Теоретическая физика. Том 10. Физическая кинетика - Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

Автор: Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М.
Теги: физика
ISBN: 5-9221-0125-0
Год: 2002
Похожие
Теоретическая физика: Учебное пособие: Для вузов. В 10 томах. Том III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика
Теоретическая физика. Гидродинамика. Том 6
Теоретическая физика. Том 7. Теория упругости
Текст
                    УДК 530.1@75.8)
Л22
ББК 22.31
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб.
пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. X. / Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П.
Физическая кинетика. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. —
536 с.-ISBN 5-9221-0125-0 (Т. X).
Заключительный том «Теоретической физики» посвящен макро-
макроскопической теории процессов в статистически неравновесных систе-
системах. Большое внимание в книге уделено кинетической теории газов,
теории плазмы; многие задачи кинетики плазмы дают интересную ил-
иллюстрацию общих методов кинетической теории.
1-е изд. — 1979 г.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников соответствующих специ-
специальностей.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский
ISBN 5-9221-0125-0 (Т. X)
ISBN 5-9221-0053-Х	© ФИЗМАТЛИТ, 1979, 2001, 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 		9
Некоторые обозначения		11
Глава I. Кинетическая теория газов
1.	Функция распределения		13
2.	Принцип детального равновесия		17
3.	Кинетическое уравнение Больцмана		21
4.	i^-теорема		26
5.	Переход к макроскопическим уравнениям		28
6.	Кинетическое уравнение для слабо неоднородного газа ....	32
7.	Теплопроводность газа		37
8.	Вязкость газа		39
9.	Симметрия кинетических коэффициентов		43
10.	Приближенное решение кинетического уравнения		47
11.	Диффузия легкого газа в тяжелом		53
12.	Диффузия тяжелого газа в легком		58
13.	Кинетические явления в газе во внешнем поле		60
14.	Явления в слабо разреженных газах		66
15.	Явления в сильно разреженных газах 		76
16.	Динамический вывод кинетического уравнения		88
17.	Кинетическое уравнение с учетом тройных столкновений . .	95
18.	Вириальное разложение кинетических коэффициентов ....	102
19.	Флуктуации функции распределения в равновесном газе . .	105
20.	Флуктуации функции распределения в неравновесном газе .	110
Глава П. Диффузионное приближение
21.	Уравнение Фоккера-Планка		116
22.	Слабо ионизированный газ в электрическом поле		120
23.	Флуктуации в слабо ионизованном неравновесном газе ....	126
24.	Рекомбинация и ионизация		131
25.	Амбиполярная диффузия		135
26.	Подвижность ионов в растворах сильных электролитов ...	138
Глава III. Бесстолкновительная плазма
27.	Самосогласованное поле		146
28.	Пространственная дисперсия в плазме		150
29.	Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы	153

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
30.	Затухание Ландау		157
31.	Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы . .	161
32.	Продольные плазменные волны 		166
33.	Ионно-звуковые волны		170
34.	Релаксация начального возмущения		171
35.	Плазменное эхо		176
36.	Адиабатический захват электронов		182
37.	Квазинейтральная плазма		185
38.	Гидродинамика двухтемпературной плазмы 		187
39.	Солитоны в слабо диспергирующей среде		191
40.	Диэлектрическая проницаемость вырожденной бесстолкнови-
тельной плазмы		200
Глава IV. Столкновения в плазме
41.	Интеграл столкновений Ландау		207
42.	Передача энергии между электронами и ионами		213
43.	Длина пробега частиц в плазме 		215
44.	Лоренцева плазма		217
45.	Убегающие электроны		222
46.	Сходящийся интеграл столкновений 		225
47.	Взаимодействие через плазменные волны		236
48.	Поглощение в плазме в высокочастотном пределе		240
49.	Квазилинейная теория затухания Ландау		244
50.	Кинетическое уравнение для релятивистской плазмы ....	251
51.	Флуктуации в плазме		256
Глава V. Плазма в магнитном поле
52.	Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной холод-
холодной плазмы		265
53.	Функция распределения в магнитном поле		269
54.	Диэлектрическая проницаемость магнитоактивной максвел-
максвелловской плазмы 		273
55.	Затухание Ландау в магнитоактивной плазме 		276
56.	Электромагнитные волны в магнитоактивной холодной плазме	282
57.	Влияние теплового движения на распространение электро-
электромагнитных волн в магнитоактивной плазме		289
58.	Уравнения гидродинамики магнитоактивной плазмы		292
59.	Кинетические коэффициенты плазмы в сильном магнитном
поле		297
60.	Дрейфовое приближение		310
Глава VI. Теория неустойчивостей
61.	Пучковая неустойчивость		321
62.	Абсолютная и конвективная неустойчивость		325

ОГЛАВЛЕНИЕ	7
63.	Усиление и непропускание		331
64.	Неустойчивость при слабой связи двух ветвей спектра коле-
колебаний 		336
65.	Неустойчивость конечных систем		340
Глава VII. Диэлектрики
66.	Взаимодействие фононов		343
67.	Кинетическое уравнение для фононов в диэлектрике		348
68.	Теплопроводность диэлектриков. Высокие температуры . . .	352
69.	Теплопроводность диэлектриков. Низкие температуры ....	358
70.	Рассеяние фононов на примесях		362
71.	Гидродинамика фононного газа в диэлектрике		364
72.	Поглощение звука в диэлектрике. Длинные волны 		368
73.	Поглощение звука в диэлектрике. Короткие волны		373
Глава VIII. Квантовые жидкости
74.	Кинетическое уравнение для квазичастиц в ферми-жидкости	376
75.	Теплопроводность и вязкость ферми-жидкости		383
76.	Поглощение звука в ферми-жидкости		385
77.	Кинетическое уравнение для квазичастиц в бозе-жидкости .	389
Глава IX. Металлы
78.	Остаточное сопротивление		396
79.	Электрон-фононное взаимодействие		401
80.	Кинетические коэффициенты металла. Высокие температуры	407
81.	Процессы переброса в металле		411
82.	Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры	415
83.	Диффузия электронов по ферми-поверхности		424
84.	Гальваномагнитные явления в сильных полях. Общая теория .	429
85.	Гальваномагнитные явления в сильных полях. Частные случаи	435
86.	Аномальный скин-эффект		441
87.	Скин-эффект в инфракрасной области		451
88.	Геликоидальные волны в металле		454
89.	Магнитоплазменные волны в металле		454
90.	Квантовые осцилляции проводимости металла в магнитном
поле		459
Глава X. Диаграммная техника для неравновесных систем
91.	Мацубаровская восприимчивость 		469
92.	Гриновские функции неравновесной системы		473
93.	Диаграммная техника для неравновесных систем		480
94.	Собственно-энергетические функции		485
95.	Кинетическое уравнение в диаграммной технике 		489

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XL Сверхпроводники
96.	Высокочастотные свойства сверхпроводников. Общая форму-
формула 	495
97.	Высокочастотные свойства сверхпроводников. Предельные
случаи	502
98.	Теплопроводность сверхпроводника	507
Глава XII. Кинетика фазовых переходов
99.	Кинетика фазовых переходов первого рода. Образование за-
зародышей 	510
100.	Кинетика фазовых переходов первого рода. Стадия коалес-
ценции	516
101.	Релаксация параметра порядка вблизи точки фазового пере-
перехода второго рода	523
102.	Динамическая масштабная инвариантность	526
103.	Релаксация в жидком гелии вблизи А-точки 	529
Предметный указатель	534

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий, заключительный том «Теоретической физики»
посвящен физической кинетике, понимаемой в широком смысле
как микроскопическая теория процессов в статистически нерав-
неравновесных системах.
В отличие от свойств статистически равновесных систем, ки-
кинетические свойства значительно более тесно связаны с характе-
характером микроскопических взаимодействий в тех или иных физиче-
физических объектах. Отсюда - огромное разнообразие этих свойств и
значительно большая сложность их теории. В связи с этим стано-
становится менее однозначным и вопрос об отборе материала, который
должен быть включен в общий курс теоретической физики.
Содержание книги ясно из ее оглавления. Сделаем в этой свя-
связи лишь несколько замечаний.
Значительное внимание в книге уделено теории газов как наи-
наиболее простому в принципе объекту кинетической теории. Ряд
глав посвящен теории плазмы — не только ввиду физической
важности этого раздела кинетики самого по себе, но и потому,
что многие задачи кинетики плазмы могут быть решены до кон-
конца и дают поучительную иллюстрацию общих методов кинети-
кинетической теории.
Кинетические свойства твердых тел в особенности многооб-
многообразны. При отборе материала для соответствующих глав мы дол-
должны были, естественно, ограничиться лишь наиболее общими
вопросами, демонстрирующими основные кинетические физиче-
физические явления и методы их рассмотрения. Лишний раз подчерк-
подчеркнем в этой связи, что эта книга — часть курса теоретической
физики и никоим образом не претендует на роль курса теории
твердого тела.
В содержании этой книги есть два очевидных дефекта: отсут-
отсутствуют вопросы кинетики магнитных процессов и теория кине-
кинетических явлений, связанных с прохождением быстрых частиц
через вещество. Эти дефекты связаны с недостатком времени, и
мы решились допустить их в этом издании, с тем чтобы не задер-
задерживать еще больше выход книги. Мы позволим себе высказать

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
надежду на то, что хотя, таким образом, в этой книге содержит-
содержится не все, что требовалось бы, но в то же время все то, что в ней
содержится, представит интерес и будет полезным читателям.
Эта книга завершает программу, намеченную Львом Давы-
довичем Ландау более сорока лет тому назад. Весь курс состоит
из следующих томов:
Том I. Механика.
Том П. Теория поля.
Том III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
Том IV. Квантовая электродинамика.
Том V. Статистическая физика, часть 1.
Том VI. Гидродинамика.
Том VII. Теория упругости.
Том VIII. Электродинамика сплошных сред.
Том IX. Статистическая физика, часть 2.
Том X. Физическая кинетика.
Напомним, что положение тома IX в этом ряду связано с тем, что
в нем существенно используются сведения из гидродинамики и
макроскопической электродинамики.
В новой серии изданий, начатой в 1973 г., до настоящего вре-
времени вышли тома I, II, III, V, IX, X. Том VII сможет быть переиз-
переиздан без больших изменений. Из тома IV, изданного раньше под
названием «Релятивистская квантовая теория», будут исключе-
исключены главы о слабых и сильных взаимодействиях, и он вскоре бу-
будет переиздан как «Квантовая электродинамика». Тома же VI и
VIII, не переиздававшиеся уже в течение многих лет, требуют бо-
более значительной переработки и дополнения; мы рассчитываем
заняться этим делом в ближайшее время.
Мы хотели бы выразить искреннюю благодарность А.Ф. Ан-
Андрееву, Р.Н. Гуржи, В.Л. Гуревичу, Ю.М. Кагану, М.И. Каганову
и И.М. Лифшицу, с которыми мы обсуждали рассмотренные в
этой книге вопросы.
Мы благодарны Л.П. Горькову и А.А. Рухадзе, прочитавшим
книгу в рукописи и сделавшим ряд замечаний.
Ноябрь 1978 г.	Е.М. Лифши% Л. П. Питаевский

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Функция распределения частиц / (главы I-VI); по импульсам
везде отнесена к d3p.
Функции распределения — числа заполнения квантовых со-
состояний электронов и фононов п(р) и -ZV(k) (главы VII, IX-XI);
по импульсам везде отнесены к d?p/B/Kh)^.
Интеграл столкновений St, линеаризованный интеграл столк-
столкновений /.
Термодинамические величины: температура Т, давление Р,
химический потенциал /i, плотность числа частиц 7V, полное чис-
число частиц Л/", полный объем V.
Напряженность электрического поля Е, магнитная индукция
В. Элементарный электрический заряд е (заряд электрона —е).
В оценках используются обозначения: характерные длины за-
задачи L] атомные размеры, постоянная решетки d] длина свобод-
свободного пробега /; скорость звука и.
Усреднение обозначается угловыми скобками (...) или чер-
чертой над буквой.
Трехмерные векторные индексы обозначаются греческими
буквами а, /3, ...
В главах III-VI:
Массы электрона и иона m и М.
Заряды электрона и иона —enze.
Тепловые скорости электронов и ионов
/ ГТ1 \ 1/2	/ ГТ1 \ 1/2
VTe = ( — ) , VTi = -Ч .
Плазменная частота
о _ /4тг7Уее2\1/2
/
tyc
м
Дебаевский радиус
1/2	( Тг V/2
'2 = а~2+а72.

12	НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ларморова частота
еВ	zeB
тс	Мс
Ссылки на номера параграфов и формул других томов это-
этого курса снабжены римскими цифрами: I — «Механика», 1988;
II — «Теория поля», 1989; III — «Квантовая механика», 1989;
IV — «Квантовая электродинамика», 1989; V — «Статистиче-
«Статистическая физика, часть 1», 1995; VI — «Гидродинамика», 1988; VII
— «Теория упругости», 1987; VIII — «Электродинамика сплош-
сплошных сред», 1982; IX — «Статистическая физика, часть 2», 2000.

ГЛАВА I
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
§ 1. Функция распределения
Эта глава посвящена изложению кинетической теории обыч-
обычных газов из электрически нейтральных атомов или молекул.
Предметом изучения этой теории являются неравновесные состо-
состояния и процессы в идеальном газе. Напомним, что под идеаль-
идеальным подразумевается газ настолько разреженный, что каждая
молекула в нем почти все время движется как свободная, взаи-
взаимодействуя с другими молекулами лишь при непосредственных
столкновениях с ними. Это значит, другими словами, что среднее
расстояние между молекулами г ~ TV/3 (N — число молекул
в единице объема) предполагается большим по сравнению с их
собственными размерами, точнее, по сравнению с радиусом дей-
действия межмолекулярных сил d\ малую величину Nd3 ~ (d/rK
иногда называют «параметром газовости».
Статистическое описание газа осуществляется функцией рас-
распределения f(t,q,p) молекул газа в их фазовом пространстве.
Она является, вообще говоря, функцией выбранных каким-
либо образом обобщенных координат молекулы (совокупность
которых обозначена через q) и соответствующих им обобщен-
обобщенных импульсов (совокупность которых обозначена через р), ав
нестационарном состоянии — еще и от времени t. Обозначим че-
через dr = dqdp элемент объема фазового пространства молекулы;
dq и dp условно обозначают соответственно произведения диффе-
дифференциалов всех координат и всех импульсов. Произведение f dr
есть среднее число молекул, находящихся в заданном элементе
dr, т. е. обладающих значениями q и р в заданных интервалах
dq и dp. К смыслу понятия среднего в этом определении мы вер-
вернемся ниже.
Хотя функция / будет везде подразумеваться определенной
как плотность распределения именно в фазовом пространстве,
в кинетической теории целесообразно выражать ее через опре-
определенным образом выбранные переменные, которые могут и не
являться канонически сопряженными обобщенными координата-
координатами и импульсами. Условимся, прежде всего, об этом выборе.
Поступательное движение молекулы всегда классично. Оно
описывается координатами г = (ж, у, г) ее центра инерции и им-

14	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
пульсом р (или скоростью v = р/тп) ее движения как целого.
В одноатомном газе поступательным движением исчерпывается
все движение частиц (атомов). В многоатомных же газах моле-
молекулы обладают еще и вращательными и колебательными степе-
степенями свободы.
Вращательное движение молекулы в газе практически всег-
всегда тоже классично 1). Оно описывается, прежде всего, заданием
вектора вращательного момента молекулы М. Для двухатомной
молекулы этого достаточно. Такая молекула представляет собой
ротатор, вращающийся в плоскости, перпендикулярной вектору
М. Что же касается угла (р поворота оси молекулы в этой плоско-
плоскости, то в реальных физических задачах функцию распределения
можно считать независящей от него, т. е. все ориентации молеку-
молекулы в указанной плоскости — равновероятными. Это обстоятель-
обстоятельство связано с быстротой изменения угла (р при вращении моле-
молекулы, и его происхождение можно пояснить следующим образом.
Скорость изменения ср (угловая скорость вращения молеку-
молекулы) есть ф = О = M/I. Среднее значение этой скорости О ~ v/d,
где d — молекулярные размеры, a v — среднее значение линей-
линейных скоростей. Но различные молекулы имеют различные зна-
значения О, распределенные по некоторому закону вокруг О. По-
Поэтому молекулы, имевшие в начальный момент одинаковые <р,
очень быстро расходятся по значениям ср; происходит, как го-
говорят, быстрое «размешивание» по углам. Пусть в начальный
момент t = 0 распределение молекул по углам ср = (р$ (в ин-
интервале от 0 до 2тг) и по О дается некоторой функцией /(<ро? ^)-
Выделим из нее независящее от ср среднее значение
-	-	1 27Г
/ = /(О) + /'((ль О), /(О) = f / /(ро, П) dtpo,
2тг 0
так что ff((po,Q) — знакопеременная функция с равным нулю
средним значением. При дальнейшей эволюции за счет свобод-
свободного вращения молекул (up = Ш + (ро) функция распределения
меняется согласно
(причем аргумент ср — Ш подразумевается приведенным к интер-
интервалу от 0 до 2тг путем вычитания надлежащего целого кратно-
кратного от 2тг). С течением времени f становится все более быстро
осциллирующей функцией от О: характерный период осцилля-
осцилляции АО ~ 2тг/? и уже за время свободного (между двумя столк-
*) Напомним, что условие классичности вращения состоит в неравенстве
h2/21 ^С Т (где / — момент инерции молекулы, Т — температура газа).
Это условие в обычных газах может нарушаться разве что для водорода и
дейтерия при низких температурах.

§ 1	ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	15
новениями) пробега молекул становится малым по сравнению
с О. Но все наблюдаемые физические величины содержат в себе
некоторое усреднение функции распределения по О; вклад же
быстро осциллирующей функции ff в такие средние пренебре-
пренебрежимо мал. Именно это и позволяет заменить функцию распре-
распределения f((p^ft) усредненной по углам функцией /(О).
Изложенные соображения имеют, очевидно, общий характер
и относятся к любым быстро меняющимся величинам (фазам),
пробегающим значения в конечных интервалах.
Возвращаясь к вращательным степеням свободы молекул, от-
отметим, что в многоатомных газах функция распределения может
еще зависеть от углов, определяющих фиксированную ориента-
ориентацию осей молекулы по отношению к вектору М. Так, в молекулах
типа симметрического волчка это — угол между М и осью волч-
волчка (угол прецессии); от быстро меняющихся же углов вращения
волчка вокруг собственной оси и прецессионного вращения этой
оси вокруг М функцию распределения снова можно считать не
зависящей х).
Колебательное движение атомов внутри молекулы практиче-
практически всегда квантуется, так что колебательное состояние моле-
молекулы определяется соответствующими квантовыми числами. В
обычных условиях (при не слишком высоких температурах), од-
однако, колебания вообще не возбуждены и молекула находится на
своем основном (нулевом) колебательном уровне.
В дальнейшем в этой главе мы будем обозначать символом Г
совокупность всех переменных, от которых зависит функция
распределения, за исключением координат молекулы как целого
(и времени ?). Из элемента фазового объема dr выделим мно-
множитель dV = dxdydz, а остальную его часть, преобразованную
к используемым переменным (и проинтегрированную по углам,
от которых функция / не зависит), обозначим символом dT. Ве-
Величины Г обладают важным общим свойством: это — интегра-
интегралы движения, остающиеся постоянными для каждой молекулы
в течение ее свободного (в отсутствие внешнего поля) движения
между двумя последовательными столкновениями; в результате
же каждого столкновения эти величины, вообще говоря, меня-
меняются. Напротив, координаты ж, у, z молекулы как целого, разу-
разумеется, меняются в течение ее свободного движения.
г) При вращении молекулы типа шарового волчка (например, СН4) оста-
остаются постоянными два угла, определяющие ориентацию молекулы по отно-
отношению к направлению М (совпадающему с направлением угловой скорости
Q). При вращении молекулы типа асимметрического волчка остается посто-
постоянной комбинация углов, выражающаяся постоянством вращательной энер-
энергии Евр = М|/B/i) + M*/BJ2) + MC7BJ3), где Мь Mv, Mc - проекции
постоянного вектора М на вращающиеся главные оси инерции молекулы.

16	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Для одноатомного газа величинами Г являются три компо-
компоненты импульса атома р = mv, так что dT = d3p. Для двухатом-
двухатомной молекулы в Г входит, помимо импульса р, еще и вращатель-
вращательный момент М; соответственно элемент dT можно представить
в виде
dT = 2тг d3pMdMdoM,	A.1)
где doM — элемент телесных углов для направления вектора
М г). Для молекулы типа симметрического волчка в число ве-
величин Г входит также и угол в между М и осью волчка; элемент
^Г = 4:7r2d3p M1 dM doM d cos в
(один множитель 2тг возникает от интегрирования по углу вра-
вращения волчка вокруг своей оси, а другой множитель 2тг — от
интегрирования по углу прецессионного вращения).
Интеграл
есть плотность пространственного распределения частиц газа;
N dV есть среднее число молекул в элементе объема dV. В этой
связи необходимо сделать следующие замечания.
Когда речь идет о бесконечно малом элементе объема dV, то
подразумевается, собственно говоря, не математически, а физи-
физически малый объем, т. е. участок пространства, размеры которо-
которого очень малы по сравнению с характеристическими размерами
задачи L, но в то же время велики по сравнению с размерами
молекул. Это значит, другими словами, что утверждение о на-
нахождении молекулы в данном элементе объема dV определяет
положение молекулы в лучшем случае лишь с точностью до рас-
расстояний порядка ее размеров. Это обстоятельство весьма суще-
существенно. Если бы координаты частиц газа определялись точно, то
при столкновении, скажем, двух атомов одноатомного газа, дви-
движущихся по определенным классическим траекториям, резуль-
результат столкновения был бы тоже вполне определенным. Если же
речь идет (как всегда в кинетической теории газов) о столкнове-
столкновении атомов, происходящем в данном физически малом элементе
объема, то ввиду неопределенности точного взаимного располо-
расположения атомов результат столкновения тоже будет неопределен-
*) К выражению A.1) можно прийти, написав сначала dT в виде
dT = d3p6(Mn)d3Mdon = d3p6(M cos 0)M2dM domdcos в dip,
где don = d cos в dip — элемент телесных углов для направлений оси моле-
молекулы (в — угол между этой осью и М). ^-функция выражает тот факт,
что М имеет только две независимые компоненты (соответственно числу
вращательных степеней свободы двухатомной молекулы) — момент М пер-
перпендикулярен оси молекулы. Проинтегрировав написанное выражение по
d cos в dip, получим A.1).

§ 2	ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ	17
ным и можно говорить лишь о вероятности того или иного его
исхода.
Мы можем теперь уточнить, что, говоря о средней плотности
числа частиц, мы имеем в виду усреднение по объемам опреде-
определенных таким образом физически бесконечно малых элементов и
соответственно по временам порядка величины времени пролета
частиц через такие элементы.
Поскольку размеры элементов объема, по отношению к кото-
которым определена функция распределения, велики по сравнению
с молекулярными размерами с/, то расстояния L, на которых эта
функция существенно меняется, во всяком случае должны быть
тоже велики по сравнению с d. Соотношение же между разме-
размерами физически бесконечно малых элементов объема и средним
межмолекулярным расстоянием г может быть, вообще говоря,
произвольным. Существует, однако, различие в характере опре-
определяемой функцией распределения плотности N в зависимости
от величины этого соотношения. Если размеры элементов dV не
велики по сравнению с г, то плотность N не является макро-
макроскопической величиной: флуктуации числа частиц, находящихся
в dV, сравнимы с его средним значением. Плотность N стано-
становится макроскопической величиной, лишь если она определена
по отношению к объемам dV, содержащим много частиц; тогда
флуктуации числа частиц в этих объемах относительно малы.
Ясно, однако, что такое определение возможно лишь, если и ха-
характерные размеры задачи L^>r.
§ 2. Принцип детального равновесия
Рассмотрим столкновения молекул, из которых одна облада-
обладает значениями величин Г, лежащими в заданном интервале с/Г, а
другая — в интервале с?Гх, причем в результате столкновения эти
молекулы приобретают значения Г в интервалах соответственно
dV и dT^; для краткости будем говорить просто о столкновениях
молекул Г и Fi с переходом Г, Гх —>> Г7, Г^. Полное число таких
столкновений, отнесенное к единице времени и к единице объ-
объема газа, можно написать в виде произведения числа молекул
в единице объема (это число равно /(?, г, Г)с?Г) на вероятность
каждой из них испытать столкновение рассматриваемого типа.
Последняя во всяком случае пропорциональна числу молекул Гх
в единице объема (равному /(?, г, Гх) dTi) и интервалам с/Г7, dT[
значений величин Г обеих молекул после столкновения. Таким
образом, число столкновений с переходом Г, Гх —> Г7, Г'1? проис-
происходящих в 1 с в 1 см3, можно представить в виде
dr/dri	B.1)

18	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
(здесь и ниже индексы у функций / отвечают индексам их аргу-
аргументов Г: /i = /(?, г, Г1), /' = /(?, г, Г') и т. п.); коэффициент w
есть некоторая функция всех перечисленных в ней аргументов
Г 1). Отношение w dT' dT^ к абсолютной величине относительной
скорости V—vi сталкивающихся молекул имеет размерность пло-
площади и представляет собой эффективное сечение столкновений:
da = ^illllilildr^r;.	B.2)
|v-vi|
Функция w может быть определена в принципе лишь путем
решения механической задачи о столкновении частиц, взаимо-
взаимодействующих по данному закону. Но некоторые свойства этой
функции могут быть выяснены уже на основании общих сообра-
соображений2).
Как известно, вероятность столкновения обладает важным
свойством, следующим из симметрии законов механики (класси-
(классической или квантовой), относительно обращения знака времени
(см. III, § 144). Обозначим символом Гт значения величин, по-
получающихся из Г при обращении времени. Эта операция меняет
знаки всех импульсов и моментов; поэтому если Г = (р,М), то
Тт = (—р, —М). Поскольку обращение времени переставляет со-
состояния «до» и «после» столкновения, то
w(r',r'1;r,r1)=w(rT,rJ;T'T,r'1T).	B.3)
Отметим, что это соотношение обеспечивает выполнение в со-
состоянии статистического равновесия принципа детального рав-
равновесия, согласно которому в равновесии число столкновений с
переходом Г, 1\ —»> Г', Г[ равно числу столкновений с переходом
Г/Т, Г^ —> Гт, Г^\ Действительно, представив эти числа в виде
B,1), имеем
= w(T ,Т1]Т ,1\ )f0f01dT dT1 dT dT1 ,
где /о — равновесная (больцмановская) функция распределе-
распределения. Произведение элементов фазового объема dT dTi dV dT^ при
г) Характеристики начального (г) и конечного (/) состояний в функции
w записываются в порядке справа налево, гу(/;г), в соответствии с тем, как
это принято в квантовой механике.
2) Сразу же подчеркнем, что, хотя свободное движение молекул пред-
предполагается классическим, это отнюдь не исключает того, что сечение их
столкновений должно определяться квантовомеханически (как это обычно
и имеет место). Весь излагаемый вывод кинетического уравнения не зависит
от природы (классической или квантовой) функции w.

§ 2	ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ	19
обращении времени не меняется; поэтому дифференциалы в обе-
обеих частях написанного равенства можно опустить. Далее, при
замене t на —t энергия не меняется: е(Г) = ?(ГТ), где е(Г) —
энергия молекулы как функция величин Г. Поскольку равно-
равновесная функция распределения (в неподвижном как целое газе)
зависит только от энергии,
/0(r) = const.e-?^/T	B.4)
(где Г — температура газа), то и /о(Г) = /о(Гт). Наконец, в
силу закона сохранения энергии при столкновении двух молекул
? + ?i = ?f + e'v Поэтому
/o/oi = /о/оь	B-5)
и написанное выше равенство сводится к B.3).
Это утверждение остается, конечно, справедливым и для га-
газа, движущегося с макроскопической скоростью V. Равновесная
функция распределения в таком случае есть
/0(Г) = const • exp (-?(r)]:pV) ,	B.6)
и равенство B.5) продолжает соблюдаться в силу сохранения им-
импульса при столкновениях: р + pi = р' + р[ х).
Обратим внимание на то, что равенство B.5) связано только
с видом распределения B.4) или B.6) как функции величин Г;
параметры же Г и V могут при этом меняться по объему газа.
Принципу детального равновесия можно придать также и
несколько иную формулировку. Для этого произведем наряду с
обращением времени еще и инверсию — изменение знака всех ко-
координат. Если молекулы не обладают достаточной симметрией,
то при инверсии они «перейдут» в стереоизомерные молекулы,
с которыми они не могут быть совмещены никаким поворотом
молекулы как целого2). Другими словами, в таких случаях пре-
преобразование инверсии означало бы замену газа по существу дру-
другим (стереоизомерным) веществом и никаких новых заключений
о свойствах его самого нельзя было бы сделать. Если же симмет-
симметрия молекул не допускает стереоизомерии, то при инверсии газ
остается тем же и величины, описывающие свойства макроско-
макроскопически однородного газа, должны остаться неизменными.
х) Формула B.6) получается из B.4) преобразованием энергии молеку-
молекулы из системы отсчета Ко, в которой газ покоится, в систему отсчета К, в
которой газ движется со скоростью V: ?о(Г) = г(Т) — pV + rriV2/2 (ср. I,
C.5)).
2) Напомним, что стереоизомерия существует у молекул, не обладающих
ни центром, ни плоскостями симметрии.

20	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Обозначим символом Ттр совокупность величин, получаю-
получающихся из Г одновременным обращением времени и инверсии.
Инверсия меняет знак всех обычных (полярных) векторов, в том
числе импульса р, и оставляет неизменными аксиальные векто-
векторы, в том числе вектор момента М. Поэтому, если Г = (р, М), то
Гтр = (р, —М). Наряду с равенством B.3) будем иметь также и
равенство г)
w(L ,1 х;1,1 ij = w(L ,1Х ;1 ,1Х ).	B.7)
О переходах, к которым относятся функции w в обеих сторо-
сторонах равенства B.3), говорят как об обращенных по времени по
отношению друг к другу. Они не являются в буквальном смысле
прямым и обратным, поскольку отличаются значениями Г (Г
и Гт). Для одноатомного газа, однако, принцип детального рав-
равновесия может быть сформулирован также и в терминах прямых
и обратных переходов. Поскольку величинами Г являются здесь
всего три компоненты импульса атома, то Г = ГТР = р и из B.7)
имеем
™(Р .Pi5P.Pi) =w(p,pi;p ,Pi).	B.8)
Здесь мы имеем дело с «детальным равновесием» в буквальном
смысле этого слова: каждый микроскопический процесс столк-
столкновений балансируется обратным ему процессом.
Функция w удовлетворяет еще одному общему соотношению,
не имеющему отношения к симметрии относительно обращения
времени. Вывод этого соотношения более нагляден, если про-
производить его в квантовомеханических терминах, рассматривая
переходы между состояниями, образующими дискретный ряд;
речь идет о состояниях пары молекул, движущихся в заданном
конечном объеме. Как известно, амплитуды вероятностей раз-
различных процессов столкновения образуют унитарную матрицу S
(так называемая матрица рассеяния, или S-матрица). Условие
унитарности гласит: S^S = 1, или, в явном виде с матричными
индексами (нумерующими различные состояния),
В частности, при % = к
:) Если среди величин Г имеются также и переменные, определяющие
вращательную ориентацию молекулы, то при переходе к Гт или Гтр дол-
должны быть определенным образом преобразованы также и они. Так, угол
прецессии симметрического волчка задается произведением Мп, где п —
направление оси молекулы; эта величина меняет знак как при обращении
времени, так и при инверсии.

§ 3	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА	21
Квадрат |SV^|2 определяет вероятность столкновения с перехо-
переходом г —>• п 1), и написанное равенство выражает собой прос-
просто условие нормировки вероятностей: сумма вероятностей всех
возможных переходов из заданного начального состояния рав-
равна единице. Но условие унитарности можно написать и в виде
SS + = 1 с другим порядком множителей S и S+. Тогда получим
X) SinSln = Sik и при г = к
п
\Sin\2 = l,
т. е. равна единице также и сумма вероятностей всех возможных
переходов в заданное конечное состояние. Исключив из обеих
сумм по одному члену с п = г (переход без изменения состояния),
напишем
Е' I С |2 _ Y^7 I с |2
п	п
Это и есть искомое равенство. В терминах функций w оно запи-
запишется в виде
Г'! = /ЦГ,Г1; Г, r'JrfT'dTi. B.9)
§ 3. Кинетическое уравнение Больцмана
Перейдем теперь к выводу основного уравнения кинетиче-
кинетической теории газов — уравнения, определяющего функцию рас-
распределения /(?, г, Г).
Если столкновениями молекул можно было бы пренебречь
вовсе, то каждая молекула газа представляла бы собой замкну-
замкнутую подсистему и для функции распределения молекул была бы
справедлива теорема Лиувилля, в силу которой
| = 0	C.1)
(см. V, § 3). Полная производная означает здесь дифференци-
дифференцирование вдоль фазовой траектории молекулы, определяемой ее
уравнениями движения. Напомним, что теорема Лиувилля име-
имеет место для функции распределения, определенной именно как
плотность в фазовом пространстве (т. е. в пространстве пере-
переменных, являющихся канонически сопряженными обобщенными
:) Квадрат |5т|2 при больших временах пропорционален t и после деле-
деления на t дает вероятность перехода, отнесенную к единице времени (ср. IV,
§ 64). Если волновые функции начальных и конечных частиц нормированы
«на 1 частицу в единичном объеме», то эта «вероятность» будет иметь ту же
размерность (см3/с), что и определенная согласно B.1) величина wdTdT\.

22	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
координатами и импульсами). Это обстоятельство не мешает, ко-
конечно, тому, что сама функция / может быть затем выражена и
через любые другие переменные.
В отсутствие внешнего поля величины Г свободно движущей-
движущейся молекулы остаются постоянными и меняются только ее коор-
координаты г; при этом
U = ^Z +
+ vV/.	C.2)
dt dt	J	v }
Если же газ находится, например, во внешнем поле f7(r), дей-
действующем на координаты центра инерции молекулы (скажем, в
поле тяжести), то
где F = — X7U — сила, действующая на молекулу со стороны
поля.
Учет столкновений нарушает равенство C.1); функция рас-
распределения перестает быть постоянной вдоль фазовых траекто-
траекторий. Вместо C.1) надо писать
| = St/,	C.4)
dt
где символ St / означает скорость изменения функции распреде-
распределения благодаря столкновениям: dVdT • St/ есть отнесенное к
единице времени изменение за счет столкновений числа молекул
в фазовом объеме dV dT. Написанное в виде
% = -W/ + St/
dt
уравнение C.4) (с df /dt из C.2)) определяет полное изменение
функции распределения в заданной точке фазового простран-
пространства; член dV dF(vV'/) есть убыль (в 1 с) числа молекул в задан-
заданном элементе фазового пространства, связанная с их свободным
движением.
Величину St / называют интегралом столкновений, а урав-
уравнения вида C.4) называют вообще кинетическими уравнения-
уравнениями. Разумеется, кинетическое уравнение приобретает реальный
смысл лишь после установления вида интеграла столкновений.
К этому вопросу мы сейчас и перейдем.
При столкновении двух молекул значения их величин Г ме-
меняются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой,
выводит ее из заданного интервала dT] о таких столкновениях
говорят как об актах «ухода». Полное число столкновений с пе-
переходами Г, Г*1 —>• Г7, Г^ со всеми возможными значениями Г]_, Г7,
Т[ при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме

§ 3	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА	23
dVj равно интегралу
dV dY f w(Tf, Г71; Г, Г^/Д rfrx dV dT[.
Происходят, однако, и такие столкновения («приход»), в резуль-
результате которых молекулы, обладавшие первоначально значениями
величин Г, лежащими вне заданного интервала с/Г, попадают в
этот интервал. Это — столкновения с переходами Г7, Г[ —>> Г,Гх
снова со всеми возможными Fi, Г7, Г[ при заданном Г. Пол-
Полное число таких столкновений (в единицу времени в объеме dV)
равно
dV dT J wiT^rXX^ffid^dT' dr'v
Вычтя число актов ухода из числа актов прихода, найдем таким
образом, что в результате всех столкновений рассматриваемое
число молекул увеличивается в 1 с на
dv dv /(«//'/{- wf
где для краткости обозначено
u» = u»(r',ri;r,ri), w' = «;(r,ri;r',ri).	C.5)
Таким образом, находим следующее выражение для интегра-
интеграла столкновений:
St/ = Jiw'f'fi-wff^dTKir'dr^	C.6)
Во втором члене в подынтегральном выражении интегрирование
по dV dT^ относится только к функции W] множители /, Д от
этих переменных не зависят. Поэтому эту часть интеграла мож-
можно преобразовать с помощью соотношения унитарности B.9). В
результате интеграл столкновений примет вид
St/ = Jwl(ff[-ff1)dT1dT'dT'1,	C.7)
в котором оба члена входят с одинаковым коэффициентом wf 1).
Установив вид интеграла столкновений, мы тем самым полу-
получили возможность написать кинетическое уравнение
f + W/ = / w'(f'f[ - fh) <*Ti dV dF'v	C.8)
Это интегро-дифференциальное уравнение называют также
уравнением Больцмана. Оно было впервые установлено основа-
основателем кинетической теории Людвигом Больцманом в 1872 г.
Равновесное статистическое распределение должно удовле-
удовлетворять кинетическому уравнению тождественным образом. Это
:) Возможность преобразования интеграла столкновений с помощью B.9)
указана Штюккельбергом (E.C.G. Stilckelberg, 1952).

24	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
условие действительно выполняется. Равновесное распределение
стационарно и (в отсутствие внешнего поля) однородно; поэтому
левая часть уравнения C.8) тождественно обращается в нуль.
Равен нулю также и интеграл столкновений: в силу равенства
B.5) обращается в нуль подынтегральное выражение. Удовле-
Удовлетворяет кинетическому уравнению, конечно, и равновесное рас-
распределение для газа во внешнем поле. Достаточно вспомнить,
что левая часть кинетического уравнения есть полная произ-
производная df /dtj тождественно обращающаяся в нуль для всякой
функции /, зависящей только от интегралов движения; равно-
равновесное же распределение выражается только через интеграл дви-
движения — полную энергию молекулы б(Г).
В изложенном выводе кинетического уравнения столкнове-
столкновения молекул рассматривались по существу как мгновенные ак-
акты, происходящие в одной точке пространства. Ясно поэтому,
что кинетическое уравнение позволяет в принципе следить за из-
изменением функции распределения лишь за промежутки време-
времени, большие по сравнению с длительностью столкновений, и на
расстояниях, больших по сравнению с размерами области столк-
столкновения. Последние порядка величины радиуса действия моле-
молекулярных сил d (для нейтральных молекул совпадающего с их
размерами); время же столкновения порядка величины d/v. Эти
значения и устанавливают нижний предел расстояний и длитель-
длительностей, рассмотрение которых допускается кинетическим урав-
уравнением (к происхождению этих ограничений мы вернемся еще
в § 16). Но фактически обычно нет необходимости (да и воз-
возможности) в столь детальном описании поведения системы; для
этого понадобилось бы, в частности, и задание начальных усло-
условий (пространственного распределения молекул газа) с такой же
точностью, что фактически неосуществимо. В реальных физи-
физических вопросах существуют характерные параметры длины L и
времени Т, навязываемые системе условиями задачи (характер-
(характерные длины градиентов макроскопических величин газа, длины
и периоды распространяющихся в нем звуковых волн и т. п.).
В таких задачах достаточно следить за поведением системы на
расстояниях и за времена, малые лишь по сравнению с этими
L и Т. Другими словами, малыми лишь по сравнению с L и Т
должны быть физически бесконечно малые элементы объема и
времени. Усредненными по таким элементам задаются и началь-
начальные условия задачи.
Для одноатомного газа величины Г сводятся к трем ком-
компонентам импульса атома р, а согласно B.8) функция w' в
интеграле столкновений может быть заменена функцией w =
= w(pf, р[; р, pi). Выразив затем эту функцию через дифферен-
дифференциальное сечение столкновений da согласно w d3pf d3p[ = v0TU da

§ 3	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА	25
(где г>Отн — lv ~~ vih CM- B-2)), получим
St/ = /«отн(/71 - ffi)dad3Pl.	C.9)
Функция kj, ас нею и сечение da, определенное согласно B.2),
содержат в себе E-функционные множители, выражающие зако-
законы сохранения импульса и энергии, в силу которых переменные
Pi5 Р7; Pi (ПРИ заданном р) в действительности не независимы.
Но после того, как интеграл столкновений выражен в виде C.9),
можно считать, что эти E-функции уже устранены соответствую-
соответствующим интегрированием; тогда da будет обычным сечением рассе-
рассеяния, зависящим (при заданном г>0Тн) только от угла рассеяния.
Для качественного рассмотрения кинетических явлений в
газе используется грубая оценка интеграла столкновений с по-
помощью понятия длины свободного пробега I — некоторого сред-
среднего расстояния, проходимого молекулой между двумя после-
последовательными столкновениями 1). Эта величина имеет, конечно,
лишь качественный характер; самое ее определение зависит от
того, какое именно кинетическое явление в газе рассматривает-
рассматривается.
Длина свободного пробега может быть выражена через сече-
сечение столкновений а и плотность числа молекул в газе N. Пусть
молекула в своем движении прошла 1 см; на этом пути она столк-
столкнулась с молекулами, находящимися в объеме а (объем цилиндра
с площадью сечения а и длиной 1 см); в этом объеме имеется aN
молекул. Ясно поэтому, что
1 ~ дЬ	(ЗЛ°)
Сечение столкновений а ~ d2, где d — молекулярные размеры.
Написав также N ~ г ~3, где г — среднее расстояние между мо-
молекулами, найдем, что
_ , , , ,/"^3
г
Поскольку в газе г ^> с/, то длина пробега / 3> г.
Отношение т ~ l/v называют временем свободного пробега.
Для грубой оценки интеграла столкновений можно положить
St/~-^A~-|(/-/0).	C.12)
Написав в числителе разность / — /о, мы тем самым учли, что ин-
интеграл столкновений обращается в нуль для равновесной функ-
функции распределения. Знак минус в C.12) выражает тот факт, что
Это понятие было впервые введено Клаузиусом (R. Clausius, 1858).

26	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
столкновения являются механизмом установления статистиче-
статистического равновесия, т. е. стремятся уменьшить отклонение функ-
функции распределения от равновесной. В этом смысле величина т
играет роль времени релаксации для установления равновесия в
каждом элементе объема газа.
§ 4. Я-теорема
Предоставленный самому себе газ, как и всякая замкнутая
макроскопическая система, стремится перейти в равновесное со-
состояние. Соответственно эволюция неравновесной функции рас-
распределения согласно кинетическому уравнению должна сопро-
сопровождаться возрастанием энтропии газа. Покажем, что это дей-
действительно так.
Как известно, энтропия идеального газа, находящегося в
неравновесном макроскопическом состоянии, описывающемся
функцией распределения /, равна
S= f fln-dVdT	D.1)
(см. V, § 40). Дифференцируя это выражение по времени, пишем
И = [ d-(fln-)dVdT = - flnf^dVdT. D.2)
dt J dtV fJ	J dt	v }
Поскольку установление статистического равновесия в газе
осуществляется столкновениями молекул, то возрастание энтро-
энтропии должно быть связано именно со столкновительной частью
изменения функции распределения. Изменение же этой функ-
функции, связанное со свободным движением молекул, не может изме-
изменить энтропии газа. Действительно, эта часть изменения функ-
функции распределения дается (для газа во внешнем поле U(r)) пер-
первыми двумя членами в правой части уравнения
Их вклад в производную dS/dt равен
+Fi] ('Ч)dvdr-
Но интеграл по dV от члена с производной д/дт преобразуется
согласно теореме Гаусса в интеграл по поверхности; при интегри-
интегрировании по всему объему газа он обращается в нуль, поскольку
за пределами занимаемого газом объема / = 0. Аналогичным
образом, член с производной д/др при интегрировании по d3p

Я-ТЕОРЕМА	27
преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности
в импульсном пространстве и тоже обращается в нуль.
Таким образом, для изменения энтропии остается
Ш = -flnf-StfdTdV.	D.3)
Cut
Этот интеграл можно преобразовать с помощью приема, ко-
который мы сформулируем (имея в виду также и дальнейшие при-
применения) в общем виде для интеграла
j>(r)st/dr,
где (р(Т) — любая функция величин Г. Представив интеграл
столкновений в виде C.6), пишем
st / dr = J рцг, ri; r, r'j/'/i^r -
где для краткости обозначено с/4Г = dTdTi dV dr[. Поскольку
интегрирование производится здесь по всем переменным Г, Гх,
Г7, Г'1? то можно, не меняя интеграла, произвести любое переобо-
переобозначение переменных. Взаимно переобозначив Г, Гх и Г7, Г^ во
втором интеграле, получим
Переобозначив теперь Г, Г7 <н> Гх, Г'1? взяв полусумму получаю-
получающихся таким образом интегралов и учтя очевидную симметрию
функции w по отношению к двум сталкивающимся частицам,
получим формулу преобразования
/ у>(Г) St / dr = I /(p + w - tp' - rtWf'f^T.	D.4)
В частности, интеграл J St / dT = 0; представив здесь St / в виде
C.7), получим
/St/dT = /«/(/'/{ - //i)d4r = 0.	D.5)
В применении к интегралу D.3) формула D.4) дает
^ = 1 fw'f'f[\n^d4TdV = - [w'fflX\nxd4rdV,
dt 2 У J J1 fh	2J JJ
где обозначено х = f'f[/ffi- Вычтя из этого выражения полови-
половину равного нулю интеграла D.5), перепишем его в виде
^ = 1 fw'fhixlnx-x + tfcftrdV.	D.6)

28	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Функция в скобках в подынтегральном выражении неотрица-
неотрицательна при всех х > 0: она равна нулю при х = 1 и возрастает по
обе стороны от этой точки. По определению положительны так-
также и множители wf, /, Д под знаком интеграла. Таким образом,
мы приходим к требуемому результату
§>0,	D.7)
at
выражающему собой закон возрастания энтропии (знак равен-
равенства имеет место в равновесии) г).
Обратим внимание на то, что в силу неотрицательности
подынтегрального выражения в D.6) (а тем самым и в D.3)) по-
положителен не только весь интеграл D.3) по dT dV, но и интеграл
только по dT. Другими словами, столкновения приводят к возра-
возрастанию энтропии в каждом элементе объема газа. Это, конечно,
не значит, что энтропия вообще возрастает в каждом элементе
объема, так как она может переноситься из одного участка в
другой за счет свободного движения молекул.
§ 5. Переход к макроскопическим уравнениям
Кинетическое уравнение Больцмана дает микроскопическое
описание эволюции состояния газа. Покажем, каким образом
производится переход от кинетического уравнения к обычным
уравнениям гидродинамики, осуществляющим менее детальное,
макроскопическое описание этой эволюции. Такое описание при-
применимо в условиях, когда макроскопические свойства газа (его
температура, плотность, скорость и т. п.) достаточно медленно
меняются вдоль его объема: расстояния L, на которых происхо-
происходит существенное изменение этих свойств, должны быть велики
по сравнению с длиной свободного пробега молекул /.
Мы уже упоминали, что интеграл
N(t,r) = Jf(t,r,r)dT	E.1)
есть плотность распределения молекул газа в пространстве; про-
произведение р = mN есть соответственно массовая плотность газа.
Скорость макроскопического движения газа обозначим через V
(в отличие от микроскопических скоростей молекул v); она опре-
определяется как среднее значение
V = v = l/v/dr.	E.2)
г) Доказательство закона возрастания энтропии с помощью кинетическо-
кинетического уравнения было дано Больцманом и явилось первым микроскопическим
обоснованием этого закона. В применении к газам этот закон часто называ-
называют Н-теоремой (по обозначению — Н, использованному Больцманом для
энтропии).

§ 5	ПЕРЕХОД К МАКРОСКОПИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ	29
Столкновения не меняют ни числа сталкивающихся частиц,
ни их суммарных энергии и импульса. Ясно поэтому, что столк-
новительная часть изменения функции распределения не мо-
может привести к изменению также и макроскопических величин в
каждом элементе объема газа — его плотности, внутренней энер-
энергии и макроскопической скорости V. Действительно, столкно-
вительные части изменения полных числа, энергии и импульса
молекул в единице объема газа даются равными нулю интегра-
интегралами
/St/dT = O, /eSt/dT = O, /pSt/dT = O.	E.3)
В этих равенствах легко убедиться, применив к интегралам пре-
преобразование D.4) соответственно с ср = 1, е или р (первый ин-
интеграл обращается в нуль тождественно, а второй и третий — в
силу сохранения энергии и импульса при столкновениях).
Напишем теперь кинетическое уравнение
% + ^-(vaf) = Stf	E.4)
dt дха
и проинтегрируем его по с/Г, предварительно умножив на га, рр
или е. Во всех трех случаях правая часть уравнения обратится
в нуль и мы получим следующие уравнения:
^ + divpV = 0,	E.5)
dt
| pVa + ^ = 0,	E.6)
at	ox/3
^7V? + divq = 0.	E.7)
Первое из них есть обычное гидродинамическое уравнение непре-
непрерывности, выражающее собой сохранение массы газа. Второе
уравнение выражает сохранение импульса; тензор П^ опреде-
определен как
Па/з = / mvavpf dY	E.8)
и представляет собой тензор плотности потока импульса: его
компонента ПаC есть а-я компонента импульса, переносимого
молекулами в 1 с через единичную площадку, перпендикуляр-
перпендикулярную оси хр. Наконец, E.7) есть уравнение сохранения энергии;
вектор q определен как
q = /ev/dr	E.9)
и представляет собой плотность потока энергии в газе.
Для приведения E.6) и E.7) к виду обычных гидродинами-
гидродинамических уравнений надо, однако, еще выразить Па^ и Ч через ма-
макроскопические величины. Мы уже упоминали, что макроско-
макроскопическое описание газа предполагает достаточную малость гра-
градиентов его макроскопических характеристик. В таком случае в

30	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
первом приближении можно считать, что в каждом отдельном
участке газа успевает установиться тепловое равновесие, между
тем как весь газ в целом не находится в равновесии. Другими сло-
словами, в каждом элементе объема функция распределения / при-
принимается локально-равновесной — совпадающей с равновесной
функцией /о с теми плотностью, температурой и макроскопиче-
макроскопической скоростью, которые имеются в данном элементе. Такое при-
приближение означает пренебрежение всеми диссипативными про-
процессами в газе — вязкостью и теплопроводностью. Естественно,
что уравнения E.6), E.7) сводятся при этом к уравнениям гид-
гидродинамики идеальной жидкости. Убедимся в этом.
Равновесное распределение в участке газа, движущемся как
целое со скоростью V, отличается от равновесного распределе-
распределения в неподвижном газе лишь преобразованием Галилея; перейдя
в систему отсчета К\ движущуюся вместе с газом, мы получим
обычное распределение Больцмана. Скорости v7 молекул в этой
системе связаны с их скоростями в исходной системе К посред-
посредством v = v7 + V. Пишем
Пар= mN(vavp)= mN((Va + v'a)(Vp + v'p)) = mN{VaVp + (v'av'p));
члены Vav'o и Vpv'a обращаются в нуль при усреднении по на-
направлениям v7, поскольку все направления скорости молекулы в
системе К' равновероятны. По этой же причине
средний же квадрат тепловой скорости (v/2) = ЗТ/m, где Т —
температура газа. Наконец, заметив, что NT есть давление га-
газа Р, получим
^aP=pVaVp + 8apP,	E.11)
т. е. известное выражение для тензора потока импульса в иде-
идеальной жидкости; уравнение E.6) с этим тензором эквивалентно
гидродинамическому уравнению Эйлера (см. VI, § 7).
Для преобразования интеграла E.9) замечаем, что энергия
молекулы е в системе отсчета К связана с ее энергией е' в системе
К посредством
Подставив это выражение HV = v' + VBq = TVev, получим
(при усреднении произведения v7(Vv7) использовано E.10)). Но
Ne' есть термодинамическая внутренняя энергия газа, отнесен-

§ 5	ПЕРЕХОД К МАКРОСКОПИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ	31
ная к единице объема; сумма же Ne1 + Р есть тепловая функ-
функция W того же количества газа. Таким образом,
E.12)
в согласии с известным выражением потока энергии в гидроди-
гидродинамике идеальной жидкости (см. VI, § 6).
Наконец, остановимся на законе сохранения момента импуль-
импульса в кинетическом уравнении. Строгий закон сохранения должен
иметь место лишь для полного момента газа, складывающего-
складывающегося из орбитального момента молекул в их поступательном дви-
движении и их собственных вращательных моментов М; плотность
полного момента дается суммой двух интегралов
/[гр]/<*Г + /М/<*Г.	E.13)
Но эти два члена имеют различный порядок величины. Орби-
Орбитальный момент относительного движения двух молекул, нахо-
находящихся на среднем расстоянии г друг от друга, порядка вели-
величины mv г; собственный же момент молекулы М ~ mvd, т. е.
мал по сравнению с орбитальным моментом (поскольку всегда
d<r).
Естественно поэтому, что кинетическое уравнение Больцма-
на, отвечающее первому неисчезающему приближению по малой
величине d/r, не может учесть малых изменений орбитального
момента, связанных с обменом между двумя частями полного
момента E.13). С этим связано то обстоятельство, что уравне-
уравнение Больцмана сохраняет полный орбитальный момент газа: из
равенства JpSt/dF = 0, выражающего сохранение импульса,
автоматически следует, что и
/[гр] St / dV = [г / р St / rfT] = 0.	E.14)
Происхождение этого свойства очевидно: поскольку в уравнении
Больцмана столкновения рассматриваются как происходящие в
одной точке, то вместе с суммой импульсов сталкивающихся мо-
молекул сохраняется также и сумма их орбитальных моментов.
Чтобы получить уравнение, описывающее изменение орбиталь-
орбитального момента, надо было бы учесть члены следующего порядка
по d/r, связанные с тем, что в момент соударения молекулы на-
находятся на конечном расстоянии друг от друга.
В то же время, однако, самый процесс обмена моментом меж-
между поступательными и вращательными степенями свободы мо-
может быть описан в рамках уравнения Больцмана соотношением
/MSt/dI\	E.15)
где Л4 — плотность собственного момента вращения молекул.
Поскольку при столкновении молекул сумма их собственных мо-
моментов не обязана сохраняться, интеграл в правой части E.15),

32	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
вообще говоря, отличен от нуля и определяет скорость изменения
величины Л4. Если в газе каким-либо искусственным способом
создана отличная от нуля плотность момента, то его дальнейшая
релаксация будет определяться уравнением E.15).
§ 6. Кинетическое уравнение
для слабо неоднородного газа
Для того чтобы включить в рассмотрение диссипативные
процессы (теплопроводность и вязкость) в слабо неоднород-
неоднородном газе, надо обратиться к следующему (после рассмотренно-
рассмотренного в предыдущем параграфе) приближению. Вместо того что-
чтобы считать функцию распределения в каждом участке газа про-
просто локально-равновесной функцией /о, учтем теперь также и
небольшое отличие / от /о, т. е. напишем / в виде
f = fo + Sf, Sf = -ffx(r) = i/oX,	F.1)
где Sf — малая поправка (Sf <С /о). Последнюю целесообразно
представлять в написанном здесь виде, вынеся из нее множитель
—dfo/ds] для распределения Больцмана эта производная отли-
отличается лишь множителем 1/Т от самой функции /q. Поправка
Sf должна в принципе определяться путем решения линеаризо-
линеаризованного по отношению к ней кинетического уравнения1).
Помимо самого кинетического уравнения, функция х должна
удовлетворять еще и определенным дополнительным условиям.
Дело в том, что /о есть равновесная функция распределения, от-
отвечающая заданным (в рассматриваемом элементе объема) плот-
плотностям числа частиц, энергии и импульса газа, т. е. заданным
значениям интегралов
ffodT, /е/о/Г, fpfodF.	F.2)
Неравновесная функция распределения F.1) должна приводить
к тем же значениям этих величин, т. е. интегралы с / и /о долж-
должны быть одинаковыми. Это значит, другими словами, что функ-
функция х должна удовлетворять условиям
O, JfoXedT = O, JfoXPdT = O. F.3)
Подчеркнем, что само понятие температуры в неравновесном
газе становится определенным лишь в результате приписыва-
приписывания интегралам F.2) определенных значений. Это понятие имеет
г) Такой метод решения кинетического уравнения принадлежит Энскогу
(D. Enskog, 1917).

§ 6	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СЛАБО НЕОДНОРОДНОГО ГАЗА	33
безусловный характер лишь в полностью равновесном состоянии
газа в целом; для определения же температуры в неравновес-
неравновесном газе требуется дополнительное условие, каковым и служит
задание указанных значений.
Преобразуем, прежде всего, интеграл столкновений в кинети-
кинетическом уравнении C.8). При подстановке в него функций в виде
F.1) члены, не содержащие малой поправки %, взаимно сокраща-
сокращаются, поскольку равновесная функция распределения обращает
интеграл столкновений в нуль. Члены первого порядка дают
St/ = |/(X),	F.4)
где 1(х) обозначает линейный интегральный оператор
Jw'Mx' + X[-X-Xi) <*Ti dr'dT',.	F.5)
Здесь использовано равенство /o/oi = /o/oi5 множитель /о мо-
может быть вынесен из-под знака интеграла, поскольку по dT не
производится интегрирования.
Обратим внимание на то, что интеграл F.5) тождественно
обращается в нуль для функций
X = const, х = const • ?, х = Р 3V	F.6)
(где SY — постоянный вектор); обращение в нуль для второй и
третьей из этих функций связано с сохранением энергии и им-
импульса в каждом столкновении. Будучи независимыми от време-
времени и координат, функции F.6) удовлетворяют, следовательно, и
всему кинетическому уравнению.
Эти решения имеют простое происхождение. Кинетическому
уравнению тождественно удовлетворяет равновесная функция
распределения с любыми (постоянными) плотностью частиц и
температурой. Поэтому ему автоматически удовлетворяет и ма-
малая поправка
8f SN f
возникающая при изменении плотности на 6N; отсюда возникает
первое из решений F.6). Аналогичным образом удовлетворяет
уравнению и добавка
возникающая в результате изменения Т на малую постоянную ве-
величину ST. Производная же dfo/dT складывается из члена вида
const • /о (происходящего от дифференцирования нормировочно-
нормировочного множителя в /о) и из члена, пропорционального б/о; отсюда
и возникает второе из решений F.6). Третье же из этих решений
2 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

34	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
возникает как выражение галилеевского принципа относитель-
относительности: равновесная функция распределения должна удовлетво-
удовлетворять кинетическому уравнению также и после перехода к любой
другой инерциальной системе отсчета. При переходе к системе,
движущейся относительно первоначальной с малой постоянной
скоростью EV, скорости молекул v заменяются на v + $V, так
что функция распределения получает приращение
чему и отвечает третье из решений F.6). «Паразитные» решения
F.6) исключаются наложением трех условий F.3).
Преобразование левой части кинетического уравнения про-
произведем сразу в общем виде, охватывающем как задачу о тепло-
теплопроводности, так и задачу о вязкости. Другими словами, допус-
допускаем существование градиентов всех макроскопических характе-
характеристик газа, в том числе его макроскопической скорости V.
Равновесная функция распределения в неподвижном (V = 0)
газе есть распределение Больцмана, которое напишем в виде
/0 = ехр (^М) ,	F.7)
где \i — химический потенциал газа. Распределение же в движу-
движущемся газе отличается от F.7) (как уже было отмечено в § 5)
лишь галилеевским преобразованием скорости. Для того чтобы
написать эту функцию в явном виде, выделим из полной энер-
энергии молекулы 6(Г) кинетическую энергию ее поступательного
движения:
2
е(Т) = —+ ?вн;	F.8)
внутренняя энергия ?вн включает в себя энергию вращения мо-
молекулы и колебательную энергию. Заменив v на v — V, получим
распределение Больцмана в движущемся газе:
г	f Р> — ?вн\ / m(v — VJ\	(а пч
/о = ехр \—^) ехр (- У 2Т J ) •	F-9)
В слабо неоднородном газе /о зависит от координат и вре-
времени, причем эта зависимость возникает через посредство ме-
меняющихся вдоль газа (и со временем) его макроскопических ха-
характеристик — скорости V, температуры Т и давления Р (а с
ними и /i). Поскольку градиенты этих величин предполагаются
малыми, в левой части кинетического уравнения достаточно (в
рассматриваемом приближении) подставить /о вместо /.
Вычисления можно несколько упростить, учтя очевидную
независимость интересующих нас в конечном счете кинетиче-
кинетических коэффициентов от скорости V. Поэтому достаточно рас-

§ 6	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СЛАБО НЕОДНОРОДНОГО ГАЗА	35
смотреть какую-либо одну точку в газе и выбрать в качестве та-
таковой ту, в которой скорость V (но, конечно, не ее производные)
равна нулю.
Продифференцировав выражение F.9) по времени и положив
затем V = 0, получим
1 дт (dfi\ дР_ + mv^v
\ dt \dPJT dt	dt '
/о dt WdTJ p	T
Согласно известным термодинамическим формулам имеем
(ЕЕ) =-8, (ЕЕ) = 1, ^ = W-Ts,
где w, s и 1/N — тепловая функция, энтропия и объем, отнесен-
отнесенные к одной частице газа. Поэтому
Та/о s(T)-wdT , 1 дР ,	dV	,Л1пЧ
	— = -^^	+	+ mv—.	F.10)
/о dt	Т dt N dt	dt	V }
Аналогичным образом найдем
ivVP + mvaVpVcp,	F.11)
где для краткости введено обозначение
\{^ + ^), ^ee dvV;	F.12)
в последнем члене в F.11) произведена тождественная замена
Левая часть кинетического уравнения получается сложением
выражений F.10), F.11). При этом все производные по време-
времени от макроскопических величин могут быть выражены через
их пространственные градиенты согласно гидродинамическим
уравнениям идеальной (т. е. невязкой и нетеплопроводящей) сре-
среды; учет диссипативных членов здесь привел бы к величинам
высшего порядка малости. В точке, в которой V = 0, уравнение
Эйлера дает
— = --VP = -—VP.	F.13)
dt	p	Nm	v ;
В той же точке из уравнения непрерывности имеем dN/dt =
= — TVdiv V, или
1 dN I dP 1 ОТ	i. лг	(а 1/(ч
	=	—	= —divV	F.14)
N dt P dt T dt	v ;

36	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
(использовано уравнение состояния идеального газа N = Р/Т).
Наконец, уравнение сохранения энтропии, ds/dt + Ws = 0, дает
ds/dt = 0, или
cJLdT_LdP=	(б15)
Т dt P dt	K J
где использованы термодинамические формулы
(El) - 2l (El) - _i
\дт)р ~ т' \дР/т ~ Р
(ср — теплоемкость, тоже отнесенная к одной молекуле); вторая
из этих формул относится к идеальному газу. Из равенств F.14),
F.15) находим
\_dT_ = _ldivV ±дР_ = _^
Т dt	cv	' Р dt	cv
(учтено, что для идеального газа ср — cv = 1).
Простое вычисление приводит теперь к результату
/о (еСГ) — w
|^vVT + mvavpVap +	^	— div V|. F.17)
Подчеркнем, что до сих пор не делалось никаких специфических
предположений о характере температурной зависимости термо-
термодинамических величин; использовалось лишь общее уравнение
состояния идеального газа. Для газа же с классическим враще-
вращением молекул и невозбужденными колебаниями теплоемкость не
зависит от температуры и тепловая функция1)
w = срТ.	F.18)
Тогда последний член в F.17) упрощается; приравняв F.17) и
F.4), напишем окончательно кинетическое уравнение в виде
;	\mvavp - 5ареЩ Va$ = I(X).	F.19)
В следующих двух параграфах это уравнение будет рассмотрено
более подробно в применении к задачам о теплопроводности и
вязкости.
Напомним, что уже из закона возрастания энтропии следует,
что градиент давления (в отсутствие градиентов температуры
и скорости) не приводит к возникновению диссипативных про-
процессов (ср. VI, § 49). В кинетическом уравнении это требование
удовлетворяется автоматически и проявляется в выпадении гра-
градиента давления из левой части F.19).
) Предполагается, что энергия молекулы е(Г) отсчитывается от ее наи-
наименьшего значения; соответственно этому опускается и независящая от тем-
температуры аддитивная постоянная в w.

§ 7	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗА	37
§ 7. Теплопроводность газа
Для вычисления коэффициента теплопроводности газа надо
решать кинетическое уравнение с градиентом температуры. Со-
Сохранив в F.19) лишь первый член в левой части, имеем
(r)r	G.1)
Решение этого уравнения надо искать в виде
X = gVT,	G.2)
где вектор g — функция только от величин Г. Действительно,
при подстановке в G.1) в обеих частях равенства получаем мно-
множитель VT. Поскольку уравнение должно иметь место при про-
произвольных значениях вектора VT, должны быть равными коэф-
коэффициенты при VT в обеих частях равенства, так что мы полу-
получаем для g уравнение
v^_?^ = /(g)>	G3)
уже не содержащее VT (а тем самым и явной зависимости от
координат).
Функция х должна еще удовлетворять условиям F.3). С
функцией х в виде G.2) первые два из этих условий удовле-
удовлетворяются автоматически: это очевидно уже из того, что урав-
уравнение G.3) не содержит никаких векторных параметров, вдоль
которых могли бы быть направлены постоянные векторы — ин-
интегралы / fogdT и / foegdV. Третье же накладывает на решение
уравнения G.3) дополнительное условие
//ovgdr = O.	G.4)
Если кинетическое уравнение решено и функция х извест-
известна, то можно определить коэффициент теплопроводности, вы-
вычисляя поток энергии, точнее — его диссипативную часть, не
связанную просто с конвективным переносом энергии (эту часть
потока энергии будем обозначать символом q7). Но в отсутствие
макроскопического движения в газе q7 совпадает с полным по-
потоком энергии q, даваемым интегралом E.9). При / = /о этот
интеграл исчезает тождественно за счет интегрирования по на-
направлениям v. Поэтому при подстановке / F.1) остается
q = | / v/oxe dT = I / /oev(gVT) dT,
или, в компонентах,
Ча = ~H(*{3 — ,	Xa{3 = -- / foZVagp dT.	G.5)

38	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Ввиду изотропии равновесного газа какие-либо избранные на-
направления в нем отсутствуют и тензор уса$ может выражаться
лишь через единичный тензор Sap, т. е. сводится к скаляру:
Таким образом, поток энергии
q = -xVT,	G.6)
где скалярный коэффициент теплопроводности
^	G.7)
Положительность этой величины (поток q должен быть на-
направлен противоположно градиенту температуры) автоматиче-
автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (см. § 9).
В одноатомных газах скорость v — единственный вектор, от
которого зависит функция g; ясно поэтому, что эта функция дол-
должна иметь вид
g = -g(v).	G.8)
V
В многоатомных газах функция g зависит уже от двух век-
векторов — скорости v и момента М. Если симметрия молекул не
допускает существования стереоизомерии, то интеграл столкно-
столкновений, а с ним и уравнение G.3) инвариантны по отношению к
инверсии; такой же инвариантностью должно обладать и его ре-
решение х- Другими словами, \ — gVT должно быть истинным
скаляром, а поскольку градиент VT есть истинный вектор, то
таким же вектором должна быть и функция g. Так, для двух-
двухатомного газа, где векторами v и М исчерпываются величины Г,
функция g(F) имеет вид
g = vgl + M(vM)g2 + [vM]g3,	G.9)
где g1? g2i gs — скалярные функции от скалярных аргументов
v2, M2, (vMJ; это наиболее общий вид истинного вектора, ко-
который может быть построен из истинного же вектора v и псев-
псевдовектора М г).
Если же вещество представляет собой стереоизомер, то ин-
инвариантность по отношению к инверсии отсутствует: как уже
отмечалось в § 2, в таком случае инверсия «превращает» газ, по
существу, в другое вещество. Соответственно функция х сможет
содержать также и псевдоскалярные члены, т. е. функция g —
псевдовекторные члены (например, член вида g4M).
г) Решения уравнения Больцмана для газа с вращающимися молекулами
впервые рассматривались Ю.М. Каганом и A.M. Афанасьевым A961).

ВЯЗКОСТЬ ГАЗА	39
Условие применимости изложенного метода решения кинети-
кинетического уравнения (основанного на предположении о близости /
к /о) можно выяснить путем оценки интеграла столкновений со-
согласно C.12). Средняя энергия молекулы ~е ~ Т, поэтому оценка
обеих частей уравнения G.3) дает v~g/r~gv/l, откуда g~l.
Условие х/Т ~ g | VT|/T <С 1 (эквивалентное требованию ?/ <С /о)
означает, следовательно, что расстояния L, на которых темпера-
температура испытывает существенное изменение (|VT| ~ T/L), долж-
должны быть велики по сравнению с /. Другими словами, функция ви-
вида F.1) представляет собой первые члены разложения решения
кинетического уравнения по степеням малого отношения 1/L.
Оценка интеграла G.7) с g ~ I приводит к формуле
k~cNIv,	G.10)
где с — отнесенная к одной молекуле теплоемкость газа. Это —
известная элементарная газокинетическая формула (ср. примеч.
на с. 57). Положив в ней / ~ 1/JVcr, с ~ 1 и v ~ у/Т/т, имеем
G.11)
В этой оценке сечение а относится к средней тепловой скоро-
скорости молекул, и в этом смысле его надо понимать как функцию
температуры. С увеличением скорости сечение, вообще говоря,
убывает; соответственно а будет убывающей функцией темпе-
температуры. При не слишком низких температурах молекулы газа
ведут себя, качественно, как твердые упругие частицы, взаимо-
взаимодействующие друг с другом лишь при непосредственных столк-
столкновениях. Такому характеру взаимодействия отвечает слабо за-
зависящее от скорости (а потому и от температуры) сечение столк-
столкновений. В этих условиях зависимость к от температуры близка
к пропорциональности у/Т.
При заданной температуре коэффициент теплопроводности,
как это видно из G.11), не зависит от плотности газа или, что
то же, от его давления. Подчеркнем, что это важное свойство не
связано со сделанными при оценке предположениями и являет-
является точным в рамках кинетического уравнения Больцмана. Оно
возникает как следствие того, что в этом уравнении учитывают-
учитываются только парные столкновения молекул (именно поэтому длина
пробега оказывается обратно пропорциональной плотности газа).
§ 8. Вязкость газа
Вычисление вязкости газа с помощью кинетического урав-
уравнения производится аналогично вычислению теплопроводности.

40	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Разница состоит в том, что отклонение от равновесия обусловле-
обусловлено не градиентом температуры, а неоднородностью потока газа
по скорости макроскопического движения V. При этом снова
предполагается, что характерные размеры задачи L ^> /.
Существуют, как известно, два вида вязкости, коэффициен-
коэффициенты которых принято обозначать посредством т\ и ?. Они опре-
определяются как коэффициенты в тензоре вязких напряжений а'ао,
входящем как часть в тензор плотности потока импульса:
IW = Р6аР + pVaVp - a'afh	(8.1)
</ар = 2*7 (уар - i 6af> div v) + CSap div V,	(8.2)
где Vap определено согласно F.12) (см. VI, § 15). В несжимаемой
жидкости проявляется лишь вязкость г/. «Вторая» же вязкость (
проявляется при движениях, в которых div V ф 0. Оба коэффи-
коэффициента целесообразно вычислять раздельно.
Опустив в общем кинетическом уравнении F.19) член с гра-
градиентом температуры, перепишем его в виде
mvavp (Vap - i 6aP div V) + (П|! - ??)) div V = I(x), (8.3)
где в левой части разделены члены, создающие первую и вторую
вязкости. При вычислении первой вязкости надо считать, что
div V = 0. Получающееся уравнение тождественно перепишем в
виде
m (yavp - i 8aPv2) VaP = I(x),	(8.4)
где оба тензорных множителя в левой стороне имеют равный
нулю след.
Решение этого уравнения ищем в виде
X = gapva{3,	(8.5)
где gap(T) — симметричный тензор; поскольку след Vaa = 0, то
прибавлением к gap члена coSap можно всегда добиться того,
чтобы было и gaa = 0, не меняя при этом функции х- Для gap
имеем уравнение
m [yavp - i SaCv2j = I(gaj3).	(8.6)
Дополнительные условия F.3) удовлетворяются автоматически.
Поток импульса вычисляется по функции распределения как
интеграл E.8). Интересующая нас часть этого тензора — тензор
вязких напряжений — дается интегралом
fVaVpfoXdF TjafasVjS,	(8.7)

ВЯЗКОСТЬ ГАЗА	41
Величины т}а^§ составляют тензор четвертого ранга, симмет-
симметричный по парам индексов а, /3 и 7, 8 и дающий нуль при упро-
упрощении по паре 75 8. Ввиду изотропии газа этот тензор может вы-
выражаться только через единичный тензор 6ар. Выражение, удо-
удовлетворяющее этим условиям:
2
з(
Тогда а'ао = 2r)Vap, так что г/ есть искомый скалярный коэффи-
коэффициент вязкости. Он определяется путем упрощения тензора по
парам индексов а, 7 и /3, S:
(8.9)
В одноатомном газе gap является функцией только от векто-
вектора v. Общий вид такого симметричного тензора с равным нулю
следом есть
gap = fVaV/3 -±Sa/3v2) g(v)	(8.10)
с одной только скалярной функцией g(v). В многоатомных газах
тензор gap составляется с помощью большего числа переменных,
в том числе двух векторов v и М. В отсутствие стереоизометрии
gap может содержать только истинно-тензорные члены; в газе
стереоизомерного вещества допускаются также и псевдотензор-
псевдотензорные члены.
Оценка коэффициента вязкости, аналогичная оценке G.10)
для коэффициента теплопроводности, приводит к известной эле-
элементарной газокинетической формуле
г/ - mvNl	(8.11)
(см. примеч. на с. 57). При этом температуропроводность и ки-
кинематическая вязкость оказываются одинакового порядка вели-
величины:
x/(Ncp) ~ r)/{Nm) - vl	(8.12)
Положив в (8.11) Z ~ 1/Na и v ~ (T/mI/2, получим
г/ - VmT/a.	(8.13)
Все сказанное в § 7 о зависимости х от давления и от темпера-
температуры относится и к коэффициенту вязкости г/.
Для вычисления второго коэффициента вязкости надо счи-
считать отличным от нуля второй член в левой части кинетического
уравнения (8.3):
(8.14)

42	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Ищем решение в виде
X = gdivV	(8.15)
и для функции g находим уравнение
^ jn	(8.16)
Вычислив тензор напряжений и сравнив его с выражением
C8a{3 div V, получим коэффициент вязкости в виде
C = ~Iv2gf0dT.	(8.17)
У одноатомных газов 6(Г) = mv2/2, cv = 3/2, и левая часть
уравнения (8.16) обращается в нуль. Из уравнения I(g) = 0 сле-
следует тогда, что и g =0, а потому и ( = 0. Мы приходим, таким
образом, к интересному результату: у одноатомных газов вторая
вязкость равна нулю 1).
Задача
Показать, что вторая вязкость газа ультрарелятивистских частиц равна
нулю (И.М. Халатников, 1955).
Решение. Энергия е релятивистской частицы в системе отсчета К, в
которой газ движется с (нерелятивистской) скоростью V, связана с ее энер-
энергией е' в системе К1, в которой газ покоится, формулой е' = е — pV, где р —
импульс частицы в системе К (это — формула преобразования Лоренца, в
которой опущены члены более чем первого порядка по V). Функция распре-
распределения в системе К: /о(е — pV), где fo(?f) — распределение Больцмана.
Интересуясь лишь вязкостью, мы можем с самого начала считать равны-
равными нулю градиенты всех макроскопических величин, за исключением лишь
скорости V; тогда и <9V/dt = 0, так что последний член в F.10) выпадает 2).
В F.11) первые два члена тоже отсутствуют, а третий заменяется на
vV(pV) = vapC—^- = vapCVaC
(направления v и р совпадают, поэтому paVf3 = ppva). Уравнения непрерыв-
непрерывности и сохранения энтропии в использованном в § 6 виде остаются спра-
справедливыми и при движении (с малыми скоростями V) релятивистского газа.
:) Подчеркнем, что речь идет о газах именно в том приближении по «па-
«параметру газовости» Nds, которому отвечает уравнение Больцмана (и в кото-
котором вязкость г] оказывается независящей от плотности). В следующих при-
приближениях (следующие члены «вириального разложения» — см. § 18) появ-
появляется и отличная от нуля вязкость ?. Существенна также и квадратичная
зависимость энергии частицы от ее импульса; в релятивистском «одноатом-
«одноатомном» газе вторая вязкость уже не равна нулю (она обращается, однако, снова
в нуль в другом предельном случае — ультрарелятивистском; см. задачу).
) Во избежание недоразумений напомним, что в релятивистском газе гра-
градиент давления дает свой вклад в теплопроводящий поток энергии (см. VI,
§ 126).

§ 9	СИММЕТРИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ	43
Поэтому остаются в силе и формулы F.16). В результате кинетическое урав-
уравнение принимает вид
(	(
Cv
В задаче о второй вязкости надо положить Уа/з = - да/з div V, и тогда
о
В ультрарелятивистском газе v ~ с, е = ср, а теплоемкость cv = 3 (см. V, §
44, задача), так что левая часть уравнения, а с нею и \ обращаются в нуль.
§ 9. Симметрия кинетических коэффициентов
Коэффициенты теплопроводности и вязкости относятся к
категории величин, определяющих процессы релаксации сла-
слабо неравновесных систем. Эти величины — кинетические ко-
коэффициенты — удовлетворяют принципу симметрии (принцип
Онсагера), который может быть установлен в общем виде, без
рассмотрения конкретных релаксационных механизмов. Но при
конкретном вычислении кинетических коэффициентов с по-
помощью кинетических уравнений принцип симметрии не дает
каких-либо условий, которые должны были бы дополнительно
налагаться на решение уравнений. При таком вычислении тре-
требования этого принципа удовлетворяются, разумеется, автома-
автоматически. Полезно проследить за тем, каким образом это проис-
происходит.
Напомним, что в общей формулировке принципа Онсагера
(см. V, § 120) фигурирует набор величин хп1 характеризующих
неравновесность системы, и набор «термодинамически сопря-
сопряженных» с ними величин Ха = —dS/dxa (S — энтропия систе-
системы) . Процесс релаксации слабо неравновесной системы описыва-
описывается уравнениями, определяющими скорости изменения величин
ха в виде линейных функций величин Ха:
2_^JabXb,	(9.1)
-г-
b
где jab — кинетические коэффициенты. Согласно принципу Он-
сагера, если ха и хь одинаково ведут себя при обращении време-
времени, то
lab = Iba-	(9.2)
При этом скорость изменения энтропии дается квадратичной
формой
Jab^a^b'	\^'°)
a,b

44	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Первым из этих выражений часто бывает удобным пользоваться
для установления соответствия между величинами ха и Ха.
В случае теплопроводности в качестве «скоростей» ха рас-
рассматриваем компоненты q'a вектора диссипативного теплового
потока (в каждой заданной точке среды); индекс а совпадает
при этом с векторным индексом а. Соответствующими величи-
величинами Ха будут тогда производные Т~2дТ/дха (ср. IX, § 88). Роль
уравнений (9.1) играют равенства q'a = —кардТ/дхр, так что
кинетическими коэффициентами 7аб являются величины Т2кар.
Согласно принципу Онсагера должно быть кар = кра.
Аналогичным образом, в случае вязкости в качестве величин
ха рассматриваем компоненты тензора вязкого потока импульса
аав1 а соответствУюЩими Ха являются —Vafi/T (индексу а от-
отвечает при этом пара тензорных индексов аC). Роль уравнения
(9.1) играют соотношения а'ао = r/a/37jV^, а кинетическими ко-
коэффициентами являются величины Tr]a^s- Согласно принципу
Онсагера должно быть r]aC<yS — V-r6aC •
В рассмотренных в предыдущих параграфах задачах о теп-
теплопроводности и вязкости газов указанная симметрия тензоров
^а/з и r]af3j$ возникала автоматически уже как следствие изотро-
изотропии среды, безотносительно к решению кинетического уравне-
уравнения. Покажем, однако, что эта симметрия возникла бы и в ре-
результате решения кинетического уравнения, безотносительно к
изотропии газа.
Схема решения задач о теплопроводности и вязкости в слабо
неоднородном газе состояла в том, что поправка к равновесной
функции распределения ищется в виде
a(r)Xa	(9.4)
и для функций ga получаются уравнения вида
.	(9.5)
Величинами La являются компоненты вектора
Т[е(Г) - cpT]va
в случае теплопроводности, или тензора
-Т \mvavp - —^/з]
L	cv J
в случае вязкости (ср. F.19)). Решения уравнений (9.5) должны
удовлетворять дополнительным условиям

§ 9	СИММЕТРИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ	45
С учетом этих условий кинетические коэффициенты 7^/3 могут
быть записаны в виде интегралов
T2lab = -Jf0LagbdT.	(9.6)
Доказательство симметрии 7аб — 1Ьа сводится, таким образом, к
доказательству равенства интегралов
Jf0Lagbdr = ff0Lbgadr.	(9.7)
Оно основано на свойстве «самосопряженности» линеаризо-
линеаризованного оператора /, к которому можно прийти следующим об-
образом.
Рассмотрим интеграл
где VK-Г), vK-T) — любые две функции переменных Г. Поскольку
интегрирование производится по всем переменным Г, Гх, Г7, Г^,
можно, не меняя интеграла, произвести любое их переобозначе-
переобозначение (как это делалось уже в § 4). Произведем переобозначение
Г, Г" «->> Fi, Г'1? а затем в каждом из двух получающихся таким
образом форм интеграла — еще переобозначение Г, Гх <н> Г7, Г^.
Взяв сумму всех четырех выражений, имеем
(9.8)
(обозначения w и wf из C.5)). Рассмотрим теперь такой же инте-
интеграл, в котором функции ф(Т) и (р(Т) заменены соответственно
на (р(Тт) и ф(Тт) (не меняя при этом переменных в w nwf\). Про-
Произведя в этом интеграле переобозначение Гт, Г^, ... —>> Г, Гх, ...
и воспользовавшись принципом детального равновесия B.3),
получим
(9.9)
(учтено также, что /о(Гт) = /о(Г)). Раскрыв в (9.8) и (9.9) ква-
квадратные скобки и сравнив их почленно, убедимся, что оба инте-
интеграла равны друг другу. При сравнении надо учесть соотношение
унитарности B.9), в силу которого имеем, например,

46	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
(соотношение B.9) применено здесь к интегрированию по пере-
переменным Г7, Г'1? от которых в подынтегральном выражении зави-
зависят только w и wf)
Таким образом, приходим к равенству
) dT.	(9.10)
Отметим, что если принцип детального равновесия справедлив
в своей простейшей форме B.8), w = u/, то соотношение (9.10)
сводится к буквальной самосопряженности оператора /:
dT = J MI{<p) dT,	(9.11)
где в обоих интегралах фигурируют функции (риф одних и тех
же переменных Г (это сразу очевидно при w = wf из выражения
(9-8)).
Возвращаясь к кинетическим коэффициентам, произведем в
первом интеграле (9.7) переобозначение Г —>• Тт и учтем, что
La(TT) = ±La(T)	(9.12)
(верхний знак относится к случаю вязкости, нижний — теплопро-
теплопроводности). Воспользуемся теперь соотношениями (9.5) и (9.10).
При этом в (9.10) можно производить интегрирование по Тт
вместо Г, значение интеграла от этого, очевидно, не изменится.
Имеем
/ fogbLa dT = ±J fogjl(ga) dTT =
= ±J fogZHgb) dTT = ±JhgTaLb(Y) dTT.
Теперь достаточно переобозначить в правой части равенства
Гт—)>Г, и с учетом (9.12) мы получим требуемый результат (9.7).
Кинетические коэффициенты должны удовлетворять также
и условиям, следующим из закона возрастания энтропии; в част-
частности, должны быть положительны «диагональные» коэффици-
коэффициенты 7аа- Поскольку кинетическое уравнение обеспечивает воз-
возрастание энтропии, то естественно, что при вычислении с его
помощью кинетических коэффициентов эти условия удовлетво-
удовлетворяются автоматически.
Возрастание энтропии выражается неравенством
-/ln/-St/dT>0
(см. § 4). Подставив сюда
имеем
- I'ln/oSt/ dT - 11 /oln(l + 2l) I(X)dT > 0

§ 10	ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ	47
Первый интеграл обращается в нуль тождественно, а во втором
пишем, ввиду малости %, In A + х/Т) ~ х/Т и находим
Г>О.	(9.13)
Этим неравенством и обеспечиваются необходимые свойства ки-
кинетических коэффициентов. В частности, при х — ёа оно ВЬ1Ра"
жает собой положительность 7аа-
§ 10. Приближенное решение кинетического уравнения
Ввиду сложности закона взаимодействия молекул (в особен-
особенности многоатомных), определяющего функцию w в интегра-
интеграле столкновений, уравнение Больцмана по существу не может
быть даже записано для конкретных газов в точном виде. Но и
при простых предположениях о характере молекулярного взаи-
взаимодействия сложность математической структуры кинетическо-
кинетического уравнения делает, вообще говоря, невозможным нахождение
его решения в точном аналитическом виде; это относится даже
к линеаризованному уравнению. В связи с этим в кинетической
теории газов приобретают особое значение достаточно эффек-
эффективные методы приближенного решения уравнения Больцмана.
Изложим здесь идею такого метода в применении к одноатомно-
одноатомному газу (S. Chapman, 1916).
Рассмотрим сначала задачу о теплопроводности. Для одно-
одноатомного газа теплоемкость ср = 5/2 и линеаризованное уравне-
уравнение G.3) принимает вид
(где /3 = га/BТ)); линейный интегральный оператор /(g) опре-
определяется формулой
J(g) = /J4>TH/oi(g' + gi - g - gi) d3Pl da	A0.2)
(соответствующей интегралу столкновений C.9)), а равновесная
функция распределения 1)
Эффективный метод приближенного решения уравнения
A0.1) основан на разложении искомых функций по полной си-
системе взаимно ортогональных функций, в качестве которых осо-
особым удобством обладают так называемые полиномы Сонина
1) Функция распределения везде предполагается определенной по отно-
отношению к импульсному пространству. Это не мешает, однако, тому, что она
может быть выражена, по соображениям удобства, через скорость v = р/т.

48	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
(D. Burnett, 1935). Эти функции определяются формулой1)
Ssr(x) = - exx~r—s e~xxr+s,	A0.4)
S.	(XX
причем г — произвольное, a s — целое положительное число или
нуль. В частности,
5° = 1, S}(x)=r + l-x.	A0.5)
Свойство ортогональности этих полиномов при заданном индек-
индексе г и различных индексах s:
]e-xxrSsr(x)Ssr'(x)dx = r(r + g + 1)(W.	A0.6)
о	s-
Ищем решение уравнения A0.1) в виде разложения
оо
A«53/2(/9«2).	A0.7)
S = l
Опустив в разложении член с s = 0, мы тем самым автоматиче-
автоматически удовлетворяем условию G.4) (интеграл обращается в нуль в
силу ортогональности полиномов с 5 = 0 и s ^ 0). Выражение
в скобках в левой части A0.1) есть полином ^^(/Зг?2), так что
уравнение принимает вид
оо
^s/(vS3s/2).	A0.8)
s=l
Умножив его с обеих сторон на \-fQ(v)Sy2(^v2) и проинтегриро-
проинтегрировав по d?p, получим систему алгебраических уравнений
Y,	^	= 1,2,... ,	A0.9)
причем
аи = -?fhvSl3/2I(-vS'/2)<Pp= ^{v^/2,v5|/2}, A0.10)
где введены обозначения
{F,G} = //o(«)/o(«i)|v - Vl\A(F)A(G)d3pd3Pld(j,
1) Они отличаются лишь нормировкой и индексированием от обобщенных
полиномов Лагерра:

§ 10	ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ	49
Уравнение с / = 0 A0.9) отсутствует, поскольку uqs = 0 в си-
силу сохранения импульса: A(vS®,2) = A(v) = 0. Коэффициент
теплопроводности вычисляется подстановкой A0.7) в интеграл
G.7). Ввиду условия G.4) этот интеграл (с е = mv2/2) можно
представить в виде
и в результате находим
х=-А1.	A0.12)
4
В простоте правой части уравнений A0.9) и выражения A0.12)
проявляется преимущество разложения по полиномам Сонина.
Ход вычислений для задачи о вязкости вполне аналогичен.
Ищем решение уравнения (8.6) в виде
BsSs5/2(f3v2).	A0.13)
Подстановка в (8.6) с последующим умножением этого уравнения
на
{
и интегрированием по (ftp приводит к системе уравнений
/ = 0,1,2,...,	A0.14)
s=0
где
vp - vj 6ар) Sl5/2, (yavp - vj 8ap) Ss5/2] . A0.15)
Для коэффициента вязкости из (8.9) получается
77= -тВ0.	A0.16)
Приближенное решение бесконечной системы уравнений
A0.9) или A0.14) достигается сохранением в разложениях A0.7)
или A0.13) лишь нескольких первых членов, т. е. искусственным
обрывом системы. Сходимость процесса приближения при уве-
увеличении числа членов оказывается чрезвычайно быстрой: уже
сохранение всего одного члена приводит, вообще говоря, к точ-
точности 1-2 % в значении ж или г\г).
*) Сходимость оказывается, однако, несколько хуже в задачах о диффузии
и в особенности о термодиффузии.

50	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Покажем, что приближенное решение линеаризованного ки-
кинетического уравнения для одноатомных газов, осуществляемое
описанным способом, приводит к значениям кинетических ко-
коэффициентов, заведомо меньшим, чем дало бы точное решение
этого уравнения.
Запишем кинетическое уравнение в символическом виде
I(g) = L	A0.17)
(где функции g и L — векторы в задаче о теплопроводности
и тензоры второго ранга в задаче о вязкости). По функции g
соответствующий кинетический коэффициент определяется как
величина, пропорциональная интегралу
-Jf0gI(g)d3p	A0.18)
(см. § 9). Приближенная же функция g удовлетворяет не самому
уравнению A0.17), а лишь интегральному соотношению
ffogI(g)d?P = ffoLg<Pp	A0.19)
(как это очевидно из способа определения коэффициентов в раз-
разложениях g).
Высказанное выше утверждение непосредственно следует из
«вариационного принципа», согласно которому решение уравне-
уравнения A0.17) осуществляет максимум функционала A0.18) в клас-
классе функций, удовлетворяющих условию A0.19). В справедливо-
справедливости этого принципа легко убедиться, рассмотрев интеграл
-ffo(g-<p)I(g -V)d3p,
где g — решение уравнения A0.17), а ср — любая пробная функ-
функция, удовлетворяющая лишь условию A0.19). По общему свой-
свойству (9.13) оператора / этот интеграл положителен. Раскрыв в
нем скобки, пишем
-ffo{gl(g) + Ч>1{4>) ~ <pl(g) ~ gH<P)} d3P-
Поскольку для одноатомного газа принцип детального равнове-
равновесия справедлив в форме B.8), то оператор / обладает свойством
самосопряженности (9.11) г). Поэтому интегралы от двух послед-
последних членов в фигурной скобке равны друг другу. Подставив за-
затем I(g) = L, имеем
-Ifo{gl(g)
= ~Jfo{gI(g) + <pl(<p) ~ 2L<f} d3p > 0.
) Подчеркнем, что вариационный принцип в сформулированном виде свя-
связан с этим обстоятельством и не имеет места при соблюдении принципа де-
детального равновесия лишь в его наиболее общем виде B.3).

§ 10	ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ	51
Наконец, преобразовав интеграл от последнего члена с помощью
условия A0.19), находим
- / fogl(g) d3p > - / fo<pl(<p) d3p,
что и требовалось доказать.
Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной
точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла.
Это — газ из частиц, взаимодействующих по закону U = а/г4 1).
Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких
частиц (определенное по классической механике) обратно про-
пропорционально их относительной скорости v0TUl а потому фигу-
фигурирующее в интеграле столкновений произведение v0TU da ока-
оказывается зависящим только от угла рассеяния #, но не от v0TU.
В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерно-
размерности. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров:
постоянной а, массы частиц т и скорости г>0Тн- Из этих величин
нельзя составить безразмерной комбинации и всего одну комби-
комбинацию с размерностью площади: v~JH(a/mI<'2] ей и должно быть
пропорционально сечение. Это свойство сечения приводит к су-
существенному упрощению структуры интеграла столкновений, в
результате чего оказывается возможным найти точные решения
линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопровод-
теплопроводности и вязкости. Оказывается, что они даются просто первыми
членами разложений A0.7) и A0.13) 2).
Задачи3)
1. Найти теплопроводность одноатомного газа, сохранив в разложении
A0.7) лишь первый член.
Решение. При одном члене разложения уравнения A0.9) сводятся к
равенству А\ = — ац. Для вычисления интеграла A0.10) с / = s = 1 вводим
4
вместо v, vi, v7, vi скорость центра инерции и относительные скорости двух
атомов:
V/ i \	/ ' i ' \	f	f f
= 2	2	' V°TH = V ~ Vl' V°TH = V ~ Vl'
v2 + v\ = 2V2 + -^отн, d3pd3pi = m6dsVdsvOTii.
Простое вычисление дает
Д (vS^) = A(/Vv) = /3[(Vv;TH)V;TH - (VvOTH)vOTH].
1)	Кинетические свойства такой газовой модели впервые рассматривались
Максвеллом A866).
2)	Подробное изложение теории этого случая — см. § 38-40 статьи
Л. Вальдмана в сборнике «Термодинамика газов», Москва, 1970 (перевод
из Handbuch der Physik, Bd. XII, 1958).
3)	Формулы A)-F) были получены Чепменом и Энскогом.

52	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Возведя это выражение в квадрат и усреднив его по направлениям V, по-
получим
	 котн — (voth ^отн) I У2 = 	VqtuV2 Sill2 в.
После выполнения интегрирования по 4тгУ dV и по направлениям vOTh (по-
(последнее сводится к умножению на 4тг) получим окончательно
= ^ [?) ^ j J
i2
аи = — ( — ) у у ехр (	— ) ^отн sin 6— ^отн d^;	A)
о о
коэффициент теплопроводности
Ж=^-.	B)
16ац
2. То же для вязкости одноатомного газа.
Решение. Аналогичным образом имеем
5ш
В интеграле A0.15) при / = s = 0 находим
A lvaV0 ~ -V2SaC J = -(vOTuaVoTuC ~ ^отн сХтн C) •
\	6/2
Квадрат этого выражения есть
-vtTU sin2 6>.
После интегрирования по dPV и по направлениям vOTH оказывается, что
froo = an, так что
4?тгх	, ч
7/= 	.	C)
1 15
Для одноатомного газа теплоемкость ср = 5/2. Поэтому отношение кине-
V к (
матическои вязкости v = 	 к температуропроводности х = 	 (так
Nm	Ncp
называемое число Прандтля) в рассматриваемом приближении оказывается
равным
Н
вне зависимости от закона взаимодействия атомов :).
3. В том же приближении найти теплопроводность и вязкость одноатом-
одноатомного газа, рассматривая атомы как твердые упругие шарики диаметра d.
Решение. Сечение рассеяния шарика на шарике эквивалентно
рассеянию точечной частицы на непроницаемой сфере радиуса d; поэтому
:) Для газа с законом взаимодействия частиц U = а/г4 формулы A)-D)
являются точными и приводят к следующим значениям:
г, = 0,8irf-

§ 11	ДИФФУЗИЯ ЛЕГКОГО ГАЗА В ТЯЖЕЛОМ	53
сечение da = (d/2) do. Вычисление интеграла A) приводит к результатам )
75 Г? 0,66 [?
*~ 64^ d2 У т
§ 11. Диффузия легкого газа в тяжелом
Явление диффузии в смеси двух газов мы изучим для некото-
некоторых частных случаев, допускающих сравнительно далеко идущее
теоретическое исследование.
Обозначим плотности числа частиц двух компонент смеси че-
через Ni и N2 и определим концентрацию смеси как с = N\/N, где
N = N1+N2. Полная плотность числа частиц связана с давлени-
давлением и температурой согласно N = Р/Т. Давление газа постоянно
по его объему; концентрация же и температура пусть меняются
вдоль оси х (допуская изменение температуры, мы тем самым
включаем в рассмотрение также и термодиффузию).
Рассмотрим диффузию в смеси газов, из которых один («тя-
(«тяжелый») состоит из молекул с массой, большой по сравнению с
массой частиц другого («легкого») газа. Легкий газ будем счи-
считать одноатомным. Поскольку средняя тепловая энергия посту-
поступательного движения всех частиц (при заданной температуре)
одинакова, то средняя скорость тяжелых молекул мала по срав-
сравнению со скоростью легких и их можно рассматривать прибли-
приближенно как неподвижные. При столкновении легкой частицы с
тяжелой последнюю можно считать остающейся неподвижной;
скорость же легкой частицы меняет направление, оставаясь неиз-
неизменной по своей абсолютной величине.
В этом параграфе рассмотрим случай, когда концентрация
легкого газа в смеси мала (пусть это будет газ 1). Тогда столк-
столкновения его атомов друг с другом относительно редки и мож-
можно считать, что легкие частицы сталкиваются только с тяжелы-
тяжелыми2).
В общем случае произвольной газовой смеси для функции
распределения частиц каждой из компонент смеси должно быть
составлено свое кинетическое уравнение, в правую часть кото-
х) Для характеристики быстроты сходимости последовательных прибли-
приближений укажем, что при учете второго и третьего членов в разложениях
A0.7) и A0.13) выражения E) и F) умножаются соответственно на A +
+ 0, 015 + 0, 001) и A + 0, 023 + 0, 002).
2) Кинетическая теория такой газовой модели была впервые развита Ло-
Лоренцем (Н.А. Lorentz, 1905).

54	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
рого входит сумма интегралов столкновений частиц данной ком-
компоненты с частицами ее же и других компонент. В рассматрива-
рассматриваемом частном случае, однако, целесообразно произвести вывод
упрощенного кинетического уравнения заново.
Искомое уравнение должно определять функцию распреде-
распределения частиц легкого газа; обозначим ее через /(р, ж). В сделан-
сделанных предположениях столкновения легких частиц с тяжелыми
не меняют распределения последних, и в задаче о диффузии это
распределение можно считать заданным.
Пусть в — угол между направлением импульса легкой ча-
частицы р = ttiiv и осью х. В силу симметрии условий задачи
очевидно, что функция распределения будет зависеть (помимо
переменных р и х) только от угла в. Обозначим через da =
= F(p, a) do' сечение столкновений, в результате которых легкая
частица, имевшая импульс р, приобретает импульс р7 = mv7, на-
направленный в элементе телесных углов do'] а есть угол между
векторами рир' (абсолютные величины которых одинаковы).
Вероятность частице испытать такое столкновение на единице
пути есть N2 da, где N2 — плотность числа тяжелых частиц. Ве-
Вероятность же, отнесенная к единице времени, получается умно-
умножением еще на скорость частицы: N2vda.
Рассмотрим частицы, находящиеся в заданной единице объ-
объема и обладающие импульсом в заданном интервале абсолютных
значений ф, направленным в элементе телесных углов do. Чис-
Число таких частиц есть / d3p = f(p, #, х)р2 dp do. Из них в единицу
времени в результате столкновений приобретет импульс р7, на-
направленный в do',
/(р, 0, х)р2 dp do • N2vF(p, a) do
частиц. Всего, следовательно, изменит направление импульса
d3p / N2vf(p,6, x)F(p, a) do'
частиц.
Наоборот, из числа частиц в d3p' = p'2 dp' do' приобретет ско-
скорость, направленную в do,
/(р;, в', х)р'2 dp' do' • N2v'F(p', a) do
частиц. Поскольку р' = р, то для полного числа частиц, приобре-
приобретающих в результате столкновений скорость в d3p, имеем
d3p / N2vf(p, в', x)F(p, a) do'.
Таким образом, изменение числа частиц в элементе d3p равно
разности
d3p ¦ N2v J F(p, a)[f(p, ff, x) - /(p, в, х)] do1.

§ 11	ДИФФУЗИЯ ЛЕГКОГО ГАЗА В ТЯЖЕЛОМ	55
С другой стороны, это изменение должно быть равно полной
производной по времени
<ррй. = d3p • vV/ = d3p^- v cos в.
dt	дх
Приравняв оба выражения, получим искомое кинетическое урав-
уравнение в виде
v cos 9^- = N2v J F(p, a)[f(p, в1, x)-f(p, в, х)} do1 = St/. A1.1)
Отметим, что правая часть этого уравнения обращается в нуль
для любой функции /, не зависящей от направления р, а не
только для максвелловской функции /о, как это имеет место
для уравнения Больцмана. Это обстоятельство связано с пред-
предположением о неизменности величины импульса при рассеянии
легких частиц на тяжелых: очевидно, что такие столкновения
оставляют стационарным любое распределение легких частиц по
энергиям. Фактически уравнение A1.1) отвечает лишь нулевому
приближению по малой величине rai/ra2, и уже в следующем
приближении появляется релаксация по энергии.
Если градиенты концентрации и температуры не слишком ве-
велики (величины мало меняются на расстояниях порядка длины
свободного пробега), то можно искать / в виде суммы
где Sf — малая поправка к локально-равновесной функции рас-
распределения /о, линейная по градиентам с и Т. В свою очередь
ищем Sf в виде
5/= cos 0-g(p, ж),	A1.2)
где g — функция только от р и х. При подстановке в A1.1) в
левой части уравнения достаточно оставить только член с /о; в
интеграле же столкновений член с /о выпадает:
St / = gN2v f F(p, a) (cos в' - cos в) do']
независящая от углов функция g вынесена из-под знака инте-
интеграла.
Этот интеграл можно упростить. Выберем в качестве поляр-
полярной оси для отсчета углов направление импульса р. Пусть ср и
if' — азимуты направлений оси х и импульса р7 относительно
полярной оси. Тогда
cos#7 = cos в cos a + sin^sinacos^ — if').
Элемент телесных углов do' = sin a da dip', поскольку а — по-
полярный угол для импульса р7. Интеграл от члена с cos (up — ср')

56	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
обращается в нуль при интегрировании по dtp'. В результате най-
найдем, что
St / = -N2at(p)vg cos^ = -N2at(p)v6f,	A1.3)
где введено обозначение
<Jt(p) = 2тг f F(p, a)(l — cos a) s'mada = J(l — cos a) da; (П.4)
величину at называют транспортным сечением столкновений.
Из уравнения A1.1) находим теперь
J^	A1.5)
)	^.
N2at дх
Диффузионный поток i есть, по определению, плотность по-
потока молекул одной из компонент смеси (в данном случае — лег-
легкой). Он вычисляется по функции распределения как интеграл
i = //vd3p,	A1.6)
или, поскольку вектор i направлен по оси ж,
% = J cos в • fv d3p = / cos2 в • gv d2p	A1-7)
(член с /о обращается в нуль при интегрировании по углам).
Подставив сюда A1.5), получим
N2dxJ at(p)	3N2dxJ at
Это выражение можно записать в виде
1 д Г АТ I v \ \
3N2 дх I \ at I )
где усреднение приводится по максвелловскому распределению.
Наконец, вводим концентрацию с = Ni/N « N1/N2 (напомним,
что по предположению N% 3> N\) и заменяем 7V2 w N = Р/Т. С
учетом постоянства давления получим в результате
Ъ~ Здх\т\аь/)~ 3\at/dx 3 дТ IT \at /J дх' ^ ''
Эту формулу надо сравнить с феноменологическим выраже-
выражением диффузионного потока
г = -ND (Vc + Ц-VT) ,	A1.9)
заключающим в себе определения коэффициента диффузии D
и термодиффузионного отношения кт (коэффициентом же

11	ДИФФУЗИЯ ЛЕГКОГО ГАЗА В ТЯЖЕЛОМ	57
термодиффузии называют произведение Dt = Dkr] см. VI,
§ 58) 1). Таким образом, находим
& (uio)
^^	A1.11)
При диффузионном равновесии в неравномерно нагретом
газе устанавливается такое распределение концентраций, при ко-
котором диффузионный поток i = 0. Приравняв постоянной выра-
выражение, стоящее в фигурных скобках в A1.8), получим
с = const • —^—.	A1-12)
{V/Cf)
Предполагая сечение at не зависящим от скорости и заметив,
что (v) ~ (T/miI/2, найдем, что при диффузионном равновесии
в смеси с малой концентрацией легкого газа последняя пропор-
пропорциональна у/Т] другими словами, легкий газ концентрируется в
местах с большей температурой.
По порядку величины коэффициент диффузии
D ~vl,	A1.13)
где v — средняя тепловая скорость молекул легкого газа, а
l~l/(Na) — длина свободного пробега. Напомним известный
элементарный вывод этой формулы. Число молекул газа i, про-
проходящих слева направо в 1 с через единичную площадку, перпен-
перпендикулярную оси ж, равно по порядку величины произведению
Niv, причем плотность N\ должна быть взята на расстоянии /
влево от площадки, т. е. в тех местах, откуда молекулы дости-
достигают эту площадку уже без столкновений. Аналогичным обра-
образом определяется число молекул, пересекающих ту же площад-
площадку справа налево, а разность обоих чисел дает диффузионный
поток:
dx
откуда и следует A1.13) 2).
г)Явление термодиффузии было предсказано Энскогом A911) именно для
рассматриваемой здесь модели газовой смеси.
2) Диффузия, теплопроводность и вязкость осуществляются одним и тем
же механизмом — непосредственным молекулярным переносом. Теплопро-
Теплопроводность можно рассматривать как «диффузию энергии», а вязкость — как
«диффузию импульса». Поэтому можно утверждать, что коэффициент диф-
диффузии Z), температуропроводность \ = >c/(Ncp) и кинематическая вязкость
у = r]/(Nm) имеют один и тот же порядок величины, откуда и получаются
формулы G.10) для теплопроводности и (8.11) для вязкости.

58	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
§ 12. Диффузия тяжелого газа в легком
Рассмотрим теперь обратный предельный случай, когда мала
концентрация тяжелого газа в смеси. В этом случае коэффици-
коэффициент диффузии можно вычислить косвенным способом, не прибе-
прибегая к помощи кинетического уравнения. Именно, определим так
называемую подвижность частиц тяжелого газа, предполагая
его находящимся во внешнем поле. Подвижность же b связана
с коэффициентом диффузии этих же частиц известным соотно-
соотношением Эйнштейна
D = ЪТ	A2.1)
(см. VI, § 59).
Подвижность есть, по определению, коэффициент пропорци-
пропорциональности между средней скоростью V, приобретаемой части-
частицей газа во внешнем поле, и действующей на частицу со стороны
поля силой f:
V = bf.	A2.2)
Скорость же V определяется в данном случае из условия взаим-
взаимной компенсации силы f и силы сопротивления fr, испытываемой
движущейся тяжелой частицей со стороны легких (столкнове-
(столкновениями тяжелых частиц друг с другом можно пренебречь ввиду
их относительной редкости). Функция распределения легких ча-
частиц является при этом максвелловской:
(
ехР -
2Т
где mi — масса легкой частицы.
Рассмотрим какую-нибудь одну определенную тяжелую ча-
частицу; пусть ее скорость есть V. Перейдем теперь к системе коор-
координат, движущейся вместе с этой частицей, и пусть v обозначает
скорости легких частиц в этой новой системе. Функция распре-
распределения легких частиц в этой системе координат есть /ofv + V)
(ср. с F.9)). Предполагая скорость V малой, можем написать
.	A2.3)
Искомую силу сопротивления fr можно вычислить как пол-
полный импульс, передаваемый тяжелой частице легкими, которые
сталкиваются с нею в единицу времени. Тяжелая частица оста-
остается при столкновении неподвижной. Легкая же частица при-
приносит с собой импульс raiv; после столкновения, при котором
ее импульс поворачивается на угол а, она уносит с собой им-
импульс, равный в среднем mivcosa. Поэтому импульс, передава-
передаваемый при таком столкновении тяжелой частице, равен в среднем
raiv(l — cos а). Умножая его на плотность потока легких частиц

§ 12	ДИФФУЗИЯ ТЯЖЕЛОГО ГАЗА В ЛЕГКОМ	59
со скоростью v и на сечение da такого столкновения и интегри-
интегрируя, получим полный передаваемый тяжелой частице импульс:
fr = mi / /0(v + V)vvat d3p,
где опять введено обозначение A1.4). При подстановке сюда
/o(v +V) в виде A2.3) первый член обращается в нуль (интегри-
(интегрированием по направлениям скорости v), так что остается
или, усредняя по направлениям v,
где угловые скобки снова обозначают усреднение по обычному
максвелловскому распределению. Наконец, имея в виду, что в
рассматриваемом случае 7V"i ^> 7V2, пишем N\ « N = Р/Т, так
что
f = _^
Г
Приравняв нулю сумму силы сопротивления fr и внешней си-
силы f, получим согласно A2.2) подвижность 6, а затем и искомый
коэффициент диффузии
D bT	.	A2.4)
V J
Что касается термодиффузии, то для ее вычисления в рас-
рассматриваемом случае необходимо было бы знать функцию рас-
распределения частиц легкого газа при наличии в нем градиента
температуры. Поэтому коэффициент термодиффузии не может
быть вычислен здесь в общем виде.
По порядку величины D ~ v/Na, где v ~ л/Т'/mi — снова
(как ив A1.13)) средняя тепловая скорость молекул легкого газа.
Таким образом, порядок величины коэффициента диффузии в
обоих случаях одинаков:
тЗ/2
D ~ -Г	A2.5)
сгРт/
Задача
Определить коэффициент диффузии в смеси двух газов (легкого и тя-
тяжелого), рассматривая их частицы как твердые упругие шарики диаметров
d\ и с/2.
Решение. Сечение столкновений da = tt(c/i + с/2J с/о/A6тг), отку-
откуда транспортное сечение at = tt(c/i + с/2J/4 (в данном случае совпадает с
полным сечением а). Коэффициент диффузии имеет вид
D =
1/2'

60	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
где 777-1 — масса легкой частицы, а А — численный коэффициент. В случае
малой концентрации легкого газа вычисление по A1.10) дает
Ч7ГУ
При малой же концентрации тяжелого газа A2.4) дает
А= —^= =0,6.
Обратим внимание на близость значений А в обоих предельных случаях.
§ 13. Кинетические явления в газе во внешнем поле
Вращательные степени свободы молекул создают тот меха-
механизм, через который внешнее магнитное или электрическое по-
поле может оказывать влияние на кинетические явления в газе1).
Характер этого влияния одинаков в магнитном и электрическом
случаях; будем говорить сначала о газе в магнитном поле.
Вращающаяся молекула обладает, вообще говоря, магнитным
моментом, среднее (в квантовомеханическом смысле) значение
которого обозначим через /л. Магнитное поле будем предпола-
предполагать ограниченным по величине настолько, что произведение \iB
мало по сравнению с интервалами тонкой структуры молекуляр-
молекулярных уровней2). Тогда можно пренебречь влиянием поля на со-
состояние молекулы, так что магнитный момент вычисляется по
ее невозмущенному состоянию. При не слишком низких темпе-
температурах (которые мы и рассматриваем) величина \iB будет мала
также и по сравнению с Т; это позволяет пренебречь влиянием
поля на равновесную функцию распределения молекул газа.
Магнитный момент направлен вдоль вращательного момента
молекулы М; напишем его в виде
/1 = 7М.	A3.1)
Классическому вращению молекулы отвечают большие враща-
вращательные квантовые числа; при этом можно пренебречь в М раз-
различием между полным (включающим спин) и вращательным мо-
моментами. Значение постоянного коэффициента j зависит от рода
молекулы и природы ее магнитного момента. Так, для двухатом-
) Этот механизм был указан Ю.М. Каганом и Л.А. Максимовым A961);
им же принадлежат излагаемые в этом параграфе результаты.
2) Напомним, что в макроскопической электродинамике среднее (по фи-
физически бесконечно малым объемам) значение напряженности магнитного
поля называется магнитной индукцией и обозначается как В. При малой
плотности среды — в газе — ее намагниченностью можно пренебречь, и
тогда вектор В совпадает с вектором макроскопической напряженности Н.

§ 13	ЯВЛЕНИЯ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	61
ной молекулы с отличным от нуля спином S имеем
7«^Мв,	A3-2)
где \1в — магнетон Бора, а число а = J — К — разность между
квантовыми числами полного момента J и вращательного момен-
момента К (эта разность пробегает значения S, S — 1,... , — S); в знаме-
знаменателе же различие между J ж К несущественно: М ~ HJ ~ НК.
В формуле A3.2) предполагается, что взаимодействие спин-ось
в молекуле мало по сравнению с интервалами вращательной
структуры уровней (случай b по Гунду) 1).
В магнитном поле В на молекулу действует момент сил, рав-
равный [//В]. Под его влиянием вектор М перестает быть посто-
постоянным в течение «свободного» движения молекулы и меняется
согласно уравнению
^ = |)iB] = -7[ВМ]	A3.3)
— вектор М прецессирует вокруг направления поля с угловой
скоростью —7В. В связи с этим в левую часть кинетического
уравнения должен быть добавлен член (<9//<ЭМ)М, так что урав-
уравнение принимает вид
д± + wd_L + 7[мв] J*L = stf.	A3.4)
dt дг п }дм J	v }
В число переменных Г, от которых зависит функция распределе-
распределения, должна быть включена также и дискретная переменная а,
определяющая значение магнитного момента (если таковая име-
имеется, как в A3.2)).
В задачах о теплопроводности и вязкости снова рассматри-
рассматриваем распределение, близкое к равновесному, представив его в
виде
/ = /оA + х/П	A3.5)
Покажем прежде всего, что член с производной dfo/dM в ки-
кинетическом уравнении выпадает. Действительно, поскольку /о
зависит только от энергии молекулы е(Г), а производная де/дМ
есть угловая скорость О, то
^|.	A3.6)
Для молекул типа ротатора и шарового волчка направления М
и О совпадают, так что выражение A3.6) обращается в нуль
1) Формула A3.2) получается из точной (для случая Ь) формулы, найден-
найденной в задаче 3, т. III, § 113, путем перехода к пределу больших J л К при
заданной разности J — К. Вклад орбитального момента Л при этом исчезает
(он оказывается величиной следующего порядка малости по 1/J).

62	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
тождественно. В других же случаях оно обращается в нуль по-
после усреднения по быстро меняющимся фазам, необходимость
которого была объяснена в § 1. При вращении молекул типа сим-
симметрического или асимметрического волчка быстро меняется как
направление осей самой молекулы, так и направление ее угловой
скорости О. После указанного усреднения в О может остаться
лишь составляющая Qm вдоль постоянного вектора М, но для
такой составляющей произведение [МВ]Ом — 0.
Остальные члены в кинетическом уравнении преобразуются
так же, как это было сделано в § 7 (или § 8). Так, для задачи о
теплопроводности находим уравнение
е(Т)-срТ	= гмв]^
Решение этого уравнения снова надо искать в виде х = g,
но для составления векторной функции g(F) мы имеем в своем
распоряжении уже не два, а три вектора: v, M, В. Внешнее поле
создает в газе избранное направление. В связи с этим процесс
теплопроводности становится анизотропным и вместо скалярно-
скалярного коэффициента х надо ввести тензор теплопроводности х^,
определяющий тепловой поток согласно
Яа = -*ар^-	A3.8)
Тензор хар вычисляется по функции распределения как инте-
интеграл
r	A3.9)
(ср. G.5)).
Общий вид тензора второго ранга, зависящего от вектора В,
есть
хар = х5аC + xi bab[3 + х2еа/з767,	A3.10)
где b = В/Б, еа^ — единичный антисимметричный тензор, а х,
xi, X2 — скаляры, зависящие от абсолютной величины поля В.
Тензор A3.10) обладает, очевидно, свойством1)
ха/3(В) = яРа(-В).	A3.11)
Выражению A3.10) отвечает тепловой поток
q = -xVT - xib(bVT) - x2[VT • b].	A3.12)
Последний член здесь представляет собой, как говорят, нечет-
нечетный эффект: эта часть теплового потока меняет знак при изме-
изменении знака поля.
) Это свойство выражает собой принцип симметрии кинетических коэф-
коэффициентов в присутствии магнитного поля. В данном случае оно оказывает-
оказывается автоматическим следствием наличия всего одного вектора Ь, с помощью
которого строится тензор *сар.

§ 13	ЯВЛЕНИЯ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	63
Интегральный член I(x) B правой части уравнения A3.7) да-
дается формулой F.5). В его подынтегральном выражении содер-
содержится функция /о, пропорциональная плотности газа N. Выде-
Выделив этот множитель и разделив на него обе части уравнения,
найдем, что N входит в уравнение только в комбинациях B/7V
и VT/7V с полем и градиентом температуры. Отсюда ясно, что
функция /ох = /ogVT будет зависеть от параметров N ж В толь-
только в виде отношения В/N\ только от этой же величины будут за-
зависеть и интегралы A3.9), а тем самым и коэффициенты х, xi,
К2 в A3.12). Плотность N пропорциональна (при заданной тем-
температуре) давлению газа Р. Таким образом, теплопроводность
газа в магнитном поле зависит от величины поля и от давления
только через отношение В/Р 1).
При увеличении В первый член в правой части уравнения
A3.7) возрастает, а второй не меняется. Отсюда ясно, что в пре-
пределе В —>• оо решение уравнения должно представлять собой
функцию, зависящую только от направления (но не от величи-
величины) поля, причем эта функция должна обращать тождественно
в нуль член [МВ]<Эх/<ЭМ в уравнении; соответственно коэффи-
коэффициенты х, xi, X2 стремятся при В —>> оо к постоянным (не зави-
зависящим от В) пределам.
Аналогичным образом рассматривается задача о вязкости га-
газа в магнитном поле. Соответствующее кинетическое уравнение
имеет вид
mvavp - ^а/з) Vap = 1(х) ~ 7[МВ]^	A3.13)
(ср. F.19)). Решение этого уравнения надо искать в виде х =
= gafiVafi- Вместо двух коэффициентов вязкости т\ и ? надо вве-
ввести теперь тензор четвертого ранга r]a^Si определяющий тензор
вязких напряжений согласно
ааC = Va^sV^s;	A3.14)
по определению тензор r]a^s симметричен по парам индексов а,
/3 и 7, 5. По известной функции х ег0 компоненты вычисляются
как интегралы
г]а{3>у5 = - / mvavpfog7s dY'•	A3.15)
Вычисленный таким образом тензор вязкости будет автоматиче-
автоматически удовлетворять условию
) = 777(*а/з(-В),	A3.16)
:) Изменение теплопроводности газа в магнитном поле называют э
том

64	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
выражающему собой принцип симметрии кинетических коэффи-
коэффициентов.
С помощью вектора b = Л/В (и единичных тензоров дар и
еа{з>у) можно составить следующие независимые тензорные ком-
комбинации со свойствами симметрии тензора т)ар^б:
1)	Sа-у 8J36 +
2)	8ap5js,
3)	Sajbpbs + 8p7babs + Sasbpbj + pj
4)	8арЬчЬ6 + 8у6ЬаЬр,	A3.17)
5)	babpb^bs,
6)	baj5CS + bpjSas + Ьа$8р7 + Ър$5а1,
7)	ba^bpbs + bp7babs + basbpbj + bpSbabj,
где 6a/? = —6/3a = еа/#767. Во всех этих комбинациях, за исключе-
исключением четвертой, свойство A3.16) возникает автоматически как
следствие симметрии по парам индексов а, ^ и 7, E; в четвер-
четвертом же выражении объединение двух членов вызывается лишь
условием A3.16) г).
Соответственно числу тензоров A3.17) газ в магнитном поле
характеризуется в общем случае семью независимыми коэффи-
коэффициентами вязкости. Определим их как коэффициенты в следую-
следующем выражении тензора вязких напряжений:
а^ = 2*7 (уаР - Uap div V) + CSap div V +
- 8ap div V
- 2Vp1b1bOL + babp div V
s + babp div V)
A3.18)
(Vap определено в F.12)). Оно составлено таким образом, что
г/, г/1,... ,7/4 стоят коэффициентами при тензорах, обращающих-
обращающихся в нуль при упрощении по индексам а, /3. Коэффициенты же
С и (д стоят при тензорах с отличным от нуля следом; их можно
назвать коэффициентами второй вязкости. Обратим внимание
на то, что они содержат не только скаляр divV, но и ]Ау$Ь>уЬ§.
Первые два члена в A3.18) соответствуют обычному выражению
тензора напряжений, так что т\ и ? — обычные коэффициенты
вязкости.
) Комбинации из членов с двумя множителями Ъар писать не надо: по-
поскольку произведение двух тензоров еар1 сводится к произведениям тензо-
тензоров 6а/з, такие комбинации сводятся к уже выписанным в A3.17).

§ 13	ЯВЛЕНИЯ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	65
Отметим, что тензоры кар и г\ар^§ автоматически оказывают-
оказываются истинными тензорами, так что эти выражения удовлетворяют
требованию симметрии по отношению к инверсии. Поэтому от-
отказ от этого требования (для газа стереоизомерного вещества)
не привел бы к появлению в них каких-либо новых членов.
Такой отказ приводит, однако, к появлению новых эффек-
эффектов — возникновению теплового потока q^ под влиянием гра-
градиентов скорости и возникновению вязких напряжений а'^ под
влиянием градиента температуры. Эти (так называемые пере-
перекрестные) эффекты описываются формулами вида
(V)	лт	/(Г)	дТ	(ло 1Пч
q\ } = Cj,apVap, а^р = -°W3,7;^r>	A3.19)
где с^^р и аар^ — тензоры третьего ранга, симметричные по па-
паре индексов, отделенных запятой. При указанном в § 9 выборе
величин ха и Ха кинетическими коэффициентами 7аб и Ъа явля-
являются TcjiOip и Т2аарл. Поэтому в силу принципа Онсагера при
наличии магнитного поля должно быть
Таар^(В)=съар(-В).	A3.20)
Общий вид таких тензоров:
pj + Ьр5а1) + а/±(Ъа1Ър + bp^ba). A3.21)
Все члены в этом выражении — псевдотензоры, так что соот-
соотношения A3.19) с такими коэффициентами не инвариантны по
отношению к инверсии.
Остановимся коротко на кинетических явлениях в газе в элек-
электрическом поле. Рассмотрим газ, состоящий из полярных (т. е.
обладающих дипольным моментом d) молекул типа симметри-
симметрического волчка. В электрическом поле на полярную молекулу
действует момент сил [dE], так что в кинетическом уравнении
появится член
M	[dE].
Направление d совпадает с осью молекулы и не имеет отношения
к ее вращательному моменту М. Однако в результате усреднения
по быстрой прецессии оси волчка вокруг направления постоян-
постоянного вектора М в написанном члене останется лишь проекция d
на направление М и он примет вид
^	A3.22)
где 7 = odjM^ причем переменная о (косинус угла между d и М)
пробегает теперь непрерывный ряд значений в интервале от — 1
3 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

66	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
до +1. Выражение A3.22) отличается от соответствующего чле-
члена в магнитном случае лишь заменой В на Е. Поэтому остаются
в силе и все написанные выше кинетические уравнения и след-
следствия из них1).
Некоторое отличие возникает, однако, в связи с тем, что элек-
электрическое поле Е — истинный (а не псевдо) вектор и что оно
не меняется при обращении времени. В силу последнего обсто-
обстоятельства принцип Онсагера для тензоров теплопроводности и
вязкости выразится теперь равенствами
хар(Е) = xiae(E), ?7а/з75(Е) = ?77га/з(Е)	A3.23)
вместо A3.11) и A3.16). Соответственно в выражениях A3.10) и
A3.18) (где теперь b = Е/Е) будет Х2 = 0, 773 = Щ = О2). В то
же время перекрестные эффекты оказываются возможными не
только в газе стереоизомерного вещества (где выражение A3.21)
остается в силе целиком), но и в газе из нестереоизомерных мо-
молекул: выражение A3.21) с а^ = 0 является теперь истинным
тензором.
§ 14. Явления в слабо разреженных газах
Гидродинамические уравнения движения газа с учетом про-
процессов теплопроводности и внутреннего трения содержат тепло-
тепловой поток q' (диссипативная часть потока энергии q) и тензор
вязких напряжений а'п (диссипативная часть потока импульса
Па/з)- Эти уравнения приобретают реальный смысл после того,
как q' и а'п выражены через градиенты температуры и скоро-
скорости газа. Но обычные выражения, линейные по этим градиентам,
представляют собой лишь первые члены разложения по степеням
малого отношения 1/L — длины свободного пробега к характер-
характерным размерам задачи (его называют числом Кнудсена К). Если
это отношение не очень мало, может иметь смысл введение по-
поправок, учитывающих члены следующего порядка малости по
1/L. Такие поправки возникают как в самих уравнениях движе-
движения, так и в граничных условиях к ним на поверхности обтекае-
обтекаемых газом тел.
) Двухатомные молекулы вращаются в плоскости, перпендикулярной М;
поэтому для двухатомной полярной молекулы а = 0. В таком случае влия-
влияние электрического поля на движение молекул проявляется в кинетическом
уравнении лишь в квадратичном по полю приближении.
) В газе из нестереоизомерных молекул отсутствие членов с Х2, 773 5 Щ в
электрическом поле требуется и условием инвариантности по отношению к
инверсии.

§ 14	ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	67
Последовательные члены разложений потоков q' и а'п вы-
выражаются через пространственные производные температуры,
давления и скорости различных порядков и в различных сте-
степенях. Эти члены должны вычисляться в принципе путем пе-
перехода к следующим приближениям в решении кинетического
уравнения. «Нулевому» приближению соответствует локально-
равновесная функция распределения /о; этому приближению
отвечают гидродинамические уравнения идеальной жидкости.
Первому приближению соответствует функция распределения
вида / = /оA + х^/Т), рассматривавшаяся в § 6-8, и ему отве-
отвечают гидродинамические уравнения Навье-Стокса и уравнение
теплопроводности. В следующем, втором, приближении функ-
функцию распределения надо искать и виде
/ = /о [l + Х-Х{1) + ^ХB)]	A4-1)
и линеаризовать кинетическое уравнение по поправке второго
порядка х • Получающееся уравнение имеет вид
dt	) Т	/о \dt/lJU
IB) A4.2)
где / — прежний линейный интегральный оператор F.5). Про-
Производные по времени от макроскопических величин, получаю-
получающиеся в левой части уравнения от дифференцирования (/ох)/Г,
должны быть выражены через пространственные производные с
помощью гидродинамических уравнений первого приближения.
Символ (d/dt)i во втором члене слева означает, что исключение
временных производных должно производиться с помощью урав-
уравнений, в которых опущены члены нулевого порядка и оставлены
только члены первого порядка, т. е. содержащие 77, С или К/-
Мы не будем выписывать все многочисленные члены в q'
и сг^о, возникающие во втором приближении (эти члены назы-
называют барнеттовскимщ D. Burnett, 1935). В большом числе слу-
случаев эти члены вносят в решение вклад, малый по сравнению с
поправками в граничных условиях, о которых речь будет идти
ниже. В таких случаях учет поправок в самих уравнениях был бы
неоправданным превышением над допустимой точностью. Огра-
Ограничимся рассмотрением лишь некоторых типичных поправочных
членов и оценим их для движений различных типов.
Отметим прежде всего, что малый параметр К = 1/L опре-
определенным образом связан с двумя параметрами, характеризую-
характеризующими гидродинамическое движение, — числом Рейнольдса R и
числом Маха М. Напомним, что первое из них определяется как
3*

68	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
R ~ VL/u, где V — характерный масштаб изменения скорости те-
течения, a v — кинематическая вязкость; число же Маха М ~ V/u,
где и — скорость звука. В газе порядок величины скорости звука
совпадает со средней тепловой скоростью молекул U, а кинема-
кинематическая вязкость v rsj (fij). Поэтому R rsj VL/(lv), M ~ V/v, a
число Кнудсена
К - M/R.	A4.3)
Отсюда видно, что условие гидродинамичности движения,
К <С 1, накладывает определенное ограничение на относитель-
относительный порядок величины чисел R и М. Рассмотрим сначала «мед-
«медленные» движения, в которых
R < 1, М < 1.	A4.4)
Рассмотрим какой-либо из барнеттовских членов в тензоре
вязких напряжений, содержащих произведение двух первых про-
производных от скорости, например
f^;	A4.5)
дх1 дх1
написанный здесь коэффициент pi2 (р — плотность газа) — оцен-
оценка по порядку величины. Этот член дает в а'ао вклад а^ ~
~ p/2y2/L2. Порядок же величины основных (навье-стоксовых)
членов в вязких напряжениях: а^ ~ rj(dV/dx) ~ plvV/L, и от-
отношение а^/а^ ~ IV/(Lv) ~ (/2/L2)R. Поскольку R < 1, то мы
видим, что члены A4.5) вносят в вязкие напряжения поправ-
поправку относительного порядка < (//LJ, между тем как поправка
в граничных условиях (см. ниже) вносит в движение поправки
относительного порядка //L, т. е. значительно большие.
Еще меньше будут поправки, происходящие от членов вида 1)
Но если перепады температуры задаются «извне» (скажем, по-
погруженными в газ нагретыми телами), то барнеттовские члены
вида A4.6) могут привести к возникновению стационарного дви-
движения с характерными скоростями, определяющимися условием
®(аав ~^~ аав)/^х13 = дР/дха. Оценка скорости движения дает
A4.7)
V.
L mvT2
(М.Н. Коган, B.C. Галкин, О.Г. Фридлендер, 1970).
г) Такие члены в вязких напряжениях впервые рассматривались Макс-
Максвеллом A879).

§ 14	ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	69
При оценке следует учесть, что лапласиан температу-
температуры можно выразить с помощью уравнения теплопроводности
div (ftV)T = 0 через квадрат ее градиента, а также, что движе-
движение вызывается только непотенциальной частью силы dal/dxp.
Потенциальная же часть силы уравновешивается давлением.
Аналогичные соображения относятся к поправочным членам
в тепловом потоке q'. Из производных одной только температуры
вообще нельзя составить поправочного члена второго порядка;
первый (после — xVT) такой поправочный член имеет вид const x
х VAT (А — оператор Лапласа), т. е. третьего порядка. Члены
же, содержащие наряду с производными от температуры еще и
производные от скорости, например
т
снова приводят к поправкам относительного порядка /2/L2.
Перейдем к «быстрым» движениям, в которых
R>1, M<1.	A4.8)
В таких случаях картина гидродинамического движения газа
складывается из двух областей: объемной, в которой вязкие чле-
члены в уравнениях движения вообще несущественны, и тонкого
пограничного слоя, в котором скорость газа быстро убывает.
Пусть, например, речь идет об обтекании газом плоской пла-
пластинки; направление обтекания выберем в качестве оси х. Тол-
Толщина 6 пограничного слоя на пластинке:
\v J V v
где х — расстояние от ее передней кромки (см. VI, § 39). Ха-
Характерный размер для изменения скорости вдоль оси х дается
самой координатой ж, а вдоль перпендикулярного пластинке на-
направления оси у — толщиной пограничного слоя 6. При этом
Vy ~ Vx5/x, как это следует из уравнения непрерывности. Глав-
Главный член в навье-стоксовом тензоре вязких напряжений:
,	dVx vlV
Среди барнеттовских же членов в crf , однако, нет члена, кото-
который бы содержал квадрат (dVx/dyJ — легко сообразить, что из
производных dVa/dXj3 нельзя составить квадратичного по ним
тензора второго ранга, жу-компонента которого содержала бы
этот квадрат. Самыми большими членами в аху могут быть лишь
члены вида
ду	хд

70	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Их отношение к ащ}'• сг^/а^ ~ IV/(xv) ~ A/5J, т. е. снова
второго порядка.
Покажем теперь, что поправочные члены в предельных усло-
условиях на границе между газом и твердыми телами приводят к
эффектам первого порядка по 1/L. Поэтому заметные явления,
обусловленные разреженностью газа, имеют место именно вбли-
вблизи твердых поверхностей.
В неразреженных газах граничным условием на поверхности
твердого тела является равенство температур газа и тела. В дей-
действительности, однако, это условие приближенно и имеет место
лишь постольку, поскольку длину свободного пробега можно счи-
считать сколь угодно малой. При учете же конечности длины сво-
свободного пробега на поверхности соприкосновения твердого тела
и неравномерно нагретого газа имеется некоторая разность тем-
температур; эта разность обращается в нуль, вообще говоря, лишь
при полном тепловом равновесии, когда температура газа посто-
постоянна 1).
Вблизи твердой поверхности (на небольших, но и не на слиш-
слишком малых расстояниях от нее) градиент температуры газа мож-
можно считать постоянным, так что ход температуры как функции
расстояния изображается прямой линией. Однако в непосред-
непосредственной близости от стенки (на расстояниях ~ I) ход темпе-
температуры, вообще говоря, более сложен и ее градиент непостоянен.
Примерный ход температуры газа вблизи
поверхности изображен на рис. 1 сплошной
линией.
Однако этот истинный ход температу-
температуры в непосредственной близости стенки,
относящийся к расстояниям, сравнимым
с длиной свободного пробега, несуществен
"? при рассмотрении распределения темпера-
температуры во всем объеме газа. При изучении
распределения температуры около твердой
Рис. 1	стенки нас интересует по существу только
прямая часть кривой на рис. 1, простираю-
простирающаяся на расстояния, большие по сравнению с длиной свободного
пробега. Уравнение этой прямой определяется углом ее накло-
наклона и отрезком, отсекаемым ею от оси ординат. Таким образом,
нас интересует не истинный пристеночный скачок температуры,
а скачок, получающийся экстраполированием температуры газа
i
1) Когда речь идет о температуре газа в участках, размеры которых по-
порядка длины свободного пробега, необходимо, строго говоря, определить,
что именно подразумевается под понятием температуры. Температуру бу-
будем определять в этом случае по средней энергии молекул в данном месте
газа, причем функция, определяющая температуру по средней энергии мо-
молекул, полагается той же, какой она является для больших объемов газа.

