Текст
                    Обыкновенные
дифференциальные уравнения.
Краткий курс
А. Н. Тимашев


Обыкновенные дифференциальные уравнения. Краткий курс Кратко изложен курс обыкновенных диффе- ренциальных уравнений, предназначенный для изучения на механико-математических и физико- математических факультетах университетов и других вузов с повышенной математической подготовкой. В основу пособия положены материалы лекционного курса, который автор многие годы читал на факульте- те прикладной математики Института криптографии, связи и информатики. Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обучающихся по техническим специаль- ностям. Сайт издательства: www.techbook.ru
Л. Н. Тимашев Обыкновенные дифференциальные уравнения Краткий курс Рекомендовано Федеральным учебно-методическим объединением в системе высшего образования по укрупненной группе специальностей и направлений подготовки 10.00.00 - «Информационная безопасность» в качестве учебного пособия для студентов образовательных организаций высшего образования, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям УГСНП 10.00.00 - «Информационная безопасность» Москва Горячая линия - Телеком 2018
УДК. 517.91 (075.8) ББК 22.161.6 я73 Т41 Рецензенты: ведущий научный сотрудник лаборатории математического анализа механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова канд. физ.-мат. наук, с.н.с. В. А. Носок, профессор кафедры дифференци- альных уравнений МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физ.-мат. наук И. В. Асташова. Тимашев А. Н. Т41 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Краткий курс. Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия-Телеком, 2018. - 164 с.: ил. ISBN 978-5-9912-0688-4. Кратко изложен курс обыкновенных дифференциальных уравне- ний, предназначенный для изучения на механико-математических и физико-математических факультетах университетов и других вузов с повышенной математической подготовкой. В основу пособия положе- ны материалы лекционного курса, который автор многие годы читал на факультете прикладной математики Института криптографии, связи и информатики. Для студентов (слушателей) высших учебных заведений, обучаю- щихся по техническим специальностям. ББК 22.161.6 я73 Лдрсс издательства в Интернет WWW. TECHBOOK.RU Учебное издание Тимашев Александр Николаевич ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: КРАТКИЙ КУРС Учебное пособие для вузов Редактор Ю. Н. Чернышов Компьютерная верстка Ю. Н. Чернышова Обложка художника В. В. Казюлина ISBN Подписано внеча,ь 28 07.2018. Печагь цифровая. ФормаI 60x88 16. Уч. над .ч. 10.27. Тираж 500 ак р (1-й швод UK) lx j.) II1Д. Яи 180688 «На\чно-|ех||ц.ц.( кое ni.iai<vii.eiBO «Горячая .шипя Телеком* 978-5-9912-0688-4 © д н тнмап1св. 2018 © Издательство «Горячая линия - Телеком», 2018
Предисловие Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесчисленных исключениях. К.Ф. Клейн Учебное пособие написано на основе обработанных записей лек- ций по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения», кото- рые автор многие годы читал на факультетах прикладной математи- ки и информационной безопасности Института криптографии, связи и информатики. Как и в предыдущих книгах автора «Математичес- кий анализ», «Аналитические функции комплексного переменного» и «Мера и интеграл. Краткий курс», по форме изложения — это нечто среднее между учебником и конспектом лекций. Цель изло- жения — по возможности соединить преимущества того и другого и, тем самым, обеспечить доступность восприятия материала. На- сколько это удалось — пусть судит читатель. Объем материала соответствует программе курса обыкновенных дифференциальных уравнений, читаемого обычно в IV-V семестрах на физико-математических факультетах университетов и других ву- зов с повышенной математической подготовкой. Некоторым отли- чием от существующих традиций является глава VII, посвященная краткому изложению элементов теории дифференциальных уравне- ний в частных производных второго порядка. По курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения» име- ется достаточно много хороших учебников, курсов лекций и учеб- ных пособий, как отечественных, так и переводных. Не пытаясь кого-либо копировать, при написании учебного пособия автором бы- ли. тем не менее, использованы идеи и подходы, заимствованные из [4, 25] и, особенно, [11] (эти издания послужили вдохновляющими примерами). Материал учебного пособия разбит на главы. Нумерация осу- ществляется по следующему принципу: разделы нумеруются в пре- делах каждой главы, причем номеру раздела предшествует номер главы. Для утверждений, примеров и определений используется тройная нумерация: номер главы, номер раздела, номер утвержде- ния (примера, определения). Все утверждения нумеруются подряд в пределах данного раздела независимо от их типа. Для понимания материала достаточно знания курса математи- ческого анализа и элементов теории функций комплексного перемен- ного в объеме первых двух лет обучения на механико-математиче- ских и физико-математических факультетах университетов.
Предисловие В заключение хочется помянуть добрым словом своих учителей: П.С. Александрова, И.А. Вайнштейна, А.И. Узкова, И.Я. Верченко, И.Ф. Лохина, Г.П. Толстова и других. Выражаю признательность товарищам по кафедре за полезные замечания, дружескую критику и, пожалуй, самое главное - - много- летние содержательные беседы и обсуждения. Ноябрь 2017 г.
Глава I ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1.1. Интегральные кривые. Поле направлений. Ломаные Эйлера Пусть п е N, и пусть V С Rn+2; F : V —> R. При таких условиях уравнение вида F(x,y,y',...,y(-^') =0 называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го по- рядка. Предполагается, что х — независимое переменное, у - ве- щественная функция переменного х, определенная на некотором промежутке I С R (конечном или бесконечном, не вырождающемся в точку), т. е. у: I -> R. Функция у считается п раз дифференци- руемой на I, так что у'.у^ - производные этой функции по х соответствующих порядков. Кроме того, предполагается, что функ- ция F существенно зависит от последнего переменного (формаль- но это означает, что существуют два вектора (Н> • ,in+г) - V и (,?i,..., 8п^г) £ V с вещественными компонентами, такие, что tt = st, i — 1,..., п -г 1: tn->-2 snx2 и F(t\,..., £71+2) / C(si,..., sn+2)). Дифференциальным это уравнение называется потому, что в него входит не только функция, которую нужно найти (функция F предполагается известной), но и её последовательные производ- ные у1...у^ до п-го порядка включительно (отсюда и термин — уравнение п-го порядка). Обыкновенным оно называется потому, что функция у зависит только от одного вещественного переменно- го х и, таким образом, выражение F(x.y.y'.....ylj,}') не содержит частных производных. 1.1.1. Определение. Вещественная функция у — называет- ся решением на промежутке /дифференциального уравнения 1\х. у. у'.у^) 0. если выполнены условия:
6 Г л а в a I а) функция f определена и п раз дифференцируема на I; б) Vx € I (x,f(x),tp'(x),... ,^п\х)) ё V; в) Ух € I F(x,f(x),f\x),...,f(n\xY) = 0. В сформулированном определении существенно, что решение определено именно на промежутке, т. е. на связном подмножестве /?. Так, например, если п = 1; с = const € R; F = R3; F(x,y,y') = = у' - у2, то функция у — f(x') = (с — .тр1 (определенная при всех значениях х ф с) не является решением дифференциального уравне- ния у' — у2 = 0 на множестве R\ {с} = (—с», с) U (с, +ос), хотя Vz с выполнены условия а), б), в), если заменить в них I на R \ {с}. В то же время сужения этой функции на интервалы (—оо, с) и (с, +оо) являются решениями этого уравнения на этих интервалах. Эти решения следует считать различными, поскольку они определе- ны на разных интервалах. Допустим, что функция F имеет вид F(x, у,у',..., y(n)) = у(п} - f(x, у,у',..., где /: G —> R; G С R"+1 (при таких условиях V = G х R). В таком случае рассмотренное выше уравнение принимает следующий вид: у!п> = /(х.у.у1.....!^1-11). Такое уравнение называется обыкновенным дифференциаль- ным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной. Определение решения этого уравнения является пере- формулировкой определения 1.1.1 для этого частного случая. 1.1.2. Определение. Вещественная функция у = f называет- ся решением на промежутке I дифференциального уравнения У<п> = f{x,y,y',...,y^^), если выполнены условия: а) функция f определена и п раз дифференцируема на I; б) V.r £ I (х, fix), f'(x),..., ^("“^(.'г)) е G; в) V.r е I ftG (ж) = f(x, fix). f'lx),..., <д("-1)(;г)). Наиболее важным в условиях этого определения является слу- чай, когда 72 — 1. В этом случае соответствующее уравнение при- нимает вид У' = f(x,y). При этом /: G —> Р: G С R2. Условие б) в определении 1.1.2 при n = 1 означает, что график функции f содержится в G. 1.1.3. Определение. Пусть у = f — решение на промежут- ке I дифференциального уравнения у' = f(x,y). Тогда множество {.г, f(x) | х G 1} (т. е. график функции f) называется интегральной кривой этого уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка 7 Таким образом, любая интегральная кривая уравнения у' = = f(x,y) содержится в области определения функции f 1.1.4. Определение. Пусть xq & I; (хо,уо) t G;<^ решение на промежутке I уравнения у' = f(x,y) и <р(xq) = уq. В этом случае говорят, что интегральная кривая {(х, у?(х)) | х € /} проходит через точку (то,уо) или (что то же самое), что решение р удовлетворяет начальному условию <^(xq) = Уо- Если решение уравнения у' = f(x,y) определено на проме- жутке I и xq е I, то по определению решения (хо,<^(хо)) G G и <^'(хо) = р(хо\). Проведем через точку (хо, р(хо)) прямую с угловым коэффициентом /(хо, <^(хо)). Уравнение этой прямой в ко- ординатах (х, у) имеет вид у = p{xQ) + f(x0, <р(х0)(х - т0). В точке (хо,<р(хо)) такая прямая касается графика функции р, т. е. соответствующей интегральной кривой. Обратно, если (хо, уо) G е G, то точке (хо,уо) можно поставить в соответствие прямую, про- ходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, рав- ный f(xQ,ya). Если существует интегральная кривая р уравнения у' - f(x,y), проходящая через точку (хо,уо), то построенная пря- мая будет касательной к этой кривой в точке (хо,уо) (мы здесь не делаем различия между функцией р и её графиком). Таким образом, дифференцируемая на промежутке I вещест- венная функция р является решением на этом промежутке диффе- ренциального уравнения у' = f(x,y) тогда и только тогда, когда её график, т. е. множество {(х,р(х)) | х G /}, содержится в области определения функции /ив каждой своей точке (xg, у?(хо)), xq G I, имеет в качестве касательной прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(xo, р(хо)). 1.1.5. Определение. Семейство всех прямых вида У - Уо = f(x0,y0)(x - х0), (х0,у0)ёС, называется полем направлений дифференциального уравнения У' = fix.y). 1.1.6. Следствие. Любая интегральная кривая уравнения у' = -- f(x,y) в каждой своей точке касается некоторой прямой из поля направлений. 1.1.7. Определение. Пусть a > 0: b > 0, и пусть xq е R; //о G R. Замкнутым прямоугольником будем называть множество Па.ь(жО,Уо) = {(т. у) I |х - х0| sj a; \у - у0| < Ь}. Открытым прямоугольником назовем множество ГкьС'П), Уо) = {(^-У) I \х - х0| < a:\y- у0\ < Ь}.
8 Глава I Из сформулированного определения следует, что По ь(;го- З/о) — замкнутое множество в К2; ПаЬ^0’^0) —' открытое множество в R2; (х0, Уо) ~ центр каждого из этих прямоугольников (точка пере- сечения диагоналей); а и b — половины длин сторон каждого пря- моугольника, причем стороны этих прямоугольников параллельны осям координат. Ломаные Эйлера Предположим, что / — вещественная функция, непрерывная на замкнутом прямоугольнике По b(^o, З/о)- Тогда f ограничена на этом прямоугольнике, поскольку согласно критерию компактности Па ь(^о, J/o) — компакт в R2 (как множество замкнутое и ограничен- ное). Следовательно, существует постоянная М > 0, такая, что 8ир_{|/(ж,у)|} М (л?,г/)еП (мы пишем для краткости По ь(хо,Уо) = П)- Пусть 0 < ад min{a; b/М}. Положим I = [х0 - йо, то + йо]. Далее проведем через точку (хо;Уо) прямую с угловым коэффициентом, равным /(.То,?/о)- Урав- нение этой прямой имеет вид У = Уо + f(x0,y0)(x - т0). Отложим на этой прямой, начиная от точки (то,уо), отрезок дли- ны 1/к, к € N, в направлении возрастания аргумента т. Коорди- наты правого конца этого отрезка обозначим (xi.yi). Затем через точку (ti,yi) проведем прямую с угловым коэффициентом /(xi,yi), предполагая, что построенный выше отрезок не имеет общих точек с прямой х = то + йо и |yi — уо| Ъ. Уравнение этой прямой имеет вид У = У1 + /(ti,i/i)(t - ti). На построенной прямой отложим, начиная от точки (ад,yi), от- резок длины 1/к в направлении возрастания аргумента х. Координа- ты правого конца этого отрезка обозначим (хг. //г)- Если указанный отрезок не имеет общих точек с прямой х = .то — ад и jj/2 — Уо| Ь, то через точку (х2,уг) проведем прямую с угловым коэффициентом f(x2,y-2) и т. д. Такой процесс будем продолжать до тех пор, пока некоторый из построенных отрезков не пересечет прямую х = .то-тйо- Поскольку sup {|/(щ, у)|} С М. (.г.у)бП то минимальная длина проекции одного отрезка на ось абсцисс не
Дифференциальные уравнения первого порядка 9 меньше, чем i coslarctg М) = —. . > О, k v 6 ’ kVl + М2 и поэтому это обязательно произойдет на некотором шаге, и притом не позже, чем этот отрезок пересечет одну из прямых у = уо + Ь или у = уо - Ь. Аналогичное построение проведем и в направлении убывания аргумента х, причем процесс будем продолжать до тех пор, пока некоторый из построенных отрезков не пересечет прямую х = хо~ aq. Пусть ерь — функция, определенная на отрезке I = [а?о - яо, т0 + Яо], графиком которой является построенная ломаная. Полагая к = = 1,2,..., получаем последовательность {дД функций, определен- ных на I, и соответствующую ей последовательность ломаных, на- зываемых ломаными Эйлера. Рассмотрим некоторые свойства функций у>к, к = 1,2,..., и со- ответствующие им свойства ломаных Эйлера. 1. Каждая из функций pk, к = 1,2,..., определена и непрерывна на отрезке I = [хо — oo-Xq + «о|- Это свойство очевидным образом следует из определения лома- ных Эйлера. 2. Любая ломаная Эйлера (т. е. график любой функции ipk) со- держится в замкнутом прямоугольнике Пао,ь(-'со, Уо)- Доказательство. Используя введенные выше обозначения, имеем |j/i - Уо| = |/(^о, Уо)| ki “ *о| М |ti - т0| Ма0 b по выбору «(! и в предположении, что отрезок длины 1/к с концами в точках (то, Уо) и (xi, yi) не пересекает ни одну из прямых х = хо + яо их = хо - ао- к = 1,2,.... Если точка (х<у) лежит на этом отрезке, то при том же пред- положении \у - Уо| = 1/(^0, уо)\ |т-х0[ < М\х-х0\ Мао < Ь, и поэтому (*,У) € Пао,ь(ЯО,Уо). Аналогичные рассуждения можно провести и для случая, когда точка (х, у) лежит на любом другом отрезке ломаной, удовлетворяю- щем условию, сформулированному в этом предположении (с соответ- ствующей заменой точек (хо~Уо) и (xi,yi) на концы этого отрезка). Доказанное свойство обосновывает корректность способа по- строения ломаных Эйлера, поскольку точка (х, у) любой такой ло-
10 Глава I маной удовлетворяет условиям |ж — х'о| а<з и (х, у) е Ц (действи- тельно, из неравенства ао + а следует, что ILo,b(zo, уо) с Пвл^о^о) = П; кроме того, b/ao М). 3. Чх',х" е 1Ук е N -х"\. В частности, Vrc € I \ч>к{х) - у0| = \ipk(x) - +И+))1 \х- х0|, к = 1,2,.... Это свойство, как и свойство 1, очевидным образом следует из определения ломаных Эйлера, если учесть, что всегда модуль суммы не превосходит суммы модулей. Для того чтобы сформулировать и доказать четвертое свойство, необходимо вспомнить некоторые сведения из курса математическо- го анализа. 1.1.8. Определение. Семейство комплексных функций {fa | а е А}, определенных на множестве Е, называется равномерно огра- ниченным на этом множестве, если зир{|Л(ж)|} < +оо. А хеЕ В сформулированном ниже определении считаем, что m € N и рт — евклидова метрика в пространстве R.m. 1.1.9. Определение. Семейство комплексных функций {fa | а € А} определенных на множестве Е С Rm, называется равносте- пенно непрерывным на Е, если Ve > 0 3<5 > 0: Ух, у е Е: рт(х, у) < 6 Vo е A \fa(x) - /а(у)| < £. Если семейство {fa | а £ А} равномерно ограничено на Е, то Vo € А функция fa ограничена на Е. Обратное утверждение невер- но. 1.1.10. Пример. Пусть Е |0,1|; А = К и Vo- n t К V.r £ [0,1] - п. Тогда последовательность fn не является рав- номерно ограниченной на [0,1]. хотя каждая из функций fn ограни- чена на [0,1]; п = 1,2,.... Из определения 1.1.9 следует, что Vo € А функция fa равно- мерно непрерывна (в частности, непрерывна) на Е. если семейство {fa | а £ А} равностепенно непрерывно на Е. Обратное утвержде- ние опять-таки неверно. 1.1.11. Пример. Пусть Е = [0,2тг]; А = IN; fnlx) — sinnrr (п = о £ IN: х £ Е). Тогда каждая из функций fn непрерывна на отрезке [0, 2тг] и поэтому равномерно непрерывна на этом отрезке
Дифференциальные уравнения первого порядка 11 по теореме Кантора о равномерной непрерывности. Однако после- довательность fn не является равностепенно непрерывной на [0,2тг]. Действительно, если выбрать е = 1/2 и V5 > О положить х = 0; у = где n е N и n > 5j,to окажется, что х G Е; у G Е1; Р1(х,у) = \х-у\ - < 6 и \fn(x) -/п(у)| = 1 > £• 1.1.12. Замечание. Если {fa « е А} - конечное семейство комплексных функций, непрерывных на компакте К С Rm, то это семейство равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на К. Действительно, по теореме Кантора Vo е А функция fa равно- мерно непрерывна на К, т. е. Ve > 0 35а > 0: Ух, у 6 К: (рт(х,у) < < Sa) => (|fa(r) — fa(y)\ < £)• Полагая 6 = min{5a} > 0, получаем, что Ve > 0 35 > 0: Ух, у € К: рт(х,у) < 5; Уа е A \fa(x) — fa(y)\ < £ Кроме того, Va 6 А функция fa ограничена на К, и в силу конеч- ности семейства {fa | а е А} sup{|/Q(j:)|} < +оо, as А хеЕ т. е. это семейство равномерно ограничено на К 1.1.13. Замечание. Если {fn} — равномерно сходящаяся на компакте К с Rm последовательность комплексных функций, не- прерывных на К, то эта последовательность равностепенно непре- рывна на К. Действительно, Уе > 0 Зпо 6 N: Ух G. К Уп По \fn(x) - fnQ(x)\ < | «3 (это следует из критерия Коши равномерной на К сходимости по- следовательности {fn})- Функции {/n}> п — 1,2,..., По, образуют конечное семейство Е функций, непрерывных на компакте К. По- этому согласно замечанию 1.1.12 семейство Е равностепенно непре- рывно на К т. е. 35 > 0: Ух, у G К-. рт(х,у) < 6 \fn(x) - fn(y)\ < |, п = 1,2.... ,п0. Значит. Ух, у е К: рт(х,у) < 5 Уп по \fn(x) -- /„(у)| + \fn(x) - fn0(x)\ + |/„0(х) - fn0{y)\ + I- \fn0(y) ~fn(y)\ < | Г f -£• О О о В итоге получаем, что Ух. у G К: рт{х,у) < 6 Уп G IN \fn(x) - fn(y)\ < г, т. е. последовательность {/„} равностепенно непрерывна на К. Теперь мы можем сформулировать и доказать ещё одно свойство ломаных Эйлера.
12 Глава I 4. Последовательность функций уц-. на отрезке I = [zq — яо, хо + + ао] равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Доказательство. Имеем Vt G I Vk € IN - Уо| 5% M\x - T0| Ma0 b < +oo, так что sup {|^(т)|} C max{|^o + />|; jj/o - *>|} < +o°- xel fceN Кроме того, согласно свойству 3 Va/, х" 6 Г- |.т' — а/'| < <5 Vfc G 1N Ы*') - Ы*")1 М\х' - х"\ <М6<е, если 0 < д < е/М (здесь число е > 0 выбрано произвольно). При этом число 6 зависит только от е, но не зависит от выбора точек х',х" € I и k € JN. Значит, последовательность {<£fc} равностепенно непрерывна на I. Теорема Арцела. Пусть {fn} — последовательность комплексных функций, опре- деленных на компакте К, и пусть эта последовательность равномер- но ограничена и равностепенно непрерывна на К. Тогда последо- вательность {fn} содержит подпоследовательность, равномерно схо- дящуюся на К. Доказательство более общего варианта этой теоремы обычно из- лагается в курсе математического анализа (или в курсе функцио- нального анализа). 1.1.14. Замечание. Можно доказать, что если {fn} — рав- ностепенно непрерывная последовательность функций на компакте К, сходящаяся поточечно на К, то эта последовательность сходится равномерно на К. 1.1.15. Следствие. Существует подпоследовательность {<рьг}, i — 1,2,..., последовательности {уд } ломаных Эйлера, равномерно сходящаяся на отрезке I - [х0 - яо-^о 4- ао]- Это сразу следует из теоремы Арцела с учетом свойства 4 и того факта, что I - компакт. 1.2. Теорема Пеано существования решения В этом разделе формулируется и доказывается теорема, даю- щая достаточные условия существования хотя бы одного решения уравнения у1 — f(x. у) на отрезке достаточно малой длины, удовлет- воряющего заданному начальному условию.
Дифференциальные уравнения первого порядка 13 Теорема Пеано Пусть f — вещественная функция, непрерывная на замкнутом прямоугольнике = По ь(х°> Уо)’ и ПУСТЬ постоянная М > 0 вы- брана так, чтобы sup_{|/Gr, у)|} Д М. (®,г/)еП Пусть далее . f *> 1 О < ао Д mm < а; — > . Тогда существует определенное на отрезке I = До — «о, хо + а q J реше- ние р дифференциального уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющее начальному условию р(хо) = уо- Доказательство. Выберем из последовательности ломаных Эйлера {до} равномерно сходящуюся на I подпоследовательность {дАг} (это можно сделать согласно следствию 1.1.15). Положим р(х) = lim pk Ах), х el. Тогда функция р непрерывна на I как предел равномерно сходящей- ся последовательности непрерывных функций. Поскольку ркДжо) = = уо, i = 1,2,..., то дПо) = Hm PkAxo) = Уо- Пусть х е I. Согласно свойству 2 ломаных Эйлера (ЗДЙ) е nao.b(-'Eo,yo) С Па.Д^о.Уо) = П, к = 1,2,..., и поэтому (х,ркг(х)) е П> i = 1,2,.... _ Так как множество fj замкнуто в R2, то (х, д(х)) € если х е I. Таким образом, график функции р содержится в т. е. в области определения функции f, так что условие б) в определении решения уравнения у' - f(x, у) для функции р выполнено, если считать, что G = П- Если.г',Д' е 1.то\ркАх'')-~‘РкАх”У\ А М\х'-х"\, i - 1,2,..., и поэтому |д(Д) - д(Д')| = lim НДД) - ркг (Д')I < Д/|Д - Д'(. Пусть е > 0 и х G I. Покажем, что 35 > 0: Узд G ((т — 6, х + -< 6) А I): (,Т1 Д х) => Иг'1) ,'Г1 X Тем самым будет доказано, что функция р на отрезке 1 диффе- ренцируема и V;r е I р'(х) = f(x.p(x)).
14 Глава 1 Доказательство проведем для случая, когда х е (а?о — ао,хо + + яо) (если х = xq + ао или х = х0 — яо, то рассуждения проводятся аналогично, с очевидными изменениями). В этом случае |<^(ж) - Уо\ = |<^(а:) - <Хт0)) М\х - т0| < Мао Ь и поэтому точка (а:, <f>(x)) является внутренней точкой замкнутого прямоугольника Пао.ь^о,Уо), т.е. (т,<Дт)) е П^.ь^о, Уо)- Выберем число S > 0 так, чтобы выполнялись условия: П(<5) = {(х*,у*): |ж*-Д < 25;|у*-<Д»| < (2М+1)<5} С П^.ь^о,Уо) и У(т*,у*) е П(5) /(ж, 9?(х)) - Е < f(x*,y*) < f(x, <р(х)) + Е. Первое условие будет выполнено при достаточно малом значе- нии 6 > 0 в силу того, что (х, tp{x)) е ь{хо, уо), а второе — в силу непрерывности функции f в точке (х, <р(х)). Для выбранного значения 3 > 0 существует io € JN, такое, что 1 /го < 5 и Vi io sup{|^k2(a;) - <^(х)|} < 6 (в силу равномерной же/ сходимости последовательности {^Д к функции на отрезке /). Пусть |яг* - х| < 23, тогда х* е I, так как J/[(5) с Пао,ь(а:о! Уо)- Далее, Vi > io ' 1^г(ж*) -9?(^)| ЫЛх*) — ¥?(ar*)| + |v?(x*) -^(ж)| < 6 + М\х* -Д < (2М + 1)5, так что (х*,<^fct(a;*)) € П(^)- Если i io и х* € (х — 26,х + 26), то согласно выбору 6 > О f(x,lf(x)) - £ < f(x* ,(ркг(х*)) < f(x,<p(x)) + Е. Пусть ад € (х — 6, х + 6), причем х^ Д х, тогда xi G I. Пусть еще i io, тогда производная <рк.(£) существует при любом значе- нии £ е I, за исключением конечного множества точек, являющихся абсциссами вершин ломаной <ркг- Поэтому ЛЖ1 ^-г(ад) - Лг(Д = / ДДСМ J X (при этом значения ^р'к (£) в точках £ этого конечного множества можно выбрать произвольно, поскольку такой выбор не влияет на существование и величину интеграла). Далее. V£ е (ал./д) Ete* = х*(£): \х*—х\<23 и 4г(Д-/(.т*,^г(.т*)) (здесь мы предполагаем, что х < ад). Действительно, достаточно в качестве х* выбрать абсциссу од- ной из двух ближайших к точке (£, ipki (£)) вершин ломаной (той,
Дифференциальные уравнения первого порядка 15 для которой </?*,.(£) = f(x*,pkl(x*))). При таком выборе точки х* |ж* - .тК К - £| + |£ - я| «S + <5 - + 6 - + 5 < 25, кг г г0 поскольку к/ pi. i = 1,2,.... Поэтому (ж*, </^(ж*)) е П(^) и Vi > io Ж^О)) - г < ЛЖ(х*У) < f(x,p(x)) +е, т. е. Ж> р(х))-Е < tp'ki (С) < /(ж, <р(ж)) + £. Следовательно, при х < х\ (ЖЖ) - e)(xi - ж) ( <Лг(£М = J X = - Ж^) (ЖЖ)) +£)(Ж1 - ж). Это означает, что Vi io X} — X При i —> сю в пределе получаем, что Ж1 — ж Теорема Пеано доказана. 1.2.1. Следствие. Пусть при условиях теоремы Пеано сущест- вует единственное определенное на отрезке I = [ж — Жо, tq + «о] реше- ние р уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющее начальному условию P^xq) = у0. Тогда последовательность {<дг,} ломаных Эйлера сходится к это- му решению равномерно на I. Доказательство. Если условие зир{|у>/г(ж) — р(х)|} -д 0 при х^.1 к <х> не выполнено, то Эг > 0, 3 подпоследовательность {<р& } последовательности {<рд,} и 3 последовательность {ж^} точек из I, такие, что \рк^х^ - ДжД| > е, j = l,2,.... Поскольку последовательность {<Да-} равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на I. то такими же свойствами обладает её подпоследовательность {рк] } Из теоремы Арцела следует, что су- ществует подпоследовательность {рь^ } последовательности равномерно сходящаяся на I к некоторой функции р*. Из доказа- тельства теоремы Пеано следует, что функция р* является решением на отрезке I уравнения у' — f(x,y) удовлетворяющим начальному условию ^*(жо) -- Уо- Так как такое решение единственно, то Vt е I р(.х) -- р*(х). С другой стороны, \~fkj (Xj) — p(Xj ) I “ \pkj (Xj) — p (Tj) I J' 1,2, ... .
