания, которые мы
интерпретировали как свободное движение фононов. Если
83
в разложении F удержать квадратичные по и члены, то
движение атомов кристалла становится ангармоничным.
С точки зрения фононов апгармонизм выглядит как
взаимодействие фононов, приводящее к тому, что один фо-
нон может развалиться на два и, наоборот, два фонона
могут слиться в один. Например, перемножение двух ко-
лебаний вида (2.3):
gikiR—— ^г(к]-|-k2)R—i(cui+cu2)t _
_ pikiR— ZU2] t
С*
в квантовой механике интерпретируется как процесс сли-
яния двух фононов в один, причем выполняются законы
сохранения импульса и энергии:
^ki + ftk2 = Кк;
hcvi +	= /гис
(2.20)
Если при столкновении фононов импульс сохраняется, то
полный импульс фононов
Р = У hknktS
k,s
является интегралом движения. Это значит, что поток фо-
нонов может быть отличен от нуля в состоянии равнове-
сия, то есть при отсутствии градиента температуры. По-
скольку поток фононов неизбежно сопровождается пере-
носом энергии, то мы получаем отличный от нуля поток
энергии q, когда VT — 0. Согласно определению коэффи-
циента теплопроводности q = — хТ, и из этих рассуждений
следует, что х = оо. Это находится в очевидном проти-
воречии с реальным положением вещей, на что впервые
обратил внимание Пайерлс.
Разрешение парадокса Пайерлса заключается в том,
что импульс фонона не является однозначно определенной
84
величиной: векторы к и (к + В) определяют одно и то же
колебание, если вектор В - вектор обратной решетки. По-
этому закон сохранения импульса должен выполняться с
точностью до вектора вида В, и наряду с процессами типа
(2.20), которые называют нормальными процессами, воз-
можны так называемые процессы переброса, при которых
полный импульс фононов меняется на некоторый вектор
обратной решетки КВ:
Zikj + Kkz — ftk+TiB;
бац + Кл>2 = Kv.
(2-21)
При столкновениях с перебросом излишний импульс фо-
нонов передается решетке в целом, и полный импульс фо-
нонов перестает быть интегралом движения.
Ясно, что время релаксации полного импульса фоно-
нов определяется частотой процессов с перебросом. Мини-
мальное значение отличного от нуля волнового вектора В
2тг	.
равно —. Следовательно, процесс (2.21) возможен, если
а
хотя бы один из векторов ki, k2 близок к —. Отсюда мож-
а
но заключить, что частота процессов переброса пропорци-
ональна числу фононов с большим волновым вектором, и,
как следствие этого,
Итак, нас интересуют фононы с импульсом |kl ~ —, то
а
есть с энергией порядка температуры Дебая, £ ~ Td- Чис-
ло таких фононов определяется распределением Бозе:
(T>Td),
f-т (Г < TD).
85
Теплоемкость фононов зависит от температуры как
const, (Т > Тр),
Г3 (Т < TD).
Таким образом, при высоких температурах теплопровод-
ность
(Т>ТО).
При низких температурах (Т << 7р) теплопроводность экс-
поненциально велика. Эксперимент же при низких темпе-
ратурах приводит к зависимости Т3. Для объяснения этого
обстоятельства вспомним, что, наряду с рассеянием друг
на друге, фононы могут рассеиваться на примесях и гра-
ницах кристалла. Если считать эти процессы рассеяния
независимыми, то полная вероятность рассеяния является
суммой вероятностей каждого процесса, и, следовательно,
примеси
Частоты релаксации, связанные со столкновениями с гра-
ницами и примесями, от температуры не зависят. Поэтому
при достаточно низких температурах, когда ролью ангар-
монизма можно пренебречь, время релаксации перестает
зависеть от температуры, и зависимость теплопроводно-
сти от температуры сводится к температурной зависимо-
сти теплоемкости, что и объясняет наблюдаемое уменьше-
ние теплопроводности при очень низких температурах:
Если кристалл достаточно чистый и рассеянием на приме-
сях можно пренебречь, то низкотемпературное поведение
86
коэффициента теплопроводности будет целиком обуслов-
лено столкновениями фононов со стенками. Если L - раз-
мер кристалла, то в этом случае
и z ~ L.
Теплопроводность зависит от размеров кристалла. Этот
результат аналогичен случаю кнудсеновского газа.
Если в кристалле имеются примеси, то длинноволновые
фононы испытывают на примесях так называемое Реле-
евское рассеяние, когда вероятность рассеяния в единицу
времени
(аналогичная зависимость имеет место при рассеянии све-
та частицами, размеры которых много меньше длины вол-
ны света). При низких температурах основной вклад в теп-
лопроводность вносят длинноволновые акустические фо-
ноны с частотой ш ~ Т, для которых т-1 ~ Т4. Поскольку
для таких фононов теплоемкость С ~ Т3, то при низких
температурах
. ял— 1
2.4.	Явления переноса в металлах.
Электропроводность
Рассмотрим кинетику электронов проводимости в ме-
таллах.
Электроны проводимости в хороших металлах можно
рассматривать в приличном приближении как свободный
идеальный газ, обладающий следующими особенностями:
1.	Электроны подчиняются статистике Ферми и при
всех температурах, при которых металл находится в твер-
дом состоянии (т.е. ниже температуры плавления), элек-
87
троны образуют почти вырожденный ферми-газ, в равно-
весии описывающийся распределением Ферми:
2.	Роль импульса играет квазиимпульс, который так
же, как и импульс фононов, определен неоднозначно: ква-
зиимпульс р и квазиимпульс р + /гВ отвечают одному и
тому же состоянию (В - любой вектор обратной решет-
ки).
3.	Энергетический спектр электронов состоит из зон.
Энергия электрона, принадлежащего одной из зон, явля-
ется периодической функцией квазиимпульса:
£ (₽) = £ (Р + ^В).
Поскольку состояния, имеющие энергию меньше энергии
полностью заняты, а состояния, лежащие выше, - со-
вершенно пусты, то основную роль в явлениях переноса
играют электроны, энергия которых близка к ef. Уравне-
ние
е (р) = Ер
в пространстве квазиимпульсов образует поверхность, на-
зываюмую ферми-поверхностью. Движение электронов,
приводящее к переносу заряда (электрический ток) и пе-
реносу энергии (поток тепла), в пространстве импульсов
определяется перераспределением электронов вблизи по-
верхности Ферми. Обычно поверхность Ферми почти це-
ликом лежит внутри одной зоны.
Поэтому в дальнейшем мы будем учитывать только од-
ну зону и для простоты будем полагать, что спектр внутри
этой зоны имеет вид спектра свободных электронов:
88
Так же, как и в случае кинетики фононов, кинетическое
уравнение для электронов будем записывать в т-приближе-
нии:
(2.22)
Левая часть этого уравнения, как всегда, есть уравнение
непрерывности в фазовом пространстве (г, р). Здесь
^Ос о ) Ра.
9ра
е ,
Так же, как и в случае газа и газа фононов, интеграл
столкновений обращается в нуль, когда распределение элек-
тронов f есть распределение Ферми /о- Коэффициент т
имеет смысл среднего времени свободного пробега элек-
трона и одновременно - времени релаксации электронного
газа. Действительно, если функция распределения одно-
му
родна I—— = (J), но имеет неравновесную зависимость от
иГ а
импульса, то в отсутствие внешнего поля (ра = 0) эволю-
ция распределения описывается простейшим уравнением
релаксации
—(J-ky
Пусть в начальный момент времени f — fin(p)  Тогда

и распределение электронов за время порядка т становит-
ся равновесным.
Рассмотрим в этом приближении задачу электропро-
водности. В постоянном однородном электрическом поле
89
функция распределения стационарна и не зависит от ко-
ординат. В этом случае уравнение (2.22) принимает вид
= --(/-Л)-	(2.24)
Фа т
В металлах электрическое поле не может быть большим.
В противном случае поле сильно разгоняет электроны,
создается большой электрический ток, выделяется много
омического тепла, и металл плавится. Решение уравнения
(2.24) в слабом электрическом поле мало отличается от
равновесного, и его можно искать в форме разложения по
слабому отклонению от равновесного распределения
f = fo + fi-
Поэтому в левой части уравнения (2.24) можно заменить
f на /0:
еЕа^- = --(/- /о)-	(2.25)
GPa Т
Отсюда имеем
/ = /о - теЕа
df0
Эра
(2.26)
Это решение можно рассматривать как два первых члена
разложения по степеням теЕа сдвинутой функции Ферми:
f = fo(Pa ~ теЕа).
(2.27)
Это выражение имеет наглядный физический смысл.
В электрическом поле импульс электрона линейно рас-
тет и за время свободного пробега изменяется на величи-
ну теЕа, а затем электрон отдает это приращение приме-
си. Чтобы найти создаваемую электрическим полем плот-
ность тока, необходимо вычислить интеграл
За = У^е^а/(р).	(2.28)
р
90
Подставим сюда решение (2.26) и воспользуемся тем, что
в равновесии электрический ток обращается в нуль:
(2.29)
Интегрируя по частям, находим
(2.30)
Так как ——= (1/т) 6ад, то интеграл с точностью до мно-
др/з
жителя равен плотности электронов п, и мы получаем
те2п
Ja
т
Коэффициент пропорциональности между плотностью то-
ка и напряженностью электрического поля есть коэффи-
циент электропроводности
т
(2.31)
Это - формула Друде.
Если электрическое поле меняется с частотой а>, то с
такой же частотой совершает колебания функция распре-
деления. Поэтому первый член в (2.22) отличен от нуля, и
в левой части уравнения (2.25) добавляется еще один член:
(2.32)
Если переписать это уравнение в форме
(2.33)
91
то становится очевидным, что величину (2.31) следует за-
менить т на------:
1 — шт
1
1 — шт
(2.34)
Таким образом, частотная дисперсия электропроводности
характеризуется безразмерным параметром шт.
С увеличением частоты поля проводимость падает и
появляется сдвиг фаз между полем и током.
Пусть теперь к металлу приложено постоянное элек-
трическое поле и перпендикулярное к нему постоянное маг-
нитное поле. В этом случае на электроны действует сила
/	е	\
Лоренца (ра	=	еЕа -I—[ v,	В]а)	,	и уравнение (2.22)	при-
нимает вид	с
^-(еЕа + -[ v,	B]Q)f	=	--(/	- /о).	(2.35)
@Ра	С	Т
Умножим обе части этого уравнения на ev@ и просумми-
руем по импульсу:
де	1
/ ен^з—(е£/а + -[ v, B]a)f = —j0
р dPa	С	Т
(равновесное распределение вклада в правую часть этого
уравнения не дает). Слева снова интегрируем по частям:
-£-№ + -[ v, в]„)/ = Д„.
Z—' тп	с	т
р
Суммирование по импульсу первого члена образует плот-
ность электронов, а второго - плотность электрического
тока:
(е£дп + -[ j, В]^) = --j0.
тс	т
92
Это уравнение удобно переписать в форме
(2.36)
Коэффициент
R = —	(2.37)
пес
называется константой Холла. Пусть электрический ток
в вытянутом вдоль оси х металлическом параллелепипеде
течет вдоль этого направления, а магнитное поле направ-
лено по оси z. Тогда три компоненты векторного уравне-
ния (2.36) имеют вид
(2.38)
(2.39)
(2.40)
Поперечное холловское поле Еу возникает из-за закручи-
вания электронных траекторий в направлении, перпенди-
кулярном магнитному полю и току.
Теперь вычислим в тау-приближении теплопроводность
металла. Для решения этой задачи рассмотрим стацио-
нарное кинетическое уравнение Больцмана с учетом сла-
бой неоднородности, обусловленной неоднородностью тем-
пературы Т( г):
=	(2.41)
drQ	дра т
В левой части уравнения функция распределения замене-
на на локально-равновесное распределение Ферми:
Г) ’
е г) +1
93
в котором температура и химический потенциал являются
функциями температуры. Преобразуем первый член:
д .. ,,	.	,	5/о z m £ - Д
dfo
df0E- д
Уравнение (2.41) принимает вид
-£-^ ( WT) + еЕ' vW = -|(/ - /о),	(2.42)
где еЕ' = еЕ — V/i - эффективная электрическая сила.
Для краткости введем обозначения для локального элек
трического тока и локального потока энергии:
J = е v, Q = (е — д) v
и получим рабочую форму кинетического уравнения:
(- (QVlnT) + jE') = --Д.	(2.43)
ОЕ 7
Отсюда сразу находим решение
Л =7 ((QVlnT) - jE')^,
де
которое используем для расчета плотности потока энергии
и плотности электрического тока:
Ч = УРЛ	(QVlnT)-7V^Q(jE'),
де	де
р	р	р
(2.44)
j = 52 J Л = 7 22 J (QV in Т) - 7 J ( JE').
де	де
р	р	р
(2.45)
94
Последний интеграл дает вычисленный выше коэффици-
ент электропроводности:
(2.46)
Напомним, что усреднение тензора по углам эквивалентно
замене
Первый интеграл в (2.44) определяет коэффициент теп-
лопроводности :
(2.47)
Интегралы этого вида вычисляются с помощью разложе-
ния в ряд, известного из курса статистической физики:
- Е = - Е 1(£ -м)2 F"M) =
(_/t	Czt	£
р	р
'тг^‘гГ>2	‘bn
= дЩ'М + -^"(4 </(д) =	(2.48)
Отсюда получаем коэффициент теплопроводности
2	. . 7г2Т2л 1 7тпТ ,п .
‘ к = —— тд(ц)—— 2д = -7Г ---------.	(2.49)
ЗТт 6	3 т
95
В т-приближении отношение этого коэффициента к коэф-
фициенту электропроводности не зависит от сорта метал-
ла и линейно растет с температурой:
Это - закон Видемана-Франца. Несмотря на приближен-
ный характер приведенного вывода этого закона, он хо-
рошо выполняется в простых металлах. Степень выпол-
нения этого закона характеризует степень применимости
т-приближения.
Соотношения (2.44), (2.45) содержат перекрестные чле-
ны, определяемые интегралом:
7Г2Т2
3m
тг2Т2пте
6m ц
Таким образом, термодинамика необратимых процессов в
металле описывается системой уравнений
q = —zcVT + 7Ez,
j = -^VT + <tE'.