§ 14	ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	71
до самой стенки, считая ее градиент постоянным вблизи стен-
стенки вплоть до равного нулю расстояния (штриховая прямая на
рис. 1). Под 6Т мы будем понимать именно такой экстраполи-
экстраполированный скачок температуры, причем определим его как тем-
температуру газа минус температура стенки (на рис. 1 температура
стенки условно принята за нуль).
При равном нулю градиенте температуры скачок 6Т тоже
исчезает. Поэтому при не слишком больших градиентах темпе-
температуры
ST = g^	A4.9)
on
(производная берется по направлению нормали к поверхности,
направленной внутрь газа). Коэффициент g можно назвать коэф-
коэффициентом температурного скачка. Если температура газа ра-
растет по направлению внутрь его объема (дТ/дп > 0), то должно
быть и ST > 0; следовательно, коэффициент g положителен.
Аналогичные явления имеют место на границе между твер-
твердой стенкой и движущимся газом. Вместо того чтобы полностью
«прилипать» к поверхности, разреженный газ сохраняет около
нее некоторую конечную, хотя и малую скорость; происходит,
как говорят, скольжение газа у поверхности. Аналогично фор-
формуле A4.9) имеем для скорости vq этого скольжения:
«0 = е^,	A4.Ю)
дп
где Vt — касательная составляющая скорости газа вблизи стен-
стенки. Как и g, коэффициент скольжения ? положителен. К ве-
величине г>о относятся те же замечания, которые были сделаны
по поводу температурного скачка 8Т, определяемого A4.9). Эта
скорость является, строго говоря, не истинной скоростью газа у
самой стенки, а скоростью, экстраполированной в предположе-
предположении постоянства градиента dVt/dn в пристеночном слое газа.
Коэффициенты g и ? имеют размерность длины и по порядку
величины совпадают с длиной свободного пробега:
g~/, ?~l.	A4.11)
Самые скачок температуры и скорость скольжения являются,
следовательно, величинами первого порядка по 1/L. Для вычис-
вычисления коэффициентов ^и( надо было бы решать кинетическое
уравнение для функции распределения молекул газа вблизи по-
поверхности. В этом уравнении должны были бы быть учтены
столкновения молекул со стенкой, и потому должен быть из-
известен закон, по которому происходит их рассеяние при таких
столкновениях.

72	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Если продолжить на рис. 1 штриховую прямую до ее пересе-
пересечения с осью абсцисс, то она отсечет от этой оси отрезок длины g.
Другими словами, можно сказать, что распределение темпера-
температуры при наличии температурного скачка такое же, каким оно
было бы при отсутствии скачка, но со стенкой, отодвинутой на
расстояние g. To же самое относится к скольжению газа, причем
стенка отодвигается на расстояние ?. Разумеется, при таких заме-
заменах в решениях гидродинамических задач должны сохраняться
только члены первого порядка по g или ?. Поскольку учет скач-
скачков температуры или скорости эквивалентен смещению границ
на расстояния порядка величины /, то вызванные этим поправ-
поправки в решениях задач имеют порядок 1д/дх ~ 1/L — первый по
величине1/L.
Наряду с рассмотренными поправками к граничным услови-
условиям существуют еще и другие эффекты того же порядка по //L,
которые во многих случаях являются более важными, поскольку
здесь возникают некоторые качественно новые явления.
Один из них состоит в возникновении движения газа вблизи
неравномерно нагретой твердой поверхности — так называемое
тепловое скольжение. Этот эффект в известном смысле анало-
аналогичен термодиффузии в смеси газов. Подобно тому как при нали-
наличии градиента температуры в газовой смеси столкновения с мо-
молекулами «чужого» газа приводят к появлению потока частиц,
в данном случае поток возникает в результате столкновений с
неравномерно нагретой стенкой молекул в узком (с толщиной ~ I)
приповерхностном слое газа.
Обозначим тангенциальную скорость, приобретаемую газом
вблизи стенки в результате теплового скольжения, символом
V^, а тангенциальную составляющую градиента температуры —
V*T. В первом приближении можно утверждать, что V* пропор-
пропорциональна VjT, т. е. для изотропной поверхности
V, = /iVtT.	A4.12)
Коэффициент \i должен быть пропорционален длине пробега
(поскольку он связан с частицами в слое газа такой толщины).
Тогда из соображений размерности ясно, что \i ~ l/(mv). Выра-
Выразив длину пробега через сечение столкновений и плотность газа,
имеем / ~ 1/(N<j) ~ Т/(аР) и окончательно
^~ —W-.	A4.13)
Р аР у m	V	J
Знак коэффициента /i не определяется термодинамическими тре-
требованиями; согласно опытным данным обычно /i > 0.
Наконец, еще один эффект первого порядка заключается в
появлении в движущемся газе дополнительного поверхностного
(т. е. сосредоточенного в пристеночном слое толщины ~ /) теп-

§ 14	ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	73
лового потока q!n0B, пропорционального нормальному градиенту
тангенциальной скорости:
<?. = ?>*?	(".14)
(этот поток имеет размерность эрг/см-с).
Коэффициенты \i и if связаны друг с другом соотношени-
соотношением, следующим из принципа Онсагера. Для вывода этой связи
рассмотрим «поверхностную» часть возрастания энтропии, SUOBl
связанную с пристеночным движением газа (и отнесенную к еди-
единице площади поверхности стенки). Это возрастание складыва-
складывается из двух частей. Во-первых, наличие теплового потока с^пов
дает в производную SUOB вклад
(ср. аналогичное выражение для возрастания энтропии, связан-
связанного с объемным тепловым потоком, — VI, § 49; IX, § 88).
Во-вторых, на обтекаемую газом стенку действует сила трения,
равная (будучи отнесена к единице площади) —rjdYt/dn. Дисси-
пируемая в единицу времени энергия равна работе этой силы
а поделенная на Т она дает соответствующий вклад в возраста-
возрастание энтропии. Таким образом,
^	- ±r,Vt*?.	A4.15)
Выберем теперь в качестве величин Ха, фигурирующих в об-
общей формулировке принципа Онсагера (§ 9), векторы
т2 г '	т дп
Тогда сравнение A4.15) с общим выражением (9.3) показывает,
что соответствующими величинами ха будут векторы
Роль же «уравнений движения» (9.1) играют соотношения
A4.12) и A4.14); записав их в виде
мы придем к искомому соотношению
ip = Tr]/j	A4.16)
(L. Waldmann, 1967).

74
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
ГЛ. I
Задачи
1. Два сосуда, содержащие газ при различных температурах Т\ и Тг, со-
соединены длинной трубкой. В результате теплового скольжения установится
разность давлений между газами в обоих сосудах (термомеханический эф-
эффект). Определить эту разность.
Решение. Граничное условие на поверхности трубки при пуазейлев-
ском течении под влиянием градиентов давления и температуры с учетом
теплового скольжения гласит: v = /i dT/dx при г = R (R — радиус трубки,
ось х направлена вдоль ее длины). Обычным образом (см. VI, § 17) находим
распределение скоростей по сечению трубки:
]_dP_{
477 dx
dT
dx
Количество (масса) газа, протекающего через сечение трубки в единицу вре-
времени, равно
Q = -^г—г + P^R2—-	(l)
8г] dx	dx
(р — плотность газа). При механическом равновесии Q = 0, откуда
dP _ 8г][1 dT
~dx~ ~ ~W~dx~'
Интегрируя по всей длине трубки, находим для разности давлений:
Р Р 8 ^ (Т т\
р2 - Pi = -^г(т2 ~ Ti)
(при не слишком больших разностях Т2 — Ti коэффициенты г\ и [i можно счи-
считать постоянными). Оценка порядка величины эффекта (с помощью A4.13)
и (8.11)) дает
5_Р_ Р_6Т_
~р ~ Я2 Y'
Распределение скоростей по сечению трубки при Q = 0 имеет вид
2rf
R?
- 1
dT
~dx~'
Вдоль стенок газ течет в направлении градиента температуры (v > 0), а
вблизи оси трубки — в противоположном направлении (v < 0).
Тл	2. Две трубки (с длинами L) различных радиусов (R\ <
< R2) соединены своими концами; места соединения поддер-
поддерживаются при различных температурах (Т2 > Т\\ разность
Т2 — Т\ мала). В результате теплового скольжения устанавли-
устанавливается круговое движение газа по трубкам; определить пол-
2R\ ный расход газа через сечение трубок.
Решение. Разделив соотношение A) задачи 1 на R
и интегрируя по замкнутому контуру, образованному обеими
трубками, получим
2R2
RlRl
Рис. 2	Течение происходит в указанном на рис. 2 направлении.

§ 14	ЯВЛЕНИЯ В СЛАБО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	75
3. Определить силу F, действующую на шар (радиуса R), погруженный
в газ, в котором поддерживается постоянный градиент температуры VT = А.
Решение. Распределение температуры внутри шара дается формулой
Т =	—Ar cos#,
X! + 2х2
где Х1ИХ2 — коэффициенты теплопроводности шара и газа; г и в — сфери-
сферические координаты с началом в центре шара и направлением А в качестве
полярной оси (см. VI, § 50, задача 2). Отсюда находим для градиента тем-
температуры вдоль поверхности шара:
1 дТ	3x2 л . п
R дв	Х!+ 2х2
Возникающее благодаря тепловому скольжению ламинарное движение
газа определяется всего одним вектором А. Поэтому соответствующее реше-
решение уравнения Навье-Стокса можно искать в таком же виде, как и в задаче
об обтекании жидкостью движущегося в ней шара (см. V, § 20):
А + n(An) , 3n(An) - A
v = -а	Ь Ь	,
г	г6
где п = г/г (аддитивной постоянной в v не пишем, так как должно быть
v = 0 при г —>- оо). Постоянные а и Ъ определяются из условий
v = 0 ve =	при г = R
Rde р
и равны
Ь
а = — = —-
R?	\
Действующая на шар сила:
Для того чтобы рассмотренные в задачах поверхностные эффекты были
действительно малы по сравнению с объемными, температура должна мало
меняться — в задачах 1 и 2 на радиусе трубки, а в задаче 3 на радиусе шара.
4. Два сосуда, соединенные длинной трубкой, содержат газ при одной и
той же температуре и давлениях Р\ и?2- Определить тепловой поток между
сосудами, сопровождающий пуазейлевское течение по трубке (механокало-
рический эффект).
Решение. Согласно формулам A4.14), A4.16) тепловой поток вдоль
стенок трубки
q = 2тг Rquos = 2тг RTrjfi	.
dr
С другой стороны, из условия механического равновесия жидкости при ста-
стационарном течении имеем
dr	dx	L
Отсюда окончательно
q' = irR2Tfl(P2-P1)/L.

76	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
§ 15. Явления в сильно разреженных газах
Рассмотренные в предыдущем параграфе явления представ-
представляют собой лишь поправочные эффекты, связанные с высши-
высшими степенями отношения длины свободного пробега / к харак-
характеристическим размерам задачи L; это отношение по-прежнему
предполагалось малым. Если же газ настолько разрежен (или
размеры L настолько малы), что 1/L > 1, то гидродинамические
уравнения становятся вовсе неприменимыми, даже с исправлен-
исправленными граничными условиями.
В общем случае произвольного 1/L требуется в принципе
решать кинетическое уравнение с определенными граничны-
граничными условиями на соприкасающихся с газом твердых поверхно-
поверхностях. Эти условия определяются взаимодействием молекул газа
с поверхностью и связывают функцию распределения частиц,
падающих на поверхность, с функцией распределения частиц,
покидающих ее. Если это взаимодействие сводится к рассея-
рассеянию молекул (без их химического превращения, ионизации или
поглощения поверхностью), то оно описывается вероятностью
w(Tf, Г) с/Г7, т. е. вероятностью того, что молекула с заданными
значениями Г, столкнувшись с поверхностью, отразится от нее в
заданный интервал с/Г7; функция w нормирована условием
/ЦГ7,Г)^Г7 = 1.	A5.1)
С помощью w граничное условие для функции распределения
/(Г) записывается в виде
/ w(Tf, T)nv/(r) dY = -nv7/(r7) при nv7 > 0.	A5.2)
nv<0
Интеграл в левой части представляет собой число молекул, па-
падающих в 1 с на 1 см2 поверхности и попадающих в результате
рассеяния в заданный интервал с?Г7; интегрирование производит-
производится по области значений Г, отвечающей молекулам, движущимся
по направлению к поверхности (п — единичный вектор внеш-
внешней нормали к поверхности тела). Выражение же в правой части
условия A5.2) есть число молекул, покидающих поверхность (за
то же время и с той же площади); значения Г7 в обеих частях
равенства должны отвечать молекулам, движущимся по направ-
направлению от поверхности.
В равновесии, когда температура газа совпадает с темпера-
температурой тела, функция распределения как падающих, так и отра-
отраженных частиц должна быть больцмановской. Отсюда следует,
что функция w должна тождественно удовлетворять равенству
/ w(Tf, T)nve-?/Tl dY = -nv7e-?//^i ?	A5.з)
nv<0

§ 15	ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	77
получающемуся подстановкой в A5.2) /(Г) = const • ехр(—e/Ti),
где Т\ — температура тела.
В описанной общей постановке решение задачи о движении
сильно разреженного газа, конечно, весьма затруднительно. За-
Задача может быть поставлена, однако, более простым образом в
предельных случаях настолько сильного разрежения газа, что
отношение 1/L ^> 1.
Большая категория таких задач относится к ситуациям, ког-
когда значительная масса газа занимает объем, размеры которо-
которого велики как по сравнению с размерами L погруженных в газ
твердых тел, так и по сравнению с длиной пробега /. Столкнове-
Столкновения молекул с поверхностью тел происходят тогда сравнительно
редко и несущественны по сравнению со взаимными столкнове-
столкновениями молекул. Если газ сам по себе находится в равновесии
с некоторой температурой Т2, то в этих условиях можно счи-
считать, что равновесие не нарушается погруженным в него телом.
При этом между газом и телом могут существовать произволь-
произвольные разности температур. То же самое относится и к скоростям
макроскопического движения.
Пусть т = Т2 — Т\ есть разность между температурой га-
газа и температурой некоторого участка df поверхности тела, а
V — скорость движения газа относительно тела. При отличных
от нуля т и V возникает, во-первых, обмен теплом между газом
и телом и, во-вторых, на тело действует со стороны газа неко-
некоторая сила. Обозначим плотность диссипативного потока тепла
от газа к телу через q. Силу же, действующую в каждой точке
поверхности тела по направлению п внешней нормали к ней (и
отнесенную к единице площади), обозначим как F — Рп. Здесь
второй член есть обычное давление газа, a F — интересующая
нас дополнительная сила, связанная с т и V. Величины q и F
являются функциями от т и V, обращающимися в нуль вместе
с ними.
Если т и V достаточно малы (первое — по сравнению с са-
самими температурами газа и тела, а второе — по сравнению с
тепловой скоростью молекул газа), то можно разложить q и F
в ряд по степеням т и V, ограничившись линейными членами.
Обозначим символами Fn и Vn компоненты F и V по направле-
направлению нормали п, а символами Е\, "Щ — их тангенциальные соста-
составляющие; последние являются векторами с двумя независимыми
компонентами. Тогда указанные разложения будут иметь вид
q = aT + CVn, Fn = jT + 5Vn, Ft = 6Vt,	A5.4)
где а, /3, 7, E, в — постоянные (вернее, функции температуры
и давления), характерные для каждых данных газа и вещества
твердого тела. «Скалярные» величины q и Fn не могут, в силу
соображений симметрии, содержать членов, линейных по векто-

78	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
ру VV По такой же причине в разложении вектора F^ отсутству-
отсутствуют члены, линейные по «скалярам» т и Vn.
Величины а, E, в положительны. Так, если температура газа
выше температуры тела (т > 0), то тепло будет переходить от
газа к телу, т. е. соответствующая часть потока q будет положи-
положительна; поэтому а > 0. Далее, действующие на тело силы Fn,
Ft, обусловленные движением газа относительно тела, должны
быть направлены в ту же сторону, куда направлены Vn и V^;
поэтому должно быть 5 > 0, в > 0. Что касается коэффициен-
коэффициентов /3 и 7, то их знак не следует из общих термодинамических
соображений (хотя, по-видимому, фактически они, как прави-
правило, положительны). Между ними имеется простое соотношение,
являющееся следствием принципа симметрии кинетических ко-
коэффициентов.
Для вывода этого соотношения вычислим производную по
времени от полной энтропии всей системы, состоящей из газа
вместе с находящимся в нем телом. В единицу времени тело по-
получает от газа через каждый элемент поверхности df количество
тепла qdf. При этом энтропия тела Si испытывает приращение:
где интегрирование производится по всей поверхности тела.
Для вычисления увеличения энтропии газа выбираем такую
систему координат, в которой газ (в месте нахождения тела) по-
покоится; в этой системе скорость каждой точки поверхности тела
есть —V. Для целей доказательства искомого соотношения бу-
будем считать, что форма тела может меняться при его движении;
тогда скорости V различных точек его поверхности будут яв-
являться произвольными независимыми переменными величина-
величинами. Согласно термодинамическому соотношению dE = T dS —
— Р dV изменение энтропии газа в единицу времени равно
(величины с индексом 2 относятся к газу). Производная Е2 рав-
равна, в силу сохранения полной энергии системы, взятому с обрат-
обратным знаком изменению энергии тела. Последнее складывается
из количества тепла <fqdfn произведенной над телом работы,
равной интегралу $(—V)(F — Рп) df. Отсюда находим для изме-
изменения энергии газа:
Е2 = §{-q + FnVn + FtVt - P2Vn) df.
Что касается изменения объема газа, то оно равно взятому с
обратным знаком изменению объема тела:

§ 15	ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	79
Таким образом, имеем для изменения энтропии газа:
#2 = ±§(-q + FnVn + FtVt) df.
J-2
Складывая производные от S\ и $2 и полагая затем (при ма-
малых т) Т\ « Т2 = Т, получаем окончательно для скорости изме-
изменения полной энтропии системы:
+F~t+Ч1]df-
Выберем в качестве величин ?]_, Ж2, жз, ?4 в общей формули-
формулировке принципа Онсагера (§ 9) соответственно g, Fn и две компо-
компоненты вектора F^ (в каждой заданной точке поверхности тела).
Для выяснения смысла соответствующих величин Ха сравним
формулу A5.5) с общим выражением скорости изменения энтро-
энтропии (9.3). Мы увидим тогда, что величинами Х\, Хъ, -Х"з? Х^
будут соответственно —т/Т2, —Vn/T и две компоненты векто-
вектора —Yt/T в той же точке. Кинетические же коэффициенты (ко-
(коэффициенты в соотношениях (9.1)):
711 = аТ2, 722 = ST, 7зз = 744 = вТ,
712 = /ЗТ, 721 = IT2.
Из симметрии 712 = 721 следует, таким образом, искомое соотно-
соотношение
C = 7Т.	A5.6)
Отметим также, что из условия положительности квадратич-
квадратичной формы (9.3) (S > 0) следуют уже упомянутые неравенства
а, /3, в > 0 и дополнительно еще неравенство
TaS > f32.
Вычисление коэффициентов в A5.4) требует знания конкрет-
конкретного закона рассеяния молекул газа от поверхности тела, выра-
выражаемого введенной выше функцией г^(Г7,Г). Для примера полу-
получим формулу, позволяющую в принципе вычислить величину а.
Плотность потока энергии от газа к телу выражается инте-
интегралом
q = f(e- e')\vx\w(T', Г)/(Г) dT dT'	A5.7)
(взятым по области vx < 0, v'x > 0), — при каждом столкновении
молекулы со стенкой последней передается энергия е — е'.
Преобразуем это выражение с помощью принципа детально-
детального равновесия, согласно которому в состоянии равновесия число

80	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
переходов Г —>• Г7 при рассеянии молекул от стенки равно числу
переходов Г/Т —>> Гт. Это означает, что
(^) A5.8)
(в равновесии температура газа совпадает с температурой
стенки).
Произведем в A5.7) переобозначение переменных интегриро-
интегрирования Г —>> Г/Т, Г7 —>> Гт. Взяв полусумму обоих получающихся
выражений, напишем
x
Наконец, подставив сюда w(TT, Г/Т) из A5.8) и разложив затем
подынтегральное выражение по степеням малой разности т =
= Т2 — Ti, найдем, что q = ат, где
(^±) dYdV A5.9)
(vx < 0, vx > 0; индекс у температуры Т\ « Т2 опущен).
Функция распределения молекул, рассеянных от стенки, за-
зависит от конкретного характера их взаимодействия со стенкой.
Говорят, что имеет место полная аккомодация, если молекулы,
отраженные от каждого элемента поверхности тела, имеют (неза-
(независимо от величины и направления их скорости до столкнове-
столкновения) такое же распределение, какое имели бы молекулы в пучке,
выходящем из маленького отверстия в сосуде с газом с темпера-
температурой, равной температуре тела. Другими словами, при полной
аккомодации рассеиваемый от стенки газ приходит в тепловое
равновесие с нею. Величину коэффициентов в A5.4) имеет смысл
сравнивать именно с их значениями при полной аккомодации.
В частности, обмен энергией между молекулами газа и твер-
твердой стенкой обычно характеризуют коэффициентом аккомода-
аккомодации, определяемым как отношение а/ао (где «о отвечает полной
аккомодации). В реальных случаях полная аккомодация, вооб-
вообще говоря, не достигается и коэффициент аккомодации меньше
единицы.
В том, что значение «о действительно является наибольшим
возможным, легко убедиться с помощью следующих соображе-
соображений. Рассмотрим энтропию S в A5.5) с несколько иной точки
зрения: не как полную энтропию тела и газа в целом, а как эн-
энтропию тела и лишь той совокупности молекул газа, которые за
время At падают на поверхность тела. Для этой системы отра-

§ 15	ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	81
жение молекул с полной аккомодацией означает переход в состо-
состояние полного равновесия, так что ее энтропия принимает макси-
максимально возможное значение. Соответственно будет максимально
возможным и изменение энтропии, AS = SAt, сопровождаю-
сопровождающее этот переход1). Другими словами, при полной аккомодации
квадратичная форма (9.3) должна быть максимальна при лю-
любых заданных значениях величин Ха (т. е. т, Vni V^). Отмечая
соответствующие значения коэффициентов 7аб индексом нуль,
запишем это условие в виде
а^аг2 2(/30-/3)	fc-* 2 + в_о^± у2 Q
Отсюда следуют неравенства
«о > a, So > ?, Oq > 6,
Т(ао-а)(<5о-<5)>(А)-/3J.	A5.10)
Рассмотрим вытекание сильно разреженного газа из малень-
маленького отверстия (с линейными размерами L). В предельном слу-
случае 1/L ^> 1 этот процесс приобретает весьма простой харак-
характер. Молекулы будут покидать сосуд независимо одна от дру-
другой, образуя молекулярный пучок, в котором каждая молеку-
молекула движется с той скоростью, с которой она подошла к отвер-
отверстию. Число молекул, выходящих в 1 с из отверстия, совпадает с
числом столкновений, которые испытали бы за это время моле-
молекулы газа с площадью поверхности, равной площади отверстия
s. Число столкновений, отнесенное к единице площади стенки,
есть PBtt77iT)~1/2, где Р — давление газа, m — масса молекулы
(см. V, § 39). Таким образом, для количества (массы) вытекаю-
вытекающего в 1 с газа находим
^? A5.11)
Если два сосуда с газом соединены друг с другом отверсти-
отверстием, то в случае I ^ L при механическом равновесии давления Р\
и ?2 газов в обоих сосудах будут одинаковыми, вне зависимости
от значений их температур Т\ и Т2. Если же / ^> L, то условием
механического равновесия будет являться равенство чисел моле-
молекул, переходящих через отверстие из одного сосуда в другой и
1) В этих рассуждениях существенно, что тело (играющее роль «тепло-
«теплового резервуара») можно считать находящимся в состоянии равновесия в
течение всего процесса, а энтропия идеального газа зависит только от за-
закона распределения его молекул, но не от закона их взаимодействия друг с
другом.

82	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
обратно. Согласно A5.11) это приводит к равенству
A5.12)
Pi
Таким образом, давления разреженных газов в двух сооб-
сообщающихся сосудах будут различными, причем они относятся
друг к другу как корни из температур {эффект Кнудсена).
До сих пор речь шла о явлениях в значительной массе силь-
сильно разреженного газа, находящегося самом по себе в равнове-
равновесии. Остановимся коротко на явлениях другого характера, в ко-
которых и сам газ не находится в равновесном состоянии. Тако-
Такова, например, передача тепла между двумя твердыми пластин-
пластинками, нагретыми до различных температур и погруженными в
разреженный газ, причем расстояние между ними мало по срав-
сравнению с длиной свободного пробега. Молекулы, движущиеся в
пространстве между пластинками, практически не испытывают
столкновений друг с другом и, отражаясь от одной пластинки,
свободно движутся до столкновения с другой. При рассеянии от
более нагретой пластинки молекулы приобретают от нее неко-
некоторую энергию, а затем при столкновении с менее нагретой —
отдают ей часть своей энергии. Механизм теплопередачи в этом
случае существенно отличается, таким образом, от механизма
обычной теплопроводности в неразреженном газе. Его можно ха-
характеризовать коэффициентом теплопередачи х, определенным
(по аналогии с обычным коэффициентом теплопроводности) так,
чтобы было
где q — передаваемое количество тепла (отнесенное к единице
площади пластинок в единицу времени), Т\ и Т2 — температуры
пластинок, a L — расстояние между ними. Коэффициент к мож-
можно оценить по порядку величины с помощью формулы G.10). По-
Поскольку вместо столкновений молекул друг с другом мы имеем
теперь дело с непосредственными столкновениями с пластинка-
пластинками, то вместо длины свободного пробега / надо подставить рас-
расстояние L между пластинками. Таким образом, имеем
к~ LvN ~ -JL.	A5.14)
Коэффициент теплопередачи в сильно разреженном газе пропор-
пропорционален давлению — в противоположность теплопроводности
неразреженного газа, не зависящей от давления. Подчеркнем,
впрочем, что теперь ж не является характеристикой лишь са-
самого газа: ж зависит также и от конкретных условий задачи (от
расстояния L между пластинками).

§ 15	ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	83
Аналогичное явление представляет собой «вязкость» сильно
разреженного газа, проявляющаяся, например, при относитель-
относительном движении двух находящихся в нем пластинок (причем опять
L <С /). Коэффициент вязкости т\ надо определить теперь так,
чтобы было
F = rjV/L,	A5.15)
где F — сила трения, испытываемая движущейся пластинкой
(отнесенная к единице ее площади), а V — скорость движения
одной пластинки относительно другой. Написав в (8.11) рассто-
расстояние L вместо длины пробега /, получим
г/ - mvNL ~ LPJ — ,	A5.16)
т. е. вязкость разреженного газа тоже пропорциональна давле-
давлению.
Задачи
1. В начальный момент t = 0 газ занимает полупространство х < 0.
В пренебрежении столкновениями определить распределение плотности в
последующие моменты времени.
Решение. В пренебрежении столкновениями кинетическое уравнение
сводится к уравнению
®L v^- -0
общее решение которого есть / = /(г — v?,v). С учетом поставленного на-
начального условия получим в данном случае
/ = fo(v) ПРИ vx > x/t, / = 0 при vx < x/t,
где /о — максвелловское распределение. Плотность газа
N(t,x) =
-oox/t
где
2 Г
—
dy,
a No — начальная плотность. Ввиду пренебрежения столкновениями, напи-
написанные формулы фактически справедливы лишь в области |ж| ^С /.
2.	Определить силу, действующую на шарик радиуса R, движущийся со
скоростью V в разреженном газе.
Решение. Полная сила сопротивления движению шарика равна
? = -—УЯ2(^ + 2(9).
3.	Определить скорость, с которой будет двигаться в разреженном газе
невесомый плоский диск, стороны которого нагреты до различных темпера-
температур Ti иТ2.
Решение. Скорость V движения диска (в направлении, перпенди-
перпендикулярном к его плоскости) определится из условия равенства нулю суммы

84	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
сил, действующих на обе его стороны. Диск будет двигаться менее нагретой
стороной вперед со скоростью, равной (считаем, что Т2 > Ti)
v (t2t1).
Zo
4. Вычислить значение olq коэффициента а при полной аккомодации.
Решение. Количество энергии, приносимой в единицу времени
молекулами, сталкивающимися с единицей площади поверхности тела, есть
/ f2Vx?cir, где /2 — больцмановская функция распределения с температу-
температурой Т2 газа (е — энергия молекулы, а ось х направлена перпендикулярно
к поверхности тела). Количество уносимой этими же молекулами энергии
получится отсюда (при полной аккомодации) просто заменой Т2 на темпе-
температуру тела Ti. Поток тепла
(интегрирование поиж — в пределах от 0 до оо). Энергию молекулы пишем
в виде ? = ?Вн + тпу /2, где sBH — внутренняя энергия. Вычисление дает для
каждого из интегралов значение
fevx dF = 1/(ёвн + 2Т) = v
где ~? = cvT — средняя энергия молекулы, a v = Р/^/2тгтТ — число молекул,
сталкивающихся в 1 с с 1 см2 поверхности. Тепло q равно разности энергии
приходящих и уходящих молекул при одинаковом числе тех и других, т. е.
одинаковом v. В результате находим для коэффициента в q = а(Т2 — Т\)
значение
р ( . v
Cv
а0	\cv +
л/2тгшТ V 2,
(разность Т2 — Т\ предполагается малой, так что полагаем Т\ и Т2 = Т).
5. То ж:е для коэффициентов /3 и /у.
Решение. Нормальная составляющая импульса, приносимого моле-
молекулами, сталкивающимися в 1 с с 1 см2 поверхности тела, равна половине
давления газа. Выражая давление через i/, имеем
Взяв разность значений этой величины при температурах Т\ и Т2 и оди-
одинаковых z/, получим дополнительную силу Fn, обусловленную разностью
температур. Считая Т2 — Т\ малой, найдем
7о = Р/4Т.
Для коэффициента /3 имеем согласно A5.6) /Зо = Р/4.
6. То же для коэффициентов S и в.
Решение. Выбираем систему координат, в которой тело покоится, а
газ движется со скоростью V; ось х направлена по нормали к поверхности, а
плоскость ху выбрана так, чтобы V лежало на ней. Функция распределения
в этой системе есть
/ = const. ехр {-^ - ^ [К - Vxf + К - Vvf + v
Что касается отраженных молекул, то при полной аккомодации они имеют
функцию распределения с V = 0; т считаем равным нулю.

§ 15	ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	85
При вычислении касательной силы Fy полагаем Vx = 0. Приносимая
падающими на поверхность тела молекулами полная ^/-компонента импульса
есть
/ mVyVxf dT = mVy J vxf dT = mVyv
(no vx интегрирование производится везде в пределах от 0 до оо). Уносимая
же ими ?/-компонента импульса исчезает. Таким образом, Fy = misVy, так
что
Пусть теперь Vx / 0, Vy = 0. С точностью до членов первого порядка
по Vx имеем
где /о — функция распределения с V = 0. Число молекул, сталкивающихся
Р	PVX
в 1 с с 1 см2 поверхности, есть
v = fVxdT =
/2тгшТ 2Т
Приносимая этими молекулами ж-компонента импульса есть
Отраженные от стенки молекулы имеют функцию распределения с Vx = 0,
нормированную таким образом, чтобы интеграл J fvx dT был равен числу v
падающих молекул, определенному выше. Уносимая этими молекулами х-
компонента импульса равна
2 7ГШ	2	2 V 2Т '
Дополнительная к давлению нормальная сила есть Fx = SoVx, где
7. В предположении полной аккомодации определить температуру пла-
пластинки, движущейся со скоростью V в разреженном газе параллельно самой
себе.
Решение. Поступая как в задаче 4, имеем для приносимой энергии:
( т Т2 . mV2'
cvT2 -\
2	2
а для уносимой:
Приравнивая эти потоки, находим
Tl-T2 = -^^.
2cv + 1
8. Определить количество газа, протекающего в единицу времени через
поперечное сечение цилиндрической трубы (радиуса R) под влиянием гра-
градиентов давления и температуры. Газ настолько разрежен, что длина сво-

86	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
бодного пробега I ^> R ). При столкновениях молекул с ее стенками имеет
место полная аккомодация.
Решение. Распределение молекул по скоростям при отражении их от
стенки при полной аккомодации имеет вид vxf d3p, где / — максвелловская
функция распределения, а ось х перпендикулярна к поверхности. Обозначая
через ft угол между скоростью молекулы и осью ж, найдем, что распреде-
распределение отраженных молекул по направлениям их движения (независимо от
абсолютной величины скорости) имеет вид
— cos ft do
7Г
(эта функция нормирована так, что ее интеграл по всем телесным углам по
одну сторону плоскости равен v).
Выбираем ось z по оси трубки, а начало координат — в рассматриваемом
ее сечении. Через это сечение проходят молекулы, испытавшие последнее
отражение от различных участков поверхности трубы. Из числа молекул,
рассеянных от некоторого элемента df поверхности стенки на расстояние z,
пройдут через заданное сечение те, которые отражены по направлениям,
лежащим внутри телесного угла, под которым видно это сечение из рас-
рассматриваемой точки на поверхности трубы, т. е. df • is f cos ft do/тг молекул
(интегрирование производится по указанному интервалу углов).
Этот интеграл, очевидно, одинаков для всех точек, лежащих на одина-
одинаковом расстоянии z от заданного сечения. Поэтому полное число молекул,
проходящих (в 1 с) через это сечение, получится заменой df на кольцевой
элемент поверхности 2-rrRdz и интегрированием по всей длине трубы; умно-
умножая еще на массу т молекулы, получим расход массы газа через сечение
трубы:
Q = 2mR fv(f cos ft do) dz.
Число is, будучи функцией давления и температуры, меняется вдоль длины
трубы. Если градиенты давления и температуры вдоль длины не слишком
велики, то можно написать
/
/
/
/
I
\
\
1
\
\
{
\
1
/
/
/
1 1
1 -^
\
\
\
\
1
dz
z=0
Интеграл с v@) обращается, очевидно, в
НУЛЬ5 так чт0
[f
JJ
[fzcosftdodz.
z=oJJ
А	О	Для проведения интегрирования вво-
вводим в плоскости рассматриваемого сече-
Рис. 3	ния трубы координаты г и ср, где г — рас-
расстояние переменной точки А' от некоторой
заданной точки О на окружности сечения, а (р — угол между отрезком О А
и радиусом сечения (рис. 3). Молекула, отраженная от стенки в точке А (ле-
(лежащей на одной образующей с точкой О) и проходящая затем через точку
А', должна иметь скорость под углом ft с нормалью к поверхности трубы в
точке А, для которого
п	Г COS if
cos ft =	—
О потоке газа в таких условиях говорят как о свободномолекулярном.

§ 15	ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ	87
Элемент телесного угла можно написать в виде
. г dr dip z
do = 	— . =
г2 + z2 л/г2 + z2
(площадь г dr dip проецируем на плоскость, перпендикулярную к прямой
А А', и делим на квадрат длины этой прямой). Интегрирование произво-
производится по области
-тг/2 ^ ip ^ тг/2, 0 ^ г ^ 2Rcos(p, -oo ^ z ^ оо,
и дает
8тгД3 dv
Q~ 3 dz
Наконец, подставив v = Р/л/2тгШТ, получим окончательно
где в скобках стоит разность значений величины Р/л/Т на длине L трубы
(замена производной разностью допустима ввиду постоянства Q, а потому
и этой производной, вдоль длины трубы).
9. В предположении полной аккомодации найти силу трения между дву-
двумя твердыми плоскостями (расстояние между которыми L ^С /), движущи-
движущимися относительно друг друга со скоростью V; плоскости имеют температу-
температуры Ti и Т2.
Решение. Пусть плоскость 1 (с температурой Т\) покоится, а
плоскость 2 движется со скоростью V вдоль оси ж; ось у направлена от
первой плоскости ко второй. Молекулы со скоростями vy > 0 и vy < О
отражены соответственно от плоскостей 1 л 2: при полной аккомодации их
функции распределения
„	27Vi	/ mv\	_
г = 	ехр		при vv > О,
J B7rmTiK/2 P V 2T J	Р У
г	27V2	/ m(vV)^	„
/ = 	ехр	—	при vv < О,
J BтгшТ2K/2 PV	2T2 J	P У
где Ni и 7V2 — соответствующие плотности числа частиц; полная плотность
N = JVi + N2. Условие отсутствия суммарного потока в направлении оси ?/
дает
На каждую из плоскостей действует давление Р = N\T\ + N2T2 и сила
трения (отнесенная к единице площади)
_ _jp _ ту I „, f Л^	Т/ ЛТ. , I """^ _ т/ AT . I ""v У-''1-'-2)
I
Если Ti = Т2 = Т, то
F2 = -Fi =
2тгТ
в соответствии с A5.15), A5.16).
10. В предположении полной аккомодации определить коэффициент
теплопередачи к между двумя пластинками с близкими температурами Ti
и Т2.

ОО	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Решение. При полной аккомодации падающие на пластинку 1
молекулы имеют равновесное распределение с температурой Т2. Поэтому
поток энергии от пластинки 1 к пластинке 2: q = а.о\Т2 —Т\). Взяв ао из
задачи 4 и определив >с согласно A5.13), получим
PL ( 1
cv + -
л/2тгшТ V	2
в соответствии с оценкой A5.14).
11. Определить плотность газа на оси позади кругового диска радиуса
R <С /, движущегося в газе со скоростью —V, большой по сравнению со
средней тепловой скоростью атомов vt-
Решение. При V ^> vt частицы, отраженные от задней поверхности
диска, несущественны (за исключением узкой области у этой поверхности —
см. ниже). Все дело сводится к «затене-
шло» диском набегающего потока. В систе-
R
ме координат, в которой диск покоится (а
z газ движется со скоростью V), в отсутствие
самого диска функция распределения была
бы равна
Рис 4	/o(v) = B7rwTK/2exP(	ir—) ¦
В присутствии диска плотность числа частиц газа на оси z (рис. 4) будет
ОО 7Г
N(z) = 2тг I [ /о (v)p2 sin •& d$ dp,
0 tf0
где ft — угол между v и осью z, а ^0 — угол, под которым радиус диска виден
из точки наблюдения на оси z (tg#o = R/z\ частицы с ft < fto «затенены»).
Интегрирование с учетом условия V ^> vt дает
где No — плотность газа вдали от диска. Интегрирование по dp выполнено
в предположении cos$o ^> vt/V (можно показать, что это же неравенство
является также и условием допустимости пренебрежения отраженными от
задней стенки частицами).
§ 16. Динамический вывод кинетического уравнения
Хотя изложенный в § 3 вывод кинетического уравнения удов-
удовлетворителен с физической точки зрения, представляет значи-
значительный интерес проследить за тем, каким образом это уравне-
уравнение можно аналитически получить из математического аппарата
теории, т. е. из уравнений движения частиц газа; такой вывод
дан Н.Н. Боголюбовым A946). Значение этого метода состоит

§ 16	ДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД	89
также и в том, что он дает регулярную процедуру, позволяю-
позволяющую в принципе получить не только уравнение Больцмана, но
и поправки к нему, т. е. члены следующих порядков по мало-
малому «параметру газовости» — отношению (rf/rK, где d — моле-
молекулярные размеры (радиус действия молекулярных сил), а г —
среднее расстояние между молекулами. Излагаемый ниже вывод
относится к одноатомному газу в чисто классических рамках,
т. е. в предположении, что не только свободное движение, но и
процессы столкновения частиц газа описываются классической
механикой.
Исходным пунктом метода является теорема Лиувилля для
функции распределения газа в целом как системы Л/" частиц.
Обозначим такую функцию (в 6Л/"-мерном фазовом простран-
пространстве) через /( ' (^5/ti,T2,... , тдг), где символы та обозначают
совокупности координат и компонент импульса а-й частицы:
та = (га,Ра)] эта функция будет предполагаться нормированной
на единицу:
/
?, Ti,... , гдг) dri ... drM = 1, dra = d3xa d3pa.
Фигурирующая в уравнении Больцмана «одночастичная» функ-
функция распределения получается интегрированием функции /^
по всем drai кроме одного:
A6.1)
функция /^ тоже нормирована на 1; обозначение же / (без ин-
индекса) сохраним для функции распределения, нормированной на
полное число частиц: / = Л/"/'1-
Напомним (см. V, § 3), что теорема Лиувилля возникает как
следствие уравнения непрерывности в фазовом пространстве, ко-
которому должна удовлетворять функция распределения замкну-
замкнутой системы:
= 0.	A6.2)
dt
С помощью уравнений Гамильтона
Га = |^, Р« = ~	A6.3)
ОРа	ОГа
отсюда получается равенство
1 	 а ~т~ 	]?а г — 	 — 1	\	/
а=1 ^	а )

90	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
причем ra = va и ра предполагаются выраженными через
ti,T2,... согласно уравнениям A6.3); равенство A6.4) и состав-
составляет содержание теоремы Лиувилля.
Функцию Гамильтона одноатомного газа представим в виде
?+ Е U(K-rb\).	A6.5)
Здесь предполагается, что внешнее поле отсутствует, а взаимо-
взаимодействие частиц газа друг с другом сводится к сумме их попар-
попарных взаимодействий г). С такой функцией Гамильтона уравнение
A6.4) принимает вид
+ V(^Va - ^ у ^4 = о,	A6.6)
dt ?-А дта	дРа ?" дта
а=1	Ь<а
где иаь (а ф Ь) обозначает U(\ra —
Проинтегрируем теперь это уравнение по d,T2 ... с?тд/\ В ре-
результате такого интегрирования из всех членов под знаком
суммы в A6.6) останутся лишь те, которые содержат дифферен-
дифференцирования по pi или Г]_; интегралы от остальных членов преоб-
преобразуются в интегралы по бесконечно удаленным поверхностям
в импульсном или координатном пространстве и обращаются в
нуль. Таким образом, получим
'—^-dT2i A6.7)
dt	дп	J дп	др
где /B) — нормированная на 1 двухчастичная функция распре-
распределения, т. е. интеграл
,тьт2)= [ fw d-m... dw	A6.8)
(множитель М в A6.7) учитывает члены, отличающиеся лишь
обозначением переменных интегрирования; строго говоря, число
таких членов есть М — 1, но, ввиду очень большой величины Л/",
Я1Я)
х) Последнее предположение имеет модельный характер. Подчеркнем,
однако, что на результате первого приближения (отвечающего уравнению
Больцмана) оно вообще не сказывается: в этом приближении фигурируют
только двойные столкновения частиц, в которых другие (не парные) взаи-
взаимодействия не участвуют.

§ 16	ДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД	91
Аналогичным образом, проинтегрировав A6.6) по dr% ... с?тд/",
получим уравнение
dt	dri	dr2 dri dpi dr2
где fC\t, /Г1,Т2,тз) — трехчастичная функция распределения.
Продолжая таким образом, мы получили бы практически
неограниченную (Л/" очень велико!) цепочку последовательных
уравнений, каждое из которых выражает /(п) через j(n+1). Все
эти уравнения — точные в том смысле, что никаких предположе-
предположений, связанных с разреженностью газа, в них еще не делалось. Но
для получения замкнутой системы уравнений эту цепочку надо
где-то оборвать, воспользовавшись условием разреженности га-
газа. В частности, первому приближению метода отвечает обрыв
цепочки уже на первом уравнении (уравнение A6.7)), в котором
двухчастичная функция f^ будет приближенно выражена че-
через /^. Последнее осуществляется с учетом разреженности газа
с помощью уравнения A6.9).
Обращаясь к этому уравнению, покажем прежде всего, что
интеграл в его правой части мал. Действительно, функция U(r)
заметно отлична от нуля лишь в радиусе действия сил, т. е. при
г < d. Поэтому и в обеих частях интеграла в A6.9) интегрирова-
интегрирования по координатам происходят фактически лишь по областям
|гз~ri| i$ с/или |гз — Г21 < d, т. е. по объему ~ d3. Заметив также,
что при интегрировании по всему объему газа V ~ Mr3 было бы
/ /C) dr% = /B\ находим следующую оценку:
яттил я-fC2) л3
drz
dpi dri	дг dpi r3
Отсюда видно, что правая часть уравнения A6.9) мала в отноше-
отношении (d/rK по сравнению с содержащими dU/дг членами в левой
части уравнения и поэтому ею можно пренебречь. Совокупность
же членов в левой части уравнения представляет собой полную
производную d/B)/ей, в которой ri, Г2, pi, P2 рассматриваются
как функции времени, удовлетворяющие уравнениям движения
A6.3) с функцией Гамильтона задачи двух тел:

92	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Таким образом, имеем
-?/B)(*,тьт2) = 0.	A6.10)
at
До сих пор все преобразования уравнений носили чисто меха-
механический характер. Разумеется, для вывода кинетического урав-
уравнения необходимо сделать также и некоторое предположение ста-
статистического характера. Оно может быть сформулировано как
утверждение о статистической независимости каждой пары ча-
частиц, вступающих в столкновение (по существу именно это пред-
предположение подразумевалось при выводе кинетического уравне-
уравнения в § 3, когда вероятность столкновения записывалась в виде
B.1), пропорциональном произведению //i). В излагаемом ме-
методе это утверждение играет роль начального условия к диффе-
дифференциальному уравнению A6.10). Именно оно вносит асиммет-
асимметрию по отношению к обоим направлениям времени, в результате
чего из инвариантных к обращению времени уравнений меха-
механики получается необратимое кинетическое уравнение. Корре-
Корреляция между положениями и импульсами частиц газа возникает
лишь в течение времени их столкновения (~ d/v) и простирается
на расстояния ~ d. Таким образом, предположение о статисти-
статистической независимости сталкивающихся частиц является также
и источником принципиальных ограничений в допускаемых ки-
кинетическим уравнением расстояниях и промежутках времени, о
которых говорилось уже в § 3.
Пусть to — некоторый момент времени, предшествующий
столкновению, когда две частицы находятся еще далеко друг
от друга (|гю — Г2о| ^> ^, где индекс нуль отличает значения
величин в этот момент). Статистическая независимость сталки-
сталкивающихся частиц означает, что в такой момент to двухчастичная
функция распределения распадается на произведение двух од-
ночастичных функций f^\ Поэтому интегрирование уравнения
A6.10) от to до t дает
20).	A6.11)
Здесь тю = (гю,рю) и Т2о = (г2(ьР2о) надо понимать как те зна-
значения координат и импульсов, которые должны иметь частицы
в момент to для того, чтобы к моменту t приобрести требуемые
Значения Т\ = (Г]_, Pi) И Т2 = (Г2, Р2); В ЭТОМ СМЫСЛе Тю, Т20 ЯВЛЯ-
ЯВЛЯЮТСЯ функциями от т\, Т2 и t — to (причем от t — to зависят лишь
гю и Г2о; значения же рю и Р20, относясь к свободно движущим-
движущимся перед столкновением частицам, от выбора t — to не зависят).
Возвратимся к уравнению A6.7) — будущему кинетическому
уравнению. Его левая часть уже имеет требуемый вид; нас бу-
будет интересовать теперь интеграл в его правой части, который
должен превратиться в конце концов в интеграл столкновений

16	ДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД	93
уравнения Больцмана. Подставив в этот интеграл /^ > из A6.11)
и перейдя в обеих частях уравнения от функции /^ к функции
/ = Nf^l\ пишем
df(t,n) + vi df(t,n) = gt ^
dt	дг\
где
St/= / -^-^-—{/(^O5^io)/(^o5^2o)}^2-	A6.12)
i
В интеграле A6.12) существенна только область |г2 — i*i| ~ d —
область, в которой происходит столкновение. Но в этой области
можно пренебречь (в рассматриваемом первом приближении!)
координатной зависимостью функции /; эта функция заметно
меняется лишь на расстояниях L (характерные размеры зада-
задачи), во всяком случае больших по сравнению с d. Мы не изме-
изменим поэтому окончательного вида интеграла столкновений, если
будем рассматривать (с целью некоторого упрощения рассужде-
рассуждений и записи формул) пространственно-однородный случай, т. е.
предположив, что функция / вообще не зависит от координат.
Сразу же отметим, что в функциях /(^(ьРю)? /(^(ьР2о) пропа-
пропадает тогда и явная (через посредство гю(?) и Г2о(?)) зависимость
от времени.
Преобразуем подынтегральное выражение в A6.12), восполь-
воспользовавшись тем, что выражение в фигурных скобках является ин-
интегралом движения (именно как таковое оно появилось в A6.11);
независимо от этого очевидно, что рю и Р20 — значения импуль-
импульсов в фиксированный момент времени to — уже по определению
являются интегралами движения). Учтя также и отмеченное вы-
выше отсутствие в них явной зависимости от времени ?, имеем
4/(*0,Р10)/(*ЬР20)= U±+V2±-
df V u'riU" v "'""' ^ ^n	*dr2 dn dpi dr2 d
x/(to,Pio)/(to,P2o)=O. A6.13)
Выразим отсюда производную по pi через производные по ri, Г2
и р2 и подставим в A6.12). Член с производной <9/<9р2 исчезает
после преобразования в интеграл по поверхности в импульсном
пространстве. После этого получим
St/(t,pi) = J vOTH|-{/(to,Pio)/(to,P2o)}^tfV2, A6.14)
где введена относительная скорость частиц v0TH = vi — V2 и
учтено, что рю и Р20 (а с ними и все выражение в фигурных
скобках) зависят от ri и Г2 лишь через разность г = ri— Г2. Введя

94	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
вместо г = (x,y,z) цилиндрические координаты z, р, (р с осью z
вдоль v0TH, заметив, что vOTH<9/<9r = v0TUd/dz, и проинтегрировав
по dz, перепишем A6.14) в виде1)
/z=oo
{/(*о,Рю)/(*о,Р2о)}	vOTUpdpd(p-d6p2.
z=-oo
A6.15)
Вспомним теперь, что рю и Р20 — начальные (в момент to)
импульсы частиц, которые в конечный момент t имеют импульсы
Pi и р2. Если в конечный момент z = z\ — z2 = —оо, то ясно, что
в начальный момент частицы находились «еще дальше» друг от
друга, т. е. столкновения вообще не было; другими словами, в
этом случае начальные и конечные импульсы совпадают:
Рю = Рь Р20 = Р2 при г = -оо.
Если же z = +оо, то рю и Р20 играют роль начальных импульсов
для столкновения, в результате которого частицы приобретают
импульсы pi и р2; в этом случае введем обозначения
Рю = PiG°)> Р20 = Р2(р) ПРИ z = +оо.
Эти значения являются функциями координаты /э, играющей
роль прицельного параметра столкновения. Произведение же
р dp dip = da
есть классическое сечение столкновений.
Наконец, остается заметить, что явную зависимость функ-
функций /(?o,pio) и /(^(ЬР2о) от ^о можно заменить в рассматривае-
рассматриваемом приближении такой же зависимостью от t. Действительно,
справедливость утверждения A6.11) требует соблюдения лишь
неравенства t — to ^> d/v: в момент to расстояние между части-
частицами должно быть велико по сравнению с радиусом действия
сил d. Но разность t — to может быть выбрана так, чтобы удо-
удовлетворять также и условию t — to <С l/v, где / — длина пробега;
отношение же l/v — время свободного пробега — есть как раз
та характерная величина, которая определяет периоды возмож-
возможного изменения функции распределения со временем. Изменение
функции распределения за время t — to будет тогда относительно
малым, так что им можно пренебречь.
:) Пределы z = ±oo надо понимать как расстояния, большие по сравнению
с с/, но малые по сравнению с длиной пробега / (при буквально бесконечных
пределах все выражение обратилось бы в нуль, поскольку / = 0 вне объема,
занимаемого газом). Такая ситуация возникла вследствие того, что при пере-
переходе от A6.12) к A6.14) было использовано уравнение A6.13), справедливое
лишь до тех пор, пока рассматриваемые частицы не испытывают следующих
столкновений.

§ 17	УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ	95
После всего сказанного получаем окончательное выражение
для интеграла A6.15):
St /(*, Р1) = /{/(t, p[)f(t, р'2) - /(t, pi)/(t, P2)Kth da d3p2,
A6.16)
совпадающее с больцмановским интегралом столкновений C.9).
§ 17. Кинетическое уравнение
с учетом тройных столкновений
Для нахождения первых поправочных членов к уравнению
Больцмана надо вернуться к тем пунктам изложенных в § 16 вы-
вычислений, в которых были произведены пренебрежения, и про-
продвинуть точность вычислений на один порядок (по параметру
газовости) дальше. Эти пренебрежения относились, прежде все-
всего, к уравнению A6.9), в котором были опущены члены, содер-
содержащие тройную корреляцию /^3^; тем самым были исключены
из рассмотрения тройные столкновения атомов. Кроме того, при
преобразовании интеграла столкновения A6.12) к окончатель-
окончательному виду A6.16) было пренебрежено изменением функции рас-
распределения на расстояниях ~й!иза времена ~ d/v\ тем самым
двойные столкновения рассматривались как «локальные» — про-
происходящие в одной точке. Теперь должны быть учтены оба эти
источника поправок — тройные столкновения и «нелокальность»
парных столкновений.
В первом приближении цепочка уравнений была оборвана на
втором уравнении, связывающем f^ с /^. Во втором прибли-
приближении надо дойти до третьего уравнения, связывающего /C) с
/D), причем члены с /D) в нем можно опустить (подобно тому,
как в первом приближении были опущены члены с /C) в A6.9)).
После этого оно сведется к виду
|/C)(*,П,т2,тз)=0,	A7.1)
аналогичному прежнему уравнению A6.10) для f^] переменные
ТЪ т2-> тъ в A7.1) предполагаются изменяющимися со временем
согласно уравнениям движения задачи трех тел (причем взаи-
взаимодействие между частицами по-прежнему будем считать пар-
парным1)). С учетом статистической независимости частиц перед
х) В противоположность первому приближению (ср. примеч. на с. 90) те-
теперь это предположение несколько ограничивает общность рассмотрения,
поскольку в тройных столкновениях могли бы проявляться и тройные вза-
взаимодействия (т. е. члены в функции Гамильтона вида С/(г2 — ri, гз — ri)), не
сводящиеся к парным.

96	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
столкновением решение уравнения A7.1) есть
fW(t,TUT2,T3) = /A)(*о,тю)/A)(*о,т2о)/A)(*о,тзо)- A7.2)
Величины to, тао (а = 1,2,3) имеют здесь такой же смысл, что
и в A6.11); тао = тао(?,?о,тъТ2,тз) ~~ эт0 значения координат и
импульсов, которые частицы должны иметь в момент to для того,
чтобы к моменту t попасть в заданные точки тх, Т2, тз фазового
пространства. Отличие от A6.11) состоит лишь в том, что теперь
тао = (га(ьРао) являются начальными значениями координат и
импульсов задачи трех (а не двух) тел, которую будем считать
в принципе решенной1).
Для записи и преобразования дальнейших формул целесооб-
целесообразно ввести оператор *Sx235 действие которого на функцию пе-
переменных тх, Т2, тз (относящихся к трем частицам в задаче трех
тел) заключается в замене этих переменных согласно
Pa ^ Pa = PaO-
Аналогичным образом, оператор Su будет производить такую
же замену в функциях переменных тх, Т2, относящихся к двум
частицам в задаче двух тел. Важное свойство преобразования
A7.3) состоит в том, что при временах t — to ^> d/v оно переста-
перестает зависеть от времени. Действительно, при таких t — to частицы
находятся далеко друг от друга и движутся свободно с постоян-
постоянными скоростями vao = Рао/т] ПРИ этом значения rao зависят
от времени как const — vao(t — to) и временная зависимость в
A7.3) выпадает. Заметим также, что если частицы вообще не
взаимодействовали бы, то преобразование A7.3) сводилось бы к
тождеству: при свободном (в течение всего времени) движении
правые части преобразований A7.3) тождественно совпадают с
левыми. По той же причине, если одна из частиц, скажем, ча-
частица i, не взаимодействует с частицами 2 и 5, то 5x23 = ?23;
операторы же 5x2 и Sis в этих условиях сводятся к единице. В
силу этих свойств очевидно, что оператор
Gu3 = S123 — Su — Sis — S23 + 2	A7.4)
обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не взаимо-
взаимодействует с двумя другими. Другими словами, этот оператор вы-
) Фактически, конечно, аналитическое решение задачи трех тел может
быть осуществлено лишь в редких случаях (например, для твердых шари-
шариков).

§ 17	УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ	97
деляет из функций ту часть, которая связана со взаимодействи-
взаимодействием всех трех частиц (между тем как в задачу трех тел входят,
как частные случаи, также и парные столкновения при свободно
движущейся третьей частице).
С помощью оператора Биз формула A7.2) запишется в виде
/C>(t,Ti,T2,T3) = 51
A7.5)
где
/W(t, to, г) = /« (to, г - ^ (t - t0), p)	A7.6)
V	т	J
(сдвиг аргумента г в J'1' введен для компенсации сдвига, произ-
производимого оператором
Двухчастичное распределение /B) получим, проинтегриро-
проинтегрировав функцию /C) по переменным тз, а интегрирование по Т2 и тз
дает функцию распределения
A7.7)
A7.8)
Цель дальнейшего вычисления состоит в том, чтобы из этих двух
равенств (с /C) из A7.5)) путем исключения /^ с нужной точно-
точностью выразить /B) через f^'. Подставив затем это выражение
в уравнение A6.7) (само по себе точное), мы получим искомое
кинетическое уравнение.
Для осуществления этой программы, прежде всего, преобра-
преобразуем интеграл A7.8), выразив в A7.5) оператор й^з через Gu3
согласно A7.4). Имея в виду очевидные (в силу сохранения пол-
полного числа молекул) равенства
JQ,T2)dT1dT2 = 1,
получим
. A7.9)
4 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х

98	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Это уравнение можно решать относительно f^ последователь-
последовательными приближениями, имея в виду, что (Si2 — 1) первого, a G123
второго порядка малости (ср. оценку правой части A6.9)). В ну-
нулевом приближении: /^(?, to, т\) = f(l\t,r{). В следующих двух
приближениях получим
- 2 j(S12 -
x/A)(t,r3)}dr2dr3.
Теперь остается подставить это выражение в A7.5) и затем в
A7.7), сохранив при этом лишь члены не более чем второго по-
порядка малости (члены ~ (Si2 — IJ и ~ Gi2s)- В результате по-
получим окончательно
J3)}dT3, A7.10)
где
= <Ъ123 — O12O13 — O12O23 + ^12-	U'-J-JJ
Подчеркнем, что порядок следования ^-операторов в их произве-
произведениях существен. Оператор S12S23, например, сначала заменяет
переменные т\, Т2, т3 —>> т\, Т2(т2,тз), тз(т2,тз), причем функ-
функции Т2${т2-)Т%) определяются по уравнениям движения взаимо-
взаимодействующих частиц 2 и 5, а затем переменные т~1, Т2, т3 под-
подвергаются преобразованию ti, Т2, тз —)> ti(ti,T2), T2(ti,T2), тз,
где теперь функции :T\^{j\4Tci) определяются задачей о движе-
движении пары взаимодействующих частиц 1 и^.
Подставив теперь A7.10) в A6.7) и перейдя везде от функций
к функциям / = Л/"/' ? найдем кинетическое уравнение в
^ = St^2) / + StC) /,	A7.12)
виде1)
) Путь для вывода поправочных членов к уравнению Больцмана был
намечен уже Н.Н. Боголюбовым A946). Приведение этих членов к оконча-
окончательному виду осуществлено впервые Грином (M.S. Green, 1956).

§ 17	УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ	99
где
B)	/ °?Et,r2)}dr2, A7.13)
= 77 /?^^-№2з/(*,Г1)/(*,г2)/(*,гз)}йг2йгз. A7.14)
Л/ у #n dpi
Первый из этих интегралов есть интеграл двойных, а второй —
тройных столкновений. Рассмотрим их структуру детальнее.
В обоих интегралах в подынтегральных выражениях фигу-
фигурируют функции /, взятые в различных точках пространства. В
интеграле двойных столкновений эффект этой «нелокальности»
надо выделить в виде поправки к обычному (больцмановскому)
интегралу. Для этого разложим в нем медленно меняющиеся (на
расстояниях ~ d) функции / по степеням разности г 2 — Г]_.
Поскольку эти функции стоят в подынтегральном выраже-
выражении под знаком оператора Si2, рассмотрим сначала величины
SuTi и *§12Г2, в которые этот оператор преобразует перемен-
переменные ri и Г2. Центр инерции двух частиц (ri + Г2)/2 движется
(в задаче двух тел) равномерно; поэтому оператор Su эту сумму
не меняет. С учетом этого обстоятельства пишем
- п).
п + р +
Разложив теперь функции
Snf(t, ГЬ Pi) = /(*,
Si2f(t, Г2, р2) = /(*, ^12Г2, Р20)
по Г2 — ri с точностью до членов первого порядка, получим
StB) / = St?2) / + StJ2) /,	A7.15)
где
t, гь pi) = / ??lJL{f(t, n, piO)/(t, r2, P2o)} rfr2,
/ ari api
A7.16)

100	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
[r\	r\	-I
/(?, ri, Pio) — /(*, ri, P20) - /(*, ri, P2o)t— /(*, ri, рю)
A7.17)
(дифференцирования по ri производятся при постоянном рю
ИЛИ р2о).
Интеграл A7.16) совпадает с A6.12) 1)] в § 16 было показано,
каким образом (путем выполнения одного из трех интегрирова-
интегрирований по пространственным координатам) этот интеграл приводит-
приводится к обычному больцмановскому виду.
Обратимся к интегралу тройных столкновений A7.14). Учет
«нелокальности» в этом интеграле был бы превышением над
принятой здесь точностью, так как сам этот интеграл уже яв-
является малой поправкой. Поэтому в аргументах трех функций /
в нем надо положить все радиус-векторы ri, Г2, гз одинаковыми
(совпадающими с ri) и, сверх того, считать, что оператор
на эти переменные вообще не действует2):
StC>/(i,n,pi) =
A7.18)
Рассмотрим несколько более детально структуру оператора i?i23
с целью уяснения характера процессов столкновений, учитывае-
учитываемых интегралом A7.18).
Прежде всего, оператор Яиз (как и оператор G123 A7.4))
обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не вза-
взаимодействует с остальными. В число процессов, для которых
Ri23 Ф 0, входят, однако, не только тройные (в буквальном смыс-
смысле этого слова) столкновения, но и совокупности нескольких
двойных.
г) Выражение A7.16) отличается от A6.12) заменой to на t в аргументах
функций /. После такой замены, однако, правое равенство A6.13) все равно
имеет место, поскольку зависимости от п, гг, pi, P2 входят только через
Рю, Р20, являющиеся интегралами движения.
2) Подчеркнем, во избежание недоразумений, что эти упрощения от-
отнюдь не означают, что подынтегральное выражение вообще перестает за-
зависеть от гг, гз; зависимость от этих переменных остается через по-
посредство ^-операторов, которые превращают импульсы ра в функции
Ро(г1,Г2,Гз,Р1,Р2,Рз).

§17
УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
101
В истинных тройных столкновениях три частицы одновре-
одновременно вступают в «сферу взаимодействия», как это схематиче-
схематически изображено на рис. 5 а. Но оператор i?i23 отличен от нуля
также и для таких процессов «тройных взаимодействий», кото-
которые сводятся к трем последовательным двойным столкновениям,
причем одна из пар частиц сталкивается между собой дважды;
пример такого процесса схематически изображен на рис. 5 б (для
этого процесса S\% = 1, так что оператор i?i23 сводится к ?123 ~~
— S12S23) 1). Более того, оператором R\2s учитываются также и
случаи, когда одно (или более) из трех столкновений является
«воображаемым», т. е. возникающим, лишь если не учитывать
влияния на траекторию частиц какого-либо из реальных столк-
столкновений. Пример такого процесса изображен на рис. 5 в: столк-
столкновение 1-3 имело бы место лишь в отсутствие искажения тра-
траектории частицы 3 ее столкновением с частицей 2 ; (для этого
процесса Sus = ?12?23, но Si3 "Ф 1? так что Rus сводится к
—Sи Sis + ?12 )•
2 з
Рис. 5
B)
Подобно тому, как преобразовывался в § 16 интеграл Stg ,
может быть выполнено одно из шести интегрирований по коор-
координатам в интеграле тройных столкновений; при этом потенциал
взаимодействия Ui2 в явном виде исчезает из формул3).
!) В то же время оператор R123 (в противоположность оператору 6123!)
обращается в нуль для последовательности всего двух столкновений. Так,
для процесса, составленного из столкновений 2-3 и 1-2, было бы S123 =
= 5i2$23, Si3 = 1, так что R123 = 0.
2)	Напомним, что по смыслу действия ^-операторов надо следить за тра-
траекториями частиц по направлению назад во времени!
3)	Проведение этого преобразования — см. Green M.S. — Phys. Rev. 1964.
V. 136A. P. 905.

102	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
§ 18. Вириальное разложение
кинетических коэффициентов
В § 7, 8 было уже указано, что независимость коэффициентов
теплопроводности и вязкости от плотности (или давления) газа
является следствием учета одних только парных столкновений
молекул. Именно для таких столкновений их частота (т. е. число
столкновений, испытываемых в 1 с заданной молекулой) пропор-
пропорциональна плотности 7V, длина пробега lool/N, а поскольку т\ и
ус пропорциональны 7V7, они оказываются независящими от N.
Получающиеся таким образом значения (обозначим их через щ
и щ) являются, конечно, лишь первыми членами разложения
этих величин по степеням плотности (эти разложения называ-
называют вириальными). Уже в следующем приближении появляется
зависимость от плотности вида
ус = щA + aNd3), г/ = т/оA + f3Nd3),	A8.1)
где d — параметр порядка величины молекулярных размеров, а
а, /3 — безразмерные постоянные. Эти первые поправки имеют
двоякое происхождение, отраженное в поправочных членах
и St^ в кинетическом уравнении. Тройные столкновения (часто-
(частота которых пропорциональна N ) приводят к уменьшению дли-
длины пробега. Нелокальность же парных столкновений приводит
к возможности передачи импульса и энергии через некоторую
поверхность без ее фактического пересечения сталкивающими-
сталкивающимися частицами: частицы сближаются на расстояние ~ d и затем
расходятся, оставаясь по разные стороны от поверхности; этот
эффект приводит к увеличению потоков импульса и энергии.
Решение задачи о теплопроводности или вязкости с уточнен-
уточненным кинетическим уравнением A7.12) должно строиться по той
же схеме, которая была описана в § 6-8. Ищем функцию распре-
распределения в виде / = /оA + х/Т), где /о — локально-равновесная
функция, а х/Т ~ 1/L — малая добавка. Интеграл тройных
столкновений St^3\ как и Stg , обращается в нуль функцией /q.
Поэтому в нем надо удержать член с х, в результате чего инте-
интеграл Sv ' оказывается по отношению к больцмановскому инте-
интегралу St^2) поправкой относительного порядка ~ (d/rK. В ин-
B)
теграле же St^ , содержащем пространственные производные
функции распределения, достаточно положить / = /о; в этом
B)
смысле член St^ должен быть отнесен к левой части уравне-
уравнения, в которой он дает поправку того же относительного поряд-
порядка ~ (d/rK. Таким образом, оба дополнительных члена в ки-

§ 18	ВИРИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ	103
нетическом уравнении, St' ' и St-j_ , дают вклады одинакового
порядка 1).
Приведем здесь, для справок, результаты решения уточнен-
уточненного кинетического уравнения для теплопроводности и вязкости
газа в модели твердых шаров (диаметра d):
к = щA + 1, 2Nd3), 77 = 770A + 0, 35Nd3),	A8.2)
где щ и г/о — значения, полученные в задаче 3 § 10 (</. V. Sengers,
1966) 2).
Вводя дальнейшие поправки в кинетическое уравнение (свя-
(связанное с четверными и т. д. столкновениями), можно было бы в
принципе определить и следующие члены вириального разложе-
разложения кинетических коэффициентов. Существенно, однако, что эти
члены уже не будут просто целыми степенями N] функции x(N)
и Tj(N) оказываются неаналитическими в точке N = 0. Для вы-
выяснения происхождения этой неаналитичности проанализируем
вопрос о сходимости интегралов, фигурирующих в излагаемой
теории (Е.С. Cohen, J.R. Dorfman, J. Weinstock, 1963).
Рассмотрим интеграл в A7.10), определяющий вклад трой-
тройных столкновений в двухчастичную функцию распределения.
Характер сходимости интеграла оказывается различным для
различных типов процессов столкновений, учитываемых опера-
оператором i?i23- Рассмотрим для примера процесс типа рис. 5 б.
Интегрирование производится по фазовому объему drs при
заданных фазовых точках т\ и т^- В качестве переменной, по
которой интегрирование производится последним, оставим рас-
расстояние гз частицы 3 (в момент времени t) от точки, где про-
произошло столкновение 2-3. Перед этим последним интегрирова-
интегрированием подынтегральное выражение будет содержать следующие
множители: 1) элемент объема по переменной г%\ г|с?гз; 2) ес-
если следить за движением частицы 3 назад по времени, то будет
ясно, что направление ее импульса рз должно лежать в опре-
определенном элементе телесных углов для того, чтобы могло про-
произойти столкновение 3-2 — угол, под которым область соударе-
соударения видна с расстояния гз; отсюда возникает множитель d2/r|;
3) еще один такой множитель возникает в результате дальней-
) Эти соображения разъясняют недоумение, которое могло бы возник-
возникнуть в связи с тем, что интеграл StJ содержит производные df/dr ~ f/L,
которых нет в интеграле St^, и потому, казалось бы, эти два члена пред-
представляют собой поправки различного порядка величины.
) Изложение хода соответствующих, весьма трудоемких вычислений
можно найти в статье Зенгерса в книге: Lectures in theoretical physics, V.
IX С, Kinetic Theory (edited by W. Brittin) — N.Y.: Gordon a. Breech, 1967.

104
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
ГЛ.
шего ограничения возможных направлений импульса рз, требу-
требуемого условием, что «отскочившая» частица 2 должна попасть в
сферу соударения с частицей 1. Таким образом, получается ин-
интеграл вида /б?гз/гз, который должен быть взят от расстояния
гз ~ d до ос; мы видим, что этот интеграл сходится. Анало-
Аналогичным образом можно показать, что для процессов столкнове-
столкновения других типов сходимость интеграла оказывается даже более
быстрой.
Вклад четверных столкновений выразился бы в A7.10) ин-
интегралом аналогичного вида, взятым по фазовому пространству
частиц 3 и 4 (снова при заданных т\ и тг).
Рассмотрим четверное соударение изображенного на рис. 6
типа. Мы снова оставим расстояние гз в качестве переменной по-
последнего интегрирования. Отличие от предыдущей оценки свя-
связано с наличием интегрирования по dr^ в подынтегральном
выражении. Очевидно, что это ин-
интегрирование дает вклад, пропорцио-
пропорциональный сечению рассеяния 1~4, т.е.
~d2. (Второе столкновение 1-2, как и
прежде, может быть обеспечено огра-
ограничением области интегрирования по
направлениям рз.) Из соображений
размерности очевидно тогда, что инте-
интегрирование по б?Т4 вносит дополнитель-
дополнительный вклад порядка р3гз d2. Интеграл по
3 drs оказывается вида f drs/rs, т.е. ло-
логарифмически расходится на верхнем
пределе. Обрезая интеграл на некото-
некотором расстоянии Л, получим вклад в
функцию fB\ содержащий большой логарифм 1п(Л/сГ). Этот ло-
логарифм войдет соответственно и в поправку к кинетическим ко-
коэффициентам, которая окажется пропорциональной не 32
Рис. 6
Появление расходящихся членов означает, что четверные
столкновения нельзя рассматривать отдельно от столкновений
всех более высоких порядков (пятерных и т. д.). Действитель-
Действительно, расходимость показывает, что существенны большие г±. Но
уже при Г4 ~ / частица 4 может столкнуться с какой-либо ча-
частицей 5, и т. д. Отсюда становится ясным путь устранения рас-
расходимости: в выражении для функции /B)(?,ti, t*i) надо учесть
члены со столкновениями всех порядков, оставив в каждом по-
порядке наиболее быстро расходящиеся интегралы. Такое сумми-
суммирование может быть произведено и приводит к результату, кото-
который можно было ожидать: произвольный большой параметр Л

§ 19	ФЛУКТУАЦИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ	105
под знаком логарифма заменяется на величину порядка длины
пробега / - l/(Nd2) х).
Таким образом, разложение кинетических коэффициентов
имеет вид
к = Хо h + aiNd3 + a2(Nd3J In -Ц + .. .1	A8.3)
(и аналогично для 77).
§ 19. Флуктуации функции распределения
в равновесном газе
Определяемая кинетическим уравнением функция распреде-
распределения (которую мы будем обозначать в этом и следующем пара-
параграфах как /) дает средние числа молекул, находящихся в эле-
элементах фазового объема d?xdT\ для статистически равновесно-
равновесного газа функция /(Г) есть независящая от времени и (если нет
внешнего поля) от координат г больцмановская функция распре-
распределения /о F.7). Естественно возникает вопрос о флуктуациях,
испытываемых точной, микроскопической функцией распреде-
распределения /(?, г, Г) в ходе ее изменения со временем при движении
частиц газа по их точным уравнениям движения2).
Введем корреляционную функцию флуктуации (или, как го-
говорят короче, коррелятор)
<*/(«!, Г1,Г1)г/(«2,г2,Г2)),	A9.1)
где Sf = f — /. В равновесном газе эта функция зависит толь-
только от разности времен t = t\ — t2\ усреднение производится по
одному из моментов ti, t2 ПРИ заданном значении их разности.
Ввиду однородности газа, в виде разности г = гх — Г2 входят в
коррелятор также и координаты точек гх и Г2. Поэтому можно,
условно положив ?2 и г2 равными нулю, представить коррелятор
в виде
<<*/(*, г, 14M/@,0, Г2)>.	A9.2)
Ввиду изотропии газа, зависимость этой функции от г фактиче-
фактически сводится к зависимости от абсолютной величины г.
Если функция A9.2) известна, то ее интегрированием можно
найти также и коррелятор плотности числа частиц:
FN{t, tNN{0, 0)) = fFf{t, г, ГхM/@,0, Г2)> dT± dT2. A9.3)
х) См. Kawasaki К., Oppenheim I. — Phys. Rev. 1965. V. 139А. P. 1763.
2) Этот вопрос впервые рассматривался Б.Б. Кадомцевым A957).

106	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Для расстояний г, больших по сравнению с длиной пробега /,
коррелятор плотности можно вычислить с помощью гидроди-
гидродинамической теории флуктуации (см. IX, § 88). На расстояниях
же < / требуется кинетическое рассмотрение.
Непосредственно из определения A9.1) очевидно, что
(8f(t, r, ri)<*/@,0, Г2)> = (Sf(-t, -г, Г2)<5/@,0, Гх)). A9.4)
Корреляционная функция обладает также и более глубокой сим-
симметрией, выражающей симметрию равновесного состояния си-
системы по отношению к обращению времени. Обращение времени
заменяет более поздний момент времени t на более ранний — ?, а
также меняет значения величин Г на обращенные Гт. Указанная
симметрия выражается поэтому равенством
{Sf(t, r, ri)<*/@,0, Г2)> = Ef(-t, r, TjMf@,0, if )>. A9.5)
При t = 0 функция A9.2) связывает флуктуации в различных
точках фазового пространства в один и тот же момент времени.
Но корреляции между одновременными флуктуациями распро-
распространяются лишь на расстоянии порядка величины радиуса дей-
действия молекулярных сил. Между тем в рассматриваемой теории
такие расстояния рассматриваются как равные нулю и, таким
образом, одновременный коррелятор обращается в нуль. Под-
Подчеркнем, что это обстоятельство связано именно с равновесно-
равновесностью состояния, относительно которого рассматриваются флук-
флуктуации. В неравновесном случае, как мы увидим в следующем
параграфе, одновременные флуктуации тоже коррелированы.
В отсутствие корреляции на отличных от нуля расстояни-
расстояниях одновременный коррелятор сводится к E-функциям, причем
коэффициент при этих функциях определяет средний квадрат
флуктуации в одной точке фазового пространства (ср. IX, § 88).
В идеальном равновесном газе средний квадрат флуктуации
функции распределения совпадает со средним значением самой
этой функции (см. V, § 113) и, таким образом,
(Sf(O, r, ri)<*/@,0, Г2)> = 7(Г1)<У(г)<У(Г! - Г2).	A9.6)
Неодновременная же корреляция между флуктуациями в
различных точках существует уже и в теории, пренебрегающей
молекулярными размерами. Необходимость возникновения этой
корреляции очевидна уже из того, что частицы, участвующие в
определенный момент во флуктуации в некотором месте фазо-
фазового пространства, в следующие моменты будут уже находиться
в других местах.
Задача о вычислении коррелятора при t ф 0 не может быть
решена в общем виде, но может быть сведена к решению опре-

§ 19	ФЛУКТУАЦИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ	107
деленных уравнений. Для этого надо вспомнить следующее по-
положение общей теории квазистационарных флуктуации (см. V,
§ П8, 119).
Пусть xa(t) — флуктуирующие величины (с равными нулю
средними значениями). Предполагается, что если система нахо-
находится в неравновесном состоянии со значениями ха, выходящими
за пределы их средних флуктуации (но все же малыми), то про-
процесс релаксации системы к равновесию описывается линейными
«уравнениями движения» вида
ха = -^2,\аьхь	A9.7)
ь
с постоянными коэффициентами Аа^. Тогда можно утверждать,
что корреляторы величин ха удовлетворяют таким же уравне-
уравнениям
±(xa(t)xc@)) = - ?) \ab(xb(t)xc@)), t > 0	A9.8)
b
(индекс с в этой системе уравнений свободный). Решив эти урав-
уравнения при t > 0, найдем затем значения функций при t < 0
согласно свойству симметрии
(xa(t)xb@)) = (xb(-t)xa@)),	A9.9)
являющемуся следствием определения корреляторов.
В данном случае роль уравнений движения A9.7) играет ли-
линеаризованное уравнение Больцмана для малой добавки Sf к
равновесной функции распределения /. Таким образом, корре-
коррелятор функции распределения должен удовлетворять интегро-
дифференциальному уравнению
= 0 при *>0, A9.10)
где 1\ — линейный интегральный оператор, действующий на пе-
переменные Fi в следующей за ним функции согласно определе-
определению:
A9.11)
Переменные же Г2 в уравнении A9.10) — свободные. Начальным
условием для уравнения служит значение A9.6) коррелятора при
t = 0, а коррелятор при t < 0 определяется затем равенством
A9.4) (условие же A9.5) удовлетворяется в результате автомати-
автоматически). Формулы A9.10), A9.11), A9.4) и дают ту совокупность
уравнений, которые в принципе достаточны для полного опреде-
определения коррелятора.

108	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Обычно представляет интерес не сам коррелятор, а его
фурье-образ по координатам и времени, который мы обозначим
символом F/18/2H01^ где индексы 1 и 2 обозначают аргументы
Г1! и Г2:
(Sfi8f2U= f dt f {8/(^,^)8/@,0,Y2))e-^r-
— ОО
A9.12)
(спектральная функция флуктуации, или спектральный корре-
коррелятор). Если флуктуирующую функцию разложить в интеграл
Фурье по времени и координатам, то среднее значение произведе-
произведений ее фурье-компонент связано со спектральным коррелятором
формулой
<<*Л,к(Г1)<*л,к,(г2)> = (гтг^ + и/Жк + к'хдали A9.13)
(ср. V, § 122).
Легко написать уравнение, которое позволяет в принципе
определить спектральную функцию флуктуации без предвари-
предварительного вычисления пространственно-временного коррелятора.
Разбив область интегрирования по t в A9.12) на две части
(от —оо до 0 и от 0 до оо) и используя A9.4), получим
$	J>	A9.14)
где
A9.15)
Совершим над уравнением A9.10) одностороннее преобразова-
преобразование Фурье A9.15). При этом члены с производными по t и по г
интегрируем по частям, учитывая, что коррелятор должен стре-
стремиться к нулю при г —>• оо и при t —>• 00, а при t = 0 должен
даваться формулой A9.6). В результате получим искомое урав-
уравнение в виде
[i(kvi -и)- Ji](<J/i<J/2)L"k = 7(ri)^ri - Г2)-	A9.16)
Если интересоваться не флуктуациями самой функции рас-
распределения, а лишь флуктуациями плотности газа, целесообраз-
целесообразно проинтегрировать уравнение A9.16) по ffV
i(kv -co)- I](8/(T)SN)^ = /(Г).	A9.17)
Искомая же спектральная функция (SN2)^ получается из ре-
решения этого уравнения однократным (а не двукратным, как в
A9.3)) интегрированием.

19	ФЛУКТУАЦИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ	109
Другой способ нахождения (SN2)^ основан на связи корре-
коррелятора плотности с обобщенной восприимчивостью по отноше-
отношению к слабому внешнему полю вида
U(t,r) = ишке^кг-^	A9.18)
(см. IX, § 86) 1). Если под влиянием этого поля возникает изме-
изменение плотности
SNuk = а(ш,к)ишк,	A9.19)
то (согласно IX, (86.20)) в классическом пределе спектральный
коррелятор плотности
(SN2)^ = — Ima(u, k).	A9.20)
Пусть 5f(t,r) — изменение функции распределения под влияни-
влиянием этого же поля. Оно удовлетворяет кинетическому уравнению
dt	дг дг dv
Фурье-компоненты функции 5f(t, r, Г) запишем в виде
выделив в них внешнее поле. Тогда для Хшк имеем уравнение
[»(kv -и)- Г\Хшъ(Т) = tkg.	A9.21)
По решению этого уравнения искомый спектральный коррелятор
определяется однократным интегрированием:
(<5iV2U = — Im / Хшк(Г) dT.	A9.22)
Задачи
1. Определить коррелятор плотности в равновесном одноатомном газе
в пренебрежении столкновениями.
Решение. Для одноатомного газа величинами Г являются три ком-
компоненты импульса р. Решение уравнения A9.10) при 1\ = 0:
Ef(t, r, pi)*/@,0, Р2)> = 7(pi)«(r - vit)«(pi - P2).
Его фурье-компонента:
7	- kvi).
Интегрирование этих выражений (с максвелловской функцией /) дает для
коррелятора плотности:
(SN(t, rMN@, 0)> = N (—} - ехр (-^-] ,	A)
Х V J V J/	\2ttTJ ts V 2Tt2J	V J
:) Подчеркнем, что эта связь существует только в равновесном случае.

110	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
2. То же для интеграла столкновений вида I\g = —g/т с постоянным
временем т.
Решение. Уравнение A9.16) сводится к алгебраическому. Определив
из него (^/1^/2)^, найдем затем по A9.14):
(ShSfcU = -—22rJ(pi) ,2 <Hpi - р2).	(з)
1 + r2(kvi -иJ
Отметим, что наличие даже малого числа столкновений меняет асимпто-
асимптотическое поведение спектрального коррелятора плотности при больших ча-
частотах, и ^> kv, т. е. для флуктуации с фазовой скоростью, много большей
тепловой скорости молекул. Действительно, в этом пределе
9~/V
(SN2U = ~2,	D)
т. е. коррелятор убывает с увеличением частоты по степенному закону вме-
вместо экспоненциального в B).
§ 20. Флуктуации функции распределения
в неравновесном газе
Пусть газ находится в стационарном, но неравновесном со-
состоянии с некоторой функцией распределения /(г, Г), удовлетво-
удовлетворяющей кинетическому уравнению
vf = St/.	B0.1)
Функция / может сильно отличаться от равновесной функции
распределения /о, так что интеграл столкновений St / не пред-
предполагается линеаризованным по разности / — /о- Стационарное
неравновесное состояние должно поддерживаться в газе внешни-
внешними воздействиями: в газе может иметься поддерживаемый внеш-
внешними источниками градиент температуры, газ может совершать
стационарное движение (не сводящееся к движению как целого)
и т. п.
Поставим задачу о вычислении флуктуации функции распре-
распределения /(?, г, Г) относительно /(г, Г). Эти флуктуации будут
снова характеризоваться коррелятором A9.1), в котором усред-
усреднение производится обычным образом по времени при заданной
разности t = t\ — ?2, и коррелятор зависит только от t. Ввиду
неоднородности распределения /(г, Г), однако, коррелятор бу-
будет зависеть теперь от координат ri и Г2 по отдельности, а не
только от их разности. Свойство A9.4) запишется теперь в виде
№(tMh@)) = №(-tMh@)),	B0.2)
где
/i(<) = /(*,n,ri), /2@) = /@,г2,Г2).

§ 20	ФЛУКТУАЦИИ В НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ	111
Соотношение же A9.5), связанное с обращением времени, в
неравновесном случае, вообще говоря, отсутствует.
Коррелятор функции распределения по-прежнему удовле-
удовлетворяет тому же уравнению A9.10):
| + vi А - h) №(t)8h@)) = 0,	B0.3)
где 1\ — линейный интегральный оператор A9.11), действующий
на переменные Гх 1). Вопрос же о начальном условии к этому
уравнению, т. е. о виде одновременного коррелятора, значитель-
значительно более сложен, чем в равновесном случае, где он давался просто
выражением A9.6). В неравновесном газе одновременный корре-
коррелятор сам определяется из некоторого кинетического уравнения,
вид которого можно установить, воспользовавшись связью кор-
корреляционной функции с двухчастичной функцией распределе-
ния / , введенной в § 16. В стационарном состоянии функция
/ (гх,Гх; Г2,Г2), как и /(г, Г), не зависит явно от времени.
Для вывода этой связи замечаем, что ввиду бесконечной ма-
малости фазового объема dr = d?x dT в нем может находиться од-
одновременно не более одной частицы2). Поэтому среднее число
/ dr есть в то же время вероятность частице находиться в эле-
элементе dr (вероятность же нахождения в нем сразу двух частиц
есть величина более высокого порядка малости). Отсюда же сле-
следует, что среднее значение произведения чисел частиц в двух
элементах dr\ и dr% совпадает с вероятностью одновременного
нахождения в каждом из них по одной частице. Для заданной
пары частиц это есть, по определению двухчастичной функции
	^2)
распределения, произведение /12 dr\ dr2- Но поскольку пара ча-
частиц может быть выбрана из (очень большого) полного числа
частиц N(N — 1) ~ Л/ способами, то
(Л dn • h dr2) = ЛГ27п dn dr2.
Получающееся таким образом равенство (/х/2) = А//12 отно-
относится, однако, лишь к различным точкам фазового простран-
пространства. Переход же к пределу гх, Гх —>• Г2, Г2 требует учета того,
что если dr\ и dr2 совпадают, то атом, находящийся в drx, тем
самым находится и в dr2- Соотношение, учитывающее это обсто-
обстоятельство, имеет вид
</i/2) = .Л//!? + 7i*(n - Г2ЖГ1 - Г2).	B0.4)
1)	Использование этого уравнения в неравновесном случае введено Лаксом
(М. Lax, 1966).
2)	Следующий ниже вывод — перефразировка рассуждений из V, § 116.

112	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ.1
Действительно, умножим это равенство на dr\ dr2 и проинтегри-
проинтегрируем по некоторому малому объему Ат. Первый член справа
дает при этом малую величину второго порядка (~ (АтJ); член
же с ^-функциями дает /Ат, т. е. величину первого порядка. Мы
получим, следовательно,
((f
как и должно быть, принимая во внимание, что с точностью до
величин первого порядка в малом объеме Ат может находиться
лишь 0 или 1 частица.
Подставив B0.4) в определение одновременного коррелятора
{6h@Nf2@)) = (/i@)/2@)) -JJ2,
получим искомую связь между ним и двухчастичной функцией
распределения:
№(о)л/2(о)> =J^tS -7i/2 +7i<*(n -Г2ЖГ1 -г2). B0.5)
В равновесном идеальном газе двухчастичная функция распре-
деления сводится к произведению /12 — f \$21^^ -> и тогДа B0.5)
сводится к A9.6). В любом случае /12 стремится к указанному
произведению при увеличении расстояния между точками 1 и 2,
так что
(Sfi@)Sf2@)) -> 0 при |п - г2| -> ос.	B0.6)
Двухчастичная функция распределения удовлетворяет кине-
кинетическому уравнению, аналогичному уравнению Больцмана. Это
уравнение можно было бы вывести из уравнения A6.9) для / ,
подобно тому, как уравнение для одночастичной функции было
выведено из A6.7I). Мы, однако, дадим здесь вывод уравнения
B)
для / , аналогичный основанному на наглядных физических
соображениях выводу уравнения Больцмана в § 3.
Будем рассматривать в качестве неизвестной не самую функ-
ТB)
цию / , а разность
?>(ri,ri;r2,r2) =AT2/g) -7i72,	B0-7)
обращающуюся в нуль при |п — Г21 —> ос (коррелятор B0.5)
без последнего члена). Эта величина является малой в обычном
1) В § 17 уравнение A6.9) использовалось лишь для специфической цели —
тB)	I
для исключения / из уравнения для /.

§ 20	ФЛУКТУАЦИИ В НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ	113
в теории флуктуации смысле — порядка 1/М по сравнению
c/l/2-
В отсутствие столкновений функция ср удовлетворяет урав-
уравнению, выражающему собой просто теорему Л иу вил ля — посто-
постоянство / вдоль фазовой траектории пары частиц:
Изменение же <р за счет столкновений связано с процессами дво-
двоякого рода.
Столкновения частиц 1 и 2 со всеми остальными частица-
частицами, но не друг с другом, приводят к появлению в правой части
уравнения B0.8) членов 1цр + 1ъЧ>, где 1\ и /2 — линейные ин-
интегральные операторы A9.11), действующие соответственно на
переменные 1\ и Г2.
Столкновения же частиц 1 и 2 друг с другом играют особую
роль; они приводят к одновременному «перескоку» обеих частиц
1 и 2 из одной пары точек фазового пространства в другую.
В точности те же соображения, что и при выводе C.7), дают в
правой части B0.8) член вида <$(ri — Г2) Sti2 /, где
stia 7 = 1 w (гь г2; г'1г'2)(/17'2 - /i72) <*ri ^2 B0.9)
(в этом интеграле флуктуациями можно пренебречь); множи-
множитель <$(ri — Г2) выражает тот факт, что столкновения испытыва-
испытывают частицы, находящиеся в одной точке пространства1).
Окончательно приходим к следующему уравнению:
vi|^ + v2|^ - hip - Т2<р = 6(Г1 - r2) Sti2 /.	B0.10)
Регпив это уравнение, мы получим согласно B0.5) функцию, иг-
играющую роль начального условия к уравнению B0.3) при t = 0 2).
Без правой части однородное уравнение B0.10) имеет решение
V B0.11)
отвечающее произвольным малым изменениям числа частиц,
температуры и макроскопической скорости в равновесном рас-
распределении /о.
) Если проинтегрировать интеграл B0.9) еще и по с?Г2, то получится
обычный интеграл столкновений Больцмана.
2) Этот результат принадлежит СВ. Ганцевичу, В. Л. Гуревичу и Р. Ка-
тпилюсу A969) и Ш.М. Когану и А.Я. Шульману A969).

114	КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ	ГЛ. I
Это «паразитное» решение, однако, исключается условием
^ —)> О при |ri — Г21 —>• оо. Поэтому в равновесном случае, ког-
когда интеграл Sti2 тождественно обращается в нуль, из уравнения
B0.10) следует ср = 0 и мы возвращаемся к начальному условию
A9.6).
Правая часть уравнения B0.10), т. е. парные столкновения
между частицами в заданных состояниях Гх и Г2, является, та-
таким образом, источником одновременной корреляции флукту-
флуктуации в неравновесном газе. Приводя к одновременному изме-
изменению чисел заполнения двух состояний, парные столкновения
порождают корреляцию между этими числами. В равновесном
состоянии, ввиду точной компенсации прямых и обратных пар-
парных столкновений, этот механизм неэффективен и одновремен-
одновременные корреляции отсутствуют.
Если распределение / не зависит от координат г (как это мо-
может быть при поддержании неравновесности внешним полем),
то можно поставить вопрос о флуктуациях функции распреде-
распределения, усредненной по всему объему газа, т. е. о флуктуациях
функции
/(t,r) = i//(t,r,r)d3a;	B0.12)
(которую мы обозначим той же буквой /, но без аргумента г). Со-
Соответствующая корреляционная функция удовлетворяет уравне-
уравнению, отличающемуся от B0.3) отсутствием члена с производной
по координатам:
? + Fi-A- - h) (8f(t, Г!)<5/@, Г2)} = 0 при t > 0; B0.13)
dt	dpi	J
в левой части добавлен член, связанный с силой F, действующей
на частицы во внешнем поле. Одновременный же коррелятор
(Sf@,r1Mf@,T2)) =
27{2O7 ZEi) -г2) =
+
) + Ц^8(Г1-Т2) B0.14)
удовлетворяет уравнению
[fi-?- + F2-2- - (h + /2I ?>(ГЬ Г2) = Sti2 ?>(ГЬ Г2). B0.15)
[ dpi	dp2	J
Если газ находится в замкнутом сосуде, то это уравнение долж-
должно решаться при дополнительном условии, выражающем собой

§ 20	ФЛУКТУАЦИИ В НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ	115
заданность (т. е. отсутствие флуктуации) полного числа частиц
в газе:
f{8f@, 1^/@, Г2)> dT1 = JEf@, Г1)<У/@, Г2)> dY2 = 0. B0.16)
Это условие должно выполняться и в равновесном случае.
Между тем выражение f(Ti)S(Ti — F2)/V, соответствующее кор-
коррелятору A9.6), ему не удовлетворяет. Правильное выражение
можно получить за счет произвола B0.11); подобрав должным
образом параметр АЛ/", получим
<$/(о, 14M/@, г2)) = ?7(Г1ЖГ1 -г2) - l7(riO(r2). B0.17)
Отметим, что этот коррелятор содержит также и не 8-фуик-
ционный член.

ГЛАВА II
ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
§ 21. Уравнение Фоккера—Планка
Значительную категорию кинетических явлений составляют
процессы, в которых средние изменения величин (от которых
зависит функция распределения) в каждом элементарном ак-
акте малы по сравнению с их характерными значениями. Време-
Времена релаксации таких процессов велики по сравнению с време-
временами элементарных актов, составляющих их микроскопический
механизм; в этом смысле такие процессы можно назвать мед-
медленными.
Типичный пример такого рода дает задача о релаксации по
импульсам небольшой примеси тяжелого газа в легком (который
сам по себе предполагается находящимся в равновесии). Ввиду
малой концентрации тяжелых частиц, их столкновениями друг
с другом можно пренебречь и рассматривать их столкновения
лишь с частицами основного (легкого) газа. Но при столкнове-
столкновении тяжелой частицы с легкими ее импульс испытывает лишь
относительно малое изменение.
Будем для определенности говорить именно об этом приме-
примере и выведем кинетическое уравнение, которому удовлетворяет
в таком случае функция распределения частиц примеси по им-
импульсам, /(?, р).
Обозначим через ги(р, q) d3q отнесенную к единице времени
вероятность изменения импульса р —>> р — q тяжелой частицы
при элементарном акте — ее столкновении с легкой частицей.
Тогда кинетическое уравнение для функции /(?, р) запишется в
виде
+ q, q)/(t, P + q) - Цр, q)/(t, p)} А, B1.1)
где справа стоит разность между числом частиц, поступающих
(в 1 с) в заданный элемент импульсного пространства d3p и по-
покидающих его за то же время. Согласно сделанным предположе-
предположениям, функция ги(р, q) быстро убывает с увеличением q, так что
основную роль в интеграле играют значения q, малые по срав-
сравнению со средним импульсом частиц. Это обстоятельство позво-

§ 21	УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА	117
ляет произвести в подынтегральном выражении разложение
™(р + q, q)/(*, p + q) « ™(р, q)/(*, p) +
+ q^-w(p, q)/(*, p) + 1яаЯ/з^-^- w(p, q)/(t, p).
В результате кинетическое уравнение примет вид
^	{	B1-2)
dt дра у	дрр	)
где
Аа = / 9aW(P, q) ^3<7, ^а/3 = " / ЗМ/Мр, q) ^V	B1-3)
Таким образом, кинетическое уравнение из интегро-дифферен-
интегро-дифференциального становится дифференциальным. Величины Аа и Вар
можно записать в символическом виде, более ясно выражающем
их смысл:
где знак ^ означает суммирование по (большому) числу столк-
столкновений, происходящих за время St.
Выражение в правой части B1.2) имеет вид дивергенции в
импульсном пространстве, —dsa/dpai от вектора
sa = ~Aaf - ^-(BaPf) = -Aaf - Bap^L, Aa = Aa + ^L.
ap	др	др
pC	р(з	р(з
B1.5)
Другими словами, B1.2) имеет, как и следовало, вид уравнения
непрерывности в импульсном пространстве; тем самым автома-
автоматически соблюдается сохранение числа частиц при процессе. Век-
Вектор же s является плотностью потока частиц в импульсном про-
пространстве.
Согласно формулам B1.4) коэффициенты в кинетическом
уравнении выражаются через средние характеристики столкно-
столкновений, и в этом смысле их вычисление представляет собой ме-
механическую задачу. Фактически, однако, нет необходимости в
раздельном вычислении коэффициентов Аа и Вар] они могут
быть выражены друг через друга из условия обращения потока
в нуль в статистическом равновесии. В данном случае равновес-
равновесная функция распределения есть
f = const • exp ( — —— ),
где М — масса частиц тяжелого газа, а Т — температура основ-
основного (легкого) газа. Подстановка этого выражения в уравнение

118 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
s = 0 дает
МТАа = Варрр.	B1.6)
Таким образом, кинетическое уравнение принимает вид
= А. \Ваа (*Lf + И.)] .	B1.7)
дР [ аР \MTJ др)\	V ;
\Ва (f +
dt	дРа [ аР \MTJ дрр
Отметим, что коэффициенты в двух первых членах разложе-
разложения интеграла столкновений оказываются одинакового порядка
величины; это связано с тем, что усреднение первых степеней
знакопеременных величин qa в B1.4) связано с большим пога-
погашением, чем при усреднении квадратичных выражений. Даль-
Дальнейшие же члены разложения будут уже все малы по сравнению
с двумя первыми.
Единственный вектор, от которого могут зависеть коэффи-
коэффициенты Ва{з, — импульс тяжелых частиц р. Но если скорости
этих частиц, р/М, в среднем малы по сравнению со скоростями
легких частиц, то при столкновениях их можно считать непо-
неподвижными; в этом приближении величины Вар не будут зави-
зависеть от р. Другими словами, тензор Вар сведется к постоянному
скаляру В:
ВаE=В5аE, B=1-Jq2w@,(l)d3q,	B1.8)
а уравнение B1.7) примет вид
El = B°-(j?-f+V)m	B1.9)
dt	dp \MTJ dpj	V }
Обратим внимание на формальное сходство уравнения B1.7)
с уравнением диффузии во внешнем поле, в особенности нагляд-
наглядное в записи B1.9). Напомним, что уравнение диффузии имеет
вид
— = div(DVc-bcF),
где с — концентрация примеси, F — сила, действующая на части-
частицу примеси со стороны внешнего поля, D — коэффициент диф-
диффузии, b — подвижность. Описываемые уравнением B1.9) про-
процессы можно назвать диффузией в импульсном пространстве,
причем В играет роль коэффициента диффузии; связь между
коэффициентами при обоих членах в правой части B1.9) анало-
аналогична известному соотношению Эйнштейна между коэффициен-
коэффициентом диффузии и подвижностью: D = ЪТ (см. VI, § 59).
Кинетическое уравнение вида B1.2), в котором коэффициен-
коэффициенты определены через усредненные характеристики элементарных
актов, согласно B1.4), называют уравнением Фоккера-Планка
(A.D. Fokker, 1914; М. Planck, 1917). Специфические свойства

§ 21	УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА	119
переменных ра как импульсов частиц в изложенном выводе не
играли роли.
Ясно поэтому, что уравнение такого же типа будет справед-
справедливо и для функций распределения / по другим переменным,
если только выполнены условия, лежащие в основе вывода: от-
относительная малость изменения величин в элементарных актах
и линейность по / интегрального оператора, выражающего из-
изменение функции благодаря этим актам.
Упомянем, для примера, еще случай, когда легкий газ соста-
составляет небольшую примесь к тяжелому газу. При столкновениях с
тяжелыми частицами импульс легкой частицы сильно меняется
по направлению, но лишь незначительно по абсолютной вели-
величине.
Хотя для функции распределения частиц примесного газа по
вектору импульса р уравнение B1.7) в этих условиях будет уже
неприменимо, аналогичное уравнение можно установить для рас-
распределения по одной лишь абсолютной величине р. Если функ-
функция распределения по-прежнему отнесена к элементу импульс-
импульсного пространства d?p (так что число частиц с величиной р в ин-
интервале dp есть f(t,p) • 4тф2ф), то уравнение Фоккера-Планка
будет иметь место для функции 4тф2/, отнесенной к элементу dp:
или
dt p1 op
где
Б = 1^М!.	B1.11)
2 St	У	J
Выражение в фигурных скобках представляет собой радиальный
поток s в импульсном пространстве. Он должен обращаться в
нуль равновесным распределением
/ r>2 \
f = const • exp — ——
J	PV 2mTJ
(где m — масса легкой частицы, а Т — температура основно-
основного, тяжелого газа). Это условие связывает величины А и Б, и в
результате кинетическое уравнение B1.10) принимает вид
dt	p2 dp J	~	\mTJ ' dp ' '	V ' )

120	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
Задачи
1.	Определить коэффициент диффузии в импульсном пространстве (В
в уравнении B1.9)) для примеси тяжелого газа в легком, предполагая ско-
скорости тяжелых частиц малыми по сравнению со скоростями легких.
Решение. Как указано в тексте, в данных условиях при вычис-
вычислении передачи импульса можно считать тяжелую частицу неподвижной и
пренебречь изменением ее энергии при столкновении. Изменение импульса
тяжелой частицы вычисляется тогда как (совпадающее с ним) изменение
импульса легкой частицы: (Ар) = 2р' A — cos а), где р — величина им-
импульса легкой частицы, а а — угол его поворота при рассеянии. Отсюда
^(ДрJ =Stf 2p/2(l- cos a)Nv' da
(где N — плотность числа частиц легкого газа) и окончательно
В = 	(р at),
Зт
где at = /A — cos a) da — транспортное сечение, а усреднение производится
по распределению частиц легкого газа.
2.	С помощью уравнения Фоккера-Планка определить подвижность тя-
тяжелой частицы в легком газе.
Решение. При наличии внешнего поля в левой части уравнения
B1.9) добавляется член Fdf/dp, где F — сила, действующая на частицу.
Предполагая эту силу малой, ищем стационарное решение уравнения в виде
/ = /о + Sf, где /о — максвелловское распределение, a of <С /о- Для Sf
находим уравнение
др V dp МТ " J	др
Отсюда
и затем Sf = foFp/B. Подвижность Ъ есть коэффициент в равенстве
v = JSf -vd3p = bF.
Вычисление интеграла дает
Т _ ЗгпТ
В N(atp'3)
в согласии с A2.4).
§ 22. Слабо ионизованный газ в электрическом поле
Рассмотрим ионизованный газ, находящийся в однородном
электрическом поле Е. Поле нарушает равновесное распределе-
распределение свободных электронов в газе и создает в нем электрический
ток. Выведем кинетическое уравнение, определяющее электрон-
электронное распределение 1).
:) Изложенная в этом параграфе теория принадлежит Б.И. Давыдову
A936). Предельная формула B2.18) была еще раньше получена Друйве-
стейном (M.J. Druyvesteyn, 1930).

§ 22	СЛАБО ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	121
Слабость ионизации означает, что концентрация электронов
(и ионов) в газе мала. Поэтому основную роль играют столкно-
столкновения электронов лишь с нейтральными молекулами; столкно-
столкновениями же электронов друг с другом (и с ионами) можно пре-
пренебречь. Будем предполагать также, что средняя энергия, при-
приобретаемая электронами в электрическом поле (даже если поле
сильное; см. ниже), недостаточна для возбуждения или иониза-
ионизации молекул; тогда столкновения электронов с молекулами мож-
можно считать упругими.
Ввиду большой разницы в массах электронов т и молекул М,
средняя скорость электронов велика по сравнению со средней
скоростью молекул. По той же причине импульс электрона при
столкновении меняется сильно по направлению, но лишь слабо
по абсолютной величине. В этих условиях интеграл столкнове-
столкновений в кинетическом уравнении разбивается в сумму двух частей,
представляющих изменения числа частиц в заданном элементе
импульсного пространства соответственно от изменения величи-
величины и от изменения направления импульса; первая из этих частей
может быть представлена в фоккер-планковском дифференци-
дифференциальном виде.
Ввиду симметрии вокруг направления поля, функция распре-
распределения зависит (помимо времени) только от двух переменных:
от абсолютной величины импульса риот угла в между р = mv
и направлением Е (которое выберем в качестве оси z). Кинети-
Кинетическое уравнение для функции f(t,p,O) имеет вид1)
>,0') - f(t,p,6)]da, B2.1)
ul	up	p- up
где
26t
Первый член в правой части B2.1) отвечает правой части урав-
уравнения Фоккера-Планка B1.12). Второй же член есть интеграл
столкновений по отношению к изменению направления импуль-
импульса. В этом интеграле молекулы можно считать неподвижными
(N — плотность их числа); тогда число столкновений, испыты-
испытываемых электроном в единицу времени и меняющих направление
импульса от в ж в1 (или от в и #), есть Nvda, где da — сечение
рассеяния электрона на неподвижной молекуле, зависящее отри
от угла а между рир' (предполагается, что сечение уже усред-
усреднено по ориентациям молекулы).
1) В этой книге е обозначает везде положительную величину — абсолютное
значение элементарного заряда. Заряд электрона есть поэтому — е.

122	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
Ниже будет рассматриваться стационарное состояние с неза-
независящей от времени функцией распределения, соответственно
чему член df/dt в уравнении B2.1) будет опущен.
Для вычисления величины В воспользуемся равенством
(v-VJ = (v'-VJ,
выражающим неизменность величины относительной скорости
двух частиц при упругом столкновении (v, V и v', V' - началь-
начальные и конечные скорости электрона и молекулы). Изменение ско-
скорости молекулы мало по сравнению с изменением скорости элек-
электрона: AV = —mAv/M; поэтому после раскрытия написанного
равенства можно положить в нем V = V7. Тогда
2V(v - v7) = v2 - v'2 « 2vAv,
где Av = v — v' — малая величина. Таким образом,
(АрJ = m2(AvJ = — [(VvJ + (Vv'J - 2(Vv)(Vv')l.
V2
Усреднение этого выражения осуществляется в два этапа. Преж-
Прежде всего, усредняем по распределению (максвелловскому) скоро-
скоростей молекул V. Ввиду изотропии этого распределения имеем
(VaVp) = Sap(V2)/3> а средний квадрат (V2) = ЗГ/М. Поэтому
получаем
(Ар) =	(v + v — 2vv ) w	A — cos a).	B2.2)
Mv2	M
Теперь надо усреднить по столкновениям, испытываемым элек-
электроном в единицу времени; это осуществляется интегрированием
по Nv da. В результате получим
В = Nmv<JtT = v^L	B2.3)
М	Ml'	К J
где at = /A — cos a) da — транспортное сечение, а / — длина
свободного пробега, определенная как
/ = (Nat)'1	B2.4)
(в общем случае / — функция р). Таким образом, фигурирующий
в B2.1) поток
8 = -П*(у/ + тЩ.	B2.5)
мЛ J dPJ	v J
Обратим внимание на то, что согласно B2.2) изменение энер-
энергии электрона при столкновении As ~ vAp ~ T(m/M)ll2 ~
~ ^(гп/МI'2. Поэтому заметное изменение этой энергии про-
происходит лишь в результате ~ М/гп столкновений, между тем
как направление импульса электрона существенно меняется уже

§ 22	СЛАБО ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	123
в одном столкновении. Другими словами, время релаксации по
энергиям электронов т? ~ трМ/т, где rp ~ l/v — время релакса-
релаксации по направлениям импульса.
Левую часть уравнения B2.1) тоже надо преобразовать к пе-
переменным р и в:
еЪд± = eEEL = ея[со80^ + *?^_Ё/_1 .	B2.6)
dp	dpz	L	dp	p dcos9l	v J
Решение составленного таким образом кинетического уравне-
уравнения можно искать в виде разложения по полиномам Лежандра:
cos9).	B2.7)
п=0
Мы увидим ниже, что последовательные члены этого разложе-
разложения быстро убывают по порядку величины. Поэтому фактически
достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения:
Др, 0) = /o(p) + /i(p) cos 0.	B2.8)
Интеграл в B2.1) при подстановке B2.8) дает
f[f (р, в') - f(p, в)] da = -frat cos в
(ср. преобразование такого же интеграла в A1.1)), после чего
кинетическое уравнение принимает вид
-еЕ [/п cos в + /{ cos2 в + f— sin2 в] + — (s0p2)f + -/i cos в = О,
L	p	\ p2	I
где штрих означает дифференцирование по р; здесь опущен член
p~2(sip2)' cosO, заведомо малый (в отношении ~ гп/М) по срав-
сравнению с членом (vfi/l) cos в (sq и si — выражения B2.5) с /о или
/i вместо /). Умножив это уравнение на Pq = 1 или на Р\ = cos в
и проинтегрировав его по d cos б, получим два уравнения:
±(p2S)' = 0, S = -j^{p2h + mpTf'v) - ffi, B2.9)
/i = —/о-	B2.10)
V
Выражение S представляет собой плотность потока частиц
в импульсном пространстве, измененного электрическим полем.
Из B2.9) следует, что S = const/р2. Но поток S должен быть ко-
конечен при всех значениях р] поэтому const = 0. Подставив теперь
/i из B2.10) в уравнение S = 0, найдем уравнение, определяю-
определяющее функцию fo(p):
^1	? f ^	B2П)
m

124	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
До сих пор мы не делали никаких предположений о виде
функции /(р), а интеграл уравнения первого порядка B2.11) мо-
может быть написан с произвольной функцией 1(р). С целью по-
получения более конкретных результатов предположим / = const,
что эквивалентно предположению о независимости сечения at от
импульса1). Тогда интегрирование уравнения B2.11) дает
/	2х72/6
/0(р) = const • (- + —) е~?/Т,	B2.12)
где
7 = f/f-	B2ЛЗ)
Для функции же fi(p) из B2.10) и B2.12) имеем
Д = -foX - 1Ч± .	B2.14)
Величина 7 является тем параметром, который характеризу-
характеризует степень воздействия поля на распределение электронов. Пре-
Предельный случай слабых полей отвечает неравенству 7 ^ 1- В
первом приближении fo(p) сводится тогда к невозмущенному
максвелловскому распределению (/осое~?/т, е = ЗТ/2), а
f _emf <<L	B215)
Возникающий в газе электрический ток определяется подвижно-
подвижностью электронов
7	Vz	1	Г	п с 74	1	Г с 74	(с\с\ л п\
- е?; - eENe J	3eENe J
(Ne — плотность числа электронов) 2). Простое вычисление с Д
из B2.15) дает для подвиж:ности в слабом поле
B2.17)
Как и следовало, это выражение удовлетворяет соотношению
Эйнштейна D = 6Т, где D — коэффициент диффузии A1.10).
:) Это во всяком случае выполняется при достаточно низких темпера-
температурах электронов, поскольку для медленных частиц сечение стремится к
независящему от энергии пределу (см. III, § 132).
) Отметим, что, ввиду ортогональности различных полиномов Лежандра,
из всех членов разложения B2.7) вклад в нормировочный интеграл дает
только член /о, а вклад в vz — только член /i cos#.

§ 22	СЛАБО ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	125
Смысл неравенства 7^1 как критерия слабости поля мож-
можно понять из следующих простых соображений. Очевидно, что
влияние поля на распределение электронов будет слабым до тех
пор, пока энергия, набираемая электроном за время его свобод-
свободного пробега, будет мала по сравнению с энергией, отдаваемой
им атому при столкновении. Первая из них есть еЕ1, а вторая —
8е ~ V6P ~Vpr>
(Р и V — импульс и скорость атома; изменение SP порядка вели-
величины импульса электрона). Сравнение обоих выражений и при-
приводит к требуемому критерию.
В обратном случае сильных полей G ^> 1) находим х)
B2.18)
B2.19)
у ivi 1 7
Средняя энергия электронов:
9 /9 А/Т о / ^ \	А/Т
?=-*— 1 ( - 1 еЫ = 0,43eA/W—,	B2.20)
тг у Зш \4/	у m
а их подвижность
г)О/д 1 /о/ л /Г\ 1 /4/ 7—' \ 1 /9 *	\ * /
Остается выяснить критерий сходимости разложения B2.7).
Для этого замечаем, что его последовательные члены связаны,
по порядку величины, соотношением
—/n-i ~ -Jn	B2.22)
mv	I
(после подстановки B2.7), умножения на Pn(cos6) и интегриро-
интегрирования по d cos в в левой части кинетического уравнения остается
член с /n-i, а в интеграле столкновений — лишь с fn). При 7^1
средняя энергия электрона ~ё ~ Т, и из B2.22) имеем
fn-i Т	\М
х) Формулу B2.18) проще получить, решая заново уравнение B2.11) (по-
(положив в нем Т = 0), чем путем предельного перехода в B2.12).

126	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
В случае же больших полей, когда 7 ^ 1? средняя энергия
е ~ еЕ1{М/тI/2, так что снова
Таким образом, сходимость разложения обеспечивается мало-
малостью отношения т/М х).
§ 23. Флуктуации в слабо ионизованном
неравновесном газе
В этом параграфе мы рассмотрим флуктуации функции рас-
распределения электронов в стационарном неравновесном состоянии
слабо ионизованного газа; газ пространственно-однороден и на-
находится в постоянном однородном электрическом поле Е.
Мы будем интересоваться лишь временной, но не простран-
пространственной корреляцией флуктуации. Тогда имеет смысл ввести
вместо зависящей от координат точной (флуктуирующей) функ-
функции распределения /(?, г, р) усредненную по всему объему газа
функцию
f(t, р) = — J /(?, г, р) d3x	B3.1)
(которую мы будем в этом параграфе обозначать той же бук-
буквой /, без аргумента г); эта функция флуктуирует только со
временем. Функция же /(р), по отношению к которой флуктуи-
флуктуирует /, есть найденное в предыдущем параграфе распределение
B2.8).
Для рассматриваемой системы представляют особый интерес
не столько флуктуации функции распределения самой по себе,
сколько связанные с ними флуктуации плотности электрическо-
электрического тока j. Корреляторы этих величин связаны друг с другом оче-
очевидной формулой
(Sja(t)Sjp(O)) = e2 f(Sf(t,p)Sf@,p'))vavfpd3pd3pf, B3.2)
причем, разумеется, 5} есть флуктуация плотности тока, усред-
усредненная по объему газа2).
г) Отметим, однако, что поправки /2, /з, • • • нельзя было бы определять с
помощью уравнения B2.1), так как в этом уравнении использовано фоккер-
планковское приближение, в котором величинами высших степеней по т/М
уже пренебрежено.
) Такое усреднение соответствует постановке опыта, в котором измеряют-
измеряются флуктуации полного тока в газе: флуктуация полного тока равна флук-
флуктуации усредненной плотности тока в данном направлении, умноженной на
сечение образца.

§ 23	ФЛУКТУАЦИИ В СЛАБО ИОНИЗОВАННОМ ГАЗЕ	127
Решение задачи для неравновесного газа основано на указан-
указанном в § 20 общем методе 1).
Согласно этому методу, коррелятор Ef(t,pMf@,p')) удовле-
удовлетворяет (по переменным t и р) кинетическому уравнению B2.1),
которое играет в данном случае роль уравнения B0.13) обще-
общего метода. Вместе с этим коррелятором такому же уравнению
удовлетворяет и функция
e(t, p) = I(Sf(t, p) j/(o, P'))v' dV,	B3.3)
через которую в свою очередь выражается искомый коррелятор
тока:
e2
= e2fgp(t,p)va d3p.	B3.4)
Таким образом, имеем уравнение
- Nv /[g(t,p, в) - g(t,p, в')] da B3.5)
с Б из B2.3).
Кинетическое уравнение B2.1) учитывает столкновения элек-
электронов только с молекулами, но не друг с другом. Поэтому здесь
нет механизма, устанавливающего одновременную корреляцию
между электронами с различными импульсами и «начальное»
условие для функции g(?, p) будет таким же, как и в равно-
равновесном состоянии. Поскольку речь идет о флуктуации функции
распределения, усредненной по всему объему газа, то должно
быть учтено постоянство числа частиц (электронов) 2). Согласно
B0.17), при таком условии имеем
,Р')> = 1 [7(рЖр - р') - ^-
х) Исследование этой задачи Прайсом (P.J. Price, 1959) явилось первым
примером вычисления флуктуации в неравновесной системе. Мы следуем
здесь изложению В.Л. Гуревича и Р. Катилюса A965).
2) Интересуясь только влиянием на флуктуации неравновесности, связан-
связанной с наличием поля, мы пренебрегаем флуктуациями полного числа элек-
электронов, связанными с процессами ионизации и рекомбинации. Строго эти
флуктуации могут отсутствовать в случае, когда все электроны образованы
примесями с малым потенциалом ионизации; полное число электронов сов-
совпадает тогда просто с полным числом примесных атомов. Пренебрегается
также флуктуациями концентрации нейтральных молекул. Относительная
флуктуация этой концентрации заведомо мала по сравнению с такой же для
электронов, поскольку концентрация электронов много меньше концентра-
концентрации молекул.

128	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
(Ne — плотность электронов), откуда для начальной функции
7-V),	B3.6)
где V — средняя скорость электронов в состоянии с распределе-
распределением /(р). Скорость V направлена, разумеется, вдоль поля Е;
напишем ее в виде
V = -еЬЕ,	B3.7)
где b — подвижность. Постоянство полного числа электронов
означает также, что f Sf d?p = 0 и потому
/g(t,p)d3p = 0.	B3.8)
Следуя описанному в § 19 методу, совершаем над уравнени-
уравнением B3.5) одностороннее преобразование Фурье: умножаем его на
eiujt и интегрируем по t в пределах от 0 до оо. При этом член
etujtdg/dt преобразуется по частям с учетом начального условия
B3.6) и условия g(oo,p) = 0. В результате получим уравнение
- в (ъ±) g(+) - !A to Л (+) + о^Л]
Ml
-7(p)(v-V), B3.9)
где
ОО
g^+^(o;,p) = f etujtg(t,p) d3p.	B3.10)
о
В силу B3.8), это уравнение должно решаться при дополнитель-
дополнительном условии
B3.11)
/¦
Если решение уравнения B3.9) найдено, то искомое спек-
спектральное разложение коррелятора токов можно найти простым
интегрированием. Действительно, пишем
и, поступив затем в точности аналогично выводу A9.14), полу-
чим
= e2 J{g{+\u,,p)va +gi+H-u,p)vp}d3p. B3.12)

§ 23	ФЛУКТУАЦИИ В СЛАБО ИОНИЗОВАННОМ ГАЗЕ	129
Ниже будем считать для конкретности, что длина пробега
/ = const. В равновесном состоянии, в отсутствие электрического
поля, функция / есть равновесное максвелловское распределение
fo(p). Решение уравнения B3.9) есть тогда
(+) = ЕМ '	B3.13)
р V 1 — lujl/v
в чем легко убедиться, заметив, что
f(p-pf)da = atp.	B3.14)
Если иотр <С 1 (где тр ~ 1/vt — время релаксации по направле-
направлениям импульса), то в B3.13) можно пренебречь членом —iuol/v
в знаменателе. Вычисление интеграла B3.12) приводит тогда к
результату
Uajfi)w = ^аE,	B3.15)
где а = e2Nebo — проводимость газа в слабом поле; &о — по-
подвижность в слабом поле, даваемая формулой B2.17). Резуль-
Результат B3.15) соответствует, конечно, общей формуле Найквиста
для равновесных флуктуации тока (см. IX, § 78). Действительно,
рассмотрим цилиндрический вдоль оси х объем газа. Поскольку
плотность тока уже усреднена по объему, то полный ток J = jxS,
где S — площадь сечения цилиндра. Из B3.15) имеем тогда
где L = V/S — длина образца, a R = L/aS — его сопротивле-
сопротивление 1).
При Е / 0 уравнение B3.9) решается последовательными
приближениями, подобно тому, как решалось уравнение B2.6).
Но в то время, как уравнение B2.6) определяло скалярную функ-
функцию, уравнение B3.9) написано для векторной функции. Пер-
Первые члены разложения такой функции (зависящей от двух век-
векторов — постоянного Е и переменного р) напишем в виде
g(+)(cj, p) = h(w,p)n + e{go(w,p) + negl(w,p)}, B3.17)
причем gi ^ go (здесь n = р/_р, е = ~Е/Е). Функция же /(р)
есть	_
/(p) = /o(p) + ne/i(p)	B3.18)
с вычисленными в предыдущем параграфе /о и Д =
*) При сравнении с IX G8.1), надо учесть, что hu <^T и что в силу условия
игр ^С 1 дисперсия проводимости отсутствует, так что Z = R.
5 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

130	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
Подставим B3.17), B3.18) в уравнение B3.9) и отделим в нем
члены, нечетные и четные по р. Снова полагая оотр <С 1, получим,
собрав нечетные члены:
здесь опущены члены, заведомо малые (в отношении тп/М) по
сравнению с написанными. Отсюда
Уо(р), gl(u,p)	8f'P)-	B3.19)
V	р	dp
Что касается четных по р членов, то они должны удовлетво-
удовлетворять уравнению B3.9) лишь после усреднения по направлени-
направлениям р — в соответствии с тем, что выражение B3.17) дает лишь
первые члены разложения искомой функции. После несложного
вычисления (с использованием выражений B3.19)) получается
следующее уравнение для функции
где
-zcjgn +	U9 S) = — i e^bfo +	pfo } ,	B3.20)
p2 <9p	V I	3p ^p J
с	1^2, ^%o^ e2E2lmdg0
IM \ QU	dp J	3p dp
Это уравнение надо решать при дополнительном условии
/go(",p)d3P = O,	B3.21)
к которому сводится B3.11) при подстановке в него B3.17).
По известной функции g^+^ искомый коррелятор тока опре-
определяется формулой B3.12). При подстановке в нее разложения
B3.17) и простого преобразования с использованием B3.19) по-
получается
uj,p)}^. B3.22)
р
Член — iuigQ в уравнении B3.20) становится существенным
при uj ~ mv/Ml, т. е. при иот? ~ 1, где т? — время релаксации по
энергиям электронов. С таких частот начинается, следовательно,
дисперсия флуктуации тока.
В общем случае уравнение B3.20) очень сложно. Ограничим-
Ограничимся, для иллюстрации, случаем малых частот, иот? < 1, и силь-
сильных полей, удовлетворяющих условию 7^1, где j — параметр

§ 24	РЕКОМБИНАЦИЯ И ИОНИЗАЦИЯ	131
B2.13). В силу последнего условия, функция fo(p) дается выра-
выражением B2.18). Вычисление интеграла в первом члене в B3.22)
дает
23/2 Nee2l UEl\ll2 /M
а/335/4ГC/4) V \т) \т
)
Во втором члене в B3.22) ограничимся буквенной оценкой. Из
уравнения B3.20) (без члена —iuig0) находим оценку
еЕ12М
Интеграл оценивается затем как
v
В результате находим для коррелятора тока выражение
(jajpjuj ^ ( ) ( )
V V т / \т /
где /3 ~ 1 — численная постоянная.
B3.23)
§ 24. Рекомбинация и ионизация
Установление равновесной степени ионизации в частично ио-
ионизованном газе осуществляется путем различных элементарных
актов столкновительной ионизации и обратной рекомбинации
сталкивающихся заряженных частиц. В простейшем случае, ко-
когда в газе имеется (помимо электронов) лишь один сорт ионов,
процесс установления ионизационного равновесия описывается
уравнением вида
^г = /3- aNeNi.	B4.1)
at
Здесь /3 — число электронов, образующихся в 1 с в 1 см3 (при
столкновениях нейтральных атомов или путем ионизации ато-
атомов фотонами); это число не зависит от наличных плотностей
электронов Ne и ионов Л^. Второй же член дает убыль числа
электронов благодаря их рекомбинации с ионами; величину а
называют коэффициентом рекомбинации.
Процесс рекомбинации обычно весьма медлен по сравнению с
остальными процессами установления равновесия в плазме. Де-
Дело в том, что образование нейтрального атома при столкнове-
столкновении иона с электроном требует уноса освобождающейся энергии
(энергии связи электрона в атоме). Эта энергия может излучить-
излучиться в виде фотона (радиационная рекомбинация); в таком случае

132	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
медленность процесса связана с малостью квантовоэлектроди-
намической вероятности излучения. Освобождающаяся энергия
может быть также передана третьей частице — нейтральному
атому; в этом случае медленность процесса связана с малой ве-
вероятностью тройных столкновений. Все это приводит к тому, что
рекомбинацию часто имеет смысл изучать в условиях, когда рас-
распределение всех частиц можно считать максвелловским.
В равновесии производная dNe/dt обращается в нуль. Отсю-
Отсюда следует, что величины а и /3 в B4.1) связаны друг с другом
соотношением
/3 = aNOeNoi,	B4.2)
где Nqg и Noi — равновесные плотности электронов и ионов, опре-
определяющиеся соответствующими термодинамическими формула-
формулами (см. V, § 104) х).
Коэффициент радиационной рекомбинации вычисляется
непосредственно по сечению рекомбинации арек при столкнове-
столкновении электрона с неподвижным ионом (скоростью иона можно
пренебречь по сравнению со скоростью электрона):
а= (^еСГрек),	B4.3)
где усреднение производится по максвелловскому распределе-
распределению скоростей электрона ve (см. задачу 1).
Радиационная рекомбинация существенна, однако, лишь в
достаточно разреженном газе, когда тройными столкновения-
столкновениями частиц можно вовсе пренебречь. В менее разреженном газе
основным механизмом является рекомбинация с участием тре-
третьей частицы — нейтрального атома. Именно этот механизм мы
и рассмотрим теперь подробнее.
При столкновении с атомами энергия электрона изменяется
малыми порциями. Поэтому процесс рекомбинации начинается
с образования сильно возбужденного атома, а при дальнейших
столкновениях этого атома происходит постепенное «опускание»
электрона на все более низкие уровни. Такой характер процесса
позволяет рассматривать его как «диффузию по энергии» захва-
захваченного электрона и соответственно применить к нему уравнение
Фоккера-Планка (Л.П. Питаевский, 1962).
Введем функцию распределения захваченных электронов по
их (отрицательным) энергиям е. Основную роль будет, естествен-
естественно, играть «диффузия» по области энергий \е\ ~ Т. Напомним
в этой связи, что температуру надо во всяком случае считать
здесь малой по сравнению с ионизационным потенциалом ато-
атомов /; при Т ~ / газ был бы уже практически полностью иони-
ионизованным (ср. V, § 104).
г) В случае радиационной рекомбинации равновесность состояния пред-
предполагает также и равновесность излучения в плазме.

§ 24	РЕКОМБИНАЦИЯ И ИОНИЗАЦИЯ	133
Уравнение Фоккера-Планка:
^ = -^, s = -Bd-l-Af.	B4.4)
Как обычно, коэффициент А можно выразить через В из условия
5 = 0 при / = /о, где /о - равновесное распределение. После этого
поток s примет вид
5 = -В/0|4-	B4.5)
де /о
«Коэффициент диффузии» 5(б) определяется по общему прави-
правилу как
В(е) = Ш?,	B4.6)
где Аб — изменение энергии возбуждения атома при его столкно-
столкновении с невозбужденным атомом; вычисление В(е) по этой фор-
формуле сводится к решению механической задачи о столкновении и
последующему усреднению по скорости невозбужденного атома
(см. задачу 2).
Для нахождения функции fo(s) замечаем, что равновесное
распределение по импульсам и координатам для электрона в ку-
лоновском поле заряда ze (заряд иона) дается формулой Больц-
мана
/о(р, г) = BтгтТ)-3/2е-/г, е = f - *?-	B4.7)
2т г
(о ее нормировке см. ниже); движение электрона при \е\ ~ Т <^ I
квазиклассично, что и позволяет использовать для энергии е ее
классическое выражение. Функция же распределения по е есть,
следовательно,
/о(б) de = BтгтТ)-3/2е1?1/тт(б) de,	B4.8)
где т{е) — объем фазового пространства, отвечающий интерва-
интервалу de:
т(е) = [б(\е\ +*?--??) d3xd3p.	B4.9)
J \	2гп г /
Заменив d?x d3p = 4тгг2 dr • 4тф2 dp и произведя интегрирование,
получим
т(е) = ^^Гт3/\	B4.10)
V ^	|в|5/2	V	J
Для формулировки условий, определяющих нужное нам ре-
решение уравнений B4.4), B4.5), удобно считать, что наличная
плотность электронов в газе Ne ^> Ще; тогда в B4.1) можно пре-
пренебречь скоростью ионизации /3, так что убыль Ne будет опре-
определяться одной лишь рекомбинацией. В этих условиях постоян-
постоянное значение потока s в стационарном решении уравнения B4.4)

134	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
прямо дает значение коэффициента рекомбинации (s = const =
= —а), если только функция f(s) должным образом нормиро-
нормирована. Именно, на самых верхних уровнях {\е\ <С Т) электроны
находятся в равновесии со свободными электронами; это значит,
что должно быть
Де)//о(е)-> 1 при |е|->0,	B4.11)
причем нормировка fo(s) должна отвечать одному свободному
электрону в единице объема (что и выполнено в B4.7)).
Для нахождения второго граничного условия (при е —>• — оо)
замечаем, что распределение на глубоких уровнях возбужден-
возбужденного атома не возмущено наличием свободных электронов и не
зависит от их числа: оно пропорционально равновесному числу
TVoe; a не фактическому Ne. При условии Ne ^> Nq6 эта ситуация
выражается граничным условием
Де)//о(е)->О при |е|-> оо.	B4.12)
Интегрируя уравнение s = const с граничным условием
B4.11), имеем
И
/	х f d\e\ , л
— = const / —— + 1.
/о	J В/о
О
Константа будет совпадать с —а, если определить ее так, чтобы
удовлетворилось условие B4.12). Таким образом, находим окон-
окончательно
B4.13)
V	J
Bf0 7T^(ze^J B(-\s
Эта формула относится к процессу, в котором роль «третьего
тела» играет невозбужденный атом. Если газ уже сильно ионизо-
ионизован (что, однако, еще совместимо с условием Т <^ I) и достаточно
плотен, основная роль может перейти к рекомбинации с участи-
участием второго электрона в качестве третьего тела. Скорость реком-
рекомбинации становится тогда пропорциональной N^Ni, так что ко-
коэффициент рекомбинации, определенный по-прежнему согласно
B4.1), будет сам пропорционален Ne. Поскольку релаксация по
энергии при электронных соударениях происходит быстро, изло-
изложенный метод вычисления коэффициента рекомбинации в этом
случае неприменим.
Задачи
1. Найти коэффициент радиационной рекомбинации с захватом элек-
электрона на основное состояние атома водорода при температурах Т ^ I (I =
= e4m/Bh2) — потенциал ионизации атома водорода).