16 Глава I Полагая j = ji, получаем, что и поэтому sup{\if>k. (х) - 9?*(х)|} > £ const >0, 1 = 1,2,..., xei 1 что противоречит равномерной сходимости на I последовательности {p>kj ) к функции р*. Следствие 1.2.1 обосновано. При условиях теоремы Пеано решение уравнения у1 = /Щ.у), определенное на отрезке I и удовлетворяющее начальному условию р(хо) = Уо, не обязательно должно быть единственным. 1.2.2. Пример. Рассмотрим уравнение у1 = у2^3, полагая хо = Уо = 0; f(x,y) = у2/3; G = 1R2. Пусть число а > 0 выбрано произвольно, и пусть I = [-а, а]. Если Vx € I р(х) = 0 и р(х) = = х3/27, то обе функции р и р на отрезке I являются решениями этого уравнения, удовлетворяющими одному и тому же начальному условию </?(0) = <}?(0) = 0. Однако Vx G I: (х /= 0) (9?(х) £(х)). 1.2.3. Следствие. Пусть f - вещественная функция, непре- рывная на открытом множестве G С R2, и пусть (х0. уо) 6 G. Тогда найдется число ао > 0, для которого существует определенное на отрезке [xq — йо,хо + йо] решение р дифференциального уравнения у' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию р(хо) = уо- Доказательство. Поскольку (хо,уо) — внутренняя точка G, то За > 0: Па,а(хо,уо) С G. Применяя к этому замкнутому пря- моугольнику теорему Пеано (все условия которой здесь выполнены, если положить Ь = о), получаем утверждение следствия 1.2.3. 1.3. Условие Липшица. Теорема единственности 1.3.1. Определение. Пусть G с R2 и f: G —> IR. Говорят, что функция f удовлетворяет условию Липшица на множестве G (по второму переменному), если существует постоянная К 0, такая, что V(x,yi) е G; (х, у2) € G \f{x.y^ - f(x.y2)\ К\ух - у2|- При этих условиях число /< V 0 называется константой Липшица для функции f на множестве G. В дальнейшем слова «по второму переменному» в определении условия Липшица будем опускать. 1.3.2. Замечание. Если функция f удовлетворяет условию Липшица на множестве G и К' 0 - ее константа Липшица, то при условии К > К' постоянная К будет константой Липшица для
Дифференциальные уравнения первого порядка 17 функции f на G. Кроме того, если {К} — множество всех констант Липшица для функции / на G, то множество {К} непусто и огра- ничено снизу, так что 3inf{K"} = Ко 0. При этом Kq — константа Липшица для f на G. Действительно, в противном случае сущест- вуют две точки (ж,У1) € G и (ж,^) € G, такие, что |/(М1) - f(x, у2)| > K’olyi - у2|. Значит, yi у2, и поэтому, если К — любая константа Липшица для f на G, то А :---- > Ко, |У1 - У2| что противоречит определению постоянной Ко- Таким образом, если функция / удовлетворяет условию Липши- ца, то среди всех ее констант Липшица обязательно есть наименьшая константа. 1.3.3. Пример. Пусть G = [0,1] х [0,1] и пусть f(x,y) = ^/у ((х,у) € G). Тогда функция f равномерно непрерывна на компакте G. Тем не менее эта функция не удовлетворяет условию Липшица на G. Действительно, в противном случае существует постоянная К 0, такая, что V(t,?/i) е G (т,у2) 6 G \Vvi - Vy2\ Ш - уг|- Если yi / у2. то отсюда следует, что 1 V»i 1 V;'2 Пусть уг е (0,1/2] и у2 = 2уг ё (0,1], тогда yi / у2 и -L #(1 + х/2). При у, —> 0+ левая часть этого неравенства стремится к Лоо, и мы приходим к противоречию. 1.3.4. Утверждение. Пусть f — вещественная функция, опре- деленная и имеющая непрерывную частную производную на за- мкнутом прямоугольнике Тогда функция f удовлетворяет усло- вию Липшица на этом прямоугольнике. __ Доказательство. Функция непрерывна на компакте П и поэтому ограничена на этом компакте. Значит, существует посто- янная К 0, такая, что К. sup (х.^)еП Пусть (.т.yi) ё П и (.г. у2) ё И- и пусть £ у2. Тогда Vf £ £ (yi. г/2)(т. 1) ё П (мы считаем, что у\ < у2). Если зафиксировать
18 Глава I точку х и положить д(у) = f(x,y) (у е [51,52]), то к функции д на отрезке [51, у2] применима теорема Лагранжа, согласно которой Д е (уьуг): 1Жг/1) -f(x,y2)i = Iff(yi) -5(2/2)! = -52I = Я/ dy |yi - 3/21 A'Ij/i - у2|- 1.3.5. Утверждение. Пусть f — вещественная функция, опре- деленная на замкнутом прямоугольнике П ~ Па.ь^о, Уо), и пусть функция f непрерывна по переменному х при любом фиксирован- ном значении у е [уо ~ Ь, уо + Ь] и удовлетворяет условию Липшица на этом прямоугольнике. Тогда f непрерывна на ]ф Доказательство. Пусть (х,у) е Пи (^1,51) £ П> тогда (х, yi) £ И- Пусть, далее, К — константа Липшица для функции f на П- тогда \f(x,y) ~ f(xi,yi)\ \f(x,y) -/(т, 2/1)1 + \f(x,yt) -/(Т1,У1)| < К\у - 2/1| + \f(x, 5i) - f(xlt 2/01. Зафиксировав точку (ац, 51) можно утверждать, что при х -> х\ и у -> yi правая часть последнего неравенства стремится к нулю. Значит, Шп f(x,y) = /(.ti,5i), т. е. функция f непрерывна в любой точке (я?1,yi) 6 [J- Лемма Гронуолла (частный случай) Пусть р — вещественная функция, дифференцируемая на от- резке [а, Ь], и пусть ip(a) = 0 и существует постоянная К 0, такая, что Мх & [а,Ь] И(т)| К\^{х)\. Тогда Ух е (а, 6] ^(х) = 0. Доказательство. Пусть n 6 N. Положим аг — а + г = 0,1,...,и. Рассмотрим отрезок П = [ao,ai] = [а,<21]. Функция непрерывна на этом отрезке, и поэтому Sxi £ Ц: |^(х!)| sup {|у?(т)|} = ЛД 0. .re/j Если Xi = а, то ^(х'1) = ^(а) = 0, и поэтому ЛД — 0 и Vx е Д <р(х) = 0. Пусть Xi > а, тогда к функции на отрезке [а, аД приме- нима теорема Лагранжа, согласно которой € (a,Xi): Ых!) - <Да)| 1Д.7Д1 = !/Ю!(.г-! - а) Д
Дифференциальные уравнения первого порядка 19 (мы учитываем, что £ £ (a,xi) С Д). Если выбрать n € N так, чтобы п > К(Ь — а), то окажется, чтс при условии Л/1 > О . r b — а KMi------< Mi, n и мы приходим к противоречию. Таким образом, Mi = 0, т. е. Ух € Ii = [а, а+ ip(x) = 0, если предположить, что п > К(Ь — а). В частности, = 0. При выбранном ранее n £ N рассмотрим отрезок 12 = [а1,аг], длина которого равна длине отрезка Д. Так же, как и выше, доказывается, что Ух £ 12 <р(х) = 0. Рассуждая аналогично, за п шагов придем к равенству ip(x) = 0 (х £ [а, 6[). Аналогичное утверждение будет справедливо и в случае, когда при выполнении остальных условий леммы Гронуолла у>(&) = 0 (при этом условие <р(а) = 0 не предполагается выполненным). Теорема единственности решения уравнения у1 = f(x, у) Пусть функция f удовлетворяет условию Липшица на замкну- том прямоугольнике Цо ь(хо,уо). Тогда существует не более одно- го определенного на отрезке [л?о — а, хо + а] решения ip уравнения у' = f(x. y'). удовлетворяющего начальному условию ip(xo) = уо- Доказательство. Предположим, что существуют два опре- деленных на отрезке [то — а, хо 4- а] решения ipi и ip2 уравнения у' = = f{x, у), для которых (Д1(хо) = <^2(то) = уо- Тогда Ут £ [.го - а, то+а] ^Дт) = /(т,^1(т)) и<Д,(т) =/(т,<р2(т)). Если <р = ipi-ip2, то функ- ция <р дифференцируема на этом отрезке и для любой его точки х |Д(.т)| = (т) - ip'2(x}\ |/(t,<pi(t)) - /(ш,<^2(^))| = КЫх)\ где К — константа Липшица для функции / на прямоугольнике Па.ь(2'о,Уо)- Кроме того, ^(т0) = ^(т0) - <£2(А)) - 0. Согласно лемме Гронуолла отсюда следует, что Ух € [.г’о, хо + а] </?(т) = 0 и аналогично Ух £ [то — а.тд] f(x) = 0. Значит, Ух £ [то — а, то -;- а] уТ(-1’) ~ Тз^х). т. е. = ^22- Теорема существования и единственности решения уравнения у' = /(т.у) Пусть функция f непрерывна и удовлетворяет условию Липши- ца на замкнутом прямоугольнике ф[ = ]фа ь(то, Уо)- и пусть постоян- ная М > 0 выбрана так, чтобы sup {|/(т,у)|} М. Если У.у)Л1 Г ь 0 < по mm < a, —
20 Глава I то существует единственное определенное на отрезке I = [а?о — ао, х0 + а0] решение д дифференциального уравнения у1 — f(x, у), удов- летворяющее начальному условию <д(хо) = Уо- Последовательность {ip/c} ломаных Эйлера сходится к решению д равномерно на I. Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы Пеано и теоремы единственности решения, а также следствия 1.2.1. 1.3.6. Замечание. Условие непрерывности функции f на П можно заменить её непрерывностью по переменному х при любом фиксированном у € [уо~ Ь, Уо + &] (это следует из утверждения 1.3.5). 1.3.7. Следствие. Пусть функция f непрерывна и удовлет- воряет условию Липшица на открытом множестве G С R2, и пусть (хо,уо) е G. Тогда найдется число ао > 0, для которого существует единст- венное определенное на отрезке [.г о — ao, xq + ао] решение д диффе- ренциального уравнения у' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию д(х0) = у0. _ Доказательство. Пусть а > 0 и J]o a(xo, Уо) С G (такое зна- чение а существует — см. доказательство следствия 1.2.3). Приме- няя утверждение теоремы существования и единственности решения к замкнутому прямоугольнику Пао(яо,Уо)> получаем утверждение следствия 1.3.7. 1.4. Метод последовательных приближений. Теорема Пикара Формулируемая ниже теорема Пикара позволяет не только уста- новить существование решения уравнения у' = f(x,y) на заданном отрезке, но и построить последовательные приближения к этому ре- шению. Метод доказательства этой теоремы позволяет также оце- нить погрешность, получаемую при замене истинного решения на его приближение с любым номером п = 1,2,.... Теорема Пикара Пусть при условиях теоремы существования и единственности решения уравнения У' = f(x.,y) До — непрерывная на отрезке I = [то — ао, xq । ао] функция, график которой содержится в ] [. и пусть Ух е I ^(.т) - Уо - I п = 1.2... Тогда последовательность {с'-,/} сходится равномерно на I к единст- венному решению д этого уравнения, удовлетворяющему начально-
Дифференциальные уравнения первого порядка 21 му условию ф(хо) = Уо- Доказательство. Пусть А(а?о,х) — отрезок с концами в точ- ках то и х, тогда \/х € I А(т0,т) с I. Если £ € Д(жо,х), то отсюда следует, что £ в I, так что композиция /(£, 0о(£)) имеет смысл и является непрерывной на отрезке А(то,т) функцией точки ф По- скольку \/х е I ^l(x) = y0+f /(£,0о(£))^£, ^0 то функция дифференцируема на I (это следует из теоремы о производной интеграла, как функции верхнего предела интегриро- вания). Кроме того, 01 (жо) = уо и V.r е I 1^1 (ж) -t/o| = [ /(Л,1МЛУ)<£ < [ |/(£,0о(€))М€ Jxq '-о 0 М\х — 2?о| С Мао Ь, и поэтому (т, 0i (а?)) е f]. Применяя метод индукции, получаем, что каждая из фикций i/>n дифференцируема на I, 0п(а?о) = Уо и Va: G I (х,'фп(х')) & п = 1,2,.... Таким образом, последовательность {0П} определена коррект- но. Пусть К — константа Липшица для функции f на [J. Покажем, что Va: ё I справедливы неравенства \wn{x)-vn^x)\^MKn-^X~X^n+ЪКП~^Х^ \ п = 1,2,.... п! (п - 1)! При 711 имеем Va: € I |0i (т) - 0о(а?) | = Ж'0о(£)М ~ 0о(а:) [ /(С,0о(^))^ + |Уо " 0о(^)| а.г0 Если доказываемое неравенство справедливо Va: G I при неко- тором значении n € N. то Vt G I |i’n ,-i(a-) - 0Да-)| =- / (/(^. * /(С - а?о| + Ь. 1ОМ г0 1ОК к го ;;п-1 1£ - ^о! К + ъкп-1 ^~Х°[\ 1 •го
22 Глава I । (П4-1 । „ in = MA-l£--£"L_+Mr.k^Li (n + 1)! n! и неравенства доказаны методом индукции. Рассмотрим функциональный ряд V’O + ~~ ^п-1)’ 77-1 Этот ряд равномерно сходится на I, поскольку ряд оо 521^п(т) - V’n-iWi 77--1 . имеет мажорирующий ряд У + &кп-1^-^4тг->) > V п! (п - 1)! / П=1 х \ / / который, в свою очередь, Vx е I мажорируется сходящимся число- вым рядом / ,.п „П-1 \ V (мкп~14 + ж"У- ° . \ п\ (п - 1)! J П—1 4 \ / / Пусть (f(x) = iMx) + 52(V>n(a:) - ^-1(4, n=l где x & I, тогда lim -фп = гр равномерно на I. При этом функция п—>оо р непрерывна на I, поскольку каждая из функций фп, п = 1,2,..., непрерывна на 1. Так как V’n(^o) = Уо, п = 1,2,..., то ^(хо) = уо. Кроме того, Vx е 1\фп(х) - уо[ Ь, п — 1,2,..., и поэтому |^(х) — уо| Ь, так что (х, т(х)) € П- Поскольку Vx 6 I lim = <р(£) п—>ое равномерно относительно £ е Д(хо.х), то sup sup ШП-1Ю-Ж)|} -> о ееЛ(ж0,г-) ееЛ(.г0.т) при п (X, т. е. V(0) равномерно относительно Е, е Л(х0..т). В равенствах Vn(.T) - Уо + I п-И,2...., •7.r0 справедливых при г е I. перейдем к пределу при п —> ос. Тогда получим, что Vx е I
Дифференциальные уравнения первого порядка 23 Так как композиция /(£, <Д£)) непрерывна на I, то из последнего равенства следует, что функция д дифференцируема на I и Уж € I ф'(х) = /(ж, </?(ж)). Значит, </> — решение на I уравнения у' = f(x,y), причем у>(жо) = уо- Такое решение единственно по теореме сущест- вования и единственности, и теорема Пикара доказана. 1.4.1. Следствие. При условиях теоремы Пикара Ух € I \х — £Еп1П 1Ы*) - Ж)1 К"—-pi- supWo(£) - ЖI}, n = 1,2,.... n- $ei Доказательство. Имеем V.r е I |^п(ж) - <Ж)1 = i (Ж,ЖЖ) - Ж.Ж))^ Ж ,ЖЖ)-Ж,Ж)И мм п = 1,2,.... При n = 1 отсюда следует, что |Va(^) - Ж)1 С К\х - ж0| sup{|^0(C) ~ Ж)|} (х е tel Если доказываемое неравенство справедливо Ух е I при неко- тором значении n е N, то Ух & I 1Ж1(ж) - Ж)1 к Kn+1— SUp{|Vo(£) - Ж1} п! ?6/ k'n+l " . ni ~ Хо|П' ' supWq(£) - Ж)|}- \п + 1)' ее/ Поэтому такое же неравенство будет справедливо при замене п на п 4- 1. Следствие 1.4.1 установлено. 1.4.2. Следствие. Справедливы неравенства sup{|V’n(.r) ~Ж)1} П = 1.2,.... Се/ п- Действительно. Ух 6 I |ж - хо| < ао и sup{|vo(£) — >>(£)|} 26. ?е/ так что для обоснования следствия 1.4.2 достаточно воспользоваться утверждением следствия 1.4.1. 1.4.3. Замечание. В качестве функции Фо всегда можно взять функцию Vo (т) - Уо (х 6 I)- Для этой функции V1 (ж) = Уо н f f(Cyo)d(, (х&Г). 7 .г о
24 Г л а в a I 1.5. Уравнения в симметричной форме и в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель В уравнение у' = f(x,y) переменные х и у входят несиммет- рично. Это обстоятельство проявляется, в частности, в том, что интегральные кривые не могут быть продолжены за точку с верти- кальной касательной, поскольку поле направлений этого уравнения не содержит прямых, параллельных оси ординат. Для того чтобы не исключать таких направлений, наряду с этим уравнением рассмат- ривают уравнение х1 = L_; равносильное исходному всюду в G, где f(x,y) 0 (производная х' означает производную обратной функции х\у) = 1/г/'(.'г), если У(т) 0). Существует форма записи дифференциального уравнения, объ- единяющая оба рассмотренных уравнения — так называемая сим- метричная форма, имеющая вид М(т, y)dx + N(х, y)dy = 0. Здесь M,N — вещественные функции, непрерывные в некоторой об- ласти D точек декартовой плоскости (под областью, как принято в курсе теории функций комплексного переменного, мы понимаем открытое связное множество). 1.5.1. Определение. Точка (хо>Уо) € О называется особой, если М(х0,Уо) = N(xo,yo) = 0. Пусть Q С D — множество всех особых точек. Поскольку функции М и N непрерывны в D, то множество Q замкнуто в D. Поэтому D \ Q — открытое множество. Пусть G - компонента связности множества D \ Q. Из определения 1.5.1 и непрерывности функций М и N следует, что для каждой точки (ад.у0) е G существует ее окрестность, в пределах которой либо М(х, у) 0. либо _/V(.r, у) 0. В этой окрестности уравнение 2И(.т, y)dx + N(x, y)dy -- 0 равносильно хотя бы одному из уравнений М(.т,у) АГ(х, у) ИЛИ х' = NtGy) М(х.у)'
Дифференциальные уравнения первого порядка 25 1.5.2. Определение. Решением уравнения М(х, y)dx + -г N(x, y)dy = 0 на промежутке I называется функция у = д (или х = '0), определенная на этом промежутке и удовлетворяющая усло- виям: а) функция д (или ф) дифференцируема на 7: б) Vz & I (или Vy е I) (х,<р(х)) € D (соответственно, ('ф(у)у') € е D)-. в) V.r е I М(х, ip(x)) + У(т, <Да;)))<Д (z) = О (или Vy € I Мфф{у),у)ф'{у) + Пфф(у), у) = 0). 1.5.3. Определение. Уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах в области D, если существует функция U: D —> R, такая, что dU = М(х, y)dx + N(x, y)dy всюду в D. При условиях этого определения функция у = (или х = ф), непрерывно дифференцируемая на промежутке I, является решени- ем уравнения в симметричной форме тогда и только тогда, когда Ух е IU(x,ip(x)) = const (соответственно, Уу е I и(ф(у),у) = const). При этом = М(х,у) и = N(x,y) всюду в D. Для того чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, достаточно, таким образом, найти условия, при которых уравнение в симметричной форме является уравнением в полных дифференциалах, а также найти функцию U при выполне- нии этих условий. Такие вопросы рассматриваются и решаются в курсах математического анализа и теории функций комплексного переменного. Там доказывается следующее утверждение. 1.5.4. Утверждение. Пусть область D односвязна и частные производные существуют и непрерывны всюду в D. Для того чтобы уравнение М(х, y)dx+N(x. y)dy = 0 было в D уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы = - г^~- всюду в D. При этом г(х.у) U(x.y) -- / M(x,y)dx ~ N(x,y)dy. Дх0,у0) где (хо,уф — любая фиксированная точка области D. и интеграл вычисляется по любому кусочно-гладкому пути с концами в точках (хд.уо) и (х.у) & D. образ которого содержится в D.
26 Глава I 1.5.5. Определение. Функция д, непрерывная и не обращаю- щаяся в нуль в области D, называется интегрирующим множителем уравнения M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, если уравнение ц(х, у)М(х, y)dx + д(т, y)N(x, y)dy — О является в D уравнением в полных дифференциалах. Пусть д — интегрирующий множитель уравнения ' М(т, y)dx + N(х, y)dy = О, и пусть функция д непрерывно дифференцируема. Тогда согласно утверждению 1.5.4 всюду в D Э(дМ) _ d(jiN) ду дх или >/Г5д .г9д ( &N дМ\ ду дх \дх ду ) Таким образом, для нахождения интегрирующего множителя нужно решить это дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных. Эта задача в общем случае не проще исход- ной. Однако в некоторых частных случаях такое уравнение может быть использовано для нахождения интегрирующего множителя. 1.5.6. Утверждение. Пусть существует непрерывно диффе- ренцируемая функция ш, определенная в области D и такая, что всюду в D дМ dN N-----М— дх ду где -ф - функция, непрерывная на образе cv(D'). Тогда р, = ехр Доказательство. Будем считать, что д — д(а>). Тогда соот- ветствующее дифференциальное уравнение в частных производных принимает вид dp (Лтдш , тдш\ (dM dN\ N- М— ) = д — - — . dbJ у дх ду J \ ду дх J По условиям доказываемого утверждения это уравнение равно- сильно уравнению dp ,
Дифференциальные уравнения первого порядка 27 Нетрудно проверить, что функция д = exp V’(w) удовлетворяет этому уравнению. Утверждение 1.5.6 доказано. 1.5.7. Пример. Рассмотрим так называемое линейное неодно- родное дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид у' = р(х)у + (здесь (х,у) ё D. где D — область в R2). Это уравнение в симмет- ричной форме записывается в виде (р(х)у + q(x\)dx — dy = 0. Будем считать, что функции р и q непрерывны на интервале (а, Ь) и D = (а, Ь) х R (т. е. х G (а, 6) и у е R). Интегрирующий множитель будем искать, предполагая, что <д(т) = х(х Е тогда д = ц(х) и соответствующее условие утверждения 1.5.6. означает, что ,, х 1 (dM dN\ , х '^х> vh— щ- = ~р И N \ оу ах J (здесь М(хцу) = р(х)у + q(x\, N(x,y) = —1). Согласно этому утверждению имеем д(х) = ехр(—Р(т)), где Р(т) = / p(t) dt (xq Е (a,b); Xq фиксировано; x E (a,b)) Ло После умножения на д(т) получим ехр(—Р(х))(р(х)у + q(x))dx — ехр(—P(xY)dy = 0. Используя утверждение 1.5.4 и вычисляя соответствующий ин- теграл путем его параметризации, находим решение в виде f exp(—P(t))q(t) dt — [ exp( — P(x))dt = —C J Л‘О J 0 (С ~ const е R), т.е. Vx Е (а.Ь); У ехр(Р(.т)) ( С + [ exp(-P(jy)q(f) eft J . Если .то £ (а- Ь) и уо Е R. то решение с начальным условием yt-i'o) == У о имеет вид У Уо ехр p(s)ds)g(t) dt (подробнее о линейных дифференциальных уравнениях см. гл. IV).
28 Г л а в a I 1.6. Замена переменных Пусть Л, I2, I*, 12 — некоторые промежутки, и пусть G = Л х 12; G* - If к If. Пусть, далее, д: If -> h и h: If -+ 12 — биекции. Будем предполагать, что отображения д и h взаимно непрерывно диффе- ренцируемы (т. е. они сами и обратные к ним непрерывно дифферен- цируемы). Если и е /1; v ё If, тот - д(и) ё Л и у = h(v) 6 12. Положим F(u,v) = (g(u),h(v)) = (х,у) е G, если (u,v) е G*. Тогда F: G* -> G — диффеоморфизм (т. е. непре- рывно дифференцируемая биекция, обратная к которой также не- прерывно дифференцируема). Если 99: F -> 12, то ф = — функция, определенная на промежутке If, график которой содер- жится в G* и имеет своим образом при отображении F график функ- ции р. Если, наоборот, ф: If —> If, то р — Ъфчфд~ф} — функция, определенная на промежутке Д, график которой содержится в G и является образом графика функции ф при отображении F. Таким образом, мы получаем биективное соответствие между функциями р и функциями ф. Функция ф дифференцируема на If тогда и только тогда, когда функция р дифференцируема на Д. Рассматривая дифференциальное уравнение у' = f(x, у), (х, у) 6 € G, получаем dy = f(x,y)dx. Полагая х = д(и); у = h(v), выводим равенство h'(y)dv = f(g{u),h{v))g'{u)du, т. е. При этом h'(y) ф 0, поскольку функция h взаимно дифференцируе- ма. Если функция f непрерывна на G, то функция непрерывна на G*. 1.6.1. Утверждение. Если р — решение уравнения у' — - на Л, ™ функция ф - Ьгфрфф) — решение уравнения fl \1) на I*. Если I’ — решение последнего уравнения на If. то функция р - - Ф(ф(д~}У) - решение уравнения у' = /(.-г,у) на Ц.
Дифференциальные уравнения первого порядка 29 Доказательство. Пусть р - решение на промежутке Д уравнения у' = f(x,y) и и € Д'. По правилу дифференцирования сложной функции 0'(w) = (/г-1)'(^(д(Д))Д(р(и))р'(и) = = Л-(Ь-.(у(<>(.)))')/Ь(“)'уЬ(">))9'(“) = = /?&’(“> '•«“»» Это означает, что ip — решение на Д' уравнения V' = h^)f('9^,h^ (следует положить v = ip). Вторая часть утверждения 1.6.1 доказывается аналогично. Смысл этого утверждения состоит в том, что при его условиях решения двух разных дифференциальных уравнений находятся во взаимно однозначном соответствии. Переход от одного уравнения к другому называется методом замены переменных. Удачный выбор замены переменных позволяет иногда свести одно дифференциаль- ное уравнение к другому, которое может быть решено известными методами. Далее по ходу изложения приводятся примеры использо- вания метода замены переменных. 1.7. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения Рассмотрим дифференциальное уравнение А (я /2(у) Предположим, что функция Д непрерывна на промежутке Д, а функция Д непрерывна на промежутке Д и не обращается в нуль на этом промежутке. Функция Д имеет на !> первообразную Р%. которая взаимно непрерывно дифференцируема, поскольку Vy е F^y) = Ш + 0. Пусть F2 1 — функция, обратная функции F2. Положим I* = Ц ; х и: Г2 = F2(A): h FT1: I2 -э Д: У - F2\v) € 12, если v е 12. Используя метод замены переменных, можно утверждать, что преобразованное уравнение имеет вид dv du ----J-------ЛИ— = F^Ff1^))—— = /1(и). (F2-1)'(v) h(F2\v)) 2 { ),f2(F2-\v)) Решением этого уравнения на промежутке Ii является функция V - - Fi — с, где F] — одна из первообразных на Ii функции Д и
30 Глава I с = const € R. Таким образом, исходное уравнение имеет решение У = F24-Fl +С)- Такой способ решения этого уравнения называется разделением переменных, а само уравнение называется уравнением с разделяю- щимися переменными (это название оправдывается тем, что фор- мально это уравнение можно переписать в виде f2(y')d/y = fi(x)dx‘, в последнем равенстве левая часть зависит только от у, а правая - только от х). 1.7.1. Пример. Рассмотрим уравнение у' — х2/у (у > 0). Это уравнение с разделяющимися переменными. Положим F\ (х) = х3/3; РУу) = у2/2, так что F2_1(v) = \F2v. Таким образом, решения этого уравнения определяются по фор- муле 2 у = \ -х3 + с (с = const & R). V Если постоянная с задана, то необходимо а: > (—jc)1/3 (т.е.,если х G Д, где Л С R — некоторый промежуток, то его левый конец a должен удовлетворять неравенству а (— jc)1/3 (если a Ii) и a > (—jc)1/3 (если a G Ц). 1.7.2. Определение. Уравнение у' = f(x,y) (J: G -> R) на- зывается однородным, если из условий (.г, у) G G; t G R; (tx,ty) € G всегда следует, что f(tx, ty) = f(x, у) (т. е. f — однородная функция). Если для однородного уравнения положить v — - (х 0), х то у = VX, и поэтому у1 = хи' + V = /(ж, vx) = /(1, v) (положить t — х). так что v' = X и мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое решается методом разделения переменных. Заметим, что термин «однородное» используется и в другом смысле (см. разд. 4.4). 1.8. Уравнения Бернулли и Риккати 1.8.1. Определение. Уравнение вида у' - Л (.г) у ь В(х)у" (а — const G R) называется уравнением Бернулли.
Дифференциальные уравнения первого порядка 31 Будем предполагать, что I — промежуток в R и G = {(ж, у) | х € Г, у > 0} = I х (0, +оо), так что, если V(z, у) е G f(x,y) = А(х)у + В(х)уа, то /: G —> R (при этом А: I —> R и В: I —> R). Будем также считать, что функции А и В непрерывны на про- межутке I. При этих условиях функция f непрерывна на множестве G. Если а = 1, то уравнение Бернулли превращается в линейное дифференциальное уравнение первого порядка (см. пример 1.5.7, в условиях которого следует положить р(х) = А(х) + В(т); q(x) = 0; х € I- D = G). Пусть а/1,и пусть р — решение на промежутке I уравнения Бернулли, тогда Ух е I 9? (.г) > 0. Положим Ф(х) = (^(т))1-“ (т G I), тогда, как легко проверить, ф' = (1 — а)(Аф + В). Это означает, что функция ф = у является решением на I линейного дифференциального уравнения у' = (1 - а)(Ау + В). Обратно, если ф — такое решение, причем Ух € I ф{х) > 0, 1 то полагая р = ф, можно утверждать, что р — решение на I уравнения Бернулли. Таким образом, в указанном смысле уравнение Бернулли сво- дится к некоторому линейному дифференциальному уравнению пер- вого порядка. 1.8.2. Определение. Уравнение вида у' = А(а?) + В(х)у + — С(х)у2 называется уравнением Риккати. Предполагаем, что I — промежуток в R; G = I х R: А, В, С — вещественные функции, непрерывные на I. Если, в частности. С —- 1: В = 0; А(.г) = рха (х Е Г, а. в - const G R; /3 0). то такое уравнение называется специальным уравнением Риккати и имеет вид у' = у2 - фха (при таких условиях необходимо Ух G I х > 0, если рассматривать произвольные значения а е R).
32 Глава I В отличие от ранее рассмотренных примеров, уравнение Рикка- ти, вообще говоря, нельзя решить в явном виде в том смысле, как это было сделано в этих примерах. Если же известно хотя бы одно его решение, то можно получить и все остальные. 1.8.3. Утверждение. Пусть ф - - решение уравнения Риккати на промежутке I, и пусть <р — вещественная функция, дифференци- руемая на I и такая, что Vt е I <р(х) 7^ ф(х). Функция является решением на I этого уравнения тогда и только тогда, когда функция 1 Л = —г y’-V’ является решением линейного дифференциального уравнения у' = -у(2С(тМт) + В(т)) - С(т) Доказательство. Имеем rf = — Поэтому, если функ- ция Г) является решением на I последнего уравнения, то <р’ - ф' = А + уВ + <р2С - (А + фВ + ф2С). Поскольку ф' = А + фВ + ф2С, то = А + уВ + <р2С, т.е. функция является решением уравнения Риккати. Эти рас- суждения можно провести и в обратном направлении. Утверждение 1.8.3 доказано. Далее будет показано, что если два решения уравнения Рикка- ти имеют одинаковые значения в некоторой точке промежутка I, то они тождественно совпадают на I. Таким образом, утверждение 1.8.3 означает, что, зная одно решение уравнения Риккати, мы мо- жем получить все его решения с помощью интегрирования (т. е. на- хождения решений) соответствующего линейного дифференциаль- ного уравнения. Рассмотрим теперь специальное уравнение Риккати. Пусть сна- чала а - 0. Тогда это уравнение принимает вид у’ = у2 + 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Положим Д = R и /1(.т) — 1 (ж е R). Если 0 > 0. то положим 12=йи = (»«») Тогда Е1(.т) т и F2(j/) = -~= arctg {х- У К
Дифференциальные уравнения первого порядка 33 и поэтому у = F^F^x) + С) = Уч%(Уё(х + С)) (С = const е R). Если /3 < 0, то квадратный двучлен у2 + /3 имеет два действи- тельных корня у/—/3 и —у/—{3. Пусть ^2 = (-сю,->/^8); Ч = (v^,+oo). Положим тогда первообразная F2 функции /2 имеет вид ЩУ) 2^1Пу + У=^ (предполагается, что у € или У € 1'2, или у е Если у 6 Г2 или у 6 I2 , то у - УЧ = у - УЧ у + УЧ у + УЧ' и поэтому в соответствии с изложенным выше решением уравнения у' — У2 + (3 является функция У = Уч 1 + сехр(2хУЧ) 1 - сехрЧУЧ) (с = const > 0). Соответствующие интегральные кривые определены при и при в первом случае они содержатся в R х 12", а во втором -- в R х 1'2 Если у € 12, то и тем же методом мы получаем решение -1 - сехр(2.туА?) 1 -г сехр(2т\/—/3) (.т е R). Кроме того, решениями этого уравнения являются функции у = = — 5 и у — \/—В. Эти прямые являются асимптотами интеграль- ных кривых, содержащихся в примыкающих к ним областях.
34 Глава I Если 0 = 0, то положим Г2 = (—оо,0); /2** = (0,+оо); У Рассуждая аналогично, получаем, что решением является функ- ция w — ---- (с = const € R). х + с Соответствующие интегральные кривые определены при х > — с и при х < -с. Решением уравнения у' — у2 является также функция у = 0 (х G R). Рассмотрим еще случай, когда а — —2. В этом случае специаль- ное уравнение Риккати принимает вид / & , 2 У + У Будем предполагать, что х > 0 и у > 0. Замена переменных х = и-, у = 1/v область G — (0,+оо) х (0,+оо) переводит в себя. Рассматриваемое уравнение преобразуется к виду Это уравнение является однородным и решается методом, изложен- ным в разд. 1.7. Аналогично можно показать, что специальное уравнение Рикка- ти допускает решения в явном виде (т. е. с помощью элементарных функций и интегралов от них), если а = — 2~~f> где п G Z. Од- нако, как показал Лиувилль еще в 1841 году, такие значения а, а также а = — 2 являются единственными показателями степени, для которых специальное уравнение Риккати имеет решения указанно- го вида. 1.9. Локальное условие Липшица 1.9.1. Определение. Пусть G — открытое в R2 множество и /: G->R. Говорят, что функция / локально удовлетворяет условию Липшица на G. если V(.ro,(/o) € G Ее > 0: Пе.Д+ь Уо) С G и функция f удовлетворяет условию Липшица на е(хо- Уо)- 1.9.2. Утверждение. Пусть G открыто в R2, f: G —> R и существует частная производная непрерывная на G. Тогда функция f локально удовлетворяет условию Липшица на G.
Дифференциальные уравнения первого порядка 35 Доказательство. Пусть (хо,уо) С G, тогда Эе > 0: Ще(хо,Уо) С G, поскольку G открыто в R2. Функция непрерывна на Пе.Д^о, Уо), и поэтому согласно утверждению 1.3.4 f удовлетворяет условию Липшица на этом замкнутом прямоугольнике. Согласно определе- нию 1.9.1 это означает, что f локально удовлетворяет условию Лип- шица на G. Если G открыто в Д' и функция f удовлетворяет условию Лип- шица на G, то f локально удовлетворяет условию Липшица на G. Обратное утверждение неверно. 1.9.3. Пример. Пусть G = (0,1) х (0,1), тогда G открыто в К2. Положим f(x,y) = у/у ((ж,у) е G). Поскольку функция (х, у) = 2^= непрерывна на G, то / локально удовлетворяет усло- вию Липшица на G. Однако f не удовлетворяет условию Липшица на G. В противном случае, выбирая у е (0,1/2); х е (0,1), получим, что (х, у) е G и (х, 2у) € G. При этом \f{x, у) - /(х, 2у)| = (V2 - Т)у/у < Ку, где К — константа Липшица для функции f на G. Значит, 0 < < \/2 — 1 Ky/у, и при у —> 0+ приходим к противоречию. 1.9.4. Пример. Пусть G = (-1,1) х (-1,1), тогда G открыто в R2. Положим f(x,y) = д/Ы ((х, у) е G). Тогда f не удовлетворяет условию Липшица на G (это доказывается так же, как и в предыду- щем примере). Более того, f и локально не удовлетворяет условию Липшица на G. Чтобы это обосновать, положим хо ~ уо = 0, тогда (го.уо) € G. Если Е е (0,1), ТО Ще(°>0) С G. При любом так вы- бранном значении е функция f не удовлетворяет условию Липшица на замкнутом квадрате П£ Д0,0) (доказательство такое же, как и выше). Далее положим G' = G \ {(х.у) | —1 < х < 1:у = 0}. Тогда множество G' открыто в В,2 и функция f локально удовлетворяет условию .Липшица на G', так как Of, , sgny , v(Х-У = ТГТгл (чу)еС), О У 2у|у| и поэтому функция непрерывна на G'. 1.9.5. Утверждение. Пусть функция f непрерывна и локаль- но удовлетворяет условию Липшица на открытом множестве G С R2 и пусть К С G; К — компакт. Тогда f удовлетворяет условию Лип- шица на К. Доказательство. Предположим противное. Тогда V?;. 6 N
36 Глава I п = 1,2,.... существуют точки (хп,У1п) G К; (хп,У2п) € К, такие, что \f(xn,yin) “ /(^п,У2п)| > n\yln - у2п\. При этом yin ± у2п, и поэтому f(xn,ym) - f(xn,y2n) У1п ~~ У'2п Так как К — компакт, то последовательность (xn,yin) содер- жит сходящуюся подпоследовательность {(®nfc,У1пк)}, предел кото- рой принадлежит К. Пусть (т*,уА) G К — такой предел, тогда при к —> оо хПк -> х* и yink —> У1. Рассмотрим последовательность точек из К {(хПк, У2пк)}- Для нее существует подпоследователь- ность {(тИА,(, У2пк1)}, сходящаяся к некоторой точке из К. При этом Xnki -> х* при I -» оо. Следовательно, Зу2-. У2пк[ У2 при I -> оо и (х*,у2) € К. Кроме того, у1Пк -д у% при I -> оо и f(xnk[,ylnk[) - f(xnki,y2nk[) yinkl - У2пк1 Если у* у2, то в силу непрерывности функции f в точках (х*,ук) и (т*, у2) левая часть первого из выписанных неравенств при I —> оо имеет конечный предел, равный /(.T*,^)-/(x*,yJ) I = 1,2,.... У* - у? что противоречит последнему неравенству, справедливому при I = 1,2,.... Если же yl — у% = У*, то (х*,у*) € К С G, и поэтому Эе > 0: П£>У) С G и функция f удовлетворяет условию Липшица на замкнутом квадрате П = П£ £(^*У*) с некоторой константой М 0. Для выбранного значения £ > 0 3l0 е N: VZ > l0 (xnki, ур^) е П и , у2пА;) € П (поскольку (.г*, у*) — внутренняя точка П)- Но тогда при I Js Iq f(xnki,ylnki) - f(xnki,y2nki) У1пк{ - У2пк{ (при этом ф У‘2пк.> I - 1,2,...), что опять противоречит выпи- санным выше неравенствам. Утверждение 1.9.5 доказано. 1.9.6. Утверждение. Пусть функция f локально удовлетво- ряет условию Липшица на открытом множестве G С R2, и пусть (то, уо) € G. Тогда Va > 0 существует не более одного определенного st М --= const
Дифференциальные уравнения первого порядка 37 на отрезке [xq — a, xq + а] решения tp дифференциального уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющего начальному условию Дхо) = уо- Доказательство. Пусть ipi и у>2 — решения уравнения у' = = f(x,y), определенные на отрезке |хо — a, xq + а] и такие, что ^1(жо) = ф’гС'Ео) = Уо- Положим Ia = [хо,хо + а], и пусть Р = = {х & Ia \ >рг(х) ± ф2(Д}> тогда Р С Ia- Допустим, что.Р 0, тогда 3infP = xi € Ia- В частности, Xi tq. Если Xi е Р, то a?i > хо, так как тогда уДхД удД]). Функция <р = непрерывна в точке xi, причем ДхД 0. Поэтому существует окрестность ЕДхД точки xi такая, что Vx € € (U(xi) П Ia) Дх) ф 0, т.e. x e P. Поскольку xi = inf P > хо и Xi € Ia, то существует точка x € (H(xi) Л Д), для которой x < Xi — — infP, что противоречит выбору окрестности 27(xi). Следовательно, xi Р, т.е. фДхД = ^2(^1) = У1- При этом (xi, ух) е G по определению решения. Если бы xi = xq + a, то Р = 0 в противоречии с исходным допущением. Значит, xi < Xq + а. Так как G открыто в R2, то Зе > 0: Пее(я1,3/1) с Выберем теперь £1 > 0 так, чтобы 0 < £1 < min{e; хо + а - хД и Vx е [xi - £1, xi 3- £1] |<а(х) - 3/11 £ (г = 1 и г = 2) (это можно сделать, поскольку функции уд и уд непрерывны в точке Xi). Тогда Перечь У1) С 2/1) С G- Рассмотрим решения уд и уд на отрезке I' = [xi - £1,Х1 + £i] С [хо - а,х0 + а]. Еслих S то (х,уд(х)) G 2/1) (г = 1 иг = 2). Дополнитель- но потребуем, чтобы функция f удовлетворяла условию Липшица на замкнутом прямоугольнике П£1 ДтдЗ/Д (эт0 можно обеспечить, выбрав £i > 0 и с > 0 достаточно малыми). По теореме единствен- ности решения (см. разд. 1.3) можно утверждать, что тогда Vx € I' уд(х) = <pi(x), и поэтому х £ Р. В частности, если х е (Г П Ia), то х Р. Так как xi = inf Р Р, то Х| - предельная точка Р, что противоречит равенству (/' П Ia) Г) Р = 0. Итак, Р = 0, т. е. V.r е Ia = [х0,х0 + а]уд(х) Д‘2(х). Аналогично доказывается, что Vx е [хо — а,хо] уд(х) = ^(х)- Таким образом, решения и уу совпадают всюду на отрезке [то — а.Хо + а]. Утверждение 1.9.6 доказано. 1.10. Продолжение решения. Максимальный интервал. Полное решение Пусть функция f непрерывна и локально удовлетворяет усло- вию Липшица на открытом множестве G С R2, и пусть (xq.J/o) S G.