(2.50)
(2.51)
Тот факт, что перекрестные процессы определяются од-
ним коэффициентом, является отражением общего закона
термодинамики необратимых процессов - принципа сим-
метрии Онсагера.
В изолированном металле тока нет. Возникает компен-
сирующее электрическое поле. Из (2.51) находим
96
Это поле называется термоэлектрической силой, или тер-
моЭДС. Подставляя это поле в (2.50), находим поток тепла
в изолированном теле:
/	72
q =	VT.
1 а
Отношение второго коэффициента к первому мало:
72	7г2Т2	1
Так ~ 12д2	11
и его можно не учитывать.
В присутствии внешнего магнитного поля имеется по-
ток тепла в направлении, перпендикулярном градиенту
температур. Это явление называется эффектом Ледюка-
Реги и аналогично эффекту Холла.
2.5. Зависимость коэффициентов переноса в
металлах от температуры
Для полного определения кинетических коэффициен-
тов нам осталось выяснить зависимость времени релакса-
ции от температуры.
Электроны в металле могут сталкиваться друг с дру-
гом, с примесями, с фононами. Эти процессы можно счи-
тать независимыми и определять полную вероятность рас-
сеяния электрона как сумму вероятностей рассеяния на
остальных элекронах We-e, рассеяния на примесях и дру-
гих статических неоднородностях решетки И4-г и рассе-
яния на колеблющихся ионах, образующих кристалличе-
скую решетку, We-Ph :
W = We.e + We.i + We_ph.
Следовательно, полная частота столкновений есть сумма
частот столкновений:
1 1 | 1 1
97
Обычно рассеянием электронов на электронах можно пре-
небречь по сравнению с рассеянием на примесях и фоно-
нах. Поэтому
Подставляя (2.52) в выражения для проводимости (2.31),
находим
(2.53)
Мы видим, что полное сопротивление складывается по пра-
вилу сложения последовательных сопротивлений из со-
противления на примесях, пропорционального числу при-
месей и не зависящего от температуры:
Pimp = С  const.
(с - концентрация примесей), и из сопротивления на фо-
нонах, которое пропорционально числу фононов Nph, и,
следовательно,
(2-54)
Когда примесей нет (идеальный кристалл), то сопротив-
ление целиком определяется рассеянием на фононах:
Pid — Pphi
а для реального металла с примесями можно написать
Это равенство, согласно которому сопротивление реаль-
ного металла равно сопротивлению идеального металла,
98
обращающемуся в нуль при нуле температур, плюс неза-
висящее от температуры сопротивление на примесях, на-
зывается правилом Маттисена.
Рассмотрим сопротивление идеального металла подроб-
нее. На экперименте при высоких температурах сопротив-
ление металла пропорционально температуре в полном со-
ответствии с (2.54). Но при низких температурах вместо
ожидаемого закона Т3 на эксперименте наблюдается зави-
симость
Pid - Г5.	(2.55)
Анализ этого противоречия приводит к тому, что при рас-
сеянии важен не только сам факт рассеяния (характери-
стикой этого факта является время между "соударения-
ми" электрона с фононами т), но и то, на какой угол при
этом рассеивается электрон. Действительно, интересую-
щая нас величина - время релаксации - определяется тем
временем, за которое электрон эффективно затормозится,
то есть потеряет компоненту импульса, направленную по
полю.
Напомним, что даже при очень низких температурах
Т электронный газ сильно "разогрет" в том смысле, что
большая часть электонов имеет энергию порядка ер ~
~ leV ~ 104К. Возбуждение вырожденного при низких
температурах электронного газа представляет собой пере-
нос электрона с заполненного состояние на вакантное. При
этом перенос имеет место только между состояниями с им-
пульсами вблизи поверхности Ферми, Pf =	~ им-
пульс Ферми. Поэтому изменение состояния представля-
ет собой поворот импульса с величиной Pf на некоторый
угол. Разница между энергиями начального и конечного
состояний и есть энергия возбуждения, равная по поряд-
ку величины температуре Т <£. гf- Изменение состояния
электрона, то есть изменение импульса, связано с погло-
99
щением или испусканием одного фонона с энергией поряд-
ка температуры (при температурах Т < То). Изменение
импульса электрона за одно столкновение по порядку ве-
личины равно Т/с Pf-> где с _ скорость звука. Итак,
за одно столкновение импульс электрона поворачивается
случайным образом на угол T/ef- Этот поворот происхо-
дит за одно столкновение, то есть за время т. Случайный
знак угла поворота позволяет считать, что угол поворота
меняется диффузионным образом и зависит от времени
как Т'2. Поворот на угол порядка единицы происходит за
время
(2.56)
Здесь мы воспользовались тем, что число электронов в
единице объема есть
N ~ pF = а 3,
где а - объем элементарной ячейки, а дебаевская темпера-
hc
тура TD = fkJmax ~ Пср,пах ~ —. Поэтому cpF ~ То-
а
Итак, при низких температурах
m
Ne2r
~ Nph • Г2 ~ Т5.
При высоких температурах "эффект поворота" также име-
ет место. Однако за одно столкновение угол поворота ра-
вен шо/скр и не зависит от температуры.
И наконец, обратимся к явлению теплопроводности. Пре-
жде всего заметим, что в металлах тепло переносится по
двум каналам - электронами проводимости и, как в ди-
электриках, фононами. Поэтому имеет место сложение про-
водимостей. Электроны распространяются со скоростью
100
i)p, а фононы - co скоростью звука с. Поскольку
то электроны распространяются значительно быстрее и
решеточной теплопроводностью можно пренебречь. Итак,
можно считать, что (см. (2.49))
-1	3 т
к = V1 2NTr
Ограничимся рассмотрением теплопроводности идеальных
кристаллов. При высоких температурах, очевидно,
ТрН
и, следовательно, теплосопротивление не зависит от тем-
пературы.
Чему же равно время релаксации потока тепла при низ-
ких температурах Т Тр? Напомним, что поток тепла
определяется формулой
q=J2v(£-/z) f, n =	(2.57)
Значит, с каждым электроном связан элементарный поток
тепла v (г — д). Характерное значение величины (г — д) ~
Т. И за одно столкновение с фононом эта величина изме-
няется на величину порядка энергии одного теплового фо-
нона, то есть Т. Мы видим, что торможение элементарного
потока происходит за одно столкновение и описанный вы-
ше диффузионный процесс релаксации не имеет места и
следует положить т = трь.
Таким образом, имеем
1	1 Г const, Т > Td,
| Г2, T«TD.
101
Такое поведение теплосопротивления находит свое под-
тверждение на опыте.
2.6. Остаточное сопротивление
Покажем, что задача вычисления коэффициента элек-
тропроводности в рамках кинетического уравнения Больц-
мана в случае рассеяния электронов на примесях имеет
точное решение.
С учетом анализа задачи в т-приближении запишем ки-
нетическое уравнение с реальным интегралом столкнове-
ний в форме

(2.58)
р'
Нелинейные слагаемые подынтегрального выражения со-
кращаются, и интеграл столкновений упрощается:
= -Е^(л-Л)-
(2.59)
р'
Будем искать решение этого уравнения в том виде, кото-
рый оно имело бы в т-приближении (2.26):
/1 = -reEava—,	(2.60)
где vQ = Но теперь т - искомый параметр. Подста-
новка последнего выражения в (2.59) дает
Существенно, что рассеяние электронов на примесях яв-
ляется упругим процессом. Это позволяет производную по
102
энергии вынести из-под знака интеграла по р' :
(2.62)
о ч Ъ^т^е1'2
Здесь д[е) =----7—-----плотность состояний.
Напомним, что при низких температурах
df0 ж >
— = -д(е-£д).
Поэтому все импульсы в уравнении (2.62) принадлежат
поверхности Ферми, и интеграл в (2.62) сводится к инте-
гралу по углу рассеяния в (рр' = p2cos#). Выделим из
вероятности столкновений закон сохранения:
IVp/p = w (0) 5(г — е').
Получаем
eEava~^ =	(2.63)
де
р dfo ( х f , , f dQ.	,	,
= теЕа—g(eF) de —w (в) S(e - e)(ya - va).
Интегрируя по e1 и опуская eEa^-, приходим к простому
уравнению
vQ
I m ("«
(2-64)
= тд(£р)
Из соображений симметрии следует, что интеграл справа
направлен по va и фактически это - скалярное уравнение.
Стандартным приемом решения такого уравнения явля-
ется умножение этого уравнения на va и сокращение на
2	2
= VF :
1 = Tg(eF) [ ^w(0)(l
J 47Г
— COS#).
(2.65)
103
Таким образом, точное решение уравнения Больцмана по-
казывает, что величина 1/т, введенная в рамках т-прибли-
жения как феноменологический параметр, связана с веро-
ятностью столкновений соотношением
w (#) (1 — cos#). (2.66)
т	/ 4л
Эта величина отличается от суммарной вероятности столк-
новений электрона с примесями 22 ^р'р множителем
р'
(1 — cos#), который отражает влияние обратных столкно-
вений (приход).
104
глава 3
КИНЕТИКА АМОРФНЫХ СИСТЕМ
Термодинамика и кинетика кристаллических диэлек-
триков связана с элементарными возбуждениями, назы-
ваемыми фононами. При низких температурах основную
роль играют акустические фононы, для которых частота
ш и волновой вектор q связаны соотношением
ш — vsq,
(3-1)
где vs - скорость звука, одинаковая для всех акустиче-
ских фононов. При температурах Т < Td (Td = h^D ~
температура Дебая, определяемая максимальной частотой
(Jd акустических фононов) звуковой спектр элементарных
возбуждений (3.1) приводит к кубической температурной
зависимости теплоемкости системы:
(3-2)
Такая температурная зависимость теплоемкости позволя-
ет объяснить кубическую температурную зависимость теп-
лопроводности диэлектриков при низких температурах. Это
легко понять, используя качественную газокинетическую
оценку для теплопроводности:
к. =	(3.3)
О
105
где I — длина свободного пробега фононов, которые пе-
реносят энергию (тепло). При низких температурах чис-
ло фононов мало и столкновениями между ними можно
пренебречь. Поэтому длина свободного пробега I связана
лишь с рассеянием фононов на примесях или на границах
образца и, таким образом, не зависит от температуры. Это
обстоятельство и объясняет закон к, ~ Т3 для теплопро-
водности кристалла. Кубические зависимости для тепло-
емкости и теплопроводности были экспериментально под-
тверждены.
Следует отметить, что в области низких температур,
когда свойства конденсированных систем определяются
длинноволновыми фононами, кристаллическая структура
(дальний порядок) является несущественным обстоятель-
ством для описания элементарных возбуждений с помо-
щью фононов. Поэтому подобные температурные зависи-
мости следует ожидать и для аморфных диэлектриков (от-
сутствует дальний порядок). Однако экспериментально бы-
ло обнаружено, что при низких температурах Т < 1 К теп-
лоемкость и теплопроводность в таких системах ведут себя
совершенно другим образом. Теплоемкость ведет себя ли-
нейно с температурой, а теплопроводность квадратично:
С~Т, к~Т2.
(3-4)
Линейная температурная зависимость теплоемкости ха-
рактерна для вырожденного ферми-газа. Однако в диэлек-
триках свободных электронов нет.
Среди множества моделей, предложенных для объяс-
нения этих аномалий, наиболее плодотворной оказалась
модель двухуровневых систем. В этой модели предполага-
ется, что атом или группа атомов совершают квантово-
механическое туннелирование между двумя энергетиче-
ски близкими положениями равновесия. Пусть разница энер-
106
гий между этими положениями равновесия есть Е. Пред-
полагается, что в аморфных диэлектриках этот параметр
равномерно распределен в некоторой широкой области энер-
гий порядка 1 К.
Из курса статистической физики известно, что с двух-
уровневыми системами (ДУС), имеющими энергию воз-
буждения Е, связана теплоемкость Шоттки, которая в рас-
чете на один ДУС имеет вид
с(Е) =
Е2 ,
(3.5)
Если считать, что Р характеризует равномерную функ-
цию распределения ДУС по энергиям, то число ДУС в
интервале энергий dE равно
dP (Е) = PdE.
(3.6)
Тогда теплоемкость ансамбля двухуровневых систем дает-
ся выражением
(3.7)
Ввиду быстрой сходимости интеграла верхний предел за-
менен на бесконечность. Оценивая этот интеграл, получим
(3.8)
Таким образом, линейная температурная зависимость теп-
лоемкости может быть объяснена в рамках модели ДУС с
распределением (3.6).
107
3.1. Туннельная модель
Для описания теплопроводности нам потребуется бо-
лее детальное описание туннельного движения. Предполо-
жим, что туннелирующая частица движется в двухъям-
1юм потенциале. Пусть гамильтониан частицы массы т,
описывающий движение в одной изолированной яме, есть
Я, = p2/2m + V,,
(3.9)
где р — оператор импульса частицы, движущейся в гармо-
ническом потенциале У}. Аналогичное выражение можно
записать для той же частицы в другой яме:
Н2 = р2/2т + V2.
(3.10)
Пусть Е-[ и Е2 и 01 и 02 — соответственно собственные
значения и собственные функции, отвечающие основно-
му состоянию частицы в каждой из ям, рассматриваемых
как изолированные. При достаточно низких температу-
рах можно ограничиться рассмотрением лишь основных
состояний в обеих ямах. Поэтому движение частицы мо-
жет быть описано в рамках модели двухуровневых систем
(ДУС). Если две ямы расположены достаточно близко, то
ямы не могут считаться изолированными, движение про-
исходит в суммарном потенциале V = V\ + V2 и описыва-
ется полным гамильтонианом:
Но = Н, + (V - Ц) = Н2 + (V - У2) •
(3.11)
В базисе 01 и ф2 гамильтониан частицы, движущейся в
двухъямном потенциале V, есть
Но =
Ег + (01 |(У - Ц)| 01)	(02 |Я| 01)
(01 \НI 02)	F2 + (02|(V-y2)|02) •
(3.12)
108
В области, где 01 не мало, малым оказывается выраже-
ние (V — Ц). Поэтому можно пренебречь матричным эле-
ментом (01 |(V — Ц)| 0i) по сравнению с Ei. По этой же
причине в (3.12) можно выбросить матричный элемент
(02 |(V — V2) | 02). Тогда, если за нуль энергии принять зна-
чение (£\ + Е^) /"2^ гамильтониан системы принимает вид
-Д До
До +д
(3.13)
Параметр
До = 2 (02 IНо| Ф1} = 2 (0] |Я0| 02)	(3.14)
характеризует расщепление уровней, обусловленное воз-
можностью туннелирования. Мы полагаем ямы одинако-
выми, но положение дна этих ям отличается на величину
Д = (Ег — Е2)  В курсе квантовой механики доказывает-
ся, что если две ямы разделены потенциальным барьером
высотой Vq и шириной d, то
До = ЛПе А,
(3.15)
где туннельный параметр
(3.16)
a Q - частота колебаний частицы в яме. Итак, каждый
ДУ С характеризуется двумя параметрами Д и А. Эти па-
раметры в неупорядоченной системе флуктуируют.