§ 25	АМБИПОЛЯРНАЯ ДИФФУЗИЯ	135
Решение. Сечение рекомбинации медленного электрона с неподвиж-
неподвижным протоном на основной уровень водородного атома есть
21Отг2(е2 /Пс)а2в12
арек ~ 3B, 71... Lт2сЧ1'
где ve — скорость электрона, ав = 	 — боровский радиус (см. IV, § 56,
/2ш\1/2
формулы E6.13), E6.14)). Среднее значение (ve 1) = I 	 1 . В результате
\тгТ )
получим согласно B4.3):
3B,71L \hcj h \Tj	\hc
2. Определить коэффициент рекомбинации согласно B4.13), пренебре-
пренебрегая влиянием связи электрона в возбужденном атоме на процесс его столк-
столкновения с невозбужденным атомом и полагая транспортное сечение этих
столкновений независящим от скорости.
Решение. «Коэффициент диффузии» В(е) вычисляется аналогично
тому, как это делалось в § 22, и равен
В(е) = ^L(vl)(atp3).	A)
3m
Здесь N — плотность атомов в газе, m — масса электрона, г>ат — относи-
относительная скорость возбужденного и невозбужденного атомов. Скорости г>ат
распределены по Максвеллу с приведенной массой (М/2, где М — масса
атома) в качестве массы частицы; поэтому (г>2т) = 6Т/М. Далее, р в A) есть
импульс электрона в поле иона; усреднение atps производится по области
фазового пространства электрона r(s), отвечающей заданному значению |е|.
При at = const находим
32у2 . .3/2
(crtp ) = -— p 6[\e\ + -	d xd p= ——Gtm
r(s) J	V	2m r /
Таким образом,
В =
ЗтгМ
и затем вычисление по B4.13) дает окончательно
B)
Пренебрежение связью электрона в атоме законно, если частота воз-
возмущения, создаваемого атомом вблизи электрона (~ d/v&T, d — атомные
размеры), велика по сравнению с частотой обращения электрона с энергией
Т. Отсюда получается условие Т <^С (е2/d)(m/MI/2.
§ 25. Амбиполярная диффузия
Рассмотрим диффузию заряженных частиц в слабо ионизо-
ионизованном газе. Как и в § 22, степень ионизации предполагается
настолько малой, что столкновениями заряженных частиц друг
с другом можно пренебречь по сравнению с их столкновениями

136	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
с нейтральными атомами. Даже в этих условиях диффузия двух
родов заряженных частиц — электронов и ионов — происходит
не независимо ввиду возникновения, в процессе диффузии, элек-
электрического поля (W. Schottky, 1924).
Уравнения диффузии имеют вид уравнений непрерывности
для электронов (е) и ионов (г):
причем плотности потоков выражаются через плотности числа
частиц и их градиенты согласно
ie = -NebeeE-DeVNe,
где De, Di — коэффициенты диффузии, а Ье, Ы — подвижно-
подвижности электронов и ионов 1). Те и другие связаны друг с другом
соотношениями Эйнштейна
De = Tbe, Di = Tbi,	B5.3)
выражающими собой условие исчезновения потоков B5.2) в рав-
равновесии. С учетом этих соотношений и выразив напряженность
поля через его потенциал (Е = — Vy), перепишем уравнения
B5.1) в виде
^	[^]	B5.4)
Adiv[vJVi + ^V<p].	B5.5)
К ним надо добавить уравнение Пуассона для потенциала:
B5.6)
Система уравнений B5.4)-B4.6) существенно упрощается, ес-
если распределения концентраций iVe, Ni почти однородны. Тог-
Тогда в коэффициентах при V<p в B5.4), B5.5) можно положить
Ne « Ni « const = Nq и исключить <р с помощью B5.6). В ре-
результате получим
^ = De \ANe - 2Ц^1 ,	B5.7)
B5.8)
г) Кратность заряда ионов полагаем zi = 1, как это обычно и имеет место
при малой степени ионизации газа.

§ 25	АМБИПОЛЯРНАЯ ДИФФУЗИЯ	137
где а~2 = 4тге2Щ/Т (а — дебаевский радиус электронов или
ионов; см. ниже § 31).
Хотя сечения рассеяния электронов и ионов, вообще говоря,
одинакового порядка величины, их коэффициенты диффузии су-
существенно различны из-за разницы в средних тепловых скоро-
скоростях (vt) тех и других:
De	VTe	M	/OR пч
г	~ \ —•>	B5-9)
Di	VTi	V ГП
так что De ^> Di. Это обстоятельство придает процессу диффу-
диффузии своеобразные черты.
Рассмотрим эволюцию слабого возмущения электронной и
ионной плотностей, характерные размеры которого L ^> а. В на-
начальной стадии процесса, пока переменные части плотностей
\6Ne\~\8Ni\~\8Ne-6Ni\,
первые члены в правых частях уравнений B5.7), B5.8) малы по
сравнению со вторыми:
л А7- SNe .. SNe — SNi	/c\t~ л r\\
ANe ~ —- < —	-.	B5.10)
L2	а2	У	J
Замечая также, что ввиду B5.9) \dNi/dt\ ^C \dNe/dt\, имеем
откуда
SNe - SNi = (SNe - SNiH exp (-^*) •	B5.11)
Отсюда видно, что за время те\ ~ a2/De разность \SNe — SNi\
станет малой по сравнению с самими oNe и SNi, т. е. газ станет
квазинейтральным.
Следующая стадия процесса состоит в эволюции распреде-
распределения электронов к равновесному (при заданном распределении
ионов), определяемому условием обращения в нуль правой части
B5.7):
SNe - SNi = a2ANe « a2ANi - ^SNi.	B5.12)
Эта стадия протекает по диффузионному уравнению B5.7) с ха-
характерным временем те2 ~ L2/De. Это время мало по сравнению
с характерным временем диффузии ионов Т{ ~ L2/^, распреде-
распределение которых можно поэтому все еще считать неизменным.

138	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
Окончательная релаксация возмущения электронной и ион-
ионной плотностей происходит согласно уравнению B5.8), которое
после подстановки B5.12) принимает вид
^ = 2DiANi.	B5.13)
dt
Таким образом, в течение времени ~ т^ электроны и ионы диф-
диффундируют вместе (SNe « SNi) с удвоенным коэффициентом
диффузии ионов (так называемая амбиполярная диффузия). По-
Половина этого коэффициента связана с собственной диффузией
ионов, а половина — с электрическим полем, создаваемым раз-
разбегающимися электронами.
Отметим, наконец, что уравнение B5.13) имеет более широ-
широкую область применимости, чем это следует из приведенного
вывода. Даже если возмущение не является слабым, движение
электронов быстро приводит к установлению их больцмановско-
го распределения в поле и к выравниванию концентрации элек-
электронов и ионов, т. е. квазинейтральности. При этом
eip = TliA	B5.14)
No
Подставив B5.14) в B5.5), приходим снова к уравнению B5.13),
но уже без предположения о малости возмущения.
§ 26. Подвижность ионов в растворах
сильных электролитов
Выписанные в предыдущем параграфе уравнения легко обоб-
обобщаются на случай наличия ионов разных сортов. Они примени-
применимы также и к движению ионов в растворах сильных электро-
электролитов1). В пределе «бесконечного» разбавления раствора (т. е.
при стремящейся к нулю его концентрации) подвижность каж-
каждого (а-го) сорта ионов стремится к постоянному пределу ba , a
его коэффициент диффузии — соответственно к значению
> =ТЬ$\	B6.1)
Настоящий параграф посвящен вычислению первых, по ма-
малой концентрации, поправочных членов для подвижностей ионов
в слабом растворе2). Тем самым определятся также и поправоч-
поправочные члены в проводимости раствора. В электрическом поле Е
г) Напомним, что сильными электролитами называют вещества, которые
при растворении полностью диссоциируют на ионы.
2) Излагаемая ниже теория была развита Дебаем и Хюккелем (P. Debye,
Е. Hiickel, 1923) и Онсагером (L. Onsager, 1927).

§ 26	ПОДВИЖНОСТЬ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОЛИТАХ	139
на каждый ион действует сила е^аЕ, под действием которой он
приобретает направленную скорость baezaEi. Поэтому плотность
тока в растворе
^2zaNa -baeza,
где Na — концентрация (число ионов сорта а в единице объема),
так что проводимость
azlba.	B6.2)
Излагаемая ниже теория основана на тех же представлени-
представлениях, что и теория термодинамических свойств плазмы и сильных
электролитов. Они состоят в том, что вокруг каждого иона созда-
создается неоднородное распределение зарядов (ионное облако), экра-
экранирующее поле иона. Соответствующие формулы были получе-
получены в V, § 78, 79, для плазмы; аналогичные формулы для раствора
сильного электролита отличаются лишь наличием в них отлич-
отличной от единицы диэлектрической проницаемости растворителя е
и будут выписаны ниже.
Экранирующее облако меняет подвижность иона в силу двух
различных эффектов. Во-первых, движение иона во внешнем
электрическом поле искажает распределение зарядов в облаке,
в результате чего возникает дополнительное поле, действующее
на ион. Во-вторых, движение облака приводит в движение жид-
жидкость, что вызывает «снос» иона. Поправку первого рода назы-
называют релаксационной, а поправку второго рода — электрофоре-
тической.
Релаксационная поправка. Начнем с вычисления поправ-
поправки первого рода. Поскольку экранирующее облако выражает со-
собой существование корреляции между положениями различных
ионов, то речь идет о влиянии внешнего поля Е на корреляци-
корреляционные функции.
Определим функцию парной корреляции wab так, что
Nawab(ra, r&) dVa есть число ионов сорта а, находящихся в объеме
dVa вблизи точки га при условии, что один ион сорта b находит-
находится в точке г^; сорта а и b могут быть как различными, так и
одинаковыми. Очевидно, что
^аб(га, ГЬ) = Wba(rb, Га),	B6.3)
а при |га — гь\ —» оо функции wab —> 1. В равновесии функции
зависят только от расстояний
га — г&|; во внешнем поле это
уже не так
г) Метод корреляционных функций в применении к равновесному состо-
состоянию плазмы (или электролита) изложен в V, § 79.

140	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
Корреляционные функции, как и всякие функции распре-
распределения, удовлетворяют уравнениям, имеющим вид уравнения
непрерывности в соответствующем пространстве — в данном слу-
случае в конфигурационном пространстве двух частиц:
^	O,	B6.4)
д ja? J6 — плотности потоков вероятности для частиц а и 6, а
индексы у знака div указывают, по каким переменным (ra или ть)
производится дифференцирование.
Поток ja имеет вид
За = -Tb^Vawab + Ъ^ zaewab(E - Va?>b),	B6.5)
а jfc — такой же вид с переставленными индексами а и Ь. Первый
член в B6.5) описывает диффузионное перемещение ионов а,
происходящее уже и в отсутствие внешнего поля. Второй член —
плотность потока ионов под действием сил со стороны внешне-
внешнего поля Е и поля — Va(^55 создаваемого в точке та искаженным
облаком при условии, что в точке г^ находится ион Ь. Потенциал
<Ра = фъ^а^ъ) последнего поля удовлетворяет уравнению Пуас-
Пуассона
,гь) = -^ ^2ezcNcwcb(ra,rb) + ezbS(ra -rb)\. B6.6)
*- с	¦*
Первый член в квадратных скобках — средняя плотность заря-
зарядов всех сортов ионов в облаке, а второй член — плотность заря-
заряда, локализованного (согласно условию) в точке ть. Множитель
1/е выражает ослабление поля в диэлектрической среде (раство-
(растворителе) .
Предполагая раствор достаточно разбавленным, мы прене-
пренебрегаем тройными корреляциями между положениями ионов. В
этом же приближении функции парной корреляции wab близки
к 1; введем малые величины
Uab = Wab ~ I-	B6.7)
Этот же порядок малости имеют потенциалы сра. Пренебрегая
членами второго порядка малости, перепишем B6.5) в виде
За = baV[-TVawab + eza(l + ыаЬ)Е - ezaVa<Pb]-	B6.8)
В уравнении же B6.6) в силу электронейтральности раствора в
среднем (^2ezcNc = 0) можно просто написать иоаЬ вместо wab:
a,rb) = -^ ^2ezcNcoocb(ra,rb) + ezb6(ra -rb)\. B6.9)

§ 26	ПОДВИЖНОСТЬ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОЛИТАХ	141
В постоянном однородном поле Е функции w^ не зависят
от времени, а координаты двух точек входят в них лишь в виде
разности г = та — ть] при этом Vawab = —Vb^ab- Подстановка ja
из B6.8) (и аналогичного выражения для j&) в B6.4) приводит
теперь к уравнению
^	f] A<pa(-r) =
ir), B6.10)
где все производные берутся по г.
Предполагая внешнее поле слабым, можно решать задачу по-
последовательными приближениями по Е. В нулевом приближе-
приближении, при Е = 0, потенциалы (ра (г) — четные функции г. Имея в
виду, что все функции ио^ и (ра должны обращаться в нуль при
г —>• оо, находим тогда из B6.10):
= 0.	B6.11)
Ищем решение в виде
(U)/\ (и) / \ @) / \ /• i j (и) /	\ / о с* л о \
При этом B6.11) удовлетворяется тождественно,	а из B6.9) на-
находим уравнение для функции о/°)(г):
Да/0)(г) - —сАг) = —5(г),	B6.13)
где
""" "	B6.14)
еТ
с
Решение этого уравнения:
о/°)(г) = - — ?—-.	B6.15)
Величина а есть дебаевский радиус экранирования в растворе
электролита.
В следующем приближении полагаем
@) | A)	V / | V /	(^)ск 1 ск\
где индексом A) отмечены малые добавки к нулевым значени-
значениям. Будучи скалярами, все эти поправочные функции имеют вид
Ег/(г), где /(г) — функции только от абсолютной величины г;

142	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	ГЛ. II
поэтому все иоа^ и (ра — нечетные функции г. Поскольку со-
согласно B6.3) имеем
то отсюда следует также, что
^1б)(г) = -4;)(г)	B6.17)
(напомним, что везде г = та — г&). Если ионы а и b относятся
к одному сорту, то перестановка индексов не может изменить
функцию Сог^ (г) и потому из B6.17) следует, что такие Шаа = 0.
Это значит, что поправки uj^J существуют лишь для корреляци-
корреляционных функций пар различных ионов.
Для упрощения дальнейших вычислений ограничимся слу-
случаем электролита всего с двумя сортами ионов. В этом случае
отлична от нуля лишь одна функция ш[2• (г) = —o^i (г) и ПОД~
становка B6.16) в уравнение Пуассона B6.9) дает
$\	lf<$(r),	B6.18)
где г = ri— Г2. С учетом условия электронейтральности раствора
и указанных выше свойств симметрии функций легко убедить-
убедиться, что потенциал ср[ (г) удовлетворяет такому же уравнению, а
потому ср[ ^(г) = (^2 (г)-
При подстановке B6.16) в уравнение B6.10) сохраняем в его
правой части лишь член с ш[2 и находим
). B6.19)
Система уравнений B6.18), B6.19) решается методом Фурье.
Л	1	A)	A)	Г
Для фурье-компонент оо\^ и у^к получается система алгебраи-
алгебраических уравнений, отличающаяся от B6.18), B6.19) заменой опе-
операторов V —>• ik, А —>• —к2. Фурье-компонента функции ш^(т)
B6.15), стоящей в правой части B6.19), дается формулой
@) =
k
eTk*+a

§ 26	ПОДВИЖНОСТЬ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОЛИТАХ	143
Мы приведем сразу окончательный результат для фурье-ком-
поненты потенциала:
еТа?
где
Я =
A) 	 4тге ziZ2q	гкЕ	/-^ ^гЛ
Поскольку z\ и Z2 имеют противоположные знаки, то очевидно,
что 0 < q < 1.
Вспомним, что (^2 (гх,Г2) есть дополнительный потенциал,
возникающий в точке ri при условии, что в точке Г2 находится
ион 2. Напряженность этого поля есть
Его значение при ri = Г2 (т. е. при г = 0) дает интересующее
нас поле, действующее на сам ион 2 и тем самым меняющее его
подвижность.
Фурье-компонента Е;>к = —гк^к • Поэтому
--/¦
Bтг)з
При подстановке сюда B6.20) возникает интеграл
d3k
= Г	k(kE)
У A;2(A;2 + a-2)(A;2+a-
2q)
Усреднение по направлениям к заменяет к(кЕ) на /с2Е/3, после
чего интеграл по к вычисляется по вычетам подынтегрального
выражения в полюсах к = г/а и к = iy/q/a и дает
1=	^	.
12тг A + y/q)
Таким образом, действующее на ион 2 суммарное поле есть
Е + Е?)@) = Г1 - }ТкЛ Е-	B6-22)
Такой же результат получается и для поля, действующего на
ион i, как это очевидно уже из симметрии выражения B6.22)
по индексам 1 и 2. Умножив поле B6.22) на b^ez, мы получим
приобретаемую ионом скорость, а написав эту же скорость в виде
бЕ, найдем, что выражение в квадратных скобках определяет

144	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
также и отношение Ъ/Ъ^>. Таким образом, для искомой релакса-
релаксационной поправки к подвижности иона находим
B6.23)
^	ЗеТа A + .
Отметим, что этот эффект уменьшает подвижность.
Электрофоретическая поправка. Перейдем к вычисле-
вычислению поправки, связанной с движением растворителя. Вопрос ста-
ставится при этом следующим образом.
Рассматриваем некоторый выделенный в растворе ион вместе
с окружающим его экранирующим облаком. Это облако электри-
электрически заряжено с плотностью
8р =
где 6Na — отличие концентрации ионов а-го сорта в облаке от
его среднего значения Na в растворе. В электрическом поле Е на
жидкость, несущую это облако, действуют поэтому силы с объ-
объемной плотностью f = ЕEр. Под влиянием этих сил жидкость
движется, а это движение в свою очередь увлекает рассматрива-
рассматриваемый центральный ион.
Распределение ионов в облаке связано с потенциалом ср поля
в нем формулой Больцмана:
Ввиду слабости поля Е, деформацией ионного облака в рас-
рассматриваемой теперь задаче можно пренебречь. В сферически-
симметричном облаке потенциал дается формулой
е~г/а
<р = ezb	,
где егь — заряд центрального иона, а а определено формулой
B6.14) (ср. V, § 78). Поэтому полная плотность зарядов в облаке
.	B6.24)
Ввиду медленности движения под влиянием поля Е, жид-
жидкость можно считать несжимаемой, так что
divv = 0.	B6.25)
По той же причине можно опустить квадратичный по скорости
член в уравнении Навье-Стокса, которое сводится тогда (для
стационарного движения) к уравнению
r/Av - VP + f = 0,	B6.26)

§ 26	ПОДВИЖНОСТЬ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОЛИТАХ	145
где Р — давление, т\ — коэффициент вязкости жидкости (рас-
(растворителя) .
Перейдя в уравнениях B6.25), B6.26) к фурье-компонентам,
имеем
kvk = 0, -т]к2лгк - гкРк + Е5рк = 0.
Умножив второе уравнение на ik, находим Рк = — ikESp^/k2 и
затем
vk = ^2Е-к(кЕ\	B6_27)
г]	к4
Фурье-компонента плотности зарядов B6.24):
i-	B6-28)
1
Интересующая нас скорость жидкости в точке г = 0 нахо-
нахождения центрального иона дается интегралом
v@)
J
Подставив сюда vk из B6.27), B6.28), получим после интегриро-
интегрирования по направлениям к:
оо
Г dk
3 J к2а2 + 1
B^
О
и окончательно
v@) = ~^Е-
Эта скорость складывается со скоростью егфъ Е, приобрета-
приобретаемой ионом непосредственно под действием поля. Отсюда ясно,
что искомая электрофоретическая поправка к подвижности оди-
одинакова для ионов всех сортов и равна
Кф = --1—	B6.29)
бтгат].
Полная поправка дается суммой обоих выражений B6.23) и
B6.29). Обе отрицательны и вместе с 1/а пропорциональны кор-
корню квадратному из концентрации.

ГЛАВА III
БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА
§ 27. Самосогласованное поле
Широкую область применения кинетической теории пред-
представляет плазма, под которой мы будем понимать полностью
ионизованный газ1). Термодинамическая теория равновесного
состояния плазмы рассмотрена в других томах этого курса
(см. V, § 78-80, IX, § 85). Главы III-V этой книги посвящены
изучению кинетических свойств плазмы. Во избежание неприн-
непринципиальных усложнений мы будем (где это понадобится) счи-
считать плазму двухкомпонентной — содержащей лишь электроны
(заряд — е) и положительные ионы одного сорта с зарядом ze.
Как и для обычных газов, условие применимости метода ки-
кинетического уравнения к плазме требует ее достаточной разре-
разреженности; газ должен лишь слабо отклоняться от идеальности.
Ввиду медленности убывания кулоновских сил, однако, это усло-
условие для плазмы более сильное, чем для газа из нейтральных ча-
частиц. Не делая пока различия между частицами с различными
зарядами, напишем условие слабой неидеальности плазмы в виде
T>e2/r-e27V1/3,	B7.1)
где Т — температура плазмы, N — полное число частиц в еди-
единице объема, а г ~ TV/3 — среднее расстояние между ними.
Это условие выражает собой малость средней энергии взаимо-
взаимодействия двух ионов по сравнению с их средней кинетической
энергией. Выразим это условие еще и в другом виде, введя так
называемый дебаевский радиус плазмы а, определенный согласно
f ^eJ'	B7-2)
где суммирование производится по всем родам ионов; напомним
(см. V, § 78), что а определяет расстояние, на котором экрани-
руется кулоновское поле заряда в плазме. Введя а
1
4тг7Уе2/
г) Термин введен Ленгмюром (/. Langmuir, 1923), положившим начало
систематическому теоретическому изучению плазмы.

§ 27	САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ	147
в B7.1), получим
e2N1/3T ~ — < 1	B7.3)
4тга2
— в разреженной плазме среднее расстояние между частицами
должно быть мало по сравнению с дебаевским радиусом, т. е.
«ионное облако» вокруг заряда должно действительно содер-
содержать много частиц. Малое отношение B7.3) играет для плазмы
роль «газового параметра».
Везде в главах III—V (за исключением лишь § 40) плазма бу-
будет предполагаться классической, т. е. подразумевается выпол-
выполненным лишь очень слабое условие — температура плазмы дол-
должна быть высока по сравнению с температурой вырождения ее
электронной компоненты:
Т > H2N2/3/m,	B7.4)
где т — масса электрона (ср. V, § 80).
Кинетическое уравнение для каждого сорта частиц в плазме
(электронов и ионов) имеет вид
f+ vf+ pf = St/,	B7.5)
dt	dr	dp
где / — функция распределения данных частиц по координатам
и импульсам, St — их интеграл столкновений (с частицами всех
сортов). При этом производная р определяется силой, действую-
действующей на частицу. Эта сила в свою очередь выражается через на-
напряженности электрического и магнитного полей, создаваемых
всеми остальными частицами в точке нахождения данной части-
частицы. Здесь возникает, однако, следующий вопрос.
В случае нейтральных частиц (атомов или молекул), бла-
благодаря быстрому убыванию сил взаимодействия, заметные из-
изменения в их движении, интерпретируемые как столкновения,
происходят лишь на малых прицельных расстояниях (порядка
величины самих атомных размеров). В промежутках же между
такими столкновениями частицы движутся как свободные; имен-
именно поэтому в левой части кинетического уравнения для обычных
газов полагается р = 0. В плазме же, ввиду дальнодействую-
щего характера кулоновских сил, заметное изменение движения
частиц происходит даже на больших прицельных расстояниях;
экранирование кулоновских сил в плазме происходит лишь на
расстояниях ~ а, которые согласно условию B7.3) велики да-
даже по сравнению с межчастичными расстояниями (см. V, § 78,
а также задачу 1 к § 31). Не все эти случаи, однако, должны
интерпретироваться в кинетическом уравнении как столкнове-
столкновения. В кинетической теории хаотические столкновения представ-
представляют собой тот механизм, который приводит к приближению к

148	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
состоянию равновесия с соответствующим возрастанием энтро-
энтропии системы. Между тем столкновения на больших (~ а) при-
прицельных расстояниях не могут служить таким релаксационным
механизмом. Дело в том, что взаимодействие двух заряженных
частиц на таких расстояниях представляет собой в действитель-
действительности коллективный эффект, в котором участвует большое число
частиц. Соответственно и то эффективное поле, которым можно
описать это взаимодействие, создается большим числом частиц,
т. е. имеет макроскопический характер. Тем самым весь процесс
приобретает макроскопически достоверный, а не случайный ха-
характер; такие процессы не могут приводить к возрастанию эн-
энтропии системы. Они должны быть исключены поэтому из по-
понятия столкновений, учитываемых в правой части кинетических
уравнений.
Такому выделению отвечает представление точных микро-
микроскопических значений электрического (е) и магнитного (h) по-
полей, действующих на некоторую частицу в плазме, в виде
е = Е + е7, h = В + h7,	B7.6)
где Е и В — значения полей, усредненные по областям, содержа-
содержащим много частиц, — областей с размерами, большими по сравне-
сравнению с расстояниями между частицами (и в то же время малыми
по сравнению с дебаевским радиусом). Члены же е7 и h7 описы-
описывают тогда случайные флуктуации полей, которые и приводят к
случайным изменениям движения частиц, т. е. к столкновениям.
По своему точному смыслу Е и В в B7.6) — средние значения
полей в месте нахождения заданной частицы. Но в силу предпо-
предполагаемой разреженности плазмы можно пренебречь корреляцией
между одновременными положениями частиц в ней. Тогда точ-
точка нахождения каждой заданной частицы ничем не выделена,
так что под Е и В можно понимать просто поля, усредненные
в обычном для макроскопической электродинамики смысле. Эти
поля и будут определять лоренцеву силу, которая должна быть
подставлена в уравнение B7.5) вместо р.
В этой главе мы будем рассматривать явления, в которых
несущественны столкновения между частицами плазмы; в таких
случаях говорят о бесстолкновительной плазме. Точные усло-
условия возможности пренебрежения столкновениями зависят, вооб-
вообще говоря, от конкретной постановки задачи. Но обычно необхо-
необходимое условие состоит в требовании малости эффективной ча-
частоты столкновений v (величина, обратная среднему времени
свободного пробега частицы) по сравнению с частотой ио изме-
изменения макроскопических полей Е и В в данном процессе:
v < ш.	B7.7)
В силу этого условия интеграл столкновений в кинетическом
уравнении оказывается малым по сравнению с производной

§ 27	САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ	149
df/dt. Столкновениями можно пренебречь также и в случае, ес-
если средняя длина пробега частиц / ~ v/v велика по сравнению с
расстоянием L, на котором меняется поле («длина волны» поля).
Если обозначить 1/L ~ /с, то это условие запишется в виде
v < kv.	B7.8)
При этом интеграл столкновений окажется малым по сравнению
с членом vV/ в левой части кинетического уравнения.
После пренебрежения интегралом столкновений кинетиче-
кинетические уравнения для функций распределения электронов (/е) и
ионов (fi) принимают вид
дт	V	с	) др
+v+,e(E + [vB]H.
dt	дт	\ с1 Ч др
К этим уравнениям надо присоединить систему усредненных
уравнений Максвелла:
rotE = -! —,	divB = 0,
** ^Е%-	И" F А	B7Л0)
rot В =	+ —j, divE = 4тгр,
с dt с
где р и j — средние плотность зарядов и плотность тока, выража-
выражающиеся через функции распределения очевидными формулами
p = ef(zfi- fe)d3p,	Г971-П
Уравнения B7.9)—B7.11) составляют связанную систему
уравнений, определяющих одновременно как функции распре-
распределения /е, /^, так и поля Е, В; определяемые таким образом по-
поля называют самосогласованными. Самосогласованное поле было
введено в кинетические уравнения А.А. Власовым A937); систе-
систему уравнений B7.9)—B7.11) называют уравнениями Власова.
В соответствии со сказанным выше, эволюция функций рас-
распределения в бесстолкновительной плазме с самосогласованным
полем не связана с увеличением энтропии и потому сама по себе
не может привести к установлению статистического равновесия.
Это очевидно и прямо из вида уравнений B7.9), в которых Е и В
выступают формально лишь как внешние поля, наложенные на
плазму.
Каждое из кинетических уравнений B7.9) имеет вид
^ = 0,	B7.12)
dt	v J

150	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
где полная производная означает дифференцирование вдоль тра-
траектории частиц. Общее решение такого уравнения есть произ-
произвольная функция от всех интегралов движения частицы в полях
Е и В.
§ 28. Пространственная дисперсия в плазме
Перепишем уравнения B7.10) в виде, более обычном для ма-
макроскопической электродинамики, введя в них наряду с напря-
напряженностью Е также и электрическую индукцию D. При этом мы
определим вектор электрической поляризации Р соотношениями
^=j, divP = -p;	B8.1)
непротиворечивость этих двух формул обеспечивается уравне-
уравнением непрерывности divj = —dp/dt (мы вернемся еще к этому
определению ниже в этом параграфе). Тогда уравнения B7.10)
примут вид
rotE = -± —, divB = 0,
1 да*	B8-2)
rotB = - —, divD = 0.
с dt '
В слабых полях связь индукции D с напряженностью Е ли-
линейна1). Но уже в обычных средах эта связь не имеет мгновен-
мгновенного характера по времени: значение D(t, r) в некоторый момент
времени t зависит, вообще говоря, от значений Е(?, г) не только в
тот же, но и во все предшествующие моменты времени (см. VIII,
§ 58). В плазме к этому добавляется еще и нелокальность свя-
связи: значение D(t, г) в некоторой точке пространства г зависит
от значений Е(?, г) не только в той же точке, но, вообще гово-
говоря, и во всем объеме плазмы. Это свойство связано с тем, что
«свободное» (т. е. без столкновений) движение частиц в плазме
определяется значениями поля на всей их траектории.
Наиболее общая линейная связь между функциями D(t, г) и
Е(?, г) может быть записана в виде
Da(t, г) = Ea(t, г) + / / Kap(t - t', r, r')Ep(t', r') dV dt'.
— ОО
Для пространственно-однородной плазмы ядро интегрального
оператора Кар зависит только от разности пространственных ар-
аргументов г—г'. Введя обозначения r—r'=p,t—t' = T, перепишем
Условие слабости поля будет сформулировано в § 29.

§28	ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ В ПЛАЗМЕ	151
эту связь в виде
А*(?,г) = ЗД,г) + f f Kap(r,p)Ep(t - т,г - p) d3pdr. B8.3)
о
Как обычно, путем разложения в ряд или интеграл Фурье
можно представить поле в виде совокупности плоских волн, в
которых Е и D пропорциональны el(kr-ujt)t для таких волн связь
D с Е принимает вид
Da = eap(u>,k)Ep,	B8.4)
где тензор диэлектрической проницаемости
еар{ш,к) = 6ар + ЦКар{т,р)№т-*>)&рйт.	B8.5)
о
Из этого определения непосредственно следует, что
еар(-и,-к)=е*а0(ш,к).	B8.6)
Таким образом, нелокальность связи между Е и D приводит
к тому, что диэлектрическая проницаемость плазмы оказывает-
оказывается функцией не только от частоты, но и от волнового вектора;
об этой последней зависимости говорят как о пространственной
дисперсии, подобно тому, как зависимость от частоты называют
временной (или частотной) дисперсией.
Вернувшись к уравнениям B8.1), B8.2), напомним, что при
формулировке уравнений Максвелла для переменных полей в
обычных средах наряду с диэлектрической поляризацией Р вво-
вводится также и намагниченность М, причем средний микроскопи-
микроскопический ток разлагается на две части dP/dt и crotM; в плоской
волне эти выражения сводятся к — icuP и гс[кМ]. Но при нали-
наличии пространственной дисперсии, когда все величины все равно
зависят от к, такое разделение нецелесообразно.
Отметим также, что, если ток j и плотность зарядов р цели-
целиком включены в определение поляризации Р (как это сделано
в B8.1)), последняя зависит, вообще говоря, как от электриче-
электрического поля Е, так и от магнитного поля В. Но поле В можно
выразить через Е согласно первой паре уравнений Максвелла
B8.2), содержащей только эти две величины, т. е. (для плоской
волны) согласно [kE] = cjB/c, кВ = 0. Тогда и поляризация Р
окажется выраженной только через Е, что и подразумевается в
определении еар согласно B8.3)-B8.5).
Зависимость от волнового вектора вносит в функции
?а/з(ш, к) выделенное направление — направление ее аргумента к.
Поэтому при наличии пространственной дисперсии диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость является тензором даже в изотропной среде.

152	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Общий вид такого тензора можно представить в форме
еаР(ш,-к) = et(u,k) (баР - b^)+?l(u,k)*&-.	B8.7)
При умножении на Ер первый член в B8.7) дает в индукцию D
вклад, перпендикулярный волновому вектору, а второй член —
вклад, параллельный к. Для полей Е, перпендикулярных к или
направленных по к, связь между D и Е сводится соответственно
к D = SfE или D = siEi. Скалярные функции et и е\ называ-
называют соответственно поперечной и продольной проницаемостями.
Они зависят от двух независимых переменных — частоты ио и
абсолютной величины волнового вектора к. При к —>> 0 выделен-
выделенное направление исчезает, и тогда тензор еар должен сводиться
к виду е(иоMар, где е{ио) — обычная скалярная проницаемость,
учитывающая лишь частотную дисперсию. Соответственно пре-
предельные значения функций et и е\ одинаковы и равны
et(oJ,0)=el(oj,0)=e(oJ).	B8.8)
Согласно B8.6) скалярные функции е\ и et обладают свойством
е,(-ш,*0 = ?,>,*), st(-co,k)=e*(co,k).	B8.9)
Пространственная дисперсия не влияет на свойства е\ и et как
функций комплексной переменной со. Для этих функций оста-
остаются в силе все известные результаты (см. VIII, § 62), относящи-
относящиеся к проницаемости е(оо) обычных сред без пространственной
дисперсии.
В этой главе мы будем рассматривать только изотропную
плазму. Подчеркнем, что это предполагает не только отсутствие
внешнего магнитного поля, но и изотропию функции распреде-
распределения частиц по импульсам (в невозмущенной полем плазме). В
противном случае появляются новые выделенные направления и
тензорная структура еар усложняется.
Уже было указано, что происхождение пространственной
дисперсии в плазме связано с зависимостью «свободного» дви-
движения частиц от значений поля вдоль их траектории. Факти-
Фактически, конечно, существенное влияние на движение частицы в
каждой точке ее траектории оказывают значения поля не на всей
траектории, а лишь на некоторых ее отрезках не слишком боль-
большой длины. Порядок величины этих длин может определяться
двумя механизмами: столкновениями, нарушающими свободное
движение по траектории, или усреднением осциллирующего по-
поля за время пролета частицы по траектории. Для первого ме-
механизма характерным расстоянием является длина свободного
пробега частицы I ~ v/v, а для второго — расстояние v/uj, на ко-
которое частица, двигаясь со средней скоростью v, перемещается
за время одного периода поля.

§ 29	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ	153
В выражении B8.3) дальности корреляции между значе-
значениями D и Е в различных точках пространства соответству-
соответствуют расстояния гкор, на которых существенно убывает функция
Кар(т,р). Можно утверждать, следовательно, что порядок вели-
величины этих расстояний дается меньшей из двух величин, / или
v/uj (причем надо брать ее для тех частиц — электронов или ио-
ионов, для которых она имеет большее значение). Если v <С о;, то
меньшей является величина v/uo и тогда
гкор~й/о;.	B8.10)
Пространственная дисперсия значительна при krKOp > 1 и исче-
исчезает при кгК0р <С 1; в последнем случае в B8.5) можно заменить
е-гкр ^ ^ и интеграл перестает зависеть от к. С гК0р из B8.10)
мы находим, следовательно, что пространственная дисперсия су-
существенна для волн, фазовая скорость которых (и)/к) сравнима
или меньше средней скорости частиц в плазме. В обратном пре-
предельном случае при
ш > kv	B8.11)
пространственная дисперсия несущественна.
Важно, что значения гкор в плазме могут быть велики
по сравнению со средними расстояниями между частицами
(~ TV/3). Именно это условие делает возможным макроско-
макроскопическое описание пространственной дисперсии в терминах ди-
диэлектрической проницаемости даже тогда, когда дисперсия зна-
значительна. Напомним (см. VIII, § 83), что в обычных средах роль
длины корреляции играют атомные размеры и потому уже усло-
условие применимости макроскопической теории требует соблюде-
соблюдения неравенства кгК0р <С 1 (длина волны должна быть велика
по сравнению с атомными размерами); именно поэтому в таких
средах пространственная дисперсия (проявляющаяся, например,
в так называемой естественной оптической активности) всегда
оказывается лишь малой поправкой.
§ 29. Диэлектрическая проницаемость
бесстолкновительной плазмы
В общем случае произвольных значений к, когда существен-
существенную роль играет пространственная дисперсия, вычисление про-
проницаемости требует применения кинетического уравнения. Сде-
Сделаем это, предполагая, что в диэлектрической поляризации плаз-
плазмы участвуют только электроны, а движение ионов несуществен-
несущественно (в таких случаях говорят об электронной плазме); к условию
допустимости такого предположения и к обобщению результатов
мы вернемся в § 31.

154	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Для слабого поля ищем функцию распределения электронов
в виде / = /о + #/, где /о — невозмущенная полем стационар-
стационарная изотропная и пространственно-однородная функция распре-
распределения, a Sf — ее изменение под влиянием поля. Пренебрегая в
кинетическом уравнении членами второго порядка малости, по-
получим
dt	дт	V с1 Ч др
В изотропной плазме функция распределения зависит только от
абсолютной величины импульса. Для такой функции направле-
направление вектора dfo/dp совпадает с направлением р = mv и его про-
произведение с [vB] обращается в нуль. Таким образом, в линейном
приближении магнитное поле не влияет на функцию распреде-
распределения. Для Sf остается уравнение
+veE^.	B9.1)
dt дт dp	y J
Вместе с полем Е функция Sf предполагается	пропорцио-
предполагается	пропорциональной ехр [г(kr — out)]. Тогда из B9.1) находим
Условие малости поля возникает из требования, чтобы Sf было
мало по сравнению с /о. Коэффициент при dfo/dp в B9.2) есть
амплитуда импульса, приобретаемого электроном в поле Е. Эта
амплитуда должна быть мала по сравнению со средним (опреде-
(определенным по распределению /о) импульсом mv.
В невозмущенной плазме плотность зарядов электронов ком-
компенсируется в каждой точке зарядами ионов, а плотность тока
равна нулю тождественно ввиду изотропии плазмы. Плотность
же зарядов и плотность тока, возникающие в плазме при ее воз-
возмущении полем, равны
p = -efSf d3p, j = -е / vSf d3p.	B9.3)
Вместе с Sf эти величины пропорциональны ехр [i(kr — о;?)], и
согласно B8.1) их связь с диэлектрической поляризацией дается
формулами
гкР = -р, -iu)P=j.	B9.4)
Способ взятия интегралов в B9.3) требует, однако, уточнения
ввиду наличия у функции Sf полюса при
ш = kv.	B9.5)
Чтобы придать интегралу смысл, будем вместо строго гармони-
гармонического (сое~гш1) рассматривать поле, которое бесконечно мед-
медленно включается от времени t = — оо. Такому описанию поля

§ 29	ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ	155
соответствует добавление к его частоте бесконечно малой поло-
положительной мнимой части, т. е. замена оо —>• ио + iS, где S —>• +0.
Действительно, при этом будет Eooe~lujtet5 —>> 0 при t —>> —оо; вы-
вызываемое же множителем et6 неограниченное возрастание поля
при t —>> оо несущественно, так как в силу принципа причинно-
причинности не может оказать влияния на явления, рассматриваемые при
конечных временах t (между тем как с S < 0 поле оказалось бы
большим в прошлом, что нарушило бы применимость линейного
по полю приближения). Таким образом, правило обхода полюсов
B9.5) определяется заменой
оо^оо + М;	B9.6)
оно было впервые установлено Л.Д. Ландау A946).
К обоснованию правила B9.6) можно подойти также с другой
точки зрения, путем введения в кинетическое уравнение беско-
бесконечно малого интеграла столкновений, представленного в виде
St/ = —vSf. Добавление такого члена в правую часть уравне-
уравнения B9.1) эквивалентно замене оо —>> оо + iv в члене dSf/dt =
= — icoSf] устремляя затем v—t 0, получим снова правило B9.6) 1).
При интегрированиях с правилом обхода B9.6) мы имеем де-
дело с интегралами вида
оо
f(z)dz
I
д>0.
z — id
— оо
В таком интеграле путь интегрирования в плоскости комплекс-
комплексной переменной z проходит под точкой z = iS] при # —)> 0 это эк-
эквивалентно интегрированию вдоль вещественной оси с обходом
полюса z = 0 по бесконечно малой полуокружности снизу. Вклад
в интеграл от этого обхода определяется полувычетом подынте-
подынтегрального выражения, и в результате получим
оо	оо
i^L dz= } №-dz + гтг/(О),	B9.7)
— гО	J z
— оо	—оо
где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл берет-
берется в смысле главного значения. Эту формулу можно записать и
в символическом виде
^_ = р1+^7Гф),	B9.8)
Г
J
:) В изложенных рассуждениях содержатся по существу два перехода к
пределу: к малым полям (линеаризация уравнений) и к v -л 0. Обратим вни-
внимание на то, что первый производится до второго. Необходимость именно в
таком порядке предельных переходов связана с необходимостью соблюдения
условия Sf <C /о при линеаризации; при v = 0 добавка Sf обращалась бы в
бесконечность при kv = uj.

156	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
где символ Р означает взятие (при дальнейших интегрировани-
интегрированиях) главного значения.
Вычислим продольную часть диэлектрической проницаемо-
проницаемости плазмы. Воспользуемся для этого первым из соотношений
B9.4), подставив в него 5р из B9.3) и B9.2):
= -е2Е [
J
dp z(kv — uj — гО)
Пусть поле Е (а с ним и Р) направлено вдоль к; тогда 4тгР =
= (si — 1)Е. Мы приходим, таким образом, к следующей формуле
для продольной проницаемости плазмы с произвольной стацио-
стационарной функцией распределения f(p) (индекс 0 у которой ниже
опускаем):
?1 = 1-*™L [ъ?1	tE	.	B9.9)
к2 J dp kv — uj — гО
Выберем направление к в качестве оси х. В подынтегральном
выражении в B9.9) от ру, pz зависит лишь /. Поэтому формулу
B9.9) можно переписать в другом виде, введя функцию распре-
распределения только по рх = mvx:
fiPx) = / f(p)dpydpz.
Тогда
?l = i _ ±Е?! [ ®Ы	dJE±	.	B9.10)
к J dpx kvx — cj — гО
— оо
В изотропной плазме f(px) — четная функция рх.
Сразу ж:е отметим важный результат: диэлектрическая про-
проницаемость бесстолкновительной плазмы оказывается комплекс-
комплексной величиной; мнимая часть интеграла B9.10) определяется
формулой B9.7). К обсуждению этого важного результата мы
возвратимся в следующем параграфе, а здесь рассмотрим ана-
аналитические свойства функции частоты о;, определяемой инте-
интегралом B9.10). Уже из общих свойств диэлектрической прони-
проницаемости известно, что эта функция может иметь особые точ-
точки только в нижней полуплоскости комплексной переменной ио
(см. VIII, § 62); это является следствием уже самого определения
B8.5). Полезно, однако, проследить за тем, как это видно непо-
непосредственно из формулы B9.10), и выяснить связь между этими
особыми точками и свойствами функции распределения f(px).
Изменив обозначение переменной интегрирования, напишем
интеграл в B9.10) в виде
[W dz .	B9.11)
J dz z-uj/k
С

§ 30	ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ	157
Интегрирование производится в плоскости комплексной пере-
переменной z вдоль вещественной оси, с обходом точки z = ио/к
снизу (рис. 7 а). Тем самым интеграл B9.11) определяет ана-
аналитическую функцию и во всей верхней полуплоскости ио: для
всех таких значений ио полюс z = ио /к об-
обходится, как и следовало, снизу. При ана-	Q)
литическом же продолжении этой функ-
функции в нижнюю полуплоскость ио необ- с	> ^ >
ходимость обхода полюса снизу требует	imz=0
каждый раз соответствующего смещения а
пути интегрирования (рис. 7 6). Но функ- ^	^
ция df(z)/dz, регулярная при веществен-	^\ / imz=o
ных z, имеет, вообще говоря, особые точ- б	\у
ки при комплексных значениях z (назовем	• z0
их ^о), в том числе в нижней полуплоско-
полуплоскости z. Увод пути интегрирования С от по-	Рис. 7
люса z = ио/к оказывается невозможным,
когда этот полюс сближается с какой-либо из особых точек zq
и контур С оказывается зажатым между этими двумя точками.
Таким образом, функция B9.11) имеет особые точки в нижней
полуплоскости ио при значениях ио/к, совпадающих с особыми
точками функции df(z)/dz.
§ 30. Затухание Ландау
Уже было отмечено, что диэлектрическая проницаемость
бесстолкновительной плазмы оказывается комплексной величи-
величиной (?i = ?/l-\-i?/l/). Отделив мнимую часть с помощью формулы
B9.8), имеем
е'1 = -4тг2е2 / *1±8{ш - kv) d3p,	C0.1)
J dp к2
или
//	4:7r2e2mdf(px)
к2 dpx
vx=cu/k
C0.2)
Как известно, комплексность диэлектрической проницаемо-
проницаемости означает наличие диссипации энергии электрического поля в
среде. Напомним формулы, определяющие среднюю диссипиру-
емую (в единицу времени в единице объема) энергию Q монохро-
монохроматического электрического поля. Если это поле представлено в
комплексном виде

158	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
то в общем случае анизотропной среды х)
Q = ё' \ ^а(ш'к)"?а/з(ш'к)]Вд; C0-3)
диссипация определяется антиэрмитовой частью тензора еар. Ес-
Если этот тензор симметричен, то антиэрмитова часть сводится к
мнимой части и тогда
Q = ^-е'^(ш,к)ЕаЕ*р.	C0.4)
В случае продольного поля здесь остается только мнимая
часть продольной проницаемости:
Q = ^Ч'|Е|2.	C0.5)
Подставив сюда C0.2), находим в данном случае
2к2 dpx vx=uj/k
Таким образом, диссипация возникает уже в бесстолкнови-
тельной плазме; это явление было предсказано Л.Д. Ландау
A946) и о нем говорят как о затухании Ландау. Не будучи свя-
связано со столкновениями, оно принципиально отличается от дис-
диссипации в обычных поглощающих средах: бесстолкновительная
диссипация не связана с возрастанием энтропии и потому пред-
представляет собой термодинамически обратимый процесс (к этой
стороне явления мы вернемся еще в § 35).
Механизм затухания Ландау тесно связан с пространствен-
пространственной дисперсией. Как видно из C0.6), диссипация возникает
от электронов, скорость которых в направлении распростране-
распространения электрической волны совпадает с фазовой скоростью волны
(vx = ио/к)] о таких электронах говорят, что они движутся в фазе
х) Это выражение получается из общей формулы
Q = (ЕГ))/4тг,
где угловые скобки означают усреднение по времени (см. VIII, § 61). Здесь
подразумевается, что Е и D вещественны. Если же Е представлено в ком-
комплексном виде, то в формулу надо подставить вместо Е полусумму (Е +
+ Е*)/2. Соответствующий вектор D имеет компоненты
а вектор D —
iuj f	,
Усреднив произведение ED и воспользовавшись свойством B8.6), получим
C0.3) (ср. ниже примеч. на с. 159).

§ 30	ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ	159
с волной1). По отношению к этим электронам поле стационар-
стационарно и поэтому оно может производить над электронами работу, не
обращающуюся в нуль при усреднении по времени (как это имеет
место для других электронов, по отношению к которым поле ос-
осциллирует) . Поучительно проследить за этим механизмом более
детально, выведя формулу C0.6) прямым образом, не прибегая
к кинетическому уравнению.
Пусть электрон движется вдоль оси х в направленном по этой
же оси слабом электрическом поле
E(t, х) = Re {E^kx-^et3}-	C0.7)
множитель е снова описывает медленное включение поля от
времени t = — оо. Будем искать скорость vx = w и координату х
движущегося электрона в виде
w = wo + 5w, х = xq + 5х,
где 5w, 5x — поправки к невозмущенному движению xq = wot,
происходящему с постоянной скоростью г^о- Линеаризованное по
малым величинам уравнение движения электрона:
Отсюда
dt	—v,-u, -— L-uo	о ,.
m г&(и>о — oo/k) + ^'
8x	Re.
m [ik(wo — uj/k) + 5]2
Средняя работа, производимая полем над электроном в еди-
единицу времени, есть
q = —e(wE(t, x)) = —e(wQ + 5w)E(t, xq + Sx)) ~
w -ew0 (-—Sx) - e(Sw
\OXo I
или, в комплексном виде2),
q = -е- Re \Wo5x— + Sw • E*\ .
4	2 I	dx0	J
) Отметим в этой связи, что разность и — kv есть частота поля в системе
отсчета, движущейся вместе с электроном.
2) Если две периодические по времени величины А л В представлены в
комплексном виде (СОе~га)?), то
(ReA-ReB) = -{(А +А*)(В + В*)).
4
При усреднении произведения АВ и А*В*, содержащие e~2tujt и е2га)?, обра-
обращаются в нуль и остается
(Re A Re В) = -(АВ* +А*В) = -Re(AB*).

160	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Подставив сюда Е, Sx, 6w из C0.7), C0.8), после простого при-
приведения получим
	 е2 | т^|2 d	woS
2т dwo S2 + к2(wo — и/кJ
Теперь остается просуммировать q по электронам со всевозмож-
всевозможными начальными импульсами рх =
оо	оо
Q = [ ?/(Рх) dPx = -^f- I -—p*——lLdpx
J	2 У S2 + k2(w0 -u/kJ dpx
— oo	—o
(ризведено интегрирование по ча
ществляется с помощью формулы
S2 + k2(w0 -u/kJ dpx
— oo	—oo
(произведено интегрирование по частям). Переход к пределу осу-
осуф
^ = 7гф)	C0.9)
6—)-0 О2 + Z2
и непосредственно приводит к выражению C0.6).
В соответствии с обратимым характером бесстолкновитель-
ной диссипации, термодинамические условия не требуют поло-
положительности величины Q (как это имеет место для истинной дис-
диссипации). Выражение C0.6) всегда положительно при изотроп-
изотропном распределении f(p) (см. задачу). Для анизотропных распре-
распределений, однако, Q может оказаться отрицательной величиной —
электроны будут в среднем отдавать энергию волне, а не полу-
получать ее1). Такие случаи тесно связаны с возможной неустойчи-
неустойчивостью плазмы (см. § 61), и, таким образом, условие Q > 0 (а
тем самым и еп > 0) является результатом лишь устойчивости
состояния плазмы.
С точки зрения описанной выше физической картины затуха-
затухания Ландау наличие производной df /dpx в формуле C0.6) можно
наглядно интерпретировать следующим образом: в обмене энер-
энергией с полем участвуют частицы со скоростями vXi близкими к
cj/kj причем частицы с vx < оо /к получают энергию от волны, а с
vx > со/к — отдают энергию волне; волна будет терять энергию,
если первых несколько больше, чем вторых.
Задача
Показать, что для изотропной плазмы бесстолкновительная диссипа-
диссипация Q всегда положительна.
Решение. В изотропной плазме / — функция только от р2 = р^ +Pj_
(рх ир1 — составляющие р, продольная и поперечная по отношению к к).
Пишем
^ = /- Jfipl +PIW(PI) = 27ГР, Jf'(pl +pl)d(pl),
dpx dpx о	о
) Произведенный выше наглядный вывод формулы C0.6) не связан с
изотропией распределения. Не связано с ней также и выражение C0.2) —
см. ниже 8 32.

§ 31	ПРОНИЦАЕМОСТЬ МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЫ	161
и поскольку /(р ) —>• 0 при р —>• оо, то
—f—^ = -
так что df/dpx < 0 при рж = и/к > 0.
§ 31. Диэлектрическая проницаемость
максвелловской плазмы
Применим формулу B9.10) к электронной плазме с равновес-
равновесным (максвелловским) распределением электронов
ехр (--^-) ,	C1.1)
BтгтТеI/2
где Те — температура электронного газа (имея в виду включить
ниже в рассмотрение также и ионную компоненту плазмы, будем
сразу же отличать индексом е величины, относящиеся к электро-
электронам). Находим
^\	()]	C1.2)
где функция F(x) определена интегралом1)
оо	оо
т?(т\ — х	е dz	_ х L e dz o./^Tp-x2 /oi о\
д/тг J z — х — гО д/тг J z — х
— оо	—оо
и введены параметры
vTe = J-, ае = J—%—.	C1.4)
\ m	у 4тг7Уее2
Величина Уте есть некоторая средняя тепловая скорость электро-
электронов; ае — дебаевский радиус, определенный по заряду и плотно-
плотности электронов.
Предельные выражения функции F(x) для больших и малых
значений х легко найти непосредственно из определения C1.3).
При х ^> 1 пишем
оо	оо
е
— оо
:) Различные формы представления функции F(x) и ее подробные числен-
численные таблицы даны в книге: В.Н. Фаддеева, Н.М. Терентъев. Таблицы значе-
значений интеграла вероятностей от комплексного аргумента. — М.: Гостехиздат,
1954. Табулированная в этой книге функция w(x) связана с F(x) согласно
F{x) = г д/тг xw(x).
6 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

162	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Интегралы от нечетных по х членов обращаются в нуль, а
остальные дают
F(x) + 1 « -— - — + гл/^хе~х\ х > 1.	C1.5)
2х2 4ж4
При ж <С 1 производим сначала замену переменной интегриро-
интегрирования z = и + ж, после чего разлагаем по степеням х:
(X)	(X)	(X
0F J z-x
— (X)
Главное значение интеграла от первого (нечетного по и) члена
обращается в нуль, а с учетом второго члена находим
F(x) « -2x2+i^x, ж<1.	C1.6)
С помощью этих формул можно написать предельные выра-
выражения диэлектрической проницаемости. При больших частотах
имеем
при -^->1. C1.7)
куТе
Здесь введен параметр
ue=v_Il= А^е2	CL8)
ае	\ m
— так называемая плазменная (или ленгмюровская) частота для
электронов. Как и следовало, в случае co/(kvTe) ^> 1 простран-
пространственная дисперсия приводит лишь к малым поправкам в ди-
диэлектрической проницаемости, причем мнимая часть е\ оказы-
оказывается экспоненциально малой — результат того, что в максвел-
ловском распределении лишь экспоненциально малая доля элек-
электронов имеет скорости vx = со/к 3> ^те- Независящее от к пре-
предельное значение диэлектрической проницаемости
е{щ) = 1 - (Пе/ооJ.	C1.9)
Это выражение относится как к продольной, так и к поперечной
проницаемости (см. B8.8)). Его легко получить с помощью про-
простых рассуждений, без использования кинетического уравнения.
Действительно, при к —>> 0 поле волны можно считать одно-
однородным, и тогда уравнение движения электрона mv = — еЕ дает
еЕ
v =	, так что создаваемая электронами плотность тока
imu
j — —	Л/.
imu

§ 31	ПРОНИЦАЕМОСТЬ МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЫ	163
С другой стороны, имеем
•	 * тэ	 ' ^(^0 — тт*
j _ -ш _	4тг
Сравнение обоих выражений и приводит к формуле C1.9).
В обратном предельном случае малых частот имеем
при -^— < 1.
——) 1— (	 + Ч/
C1.10)
Обратим внимание на то, что пространственная дисперсия устра-
устраняет полюс при ио = 0, который имеет диэлектрическая прони-
проницаемость обычной проводящей среды. Отметим также, что мни-
мнимая часть проницаемости оказывается относительно малой (хо-
(хотя и неэкспоненциально) и при малых частотах, на этот раз — в
результате малости фазового объема электронов, в котором удо-
удовлетворяется условие kv = ио.
В § 29 было показано, что функция 6i{uo), определяемая ин-
интегралом B9.10), не имеет особых точек в верхней полуплоско-
полуплоскости о;, а ее особые точки в нижней полуплоскости определяются
особыми точками df(px)/dpx как функции комплексной перемен-
переменной рх. Но для максвелловского распределения функция
p	2mT
вообще не имеет особых точек на конечных расстояниях во всей
комплексной плоскости рх (т. е. является целой функцией). По-
Поэтому и диэлектрическая проницаемость максвелловской бес-
столкновительной плазмы является целой функцией uj — не име-
имеет вовсе особенностей при конечных ио.
До сих пор мы рассматривали вклад в диэлектрическую про-
проницаемость, происходящий только от электронной компоненты
плазмы. Вклад ионной части вычисляется точно тем же спосо-
способом и оба вклада в е\ — 1 просто складываются; таким образом,
приходим к очевидному обобщению формулы C1.2):
Ull. C1.11)
(ЬеJ L \V2kVTeJ	J	(кпг)
Индексы е и г отличают величины, относящиеся к электронам и
ионам;
Л1/2	Vrr. Г Т I1/2	9 4tt/V-i
м
C1.12)
(М и ze — масса и заряд иона). Выражение C1.11) относится к
«двухтемпературной» плазме, в которой каждая из компонент

164	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
имеет равновесное распределение, но с различными температу-
температурами, так что друг с другом электроны и ионы в равновесии не
находятся. Такой случай возникает естественным образом ввиду
того, что большая разница в массе затрудняет обмен энергией
при столкновениях электронов с ионами.
Обычно приходится иметь дело с ситуацией, когда Т{ < Те;
при этом VTi <^С Уте- Учитывая также, что всегда О^ ^С Ое, легко
заключить, что в случае ио ^> kvTe ^ kvTi вклад ионов прене-
брежим, так что справедлива формула C1.7). В обратном пре-
предельном случае имеем
?/ — 1 =	+	+ i\	,	31.13
(ЬеJ (ксцJ у 2 (kaiJkvTi
Случай же kvTi <С ои <С кюте будет рассмотрен в § 32.
Все вычисления в этом и предыдущем параграфах произведе-
произведены для продольной части диэлектрической проницаемости. Вы-
Вычисление поперечной проницаемости представляет меньший ин-
интерес. Дело в том, что поперечное поле обычно сводится к обыч-
обычным электромагнитным волнам, для которых частота и волновой
вектор связаны соотношением ио/к = с/у/Щ. При этом ио/к >
> с ^> VTei T- е- ш ^> kvTe\ поэтому пространственная дисперсия
мала и диэлектрическая проницаемость дается формулой C1.9).
Для этих волн отсутствует также и затухание Ландау; поскольку
фазовая скорость волны превышает скорость света, то в плазме
нет частиц, которые могли бы двигаться в фазе с волной (строго
говоря, доказательство этого утверждения требует релятивист-
релятивистского рассмотрения — см. задачу 4).
Задачи
1. Найти потенциал электрического поля, создаваемого покоящимся в
плазме малым точечным сторонним зарядом е\.
Решение. С учетом поляризации плазмы, поле определяется уравне-
уравнением divD = 4тге1#(г). Для постоянного поля компоненты Фурье индукции
и потенциала связаны соотношением Dk = ?г(О,/с)Ек = — zks^@, к)(р^. По-
Поэтому для ерь находим уравнение
zkDk = k2ei@, к)(ръ = 4тгеь
Взяв ei@,k) из C1.13), имеем
-2 -2
а =ае
Соответствующая координатная функция
Г
таким образом, диэлектрическая проницаемость C1.13) описывает экрани-
экранирование статического заряда в согласии с V, § 78. Условие малости заряда:
е\ ^С Nase, —e\ должно быть мало по сравнению с зарядом частиц плазмы

§ 31	ПРОНИЦАЕМОСТЬ МАКСВЕЛЛОВСКОЙ ПЛАЗМЫ	165
2. Вычислить поперечную диэлектрическую проницаемость плазмы.
Решение. Вычислив электронную поляризацию Р = — j/(zcj) с j из
B9.3), получим для тензора проницаемости 1):
?аC = SaC	/	--^- d p.	A)
uj J kv — uj — гО др/з
Поперечная часть выделяется из saf3 как
1
2 L	А;2
и дается интегралом
где р^ = mv± — поперечная по отношению к к компонента импульса. Для
максвелловского распределения / после интегрирования по d p± находим
окончательно
ЙГЙ)	C,
с функцией F из C1.3); ионы вносят в е* — 1 аналогичный вклад. В предель-
предельных случаях
_ = _^	l__	f^
(каеJ (кагJ V 2
3. Определить диэлектрическую проницаемость ультрарелятивистской
электронной плазмы; температура Те ^> тс2 (В.П. Силин, 1960).
Решение. Кинетическое уравнение сохраняет свой вид B7.9) и
в релятивистском случае. Соответственно сохранятся такие формулы, как
B9.9) и B) из задачи 2. В ультрарелятивистском случае скорость электронов
v и с, их энергия есть ср, а равновесная функция распределения
8тгТе3
Для продольной проницаемости находим
1 оо
ei-l =
ге2с у Z1 /(р) cos в -2тгр2 dpd cos (9
;Те 77	кссоъв - uj - гО
-1 О
(^ — угол между к и v). Интегрирование / по 2тгр2 dp дает ЛГе/2, после чего
интегрирование по с/cos # с обходом полюса cos в = uj/(kc) снизу приводит к
:) В этом выражении плазма еще не предполагается изотропной.

166	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
результату
uj — ск
et(uj,k) - 1 = —	 1 Н	In
"/ ь\ _ / кии/Bкс) при cj/A; < с,
г ^ ' ' \	0	при cj/A; > с.
Аналогичным образом, исходя из B), находим для поперечной прони-
проницаемости
- 1 = ^-^ I ( 1 - -Z- ) In
— ск
uj + ск
2ио
~ск
2/(с2^2)] ПРИ ь>А < с'
0	при и/к>с.
4. Найти мнимую часть е\ для нерелятивистской (Те ^С шс2) электрон-
электронной плазмы при и /к ~ с^> Уте (В. П. Силин, 1960).
Решение. Из формулы B9.9) (справедливой при любых скоростях
электронов) после интегрирования по d cos в находим
оо
32	f(p)p2 ,
/
Vm
(полюс cos# = uj/(kv) лежит на пути интегрирования по cos# лишь при
uj I' (kv) < 1; поэтому нижний предел интегрирования по dp отвечает значе-
значению v = и/к). Функция распределения при Те <^ тс2, справедливая для
всех скоростей электронов, есть
f UIC	s(p) \	/2	2 2\1/2
— ехр	^^- , е = сур + т с ) '
(значение нормировочного интеграла определяется областью е — тс2 и
и р2/Bт) ~ Те ^С тс2). В интеграле (9) при cj/A; ~ с ^> г^те существен-
существенна область значений р вблизи нижнего предела. Полагая в экспоненте
\	di?	/	Ч	/	Ч	UJ /	Ч
е(р)
dp
fc
(а в предэкспоненциальном множителе р и рш, v и cj/A;) и интегрируя по
Р — Рт ОТ 0 ДО ОО, ПОЛуЧИМ
1	/ тс2 Г	1
Этим определяется закон обращения е'{ в нуль при uj /(ск) —>- 1.
§ 32. Продольные плазменные волны
Пространственная дисперсия приводит к возможности рас-
распространения в плазме продольных электрических волн. Зави-
Зависимость частоты от волнового сектора (или, как говорят, закон
дисперсии) для этих волн определяется уравнением
ei(w,k) =0.	C2.1)

§ 32	ПРОДОЛЬНЫЕ ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ	167
Действительно, при е\ = 0 для продольного электрического по-
поля Е имеем D = 0. Положив также В = 0, мы тождественно
удовлетворим второй паре уравнений Максвелла B8.2). Из пер-
первой же пары остается уравнение rot E = 0, выполнение которого
обеспечивается продольностью поля: rotE = i[kE] = 0.
Корни уравнения C2.1) оказываются комплексными {ио =
= ио' + гио"). Если мнимая часть проницаемости е" > 0, то эти
корни лежат в нижней полуплоскости комплексного переменно-
переменного ио, т. е. ио" < 0. Величина 7 = — и" представляет собой декре-
декремент затухания волны, происходящего по закону е~7*. Говорить о
распространяющейся волне можно, конечно, лишь если j ^ со' —
декремент затухания должен быть мал по сравнению с частотой.
Мы получим такой корень уравнения C2.1), предположив,
что
ио ^> kvTe ^> kvTi-	C2.2)
Тогда в колебаниях участвуют лишь электроны и функция
ei(uo,k) дается формулой C1.7). Решение уравнения е\ = 0 осу-
осуществляется последовательными приближениями. В первом при-
приближении, опустив все зависящие от к члены, найдем, что1)
ио = Пе,	C2.3)
т. е. волны имеют постоянную, не зависящую от к частоту.
Эти волны называют плазменными, или ленгмюровскими
(/. Langmuir, L. Tonks, 1926). Они являются длинноволновыми
в том смысле, что
кае < 1,	C2.4)
как это следует при со = Ое из C2.2).
Для определения зависящей от к поправки в вещественной
части частоты, достаточно положить со = Ое в поправочном
члене в е'; тогда получим
со = Ое A + -к а А	C2.5)
{А.А. Власов, 1938).
Мнимая же часть частоты при этом
, ," 	 -1 Г) с-Н (, , h\	fQO C\\
СО — ——bLpbi ХСО.гь)	lOZ.OJ
и экспоненциально мала вместе с е". Для ее определения (вместе
с предэкспоненциальным множителем) надо подставить в е" уже
подправленное значение C2.5). В результате получим
7= /EJb_expf-^—-51	C2.7)
1 V 8 (beK FL 2(каеJ 2l	V }
Учет колебаний ионов привел бы лишь к малому сдвигу этой частоты:
2l

168	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
{Л.Д. Ландау, 1946). В силу условия кае <С 1 декремент зату-
затухания плазменных волн действительно оказывается экспоненци-
экспоненциально малым. Он возрастает с уменьшением длины волны и при
кае ~ 1 (когда формула C2.7) уже неприменима) становится
того же порядка величины, что и частота, так что понятие о рас-
распространяющихся плазменных волнах теряет смысл.
Проведенное рассмотрение относится, строго говоря, лишь к
изотропной плазме, в которой тензор диэлектрической проница-
проницаемости сводится, согласно B8.7), к двум скалярным величинам
е\ и St. В анизотропной плазме (т. е. при зависящей от направле-
направления р функции распределения /(р)) не существует строго про-
продольных волн. При определенных условиях, однако, в ней могут
распространяться «почти продольные» волны, в которых попе-
поперечная по отношению к вектору к составляющая поля, Е^, мала
по сравнению с продольной составляющей ^
C2.8)
Для выяснения этих условий замечаем прежде всего, что в
пренебрежении Е^ из уравнения divD = 0 следует, что
kD « kaeapEf = ±как(,еарЕ® = 0.
Это равенство, определяющее закон дисперсии волн, можно сно-
снова записать в виде C2.1), если определить «продольную» прони-
проницаемость как
^;	C2.9)
подчеркнем, что эта величина зависит теперь от направления к.
Однако из условия е\ = 0 уже не следует равенство D = 0; вели-
величина
Da к ?aplf = Вар^Е® = еаЕ®
отлична от нуля (в изотропной же плазме еа = 0 при е\ = 0). Да-
Далее, из уравнения Максвелла rot В = c~l&O/dt находим оценку
магнитного поля в волне:
В ~ ^
ск
и затем из уравнения rotE = —c~1dTi/dt — оценку поперечного
электрического поля
B()eE\	C2.10)
ск \ск/
Таким образом, условие «почти продольности» C2.8) удовлетво-
удовлетворяется, если волна является «медленной» в том смысле, что
со/к < с/у/ё.	C2.11)

§ 32	ПРОДОЛЬНЫЕ ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ	169
Отметим, наконец, что формула B9.10) остается справедли-
справедливой и для определенной согласно C2.9) величины е\ в случае
анизотропной плазмы, как это ясно из ее вывода из выражения
кР	(
с продольным полем Е. При этом существенно, что в кинетиче-
кинетическом уравнении можно пренебречь лоренцевой силой e[vB]/c по
сравнению с еЕ (хотя ее произведение с df/dp и не обращает-
обращается теперь — при анизотропной функции /(р) — тождественно в
нуль). Действительно, с оценкой C2.10) имеем
fcc2«L
Это отношение мало как в силу условия «медленности» волны
C2.11), так и в силу v ^ с.
Задачи
1. Определить закон дисперсии поперечных колебаний плазмы.
Решение. Для поперечных волн закон дисперсии дается соотноше-
соотношением uj2 = с2к2/et- Высокочастотные колебания (и ^> куте) соответствуют
обычным электромагнитным волнам. С Et из C1.9) (см. также задачу 2 § 31)
находим
и2 =с2к2 +п2е.
Это выражение справедливо для любых значений к] затухание Ландау от-
отсутствует, как уже было указано в конце § 31.
Для низкочастотных колебаний (ио <С куте) движение ионов тоже ока-
оказывается несущественным. Для длинных волн (кае < 1) главный член в
законе дисперсии
7Г
чисто мнимое uj означает апериодическое затухание, так что о распростра-
распространении волн вообще нельзя говорить.
2. Найти закон дисперсии плазменных волн в ультрарелятивистской
электронной плазме (В.П. Силищ 1960).
Решение. При uj ^> ск из полученной в задаче 3 § 31 формулы имеем
Q2
*Le рел
где
4тге27Уес2
61 е
Приравняв это выражение нулю, получим закон дисперсии
UJ =пе рел + -С к	(ск < пе рел).
5
При увеличении к эта формула становится неприменимой, но всегда остается
uj > ск (и поэтому затухание Ландау отсутствует). В предельном случае

170	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
больших к частота ш стремится к ск по закону
u = ck\l + 2eXp(-^--2)].
3. То же для поперечных волн.
Решение. С помощью выражения st(u),k), полученного в задаче 3
§ 31, находим закон дисперсии
2 гл2	, 6 2 т 2	^т
uj = ile рел -\—с к при ио ^> ск.
о
Предельное выражение при больших к:
И здесь всегда остается ио > ск, и потому затухание отсутствует.
§ 33. Ионно-звуковые волны
Наряду с плазменными волнами, связанными с колебаниями
электронов, в плазме могут распространяться также и волны,
в которых испытывают существенные колебания как электрон-
электронная, так и ионная плотности. Эта ветвь спектра колебаний имеет
слабое затухание (и потому можно говорить об их волновом рас-
распространении) в случае, когда температура газа ионов в плазме
мала по сравнению с температурой электронов:
7i<Te.	C3.1)
Как будет подтверждено результатом вычисления, фазовая
скорость этих волн удовлетворяет неравенствам
vTi < оо/к < vTe-	C3.2)
Малость затухания Ландау в этих условиях заранее очевидна:
поскольку фазовая скорость лежит вне основных интервалов
разброса тепловых скоростей как ионов, так и электронов, лишь
малая часть частиц может двигаться в фазе с волной и тем са-
самым участвовать в обмене энергий с ней.
Вклад электронов в диэлектрическую проницаемость в усло-
условиях C3.2) дается предельной формулой C1.10), а вклад ионов —
формулой C1.7) (с заменой электронных величин ионными). С
нужной точностью:
1 ^г i 1	1 i ' /^
Si = 1 — — + 	 1 + 1\
2	(fcJ [	V 2
2kVTe
Пренебрегая сначала относительно малой мнимой частью, из
уравнения s\ = 0 получим
и2 = о2 * ае = ??i_^		C3.4)
1 1 + к2а2 М 1 + к2а2	v ;
(в последнем выражении использовано, что Ne =

§ 34	РЕЛАКСАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ	171
Для самых длинных волн, при условии кае <С 1, закон дис-
дисперсии C3.4) сводится к соотношению 1)
ш = к Afe, А;ае<1.	C3.5)
у М
Частота оказывается пропорциональной волновому вектору —
как в обычных звуковых волнах. Волны с этим законом дис-
дисперсии называют ионно-звуковыми. Фазовая скорость этих волн
со/k ~ (Те/МI'2, так что условие C3.2) действительно выпол-
выполняется. Учитывая в следующем приближении мнимую часть ei,
легко найти декремент затухания
7 = ш\ 	.	C3.6)
1	У 8М	V J
Это затухание обусловлено электронами. Вклад же ионов в 7
экспоненциально мал: он содержит множитель expf — ^—^).
\ zi i /
Для меньших длин волн, в области 1/ае <С к <^ 1/щ (суще-
(существующей в силу предположенного неравенства C3.1)), из C3.4)
имеем просто
и; « fii.	C3.7)
Это — ионные волны, аналогичные электронным плазменным.
Легко проверить, что и здесь выполняются условия C3.2), а за-
затухание мало. При дальнейшем уменьшении длин волн, однако,
затухание возрастает, и при кщ > 1
ионный вклад в декремент затухания ю*
сравнивается с частотой, так что гово-
говорить о распространении волн становит-
ся невозможным.
На рис. 8 схематически изображен
спектр (закон дисперсии) для рассмо-
рассмотренных здесь низкочастотных колеба-
колебаний (нижняя кривая) в сравнении со
1/ае	1/аг
спектром высокочастотных электрон-
электронных плазменных волн (верхняя кри-	Рис- 8
вая). Штрихами намечены области, в которых затухание стано-
становится большим.
§ 34. Релаксация начального возмущения
Рассмотрим задачу о решении кинетического уравнения с
самосогласованным полем при заданных начальных условиях
:) Закон C3.5) найден Ленгмюром и Тонксом A926), а необходимость
условия C3.1) указана Г.В. Гордеевым A954).

172	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
{Л.Д. Ландау', 1946). Мы ограничимся случаем чисто потенци-
потенциального электрического поля (Е = — Vtp) при равном нулю маг-
магнитном поле и предположим, что возмущению подвергается толь-
только электронное распределение при неизменном распределении
ионов.
Будем также считать, что начальное возмущение мало: на-
начальная функция распределения электронов
/@,r,p) = /0(p)+g(r,p),	C4.1)
где fo{p) — равновесное (максвелловское) распределение, а
g <С /о- Возмущение остается, конечно, малым и в дальней-
дальнейшие моменты времени, так что уравнения можно линеаризовать;
ищем функцию распределения в виде
f(t,r,p) = fo(p) + 8f(t,r,p).	C4.2)
Для малой поправки Sf и для потенциала самосогласованного
поля <p(t, r) (величина того же порядка малости) находим систе-
систему уравнений, составленную из кинетического уравнения
+1, + еЧ<р± = 0	C4.3)
dt	дг	др
и уравнения Пуассона
= 4тге / Sf d3p	C4.4)
(равновесный электронный заряд компенсирован зарядом ио-
ионов).
Поскольку эти уравнения линейны и не содержат координат
в явном виде, то искомые функции Sfucp можно разложить в
интеграл Фурье по координатам и написать уравнения для каж-
каждой из их фурье-компонент в отдельности. Другими словами,
достаточно рассматривать решения вида
t, г, р) = /k(t, p)eikr, <p(t, r) = №(i)eikr.	C4.5)
Для таких решений уравнения C4.3), C4.4) принимают вид
^ + ikv/k + ie(pkk^- = О,	C4.6)
dt	dp
k2ipk = -4тге / /к d3p.	C4.7)
Для решения этих уравнений удобно воспользоваться од-
односторонним преобразованием Фурье, определив образ /^к (р)
функции /к(^р) как
со

§ 34	РЕЛАКСАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ	173
Обратное преобразование дается формулой
Л(*,р)= / е-^/«(р)^,	C4.9)
-оо+го-	27Г
где интеграл берется в комплексной плоскости uj по прямой, па-
параллельной вещественной оси и проходящей над ней (<т > 0),
выше всех особенностей функции fu\^ 1).
Умножаем обе части уравнения C4.6) на e~lujt и интегрируем
по t. Заметив, что
dt
о	о
(где gk(p) = /к@, р)), и разделив обе части уравнения на i(kv —
— о;), находим
C4.10)
Аналогичным образом, из C4.7) получим
Подставив f^ из C4.10) в C4.11), получим уравнение уже
(+)
для одного только ^к , из него найдем
Г
J
C4.12)
где введена продольная диэлектрическая проницаемость е\ со-
согласно B9.9). Снова (как и в § 29) введя составляющую импульса
рх = mvx вдоль направления к, перепишем эту формулу в виде
оо
_(+) _	4тге	[ gb(px)dpx	/Q/i 1 ол
где
gk(Px) =
г) Преобразование C4.8), C4.9) есть не что иное, как известное преобра-
преобразование Лапласа
-| гоо+сг
= — / fPeptdP,
О	Z7TZ _гоо+сг
в котором переменная р заменена на —iuo и соответственно изменен путь
интегрирования в формуле восстановления функции f{t) по ее образу fp.

174	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Для дальнейшего определения временной зависимости потен-
потенциала по формуле обращения
?>k(*) = f / e-^ip^dcj	C4.14)
27Г -оо+го-
необходимо предварительно установить аналитические свойства
как функции комплексной переменной со.
Выражение вида
Р^)Ш dt
о
как функция комплексной переменной со имеет смысл лишь в
верхней полуплоскости. То же относится соответственно и к вы-
выражению C4.13). Интегрирование в C4.13) производится по пу-
пути (вещественная осьрж), проходящему ниже полюса ]эж = тио/к.
Мы видели в § 29, что определяемая таким интегралом функция
переменной ио при ее аналитическом продолжении в нижнюю по-
полуплоскость имеет особенности лишь в точках, совпадающих с
особыми точками функции g\^(px)- Будем считать, что g\^(px)
как функция комплексной переменной рх есть целая функция
(т. е. не имеет никаких особенностей при конечных рх)\ тогда и
рассматриваемый интеграл определяет целую функцию ио.
В § 31 было отмечено, что проницаемость е\ максвелловской
плазмы — тоже целая функция со. Таким образом, аналитическая
во всей плоскости со функция сршь есть частное двух целых функ-
функций. Отсюда следует, что единственными особенностями (полю-
(полюсами) функции сршк являются нули ее знаменателя, т. е. нули
функции si(uo,k).
Эти соображения позволяют установить асимптотический за-
закон убывания потенциала (fk(t) ПРИ больших временах t. В фор-
формуле обращения C4.14) интегрирование производится по гори-
горизонтальной прямой в плоскости ио. Однако, понимая под (ршь
определенную указанным образом во всей плоскости аналити-
аналитическую функцию, мы можем сместить путь интегрирования в
нижнюю полуплоскость так, чтобы не пересечь при этом ни од-
одного из полюсов функции. Пусть Cok = оо'к + ш% — тот из корней
уравнения si(uo,k) = 0, который обладает наименьшей по вели-
величине мнимой частью (т. е. ближайший к вещественной оси). Бу-
Будем производить интегрирование в C4.14) по пути, смещенному
достаточно далеко под точку ио = со^ и огибающему эту точку
(а также и другие полюсы, лежащие сверху от него) указанным
на рис. 9 образом. Тогда в интеграле будет существен (при боль-
больших t) только вычет относительно полюса ио^] остальные части
интеграла, в том числе интеграл по горизонтальной части пути,
будут экспоненциально малы по сравнению с указанным выче-

§ 34	РЕЛАКСАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ	175
том благодаря наличию в подынтегральном выражении множи-
множителя e~iujt, быстро убывающего при увеличении |Ima;|. Таким
образом, асимптотический закон убывания потенциала дается
выражением
Ы*) ~ е-*"**е-К'1*,	C4.15)
т. е. с течением времени возмущение поля затухает экспоненци-
экспоненциально с декрементом 7/с — Wk\ Х)-
Для длинноволновых возмущений (кае <С 1) частота ио'к и де-
декремент 7/с совпадают с таковыми для плазменных волн и даются
формулами C2.5), C2.6). Декремент
затухания таких возмущений экспо-
экспоненциально мал. В обратном же слу-
случае коротковолновых возмущений,
когда кае ~ 1, затухание становит-
становится очень сильным; декремент 7/с даже
велик по сравнению с ио'к 2).
Наконец, остановимся на свойст-
свойствах самой функции распре-
деления электронов. Искомая функ-
функция /к(?, р) получается подстановкой
C4.10) в интеграл C4.9). Помимо по-	Рис' 9
©
люсов в нижней полуплоскости, происходящих от (^к5 подын-
подынтегральное выражение имеет также полюс в точке ио = kv на
вещественной оси. Именно этот полюс и будет определять асим-
асимптотическое поведение интеграла при больших t. По вычету в
нем находим
ki	C4.16)
Таким образом, возмущение функции распределения не за-
затухает с течением времени. Распределение становится, однако,
все более быстро осциллирующей функцией скорости (период ос-
г) Если начальная функция g^Px) имеет особенность, то в число кон-
конкурирующих значений ио входят наряду с нулями функции ei(u,k) также
и особые точки функции ^к, возникающие от особенности интеграла в
C4.13). В частности, если g^(px) имеет особенность (например, излом) на
вещественной оси, то и ^к будет иметь особенность при вещественном зна-
значении cj = kvx- Такое возмущение (в бесстолкновительной плазме!) вообще
не будет затухать.
2) Может возникнуть вопрос о том, откуда возникает большое затухание,
если «фазовая скорость» ио'к/к лежит вне основного интервала тепловых ско-
скоростей. В действительности, однако, при 7 > и' об отношении а//к вообще
нельзя говорить как о фазовой скорости. Если снова разложить функцию
вида е~ги> е~7 в интеграл Фурье, то в нем будут присутствовать компонен-
компоненты с частотами во всем интервале от 0 до 7 и соответственно с «фазовыми
скоростями» от 0 до ~ 'У/к.

176	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
цилляций по скорости ~ l/(kt)). Поэтому возмущение плотности
(т. е. интеграл / fkd?p) затухает, как и потенциал (р^ 1).
Эволюция функции распределения согласно C4.16) относит-
относится ко времени, когда поле можно считать затухшим; формула
C4.16) соответствует просто свободному разлету частиц — каж-
каждая со своей постоянной скоростью. Действительно, функция вида
C4.17)
есть решение кинетического уравнения свободных частиц
^Z + v^ = 0	C4.18)
dt dr	v	J
при заданном начальном (t = 0) распределении по скоростям и
периодическом (соегкг) распределении по координатам.
§ 35. Плазменное эхо
Термодинамически обратимый характер затухания Ландау
проявляется в своеобразных нелинейных явлениях, называемых
плазменным эхом. Эти явления возникают в результате тех
незатухающих осцилляции функции распределения C4.16), ко-
которые остаются после бесстолкновительной релаксации возму-
возмущений плотности (и поля) в плазме. Они имеют по существу ки-
кинематическое происхождение, не связанное с существованием в
плазме самосогласованного электрического поля. Мы проиллю-
проиллюстрируем его сначала на примере газа из незаряженных частиц
без столкновений.
Пусть в начальный момент времени в газе задано возмуще-
возмущение, в котором функция распределения, оставаясь по скоростям
максвелловской в каждой точке пространства, меняется вдоль
оси х по периодическому закону
Sf = A\ cos k\x • fo(p) при t = 0	C5.1)
(в этом параграфе р = mv будет обозначать ж-компоненту им-
импульса; функция распределения предполагается уже проинте-
проинтегрированной по ру и pz). По такому же закону меняется вдоль
оси х (в тот же момент t = 0) и возмущение плотности газа, т. е.
интеграл f 6f • dp. В последующие моменты времени возмущение
1) Забегая вперед, сразу же отметим, однако, что осциллирующий харак-
характер функции распределения при больших t приводит к сильному возраста-
возрастанию эффективного числа кулоновских столкновений и тем самым ускоряет
наступающее в конечном счете затухание возмущения (см. задачу к § 41).

§ 35	ПЛАЗМЕННОЕ ЭХО	177
функции распределения будет меняться по закону
<5/ = A± cos[fei(a; - vt)]fo(p),	C5.2)
отвечающему свободному перемещению каждой частицы вдоль
оси х со своей скоростью v. Возмущение плотности, однако, за-
затухнет (за время ~	) ввиду погашения интеграла Г Sf dp за
V	vrki J
счет осциллирующего по скоростям множителя cos[k\(x — vt)] в
подынтегральном выражении. Асимптотический закон этого за-
затухания при временах t ^>	 дается выражением
kv
SN = JSfdpoD exp (-ifc^t2)	C5.3)
(оценка интеграла производится методом перевала).
Пусть теперь в некоторый момент времени t = т ^>
функция распределения снова промодулирована с амплитудой
А2 и некоторым новым волновым вектором к2 > к\. Возникшее
возмущение плотности снова затухнет (за время ~ 	), но в
момент
т' = —к-^т	C5.4)
возникнет вновь. Действительно, вторая модуляция приводит к
появлению в функции распределения (в момент t = т) члена
второго порядка вида
?/B) = А±А2 cos(kix — k\vr) cos k2x • fo(p).	C5.5)
Дальнейшая эволюция этого возмущения при t > т превращает
его в
JjB) = AiA2f$(p) cos [k\x — k\vt] cos [k2x — k2v(t — r)] =
= -AiA2fo(p){cos [(k2 - k\)x - (k2 - k\)vt + k2vr] +
+ cos [(k2 + k\)x — (k2 + k\)vt + k2vr]}.
Теперь видно, что в момент t = т' осциллирующая зависимость
от и в первом члене исчезает, так что этот член даст конечный
вклад в возмущение плотности газа с волновым вектором к2 — к\.
Возникшее таким образом эхо затухнет затем в течение времени
1
	, причем последняя стадия этого затухания происхо-
дит по закону, аналогичному C5.3).

178	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Перейдем к исследованию этого явления в электронной плаз-
плазме (R.W. Gould, Т.М. О'Neil, J.H. Malmberg, 1967). Его механизм
остается прежним, но конкретный закон затухания меняется из-
за влияния самосогласованного поля.
Будем считать, что возмущения создаются импульсами неко-
некоторого внешнего (создаваемого «сторонними» зарядами) потен-
потенциала ^ст\ прилагаемыми к плазме в моменты t = 0 и t = т:
(^(ст) = (piS(t) cos k\x + (p2d(t — г) cos кэх;	C5.6)
при этом предполагается, что &2 > &ъ а т 3> 	? 	 (гДе
kivT j(ki)
j(k) — декремент затухания Ландау).
Возмущение функции распределения (/ = fo + Sf) удовлетво-
удовлетворяет бесстолкновительному кинетическому уравнению, которое
с учетом члена второго порядка имеет вид
dt	дх	дх dp	дх dp
При этом потенциал ср возникающего в плазме поля (включаю-
(включающий в себя также и «стороннюю» часть (р(ст;) удовлетворяет
уравнению
А((р - (^(ст)) = 4тге / Sf dp.	C5.8)
Будем искать решение этих уравнений в виде интегралов
Фурье:
Sf = / fuj'k'e х~ш 	•>
J J JUJk	^2 ,
/// //
*ш	BтгJ
Подставив эти выражения, умножив затем уравнение на
e-i(kx-ut) и ИНТегрируя их по dx dt, получим
(kv - uj)fuk + екрик^
dp
k = Awe J fuk dp - k\{™\	C5.10)
где
^	кг) + 5(к - h)} + ж<р2[8(к + k2) + 6(к - k2)]eiujT.

§ 35	ПЛАЗМЕННОЕ ЭХО	179
В линейном приближении (т. е. при пренебрежении правой
частью в C5.9)) решение этих уравнений есть
f A) _ dfo к A)	A) _ yffi	, ш
где е\ — диэлектрическая проницаемость B9.10). Этому решению
отвечают возмущения, затухающие от моментов времени t = 0 и
t = т соответственно с декрементами 7(^1) и 7(^2)-
Во втором приближении надо подставить C5.11) в правую
часть уравнения C5.9) и для членов второго порядка в возмуще-
возмущениях функции распределения и потенциала получаются уравне-
уравнения
^^fp=%	C5-12)
S dp,	C5.13)
где
U = "«/(* " Ы^^й^'	C5.14)
Интересующий нас эффект — эхо с волновым вектором k2 — ki —
будет заключен в членах в правой части C5.12), содержащих
5(к =Ь (&2 — к\)). Соберем такие члены в выражении 1и^. К мо-
моменту времени t = т возмущение ф^1\ происходящее от прило-
приложенного при t = 0 импульса <pi, уже затухнет. Поэтому заранее
очевидно, что при подстановке C5.11) в C5.14) надо учесть в
A)
(ри^ лишь член с (f2] интересующие нас члены вида
к1) C5.15)
получатся при этом от членов в /^ , содержащих ц>\. После вы-
выполнения интегрирования по dk' в C5.14) получим в результате 1)
df0 f
Z2TP !
> + uj')si(uj', ki)ei(uj - uf, fe)'
C5.16)
да, переменную интегрирования со' над
мать как со' + гО.
причем, как всегда, переменную интегрирования ио' надо пони-
) При вычислении следует иметь в виду, что г\ зависит лишь от к и
потому в обозначениях этого параграфа (где к = кх) имеем si(uu,—k) =

180	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Интеграл C5.16) можно вычислить с учетом того, что т пред-
предполагается большим (т ^> 	, - ). Для этого смещаем в ниж-
V	k у
нюю полуплоскость комплексной переменной uJ контур интегри-
интегрирования, «зацепляющийся» при этом за полюсы подынтеграль-
подынтегрального выражения. Эти полюсы расположены в нулях функций е\
и в точке а/ = — k\v — iO. Первые из них имеют отличные от нуля
отрицательные мнимые части (—7(^1) или ~т(^2)M и вклады от
них в интеграл (вычеты в полюсах) затухают с увеличением т
как е~7Т. Незатухающий же вклад возникает только от веще-
вещественного полюса а/ = — k\v — гО. Таким образом, получим
Uh,k2)	в	_	C5
\''	О J	/7	7\/i7	7 \	^
2 dp ?i(—kiv,ki)?i(oj + kiv,k2)
Возвращаясь к уравнениям C5.12), C5.13) и подставив
из первого уравнения во второе, находим
B) =
сю
Г
J
dp kv-u-iO
При вычислении производной dl^/dp надо дифференциро-
дифференцировать только экспоненциальный множитель в C5.17), поскольку
kivrr > 1.
Собирая теперь полученные выражения C5.15)—C5.18) и со-
совершая обратное преобразование Фурье, получим интересующий
нас потенциал эха с волновым вектором к% = к? — к\ в виде
(p{2)(t,x) = Re{A(t)elk*x}.	C5.19)
Амплитуду A(t) выпишем сразу в асимптотическом пределе при
t — т —>• оо. В этом пределе интеграл по ио определяется выче-
вычетом подынтегрального выражения только в полюсе ио = k%v — гО.
Окончательно находим
л и\	-3	&i&2 / dfo
A(t) = -Ше*<рцр2Т^- / -j-
Щ J dp
exp [—ivks(t — т')] dp
где rf = k2
, fe)'
C5.20)
Это выражение — амплитуда эха — максимально при t = т7,
причем максимальное значение пропорционально т, т. е. проме-
промежутку времени между двумя импульсами. По обе стороны от
максимума амплитуда A(t) убывает, но по различным законам.
Асимптотически при t — т' —>> оо интеграл C5.20) определяется

35
ПЛАЗМЕННОЕ ЭХО
181
вычетом подынтегрального выражения в его полюсе с наимень-
наименьшей по величине отрицательной мнимой частью; этот полюс ле-
лежит при ei(k%v, к%) = 0, и его мнимая часть 1тг> = — 7(^з)/^з /•
По другую же сторону от максимума, при t — т1 —>> — оо, интеграл
определяется вычетом в полюсе при ei{—kiv,k\) = 0, для которо-
которого Imi> = j(ki)/ki (путь интегрирования должен быть при этом
смещен в верхнюю полуплоскость комплексного г;). В результате
находим, что
A(t) со exp[—j(ks)(t — т')} при t — т —>> оо,
A(t) со ехр [-^7(А;1)(т/ - t)] при t - т -+ -оо. C5.21)
L к\	\
Таким образом, амплитуда эха перед достиж:ением его мак-
максимума возрастает с инкрементом к^{к\)/ki^ а за максимумом
убывает с декрементом 7(^3)•
Рис. 10 иллюстрирует рас-
рассмотренное явление: первые
две кривые изображают ход
изменения потенциала в двух
импульсах, приложенных в
моменты f = 0 и f = г, а
третья кривая — форму эха.
Около кривых указаны соот-
соответствующий декремент или
инкремент.
Изложенные расчеты про-
произведены в пренебрежении
столкновениями. Поэтому ус-
условие применимости коли-
количественной формулы C5.20)
требует, чтобы к заданному
моменту t осцилляции функции распределения не успели еще за-
затухнуть под влиянием столкновений. Забегая вперед и восполь-
воспользовавшись результатами задачи к § 41, можно сформулировать
это условие в виде
u(vT)(kvTJt3 <1,	C5.22)
где u(vt) — средняя частота кулоновских столкновений элек-
электрона.
Рис. 10
:) Подразумевается, что все волновые векторы к <^ 1/ае. Тогда j(k) экспо-
экспоненциально мало и убывает с возрастанием к. Поскольку кз < &2, то полюс
при si(k2V, fe) = 0 в этих условиях заведомо лежит дальше от вещественной
оси v, чем полюс при si(ksv, кз) = 0.

182	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
§ 36. Адиабатический захват электронов
Рассмотрим вопрос о распределении электронов плазмы
в медленно включаемом потенциальном электрическом поле.
Пусть L — порядок величины протяженности поля, а т — ха-
характерное время его изменения. Будем считать, что
т > L/ve.	C6.1)
В то же время будем предполагать т малым по сравнению со
временем свободного пробега электронов, так что речь идет по-
прежнему о бесстолкновительной плазме.
В силу условия C6.1) поле можно считать стационарным в
течение времени его пролета электроном. С этой же точностью
будет стационарной также и функция распределения электронов
в поле. Как было указано в конце § 27, решение бесстолкнови-
тельного кинетического уравнения зависит только от интегралов
движения частицы; для стационарного распределения это могут
быть только те интегралы, которые не зависят явно от времени.
Мы ограничимся одномерным случаем, когда потенциал по-
поля ср зависит только от одной координаты х. Так как движение
вдоль осей у и z при этом несущественно, речь будет идти о
функции распределения / только по импульсу рх (и по коорди-
координате х).
В одномерном случае уравнение движения имеет два инте-
интеграла, из которых не зависит явно от времени (в стационарном
поле) всего один — энергия электрона
е = A + U(x),	C6.2)
2т
где U(x) = —еср(х) г). Поэтому стационарная функция распре-
распределения будет зависеть от рх и х только в комбинации C6.2):
f = f[e(x,Px)].	C6.3)
Вид же функции f(e) должен определяться граничными услови-
условиями.
Пусть поле U(x) имеет вид потенциального барьера (рис.
11а). В этом случае функция f(e) определяется видом распреде-
распределения электронов, приходящих к барьеру из бесконечности. Так,
если по обе стороны вдали от барьера электроны имеют равновес-
равновесное (однородное по пространству) распределение с температурой
Те, то и во всем пространстве будет иметь место больцмановское
) Вторым интегралом движения может являться, например, начальное
(в некоторый заданный момент времени) значение координаты частицы хо,
выраженное в функции от времени и текущей координаты вдоль траектории
xo(t,x).

36
АДИАБАТИЧЕСКИЙ ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВ
183
распределение:
/ =
ехР -^
C6.4)
BтгтТеI/2
Плотность же электронного газа будет распределена везде по
формуле
Ne(x) = Ще~и^/Т%	C6.5)
где Щ — плотность вдали от барьера.
Пусть теперь поле имеет вид потенциальной ямы (рис. 11 6").
В этом случае распределение электронов с положительной энер-
энергией е снова определится распределением частиц, приходящих
из бесконечности; при равновес-
равновесном распределении на бесконеч- и
ности распределение электронов с
е > 0 будет больцмановским во
всем пространстве. Но помимо ча-
частиц с е > О, в этом случае суще-
существуют также и частицы с энер-
энергией е < 0; эти частицы совер- и
шают финитное движение внутри
потенциальной ямы — они «захва-
«захвачены». На бесконечности частиц 8
с е < 0 нет; поэтому изложен-
изложенные выше соображения, в кото-
которых энергия рассматривалась как	Рис. 11
строго сохраняющаяся величина,
недостаточны для нахождения распределения захваченных ча-
частиц. Необходимо учесть также и изменение энергии в не стро-
строго стационарном поле, в результате чего это распределение ока-
оказывается, вообще говоря, зависящим от предыстории — от хода
включения поля (А.В. Гуревич, 1967).
В силу условия C6.1) поле мало меняется за время перио-
периода финитного движения захваченных частиц. Как известно, в
таком случае сохраняется так называемый адиабатический ин-
инвариант — интеграл
1	Х2
= — -2 $[2m(e-U(t,x))]ll2dx,
C6.6)
X!
взятый между двумя границами движения (при заданных е и t).
Эта величина и будет играть теперь роль интеграла движения,
через который должна выражаться функция распределения за-
захваченных частиц:
/захв = /з
C6.7)
(причем энергия е в свою очередь предполагается выраженной
здесь через х и рх согласно C6.2)). Вид же функции C6.7) опре-

184	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
деляется тем, что при медленном включении поля функция рас-
распределения будет непрерывной функцией е. Поэтому при гра-
граничном значении энергии захваченных частиц функция /Захв(^)
должна совпадать с функцией распределения частиц, соверша-
совершающих над ямой инфинитное движение.
Случай потенциальной ямы вида рис. 10 5, однако, в особен-
особенности прост в виду того, что граничная энергия остается (при по-
постепенном включении поля) постоянной, равной нулю. Тогда из
указанного граничного условия следует, что /захв сводится прос-
просто к постоянной:
/захв = /@),	C6.8)
где f(s) — функция распределения частиц над ямой. Найдем
пространственное распределение электронов в этом случае, если
f(s) — больцмановская функция C6.4).
Суммируя числа электронов с?>0ис?<0, имеем
оо	р\
Ne = 2f f(e) dpx + 2f /@) dpx, pi = Bm|?7|I/2
Pi	0
(множители 2 учитывают частицы с рх > 0 и рх < 0). Подставив
сюда f(e) из C6.4), получим
Ne(t,x) = Щ {е^ [l - Ф (У|
где
9 *
J-fe-udu.	C6.10)
v^ о
При ( < 1, разложив подынтегральное выражение в C6.10)
по степеням и, имеем
Поэтому распределение электронов, захваченных в неглубокой
яме (\U\ <С Те), дается формулой
Первый поправочный член совпадает с тем, что получилось бы
из формулы Больцмана C6.5). Но уже следующая поправка от-
отличается от больцмановской.
При ? ^> 1 разность 1 — Ф(?) экспоненциально мала
(~ехр( —?2)). Поэтому в случае глубокой ямы (\U\ ^> Те) в

§ 37	КВАЗИНЕЙТРАЛЬНАЯ ПЛАЗМА	185
C6.9) существен лишь второй член в фигурных скобках, так что
Щ1/2.	C6.12)
7Tie /
С увеличением \U\ плотность возрастает гораздо медленнее, чем
это следовало бы по формуле Больцмана.
§ 37. Квазинейтральная плазма
Уравнения динамики плазмы допускают далеко идущее упро-
упрощение для категории явлений, в которых характерные масштабы
длин и времени удовлетворяют следующим условиям. Характер-
Характерный размер неоднородностей в плазме L предполагается боль-
большим по сравнению с электронным дебаевским радиусом:
— < 1.	C7.1)
Скорость же процесса предполагается определяющейся движе-
движением ионов, так что характерный масштаб скорости дается вели-
величиной VTi, малой по сравнению со скоростями электронов. Дви-
Движение ионов приводит к медленному изменению электрического
потенциала, за которым адиабатически следует распределение
электронов.
Пусть 6Ne и SNi — изменения плотностей электронов и ионов
в возмущенной плазме. Эти изменения создают в плазме сред-
среднюю плотность некомпенсированного заряда: 5р = e(zSNi — SNe).
Потенциал создаваемого этими зарядами электрического поля
определяется уравнением Пуассона
А<р = -4ne(zSNi - SNe).	C7.2)
По порядку величины Aip ~ ^/L2. Поэтому
zSNl-5Ne
6Ne
4тге?2
Если поле слабо (еср <С Те), то изменение электронной плотности
(ср. C6.11)) и тогда
- SNe
SNe
ги
L2
« I-	C7.4)
Это неравенство остается справедливым и в случае сильного воз-
возмущения, когда eip ~ Те; при этом 6Ne ~ Ne и из C7.3) снова
следует C7.4).

186	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Таким образом, возникающая при возмущении некомпенси-
некомпенсированная плотность зарядов оказывается малой по сравнению с
возмущениями плотностей зарядов электронов и ионов в отдель-
отдельности; в таких случаях говорят о квазинейтральной плазме. Это
свойство позволяет при изучении рассматриваемого круга явле-
явлений определять распределение потенциала в плазме, просто ис-
исходя из «уравнения квазинейтральности»
Ne = zNi	C7.5)
совместно с кинетическим уравнением для ионов и с уравнением,
выражающим «адиабатическое» распределение электронов1).
Разумеется, в начальный момент времени — если рассматри-
рассматривается задача с начальными условиями — плотности электронов
могут быть заданы произвольно и не обязательно удовлетворяют
неравенству C7.4). Возникающее при этом большое электриче-
электрическое поле приведет, однако, к движению электронов, которое бы-
быстро, за характерные «электронные» времена, восстановит ква-
квазинейтральность (в диффузионном случае этот процесс просле-
прослежен в § 25).
Переход от электродинамического уравнения C7.2) к усло-
условию C7.5) означает не только существенное упрощение системы
уравнений динамики плазмы, но и принципиальное изменение их
размерностной структуры. Действительно, потенциал <р входит
в кинетическое уравнение и в распределение электронов только
в произведении с зарядом е, а в условие C7.5) (в противопо-
противоположность уравнению C7.2)) заряд вообще не входит. Поэтому
заменой
е(р^ф	C7.6)
заряд е вообще устраняется из уравнений, а вместе с ним исчеза-
исчезает также и параметр размерности длины — дебаевский радиус ае.
Отсутствие в уравнениях параметра длины делает возмож-
возможными автомодельные движения плазмы. Такие решения появ-
появляются в тех случаях, когда параметры размерности длины от-
отсутствуют также и в начальных или граничных условиях зада-
задачи; тогда все функции могут зависеть от координат и времени
только в комбинации r/t. Пусть, например, плазма первоначаль-
первоначально занимает полупространство х < 0. В момент времени t = 0
«убирается заслонка» и плазма начинает расширяться в пусто-
пустоту. Сначала начинают двигаться электроны, так что электронная
г) Подчеркнем, что этот результат сам по себе относится как к бесстолкно-
вительной плазме, так и к плазме со столкновениями. Заметим также, что,
поскольку вывод неравенства C7.4) не связан с предположением о слабо-
слабости поля, свойство квазинейтральности имеет место и в тех случаях, когда
электромагнитные свойства плазмы не могут быть описаны с помощью ди-
диэлектрической проницаемости (т. е. в предположении линейной связи между
D иЕ).

§ 38	ГИДРОДИНАМИКА ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ	187
плотность образует вблизи границы переходный слой с характер-
характерной шириной ~ ае. За время t\ ^> ае/уте электронное движение
затухает и далее электронная плотность следует адиабатически
за потенциалом согласно формуле Больцмана. Теперь изменение
всех величин определяется движением ионов. Благодаря этому
за время ?2 ^> Ue/vTi ^> ae/vTe граница размывается на рас-
расстояниях, больших по сравнению с ае. К этому времени плазма
становится квазинейтральной, а движение автомодельным.
Напишем уравнения динамики квазинейтральной плазмы в
раскрытом виде, предположив для определенности, что распре-
распределение электронной плотности везде больцмановское:
C7.7)
как было показано в § 36, это распределение не нарушается мед-
медленно меняющимся полем, если поле не содержит потенциальных
ям. Формула C7.7) совместно с условием C7.5) позволяет прямо
выразить потенциал через функцию распределения ионов:
ф = Ге In ^ = Ге In У- I fi <PPj .	C7.8)
Подставив же это выражение в кинетическое уравнение для
ионов (с самосогласованным полем Е = — V<p), получим
f + vfzTepu[ftdp 0.	C7.9)
at	or	op or J
Отметим, что, несмотря на нелинейность этого уравнения, его
решения не зависят от средней плотности плазмы: если /г(?, г)
есть решение, то решением будет и С fi с произвольным посто-
постоянным множителем С.
Упомянем, что в одномерном случае уравнение C7.9) имеет
класс решений, характерных тем, что в них функция /г(?, ж,р)
зависит от координаты х и времени t только через посредство
некоторой функции %(?, ж):
fi = fi[x(t,x),p}-	C7.10)
Эти решения в известном смысле аналогичны простым волнам
обычной гидродинамики.
§ 38. Гидродинамика двухтемпературной плазмы
В особенности простое теоретическое описание допускает
двухтемпературная плазма, в которой
Те>Т;.	C8.1)
Мы уже видели в § 33, что в этом случае в плазме могут распро-

188	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
страняться незатухающие ионно-звуковые волны со скоростью
~ (Tg/MI/2. Эта же скорость будет вообще характерна для рас-
распространения возмущений в плазме. Поскольку в то же время
она велика (в силу C8.1)) по сравнению с тепловыми скоростя-
скоростями ионов, то для большинства задач о движении плазмы можно
вообще пренебречь тепловым разбросом скоростей ионов. Дви-
Движение ионной компоненты плазмы будет тогда описываться в
«гидродинамическом приближении» скоростью v = v^, задава-
задаваемой как функция точки в пространстве (и времени) и удовле-
удовлетворяющей уравнению
М^ = ezE,
dt
или
| + (W)v = ?iE.	C8.2)
К этому уравнению добавляется уравнение непрерывности
^ + divGV,v) = 0	C8.3)
ot
и уравнение Пуассона, определяющее потенциал электрического
поля <р (а с ним и напряженность Е = —\/(р):
- Ne).	C8.4)
Что же касается электронов, то при движениях плазмы со
скоростями v < (Те/МI/2 <С Уте их распределение адиабати-
адиабатически следует за распределением поля. Как мы видели в § 36,
конкретное выражение для электронной плотности Ne при этом
существенно зависит от характера поля. Для поля без потенци-
потенциальных ям оно дается просто формулой Больцмана C7.7), так
что уравнение C8.4) принимает вид
= -4тгеЛГ0 (^ - ее^Те) .	C8.5)
Уравнения C8.2), C8.3) и C8.5) составляют полную систему
уравнений для функций v, N и (р. Она может быть еще упроще-
упрощена для квазинейтральной плазмы. В этом случае согласно C7.8)
имеем
е(^ = Те1п^, еЕ = -Те^	C8.6)
Y	No	Ni	V J
и C8.2) можно переписать в виде
^ + (vV)v = -^^.	C8.7)
dt v J	м Ni	v J
Система уравнений C8.3) и C8.7) формально тождественна
уравнениям гидродинамики изотермического идеального газа с

§ 38	ГИДРОДИНАМИКА ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ	189
массой частиц М и температурой zTe. Скорость звука в таком
газе равна (zTg/MI/2 — в соответствии с выражением C3.5) для
скорости ионно-звуковых волн; дисперсия волн в этом приближе-
приближении отсутствует.
Установленная аналогия с гидродинамикой нуждается в су-
существенной оговорке. Как известно, система гидродинамических
уравнений далеко не всегда имеет непрерывные во всем про-
пространстве решения. Отсутствие непрерывного решения в обыч-
обычной гидродинамике означает образование ударных волн — по-
поверхностей, на которых физические величины испытывают раз-
разрывы. В бесстолкновительной гидродинамике не существует
ударных волн, поскольку они по самой своей природе связаны
с отсутствующей в данном случае диссипацией энергии. Отсут-
Отсутствие непрерывных решений означает здесь, что в некоторой
области пространства нарушается предположение о квазиней-
квазинейтральности плазмы. В таких областях (их условно называют бес-
столкновителъными ударными волнами) зависимость физиче-
физических величин от координат и времени оказывается осциллиру-
осциллирующей, причем характерная длина волны этих осцилляции опре-
определяется не только характерными размерами задачи, но и вну-
внутренним свойством плазмы — ее дебаевским радиусом х).
Вернемся к более общим уравнениям C8.2)-C8.4), не предпо-
предполагающим квазинейтральности плазмы. Важным свойством этих
уравнений является существование у них одномерных решений,
в которых все величины зависят от переменных t и х только в
комбинации ? = х — ut с постоянной и. Такие решения описы-
описывают волны, распространяющиеся со скоростью и без изменения
своего профиля. Если перейти к системе отсчета, движущейся
относительно исходной системы со скоростью и, то в этой систе-
системе движение плазмы будет стационарным. Наиболее интересны-
интересными из решений этого типа являются решения, периодические в
пространстве, и решения, убывающие в обе стороны на бесконеч-
бесконечности. Рассмотрим здесь именно последние — так называемые
уединенные волны, или солитоны2) (А.А. Веденов, Е.П. Вели-
Велихов, Р.З. Сагдеев, 1961).
Обозначив штрихом дифференцирование по ?, получим из
C8.2), C8.3)
(г; - u)v' = -— у/, (Niv)f
(для упрощения полагаем z = 1).
г) Понятие бесстолкновительной ударной волны было введено Р.З. Сагде-
евым в 1964 г. Фактическое построение такой структуры в некоторых част-
частных случаях см. Гуревич А.В., Питаевский Л.П. II ЖЭТФ. 1973. Т. 65.
С. 590.
2) От английского слова solitary — одинокий.

190	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Интегрируя эти уравнения с граничными условиями ср = 0,
v = 0, Ni = Щ при ? —>> оо, найдем
5* = ?-^.	(ЗД
Уравнение же C8.4) дает (р" = —4тге(Л^ — 7Ve), или, после умно-
умножения на 2срг и интегрирования,
ч>
(pf2 = -8тге f[Ni((p) - Ne((p)] dip.	C8.10)
о
При этом функция Ni(cp) берется из C8.9), a Ne(tp) определяется
формулами § 36. Отметим, что в рассматриваемой волне всегда
ср > 0, как это видно из C8.8). Потенциальная энергия электрона
в таком поле U = — еср < 0, т. е. по отношению к электронам поле
имеет характер потенциальной ямы.
Уравнением C8.10) задача об определении профиля волны
<р(?) сводится к квадратурам. При этом скорость и оказывается
непосредственно связанной с амплитудой волны — максималь-
максимальным значением функции <р(?) (обозначим это значение через
(рт). Действительно, при ср = срт должно быть срг = 0. При-
Приравняв нулю интеграл в правой части C8.10) (и осуществив в
нем интегрирование первого члена), получим уравнение
C8.11)
которое и определяет в принципе зависимость и от (рт. При этом,
очевидно, должно быть
2е^- < 1.	C8.12)
Ми2	V	J
Это условие, вообще говоря, устанавливает верхнюю границу
возможных значений амплитуды волны срт (а с нею и скоро-
скорости и).
Отметим еще, что для полного пренебрежения столкновения-
столкновениями необходимо, чтобы частота поля ио была велика по сравнению
с характерными частотами соударений как электронов z/e, так
и ионов щ. Но поскольку ve ~ (М/тI12ь>1 ^> щ (см. § 43), то
возможна ситуация, когда ve ^> ио ^> щ. В таком случае столкно-
столкновения по-прежнему не влияют на движение ионов, но распреде-
распределение электронов можно считать больцмановским и при наличии
потенциальных ям.

§ 39	СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ	191
Задача
Определить профиль и скорость уединенной волны небольшой интен-
интенсивности (е(ргп/Те <С 1) в плазме с электронами, распределенными согласно
C6.11) (А.В. Гуревич, 1967).
Решение. В C6.11) должны быть сохранены все члены; возникно-
возникновение уединенной волны связано именно с последним, нелинейным членом
в этом выражении. Вычисление по C8.11) приводит к результату
М [ 15 ЧтгЭ
Профиль волны находится интегрированием уравнения C8.10) и имеет вид
§ 39. Солитоны в слабо диспергирующей среде
Существование (в среде без диссипации) нелинейных волн со
стационарным профилем тесно связано с наличием дисперсии. В
недиспергирующей среде учет нелинейности неизбежно наруша-
нарушает стационарность волны; скорость распространения различных
точек профиля оказывается зависящей от значения амплитуды в
этих точках, что и приводит к искажению профиля. Так, в гидро-
гидродинамике идеальной сжимаемой жидкости нелинейные эффекты
приводят к постепенному увеличению крутизны переднего фрон-
фронта волны (см. VI, § 94). Дисперсия же, со своей стороны, приво-
приводит к постепенному расплыванию профиля, и оба влияния могут
взаимно компенсироваться, приводя к стационарности профиля
волны.
В этом параграфе мы изучим эти явления в общем виде для
довольно широкой категории случаев распространения волн в
бездиссипативной слабо диспергирующей среде с учетом слабой
же нелинейности.
Пусть щ — скорость распространения волны в линейном при-
приближении, при пренебрежении дисперсией. В этом приближении
в одномерной волне, распространяющейся в одну сторону вдоль
оси ж, все величины зависят от х и t только в комбинации ? =
= х — щг. В дифференциальном виде это свойство выражается
уравнением
дЬ , дЬ п
at	ox
где Ъ обозначает какую-либо из колеблющихся в волне величин.
Постоянной скорости ЗД отвечает закон дисперсии волн ио =
= щк. В диспергирующей среде этот закон представляет собой
лишь первый член разложения функции со (к) по степеням мало-

192	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
го к. С учетом следующего члена имеем 1)
ои = щк-Cк3,	C9.1)
где /3 — постоянная, которая может в принципе быть как поло-
положительной, так и отрицательной.
Дифференциальное уравнение, описывающее в линейном
приближении распространение (в одну сторону) волны в среде
с такой дисперсией, имеет вид
дЬ , дЬ , пдЧ п
dt	дх дх3
действительно, для волны, в которой бсоехр (—iwt + ikx), отсюда
получается C9.1).
Наконец, учет нелинейности приводит к появлению в урав-
уравнении членов более высокого порядка по Ь. Эти члены во всяком
случае должны удовлетворять условию обращения в нуль при по-
постоянном (не зависящем от х) 6, что отвечает просто однородной
среде. Ограничившись членом с производной наиболее низкого
порядка (малые &!), напишем уравнение распространения слабо
нелинейной волны в виде
тт + ЗД— + Р— + аЪ— = 0,	C9.2)
at	дх а х3	дх
где а — постоянный параметр (который тоже может в принципе
иметь оба знака) 2).
Для упрощения записи этого уравнения введем вместо х но-
новую переменную ? и вместо b — новую неизвестную функцию а,
определив их согласно
? = х- uot, a = аЬ.	C9.3)
х) Тот факт, что функция ш{к) разлагается по нечетным степеням к, сле-
следует уже из соображений вещественности. Исходная система физических
уравнений движения среды содержит лишь вещественные величины и па-
параметры. Мнимая единица г появляется лишь в результате подстановки в
эти уравнения решения, пропорционального ехр(—iuut + ikx). Поэтому воз-
возникающий в результате этой подстановки закон дисперсии определяет iuu в
виде функции от ik с вещественными коэффициентами; разложение такой
функции может содержать лишь нечетные степени от ik. В общем случае
диссипирующей среды функция ш(к) комплексна (и = и/ +ги/'), и тогда сде-
сделанное утверждение относится к разложению вещественной части частоты,
и'(к). Разложение же функции и"(к) по тем же причинам будет содержать
лишь четные степени к.
2) Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что такой вид сла-
слабой нелинейности отнюдь не является универсальным. Так, слабая нелиней-
нелинейность для распространения волн в плазме, возникающая от последнего чле-
члена в электронном распределении C6.11) (использованном в задаче к § 38),
соответствовала бы члену ~ \fbdbjdx в уравнении типа C9.2).

§ 39	СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ	193
Тогда получим
В таком виде это уравнение называют уравнением Кортевега-де
Вриза (КдВ) 1). Будем считать сначала для определенности, что
постоянная /3 > 0.
Нас будут интересовать решения, описывающие волны со ста-
стационарным профилем. В таких решениях функция а(?, ?) зависит
только от разности ? — vot с некоторым постоянным vq:
C9.5)
при этом скорость распространения волны есть
U = Uq -\- Vq.	C9.6)
Подставив C9.5) в C9.4) и обозначив дифференцирование по ?
штрихом, получим уравнение
/За'" + аа' - voaf = 0.	C9.7)
Отметим, что оно инвариантно относительно замены
а^> a + V, v0 -+ v0 + V	C9.8)
с произвольной постоянной V.
Первый интеграл уравнения C9.7):
Pa + avoa.
Умножив это равенство на 2af и интегрируя еще раз, получим
/За'2 = -— + v0a2 + cia + c2.	C9.9)
о
Вместо трех постоянных г>о, ci, C2 целесообразно ввести другие
постоянные — три корня кубического трехчлена, стоящего в пра-
правой части C9.9). Обозначив эти корни через ai, a2, аз, напишем
/За'2 = --(а - ai)(a - а2)(а - а3).	C9.10)
о
Постоянная vq связана с новыми постоянными равенством
^о = -(ai + a2 + аз).	C9.11)
о
х) Оно было получено Кортевегом и де Бризом (D.J. Korteweg, G. de
Vries, 1895) для волн на поверхности мелкой воды.
7 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

194	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Нас будут интересовать лишь такие решения уравнения
C9.10), в которых величина |а(?)| ограничена; неограниченный
рост \а\ противоречил бы предположению о слабой нелинейно-
нелинейности. Легко видеть, что это условие не выполняется, если среди
корней ai, a2, аз имеются комплексные; пусть это будут а\ и п2
(причем п2 = а*). Действительно, в таком случае правая часть
C9.10) принимает вид \а — ai|2(a3 — a)/3 и ничто не мешает a
стремиться к — оо.
Таким образом, постоянные ai, a2, аз должны быть веще-
вещественными; расположим их в порядке а\ > п2 > аз- Поскольку
выражение в правой части уравнения C9.10) должно быть поло-
положительным, то функция а(?) может меняться лишь в интервале
а\ ^ а ^ п2- Без ограничения общности можно положить аз = 0;
этого всегда можно достичь преобразованием вида C9.8). Усло-
Условившись о таком выборе, перепишем уравнение C9.10) в виде
(За!2 = -{а\ — а) (а — а,2)а.	C9.12)
о
Решение этого уравнения имеет различный характер при
а2 = 0 и при а2 ф 0. В первом случае [а,2 = 0, а\ > 0) инте-
интегрирование уравнения дает
/ . /—\
C9.13)
начало отсчета ? выбрано в точке максимума функции (здесь и
ниже мы пишем, для упрощения обозначений, профиль волны
как функцию от ? = х в некоторый заданный момент времени
t = 0). Это решение описывает уединенную волну (солитон): при
? —>> =Ьоо функция а(?) вместе со своими производными обраща-
обращается в нуль. Постоянная а\ дает амплитуду солитона, а его ши-
ширина убывает с ростом амплитуды как аг ' . Согласно C9.11)
имеем г>о = ai/З, так что скорость солитона
и = i/0 + ai/3.	C9.14)
Эта скорость и > щ и растет с увеличением амплитуды.
Снова напомним, что нелинейность процессов, описываемых
уравнением КдВ, предполагается слабой. Условие этой малости
имеет естественный смысл; так, если роль величины а играет из-
изменение плотности среды, то это изменение должно быть малым
по сравнению с невозмущенной плотностью. В то же время «сте-
«степень нелинейности» этих процессов характеризуется еще и дру-
другим безразмерным параметром: L(ai/f3I^21 где L — характерная
длина, а а\ — амплитуда возмущения. Этот параметр определяет

§ 39	СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ	195
относительную роль эффектов нелинейности и дисперсии и мо-
может быть как малым (преобладание эффекта дисперсии), так и
большим (преобладание эффекта нелинейности). Для солитона,
ширина которого L ~ (/З/aiI/2, этот параметр порядка 1.
Перейдем к случаю a 2 ^ 0; в этом случае решение уравне-
уравнения C9.12) описывает периодическую в пространстве, бесконеч-
бесконечно протяженную волну. Интегрирование уравнения дает
=
J
[a(ai - а)(а - a2)
a
где F(s,cp) — эллиптический интеграл первого рода:
C9Л5)
=
а^ 2
— s2 sin
причем )
sm(p=A 	, s = Jl — —;	C9.17)
начало отсчета ? выбрано в одном из максимумов функции а(?).
Обращая формулу C9.15) путем введения эллиптической
функции Якоби, получим
/ /	 \
C9.18)
Эта функция периодична, причем ее период (длина волны) по
координате х равен
C9.19)
где K(s) — полный эллиптический интеграл первого рода. Сред-
Среднее по периоду значение функции C9.18):
1 Xr	E(s)
а = — J a(cj a§ = а\—^-,	(oy.zUj
Л 0	K(s)
где E(s) — полный эллиптический интеграл второго рода. Есте-
Естественно рассматривать периодическую волну, в которой сред-
1) Параметр эллиптического интеграла обозначен буквой s (вместо обычно
принятой А;) во избежание путаницы с волновым вектором.

196	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
нее значение колеблющейся величины равно нулю. Этого все-
всегда можно добиться преобразованием C9.8), вычитая величи-
величину C9.20) из функции C9.18). Скорость распространения волны
равна тогда
Н?$] C9-21)
Малым амплитудам колебаний а\ — п2 соответствуют значе-
значения параметра s <С 1. Воспользовавшись приближенным выра-
выражением
s2 s2
dn (z, s) « 1 — — + — cos 2z, s<l,
4 4
найдем, что решение C9.18) переходит в этом случае, как и сле-
следовало, в гармоническую волну
CL\ -\~ CL2 , Cil — CL2	7	7	/ &1
а =	+	cos кх, к = х —.
2	2	'	у 3/3
При этом скорость C9.21) становится равной и = щ — ai/З =
= ЗД — /ЗА;2 в соответствии с C9.1).
Обратному предельному случаю больших амплитуд (в рас-
рассматриваемой модели волн) отвечают значения а,2 —>> 0, причем
параметр s —)> 1. Имея в виду предельную формулу
W 2 1-s2'
найдем, что в этом пределе длина волны возрастает по логариф-
логарифмическому закону
[Ш^	C9.22)
U2
Другими словами, последовательные пучности волны раздвига-
раздвигаются на большие расстояния друг от друга. Профиль волны
вблизи каждой из них получается из C9.18) с помощью пре-
предельного выражения функции dn^ при 5 = 1, справедливой при
конечных значениях z: dnz = 1/ chz. В результате мы возвраща-
возвращаемся к формуле C9.13). Таким образом, в пределе s —>> 1 перио-
периодическая волна разбивается на совокупность следующих друг за
другом удаленных солитонов.
До сих пор мы предполагали, что /3 > 0. Случай, когда по-
постоянная /3 < 0 не требует особого рассмотрения: изменение зна-
знака /3 в уравнении C9.4) эквивалентно замене ? —>• —?, а —>• —а.
Поскольку при такой замене аргумент ? — v$t в C9.5) превраща-
превращается в — ? — vot, то скорость распространения волны будет теперь
и = щ — vq. Так, для солитона полученные выше результаты
изменятся лишь в том отношении, что функция а(?) станет от-
отрицательной, а его скорость и < щ.

§ 39	СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ	197
Уравнение КдВ обладает некоторыми специфическими свой-
свойствами, позволяющими установить для него ряд общих тео-
теорем. Они основаны на формальной связи, существующей меж-
между уравнением КдВ и задачей о собственных значениях урав-
уравнения типа уравнения Шредингера (C.S. Gardner, J.M. Greene,
M.D. Kruskal, R.M. Miura, 1967).
Рассмотрим уравнение
^] = 0	C9.23)
и будем снова для определенности считать, что /3 > 0. Уравнение
C9.23) имеет вид уравнения Шредингера, в котором функция
—а(?, ?) играет роль потенциальной энергии, зависящей от t как
от параметра. Пусть функция а(?,?) в некоторой области ? по-
положительна и стремится к нулю при ? —>• ±оо. Тогда уравнение
C9.23) будет обладать собственными значениями ?, отвечающи-
отвечающими «финитному движению в потенциальной яме — а(?, ?)»; в силу
зависимости функции а от ?, эти собственные значения, вообще
говоря, тоже зависят от t.
Покажем, что собственные значения е не будут зависеть от ?,
если функция а(?, ?) удовлетворяет уравнению КдВ C9.4).
Выразив из C9.23) а в виде
ф
и подставив в C9.4), после прямого вычисления получим
где
Ь2— = и/А-фА')',	C9.24)
dt
-яд-?- ^Ф'Ф" + Ф'" - 1Ф') ;	C9.25)
р at ф	6 J
существенно, что правая часть C9.24) оказывается выраженной
в виде производной по ? от выражения, обращающегося в нуль
при ? —>• zboo (напомним, что собственные функции дискретного
спектра уравнения C9.23) исчезают на бесконечности). Поэтому
интегрирование равенства C9.24) по всем ? от —оо до оо дает
ds r о
и, ввиду конечности стоящего здесь нормировочного интеграла
функции ф, отсюда следует, что de/dt = 0.

198	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Покажем теперь, что уравнение C9.23) имеет всего одно дис-
дискретное собственное значение в случае стационарного «потенциа-
«потенциала» а(?) вида C9.13), отвечающего одиночному солитону. С этим
«потенциалом» уравнение C9.23) имеет вид
(^ ) = О,	C9.26)
\ ch at, )
причем
/ \1/2
С/о = —, а = — .	C9.27)
6/3'	\l2pj	у >
Дискретные собственные значения уравнения C9.26) даются
формулой
еп = -a2(s - п)\ s = U-l + yl+^j , гс = 0,1, 2,... ,
причем должно быть п < s (см. III, § 23, задача 4). Со значе-
значениями параметров из C9.27) 5 = 1, так что имеется всего одно
собственное значение
е = —^-.	C9.28)
12/3	V	J
Если же «потенциал» а(?, ?) представляет собой совокуп-
совокупность солитонов, находящихся на больших расстояниях друг от
друга (так что «взаимодействие» между ними отсутствует), то
спектр собственных значений уравнения C9.23) будет склады-
складываться из «уровней» C9.28) в каждой из потенциальных ям, при-
причем каждый из них определяется амплитудой а\ соответствую-
соответствующего солитона.
Поскольку скорость распространения солитона растет с уве-
увеличением его амплитуды, то солитон большей амплитуды в конце
концов всегда догонит солитон меньшей амплитуды. Произволь-
Произвольная начальная совокупность удаленных друг от друга солитонов
после процессов взаимных «столкновений» в конце концов пре-
превратится в совокупность солитонов, расположенных в порядке
возрастания их амплитуд (напомним, что все возмущения, опи-
описываемые уравнением КдВ, распространяются в одну сторону!).
Полученные выше результаты позволяют сразу же сделать ин-
интересное заключение: начальная и конечная совокупности соли-
солитонов одинаковы по общему числу и по амплитудам солитонов,
отличаясь лишь порядком их расположения. Это следует непо-
непосредственно из того, что каждый из изолированных солитонов
соответствует одному из собственных значений ?, а эти значения
от времени не зависят.
Вообще, всякое положительное (а > 0) начальное возмуще-
возмущение, занимающее конечную область пространства, в ходе своей

§ 39	СОЛИТОНЫ В СЛАБО ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ	199
эволюции, согласно уравнению КдВ, в конце концов распадается
в совокупность изолированных солитонов, амплитуды которых
уже не зависят от времени. Эти амплитуды и число солитонов
можно в принципе найти путем определения спектра дискрет-
дискретных собственных значений уравнения C9.23) с начальным рас-
распределением а@,?) в качестве «потенциала». Если же начальное
возмущение содержит в себе также и участки с а < 0, то в ходе
его эволюции возникает еще и волновой пакет, постепенно рас-
расплывающийся, не распадаясь на солитоны.
Во избежание недоразумений надо, однако, уточнить, что
именно подразумевается под начальным возмущением в уравне-
уравнении КдВ. Реальное возмущение, возникающее в среде в некото-
некоторый момент времени, в ходе своей эволюции (описываемой пол-
полным волновым уравнением второго порядка по времени) распа-
распадается, вообще говоря, на два возмущения, распространяющиеся
в обе стороны оси х. Под «начальным» возмущением для урав-
уравнения КдВ надо понимать одно из этих двух возмущений сразу
после распада.
Задача
Определить коэффициенты аи. /3 в уравнении C9.2) для ионно-звуковых
волн в плазме с Т{ <С Те.
Решение. Коэффициент дисперсии /3 получается из C3.4) разложе-
разложением по малой величине кае\
/3 = а2еи0,
A0 (e/)
При определении же коэффициента нелинейности а можно пренебречь
дисперсией вовсе, т. е. рассматривать предельный случай к —»¦ 0. В этом пре-
пределе плазму можно во всяком случае считать квазинейтральной и соответ-
соответственно описывать ее гидродинамическими уравнениями изотермического
идеального газа C8.3), C8.7). Положив Ni = No +5N, пишем эти уравнения
с точностью до членов второго порядка по малым величинам 5N и v. При
этом в членах второго порядка можно положить v = uoSN/No, как это имеет
место в линейном приближении для волны, распространяющейся в положи-
положительном направлении оси х (uo — скорость волн в линейном приближении).
Тогда уравнения примут вид
dSN лт dv	д ( _лП 2^о s*T
Ь No— =	(vSN) =	-SN
д	д	N
Ь No(vSN)	SN
dt	дх дх	No дх
dv ul ddN ul ^Td5N dv л
	1	= 	oN	v— = 0.
dt No дх 7VO2 дх дх
Дифференцируя первое уравнение по t, второе по ж и исключив d2v/dtdx,
находим
д
U
С той же точностью заменяем производную d/dt в правой части уравнения и
в разности d/dt —иод/дх в его левой части на —иод/дх. Наконец, вычеркнув
в обеих частях дифференцирования д/дх и сравнив получившееся уравнение
с C9.2), найдем
а = uq/Nq.