38 Глава I Из теоремы Пеано и утверждения 1.9.6 следует, что существует чис- ло ао > 0, такое, что на отрезке [а; о — ао, Xg + ао] существует единст- венное решение уравнения у1 = f(x,y), график которого проходит через точку (а:о,Уо)- Положим 1а = [т0,то + а] (а > 0). Тогда на отрезке IaQ решение с указанными свойствами существует и единственно. Пусть Л — множество всех тех значений а > 0, для каждого из которых существует определенное на отрезке 1а решение <ра уравне- ния у' = f(x, у), удовлетворяющее начальному условию <ра(ад) = уо- Тогда А 0, так как ао € А. Если а € А и 0 < а' < а, то а! & А (можно положить <ра> (т) = <ра (т) при х е 1а' и тогда (ра> — решение уравнения у' = f(x, у) на отрезке I,,-, причем <ра’ (ад) = Уо)- При этом Ia’ С Л и равенство = +а(.т) (а; € 1а>) верно для любых двух решений ра и +п- уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющих условиям ^а'(хо) = фа(0о) = Уо и определенных соответственно на отрезках 1а и Iai (это следует из утверждения 1.9.6). Таким образом, функция >ра при 0 < а' < а является продолже- нием функции р>а> с отрезка 1а’ на отрезок 1а. В этом смысле говорят о продолжении решения, удовлетворяющего заданному начальному условию. Пусть b = sup А +оо, и пусть I = [ад, xq + Ъ). Тогда на проме- жутке I существует единственное решение уравнения у' = f(x. у), удовлетворяющее начальному условию +(ад) = уо- Действительно, Va; е I За € А: (х < xq + а < хо + Ь) => (х € 1а). Положим <р(х) = ipa(x). Как было замечено выше, значение не зависит от выбора точки а е (а; — а;о, Ь). При этом у>(а;о) — = <Aj(zo) = Уо и <р’(х) = ра'(х) = /(а;,+а(а;)) = f(x,<p(x)), так что tp — решение на промежутке I уравнения у' = f(x,y), для которого ¥?(ад) = уо- Это решение на I единственно. Кроме того, согласно определению Ь такое решение уже нельзя продолжить правее точки .то + b (если Ь < +оо). Если определить Л* как множество всех тех значений а* > О, для каждого из которых существует определенное на отрезке 1а - = [хо — а* - -То] решение д" уравнения у' = f(x, у) с начальным усло- вием <ра (.то) = уо- то ао 6 А*, и поэтому А* 0. Пусть Ь* — -- sup А* < +ос. тогда, рассуждая, как и выше, получаем, что су- ществует единственное определенное на промежутке (ад —Ь*. ад] решение д’ уравнения у' - /(а;, у), такое, что д*(а0) = уо- При этом I U Г = (ад - 6*.ад — 6). Пусть +о(-г) -- Г +(-т). V*(x). х е /; X е Г,
Дифференциальные уравнения первого порядка 39 (если х е (I А I*), то х = хо и поэтому д(х) = <р*(г) = уо). Тогда до — единственное определенное на интервале (а?о — £>*, xq + b) реше- ние дифференциального уравнения у' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию <до(#о) = Уо- Такое решение называется пол- ным решением этого уравнения. При изменении точки (жо,Уо) € G интервал (xq — b*, xq + Ь) будет меняться, поэтому естественно поло- жить 1(а:о, Уо) — (%о ~ Ъ*,Хо + Ь) = I U I*. Так определенный интер- вал 1(хо,уо) будем называть максимальным интервалом, порожден- ным точкой (.то,?/о). Нетрудно проверить, что если х( 6 1(а?о,Уо) и Уо = ^о(^о), ТО (x'0,y(j) е G и 1Н,Уо) = 1(то,уо). 1.10.1. Утверждение. Пусть функция f непрерывна и ло- кально удовлетворяет условию Липшица на открытом множестве G С R2, и пусть (хо,уо) oG и I(xq, Уо) — (^o — b*,xo + b) — соответ- ствующий максимальный интервал. Если, кроме того, b < +оо, то {(т, д0(т)) | х & 1(х0, уо) А {(х, у) | х = х0 + Ь} П G = 0. Если же Ь* < +оо, то {(ж, <ро(х)) | х G 1(х0, уо)} А {(т, у) | х = хо - 6*} A G = 0. Здесь <ро — полное решение уравнения у' = f(x,y). определенное на максимальном интервале 1(хо,Уо) (черта сверху означает замы- кание). Доказательство. Докажем первое из сформулированных утверждений (второе доказывается аналогично). Пусть b < +ос, и пусть указанное пересечение не пусто. Тогда существует точка (xi,yi), принадлежащая этому пересечению. Так как (xi,yi) е G и G открыто, то Эе > 0: Пг £ Д1, yi) С G. Кроме того, ЭМ = const > 0: _suP {1/(т,у)|} М. (1,!1)еПе,е(х1,р1) Положим min{£: jj} > 0 и рассмотрим открытый квадрат Пм(хьУ1)- Существует точка (т2,у2) G ГЬдкь У1), такая, что z2 € G ко,То + ъ) и у2 = До(т2). Поскольку X! = Х0+Л>, то х-2 G ко,-Т1)- Далее рассмотрим замкнутый прямоугольник Пб.е/гк21 У^- Если (т, у) € Пй.е/гкг, Уг), то к - .т2| 6 и \у - у2\ е/2, и поэтому |.-г - .ti | к - т21 - кг ‘ I < <>' - <5 г И 1.У - У1К |у - У2, т |уг - У1| < | + 5 £, г. е. (.г, у) G Пе Л;г;1, У1) С G. К замкнутому прямоугольнику Пд.£/2(х'2- у2) применима теорема Пеано существования решения уравнения у’ ~ f(x.y). согласно которой существует число щ > 0,
40 Глава I такое, что на отрезке \х2 - ао,£2 + ао] существует решение урав- нения у' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию ф(х2) = = у2 = </?о(^2)- При этом значение ад > 0 можно выбрать из условий {£ 1 ^;2ЛГ/’ где М' > 0, в свою очередь, выбрано так, чтобы _sup {1Жу)|} м’. (ж.зОеП^/г^г^г) Так как ГЬ.е/гЖУг) С ЩДтьУ1), то можно взять М' - М. Поэтому значение ао можно выбрать из условий Это означает, что решение ф определено на отрезке [тд — <5, х2 + <5]. Так как .tq х2 < х\ = то + b < х2 + <5, то [х2, Х2 + 5] А [то, То + Ь) = [х2, То + Ь) = [т2, Т1) по выбору х2. Таким образом, на полуинтервале [t2,ti) определе- ны обе функции <ро и ф, причем ^о(тд) = Ф(^2) = У2- Посколь- ку функция f локально удовлетворяет условию Липшица на G, то Ут е [т2,т0 + Ь) ^о(т) = ф(х). Заметим, что [Т2,Т2 + <5] и [то, То + Ь) = [то,Т2 + <5], причем Х2 + <5 > То + Ь. Поэтому можно положить _ Г ^о(т), те [то,то + 6); 1 I ф(х), X е [Т2,Т2 + <5]. Так определенная функция уц на отрезке [то,т2 + д] является решением уравнения у' = f(x,y), причем (^i(to) — ^о(то) = Уо- Так как т2 + 6 > tq — Ь, то это обстоятельство противоречит определению максимального интервала. Утверждение 1.10.1 доказано. 1.10.2. Замечание. Геометрический смысл доказанного ут- верждения состоит в следующем. Если некоторая точка прямой ,г то ' Ь содержится в G. то существует такая окрестность этой точки, которая не имеет общих точек с графиком полного решения ^0' определенного на максимальном интервале I(xQ.yo). Другими словами, если Ь < +ос. то интегральная кривая не может закон- читься (справа) во внутренней точке G. При х —> х<) - b слева точка (.т,!^о(т)) либо уходит в бесконечность, либо стремится к границе множества G. Аналогичное утверждение справедливо и в случае,
Дифференциальные уравнения первого порядка 41 когда х —> xq — Ь* справа и 6* < +оо. Резюмируя, можно сказать, что график полного решения до проходит в G «от границы до границы». 1.10.3. Пример. Пусть /(х,у) = —; G = R2\{(x,y) |х = 1}. 1 — х Тогда G открыто в R2 и функция f непрерывна и удовлетворяет условию Липшица на G, поскольку значение /(х, у) не зависит от у. Положим х0 = уо = 0, тогда (хо,уо) ё G. Имеем До(х) = - 1п(1 - х) (х < 1); <до(О) = 0. При таких условиях /(0,0) — (-оо, 1); b = 1; Ь* = +оо. Если же положить хо — 2; уо = 0, то <До(х) = — ln(x — 1) (х > 1); <До(2) = 0. В этом случае 1(2,0) = (1,+оо); b = +оо; Ь* — 1. В обоих случаях интегральная кривая при х —> 1 (слева и справа соответственно) уходит в бесконечность, поскольку lim (— 1п(1 — х)) = lim (— 1п(х — 1)) — +оо. х—>1— х—>1+ 1.11. Зависимость решения от начальных условий Теорема сравнения. Пусть Gt С R2 (г = 1,2) и(хо,уо) G (G^n П G2). Пусть, далее, функции /ид непрерывны соответственно на множествах G\ и G%, и пусть <р и -ф — решения на отрезке I = [хо — а, хо + Ь] (а > 0; b > 0) соответственно уравнений у' = f(x,y) и у' = д(х,у), удовлетворяю- щие начальным условиям <д(хо) = V’(xo) = Уо- Если, кроме того, на пересечении графиков функций tp и ф, т. е. на множестве {(х, у) I X е /; у = д(х) = -0(х)} всегда выполняется неравенство f(x, у) > д(х, у), то <р(х) ф(х) при х С хо; х е I и р(х) ф(х) при х х0; хе/. Доказательство. Пусть х € [xq,хо + 6]. Докажем утвержде- ние теоремы для этого случая (если х 6 [хо—а, хо], то доказательство проводится аналогично). Предположим, что это утверждение невер- но. тогда Р / 0. Здесь Р = {х е [х0,х0 +- Ь] I д(х) < (Дх)}. Обозначим Д = [хо,хо + 6] и Xi — inf Р, тогда Xi ё 1\- Если •ri — хо — Ь. то Р = {xi}. т. е. Vx е [х0,хо -Г Ь) ¥?(х) Цх). При х —> хо т Ь слева в пределе получаем, что Дх]) v(xi), и мы приходим к противоречию.
42 Глава I Если ад < xq + b то возможны три случая. 1. Пусть <p(xi) > ?Дад). Тогда 35 > 0: Vz € ((ад - 5,ад + 5) С Д) (<^(ж) > ?Дх)) => (х $ Р) => (ад inf Р), и мы пришли к противоречию. 2. Пусть <Дад) < Ф(х1). Тогда 35 > 0: Ух € ((ад - 5,ад + 5) П Д) (<р(х) < V’(ar)) => (х е Р). Так как <Дхо) = V’^o) = Уо, то (хо Р) => (xi > ад) (действительно, в противном случае получаем противоречие с неравенством <Дх1) < < ?/>(ад)). Значит, (xi - 5,ад + 5) П (х0, ад) Д 0, и поэтому Эх е Р: х < xi = inf Р, и мы опять пришли к противоречию. 3. Пусть у>(ад) = V’(ti) = У1- Тогда (ад,у1) е {(х,у) \хеР,у = <^(х) = '(Дт)}, и поэтому /(хд,у1) > g(xi,yi). Следовательно, (^ - = Д(Х1) - ^'(тД = /(ад, г/1) - Дад, ?д) > 0. Кроме того, (Т1,У1) = (xi,</>(xi)) е G1 И (т1,?/1) = (xi,V-’(xi)) е G2, так что функции / и д непрерывны в точке (xi,yi) € (Gi (~l G2). Поэтому производные ip1 и ф' непрерывны в точке хц Стало быть, 35 > 0: V£ е ((ад - 5,хх + 5) П Д) - V’)'(S) > о. Так как .гд < xq -+- b, то Ух £ ((ад,ад + 5) П Д) (<Р - ф)(х) = (^ - v)'(C)(t - Т1) > о, и поэтому х Р. Действительно, значение € (ад.х) с такими свойствами существует по теореме Лагранжа, и поскольку (д.г) С ((а?! - 5, ад ] 5) П Д), то (^ — > 0; кроме того, (р ~ у)ад - 0. Это противоречит равенству ад — inf Р. В итоге получаем, что Р = 0. Теорема срав- нения доказана. Лемма Гронуолла. Пусть функция р непрерывно дифферен- цируема на отрезке I и пусть Ух е I |Д(х) </<)Д.т)|+Д
Дифференциальные уравнения первого порядка 43 где К = const > 0 и L = const 0. Тогда Vx,xq € I |^(.г)| П(т0)) ехр(К\х - т0|) + ^(ехр(К|т - т0| - 1)- Л Доказательство. Если х = то то доказываемое неравенство обращается в равенство |^(жо)| = М^о)| Пусть х > т0, тогда ИМ - |^(т0)| 1ИП - Ижо)|| НН) - <Дж0)| = - Г ним !\кш+1^= М ххо хх0 " К I ЫС\^ + Цх-хо), JxQ так что ИН И^о)! + К [ И£)| d£, + L(x - т&). Ja?0 Умножим обе части последнего неравенства на ехр(—К(х — — .то)) > 0. Учитывая, что d [ гх — I ехр(-АГ(т - т0)) у = |^(я;)| ехр(—К(х - т0)) - Кехр(-К(х - то)) / И£)И полученное неравенство можно записать в виде ^ехр(—АГ(т — то)) у |МС)|^ < Ижо)1 ехр(-К(х - то)) + L(x - tq) ехр(-А?(т - ж0)). Интегрируя обе части этого неравенства от Xq до х, имеем / Г'/ w fX I Jr I 7 М1 ~ ехр(-2<(ж - То)) ехр(-А(.т-то)) / И£)Н ИМ--------------------тН-------4 Jxo Л -^(1 - ехр(—/<(.г - то)) - —(т - х0)ехр(—А"(х - х0)). Значит, Г < |д.го)Гхр(А(х\:хо))~1 Jx0 + У^(ехр(АГ(т - то)) - 1) - |)(т - то). i\z к Отсюда выводим, что р(т)| < |Дт0)| + к I ИИ)! М Ь(з; - ад) < ./.то
44 Глава I ф(.т0)|ехр(А'(х - ж0)) + ^(ехр(К(х - х0)) - 1)- Если х < хд то гхо гхо = \<p’(g)\d£ + L(x0-x). Jx Jx С учетом полученного неравенства дальнейшие рассуждения проводятся аналогично случаю, когда х > хо- Лемма Гронуолла доказана. Теорема о зависимости решения от начальных условий Пусть функция f непрерывна и удовлетворяет условию Липши- ца с константой К > 0 на открытом множестве G С R2, и пусть sup у)\} М < +оо. (z,y)6G Пусть, далее, у и у - непрерывно дифференцируемые на отрезке I функции, графики которых содержатся в G, и пусть \/х € I |<p'(z) - f(x,<p(x))\ SC £1 Ф'Ф) - ЖФ))1 5$ е2, где е, = const 0 (г = 1,2). Тогда Vx,a:i, х2 & I \-ф(х) - </?(т)| gl_^£2 (ехр(Афг - Z1[) - 1) + + (1?/2 - yi| + (M + e2)|t2 - xi|) ехр(АГ|х - a?ii). где г/i = д(т1) и j2 ^(x2). Доказательство. Положим а(т) = y<(x) — ip(x) (х е I), тогда функция а непрерывно дифференцируема на I и Vz е I \f(x, 0(.т) - /(х. 'Д(х))\ К[ф(х) - д(х)\ = I, так что К(.г)| = |0\.г)-ддж \i,'4x')-f^^(x))\ + \f(x, 0'Д))-/(т,д(;г))| +-|/(x,^(t))-/(x)| < ci д с2 А |а(т)|. Используя лемму Гронуолла (в которой следует положить L — Е1 Г с 2 и jjq =- -Т1), получаем неравенство |о(х) |о-(.т1)|ехр(АГ|.г - .гф) -г- (ехр(А"|.г - ,п|) - 1).
Дифференциальные уравнения первого порядка 45 При этом IHMI = IHM - HMI 1-001) - HMI + IHM - ^01)1 s? \У2 -yi\ + ГХ1 I IMHK х2 \У2 - У1 М + 1ЖНШМ |3/2 - У1| + (М + £2)\х2 -Х1|. Подставляя верхнюю оценку |а(М1 в предыдущее неравенство, получаем то неравенство, которое нужно было доказать. Теорема доказана. 1.11.1 . Следствие. Пусть при условиях теоремы о зависимос- ти решения от начальных условий £j = £2 = 0 (т. е. р и ф — решения на I уравнения у' = f(x,y), удовлетворяющие начальным условиям НМ = У1 и НМ = М- Тогда Ух,Х1,х2 ё I IHH - HHI (1У2 - Z/i| + М\х2 - X! |) ехр(К\х - ГС1|). 1.11.2 . Замечание. Если зафиксировать точку (ад,^) 6 G, то согласно следствию 1.11.1 lim sup{|HH ~HHI} = 0. (®2’V2)—xei Действительно, знр{ехр(К|т — М)} < +°°- Это означает, что ес- х^1 ли мало отличаются начальные значения (xi,yi) и (х2.у2), то мало отличаются и соответствующие решения дид (и притом равномер- но на /). 1.11.3 . Следствие. Пусть х^ = х2; у\ = у2 и £i = 0 (т. е. функ- ция является решением на I уравнения у' = f(x, у) с начальным условием <р(х\) = у\). Если при этом — решение на I уравнения у' - у(х,у) с начальным условием НМ = У1’ причем функция g непрерывна на G и sup Ш(х,у) — д(х,у)\} ^£2, (x.y)eG то Ух ё I ИН - HHI §(ехр(Л'|х - М) - !)• Доказательство. Достаточно заметить, что Ух ё I |И(Н - /(ж, HH)I 1Ж ^’(Н) - Ф(ХУ)\ £2- и далее использовать утверждение теоремы о зависимости решения от начальных условий. Смысл этого следствия состоит в следующем: если мы мало изменим правую часть дифференциального уравнения у' = f(x.y). то и интегральная кривая, проходящая через фиксированную точку
46 Глава I (ж1,У1) € G, изменится мало. Действительно, при условиях следст- вия 1.11.3 lim 8ир{|^(ж) - <^(ж)|} = 0. е2~>°+ х£1 1.12. Общее решение Пусть функция f непрерывна и локально удовлетворяет усло- вию Липшица на открытом множестве G С И2. Пусть, далее, Д, т?) G е G и Де, — соответствующий максимальный интервал. Рассмот- рим определенную на этом интервале интегральную кривую уравнения у' = f(x,y) для которой <^,Де) = Ц (такая кривая су- ществует и единственна). Положим = ^(х), где (е, ту) 6 G и х £ Де,ц). Областью определения функции ф яв- ляется множество В = {(я,£,т?) | (е,т?) е G; При этом BcR3. Назовем так определенную функцию ф общим решением уравнения у' = f(x,y). Эквивалентное определение фор- мулируется следующим образом. 1.12.1. Определение. Пусть В == {(хД,ц) | (е,ту) € G:x € 6 I(£,rf)}. Функция ф: В -> R называется общим решением диффе- ренциального уравнения у' = f(x, у), если V(£, 7/) € G {(.г, ф(х, £, ту)) | X е Де,ту)} с G-, ЖДв) = л и \/т е де, т?) = жже,»?))- 1.12.2. Утверждение. Если € G и х е Де, в) (т.е. (х.^.тф € В), то (х.ч/7(т,е.т?)) 6 G и е € Дт.ф(х,£,1))) (т.е. (£,х. tp(x, £,1]')') е В), причем ф(£,х.ф(х.1фг]У) — ?/. При этом Д.г,ДДД) = Де. ту). Доказательство. Так как ~ р^фх). то Vz € (,т. ф(х,^ 7?)) = (.Г.^.ДД) е G, поскольку интегральная кривая v содержится в G. Вторая часть утверждения следует из соответствующего свойства максимального интервала (см. формулировку этого свойства перед утверждением 1.10.1).
Дифференциальные уравнения первого порядка 47 Теорема об области определения общего решения Пусть функция f непрерывна и локально удовлетворяет усло- вию Липшица на открытом множестве G С R2. Тогда область опре- деления общего решения дифференциального уравнения у' = f(x, у) открыта в R3. Доказательство. Пусть (жо,Со,%) G В, т.е. (Со,%) Е G и хо € /(Со,%)- При 6 > 0 положим Ш*о, Со, %) = {(ж,С,??) е R3 I |ж-ж0| < 6; |С - Со| < 5;\Г)-Г)о\ < <$} Тогда множество Пг^о, Со, ??о) открыто в R3 (это открытый куб со сторонами, параллельными осям координат). Аналогично опреде- лим окрестность Ug(xo) = (xq — 5, xq + 6). Из этих определений следует, что ПбС^о,Со,»7о) = U5(x0) X ГЬд(Со,%). Достаточно доказать, что 35 > 0: 1Ъ(жо,Со,т?о) С В. Поскольку G открыто в R2 и (Со, ^Уо) £ G, то 35 > 0: Пад(Со,%) С G. Таким образом, достаточно доказать, что 35 > 0: V(C, ??) G е Пм(Со,%) Us(x0) с 1(1Пп) (т. е. V.r е и$(хо) х е /(С, ??))• Допустим, что xq Со (если tq > Со, то доказательство проводится аналогично). Поскольку xq € I (Со, %) и /(Со-%) — некоторый интервал, то За > 0: la = [а^0 - О, Со Т а] С /(Со, По)- Пусть V.r е 7(СоА/о) До(а’) = ^’(ж,Со,%), тогда до — интегральная кривая, проходящая через точку (Со,??о)- Множество А — {('г.у') [ х Е Ia\y = до(.г)} является образом ком- пакта Ia при непрерывном отображении х -Е- (х. До (.г)) и поэтому компактно. Кроме того, по определению решения до А С G. Если z ~ (ус. у) Е А. то z Е G. и поэтому существует окрестность U(z~) такая, что U(z) С G (черта сверху означает замыкание). Семейство окрестностей {(7(с) | z Е А} образует открытое покрытие А. Так как множество А компактно, то для этого открытого покрытия сущест- вует конечное подпокрытие {и(гг) \ i = 1,... ,n} (n Е N). Положим G* = (J [/(г,), тогда А С G* С G и G* — открытое в R2 мно-
48 Глава I жество. Это множество, очевидно, ограничено в 1R2. Кроме того, G* = Q U&). 7=1 ___ Множество G* замкнуто и ограничено в R2 и поэтому компакт- но, причем G* с G. Итак, А С G* С G* С G и G* — компакт. Со- гласно утверждению 1.9.5 функция f удовлетворяет условию Лип- шица на G*, и поэтому / удовлетворяет условию Липшица на G*. Пусть К > 0 — константа Липшица для функции f на G*. Посколь- ку f непрерывна на компакте G*. то sup__{|/(2:,y)|} < +оо, (x,y)EG* где М = const > 0. Выберем число /3 > О так, чтобы ^(Со/^о) С G* (это можно сделать, так как (Со, %) € А и А С G*, так что (Со,»7о) € G* и G* открыто; условие (Со, Ро) € А следует из того, что Со £ 1а (поскольку жо Со), и равенства у0 = +о(Со))- Пусть О < о + mm < —; ——; а ( 3 зм и пусть (С,??) е ГЬ.ДСо,%)• Рассмотрим замкнутый прямоугольник Пг<5'2/з/з(С, г1\ Имеем Пб.^Со, %) G Пгд’;2/3/з(£> ’?) С П/3,/з(Со, %) с G . Действительно, если |т — Со| S и \у — т/о| d, то 1^-СК |ж-Со! + 1Со-С1 <2(5 и 2 \у - \У - г1о\ + 1% - р| < 2d -/3. О Если же |.т — С| 2d и ]у — т/| + |/3, то I-T - Col < - Cl + IC - Col 2d + d = 3d < в и 2 \у - %| < \у - Ф + |'Р - Цо| 7^3 -t d < /3. К замкнутому прямоугольнику Пгд'2,Ч/з(С-z/) применима теоре- ма Пеано существования решения уравнения у' - f(x. y). поскольку функция f непрерывна на этом прямоугольнике и, кроме того, _sup {\f(x,y)\} М. (•1’о/)бП2Л;2^/з(6'/)
Дифференциальные уравнения первого порядка 49 Учитывая, что 26 можно сделать вывод о том, что интеграль- ная кривая уравнения у' = f(x,y), проходящая через точку (фту), определена по крайней мере на отрезке [£ — 26,^ + 26] = СЫО (т.е. two с ж, т?)). Согласно выбору точки (£, т}) 6 ГЬДСо, 77о) [€о - 6, ео + 6] = щсо) с = [е - 26, <+26]. Значит, Ug(£o) С Ж>т?) (т.е. интегральная кривая у> определена по крайней мере на отрезке [£о - <5, £о + <5]). График ее сужения на этот отрезок содержится в замкнутом прямоугольнике П2<5-2^/з(^’??) (как следует из теоремы Пеано), а поэтому и в G*. Покажем, что при некотором дополнительном условии на выбор числа 6 > О 1=[х0-Ц0+6]с1(^ (согласно введенным выше обозначениям I — Ig) и что график су- жения функции у на этот отрезок содержится в G*. Отсюда будет следовать, что с учетом неравенства хо Us(xo) = (х0 - 6,х0 + 6) С [.То - 6, х0 + <5] С I = = [жо - 6,^0 + <5] С Ж,7?)- а это и требуется доказать. Так как А Г": (R2 \ G*) = 0; А — компакт и множество R2 \ G* замкнуто в R2 (как дополнение к открытому в R2 множеству G*) и непусто, то p(A;R2\G*) = inf {p2(z,u)}>0 гёА; ue(R2\G‘) (такое утверждение обычно доказывается в курсе математического анализа: здесь р2 — евклидова метрика в R2). Пусть 0 < £ < р(А; R2 \ G*). Положим N = (1 4- ЛГ) sup {ехр(7Г|т — £0|)} и выбранное ранее число 6 > 0 подчиним еще условию 6 < e/N. Из наших предположений следует, что £о ё I и £ 6 I С Ia- Пусть I — такой промежуток, что I С I; £о ё Г, £ € I, причем на I определе- ны обе интегральные кривые <ро и графики сужений которых на I содержатся в G* (ниже мы покажем, что такой промежуток су- ществует). Согласно теореме о зависимости решения от начальных условий (частный случай, когда £i = е2 = 0) имеем Vt € I 1^0(4) - Ж)1 < Ф/ - '/о! + М\£, - £о|) ехр(К|т - Я) д <5(1 -+- ЛГ) supexp(l<|</ — £0|) &N < - уе! Если рассматривать дифференциальное уравнение у’ = f*(x,y) в предположении, что /* -- сужение f на G*, и обозначить /*(фг/)
50 Глава I максимальный интервал, на котором определена интегральная кри- вая этого уравнения, проходящая через точку (С, ’У)» 10 как уста- новлено ранее, ЁШо) с СЫ£) с Г(£М Таким образом, Со G /*(С> ??), и поэтому Со 6 (I СР (С, т]), причем I С Ia- Значит, в качестве I можно взять промежуток I = 1Г\Г(£, rf). Равенство 1 = 1 означает, что I С /*(С,77), а так как г(^л)слел), то именно это и требуется доказать. Допустим, что I I. Так как 1*(С, ц) — некоторый интервал, то из включения [ео-5,ео + <5]сг(е,7/) следует, что промежуток I должен иметь вид / = /ПГ(С,ц) = (п,Со + <5], где a = inf /*(С,т?). При этом xty - - 6 a. Пусть {тп} — монотонно убывающая последовательность точек промежутка I, такая, что lim хп = а. п—юо Тогда каждая из точек (хп, <р(хп)), п = 1,2,..., принадлежит гра- фику сужения функции р на интервал /*(£, т]) и согласно утверж- дению 1.10.1 последовательность {(хп,<^(а:п))} не имеет частичных пределов, принадлежащих G*, поскольку а xq — 6 > —ос. Так как замыкание G* компактно и (хп, р{хп)) G G* С G*. п = 1,2,..., то су- ществует подпоследовательность {(хПк, ¥>(xnfc))} последовательнос- ти {(жп,у?(а;п))}, такая, что при к —> оо (,rnk, ^(zn,)) и0 е SG* = G*\ G* (здесь dG* — граница множества G*). При этом (хПк,<ро(хПкУ) € А, к = 1,2..., поскольку I = |.то - 6, £0 + 6] с 1а = [х0 - а, Со + а] в силу условия 6 а, и поэтому I С I С 1а- Кроме того, при к —> ос (хПк.р0(хПкУ) -> (а,ро(а)) & А, так как а € I С 1а- Следовательно. 0 < /?(A;R2 \ G*) $ р2((а^0(а));и0) - Jim 5 9^0 )) •> (з-’пд.' ))) “ Jim |^о ) I К—>ОС К—>ос что противоречит неравенству е < p(A:R2 \ G*). Таким образом, наше допущение неверно, т. е. I = I. Это означает, что I С I* (С- г/) С с Ж7/)- Теорема доказана.
Дифференциальные уравнения первого порядка 51 Теорема о непрерывности общего решения Пусть функция f непрерывна и локально удовлетворяет усло- вию Липшица на открытом множестве G С R2. Тогда общее реше- ние дифференциального уравнения у' = f (ху у ) непрерывно в своей области определения. Доказательство. Пусть (хо,£о,т]о) £ В, где В - область определения общего решения ф уравнения у' = f(x,y). Используя обозначения, введенные при доказательстве предыдущей теоремы, выберем 7 € (0, <5] так, чтобы Vx е СД(я:о) \Ф(х,^0,Цо) - ^(^оДо,%)| <£• Это возможно, так как функция <до, для которой <ро(х) = ф(х,&,ро), х G 1(£0,Цо), непрерывна в точке xq € 7(£о,Цо)- Пусть (х,фц) е П7(х0) х П7.#о,Цо)- Тогда \Ф(х,£,Г]) - ^(хо,ф,%)| < Ф \ф(х, фц) -^(х,ф,ц0)| + Ж^фьЦо) - #Wo,??o)| Ф Ф |Ыя) - +е, где 0 < е < р{А-, R2 \ G*) (см. упомянутое доказательство). Из усло- вий х € П7(х0); С € ^(Со); Л £ СДцо) следует, что х е £Д(хо) cl, £ е £Д(£о); £ СДт?о)- Согласно доказанному выше (см. там же) |у>о(ж) — <Дх)| < £, так что И^-Фт?) - ^(то,Со,Цо)| < 2е, если (х.фц) & Д(х0) х П7.-До-Цо) и 0 < £ < \ G*)- Это означает, что функция ф непрерывна в любой точке (хо,£о,Цо) £ В и поэтому непрерывна на В. Теорема доказана. 1.12.3. Утверждение. При условиях предыдущей теоремы общее решение дифференциального уравнения у' = f(x, у) непре- рывно дифференцируемо по х в своей области определения. Доказательство. Если (фц) 6 G и х € /(фц) (т.е. (а:Д.ц) € В. где В — область определения общего решения w уравнения у1 = f(x, у)) то согласно определению 1.12.1 |^Д.ф'ц) = /(х,у(х.£.г)У). о:г
52 Глава I Поскольку функция ф непрерывна на В и f непрерывна на G, то функция непрерывна на В как композиция непрерывных функ- ций. Это доказывает утверждение 1.12.3. Теорема о дифференцируемости общего решения Пусть G открыто в R2 и функция f непрерывна и непрерыв- но дифференцируема по у на G. Тогда общее решение Дифферен- циального уравнения у' = /(т, у) непрерывно дифференцируемо по переменным С и ц (т.е. по начальным условиям) в своей области определения. Доказательство. Согласно утверждению 1.9.2 функция f локально удовлетворяет условию Липшица на G. Пусть (хо, Со, Ло) & е В, и пусть /0 — конечный интервал, такой, что xq е ly, Со € 1о и /0 С /(Со, %) (этот интервал существует, так как х'о G Z(Co,r/o) и Со е /(Со,%))• Тогда 7о X {Со} х {%} С В}, и поэтому в силу компактности множества /о х {Со} х {%} Зе > 0: То х {Со} х ТЦтуо) С В}. Действительно, в противном случае г(/о х {Со} х {т?о}; R3 \ В) = О и множество R3 \ В замкнуто. Но тогда (То X {Со} X {770}) п (R3 \В)ф0, и мы приходим к противоречию. Поэтому Vr; G ПД770} (Со,1?) 6 G и /о С /(Со, г]), так что значение ^(TjCo,7?) определено, если х G /о- Рассмотрим множество {(.г, ф(х, Со, %)) 1 х 6 /о}. Это множест- во является подмножеством G и компактно, так как оно замкнуто и ограничено. Значит, 3<5 > 0: {(х,у) | х е Т0;^(х,Со,»7о) - 6 у С ^(х,Со,%) + <5} С G (существование такого значения 6 > 0 следует из рассуждений, ана- логичных проведенным выше). Уменьшая, если требуется, выбран- ное ранее число s > 0. можно добиться того, чтобы Vr; е UE{7/0} sup{|0(.'r,Co. %) - 0(.т,Со,г/)|} S. •r€f0 Действительно, поскольку Io х {Со} х СТе{?7о} С В и это мно- жество компактно, то непрерывная функция ф (ф — общее решение уравнения у' - f(x,y)) равномерно непрерывна на нем. При вы- бранном значении е > 0 имеем V.r е То V77 G } (.г, 0) е G, если точка (> лежит между ф(х. Со, По) и ф(х, Со, Н) (при этом при у 7 По е’(х,Со-'7о) у- V>(.r. Со,'/))• Таким образом, к функции д(у) =
Дифференциальные уравнения первого порядка 53 = /(т, у) (х е 70; х фиксировано) на отрезке с концами в точках ф(х, До. ’г/о) и -ф(х,£о,п) при и ??о применима теорема Лагранжа, согласно которой Vx е Iq Vt? € Йе(?7о) f(x,i{>(x,£0,r))) - = = (0(^,Сол) -0(т,СоЛо))|^(ж,6фс,Сол)), где 0(х,СоЛ) — подходящая точка, лежащая между 0(х,СоЛ) и ф(х, Со, По)- Положим дополнительно 0(х, СоЛо) = 0(;с,СоЛ())- и пусть Vs е /0 V?] е Ue(r)0) >П) = |^,#(я,Сол))- Покажем, что функция h непрерывна на множестве 1о х Пе(%). Поскольку при х & 1о и г) т]о ф>(х, Со л) / "Ф(х, Со, По) (по теореме о единственности решения, удовлетворяющего заданному начальному условию), то функция ,, . \ = - Ях,№,€о,Г}оУ) Х' 11 Ф(х, Со Л) “ 0(я, Со, По) Непрерывна в любой точке (х,т)), такой, что х € Iq; П € Не(%)- Непрерывность функции h в любой точке вида (х, г/()). где х 6 I&, сле- дует из равенства h(x,n) = §^(х,0(х,£о,пУ) и непрерывности функ- ций и 0(х, Со, п) (последней — в точке (ж, %)); эта непрерывность следует из равенства <9(s,Co,%) = ф{х,£,о,По) и того факта, что зна- чение 0(х,Сол) заключено между 0(s, СоЛо) и ф(х,Сол), причем lira 0(i, Соло) = Jim 0(t, Со, п) = Ф(х, Со, По)- t-^X t~>Z Полагая ф)х,п) = 0(х,Сол) — 0(ж,СоЛо), имеем: Vs € Iq Vt/ € е и£ф]0) д(^/ А с A dV ( с А = /(т, 0(х,Со, ц)) - /(-т. 0(а-.СоЛо)) == /1(х,7/)ф(х,7/). Следовательно, функция <р является решением линейного диф- ференциального уравнения у’ = h(x.у)у. причем р(Со- >1) = V(Со, Со' Г]) - ИСо, Со - По) = П - По- Поэтому (см. пример 1.5.7) о(.г.//) 0(х\Сол) - <Х-г.Со-По) - (П - Vo)exp [ / h(t,y)dt\. \Jio J
54 Глава I Стало быть, ^(10,{»,»)= lim &»,) = Or] >П0 Г] - Т]о ( [х° \ ( Г° df \ = ехр / h(t,f]0)dt = exp / — (i, V>(£,£0,770))dt >0, \J(o J \Ло dy . / причем последнее выражение является непрерывной функцией точ- ки (яо.Со^о) С В. Далее положим: <7о(Сл) = ^(С^о,??)- где (^, г?) лежит в некоторой окрестности точки (£0, ^(^о, Со, %))• При соответ- ствующих значениях С положим Ло(С) ~ V’^O, С, %)• Если (з:,£,ц) € е В, то ф(£,х,'ф(х,£,'Т]')') = т], и поэтому 9o(£,ho(£)) = <?о(С, ^о,С,??о)) = Ж хо, ф(х0, С, %)) = % Таким образом, если г/ = /го (С), то ПРИ всех значениях С, лежа- щих в некоторой окрестности точки £0, до(£,г)) — Во = 0. Функция до удовлетворяет условию Эдо 1С , &ф . п гф«-’')= аД-1°’’’)>0 в некоторой окрестности точки (£0, %) По теореме о неявной функ- ции отсюда следует, что функция ho непрерывно дифференцируема по переменной С в некоторой окрестности точки £о и дф ^г(Со,МСо)) МСо) = дНжСо,%) = ----------= ^(Со,МСо)) dip ^(Со,^о, ^(жо,Со,%)) |^(Со,Жо,^(х0До,%)) причем последнее выражение является непрерывной функцией точ- ки (хо,Со,%) € В. Значит, -^(^о-СоЛ/о) =-/(Со-7?о)ехр I / -^(Лг'’(С.т0, v(.ro.Co,/7o)))dZ I , °? V?o dy / и последнее выражение - непрерывная функция точки (д'оДо/^о) € £ В. В итоге получаем, что частные производные и сущест- вуют и непрерывны всюду в области определения общего решения ф уравнения у' ~ f(x,y). Теорема доказана. 1.12.4. Следствие. При условиях теоремы о дифференциру- емости общего решения это решение является непрерывно диффе- ренцируемой функцией в своей области определения.