Сделаем дополнительное предположение относительно
распределения туннельных параметров Р (Д, А). Будем счи-
тать, что параметры Д и А равномерно распределены. То-
гда выражение
dP (Д, А) = PdAdX	(3.17)
109
определяет число ДУС в интервале параметров dAdA. Рав-
номерное распределение А в неупорядоченной системе ка-
жется естественным предположением, а равномерное рас-
пределение туннельного параметра Л можно обосновать,
предположив, что высота туннельного барьера одинакова
для всех ДУС, в то время, как расстояние d между яма-
ми двухъямного потенциала распределено равномерно в
некотором интервале. Из (3.15) и (3.17) следует, что рас-
пределение для параметров А. Ао может быть записано в
виде
dP (А, Ао) = -^-dMA0.	(3.18)
Ао
3.2. Взаимодействие ДУС с фононами
Пусть й - оператор смещения узлов кристаллической
решетки. Энергия двухуровневой системы А (и) зависит
от смещений окружающих атомов. Пусть введенный выше
параметр А соответствует значению и, отвечающему по-
ложению равновесия колеблющихся атомов. Понятно, что
энергия ДУС может зависеть только от относительного
смещения узлов решетки друг от друга (должна менять-
ся плотность кристалла вблизи ДУС). В длинноволновом
приближении можно ввести поле смещений м(г) для узлов
с координатой г. Поэтому энергия взаимодействия ДУС
с колебаниями зависит лишь от производных величины
и(г). Поскольку гамильтониан взаимодействия есть ска-
ляр, то интересующая нас скалярная величина, характе-
ризующая зависимость энергии ДУС от производных опе-
ратора смещения, имеет вид
Hint = 7 div й,	(3.19)
где 7 — константа взаимодействия.
110
Из курса статистической физики известно, что опера-
тор смещения в узле ж, выраженный через операторы рож-
дения и уничтожения фононов, имеет вид
(3.20)
Здесь щ — единичный вектор в направлении поляризации
фонона с волновым вектором к, — частота такого фоно-
на, а,к и — операторы рождения и уничтожения фонона,
р — плотность вещества. Из последнего соотношения сле-
дует, что
(3.21)
Двухуровневые системы, по существу, являются точечны-
ми дефектами. Поэтому если ДУС находится в начале ко-
ординат, то в (3.21) можно положить х — 0. Для акустиче-
ских фононов а>к = vsk. Поэтому взаимодействие фонона с
ДУС в базисе функций ф\ и </>2 может быть представлено
в виде
-6 0
0 +<5
(3.22)
Это выражение описывает изменение энергии ДУС Д за
счет поглощения и испускания фононов. Причем матрич-
ные элементы имеют операторную природу относительно
операторов рождения и уничтожения фононов:
(3.23)
Возможной зависимостью недиагональных матричных
элементов До от длинноволновых акустических колебаний
мы пренебрегаем.
111
Функции </>i и ф<2 не являются собственными для опера-
тора (3.13). В то же время поглощение и испускание фоно-
на происходит между собственными состояниями гамиль-
тониана (3.13). Найдем эти собственные состояния. Пусть
нормированная собственная функция основного состояния
ДУС имеет вид
V?] = ф[ cos 0 + Ф2 sin 0.
(3-24)
Тогда собственная функция возбужденного состояния ДУС
Ф2, ортогональная тД (как собственная функция эрмито-
вого оператора, соответствующего другому собственному
значению), имеет вид
'Ф2 = Ф1 sin 0 — Ф2 cos 0.
В отсутствие туннелирования V’i и Ф2 должны переходить
в 0! и Ф2. Поэтому потребуем, чтобы при До —* 0 ф\ пе-
реходило в ф\, а Ф2 ~ в ф2- Иными словами, необходимо,
чтобы при
До 0 => 0	0.	(3.25)
В базисе и Ф2 можно записать
(3.26)
Секулярное уравнение для изолированного ДУС имеет вид
1
2
(3.27)
Из (3.27) получаем уравнение на собственные значения Е :
(-Д/2 - Е) (-Д/2 - Е) = Д§/4.
(3.28)
112
Откуда следует, что
(3.29)
Из двух найденных решений нас интересует то, которое
удовлетворяет условию (3.25). Значению —Е/2 отвечает
собственная функция, удовлетворяющая условию
—Д cos 0 + До sin# = — Ecosd.	(3.30)
Тогда получаем
tan# = —(3.31)
До
что удовлетворяет условию (3.25), так как при До —> 0
tan # ~	—» 0.
Найдем вид оператора взаимодействия в базисе соб-
ственных функций Ф1)2:
21 — (cos #01 + sin #02 I V"| sin #01 — COS #02) —
3	3
—- cos#sin#------sin#cos# — —- sin2#.
2	2	2
(3.33)
Заметим, что
sin 2# =
Д
Ё'
cos 2# —
113
Итак, в базисе собственных функций оператора (3.13) га-
мильтониан ДУС, взаимодействующей с фононами, имеет
вид
Напомним, что 6 есть оператор, выраженный через фо-
нонные операторы а и а+. Отсюда следует, что матрич-
ный элемент перехода ДУС из возбужденного состояния
2 в основное состояние 1 с испусканием резонансного фо-
нона, имеющего энергию Е, при условии, что в начальном
состоянии имеется nk фононов, равен
{1,пк + 1 |Hint|2,nfc) =7
Vnk + 1-
(3.35)
Здесь мы воспользовались тем, что в Дп1 входит оператор
а£, имеющий ненулевой матричный элемент
(пк + 1
пк) = л/п*: + 1-
(3.36)
Аналогично для поглощения фонона имеем
Фактически в системе имеются и другие фононы, число
которых не изменяется при однофононном процессе, и по-
этому отличен от нуля лишь диагональный матричный
элемент, взятый по состояниям остальных фононов, кото-
рый равен единице.
3.3.	Однофононная релаксация ДУС
Пусть pi и р2 есть вероятность двухуровневой системе
находиться в основном и возбужденном состоянии соот-
ветственно с энергиями — Е/2 и Е/2. При этом
Pi +Р2 = 1-
(3.38)
114
Эволюция заселенностей может быть описана кинетиче-
ским уравнением
pl — — CJ21P1 + <^12Р2-
(3.39)
Здесь и>21 — вероятность перехода из основного состоя-
ния 1 в возбужденное состояние 2, и одг — вероятность
перехода из возбужденного состояния 2 в основное со-
стояние 1.
Из золотого правила Ферми и (3.35), и (3.37) следует,
что
Пусть фононная подсистема находится в равновесии,
отвечающем температуре Т, а подсистема ДУС выведена
из равновесия. Поэтому в (3.40) и (3.41) число фононов Пк
можно заменить их равновесным значением Пк при темпе-
ратуре Т. Тогда
Pi = т0 1 (-rikPi + (пк + 1) Рг),
(3.42)
где введено обозначение
(3.43)
В состоянии теплового равновесия при температуре Т
заселенности pi и Р2 не зависят от времени и совпадают со
своими равновесными значениями р® и р°:
Р°
Р1
(3.44)
115
Из этого соотношения и соотношения (3.42), как и ожида-
лось, следует, что в состоянии равновесия р\ = 0.
Из (3.38) и (3.39) получаем, что
Pi = Д 1	+ 1) (1 - Pi)) =
- -т0-] [(2nfc + 1) pi - (nk + 1)].	(3.45)
Если pi = pi, то правая часть (3.45) обращается в нуль.
Поэтому
д	= -т0-] (2nfc + 1) (Р! - р°) .	(3.46)
Определим время релаксации как
г-1 = То-1 (2nfc + 1).
(3-47)
Эта величина определяет скорость возбуждения (релакса-
ции) ДУС при поглощении (испускании) одного фонона с
заданным волновым вектором к. Полную скорость релак-
сации получим, просуммировав (3.47) по всем волновым
векторам, для которых фононы имеют резонансную энер-
гию Е, отвечающую энергии возбуждения ДУС.
Фононная плотность состояний в модели Дебая дается
выражением
(3.48)
О
а бозе-фактор имеет вид
(3.49)
Таким образом, для скорости релаксации ДУС, учитыва-
ющей однофононные процессы, имеем
116
т-1 (Е, До) =
— -----— coth (£) .
v% 2 л д/z4 '2Т
При температуре Т наибольшую концентрацию (наиболь-
ший фазовый объем) имеют так называемые тепловые ДУС,
для которых
До ~ Е ~ Т.
Отсюда следует, что для таких ДУС
т'1 (Т) - Г3,
(3.51)
(3.52)
что наблюдается во многих релаксационных эксперимен-
тах.
3.4.	Релаксация фононов на ДУС
Считаем, что система ДУС находится в равновесном состо-
янии, отвечающем температуре Г, а фононная подсистема вы-
ведена из равновесия.
Запишем для фононов кинетическое уравнение, аналогич-
ное (3.39):
2%
Пк =
пкр°х - (пк + 1)р°
(3.53)
Здесь первый член учитывает уход фононов и пропорциона-
лен числу ДУС в основном состоянии, когда происходит по-
глощение фонона, вероятность которого определяется матрич-
ным элементом (3.37). Второй член отвечает за приход фоно-
нов и пропорционален числу ДУС в возбужденном состоянии
Р2 и определяется матричным элементом (3.41). Множитель
117
(nk + 1) учитывает возможность спонтанного и вынужденного
испускания фононов, а уравнение (3.53) аналогично известному
уравнению теории излучения Эйнштейна. Воспользуемся тем,
что для двухуровневой системы с энергией возбуждения Е
Р1 =
(3.54)
_Е '
е т + 1
Тогда
При пь = п® правая часть этого уравнения обращается в нуль,
то есть
= пк (.Pl ~ Р°) •	(3-56)
Поэтому
(3.57)
Определим скорость поглощения фононов в единицу времени
одним ДУС с параметрами Е, До следующим образом:
(3.58)
Эту величину можно интерпретировать так же, как обрат-
ное время свободного пробега фононов относительно поглоще-
ния одним ДУС с туннельными параметрами До,Е.
118
3.5.	Низкотемпературная теплопроводность
аморфных систем
Перейдем теперь к вычислению теплопроводности в моде-
ли, когда тепло переносится фононами, рассеиваемыми на двух-
уровневых системах. Полную скорость релаксации (обратное
время свободного пробега фононов) получим,
усреднив выражение (3.58) по распределению (3.18).
Для дальнейшего удобно в распределении (3.18) перейти к
переменым
Е= (Д2 + Д2)1/2, До.
(3.59)
Имеем
dE =
AdA
Поэтому распределение ДУС по параметрам Е, Ао принимает
вид
/^2 Л dEd&o. (3.60)
у/Е2 - Д^До
Усредним (3.58) по ДУС с заданной энергией Е и различным
допустимым при этом Е значениям | Aq| < Е:
_ 7T72CJ ,	_Е_
= РЕ—^—х tanh 6 2Т
E2/w2
_	_е_ 1 ri dx
tanhe2T i J i —
ph
Л°/?2 ~ Ло fe (3.61)
_7Г 7<л? W
Р--—о - tanh —.
pVs	' ~ ' V1 - xz	2Т
Для обратной длины свободного пробега фононов с заданной
частотой получим
ph
r272LJ
----tanh
2/^
(3.62)
Теплопроводность оценивается из газокинетических соображе-
ний суммированием по всем фононам:
(^) = Q	V^ph 5
о
^к
(3.63)
119
где С (ад.) — теплоемкость фононов заданной частоты. Из фи-
зических соображений ясно, что основную роль играют теп-
ловые фононы. Их теплоемкость пропорциональна Т3, а дли-
на. свободного пробега теплового фонона, как это следует из
(3.62), обратно пропорциональна энергии фонона Ггш ~ Г, если
для тепловых фононов пренебречь зависимостью множителя
Ли;
tan и — от температуры. Поэтому коэффициент теплопровод-
ности для механизма, когда тепло переносится фононами, рас-
сеиваемыми на ДУС, имеет температурную зависимость
ДТ)~Т2,	(3.G4)
что и наблюдается в эксперименте.
3.6.	Зависимость теплоемкости аморфных систем
от времени
В рассматриваемой модели распределение туннельных па-
раметров допускает большое значение высоты потенциального
барьера. Это означает, что не все ДУС релаксируют одинаково
быстро и число ДУС, вовлекаемых в релаксацию, зависит от
времени. Это, в частности, должно проявляться в зависимости
от времени теплоемкости системы. Для исследования этого яв-
ления найдем вначале распределение ДУС с заданной энергией
возбуждения по времени туннелирования т(Е, До).
Из (3.50) имеем
/г, Л х 72 Д1Е	/ Е \2 ,п ч
-Тт‘п^(д^) ’	<3’65)
где
(3-66)
Откуда следует соотношение
dr = -2rmin(E) Е2^-,	(3.67)
120
которое удобно переписать в виде
dAo Agdr
Л? = ” 2rmin (Е) Е2 ‘
(3.68)
Тогда
„ Е	^Е АЗ , ^Е 1 ,
Р .  dEdAo = — Р---------„„drdE = —P——drdE.