200	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
§ 40. Диэлектрическая проницаемость вырожденной
бесстолкновительной плазмы
При вычислении в § 29, 31 диэлектрической проницаемости
бесстолкновительной плазмы полностью пренебрегалось всеми
квантовыми эффектами. Полученные таким образом результаты
ограничены, прежде всего, по температуре условием отсутствия
вырождения; для электронов это условие гласит:
K2N2/S
D0.1)
т
2
где ер = —.Vf — граничный импульс распределения Ферми при
2т
Т = 0, связанный с плотностью числа электронов равенством
Зтг2/*3
Кроме того, сама возможность применения к плазме во внеш-
внешнем поле классического уравнения Больцмана связана с опреде-
определенными условиями, наложенными на волновой вектор к и ча-
частоту uj поля. Характерные расстояния изменения поля (~ 1/fc)
должны быть велики по сравнению с де-бройлевской длиной
волны электронов (Н/р), а связанная с этой неоднородностью
неопределенность импульса (~ Нк) должна быть мала по сравне-
сравнению с шириной (~ T/v) области размытия теплового распределе-
распределения электронов. Для невырожденной плазмы j9 ~ T/v ~ (ттт-ТI/2,
так что оба эти условия совпадают. Для вырожденной плазмы
р ~ pf, v ~ vp = рр/т, но поскольку Т < ?/?, то T/v < р. Таким
образом, достаточно потребовать в обоих случаях
Hkv < Т.	D0.2)
Наконец, частота должна удовлетворять условию
Гил) < sF	D0.3)
— квант энергии поля должен быть мал по сравнению со сред-
средней энергией электрона (это условие, впрочем, обычно не играет
роли).
Теперь мы рассмотрим диэлектрические свойства плазмы, от-
отказавшись от выполнения условий D0.1)—D0.3) для ее электрон-
электронной компоненты; ионная же компонента может оставаться невы-
невырожденной. Мы будем вычислять электронную часть диэлек-
диэлектрической проницаемости. При этом будет по-прежнему пред-
предполагаться выполненным условие, обеспечивающее возможность
пренебрежения взаимодействием частиц плазмы:
ё;	D0.4)

40	ПРОНИЦАЕМОСТЬ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ	201
^
1 /3	777-6^
при ? ~ ?/? это условие принимает вид 7Ve ^>	, или
/г2
(ср. V, § 80, IX, § 85).
Отказ от условия D0.2) требует применения с самого нача-
начала квантовомеханического уравнения для матрицы плотности.
Поскольку взаимодействием между электронами пренебрегает-
ся, можно писать замкнутое уравнение сразу для одночастичной
матрицы плотности paiG2(t, ri, Г2) (<7i, <T2 - спиновые индексы).
Будем считать распределение электронов независящим от спина;
другими словами, зависимость матрицы плотности от спиновых
индексов отделяется в виде множителя 6а1(Т2, который мы будем
опускать. Независящая от спина матрица плотности /э(?, ri,r2)
удовлетворяет уравнению
Ш^ = (Н1-Щ)р,	D0.5)
где Н — гамильтониан электрона во внешнем поле, а индексы 1
или 2 указывают переменные (ri или Г2), на которые действует
оператор (см. III, § 14). Это уравнение заменяет собой класси-
классическую теорему Лиувилля (df/dt = 0) для классической одноча-
одночастичной функции распределения.
Будем (как и в § 29) вычислять продольную диэлектрическую
проницаемость. Соответственно этому рассматриваем электри-
электрическое поле со скалярным потенциалом (p(t, г), так что гамиль-
гамильтониан электрона
Н = - —V2-e^(?,r).	D0.6)
2т
Считая поле слабым, полагаем
р = Ро(п - г2) + 5p(t, гь г2),	D0.7)
где ро — матрица плотности невозмущенного стационарного и
однородного (но не обязательно равновесного) состояния газа; в
силу его однородности, ро зависит только от разности R = ri— r2.
Матрица плотности po(R) связана с (невозмущенной) функцией
распределения электронов по импульсам по(р) формулой
по(р) =Яе po(K)e-ip^nd6x,	D0.8)
J
где Ме — полное число электронов (см. IX, G,20)). Здесь п(р)
определяется как числа заполнения квантовых состояний элек-
электронов с определенными значениями импульса и проекции спи-
спина. Число состояний, приходящихся на элемент импульсного про-
пространства d3p и с двумя значениями проекции спина, есть	—.

202	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
Поэтому п(р) связано с использовавшейся ранее функцией рас-
распределения /(р) соотношением
/(р) = MEL.	D0.9)
Подставив D0.7) в D0.8) и отбросив члены второго поряд-
порядка малости, получим линейное уравнение для малой добавки к
матрице плотности:
L at 2m
= -e[tp(t, ri) - tp(t, r2)]po(ri - r2). D0.10)
Пусть1)
ф,т) = <ршке<кг-" *).	D0.11)
Тогда зависимость решения уравнения D0.10) от суммы ri + г 2
(и от времени) можно отделить, положив
др = ехр [гк^±^ - turf] gwk(ri - г2).	D0.12)
Подставив это выражение в D0.10), получим уравнение для
.к\2
Теперь можно перейти в этом уравнении к фурье-
разложению по R. Умножив обе его части на ехр (—ipR/H) и
проинтегрировав по с/3ж, получим (с учетом D0.8))
(где е(р) = p2/Bm)), или
- по(р -
Значение матрицы плотности при ri = Г2 = г определя-
г) Гамильтониан D0.6) должен быть эрмитовым, а потому функция (р в
нем (и, следовательно, в уравнении D0.10)) — вещественной. Но после того
как уравнение D0.10) написано, ввиду его линейности можно его решать для
каждой из комплексных монохроматических компонент поля в отдельности.

§ 40	ПРОНИЦАЕМОСТЬ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ	203
ет плотность числа частиц в системе: N = 2J\T p(t, г, г) (см. IX,
G.19)). Поэтому изменение плотности электронов под влиянием
поля есть
SNe = We6p(t, г, г) = 2Яеег{*г-^ёшъ (R = 0),
или, выразив g-^k(R = 0) через фурье-компоненты,
SNe = 2Яее^~^ Jguk(p)-0-.	D0.14)
Соответствующее же изменение плотности зарядов есть —eSNe.
Диэлектрическая проницаемость вычисляется теперь так, как
это было сделано в § 29: исходя из связи плотности заряда с
вектором диэлектрической поляризации (—eSNe = — divP =
= —ikP) пишем
eSNe = ^^	^±
4тг	4тг
Таким образом, находим следующую формулу для электрон-
электронной части продольной диэлектрической проницаемости плазмы
с функцией распределения электронов п(р) (индекс 0 у которой
теперь опускаем):
/ 7ч .,	4тге2 / п(р + fik/2) — п(р — fik/2) 2dsp /лпчг\
еЛшЛ) — 1 = —	 / ки	'—!¦	к—	'—!-	— D0.15)
V ' '	hk2 J	kv-cj-гО	Bтт/гK V	J
(Ю.Л. Климонтович, В.П. Силин, 1952); обход полюса в инте-
интеграле определяется, как обычно, правилом Ландау.
В квазиклассическом случае, при выполнении условий D0.2),
D0.3), можно разложить функции п(р =Ь Нк/2) по степеням к.
Тогда
/ , Пк\	( Пк\ ы дп(р)
пр + — —nip — — « Hk—^-^
V 2 )	V 2 )	dp
и формула D0.15) переходит (с учетом связи D0.9)) в прежнюю
формулу B9.9). Подчеркнем, однако, что распределение п(р) в
этой формуле может относиться к вырожденной плазме.
Применим формулу D0.15) к полностью вырожденной элек-
электронной плазме при Т = 0, когда п(р) = 1 при р < рр и п(р) = 0
при р > pp. Заменив в двух членах в D0.15) переменную инте-
интегрирования р ± Нк/2 —>• р, получим
-, 	 -±/ю у j	х	1	у 2d p
I
hk2 J [cj+-kv + z0 cj_-kv + zOj BтгЛK
P<PF
где ио± = uo =Ь —. Элементарное, хотя и довольно громоздкое
2m

204	БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА	ГЛ. III
интегрирование приводит к результату
^g	g(w_)},	D0.16)
Up
gM = —
причем логарифм должен пониматься как \n\u\ — гтг, если его ар-
аргумент и < 0; «плазменная частота» Ое определена по-прежнему
как Ое = Dтг7Уее2/?71I/2.
В квазиклассическом пределе, при Нк <С ^f, /io; <C ?f 1M
формула D0.16) приводит к простому выражению, не содержа-
содержащему Н:
( 0	при ио\
D0.17)
Особый интерес представляет статический случай. При ио = 0
выражение D0.16) как функция к имеет особенность в точке, где
Нк совпадает с диаметром ферми-сферы:
Нк = 2pF-	D0.18)
в этой точке аргумент одного из логарифмов обращается в нуль.
Вблизи нее
eri(O,A:) — 1 = ^— fl-fln-1-l ,	D0.19)
|_	IS I J
Покаж:ем, что наличие этой особенности (ее называют поповской)
приводит к изменению характера экранировки поля зарядов в
плазме, которая становится не экспоненциальной2).
Запишем выражение D0.19) в виде
бг@,?;)=/3-с^1п^	D0.20)
е2
где а = 	, а постоянная /3 может включать в себя также и
27TJIVF
не имеющий особенности вклад от невырожденной ионной ком-
компоненты плазмы.
:) При Т = 0 достаточно этих условий. Дело в том, что предельное значе-
значение е\ при hkvF /sf —>- 0 и Т —>- 0 не зависит от порядка перехода к пределу.
Поэтому соотношение между hkvF и Т несущественно.
2) Физические следствия особенности, возникающей при условии D0.18),
были указаны Коном (W. Kohn, 1959).

§ 40	ПРОНИЦАЕМОСТЬ ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ	205
Фурье-компонента поля, создаваемого покоящимся в плазме
малым точечным зарядом ei, выражается через диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость формулой
=
(см. задачу 1 § 31). Для потенциала же <р(г) как функции рас-
расстояния от заряда е\ имеем
оо
tp(r) = [ ^кегкг-f^ = -V Im / №lkr к dk.	D0.22)
у	BттK 2тг2г у
При к —>> 0 функция <p(fc) стремится к постоянному преде-
пределу и не имеет особенности. Поэтому асимптотическое поведение
интеграла в D0.22) при г —>> оо определяется особенностью этой
функции при й& = 2рр. Вблизи нее
enrti2
Вклад этой области в асимптотическое значение интеграла:
оо
ф) « ^g Im (e2*^/*J), J =
ввиду быстрой сходимости (см. ниже) интегрирование по ? мож-
можно распространить от — оо до оо.
Для вычисления интеграла J разделим его на две части —
от — оо до 0 и от 0 до оо — и в каждой из них повернем путь
интегрирования в плоскости комплексной переменной ? до его
совпадения с верхней мнимой полуосью. Положив затем ? = гу,
получим
оо
J = [ e-*PFry/h Г J_ _ ln
J	|
= [
J
о
Разность в квадратных скобках сводится к гтг, так что J =
= т (	) . Окончательно находим
\2pFrJ
Таким образом, потенциал экранированного поля вдали от
заряда осциллирует с амплитудой, спадающей по степенному

206
БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА
ГЛ. III
закону. Этот результат, полученный для вырожденной плазмы
при Т = 0, остается в силе для малых, но конечных температур
на расстояниях г <С -—^.
Задача
Определить спектр электронных колебаний вырожденной плазмы при
Т = 0 в квазиклассической области значений к.
Решение. Зависимость и(к) дает-
дается уравнением ei(u,k) = 0 с е\ из D0.17).
При малых к (kvF < fie) оказывается, что
kvF/ш ^С 1; действительно, разложив ei(u,k)
по степеням этого отношения, получим
Рис. 12
(А.А. Власов, 1938) г) Эта часть спектра со-
соответствует обычным плазменным колебани-
колебаниям (ср. C2.5)).
При больших к (kvF ^> ^е, но по-прежнему hk <C pf) оказывается,
что uj и kvF- Решая уравнение е\ = 0 последовательными приближениями,
получим
[(^)]	B)
(И.И. Гольдман, 1947). Эта часть спектра аналогична нулевому звуку в неза-
незаряженном ферми-газе (ср. IX, D.16)).
Ход спектра показан схематически на рис. 12. Отметим, что везде
uj /к > VF-, а поскольку при Т = 0 нет частиц со скоростями v > vf, to зату-
затухание Ландау строго равно нулю.
:) Отметим, что условие квазиклассичности частоты Qe в вырожденной
плазме (hQe ^ ?f) совпадает с условием идеальности плазмы D0.4).

ГЛАВА IV
СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
§ 41. Интеграл столкновений Ландау
Изучение свойств плазмы с учетом столкновений между ча-
частицами надо начать с вывода кинетического уравнения для
функций распределения электронов и ионов.
Специфика этого случая связана с медленностью убывания
сил кулоновского взаимодействия между заряженными части-
частицами. При буквальном применении больцмановского интеграла
столкновений это обстоятельство приводит к появлению расхо-
димостей в интегралах на больших расстояниях между сталки-
сталкивающимися частицами. Это значит, что существенную роль игра-
играют именно далекие столкновения. Но на больших расстояниях
частицы отклоняются лишь с малым изменением их импуль-
импульсов. Это обстоятельство позволяет придать интегралу столкно-
столкновений вид, подобный тому, какой он имеет в уравнении Фоккера-
Планка. В отличие от последнего, однако, интеграл столкновений
теперь не линеен по искомым функциям распределения. Но от-
относительная малость изменений импульса при столкновениях во
всяком случае означает, что описываемый интегралом столкно-
столкновений процесс можно рассматривать как диффузию в импульс-
импульсном пространстве. Соответственно этому интеграл столкновений
может быть представлен в виде
где s — плотность потока частиц в импульсном пространстве;
задача состоит в выражении этого потока через функции рас-
распределения.
Запишем в виде
число столкновений, испытываемых (в 1 с) частицей с импуль-
импульсом р, с частицами с импульсами р7 в интервале d?pf, причем р
и р7 переходят соответственно в р + q и р7 — q; здесь учтено уже
сохранение импульса при столкновениях. Аргументы ?, г в функ-
функциях распределения для краткости не выписываем. Частицы р
и р7 могут относиться к одному и тому же или к различным ро-
родам частиц в плазме (электроны, ионы). Функцию w будем счи-

208	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
тать выраженной через полусуммы импульсов каждой из частиц
до и после столкновений и через передаваемый импульс q:
w
она зависит, конечно, и от родов сталкивающихся частиц. В силу
принципа детального равновесия B.8), функция w симметрична
по отношению к перестановке начальных и конечных частиц:
/ I Ч. ^ Ч. \	/ i Ч ^ Ч	1	/ /11 1 \
Функция w содержит E-функционный множитель, выражающий
сохранение энергии при столкновениях (сохранение импульса
уже учтено).
Рассмотрим единичную площадку, расположенную в некото-
некоторой точке р импульсного пространства (частиц данного рода),
перпендикулярную осира. По определению, компонента sa плот-
плотности потока есть избыток числа частиц (данного сорта), пере-
пересекающих в единицу времени эту площадку слева направо, над
числом частиц, пересекающих ее справа налево. Перемещение
в импульсном пространстве есть результат столкновений. Если
при столкновении частице передается «-компонента импульса qa
(Qa > 0), то в результате таких столкновений через площадку
пройдут слева направо те частицы, у которых до столкновения
эта компонента лежала в пределах от ра — qa до ра. Поэтому пол-
полное число частиц, пересекающих площадку слева направо, есть
f
а >0
Ра
Суммирование производится по всем сортам частиц, к которым
относятся штрихованные величины (в том числе, конечно, и по
заданному сорту, к которому относятся величины без штрихов).
Аналогичным образом, число частиц, пересекающих ту же пло-
площадку справа налево, можно представить в виде
Ра
Яа >0	Ра-Яа
В силу D1.1), функции w в обоих интегралах одинаковы. По-
Поэтому разность этих интегралов содержит в подынтегральном
выражении разность

§ 41	ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ	209
Воспользуемся теперь малостью передачи импульса q (точ-
(точнее, малостью существенных в интегралах значений q по срав-
сравнению ери р7). Разлагая написанную разность по степеням q,
получим, с точностью до членов первого порядка,
После этого можно уже, с той же точностью, заменить в подын-
подынтегральных выражениях
™ (р + ^ р' - ^5 q) « w(p, р'; q).
Интегрирование же по dpai которое производится по малому ин-
интервалу между ра~Яа и Ра-) можно заменить просто умножением
на величину этого интервала qa. В результате получим
D1.2)
В силу D1.1), ги(р, р7; q) — четная функция q, поэтому четно
и все подынтегральное выражение в D1.2). Это позволяет заме-
заменить интеграл по полупространству qa > 0 половиной интеграла
по всему q-пространству.
Переписывая выражение D1.2), введем также в него вместо
функции w сечение столкновений согласно
wd3q = |v — v;| da.
Как уже было объяснено в связи с записью интеграла столкнове-
столкновений в виде C.9), после этого можно считать, что число независи-
независимых интегрирований уже уменьшено учетом закона сохранения
энергии. Таким образом, плотность потока импульса в импульс-
импульсном пространстве для частиц каждого рода принимает вид
«° = ? / [/(Р)^ " /'(Р')^1 ВаР6?р\	D1.3)
где
Bap = lfqaqp\v-vf\da.	D1.4)
Остается вычислить величины Вар для столкновений частиц,
взаимодействующих по закону Кулона.
При отклонении на малый угол изменение q импульса стал-
сталкивающихся частиц перпендикулярно их относительной скоро-
скорости v — v7. Поэтому и тензор Bap поперечен по отношению к
вектору v — v7:
v's) = 0.	D1.5)

210	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Сразу же отметим, что тем самым автоматически обеспечивает-
обеспечивается обращение потоков D1.3) в нуль для равновесного распреде-
распределения всех частиц. С максвелловскими распределениями / и f
(с одинаковой температурой Т) подынтегральное выражение в
D1.3) становится равным
ff(v'p - vp)Baf3 = 0.
Вектор v — v7 есть в то же время единственный вектор, от
которого может зависеть тензор Вар. Поперечный по отношению
к v — v7 такой тензор должен иметь вид
^	(v - v'J
где скаляр
В = Ваа = - Jg2|v — v'| da.
Пусть х — угол отклонения относительной скорости (угол
отклонения в системе центра инерции двух частиц). При малых
значениях этого угла величина изменения импульса q « /i|v —
— v'|x, где /i — приведенная масса частиц. Поэтому
В = i/i2|v - v;|3 / х2 da = /i2
где
В = i/i2|v - v;|3 / х2 da = /i2|v - v'|3<7t,
at = /A - cos x) do w - / x2 da
— транспортное сечение. Дифференциальное сечение рассеяния
на малые углы в кулоновском поле дается формулой Резерфорда
2@44 2@43
(е, е' — заряды сталкивающихся частиц). Отсюда транспортное
сечение
j х.
Для величин ж:е Вар имеем, следовательно,
lv ""v I |_	(v — v7J
Интеграл L логарифмически расходится. Расходимость на
нижнем пределе связана с физической причиной — медленно-
медленностью убывания кулоновских сил, приводящей к большой веро-
вероятности рассеяния на малые углы. В действительности, однако,

§ 41	ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ	211
в электрически нейтральной плазме кулоновское поле частицы
на достаточно больших расстояниях экранируется другими за-
зарядами; обозначим через Xmin порядок величины минимальных
углов, на которых рассеяние еще можно считать кулоновским.
Расходимость же на верхнем пределе связана просто с тем, что
все формулы были написаны в предположении малости углов и
теряют свою применимость при х ~ 1- Имея в виду слабую чув-
чувствительность логарифма большого аргумента по отношению к
небольшим изменениям последнего, можно выбрать пределы ин-
интегрирования по оценкам их порядков величины, т. е. написать
L = ln(l/xmin).	D1.9)
Эту величину называют кулоновским логарифмом. Сразу под-
подчеркнем, что такой способ его определения ограничивает все рас-
рассмотрение, как говорят, логарифмической точностью: пренебре-
гается величинами, малыми по сравнению не только с большой
величиной l/xmin? но и с ее логарифмом.
Фактическая оценка Xmin зависит от того, должно ли рассея-
рассеяние частиц описываться классически или квантовомеханически
(само же по себе выражение D1.8) справедливо в обоих случаях,
поскольку чисто кулоновское рассеяние описывается формулой
Резерфорда как в классической, так и в квантовой механике 1)).
Экранировка кулоновского поля частицы в плазме происхо-
происходит на расстояниях порядка величины дебаевского радиуса а. В
классическом случае Xmin определяется как угол рассеяния при
пролете на прицельном расстоянии ~ а. Соответствующее изме-
ее' (	\ее'\
нение импульса: q ~ —— ( произведение силы ~ -—L на время
av V	a2
2
пролета ~ z~—) 2)- Разделив его на импульс ~ /J>v0TH, получим
^отн/
|ее'| л,
Xmin ~	. Условие классичности рассеяния дается неравен-
ством	^> 1 (см. III, § 127). Таким образом, имеем
= In	при J—L ^> 1.	D1.10)
:) В квантовом случае при рассеянии одинаковых частиц (электронов)
должен учитываться обменный эффект. Этот эффект, однако, не меняет
предельного вида сечения на малых углах D1.6).
2) Здесь и везде в аналогичных местах ниже vOTU — среднее значение от-
относительной скорости двух частиц, |v — v'|. Если частицы одного рода, то
г>Отн совпадает со средним значением v. Если частицы различного рода, то
г>Отн совпадает с большим изо?;'.

212	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
ее
В обратном предельном случае, когда _ ' <С 1, рассея-
ТШотн
ние должно рассматриваться квантовомеханически, в борнов-
ском приближении. Сечение рассеяния в этом случае выража-
выражается через фурье-компоненту рассеивающего потенциала с вол-
волновым вектором q/й. Вклад в эту компоненту, происходящий от
экранирующего «облака» зарядов (с размерами ~ а), становится
малым при qa/H > 1; именно это есть в данном случае условие
чистой кулоновости рассеяния. Поэтому угол Xmin находится из
условия
	 пи -——	 пи _L
п	п
Таким образом, в этом случае
L ln
Л
При \ее'\ ~ Шотн оба выражения D1.10) и D1.11), естественно,
совпадают.
Выпишем теперь окончательное выражение для плотностей
потоков в импульсном пространстве, подставив D1.8) в D1.3):
х (v ~ v'J<W - (v* - Vg)(p p) d3 /
|v — vr|3
Соответствующие кинетические уравнения:
' DL13)
(е — заряд частиц, к которым относится функция /, т. е. для
электронов надо писать —е, а для ионов ze). Интеграл столкно-
столкновений в логарифмическом приближении для газа с кулоновским
взаимодействием между частицами был установлен Л.Д. Ландау
A936).
Применимость интеграла столкновений Ландау связана с вы-
выполнением определенных условий. Характерные длины 1/fc, на
которых существенно меняется функция распределения, долж-
должны быть велики по сравнению с радиусом экранирования a, a
характерные интервалы времени 1/ио — велики по сравнению с
a/v0TU] в логарифмическом приближении, однако, фактически
достаточно потребовать выполнения этих условий в слабой форме
ка<1, ои<^	D1.14)
а
со знаком < вместо <С. Дебаевский радиус а играет здесь ту
же роль, которую для нейтральных газов играл радиус действия
молекулярных сил.

§ 42	ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ	213
Задача
В § 34 показано, что после того, как возмущения электронной плот-
плотности с волновым вектором к затухнут из-за затухания Ландау, возмуще-
возмущения функции распределения продолжают осциллировать по закону e~?kv?
C4.16). Найти закон затухания этих осцилляции из-за кулоновских столк-
столкновений при временах t ^> l/(kv).
Решение. Ищем функцию распределения в виде
f = fo + Sf, «5/ = a(t,v)e-ikvf+ikr,	A)
где Sf — возмущение равновесного распределения /о; а — медленно меня-
меняющаяся функция скорости (испытывает заметное изменение лишь на ин-
интервалах ~ v ^> —). При подстановке A) в D1.12) в подынтегральном
выражении надо сохранить лишь член
~/о(р ) ' ~ —Ш/(р)/0(р );
ap	m
остальные члены дают малый вклад либо ввиду погашения интеграла, бла-
благодаря наличию быстро осциллирующего множителя ехр (—zkv't), либо вви-
ввиду отсутствия в них множителя Ы ^> 1/гТ. По последней причине надо и
при вычислении divp s дифференцировать только экспоненциальный мно-
множитель. В результате кинетическое уравнение дает
да	2
—- = —KaKpOapt a,
at
причем по порядку величины коэффициенты Ъар ~v2v (у — частота столк-
столкновений). Отсюда
B)
поэтому время затухания колебаний
Поскольку вся теория затухания Ландау имеет смысл лишь при условии
kv ^> is, то Тзат ^С 1/и. Результат B) справедлив лишь при условии малости
показателя в B) по сравнению с показателем kvt в A); для этого должно
быть t ^C (vkv)~1/2. За это время осцилляции затухнут в ехр (—^kv/v) раз.
§ 42. Передача энергии между электронами и ионами
Большая разница между массами электронов т и ионов М
затрудняет обмен энергией между ними: при столкновении тя-
тяжелой и легкой частиц энергия каждой из них почти не меня-
меняется. Поэтому установление равновесия между электронами са-
самими по себе и ионами самими по себе происходит значительно
быстрее, чем между электронами и ионами. В результате легко
возникает ситуация, в которой электронная и ионная компонен-
компоненты плазмы имеют каждая свое максвелловское распределение с
различными температурами Те и Ti (обычно Те превосходит Ti).

214	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Разность температур электронов и ионов приводит к переда-
передаче энергии между обеими компонентами плазмы; определим эту
передачу {Л.Д. Ландау, 1936).
Будем временно обозначать величины, относящиеся к ионам
и электронам, буквами соответственно без штриха и со штрихом.
Изменение энергии ионов (в 1 с в 1 см3 плазмы) дается интегра-
интегралом
— = / е St / d3p = — / е divp s d3p,
или, интегрируя по частям,
^= [s—d3p = fsvd3p	D2.1)
dt J dp P J	P	v ;
(интеграл по бесконечно удаленной поверхности в импульсном
пространстве, как обычно, обращается в нуль).
В суммах D1.3), определяющих потоки электронов и ионов
в импульсном пространстве, остаются лишь члены, соответству-
соответствующие электрон-ионным столкновениям; электрон-электронные и
ион-ионные члены для максвелловских распределений обраща-
обращаются в нуль. Подставив в эти остающиеся члены максвелловские
распределения с температурами Т'иТ, получим для потока ио-
ионов:
Но в силу D1.5) имеем Ba^v'o = Bapvp] сделав эту замену и
подставив поток s в D2.1), найдем
— =(-- — ) / ff'vaveBaed3pd3p'.	42.2
dt \Т T'J J	а р ар	v J
Ввиду малости массы электронов, их скорости в среднем ве-
велики по сравнению со скоростями ионов. Поэтому в Вар можно
положить v'a — va « v'a. После этого величины Вар уже не будут
зависеть от va и в D2.2) можно произвести интегрирование по
d3p:
1 J VaVJ3 d3-- г Я ~ atZ^ ~ Я ~ АТ Т
Таким образом,
/
d3p = - Saf3Nv2 = Saf3N—-.
о	IVl
dE = NTn_l\ f fBd3p'.	D2.3)
dt M \T T) J J	F	K J
Наконец, подставив сюда согласно D1.8) В = 4тге4z2L/v' (ze —
заряд ионов) и заметив, что для максвелловского распределения

§ 43	ДЛИНА ПРОБЕГА ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ	215
получим
<Ш_
dt
Это же выражение с обратным знаком дает убыль энергии
электронной компоненты плазмы, —dE'/dt. Выразив энергию
электронов в единице объема через их температуру согласно
Е' = 3N'Tf /2 и вернувшись к обозначению электронных и ион-
ионных величин индексами е и г, напишем окончательно следующее
выражение для скорости изменения электронной температуры:
dTe_ = Те-Тг	т, =	Те3/2М
dt	reei '	ег 8NiZ2e4LeB7rmy/2'
Фигурирующий здесь кулоновский логарифм равен
№) при -р! »1,
Le={ \ze'x	hvT;	D2.6)
1 (/wTla\	ze2	v ;
In v e при-	 < 1.
\ П /	flVTe
Величина т^ представляет собой время релаксации для установ-
установления электрон-ионного равновесия.
§ 43. Длина пробега частиц в плазме
Мы видели из изложенного в § 41 вывода, что характери-
характеристикой столкновений в кинетическом уравнении служит транс-
транспортное сечение at D1.7). Поэтому именно это сечение должно
фигурировать и в определении длины свободного пробега.
Для электрон-электронных (ее) и электрон-ионных (ег)
столкновений приведенная масса \i ~ m, а поскольку скорости
электронов много больше скоростей ионов, то
/i(ve - v^J ~ mv\e ~ Te.
Для длины пробега электронов получается поэтому оценка
1е	—		D3.1)
6 47re47VL	V }
с Le из D2.6). Множители z в оценках не пишем; предполага-
предполагается, что zi ~ 1. Время свободного пробега электронов те (или
обратная ей величина — частота столкновений ь>е)\
1 le T?/2m^	, ,
те ~ — ~ 	 ~ 	.	D:6.2)
Отметим, что
ае ~ Le

216	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
и в силу условия разреженности плазмы B7.1): 1е ^> ае. Соответ-
Соответственно этому частота столкновений мала по сравнению с плаз-
плазменной частотой электронов:
"е < VTe/o>e = fie-	D3.3)
Аналогичным образом, длина пробега ионов по отношению к
ион-ионным (и) столкновениям:
()	D3-4)
где Li — кулоновский логарифм с ионными величинами вместо
электронных. Соответствующее время пробега:
43.5
Величина те определяет, по порядку величины, время релак-
релаксации для установления локального теплового равновесия элек-
электронной компоненты плазмы, а тц — такое же время для ионной
компоненты. Но хотя частоты vee и ve{ ее- и ei-столкновений од-
одного порядка величины, время те отнюдь не является временем
релаксации для установления равновесия между электронами и
ионами; оно характеризует лишь скорость передачи импульса от
электронов к ионам, но не скорость обмена энергией между ними.
Время же релаксации для электрон-ионного равновесия дается
определенной в предыдущем параграфе величиной т^. Сравне-
Сравнение всех этих времен показывает, что
тее : тц : T?ei ~ 1 : (M/mI/2 : (М/тп).	D3.6)
С помощью длины пробега произведем оценку кинетических
коэффициентов плазмы.
Для оценки электрической проводимости а воспользуемся из-
известной элементарной «газокинетической» формулой. Частицы
(носители тока) с зарядом е и массой m в своем свободном дви-
движении в течение времени т приобретают под влиянием электри-
электрического поля Е «упорядоченную» скорость V ~ теЕ/тп. Плот-
Плотность создаваемого этим движением электрического тока есть
j ~ eNV. Проводимость же (коэффициент пропорциональности
между j и Е) есть, следовательно,
e2Nr e2M	{АЧ ?,
m	шит
причем под /, m и vt следует понимать величины, относящиеся
к более легким частицам — электронам. Оценивая с помощью
этой формулы, имеем
тЗ/2
<г~ 2 е1/2г .	D3.8)
e2m1'2Le

§ 44	ЛОРЕНЦЕВА ПЛАЗМА	217
Коэффициент теплопроводности оценивается аналогичным
образом с помощью газокинетической формулы G.10); основную
роль играют электроны. Имеем ж ~ NeleVTece (гДе се ~ 1 — элек-
электронная теплоемкость), откуда
tD3.9)
В противоположность электро- и теплопроводности, вязкость
плазмы связана в основном с движением ионов, поскольку имен-
именно в ионной компоненте плазмы в основном сосредоточен ее им-
импульс. Сверх того, импульс иона мало меняется при столкнове-
столкновениях с электронами; по этой причине достаточно рассматривать
одни лишь п-столкновения. Согласно (8.11), коэффициент вяз-
вязкости оценивается как r\ ~ NiMliVTi, откуда
5/2
•	D3.10)
Вычисление коэффициентов в выражениях D3.8)—D3.10)
требует решения линеаризованного кинетического уравнения с
интегралом столкновений Ландау, что возможно лишь прибли-
приближенными численными методами. Так, для водородной плазмы
(z = 1) коэффициенты в выражениях для <т, х, т\ оказываются
равными соответственно 0,6; 0,9; 0,4.
§ 44. Лоренцева плазма
При вычислении электронного вклада в кинетические коэф-
коэффициенты плазмы надо, вообще говоря, учитывать как ег-, так
и ее-столкновения. Если, однако, заряд ионов достаточно велик,
роль ei-столкновений может оказаться преобладающей. Действи-
Действительно, сечение ее-столкновений пропорционально (е2J, а часто-
частота таких столкновений vee — еще и плотности электронов 7Ve;
аналогичным образом, частота ei-столкновений пропорциональ-
пропорциональна (ze2JNi = e4^7Ve, так что при z ^> 1 будет и ve{ ^> vee. Плаз-
Плазму, в которой можно пренебречь ее- по сравнению с ег-столк-
новениями, называют лоренцевой. Хотя этот случай и не очень
реалистичен, он интересен как в методическом отношении, так и
по возможным применениям к другим объектам 1).
Ввиду малости скоростей ионов по сравнению со скоростя-
скоростями электронов, в первом приближении можно ими пренебречь,
т. е. считать ионы неподвижными, а их распределение заданным.
В задаче о поведении плазмы во внешнем электрическом поле
:) Например, к слабо ионизованному газу, где вместо ег-столкновений надо
говорить о столкновениях электронов с нейтральными атомами.

218	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
имеется выделенное направление — направление поля Е. Если
электронная функция распределения мало отличается от равно-
равновесной, / = fo(p) + Sfj то малая поправка Sf линейна по полю,
т. е. имеет вид Sf = pl±jg(p). В этих условиях электрон-ионный
интеграл столкновений принимает тот вид, который был придан
в § 11 интегралу столкновений в задаче о диффузии примеси
легкого газа в тяжелом:
St f = -vei(vMf,	D4.1)
)т скорости эффективная частота столк-
uei(v) =Nivalei\	D4.2)
где введена зависящая от скорости эффективная частота столк-
столкновений
(ег)
а а\ ' — транспортное сечение рассеяния электронов на ионах.
Взяв последнее из D1.7) и заменив zNi = 7Ve, получим
?"-	D4-3)
6
Ниже в этом параграфе мы будем писать просто v(v), опуская
индексы ег.
Вычислим диэлектрическую проницаемость лоренцевой
плазмы в пространственно-однородном (волновой вектор к = 0)
переменном (coe~lujt) электрическом поле. Добавка Sf к равно-
равновесному распределению будет зависеть от времени по тому же
закону, и кинетическое уравнение для нее имеет вид
-iuoSf - еЕ^ + u(v)Sf = 0.	D4.4)
dp
Заметив также, что dfo/dp = —v/o/T, находим отсюда
Sf = -^Ev-^_.	D4.5)
Т	1/{V) — IUJ
Диэлектрическая проницаемость определяется соотношением
B9.4): -iooP = j, или
-icjinlE = -е / vSf d3p.	D4.6)
Подставив D4.5) и произведя усреднение по направлениям v (со-
(согласно (vavp) = Sapv2/3), получим
ф;) = 1 _ !?Е?! [^IMlL.	D4.7)
V ;	ЪшТ J ш + w{v)	V ;

44	ЛОРЕНЦЕВА ПЛАЗМА	219
В предельном случае со ^> v x) эта формула дает
?{и) = 1	+ l(v v{v)^	D48)
где усреднение производится по максвелловскому распределе-
распределению электронов. Вычислив это среднее для u(v) из D4.3), по-
получим
ze'LNe Щ_ (a;>>zy)>	D4g)
Напомним, однако, что область справедливости этой формулы
ограничена также и сверху общим условием D1.14) применимо-
применимости логарифмического приближения в интеграле столкновений:
со ^С VTe/ae = ^е — частота должна быть мала по сравнению с
плазменной частотой электронов2).
Формула D4.9) имеет особое значение, так как она справедли-
справедлива при любых (а не только больших) значениях z. Действительно,
при ио ^> v роль столкновений сводится к малым поправкам; ег- и
ее-столкновения можно, следовательно, учитывать независимо.
Но в отсутствие ионов однородное электрическое поле приводило
бы лишь к перемещению всей системы электронов как целого и
столкновения в такой системе не могут вызвать диссипацию (вы-
(выражающуюся мнимой частью проницаемости е11)] последняя обу-
обуславливается в этих условиях только ei-столкновениями, учтен-
учтенными в D4.9).
В обратном предельном случае, когда ио <^i v^ проницаемость
имеет вид
/
'	ЗТ \v{y)
Величина а, фигурирующая в этом предельном выражении, есть
статическая проводимость плазмы (см. VIII, § 58). Вычисление с
u(v) из D4.3) дает для нее
с=Щ^-г.	D4.11)
7г3/2 ze2Lm1'2
Этот результат можно было бы получить, конечно, и путем пря-
прямого вычисления плотности электрического тока
с Sf из D4.5) (при ио = 0).
х) Под v (без указания аргумента) подразумевается значение v{v) при
„ 4тг ze4NeL
v = vt- В данном случае v = 	——.
2) Вычисление е" при ш ^> Qe рассмотрено в § 48.

220	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Вычислим также и другие кинетические коэффициенты ло-
ренцевой плазмы, связанные с ее поведением под влиянием по-
постоянного {ио = 0) электрического поля и градиента температу-
температуры. Предварительно напомним определение этих коэффициен-
коэффициентов (см. VIII, § 25).
Условия теплового равновесия требуют, как известно, наряду
с постоянством температуры также и постоянства вдоль среды
суммы \i + [/, где \i — химический потенциал частиц, a U — их
энергия во внешнем поле. В данном случае речь идет о равнове-
равновесии по отношению к электронам, так что под \i надо понимать их
химический потенциал, a U = — еср, где ср — потенциал электри-
электрического поля. Соответственно этому электрический ток j и дис-
сипативный поток энергии q7 обращаются одновременно в нуль
лишь при условиях Т = const, /i — еср = const, т. е. при VT = 0,
V/i + еЕ = 0. Выражения для j и q' записываются в виде сле-
следующих соотношений, удовлетворяющих указанному условию:
Е + iV/i = -j + aVT,	D4.12)
е	а
q' = q - (V - ^) j = «Tj - xVT.	D4.13)
Здесь а — электрическая проводимость среды, ус — коэффициент
теплопроводности, а — термоэлектрический коэффициент; соот-
соотношение между коэффициентами при VT в D4.12) и j в D4.13) —
следствие принципа Онсагера. Величина (ср — /i/e)j, вычтенная
из полного потока энергии, представляет собой плотность кон-
конвективного потока энергии1).
Для вычисления кинетических коэффициентов исходим из
кинетического уравнения
¦я ¦ я	-V-,-,-	D4.14)
ар	аг
Подставив в него равновесное распределение в виде2)
/о = ехр (^?) ,	D4.15)
получим
?/ = --^-(eE + V//)v + /0-^-vVT.	D4.16)
x) При записи соотношений D4.12), D4.13) в VIII, § 25, было произведено
переобозначение: под ср и Е подразумевались ср — /i/e и Е + V/i/e. Такое
определение, допустимое при феноменологическом подходе, нецелесообраз-
нецелесообразно в кинетической теории, где под — еЕ надо понимать действующую на
электрон силу.
2) Обозначение диэлектрической проницаемости и энергии электрона
mv2/2 одной и той же буквой е вряд ли может привести к недоразумениям.

§ 44	ЛОРЕНЦЕВА ПЛАЗМА	221
Термоэлектрический коэффициент вычисляется по коэффи-
коэффициенту в равенстве j = — аа\7Т при Е + V/i/e = 0. Пишем
и после усреднения по направлениям v находим
а = »*- Л2(м-в)\ = J. L _ <»2*М«))\ .	D417)
Вычисление с v(v) из D4.3) дает1)
)	D4'18)
Для вычисления коэффициента теплопроводности замечаем,
что при j = 0 должно быть Е + V/i/e = a\/T. Подставив это
значение (вместе с а из D4.18)) в D4.16), имеем
Sf = -J— U - ?) vVT.
(y)
Вычисляя с этой функцией поток энергии
получим
NUe{ATe)\	{	)
\ V(v) I
и, наконец,
1^ Т5/2	D4.20)
v	7
Задача
Найти столкновительную часть затухания электронных плазменных
волн.
Решение. Если мнимая часть диэлектрической проницаемости
мала, то вклады в нее за счет затухания Ландау и за счет столкновений
складываются. С учетом последнего е дается формулой D4.9); приравняв е
нулю, найдем ш = Q,e — ij, где коэффициент затухания
г/ы 2л/2^ ze4LNe
7 =
1) В классической статистике химический потенциал содержит член вида
?Т с неопределенной постоянной ? (соответствующей неопределенной ад-
аддитивной постоянной в энтропии). Тем самым возникает и неопределенная
постоянная ?/е в а. Эта неопределенность не отражается, однако, на каких-
либо наблюдаемых эффектах; неопределенные члены (?/е) VT сокращаются
в обеих частях равенства D4.12).

222	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Отношение
7 _ vZzl
пе~ з \ т€
в силу условия разреженности плазмы; этим оправдывается применение
D4.9).
§ 45. Убегающие электроны
Быстрое убывание кулоновского сечения с увеличением ско-
скорости сталкивающихся частиц приводит, как мы увидим, к то-
тому, что уже в сколь угодно слабом электрическом поле функция
распределения достаточно быстрых электронов в плазме оказы-
оказывается сильно искаженной.
Двигаясь с тепловой скоростью v, за время своего свободного
пробега электрон в электрическом поле Е приобретает упорядо-
упорядоченную скорость
лг eEl	eE	vsmE
mvNecrt(v) 4тге3 LN
(сечение at из D1.7)). Уже при v ~ vc, где
()
V тЕ )
D5.1)
скорость V ~ v, а при v > vc длина и время пробега определя-
определяются уже скоростью V. Импульс, приобретаемый электроном за
время пробега, будет при этом
eEl	eE	Vsm2E	лт(^
mV —
V VNedtiV) 4тге3 LNe	\v(
Импульс же, отдаваемый электроном при столкновении в кон-
конце пробега, ~ mV. Отсюда видно, что электроны с достаточ-
достаточно большими скоростями будут неограниченно ускоряться; такие
электроны называют убегающими. При условии vc ^> (Te/mI'2
это явление будет наблюдаться лишь в «хвосте» максвелловского
распределения; электрическое поле должно для этого удовлетво-
удовлетворять условию
Я«Яс = 1![?!р.	D5.2)
В этих условиях задачу об убегающих электронах можно ре-
решать как стационарную. Основная масса электронов, распре-
распределенных по Максвеллу, играет роль большого резервуара, из

§ 45	УБЕГАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОНЫ	223
которого «течет» стационарный малый поток в сторону больших
энергий г).
Уже из происхождения убегающих электронов как резуль-
результата направленного ускорения их электрическим полем очевид-
очевидно, что они движутся в основном под малыми углами в к на-
направлению поля. Если, однако, поставить себе целью вычисление
лишь величины потока убегающих электронов, полное определе-
определение функции их распределения не требуется; достаточно опреде-
определить усредненное по углам распределение / по энергиям.
Кинетическое уравнение для распределения электронов по
импульсам в электрическом поле имеет вид
f-eEg + divps = O,	D5.3)
где s — плотность столкновительного потока в импульсном про-
пространстве. В сферических координатах р, #, ср в импульсном про-
пространстве (с полярной осью вдоль силы —еЕ) имеем
т-, / cos в д 2 ?	1 д • 2 л ?\
= еЕ	р f —	sm в • f
\ р2 dp J Psm6d6	J J
Дивергенция же потока
1 д 2 , 1 д • л
s = — —р sp + ——— sine • S0.
р2 dp	p sm в дв
Усредним уравнение D5.3) по углам, т. е. умножим его на
27rsin#d#/D7r) и проинтегрируем. Все члены с производными
д/дв при этом выпадают; множитель же cos в можно, в первом
приближении, заменить единицей. В результате для усредненной
функции / получим уравнение
f + e4^P27+^P% = 0.	D5.4)
at р2 ар	р2 ар
В нем остается лишь радиальная компонента плотности потока в
импульсном пространстве. Эта компонента связана с передачей
энергии при столкновениях; вклад ei-столкновений в нее, оче-
очевидно, мал по сравнению с вкладом ее-столкновений.
Поскольку убегающие электроны составляют лишь очень ма-
малую долю всех электронов, при вычислении потока sp надо учи-
учитывать их столкновения лишь с основной массой максвелловских
1) Явление убегающих электронов было указано Дрейсером (Н. Dreicer,
1958), а излагаемая здесь количественная теория дана А.В. Гуревичем
(I960).

224	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
электронов (а не друг с другом); скорости последних малы по
сравнению со скоростями убегающих электронов. В этих усло-
условиях нет необходимости заново вычислять поток sp. Для него
можно написать выражение
sp = -Teuee(v)m Ы + J^-f]	D5.5)
[dp mTe J
непосредственно по аналогии с ранее выведенной формулой
B2.5); здесь vee(v) = -^—— — частота кулоновских столкнове-
m2vs
ний быстрых электронов с медленными (ср. D4.3)) х). Поскольку
выражение D5.5) относится к электронам со скоростями v ~ vCi
то и для кулоновского логарифма полагаем
L = \n(mv2ca/e2).	D5.6)
Величина	_	_
Sp = sp + eEf	D5.7)
представляет собой, как это ясно из вида уравнения D5.4), пол-
полную (от столкновений и от действия поля) плотность радиаль-
радиального потока в импульсном пространстве. Согласно сказанному
выше, распределение убегающих электронов можно искать как
стационарное, т. е. пренебрегая производной по времени в кине-
кинетическом уравнении D5.4). Тогда
4:7rp2Sp = const = пуб-	D5.8)
Это равенство (с ~sp из D5.5)) представляет собой дифферен-
дифференциальное уравнение, определяющее функцию распределения /.
Постоянная же пуб дает искомую величину — полное число убе-
убегающих (в единицу времени в единице объема) электронов.
Введем безразмерную переменную и и безразмерную посто-
постоянную b согласно определению
и = р/Рс, Ъ = Е/Ес, рс = (mTe/bI/2.	D5.9)
Тогда уравнение D5.8) принимает вид
_М_A_^у = с	(А5.Щ
и du
(постоянная С отличается от пуб постоянным множителем). По-
Поскольку предполагается, что поле Е <^ Ес, то параметр 6 < 1;
:) При выводе формулы B2.5) были использованы только малость пере-
передачи энергии при столкновениях и малость скорости частицы-мишени по
сравнению со скоростью налетающего электрона. Для перехода к данному
случаю достаточно заменить в B2.5) М на т, а под длиной пробега / пони-
понимать длину пробега по отношению к ее-столкновениям.

§ 46	СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ	225
эта величина играет в рассматриваемой задаче роль малого па-
параметра, характеризующего степень приближения 1).
Решение уравнения D5.10):
D5.11)
о г
где
и
и
О F
F =	^	ехрA(^-г/))	D5.12)
— решение однородного уравнения. Нормировочный множитель
в F определен из условия, чтобы при и —> 0 функция / перехо-
переходила в максвелловское распределение
При и —> оо функция F неограниченно возрастает, между тем
как f(u) должна оставаться конечной. Отсюда получаем условие
f/F —>> 0 при и —)> оо, из которого определяется постоянная С2):
-1
С =
Ne
/ехр \ — — ( — — и2) \ udu
р I 2Ъ \ 2	J i
D5.13)
Lo
Интеграл вычисляется методом перевала путем разложения
показателя экспоненты вблизи точки его максимума, и = 1. Та-
Таким образом, получается следующий закон зависимости числа
убегающих электронов от напряженности поля Е:
пуб - Neuee(vTe) ехр (-Ц) •	D5.14)
Предэкспоненциальный множитель написан здесь лишь по раз-
размерности; более точное вычисление лежит вне рассмотренного
приближения и требует решения кинетического уравнения с са-
самого начала с большей точностью.
§ 46. Сходящийся интеграл столкновений
Кинетическое уравнение с интегралом столкновений Ландау
позволяет решать задачи физики плазмы лишь с логарифми-
:) В частности, анализ угловой части кинетического уравнения показыва-
показывает, что направления движения убегающих электронов лежат в области углов
2) Формулировка граничных условий здесь аналогична формулировке в
§ 24.
8 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

226	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
ческой точностью: большой аргумент кулоновского логарифма
не вполне определен. Эта неопределенность связана с расходи-
расходимостью интегралов на больших и малых углах рассеяния. Как
уже указывалось, расходимость на больших углах не имеет прин-
принципиального характера: она появляется лишь в результате про-
произведенного при выводе разложения по степеням передаваемо-
передаваемого импульса q; в самом интеграле столкновений Больцмана эта
расходимость отсутствует. Расходимость же на малых углах воз-
возникает в результате неучета экранирующего действия плазмы
на взаимное рассеяние частиц в ней. Для вычисления интеграла
столкновений с более высокой, чем логарифмическая, точностью
необходимо последовательно учитывать экранирование с самого
начала (а не только при определении области интегрирования в
кулоновском логарифме).
В § 41 было уже указано, что условия применимости инте-
интеграла столкновений с экранированным взаимодействием между
заряженными частицами требуют, чтобы функции распределе-
распределения мало менялись за времена ~ tt/^отн и на расстояниях ~ а.
Эти же условия позволяют рассматривать экранировку зарядов
макроскопическим образом как результат диэлектрической по-
поляризации плазмы.
Мы рассмотрим поставленную задачу в двух предельных слу-
случаях: 1) когда к столкновениям частиц применимо квантовоме-
ханическое борновское приближение и 2) когда процесс столкно-
столкновения квазиклассичен.
Борновский случай. Начнем с первого случая, имеющего
место при условии
¦М- « 1.	D6.1)
Влияние, оказываемое диэлектрической средой на рассеяние
частиц, наиболее ясным образом формулируется на языке диа-
диаграммной техники. В борновском приближении рассеяние двух
частиц описывается (в нерелятивистском случае) диаграммой 1)
p+q	p-q
D6.2)
Р	Р
где штриховой линии отвечает функция 47r/q2 — компонента Фу-
г) Как и в § 41, буквы без штриха и со штрихом относятся к двум сталки-
сталкивающимся частицам (одного и того же или разных сортов).

§ 46	СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ	227
рье кулоновского потенциала единичного заряда (q — передавае-
передаваемый при рассеянии импульс). Наличие среды сказывается лишь в
замене этой функции на компоненту потенциала в среде	,
где еар(ио, q/й) — тензор диэлектрической проницаемости среды,
причем fvuj совпадает с передаваемой энергией (ср. IX, § 85). Со-
Соответственно и в амплитуде рассеяния появится дополнительный
2
множитель —	, а в сечении — квадрат его модуля. Таким об-
qaqpSap
разом,
da = dape3 q4	D6.3)
\?aCqaqC\2
Для простоты мы будем предполагать далее плазму изотроп-
изотропной. Для такой плазмы тензор еар сводится к двум скалярам (et
и ?/), причем в произведение
входит только один из них; мы будем опускать индекс /, подра-
подразумевая под е продольную проницаемость.
Таким образом, сечение рассеяния принимает вид
da = d(Tpe3 ,	D6.4)
где dape3 — обычное резерфордовское сечение для рассеяния в
пустоте1). Отметим также, что передаваемая при столкновении
энергия связана с передачей импульса равенством
Пш = qV,	D6.5)
где V — скорость центра инерции сталкивающихся частиц 2). Ве-
Величина же вектора q связана с углом рассеяния х в системе цен-
центра инерции обычной формулой
q = 2/i|v- v'lsin^,	D6.6)
mm
где fjL =
m + m!
г) Для рассеяния тождественных частиц (на не малые углы) под dape3
следует понимать сечение кулоновского рассеяния с учетом обменных эф-
эффектов (см. III, § 137).
2) В этом легко убедиться, выразив скорости частиц v и v' через V и
скорость относительного движения v — v' и учтя, что при рассеянии V и
v — v'l не меняются.

228	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Интеграл столкновений, автоматически правильно учиты-
учитывающий большие и малые углы рассеяния и свободный от рас-
расходимости, получается подстановкой D6.4) в обычный больцма-
новский интеграл:
st / = Е /{/(р+ч)/'(р' - ч) - /(^/(pO}1^1^;3; D6-7)
суммирование производится по всем родам частиц, к которым
относятся штрихованные величины.
Кинетическое уравнение с интегралом столкновений D6.7)
очень сложно — не только в силу невозможности разложения
подынтегрального выражения по степеням q, но и ввиду того,
что диэлектрическая проницаемость плазмы сама определяет-
определяется через искомые функции распределения. Существенное упро-
упрощение достигается лишь в случае слабого отклонения от рав-
равновесия, когда допустима линеаризация кинетического уравне-
уравнения. Тогда проницаемость должна вычисляться с равновесными
функциями распределения и, таким образом, не зависит от ис-
искомых поправочных функций.
Квазиклассический случай. Перейдем к обратному пре-
предельному случаю, когда
> 1	D6.8)
и для рассеяния частиц применимо квазиклассическое прибли-
приближение. В этом случае нельзя учесть влияние среды на рассеяние
единым образом при малых и больших углах рассеяния (как это
было возможным в борновском случае); поэтому придется рас-
рассмотреть эти две области отдельно и затем «сшить» результаты
при промежуточных углах.
Поле заряда е, движущегося со скоростью v в диэлектриче-
диэлектрической среде, определяется уравнением
divD = 4тге?(г — vt).
В компонентах Фурье находим отсюда для потенциала поля 1):
= 4тге
'79/174
A;2s(kv, к)
г) Вывод формулы D6.9) предполагает линейность связи между D и Е и
тем самым достаточную малость поля. Это условие во всяком случае выпол-
выполняется (в слабо неидеальном газе) на расстояниях г > а, от которых как раз
и происходит расходимость интеграла, для устранения которой мы имеем
в виду воспользоваться формулой D6.9). Этим расстояниям отвечают зна-
значения к < 1/а, для которых диэлектрическая проницаемость существенно
отличается от 1.

§ 46	СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ	229
При малых углах рассеяния изменение импульса частицы да-
дается (см. I, § 20) классической формулой
--/?*•
D6.10)
где U — энергия взаимодействия двух частиц, а интегрирование
производится вдоль прямолинейной траектории г = р + v't (р —
вектор прицельного расстояния) 1). Выразив энергию U = е'ср в
виде интеграла Фурье
U = 4тгее' / -	—	D6.11)
J к2е(и,к) BтгK	V	'
(причем uj = kv) и подставив в D6.10), получим
Внутренний интеграл дает 	^-, где к\\ — проекция вектора к
|v-v'|	"
на направление v — v7. Устранив затем E-функцию интегрирова-
интегрированием до dfc||, найдем
= 4тггее/ f
Iv-v'iy
2k
(и,к±) BттJ'	^ ' j
где к^ (как и р) — двумерный вектор в плоскости, перпендику-
перпендикулярной v — v7. При этом и частота
ш = k±v = k±V.	D6.13)
Ниже в этом параграфе мы будем опускать индекс _L, подразу-
подразумевая везде под к указанный двумерный вектор.
Вычислим теперь с помощью D6.12) величины
Bap = ljqaqp\v-v'\d2p,	D6.14)
входящие в интеграл столкновений, разложенный по степеням
малого q (сечение da в D1.4) написано здесь в виде прицельной
площади d2p). Написав произведение двух интегралов D6.12) в
виде двойного интеграла (по dPkdPk'), выполняем интегрирова-
интегрирование по d2p согласно
Pp = BпJ6(к + к7).
) Безразлично, как вычислять величину q: как изменение импульса каж-
каждой из сталкивающихся частиц, или как изменение импульса их относитель-
относительного движения.

230	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
После этого интегрирование по сРк1 просто устраняет E-функцию
и остается	2 /2 «	2
Б = 2е е / ^^ k	D6.15)
(здесь использовано также, что согласно B8.9) е(—оо,к) =
= ?*(cj, к)). Эти интегралы уже сходятся при малых к (поскольку
\е\~2 ->0 при о;, к -^ОI).
В D6.15) входит проницаемость при отличной от нуля часто-
частоте uj = kV; имея в виду это обстоятельство, иногда говорят, что
эта формула учитывает эффект динамического экранирования.
Обратим внимание на зависимость подынтегрального выра-
выражения в D6.15) от направления V через аргумент kV функции е.
Эта зависимость исчезает при вычислении интеграла в логариф-
логарифмическом приближении, когда интегрирование ограничивается
областью от k ~ 1/а до к ~ fw2/\ее'\. Основную роль в интеграле
играют значения А;, далекие от обоих этих пределов; в этой обла-
области значений имеем |б|2 = 1 и интеграл сводится к f kakp d2k/kA.
Усредняя подынтегральное выражение по всем направлениям к
в плоскости, перпендикулярной v — v7, мы вернемся к прежнему
выражению D1.8) с L = / dk/k.
Для устранения расходимости при больших передачах им-
импульса надо, как уже указывалось, произвести «сшивку» разло-
разложенного по степеням q интеграла столкновений с неразложен-
ным интегралом (J. Hubbard, 1961; О. Аопо, 1962).
Рассмотрим разность
SW-StB/,	D6.16)
где Stjm есть искомый сходящийся интеграл столкновений, а
Ste дается выражением D6.7), которое в борновском случае
представляет собой правильный интеграл столкновений, но здесь
играет лишь вспомогательную роль.
Разделим весь интервал изменения угла рассеяния на две
области:
I) Х<Хъ П) х>Хъ
причем xi выбрано так, что
^^«Х1«1.	D6.17)
При классическом рассеянии на малые углы в кулоновском
поле, угол х связан с прицельным расстоянием р соотношением
2|ее'|
//(v- v'JX
) Устранение расходимости в интеграле столкновений Ландау, связан-
связанной с экранировкой кулоновского поля, принадлежит Балеску и Ленарду
(R. Balescu, 1960; A. Lenard, 1960). Полностью сходящееся выражение D6.7)
было написано А.А. Рухадзе и В.П. Силиным A961).

§ 46	СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ	231
Поэтому значению X = Xi отвечает (при условии D6.17)) зна-
значение р = р\ <С а, так что на этом расстоянии экранировка
несущественна и рассеяние действительно можно считать чисто
кулоновским. То же самое относится и ко всей области р < р\
(т. е. х > Xi)- Сечение рассеяния в этой области будет, следова-
следовательно, резерфордовским, и соответствующий вклад в интеграл
столкновений есть
X>Xi
Но точно таков же вклад области х > Xi B интеграл D6.7): в
этой области q > q\, причем в силу условия D6.8)
Qi
»к
h	h	HvothCl a
и потому в D6.7) можно положить \е\2 = 1. Таким образом, вклад
в разность D6.16) возникает только от области х < Xi (p > Pi),
которую и остается рассмотреть.
Во всей этой области передача импульса мала, так что интег-
интеграл столкновений можно разлагать по степеням q. Входящие в
разложенный StKJI величины Вар вычисляются как интегралы
D6.14) с q из D6.12). Вклад в эти интегралы от области р> р\
равен
?\ D618)
pi	^0	0
где в качестве пределов в двойных интегралах (по сРр и сРк)
условно указаны пределы по р и к. Перепишем величины Fap
тождественным образом в виде
/ qi/H
Ы J ..,
\ 0
pi /qi/
-fd2p( J
о V о
oo /
+ J dpi
pi \
oo
+ f d'
pi
i2l
in
'oo
/
,0
\ /
A I
ь I \
/ a\
..d2k
...d2,
f oo
/.
qi/П
I ¦
0
\ /
) (
k) (
/ a
..d2k
qi/h
I "
0
( 00
/¦
^91/ft
\ /
k)
J у
1 C
.d2k
..d2
qi/h
I ¦
, 0
D6.19)

232
СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Первый член в D6.19), будучи преобразован как при выводе
D6.15), дает в D6.18) вклад
qi/h
2(ее'J
|v - v'
f
J
Это выражение как раз совпадает с тем, которое получилось бы
при разложении интеграла D6.7), взятого по области \ < Xi Х); B
интересующую нас разность D6.16) оно, следовательно, не дает
вклада.
Для преобразования остальных членов в D6.19) замечаем,
что в их подынтегральных выражениях можно положить е = 1:
интегралы остаются при этом сходящимися, и их значения опре-
опреб	к /fi	Ь	\\
р
деляются областью к
,
*, в которой Ь>1 и потому
Существенно также, что в силу условия D6.8) параметр
1.
М»1,	D6.20)
Н	flV отн
поэтому надо сохранить только члены, остающиеся конечными
при qipi/H —>> оо. В этом пределе третий и четвертый члены в
D6.19) обращаются в нуль. Таким образом, остается лишь
- (Bafi)lB =
iA D6.21)
где индексы «кл» и «Б» указывают, что значения Вар относятся
соответственно к разложениям интегралов StKJI и Ste-
Каждый из двух интегралов по d2к направлен вдоль векто-
вектора р; после интегрирования по этим направлениям (в плоскости,
перпендикулярной v — v7) получим для разности D6.21) взятое
с обратным знаком выражение вида D1.8) с
Р\	г qi/h27r	-. 2
L= f pdp -?- Г f cos (peikpcosvdtpdk\ .
о
о о
г) Резерфордовское сечение рассеяния на малые углы, выраженное че-
через q, имеет вид
¦d q
(использовано, что q и /i|v — v'|x, do и 	).
V	n,2(v — vM2 /

§ 46	СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ	233
Воспользовавшись известным интегральным представлением
функций Бесселя и равенством Jq(x) = — Л(ж), переписываем
этот интеграл в виде
L = fpdp\ f J1(kp)dk\ = f
о L о	Jo
или, после интегрирования по частям,
оо
L = In ^i + 2 / Ji(x)[J0(x) - ]
/г	О
Здесь учтено, что параметр piqi/H (уже не содержащий вспо-
вспомогательной величины xi) велик; соответственно этому заменен
бесконечностью верхний предел в оставшемся интеграле, а в пер-
первом члене положено Jo(qipi/fi) ~ 0. С помощью значений
оо
/ Ji(x)lnxdx = -C + ln2,
о
оо
/ Jo(ж) Ji(x) Inxdx = -(In2 - С)
о	2
(где С = 0, 577... — постоянная Эйлера; 7 = е° = 1? 78...) и с
учетом D6.20) окончательно найдем
-.	D6.22)
Подводя итог произведенным вычислениям, приходим к ре-
результату, что в квазиклассическом случае лишенный расходимо-
стей интеграл столкновений может быть представлен в виде
SW = StB/-SW,	D6.23)
где Ste дается формулой D6.7), a Stji — интеграл столкновений
Ландау с кулоновским логарифмом D6.22). Подчеркнем, что в
последнем |v — v;| — точная переменная величина, а не среднее
значение ^Отн-
В силу сделанных при выводе пренебрежений, этот резуль-
результат справедлив, конечно, лишь с «улучшенной логарифмической
точностью»: кинетическое уравнение с интегралом столкновений
D6.23) позволяет улучшить точность вычислений лишь в смысле
определения точного коэффициента в аргументе большого лога-
логарифма (с этой точностью, разумеется, из всех ответов выпада-
выпадает ^, играющее в D6.23) лишь роль вспомогательного параметра).

234	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Задачи
1. В борновском случае с улучшенной логарифмической точностью
вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости однозарядной
(z = 1) равновесной (Ti = Те) плазмы для частот w > i/ej-
Решение. При вычислении е" при условии ио ^> v надо учитывать
только ег-столкновения (как это было объяснено в связи с выводом D4.8)).
Поскольку интеграл столкновений D6.7) отличается от обычного интеграла
Больцмана только множителем \г ~ перед dape3, искомое г" может вычис-
вычисляться по той же формуле D4.8):
„	4тге2NiNe
61
(Ve(<rt)i)e,	A)
где (... )е или (... )i означают усреднение по равновесному распределению
скоростей электронов ve или ионов Vj. Отличие от произведенных в § 44
вычислений будет состоять лишь в том, что at определяется теперь как
|
=J(l-
at=J(l-c0SX)
B)
и в необходимости усреднения at по скоростям ионов (которыми в этом месте
пренебречь, конечно, нельзя); в аргументе ш = qV//i функции е скорость
центра инерции электрона и иона приближенно заменена скоростью иона.
Резерфордовское сечение записываем в виде
(ze2Jm2 2тг sin XdX 8фе2Jгп2 А
аарез = 	—	. 4/ /оч = 	Г1	 q'	^
Api sm4(x/2)	p2eq3
где
X	Q2
q = 2pesm-, 1-cosx=t-t, 0 ^ q ^ 2pe
2	2p?
(pe = mve — импульс электрона).
Функция s(cj, q/h) — 1 определяется формулой C1.11) и складывается из
электронной и ионной частей. Поскольку ее аргумент в B) huj = qv^ ^C qve,
то электронную часть можно взять при и = 0; тогда
V ft fi/	g2al
— проекция Vj на q; учтено, что при ^ = 1 a^ = ae).
Подставив (З) и D) в B), после очевидных замен переменных получаем
pj
У /
О
(F = F' + zF/r). Интегрирование по с/? выполняется элементарно, а при
подстановке пределов надо учесть, что h2/(plal) <C 1, и отбросить все чле-
члены ~ h2/(plal) и выше. В результате получается
. . 4тге4 Г 2mveae 1	. ч
где

§ 46	СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ	235
(учтено, что F (?) — четная, F (?) — нечетная функции ?); численное вы-
вычисление дает А = —0, 69.
Усреднение в A) производится с помощью формул
v I
(С — постоянная Эйлера). Окончательно находим
e4Ne ?1*	а
L Ll
3	С
In ав = - In 2	h A = In 1, 06	F)
(В.И. Перель, P.M. Элиашберг, 1961).
2. To же в квазиклассическом случае.
Решение. Согласно D6.23) выражение для at в квазиклассическом
2
случае получается вычитанием 1п( -— ) из логарифма в E):
о Л
7ez
Для г" получается формула F) с логарифмом
LKJI = In е , 1пакл = 21п2 - 2С + А = 1п0,63	(8)
е2
вместо Ьв-
3. С улучшенной логарифмической точностью определить скорость пе-
передачи энергии от электронов к ионам однозарядной (z = 1) плазмы, считая
разность температур электронов и ионов малой (ST = Те — Т{ <^ Те) х).
Решение. Ввиду малости отношения тп/М (а тем самым малости
передачи энергии в каждом акте), заранее ясно, что уравнение для функ-
функции распределения электронов сводится к уравнению типа Фоккера—Планка.
Оно имеет вид (см. § 21)
dfe 1 О Г 2с>/ ч Г^/е Ve ?
	 =	\ РеВуРе)	1	/б
dt pi дре {	[дре Ti
Умножим это уравнение на —— и проинтегрируем по 4тгре dpe • После инте-
2тп
грирования по частям получаем для скорости изменения энергии электро-
электронов:
Считая функцию распределения электронов максвелловской, а разность
температур малой, находим
dEe	/1	1 \ [ „ 2 о ,Я	ST ,т /т, 2 ч	/Qx
х) Этот вопрос рассматривался P.P. Рамазашвили, А.А. Рухадзе и
В.П. Силиным A962).

236	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Коэффициент В, как ив B1.11), выражается через средний квадрат изме-
изменения импульса электрона при столкновении с ионом:
В = Е(оУ2 = ]-NiVe Л(Аре)% da.	A0)
zot	2
Величину же Аре находим из равенства D6.5):
Подставляя в A0), а затем в (9) и используя связь q с углом рассеяния \ из
задачи 1, получаем
^± = -6SNm^vl{vfqat)i)e (Nl=Ne=N).	A1)
Формула A1) вполне аналогична формуле A) задачи 1, и дальнейшие
вычисления поэтому практически те же самые. В борновском случае имеем
4тге4Т Г 2mveae
{viqcrt)i = 9n/r In
П
где А\ — интеграл, отличающийся от А задачи 1 дополнительным множите-
множителем 2^2 под знаком интеграла (численный расчет дает А\ = —0, 52). Усред-
Усреднение по скоростям электронов производится, как в задаче 1. Окончательно
dEe	Ау2/тггпN е	1/2
	 —	L/b$T, Lb — In @в(тпТ) ае/м),	A2)
dt	MTS/2
где
3	С
ln/Зв = -In 2	\-Аг= In 1,26.
2	2
Аналогично в квазиклассическом случае получаем формулу вида A2), но с
заменой Lb на
Ькл = In (Tae/We2), Ь/Зкл = 2 In 2 - 2С + Ai = lnO, 75. A3)
Формулы A2), A3) уточняют результаты § 42, определяя (для случая малой
разности температур) численный множитель под знаком логарифма в D2.6).
§ 47. Взаимодействие через плазменные волны
В некоторых случаях учет динамического экранирования ку-
лоновского взаимодействия частиц в плазме приводит не только
к уточнению аргумента кулоновского логарифма, но и к каче-
качественно новым эффектам. Для их изучения представим интеграл
столкновений в виде, точно учитывающем вклад от рассеяния на
малые углы и лишь с логарифмической точностью — вклад от
рассеяния на большие углы.
В квазиклассическом случае большие углы рассеяния (% ~ 1)
происходят от малых прицельных расстояний:
Р^ -!=rL

§ 47	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧЕРЕЗ ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ	237
Искомый интеграл столкновений имеет вид интеграла Ландау с
величинами Вар из D6.15):
> _ 2(ее'J [ kakpd
«f> ~ |7^| J *4|e(kV,
где интегрирование производится по области до
—2
\ее'\
В обратном, борновском случае искомая форма интеграла
столкновений получается путем разложения подынтегрального
выражения в D6.7) по степеням q. В результате снова прихо-
приходим к интегралу Ландау с величинами Ва^ дающимися той же
формулой D7.1) с тем лишь отличием, что теперь
^	D7.3)
(значение к = q/H при передаче импульса q ~ /J>v0TB). Напомним
снова, что физический смысл обрезания на больших значениях
к один и тот же в классическом и борновском случаях — обреза-
обрезание производится на углах рассеяния х ~ lj разная связь меж-
между А; и % в этих случаях приводит, однако, к разным выражениям
для /стах.
Интеграл столкновений Ландау с величинами Bap из D7.1)
называют интегралом Балеску-Ленарда 1). Перепишем D7.1) в
более удобном для последующего виде:
оо
Ва0 = 2(ее'J [ [ 5(и-ку)ё(щ-клг')каке<13Ыш, D7.4)
где теперь интегрирование производится по трехмерным (вместо
двумерных) векторам к. Две E-функции в подынтегральном вы-
выражении обеспечивают равенство kv = kv7, т. е. поперечность к
по отношению к v — v7. Интегрирование же по duo заменяет ар-
аргумент ио в б(о;, к) требуемым значением ио = kv = kv7 = kV.
Обратим внимание на то, что множитель \е(ио, к)\~2 в подын-
подынтегральном выражении в D7.4) обращается в бесконечность при
тех значениях ио = kV и к, для которых е(оо,к) = 0, т. е. при зна-
значениях, отвечающих закону дисперсии продольных плазменных
волн. Эти значения к могут внести большой вклад в интеграл
столкновений. Физически этот вклад можно описать как резуль-
результат взаимодействия между частицами, осуществляемого путем
Формальный вывод этого интеграла будет дан в конце § 51.

238	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ	ГЛ. IV
испускания и поглощения ими плазменных волн. Эффект, одна-
однако, будет значительным, лишь если в плазме имеется достаточно
много частиц, скорости которых сравнимы с фазовой скоростью
волн Уф = ои/к или превышают ее (только для таких частиц мо-
может выполняться требуемое соотношение ио = kV).
Рассмотрим плазму, в которой электроны и ионы имеют каж-
каждый свою температуру Те и Т{. При Те ~ Т{ в плазме могут
распространяться (без заметного затухания) только электронные
плазменные волны, фазовая скорость которых г^ф ^> Уте\ чис-
число электронов, могущих «обмениваться» волнами в этом случае,
следовательно, экспоненциально мало.
Если же Те ^> Т{, то в плазме могут распространяться также
и ионно-звуковые волны, фазовая скорость которых удовлетво-
удовлетворяет неравенствам
vn < ^ < vTe-	D7.5)
Эти волны могут дать существенный вклад в интеграл столкно-
столкновений между электронами (В.П. Силищ 1962).
Выделим из электрон-электронных величин B^V часть, свя-
связанную с этим эффектом; обозначим ее через В^о . Она возни-
возникает от области интегрирования в D7.4), лежащей в окрестно-
окрестности корня уравнения e{uj,k) = 0, отвечающего закону дисперсии
ионно-звуковых волн. Сам по себе этот корень ио(к) комплексен с
малой мнимой частью (коэффициент затухания волны); когда ио
пробегает вещественные значения в области интегрирования, ве-
вещественная часть функции е = е! + is" проходит через нуль, а
мнимая остается малой. Имея в виду формулу C0.9), представим
множитель |ё|~2 в подынтегральном выражении в D7.4) в виде
J- = г =—S(e').
е|2 ?'2+?„2 |?//| V >
Для электрон-электронного интеграла столкновений скорости v
и v1 в D7.4) относятся к электронам, а в силу неравенства
uj ^C kvTe B аргументах обеих ^-функций можно опустить чле-
члены ио. Таким образом, интересующая нас часть B^V принимает
вид
1k0^	D7.6)
причем интегрирование по d?k производится (при заданном ои)
по области D7.5).
Преобразуем интеграл по dsk к новым переменным
х, = kn, k\ = kv, &2 = kvr,

§ 47	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧЕРЕЗ ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ	239
где п — единичный вектор в направлении [vv7]. Прямым вычис-
вычислением якобиана преобразования находим, что d?k заменяется на
dx. dki dki
Интегрирование по dk\ dk>2 устраняет ^-функции (в силу которых
&i = &2 = 0), после чего будет к = хп. Переменная и пробегает
как положительные, так и отрицательные значения; условившись
интегрировать только по положительным значениям, пишем
Б(пл) = 2jnp^
а/3	|[']|
J J H^\e"(oj,x)\	V '
Диэлектрическая проницаемость двухтемпературной плазмы
в области ионно-звуковых волн D7.5) дается формулами1)
D7-8)
Главный вклад в интеграл по d?c в D7.7) вносит (как это будет
подтверждено дальнейшим вычислением) область аех ^ 1; по-
поэтому последним членом в e\uj^k) можно пренебречь. Заметив,
что
Э [<*(<>по+<*(<>+ад
и выполнив в D7.7) интегрирование по gLj, находим
Р(пл) 		4тге4Пг /	^
или, подставив выражение для е" и введя переменную ^ = х2а?:
о(пл) _
|[W]|a? У 1
.+ ехр (-1/B0-
где
D7.10)
х) См. C3.3). В D7.8) учтен также и ионный вклад в г". Хотя в области
D7.5) он экспоненциально мал, но им определяется область интегрирования
в интеграле D7.9) ниже.

240	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
В силу условий D7.5), интегрирование в D7.9) должно произво-
производиться по области ( —— ) <С ? <С 1. Поскольку интеграл сходит-
\пеаеУ
ся на малых ?, нижний предел можно положить равным нулю.
При L\ —>• оо интеграл в D7.9) стремится к нулю; предпола-
предполагая L\ достаточно большим, вычислим его в логарифмическом
приближении, т. е. ограничившись лишь первым членом разло-
разложения по 1/L\. Основной вклад в интеграл возникает от области,
в которой можно пренебречь экспоненциальным членом в знаме-
знаменателе. Для этого должно быть —l/B?)+L]_/2 > 1, т. е. интеграл
надо брать в пределах от 0 до 1/(Ь\ — 1) « 1/^ь что дает просто
x). Таким образом, окончательно имеем
о(пл)	2л/2тг e4zvTeTe	(лплл\
В =ПП?	¦	D7Л1)
Полное значение величин BJ в электрон-электронном ин-
интеграле столкновений получается сложением D7.11) с обычным
кулоновским выражением D1.8), причем в аргументе кулонов-
ского логарифма L дебаевский радиус
Вклад плазменных волн D7.11) становится преобладающим при
zTe > 1.	D7.12)
§ 48. Поглощение в плазме в высокочастотном пределе
Область частот, в которой справедлива формула D4.9) для
мнимой части диэлектрической проницаемости плазмы, ограни-
ограничена неравенствами Ое ^> ио ^> vei\ левое неравенство есть общее
условие применимости интеграла столкновений с экранирован-
экранированным кулоновским взаимодействием. Рассмотрим теперь обрат-
обратный по отношению к последнему условию предельный случай,
когда
ш > Пе.	D8.1)
Сразу же отметим, что в этом случае вещественная часть про-
проницаемости, б7, заведомо близка к 1, а мнимая часть, ?7/, мала.
х) В существенной для интеграла области ? ~ 1/bi, т. е. >с ~ 1/(а^Ь/ ).
При этом
хае	-77г ~ ——- > 1
в соответствии со сделанным выше предположением.

§ 48	ПОГЛОЩЕНИЕ В ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ПРЕДЕЛЕ	241
К диссипации энергии внешнего переменного поля при-
приводят ei-столкновения, длительность которых порядка или
меньше периода поля. Это значит, что при ио ^> Ое бу-
будут существенны столкновения, происходящие на расстояниях
~ VTe/ш ^ vTe/^e = ае- На таких расстояниях кулоновское поле
ионов уже не экранировано и, таким образом, столкновения при-
приобретают чисто двухчастичный характер (а не многочастичный,
каковыми по существу являются столкновения с экранирован-
экранированным взаимодействием). В этих условиях микроскопические ак-
акты поглощения энергии поля становятся процессами, обратными
к тормозному излучению при парных столкновениях заряжен-
заряженных частиц. Это обстоятельство позволяет с помощью принципа
детального равновесия выразить е" через сечение тормозного из-
излучения (В.Л. Гинзбург, 1949).
Диссипация Q энергии электромагнитного поля в единице
объема среды за единицу времени выражается через е" форму-
формулой C0.5). Чтобы связать эту величину с сечением тормозного
излучения, примем, что поле создается монохроматической плос-
плоской волной, в которой плотность энергии равна
с _
_ |Е|2
8тг	8тг
(в последнем выражении предполагается, что Е выражено в ком-
комплексном виде — ср. примеч. на с. 159); ввиду близости диэлек-
диэлектрической проницаемости к единице полагаем здесь 6 = 1. После
этого формулу C0.5) можно записать в виде
Q = иое"?.	D8.2)
С другой стороны, диссипация равна разности между энерги-
энергией Eпогл5 поглощаемой при столкновениях электронов с ионами,
и энергией, излучаемой в этих столкновениях. При этом подра-
подразумевается именно энергия (Звын вынужденного (а не спонтанно-
спонтанного) излучения, приводящего к появлению фотонов, когерентных
с исходным полем и в этом смысле неотличимых от него.
Запишем сечение спонтанного испускания фотона, т. е. обыч-
обычного тормозного излучения, в виде
dacn = Ш<&1!1б(е -г'- Мт?^У ¦	D8.3)
Здесь к — волновой вектор фотона, рир'- начальный и ко-
конечный импульсы электрона. Произведение Niv dacu (где Ni —
плотность числа ионов) есть вероятность излучения фотона элек-
электроном за единицу времени; функция г^(р;,р) зависит также и
от поляризации испускаемого фотона. Проинтегрировав по на-
направлениям р'ики просуммировав по поляризациям фотона,
получим дифференциальное (по частотам) сечение тормозного

242	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
излучения с1аш] E-функция в D8.3) устраняется интегрировани-
интегрированием по е' = р/2/Bт). Таким образом,
7	4т2г>'	 2 л
ааи = 	wu) аи),
3
где Ш(р, р7) — значение функции г^(р,р7), усредненной по на-
направлениям рир'; это значение не зависит уже от поляризации
фотона, и потому суммирование по последним сводится к умно-
умножению на 2. Введя «эффективное излучение» усш по определению
hu)dau = ки duo,
выразим отсюда w в виде
	 		7TVC3	/д^ а\
Arri2v'tiuj2'
Сечение вынужденного излучения отличается от D8.3) лишь
множителем N\^e — числом фотонов в квантовом состоянии с
волновым вектором к и направлением поляризации е вдоль Е
(см. IV, § 44). Поэтому полная энергия вынужденного излучения
равна
/	', р)/(рЖе - е' - 0
где /(р) — функция распределения электронов. Ниже будем счи-
считать эту функцию максвелловской, зависящей только от абсо-
абсолютной величины р. Усреднив по направлениям рир'и заметив,
что ввиду монохроматичности поля
BтгK Пи'
перепишем QBbIU в виде
<3вын = NiSfwf(pN(e - е' - Пи)) d3pd3p'.	D8.5)
Аналогичным образом вычисляется энергия, поглощаемая
при обратных переходах с изменением импульса электрона
р7 —>• р (неупругое рассеяние электрона в электромагнитном по-
поле). При этом, согласно принципу детального равновесия, функ-
функции вероятности w, определяющие сечения прямого и обратного
процессов, равны между собой. Поэтому для QUOTJI получается
выражение, отличающееся от D8.5) лишь заменой функции рас-
распределения f(p) на f(p'). Диссипация Q = (Зпогл — <2выН; сравнив
это выражение с D8.2), получим
е» = *i fW[f(p') - f(p)]S(e - е1 - Пои) d3pd3pf.	D8.6)

§ 48	ПОГЛОЩЕНИЕ В ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ПРЕДЕЛЕ	243
Ограничимся частотами, для которых
Пы < Т.	D8.7)
Тогда разность р' — р мала и можно положить
а в остальных множителях р = р'. Подставив это в D8.6) и выра-
выразив w через усш согласно D8.4), находим окончательно следующее
выражение для мнимой части проницаемости:
^Ku),	D8.8)
где угловые скобки означают усреднение по максвелловскому
распределению электронов.
Применим эту формулу к двум предельным случаям — ква-
квазиклассическому и борновскому. В первом случае, т. е. при
— > 1,	D8.9)
hv
ограничим еще область частот ио ^> Ое более узким интервалом
> Пе	D8.10)
(слева стоит величина, обратная ко времени пролета электрона
на таком расстоянии от иона, на котором угол рассеяния стано-
становится ~ 1); легко видеть, что из условий D8.9), D8.10) автома-
автоматически следует D8.7). В квазиклассическом случае эффектив-
эффективное излучение на частотах D8.10) при столкновении электрона
с неподвижным ионом дается формулой
Ы-=^-,	D8.11)
где 7 = eC = 1? 78... , С — постоянная Эйлера (см. II, G0.21)).
Подставив в D8.8) и произведя усреднение, получим1)
3 Т^^тп1'2 ио6 j5/2uze2m1
) При этом используется значение интеграла
оо
/ e-x\nxdx = -С.

244	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ	ГЛ. IV
2
В борновском случае, т. е. при — <С 1, эффективное излуче-
Hv
ние на частотах Нои <С Т дается формулой *)
к	In	.	D8.13)
Пи	У J
Вычисление по D8.8) приводит к выражению
D8.14)
3
отличающемуся от D4.9) лишь аргументом логарифма.
§ 49. Квазилинейная теория затухания Ландау
Изложенная в § 29-32 теория плазменных колебаний осно-
основана на решении кинетического уравнения в линейном прибли-
приближении теории возмущений. Условие ее применимости состоит в
малости поправки к функции распределения 6f B9.2) по срав-
сравнению с невозмущенной функцией /о:
еЕ dfo " /о-	D9.1)
|kv-o;| Эр ^
Для слабозатухающих плазменных колебаний с частотой « Vte
и волновым вектором к ^С fie/^Te необходимо, таким образом,
чтобы было
Для максвелловской плазмы это условие (после возведения обеих
его частей в квадрат) можно записать так:
— < NeTe.	D9.2)
4тг
В таком виде оно имеет простой физический смысл: плотность
энергии волнового поля должна быть много меньше плотности
кинетической энергии электронов плазмы.
Условие D9.2) обеспечивает малость поправки 6f для основ-
основной массы электронов. Но и при его выполнении существует от-
относительно небольшое число частиц, для которых условие D9.1)
может нарушаться, — частицы, движущиеся почти в фазе с вол-
волной (kv « uj) и тем самым принимающие участие в затухании
х) См. IV, (92.16). При переходе от этой формулы к D8.14) учтено также,
что при hu <^T = mv%e электрон теряет при излучении лишь малую часть
своей энергии.

§ 49	КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ	245
Ландау (резонансные частицы); даже слабое поле может суще-
существенно изменить их функцию распределения. Это изменение бу-
будет нелинейным эффектом, и потому его характер существенно
зависит от спектрального (по ио и по к) состава волнового по-
поля; дело в том, что лишь в линейном приближении различные
фурье-компоненты поля независимы в своем воздействии на ча-
частицы.
Мы будем рассматривать здесь электромагнитные возмуще-
возмущения в плазме, представляющие собой совокупность плазменных
волн с волновыми векторами, пробегающими непрерывный ряд
значений в некотором интервале Ак.
Если начальное возмущение содержит широкий спектр вол-
волновых векторов к rsj VLe/vTe, то затухание Ландау распространя-
распространяется на большое число электронов, находящихся (в смысле воз-
воздействия на них поля) в одинаковых условиях. В результате ис-
искажение функции распределения окажется относительно малым
при всех скоростях; линейная теория (при условии D9.2)) будет,
следовательно, применима для всего хода эволюции возмущения.
Напротив, если возмущение содержит волновые векторы
лишь в узком интервале Ак вокруг некоторого значения ко, для
которого ко <С fle/vTei TO резонансный интервал скоростей элек-
электронов
|Ду|~Д%~^|Дк|, vo = ^	D9.3)
к ко	ко ко
тоже мал и расположен вокруг значения vq ^> Уте- В затухании
Ландау будет, следовательно, участвовать сравнительно неболь-
небольшое число электронов и их функция распределения может в ре-
результате сильно измениться.
Количественную теорию этого явления мы изложим для слу-
случая, когда возмущение представляет собой почти монохромати-
монохроматическую волну, амплитуда и фаза которой модулированы в про-
пространстве по некоторому статистическому закону. Спектр значе-
значений к начального возмущения узок,
« 1,	D9.4)
ко
но и в то же время
|Ак|	1
D9.5)
где (?о — порядок величины амплитуды потенциала электриче-
электрического поля волн (смысл этого условия выяснится ниже); отме-
отметим, что в силу D9.2) (где Е ~ к(ро) выражение в правой части
неравенства D9.5) мало: ^!Щ- <с 1. Мы будем также считать по-
поле в среднем однородным по всему объему плазмы; это значит,

246	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
что квадрат Е2, усредненный по статистическому распределе-
распределению фаз и интенсивностей волн, не зависит от координат (такое
усреднение эквивалентно усреднению по участкам пространства
с размерами Ах > 1/|Ак|).
Представим поле Е в начальный момент времени в виде ин-
интеграла Фурье:
Е= [вкегкг^-.	D9.6)
где в силу условия вещественности Е_к = Е?. Предположение
D9.4) о характере начального возмущения означает, что интегри-
интегрирование в D9.6) фактически ведется лишь в окрестностях точек
к = =Ько. Условие же пространственной однородности возмуще-
возмущения легко сформулировать, написав квадратичный тензор ЕаЕр
в виде двойного интеграла:
После усреднения по статистическому распределению, это выра-
выражение должно оказаться не зависящим от г1). Для этого сред-
среднее значение (Е\^аЕу^) должно содержать E-функцию 8(k + k.f).
Имея также в виду продольность плазменных волн, напишем
(ЕкаЕк,р) = BтгK^(Е2М(к + к').	D9.7)
Это соотношение надо рассматривать как определение величин,
обозначенных здесь символически через (Е2)к- Отметим, что эти
величины вещественны. Выражение D9.7) отлично от нуля лишь
при к = — к7 и симметрично по отношению к перестановкам к
и к7. Поэтому (Е2)к = (Е2)_к, а перемена знака к эквивалентна
комплексному сопряжению. Средний квадрат (Е2) выражается
через эти величины согласно
(Е2) = /(E2)k —.	D9.8)
Интегрирование в D9.6), а потому и в D9.8), производится,
как уже указывалось, по окрестностям точек ко и —ко. Удоб-
1) Для возмущений рассматриваемого типа интегралы Ек =
= J Е(г)е~гкг dx3 фактически расходятся, поскольку Е(г) не исчезает
на бесконечности. Это обстоятельство, однако, несущественно для фор-
формальных выводов, имеющих дело с заведомо конечными средними
квадратами.

§ 49	КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ	247
нее, однако, исключить из рассмотрения вектор —kg, представив
D9.6) в виде
Е= I Еке*кг^ + к.с,	D9.9)
где интегрирование производится уже только по окрестности
точки к = ко, а к.с. означает комплексно-сопряженное выра-
выражение. Соответственно D9.8) запишется как
(Е2) = 2 I (E2)k0,	D9.10)
к^ко
а соотношения D9.7) — в виде
(ЕъЕЬр) = BтгK(Е2)к^ *(к - к'),	D9П)
{Е\^аЕ\^'(з) = 0.
Дальнейшая эволюция возмущения D9.9) со временем пред-
представится выражением
Е= I e*(kr-*)Ek(t)^+K.c,	D9.12)
где оо(к) ~ Ое — частота плазменных волн, а коэффициенты
Ek(t) медленно меняются за счет затухания Ландау. В анало-
аналогичном виде представим и функцию распределения электронов
= /о(*,р) + { I /к(*,р)ег(кг-^0 + к.с.|. D9.13)
Выраж:ение в фигурных скобках представляет собой быстро ос-
осциллирующую в пространстве и времени «хаотическую» часть
изменения функции распределения; она исчезает при статисти-
статистическом усреднении волн. Член же /о(^р) — медленно меняюще-
меняющееся, усредненное распределение1).
Наша цель состоит в получении системы уравнений, опреде-
определяющих эволюцию усредненных характеристик состояния плаз-
плазмы — функций (Е2)^ и /о(^р). Для того чтобы такая систе-
система могла быть замкнутой, эти характеристики должны охва-
охватывать собой все электроны, участвующие в интересующих нас
нелинейных эффектах. Для этого в свою очередь интервал ско-
скоростей D9.3), отвечающий разбросу волновых векторов Ак, во
:) Не смешивать его с равновесным максвелловским распределением!

248	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
всяком случае должен широко перекрывать амплитуду колеба-
колебаний скорости электронов под влиянием поля резонансных с ни-
ними волн. Именно это условие и выражается неравенством D9.5);
(е|(^о|/т) — порядок величины указанной амплитуды. Дей-
Действительно, в системе координат, движущейся с фазовой скоро-
скоростью волны, поле последней статично и представляет собой по-
последовательность потенциальных горбов с высотой |^о|- В этой
системе резонансный электрон совершает колебания между дву-
двумя горбами, причем его скорость меняется в интервале между
/
Одно из уравнений, связывающих (Е2)к с /о, выражает собой
затухание Ландау каждой из фурье-компонент поля:
^(E2)k = -27k(E2)k,	D9.14)
at
где
7k = 2тг2е2^е I У±±б{ш - kv) dsp	D9.15)
есть, согласно C2.6) и C0.1), амплитудный коэффициент затуха-
затухания волн; множитель 2 в правой части уравнения D9.14) связан
с квадратичностью величины (Е2)к-
Второе уравнение получим, исходя из кинетического уравне-
уравнения бесстолкновительной плазмы:
^/+v^-eE^ = 0.	D9.16)
dt дг д?	v }
Применим его сначала в линейном приближении к отдельной
фурье-компоненте возмущения. В последнем члене уравнения,
уже содержащем малую величину 'E\<ie'l^kr~(Jjt\ полагаем / ~ /о-
В первом же пренебрегаем медленной зависимостью /к от t. В
результате получим для /к обычное выражение
jeE^	D917)
и — kv ар
причем, как всегда, в дальнейших интегрированиях надо пони-
понимать со как си + гО.
Далее подставим в D9.16) полные выражения Е и / в ви-
виде D9.12) и D9.13) (с /к из D9.17)) и произведем усреднение по
статистическому распределению волн с помощью D9.11). Все ли-
линейные по возмущению члены при этом исчезают, квадратичные
же члены определят производную dfo/dt в виде
dt	дррдра J к2 ^ ^kLcj-kv + z0 и - kv - iOl
d3k
BттK

§ 49	КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ	249
Заменив разность в квадратных скобках, согласно B9,8), на
2тг6(ои — kv), получим окончательно
df1_^(D^)dh\	/4918ч
где
D{Hhp) = 2тге2 Г (E2)k^5(w - kv) —.	D9.19)
Уравнения D9.14) и D9.18) составляют искомую полную систе-
систему. Основанную на этих уравнениях теорию плазменных волн
называют квазилинейной1).
Уравнение D9.18) имеет вид уравнения диффузии в про-
пространстве скоростей, причем D^l играет роль тензора коэффи-
коэффициентов диффузии (индекс (н) напоминает о том, что эта «диф-
«диффузия» связана с эффектами нелинейности). Эти коэффициенты
как функции скорости электронов отличны от
нуля в интервале Av вблизи vo, связанном с
разбросом Ак согласно D9.3). В этой обла-
области скоростей и будет происходить диффузия
и соответственно возникает искажение функ-
функции распределения (остающейся максвеллов-
ской для всей остальной массы электронов).
Характер этого искажения очевиден из общих
свойств всяких диффузионных процессов: диф-
диффузия приводит к сглаживанию, т. е. в данном
случае — к возникновению в «хвосте» функции
/о(р) (при v « vq ^> Уте) плато ширины ~ Av,	ис>
как это изображено схематически на рис. 13. Отметим, что при
таком характере искажения изменяется главным образом произ-
производная dfo/dp, а само значение /о остается близким к максвел-
ловскому.
Оценим время релаксации этого процесса, тн. Поскольку речь
идет о выравнивании на интервале Ар = гаДг>, то
mv0
m2(AvJ
D9.20)
Для оценки коэффициента диффузии замечаем, что согласно
D9.10) (Е2)к( — ) ~ (Е2). Наличие же в подынтегральном вы-
/
х) Она была развита А.А. Веденовым, Е.П. Велиховым и Р.З. Сагдеевым
A961). Уравнения D9.14), D9.18) были независимо сформулированы также
Ю.А. Романовым и Г.Ф. Филипповым A961) и Драммондом и Пайнсом
(W.E. Drummond, D. Pines, 1961).

250	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
ражении в D9.19) E-функции эквивалентно, по порядку величи-
величины, умножению интеграла на l/(voAk). Таким образом,
1^ 1^	D9.21)
колебаний потенци-
потенци1)
Наконец, выразив (Е2) через амплитуду (ро колебани
ала (~ к2\(ро\2) и подставив D9.21) в D9.20), найдем1
	(Avf		D9.22)
7 / I I / \ 9	^	'
ко(е\(ро\/тJ
В изложенном рассмотрении подразумевается, конечно, что
время тн мало по сравнению со временем затухания Ландау:
тн <С 1/7; в противном случае волны затухнут, прежде чем
успеют проявиться эффекты нелинейности. В то же время
применимость уравнения D9.14) предполагает малость времени
1/7 по сравнению со временем свободного пробега электронов:
1/7 ^ 1/^е? гДе ve — средняя частота столкновений. Последнее
условие, однако, не гарантирует еще законности пренебрежения
столкновениями в рассматриваемом явлении (т. е. законности ис-
использования здесь кинетического уравнения в виде D9.16)): для
конкуренции с нелинейными эффектами существенно не общее
время столкновительной релаксации, а лишь время столкнови-
столкновительной релаксации в интервале скоростей Дг>; обозначим его
как тст.
Поскольку речь идет о релаксации в интервале Дг>, располо-
расположенном вблизи значения vq ^> Уте и в котором содержится лишь
относительно малая доля всех электронов, то ситуация аналогич-
аналогична той, с которой мы имели дело в задаче об убегающих элек-
электронах. Процесс представляет собой диффузию в импульсном
пространстве с коэффициентом диффузии
?)(ст) = m2uee(v)vrP = —	— ~ m Vee^VTe>VTe	D9.23)
mv6	v6
(коэффициент при df/dp в плотности потока в импульсном про-
пространстве D5.5)).
Искомое время столкновительной релаксации в интервале Дг>
отличается от D9.20) заменой D^ на D^CT^:
m2(AvJ	(AvJ
п^
v\evee(vTe
D9.24)
:) При Av ~ (elifol/mI^2, когда изложенная теория уже, строго го-
говоря, неприменима (знак ~ вместо знака ^> в D9.5)), эта оценка дает
тн ~ kQ1(m/e\(po\I'2. Именно этот результат и следовало ожидать, когда
разброс резонансных скоростей Av совпадает с амплитудой скорости элек-
электронов при их колебаниях в поле волны: по порядку величина тн совпадает
с периодом этих колебаний.

§ 50	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ	251
При
тн > тст	D9.25)
(т. е. Z)(H) <С Z)(CT)) нелинейные эффекты не играют роли: столк-
столкновения успевают поддерживать максвелловское распределение
вблизи vq, несмотря на возмущение от волнового поля; соответ-
соответственно коэффициент затухания Ландау будет даваться обыч-
обычным выражением, отвечающим максвелловскому значению про-
производной dfo/dp в окрестности vq. Таким образом, неравенство
D9.25) есть условие применимости строго линейной теории зату-
затухания Ландау. Напомним в то же время, что излагаемая квази-
квазилинейная теория справедлива при гораздо более слабом условии
D9.2). Условие D9.25) можно представить в виде
где г/ = e27V1/3/T — параметр газовости. Малость множителя, за-
заключенного в квадратные скобки, демонстрирует слабость усло-
условия D9.2) по сравнению с D9.25).
В обратном предельном случае, при тн <С тст, нелинейные эф-
эффекты приводят к сильному уменьшению производной dfo/dp в
указанной области, грубо говоря, в отношении Z?(CT)/Z?(H). Соот-
Соответственно уменьшается коэффициент затухания Ландау.
§ 50. Кинетическое уравнение
для релятивистской плазмы
Если скорости частиц (электронов) в плазме не малы по
сравнению со скоростью света, кинетическое уравнение должно
быть записано с учетом релятивистских эффектов (С. Т. Беляев,
Г.И. Будкер, 1956).
Покажем предварительно, что функция распределения в фа-
фазовом пространстве, /(?, г, р), является релятивистски инвари-
инвариантной величиной. Для этого заметим, что пространственная
плотность частиц и плотность их потока, т. е. интегралы
должны составлять 4-вектор ik = (cN,i) (ср. II, § 28) г). Имея
в виду, что в релятивистской механике скорость частицы с им-
импульсом р и энергией е есть v = рс /б, можно записать этот
:) В этом параграфе латинскими буквами к, I обозначаются четырехмер-
четырехмерные векторные индексы. Скалярное произведение двух 4-векторов а и Ъ обо-
обозначается как (ab) = akbk.

252	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
4-вектор в виде
* ? У>^	E0-1)
где рк = (б/с, р) — 4-импульс. Но выражение d3p/e является
4-скаляром (см. II, § 10). Ясно поэтому, что из 4-векторности
интеграла E0.1) следует, что функция / — 4-скаляр1).
Переходя к выводу кинетического уравнения, замечаем, что
произведенные в § 41 вычисления остаются в силе и в реляти-
релятивистском случае вплоть до выражения D1.3), D1.4) для плот-
плотности потока в импульсном пространстве. Необходимо лишь вы-
вычислить заново величины
Ва/3 = - / ЯаЯ/зЪотн da.	E0.2)
Величина v0TH здесь — по-прежнему относительная скорость
двух частиц. Напомним, однако, что в релятивистской механике
она определяется как скорость одной частицы в системе покоя
другой и, вообще говоря, не сводится к разности v — v7 (см. II,
§ 12).
Выясним, прежде всего, трансформационный характер этих
величин. Произведение
^отн da - ff d3p d3p' d3x dt
есть число актов рассеяния, происходящих в объеме d3х в тече-
течение времени dt между двумя частицами с импульсами в задан-
заданных интервалах d3p и d3p'] по своему определению это число есть
инвариант. Переписав его в виде
eefv0THda • / • /' • ^ • ^ • d3xdt
S	S
и заметив, что последние пять множителей (отделенных точ-
точками) инвариантны, заключаем, что и первый множитель,
??fv0TU da¦, есть инвариант. Отсюда в свою очередь следует, что
интегралы
Wkl = -ее1 / qkqlv0TU da	E0.3)
образуют симметричный 4-тензор. Величины же E0.2) связаны
с пространственными компонентами этого 4-тензора согласно
ВаE = ^.	E0.4)
) Функция же распределения по одним лишь импульсам, т. е. интеграл
f(t, p) = J f(t, r, p) dsx, уже не является 4-скаляром (именно такая функция
рассматривается в II, § 10).

§ 50	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ	253
Вычислим сначала 4-тензор E0.3) в системе отсчета, в кото-
которой одна из частиц (скажем, частица е) покоится. Релятивист-
Релятивистское сечение резерфордовского рассеяния частиц е' на покоящих-
покоящихся (до столкновения) частицах е при малых углах рассеяния х
имеет вид 1)
^f	E0.5)
Такое же вычисление, как при выводе D1.8), приводит к сле-
следующему выражению для пространственных компонент тензора
E0.3):
WaP = 2тг(ее/JЦуа8ар - v'av'^)mc2^.	E0.6)
Остальные же компоненты надо считать равными нулю:
Wm = WOa = 0.	E0.7)
Действительно, изменение энергии частиц при столкновении (q°)
в рассматриваемой системе отсчета есть величина второго поряд-
порядка по малому углу рассеяния; поэтому W®a и W^ оказались бы
величинами третьего или четвертого порядка малости, между
тем как весь вывод интеграла столкновений производится лишь
с точностью до величин второго порядка.
Из E0.6), E0.7) имеем
L
Этот 4-скаляр можно записать в инвариантном виде, заметив,
что в системе покоя частицы е имеем
где ик = рк/(тс), и/к = р/к/(т'с) — 4-скорости обеих частиц.
Поэтому
[{и^1]1/2	E0.8)
Из E0.6), E0.7) находим также, что
Wklut = Wklu\ = 0,	E0.9)
а ввиду релятивистски инвариантного вида этих равенств они
справедливы и в любой системе отсчета.
) Это выражение относится к рассеянию электронов как на электронах,
так и на ионах. В первом случае оно получается из IV, (81.7), а во втором —
из сечения рассеяния на неподвижном кулоновском центре IV, (80.7).

254	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Выражение 4-тензора Wkl, справедливое в произвольной си-
системе отсчета, должно, очевидно, быть симметричным по отно-
отношению к обеим частицам. Общий вид такого 4-тензора, завися-
зависящего только от 4-векторов ик и ufk, есть
где а, /3, S — скаляры. Определив последние из условий E0.8),
E0.9), получим
тттП	s-\	/	f \/ T	lit lit С I fjbfjb I
WKl = 2тг(ее YL	^—'— x
V J c[(uu'Y - I]3/2
x {-[{uu'f - l]gkl - (ukul + u'kua) + (uu')(ukutl + u'ku1)}.
E0.10)
Наконец, взяв пространственную часть этого 4-тензора в про-
произвольной системе отсчета, получим окончательно следующее
выражение для величин Вар, входящих в интеграл столкнове-
столкновений:
где
7 ^ D) у 4т
тс2 \ с2 /	т'с2
— лоренцевы множ:ители для обеих частиц. Отметим, что, несмо-
несмотря на свой более сложный (чем в нерелятивистском случае) вид,
трехмерный тензор E0.11) по-прежнему удовлетворяет соотно-
соотношениям
'	E0.12)
Для оценки кулоновского логарифма заметим, что в
релятивистском случае имеет место борновская ситуация;
ze2/(Hv) ~ ze2/(Не) <^ 1. Поэтому для ее- и ег-столкновений
L^ln^ «ln^.	E0.13)
h	he
Для ii-столкновений надо заменить Те на Т{ (если ионы тож:е
релятивистские) или же пользоваться обычными нерелятивист-
нерелятивистскими выражениями.

§ 50	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ	255
Кинетическое уравнение с кулоновским интегралом столкно-
столкновений имеет смысл до тех пор, пока резерфордовское рассеяние
является главной причиной изменения импульса и энергии элек-
электрона. Конкурирующим процессом здесь является тормозное из-
излучение (а при наличии в плазме заметного числа фотонов —
также и эффект Комптона). Сечение (транспортное) резерфор-
довского рассеяния имеет порядок величины
/2\2/ 2\2	/2\2/ 2\2
арез~,2(^) (^) L~z4^) №-) L. E0.14)
\тс2 J \ е /	\тс2 J \ Te /
Сечение же тормозного испускания фотонов с энергией Нш ~ Те:
; 1п-^-	E0.15)
137 \тпс2/ тс2
(ср. IV, (93.17)). Эти сечения сравниваются при
Те ^ ( 137L у/2
тс2 ~ \1п137ЬУ
Задачи
1. Найти скорость передачи энергии от электронов с температурой
Те ^> тс2 к ионам с температурой Т{ <^ Мс2.
Решение. Вплоть до D2.3), произведенные в § 42 вычисления
остаются в силе. Величины же B^l берем из E0.4), E0.6), положив v' и с:
В результате находим
dEj _ _dEe_ _
dt ~ dt V Те)	Me
Выразив энергию ультрарелятивистских электронов через их температуру
согласно Ее = 3TeNe (см. задачу в V, § 44), получим
dt	ЗМсТе
2. Найти электропроводность релятивистской лоренцевой плазмы.
Решение. После пренебрежения ее-столкновениями и перехода к
пределу М —»¦ оо, ход решения в релятивистском случае совпадает с решени-
решением нерелятивистской задачи в § 44. Для поправки к функции распределения
в постоянном (cj = 0) электрическом поле снова получается
eEv t
Sf	f
(ср. D4.5)), с той лишь разницей, что частота столкновений определяется
теперь релятивистским сечением резерфордовского рассеяния:
/2
— dcr=
2
v2p2

256	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
Вычислив ток как интеграл —efvSfd p, получим для электропроводности
12irze2TeL'
В ультрарелятивистском случае v ~ с, (р ) = 12(Те/с) , так что
§ 51. Флуктуации в плазме
Теория флуктуации в плазме строится в принципе так же,
как и в обычном газе (§ 19, 20). Разновременные корреляторы,
например
Efa(ti, Г1, Pl)Sfb(t2, Г2, р2)), (S<p(ti,riMfa(t2, Г2, р2))
(ср — потенциал электрического поля; индексы a, b отличают сор-
сорта частиц), удовлетворяют при t = t\ — ?2 > 0 той же системе
уравнений — линеаризованных кинетического уравнения и урав-
уравнения Пуассона, что и функции распределения fa и потенци-
потенциал Тр. Для решения этой системы необходимо знать, в качестве
начального условия, соответствующие одновременные корреля-
корреляторы. Но в отличие от равновесного газа нейтральных частиц, в
плазме имеется одновременная корреляция между положениями
различных частиц, связанная с их кулоновским взаимодействием
и простирающаяся на большое (~ а) расстояние. В равновесном
случае эта корреляция описывается корреляторами плотности,
вычисленными в V, § 79. В неравновесных же случаях определе-
определение одновременных корреляторов является трудной задачей.
Эту трудность, однако, можно преодолеть в общем виде в
случае бесстолкновительной плазмы. Заметим, что именно для
бесстолкновительной плазмы задача о флуктуациях в стационар-
стационарном неравновесном состоянии ставится в особенности естествен-
естественным образом, поскольку в такой плазме в отсутствие внешнего
поля любые функции распределения /а(р), зависящие только от
импульсов частиц, являются стационарным решением кинетиче-
кинетического уравнения. Коррелятор флуктуации относительно такого
распределения, как и в равновесном случае, будет зависеть от
координат двух точек и от двух моментов времени только через
разности г = ri — г2 и t = t\ — t2. Бесстолкновительность плаз-
плазмы означает при этом, что рассматриваются времена ?, малые
по сравнению с 1/V, где v — эффективная частота столкнове-
столкновений. Излагаемый ниже метод применим именно в этих условиях;
бесстолкновительность используется в нем с самого начала. Он
основан на непосредственном усреднении произведений точных

§ 51	ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ	257
флуктуирующих функций распределения /а(?, г, р) 1).
Эти функции удовлетворяют уравнениям
*L = Ёк + v^ - еа^Ёк = О,	E1.1)
dt dt	дт	дг дР '	У J
где <р — точный потенциал электрического поля, удовлетворяю-
удовлетворяющий уравнению
V	E1.2)
Уравнения E1.1) выражают собой аналог теоремы Лиувилля.
Подчеркнем, что в этих точных уравнениях еще не пренебрежено
столкновениями. Точные функции распределения
fa(t,г, р) = ?S[r - ra(t)]S\p - Pa(t)]	E1.3)
(суммирование по всем частицам сорта а) учитывают движение
частиц по траекториям г = га(?), являющимся точными решени-
решениями уравнений движения системы взаимодействующих частиц.
Уравнения E1.1) легко проверить прямым дифференцированием
выражений E1.3) с учетом уравнений движения частиц в само-
самосогласованном поле.
Уравнения E1.1), E1.2) сами по себе довольно бесполезны;
пользоваться функциями распределения в виде E1.3) — все рав-
равно, что следить за каждой частицей в отдельности. Если же
усреднить их по физически бесконечно малым объемам2), по-
получатся обычные кинетические уравнения. Положив fa = fa +
+ Sfa, (f = Tp + S(p и усреднив уравнения (не производя при этом
никаких пренебрежений!), получим
9L+V9L_ щби =е/д^д51Л	( 4)
dt	дг	дт дг °\9г аР/'	v '
E1.5)
Правая часть в E1.4) есть интеграл столкновений3).
Вычтя E1.4), E1.5) из точных уравнений E1.1), E1.2), полу-
получим уравнения для флуктуирующих частей функций распреде-
:) Этот метод принадлежит Ростокеру (N. Rostoker, 1961) и Ю.Л. Кли-
монтовичу и В.П. Силину A962).
2) Или, что то же, по начальным условиям точной механической задачи,
отвечающим заданному макроскопическому состоянию.
) Мы еще вернемся к этому выражению в конце параграфа, а пока от-
отметим лишь, что оно соответствует правой части уравнения A6.7) в случае,
когда взаимодействие частиц — кулоновское.
9 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

258	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
ления и потенциала. При этом квадратичные по Scp и Sfa чле-
члены в кинетическом уравнении описывают влияние столкнове-
столкновений на флуктуации. Пренебрегая этими членами и рассматривая
пространственно-однородный случай, т. е. положив
7а=7а(р), ^=0,	E1.6)
получим уравнения
№ + v^-ee^^ = 0,	E1.7)
dt	дг	дт dp
dV	E1.8)
а
Эти уравнения позволяют выразить функции Sfa(t, r, р) в
произвольный момент времени t через их значения в некоторый
начальный момент t = 0; тем самым оказывается возможным
выразить и коррелятор
через его значение при t\ = ?2 = 0. Это начальное значение кор-
коррелятора (обозначим его через ga&(ri — г2,РъР2)) есть в значи-
значительной степени (см. ниже) произвольная функция. Сразу же
подчеркнем, что оно отнюдь не является тем одновременным
коррелятором, нахождение которого (вместе с полным разно-
разновременным коррелятором) составляет нашу цель. Центральный
пункт, обеспечивающий эффективность излагаемого метода, со-
состоит в том, что при произвольном выборе функции g вычислен-
вычисленный таким образом коррелятор E1.9) с течением времени (ti, ?2
порядка времени затухания Ландау) сведется к функции только
от разности t = t\ — ?2, не зависящей от выбора g. Тем самым
задача будет решена: эта предельная функция и будет искомым
разновременным коррелятором, а его значение при t\ — ?2 = 0 —
одновременным коррелятором.
Переходя к проведению указанной программы, введем ком-
компоненты разложения Фурье по координатам и одностороннего
разложения Фурье по времени:
a(t, r, p),	E1.10)
о
и аналогично для ^к . Умножив уравнения E1.7), E1.8) на
e-i{kr-ujt) и ИНТегрируя по dt от 0 до оо и по с/3ж, получим
»(kv - u)Sf?l - ieak^- 6<р™ = Sfak(O, p),
-к2ё<р™ = 47Г ? ea f 8f?l d3p.	E1.11)

§ 51	ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ	259
С подобными уравнениями мы уже неоднократно встречались
(ср. C4.10), C4.11)); из них находим
47Г
6a J z(kv-
где ?^ ~~ диэлектрическая проницаемость плазмы с распределе-
распределением /(рI). Перемножение таких двух выражений и статисти-
статистическое усреднение дают
Vt2>	х
X
a,b
Среднее значение в числителе подынтегрального выражения
связано с фурье-компонентой ?а5к(РьР2) «начального» корре-
коррелятора gab(ri - г2,рьр2) формулой
(ср. A9.13)). Как и всякая одновременная корреляционная функ-
функция, начальный коррелятор должен содержать E-функционный
член, выражающий те случаи, когда всего одна частица находит-
находится в совпадающих элементах фазового пространства:
8аь7(рЩг1 - r2M(pi - р2)
(см. A9.6)). Фурье-образ этого члена есть 5abf(pM(pi — p2). Та-
Таким образом, в E1.13) надо полож:ить
F fak@,pN fbU @,р')) =
= BтгK^(к + k')[SabJa(pM(p - р') + //к(р, р')], E1.14)
где /Лк(р,р') есть произвольная гладкая (без особенностей при
вещественных р и р7) функция — фурье-образ некоторой функ-
функции /i(ri — r2,pi,p2), стремящейся к нулю при |ri — г2| —)> оо.
) Лишь для упрощения записи последующих формул будем считать, что
функция f(p) изотропна, так что соответствующий ей тензор диэлектриче-
диэлектрической проницаемости saf3 сводится к скалярам е\ та. St-

260	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
При подстановке в E1.13) член с этой произвольной функци-
функцией в E1.14) дает
[
J
J z(kv -
а,Ь
Покажем, что это выражение отвечает во временном представ-
представлении функции, быстро затухающей с увеличением t или t'.
Переход от лапласовского (см. примеч. на с. 173) образа
(^Lk ^ruo'L.') к ФункЦии времени ?2 и t\ = ?2 +1 осуществляется
формулой обращения
/»
E1.16)
где интегрирование производится по путям в плоскостях комп-
комплексных переменных а; и а/, проходящим выше всех особых то-
точек подынтегрального выражения. Нас интересует асимптотика
выражения E1.16) при ?1,^2 ~^ оо. Для ее нахождения надо сме-
смещать контуры интегрирования вниз до тех пор, пока они не «за-
«зацепятся» за особые точки; так, особенность в точке со = сос при-
приведет к асимптотической зависимости интеграла по dco от време-
времени вида ехр (—icoct). Легко видеть, что выражение E1.15) имеет
особенности лишь в нижних полуплоскостях со или со' (но не на
вещественных осях этих переменных) и потому асимптотика ин-
интеграла E1.16) с E1.15) в качестве (Stp^vip^,^,) содержит только
затухающие члены.
Рассмотрим, например, интеграл по со. Множитель l/si(oo,k)
в E1.15) имеет полюсы в нулях функции ?i(oo, к), расположенных
лишь в нижней полуплоскости со1). Таким же свойством обла-
обладает и интеграл по d3p в E1.15). Действительно, этот интеграл
имеет вид
I
z-u/k-iO'
где z = рх — проекция вектора р на направление к, причем
(согласно предположенным свойствам функции /J>k(p,pf)) мно-
множитель i/j(z) мог бы иметь особые точки лишь при комплексных
значениях z. Интеграл такого вида был уже рассмотрен в кон-
конце § 29 и было показано, что он может иметь полюсы лишь в
нижней полуплоскости со.
1) Подразумевается, что распределение f(p) отвечает устойчивому состоя-
состоянию плазмы, так что плазменные волны затухают. Очевидно, что только в
таком случае имеет вообще смысл постановка задачи о стационарных флук-
туациях.

§ 51	ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ	261
Таким образом, интересующая нас незатухающая часть кор-
коррелятора возникает только от вклада от первого члена в E1.14)
в интеграл E1.13):
С2 [
aJ (cj-
fa(p)d3p
Преобразуем подынтегральное выражение, написав
\+
-	1 .
v + zOJ
\
Lcj-kv + гО
При дальнейшем интегрировании по ио' в E1.16) незатухающий
при t —>• оо вклад возникает от вычета в полюсе со' = —со — гО,
который обходится контуром интегрирования, как это показано
на рис. 14; в этом смысле множитель 1/(ш -\- ио1) надо понимать
как — 2iti8(oo + ио'). Смысл же множителей \/{uj ± kv) при по-
последующем интегрировании по ио определяется формулой B9.8),
согласно которой
= — 2тгг6(оо — kv)
ио — kv + гО ио — kv — гО
(это обозначение подразумевает, что интегрирования по а; и а/
производятся уже по вещественной оси).
Таким образом, для вычисления коррелятора в асимптотиче-
асимптотическом пределе больших времен ?, в интеграле E1.17) надо заме-
заменить
-BnJS(oo + оо'M(оо-клг). E1.18)
В результате получим г)
(^шЪ^Л) = BvrL5(u; + ч/ЩЪ + k')( V)Wk,	E1.19)
где
2 ?!? ^' 17 " kv) d"p- EL20)
:) Во избежание недоразумений напомним, что это — не все выражение, а
только его особая по uj-\-uj' часть, определяющая асимптотическое поведе-
поведение коррелятора. В полном выражении отнюдь не все члены содержали бы
д(ио + сУ), поскольку соответствующая функция от ti, ti зависит от разности
t = t\ — t2 лишь асимптотически, при больших ti, fe-

262
СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
ГЛ. IV
Из определения E1.19) видно (ср. A9.13)), что величины
(<^2)и;к представляют собой искомый фурье-образ корреляци-
корреляционный функции — спектральный коррелятор. Таким образом,
формула E1.20) решает поставлен-
^у\ ную задачу для флуктуации потен-
циала.
Аналогичным образом определя-
определяются и другие корреляторы. Так, вы-
	 разив из E1.11) SfaJw через Sip^,^
умножив на S(p^ из E1.12) и усред-
нив, получим коррелятор потенциа-
потенциала и функции распределения 1):
e-z-fa(pN(u--kv).
kv — из + гО dp v Г /и/л k2?i(u3,i
E1.21)
Напомним, что порядок, в котором написаны 5<р и 6fa в символе
(8<р5/а)шь, существен: по определению (ср. V, A22.11)), E1.21)
есть фурье-образ пространственно-временного коррелятора
Если же определить коррелятор как (Sfa(t, r)<$<p@, 0)), то будет
(ср. V, A22.13)).
Наконец, спектральный коррелятор функций распределения
(и - kvi)+
(из — kvi + гО)(из — kv2 — гО)
8тт2еае
^Р2
A;2
др2) e;(u3,k)(u3-kv2 - гО) J '
E1.23)
) Обратим внимание па обратное правило обхода в первом члене (и — гО
вместо из + гО). Оно возникло из-за того, что при из = — a/, k = —к7
(k'v - сУ - гО) = -(kv - из + гО).

§ 51	ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ	263
Это — фурье-образ коррелятора
Если в формулах E1.20)—E1.23) выбрать в качестве fa макс-
велловские функции /оа, получим корреляторы флуктуации в
равновесной бесстолкновительной плазме.
Рассмотрим, например, флуктуации потенциала. Для макс-
велловской плазмы мнимую часть продольной диэлектрической
проницаемости можно представить в виде
- kv) d"P	E1-24)
(см. C0.1); обобщение на несколько сортов частиц очевидно).
Введя это выражение в E1.20), получим
Коррелятор же напряженности продольного электрического по-
поля
(ЕаЕр)иъ = какрF<р2)иъ.	E1.26)
Этот результат можно было бы, конечно, получить и из об-
общей макроскопической теории равновесных электромагнитных
флуктуации, изложенной в IX, § 75-77. Согласно этой теории,
спектральный коррелятор напряженности электрического поля
выражается через запаздывающую гриновскую функцию фор-
формулой, которая в классическом пределе (Нои <С Т) принимает вид
^ Im ?>§,(«, k)	E1.27)
(см. IX, G6.3), G7.2)). В среде с пространственной дисперсией
гриновская функция 1)
Подстановка продольной части этой функции (второй член) в
E1.27) и даст E1.25), E1.26).
Наконец, вернемся к уравнению E1.4) и покажем, что стоя-
стоящее в его правой части выражение
)	E1.29)
х) Это выражение получается из IX, G5.20), если разделить последнее на
поперечную и продольную части и заменить г в этих частях соответственно
на et(u,k) и ei(u,k).

264	СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ	ГЛ. IV
действительно совпадает с известным выражением интеграла
столкновений в плазме. Величина E1.29) получается из корреля-
корреляционной функции E(p(t, r)<$/a@,0)) дифференцированием по г,
после чего надо положить в ней г = 0. Таким образом, найдем
E1.30)
(в последнем равенстве учтено E1.22)). Но из E1.21) имеем (ис-
(используя также E1.20) и E1.24))
Im («aW = {-7гк|%Лк - f^7a} еа6(ш - kva) =
_ _ 32тгеа V- 2 [ Г dfaj _ j djb
x 5{uo - kvb) dspb • 5(uj - kva).
Подставив это выраж:ение в E1.30), легко приводим E1.29) к
виду интеграла столкновений Балеску-Ленарда (§ 47).
В связи с приведенным выводом может показаться стран-
странным, что для вычисления интеграла столкновений оказалось до-
достаточным рассматривать флуктуации в бесстолкновительной
плазме. Это, однако, связано с тем, что при столкновениях в
плазме существенны компоненты Фурье электрического поля с
к J> I/a ^> 1//, что и позволяет пренебречь столкновениями. Си-
Ситуация здесь вполне аналогична той, которая имела место при
выводе кинетического уравнения Больцмана в § 16. Действитель-
Действительно, уравнение A6.10) как раз и означает пренебрежение влияни-
влиянием столкновений на парную корреляционную функцию.

ГЛАВА V
ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 52. Диэлектрическая проницаемость
бесстолкновительной холодной плазмы
Эта глава посвящена изучению свойств плазмы, находящей-
находящейся во внешнем магнитном поле; такую плазму называют маг-
нитоактивной. Заставляя заряженные частицы двигаться по
спиральным траекториям вдоль силовых линий, магнитное поле
оказывает глубокое влияние на поведение плазмы. Оно влияет,
в частности, и на ее диэлектрические свойства.
Напомним предварительно некоторые общие свойства тензо-
тензора диэлектрической проницаемости в присутствии магнитного
поля с индукцией В (см. VIII, § 82). Как и в отсутствие поля,
имеет место равенство B8.6):
ea/3(-W,-k;B)=e*/,(W,k;B).	E2.1)
Согласно же принципу Онсагера, этот тензор симметричен при
условии одновременного изменения знака поля и волнового век-
вектора:
еаР(ч>, к; В) = еРа(ч>, -к; -В).	E2.2)
Если среда инвариантна относительно пространственной инвер-
инверсии, что во всяком случае справедливо для равновесной плазмы,
то saj3 являются четными функциями к и E2.2) принимает вид
еар(ои, к; В) = еРа{и), к; -В).	E2.2а)
Подчеркнем, однако, что эти свойства относятся только к термо-
термодинамически равновесной среде — в отличие от свойства E2.1),
являющегося следствием уже самого определения еар 1).
В общем случае тензор ?ар может быть разделен на эрмитову,
(еар + ?ра)/2, и антиэрмитову, (еар - e]ga)/2, части. Последняя
определяет диссипацию энергии поля в среде (ср. C0.3)).
Изучение магнитоактивной плазмы мы начнем с простейшего
случая «холодной» бесстолкновительной плазмы. Температура
г) Подчеркнем также, что речь идет о проницаемости для переменного
электрического поля. На статическую (ш = 0) диэлектрическую проницае-
проницаемость, являющуюся чисто термодинамической величиной, в рамках класси-
классической теории магнитное поле вообще не влияет (ср. V, § 52); конечные (при
к ф 0) величины ea)g@,k; В) совпадают с ea)g(O,k; 0).

266	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
такой плазмы предполагается настолько низкой, что тепловым
движением частиц можно пренебречь (необходимые для этого
условия сформулированы ниже). В этом приближении простран-
пространственная дисперсия отсутствует и диэлектрическая проницае-
проницаемость зависит только от частоты электрического поля. Отсут-
Отсутствует также и диссипация, так что тензор ?ар эрмитов,
еоф(ш;В) = е*ра(ш;В).	E2.3)
Вместе с равенством E2.1) отсюда следует, что
?ар{ш;В) = еРа(-ш;В).	E2.4)
Разделив эрмитов тензор на вещественную и мнимую части,
?«/3 = е'ар + ie'ap, B СИЛУ E2.2), E2.3) будем иметь
4з(ш;в) = 4>;в) = eUw; -в)>	Г52 5)
Таким образом, в бездиссипативной среде е'п — четные, а е'^о —
нечетные функции поля.
Будем считать, что анизотропия плазмы связана только с при-
присутствием постоянного однородного магнитного поля (индукцию
которого внутри плазмы обозначим через Во). В таком случае об-
общая линейная зависимость между индукцией и напряженностью
слабого монохроматического электрического поля имеет вид
D = е±Е + (ец - е±)Ь(ЬЕ) + ig [ЕЬ],	E2.6)
где b = Bo/So, а е±, ?ц, g — функции от о; и Bq. В тензорном
виде это соотношение записывается как Da = ЕарЕр, где
(е\\ - ?±)babp + igea^.	E2.7)
Если выбрать ось z в направлении Во, то компоненты этого тен-
тензора будут
Из условия эрмитовости тензора E2.7) следует, что функции ?_l,
?ц, g вещественны, а из E2.4) следует, что е±_ и ?ц — четные, a g —
нечетная функции частоты. Принцип Онсагера удовлетворяется
выражением E2.7) автоматически.
В слабых полях тензор еа/з должен разлагаться по целым сте-
степеням вектора Во- Поэтому при Во —» 0 коэффициент s± стре-
стремится к конечному пределу — диэлектрической проницаемости
в отсутствие магнитного поля. Разность же ?± — ?ц ^ Sq, а ко-
коэффициент g ~ Bq.

§ 52	ПРОНИЦАЕМОСТЬ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЫ	267
Вычисление тензора еа/з в рассматриваемом приближении
может быть произведено непосредственно исходя из уравнений
движения частиц в переменном поле Е и постоянном Bq — по-
подобно тому, как была выведена в § 31 формула C1.9). Так, для
электронов имеем
m— = -eE--[vB0].	E2.9)
dt	с
Скорость v меняется со временем по тому же закону (e~lut), что
и поле Е; пренебрегая пространственным изменением последнего
в области движения частицы, имеем из E2.9)
iwv = -E + —[vB0].
т	тс
Решение этого алгебраического векторного уравнения содержит
члены, направленные вдоль Е, b и [ЕЬ]; подбирая соответствую-
соответствующим образом коэффициенты в этих членах, получим
у = _	геи	 |Е _ ^4eb(Eb) _ i^B1 jEbj j ^	E2.10)
где иове — еВо/(тс). Вызванная движением электронов поляри-
поляризация Р, ас нею и индукция D, связаны с их скоростью соотно-
соотношением B9.4):
—icuP = —гио	— j — —eiVev.
Таким же образом вычисляется ионный вклад в поляриза-
поляризацию, причем оба вклада складываются. В результате находим
9	2	9	2
g =
uj(uj2 -uj2Bg) uj(uj2 -uj2Bi)
Здесь
eB	zeB	/^o 1Оч
E2.12)
Me
1);
— так называемые ларморовы частоты электронов и ионов
значения этих параметров являются важной характеристикой
магнитоактивной плазмы (напомним, что это — частота обра-
обращения заряженных частиц по круговым орбитам в магнитном
поле).
: называют также циклотронными или гиромагнитными.

268	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Отношения
u^ = z_rn ^ = (zm\
UBe	М	пе	\М )
—	малые величины. Что же касается отношения частот Vte и сове
(или Vti и иовг), зависящих от совершенно различных параметров
(от плотности плазмы и от поля Bq), to оно может меняться в
очень широких пределах.
Отметим, что ионный вклад в диэлектрическую проницае-
проницаемость магнитоактивной плазмы, несмотря на большую массу
ионов, может быть (при достаточно малых частотах со) сравним
или даже превышать электронный вклад. При со —»> 0 два чле-
члена в g взаимно сокращаются и g —»> 0; в этом легко убедиться,
заметив, что
S*L = ±*L	E2.14)
ШВе	UBi
в силу электронейтральности плазмы (Ne = zNi). Оба члена в g
остаются одинакового порядка величины при со ~ совг-> а прене-
пренебрежение ионной частью в g возможно при со ^> сов%- В попе-
поперечной же проницаемости, s_l, оба члена сравниваются лишь в
области
/M\V2 ,	и/2
СО rsj ujBi I —	пи [СОВг^Ве) ' •
V т /
Пренебрежение ионным вкладом возможно здесь лишь при
со > (совгивеI'2-	E2.15)
Наконец, в продольной проницаемости е\\ (куда Г^ и П| вхо-
входят в виде суммы) ионной частью можно пренебречь всегда. От-
Отметим, кстати, что независимость s\\ от Bq — следствие того, что
поле Е рассматривалось как однородное: в скрещенных одно-
однородных полях магнитное поле не меняет движения частиц вдоль
направления Bq.
Остановимся, наконец, на условиях применимости получен-
полученных формул. Применив к движению частиц уравнение E2.9),
мы пренебрегли пространственным изменением поля Е в обла-
области локализации частицы. Размеры этой области в направлении
постоянного поля Во определяются расстоянием vt/w, проходи-
проходимым частицей, движущейся со средней тепловой скоростью vt
за время изменения переменного поля. В направлениях же, пер-
перпендикулярных полю Во, эти размеры при со < сов определяются
величиной
гв - —	E2.16)
OJb
—	радиусом круговых орбит частиц, движущихся со скоростью
vt в магнитном поле Bq (ларморов радиус частиц). Указанное

§ 53	ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	269
выше пренебрежение требует малости этих расстояний по срав-
сравнению с расстояниями, на которых меняется (в соответствующих
направлениях) поле Е:
^J*ii<l, ^i<l,	E2.17)
U3	UJb
где kz = А;ц и к± — составляющие волнового вектора вдоль и по-
поперек поля Bq. Эти неравенства должны выполняться для каж-
каждого рода частиц в плазме.
Мы увидим ниже, что, кроме того, частота ио не должна быть
слишком близкой к какой-либо из частот юве-> и Bit или их крат-
кратным (условия E3.17)). Вблизи этих частот пространственная
дисперсия должна учитываться даже при соблюдении условий
E2.17). Как мы увидим в § 55, это устраняет полюсы, которые
выражения E2.11) имеют при иР1 = ои^е или иР1 = оо^.
§ 53. Функция распределения в магнитном поле
Тензор диэлектрической проницаемости бесстолкновитель-
ной магнитоактивной плазмы с учетом пространственной дис-
дисперсии вычисляется по функциям распределения электронов и
ионов, определяемым кинетическим уравнением.
Будем, для определенности, писать все формулы для элек-
электронов. Кинетические уравнения бесстолкновительной плазмы
были написаны уже в § 27. Для электронов оно имеет вид1)
f + v|-e(E+ i[vB,)g = 0.	E3Л)
Пусть плазма находится в постоянном однородном магнит-
магнитном поле Bq произвольной величины и слабом переменном элек-
электромагнитном поле, в котором
E,B'~e*(kr-^.	E3.2)
При этом, в силу уравнений Максвелла,
-В' = [кЕ].	E3.3)
с
Подставим в E3.1) В = Bq + В', а функцию распределения
представим в виде / = /о + Sf, где /о — стационарное и од-
однородное распределение в отсутствие переменного поля; малая
j Строго говоря, в присутствии магнитного поля фазовое простран-
пространство частицы должно определяться как пространство г, Р, где Р = р —
— еА(?, г)/с — обобщенный импульс. Но d3xd3P = d3x d3p, так как добавле-
добавление А только меняет начало отсчета импульса в каждой точке пространства.
Поэтому можно относить функцию распределения по-прежнему к d x d p.