Дифференциальные уравнения первого порядка 55 1.12.5. Пример (линейное уравнение первого порядка). Рас- смотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение пер- вого порядка (см. пример 1.5.7). Будем предполагать, что функции р и q непрерывны на некотором интервале I. Если f(x, у) = p(x)y+q(x) (х е I; у е R), то функция f непрерывна на открытом в R2 множест- ве G — I х R. При этом V(t, у) е G ^(х, у) = р(х), так что функция непрерывна на G. Используя полученные выше результаты, мож- но утверждать, что через каждую точку (£, ту) G G проходит ровно одна интегральная кривая ф(х, £, ту), а именно: / Г* g(f) \ 'Ф(х, ту) = ^0 (ж) ^ту + dtj , где х & Г, <po(z) = exp p(t) dt^ — решение уравнения у' = р(х)у на интервале I (эти формулы со- впадают с выведенными в примере 1.5.7, если положить I = (а, 6); Хо = £; уо = ту). Функция Ч^.гфх) = т/>(т,£,ту) Для каждой фиксированной точки (£, ту) е G является решением уравнения у' = р(х)у + q(x) на всем интервале 7, так что 7(£,ту) = I. Поэтому при таких условиях об- ласть определения общего решения ф — это множество В = I х G = = I х I х R. В этой области функция ф имеет непрерывные частные производные по всем переменным. В частности, если Фх е I q(x) = 0, то функция ф(х,!ф ту) = туехр p(t) dt^ будет общим решением линейного однородного дифференциального уравнения у' = р(х)у. 1.12.6. Пример. Пусть f(x,y) = |у| и G = R2. Тогда функция / удовлетворяет условию Липшица на G, поскольку Фх, yi, у2 € R |/(-Г,У1) - f(x.y2)\ -- \\yi\ - Ы1 Ь ~У2\- Кроме того, функция f непрерывна на G и В = R х G = R3. Если (т, £. ту) е В. то Ффс^у) = туexp((sgnту)(.т - <)) — общее решение, уравнения у' = |у|. Если (х,у) 6 G и у ф 0. то — (х.у) = sgny, ду гак что функция непрерывна на множестве G \ {(.г. 0) | х е R} -- {(.т. у) I х G R: у е R: у ф 0}
56 Глава I (это множество открыто в R2). Соответственно, функция ф непре- рывно дифференцируема по г? всюду на В = R3, за исключением точек вида (х, С, 0), х е R; £ ё R; х £. 1,13. Первообразная дифференциального уравнения Пусть множество G открыто в R2; f: G -» R — функция, непре- рывная и локально удовлетворяющая условию Липшица на G. 1.13.1. Определение. Семейство {Ма | a G Л} подмножеств R2 называется локально конечным, если Vz G R2 существует окрест- ность (7(z), такая, что множество {о € А | (Man(7(z)) / 0} конечно. 1.13.2. Определение. Функция F, непрерывная на G, назы- вается первообразной дифференциального уравнения у' = f(x,y), если Vc е R множество {(ж, у) Е G | F(x, у) = с} является объеди- нением локально конечного семейства интегральных кривых этого уравнения. 1.13.3. Замечание. Множество (т,у) Е G | F(x,y) = с} назы- вается линией уровня функции F. Условие локальной конечности в определении 1.13.2 существенно. Действительно, так как через каж- дую точку множества G проходит ровно одна интегральная кривая, то функция F ~ 0 обладает тем свойством, что G = {(х, у) G G | F(x, у) = 0} является объединением семейства интегральных кри- вых (которое не является локально конечным). Пусть F — первообразная уравнения у' = f(x,y), и пусть у) — решение этого уравнения с начальным условием <Да?о) = Уо((^о, Уо) G € G). Тогда линия уровня {(х,у) е G I F(x,y) = F(xo,yo)} содержит точку (хо,уо), а потому и график некоторого решения ф, для которого ф(хо) = уо- В силу теоремы единственности = ф. Таким образом, зная одну из таких первообразных F уравнения у' = f(x,y), можно получить все решения этого уравнения, если разрешить уравнение F(x, у} - с (с = const 6 R) относительно у. 1.13.4. Утверждение. Пусть функция f непрерывна и ло- кально удовлетворяет условию Липшица на открытом множестве G С R2. Тогда дифференциальное уравнение у' — f(x.y) локально всегда имеет первообразную (т.е. \/(.То,Уо) € G существует окрест- ность U(.го. уо) С G и функция F: U(xq. Уо) В, являющаяся перво- образной уравнения у1 = f*(x,y). в котором f* — сужение функции f на U(x0,yo))-
Дифференциальные уравнения первого порядка 57 Доказательство. В обозначениях предыдущего раздела по- ложим U(xo,yo) = {Д,у) е G | (х0,х,у) G В}. Тогда (х0,у0) е g и(хо,Уо) С G и множество U(xo,yo) открыто в R2, так как мно- жество В с R3 открыто. Если (х, у) G U(xo,yo), то положим F(x,y) = •ф{хо,х,у'), где t[> — общее решение уравнения у' = f(x,y). Покажем, что именно линии уровня функции F (если они не пусты), и только они, являются интегральными кривыми уравнения у' = Множество С7(то, уо) состоит из всех таких точек (х, у) е G, что проходящая через точку (х, у) интегральная кривая этого уравнения определена в точке хо- Если р — какое-либо решение уравнения у1 = f*(x,y), удовлетворяющее условию ф(хо) = у\ € R (при этом До,У1) £ G), то по теореме единственности <р(х) = ip(x,xo,yi) при всех соответствующих значения х. Поэтому У1 = ^До,х,-0(х,хо,У1)) = ф(х0,х,<р(х')) = F(x, <р(х)) при всех таких х, т. е. значение функции F на графике решения р является константой. Обратно, если (£,??) е {(х,у) ё U(xo,yo) I Е(х,у) = У1}, то 0(хо,фт?) — У1- По теореме единственности точка (£,??) лежит на графике проходящего через точку (хщУ1) решения ip(x,xo,yi) урав- нения у' — f*(x,y). Поэтому равенство F(x,y) = yi справедливо тогда и только тогда, когда точка (х, у) лежит на графике этого решения. Утверждение 1.13.4 доказано. 1.13.5. Замечание. Метод разделения переменных, изложен- ный в разд. 1.7, фактически дает первообразную дифференциаль- ного уравнения у1 = , а именно: F(x,y) = Гг(у) - -Fi(x) (в обозначениях этого раздела). 1.14. Аналитические решения. Уравнение Бесселя Если функция f в окрестности точки (хо,Уо) разлагается в сте- пенной ряд (по степеням переменных х — Хд и у — уф). то мож- но предположить, что и решение р дифференциального уравнения у' = f(x,y) с начальным условием Дхо) = уо разложимо в неко- торой окрестности точки xq в степенной ряд (по степеням х — хо). Точная формулировка этого предположения содержится в следую- щей теореме.
58 Г л а в a I Теорема существования аналитического решения уравнения у' = /(ж, у) Пусть функция f разлагается в степенной рядв замкнутом пря- моугольнике п = По,ь(ж°’ и пусть v(z’y) е п оо f(x,y) = amn(x - Ж0)т(У - Уо)"- m,n=0 Пусть, далее, число М > 0 удовлетворяет условию оо . 22 \amn\ambn^M. m,n=0 Если 0 < ао < min{a; b/М}, то на отрезке I = [жо - ао, жо + «о] существует единственное решение <р уравнения у' = f(x,y), удов- летворяющее условию <^(жо) = уо- Это решение разлагается на I в степенной ряд (по степеням х — жо). _ Доказательство. Если (ж, у) е П> то ОО оо \f(x,y)\^ £ |атп||ж-жоПу-уо|"^ Е \amn\ambn М < +оо т.п— 0 m,n=0 Следовательно, степенной ряд ОО 22 атп(х ~ Хо)т(у - Уо)П т,п~0 равномерно сходится на f] по признаку Вейрштрасса, так что функ- ция f непрерывна на f]. При любом фиксированном значении ж е е [жо — ао,хо + ао] функция f дифференцируема по у на П любое число раз, и все полученные частные производные непрерывны на JJ. В частности, функция непрерывна (и поэтому ограничена) на [] Значит, f удовлетворяет условию Липшица на f]. Таким об- разом, если 0 < ao < min{a;6/7lf}, то на отрезке [жо — ао,Жо + ао] существует единственное решение р уравнения у' = f(x, у) удовлет- воряющее начальному условию >у?(жо) = Уо- Для упрощения записи положим Жо = уо = 0 (общий случай сводится к этому с помощью линейной замены переменных). Допус- тим. что V.T € I к—О Кроме того, предположим, что 22 loJa-о < ь- к -О
Дифференциальные уравнения первого порядка 59 Тогда этот ряд будет сходиться абсолютно на отрезке I, так что Vx е I Уп е ]N Их))” = 52 Cfci' ’ ’ cknxkl+-+kn = .ykn,=0 S'=0 k j ~K-• + fcn — s s=0 \ Aj- A'tz^O / Положим = 1; =0, s — 1,2,..., тогда Ух € I (9g(.r))” = 52^n^xs, n = 0,l,.... s=0 Здесь 4п) = $2 ckl---ckn. k-y-}-...-rkn — s fcj !- -,kn >0 fn) Если k > s, то Уп e No коэффициент ck в выражение для d) не Зходит. Кроме того, если п > s, то d^ = 0, поскольку cq = 97(0) = = 97(2:0) = уо = 0. Пусть справедливо неравенство 52 Wao ь- к=0 Тогда Ух G I lv(x) I «г 52 Ы И £ \ск И ь, fc=0 А:=0 и поэтому (х, 9?(х)) 6 И- Далее, Ух Е I f(x.<p(x)) 52 amnXm(9?(x))” = т.п=0 = 52 amnxm 524")a;S = 52-т/г 52 52 атИ(,п) ГП.Т1--0 3=0 к=0 т-^-з—к п=0 т,з^0 (мы учитываем, что = 0 при п > s'). Изменение порядка сумми- рования оправдано тем. что степенные ряды, в которые разлагаются функции / и ^7, сходятся абсолютно. Далее. Ух € I Д(.т) = 1)q+1.?' к-0
60 Глава I (это верно и для концов отрезка, поскольку 0 < ао < min{a;6/M}. Таким образом, если указанное неравенство справедливо, то система уравнений ' ОС <^(х) = Скхк (хе/); < fc=0 <р'(х) =/(х,<д(х)) (хе/); , ^(0) = о равносильна системе уравнений </?(х) = cfcxfc (хе/); к=0 < Со = 0; Cfc+1 = г4т 52 'Патп<^\ А; = 0,1,.... к +1 ЛХь » т,5^0 Поскольку в выражение для входят лишь коэффициенты ср при р s, а из условий т + s = к (т, s 0) следует, что s С к, то в выражение для Cfe+t входят лишь числа атп при 0 С т С к и 0 п к и коэффициенты ср при 0 р к. Учитывая равенство со = 0, можно утверждать, что все коэффи- циенты Q. определяются однозначно по выписанным рекуррентным соотношениям. Пусть Атп = |amn|, пг,?г = 0,1,..., тогда £ АтпатЬп^М. т,п=0 Положим Cq = 0 и определим коэффициенты Cfc так же, как и q., но с заменой атп на Атп. При таких условиях аналогично определим коэффициенты . Исходя из приведенных рекуррентных соотношений и используя метод индукции по к & N, нетрудно показать, что выражение для Ck является суммой произведений коэффициентов атп, к = 1,2.... (при этом Ci = aoad^ — aoo), а выражение для Сд- — соответству- ющей суммой произведений коэффициентов Атп (с некоторыми по- ложительными постоянными коэффициентами). Поэтому |q| Sj Ct, к = 0.1,..., и \dg1^| С Dgn\ s.n = 0.1,.... Положим Vx е / <^r(x) = ^2Cfcxfc, г -0,1,. к' ---О
Дифференциальные уравнения первого порядка 61 тогда фо(х) = Со = 0 (х е I). Покажем, что Vx € [0, cto] г— 1 Е АтпХт(фг-1(х))П ф'г(х), Г = 1,2,.... т.п—О При г = 1 это неравенство, очевидно, справедливо. Пусть г 2, тогда г-1 52 Атпхт(фг^(хУ)п т,п—0 / \ Е ckl---ckn О С к ,..., kn г — 1 \ fcj-b... + kn—s / (при n = 0 s = 0 и выражение в скобках в правой части последнего равенства считается равным 1). При г — 1 > s D<n) = Е Ск1---Скп. О^к^,...,кп^г-1 k|+... + fcn=s Поэтому, отбрасывая некоторые неотрицательные слагаемые, полу- чаем неравенство г—1 г—1 г—1 Е Amnxm(0r_1(x))n Е Amnxm^D^xs = m,n=0 m,n=0 s=0 2(r-l) s к=0 т-Уз=К п~0 0^т,з^г-1 г—1 s г—1 ^Е^ Е ^AmnD(sn> = ^хк(к^1)ск+1 = ф'г(Х) к--0 m-\-s=K п—0 к-0 т. s > О (при этом мы учитываем, что ЕМ -- 0 при n > s: в частности. D(on} = 0 при n > 1). Покажем теперь, что Vx 6 [О.ао] Фг(х) г = 1-2..........При г -- 1 <Э1 (т) = С^х - Аоох < Аооао — |аоо|ао |/(0,0)|«о С jVao < Ъ. Если г 2 и фг-1 (х) < b при х ё [0. ао] - то при таких значениях х <м.т) - Г/ I Е мпмоп) с/м •/° '° \m.n-0 /
62 Глава I Г f Amnambn j < = х Amnambn a0M < b. J® \m,n—Q / m,n=O Далее имеем 52с^ = <м«0)^52ы4 r = i,2,.... k=0 fe=O Так как фг(ао) b, то 52 |cfel«o Г = 1,2,. k=0 Стало быть, ряд £|cfc|ao k=0 сходится и его сумма не превосходит Ь. Значит, выписанное выше неравенство справедливо, и теорема доказана. 1.14.1. Пример. Рассмотрим уравнение у' = а?-i у2. Это урав- нение Риккати (см. разд. 1.8). По теореме Лиувилля (см. там же) оно не допускает решения в явном виде (т. е. с помощью элементарных функций). Имеем f(x,y) = х + у2. Полагая .го - //о 0, имеем Па.Ь^О^о) = Па,б(0, 0). При этом Ух, у е R /(с>у)= 52 атпХтуП, т.п=0 где «ю = «02 = 1 и все остальные коэффициенты атп равны нулю. Значит, числа а > 0 и b > 0 можно выбрать произвольно. Если (ж, у) 6 Па £>(0,0), то |х| < а; \у\ 4 Ь, так что \f(x,y)\ < |.r| У у2 ^а + Ъ2. Положим Л/ - а 4 Ь2 > 0. Тогда . Г b ) f b ) mm < а,; — > — пип < а;---х > . ( М J ( а - b2 j Выберем а > 0 и b > 0 так, чтобы этот минимум был самым большим. Для этого необходимо, чтобы а - -~7- Методами дифференциального исчисления отсюда выводим, что a - 1/ vH: b - 1 / \/2. Таким образом, если 0 < «о < 1 / то на отрезке [—«о, «о] существует единственное решение 4 уравнения у' - х + у2 такое, что ^(0) - 0 и Ух е [-«о, «о] (а поэтому и
Дифференциальные уравнения первого порядка 63 Ух е (-1/^4,1/^1)) <р(.т) = У ckxk fc=l (при ЭТОМ Со = 99(0) = 0). Пусть 7? — радиус сходимости степенного ряда ОО f,ckxk, fc=l тогда В. 1/Х Система реккурентных соотношений для опреде- ления коэффициентов ск имеет вид: 1 1 У ( Со = С1 = 0; с2 =-; ck+i = —— У" cick-i, к = 2,3,.... 2 к + 1 Из этой системы, в частности, следует, что ск 0, к = 0,1,.... Покажем, что ск < 1. к = 0,1,.... Эти неравенства выполняются при к = 0,1,2. Если с/ < 1 при 0 У I к, где к 2, то . к-1 Ck+i к + 1 ’ Значит, согласно формуле Коши-Адамара В итоге получаем, что Уж € ( — 1,1) 00 т5 ф(х) ^^ = - + - + к=2 где коэффициенты ск, к = 2,3,..., определяются по выписанным выше реккурентным соотношениям Уравнение Бесселя Рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя, имеющее вид х'2у" - ху' - (а?2 -п^у = О (здесь п — const е No). Если х -/= 0. то это уравнение можно представить как диффе- ренциальное уравнение второго порядка, разрешённое относительно старшей производной (в физике такое уравнение описывает радиаль- ную компоненту собственных колебаний круглой мембраны). Далее
64 Глава I будет показано, что существует аналитическое решение этого урав- нения, отличное от тождественного нуля и разложимое во всюду сходящийся степенной ряд (по степеням х). Если у = у>(х) = ^2 1/=0 — решение уравнения Бесселя в интервале сходимости этого степен- ного ряда, то ОО оо оо оо и(у - l)avx" + У2 vavXv ~ п2 У" аихи + = 0. i/=o р=0 г*—0 р=2 Верно и обратное утверждение. Вычисляя коэффициенты при одинаковых степенях х, выводим, что а0 = ... = а„_х = 0 (при п = 0 таких соотношений нет). Уравнение для определения коэффициента ап выглядит так: 0ап + 0 = 0 (т. е. на выбор ап не на- лагается никаких ограничений). Далее полагаем ап = а. Из наших уравнений следует, что - л- - (-1)м«п _ , „ ^n+2/z—1 — V, &п-|-2/г — 1 Р' — 1,2,... 22^д! П (п + s) S — 1 (эти формулы можно обосновать, применяя метод индукции). Считая, что П (п + s) = 1, з=1 можно утверждать, что последняя формула справедлива при ц = 0. Таким образом, сумма степенного ряда ( \ _ п ( —1)мж2м ф)^ах E22^!(;wl)...(n + M) в интервале сходимости этого ряда является аналитическим решени- ем уравнения Бесселя, удовлетворяющим начальному условию ДО) = а. Экспоненциальный ряд является сходящейся мажорантой этого степенного ряда, и поэтому такой степенной ряд сходится при всех значениях х е R.
Дифференциальные уравнения первого порядка 65 Если 1 a ~ 2пп!’ то , , iz / \ (Х\П-^ (-1)Д^ Ф) = вд=Щ £гг /х=0 ' ' — так называемая функция Бесселя n-го порядка первого рода. Линейно независимое от Yn (определение линейной независимос- ти см. ниже в разд. 3.3) решение уравнения Бесселя на интервале (О, +оо) имеет вид 2 (х\ 1 Нп(х) = -У„(л)1п (-) + — Sn{x), тг \ 2 / хп где Sn — некоторая функция, разлагающаяся в степенной ряд всюду на В (по степеням х). При х —> 0+ это решение не имеет конечного предела. Функции Бесселя встречаются во многих приложениях и играют в них не менее важную роль, чем тригонометрические функции. 1.15. Уравнения, не разрешённые относительно производной. Параметрические решения. Уравнения Лагранжа и Клеро Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение перво- го порядка, не разрешённое относительно производной. Такое урав- нение имеет вид (см. разд. 1.1) F(x,y,y') = 0. Предполагается, что F: V —> R; V с R3. Будем считать далее, что V — область и функция F непрерывна на V. Кроме того, будем пред- полагать, что это уравнение допускает параметризацию х = /(«,?;); у = g(u, г>); у' = h(u, v). где функции /, g, h непрерывно дифференци- руемы в некоторой области D С R2 и отображение (м. с) —> (/, д, Л) есть биекция области D на её образ S С V. причём F(f(u. u),g(u,v),h(u,v)) = 0 всюду в D. Если исходное уравнение однозначно разрешимо относительно одной из переменных х, у. у', то в качестве параметров u. v можно взять две остальные переменные. Наряду с таким уравнением рассмотрим в области D равно- сильное ему дифференциальное уравнение в симметричной форме (см. разд. 1.5), имеющее вид (X - hfv~)du ~г (<7г ~ hfv)dv = 0
66 Глава I (это уравнение есть параметрическая запись выражения dy = y'dx\ здесь f = Г = а' Ju ди Jv dv' Уи ди Уу dvh 1.15.1. Утверждение. Пусть v = V>(u) (или и = x(v)) есть решение уравнения в симметричной форме, и пусть ^(f(u^(u)))/ 0 (или ^(f(x(v\v)( / 0). Тогда функция у = р(х), определяемая параметрически уравнениями х = f(u,tp(u')'); у = g(u,i/>(u)') (или х ~ — f(x(v),v); У = 5(х(и)>и)), является решением исходного уравнения (на соответствующем интервале). Доказательство. По условию, функция х = f(u, V’(u)) име- ет дифференцируемую обратную функцию u = w(x). Если то на этом интервале <р'(х) = R(w(x), ^(w(x))). При этом 7?(w,V>(u)) = h(u, V>(u)), так что р'(х) = h(u,v) = h(w(x), iA(w(r))) = F(x,p(x),p'(x'j) = = F(f(u, v), g(u, v),h(u, v)) = 0 (следует положить и = w(x)-, v = Д’(м): У = <p(aO). Значит, p — решение на таком интервале уравнения F(x, у, у') = 0. Утверждение 1.15.1 доказано. 1.15.2. Утверждение. Пусть р — решение уравнения F(x, у, у') = 0, такое, что (х, р(х), р'(х)) е S для всех значений х из некото- рого интервала, и пусть в рассматриваемой параметризации этому решению соответствует гладкая кривая, определяемая уравнением и - ф(и) (или u = x(v))- Тогда v = ф(и) (или u = x(v)) — решение уравнения в симметричной форме. Доказательство. Если х = f(u, ip(u)), то ф(х) д(и.у(иУ): р'(х) = h(u, 0(u))- Поэтому справедливы тождества д(и. ф(и)) = р(/(м,'0(н)); /г(«. ф(и)) = p'(f(u, Ф(и)). Если продифференцировать первое тождество по и, то получим, что + = />')• Из этого равенства и второго тождества следует, что функция и =--- ф(и) является решением уравнения в симметричной форме. Утверждение 1.15.2 обосновано.
Дифференциальные уравнения первого порядка 67 1.15.3. Замечание. Если зафиксировать точку (uq,Vo) е D, то получим фиксированную точку (хо,Уо,Уо) е S. Требуется найти решение ср исходного уравнения, удовлетворяющее начальным усло- виям ср(х0) = Уо', </(я0) = у'о. Если Fy,(xo, уо, у'о) / 0 и эта частная производная непрерывна в окрестности точки (хо,уо,Уо), то по теореме о неявной функции это уравнение однозначно разрешимо относительно у' в некоторой окрестности точки (то, уо, Уо), т. е. у' = h(x,y). Тогда вопрос о су- ществовании и единственности решения исходного уравнения сво- дится к такому же вопросу для уравнения у1 = h(x, у) с начальным условием у(%о) = Уо- Пусть функция F непрерывно дифференцируема на V, и пусть Fy 0 всюду на S. Тогда исходное уравнение однозначно разрешимо относительно у, т. е. у = д(х,у') (в соответствующей окрестности). Положим х — и; у' = v т. е. f(u, v) = и; h(u, v) = v. Если условия утверждений 1.15.1 и 1.15.2 нарушаются, то, дифференци- руя тождество F(u, д(и, и), v) ~ 0 по и и v, получаем F^ + F^g^ = 0; Fyg'v + F^ = 0, и далее (если F^ ф 0) F(x,y,v) = 0; Fl + FyV = Q-, F^ = 0. Действительно, при нарушении условий этих утверждений с учётом теоремы о неявной функции можно утверждать, что тогда д'и = v, g'v = 0, так что два последних равенства следуют из двух предыдущих, поскольку х = и. Каждая дифференцируемая функция у = ср(х) удовлетворяю- щая трём последним равенствам, является на соответствующем ин- тервале решением уравнения F(x, у, у1) = 0. Такие решения называ- ются особыми. Таким образом, для нахождения всех решений этого уравнения нужно решить соответствующее уравнение в симметричной форме, выразив его решения в виде у = ср(х). Кроме того, нужно найти особые решения из трёх последних соотношений. Уравнение Лагранжа Пусть р и q -- непрерывно дифференцируемые функции на ин- тервале (а, Ь). Уравнение у — р(у')х - q(y') называется уравнением Лагранжа. Параметризация этого уравнения имеет вид х — и; у = p(v)u + q(v): у' = v. Эквивалентное уравнение в симметричной форме принимает вид (p(v) - v)du + (p'(v)u q'(v))dv -= 0.
68 Глава I Пусть v € (а,/3), где либо a = а, либо а — корень уравнения p(v) = и; /3 = Ь, либо /3 — корень того же уравнения. При этом считаем, что а < /3 и при v & (а,(3) p(v) г. Если v е (а, (3), то уравнение в симметричной форме является линейным, так что (см. пример 1.5.7) множество его решений опре- деляется по формуле вида и = СА(у) + В(у) (С = const € R). Со- гласно утверждению 1.15.1 этим решениям соответствуют решения уравнения Лагранжа, определяемые параметрически по формулам: х = СЛ(д) + В(г); у = р(у)(СА(у) + В(у)) + q(y), при тех значениях v & (а, /3), для которых С А'{у) + В'(у) 0 (здесь а и /3, вообще говоря, зависят от выбора константы С). Корню v — v* уравнения р(г) = v соответствует решение v = v* уравнения в симметричной форме, которому, в свою очередь, соот- ветствует решение у = v*x + q(y*) уравнения Лагранжа, графиком которого является прямая. Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь решения, удовлетворяющие условиям: у = р(у)х + g(v); р(у) = v; р'(у)х + q'(y) = 0. Эти условия означают, что х = — q’(y)\ у = q(y) — vq'(y). Такие решения (если они есть) будут особыми. 1.15;4. Пример. Рассмотрим уравнение Лагранжа 2 / Ъ /ч2 У = ) • о о Уравнение в симметричной форме имеет вид —vdu + 2(и + v)dv = 0, так что при ц^0^ = ^ + 2. Решение этого уравнения при v > 0 и при v < 0 определяется по формуле и = Cv2 —2г (С = const е R). При v = 0 имеем и — 0, что также удовлетворяет уравнению в симметричной форме. Рассмотрим уравнение в параметрическом виде: х = Cv2 - 2v; у = -Cv2 - v2. У 3 Здесь v € (а./З). Если С / 0 и С1 (а,/3), то эти уравнения определяют функцию у = ~р(х, С), являющуюся решением исходного уравнения при х е (Со2 — 2а.СЗ2 — 2/3). Если СО. то V.r е В у = При С 0 v = 1 ± уН + Сх. и поэтому </ - -^(2 + Сх ± 2V1 -Ст)(-1 ± 2у/1 + Сх), где следует выбрать либо оба знака плюс, либо оба знака минус, и область определения решения определяется неравенством 1 ( Сх > 0.
Дифференциальные уравнения первого порядка 69 Если v = 0, то получаем решение у = 0, определённое всюду на В. Уравнение Клеро Дифференциальное уравнение вида у = ху' — д(у') называется уравнением Клеро. Предположим, что вторая производная д" существует и непре- рывна на интервале (а, Ь). Используя определённую выше парамет- ризацию, получаем, что соответствующее уравнение в симметричной форме имеет вид (и - g'(y))dv = 0. Это уравнение имеет решения v = С (С = const 6 (а, &)). Этим решениям соответствуют решения уравнения Клеро у = Сх — д(С). Графики таких решений суть прямые. Уравнение в симметрич- ной форме имеет также интегральную кривую и = д'(у), которой соответствует кривая в плоскости Оху с параметрическими уравне- ниями х = д'(у); у = vg'(y) — д(у) (v € (а, Ь)). Пусть Vv е (а, 6) д"(у) ф 0. Тогда функция х = д'{у) имеет обратную v = G(x), непрерывно дифференцируемую на некотором йнтервале (а, /3). Кривая с такими параметрическими уравнения- ми может быть задана в виде у = <р(х) (ж € (сц/3)), где ip(x) = 9'(G(x))G{x) - g(G(x)), т.е. <р(х) = xG(x) - g(G(x)); <р'(х) = G(x). Функция у = tp(x) является решением уравнения Клеро. Это ре- шение является особым. Соответствующая ему интегральная кривая является огибающей рассмотренного выше семейства прямых (т. е. каждая прямая семейства касается этой интегральной кривой). Преобразование, сопоставляющее функции р(г) (v g (а, 6)) функцию <р(х) =-- xG(x) — g(G(x)) (х е (а, /3)), называется преоб- разованием Лежандра. 1.15.5. Утверждение. Композиция двух преобразований Ле- жандра есть тождественное преобразование. Доказательство. Пусть д(х) (;г € (а./З)) — образ функции д(у) (у & (я.ф) при преобразовании Лежандра. Так как р'(х) — - G(.r). то -'w = G'w’?W))*0' Значит, можно определить преобразование Лежандра функции р(х). Пусть h(v) — её образ при этом преобразовании, тогда hly) -- сф(у) - д(Ф(у)).
70 Глава I где </>(r) — функция, обратная к функции ip'(x) = G(x), т. е. <^>(г>) = = д'(у). Так как д>(х) = x,G(x) — g(G(x)), то /г(и) = vg'(v) - ip(g'(v)) = vg’(v) - g'^G^g^v)) + g(G(g'(v)). Поскольку G(g'(yY) = v, имеем /i(v) = g(v). Утверждение 1.15.5 доказано. 1.15.6. Пример. Рассмотрим уравнение Клеро у = ху’ - (у1)4. Найдём его особое решение. Имеем: д(у) = v4; g'(v) = 4v3; G(x) = (х/4)1/>3. Следовательно, особое решение имеет вид (Х\г/3 /z\4/3 /д\4/3 B=Hz) -ы =3Ы • Таким образом, преобразование Лежандра переводит функцию v4 в функцию 3(х/4)4/3.
Глава II НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Теоремы существования и единственности Пусть п е N: G С Rra+1; f: G -> Rn, и пусть f = (fa,.. где fa: G —> R, i = 1,..., n, — компоненты вектор-функции f. Нор- мальная система дифференциальных уравнений имеет вид ' У1 = Уп = fn(x,yi,...,yn). Если обозначить у — (yi, ,Уп), то у' = (у{,...,у'п), и поэтому эту систему можно записать в эквивалентном виде у1 = fax, у). 2.1.1. Определение. Пусть I — промежуток в R (конечный или бесконечный, не вырождающийся в точку). Вектор-функция ф: I —> R” называется решением на промежутке I нормальной системы у' = fax, у), если выполнены условия: а) функция ф дифференцируема на I; б) Vx е I (х, ф(хУ) & G; в) Vx G I ф'(х') = ф(х,ф(хУ). Заметим, что при п = 1 это определение равносильно определе- нию решения уравнения у' = fax,у). Пусть ф — решение на промежутке I системы у' = fax, у), и пусть ф = (уд ^п), где I —> R, i -= 1,..., п. Тогда каждая из функций дифференцируема на I и Vx е I (х, (х),..., ^п(х)) е G: - /,(х.^1(х),...,<„(х)), 7 = 1....П. При таких условия множество {(х, <^>(х)) | х € /} С G называется интегральной кривой нормальной системы у' = f(x,y). Пусть Xq е R; уй е R” и (х0,у0) е G. Тогда совокупность всех прямых в (?z t- 1)-мерном евклидовом пространстве вида {(х.у) G Rn + 1 | (х.у) = (хо.уо) - t(l,f(x0.y0))} (t £ R)
72 Глава II называется полем направлений системы у' = f(x,y). Любая интег- ральная кривая этой системы в каждой своей точке касается неко- торой прямой из поля направлений. Пусть у = (yi,..., уп) е R". Положим \\у\\ = тах{|^|,1 = 1,..., п}. Нетрудно проверить, что если у* е R", то 11у + ЛК11у11 + Г11; \\ау\\ = Ы ||у|| (а е R); \\у\\ = 0 тогда и только тогда, когда у = в = (0,..., 0) £ R". Далее положим Ж?) = Ну -у*\\- Тогда р — метрика в пространстве Rn. Эта метрика эквивалентна обычной евклидовой метрике в смысле сходимости к пределу в Rn. В дальнейшем изложении норма понимается в определённом выше смысле (так называемая максимум-норма). Пусть жо € R; yQ е Rra; а > 0; b > 0, тогда (х0,у0) € Rra+1. Положим П = Па.ьСвьУо) = {(*,£) I а; У~Уо\\ 6} и назовём [J с Rn+1 (п-1- 1)-мерным замкнутым параллелепипедом. Это множество замкнуто и ограничено, а поэтому и компактно в пространстве Rn+1. Аналогично определим (п + 1)-мерный открытый параллелепи- пед П = Па>о,У0) = {(Х’У) I |я-*о| < а; \\у ~У0\\ < Ь}. Такой параллелепипед — открытое множество в R"+1. Пусть f: П и пусть функция f непрерывна на Тог- да f ограничена на и поэтому существует постоянная М > 0, такая, что sup {II/(ж, г/) ||} С М. (г,у)бП Пусть 0 < «о < min{o:b/A/}. и пусть I -- [х0 - а0.х0 - а0]- При таких условиях ломаные Эйлера определяются так же, как и в одно- мерном случае (при этом используются отрезки прямых из поля на- правлений, длины которых определяются относительно метрики р). Свойства ломаных Эйлера, установленные выше, сохраняются (с заменой, где это по смыслу необходимо, модуля на норму).
Нормальные системы дифференциальных уравнений 73 Теорема Пеано существования решения нормальной системы у' — f(x,y) Пусть вектор-функция f со значениями в R” непрерывна на за- мкнутом параллелепипеде ]Д = ь(до,Уо) и число М > 0 выбрано так, чтобы sup {||/(х,у)||} М. <2-,у)еП Пусть далее, 0 <о.о $' min{a; Ь/М}. Тогда существует опреде- лённое на отрезке I = [ад — ао, хо+яо] решение ф нормальной системы у' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию ф(хо) = Уо- Доказательство теоремы Пеано проводится так же, как и в одно- мерном случае (следует лишь везде, где это по смыслу необходимо, заменить модуль на максимум-норму). 2.1.2. Следствие. Пусть f — вектор-функция со значения- ми в R”, непрерывная на открытом множестве G С R"+1, и пусть (то,у0) е G. Тогда найдётся значение ао > 0, для которого сущест- вует определённое на отрезке I = [xq — яо, г-'о + яо] решение ф системы у' — f(x,y), удовлетворяющее начальному условию ф(хо) = у0. 2.1.3. Утверждение. Пусть при условиях теоремы Пеано су- ществует единственное определённое на отрезке I = [xq — ао,хо + ао] решение ф системы у' = f(x, у), удовлетворяющее начальному усло- вию ф{хо) = У о- Тогда последовательность ломаных Эйлера сходит- ся к этому решению равномерно на I. Доказательство этого утверждения, по существу, такое же, как и доказательство следствия 1.2.1 (с указанной заменой). 2.1.4. Определение. Пусть G С R"+1 и f: G —> Rn. Гово- рят, что вектор-функция f удовлетворяет условию Липшица на мно- жестве G, если существует постоянная К 0, такая, что V(x, у) & G; Д,Г) е G \\f(x,y) - f(x,y*)\\ АДу- у*\\. Постоянная К называется константой Липшица для функции f на G. 2.1.5. Утверждение. Пусть вектор-функция f со значениями в R" удовлетворяет условию Липшица на замкнутом параллелепи- педе П ь(.го,ро). Тогда существует не более одного определённого на отрезке [.г0 - а. То а] решения системы у' - f(x.y), график ко- торого проходит через точку (хо,уо). Теорема существования и единственности решения нормальной системы у' = f(x.y) Пусть при условиях теоремы Пеано вектор-функция f удовлет- воряет условию Липшица на замкнутом параллелепипеде ГЪ.ьД’о.Уо)-
74 Глава II Тогда существует единственное определенное на отрезке I = = [то — од,хо + ао] решение ф системы у' = f(x,y) с начальным условием ф[хо) = Уо- Последовательность ломаных Эйлера сходится к решению ф равномерно на I. 2.1.6. Следствие. Пусть вектор-функция f со значениями в R” удовлетворяет условию Липшица на открытом множестве G С С Rn+1, и пусть (хо,уо) 6 G. Тогда найдётся число ао > 0, для которого существует единственное определённое на отрезке [.г'о — ао, то+ао] решение ф системы у1 = f(x,y) с начальным условием ф{хо) = = Уо- Все сформулированные выше утверждения доказываются так же, как и в одномерном случае. Такое же замечание справедливо по отношению к теореме Пикара. Теорема Пикара для нормальной системы у' = f(x,y) Пусть вектор-функция f со значениями в R” непрерывна и удов- летворяет условию Липшица на замкнутом параллелепипеде JJ = = Па и пусть 0 < ао С min{a;b/M}, где число М > О выбрано так, чтобы sup {||/0, у)||} м. (х,а)еП Пусть, далее, фо ~• непрерывная на отрезке I_= [то — ao, xq + ао] вектор-функция, график которой содержится в П, и пусть Vx € I Фп(х) — Уо Т i Ж^п-1(С)М, п = 1,2,.... Тогда последовательность {фп} сходится равномерно на I к единственному решению ф системы у' = f(x,y), удовлетворяющему начальному условию ф(хо) = у о- 2.1.7. Следствие. При условиях теоремы Пикара Vx е I ]\фп(х) - 0(т)|| К" 11^2 sup{liv>o(e) ~ п = 1,2,..., а! ее/ где К — константа Липшица для функции / на ] {. 2.1.8. Следствие. При тех же условиях sup{||c-ri(r) - <г)||} < (Ла°) sup{Hw(£) - Ж11} ^а--2Ь, .гб/ »> £67 п 1,2,.... 2.1.9. Утверждение. Пусть G открыто в R"-1; Па ъ(х°'Уо) с С G, и пусть вектор-функция f = (Д,..., fn): G —> R" имеет непре- рывные частные производные i,j - 1,...,п, на множестве G.
Нормальные системы дифференциальных уравнений 75 Тогда функция f удовлетворяет условия Липшица на замкнутом па- раллелепипеде П = Па.ь^О’Уо)- Доказательство. Если (х,у) е П и (Х,У*) € П, то V# е (0,1) (ж, Оу + (1 - ОУу*) е [}• Действительно, поскольку \\у - г/0|| Ь и \\у* - УоII Ь, то \\0у + (1 - 0)у* - у0|) = \\0(у - у0) + (1 - 0)(у* - у0)|| ®\\у - УоII + (1 - в)\\у* - у0К ОЬ + (1 - ff)b = Ь. Если у =£ у*, то согласно теореме о среднем для вещественной функции многих переменных \\f(x,y) -/(i,y*)|| = max {\fi(x,y) - fi(x,y*)\} = (% - в*У +11 - ^*) °Уз П max {|% -у*\} max 1<Тз<7т> J 1 <Тt -1<Г < sup _ _ О,з/)еП ^К\\у-у*\\, где К = n max sup (а:,ЙеП так как все частные производные ограничены на компакте [j (считаем, что у = (yi..уп): у* = (yj,..., у*); кроме того, 0^ G € (0,1), i = 1,..., п). Утверждение 2.1.9 доказано. 2.2. Максимальный интервал. Полное и общее решения 2.2.1. Определение. Пусть G открыто в R"+1 и f: G —> —> Rn. Говорят, что вектор-функция / локально удовлетворяет усло- вию Липшица на множестве G, если У(.г0,Уо) £ С Зе > 0: П = П.-Д-Г;о-У о) С G и функция f удовлетворяет условия Липшица на П- 2.2.2. Следствие. Пусть вектор-функция f -- (Д,..., fn) определена и имеет непрерывные частные производные ду3 = 1...п. на открытом множестве G С R”^1. Тогда f локально удовлетворяет условию Липшица на G. Утверждение следствия вытекает из утверждения 2.1.9 и опре- деления 2.2.1.