ДАо	A 2rmin (Е) Е2	А 2т
(3.69)
Воспользуемся тем, что
(3.70)
Поэтому распределение параметров ДУС по энергиям и време-
нам релаксации имеет вид
Р (т, Е) = -Р--- 1  —drdE.	(3.71)
2т J1 -
Тогда распределение по скоростям релаксации т-1 запишется
как
Р (г-1, Е) = Р-----1 dr~ldE. (3.72)
2т-1 J1 - 2Д22
Замечательной особенностью полученного распределения яв-
ляется его резкое возрастание для малых скоростей (больших
времен) релаксации. За время эксперимента to > Tmin число
ДУС, испытавших релаксацию, например, перешедших из ос-
новного в возбужденное состояние, дается выражением
121
Поскольку
ТО
= In (2а + 2\Jа (а — 1) — 1) ~ In (4а),
(3-74)
(3.75)
Отсюда следует, что число ДУС с данной энергией Е, испытав-
ших релаксацию, логарифмически растет со временем. Отсю-
да, в частности, следует, что теплоемкость зависит от времени
эксперимента логарифмически:
демонстрируя тем самым неэргодичное поведение аморфной
системы.
3.7.	Насыщение резонансного поглощения
Если звуковая волна обладает достаточно малой амплиту-
дой, то она не влияет на заселенность уровней ДУС. По мере
увеличения этой амплитуды заселенность возбужденного со-
стояния возрастает и достигает своего максимального значения
Р2 — Pi = 1/2. Это связано с тем, что подсистема ДУС нахо-
дится в квазиравновесии с фононным термостатом, что обес-
печивает положительность температуры, когда максимальная
заселенность верхнего уровня не превышает 1/2. Из (3.45) и
(3.38) следует, что
~Р2 = То 1 [(nfc + 1) Р2 - Пк (1 - р2)] ,
(3.77)
скорость заселения возбужденного состояния действительно до
стигает своего максимального значения прирз = 1/2 (в режиме
122
насыщения) и равна
Р2 max — q •	(3.78)
2То
Тогда максимальная поглощаемая мощность при резонансном
поглощении равна
Qs — fiw	Р2тах‘
(3.79)
j,\Ej - Лд^|<Г
Здесь суммирование проводится по всем ДУС, находящимся в
резонансе с поглощаемым звуком, при этом Г — ширина линии
поглощения. Полная поглощаемая мощность равна
2тгр
(3.80)
3.8.	Диэлектрическая проницаемость аморфных
систем
До сих пор мы рассматривали только акустические свой-
ства диэлектрических стекол. Если туннелирующая частица
обладает некоторым эффективным зарядом q, то ДУС может
обладать дипольным моментом. В состоянии ф\ ДУС обладает
дипольным моментом
Ро = Q I ф^хф^х.
В состоянии фъ дипольный момент равен
/ фгхф2 = -р0.
(3.81)
123
Тогда дипольный момент в состоянии фу равен
ру = f ф*хфуНх —
— f (Ф1 cos @ + Ф2 sin х (01 cos $ + </>2 sin 0) dx
(Здесь мы пренебрегли перекрестным членом f фухфъ
состоянии ф^ дипольный момент равен
Р2 =
~Рь~^
Заметим, что для симметричных ДУС, когда Д = О, диполь-
ный момент для собственных состояний фу$ отсутствует. Ди-
польный момент ру отвечает состоянию с энергией —Е)2^ ди-
польный момент Р2 — состоянию с энергией £7/2. Тогда в состо-
янии термодинамического равновесия для среднего дипольного
момента имеем
р = Ро~ tanh
(3.83)
Во внешнем электрическом поле в состоянии фу дипольный мо-
мент равен ро> и частица в электрическом поле г приобретает
дополнительную энергию ро£- В состоянии фъ приобретается
энергия — pot. Поэтому вместо разности энергий Д в гамильто-
ниане следует писать Д + 2spo- Поляризуемость определяется
как
= 2р0
(3.84)
Поскольку
— tanh
§ tanh
А2 , Е
^o^sech——,
2Е2Т 2Т
то
2рлДп
а = --т-о- tanh
РрА2
ЗЕ2Т h
124
Для аккуратности мы ввели множитель 1/3, учитывающий про-
извольную ориентацию дипольных моментов ДУС.
Проанализируем полученное выражение для поляризуемо-
сти в двух предельных случаях До Д и До < Д. В первом
2рпДд	Е
случае поляризуемость определяется слагаемым ч tanh —
ЗЕ^	2Т
и обусловлена изменением дипольного момента, связанным с
поглощением резонансного фотона. Во втором случае внеш-
нее поле изменяет энергию ДУС и тем самым выводит его из
равновесия с окружающей средой. Это приводит к перераспре-
делению энергии между уровнями. Во втором случае электро-
магнитное поле не должно быть резонансным. Отклик, свя-
занный с описанным процессом, называется релаксационным,
в отличие от первого слагаемого, называемого резонансным от-
кликом.
3.9.	Прыжковая проводимость
Выше были рассмотрены кинетические свойства аморфных
диэлектриков. В таких системах отсутствует перенос заряда, и
поэтому их электропроводность равна нулю. Обычно проводи-
мость имеет место в кристаллах, в которых электроны кол-
лективизированы. Это металлы. В них имеются широкие не
полностью заполненные зоны, обеспечивающие проводимость.
Если вещество не является кристаллом, то зонная картина не
имеет места. Электроны локализованы вблизи атомов и обла-
дают большим разбросом энергий при переходе от одного узла
к другому. Если перекрытие этих локализованных одноэлек-
тронных волновых функций мало, то проводимости нет. Одна-
ко если перекрытие не мало, то в системе может иметь место
прыжковая проводимость с участием фононов. Перейдем к ма-
тематическому описанию этого явления.
Определим локализованные состояния электронов как со-
стояния, в которых волновая функция экспоненциально спа-
дает с расстоянием:
125
1	/ г \	xfi2
(г) ~ - exp I---, ав = —Г2 •
г	\ гв J	т*ег
Величина а в называется радиусом локализации или боровским
радиусом, х - диэлектрическая проницаемость, т* - эффек-
тивная масса электрона, е - заряд электрона. Пусть концентра-
ция примесей N мала, так что
Проводимость в такой системе обусловлена прыж-
ками электрона между локализованными состояниями. Энер-
гия локализованных состояний предполагается разбросанной в
некотором интервале энергий так, что два узла с одинаковой
энергией находятся на очень большом расстоянии. С одной сто-
роны, вероятность прыжка между двумя узлами, находящи-
мися на расстоянии г^-, пропорциональна квадрату интеграла
перекрытия между локализованными состояниями:
С другой стороны, прыжок между состояниями, на которых
энергия электрона соответственно равна и возможен, если
при этом разница энергий компенсируется поглощением одного
фонона с энергией 8ij. = Ci — 8j. Вероятность такого процесса
пропорциональна числу фононов с энергией Sij при температу-
ре Т:
exp .
Все узлы можно соединить воображаемым сопротивлением Rij,
обратно пропорциональным вероятности перехода:
R =	=^2 + Si.
CLB 1
Такая случайная (в силу случайного разброса сетка сопро-
тивлений моделирует изолятор и называется сеткой Абрахамса-
Миллера.
126
3.10.	Закон Мотта
Энергии электронов будем отсчитывать от уровня химиче-
ского потенциала. Пусть плотность состояний вблизи уровня
Ферми равна д^. Рассмотрим узлы, энергия которых попадает
в некоторый интервал —е/2, е/2.Число узлов с такой энергией
N (е) = а среднее расстояние между ними порядка
« [7V(e)]_3 .
Для рассматриваемого множества узлов имеем
_	2 е _	2 е
ав[ЛГ(£)]5 Т	Т
Определим е из условия минимума Uij (минимального сопро-
тивления):
"dT = °’e = £min= (^73^) ={т3тм)1 ,
Тм = (д^)'1.
Характерная длина прыжка
Видно, что характерная длина прыжка зависит от темпера-
туры. Отсюда название - проводимость с переменной длиной
прыжка. При этом сопротивление имеет вид
и называется законом Мотта. Этот закон легко обобщается на
системы различной размерности (пленки, проволочки). При
этом для размерности d имеем
127
3.11.	Кулоновская щель
Между электронами имеется кулоновское отталкивание. Это
взаимодействие может изменять плотность состояний на уровне
Ферми. Фактически обращает его в нуль, как это видно из
дальнейшего. В предыдущем разделе было показано, что прыж-
ковая проводимость определяется плотностью одноэлектрон-
ных состояний вблизи уровня Ферми.
Покажем, каким образом это кулоновское взаимодействие
влияет на плотность состояний и, как следствие, на прыжко-
вую проводимость. При температуре, равной нулю, все состо-
яния с е < 0 заполнены, а с е > 0 - свободны. Напомним, что
энергия состояний отсчитывается от уровня Ферми. Рассмот-
рим два узла, находящиеся на расстоянии при этом узел i
с энергией Ei < 0 занят, а узел j с энергией Ej > 0 свободен.
Унесем электрон с узла i на бесконечность. Тогда энергия
уровня на узле j уменьшится и станет равной
3 *rij '
Эта энергия должна быть больше энергии Ei. В противном слу-
чае электрону было бы выгодно с самого начала сидеть на узле
j. Таким образом, имеем
е2
Ej ~ ег-----> О-
Рассмотрим узлы из интервала
Ej - Ei < Е.
Тогда имеем ограничение снизу на и сверху для 7V:
128
Последнему неравенству заведомо удовлетворяет плотность со-
стояний
dN (е) х3 2
Видно, что кулоновское взаимодействие приводит к обраще-
нию в нуль плотности состояний на уровне Ферми. Этот закон
называется мягкой кулоновской щелью.
В двумерном случае из аналогичных рассуждений следует,
что
dN (е)
de

3.12.	Закон Эфроса-Шкловского
При выводе закона Мотта плотность состояний на уровне
Ферми предполагалась постоянной. В случае кулоновской ще-
ли
Тогда число узлов с характерной энергией порядка е равно
N (е) ~ д (е) е =
не\ d
9 /	’
е2 /
и среднее расстояние между такими узлами равно
Л,-«[W иг1''" =
ZTC
Для сетки Миллера-Абрахамса имеем
2е2 е
ав^ Т
Это выражение имеет минимум при
/ 2т\ 1/2
£ — fmin = (-------------)	= (Т • Tbs)1/2 •
129
Интересно, что проводимость при этом не зависит от размер-
ности системы и равна
Р = Роехр
, Tes —
ав*
(3.88)
Ширина кулоновской щели находится из условия
9(Д) = (^)‘'|ДГ‘=9м,
когда плотность состояний, определяемая кулоновской щелью,
становится равной плотности состояний в отсутствие кулонов-
ского взаимодействия. Тогда
Д = nW-i)
cffj,
При температурах Т > Д определяющую роль играют возбуж-
дения вне кулоновской щели и для проводимости имеет место
закон Мотта (3.87). При температурах Т < Д в проводимости
участвуют электроны внутри кулоновской щели и наблюдается
зависимость Эфроса-Шкловского (3.88).
130
глава 4
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА
Наряду с методом кинетического уравнения для расчета
кинетических и релаксационных характеристик системы ши-
роко используется метод расчета, основанный на теории ли-
нейного отклика. В этом подходе кинетические характеристи-
ки системы выражаются через ее равновесные характеристи-
ки. Рассматриваемая система, исходно находящаяся в равно-
весии, медленно выводится из равновесия достаточно слабым
внешним возмущением. Для решения задач подобного типа су-
ществует хорошо разработанный формализм, основанный на
методе функций Грина. Ключевым понятием в этом подходе
является матрица плотности, или статистический оператор.
4.1. Матрица плотности
Рассмотрим квантово-механическую систему с большим чис-
лом степеней свободы. Разделим эту систему на две - подси-
стему i и подсистему j. Пусть Ф - полная волновая функция
системы, 'ipi - набор базисных векторов подсистемы г, a Oj - на-
бор базисных функций подсистемы j. Тогда волновая функция
ф может быть представлена в виде линейной комбинации:
О
(4.1)
Пусть А - квантово-механический оператор, действующий в
пространстве подсистемы i. Из курса квантовой механики из-
вестно, что если система находится в состоянии с волновой
131
функцией ?/>, то значение некоторого квантово-механического
оператора А в этом состоянии определяется как
А = (т/>| А \ф).
(4-2)
Если система является частью большой системы, то
—	22г'/	(Ojf @j) (Vvl ^4 [&) —
(^2 7 j (VV | ^4	~ 52^-; Pii'^i'i SppA,
\ */ /
где pa' = CijC^,, Ai>i = (V’i'l A IV’O • Здесь мы ввели one-
ратор p, называемый матрицей плотности, формально запи-
санный в базисе собственных функций подсистемы г, но па-
раметрически зависящий от переменных подсистемы j. Легко
убедиться, что оператор р - эрмитов. Тогда он может быть при-
веден к диагональному виду с вещественными диагональными
элементами.
Пусть \i (t)} - набор зависящих от времени собственных
функций оператора р, также зависящего от времени. Тогда в
этом базисе
Р = Pi 1*0)) О (i)| •
г
Если А - единичный оператор, то А = (Ф| 1 |Ф) = 1. Поэтому
Spp = 1 и
= 1-
г
Если А = |г' (t)) (i' (01 > то
А= (Ф |г' (0) (0| Ф) = |0' (0| Ф)| > 0.
С другой стороны,
А = Sp (р |г' (0) (г' (0|) = Рг>-
132
Поэтому pi > 0.
Итак,
А =
Pi =
Pl Ai = Sp (pA);
i
(г| p |г), Ai = (г| А |г).
(4.3)
Мы видим, что значения диагональных матричных элементов
оператора р могут быть интерпретированы как вероятности
нахождения системы в том или ином квантово-механическом
состоянии. Если все р^ за исключением одного, равны нулю, то
система находится в чистом состоянии и описывается волновой
функцией. В противном случае говорят, что система находится
в	смешанном	состоянии.
В этом случае для нахождения среднего значения величины,
определяемой оператором А, используется рецепт, даваемый
соотношением (4.3). Легко убедиться, что необходимое и доста-
точное условие нахождения системы в чистом состоянии есть
Найдем уравнение эволюции для матрицы плотности, ана-
логичное уравнению Шредингера. Поскольку
i (t)) = e~iHt |г (0)),
где Н - гамильтониан системы, то
II* <°» (°)1 е'н‘ =	-*>-») = > 
С/1/	С/ L
г
Последнее уравнение называется уравнением Лиувилля.