270	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
добавка 6f зависит от t и г по тому же закону E3.2), что и по-
поля Е, В', которым она пропорциональна. Отделив в уравнении
члены нулевого и первого порядков по слабому полю, получим *)
§|[vBo] = 0,	E3.4)
i(kv - u)Sf - e-[vB0}^l = e^ JE + ±[v[kE]]} . E3.5)
с	ар	ар I	uj	)
Обозначим через vz, kz составляющие векторов v, k вдоль
поля Bq, а через v_l, k^ — составляющие в перпендикулярной
Bq плоскости; пусть <р — угол между v^ и плоскостью k^, Bq
(отсчитываемый в направлении вращения буравчика, ввинчива-
ввинчиваемого вдоль вектора Во); переменные vz, v±, <p составляют ци-
цилиндрические координаты в v-пространстве. В этих переменных
уравнение E3.5) принимает вид
i(kzvz + k±v± cos ip - шN/ + чве— = е JE + -[v[kE]]| ^.
д(р I и	) dp
E3.6)
Из уравнения же E3.4) следует, что dfo/d<p = 0, т. е. /о может
быть любой функцией, зависящей только от pz и р±:
fo = fo(Pz,P±)	E3.7)
(этот результат заранее очевиден для бесстолкновительной плаз-
плазмы, поскольку pz и р± — те переменные, на которые не влияет
магнитное поле).
Для упрощения записи формул введем обозначения
kzvz -и п k±v±	/KQ Qx
а =	, р =	,	E3.8)
E3.9)
Если /о зависит только от энергии электронов е = р2/Bт), то
производная dfo/др = v dfo/ds и ее произведение со вторым чле-
членом в скобках обращается в нуль, так что
<2 = —^vE.	E3.10)
ооBe de
j В холодной плазме лоренцеву силу со стороны слабого поля В7 не на-
надо было учитывать, так как при пренебрежении собственным (в отсутствие
поля) движением частиц эта сила второго порядка малости.

§ 53	ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	271
С этими обозначениями уравнение E3.6) примет вид
^ + i(a + /3 cos <pNf = Q(<p)	E3.11)
dip
(аргументы vz, v± в функции Q не выписываем). Его решение:
Sf = е-*(<*<Р+Раш<р) Je*(^'+/3siiV)Q(^')^',
С
или, после замены переменной интегрирования <рг = <р — т,
ср-С
Sf = e-iPsm<p J eiPsm(<p-T)-iaTQ((p_T)dTm
О
Постоянная С определяется требованием, чтобы функция 6f бы-
была периодична по <р с периодом 2тг. Поскольку подынтегральная
функция (как и множитель перед интегралом) периодична по <р,
то поставленное требование удовлетворится, если пределы ин-
интегрирования не будут зависеть от <р; для этого надо положить
С = ос или С = — ос. Выбор между этими двумя возможностя-
возможностями определяется правилом обхода Ландау B9.6): интегрирование
должно производиться при cj^cj + гО, т. е. а ^ а — гО; такой
интеграл сходится лишь при С = — ос 1). Окончательно имеем
Sf = e-tf Siny, J
0
= exp <—iar — 2if3 cos ((f —-) sin-> Q((f — r) dr. E3.12)
о
В пределе В$ —> 0 это выражение должно переходить в B9.2).
Для выполнения предельного перехода замечаем, что при а ^> 1
в интеграле существенна область т ^С 1. Тогда sin (<р — т) ~ sin <p —
— т cos <p и интеграл принимает вид
сю	сю
Г
О	О
Взяв интеграл при cj —)> cj + гО, получим
«/ = 7Г^'	E3ЛЗ)
z(kv — cj)
что и требовалось.
) Этот вывод зависит от знака, с которым ш входит в показатель степени.
В случае ионов заряд —е заменяется на ге, так что иве —>¦ —ojbi- Тогда при
из —>¦ о; + гО было бы а —>> а + гО и для С надо было бы выбрать значение оо.

272	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Если частота поля совпадает с ларморовой частотой иове
или кратна ей, то говорят о простом или кратном циклотрон-
циклотронном резонансе (электронов). Для исследования диэлектрических
свойств плазмы вблизи таких резонансов удобен другой способ
решения уравнения E3.11), основанный на разложении искомой
функции в ряд Фурье по переменной ср.
Произведя в E3.11) замену
^	E3Л4)
получим для функции g уравнение
Его решение ищем в виде ряда Фурье
оо
Е
s= — oo
JS(Pg- (V V, )
D o s \uzi u-L)
находим
(Г
2тг
0
Qs
:^8inT-eT)QK,t;±,r)rfr.
E3.
E3.
15)
16)
Разложение E3.15) автоматически обеспечивает периодичность
функции Sf по ср.
Отметим прежде всего, что выражение Sf в виде ряда E3.14),
E3.15) позволяет сразу сформулировать условия допустимости
пренебрежения пространственной дисперсией. Волновой вектор
входит в члены ряда через параметры
Диэлектрическая проницаемость плазмы определяется функци-
функцией распределения при скоростях v ~ vt- Волновой вектор выпа-
выпадает из этой функции, если
k±v±^uiB, \oj-sojB\^\kz\vT.	E3.17)
Первое из неравенств E3.17) и второе с s = 0 совпадают с усло-
условиями E2.17). Мы видим, что помимо этих условий требуется
еще, чтобы частота ио не лежала слишком близко к какому-либо
из циклотронных резонансов.

§ 54	МАГНИТОАКТИВНАЯ МАКСВЕЛЛОВСКАЯ ПЛАЗМА	273
В окрестности циклотронных резонансов функция распреде-
распределения может выражаться, при выполнении определенных усло-
условий, всего одним членом ряда Фурье. Именно, должно быть
\kz\vr ^ив, \w — пиов\ < шв,	E3.18)
где п — какое-либо из чисел О, =Ы, ±2, ... Легко видеть, что
при этом n-й член в разложении E3.15) велик по сравнению с
остальными. Действительно,
- - QnUJB >Q
\kzvT\ + \u -пшв\
между тем как для s Ф п будет gs < Qs (так как \suob — ш\ >
Ограничившись этим одним членом, получим для функции рас-
распределения электронов:
[/ 7	\ 
. / k±v± . \
г I mp	sin (p 1
.. 	V U Be	)\
— 	Tk	1	vi	'
27Г	ZVz-{U-nUBe)\	E3.19)
Qn = ^~ ехр [-г (пт - ^^sinrjl Q{vz,v±,t) dr.
2ТГ J	L V	UJBe	/ -I
0
Зависимость функции распределения от угла ср этой форму-
формулой определяется в явном виде. В частности, при п = 0 и к± —>> О
распределение вообще не зависит от ср. Происхождение этого
свойства очевидно из условия ио <^ иове (E3.18) с п = 0): частота
ларморова вращения велика по сравнению с частотой изменения
поля, что и приводит к «усреднению» функции распределения
по углу вращения 1).
§ 54. Диэлектрическая проницаемость
магнитоактивной максвелловской плазмы
Электронный вклад в тензор диэлектрической проницаемо-
проницаемости вычисляется по функции распределения согласно формуле
Ра =
4тг
= ¦?- Г va5f <Pp	E4.1)
iuj J
(и аналогично, с заменой е —>> — ze — ионный вклад). Для мак-
максвелловской плазмы интегрирование по (ftp в этом выражении
может быть выполнено в явном виде.
1) Соответствующие рассуждения изложены более подробно по аналогич-
аналогичному поводу в § 1.

274	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Функция Sf дается интегралом E3.12), причем согласно
определению E3.10):
Q = -?^/о-	E4-2)
Перепишем этот интеграл в более компактном виде, введя вместо
векторов к = (kz,'k±) и Е = (EZ,'E±) векторы
К = (kzr, 2k± sin -) , Ё = (Ez, Ё±),	E4.3)
где к^ — вектор k_L, повернутый на угол т/2 (в плоскости, пер-
перпендикулярной Bq), а Е^ — вектор E_l, повернутый на угол т.
Тогда Sf примет вид
оо
/exp{-*-(a;r-Kv)}/o(p)(Ev)dr,
J	lwBe	J
6f
TuJBe
0
где fo(p) — максвелловская функция распределения.
Это выражение подставим в E4.1) и заменим переменную ин-
интегрирования р = mv согласно
ъКТ
V = U — 	.
тииве
Интегрирование по d3u производится элементарно, и в результа-
результате находим
сю
Р = ^ [ (в - -^(ЁКЖ) ехр \-™ - Щ-\ dT.
mUJUJBe J \	muJBe	J	|_ UBe	^mUJBe\
0
E4.4)
При этом, согласно определению E4.3):
K2 = ^2r2 + 4fcisin2l.
Расписав выраж:ение E4.4) в компонентах, найдем компонен-
компоненты тензора еа^. При этом условимся о выборе осей координат:
ось z — по Bq, ось ж - по ki, ось у — по [BokJ (рис. 15). После
простых вычислений получим
г М2е [
— °аC = 	 / Ка
LULU Be I
0
ехр \ir^±^ - -кУВет2 - 2к\г2Ве sin2 I) dr, E4.5)
L UJBe	2	2 J

§ 54	МАГНИТОАКТИВНАЯ МАКСВЕЛЛОВСКАЯ ПЛАЗМА	275
где
кХх — cos т — (к±гвеJ sin2 т,
Куу = cos т + 4:(к±гвеJ sin4 -,
2
^ = 1 - {kzrBeJT2,
жХу = — >%ж = — sinr + 2(к_\_гвеJ sinт sin2 -,	^ ' '
2
¦ sin2 -
2
/ ~ ларморов радиус электронов).
Отметим, что равенства
заранее очевидны. Действительно, при фиксированной системе
координат согласно принципу Онсагера должно быть ?а/з(Во) =
= ?/За(~Во). При условленном же выше выборе осей, связанных
с направлениями Bq и к^, направления осей
у и z при замене Bq —>• — Bq меняются на
обратные. Поэтому в таких осях будет
еяЛВо) = -^(-Во),	E4.8)
С другой стороны, Во (направление оси z) —
псевдовектор, а к^ и [BokJ (направления
осей хну) — истинные векторы. Поэтому, в	с*
силу требования инвариантности по отношению к инверсии ко-
координат, компоненты exz и eyz (содержащие индекс z один раз)
долж:ны быть нечетными, а все остальные компоненты — четны-
четными функциями Bq. Отсюда и из E4.8) следует E4.7).
Отметим, что ввиду соотношений E4.7) эрмитовы и антиэр-
антиэрмитовы части различных компонент еа$ = е'ао + ге'^о выражают-
выражаются по-разному через их вещественную и мнимую части. Именно,
разбиение на эрмитову и антиэрмитову части дается следующей
суммой:
ie" е' ie" + \ -е' ie" е' \ (ЪА $\
°^ху ^уу u^yz \ \ \ ^ху	УУ	yz \ • yJ'-t'U)
Хотя мы производили все вычисления для электронной части
проницаемости, но вполне аналогичные формулы справедливы и
ссхх
~еху
ccxz
еху
•11
IF
yz
ie"

276	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
для ионного вклада. Переход к случаю ионов совершается заме-
заменой tte,VTe —> Qi,VTi] ^Be —> ~^Вг и одновременной заменой
верхнего предела интеграла в E4.5) на —оо (см. примеч. на с.
271). Заменив затем переменную интегрирования т —>• —т, мы
вернемся к прежним выражениям E4.5), E4.6) с О^, г>тг, ^Вг
вместо Ое, VTei ^ве и с тем лишь отличием, что изменится знак
нху и >cyz. Таким образом, правило перехода от электронного
к ионному вкладу в проницаемость состоит в замене электрон-
электронных параметров ионными с одновременным изменением знака
компонент ?ху и eyz.
§ 55. Затухание Ландау в магнитоактивной плазме
Учет теплового движения частиц плазмы приводит к появ-
появлению у тензора еар антиэрмитовой части. В бесстолкновитель-
ной плазме, ввиду отсутствия истинной диссипации энергии, эта
часть тензора связана с затуханием Ландау.
Мы видели в § 30, что механизм затухания Ландау связан
с передачей энергии электромагнитного поля частицам, движу-
движущимся в фазе с волной: в затухании участвуют частицы, для
которых uj = kv, т. е. проекция скорости v на направление к
совпадает с фазовой скоростью волны uj/k. В магнитоактивной
плазме это условие несколько меняется: должны совпадать про-
проекции скорости частицы и фазовой скорости волны на направле-
направление постоянного поля Bq:
vzkz = uj.	E5.1)
Действительно, поперечное по отношению к Bq движение части-
частицы происходит по круговым траекториям и не может сопровож-
сопровождаться систематической передачей энергии от поля к частице:
если на одной части круговой траектории частица движется в
фазе с волной и получает от нее энергию, то на противополож-
противоположной части траектории такая же энергия будет отдана частицей
полю.
В магнитоактивной плазме, однако, существует еще и другой
механизм бесстолкновительной диссипации, связанный именно
с ларморовым вращением частиц. В системе координат, движу-
движущейся вдоль поля Bq вместе с частицей (со скоростью vz), по-
последняя движется по круговой орбите с частотой со в- Такая ча-
частица представляет собой, в электродинамическом отношении,
осциллятор, излучающий на частоте со в (магнитотормозное из-
излучение). Напротив, будучи помещен в переменное внешнее поле,
осциллятор поглощает на этой же частоте. Частота электромаг-
электромагнитной волны в движущейся (относительно плазмы) системе ко-
координат, измененная эффектом Допплера, равна uj' = uj — kzvz.

§ 55	ЗАТУХАНИЕ В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ	277
Поэтому в указанном поглощении будут принимать участие ча-
частицы, для которых
ио — kzvz = иов-
Если к^ = 0, то поле волны однородно в поперечных (к Bq)
направлениях, т. е. действующая на осциллятор вынуждающая
сила не зависит от его координат. Именно в таких условиях ос-
осциллятор поглощает только на своей частоте со в- Если же k_L 7^ О?
то вынуждающая сила зависит от координат осциллятора, в ре-
результате чего появляется поглощение также и на кратных часто-
частотах, т. е. при условиях
ио — kzvz = тиов-)	E5.2)
где п — любое (положительное или отрицательное) целое чис-
число. Описанный механизм диссипации называют циклотронным
затуханием Ландау] в зависимости от значения п говорят о за-
затухании на простом (п = =Ы) или кратном циклотронном резо-
резонансе.
Таким образом, значительное затухание может иметь место
в областях частот, в которых
\u-nuB\<\kz\vT, n = 0,±l,±2,...	E5.3)
(значение п = 0 отвечает условию E5.1)). Эти линии резонансно-
резонансного поглощения существуют как на электронных, так и на ионных
частотах иове и ^Вг-
С математической точки зрения условиям E5.1), E5.2) от-
отвечают полюсы, которые в этих точках имеют различные члены
разложения функции распределения в ряд Фурье E3.14)—E3.16).
Антиэрмитовы части тензора еар возникают от вычетов при об-
обходе этих полюсов в интеграле E4.1) по правилу Ландау. Переход
к пределу Bq —>• 0 имеет математически своеобразный характер.
В магнитном поле «полюсные» значения vz (при заданном kz)
образуют дискретную последовательность, определяемую урав-
уравнением E5.2). По мере уменьшения поля полюсы сближаются
и в пределе Bq = 0 полюсные значения vz зависят уже не от
дискретного номера п, а от непрерывного параметра k^v^, в со-
соответствии с условием
со = kv = kzvz + k^v^
(как это показано при переходе от E3.12) к E3.13)).
Вычислим, для примера, тензор диэлектрической проницае-
проницаемости в области простого (п = 1) циклотронного резонанса элек-
электронов. Будем считать также, что
Тогда можно воспользоваться для функции распределения всего
одним членом ряда Фурье — выражением E3.19), соответствую-
соответствующим данному значению п. При этом, в силу второго условия

278	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
E5.4), эта функция может быть разложена по степеням к±. В
случае п = I в таком разложении можно ограничиться нулевым
членом — в соответствии с тем, что циклотронное поглощение на
частоте иове не требует неоднородности внешнего поля в плоско-
плоскости ху.
Таким образом, пишем функцию распределения в виде
Sf = Qi ... "Bf	гг,	E5.5)
l[kzVz - (Ш- UJBe)]
причем
2тг
= —^— [
2-кТшВе J
о
Написав
Ev = Exv± cos т + Eyv± sin т + Ezvz
и выполнив интегрирование, получим
^	E5.6)
С этой функцией распределения вектор поляризации E4.1) име-
имеет лишь х- и у-компоненты. После выполнения интегрирования
по v± dv± dip они принимают вид
X
f	( mv2z\	dvz
/ exp - —-
J	\ 2T / Vz - (Ш - UJBe
)/kz — iOsignkz
—оо
Интеграл такого вида выражается через определенную согласно
C1.3) функцию F. Окончательно находим для компонент ди-
диэлектрического тензора1):
Е -1-Е -1-ЪЕ ~	П*	F (
с-хх 1 — tyy 1 — 1Ьху — ——	-г I =	, ,	f	.
2ш[ш-шве) \V2vTe\kz\J	E5.7)
?zz I = ?xz = ?yZ = U.
Антиэрмитова часть этого тензора, описывающая затухание:
j Полюс vz = (ш — 0JBe)/kz обходится снизу или сверху в зависимости от
знака kz\ это обстоятельство и приводит к появлению знака модуля у kz в
аргументе функции.

i 55
ЗАТУХАНИЕ В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
279
Эрмитова же часть в непосредственной близости к точке ио =
имеет вид
е' - 1 = е' - 1 = -г" = --
°хх х °уу *	°ху
VTe\kz
1. E5.9)
В самой этой точке она меняет знак, обращаясь в нуль. Мы
видим здесь, каким образом учет пространственной диспер-
дисперсии устраняет полюсы диэлектрической проницаемости холод-
холодной плазмы E2.11): разрывная зависимость, изображенная на
рис. 16 штриховыми линиями, заменяется непрерывной зависи-
зависимостью, изображенной сплошной линией1).
В пределе \kz\ —» 0 выражение E5.8) сводится к ^-функции:
—^ 6{ш - ШВе)
2из
E5.10)
(действительно, при со — сове Ф 0 функция E5.8) обращается в
пределе в нуль; в то же время интеграл этой функции по dcu ра-
равен 7r$lg/Bc<j) независимо от значения kz). Этот результат вполне
ясен: в отсутствие пространственной
дисперсии (к —>• 0) ширина линии по-
поглощения обращается в нуль и затуха-
затухание остается лишь при точном совпа-
совпадении си с сове- Формулу E5.10) мож-
можно использовать вместо E5.8) в инте-
интегральных по си выражениях.
Отметим, что формула E5.10) мо-
может быть получена и непосредствен-
непосредственно из выражений E2.11) диэлектриче-
диэлектрической проницаемости холодной плазмы
с помощью правила обхода Ландау. Со-
Согласно этому правилу, при наличии по-
полюса по частоте со последняя должна
пониматься как со + гО. Поэтому фигурирующие в E2.11) полюс-
полюсные множители надо в действительности понимать в следующем
смысле:
[——»	^1
La; — изве + гО из + изве + ^0-1
^ис-
—>>
и по правилу B9.8):
[6(U> - UOBe) ~ S(UJ + Шве)]- E5.11)
Произведя в E2.11) такую замену, получим E5.10).
х) Выражение E5.7) не обладает, естественно, свойством E2.1). Это свой-
свойство появилось бы лишь при учете наряду с линией поглощения вблизи
ш = шВе также и линии вблизи частоты из = —изве-

280	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
При kz = 0 (т. е. при к _L Bq) затухание Ландау в магнитоак-
тивной плазме отсутствует: скорость частиц выпадает из усло-
условий E5.1), E5.2), и они не могут быть выполнены (кроме как
при точном совпадении со с каким-либо псов) )• Подчеркнем,
что это свойство связано с нерелятивистским приближением; в
релятивистской плазме затухание Ландау (циклотронное) может
существовать и при kz = 0. Частота обращения вокруг направ-
направления Bq для релятивистской заряженной частицы с энергией е
равна
(с прежним определением со в)- Это значение должно фигуриро-
фигурировать в правой части условия E5.2) вместо сов- В частности, при
kz = 0 будем иметь
/	9
E5.12)
для возможности выполнения этого условия требуется лишь,
чтобы было со < псов-
Затухание Ландау в магнитоактивной релятивистской плазме
может существовать и в пределе к —>• 0 (в отличие не только от
магнитоактивной нерелятивистской плазмы, но и от релятивист-
релятивистской плазмы в отсутствие магнитного поля). Оно осуществляется
за счет частиц, находящихся в простом циклотронном резонан-
резонансе с однородным переменным полем (условие E5.12) с п = 1) и
существует, следовательно, при частотах со < со в (см. задачу 2).
Задачи
1. Найти тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной
плазмы при и < \kz \vre; предполагаются выполненными также условия E5.4).
Решение. В нулевом приближении по малому параметру к±ите/^Ве
функция распределения для этого случая (член s = 0 ряда Фурье E3.14),
E3.15)):
*f Qo.(
i\kzvz —
где
2тг
„ е/о 1 f ^ , evzEz
Qo =	— / Evdr =	/о.
UJBeT 2ТГ J	UJBeT
О
С этой функцией Sf вектор поляризации Р имеет только ^-компоненту, и из
всех компонент тензора еа(з — $аC отлична от нуля лишь одна:
?zz-l =
4тге
Г fo(p)vU3p
J kzvz — ш — гО
:) В пределе Во —»¦ 0, разумеется, затухание появляется вновь — за счет
электронов, удовлетворяющих условию uj = kv = k

§ 55	ЗАТУХАНИЕ В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ	281
После тождественной замены
2 1 ч ио
vz = —\KzVz — oj)vz -\	vz
Kz	K>z
интеграл от первого члена обращается в нуль (при интегрировании по dpz);
второй же член приводит к результату
ezz-l =
^\kz\vTe
Мнимая часть этого выражения:
^-ехр I -^Тз"!
2. Найти антиэрмитову часть тензора диэлектрической проницаемо-
проницаемости ультрарелятивистской магнитоактивной электронной плазмы в пределе
Решение. В релятивистском случае кинетическое уравнение E3.5)
остается тем же, но при его преобразовании к виду E3.6) релятивистское
соотношение р = sv/c2 (е — энергия электрона) вместо р = mv приводит
2 /
к замене шве на шветпс /?', с этой заменой остаются справедливыми и все
последующие формулы в § 53.
При к = 0 затухание происходит только от простого циклотронного резо-
резонанса; поэтому для вычисления антиэрмитовой части saf3 достаточно учесть
лишь член s = 1 в E3.14), E3.15). Аналогично E5.5), E5.6) найдем
6f{ElE)
Ультрарелятивистская (Т ^> тс2) функция /о 1):
Вектор поляризации вычисляется как
Р = — / 	Sf d p,
iuj J s
причем dsp надо записать в виде р2 dp do = ре ds do/с2. После выполнения
интегрирования по do и замены ср = (е2 — т2с4I^2 получается
_	. _ _ п2тс2
? - ШВе7ПС2/ш + i0 '
гас1
Интеграл имеет мнимую часть, если полюс е = иовеТпс2/ио лежит в области
интегрирования, т. е. если и < иве- В этом случае окончательно находим
--хх — ^уу — ^ху — 12^5 \ J-	— )	ехР I -"
) В этом выраж:ении с ультрарелятивистской точностью написан нор-
нормировочный коэффициент; полагать е ~ ср еще нельзя ввиду дальнейшего
интегрирования по р от 0 до оо.

282	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
§ 56. Электромагнитные волны
в магнитоактивной холодной плазме
Выведем общее уравнение, определяющее зависимость часто-
частоты от волнового вектора (или, как говорят, закон дисперсии) для
свободных монохроматических волн, распространяющихся в сре-
среде с произвольным диэлектрическим тензором ?а^(о;,к).
Для электромагнитного поля, зависящего от времени и ко-
координат по закону exp {—iuot + ikr), уравнения Максвелла B8.2)
принимают вид1)
[кЕ] = -В,	[kBl = --D,	E6.1)
С	С
кВ = 0,	kD = 0.	E6.2)
Подставив первую из формул E6.1) во вторую, получим
—D = -[к[кЕ]1 = Ек2 - к(кЕ),
С2
или, в компонентах,
2	и2	и2
-Еак — какрЕр = —Da = —?арЕр.	E6.3)
Условие совместности этой системы линейных однородных
уравнений выражается равенством нулю определителя:
2
к25аC -
5а
= 0.	E6.4)
Это и есть искомое дисперсионное уравнение2). При заданном
(вещественном) к оно определяет частоты о;(к) (вообще говоря,
комплексные), или, как говорят, спектр собственных колебаний
среды. В общем случае наличия частотной и пространственной
дисперсий уравнение E6.4) определяет бесконечное множество
ветвей функции о;(к).
Рассмотрим электромагнитные волны в холодной магнитоак-
магнитоактивной плазме с тензором диэлектрической проницаемости, да-
даваемым формулами E2.7) и E2.11) 3). Ввиду эрмитовости этого
тензора заранее ясно, что определяемые уравнением E6.4) зна-
значения к2с2/ио2 вещественны.
1)	Не смешивать переменное магнитное поле волны В с постоянным полем
Во!
2)	В кристаллооптике его называют уравнением Френеля.
) Электромагнитные волны в холодной магнитоактивной плазме оы-
ли впервые исследованы, в пренебрежении ролью ионов, Эпплтоном
(E.V. АррЫощ 1928) и Лассеном (Я. Lassen, 1927).

§ 56	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ	283
Поскольку в отсутствие пространственной дисперсии еар за-
зависят только от о;, то по отношению к к дисперсионное уравнение
E6.4) — алгебраическое. Раскрыв определитель, получим после
простого вычисления 1)
А (ЩА + В (-Y + С = О,	E6.5)
где
А = — ?а/зкак/з = ?_l sin2 в + ?ц cos2 в = ?i,	E6.6)
к
В = -е±е\\A + cos2 в) - {е\ - g2) sin2 в,	E6.7)
C = ?||(?i-g2)	E6.8)
(в — угол между к и Во). При заданных значениях шив урав-
уравнение E6.5) дает два значения А;2, т. е. в плазме могут распро-
распространяться, вообще говоря, два типа волн2).
Рассмотрим сначала случаи распространения волн строго
вдоль (в = 0) и строго поперек (в = тг/2) магнитного поля, пред-
представляющие специфические особенности.
При в = 0 корни дисперсионного уравнения дают
.	E6.9)
Из уравнений E6.3) легко видеть, что эти волны поперечны
(Ez = 0) и поляризованы по кругу (Еу/Ех = =рг). Обращение
выражений E6.9) в бесконечность при ио = иове или при ио =
= uobi отвечает резонансу — совпадению частоты и направления
вращения вектора Е с частотой и направлением ларморовского
вращения электронов или ионов. На рис. 17 показан, для иллю-
иллюстрации, примерный ход величины n2 = (ck/ooJ как функции ио.
При ио —)> 0 значения п2 стремятся к предельному значению
(пренебрежено иовг по сравнению с о;^е; и а определено ниже фор-
формулой E6.18)). Распространению незатухающих волн отвечают,
конечно, лишь те части кривых (показанные на рисунке сплош-
сплошными линиями), на которых п2 > 0.
1) При вычислении целесообразно выбрать одну из координатных плоско-
плоскостей (скажем, плоскость xz) проходящей через Во и к.
) Соответствующие им волны принято различать названиями обыкновен-
обыкновенной и необыкновенной. Эти термины, однако, не имеют здесь того смысла,
как в оптике одноосных кристаллов, — ни одна из этих волн не ведет себя
как волна в изотропной среде.

284
ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
При 0 = 0 уравнение E6.5) удовлетворяется также и при ?ц =
= 0, что соответствует обычным продольным плазменным вол-
волнам с независящей от к частотой ио « Ое.
^2	При 0 = тг/2 два корня дис-
дисперсионного уравнения:
ск\2_	(<&\2 - _ il
E6.10)
Первому отвечает волна с неза-
независящим от Bq законом диспер-
дисперсии
^ 1
1
1
_|
СОвг О)Ве
)
у
у
' / »
/
/
f
1
(
ш2
с2к2 + п2е
Эта волна поперечна (E_Lk) и
линейно поляризована, причем
E||Bq. Второму корню E6.10)
отвечает волна с полем E_LBq,
имеющим составляющие как
продольную, так и поперечную
по отношению к к. Если частота настолько велика, что вкла-
вкладом ионов в еар можно пренебречь (ио ^> (ooBe^BiI^2 — условие
E2.15)), то в этой волне1)
E6.11)
В общем случае произвольных углов в (отличных от 0 или
тг/2) замечаем прежде всего, что для каждого значения суще-
существуют частоты, при которых коэффициент А в уравнении E6.5)
обращается в нуль:
Е\ = ?^ Sin2 0 + ?ц COS2 0 =
= 1-
-^-—- COS 0 —
sin2 0 = 0. E6.12)
Если для определяемых этим уравнением частот (так называе-
называемые частоты плазменных резонансов) выполняется также усло-
условие «медленности» ио <^ кс, то согласно § 32 им отвечают про-
продольные собственные колебания плазмы. В то же время обраще-
обращение в нуль коэффициента при А;4 в квадратном (относительно
к2) уравнении E6.5) означает обращение одного из его корней в
бесконечность; при А —>• 0 эти корни равны —С/В и —В/А.
) Колебания плазмы, в которых ионы не играют роли, принято вообще
называть высокочастотными] колебания же, в которых влияние ионов су-
существенно, называют низкочастотными.

56
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ
285
Уравнение E6.12) — кубическое относительно о;2 и имеет три
вещественных корня. Их легко определить, использовав малость
отношений fti/fte и иовг/^Ве- Два корня получаются при прене-
пренебрежении в E6.12) вкладом ионов и равны
± \[
+ш2ВеJ -
E6.13)
Учет ионов, однако, необходим в области ио « uobi-, в которой ле-
лежит третий корень; для этого корня легко получить выражение
м
E6.14)
(здесь предположено Ое ^> uobi)- Формулы E6.13) и E6.14) для
ио2{0) и о;з(в) неприменимы при углах #, настолько близких к
тг/2, что cos в <С т/М. В этой области
,2 _
E6.15)
Ролью ионов нельзя пренебречь не только для ^з, но и для Ш2-
На рис. 18 изображен схематически характер зависимости ча-
частот cji, с^2, ^з от угла в1). Кривые ш\(в) и Ш2{в) никогда не пе-
пересекаются друг с другом. Первая из них начинается (при в = 0)
от большей, а вторая — от
меньшей из частот Ое и шве-
При 0 = тг/2 они достигают max(ae,wBe)
соответственно значений	min(fie,a)Be)
Рис. 18
E6.16)	"^
и иJт- Частоты ш\т и Ш2Т назы-
называют соответственно верхней	0=зт/2
и нижней гибридными часто-
частотами. При Og ^> о;^е (а пото-
потому и заведомо О? ^> о;^) вторая из них:
Положение частот a;i, с^2, ^з в значительной степени задает
расположение различных ветвей спектра, определяемого диспер-
дисперсионным уравнением E6.5). Как квадратное по (ск/шJ уравне-
уравнение оно имеет при заданных шив два корня. Проследив (при
заданном в) за изменением и обращением в бесконечность этих
корней как функций о;, легко прийти к рис. 19, на котором схема-
схематически показан ход этих функций. Точки пересечения кривых
) Сразу же отметим, что колебания с частотой из фактически существу-
существуют лишь именно в узком интервале углов вблизи тг/2. В остальной же обла-
области углов эти колебания сильно затухают из-за циклотронного поглощения
на простом ионном резонансе.

286
ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
Рис. 19
ний; предельные (при ио
ветвях равны
ua\ cos#|
\kJi
где
uA = c— =
с осью абсцисс определяются
уравнением С = 0, т. е. ?ц = 0 или
е\ = g1. Положение этих точек не
зависит от угла в] одна из них (ко-
(корень уравнения ?ц =0) есть все-
всегда ио « Ое.
Спектр собственных колеба-
колебаний холодной магнитоактивной
плазмы содержит, таким образом,
всего пять ветвей. Две из них (вет-
(ветви I и II на рис. 19) достигают
области низкочастотных колеба-
0) значения фазовой скорости в этих
Й)п=A+ЦГ/с'I/*'	E6Л7)
E6.18)
эту величину называют альвеновской скоростью. Выражения
E6.17) легко найти из уравнения E6.5), воспользовавшись пре-
предельными выражениями
-^, g
UJ2
он.
При и а ^ с фазовые скорости E6.17) равны соответственно
ua\ cos6| и и а- Эти предельные значения соответствуют волнам,
которые существуют в холодной плазме согласно обычным урав-
уравнениям магнитной гидродинамики (см. VIII, § 52). Действитель-
Действительно, спектр магнитогидродинамических волн содержит три ветви.
Во всех трех ветвях функция cj(k) линейна, но, вообще говоря,
зависит от направления к:
(uo/kJA =
= -{и
21
E6.19)
2J
J _
(us — скорость звука, формально вычисленная по адиабатиче-
адиабатической сжимаемости среды). Фазовая скорость первой из этих вет-
ветвей (их называют альвеновскими волнами) прямо совпадает с
предельным значением скорости первой из ветвей E6.17). Для
того чтобы перейти к холодной плазме во второй формуле, сле-
следует положить в ней us = 0 (поскольку в газе us ~ (T/MI/2).

56
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ
287
При этом (ш/к)б (соответствующие волны называют быстрыми
магнитозвуковыми) совпадает с предельным значением (со/к)ц.
Что касается третьей ветви, (ио/К)ш (она называется медленной
магнитозвуковой волной), то ее скорость обращается в нуль при
us —>> 0 и потому она в холодной плазме отсутствует. Отметим,
что предположение о холодности плазмы позволяет пренебрегать
тепловым разбросом скоростей ионов и описывать их гидродина-
гидродинамически даже в отсутствие столкновений. Условие и а <С с оправ-
оправдывает пренебрежение токами смещения в уравнениях магнит-
магнитной гидродинамики.
В обратном случае больших частот фазовые скорости двух
ветвей (IV и V) стремятся к значениям со/к = с, отвечающим
поперечным высокочастотным волнам в изотропной плазме, —
как и должно было быть, поскольку при ио ^> иове магнитное
поле не играет роли.
Наконец, остановимся на интересном случае волн, которые
могут иметь место при Ое ^> иове] ПРИ этом резонансная частота
U02 ~ o;#ecos#. Рассмотрим в этом случае область частот, про-
промежуточных (на ветви II) между ио2 и ио% ~ совг^ определяемую
неравенствами
i < 00 < UOBe COS 0, СО < -^.
E6.20)
LOBe
Условие ио ^> иовг позволяет пренебречь в g вкладом ионов, а в
силу условия ио 4с иове будет
^	E6.21)
При условиях E6.20) будет также ?ц > g > e±.
Искомое решение дисперсионного уравнения получается бо-
более прямым образом, если записать последнее в виде
а/3
= 0,
E6.22)
перейдя в E6.4) от тензора еар к его обратному (т. е. выразив в
уравнениях E7.3) Е через D). Компоненты обратного тензора:
ехх еуу
е-} = -L
ху	ух
и наибольшей из них будет ?х}. Пренебрегая остальными ком-
компонентами (и выбрав плоскость xz проходящей через Bq и к),
получим дисперсионное уравнение
ik2
= 0,

288	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
откуда
о, =
cos в\ = сБо|со8У.	E6.23)
Эти волны называют геликоидальными 1); они имеют чисто элек-
электронное происхождение.
Название этих волн связано с характером их поляризации. Из
равенства kD = 0 E6.2) при сделанном выборе координатных
осей имеем
Dx sin в + Dz cos в = 0.	E6.24)
Из уравнений же E6.3), написанных в виде
[k2e~l - kakye-*]Dp = ^Da,	E6.25)
находим Dx = —г\ cos 0\Dy. В том же приближении (т. е. при со-
сохранении из всех ?~о лишь ?Ху) электрическое поле волны лежит
целиком в плоскости жу, перпендикулярной Bq: Ez = e~}Dp = 0.
Компоненты ж:е
Ex — ?Ху Dy> Еу = еух Dx = — еХу Dx,
и из E6.24) следует
Еу = г\со$в\Ех.	E6.26)
Таким образом, волна эллиптически поляризована в плоскости,
перпендикулярной Bq; при в = тг/2 поляризация становится ли-
линейной. В системе же координат ?у?, с осью ( вдоль к, имеем
l^y, Ес = Е^в.	E6.27)
Вектор Е вращается вокруг направления к, описывая круговой
конус.
Отметим, что выражение E6.21) для еху имеет простой фи-
физический смысл. При оове ^ ^ (вместе с подразумевающимся
везде условием E2.17) к±Уте/^Ве = к±гВе ^ 1) мож:но считать,
что поперечное (по отношению к Во ) движение электронов про-
происходит в постоянном и однородном поле Е. Но при движении
заряда в постоянных и однородных скрещенных полях Е и Bq его
средняя поперечная скорость (скорость электрического дрейфа)
есть
v± = с&!	E6.28)
(см. II, § 22). Именно этой скорости и отвечает выражение
E6.21). Таким образом, геликоидальные волны связаны с элек-
электрическим дрейфом электронов в плазме.
В геофизике их называют свистящими атмосфериками.

§ 57	ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ	289
§ 57. Влияние теплового движения на распространение
электромагнитных волн в магнитоактивной плазме
При учете теплового движения частиц дисперсионное уравне-
уравнение становится, вообще говоря, трансцендентным и приводит к
бесчисленному множеству ветвей функции о;(к). Подавляющее
большинство этих колебаний, однако, сильно затухает. Лишь в
исключительных случаях затухание оказывается слабым и коле-
колебания могут распространяться в виде волн. К этим случаям от-
относятся, прежде всего, рассмотренные в предыдущем параграфе
волны, для которых тепловое движение приводит (при соблюде-
соблюдении условий E2.17) и E3.17)) лишь к малым поправкам в законе
дисперсии и к малому коэффициенту затухания Ландау.
Мы видели, однако, что для волн в холодной плазме суще-
существуют области частот, в которых отношение кс/ио становится
сколь угодно большим (окрестности плазменных резонансов).
Но при к —>> оо условия E2.17) заведомо нарушаются, так что
учет теплового движения становится необходимым. Покажем те-
теперь, что учет теплового движения уже как малой поправки в
диэлектрической проницаемости устраняет расходимость корней
дисперсионного уравнения и приводит к некоторым качествен-
качественно новым свойствам спектра колебаний плазмы (Б.Н. Гершман,
1956). При этом, как мы увидим, все еще могут быть выполнены
условия, обеспечивающие экспоненциальную малость затухания
Ландау, так что антиэрмитовой частью еар можно по-прежнему
пренебречь. Будем для определенности говорить об окрестности
высокочастотных плазменных резонансов, где достаточно учесть
тепловое движение лишь электронов.
Поправочные члены в еар пропорциональны (кютеJ J- Такие
же поправки возникнут и в коэффициентах А, Б, С дисперсион-
дисперсионного уравнения E6.5). Имея в виду исследовать лишь расходя-
расходящийся корень этого уравнения, достаточно учесть поправочные
члены только в коэффициенте А, обращающемся (без поправок)
в точке резонанса в нуль.
Представим этот коэффициент в окрестности резонансной
частоты (пусть это будет ал) в виде
А = аЛш - ал) - Alr (v-lA\ .	E7.1)
Второй член представляет собой поправку от теплового движе-
движения. Коэффициенты аг и А\г берутся в точке ио = ал, так что от
переменной ио уже не зависят (но зависят, конечно, от направле-
направления к, т. е. от угла в). Положив ио = ал также и в коэффициентах
х) Они получаются из членов первого порядка в разложении подынте-
подынтегрального выражения в E4.5) по степеням к2.
10 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

290	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
ВиС(и обозначив эти их значения через Вг и Сг), получим дис-
дисперсионное уравнение в окрестности резонансной частоты в виде
Cr = 0. E7.2)
kc\
— )
(jJi/
Нас интересует тот корень этого уравнения, который при
—> 0 переходит в
2	d
(-)¦
\CjJ1 /
Ы	E7-3)
Поскольку в этом решении (kc/cuiJ велико, то для его отыскания
следует опустить в E7.2) не содержащий этой большой величины
член Сг. Тогда получим следующий закон дисперсии:
uj — uj\ =	 (	1 — — ( — 1 .	E7.4;
CLr \ LO\ /	CLr \ kc /
Здесь надо различать два случая в зависимости от знака А\т
(величины же аг и Вг всегда положительны) -1).
На рис. 20 сплошной линией изображен закон дисперсии
E7.4) при Air > 0. Кривая пересекает ось аб-
абсцисс в точке2)
[	E7.5)
CVTe У A	V	J
При Уте —> 0 эта точка уходит вправо на бес-
бесконечность и мы возвращаемся к кривой, отве-
отвечающей закону дисперсии E7.3) для холодной
плазмы (штриховая линия на рис. 20).
Обратим внимание на то, что учет теплово-
Рис. 20	г0 движения приводит, таким образом, к про-
продлению ветви спектра колебаний в область ио > lui. В пределе
равного нулю внешнего поля именно эта часть ветви отвечает
обычным продольным плазменным колебаниям: в отсутствие по-
поля коэффициент Вг = 0, частота со\ совпадает с fte и вся кривая
1)	В положительности Вг легко убедиться из выражений E6.6), E6.7):
исключив ?ц с помощью условия А = 0, находим Вг = г\ tg2 в + g2 sin2 в >
> 0. Из выражения E6.6) для А и выражений E2.11) для г± и е\\ следует,
что дА/ди > 0; поэтому положительно и аг = (дА/дои)ш=Ш1.
2)	Отметим, что для этого значения к отношение kvre/^i содержит
(уте/сI и потому мало. Это и есть упомянутое выше условие малости
затухания Ландау.

§ 57	ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ	291
зависимости ио — Ле от к2 сводится к выходящей из начала коор-
координат прямой, уравнение которой совпадает с C2.5) 1).
В пренебрежении тепловым движением колебания в плаз-
плазменных резонансах продольны. Подчеркнем, что при учете про-
пространственной дисперсии это свойство, строго говоря, исчезает:
величина А = Еосркакр/к?1 = е\ становится зависящей от fc, и
равенство ?\ = 0 (условие продольности колебаний) делается
несовместимым со связью между теми же пе-
переменными c<j, fc, 0, даваемой дисперсионным
уравнением. Как в самих точках плазменных
резонансов (вообще теряющих свою выделен-
ность), так и в их окрестностях волны остают-
остаются, однако, почти продольными: ввиду малости
А и медленности волны (малости ш/кс), попе-
поперечная компонента Е^ мала (согласно C2.10))
по сравнению с Е^1\
Обратимся к случаю А\т < 0. Характер за-
зависимости uj — uj\ от к для этого случая изоб-	ис#
ражен на рис. 21. Кривая не выходит в область ио > c<ji, загибаясь
обратно в точке максимума с координатами
E7.6)
CVTe
При Уте ~^ 0 эта точка уходит вправо на бесконечность, одновре-
одновременно приближаясь к оси абсцисс, и мы снова возвращаемся к
кривой закона E7.3).
В качестве еще одного примера рассмотрим поперечные вол-
волны вблизи электронного циклотронного резонанса, распростра-
распространяющиеся вдоль магнитного поля. В пренебрежении тепловым
движением закон дисперсии этих волн дается формулой E6.9)
(с нижними знаками), причем в окрестности точки ио = иове 2)
» = "Be (l - Л)	E7.7)
(при этом кс ^> Г?е)> весь этот спектр лежит при си <
j В связи с этим волны, отвечающие (в магнитоактивной плазме) верхней
части сплошной линии на рис. 20, принято называть плазменными, в отли-
отличие от обыкновенных или необыкновенных волн, отвечающих нижней части
этой кривой. Подчеркнем, однако, условность этой терминологии: в действи-
действительности мы имеем здесь дело с единой ветвью спектра колебаний, точка
пересечения которой с осью абсцисс (точка ш = ш\) ничем не замечательна.
2) Для большей определенности считаем, что не только иве — и ^ шве,
но и что Qe > ^ве, так что единицей в правой части E6.9) можно заведомо
пренебречь.
10*

292	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Для исследования этих волн с учетом теплового движения
электронов надо составить дисперсионное уравнение с тензором
диэлектрических проницаемостей E5.7), как раз относящимся
к области циклотронного резонанса1). Раскрыв определитель
E6.4) (с вектором к, направленным вдоль оси z), получим
*_?! = ! +	01	F (<?^?вЛ .	E7.8)
CJ2	и(иО — ООВе)	\v2kVTe )
Вне линии резонансного поглощения, т. е. при \иове — оо\^> кюте
(но, конечно, по-прежнему \иове — оо\ <^ шве)? это соотношение
принимает вид
к2С2	П2е	, . /7 U2e
Отсюда снова получается закон дисперсии E7.7) для веществен-
вещественной части частоты и выражение
для коэффициента затухания Ландау.
При дальнейшем приближении uj к иове, в области \иове ~
— ио\ ^С kvTei коэффициент затухания растет, становясь срав-
сравнимым с самой частотой uj\ в этой области уже нельзя говорить
о распространении волн.
§ 58. Уравнения гидродинамики
магнитоактивной плазмы
Если характерные пространственные размеры L в движущей-
движущейся плазме велики по сравнению с длинами свободного пробега,
L » I,	E8.1)
то можно считать, что благодаря столкновениям в каждом
небольшом участке плазмы устанавливается термодинамическое
равновесие со своими местными значениями температуры (оди-
(одинаковыми для электронов и ионов), давления и т. п. В таких слу-
случаях движение плазмы может описываться макроскопическими
гидродинамическими уравнениями.
Уравнения магнитной гидродинамики были написаны в VIII,
§ 51. При этом, однако, подразумевалось, что кинетические ко-
коэффициенты среды (ее вязкость, теплопроводность) не зависят
:) Напомним, что формулы E5.7) предполагают также и соблюдение усло-
условия E5.4): шве

§ 58	ГИДРОДИНАМИКА МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ	293
от магнитного поля. В плазме для этого должны быть выполне-
выполнены условия
(втрое условие следует из первого). Эти условия часто оказыва-
оказываются слишком жесткими, в связи с чем возникает необходимость
в составлении гидродинамических уравнений, свободных от ука-
указанного ограничения1).
Уравнение непрерывности для массовой плотности р сохра-
сохраняет, конечно, свой обычный вид
+ divpV 0,	E8.2)
где V — макроскопическая скорость. Остается прежним также и
общий вид уравнения Навье-Стокса
и уравнение сохранения энергии
= -div \pV (— + w)- (ct'V) + —[ЕВ] + ql , E8.4)
L V 2	/	4тг	J
где а^п — тензор вязких напряжений; (tr'V) обозначает вектор
с составляющими cr^nVp] q — плотность потока энергии, вклю-
включающая в себя как диссипативную часть, связанную с тепло-
теплопроводностью и термоэлектрическими явлениями, так и конвек-
конвективный перенос энергии током (см. ниже определение E8.8));
U и W — внутренняя энергия и тепловая функция среды, от-
отнесенные к единице ее массы. Тензор а'ао и вектор q должны
быть выражены через градиенты термодинамических величин и
скорости; вид этих выражений как раз и зависит от магнитного
поля.
В связи с уравнением E8.3) необходимо сделать следующее
замечание. В этом уравнении учтена сила, действующая на плаз-
плазму со стороны магнитного поля (последний член слева), но опу-
опущена сила
e(zNi - Ne)B,
действующая со стороны электрического поля. Это пренебреже-
пренебрежение в данном случае оправдано: из условия E8.1) следует, что и
:) Кроме того, в VIII, § 51, были опущены члены в уравнениях, описы-
описывающие термоэлектрический эффект.

294	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
подавно L ^> a, a потому плазма квазинейтральна, так что мож-
можно положить zNi = Ne и некомпенсированные заряды в плазме
отсутствуют 1).
К уравнениям E8.2)—E8.4) надо добавить уравнения Макс-
Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля (уравне-
(уравнения без тока смещения):
rotE = -± —, divB = 0, rotB = — j.	E8.5)
с dt	с
Напомним, что квазистационарность поля означает малость ча-
частоты его изменения ио в смысле ио <С c/L. При этом элек-
электрическое поле, индуцируемое переменным магнитным полем,
Е ~ uoLB / с <С В] именно поэтому в E8.4) надо учитывать плот-
плотность энергии лишь магнитного, но не электрического, поля. От-
Отметим также, что пренебрежение током смещения находится в
соответствии с предположением о квазинейтральности плазмы:
из последнего уравнения E8.5) следует divj = 0.
Наконец, надо присоединить уравнение, выражающее «обоб-
«обобщенный закон Ома», вида
E + i[VB] = F,	E8.6)
с
где F — некоторая линейная комбинация тока j и градиентов
термодинамических величин. Напомним (ср. VIII, § 49), что про-
происхождение комбинации из Е и В в левой части E8.6) связано с
преобразованием Е при переходе от системы покоя данного эле-
элемента объема среды к системе отсчета, в которой он движется со
скоростью V.
В квазинейтральной плазме относительная концентрация ее
компонент (электроны и ионы) есть заданная неизменная вели-
величина (Ne/Ni = z). Поэтому независимыми термодинамическими
переменными являются лишь температура и давление; вопрос о
выражении F и q через градиенты этих величин (и ток j) фор-
формально совпадает с таким же вопросом в теории термогальвано-
магнитных эффектов в металлах (см. VIII, § 25) 2).
Соотношения между j и q, с одной стороны, и полем и гради-
градиентами термодинамических величин — с другой, записываются
г) Это рассуждение основано на неравенстве / ^> а. Напомним, что мы вез-
везде имеем в виду полностью ионизованную плазму. В частично ионизованной
плазме неравенство I ^> а может не выполняться ввиду уменьшения длины
пробега благодаря столкновениям с нейтральными атомами, и тогда требо-
требование L ^> а надо рассматривать как дополнительное условие, необходимое
для пренебрежения объемной электрической силой.
) Снова напомним, что речь идет о полностью ионизованной плазме. На-
Наличие нескольких видов тяжелых частиц (различные ионы, нейтральные
атомы) потребовало бы учета соответствующих диффузионных процессов.

§ 58	ГИДРОДИНАМИКА МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЫ	295
в виде, обобщающем соотношения D4.12), D4.13):
Ча = -—За + Ра/ЗЗр ~ ^ —•	E8.8)
е	охр
Здесь \ie — химический потенциал электронов, а тензоры а'ао,
ааC? fiaC зависят, как от параметра, от магнитного поля В. От-
Отсутствие в левой части E8.8) члена — <#j (ср. D4.13)) связано с
тем, что величина (pj уже учтена в E8.4) вектором Пойнтинга в
плотности потока энергии. В этом легко убедиться, преобразовав
с помощью уравнений Максвелла E8.5) его дивергенцию:
-div— [ЕВ] = ^- — +JE = ^- — - div(^j).
4ttL J dt8ir J	dt8ir	K™J
Таким образом, поток энергии q в E8.8) уже не содержит в себе
переноса частицами энергии — еср.
В силу принципа Онсагера, коэффициенты в соотношениях
E8.7), E8.8) связаны друг с другом соотношениями
аар(В) = <тра(-В), хар(В) = хра(-В),	E8.9)
Рар(В)=ТаРа(-В).	E8.10)
Поскольку В — единственный имеющийся в нашем распоря-
распоряжении векторный параметр, зависимость тензоров от направле-
направления b = В /В может быть написана в общем виде
аар(В) = а\8ар + a2babf3 + азеар^Ь7	E8.11)
(и аналогично для остальных тензоров), где скалярные коэф-
коэффициенты «1, «2, «з — функции величины поля В] такая зави-
зависимость удовлетворяет требованию симметрии по отношению к
инверсии: В — аксиальный вектор, и его компоненты не меняют
знак при инверсии, как должно быть и для компонент истинных
тензоров аа{з, ... Отметим, что выражения вида E8.11) автома-
автоматически удовлетворяют соотношениям E8.9), а E8.10) принима-
принимает вид
/?а/3(В)=Таа/3(В).	E8.12)
При фактическом применении выражений E8.7), E8.8) в маг-
магнитной гидродинамике градиент химического потенциала удоб-
удобнее выразить через градиенты давления и температуры согласно
V/ie = -seVT + —

296	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Pz
где Ре = NeT = 	 — парциальное давление электронов в
1 + z
плазме, se и we — энтропия и тепловая функция электронной
компоненты плазмы, отнесенные к одной частице. Окончательно
перепишем соотношения E8.7), E8.8) в векторном виде как
eN
= к + IL
+ A/"[BVT], E8.13)
q + ^j = a||Tj|| + a±Tj± + A/"T[Bj] -
+ ?(BVT], E8.14)
где введены новые обозначения для коэффициентов (все они —
функции В), а индексы || и _L означают составляющие векторов,
продольные и поперечные относительно В. Определение коэф-
коэффициента ац в E8.13) отличается от его определения в E8.7)
включением в него величины se/e. Коэффициенты 7?, Л/", С опи-
описывают соответственно так называемые эффекты Холла, Нерн-
ста и Ледюка-Риги. Напомним также, что члены 7?[Bj] в E8.13)
и ?[BVT] в E8.14) представляют собой бездиссипативные кине-
кинетические эффекты: они выпадают из произведений Ej и qVT и
потому не связаны с увеличением энтропии.
Что касается тензора вязких напряжений <т^д, то его общее
выражение через градиенты макроскопической скорости было
написано уже в § 13. В применении к плазме это выражение
несколько упрощается ввиду обращения в нуль обоих коэффици-
коэффициентов второй вязкости ? и (д. Равенство нулю коэффициента ?
есть общее свойство всех одноатомных газов, к каковым отно-
относится и плазма. Причина же отсутствия члена с (д объяснена в
следующем параграфе.
Остальные члены в A3.18) в применении к плазме целесооб-
целесообразно несколько перегруппировать, имея в виду, что в плазме
влияние магнитного поля на вязкость является, вообще говоря,
сильным эффектом (а не слабым, как в нейтральном газе); поэто-
поэтому не имеет смысла выделять обычный коэффициент вязкости
г/. Представим здесь а'ао в виде, отличающемся от A3.18) лишь
тем, что член с г/ заменен членом
- I div V) ,	E8.15)
где (вместо h) b = В /В; о целесообразности такого определения
г/о см. ниже, примеч. на с. 308.

§ 59	КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ	297
Если выбрать ось z в направлении Ь, то компоненты тензора
напряжений примут вид
Vyy)
zz - i div v) + m(Vxx - Vy
j'yy = -Щ (Vzz - \ div V) + m(Vxx - Vyy) - 2mVxy,
^-idivV),	E8.16)
- m(vxx - Vyy),
T
§ 59. Кинетические коэффициенты плазмы
в сильном магнитном поле
При вычислении кинетических коэффициентов магнитоак-
тивной плазмы надо, как обычно, искать функции распределе-
распределения частиц в виде / = /о + #/, где Sf — малая поправка к
локально-равновесному распределению, пропорциональная соот-
соответствующему градиенту термодинамических величин. При под-
подстановке такого выражения в кинетическое уравнение, например,
для электронов
ЁА + wdJ± - еЕдЛ - ?[vB]fi = St/e	E9.1)
dt	дг	dp с	dp
в первых трех членах в левой части полагаем /е = /ое; четвертый
же член при этом обращается в нуль (поскольку вектор dfoe/dp
направлен вдоль v); поэтому здесь надо сохранить член с ?/е, и,
таким образом, находим следующее уравнение для Sfe г):
1Ffe),	E9.2)
+ v	eE	[vB]
dt	дг	dp с	dp
где / — линеаризованный интеграл столкновений.
Отметим прежде всего, что коэффициенты продольных элек-
электропроводности <7м и теплопроводности к\\ вообще не зависят от
В, оставаясь равными своим значениям в отсутствие магнитно-
магнитного поля (т. е. обычным скалярным аи х). Действительно, из
х) Напомним, что при вычислении диэлектрической проницаемости плаз-
плазмы в § 29 член с магнитным полем в этом уравнении был опущен, поскольку
при малых Е и В он является малой величиной второго порядка. В рассма-
рассматриваемой же здесь задаче магнитное поле В (в противоположность элек-
электрическому полю Е) отнюдь не предполагается малым.

298	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
соображений симметрии заранее очевидно, что при совпадении
направлений векторов Е или VT с направлением В функция
распределения Sf не зависит от угла ср поворота поперечной ско-
скорости v^ в плоскости, перпендикулярной полю В. Между тем
,в]д% = _Вд51
dp	m dip
и, следовательно, при dSf /дер = 0 магнитное поле вообще выпа-
выпадает из кинетического уравнения1).
По такой же причине не зависит от магнитного поля (и тем
самым совпадает с обычной вязкостью г/) также и коэффициент
вязкости г/о — тот коэффициент, который определяет вязкие на-
напряжения а'ао, когда скорость V направлена вдоль В (ось z) и
зависит только от координаты z\ при этом в выражениях E8.16)
остаются лишь члены с
/	/	1 /	2 dV
О™™ = <T7m = — - (J77 = ——T]0	•
xx	yy	2 zz	3 /U dz
Наконец, должен был бы быть не зависящим от поля коэффи-
коэффициент (д, который для указанного распределения скорости дал
бы в тензоре напряжений вклад
/	/ 1 / /- dV
G = <7 = - <7 = (,1	.
xx yy 2	dz
Но поскольку в отсутствие поля этот эффект вообще отсутству-
отсутствует, то тем самым (д = 0 и при наличии поля 2). (Отметим, что эта
причина не связана с классичностью плазмы, так что равенство
(^ = 0 имело бы место и в релятивистском случае — в противопо-
противоположность коэффициенту ?, отличному от нуля в релятивистской
плазме.)
Вычисление остальных кинетических коэффициентов можно
произвести в аналитическом виде в предельном случае сильных
магнитных полей, когда (для каждого рода частиц) ларморова
частота со в ^> v. В этих условиях столкновения играют роль
малой поправки3).
1)	Сразу же оговорим, однако, что эти рассуждения (и аналогичные рас-
рассуждения ниже) предлагают, что процесс рассеяния частиц не зависит от
магнитного поля. Для этого необходимо, чтобы магнитное поле удовлетво-
удовлетворяло неравенству E9.10) — см. ниже.
2)	Подчеркнем лишний раз, что все эти утверждения связаны с видом
содержащего В члена в кинетическом уравнении E9.2). Они не относятся
поэтому к обычному газу, молекулы которого обладают магнитным момен-
моментом, через посредство которого (а не через заряд частиц, как в плазме) и
осуществляется в этом случае взаимодействие с магнитным полем.
3)	Кинетические коэффициенты магнитоактивной плазмы вычислялись
Ландсгофом (R. Landshoff, 1949), Е.С. Фрадкиным A951) и СИ. Брагинским
A952). Излагаемый ниже аналитический метод принадлежит И.Е. Тамму
A951).

§ 59	КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ	299
Электропроводность. Начнем с вычисления коэффициен-
коэффициентов, определяющих электрический ток в плазме. Эти вычисления
удобно производить в системе отсчета, в которой данный элемент
объема плазмы покоится. Пренебрегая величинами ~ т/М, эту
систему можно считать совпадающей с системой покоя ионной
компоненты. Электрический ток в такой системе — чисто элек-
электронный. Поэтому надо решать лишь кинетическое уравнение
для электронов.
Левая часть кинетического уравнения должна была бы быть
преобразована с помощью гидродинамических уравнений, подоб-
подобно тому, как это было сделано в § 6 для обычного газа. При
этом в выбранной системе отсчета в рассматриваемой точке ма-
макроскопическая скорость (но, конечно, не ее производные) равна
нулю г).
В полном проведении этих вычислений, однако, в данном слу-
случае (для электронов) нет необходимости. Прежде всего замеча-
замечаем, что можно вообще опустить член dSfe/dt. Дифференциро-
Дифференцирование по времени приводит к появлению членов с производными
дТ/dt, dP/dt и dV/dt. Из них первые две выражаются через
скаляр div V (ср. F.16)); но такие члены, как нам уже известно,
в случае одноатомного газа (каковым является плазма) все равно
взаимно сокращаются. Производная же <9V/<9?, выраженная из
гидродинамического уравнения E8.3), содержит множитель 1/р,
т. е. множитель 1/М] учет таких членов в кинетическом урав-
уравнении привел бы лишь к поправкам ~ т/М, которыми мы не
интересуемся. Далее, можно положить в E9.2) Е = 0, поскольку
заранее известно, что Е может войти в искомый ток j лишь в
виде суммы
Е + — VP.
eNe
Наконец, поскольку мы не имеем в виду вычислять независящие
от магнитного поля «продольные» кинетические коэффициенты
(<7м, хм, г/о), то можно считать все термодинамические величины
плазмы зависящими лишь от координат в плоскости, перпенди-
перпендикулярной направлению В. Обозначив оператор дифференциро-
дифференцирования в этой плоскости посредством Vj_, напишем, таким обра-
образом, кинетическое уравнение в виде
(W±)/Oe = %В]^ + 1E fe).	E9.3)
В свою очередь это уравнение можно решать последователь-
последовательными приближениями по степеням 1/иове- Первому приближе-
1) Это по существу уже подразумевалось выше, где использовалось сов-
совпадение направлений векторов dfo/dp и v.

300	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
нию (которое отметим индексом A)) отвечает полное пренебре-
пренебрежение интегралом столкновений, т. е. уравнение
= J-(vV±)/Oe	E9.4)
UBe
(Ь = ~В/В). Решение этого уравнения:
<5/еA) = - — (v[bV±/Oe]),	E9.5)
в чем легко убедиться прямой подстановкой. Заранее очевидно,
что с его помощью можно вычислить только бездиссипативные
кинетические коэффициенты: в отсутствие столкновений дисси-
диссипация энергии отсутствует.
Плотность электрического тока дается интегралом
E9.6)
Подставив сюда E9.5), имеем
jd) = !^(
где усреднение производится по максвелловскому распределе-
распределению. В результате находим
V±Pe = -*[bj«].	E9.7)
Сравнив это выражение с определением коэффициента 1Z в
E8.13), получим
Я	E9.8)
Neec
В следующем приближ:ении ищем решение уравнения E9.3)
в виде Sfe = Sfe + Sfe и для Sfe находим уравнение
= J-7(v[bVj/0e)	E9.9)
UJBe
(оператор V^ нельзя выносить из-под знака /, поскольку в лине-
линеаризованном интеграле столкновений подынтегральное выраже-
выражение содержит в своих коэффициентах зависящие от координат
величины — например Ni).
Как было уже условлено, магнитное поле предполагается на-
настолько сильным, что иове ^> ve- Далее, в этом параграфе будем,
однако, считать в то же время, что
гВе = ^ > ае	E9.10)
LOBe
(т. е. иове ^ ^еM ч^м величина поля ограничивается сверху. При
выполнении этого условия поле почти не искривляет траектории

§ 59	КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ	301
электронов (и уж тем более ионов) в области столкновений и тем
самым не оказывает влияния на процесс столкновения. Другими
словами, оператор / не зависит явно от поля. Но тогда в силу
соображений симметрии правая часть уравнения E9.9) должна
иметь векторную структуру вида (v[bVj_])<p(ir); по отношению к
переменной v эта структура такая же, как и у правой части E9.4)
(причем вместо V^ стоит [bVj). Решение уравнения E9.9) есть
поэтому
SfP = -^-/(v[b[bV±]]/Oe) = ^-/(W_L/Oe).	E9.11)
При вычислении тока отличный от нуля вклад возникает
только от ei-столкновений. Действительно, поскольку столкно-
столкновения представляют собой в рассматриваемых условиях малый
эффект, вклад в проводимость от ее- и ei-столкновений мож-
можно учитывать независимо. Это значит, например, что вклад от
ее-столкновений вычисляется по функции распределения, полу-
получающейся в результате решения кинетического уравнения, в пра-
правой части которого стоит интеграл только этих столкновений,
как если бы с ионами электроны вообще не сталкивались. Но
тогда интеграл / vSfe d3p с функцией Sfe вида E9.11) обра-
обращается в нуль, поскольку в силу закона сохранения импульса
при столкновениях для произвольной функции распределения
/е имеем тождественно
fvSteefed3p = 0
(ср. § 5).
Таким образом, при вычислении электрического тока на-
надо понимать в E9.11) символ / как электрон-ионный интеграл
столкновений. При этом 1)
/ez(W±/oe) = -^)(vV±)/Oe,	E9.12)
где согласно D4.3)
/ ч 4тгze4NeLe
ViV)
eiiV)
m2vs
Вклад в ток от функции распределения E9.11), E9.12) равен
;. E9.13)
) Ср. D4.1). Напомним, что формула такого вида для St / имеет место,
если столкновения происходят с частицами, которые можно считать непо-
неподвижными, и если 6f имеет вид (vA)g(w), где А — постоянный вектор. В
данном случае роль А играет векторный оператор Vj_.

302	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Для вычисления искомых кинетических коэффициентов надо
подставить tokj^ = j^ +jB) в равенство E8.13)
-L V±Pe = ^ + ПВ[Ъ}±] + a±V±T + ATB[bV±T\, E9.14)
eNe	a±
определяющие эти коэффициенты. Положив сначала VT = 0 и
собирая члены порядка l/иове, найдем, что
откуда
Q^l/2 2 N
/ Г'А  Г" \
,	59.15
где ve{ (без указания аргумента) обозначает
^ф	E9.16)
Величина E9.15) того же порядка, что и проводимость D3.8) в
отсутствие поля, с которой в данном случае совпадает и сгм.
Аналогичным образом, положив в E9.14) VPe = 0 и снова
собирая члены ~ 1/иове-) найдем
откуда
М = -	^	= - 3cNe .	E9.17)
Что касается коэффициента а±, то он появляется лишь еще
в следующем приближении по 1/иове и оказывается равным (для
z = l)
^) .	E9.18)
00Be У
Электронная теплопроводность. Тепловой поток в плаз-
плазме складывается как из электронной, так и из ионной частей;
рассмотрим сначала первую из них.
Электронный тепловой поток вычисляется как интеграл
j	E9.19)
В первом приближении по 1/а;#е, подставив сюда E9.5), находим

§ 59	КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ	303
откуда
A) = __5
2eB
где гие = 5Т/2 — электронная тепловая функция, отнесенная к
одному электрону. Сравнив с определением коэффициента С в
E8.14), получим
2еВ2	V	J
В следующем приближении интеграл E9.19) должен быть вы-
вычислен с функцией распределения E9.11). В тепловой поток, од-
однако, дают вклад как ег-, так и ее-столкновения. В первом случае
снова используем выражения E9.11), E9.12) и находим
откуда
(ег) 	 _ ^У *71 АЪ ±Уе.ие уу	± е
V
3 m3/2cj|e л/Т
Для нахождения отсюда соответствующей части коэффици-
коэффициента теплопроводности к± надо, однако, учесть еще условие j =
= jW + jB) = 0, поскольку согласно E8.14) к± определяется
по потоку тепла именно в отсутствие тока. С помощью E9.7) и
E9.13) находим, что это условие означает следующее соотноше-
соотношение между градиентами давления и температуры:
В	л4е
(при вычислениях везде пренебрегаем членами более высокого
порядка по 1/иове)- Вычислив с учетом этого соотношения сумму
находим
Эта формула имеет простой физический смысл. По порядку
величины коэффициент теплопроводности должен быть равен
к_\_ ~ CeD±, где Се ~ Ne — теплоемкость электронов в единице
объема, a D± — коэффициент диффузии электронов в направле-
направлении поперек магнитного поля. Последний в свою очередь оцени-
оценивается как ((AxJ)/St1 где ((АхJ) — средний квадрат смещения
за время St. В магнитном поле смещение в поперечном направле-
направлении происходит лишь при столкновениях, причем электрон сме-
смещается на расстояние ~ г#е. Поэтому D± ~ ^г^е, откуда и
получается E9.23).

304	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Обратимся к вкладу ее-столкновений. Вычисления здесь бо-
более громоздки; наметим их ход.
В функции E9.11) под / надо понимать теперь линеаризо-
линеаризованный интеграл столкновений Ландау:
где
(w = v — v7). Интеграл E9.19) с такой функцией распределения
после интегрирования по частям принимает вид
e))} d3p.	E9.25)
Коэффициент в этой формуле написан так, что под Sfe в E9.24)
надо теперь понимать функцию (vV^)/oe- При этом дифферен-
дифференцирование V^ достаточно применить только к температуре Т в
показателе максвелловской функции /ое:
члены, возникающие от дифференцирования предэкспоненци-
ального множителя, взаимно сокращаются1).
После простого, хотя и довольно длинного вычисления инте-
(ее)	9\
грал E9.25) приводится к виду — ну±е, V_lT, где j
.(ее) _ тгЬее4
±е
где w = v — v7, V = (v + v;)/2, а многоточие в фигурных скоб-
скобках стоит вместо членов, содержащих нечетные степени wV и
обращающихся в нуль при интегрировании. Заметив, что
/0e(p)/0e(p;) CO exp f-^
4Т
:) Это обстоятельство заранее очевидно как следствие общего свойства,
отмеченного в § 6: интеграл столкновений одинаковых частиц обращается в
нуль для функций вида v/o.
2) Градиент давления здесь не появляется, и поэтому нет необходимости
в исключении его с помощью условия j = 0.

§ 59	КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ	305
и выполнив интегрирование по (ftp(ftpf, получим окончательно
где
^е ш1/2тз/2 '	I59'27)
Таким образом, весь электронный вклад в поперечную теп-
теплопроводность
2NeTvee Л 13
11 +
Л 13 \	,_0 Ойч
11 + —г) .	E9.28)
V	4 /
Ионная теплопроводность. Отметим прежде всего, что
условие применимости рассматриваемого приближения для п-
столкновений, uobi ^> va, более сильное, чем для электронов. По-
Поскольку va ~ ъ>ее(т/МI12, а и;в% ~ оиВет/М, то из шв% > Щ%
следует неравенство иове ^> vee(M/m)ll2, более сильное, чем
и Be ^> vee\ что же касается условия гв% ^> а, то оно заведомо
выполняется, будучи более слабым, чем E9.10).
Кинетическое уравнение для ионов аналогично уравнению
E9.2):
& ^	^	^A 1(8 fi).	E9.29)
+ v + zeE	[vB]
dt	dr	dp	с	dp
При преобразовании его левой части ситуация, однако, отлича-
отличается от электронного случая. Подставив сюда
мы должны теперь дифференцировать V not (после чего снова
положить, в силу выбора системы отсчета, V = 0). При V = 0
имеем, согласно гидродинамическому уравнению движения:
dt	p	pc
где давление Р = Ре + Р^ а плотность р = NiM. В результате
кинетическое уравнение примет вид
f ^	)> E9.30)
где мы снова (как и в E9.3)) положили Е = 0 и написали
вместо V 1).
х) В случае электронов второй член в левой части содержал бы вместо
М/р множитель т/р = т/(МЩ) и им можно было бы пренебречь.

306	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Решаем уравнение E9.30) последовательными приближения-
приближениями по 1/швг- В первом приближении получим аналогично E9.5):
Но в этом приближении имеем, согласно E9.7), V±Pe = [jB]/c,
так что
^г1} = — (V [b, Vl/ог - ^ V±Pil ) •	E9.31)
Эта функция распределения не дает, разумеется, вклада в
ток f Sfi vdPp = 0, как и должно быть в системе отсчета, в
которой ионная компонента плазмы покоится. Для потока же
тепла находим
A) М [ 2
откуда
А = 5сА^Т = _?е
2^еБ2	z2
При вычислении потока тепла в следующем приближении су-
существенны только п-столкновения: ie-столкновения дают вклад,
в ~ (т/МI'2 раз меньший ввиду малости изменения импуль-
импульса иона при столкновениях с электроном. Соответствующие вы-
вычисления полностью аналогичны произведенным выше для ее-
столкновений 1). Ионная часть теплопроводности получается по-
поэтому из E9.26) заменой электронных величин ионными:
гг = м1/2Тз/2 -	E9'33)
Сравнение E9.33) с E9.23) показывает, что (при z ~ 1)
~ к^е{М/тI/2. Таким образом, в полях, настолько боль-
больших, что uobi ^> Щъ, поперечная теплопроводность практически
целиком ионная. Электронная теплопроводность сравнивается с
ионной, когда (х^сА^га/МI/4^ (при сравнении следует учесть,
что в таких полях влиянием магнитного поля на щ можно прене-
пренебречь). При еще меньших полях ионный вклад в к^ становится
*) Член с VPi, отличающий E9.31) от E9.5), при этом несуществен: эта
часть функции распределения COv/oi и обращает в нуль интеграл столкно-
столкновений; ср. примеч. на с. 304.

§ 59	КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ	307
несущественным; если при этом иове ^ ^ее5 то ^_L дается форму-
формулой E9.28).
Вязкость. Импульс движущейся плазмы сосредоточен в
основном в ионах, поэтому вязкость определяется ионной функ-
функцией распределения. При этом, поскольку соударения иона с
электронами мало меняют импульс иона, в кинетическом урав-
уравнении надо учитывать только ион-ионные столкновения.
Левая часть кинетического уравнения E9.29) преобразуется
так же, как это было сделано в § 6, 8, и принимает тот же вид,
что и там1). Таким образом, кинетическое уравнение задачи о
вязкости:
f vavp (yaP - i^divV) hi = -^[vB]^+Iu(8fi). E9.34)
Решение этого уравнения надо искать в виде
E9-35)
п=0
(п)
где VK — линейные комбинации из компонент тензора Vap, фи-
фигурирующие в выражении тензора вязких напряжений
4
п=1
согласно определениям A3.18) и E8.15); напомним, что все
Vaa — 0. Тензор напряжений вычисляется как интеграл
° =
Подставив сюда E9.35), усреднив по направлениям v по формуле
4
15
и сравнив с E9.36), получим
fvgn(v)<Pp.	E9.37)
Уравнения, определяющие функции gni получаются подста-
подстановкой E9.35) в E9.34) и приравниванием коэффициентов, сто-
стоящих при одинаковых тензорах V J в обеих частях уравнения.
х) При этом надо учесть, что давление плазмы Р = (JVj + Ne)T = iVj(l +
+ z)T, а теплоемкость, приходящаяся на один ион, равна 3A + z)/2.

308	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Опустив детали этих довольно громоздких вычислений, приве-
приведем сразу их окончательные результаты.
Отличные от нуля коэффициенты вязкости щ и щ возни-
возникают уже в пренебрежении интегралом столкновений и потому
пропорциональны 1/иове- Коэффициенты же щ и щ появляют-
появляются лишь в следующем приближении, с учетом столкновений, и
потому пропорциональны 1/ш^ 1):
ь^	щ = ^ E938)
Отметим в заключение, что все полученные в этом парагра-
параграфе выражения для «поперечных» кинетических коэффициентов
имеют смысл и при условиях, более мягких, чем общее условие
E8.1). Легко убедиться в том, что поправка к функции распреде-
распределения оказывается малой, уже если характерные размеры задачи
велики лишь по сравнению с ларморовским радиусом г в соответ-
соответствующих частиц, чем и обеспечивается применимость указан-
указанных выражений. Это условие достаточно и для применимости
самих гидродинамических уравнений, если градиенты давления
и температуры везде поперечны по отношению к направлению
магнитного поля.
В нашем рассмотрении мы везде имели в виду плазму с оди-
одинаковыми температурами электронов и ионов. Но ввиду большой
разницы масс электронов и ионов нередко осуществляются усло-
условия «двухтемпературности». В таком случае также можно сфор-
сформулировать систему уравнений типа гидродинамических и вы-
вычислить фигурирующие в них кинетические коэффициенты2).
Задачи
1. Определить тензор диэлектрической проницаемости магнитоактив-
ной электронной плазмы в однородном (к = 0) переменном электрическом
поле с учетом электрон-ионных столкновений (лоренцевский случай; см.
§44).
Решение. Как было отмечено в начале параграфа, если однородное
поле Е параллельно полю В (ось z), то последнее вообще выпадает из ки-
кинетического уравнения. Поэтому компоненты sxz, ?yz, Szz не зависят от В
(при этом sxz = 6yZ = 0, a ezz дается формулой D4.7)). Для нахождения же
остальных компонент можно считать, что Е J_ В.
Ищем поправку к функции распределения электронов в виде
6fe = (¦vE)gl(v) + (v[Eb])s».	A)
Для функции этого типа (ср. примеч. на стр. 301) интеграл столкновений
Stei /е = -Vei(vNfe,
г) Целесообразность определения коэффициента вязкости щ для магни-
тоактивной плазмы согласно E8.15) связана с тем, что все остальные коэф-
коэффициенты г] оказываются тогда стремящимися к нулю при В —»¦ оо.
2) Этот вопрос изложен в статье СИ. Брагинского «Явления переноса в
плазме» в сб. «Вопросы теории плазмы» — М.: Атомиздат, вып. 1, 1963.

§ 59	КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ	309
так что кинетическое уравнение
{yei{v) - ™We ~ -[vB]^ = еЕ^ = -|vE/Oe.	B)
с	dp	dp	T
Оно отличается от бесстолкновительного уравнения лишь заменой ш на ш +
+ ivei(v). Подстановка A) в B) приводит к двум алгебраическим уравнениям
для gx и g2, решая которые, находим
-fe(a, + ,Ve<(«))/Oe f	гшВе[Ъу] Л
T[(w + ii/ei(t;)J-w|e] I	LU + ivei(v)}
Диэлектрический тензор
_ 4тге г	7о
?а$ = 8ар + — J Vagp d p.
Выпишем окончательный результат для частот
\U ±UBe\ > Vei,
когда столкновения можно рассматривать как малое возмущение. В таком
случае можно положить
где go — функция g при vei(v) = 0. Тогда
4LeNe d
} - S я)ш]	(Л)
аи
где еар — тензор диэлектрической проницаемости без учета столкновений.
Эта формула (по той же причине, что и для D4.9)) справедлива не только
в лоренцевском случае, но и для плазмы с любым z.
2. Неоднородная в направлении оси х плазма удерживается магнитным
полем, направленным по оси z. При условии иве У&> Vei определить рас-
распределение плотности и магнитного поля в плазме, считая распределение
температуры заданным (И.Е. Тамм, 1951).
Решение. По условию, градиенты температуры Т и давления Р
направлены вдоль оси х. Вдоль той же оси направлено и возникающее из-
за неоднородности плазмы электрическое поле Е, потенциальное в стацио-
стационарном случае. Удержание же плазмы означает, что отсутствуют движение
плазмы и электрический ток в направлении х: Vx = 0, jx = 0.
Проецируя с учетом сказанного уравнения E8.13) на ось у и используя
уравнение Максвелла rot В = 4ttj/c, получим
— — --' -Я В —
4тг dx	dx
Подставив в эту формулу выражение E9.17) для ЛГсг±, имеем
dx 8тг ~ 2 е dx'	U
Магнитное поле «выталкивается» из более горячих областей плазмы. Про-
Проецируя же на ось х уравнение E8.3) и пренебрегая вязкими членами, дающи-
дающими вклад более высокого порядка малости по 1/5, находим второе уравнение

310	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
которое с помощью того же уравнения Максвелла приводится к виду (при
z = l)
В2
2NeT-\	= const.	B)
8тг
Уравнению A) можно придать более удобную форму, исключив из A) и B)
магнитное поле. После интегрирования находим
NeT1/A = const.
Формулы B) и C) решают поставленную задачу. Распределение же темпе-
температуры определяется уравнением теплопроводности.
§ 60. Дрейфовое приближение
Исследуя в предыдущем параграфе кинетические коэффи-
коэффициенты плазмы в сильном магнитном поле, мы пользовались ин-
интегралом столкновений Ландау, что подразумевало выполнение
неравенства гве ^> а E9.10). Покажем теперь, как можно освобо-
освободиться от этого ограничения, т. е. получить формулы, пригодные
и в случае полей, настолько сильных, что для электронов выпол-
выполняется обратное неравенство:
гВе < а.	F0.1)
При этом удобно воспользоваться специальным, так называ-
называемым дрейфовым приближением, которое производится уже в
самом кинетическом уравнении, а не только при его решении.
Это приближение справедливо, если магнитные и электрические
поля достаточно медленно меняются в пространстве и во време-
времени. Именно, частота поля ио и эффективная частота соударений v
должны быть малы по сравнению с ларморовской частотой, а ха-
характерное расстояние, на котором меняются поля (обозначим его
через 1/fc), должно быть велико по сравнению с ларморовским
радиусом. Эти условия должны выполняться для каждого сорта
частиц, к которым применяется дрейфовое приближение. Ниже
в этом параграфе мы будем писать все формулы (для опреде-
определенности) для электронов (аналогичные формулы для ионов по-
получаются, как всегда, заменами е —>• — ze, иове ~~^ ~^Вг^ т ~~^ М).
Таким образом, будут предполагаться выполненными условия
CJ, Vei < Шве-, Т > ГВе-	F0.2)
к
Основой рассматриваемого метода является приближенное
решение уравнений движения заряженных частиц в заданных
полях Е(?, г) и В(?, г), учитывающее медленность изменения по-
последних как функций t и г. Движение частиц в таких полях пред-
представляет собой совокупность быстро переменного вращения (с
частотой иове) по «ларморовским окружностям» вместе с мед-
медленно меняющимся перемещением центров этих окружностей

§ 60	ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	311
(или, как говорят, ведущих центров орбит). Метод решения со-
состоит в выделении быстропеременной, осциллирующей состав-
составляющей движения и усреднении по нему.
Представим радиус-вектор и скорость электрона в виде
v = V + C, V = R,	F0.3)
где R — радиус-вектор ведущего центра орбиты, а ? — ос-
осциллирующий радиус-вектор электрона относительно ведуще-
ведущего центра1). В нулевом приближении, в полном пренебрежении
пространственной и временной зависимостями поля и столкнове-
столкновениями, мы имеем дело просто с движением в скрещенных одно-
однородных и постоянных полях Е и В. Как известно (см. II, § 22), в
этом случае вектор ? лежит строго в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной полю В, и вращается в этой плоскости с постоянной угловой
скоростью сове = еВ/'(тс), оставаясь неизменным по величине.
Радиус окружности |?| связан с постоянной скоростью |?| = v±
согласно |?| = v^/иове] в векторном виде связь между С и С за"
писывается в виде
< = - — [К],	F0.4)
где b = И/В. Центр же орбиты движется со скоростью
R = Vo =
где г>оц — скорость равномерно-ускоренного движения вдоль маг-
магнитного поля, удовлетворяющая уравнению
= -еЬЕ,	F0.5)
= -[Eb]	F0.6)
В
есть скорость перемещения в плоскости, перпендикулярной В
(скорость электрического дрейфаJ).
В дальнейшем мы ограничимся этим приближением и пре-
пренебрежем членами, связанными с непостоянством полей Е и В,
т. е. фактически будем считать их постоянными. В соответствии
с этим мы будем опускать индексы 0 у всех величин.
Сущность дрейфового приближения состоит в переходе в ки-
кинетическом уравнении к медленно меняющимся переменным R,
^||5 v± — ICI- Эти величины вместе составляют пять независимых
переменных, от которых зависит функция распределения.
:) Не смешивать обозначение V в этом параграфе с макроскопической
скоростью, обозначенной через V в § 59!
2) При этом предполагается, конечно, что Е/В <^ 1, так что w ^C с и
релятивистскими эффектами можно пренебречь.

312	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Элемент фазового объема в новых переменных имеет вид
d3x d3p = d3R • 2тгш3 dv\\ • v±_ dv± = 2тгш3 d3R dv\\ dJ, F0.7)
где введена удобная для дальнейшего величина
J = ^	F0.8)
(при проверке соотношения F0.7) следует помнить, что в приня-
принятом приближении поля можно считать постоянными).
Выразим через новые переменные плотность тока электро-
электронов. Для одного электрона плотность тока есть — ev5(r — ге), где
г — бегущие координаты точки пространства, а ге — координаты
точки нахождения электрона. Положив v = V + (Hre = R + (,
запишем
-ev?(r - re) « -e(V + СЩт - R) - CVr(r
Усредним это выражение по углу вращения с помощью очевид-
очевидного соотношения
(СаСр)	v
где а, /3 — двумерные (в плоскости, перпендикулярной магнит-
магнитному полю) векторные индексы. Получим
-eVS(r - R) + ^-[bVr]S(r - R).
В
Умножив это выражение на функцию распределения электронов
/е и интегрируя по d3p = 2тгт3 dv\\ dJ, получим плотность тока
в R-пространстве г):
je = -е / V/e d3p - ^ rot (b / J/e d3p) .	F0.9)
Первый член в этом выражении отвечает переносу зарядов
вместе с перемещающимися ларморовскими кружками, а второй
учитывает вращение частиц по этим кружкам2). Этот второй
член имеет простой физический смысл: если представить его в
виде crotM, то вектор
M = -—ffeJd3p	F0.10)
В
) Во втором члене произведено интегрирование по частям, в результате
чего оператор Vr переносится на Ь/е.
2) Заметим, что такое же усреднение плотности зарядов — её (г — ге) при-
приводит к обычному выражению —е J fe d p; поправочные члены, связанные
с вращением частиц, появились бы здесь лишь при учете малых величин
второго порядка (вторые производные по координатам).

§ 60	ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	313
будет представлять собой намагниченность плазмы, связанную
с вращением зарядов. Магнитный момент F0.10) не зависит от
знака зарядов и направлен противоположно магнитному полю,
т. е. отвечает диамагнетизму.
Преобразуем к новым переменным кинетическое уравнение.
Поскольку функция распределения /е отнесена к тому же эле-
элементу фазового пространства, что и раньше (лишь преобразо-
преобразованному к другому виду — F0.7)), то кинетическое уравнение
по-прежнему имеет вид dfe/dt = St /e, или, раскрыв левую часть
новых переменных,
+ч + [Eb] = St/е.	F0.11)
Здесь введены очевидные обозначения для проекций векторов
и использованы равенства F0.5), F0.6). Член же с v_\_ в этом
приближении отсутствует, поскольку v± при дрейфе не меняется.
Перейдем к записи интеграла столкновений в дрейфовых пе-
переменных х). Отметим прежде всего, что акт столкновения в этих
переменных состоит в «мгновенном» изменении скоростей г>ц
ии^и перпендикулярных к магнитному полю компонент радиус-
вектора центра кружка R^ (что же касается параллельной ком-
компоненты, i?||, то она практически совпадает с соответствующей
координатой самой частицы и при столкновении не меняется).
Столкновения происходят лишь между частицами, проходя-
проходящими друг мимо друга на прицельных расстояниях р, не пре-
превышающих радиуса экранирования а: р < а. Если р мало по
сравнению с ларморовскими радиусами сталкивающихся частиц,
то магнитное поле вообще не сказывается на процессе рассея-
рассеяния, поскольку на таких расстояниях поле не искривляет замет-
заметным образом траекторий частиц. Описание таких столкновений в
терминах дрейфовых переменных вообще не является естествен-
естественным. Поэтому использование интеграла столкновений в этих пе-
переменных целесообразно лишь в условиях, когда по крайней мере
для одной из сталкивающихся частиц г в <^С «.
При кулоновском взаимодействии частиц в присутствии маг-
магнитного поля, как и в его отсутствие, существенны далекие
столкновения и соответственно малые изменения всех перемен-
переменных. Поэтому произведенный в § 41 вывод интеграла столкнове-
столкновений в р-пространстве остается в силе и для интеграла столкно-
столкновений в пространстве переменных R^ = (X, У), г>ц, J (ось z —
вдоль магнитного поля), если теперь вместо компонент импульса
) Интеграл столкновений в дрейфовых переменных был получен
Е.М. Лифшицем A937) для электронного газа и обобщен для плазмы
СТ. Беляевым A955).

314	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
ввести четыре переменные gk{X, У, г>ц, J} и понимать под Agi,
Ag25 • • • изменения этих величин при столкновениях.
Интеграл столкновений по-прежнему приводится к виду
Stf = _ydsL = _ds^_dsl_ds?	F012)
/С— 1
(поток s_\_ по определению имеет компоненты только в плоскости,
перпендикулярной В); здесь существенно, что элемент объема в
пространстве переменных gk сводится просто к произведению
их дифференциалов; поэтому интеграл столкновений имеет вид
обычной дивергенции. Вывод в § 41 требует лишь небольших из-
изменений. Прежде всего, при записи D1.2) было уже учтено, что
в силу сохранения импульса Ар = q = —Ар7. Для рассматрива-
рассматриваемых дрейфовых переменных такого соотношения, разумеется,
нет. Повторив вывод без этого предположения, найдем (скажем,
для столкновений электронов с ионами)
3Pu F0.13)
где d3pi = 2тгМ3 dJ{ dv^ Agk — изменение величин gk при столк-
столкновении, а угловые скобки означают усреднение по столкнове-
столкновениям.
При выводе F0.13) существенно использована также возмож-
возможность переставить в интеграле столкновений начальное и конеч-
конечное состояния, после чего становится очевидным сокращение ли-
линейных по Ag^ членов; кроме того, это позволяет производить
интегрирование по всему g -пространству. В § 41 такое преобра-
преобразование было сделано в силу симметрии по отношению к обра-
обращению времени, связывающей вероятности прямого и обратного
столкновений. При наличии магнитного поля такая симметрия
имеет место только при условии изменения направления поля В
на обратное, так что она связывает вероятности столкновения
по существу в различных полях. Однако мы увидим ниже, что в
данном случае симметрия относительно обращения времени вос-
восстанавливается интегрированием по прицельным параметрам.
Наконец, в F0.13) использовано, что взаимное рассеяние
«кружков» имеет место лишь при их прохождении на рас-
расстояниях друг от друга, не превосходящих радиуса экрани-
экранирования а. Предполагая, что функция распределения мало
меняется на таких расстояниях, мы положили приближенно
/(	) /i(Re,^ii, Ji) и произвели интегрирование по

§ 60	ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	315
d?Ri. В результате в F0.13) осталось лишь интегрирование по
cftpi, а усреднение по столкновениям включает в себя интегри-
интегрирование по положениям R^. Ниже в конкретных случаях это
усреднение будет выражено с помощью соответствующего се-
сечения рассеяния. Сейчас укажем лишь, что средние значения
(AR^AJ), (ДН,_|_Дг7ц) равны нулю. Это видно из того, что произ-
произведения AXAJ, AyAJ (и такие же с Дг>ц вместо AJ) образуют
вектор в плоскости ху. Поскольку для ларморовских кружков
не существует в этой плоскости каких-либо выделенных направ-
направлений, указанный вектор должен обратиться в нуль при усред-
усреднении.
Важное свойство интеграла столкновений в дрейфовых пе-
переменных состоит в том, что его добавление к кинетическому
уравнению изменяет выражение для потока частиц (в обычном
пространстве!) через функцию распределения. Чтобы убедиться
в этом, запишем кинетическое уравнение в виде
^	F0.14)
V J
+	+	(V||/e)
(ввиду предполагаемого постоянства В и Е можно ввести V под
знак производной). Проинтегрировав это уравнение по d3p, по-
получим
^ + divR/(V/e + se±)d3p = 0, Ne = ffed3p F0.15)
(индекс е у электронных переменных для краткости опуска-
опускаем); Ne — пространственная плотность числа кружков; выра-
выражение под знаком divR есть, следовательно, плотность потока
этих кружков. Мы видим, что к обычному выражению / V/e d3p
добавляется еще связанный со столкновениями член J se^ d3p.
Этот член представляет собой по существу диффузионный по-
поток в поперечном к магнитному полю направлении. При таком
описании (в отличие от обычного описания диффузии) он входит
непосредственно в кинетическое уравнение.
При использовании этих выражений следует, конечно, учи-
учитывать, что плотность электрического тока связана с потоком
истинных частиц, а не кружков. Поток частиц согласно F0.9)
отличается от потока кружков членом с ротором, описывающим
намагниченность. Окончательное выражение для плотности то-
тока электронов имеет поэтому вид
je = -е / V/e d3p - ^ rot (b / fej d3p) - J esel_ d3p. F0.16)
Выражение F0.13) приобретает реальный смысл лишь по-
после вычисления фигурирующих в нем средних значений. Пока-

316	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
жем, как это делается на примере электронного интеграла для
электрон-ионных столкновений.
Вычисления производятся различным образом в двух обла-
областях значений прицельных параметров /э, определяемых неравен-
неравенствами:
I) р < тВе, II) гВе < р < а.	F0.17)
Заметим, что интегрирования по параметру р будут, как обычно
при кулоновском рассеянии, иметь логарифмический характер.
С логарифмической точностью можно не делать различия меж-
между сильными C>) и слабыми (>) неравенствами. Поэтому обла-
области F0.17) перекрывают по существу весь интервал изменения
прицельного параметра (в соответствии с F0.1) предполагается,
конечно, что гве ^ °)- Для существования области I необходимо
также, чтобы было
ГВе > Pmin = -^-,	F0.18)
где pmin — прицельное расстояние, на котором угол рассеяния де-
делается ~ 1 (мы рассматриваем здесь только квазиклассический
е2
случай 	3> 1).
flVTe
В то же время будем считать, что тв% > а- Тогда для всех
прицельных параметров р < а влияние магнитного поля на дви-
движение ионов (в процессе столкновения) несущественно: траек-
траектория иона мало искривляется полем на расстояниях ~ р. При
этом можно пренебречь (в пределе тп/М —>• 0) отдачей ионов, т. е.
положить равными нулю изменения всех характеризующих его
переменных i?j_, г>ц, J 1). Тогда в F0.13) исчезает второй член в
фигурных скобках, так что электрон-ионная часть электронного
тока принимает вид
8(ег) = -^.{АХаАХ^^.	F0.19)
Величины (АХаАХ/з) составляют пространственный тензор, по-
поперечный к направлению поля. Представим его в виде
(АХаАХ^) = i((AR±J}(<5a/3 - ЪаЪр),	F0.20)
выражающем эту поперечность явным образом. Поток же F0.19)
запишется тогда как
()	^()	F0.21)
) Этого нельзя сделать, если существуют прицельные параметры, для
которых а^> р^> гв1- При таких столкновениях ион дрейфует в поле элек-
электрона и его большая масса не проявляется.

§ 60	ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	317
где V^ = Vr — Ь(ЬУк) — оператор дифференцирования в по-
поперечных к b направлениях.
Аналогичные F0.19) выражения для «скоростных потоков»:
2 '	*""'	"" '	F0.22)
(ег)	Ni
S т = — —
В равновесии, т. е. для максвелловского распределения
U = const • ехр (-^ ( 5- + А) ,	F0.23)
интеграл столкновений должен обращаться в нуль. Подставив
F0.23) в F0.22) и приравняв потоки нулю, найдем
F0.24)
Вычислим сначала вклад от области I. В этой области можно
считать, что магнитное поле вообще не сказывается на процес-
процессе рассеяния, поскольку на таких расстояниях не искривляется
заметным образом траектория не только иона, но и электрона.
Естественной переменной для описания столкновения является
при этом обычный импульс электрона р, через который и надо
выразить дрейфовые переменные. Согласно F0.3), F0.4), F0.8)
имеем
_ р1
«ц = 2L, J=f-2.
rn	2m2
Имея в виду, что координаты частицы г (в отличие от коорди-
координат центра орбиты R!) не меняются при столкновении, находим
отсюда
[bqj, A«|| = 2!L, Aj = ±p±qj_, F0.25)
где q — малое изменение импульса р.
Отмечая индексом I вклад от рассматриваемой категории
столкновений, пишем теперь
((AR±J)[et) = J(AR±Jv da = -^ J q\v da,	F0.26)
mzuj
Be
где da — сечение рассеяния электрона на неподвижном ионе.
Взяв последнее из D1.6) и произведя интегрирование, получим

318	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
где в — угол между v и b, a
Ll = In ^™^ = In -^	F0.28)
ze2	ze2UBe
— кулоновский логарифм, «обрезанный» сверху на прицельных
расстояниях р ~ гве (верхняя граница области I). Наконец, вы-
выразив этот результат через дрейфовые переменные, окончатель-
окончательно находим
P 82VL ^ + J	F0.29)
' П	B2
Аналогичное вычисление дает
(д	}(e,) = _8**V
11	m2
2 (vj| + 2JK/2
а оставшиеся две величины определяются из F0.24).
Обратимся к области П. Здесь естественными являются имен-
именно дрейфовые переменные и столкновение описывается как дрей-
дрейфовое отклонение кружка, летящего в направлении b (ось z) в
кулоновском поле неподвижного иона. При дрейфе скорость v±,
а значит, и J не меняются; в силу закона сохранения энергии
при рассеянии на тяжелом ионе, это в свою очередь приводит к
сохранению г>ц. Поэтому область II не вносит вклада в величины
F0.24).
Вклад же в ((AR^J) вычисляется как
((RlJ)^ = /(AR±)>|||da = /(ARJ>|||dV, F0.31)
где р — значение радиус-вектора центра кружка R^ до столк-
столкновения. Изменение R^ при пролете кружка в постоянном и од-
однородном магнитном поле В и постоянном электрическом поле
Е = ezH/R3 (поле иона) определяется уравнением дрейфа
(см. F0.6)). В первом приближении можно положить в правой
части этого уравнения R^ « р, Щ = v\\t. Полное изменение R^
при столкновении получается интегрированием F0.32) по t от —
—оо до оо и равно
^М	F0.33)
в
р
,2
Подставив это выражение в F0.31) и произведя интегрирова-
интегрирование (с логарифмической точностью, отвечающей границам обла-
области II), найдем
i} ^#^, Ln = ln^.	F0.34)
\V\\\	ГВе

§ 60	ДРЕЙФОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	319
Вклады F0.29) и F0.34) имеют, вообще говоря, одинаковый
порядок величины
где vei — средняя частота электрон-ионных столкновений. Осо-
Особенность вклада F0.34) состоит, однако, в том, что он обращает-
обращается в бесконечность при v\\ —>> 0 вне зависимости от значения v±.
Физический смысл этой расходимости состоит в том, что при
малой скорости v\\ кружок долго находится в поле иона и за это
время дрейф уносит его на большое расстояние.
В действительности, конечно, формула F0.34) становится
неприменимой при малых г>ц по ряду причин: 1) если гв% ^> а, то
при |г>|| | <С VTi за время столкновения ион может уйти от элек-
электрона; этот механизм «обрезает» расходимость при |г>ц| ~ vti]
2) при выводе формулы во всяком случае подразумевается, что
|AR,j_| <С р] 3) кружок может уйти от данного иона за счет дрей-
дрейфа в поле других частиц (тройное столкновение).
Написанные формулы решают вопрос о составлении кинети-
кинетического уравнения в дрейфовом приближении, которое позволя-
позволяет, в частности, находить кинетические коэффициенты плазмы
в первом неисчезающем по 1/В приближении (см. задачу 1).
Наконец, осталось объяснить, каким образом интегрирова-
интегрирование по d2p формально восстанавливает симметрию по отноше-
отношению к обращению времени, что уже было использовано при за-
записи F0.13). Нарушение этой симметрии проявляется в измене-
изменении знака отклонения AR^ в F0.33) при изменении направле-
направления В на обратное. Прежний знак можно восстановить, однако,
производя замену переменной интегрирования р —>• —р, так что
изменение знака В в этом приближении нигде сказаться не мо-
может (в области же I магнитное поле вообще не влияет на процесс
рассеяния).
Задачи
1. В дрейфовом приближении определить коэффициент Холла 1Z и по-
поперечную проводимость сг± плазмы (СТ. Беляев, 1955).
Решение. Рассматривая плазму с градиентом плотности электро-
электронов (в отсутствие электрического поля и градиента температуры), полагаем
функцию распределения /е в F0.16) и F0.21) максвелловской и находим
гТ
j = _[bV7Ve]
В
причем коэффициент поперечной диффузии
где черта означает усреднение по максвелловскому распределению электро-
электронов. Сравнив с общим выражением E8.13), находим в первом по 1/В при-

320	ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
приближении прежнее выражение E9.8) для 7Z. В следующем приближении
получаем
Т
а± ~ e2Nen2B2D± '	^
В области II (см. F0.17)) берем ((AR±J) из F0.34). С логарифмической
точностью имеем
г-гт (m v/a 7 ( mvu\ dvw o(m v/2, «т.
"и Г =1 		/ exp	-—- « 2 	 In	,
1 '"	\2жТ) J	\ 2T I h|	^2тгТУ	Vmin
где i>min определяется одним из указанных в конце параграфа механизмов.
Положив, например, i>min ~ утг, получим в результате
1пм1п^
ГП Кве
Аналогичным образом, взяв ((ARj_) ) из F0.27), получим вклад в коэффи-
коэффициент диффузии от области I:
! = 4B7гш)/^ес7У, mv%e
±	ЗТ!/2Б2	ze2u'
Если считать, что выполняется неравенство E9.10), обратное к F0.1),
то область II отсутствует, а логарифм в C) заменяется его обычным куло-
новским значением D1.10). В таком случае подстановка C) в A) приводит
к формуле E9.15) для а±.
2. Определить коэффициент поперечной диффузии D± для столкнове-
столкновений электронов с нейтральными атомами.
Решение. Ввиду короткодействующего характера взаимодействия
электрона с атомами имеется только область I, где под а следует понимать
размер атома1). Остается справедливой и формула F0.26). В нее, однако,
нужно теперь подставить сечение рассеяния электрона на нейтральном ато-
атоме. После интегрирования по углам D± выражается через транспортное се-
сечение этого рассеяния crt:
(Na — плотность числа атомов). Для независящего от скорости электрона
сечения at получаем после усреднения по максвелловскому распределению:
\7П J
г) Может возникнуть сомнение в применимости интеграла столкновений
F0.12) для рассеяния на короткодействующем потенциале, происходящего,
разумеется, на углы порядка единицы. Легко видеть, однако, что в дан-
данной задаче требуется лишь малость изменений положения центра орбиты,
AR± rsj rве-> по сравнению с характерными расстояниями, на которых ме-
меняется концентрация электронов, что соответствует условию применимости
уравнения поперечной диффузии (ср. конец § 59).

ГЛАВА VI
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
§ 61. Пучковая неустойчивость
Согласно результатам § 34, амплитуда возмущения с волно-
волновым вектором к в однородной неограниченной среде ведет себя
асимптотически при t —»> ос как
е"™^,	F1.1)
где о;(к) — частота волн, распространяющихся в среде. В частно-
частности, для продольных волн в плазме частоты о; (к) — корни урав-
уравнения *)
ег(и>,к) = 0.	F1.2)
Частоты о;(к), вообще говоря, комплексны. Если мнимая
часть Imcj = —7 < 0, то возмущение затухает со временем. Ес-
Если же в некотором интервале значений к имеем 7 < 0, то такие
возмущения возрастают — среда неустойчива по отношению к
колебаниям в этом интервале длин волн; величину |7| называют
в таком случае инкрементом неустойчивости. Сразу же под-
подчеркнем, что, говоря о «неограниченном» возрастании возмуще-
возмущения (по закону ехр (|7|^))? мы всегда, здесь и ниже, имеем в виду
лишь поведение в линейном приближении; в действительности,
разумеется, возрастание ограничено нелинейными эффектами.
В бесстолкновительной плазме мнимая часть частоты возни-
возникает в силу затухания Ландау. Термодинамически равновесное
состояние плазмы, отвечая абсолютному максимуму энтропии,
устойчиво по отношению к любому возмущению. В § 30 было уже
отмечено, однако, что для неравновесных распределений в плаз-
плазме поглощение энергии колебаний может смениться их усилени-
усилением. Это проявляется в появлении области значений независимых
переменных киш (си > 0), в которой мнимая часть диэлектри-
диэлектрической проницаемости отрицательна: е"(а;,к) < 0. Подчеркнем,
однако, что наличие таких областей само по себе еще не означает
обязательно неустойчивости плазмы (во всяком случае, в линей-
линейном приближении); необходимо еще, чтобы в эту область фактиче-
фактически попадала какая-либо из ветвей спектра плазменных колебаний.
j Напомним, что в случае анизотропной плазмы это дисперсионное урав-
уравнение относится к квазипродольным «медленным» волнам — см. § 32.
11 Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

322	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Характерный пример неустойчивости представляет направ-
направленный пучок электронов, проходящих через неподвижную плаз-
плазму (А.И. Ахиезер, Я.Б. Файнберг, 1949; D. Bohn, E.P. Gross,
1949). Пучок предполагается электрически компенсированным:
сумма электронных плотностей зарядов в плазме и пучке равна
ионной плотности зарядов плазмы. Система однородна и неогра-
ничена, т. е. пучок (как и неподвижная плазма) заполняет все
пространство, причем его направленная скорость V везде оди-
одинакова. Скорость V будем считать нерелятивистской.
Предположим сначала, что как пучок, так и плазма — хо-
холодные, т. е. можно пренебречь тепловым движением их частиц;
необходимое для этого условие выяснится ниже.
В области частот электронных колебаний продольная диэлек-
диэлектрическая проницаемость системы плазмы-пучок имеет вид
!^	F1.3)
Первый член справа отвечает неподвижной плазме, Ое =
= D7re27Ve/?7iI/2 есть соответствующая электронная плазменная
частота. Второй член обязан электронам пучка. В системе отсче-
отсчета К1', движущейся вместе с пучком, вклад его электронов в е\ — 1
равен — (Og/o;7J, где а/ — частота колебаний в этой системе, а
О7е = D7re27Vg/?7iI/2 (N'e — плотность электронов в пучке). При
переходе к исходной системе отсчета К частота а/ заменяется на
J = o;-kV	F1.4)
и мы приходим к выражению F1.3) х\
Будем считать плотность пучка малой в том смысле, что
К < Ne,	F1.5)
так что и Ое <С Ое. Тогда наличие пучка лишь незначитель-
незначительно меняет основную ветвь спектра продольных колебаний плаз-
плазмы — тот корень дисперсионного уравнения е\ = 0, для которого
uj ~ Ое. Но наряду с этой ветвью появляется еще и новая ветвь,
связанная с наличием пучка; она-то нас здесь и интересует.
Чтобы член с малым числителем Og2 не выпадал из диспер-
дисперсионного уравнения
о2	о/2
^ +	^	= 1,	F1.6)
cj2 (ш - kVJ '	V ;
х) Закон преобразования частоты легко получить путем преобразования
фазового множителя волны. Радиус-вектор точки в системе К : г = г — Vt.
Поэтому
кг - uot = кг' - (и - KV)t = кг' - Jt.

§ 61	ПУЧКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	323
эта малость должна компенсироваться малостью знаменателя.
Поэтому ищем решение в виде ио = kV + S с малым S. Тогда
уравнение принимает вид
о2 о'2
(kVJ д2	v
откуда
e '	п: ч,	F1.8)
причем условие 6 <С kV требует, чтобы |kV| было не слишком
близко к Ое. Предположение же о холодности плазмы требует
соблюдения условия kvTe <C w и в данном случае означает, сле-
следовательно, что должно быть Уте ^ V — скорость пучка велика
по сравнению с тепловой скоростью электронов плазмы.
Если (kVJ > О2, то оба корня F1.8) вещественны и колеба-
колебания не нарастают. Если же
(kVJ < О2,	F1.9)
то оба значения 5 мнимы; то из значений ?, в котором Imo; =
= ImS > 0, отвечает нарастающим колебаниям. Таким образом,
система неустойчива по отношению к колебаниям с достаточно
малыми значениями kV.
Другая ситуация возникает при учете теплового движения
электронов в плазме. В общем случае вместо F1.3) будем иметь
?/(o;,k) = 6j (o;,k) —	,	F1.10)
V ' J l V ' J (cj-kVJ'	V	J
где в} относится к плазме без пучка. Решая уравнение е\ = 0
тем же способом, найдем теперь
S = ±	п°	.	F1.11)
Но в силу затухания Ландау функция е^ил) имеет мнимую
часть всегда (при любом к). Тем самым всегда будет комплекс-
комплексным и E, причем в силу двойного знака в F1.11) для одной из
ветвей колебаний будет ImS > 0, т. е. эти колебания неустой-
неустойчивы. При переходе к большим V, отвечающим рассмотренному
выше случаю холодной плазмы, связанная с затуханием Ландау
часть Imei становится экспоненциально малой и мы возвраща-
возвращаемся к F1.8).
В изложенных рассуждениях пренебрегалось тепловым раз-
разбросом скоростей электронов в пучке. Это пренебрежение оправ-
оправдано, если величина этого разброса
«Те « Т-	F2Л2)
11*

324	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Задачи
1. Определить границу области неустойчивости пучка в холодной плаз-
плазме со стороны значений kV, близких к Qe.
Решение. При малых значениях разности (kVJ — Q2 точность
уравнения F1.7) недостаточна. Сохранив в уравнении е\ = 0 (с е\ из F1.3))
также и член следующего порядка по S, получим
п'2 _	п2е	2п2ед _ 2(kV-Oe) 2д_
~Ж~ ~ (kvJ + (kvK ~ ~пе +о?
Введя новые величины ? и т согласно
1/3	/9 \1/3
fe)
перепишем это уравнение в виде
(для определенности считаем, что kV близко к +Qe, а не к —?1е). Все
три корня уравнения A) вещественны при т > 3/22'3, чем и определяет-
определяется область устойчивости. Два из этих корней соответствуют двум корням
уравнения F1.6), а третий — близкой к ним при Qe и kV частоте колеба-
колебаний неподвижной плазмы.
2. При условии, обратном к F1.12), исследовать устойчивость пучка с
тепловым разбросом скоростей.
Решение. В указанных условиях пучковая ветвь в спектре колебаний
отсутствует. Что касается основной ветви плазменных колебаний, то наличие
пучка малой плотности мало влияет на вещественную часть ее частоты,
которая по-прежнему дается (при kvTe <С fie) формулой C2.5):
3 (kvi
2 V а
Декремент же затухания j дается суммой декрементов от самой плазмы и
от пучка. Согласно C1.7) имеем
7= \ ~ \-
(kvTe)s V 1кЧ2Те)	{kv'Tef
Область неустойчивости определяется условием j(k) > 0. ДЛЯ этого во
всяком случае должно быть kV > и. Наибольший инкремент будет при
S = kV — uj < ку'Те. В этой области первый член в A) экспоненциально мал
(в силу Qe ^> куте) и им можно пренебречь (если только N'e не слишком
мало). Тогда инкремент j будет даваться лишь вторым членом; отметим,
что он пропорционален плотности пучка N'e.
3. Исследовать устойчивость ионно-звуковых волн в двухтемпературной
плазме (Те ^> Ti), в которой электронная компонента движется относитель-
относительно ионной с макроскопической скоростью V, причем V <С Уте-
Решение. При условии V ^С Уте направленное движение электронов
мало сказывается на законе дисперсии ионно-звуковых волн, который будет
по-прежнему даваться формулой C3.4):
со fzTeV'2	1
к \М' '-¦">->">->¦	( )

§ 62	АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	325
Декремент же затухания (его электронная часть) получается из C3.6)
заменой F1.4):
/	\1/2
7 = (kV - ш) ( -^^ ) .	B)
Условие неустойчивости: kV > cj; для этого во всяком случае должно быть
V > и/к. Вблизи границы неустойчивости множитель kV — uj в B) мал, и то-
тогда может оказаться необходимым учет в j также и ионной части затухания,
которая в обычных условиях мала.
§ 62. Абсолютная и конвективная неустойчивость
Наличие у дисперсионного уравнения корней в верхней
о;-полуплоскости означает, что малое начальное возмущение в
виде плоской волны возрастает, т. е. система неустойчива по от-
отношению к такому возмущению. Реально, однако, всякое началь-
начальное возмущение представляет собой «волновой пакет» конечных
размеров в пространстве, и плоские волны представляют собой
лишь его отдельные фурье-компоненты. С течением времени па-
пакет «расплывается», а его амплитуда (в неустойчивой системе)
возрастает. В то же время, однако, как и всякий волновой пакет,
он будет перемещаться в пространстве. Здесь могут иметь место
два случая.
В одном случае, несмотря на перемещение пакета, возмуще-
возмущение неограниченно возрастает в любой точке пространства; та-
такую неустойчивость называют абсолютной. В другом случае па-
пакет сносится так быстро, что в каждой фиксированной точке
пространства возмущение стремится при t —>> оо к нулю; такую
неустойчивость называют конвективной.
Сразу же подчеркнем, что это различие относительно в том
смысле, что характер неустойчивости всегда определяется по от-
отношению к той или иной системе отсчета и переход от одной
системы к другой может изменить этот характер: конвективная
в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в си-
системе, движущейся «вместе с пакетом», а абсолютная неустой-
неустойчивость становится конвективной в системе, достаточно быстро
«уходящей» от пакета.
Это обстоятельство, однако, отнюдь не лишает физического
смысла различие между двумя типами неустойчивости. В реаль-
реальных постановках задачи всегда существует выделенная с экспе-
экспериментальной точки зрения система отсчета, относительно ко-
которой и следует рассматривать неустойчивость. Допустимость
рассмотрения физической системы, как бесконечно протяжен-
протяженной, не исключает того факта, что реально она имеет границы
(например, стенки), которые и служат «лабораторной системой
отсчета». Более того, фактическая ограниченность системы мо-
может приводить к тому, что при конвективной неустойчивости

326	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ	ГЛ. VI
возмущение может вообще не успеть развиться, прежде чем па-
пакет будет «вынесен» за границы системы (например, при течении
жидкости по трубе).
Излагаемая ниже теория, позволяющая установить критерий
различения обоих типов неустойчивости, имеет очень общий ха-
характер 1). Речь может идти о любой вообще однородной и беско-
бесконечной (хотя бы в одном направлении — ось х) системе. Поэтому
мы не будем конкретизировать здесь природу среды и возмуще-
возмущения в ней, обозначая последнее как некоторое ф(Ь,т). При этом
мы ограничимся случаем одномерного пакета. Если речь идет о
трехмерной системе, то это значит, что рассматриваются возму-
возмущения вида
с заданными значениями ку, kz.
Представим ф(Ь,х) в виде одностороннего разложения Фурье
по времени — от t = 0 (момент возникновения возмущения) до
t = ос. Компоненту такого разложения обозначим через (р(си,х):
<p(w,x) = f^(t,x)eiujtdt.	F2.1)
о
В дальнейшем нам придется рассматривать возмущения, возрас-
возрастающие при t —»> ос. Мы будем предполагать (как это фактиче-
фактически имеет место), что это возрастание происходит не быстрее,
чем по некоторому экспоненциальному закону exp (dot). Тогда
интеграл F2.1) можно сделать сходящимся, считая со комплекс-
комплексной величиной с Imcj = а > ctq. В этой области (р(ш,х) как
функция комплексной переменной си не имеет особенностей. В
области же 1т си < а о функцию (р(ш,х) следует понимать в смыс-
смысле аналитического продолжения; здесь она, разумеется, имеет
особенности.
Обратное выражение для функции ip(t,x) через ее фурье-
образ имеет вид
оо+гсг
е-**<р(ш,х)^,	F2.2)
—оо+гсг
причем сг > сто, так что путь интегрирования в F2.2) (будем
называть его cj-контуром) проходит в верхней полуплоскости си
выше всех особых точек функции <р(и;,х).
х) Такой критерий был установлен впервые Стэрроком (Р.Л. Sturrock,
1958). Излагаемая ниже формулировка критерия принадлежит Бригсу (R.J.
Briggs, 1964), которому мы в основном и следуем в § 62-64.

§ 62	АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	327
Функцию <p((jj,x) в свою очередь разложим в интеграл Фурье
по координате х:
оо
ф,х)= J Ф^е^	F2.3)
—оо
(опускаем для краткости индекс у кх).
Функция фшк получается в каждом конкретном случае путем
решения линеаризованных «уравнений движения» исследуемой
системы и имеет вид
ф(+) = ёшк	/б2в4)
^ A(w,fc)'	l >
где guk определяется начальным возмущением, а функция
A(c<j, к) характерна для системы как таковой (так, для плаз-
плазмы роль «уравнения движения» играет кинетическое уравнение,
A(c<j, к) оказывается продольной диэлектрической проницаемо-
проницаемостью плазмы, a guk выражается через фурье-компоненту началь-
начального возмущения формулой C4.12)).
Будем считать, что g^k как функция комплексных перемен-
переменных си и к не имеет особенностей при конечных значениях этих
переменных, т. е. является их целой функцией х). Все особые точ-
точки ф,1 совпадают тогда с особенностями множителя	. Ра-
ик	А(ш,к)
венство
А(си,к) = 0	F2.5)
представляет собой дисперсионное уравнение системы; его кор-
корни си (к) определяют частоты колебаний с заданными (веществен-
(вещественными) значениями волнового вектора к. Как мы видели в § 34,
именно эти частоты определяют асимптотический (при t —>• ос)
закон изменения со временем фурье-компоненты возмущения с
заданным значением к:
Если исходить из этого закона, то нахождение асимптотического
закона изменения возмущения в заданной точке пространства
требовало бы исследования интеграла
ф(Ь, X) ~ / e-i"'(k)teu"(k)teikx dk	F26)
При наличии неустойчивости, когда в некоторой области значе-
значений к имеем ио"(к) > 0, один из множителей в подынтегральном
х) Для этого во всяком случае необходимо, чтобы начальный волновой
пакет достаточно быстро (быстрее чем ехр (—а|ж|)) убывал в пространстве.

328
ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
выражении при t —>• оо неограниченно растет, а другой стано-
становится бесконечно быстро осциллирующей функцией; эти проти-
противоположные тенденции затрудняют оценку интеграла.
Вместо этого вернемся к выражению ij)(t,x) в виде F2.2), до
выполнения интегрирования по ио. Сместим о;-контур вниз до его
«зацепления» за первую (наиболее высокую, т. е. с наибольшим
ио") особую точку функции <р(а;,ж); пусть эта точка лежит при
(jj = (jjc (как будет ясно из дальнейшего, иос не зависит от х).
Очевидно, что асимптотическое значение интеграла определяет-
определяется окрестностью именно этой точки, так что
со e~iWct = exp (-ioofct + oo"t).
F2.7)
Если со" > 0, то возмущение растет в каждой фиксирован-
фиксированной точке ж, т. е. неустойчивость абсолютна. Если же со" < О,
то в фиксированных точках возмущение стремится к нулю —
неустойчивость конвективна. Искомый критерий сводится, та-
таким образом, к определению иос.
Функция ср(ш,х) дается интегралом F2.3) с ф^к из F2.4):
-/
_eikxdk_
)	2тг'
F2i
Поскольку, по предположению, guk — целая функция /с, то осо-
особенности подынтегрального выражения (как функции комплекс-
комплексного к) лежат в особых точках множителя 	; обычно речь
идет о полюсах — корнях к(со) уравнения F2.5).
Ск)	(к)
б
в
А
\в
Рис. 22
Пусть при некотором значении ио (точка на о;-контуре) с до-
достаточно большой (положительной) мнимой частью ио" = а осо-
особые точки лежат в fc-плоскости, как показано на рис. 22, —
некоторые в верхней, а другие в нижней полуплоскости. Путь

§ 62	АБСОЛЮТНАЯ И КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	329
интегрирования по А; в F2.8) (назовем его fc-контуром) прохо-
проходит при этом вдоль вещественной оси. Будем теперь изменять со,
постепенно уменьшая со". Особые точки будут перемещаться (в
fc-плоскости) и при некоторых значениях со могут достигнуть ве-
вещественной оси1). Эти значения со не будут еще являться осо-
особыми для функции (р(ио,к): ничто не мешает сдвинуть /с-контур
таким образом, чтобы увести его из окрестности особых точек,
пересекших вещественную ось (как это показано на рис. 22 6).
Особенность интеграла возникает, однако, если две перемеща-
перемещающиеся особые точки сближаются, зажимая между собой путь
интегрирования, и, таким образом, устраняют возможность уво-
увода этого пути из их окрестности (рис. 22 в).
Таким образом, значение со, определяющее характер неустой-
неустойчивости, отбирается из числа тех значений со, при которых два
корня к(со) дисперсионного уравнения сливаются. При этом в
рассмотрение входят только те случаи слияния, когда два кор-
корня сходятся с разных сторон fc-контура; другими словами, при
ио" —>• оо эти корни должны лежать по разные стороны веществен-
вещественной оси. Отметим, кстати, что поскольку значения иос определя-
определяются только свойствами функции 	, то их независимость
A(cj, к)
от х очевидна.
При слиянии двух простых корней уравнения возникает крат-
кратный (второго порядка) корень. Вблизи такого корня дисперсион-
дисперсионное уравнение имеет вид
) I@) =0, F2.9)
так что к — кссо =Ь (со — cOqI'2 2). Отметим, что в точке ио = иос
функция со (к) удовлетворяет условию
— = 0,	F2.10)
d к
т. е. со с является седловой точкой аналитической функции со (к).
1)	В случае неустойчивой среды выход особой точки на вещественную ось
к должен (хотя бы в некоторой области значений ио') произойти еще при
ио" > 0, так как заведомо имеются такие корни уравнения А(ио,к) = 0, для
которых при вещественном к мнимая часть ио > 0.
2)	В некоторых случаях может иметь место слияние также и большего чи-
числа корней с возникновением корня более высокого порядка. Такие случаи,
однако, могут, вообще говоря, отвечать лишь специальным значениям пара-
параметров системы, поскольку они накладывают дополнительные ограничения
на точки cjc, kc: в разложении А(ио,к) должны обращаться в нуль также и
некоторые другие (помимо (дА/дк)с) коэффициенты.

330	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Интеграл F2.8), взятый по окрестности точки к = кС1 с точ-
точностью до постоянного множителя имеет вид
F2.11)
функция <р(а;, х) имеет при ио = иос корневой полюс. Интеграл же
F2.2), взятый теперь по окрестности точки ио = иос как функция
от t и ж, имеет вид
) о: e	^62el2j
л/t
(поскольку это асимптотическое выражение получено при t —>> оо
и фиксированном ж, оно справедливо лишь при \ксх\ <С |cjct|).
Хотя слияние корней дисперсионного уравнения являет-
является основным источником возникновения особенностей функции
<р(ш,х) (и именно им определяется обычно характер неустой-
неустойчивости), упомянем еще и другой тип особенностей, возникаю-
возникающий на частоте, для которой корень дисперсионного уравнения
\к\^ оо1). Мнимая часть такой частоты иос, однако, фактически
всегда отрицательна и потому заведомо не может привести к аб-
абсолютной неустойчивости (положительность ш" означала бы в
данном случае неустойчивость системы по отношению к колеба-
колебаниям с бесконечно малой длиной волны). С таким случаем мы
встретимся ниже (см. F3.10)).
Как уже подчеркивалось, неустойчивость, являющаяся кон-
конвективной в одной (лабораторной) системе отсчета, может стать
абсолютной в другой системе. Поставим себе целью найти ско-
скорость V той системы отсчета, в которой неустойчивость абсолют-
абсолютна с максимальным инкрементом.
Переход от лабораторной системы к системе отсчета, движу-
движущейся со скоростью V, осуществляется заменой во всех форму-
формулах uj —>• uo — kV. Как мы видели выше, значение иос отвечает тому
моменту, когда по мере уменьшения ио11 на о;-контуре сливаются
два полюса функции 	 в fc-плоскости, причем эти полюсы
A(cj,fc)
должны прийти к точке слияния с разных сторон вещественной
оси, а потому один из них должен предварительно пересечь эту
ось. Обозначим через с^ах максимальное (не зависящее от У!)
значение ио" при вещественных значениях к. Поскольку и)"(к, V)
г) Такой корень приводит к существенно особой точке функции (р(и,х).
Так, если \к\ стремится к бесконечности по закону к~п = С (и— cjc), то вклад
от окрестности особенности в интеграл F2.8)
гх
1ехРТ777	^ГГ'

§ 63	УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ	331
заведомо меньше того значения ио1' при котором полюс пересек
вещественную ось, то ш"(к, V) ^ u'maiX при всех V. Это означает,
что наибольшее значение w" достигается, если слияние полюсов
происходит на вещественной оси в точке максимума со" (к). Заме-
Заменив в F2.10) ио(к) на uo(k)—kV и отделяя мнимую и вещественную
части равенства (при вещественных /с), найдем два уравнения:
^- = 0,	F2.13)
d к
V = —.	F2.14)
dk	v J
Таким образом, наибольший инкремент неустойчивости да-
дается максимальным значением ио" {к) как функции вещественно-
вещественного к. Скорость же системы отсчета, в которой такая неустой-
неустойчивость имеет место, определяется соответствующим значени-
значением производной duo1/dk. Это значение V естественно принять
в качестве определения групповой скорости волнового пакета в
конвективно-неустойчивой среде.
§ 63. Усиление и непропускание
До сих пор мы рассматривали задачи об устойчивости, в
которых речь шла о развитии во времени возмущения, задан-
заданного в пространстве в некоторый начальный момент. Фурье-
разложение такого возмущения содержит компоненты с веще-
вещественными значениями волновых векторов к, а их временная
зависимость определяется частотами о; (к) — комплексными кор-
корнями дисперсионного уравнения.
Возможна, однако, и другая постановка задачи об устойчиво-
устойчивости: задача, в которой речь идет о возмущении, создаваемом в
некотором участке пространства по заданному временному зако-
закону. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты
с вещественными частотами о;, а их распространение в простран-
пространстве определяется волновыми векторами А:(о;), получающимися
решением дисперсионного уравнения — на этот раз относительно
к] соответственно комплексными оказываются не частоты, а вол-
волновые векторы (как и в предыдущем параграфе, мы имеем в виду
одномерную задачу и потому пишем к = кх вместо вектора к).
Комплексность волновых векторов может иметь различный
смысл. В одних случаях она может означать просто, что соответ-
соответствующие волны не могут распространяться в среде (непропуска-
ние). В других случаях комплексность к может означать усиле-
усиление волн средой при их распространении от источника. Сразу же
подчеркнем, что критерием различения этих двух возможностей
заведомо не может являться знак ImA;: волны могут распростра-

332	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
няться в обоих направлениях оси ж, а изменение направления
распространения эквивалентно изменению знака к.
Физически очевидно, что усиливающими свойствами может
обладать лишь неустойчивая среда. Поэтому, например, заранее
ясно, что для поперечных электромагнитных волн в плазме с
законом дисперсии ио2 = О^ + с2к2 (см. задачу 1 § 32) при ча-
частотах ио < Ое (когда к(ио) мнимо) имеет место непропускание;
действительно, определяемая этим уравнением функция со (к) ве-
вещественна при всех вещественных значениях /с, так что система
заведомо устойчива.
Для точной постановки вопроса рассмотрим точечный по ко-
координате х источник (или, как говорят, сигнал), включаемый в
момент t = 0 и создающий затем монохроматическое (с неко-
некоторой частотой ljq) возмущение ф (отклик системы на сигнал).
Интенсивность источника есть, таким образом,
g(t,x)=0	при ?<0,	( ,
g(t,x) = const • S(x)e-luJot при t > 0.	[ }
Не конкретизируя физической природы возмущения ф, мы
не делаем того же и в отношении физической природы интен-
интенсивности источника g. Существенно лишь, что ^-компоненты
возмущения определяются по его источнику выражением вида
ФшН = -^7Т-	F3.2)
A(cj k)
Такое выражение получается из неоднородного линеаризованно-
линеаризованного «уравнения движения» системы, в котором g(t, x) играет роль
«правой части» (аналогично тому, как F2.4) было решением од-
однородного уравнения с начальным условием, задаваемым функ-
функцией g@,x)). Для источника F3.1) имеем1)
-	F3-3)
Функция ф^,х) находится затем по формуле обращения
оо+гсг
i/>(t, х) = const / Ф(ш,х) е~ШЬ —,	F3.4)
J	i(u — cjo) 2тг
— оо+гсг
сю
Ф(а;,ж)= / -^-dk.	F3.5)
:) При вычислении g^ надо помнить, что в формуле обратного преоб-
преобразования интегрирование происходит по контуру, на котором Imcj > 0;
поэтому eliJjt —>- 0 при t —»¦ оо.

§ 63	УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ	333
Это выражение автоматически обеспечивает равенство ф{Ь, х) = О
при t < 0 в соответствии с условиями задачи: возмущение воз-
возникает только от включаемого в момент t = 0 источника.
Задача состоит теперь в том, чтобы найти асимптотическое
выражение ф(г,х) вдали от источника (|ж| —>• оо) в установив-
установившемся режиме, т. е. по истечении большого времени после вклю-
включения источника (t —>• оо). Если в таком режиме возмущение
стремится к нулю при х —>• =Ьоо, то мы имеем дело с непро-
непропусканием. Если же возмущение оказывается возрастающим хо-
хотя бы по одну сторону от источника — имеет место усиление.
Очевидно, что в обоих этих случаях может идти речь лишь о
конвективно-неустойчивой (или об устойчивой) системе. При аб-
абсолютной неустойчивости возмущение неограниченно растет со
временем во всех точках пространства, так что выход на устано-
установившийся режим вообще невозможен.
Переходя к отысканию требуемой асимптотики, прежде всего
отметим, что асимптотический переход t —>> оо надо произвести
до перехода |ж| —>> оо: поскольку за конечное время возмущение
не может распространиться до бесконечности, то переход |ж| —>• оо
при конечном t обратит ф в нуль.
Как ив § 62, для получения асимптотического выражения
при t —>> оо смещаем путь интегрирования по ш в F3.4) вниз.
Аналитические свойства функции Ф(а;,ж) такие же, как и у
функции (p(oj)X) в § 62. Поскольку система предполагается лишь
конвективно-неустойчивой, то Ф(а;,ж) не имеет особенностей в
верхней полуплоскости ио и наиболее высокой особой точкой
подынтегрального выражения в F3.4) является полюс ио = ojq
на вещественной оси. Поэтому асимптотика при t —>> оо
фA;,х)<Х)е-1шогФ(и)о,х).	F3.6)
Для нахождения асимптотики функции Ф(шо,х) при |ж| —>• оо
надо теперь смещать путь интегрирования по к вверх (при х > 0)
или вниз (при х < 0) до тех пор, пока он не зацепится за по-
полюс подынтегрального выражения в F3.5) (корень уравнения
A(cjo,*0 =0).
Обозначим через fc+(o;) и к-(со) те полюсы, которые при
Imo; —)> оо находятся соответственно в верхней и нижней полу-
полуплоскостях к. По мере уменьшения Imo; полюсы перемещаются
и при вещественном ио = ojq могут остаться в «своей» полуплос-
полуплоскости или же попасть в другую полуплоскость. В первом случае
путь интегрирования в Ф(шо,х) остается на вещественной оси
(как на рис. 22 а), а во втором — деформируется, как показано
на рис. 22 5, огибая «убежавшие» в чужую полуплоскость полю-
полюсы fc+(a;o) и к-(и)о) (точки А и С). В обоих случаях при смещении
контура вверх или вниз он зацепляется соответственно за полю-

334	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
сы к+ или к-. Асимптотическое выражение функции ip(t,x) при
х —>• +оо определяется вкладом от наиболее низкого из полюсов
fc+(a;o)j а при х —>> — оо — от наиболее высокого из полюсов А;_
— (^о) 5 другими словами, это — наиболее близкий к вещественной
оси полюс (если все полюсы данной категории остались в «сво-
«своей» полуплоскости) или же наиболее далекий от вещественной
оси полюс из числа тех, которые перешли в «чужую» полуплос-
полуплоскость. С этими значениями А;+ и к- будем иметь
^(*,ж)со exp{ik+(ujo)x-iujot} при х > О,
i/j(t,x)oo exp{ik-(wo)x — iwot} при х < 0.
В случае устойчивой системы все полюсы остаются при uj = ljq
в «своих» полуплоскостях; действительно, ввиду отсутствия вет-
ветвей колебаний с 1тш(к) > 0 (при вещественных к) пересечение
полюсом k(uS) вещественной оси могло бы иметь место лишь при
Imo; < 0. Поэтому в F3.7) будет
0, Imfc_(a;o) < 0,
так что волны затухают в обе стороны от источника.
В случае же конвективной неустойчивости полюсы к (со) вы-
выходят на вещественную ось уже при Imo; > 0. Поэтому заведомо
существуют полюсы А;+ или fc_, попавшие при о; = цв «чужую»
полуплоскость, т. е. для которых Im к+(шо) < 0 или Im к- (ujq) > 0.
Наличие такого полюса fc+(a;o) приводит к усилению волны спра-
справа от источника, а наличие такого полюса к-(и)о) — к усилению
слева от источника.
Резюмируя изложенные рассуждения, приходим к следую-
следующему критерию различения случаев непропускания и усиления
волн, испускаемых источником с частотой ojq в конвективно-
неустойчивой системе.
Волна с комплексным значением к(и)о) при вещественном ojq
усиливается, если функция 1тк(оо) меняет знак при изменении
Imo; от +оо до 0 (при заданном Re о; = cjq); если же 1тк(оо) не
меняет знака, то имеет место непропускание.
Отметим, что происхождение этого критерия связано с тре-
требованиями причинности. Действительно, при сколь угодно бы-
быстром включении источника возмущение во всяком случае дол-
должно убывать при х —>• =Ьоо просто потому, что за конечное время
оно не может распространиться на бесконечное расстояние. С
другой стороны, «сколь угодно быстрое» включение можно осу-
осуществить по закону e~lujt clmo; Ч +оо. Поэтому ясно, что вол-
волны, усиливаемые (при вещественном ио) в ту или иную сторону
от источника, должны затухать в эту же сторону при Imo; —>> оо,
откуда и возникает сформулированный выше критерий.