76 Глава II Дальнейшие результаты, формулируемые в этом разделе, анало- гичны соответствующим результатам разд. 1.10 и 1.12 (как на уровне формулировок, так и в плане соответствующих доказательств). 2.2.3. Утверждение. Пусть вектор-функция f со значениями в Rn непрерывна и локально удовлетворяет условию Липшица на открытом множестве G С Rn+1, и пусть К С G; К — компакт. Тогда f удовлетворяет условию Липшица на К. 2.2.4. Утверждение. Пусть вектор-функция f со значениями в R” локально удовлетворяет условию Липшица на открытом мно- жестве G С Rn+1, и пусть (то, у0) G G. Тогда Уа > 0 существует не более одного определённого на отрезке [zq —a, xq+а] решения ф систе- мы у' = f(x.y), удовлетворяющего начальному условию </>(то) = у0. Теорема существования и единственности полного решения нормальной системы Если вектор-функция / со значениями в R” непрерывна и ло- кально удовлетворяет условию Липшица на открытом множестве G С R"+1, то У(£,ц) t G (( t R; I £ R") существует однознач- но определённый максимальный интервал 1(6, Tf). На этом интерва- ле существует полное решение фо нормальной системы у' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию </>о(£) = Ц- Решение фо с та- кими свойствами единственно; его график проходит во множестве G «от границы до границы». 2.2.5. Определение. Пусть при условиях теоремы существо- вания и единственности В = {(т, £, ц) | (£, rj) е G; х G 1(6, у)}. Функ- ция ф: В —> R” называется общим решение системы у' = f(x,y), если V(£,ц) G G ф(6,6,г(} = Л, {(х,ф(х,6,т})) | х е 1(6,ц)} С G и \/т е 1(6,ц) ^(х,6,у) = f(x,$(x,6,Tj\). При условиях сформулированного определения В С Rn+2. Кро- ме того, если (т,£,ц) е В (т. е. (£.т?) £ G и х е 7(£,ц)), то (х, У’(.тД.ц)) е G; 6 € 1(х. ф(х.6- ц)). причем 1(£.ц) = 1(х.ф(х.6Л}}( И Ц’(хД,ц)) = Теорема о свойствах общего решения нормальной системы При условиях предыдущей теоремы область определения В об- щего решения Ф системы у' f(x.y) открыта в R"42. а функция
Нормальные системы дифференциальных уравнений 77 ip непрерывна на В. Если, кроме того, функция f имеет всюду на G непрерывные частные производные i,j = 1,...,п, то общее решение -ф в области В непрерывно дифференцируемо по всем пе- ременным. Заметим также, что теорема о зависимости решения от началь- ных условий и теорема о существовании аналитического решения с некоторыми очевидными изменениями (вместе с их доказательства- ми) переносятся с одномерного случая на случай нормальной систе- мы вида у' = 2.3. Уравнения высших порядков, разрешённые относительно старшей производной. Сведение к нормальной системе дифференциальных уравнений Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, разре- шённое относительно старшей производной. В соответствии с фор- мулировками разд. 1.1 такое уравнение имеет вид у^ = д(х,у,у', .... у(п~^). Далее считаем, что п 2. Пусть G С Rn+1 и д: G -» В, и пусть I — некоторый промежуток в R. не вырождающийся в точку; У = (Уо,У1, • ,Уп-1) € Рассматриваемому уравнению поставим в соответствие нор- мальную систему дифференциальных уравнений вида ' у'о = уп У1 = У2-, < ............. Уп-2 = Уп-Г, .Уп-i =-д(х,уо....,уп-1)- Эта система в векторной форме записывается в виде у' = f(x.y). где V(.r,y) е G f(x.y) = (У1...уп-1,д(х.у0,... ,Уп-1))- так что /: G -4- R". 2.3.1. Утверждение. Пусть у - вещественная функция. n — 1 раз дифференцируемая на промежутке I. Тогда следующие выска- зывания равносильны: а) функция является на I решением дифференциального урав- нения у^ = д(х. у, у1,.... у^1^):
78 Глава II б) вектор-функция ф = (р,р',..., р1'п является на I решени- ем системы у' = /(а?, у), для которой f(x,y) = (У!,... ,уп-1,д(х,уо,... ,yn-i)) (здесь (х,у) е G; у - (уо, yi, • • •, yn-i)). Доказательство. Пусть ip — решение на промежутке I урав- нения у^ = д(х, у, у',..., у(га-1)). Тогда функция <р п раз дифферен- цируема на I, так что каждая из функций ip',..., дифферен- цируема на I. Пусть ф(х) = (р(х), р'(х),.p'n~v' (х)), х G I, тогда вектор-функция ф дифференцируема на промежутке I и \/х G I (х, ф(х)) = (х, р(х), ip'(x),..., <^п-1)(т) € G по определению решения р. Кроме того, Vt е I ф'(х) = /(х,ф(х\), поскольку /(^,у) = (У1,---,Уп-1,у(^,у)), где У = (уо,У1,---,Уп-1) р(п\х) = д(х,р(х),р'(х),... ,p(n^v (х)). Значит, ф = (р, р',..., (Д”'1)) — решение на промежутке I системы V = f(x,y). Обратно, пусть ф — (р,р'<//п-1)) - решение на I этой сис- темы. Тогда по определению решения имеем \/х G I р'(х) = р'(х); (</)'(*) = р"(х.у (р^)'(х) -- р^-1\хУ р^(х.) - (р^)'(х) ^д(х,р(х),р'(х),...,р^~1\х)). Так как Vx G I (х,ф(х)) G G по определению решения ф. то (х.ф(хУ) = (х,р(хУр'(х),...,р1'п~1\х)) е G, так что р — решение на промежутке I уравнения уО) .= д(х. у, у'. у1'п~1У. Утверждение 2.3.1 доказано. Таким образом, решение уравнений n-го порядка, разрешённых относительно старшей производной, сводится к решению нормаль- ных систем дифференциальных уравнений.
Нормальные системы дифференциальных уравнений 79 2.4. Условие Липшица. Теорема существования и единственности решения 2.4.1. Определение. Пусть G С Rn+1; у: G —> R. Говорят, что функция g удовлетворяет условию Липшица на G, если существует постоянная К 0, такая, что V(z,y), (х,у*) Е G 1Жу) - д(х,у*)\ к\\у - у*\\. Постоянная К называется константой Липшица для функции д на множестве G. В предположении, что G открыто в Rn+1, локальное условие Липшица определяется аналогично (как в определении 2.2.1). 2.4.2. Утверждение. Пусть при условиях определения 2.4.1 У = (Уо,У1,---,Уп-1) и ¥(х,у) G G f(x,y) = (У1, - ,Уп-1,9&УУ)- Тогда функция f удовлетворяет на G условию Липшица в том и только том случае, когда функция g удовлетворяет условию Лип- шица на G. Доказательство. Пусть f удовлетворяет условию Липшица на G с константой К 0. Тогда V(x,y), (х,у*) 6 G \g(x,y) -д(х,у*)\ max{|yi - ; \yn-i - y*_ih \g(x,y) — g(x,y*)\} = \\f(x,y) - /(x,y*)|| K\\y-y*|| (здесь у* = (Уо,У*>--->г/п-1))- Обратно, пусть функция д удовлетворяет условию Липшица на G с константой К 0. Тогда \/(,т,у), (т,у*) 6 G \\f(x,y) - Ж ЛИ = = шах{|у1 — у}|:...; |yn-i - у*_11; \д(х, у) -у(т,у*)|} тах{||у — у* ||. А'Цу—у* ||} тах{1: АД||у - у*||. Если положить Ко = тах{1;КГ} 1, то Ао будет константой Липшица для функции f на G. Утверждение 2.4.2 установлено. 2.4.3. Замечание. Если у ~ (у0. yi,...,yn-i)'- xq е I: (хо.у) 6 e G. то при условиях утверждения 2.3.1 <Д.г'о) У тогда и только тогда, когда ^3Чх0) = У], j = 0,1,..., лг — 1. Ясно также, что утверждение 2.4.2 остаётся справедливым, если выполнено локальное условие Липшица. Кроме того, при условиях этого утверждения функция / непрерывна на G в том и только том случае, когда функция д непрерывна на G. Частные производные
80 Глава II существуют и непрерывны на G тогда и только тогда, когда част- ные производные существуют и непрерывны на G, i = 1,..., п; j = 0,1,..., п — 1. Из утверждения 2.4.2 и этого замечания следует, что все утверж- дения, сформулированные выше для нормальных систем, переносят- ся (с очевидными изменениями) на случай уравнений n-го поряд- ка, разрешённых относительно старшей производной. В частности, справедлива следующая теорема. Теорема существования и единственности решения Пусть G открыто в Rn+1, и пусть д — вещественная функция, непрерывная и локально удовлетворяющая условию Липшица на G. Тогда \/(то,у) € G существует единственное определённое на макси- мальном интервале 1(хо,у) полное решение <ро дифференциального уравнения У<п) = д(х,у,у',... ,у(п~1}), удовлетворяющее начальным условиям = Уу j = 0,1,...,п- 1 (здесь у = Если фо = (<ро, ^0,..., «Pq1-1)) — соответствующее решение нор- мальной системы у' = f(x,y) = (yi,... ,yn-i,g(x,y)), то график ре- шения фо проходит во множестве G «от границы до границы». 2.4.4. Замечание. При условиях теоремы {(т,<р(х)) | х ё 6 I(x0,y)} С G, где G = {(х,у) € R2 | Еуь ... ,yn-i е R: (т,у,уь ... ,yn-i) е G} (G — проекция множества G на R2 ). Так как G открыто в Rn+1, то G открыто в R2 (п 2). При этом график решения до необязательно проходит в G «от границы до границы». 2.4.5. Пример. Пусть п = 2; G — (0,+оо) х R2, тогда G = — (0, -гос) х R. Положим у -- (ЖУ1); з(-т,уо.у1) = ^-(1 - (yi)2). Решение ^о(^) = vl—т2 этого уравнения определено на мак- симальном интервале /(ад, у) -= (0,1) (полагаем то = 1/2: уо - -= Ро(.го) - х/3/2; щ - /(то) = -х/З/З; у = (х/3/2.-х/З/З)). Имеем inn у?о(я-’) = 0. Так как (1,0) € G, то график решения уо имеет предельную точку, абсцисса которой совпадает с правым кон- цом максимального интервала, и эта точка принадлежит проекции
Нормальные системы дифференциальных уравнений 81 G множества G на R2. В то же время множество {(ж, <Po(.r)) I х G (0,1)} = (ж, л/1 — ж2,--Л.I х € (0,1) | t V1 — xz J не имеет предельных точек, принадлежащих G, абсциссы которых равны 0 или 1. Действительно, при х —> 1— соответствующая точ- ка графика функции фо = (<^0,^0) уходит в бесконечность, а при х -> 0+ \/1^х2,—~ Л -> (0,1,0) £ G. \ V1 — х/ / В заключение этого раздела рассмотрим некоторые простейшие виды уравнений п-го порядка, разрешённых относительно старшей производной. 2.4.6. Пример. Рассмотрим уравнение у” = х. Имеем д(х, Уо, У1) = х, где (аг, yo,2/i) € R3. Из этого уравнения следует, что если — его решение, то = = х2/2 4- Со (х € R; Со = const S R). Это равенство позволяет заключить, что Vx 6 R х3 >р(х) = дг + Cqx + Ci (Cl = const € R). 6 Если (хо,уо) € R2, то через точку (хо,уо) проходит бесконечно много решений. Если же (xo,yo,yi) 6 R3, то имеется ровно одно решение этого уравнения, для которого <Дхо) = уо; 'р'(хо) = уг. 2.4.7. Пример. Рассмотрим уравнение у^ = д(х) в предпо- ложении, что функция д непрерывна на некотором промежутке I. В этом случае G = I х Rn с Rn+1. Проинтегрировав последовательно п раз функцию д. можно утверждать, что решением этого уравнения на I является функция гх / r-rn-1 / / rx2 / \ \ \ \ ^o(z) = / / I ... / I / g(£)d£ I dx! ... I dxn-2 I dxn-i J.r0 \Л0 \ \Jx0 \Jx0 J ) J J (здесь Xq - фиксированная точка промежутка I и x. xi..xn-i e e Z). Множество всех его решений совпадает с множеством функций д вида ^(х) - го(х) 4 р(х) (х G I), где р(х) - произвольный много- член над полем Р степени, не превосходящей п- 1. Поскольку такой многочлен имеет п коэффициентов, то решение д зависит от выбора п произвольных вещественных постоянных. Если (хо,уо....Уп-г) € I х Rn. то существует единственное определённое на I решение для которого (xq) = yj. j = 0.1,..., п - 1.
82 Глава II Это следует из теоремы существования и единственности ре- шения, поскольку функция д непрерывна и удовлетворяет условию Липшица на множестве G = I х R”, если считать, что д — функция п + 1 вещественных переменных х, уо,..., уп-1- Допустим, что функция д(х, Уо,-, уп-1) не зависит от уо- Тогда д(х, у0,..., yn_i) = h(x, z0,..., zn_2), где Zfc = yk+i (к = 0,..., п- 2; п 2). Если р — решение уравнения у^ = д(х, у, у',..., то про- изводная р' = z является решением уравнения Д”'1) = h(x,z,..., Дп~2). Обратно, если ф — решение этого уравнения на некотором про- межутке I, то каждая первообразная функции ф является решением на I предыдущего уравнения. Таким образом, дело сводится к решению уравнения (п — 1)-го порядка, так как порядок уравнения понижен на единицу. Часто бывает так, что последнее уравнение решить проще. Теперь допустим, что функция д(х, уо, , Уп-1) не зависит от х. Пусть д(х,уо,. ,yn-i) = h(yo,... ,уп_ф). Если функция р является решением уравнения у^ = h(y,..., y(n-i)) на Пр0МеЖуТке у и \/х е I р'(х) / 0, то функция р имеет обратную функцию ф = Р~\ определённую на промежутке I* = = р(Г). Функция ф дифференцируема на Г, причём \/х G I Более того, из n-кратной дифференцируемости функции р сле- дует n-кратная дифференцируемость функции ф. При этом, если х = Ф(у), то _ ~Г(у). _„,ы _ -Г'(у) t 3 Г(У) ( } ОШ)3’ ( } С0'(у))4 (Яу))5 (здесь у е I* и х = -0(у) € I). Вообще, при к — 2,... ,п + ............... где hk - рациональная функция, знаменатель которой является сте- пенью производной ф'(у) с целым положительным показателем (это можно доказать методом индукции по к € N; к 2). Если подставить эти выражения в уравнение у^ = h(y,..., то получим, что ....=
Нормальные системы дифференциальных уравнений 83 = /i(y,/ii(^'(y),.-.,/in-i(^(n 1)(y),...,i/>'(y)). Разрешая это уравнение относительно ф^п\уф получаем урав- нение вида ф^ = h(y, ф', тщ'1' Д. Это означает, что функция ф удовлетворяет уравнению z(n) Му.х\....х(п~1ф (здесь х = ф(у), так что у играет роль независимого переменного). Поскольку правая часть этого уравнения не зависит от х, то, рассуж- дая аналогично предыдущему, можно понизить порядок уравнения на единицу, т. е. свести его к уравнению (п — 1)-го порядка. Проводя все рассуждения в обратном порядке, нетрудно про- верить, что обратимое решение х = ф(у) последнего уравнения на промежутке I* даёт решение у = у(х) исходного уравнения на про- межутке I = ф(1*ф 2.4.8. Пример. Рассмотрим уравнение у" = (у')2/(у) + у(у) в предположении, что функции f и g непрерывны на интервале (а, Ь). Метод, изложенный выше (такой метод применим, поскольку правая часть уравнения не зависит от х), приводит к уравнению №)+5(г/)’ т. е. х" = -x'f(y) - (д')3у(у). Положим х'(у) = тогда получим дифференциальное урав- нение первого порядка г' = -zf(y) - г3у(у). Это уравнение Бернулли, решаемое в явном виде изложенным выше методом (см. разд. 1.8). Поэтому мы получим обратимые ре- шения исходного уравнения, если найдём функции, обратные пер- вообразным решений уравнения Бернулли, при условии, что эти об- ратные функции существуют и дифференцируемы.
Глава III ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3.1. Полные решения 3.1.1. Определение. Пусть / С И - интервал; G = I х f: G —> Rn. Система дифференциальных уравнений у' = f(.x,y) называется линейной, если ¥(х,у) е (I х Rn) /(•?,?/) = gi(x)yi + ... + дп(х)уп + h(x), где ду. I -> Rn, j = 1,... ,п; h: I -> Rn Таким образом, линейная система дифференциальных уравне- ний имеет вид у' = 91(х)ух + ... + дп(х)уп + /i(x). / 2/1 \ При этом полагаем у = ... (и вообще далее в этом разделе все \ Уп / векторы понимаем как векторы-столбцы). Положим Vt € I А(х) = (pi(t), ... ,дп(х)), тогда А — квадратная матрица размера п х п, элементами кото- рой являются вещественные функции (компоненты вектор-функций pi,....дп), определенные на интервале I. Матрица А называется функциональной матрицей линейной системы У1 =~- 9i(x)yi + ... + -гдп{х)уп + Цх). Эту систему можно представить в виде у' — А(х)у -+ Л.(.т). Будем говорить, что функциональная матрица А непрерывна на интервале I, если все её элементы непрерывны на этом интервале. Теорема существования и единственности решения Пусть вектор-функции дг,. ,.,gnJi со значениями в R” непре- рывны на интервале I. Тогда V(,ro, у) е (/ х R") существует единст- венное определённое на максимальном интервале 1(хо,у) решение <Ь
Линейные системы дифференциальных уравнений 85 линейной системы у' = A(x)y + h(x), удовлетворяющее начальному условию <i>(xo) = у. При этом /(.То, у) = I. Доказательство. Утверждение этой теоремы (без последне- го пункта) — частный случай теоремы существования и единствен- ности полного решения нормальной системы, определённого на мак- симальном интервале. Действительно, поскольку V(xq, у) G (J х R") /М) = А(т)у + /г(т), то функция / непрерывна на множестве G = I х К" и, так как I — интервал, то это множество открыто в R"+1. Если (т,у) € G, то ^(т,у) =9ij(x), если обозначить / 9ij(x)\ _ [ fi(x,y)\ 9j(x) = I ... , i,j = l,...,n; f(x,y) = I ... I. \9nj(x)J \fn(x,y) / Эти равенства следуют из соотношений п ft(x,y) = + hi(x), i = l,...,n, j=i / hi(x') \ в которых /г(х) - I ... I. \/ln(x) / Таким образом, функция / непрерывно дифференцируема по переменным yi,...,yn на открытом множестве G, и поэтому f ло- кально удовлетворяет условию Липшица на G (см. следствие 2.2.2). Последнее утверждение теоремы будет установлено ниже. 3.2. Линейные однородные системы. Теорема о виде максимального интервала 3.2.1. Определение. Линейная система у' = А(т)у -- h(x) (т е /) называется однородной, если V;r е I / 0 \ /г(.г) - в - I ... I . \ 0 / Таким образом, общий вид линейной однородной системы следу- ющий: у1 = А(.г)у. Заметим, что такая система всегда имеет опре- делённое на интервале I решение, тождественно равное в на этом интервале (в - нулевой вектор пространства R").
86 Глава III Теорема о виде максимального интервала Пусть I С В — интервал и функциональная матрица А непре- рывна на I. Тогда V(xo,y) 6 (/ х R”) полное решение ф линейной однородной системы, удовлетворяющее условию Ффгсф - у, опреде- лено на всём интервале I, т. е. 1(х0,у)-=1. Доказательство. Предположим, что З.Г € 1(з'д,у): ф(.т) - 9. Функция, равная 9 на всем интервале I. является на I решением линейной однородной системы и в точке х совпадает со значением о(.т). В силу единственности решения, удовлетворяющего заданно- му начальному условию. ф(х) --- 9 (х е /), так что в этом случае I(:r0,y) - I. Пусть V.r: € I(x.Q,y) уфх) ф Будем далее ('читать, что У/' озна- чает вектор-строку, т. е. вектор, транспонированный по отношению к вектору-столбцу у. Положим Я- {у еГ Ю- О, тогда Н - сфера единичного радиуса с центром в начале координат. Множество Н замкнуто и ограничено в R" и поэтому компактно. Пусть Ц — отрезок, такой, что Д с I. Тогда (Д х Я) с 1хВп - G. Множество Д хЯ замкнуто и ограничено в Я” 1 и. следователь- но, также компактно. Функция утД(х)у непрерывна на компакте 11 х Н и поэтому ограничена на этом компакте, т. е. ВК - const > 0: V(xy) € (Д х Я) тГА^уу к. Если у е К” и у 9, то у/у/ТГУ € Н, так что V(.ry) € (Ja х х(®"\{0})) (7тД(.т)у < KyAj. Эго неравенство справедливо и при у -- 9 е R”. Итак. У.т е 1\ w е IR" <7тД(;г)у < Ку1’у. Рассматривая матрицу Дт(т) вместо Д(.т). получаем аналогич- но, что утДт(.г)у Ку1 У (константу К ф 0 можно выбрать одной и той же в обоих случаях). Пусть feo — sup/(zo,^) и b - sup/. Поскольку 7(.го.у) С I. то Ьо < Ь. Предположим, что Ьц < Ь, и заметим, что 1>о > inil(xo,y) Ф inf I.
Линейные системы дифференциальных уравнений 87 Пусть inf/(.го. у) < a < bo. и пусть Д = [а./о]- тогда Д — отре- зок, содержащийся в I. поскольку bo < b (и поэтому bo € R). Кроме того. [a. bo) С /(.то, у), так как a & 1(хо,у). Если бы функция о была ограничена на [a, Ьо). то, выбрав по- следовательность точек {.тт} так. чтобы хгп е /(хо.у). т = 1.2,.... и хт —> Ьо~ при in —> ос. мы могли бы утверждать, что последо- вательность {d(.rm)} ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность {ф(х,Пк)}. Пусть Дп <т„ч.) -г ТГ е R” Тогда (Ь0,у*) е G = 1хВп. так как, по предположению. Ь$ е /. При этом (Ьо.у*) — предель- ная точка множества {(.г. <Ь(т)) | х S /(хо,у)}. Кроме того, Ьо - - sup/(.то. у) < +эс. Это противоречит тому обстоятельству, что график решения 0, определённого на максимальном интервале 1(х0,у), проходит в G «от границы до границы». Таким образом, функция о не ограничена на полуинтервале [а, Ьо). и поэтому на этом полуинтервале не ограничена хотя бы одна из её компонент. Значит, произведение <ртф также не ограничено на |а. Ьо)- Кроме того. V.i: G [а, Ьо) С Д 0т(.г)А(х)0(.г) < Кфт(х)ф(х) и фт(х)Лт(.т)0(т) < КФт(х)ффх). Если .г е [а, Ьо), то (фгф)'{х) - (<ф')'(.т)д(.г) -г ф’1(х)ф'(х) = (с>')т(х)ф(х) + <Фт(х)Ф'(х) = - (Л(.т)о(.г))то(х) -I- <фт(х)А(х)ф(х) = - От(.г')Лг(т)о(.г) - от(.т)А(.г)0(т) 2/<от(.т)<р(.т). Так как Vj; е /(.г'о.у) о(.г) -ф 0. то 6т(х)ф{х) > 0, и поэтому V.r G [«.Ьо) (оМУ) < ?R- <Л(.г)о(.г) что равносильно неравенству (ln(or<?))'(.r) 2К. Если а < х < Ьо. то [«..!] С |«. Ьо). так что согласно теореме Лагранжа hi(</(.r)<p(.z:)) - 1п(от(п)<Х«)) - (1п(фт<р)У(£)(.т - а) 1п(<?г(«)о(а)) - 2Кх — 2Ка = С 2Кх. где С -- 1п(от(а)<!>(а\) — 2Ка и G [а.х).
88 Глава III Таким образом, Vx € [а.&о) О < Фт(х)ф(х) sup {ехр(С -- 2Ку)} < Рос. уе(а.ь0] так что sup {<^>T(;r)d(.r)} < -1-ос, .г£|а.(>о) и мы пришли к противоречию. Значит, supЦхд.у) = bg = b = sup/. Аналогично доказывается, что inf 1(хд. у) = inf I. Это означает, что /(то. у) — /. и теорема доказана. 3.3. Пространство решений однородной системы. Фундаментальные матрицы 3.3.1. Утверждение. Множество всех решений линейной од- нородной системы на заданном интервале является векторным про- странством над полем Р. Доказательство. Пусть ф\ и ©2 решения на интервале I системы у' -- А(х)у, тогда Ух е I (01 - =- дДт) 4- ф'фх) = А(х')Ффх') Л(.т)О2(.'г) = = Л(;г)(<21 (х) + (.т)), так что функция ф\ - ф-2 является решением системы на /. Если с -- const е И, то Ух Е I (сф^^х} с<Д(.т) = сА(.т)<р1 (;г) А(;г)(с01(.г)), так что сф} решение на / указанной системы. Остальные аксио- мы векторного пространства, очевидно, выполняются. Утверждение 3.3.1 доказано. Пусть V такое векторное пространство. Нулём пространст- ва V является функция 0, тождественно равная в на интервале I. Понятие линейной зависимости в этом пространстве принимает сле- дующий вид. 3.3.2. Определение. Решения ср..ф[ (I Е Уф линейной од- нородной системы называются линейно зависимыми на интервале I (над полем R). если существуют вещественные постоянные ci..су такие, что с( + ... т с, > 0 и Ух Е I (уф] (.г) • ... - Цффх) - 6 (т. е. <ТО1 1 ... С[Ф1 0). В дальнейшем изложении будем предпола- гать. что функциональная матрица А линейной однородной систе- мы непрерывна на интервале /. 3.3.3. Утверждение. Пусть сд,..., Ф/ Е V: хд 6 / и векто- ры 01 (./'о) 0;(.го) линейно зависимы (как элементы векторного пространства R”/ Тогда вектор-функции ф\.....О/ также линейно зависимы (как элементы пространства V).
Линейные системы дифференциальных уравнений 89 Доказательство. По условию. 3ci.......С[ 6 R: с? + ... т t c 'i > 0 и I -= 9. Пусть V.r е I I Д.т) = У' сА(.с). ?=1 тогда ф е V. Кроме того. <>(j"o) = 0, и по теореме существования и единственности решения V.t G I <р(х) = 0, т. е. ф = 0. Это означает, что вектор-функции ф]...<t>i в пространстве V линейно зависимы. Утверждение 3.3.3 установлено. Пусть dim У — размерность векторного пространства V. 3.3.4. Утверждение. Пусть л — размерность вектора у в линейной однородной системе у’ = А(хфу Тогда dim V = п. Доказательство. Допустим, что dimV > п. Тогда сущест- вуют вектор-функции сц..Ф[ G V, линейно независимые на интер- вале I. для которых I > п. Пусть .Го € I. тогда согласно утвержде- нию 3.3.3 //-мерные векторы сТДо).Ф/(.£о) также линейно неза- висимы. что противоречит равенству diinR" - п. Покажем, что dimV > п. Пусть хо е I. и пусть тогда еi,.... еп стандартный базис пространства Rn (здесь <5;J - 0. если i j. и дД 1. если / — J. i.j ~ Пусть, далее, и — общее решение системы у' - А(уУу. Положим <у(.г) - Д.г,./д.?г), / - 1....//. тогда Oi,..., Оп € V. причём векторы Oj До) — ед ...: оп(.го) = с„ линейно независимы. Если сд,... ,сп Е R и Vz G I fl У2по,(.г) -- 0. го. в частности. п п У>ог(.с0) . --- 0 е RV /-1 г-1 И поэтому С1 0.
90 Глава III Значит, вектор-функции 01..... фп в пространстве V линейно независимы, и поэтому dimV > п. В итоге получаем равенство dimV -= п. Утверждение 3.3.4 до- казано. 3.3.5. Следствие. Пусть хо 6 I. Тогда вектор-функции ффх) - 0(т,.го,ёг). I — 1,..., л; х 6 I, образуют базис пространства V. 3.3.6. Определение. Семейство функций ф1...ф„, образую- щих базис пространства V, называется фундаментальной системой решений линейной однородной системы дифференциальных уравне- ний у' ----- А(х)у, а матрица '21 — (фу,..., фп) -- фундаментальной матрицей этой системы. Свойства фундаментальной матрицы. Пусть '21 — фундаментальная матрица линейной однородной сис- темы у' — А(.т)у. Тогда справедливы следующие утверждения: a) 0т е I '2l'(.z;) - 4ф(:г) (здесь '2lz(.r) -- матрица, составленная из производных функций, об- разующих матрицу '21(т)). Действительно, в равенстве у' — А(х)у достаточно последова- тельно положить у = Ф,, -i - 1,... ,п, предполагая, что '21 ~ (01. б) V.r G I det'2I(.r) -/ 0. Доказательство. Предположим, что 3;z’o G I: det '21(.т0) — 0. Если '21 --- (01...0,,). то тогда векторы О] (.То),.... <рп(-го) ли- нейно зависимы, и поэтому функции 01....<b„ также линейно зави- симы, и мы пришли к противоречию. в) Пусть '21() -- фундаментальная матрица системы у' -- А(х)'у. Тогда множество всех фундаментальных матриц этой системы со- впадает с множеством всех матриц '21 вида '21 -- '2IqC, где С про- извольная невырожденная матрица размера п х и с вещественными элементами (не зависящими от выбора точки х G I). Доказательство. Пусть '210 — (0,°^......0п°')) фундамен- тальная матрица системы у' = А(х)у и С - такая матрица. По- ложим '21 - '21()С - (01...., О,,).
Линейные системы дифференциальных уравнений 91 Если С - i,j = 1.... ,п. то \/х е I п ФАХ) = ( Л и поэтому Д G V. j = 1...п. При этом функции 01,..., фп линейно независимы на I. поскольку \/х е I det 'Л(х) = det 'Ло(т) det С 0, так что векторы с>1 (;г),.... дп(.т) линейно независимы, и поэтому функ- ции di,...,0ri линейно независимы на интервале I. Значит, 'Л — фундаментальная матрица это системы. Обратно, пусть 'Ло - ...дп0"1) и 'Л = (Д...., dn) -- фунда- ментальные матрицы рассматриваемой системы. Поскольку функ- ции .......образуют базис пространства V, то существуют ве- щественные постоянные д7, i, j = 1,... ,п, такие, что V.r е I п 9j(xj - j = l....п. !=1 Пусть С — (гд). i.j — 1,... .п, тогда Ух € I 'Л(.т) = 'Л0(.г)С и det С* = det 'Л(т) det Л0(.т) ^0. Далее рассмотрим линейную неоднородную систему дифферен- циальных уравнений вида у' = А(х)у -Л(.г), предполагая, что функ- циональная матрица ?! и вектор-функция h непрерывны на интер- вале I. 3.3.7. Утверждение. Пусть фд - решение на интервале I ли- нейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Тогда множество всех решений этой системы на I совпадает с множеством всех вектор-функций д* вида Ф* = д’, 4 о. где Ф € V. Доказательство. Если о t V и ф* -- Д* + ф. то V.r Е I (оД'Д) - (дД'ДЬ о'(.г) - Л(.гН(.г) - Д(.тН.г) • Л(т) - Л(.г)о*(.г) - /т(.т). и поэтому О’ — решение на I линейной неоднородной системы. Обратно, если о* - решение на I этой системы ид д 'Д TO V.E 6 I ф'ФФ = - (дан*) -- - А(.;;)оД.г) - Д(.т)Д,(д) - Д(.т)о(.т). и поэтому о Q V. Утверждение 3.3.7 установлено.
92 Глава III 3.4. Метод вариации постоянных Пусть матрица А и вектор-функция h непрерывны на интервале I. и пусть 'Л - (01,... .0П) — фундаментальная матрица линейной однородной системы у' - А(х)у. Решение ф$ линейной неоднородной системы у' =- А(х)у -г- /г(т) будем искать в виде ф$(х) Л(.г)С(.т) (;г € /), где С: I —> Rra — некоторая вектор-функция, компоненты которой являются диффе- ренцируемыми на I вещественными функциями. Имеем (05)'(;г) = Л'(х)С'(.т) + Л«(т) = А(х)Л(х)С(.г) + Л(.г’)С"(.г) = - A(x)0S(x) + Л(х)С'(.г) = <тЖ(.т) + /г(т). если Л(.г)С"(.т) =- /i(.r), т.е. С"(.т) = Л-1(х)Л,(.т) (.г е I). Поскольку все элементы матрицы Л-1 — непрерывные функции на I. то Vt € I С'(.т) / Л—1(f)7z(f) dt (.7’0 € Г- то фиксировано). Поэтому V.r € I <Ро(.г) Л(.т) / ?I-1(£)/i(f)dt, ./.r0 так что любое решение ф* линейной неоднородной системы имеет вид Ф*(х) - <\*(.r) -г д(т) =- ф(*(х) t Л(х)с, где ф е V и с G Rn. причем компоненты вектора с не зависят от выбора точки .г € I. Если вектор с пробегает все значения из R”. то согласно утверждению 3.3.7 полученная формула даёт все решения линейной неоднородной системы на интервале I. В частности, так как матрица А и вектор-функция h непрерывны на I, то V(.ro-/7) £ е G -- I х IRn I(:rQ.y) — I, поскольку 0*(то) Оо(то) -Л(х0)с " Л(.т0)с ^у. если с Л^^хо)!/ (при этом <Ро(хо) = е). Изложенная теория переносится на случай, когда элементы мат- рицы А и компоненты вектор-функции h комплексные функции, непрерывные на интервале I. В этом случае множество V всех реше- ний на I линейной однородной системы У А(.г)у с комплекснознач- ными компонентами образует векторное пространство над полем С размерности и.
Глава IV ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4.1. Сведение к линейной системе дифференциальных уравнений 4.1.1. Определение. Пусть щ,... ,рп, q — вещественные функ- ции. непрерывные на интервале I. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида У(п) +pi(x)i/"“1) . 4 рп(х)у = С помощью замены уо — у: yi = у';...: yn-i — это урав- нение согласно утверждению 2.3.1 сводится к нормальной системе ' Уо = У1- У1 У‘2- < ......... У п-2 Уп-V- . у'п-\ -- ~Рп(^у0 - ... - - <?(т). Полагая у (уо,..., y1t-1)т эту систему можно представить в виде у' f(.i’.y). где
94 Глава IV Следовательно, pi,... ,gn,h — непрерывные на I вектор-функ- ции со значениями в R”. Таким образом, эта нормальная система является линейной. Вектор-функция ф = (р.д',..., являет- ся решением на I такой системы тогда и только тогда, когда функция д является решением на I уравнения п-го порядка У(п) + Р1(.т)у(п”1) + . . . + Рп^У = ФО (в предположении, что д п - 1 раз дифференцируема на /). Поэто- му изложенная выше теория переносится на случай линейных диф- ференциальных уравнений. В качестве следствия из неё получаем следующие утверждения. 4.1.2. Утверждение. Пусть функции pi,... ,pn,q непрерывны на интервале I. Тогда V(xo,p) 6 (I х R") существует единственное определённое на максимальном интервале I(xo,y) = I решение р линейного дифференциального уравнения тР1(т)г/(п~1) + ... +рп(х)у =- q(x). удовлетворяющее начальным условиям р^Цхо) = у,, j = 0,1,..., п - 1 (здесь у =-- (уо,у1.pn-i)T). 4.1.3. Утверждение. Множество всех полных решений ли- нейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка у^ - Pl рп(х)у - 0 является n-мерным векторным пространством над полем R. Пусть pi,.... дп — решения на интервале I линейного однород- ного уравнения /i.-го порядка, и пусть V;r € I Тогда Д1..рп - решения на I соответствующей линейной одно- родной системы, имеющей вид у' .f^y) " .91 (-г)Уо--т !)пфг)уп-1. где у (у0.....Уп-1У и функции gi.....gn определяются по приве- денным выше формулам. 4.2. Определители Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского 4.2.1. Определение. Пусть дд ...; рп - решения на интерва- ле I линейного однородного уравнения п-го порядка. Тогда функция
Линейные дифференциальные уравнения 95 (х £ I) называется определителем Вронского решений ipy ...: дп. 4.2.2. Утверждение. Пусть W — определитель Вронского решений др.... :дп. Тогда следующие утверждения равносильны: a) V.t е I W(x) = 0; б) Эхо € I: Wq) - 0; в) решения дд ... :дп на интервале I линейно зависимы. Доказательство. Очевидно, из а) следует б). Пусть 3,tq £ I: И'(х0) = 0. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений вида ciPi(a'o) + • 3 CnTntxo) 0; ci^i(.t'o) 3- • • • 3- спдп(хо) 0; < ...t Считая Ci...сп неизвестными, можно утверждать, что опре- делитель матрицы коэффициентов этой системы равен И’(х'о) = 0. Поэтому система имеет решение ш...сп. такое, что с% +-.. +(% > 0. Пусть Д.г) - с^Дх) +... + спдп(х) (хе Г). тогда - решение на I линейного однородного уравнения n-го по- рядка и ^(т0) = /До) - -.. = Д"“1)(1-о) = 0. По теореме единственности решения с заданными начальными условиями д(х) ~ 0 (д £ /). т. е. функции др....:дп на I линей- но зависимы. Если справедливо условие в), то V.r £ I И’(.т) -= О, поскольку тогда столбцы соответствующей матрицы линейно зави- симы. Этим утверждение 4.2.2 доказано. Формула Лиувилля-Остроградского При условиях утверждения 4.2.2 И'(г) - Пг(.го)ехр I - [ Pi(t)dt\ \ 'го / (.г..го £ I: з\) фиксировано). Доказательство. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования определителя. Пусть Т> определитель мат-
96 Г л а в a IV рицы размера п х п, элементами которой являются функции, диф- ференцируемые в точке х. Тогда Т>'(х) Е>п(х), где Пг(.т) — определитель матрицы, полученной из исходной мат- рицы заменой всех функций г-й строки на их производные в точке .г, i --- 1,...,п. Применяя это правило к матрице, определителем которой является И’(х), и используя тот факт, что определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю, с учетом со- отношений А(П)(-1') = - • • • - Рп(-т)^г(х’) (х € I: i - получаем, что ИЛ'(х) - -~p\(x)W(x) (.г в I). Решая это дифференциальное уравнение, выводим, что IV (,т) = Сехр ( - [ (.те/). \ •'•го / При х = .то отсюда следует, что С - 1Р(.т0). Формула Лиувилля-Остроградского доказана. 4.2.3. Следствие. Если I-I''(.tq) / 0 при некотором значении хо е I. то решения w,.. ,;<рп образуют базис пространства решений. Этот базис называется фундаментальной системой решений линей- ного однородного уравнения n-го порядка. 4.3. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Изложим метод нахождения частного решения линейного неод- нородного дифференциального уравнения, если известна фундамен- тальная система решений уд:...; рп соответствующего линейного од- нородного уравнения. Предполагаем, что все функции Д1;...:д„ определены на интервале I. Пусть щ..с„ - вещественные функ- ции. дифференцируемые на I. Решение дц линейного неоднородного уравнения будем искать в виде t’oGc) -- ^еффрфх) (х G Г). Имеем V.r е I 7i П i -1
Линейные дифференциальные уравнения 97 Полагая п О, г —1 получим = 52cG:k"(G + 52С'^М(Д 2-1 г—1 Снова полагаем п 52 длтд) = о. Далее действуем аналогично, пока не дойдем до уравнения Из этого уравнения следует, что ФоП)И = ^о(.т)Уп)(.г) + ^Гс^ДД-"”1^)- 2—1 2-1 Теперь положим ]Гс;(.г)Уп_1)(Д) - дд. 2 — 1 Тогда получим, что V.z; G I -чИ - ТТ) ^с!.(.т)У”)(х) = - + •••+Рп(д^1(-т)) = = ТрЛДТ'^Т) -• ^РпСГИ’о(-Д)- Таким образом, функция 1 будет решением на I линейного неоднородного уравнения, если вы- полнены равенства £Д(.гДу(.г) О; I--1 52 с> (-ГТД) 0:
98 Глава IV £cK;r)^-2)(x)=O: г~-1 Совокупность этих равенств есть линейная алгебраическая сис- тема уравнений относительно неизвестных cj (х)...., с^(.т). Опре- делитель матрицы коэффициентов этой системы равен И-фт) yt О (т е I). поскольку решения pi:...; рп на интервале I линейно неза- висимы. Таким образом, из этой системы однозначно определяются зна- чения производных с'1(т)...., с'п(х), а затем и функций ci(.r),..., В итоге получаем, что решение >ро линейного неоднородного уравнения можно найти, зная фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения. Произвольное решение 0 линейного неоднородного уравнения будет суммой частного решения уо и произвольного решения линейного однородного уравнения, т. е. у - 00 + (гы • • • 5 Рп)с> где с - произвольный вектор-столбец из Rn, компоненты которого не зависят от выбора точки х G I. Описанный метод нахождения частного решения линейного не- однородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных. 4.4. Линейные уравнения второго порядка Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Такое уравнение имеет вид у" л р\(х)у' -рг^у ---- 0. Будем считать, что р\ и /ц - вещественные функции, непре- рывные на интервале I. У многих таких уравнений (например, у уравнения -0. где а - const > 0 и I - (0. -гос)), решения не выражаются через элементарные функции и неопределенные интегралы от этих функ- ций. Существуют методы исследования свойств решений линейных уравнений второго порядка без нахождения самих решений. В этом разделе излагаются некоторые из таких методов.