Если подсистема j есть термостат с температурой Т, то в
равновесии
ро = е Н/Т/Sp (е .
133
4.2. Отклик на механическое возмущение
Пусть адиабатически (б —> +0) в момент времени t =
— —оо включается механическое возмущение, периодически за-
висящее от времени:
V =	+е-*-ш+^В_ш],В+ = В^,е > 0. (4.4)
Обратим внимание, что тепловое возмущение (создание гради-
ента температур) не может быть представлено в таком виде.
Чтобы найти временную эволюцию матрицы плотности, вос-
пользуемся уравнением Лиувилля (/г = 1):
причем для р [t)
р(-оо) = ро = е~н/т/Sp (е~н/т^ .
В представлении взаимодействия
Pi = егтре~гН\ pi (-00) = ро	(4.5)
и подчиняется уравнению
.5^) = [v^Pi (t)],	= eiHtye-iHt (4 6)
С/ ь
Тогда (4.5), (4.6) эквивалентны интегральному уравнению
t
Pi (i) = Ро + I f [V(<'), Pi (<')] dt' (4.7)
—00
или
t
p = ро + I У	[V, p] e^-^dt'.	(4.8)
— 00
134
В линейном по возмущению приближении получим
Для вычисления коммутатора можно воспользуемся тождеством
Кубо: 2
[А, е-^я] = -е~^ ехн [А, Н] e~XHdX =
= -e~0H $ [А(-гА), Н] dX
Тогда получается еще одна форма представления матрицы плот-
ности в линейном по возмущению приближении:
2Положим [Л, ехр(— /ЗН)] = ехр(—/ЗН) -S(j3).Перепишем это выражение
в виде
ехр(/ЗН)Аехр(—/ЗН) — А — S(J3).
Отсюда следует, что S(0) = 0. Дифференцируем последнее выражение
по /3:
dS(/3)/d/3 = - exp(J3H)[A, Н] ехр(-/ЗН).
Интегрируя последнее уравнение от 0 до /3 с учетом начального условия,
получим
г0
S(j3) — ~ I dAexp(AH)[A, Н] ехр(—ЛЯ),
Jo
откуда следует тождество Кубо:
г?
[А, ехр(—/ЗН)] = — ехр(—/ЗН) I с/Аехр(АН)[А, Н] ехр(—АН).
Jo
135
Воспользуемся полученными формулами для нахождения в
линейном приближении среднего значения любой наблюдаемой
величины А:
А = Sp(p0A) = Ао + | f Sp ([V (t' - t), р0] A) dt! =
—оо
оо
= Ао + f i# (t - t') Sp ([A (t), V (i')] Po) dt' =	(4.12)
—oo
oo
= A0+ f ({A (t) ,V (iS))) dt!,
—OO
где для запаздывающей функции Грина введено обозначение
<(А (f), V (i')))0 = —гО (t - t') Sp([A (t), V (*')] po). (4.13)
Можно также воспользоваться формулой (4.11) и получить
А = Ао - j J SppoV (t' -t- iX) Adt'dX = (4.14)
—OO
—OO
причем
136
4.3.	Двухвременные запаздывающие функции
Грина и флуктуационно-диссипационная теорема
Напомним определение запаздывающей функции Грина и
ее спектральное представление:
{{A (t) |В (t'))) = -iO(t - t')Sp (p[A(t), В (t')]) =
=	- t')Z 1 ЕД1/(ехр(-0Ед) - exp(-^E'J/))x
x exp(z(£?M - Д) (t - t’yjA^B^
где A (Z), В (t) - операторы Л и В в представлении Гайзенбер-
га, р — ехр(—/ЗЯ) - матрица плотности, Z = Sp exp (—/ЗЯ),
p>,v - собственные состояния гамильтониана Я. Из спектраль-
ного представления, в частности, следует, что запаздывающая
функция Грина зависит только от разности времен t — tf.
Выведем соотношение, называемое флуктуационно-диссипа-
ционной теоремой (ФДТ). Для этого вычислим фурье-компонен-
ту функции Грина в верхней части комплексной полуплоско-
сти:
{{А | В)}ш+к = -i / e(t)e^+i^Sp (p[A(t),B (t')]) , (4.16)
((А | В))ш+{£ = -i	=
{iO “h E^ Ey 4“ ^e)
=	----—4—-----— (e~^
pu	E^ 4" is)
Используя формулу Сохоцкого
1
-e~^)ApVBVp.
(4.17)
Im({A | B))u+ie =
= -7rZ-1	5(ш + E^~ Eu) exp(-/?E'Al)x (4.18)
x (1 — exp(—/3 (Eu — Ep))) ApVBVp.
137
Домиожим (4.18) на --------coth(/?cj/2) = -----
7Г	7Г
проинтегрируем по В результате получим
1 -I- ехр(—(Зш)
1 — ехр(—/3cj)
и
f 1т((А |	----coth(/?cu/2)dcj =
= -EMpe~2(E"“E/z)texp(-/?EM)x	(4.19)
x (1 4- exp(—(3	— ЕрУУ) Apj/Bvii =
= -Sp (p (A (Z) В + BA (0)) - - (A (j) в + BA (t)).
Фурье-компонента коррелятора (A (t) В 4- BA (t)) связана с фу-
рье-компонентой мнимой части функции Грина соотношением
У {А (/) В + В A (t)) ewt = -21т({А | В))ш+и coth(/?u>/2).
(4.20)
Это один из вариантов записи флуктуационно-диссипацион-
ной теоремы, связывающей равновесные флуктуации, опреде-
ляемые корреляторами, с диссипациями, определяемыми мни-
мой частью этих корреляторов. Таким образом, для использо-
вания ФДТ необходимо знать функцию Грина, точнее ее мни-
мую часть.
Получим уравнение эволюции функции Грина. Напомним,
что по определению
((A(t)|B)) =
«А\В))Ш =
((А^\В)) =
-^(t)([A(t),B]),
dt({A (t) \В)) e^+iS)t,
f°° (И{{А\В))ше-^ш+^
—oo
(4.21)
(4.22)
(4-23)
Из уравнения (4.21) имеем
((А (f) |В)) = ~i6 (t) ([А, В]} + ((A (t) \В}\.	(4.24)
Cvv	\ \	/ /
Взяв от соотношения (4.24) фурье-преобразование в соот-
ветствии с (4.22), получим уравнение эволюции для фурье-
138
компоненты функции Грина:
-го; {(А\ВУ)Ш = -i ([А, В]) + {(а\в)\ .	(4.25)
Первый член в правой части (4.25) есть среднее значение ком-
мутатора операторов А и В. При выводе последнего соотноше-
ния в левой части было выполнено интегрирование по частям и
учтено, что при t = — оо подынтегральное выражение обраща-
ется в нуль из-за 0-функции, а при t = оо из-за множителя при
ехр(—боо) —> 0, поскольку ш берется в верхней полуплоскости.
Видно, что уравнение для ((AIB))^ содержит функцию Грина
(<А|В\\ , где А — ^A(t) — ifA,#]. Уравнение, аналогич-
ное (4.25), возникает в цепочке Боголюбова при исследовании
эволюции классических функций распределения, когда в урав-
нение для функции распределения входят функции распреде-
ления более высокого порядка.
Покажем, что для эрмитовых операторов запаздывающая
функция Грина - вещественна. Это свойство следует из следу-
ющей цепочки преобразований:
((А со, в ОГ =
= ie(t~ t') (В+ (f) А+ (t) - A+ (t) B+ (t')> =
= -iO (t - f) (A+ (i) B+ (t1) - B+ (f) A+ (t)> =	14
4.4.	Отклик на электрическое поле.
Электропроводность
Рассмотрим реакцию системы на переменное внешнее элек-
трическое поле. В этом случае возмущение имеет вид
Vt = - Е ез (ЕхГ cos И) eSt =	(л о7\
= — (EP)cos(cut)e£t;£ —> 0, е > 0,	'
где ej - заряд j-частицы, xj - радиус-вектор ее положения,
Е - электрическое поле, Р — 52ejXj - оператор вектора ди-
польного момента. Под влиянием этого возмущения в системе
139
возникает электрический ток, причем V— оператор возмуще-
ния, а Е - его амплитуда. Подставляя это выражение в (4.12),
получим
оо
—со
(4.28)
В этом выражении нет постоянного слагаемого (Ja) = 0, так
как в равновесии (при отсутствии возмущения) ток равен нулю.
Воспользуемся тем, что для эрмитовых операторов запаз-
дывающая функция Грина вещественна (см. (4.26)). Тогда
___	оо
Ja (i) = - / {{Ja (t) , Pfi (*'))) P/3 cos (wt') e£t'dt' =
—oo
oo
--Re f {{Ja (t), P/3 {t'))) Е0е~™е e£t' dt' =
—oo
= -Re f {{Ja (t), Pp (t'))) E0ei^+ie^t-t''>e~i^+i£')t.
—OO
Поэтому
JQ(Z) - -Re{{{Ja,P0}^e-^+£tE0) =
= Re {aa0e~MtE0) ,
^a/3 (w) ~ ~ {{Jai Р/з))^ =
= - J P? (ty)) dt.
—oo
(4.29)
Для полноты изложения заметим, что переход к пределу е —> О
осуществляется после перехода к термодинамическому пределу
V —> оо, N —> оо, —>const.
Итак, адиабатическое включение взаимодействия приводит
к возникновению в системе электрического тока с конечной
проводимостью, то есть необратимому процессу. Статическая
140
проводимость получается из (4.29) предельным переходом
w —> 0:
оо
= - j {{Ja.P^t'^e^'dt1.	(4.30)
—ОО
Перепишем (4.30) в виде (сделав циклическую перестановку
операторов под знаком Sp):
Г0
<7ap(u)=i dteet~tultSp{[P0(t) p]Ja}
J—оо
и воспользуемся тождеством Кубо:
/•/?
[Р/З^Р] = ~гро / dXeXHPp(t)e хн.
JQ
В результате получим формулу для проводимости
&а0 М = Jq dX f£° dte~£t+lMt (eXH Jp (-t) e~XH	—
= fo dX dte~st+i^ {J0ja (t + iA))0,
которая собственно и называется формулой Кубо для проводи-
мости.
В статическом пределе имеем
Г0 г<х>
сга@ (0) — Ит dX dte~€t {J^Ja (i + ^А))о •
Jo Jo
Таким образом, задача вычисления проводимости сводится к
расчету временных корреляционных функций токов в условиях
статистического равновесия.
Существуют различные приближенные методы расчета этих
корреляторов, которые, однако, существенно выходят за рамки
курса. Тем не менее в качестве примера использования фор-
мул Кубо рассмотрим электропроводность, исходя из простей-
ших предположений о поведении временных корреляционных
функций.
141
Рассмотрим выражение
о
<ja/3 — i J* ([Jen -Р/з (*)])0
—oo
Из физических соображений следует, что корреляция между
значениями двух физических величин, взятых в различные
моменты времени, ослабевает с ростом разделяющего их вре-
менного промежутка. Предположим, что это ослабление имеет
экспоненциальную зависимость с характерной временной по-
стоянной т:
Для коррелятора при совпадающих временах имеем
Р/з]~
m
i
е2
= -i6a/3—N,
тп
где N - полное число электронов в системе. В результате имеем
—оо
Это коэффициент пропорциональности между полным током,
текущим во всем объеме проводника, и электрическим полем.
Для единичного объема получим
2
СП
тт
где п - плотность электронов. Мы опять получили формулу
Друде, ранее найденную с помощью кинетического уравнения.
Конечно же, задачей микроскопической теории является как
раз вычисление этого т, для чего и существуют современные
методы теоретической физики.
142
4.5.	Броуновское движение
В качестве еще одного приложения метода функций Гри
на исследуем смещение броуновской частицы. Даже если мы
интересуемся только случаем высоких температур (когда ре
зультат является не квантовым, а классическим и постоянная
Планка выпадает из ответа ), удобнее задачу решать квантово
механически с самого начала, введя операторы смещения ча
стицы х в гайзенберговском представлении
х (t) = exp (iHt) х exp (-iHt).
Средний квадрат смещения определяется коррелятором
{(ar(t) - x(0))(x(i) - ®(0))),	(4-31)
(...) = Z_1Sp(exp(—ДИ) ••• )•	(4-32)
Учтем, что коррелятор от двух одинаковых операторов зависит
только от разности времен. Поэтому
(x(t)x(t)) = (х(О)ж(О)),	(4-33)
а интересующий нас коррелятор (4.31) имеет вид
2(х(0)х(0)) - k(t)x(0) + z(O)ar(t)).	(4-34)
Вычислим вначале коррелятор (x(t)x(O) + x(0)x(t)). Для этого
положим в соотношении (4.25) А ~ В — х:
-гш {{х\х}')ш = -г (k, *]) + (kk)L •	(4-35)
Затем в соотношении (4.25), сделав подстановку А — х,
В — х, получим
-ш {{х\х})ш = —г (k, X]) + {(х\х))ш .	(4.36)
Для вычисления (kk)L воспользуемся уравнением Ланжеве-
на для х :	,
x = -vx + f(t),	(4.37)
143
где v - сила трения, a f(t) - ланжевеновский источник - слу-
чайная сила, такая, что среднее значение коррелятора
(/Ш) ~ - о.
Подставим в (4.36) выражение для х из (4.37). Тогда возник-
нут две функции Грина ((#1#))^ и ((/1^))^. Последняя функ-
ция Грина определяется коррелятором (f(t)x) — координаты
в нулевой момент времени и силы в момент времени t. В си-
лу принципа причинности этот коррелятор отличен от нуля
только при t < 0. С другой стороны, в функцию Грина этот
коррелятор входит в комбинации с множителем в (£). Поэтому
((/ (t) |х)) = 0 и, следовательно, {{/\х})^ = 0
Учитывая, что [гг,гг] = 0 и	(временно положим
массу т = 1). Тогда

/ / Ш
Откуда
i
О)
И
(4.40)
Подставим (4.40) в (4.19):
—iwt
coth(/3cu/2)dcj. (4.41)
Тогда для квадрата смещения получим
—iivt
-----coth(/?cu/2)dcu.