§ 63	УСИЛЕНИЕ И НЕПРОПУСКАНИЕ	335
Полученные результаты имеют еще и другой аспект, позво-
позволяя определить направление распространения волны в среде с
поглощением или усилением. В прозрачной среде (т. е. когда ио и
к вещественны) вопрос о физическом направлении распростране-
распространения решается направлением вектора групповой скорости. В част-
частности, в одномерном случае волна с положительным значением
производной duo/dk движется в положительном направлении оси
ж, а с отрицательным — в обратном направлении. В среде же
с поглощением или усилением можно утверждать, что в поло-
положительном направлении распространяются волны группы fc_|_, a
в отрицательном — группы к-. В случае вещественных ио и к
эта общая формулировка совпадает с прежней. Действительно,
малые изменения ио и к связаны друг с другом соотношением
duj/dk
Отсюда видно, что если у ио появляется мнимая часть Imo; > О,
то к смещается в верхнюю полуплоскость при duo/dk > 0 и в
нижнюю в обратном случае.
В качестве простого примера применения критериев, полу-
полученных в этом и предыдущем параграфах, рассмотрим неустой-
неустойчивость холодного пучка электронов в холодной плазме, о кото-
которой шла речь в § 61. Дисперсионное уравнение этой системы:
о2	о'2
^ + —^	= 1	F3.8)
cj2 {uWY	V }
(см. F1.6); для волн, распространяющихся в направлении пучка,
kV = kV). Корни к(ио) этого уравнения при |cj| —^ сю имеют вид 1)
к = ^^.	F3.9)
При Imo; —>• оо оба корня лежат в одной и той же (верхней) по-
полуплоскости, т. е. оба корня относятся к категории к+(оо). Они не
могут, следовательно, при своем перемещении (при уменьшении
Imo;) зажать fc-контур, так что неустойчивость — конвективная.
Асимптотическое поведение созданного в начальный момент воз-
возмущения определяется частотой ио = Ое, вблизи которой корни
уравнения F3.8) стремятся к оо по закону
к2 = —^^—.	F3.10)
Таким образом, при t —>> оо от возмущения остаются лишь неза-
незатухающие плазменные волны.
г) Отметим, что F3.9) совпадает с дисперсионным уравнением пучка са-
самого по себе, как если бы неподвижной плазмы вообще не было.

336	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
При вещественных значениях ио < 0е уравнение F3.8) имеет
два комплексно-сопряженных корня к(ио). Тот из них, у кото-
которого Imk(oj) < О, попал в нижнюю полуплоскость из верхней.
Таким образом, при распространении волн от источника с ча-
частотой ljq < Ое происходит их усиление в направлении х > О,
т. е. «вниз по течению» пучка.
§ 64. Неустойчивость при слабой связи
двух ветвей спектра колебаний
Применим развитый в § 62, 63 общий метод к исследованию
неустойчивости, возникающей благодаря «взаимодействию» ко-
колебаний с близкими значениями ио и /с, относящихся к двум вет-
ветвям колебательного спектра бездиссипативной системы; под без-
диссипативностью подразумевается здесь отсутствие как истин-
истинной диссипации, так и затухания Ландау.
Если бы две ветви ио = ио\(к) и ио = ио2(к) были полностью
независимы, то это значило бы, что дисперсионное уравнение
распадается на два множителя:
[ио - ил(к)}[со - ио2(к)] = 0.	F4.1)
Вблизи точки пересечения таких ветвей функции uii(k) и ио2(к)
имели бы в общем случае вид
ko),	_ ^
ио2(к) = со>о + v2{k - ко),
где г>1, г>2 — некоторые постоянные, a ljq и ко значения (веще-
(вещественные!) со и к в точке пересечения.
Такой случай, однако, вообще говоря, нереален. Связь между
двумя ветвями могла бы строго отсутствовать, в лучшем слу-
случае, при каких-то специфических значениях параметров систе-
системы, но появилась бы уже при малейшем их изменении г). Для от-
отражения реальной ситуации надо поэтому учесть наличие слабой
связи между ветвями. Она проявляется в замене нуля в правой
части уравнения F4.1) на некоторую малую величину е. Тогда
дисперсионное уравнение вблизи этой точки примет вид
[ио -иоо- vi(k - ko)][w — wo — V2(k - ко)] = e.	F4.3)
:) Исключение составляют случаи, когда взаимодействие отсутствует в
силу требований симметрии, например, если одна ветвь относится к про-
продольным, а другая — к поперечным волнам в изотропной среде. Поскольку
в изотропной среде продольный ток не может индуцировать поперечное по-
поле и наоборот, то такие волны не взаимодействуют друг с другом. Ситуация
здесь аналогична той, которая имеет место в квантовой механике для пере-
пересечения термов различной симметрии (см. III, § 79).

64
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛАБОЙ СВЯЗИ
337
Его решение относительно ио\
и(к)-со0 = 1-{(v1+v2)(k-k0)±[(k-k0J(vi-v2J+4e}1/2}, F4.4)
а относительно к:
к{ио) -ко =
± [(со — coq) (vi — v2) + Aeviv2] ' }. F4.5)
Наличие связи между ветвями сдвигает точку их пересечения
в комплексную область. Зависимости же со(к) для вещественных
со ж к имеют различный характер в зависимости от знака посто-
постоянной е и относительного знака постоянных v\ и v2. Эти зависи-
зависимости изображены на рис. 23 для следующих случаев:
а) е > О, vxv2 > О, б) е > О, vxv2 < О,
в) е < 0, vrv2 > 0, г) ? < 0, ^2 < 0.	1 ' }
Рассмотрим эти случаи поочередно.
а)	Здесь функции ио(к) вещественны при всех (веществен-
(вещественных) /с, так что система устойчива. Вещественны также функции
к(ио) при всех со, так что
при всех со волны распро- а	//	б
страняются не усиливаясь.	/;	/j
б)	Функции со(к) ве-
вещественны при всех /с, _
так что система устойчи- г
ва. Функции же к(со) ком-
комплексны в области частот
I/
1л
F4.7)
Ввиду устойчивости систе-
системы, в этой области имеет
место непропускание.
в) При
(А:-А;оJ<
CO-COq
ц
СО-СОо
к-ко
Рис. 23
-V2J
F4.8)
функции со (к) комплексны, причем для одной из них 1т со (к) > 0,
т. е. имеет место неустойчивость. Эта неустойчивость — конвек-
тивная; действительно, при
ио\
оо корни к(ш) имеют вид
7	UJ	7	UJ
ГЪ г^/ 	, Гъ г^/
V2
F4.9)
и при Imo; —)> 00 оба лежат в одной и той же полуплоскости к.
Пусть г>1, v2 > 0; тогда эта полуплоскость — верхняя и корни

338	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
относятся к категории k+(ui). При вещественных же ио в области
F4.7) корни к(ио) составляют пару комплексно-сопряженных ве-
величин. Тот из них, для которого Imk(oj) < О, перешел из верхней
полуплоскости в нижнюю. Следовательно, в полосе частот F4.7)
имеет место усиление волн, распространяющихся в направлении
х > 0.
Легко также найти для этого случая определенную, согласно
F2.14), «групповую скорость» волн — скорость системы отсчета,
в которой имеет место абсолютная неустойчивость с максималь-
максимальным инкрементом. Продифференцировав уравнение F4.3) по к
и подставив, согласно F2.13), F2.14), duo/dk = V, получим
V	-vi _ и - up - vi(k - кр)	/g . , qx
V	— V2	CJ — CJo — V2 (k — ко)
Поскольку левая часть этого равенства вещественна, то должна
быть вещественной (при комплексном ио) также и правая часть.
Из этого условия находим, что к = &о, после чего из F4.10) на-
находим скорость
2	v
а из F4.3) — соответствующий максимальный инкремент
(Imo;)max = lei1/2.	F4.12)
г) Функции к(ио) вещественны при всех (вещественных) о;,
но функции ио(к) комплексны в области F4.8), так что система
неустойчива. Для выяснения характера этой неустойчивости за-
замечаем, что согласно F4.9) (при различных знаках v\ и V2) при
Imo; —>> 00 корни к(ио) лежат в различных полуплоскостях. Эти
два корня имеют точку слияния в верхней полуплоскости ио при
оо = иос = ojq + 2i vVlV2? ^	F4.13)
\vi - v2\
Это значит, что неустойчивость — абсолютная, с инкрементом
Imo;c. При v\ = —^2, что соответствует картине возмущения в
системе отсчета, движущейся со скоростью F4.11), инкремент
достигает максимального значения F4.12).
Задача
Выяснить характер неустойчивости низкочастотных (uj ~ ujbi) «медлен-
«медленных» (ш/к <С с) поперечных электромагнитных волн, распространяющихся
в направлении постоянного магнитного поля в холодной магнитоактивной
плазме; вдоль того же направления через плазму движется холодный пучок
электронов малой плотности.
Решение. Для составления дисперсионного уравнения пишем его
сначала с учетом лишь электронов пучка в системе отсчета, где пучок по-
покоится. Согласно E6.9) имеем в этой системе:
7 2 2 2	°/2/1'
к с — ио = —-
UJ d= UJBe

64
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛАБОЙ СВЯЗИ
339
где 0,е — плазменная частота, отвечающая плотности пучка. При возвраще-
возвращении к лабораторной системе отсчета, в которой пучок движется со скоро-
скоростью V (вдоль которой направляем ось ж), в правой части равенства надо
заменить uj —»¦ uj — kV; разность же к2 с2 —и2 инвариантна по отношению к
изменению системы отсчета. Добавив теперь в лабораторной системе члены,
связанные с электронами и ионами плазмы, получим
UJ — kV d= UJBe UJ =Ь UJBe UJ T ^Bi
Пренебрегая здесь (в соответствии с условиями задачи) uj по сравнению с ск
о2 п?
и с иве и заметив также, что	 = 	, приведем дисперсионное уравнение
UJBe UJBi
к виду
к2г-
-1 (uj-kV± иве) = -tt?(uJ - kV).
A)
Первый множитель в левой части уравнения отвечает «основной», а вто-
второй — пучковой ветви спектра колебаний; правая часть описывает «взаимо-
«взаимодействие» этих ветвей.
со
соВг-
-С0Ве
V/
Рис. 24
Рис. 25
При верхних знаках в A) законы дисперсии двух независимых ветвей
показаны на рис. 24 сплошными линиями (как всегда, достаточно рассматри-
рассматривать лишь ветви с uj > 0). Вблизи точки cjo, &o их пересечения разложение
уравнения A) имеет вид
2кос2 \k-ko-
I
-ujo- V(k - к0)] =
с положительным (как это ясно из наклона кривых на рис. 24) коэффи-
коэффициентом v\. Сравнение с F4.3) показывает, что имеет место случай б —
конвективная неустойчивость (на рис. 24 штриховыми линиями показан ход
ветвей спектра с учетом их взаимодействия).
Аналогичные графики при нижних знаках в A) показаны на рис. 25.
Вблизи точки пересечения дисперсионное уравнение имеет вид
2кос2 \к - ко +
-ujo- V(k - ко)] = -rte2ujBe
где снова v\ > 0. Теперь имеет место случай г — абсолютная неустойчи-
неустойчивость (имеющееся в этом случае второе пересечение происходит, как видно
из рисунка, при uj > ujBe-, что противоречит условиям задачи).

340	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
§ 65. Неустойчивость конечных систем
Вся изложенная в § 61-63 теория относилась к однородным
средам, бесконечно протяженным по крайней мере в одном на-
направлении (ось х). При применении к реальным ограниченным
системам это значит, что пренебрегается эффектами, связанны-
связанными с отражением волн от границ; другими словами, такая теория
ограничена временами порядка величины времени распростране-
распространения возмущения по длине системы.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости в обратной ситуа-
ситуации, когда конечность системы существенна и спектр ее собствен-
собственных колебаний определяется граничными условиями на концах
(при этом мы по-прежнему ограничиваемся одномерным случа-
случаем; длину системы вдоль оси х обозначим через L). Спектр ча-
частот конечной системы дискретен, и, если хотя бы одна из соб-
собственных частот имеет положительную мнимую часть, система
неустойчива. Различие между случаями абсолютной и конвек-
конвективной неустойчивости теряет здесь смысл.
Таким образом, вопрос о выяснении устойчивости или
неустойчивости конечной системы эквивалентен вопросу о на-
нахождении спектра ее (комплексных) собственных частот. Дис-
Дисперсионное уравнение, определяющее эти частоты, может быть
установлено в общем виде для системы хотя и конечных, но до-
достаточно больших размеров L: Im|fc| • L ^> 1 (А.Г. Куликовский,
1966).
Пусть к(ш) — решения дисперсионного уравнения неограни-
неограниченной среды; ветви этой многозначной функции снова разобьем
на две категории, к+(ш) и к-(ш), определенные в § 63. Собствен-
Собственные колебания конечной системы можно рассматривать как ре-
результат наложения бегущих волн, отраженных от двух ее границ
(в среде без поглощения и усиления это
были бы обычные стоячие волны). Отра-
к+
жение сопровождается, вообще говоря,
взаимным превращением волн, относя-
% щихся к различным ветвям спектра. По-
Поэтому бегущая волна заданной частоты
представляет собой суперпозицию всех
х~°	X~L ветвей. Но вдали от границ основной
вклад в каждую волну дает лишь один
Рис- 26	из членов суперпозиции. Так, для вол-
волны, распространяющейся от левой границы, х = 0 (рис. 26), в
положительном направлении оси х асимптотическое выражение
вдали от этой границы имеет вид
ф = аех.р{г[к+(ш)х — cot]},	F5.1)
причем в качестве к+(оо) должна быть выбрана та из ветвей

§ 65	НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНЫХ СИСТЕМ	341
этой категории, для которой Imk+(ui) имеет (при заданном ве-
вещественном to) алгебраически наименьшее значение1).
После отражения от правой границы (х = L) волна распро-
распространяется влево и на достаточно больших расстояниях от этой
границы имеет асимптотический вид
ф = i?2ttexp{ifc+(o;)L}exp {г[к-(и))(х — L) — out]}, F5.2)
где k-{uS) — та из ветвей этой категории, для которой 1т к-(ш)
имеет алгебраически наибольшее значение. Коэффициент же R2
зависит от закона трансформации волн на данной конкретной
границе.
Наконец, после второго отражения — на этот раз от левой
границы — снова получим волну, распространяющуюся вправо:
ф = R1R2aSk+-k->>LSk+x-U3t\	F5.3)
Ввиду однозначности ф(г,х) выражение F5.3) должно совпадать
с F5.1). Отсюда находим равенство
R1R2exp{i[k+(ou) - k_(uo)]L} = 1.	F5.4)
Оно определяет спектр частот uj конечной системы, т. е. является
ее дисперсионным уравнением.
Взяв модуль от обеих частей этого уравнения, имеем
|i?ii?2|exp{-Im(A;+ - ?;_)?} = 1.	F5.5)
При L —>• оо экспоненциальный множитель стремится к 0 или к оо
(в зависимости от знака разности Im(A;+ — к-)). Поэтому для
достаточно длинных систем равенство F5.5) возможно только,
если
Im [fc+ (ш) - к- (о;)] = 0.	F5.6)
Таким образом, в этом случае дисперсионное уравнение сводится
к виду, зависящему только от свойств среды самой по себе и не
зависящему от конкретного характера условий на ее границах.
Уравнение F5.6) определяет некоторую кривую на плоскости uj\
на этой кривой лежат очень близкие друг к другу (при боль-
больших L) дискретные собственные частоты. Если эта кривая хотя
бы частично лежит в верхней полуплоскости — система неустой-
неустойчива. В связи с тем, что эта неустойчивость обуславливается
свойствами системы в целом, ее называют глобальной.
х) То есть это — наименьшее положительное значение, если все +()
> 0, или же наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение,
если существуют ветви, для которых Im к+(и)) < 0. В первом случае F5.1) —
наименее быстро затухающая (с расстоянием х) волна, а во втором — наи-
наиболее быстро усиливающаяся.

342	ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
Сделаем еще несколько замечаний о связи глобальной
неустойчивости конечной системы с неустойчивостью бесконеч-
бесконечной среды. Прежде всего, легко видеть, что при наличии гло-
глобальной неустойчивости бесконечная система заведомо неустой-
неустойчива: существуют такие вещественные значения /с, для которых
Imui(k) > 0. Действительно, по определению функций k+(ui) и
к-(оо) их значения при Imo; —>• оо лежат в различных полуплос-
полуплоскостях к. Условие же F5.6) означает, что по мере уменьшения
Imo; точки к+(ио) и к-(со) могут попасть в одну и ту же полуплос-
полуплоскость, причем (в случае глобальной неустойчивости) это проис-
происходит еще при Imo; > 0. Следовательно, еще раньше (т. е. заве-
заведомо при Im uj > 0) по крайней мере одна из этих точек пересечет
вещественную ось, что и требовалось.
Обратное утверждение справедливо, однако, лишь для абсо-
абсолютной (но не конвективной) неустойчивости бесконечной сре-
среды: наличие абсолютной неустойчивости достаточно для суще-
существования также и глобальной неустойчивости конечной систе-
системы. Действительно, условие абсолютной неустойчивости состоит
в существовании точки ветвления функции к(оо) при Imo; > 0,
причем сливающиеся ветви относятся к категориям к+ и /с_; в
такой точке заведомо выполняется также и условие F5.6).
Конвективно же неустойчивая среда при наличии границ мо-
может оказаться как неустойчивой, так и устойчивой.

ГЛАВА VII
ДИЭЛЕКТРИКИ
§ 66. Взаимодействие фононов
Физическая природа кинетических явлений (теплопровод-
(теплопроводность, электропроводность) в газах состоит в процессах переноса,
осуществляемого тепловым движением частиц газа; в кинетиче-
кинетических явлениях в твердых телах роль частиц переходит к ква-
квазичастицам. Приступая к изучению этих явлений, мы начнем
с теплопроводности немагнитных диэлектриков. Сравнительная
простота физической картины этого явления, по сравнению с ки-
кинетическими процессами в других типах твердых тел, связана с
тем, что здесь фигурируют квазичастицы лишь одного сорта —
фононы.
Напомним (см. V, § 72), что представление о свободных фоно-
нах возникает в результате квантования колебательного движе-
движения атомов в кристаллической решетке в гармоническом при-
приближении, т. е. с учетом лишь квадратичных (по смещениям
атомов) членов в гамильтониане. Различные же процессы вза-
взаимодействия фононов возникают при учете членов следующих
порядков малости — ангармонических членов третьего и т. д.
порядков по смещениям г).
Первые ангармонические члены — кубические — в классиче-
классической энергии решетки имеют вид
ЯC) = \
(iw)
F6.1)
Здесь Us(n) - векторы смещения атомов в решетке; а, /3, 7 ~~
векторные индексы, пробегающие значения ж, у, z\ si, 52, 53 — но-
номера атомов в элементарной ячейке; ni, 112, 113 — целочисленные
«векторы», определяющие положение ячейки в решетке; символ
(us) под знаком суммы означает, что суммирование производит-
производится по всем п и по всем s; ввиду однородности кристалла функ-
функции Л зависят только от взаимных расстояний ni — 113, 112 — 113
между ячейками, но не от их абсолютных положений в решетке.
) Необходимость учета ангармоничности колебаний атомов в решетке при
рассмотрении теплопроводности кристалла была впервые указана Деваем
(P. Debye, 1914) и Борном (М. Вот, 1914).

344	диэлектрики	гл. vn
Вторично-квантованный гамильтониан получается подста-
подстановкой в F6.1) вместо векторов смещений операторов Us(n),
выраженных через операторы рождения cj^ и уничтожения c^g
фононов сорта (т. е. ветви фононного спектра) g и с квазиим-
квазиимпульсом к формулой
^(k)ezkrn +с^е^*(к)е-гкГп}, F6.2)
где N — число ячеек в решетке, М — суммарная масса атомов в
ячейке, е$ (к) — векторы поляризации фононов, ujg(k) — энер-
энергия фонона сорта g г). При подстановке возникают члены, содер-
содержащие операторы сГи <?+ в различных комбинациях по три. Эти
члены описывают процессы с участием трех фононов: произведе-
произведения вида сГ+<?+<?— распад одного фонона на два, а произведения
вида д+сс — слияние двух сталкивающихся фононов в один (чле-
(члены же ссс и д+с+д^ отвечают процессам, запрещенным законом
сохранения энергии).
Напишем, например, члены, отвечающие распаду фонона
(kigi) на два фонона (k2g2) и (k3g3)- Перейдя в F6.1) от сум-
суммирования по ni, П2, пз к суммированию по V\ = ni — П3, 1/2 =
= П2 — пз, пз напишем эти члены в виде
Й®° = V/^f!)^ S -P i^ ~Ъ- кз)г„3}, F6.3)
пз
где
О = BМ)/2 х
х ^A^72S3(i/bi/2)eic,e^e^7exp{i(kirI/1 -к2г„2}, F6.4)
{us)
ci=cklgl, u)i =cjgl(ki), ei = e^l)(ki), ...
В F6.3) выделен экспоненциальный множитель, зависящий
от абсолютного положения пз ячейки в решетке. Суммирование
этого множителя по всем пз дает Л/", если ki — k2 — кз совпадает с
каким-либо периодом обратной решетки Ь, или нуль в противном
случае. Поэтому
) В этой главе пользуемся системой единиц, в которой Л = 1. В этой систе-
системе размерности импульса и волнового вектора совпадают; то же относится
к размерностям энергии и частоты.

§ 66	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОНОВ	345
причем квазиимпульсы фононов удовлетворяют закону сохране-
сохранения
ki = к2 + к3 + Ь.	F6.6)
Условие F6.6) следует рассматривать как уравнение, опреде-
определяющее значение, скажем, квазиимпульса кз, по заданным зна-
значениям ki и к2. При этом надо брать значения ki и к2 внутри
некоторой выбранной одной элементарной ячейки обратной ре-
решетки (заключающей в себе все физически различные значения
квазиимпульса) и следить за тем, чтобы и кз тоже оказалось
в этой ячейке. Последнее условие определяет необходимое зна-
значений b в F6.6), причем однозначным образом. Действитель-
Действительно, если при заданных ki, k2, b вектор кз лежит в выбранной
ячейке, то любое изменение b заведомо вывело бы кз из этой
ячейки. Процессы (в данном случае — распад фонона), при ко-
которых закон сохранения квазиимпульса содержит отличный от
нуля вектор Ь, называются процессами с перебросом1), в отли-
отличие от нормальных процессов с b = 0. Надо сказать, что раз-
различие между этими двумя категориями процессов в известном
смысле условно: каждый конкретный процесс может оказаться
нормальным или с перебросом в зависимости от выбора основ-
основной ячейки. Существенно, однако, что никаким выбором нельзя
обратить b в нуль одновременно для всех возможных процес-
процессов. Целесообразно выбирать основную ячейку обратной решет-
решетки так, чтобы точка к = 0 (бесконечная длина волны) находилась
в ее центре; это будет подразумеваться везде ниже. При таком
выборе всем низкочастотным фононам отвечают малые значения
квазиимпульса (к <С 1/d, d — постоянная решетки), а все процес-
процессы с участием одних только низкочастотных фононов являются
нормальными2). Большие же значения квазиимпульса (к ~ l/d)
будут отвечать коротковолновым фононам с большой энергией
(порядка величины дебаевской температуры в).
Вернемся к процессу распада фонона. Согласно общим пра-
правилам квантовой механики (см. III, D3.1)), вероятность распа-
распада, при котором квазиимпульс одного из двух возникающих но-
новых фононов лежит в интервале о!3А;2, дается квадратом соответ-
соответствующего матричного элемента оператора возмущения F6.5)
согласно формуле
dW = 2tt|GVi - 1,JV2 + 1,JV3 + 1\H^\NUN2,N3)\2 x
r/	\Vdsk2 (aa n\
X d(U)i -UJ- U3)	, F6.7)
x) Umklapp — по немецкой терминологии.
2) Если же, например, выбрать основную ячейку так, чтобы точка к = 0
лежала в одной из ее вершин, то малым частотам будут отвечать также и
окрестности других вершин, вблизи которых к уже не малы.

346	ДИЭЛЕКТРИКИ	ГЛ. VII
где Ni = -A/kigu ^2, Щ — числа заполнения фононов в началь-
начальном состоянии кристалла. Матричные элементы операторов рож-
рождения и уничтожения фононов даются формулами
(N - l\c\N) = (N\c + \N - 1) = VN.	F6.8)
В результате получаем вероятность распада в виде
dW = wN^Ni + 1)(JV3 + 1Жал -и>2- "з)^г,	F6.9)
где
w = w(g2k2,g3k3;giki) = -^-Щ2	F6.10)
(v = V/M — объем ячейки кристаллической решетки). Таким
образом, вероятность процессов пропорциональна числу N\ на-
начальных фононов в начальном состоянии кристалла, а также
числам конечных фононов (N2 + 1 и Щ + 1) в конечном состоя-
состоянии кристалла. Последнее свойство связано со статистикой Бозе,
которой подчиняются фононы, и характерно вообще для всех
процессов с участием бозонов г).
Процессом, обратным распаду, является «слияние» двух фо-
фононов к2 и кз в один фонон ki. Легко найти, что члены в гамиль-
гамильтониане, ответственные за этот процесс, отличаются от F6.5)
заменой произведения с-операторов в числителе на сГ-^с^сз и за-
заменой О на О*. Поэтому вероятность этого процесса дается фор-
формулой, отличающейся от F6.9) лишь TV-множителями:
dW = wN2N3(N1 + 1)<У(ол -и>2- ^з)^%-	F6.11)
BтгK
Функции же w здесь и в F6.9) одинаковы. Последнее обстоя-
обстоятельство отвечает общему правилу: в борновском приближении
(первое приближение теории возмущений) вероятности прямого
и обратного элементарных актов рассеяния одинаковы (см. III,
§ 126).
Среди различных ветвей фононного спектра всегда имеет-
имеется три акустических, в которых энергия стремится к нулю при
к—)> 0; для длинноволновых (малые к) акустических фононов за-
зависимость (j(k) линейна. Для дальнейшего будет существенным
поведение функции w F6.10) для таких фононов.
:) Функция распределения фононов JVk (или iV(k)) будет определяться
как числа заполнения квантовых состояний с различными значениями ква-
квазиимпульса к. Число состояний, приходящих на элемент dsk к-пространства,
есть dsk/B7r)s, так что распределение, отнесенное к dsk, есть ЛГк/BтгK.

§ 66	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОНОВ	347
Его можно выяснить, заметив свойство коэффициентов Л в
гамильтониане F6.1), выражающее собой тот факт, что простое
смещение кристалла как целого не меняет его энергии — вне за-
зависимости от того, деформирован ли уже кристалл или нет. Это
значит, что энергия Н^ не должна измениться, если заменить
в ней любой из множителей Us(n) на Us + а с независящим от
n, s вектором а. Для этого необходимо, чтобы было
Ag™(ni,n2,ti3)=0,	F6.12)
nisi
где суммирование производится хотя бы по одной паре перемен-
переменных nisi.
Из трех участвующих в процессе фононов могут быть длин-
длинноволновыми акустическими либо один, либо все три (с двумя
такими фононами при третьем коротковолновом не могут быть
соблюдены законы сохранения импульса и энергии). Для акусти-
акустического фонона в пределе к —>• 0 поляризационные векторы es (к)
стремятся к независящей от s постоянной, так как все атомы в
ячейке колеблются вместе; множители же ехр (ikrn) стремятся
к единице. В силу свойства F6.12), величина О F6.4) стремит-
стремится, следовательно, к нулю, а при малых к пропорциональна к
или (что то же для акустического фонона) пропорциональна ио.
В результате находим, что
wcofci,	F6.13)
если длинноволновым является один фонон, или
wookik2kz,	F6.14)
если длинноволновые все три фонона.
К результату F6.13), F6.14) можно прийти и более нагляд-
наглядным путем, вспомнив, что длинноволновые акустические фо-
ноны отвечают макроскопическим звуковым волнам, которые
допускают рассмотрение с помощью макроскопической теории
упругости. В этой теории энергия деформированного кристалла
выражается через тензор деформации
1	( dUa . dUe\	/аа 1 с\
- ( — + -^- ) ,	66.15
2	\ дх дх )
где U(г) — вектор макроскопического смещения точек упругой
среды. Именно компоненты этого тензора являются теми ма-
малыми величинами, по которым происходит разложение упругой
энергии. При вторичном квантовании вектор U заменяется опе-
оператором U, аналогичным F6.2). Дифференцирование же U по
координатам для построения операторов Uap дает тот дополни-
дополнительный множитель /с, который и приводит к законам F6.13),
F6.14).

348	диэлектрики	гл. vn
§ 67. Кинетическое уравнение
для фононов в диэлектрике
В твердом кристалле фононы образуют разреженный газ, и
кинетическое уравнение для них составляется подобно тому, как
это делается для обычного газа.
Пусть N = Ng(t, r, к) — функция распределения фононов g-
го сорта. Кинетические уравнения (для каждого сорта фононов)
записываются в виде
где и = дио/д\т — скорость фононов.
Существенное отличие от ситуации в обычных газах состоит,
однако, в том, что столкновения в фононном газе не сохраняют,
вообще говоря, ни числа фононов, ни (ввиду наличия процессов
переброса) их суммарного квазиимпульса. Единственным зако-
законом сохранения остается лишь закон сохранения энергии. Он вы-
выражается соотношением
V Г ио St N-^- = 0.	F7.2)
^ /	BтгK	V J
g
Умножив уравнение F7.1) на о;, интегрируя по d3к и суммируя
по g, получим закон сохранения энергии в виде
— +divq = 0,	F7.3)
где плотность тепловой энергии кристалла Е и плотность ее по-
потока q даются естественными выражениями
Е=у u;N^^, q = > / wuN-l^.	F7.4)
Y-/ B^}	g J B^K
Интеграл столкновений в F7.1) должен в принципе учиты-
учитывать все процессы, могущие происходить в результате взаимо-
взаимодействия фононов сорта g со всеми другими фононами. Факти-
Фактически, однако, основной вклад в него возникает от трехфононных
процессов, рассмотренных в предыдущем параграфе. Процессы
с участием большого числа фононов возникают от следующих
членов разложения гамильтониана по степеням смещений ато-
атомов; эти члены быстро убывают с увеличением их порядка. При-
Причиной уменьшения является малость отношения амплитуды ко-
колебаний ? к постоянной решетки d] в твердых кристаллах оно
остается малым при всех температурах, вплоть до температуры
плавления 1). Для грубой оценки можно исходить из классиче-
Исключение составляет «квантовый кристалл» — твердый гелий.

§ 67	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФОНОНОВ В ДИЭЛЕКТРИКЕ	349
ского соотношения Moo' ? ~ Т; оценив характерное значение
частоты как о; ~ u/d1), найдем что
2	лр
Mw2
Как всегда, интеграл столкновений представляет собой раз-
разность числа процессов, приводящих (в единицу времени) к появ-
появлению фононов в заданном состоянии (gk), и числа процессов,
уводящих фононы из этого состояния. С учетом лишь трехфо-
нонных процессов имеем
StN= . .2
glg2
х [(N + l)NiN2 - N(Ni + 1)(N2 + 1)]
x [{N + l)(JVi + l)iV3 - NN^Nz + 1)]}^, F7.6)
где N\ = TVg^ki), uo\ = o;gl(ki), ... Первый член в фигурных
скобках отвечает прямому и обратному процессам
(gk) т± (glki) + (g2k2), k2 = k - ki - b;	F7.7)
множ:итель 1/2 в этом члене учитывает, что ввиду тождествен-
тождественности фононов надо суммировать лишь по половине конечных
состояний. Второй же член отвечает процессам
(g3k3) ^ (gk) + (glki), k3 = k + ki + b;	F7.8)
в этом члене множитель 1/2 не нужен, так как один из двух рас-
падных фононов задан. Обратим внимание на то, что в подын-
подынтегральном выражении в F7.6) тройные произведения NN1N2
и NNiNs сокращаются.
Интеграл столкновений тождественно обращается в нуль рав-
равновесным распределением фононов — распределением Планка
7V0 = (e^T-l)-1.	F7.9)
Для интеграла F7.6) в этом легко убедиться прямой проверкой:
перемножение множителей дает
CJ+^CJ, F7.10)
) В оценках мы будем понимать под и скорость звука, хотя, конечно,
буквальный смысл такое отождествление может иметь смысл только для
длинноволновых акустических фононов.

350	ДИЭЛЕКТРИКИ	ГЛ. VII
а в силу закона сохранения энергии экспоненциальный множи-
множитель в правой части обращается в единицу.
Если бы отсутствовали процессы переброса, то сохранялась
бы не только суммарная энергия, но и суммарный квазиимпульс
фононов. Тогда равновесной являлась бы не только функция рас-
распределения F7.9), но и функции
No= [exp^^X-l],	F7.11)
отвечающие поступательному движению (дрейфу) фононного га-
газа как целого с произвольной скоростью V относительно решет-
решетки. Это утверждение отвечает общим принципам статистики. В
его справедливости можно убедиться и непосредственно: с функ-
функциями F7.11) в качестве Nq в правой части равенства F7.10)
появится еще и множитель
V(k-ki -k2)
обращающийся в единицу для процессов без переброса, когда
k = ki +k2.
Но распределение вида F7.11) приводит, разумеется, к от-
отличному от нуля потоку энергии q. Таким образом, в отсутствие
процессов переброса в кристалле было бы возможно существова-
существование потока тепла при постоянной вдоль всего тела температуре;
другими словами, кристалл обладал бы бесконечной теплопро-
теплопроводностью. Конечная теплопроводность возникает только в ре-
результате существования процессов переброса1).
Для вычисления теплопроводности надо написать кинетиче-
кинетическое уравнение для кристалла с медленно меняющейся вдоль его
объема температурой. Как обычно, ищем функции распределе-
распределения фононов в виде
JV(r, k) = Щ(к) + SN(r, к),	F7.12)
где SN — малая поправка к равновесной функции. Кинетические
уравнения принимают тогда вид
(иУГ)^ = 7(Ш),	F7.13)
где IFN) — линеаризованный интеграл столкновений.
Функции SN должны удовлетворять еще и дополнительному
условию
г) Квантовая теория теплопроводности диэлектриков, основанная на ки-
кинетическом уравнении для фононов, была построена Пайерлсом (R. Peierls,
1929). Им же была впервые указана роль процессов переброса для кинети-
кинетических процессов в твердых телах.

§ 67	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФОНОНОВ В ДИЭЛЕКТРИКЕ	351
означающему, что возмущенные функции распределения долж-
должны приводить к тому же значению плотности энергии решетки,
что и равновесные функции. Как уже было отмечено в § 6, этим
условием по существу устанавливается смысл определения тем-
температуры в неравновесном теле. Что касается других условий,
которые налагались на SN в § 6, то в случае газа фононов (в
отличие от обычного газа) эти условия отсутствуют. Число ча-
частиц в фононном газе вообще не является заданной величиной,
а устанавливается температурой. Суммарный же истинный им-
импульс (не квазиимпульс!) фононов в кристалле автоматически
равен нулю; противное означало бы течение твердого тела, за-
заведомо невозможное для идеальной (без дефектов) кристалли-
кристаллической решетки. Каждый атом в решетке совершает лишь фи-
финитное движение — колебания вблизи узлов решетки; средний
импульс такого движения тождественно равен нулю. Таким об-
образом, поток фононов (связанный с потоком энергии) в твердом
кристалле не сопровождается переносом массы1).
Выпишем в явном виде линеаризованный интеграл столкно-
столкновений F7.6). При этом целесообразно ввести вместо SN новые
неизвестные функции х согласно определению
Х	Х-	(б715)
дои	Т
Проведение линеаризации упрощается, если заметить, что
S^L- = -^*.	F7.16)
1+iV 1 + iVoT	v	У
Напишем выражение в квадратных скобках (например, в первом
интеграле в F7.6)) в виде
V
В вынесенных из квадратных скобок множителях можно прямо
положить N = Nq. Разность же в квадратных скобках дает
где учтено равенство
N01 N02 _ No
N01 + 1 7VO2 + 1 1 + No
) В отличие от жидкости, где импульс фонона является истинным им-
импульсом и поток фононов связан с переносом массы. Движение атомов в
жидкости инфинитно: за достаточное время каждый атом может попасть в
любую точку ее объема.

352	диэлектрики
Таким образом, интеграл столкновений приводится к виду
StN « 1(х) = - / (- y^^(ki,k2;k)iVo(iVoi + l)(iV02 + 1)х
Т J 12 *-^
glg2
— w)(xi + Х2 — х) + У^ г^(к, ki; ks)iVoiVoi(iVo3 + 1)
gigs
' J37"r. F7.17)
Обратим внимание на то, что функция х(к) входит в подынте-
подынтегральные выражения в виде простых сумм ее значений для раз-
различных к (подобно тому, как это было в классическом интеграле
столкновений в газах F.4), F.5)).
Уравнение F7.13) имеет очевидное решение
X = const -ш,	F7.18)
тождественно обращающее в нуль интеграл F7.17) в силу со-
сохранения энергии при столкновениях. Как уже было объясне-
объяснено в § 6, это «паразитное» решение отвечает просто изменению
температуры на малую постоянную величину; оно исключается
наложением дополнительного условия F7.14).
Другое же «паразитное» решение
X = bSV	F7.19)
(<$V — константа), отвечающее малому изменению скорости дви-
движения фононного газа как целого (ср. F.6)), исключается уже
существованием процессов переброса, нарушающих сохранение
суммарного квазиимпульса фонона.
§ 68. Теплопроводность диэлектриков.
Высокие температуры
Уравнение F7.13) позволяет сразу же определить темпера-
температурную зависимость коэффициента теплопроводности диэлек-
диэлектрика при высоких температурах, больших по сравнению с деба-
евской температурой в ~ u/d (Hu/d в обычных единицах).
Максимальное значение энергии фононов во всех ветвях их
спектра порядка величины Э. Поэтому при Г ^> Э энергии всех
вообще фононов о; <Т, причем для основной их массы ио ~ Э.
При этом равновесная функция распределения F7.9) сводится к
Щ « - > 1.	F8.1)

§ 68	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	353
В интеграле столкновений F7.17) температура выносится в виде
множителя Г2; функция w, взятая для частот ио ~ в, не влия-
влияет на температурную зависимость интеграла. В левой же части
уравнения F7.13) производная дЩ/дТ « 1/uj не содержит тем-
температуры. Отсюда заключаем, что
VT ХАТ dNo VT
Y^—, oN = ——-у ^—,
Л Т2 '	ди* Г '
а потому и тепловой поток
1)
Ef cAT dsk VT
J	Bтг)з Т
о
Таким образом, коэффициент теплопроводности обратно
пропорционален температуре:
х~1, Г>в	F8.2)
(в классической теории этот результат был получен Дебаем
(P. Debye)). В анизотропном кристалле направления q и VT,
вообще говоря, не совпадают, так что коэффициент теплопро-
теплопроводности не скаляр, а тензор второго ранга; говоря о его темпе-
температурной зависимости, мы отвлекаемся от этого обстоятельства.
Оценим длину свободного пробега фононов в рассматрива-
рассматриваемой области температур. Согласно элементарному газокинети-
газокинетическому соотношению G.10), и ~ Cvl, где С — теплоемкость
(отнесенная к единице объема), v — средняя скорость носителей
энергии, / — длина их пробега. Теплоемкость кристалла при вы-
высоких температурах постоянна; постоянна и скорость фононов,
которую можно оценить как скорость звука и. Тогда мы видим,
что длина пробега I ~ 1/Г. Длина / должна была бы стать поряд-
порядка постоянной решетки d при температурах настолько высоких,
что амплитуда колебаний атомов тоже стала бы ~ d. Согласно
оценке F7.5), такая температура ~ Ми2, и для длины пробега и
эффективной частоты столкновений v ~ и/1 находим оценки
, Mu2d	T	,-Q Qx
Т '	Mud	V }
Отсюда видно, что / ^ d фактически при всех температурах
ниже точки плавления.
г) Заранее очевидное обращение q в нуль в равновесии формально следует
из обращения в нуль интеграла по d к ввиду нечетности подынтегрального
выражения как функции к: частота о;(к), а с нею и Щ(и) — четные функции
к, а скорость и = дш/&к — нечетная функция. Напомним (см. V, § 69), что
четность функции о; (к) связана с симметрией по отношению к обращению
времени и имеет место при любой симметрии кристаллической решетки.
12 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

354	диэлектрики	гл. vn
В изложенных рассуждениях по существу подразумевалось,
что рассмотренный трехфононный механизм теплового сопро-
сопротивления кристаллической решетки эффективен для всех фоно-
нов. Потоки энергии, переносимой различными группами фоно-
нов, аддитивны, так что аддитивны и их вклады в коэффициент
теплопроводности. Если данный механизм был бы недостаточен
хотя бы для какой-нибудь группы фононов, то тем самым он
был бы вообще недостаточен для обеспечения конечной тепло-
теплопроводности. В этом отношении требуют особого рассмотрения
длинноволновые акустические фононы.
Рассмотрим прежде всего процессы, в которых участвуют
только длинноволновые акустические фононы с малыми квази-
квазиимпульсами сравнимой величины (будем обозначать эти квази-
квазиимпульсы буквами f с соответствующими индексами). Оценим
для таких процессов интеграл столкновений F7.17) в смысле
его зависимости от /. Согласно F6.14), в этом случае функция
wcoffif2 ~ /3. Множители Nq ~ T/uo col/f. Интегрирование
производится в ^-пространстве по объему ~ /3, но E-функция
выделяет внутри этого объема лишь поверхность с площадью
~ /2. Таким образом, найдем, что интеграл столкновений
(в последнем выражении учтено, что согласно определению
F7.15) SNoox/f2)] этот результат можно сформулировать в тер-
терминах эффективной частоты столкновений:
K/W4.	F8.4)
В левой же части кинетического уравнения F7.13) множитель и
не зависит (для акустических фононов) от /, а dNo/дТ со 1//.
Поэтому
SNco—.
Вклад длинноволновых фононов в поток энергии q дается
интегралом F7.4), взятым по объему ~ /3. Но этот интеграл
u	F8-5)
расходится при малых / как 1//. Таким образом, трехфонон-
ные процессы между одними только длинноволновыми акусти-
акустическими фононами привели бы к бесконечной теплопроводности;
для обеспечения конечного теплового сопротивления необходи-
необходимы столкновения этих фононов с коротковолновыми {И.Я. По-
меранчук, 1941).

§ 68	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	355
Пусть коротковолновый фонон с квазиимпульсом к распада-
распадается на длинноволновый акустический фонон f и коротковол-
коротковолновый фонон к — f — b, относящийся к той же ветви спектра
о;(к), что и фонон к (для дальнейших рассуждений существен-
существенна не столько абсолютная величина /с, сколько тот факт, что
к ^> /). Поскольку функция ui(k) периодична в обратной решет-
решетке, то оо (к — f — b) = о; (к — f) и закон сохранения энергии дает
o;(k) =o;(k-f)+u(n)/.	F8.6)
Второй член справа — частота акустического фонона — линейная
функция / (и(п) = o;(f)//) — фазовая скорость звука, зависящая
от направления n = f//. Разложив о;(k—f) по степеням малого f,
переписываем это равенство в виде
f §? = /«(п).	F8.7)
Оно может быть выполнено, лишь если скорость коротковолно-
коротковолнового фонона превышает скорость звука:
u(n).	F8.8)
В этом смысле наиболее «опасна» акустическая ветвь с наиболь-
наибольшей скоростью звука; эту ветвь мы и будем иметь в виду, говоря
об акустических фононах1).
Другие возможности для трехфононных процессов появля-
появляются при наличии точек вырождения в ^-пространстве, в кото-
которых энергии двух или более ветвей фононного спектра совпада-
совпадают (С. Herring, 1954); наличие таких точек (изолированных или
заполняющих линию или плоскость) во многих случаях явля-
является обязательным следствием симметрии кристаллической ре-
решетки. Возникающие в результате возможности иллюстрируют-
иллюстрируются графическим построением, которое мы сначала проведем для
уже рассмотренного случая испускания «сверхзвуковым» корот-
коротковолновым фононом.
При заданном направлении f выберем это направление в ка-
качестве оси х] на рис. 27а сплошная кривая изображает зависи-
зависимость ио(кх) (при заданных ky, kz) для коротковолновых фоно-
нов. Написав условие F8.7) в виде
дои	/ \
х) В изотропном твердом теле одна ветвь акустического спектра отве-
отвечает продольным, а две другие — поперечным колебаниям; скорость про-
продольных звуковых волн больше скорости поперечных волн. В анизотропном
кристалле разделение волн на продольные и поперечные теряет, вообще го-
говоря, смысл. Но в литературе часто называют условно «продольной» ветвь
с наибольшей скоростью звука.
12*

356
ДИЭЛЕКТРИКИ
ГЛ. VII
fu
со >
fu
/l
мы видим, что испускание акустиче-
акустического фонона возможно, если в неко-
некоторой точке кривой ее наклон совпа-
совпадает со скоростью звука. Тогда вбли-
вблизи этой точки частоты cj(k) и о; (k — f)
коротковолновых фононов даются точ-
точками пересечения кривой со штриховой
прямой, проведенной с наклоном и(пх)]
разность ординат этих точек дает ча-
частоту uf.
Если же в некоторой точке кх = кхо
кривые двух ветвей оо(кх) пересекают-
пересекаются, то вблизи такой точки трехфонон-
ный процесс возможен всегда, при лю-
любых наклонах кривых w(kx), независи-
независимо от того, имеет ли место в точке кхо
простое пересечение (рис. 275) или ка-
касание (рис. 27в). При этом оба коротко-
коротковолновых фонона относятся к различ-
различным ветвям спектра.
Оценим эффективное число столк-
столкновений длинноволнового акустическо-
акустического фонона при наличии точек выро-
вырождения. Речь при этом должна идти
о процессах поглощения и испускания
этого фонона — процессы F7.8) (при
распаде такого фонона — процессы
F7.7) — два образующихся фонона бу-
будут также длинноволновыми и мы воз-
возвратились бы к прежней ситуации). Поэтому мы должны оце-
оценить второй член в F7.17), считая, что
OJl^OJs ^ OJCOf —>> 0.
При этом учтем, что woof, NqCoI/f, а остальные множители под
интегралом можно заменить на независящие от / средние значе-
значения, поскольку интегрирование производится лишь в окрестно-
окрестности точек вырождения. Снова введя SNcox//2, получим оценку
зависимости интеграла столкновений от / в виде I(x) ~ v(fMN,
где
v(f) со f f 5[uii(k — f) + u(n)f — ^з(к)] d?k.	F8.9)
Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по поверхно-
поверхности в к-пространстве, определяемой уравнением
Рис. 27
u(n)/-w3(k)=0,
F8.10)

§ 68	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	357
согласно формуле1)
Г	_	Г jo
F8.11)
где интеграл берется по поверхности -F(k) = 0. Тогда получим
F8.12)
где AS(f) — площадь поверхности F8.10), а угловые скобки
означают усреднение по поверхности.
Рассмотрим типичный случай, когда точки вырождения об-
образуют линию в k-пространстве. Тогда при / —>> 0 поверхность
F8.10) стягивается в линию, на которой лежат точки вырожде-
вырождения, а при малых / она представляет собой тонкую трубку, охва-
охватывающую эту линию; зависимость площади AS от / совпадает
поэтому с зависимостью от / диаметра трубки.
Если изоэнергетические поверхности пересекаются на линии
вырождения без касания (см. рис. 275), то расстояние точки к
от точки вырождения зависит от / линейно, так что и AS oof.
Поскольку разность производных в этом случае конечна в точке
пересечения, то
К/)с\э/3.	F8.13)
Интеграл F8.5) расходится теперь уже лишь логарифмическим
образом. Эта расходимость должна устраняться так же, как и в
отсутствие вырождения (см. ниже). Ввиду слабости расходимо-
расходимости она обычно не приводит к существенному изменению закона
F8.2).
Пусть теперь изоэнергетические поверхности имеют в точке
вырождения квадратичное касание. Тогда, как ясно из рис. 27в,
/ пропорционально квадрату расстояния до точки касания. Пло-
Площадь же AS, будучи пропорциональной этому расстоянию, ока-
оказывается со/1/2. Но такова же в этом случае зависимость от / и
разности производных в F8.12), поскольку кривые производных
пересекаются уже без касания. Поэтому в этом случае
v(f)cvf2	F8.14)
и расходимость в теплопроводности не возникает.
) Эту формулу можно сразу получить, если учесть, что
где / — расстояние по нормали к поверхности.

358	диэлектрики	гл. vn
Аналогичным образом можно рассмотреть и другие типы вы-
вырождения 1).
Если точки вырождения в фононном спектре отсутствуют, то
для обеспечения конечной теплопроводности за счет трехфонон-
ных процессов условие F8.6) должно выполняться (хотя бы для
одной ветви спектра о;(к)) при всех направлениях п. В против-
противном случае конечная теплопроводность устанавливается лишь за
счет процессов более высокого порядка (четырехфононных) и за-
закон F8.2) не имеет места. Заметим, что при низких температу-
температурах, когда длина пробега настолько возрастает, что может срав-
сравниться с размерами образца L, расходимость интеграла F8.5)
может обрезаться на / ~ 1/L, что привело бы к зависимости
коэффициента теплопроводности от размеров L.
§ 69. Теплопроводность диэлектриков.
Низкие температуры
При низких температурах (Т <С 0) характер переноса тепла
в диэлектриках радикально меняется. Дело в том, что в таких
условиях число процессов переброса становится экспоненциально
малым, как это ясно из следующих рассуждений.
Сохранение квазиимпульса в трехфононном процессе с пере-
перебросом, выражаемое равенством k = ki + к2 + Ь, требует, чтобы
по крайней мере один из трех квазиимпульсов был велик; пусть
это будет к\ ~ Ъ. Тогда и энергия ио\ ~ в, а вследствие этого
сохранение энергии (ио = ио\ + с^) требует, чтобы была велика
и энергия ио ~ в. Но при Т < 9 большинство фононов имеет
энергию ~ Т, а число фононов с энергиями ~ в экспоненци-
экспоненциально мало. Таким образом, как для процесса распада фонона,
так и для обратного процесса слияния двух фононов числа на-
начальных фононов, а с ними и числа процессов, экспоненциально
малы. Легко заметить, что в этих рассуждениях несущественна
трехфононность процесса. То же самое относится и к процессам
с участием большего числа фононов.
В этой ситуации физическая картина теплопередачи выгля-
выглядит следующим образом. Многочисленные нормальные столкно-
столкновения фононов, сохраняющие суммарный квазиимпульс, приво-
приводят к установлению лишь «внутреннего» равновесия в фононном
газе, который может при этом двигаться относительно решетки
с произвольной скоростью V. Малочисленные же столкновения
с перебросом лишь слабо меняют функцию распределения, но
ими устанавливается определенное (пропорциональное градиен-
) Их исследование см. в оригинальной статье: Herring С. // Phys. Rev.
1954. V. 95. P. 954.

§ 69	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	359
ту температуры) значение V; этим значением в свою очередь
определяется тепловой поток. Покажем теперь, каким образом
эта картина выражается в математическом решении задачи 1).
Запишем кинетическое уравнение в виде
^	F9.1)
разделив в интеграле столкновений части, связанные с нормаль-
нормальными (индекс N) и перебросными (индекс U) столкновениями.
Равновесная функция распределения, отвечающая движению га-
газа как целого со скоростью V, получается из функции Щ()
заменой ее аргумента ио на ио — kV; при малом V имеем
Щ(оо - kV) « JVoM - kV^.	F9.2)
duo
В соответствии с описанной выше картиной ищем решение урав-
уравнения F9.1) в виде
X = Xn + Xu, X7V = kV;	F9.3)
Хи — часть изменения функции распределения, связанная с про-
процессами переброса. Эта последняя часть мала по сравнению с xn-
Если обозначить через vjj и v^ порядки величины эффективных
частот столкновений с перебросами и без них (уи <С ^дг), то
^ ~ *L.	F9.4)
Подстановка в F9.1) приводит к уравнению
^uVT = IN(Xu) + Iu(xn),	F9.5)
где действующие на функции х линейные операторы определя-
определяются выражением F7.17). В F9.5) учтено, что In(xn) = 0, а
член Ijj(xu) опущен как малый; оба же оставленных в правой
части члена одинакового порядка величины при соотношении
F9.4).
Подчеркнем прежде всего, что в пренебрежении процессами
переброса, при отличном от нуля градиенте температуры, кине-
кинетическое уравнение вообще не имело бы решения. Действитель-
Действительно, умножим уравнение F9.5) на к, проинтегрируем по с/3/с/BтгK
и просуммируем по всем ветвям спектра фононов. Поскольку
:) Обратим внимание на то, что однозначное выделение процессов пере-
переброса как малого эффекта достигается именно при обусловленном в § 66 вы-
выборе основной ячейки в обратной решетке, в результате которого все столк-
столкновения между одними лишь длинноволновыми фононами малых энергий
являются нормальными.

360	ДИЭЛЕКТРИКИ	ГЛ. VII
нормальные столкновения сохраняют полный квазиимпульс, то
член In{xu) обратится в результате в нуль, так что остается
У /k(uVT)^^- = У [ыиЫ — .	F9.6)
^J У	' ОТ BтгK ^J иУА 'Bп)з	У '
о	о
В пренебрежении процессами переброса, в правой части этого
уравнения стоял бы нуль, между тем как левая часть заведо-
заведомо отлична от нуля (подынтегральная функция — четная функ-
функция к, поскольку о;(к) — четная, а и = дио/д\а — нечетная функ-
функции); это противоречие и означает отсутствие решения у кине-
кинетического уравнения.
С учетом же процессов переброса равенство F9.6) определя-
определяет неизвестную величину V, входящую в решение F9.3). Для
упрощения записи формул будем считать, что кристалл имеет
кубическую симметрию; тогда в интегралах в F9.6) анизотропия
кристалла не проявляется 1) и равенство F9.6) после подстанов-
подстановки xn из F9.3) принимает вид
C1\7T=-vuf32TV,	F9.7)
где введены обозначения
, h	у fN0,
BтгK' И 39T^j ш BтгK'
\	F9.
J
BтгK
(множитель ^2 выделен для упрощения записи формул ниже).
Равенство F9.7) определяет V, после чего поток энергии вы-
вычисляется как интеграл F7.4), в котором в качестве N надо под-
подставить функцию
duo	и ОТ
Тогда получим q = T/3iV; вместе с F9.7) это дает q = —xVT с
коэффициентом теплопроводности
^	F9.9)
Интересно, что в рассматриваемом случае вычисление ус не тре-
требует решения кинетического уравнения F9.5), а сводится к вы-
вычислению интегралов F9.8).
:) При кубической симметрии всякий тензор второго ранга сводится к
скаляру: аар = A/3)а6ар), а = ааа.

§ 69	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	361
Интегралы fa и fa определяются областью частот ио ~ Т, в
которой находится большинство фононов. Эти интегралы зави-
зависят от Т лишь степенным образом. Поскольку малой энергией
могут обладать лишь акустические фононы, то в ft и fa факти-
фактически достаточно суммировать лишь по трем акустическим вет-
ветвям спектра. Легко видеть, что при этом
fa,fa(X)T3.	F9.10)
Экспоненциальная же зависимость заключена в интеграле
vjj . Его конкретное выражение можно получить с помощью
F7.17). Для процессов переброса имеем
Xni + XN2 ~ Xn = V(ki + k2 - k) = Vb.
Для большинства фононов ио ~ Т и функция распределения
Щ ~ 1; для фононов же с w > Т функция Щ <С 1. Поэтому
множители Щ + 1 ~ 1 и при оценке интеграла могут не учиты-
учитываться. Функции же
содержат множители ехр (—ujjT\ которые могут быть экспонен-
экспоненциально малыми; эти множители и играют определяющую роль
при оценке интеграла.
Таким образом, если интересоваться лишь экспоненциальной
зависимостью vjj от температуры, имеем
f
J
F9.11)
суммирование производится по всем ветвям спектра g, gi, g2 и
по всем возникающим в процессах переброса отличным от нуля
значениям Ь. Уравнение
a;g(k)=Wgl(k1)+a;g2(k-k1)	F9.12)
определяет пятимерную поверхность в шестимерном k, ki-npo-
странстве. Пусть A(g,gi,g2) — минимальное значение ojg(k) на
этой гиперповерхности; поскольку энергии фононов, участвую-
участвующих в процессах переброса, велики, то и эти значения ~ Э. Ка-
Каждый из интегралов под знаком суммы по (g) в F9.11) пропор-
пропорционален ехр [—A(g,gi,g2)/T]. Сохранив лишь наибольший из
них, имеем
(^)	F9.13)
где Amin — наименьшее из A(g,gi,g2).

362	ДИЭЛЕКТРИКИ	ГЛ. VII
Таким образом, мы приходим к результату, что коэффициент
теплопроводности зависит от температуры в основном по экспо-
экспоненциальному закону
^,	F9.14)
причем Amin ~ в (R. Peierls, 1929).
Процессы более высокого порядка, с участием большего чис-
числа фононов, приводят к температурной зависимости такого же
характера, причем А — наименьшее возможное значение энергии
начальных фононов в каждом процессе (или, что то же, половина
наименьшего значения суммарной энергии всех — начальных и
конечных — фононов, участвующих в процессе). В принципе мо-
может оказаться, что это значение меньше, чем для трехфононных
процессов, и тогда вклад процессов высшего порядка в тепло-
теплопроводность может стать преобладающим, несмотря на то, что
предэкспоненциальный множитель, разумеется, уменьшается с
возрастанием порядка процесса.
В отличие от частоты v\j процессов переброса, эффективная
частота z^v нормальных столкновений уменьшается с темпера-
температурой по степенному закону; имея в виду применение в § 71,
определим закон этого убывания.
Нормальные столкновения происходят между акустически-
акустическими фононами с uj ~ T, составляющими большинство. Их ква-
квазиимпульсы к ~ ио/и ~ Т/и. В интеграле столкновений F7.17)
интегрирование производится по поверхности с площадью ~ /с2,
выделяемой E-функцией в объеме ~ /с3. В этой области функции
Щ ~ 1, а функция week3 (согласно F6.14)); поэтому z^vOoT5.
Коэффициент пропорциональности проще всего определить из
условия, что при Т ~ 0 это выражение и оценка F8.3) должны
приводить к одинаковому результату; отсюда
?!!	F9.15)
S4Mud
§ 70. Рассеяние фононов на примесях
В двух предыдущих параграфах подразумевалось, что кри-
кристаллическая решетка — идеальная, без дефектов. Остановимся
теперь на роли, которую может играть в теплопроводности ди-
диэлектрика рассеяние фононов на примесных атомах.
По отношению к длинноволновым акустическим фононам
примесный атом представляет собой точечный дефект решетки.
Характерная особенность рассеяния на таких дефектах состоит
в его упругости (частота фонона не меняется), причем сечение

§ 70	РАССЕЯНИЕ ФОНОНОВ НА ПРИМЕСЯХ	363
рассеяния быстро падает с уменьшением частоты или, что то же,
волнового вектора — как /с4 1).
Интеграл столкновений для рассеяния фононов на примесях
имеет вид
J
G0.1)
Как обычно, первый член в фигурных скобках дает число актов
рассеяния, приводящих (в единицу времени) фонон в состояние
с заданным квазиимпульсом к из состояний с любыми други-
другими значениями к7, отвечающими той же энергии. Аналогичным
образом, второй член дает число актов рассеяния, уводящих фо-
ноны из заданного состояния во все другие. Если примесные ато-
атомы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними
много больше амплитуды рассеяния, то различные атомы рас-
рассеивают независимо и вероятности складываются. В этих усло-
условиях (что и предположено в G0.1)) общее число актов рассе-
рассеяния пропорционально плотности примесных атомов Nup. При
рассеянии в анизотропной среде функция u? (k, k7) зависит от на-
направлений обоих векторов кик7; зависимость же от абсолют-
абсолютной величины к = к1 дается законом week4". В G0.1) положено
u? (k, k7) = U7(k7,k). Напомним, что в борновском приближении
это равенство следует из условия унитарности с учетом малости
амплитуды рассеяния, при пренебрежении членами второго по-
порядка (см. II, § 126). К рассеянию фонона на примесном атоме
борновское приближение, вообще говоря, неприменимо. Но при
низких температурах, когда речь идет о фононах с малыми к,
есть другой источник малости амплитуды рассеяния — ее про-
пропорциональность к2; пренебрегая членами со/с4, снова придем к
требуемому равенству.
Произведения N^N^r в фигурных скобках в G0.1) сокраща-
сокращаются, и после подстановки N = N + SN интеграл столкновений
сразу принимает линеаризованный вид:
StiV = InpEN) = NnpJwENk, - 5Nk)8(u' - ")|^. G0.2)
Вместе с функцией w этот интеграл пропорционален А;4. По-
Поскольку в то же время производная дЩ/дТ со 1/ио со 1/к при
а; < Т, то в этой области частот
SNcok'6.	G0.3)
) Это — общее свойство рассеяния звуковых волн на препятствиях с раз-
размерами, малыми по сравнению с длиной волны (ср. VI, § 76). Ср. также
аналогичную ситуацию для рассеяния длинных электромагнитных воли —
II, § 79.

364	ДИЭЛЕКТРИКИ	ГЛ. VII
С такой ситуацией мы уже встречались в § 68 (ср. F8.4)): зависи-
зависимость G0.3) приводит к расходимости интеграла, определяющего
тепловой поток. Таким образом, само по себе наличие примесей
в кристалле не может обеспечить конечности теплового сопро-
сопротивления диэлектрика.
Это не означает, однако, что примеси вообще не играют роли
в установлении этого сопротивления. Дело в том, что рассея-
рассеяние на примесных атомах не сохраняет квазиимпульс фононов,
и в этом смысле оно может играть роль процессов переброса. В
достаточно чистых образцах может существовать область низ-
низких температур, в которой эффективная частота ^пр рассеяния
на примесях (для фононов с ио ~ Т) занимает промежуточное
положение между частотами нормальных и перебросных фонон-
фононных столкновений:
vn > ^пР > vu-	G0.4)
В таких условиях роль процессов переброса переходит к примес-
примесному рассеянию и формулы F9.6)-F9.8) остаются в силе, если
заменить в них 1ц на /пр. В результате коэффициент теплопро-
теплопроводности определяется формулой F9.9) с иир вместо уц\
*=
=-$
Согласно G0.2), ^ПрСОа;4 ~ Т4. Величины же f3\ и /?2 для аку-
акустических фононов пропорциональны Т3 (см. F9.10)). Поэтому
мы приходим в рассматриваемой ситуации к закону ж col /Т.
§ 71. Гидродинамика фононного газа в диэлектрике
Приближенное сохранение квазиимпульса при условии мало-
малости длины пробега /дг для нормальных столкновений по сравне-
сравнению с длиной пробега 1ц для процессов переброса,
	< 1,	G1.1)
делает систему фононов в кристалле при низких температурах во
многих отношениях подобной обычному газу. Нормальные столк-
столкновения устанавливают внутреннее равновесие в каждом элемен-
элементе объема газа (большом по сравнению с /дг), который может при
этом двигаться с произвольной скоростью V. Если скорость V и
температура Т заметно меняются лишь на расстояниях, больших
по сравнению с /дг (и за времена, большие по сравнению с 1/^дг),
то для них можно получить систему «гидродинамических» урав-
уравнений. Построим их в линейном приближении по скорости V и

§ 71	ГИДРОДИНАМИКА ФОНОННОГО ГАЗА	365
градиенту температуры, которые будем считать малыми величи-
величинами одинакового порядка. Кроме того, для упрощения записи
формул будем снова (как и в § 69) считать, что кристалл имеет
кубическую симметрию.
Одно из искомых уравнений выражает собой закон сохра-
сохранения энергии. Оно получается подстановкой в F7.3), F7.4)
функции распределения F9.2). Интегралы от ш(к\')дЩ/дш и
от cjuNq обращаются в нуль при интегрировании по направле-
направлениям к (ср. примеч. на с. 353). Функция Nq(oo) зависит от коор-
координат и времени только через посредство Т. Пренебрегая членом
с произведением VVT, получим
? + /3iTdivV O,	G1.2)
ot
где
/Зз = д-§,	G1.3)
Eq — равновесная плотность энергии, a f3\ определено в F9.8).
Другое уравнение выражает собой сохранение (приближен-
(приближенное) квазиимпульса. Оно получается из кинетического уравне-
уравнения
— + uVTV = StNN + Sttf N	G1.4)
Ot
подстановкой в него N в виде F9.2), умножением на к, интегри-
интегрированием по $ к и суммированием по сортам фононов. Интеграл
от к St дг N обращается в нуль в силу сохранения квазиимпульса
при нормальных столкновениях. В результате получим
^ + ft VT = -vufoTY	G1.5)
ot
с @2 и vjj из F9.8). Уравнения G1.2) и G1.5) и составляют иско-
искомую систему гидродинамических уравнений для фононного газа
в диэлектрике.
Экспоненциально малый (вместе с v\j) член в правой части
уравнения G1.5) представляет влияние процессов переброса. В
пренебрежении этим членом квазиимпульс сохраняется строго. В
таких условиях в фононном газе могут распространяться незату-
незатухающие волны, аналогичные волнам второго звука в сверхтеку-
сверхтекучей жидкости (В.П. Пешков, 1946). Действительно, исключив V
из G1.2) и G1.5), получим тогда
^1 JL	G1.6)
т. е. волновое уравнение, описывающее распространение колеба-

366	ДИЭЛЕКТРИКИ
ний температуры со скоростью
1/2
Как уже отмечалось, вклады в интегралы /?i, /?2, Рз при низ-
низких температурах возникают в основном только от акустических
ветвей спектра. Для линейных законов дисперсии c<j(k) интегра-
интегралы пропорциональны Г3; при этом скорость G1.7) не зависит от
температуры и имеет порядок величины скорости звука 1).
До сих пор мы подразумевали, что размеры кристалла
неограничены. При низких температурах, когда длина пробега
фононов быстро растет, может стать реальной ситуация, когда
длина пробега становится сравнимой или даже большой по срав-
сравнению с размерами кристалла L. Это относится в первую очередь
к экспоненциально возрастающей длине Ijj.
Рассмотрим теплопередачу в диэлектрике в условиях, когда
Ijj ^> L (это условие будет уточнено ниже), но в то же время еще
In <^i L\ последнее условие позволяет пользоваться уравнения-
уравнениями фононной гидродинамики (J.A. Sussmann, A. Thellung, 1963;
Р.Н. Гуржи, 1964).
Благодаря микроскопическим неоднородностям поверхности
кристалла, отражение фононов от нее происходит обычно беспо-
беспорядочным образом (как говорят, диффузно)\ это значит, что ма-
макроскопическая скорость фононного газа V обращается на гра-
границе в нуль. Но уравнения G1.2), G1.5) не допускают такого
граничного условия; их решениями можно удовлетворить лишь
условию обращения в нуль нормальной к поверхности компонен-
компоненты скорости. Как и в гидродинамике обычных жидкостей, гра-
граничное условие исчезновения тангенциальной компоненты ско-
скорости требует учета вязкости жидкости.
В стационарном случае из уравнения G1.2) имеем div V = 0.
Учет вязкости приводит к появлению в правой части уравнения
G1.5) члена с AV, подобного аналогичному члену в уравнении
Навье-Стокса гидродинамики обычной вязкой жидкости.
В стационарном случае это уравнение принимает вид
;Vr /iAVi^V.	G1.8)
Величина \i имеет размерность см2/с и играет роль кинематиче-
) В изотропной жидкости с фононным энергетическим спектром (сверх-
(сверхтекучий гелий при низких температурах) имеется всего одна акустическая
ветвь, в которой ш = ик. При этом /З1//З2 = и2, /З1//З3 = 1/3 и скорость
второго звука и^ =

§ 71	ГИДРОДИНАМИКА ФОНОННОГО ГАЗА	367
ской вязкости фононного газа1). Ее вычисление требует в прин-
принципе решения соответствующего кинетического уравнения. Для
оценки же по порядку величины можно воспользоваться обыч-
обычной газокинетической формулой, согласно которой
H~lNv~ —.	G1.9)
Размерные эффекты играют преобладающую роль, когда в
уравнении G1.8) можно пренебречь членом v\jV по сравнению с
//AV. Пусть, например, речь идет о теплопередаче вдоль цилин-
цилиндрического стержня с толщиной R. Последняя определяет харак-
характерную длину для изменения скорости V, так что AV ~ V/i?2.
Мы видим, что членом vjj\T можно пренебречь, если \ijFt? ^> vjj.
С оценкой G1.9) это условие записывается как Ijj ^> /эф, где
/эф - у-	G1.10)
In
играет роль эффективной длины пробега фононов в ограничен-
ограниченном теле. Напротив, при /эф ^ Ijj размеры тела несущественны
и справедлив закон F9.14).
Процесс теплопередачи вдоль стержня при Ijj ^ /эф при-
принимает характер пуазейлевского течения вязкого фононного
газа. Его можно характеризовать эффективным коэффициен-
коэффициентом теплопроводности, определяющим плотность потока энер-
энергии как — хэф\7Г, где VT — градиент температуры вдоль стерж-
стержня. Этот поток можно оценить, подставив G1.10) в выражение
<^эф ~ Си1эф. При низких температурах теплоемкость решетки
С ~ Г3. Длина же In ~ u/vn ~ Т~ъ (согласно F9.15)). Поэтому
эффективная теплопроводность
хэф~Д2Т8 при ^!</^<Д;	G1.11)
1и
она убывает с понижением температуры.
Наконец, при еще более низких температурах, когда уже и
длина In ^> Л, столкновения фононов друг с другом становят-
становятся вообще несущественными (подобно кнудсеновской ситуации в
сильно разреженных обычных газах). Роль длины пробега пере-
переходит тогда к размерам тела R и эффективная теплопроводность
хэф - CuR - Г3R	G1.12)
(H.B.G. Casimir, 1938).
) Имея в виду лишь качественное исследование вопроса, мы полностью
пренебрегаем здесь анизотропией кристалла. Следует иметь в виду, что да-
даже при кубической симметрии вязкость описывается не скалярным коэф-
коэффициентом вязкости, а тензором четвертого ранга, имеющим более одной
независимой компоненты.

368	ДИЭЛЕКТРИКИ	ГЛ. VII
§ 72. Поглощение звука в диэлектрике. Длинные волны
Характер поглощения звука в диэлектрическом кристалле су-
существенно зависит от соотношения между длиной волны и дли-
длиной свободного пробега / тепловых фононов. Если длина волны
велика по сравнению с / (// <С 1, где / — значение волнового
вектора звуковой волны), то применима макроскопическая тео-
теория, основанная на уравнениях теории упругости (см. VII, § 35).
Согласно этой теории, коэффициент поглощения звука склады-
складывается из двух членов, определяющихся соответственно тепло-
теплопроводностью и вязкостью среды. Оба члена пропорциональны
квадрату частоты. Наша цель состоит здесь в определении их
температурной зависимости.
Теплопроводностный вклад в коэффициент поглощения зву-
звука выражается, по порядку величины, формулой1)
7тепл~0/^^,	G2.1)
uC2
где а — коэффициент теплового расширения тела, С — теплоем-
теплоемкость единицы объема, р — плотность. При высоких температу-
температурах, Т ^> в, теплопроводность xcol/T, а С и а от температуры
не зависят (см. V, § 65, 67). Поэтому в этой области 7тепл не
зависит от температуры. При низких же температурах темпе-
температурная зависимость 7тепл в основном определяется (в идеаль-
идеальной решетке) экспоненциально возрастающей, при уменьшении
Т, теплопроводностью.
Обратимся к определению вязкостной части коэффициента
поглощения звука (А.И. Ахиезер, 1938).
Производя макроскопическую деформацию кристаллической
решетки, внешнее звуковое поле меняет закон дисперсии фоно-
фононов. Длина волны тепловых фононов мала по сравнению с дли-
длиной волны звука; поэтому по отношению к тепловому фонону
деформацию можно считать однородной, т. е. считать фонон на-
находящимся в решетке, по-прежнему регулярной, но с несколько
измененными периодами. В первом приближении по малой де-
деформации частота (j(k) фонона в такой решетке связана с его
частотой а/0) (к) в недеформированной решетке формулой вида
,/ь.\ 	 №^ (\с\(Л -1-Х ТТ \	(Iе) с)\
где
дха
) Мы пишем, для определенности, коэффициент поглощения на едини-
единице пути. Частотная и температурная зависимости остаются теми же и для
коэффициента поглощения в единицу времени, поскольку оба определения
отличаются лишь постоянным множителем — скоростью звука.

§ 72	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ	369
— тензор деформации (U — вектор смещения). Характеризую-
Характеризующий кристалл тензор \ар зависит, вообще говоря, от к; для длин-
длинноволновых акустических фононов с линейным законом диспер-
дисперсии он не зависит, однако, от абсолютной величины к.
В скобках в G2.2) должен был бы стоять еще и член ви-
вида Л rot U, выражающий собой тривиальное обстоятельство: ес-
если деформация приводит к повороту элемента объема решетки
(rot U т^ 0), то меняется направление осей (обратной решетки),
относительно которых должен определяться квазиимпульс фо-
нона в законе дисперсии; член ArotU выражал бы соответству-
соответствующий пересчет к. Мы не пишем этот члена в G2.2), так как
заранее очевидно, что он не может отразиться на интересующей
нас диссипации энергии в звуковой волне: реальный физический
эффект — диссипация — не может зависеть от вектора rot U,
отличного от нуля уже для простого поворота тела как целого.
Изменение функции распределения фононов, вызванное де-
деформацией решетки, определяется кинетическим уравнением
я -- ¦ ат- ---•>	G2.3)
где St N — интеграл фонон-фононных столкновений F7.6), а
Т — скорость изменения температуры в данной точке кристалла,
неизбежно связанная с деформацией. Обычным образом, линеа-
линеаризуя это уравнение и введя функцию \-> согласно определению
F7.15), сведем его к виду
J^- (\apUap - |) = J(x),	G2.4)
OUJ \	1 /
где 1(х) — линеаризованный интеграл столкновений F7.17). В
левой части производная Со выражена с помощью G2.2); индекс
@) у невозмущенной частоты здесь и ниже опускаем.
Производную Т можно в принципе выразить с помощью того
же тензора \ар. После умножения обеих частей уравнения G2.4)
на о;, интегрирования по k-пространству и суммирования по всем
ветвям спектра фононов правая часть уравнения обращается в
нуль — в силу сохранения энергии при столкновениях. Левая же
часть уравнения дает
где \ар — усредненный по uj2dN^/duj тензор \ар. В обоих пре-
предельных случаях — высоких и низких температур — \ар не за-
зависит от температуры. Действительно, при Т>9в усреднении
существенны фононы с независящим от температуры квазиим-
квазиимпульсом к ~ fcmax ~ 1/^- При Т <С 0 существенны длинноволно-

370	ДИЭЛЕКТРИКИ	ГЛ. VII
вые акустические фононы, для которых \ар не зависит от /с, и
потому усреднение тоже не вносит зависимости от температуры.
Обозначив \afi — \а/з = Aq,^, запишем кинетическое уравнение
в виде
^п	G2.6)
Далее, выведем формулу, определяющую диссипацию энер-
энергии в неравновесном фононном газе. Для этого исходим из вы-
выражения энтропии единицы объема бозе-газа
(см. V, § 55). Продифференцировав это выражение по времени,
находим
/^+l^^	G2.8)
^	N Bтг)з
о
Заменив здесь N интегралом St N (ср. § 4) и произведя опре-
определенные переобозначения переменных k, ki, k2 в двух членах
выражения F7.6), приведем S к виду
+ 1)N2N3 - N^N2 + 1)(N3 + l)]
Умножив это выражение на Т, получим диссипативную функ-
функцию — энергию, диссипируемую в единицу времени в единице
объема. Подставив сюда N = Nq + SN (с SN, представленным в
виде F7.15)) и ограничиваясь первыми, квадратичными, члена-
членами разложения по SN, получим
glg2g3
glg2g3
х (Nqi + 1)Щ2Щ3(х1 -xi- Хз) / чб • G2<9)
Написанных формул достаточно для определения темпера-
температурной зависимости коэффициента поглощения звука. Рассмот-
Рассмотрим сначала область высоких температур.
В этом случае интеграл столкновений 1(х) содержит темпера-
температуру в виде множителя Т (см. начало § 68). В левой же части ки-
кинетического уравнения G2.6) имеем uodN^/duo « —Т/ио, причем

§ 72	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ	371
для основной массы фононов частота о; ~ 6 не зависит от тем-
температуры. Таким образом, найдем, что для этих частот
X ~ -К/зиа(з.
Из выражения G2.9), в котором надо положить Щ « Т/ио ^> 1,
найдем теперь, что диссипативная функция не зависит от темпе-
температуры. То же самое относится и к коэффициенту поглощения,
получающемуся делением диссипативной функции на независя-
независящую от температуры величину — плотность потока энергии в
звуковой волне. Таким образом, при Т ^> 0 вязкостная, как и
теплопроводная части коэффициента поглощения звука не зави-
зависят от температуры.
Для низких температур необходимо прежде всего подчерк-
подчеркнуть принципиальное отличие от задачи о теплопроводности:
конечное значение коэффициента поглощения звука получается
уже в пренебрежении процессами переброса (частота которых
при низких температурах мала). Напомним, что в случае тепло-
теплопроводности отсутствие решения у кинетического уравнения без
учета процессов переброса проявлялось в противоречии, возни-
возникающем при умножении этого уравнения на к и интегрировании
по всему фононному спектру: правая часть уравнения обращает-
обращается в нуль, между тем как левая часть заведомо отлична от нуля
(ср. F9.6)). Для уравнения же G2.6) такого противоречия не воз-
возникает: поскольку его левая часть — четная функция к, то после
умножения на к она становится нечетной функцией и интегриро-
интегрирование по $ к обращает ее в нуль. При этом подразумевается, что
обращается в нуль также и интеграл от члена с оператором про-
процессов переброса — интеграл от к/[/(%). Поскольку это не проис-
происходит автоматически в силу какого-либо закона сохранения, то
тем самым налагается определенное условие на решение кине-
кинетического уравнения — функция х(к) должна быть четной по к
(тогда \<lIjj{x) — нечетная функция; легко видеть, что оператор
/ не меняет четности функции \). Этим требованием устраня-
устраняется произвол, связанный с существованием (в отсутствие про-
процессов переброса) нечетного по к «паразитного» решения вида
X = kEV, и обеспечивается правильный предельный переход к
отсутствию этих процессов.
При Т < 6 основную роль в интеграле столкновений (и в
диссипативной функции) играют фононы с энергией ио ~ Т.
Это — длинноволновые фононы акустических ветвей спектра;
их частоты линейно зависят от к, а потому их к ~ Т/и. Соглас-
Согласно F6.14), для столкновений таких фононов в интеграле F7.17)
функция wcokkik2- Функция распределения Nq зависит только
от отношения со/Т, так что при ио ~ Т имеем Nq ~ 1. Интегри-
Интегрирование производится по d3ki = kfdkidoi, причем по к\ — по

372	диэлектрики
области ~ Т. Каждый множитель /с, fci, /С2 вносит, следователь-
следовательно, в интеграл по множителю Т, а E-функция — множитель 1/Т.
Таким образом, найдем, что весь интеграл в смысле своей зави-
зависимости от температуры оценивается как уТ^. Левая же часть
кинетического уравнения G2.6) при ио ~ Т от температуры не
зависит. Отсюда находим, что для ио ~ Т
После этого аналогичная оценка интеграла G2.9) приводит к
результату, что диссипативная функция, а с нею и вязкостная
часть коэффициента поглощения звука обратно пропорциональ-
пропорциональны Т. Таким образом,
7вязкС\^ при Т«в.	G2.10)
Отсутствие необходимости в процессах переброса приводит к то-
тому, что эта часть коэффициента поглощения возрастает с пони-
понижением температуры лишь по степенному, а не по экспоненци-
экспоненциальному закону.
Использование в изложенном выводе диссипативной функ-
функции позволило избежать вопроса о выражении тензора вязких
напряжений в кристалле через функцию распределения фоно-
нов; нетривиальность этого вопроса связана с тем, что речь идет
о тензоре плотности потока истинного импульса, отнюдь не сов-
совпадающего с квазиимпульсом фононов. Покажем, каким образом
это выражение можно в свою очередь получить из вида дисси-
диссипативной функции.
Для этого снова исходим из интеграла G2.8), представив в
нем на этот раз производную N в виде выражения, стоящего
в левой части кинетического уравнения G2.6). Логарифм же в
подынтегральном выражении переписываем в виде (см. F7.16))
LiVo
В результате находим
G2-п)
где SN = —xdNo/dui (член же с множителем ио вместо х тож-
тождественно обращается в нуль в силу определения \а/з). Вместо
^аC — ^аC — ^аC здесь можно писать просто \ар, так как инте-
интеграл с постоянным множителем \ар обращается в нуль в силу
налагаемого на SN дополнительного условия F7.14).

§ 73	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. КОРОТКИЕ ВОЛНЫ	373
С другой стороны, диссипативная функция (отнесенная к
единице объема) выражается через тензор вязких напряжений
afao как —crfapUaC (CP- VII, § 34). Сравнение с G2.11) приводит,
таким образом, к следующему выражению для тензора вязких
напряжений:
(В.Л. Гуревич).
§ 73. Поглощение звука в диэлектрике. Короткие волны
В обратном случае коротких длин волн, // ^> 1, процесс за-
затухания звуковой волны можно рассматривать как результат по-
поглощения одиночных квантов звука при их столкновениях с теп-
тепловыми фононами (Л.Д. Ландау, Ю.Б. Румер, 1937). Допусти-
Допустимость такого подхода требует, чтобы энергия и импульс тепло-
тепловых фононов были определены достаточно точно: при изменении
в результате поглощения звукового кванта они должны попасть
в область вне квантовой неопределенности, связанной с конеч-
конечностью длины пробега; это условие обеспечивается неравенством
// 3> 1. Фактически такая ситуация может осуществляться лишь
при низких температурах, когда длина пробега становится доста-
достаточно большой.
В первом приближении, т. е. при учете процессов с участием
наименьшего числа фононов, речь идет о трехфононных процес-
процессах:
ki+f = k2, 001+00 = 002,	G3.1)
где о;, f — энергия и квазиимпульс звукового кванта, a wi, ki
и 6^2, k2 относятся к тепловым фононам. Энергии и квазиим-
квазиимпульсы тепловых фононов cji, 002 ~ Т\ fci, k>2 ~ Т/и. Мы будем
предполагать в дальнейшем, что
Нои < Т.	G3.2)
Тогда Со>1, Со>2 и &i, &2 будут велики по сравнению с оо и /.
Как мы видели в § 68, законы сохранения G3.1) могут быть
выполнены лишь, если скорость теплового фонона превышает
скорость поглощаемых (или испускаемых) звуковых квантов. Не
вдаваясь в обсуждение различных возможных случаев, будем
считать, что звуковая волна не является «продольной» (т. е. не
отвечает акустической ветви фононного спектра с наибольшей
скоростью), так что указанное условие может быть выполнено.
Ввиду малости оо и /, начальный и конечный тепловые фононы
относятся, вообще говоря, к одной и той же акустической вет-
ветви фононного спектра; при низких температурах они являются
длинноволновыми.

374	диэлектрики	гл. vn
Вероятности испускания или поглощения фонона в трехфо-
нонном процессе даются формулами F6.9) или F6.11). При этом
числа заполнения Ni = -/V(ki) и N2 = N(k2) даются равновес-
равновесной функцией распределения Планка F7.9). Макроскопическая
же звуковая волна соответствует очень большому числу заполне-
заполнения заданного фононного состояния f; по сравнению с этим чис-
числом единицей можно, конечно, пренебречь. Опустив множитель
7V(f), мы получим вероятность, отнесенную к одному звуковому
кванту.
Таким образом, вероятность поглощения звукового кванта
при его столкновениях с тепловыми фононами со всеми возмож-
возможными значениями ki дается интегралом
Ak1k2fN1(N2 + 1)S(go! + ш - со2)^-.	G3.3)
Вероятность же обратного процесса испускания фонона / все-
всевозможными фононами к2 есть
Akik2fN2(Ni + l)S(u)i +00- оо2)^^.	G3.4)
7B7ГK
Фигурирующая в формулах F6.9), F6.11) функция w написа-
написана, согласно F6.14), в виде Ak\k2f с учетом того, что все три
фонона — длинноволновые (А — функция направлений всех фо-
нонов).
Поглощение фононов (относительная скорость убывания их
числа) определяется разностью этих двух вероятностей. По-
Поскольку частота со мала по сравнению с ио\ и oo2i то
= т-м2 = -^ш.
Таким образом, коэффициент поглощения
Акгк2
G3.5)
Нас интересует зависимость этой величины от частоты зву-
звука о; и от температуры кристалла Т. Она всецело определяется
тем фактом, что все фигурирующие в G3.5) частоты — линей-
линейные функции волновых векторов. Для упрощения рассуждений
достаточно считать, что ио = [//, ио\ = ик\, ио2 = uk2l где U и и —
независящие от направления скорости.
Ввиду малости / можно положить к\ ~ к2. По той ж:е причине
duj\ п г п и п
ио2 — ио\ «	1 = ит cos и = ио— cos с/,
^ki	U

§ 73	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. КОРОТКИЕ ВОЛНЫ	375
где в — угол между f и к. Тогда имеем
5(ио\ + ио — 00%) = —S [1 — — cos в)
ио \ U J
и интеграл G3.5) принимает вид
7 сош [ Ак\ — S (l - - cos в) kfdki dcos в,	G3.6)
J	duo V U	J
или, после устранения E-функции,
4 dN
700 а;
dki
dk\.
Поскольку N\ — функция только от отношения ио\/Т = ик\/Т
(ввиду быстрой сходимости интегрирование по к\ можно рас-
распространить до оо), оставшийся интеграл пропорционален Т4.
Таким образом,
7с^о;Т4.	G3.7)
Отметим, что коэффициент поглощения звука оказывается здесь
пропорциональным первой степени частоты.
Отметим также, что при принятом выше условии G3.2) рас-
рассмотренный механизм затухания звука вполне аналогичен зату-
затуханию Ландау в плазме. Роль «резонансных электронов» в дан-
данном случае играют фононы, движущиеся в фазе со звуковой
волной. Естественно поэтому сходство между G3.6) и формулой
C0.1) затухания Ландау.

ГЛАВА VIII
КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
§ 74. Кинетическое уравнение
для квазичастиц в ферми-жидкости
Кинетическое уравнение для квазичастиц в нормальной
ферми-жидкости уже рассматривалось в другом томе этого кур-
курса в связи с вопросом о распространении колебаний в этой жид-
жидкости (см. IX, § 4, 5); для этих вопросов интеграл столкновений
в уравнении был несуществен. Продолжим теперь изучение ки-
кинетического уравнения, имея в виду его применение к диссипа-
тивным процессам, связанным именно со столкновениями.
Квазичастицы в ферми-жидкости обладают спином 1/2. Со-
Соответственно этому, в общем случае их функция распределения
является матрицей по отношению к спиновым переменным. Но
в широкой категории задач достаточно рассматривать распреде-
распределения, не зависящие от спиновых переменных. В таких случаях
функция распределения сводится к скалярной функции п(г, р),
нормированной так, что ncftp/'Bтг/гK есть число квазичастиц (в
единице объема) с импульсами в интервале d3p и с заданной про-
проекцией спина; это и будет подразумеваться ниже в § 74-76.
Характерное свойство спектра ферми-жидкости состоит в
том, что энергия квазичастиц е является функционалом от
функции распределения. Когда последняя меняется на малую
величину,
гс(г,р) =по(р)+(Ь(г,р)	G4.1)
(по — равновесное распределение), энергия меняется на
<5ф,р) = J f(p,p')8n(r,p')-0^,	G4.2)
где /(р,р7) — функция взаимодействия квазичастиц. Таким об-
образом, распределению G4.1) отвечает энергия квазичастиц
ф,р)=ео(р) + <5ф,р),	G4.3)
где б(р) — энергия, отвечающая равновесному распределению.
Кинетическое уравнение гласит:
+
dt dp дг dr dp

§ 74	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	377
Его характерная особенность состоит в том, что в неоднородной
жидкости левая часть уравнения содержит член с производной
де/дт даже в отсутствие внешнего поля — за счет зависимости е
от координат, вносимой выражением G4.3).
Интеграл столкновений в правой части уравнения G4.4)
имеет вид
Stn=
где n, ni, n7, rii — функции импульсов p, pi, p7, p[ сталкиваю-
сталкивающихся квазичастиц. Закон сохранения импульса при столкнове-
столкновениях предполагается уже учтенным, так что р + Pi = р' + pi;
интегрирование в G4.5) производится поэтому всего по двум (а
не по трем) импульсам. Сохранение же энергии обеспечивается
E-функцией, выписанной в явном виде. Наконец, w — функция
импульсов, определяющая вероятность столкновения. Первый и
второй члены в фигурных скобках определяют соответственно
числа квазичастиц, приходящих в заданное квантовое состояние
и уходящих из него в результате столкновений. Эти члены отли-
отличаются от аналогичных членов в интеграле столкновений больц-
мановского газа множителями A — п), ... Появление этих мно-
множителей связано со статистикой Ферми, в силу которой столк-
столкновения могут привести квазичастицы лишь в еще не занятые
состояния.
К столкновениям квазичастиц в ферми-жидкости борновское
приближение, вообще говоря, неприменимо. Тем не менее вероят-
вероятности прямого и обратного процессов рассеяния можно считать
одинаковыми. Мы рассматриваем величины, уже усредненные
по направлениям спинов квазичастиц. В этих условиях вероят-
вероятность рассеяния оказывается зависящей только от начальных и
конечных импульсов сталкивающихся квазичастиц. Это обстоя-
обстоятельство позволяет применить здесь те же соображения, кото-
которые были использованы в § 2 при выводе принципа детального
равновесия в форме B.8). При этом существенно, что в ферми-
жидкости по-прежнему имеет место инвариантность относитель-
относительно пространственной инверсии. Таким образом, приходим к ра-
равенству
™(р', pi; p, pi) = ™(p, pi; р', pi),
уже использованному в интеграле столкновений G4.5). Функция
w зависит, вообще говоря, от чисел заполнения состояний и тем
самым — от температуры. Но ввиду малости температуры (су-
(существенной для всей теории ферми-жидкости) под w в интегра-

378	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
ле столкновений следует понимать функцию, вычисленную для
Т = 0.
Как и следовало, интеграл G4.5) тождественно обращается
в нуль при подстановке в качестве п равновесной функции рас-
распределения Ферми
по(е)= [exp^ + l].	G4.6)
Действительно, заметив, что
по / е — и \
= ехр —	- ,
1 - no
сразу видим, что в силу закона сохранения энергии имеет место
равенство
	ПрПр!	 _ 	7^0^01		(rj л rj\
A - П0)A - 7101) " A " П0)A - П01) "
Выясним с помощью кинетического уравнения, каким обра-
образом выражаются, в терминах функции распределения, законы
сохранения массы, энергии и импульса ферми-жидкости. Зави-
Зависимость энергии квазичастиц от их распределения придает этому
вопросу определенную специфику.
Проинтегрируем обе части уравнения G4.4) по 2сРр/BтгН)^
(множитель 2 учитывает два возможных направления спина).
В силу сохранения числа квазичастиц при столкновениях, ин-
интеграл от St n обращается в нуль. В левой же части уравнения
интеграл от члена — (дп/др)(де/дг) преобразуем по частям, в
результате чего уравнение принимает вид
— = divi = О,
dt	'
где N — плотность числа квазичастиц,
i = (v>,	G4.8)
a v = де/др — скорость квазичастиц х). Это — уравнение непре-
непрерывности для квазичастиц, так что i — плотность их потока. В
силу совпадения числа квазичастиц в ферми-жидкости с числом
истинных частиц, i есть в то же время плотность потока истин-
истинных частиц, так что i = (р/га).
Произведем теперь с уравнением G4.4) те же операции, пред-
предварительно умножив обе его части на р. Интеграл от р St n обра-
:) Здесь и ниже в этом параграфе символ (...) означает интегрирование
по распределению п:
' J

§ 74	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	379
щается в нуль в силу сохранения суммарного импульса квазича-
квазичастиц при столкновениях. Левая же часть, написанная в вектор-
векторных компонентах, дает
д(Ра) f ( дту_де_ _ &п_де\ 2dsp
dt J а\дх(здр(з дррдхр) BтгПK
Подынтегральное выражение во втором члене переписываем в
виде
д ( де \ . де д f де
РП + ГС—	Р
дха
Интегрирование обращает третий член в нуль, а второй дает про-
производную дЕ/дха от плотности энергии жидкости Е] напомним,
что энергия квазичастиц в ферми-жидкости определяется имен-
именно по вариации внутренней энергии:
5Е= [een^L.	G4.9)
J	B7ГЙK	V	'
Таким образом, получаем уравнение сохранения импульса в виде
где тензор плотности потока импульса
Па/3 = (PavE) + SaE((e) - Е).	G4.10)
Наконец, умножив обе части уравнения G4.4) на ? и проинте-
проинтегрировав, аналогичным образом получим уравнение сохранения
энергии,
где плотность потока энергии
q = (ev).	G4.11)
В равновесии все потоки i, q, П^ обращаются в нуль. По-
Получим для них выражения, линейные по малой поправке 6п в
возмущенном распределении G4.1).
Равновесная функция щ зависит только от энергии квазича-
квазичастицы, причем сама эта энергия отвечает именно равновесному
распределению. Отметив это обстоятельство индексом нуль у ?,
запишем определение G4.1) в более точном виде:
п(г, р) = по(ео) + 8п(г, р).	G4.12)

380	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
Если же выразить щ в функции реальной энергии квазичасти-
квазичастицы ?, то надо написать
щ(?о) =по(е) -Se^-
и тогда возмущенная функция распределения представится в ви-
виде
гс(г, р) = щ(е) + <Уга(г, р),	G4.13)
Bтг/гK
Поскольку в интегралах G4.8)-G4.11) е и v = де/др — уже
реальные энергия и скорость квазичастицы, то достаточно под-
подставить в них п в виде G4.13) и мы сразу же получим
2dsp	[ х~ 2dsp	[	~~ 2dsp
Bтгй)з' ^ J	Bтг*)з' ^
G4.14)
(в последнем выражении использовано также G4.9)). Теперь, ко-
когда выделены члены первого порядка по 5п, в интегралах G4.14)
уже можно, конечно, понимать е как ?о(р)-
Подобно тому, как мы это уже неоднократно делали, пред-
представим дп в виде
5п = -ф^.	G4.15)
В данном случае выделение множителя дщ/де имеет особый
смысл. Возмущение 6п сконцентрировано в зоне размытости рас-
распределения Ферми. В той же зоне заметно отлична от нуля и
производная дщ/де] после выделения этого множителя остаю-
остающаяся функция ф будет уже медленно меняющейся. Наряду с
G4.15) будем писать
8п = -<р?1* = Ml-по)	G416)
где
V = *-ff<*vt)<*gbH',vt)gL.	G4.17)
В нулевом приближении по малому отношению Т/ер функ-
функцию по (е) можно заменить ступенчатой функцией, обрывающей-
обрывающейся на граничной энергии ер. Тогда
^ = -ё(е - eF)	G4.18)
и интегрирование по d3p сводится к интегрированию по ферми-
поверхности е = ер. Элемент объема между двумя бесконечно

§ 74	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	381
близкими изоэнергетическими поверхностями в импульсном про-
пространстве равен
где dS — элемент площади изоэнергетической поверхности. По-
Поэтому интегрирование по d?p преобразуется в интегрирование по
ферми-поверхности формулой
...8{e-eF)d6p= I ... ^,	G4.20)
где vf — значение скорости на ферми-поверхности. В G4.20) еще
не использована сферичность поверхности; на сфере dSp = Pf do
с постоянным pf-
После такого преобразования определение G4.17) принимает
вид
?>(г,р) =^(г,р)+ [ Нр,Рр)Ф(^р'р)-^—,	G4.21)
J	vfFBirh)s
где pf обозначает импульс (с переменным направлением!) на
ферми-поверхности. Выражение потока частиц:
i= [XL^l^Z.	G4.22)
J vF BтгПK	V	J
и аналогично для потока импульса. В потоке же энергии при-
приближение G4.18) заведомо недостаточно: оно свело бы q просто
к конвективному переносу энергии e^i — первому члену в выра-
выражении
4 = eFi- [v(E-eF№<p?%. G4.23)
J де Bтг/гK
Для проведения линеаризации интеграла столкновений надо
заметить, что он обращается в нуль равновесным распределени-
распределением по (б) как функцией реальной энергии б1). Поэтому линеа-
линеаризация осуществляется подстановкой п в виде G4.13), G4.16).
Вычисления производятся подобно тому, как это было сделано
при переходе от F7.6) к F7.17). Пишем выражение в квадрат-
квадратных скобках в G4.5) в виде
гЦгт
_ 1 — п' 1 — п\
и замечаем, что
г П 	 По (f
1 - п 1 - no T'
) Подчеркнем общий характер этого замечания. Оно относится к любому
интегралу столкновений с участием фермиевских квазичастиц, а не только
к интегралу G4.5).

382	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
В результате получим
Stn = 1{ф) = — wnonoi(l — п())A — nfQi)((pf + (p'i — (р -
х die' + e\ - e - e{]d*Pld*p'. G4.24)
Обратим внимание на то, что искомое (при решении кинети-
кинетического уравнения) возмущение функции распределения входит
в интеграл столкновений в виде того же дп, которое фигурирует
и в выражениях потоков G4.14). Если в левой части кинетическо-
кинетического уравнения G4.4) членов с дп вообще не надо учитывать (как в
задачах о вычислении коэффициентов теплопроводности и вяз-
вязкости — см. следующий параграф), то функция взаимодействия
квазичастиц /(р, р7) не фигурирует явным образом в системе по-
получающихся уравнений: уравнения с /-функцией для неизвест-
неизвестного дп такие же, какими они были бы при / = 0 для неизвестно-
неизвестного дп. Другими словами, в таких задачах «ферми-жидкостные»
эффекты не проявляются, и задачи формально тождественны с
таковыми для ферми-газа.
Покажем, что такая же ситуация имеет место и в определен-
определенной категории случаев, когда в левой части кинетического урав-
уравнения должны быть сохранены члены первого порядка по дп.
При независящей от координат функции щ эти члены таковы:
ддп ддп део дпо дде _
dt	дг др др дг
ддп . ддп дп0 д f ., />iX , /ч d3p'
= 	+v	 — v—-— / /(р,р )дп(т, р )	—.
dt	dr	de dr J J V^' * J V ' * J Bтг/гK
С дп из G4.13) они сводятся к виду
ddn	ddn^	(	}
dt	dr	v	J
Если производной по времени можно пренебречь, то и здесь бу-
будет фигурировать только дп.
Эти утверждения сохраняют силу не только для электриче-
электрически нейтральной ферми-жидкости, о которой здесь идет речь, но
и для электронной жидкости в металлах, которая будет рассма-
рассматриваться в следующей главе. Имея в виду этот объект и что-
чтобы не возвращаться вновь к этому вопросу, сделаем уже здесь
несколько дополнительных замечаний.
Если квазичастицы несут электрический заряд — е, то в при-
присутствии электромагнитного поля в производной р = —де/дг
появляется дополнительный член — действующая на заряд ло-

§ 75	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	383
ренцева сила. Соответственно в левой части кинетического урав-
уравнения появляется член
dp J J dp
Электрическое поле обычно предполагается слабым и в члене
—eEidn/dp достаточно положить п = щ. Член же с магнитным
полем обращается тождественно в нуль для функции по (б), за-
зависящей только от е. Но если поле сильное, то может оказаться
необходимым сохранение также и членов первого порядка по 6п.
Эти члены таковы:
_^vBl^ - е- 1"^в1 ^ = --\vS\ (— - ^д5е\
с1 } dp с [ dp \ dp	с1 }\ dp de dp J
(где v = де^/др). В фигурной скобке можно внести множитель
дщ/де, зависящий только от ?, под знак д/др (его производ-
производная направлена вдоль v и дает нуль при умножении на [vB]). В
результате эти члены сведутся к виду
G4.26)
снова содержащему только 5п.
§ 75. Теплопроводность и вязкость ферми-жидкости
Температурные зависимости коэффициентов вязкости и теп-
теплопроводности ферми-жидкости могут быть установлены уже из
простых качественных соображений (И.Я. Померанчук, 1950).
Согласно элементарной газокинетической формуле (8.11), ко-
коэффициент вязкости r\ ~ mNvl, где m — масса частиц, N —
плотность их числа, v — средняя тепловая скорость, / — длина
свободного пробега. В данном случае роль частиц играют квази-
квазичастицы, но, поскольку числа тех и других совпадают, произведе-
произведение mN есть независящая от температуры величина — плотность
жидкости1). Скорость v ~ vpj где vp — независящая от темпе-
температуры скорость на ферми-поверхности. Длина пробега / ~ vpr,
где т — время между столкновениями квазичастиц. Последнее
меняется с температурой как Т~2 (см. IX, § 1), так что и вяз-
вязкость
G5.1)
) Поскольку мы ищем предельный закон зависимости т](Т) при низких
температурах, то для всех величин, стремящихся при Т —»¦ 0 к конечному
пределу, подразумевается, конечно, именно этот предел.

384	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
Коэффициент теплопроводности оценивается по формуле
G.10): ус ~ cNvl, где с — теплоемкость (отнесенная к одной ча-
частице). Для ферми-жидкости сооТ, и потому
H(X)T~\	G5.2)
Для точного определения т\ и ус надо обратиться к кинетиче-
кинетическому уравнению. Наметим, на примере теплопроводности, ход
соответствующих вычислений.
Преобразование левой части кинетического уравнения G4.4)
производится аналогично тому, как это было сделано в § 7 для
задачи о теплопроводности классического газа.
Пусть вдоль жидкости существует градиент температуры,
причем жидкость макроскопически неподвижна. В силу послед-
последнего условия, давление постоянно вдоль жидкости, а распределе-
распределение температуры стационарно. В левой части уравнения G4.4) в
качестве п и е подставляем их локально-равновесные выражения
с меняющейся вдоль жидкости температурой. Тогда де/дг = 0 и
остается лишь член лгдщ/дт (индекс 0 у е и v опускаем). Функ-
Функция п содержит лишь комбинацию (s — li)/T, а поскольку мы
ищем лишь предельные (при Т —>> 0) законы, то химический по-
потенциал /i(T) можно положить равным его значению при Т = 0
(совпадающему с граничной энергией ер). Тогда
дг дТ v	7	Т	Т
и кинетическое уравнение принимает вид
с /(<р) из G4.24). На решение этого уравнения должно быть на-
наложено дополнительное условие, выражающее отсутствие макро-
макроскопического переноса массы:
дп1_^Р_ =0	/754ч
^ де Bтг/гK	V У
В силу этого условия, в потоке энергии G4.23) остается лишь
второй член.
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, система
уравнений G5.3)-G5.5) не содержит явно функции взаимодей-
взаимодействия квазичастиц, так что задача о теплопроводности ферми-
жидкости (и то же самое относится к задаче о вязкости) по фор-
форме совпадает с такой же задачей для ферми-газа.
Определяющую роль во всех интегралах играет область раз-
размытости распределения Ферми, в которой е — /j, ~ T, а импульсы

§ 76	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	385
квазичастиц близки к радиусу ферми-сферы рр] в этой области
е — \i = vp(p — pp). Во всех местах, где импульсы фигурируют не
в виде разности р—рр^ можно положить р = рр, а скорость мож-
можно положить везде равной vp. В частности, это можно сделать в
w, которая становится в результате функцией только от углов,
определяющих относительную ориентацию векторов р, pi, p7,
Рр При заданных р и pi закон сохранения импульса фиксирует
угол между векторами р7 и pj = р + pi — р7; интегрирование
по этому углу устраняет E-функцию в интеграле столкновений.
После этого остаются интегрирования по абсолютным величи-
величинам р\ и р1 (помимо интегрирований по остальным угловым пе-
переменным). Интегрирование по ним заменяем интегрированием
по Т2 du\ du', где и = (е — \i)jT = vp(p — Pf)/T — переменные,
от которых зависят функции распределения щ; ввиду быстрой
сходимости эти интегрирования можно распространить от — оо
до оо. В результате найдем, что весь интеграл 1(ср) пропорцио-
пропорционален Т, а решение уравнения G5.3) будет иметь вид
if = -T-2g(u)vVT.
После подстановки этой функции в G4.23) и интегрирования по
направлениям v тепловой поток примет вид q = — xVT, причем
оо
_ 8ttvfP2f
зт
/
ди
du.
— оо
1-1
Отсюда снова видно, что нсоТ
Указанные выше упрощения интеграла столкновений оказы-
оказываются достаточными для того, чтобы точно решить кинетиче-
кинетическое уравнение (и то же самое относится к задаче о вязкости). В
результате для коэффициентов ус и г/ получаются формулы, вы-
выражающие их через параметры рр и vp и через определенным
образом усредненную по направлениям функцию w1).
§ 76. Поглощение звука в ферми-жидкости2)
Напомним (см. IX, § 4), что характер распространяющихся в
ферми-жидкости волн существенно зависит от величины произ-
произведения а;т, где т — время свободного пробега.
При иот <^ 1 мы имеем дело с обычными гидродинамически-
гидродинамическими звуковыми волнами. Частотную и температурную зависимо-
зависимости коэффициента 7 их поглощения (на единице пути) можно
:) См. Brooker G.A., Sykes J. // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 179.
2) Результаты этого параграфа принадлежат Л.Д. Ландау A957).
13 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

386	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
найти по известной формуле 7 ~ ^2г//(р^3M гДе V ~ коэффици-
коэффициент вязкости, р — плотность жидкости, и — скорость звука (см.
VI, § 77). Поскольку в ферми-жидкости г]ОоТ~2, то
7сх^.	G6.1)
Более формальным образом этот результат можно получить, за-
заметив, что поглощение описывается первым по малому парамет-
параметру поправочным членом в законе дисперсии звука:
к = -A+ъашт)	G6.2)
и
(а — постоянная). Мнимая (при вещественной частоте) часть
этого выражения и дает 75 поскольку тсоТ~2, мы возвращаемся
к G6.1).
При иот ~ 1 поглощение становится очень сильным, так что
распространение звуковых волн невозможно.
При иот ^> 1 снова становится возможным распространение
слабо затухающих волн — так называемый нулевой звук. Его
поглощение описывается поправочным членом в законе диспер-
дисперсии — на этот раз по малому параметру 1/(шт):
(	G63)
Uq \	LOT/
(uq — скорость распространения нулевого звука). Коэффици-
Коэффициент этого поглощения, следовательно, пропорционален частоте
столкновений: 7 ^ 1/т. Последняя в свою очередь пропорци-
пропорциональна квадрату ширины области размытости распределения
квазичастиц. При Нио ^C T эта ширина определяется температу-
температурой, так что 1/тсоТ2 и коэффициент поглощения
j = aT2, Т»Йо;»-.	G6.4)
т
Если же fvuj ^> Т (но в то же время fvuj <^ ер как обязательное
условие применимости всей теории), то распределение размыто
в области шириной ~ tvuj. В этом случае поглощение нулевого
звука
7 = boo2, Ни; > Т.	G6.5)
К этому случаю относится, в частности, нулевой звук всех ча-
частот при Т = 0. Ниже будет показано, что постоянные а и b в
формулах G6.4), G6.5) связаны между собой.
Разница в характере поглощения обычного и нулевого звуков
связана с различием их физической природы. В волне обычного
звука в каждом малом (по сравнению с длиной волны) элементе
объема распределение квазичастиц, в первом приближении, от-
отвечает равновесию при заданных локальных температуре и ско-
скорости жидкости. В этом приближении диссипация отсутствует

§ 76	ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	387
и поглощение звука появляется лишь при учете влияния гради-
градиентов температуры и скорости на распределение квазичастиц. В
волне же нулевого звука уже сами по себе колебания вызыва-
вызывают неравновесность функции распределения в каждом элементе
объема и учет столкновений квазичастиц приводит к поглоще-
поглощению звука.
Согласно основным представлениям теории нормальной
ферми-жидкости, квазичастицу в ней можно рассматривать, в
известном смысле, как частицу, находящуюся в самосогласован-
самосогласованном поле окружающих частиц. В волне нулевого звука это поле
периодично во времени и в пространстве. Согласно общим пра-
правилам квантовой механики, столкновение двух квазичастиц в та-
таком поле сопровождается изменением их суммарных энергий и
импульса соответственно на Ни и на fik] можно сказать, что при
столкновении происходит испускание или поглощение «кванта
нулевого звука» 1). Суммарный эффект таких столкновений при-
приводит к убыванию общего числа звуковых квантов; коэффициент
поглощения звука пропорционален скорости этого убывания.
При таком подходе к вопросу коэффициент поглощения ну-
нулевого звука дается выражением вида
7 = / T^{nin2(l — п/1)A — п2) — щп^! — ni)(l — п2)} х
+ Р2 - Pi - Р2 - Щ X
ч/ d3Pl d3p2 d3p[ d3p'2 (^ааЛ
В подынтегральном выражении выписаны в явном виде 8-
функции, обеспечивающие выполнение законов сохранения энер-
энергии и импульса при столкновениях. Первый член в фигурных
скобках отвечает столкновениям pi, р2 —> р'1? р2 с поглоще-
поглощением кванта, а второй член — столкновениям р'1? р2 —>> pi, p2
с испусканием кванта. Функция W, связанная с вероятностью
«радиационных» столкновений, определяется свойствами волны
нулевого звука; саму эту волну можно рассматривать как рас-
распространяющуюся при Т = 0 (см. IX, § 4), и тогда W не зависит
от температуры2).
В знании функции W, однако, нет необходимости, если по-
поставить себе целью лишь выражение коэффициента поглощения
через его значение в предельном случае Нш <С Т. Для этого заме-
*) Испускание же (или поглощение) «кванта нулевого звука» одной квази-
квазичастицей невозможно, поскольку скорость нулевого звука превышает фер-
миевскую скорость vf-
2) Подчеркнем во избежание недоразумений, что функция W не совпадает
с функцией w в интеграле столкновений G4.5).
13*

388	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
тим, что в интеграле G6.6) существенны значения энергий ква-
квазичастиц лишь в области размытости распределения Ферми. В
этой области сильно меняются в подынтегральном выражении
лишь те множители, которые содержат функции п{е). Кроме то-
того, следует учесть, что угловые интегралы в G6.6) практически
не меняются при переходе от области Нш <Тк области Нш ^> Т.
Ввиду этого будет достаточно вычислить интеграл
J = / {щп2A — щ)A — п2) — щп^! — ni)(l — п2)} х
х 5(е[ + 4 -61-62- М dei de2 de'x de'2, G6.7)
взятый только по энергиям. Коэффициент же пропорционально-
пропорциональности между 7 и J зависит лишь от о;, но не от Т, так что его можно
будет определить по предельному значению 7 ПРИ hu/T <^ 1.
В интеграле G6.7) можно, конечно, пренебречь малым иска-
искажением функции распределения в волне, т. е. положить
Введя обозначения
е —
получим
оо
_ ji3 Г
~ J
7 _ ji3 Г A - e~^)S(x[ + х'2 - Ж1 - ж2 - g) dxi dx2 dx'i dx'2
Ввиду быстрой сходимости интеграла область интегрирования
может быть распространена от — оо до оо.
Для проведения интегрирования переходим к переменным у\,
У2-) и\-) и2) гДе У — х — xf, и = ех. Интегрирование по щ и и2
производится элементарно и дает
оо оо
S(yi +У2+О dm du2 dyi dy2 _
-оо О
oo
dyz _
A-
— oo
oo

§ 77	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	389
Для вычисления получившейся разности двух расходящихся ин-
интегралов вводим предварительно конечный нижний предел —Л
и пишем
ОО	ОО
_ Г y(? + y)dy _ f
J ev-1	J
еу — 1
оо	—Л
/р
	 — /
еУ-1	J
еу — 1
-Л	-Л+?
Имея в виду перейти к пределу Л —>> оо, во втором из стоящих
здесь интегралов пренебрегаем еу в знаменателе. Первый же пе-
переписываем следующим образом:
оо	оо	О
/ydy _ f ydy	f ydy _
еУ-l J еУ-l J еУ-1
-Л	О	-Л
О	Л
тг2 . /	/ у \	7 тг2 . / ydy . Л2
= — + /	(	 — У)	dy = — + / у у + —.
6 J	\1-е-У У)	У 6 J еУ-1 2
-Л	О
Произведя сокращения и переходя после этого к пределу Л —>> оо,
получим окончательно
Коэффициент пропорциональности между j и J определяет-
определяется, как уже указано, требованием, чтобы при ? ^С 1 было 7 — &Т2
из G6.4). Таким образом, находим
В частности, в пределе больших частот, Нш ^> Т, отсюда полу-
получается
7 = _^_(^)^	G6.9)
чем и устанавливается связь между коэффициентами в G6.4) и
G6.5).
§ 77. Кинетическое уравнение
для квазичастиц в бозе-жидкости
Если длина пробега квазичастиц в сверхтекучей бозе-жид-
бозе-жидкости мала по сравнению с характерными размерами задачи,
движение жидкости описывается уравнениями двухскоростной

390	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
гидродинамики Ландау (см. VI, гл. XVI). Диссипативные члены
в этих уравнениях содержат несколько кинетических коэффици-
коэффициентов (коэффициент теплопроводности и четыре коэффициента
вязкости). Вычисление этих коэффициентов требует детально-
детального рассмотрения различных процессов рассеяния, многообразие
которых связано с существованием двух типов квазичастиц —
фононов и ротонов. В реальном жидком гелии ситуация услож-
усложняется еще и неустойчивостью начального участка фононного
спектра. Эти вопросы здесь рассматриваться не будут.
Длины свободного пробега квазичастиц возрастают с пони-
понижением температуры (уже хотя бы из-за уменьшения плотности
числа квазичастиц). Поэтому при достаточно низких температу-
температурах легко возникает существенная неравновесность системы ква-
квазичастиц. В этих условиях уравнения двухскоростной гидроди-
гидродинамики неприменимы. Более того, вообще теряют смысл понятия
температуры и нормальной скорости vn — их можно определить
только по равновесному распределению квазичастиц; вместе с vn
теряет смысл и разделение плотности жидкости на сверхтекучую
и нормальную части. Полная же плотность р и сверхтекучая ско-
скорость vs сохраняют свой смысл, являясь в этом аспекте по суще-
существу механическими переменными. Полная система уравнений,
описывающих сверхтекучую жидкость, должна состоять теперь
из кинетического уравнения для функции распределения ква-
квазичастиц п(?, г, р), уравнения непрерывности для плотности р и
уравнения для скорости vs.
Кинетическое уравнение имеет обычный вид1)
дп дп де дп де с,	/™ -, ч
— +	—	= btn,	G7.1)
dt дтдр дрдт	'	v J
где е' — энергия квазичастицы, зависящая как от параметра от
скорости сверхтекучего движения vs; обозначение е сохраняем
для энергии квазичастицы в покоящейся жидкости. Связь меж-
между ? и е' выясняется следующими рассуждениями.
По определению, е(р) есть закон дисперсии квазичастиц в си-
системе отсчета Ко, в которой vs = 0. Иными словами, при наличии
всего одной квазичастицы энергия жидкости (отсчитываемая от
энергии при Т = 0) есть б(р), а ее импульс совпадает с импульсом
квазичастицы р. Совершим галилеевское преобразование в непо-
неподвижную систему отсчета К, в котором сверхтекучая скорость
равна vs. В этой системе энергия и импульс массы М жидкости
есть
E = e(p)+pvs + Mf, P = p + Mvs.	G7.2)
) Разумеется, предполагается выполненным условие квазиклассично-
квазиклассичности — медленного изменения всех величин на расстояниях порядка вели-
величины длины волны квазичастицы h/p.

§ 77	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	391
Отсюда видно, что в жидкости, совершающей сверхтекучее дви-
движение, энергия квазичастицы есть
е(р) = ф) + pvs	G7.3)
(ср. рассуждения при выводе условия сверхтекучести в IX, § 23).
Таким образом, фигурирующие в кинетическом уравнении
производные г)
де де ,
— = — +vs,
dp dp
де де , 3 ( ч де^ . , _ч
QY	QY	QY	Qp
Во втором равенстве учтено, что энергия е может зависеть от
координат за счет переменной плотности р, от которой е зависит
как от параметра. Учтено также (при преобразовании производ-
производной от pvs), что сверхтекучее движение всегда потенциально,
rotvs = 0.	G7.5)
Уравнение непрерывности для плотности есть
^ + divi = 0,	G7.6)
где i, по определению, есть импульс единицы объема жидкости.
Выражение для i можно найти прямо из второй формулы G7.2),
просуммировав ее по всем квазичастицам в этом объеме:
i = pvs + (p).	G7.7)
Здесь и ниже в этом параграфе угловые скобки означают инте-
интегрирование по импульсному распределению:
<¦¦¦>-/¦¦¦
п-
BтгйK
Остается найти уравнение для сверхтекучей скорости. Для
этого исходим из закона сохранения импульса, выражаемого
уравнением
+
dt
где i дается формулой G7.7), а Па^ — тензор потока импульса.
:) Строго говоря, формула G7.2) выведена для однородного сверхтеку-
сверхтекучего потока, vs = const. В неоднородном потоке в энергии могли бы по-
появиться еще и члены, содержащие пространственные производные от vs. В
предположении медленности изменения vs, однако, эти члены привели бы в
кинетическом уравнении к поправкам высших порядков малости.

392	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
Пусть n^i — значение этого тензора в системе отсчета Kq.
Совершив преобразование к системе К, получим 1)
= Ua/3 + PVsaVsfi + Vsa{pp) + Vs/3(pa) G7.9)
(i(°) = (p) — импульс единицы объема жидкости в системе Kq).
Этим определяется зависимость тензора Пар от скорости vs.
Для дальнейшего преобразования уравнения G7.8) вернемся
к кинетическому уравнению G7.1), умножим его на ра и про-
проинтегрируем по сРр/BтгН)^. Ввиду сохранения суммарного им-
импульса квазичастиц при столкновениях, правая часть уравнения
обратится в нуль. Интеграл же в левой части уравнения преоб-
преобразуем точно так, как это делалось в § 74 (при выводе G4.10)),
и находим
д i v . д I де\ . / де \ п	/771м
т-fc + ^— \Ра— ) + {^— > = 0.	77.10
dt	дх \ др I \ дх I
Подставим теперь в G7.8) выражения G7.7) и G7.9) для i
и Па{з и затем исключим dp/dt и d(p)/dt с помощью G7.6) и
G7.10). В результате получим
dt дха 2 р дх(з р \др/ дха
Из условия rot vs = 0 (учтенного уж:е и во втором члене) следу-
следует, что сумма трех последних членов должна быть градиентом
некоторой функции. Кроме того, тензор П^о в отсутствие квази-
квазичастиц должен быть равен Ро^а/3? гДе Ро(р) ~ давление жидкости
при Т = 0. Из этих требований однозначно следует вид тензора
п(о).
<! = ("¦?)+4ft+'(!)]¦ <77Л1)
Уравнение для vs принимает теперь вид
+ у[^ + ^ + /^\1 =0,	G7.12)
dt	[2 m \др/\	V	J
1) Формулу галилеевского преобразования для Иа/з легко найти, рассмо-
рассмотрев классическую систему частиц, для которой Иа/з = ^2РаУ/з = ^2mvaVf3,
где суммирование производится по всем частицам в единице объема.

§ 77	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	393
где /io — химический потенциал жидкости (при Т = 0), связан-
связанный с давлением Pq термодинамическим соотношением d/jQ =
= mdPo/р (га — масса частицы жидкости, га/р — молекулярный
объем).
Уравнения G7.1), G7.6), G7.12) составляют полную систему
уравнений, описывающих сверхтекучую жидкость в неравновес-
неравновесном состоянии {И.М. Халатников, 1952).
Остановимся еще, для полноты, на законе сохранения энер-
энергии. Он выражается уравнением вида
^	0,	G7.13)
где q — плотность потока энергии жидкости. Согласно G7.2),
(p) + (f,	G7.14)
где Eq(p) — энергия при Т = 0, связанная с химическим потенци-
потенциалом соотношением dE$ = /j,q dp/m. Дифференцируя выражение
G7.14) по времени и используя известные уже уравнения для
всех величин, можно найти плотность потока энергии. Опустив
вычисления, приведем окончательный результат
G7.15)
Равновесная функция распределения квазичастиц в системе
отсчета, в которой «газ квазичастиц» как целое покоится (т. е.
нормальная скорость vn = 0), есть обычное распределение Бозе с
энергией квазичастицы ?, даваемой выражением G7.3). Распре-
Распределение же в системе отсчета, в которой нормальная скорость
отлична от нуля, получается заменой ?на е'— pvn. Таким обра-
образом, равновесное распределение квазичастиц при наличии обоих
движений есть
Путем усреднения полученных выше уравнений по этому рас-
распределению можно получить систему уравнений двухскоростной
гидродинамики (в этом приближении — без диссипативных чле-
членов); мы на этом здесь останавливаться не будем.
Задача
Определить коэффициент поглощения звука в бозе-жидкости при часто-
частотах cj ^> v, где v — частота столкновений квазичастиц. Температура пред-
предполагается настолько низкой, что практически все квазичастицы являются
фононами (Л.Ф. Андреев, И.М. Халатников, 1963).

394	КВАНТОВЫЕ ЖИДКОСТИ
Решение. В рассматриваемых условиях можно пренебречь интегра-
интегралом столкновений в уравнении G7.1). Положим р = р0 + др, п = по -\-дп (где
др, дп — малые поправки к равновесным плотности жидкости и функции
распределения фононов) и линеаризуем уравнения G7.1), G7.6) и G7.12) по
малым величинам Sp, дп, vs. Предполагая все эти величины пропорциональ-
пропорциональными exp (—iuut + гкг), получим уравнения
(kv - ш)дп = |%к f^Sp + рО ,	A)
де \др	)
идр - kvsp = / kp?n^ fxq,	B)
Btt/VK '
, 2$р , Г Г a2sA 0е I dsp
uvs - кщ— = к / i п-—др + —Sn \	.	C)
р	J { dp2	dp J B7T/YK
Здесь использованы термодинамические соотношения
где г^о — скорость звука при Т = 0; индекс Оурип здесь и ниже опускаем.
Ввиду малого числа фононов при температурах вблизи нуля, выраже-
выражения в правых частях уравнений A)—C) представляют собой малые поправки.
Опустив их вовсе, получим из уравнений B) и C)
дрк	. ч
CJ = UqK,	Vs = Uq	.	D)
р к
В следующем приближении подставляем D) в правую часть уравнения A)
и находим
_ дп vcosO f де рио Л	/гЧ
дп =	Ь -— cos в др	E)
де v cos в — и/к \др р	)
F — угол между р и к). Закон дисперсии фононов пишем в виде
е(р) = иорA + ар2), v = — = иоA + Зар2)
др
с учетом следующего, после линейного, члена разложения (для жидкого
гелия при обычных давлениях а > 0, что означает неустойчивость фононов
по отношению к самопроизвольному распаду).
Наличие в E) «резонансного» знаменателя приводит (см. ниже) к появ-
появлению при интегрировании большого логарифмического множителя. Огра-
Ограничившись «логарифмической» точностью, пренебрегаем в правой части
уравнения C) членом с др, не содержащим такого знаменателя. Исключив
затем vs из уравнений B) и C), получим окончательно следующее диспер-
дисперсионное уравнение:
к2	р J cos в — 1 + Зар2 — гО де Bтт/гK '
где
А =
uq dp J
Мнимая часть интеграла по cos в определяется обходом полюса (полюс на-
находится в области интегрирования, если а > 0). Вещественную же часть

§ 77	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	395
вычисляем с логарифмической точностью, обрезая интегрирование снизу
при 1 — cos# ~ ар2 ~ аТ2/ио, а сверху — при 1 — cos# ~ 1. Левую часть
уравнения F) пишем в виде
о (, и0 \
2ио ди	7 5
V и )
где 7 — коэффициент поглощения, а 8и — поправка к скорости звука (и =
= uq + ^гб). Вычисление интеграла приводит к результату
4р	аТ2	Ар
2тг2Г4
где рте = 	 — фононная часть нормальной плотности жидкости. Ча-
стотная и температурная зависимости 7 совпадают, естественно, с найден-
найденными в 8 73.

ГЛАВА IX
МЕТАЛЛЫ
§ 78. Остаточное сопротивление
Кинетические свойства металлов значительно сложнее, чем
у диэлектриков, уже ввиду существования в них квазичастиц
различных родов — электронов проводимости и фононов.
Перенос электрического заряда осуществляется, разумеется,
электронами проводимости. Перенос же тепла осуществляется
как электронами, так и фононами. Фактически, однако, в до-
достаточно чистых металлах электроны играют основную роль и
в теплопроводности, прежде всего — ввиду того, что их ско-
скорость (скорость vf на ферми-поверхности) велика по сравнению
со скоростью фононов (скоростью звука). Кроме того, при низ-
низких температурах электронная теплоемкость значительно боль-
больше фононной.
Электроны проводимости испытывают столкновения различ-
различных типов — друг с другом, с фононами, с примесными атомами
(и другими дефектами решетки). Частота столкновений первых
двух типов убывает с уменьшением температуры. Поэтому при
достаточно низких температурах определяющую роль в кинети-
кинетических явлениях играет рассеяние электронов на примесях. Эту
температурную область называют областью остаточного сопро-
сопротивления. С нее мы и начнем изучение кинетики металлов.
Связь электрического тока j и диссипативного потока энергии
q7 в металле с электрическим полем Е и градиентом температуры
записывается в виде соотношений D4.12), D4.13):
G8.1)
G8.2)
В таком виде они относятся к кристаллам кубической симмет-
симметрии, что и будет предполагаться, для простоты, везде ниже. Для
кристаллов не кубической симметрии коэффициенты а, х, а за-
заменяются тензорами второго ранга. Соотношение G8.2) будет
удобнее использовать, выразив в нем j через Е из первого равен-
равенства:
q' = ааТ (е + V^) - (х + Taa2)VT.	G8.3)

§ 78	ОСТАТОЧНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	397
Все сказанное в § 74 о кинетическом уравнении для ферми-
жидкости в значительной мере остается в силе и для электрон-
электронной жидкости в металле. Роль импульса квазичастиц играет те-
теперь их квазиимпульс, а ферми-поверхность имеет, вообще гово-
говоря, сложную форму, свою для каждого конкретного металла.
Кинетические коэффициенты металла вычисляются в прин-
принципе с помощью линеаризованного кинетического уравнения
де	дг
где v = <Эб/<Эр, а интеграл столкновений линеаризован по иско-
искомой малой функции 8п, определенной согласно G4.13). Диффе-
Дифференцирование по по г можно условно производить при \i = const,
так как градиент \i все равно вошел бы в комбинации еЕ + V/i,
как должно быть согласно G8.1). Тогда
дпо 	 е — ц дпо
~дТ ~ Т ~де
и кинетическое уравнение принимает вид
- (еЕ + ^VT) v^ = 1{5п).	G8.4)
Плотность тока и плотность диссипативного потока энергии да-
даются интегралами
Ш ЧШ G8-5)
(вычисляя q7 как поток кинетической энергии е — /i, нет необхо-
необходимости вычитать из него конвективный перенос потенциальной
энергии срУ).
Характерной особенностью рассеяния электронов проводимо-
проводимости на атомах примесей является его упругость. Ввиду большой
массы атомов и их «привязанности» к решетке, энергию электро-
электрона при столкновении можно считать не меняющейся. Покажем,
что уже одного только предположения об упругости рассеяния
достаточно, чтобы связать простой формулой электро- и тепло-
теплопроводность металла.
Для этого заметим, что оператор^ упругих столкновений не
затрагивает зависимости функции 8п от энергии е\ столкнове-
столкновения лишь перемещают частицы по изоэнергетической поверхно-
поверхности. Это значит, что любой множитель в 5п, зависящий только
от ?, может быть вынесен из-под знака /. В свою очередь это
позволяет искать решение кинетического уравнения в виде
G8.6)

398	МЕТАЛЛЫ
где 1(р) удовлетворяет уравнению
/A) = -v.	G8.7)
Вычисленная по распределению G8.6) плотность тока
j = -e/{e(El)v + !_?Avr)v} |^.	G8.8)
Из первого члена находим тензор проводимости
оа, = -е J valp — ^.	G8.9)
В кристалле кубической симметрии аар = а5ар, так что прово-
проводимость
3 J де BтгЙK
или, преобразовав интеграл согласно G4.18)-G4.20),
2е2
G8Л0)
Интегрирование в Jp производится по всем листам ферми-
поверхности в пределах одной элементарной ячейки обратной
решетки.
Аналогичным образом, из второго члена в G8.8), сравнив его
с G8.1) находим
ао
= 21 /"
ЗТ J
7 де BтгйK'
где обозначено г/ = е — /i. Интегрирование по с/3]э заменяем ин-
интегрированием по изоэнергетическим поверхностям r\ = const и
интегрированием по г/. Введя снова обозначение J из G8.10), име-
имеем
2б / дт1с\
аа = — / J?7	ofr?.	G8.11)
ЗТ J дг]
Функция
экспоненциально убывает при г/ —>• =Ьоо; поэтому интегрирование
по г/ можно распространить от — оо до оо. Интеграл определяется
в основном областью \tj\ ~ T; величина ж:е J(?7) существенно
меняется лишь на интервале r\ ~ \i ^> Т. Поэтому достаточно
положить
т т I dJ
J tt JF + Tj	.
d

§ 78	ОСТАТОЧНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ	399
При подстановке в G8.11) интеграл от первого члена обращается
в нуль ввиду нечетности подынтегрального выражения по г/, а
второй член дает
ОО	ОО
OLO =
2е dJ о /	2driQ , 8e dJ f
ЗТ c?sf У	^ ЗТ dsF J
о	о
Интеграл
+ 1 12
О
использовав также G8.10), получим
Зе
По порядку величины |а| ~ Т/(еер).
Полож:им теперь Е = 0 и вычислим поток энергии. Снова
использовав кубическую симметрию, находим
q' =
ЗТ
—оо
Здесь достаточно положить J = Jp, после чего получим
q
Сравнив это выражение с G8.3) и G8.10) мы видим, что
, гг 2 тг2сгТ
Н+Таа =-^-
Указанная выше оценка а показывает, что член Too? в левой ча-
части равенства мал по сравнению с его правой частью в отноше-
отношении (Т/ерJ. Пренебрегая им, находим окончательно следующее
соотношение между тепло- и электропроводностью:
х=— а	G8.13)
Зе2	v }
— закон Видемана-Франца г).
:) Формула вида G8.13) была получена качественно Друде (P. Drude,
1900), впервые сформулировавшим представление об электронах проводи-
проводимости, участвующих в тепловом равновесии металла. Количественный вы-
вывод в классической статистике был дан Лоренцем (Н.А. Lorenz, 1905), а в
статистике Ферми — Зоммерфельдом (A. Sommerfeld, 1928).