Линейные дифференциальные уравнения 99 Часто бывает целесообразно исходное уравнение привести к бо- лее простому виду, а именно: у" +- q(x)y - о. Чтобы это сделать, предположим, что функция pi непрерывно диф- ференцируема на интервале I. Тогда можно использовать метод, связанный с линейной заменой искомой функции. Положим у = a(x)z, тогда у1 - a'z + az'-, у" = a"z + 2a'z' + az”. Подставляя значения у. у', у" в исходное уравнение, получаем az” - 2a'z' д a"z + p^a'z -r p^az' — p2az -- 0, Приравнивая к нулю коэффициенты при z' в левой части этого равенства, имеем: 2а'(.т) + Pia(x) = 0. Решая это дифференциальное уравнение относительно неизвест- ной функции а(т), выводим, что а(х) = сехр I---— \ , где с -- const (можно взять любое значение с 0). Таким образом, при указанной замене уравнение приводится к виду z” + q(x)z 0, где о"(.г) -г р1(,т)а'(,т) ф-) 4 -----------------. Другой метод связан с заменой независимого переменного. Пусть t - ^(.т). тогда у - у” - - y'tp''H. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем J/«(/(J’))2 1 y'tr'W т -Pz(-r)y =- 0- Полагая - Р1(ДЛ.Д - о
100 Глава IV и решая это дифференциальное уравнение, находим /(ж) rexpl - [ Piifidt] \ Jxo J (.то = const £ /; x e I', c ~ const 0). Отсюда, интегрируя по ar, находим функцию ^(т). При такой замене исходное уравнение принимает вид у" - Q(t)y = 0, где производная вычисляется по переменному t и «"Ж W О-)) (предполагается, что Vx е I <Д(х) 0). Исследуем направление выпуклости графиков решений и рас- положение нулей решений уравнения у" + у(х)у = о (нулем решения у - р(х) называется точка ,tq G I, для которой ip(xo) = 0). Если в этом уравнении q(x) < 0 при а < х < fl, то в области у > 0; а < х < fl имеем у" = ~q(x)y > 0. Поэтому в такой области графики всех решений выпуклы вниз. В области у < 0; о < х < в имеем у" < 0, так что графики всех решений выпуклы вверх. В обеих областях графики выпуклы в сто- рону оси абсцисс. 4.4.1. Утверждение. Если р — решение на I уравнения у” - Рх(х)у' + р2(х)у ----- О, не равное тождественно нулю, и Дф) - 0 (Ф £ I), го р'(to) 0. Доказательство. Допустим, что pflto) — 0. Тогда в силу равенства pltffl - 0 на интервале I существуют два разных решения этого уравнения с одними и теми же начальными условиями (второе решение тождественно равно нулю на 1). Это противоречит теореме единственности. 4.4.2. Утверждение. Решение р уравнения у" • pi(x)y! - - Р2(х)у -- ()• не равное тождественно нулю, не может иметь беско- нечно много нулей на отрезке [a. b] С I. Доказательство. Предположим противное. Пусть решение Р Ф 0 имеет на |а. Ь] бесконечно много нулей. Тогда существует последовательность таких нулей, сходящаяся к пределу хо е
Линейные дифференциальные уравнения 101 е [а, 6]. Так как д(.гц.) — 0. к = 1,2,..., то из непрерывности функ- ции д в точке .го следует, что дДо) = О' При этом // \ г д(.т/с)-д(т0) „ д До) — lim ------—-----= О, k—х Хк - .Го что противоречит утверждению 4.4.1 (при указанном предположе- нии, не ограничивая общности, можно считать, что хк Д хо, к = -- 1,2,...). 4.4.3. Утверждение. Пусть \/х £ [а. 6] q(x) 0. Тогда любое решение -р уравнения у" + <1(х)У = 0 имеет на отрезке [а, 6| не более одного нуля (за исключением реше- ния. равного тождественно нулю на этом отрезке). Доказательство. Пусть хд.Х2 6 [а,&]; ад < и д(ад) = = д(аг2) -- 0. На отрезке [ад, Х2] функция согласно утверждению 4.4.2 имеет конечное множество нулей. Пусть х = а и х = в — два соседних нуля (о < й). таких, что а, в € [яд.ад]. При a < х < ,В функция д не меняет знак, например д(а?) > 0 (если же д(.с) < 0, то рассмотрим вместо д решение — Тогда ^(а) = д(,Й) = 0, так что согласно утверждению 4.4.1 д'(ст) 0. Так как Vx £ (ст, В) д(.т) > 0, то д'(а) > 0 и Д'(.т) = ^(.т)д(х) > 0 (те (ст, 3)) Значит, производная д' не убывает на [ст. й], так что из неравенства д'(ст) > 0 следует, что д'(а") > 0 (х G (а. В)). Поэтому д возрас- тает на [о, Й]. и поскольку д(о) = 0, то д(8) > 0, и мы пришли к противоречию. Утверждение 4.4.3 доказано. Теорема о чередовании нулей Нули любых двух линейно независимых решений уравнения У” Р^г)у' < Рг(.г)У = 0 строго чередуются (з. е. в промежутке между любыми двумя сосед- ними нулями каждого из этих решений содержится ровно один нуль другого репи ния). Доказательство. У любых двух таких решений нет общих нулей (действительно. в противном случае их определитель Врон- ского был бы равен нулю и эти решения оказались бы линейно за- висимы). Пусть ,Г1 < Х'2- и пусть ^(Г1)-^2)= 0,
102 Глава IV где р — решение этого уравнения на интервале Т, хдрхд G I. причем .ti и х-2 соседние нули решения р. Если ч-’ - другое решение и Vx G рьяр Ср) ф 0, причем решения <р и ф на I линейно независимы, то на отрезке pi, аД имеем ф(х) р 0 и Wp) Ф 0 р 6 [ад.жг]; Bz(x) — определитель Вронского решений р и 0). Поэтому /ДА' , х РРДР) ~ 4>\х}р(хф _ ИД) ДР))2 РР))2’ так что производная фр/фф на отрезке [хд.ггг] сохраняет знак и функция р/ф строго монотонна. Поскольку y>pi) = Д.гг) =- 0, то это невозможно. Стало быть, в интервале рь^г) имеется хотя бы один нуль решения 'ф. Соглас- но утверждению 4.4.2 множество всех таких нулей конечно. Если этих нулей более одного, то в интервале между любыми двумя из этих нулей нет ни одного нуля решения р, что невозможно. Поэто- му в интервале фсдухф) есть ровно один нуль решения Ф. Теорема доказана. Теорема сравнения Пусть Q(x) ф q(x) р е /) и функции Q и q непрерывны на ин- тервале I. Тогда либо в интервале между двумя соседними нулями а и b любого решения р р 0 уравнения У1' т- <1(х)У = 0 имеется хотя бы один нуль любого решения ф 0 уравнения z" - Q(x)z = 0, либо Ффф - ф(Ь) - 0 и Q(x) q(x) (тер]). Доказательство. Предположим, что для решений д и Ф имеем ДР - 0 и Vj- е (а.Ь) р(х) ф 0 и ф(х) / 0. Пусть, для определенности. Vx € ф.Ь) р(;г) > 0 и ср) > 0 (если это не так. то вместо р и ф можно рассмотреть решения уд = —р или с'ч ' —с). Умножая первое уравнение на z — ч’ > 0. второе на у = р > 0 и вычитая одно из другого, получаем y"z - yz" t РР) - Q(x))yz .. 0. Так как у z - yz = (у z - yz ) ,
Линейные дифференциальные уравнения 103 то. интегрируя левую часть полученного равенства по х от а до Ь, имеем (y'z ~ yz')\^b - (y'z - yz'^a =-- / (Q(x) - q(x))yzdx. J a Поскольку y(«) = ?/(&) = 0 (т.е. >^(a) <д(6) = 0), то левая часть последнего равенства приобретает вид У z\x=b — у z\x=a. Так как V.r G (a, b) у?(х) = у > 0 и согласно утверждению 4.4.1 Д(а) 0 и Д(Ь) 0, то Д(а) > 0 и Д(й) < 0. При этом z = V’(.t) > 0 (.г € (a. b)), так что в силу непрерывности функции ф в точках а и Ь Ф(а) д 0 и гу(Ь) ф. 0. Поэтому y’z\.T^b - у'z\x=a = - ф(а)уф(а) < 0. В то же время I (Q(.x')-q{x)')yzdx^0. J а Если хотя бы одно из условий ф(а) = 0; ф(Ь) = 0: Q(x) - g(x) (,r G [a.b\) не выполняется, то мы приходим к противоречию. Тем самым теорема доказана. 4.4.4. Пример. Оценим расстояние между соседними нулями для решений уравнения у” +- у(х)у = о. предполагая, что \/х G [о, 0 < т2 < g(,r) С Л/2 (m. М = const > 0) и функция q непрерывна на отрезке [а, Ь]. Для этого сравним это уравнение с уравнением z" 4- \l2z 0, для которого z - (\cosMx • с2 sin .W.c - di sinA/(;r + 42) (<T.c2.4i,42 -- const). Пусть .го и эд - соседние нули решения у - уфх). Полагая d-2 = • -.со- имеем c(.i’o) 0. Из теоремы сравнения выводим, что следующий нуль .г2 решения z содержится в полуинтервале (хо. эд]. При этом .г-2 - .то д/. так что ЗТ - .Г() > .7'2 - .Го -
104 Глава IV Далее рассмотрим уравнение и"+т?и = 0. Для этого уравнения и - ci cos?».!: у С2 sin гпх - (I3 sin т(х 1 (Ц) (da. d.4 -- const). Рассуждая аналогично, получаем, что 7Г - Х0 . т 4.4.5. Замечание. Из утверждения 4.4.3 следует, что в случае, когда Vj~ > яд q(x) < 0, любое не равное тождественно нулю решение уравнения у"+(1(.т)г/ = 0 имеет на интервале (a?i, +00) не более одного нуля, т. е. является неколеблющимся. В случае, когда V.t xi g(x) т2 > 0 (т = const), из теоремы сравнения и примера 4.4.4 следует, что любое решение этого уравнения на интервале (хц+оо) имеет бесконечно много нулей, т. е. является колеблющимся. 4.4.6. Замечание. Для некоторых типов уравнений второго порядка, имеющих важное значение в теории и приложениях (на- пример, рассмотренные выше уравнения Бесселя, а также так назы- ваемые уравнения Эйри, Матье, гипергеометрические уравнения и другие), детально изучены свойства их решений и составлены соот- ветствующие таблицы специальных функций. 4.5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 4.5.1. Определение. Уравнение вида УМ 4 -т . . . +рпу - 0. где pi,... .рп - постоянные (вообще говоря, комплексные), называ- ется линейным однородным дифференциальным уравнением с по- стоянными коэффициентами. 4.5.2. Замечание. Из сформулированного определения следу- ет. что функции pi...рп определены и непрерывны всюду на R. и поэтому можно положить I-RhG - I х ]Rn R/4-1. Таким образом. V(x’o.^) е R"''1 существует единственное определенное на IR — l(j'o.j/) решение р линейного однородного уравнения с посто- янными коэффициентами, удовлетворяющее начальным условиям ^О)(то) = Уз- j = 0..n —1 (здесь у - (у0..i/n-i)). Вообще говоря, р: IR (С. Если же все коэффициенты pi... рп вещественны, то существует вещественное решение р с указан- ными свойствами. 4.5.2. Утверждение. Пусть р,(х) .Л exp(A,.r) (xeIR).
Линейные дифференциальные уравнения 105 где kt = const G No; Ъ ~ const G С, ? = 1...., п, и пусть (kj, А<) / (к3, АД. i,j = 1, .., n: i / j. Тогда, функции <рг,..., (рп линейно независимы на R (над полем С). Доказательство. Пусть a,...,cn = const G С, и пусть Vt е в п п ^2 =- ^2 c^kl ехр(Лгят) = 0. 4=1 4=1 Пусть m £ N — число различных элементов семейства {Ах,.... А„}, тогда m п. Не ограничивая общности, можно считать, что числа Ai..., Ат попарно различны. При таких условиях предыду- щее соотношение равносильно равенству У2 Pi (х) ехр(Аг.т) = 0, 4 = 1 где Pt, i - 1,..., m, — некоторые многочлены от х с комплексными коэффициентами. Покажем, что Рфх) — 0, i = 1,..., m: х е R. При m = 1 это означает, что из равенства РД.т) exp(Aix) -= 0 следует, что Р1(х) — 0 (х G R). Пусть m 2, и пусть m— 1 ^2 Д(т)ехр(А?х) 4- Pm(z) ехр(Атх) 0, 7^1 т. е. in — 1 £ Р(.т) ехр((Аг- - Am).r) + Рт(х) = 0. 7-1 При этом Аг- Аш, так что А, — Ат / 0. г = 1,..., тп — 1. Продифференцировав последнее равенство достаточное число раз по х. получим, что 777 — 1 У2 С,(т)ехр((А, - Am).r) = 0, 4 = 1 где Q, - многочлен той же степени, что и Pt. i - 1.т — 1. Предположим, что Q, = 0. так что Pt = 0. i — 1......in — 1. Тогда и Рт 0. Таким образом, методом индукции по т G N мы показали, что P,(.i') = 0. i - 1.in: х G R. Поскольку (Aj.A,) /- (kj,Xj). (i,j = 1.n: i j). то каждое из чисел Ci,.... c,t. отличное от нуля, является коэффицентом неко- торого из многочленов Р;. ? - 1..т. Поэтому щ = ... = сп = 0. и утверждение 4.5.3 доказано. В уравнении ‘ - ... + Рп</-0
106 Глава IV положим у = ехр(Ах) (А —- const е <С). Тогда получим, что левая часть равенства равна /(А)еА‘г = 0, где /(А) --- Хп Api А"'1 +... +рп — так называемый характеристический многочлен этого уравнения. Уравнение /(А) = 0 называется характеристическим уравнением. 4.5.4. Утверждение. Пусть Ао - корень характеристического уравнения кратности к. Тогда функции рт(х) = т'п ехр(Аох), тп — 0,..., к — 1. являются решениями дифференциального уравнения у(п) . . + рпу = 0 всюду на R. Доказательство. Пусть р — комплексная функция, п раз дифференцируемая на R, и пусть Цр) = 4 ...1-Рп^ тогда L(eX:c) = f(X)eXx (.reR.AeC). Дифференцируя это равенство m раз по комплексному перемен- ному А и используя формулу Лейбница, получаем (Т(еАД)(т) - L ((еАДт)) - ЦттеХх) = (X)xm~seXx s-Ш = 0....к — 1). Так как .s < т < к — 1, то ДДАо) = 0. и поэтому L(xmeX(>x) = 0 (?/; -- 0.к — 1). Утверждение 4.5.4 доказано. Теорема о фундаментальной системе решений Пусть А]....Ат — все попарно различные комплексные корни характеристического многочлена с кратностями Ад...km соответ- ственно. Тогда функции ехр(А,.г): техр(А,.г):...: .г*'1-1 ехр(А,.г) (.г е R: i — 1..in) образуют фундаментальную систему решений уравнения у(,1) 4 Р1У(п~Г) .4 РпУ - 0. Доказате л ь с т в о. Согласно утверждению 4.5.3 эти функции линейно независимы на R (на;; полем С). Каждая из них является решением на R этого уравнения согласно утверждению 4.5.4. Число этих функций равно гп УУ кг - degf n dim К ?-1
Линейные дифференциальные уравнения 107 где V --- «-мерное векторное пространство решений на В, указанно- го уравнения. Следовательно, эти функции образуют базис прост- ранства решений. Теорема доказана. 4.5.5. Замечание. Если все коэффициенты характеристичес- кого многочлена /(Л) вещественны, то можно найти вещественный базис пространства решений над полем R. Для этого следует, обо- значив функции, рассмотренные в предыдущей теореме, заметить, что в случае вещественных коэффициентов характерис- тический многочлен наряду с корнем А R имеет корень А / А, комплексно сопряженный с А (той же кратности). Поэтому при под- ходящей нумерации имеем ~ ““ ^’1? • • • , -рт ’ ^т’ч ‘'ргп,—1 ’’ — '•> • • • 5 '•р2т “ причем т < ?z/2 и функции щ, гц,..., um, vm,p2m t ь • • •, вещест- венны. При этом функции «4, щ,... ,um,vm также являются на В решениями уравнения -Р1У(п-1) + • • + рпу = 0. Более того, функции щ, щ,..., um, vm, р2тт1, • • • ,рп образуют вещественный базис пространства решений над полем В. Действи- тельно. число таких функций равно п и они линейно независимы на В. так как если C1U1 -г C2't’l - ... + спрп = 0 (ci...сп = const е R), то 2С1(^1 + Pi) + 2г-<г’2(‘е1 Pi) + • спрп — 0, Поскольку функции р......рп линейно независимы на В. (на; полем С), то С2 С'2 п с’1--Г = С1---г ---- ... = сп - 0. 7 7. и поэтому с*1 — ... — с„ 0. 4.6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение - piy{n^'1') -I- ... рпу -- q(.r),
108 Г л а в a IV предполагая, что pi,....pn — комплексные постоянные и q -- ком- плексная функция, непрерывная на интервале I. Такое уравнение называется линейным неоднородным уравнением n-го порядка с по- стоянными коэффициентами. При таких условиях V(x’o,y) € I х R” существует единственное определенное на максимальном интервале 1(х'о,у) = I решение р этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ДЫ у3, j^0,....n-l (здесь, как и выше у = (.уо, • • • ,уп-1У)- Зная фундаментальную систему решений соответствующего од- нородного уравнения, частное решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных (см. разд. 4.3). Если же функция q имеет некоторый специальный вид, то для нахождения частного решения можно использовать сле- дующее утверждение. 4.6.1. Утверждение. Пусть р±.....— комплексные посто- янные, и пусть Ф) =-Р(х)ехр(А0.г), где До - const 6 С и Р(х) -- многочлен от х над полем С (х € R). Тогда линейное неоднородное уравнение с постоянными коэф- фициентами ум - Pi;y(n-1) + • • -1- РпУ =~ q(j-) имеет единственное определенное на R решение ро вида Ро(х) = xkQ(x) ехр(Аот), где Q — многочлен той же степени, что и Р. и к - кратность корня До характеристического многочлена /(Д) этого уравнения (если /(До) /- / 0. то считаем, что к - 0). Доказательство. Требуется подобрать многочлен Q(x~) так, чтобы функция ро была решением на R линейного неоднородно- го уравнения. Используем метод неопределенных коэффициентов. Пусть m Р(х) V ,s=0 где р’т -/ 0, так что degF m. Пусть, далее. Q(-c) где qin / 0. Коэффициенты qs определяем из равенства L(.rA'Q(.T)exp(A0.r)) Р(.т) ехр(До.т).
Линейные дифференциальные уравнения 109 Используя линейность отображения L, левую часть последнего равенства представим в виде (т \ т ехр(Аох) j = У' qsL(xSTk exp(Aoz)). s=0 / s=О Поскольку L(exp(Aa:)) -= f(X)eXx. то, дифференцируя это ра- венство s + к раз по Л получаем формулу zJs ¥к j(/(A)eXj:) = L(xs+k ехр(ХхУ). (I Л Подставляя это выражение в предыдущее равенство при А = Ао, находим т / \ I " s=o \ал 7 ia-a0 т s + к - £<7s£C^/W(Ao)^+fe^exp(Aox) = Р(х)ехр(Аот), 1/^0 если т s -в к т £9s£c^,/W(AoX+a-^ = у>х. s-0 Z/—0 s^=0 По условию. ДДАо) = 0. v 0..к — 1; /^(Ао) 0. Приравнивая слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях .г. получим уравнение для определения неизвестных qs. s = 0...т. Если приравнять коэффициенты при хт, то получим равенство я - к -- и = т. а так как можно считать, что v к. то ,s = т и ----- к. Поэтому уравнение для определения коэффициента qm имеет вид qmck^k\x0} = Р*т- Отсюда однозначно определяется qm, поскольку /^^(Ао) 0. Приравнивая коэффициенты при х1 (0 < i < rn). имеем я — к — - v = г. и так как р > к. то i я. В результате для определения 7, получим уравнение вида 4q^i....Qm) --- р). где функция h зависит только от тех коэффициентов многочлена Q(.г), индексы которых больше /. Поскольку коэффициент qm опре- деляется однозначно, эти уравнения показывают, что все коэффи- циенты многочлена Q(x) определяются единственным образом по- следовательно при уменьшении индекса i от т до 0. Утверждение 4.6.1 доказано.
по Глава IV 4.6.2. Замечание. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения может быть применен и в случае, когда = дДж) + ... I- qi(x), где каждая из функций 91 (х),.... 9/(ж) имеет вид, указанный в формули- ровке утверждения 4.6.1. В этом случае <^о(ж) у?1(ж) + • • • + /з/(.т) (ж е R), где — частное решение уравнения L(y) = qj(x), j = = 1,...,/. Действительно, при таких условиях L(ip) = + ... г £(^г) = qi(ж) + ... - qi(x) ф). 4.6.3. Замечание. Пусть в уравнении ум +piy(n-1) + • • -^РпУ = q(x) pi,... ,рп — вещественные постоянные и q(x) = 91 (ж) = Р(ж) ехр(аж) cos/5т либо д(ж) 92(ж) = Д(ж) ехр(аж) sin 0х, где Р(х) — многочлен с вещественными коэффициентами и о, 0 — const е R. Тогда частное решение этого уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов, если использовать то обстоятель- ство. что ехр(аж) cos 0х — Re(Q(.r)) и ехр(аж) sin/Зж = Im (<2(ж)), где (?(ж) --- Р(ж)ехр((а - 10)х). Если i^o - комплекснозначное решение уравнения L(y) - Q(x). то Re(^o) является решением уравнения L(y) - qi(x), a - решением уравнения L(_g) = 92(ж). 4.6.4. Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линейной консервативной системы с одной степенью сво- боды с силовым членом q(x). имеющее вид у" -г а2у - 9(ж) (а = const > 0). Пусть д(ж) — М sinu-'ж (Л/. - const: u? > 0). Согласно замечанию 4.6.3 следует рассмотреть уравнение у” • а2у -- AI ехр(гмж). Возможны два случая:
Линейные дифференциальные уравнения 111 1) a) а (так называемый нерезонансный случай); 2) ш — а (резонансный случай). В первом случае частное решение следует искать в виде до(-7') Im (Ьехр(шлг)) (b =- const). Полагая у - ipo и подставляя в наше уравнение, находим 6(а2 - w2) = М, т. е. . . М . У’о(з’) '= —>-rsmwx. о* - х- Решая однородное уравнение У" - а2У = О изложенным выше методом, находим решение у? соответствующего неоднородного уравнения: у>(х) = Asm(ax — с) з—5——л sinwx (А, с — const). а2 — аА В рассматриваемом случае движение представляет собой сумму собственных колебаний с частотой а и вынужденных колебаний с частотой ш. Если же <?(.т) = М cosw.r, то аналогично получаем решение в виде . , л . . . М у>(х) = Asin(ax + с) н—z---л cosw.t. а2 - ам В случае резонанса, когда а -- ш, решение уравнения у" — а2 у = Л/ ехр(гшх) ищем в виде ^о(-*0 -- bx exp(twr). После подстановки у — у?о находим Ь = так что Щ)(т) —-ехр(гиЛг). Поэтому решение неоднородного уравнения представляется сле- дующим образом: Л/т Д.г) 'До(.г) I- Asin(wj- - с) —--exp(zwj-) Asin(a>.r н-с). 2гы’ Таким образом, при резонансе амплитуда вынужденных коле- баний неограниченно возрастает при .г -> эс. Имеются и другие методы решения линейных уравнений с по- стоянными коэффициентами. Например, методы, основанные на ис- пользовании рядов Фурье, а также операционный метод, использу-
112 Глава IV ющий преобразование Лапласа (этот метод позволяет находить ре- шение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, не находя общего решения). 4.6.5. Пример. Уравнение Эйлера имеет следующий вид хпум + p1in~1i/(n’1) + ... + рп-\ху'+рпу = q(x). В этом уравнении, как и выше, рх,... ,рп — постоянные и функция q непрерывна на интервале I, не содержащем точку 0. Такое уравне- ние сводится к линейному неоднородному уравнению с постоянны- ми коэффициентами с помощью замены независимого переменного х — е1 (если Vx € I х > 0) или х — —е* (если Vx е I х < 0). Действительно, при х > 0 У - / ~ е У" = e-hy't't- y'tY Методом индукции по k е N нетрудно проверить, что вообще ?/4 -- + bkiy^11 -i- V где bki — постоянные, i - 0,.... к — 1. Подставляя значение у^к\ к = 0,... ,п, в уравнение Эйлера, по- лучаем линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Ха- рактеристическое уравнение для этого линейного уравнения имеет вид А(А - 1)... (А - п V 1) +piA(A - 1)... (А - п -2) 1 ... + р„_1А ^рп = 0 (т. е. каждое произведение хку^ заменяется на произведение А(А — 1)... (А — к + 1). к ----- 1.и).
Глава V ЛИНЕЙНЫЕ однородные СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5.1. Норма и экспонента матрицы В этой главе рассматриваются линейные однородные системы дифференциальных уравнений вида у' = Ау, где А квадратная матрица размера п, х п с постоянными (т. е. не .зависящими от .г) элементами (вещественными или комплексными). Используя полученные выше общие результаты для линейных сис- тем. можно утверждать, что V(.ro.y) € R"4’1 I(xo.y) = R. Пусть A = (a,j), i.j = Положим PII - п шах 5= О, тогда Р|| - 0 в том и только в том случае, когда А = 0 - нулевая матрица (т.е. = 0, i,j = 1 п). Кроме того, если е е С. то ||сЛ|| = |с| ||Л||. Если еще В -- (btJ G С; i. j = 1,..., /г), то ||Л-В|| -п max {|o(J - bj} «S н max {\а1}\ ‘ |6,7|} p|| + ||B|| I < I. J n 1^.1.j^.n и {n. / ^isbsj г O'2 max {|o(sp|} < Pt J С» max {|c,.s.|}/? max {\bSJ\} = ЦЛЦ ||B||. 1 . S 71 По индукции получаем, что PA'II < РГ к 1.2............. Число РЦ называется нормой матрицы А.
114 Глава V Далее положим А° Е, где Е — единичная матрица размера п х п. Пусть m Sm(A) = V —Ак, иг 0,1,.... к'. k=0 Если т.р € N и т > р, то ||5„г(Д)-5р(Д)|Н — Ак , кА к=р+1 т - < Е й11<-0 fc—р+1 при т,р —> оо. Поэтому, полагая т . Е Д = (Д”). fc=p+l можно утверждать, что lim а^'р^ = 0, гД = 1,..., п. m.p^O При фиксированных i.j, таких, что 1 С г (ni)-i о (т) последовательность }, для которой atj Sm(A), стоящий на пересечении z-й стороки г, j < zz. рассмотрим — элемент матрицы и j-ro столбца. По- скольку п(т,р) _ Uij ~ - «У (т,р е IN; т > р), то эта последовательность удовлетворяет условию критерия Коши и поэтому является сходящейся. Положим ехр А -- ^-Ак = ( lim , г. j -- 1...п. ' А’! \т—>оо J / к=0 и назовем полученную матрицу ехрД экспонентой матрицы А. В частности, при п --- 1 получаем обычную экспоненту. Свойства экспоненты матрицы а) ехр© = У ~ Е (действительно. ©° Е и 0к = 0, к = 1,2,...). б) Если Д.г) = ехр(Д.г). то Vj: е R о'(.г) = ДД+) - Д.г)Д. (дифференцировпние осуществляется поэлементно).
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами 115 Доказательство. Если х е R, то / °° 1 \ ' / 00 дк \ ' ф\х) (exp(Air))' = £ = zL ТГ^ " \fc=O / \fc=о / °д 1 — 2J ~Аккхк~} = Аехр(Аж) = ехр(Ах)А. Ь--1 *' Почленное дифференцирование законно, поскольку (г, Д-й эле- мент матрицы ехр(Л.г) равен сумме степенного ряда fxMrv, ДО сходящегося всюду на R (здесь 0, i,j = Дейст- вительно, и ряд у* IK к-1 к=1 СХОДИТСЯ. в) (ехр(Ат) Д') = А^’ехр^т) - ехр(Д;г)АА’. к = 0,1,.... Это свойство получается из предыдущего методом индукции по к е N (при этом учитывается, что матрицу А с постоянными эле- ментами можно выносить за скобку при дифференцировании). г) Если .7'1,.7’2 G JR., TO ехр(А(щ у т2)) = ехр(А.т1) ехр(Дт2). Доказательство. Пусть х = .щ .г2. тогда, разлагая функ- цию ехр(Аг) в ряд Тейлора по степеням х — .щ (что возможно, по- скольку такое разложение осуществляется поэлементно), получаем exp(A.-ri)Afe . -----------(х~хг)к - А—0 =-• exp(Ari) ^2 ~ ехр(Аг1)ехр(Лт2). д) Всегда det(expA) /Он (ехрЛ)-1 - ехр(—А). Действительно, полагая .щ — 1 и .т2 —1 и используя утверж- дение пункта г), имеем ехр0 - Е - (ехр А)(ехр( —А)).
116 Глава V 5.2. Фундаментальные системы решений Теорема о фундаментальной матрице Если 0(.т) — ехр(/1.г) Д е R), то матрица ф является фундамен- тальной матрицей системы у' = Ау. Доказательство. Согласно утверждению свойства б) ф'(х) = Аф(х) (х е R) Если дД),..., фп(х) — столбцы матрицы ф(х), то \/х € R <^Д) = Аф-фх). j = т.е. ф1...фп — решения этой системы. Поскольку det<^>(z) О Д € R). то функции ф\.... ,фп линейно независимы на R. (над полем С). Поэтому эти функции образуют базис пространства решений системы у' - Ау. Теорема доказана. 5.2.1. Утверждение. Пусть А и В — квадратные матрицы размера п х п, и пусть АВ - В А. Тогда ехр(А + В) — ехрАехр(В) --- ехр(В) ехр(А). Доказательство. Если АВ = ВА, то АкВ -- ВАк, к = = 0.1,.... и поэтому °° 1 °° 1 °° 1 (ехрА)В =. £-A“B = £ -ВЛ" -Л1 = В.хфА А--=0 А--0 A: rj Положим ф(х) = ехр((А + В)х) — ехр(Ах) ехр(В.г), тогда V.r е R ДД) = -- (А а В)ехр((А В)х) - Аехр(Ат) ехр(В.т) - ехр(А.т)В exp(Bz) - - (А- В)ехр((А — В)х) — Аехр(Ах) ехр(В;г) - Вехр(А.т)ехр(В.г) = -= (А - В>Д). Кроме того. d>(0) Е — ЕЕ =- 0. Поскольку каждый столбец матрицы О является решением системы у' - (А • В)у и при х -- 0 совпадает с нулевым столбцом, то по теореме единственности каж- дый такой столбец совпадает с пулевым столбцом всюду на R. т.е. V.?’ е R <?(.г) 0. В частности. 0(1) 0 - ехр(А В)- ехр(А) ехр(В). Утверждение 5.2.1 доказано. Пусть det (А—ХЕ) 0 - характеристическое уравнение для мат- рицы А. все попарно различные комплексные корни которого суть А]....А;. (А- и), и пусть 1ц.1д. - кратности корней Aj,...,Aa- соответственно. Тогда n, 1 (? =- 1.k): щ - ... - - д. Как
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами 117 известно из алгебры, числа Ai,..., Ад. называются собственными зна- чениями матрицы А. Теорема о фундаментальной системе решений Пусть А - квадратная матрица размера n х п (вещественная или комплексная) и Ai,..., Xk — все попарно различные собственные значения матрицы А с кратностями тц,..., щ соответственно. Тогда существует фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами у' = Ау, элементы которой суть n-мерные векто- ры-столбцы, причем каждому собственному значению X, соответст- вует в точности щ таких векторов. Компоненты каждого такого вектора являются произведениями функции ехр(А^яг) на некоторые многочлены от х степени, не превосходящей щ — 1, г = 1,.... к. Доказательство. Из алгебры известно, что для матрицы А существует матрица Р размера п х п, такая, что det Р 0 и матрица Р-1АР - А* имеет блочно-диагональный вид. По главной диагонали этой матрицы последовательно расположены тц чисел Ai, п-2 чисел А>2. ад чисел Ад,- Блоки являются квадратными матрицами размеров ni,..., пд: в нижних частях этих блоков (т. е. под их главными диагоналями) стоят нули, а в верхних частях — возможно, отличные от нуля эле- менты. Все остальные элементы матрицы А* равны нулю (такая матрица называется жордановой нормальной формой матрицы А). Имеем V;r G IR (р-1 др\т ехр(Р-1АРт) = ехр(Л*.г) = -----^—х"1 = т=0 т‘ р-1лтр / дт \ = У 1—2—У™ = Р”1 У —-хт Р ------ р-1 ехр(А.т)Р. zn! \ т'. / т—0 \т~О / Отсюда следует, что Рехр(А*.г) = ехр(А.т)Р. Поскольку ехр(Ат) является фундаментальной матрицей сис- темы у' - Ау. то из условия det Р 0 следует, что ехр(А.т)Р - = Рехр(А*.т) — также фундаментальная матрица этой системы. При этом матрица А* состоит из блоков А(...А^, где (А; ' • • * \ : I О А,/ — матрица размера п, х п, (?' - 1.к: символ * означает, что на указанных местах матрицы А), возможно, стоят отличные от нуля элементы).