(4.42)
144
По своему физическому смыслу интеграл (4.42) вещественный.
Поэтому фактически нас интересует интеграл
7(t) = — [(1 — cos (wt\) coth(/3oj/2)	У—(4.43)
7Г /	од И + си2)
который при высоких температурах, когда при /3 —> оо имеем
2
coth(/3cu/2) —> —, сводится к
реи
Д1 - cos И))	" du. (4.44)
/J7T J	+ CJ2)
Заметим, что 1(0) = 0, и вычислим производную (фактор —
р7Г
будет восстановлен в конце):
dl/dt= I sin(cotf)-—(4.45)
J	cj(i/z + cj2)
При t = oo
dl/dt = I sin(art)—7-5----—~^du —
+ (a?)2)
sin z z o——7^dz = l/i/ f sinz/zdz = 7t/p.
z(y2 + (z/ty1) f J 1	7
Вторая производная
d2I/dt2 — / cos(o^)—5-------jTrcfcj = / ехр(гси^)т—5--^rdw.
J	\yz +	J	(i/24-cu2)
(4.46)
Этот интеграл вычисляется замыканием в верхней части ком-
плексной полуплоскости, где подынтегральное выражение име-
ет простой полюс cu = ie. Тогда
exp(zcjt)  д- У-—T^dw = 2тeX^J. - = тгехр (—vt). (4.47)
(1/2 4- и2)	2iv
145
Интегрируя с граничным условием на оо, получим
Интегрируя еще раз с граничным условием в нуле, получим
/ (t) = тг/4/2е 14 + irt/v — тг/i/2.
(4.48)
Восстанавливая опущенный ранее фактор — и, для полного
ртг
удовлетворения, массу броуновской частицы, находим

(4.49)
В трехмерном случае (Дж)2 = (Ду)2 = (Дг)2 = (Дг)2/3 и
(Дг)2 = 6 (---------(1 - exp(-i/t))) .
\mpv три*	/
На больших временах, как и следовало ожидать,
(Дг)2 = Dt,
(4.50)
(4-51)
где D = Qm/vT— коэффициент диффузии. На малых временах
(Дг)2 —	= v2t2.
тр
(4.52)
Этот результат тоже физически понятен, так как на малых
временах имеет место баллистический пробег броуновской ча-
стицы с тепловой скоростью.
4.6.	Уравнения Блоха и электронный парамагнит-
ный резонанс (ЭПР)
Эффект ЭПР является одним из самых мощных инстру-
ментов исследования строения твердого тела. ЭПР и другие
146
кинетические явления в разреженных спиновых системах опи-
сываются уравнениями Блоха.
Рассмотрим немагнитное твердое тело с малой концентра-
цией парамагнитных примесей. Парамагнитная примесь - это
атом с ненулевым магнитным моментом, который имеется у
атома с ненулевым полным моментом электронных оболочек.
Для простоты рассмотрим случай, когда полный момент атома
есть электронный спин 5 = 1/2. Оператор магнитного момента
такого атома описывается матрицами Паули:
ла	Z-Ot
Р Рв^ ?
где рв - магнетон Бора. В магнитном поле, направленном по
оси Z, при нулевой температуре магнитные моменты всех при-
месей направлены по магнитному полю. Намагниченность тела
- магнитный момент единицы объема - равен Mz = NimPB, где
Nim - плотность парамагнитных примесей. Но при отличной от
нуля температуре из-за тепловых флуктуаций часть магнит-
ных моментов направлена против поля и
М — NimPB(p++ Р—)>
где - вероятность направления момента по полю, а р____-
вероятность направления момента против поля. Одновременно,
вообще говоря, становятся отличными от нуля и поперечные
компоненты намагниченности. Чтобы такую ситуацию описать,
следует обобщить понятие распределения вероятностей (р++, р_),
введя двумерную эрмитову матрицу плотности
р=(рр+~_) ’Spp=р+++р—=11 р-+=р+~'
(4.53)
используя которую поперечные компоненты намагниченности
147
можно записать в форме
Мх = NimpBSp(pax) = NimpB (р+- + Р-+) =
Му = NimPBSp(pcry) = NimpB (ip+- ~ V-+) =
= 2Л^т/1в1шр_|----------------
(4.54)
(4.55)
При описании статистических свойств системы магнитных при-
месей можно пренебречь их взаимодействием. Тогда, как в иде-
альном газе, каждый спин представляет из себя квазизамкну-
тую подсистему, и матрица плотности этой подсистемы удовле-
творяет квантовому уравнению Лиувилля:
^ + i[H,p]=0.	(4.56)
Термодинамически равновесная матрица плотности коммути-
рует с гамильтонианом и имеет вид распределения Гиббса:
(о) = ехр(-/ЗЯ)
Spexp(—/ЗН)
В частности, если система находится в однородном магнит-
ном поле, направленном по оси Z, то
л- _ _ R - Z (0)	________ехр(/Зр,вВо)________
P-в ост , Р++ еХр(^двд0) + ехр(—/З^дВо)
1
exp(-2/?/zBB0) + 1 ’
Это - распределение Ферми с нулевым химическим потенциа-
лом.
Для описания кинетики системы магнитных моментов сле-
дует учесть необратимое взаимодействие спинов с колебани-
ями решетки, так называемую спин-решеточную релаксацию.
148
По аналогии с описанием кинетики электронок это взаимодей-
ствие вводится в правую часть уравнения (4.5(5), которое при-
нимает вид уравнения Больцмана:
^ + i[H,p] = Stp.	(4.57)
Ограничимся общепринятым т-приближением с двумя вре-
менами релаксации для продольной и поперечных компонент
матрицы плотности:
+ *(#+-£-+ “ Р+-Н-+) = “ (р++ - Р++) - (4-58)
^^+г(Я++-Я__)р+_+гЯ+_(р__-р++) = ~Р+-- (4.59)
Эти уравнения называются уравнениями Блоха. В силу норми-
ровки и эрмитовости матрицы плотности уравнения для р_и
р__|_ следуют из двух последних уравнений.
В качестве важнейшего применения уравнений Блоха рас-
смотрим задачу об электронном парамагнитном резонансе (ЭПР).
Пусть большое постоянное магнитное поле Bq направлено по
оси Z, а слабое переменное поле Bi - по оси X (Bi Bq):
В = —pbBq(jz — р,вВ1(тх cosutf.
В этой задаче уравнения (4.58), (4.59) имеют вид
(4.60)
где шод = 2ц^Вод, 5р = (р++ — р_______). Предполагается, что
частота прецессии спина в постоянном магнитном поле доста-
точно велика:
wq » —, —.	(4.62)
И т2
149
При Bi — 0 уравнение (4.60) дает релаксацию к равновесию за
время Т1, а (4.61) описывают прецессию с частотой которая
затухает за время Т2.
При Bi 0 уравнения (4.60), (4.61) суть однородная систе-
ма уравнений с осциллирующими коэффициентами. В класси-
ческой механике подобные уравнения возникают при исследо-
вании явления, которое называется параметрическим резонан-
сом.
Рассмотрим важный случай малого переменного поля:
Bi Во.	(4.63)
Как мы увидим ниже, в этом случае параметрический резо-
нанс имеет место, когда частота переменного магнитного поля
близка к частоте прецессии ojq- При условии (4.63) числа за-
полнения р++, р__, как это следует из (4.60), меняются на
масштабе и, а поперечная компонента р+-, согласно (4.61),
заметно меняется за время 1/cjq- Поэтому в уравнении (4.61)
можно игнорировать зависимость функции 6р от времени и ис-
кать решение в виде
р+_ - aeiut + be~iujt.
(4.64)
Подставим (4.64) в (4.61):
и приравняем нулю суммарные коэффициенты при егиЛ и е lut-.
а>16р	ш\5р
а =	д-, Ь =	д-
lu — о/q — г —	+ cjq + г—
Г2	Т2
При условии (4.62) один из этих коэффициентов велик, когда
и ~ ±сс>0‘ Для определенности будем считать, что ш ~ о?о , и
150
будем пренебрегать коэффициентом Ь:
__________________piuft
. 1
CJ — о^о — —
12
(4.65)
Это решение подставим в (4.60):
др++
dt
+ ш^бр cos utlm
eiuJt
ГТ
CJ — CJq — г —
?2-l
(4.66)
Из вида этого уравнения следует, что при временах, боль-
ших по сравнению с п, устанавливается почти стационарное
заполнение верхнего и нижнего уровней с небольшими осцил-
ляциями, амплитуда которых пропорциональна . Стацио-
нарное заполнение легко найти, усреднив уравнение (4.66) по
периоду осцилляций. С учетом того, что
получаем
1 2г т	1
-ш1ор1т -----------—
2	ш - о?0 - г—
= -— (/>++ - Р++) •	(4.67)
Поскольку р++ = 1(1 + (5р), Р++ - Р++ = %(Sp - <5р(0)), то
8р — 8р^
. 1
07 — г —
7*2-*
151
и разность заполнения уровней имеет резонансную зависимость
от частоты переменного поля:
5р = 6р^------------—5-------.	(4.68)
1 + Л_______^1_______
T2(u,-u,^+(±)
В центре резонанса эффект максимален и имеет зависимость
от амплитуды переменного поля вида:
minJp = 6р^---------
1 +
С увеличением наступает насыщение и заселенности уров-
ней становятся равными друг другу:
6р —> 0.
Экспериментально ЭПР характеризуется видом зависимо-
сти от си интенсивности поглощения энергии переменного маг-
нитного поля. Вычислим интенсивность поглощения магнит-
ной энергии как среднее по периоду осцилляций значение про-
изводной от энергии магнитного поля. Согласно электродина-
мике сплошных сред имеем
Подставим сюда (4.54) и (4.65):
— сисщ TVjmHe
Q =	(Rep+- sinutf) =
_____________ (eosine
и — QJn — i —
V	Т2
1
Т2

М2’
Т2 J
152
Теперь остается подставить сюда (4.68):
Итак, поглощение энергии переменного магнитного поля име-
ет вид узкого резонанса, высота и ширина которого растут с
ростом . Насыщение в центре резонанса наступает, когда
^1 » 1/л/Л^2-
153
глава 5
КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПЛАЗМЕ
5.1.	Уравнение Власова
Рассмотрим полностью ионизованную плазму (отсутствуют
нейтральные частицы). Считаем, что ионы неподвижны и со-
здают однородный положительно заряженный фон. Такая мо-
дель называется моделью желе. Тогда суммарная плотность
зарядов запишется в следующем виде:
Р — Ре “Ь Piy Pi — Const
(5-1)
где pe. Pi - плотности электронов и ионов. В силу электроней-
тральности
Рг = -77 / PedV.
(5-2)
Функция распределения электронов / (г, v, t) полностью опре-
деляет состояние плазмы. Например,
p(r,t) = e / d3v/(r,v,t) + pi.
(5.3)
Функция распределения подчиняется кинетическому уравне-
нию
(5.4)
154
где Ist ~ интеграл столкновений. В силу дальнодействующего
характера кулоновского взаимодействия в полностью ионизо-
ванной плазме функция распределения меняется не только за
счет столкновений, но и за счет движения в самосогласованном
. df
электрическом поле. В отличие от нейтрального газа, член v—
ov
в плазме может быть существенным даже в отсутствие внеш-
него поля.
Пусть Е - самосогласованное электрическое поле. Тогда
v = —E,rotE = 0,divE = 4тгр,	(5.5)
т
где е - заряд электрона. Полная система уравнений, описыва-
ющая плазму, имеет вид
ОТ	, га 47V	ч	/г
divE = 4л- (pi + е J d3vf + pext) ,	' 5
rotE = О
и называется системой уравнений Власова.
5.2.	Равновесное решение уравнения Власова
Стационарное равновесное распределение обращает в нуль
интеграл столкновений. Поэтому
W/+	= о,
divE = 4% (pi + е f d3v + pext) ,	(5.7)
rotE = 0.
При высоких температурах равновесное распределение есть рас-
пределение Больцмана:
/ = const.	(5.8)
где <р - потенциал электрического поля, Е = — V</?. Как и сле-
дует ожидать, в этом случае
W/ = /vVln/ = ^vEf	(5.9)
155
и
—Е—f
т dvJ
~|vE/.
(5.10)
Уравнение Пуассона имеет вид
Д99 = -4% (pi + ре + pext) 
Мы рассматриваем случай высоких температур, когда е<р (г) <
Г. В силу электронейтралыюсти рг + р® — 0. Тогда, разлагая
экспоненту в (5.8) по малому параметру еу?/Т, получим
__1_ / тг2
f = conste т\ 2
__1_ mv2
, /о = conste т 2 .
Тогда
А9? - 4тте2п°<р/Т = -4-npext,
по = f fod3v,
(5-12)
где мы ввели в систему уравнений плотность сторонних заря-
дов pext- Решение этого уравнения может быть записано в виде
(5.13)
где введено обозначение rjj =	для Дебаевского ра-
диуса. Мы видим, что вклад в потенциал в точке г дают только
сторонние заряды, расположенные внутри сферы радиуса гр.
Неоднородная плотность вблизи заряда следует из (5.11):
п1 = -^n° P\r~rD
и называется распределением Дебая-Хюккеля.
Сторонний заряд можно и не вводить, тогда п1 интерпре-
тируется как корреляционная функция, определяющая неод-
нородную функцию распределения зарядов, вблизи некоторо-
го выделенного заряда в плазме. Средняя плотность зарядов в
156
плазме, конечно же, равна нулю. Существование неоднородно-
го распределения на масштабах, меньших дебаевского радиу-
са, не противоречит условию электронейтральности, а является
следствием последнего: вблизи заряда е существует неоднород-
но заряженное облако радиуса гр с суммарным зарядом — е.
Дебаевский радиус является равновесным параметром плаз-
мы. Однако его значение позволяет судить о некоторых ха-
рактеристиках неравновесной плазмы. Если расстояние меж-
ду электронами г\ ~ п~1у/3 <С гр, то экранировка слабая и
имеет место взаимодействие большого числа зарядов внутри
сферы радиуса гр. Движение частиц носит коллективный ха-
рактер (электроны движутся в самосогласованном электроста-
тическом поле) и интегралом столкновений можно пренебречь.
Уравнение Власова в этом случае имеет вид
Of
m dv
В другом предельном случае го «С г\ ~ п~1'6 полевым
членом вследствие экранировки можно пренебречь, и в этом
случае плотной плазмы поведение электронного газа близко к
идеальному. Критерий разреженной плазмы
(5.15)
Случай плотной плазмы
Т < 47re27?V3
(5.16)
реализуется в металле.
Обратим внимание, что в первом случае разреженной плаз-
мы средняя кинетическая энергия, приходящаяся на один элек-
трон, порядка Т, а потенциальная - —	1. Во втором случае
потенциальная энергия играет основную роль. В этом случае
приближение (5.11) неприменимо.
157
Случай плотной плазмы (вырожденный ферми-газ) рассмот-
рен выше в разделе, посвященном кинетической теории метал-
лов. Ниже мы рассмотрим случай разреженной плазмы, когда
электронный газ невырожден и подчиняется статистике Больц-
мана.
5.3.	Решение линеаризованного уравнения Власова
Система уравнений Власова имеет вид
а/
dt
divE — 4тг (pi + е f d3v f + pext),
rotE = 0.
Ищем решение в виде f = /0 + /1, |/i| fo; fo~ распределение
Максвелла.
Поскольку система в целом электронейтральна, то
Pi + е
! d3v f0 = 0.
Линеаризуем эту систему уравнений:
divE = 4тг ( е / d3v/i + pexl ) = 4к (р1 + pext).
Самосогласованное поле Е является величиной первого поряд-
е д
ка малости. Полевой член —Е—f нелинеен по j\. Поэтому в
т on
линейном приближении полевой член запишется
Итак,
-E^-/o = -^vE/o.
т on Т

158
divE = 4тг (pl + pext) ,
p1 = 47re f d3v/i,
rotE = 0.
Хотя здесь исследуются свойства бесстолкновительной пла: -
мы, мы добавили столкновительный член в т-прибли- женил.
Этот прием позволяет качественно учесть роль парных стол1 -
новений и, кроме того, в дальнейшем избежать проблему обхо-
да полюсов (см. ниже).
Разложим члены первого порядка по плоским волнам
f = f d3k /ke’kr,E = У d3kEkeikr.
Подставляя эти разложения в систему уравнений Власова, по-
лучим
+ ikvfk - ~vEk f0 + ^fk = 0,
?kEk = 4тг (pk + pkxt),	(5-17)
k x Ek = 0.
Из последнего уравнения следует продольность самосогласо-
ванного поля. Тогда из второго уравнения имеем
4тгк / I РТД
Е"=+) 
После этого уравнение Власова перепишется
j. 1 р 1 ^ТГе/о_ / । ext\	(г -I
—+ zkv/k + -/k = ^2^kv (рк + рк ).	(о.18)
Выполним преобразование Лапласа по времени, используя со-
отношения
/ (р) = Г dte-^f	pf - f (0).
(5.19)
159
В новых переменных
(р + - + ikv) fk =	(рк + p^xt) + fk (0).
\	7”	J	IK J.
Откуда
- 4тге/о (pk + pekxt)	/к(0)	,,9fn
fk ik2T k (p + 1 + ikv) (p + 1 + ikv) ‘	(5’20)
Поскольку e J fk d3v = рк, то, интегрируя уравнение (5.20) по
скоростям, получим
~ _ 4-тге2 ,. _ext} Г /0kvd3v Г efk (0) d3v
гк2Т	J (р + 4 + ikv) J (р + 7 + ikv)
Введем обозначения
4тге2 f /okvd3v	.
1 _ е = i^T J (р + 1 + ikv) =	(5’21)
_ ,4яе2 Г k^d3v
mk2 J (р + у + ikv) ’
j = f efk (0) d3v
J (p + 7 + ikv)
Тогда
p=(l-e) (p + p^+J,
или
p = -(l-£)p^ + J.
£
Выясним физический смысл константы е.
Пусть в начальный момент плазма не возмущена, то есть
fk (0) = 0, и, следовательно, J = 0. Тогда
p = -(l-£)pea:t.
г
160
Подставим это в уравнение гкЕ = 4тг (р 4- pext} :
гекЁ - ^xt.
(5.22)
Уравнение Максвелла в среде имеет вид
divD = &7ipext.
После преобразования Фурье-Лапласа оно приобретает вид
гкГ) = 4%^.	(5.23)
Сравнивая (5.22) и (5.23), убеждаемся, что е - диэлектрическая
проницаемость плазмы.
5.4.	Собственные колебания плазмы
Выше мы нашли амплитуду колебаний электронной компо-
ненты плазмы:
(5-24)
В обратном преобразовании Лапласа
(5.25)
интегрирование идет по мнимой оси. Пусть все особенности
р (р) лежат слева от мнимой оси, по которой идет интегриро-
вание, и представляют собой простые полюса в точках ps =
= —iws — 75. Тогда, замыкая контур интегрирования в (5.25) в
левой полуплоскости, получим
Здесь мы учли, что интеграл по левой полуокружности обра-
щается в нуль, так как подынтегральная функция экспоненци-
ально убывает при Rep < 0.
161
Колебания, связанные с полюсами рех, очевидно, опреде-
ляют вынужденные колебания плазмы.
Второй тип колебаний связан с полюсами интеграла J, опре-
деляемыми видом начального возмущения:
j = [	(°)d3v	f5 27)
J (р + н м •	( }
Покажем, что полюса этого интеграла описывают "рассасыва-
ние" начальной неоднородности функции распределения. Вы-
берем начальное возмущение в виде
/к (о) = ак<5 (v - v0).
Тогда
eak
р + 7 + ikv0
Так как
Р(Р) =
6
то (см. (5.25)):
Pk = dpept	, - = £^e-(l^v0)t
2тгг J в [p + + zkvo) e
В координатном представлении
p1 (r,f) = e~r f d3k^^e-lkv°£e2kr =
= e~r J* d3k^^ezk(r”v°^ = e~r p(r — vt).
Начальное возмущение перемещается и рассасывается. Если
время релаксации т = оо, то происходит только смещение плот-
ности, что соответствует теореме Лиувилля.
Третий тип колебаний связан с нулями диэлектрической
проницаемости, полюсами s’1 (р, к). Положение этих особен-
ностей определяется уравнением
162
/0kvd3v
Это уравнение определяет закон дисперсии свободных колеба-
ний плазмы. В длинноволновом пределе (kvr <С 1)
1	/ л 2\ 1/2	/ л 2\ 1/2
1	(4тгпое \	(4ттпое \
р = —±г --------- -собственная частота— -------------
т \ т J	р \ т J
затухание	.
5.5.	Физический смысл собственных колебаний
плазмы
Выясним физический смысл собственных колебаний плаз-
мы. Сторонние заряды формируют вектор электрической ин-
дукции:
divD = 4тгреж*.
На электроны в плазме действует поле
Е = D - 4тгР.
Для колебаний с бесконечной длиной волны все электроны дви-
жутся с одной фазой. Поэтому полный дипольный момент ра-
вен р = Yli егг — епог; г ~ отклонение любого электрона от
163
положения равновесия
тг — еЕ,
eD 4тге2тго
г =---------------г.
т т
Пусть D = Dqcw. Тогда
Отметим резонансный характер этих колебаний. В курсах тео-
рии плазмы доказывается, что
Г1
В разреженной плазме —
fd
ния затухают слабо.
«С 1. Поэтому плазменные колеба-
5.6.	Затухание Ландау
Выше были найдены собственные колебания плазмы в пре-
деле /с —> 0. Найдем собственные колебания плазмы для конеч-
ных, хотя и малых значений волнового вектора. Диэлектриче-
скую постоянную плазмы
£ (р) = 1 -
ik2T
/0kvd3v
(р + 7 + ikv)
(5.28)
нельзя вычислить точно.
Этот интеграл, однако, можно при-
164
ближенно ВЗЯТЬ при kv? ^res-
z = vz/vT = vzj у/т/т,
(5.29)
В преобразовании Лапласа Rep > 0 —> Im zq > 0. Нас интере-
сует р = —Шр. Тогда
—
1 Г zdze ___________
д/2тг J z-zq ~~
1 v v Г°° zdze V I 1 Г
а/2тг J-oo z-zq ~ у/2тг
zdze
Z-ZQ
(5.30)
Второй интеграл берется по маленькой полуокружности около
го-
При малых значениях волнового вектора zq ^>1. Тогда
165
Интеграл по полуокружности равен половине вычета
В первом приближении отбросим в скобке все члены, кроме
первого. Тогда
zo = тЛ-	(5-32)
kv?
Это решение, как и само выражение (5.31), имеет смысл при
|zq|	1, то есть при к << (jJp/vt- Поправку к (5.32) можно полу-
чить, если в правую часть (5.31) подставить решение первого
приближения:
Согласно определению собственной частоты си и затухания 7,
р = —ш — у. Поэтому
Подставляя это выражение в предыдущее, получим
166
Отсюда, в рамках используемого приближения (kvr шр), на-
ходим
Здесь выражение (5.33) определяет закон дисперсии, то есть
зависимость частоты от длины волны. В частности, групповая
скорость продольных колебаний плазмы равна
дш
дк
n	/ kvr \
ю нашем приближении I ----1 I групповая скорость значи-
\ /
тельно меньше тепловой скорости электронов.
Выражение (5.34) определяет затухание плазменных коле-
баний. Первый член 1/т, как мы уже говорили, обусловлен пар-
ными столкновениями электронов с ионами. Второй член, обу-
словленный коллективным взаимодействием электронов, впер-
вые получил Ландау.
Формулы (5.33) и (5.34) выведены в предположении, что
параметр мал. Физический смысл этого предположения,
становится Прозрачнее, если выразить этот параметр через ра-
диус экранирования г о — (Т/4тгпое2)1^2 ;
а) _ 1 _ _£
kvr кг d rD
(I ~ к 1 - Длина волны колебания).
Результат совершенно естественный: радиус экранирования
характеризует коллективные свойства плазмы. Поэтому ясно,
что именно отношение длины волны к радиусу экранирования
167
характеризует дисперсию и затухание собственных колебаний
плазмы. Формулы (5.33) и (5.34) справедливы, когда длина
волны велика по сравнению с радиусом экранирования.
В этом пределе, как показывают формулы (5.33) и (5.34),
дисперсия и затухание малы, причем часть затухания, обуслов-
ленная коллективными свойствами плазмы, имеет экспоненци-
альную малость. Если I « гр, формулы (5.33) и (5.34) не ра-
ботают, но использовать их в качестве оценки можно. Видно,
что при I ~ rjj затухание и частота одного порядка величи-
ны и, следовательно, собственные колебания плазмы теряют
резонансный характер (о резонансе можно говорить пока доб-
ротность ш/у 1).
Остановимся подробнее на природе затухания в бесстолк-
новительной плазме (когда т-1 =0).
Рассмотрим движение электрона в поле, возникающем при
возбуждении собственных колебаний плазмы. Для простоты
будем считать, что возбуждена плоская монохроматическая вол-
на, бегущая в направлении оси z, В этом случае направления
скорости электрона и электрического поля совпадают, и мы
имеем одномерное уравнение движения:
mv = еЕе~^1~к^.
Если плазменное колебание слабое, то поле Е мало меняет дви-
жение электрона, и в нулевом приближении v = го, a z — v^t. В
следующем приближении поле учитывается, но только в фазе
поля. Вместо z подставляется v$t :
mv = eEe~i(u’-kv°',t.
Интегрируя это уравнение, получим
V = V0 + — Г е-^-к^сИ.
т Jo
Если выражение ш — kvo отлично от нуля, то подынтегральное
выражение осциллирует, и скорость электрона в среднем не
168
меняется. Если же ы — /cvq = 0, то
v = VQ +
еЕ
—t.
т
Эта резонансная ситуация связана с тем, что электрон, имею-
щий скорость, равную фазовой скорости волны, в течение дол-
гого времени находится в поле одного знака, что и приводит
к монотонному изменению скорости. Чтобы ускорить или за-
тормозить электрон, нужна энергия. Эта энергия берется из
энергии колебаний плазмы и, следовательно, приводит к зату-
ханию плазмы.
Из описанной картины следует, что затухание плазмы долж-
но быть пропорционально числу электронов, имеющих резо-
нансную скорость ир = Wp/k. Поскольку это число задается
распределением Максвелла, то
2	2
mvp	mo?*
У	2Т — е 2к2Т
2 у кур
что в точности совпадает с предыдущими вычислениями.
В промежуточных вычислениях на резонансный характер
затухания указывало обращение в бесконечность подынтеграль-
ного выражения, когда скорость электрона принимала резо-
нансное значение (см. начало данного раздела).
Собственная частота и затухание связаны с параметром Ла-
пласа соотношением р = —ш — у, где

169
5.7.	Условие применимости линеаризованного
уравнения Власова
Рассмотрим вопрос об области применимости линеаризо-
ванного уравнения Власова. Оценим сначала роль парных столк-
новений. Релаксацией электронов за счет парных столкновений
можно пренебречь, если
Но
- ~ Wp(ri/rp)3.
Поэтому парные столкновения несущественны, только если
Г]	I
31п— <С31п —
гр	rD
или
( I \2	1
I — )	61п —.
\го /	п
Это накладывает весьма жесткое ограничение на I. Тем не
менее уравнение Власова (с 1/т = 0) можно с успехом приме-
нять для больших значений размера неоднородности, если не
заниматься специально вопросами релаксации, которая, благо-
даря малости 1/т, происходит очень медленно.
Наконец, рассмотрим условия, накладываемые на возмуще-
ния в плазме, необходимые для возможности использования
линейного приближения в уравнении Власова. При подстанов-
ке f = fQ + У1 в уравнение Власова получается
еЕ df1
тп dv
Линейное приближение имеет смысл, если нелинейный член в
этом уравнении меньше любого из линейных. Нелинейный член
170
имеет порядок величины
GE „-I	о о	fl
имеет порядок величины ----j , первый линеиныи - wpj
mv?
Линейное приближение работает, когда
еЕ
mV?
Из уравнения divE = Дтгр1 следует, что электрическое поле
имеет порядок величины 4тгпо/ (пч/по), где щ - амплитуда ко-
лебаний плотности электронов. В результате неравенство при-
нимает вид
I П1
Го
Поскольку о плазменных волнах имеет смысл говорить только
при I го, то последнее неравенство показывает, что линейное
приближение применимо лишь при достаточно малых ампли-
тудах колебаний плазмы.
Таким образом, область применимости линеаризованного
уравнения Власова весьма ограничена. Однако оно выгодно от-
личается от более точных уравнений своей простотой. В то же
время линеаризованное уравнение Власова достаточно нагляд-
но описывает главное свойство плазмы - коллективный харак-
тер взаимодействия заряженных частиц, что позволяет исполь-
зовать это уравнение во всех случаях, когда необходимо понять
особенности поведения плазмы. Нужно лишь помнить, что это
уравнение не претендует на описание явлений при возмуще-
ниях с большой амплитудой (когда становятся существенными
нелинейные эффекты) и ничего не говорит (при 1/т = 0) о по-
ведении плазмы при очень больших масштабах времени, срав-
нимых со временем столкновительной релаксации плазмы.
5.8.	Пучковая неустойчивость в плазме
Интенсивные исследования плазмы в первую очередь свя-
заны с надеждами получить с ее помощью управляемую термо-
ядерную реакцию. Термоядерная реакция может возникнуть в
171
плазме с очень высокой температурой при достаточно высокой
плотности. Чтобы получить такую плазму, нужно ее нагреть и
удержать в заданном объеме в течение определенного проме-
жутка времени. Обе эти проблемы наталкиваются на огромные
трудности, связанные прежде всего с большим числом неустой-
чивостей, которые возникают в плазме при попытках нагреть
ее и сжать.
Продемонстрируем в рамках линеаризованного уравнения
Власова одну из типичных неустойчивостей плазмы - так на-
зываемую ’’пучковую неустойчивость плазмы”.
Пучковая неустойчивость образуется, когда состояние элек-
тронов разбивается на два пучка, летящих с разными скоростя-
ми.
Для простоты рассмотрим случай, когда в покоящуюся плаз-
му впрыснут слабый (но очень больших размеров) пучок холод-
ной плазмы, все частицы которого движутся с одинаковыми
скоростями Ц), а тепловым разбросом скоростей можно прене-
бречь. Эта ситуация описывается стационарным распределени-
ем электронов:
fst = f° + mS (v - v0),
(5.35)
где /° - максвелловское распределение электронов покоящейся
плазмы, ni - плотность электронов в пучке.
Однородное распределение (5.35) является стационарным
решением уравнения Власова:
^+vV/+-E^-
(5.36)
f = 0,
так как fst = 0 и Е = 0, поскольку электрическое поле в ней-
тральной плазме создается только неоднородностью сторонних
зарядов.
На первый взгляд кажется, что любая неоднородность плаз-
мы, связанная, например, с конечными размерами пучка, долж-
на постепенно рассасываться. В действительности, как мы по-
кажем сейчас, распределение (5.35) неустойчиво.
172
Эволюцию распределения (5.35) можно описать в точности
таким же способом, как мы уже делали это выше, если искать
решение уравнения Власова в виде
/ = fst + f\
и линеаризовать (5.36) относительно f1 :
Of1
dt
Vf1 + -E^-
m ov
fst = 0,
divE = 0; rotE = 0.
Заметим, что здесь вводить интеграл столкновений в форме т-
приближения опасно, поскольку распределение (5.35) заведомо
не должно обращать интеграл столкновений в пуль. Мы огра-
ничимся бесстолкновительной задачей, но будем помнить, что
наши результаты нельзя распространять на времена t > т.
После этих оговорок можно почти дословно повторить вы-
кладки раздела, в котором решалось уравнение Власова, и по-
лучить диэлектрическую проницаемость плазмы с холодным
пучком:
5 (р) = 1 — i
k^d3v
ОУ
р + zkv
Это выражение немедленно получается из формулы (5.21), ес-
ли заменить в ней распределение /° на распределение fst и
положить — = 0. Интегрируя по частям, получим
Поэтому
е (р) = 1 +
47ге2 /' d3x fst
mJ (р + zkv)2
173
Часть е, связанную с распределением Максвелла, мы уже вы-
числяли раньше, а интегрирование с 5-функцией производится
тривиально:
2
2 ’
где
(5.37)
2 4тгп,1в
^1 = ------
т
Для простоты мы считаем, что длина волны достаточно ве-
лика, и пренебрегаем как дисперсией главной части знакомого
нам интеграла J (р), так и членом, ответственным за затухание
Ландау.
Как показывает аккуратный анализ, эти упрощения можно
сделать, если
р-
Поскольку играет роль лишь проекция к на vq, то здесь и в
дальнейшем мы полагаем, что
Для вычисления нулей диэлектрической проницаемости необ-
ходимо потребовать, чтобы
2
^1Р
Из этого уравнения сразу же следует осциллирующее решение
р = —iw, близкое к старому:
Р
2	2
р
Второе решение имеет смысл искать вблизи полюса правой ча-
сти уравнения (5.38):
(5.39)
174
Подставляя это выражение в (5.38), получаем

или
Декремент, как мы и предполагали, получился малым. Одна-
ко, кроме обычного положительного значения 7, оказалось воз-
можным отрицательное решение. Следовательно, если одна из
ветвей затухает по закону:
то другая ветвь неограниченно растет
е-гЬ;0^е|7|^
Существование ветви собственных колебаний с отрицательным
декрементом затухания доказывает неустойчивость плазмы, име-
ющей первоначальное распределение (5.35).
Выше мы сделали предположение, что v? vq, то есть ско-
рость пучка велика по сравнению с тепловой скоростью плаз-
мы. Если бы скорости vt и vq были одного порядка, то ветвь
(5.39) имела бы большое затухание Ландау и стала бы устой-
чивой.
Любопытно отметить тот факт, что физическая причина
пучковой неустойчивости - та же, что и у затухания Ландау
- резонансное поведение электронов, движущихся с фазовой
скоростью волны.
Резонансная раскачка электронов, для которых ш =
= kvo, может привести как к интегральному увеличению коле-
бания плотности рь и, следовательно, поля Е^, так и к умень-
шению рь и соответственно поля Е^. В связи с этим следу-
ет упомянуть о теореме Найквиста, согласно которой плазма
175
устойчива, если распределение электронов по величине скоро-
сти в направлении движения волны (скажем, по оси г)
(vz) = J dvxdvyf° (v)
имеет только один максимум. В рассмотренном выше примере
распределение имеет два максимума v? и го, что и привело к
неустойчивости.
5.9.	Вычисление диэлектрической проницаемости
плазмы в диффузионном приближении
В общем виде тензор диэлектрической проницаемости мо-
жет быть записан в виде
= Зо/з + 4тгка/3,	(5.40)
где - тензор поляризуемости.
С учетом условия причинности для вектора поляризации
системы имеем
Ра (г,t) = / dt	dr (г — r , t — t j Eq (r ,t ) . (5.41)
J—oo	J	'	/	\	/
Определим фурье-компоненту вектора поляризации следую-
щим образом:
PQ(k,u>) = j f dtdrei{kr+^Pa(r,t). (5.42)
Тогда
f f dtdre^kr~^ dt f dr k,qq (r — r', t — t'^ Eq (r , t'^ =
f dt f drel^r~r )]# (t —	— r,t — x
x f°° dt f dr x ег1кг ~ut ^Eq (r , t'} ~
J—<X) J	P \ ’ /
K.a0 (k, w) Ep (k, w) = Pa (k, 0?).
(5.43)
176
В силу изотропии пространства компоненты тензора имеют
вид
f^a/3 (к, а?) — К[
(5.44)
где к,/, Kt - соответственно продольная и поперечная диэлектри-
ческие восприимчивости. Тогда для тензора диэлектрической
проницаемости получим
(к, а?)
(5.45)
Приравнивая члены при Sap и получим для коэффици-
ентов проницаемости:
St = 1 + 4717^, €i - St — 4?Г [К[ + Kt] Q = 1 + 4ЛК1-
Любой вектор E может быть представлен в виде
(5.48)
Тогда вектор Е/ параллелен, а вектор Е^ перпендикулярен к.
Если подействовать на Е/ оператором	то получится
пуль. Если же на Et подейстововать оператором то также
получится нуль. Поэтому вектор смещения можно представить
в виде:
(5.49)
а вектор поляризации, соответствено, записать как
177
Уравнения Максвелла в среде в отсутствие сторонних токов
и зарядов имеют вид
divD
rotH
О, divB = О,
(5.50)
тар
с dt
rotE =
Для немагнитной среды в фурье-компонентах система (5.50)
перепишется в виде:
kD = 0, кН = 0,	(5.51)
[кН] = ——D, [кЕ] = -Н.
С	с
Подставляя в третье уравнение вместо D его выражение из
(5.49), получим
Из четвертого уравнения системы (5.49) следует, что
Из (5.53) и (5.52) имеем
Разделяя в последнем уравнении параллельные и перпенди-
кулярные вектору к проекции, получим условие распростране-
ния электромагнитных волн в рассматриваемой среде:
(4) Et-l = 0,	(5.55)
\ckJ
si = 0.	(5.56)
В вакууме = ^ = 1, и, следовательно, продольные волны
распростроняться не могут.
178
Электрический ток подчиняется J уравнению ненрерывно-
с1 и:
-- 4- divJ = 0,	(5.57)
dt	v '
где р - плотность заряда. В фурье-ком нопентах это уравнение
перепишется в виде
шр - kj = О.	(5.58)
Из кинетического соотношения (диффузионное приближение)
J — —D^p 4- сгЕ,	(5.59)
переписанного в фурье-компонентах, имеем
j = —iDkp + (jE.	(5.60)
Постулируемую феноменологическую зависимость (5.59) сле-
дует понимать так. Приложенное внешнее поле вызавает непо-
средственно как электрический ток, так и градиент концен-
трации электронной плотности. Этот возникающий градиент
приводит, в свою очередь, к диффузионному току, дающему
вклад в суммарный электрический ток.
Выразив плотность из уравнения (5.58) и подставив резуль-
тат в (5.60), получим
,Dk
1--
По определению
р 4- divP =0.
Тогда
др _. <ЭР
а + аГ =
Сопоставляя (5.57) и (5.63), имеем
(5.61)
(5.62)
(5.63)
(5.64)
179
Умножая уравнение (5.61) на к, найдем произведение
, . <?Ек
J~1 Dk2'
ш
Часть тока, параллельная к, равна (см. (5.65))
. _ (jk) к <т (Ек) к
J'=
\ Ш /
(5.65)
(5.66)
Сопоставляя (5.66) и первый член в правой части (5.64),
получим
о
—ШК1 =
(—ш + Dk2)
(5.67)
(5.68)
*1 =
Первый член в правой части (5.61) дает вклад только в па-
раллельную часть тока, поэтому часть тока, перпендикулярная
к, равна
(5.69)
Сопоставляя (5.69) и второй член в правой части (5.64),
получим
о — —	=------.	(5.70)
— ZCJ
Закон дисперсии продольных колебаний находится из соот-
ношения
го
1 + 4тгк/ = 0 = 1 +	.
(и + iDkz)
То есть
ш = —io — iDk2,
(5.71)
(5.72)
180
ч i <) > > iiia-iaci иски шожность распространения предо юных -) < *
Аромагни гных волн.
Для поперечных колебаний
UJ
(5.73)
(5.74)
Электромагнитные волны распространяются, по при конеч-
ной проводимости затухают.
181
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как уже отмечалось в предисловии, данное учебное по-
собие фактически является введением в предмет физи-
ческой кинетики. Мы стремились на примере возможно
большего количества физических объектов продемонстри-
ровать применение кинетического уравнения Больцмана
для расчета их кинетических и релаксационных свойств. В
подавляющем большинстве случаев рассмотрение велось в
так называемым приближением времени релаксации -
т-приближением. Почти во всех случаях это приближение
позволяет ухватить основные черты физического явления,
а во многих случаях допускает вполне удовлетворитель-
ное количественное описание явления. Тем по менее суще-
ствуют даже простейшие релаксационные эффекты, когда
необходимо вводить разные времена релаксации. Напри-
мер, для описания электро- и теплопроводности в газах
необходимо вводить разные времена релаксации для им-
пульса и энергии. В более сложных случаях, в частности
в стеклах, имеется целый логарифмический спектр вре-
мен релаксации, расположенный в диапазоне от несколь-
ких миллисекунд до нескольких суток и даже недель. Су-
ществуют, однако, явления, которые невозможно описать в
рамках кинетического уравнения. В этом случае разрабо-
таны альтернативные методы расчета кинетических коэф-
фициентов. Например, теория линейного отклика, один из
вариантов которой базируется на методе функций Грина.
Итак, по мнению авторов, после проработки этого посо-
бия читатель сможет работать со специальной журналь-
ной литературой. Однако для работы с серьезными тео-
ретическими статьями полученных знаний, конечно же,
недостаточно, и мы рекомендуем обратиться к ряду моно-
графий. Небольшой список литературы, рекомендованный
нами для дальнейшего чтения, приведен в конце пособия.
182
( 11 ill uK . Hi 1 Hl \1 УРЫ
1.	Atiyah^ J.J. 0< Hubbi амрии мста.1.юг; УнНТ<-
руководство. М.: Пачка. Г. i pc. к физ.-мат. лик 19S?
2.	Ильин А.Б.. Mat < илп:<> /ЛИ. , 1екции по фп шчсс ।
кинетике. М.: МФТИ. 1976.
3.	Балеску Р. Равной *< пап н неравновесная ria i и* « и
ческая механика. М.: Мир, 1978.
4.	Киттель Ч. Квантовая юорпя ч всрдых че. i. М.. На
ука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1967.
5.	Лифшиц Е.М.7 Питам скии Л.Л. Физическая кип*
тика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1979.
6.	Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. М.: II I
1956.
7.	Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, ciain
< 1ическая физика и кинетика. М.: Наука. Гл. ред. фи г
мат. лиг. 1979.