400	МЕТАЛЛЫ
Снова подчеркнем, что в выводе этого соотношения использо-
использована лишь упругость рассеяния электронов проводимости. Про-
Проследив за выводом, легко также заметить, что предположение
кубической симметрии лишь упрощало запись формул. В об-
общем случае произвольной симметрии кристалла такая же связь
G8.13) имеет место между тензорами кар и аа^.
Для определения температурной зависимости каждого из ко-
коэффициентов хиав отдельности надо выписать интеграл столк-
столкновений. Для столкновений с примесными атомами он имеет вид,
вполне аналогичный интегралу G0.3) для рассеяния фононов на
примесях:
Stn = Nnp f'w(p,p')[n'(l-n)-n(l-n')}5(s-e')-0^. G8.14)
Множители 1 — n или 1 — nf учитывают принцип Паули — пере-
переход может произойти лишь в незанятые состояния; множители
же п! или п учитывают, что рассеяние может иметь место лишь
из занятого состояния. Как и в G0.3), в интеграле G8.14) под-
подразумевается, что примесные атомы расположены хаотически, а
среднее расстояние между ними много больше амплитуды рас-
рассеяния; тогда различные атомы рассеивают независимо. В инте-
интеграле G8.14) уже использовано равенство г^(р,р7) = г^(р;,р). К
рассеянию электронов проводимости на примесных атомах бор-
новское приближение, вообще говоря, неприменимо. Написанное
равенство можно обосновать соображениями, использованными
при выводе принципа детального равновесия в форме B.8). При
этом, однако, подразумевается, что положения, занимаемые ато-
атомами примеси в решетке металла, обладают симметрией, допус-
допускающей инверсию.
Линеаризация интеграла столкновений сводится к замене
разности п'A — п) — пA — п') = п' — п на 5п' — 5п. Уравнение
G8.7) принимает тогда вид
Nap I w(p,p')(V - 1Ще - е')^ = -v.	G8.15)
Это уравнение не содержит температуры. Поэтому не будет
зависеть от температуры и его решение g(p), а согласно G8.10) и
проводимость а. Таким образом, при достаточно низких темпе-
температурах, когда рассеяние на примесях является основным ме-
механизмом электрического сопротивления, сопротивление стре-
стремится к постоянному (остаточному) значению. Соответственно
в этой области теплопроводность ус пропорциональна Т1).
1) В этих рассуждениях подразумевается, что уравнение G8.15) не содер-
содержит быстро меняющихся вблизи е = ?f величин, что позволяет заменить в
G8.9) 1 на If- Это действительно так для рассеяния на обычных примесях,
но не на парамагнитных атомах.

§ 79	ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	401
Для грубой количественной оценки остаточного сопротивле-
сопротивления можно воспользоваться элементарной формулой D3.7), по-
положив в ней (для электронов в металле) р ~ рр:
a^e27V—,	G8.16)
PF
где N — плотность электронов. При рассеянии на примесях дли-
длина свободного пробега / ~ l/(Nupat), где at — транспортное се-
сечение рассеяния. Поэтому остаточное сопротивление рост = 1/сг,
Nnp(JtPF	/70 1 Г7\
Рост ~ eP2jV ¦	G8.17)
К сказанному в этом параграфе надо сделать еще следующее
замечание. Общее условие применимости кинетического уравне-
уравнения для ферми-жидкости требует, чтобы квантовая неопреде-
неопределенность энергии электрона была мала по сравнению с шириной
(~ Т) зоны тепловой размытости распределения Ферми. Указан-
Указанная неопределенность ~ /i/т, где т ~ l/vp — время свободного
пробега. Для рассеяния на примесях / ~ 1/GУпрсг^), неопределен-
неопределенность Н/т не зависит от температуры и тем самым размывает
ферми-границу даже при Т = 0. На первый взгляд отсюда сле-
следует, что все проведенное выше рассмотрение ограничено очень
жестким условием
,	G8.18)
зависящим от концентрации примесей. В действительности, од-
однако, такое ограничение отсутствует (Л.Д. Ландау¦, 1934).
Дело в том, что ввиду закрепленности положений примесных
атомов и упругости рассеяния электронов на них, вся задача о
вычислении электрического тока может быть сформулирована в
принципе как квантовомеханическая задача о движении электро-
электрона в некотором заданном сложном, но потенциальном внешнем
поле. Для состояний электрона, определенных как стационарные
состояния в этом поле, энергия не имеет неопределенности; при
Т = 0 электроны будут заполнять область состояний, ограни-
ограниченную резкой ферми-поверхностью — но не в импульсном про-
пространстве, а в пространстве квантовых чисел движения в этом
поле. В такой постановке задачи условия типа G8.18) вообще не
возникают.
§ 79. Электрон-фононное взаимодействие
В достаточно чистых металлах основным механизмом уста-
установления равновесия в широком диапазоне температур является
взаимодействие электронов проводимости с фононами.

402	МЕТАЛЛЫ
Условие возможности испускания (или поглощения) фонона
электроном требует, чтобы скорость электрона превосходила ско-
скорость фонона — ср. аналогичный вывод в § 68 для испускания
фонона фононом. Но скорость электронов у ферми-поверхности
обычно велика по сравнению со скоростью фононов, так что это
условие выполнено и основной вклад в электрон-фононный ин-
интеграл столкновений вносят именно указанные «однофононные»
процессы.
С учетом этих процессов интеграл столкновений име-
имеет следующий вид, аналогичный фонон-фононному интегралу
F7.6) !):
St
¦/•
j37
G9.1)
Первый член отвечает процессам испускания фонона с квазиим-
квазиимпульсом к электроном с заданным квазиимпульсом р и обратным
процессам поглощения фонона к электронами р7 с восстановле-
восстановлением квазиимпульса р:
p = p' + k + b;	G9.2а)
в этих процессах переходы осуществляются между электронным
состоянием с заданной энергией ?р и нижележащими (по энер-
энергии) состояниями. Второй же член отвечает процессам поглоще-
поглощения фонона электроном р и обратным процессам его испускания
электронами р7:
р + к = р' + Ь;	G9.26)
в этих процессах переходы осуществляются между заданным и
вышележащими электронными состояниями. По тем же причи-
причинам, что и для испускания фонона фононом в § 66, значение b в
равенствах G9.2) однозначно определяется заданием значений к,
р и требованием, чтобы р7 оказалось в той же выбранной ячейке
обратной решетки. E-функционные множители в G9.1) выража-
выражают закон сохранения энергии; ер — энергии электронов, о;к —
энергии фононов. Как и в гл. VII, функция распределения (числа
заполнения состояний) фононов обозначена через 7Vk; функция
В § 79-83 используется система единиц, в которой h = 1.

§ 79	ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	403
же распределения электронов обозначается через пр. Индексы,
указывающие ветвь фононного спектра (и знаки суммирования
по ним), мы для краткости не выписываем. Предполагается, что
вероятности переходов не зависят от спина электрона, не меня-
меняющегося при переходе.
Аналогичным образом записывается фонон-электронный ин-
интеграл столкновений, который должен быть добавлен к фонон-
фононному интегралу в правой части кинетического уравнения
для функции распределения фононов:
Г	f
J
°~% G9.3)
причем р = р7 + k + b. Этот интеграл — разность между чис-
числом фононов к, испускаемых электронами со всеми возможными
квазиимпульсами р, и числом фононов, поглощаемых электрона-
электронами со всеми возможными р7. Множитель 2 учитывает два воз-
возможных направления спина излучающего (или поглощающего)
электрона.
В первом порядке теории возмущений фигурирующие в этих
интегралах вероятности испускания и поглощения фонона элек-
электроном определяются оператором электрон-фононного взаимо-
взаимодействия, линейным по фононным операторам Us(n) F6.2); ли-
линейность отвечает тому, что эти операторы ответственны за пе-
переходы с изменением на 1 всего одного из чисел заполнения фо-
нонных состояний. Не повторяя вновь изложенных в § 66 рас-
рассуждений, укажем, что в пределе стремящегося к нулю квази-
квазиимпульса фонона к вероятность испускания (или поглощения)
фонона пропорциональна первой степени к:
w(X)k.	G9.4)
Согласно общему свойству вероятностей перехода в борнов-
ском приближении, вероятности прямого и обратного переходов
одинаковы; поэтому1)
w(pt,k;p)=w(p;p',k).	G9.5)
Это свойство уже учтено в интегралах G9.1) и G9.3).
Дальнейшее упрощение достигается при учете симметрии
(выраженной вещественностью операторов Us), с которой опе-
операторы рождения и уничтожения фононов входят в оператор
1) Напомним, что квантовые числа начального (г) и конечного (Л состо-
состояний в обозначениях вероятностей перечисляются везде в порядке /г.

404	МЕТАЛЛЫ
электрон-фононного взаимодействия. В силу этой симметрии, ис-
испускание фонона с квазиимпульсом к эквивалентно поглощению
фонона с квазиимпульсом —к. Учтем также близость энергий
электрона ер и ?р/ к фермиевской энергии ер. Пусть рр и р7^ —
векторы, проведенные в направлениях рир'и оканчивающиеся
на ферми-поверхности. Пусть функции w выражены в зависимо-
зависимости от направлений рр, р^ и разностей г/р = ер — ер, г/р/ = ер/ —
— ер, характеризующих степень близости энергии электрона к
ер. Относительно последних переменных w является медленной
функцией, заметно меняющейся лишь на интервалах ~ ер ^> Т.
Пренебрегая величинами ~ г] ~ Т, можно положить в этих функ-
функциях г/р = г/р/ = 0. Тогда указанная выше эквивалентность вы-
выразится равенством
™(Pf> k5 Pf) = w(p'f5 pF, -k),	G9.6)
причем w являются функциями только от направлений рр и р7^.
Если теперь переобозначить во втором члене в G9.1) переменную
интегрирования к —>• —к, то коэффициенты w в обоих интегра-
интегралах станут одинаковыми; поскольку o;_k = o;k, то переобозначе-
переобозначение приводит лишь к замене N^ на -/V_k-
Интегралы G9.1) и G9.3) обращаются, конечно, в нуль равно-
равновесными функциями распределения электронов и фононов. Ли-
Линеаризация этих интегралов при малых отклонениях от равно-
равновесия производится одновременно по обеим функциям распреде-
распределения, которые представляем в виде
п = щ(е) + 8п, N = Щ(ои) + 5N,
^ = -|^^=ПоA-По)^	G9.7)
SN- дк No(l + No)
диА	т А'
Преобразование производится вполне аналогично тому, как это
делалось в § 67 и 74. Так, выражение в фигурных скобках в
первом члене в G9.1), переписанное как
приводится к виду
Это выражение целесообразно преобразовать дальше, восполь-
воспользовавшись равенством
по(е)[1 - по(е')] = К(е) - по(е')]^о(е - е'),	G9.8)

§ 79	ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	405
которое легко проверить прямым вычислением. Тогда получим
(по - nb)*oA + *°V - Ч> + х) = -f>o -
Таким же образом преобразуются остальные члены, и в резуль-
результате получим следующие линеаризованные интегралы столкно-
столкновений:
= - / ^7^(no ~
dsk
G9.9)
dNo f
= ~&7 /
- ep> -
2d3
G9.10)
причем в обоих р = р7 + к + b.
Эти интегралы естественным образом разбиваются на две ча-
части — линейные интегральные операторы, действующие соответ-
соответственно на функции if и х- Так,
^+1^рН(х).	G9.11)
Отметим важное свойство оператора ге К: он не меняет четности
функции (^(r/,pi?) по переменной г/, т. е. оставляет четную функ-
функцию четной и нечетную — нечетной. Действительно, в смысле
своего воздействия на функцию от г/ оператор Ie h имеет вид
где
K(V,V') = Mr/) - no(V)][S(V -т/-ш)- S(r/ -v- ш)].
Заметив, что
no(^) = I[l-thi]	G9.12)
и поэтому
щЫ) - Mv) = " fth S- - th -^-1 ,
UVM UV/; 2 L 2T	2TJ '
мы видим, что

406	МЕТАЛЛЫ
откуда непосредственно следует указанное выше свойство опера-
оператора. Это свойство будет использовано в § 80, 82.
Интегралы столкновений G9.9), G9.10) обращаются тожде-
тождественно в нуль функциями
if = const • ?, х — const • ио	G9.13)
(с одинаковыми коэффициентами const). Это «паразитное» ре-
решение кинетического уравнения соответствует (как и решение
F7.18) в фонон-фононном уравнении) изменению температуры
системы на малую постоянную величину. Но интегралы G9.9-10)
обращаются в нуль также и постоянной
ер = const	G9.14)
при х = 0- Это решение связано с постоянством полного числа
электронов (в отличие от полного числа фононов); с формальной
точки зрения оно отвечает изменению химического потенциала
электронов на малую постоянную величину.
Для дальнейших количественных оценок напомним, что по-
порядки величины параметров электронного спектра в металле
выражаются лишь через постоянную решетки d и эффектив-
эффективную массу электрона т*; так, фермиевский импульс (обыч-
(обычные единицы) рр ~ H/d, скорость vp ~ pf/гп* ~ H/(m*d),
энергия ?р ~ vfPf ~ fi2 /{m*d2). Параметры фононного спек-
спектра и электрон-фононного взаимодействия содержат еще и мас-
массу атомов М. Плотность вещества р со М, а скорость звука
иоор~1'2ооМ~1'2] дополнив до нужной размерности с помощью
величин Н, с/, 771* (что можно сделать лишь одним способом), по-
получим оценку
/
$)	G9Л5)
Отсюда дебаевская температура
e
Ни	(т*\ '	(П(\ л п\
~Г ~?F[ — ) •	G9.16)
d	\M J
В оператор же электрон-фононного взаимодействия масса М
входит только через операторы смещения атомов Us F6.2); ни-
никакой другой малости по 1/М это взаимодействие не содержит —
его энергия становится ~ ef, когда Us ~ d. Матричные элемен-
элементы операторов Us, а с ними и матричные элементы оператора
электрон-фононного взаимодействия, со{Мио)~1'2ооМ~1'^ (при
заданном квазиимпульсе к частотам ~ икооМ~1/2). Вероятность
же рассеяния определяется квадратом матричного элемента. По-
Поэтому функция w в интеграле столкновений пропорциональна

§ 80	МЕТАЛЛЫ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	407
М/2, или, дополнив до требуемой размерности,
w ~ GvFd2.	G9.17)
Эту оценку надо изменить в случае, если речь идет об испус-
испускании или поглощении длинноволнового акустического фонона.
Тот факт, что в таком случае w пропорциональна /с, означает, что
в оценку надо ввести дополнительный множитель fc/A;max ~ kd:
w ~ GvFkd3.	G9.18)
§ 80. Кинетические коэффициенты металла.
Высокие температуры
При высоких температурах, Т ^> Э, в кристалле возбуждены
фононы со всеми возможными квазиимпульсами, вплоть до мак-
максимальных, совпадающих по порядку величины с фермиевским
импульсом электронов: А;тах ~ рр ~ 1/d. По самому опреде-
определению дебаевской температуры, максимальная энергия фононов
o;max ~ 0 и, таким образом, для всех вообще фононов ио <^Т.
Таким образом, в рассматриваемых условиях энергии фоно-
фононов малы по сравнению с шириной области размытости ферми-
евского распределения электронов. Это позволяет приближенно
рассматривать испускание или поглощение фонона как упругое
рассеяние электрона. Углы же рассеяния отнюдь не малы, по-
поскольку квазиимпульсы электронов и фононов в рассматривае-
рассматриваемых условиях одинакового порядка величины.
При высоких температурах, когда числа заполнения фо-
нонных состояний велики, установление равновесия в каждом
элементе объема фононного газа (фонон-фононная релаксация)
происходит очень быстро. По этой причине при рассмотрении
электро- и теплопроводности металла можно считать фононную
функцию распределения равновесной, т. е. положить в интегра-
интегралах столкновений х — 0 (к количественной оценке х мы вернемся
еще в конце параграфа). Другими словами, достаточно рассма-
рассматривать кинетическое уравнение лишь для электронов.
Сразу же отметим, что в приближении, предполагающем
упругость рассеяния электронов, остаются в силе полученные в
§ 78 результаты, основанные лишь на этом предположении. В том
числе остается справедливым закон Видемана-Франца G8.13),
определяющий отношение а/к. Для определения же темпера-
температурной зависимости каждого из коэффициентов а и к по от-
отдельности надо более детально рассмотреть электрон-фононный
интеграл столкновений G9.9).
В рассматриваемых условиях этот интеграл сильно упроща-
упрощается. Ввиду малости энергии фонона ио = =Ь(?7 — б), можно раз-

408	МЕТАЛЛЫ
дожить разность п$ — щ по ее степеням 1):
n0 — no ~ ±uo	.
После этого в аргументах E-функций можно уже положить ио = 0;
тогда
/	\	U К
1 — ш)ио	.
^ Bтг)з
При ио ^Т функция распределения фононов TVq ^ Т/оо, так что
дЩ/доо w —Т/ио2. Производная же дщ/де ~ —1/Т. Интеграл
определяется областью значений А; ~ fcmax, в которой о; ~ в. С
учетом E-функций интегрирование по с/3А; вносит в оценку инте-
интеграла множитель
Используя оценку G9.17), находим отсюда
(80.1)
Это значит, что частота электрон-фононных столкновений
ve,rph ^ Т (Т/Н в обычных единицах), длина пробега / ~ vp/T
и из G8.16) находим для электропроводности (обычные едини-
ЦыJ):
о ~ Щ.	(80.2)
гп*Т
Таким образом, электропроводность металла при Т ^> в
обратно пропорциональна температуре. Из закона Видемана-
Франца следует тогда, что коэффициент теплопроводности по-
постоянен:
х ~ —.	(80.3)
т*
:) Учет ио в этой разности не противоречит принятому приближению —
упругости рассеяния электронов. Он понадобился ввиду того, что при при-
приведении интеграла столкновений к виду G9.9) было использовано равенство
G9.8), правая часть которого становится при е = е' неопределенной.
2) Заметим, что квантовая неопределенность энергии электронов,
~ fcve^ph ~ T, оказывается порядка величины ширины области размытия
их распределения. Это обстоятельство, однако, не нарушает применимости
полученных результатов по причине, аналогичной той, которая была объяс-
объяснена в конце § 78 в связи с рассеянием на примесях. Ввиду относительной
медленности колебаний атомов в решетке и упругости рассеяния электро-
электронов, задача может быть в принципе сформулирована как задача о движении
электронов в заданном потенциальном поле деформированной решетки.

§ 80	МЕТАЛЛЫ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	409
Оценим теперь поправочные функции ср и х в распределени-
распределениях электронов и фононов с целью оправдания пренебрежения х
в интеграле столкновений. Сделаем это, например, для случая
наличия электрического поля при равном нулю градиенте тем-
температуры.
Поскольку электрическое поле не влияет на движение фоно-
фононов, левая часть кинетического уравнения для фононов равна
нулю. Уравнение сводится поэтому к равенству нулю суммы ин-
интегралов столкновения фононов с электронами и друг с другом:
$>) + 7?е(х) + W/Дх) = 0	(80.4)
(индексы A) и B) отличают две части интеграла G9.10) подобно
тому, как это сделано в G9.11)).
Интеграл Iph,e оценивается подобно тому, как это сделано вы-
выше для интеграла 1е^н- При этом, однако, надо учесть, что инте-
интегрирование по квазиимпульсам электрона р производится фак-
фактически лишь вблизи ферми-поверхности по объему слоя тол-
толщины ~ T/vp и площадью ~ p2F. Наличие E-функции вносит в
оценку интеграла еще множитель 1/ifF- В результате получим
Интеграл же фонон-фононных столкновений оценивается как
т
lph,ph\X) ^ ~l/ph,phV + \ ~ ~l/ph,ph~^X
с эффективной частотой столкновений из F8.3):
Т
F " Mud	V М
Таким образом,
IphMx) ~ -S\/?x ~ ~Х-	(80.6)
КУ у 1VL	\У?р
Сравнив (80.5) и (80.6), мы видим, прежде всего, что
— эффективная частота фонон-электронных столкновений (при
равновесных электронах, т. е. при ср = 0) мала по сравнению
с частотой фонон-фононных столкновений. По этой причине в

410	МЕТАЛЛЫ
уравнении (80.4) можно пренебречь вторым членом. Сравнение
же двух оставшихся членов приводит к результату
* ~ | « 1,	(80.7)
чем и оправдывается пренебрежение функцией \ в электрон-
фононном интеграле столкновений. Тот же результат (80.7)
получается, как легко убедиться, и при наличии градиента тем-
температуры.
Пренебрежение функцией \ в кинетическом уравнении элек-
электронов может, однако, оказаться недопустимым при рассмотре-
рассмотрении термоэлектрических явлений.
Согласно формуле G8.12) (вывод которой основан только на
предположении об упругости рассеяния электронов) термоэлек-
термоэлектрический коэффициент
а1 ~ —	(80.8)
esF
(смысл индекса I указан ниже). Эта величина «аномально» мала
в том смысле, что порядок величины интеграла в G8.8) (второй
член в формуле) оказался уменьшенным в отношении Т/ер из-за
нечетности функции
(р1 = -^1VT	(80.9)
по переменной r\ = e — \i. Это обстоятельство в известном смысле
«случайно»; благодаря нему может оказаться, что сравнитель-
сравнительно малая добавка к <р, связанная с неравновесностью фононов,
приведет к сравнимому с (80.8) вкладу в а.
Будем искать решение кинетического уравнения электронов
f^WT = -%1 vVT = I%h(<p) + I%h(x)	(80.10)
в виде суммы (р = (р1 + ^п, где (р1 — решение уравнения без
второго члена в правой части, а (р11 — решение уравнения
UW + UW=0.	(80.11)
Функция (р1 является «большой» частью функции (р] ввиду от-
отмеченной в § 79 четности оператора Ie h по переменной г/, эта
часть имеет вид (80.9) и нечетна по переменной г/. Из уравнения
же (80.11) следует, что (р11 ~ х и потому
Но в отличие от ср1, функция ср11 вовсе не обращается в нуль
при е = /i. Поэтому при вычислении соответствующего вклада

§ 81	ПРОЦЕССЫ ПЕРЕБРОСА В МЕТАЛЛЕ	411
в плотность тока не происходит погашения члена основного по-
порядка и результат мал только в смысле относительной малости
ip11. Это значит, что вклад последней в термоэлектрический ко-
коэффициент
а ~ а —— ~ —.	(80.12)
Т Т еТ	V	J
Ha нижней границе рассматриваемой температурной области,
при Т ~ 0, имеем еа11 ~ 1 вместо малой величины eal ~ Q/sp.
Таким образом, термоэлектрический коэффициент склады-
складывается из двух аддитивных частей. Эти части могут быть одина-
одинакового порядка величины, но имеют различную температурную
зависимость. Физическое происхождение второго слагаемого в
а состоит в том, что при теплопередаче в кристалле возникает
поток фононов («фононный ветер»), который увлекает за собой
электроны х).
§ 81. Процессы переброса в металле
Характер электрон-фононного рассеяния при низких темпе-
температурах радикально отличен от характера рассеяния при Т ^> в.
При Т <С в в кристалле возбуждены фононы с энергиями
uj ~ T (относящиеся, вообще говоря, к акустическим ветвям
спектра). При испускании или поглощении такого фонона энер-
энергия электрона меняется на величину ~ Т, т. е. на порядок вели-
величины всей ширины области размытости ферми-распределения.
Изменение же квазиимпульса электрона совпадает с квазиим-
квазиимпульсом фонона. Поскольку к ~ Т/и <С fcmax, a A;max ~ _р/?,
то это значит, что квазиимпульс электрона изменяется лишь
на относительно малую величину. Таким образом, при низких
температурах имеет место предельный случай, обратный по
отношению к упругому рассеянию: релаксация электронов по
энергиям происходит значительно быстрее, чем по направлениям
их квазиимпульсов.
Релаксация по энергиям представляет собой быстрое «пере-
«перемешивание» в зоне размытости фермиевского распределения. Ре-
Релаксация же по направлениям есть выравнивание распределения
вдоль этой поверхности; оно происходит малыми (~ Т/и) скач-
скачками, т. е. имеет характер медленной диффузии по этой поверх-
поверхности.
Прежде чем перейти к детальному рассмотрению кинетиче-
кинетических явлений в этих условиях, сделаем некоторые общие замеча-
замечания о роли процессов переброса.
1) Выяснение роли увлечения электронов фононами в кинетических явле-
явлениях в металлах принадлежит Л.Э. Гуревичу A946).

412	МЕТАЛЛЫ
Как и в диэлектрических кристаллах, конечность кинетиче-
кинетических коэффициентов идеального (без примесей или дефектов)
металлического кристалла связана с существованием процессов
переброса. С учетом одних лишь нормальных процессов, идущих
с сохранением суммарного квазиимпульса электронов и фононов,
кинетические уравнения имели бы паразитные решения, отве-
отвечающие движению электронной и фононной систем как целого
относительно решетки. Это — решения вида
<p = p5V, x = b5V	(81.1)
с постоянным вектором JV (ср. F7.19)); эти функции обращают
в нуль интегралы столкновений G9.9), G9.10), если испускание
или поглощение фононов электронами происходит с сохранением
квазиимпульса (р = р7 + к).
При высоких температурах, когда квазиимпульсы как элек-
электронов, так и фононов велики (~ 1/оГ), процессы переброса про-
происходят, вообще говоря, с той же частотой, что и нормальные
процессы. Необходимость их учета не приводит поэтому ни к ка-
каким специфическим особенностям в кинетических явлениях.
Квазиимпульсы электронов расположены вблизи ферми-
поверхности и в этом смысле от температуры практически не
зависят. Но при низких температурах становятся малыми квази-
квазиимпульсы фононов, в связи с чем процессы переброса могут ока-
оказаться затрудненными. В этом отношении ситуация существенно
различна в случаях закрытых и открытых ферми-поверхностей.
Открытая ферми-поверхность при любом выборе элементар-
элементарной ячейки в р-пространстве (обратной решетке) пересекает гра-
границы ячейки. Ясно, что в этом случае всегда возможны процессы
переброса с испусканием или поглощением фонона со сколь угод-
угодно малой энергией: уже малое изменение квазиимпульса электро-
электрона вблизи границы ячейки может «перебросить» его в соседнюю
ячейку. В течении своей диффузии по ферми-поверхности все
электроны в конце концов достигают границ ячейки и, таким об-
образом, могут участвовать в процессах переброса. Следователь-
Следовательно, и в этом случае вероятность процессов переброса не обладает
какой-либо дополнительной (по сравнению с нормальными про-
процессами) малостью. Само разделение процессов на нормальные и
с перебросом зависит от способа выбора ячейки обратной решет-
решетки и в этом смысле условно. При открытой ферми-поверхности
указанное выше свойство (отсутствие особой малости частоты
процессов переброса) остается при любом выборе ячейки. В этом
случае целесообразно вообще отказаться от разделения актов
рассеяния на два типа, рассматривая их все как нормальные
(т. е. идущие с сохранением квазиимпульса), но допуская зна-
значения квазиимпульса электронов во всей обратной решетке. Для
фононов же элементарная ячейка выбирается так, чтобы точка

81
ПРОЦЕССЫ ПЕРЕБРОСА В МЕТАЛЛЕ
413
к = 0 находилась в ее центре; тогда все длинноволновые фоно-
ны (которые только и надо рассматривать при Т <С Э) находят-
находятся в малой части объема одной ячейки в окрестности ее центра.
Исключение же паразитного решения (81.1) достигается при та-
таком рассмотрении путем наложения на функцию распределения
электронов условия периодичности в обратной решетке:
n(p + b) =п(р).
(81.2)
Равновесное распределение, зависящее только от энергии элек-
электрона е(р), удовлетворяет этому условию автоматически ввиду
периодичности функции б(р). Вместе с по(р) периодична и про-
производная дщ/де, а потому должен быть периодичен и множи-
множитель (р(р) в 8щ этим требованием устраняется не удовлетворяю-
удовлетворяющее ему решение (81.1).
Обратимся к случаю закрытой ферми-поверхности. В этом
случае можно выбрать основную ячейку обратной решетки та-
таким образом, чтобы ферми-поверхность нигде не пересекала ее
границ1). Тогда процессам переброса отвечают переходы элек-
электрона между какими-либо точками ферми-поверхности в основ-
основной ячейке и ее повторения в соседней ячейке, как это показано
Рис. 28
Рис. 29
схематически на рис. 29. Соединяющий эти точки вектор к —
квазиимпульс испускаемого или поглощаемого фонона. Расстоя-
Расстояние /с, вообще говоря, велико (к ~ 1/^0, и при низких темпера-
температурах число фононов с энергией со (к.) экспоненциально мало —
пропорционально ехр (—ш(к)/Т). Эффективная частота актов
рассеяния с перебросом в этих условиях зависит от температуры
по закону
{^i}	(81.3)
1) Однако, если ферми-поверхность состоит из нескольких замкнутых по-
полостей, то для этого может оказаться необходимым определить основную
ячейку не как параллелепипед с плоскими гранями. Это пояснено схемати-
схематически на рис. 28 на примере плоской решетки с двумя неэквивалентными
замкнутыми полостями «ферми-поверхности». Штриховой линией показана
основная ячейка, не пересекающая этих полостей. Никаким выбором прямо-
прямоугольной ячейки нельзя было бы исключить пересечений.

414	МЕТАЛЛЫ
где kmin — значение квазиимпульса фонона (среди всех векторов
указанного типа), для которого энергия со (к.) имеет минималь-
минимальное значение. Здесь существенно, конечно, что скорость электро-
электронов много больше скорости фононов (vp ^> и). Именно поэтому
нельзя уменьшить экспоненту в (81.3), изменяя длину вектора к
путем удаления от ферми-поверхности. Хотя энергия фонона мо-
может при этом уменьшиться на величину ~ ибк, но одновременно
возросла бы на значительно большую величину, ~ vp6k, энергия
участвующего в процессе электрона, что привело бы в результате
к уменьшению, а не увеличению vjj. Для нахождения kmin доста-
достаточно поэтому рассматривать ферми-поверхность как таковую,
не учитывая размытия распределения вблизи нее. Фактически
обычно оказываются существенными точки вблизи максималь-
максимального сближения ферми-поверхности с ее повторением в соседней
ячейке.
Решение (81.1) означает наличие макроскопического потока
электронов в отсутствие электрического поля, т. е. бесконечную
электропроводность. Экспоненциально же малая частота процес-
процессов переброса приводит к экспоненциально большой электропро-
электропроводности (R. Peierls).
Теплопроводность же металла с закрытой ферми-поверх-
ностью остается конечной и при пренебрежении процессами
переброса. Дело в том, что коэффициент теплопроводности ус
определяет, согласно G8.2), тепловой поток в отсутствие элек-
электрического тока; условие же j = 0 автоматически исключает
паразитное решение (81.1). Учет процессов переброса может из-
изменить величину ус лишь в меру своей малости. То же самое
относится и к термоэлектрическому коэффициенту а, который
связывает (согласно определению G8.1)) градиент температуры
с электрическим полем опять-таки при условии j = 0 (см. задачу
к § 82).
Сказанное, однако, не относится к компенсированным ме-
металлам с замкнутыми электронными и дырочными ферми-
поверхностями, т. е. к металлам с одинаковыми числами элек-
электронов и дырок: Ne — Nh (см. IX, § 61). Дело в том, что в этом
случае решение (81.1) не связано с существованием электриче-
электрического тока. Действительно, плотность тока, отвечающая этому
решению, есть
Первый интеграл берется по объему электронных, а второй — по
объему дырочных полостей ферми-поверхности; в последнем вве-

§ 82	МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	415
дено распределение дырок согласно п^ = 1 — п. Теперь можно
преобразовать интегралы по частям; возникающие при этом ин-
интегралы по поверхности граней ячейки обращаются в нуль ввиду
г	г	(е) W)
быстрого убывания щ и щ при удалении от соответствующих
ферми-поверхностей. В результате найдем, что
j = e8V(Nh-Ne).	(81.4)
Для компенсированного металла j = 0.
Это значит, что электропроводность компенсированного ме-
металла конечна уже и без учета процессов переброса. Напротив,
коэффициент теплопроводности и термоэлектрический коэффи-
коэффициент определяются именно процессами переброса и без учета
последних оказались бы бесконечными, поскольку условие j = 0
в этом случае не исключает паразитного решения (81.1).
В рассуждениях и оценках в этом (и в следующем) парагра-
параграфе по существу подразумеваются простейшие предположения о
форме ферми-поверхности: предполагается, что она либо закры-
закрыта, либо открыта, причем все ее характерные размеры поряд-
порядка величины 1/d. Между тем ферми-поверхности реальных ме-
металлов, вообще говоря, имеют сложную форму и могут состоять
из нескольких различных листов; мы не будем останавливаться
на анализе соответствующих усложнений в поведении кинетиче-
кинетических коэффициентов реальных металлов. Так, листы открытых
ферми-поверхностей в различных ячейках обратной решетки мо-
могут быть связаны тонкими (с толщиной Ар <С Pf) перемычками.
Появление в задаче малого параметра Ар/рр может привести к
появлению новых «промежуточных» областей температуры со
своими законами температурной зависимости кинетических ко-
коэффициентов. Листы замкнутых ферми-поверхностей могут под-
подходить «аномально» близко друг к другу; это может привести к
отодвиганию экспоненциального закона (81.3) в область «ано-
«аномально» низких температур.
§ 82. Кинетические коэффициенты металла.
Низкие температуры
В количественном исследовании кинетических явлений при
низких температурах мы будем иметь в виду случай открытых
ферми-поверхностей, соответственно чему не будем специально
заботиться о процессах переброса.
Прежде всего покажем, что релаксация в фононной систе-
системе осуществляется (при Т « 0) в основном за счет фонон-
электронных, а не фонон-фононных столкновений.
Для оценки фонон-электронного интеграла столкновений
G9.10) замечаем, что при низких температурах ио ~ Т, е — /i ~ T

416	МЕТАЛЛЫ
и поэтому Nq ~ по ~ 1, dN^/duo ~ 1/Т. Интегрирование по с/3]э
производится по объему слоя толщины ~ T/vp вдоль ферми-
поверхности. Ввиду малости к/р, аргумент E-функции можно
представить в виде
е(р) - е(Р - к) - ^(к) « к— - о; « v^k - w.	(82.1)
E-функция устраняется интегрированием по направлениям р
(или, что то же, по направлениям v^) при заданном к, что вно-
вносит в подынтегральное выражение множитель 1/vfk. Наконец,
w оценивается по формуле G9.18). В результате найдем
т. е. эффективная частота столкновений
(82.2)
Эффективная же частота фонон-фононных столкновений
при низких температурах, согласно оценке F9.15):
С Vph,ei	(82.3)
что и доказывает сделанное утверждение.
Ниже мы будем пренебрегать фонон-фононными столкнове-
столкновениями. Тогда кинетическое уравнение для фононов имеет вид
дЩ = _^дЩ	=	( }	( 4)
Это уравнение может быть решено в явном виде относительно
фононной функции х- Поскольку к в этом уравнении — заданная
величина, то функция Хк может быть вынесена из содержащего
ее интеграла и получается
Xk = -
+ J_ [w(n> щщ?-е'-ш)(<р-<р')^-3=Х1+Х2, (82.5)
Vph.e J	BТГK
где
vPh,e = I w(n'o - щ)ё(е -е1- u)^.	(82.6)
Легко видеть, что Х2 ^ Xi- Действительно, из определения
функции Х2 видно, что Х2 ~ <р (интегралы в числителе и знаме-
знаменателе отличаются только множителем ср — срг в подынтегральном

§ 82	МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	417
выражении). Порядок же величины функции ср определяется ки-
кинетическим уравнением для электронов:
откуда
Эффективная же частота электрон-фононных столкновений оце-
оценивается так же, как это было сделано выше для vph,e', разница
состоит лишь в том, что интегрирование по d?к в интеграле IGiPh
производится по объему импульсного пространства ~ (Т/и)^
(вместо объема ~ p^T/vp при интегрировании по d3p в инте-
интеграле Iph^e):	з
Ъ*н ~ |j.	(82.7)
Наконец, заметив, что xi ~ IVT^/V^g, находим
— ~	— ~ 77г < 1,	(82.8)
Х2	VFVph,e	в2
что и требовалось доказать.
При вычислении электро- и теплопроводности (но не термо-
термоэлектрического коэффициента — см. ниже) можно пренебречь
малой величиной xi- Подставив затем выражение х ^ Х2 из
(82.5) в электрон-фононный линеаризованный интеграл столк-
столкновений (представленный в виде G9.11)), получим
) = ^Ih^) + Iej>h,e(<P)>	(82-9)
где Ie,Ph,e(v>) обозначает результат подстановки Х2 в интеграл
е /г(х)- Первый член в (82.9) есть интеграл столкновений элек-
электронов с равновесными фононами, а второй можно назвать инте-
интегралом столкновений между электронами через посредство фо-
нонов.
Введем (как это уже делалось в § 79) в качестве независи-
независимых переменных в функции <р(р) величину т\ = е — \i и вектор
Pi?, проведенный в направлении р и оканчивающийся на ферми-
поверхности. Оба члена в (82.9) содержат в своих подынтеграль-
подынтегральных выражениях разность
<p{v,Pf)-<p{v',p'f),	(82-Ю)
причем
V ~ ч! = ±^, Pf ~ Pf = х,
где У€ — проекция вектора к на плоскость, касательную к ферми-
поверхности в точке pp.
14 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

418	МЕТАЛЛЫ
По переменной pF функция ср(г],рр) существенно меняется
на интервалах ~ рр] разность же ус ~ к <С pp. В этом смысле
зависимость ср от переменной рр является медленной, и в первом
приближении можно положить в разности (82.10) р^, = р/?, т. е.
заменить ее на
<p(ri,pF)-<p(ri',pF).	(82.11)
Зависимость же от переменной т\ является сильной в том смысле,
что разность \т\ — rf\ = со ~ Т совпадает, по порядку величины, с
тем интервалом, на котором функция (р существенно меняется.
Обозначим оператор, получающийся из Ie^h (82.9) заменой
(82.10) на (82.11), через Lq] тогда Ie,ph представится в виде
Ie,ph(<P) =L0(ip) +Ll((p),
причем Lq ^> L\. Кинетическое уравнение для электронов (при
наличии как электрического поля, так и градиента температуры)
имеет вид
- (еЕ + 1VT) v^ = LQ{v) + Ыг).	(82.12)
Два члена в правой части имеют существенно различный фи-
физический смысл: первый ответствен за быструю релаксацию по
энергии, а второй — за медленную, «диффузионную», релакса-
релаксацию по направлениям квазиимпульса.
Отметим два очевидных свойства оператора Lq. Во-первых,
он обращается в нуль для всякой функции, зависящей только
от рр (так как обращается в нуль разность (82.11)). Во-вторых,
обращается в нуль интеграл
fL0(ip)dri = 0;	(82.13)
оператор Lq описывает столкновения с изменением только энер-
энергии, и равенство (82.13) означает просто сохранение числа элек-
электронов с заданным направлением р.
Будем искать решение кинетического уравнения в виде
i, pF) = a{pF) + b{r), pF),	(82.14)
где а(рр) — функция только от pF, причем \а\ ^> \Ь\. Тот факт,
что функция а (обращающая в нуль часть Lq интеграла столк-
столкновений) велика, выражает собой быстроту процесса релаксации
по энергиям. Подставив (82.14) в (82.12) и пренебрегая относи-
относительно малым членом Li(b), получим уравнение
).	(82.15)
Оба члена в его правой части, вообще говоря, одинакового по-
порядка величины. Но при вычислении коэффициентов электро-

§ 82	МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	419
или теплопроводности существен каждый раз лишь один из этих
членов.
В этом легко убедиться, вспомнив, что линеаризованный
электрон-фононный оператор 1ефн (а с ним и операторы Lq и Li)
при воздействии на функцию ср(г],рр) не меняет ее четности по
переменной г/1). Имея это в виду, разделим функцию (р на чет-
четную (tpg) и нечетную ((ри) п0 V части:
(fg = а + bg, (fu = bu
(независящая от т\ функция а по определению четна). Подставив
ср = (pg + сри в (82.15) и отделив нечетные и четные по г/ члены
уравнения, получим два уравнения:
(82.16)
_^eEvF = L0(bg) + Lx (a);	(82.17)
в левой части уравнений скорость v заменена, с достаточной точ-
точностью, независящей от т\ скоростью лгр на ферми-поверхности.
Второе из этих уравнений проинтегрируем еще по г/; ввиду свой-
свойства (82.13) член с Lq в результате выпадает и остается
eEv^ = fL1(a)d7i.	(82.18)
Тепловой поток (при Е = 0) целиком определяется решени-
решением уравнения (82.16), содержащего только оператор Lq, — как и
следовало ожидать, он зависит от процессов релаксации по энер-
энергиям электронов. По решению уравнения (82.16) тепловой поток
вычисляется как интеграл
/ f r~2d2>p	f	duo? 2dsp	/oom\
q = / vrjSn—^ « - / vFr) — bu—^-,	82.19
J	BтгK	J	дц BтгK
четная по г/ часть функции if не дает вклада в интеграл ввиду
нечетности получающегося под интегралом выражения.
Оператор Lq — основная часть электрон-фононного интегра-
интеграла столкновений. Отвечающая ему эффективная частота столк-
столкновений есть поэтому ve^h из (82.7); об этой величине надо,
точнее, говорить как об эффективной частоте столкновений по
отношению к обмену энергией. Соответствующая длина пробе-
пробега электронов есть / ~ ^F/^e.ph- Коэффициент же теплопро-
теплопроводности можно оценить по газокинетической формуле G.10):
к ~ cvlN. В данном случае N — плотность числа электронов,
:) Для оператора I^ph это было показано в § 79. Мы не будем останавли-
останавливаться на вполне аналогичном доказательстве для оператора Ie,Ph,e-
14*

420	МЕТАЛЛЫ
с — электронная часть теплоемкости (отнесенная к одному элек-
электрону проводимости), a v ~ vp. Величины N и vp от темпе-
температуры не зависят, теплоемкость электронной ферми-жидкости
пропорциональна Т, а согласно (82.7) длина пробега 1соТ~3. По-
Поскольку вычисленный таким образом тепловой поток относится
к Е = 0, коэффициент в нем есть не сам коэффициент теплопро-
теплопроводности х, а сумма х7 = к-\-Таа2 (см. G8.3)). Таким образом,
х'ооТ~2. Член Таа2, однако, оказывается малым по сравнению
с х7 (см. ниже примеч. на с. 421); поэтому и хооТ~2. Положив
для грубой оценки
с
(обычные единицы; ср. IX, A.15)), получим
(82.20)
Электропроводность определяется решением уравнения
(82.18), содержащего только оператор L\ — как и следовало ожи-
ожидать, электрический ток зависит от процессов релаксации по
направлениям квазиимпульсов электронов. В начале § 81 бы-
было отмечено, что эти процессы имеют характер диффузии вдоль
ферми-поверхности. В следующем параграфе будет показано, ка-
каким образом кинетическое уравнение (82.18) может быть дей-
действительно приведено к виду уравнения диффузии. Закон же
температурной зависимости электропроводности может быть вы-
выяснен уже путем следующих простых рассуждений.
Перемещение вдоль ферми-поверхности происходит малыми
скачками — на расстояния к ~ Т/щ эта величина играет роль
«длины свободного пробега» в импульсном пространстве (/р),
частота же «актов рассеяния» совпадает с частотой электрон-
фононных столкновений ve^h- Коэффициент диффузии вдоль
ферми-поверхности можно оценить по газокинетической форму-
формуле D ~ lv ~ l2v, написав в ней 1р и уеф в качестве I ж v. Таким
образом, получим (обычные единицы)
(82.21)
Отсюда можно найти время релаксации, которое должно
фигурировать в оценке электропроводности согласно G8.16):
а ~ e2Nvpr/pp. Это — время, за которое квазиимпульс элек-
электрона меняется на величину порядка его самого. Другими сло-
словами, за время т электрон должен продиффундировать вдоль
ферми-поверхности на расстояние ~ pp. Но при диффузионном
перемещении средний квадрат смещения пропорционален време-
времени (и коэффициенту диффузии). Отсюда находим соотношение

§ 82	МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	421
р^р ~ DpT, и затем для проводимости (обычные единицы):
а„ьЫ{е\\	(82.22)
m*e \tJ	v ;
Таким образом, при низких температурах проводимость пропор-
пропорциональна Т~5 х).
Остановимся на вопросе о термоэлектрическом коэффициен-
коэффициенте. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место при
высоких температурах.
Если вычислить ток j по функции Ъп — решению уравнения
(82.16), то ввиду нечетности этой функции по переменной г/ ин-
интеграл обращается в первом приближении в нуль, а отличный от
нуля результат получается лишь с учетом следующего по tj/ef
члена разложения подынтегрального выражения. Это приводит
(как и при Т ^> Э) к значению термоэлектрического коэффици-
коэффициента (обычные единицы)
а1 ~ —	(82.23)
вместо «нормального» порядка величины а ~ 1/е2).
Другой вклад в термоэлектрический коэффициент возник-
возникнет от отброшенного в (82.5) члена xi B фононной функции х;
этот вклад связан с эффектом увлечения электронов фононами.
Если сохранить этот член, то в интеграле столкновений (82.9)
добавится член
^ \	*"~\ "Л "Г	I ^^^ Г I 1 I
(82.24)
Этот член можно перенести затем в левую часть кинетического
уравнения (82.12), где его следует сравнивать с членом
(vVT).	(82.25)
Член (82.24) мал по сравнению с (82.25) в отношении Т2/в2
(оценка, аналогичная (82.8)). Но учет этого члена приводит к по-
появлению в решении if кинетического уравнения слагаемого (про-
(пропорционального VT), которое не будет уже нечетным по г/. По-
Поэтому при вычислении соответствующего вклада в ток никаких
дополнительных малостей не возникает и в термоэлектрическом
коэффициенте появляется слагаемое
а11 - —	(82.26)
ев2	v }
:) Этот результат был впервые получен Блохом (F. Bloch, 1929).
2) Из оценок (82.20)-(82.23) видно, что Та2а/>с - (S/eFJ < 1, чем оправ-
оправдывается сделанное при выводе (82.21) пренебрежение.

422	металлы
(Л.Э. Гуревич, 1946) х).
По мере понижения температуры частота электрон-фонон-
ных столкновений уменьшается и в конце концов главная роль
в создании электро- и теплосопротивления переходит к столкно-
столкновениям электронов с примесными атомами. Отметим, что ввиду
различной температурной зависимости переход к «остаточному
теплосопротивлению» происходит позже, чем переход к остаточ-
остаточному электрическому сопротивлению.
В очень чистых металлах может существовать область тем-
температур, в которой кинетические свойства металла определяют-
определяются электрон-электронными столкновениями. Соответствующая
длина свободного пробега в электронной жидкости в металле,
как и во всякой другой ферми-жидкости, зависит от темпера-
температуры как Т~2, причем малым параметром разложения является
отношение Т/ер (см. § 75). При Т ~ ер этот пробег должен был
бы стать ~ с/, так что
(ff.	(82.27)
Отсюда следует закон температурной зависимости электро- и
теплопроводности
ас\эТ-2, ныТ'1	(82.28)
(Л.Д. Ландау, И.Я. Померанчук, 1936). При понижении темпера-
температуры эффективная частота vee электрон-электронных столкнове-
столкновений убывает медленнее, чем частота электрон-фононных столк-
столкновений i^e^ph- Но поскольку малым параметром в vee является
Т/ер, а не Т/Э, как в ve^vh, электрон-электронные столкновения
могут стать определяющими лишь при очень низких температу-
температурах.
Отметим также, что законы (82.28) могут в принципе от-
относиться к случаям как открытых, так и закрытых ферми-
поверхностей. Поскольку квазиимпульсы электронов велики, то
необходимость в существовании процессов переброса не являет-
) Здесь надо сделать следующее замечание. Ввиду малости квазиимпуль-
квазиимпульса фонона, из закона сохранения энергии имеем
е(р) - е(р - к) и vFk и ±cj(k),
откуда видно, что угол в между vf и к близок к тг/2: cos в ~ uu/(vFk) ~
~ u/vf *C 1. В изотропном случае направления квазиимпульса к и скорости
и фонона совпадают, так что мало и произведение uvf- Такое же произве-
произведение возникает и в интеграле, определяющем ток по функции (р, пропор-
пропорциональной uVT; это обстоятельство привело бы, в изотропном случае, к
II -г»	/
дополнительной малости в а . В анизотропном же кристалле (в том чис-
числе кубической симметрии) оснований для появления такой малости, вообще
говоря, нет.

§ 82	МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	423
ся, вообще говоря, в случае закрытых ферми-поверхностей ис-
источником какой-либо дополнительной малости.
Задача
Вычислить термоэлектрический коэффициент а для металла с закрытой
ферми-поверхностью при низких температурах в пренебрежении процесса-
процессами переброса.
Решение. Кинетическое уравнение для электронов:
=
dp Т де
Кинетическое уравнение для фононов записываем в виде
-^VT = SWiV,	B)
заметив, что
дЩ_ _ _и^дЩ_ _ uj dN0
ХХ~дТ ~ ~T~dc7U~ ~Т~дк'
Умножим уравнение A) на р, уравнение B) на к, проинтегрируем их соот-
соответственно по 2с/3р/BтгK и по dsk/BтгK, после чего сложим оба уравнения
почленно. Правая часть обратится в нуль в силу сохранения суммарного
квазиимпульса электронов и фононов в отсутствие процессов переброса. В
результате получим
vrrs-^ano ^p +vrr./ayok\jft= C)
3 У T <9s У BтгK 3 i T Uk У BтгK	V У
второй и третий интегралы записаны в предположении кубической симмет-
симметрии кристалла.
Первый интеграл в C) преобразуется как при выводе (81.4) и дает
—eEGVe — Nh). Второй интеграл вычисляется как при выводе G8.12) и равен
-ATVT, где
2
А-—\— [ v dS
" 9 [де] VP^B^)
(интеграл берется по изоэнергетической поверхности е = const). Третий ин-
интеграл после преобразования по частям принимает вид
, х dsk
'Bтг)з
(интеграл по поверхности граней ячейки обратной решетки обращается в
нуль ввиду быстрого убывания функции No с увеличением ио при низких
температурах). Для акустических длинноволновых фононов (которые толь-
только и существенны при малых Т) скорость и и отношение >с = k/cj зависят
только от направления к (но не от ш). Использовав для интеграла по и
известное выражение, найдем, что третий интеграл в C) равен —ВТ3\7Т, где
В — — У^ Г (\ 4- — ^ 2 dob
~ lb^J \ ЗУ BтгK

424	металлы
(суммирование по трем акустическим ветвям фононного спектра).
Таким образом, равенство C) принимает вид
-eEGVe - Nh) = VT(AT + ВТ3).
Сравнив его с G8.1) (при j = 0), найдем термоэлектрический коэффициент
АТ + ВТ3	,.л
а = 	.	D)
Nh-Ne
Условие j может быть обеспечено должным образом подобранным слага-
слагаемым вида (81.1) в решении кинетического уравнения. В соответствии со
сказанным в § 81, выражение D) конечно для некомпенсированного метал-
металла, но обращается в бесконечность при Ne = Nh-
§ 83. Диффузия электронов по ферми-поверхности
В этом параграфе будет показано, каким образом кинетиче-
кинетическое уравнение задачи об электрической проводимости при низ-
низких температурах (82.17) может быть приведено к диффузион-
диффузионному виду1). Интересуясь только этой задачей, мы будем рас-
рассматривать лишь независящую от т\ = е — \i часть функции ср
и обозначать ее как <p(pf) (вместо специального обозначения
a(pi?) в предыдущем параграфе). Как и в § 82, будем иметь в
виду случай открытых ферми-поверхностей.
Функция
дп 	 дпо ср
BтгK ~ ~^ГBтгK
есть неравновесная добавка к распределению электронов по им-
импульсному пространству. От него можно перейти к распределе-
распределению по ферми-поверхности, написав элемент объема d?p в виде
dedS/v G4.19), проинтегрировав по de = dr\ и приближенно за-
заменив зависящие от е элемент площади изоэнергетической по-
поверхности dS и скорость v их значениями dSp и vp на ферми-
поверхности. Функция (р, по предположению, от е не зависит,
а интегрирование множителя —дщ/де дает 1. Таким образом,
плотность распределения на ферми-поверхности дается выраже-
выражением
^H^L.	(83.1)
Для большей наглядности вывода напишем сначала кинети-
кинетическое уравнение (82.17) с частной производной по времени в его
левой части, как если бы распределение было нестационарным:
де dt	де
х) В излагаемом ниже выводе мы следуем Р.Н. Гурэюи л А.И. Копелиовичу
A971).

§ 83	ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ФЕРМИ-ПОВЕРХНОСТИ	425
Здесь уже опущен член с Lo, выдающий после интегрирования
уравнения по d/
9_^L- f Ll^)^ = -e^^.	(83.2)
dt vf J	vf	vf
Первый член слева — скорость изменения плотности электронов
на ферми-поверхности. Уравнение должно иметь вид уравнения
непрерывности, т. е. второй член слева должен представлять собой
дивергенцию от плотности потока s электронов на ферми-по-
ферми-поверхности; член же с электрическим полем в правой части урав-
уравнения играет роль плотности источников и стоков. Здесь идет
речь о двумерной дивергенции на искривленной поверхности; ее,
однако, удобно записать в трехмерных обозначениях:
— / L\{ip)—- = {Vp — n/?(ri/?Vp)}s.	(83.3)
J	vf
Здесь Vp — обычный оператор дифференцирования по де-
декартовым координатам в р-пространстве, а оператор в фи-
фигурных скобках — его проекция на плоскость, касательную к
ферми-поверхности в каждой заданной ее точке (п^ — единич-
единичный вектор нормали к поверхности) 1). Вектор s(pi?) задан на
ферми-поверхности, но в (83.3) рассматривается формально как
заданный во всем пространстве (но зависящий лишь от направ-
направления pf)- Кинетическое уравнение (в котором опускаем теперь
производную по времени) принимает вид
{Vp - nF(nFVp)}s = -eE^.	(83.4)
Задача состоит в нахождении потока s — его выражения через
функцию (р.
Введем декартову систему координат в р-пространстве с
осью z по направлению нормали к ферми-поверхности в точ-
точке, в которой вычисляется s(pi?), и с началом в этой же точке.
По определению, компонента sx потока есть разность между чи-
числом электронов, пересекающих (в 1 с) благодаря столкновени-
столкновениям полосу единичной ширины на плоскости yz слева направо (в
положительном направлении оси ж), и числом электронов, пере-
пересекающих эту полосу справа налево.
г) Этот оператор фигурирует в двумерном аналоге теоремы Гаусса
§ es dl = J {V - n(nV)} s dS.
Интеграл слева берется по замкнутому контуру, лежащему на заданной по-
поверхности (е — единичный вектор нормали, внешней к контуру в плоскости,
касательной к поверхности в данной ее точке); интеграл справа берется по
участку поверхности, ограниченному контуром.

426	МЕТАЛЛЫ
Рассмотрим разность между числом актов испускания фоно-
нов с квазиимпульсом к в заданном интервале d3 к электронами
с квазиимпульсами в интервале d?p и числом обратных актов
поглощения таких же фононов. Она дается (с обратным знаком)
первым членом подынтегрального выражения в G9.9):
73 d к dNo //	\г-/	/	\/	\	/оог\
d p7^~^^~w(nv ~ поЖ6 ~ е ~ ^к)(?У - ^Р + Хк), (83.5)
причем р = р7 + к 1). Фононная функция Хк здесь должна быть
выражена через (р согласно (82.5):
Хк = -— / w(riQ - поM(е - е' - о;к)(<рр/ - РР)угт^ (83.6)
С Uph^e из (82.6).
Если кх < 0, то в результате испускания фонона пройдут
через рассматриваемую полосу (причем в направлении слева на-
направо) те электроны, у которых ж-компонента первоначального
квазиимпульса лежит в интервале
кх < рх < 0;	(83.7а)
для таких значений р выражение (83.5) дает положительный
вклад в поток sx. Если же кх > 0, то в результате испускания
фонона через полосу пройдут (причем справа налево) электроны с
0 < Рх < кх;	(83.76)
соответствующий вклад в sx отрицателен.
Из сказанного ясно, что для нахождения sx надо: 1) проин-
проинтегрировать выражение (83.5) по единичному интервалу ру и по
всей области изменения р^; ВВИДУ быстрой сходимости, последнее
интегрирование можно распространить от — оо до оо; 2) проин-
проинтегрировать по интервалу (83.7) значений рх. Но ввиду медлен-
медленной зависимости всех величин от рх вдоль ферми-поверхности,
это интегрирование сводится просто к умножению на длину ин-
интервала; с учетом знака, с которым результат интегрирования
должен войти в sXl это означает просто умножение на — кх\ 3)
наконец, надо проинтегрировать по d3к.
*) В проведенных выше рассуждениях мы опускали множитель Bтг) 3 в
определении поверхностной плотности (83.1). В соответствии с этим опуска-
опускаем один такой множитель ив (83.5).
Напомним также, что мы условились в случае открытых ферми-
поверхностей допускать значения квазиимпульса электронов во всей обрат-
обратной решетке (см. § 81); поэтому закон сохранения квазиимпульса пишется
без слагаемого Ь.

§ 83	ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ФЕРМИ-ПОВЕРХНОСТИ	427
Компонента sy потока отличается от sx лишь заменой в
подынтегральном выражении кх на ку. Поэтому поток можно
записать в векторном виде:
s(pf) = -
J l/T
z, (83.
где У€ — проекция к на касательную плоскость в точке рр.
Прежде всего пишем d?k = dkz d? к и проводим интегриро-
интегрирование по kz. Ввиду малости к можно преобразовать аргумент
E-функции в (83.8):
5(ер - ?р-к -^к) ~ S(kvF -ш) = —S (kz - —
(направление лгр совпадает с нормалью к ферми-поверхности).
Интегрирование по kz устраняет E-функцию, одновременно за-
заменяя везде kz на uo/vp. Но поскольку ш/vp ~ ku/vp <C к, то
мож:но полож:ить просто kz =0, т. е. заменить
к -+ я.	(83.9)
Можно провести в общем виде также и интегрирование по
dpz = de/vZi поскольку быстро меняющейся функцией е в подын-
подынтегральном выражении является только разность
- ш) -
интегрирование по е превращает этот множитель в ио. После этих
операций выражение (83.8) принимает вид
s(pf) = -г—^ / xwx—z^-wiVp' - ^Р + Хх)тр^- 83-10
Для дальнейшего преобразования интеграла пишем в нем,
снова используя малость к:
ср(р - к) - <р(р) w k-^ w *-?- = xt^^
ар	ар	ар
где t = ycjyc — единичный вектор касательной к ферми-
поверхности в направлении ус. Поскольку такая же разность со-
содержится и в интеграле (83.6), то можно представить функцию
Х(к) в виде
X(k)=xa(t).	(83.11)

428	металлы
Наконец, ввиду G9.4) представим w в виде
w = nM(pF,t).	(83.12)
С этими обозначениями имеем
s = -^_ tx^^M ta-t^ ^^,	(83.13)
где if — полярный угол направления >с в касательной плоскости.
Интегрирование похв (83.13) сводится к вычислению инте-
интеграла
оо
J =
J
о
ввиду быстрой сходимости интегрирование можно распростра-
распространить до оо. Энергия фонона с малым квазиимпульсом к = xt:
Wx — u(i)>c. Поэтому
оо
j= I
и5
О
= I. f^9Nidco = -^- [
и5 J	duo	и5 J
оо
и5 J ех - 1	S V и5
О
(значение ("-функции: (E) = 1,037).
Таким образом, мы приходим к следующему выражению для
плотности потока электронов вдоль ферми-поверхности:
7Г2У%	\U5(t) \ Эр
где угловые скобки означают усреднение по направлениям t в
касательной плоскости в данной точке рр ферми-поверхности.
Остается получить максимально упрощенное выражение для а.
Согласно определению (83.11) из (83.6) имеем
_ jM(nfo-no)S(s-sf-uj)(dip/dp)dsp
а~	fM(nfo-noN(e-e'-u>)d3p
(сокращены общие множители в числителе и знаменателе). Ин-
Интегрирование по d3p заменяем (ср. начало этого параграфа) ин-
интегрированием по dSp dejvp. От е зависит только множитель
по (е — ио) — по (е), одинаковый в обоих интегралах; результаты
интегрирования в числителе и знаменателе сокращаются. После

84	ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	429
этого аргумент E-функции пишем в виде kv^? — ио ~ >rvp (прене-
(пренебрегая величинами относительного порядка u/vp). Окончатель-
Окончательно находим
2
а"	Jv-/MS(nt)dSF	[*6ЛЬ)
(М — функция точки р^ на ферми-поверхности и направления t;
п — единичный вектор нормали). В силу наличия E-функций,
интегралы фактически берутся лишь вдоль линии на ферми-по-
ферми-поверхности, на которой нормаль перпендикулярна направлению t
квазиимпульса фонона.
Формулы (83.4) и (83.14), (83.15) решают задачу о приведе-
приведении кинетического уравнения к диффузионному виду. Это урав-
уравнение — интегродифференциальное. Плотность потока (83.14)
можно записать в виде
(jg)	(83.16)
где
п _T5 3QCE)/M(t)
7T2Vp \U5(t)
(а, /3 — двумерные векторные индексы). Первый член имеет
обычный дифференциальный вид с тензором коэффициентов
диффузии Dap; этот член связан с рассеянием электронов равно-
равновесными фононами. Второй же член — интегральный; он связан
с эффектом увлечения электронов неравновесными фононами.
Плотность тока вычисляется по функциям ср как интеграл
Из уравнения (83.4) с s из (83.16), (83.17) ясно, что функция ср
(а с нею и проводимость металла) зависит от температуры как
Т — в согласии с результатом предыдущего параграфа. Обра-
Обратим внимание на то, что увлечение электронов фононами не
меняет этого закона, хотя и отражается на виде кинетического
уравнения.
§ 84. Гальваномагнитные явления в сильных полях.
Общая теория
Характерным безразмерным параметром, определяющим
влияние магнитного поля на электропроводность металла, яв-
является отношение гв/h где г в — ларморовский радиус орбиты
электрона, а / — длина свободного пробега.
Напомним (см. IX, § 57), что движение электронов проводи-
проводимости в магнитном поле практически всегда квазиклассично в

430	МЕТАЛЛЫ
связи с очень малой величиной отношения Huob/^f (гДе ^в —
ларморовская частота). Траекторией в импульсном простран-
пространстве является при этом контур сечения изоэнергетической по-
поверхности е(р) = const плоскостью pz = const, причем ось z
направлена вдоль поля. Поскольку энергии электронов близки
к граничной энергии ер, то и изоэнергетические поверхности, о
которых может здесь идти речь, близки к ферми-поверхности.
Поэтому размеры траектории в импульсном пространстве сов-
совпадают с линейными размерами рр соответствующего сечения
ферми-поверхности. Размеры же траектории в обычном про-
пространстве
Эта величина обратно пропорциональна магнитному полю. По-
Поэтому в гальваномагнитных явлениях надо считать слабыми по-
поля, для которых г в 3> /, а сильными — для которых
тв < L	(84.1)
В случае слабых магнитных полей кинетическое рассмотре-
рассмотрение не приводит (при произвольном законе дисперсии электро-
электронов) к чему-либо новому по сравнению с результатами чисто
феноменологической теории. Характер зависимости компонент
тензора проводимости аар от магнитного поля в этом случае со-
соответствует просто разложению по степеням В с учетом требова-
требований, налагаемых принципом симметрии кинетических коэффи-
коэффициентов (см. VIII, § 21).
В сильных же магнитных полях выяснение этой зависимо-
зависимости требует кинетического рассмотрения. Условие сильного поля
(84.1) фактически выполняется лишь при низких температурах,
когда пробег I достаточно велик. При этом металл обычно нахо-
находится в области своего остаточного сопротивления, связанного с
рассеянием электронов на примесных атомах; этот случай мы и
будем иметь в виду. Взаимодействие электронов проводимости с
атомом примеси происходит на расстояниях порядка величины
постоянной решетки d. Если г в <С /, но в то же время г в ^> d,
то наличие магнитного поля не сказывается на этом взаимодей-
взаимодействии и тем самым — на интеграле столкновений. В этих усло-
условиях характер зависимости тензора проводимости от магнитного
поля оказывается не зависящим от конкретного вида интеграла
столкновений. В то же время он существенно зависит от структу-
структуры энергетического спектра электронов проводимости — от фор-
формы ферми-поверхности1).
Приступим к составлению кинетического уравнения, описы-
описывающего гальваномагнитные явления.
г) Излагаемая ниже теория принадлежит И.М. Лифшицу, М.Я. Аз белю и
М.И. Каганову A956).

§ 84	ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	431
Функцию распределения будет целесообразным выражать те-
теперь не через декартовы составляющие квазиимпульса р, а через
другие переменные, связанные с траекторией электрона: энер-
энергию ?, компоненту квазиимпульса pz вдоль направления магнит-
магнитного поля (ось z) и «время движения электрона по импульсной
траектории» от некоторой фиксированной точки в данную. По-
Последняя переменная (которую мы обозначим буквой т) вводится
с помощью квазиклассического уравнения движения электрона
проводимости в магнитном поле
— = —- vB L v = —;
dr	cl J'	dp'
х- и у-компоненты этого уравнения:
dJtL = -% в, ***- = %ХВ.	(84.2)
dr	с	dr с
Взяв сумму квадратов этих уравнений и введя элемент ds дли-
длины импульсной траектории в плоскости ху (ds2 = dp2x + dp2),
получим
^ = ~, vl = vl + vl;	(84.3)
интегрированием этого равенства и определяется новая перемен-
переменная т через старые рХ1 pyi pz.
Левая часть кинетического уравнения в новых переменных
принимает вид1)
dn дп . . дп . . дп .	(ол л\
— = т-е + ^-Pz + т-т-	84.4
dt де dpz	дт
Как обычно, функцию распределения будем искать в виде
п = щ(е) + 5п(е,рг,т).	(84.5)
В конце § 74 было показано, что в постоянных электрическом и
магнитном полях линеаризованное по 5п кинетическое уравне-
уравнение для квазичастиц ферми-жидкости пишется так же, как оно
писалось бы для частиц ферми-газа. При этом производные ?,
pz, т надо выразить с помощью уравнения движения отдельного
электрона в электромагнитном поле:
p = -eE--[vB].	(84.6)
с
Для производной е имеем отсюда
е = -^р = -evE;
dp
) Использование квазиклассического кинетического уравнения означает
пренебрежение эффектами, связанными с квантованием уровней энергии в
магнитном поле. Эти эффекты будут обсуждены ниже, в § 90.

432	МЕТАЛЛЫ
магнитное поле выпадает в соответствии с тем, что оно не произ-
производит работы над зарядом. Далее, при поле В, направленном по
оси z, имеем pz = —eEz. Наконец, из сравнения уравнений (84.2)
и (84.6) видно, что производная dr/dt отличается от 1 только за
счет поля Е (учет этого отличия не понадобится).
Поскольку равновесная функция распределения щ зависит
только от ?, а ?, pz, т — независимые переменные, то дщ/dpz =
= 0, дщ/дт = 0. Электрическое поле рассматривается как сколь
угодно малое; при линеаризации кинетического уравнения чле-
члены, содержащие одновременно малые величины йиЕ, следует
опустить. Тогда выражение (84.4) сводится к
dn	дпо -гл , ддп
— « - —evE+—.
at	де	от
Представим 5п в виде
8п = |^eEg, g = g(e,Pz,T)	(84.7)
(ср. G8.6)). Тогда окончательно левая часть кинетического урав-
уравнения примет вид
^ = ^eEf-v + ^V	(84.8)
dt де \ дт)	v }
Интеграл же столкновений в правой части	кинетического
уравнения после линеаризации запишем в виде
Stn= ^eEJ(g)	(84.9)
(напомним, что в интеграле столкновений, описывающем упру-
упругое рассеяние на примесных атомах, любой множитель в 8п, за-
зависящий только от ?, может быть вынесен из-под знака интегра-
интеграла); конкретный вид линейного интегрального оператора /(g)
нам не понадобится.
Приравняв друг другу выражения (84.8) и (84.9), полу-
получим окончательно кинетическое уравнение, определяющее функ-
функцию g:
g_/(g)=v.	(84.10)
Тензор проводимости дается интегралом G8.9):
2 f дпо
= ~е J —vak

§ 84	ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ	433
Переход в этом интеграле к новым переменным осуществляется
заменой d3p —>> \J\ dedpz dr, где
— якобиан преобразования. Его легко найти прямо из уравнений
(84.2), определяющих переменную т. Записав обе части, скажем,
первого из этих уравнений, в виде якобианов,
еВ_
с <
и умножив обе части равенства на \PyiPx,Pz) ^ надцем \j\ — еВ/с.
d(s,px,pz)
Пренебрегая температурным размытием распределения по, по-
полагаем, как обычно, дщ/де = —8(е — ?f)? после чего получим
окончательное выражение
о 3 ту	Г
°аC = /27rfi43 / vagCdTdpz,	(84.11)
где интегрирование производится по ферми-поверхности.
Согласно определению (84.3), переменная т пропорциональ-
пропорциональна 1/В. Поэтому член dg/дт в линейном уравнении (84.10) про-
пропорционален В и тем самым велик по сравнению с остальными
членами. Это дает возможность решать уравнение последова-
последовательными приближениями, в виде ряда по степеням 1/В:
g = g@)+gA) + ---,	(84.12)
где g(n) coB~n г). Для членов этого ряда имеем уравнения
... (84.13)
Решение этих уравнений:
g(o) =
О
где С(°), С^1), ... — функции только от е и pz.
*) Подобно тому, как это делалось в § 59 при вычислении кинетических
коэффициентов плазмы в сильном магнитном поле.

434	МЕТАЛЛЫ
Функция g должна удовлетворять определенным условиям.
Если импульсные траектории электронов (т. е. контуры сече-
сечений ферми-поверхности плоскостями pz = const) замкнуты, то
движение электронов периодично; соответственно должна быть
периодична по переменной т (с периодом Т, зависящим от pz)
также и функция s(s,pz,r). Если же траектория открыта, то
движение в импульсном пространстве инфинитно и функция g
должна удовлетворять лишь условию конечности.
Усредним уравнения (84.13) по т. Если функции g периодич-
периодичны, то среднее по периоду значение
т
Ш = I Г ^dr= g(T) ~ S(O)
дт Т J дт	Т
о
равно нулю, так как g(T) = g@). Если функции g не периодич-
периодичны, то усреднение производится по бесконечному интервалу т и
среднее значение обращается в нуль ввиду конечности g. Таким
образом, во всех случаях усреднение уравнений дает
J(g«») = /(СО») = -v, J(g(D) = 0, ... ;	(84.15)
эти соотношения определяют в принципе функции Сл°),
Переходя к вычислению тензора проводимости, напомним
предварительно некоторые общие его свойства, известные из фе-
феноменологической теории (см. VIII, § 21).
Согласно принципу симметрии кинетических коэффициен-
коэффициентов,
_ /тэч\ ^- ( тэ\	/о/1 1 а\
<7а{3[1Э) = <7{За[ — 1Э).	^o4.±0j
Тензор аар можно разделить на симметричную и антисиммет-
антисимметричную части:
аа/3 = а^1 + сг^).	(84.17)
Для них имеем, с учетом (85.16):
OLU ^ '	UOL ^ '	OLU ^	' '	/ (-) л -< о\
(п\	(п\	(п\	(84.18)
Таким образом, компоненты а^1 являются четными, а а^1 —
нечетными функциями В. Вместо антисимметричного тензора
аав можно ввести дуальный ему аксиальный вектор а по опре-
определению

§ 85	ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ	435
Тогда компоненты вектора плотности тока представятся в виде
За = °арЕр = а^рЕр + [Еа]а.	(84.19)
Диссипация энергии при протекании тока определяется лишь
симметричной частью тензора проводимости: jE = а^1ЕаЕр. Та-
Таким же образом можно разложить и обратный тензор рар = а~1
на симметричную часть и антисимметричную часть, дуальную
аксиальному вектору Ь. Тогда Е выразится через j формулой
Еа = P%jp + LJb]Q.	(84.20)
Член [Еа] в токе, или член [jb] в электрическом поле, описывает
эффект Холла.
§ 85. Гальваномагнитные явления в сильных полях.
Частные случаи
Замкнутые траектории. Начнем со случаев, когда все (т. е.
при всех pz) импульсные траектории электронов при заданном
направлении В замкнуты. Траектории всегда замкнуты при лю-
любом направлении В при замкнутых ферми-поверхностях. Что ка-
касается открытых ферми-поверхностей, то здесь возможны как
случаи, когда траектории замкнуты при любом направлении В,
так и случаи, когда сечения замкнуты лишь при определенных
(или в определенных интервалах) направлениях поля.
При движении по замкнутой (в плоскости ху) траектории
средние значения скоростей в этой плоскости равны нулю: vx =
= уу = 0; это ясно из уравнений движения (84.2) с учетом того,
что при прохождении траектории рх и ру возвращаются к исход-
исходным значениям. Значение же vz всегда отлично от нуля ввиду ин-
финитности движения в направлении поля. Первое из равенств
(84.15) дает теперь
7(Ci0)) = I(ci0)) = 0,
откуда Сх = Су = 0 1). Решение (84.14) принимает в этом
случае вид
42) + ...,	(85Л)
*) Нет никаких оснований для того, чтобы линейное однородное уравнение
1(С) = 0 имело бы какие-либо решения помимо тривиального G = 0.

436	МЕТАЛЛЫ
(интегрирование функции v(r) произведено с помощью уравне-
уравнений (84.2)).
Компоненты тензора проводимости вычисляются по формуле
(84.11). Так,
(vx снова выражено с помощью (84.2)). Поскольку Сх не зави-
зависит от т, интегрирование по т в первых двух членах сводится к
интегрированию производных dp2yjdr и dpy/dr и дает нуль. Та-
Таким образом, вклад в интеграл дает лишь член с gx , так что
2
Далее, вычисляем
xv —
Интегрирование второго члена снова дает нуль, а в первом имеем
//»
рх^- dr = px dpy = ±S(pz),
dr	J
где S{pz) — площадь сечения ферми-поверхности плоскостью
pz = const. Знаки + и — относятся соответственно к случа-
случаям, когда внутри контура находится область меньших или боль-
больших энергий, т. е. когда замкнутая траектория является элек-
электронной или дырочной (см. IX, § 61); обозначим площадь S в
первом случае как 5е, а во втором — как SV Разница в зна-
знаках в этих случаях возникает от изменения направления обхо-
обхода траектории. Интегрирование площади S по pz дает объем О
импульсного пространства, заключенный внутри ферми-поверх-
ферми-поверхности (если замкнутые траектории расположены на открытой
ферми-поверхности, то О — объем, ограниченный этой поверх-
поверхностью и гранями ячейки обратной решетки). Таким образом,
= е_с2(пн-пе) = e_c{Nh _ ^	(g52)
В Bтг/гK	В
где Ое и 0/^ — объемы электронных и дырочных полостей ферми-
поверхности. Величины
Ne — 	1 J^h —
представляют собой соответственно числа занятых электронных
состояний с энергиями е < ?р и свободных состояний с е > ?р

§ 85	ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ	437
(отнесенные к единице объема кристалла). В случае замкнутых
ферми-поверхностей эти понятия имеют вполне определенный
смысл и величины Ne и N^ представляют собой характеристи-
характеристику электронного спектра металла, не зависящую от направления
поля В; в случае же открытых поверхностей смысл этих величин
становится более условным, так как они могут оказаться завися-
зависящими от направления В.
Выражение (85.2) — нечетная функция В и потому входит
в антисимметричную часть тензора (JaE1)- Компонента же аХу
симметричной части тензора дается следующим членом разло-
разложения (УХу) пропорциональным В~2.
Аналогичным образом определяется зависимость от В
остальных компонент аа^. Так,
2е3В
azz =
Интегрирование по т вносит множитель B~l, a Cz от В не за-
зависит; поэтому и ozz не зависит от В.
В результате найдем, что
= const, остальные а^1 со В ~2, асоБ.	(85.3)
все компоненты аао и а з
столкновений, за исключением лишь
При этом все компоненты аао и а зависят от вида интеграла
Отметим, что все сгар, за исключением лишь <jZZi стремятся при
В —>> оо к нулю. Физическая причина такого поведения состоит
в локализации электронов на орбитах, малых по сравнению с
длиной пробега; конечность же ozz связана с тем, что движение
электронов вдоль магнитного поля всегда остается инфинитным.
Малым параметром разложения является отношение гв//.
Поэтому пропорциональные В~2 компоненты аЧ можно оце-
оценить по порядку величины как
(з)	(гв\2	NeH
1 — 1 ,
V I )
pF
Обратим внимание на то, что a^col/l] это значит, что при уве-
увеличении длины пробега поперечная проводимость в магнитном
) Из вывода кинетического уравнения ясно, что В входит в него не как
абсолютная величина вектора В, а как проекция Bz = В. Замена В —»¦ — В
требует поэтому и замены Б^-Вв написанных формулах.

438	МЕТАЛЛЫ
поле стремится к нулю, а не к бесконечности, как в отсутствие
поля.
Компоненты же антисимметричной части тензора аар оцени-
оцениваются как
(а) сгогв ecN
l	В '
Подчеркнем, однако, что независимость этой оценки от / не озна-
- (а)
чает независимости точных значении ака? от конкретного вида
интеграла столкновений (исключение составляет лишь а^у ); точ-
точное вычисление тензора аар требовало бы полного определения
функций С^1) и gB) путем решения конкретного кинетического
уравнения.
Из (85.3) можно найти также предельные законы зависимо-
зависимости от В компонент обратного тензора рар = а~1 1). Сохраняя
лишь члены наиболее низкого порядка по 1/i?, найдем
РаВ ~ cons^ bx,by = const, bzooB,	(85.4)
причем все эти величины зависят от вида интеграла столкнове-
столкновений, за исключением лишь
bz « -— =	.	(85.5)
az ec(Ne-Nh)	V J
(s)
Все компоненты pL стремятся при В —>• oo к постоянным пре-
пределам.
Особого рассмотрения требуют компенсированные металлы,
в которых Ne = Nfr. В этом случае выражение (85.2) обращается
(а)
в нуль и разложение аху начинается с члена, пропорционального
В~3. Таким образом, в этом случае
1, azcoB~3;	(85.6)
(s)
зависимость же aai от В остается прежней. Для обратного тен-
1) Обратный тензор должен вычисляться, разумеется, по сумме аа/з =
= а^р + сг^р и лишь затем разделяться на симметричную и антисимметрич-
антисимметричную части. Таким образом, можно получить формулы
l i" V" + аааЛ , Ьа = -I а^ар,
а	J	a
где а = а^ + а^ааа/з — определитель тензора (Та/з, а а^ — определитель
его симметричной части (см. задачу в VIII, § 21).

85
ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
439
зора получим теперь
Pzz = COnst,
(s) (s)	,
№, PL = const,
ЬсоБ.
(85.7)
Открытые траектории. Для металлов с открытыми
ферми-поверхностями, допускающими открытые траектории,
возможны разнообразные случаи, из которых мы рассмотрим
здесь лишь один, иллюстрирующий характерные особенности
возникающей ситуации.
Рассмотрим ферми-поверхность типа «гофрированного ци-
цилиндра», проходящего непрерывно из одной ячейки обратной ре-
решетки в следующие (рис. 30). Если магнитное поле не перпенди-
перпендикулярно оси цилиндра, все сечения замкнуты; при этом асимпто-
асимптотическая зависимость аар от В дается прежним законом (85.3).
Рх
—>
Pz
Рис. 30
Рис. 31
Если же магнитное поле перпендикулярно оси цилиндра, то
существуют открытые сечения. Как всегда, выбираем ось z вдоль
направления поля; ось же х в этом случае направим вдоль оси ци-
цилиндра (на рис. 31 изображен разрез участка ферми-поверхности
в одной ячейке). Траектории открыты при \pz| < \pi\, причем ин-
финитны в направлении оси рх. Средние значения скорости:
еВ dr	eB dr
поскольку рх меняется неограниченно; как всегда, vz Ф 0. Из
компонент вектора Сл°) в решении кинетического уравнения бу-
дут теперь отличны от нуля Су и Cz , и потому в решении
кинетического уравнения (85.1) вторая строка заменится на
р. _ Wo) , ^A) ,

440	МЕТАЛЛЫ
Аналогично тому, как это было сделано выше, найдем теперь,
что
axs^ooB~2, остальные сг^з = const, axooB~3, ay,azooB~l.
(85.8)
Для обратного тензора получим отсюда
pxsJ.ooB2, остальные p^l = const, bxooB~1, by,bzooB. (85.9)
Обратим внимание на резкую анизотропию сопротивления в
плоскости, перпендикулярной магнитному полю: сопротивление
рУу вдоль оси у стремится к постоянному пределу, в то время как
в направлении оси х оно возрастает с увеличением поля пропор-
пропорционально его квадрату1).
Другой характерной особенностью гальваномагнитных
свойств металлов с открытой поверхностью Ферми является их
резкая зависимость от направления сильного магнитного поля.
В данном случае изменение имеет место при приближении на-
направления В к плоскости, перпендикулярной оси цилиндра, ког-
когда происходит переход от законов (85.3), (85.4) к законам (85.8),
(85.9). Когда направление В наклонено под малым углом в к
указанной плоскости (см. рис. 30), размеры импульсной траек-
траектории электрона становятся большими — порядка Pf/О, где рр —
поперечные размеры цилиндрической ферми-поверхности. Соот-
Соответственно становится большим и размер траектории в истинном
пространстве — порядка г#/#, где г в — ларморовский радиус, от-
отвечающий импульсу pp. В области углов, для которых г в /01 ~ 1,
использованное выше разложение по степеням гв/l становится
неприменимым; в ней и происходит изменение зависимости со-
сопротивления от поля.
Подчеркнем, что во всем изложении речь шла, разумеется,
о монокристаллах. В поликристаллическом образце происходит
усреднение анизотропных гальваномагнитных свойств, завися-
зависящее от распределения кристаллитов по направлениям.
Аналогичным образом можно было бы рассмотреть термо-
термомагнитные явления в металле в сильном магнитном поле. При
этом оказалось бы, в частности, что компоненты тензора элек-
электронной теплопроводности стремятся при В —>• оо к нулю. Но
в этих условиях становится существенным перенос тепла фо-
нонами, возникает необходимость в учете также и электрон-
фононного взаимодействия и вся картина сильно усложняется.
г) Напомним (см. IX, § 57), что траектория электрона в плоскости ху ис-
истинного пространства отличается от траектории в плоскости рхРу импульс-
импульсного пространства лишь изменением масштаба и поворотом на 90°. Поэтому
в данном случае движение электрона в реальном пространстве инфинитно
в направлении оси у.

§ 86	АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ	441
§ 86. Аномальный скин-эффект
Как известно из макроскопической электродинамики, пере-
переменное электромагнитное поле затухает в глубь проводника; вме-
вместе с полем оказывается сконцентрированным в поверхностном
слое проводника также и вызываемый им электрический ток (так
называемый скин-эффект). Напомним некоторые относящиеся
сюда формулы (см. VIII, § 45, 46).
Квазистационарное электромагнитное поле в металле удовле-
удовлетворяет уравнениям Максвелла
rotE = -i^,	(86.1)
с at
rotB = — j, divB = 0	(86.2)
С
(металл предполагается немагнитным, так что в нем Н = В).
При этом, разумеется, подразумевается выполненным общее
условие применимости макроскопических уравнений: расстоя-
расстояния E, на которых поле существенно меняется, велики по срав-
сравнению с атомными размерами. Если, сверх того, эти расстояния
велики также и по сравнению с длиной свободного пробега элек-
электронов проводимости /, то связь плотности тока j с полем Е да-
дается линейными соотношениями, связывающими их значения в
одной и той же точке пространства: ja = аарЕр, где аа^ — тен-
тензор проводимости. Скин-эффект в этих условиях называют нор-
нормальным. Рассмотрим его, предполагая среду изотропной (или
кристаллом кубической симметрии); тогда тензор аар сводится
к скаляру, так что j = сгЕ.
Предположим простейшие геометрические условия, когда ме-
металл занимает полупространство (х > 0), ограниченное плоско-
плоскостью х = 0. К металлу приложено однородное внешнее элек-
электрическое поле, параллельное его поверхности и меняющееся со
временем с частотой ио. Уравнения (86.1), (86.2) принимают вид
rotE = ^B, rotB = — <тЕ, divB = 0.	(86.3)
с	с
В силу симметрии задачи, распределения всех величин в метал-
металле будут функциями только одной координаты х. Из первого
уравнения (86.3) следует тогда, что магнитное поле В везде па-
параллельно плоскости границы.
Мы удовлетворим всем уравнениям, предположив, что и
электрическое поле Е лежит везде в той же плоскости. При этом
автоматически выполнится и необходимое граничное условие ис-
исчезновения нормальной к поверхности металла компоненты тока:

442	металлы
из Ех = 0 следует, что везде и jx = 0 г).
Исключая В из первых двух уравнений (86.3), находим
rot rot E = grad div E - АЕ =
с2
Для тангенциального поля, зависящего только от ж, имеем
div E = 0 и уравнение принимает вид
Е" = -±™^Е,	(86.4)
С2
где штрих означает дифференцирование по х. Его решение, обра-
обращающееся в нуль при х —>• оо, есть
Е = Eoe-^V*-1)*/*,	(86.5)
где Ео — амплитуда поля на поверхности металла, а
д = -^=.	(86.6)
у2тгаио
Величину S называют глубиной проникновения поля; она убыва-
убывает с увеличением частоты поля. Магнитное поле в металле за-
затухает по тому же закону; из уравнений (86.3) следует, что Е и
В связаны везде соотношением Е = С[Вп], где п — единичный
вектор нормали к поверхности (направленной внутрь металла,
т. е. в положительном направлении оси ж), а
(86.7)
Этим соотношением связаны, в частности, и значения полей на
самой поверхности металла:
Ео = С[Воп].	(86.8)
Величину ? называют поверхностным импедансом металла. На-
Напомним, что его вещественная часть определяет диссипацию
энергии поля в металле (см. VIII, § 67).
Для того чтобы имела место связь j = <тЕ между током и
электрическим полем в той же точке пространства и в тот же
момент времени, длина свободного пробега электронов / и время
свободного пробега г ~ l/vp должны удовлетворять условиям
i < (J и rw < 1: / должно быть мало по сравнению с характер-
характерным расстоянием изменения поля ?, а т мало по сравнению с
периодом поля. При нарушении первого из этих условий связь
С= i-0^ = (i-»K h=-
) В анизотропной среде ситуация меняется. Для выполнения указанно-
указанного условия должно быть тогда введено наряду с тангенциальным также и
нормальное к поверхности электрическое поле.

§ 86	АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ	443
между током и полем перестает быть локальной, возникает про-
пространственная дисперсия проводимости. Нарушение же второго
условия приводит к появлению частотной дисперсии проводимо-
проводимости. Для выяснения связи между током и полем надо обратиться
тогда к кинетическому уравнению.
Таким образом, характер скин-эффекта зависит от относи-
относительной величины трех характерных размеров: #, / и vp/uo.
Нормальному скин-эффекту, описываемому формулами (86.5)—
(86.8), отвечает область наиболее низких частот, при которых
I « <*, I < ^.	(86.9)
При увеличении частоты поля или при увеличении длины пробе-
пробега (при уменьшении температуры металла) глубина проникнове-
проникновения уменьшается. В металлах обычно первым нарушается усло-
условие 6 ^> / и связь тока с полем становится нелокальной; о скин-
эффекте в этих условиях говорят как об аномальном. Мы рас-
рассмотрим в этом параграфе предельно аномальный случай, когда
S<&1, 6<&Щ.	(86.10)
Соотношение же между I и vp/oo может быть произвольным 1).
Решение граничной задачи о скин-эффекте мы начнем со
вспомогательной задачи о связи в неограниченном металле меж-
между током и переменным во времени и пространстве электриче-
электрическим полем
E = Eoei(kr"a;*).
Волновой вектор поля предполагается удовлетворяющим нера-
неравенствам
\ « I, \ « ^,	(86.11)
к	к и
отвечающим условиям (86.10). Вместе с полем по тому же закону
будет меняться и добавка дп к функции распределения электро-
электронов.
В силу условия vpk ^> vp/l ~ 1/т, в кинетическом уравне-
уравнении можно пренебречь интегралом столкновений St n ~ 5п/т
по сравнению с членом с пространственными производными
vdn/дг ~ уркбп. В силу же условия kvp ^> w можно пренебречь
также и производной по времени dn/dt ~ ио8п.
х) Равенство 5 ~ I достигается при и ~ с2/(al2), т. е. (если воспользовать-
воспользоваться оценкой а ~ le N/pf) при и ~ с Pf/(g I N). Это значение совместно с
неравенством 6 ~ / <^С vf/ou, если / > c/Q, где п ~ GVe2/m*I/2 — плаз-
плазменная частота металла (m* ~ Pf/vf — эффективная масса электронов
проводимости). Для обычных металлов Q ~ 1015 — 1016 с.

444	металлы
В силу последнего пренебрежения, кинетическое уравнение
для квазичастиц электронной ферми-жидкости снова сводится
к уравнению для газа путем переопределения функции распре-
распределения — замены 5п на 5п из G4.13). В данном случае, после
указанных пренебрежений, кинетическое уравнение имеет про-
простой вид
Положив
находим отсюда
ддп
дг
дг
— 'Ы~
др
дпо
' ~др~
ieEvd
_ дпо
	 V
де
По
(86.12)
kv де
Это выражение имеет полюс при kv = 0. При вычислении
тока
2dsp
этот полюс должен обходиться путем замены kv —>• kv — iO 1):
j = гв2 /
J	J
kv-гО де Bтт/гK
(86.13)
Пренебрегая, как обычно, температурным размытием равно-
равновесной функции распределения, пишем дщ/де = —8{е — ер) и
преобразуем интеграл по d?p в интеграл по ферми-поверхности
по формуле G4.20). Согласно известной формуле дифференци-
дифференциальной геометрии, элемент площади dS = dovjК', где dov — эле-
элемент телесных углов для направления нормали v к поверхно-
поверхности, а К — гауссова кривизна поверхности, т. е. обратное про-
произведение К = l/(i?]_i?2) ee главных радиусов кривизны в дан-
данной точке. Заметив также, что направление нормали к ферми-
поверхности в каждой ее точке совпадает с направлением скоро-
скорости v = де/др, получим
• _ Не2 Г у(Е|/) dou	(86 14)
J	Bтг/гK J К (у) kv-iO'	У ' )
Определяя направление v азимутальным и полярным углами ср
и в относительно направления к как полярной оси, будем иметь
ki/ = к cos б, dou = sin в dip d6.
Это отвечает обычной замене ио —>- uj + гО в разности uj — kv.

§ 86	АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ	445
Интегрирование в (86.14) по переменной \i = cos в произво-
производится по отрезку — 1 ^ \i ^ 1 вещественной оси с обходом полюса
\i = 0 по полуокружности снизу. Легко видеть, что интеграл по
прямолинейным отрезкам (т. е. главное значение интеграла) при
этом обращается в нуль, так что остается лишь вклад от обхода
полюса. Для этого замечаем, что в силу четности функции б(р)
ферми-поверхность б(р) = sf инвариантна относительно замены
р —>• — р; поскольку изменение знака р меняет также и знак век-
вектора нормали I/, отсюда следует, что К (—и) = К (и). Интеграл в
(86.14) можно поэтому представить в виде
if/1 i/(Ei/)dou _ f i/(Ei/)dou
2 \J K(y)Qa/-iO) ~ J K(y)Qa/ + iO
где в скобках стоит сумма интегралов, получающихся друг из
друга заменой переменной интегрирования v —>• —i/; из этого вы-
выражения сделанное утверждение очевидно.
В полюсе подынтегрального выражения ki/ = к cos в = 0, т. е.
нормаль v перпендикулярна заданному направлению волнового
вектора к. Вычет по переменной cos в дается, следовательно, ин-
интегралом
взятым по кривой, представляющей собой геометрическое место
точек ферми-поверхности, в которых v _L k.
Таким образом, окончательно находим связь тока с полем в
виде
За = аар(к)Ер,	(86.15)
где
2тг
(86.16)
— вещественный тензор в плоскости, перпендикулярной к; если
направление к выбрано в качестве оси ж, то индексы а и 0 про-
пробегают значения у, z. Вектор j лежит целиком в этой плоскости,
т. е. поперечен по отношению к к.
Обратим внимание на то, что вклад в ток возник только от
электронов с vk = 0, т. е. движущихся перпендикулярно вол-
волновому вектору. Это — естественное следствие приближения, в
котором длина свободного пробега рассматривается как сколь
угодно большая: при движении под углом к направлению к элек-
электрон в своем свободном движении проходит через поле, осцилли-
осциллирующее в пространстве и эти осцилляции погашают суммарное
воздействие поля на электрон. В следующем приближении, при
учете конечности произведения /с/, вклад в ток возникал бы уже

446	МЕТАЛЛЫ
от электронов, движущихся в малом интервале углов ~ 1/(Ы)
относительно плоскости, перпендикулярной направлению к.
Перейдем теперь непосредственно к задаче о проникновении
поля при аномальном скин-эффекте. Здесь мы имеем дело с за-
задачей о полупространстве, которую надо решать с учетом гра-
граничных условий на поверхности металла. Граничные условия для
функции распределения зависят от физических свойств поверх-
поверхности по отношению к падающим на нее электронам. Существен-
Существенно, однако, что в данном случае в создании тока участвуют в
основном лишь электроны, летящие почти параллельно поверх-
поверхности металла (о них говорят как о скользящих электронах). Для
таких электронов закон отражения в значительной степени не
зависит от степени совершенства поверхности металла и близок
к зеркальному, т. е. электроны отражаются с изменением знака
нормальной к поверхности компоненты скорости v при неизмен-
неизменных тангенциальных составляющих (чтобы не прерывать изло-
изложение, более подробное обсуждение этого вопроса перенесем в
конец этого параграфа).
Зеркальному отражению отвечает граничное условие для
функции распределения:
8n(vXlvyivz) = 8n(—vXlvyivz) при х = 0.	(86.17)
При таком условии задача о полупространстве эквивалентна за-
задаче о неограниченной среде, в которой поле распределено сим-
симметрично по обе стороны плоскости х = 0: Е(?,ж) = Е(?, — х).
При этом электронам, отраженным от границ в задаче о полу-
полупространстве (х > 0), отвечают в задаче о неограниченном про-
пространстве электроны, беспрепятственно прошедшие через плос-
плоскость х = 0 со стороны х < 0.
В задаче о предельно аномальном скин-эффекте можно счи-
считать, что поле Е (зависящее только от одной координаты х) на-
направлено везде параллельно плоскости х = 0. Согласно (86.15),
в той же плоскости лежит и вектор тока j, и потому автомати-
автоматически удовлетворяется условие равенства нулю на поверхности
металла нормальной к ней компоненты тока1).
Без предположения j = <тЕ для двумерного вектора Е имеем
вместо (86.4) уравнение
Е" = -±™j.	(86.18)
с2
Будем далее подразумевать временной множитель exp (—iuot) во
г) В следующих приближениях, при учете конечности отношения S/1, на-
наряду с компонентами аар тензора проводимости появляются также и ком-
компоненты аах, (Ухх- Для обеспечения граничного условия jx = 0 должно быть
тогда введено также и нормальное к поверхности поле Ех (как это уже было
отмечено в примеч. на с. 442).

§ 86	АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ	447
всех функциях опущенным, так что Е, j, ... будут функциями
только от х.
Функция Е(ж), симметрично продолженная в область х < О,
непрерывна при х = 0. Но производная Е'(ж), будучи нечетной
функцией ж, испытывает при х = 0 разрыв, меняя знак при про-
прохождении переменной х через нуль. Согласно уравнению (86.1),
эти производные связаны с магнитным полем соотношением
где п — снова единичный вектор в направлении оси х. В задаче
о полупространстве мы имели бы поэтому при х = 0 условие
Е7 = го;[Воп]/с, где Во — поле на границе металла. В задаче о
неограниченной среде этому отвечает условие
-Е'(-0) = 2—[Воп].
с
—гкх
Умножим обе части уравнения (86.18) на е и проинтегри-
проинтегрируем его по ж в пределах от — оо до оо 1). В левой части уравнения
имеем
оо	0	оо	оо
/ E"e~ikxdx = J (E'e-ikxydx+f(E'e-ikx)'dx+ik J E'e~ikxdx.
— ОО	—ОО	0	—ОО
Поскольку на бесконечности поле Е(ж) обращается в нуль, то
первые два интеграла дают как раз разность Е'(—0) — Е'(+0). В
последнем же члене, ввиду непрерывности самой функции Е(ж),
можно уже просто интегрировать по частям. В результате при-
приходим к равенству
— [Bon] + kzB(k) = —7-j(*0,
с	с2
где E(fc) и j(fc) — фурье-образы функций Е(ж) и j(x).
Согласно (86.15) эти фурье-образы связаны друг с другом со-
соотношением ja{k) = &а/з{к)Ер(к). Воспользовавшись этим, най-
найдем для фурье-образа поля выражение
Еа(к) = Сар(к)\В0п]р,	(86.19)
где Са(з(к) — двумерный тензор, задаваемый своим обратным:
(86-20)
1) Дальнейшие вычисления формально совпадают с ходом решения задачи
о проникновении магнитного поля в сверхпроводник в IX, § 52.

448	металлы
Аргумент функций аар написан как |/с|, чтобы напомнить, что
здесь фигурирует абсолютная величина вектора к.
Сама функция Е(ж) получается из (86.19) умножением на
ехр (гкх) и интегрированием по dk/Bтт). Ввиду четности функ-
функций Сар(к) имеем
оо
Еа(х) = - Г Сав(к) cos kxdk- [Воп]л.	(86.21)
п о
В частности, значение поля на границе металла есть
оо
Еоа = Ca/*[Bon]0,	<ZaP = Lf (a?(k) dk.	(86.22)
^ о
Для фактического вычисления поверхностного импеданса
выберем оси у и z в направлении главных осей симметрично-
симметричного тензора аа^{к). Вместе с аа^ приводится к главным осям и
тензор ?ар, и его главные значения
ОО
— _^_ [	dk
~ тгс J к2 -ibW/к'
где А^а; — главные значения тензора Аар. Интегрирование при-
приводит к результату 1)
) ^^ Г^I/3 .	(86.23)
Величины А^а; зависят только от характеристик — формы и раз-
размеров — ферми-поверхности. Отметим, что импеданс (86.23) ока-
оказывается не зависящим вовсе от длины пробега электронов. Для
оценки по порядку величины можно считать, что радиусы кри-
1) Путь интегрирования (правая вещественная полуось) можно повернуть
на угол —тг/6 в плоскости комплексного ?;, не пересекая при этом полюсов
подынтегрального выражения. Интегрируя вдоль луча к = г^ехр (—гтт/6),
имеем
оо	оо
_ F kdk	in/6 f udu
~ J к3 - ib	J u3 +b
о	о
и, после подстановки и3 + b = &/?,
e^6 К-2/зп ,,-1/з ., ГA/3)ГB/3) We ^
i = 	 It	A — с )	ас = 	e	= —

§ 86	АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ	449
визны ферми-поверхности ~ рр; тогда А ~ р2^ и
fc3, ,2
Напомним, что вещественная часть импеданса определяет
диссипацию энергии поля в металле. В рассмотренном прибли-
приближении (не учитывающем столкновений электронов) эта диссипа-
диссипация имеет природу затухания Ландау 1).
Закон затухания электрического поля внутрь металла при
аномальном скин-эффекте не экспоненциален, и потому понятие
глубины проникновения не имеет в этом случае того буквально-
буквального смысла, как в (86.5). Ввиду наличия в подынтегральном вы-
выражении в (86.21) осциллирующего множителя cos kx, интеграл
определяется (при заданном х) в основном областью значений
к ~ 1/х. Существенное убывание функции Е(ж) происходит, ко-
когда эти значения к ^> б1/32). Поэтому глубина проникновения
по порядку величины равна 6 ~ б/3, или
(86.25)
При увеличении частоты эта глубина продолжает убывать, но
медленнее, чем при нормальном эффекте. Величины, определяе-
определяемые выражениями (86.6) и (86.25) (обозначим их как 6иорм и ?ан),
сравниваются по порядку величины при 5 ~ I. Поскольку одна
из них убывает как о;/2, а другая как о;/3, то ясно, что при
одном и том же значении ш: ?3Н ~ S^opMl.
Наконец, сделаем некоторые замечания по поводу характера
отражения электронов от границы металла. Если поверхность
идеальна (без дефектов) и совпадает с какой-либо кристалличе-
кристаллической плоскостью, то расположение атомов в ней обладает пери-
периодичностью, отвечающей трансляционной симметрии кристал-
кристаллической решетки. В таком случае при отражении электрона
сохраняются наряду с энергией также и тангенциальные ком-
компоненты его квазиимпульса ру, pz. Нормальная же компонента
квазиимпульса отраженного электрона, р'Х1 определяется по зна-
) На явления, составляющие сущность аномального скин-эффекта, впер-
впервые указал Г. Лондон (Н. London, 1940). Качественная теория этого эффекта
была дана Пиппардом (А.В. Pippard, 1947), а изложенная количественная
теория принадлежит Рейтеру и Зондгеймеру (G.E. Renter, E.H. Sondheimer,
1948).
2) При х ^> S интеграл (86.21) определяется значениями к ^С Ь1^3. При
этом ?(&) ~ к, а поле Е(ж) убывает как х~2.
15 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

450	МЕТАЛЛЫ
чению рх падающего электрона уравнением
z(p'xiPyiPz) = z(Px,Py,Pz),	(86.26)
причем должно быть v'x = де/ др'х > 0 — отраженный электрон
движется по направлению от границы (скорость же падающего
электрона vx = де/дрх < 0). Уравнение (86.26) может иметь
несколько таких корней, причем, вообще говоря, vx Ф —vx.
Но для скользящих падающих электронов среди этих кор-
корней всегда имеется один, отвечающий небольшому изменению
квазиимпульса, причем vx = —vx (т. е. отражение является зер-
зеркальным в буквальном смысле этого слова). Действительно, для
электрона, движущегося почти параллельно границе, производ-
производная vx = де/дрх мала; это значит, что на изоэнергетической по-
поверхности в р-пространстве электрону отвечает точка Р, находя-
находящаяся вблизи точки экстремума энергии е как функции рХ1 т. е.
точки, в которой де/дрх = 0. Но вблизи такой точки, по дру-
другую сторону экстремума, всегда существует точка Р7, в которой
значение производной де/дрх отличается от значения в точке Р
лишь знаком.
Можно показать, что отражение скользящего электрона с по-
подавляющей вероятностью происходит именно с таким изменени-
изменением квазиимпульса. Более того, это утверждение остается в силе
и при отражении от несовершенной поверхности, содержащей
шероховатости атомных размеров, когда закона сохранения тан-
тангенциальных компонент квазиимпульса, строго говоря, уже не
существует. Наглядное объяснение состоит в том, что волно-
волновая функция скользящего электрона медленно меняется вдоль
оси х и потому «не чувствует» атомных шероховатостей поверх-
поверхности 1).
Интересно, что значение поверхностного импеданса при пре-
предельно аномальном скин-эффекте фактически оказывается во-
вообще малочувствительным к характеру отражения электронов.
Так, при диффузном отражении (когда все направления отра-
отраженного электрона равновероятны вне зависимости от угла па-
падения) значение импеданса отличается от (86.23) лишь множите-
множителем 9/8. Граничное условие при диффузном отражении от плос-
плоской поверхности формулируется как 6n(vx > 0,vy,vz) = 0 при
х = 0. При этом, однако, метод Фурье оказывается непригод-
непригодным и решение задачи должно производиться так называемым
методом Винера-Хопфа2).
г) Доказательство указанных утверждений можно найти в обзорной ста-
статье: Андреев А.Ф. // УФН. 1971. Т. 105. С. 113.
2) См. Renter G.E., Sondheimer E.H. // Proc. Roy. Soc. 1948. V. A195.
P. 336.

§ 87	СКИН-ЭФФЕКТ В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ	451
§ 87. Скин-эффект в инфракрасной области
Мы рассмотрели, таким образом, два предельных случая
скин-эффекта: нормальный эффект, когда наименьшим из трех
характерных размеров (?, /, vp/uo) является длина пробега /, и
аномальный эффект, когда наименьшей является глубина про-
проникновения S. Теперь мы рассмотрим третий случай, когда наи-
наименьшей длиной является
!L<&6, ^ « I.	(87.1)
К этому случаю мы приходим естественным образом от аномаль-
аномального скин-эффекта при дальнейшем увеличении частоты; хотя
глубина проникновения при этом убывает, но произведение ио8
возрастает как о;2/3. В обычных металлах условия (87.1) осуще-
осуществляются в инфракрасной области.
Условия (87.1) ограничивают область частот снизу. Но спра-
справедливость излагаемых ниже результатов, основанных на теории
ферми-жидкости, ограничена также и сверху условием huo <^ ер.
Нарушение этого условия приводило бы к возбуждению квази-
квазичастиц из глубины ферми-распределения, не имеющих смысла в
рамках теории ферми-жидкости.
Для определения связи между током и электрическим полем
надо снова обратиться к кинетическому уравнению. Но теперь
член с производной по времени в силу условия ио ^> vp/S велик
по сравнению с членом с пространственными производными, а в
силу условия ио ^> vp/l — также и по сравнению с интегралом
столкновений. После пренебрежения этими членами кинетиче-
кинетическое уравнение принимает вид
^2 - eEv^ = 0.
dt	де
Написав дбп/dt = —iuoSn, находим отсюда
с	дпо i	i eEv	,QP7 оч
5п = -—V>> Ф = — •	(87-2)
OS	IUJ
Отсутствие в кинетическом уравнении члена с производны-
производными по координатам означает отсутствие пространственной дис-
дисперсии. В этом смысле скин-эффект снова становится «нормаль-
«нормальным». Присутствие члена с производной по времени приводит,
однако, к частотной дисперсии проводимости. Ситуация здесь
такая же, как при вычислении диэлектрической проницаемости
бесстолкновительной плазмы. Отличие состоит лишь в анизо-
анизотропии металла и в ферми-жидкостных эффектах. Последние
проявляются в том, что плотность тока выражается интегра-
интегралом, зависящим не только от функции распределения ?п, но и
от функции взаимодействия квазичастиц (электронов проводи-
проводимости) /(р,р7)- Обратим внимание на то, что ввиду наличия в
15*

452	металлы
кинетическом уравнении члена dSn/dt исключение взаимодей-
взаимодействия квазичастиц путем введения эффективной функции рас-
распределения 5п оказывается здесь невозможным.
Согласно G4.21), G4.22), плотность тока выражается через
поправку к функции распределения электронов формулой
2dSF
где v — единичный вектор в направлении скорости wFl совпа-
совпадающий с вектором нормали к ферми-поверхности. Подставив
сюда функцию ф из (87.2), найдем связь тока с полем в виде
За — &ав{ш)Ея, где тензор проводимости
е2 дГ(эф)
= / иа \vFvp+ / j(pF,pF)Vp
J V	J	HBirh)s]
2dSF	(87-3)
Bтт/гK
Сдт-(эф)
имметрия тензора N^q определяется симметрией кристалла
(и не зависит от направления поля, как это было в (86.15)). В
кристалле кубической симметрии (которую будем предполагать
ниже для простоты) этот тензор, а с ним и аа^ сводится к ска-
ляру, Nffi + N^Sap, и тогда
a(u) = -—N^l	(87.4)
imuj
Описание свойств металла с помощью этой проводимости
можно обычным образом заменить описанием с помощью ди-
диэлектрической проницаемости
(87.5)
uj	muj2
Обозначение Л/"(ЭФ) введено по аналогии с известным (см. VIII,
§ 59) предельным выражением диэлектрической проницаемости
при очень больших частотах: е = 1 — 4:7re2N/(muj2I где N —
полное число электронов в единице объема вещества. Таким об-
образом, величина Л/"(ЭФ) играет в инфракрасной оптике металлов
роль эффективного числа электронов; она зависит от функции
взаимодействия электронов проводимости.
Наряду с числом Л/"(ЭФ) целесообразно ввести также и эффек-
эффективную плазменную частоту
()	(87.6)
V т	/

§ 87	СКИН-ЭФФЕКТ В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ	453
Тогда проводимость запишется в виде
а = ^-.	(87.7)
47га;
Величина О определяется только параметрами электронного
спектра металла; в грубой оценке она совпадает поэтому с па-
параметром ер/Н — граничной энергией Ферми. Поскольку изла-
излагаемая теория ограничена условием Ни <С ер, то и О ^> ио.
Проникновение поля в металл описывается уравнением
(86.4), которое после подстановки а из (87.7) принимает вид
Е" - ^Е = 0.
с2
Его решение, обращающееся в нуль при х —>> оо:
Е = Еое"ж/^ 6 = -	(87.8)
(для типичных металлов с/О ~ 10~5 см). Таким образом, поле
затухает по экспоненциальному закону с независящей от частоты
глубиной проникновения. Связь между электрическим и магнит-
магнитным полями дается теперь (как легко снова убедиться с помощью
первого из уравнений (86.3)) соотношением (86.8) с импедансом
( = -!^ = -^.	(87.9)
С	п
Чисто мнимый импеданс означает полное отражение электро-
электромагнитной волны от поверхности металла, без диссипации. Этот
результат естествен, поскольку в рассмотренном приближении
не учитывались столкновения электронов, являющиеся источни-
источником диссипации.
Отметим, что с учетом (87.7) основные условия применимо-
применимости рассматриваемой теории можно записать как
О>о;>О^.	(87.10)
с
Левое неравенство обычно совместно с неравенством Ни ^> в
(в — дебаевская температура). В этом случае фермиевский па-
параметр vp и функция / в формуле (87.3) должны браться не на
самой ферми-поверхности, а при \е — ер\ ^> Э. Как было показано
в IX, § 65, электрон-фононное взаимодействие приводит к тому,
что vp в этой области отличается от vp в области \е — ер\ ^С Э
(существенной, например, для статических свойств металла при
низких температурах); то же самое относится и к функции вза-
взаимодействия квазичастиц /.

454	металлы
§ 88. Геликоидальные волны в металле
Тот факт, что внешнее переменное электромагнитное поле
не проникает в глубь металла, означает, другими словами, что
в металле невозможно распространение незатухающих электро-
электромагнитных волн — с частотами вплоть до плазменной частоты,
оо ~ О.
Ситуация, однако, радикально меняется при наличии посто-
постоянного магнитного поля В. Магнитное поле меняет характер
движения электронов и тем самым оказывает сильное влияние
на электромагнитные свойства металла. При этом существенно,
что движение становится финитным в плоскости, перпендику-
перпендикулярной полю. В сильных полях, когда ларморовский радиус ор-
орбиты г в ~ срр/еВ становится малым по сравнению с длиной
пробега,
тв < I	(88.1)
(или, что то же самое, иовт ^> 1, где иов ~ vp/гв ~ еВ/(т*с) —
ларморовская частота, г ~ l/vp — время свободного пробега),
электрическая проводимость в поперечных к полю направлениях
резко уменьшается, стремясь к нулю при В —>> оо. Можно ска-
сказать, что в этих направлениях металл ведет себя как диэлектрик,
в результате чего уменьшается диссипация энергии в волнах с
электрическим полем, поляризованным в плоскости, перпенди-
перпендикулярной В. Другими словами, становится возможным распро-
распространение таких волн как незатухающего (в первом приближе-
приближении) процесса. При этом допустимые частоты волн ограничены
условием
оо^оив;	(88.2)
лишь при этом условии траектории электронов успевают замет-
заметно искривиться за время периода поля, что и приводит к изме-
изменению электромагнитных свойств металла по отношению к этим
частотам.
Финитность движения электрона (в плоскости, перпендику-
перпендикулярной В) предполагает и финитность его импульсной траек-
траектории — сечения ферми-поверхности. Поэтому сказанное выше
относится к металлам с закрытыми ферми-поверхностями при
любом направлении В, а к металлам с открытыми поверхно-
поверхностями — лишь при тех направлениях В, для которых сечения
замкнуты. При открытых сечениях движение электронов в маг-
магнитном поле остается инфинитным, проводимость не убывает и
распространение электромагнитных волн в соответствующих на-
направлениях оказывается невозможным.
Незатухающие электромагнитные волны в металле можно
рассматривать как бозевские ветви энергетического спектра
электронной ферми-жидкости. Макроскопический характер этих
волн проявляется в большой (по сравнению с постоянной решет-

§ 88	ГЕЛИКОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В МЕТАЛЛЕ	455
ки) величине длин волн. По этой причине этим возбуждениям
отвечает лишь относительно очень малый фазовый объем и их
вклад в термодинамические величины металла пренебрежим.
Напишем снова уравнения Максвелла
rot В = — j, rotE = -i —.	(88.3)
с	с dt
где через В обозначено (в отличие от постоянного В) переменное
слабое магнитное поле волны. Исключим В из этих уравнений:
rot rotE = grad div E - АЕ = -iZE^l.
с2 dt
Для монохроматической плоской волны имеем отсюда
^	(88.4)
Выразим поле Е через ток согласно Еа = paCJCi гДе РаC — &пв ~
тензор удельного сопротивления. Тогда получим систему одно-
однородных линейных уравнений
^J = 0.	(88.5)
Ее определитель и дает уравнение, определяющее закон диспер-
дисперсии волн.
В § 84, 85 был найден вид тензора проводимости металла (в
области его остаточного сопротивления) в сильном магнитном
поле в стационарном случае. Выясним теперь, каким образом эти
результаты должны быть изменены для нестационарного случая.
Временная и пространственная периодичность электрическо-
электрического поля (а с ним и переменной части функции распределения
электронов) приводит к появлению в левой части кинетического
уравнения членов
д дп . д дп	.г . ! г~
	 + V	 = —100 ОП + 2KV ОП
dt	dr
(ср. G4.25)). Аналогично (84.7) представим функции 5п и 5п в
виде
8п = ^eEh, 8n = ^
де	де
Согласно G4.21) функции h и g связаны друг с другом линейным
интегральным соотношением

456	МЕТАЛЛЫ
Таким образом, кинетическое уравнение примет вид
g - [/(g) + icoL-'g - i(kv)g] = v.	(88.6)
Оно отличается от прежнего уравнения (84.10) заменой члена
/(g) выражением, стоящим здесь в квадратных скобках. Это вы-
выражение зависит теперь не только от характера рассеяния элек-
электронов на примесных атомах, но и от функции их взаимодей-
взаимодействия друг с другом.
В силу условия гв <С 1, член /(g) в уравнении (88.6) мал
по сравнению с членом <9g/<9r, как он был мал и в преж-
прежнем уравнении (84.10). В силу условия ио <С со в мал также и
член iujL~1g ~ iojg. Наложим еще условие на волновой вектор:
k ^оов, т. е.
кгв < 1	(88.7)
— длина волны должна быть велика по сравнению с ларморов-
ским радиусом. Тогда будет мал и последний член в квадрат-
квадратных скобках в (88.6). В этих условиях развитый в § 84 метод
решения кинетического уравнения последовательными прибли-
приближениями остается в силе, а с ним остаются справедливыми и
полученные там результаты для первых членов разложения тен-
тензора проводимости по степеням 1/В. Но ввиду присутствия со
и к в уравнении (88.6) будет, вообще говоря, иметься частотная
и пространственная дисперсия проводимости.
Наличие нескольких характерных параметров длины и
времени и разнообразие геометрических свойств ферми-
поверхностей приводят к многообразию явлений, связанных с
распространением электромагнитных волн в металлах. Мы огра-
ограничимся рассмотрением (в этом и следующем параграфах) лишь
некоторых характерных случаев.
Рассмотрим некомпенсированный металл с закрытой ферми-
поверхностью. Согласно (85.4), (85.5), наибольшей из компонент
тензора сопротивления является
ту
Рху = -Рух = ec{Ne_Nhy	(88-8)
она относится к бездиссипативной (антиэрмитовой) части тензо-
тензора. Эта компонента вообще не зависела от вида интеграла столк-
столкновений, а потому не зависит и от вида выражения в квадратных
скобках в уравнении (88.6). Формула (88.8) остается, следова-
следовательно, справедливой и в поле волны.
Описание среды с помощью тензора сопротивления рар (или
проводимости аар) эквивалентно описанию тензором диэлектри-
диэлектрической проницаемости
4тгг

§ 89	МАГНИТОПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В МЕТАЛЛЕ	457
В данном случае тензор е~о имеет лишь компоненты
_1 	 —1 		иоВ
Это выражение совпадает с рассмотренным в § 56 в связи с ге-
геликоидальными волнами в плазме (отличаясь от него лишь за-
заменой электронной плотности Ne на разность Ne — N^). Поэтому
полученные в § 56 результаты прямо переносятся и на рассма-
рассматриваемые волны в металле, которые тоже называют геликои-
геликоидальными 1).
Закон дисперсии этих волн:
ш= cB|cos611 ,	(88.9)
где в — угол между к и В. Электрическое поле волны эллипти-
эллиптически поляризовано в плоскости, перпендикулярной магнитному
полю В. Выбрав (как и в § 56) направление В в качестве оси z, a
плоскость xz, проходящей через направления к и В, будем иметь
для электрического поля:
Еу = ±i\ cos 6\ЕХ,	(88.10)
где верхний знак относится к случаю Ne > N^, а нижний — к
случаю Ne < Nh.
§ 89. Магнитоплазменные волны в металле
Рассмотрим теперь волны в компенсированном (Ne = N^) ме-
металле с замкнутой ферми-поверхностью. Помимо обязательных
условий (88.1), (88.2) будем предполагать также выполненными
неравенства
и > у, и > kvF.	(89.1)
В силу первого из них, интеграл столкновений /(g) в кинети-
кинетическом уравнении (88.6) мал по сравнению с членом io;L~1g, a
в силу второго условия мал также и член i(kv)g. Пренебрегая
этими членами, получим уравнение
g	е = v,	(89.2)
отличающееся от уравнения (84.10) заменой члена /(g) на
:) Возможность распространения этих волн в металле была указана
О.В. Константиновым и В.И. Перелем A960).

458	металлы
Поэтому результаты, полученные в § 85 для тензора сопро-
сопротивления в стационарном случае, останутся справедливыми с той
лишь разницей, что малым параметром разложения по степеням
1/В будет теперь не гв/h а —гио/иов- Пространственная диспер-
дисперсия проводимости отсутствует, но имеется дисперсия по часто-
частотам.
Согласно (85.7) в стационарном случае главные члены разло-
разложения компонент тензора удельного сопротивления для компен-
компенсированного металла таковы:
pzz = const; pxxiPyyiPxy^B2; pxz.Pyz^oB.	(89.3)
Для выделения параметра гв/l в этом тензоре надо, однако, вы-
выяснить, как входят в его компоненты не только В, но и /. Для
этого пишем, например, оценку
( I \2 В I
Рхх ~ Ро I—) ~ —- —,
V тв /	ecTV гб
где ро ~ pF/(Ne2l). Аналогичным образом,
1В	В тв
Pyz ~ РО — ~ —г;, Pzz ~ РО п
тв ecN
Произведя теперь указанную выше замену параметра разложе-
разложения, найдем тензор pap(uj) в виде
РаЗ =
В
ecN
. ихх 	— axv	axz
— IUJ
~ахх 	~аху
(89.4)
где все аар ~ 1 — безразмерные вещественные коэффициенты;
величины N и т* (в со в = еВ /(т*с)) надо рассматривать здесь
как некоторым образом выбранные параметры должного поряд-
порядка величины. Все члены в (89.4) относятся к антиэрмитовой, т. е.
к бездиссипативной, части тензора. Поэтому заранее ясно, что
учет одних только этих членов приведет к незатухающим вол-
волнам.
В общем случае произвольных направлений В и к закон
дисперсии волн выражается довольно громоздкими формулами.
Ограничимся частным случаем, выявляющим основные свойства
этих волн.
Будем считать, что кристаллическая решетка металла обла-
обладает осью симметрии более высокого, чем второй, порядка, и
пусть поле В (ось z) направлено вдоль этой оси. Величины ахх.

§ 90	КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ	459
ауу> аху — аух составляют двумерный симметричный тензор в
плоскости ху, сводящийся при данной симметрии к скаляру:
ахх = ауу = ai, axy = 0. Величины aXZl ayz составляют двумер-
двумерный вектор в той же плоскости и при данной симметрии обра-
обращаются в нуль. Таким образом, остаются лишь компоненты
В UU В	В — IUJ	/огкг\
Рхх = Руу = ——-аъ pzz = —	a2.	89.5
ecN — too	ecN ив
Снова выберем плоскость xz проходящей через направления
к и В. Если пренебречь малой (по сравнению с рхх) величиной
pzz, дисперсионное уравнение распадается на два уравнения
L.2 _п
h2
ojV) = кил\ cos
1)
гУУ '	zr	?
при этом подразумевается, что угол в между к и В не слиш-
слишком близок к тг/2, так что к2 не слишком мало (cos в ^>
Отсюда находим законы дисперсии двух типов волн:
где
Эти электромагнитные волны в металле называют магнито-
плазменными. Волны первого и второго типа аналогичны соот-
соответственно быстрой магнитозвуковой и альвеновской волнам в
плазме2). Колебания же, соответствующие медленной магнито-
магнитозвуковой волне, заведомо не могут иметь скорость оо/к, удовле-
удовлетворяющую второму условию (89.1), и потому не могут здесь
появиться.
§ 90. Квантовые осцилляции проводимости металла
в магнитном поле
Изложенная в § 84, 85 теория гальваномагнитных явлений
имела квазиклассический характер в том смысле, что кванто-
вость проявлялась только в виде функции распределения элек-
электронов, дискретность же уровней энергии в магнитном поле не
х) При законах дисперсии (89.6), (89.7) условие kvF <^C оо означает, что дол-
должно быть и а У&> vf • В достижимых полях В это условие может фактически
выполняться лишь в полуметаллах (висмут) с малой плотностью носителей
тока.
) Возможность существования этих волн была указана Буксбаумом и
Голтом (S.J. Buchsbaum, J. Golt, 1961). Изложенная теория принадлежит
Э.А. Канеру и В.Г. Скобову A963).

460	МЕТАЛЛЫ
учитывалась. Эта дискретность приводит, однако, к качествен-
качественно новому явлению — осцилляциям проводимости как функции
магнитного поля (так называемый эффект Шубникова-де Гааза).
Этот эффект аналогичен осцилляциям магнитного момента (эф-
(эффект де Гааза-ван Альена), но его теория сложнее ввиду кине-
кинетического, а не термодинамического характера явления. Мы рас-
рассмотрим ее в рамках модели невзаимодействующих электронов,
оставляя в стороне вопрос (по-видимому, еще не исследованный)
о влиянии ферми-жидкостных эффектов.
Как и в § 84, магнитное поле будем считать сильным в смысле
условия (84.1), которое запишем в виде
иовт > 1,	(90.1)
где т — время свободного пробега электронов, а
иов = —.	(90.2)
т*с
— ларморовская частота; т* — циклотронная масса электро-
электронов 1). В то же время, конечно, поле не должно быть настолько
сильным, чтобы нарушилось условие квазиклассичности
Поив < eF.	(90.3)
Соотношение же между Ни в и Т может быть произвольным.
Мы ограничимся исследованием квантовых осцилляции по-
поперечной (по отношению к магнитному полю — оси z) прово-
проводимости, предполагая при этом, для упрощения записи формул,
симметрию кристалла кубической. В таком кристалле симмет-
симметричная (диссипативная) часть тензора проводимости имеет лишь
компоненты ахх = ауу и azz. Сравнительная простота задачи для
поперечных компонент связана с тем, что для них влияние столк-
столкновений может рассматриваться (как мы видели в § 84) как ма-
малое возмущение по сравнению с влиянием магнитного поля; для
продольной проводимости azz это не так2).
Как и в § 84, рассматриваем металл в области его остаточного
сопротивления, так что речь идет о столкновениях электронов с
примесными атомами. Ввиду упругости этих столкновений, элек-
электроны различных энергий участвуют в образовании электриче-
электрического тока независимо друг от друга.
х) Напомним (см. IX, E7.6)) определение: т* = (dS/de)/2тг, где S(e,pz) —
площадь сечения изоэнергетической поверхности плоскостью pz = const;
изоэнергетическая поверхность определена здесь в р-пространстве (а не в
р//г-пространстве, как в IX).
) Что касается антисимметричной части тензора проводимости, то кван-
квантовые осцилляции в них появляются лишь во втором приближении по

§ 90	КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ	461
Пусть g(e) — число квантовых состояний электрона, отне-
отнесенное к единичному интервалу энергий. Тогда пространствен-
пространственная плотность числа электронов с энергией в интервале de есть
n(e)g(e) d(e), где п(е) — числа заполнения состояний. Обозначим
через jy(s) плотность создаваемого этими электронами попереч-
поперечного тока. При наличии как электрического поля, так и гради-
градиента плотности электронов, плотность тока изобразится суммой
jy(e) = eD(e)^g(e) + ауу{е)Еу.	(90.4)
Первый член представляет собой диффузионный перенос заря-
заряда; D(e) — коэффициент диффузии (в реальном пространстве!)
электронов с энергией е.
Ток (90.4) должен обращаться в нуль для распределения
по(б - еф) « гсо(е) - e(P~^ri
отвечающего статистическому равновесию электронного газа в
слабом постоянном электрическом поле с потенциалом ср(г) (щ —
распределение Ферми). Отсюда находим соотношение, связыва-
связывающее (УуУ{е) и D(e):
де
Полная же электропроводность, учитывающая вклад от электро-
электронов всех энергий, есть
^w = -e / g(e)?>(e)— de =-е >^D(es)—^Л (90.5)
В последней записи суммирование производится по всем кванто-
квантовым состояниям электрона; s условно обозначает совокупность
квантовых чисел состояний. Эта формула сводит задачу о вы-
вычислении проводимости к вычислению коэффициента диффузии
электронов в отсутствие электрического поля.
В свою очередь коэффициент диффузии выражается через
характеристики микроскопических актов рассеяния формулой
типа B1.4):
2St
где суммирование производится по столкновениям, испытывае-
испытываемым электроном в течение времени 5t, a Ay — изменение средне-
среднего значения у-координаты электрона при столкновении (напом-
(напомним, что движение электрона в плоскости, перпендикулярной

462	МЕТАЛЛЫ
полю, финитно; в наглядной картине квазиклассических орбит
Ау — смещение центра орбиты). Обозначим через
вероятность перехода электрона из состояния s в состояние sf при
рассеянии; E-функция выражает собой упругость рассеяния, а
множитель NUp (плотность примесных атомов) — независимость
рассеяния на хаотически расположенных атомах. Тогда коэффи-
коэффициент диффузии представится формулой
D(es) = iiVnp Y.iVs ~ ys'?Wssl8{es - ea,),
s'
где ys — среднее значение координаты в s-м состоянии. Подста-
Подставив это выражение в (90.5), получим для проводимости:
^es - es.) (90.6)
ss'
{S. Titeica, 1935; Б.И. Давыдов, И.Я. Померанчук, 1939) х).
При фактическом применении этой формулы надо рас-
расшифровать смысл обозначения s. Дискретное квантование
уровней энергии электрона проводимости в магнитном поле
возникает при замкнутых квазиклассических траекториях в
р-пространстве (т. е. замкнутых сечениях изоэнергетических по-
поверхностей), что и будет подразумеваться ниже. При этом кван-
квантовые состояния определяются четырьмя числами:
s = (n,Px,Pz=pz,a),	(90.7)
где п — целое положительное (большое) число; число а = =Ы за-
задает значение проекции спина электрона, а Рж, Р2 - компонен-
компоненты обобщенного квазиимпульса Р = р — еА/с. Подразумевается,
что векторный потенциал магнитного поля выбран в калибровке
Ах = — By, Ау = Az = 0; ввиду цикличности координат х и z,
компоненты обобщенного импульса Рх и Pz сохраняются (см. IX,
§ 58). Уровни же энергии зависят только от трех из этих кван-
квантовых чисел: n, pZl а. Они даются выражением
enaiPz) = e(n,pz) + af3B?n(pz),	(90.8)
причем функция s(n,pz) — решение уравнения
(90.9)
) При рассеянии на примесях принцип Паули не отражается на виде фор-
формул — ср. интеграл столкновений G8.14), в котором связанные с принципом
Паули произведения пп взаимно сокращаются.

§ 90	КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ	463
Во втором члене в (90.8) /3 = еН/Bтс) — магнетон Бора, а
множитель ^n(Pz) характеризует изменение магнитного момен-
момента электрона в результате спин-орбитального взаимодействия в
решетке.
Рассматривавшийся в § 84, 85 тензор проводимости есть в
действительности результат усреднения точных функций аа^(В)
по малым квантовым осцилляциям. В частности, согласно (85.3),
усредненная таким образом поперечная проводимость ~ауусоВ~2.
Покажем, прежде всего, как этот результат получается из фор-
формулы (90.6), и выясним при этом связь между фигурирующими
в этой формуле величинами Wsis и функцией г^(р;,р) в квази-
квазиклассическом интеграле столкновений электронов с примесями
G8.14).
В § 84 было уже отмечено, что условие квазиклассичности
движения электрона обеспечивает в то же время независимость
процесса рассеяния от магнитного поля. Вероятность рассеяния
в отсутствие поля с изменением квазиимпульса от р к р' была
представлена в интеграле столкновений G8.14) в виде
- е1)^.	(90.10)
Чтобы написать это выражение в форме, пригодной и для рас-
рассеяния в магнитном поле, достаточно преобразовать его к пере-
переменным, сохраняющим свой смысл для движения в поле:
w(P^p'z,s';PXjpZjeM(s-e')^^	(90.11)
BтгпNуу
(производная vy = де/дру тоже подразумевается выраженной
через новые переменные). Координата у при движении по ква-
квазиклассической траектории связана с обобщенным квазиимпуль-
квазиимпульсом соотношением Рх = рх + еВу/с; поэтому среднее (по траек-
траектории) значение
y = ^[Px-px(e,Pz)} = ^.	(90.12)
Усредненная по осцилляциям проводимость ~&уу получится по
формуле (90.6) заменой в ней суммирования по дискретной пере-
переменной s интегрированием по непрерывной переменной е. Введя
для краткости обозначение
/ / \ 1 //	/\2 w dPx dP'	/nn 1 о\
a{e,pz,pz) = - Пк-к —TT^fl'	90'13
2 J	Vyv'y^irhL
получим
^1^ ' '2t0-	(90-14)

464	МЕТАЛЛЫ
(множитель 2 — от двух направлений спина электрона; веро-
вероятность рассеяния предполагается не зависящей от спина, так
что его проекция не меняется). Интегрирование по е' устраняет
E-функцию. При интегрировании же по е можно считать медлен-
медленно меняющийся множитель а постоянным (взяв его значение при
е = /i) и интегрировать лишь производную дщ/де. В результате
получим
Wyy = ^ [aldpzdp>z J_ fb{ y2d	(9(U5)
УУ	Б2 J BтгйJ	Б2 J KFZ) FZ	V	;
Перейдем теперь к учету дискретности уровней. Это значит,
что вместо интегрирования в (90.14) по непрерывной перемен-
переменной е (при заданных Рх и pz) надо писать суммирование по п,
заменив
de —>> huoB
J
где
/
дп
как это ясно из (90.9) и определения циклотронной массы т*
Используя введенные выше обозначения, имеем
Оiiii —
(90.16)
(отметим, что ввиду интегрирования по обеим переменным pz
и p'z функцию а мож:но считать симметричной по ним).
Осциллирующая часть этого выражения, ауу1 выделяется с
помощью формулы суммирования Пуассона (ср. IX, § 63)
/
оо ?
-F@) + ^ F(n) = / F(x) rfx + 2 Re ^ / F(x)e27rilx dx (90.17)
n=i	g	г=1о
и возникает от стоящей здесь суммы по /; усредненное же ~ауу
возникает от первого, интегрального, члена.
Мы будем считать, что амплитуда осцилляции мала по срав-
сравнению с усредненной ~дуу (тем самым налагается определенное
условие на величину магнитного поля — см. ниже (90.26)). Тог-
Тогда достаточно учесть осциллирующую часть каждый раз лишь
в одной из сумм (по п и по п') в (90.16). С учетом симметрии а

§ 90	КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ	465
по pz и p'z и введя обозначение b по аналогии с определением в
(90.15), имеем
ОО
^ = ^ReE Е й"	(90-18)
1=1 а=±1
где Jio- — осциллирующая часть интеграла
оо
Jla = - I' dn J' Ь(еП(Т,рг)^Л^е^п dpz.
о
Введя в качестве переменной интегрирования вместо п функцию
s(n,pz) из (90.8), интегрируем по е по частям (причем медленно
меняющийся множитель Ъ можно считать постоянным). Проин-
Проинтегрированный член не приводит к осцилляционной зависимости
от поля (и представляет собой лишь малую поправку к сгуу)] опу-
опустив его, получим
?dpg de.	(90.19)
о	т
Здесь /v = \i — crf3{;B и введена функция
n(e,Pz) = C-l^- - \	(90.20)
2тгеНВ 2
(ср. (90.9)); в аргументе функции b(?n(npz) пренебрежено членом
(З^В по сравнению с большим е.
Интегрирование по pz в (90.19) производится в точности
так, как в интеграле (см. IX) F3.8) при исследовании эффекта
де Гааза-ван Альена. Интеграл определяется областями вблизи
точек pz = Pzexis), в которых n(e,pz) (т. е. площадь сечения S)
как функция pz имеет экстремумы. В результате получим
сю
2тггл//ехр {2ш1пех ± гт
где
а знаки + или — в экспоненте относятся соответственно к случа-
случаям, когда pzex является точкой максимума или минимума функ-
функции n(e,pz)] суммирование производится по всем экстремальным
точкам.