118 Глава V При rn = 0,1,... матрица (А*)т имеет блочно-диагональный вид и состоит из блоков (Aj)т,..., (А£)т, и поэтому в силу равенства explA-x) ЧН” тп--=О матрица ехр(А’.т) также имеет блочно-диагональный вид и состоит из блоков ехр(А[.т)... , ехр(А^т). (А • • • *\ ' •. • I матрица размера s х s. Тогда о •• Вх — ХЕх + (В — ХЕ)х, причем ХЕх{В — ХЕ)х - (В - ХЕ)хХЕх. Согласно утверждению 5.2.1 отсюда следует, что ехр(Вт) — ехр(АЕт) ехр((В — ХЕ\х) - - еЛ'тЕехр((В - АЕ)х) = еАл ехр((В - ХЕ)х). / 0 • • • * \ При этом В — ХЕ = I ’• ' . • I, так что при т = 1,2,... \0 О/ /О • *\ (в-AE)m I ; ••. ; I. \о о/ Кроме того, все элементы матрицы (В — АЕ)т, для которых разность между номером столбца и номером строки не превосходит т — 1. равны нулю: т ----- 1.2. Значит, (В — АЕ)т -- ® (т ,$), так что v ^в-ХЕГ,п ~ т\ " ’ 777 = 0 Полагая последовательно В = А*; .<? - nt, i -- 1.к. получаем, что матрица ехр(А’,х) состоит из блоков Q,(.r) ехр(А,.г). где Q,(.r) - матрица размера п, х п,. по главной диагонали которой стоят еди- ницы. под главной диагональю — нули, а над главной диагональю - элементы ^(.r) (р -- 1,... .п, — 1: v = 2 и,), где q^l(x') — мно- гочлены о г .г степени, не превосходящей — 1. i = 1 к. Пусть Ад...Vn столбцы матрицы Р. Тогда первый столбец матрицы Вехр(А*.г) равен Vi ехр(А|х). второй ее столбец равен +• П2)ехр(А1.г)
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами 119 (если Hi > 2) и т. д.: столбец этой матрицы с номером гц равен + ... + + Vn1)exp(Aix) и так далее. Этим теорема полностью доказана. 5.2.2. Утверждение. Пусть все собственные значения Ai,..., А„ матрицы А имеют кратность 1, и пусть иг (отличный от ну- левого вектора) собственный вектор этой матрицы, соответствую- щий собственному значению A,, i = 1,..., п. Тогда вектор-функции и, ехр(А, т). i -= 1,..., п, образуют фундаментальную систему реше- ний линейной однородной системы у' = Ау. Доказательство. Пусть ф{ (х) — иг ехр(Агх). тогда ф'г(х) — Х(иг ехр(А,х) = Лигехр(А,х) = Лфг(х), поскольку по определению собственного вектора щ и соответствую- щего ему собственного значения Аг Аиг = Хгиг (г = 1...., п; х ё R). Из алгебры известно, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. Значит, векторы «1,..., линейно независимы. При х — 0 0,(0) -- щ, г -- 1,..., п, так что векторы ф1 (0),.... Оп(0) линейно независимы. Значит, вектор-функции ф±.....фп ли- нейно независимы и являются решениями системы у' = Ау. Это означает, что эти вектор-функции образуют фундаментальную сис- тему решений. Утверждение 5.2.2 доказано. 5.2.3. Замечание. Если все элементы матрицы А веществен- ны и среди элементов А|..А/,, есть числа, мнимая часть которых отлична от пуля, то можно добиться того, чтобы фундаментальная система решений содержала лишь вектор-функции с вещественными компонентами. Для этого следует выделить вещественную и мни- мую части у каждой компоненты и далее воспользоваться методом, изложенным выше (см. замечание 4.5.5). При этом, если у = у} — iy2 — решение системы у' - Ау и вектор-функции у1 и у2 имеют вещественные компоненты, то - у'\ 'Д‘2 -- АУ = АУ1 А *АУ2‘ так что у\ == Ау} и у2 --- Ау2 (если все элементы матрицы А вещест- венны). Значит, при таких условиях функция у* = ТЦ — iy? также является решением системы у' — Ау. и поэтому применим метод, изложенный выше. 5.2.4. Замечание. При известных значениях А],....Ад. и из- вестных их кратностях и,.щ.. вообще говоря, нет необходимости искать матрицу Р. приводящую матрицу А к жордановой нормаль- ной форме. Вместо этого можно записать все подлежащие опре- делению многочлены с неопределенными коэффициентами и затем
120 Глава V искать эти коэффициенты, используя тот факт, что полученные век- тор-функции должны быть решениями системы у1 = Ау. Эта процедура сводится к решению к систем линейных алгебра- ических уравнений (заведомо совместных). При этом следует выби- рать искомые вектор-функции таким образом, чтобы для каждого фиксированного значения i (1 < i < к) щ коэффициентов соответст- вующих многочленов остались произвольными, а остальные (пг -1) х хп,- коэффициентов линейно выражались через них единственным образом. Выбрав при каждом i = 1,... .к такую вектор-функцию и сло- жив их все, получим решение системы у' = Ау, зависящее от гц + г nk — п произвольных постоянных. Это решение будет линей- ной комбинацией п вектор-функций ф}...., фп с коэффициентами, равными этим постоянным. Тогда функции ф],..., фп будут обра- зовывать фундаментальную систему решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений вида у' = Ау. Изложенный метод нахождения фундаментальной системы ре- шений называется методом неопределенных коэффициентов, или ме- тодом Эйлера.
Глава VI НОРМАЛЬНЫЕ АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 6.1. Первые интегралы Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравне- ний вида у' = д(х.у). Будем считать, что Е С R”-1 и д: Е -> IR", и пусть Е = I х G, где множество G открыто в R.” и I — некоторый промежуток. 6.1.1. Определение. Нормальная система у' = а(х-у) называется автономной, если вектор-функция д не зависит от х (т. е. V(.ri, у), (лг2, v) е Е дД^/у) = д(х2,у)). Общий вид автономной системы таков: у' -= /(у) (здесь /(у) д(х,у). если х € I и у е G). Будем предполагать, что вектор-функция / определена и име- ет непрерывные частные производные первого порядка по всем пе- ременным на открытом множестве G С R", причём /: G —> R”. В дальнейшем эти условия считаются выполненными и специально не оговариваются. Из них следует, что функция / непрерывна (и да- же непрерывно дифференцируема) всюду на G. и поэтому локально удовлетворяет условию Липшица на G. Следовательно, выполняются условия теоремы существования и единственности решения с заданными начальными условиями, опре- делённого на максимальном интервале. Число и, е N называется порядком автономной системы у' ~ = Ду). При п =- 1. полагая у — у. получаем, что эта система равно- сильна уравнению первого порядка с разделяющимися переменны- ми. имеющему вид у' = Ду)-
122 Глава VI Если /(у) 4' 0> то отсюда следует, что Если же /(у) = 0, то из этого уравнения можно получить решения вида у Со = const, где /(Со) = 0. Таким образом, при п = 1 реше- ние автономной системы всегда можно выразить в виде интеграла от известной функции. 6.1.2. Утверждение. Пусть ф — решение автономной системы У' = /М определённое на промежутке I. и пусть с — const е R. Тогда, функ- ция ф(х) = ф(х 4- с) определённая на промежутке I — с = {t — с 11 G /}, является на этом промежутке решением такой автономной системы. Доказательство. Если х € (/ — с), то х 4 с е I, и поэтому ф'(х) = ф'(х + с) /(д(т + с)) = /((Дт)). 6.1.3. Утверждение. Пусть Фо - решение на промежутке 1о автономной системы у' — /(у) иф\ — решение на промежутке Ij этой системы. Пусть, далее, ,гд — внутренняя тонка П. Ху - внутренняя точка Ц и до (.то) = д1(-м)- Тогда, существует определённое на промежутке Iq U (Д — с) (с = ,Г1 — .Го) решение автономной системы, совпадающее с реше- нием ро та Д и с решением di(.r) = /1(.т т с) на промежутке Ц — с. Доказательство. Согласно утверждению 6.1.2 функция i/i(.t) — рД.г - с) является решением на промежутке Ц — с систе- мы у' - f(y). Если с = ад — ад. то -То G (Д С (71 — с)), причём ,7,д — внутренняя точка промежутка Iq О (Д — с). Кроме того, di(.ci) -- di(-To Л Ф до(тд). гак что рД.Го) до(то)- По теореме единственности решения рД и С>о совпадают на промежутке Д п (Д — (). Множество Д С (Д — с) является промежутком, в каждой точке которого определена хотя бы одна из функций pi или о0- Значит, 7(.г0.до(то)) - Дад,<М-(д)) D (Д U (Д - с)), гак что полное решение автономной системы, проходящее через точ- ку (ад- <Эо(.7д)). определено, в частности, и на промежутке Д и(Д —с). Утверждение 6.1.3 установлено. 6.1.4. Определение. Пусть ф - решение на промежутке I автономной системы у' -- f(y)- Тогда множество {д(т) | х <4 1} называется траекторией решения о.
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений 123 Из этого определения следует, что траектория решения ф всегда содержится в Rn. 6.1.5. Определение. Вещественная функция и, определённая и непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка на открытом множестве G С G, называется первым ин- тегралом автономной системы у' = f(y), если для любого решения Ф этой системы, траектория которого содержится в G, справедли- во равенство tz(d(.r)) = const (здесь х ё 7, где I — промежуток, на котором определено решение ф). Фигурирующая в этом определении константа, вообще говоря, зависит от выбора решения ф, но не зависит от х € I. 6.1.6. Утверждение. Любой первый интеграл и автономной системы у' - /(у) удовлетворяет условию: Vy е G £ё(в"й=° (здесь / - (Л, и ji = (yi,..., у„)). Доказательство. Из утверждений 6.1.2. 6.1.3 следует, что, не ограничивая общности, можно считать, что точка О является внутренней точкой промежутка I, на котором определено решение ф автономной системы, удовлетворяющее условию {<Д.т) | х £ 7} С G. Пусть у Е G. и пусть <э(0) - у (решение ф с такими свойства- ми заведомо существует). Тогда 2d' > 0: V.r 6 (—6, 5) ф(т) € G, и поэтому и(<р(.т)) = const. Дифференцируя это равенство по х и полагая затем х = 0. полу- чаем. что J-Л Утверждение 6.1.6 доказано. 6.1.7. Утверждение. Функция и. определённая, непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка и удов- летворяющая условию -о J-l yj всюду на открытом множестве G С G. является первым интегралом системы у' f(y)- Доказательство. Пусть ф решение на промежутке I этой системы, и пусть {о(.т) ] х е 1} С G. Тогда композиция и(д) опреде-
124 Глава VI лена и дифференцируема на I, причём Vx е I 0(х) е G, и поэтому (п(ф))'(х) --- ^2 = О- >=1 <' Значит, п(</>(х)) - const (х € /), т. е. и— первый интеграл автономной системы. Уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Для того чтобы найти первые интегралы системы, нужно научиться решать это уравнение в предположении, что у & G. Пусть п 2, и пусть a - (ai,..., an) е G. Положим G --U(a) С C G (здесь U(a) - некоторая окрестность точки а). Пусть, далее, щ,... ,Uk (к < п) — совокупность к первых интег- ралов автономной системы, определенных в окрестности G точки а. 6.1.8. Определение. Первые интегралы ui,..., и*,.. определен- ные в некоторой окрестности точки а, называются независимыми в точке а, если / ди, \ rang —— (а) = к. \ду3 J Из этого определения следует, что независимые в точке а первые интегралы автономной системы будут независимы и в пределах неко- торой окрестности этой точки, поскольку все частные производные ди, • 1 i 1 -—, I = 1.....А,*; 7 — 1.. .., п, дУ] непрерывны в такой окрестности. Теорема о существовании независимых первых интегралов. Пусть п 2, и пусть f(a) в. Тогда в некоторой окрестности точки ci существуют и — 1 независимых первых интегралов автоном- ной системы Ti' = Ш- Доказательство. По условию. Д/ е {1: Д(а) Д 0. Пусть, для определенности. fn(a) /- 0. и пусть у = (?ц.'М-ь an) € U(a) С G (здесь a -- ....an) и 11(a) - окрестность точки a достаточно малого радиуса).
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений 125 Пусть, далее, V — общее решение системы у' = /(у), и пусть Ух е 1(0,7/) Фо(Ъ,....г]п~1,х) = ^(т,О.т/) (предполагается, что О — внутренняя точка промежутка I, что не ограничивает общности). Пусть еще (^1 \ Уп / Уравнение у — 0о('^ь • , Уп-1,х) равносильно системе уравне- ний Уз = Д>(т/1,...,7/п-1,.г), j = 1...п. Если у =- (уг,... ,уп) — а, то эта система имеет решение г/!ах;...; т/„_1 a„_i; х = 0. При х — 0 '(/>(0,0,7/) = 7/ = (7/1,...,7/п-1.ап), и поэтому 0о(?71....7/п-1,0) = (г/1, . . . ,7/n-l.an). В частности, у>п('7/1, • • • • Уп - 1 • 0) Ort' Полученная система уравнений задает некоторое непрерывно дифференцируемое преобразование координат. Якобиан этого пре- образования в точке (fli,...,«п.1,0) равен /п(а) 0. Действительно, поскольку '/Д (?71- • • • > Уп-1'ty ~ 7/j, ТО (~Y1 = ((/1...r/n-l-O) 6tJ, М = 1........п- 1 (Jth (здесь 6tJ- символ Кронекера). Кроме того. ^•(ai......«п-1.0) - fn(a) 0 их и Уп(щ......7/n-i-O) a„. так что ^•(ai....,a„_i,0) ---0. i- 1.......(1-1. ту
126 Глава VI Следовательно, якобиан этого преобразования отличен от нуля и в некоторой окрестности точки (aj,.... an_i, 0). При условиях тео- ремы функция фо имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным в такой окрестности. Поэтому в неко- торой окрестности 11(a) точки а эта система уравнений однозначно разрешима относительно гц,..., r/n -i.x, т. е. Vy 6 U(a) i -= - 1; т = v(y). При этом все функции ui,.... un~i, v имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным у\,..., уп всюду в та- кой окрестности. Кроме того, ифа) -- аг, i = 1,..., п — 1; v(a) = 0. Рассмотрим матрицу (^-(a)^ , 1 i < п - 1; 1 j п. Ранг этой матрицы равен п — 1. Заметим, что </>o(ai, • • •, Яп-1,0) - = а. так что, если у - фо(''715 - • то у € Z7(a) при условии, что точка (7/1,..., г)п~1-х) достаточно близка к точке (ai,..., an-i,0). При таких значениях щ,..., цп~\.х Ui(y) = ифффщ,.. т)) = 7/(, г = 1.п - 1. Таким образом, u,(<po(^i, • • • ,T7n_j,;c)) = const (т.е. эта констан- та не зависит от х), i --- 1,.... п — 1. Значит, в некоторой окрестности точки а существуют 71 — 1 независимых первых интервалов автоном- ной системы. Предположение, что О - внутренняя точка промежутка I, не ограничивает общности, поскольку общий случай сводится к рас- смотренному линейной заменой переменного х. Действительно, если о(1о) С 11(a) и .Гц е Iq, где Iq — некоторый интервал. yQ = <t>(.ro) и «ДУо) W- < - ~ К Ду0) = ,ri; с = ,ri - т0. то V.r е Iq a,(o(.r)) = a.;(00(//oi.//o.n-i.T -1- с)) = ?/0;, i = 1.n - 1. Теорема доказана. 6.1.9. Утверждение. Пусть uj...., (/„_[ — совокупность и — 1 первых интегралов системы у' /(у), независимых в точке а. при- чем f(a) / 0. и пусть V произвольный первый интеграл этой системы, определенный в некоторой окрестности точки а. Тогда су- ществует функция у. определенная и непрерывно дифференцируе- мая в некоторой окрестности точки (ифа).....un~i(a)). такая, что V(y) " ^n-i^y)) ПРИ всех значениях у. содержащихся в некоторой окрестности точки а. Доказательств о. Существует окрестность 11(a) точки а. та-
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений 127 кая. что Vy С Z7(a) rang - п - 1. lo^n-l \uyj / Кроме того. Vy e W(a) =°, г = 1................................ri-1, 1 uUj J -1 J и 7-1 У3 Рассмотрим матрицу, в которой первые п — 1 строк образуют матрицу (du, \ . -д— У Ь 1 < г п - 1; 1 < j п, \dyj J а последняя строка совпадает с вектором ( dV dV \dyi dyn Если радиус окрестности ZY(a) выбран достаточно малым, то при фиксированном у 6 14(a) столбцы этой матрицы линейно зависимы. Действительно, поскольку /(а) Д 9, то окрестность 14(a) можно выбрать так. чтобы Vy е U(a) f(y) 9. так что 3j е :п}: Ыу) / О. Если из этой матрицы вычеркнуть последнюю строку, то полу- чим матрицу размера (п — 1) х п, ранг которой равен ??, — 1. По соот- ветствующей теореме из теории неявных функций существует функ- ция д. удовлетворяющая сформулированным условиям. Утвержде- ние1 6.1.9 доказано. 6.1.10. Следствие. Если /(й) / 9. то не существует сово- купности п первых интегралов автономной системы, независимых в точке а. 6.1.11. Утверждение. Пусть гц.щ.-- совокупность к пер- вых интегралов системы у' f(y). определенных в некоторой окре- стности точки а. и пусть g — вещественная функция, определенная и непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки (иДй)...«/.(«))• Если V(y) =- y(ui(y),.... иДу)) при всех значени- ях у. содержащихся в некоторой окрестности точки а, то функция V является первым интегралом этой системы.
128 Глава VI Доказательство. Существует окрестность 11(a) точки а, та- кая, что Vt/ е П(а) dV дд ,_,,диг ^0» “ LД• • “‘®))^(й. Поэтому все частные производные dV dV dyi'"" дуп непрерывны в указанной окрестности. Кроме того, всюду в этой окрестности Е ^ш(й - ЕЁ^(м«....,щй)|Дш®) = ^-(щ(у),.... ик(у)) - 0. поскольку согласно утверждению 6.1.6 п Теперь остается воспользоваться утверждением 6.1.7. Утверж- дение 6.1.11 доказано. 6.2. Понижение порядка автономной системы Теорема о понижении порядка автономной системы Пусть Ш,... ,ип (1 fc < п — 1) — совокупность п — k незави- симых в некоторой окрестности точки а первых интегралов автоном- ной системы. Зная функции щ-+1,..., un, можно понизить порядок этой системы на п — к единиц, т. е. заменить ее равносильной авто- номной системой порядка к. В частности, при к = 1 (т. е. когда имеется максимальное чис- ло и — 1 независимых первых интегралов и?.ип) порядок систе- мы можно понизить до первого и. следовательно, выразить реше- ние этой системы через неявные функции и интегралы от известных функций. Доказательство. Существует окрестность U(a) G G. такая, что Vy е U(a) ( dut А rang [—(y)]^ii-k. кю- \(bjj J 1 < 7 < Т!
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений 129 Такая матрица имеет размер (n — к) х п. причем в ней имеется минор (н — А')-го порядка, отличный от нуля. Не ограничивая общ- ности, можно считать, что этот минор образован последними п — к столбцами данной матрицы, т. е. Vy С U(a) rang ( |^(у)) = п - к. А?+ 1^2^77 \аУз / к ’ 1 Положим z, = yi:...: zk = уд-; г, = щ(у), i = fc-rl,..., п. При та- ком преобразовании координат достаточно малая окрестность 1А(а) точки а отобразится в открытое множество, содержащее соответ- ствующую точку (ai,..,, ак,uk щ(а)...., un(a)) (здесь a = (гц,..., Яп))' Положим далее z ~ (zi,..., zn). Если окрестность Ufa) выбрана достаточно малой, то Vy 6 Z7(a) z 6 W(ai,..., йкЛ/д-iT).un(a)), где ZY(ai,..., a/c, uk+ i(a),..., un(a)) — некоторая окрестность точки (<И....ak.UK~i(a), -,un(a)). Якобиан этого преобразования координат равен , (du, ,_Д , п к — 1 < ? < п: к + 1 < j < п, если у е W(a). Следовательно, существуют обратное преобразование, т. е. Vz € G W(aj.....ak. г/д-i(a)...un (a)) причем Vj(z) = z}, j — 1.к. Автономная система у' = f(y') может быть записана в виде У] = .Ыу)- j ~~ 1,...,п. Запишем эту систему в новых координатах Zi..zn. считая их функциями от д. При этом учтем, что г--1 dz, j --1-----п. В частности, у' -- z'. j - 1.к. Тогда эта система примет вид z't - — gt(z). i - 1..п (в силу однозначности обратного преобразования и отличия от нуля его якобиана). Так как и, — первый интеграл системы 5'=-/(у)- i^k-1.........п. то в новых координатах мы получим z, = с, = const, i - к 1.п. Подставляя значения этих констант в систему z’, -- i = 1........
130 Глава VI получаем автономную систему к-го порядка вида г' = 9,^,.. ..zk.ck^,...,cn), 1.... ,/г, поскольку при к + 1 i п дг(г-[...., zk, ckki,... ,с„) — 0. Так как г, = г/,, г = 1,..., к, то в старых координатах эта система примет вид у'3 =" 9j(yi, • ^Ук,ск+1,... ,сп), j = 1,... ,к. Найдя у1...ук из этой системы (являющейся автономной сис- темой к-то порядка), далее используем соотношения yj = Vj(yi...., Ук, ск+\,... ,сп), j = к + 1,... ,п, и с их помощью найдем ук+\,. ..,уп- Теорема доказана. Заметим, что если положить и = const, то функция и будет пер- вым интегралом системы у' - f(y). Соответствующая этой функции матрица-строка имеет вид \ду! дуп ) Поскольку ранг такой матрицы равен нулю, то этот интеграл не является независимым б.З. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Пусть множество G открыто в R"; а 6 G; 1Да) С G - окрест- ность точки а. Пусть, далее, I -- интервал, и пусть множество Е открыто в В,”*1, причем (W(a) х I) С Е. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение в частных про- изводных первого порядка, имеющее вид 52 Л^Чу))- Здесь F: Е —> R. причем предполагается, что функция F непрерыв- но дифференцируема на Е (в частности, F непрерывно дифферен- цируема на множестве Н(о) х Г). Функция F считается известной, а функцию (/ нужно найти. 6.3.1 Определение. Пусть и - вещественная функция, непре- рывно дифференцируемая в окрестности U(a). Функция и называ- ется решением уравнения 52 т если Vy 6 Z7(a) и ('у') е I и справедливо последнее равенство. Пусть у -- £(Н...tn-i) £ К" — заданное в параметрической форме уравнение поверхности в «-мерном пространстве. При этом
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений 131 (ti...fn-i) ё 77(0,..., 0), где 77(0,..., 0) — окрестность нулевого вектора в пространстве R”"1. Кроме того, пусть функция £ непре- рывно дифференцируема в этой окрестности и £(0.... ,0) = 5. Из последнего условия следует, что V(7j,..., tn_i) € 77(0, ....0) у = -- £(7], • • , tn-i) ё 14(a). если окрестность £7(0.0) выбрана до- статочно малой. Будем считать, что векторы ^(0,...,0);...;^(0,...,0);/(5) ОТ1 ОТп-1 линейно независимы над полем R (как элементы векторного прост- ранства R"). В частности, f(a) в. Пусть еще д: £7(0,..., 0) —> R, функция д непрерывно дифференцируема в окрестности £7(0,.. , 0) и V(H,..., (n-i) ё £7(0..0) д(1ц,... ,tn-i) ё I. Геометрический смысл условия линейной независимости векто- ров ^(0....,0), г - 1,... ,п - 1; f(a) состоит в том. что вектор f(a) не касается в точке а поверхности У .......(п-1)- Теорема существования и единственности решения При сделанных предположениях существует единственное ре- шение и уравнения определенное в некоторой окрестности точки а и совпадающее на по- верхности у — £(7i (п-1) <’ заданной функцией g(t\., tn-i). т. е. н(£(П....(п-1)) = ,й((1.(п-1)- если (71...£;_1) ё 77(0,... .0). Доказательство. Решение <7 автономной системы у' - f(y) удовлетворяющее начальным условиям: при .г = 0 ё(0Д1...7,,„1) -- £(7i...7„_i) ё 14(a). где 14(a) С G. выглядит следующим образом: У o(.r.t}.....tn-i) (такое решение существует и единственно, если (7,....tn-i) ё е £7(0...0) и 0 G I. так что существует окрестность £7(0) С I). Как
132 Глава VI и выше, предположение 0 € Г не ограничивает общности. Окрест- ность 17(0) можно выбрать так, чтобы V.r 6 [/(0) V(7i,..., 7n_i) £ е [7(0,...,0) д(жЛ1,... ,7n-i) е 77(a). Пусть 0 — (01,..., 0П), тогда, обозначая у ~ (yi,... ,уп), полу- чаем систему уравнений yi = 0г(т,71, ... г = 1,...,п, правые части которых имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным ж,7ц... ,tn-i, поскольку решение 0(ж, 7ц ..., 7n_i) непрерывно дифференцируемо по х, и начальным условиям £ц...,£п (здесь £ = (£i,... ,£п) и функции £{ = £,(7i,..., tn-i), i = 1,....п, непрерывно дифференцируемы по в окрестности [7(0,..., 0)). Если считать в полученной системе неизвестными переменные х, 7ц.... tn~i, то при у = а система имеет решение х = ...= tn-i = 0. Поскольку векторы ^-(0,... ,0), i — 1,..., п - 1; /(а) линейно независимы и 0(0, f 1,..., 1) = £(7ц..., tn_i), то ^(0,...,0)-^(0........0), г —l,...,n—1; ОТ i CJT i кроме того, ||(0,...,0)=-/(£(0,...,0))-/(а), и поэтому якобиан преобразования координат (,r.7i.....7п-1) в ко- ординаты ((/1...уп) отличен от нуля в точке х = tj - ... - 7n-i - 0 (а поэтому и в некоторой ее окрестности). Таким образом, в некоторой окрестности точки а переменные ж, .....tn-i однозначно выражаются через переменные уц .... уп Пусть и — вещественная функция, непрерывно дифференциру- емая в некоторой окрестности точки а. Тогда при всех значениях у из этой окрестности Ф/7) ~-= Ф</1.Уп) -- фсфгТ!.....7,г-1)) - l’(x.ti.trl-x) (последнее равенство определяет вещественную непрерывно диффе- ренцируемую функцию г, определенную в некоторой окрестности точки (0......())). При х 0 ....7п-1)) «(£(71, • • ,7n_i)) -- 11(0,7],.. . ,7„_]) = £г(7].7,;-]).
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений 133 если точка (tj,..., 1) принадлежит некоторой окрестности точки (О,..., 0) в пространстве 2?"”1. Далее имеем: Э?; . . du , ,. — .гДь • • • Д„-1) = > -х— (0 ОТ “ оуг £пч))/»(ФФг--Л-1)) = = F(yp(x,ti,... .£n-i); ДМ1, •.. Дп-1)). Так как поверхность у = £(Н,..., t„-i) в координатах (ядН,..., tn-y) задается уравнением х -- 0, то следует искать решение r(x,ti, ..., Ti- i) последнего уравнения, удовлетворяющее условию Для этого нужно решить это уравнение, считая его обыкновенным дифференциальным уравнением, х — независимой переменной, а ti,... ,tn~-i — параметрами. При этом следует искать решение с на- чальными условиями (О.^), где g - g(ti,..., Поскольку правая часть такого уравнения, т. е. функция F(d>, и) непрерывно дифференцируема по v, то общее решение этого обык- новенного дифференциального уравнения непрерывно дифференци- руемо по начальному условию д. Функция д непрерывно дифферен- цируема по переменным Н..П1.-1, и поэтому полученное решение v(x. Н...., tn_i) непрерывно дифференцируемо по ,r, ti,..., ira-i. Выражая х, F,.... tn-i через гц.уп, получим искомое реше- ние в виде «(У1....Уп) - v(x(y)Hi(y),...,tn--i(y)). Если радиус окрестности U(a) выбран достаточно малым, то Vy € U(a) u(y) 6 I. поскольку тогда значение ц(.т(у). Н(у).fn_i(y)) будет достаточно близко к значению ДО,..., 0) = у(0...., 0) € I. Решение и с указанными свойствами единственно по теореме су- ществования и единственности решения обыкновенного дифферен- циального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданно- му начальному условию. Тем самым теорема доказана. 6.3.2. Замечание. Пусть У, У\.........Уп). 1 = 1,.... и. неавтономная нормальная система дифференциальных уравне- ний. Преобразуем ее в автономную систему, введя дополнительную функцию Уп ы - х. Тогда данная система, дополненная уравнением уД, х = 1. имеет порядок п ‘ 1 и является автономной. Первые интегралы полученной системы считаются, по определению, первыми интегралами неавто- номной системы.
134 Глава VI , n, 6.3.3. Пример. Пусть Я: G R, где G открыто в пространст- ве R2'1. и пусть функция Н дважды непрерывно дифференцируема на G. Тогда система уравнений , дН , дН Уг dz, ’ дуг ’ является автономной системой порядка 2п. Такая система называ- ется гамильтоновой системой, а функция Н - гамильтоновой функ- цией этой системы. Эта функция является первым интегралом гамильтоновой сис- темы. поскольку всюду в G (дНдН дНдНХ „ ---= 0 \ dy, dz, dz, dy, J (см. утверждение 6.1.7).
Глава VII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 7.1. Эллиптический, гиперболический, параболический типы уравнений 7.1.1. Определение. Пусть п, к е N; п 2. Дифференциаль- ным уравнением в частных производных называется уравнение вида / ди ди дки \ F Xi.....тп,и.——т------------------— -0. у dxi дхп дх^.-.дхп/ В этом уравнении кг е No (г = 1,..., п); к = к± +... + кп; F: Е —> R: Е С RjV. где ? —1 Если, кроме того, функция F существенно зависит на Е хотя бы от одной из частных производных вида дки дх^ ... дхкп ’ то такое уравнение называется уравнением fc-ro порядка. В дальнейшем термин «область» означает, как и выше, откры- тое связное множество. 7.1.2. Определение. Пусть G — область в R" и и: G —> R. Функция и называется решением в области G дифференциального уравнения в частных производных к-ro порядка, если выполнены условия: а) функция и имеет в области G непрерывные частные произ- водные по всем переменным до к-го порядка включительно: б) V(j'i.z-„) е G ( t \ди / \ Т1....Гп. и(.Г].Гп --(,Г1. . . . . . \ дхг
136 Глава VII жп) 6 Е; в) V(xi, ...,хп) G G F { xi,...,xn.u(xi,...,xn), дки ди = 0. F I a?i,. • • • , л к‘ъ1 ' • • • •> **'П ' • • • 5 ЬЛ ь дх\]... дх,!' Общий вид дифференциального уравнения в частных производ- ных первого порядка таков: ди ди \ л—’' ’' ’ л— ) ” О’ dxi дхп) Общий вид дифференциального уравнения в частных производ- ных второго порядка следующий: _ ( ди ди д2и F Х1,. . . ,Хп,и, —, . . . , --, 1Г-2, .... \ oxi дхп дх.у д2и д2и д2и \ дх"2/dxidx?' ’ дхп-1дхп ) При условиях определения 7.1.2 частные производные функции и до к-го порядка включительно не зависят от порядка дифферен- цирования, и поэтому общее число аргументов функции F действи- тельно равно г=1 В частности, при к — 1 N = 2п + 1: при к -= 2 N = |(п2 г 5п-t-2) и т. д. 7.1.3. Определение. Уравнение в определении 7.1.1 называет- ся линейным, если функция F на множестве Е линейна относительно неизвестной функции и и всех ее частных производных (линейность по независимым переменным хц......х„ не требуется). Таким образом, общий вид линейного дифференциального урав- нения в частных производных к-го порядка таков: . , , ди а(х}.....гп)и + У a,(xi,....T„)--- . дх, Ez \ дк и .. . в>1...ч СП.-'Т Ь-Д— + b Х1.Гп) 0. , 1 дх,, ... дх,.
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 137 7.1.4. Определение. Уравнение порядка к называется квази- линейным. если функция F линейна на Е относительно всех частных производных к-го порядка. 7.1.5. Пример. Пусть a = const 0. Тогда уравнение второго порядка вида Э2и 2 <92w Ar;* a " дх2 называется волновым уравнением. Таким образом, волновое уравнение является линейным уравне- нием в частных производных второго порядка. 7.1.6. Определение. Пусть и — вещественная функция, дваж- ды непрерывно дифференцируемая в области G с Rn. Функция и называется гармонической в области G. если V(.ti, . ., xn) € G ? —1 1 7.1.7. Пример. Пусть G — область в R" и (.т^,... , G. Тогда функция является гармонической в области G (это утверждение проверяется непосредственно, используя определение 7.1.6). 7.1.8. Определение. Пусть и - вещественная функция, дваж- ды непрерывно дифференцируемая в области G. Отображение А, имеющее вид д2и Ди = у д-,, дх, » -1 1 называется оператором Лапласа. Таким образом, функция и: G —> R, дважды непрерывно диф- ференцируемая в области G. является гармонической в этой области тогда и только тогда, когда Ди --- 0 всюду в G. 7.1.9. Пример. Уравнение вида 22 д2и л" Лл называется уравнением Лапласа. Решениями в области G уравнения Лапласа являются гармони- ческие функции, и только они.
138 Глава VII 7.1.10. Пример. Пусть а = const 0. Тогда уравнение второго порядка вида Эи 2 Y-' $2U дхп й дх2 г—1 1 называется уравнением теплопроводности. Предполагая, что коэффициенты atj квазилинейного уравнения <911 в частных производных второго порядка не зависят от и. , можно утверждать, что общий вид такого уравнения следу- ющий: \ । Г ( ди ди Xn,U,~,....~--- dxi дхп 0. Будем считать, что все функции н^, i,j =- 1,... , п, непрерыв- ны в области G С R", причем V(,ti, ..., xn) € G а,7(.?1,..., хп) = aJt(.ri,... ,о;„), i,j = 1,...,п. Последнее предположение не ограничивает общности, посколь- ку, если и - решение в области G этого уравнения, то д‘2и д'2и • • 1 дх^дх-, dxjdx.,' ’ всюду в G. Пусть (.ti, ... ,хп) е G. Рассмотрим квадратичную форму п ai}(x},... .xn)t,tj. »-j=i Если привести эту квадратичную форму к алгебраической сум- ме квадратов, то согласно известному из алгебры закону инерции число положительных и отрицательных коэффициентов при квад- ратах переменных Н.....tn инвариантно относительно выбора невы- рожденного линейного преобразования, реализующего такое приве- дение. При этом возможны следующие случаи: 1) все такие коэффициенты положительны (или все они отрица- тельны): в этом случае будем говорить, что наше дифференциальное уравнение в точке (щ...., хп) принадлежит к эллиптическому типу: 2) и — 1 коэффициент одного знака, а один коэффициент про- тивоположного знака: в этом случае будем говорить, что рассмат- риваемое уравнение принадлежит к гиперболическому типу в точке (•П гГ!); 3) и — 1 коэффициент одного знака, а один коэффициент равен нулю: тогда будем говорить, что в точке (ii,...гп) это уравнение принадлежит к параболическому типу:
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 139 4) все коэффициенты отличны от нуля, причем число положи- тельных коэффициентов больше 1 и число отрицательных коэффи- циентов также больше 1; при таких условиях говорят, что уравнение в точке (ад,...,хп) принадлежит к ультрагиперболическому типу. Возможны и некоторые другие случаи (на них мы останавли- ваться не будем). Если каждый из коэффициентов a,j не зависит от выбора точки (ад...., xn) G G, i,j - 1,..., п, то наше уравнение принадлежит к одному и тому же типу во всех точках области G. Кроме того, если в точке (.Ti,... ,.rn) е G рассматриваемое уравнение принадлежит к одному из типов 1), 2), 4), то оно принадлежит к этому же типу всюду в некоторой окрестности точки (ад,...,,тп) (в силу непрерыв- ности функций i,j = 1.... ,п, в области G). Так, например, волновое уравнение принадлежит к гиперболи- ческому типу; уравнение Лапласа — к эллиптическому типу, а урав- нение теплопроводности — к параболическому типу. Запишем общий вид нашего уравнения в случае п = 2. Будем иметь уравнение / \ „ / х d‘2u ац(ад,я2)^2 [ 2а^Х1'х^дХ1дх2 + . . <92м . ( ди ди\ п - (1-2'2 ( ?'1, х2) —- ./ Ti,.T2,W, —, д— = 0. дх2 \ о.гд дх2 J Пусть «и А", 012 В- Й22 = С: Ху - т; .т2 - у- В этих обозначениях это уравнение примет вид .. \д2и пп/ \ д2и д2и ( ди ди\ Л(х.!/7-- \-2В(х,у)——— + С(х,у) —-д + f [х.у.и.—= 0. д.г2 дхду ду2 \ дх ду J При этом функции А, В. С непрерывны в области G С R2. Рассмотрим соответствующую квадратичную форму At2 -- 2BtA'2 - Ct2. Пусть (.г. у) - фиксированная точка G и пусть D В2 — АС. Будем далее предполагать, что V(.r. у) G G А2(х. у) — В2(х.у) х С2(.г,у) >0. Тогда возможны следующие случаи: a) D = В2(х,у) - А(х. у)С(х.у) > 0 (гиперболический тип в точке (.г. у)): б) D = 0 (параболический тип в точке (,т, у)); в) D < 0 (эллиптический тип в этой точке). Эти утверждения известны из курса алгебры.
140 Глава VII Пусть £ = £(x,y): у - y(x,y) - дважды непрерывно дифферен- цируемое преобразование координат в G, и пусть Е(х, у) е G: ( д£ . д£ \ а^> тцМ д?7, . ду wx'9) I(x,y) = det В новых координатах наше уравнение примет следующий вид: __ d2v — d2v — d2v — ( dv dv\ Ж у) 2B(£. y) + G(£, Tl^+f{^hv,-, — )= O, д£2 д£ду ду2 \ д£ dy J где Жy) - A(x,y) fy)\ + + 2в(ж||ж)|^(жж(д,у) ; C(£,y) = A(x,y) + b2B(:z;.y)|^(.r,y)|^(x.z/)+G(.r,i/) ; B(£,y) =- A(x,y)~(x.y№(x,y)+ (JJy \Jdy r>t \ (д£ dy ds, , dy \ t C(x,(/((rG,'/). dy dy В этих соотношениях считаем, что х — х(£,уУ- у у(£,уУ если (£, у) е G* где G* — образ некоторой окрестности U(х, у) точки (х, у) при отображении £ = £(д. ?у); у = у(х,у), которое биективно в этой окрестности (при этом G* — область в R2); v(^.у) ~ w(.t(^, z/). .у(£. у)) ((О/) е G*) Нетрудно проверить, что D(t.y) -ё2(е.ц)-Ж'/Пе-'/) - - (В2(.г. у) - Л(.г. у)С(х, уУ)12(х. у) -- D(x.y)I2(x. у). Если радиус окрестности U(x, у) достаточно мал. то V(£. у) G G* I2(;r(jy у). у(£. у)) У 0, и поэтому тип уравнений в старых и новых координатах будет один и тот же. Подбирая невырожденное преобразование координат специаль- ным образом, можно добиться того, чтобы уравнение в новых коор- динатах имело канонический вид. а именно:
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 141 d2v d2v — ( dv Ov\ , , a) гттл “ ./ C t'. —- = 0 (гиперболический тип): dip \ dt, dp J d2v ____/ dv dv\ 6) e f \E,p,v, \ = 0 (параболический тип): d2v d2v — ( dv dv\ . , в) 7747 + -т-x — J c.T].v, —, — = 0 (эллиптический тип). dtp dip \ ' dt, dp J Таким образом, мы получили канонический вид квазилинейного уравнения в частных производных второго порядка в случае, ког- да число независимых переменных п = 2. Эти рассуждения можно обобщить на случай, когда п 2. 7.2. Уравнение колебаний неограниченной струны. Решение д’Аламбера и задача Коши Пусть п -- 2; .Ti = х: Хъ = t, и пусть G = R х (0,+оо): a =- = const / 0. Рассмотрим волновое уравнение вида d‘2u 2 d2u dt2 a dx2 ’ Это уравнение гиперболического типа. Такое уравнение называется уравнением колебаний неограниченной струны. Положим £ = х — at-, р =- х - at, тогда I(x, t) - det J = — 2а / 0. При этом х — t -- v(£,p) ~ w(.r(£, р), t(£. р)) - - u ( рр). Следовательно, dv du dx du dt 1 du 1 du dl " d^dk, r ~did£ 2 dx 2a dt dv du dx du dt 1 du 1 du = (- — .. dp dx dp dt dp 2 dx 2a dt Значит, du dv dv dx dp' du ddv dv\ dt \dp d2u d / du \ d / d / dv — 1 1 1 1 1 - 1 . dx2 dx \dxJ dx \ dk, j dx \dp d2v dk, d2v dp d2v dp t d2v d£ dtp dx d^dpdx, dp'2 dx d^dp dx d'2v d2v d2v -- --- i 2----- - --- d£2 ' dG)p dp2
142 Г л а в a VII поскольку =- Ё2 - 1 дх дх Аналогично, учитывая равенства —= а, получаем, чт< Д2м д /ди\ ( д f ди\ д /chA\ _ dt2 dt \dt / a \ dt \ dr]) dt \d%) J •2 f d2v d2v d2v\ d£dq dr]2 J ' Подставляя значения производных и в наше уравнение, делаем вывод о том, что это уравнение равносильно уравнению т. е. ±(А)=°- \д£ J Значит. || - w(£)> где ш — произвольная интегрируемая функ- ция переменного £, так что v(£, p) = У w(£) Д + 0(0 = 01(0 02(0, где функции 01 и 02 должны быть дважды непрерывно дифферен- цируемы всюду на Я. Окончательно имеем и(х, t) =- 0] (.г - at) + (^(х + at) - решение Д’Аламбера уравнения колебаний неограниченной стру- ны. Задача Коши для этого уравнения состоит в следующем. Пусть fo и Д1 — вещественные функции, и пусть функция д() дважды непрерывно дифференцируема на R. а функция Д1 непрерывно диф- ференцируема на 1R.. Требуется найти решение и уравнения д2и 2^2и dt2 Л дх2' удовлетворяющее так называемым краевым условиям: V.r € R ф.г.0)-д0(.г)- Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны При сформулированных условиях существует единственное ре- шение задачи Коши для уравнения д2н ,<Э2н 77 о -- О. т;—т. dt2 дх2
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 143 Доказательство. Имеем u(x, t) = 6*1(2: — at) — 6*2(х т at). так что при t = 0 и(х, 0) - 6*1(2:) + 6*2(2") = ^0(2:). Далее, -(x.0) = -a(0'1)x)-0'2(x)) = p1(x), и поэтому 0г(х) -ад = -- [ p^dz + C, а Jo где С - const. Значит, Окончательно имеем: ll(x.t) = 6*1(2: at) - 6*2(х + at) = 1 1 rT+at -(фо(х - at) -Т vo(2: + at)) + — ,J p^z)dz (2 e R:t > 0). Теорема доказана. 7.3. Метод Фурье решения задачи Коши для уравнения колебаний ограниченной струны и уравнения теплопроводности Для случая струны, закрепленной на концах (т.е. ограниченной струны) имеем такое же уравнение: 91 2 * * * * * * 9и 7д2и . п —— - а —-7: а const Д 0. dt2 дх2 Будем считать, что х е [0. /]. / - const > 0. 0. Пусть ро, рр. [0.1] —> R. Краевые (начальные) условия выглядят следующим образом: при t - 0 ф’.О) = р0(х): 0) - ^i(j’). где х е [0.1].
144 Глава VII Кроме того, введем так называемые граничные условия, имею- щие вид: при х - 0 ЦО. t) - 0: при х = I u(l, t) =- 0, где t 0. Выведенную выше формулу применить уже нельзя, так как при ее обосновании неявно использовалось то обстоятельство, что -оо < < х < +оо; в наших же условиях значение х ограничено. Поэто- му в рассматриваемой ситуации применим метод Фурье (или метод разделения переменных). Будем искать решение в следующем виде: u(x,f) -- X(x')T(t'), где X и Т — дважды непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [0,1] и полуинтервале [0, 4-ос) соответственно. Имеем: ^x,t) = X"{x)T{tY Наше уравнение принимает вид X(x)Z"(t) = а2Х"(т)Т(0- Пусть в точке (x,t) Х(х) /Он T(t) 0. тогда Отсюда следует, что T"(f) + a2AT(t) -- 0; X"(,r) + AX(z) - 0. При x - 0 u(0,f) -- X(0)T(t) = 0 (/ > 0). При x - I u(l,f) --- X(l)T(t) = 0 (t 0). Предполагая, что функция T не равна тождественно нулю, име- ем АДО) = Х(1) - 0. Значения А, при которых уравнение X" ! XX - 0 имеет нену- левые решения, удовлетворяющие граничным условиям АДО) - 0: Х(1) - 0. называются собственными значениями, а соответствую- щие решения собственными функциями. Допустим, что А < 0. Тогда любое решение уравнения X"-XX - 0 имеет вид АД .г) - С] ехр(тД-А) — С2 ехр(—,тД—A). ci.c'2 ~ const. Учитывая граничные условия, получаем АДО) -- Ci s с2 -- 0: X(l) С] ехр(/Д—А) - с2 ехр(-/\ДДХ) 0.
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 145 Так как de'(ехр(Ь/=Л) ехр(-’у=А)) - то <?i с> ~ 0. и поэтому Х(х) = 0 (ж € [0, /]). Мы получили тривиальное решение, тождественно равное 0. Пусть А -- 0, тогда Х(х) — -+- с%х и Х(0) = Ci = 0; Х(1) = = ci -г сг! ~ 0. т. е. t?2 — 0, так что мы опять получаем нулевое решение. Пусть А > 0, тогда Х(х) = Ci cos(x\/A) т С2 sm(.r\/A), и поэтому Х(0) -- с, = 0: Х(Г) - C2sin(Z\/A) = 0. Считая, что С'2 / 0, имеем: sin(Zv/A) 0. т. е. у/Х -- (k £ ZN). Таким образом, нетривиальные решения возможны лишь при Собственным значениям А^ соответствуют собственные функ- ции Хк(х) sin (, к -1,2,..., определяемые с точностью до постоянного множителя, отличного от нуля. При А - Afe > 0 решение уравнения Т" + a2XT 0 имеет вид „ . . / ктга А . (кка А Tk(t) =- ак cos I — t I + bk sin I —t I , где ak и bk — произвольные постоянные, к = 1,2,.... Значит, функции , , , , , , ( (ктга А , . / ктга А А . (ктт А М.т, t} ---- Xk(x)Tk(t) - I ак cos I -j-t I + bk sin I I I sin I — x I удовлетворяют исходному уравнению и граничным условиям при любом выборе постоянных ак и Ьк. к 1.2....... В силу линейности и однородности исходного уравнения любая конечная сумма решений этого уравнения также является его реше- нием. Го же справедливо и для ряда U(X.t) llk(r, t) А—1 если этот ряд сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по х и по t. Очевидно, что функция и будет
146 Глава VII удовлетворять граничным условиям. Таким образом, остается опре- делить постоянные ак и Ьк так, чтобы удовлетворялись и начальные условия. При сделанных предположениях ди ^тга ( (к™ А (ктта \ \ / клх \ — (х, t) = У ~ак sin —— t I + bk cos —— t ) I sm —r~ I , <_/c . t\ \ I / \^//'*\^/ k=l x ' 7 \ / / \ / так что при t = 0 и х € [О, Z] Эти формулы представляют собой разложения заданных функ- ций т?о и в ряды Фурье по синусам в интервале (0.1). В предполо- жении, что функции и <pi разлагаются в эти ряды, коэффициенты разложений вычисляются по известным формулам, а именно: Таким образом, при сделанных предположениях решение наше- го уравнения, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям, дается формулой, приведенной выше, в которой постоян- ные ак и Ьк определяются из предыдущих соотношений. Теорема о разложении в ряд Фурье решения задачи Коши для уравнения колебаний ограниченной струны Пусть функция у о на отрезке [0 J] трижды непрерывно диффе- ренцируема и удовлетворяет условиям Го(0) = Го(0 -- 0; Го(О) = - - 0, а функция на этом отрезке дважды непрерывно дифференцируема, и удовлетворяет условиям Г1(0) - 0- Тог- да функция
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 147 имеет непрерывные частные производные второго порядка и удов- летворяет уравнению d2u 2 d '2'l l. dt2 Q дх2' а также начальным и граничным условиям. Ряд Фурье для функции u(x. t) можно дважды почленно диф- ференцировать по х и t, и полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно на множестве [0, /] х [0, +оо). Доказательство. Используя условия, наложенные на функ- ции и гь 11 интегрируя по частям, нетрудно показать, что «А- -= - lk . к3 ’ Ьк ~ - I \3 р 7г) к3 где Используя неравенства 1 2 iC’i р р к '' 2 Д2 к - 1,2,..., а также сходимость рядов ЕЮ2 ЕЮ2 А—1 (которая следует из неравенства Бесселя), можно утверждать, что ряды h к h к также сходятся. Далее получаем u(x.t) -= Этот ряд мажорируется сходящимся рядом
148 Глава VII Поэтому ряд, определяющий функцию u(x.t), сходится абсолютно и равномерно на множестве [О, I] х [0, +оо). В силу сходимости рядов указанный ряд можно дважды почленно дифференцировать по х и t. и полученные ряды будут сходиться абсолютно и равномерно на этом множестве. Тем самым теорема доказана. Далее изложим метод Фурье решения задачи Коши для уравне- ния теплопроводности, имеющего вид ди 2д2и . п. -х- а(а = const > 0). dt ox2 Начальные условия определим следующим образом: при t — 0 и(д.О) <г(.т) (,т G IR.), где функция непрерывна и ограничена на R. Будем искать решения u{x,t), отличные от постоянной и ограни- ченные на множестве R. х [0,+оо). Положим u(z,t) - X(x)T(t), тогда уравнение примет вид X(x)T'(t) = a2X"(x)T(t), a2T(t) Х(х) где А 4 0. Действительно, если А О. то Х{х) = Cl + С2>С (ci,C2 ~ const). И тогда либо С2 / 0, и поэтому Х(х) -> ос при X -4 ос, либо Х(х) = - а -- const и тогда ^(x.t) - 0 и u(x,t) ~ const. Если же вместо -А2 взять А2, то при t —> т ос T(t) —> т-ос, так что решение u(x.t) будет неограниченным (либо тождественно равным нулю). Значит. T'(t) д a2A2T(t) = 0: Х"(.г) т А2Х(.т) -- 0, т. е. можно положить T(t) = exp(-a2A2t); Х(х) - Л(А)соз(Ат) 4-В(А) sin(A.r). Э тим функциям соответствует решение ux(x.t) exp(-fl2A2t)(.4(A) cos(A.;-) । B(X) sin(Aj-))-
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 149 Если интеграл сходится и его можно дифференцировать под знаком интеграла один раз по t и два раза по х, причем получающиеся интегралы являются непрерывными функциями точки (т.£), то функция будет решением уравнения теплопроводности, обладающим непре- рывной частной производной по t и дважды непрерывно дифферен- цируемым по х. При t = 0 должно быть: Vt 6 R />—ос ц(.т,0) — / (А(А) cos(A.t) -т В (A) sin(Ax)l dX = J—сю Если функция абсолютно интегрируема на R, то по соответ- ствующей теореме об интеграле Фурье x))d^dX = ^(0 cos(A£) + 1- sin । Таким образом, следует положить Ж) cos(AC) BW - ~~ [ ^(£)sin(A£)d£. ^7Г J x Значит. д(£) ехр(—a2X2f) cos(A(^ — :г)) d£ ] dX — д(£) ехр( —a2X2t) cos(A(£ — .r)) dt, j dX. » JO \J-DC 11спользуя формулу , ,/тг / 'I2 А / ехр(-a2A2)cos(3A)dX —exp ( — —-г ] (о > 0) Jo 2q \ 4о ) (эта формула обычно доказывается в курсе математического анали- за. в разделе1 «Интегралы, зависящие от параметра») и подставляя
150 Г л а в a VII а -= ау/t. >0; 8 = £ — х, имеем в предположении возможности изме- нения порядка интегрирования u(x.t) = — [ f</;(£) [ ехр(-а2А2£) cos(A(£ - х)) d£- J-ос \ Jo / f^00 1 ( И-х12А Если положить _ , 1 / (£ — х)2 А 2a\Art \ 4a2i J то функция F^(x, t) будет при любом фиксированном значении £ € R решением уравнения теплопроводности (так называемое фундамен- тальное решение). Это нетрудно проверить непосредственно. Поэто- му решением этого уравнения будет также функция (Д£)Е$(хД). Для любой непрерывной и ограниченной на R функции функ- ция u(x,t) = [ ^(£) ..1 - expf--^ rf£ является решением на множестве R х (0, +эс) уравнения теплопро- водности. Действительно, подынтегральная функция удовлетворяет это- му уравнению, а сам интеграл, а также интегралы, полученные из него дифференцированием под знаком интеграла по х и t сколько угодно раз, равномерно сходятся в любой полосе {х G R; to t С Т} (to > 0). Это можно обосновать следующим образом. Дифференцируя исходный интеграл несколько раз по х и t под знаком интеграла, мы получим сумму интегралов, и нужно пока- зать. что каждый такой интеграл равномерно сходится в этой по- лосе. После дифференцирования под знаком интеграла выделяется множитель £—х в положительной степени, который остается под зна- ком интеграла, и множитель t в некоторой степени, который можно вынести из под знака интеграла. Поэтому мы получим систему ин- тегралов вида С / (?-х)2А 1 у ;(№ ~ r)”‘ шр у—±a2f~J C011st 11 m > °)- Полагая при t > О г .. 2ay/t‘ получаем, что I - / + 5СДх - 2azVt)zme~z2 dz.
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 151 Этот интеграл равномерно сходится в указанной полосе, так как 2 подынтегральная функция мажорируется функцией M\z\me~z , ин- тегрируемой от —ос до -hoc (здесь sup{|<р(а?)|} < Л/ < -*-оо), а мно- xCR. П1 -р 1 житель / 2 ~ А при 0 < to t Т < - ос ограничен. Таким образом, функция u(x,t) непрерывна и имеет непрерыв- ные частные производные любого порядка по х и t, которые можно получить, дифференцируя функцию под знаком интеграла доста- точное число раз. Это означает, что функция Дт,/) = У p^)F^x,t)d^, для которой г/ й- 1 f F^X,} 2«Т^еХЧ 4а2/ ) удовлетворяет уравнению теплопроводности при х G R; t > 0. При t — 0 доопределим значение и(х, 0) по непрерывности, по- лагая ц(х. 0) == lim u(x, t). Корректность этого определения и то обстоятельство, что функ- ция u(x, t) удовлетворяет начальному условию, обосновываются сле- дующим утверждением. 7.3.1. Утверждение. Если функция непрерывна и ограни- чена на R, то ^lim u(x,t) -- Д-r) (.т е R) и функция u(x,t) ограничена на множестве II х [0,—ос). Доказательство. Полагая £-? 2ос/Г имеем u(x.t) у= У д(.г -т- 2az\Zi)e~z dz. Так как иир{|д(.г)|} < М. .reiR ТО |н(.г./)1 < ~7= / |д(.т Г 2az\Tt}\e~z2 dz < f e~z2 dz = л/'* M < -oc.
152 Г л а в a VII так что функция и(х, t) ограничена на множестве В х [0. 4-ос). Кроме того, интеграл /+о° г I + 2azyt)e z dz равномерно сходится при t 0 по признаку Вейерштрасса равно- мерной сходимости, и поэтому при любом фиксированном значении х G JR этот интеграл является непрерывной справа функцией пара- метра t в точке 1 = 0. Следовательно, существует предел 1 f+oc _,2 lim п(т, t) =—z= / <д(ж)е 2 dz = tp(x) (х € R). 7-тс Так как функция ограничена на В. то отсюда следует, что функция и(х, t) ограничена на множестве В х [0,4-ос). Утверждение 7.3.1 установлено. 7.4. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных условий Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий для уравнения теплопроводности Пусть u(x,t) и u(x,t) - решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющие начальным условиям: при 1 = 0 и(х, 0) уг(.т): й(х, 0) = ф(х) (.г е В), где функции д ид непрерывны и ограничены на R. Если sup{|^(a;) - ^(ж)|} < с, .гей. то sup {ф(т. I) - «(.'Г. 1)1} < с (е = const > 0). r-R t>0 Д о к а з а т е л ьств о. Имеем: - [ (vU)7== exp г)''- 7-х 2оутг7 \ чаН J и поэтому Теорема доказана.
Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка 153 Обобщая предыдущие рассуждения, можно показать, что если д: Rn —> R и функция непрерывна и ограничена на R", то решение уравнения Эи о A d2u -ц- ~ a > тч (а = const > 0) dt дх2 v 7 I — 1 1 непрерывно дифференцируемое сколько угодно раз по всем перемен- ным и ограниченное в области R” х (0,+оо), а также удовлетворя- ющее начальному условию: при t = 0 u(xi,..., xn, 0) = ^(xi,... ,xn) ((ti, ... ,xn) e R"), дается формулой Z + oe 1 w □с x / । n \ x eXP (“SA - '''У2 ) d^,...d^n (t > 0). При этом, если (.тц,... ,xn) € R", то существует предел lim u(xi......................xn>t) ~ x(xi,....xn), t->o+ так что можно положить и(.Г1,..., хп, 0) = lim u(xi,..., xn, t). t—>o~ Это утверждение доказывается аналогично предыдущему с ис- пользованием преобразования координат, задаваемого соотношени- ями СI 1 Z, = ----. 7 = 1, . . . . П. 2оа/7
ЛИТЕРАТУРА 1. Айне Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -- М.: Гостехиздат, 1939. 2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния. — М.: Наука, 1984. 3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. 4. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. - Л.. Изд-во Ленинградского ун-та, 1981. 5. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных урав- нений. — М.: Высшая школа, 1991. 6. Веллман Р. Теория устойчивости решений дифференциаль- ных уравнений. — М.: URSS, 2003. 7. Богданов Ю.С.. Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс диффе- ренциальных уравнений. Минск: УшверНтэцкае, 1996. 8. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновен- ных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1968. 9. Гогейзель Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.-Л.: ОНТИ, 1937. 10. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифферен- циальных уравнений. — М.. 1950. И. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интег- ральное исчисление. Т. II, гл. V-VIIL - М.: Мир, 1971. 12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устой- чивости. - М.: Наука. 1967. 13. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифферен- циальных уравнений. Минск, Наука и техника. 1979. 14. Еругин Н.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа. 1991. 15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциаль- ным уравнениям. — М.: Наука. 1976. 16. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука. 1966. 17. Карташев А.П.. Рождественский Б.Л. Обыкновенные диф- ференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. Учеб, пособие. М.: Наука. 1986.
Литература 155 18. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных диф- ференциальных уравнений. 2е изд. — М.: Изд-во ЛКИ/URSS, 2007. 19. КоллатцЛ. Численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ. 1958. 20. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Высшая школа, 1978. 21. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. — М.: Изд-во ЛКИ/URSS, 2007. 22. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория диф- ференциальных уравнений. Зе изд. — М.: URSS, 2004. 23. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специаль- ные функции. Гл. 5 7. — М.: Наука, 1978. 24. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. — М.: Изд-во МГУ, 1984. 25. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния. — М.: Наука, 1974. 26. Самойленко А.М.: Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Диффе- ренциальные уравнения. Примеры и задачи. Киев. Вища школа, 1984. 27. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния. - М.: ИЛ. Т. 1. 1953: Т. 2, 1954. 28. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1906. 29. Тихонов А.Н.. Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифферен- циальные уравнения. М.: Наука, 1985. 30. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния. Зе изд. М.: Книжный дом «Либроком» URSS, 2009. 31. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: Ленанд, 2015. 32. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным урав- нениям. 3-е изд. - М.: Книжный дом «Либроком» URSS, 2009. 33. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 34. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравне- ния. М.: Мир. 1970. 35. Эльсгольц .Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариаци- онное исчисление. — М.: Наука. 1969.
ь Матрица единичная 114 квадратная 84 невырожденная 90 фу и да меч стал ьная 90 Метод вариации постоянных 92 замены переменных 28 пеон ре; юле иных коэфф и i Ц1 ei i тов 108 Метрика евклидова, 10 порожденная максимум-нормой 72 Многочлен характеристический 106 Множество замкнутое 8 компак тное 47 откры гое 8 Множитель интегрирующий 26 Норма матрицы 113 Нули решений 100 Область определения 7 Образ множества 26 пути 25 Огибающая семейства кривых 69 Операчор Лапласа 137 Определитель Вронского 94 Отображение 28 взаимно непрерывно дифференци- руемое 28 обратное 28 Параллелепипед 72 Пеано (Peano G.: 1858 1932) 12 Первообразная дифференциального уравнения 56 Переменные разделяющиеся 30 Пикар (Picard Е.: 1856 1911) 20 Подноследовагельнос!ь 13 Поле направлений 7 Понижение порядка 82. 128 Порядок дифференциально! о уравне- ния 5 Последова'1 сльносгь сходящаяся 12 функций равномерно сходящая- ся 12
157 Бесселя 63 в полных дифференциалах 25 в симметричной форме 24 гиперболического типа 138 дифференциальное 5 в частных производных 26. 135 высшего порядка 5 обыкновенное 5 разрешенное относительно стар- шей производной 6 линейное 27 неоднородное 27 однородное 30 с постоянными коэффициента- ми 104 со специальной правой частью 108 квазилинейное 137 Клеро 69 Лагранжа 67 Лапласа 137 однородное 30 параболического тина 138 Риккати специальное 31 с разделяющимися переменными 30 с частными производными 26 ультрагиперболического типа 139 характеристическое 106 Эйлера 112 эллиптического тина 138 Условие Липшица 16 локальное 34 начальное 7 Форма жорданова нормальная 117 Формула Коши Адамара 63 Лиувилля Остроградского 95 Функция Бесселя 65 гармоническая 137 дифференцируемая 5 линейно независимая 89 непрерывная 8 непрерывно дифференцируемая 25 неявная 67 обращая 21 ограниченная 8 однородная 30 собственная 144 Число комплексное 104 Эйлер (Euler L.: 1707 1783) 9 Экспонента, матрицы 114 Якобиан 125
ПРИЛОЖЕНИЕ Методические рекомендации по организации изучения курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ требований ФГОС ВПО Дисциплина «Обыкновенные дифференциальные уравнения» является одной из основных математических дисциплин и принадле- жит базовой части математического и естественно-научного цикла. Требования ФГОС ВПО третьего поколения нацеливают на приме- нение теоретических результатов и навыков решения практических задач по этой дисциплине при обучении по специальностям направ- лений подготовки «Криптографические методы защиты информа- ции», «Информационная безопасность вычислительных, автомати- зированных и телекоммуникационных систем», «Компьютерная бе- зопасность», «Безопасность систем данных» и других. Закончив обучение по каждой из этих специальностей, выпуск- ник должен обладать следующими компетенциями: • Способность применять аналитический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профес- сиональных задач. • Уметь интерпретировать смысл полученного математического результата. • Способность выявлять естественно-научную сущность проб- лем. возникающих в процессе профессиональной деятельности. • Способность к самостоятельному построению алгоритма, прове- дению его анализа и реализации в современных программных комплексах. Для реализации перечисленных компетенций в результате изу- чения дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения» студент должен: Знать: основные понятия теории обыкновенных дифференци- альных уравнений: интегральные кривые, поле направлений, ло- маные Эйлера, теоремы существования и единственности решения, метод последовательных приближений, уравнения в полных диф- ференциалах и интегрирующий множитель, методы замены пере-
Приложение 159 менных и уравнения с разделяющимися переменными, уравнения Бернулли и Риккати, условие Липшица, максимальный интервал, полное и общее решения, первообразные дифференциальных уравне- ний. аналитические решения, уравнение Бесселя, нормальные систе- мы дифференциальных уравнений, уравнения высших порядков, ли- нейные системы, фундаментальные матрицы, метод вариации про- извольных постоянных, линейные дифференциальные уравнения и свойства их решений, определители Вронского и формулу Лиувил- ля-Остроградского, линейные уравнения с постоянными коэффици- ентами, линейные однородные системы с постоянными коэффициен- тами, нормальные автономные системы дифференциальных уравне- ний. линейные уравнения в частных производных первого порядка и, дополнительно, простейшие элементы теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Уметь: применять основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений при решении практических задач, находить полные и общие решения таких уравнений, решать гео- метрические и физические задачи, в которых используются идеи и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, при- менять методы нахождения интегрирующего множителя и замены переменных, находить фундаментальные системы решений и выра- жать эти решения в виде интегралов от известных функций и в пара- метрическом виде, определять в простейших случаях значения пер- вых интегралов и решать дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка, а также использовать свойства реше- ний при исследовании задач прикладного характера. Владеть: навыками применения аналитических методов в дру- гих математических и специальных дисциплинах, их использования в решении научно-технических и практических проблем професси- ональной деятельности: способами оценки сложности современных алгоритмов и трудоемкости их реализации на существующей вычис- лительной базе при применении аналитического подхода. Изучение идей и методов теории обыкновенных дифференци- альных уравнений требуется также обучающимся по другим специ- альностям при реализации компетенций, предусмотренных требова- ниями ФГОС ВПО третьего поколения в области информационной безопасности. Цели и задачи дисциплины, замечания по методике преподавания Целью изучения дисциплины «Обыкновенные дифференциаль- ные уравнения» является теоретическая и практическая подготовка специалистов по применению аналитических методов и обеспечение
160 Приложение фундаментального образования в ряде важнейших областей совре- менной математики. Задачами дисциплины являются: формирование научного ми- ровоззрения, понимания широты и универсальности аналитических методов, умения применять эти методы в решении прикладных за- дач; развитие творческого мышления и воображения, математичес- кой грамотности, способности критически анализировать собствен- ные суждения и самостоятельно их корректировать: воспитание ма- тематической культуры, которая предполагает четкое сознание необ- ходимости и важности математической подготовки для специалистов в области информационной безопасности; ознакомление студентов с основными понятиями курса, а также их приложениями для реше- ния практических задач, требующих применения вычислительных средств: ознакомление с основными принципами логического мыш- ления и аналитическими методами и их использованием в профес- сиональной деятельности: выработка навыков обращения с аналити- ческими конструкциями и умения строить математические модели исследуемых объектов и процессов. Таким образом, дисциплина «Обыкновенные дифференциаль- ные уравнения» является фундаментальной составной частью про- фессиональной подготовки по направлению «Информационная безо- пасность». Изучение этой дисциплины призвано формировать спе- циалиста, вырабатывать у него такие качества, как строгость в суж- дениях и творческое мышление. Указанная дисциплина принадле- жит базовой части математического и естественно-научного цикла и является одной из ее важнейших фундаментальных основ. Для успешного ее усвоения необходимо, чтобы обучаемый владел знани- ями, умениями и навыками, формирующимися параллельно в про- цессе изучения дисциплин: Математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисление. Алгебра — основы общей и линейной алгебры. Аналитическая геометрия — основы теории прямых, плоскостей и поверхностей второго порядка. Знания, полученные при изучении дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения», используются при параллельном и дальнейшем изучении большинства математических, прикладных и специальных дисциплин. Рекомендации по организации учебного процесса Особенности изложения теоретического материала в учебном пособии связаны со спецификой основных целей изучения указанных в оглавлении разделов курса для будущих специалистов в области
Приложение 161 защиты информации. Эти цели преследуют, с одной стороны, фор- мирование фундаментального математического образования, озна- комление с проблемами практических приложений дисциплины в специальных вопросах, а с другой — систематическое изучение ос- новных понятий и теоретических положений курса, используемых в процессе изучения математических и специальных дисциплин. Во вводной лекции следует ознакомить студентов с предметом изучения, дать необходимые сведения об историческом развитии изу- чаемой дисциплины, о вкладе русских и советских математиков в это развитие, раскрыть роль теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как фундаментальной науки в общей системе наук, и ее связь с другими математическими дисциплинами, обратить внима- ние обучаемых на связь курса с практическими задачами, а так- же дать некоторые методические рекомендации по изучению курса. Следует указать на необходимость вести конспект, дать советы по работе над ним, отметить часы консультаций, выделив их роль в процессе внесения корректив и дополнения конспекта. Целесообраз- но также дать рекомендации по ведению тетрадей практических за- нятий. обратить внимание студентов на обязательное уяснение реше- ний всех домашних заданий и сформулировать указания по работе на практических занятиях. При изучении уравнения первого порядка, разрешенного отно- сительно производной, целесообразно дать представление о зависи- мости аналитических свойств его решения от свойств определяющей его функции. Следует ознакомить студентов с понятием семейства кривых и огибающей этого семейства. На практических занятиях нужно разобрать основные приемы и методы интегрирования диф- ференциальных уравнений на примере классических типов уравне- ний. Показать на этих примерах исторические предпосылки и ис- токи возникновения основных понятий теории дифференциальных уравнений. Необходимо особо выделить теоремы о существовании и структуре решений основных типов уравнений и подчеркнуть усло- вия единственности, наглядно показать важность теорем о сущест- вовании решения для нахождения приближенных и численных ре- шений. дагь представление о практическом решении задач естест- вознания и применении вычислительных средств при исследовании дифференциальных уравнений. Следует рассмотреть основные приемы и методы решения важ- ной для теории и практики задачи о характере зависимости решения уравнения от параметров. Дать качественный анализ поведения ре- шений и изучить методы проведения такого анализа. Обратить вни- мание на необходимость условий для выделения особых решений, подобрав соответствующие примеры.
162 Приложение Далее необходимо ознакомить обучаемых с постановкой и ме- тодами анализа задачи о существовании и единственности решения нормальной системы. Дать представление о сведении различных систем уравнений к нормальной системе и показать пути и методы распространения ранее известных результатов на нормальные сис- темы. Особое внимание следует уделить отработке техники сведе- ния произвольной системы дифференциальных уравнений к систе- ме дифференциальных уравнений первого порядка. При изучении теории нормальных систем указать на ее связь с теорией неявных функций и методами решения общих систем уравнений. Продолжая изложение, познакомить студентов с важнейшей на практике теорией линейных систем дифференциальных уравнений. Детально разобрать утверждения, использующие свойство линей- ности и позволяющие существенно усилить общие теоремы для нор- мальных систем в рассматриваемом случае. При изучении систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами уделить внимание специальным ме- тодам исследования таких систем и дать представление о способах построения и методах нахождения частных решений. Особо выде- лить и изучить общие теоремы и правила для случая одного линейно- го дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. При изучении теории автономных систем выяснить вопросы ме- тодики нахождения первых интегралов таких систем и научить сту- дентов решать задачу Коши в случае простейших условий, опреде- ляющих существование и единственность решения. Необходимо дать сравнительный анализ уравнений в частных производных с уже изученными ранее обыкновенными дифференци- альными уравнениями, поставить основные проблемы, подлежащие изучению в рамках данной темы, сформулировать основные понятия и провести классификацию изучаемых типов уравнений. Рассматри- вая уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов, следует познакомить обучаемых с основными видами началь- но - краевых задач, сформулировать и доказать основные свойства решений этих задач, продемонстрировать простейшие методы по- строения решений. В заключительной лекции по курсу «Обыкновенные дифферен- циальные уравнения» нужно подвести итоги изученного курса и ука- зать на его связь с другими математическими и специальными дис- циплинами и возможности применения теоретических результатов курса при решении практических задач профессиональной направ- ленности.
Оглавление Предисловие...................................... Дифференциальные уравнения первого порядка... 1.1. Интегральные кривые. Поле направлений. Ломаные Эйлера......................................... 1.2. Теорема Пеано существования решения ...... 1.3. Условие Липшица. Теорема единственности... 1.4. Метод последовательных приближений. Теорема Пи- кара .......................................... 1.5. Уравнения в симметричной форме и в полных диффе- ренциалах. Интегрирующий множитель............. 1.6. Замена переменных......................... 1.7. Уравнения с разделяющимися переменными. Одно- родные уравнения .............................. 1.8. Уравнения Бернулли и Риккати.............. 1.9. Локальное условие Липшица................. 1.10. Продолжение решения. Максимальный интервал. Полное решение.................................. 1.11. Зависимость решения от начальных условий.. 1.12. Общее решение............................. 1.13. Первообразная дифференциального уравнения. 1.14. Аналитические решения. Уравнение Бесселя.. 1.15. Уравнения, не разрешённые, относительно производ- ной. Параметрические решения. Уравнения Лагран- жа и Клеро...................................... Нормальные системы дифференциальных уравне- ний ............................................ 2.1. Теоремы существования и единственности.... 2.2. Максимальный интервал. Полное и общее решения .. 2.3. Уравнения высших порядков, разрешённые относи- те. илю старшей производной. Сведение к нормальной системе дифференциальных уравнений............. 2.4. Условие Липшица. Теорема существования и единст- венное ги решения.............................. . Линейные системы дифференциальных уравнений
164 Оглавление 3.1. Полные решения........................... 84 3.2. Линейные однородные системы. Теорема о виде мак- симального интервала.......................... 85 3.3. Пространство решений однородной системы. Фунда- ментальные матрицы............................ 88 3.4. Метод вариации постоянных................ 92 IV. Линейные дифференциальные уравнения............ 93 4.1. Сведение к линейной системе дифференциальных уравнений .................................... 93 4.2. Определители Вронского. Формула Лиувилля-Остро- градского..................................... 94 4.3. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных....................... 96 4.4. Линейные уравнения второго порядка....... 98 4.5. Линейные однородные уравнения с постоянными ко- эффициентами ................................ 104 4.6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными ко- эффициентами ................................ 107 V. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами............. 113 5.1. Норма и экспонента матрицы.............. 113 5.2. Фундаментальные системы решений......... 116 VI. Нормальные автономные системы дифференциаль- ных уравнений..................................... 121 6.1. Первые интегралы........................ 121 6.2. Понижение порядка автономной системы.... 128 6.3. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.................. 130 VII. Дифференцильные уравнения в частных производ- ных второго порядка............................... 135 7.1. Эллиптический, гиперболический, параболический типы уравнений............................... 135 7.2. Уравнение колебаний неограниченной струны. Реше- ние Д’Аламбера и задача Коши................. 141 7.3. Метод Фурье решения задачи Коши для уравнения колебаний ограниченной струны и уравнения теплоп- роводности .................................. 143 7.4. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных условий............................ 152 Литература...................................... 154 Предметный указатель............................ 156 Приложение...................................... 158