466
МЕТАЛЛЫ
В свою очередь интеграл (90.21) вполне аналогичен интегра-
интегралу (см. IX) F3.9) отличаясь от него лишь медленно меняющи-
меняющимися множителями b и dnex/d,? = cm%^j{ehB) в подынтеграль-
/
ном выражении; эти множители как и множитель
V	pi
могут быть заменены их значениями при е = /i, т. е. на ферми-
поверхности. После этого интегрирование по ? и суммирование
по а приводит к окончательному результату
(Q _
ех 1=1
dpi
sh A/
тг^ех—1 , (90.22)
m J
2тг2/Т	еВ
—	, UB = —
берутся при е = \i на ферми-поверх-
причем *Sex, Cex5 mt^-)
ности г).
Если при заданном направлении В имеется всего одно экстре-
экстремальное сечение ферми-поверхности, то существует пропорцио-
пропорциональность между осциллирующими частями проводимости ауу и
продольной магнитной восприимчивости. Сравнив (90.22) с фор-
формулой F3.13) (см. IX) найдем
~ _ BТГLЛ3'
а
ауу	si W
Изложенные вычисления предполагают малость амплитуды
осцилляции проводимости по сравнению с ее усредненным зна-
значением. Более того, это требование по существу является усло-
условием применимости всей изложенной в § 84, 85 теории: ясно, что
усредненные значения имеют реальный смысл, лишь если они
являются главной частью тензора проводимости.
При Ниов ~ Т амплитуда осцилляции определяется первыми
членами суммы в (90.22), в которых / ~ 1, А/ ~ 1. Согласно опре-
определению в (90.15), величина 6ех оценивается как 6ех ~ сгВ /pp.
Производная же d2S/dp2z ~ 1. Отсюда находим следующую оцен-
*) Осцилляции проводимости были рассмотрены А.И. Ахиезером A939)
и Б.И. Давыдовым и И.Я. Померанчуком A939) для квадратичного зако-
закона дисперсии электронов, и A.M. Косевичем и В.В. Андреевым A960) для
произвольного закона дисперсии.

§ 90	КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ	467
ку амплитуды осцилляции:
	 ,	Тьиов ~ J- •	(yU.z4)
SF )
Это отношение мало уже в силу обязательного условия (90.3).
Если же Т <С Ноов, то оценка меняется. В этом случае ам-
амплитуда осцилляции определяется суммой большого числа чле-
членов в (90.22), в которых А/ ~ 1, т. е. / ~ Ноов/Т ^> 1. Число
таких членов порядка величины того же /. По сравнению с пре-
предыдущей оценкой здесь появляется дополнительный множитель
Г1/2/ - (Нив/ТI/2, так что
у ()' и (90в25)
Требование малости этого отношения приводит к условию
Пив < {eFTI'2.	(90.26)
Задача
Определить поперечную проводимость электронного газа с квадратич-
квадратичным законом дисперсии (е = р2/Bт)). Электроны рассеиваются на примес-
примесных атомах по изотропному закону с независящим от энергии сечением.
Решение. Задача сводится к вычислению фигурирующей в (90.15)
и (90.23) величины b(pz). При квадратичном законе дисперсии р = mv, и
поскольку среднее значение скорости вдоль замкнутой траектории v = 0,
то и р = 0; поэтому согласно (90.12) >с = сРх/е. Согласно сказанному в
тексте при вычислении среднего значения (к —ж) можно считать процесс
рассеяния не зависящим от магнитного поля. При этом разница между Р и р
несущественна: выбрав точку нахождения рассеивающего атома в качестве
точки г = 0, будем иметь Р = р.
В рассматриваемом случае вероятность рассеяния имеет вид
vcfq do /Dтг), где do — телесный угол направлений импульса р' после рассе-
рассеяния, а сто — постоянное полное сечение рассеяния. Это выражение можно
представить в эквивалентном виде:
его
4тгт
dp'z dip'S (s — е) ds\
где ip — азимутальный угол направления р в плоскости ху\ здесь оно заме-
заменяет выражение (90.11). Аналогичным образом записываем элемент объема
р-пространства в виде dsp —»¦ mdpz dipds. При этом
рх = Bms — plI/2 cos ip.
Теперь находим
/ / ч с2сг0 Г, ,,2dipdip' а0с2 (	2 /2ч
ale.pz.pz) = 	 / (рх — Рх) — =	Dme-pz-pz)
У ^z^zj 8^2 J урх Ух) 2^п	Se2h\	Vz Vz)

468	МЕТАЛЛЫ
л/2тпг
. /	dp'z c2V2rns	/10	2^
np / а—^—= —	 — me-pz\
Р J BтгНУ 16тг2НЧ	V 3	УV
и, далее,
b(e,pz) = e'zN,
где / = l/(<JoNnp) - длина свободного пробега.
Усредненная проводимость вычисляется согласно (90.15) и равна
_ _ c2pFN
*уу - -^-,
где N = Pir/C7r Л ) — плотность числа электронов. Площадь сечения
ферми-сферы имеет максимум при pz = 0, причем Sex = тгрр. Поэтому
_ 5с2 ТУ
ех~ 16/
Для осциллирующей части проводимости находим согласно (90.23):
дВ '
Осциллирующая часть намагниченности Mz для рассматриваемой модели
дается формулой F0.6) (см. V).

ГЛАВА X
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ
НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ
§ 91. Мацубаровская восприимчивость
Исследование поведения различных систем в слабом пере-
переменном внешнем поле сводится обычно к вычислению соответ-
соответствующих обобщенных восприимчивостей. В этом параграфе бу-
будут выведены формулы, связывающие обобщенную восприим-
восприимчивость с некоторой вспомогательной величиной, которую мож-
можно вычислять с помощью мацубаровской диаграммной техники;
тем самым открывается путь для использования этой техники
при исследовании кинетических свойств систем (А.А. Абрикосов,
И.Е. Дзялошинский, Л.П. Горькое, 1962).
Напомним определение обобщенной восприимчивости а(ио)
(см. V, § 123). Пусть внешнее воздействие на систему описы-
описывается введением в ее гамильтониан возмущающего оператора
вида
V{t) = -xf(t),	(91.1)
где х — шредингеровский (независящий от времени) оператор
некоторой физической величины, характеризующей систему, а
возмущающая обобщенная сила /(?) есть заданная функция
времени; предполагается, что в отсутствие внешнего воздей-
воздействия среднее значение величины х равно нулю. Тогда в пер-
первом по / приближении имеется линейная связь между фурье-
компонентами среднего значения x(t) и силой /(?); обобщенная
восприимчивость есть коэффициент в этом соотношении:
Согласно формуле Кубо (см. V, § 126) функция а(ио) может быть
представлена в операторном виде как
оо
а{ш) = г / eiujt(xo(t)xo(O) - xo(O)xo(t)) dt,	(91.3)
о
где xo(t) — гейзенберговский оператор, определенный по невоз-
невозмущенному гамильтониану системы (о чем напоминает ин-
индекс 0), а усреднение производится по заданному невозмущен-

470	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
ному стационарному состоянию системы, или по распределению
Гиббса с невозмущенным гамильтонианом 1).
Рассмотрим теперь, чисто формальным образом, систему,
подчиняющуюся «мацубаровским» уравнениям движения, отли-
отличающимся от реальных уравнений заменой времени t —>• гт; но-
новая переменная т пробегает значения в конечном интервале
-^т<1.	(91.4)
Пусть на эту систему налагается возмущение
V(t) = -xf(r).	(91.5)
Функцией переменной т будет тогда и среднее значение ~х. Раз-
Разложим функцию /(т) в ряд Фурье на интервале (91.4):
оо
f*e~iCsTi Cs = 2nsT	(91.6)
и аналогичным образом — функцию х(тJ). Мацубаровской
восприимчивостью назовем коэффициент пропорциональности
между компонентами обоих разложений:
xs = aM(ts)fs.	(91-7)
Наша цель состоит теперь, с одной стороны, в получении для
ам(Св) формулы, аналогичной (91.3), и, с другой стороны, в на-
нахождении связи между ам(Св) и интересующей нас функцией
а(ио). Начнем с первой части задачи.
Пусть Н — невозмущенный гамильтониан системы. «Точ-
«Точный» мацубаровский оператор величины х вычисляется по фор-
формуле3)
хм (г) =а-1(т,0)^(т)а(т,0),	(91.8)
где а — мацубаровская 5-матрица:
а(т,0) =TTexp|-/f>M(r')dr'},	(91.9)
а индексом 0 отмечены операторы в мацубаровском «представ-
) Во всей этой главе полагаем Л = 1.
2)	Для величины ж, имеющей классический предел, должна использовать-
использоваться техника, отвечающая случаю статистики Бозе; поэтому разложение (91.6)
производится по «четным частотам» ?s.
3)	Все используемые ниже понятия и формулы даны в IX, § 38.

§ 91	МАЦУБАРОВСКАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ	471
лении взаимодействия» 1):
xf{r) = ехр (тН0)х ехр (-тН0)	(91.10)
и аналогично для V^(r). В первом порядке теории возмущений
выражение (91.9) сводится к
а(т, 0) « 1 - / V0M(rf) drf.	(91.11)
о
Вычислим усредненное по распределению Гиббса значение
¦^(тЛ — ^гл$р-Н1Т^М(п-\\	fQI 1 <Л
JU \ I I 	 kJ L» j О	Ju V / Г *	I *y -L • -L ^ J
Согласно формуле C8.6) (см. IX) имеем
гя/г = е-Но/г?П>0>	/ "^ / VT-
а согласно (91.8) и (91.11)
т
—Л/Т / \ —Л/Т / \ г е
ен,т = ен0/тэ Q.>0) и ехр (_|) ^ _ Jy^{r')dr^
0
Подставив эти выражения в (91.12), получим с той же точностью:
V / — kJL»\o	I I V Г) V /Г) V/	Г) \/П V / /
0
В первом интеграле переменная т' < т, а во втором делим
область интегрирования на интервалы от 0 до т и от т до 1/Т.
После сокращений и подстановки Vb(^) из (91.5) видим, что ре-
результат может быть записан в виде
1/Т
ЗД = / f(r')(TTx^(T)x^(T'))dr'	(91.13)
о
:) Формула (91.8) справедлива и в том случае, когда исходный оператор
V(t) зависит явно от переменной т (хотя это и не подразумевалось при
выводе в IX, § 38).

472	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
(напомним, что оператор Тт хронологизации по переменной т
расставляет множители, без изменения знака произведения, в
порядке возрастания т справа налево); усреднение в (91.13) про-
производится по распределению Гиббса с гамильтонианом Hq. Ре-
Результат усреднения зависит только от разности т — т'. Наконец,
представив f(rf) в виде фурье-разложения (91.6), получим окон-
окончательно искомую формулу для мацубаровской восприимчиво-
восприимчивости:
1/Г
^^^r.	(91.14)
Мы видим, что c%m(Cs) выражается через фурье-компоненту
мацубаровской гриновской функции, построенной по операторам
х (ср. определение C7.2) (см. IX)). Обратим внимание на отличие
от формулы (91.3) для а (о;), в которой стоит запаздывающий (по
времени t) коммутатор, а не хронологизированное произведение.
Для решения второй части поставленной задачи — нахожде-
нахождения связи между функциями ot{uS) и ckm(Cs) — надо, исходя из
формул (91.3) и (91.14), выразить эти функции через матричные
элементы оператора х. Мы не будем проводить здесь соответ-
соответствующие вычисления, поскольку они практически совпадают
с вычислениями, проводившимися уже по другим аналогичным
поводам (ср. V, § 126; IX, § 36, 37). Ограничимся указанием ре-
результата:
а(ш) = V е~Еп/т	^=^	A - е~Шгпп1т),	(91.15)
.е-Штп/Ту	(91<16)
its ~ Umn V
Здесь xmn — матричные элементы шредингеровского оператора
х по отношению к стационарным состояниям системы; иотп =
= Ет — Еп. Сравнение обоих выражений показывает, что
ам(С) = a(iCs), ts > 0.	(91.17)
Поскольку обобщенная восприимчивость а(оо) вещественна на
верхней мнимой полуоси о;, то функция ckm(Cs) вещественна при
ts > 0. С другой стороны, из (91.16) видно, что ам(—ts) =
= a*M(ts)- Таким образом, «м(С0 является четной вещественной
функцией ts и выражается через а(ио) формулой
aM(ts) = a(i\ts\).	(91.18)

§ 92	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ	473
Соотношение (98.18) устанавливает искомую связь. Для опре-
определения ol(uj) надо построить функцию, аналитическую в верх-
верхней полуплоскости переменной о;, значения которой в дискрет-
дискретных точках uj = i?s на верхней мнимой полуоси совпадают с
(%m(Cs)] эт0 и будет искомая обобщенная восприимчивость.
Описанный метод будет применен в следующей главе к кине-
кинетическим свойствам сверхпроводников.
Покажем в заключение, что знание а(оо) позволяет опреде-
определить закон релаксации величины ж к ее равновесному значению
х = 0. Для этого будем считать, что начальное неравновесное
значение х создается обобщенной силой /(?), действующей при
t < 0, а затем выключенной. Значение x(t) в некоторый момент
времени t определяется значениями / в течение всего предше-
предшествующего времени формулой вида
x(t)= / a(t-t')f(t')dt',
— ОО
причем функция a(t) связана с обобщенной восприимчивостью
обратным преобразованием Фурье
a(t) =
(ср. V, § 123). Если / = 0 при t > 0, то
о
x(t) = / a(t-tf)f(tf)dtf.
— оо
Поведение x(t) при больших t определяется асимптотическим по-
поведением a(t) при t —>• оо. В свою очередь последнее определяет-
определяется ближайшей к вещественной оси особой точкой функции а(ио) в
нижней полуплоскости. В частности, релаксации х по простому
экспоненциальному закону х ~ е~1'т со временем релаксации г
соответствует наличие у а(оо) простого полюса при ио = —г/т.
§ 92. Гриновские функции неравновесной системы
Задачи физической кинетики всегда связаны с рассмотрени-
рассмотрением неравновесных состояний. Тем не менее применение описан-
описанного в предыдущем параграфе метода позволяет в ряде случаев
свести задачи о вычислении кинетических величин к вычисле-
вычислению гриновских функций для термодинамически равновесных
систем; тем самым появляется возможность использования такой
диаграммной техники (как мацубаровская), которая по самому

474	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
своему существу применима именно к равновесным состояниям.
Естественно, что такая возможность во всяком случае ограниче-
ограничена физическими вопросами, относящимися лишь к слабо нерав-
неравновесным состояниям.
Мы приступим теперь к построению диаграммной техники,
пригодной в принципе для вычисления гриновских функций си-
систем, находящихся в произвольных неравновесных состояниях.
Получаемые в этой технике уравнения для гриновских функ-
функций по своему смыслу аналогичны кинетическим уравнениям. В
применении же к равновесным системам эта же техника позво-
позволяет получить гриновские функции и обобщенные восприимчи-
восприимчивости (при отличных от нуля температурах) как функции сразу
от непрерывных вещественных частот, без необходимости в ана-
аналитическом продолжении (в этой связи она может оказаться, в
сложных случаях, более удобной, чем мацубаровская техника) г).
Гриновская функция неравновесной системы определяется
так же, как и в равновесном случае:
iGaia2(Xi,X2) =
t1>t2,
h < t2.
Разница состоит лишь в том, что усреднение (обозначенное сим-
символом (п\ ... \п)) производится теперь по произвольному кван-
квантовому состоянию системы, а не обязательно по стационарному
состоянию, как в равновесном случае2). Верхний знак (здесь и
везде ниже) относится к статистике Ферми, а нижний — к ста-
статистике Бозе; в последнем случае (для системы из бесспиновых
частиц) спиновые индексы <ti, а2 надо, конечно, опустить. В слу-
случае статистики Бозе предполагается, что конденсация отсутству-
отсутствует, т. е. что либо речь идет о системах с несохраняющимся числом
частиц (фононы, фотоны), либо система находится при темпера-
температурах выше точки начала конденсации. В неоднородной нерав-
) Эта техника принадлежит Л. В. Келдышу A964). Она близка в некото-
некоторых отношениях к технике, развитой Миллсом (R. Mills, 1962) для равно-
равновесных состояний.
2) В IX, § 36, в определение функции G равновесной системы при Т/0
включалось также и усреднение по распределению Гиббса. Напомним лиш-
лишний раз в этой связи, что согласно основным принципам статистики резуль-
результат статистического усреднения для равновесной системы не зависит от того,
производится ли оно по точной волновой функции стационарного состояния
замкнутой системы, или с помощью распределения Гиббса для системы в
«термостате». Разница состоит лишь в том, что в первом случае результат
усреднения будет выражен через энергию и число частиц в системе, а во
втором — через температуру и химический потенциал.

§ 92	гриновские функции	475
новесной системе функция (92.1) зависит уже от обеих пар пере-
переменных Х\ = (ti,ri) и Х2 = (^2}Г2) п0 отдельности, а не только
от их разности Х\ — Х<2,, как в равновесном случае.
Диаграммная техника должна дать возможность выразить
гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц че-
через функции идеального газа. При этом, однако, автоматически
возникает необходимость во введении наряду с G еще и других
функций. С целью не разбивать дальнейшее изложение, дадим
сразу же определение этих функций и выясним некоторые их
свойства.
По причинам, которые выяснятся в следующем параграфе,
целесообразно обозначить функцию (92.1) как G ; таким обра-
образом, запишем это определение в виде1)
п = (Т^Щ) = { И	'1><2'	(92.2)
12	2 \ т(Ф^1>,	h<t2.
Определение следующей функции,
)	h > *2'	(92.3)
отличается от (92.2) тем, что вместо Т в нем стоит символ Т,
означающий упорядочение расположения операторных множи-
множителей в обратном хронологическом порядке — справа налево в
порядке убывания времен.
Еще две функции определяются как средние значения нехро-
нологизированных произведений Ф-операторов:
(92.4)
Разница в знаках в этих определениях для ферми-систем связа-
связана с общим правилом — необходимостью изменения знака при
перестановке Ф-операторов.
Отметим, что вторая из функций (92.4) при t\ = ?2 = t C0B~
падает с одночастичной матрицей плотности; в полной записи:
+(t,n;t,r2) =Л/>(*,гьг2)	(92.5)
:) Для уменьшения громоздкости обозначений условимся ниже подразу-
подразумевать спиновые индексы включенными в условное обозначение переменных
X: X = (?,г, о"). Там, где это не может привести к недоразумениям, будем
еще больше упрощать обозначения, отмечая значения аргументов X соот-
соответствующими индексами: Ф1 = ty(Xi), G12 = G(Xi,X2) и т. д. Наконец,
условимся писать символ усреднения просто как (...) вместо (п\ ... \п).

476	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
(ср. IX, G.17), C1.4)); с какой стороны ?2 стремится к преде-
пределу t\ — здесь все равно, так как функция G h непрерывна при
^2 — t\. Значение же функции iG^ при t\ = ?2 связано со зна-
значением %G h формулой
i{G+-(t, ri; t, г2) - G-+(t, ri; t, r2)} = <*(n - r2),	(92.6)
следующей из правила коммутации фермиевских или бозевских
Ф-операторов.
Определенные таким образом четыре G-функции не незави-
независимы. Они связаны друг с другом линейным соотношением, оче-
очевидным непосредственно из их определений:
в" + G++ = G"+ + G+-.	(92.7)
Функции G и G++ связаны также и соотношением «антиэр-
«антиэрмитовой сопряженности» по отношению к перестановке их аргу-
аргументов:
Gi2~ = -Gtf*.	(92.8)
Функции же G ^ и G^ «антиэрмитовы» сами по себе:
Важную роль в дальнейшем будет играть связь этих функций
с запаздывающими или опережающими гриновскими функция-
функциями. Последние определяются аналогично тому, как это делалось
в равновесном случае (ср. IX, § 36):
*i > y (92-10)
Ч < г2,
Эти две функции «эрмитово-сопряжены» друг с другом:
Gi2 = &21-	(92.11)
Прямое сравнение определений (92.2)-(92.4) и (92.10) дает
GR = G— - G~+ = G+- -
В стационарном, пространственно-однородном случае, когда
все функции зависят только от разностей t = t\ — ?2 и г = ri —
— Г2, они могут быть подвергнуты фурье-разложению по этим

§ 92	гриновские функции	477
переменным. Из (92.8) и (92.11) следуют для фурье-компонент
равенства
G-(uj,p) = -[G++(oo,p)]*, GA(uj,p) = [GR(oo,p)]*, (92.13)
а из (92.9) следует, что фурье-компоненты GH (с^,р) и
G |"(о;,р) — мнимые.
Для системы невзаимодействующих частиц функция G
удовлетворяет уравнению
- Х2),	(92.14)
где Gq1 обозначает дифференциальный оператор
^ = i|-?HV) + , = i| + A + ,	(92.15)
(Ф)=р2/Bт)), а
ё(Х± - Х2) = 8а1<Т28{и - t2)S(ri - г2);	(92.16)
индекс @) у G-функции указывает, что она относится к идеаль-
идеальному газу, а индекс 1 у оператора Gq — что дифференцирование
производится по переменным t\, ri. Напомним, что E-функция
в правой части уравнения (92.14) связана со скачком, который
функция G испытывает при t\ = t^ 1). Такой же скачок испы-
испытывают функции GR и GA, и потому G^R и G^A удовлетворя-
удовлетворяют такому же уравнению. Функция же G++ имеет при t\ = ^2
скачок обратного знака; поэтому
S(Xi ~ *2).	(92.17)
Наконец, функции G^ и G ^ непрерывны при t\ = ?2; поэтому
для идеального газа они удовлетворяют уравнениям2)
= 0, д^С(^-+ = 0-	(92.18)
:) См. IX, § 9. Приведенный там вывод уравнения не связан с подразу-
подразумевавшимся усреднением по основному состоянию системы и остается спра-
справедливым при усреднении по любому квантовому состоянию.
2) Если дифференцирование производится не по первым, а по вторым
переменным в U-функциях, то должен быть изменен знак перед id/dt, т. е.
оператор G~^l изменен на Gq2*:
Gm*G<$— = S(Xi - Х2)	(92.14а)

478	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
Вычислим все G-функции для стационарного однородного
состояния идеального газа, характеризующегося некоторым (не
обязательно равновесным) распределением частиц по импульсам
пр. Для упрощения формул будем считать, что это распределе-
распределение не зависит от спина. Тогда спиновая зависимость G-функций
(в статистике Ферми) отделяется в виде множителя Sai(T2; вместе
со спиновыми индексами будем опускать и этот множитель.
Ф-операторы идеального газа пишем в виде обычных разло-
разложений:
и аналогично для Ф^ (ср. IX, (9.3)). При подстановке этих выра-
выражений в определения G-функций надо помнить, что отличны от
нуля диагональные матричные элементы лишь от произведений
операторов уничтожения и рождения частиц с одинаковыми р,
причем
\СЬр ^р/ ~~ ^Ipi \^р^р / = -I- т ^р*
Таким образом, найдем, например,
G^ } ^(t, г) = ±- / пр ехр {грг - ге(р)* + ^It^i^
где t = ti —^2, г = Г]_ — Г2. Переписав это выраж:ение тож:дественно
в виде
, г) = ±2т [ пр ехр (фг -
J
B7Г)
мы видим, что
G@)"+(o;,p) = ±2тпр5(ш -е + ц).	(92.20)
Аналогичным образом найдем
;, р) = -2тггA Т np)J(a; - ? + /i).	(92.21)
Для вычисления G^ удобнее всего исходить прямо из урав-
уравнения
[|	]	, r) = tf(t)tf(r),
решая его методом Фурье и учтя, что GR(oo, p) не должна иметь
особенностей в верхней полуплоскости uj. Отсюда сразу находим
G@)r(lo, р) = [и - е(р) + ц + гО]	(92.22)

§ 92	гриновские функции	479
(функция же G^A(oo,p) получается отсюда, согласно (92.13),
просто комплексным сопряжением).
Наконец, с помощью (92.12) находим теперь
G@)--(o;,p) = [ш-е(р) +/i + iO] ±2тпр5(ш-е + ц) =
= Р	+ гтг(±2пр - 1N(ш -е + ц). (92.23)
Обратим внимание на тот факт, что выражение (92.22) вооб-
вообще не зависит от свойств состояния (т. е. от распределения пр),
по которому производится усреднение. Это свойство функции
G^R (и G^A) не связано в действительности с заранее предпо-
предположенной при выводе (92.22) однородностью и стационарностью
состояния системы: функция G°^R(Xi,X2) автоматически ока-
оказывается зависящей только от разности Х\ — Хъ-
В применении к равновесной системе, в выражениях (92.21)—
(92.23) надо понимать под пр функцию распределения Ферми
или Бозе. При этом G-функции окажутся выраженными через
Т и /i; тем самым будет осуществлен переход от усреднения по
заданному стационарному квантовому состоянию к усреднению
по распределению Гиббса.
Задача
Найти гриновские функции для однородного стационарного состояния
фононного газа в жидкости.
Решение. Аналогично определениям (92.4), имеем для фононного
поля:
Ш+- = {p{pi), iZ?f2+ = (pb'p/),	A)
где р = /У+ — оператор переменной части плотности среды. Ввиду самосо-
самосопряженности этого оператора, функции A) связаны соотношением
B)
(и, конечно, по-прежнему обладают свойством (92.9)).
Для газа невзаимодействующих фононов (см. IX, B4.10))
(ро — невозмущенная плотность, и — скорость звука). Подставив C) в A) и
перейдя от суммирования к интегрированию, имеем
или, заменив во втором члене переменную интегрирования к —>• — к и выра-
выразив средние значения через числа заполнения фононных состояний ЛГк,
-)@) —+/. \	/ РОК г ^т — iukt . /-. . лт \ гиЫ.л гкг ^ ^
iDm~+(t, г) = / ^
J 2
2и 1 '	v	' ' Bтг)з

480	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА
Подынтегральное выражение (без множителя егкг) есть уже компонента
фурье-разложения по координатам. Разложив также и по времени, получим
(oj, k) = ^^{Nke(oj - ик) + A + N-ъЩи; + ик)}.	D)
и
Для функции же D^Q'+~ имеем, согласно B):
D(o)+-(oj,k)=D(o)-+(-oj,--k).	E)
Еще две гриновские функции определяются как
ШГ2" = (Тр/рг'), W++ = (Т${?1).	F)
При этом
В--=В--, D++=D++.	G)
Для невзаимодействующих фононов аналогичное вычисление дает (ср. за-
задачу в IX, § 31)
E^h. \	1	1	1 _ 27ri[Nbe(oj - ик) + N-be(oj + ик)].
2и L^ — ^^ + ^0 ш + ик — гОJ
(8)
В согласии с G), L>@)--(w,k) = D{Q) — (-u, -к).
Из (8) следует, что в координатном представлении функция
удовлетворяет уравнению
- и2a) D@)—(t,r) = Po5(t)A5(r),	(9)
заменяющему уравнение (92.14) для гриновских функций обычных частиц.
§ 93. Диаграммная техника для неравновесных систем
Всякая диаграммная техника основана на выделении из га-
гамильтониана системы оператора взаимодействия: Н = Щ + V,
где Но — гамильтониан системы невзаимодействующих частиц.
Диаграммная техника есть теория возмущений по V.
Ее построение для неравновесной системы осуществляется по
тому же пути, по которому это делалось в равновесном случае,
при Г = О1). Гриновская функция G = G выражается через
Ф-операторы в представлении взаимодействия (т. е. для идеаль-
идеального газа) формулой
З*^),	(93.1)
г) Дальнейшее изложение существенно опирается на изложение в IX, § 12,
13.

§ 93	НЕРАВНОВЕСНЫЕ СИСТЕМЫ	481
где
(оо	\
-г / Vo(t)dt),	(93.2)
—оо	/
a Vo(t) — оператор V в представлении взаимодействия. Усред-
Усреднение в (93.1) производится по некоторому состоянию системы
невзаимодействующих частиц. Для дальнейшего будет удобнее
предположить, что это состояние является стационарным и од-
однородным, но не основным (мы увидим далее, что это начальное
состояние можно исключить и сформулировать теорию так, что
уравнения вообще не будут от него зависеть). В этом разница
со случаем Г = 0, когда усреднение производится по основному
состоянию. Это отличие очень существенно: усреднение операто-
оператора 5 уже нельзя отделить от усреднения остальных множите-
множителей (как это было сделано в IX, § 12, при переходе от A2.12) к
A2.14)); дело в том, что неосновное состояние под влиянием опе-
оператора 5 переходит не само в себя, а в некоторую суперпози-
суперпозицию других возбужденных состояний (которые могут наглядно
рассматриваться как результат всевозможных процессов взаим-
взаимного рассеяния квазичастиц1).
Выражение (93.1) должно быть разложено по степеням V.
При этом удобно сначала преобразовать 5, используя унитар-
унитарность оператора S:
^	^	_	/ оо ^	\
S'1 = S+ = Т ехр (г / V(t) dt	(93.3)
\ —оо	/
(использована также эрмитовость оператора V)\ символ Т анти-
хронологического упорядочения был уже введен в предыдущем
параграфе.
Разложив S и S~x в ряды и подставив их в (93.1), мы полу-
получим сумму различных членов, в каждом из которых надо про-
произвести усреднение с помощью теоремы Вика, и каждому спосо-
способу попарных сверток Ф-операторов сопоставляется определенная
с
диаграмма'
¦2).
j Заметим, что по такой же причине изложенная в IX, § 12, 13, диаграмм-
диаграммная техника, вообще говоря, неприменима даже при Т = 0 в случае наличия
внешних переменных полей (т. е. когда оператор V зависит явно от време-
времени уже в шредингеровском представлении): переменные поля возбуждают
основное состояние системы. Подчеркнем в то же время, что развиваемая
здесь техника пригодна и при наличии переменного поля.
2) Напомним, что в макроскопическом пределе справедливость теоремы
Вика не связана с тем, по какому однородному стационарному состоянию
производится усреднение - см. конец IX, § 13.
16 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

482	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
Заметим прежде всего, что (как и в диаграммной технике
при Т = О, которую будем называть обычной) следует учиты-
учитывать только связные диаграммы, не содержащие отсоединенных
вакуумных петель. Вакуумные же петли взаимно сокращаются.
В этом легко убедиться, рассмотрев несколько первых диаграмм,
по которым можно усмотреть общий принцип такого сокраще-
сокращения.
Если все свертки, приводящие к связной диаграмме, произво-
производятся внутри множителя ТФхФ^ в (93.1), то мы получим чле-
члены, изображающиеся описанными в IX, § 13, обычными диаграм-
диаграммами (разумеется, с другим конкретным видом функций, отве-
отвечающих сплошным линиям). Напомним, что речь идет здесь о
диаграммах в координатном представлении; для неравновесных
состояний (когда G-функции зависят от переменных Х\ и Х2 по
отдельности) переход к импульсному представлению неудобен.
Другие члены возникают от свертываний, в которых участвуют
также и Ф-операторы из S~l = *S+. В каждом порядке теории
возмущений они получаются из обычных членов заменой лю-
любого множителя V, взятого из *S, на множитель V из *S+. Эти
члены изображаются диаграммами того же графического вида,
но с несколько измененным правилом их прочтения. Эти измене-
изменения являются следствием трех обстоятельств: 1) в S+ операторы
взаимодействия входят в виде +iV (вместо — iV в 5); 2) все Ф-
операторы в 5+ стоят всегда левее операторов в произведении
ТФхФ^*?; 3) внутри множителя *S+ операторы упорядочены зна-
знаком Т-произведения (вместо Т).
Проследим, как эти изменения проявляются при построе-
построении диаграммной техники в простейшем случае — для систе-
системы частиц (скажем, фермионов), находящихся во внешнем поле
U(t,r) = U(X).
Члены первого порядка в разложении выражения (93.1):
Для рассматриваемой здесь ситуации характерен второй член
в этой сумме; при усреднении по основному состоянию должен
был бы рассматриваться только первый член. В первом члене
все четыре Ф-оператора находятся под знаком Т-произведения;
их попарные свертки,
+(^)	(93.4)

§ 93	НЕРАВНОВЕСНЫЕ СИСТЕМЫ	483
дают множители G^ и G\% . Во втором же члене сворачи-
сворачиваемые Ф-операторы не упорядочены друг с другом знаком Т
или Т:
#33)(i2);	(93.5)
их свертки дают множители G32 и G13 5 кроме того, здесь
стоит -\-iUs вместо —iU%.
Введем графические элементы, отличающиеся от фигуриро-
фигурировавших в обычной диаграммной технике дополнительными ин-
индексами + или — на концах линий. Штриховые линии с индекса-
индексами + или — на одном из концов (вершине диаграммы) означают
множитель +Ш(Х) или —iU(X):
= -ЩХ)
(ср. IX, § 19). Сплошным линиям с индексами ± на обоих концах
сопоставляются различные G-функции:
(93.7)
Цифры на концах линий нумеруют аргументы функций — пере-
переменные Xi, Х2.
Тогда два члена (93.4), (93.5) изобразятся диаграммами
1-	2-	1-	2-
Двум внешним концам сплошных линий приписываются индек-
индексы — соответственно тому, что речь идет о поправках в функции
G . По переменным, отвечающим вершине диаграммы, подра-
подразумевается интегрирование1). В аналитическом виде:
(93.9)
) Точнее — интегрирование по dtdxj* суммирование по паре одинаковых
спиновых индексов. Последнее будем подразумевать ниже включенным в
интегрирование по d4X.
16*

484	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
В следующем, втором, порядке теории возмущений поправка
в функции G дается четырьмя диаграммами:
it	it	it	it
II	it	it	it
'+ +U	1- -it	L+ (93.10)
(цифровые индексы опущены). Индекс =Ь в каждой вершине диа-
диаграммы относится к концам всех трех сходящихся в ней линий.
Аналогичным образом, поправочные члены в других G-
функциях изобразятся диаграммами с другими индексами у
двух внешних концов сплошных линий. Так, для функции G ^
в первом порядке имеем две диаграммы:
(93.11)
Таким образом, диаграммы в технике Келдыша получаются
из диаграмм обычной техники приписыванием в их вершинах и
свободных концах всеми возможными способами дополнитель-
дополнительных индексов + или —. Это правило остается в силе и в диа-
диаграммной технике при других типах взаимодействия.
Для системы с парным взаимодействием между частицами
в обычной диаграммной технике внутренней штриховой линии
сопоставляется потенциал взаимодействия двух частиц. Теперь
концам такой линии приписывается еще пара одинаковых индек-
индексов + или —:
	iU(X1-X2)=ib(t1-t2)U(r1-r2)
г_	2_	(93.12)
Так, поправка первого порядка в функции G для системы
с парным взаимодействием изобразится суммой четырех диа-
диаграмм:
-V	V	(93.13)
(вместо двух диаграмм A3.13) (см. IX) обычной техники).
Сплошной линии, замкнутой самой на себя, по-прежнему сопо-

§ 94	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	485
ставляется множитель Nq(/j,,T) (плотность идеального газа) при
любом знаке вершины.
Уже упоминалось, что диаграммная техника Келдыша при-
применима также и к равновесным системам при Т ^ 0. Предпо-
Предположим, что внешнее поле отсутствует и перейдем от координат-
координатного к импульсному представлению, разложив все G-функции в
интегралы Фурье. Тогда, обычным образом, каждой линии на
диаграммах приписывается определенный «4-импульс» и этим
линиям сопоставляются, по тем же правилам, функции U(QI
()
() в импульсном представлении.
При Т = 0 функция распределения Ферми
_ Г 1, p<pFl
пр-\ о, p>PF.
Поэтому, согласно (92.20), (92.21), для ферми-системы при Т = 0
G(O)-+(P) = 0 при р > pF, G@)+-(P) = 0 при р < pF
и все диаграммы для G , содержащие «плюсовые» вершины,
обращаются тождественно в нуль. Таким образом, диаграмм-
диаграммная техника Келдыша в применении к равновесным системам (в
отличие от мацубаровской техники) непосредственно переходит
при Т = 0 в обычную диаграммную технику.
§ 94. Собственно-энергетические функции
Как и всякая «разумная» диаграммная техника, техника
Келдыша позволяет проводить суммирования диаграмм «блока-
«блоками». Важнейшими такими блоками являются так называемые
собственно-энергетические функции.
Напомним (см. IX, § 14), что это понятие возникает при рас-
рассмотрении диаграмм для гриновской функции, которые нельзя
разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной ли-
линией. Выделив множители iG^\ отвечающие двум концевым ли-
линиям такой диаграммы, представим ее (в координатном пред-
представлении, как функцию двух аргументов Х\, Х2) в виде
Функцию —гЕз4, представляющую всю внутреннюю часть
диаграммы, называют собственно-энергетической. Точная же
собственно-энергетическая функция (которую и обозначают сим-
символом —iS) определяется суммой всех возможных диаграмм ука-
указанного типа. В соответствии с тем, что в излагаемой технике
каждой вершине диаграммы должен еще быть приписан знак +

486	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
или — , существуют четыре точные собственно-энергетические
функции, в соответствии со знаками их «выходной» и «входной»
вершин; обозначим их как S , S++, S h, SH .
Точные Gr-функции выражаются через точные S-функции то-
тождествами, которые можно записать в графическом виде: для
функции G
(94.1)
и аналогично для остальных функций (жирные линии — точные
G-функции, кружки — S-функции; ср. IX, A4.4)). В аналитиче-
аналитическом виде:
I /Vr)—v—г— -l r^(°)-v
12 + / 1^14 ^43 ^32 + ^14 ^43
/
^	^ A (94.2)
и еще три уравнения для остальных G-функций.
Для компактной записи таких уравнений целесообразно вве-
ввести матрицы
_ (G— G~+\
G ~ [g+- G++)
Тогда четыре уравнения вида (94.2) запишутся совместно как
одно матричное уравнение
G12 = G{
J GSJS43G32 d4X3 d4X4;	(94.4)
множители под знаком интеграла перемножаются по правилу
матричного умножения.
Аналогичным образом записываются совместно уравнения
(92.14)—(92.18), которым удовлетворяют G-функции идеального
газа:
GoM? =az5(X1-X2),	(94.5)
где1)
1 О
Вернемся к уравнению (94.4) и подействуем на обе его части
оператором G^ . Учитывая (94.5), получим в результате систе-
систему четырех интегродифференциальных уравнений, записанных
:) Обозначение az, заимствованное из стандартных обозначений матриц
Паули, не имеет здесь, конечно, никакого отношения к спину.

§ 94	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	487
в виде одного матричного уравнения:
у — 1 /^i 		X ( V	V \ I
тт Ь-19 — СГгО[Л1 — Ло -\-
f ^S13G32 ^4X3.	(94.6)
Отметим, что это уравнение можно представить и в другом,
эквивалентном виде, если заметить, что в диаграммной записи
(94.1) можно с тем же успехом изображать жирные линии слева
(а не справа, как в (94.1)). Другими словами, в (94.2) можно пи-
писать множители в каждом члене подынтегрального выражения
в порядке G14S43G32 . Подействовав на представленные в таком
виде равенства оператором G^ * (см- примеч. на с. 477), получим
GofGu = aJiXi - Х2) + Г G13Z32az d4X3.	(94.7)
Собственно-энергетические функции сами могут быть пред-
представлены в виде ряда скелетных диаграмм, графическим элемен-
элементам которых — жирным сплошным линиям — отвечают точные
Gr-функции. Так, для системы частиц с парным взаимодействи-
взаимодействием: и аналогично для S++ и S^ ; дальнейшие члены ряда со-
-9
(94.8)
-г2"+= ! ! + _^ ^ * у +¦" (94.9)
держат диаграммы с большим числом штриховых линий1). Та-
Таким образом, уравнения (94.4) или (94.7) представляют собой
полную, хотя и очень сложную систему уравнений для точных
G-функций.
Уравнения (94.6) не содержат вовсе функций G^\ зависящих
от выбора «нулевого» состояния системы невзаимодействующих
частиц. Таким образом, всякая зависимость от этого выбора ис-
исчезает. Но наличие в уравнениях дифференциальных операций
:) Ср. IX, A4.9), A4.10); все перечисленные там диаграммы первого и
второго порядков входят в скелетные диаграммы (94.8).

488	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
приводит к неоднозначности их решений. Эта неоднозначность
проявляется присутствием функций G^ в интегральных урав-
уравнениях (94.4).
Система уравнений (94.6) имеет, однако, тот недостаток, что
в ней не учтена еще в явном виде линейная зависимость G-
функций, выражаемая равенством (92.7). Для устранения этого
недостатка надо произвести линейное преобразование матрицы
G таким образом, чтобы, используя (92.7), обратить один из ее
элементов в нуль. Такое преобразование осуществляется форму-
формулой
G' = R~lGR,	(94.10)
где
J R - 71 v i i )•
R-^\ -1 1 J' R - 71
Легко убедиться, что преобразованная матрица
где
F = G++ + G— = G+- + G"+.	(94.12)
Преобразовав таким же образом матрицы G^ и S, мы оставим
уравнение (94.4) инвариантным.
Преобразованная матрица S:
^ Q)	(94.13)
где обозначено
О = S~ + S++, Ея = S~ + S"+, SA = S~ + S+-. (94.14)
В этом можно убедиться прямым вычислением с учетом ра-
равенства
S++ + S~ = -(S+- + S"+),	(94.15)
являющегося следствием равенства (92.7) (его легко получить,
приравняв нулю выражение
составленное с помощью уравнений (94.6)).
Раскрыв теперь преобразованное матричное уравнение (94.4),
получим три уравнения. Одно из них:
&Gf2 d4X3 d4X4.	(94.16)

§ 95	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ	489
Такое же уравнение для GR не дает ничего нового, так как
оно является просто «эрмитово-сопряженным» по отношению к
уравнению (94.16). Подчеркнем, что это уравнение, хотя в нем и
фигурирует относящаяся к идеальному газу функция G^ , не
зависит от «нулевого» состояния, поскольку функция G^ от
этого состояния не зависит (как это было отмечено в § 92).
Наконец, получающееся из (94.4) третье уравнение для функ-
функции F содержит члены с функцией F^°\ зависящей от «нулево-
«нулевого» состояния. Эти члены, однако, исчезают при воздействии на
них дифференциального оператора G^1, поскольку G^F^ = 0.
В результате получим уравнение
G^F12 = f{U13G& + Sf3F32} d4X3.	(94.17)
Уравнения (94.16), (94.17) составляют полную систему, опи-
описывающую в принципе поведение неравновесной системы. Вто-
Второе из них — интегро-дифференциальное и представляет со-
собой обобщение кинетического уравнения Больцмана; напомним
в этой связи, что согласно (92.5), (92.6) функции G h и GH ,
а с ними и F, непосредственно связаны с функцией распреде-
распределения частиц в системе. Решение уравнения (94.17) содержит
произвол, соответствующий произволу в решении кинетическо-
кинетического уравнения. Уравнение же (94.16) — чисто интегральное и не
вносит поэтому никакого дополнительного произвола в решение
системы.
Отметим, однако, принципиальную особенность уравнений
(94.16), (94.17), отличающую их в общем случае от обычного ки-
кинетического уравнения: они содержат две, вместо одной, времен-
временных переменных t\ и ?2. В следующем параграфе будет показано,
каким образом это различие устраняется в квазиклассическом
случае.
§ 95. Кинетическое уравнение в диаграммной технике
Покажем на простом примере, каким образом осуществляет-
осуществляется переход от уравнений типа (94.16), (94.17) к обычному квази-
квазиклассическому кинетическому уравнению. Мы рассмотрим слабо
неидеальный ферми-газ при температурах Т ~ ер, предполагая
выполненными условия квазиклассичности: промежутки време-
времени т и расстояния L, на которых существенно меняются все ве-
величины, удовлетворяют неравенствам
reF > 1, LpF > 1	(95.1)
(ср. § 40). Хотя мы, естественно, не получим в этом случае ничего
нового, вывод содержит поучительные моменты, полезные и в
более сложных случаях.

490	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА
Квантовое кинетическое уравнение должно определять одно-
частичную матрицу плотности p(t, гх,Г2). Для перехода к ква-
квазиклассическому случаю целесообразно воспользоваться ее сме-
смешанным координатно-импульсным представлением, произведя
фурье-разложение по разности ? = ri — Г2 и оставив коорди-
координатную зависимость от г = (ri + Г2)/2. При этом
так что соответствующий фурье-образ есть (спиновые индексы
опускаем)
n(i,r,p) ye^(i,r+,r|) dt	(95.2)
Обратное преобразование:
p(t, гь г2) = 11 e-(—)n (*, Е!±?», р) |Е..	(95.3)
Интегрирование функции п(?, г, р) по координатам дает
функцию распределения частиц по импульсам, как это видно из
выражения этого интеграла через исходную матрицу плотности:
Np = f n(t, r, p) dsx=Aff е-^Г1-Г2V(?, гь г2) dsXl dsx2. (95.4)
Интегрирование же по импульсам дает распределение по коор-
координатам, т. е. пространственную плотность числа частиц, как это
снова видно из выражения через матрицу плотности:
N(t, г) = / n(?, r, p) dsp = J\fp(t, r, r).	(95.5)
Саму же функцию п(?, г, р) в общем квантовом случае отнюдь
нельзя рассматривать как функцию распределения по координа-
координатам и импульсам одновременно; не говоря уже о том, что это про-
противоречило бы основным принципам квантовой механики, опре-
определенная согласно (95.2) функция п(?, г, р) в общем случае даже
не положительна).
Функция п(?, г, р) имеет, однако, буквальный смысл функ-
функции распределения в квазиклассическом приближении. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим оператор какой-либо физической
величины, относящейся к отдельной частице и зависящей от г
ир:/ = /(г, р) = /(г, — iV) -1). По определению матрицы плот-
плотности, среднее значение величины / дается интегралом
7 = /[Лр(*? гЬ
г) Для определенности можно считать, что все операторы V стоят пра-
правее г. В квазиклассическом приближении это несущественно.

§95	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ	491
где /i действует на переменную г. Подставим сюда р в виде (95.3)
и учтем, что при условиях (95.1) п является более медленно ме-
меняющейся функцией гх, чем множитель ехр(гргх). Поэтому до-
достаточно дифференцировать только последний, что сводится к
замене — iVi —» р. Тогда выражение / примет вид
/ = 11 /(r, p)n(t, r, p) d3x^,	(95.6)
что (ввиду произвольности /) как раз соответствует определе-
определению классической функции распределения.
Ниже мы будем писать уравнения для гриновской функции
G l~(Xj_,-X'2), наиболее тесно связанной (согласно (92.5)) с мат-
матрицей плотности. Введем для нее «четырехмерное» смешанное
представление
G~+(X, P)= f eiPSG~+ (х + \Z,X- is) d4E, (95.7)
где Р = (ш,р), X = (t,r), H = (Со,О» причем t = (ti + t2)/2,
Со = h - t2. Тогда
n(t,r,p) = -iJG-+(X,P)^-;	(95.8)
интегрирование по duo /Bтг) эквивалентно тому, что полагается
После этих предварительных определений, перейдем к выво-
выводу кинетического уравнения.
Возьмем (—Ь)-компоненту уравнений (94.6) и (94.7) и соста-
составим их почленную разность:
(G02 - G01 )G12 =
= ~ (^13 ^32 + ^13 ^32 + ^13 ^32 + ^13 ^32 ) ^ ^3-
(95.9)
Оператор, действующий на функцию G^2+ в левой части урав-
уравнения:
Перейдем теперь в обеих частях уравнения (95.9) к фурье-
компонентам (95.7) и положим t\ = ?2 (или, что то же, проин-
проинтегрируем по duo/Bтг)). С учетом (95.8) найдем, что левая часть

492	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА
уравнения (95.9) примет в результате вид
дп р дп
dt m дг
— как раз требуемый вид левой части кинетического уравнения
для функции распределения п(?, г, р). Правая же часть уравне-
уравнения (95.9) после фурье-преобразования должна поэтому дать ин-
интеграл столкновений, Stn.
Переход к фурье-компонентам в этой части должен быть про-
произведен с учетом условий квазиклассичности. Интеграл в (95.9)
представляет собой сумму членов вида
Выразим множители ЕиСв виде функций от разностей и по-
полусумм «4-координат»:
±*) G
При переходе к фурье-компонентам по первым аргументам су-
существенна область значений разностей координат |ri — гз|, |гз —
— Г21 ~ 1/р и разностей времен \t\ — ?з|5 |?з — ^| ~ 1/е. Согласно
условиям (95.1) на этих интервалах S и G как функции своих
вторых аргументов меняются мало. Поэтому можно приближен-
приближенно заменить эти аргументы значениями X = (Х\ + Х%)/2\
J S(XX - Х3, X)G(X3 - Х2, X) d4X3,
после чего можно переходить к фурье-представлению при задан-
заданном значении X. В результате правая часть уравнения (95.9)
примет вид
Stn = - /"{S-+(G~ + C++) + (S
J
+ S+-G-+} —, (95.10)
27Г
где все функции в подынтегральном выражении имеют одинако-
одинаковые аргументы (X, Р) = (?, г;о;,р); во втором равенстве исполь-
использованы соотношения (92.7) и (94.15).
Применим формулу (95.10) к модели почти идеального
ферми-газа, рассматривавшейся уже в IX, § 6, 21. Как и там, бу-
будем условно считать, что потенциал U(y\ — Г2) взаимодействия
между частицами удовлетворяет условию применимости теории
возмущений; для перехода к истинному взаимодействию (не удо-
удовлетворяющему этому условию) достаточно выразить ответ че-
через амплитуду рассеяния.

§ 95	КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ	493
Имея в виду найти интеграл столкновений в первом неис-
чезающем приближении теории возмущений по взаимодействию
частиц, можно считать, что точные G-функции в (95.10) связаны
с функцией распределения п теми же формулами (92.20), (92.21),
что и в идеальном газе; это означает пренебрежение малыми по-
поправками за счет взаимодействия к энергии е = р2 /2т частицы
газа. Выражения (92.20), (92.21) относятся, строго говоря, к од-
однородному и стационарному состоянию газа, но в квазиклассиче-
квазиклассическом случае, ввиду медленности изменения п с координатами и
временем, можно пользоваться теми же выражениями, понимая
в них в качестве пр функцию п(?, г, р), в которой f иг играют
роль параметров. Интегрирование по ио устраняет E-функции и
получается
+ г?+-(е - /i, p; t, r)rc(t, r, p). (95.11)
Уже из самого вида этого выражения ясно, что первый член в
нем описывает «приход» частиц, возможный лишь при 1 — п^О;
второй же член описывает «уход», пропорциональный п. Оста-
Остается вычислить собственно-энергетические функции S h и SH .
Первый неисчезающий вклад в них дают диаграммы второго
порядка (ср. (94.9)); так,
Р'
Pl I	!\pi I (95-12)
р\
где Р[ = Р + Р\ — Р'. После замены U на ?7о (см. ниже) вклады
в S от этих двух диаграмм связаны друг с другом равенством
Sa = — 2Еб (минус — из-за замкнутой петли в диаграмме a, a
коэффициент 2 — из-за спинового суммирования в этой петле;
ср. аналогичные вычисления в IX, § 21). Раскрыв диаграмму б в
аналитическом виде, получим
г?"+(Р) = f G-+(Pl)G+-(P1)G-+(P[)U2(Pi-pl)d4p'dT ¦
В вырожденном газе длина волны частиц (~ 1/р) автоматиче-
автоматически велика по сравнению с радиусом сил взаимодействия в силу

494	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА	ГЛ. X
условия разреженности газа (см. IX, § 6); это позволяет заменить
U(pi — р7) на значение при Pi — р7 = 0:
С/о = Г U(r) d3x.
Подставив для функций G + и G+ выражения (92.20), (92.21) и
устранив две E-функции интегрированием по «временным» ком-
компонентам 4-векторов Р\ и Р7, убедимся в том, что первый член в
(95.11) действительно совпадает с членом «прихода» в интеграле
столкновений G4.5) (причем w = 2ttUq). Аналогичным образом
вычисляется S^ , и второй член в (95.11) оказывается совпада-
совпадающим с членом «ухода» в том же интеграле столкновений.

ГЛАВА XI
СВЕРХПРОВОДНИКИ
§ 96. Высокочастотные свойства сверхпроводников.
Общая формула
В IX, § 51, были получены формулы, связывающие ток в
сверхпроводнике с векторным потенциалом электромагнитного
поля в нем. Здесь эти формулы будут обобщены на случай пе-
переменного во времени поля. Как и в IX, мы будем исследовать
этот вопрос в рамках модели БКШ, рассматривая электроны в
металле как изотропный газ со слабым притяжением между ча-
частицами г).
Как всегда в металлах (и тем более — в сверхпроводниках), в
уравнениях Максвелла можно пренебречь током смещения, т. е.
писать
rotH= — j.	(96.1)
с
Отсюда следует, что в этом приближении
div j = 0.	(96.2)
Для описания поля выберем калибровку, в которой скалярный
потенциал ср = 0. Линейную связь между компонентами фурье-
разложений (по времени и по координатам) плотности тока и
векторного потенциала поля напишем в виде
ja(u,k) = -Q(u,k) (бар - ^ф-) А$(и,к),	(96.3)
тождественно удовлетворяющем уравнению (96.2), т. е. условию
kj (о;, к) = 0. Продольная (вдоль к) часть вектора А выпадает из
соотношения (96.3), а потому и вообще из уравнений, так что ее
можно положить равной нулю, т. е. считать, что к А (о;, к) = 0.
При таком выборе А связь между током и полем сводится к
j(w,k) = -Q(a;,k)A(a;,k).	(96.4)
1) Результаты этого и следующего параграфов принадлежат Бардину и
Маттису (J. Bardeen, D.C. Mattis, 1958) и А.А. Абрикосову, Л.П. Горькову
и И.М. Халатникову A958).

496	СВЕРХПРОВОДНИКИ
Наша цель состоит в вычислении функции Q(a;,k). Эта ве-
величина относится к категории обобщенных восприимчивостей, и
для решения задачи воспользуемся изложенным в § 91 методом.
Следуя этому методу, формальным образом вводим в гамиль-
гамильтониан сверхпроводника «векторный потенциал», зависящий от
мацубаровской переменной г (и от координат) 1):
А (т Y\ _ А ({ Ь.\ l[k.T-QsT)	f _ О^^Т"	TQfi *Л
С помощью уравнений Горькова вычисляем линейную по А по-
поправку к мацубаровской гриновской функции:
/~> /	\	/~> (о) /	_, „ \ | /^ (ij/ v» • ¦r»^• ^o^ч^ч^
в силу «однородности по т» и пространственной однородности
невозмущенного сверхпроводника, Q^ зависит только от разно-
разностей своих аргументов. Плотность тока j(r, r) выражается через
гриновскую функцию согласно
г; г', г')] г/=г -—А(т,г), (96.7)
.	тс
где N — плотность числа частиц2). С полем (96.5) это соотно-
соотношение фактически будет иметь вид
j(T,r) = -QM(Ce,k)A(r,r).	(96.8)
Коэффициент Qm b нем есть мацубаровская восприимчивость,
и согласно (91.18)
Q(i|Ce|,k) = QM(Ce,k).	(96.9)
Для определения искомой функции Q(o;,k) надо будет произве-
произвести аналитическое продолжение с точек ио = i\Cs\ на всю верхнюю
полуплоскость.
Ход вычисления Qm вполне аналогичен вычислениям в IX,
§ 51. Напомним, что в калибровке потенциалов с divA = 0 по-
поправка к щели А в энергетическом спектре отсутствует, а линеа-
линеаризованные уравнения Горькова для гриновских функций Q и Т
:) В этом параграфе полагаем Л = 1.
2) Ср. IX, E1.17). При сравнении с формулами в IX, § 51, надо помнить,
что теперь е обозначает положительную величину — элементарный заряд.

§ 96	ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩАЯ ФОРМУЛА	497
имеют вид 1)
= —ilA(r, r)Vg@) (r - г', г - r'),
C	(96.10)
')
me
При поле вида (96.5) можно сразу отделить зависимость
от сумм г -\- rf и г + г7, положив
= g(T - г', г - г') ехр [1к(г + г') - i0(r + г')] (96.11)
гично для Т с функцией / вместо g. Та
замены первое из уравнений (96.10) принимает вид
и аналогично для Т с функцией / вместо g. Так, после этой
(9610)
[ik(r - г') - k
L2	2
Разложим теперь все величины в ряды Фурье по т — т' и
интегралы — по г — г7:
00 Г
g(r,r)=T J3 /g(C7
(96.12)
и т. д. В результате получим для фурье-компонент систему двух
алгебраических уравнений:
(96.13)
Оператор Лапласа пишем как V2 в отличие от щели А!

498	сверхпроводники
«Невозмущенные» гриновские функции ферми-системы Q^ и
Т разлагаются в ряды Фурье с «нечетными частотами»: Bsf +
+ 1)тгТ. Поэтому из (96.13) следует, что «частоты» (^, пробегают
значения
?, = Bs' + 1 - s)ttT.
Функции Q(°} и Т даются выражениями (см. IX, D2.7),
D2.8))
где
rj = ^--fjL^ vF(p - pF), e2 = А2 + г/2	(96.15)
2т
(постоянную А считаем вещественной). Используя эти формулы,
легко привести решение системы (96.13) к виду
me
(96.16)
где
(96.17)
Используя (96.7), (96.11), (96.12), получим для плотности тока:
2еТ
s' = — oo
с функцией g из (96.16). Учитывая поперечность векторов j и А
по отношению к к, производим под знаком интеграла усредне-
усреднение по направлениям вектора р^ в плоскости, перпендикуляр-
ной к. Функции ?/(°) и Т в (96.16) от направления р^ не
зависят; усреднение же множителя p_l(p_lA) превращает его в
Ар2 sin2 6/2, где в — угол между р и к. В результате находим сле-
следующее окончательное выражение для мацубаровской восприим-
восприимчивости:
оо
sf = — oo
)(Р-)]0. (96.18)
Займемся теперь аналитическим продолжением этой функ-
функции с дискретного ряда точек Cs = 2snT на всю правую полу-

96
ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩАЯ ФОРМУЛА
499
плоскость комплексной переменной ? (т. е. на верхнюю полуплос-
полуплоскость переменной ио = г?). Задача сводится к аналитическому
продолжению подынтегрального выражения интеграла по d3p;
рассмотрим, например, первый член в нем:
jM{Q = т
+|) д. (с -1) =
= Т
(96.19)
(для краткости обозначений опускаем индекс @), а аргументы
р± = р ± k/2 заменяем индексами ±). Это выражение может
быть представлено в виде интеграла
JM((S) = J- (b g+(z)g-(z-(s)tg^dz,	(96.20)
взятого по трем замкнутым контурам Ci, С2, С3 (рис. 32), кото-
которые в общей сложности охватывают всю бесконечную совокуп-
совокупность полюсов множителя tg (z/2T), которые он имеет в точках
z = Bs7 + 1)тгТ (точки на рисунке); вычеты подынтегрального
выражения в каждом из этих полюсов дают соответствующие
CiC2
C2C3
Н	h
о
Н	1
©
Рис. 32
Рис. 33
члены в сумме (96.19) (на бесконечности Q(z)ool/z, так что ин-
интеграл сходится). В выборе контуров учтено, что функция Q{z)
аналитична в каждой из двух полуплоскостей:
GA{iz\ Kez < 0,
где GR и G — аналитические функции (запаздывающая и опе-
опережающая функции Грина — см. IX, § 37); мнимая же ось z
является, вообще говоря, разрезом для функции Q{z).

500	СВЕРХПРОВОДНИКИ	ГЛ. XI
Развернем теперь контуры так, чтобы они проходили верти-
вертикально по обоим берегам линий разрезов Re z = 0 и Re z = ?5
(рис. 33; бесконечно удаленные замыкающие участки контуров
не показаны). На паре линий Ci, С2 заменяем переменную инте-
интегрирования, положив z = гио1', а на паре Ci, C3 полагаем z — (s =
= га/. Тогда при (s > 0 имеем
Jm(Cs) = ~
co'. (96.21)
При выводе этого выражения значение ?5 было еще фиксировано:
?5 = 2тг sT. Но для таких значений
tg	—ь— = tg — = г th —.
Ь 2T	Ь 2Т	2Т
После такой замены аналитичность выражения (96.21) при всех
?5 > 0 очевидна ввиду аналитичности функций G и GR в со-
соответствующих полуплоскостях. Полагая теперь г?5 = c<j, имеем
для уже аналитически продолженного выражения 1):
^u' -ш) + [G^(w') - Gd(w')]G?(w' + и)} бы'. (96.22)
Таким же способом производится продолжение второго члена
в подынтегральном выражении в (96.18) и приводит к результа-
результату, отличающемуся от (96.22) лишь заменой функций GR, G на
p+R^ f+a 2)> все эти функции даются следующими выражения-
выражениями (см. IX, § 41):
и — г -\- гО и + г + гО
) Изложенный способ аналитического продолжения принадлежит
Г.М. Элиашбергу A962).
2) Определение гриновской функции F+ (соответствующей температур-
температурной функции J7) — см. IX, § 41. Определения функций F+R и F+A отли-
отличаются от F+ заменой Т-произведения коммутатором — аналогично связи
между GR, GA и G.

§ 96	ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩАЯ ФОРМУЛА	501
где
4 .
Функции же GA, F+A отличаются от GR, F+R лишь знаком пе-
перед гО. Поэтому
GR - GA = 2ImGR = -1г[и2р6(ш - е) + у26(ш + e)],
F+R _ F+A = пА [<J(w _ g) _ ци + ?)]
и интегрирование в (96.22) сводится к устранению ^-функций.
После ряда простых, но довольно громоздких алгебраических
преобразований получается следующее окончательное выраже-
выражение -1):
>k) = ^! _ J*_ fp2sm2eth^±
' тс 4т2 с J	2T
х< И+"+1/-"" I I	- +	V^l +
е+ — Е- — ио — гО е+ — Е- + ио + гО
е+е- \ |_?++?_-и-гО ?++?_+ и + гО J J BттK '
(96.24)
где
4 = Д2 + *7±-	(96.25)
Два члена в фигурных скобках в (96.24) имеют существенно
различное происхождение и смысл. Первый из них нечетен по
р; поэтому при Г = 0 (когда множитель th(e+/2T) = 1) инте-
интеграл от этого члена обращается в нуль. Эта часть Q связана с
бесстолкновительной динамикой элементарных возбуждений. Ее
мнимая часть, существующая при всех о;ик, связана с бесстолк-
новительным затуханием Ландау.
Интеграл же от второго члена остается отличным от нуля и
при Г = 0. Эта часть Q связана с рождением или разрывом купе-
ровских пар. Полюсы подынтегрального выражения в этой части
лежат при ?+ + ?_ = ±ои. Для их существования (а тем самым
и для возникновения диссипации — мнимой части Q) частота
должна превышать 2А — энергию связи куперовской пары.
х) В IX, § 51, указывалось на необходимость осторожности при вычисле-
вычислении суммы и интегралов вида (96.18) ввиду медленности убывания подынте-
подынтегрального выражения. В использованном здесь порядке операций эта труд-
трудность обойдена. Это подтверждается тем, что окончательное выражение
(96.24) удовлетворяет необходимому условию: Q = 0 при А = 0 и uj = 0
(нормальный металл в постоянном поле) — см. примеч. на с. 503.

502	сверхпроводники
§ 97. Высокочастотные свойства сверхпроводников.
Предельные случаи
Перейдем к исследованию общей формулы (96.24). Число
предельных случаев здесь очень велико ввиду наличия четырех
независимых параметров Hui, fikvp, A, T, которые могут нахо-
находиться в различных соотношениях между собой. Мы рассмотрим
лишь несколько из них.
При tvuj ^> А наличие щели в спектре сверхпроводника несу-
несущественно. Положив в первом приближении А = 0, мы пришли
бы к формуле для поперечной диэлектрической проницаемости
нормального электронного ферми-газа; мы не станем останавли-
останавливаться на соответствующих вычислениях 1).
Лондоновский случай. Рассмотрим лондоновский пре-
предельный случай, в котором
HkvF < До,	(97.1)
где До — значение Д(Т) при Т = 0. При этом будем считать,
что А <Т, чем исключается область очень низких температур.
Частоту будем считать малой в том смысле, что ио < k
При к -+ 0
2
S+S-
Поэтому второй член в фигурных скобках в (96.24) мал и им
можно пренебречь. В первом же члене первая квадратная скоб-
скобка заменяется на 2; воспользовавшись нечетностью второй ква-
квадратной скобки как функции р, пишем после этого:
Q(a,,k) = ^ - ^- [ [th *± - th^
v J me 2m2c J I 2T	2T
e+ - S- - hu - гО Bтт/гK
Заметив, что th (e/2T) = 1 — 2по(е), где
по(в) = [е?/г + 1]-1	(97.2)
— функция распределения элементарных возбуждений в сверх-
сверхпроводящем ферми-газе (распределение Ферми с равным нулю
:) Связь между Q(cj,k) и поперечной диэлектрической проницаемостью
?t(w, k) выясняется следующим образом. Выразив плотность тока через век-
вектор поляризации согласно — zcjP = j и введя вместо А напряженность
электрического поля Е = zcjA/c, переписываем соотношение (96.4) в виде
Р = — clu~2Q~E. Отсюда видно, что
_cQ = st-1
и2	4тг

§ 97	ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ	503
химическим потенциалом), пишем
th ?± - th — = -2[по(?+) - щ(е-)] «
2Т	2Т	L V +/	V Л	^
где
ds rip
ар ше
Тогда
Q(c, k) = g?l + 4 / ^ kkV Sln2' ,f* •	(97.3)
?тгс ?тг^с J os kv — cj — гО BтгпN
При о; = 0 это выражение совпадает, как и следовало, с лон-
доновским значением Nse2/(me), где NS(T) — плотность сверх-
сверхпроводящих электронов1). Поэтому можно переписать (97.3) в
эквивалентном виде:
^ [^ р2^в	t2-.	(97.4)
m2c J ds kv — ш — гО Bтт/гK
Второй член в этом выражении описывает вклад в диэлек-
диэлектрическую проницаемость от элементарных возбуждений в
ферми-газе2).
При со ^ kv можно пренебречь ио в знаменателе подынте-
подынтегрального выражения в (97.4):
(97.5)
me
тс 4тг2сН3к
-1
2	/Sin2^C°S^ f^J^dp.
h3к J cos6 — iO J ds m2v
Интеграл по cos в вычисляется по вычету в полюсе cos в = гО и
равен т. Интеграл же по р, переписанный в виде
логарифмически расходится при |г/| <^ А. Обрезав его при зна-
значениях \г)\ ~ шА/(кур) (для которых kv ~ о;), получим, с лога-
:) В этом легко убедиться с помощью формул, приведенных в IX, § 40,
при вычислении ps = mNs. Отметим, что Q@, k) обращается в нуль (вместе
с Ns) при Т —>• Тс, как это уже было упомянуто в примеч. на с. 501.
2) В этом можно убедиться, сравнив (97.4) с формулой B) для попереч-
поперечной проницаемости бесстолкновительной электронной плазмы в задаче 2 к
§ 31. При сравнении следует учесть, что лондоновский случай соответствует
квазиклассическому пределу, так что формула для вырожденного газа от-
отличается от формулы для максвелловской плазмы только видом функции
распределения и законом дисперсии е(р).

504	сверхпроводники
рифмической точностью,
дпр
2
e=A	J	7]
ujA/{kvF)
de
Таким образом,
П(> , ЪЛ — NsC2 — n	^ pFL±UJlU.yKVFIU)		/Q7 ^\
^ V ' /	_„	о_,1;ЯФ/»/.Л/Т i 1\/„-Л/Т i i \	V	/
Мнимая часть Q определяет диссипацию; ее отрицательный знак
отвечает положительному знаку мнимой части диэлектрической
проницаемости.
Выражение (97.6) становится непригодным при Т —>> Тс, когда
Ns и А стремятся к нулю. Главный вклад в интеграл по р в (97.5)
здесь вносит область г/ ~ Т ^> А; в ней можно положить А = 0.
После этого получим
Q{uj,k) = -г-	—,
4 me kv
з
где N =	— плотность электронов. Это выражение отве-
Зтг2/г3
чает просто аномальному скин-эффекту в нормальном металле
(с законом дисперсии е = р2/Bга)) х).
Пиппардовский случай. В статическом магнитном поле
пиппардовский предельный случай соответствует неравенству
hkvF > До - Тс.	(97.7)
Рассматривая переменное электромагнитное поле, добавим сюда
еще и условие
kvF > uj.	(97.8)
Вычисления в этом случае существенно упрощаются, если
предварительно вычесть из выражения Q(a;,k) (96.24) его стати-
статическое значение Q@, к); это сводится к отбрасыванию постоян-
постоянного члена Ne2/(гас) и вычитанию из каждого члена (б+ ± ?_ ±
=Ь Hlj)~1 в подынтегральном выраж:ении такого же члена с о; = 0.
Разность Q(o;,k) — Q@, k) оказывается пропорциональной 1/к.
1) См. формулу (86.16). При сравнении следует учесть независимость К
от ср в данном случае, а также тот факт, что Q связывает j с А, а не с Е,
как а из (86.16).

§ 97	ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ	505
Таким же образом зависит от к пиппардовское Q@,k):
Q@,k) = -f-, /3 =	—-—Ath —	97.9
4тгА;	me2 4/wf	2T
(см. IX, E1.21)). Поэтому можно записать Q(o;,k) в виде
^ + 7M],	(97.10)
где j(uj) — подлежащая вычислению функция, обращающаяся
при uj = 0 в нуль. Отметим, что ввиду той же зависимости от
к остается справедливой формула E2.6) (см. IX) для глубины
проникновения ?, в которой надо лишь заменить /3 на /3 + j(oo).
Но ввиду комплексности ^(оо) (см. ниже) при этом естественно
пользоваться не самой ?, а связанной с ней величиной — поверх-
поверхностным импедансом ((со) = —гио5/с.
В интеграле, определяющем разность Q(o;,k) — Q@, k), су-
существенны (как и при вычислении Q@, к) в IX, § 51) малые зна-
значения cos б, причем интеграл быстро сходится при увеличении
cos в] это позволяет положить sin в = 1 и распространить инте-
интегрирование по cos в от — оо до оо.
Преобразуем интеграл по
d3p = 2тф2 dp d cos в w 2тгр2рт drj d cos в
P2 \
7/ = ^— — ii ] к интегрированию по новым переменным
2т )
Хл = —, Хо = —.
1 A' l A
Имеем
7/+ + 7/_ « 27/, Г]+ — Г]- ^ flkVp COS б.
Поэтому интегрирование по dr]d cos 6 можно заменить интегри-
интегрированием по ^+ ^~ в пределах от — оо до оо по каждой из пе-
kV
ременных 7/+ и 7/_. При этом выпадают все члены в подынте-
подынтегральном выражении, содержащие произведение 7/_|_7/_ и потому
нечетные по этим переменным. После этого можно перейти к ин-
интегрированию по переменным х\ и Х2 в пределах от 1 до оо по
каждой из них, заменив
dnd cos 6 —)> 4	±	de+de- =

506	СВЕРХПРОВОДНИКИ
В результате этих преобразований найдем
тс2 L ¦
\(Х1Х2 + 1) [	^	 + 	^	Р^—1
I	Ixi — Х2 — и) — iO х\ — Ж2 + cj + гО	x\—X2i
1) [	^	 + 	^	 - —^—1 ) ,
2л)
(97.11)
где S = Hcj/А. Ограничимся рассмотрением мнимой части этого
выражения, определяющей поглощение энергии поля.
Мнимая часть подынтегральных выражений в (97.11) отде-
отделяется по правилу B9.8), после чего E-функции устраняются ин-
интегрированием по одной из переменных, х\ или Х2] при этом
надо следить за тем, чтобы точка обращения в нуль аргумента
E-функции действительно находилась в области интегрирования.
После простых преобразований получим при и) > 0:
сю
т// т т f х(х + ш) + 1 Г, (х + ш)А ,, жА1 7 .
J = Im J = тг /	^	— th	— — th — \dx +
7 (ж2-1I/2[(ж+^J_1]1/2 [	2Т	2TJ
+ 7Г
ш-1
х(ш-х)-:
I
второй член существует лишь при ZjJ> 2. Аналогичным образом
легко убедиться, что J"(—uo) = J"(uo). Интеграл (97.12) зависит
от двух параметров, А/Т и cj/A, которые могут еще находиться
в различных соотношениях друг с другом и с единицей. Рассмо-
Рассмотрим некоторые из возможных здесь предельных случаев.
Пусть Т = 0. Тогда первый интеграл в (97.12) обращается в
нуль. Второй же интеграл отличен от нуля при и) > 2До, т. е.
имеется порог поглощения на «энергии связи» куперовских пар.
Наличие этого порога, в чем непосредственно проявляется щель
в спектре, есть специфическое свойство сверхпроводника.
Вблизи порога, при uj — 2 ^С 1, во всей области интегрирова-
интегрирования х близко к 1. Полагая со — 2 = E, х — 1 = zS, находим
= f*- = 7Г2 (^ - 1
)	2	V2 J

§ 98	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ СВЕРХПРОВОДНИКА	507
Собрав написанные выше формулы, находим таким образом сле-
следующее выражение для мнимой части Q при Т = 0 вблизи порога
поглощения:
4mc hvFk V2Ao
При отличной от нуля температуре рассмотрим случай ма-
малых частот, w С А, причем будем считать, что А(Т) ~ Т (ис-
(исключая тем самым температуры как вблизи нуля, так и вблизи
Тс). Теперь второй интеграл в (97.12) отсутствует. В первом же
интеграле существенна область ж-1~й<1. Разложив^в подын-
подынтегральном выражении разность двух th по степеням ио и введя
переменную х — 1 = и, находим, с логарифмической точностью,
J"^^ch-2A [	du	 = ^ch-2Aln^.
2Т	2Т J у/и(и + ш) 2Т	2Т и
0
В результате получим
Qll = _3,Л^^АсГ2 A in Д.	(97.14)
8 me vFkT	2Т ш	v	У
§ 98. Теплопроводность сверхпроводника
Физическая природа электронной теплопроводности сверх-
сверхпроводника аналогична природе теплопроводности или вязко-
вязкости сверхтекучей бозе-жидкости. В обоих случаях речь идет о
кинетических коэффициентах нормальной компоненты кванто-
квантовой жидкости — совокупности элементарных возбуждений в ней.
Рассмотрим здесь этот вопрос в рамках той же модели БКШ
(Б. Т. Гейликман, 1958).
Исходим из кинетического уравнения для функции распре-
распределения квазичастиц в сверхпроводнике, в котором существует
градиент температуры:
v— —	= Stn,	(98.1)
где v = де/др — скорость квазичастиц. Энергия квазичастицы
2	(98.2)
и сама зависит от температуры через посредство энергетической
щели А(Т). Поэтому при наличии градиента температуры энер-
энергия е тоже становится функцией координат и производная —
—де/дт играет роль действующей на квазичастицу силы; с этим
связано появление второго члена в левой части уравнения (98.1).

508	СВЕРХПРОВОДНИКИ	ГЛ. XI
Как обычно, полагаем п = no(s) + <$п(г,р), где
щ(е) = (е?/т + I)	(98.3)
— равновесная функция распределения. Сохранив в левой части
уравнения лишь члены с по, имеем для нее:
дп0 _ дг дп0 _ [дп0 _ дп0 дг~\
lfr ~(fr~d^ ~ 1дТ ~де~~дТ\
В стоящей в квадратных скобках разности члены с производной
от А сокращаются и, таким образом, остается
vVT
Т дг	Т2 (е?/т + 1)(е-?/т + 1)'
Интеграл столкновений зависит от механизма рассеяния ква-
квазичастиц. Мы рассмотрим случай, когда основным таким ме-
механизмом является упругое рассеяние на неподвижных атомах
примесей; закон рассеяния будем считать изотропным. Тогда ин-
интеграл столкновений сводится к выражению (ср. A1.3))
St п = —vbn,
где v = vNUp<Jt — эффективная частота столкновений, Nup —
плотность числа примесных атомов, at — транспортное сечение
рассеяния квазичастицы на атоме примеси. Последнее есть по-
постоянная величина порядка атомных размеров.
Таким образом, кинетическое уравнение принимает вид
v Т де	I '	V }
где / = l/(iVnpCr^) — постоянная длина пробега.
Тепловой поток вычисляется как интеграл
(98-5)
(множитель 2 — от двух направлений спина квазичастицы). Но с
функцией распределения п = щ + 6п связан также и нормальный
электрический ток в сверхпроводнике с плотностью
jn = --
m
(В рассматриваемой модели j = — (e/ra)i, a i дается формулой
G7.7).) Между тем коэффициент теплопроводности определя-
определяется по тепловому потоку при условии j = 0. В данном слу-
случае, однако, это условие не приводит к необходимости внесения

§ 98	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ СВЕРХПРОВОДНИКА	509
каких-либо изменений в уравнение (98.4). Дело в том, что пол-
полная плотность тока в сверхпроводнике есть сумма j = jn + j5
нормального и сверхпроводящего токов. Возникающий при на-
наличии градиента температуры ток jn автоматически компенси-
компенсируется (при разомкнутой электрической цепи) сверхпроводящим
током j5 = —jn. При этом существенно, что движение сверхпро-
сверхпроводящих электронов не связано с переносом тепла. Равновесная
функция распределения квазичастиц «на фоне» сверхтекучего
движения со скоростью v5 = —}s/(eNs) отличается от (98.3) за-
заменой е на е + pv5 (ср. § 77); эта замена должна была бы быть
произведена и в кинетическом уравнении (98.1). Но величина v5
пропорциональна jn и тем самым — малому градиенту VT; по-
поэтому указанная замена привела бы к появлению в левой части
кинетического уравнения дополнительных членов лишь второ-
второго порядка малости, которые все равно должны были бы быть
опущены при переходе к (98.4).
Подставив 5п из (98.4) в (98.5), получим, после усреднения
по направлениям р, для коэффициента теплопроводности выра-
выражение
I f
= —— /
ЗТ J
2 дп0 2 • 4тгр2 dp
ve
дг BтгЙK
или, заменив v dp = cfe, p2 « p2F,
= _^Р^ . 2 / 2Ш^ d	/gg бч
37Г2^3Т /	^ )
А
Окончательно, после очевидных подстановок,
21р%А3
к = —
[	^	.	(98.7)
1
При Г —)> 0, А —>> До коэффициент теплопроводности стре-
стремится к нулю по закону
При Г —)> Гс, А —)> 0 он стремится (как это видно из (98.6)) к
значению
к =
0
отвечающему нормальному металлу.
/ ?Щ{?) ае = -^-—,

ГЛАВА XII
КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
§ 99. Кинетика фазовых переходов первого рода.
Образование зародышей
Напомним основные положения термодинамической теории
образования зародышей при фазовом переходе (см. V, § 162).
Переход метастабильной фазы в устойчивую совершается пу-
путем флуктуационного возникновения в однородной среде неболь-
небольших скоплений новой фазы — зародышей. Энергетически невы-
невыгодный эффект появления поверхности раздела приводит, одна-
однако, к тому, что при недостаточно больших размерах зародыша он
оказывается неустойчивым и снова исчезает. Устойчивыми яв-
являются лишь зародыши с размерами а, начиная с некоторого
определенного (при заданном состоянии метастабильной фазы)
размера ак; этот размер назовем критическим, а о зародышах
такого размера будем говорить как о критических 1). Критиче-
Критические зародыши предполагаются макроскопическими образовани-
образованиями, содержащими большое число молекул. Поэтому вся теория
справедлива лишь для метастабильных состояний, не слишком
близких к границе абсолютной неустойчивости фазы (при при-
приближении к этой границе размеры критических зародышей убы-
убывают, стремясь к величине порядка молекулярных размеров).
При чисто термодинамическом подходе может быть постав-
поставлена лишь задача о вычислении вероятности флуктуационного
возникновения зародышей различного размера в среде, которая
при этом рассматривается как равновесная. Последнее обстоя-
обстоятельство имеет принципиальное значение. Поскольку состояние
метастабильной фазы в действительности не отвечает полному
статистическому равновесию, то такое рассмотрение относится
лишь к временам, малым по сравнению со временем (обратной
вероятностью) образования критических зародышей, за которым
следует фактический переход в новую фазу, т. е. разрушение
метастабильного состояния. По этой же причине термодинами-
термодинамическое вычисление вероятности возникновения возможно лишь
для зародышей с размерами а < ак, зародыши больших разме-
размеров развиваются в новую фазу; другими словами, такие большие
1) В V, § 162, под зародышами подразумевались только скопления новой
фазы именно этого критического размера.

§ 99	ОБРАЗОВАНИЕ ЗАРОДЫШЕЙ	511
флуктуации вообще не входят в тот набор микроскопических со-
состояний, которые отвечают рассматриваемому (метастабильно-
му) макроскопическому состоянию.
Вместо термодинамической вероятности образования заро-
зародышей будем говорить о пропорциональной ей «равновесной»
(в указанном смысле) функции распределения существующих в
среде зародышей различных размеров; обозначим ее через /о(а)
(/о da есть число зародышей с размерами в интервале da в еди-
единице объема среды). Согласно термодинамической теории флук-
флуктуации,
[^М]	(99.1)
где i?min — минимальная работа, которую необходимо затратить
для создания зародыша заданного размера. Эта работа склады-
складывается из объемной и поверхностной частей и имеет (для сфери-
сферического зародыша радиуса а) вид
Rmin = -—	+ 4тга а,
Зак
где а — коэффициент поверхностного натяжения, а критический
радиус ак выражается через термодинамические величины обеих
фаз (см. V, § 162, задача 2). Значение а = ак отвечает максимуму
функции Дгшп(а); вблизи него
#min = ^аа2к - 4тга(а - акJ.	(99.2)
о
Максимуму i?min соответствует экспоненциально острый мини-
минимум функции распределения. Пренебрегая значительно более
медленной зависимостью от а предэкспоненциального множите-
множителя, имеем
/о(а) = /о(ак) ехр [^(а - акJ] ,	(99.3)
где1)
/оК) = const • ехр [
) Предэкспоненциальный множитель в /о(ак) не может быть выражен
через одни только макроскопические характеристики фаз. Для качественной
оценки можно считать, что этот множитель пропорционален плотности JVi
числа частиц в основной фазе (фаза 1) и производной dAf/da, где ЛГ — число
частиц в зародыше новой фазы (фаза 2). Положив JVi ~ l/^i, Я ~ a\jv2
(где vi и V2 — объемы, приходящиеся на одну молекулу в каждой из фаз),
получим оценку const ~

512	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
Согласно сказанному выше, значение а = ак отвечает гра-
границе, за которой начинается образование массивных количеств
новой фазы. Точнее, надо было бы говорить не о граничной точ-
точке а = ак, а о целой критической области значений а вокруг
/ т \1/2
этой точки с шириной 6а ~ 	 . Флуктуационное разви-
\4тга/
тие зародышей в этой области размеров может еще с заметной
вероятностью перебросить их обратно в докритическую область;
зародыши же, прошедшие через критическую область, будут уже
неудержимо развиваться в новую фазу.
Поскольку термодинамическая теория ограничена лишь ста-
стадией до фактического фазового перехода, она не может дать ответ
на вопросы о ходе этого процесса, в том числе о его скорости.
Здесь требуется кинетическое рассмотрение эволюции зародышей,
приводящей в конце концов к их выпадению в новую фазу1).
Обозначим искомую «кинетическую» функцию распределе-
распределения зародышей по их размерам через /(?, а). «Элементарным
актом», меняющим размеры зародыша, является присоединение
к нему или, наоборот, потеря одной молекулы; это изменение
следует считать малым, поскольку сами зародыши в излагаемой
теории являются макроскопическими образованиями. Это обсто-
обстоятельство позволяет описывать рост зародышей кинетическим
уравнением типа уравнения Фоккера-Планка:
% = ~т>	(99-4)
dt	да
где s — плотность потока в «пространстве размеров», имеющая
вид
s = -B?l + Af.	(99.5)
да
Величина В играет роль «коэффициента диффузии зародышей
по размерам». Коэффициент же А связан с В соотношением, сле-
следующим из условия обращения s в нуль для равновесного распре-
распределения. Взяв последнее в виде (99.1) и пренебрегая медленным
изменением предэкспоненциального множителя, находим
а = -§
Найдем стационарное решение кинетического уравнения, от-
отвечающее непрерывно происходящему процессу фазового пере-
перехода. В таком решении s = const; это постоянное значение пото-
потока (направленного в сторону увеличения размеров) как раз дает
число зародышей, проходящих (в 1 с в 1 см3 среды) через кри-
критическую область, т. е. определяет скорость процесса.
Излагаемая ниже теория принадлежит Я.Б. Зельдовичу A942).

§ 99	ОБРАЗОВАНИЕ ЗАРОДЫШЕЙ	513
Перепишем выражение потока (99.5) выразив его (с учетом
(99.6)) через отношение ///о вместо самой функции /. Тогда
условие постоянства потока примет вид
-Bfo-H-L = s.	(99.7)
да /о
Отсюда
/	Г da ,
— = — s / 	+ const.
/о	J Я/о
Постоянные s и const определяются из граничных условий при
малых и больших а. Вероятность флуктуации быстро возраста-
возрастает с уменьшением размеров; поэтому зародыши малых разме-
размеров возникают с большой вероятностью. Запас таких зародышей
можно считать пополняющимся настолько быстро, что их число
продолжает оставаться равновесным, несмотря на постоянный
отвод потоком s. Эта ситуация выражается граничным условием
///о —>> 1 при а —>> 0. Граничное же условие при больших а мож-
можно установить, заметив, что в надкритической области функция
/о, определенная по формуле (99.1) (в действительности здесь
неприменимой), неограниченно возрастает; реальная же функ-
функция распределения /(а) остается, разумеется, конечной. Эта си-
ситуация выражается условием ///о = 0, поставленным где-либо
в надкритической области; где именно — не имеет значения (см.
ниже), мы условно отнесем его качоо1).
Решение, удовлетворяющее обоим поставленным условиям,
есть
оо
а
причем постоянная s определяется равенством
оо
—.	(99.9)
Я/о
о
Подынтегральная функция имеет резкий максимум при а = ак.
Воспользовавшись вблизи этой точки выражением (99.3), мож-
можно распространить интегрирование по а — ак в (99.9) от —оо до
оо вне зависимости от того, где именно (вне критической обла-
области) выбран верхний предел интегралов в (99.8), (99.9), т. е. где
:) Аналогичные рассуждения использовались уже при решении другой
задачи в § 24.
17 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X

514	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
именно поставлено граничное условие. В результате получим
s = 2^B(aK)f0(aK).	(99.10)
Эта формула выражает число «жизнеспособных» (прошедших
критическую область) зародышей, образующихся в стационар-
стационарных условиях в 1 с в 1 см3 метастабильной фазы, через равно-
равновесное число критических зародышей, определяемое термодина-
термодинамической теорией.
Для самой функции распределения /(а) формула (99.8) в
подкритической области дает просто /(а) « /о(я)- В надкри-
надкритической же области из (99.8) можно видеть лишь, что / <С /о
в соответствии с поставленным граничным условием. Из физи-
физической картины процесса очевидно, что в этой области функция
распределения постоянна: попав сюда, зародыш монотонно уве-
увеличивается, практически никогда не возвращаясь назад. Соот-
Соответственно этому, в выражении потока (99.5) здесь можно пре-
пренебречь членом с производной df /да, т. е. написать s = Af. По
смыслу потока «s, коэффициент А играет при этом роль скорости
в пространстве размеров da/dt. Но рост надкритического заро-
зародыша происходит по макроскопическим уравнениям, использо-
использование которых позволяет определить производную da/dt незави-
независимым образом:
А=(§) ,	(99.11)
\ at/ макро
где индекс указывает результат такого вычисления 1).
Согласно (99.6) находим затем
В(а) =	—(-)	=	(-)	¦ (99.12)
^min(a) ^ ^ ' макро 8тга(а — ак) V dt/ макро
Строго говоря, вычисленная таким образом функция В (а) отно-
относится к области а > ак, между тем как нас интересует (для под-
подстановки в (99.10)) значение В(ак). Но поскольку в точке а = ак
функция В (а) никакой особенности не имеет, можно применить
ее и в этой точке. Отметим в этой связи, что при а —>• ак про-
производная (da/dt)макро обращается в нуль (зародыш находится в
) Может возникнуть вопрос о соответствии формулы (99.11) с «микроско-
«микроскопическим» определением B1.4), согласно которому роль скорости ^da/dt
(сумма по элементарным актам роста) играет не сама величина А, а сумма
А = А + В'{а). Но производная В'{а) мала (вне критической области) по
сравнению со значением (99.6), содержащим большой множитель Rfm-in/T,
и должна быть опущена. Величинами такого порядка было уже пренебре-
жено, когда при выводе (99.6) предэкспоненциальный множитель в (99.1)
рассматривался как постоянный.

§ 99	ОБРАЗОВАНИЕ ЗАРОДЫШЕЙ	515
равновесии, хотя и неустойчивом); деление же ее на а — ак при-
приводит к конечному значению.
Формула (99.12) дает в принципе возможность вычислить ко-
коэффициент В(ак), а тем самым и скорость образования зароды-
зародышей, не прибегая к микроскопическому рассмотрению. Так, для
процесса кипения надо рассмотреть, с помощью гидродинами-
гидродинамических уравнений, рост пузыря пара в жидкости; для процесса
выпадения растворенного вещества из пересыщенного раствора
надо рассмотреть рост выпавшего зерна путем диффузионного
подвода к нему вещества из окружающего раствора.
Задача
Определить «коэффициент диффузии по размерам» для выпадения ве-
вещества из пересыщенного (но все еще слабого) раствора; зародыши предпо-
предполагаются сферическими.
Решение. Напомним термодинамические формулы. Критический
радиус зародыша при его выпадении из пересыщенного раствора
2av'
(см. V, § 162, задача 2), где в данном случае //0 и v — химический потен-
потенциал и молекулярный объем вещества зародыша, а // — химический потен-
потенциал растворенного вещества в растворе; последний дается формулой // =
= Т\пс + ф(Р, Т), где с — концентрация. Введя концентрацию сооо насыщен-
насыщенного раствора над плоской поверхностью растворяемого вещества согласно
Т In сооо + ф = /J>b, имеем
/ /С Т(с — Сооо)
fJL -fJL0=T\n 	 ^ —	~]
СОоо
последнее равенство относится к слабым растворам. Таким образом, крити-
критический радиус
2ш/с0	,.,4
A)
Т(с-сооо)
Формула же
/ 2av'\	clk,	ч	/оЧ
СОа = Сооо 1 + —— = Сооо Н	(с - С0оо)	B)
\ Та J	а
определяет концентрацию соа насыщенного раствора над сферической (ра-
(радиуса а) поверхностью растворяемого вещества.
Подвод вещества к растущему надкритическому зародышу осуще-
осуществляется диффузией из окружающего раствора. В стационарном режиме
сферически-симметричное распределение концентрации с(г) вокруг зароды-
зародыша радиуса а определяется решением диффузионного уравнения
Drc{r)	=0
г дг2	dt
с граничными условиями с(оо) = с (заданное значение концентрации пере-
пересыщенного раствора) и с(а) = соа. Отсюда
С(г) = С- (С- СОа)~
г
17*

516	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
и диффузионный поток по направлению к зародышу:
2 dc
I = 4тгг D— = 4тг!)а(с — соа) = 4тг?)(с — сооо)(« — ак);
dr
в последнем равенстве использована формула B).
Если концентрация определена как число растворенных молекул в еди-
единице объема, то / есть число молекул, осаждающихся в 1 с на поверхности
зародыша. Тогда
Iv' Dv',
=	Г = ~~Г(п ~ п^С ~ С°°°)
макро 4™	а
и, согласно (99.12),
TDvf(c-c0oo) _ Dvf2c0oo
В(ак) =
§ 100. Кинетика фазовых переходов первого рода.
Стадия коалесценции
Проведенное в предыдущем параграфе рассмотрение кинети-
кинетики фазового перехода относится только к его начальной стадии:
общий объем всех зародышей новой фазы должен быть настоль-
настолько мал, чтобы их возникновение и рост не отражались заметно
на «степени метастабильности» основной фазы, и поэтому мог
бы считаться постоянной величиной определяемый этой степе-
степенью критический размер зародышей. На этой стадии происхо-
происходит флуктуационное образование зародышей новой фазы, а рост
каждого из них не зависит от поведения остальных зародышей.
Ниже мы будем говорить, для определенности, о процессе выпа-
выпадения растворенного вещества из пересыщенного раствора; сте-
степенью метастабильности является в этом случае степень пересы-
щенности раствора.
На поздней стадии, когда пересыщение раствора становится
очень малым, характер процесса существенно меняется. Флук-
Флуктуационное возникновение новых зародышей здесь практически
исключено, поскольку критические размеры велики. Увеличение
критических размеров, сопровождающее прогрессирующее паде-
падение степени пересыщения раствора, приводит к тому, что мень-
меньшие из уже имеющихся зерен новой фазы становятся подкрити-
ческими и вновь растворяются. Таким образом, определяющую
роль на этой стадии приобретает процесс «поедания» мелких зе-
зерен крупными — рост более крупных зерен за счет растворения
мелких (процесс коалесценции). Именно эта стадия и рассматри-
рассматривается ниже в этом параграфе. При этом предполагается, что на-
начальная концентрация раствора настолько мала, что выпавшие
зерна находятся далеко друг от друга, так что их непосредствен-
непосредственным «взаимодействием» можно пренебречь1).
1 Излагаемая теория принадлежит И.М. Лифшицу и В.В. Слезову A958).

§ 100	СТАДИЯ КОАЛЕСЦЕНЦИИ	517
Мы будем рассматривать твердый раствор, в котором выпа-
выпадающие зерна неподвижны и растут лишь за счет диффузии из
окружающего раствора. Имея в виду лишь демонстрацию ме-
метода и основных качественных свойств процесса, сделаем так-
также и некоторые другие упрощающие предположения: не будем
учитывать упругих напряжений вокруг выпавших зерен и будем
считать последние сферическими.
Равновесная концентрация раствора у поверхности зерна с
радиусом а дается термодинамической формулой
СОа = СОоо (l + J^) ,	A00.1)
где сооо — концентрация насыщенного раствора над плоской по-
поверхностью растворяемого вещества, а — коэффициент поверх-
поверхностного натяжения на межфазной границе, v — молекулярный
объем растворяемого вещества (см. задачу в предыдущем па-
параграфе). Концентрацию определим по объемному количеству
вещества, растворенному в 1 см3 раствора. При таком определе-
определении диффузионный поток г = D дс/дг у поверхности зерна будет
совпадать со скоростью изменения его радиуса:
dt	dr r=a
(D — коэффициент диффузии растворенного вещества). Ввиду
предполагаемой малости концентрации, эта скорость настолько
мала, что распределение концентрации вокруг зерна можно счи-
считать в каждый момент времени совпадающим со стационарным
распределением с(г), отвечающим данному значению а:
С(Г) = С — [С — Соа)-
г
(с — средняя концентрация раствора). Отсюда диффузионный
поток г (г) = Da(c — CQa)/r2 и затем, с учетом A00.1),
•( \ — da _ D(c-coa) _
dt	a
где введен параметр а = 2av/CQOO/T и величина А = с — сооо —
пересыщение раствора. Величина
aK(t) = -?-	A00.2)
есть критический радиус: при а > ак зерно растет (da/dt > 0),
а при а < ак — растворяется (da/dt < 0). Ниже (вплоть до фор-
формулировки окончательных результатов) будем измерять время

518	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
в единицах a^@)/(Dcr), где ак@) — значение критического ра-
радиуса, отвечающее началу стадии коалесценции. Таким образом,
приходим к уравнению
da = о|@) Г1_ _ 1_\
dt	a VaK а/
Далее, введем функцию распределения зерен по размерам,
/(?, а), нормированную так, что интеграл
ОО
N(t) = ff(t,a)da
о
есть число зерен в единице объема. Рассматривая va = da/dt как
скорость перемещения зерна в пространстве размеров, запишем
уравнение непрерывности в этом пространстве:
% + |-(/««) = 0.	A00.4)
dt да
Наконец, сохранение полного количества растворенного веще-
вещества выражается уравнением
А + q = const = Q, q(t) = —f a3f(t, a) da,	A00.5)
о
где Q — полное начальное пересыщение, q — объем выпавших
зерен (в 1 см3 раствора).
Уравнения A00.3)—A00.5) составляют полную систему урав-
уравнений рассматриваемой задачи. Преобразуем их, введя более
удобные для исследования переменные.
Введем безразмерную величину
x(t) = ^	A00.6)
ак@)
При t —>• оо пересыщение Д(?) стремится к нулю, а критический
радиус — соответственно к бесконечности. Поэтому при измене-
изменении t от 0 до оо монотонно меняется от 0 до оо также и величина
г = 31пж(<),	A00.7)
которую мы выберем в качестве новой временной переменной.
В качестве же неизвестной функции в уравнении A00.3) введем
отношение
и = ^-	A00.8)
aK(t)
В результате уравнение примет вид
— =j(u-l)-u3,	A00.9)
dr
где
^0.	A00.10)

100
СТАДИЯ КОАЛЕСЦЕНЦИИ
519
Приступая к исследованию уравнений, покажем прежде все-
всего, что при т —>• оо функция 7(т) должна стремиться к опреде-
определенному конечному пределу.
Правая часть уравнения A00.9) имеет максимум при и2 =
= 7/3 и принимает в нем значение 7 [B/3) G/ЗI'2 — l]. Поэто-
Поэтому, в зависимости от значения 7? график скорости dv? /dr как
функции и может иметь один из трех видов, изображенных на
рис. 34. При 7 — 7о = 27/4 кривая касается оси абсцисс в точке
и = щ = 3/2.
Каждая точка на оси абсцисс, изображающая состояние зер-
зерна, движется вправо или влево в зависимости от знака производ-
производной du3/dr. При 7 > 7o все точки слева от щ движутся налево
duT
dx
Y>Yo
Y<Yo
7U\ > U2\%
Рис. 34
и исчезают, достигнув начала координат. Точки же и > щ дви-
движутся к точке U2, асимптотически приближаясь к ней справа
или слева. Это значит, что все зерна с и > щ, т. е. с радиусом
а > щаК1 асимптотически (при г —>> оо) приобретали бы размер
а = акг^2, стремящийся к бесконечности вместе с ак; таким об-
образом, стремился бы к бесконечности и общий объем выпавших
зерен (/, так что уравнение сохранения вещества A00.5) не мо-
может быть удовлетворено. При j < 70 все точки движутся влево
и исчезают, достигнув за конечное время начала координат; в
этом случае q(r) -^0и уравнение A00.5) снова не может быть
удовлетворено.
Таким образом, функция j(r) должна стремиться к пределу
7о, причем должна приближаться к этому значению снизу: при
приближении сверху (или при точном равенстве 7 = То) все точ-
точки с и > ад, двигаясь влево, все равно «застряли» бы в точке
и = ад (в которой скорость du3/dr = 0) и уравнение A00.5) не
могло бы быть удовлетворено, как и в случае 7(°°) > То- Итак,
должно быть
7(т) = ^[1-е2(т)],	A00.11)
где е —> 0 при г —>¦ оо. При этом точки, подходящие справа,
все медленнее просачиваются через «запирающую точку» и = щ.

520	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
Скорость этого просачивания определяется функцией б(т), ко-
которая снова должна быть определена из уравнения движения
A00.9) и уравнения сохранения вещества A00.5).
Вблизи точки и = щ уравнение A00.9) с 7 из A00.11):
du	2	3\2 s2
— = — - [и — - — —.
dr	3 V 2/	2
Введя новую неизвестную функцию как отношение z = 	—
двух малых величин, запишем это уравнение в форме
3 dz	2 3.3	dills)	/1ПА 1 оч
	= —z — - + -zrj, rj = v ' J.	A00.12)
2s dr	4 2 h '	dr	V	}
Его исследование, аналогичное произведенному выше для урав-
уравнения A00.9), приводит к заключению, что асимптотически при
т —>> оо функция т](т) должна стремиться к конечному пределу
г/о = 2/V3 (это — значение г/, при котором кривая зависимости
правой части уравнения A00.12) от z касается оси абсцисс в «за-
«запирающей точке» zq = v3/2). Из асимптотического равенства
т\ = г/о следует предельное выражение функции
е{т) = ^.	A00.13)
При т2 ^> 1 поправочным членом в A00.11) можно прене-
пренебречь. Тогда из уравнения 1/7 = x2dx/dt = 4/27 находим пре-
предельный закон зависимости критического радиуса от времени:
ак@) V 9 У	V	У
Поскольку т = In ж3, то условие применимости результата A00.14),
выраженное через истинное время ?, есть In t ^> 1. Интересно,
что, хотя относительное значение поправок к 70 быстро убывает
с ростом т и первое приближение (закон A00.14)) становится
все более точным, поведение решения вблизи запирающей точки
определяется именно этими поправками.
Перейдем к вычислению функции распределения зерен по
размерам. Функция распределения в переменных и, г связана
с функцией распределения в переменных и, г соотношением
<р(т, и) du = /(t, a) da, / = —.	A00.15)
Уравнение непрерывности для этой функции:
^ + ±(vu<p) = 0, vu = p.	A00.16)
от ди	dr

§ 100	СТАДИЯ КОАЛЕСЦЕНЦИИ	521
Везде, за исключением близкой (~ е) окрестности точки щ, ско-
скорость vu дается уравнением A00.9) 7 — 27/4:
vu = р = ~ (и - IJ (и + 3).	A00.17)
dr	Зи2 \ 2/
Решение уравнения A00.16) имеет вид
и
—	т(и))	( \ I du	/1ПП1О\
	к—^, г (и) = / —,	A00.18)
-	Vu	J Vu
, u) =
где х — произвольная функция, которую надо еще определить.
Мы видели, что все точки на оси и, изображающие зерна,
двигаясь справа налево, проходят через окрестность запираю-
запирающей точки, причем чем позднее они попадают в эту область, тем
дольше они там находятся. Эта окрестность играет таким обра-
образом роль стока для точек и > щ и роль источника для области
и < щ.
Функция распределения справа от точки щ при т —>> оо опре-
определяется приходящими сюда из бесконечно удаленной области
точками, отвечающими зернам на «хвосте» их начального (при
т = 0) распределения. Поскольку число зерен в этом распределе-
распределении, разумеется, быстро (фактически — экспоненциально) убы-
убывает с увеличением их размеров, то функция распределения в
области и > щ (вне окрестности точки щ) стремится при т —>> оо
к нулю.
В уравнении сохранения вещества A00.5) член А(т) —>> 0 при
т —>• оо. Выразив интеграл q через переменные т, и (напомним,
что а3 = и3х3а^@) = г^3ета3@)), получим уравнение
A00.19)
xe]u(p(T,u)du 1, х	;
о	3(Э
сюда надо подставить (р из A00.18) с vu из A00.17) г). Сразу
видно, что выражение в левой части равенства A00.19) может
быть независящей от т величиной, лишь если функция \ имеет
вид
Х(т-т(и)) = Ае-т+тМ.
Функция г (и) вычисляется элементарным интегрированием
и в результате получается
<р(т, и) = Ае-тР(и),	A00.20)
) Мы не останавливаемся на доказательстве того, что относительный
вклад в интеграл от окрестности точки г^о (в которой выражение A00.17)
неприменимо) стремится при г^оок нулю.

522	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
где
р(и)- 3е ^exp[-l/(l-2V3)]	3
V ; 2V3(^ + 3O/3C/2-^)ii/3'	2'	(Ю0.21)
Р(и) = 0, и>-.
Постоянная А определяется обратной подстановкой A00.20) в
уравнение A00.19); численное вычисление получающегося инте-
интеграла дает А = 0, 9/х. Функция Р(и) автоматически нормиро-
нормирована на 1:
uq	3/2	—оо
Г Р{и) du= Г ^— du = - Г ет dr = 1.
0	0	0
Поэтому число зерен в единице объема
N= / ф, и) du = Ае~т = —.	A00.22)
о	4t
Легко найти также и среднее (по распределению A00.21)) значе-
значение п. Для этого рассмотрим интеграл
UQ	UQ	0
ГP(u)(u-l)du= /VW(u-l)—= Г eT[u(r)-l]dr.
0	0	-оо
Подставив сюда и(т) — 1 из A00.9), получим
о
— е	\и (т) +	^^ rfr = — и (т)е
27 7	L V J	dr 1	27 V У
— сю
Таким образом,
о
= 0.
— сю
п = J P(u)u du = J Р(гд) diA = 1,
о	о
т. е. а = aK(t) — средние размеры совпадают с критическими.
Собрав полученные формулы, выпишем еще раз результаты,
вернувшись к исходным переменным — радиусу зерна а и раз-
размерному времени t. Средний радиус зерна возрастает со време-
временем по асимптотическому закону
V 9
Распределение же зерен по размерам дается в каждый момент
времени функцией A00.21): число зерен с радиусом в интервале

101
РЕЛАКСАЦИЯ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА
523
da есть Р(а/а) da/а. Функция Р(и) отлична от нуля лишь в обла-
области и < 3/2; ее график показан на рис. 35. Отметим, что асимпто-
асимптотический закон распределения оказывается независящим от на-
начального (в момент начала стадии коалесценции) распределения.
Полное число зерен (в единице объема)
убывает со временем по закону	2 г
N(t) =
Dat
A00.24) i>5
Пересыщение же раствора стремится к ну-
лю как
Dt
A00.25)
0,5
0,5
1,51*
Рис. 35
Для понимания смысла этих законов
обратим внимание на то, что в проведенном
рассмотрении общий объем раствора рас-
рассматривался как неограниченный, а потому неограничен и пол-
полный запас растворенного вещества. В конечном объеме процесс
заканчивается, разумеется, за конечное время, когда все раство-
растворенное вещество выпадает в виде одного тела.
§ 101. Релаксация параметра порядка
вблизи точки фазового перехода второго рода
Как известно, изменение состояния тела при фазовом перехо-
переходе второго рода описывается параметром порядка г/, отличным
от нуля по одну сторону точки перехода (в «несимметричной»
фазе) и равным нулю по другую сторону (в «симметричной»
фазе). В V, гл. XIV, речь шла о термодинамически равновесных
свойствах тел вблизи точек перехода. Обратимся теперь к про-
процессу релаксации параметра порядка в неравновесной системе.
Равновесное значение параметра порядка (которое мы будем
обозначать здесь как rj) определяется минимизацией соответ-
соответствующего термодинамического потенциала. Имея в виду рас-
рассмотреть как пространственно-однородный, так и неоднородный
случай, будем пользоваться потенциалом О — функцией темпе-
температуры Т и химического потенциала \i (при заданном полном
объеме тела) — ср. V, § 146.
В пространственно-однородном теле значение т\ определяется
минимумом $l(T^\i^r\) (термодинамический потенциал единицы
объема) как функции параметра г/ при заданных Ги/i:
A01.1)

524	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
Если это условие не выполнено, то возникает процесс релакса-
релаксации — параметр т\ меняется со временем, стремясь к fj. В слабо
неравновесном состоянии, т. е. при отличных от нуля, но малых
значениях производной dft/dr], мала также и скорость релак-
релаксации — производная dr]/dt. В теории Ландау, в которой пре-
небрегается флуктуациями параметра порядка, следует считать,
что связь между этими двумя производными сводится к простой
пропорциональности:
§ = -7тг	A0L2)
dt	Or]
с постоянным коэффициентом j (Л.Д. Ландау, И.М. Халатни-
Халатников, 1954).
В теории Ландау термодинамический потенциал вблизи точ-
точки перехода имеет вид
О = О0(Т, ц) + (Т- Tc)ar]2 + brf	A01.3)
с положительным коэффициентом Ь; если несимметричной фазе
отвечает область Т < Тс, то и а > 0 (см. V, A46.3)). Равновесное
значение параметра порядка в несимметричной фазе — решение
уравнения A01.1) — есть
Уравнение же релаксации A01.2) принимает вид
или, линеаризуя по малой разности 6т] = r\ —
dSrj = _^
dt	то
где
то = 17<*СГс-Т), Т<ТС.	A01.6)
При t —>• оо разность 6т] должна стремиться к нулю; поэтому
должно быть то > 0, а потому и7>0.
Аналогичным образом рассматривается релаксация в обла-
области Т > Тс. Здесь fj = 0 и линеаризованное выражение производ-
производной
Соответственно вместо A01.6) получается
^Тс), Т>ТС.	A01.7)

§ 101	РЕЛАКСАЦИЯ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА	525
Величина то представляет собой время релаксации парамет-
параметра порядка. Мы видим, что оно стремится к бесконечности
при Т —>• Тс. Это обстоятельство имеет важное принципиаль-
принципиальное значение для всей теории фазовых переходов. Как уже от-
отмечалось в V, § 143, оно обеспечивает существование макро-
макроскопических состояний, отвечающих неполному равновесию при
заданных неравновесных значениях г/. Именно благодаря этому
обстоятельству имеет смысл излагаемая в этом и следующем па-
параграфах теория, в которой релаксация параметра порядка рас-
рассматривается независимо от релаксации других макроскопиче-
макроскопических характеристик тела.
В пространственно-неоднородной системе надо рассматри-
рассматривать полный термодинамический потенциал, даваемый интегра-
интегралом
Оп = /{О0 + а(Т - Тс)т]2 + hrf + g(Vr/J} dV	A01.8)
(см. V, A46.5)). Соответствующее условие равновесия получает-
получается варьированием интеграла по г/ и приравниванием вариации
нулю. Преобразовав интеграл от вариации градиентного члена
по частям, получим условие равновесия в виде уравнения
2а(Т - Тс)т] + Щ3 - 2gAr] « *Э- - 2gA6r] = 0
770
(для определенности рассматриваем несимметричную фазу —
область Т < Тс). Соответственно появляется дополнительный
член и в релаксационном уравнении:
^ {27gA^}.	A01.9)
ot	L го	)
Для каждой из пространственных фурье-компонент функции
5r](t,r) отсюда получается уравнение
^И = _^, l = l + 2lgk2.	A01.10)
dt	rk	rk ro
Мы видим, что время релаксации для компонент с к ф 0 остается
при Т —>• Тс конечным, но растет при уменьшении к.
Наконец, если ввести в О член — r//i, описывающий воздей-
воздействие на переход внешнего поля (см. V, A46.5)), то релаксаци-
релаксационное уравнение примет вид
= -6Л + 27gA Sr] + >yh.	A01.11)
dt	то
Полагая поле периодическим,

526	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
получим отсюда соотношение
с обобщенной восприимчивостью
Отметим, что это выражение имеет полюс при ио = — гтк 1 — в
согласии со сделанным в конце § 91 общим утверждением. При
ио = 0, к = 0 оно сводится к %@, 0) = -а(Тс — Т) — в согласии с
V, A44.8).
Согласно флуктуационно-диссипационной теореме, обобщен-
обобщенная восприимчивость A01.12) определяет спектральный корре-
коррелятор флуктуации параметра порядка по формуле (в классиче-
классическом пределе Нои <С Т)
(<fy2)o;k = — Imx(w, k) = Z7J _2.	A01.13)
Напомним, что это — пространственно-временная фурье-ком-
фурье-компонента коррелятора (#7/@, 0)#7/(?, г)); средние же значения про-
произведений фурье-компонент флуктуации связаны с функцией
(SrP)u]ir соотношением
Интегрирование A01.13) по с1оо/Bтг) дает пространственную фу-
рье-компоненту одновременного коррелятора (#7/@, 0)#7/@, г)) г):
+ 4а(Тс - Т)
§ 102. Динамическая масштабная инвариантность
Изложенная в предыдущем параграфе теория не учитывает
флуктуации параметра порядка. Поэтому ее применимость огра-
ограничена теми же условиями, что и термодинамическая теория фа-
фазовых переходов Ландау. Эти условия нарушаются в достаточной
близости к точке перехода - во «флуктуационной» области.
:) При сравнении A01.14) с формулой A46.8) (см. V), следует помнить,
что в последней рассматриваются компоненты разложения не в интеграл, а
в ряд Фурье в конечном объеме V.

§ 102	ДИНАМИЧЕСКАЯ МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	527
В этой области кинетические (как и чисто термодинамиче-
термодинамические — см. V, § 148) свойства тела могут быть описаны набором
«критических индексов», определяющих законы изменения раз-
различных величин при приближении к точке перехода. Оказыва-
Оказывается возможным получить некоторые соотношения между эти-
этими индексами путем распространения на кинетические явления
гипотезы масштабной инвариантности, сформулированной для
термодинамических свойств в V, § 149; о таком распространении
говорят как о динамической масштабной инвариантности.
Характер особенности, которую имеют в точке перехода
термодинамические величины, зависит от числа компонент па-
параметра порядка, описывающего переход, и от структуры со-
составленного из них эффективного гамильтониана (см. V, § 147).
Для кинетических величин разнообразие возможных случаев
возрастает в связи с возможным разнообразием форм «урав-
«уравнений движения», описывающих релаксацию. Обсудим снача-
сначала простейший случай однокомпонентного параметра порядка
(B.I. Halperin. Р.С. Hohenberg, 1969) х).
Принципиальный (хотя фактически неосуществимый) путь к
определению законов релаксации состоит в вычислении точной
(с учетом флуктуации) обобщенной восприимчивости %(a;,fc;T)
для параметра порядка г/ под действием внешнего поля. Ход из-
изменения г/ со временем при релаксации определяется (как это
было объяснено в § 91) особыми точками х как функции ком-
комплексной переменной ио. Если ближайшей к вещественной оси
особенностью является простой полюс в точке со = —ir~1(k;T)
на мнимой оси, то каждая фурье-компонента параметра порядка
затухает по экспоненциальному закону со временем релаксации
r(k]T). Наряду с критическими индексами, определяющими по-
поведение термодинамических величин, введем два индекса у и z,
характеризующих функцию х(<^&;^):
TCY) T -
rcok~z
тс
\
при
при
к =
Т =
о,
Тс
A02.1)
A02.2)
причем у > 0, z > 0, поскольку время релаксации становится
бесконечным при к = 0, Т = Тс.
Представляется весьма правдоподобным утверждать, что
вблизи точки фазового перехода второго рода (во флуктуаци-
онной области) время релаксации не зависит от температуры,
если измерять его в единицах tq = т@;Т), а длины 1/к изме-
) Речь может идти, например, о релаксации абсолютной величины векто-
вектора намагниченности в ферромагнетике (вблизи его точки Кюри), в котором
сильные релятивистские взаимодействия фиксируют кристаллографическое
направление этого вектора.

528	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
рять в единицах гс(Т) — корреляционного радиуса флуктуации
параметра порядка. Другими словами, функция г (А;; Г) должна
иметь вид
т(к;Т) = \Т-Тс\-У/(кгс),	A02.3)
где функция / зависит от температуры только через посредство
гс(Т) в произведении fcrc, a /@) = const.
Поскольку гс —»> ос при Г —»> Тс, то в соответствии с опре-
определением критического индекса z должно быть /(?) ~ ?~z при
? —» ос. При этом температурная зависимость т отделяется в
виде произведения
ZV
\т-тс\-у\т-тс
где z/ — критический индекс корреляционного радиуса 1)
rc~ |T-TC|-^.	A02.4)
Но т должно оставаться при Г —»> Тс (и А: ^ 0) конечным. Отсюда
следует, что должно быть
у = zv.	A02.5)
Таким образом, предположение о масштабной инвариантности
позволяет связать друг с другом оба индекса в A02.1), A02.2).
Как и в статическом случае, есть все основания полагать, что
критические индексы одинаковы по обе стороны точки перехода.
Дело в том, что пространственная неоднородность (к ф 0) раз-
размывает фазовый переход в том смысле, что устраняет особенно-
особенности всех величин при Г = Тс (в этом отношении неоднородность
влияет на фазовый переход так же, как внешнее поле). Другими
словами, точка Т = Тс теряет свою выделенность, так что нет
никаких причин для различия значений индекса z при стремле-
стремлении Г к Тс сверху или снизу. В силу соотношения A02.5), то же
самое относится тогда и к индексу у.
Аналогичным образом можно связать с z и другие критиче-
критические индексы. Рассмотрим, например, зависимость восприимчи-
восприимчивости х от cj при к = 0 в точке Г = Тс.
В соответствии с масштабной инвариантностью, функция
%(о;,А;;Гс) может быть представлена в виде
Х=\Т- Тс\-у(иот^ krc), /@, 0) = const,
где 7 — критический индекс для восприимчивости при к = 0 и
uj = 0. При к = 0 и Г —)> Тс восприимчивость должна стремиться
х) Обозначение критических индексов термодинамических величин здесь
и ниже совпадает с их обозначением в V, § 148.

§ 103	РЕЛАКСАЦИЯ В ЖИДКОМ ГЕЛИИ	529
к конечному (при ио ф 0) пределу. Учитывая, что то ^ |Г — Tc\~zv,
найдем, что для этого должно быть
Тем самым определится искомая зависимость х от ио'-
X ~ ou~l/uz при & = 0, Г = ТС.	A02.6)
Таким образом, в рассмотренном случае требования масштаб-
масштабной инвариантности позволяют установить определенную связь
между кинетическими и термодинамическими критическими ин-
индексами, но они недостаточны для полного определения первых
по последним.
§ 103. Релаксация в жидком гелии вблизи А-точки
Рассмотрим теперь системы с «вырождением», в которых па-
параметр порядка имеет несколько (п) компонент тц, но эффек-
эффективный гамильтониан зависит (в однородной системе) только от
суммы их квадратов. Другими словами, если рассматривать со-
совокупность величин rji как n-мерный вектор, то эффективный
гамильтониан не зависит от его направления.
Характерным примером является чисто обменный ферромаг-
ферромагнетик, энергия которого не зависит от направления вектора на-
намагниченности. Другой пример представляет собой сверхтекучая
жидкость (жидкий гелий), в которой роль параметра порядка
играет конденсатная волновая функция
~=у^е*ф	A03.1)
(см. IX, § 26, 27). Эта комплексная величина представляет собой
совокупность двух независимых величин, но энергия однород-
однородной жидкости зависит только от квадрата модуля |S|2 = no —
плотности конденсата.
Специфические свойства «вырожденных» систем обусловле-
обусловлены существованием в их колебательном спектре ветви (мягкой
моды), связанной именно с колебаниями направления «вектора
параметра порядка»; частота этих колебаний обращается в нуль
в точке фазового перехода. Закон их дисперсии можно, с одной
стороны, найти из макроскопических уравнений движения, а с
другой — он должен удовлетворять требованиям масштабной ин-
инвариантности. Это позволяет, если эта гипотеза верна, полностью
выразить кинетические критические индексы через термодина-
термодинамические. Сделаем это на примере жидкого гелия (R.A. F err ell,
N. Meynyhard, H. Schmidt, F. Shwabl, P. Szepfalusy, 1967).

530	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
В этом случае «мягкой модой» является второй звук. Вбли-
Вблизи точки перехода он представляет собой совместные колебания
сверхтекучей скорости vs и энтропии; амплитуда колебаний нор-
нормальной скорости во втором звуке vn ~ vsps/рп и вблизи точки
фазового перехода (А-точки) мала вместе с ps. Напомним, что
сверхтекучая скорость связана с фазой конденсатной функции
волновой функции (vs = Н\7Ф/т), так что колебания vs означа-
означают колебания фазы или, другими словами, направления «векто-
«вектора параметра порядка». Закон дисперсии этих колебаний:
и = и2к,	A03.2)
где
U2 - \ —	\ —		(Ш6.6)
— скорость второго звука (S — энтропия, Ср — теплоемкость
единицы массы жидкости); вблизи А-точки можно заменить Т
и S их значениями Т\ и S\ в самой этой точке, а плотность рп
нормальной компоненты жидкости — ее полной плотностью р 1).
При Т —)> Т\ плотность ps стремится к нулю по закону
)/3,	A03.4)
где а — критический индекс теплоемкости:
Срсо\Тх-Т\-а	A03.5)
(см. IX, B8.3)). Закон же стремления к нулю скорости щ зависит
от знака индекса а. Если а > 0, так что Ср —)> оо, то
Если же а < 0, то Ср стремится к конечному пределу (напомним,
что критический индекс определяет поведение лишь особой ча-
части теплоемкости вблизи точки перехода!); тогда
и2 с\э (ТА - Т)B-а)/6, а < 0.	A03.6)
) Напомним (см. VI, § 130), что скорости первого и второго звука в жид-
жидком гелии вычисляются как корни дисперсионного уравнения
№) +] + () =0.
dpJs PnCv \ РпСр \dpJs
Вне непосредственной близости к Л-точке мал коэффициент теплового рас-
расширения, а вместе с ним мала и разность Ср — Cv, так что можно положить
Ср и Cv. При Т —»> Та Ср заметно отличается от Cv. При этом, однако,
стремится к нулю ps и с учетом этой малости получается A03.3).

§ 103	РЕЛАКСАЦИЯ В ЖИДКОМ ГЕЛИИ	531
Ниже будем считать, что а < 0 (как это, по-видимому, фактиче-
фактически имеет место для жидкого гелия: а ~ —0,02).
Затухание второго звука описывается мнимой частью часто-
частоты. Вдали от А-точки, ниже ее, она мала, но возрастает по ме-
мере приближения к А-точке, и в непосредственной ее окрестно-
окрестности, при кгс ~ 1, затухание становится порядка единицы (т. е.
Imo; ~ M)- Выше же А-точки, на достаточном удалении от
нее, мы получим обычную затухающую тепловую волну (реше-
(решение уравнения теплопроводности) с законом дисперсии
ш = гЛ-к2,	A03.7)
рсР
где ус — коэффициент теплопроводности.
Применим теперь гипотезу масштабной инвариантности, со-
согласно которой вблизи А-точки закон дисперсии должен иметь
вид
ш = kzf(krc).
Иначе можно записать эту зависимость как1)
A03-8)
(с другой функцией /), где v — критический индекс корреляци-
корреляционного радиуса.
Справедливость законов дисперсии A03.2) и A03.7) не огра-
ограничена каким-либо условием удаленности от А-точки, но при за-
заданной температуре ограничена условием кгс <С 1 — длина вол-
волны должна быть велика по сравнению с корреляционным ради-
радиусом; в противном случае теряют применимость макроскопиче-
макроскопические уравнения, на которых эти законы основаны.
Рассмотрим сначала область температур ниже точки перехо-
перехода. Требование, чтобы при кгс <С 1 закон дисперсии был линеен
по /с, определяет предельное выражение функции /(?) в A03.8):
Тем самым определяется и зависимость закона дисперсии от тем-
температуры:
-Т)^-1^.	A03.9)
г) Эти соотношения должны быть верны во флуктуационной области, что
во всяком случае требует выполнения неравенства \Т — Т\\ <С Т\. Существу-
Существуют, однако, указания на то, что фактически в жидком гелии это неравенство
должно выполняться с большим запасом, что означало бы наличие в теории
некоторого малого числового параметра.

532	КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ	ГЛ. XII
Сравнив этот результат с A03.6), находим
Критические индексы v n а связаны друг с другом соотношением
Зи = 2 - а (см. V, A49.2)); отсюда г)
z=3-.	A03.10)
При Т —>• Т\ частота должна стремиться к конечному преде-
пределу; для этого должно быть /@) = const. Таким образом, закон
дисперсии второго звука в самой А-точке:
шоэк*.	A03.11)
При этом мнимая часть ио того же порядка величины, что и ве-
вещественная. При Т т^ Т\ закон дисперсии A03.11) справедлив
для коротких волн, удовлетворяющих условию кгс ^> 1.
Наконец, рассмотрим область температур Т > Т\. Здесь при
кгс <С 1 зависимость со от к должна быть квадратичной. Для
этого должно быть
Тогда
Сравнив с A03.7) и выразив v через а, найдем температурную
зависимость коэффициента теплопроводности в виде
xcv) (T - тх)~{2~а)/6.	A03.12)
Он стремится к бесконечности при Т —>• Т\ по закону, близкому
к(т_Тл)-1/з.
Во втором звуке мы имеем дело с колебаниями фазы Ф кон-
денсатной волновой функции. Поэтому величина l/Imo; имеет
также смысл времени релаксации фазы. При к —)> 0 она, есте-
естественно, обращается в бесконечность — в однородной жидкости
изменение фазы не связано с изменением энергии и потому фаза
не может релаксировать.
Время релаксации абсолютной величины |S| = у/щ — плот-
плотности конденсата — не совпадает, вообще говоря, со временем
релаксации фазы. Но по смыслу масштабной инвариантности
При а > 0 получилось бы z =
2-а

§ 103	РЕЛАКСАЦИЯ В ЖИДКОМ ГЕЛИИ	533
можно утверждать, что оба времени сравниваются по порядку
величины при krc ~ 1. Согласно A03.9) имеем для этого време-
времени
cj(l/rc)
Со значением z из A03.10) находим
тс\э(Тл-Т)-1+а/2.	A03.13)
Время релаксации плотности конденсата остается конечным и
при к —>> 0, отнюдь не обращаясь в бесконечность, как для фазы.
Поэтому закон температурной зависимости A03.13) для релакса-
релаксации плотности конденсата остается в силе и при к = 0 (В.Л. По-
кровский, И.М. Халатников, 1969) г).
1) При а > 0 получилось бы г СО (Т\ — Т) х в точном совпадении с зако-
законом A01.6), полученном в рамках теории Ландау. Это совпадение, однако,
в известном смысле случайно.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аккомодация 80
Альвеновская волна 286
— скорость 286
Барнеттовские члены 67
Бесстолкновительная ударная вол-
волна 189
Вариационный принцип для кине-
кинетического уравнения 50
Ведущие центры орбит 310, 311
Время свободного пробега 25
Вторая вязкость ультрарелятивист-
ультрарелятивистского газа 42
Второй звук в диэлектрике 365
Вырождение фононного спектра
355
Высокочастотные колебания 284
Вытеснение магнитного поля плаз-
плазмой 309
Газ твердых шариков 52, 59, 103
Газокинетические формулы для ки-
кинетических коэффициентов 39,
41, 57
Геликоидальные волны 288, 454
Гиромагнитная частота 267
Глобальная неустойчивость 341
Глубина проникновения 442, 449,
453, 505
Гриновские функции запаздываю-
запаздывающие и опережающие 476
	мацубаровские 496
	фононного газа 479
Дебаевский радиус 141, 146, 185
Детальное равновесие при излуче-
излучении фотона 241, 242
	отражении от стенки 79
Диссипативная функция 370, 373
Диффузия в импульсном простран-
пространстве 118, 207, 420, 424
—	поперечная 319, 320
—	по размерам зародыша 512, 515
—	по энергиям 132
Длина свободного пробега 25
	в диэлектриках 353, 364
	в плазме 215
	в ферми-жидкости 383
Дрейф электрический 311
Зажатие контура интегрирования
157, 329
Закон Видемана-Франца 399, 407
Запирающая точка 519
Затухание Ландау циклотронное
277
—	осцилляции функции распреде-
распределения 213
—	плазменных волн столкновитель-
ное 221
Зеркальное отражение электронов
449
Интеграл столкновений Балеску-
Ленарда 230, 237, 264
	Больцмана 23
Компенсированные металлы 415,
438, 457
Коновская особенность 204
Коррелятор плотности 105, 109, 110
—	тока 126
Кортевега-де Вриза уравнение 193
	для ионно-звуковых волн 199
Кривизна поверхности Ферми 444
Критические зародыши 510, 517
—	индексы 527-532
Кулоновский логарифм 211, 212
) Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В ука-
указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в
оглавлении.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
535
Ларморова частота 267
Ларморов радиус 268
Ленгмюровская частота 162
	вырожденной плазмы 206
Локальное равновесие 30
Лондоновский случай 502
Магнитоактивная плазма 265
	релятивистская 280
Магнитозвуковые волны 287, 459
Максвелловские вязкие напряже-
напряжения 68
Матрица плотности 201, 490
Механокалорический эффект 75
Мягкая мода 529, 530
Намагниченность плазмы 315
Неустойчивость ионно-звуковых
волн 324
—	пучка в магнитном поле 324
	с разбросом скоростей 324
Низкочастотные колебания 284
Нулевой звук 386
Обмен энергией электронов с иона-
ионами 213
	в релятивистской плаз-
плазме 255
	с нелогарифмической
точностью 235
Одностороннее преобразование Фу-
Фурье 172
Отклик на сигнал 332
Паразитные решения 33, 352, 414
Пиппардовский случай 504
Плазменная частота 162
Плазменные волны в вырожденной
плазме 206
	в релятивистской плазме 169
—	резонансы 284
Поверхностный импеданс 442, 448,
453, 505
Поглощение звука в бозе-жидкости
393
Подвижность в газе 58
—	электрона 124, 125
Полиномы Сонина 47
Правило обхода Ландау 155, 271
Проводимость плазмы 216, 220, 299
	релятивистской 255
Проницаемости продольная и попе-
поперечная 152, 164
—	— — — релятивистской плазмы
165
Пространственная дисперсия в маг-
магнитном поле 269
—	—, условия пренебрежения 153,
272
Процессы переброса 345, 352, 359-
361, 411-415
Резонансные частицы 245, 377
Свистящие атмосферики 288
Свободномолекулярное обтекание
83, 86, 88
—	расширение в вакуум 83
—	течение по трубе 86
Солитоны при адиабатическом за-
захвате 191
Сохранение момента импульса 31
Спектральная функция флуктуа-
флуктуации 108
Температурный скачок 71
Теорема Лиувилля 21, 90, 257
Тепловое скольжение 72
Термодиффузия 56, 57
Термомеханический эффект 74
Термоэлектрические коэффициен-
коэффициенты 221, 295, 302, 396, 399, 410, 421
Транспортное сечение 56, 210, 320
Увлечение электронов фононами
411, 421, 429
Улучшенная логарифмическая точ-
точность 234-236
Уравнения Власова 149
—	Горькова 496
Условие унитарности 20, 363
Устойчивость изотропной плазмы
160
Циклотронная частота 267
Циклотронный резонанс 272, 277,
292
	в релятивистской плазме 281
Число Кнудсена 66
—	Рейнольдса 67
Экранирование 164, 205
—	динамическое 230
Электронная плазма 164
Эффект Зенфтлебена 63
—	Кнудсена 82
—	Ледюка-Риги 296
—	Холла 296, 435
—	Шубникова-де Гааза 460
	в изотропной модели 467

Учебное издание
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
ПИТАЕВСКИЙ Лее Петрович
ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
(Серия: «Теоретическая физика», том X)
Редакторы: Ю.Г. Рудой, Д. А. Миртова
Оригинал-макет: Ст. Ю. Мельников
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 10.07.01. Формат
Бумага офсетная №1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 33,5. Уч.-изд. л. 32,8
Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма
« Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv