л
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО
А. П. Аксенов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Том 2
УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ
ДЛЯ АКАДЕМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА
Рекомендовано Учебно-методическим отделом
высшего образования в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по техническим
направлениям и специальностям
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по техническим
специальностям
Книга доступна в электронной библиотечной системе
biblio-online.ru
Москва  Юрайт  2016
УДК 517.9
ББК 22.161.1я73
А42
Автор:
Аксенов Анатолий Петрович — кандидат физико-математических
наук, профессор кафедры высшей математики Института прикладной мате-
матики и механики Санкт-Петербургского государственного политехниче-
ского университета.
Рецензенты:
Кудрявцев Л. Д. — доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой высшей математики Московского физико-техниче-
ского института, старший научный сотрудник Математического института
имени В-. А Стеклова;
Розанова С. А. — доктор педагогических наук, профессор кафедры выс-
шей математики Московского государственного института радиотехники,
электроники и автоматики;
Карасев В. А. — кандидат технических наук, доцент Московского госу-
дарственного института стали и сплавов.
Аксенов, А. II.
Л42 Дифференциальные уравнения. В 2 т. Т. 2 : учебник и практикум для
академического бакалавриата / А. П. Аксенов. — М.: Издательство Юрайт,
2016. — 359 с. - Серия : Бакалавр. Академический курс.
ISBN 978-5-9916-5873-7
ISBN 978-5-9916-5875-1 (т. 2)
Данная книга представляет собой второй том двухтомного учебника
«Обыкновенные дифференциальные уравнения», который издастся в рамках
авторского цикла учебников по разделам высшей математики.
Второй том учебника включает материал по следующим разделам; «Диф-
ференциальные уравнения высших порядков», «Интегрирование дифферен-
циальных уравнений с помощью рядов», «Нормальные системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений», «Линейные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений», «Линейные однородные системы обык-
новенных дифференциальных уравнений», «Устойчивость решения системы
обыкновенных дифс|мфенциальных уравнений».
Разобрано большое количество примеров и задач, разъясняющих основ-
ные идеи, понятия, теоретические факты и их практическое применение. Все
высказанные теоремы (трудные и простые), как правило, доказываются.
Соответствует актуальным требованиям Федерального государствен-
ного образовательного стандарта высшего образования.
Дм студентов высших технических учебных заведении. Может быть
использован для самостоятельной подготовки и повышения квалификации.
УДК 517.9
ББК 22.161.1я73
T“»Jx~> Pee права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена
« какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
*ФЬ|	Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая ко. ипания сДельфи*.
ISBN 978-5-9916-5873-7
ISBN 978-5-9916-5875-1 (т. 2)
© Аксенов А. П„ 2015
©ООО «Издательство Юрайт*,2016
Оглавление
Предисловие................................................7
Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков......10
§1	. Основные понятия и определения..................  10
§2	. Некоторые типы уравнений высших порядков,
допускающих понижение порядка........................18
§3	. Примеры и задачи к §2.............................27
§4	. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.100
§5	. Линейные однородные уравнения....................102
§6	. Теорема о составлении общего решения линейного
однородного уравнения го порядка....................111
§7, Линейные неоднородные уравнения и-го порядка	114
§8	. О комплексных решениях линейного однородного уравнения... 118
§9	. Линейные однородные дифференциальные уравнения
п-го порядка с постоянными коэффициентами...........121
§10	. Построение частного решения линейного неоднородного
уравнения с постоянными коэффициентами и с правой
частью специального вида..............................127
§11	. Уравнение Эйлера.................................134
§12	. Примеры и задачи но теме: «Линейные дифференциальные
уравнения и-го порядка»..............................135
Глава 4. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью рядов..........................................171
§1	. Непосредственное применение ряда Тейлора.........171
§2	. Метод неопределенных коэффициентов...............173
§3	. Уравнение Бесселя. Его интегрирование с помощью
обобщенного степенного ряда.........................177
Глава 5. Нормальные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений...............................193
§1	. Основные понятия и определения...................193
§2	. Некоторые сведения из теории вектор-функций......195
§3	. Существование и единственность решения задачи Коши
нормальной системы обыкновенных дифференциальных
уравнении.............................................202
§4	. Общее решение и общий интеграл нормальной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений...............211
3
§5	. Методы интегрирования нормальных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.............222
§6	. Интегрирование линейных и квазилинейных
дифференциальных уравнении с частными производными
первого порядка.....................................231
§7	. Продолжение решений. Нелокальные свойства решений.253
Глава 6. Линейные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.............................264
§1	. Некоторые сведения из теории матриц............264
§2	. Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Простейшие свойства решений линейных
однородных систем...................................267
§3	. Линейная зависимость и линейная независимость вектор-
функций. Признаки линейной независимости решений
линейной однородной системы.........................270
§4	. Теорема о составлении общего решения линейной
однородной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений............................................272
§5	. Формула Остроградского — Лиувилля.................275
§6	. Теорема о составлении общего решения линейной
неоднородной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений...........................................277
§7	. Метод вариации произвольных постоянных для
нахождения решения У(.г) = Т(х) линейной неоднородной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений..278
§8	. Матричные последовательности и ряды............280
§9	. Матричные степенные ряды.......................282
§	10. Экспонента от матрицы.........................288
§11	. Матрица-функция ...............................289
§12	. Умножение матричных рядов......................291
§13	. Линейные однородные системы с постоянными
коэффициентами.......................................296
§14	. Линейные неоднородные системы с постоянными
коэффициентами.......................................301
§15	. Примеры и задачи к главе 6.....................302
Глава 7. Линейные однородные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами.........................................316
§1	. Логарифмы матриц..................................316
§2	. Линейные однородные системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами.......................................320
§3	. Мультипликаторы...................................322
§4	. Структура фундаментальной матрицы решений линейной
однородной системы с периодическими коэффициентами...324
4
	§5. Приведение линейной однородной системы
с периодическими коэффициентами к линейной
однородной системе с постоянными коэффициентами.......328
Глава 8. Понятие устойчивости решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений..................329
	§1. Постановка задачи об устойчивости. Определения..329
	§2. Устойчивость линейных систем....................335
§3. Устойчивость линейных систем С постоянными
коэффициентам и....................................340
§4. Устойчивость линейных систем с периодическими
коэффициентам и....................................342
§5. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению.343
§6. Примеры и задачи к главе 8........................349
Литература.............................................  358

Предисловие
Данная книга представляет собой второй том учебника но обык-
новенным дифференциальным уравнениям, выходящего в рамках
цикла учебников автора по разделам высшей математики.
Учебник “Дифференциальные уравнения” составлен на основе
курса лекций, читаемых автором в Санкт-Петербургском государ-
ственном политехническом университете.
Настоящий учебник предназначен для студентов высших тех-
нических учебных заведений. Он может быть использован и для
самостоятельной подготовки и повышения квалификации по дис-
циплинам “Математический анализ”, “Высшая математика”
и “Дифференциальные уравнения”.
Второй том учебника включает материал по следующим раз-
делам: “Дифференциальные уравнения высших порядков”, “Инте-
грирование дифференциальных уравнений с помощью рядов”,
“Нормальные системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений”, “Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений”, “Линейные однородные системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений”, “Устойчивость решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений".
Подробное изложение теории сопровождается большим числом
разобранных примеров и задач, разъясняющих основные идеи, тео-
ретические факты и их практическое применение.
Для успешного овладения представленным материалом обу-
чающиеся должны хорошо знать школьный курс математики
и владеть навыками логического и алгоритмического мышления,
а также математическими методами решения задач согласно требо-
ваниям стандартов среднего образования, а также успешно освоить
материал первого тома учебника.
В результате изучения второго тома учебника “Обыкновенные
дифференциальные уравнения” обучающиеся должны:
знать
*	основные понятия, теоретические основы, положения
и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений;
•	методы решения прикладных задач, базирующиеся на поста-
новке задач и формулировке начальных и граничных условий для
7
дифференциальных уравнений, интегрировании дифференциаль-
ных уравнений, исследовании свойств их решений и т.п.;
•	современные представления о переводе задач моделирова-
ния реальных процессов и явлений на математический язык тео-
рии дифференциальных уравнений, выборе методов их решения,
в том числе и численных, оценке полученных результатов;
уметь
•	использовать полученные знания о математических поня-
тиях, методах и моделях дифференциальных уравнений в практи-
ческой деятельности и при изучении иных естественнонаучных,
общепрофессиональных и специальных дисциплин;
•	применять теоретические знания к реальным ситуациям для
математического исследования встречающихся в приложениях
эволюционных процессов, а также анализа и интерпретации полу-
ченных результатов;
•	выбирать необходимые методы теории дифференциальных
уравнений для решения поставленных задач и реализации алго-
ритмов;
•	самостоятельно расширять и углублять полученные .матема-
тические знания, изучать новую математическую литературу, обоб-
щать и систематизировать вновь поступающие сведения но теории
дифференциальных уравнений;
•	давать самостоятельные оценки эффективности употребляе-
мых алгоритмов решения дифференциальных уравнений высших
порядков и систем дифференциальных уравнений;
	самостоятельно формулировать, обосновывать и строго
логически и математически доказывать утверждения теории диф-
ференциальных уравнений;
владеть
•	методами математического моделирования фундаменталь-
ных и прикладных проблем с помощью систем дифференциаль-
ных уравнений и выработки наиболее эффективных алгоритмов
их решения;
	навыками решения дифференциальных уравнений высших
порядков, возникающих в ходе математического моделирования
реальных процессов и явлений на практике;
•	навыками работы с учебной и научной математической
литературой для поиска необходимой информации для решения
систем дифференциальных уравнений;
•	современными технологиями анализа и информационной
поддержки решения поставленных задач.
На основе полученных знаний у обучающихся формируются
следующие общекультурные и профессиональные компетенции:
8
•	способность к обобщению, анализу, восприятию информа-
ции, постановке цели и выбору путей ее достижения;
•	готовность использовать основные законы и методы теории
дифференциальных уравнений в профессиональной деятельности,
в теоретических и экспериментальных исследованиях;
•	способность представить адекватную современному уровню
знаний научную картину мира на основе знания основных поло-
жений, законов и методов теории дифференциальных уравнений;
•	умение выявить математическую сущность проблем, воз-
никающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь для
решения дифференциальных уравнений, возникающих при моде-
лировании, соответствующий физико-математический аппарат;
•	способность разрабатывать математические модели объек-
тов профессиональной деятельности в форме дифференциальных
уравнений, применять необходимые для построения моделей зна-
ния принципов действия и математического описания различных
систем (информационных, механических, электронных и т.п.),
а также определять характеристики объектов по разработанным
моделям на базе решения дифференциальных уравнений;
•	навыки владения основными приемами математической
обработки и представления экспериментальных данных в виде
дифференциальных уравнений и соответствующих начальных
Глава 3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§1. Основные понятия и определения
Г. Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка
называется уравнение вида
F(xyy4y\y\ ... ,Ул)) = 0.	(1>
Здесь п — фиксированное число (п<= N, п > I, л — порядок урав-
нения), х — вещественная независимая переменная, Я*) — иско-
мая вещественная функция, f(x, у, у', у", ...,у1п}) — известная фун-
кция, определенная и непрерывная в некоторой области (G) с R"12.
2°. Дифференциальное уравнение лг-го порядка, разрешенное
относительно старшей производной, имеет вид
/я) =/(х,у,/,у'..У"-'))	(I)
((1) — нормальный вид дифференциального уравнения /z-го поряд-
ка). Предполагается, что функция /(х,у,у',у'.у(" опреде-
лена и непрерывна в некоторой области (D) с R”*'.
3’. Определение. Функция у = <р(х) называется решением урав-
нения (I) в промежутке если:
1)для каждого хе{а,Ь) определены и непрерывны <р(х),
<р'(х), <р'(х), , Ф(я)(х);
10
2) для каждого хе {а,Ь} точка (х,<р(.х),ф'(х),.... ф(" !)(х))е (D);
3) Ф</Г>(х) = /(х,ф(х),ф'(х), ...,Ф(л |)и>), хе(а,Ь).
График решения у = ф(х), х е <а,Ь), называется интегральной
кривой уравнения (I).
Заметим, что решение уравнения (I) определяется аналогич-
но. Именно, функция у = ф(а-) называется решением уравнения
(I) в промежутке (а,Ь), если:
1)для каждого хе (а.д') определены и непрерывны ф(х) ,
<р'(х), ф'(х) , , <р<я)(х);
2)для каждого хе(а,Ь) точка (х,ф(х),ф'(х)......ф<я>(х))е (G);
3) Г(х,у(х),<р'(х)...<р<я>(х))зО, хе(а,Ь).
4’. Решение уравнения (I) (а также и уравнения (I)) может
быть получено в неявной форме, т. е. в виде соотношения
y(x,j) = 0,	(*)
или в параметрической форме:
X = х(/),
у = у(0,
te (а.р).
(**)
Но при этом предполагается, что соотношения (*> и (**) опре-
деляют у как функцию от х: у = ф(х) , х е , которая является
решением уравнения (I) (уравнения (I)) на промежутке (а.Ь}.
Пример /, Пусть имеется уравнение
у/ = (/)2 - (У)3-
Покажем, что функция у = у(х), заданная неявно соотношением
_у-1п|у|-х + 5 = 0 (у*0),
является решением данного уравнения.
Решение. Находим у' и у':
/- — -1 = 0 =» у' -—- = 1 => / = —— (у * 1).
У	У	У-1
(Отметим, что у s I, хе (-<», + «°), является решением данного
уравнения.)
О’-I)2	О'-I)2
у
0-1)’
(У* I).
11
Подставив найденные выражения ддя у' и у' в исходное
уравнение, получаем
2	2	3	2	2
У _ У У	У _ У
(у-1)3 (у-1)2 (у-1)3	(у-1)3	(у-1)3
Следовательно, функция у = у(х) является решением данного
уравнения.
Пример 2. Пусть имеется уравнение
(у')2 -2у'у' + 3 = 0.
Покажем, что функция у - у(л), заданная параметрически системой
I . ,	3
Л = 1|П,+7Т*
! J (^>0)	(*)
является решением данного уравнения.
Решение. Находим у' и у';
1__9_
, у! 4 4/4 Г2 + 3 ,	,
2/ 2/3
Г2-3
_ 2t2
I 3
21 2?
Подставив найденные выражения для у' и в исходное урав-
нение, получаем
t2 -—(г2 +3) + 3 => f2-z2-3 + 3 = 0.
2t
Следовательно, функция у = у(л), определяемая системой (*),
является решением данного уравнения.
5’. Задача Коши для дифференциального уравнения я-го по-
рядка вида (I): y(w) =/(*,У,у\ ...,У("’13) состоит в следующем:
среди всех решений этого уравнения найти такое решение
12
у = ф(л), которое удовлетворяет наперед заданным начальным
условиям:
= м>: /U = й: •••: /"Х* = И”’1'-	(2)
Здесь х)ьуо,уо, ...у(оп— числа такие, что точка
(•W0..F0, - .j4'’’I>)€
6*. Понятие единственности решения задачи Коши.
Пусть даны уравнение
?я) = f(x,y,y', ...	(1)
и начальные условия
4..* = л>; у1„„ = у«. •••;	= 4"”-	<2)
Предполагается, что /(л,у,/,... ,^я-|>)е C(D), (D) а Кя+|, и что
точка (х^,уо,уо, ...Уо”-,))е (О).
Пусть у = ф(х), хе /s = (x0-8,x0+8), и у = ф(х),
хе =(х(|-8,х0+8), — любые два решения задачи (I) — (2).
Тогда: если существует интервал /б = (хп -8, х0 + 8) такой, что
<р(х) = ф(х), хе /$, то говорят, что задача (I)— (2) имеет
единственное решение. Точку (x0,)’o,/>,	(£)) называют в
этом случае точкой единственности уравнения (1).
Подчеркнем еще раз, что соотношение ф<х) = ф(х), хе/5,
должно выполняться для любой пары решений задачи (I) — (2).
Пусть область (Z).)c(D) и пусть каждая точка
(х,_у,/, ...у<я |,)с (0.) является точкой единственности уравнения
(I). Тогда (Z).) называют областью единственности уравнения (1).
Замечание. Для уравнения (I): F(xty,y',y'....Ул>) = 0. не
разрешенного относительно производной /я), задача Коши ста-
вится аналогично задаче Коши для уравнения (I). Однако в
13
случае уравнения (1) эта постановка задачи Коши нуждается в
уточнении. Дело в том, что заданным числам хо,уо,уо,
может отвечать не одно, а несколько значений у<л), определяе-
мых из уравнения
fCWcbJih	С3)
7‘. Существование и единственность решения задачи Коши для
уравнения, разрешенного относительно старшей производной
У"’, гарантирует теорема Коши—Пикара
Пусть имеется уравнение
= /(х,у,у\у', ...,У(п'").	(1)
Если функция /(х,у, у', ...,у<я"|)) непрерывна в области (D),
(D)cR"+l, и имеет в (D) непрерывные частные производные
э/ а/ э/	. ..
Э/ 5у.....57ГТ. ТО для любой точки (X0,J0,J’0,
задача (1)— (2) имеет единственное решение.
Это решение определено в некоторой окрестности
/6 = (х0 - 5,х0 +5) точки х0 и удовлетворяет условиям
= л: Д-ч =	т
Теорема будет доказана позже. Она будет получена из след-
ствия к теореме о существовании и единственности решения
задачи Коши нормальной системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений (см. стр. 436).
Замечание (о существовании и единственности решения зада-
чи Коши для уравнения, не разрешенного относительно /я)).
Пусть имеется уравнение
F(x,y,y\y\ ...,?я)) =0.	(I)
Рассмотрим уравнение
F^y^y^,	(3)
где х0,у0,Уо, ...,Удя п — заданные числа (см. начальные условия
(2)). Пусть ^я>,у^я>, ...,у^я) — числа, которые являются различны-
14
ми вещественными корнями уравнения (3). Ради простоты ограни-
чимся рассмотрением случая, когда уравнение (3) имеет конечное
число вещественных корней.
Пусть (Рк), к = Ы — прямоугольный параллелепипед с цен-
тром в точке (хо.уо,уо, ...	. Пусть параллелепипеды
(Рк) такие, что (^)П(Р-)=0,	i # j. Предположим,
что в каждом параллелепипеде (РА), £=Г?я, функция
Ох,у,У,У, ...,У"*) непрерывна и имеет непрерывные частные
производные Лг'(х.кУ, /.........Уя)),	^(x,b/, У\ ... ,/я)),
Г; (х, у, у\у', ..., jи( я>), ,	(х, у, у, у' у{п}) и что
Видим, что в каждом параллелепипеде (/*), к - 1,/и, выпол-
нены условия теоремы об однозначной разрешимости уравнения
(I) относительно У"’ (см. теорию неявных функций). Следова-
тельно. существует окрестность % (х0,у0,у, ... .у^"-1*) точки
(Хо,у’0,у, ...	, к = i,w, в которой уравнение (I) определяет
У"’ как однозначную непрерывную функцию от х.у, У,	,
а именно;
Уи) =ЛикУ, ...,УЯ"П),А = ий,
причем функция Л(х,^,У, ...,УЯ~,,) имеет в
йр4 (-ЧьЛьЛь •••••До” П) непрерывные частные производные
....Так как »	Функ-
ция /А(х,у,у'.yn-,)) непрерывна и имеет непрерывные част-
ные производные
ду ' ЭУ ’
<У1
Л „ । , то по теореме сушествова-
оу
ния и единственности решения задачи Коши уравнения, разре-
шенного относительно старшей производной Уя), заключаем, что
15
каждому из значений	определяемых из уравне-
ния (3), соответствует только одно решение уравнения (1).
8°. Общее и частное решения уравнения у('*) = f(x,y,y\
Пусть имеется дифференциальное уравнение
Уя) s f(x,y,y',... ,/"**),	(I)
где	C(D), (D) с R"+l.
Пусть (А) с (D) и (А) — область единственности для урав-
нения (1).
Определение. Функция
^ = Ф(х,С|,Сь	(4)
где Сн С2, ..., С„ — произвольные постоянные, называется общим
решением уравнения (1) в области (D,), если:
1)функция <p(x,C|,Cj, ..., С„) имеет непрерывные частные
производные по х до порядка п включительно;
2) для любой точки (хд.Уо.Уо, -|,)е (А) система
Уо = ф(-*’о,С|,С2, .... С„),
>о = ф/(-хь,С|,С,2, ..., С„),
.....	(5)
>4"-,» = 1p(”-|>(x0,cl,cJ.с.»
разрешима единственным образом относительно Сь С2, .... С„:
С® =ViCWoX •••Jo'’-0)-
. С? =y2(JQbУо,Уо,
.................	(6)
с! = 4'„(x0,jo.Jo. • ./о"п);
3)функния у = ф(х,С(0,С2°......Ся), Хе/6 = (х0-8.х0+5),
является решением уравнения (I) при любых значениях произ-
вольных постоянных С|”, С?, ..., С“ в равенствах (6), когда точка
OWo-Jo.......Уоя-1))е (А)-
16
Геометрически общее решение уравнения (1) в (D.) пред-
ставляет собой семейство интегральных кривых на плоскости
Оху, зависящее от п параметров Ct, С2, ..., Сп.
Отметим, что если известно общее решение (4) уравнения
(I) в области (О.), то решить задачу Коши (1)— (2) можно
следующим образом: сначала дифференцируем по х функцию
у = ф(х,С|,С2, .... Сп) последовательно (л - I) раз. Затем в соот-
ношение (4) и в те соотношения, которые получаются из (4)
последовательным (л-1)-кратным дифференцированием по х,
подставляем начальные условия (2): у|х=Л = Уо, у1ХЖХо -Уо, »
—— «.(Л-1) it	z* z"~*	z~*
У	-В результате для определения С2, ...> Сп
получаем систему
tpCxo.q.c,......с„) = у0,
Ч>'(Х(Ь С|> С2, ... , С„) = Уд,
<
Ф'"|’(Л».С|.С2.......С.)	= 4-".
Решив эту систему и подставив найденные конкретные значения
Cf.Cj....Cj вместо С|, С2....С„ в (4), получим решение задачи
Коши (I)- (2): у = <p(x,C|0,Cj,
Замечание. Общее решение (4) уравнения (1) в области (D,)
может получаться в виде, заданном неявно соотношением
Ф(х,у,С,,С2, ...,С„) =0.	(7)
Пусть функция у = <р(х,СнС2,.... С„) — общее решение урав-
нения (I) в (/).). Тогда всякое решение уравнения (I), получаю-
щееся из общею при конкретных (допустимых) числовых значе-
ниях произвольных постоянных С|,С2, ..., Сп , называется частным
решением этого уравнения.
(Допустимыми значениями С(, С2, ... ,СП называются такие,
которые определяются равенствами (6), когда точка
(*о.Уо-Уо...Уо*‘°)е <D.)>
17
§2. Некоторые типы уравнений высших порядков,
допускающих понижение порядка
Г. Уравнения, не содержащие явно искомой функции и не-
скольких последовательных производных, т. е. уравнения вида
F\x,y*k\= 0(1 < к < п).	(I)
Порядок такого уравнения заменой: _у(А>(х) = г(х),где г(х) — новая
неизвестная функция, понижается сразу на к единиц. В самом деле,
при такой замене имеем:
=	у^к+2) =	=
Следовательно, уравнение (I) примет вид:
F(x,z,z', ...,?я'А))=0.	(2)
Видим, что (2) — дифференциальное уравнение порядка (п-к).
Если уравнение (2) удается проинтегрировать, то, возвращаясь к
переменкой у, получим:
у(к) = <р(х,СьС2, ...,СЯ_А) или Ф(Х,УЛ),СЬС2, ,„1С(,.д)=0,
В случае, когда в результате интегрирования уравнения (2) полу-
чено =ф(х,С|,С2, ...,С„_к), находим последовательно:
/*-1> = J«p(x,C|,C2,... ,CM_k)dx + Ся_* + |,
/*'2) = J(J<p(x,C|,C2,... ,C/r_A)dv)dx + C/l_jt+|x + Ctf_A+2,
y = Jf.. J(p(x,C|,C2>... yCn_k')dxdx...dx + €n_k^xk~'+
~k~
+ ^n-kt2x +...+Ся_|Х + Ся.
Если же в результате интегрирования уравнения (2) получено
Ф(х,/*\С1,С2,...,Ся_Л) = 0,	(3)
то часто уравнение (3) допускает параметрическое представление
х = ф(/,С|,С2...,СЯ_4),
=у(/,С|,С2...,Ся_Л),
где Ф — дифференцируемая функция.
18
В этом случае имеем
4И*-|) = y^dx =M/(r,cbc2, ...,C„_*)-<pUC|,C2, ...,Cn-k)dt,
=*у(к~" = Jv(/,CbC2, ...,С„_к) <р'(лС|,С2, ...,Ся_*)Л + Ся^+1 =
= vi(^G»Cj, - ,сп-ь,сп-к+\)-
Аналогично находим У*"2) и т. д. Для у получаем выражение вида
у- v*(/,C|,Cj, ...,СЯ_|,С„). Поэтому система
х = <р(/,СьС2, ...,СЯ_Д),
y=v»«.c„c2.,...c,.l,c.)	(4)
является общим решением уравнения (1) в параметрической форме.
Пример. Решить уравнение
ху" + у' = 0.
Решение. В этом примере F(x,y,>’'’,>’,,/r) = ху*+у’;	= У*\
F'v = 0; Ру- =0; Ff = I; F'y- = х. Видим, далее, что F'- = 0 <=> х = 0 .
Следовательно, задача Коши для исходного уравнения с любыми
начальными данными вида (х0, Уо.Уо.Х) <-*Ь * 0 ) имеет един-
ственное решение. Станем рассматривать наше уравнение лишь
для х * 0. Замечаем, что заданное уравнение не содержит у и /.
Делаем замену y' = z(x) (z(x) — новая неизвестная функция).
Тогда у" = z', и исходное уравнение принимает вид
С
х • z' + z - 0 « (х • z)'x = 0 => х • z = С, => z = —“
(у нас х * 0), т. е. у' = —. Теперь находим последовательно
х
у' = С\ 1п|х| + С2;
у = С, jIn |х| dx + С2х + Су	у = С| (х In|х| - х) + С2х + С3 =>
=> у = С|Х1п|х| + (С2-С|)х + С3 => j = C|Xln|x| +С2х + С2.
2!. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной,
т. е. уравнения вила
F(y,y', ...,ум} =0.	(5)
19
(В уравнение (5) не входит явно независимая переменная х.)
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу.
В самом деле, сделаем замену;
Уж = z(y),
где z(j) — новая искомая функция, а у— новая независимая
переменная. При такой замене будем иметь
Зу' _ 3;	^У_
dx dx dy dx
=> у'х> =Z Z'y=Vi (Z, zp,
dy'xi d(z-Zy) d(Z Zy) dy
dx dx dy dx
= (z'2Z+(z')2)
z =
Zy,Zy2),
y{"} = vrt_|(z,z;,z'>.z'"’,”).
A	Z	У
Подставляя в (5) вместо y*x,y*i,y*i, полученные для них
выражения, получим
^(y,Z,Y|(z,z;),Y2(^^,zJJ,	...,z^n) = 0,
F(y,Z,Zy,Zy2, ...,zJ”'il)) = O.	(6)
Видим, что (6) — дифференциальное уравнение порядка (л- I).
Замечание. При осуществлении замены /. = z(y) возможна
потеря решения у = const. Поэтому необходимо непосредствен-
ной подстановкой в уравнение (5) проверить наличие или отсут-
ствие такого решения у этого уравнения.
Пример. Решить уравнение
(У)2 +2у/г= 0.
Решение. Здесь Г(х,у,у',у') = (у')2 + 2уу”; Гх'=0; Г}' = 2/;
F'- = 2у'\ F'.- = 2у . Видим, что функция F непрерывна и имеет
непрерывные частные производные ГД F', F',, F'y-. Видим, далее,
что F’y- =0 <=> у = 0 . Следовательно, задача Коши для исходного
уравнения с любыми начальными условиями вида (хо,уо,Уо)
(у0 * 0) имеет единственное решение. Станем рассматривать наше
уравнение лишь для у # 0. Непосредственной подстановкой в
уравнение убеждаемся, что у = const является решением задан-
ного уравнения. Замечаем, что исходное уравнение не содержит
явно независимую переменную х. Поэтому делаем замену:
20
Ух = ZOO
(z(y) — новая неизвестная функция). Имеем
, = dz(y) _dz dy _ ,
v‘ dx dy dx '
Относительно новой неизвестной функции заданное уравнение
примет вид
Z2 + 2yzz'y =0 z(z + 2yZy) = 0 =>
=> I) z = 0,т.е. / = 0 => у = const;
2) z + 2yzy = 0 =>	+	= 0 (считаем z * 0 и у *0) =>
z 2у
=> In|z| + ^ln|y| = 1п|сГ|(С|* *□) =>121^ = 1^1=»
=> И • 7Й = |с1*| =* У* • 7Я = С|‘ => | yV2 = С|*х + С2‘, если у > 0 ,
и -у(-у)^2 =С|*х + С2 , если у < 0 =>
9	С*
=> у1 =С|(х+С,)3. гае С| =±7<С,')2, С2
4	С|
3°. Уравнения, однородные относительно искомой функции и ее
производных. Так называюзся уравнения вида:
Е(х,у,у',	= О,	(7)
в которых функция F является однородной относительно
К/. т.е.
F(.x,ty,ty', ...,0’<п)) = tmF(x,yty'„ ...,у(л))
(/и — показатель однородности). Порядок такого уравнения можно
понизить на единицу.
В самом деде, положим
y' = yz,
где z(x) — новая неизвестная функция. Имеем при такой замене!
21
у' - y'z + yz' = yz2 + yz' - y{z2 4- s'),
y" = yXz1 +z*) + y(2zz' 4-zO = Xz1 +3zz'+z*),
У<Л> = y v(z,z',z', ...,z<rt-n).
Следовательно, относительно новой неизвестной функции урав-
нение (I) примет вид
F(x,y,yz,y(z2 + z')...yy(z,z\z't ...,z('*’l))) = 0.	(8)
Воспользуемся теперь свойством однородности функции F. (Здесь
в роли t выступает у.) Получим вместо (8):
y" F(jC, 1,€,г2 + z\ Z3 4- 3tz' + Z*,	=0.
Отсюда, сократив на ут, получим
F(х, I, z,z2 4-г',..., v(z,z',z', ...,г<*'1))) = 0.	(9)
(9)— дифференциальное уравнение (л-1)-го порядка относи-
тельно функции z.
Замечание. Если удается получить общее решение уравнения (9):
Z — ф(х,С|,С2,	, C/f_,),
то из того, что у нас у' = yz ,т. с. у' = у <р(х, С,,С2, ... ,С„_|), находим
у = Ся^<’(хС‘-С2, •c-’)dx.	(10)
(10) — общее решение исходного уравнения.
Отметим, что из (10), при С„=0, мы получаем решение
у = 0. Значит, при переходе от уравнения (8) к уравнению (9),
производя сокращение на ут , мы не теряем решение у = 0.
Пример. Решить уравнение (х2 + 1)((/)2 -у/) =хууг.
Решение. Здесь
Лх, у, у', у') = (х2 +1)(/2 - уу~) - х>У; Л”х' = 2х(у'2 - уу") - у у'-,
F' = -(х2 +1)/- ху'; F’.- = 2у'(х2 +1) - ху; = -у(х2 4-1).
Видим, что функция F непрерывна и имеет непрерывные частные
производные F,', F', F'.-f Fy. Видим, далее, что F'y =0 «=> у = 0. Сле-
довательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми началь-
ными данными (хо,уо,уо) (у0 г 0) имеет единственное решение.
22
Станем рассматривать наше уравнения для у*0. (Заметим,
что у = 0 является решением заданного уравнения. Это легко
обнаруживается из самого вида уравнения.)
Замечаем, что исходное уравнение является однородным от-
носительного у,у',у' (показатель однородности т = 2 ). Поэтому
делаем замену
y’ = yz,	(И)
где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда
у’ = y'z + yz = y(z~ + z). Подставляя полученные выражения для
У и у’ в исходное уравнение, будем иметь:
(Х2 + l)^2z2 - y2(z2 + z') j = xy2Z => — (x2 + l)y2z' = xy2Z =»
=> сократив на у2, получаем
„ 2 .ч	dz xdx
-Z(A +I) = X<^------=	.	(j?)
Z X + I
Могли потерять z = 0 <=> у' = 0 => у = const. (у = const является
решением исходного уравнения. Это легко обнаруживается из
вида уравнения.) Из (12) находим:
— In|z| =~1п (х2 + 1)-1п|С|| => z = -z 9. г => —=	— =>
2	Vx2 + I у Vx2 + I
In |у| = Ci In х + Vx2 + I
+ In |C2|, C2 # 0 => y= Q (x+Vx2 +1 j .
4°. Обобщенно-однородные уравнения. Так называются уравне-
ния вида
F(x,y,y\y", ...,у(л)) =0,	(13)
в которых функция F является такой, что
f(Ax, А^/Д*"2/, .... А,* "'У'”) = А/”/г(х,у,/,у',
Чтобы узнать, будет ли уравнение обобщенно-однородным, и
найти число А, нужно приравнять друг другу показатели степеней,
в которых число X будет входить в каждый член уравнения после
замены: х на Ах, у на А,*у, у’ на А*-1/, , на \к~пу(п}.
В результате получим несколько уравнений для к. Если получен-
ные уравнения окажутся совместными, то данное уравнение яв-
ляется обобщенно-однородным; если же эти уравнения будут
23
несовместными, то данное дифференциальное уравнение не яв-
ляется обобщенно-однородным.
Порядок обобщен но-однородного уравнения можно понизить
на единицу. В самом деле, положим х = е*, у = zekJ, если х > 0, и
х = -е‘, у = zekt, если х < 0 . Здесь t — новая независимая пере-
менная, а z(O — новая неизвестная функция.
Для определенности рассмотрим случай, когда х>0. Будем
иметь в этом случае:
у'х = А = иУ' + kzekl) J- = (z,' + kz) e{k
x,	e
y'xi = 00/ A = [(*?	+(A+=
xt
= [zfi + (2k -l)z; +k(k -l)z ]e(*"2>/,
y*”' = ^(z.zj, ...,z(f?)e,k~n)'.
Подстановка выражений для x.y.y'.y'...........у^ в уравнение
(13) дает
F(e', ek'z, e(k~^'(Zt + kz), ... ,e(k~n]lw(z,z'i.Z/(.”))) = 0. (14)
Воспользуемся теперь свойством обобщенной однородности фун-
кции F. (Здесь в роли А, выступает е'.) Получим вместо (14)
em'F(\, z, (z; + kz), ..., v(Z. Z,» ... zj,"’)) = 0.
Откуда, после сокращения на е”', будем иметь
F(z,Zi^2.....4я>)=0.	(15)
Видим, что уравнение (15) не содержит явно независимую пере-
менную /, а такое уравнение, как мы знаем, допускает понижение
порядка на единицу (см. пункт 2’)-
Пример. Решить уравнение
4х2уэу' = х2 - у4.
Решение. Здесь Г(л,у,у',у') = 4х2у’у' + у4 -х2, F' = 8ху3у'- 2х,
F' = 12х2у2у'+ 4у3 , F'- =0, Fy =4х2у3. Видим, что функция F
непрерывна и имеет непрерывные частные производные
24
F' К, К, Видим, далее, что F'- = 0 « ху = 0. Слсдова-
тельно, задача Коши для заданного уравнения с любыми началь-
ными данными (лг0,j0, jo), такими, что хоуо *0, имеет един-
ственное решение.
Выясним, будет ли заданное уравнение обобщенно-однород-
ным. Имеем:
2 + ЗА + А - 2 = 2 = 4А => 4А = 2 = 4А => А = -.
2
Вывод: заданное уравнение является обобщенно-однородным
. I
и число к = -.
2
Станем рассматривать заданное уравнение для х>0. Тогда
можно положить: х = е1, у = ze'/2. При такой замене будем иметь
, X ( ' 1 1 5 -I , ( , I 1 4
=£т= р + тг е- =>Л = 2, +т2 е 2.
•А. I л» I	I £	/
. , ... 1 ( . 1
=Ь«>- ^ = е 2 •
Подставляем выражения для Х,У,Ух,Ух2 в заданное уравне-
ние. Получаем
4e2'?3e2 fz,* - 7 z Ь 2 = е2' - zAe2t => 4z3 ( z' - у z 1= 1 - z4.
(	4 J	k 4 J
Видим, что полученное уравнение не содержит независимую пере-
менную г. Поэтому делаем замену: zt = u(z) (u(z) — новая неизве-
стная функция). Имеем
,г df dt dz dt
=> z'i = u(z) u'z.
Относительно функции w(z) получаем уравнение
4^(ии* - — z j= I - Z4 <=> Az^nu, = I <=> 2udu =
l 4 J	1	2z3
(считаем у * 0, а следовательно, z * 0). А тогда
25
а2 -С, -Д-( С, >0) « (г,')2 - 4с' , 1 => (2zz,y = 4C,z2 -1 =>
4г	4г
=э 2гг,' = ±J4C,z2-1 => ±-=3Sl—=
74C,z2-I
=> ±-^-(4С,г2 - l)l/2 = /+InC2 => 4C,z2-I = 4C2(Z+ lnC2)2.
2C|
2	2
2 У У
У нас / = In х, z = — - —. Следовательно, будем иметь
е х
V2
4С, у = 1 + (2С, 1пС2х)2 => 4С,/ = х(2С| 1пС2х)2х.
5°. Уравнения в точных производных. Так называются уравне-
ния вида
F(x,y,y\y'....у(я))=0,	(16)
левые части которых являются точными производными от неко-
торой функции Ф(х,у,у’, ...,у(п”), т. е.
F(x,y,y\ =-^-Ф(х,у,У, ....У*"1’).
dx
В этом случае уравнение (16) может быть записано в виде
^Ф(х,лу ,	°) _ о ф(х у у >у*-П) = с|. (|7)
ах
(17)— уравнение (л-1)-го порядка. Следовательно, уравнения в
точных производных допускают понижение порядка на единицу.
Пример. Решить уравнение ху<4’ +_у* = 0 .
Решение. Здесь Г(х,у,У,...,/4)) = ху<4) + у*, F* = У4’, F'y = 0,
Гу =0 , Fy =0 , Fy = I , FyM - x. Видим, что функция Fнепре-
рывна и имеет непрерывные частные производные F', F'., Fy, Fy,
Fy, F'u» • Видим, далее, что Г'(4) =0 <=ь х =0. Следовательно, за-
дача Коши с любыми начальными данными (х(),	у^)
(jQ) # 0 ) имеет единственное решение. Замечаем, что левая часть
заданного уравнения является точной производной от функции
Ф = ху*, т. е.
26
*У(4) + У" = ~г(хУ"У
dx
Следовательно, исходное уравнение может быть записано в виде
^-(хЮ = о,
dx
С
откуда заключаем, что ху" = С. => у~ = —- (считаем х * 0), А тогда
х
у" = С| In |х| + С2 => у' = С, j In |х|dx + С2х + С3 =>
=> у' = С, (хIn|х| - х)4-С2х + С3 =
= С(х In |л'| + С2х + С3 (С2 = С2 - С|) =>
§3. Примеры и задачи к §2
Задача I. Решить уравнение х2у' = (у')2.
Решение. F(x, у, у', у') = х2у' - (у')2; Fx = 2ху”; F' = 0;
Fy = -2у'; Ff = х2 . Видим, что функция F(x,y,y',y') непрерыв-
на и имеет непрерывные частные производные F', F'., Fy, F',-;
/у = 0 <=> х = 0 . Следовательно, задача Коши для заданного урав-
нения с любыми начальными данными (х0,у0,уд) (х0 * 0) имеет
единственное решение.
В заданное уравнение не входит явно у. Поэтому делаем
замену у'=г(х), где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда
у' = г'(х). Относительно функции z(x) исходное уравнение при-
нимает вид:
2,2 dz dx	(*)
z x
Считаем x * 0; могли потерять: z = 0 <=> y' = 0 => y = C(const).
(y = C — решение исходного уравнения).
27
Решаем уравнение (*).
Следует рассмотреть два случая: I) С, * О и 2) С, = 0.
I) Пусть Q * 0 . Тогда
С,х . I (Qx+D-I
у =-----'---- => У =------!------- =>
С,(С,х + 1) С, (С,х + !)
=э у = — x--^-ln|C|X-kl| + C2 => С|Х-С* у = In|С]Х+ 1| + С2.
С, Cf
х2
2) Пусть С| = О. Тогда у = х => у = '— + С.
Задача 2. Решить уравнение 2хуУ = (у')2 - I.
Решение. F(x,y,y', у*) = 2ху'у“ - (у')2 +1, /\ = 2у'у', F' = 0,
/у = 2ху*-2у , F^ = 2xy'. Видим, что функция F(x,у,у\у') не-
прерывна и имеет непрерывные частные производные
F', F'., F’.-, F'-; F'- = 0 <=> ху' = 0 . (Заметим, что функция у(х)
такая, что / = 0 заданному уравнению не удовлетворяет.) Следо-
вательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми на-
чальными данными (х0,у0,Уо) такими, что х^*0, имеет
единственное решение.
В заданное уравнение не входит явно у. Поэтому делаем
замену y' = z(x), где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда
у' = f(x). Относительно функции z(x) исходное уравнение при-
нимает вид: 2xzz = z2 -1. Положим г2-1 = м(х) => 2zz = «' и,
_	/ du dx
следовательно, будем иметь: хи = и =э — = — . Считаем х * 0 :
их
могли потерять
и = 0 <=> z2 =1 <=> z — ± I <=> у' = ±1 => у = ±х + С
(у = ±х + С — решения исходного уравнения).
..	du dx	„	п ,,
Из уравнения ~ = ~ находим м=С(х (С|*0). У нас
и = z2 - I . Следовательно,
28
С\х = г2 - I «. (у')2 -1 = C|X =>
=> y' = ±^C|X + I => dy = ±^С\х + I dx =>
y = ±-i.(C,x + l)’/2+C2 =>>-C2=±-i-(C,x+l)*2 =»
3C।	jCj
= 9C,2(j>-C2>2=4(C,x + 1)’.
Задача 3. Решить уравнение у2у* = I 
Решение. F(x, у, у', у*) = у2 у’ -1, Fx = 0, F' = Зу2 у’, F'y> = О ,
F'> = у3. Функция F(x, у,у',у') непрерывна и имеет непрерыв-
ные частные производные F', F', Fy, Fy\ Fy> = 0 <=> у = 0 (у = О
не является решением уравнения). Следовательно, задача Коши
для заданною уравнения с любыми начальными данными
(х0, Уо> Уо) (Jo * 0 ) имеет единственное решение.
В заданное уравнение не входит явно независимая перемен-
ная х. Поэтому делаем замену: у'х = г(у), где z(y) — новая неизве-
стная функция. Тогда
dz dz dy
dx dy dx
=* T'.’ = ZyZ.
Относительно функции z(y) исходное уравнение принимает вид
y3zz'y = I => zdz = -у- (считаем у # 0) =>
У
z2 1 I С| .	„ Л. У Qy2-!
=> — = ---р- + у (ясно, что С, > 0) =>; = л	=^z=±2L-y—.
т. е.
„,-JC.,2-1 ydy	^dx	(<)
у	±jc\y2 -1
(Могли потерять: Qy2 - I = 0 => У = ±-?=. Но у = const не явля-
^С|
ется решением уравнения.) Из уравнения (*) находим:
±_Ljc,y2 - I = х+С2 =>±Jqy2 -I =С,х + С2 =>С,у2 -I =(CjX+C2)2.
м
29
Задача 4. Решить уравнение (У)2 + 2уу' = 0.
Решение. F{x,y,y',y*) = (у')2 + 2уу*, F* = О,	F'. = 2у* ,
F' =2y', F^ = 2у. Функция F(x,y,y\y") непрерывна и имеет
непрерывные частные производные F', Fy, F'-, F'y-;
Fy =0 <=> у =0 (у = 0 — решение уравнения). Следовательно,
задача Коши для заданного уравнения с любыми начальными
данными (лЬ’Уо’Уо) *0) имеет единственное решение. В за-
данное уравнение не входит явно независимая переменная х.
Поэтому	делаем	замену: у'х	= z(.y), где	z(y)	—	новая	неизвестная
j,	dzty)	dz	dy	,	„
функция.	Тогда	у }	=	——	=-— =	zv - Z-	Относительно функ-
л	ах	dy	dx	'
ним z(.y) исходное уравнение принимает вид
Z2 +2yzZy =0.	(*)
Положим z2 = и(у) с=> 2zZy = Uy и, следовательно, будем иметь
вместо уравнения (*):
С
и + уи' = 0 <=> (уи)' = 0 => уи = С, => и = —-
У
(считаем у*0). Следует рассмотреть два случая: I) С\ =0 и
2) С| *0.
1) Пусть С| = 0 • Тогда
и = 0 <=> z2 = 0 <=> у'х = 0 => у = C(const)
— решение исходного уравнения.
2) С| * 0 . У нас и = z2 = (X)2 • Следовательно, будем иметь
30
Задача 5. Решить уравнение у" = 2уу .
Решение. F(x, >’,/,>') = у'-2уу', F' = 0, F' = -2/, F'y- = -2у,
F'- =1. Функция F(x,yty\y*) непрерывна и имеет непрерывные
частные производные F'y F'„ Fyy Fy-\ Fy- *0. Следовательно, за-
дача Коши для заданного уравнения с любыми начальными дан-
ными (хо,уо,Уо) имеет единственное решение. В заданное урав-
нение не входит явно независимая переменная х Поэтому делаем
замену: у'х =г(у), где z(y) — новая неизвестная функция. Тогда
» - dz^
Л" dx dy dx
=>	= zyz.
Относительно функции j(y) исходное уравнен ие принимает вид
zz'y = 2yz сэ z(zy - 2y) = 0 =>
=> : Г) z = 0 <=> X = 0 => у = C(const) — решение исходного урав-
нения;
2)	Zy - 2у = 0 <=> dz = 2ydy => z = у2 + Q . У нас z = у'х  Следователь-
но, будем иметь
Ух =?+С| <=> 2dy =dx.
У+ С,
Следует рассмотреть три случая: 1) С| > 0; 2) С( < О и 3) С( = 0.
I) Пусть С| > 0. Тогда
-yL=arctg-p= = jc+ С2 => arctg~^= = у{С^• л + С2
=>	= 1g (>1С\Х + С2) =>у = С| tg (с,х + с2).
^vi
2) Пусть С| < 0: обозначим -Ct=C|2>0. Тогда
dy dy
и, следовательно, будем иметь
—— In
2С,
31
3)	Пусть С, = 0. Тогда
= dx => х = -—+ С => — = С - х => у (С - х) = I.
У2	У У
Задача 6. Решить уравнение уу' + I = (у')2.
Решение, /•'(х, у,у',у') = yj’'-(y')2 + I, Fx =0, F'= у', Fy=-2y',
Fy‘ = у. Функция F(x, у,у',у') непрерывна и имеет непрерывные
частные производные Fx, F',, F',<, F/\ F'.- =0 с=> у = 0 (у = 0 не
является решением уравнения). Задача Коши для заданного урав-
нения с любыми начальными данными (х0,у0,Уо) (у0 * 0) имеет
единственное решение.
В заданное уравнение не входит явно независимая перемен-
ная х. Поэтому делаем замену: ух = z(y), где z(y) — новая неизве-
стная функция. Тогда
. =djM = dMdy .	,
dx dy dx Л ”
Относительно функции z(y\ исходное уравнение принимает вид
yzz'y +1 = Г.	(*)
Положим
2	-» z г ' М
Z = И => 2ZZy = и => zzy = —.
Тогда вместо уравнения (*) будем иметь
и>-	, и dy
У— и — \ => -----= 2—.
2	u-1 у
Было отмечено, что у = 0 не является решением исходною урав-
нения; могли потерять;
и = I <=> z2 = 1 <=> (Ух )2 = I => /х = ± 1 => у = С ± х
— решение исходного уравнения.
Решаем уравнение = 2—. Получим
и -1 у
ln|z/-l| = 2ln|y| + 1п|С||(С| *0) =е> w-l =С|У2 <=> z2 -I =С|/2 =>
=> z = ±yjciy2 + I => у'х = ±у}С\У2 + I => ± .	= dx.
\1с^у2 +1
32
Следует рассмотреть два случая: I) С, < 0; 2) С, > 0.
I) Пусть С| < 0 . Обозначим - С( = Cf > 0. В этом случае будем
иметь
±——-------= //r=5 +— arcsinCiP = х + С, =>
yfC^y +	+1 = + С2,
=> arcsinC|j = ±(С|Л + С2) => С\у = ±sin (QX + С2).
2) Пусть С| > 0. В этом случае будем иметь
= dx => ± -==1п
Задача 7. Решить уравнение у'(ех +1) + / = 0.
Решение. F(x,у, у\ У) = у*(ех +1) + у', F’ = еху*, fy = 0,
F'.- = I, F'- = е* + 1. Функция F(x,y,y',y') непрерывна и имеет
непрерывные частные производные F'., F'.-, F'-; /у * 0 . Сле-
довательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми
начальными данными (xo,yo,jo) имеет единственное решение.
Запишем исходное уравнение в виде:
(Могли потерять: у =0 => y = C(const) — решение.) Из уравне-
ния (*) находим:
(,ПИУ =—г— => 1п|У| = -х+1п(ех + 1) + 1п|С,|(С| *0) =>
е +1
=> / =	=> / = С, + С{е~х => у = С,х - C}e~x + С2.
е
Задача 8. Решить уравнение у' = (у')2.
Решение. Имеем f {х,у,у,у") = (у')2, Гу =0, f'.- = 0, f'.- = 2у”.
Видим, что /(х,у,у\у') непрерывна и имеет непрерывные
ГгГу*Г' - Следовательно, задача Коши для заданного уравнения
с любыми начальными данными (х0,у0,уо,уо) имеет единственное
33
решение. Запишем заданное уравнение в виде —	= I (могли
(Г)2
потерять: У = 0 =>/ = С| =э j = C|X + C2 — решение уравнения),
или в виде
=> у' = -1п|х + С||- 1п|С2| => / = -1п|С2(х + С| )| =>
у = -J In |С2(х + С| )| dx + С3 =>
= —х 1п|С2(х + С|)| + л- С| In|л + С,| + С3 =
= Cj -(х + С|)1п|С2(х + С| )| +Q In|С2| =>
=> У- С3 -(х + С|)1п|С2(х + С|)|.
Задача 9. Решить уравнение уу' = (у')2 -(У)3.
Решение. F(x,y,y',y") = уу" - (у')2 + (у')3, Fx = 0 - Fy = У“ .
F'.’ - -2у' + 3(у')2, Fy = у. Функция F(x,y,y',yr) непрерывна
и имеет непрерывные частные производные F', F'-, F'.-;
F', = 0 « у = 0 . Следовательно, задача Коши для заданного урав-
нения с любыми начальными данными (а(),J’o<У) (Уо *0) имеет
единственное решение. В заданное уравнение не входит явно
независимая переменная х Поэтому делаем замену: ух = z(y), где
z(y) — новая неизвестная функция. Тогда
~ dz(y) dz dy
dx	dy dx
^>УХ2
Относительно функции z(_y) исходное уравнение принимает вид:
yzz'y = Z’ -Z3 <=> z[y4 - -z(i -z)] = 0 =>
=>: 1) z = 0 <=> y'x = 0 => у = C(const) — решение.
2) yz'y = Z( 1 - Z) =>
34
dz _ dy
z(l - z) у
(*)
Могли потерять:
1) у = о — решение (содержится в решении у-С)',
2) г = I <=> у'х = 1 => у = х + С — решение.
Уравнение (*) запишем в виде:
б/г = у => In|г| — 1п|г —1| = In|у| + In|С||(С| *0) =>
=> Jy 11\=dx => j-^-ln|y| = х + С2 =>.у + С| ln|v| =х + С2.
ЧУ	Ч
Задача 10. Решить уравнение у" = 2(у"~l)ctgx.
Решение. f(x,y, у „у') - 2(у” -1) etgx, fy =0, /J? =0.	= -2ctgx.
Функция /(х,у,У,У) непрерывна в областях
(Ч) = •
кп < х < (к + 1)л,
-оо < у < оо,
-«9 < У <
—оо < у* < оо,
к =0, ±1, ±2,...
и имееттам непрерывные частные производные:	. Следо-
вательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми началь-
ными данными (Х0,Уо>.И)’Уо)	^=0, ±1, ±2,... ) имеет
единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно у и у'. Поэтому делаем
замену: у" = ^(х) => у~ = z' 
Относительно функции z(x) исходное уравнение принимает
вид:
Z= 2(z-!)ctgx =>	= 2ctgxJx.
Z-l
(*>
35
Могли потерять:
— решение заданного уравнения.
Из уравнения (*) находим
In |z - 1| = 2 In |sin х| + In |Ct | (С, * 0) => z -1 = C| sin2 x =>
=> Z = C, sin2 x + I => у' = C, sin2 x +1 =>
x I . _ A	„	„
------sin 2x + x + C2 => у = C|
2 4 I
+ -cos2x
8
Положим C| = —. Будем иметь
Г 2 r z cos2x „	_
>’ = С|Х + —+ С|-----— + С2х + С3
=> 2у = С| cos 2х + (2С| +1)х2 + С2х + Су
Задача 11. Решить уравнение 2уу' = у2 +(у')2.
Решение. F(x,у,/,у') = 2уу'-у2 -(у')2, F'x = 0, F'y = 2уг- 2у,
Fy =-2y', Fy-=2y. Функция F(xxу,у',у') непрерывна и имеет
непрерывные частные производные Лх, Fy> F'y* Fy\ Р'у- = 0 « у = 0
(у = 0 — решение уравнения). Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (хо,уо,Уо)
(>’о * 0) имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно независимую перемен-
ную х. Поэтому делаем замену: у'х = z(y), где г(у> — новая неиз-
вестная функция. А тогда
, = dz(y) = dz(y) dy
v dx dy dx
=*	= ZyZ.
Относительно функции z(j) уравнение принимает вид:
lyzz'y = у2+ z2.
Г)
36
Положим z2(y) = u(y) => 2zz' = и', и, следовательно, уравнение
(*) относительно функции и(у) будет таким:
уи.. = и + у =& и..---у = 0
У
(могли потерять решение > = 0). Получили линейное уравнение
относительно функции и(у). Для линейного уравнения интегри-
рующий множитель находится по формуле
-l& I
p(j) = e у =-.
У
После умножения обеих частей уравнения
на
= — получаем уравнение в полных дифференциалах;
У
dy = 0 => и = X j + С|).
У нас
" = *2 =* Z2 = У(У + С|) <=> <УХ)2 = У(У+С\) =>
= dx.
Следует рассмотреть два случая: I) Ct =0 и 2) С( # 0.
I) Пусть С| = 0. Тогда имеем:
— = ±dx => In|у| = ±х + In |С| => у = Cetx.
2) Пусть С| * 0. Тогда имеем:
37
Задача 12. Решить уравнение (у')3 + ху' - 1у'.
Решение. F(x, у, у', у') = (у')3 + ху" - 2у', Г/ = у', /}' = 0,
Fy- = -2, Fy. =3{у')~ + х , Функция F(x>y,y',yr) — непрерывна и
имеет непрерывные частные производные F', Fy. F'y>, F'.<;
Fy. = 0	3(y')2 + x = 0 (функция y(x), дня которой
3(y')2 + x =0, не является решением заданного уравнения). Зада-
ча Коши для заданного уравнения с любыми начальными данны-
ми (х0,у0,у5) такими, что Хо+3(уо)2*О, имеет единственное
решение.
Исходное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену: у' = z(x), где г(х) — новая неизвестная функция. А тогда
y'xi =z'x, и, следовательно, исходное уравнение относительно
функции z(x) будет таким:
(О3 + х?; = 2z =э z = ^хг'+^(гУ.
Положим z‘ = t (t— параметр). Тогда z = -jX! + ±1}; dz = tdx . Сле-
довательно,
tdx = -(xdt + tdx) + —t2di =э -tdx = ^-xdt + ^-t2di =>
2	2	2	2	2
=*x',-- = 3t.	(*)
t
Могли потерять: г = 0 => z = 0 => у' = 0=>у = С — решение ис-
ходного уравнения.
Решение уравнения (*): х = 3r +С,/. У нас
dy dy dt
dx dt dx
Ho
3.
x = 3r + С|Г . Следовательно,
|«ЗГ!+С,/) + 1(3
с2
(6f + C|) =>y; = !2/4+5C|/J+^-/2 =>
38
Таким образом, общее решение исходного уравнения в парамет-
рической форме будет таким:
х = Зг +C{t,
Задана 13. Решить уравнение: (у')2 + у'= ху".
Решение. F(x,y,y\y’} = (у')2 + У -ху', F' = -у', F' = 0, /у = I,
Fy- = 2у"-х. Функция Г(х,у,у',у'> непрерывна и имеет непре-
рывные частные производные F', F'y, Fy, Fy-t Fy- = 0 <=> 2y*-x = 0.
(Функция y(x), для которой 2у'-х = 0, является решением за-
X3
данного уравнения. Это — функция у(х) = — + С.) Задача Коши
для заданного уравнения с любыми начальными данными
(х0,Уо,Уо) такими, что 2yJ -х0 / О, имеет единственное решение.
Исходное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену у'. = z(x), где z(x) — новая неизвестная функция. А тогда
y'i=Cx, и, следовательно, исходное уравнение относительно
функции z(x) будет таким:
. ,«2	' л. • X i X2	- X 1х2
(Z) -xz +Z =0 => Z =^iy-r~Z =* Z - ч = ±\ГГ-2-
2 у 4	2 V 4
Положим:
х2	. х
----z = и => и =---Z .
4	2
Будем иметь:
, г
-и = ±>Ju	—= = ах.
±у/и
Могли потерять:
39
л -V2	, х2	X3 „
zz=0«>z = — <^у =— =>у = —+ С
4	4	12
— решение исходного уравнения. Из уравнения —у» = dx находим:
±у/и
^2\/м = х + С| =э 4и = (х + С()2 <=> х2 -4< = (х + С|)2 <=>
<=> х2 - 4z = х2 + 2хС| + С,2 => z = - —г- - — <=>
2	4
Задача 14. Решить уравнение у* + (/)2 = 2е у.
Решение. f(x, у,у') = ~(у')2 + 2е~у => // = -2е~у , /у = -2у'.
Функция /(x,j,y') непрерывна и имеет непрерывные частные
производные fy^fy-. Следовательно, задача Коши для заданного
уравнения с любыми начальными данными (х0,у0,Ро) имеет
единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно независимую перемен-
ную х. Поэтому делаем замену: у'х = z(y), где г(у) — новая неиз-
вестная функция. А тогда
dz(y) _ dz(y) dy
Относительно функции z(y) исходное уравнение примет вид
Zty + z2 = 2е~у. Положим z2(y) = w(y) => 2zzy = иу . Будем иметь:
м'. + 2и = 4е~у (это — линейное уравнение) => и = C,e'2>' +4е у.
У нас и = z2- Следовательно,
Z2 = С\е 2у + 4е у => z = ±y/Cte 2у +4е’у <=> у' = ±^С1е'~у +4е у =>
dy
, л___________=»	=»
±yjCle 2у +4е у	±y]Ci ^4еу
=> ± у<УС| +4е‘ = х + С2 =>
40
=> 1<с, + 4е>) = (х + С2)2 => С1+е>' = (х + С2)2.
Задача 15. Реш ить уравнен не ху” = у' - ху'.
Решен ие. F( х. у, у\ у', у") = ху” + ху' - у', Ffx = у” + у', F'. = 0,
F’- = О , Fy- = х -1 , F’.- = х. Функция F(x,y,y\ у', у”) непрерыв-
на и имеет непрерывные частные производные F'., F'-, F'-, F'-;
F'. = о х = О. Следовательно, задача Коши для заданного урав-
нения с любыми начальными данными (Хо,Уо,Уо,Уо) (*о*0)
имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно у и у'. Поэтому делаем
замену: у' = z(x), где z(x) — новая неизвестная функция. А тогда
у* = z, и, следовательно, исходное уравнение принимает вид
xz=z(l-x)=>— =---------dx.	(>
Z х
Считаем х*0; могли потерять:
Z = 0<»y' = 0=> у = С|Х + С2
— решение. Из уравнения (*) находим:
In|<| = ln|x| - х +- In |С|| (С( * 0) => z = С\хе *.
У нас z = у'  Следовательно,
у' = С\хе'х => у' = С|(-хе Л - е'х) + С3 =>
=> у = Cf(xe х +е~х + ех} + С2х + С\ => у = Cte~x(x + 2) + С2х + С2.
Задача 16. Решить уравнение (у*)2 = (у')2 +1 •
Решение. F(x,у,У, у') = (у')’ - (у')2 -1, F' = 0, F' = 0, F'- = -2у\
Fy- =2у'. Функция F(x„y.у',у') непрерывна и имеет непрерыв-
ные частные производные F', F', F'-, F'--, F'- = 2у' * 0 (это видно
из заданного уравнения). Следовательно, задача Коши для задан-
ного уравнения с любыми начальными данными (Ло,у0,уо)
(уо * 0) имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену: у' = z(x), где z(x) — новая неизвестная функция. А тогда
у' - z , и, следовательно, заданное уравнение принимает вид
41
Задача 17. Решить уравнение у'= еу.
Решение. /(х,у,у^ = еу => fy - еу.f'y- - 0 . Функция /(х,у, у')
непрерывна и имеет непрерывные частные производные fvfy.
Следовательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми
начальными данными (jcq, X) имеет единственное решение.
В заданное уравнение не входит явно независимая перемен-
ная х. Поэтому делаем замену: у'х = z(y). где z(y) — новая неизве-
стная функция. А тогда
_ dz(y) _ dz(y) dy
dx dy dx
=> у'хг = zyz.
Относительно функции z(y) исходное уравнение запишется в виде:
ZyZ = еу « (z2)'y = 2еу => z2 = 2еу +Ct =>
=> С = ±J2ey +С| => у' = ±J2ey +С( => — dy = dx.
±^2еу +С,
Следует рассмотреть случаи: I) С, = 0; 2) С( < 0; 3) С, > 0.
1)	Пусть С| = 0 . Имеем в этом случае
±e~y/2dy = у[2 dx => т 1е~у/2 = V2x + -72С
=> 4е~у = 2(х + С)2 =» еЛ(х + С)2 « 2.
2)	Пусть С| < 0 . Обозначим С, = -С2 (C’f > 0)- Имеем в этом
случае
42
—.	= dx <=> -------df = dx
±№-c?	±^еУ/2 L
X 2
=> ±
Положим -у- = C|*; -у-• C2 = C2. Будем иметь
4(C|*)3e">' = 2sirr(C|’x + C2) => 2(C')‘ =ey sin2(C*x + C2).
3)	Пусть C| > 0. Обозначим C( = Ct2. Имеем в этом случае
или
±-^-Arsh
= х + С2 => ± Arsh
43
Обозначим ~y =Ci, ~2"Q = ^2- Будем иметь
2(С^е-7 = sh2(C|\ + C2*) => e>sh2(Ct\ + C2*) = 2(C1*)2.
Задача 18. Решить уравнение у' - ху' + (у')3 = 0 •
Решение. F(x, j, у\у', у~) = у' - ху' + (j')3, F' = -у’ , Л' = 0 ,
fy = 0, Гу- = I, Гу- = ЗСГ)2 - х. Функция F(x,y,y',y',y~) непре-
рывна и имеет непрерывные частные производные
F', F'., Fy-, Fy-, F'.-; F'- = 0 « 3(y')2 - x = 0. Следовательно, задача
Коши для заданного уравнения с любыми начальными данными
(•^О’З’отУ^/о) такими, что ЗО-’*)2 -х0 #0 имеет единственное ре-
шение. Заданное уравнение не содержит явно у и у'. Поэтому делаем
замену: y'=z(x), где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда
у" = z’, и. следовательно, исходное уравнение принимает вид:
Z = xz’-(z')i.	(*)
Станем искать решение уравнения (*) в параметрической
форме. С этой целью полагаем z' = t (I— параметр). Тогда
Z = xt — I3 . Так как z' = / <=> dz = tdx, то получаем
/ J/2
xdt+ tdx- 3f2dt = tdx => (л-3t2)dt =0	3r = x =* t = ± у .
ЛУ2 ХУ2
Следовательно, z = ± -уу + у~у. У нас z = У*  Поэтому
J/2 z , 2 -2 г<
у = ±—=> у = ± —==—х* + С| =>
3>/3	ЗЛ 5
=» у = Лх + С|Х + С2.
Выясним, не потеряны ли решения вида z = ax + b- Подста-
новка в уравнение (*) дает: ах + Ь = ха-ау. Видим, что если
Ь = -а3,, то z = ах -ау — решение уравнения (*). Обозначим а = Q
(произвольная постоянная). Тогда
44
Выясним, не имеет ли уравнение (*) решений, определяемых
системой
/(jc,z,z') = O, z=xz'-(z*)3,	'_±(*
/;.(х,?,И = 0 |о = х-3(г')2 Z I3
Такое решение имеется, и оно было получено выше:
Задача 19. Решить уравнение 2у'(у' + 2) = *О’*)2 •
Решение. F(x, у, у', /) = 2у'(у' + 2) - х(у')2, FJ = -(У)2, = 0,
Ру- = 2(у* + 2), F'- = 2у'- 2ху'. Функция F(x,y,у',у”) непрерывна
и имеет непрерывные частные производные F' F' F'-, Fj;
F'- = 0	2(/ -лу') = 0 (функция определяемая этим соот-
ношением, не является решением исходного уравнения). Задача
Коши для заданного уравнения с любыми начальными данными
(х(),Ж>()) такими, что уь -	* 0, имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену у' = z(x), где z(x) — новая неизвестная функция. Относи-
тельно функции z(x) исходное уравнение принимает вид:
2z(z'+2) = x(z')2 =* О')2-2-/-4-= О (считаем х * 0 ) =>
X X
Положим
Z. , .
— = Z/(x) => Z = хи z = и + хи .
X
Будем иметь
и + хи' = и ± V«2 + 4u => xdu = ±V«2 +4wdx =* —,	- =—. (*)
±>lu2 +4u x
45
Могли потерять: 1) и = 0 и 2) и = -4.
I) Пусть // = О => z = 0 => у' = 0 => j = C — решение.
2) Пусть и = -4 => z - -4х => у = -4х => у = -2х2 + С — реше-
ние.
Из уравнения (*) находим
с/м dx	_	Г~2 Г"|
± .	= — -> ± In и + 2 + \]и +4/л =
у](и + 2)2 -4 х	1
= ln|x| + In|С|| (С, *0) =>
=> и + 2 + 4и2 +4ы = С|Х =t> \1и2 +4ы = (С,х - и - 2) =>
=> и2 + 4м = С|2х2 + и2 + 4 - 2C|XW - 4Ctх + 4// =>
2С, хи = С2х2 - 4С,х + 4	2С, z = (С,х - 2)2 =>
, (С.х-2)2	(С.х-2)3
=> у = —!---- => у = —!—г— + С7.
2Ct	6Cf
Задача 20. Решить уравнение у4 -у3у" = I.
Решение. F(x, у, у', у") = у4 - у3у' -1, F' = 0, F' = 4у3 - Зу2у',
Гу = 0. Г'- = —у3. Функция Г(х, у, у',у') непрерывна и имеет непре-
рывные частные производные Г', F', F'-, F'-;	= 0 с=> у = 0 (у = О
не является решением заданного уравнения). Задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (х0,у0,у(')>
(у0 *0) имеет единственное решение. Заданное уравнение не со-
держит явно независимую переменную х. Поэтому делаем замену:
у' = г(у), где z(y) — новая неизвестная функция. Тогда
.	= dy a . = ,
'Л dx dy dx '
Относительно функции z(y) исходное уравнение будет таким:
1 ,	4 I j У4 “ 1 I
У ZZy = у - 1 => zdz=  , dy
(у = 0 не является решением исходного уравнения), откуда
46
у = ±1, x e (-<»; + <") — решения исходного уравнения.
Задача 21. Решить уравнение (У)2 = (Зу - 2у')у'.
Решение. F(x, у, у', у") = (у')2 + (2у' - Зу)у', = 0 , F'. = -Зу*,
Fy = 2у'+2у', Fy = 2у'-3у. Функция Г(л,у,у',у') непрерывна и
имеет непрерывные частные производные F’t, F'.. Fy, Fy;
з
-X
Fy = 0 2y - Зу = 0 (у = 0 и у = е- + I, определяемые уравне-
нием 2у'-Зу = 0. являются решениями исходного уравнения).
Задача Коши для заданного уравнения с любыми начальными
данными (ль,Уо,Уо), такими, что 2уо -Зу0 * 0, имеет единствен-
ное решение.
Заданное уравнение не содержит явно независимую перемен-
ную х Поэтому делаем замену: у' =г(у). где z(y) — новая неиз-
вестная функция. Тогда
47
и, следовательно, исходное уравнение принимает вид:
Z2 = (Зу - 2z)ZZy => Z = (Зр - 2z)Zy.	(*)
Могли потерять г=0<=>у'=0=>у = C(const) — решение исход-
ного уравнения.
Запишем уравнение (*) в виде
zy'z =3y-2z=>X-|у+2=0
— линейное уравнение относительно функции y(z). Решая это
уравнение, находим: y = z + C\z3- У нас z = у'х . Следовательно,
получаем у = у' + С,(У)3. Это уравнение решаем методом введения
параметра, а именно, полагаем y' = t. Тогда у = t +	. Так как
у' = t с=> tdx = dy, то получаем
idx - dt + 3Ct/2Jr => dx =
(Могли потерять: t = 0 <-> у = 0. Но это решение было получено
3
раньше.) А тогда х = —С^2 ч- In |/|-»- In |С2| (С2 * 0). Таким образом,
найдено общее решение исходного уравнения в параметрической
форме;
х = ЗС.г2 + In |C2f|,
y = r + 2C,A
с,
£l
2 ’•
Задача 22. Решить уравнение у‘(2у + х) = I .
Решение. F(x,у,у’,у’) - у'(2у + х) - I, F’x = у", F' = 0, F’y- = 2у',
Fy-= 2у' + х. Функция Г(х,у,у',у') непрерывна и имеет непрерыв-
ные частные производные F', F'y> Fy-, Fy-\ F'- =0 <=> 2/ + x =0
(функция y(x), определяемая уравнением 2j' + x = 0, не является
48
решением исходного уравнения). Задача Коши для заданного урав-
нения с любыми начальными данными (хь,уо,Уо)’ такими, что
2>’о + Хо * 0, имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену: y'=z(x), где г(х) — новая неизвестная функция. Тогда
у' = z , и, следовательно, исходное уравнение принимает вид
£(2z + x) = l => х' — х = 2z
(это — линейное уравнение относительно функции x(z)). Решая
его, находим: х = Ctez - 2(z +1) =» х = Cte?’ - 2(у' + 1). Это уравне-
ние станем решать методом введения параметра, а именно, пола-
гаем: у' = t. Тогда х = С}е' - 2(1 + I). Так как у = t, то dy = rdx , и,
следовательно, получаем
dy = t(C^e' - 2)di => у = Ct (г -1 )е' -i2 + С2.
Общее решение исходного уравнения получено в параметрической
форме:
х=С,е'-2/-2,
у = С|(г-1)?-/2 + С2.
Задача 23. Решить уравнение (у*)2 - 2у'у* + 1=0.
Решение. F( х, у, у', у',у") = (у')2 - 2у'у' + 1=0, F' = 0 , F' = 0„
fy=-2y", F’y> = 2у', fy =-2у'. Функция F(x,y,y',y*,y*) не-
прерывна и имеет непрерывные частные производные
fy F’y, Fy>, F'-, F'-; fy = 0 у' = 0 (функция, определяемая
уравнением у' = 0, нс является решением исходного уравнения).
Задача Коши заданного уравнения с любыми начальными данны-
ми <Х(),У(),Уо,Уо) (Ур #0) имеет единственное решение. Заданное
уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем замену: у' = г(х),
где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда у' = z', у” = z” , и,
следовательно, заданное уравнение принимает вид:
(г')2-2г?'+1=О.	(*)
49
Полученное уравнение (*) не содержит явно независимую пере-
менную х. Поэтому делаем замену: z'x = м(г), где w<z) — новая
неизвестная функция. Тогда
du(z) _ du(z) dz _ и,и
dx dz dx
и, следовательно, вместо уравнения (•) будем иметь
и2 -2zuw' +1=0.	(•*)
Положим и2 = v => 2 и и'. = v'. Получим вместо уравнения (**):
(Могли потерять: 1) г = 0 <=> У = 0 => j = C(const) — не является
решением исходного уравнения; 2) v = -l — невозможно, ибо
v = и2 >0.) Из уравнения (*♦•) находим:
v+1 =Су, где С, # 0 => и2 +1 = C|Z «=> (4)2 + 1 =C\z =*
=> Zx = ijQz-l =>	l)l/2 = x + C2 =>
=> •Д-(С|г -1) = (x+ C2)2 =>
=> Z = ^- + ^-(x + C2)2 « / = -L + S.(JC + C2)2 =>
C| 4	Cj 4
Задача 24. Решить уравнение (1 - х2)У + ху' = 2.
Решение. F(х, у, у', у") = (I - х2 )у' + ху' - 2 , F' = -2ху' + у',
F' = 0, F’y =xy Ff= 1 -х2. Функция F(x,y,y\yr) непрерывна
и имеет непрерывные частные производные F', F'., F'y-, Fy- •
/у =0 <=> х =±1. Задача Коши для заданного уравнения с лю-
быми начальными данными	(х,, * ±I ) имеет един-
ственное решение.
50
Заданное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену: у' = ?(л), где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда
у’ = z , и, следовательно, заданное уравнение принимает вид
(I -x2)z'+xz = 2 => z' + —X—z = —(*)
1-х I-X
(считаем х * ±1 ). Уравнение (*) — линейное. Полагаем z = uv. Тог-
да будем иметь
Следовательно, z = 2х + С( -Jx2 -1 ,если |л| > 1 , и z = 2х + С| Vl - л2 ,
есл и |л| < I.
Таким образом, имеем у' = 2л + С^х2 -1 , если |х| > I , и
у' = 2х + C|Vl -х2, если |х| < 1 =>
Задача 25. Решить уравнение уу* — 2уу'1п у = (у')2 ( у > 0 ).
Решение. F(х, у,у', у’) = уу' - 2уу In у - (у')2 > Fx' = 0,
Fy = у' - 2у' In у - 2/, F^ = -2у In у - 2/,	F'- = у. Функция
51
/'(х,у,/,уг) непрерывна во всем пространстве (х,>,/,/). где
у>0, и имеет там непрерывные частные производные
F', Fy, Fy-, Fy-; Fy- = у > 0(* 0). Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (хо,уо,уо)
(у0 > 0) имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно независимую перемен-
ную х. Поэтому делаем замену: у' = г(у), где z(y) — новая неиз-
.	_	, dz(y) dz(y) dy
весгная функция. Тогда у j = —— = — ------ - tvz, и, следова-
х dx dy dx '
тельно, исходное уравнение принимает вид:
yzz'y - 2yz In у = z2 => Zy - — = 2 In у.
(*>
Могли потерять: z = 0 « у' = 0 => у = С (С >0) — решение ис-
ходного уравнения.
Замечаем, что уравнение (*) — линейное относительно функ-
ции z(y). z = у In2 у + С,у — решение уравнения (*). У нас z = X-
Следоватсльно, будем иметь
/ = у1п2у + С,у=>
dy
у(1п2 у + С|)
<Лп у
In2 у + Q
= х + С2.
Следует рассмотреть случаи: 1) Cf > 0 ; 2) Q = 0; 3) Ct < 0.
1)	Пусть С( > 0. Обозначим С, = С2(> 0). В этом случае будем
иметь
।	, 1ПУ Г	- 1П У Г- Г!ГСГХ
-=-arctg—= х + С2 => arctg—= С|Х + С2(С2 = С2С|) =>
С| С|	С,
=> Iny = С| tg(C|X + C2).
2)	Пусть Q = 0 . В этом случае имеем
Г = х + G => —— = x + Cj => (x + G) In у = -I.
J In2 у " In у
3)	Пусть С| < 0 . Обозначим - G = С2(> 0). Будем иметь в этом
случае
52
f din у
In2 y-C2
= x + C2
-L-ln
2C,
Iny-C,
In у+C(
= x + C2 =>
=> In
Iny-Q
In у+C|
= 2C|X + C2> где q = 2CtC2.
Задача 26. Решить уравнение (y' + 2y)y* = (у')2.
Решение. F(x, у, y\у") = (у' + 2у)у' - (у')2, F'x = 0, F'. = 2 у’ ,
F',‘=y*-2y', Fy>=y'+2y. Функция F(.x,y,y',y*) непрерывна
и имеет непрерывные частные производные F', F', F'., F'-;
/у=0 е=> у' + 2у = 0. (Функции у-0 и у = €е~г\ определяемые
уравнением у' + 2у = 0, являются решениями исходного уравне-
ния.) Задача Коши для заданного уравнения с любыми началь-
ными данными (хь,Уо»Уб), такими, что Уо + 2у0 *0» имеет един-
ственное решение. Заданное уравнение не содержит явно
независимую переменную х. Поэтому делаем замену: у' =z(y),
где г(у) — новая неизвестная функция. Тогда
,	dz(y) dzly) dy
Ух>	=	^ух2 = zyz~
л	dx dy ах	л ’
Относительно функции г(у) исходное уравнение принимает вид:
(Z + 2у)щ = Z2 =* (Z + 2y)z'y =Z-	(*)
Могли потерять: г=0<=>у' = 0=эу = C(const) — решение исход-
ного уравнения. Перепишем уравнение (*) в виде
Х“-Т = 1-	(*♦)
Z
Уравнение (**)— линейное относительно функции yU);
у = С|С - z — решение уравнения (**). У нас Z = у'х. Следовательно,
Г")
Следует рассмогреть случаи: I) Ct = 0 и 2) С\ 0.
I) Пусть С| =0. В этом случае имеем у = -у' => у =Се~х —
решение исходного уравнения.
53
2) Пусть С| * 0. Станем искать решение уравнения (***) мето-
дом введения параметра, а именно положим у' = 1. Тогда
j = C,r2-/. Так как / = /, то dy-tdx. Следовательно, будем
иметь
(2С|Г -1 )dt = tdx => dx = f 2Q - у 1dt => x = 2Ctf - In |/| + C2.
Могли потерять: t = 0 c=> у' = 0 => у = С . Это решение было полу-
чено выше.
Таким образом, общее решение исходного уравнения в пара-
метрической форме будет таким:
х = 2С|Г- In | г | + С2,
у = С,Г2-/,
t*0.
Задача 27. Решить уравнение ху' = /+ xsin — (х * 0).
х
у'
Решение. F(x,y,y ,у ) = ху -y-xsin—,
х
,	у' у" ( у' 1	/ у" у'
F. = у -sin —-х cos— -Аг = у -sin — + — cos—,
х х \ х2)	XXX
F’ = 0, F.5 = -1 — cos —, F'- = х.
>	Г	Л Л
Функция F(x,y,y',y*) непрерывна в R4 всюду, где х *0, и имеет
там непрерывные частные производные F' F' F'>, F'-; F'- * 0, ибо
у нас х * 0. Задача Коши для заданного уравнения с любыми началь-
ными данными (х0,у0,у^) (х0 * 0) имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену: у'= z(x), где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда
у' = z', и, следовательно, исходное уравнение принимает вид
xj* = s+xsin— <=> ?' = — + sin —.	(*)
х хх
Уравнение (*) — однородное. Полагаем = w(x) => z = хи =*
=> z' - и + хи . Относительно функции и(х) получаем уравнение
54
хи" = sin и =>
du _ dx
sin и х
Могли потерять:
и = Лп(А' =0, ± I, ± 2, ...)=> z = ких <=> у' = кпх =>
=>у = уХ2+С,Л=0, ±1, ±2, ...
— решения исходного уравнения.
Из уравнения (**) находим
= arctg (С|Х) =>
=> z = 2х arctg (С|Х) => у' = 2xarctg (С|Х) =>
э	X
=> / = X2 arctg (С|Х)- — + —arctg(C|X) + C2 =>
С/у = (Cfx2 + I)arctg (С|х) -С|Х + С2 • где С2 = С2С2.
Задача 28. Решить уравнение У~(у')2 = (у')3 •
Решение. F(x, у, у, у', у') = у'(у')2 - (у')3. /* = 0, Ру = 0,
Ру = 2у у", Fy = -3(у*)2, F'- = (у')2 ; Fy- =0 <^> у = 0 (функция
у = С, определяемая уравнением у' = 0, является решением ис-
ходного уравнения). Задача Коши для заданного уравнения с
любыми начальными данными (хь.Уо’Уо’Уо) (Уо * 0) имеет един-
ственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем заме-
ну: у = ?(х), где z(x) — новая неизвестная функция. Тогда у' = z’,
y' = z', и, следовательно, исходное уравнение принимает вид
z'z2 = (г')3.	(*)
Видим, что уравнение (*) не содержит явно независимую пере-
менную х. Поэтому делаем замену: zx -u(t), где w(z) — новая
неизвестная функция. Тогда
,	du(z} du(z) dz	.	,
х	dx dz dx	*
Относительно функции u(z) получаем, следовательно, уравнение
55
UZ2u'z = и3 => Z2u'. = и2.
Могли потерять:
и = 0 <=э z* = О <=> у'г = 0 => у = Ctx + C2
— решение исходного уравнения.
Из уравнения (*♦)
du dz
Могли потерять z = О <=> у - 0 => у = С — решение исходного урав-
нения.
Из уравнения (***) находим
-^-Z + In|z| = jc + C2 « х = -!гУ + 1п|/|-С;
С|	С|
Станем искать решение уравнения (♦***) методом введения пара-
метра, а именно, положим у' = / (/*0, г— параметр). Тогда
л = ~t + In р| - С2. Так как у' = г, то dy = tdx. Следовательно, бу-
С|
дем иметь
dy = i
dt => dy
1	Г
t + I Idr =t> у =------+1 + С
' 2С,
Обозначим —- = С]. Тогда общее решение исходного уравнения в
2С|
параметрической форме будет таким:
х = In |/| + 2С|/ -С2,
у — C]t~ +1 + Cj.
56
Задача 29. Реш ить уравнен не уу' + т = (/)2.
Решение. F(x,у,у',у') = уу' + у-(у')2 , F’ = 0» Fy ~ У*+ ’ •
F'- =-2/, F^. = у. Функция F(x,y,y\y') — непрерывна и имеет
непрерывные частные производные F', F', F’y>, F'>; F'- = 0 о
<=> у = О (у = О является решением исходного уравнения). Задача
Коши для заданного уравнения с любыми начальными данными
(х0,у01<^> (Уо * 0 ) имеет единственное решение.
Заданное уравнение не содержит явно независимую перемен-
ную х. Поэтому делаем замену: у'х = z(y), где z(y) — новая неиз-
»	t/z(y) dz(y) dy	,
вестная функция. Тогда у 2 = —= ——-----------— = ZVZ , и, следова-
*	dx dy dx
тельно, исходное уравнение примет вид
yzz'y + y = z*.	(*)
/
Положим z" = а(у) => zz}. = -у • А тогда уравнение <*) запишется в
виде
2
уиу + 2у - 2и = 0 => иу —и = -2.	(♦♦)
Могли потерять у = 0 (выше было замечено, что у = 0 — решение
исходного уравнения). Замечаем, что уравнение (♦*) — линейное
относительно функции и(у). Решением уравнения (*•) является
функция и = 2у + С|У2. У нас и = z2 => и = (у'х)2. Следовательно,
имеем уравнение
(У)’ = 2у + С,у! => у' = iJly + Cty2 =>	. dy = dx.
iJly + Ciy2
Следует рассмотреть случаи: I) С, = 0; 2) С( > 0; 3) С, < 0.
I)	Пусть С| = 0. В этом случае имеем
= dx => ± у[2у = х + С, => 2у = (х +• С )2.
±Т2у
57
2)	Пусть С| > 0. Обозначим С, = С2(> 0). Будем иметь в этом
случае
=> Arch (С2 у + I) = ±(С|Х + С2) => С|2у+I = ch (С|Х + С2).
3)	Пусть С] < 0 . Обозначим -С( = С2(> 0) • Булем иметь в этом
случае
=> iarcsin (С2 у- I) = (С,х+С2) => С2 у- I = ±sin (С,х + С2).
Задача 30. Решить уравнение ху" = у' + х((/)2 + х2).
Решение. F(x,у.у\ у*) = ху* -у'- х(у')2 -х3, F* = у*- (у')2 - Зх2,
F',=0, Fy- = -I -2ху*, Fy- = х . функция F(x.>’,/,/) непрерыв-
на и имеет непрерывные частные производные F'K, F’y, Fy, Fy\
Fy = 0 <=>х=0. Задача Коши для заданного уравнения с любы-
ми начальными данными (х0, у0, Уо) (х0 * 0 ) имеет единственное
решение.
Заданное уравнение не содержит явно у. Поэтому делаем
замену: у = г(х), где z(x) — новая неизвестная функция. Отно-
сительно функции z(x) исходное уравнение принимает вид
xz’ = Z + x(z2 + х2) =>
(считаем х * 0) <=>
58
Положим — = и(х). Будем иметь
и = х(м2 + !><=>	= xdx =э
и + I
X2
=> arctg и = —+ С| => и =
/ „2
2

2
(х2
xtg у + С,
( ~2
„2
-In
2
2
/
' 2
cos — + С. + С2.
2
Задача 31. Решить уравнение xylv =1.
Решение. Для д- * 0 имеем
?v=-; <’>
J (х, у, у', у*, у*} =— непрерывнаи имеет непрерывные
влюбойточке (х,у,/,/,У) (х * 0).Следовательно, задача Коши
для заданного уравнения с любыми начальными данными
(^о.УоэА'оЛо’Ю (-х© * 0 ) имеет единственное решение.
Из уравнения (•) для х * 0 находим
59
Задача 32. Решить уравнение ху' = sin х .
Решение. Для х * 0 имеем
, sin х
У -------•
х
smx
Функция /(х,у,у) =---- непрерывна и имеет непрерывные ча-
X
стные производные fy,fy в любой точке (х, у,У) (х * 0 ). Следо-
вательно, задача Коши для заданного уравнения с любым и началь-
ными данными (хо,уо,уо) (х0 *0) имеет единственное решение.
Из уравнения (*) для х * 0 находим
dt + С| =>
si nr . ,	„	„
----dt dx+CiX + C7.
t
7
Интеграл в правой части преобразуем с помощью формулы интег-
рирования по частям. Полагаем
и

dx =
sin x
dx;
dv = dx => v = x.
А тогда
г г sin г ,	, f sin г ,	) .	,
J J------di dx = x J-----dt - J sin xdx.
лДхо Г	*b 1	*0
Таким образом, получаем
60
Задача 33. Решить уравнение у* = 2ху*.
Решение. Имеем: f(x,у, у', у') = 2ху’, f'y =0 , f'y- = 0, f'- = 2х .
Функция f(x.y, у, у') непрерывна и имеет непрерывные
Следовательно, задача Коши для заданного уравнения
с любыми начальными данными (х0,.у0, имеет единствен-
ное решение. Запишем исходное уравнение в виде
4 = 2х.	(*)
У
Могли потерять: у' = 0 => у' = Cf у = С|Х + С2 — решение исход-
ного уравнения.
Для у' * 0 уравнение (*) может быть записано в виде
(,ПИУХ = 2х => In |)’1 = г2 + In |С, | (С, * 0) => / =
х/л	\
>’ = C|J ]erdt
о(о	J
=> у = С( J е1 dt + С2
о
dx + С2х + Су.
Интеграл в правой части преобразуем с помощью формулы ин-
тегрирования по частям. Полагаем
х ’ 1
и = je' ds => du = ех dx\
о
dv = dx => v = x.
А тогда
=> У = C|
-1) +С2х + С’3 =>
xje' dt --e '
. о 2
+ C2 x + Cj
61
Задача 34. Решить уравнение xp,v + у* = е’.
Решение. Для х * О имеем
(*)
Функция f(x,y,y',y',y") = ----— непрерывна и имеет непрерыв-
х
ные частные производные /у\/у »/<»//* в любой точке
(х,у. у', у", у") ( х * 0 ). Следовательно, задача Коши для заданного
уравнения с любыми начальными данными	у~)
(х0 *0) имеет единственное решение.
Замечаем, что исходное уравнение может быть представлено в
виде
ех С,
(ху')'х = е* => ху" - ех + С| => ДЛЯ х * 0: у" = —- + -!•
е‘
= J — dt + C\ ln|x| + C2 (x0 = I, например)
то получаем окончательно:
62
Задача 35. Реш ить урав» ген не уу" + Зу'у' = 0 .
Решение. Из заданного уравнения видно непосредственно, что
у - С — решение. Пусть у # 0. Тогда исходное уравнение может
быть записано в виде
Г=-^.	о
У
Функция /(х,у,у',у') в каждой точке (л.у,у',у*) (у *0) непре-
рывна и имеет непрерывные fyJ/J/. Следовательно, задача Коши
для заданного уравнения с любыми начальными данными
(х0,у0,Уо.Уо) (З’о *0) имеет единственное решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
(УУ* + уу') -I- 2у'у' - 0 <=>
« (/У)х +[</>2Х =0	+	=С1 <=*
<=> {УУУХ = С, => уу = С|Л+ со у(у2)' = С(х + у- =>
ш	о»	L
=> — = — X2 + — Х + ^2- => у2 = С,х2 +C2X4-Cj .
2	2	2	2
Задача 36. Решить уравнение у у’ = 2(у')2.
Решение. Из заданного уравнения видно непосредственно, что
у = С (=> у' = 0) — решение. Пусть у' * 0. Тогда исходное уравне-
ние может быть записано в виде
(*)
63
Функция /(л,у,* ) в каждой точке (х,у,у',уг) (у'*0)
У
непрерывна и имеет непрерывные fy,fy-,fy’. Следовательно, зада-
ча Коши для заданного уравнения с любыми начальными данными
(х0,у0»Уо» Jo) (Уо *0) имеет единственное решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
у =	« (1пИ/, = 2(>"К =>
=» 1п|/| = 21п|У| + ln|C||(С, *0) =»
=	С'>
Могли потерять: у" = 0 => у = Схх +С2 — решение исходного урав-
нения.
Запишем уравнение (**) в виде
=> у' = ——?—— => у — -4-  InlCiX + cd + С»
С,х + С2 С, 1	।
Задача 37. Решить уравнение УУ' = /</+!>•
Решение. Из заданного уравнения видно непосредственно, что
у = 0 — решение. Пусть у # 0. Тогда исходное уравнение может
быть записано в виде
._/</-»<> (»)
У
Функция f(xyyyy') = * (* в каждой точке (х,у,у') (у * 0 )
У
непрерывна и имеет непрерывные ГУ.ГУ-. Следовательно, задача
Коши для заданного уравнения с любыми начальными данными
(*о»Уо»Уо) (Уо *0) имеет единственное решение. Запишем задан-
ное уравнение в виде
64
уу' - (у')2 = у => Так как у * 0 : ——$—— = -=Ц- <=>
У У
Следует рассмотреть случаи: 1) С( =0, 2) Q *0.
1)	Пусть С| = 0. Тогда у' = - I =ь у = -х +С — решение.
2)	Пусть С| * 0 . Тогда будем иметь
-Д-=А=» ±1п|С1у-1| = х + 1п|Сг|(С2#0)=»
С|У-|	С|
Задача 38. Решить уравнение 5(у~)2 - 3y*y(IV) = 0 .
Решение. Функция F(x,y,y\у',у',y,v) непрерывна и имеет
непрерывные частные производные F'y F', Гу, Fy, Fy, F'w ;
F'w = 0c=>/ = 0 (функция y = C\X+C2 — решение исходного
уравнения). Задача Коши для заданного уравнения с любыми
начальными условиями (*о, То» То, То» То) (То*®) имеет един-
ственное решение. Перепишем заданное уравнение в виде
v' vlv
5у-3у=° =» ЯМПЬ-ЯНН], =° *
=> 51п|у'|-31и|у'|4-1п|С|| = 0(С| # 0) =*
с((/)5 =(Л3.	(*)
Могли потерять: _у* = 0 => y = Cix2 +С2х + С3 — решение исход-
ного уравнения.
Запишем уравнение (*) в виде
65
—J-3T = C|X+C2 => —Lr = (C|X + C2)1 =>
(уУ*	(У)2
Задача 39. Решить уравнение уу* + (у')2 = I.
« 1 ~ (у)*
Решение. Из заданного уравнения находим: у =-----— (у = О
У
не является решением заданного уравнения). Функция
,	| - (у')2
/<*,У,У) =—-— в каждой точке (х,у,у') (у*0) непрерывна
и имеет непрерывные /»',//. Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (Хо.-Уо.-Уо)
(у0 * 0 ) имеет единственное решение.
Запишем исходное уравнение в виде
Задача 40. Решить уравнение у* = ху' + у + I .
Решение. Функция f(x,y,y') в каждой точке (х,у,У) непре-
рывна и имеет непрерывные fyyfy-. Следовательно, задача Коши
для заданного уравнения с любыми начальными данными
(хо,уо,>’о) имеет единственное решение.
Запишем исходное уравнение в виде
66
(У-ху)х = I у'-ху = х + С( у'-х(у+ 1) = С|.	(*>
Положим у+ 1 =?(*>♦ где г(х) — новая неизвестная функция.
Относительно функции г(х) уравнение (•) примет вид
г' - xz = С,
(это — линейное уравнение относительно функции г). Решая его,
находим: г = е^[С|р'Л^Ж+С2]. У нас г = у + 1. Поэтому
у = ех I1 J С, Jе~х ^dx + С2 -1.
Задача 41. Решить уравнение ху' = 2уу - у'.
/	Z
Решение. Для х*0 имеем: у' = ———— •	Функция
х
,	2 у у' — у'
7(х,у,у ) = — ---в каждой точке (х,у,у') (х*0) непрерывна
и имеет непрерывные f’yJy. Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (-«b,_УЬ»-Уо)
(х0 # 0 ) имеет единственное решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
ху' + у' = 2уу' <=> (хуУх = <у2 )'х => ху' = у2 + С, => dy - —.
/+С, х
(у нас х # 0). Следует рассмотреть случаи: I) Q = 0; 2) С, > 0;
3) С| < 0.
I)	Пусть С| = 0 . Тогда будем иметь
= у => -у = ln|x| + ln|C2|(C2 #0)=эу1п(С2х) = -1.
Могли потерять у = 0 (у = 0 — решение исходного уравнения).
2)	Пусть С] > 0 . Обозначим С( = С,2(> 0). Будем иметь в этом
случае
-Т77Г = ;7 e 4-arctg^- = ln|x| + ln|C2|(C! *0) а
У + V| Л V|
=* arctg-£- = С| In (С2х) => у = С, tg [С| In (C2x)j.
ч
67
3)	Пусть С, < 0. Обозначим -С, = Cf(> 0). Будем иметь в этом
случае
dy _ dx
= ln|x|+ ln|C2|(C2 *0) =>

Задана 42. Решить уравнение ху* - у = х'уу .
Решение. Для х * 0 имеем у* = х + (=	. Функ-
х
ния fix,у,у') в каждой точке ix,y,y') (х*0) непрерывна и
имеет непрерывные //,/у. Следовательно, задача Коши для ис-
ходного уравнения с любыми начальными данными (хо,уо,Уо)
(# 0 ) имеет единственное решение.
Запишем заданное уравнение для х * 0 в виде:
Могли потерять: у = С — решение (С = ±л/-2С] ; С, < 0).
Следует рассмогреть случаи: I) С| = 0; 2> Q > 0; 3) Q < 0.
I)	Пусть С| = 0 . В этом случае имеем
dy	xdx	I	х1	С->	. 2 v л
-у = — => — = т+ л 2+С2) = -4.
у2 2	у	4	4
2) Пусть С, > 0. Обозначим 2С| = С\(> 0). В этом случае будем
иметь
68
=> arctg = C|’x2 -ьС*
4C|
(положили ^- = С.*, -^ = С?), Тогда
4	4
-^т = tg (С|’х2 + С2*) => у = 4С, tg(C)‘x2 + С2*).
4С|
3) Пусть С|<0. Обозначим: -2С\ = С2(> 0). Будем иметь
в этом случае
Задача 43. Решить уравнение хуу' - х(у')2 = уу’.
Решение. F(x, у, у\ у') = хуу' - х(у')2 - уу', F'x = уу' - (/)2,
F' = ху' - у', Fy - -2ху' -у, F'- = ху. Функция Г(х, у, у, у') не-
прерывна и имеет непрерывные частные производные
F', F't Fy, F'- \ F'- = 0 е=> ху = 0. Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (х^,уо,у'о),
такими, что ХоУо *0, имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у.у'.у*. Поэтому делаем замену: у'- yz, где z(x) — новая
неизвестная функция. Тогда
/ = y'z+yz = y(z2 + Z').
Относительно функции z(x) исходное уравнение принимает вид
xy2(z2 +z)-xy2z2 = y2Z => xy2z' =y2Z => XZ = Z. (*)
Могли потерять у = 0 — решение исходного уравнения.
Из уравнения (*) получаем
dz dx
т=т
69
(считаем х # 0; могли потерять: г = 0=э/ = 0=>у = С — реше-
ние исходного уравнения).
Из (**) находим
ln|z| = 1п|х| + 1п|С||(С( *0) =э z = Qx о
<=> — = Qx <=> (In |у|)^ = С,х =>
=> 1п|у| = у *2 + 1п|С2| => У =-С2ес>х' (С2 *0; С| = ^-).
Задана 44. Решить уравнение уу* = (у')2 + 15у2>/х (Л > о ).
Решение. Из заданного уравнения для у* 0 находим:
• (j/)2 +15у“Ух
у =-------------— (у=0 — решение уравнения). Функция
У
(у')2 + ISv'-Ух
f(x, у, у) = —--------- в каждой точке (х, у,у) (у * 0) непре-
У
рывна и имеет непрерывные f'v,fy. Следовательно, задача Коши
для исходного уравнения с любыми начальными данными
ООьЖУо) (Уо *0» хо >0) имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у, у', у". Поэтому сделаем замену: у = yz, где z(x) — новая
неизвестная функция. Относительно функции z(x) исходное урав-
нение принимает вид:
у2(г2 + z') = y2z2 + 15y2Vx => y2z’ = I5y2-/x => z’ = 15-Ух. (*)
Могли потерять у = 0 — решение исходного уравнения.
Из уравнения (*) находим
Z - 15 -х3/2 +С| => z = IOxV2 + С| « — = L0xV2 +С|
3	у
(считаем у # 0 ) =>
=> 1п|>"| = 4х^2 +С|Х-1п|С2|(С2 *0) =>
=> In |С2у| = 4х2л/х + С,х (С2*0).
70
Задача 45. Решить уравнение (X2 + I) ((/)* - У)’’) = хуу'.
Решение. F(x,y,y',y') = (х2 + 1){(У)2 -уу')- хуу', F' = 2х[(у')2 -
-уу')-уу', Fy - -(х2 +1)/- ху, F'- = 2(х2 + \)у'-ху, F'- = -(x2 + 1)у.
Функция F(x,y,y\yr) непрерывна и имеет непрерывные
F', F', F'>, F'-\ Fy- =0 <=> у = 0 (у = 0 — решение исходного
уравнения). Задача Коши для заданного уравнения с любыми
начальными данными (xfl, уп,у()) (уо*О) имеет единственное
решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у,у, у*. Поэтому делаем замену: у = yz , где z(x) — новая
неизвестная функция. Тогда у* = y'z + yz' = y(z2 + z') • Относитель-
но функции 2(a) исходное уравнение примет вид
(X2 + l)(y2r-y2Z2-y2Z) = xy2Z => - (X2 + 1)г' = Х£.	(*)
Могли потерять: у = 0 — решение исходного уравнения.
Из уравнения (*) получаем
dz xdx
Могли потерять: г = 0 « у = 0 => у = С — решение исходного
уравнения.
Из уравнения (**) находим
-1п|г| = 1|п(х24-1)-1п|С||(С| *0) => г = , С| «
2	Vx2 +1
<=> — = . 1	=> 1п|у| = С In (х + Vx2 + I) + In|С2| (С2 * 0) =э
у 77ТТ	'	/ 1 1
/	ГТ—\с<
=> у = С21 л + Vx +11 .
Задача 46. Решить уравнение хуу" + х(у')2 = 2уу'.
Решение. F(x,у, у', j') = хуу' + х(/)2 - 2уу', F' = уу' + (у')2,
/}'= ху'-2у', Fy- =2ху' -2у , F'- = ху. Функция F(x,y,y\y') не-
71
прерывна и имеет непрерывные F', F’, F'-, F'.-\ F', = 0 ху = 0.
Следовательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми
начальными данными (хо,уо,Уо), такими, что х0у0 *0, имеет
единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у, у',у*. Поэтому делаем замену: у'= yz . где г(х) — новая
неизвестная функция. Тогда у' = y'z + yz' = y(z2 +• z')  Относитель-
но функции z(x) исходное уравнение примет вид
xy2(z2 + z') + xy2z2 = 2y2z => 2xz2 + xz - 2z.	(*)
Могли потерять у = 0 — решение исходного уравнения.
/	2
Из уравнения (*) получаем: —=- +------=2. (Считаем х#0.
Z2 X Z
Могли потерять: z=0 <=>/ = 0 =>у = С — решение исходного
уравнения.) Полагаем - = «(х) =>	= и . Относительно функ-
z	z
нии и(х) будем иметь уравнение
, 2
<г'+—м = 2.	(**)
Это — линейное уравнение. Решая уравнение (**), находим
2	С	Зх2	у Зх2
3	х2	2х3+ЗС|	У 2х3+ЗС,
° (,п ИХ = (I|п |2*3 + 3Ci | j =>
=> In ы = | In |2? + ЗС, | +1 In |С,| (С2 * 0) =>
=> у2 = С2(2хг + ЗС,) => у2 = С|Х3 + С2 (С| - 2Cj, С2 = ЗОД).
Задача 47. Решить уравнение х2уу" - (у - ху’)2.
Решение. F(х, у, /, у') = х2уу' - (у - ху ')2, F’x = 2xjy' + 2(у -
- ху')у', Fy = х2уг - 2(у - ху), F'- = 2(у - ху')х , F'- = х2у. Функ-
72
ция F(x,y,/,y*) непрерывна и имеет непрерывные F', F', Fy>, Fy>\
Fy- = 0 <=> ху = О . Следовательно, задача Коши для заданного урав-
нения с любыми начальными данными (-*Ь,ЛЬ,>*о)» такими, что
х0у0 #0, имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у,/,/. Поэтому делаем замену: y' = yz, где z(x) — новая
неизвестная функция. Тогда у' = y'z + yz' = y(z2 + z')  Относитель-
но функции z(x) исходное уравнение принимает вид:
Х2у2 (z2 + z') = (У - xyz)2 =>
=> Х2(^2 + Zr) = (I “ XZ)2 => X2Z' - I - 2XZ =>
z4^z = -L-	<‘>
X x2
(Считаем x # 0. Могли потерять у = 0 —решение исходного урав-
нения.)
Уравнение (*) — линейное относительно функции г(х). Ин-
тегрируя уравнение (*), находим
г = х+^	2_ = 1 + £l |п|у| = |п|х|_£± + |п |с2|(С2 * 0) =>
_£l
=> у = С2хе х .
у' у (у7)2
Задача 48. Решить уравнение у + — + — = ——.
хх* у
Решение. Имеем у'=—-2__2--------2L функция /(х,у,/) =
у х
л 9 У t
(у К У У
=------------т в каждой точке (х,у,/). такой, что ху*0, не-
У X хг
прерывна и имеет непрерывные	Следовательно, задача
Коши для заданного уравнения с любыми начальными данными
(хо»Уо»>0» такими, что х0у0 * 0, имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение однородное относительно
(У»/.У*). Поэтому делаем замену: у' = yz , где z(x) — новая
73
неизвестная функция. Тогда у' = y'z + yz = y(z2 + z'). Относитель-
но функции z(x) исходное уравнение принимает вид
y(Z2 + z') + — +	= сэ z' + -!-z = —у	(*)
X х1 у	XX1
(у нас у * 0 ). Уравнение (*) — линейное относительно функции
z(x). Решая его, находим
?=l(C!-ln|A|) « уу(С| -1пЦ) =»
=> ln|y| = C| ln|x|-^ln2 |х| + 1п|С2|, С2 *0 =>у=С2|х|Г| 2
Задача 49. Решить уравнение у(ху' + у') = х(у')2(1 - х).
Решение. F(x, у, у', у') = у(ху' + у') - х(у')2 (I - х),
F' = УУ' + (2х -I) (у7)2, F' = ху', Fy- = у + 2(х2 -х)у', F'- = ху.
Функция F(x,y, у',у') непрерывна и имеет непрерывные
F" F' F'.', F'-; F'- = 0 <=> ху = 0 . Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (хо,уо,уо),
такими, что Хоу0 * 0 , имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у,у\у'. Поэтому делаем замену; у' = уг, где г(х) — новая
неизвестная функция. Тогда у' = yz + yz = y(z2 + z"). Относитель-
но функции z(x) исходное уравнение принимает вид:
y[xy(z2 4-z'> + yz] = x(l -x)y2z2 => XZ + Z = -X2Z2.	(*)
Могли потерять у = 0 — решение исходного уравнения.
Уравнение (*) перепишем в виде
z2 X г	’ ’
(У нас х * 0 ; могли потерять: ? = 0 <=> у' = 0 => у - С — решение
1
исходного уравнения.) В уравнении (♦♦) делаем замену: - = w(x),
74
где и(х) — новая неизвестная функция. Имеем = и'(х). Следо-
z
вательно, будем иметь: и —и = х. Это — линейное уравнение
х
относительно функции и(х). Решая его, находим
.	„.	1	.	~ч	I у I
и = х(х 4- G) е-> — = х(х + С,) <=> г =-- <=> — =---------.
1 Z 1 х(х + С,) у х(х + С|)
Следует рассмотреть случаи: I) Q =0. 2) Q *0.
I) Пусть С, = 0. В этом случае имеем
=> 1п|у| = -—+ 1п|С2| (С2 *0) =>у = С2ех.
2) Пусть С| # 0. В этом случае имеем
=> In|>i = -r(ln|x|- 1п|х+ С,I) + In|C2|, C2 #0 =э
*
Задача 50. Решить уравнение x2yy' + </)2 = 0.
Решение. F(x,у,у', у') = х2уу* + (/)’, F' = 2xyy\ F' = x2y\
F'.'-=2y\ F'- = x2y. Функция F(x,y,y',y') непрерывна и имеет
непрерывные F'. F', Г'., F’y-\ F'- = 0 <=> ху = 0 . Следовательно, за-
дача Коши для заданного уравнения с любыми начальными данны-
ми Уо,Уо) такими, что х0у0 # 0, имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у,у\у1’. Поэтому делаем замену: у'= yz , где z(x) — новая
неизвестная функция. Тогда yr = y'z + yz' = y(z2 + z')  Относитель-
но функции z(x) заданное уравнение примет вид
75
x2y2(z2 +z') + y2z2 = 0 =* (x2 + l)z2 + x2z' = 0.	(*)
Могли потерять: у = 0 — решение исходного уравнения.
Из уравнения (*) получаем
£+*1+1Л = 0.	С’)
Z х
(У нас х * 0 ; могли потерять: z = 0 <=> у = 0 => у = С — решение
исходного уравнения.) И итерируя уравнение (**), находим
I 1-^1 х2 + 2С.х-1	х
___v — _ / Г . —к   — _________!____ —ч т — ___________ г—к
х2 +2С|Х- I
2(х + С.) - 2С|
Задача 51. Решить уравнение х2 ((У)2 -	= у2 .
Решение. F(x, у, у', У) = х2 (У )2 - 2х 2уу' - у2,
Fx' = 2х(У)2 - 4хуу', F'y = -2х2у' - 2у, Fy = 2х2у'. Fy = -2х'у.
Функция Г(х,у,У,У) непрерывна и имеет непрерывные
F' F' F’., F'y F'- = 0 <=> ху = 0 . Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (х0,>0,У),
такими, что x()jo # 0 , имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у,У,Поэтому делаем замену: у'-уг, где z(x) — новая
76
неизвестная функция. Тогда у* = y'z + yz' = y(z2 + z')  Относитель-
но функции z(x) исходное уравнение принимает вид
х2 [y2z2 - 2/(z2 + z')] = у2 => -x2(z2 + 2гЭ = I •	(*)
Могли потерять: у = 0 — решение исходного уравнения.
Перепишем уравнение (*) в виде
Z2+2z' = --L	(**)
х
(считаем х # 0 ). Уравнение (**) — обобщенно-однородное с пока-
зателем А = -I • (В самом деле, имеем: 2к = к - 1 = -2 => к = -1.)
Замена:
z , .	и , хи-и
— = и(х) => ZX = и z = ~ => Z = 5— •
X	X	X2
Относительно функции и(х) уравнение (**) примет вид
и2 + 2хи’-2и +1 =0 <=> (w-l)2 + 2хм' =0 => —+ ^> = 0. (***)
(и-1)2 2х
Могли потерять:
и = I => z = — => — = — => In |у| = In |х| + In |С| => у = Сх
— решение исходного уравнения. Из уравнения (***) находим
---+ И =-|ln|C||(C1 # 0) => I In <С]х) = —1—-=>
м-121	2	2	zx-1
I 2+1пС,х	у' 2+1пС|Х
=> z =---------— => — =---------— =>
х 1пС|Х	у	xlnC|X
. . . ((2+ 1пС|Х)ЛпС|Х ...
e |ПИ = J----------------- = 1ПИ = 21п|1пС|Х| +
+ 1пС|Х + In|С2|, С2 * 0 => у = С2(С|Х)(1пС|Х)2 =>
=> _у = С2х(1пС|Х)2(С2 =С2С|).
77
Задача 52. Реш ить уравнен не хуу' = у'(у + /).
Решение. F(x, у, у', у') = хуу' -у'(у + У), = у/, F' = ху - у ,
Fy =-У-2/, Fy = ху. Функция F(x,у,у\у“) непрерывна и име-
ет непрерывные F', F', Fy^F'-; F'- = 0 « ху = О . Следовательно,
задача Коши для заданного уравнения с любыми начальными
данными (хь.Уо.Уо). такими, что хоуо^0, имеет единственное
решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у,у\у'. Поэтому делаем замену: y' = yz, где z(x) — новая
неизвестная функция. Тогда у' = y'z + yz = y(z2 + z) Относитель-
но функции z(x) исходное уравнение принимает вид
xy2(z2 + z) = yz(y + yz) => XZ - Z- г(1-х).
Могли потерять: у = 0 — решение исходного уравнения. Считаем
х * 0. Поэтому полученное уравнение может быть записано в виде:
Могли потерять: < = 0 у' = 0 => у = С — решение исходного
уравнения. Замена; — = а(х) => - — = и . Относительно функции
z	Z2
и(х) уравнение (*) примет вил
Уравнение (**) —линейное относительно функции w(x). Решая
его, находим
У ______2х_____ у' 2х-2	______2_____
У "(х-1)2+(С,-1) У "х2-2х + С| +(х-1)2+(С|-1)
78
Следует рассмотреть три случая: I) С, = I , 2) С( > 1, 3) С( < 1 .
1) Пусть С| = 1 . В этом случае будем иметь
t _ г______dx________ г dx ________I
~Чх-1)2+(С|-1) J(x-I)2 " х-Г
2) Пусть С, > I . Тогда
,	।	. х-1
/ =	---arctg —=
VG7! vc-i
3) Пусть С, < I. Тогда

Задача 53. Решить уравнение 4x2j3/ = х2 - у4.
Решение. F(x, >,у', уг) = 4х2у3 у’ - х2 + J'4,
F'x = 8ху3у" - 2х, Fy = 12х2у2у" + 4у3, Fy = 0, F'y- = 4х2,у3.
Функция F(x,y, у',у’) непрерывна и имеет непрерывные
F', F', Fy, F'-; F’.- = 0 ху = 0 . Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (Хо,у0,уо)»
такими, что х0>*0 #0, имеет единственное решение.
Отметим, что заданное уравнение обобщенно-однородное от-
носительно х,у,у ,у с показателем к = — . В самом деле, имеем:
2 + ЗА + А - 2 = 2 = 4А=э А = -.
2
Поэтому делаем замену: х = е', у = %е'12 (считаем х > 0 ). Тогда
< =е',у; = z^e'12 +|zef/2
1/	(	13/?
=>И =-^ = У1е ' => Ух =1 ^+2Z Г ’
<
+ Т2' V 1,2  z>+ V7/2 е~‘
2	2	2
79
Л
. 2
=*Ух> =
\ /
Относительно функции z(f) исходное уравнение принимает вид
з. -2
4е2> • г3 -е 2
S- 4 г
= е2' -
Z/2 4
J,*
//2
Для х < О замена
уравнению (*).
Замечаем, что
переменная Л Поэтому делаем замену:
-А г" -	- dU^
zt = U(z) => z.2 = —  — = —-—
' dt dz dt
в уравнение (*)
приводи! к тому же самому
не входит явно независимая
Относительно функции u(z) уравнение (*) принимает вид:
= I => и du = —
4 z3
Могли потерять z = 0 «=> y = 0 (y = 0 не является решением ис-
ходного уравнения). Из уравнения (♦*) находим:
U II	С-1	I уг, 2 /ft г\\	2 z~"
— =— — • — + — =$	= С, — и (С| > 0) => и — С ] - —у <=>
2	8^2 4z	4z
Замена:
v/
4Cjz2 -1 = и(г) => 8Cj«; = v; =? 2zz, =
4C,
А тогда относительно функции v{t) получаем уравнение
-^-=+J7=>±-^= = 2ClJr=>±^ = 2C,/ + 2lnC2t С2 >0=>
4С|	2VV
v = (2Q/+ 21пС2)2 <=> 4C|Z2-I =(2С|Г + 21пС>)2 <=>
<=> 4С,у2е'/ - I = (2С]Г + 21пС2)2 <=> 4С,	= (2С, 1п|л| + 2ln С2)2 + I =>
80
=> 4С(у2 = х + 4x^Ct (In |х| + 1пС^С|=>
=> 4Cty2 = x + 4x (C, In С, И)2, Q = СУС|.
Задача 54. Решить уравнение x3y* = (у - xy')(y - ху'- x).
Решение. F(x, у, у', у") = х3у' - (у - ху')(у - ху' - х),
F' = Зх2/ + у'(у - х/ - х) + (у' + 1)(у - х/>,
F' = (ху' + х - у) - (у - ху').
Гу = х(у - ху' - х) + х(у - ху'), F'.- = х3.
Функция F(x,y, у', у') непрерывна и имеет непрерывные
F^ Fy, Fy-.Fy-; F'- =0 «> x = 0. Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (хо,уо,Уо)
(х0 * 0 ) имеет единственное решение.
Отметим, что заданное уравнение — обобщенно-однородное
относительно х.у, у', у' с показателем к = 1. В самом деле, имеем:
к = к=\ и 3+*-2=*+1 =>*=1.
Поэтому делаем замену: х =е', у = zef, где г(г) — новая неизве-
стная функция (считаем х >0). Тогда
У = е'.у; = (г; + Z>e' => у'х = %. = Z, + г; у^ = (X); 4? = (<а + ^)е'.
Xt	Xf
Относительно функции z(r) исходное уравнение принимает вид
е3> '+?,') = [ze' - е'(z, + Z)] • [ ze1 - е'(z, + z) - е' ] «
<=> z'. + г,' = гДг, +1) <=> г,' = (zf)2 =>	.	(♦)
Zt
Могли потерять zt = 0 =э z = С с=> у = Сх — решение исходного
уравнения. Перепишем уравнение (*) в виде
(1п|<,'|)г' = г,' => In|г;| = г + In|С,|, С( 0 => ?; = С(ег «
81
е> е Zdz- Ctdr =э -е ? = С,/ + С, In С2, С2 > 0 =>
=> е г = С|(7+ 1пС2) => -Z = 1п[С|(г + 1пС2) ] <=>
'«In
^C|(lnx+ lnC2)j <=> у = -xln (С, InС2х).
Для х < 0 замена: х = -е', у = ze' приводит к уравнению: z‘i = -(г/)2.
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению
у = -х In (Q In С2х), где С> < 0.
2 ж 2 у у'
Задача 55. Решить уравнение — + (У ) = Зху +	.
Решение. F( х, у, /, /) =	+ (У)2 - Зху' -	,
х2	х
f'=- —-Зу' + ^- F' = ^.-^L Г'=2у'-— Г. = -Зх
» v3 Jy * „2 ’ ГУ „2 Y ’ гу ? Y ’ гу •
Л	ЛАА	А
Функция F(x,y,y\yr) непрерывна и имеет непрерывные
F", F'., F'.', Fy,- в каждой точке (x,y,y',yr), x#O.F^- = 0 я> х = 0.
Следовательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми
начальными данными (л^,уо,Уо) (xq*O) имеет единственное
решение.
Заметим, что заданное уравнение — обобщенно-однородное
относительно х, у, у', у' с показателем к = I. В самом деле, имеем:
21с-2=2к-2 = к-2+\=к + к-\- \ к = 1.
Поэтому делаем замену: х = е', у = ze', где z{t} — новая неизве-
стная функция (считаем х > 0 ). Тогда
У = , у', = (г,' + z)e', у; = h. = г; + г; = (у^	= (г* + z't)e4.
х,	хг
Относительно функции г(Г) исходное уравнение принимает вид
^ + (г,' + г)! =3е'е-'(г;! + г,')-ь2+ г) <=>
е	е
« Зг,' +Зг;-(О2 =0.	(*)
82
Для х<0 замена х = -е‘, у = ze' приводит к уравнению
3z'i +3z,+(z!)2 =0.
Замечаем, что в уравнение (*) явно не входит z- Поэтому
делаем замену: z, = u(t). где «(0 — новая неизвестная функция.
Тогда z'j и. следовательно, уравнение (*) принимает вид
, ,	1 , 3du .
Зи. = w -Зи => -------— = dt.
и(и - 3)
Могли потерять:
у
I) I/ - 0 « г - 0	= С « — = С=»у = Сх— решение ис-
х
ходного уравнения;
решение исходного уравнения.
Уравнение (**) перепишем в виде
w-З и
и-3
3dr
3
и
dt
= 31п
2
=> —=С2-31п
х
± = С,-3ln I-
я (	5 3?	5 4 у
Задача 56. Решить уравнение у = 2ху— у + 4у
1	х J	х2
Решение. f(x,y, у*) = 2хуу' - — + 4у2 - -%-, // = 2ху' + 8у -	,
XX2	X
г, .	5
fy- = 2ху-- . функция /(х,у,/) непрерывна и имеет непрерыв-
ные fy-J? в каждой точке (х,у,у') ( х # 0 ). Следовательно, задача
Коши для заданного уравнения с любыми начальными данными
<х0,у0,уо) (х0 * 0 ) имеет единственное решение.
83
Отметим, что заданное уравнение — обобщенно-однородное
с показателем к = -2 . В самом деле, имеем:
Л-2 = £4-1 + Л-1=Л-1-1=2*=*-2=»Л=-2.
Поэтому делаем замену: х = е1, у = ze2' (это для х > 0). Тогда
х; = е',у; - e~2'(z't - 2z),yx = 4 = U' ~ 2z)e-3';
xt
у'г = (X),' Л = Ц' - 5z/ + bz)e Л
xi
Относительно функции z(D исходное уравнение принимает вид
(z'i -5z'i +6z)e 4f -(2e'ze'21 - 5e~')(z! -2z)e‘3/ + 4z2e'41 -4ze'41 =>
Zf'=2«;.	(*)
Для x<0 замена x = -e', у = ze 2l приводит к тому же самому
уравнению (*).
Замечаем, что уравнение {*) не содержит явно независимую
переменную /. Поэтому делаем замену:
,	, ч ж du(z) du dz .	„ . . .
z, = и(г) => z,2 = —— = — — => z.2 = и (г) w(z .
' dt dz dt '
Относительно функции u(z) уравнение (*) принимает вид
ии[ = 2uz => и'. =2z.
Могли потерять и = 0 <=> z, = 0 => z = С <=> ух2 = С — решение
исходного уравнения.
Из уравнения и, = 2z находим
du = 2zdz => и - z2 + С] о z, = Z2 + С| =>	— = dt.
z +G
Следует рассмогреть три случая: I) С( = 0 ; 2) Cj > 0; 3) С( < 0.
I)	Пусть С, = 0 . В этом случае имеем
^ = </г=>-1=/ + 1п|С2|,С2 *0=>
Z	Z
=>:(/ + ln|C2|) = -I => х2у(In|С2х|) = -I.
84
2)	Пусть С| > 0. Обозначим С, = С2(> 0). Будем иметь в этом
случае
^arctg-5- = / + ln|C2|, С2 #0=^
Z + С| С|	С ।
=> arctg-5-= С| (/ + In|С2|) => 4- = tg [С1(' + 1п|С2|)]=э-
С|	С|
=> х2у = С, tg(C, 1п|С2х|).
3)	Пусть Q < 0. Обозначим С| = - С2(< 0). Будем иметь
в этом случае
dz
е-с?
2С,
г-Ci
z + C|
= t + In|C2|, C2 * 0 =>
t-c,
z+C|
= |C3x|2c' => x2y - C| = C2 |x|2C| (x2y + C,).
Задача 57. Решить уравнение x2 [2 у у" - (y')~) = I - 2xj’y'.
Решение. F( x, у. уу') = lx2уу' - x2 (/)2 + 2xyy -1,
F'x = 4xyy' - 2x(/)2 + 2yy', Fy = 2x2y' + 2xyJ,
Fy = -2x2/ + 2xy, Fy = 2x2у.
Функция F(x,y,y',y') непрерывна и имеет непрерывные
F', Fy. Fy, Fy; Fy = 0 co x>’ = 0 . Следовательно, задача Коши для
заданного уравнения с любыми начальными данными (х^.у^.у^,
такими, что XoJ’q *0, имеет единственное решение.
Отметим, что заданное уравнение — обобщенно-однородное
с показателем А = 0 - В самом деле, имеем:
2 + Л + Л-2 = 2 + 2А-2 = 0 = 1+Л+Л-1 => Л =0.
Поэтому делаем замену: х = е1, у = ^е11' = Z (это для х > 0). Тогда
х, = е'.у; = z;.y'x = Д- = ‘’.Уу =	->’>')4 = (Jp -Х)е‘2'.
X,	X,
85
При такой замене исходное уравнение принимает вид
е1' [2Я>’,' -/)е 2' -0<)3е 2/ ] = 1 -2е'уу!е 2 => 2уу’2 -(у,)' = !.(*)
Замечание. Для х < О следует сделать замену: х = -е', у =
= ze01 = z • Легко проверить, что и при такой замене мы придём к
тому же самому уравнению (*) относительно функции y(t).
Замечаем, что в уравнение (*) не входит явно независимая
переменная t. Поэтому делаем замену: y't = w(y), где и(у) — новая
_ r duly) du(y) dy .	,
неизвестная функция. Тогда у,2 =—— = —---------— у > -и..и .
' dt dy at 1 г
Относительно функции и(у) уравнение (*) принимает вид
_	,	2 I з • 1	2	dy
2уии,. — и = I => 2уии,. = I +и => -=- = —
1 + ег У
(у = 0 не является решением исходного уравнения. Это видно из
самого уравнения). А тогда получаем
1п(1 + и2) = 1п|у| + ln|C||, С, * О => I + и2 = Qy => и2 = С|У- 1 <=>
<=> (у,)2 = Gy -1 => у; = ±7с,у -1
=> ^Qy-I = / + 1п|С2|, С2 *0 => ±2jc^\ =С|1п|С2х|=>
ч
=>4(С1у-1) = С|2(1п|С2х|)2.
Задача 58. Решить уравнение х2(зу'-(/)2) + лу/ = (2лу'-Зу)7х\
Решение. F(x,у,у,у') = х2уу*-х2(у')2 + хуу + 3yVx^ - 2xy'V7,
г; = 2xjy' - 2x(y')2 + yy' +1 yVx - 5V?y',
F' = x2y' + xy‘ + 3>fx^, F'.- = -2x2y' + xy - 2x>/x\ F'- = x2y.
Функция F(x,y,y',yr) определена, непрерывна и имеет непрерыв-
ные F^, Fy, F'.’, Fy- в каждой точке (х,у,у',у') (х>0);
86
fy = 0 о ху = 0. Следовательно, задача Коши для заданного урав-
нения с любыми начальными данными (х<), у0 > Уо), такими, что
•Wu * 0 (Лу >0), имеет единственное решение.
Отметим, что заданное уравнение — обобщенно-однородное
. 3 п
с показателем к = -. В самом деле, имеем:
2
2 +А+ к -2 = 2+ 2к -2 = 1 + А + к -I = - + к -I = А + - => к =
2	2	2
2,
Поэтому делаем замену: х = е', у - ze2 (заданное уравнение
определено для х > 0 ). Тогда
, , , ( , з П'
х, = е',У, = ’/ +2г Г 'у-
. (• 3 н
*>УХ = Г' 2 J '
£’=00;-:
, , , з ) 4
z?+2z, + -zk 2.
Относительно функции z(t} заданное уравнение принимает вид
С)
Могли потерять: г=0»у=0(у = 0- решение исходного урав-
нения). Уравнение (*) может быть записано в виде:
=> — =-2—+ С( => z/=Cfz-2=>
£ Z,
Могли потерять:
C|Z - 2 = О (С| 0) « С, = 2 => qy = 2ху2 => у = Сх312 (С =
— решение исходного уравнения,
87
Если С| =0, то уравнение (**) принимает вил
dz = -2dt => z = -2/ - 2 In|С2| (С2 г 0) « -уг = -2 In С2х =*
=>у = -2xV2lnC2x(C2 >0).
Если С| * 0, то уравнение (**) дает
-Ь|п|С,г-2| = г + 1п|Сг|(Сг*0) а
с|
=> 1п|С|г-2| = С|(1пх+1п|С2|)=>|С1г-2|=(|С2|х)С' =>
=> С, = |С2Iе' хс' + 2 => С, у = xV2(C2xC| + 2),
X'Y
где Сг =|С2р.
Задача 59. Решить уравнение х4 ((У)2 -	= 4х*уу' + I.
Решение. F(x, у, У, у') = х4 ((У)2 - 2/У) - 4х-уу - I ,
F' = 4х3 ((У)2 - 2}’У) -12х2уу\ F'. - -2х4У -4х3У
F'- = 2х4у - 4х3у, F'- = -2х4,у.
Функция F(x,y,y’,y’) непрерывна и имеет непрерывные
F', F'., F'-, F^; Fy- =0 <=> ху = 0 . Следовательно, задача Коши для
заданною уравнения с любыми начальными данными (х0,у0,У)),
такими, что xojo * 0 , имеет единственное решение.
Отметим, что заданное уравнение — обобщенно-однородное
с показателем к = -1 . В самом деле, имеем:
4 + 2Л-2 = 4 + Ат + А-2®3+Л + Л-1 = 0 => *=-!,
Поэтому делаем замену: х = е', у = ze ' (это для х > 0). Тогда
х, = У,У = (У - z)e ' => у =	= (г,' - z)e 2';
хг
Уж- =(^)J А => У г- =<г? - ^ + 2z)e~31.
xt
88
Относительно функции z(t) заданное уравнение принимает вид
2zz'i - iz',)1 = z2-l.	<*)
Для х < О следует сделать замену: х = -е', у = ze1. Легко прове-
рить, что и при такой замене мы придем к тому же самому урав-
нению (*) относительно функции ?(/).
В уравнении (♦) отсутствует независимая переменная /. Поэто-
му делаем замену: z, = u(z), где д(г) — новая неизвестная функ-
ция. А тогда
, _ du(z) _ du(z) dz
dt dz dt
=> z'i -UM.
Относительно функции u(z) будем иметь уравнение
2zw<-w2 = z2-L	(•*)
В уравнении (••) делаем замену: и2 = v(z). Получим
,	2 1	/ v	।
ZV. -V = Z-\=3V-- = Z—.	(♦♦♦)
Z	Z
Могли потерять г = 0«у = 0(у = 0 не является решением ис-
ходного уравнения). Уравнение (***) — линейное относительно
функции v(z). Решая его, находим
v(z)« z2+C|Z + I <=> и2 = z2 + C,z +1 «=> (z't)2 =z2+C,z + l =>
Могли потерять:
7?2 +C)Z +1 =0 <=> при С| = ±2: >j(z ± I)2 = 0 => z = ±1 <=> ху = ±1
— решения исходного уравнения.
89
Если С, t±l, то
( С \	------------
In Z +— ± -Jz‘ +C\Z + ।
2	¥
= I + ln|C2|, C2 * 0 =>
( . C,
vi
=> xy + -y
± Jx2y2 +C|XJ +1 = C2x =>
=> x2y2 + Cixy + 1 = CiX2 + x2y2 + — - 2C->x2y - QC2x + Gxy =»
4
где C, =
Задача 60. Решить уравнение уу' + хуу' - х(у')2 - х5.
Решение. F(x, у, у', у") = уу' + хуу' - х(у')2 - х5,
= УУ'~</)2 -Зх2, Л/ = у’ + ху\ F'y- -у- 2ху\	= ху.
Функция F(x,y,y',y') — непрерывна и имеет непрерывные
F', Fy, Ff, F^; Fy- = 0 <=> ху = 0 . Следовательно, задача Коши
для заданного уравнения с любыми начальными данными
(хо.уо,уо), такими, что х^Уо * 0. имеет единственное решение.
Отметим, что заданное уравнение — обобщенно-однородное
с показателем к = 2. В самом деле, имеем:
А'+А:-1 = 1 + А' + А’-2 = 1 + 2А’-2 = 3 => к = 2.
Поэтому делаем замену: х = е', у = ze2' (=> z ~ —т) (это для х > 0 >.
Тогда
90
= е1, у' = (Zf + 2z)e2’, у'х = 4 =	+ 2z)e';
xi
лг=-у => Ух2 = zi}+Зг'+2z-
xt
Относительно функции z(t) заданное уравнение принимает вид
ze2,(Zi+ 2z)e‘ + e'ze2,(z'i + 3^' + 2z)-e’(z'+ 2z)2e2' = e2' =>
- (z!)2 = I.	C)
Заметим, что для .г < 0 замена: х = -ег, у = ze2' приводит к тому
же самому уравнению (*). Видим, что уравнение (*) не содержит
явно независимую переменную/. Поэтому делаем замену: z't = u(z),
где u(z) — новая неизвестная функция. Тогда
„	du(z)	du(z)	dz	,	t ,
' dt	dz	dt	1
Относительно функции u(z) уравнение (*) примет вид
t 2 I *	2.1 ttdu dz
zuu, - и = I => zuu. = и + 1 => —--= —.	( )
z	1	w2 + l Z
Могли потерять z = 0 <=> у = 0 (функция у = 0 не является реше-
нием исходного уравнения). Из уравнения (**) находим
i|n(w2 +l) = ln|z| + |ln|C||, С, #0 => и2 +1 =С|?(=> С, > 0) <=>
91
=» C,24-l=<4 1*1* -2Cfy\xf'-2	=>
X	X
=» 2C,C2y = C3>|e'*2+|x|! <?1.
Задача 6/. Найти решение уравнения уу’ = 2х(у')2. удовлет-
воряющее начальным условиям:
4=2 =2- >’1.2=
Решение. Непосредственно из уравнения видно, что у = С
(в частности, у = 0) является решением заданного уравнения. Но
это решение не удовлетворяет заданным начальным условиям.
Для у * 0 имеем
у’ = 2*^~Дх.у,у^2*£
У	У	У
Видим, что /(х,у,у') непрерывна и имеет непрерывные f^fy в
каждой точке (х,у,у'), у # 0. Следовательно, задача Коши с задан-
П
2 J
ными начальными данными 2, 2,
и мест ели ист вен ное решение.
Замечаем, что заданное уравнение — однородное относитель-
но у,у\у*. Поэтому делаем замену: у' -yz, где z(x) — новая
неизвестная функция. Тогда у’ = y'z + yz => у' = y{V + z), и, сле-
довательно, исходное уравнение принимает вид:
ZU2 + Z) = 2xy2z2 => Z2 +Z = 2xz2 (считаем у #0) =>
=> dz = z2 (2x - \)dx =» — = (2x - l)dv.
z
Могли потерять = 0 <=> у' = 0 => у = C — решение, но оно не
удовлетворяет заданным начальным условиям. Интегрируя полу-
чснное уравнение, находим — = х -х + С|. У нас
z
- У' । _ 1
Z - — Чх-2 ” 4 • Следовательно, имеем
92
-4 = 4-2 + Ct => C| =-6.
Таким образом, получили
I	dy _ dx
1	х2-х-Ь^ У (х + 2)(х-3)
</)’ 1/1 IV - । । I . |х + 2
=» —= т------г------г^=> ln|j|=-lnk-V- + С2.
у 51х + 2 x-3J	5 |х - 3
У нас у| = 2. Поэтому для определения С2 получаем
1п2 = ||п4 + С2 => С2 =|ln2.
Ответ: 1п|у| =
-—- +-1п2 =* в окрестности точки (2, 2):
8(х + 2> = (3-х)у5.
Замечание (важное для практики). При решении задачи Коши
для уравнении порядков выше первого методом понижения по-
рядка произвольные постоянные целесообразно находить после
каждого интегрирования.
Задача 62. Найти решение уравнения 2у”-3(у')~ = 0, удов-
летворяющее начальным условиям: у|=-3, У|х 0 = I, V|v 0 = -1.
Решение. Имеем
у" = |(У)2 => /и, у, у, У) = |(У)Э; /; = о, = зу, /;- = о.
Видим, что /(х,у,У,У> непрерывна и имеет непрерывные
Следовательно, задача Коши с любыми начальными
данными, в частности, с начальными условиями (0, -3,1, -1),
имеет единственное решение.
Замечаем, что в заданное уравнение не входит явно Поэто-
му делаем замену: У = г, где z(x) — новая неизвестная функция.
Тогда У = г', у' = z', и, следовательно, заданное уравнение при-
нимает вид
2г'-3? = 0.	(•)
93
В уравнение (*) не входит явно независимая переменная х. Поэтому
, du(z) du(z) dz ,
делаем замену: = м(^). А тогда z, = —;— = —:----г- = ил/. От-
dx dz
носительно функции u(z) уравнение (*) принимает вил
2uu'z = Зг => 2udu = 3z2dz => и2 - z3 +С\.	(**)
У нас и = г' = .Для нахождения С, используем начальные условия:
/|х=0 = «U = ’ Л-о = г1х=о = 1 • Получаем I = I + С, => С, = 0.
С|едовательно, вместо (**) будем иметь
и2 = z3 « (z'x)2 - z3 => z'x = ±zV2.
Здесь из двух знаков “±” следует взять знак ибо при х = О
должно быть <^-0 = -1 , г|л=<) = 1 • Значит, будем иметь
dz _ .
гЗ/2 " dx‘
Могли потерять z = 0<=>/ = 0=»y = C (у = С — решение урав-
нения, но оно не удовлетворяет заданным начальным условиям).
Интегрируем уравнение --^ = dx. Находим
Zr
2
[z
Для нахождения С2 используем начальное условие: ^|r_0 = У|г=0 =
Получаем С2 = 2. А тогда вместо уравнения (***) будем иметь
4,4	4 г
(х+2)2	(хч-2)2	х + 2
Для нахождения С, используем начальное условие: у|д_0=-3.
Получаем -3 = -2 + С3 => С3 = -1. Следовательно* искомое реше-
ние будет таким:
х + 2
94
Задача 63. Найти решение уравнения х‘у -Зху = 6-у-4у,
х£
удовлетворяющее начальным условиям: у|у=| = I ,	= 4.
Решение. Уравнение задано для х * 0. Имеем для х * 0:
/=У + бГ-421^/иг.У) = 3£ + б4-4^
X X* х2	X X4 X2
г _ 12у 4	, _ 3
/у X4 Хг' х •
Видим, что f(x,y,y') непрерывна и имеет непрерывные fy>fy
в каждой точ ке (х, у, /) (х * 0). Следовательно, задача Коши с задан-
ными начальными условиями (1,1,4) имеет единственное решение.
Замечаем, что заданное уравнение является обобщенно-одно-
родным с показателем к = 2. В самом деле, имеем:
2 + Л-2 = 1 + *-1=2*-2 = *=>* = 2.
Поэтому делаем замену: х = е', у = ze1' (считаем х > 0). Тогда
х/ = е',у; = (/+2г)е2/ => у\ = 4 = (г' + 2г)е';
Х\
Уе = Wx = 09! Л => У'^ = + Зг/ + 2Z.
хг
Относительно функции z(t) заданное уравнение принимает вид
z't + Зг,' + 2г - 3zt - 6г = 6г2 - 4г =* г,' = 6г2.	(*)
В уравнении (*) отсутствует независимая переменная /. Поэтому де-
лаем замену: г, = м(г), где ы(г) — новая неизвестная функция. Тогда
, du(z) du(l) dz ,< , t .
гг1 =—— = —y-^- —= «(г)«(г).
r dt dz dt
Относительно функции u(z) уравнение (*) принимает вид
„2
ии'г = 6г2 =* udu = 6z2dz => — = 2г3 + С( => w2 = 4г3 + 2С( =>
=> а;)2=4г3+2С,.	(♦♦)
95
Для определения С( используем начальные условия. Отметим,
что значению л = 1 соответствует t = 0,
4.0 = 4.» =» 4.0 = Я., = I:XL.| = 4.» +1 = 4 => г,'|,.о = 2.
Относительно С, имеем, следовательно, уравнение: 4 = 4 + 2Св =>
=> С| = 0 . Тогда вместо уравнения (*♦) получаем
(г/)2 =	=> z, = 2г3/2.
Здесь из двух знаков “±” следует взять знак ибо при t =0
должно быть: г|/=0 = I, г,'|/=0 =2. Значит, будем иметь
2z^ 1 J
Могли потерять г = 0 е=>у = 0 (у = 0 — решение уравнения, но
оно не удовлетворяет начальным условиям). Интегрируя уравнение
(***), находим:	= t + С-> => при г =0: -I = С2. Следовательно,
Jz
-L-=l-/=> - = (l-/)2 <=> х1 = >’(l - Inx)2.
Vz Z
Задача 64. Найти решение уравнения >* = ЗууУ, удовлетворя-
ем
юшее условиям: у|х=0 = -2 , /|ж=0 = 0, /|д=0 = - .
Решение. Имеем
/, /) = Зу/ =* Гу = Ъ'<Гу =
Видим, что f(x, у, у\ у") непрерывна и имеет непрерывные 
Следовательно, задача Коши для заданного уравнения с любыми
начальными данными (хо,уо,у0,уд), в частности, с начальными
(	91
условиями 0, -2,0, - , имеет единственное решение. Замечаем,
что заданное уравнение может быть записано в виде
(У h = 2<У	=2У +С|<
96
Постоянную С| находим из начальных условии:
9 3 . „	„	3
- = -4 + С| = С,=--.
Таким образом, получаем уравнение
г 3 2	3
и = - /	( )
Л 2Л 2
В уравнение (*) не входит явно независимая переменная х. Поэтому
делаем замену: у' = г(у),где ^(у) — новая неизвестная функция. Тогда
> _ <k(y) = <k(y) dy
? dx dy dx
=> y'i = Z'yZ.
Относительно функции z(y) уравнение (*) принимает вид
Izz'y - Ну2 -I) е=> 2zdz = 3(y2 -\)dy =ь z2 = у3 -3y + C2 «.
<=> (У)2 = / - 3y + C2.
Постоянную C2 находим из начальных условий:
0 = -8 + 6 + С2 => С2 = 2.
Таким образом, получаем
(у')2 = /-Зу + 2 => (у')2 = (у-1)2(у + 2) =>
=>/= ±(у-1)7772 => ±J------Л- ._ = х + С3.
(У- Пу/У+З
Будем считать здесь, что -2<у< I, ибо речь идет о решении
У - У(*), удовлетворяющем условию j(0) = -2, т. е. о решении в
окрестности точки (0, - 2). Так как
dy у + 2 = г2, _ г 2dt
(у - 1)7>’+ 2 dy = 2tdt t2 - 3
(для -2 < у < I: Is	> 0), то
Уз+77+2
97
Jl + yfrn
Постоянную C3 находим из начального условия y|t=0 = -2 :
-U О =0±Q
Л
=> q =0.
Следовательно, получаем
In
(здесь знак “+” для л < 0 и знак ” для х > 0)
Л-Л+2 = е±Лх
Л + Jy + 2
А тогда
Л - yjy+ 2 = Ле1^* + у]у + 2е±'^х =?
=> Л (l -) = Л + 2 р + е*^х ) =>
x>!i х4з	_____ ±xJ5 xJ5 _xjj
=> - Ле 2 (Z 2 - e 2 ) = Jy + 2e 2 (e 2 + e 2 ) =*
для x < 0: - Л • 2 sh	- = -Jy + 2 2 ch ,
для x > 0:	Л • 2 sh = J у + 2 • 2 ch X-^-
=> ^+2=+V3th^ =>y + 2=3th2^ =>y = 3th2^-2.
Задача 65. Найти решение уравнения у" cos у + (у')2 sin у = у'
j 71
удовлетворяющее начальным условиям:	(=—
^=-|=2-
Решение. Р(х, у, у', у“) = у* cos у + (у')1 sin у - у';
F'x = 0, F' = -sin у  у' + (/)2 cosy, F'- = 2/sin у -1, F'- = cosy.
98
-I, у, 2 имеет единствен-
О I
Функция F{x,y,y',y’) непрерывна и имеет непрерывные
F', F'., Fy-, Fy-; F'v- = 0 <=> у = {Ik + I)*, к = О, ± I, ± 2.Следо-
вательно, задача Коши для заданною уравнения с любыми началь-
ными данными (ль,Уо’>'о)• такими, что у0*(2& + 1)-,
к = 0, ± I, ± 2..имеет единственное решение. В частности, за-
дача Коши с начальными условиями
ное решение.
Замечаем, что заданное уравнение не содержит явно незави-
симую переменную х. Поэтому делаем замену: y'x = z{y), где
z(y) — новая неизвестная функция. А тогда
' dx dy dx Л у
Относительно функции z(y) заданное уравнение принимает вид
ZZ\ cos y-ь 22 sin у = z => z’y cosy + 5 sin у = 1.	(*)
Могли потерять z = 0 «=> у' = 0 « у = С (у = С — решение ис-
ходного уравнения, но оно не удовлетворяет начальным услови-
ям). Уравнение (*) — линейное относительно функции ?(у). Ре-
шая его, находим
Z =siny + C| cosy <=> y' = siny + C| cosy.
Постоянную C| получаем с помощью начальных условий:
2 = sin + С cos — <=>2 = 4 + С. — => С = -Тз.
6	6	2	2
Таким образом, будем иметь

=, ____Й______
- . ( л '
2sin у + -
k 3 1
Постоянную С2 определяем из начальных условий:
11	. ( п
-In .g- +
= dx => -in tg 4
I I
Л л
12 'б
1 . . л
21"'6?
V Л
2 + 6
2
99
Таким образом, будем иметь: — In
= х + I
=> В окрестно-
сти точки
получаем: In tg
*
12 6
§4. Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка
Так называются уравнения вида
у<я) + Р|(х)?"_|) + Р2(*)/я”21 + ••• + Рп-Му'+ рп(х)у = q(x). (I)
(В (1) у, у’, ...,у(п |),у(я) входят в первой степени и не перемножа-
ются,) Функции /’i(-v),jp3(x), ...,рп i(x),p„{x) называются коэф-
фициентами линейного уравнения, а функция q(x) — свободным
членом этого уравнения.
Предполагается, что функции pt(x), р2(х), ..., р„(х), q(x) —
непрерывные на некотором промежутке (о,2>).
Установим область существования и единственности решения
уравнения (I). Для этого перепишем уравнение (I) в виде, разре-
шенном относительно старшей производной:
=у(^)-?|(х)Уя~°-/>2(х>/я~2)- ... -pa-t(x)y'-р„(х)у.
./”")
• л У / X У	/ х д/	Г X п
Имеем — = -Рп(х}, — = -рп_\(х), , - . = -рМ, Видим, что
оу	оу	ду ’
функция f(x,y,y",... ,y(n~i}) непрерывна и имеет непрерывные
частные производные	> в каждой точке области
(Я) =
а < х < Ь,
-ОС < у < +оо,
— оо < у' < 4-00,
ОО < у(Я_” < 4-00
100
Потому существует, и притом единственное, решение уравнения
(I). удовлетворяющее начальным условиям:
j|x= = Ль У| = Уо.....У(лЧ)| =	<2)
•А—ДО	'А-АО	1jt-Xn
где х0 — любое из (а,д),а у0,Х.— вообще любые числа.
Отмстим, что если свободный член <?(*) = О в (а,Ь), то урав-
нение (I) называется линейным однородным', если <?(x)^0 для
хе (a,b)' то уравнение (1) называется линейным неоднородным.
Заметим, что левая часть уравнения (!) представляет собой
результат выполнения некоторой совокупности операций диффе-
ренцирования и алгебраических действий. Эту совокупность опе-
раций дифференцирования и алгебраических действий называют
линейным дифференциальным оператором п-го порядка и обознача-
ют символом L. Таким образом,
L(y) = /"’+ р,(х)у(п |) + р2(х)у,п 21 + ••• + рМу'+рМУ-
С помощью символа L уравнение (I) запишется так:
L(y) = q(x).	(Т)
Отметим следующие два свойства оператора L.
I. Пусть У|(х),У2(*)»	— «раз непрерывно дифферен-
цируемые функции на промежутке (а, Ь). Тогда
L(yt + У2 + - + >’«) = Цу1) + Цу2) + ... + Цут),хе (a.b).
В самом деле, имеем
Цу\ +У2 + - +УЛ) =(.И + У2 + ••• + УЛ)(Я) +
+ Pl(x)(j| +у2+ - +Ут)<"’,)+ ••• +
+/М*)(У| + У2 + ••• +У«) = [У|Я>+А(*)У|"1>+ - +Ря(*)л]+
+ [>2° + А(*НЯ_1’ + ••• + РгМУ1 ] + ••• +
+ [Л” ’ + Р\(х)Ут~Ъ + - + РМУт | =
= £(j’i)+А(у2)+ ... +Цут),хе (а,Ь).
2. Пусть у(х) — п раз непрерывно дифференцируемая на про-
межутке (а,Л) функция и С— некоторое постоянное число. Тогда
L(C y) = C Цу).
(Устанавливается простой подстановкой, как и в предыдущем свойстве.)
101
§5. Линейные однородные уравнения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное урав-
нение л-го порядка:
/я)+р2(х)/и-2) + ... +/>я_|(х)У+ря(х).у = 0,
где Р|(л), р2(х), ... ,р„_\(х),рп(х)е С ((а,/>)). С помощью оператора
L это уравнение запишется так:
£(>’) = 0.	(10)
Г. Отметим следующие особенности линейного однородного
уравнения.
1.	Функция у = 0, xe(a,b)t является решением уравнения
do)-
2.	Если функции у|(л), у2(х)> ^Ут^х) ~ решения линейного
однородного уравнения (10) в (а,д), то функция y|(x) + j2(x) +
+ ... + yw(x) есть решение этого уравнения в (а,Ь).
р Так как функции у((х), у2(х), ••• ,Zn(x) — решения уравне-
ния (10) в то
Цу^х)) = а,Цу2(х)) = в, , L(ym(x))~ Q,x g (a,b).
По свойству оператора L имеем
Цл(*) + У2(х> + - + Ли(х)) =
жL(у,(х)) + £(у2(х)) + — + £(jm(x))=0, xe(a;fr).
(Kxefe.d) *0,х€(о,6)	в0. хс(а.б)
Значит, функция _У|(х) + у2(х) +	+ уш(х) — решение уравнения
do) в (а,Ь). <
3.	Если функция у(х), хе (a,Z>), есть решение уравнения
(10) в (а,Ь) и если С— любое постоянное число, то функция
Су(х) является решением уравнения (10) в (а.Ь).
Имеем L(Cy(x)) = С L(y(x)) = 0 , xe(a,b). Значит, функ-
О.Х€(а.Л)
пия Су(х) есть решение уравнения (10). 4
102
Следствие. Пусть функции У|(х),у2(х)....Уя(*) — решения
уравнения (10) в (а,Ь) и пусть Сь С2...Ст — любые постоян-
ные числа. Тогда функция
у = С|У|(х) + С2у2(х) + ••• + С«Уж(х>	(*)
является решением уравнения (10) в промежутке (о,Л).
Замечание. При т = л формула (*) содержит п произвольных
постоянных. Это обстоятельство наводит на мысль о возможнос-
ти построения общего решения линейного однородного уравне-
ния (10) в виде линейной комбинации п его решений. Выясним,
какими должны быть решения У|(х),у2(х), •••»Уя(х) уравнения
(10), чтобы функция у = С|У|(х) + С2у2(х) + ... + Сяуя(х) была об-
щим решением этого уравнения.
1Г. Линейная зависимость и линейная независимость функций.
Определение. Функции У|(х),у2(х),	( п > 1 >, опреде-
ленные в промежутке (а, 6), называются линейно зависимыми в
(а.Ь), если существуют постоянные числа ун у2> ..., уя, не равные
нулю одновременно, такие, что во всем промежутке (а,Ь) имеет
место тождество:
YiJ'i С*) + УзЛ<*) + ... + уяул(х) = 0.	(2)
Если таких постоянных У|,у2, •••»¥« не существует, т. е. если
тождество (2) имеет место лишь тогда, когда Yi = Уз = ••• = У„ = 0,
го функции У|<х),у2(х), ...,yrt(x) называются линейно независи-
мыми в промежутке (а,Ь).
Пример 1. Функции У| = I, у2 = х, у3 = х2, , уп = хл 1 —
линейно независимые в любом промежутке.
Рассуждаем от противного. Допустим, что функции
1,х, х2..хл-1 — линейно зависимые в некотором промежутке
(о,/>). Но тогда существуют постоянные числа Yi>Уз» • ••»УЯ, не
равные нулю одновременно, такие, что в промежутке (а.Ь) имеет
место тождество
Yi + Уз* + Уз*2 + - + У»*" ‘ 5 0-	(3)
ЮЗ
А это невозможно, ибо левая часть (3) (в случае, когда среди
коэффициентов уму2.....У„ есть отличные от нуля) может обра-
щаться в нуль не более чем при (м-1) различных значениях х.
Полученное противоречие доказывает, что функции
],х, х2, ....х"-1 — линейно независимые. 4
Пример 2, Если Аг|Дз, — различные числа, то функции
j’( = eX|Jt, у2 = ех’** - Уп = е^пХ линейно независимые в любом
промежутке.
Рассуждаем от противного. Допустим, что функции
ек,х, ех,х, ..., ех"х — линейно зависимые в некотором промежутке
(о.д). Но тогда существуют постоянные числа У|, Уг, У„, среди
которых есть отличные от нуля, такие, что во всем промежутке
(а,Ь) должно иметь место тождество
У|вх,х + у2еХгХ + ... + уяех"х = 0.	(4)
У нас в (4) среди чисел уь у2.у„ есть хотя бы одно, отличное
от нуля. Пусть для определенности у, * 0 . Разделим обе части (4)
на . Получаем
+ у2е<Хз”х,,,Л + ... + уя |е|Х*-»"Х"1х +уя =0.
Продифференцируем последнее тождество по х. Получаем
5|е*,х + 62ек'х + ... + 5я.|е*",х = 0.	(5)
Ясно, что в (5) Л,, Л2, ... Д„_| — различные числа и что
й( =у|(Х| -Х„)*0. С тождеством (5) поступаем так же, как и с
тождеством (4), и т. д. Через (л-1) шагов придем к тому, что во
всем промежутке (д.Л) должно быть:
ре" = 0, причем ц * 0 .
А это невозможно. Получили противоречие. Значит, предположе-
ние, что функции eZ|X,eXlX, ...,ех’Л — линейно зависимые в неко-
тором промежутке (а,Ь), неверно.
104
Пример 3. Функции у, = eu, у2 = хе**, , у„ = х"‘’е** — ли-
нейно независимые в любом промежутке.
> Рассуждаем от противного. Допустим, что функции
е^.хе^, ...,х” ‘ev — линейно зависимые в некотором проме-
жутке (д,/>). Но тогда существуют постоянные числа у,, у2, ..., у„,
среди которых есть отличные от нуля, такие, что во всем проме-
жутке (а,Ь) должно иметь место тождество
+Y2xe>Jt + ... + уях', |€Хх в О,
а значит, должно иметь место тождество
Yi+y2x+ ... +улхя_| = О,хе(а,Ь>).
Но последнее невозможно, когда среди чисел у* (к = 1,л > есть
отличные от нуля. Получили противоречие. Значит, предположе-
ние, что функции е^хе**..........хя~1е*" — линейно зависимые
в некотором промежутке (д,д), неверно. 4
Пример 4. Если Х2, ..., Л.т — различные числа, то функции
х хе^\х
^XjX	x*l-le*jX
..............	(6)
ex-x хеК"х	хк"~'еК"х
линейно независимые в любом промежутке.
Рассуждаем от противного. Допустим, что функции (6)
линейно зависимые в некотором промежутке (а,/>). Но тогда
существуют числа
¥о". т!" 7*".р То *. г!2’ е УЛ г!"1 1g’.,. (7)
среди которых есть отличные от нуля, такие, что во всем промежут-
ке (а,Ь) должно иметь место тождество:
уУ +yjl)xez,Jf + ... +у<Л*)_|х*|‘,ех,ж +
+Yq2>^’x + У|2)хеХгХ + ... 4-^)_|ХАг-|ех,х 4-
4-Уот)ек"х 4-у^хе*’"* + ... +y^l|X*" ’е*"* =0,
105
т. е.
Р^}(х)ек'х + Р^\(х)ек}Х + ... + Р^(х)екяХ sO,xe (а,Ь). (8)
(В(8): Р«\(х) , / = I, т . — полиномы степени не выше чем (kf - 1).)
Так как среди чисел (7) есть хотя бы одно отличное от нуля, то хотя
бы один из полиномов	(/ = 1,2,л») не равен тожде-
ственно нулю в промежутке (а.Ь). Пусть, для определенности,
P^\{(x)*Q в промежутке (а,Ь).
Отметим далее, что
[/?Д(х) е1-’]'=/?», (х)

Здесь Р^(х) и Р^(х) — полиномы одной и той же степени. Ясно,
что если	для х е (а,Ь), то и Р^(х)*0 для хе (а, Ь).
Разделим обе части (8) на е*"х . Получаем
+?£»’!> (х) А ,-х-)х + Р^\(х) =0,
хе (а,Ь). Продифференцируем по х обе части последнего тожде-
ства последовательно кт раз. Получаем
РР\(х}ец,х + Р.<2*‘(х)еИ!Х + ... + Р,0"~|!*(х)еМж |Ж = 0,хе («,/>>. (9>
(В (9):	•••.Mffl-I — различные числа, и Р^'\(х) * О , х е (а,Ь).)
С тождеством (9) поступаем так же, как и с тождеством (8), и т. д.
Через (т-1) таких шагов мы придем к тому, что во всем проме-
жутке (а,Ь) должно иметь место тождество
<-i(*)ew=0.
Но последнее невозможно, ибо P^*_\(x}tO, xg (а, b). Получили
противоречие. Значит, предположение, что функции (6) — линей-
но зависимые в некотором промежутке (а,Ь), неверно. 4
106
ПГ. Признаки линейной зависимости и линейной независимос-
ти функций.
Пусть функции Ji(х),у2<*>* •••»Уя(л) непрерывны на проме-
жутке (а,Ь) и имеют там непрерывные производные всех поряд-
ков до (w-l)-ro порядка включительно. Составим определитель:
У|(х)	J2(x)	...	у„(х)
УМ УМ ... у'„(х)
У|(я-И(х) у4"-,,(х) ... >i"‘h(JC)
(Ю)
Этот определитель называют вронскианом (или определителем Вронс-
кого), составленным для функций у, (х),у2(х), ••• , Т'Д-х) в промежут-
ке («,/>), и обозначают ИЛх), хе (а,Ь), или И/(у|(х),у2(х), ...,уя(х)).
Теорема (необходимый признак линейной зависимости Функ-
ций). Если функции У|(х),у2(х), ...,уя(х) —линейно зависимые в
промежутке (а,Ь), то во всем этом промежутке их вронскиан
1Г(х)^0.
Так как функции j'|(x),y2(x)....jrt(x) — линейно зависи-
мые в промежутке (а,Ь), то существуют постоянные числа
Yb Уь — У«. среди которых есть отличные от нуля, такие, что во
всем промежутке (а,Ь) имеет место тождество:
Y1P|U)+Y2>2(*) + — + УЛ’Дх) = 0,хе (<?,/>). (II)
Тождество (II) продифференцируем пох последовательно (л-1)
раз. В результате для любого хп е (а,д) будем иметь
У|У|(*о) + Г2П(*о) + - + 1пУпМ = 0,
У|Я(хй) + у2у2(*о)+ - + Y„K(*o) = 0,
........................................... (12)
Yi)’!""h(*o) + Гг-Уг"'0^) + - +	= 0.
(12)— линейная однородная (алгебраическая) система относи-
тельно у|,у2...уя.Унассрсли У|,у2. — •»¥« есть отличные от нуля.
Следовательно, числа Y|, у2, дают решение системы (12),
отличное от чисто нулевого. По линейная однородная система
107
может иметь решения, отличные от чисто нулевого, лишь тогда,
когда ее определитель равен нулю, т. е. когда РИ(х0) = 0 . ( И^ Хр)
есть определитель системы (12)). Так как точка х0 — любая из
промежутка (а,/>), то приходим к выводу, что И^х) =0 для всех
хе (а,Ь), т. е. Ифс) s 0, хе (о,Ь). 4
Следствие (достаточный признак линейной независимости
функций). Если в промежутке (а,Ь) имеется хотя бы одна точка
х0, такая, что И^(х0) = W (У|(х0),у2(х0), ,..,у„(х0))* 0, то функ-
ции )’|(х),у2(х)....^„(х) — линейно независимые в (а,д).
> Рассуждаем от противного. Допустим, что функции
Ji(x),y2(x), ...»у„(х) — линейно зависимые в (д,д). Но тогда, по
доказанной теореме, должно быть: ^(х) = 0, хе (о,Л), откуда, в
частности, И^Хо) = 0, а это не так. 4
Замечание. В общем случае теорема необратима. Именно, из
того, что H/(y((x),js(x), ...,уя(х))е 0, хе(о.д), не следует,
что функции У|(х),у2(х), ...,j„(x) — линейно зависимые в (а,Ь).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример. Пусть
0, х <, 0, -М*)= 2	п У2(Х) = - х, х>0;	х2, х<0, .. Имеем 0, х > 0.
(так как, если х S 0, то >’|(х) = 0; если х > 0, то j2(x) = 0 ). Рас-
смотрим тождество
YiJi(x) + y2j2(x) = O,xg (a.b).	(13)
Если х < 0, то тождество (13) выполняется лишь при у2 =0. Если
х > 0, то тождество (13) выполняется лишь при У| = 0. Следова-
тельно, для хе (-~, +«») тождество (13) имеет место лишь тогда,
когда У| =Уз =0. А это означает, что функции }’|(х) и у2(х) —
линейно независимые на промежутке (-«>, + <»).
Покажем, что в случае, когда функции У|(х),>’2(х), ...,у„(х)
являются решениями линейного однородного уравнения L(y) = 0 ,
справедлива обратная и притом более сильная теорема.
108
Теорема (достаточный признак линейной зависимости п ре-
шений уравнения L(y) = 0). Пусть функции У|(дс),у2(х), ...,у„(х)
есть решения линейного однородного уравнения Л(у) = 0 в про-
межутке (а, Ь). Тогда, если хотя бы в одной точке хое(а,Ь)
определитель Вронского, составленный для этих решений, равен
нулю(т.е. И/(х0) = 0),то У| (л), у2 (•*)»	— линейно зави-
симые в (а,Ь) (и, следовательно, по предыдущей теореме:
Ж(х) = 0, х е (д,/>)).
Рассмотрим следующую линейную однородную систему от-
носительно неизвестных У|,Уа,
YiTiUo) + Y2y2(*o)+ +У,Х.<*о) = О,
YiJ'i(Xo) + Yi^Uo) + - * YX(Xo) = О,
.............................................. (14)
Yi	+ У2уГ'’<хо) + ••• + 1пУпП~'}М = 0.
Определителем системы (14) является как раз И^Хц). Он по усло-
вию равен нулю. Но тогда система (14) имеет решения, отличные
от чисто нулевого. Возьмем одно из таких решений: yj, у2, ..., Y„
(среди этих чисел есть отличные от нуля). Рассмотрим функцию
У = У|>’|(^+У2/2<Л)+ ••• +YaZi(*)-	(|5>
Так как _У|(х), _р2(х), ...,у„(х) — решения уравнения Цу) = 0, то
функция (15) также является решением этого уравнения. В силу
соотношений (14), решение (15) удовлетворяет следующим на-
чальным условиям:
4г=дй = Yi-M-fo) + У2.М*о)+ - + УХ(-^о) = О-
А , = ГМ^о) + У2У2<хо) + - + yX(*o) = о*
/"’Ч	= У;У|Я_|)(*о) +	+ ••• + У>1"-1>(хо) = о.
х=х0
Видим, что решение (15) удовлетворяет нулевым начальным
условиям:
Я =°> -Их.. =°.............. /"''I =°-	<16’
’*-*9	1х = Х0
109
Заметим, что функция у = 0, хе (а,Ь). также является решением
уравнения Цу) = 0, удовлетворяющим начальным условиям (16).
Но, в силу теоремы существования и единственности решения,
существует только одно решение уравнения L(y} = 0, удовлетворя-
ющее начальным условиям (16). Отсюда заключаем, что всюду в
(а,Ь) должно быть:
У = У1У|(*) + Т2У2<*) +	+ ГлУя(*)3О- (,7>
Так как в (17) среди чисел yj, у$, ..., у„ есть отличные от нуля, то
это означает, что функции У|(х),у2(х), ...,уя(х) — линейно зави-
симые в (а, Ь).
Следствие (необходимый признак линейной независимости п
решений уравнения L(y) = 0). Если решения У|(х),_р2(х), ...,у„(х)
линейного однородного уравнения Цу) = 0 — линейно независи-
мые в промежутке (о,Л), то определитель Вронского, составлен-
ный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке из
промежутка (а,Ь) (т. е. lF(x)?fcO при любом х из (а,/О).
> Действительно, если бы в промежутке (а,/>) существовала
хотя бы одна точка х0, такая, что 1У(д^) = 0, то по доказанной
теореме решения У|(х),^2(х), ...,у„(х) были бы линейно зависи-
мыми в (д», а это нс так. 4
IV’. Существование фундаментальной системы решений линей-
ного однородного уравнения.
Определение. Если решения У|(х),у2(х),... ,у„(х) уравнения
£(у) = 0 — линейно независимые в промежутке (а.Л), то гово-
рят, что они образуют фундаментальную систему решений урав-
нения £(у) = 0 в (а,Ь).
Покажем, что фундаментальная система решений у линейно-
го однородного уравнения Цу) = 0 всегда существует.
В самом деле, введем в рассмотрение матрицу
'*11	«12	-	«|/
д _ *21 а22 "• а2п
к*л1 ап1 ••• апп t
110
в которой числа ал (i,k = j,w)— произвольные, но такие, что
det А * 0 (т. е. матрица А — неособенная). Возьмем произвольный
столбец матрицы А (например, первый) и точку е (а,Ь). Пусть.
у = у((х) — такое решение уравнения L(y) = 0, которое удовлет-
воряет начальным условиям:
H„„=aIO>'1„J4=eJ.................=	в”| •
Затем берем второй столбец матрицы А. Пусть у = у2(х) — реше-
ние уравнения Цу) = 0, такое, которое удовлетворяет начальным
условиям:
2’ Лг-х™ = Й22.^<Я-,)|	= ах2 И Т. Д.
•х=Хо	IX-Xo	>х=хв
Берем, наконец, л-й столбец матрицы А. Пусть у = у„(х) — реше-
ние уравнения £(у) = 0, такое, которое удовлетворяет началь-
ным условиям:
Я.л. = «I-	= а2-...у" "Ц = °«г 
Получим, таким образом, п решений уравнения JL(j) = O:
Ji(x),y2(x), ..., уя(х), таких, для которых И^Хо ) = det А * 0. Сле-
довательно. решения У|(х),у2(х), ...,ул(х) — линейно независи-
мые, а значит, образуют фундаментальнуюсистему решений урав-
нения £(у) = 0.^
§6. Теорема о составлении общего решения
линейного однородного уравнения л-го порядка
Пусть функции У|(х),у2(х), ...,уя(х) образуют в промежутке
(а,Ь) фундаментальную систему решений уравнения:
Му> = 0.	(I)
Тогда функция
у = С|У|(х) + С2у2(х)+ ... ч-Сяуя(х),	(2)
где С|. С2,.... Ся — произвольные постоянные, является общим
решением уравнения (I).
Убедимся, что функция (2) удовлетворяет определению
общего решения (I). Для этого продифференцируем по х функцию
(2) последовательно (л-1) раз. Будем иметь
111
J =	+ C2y2(x) + ... + Cny„(x),
У' = CMx) + C2y'2M + ... + C„X(x),
........................	(3>
У(л-П =С|^1<я-,,(х) + С2у5*-,)(х)+ ... +О1я-,,(х>.
Возьмем любую точку (xb,JWo. •••.Jo* °) в области
(Я)={
а < х < Ь,
—ОО < у < +00,
—оо < у' < 4-00,
Положим в (3): х = х^, у = у0, у = у0, ,
оо < у' < +<~.
у(л1> =у£л|). Получим систему относительно неизвестных
С|, С2, ..., Сп :
С|ЛС*Ь> + С2у2(л0) + ... 4- Сяу„(х(|) = у0,
С,Х(хь) + С2у2(ао) + ... + Сяу;(хя) = Уо,
.......................	(4>
С|У1(я',>(*о) + С2у$л-,>(Х())+ ... +С„у<"~,)(х0) = у<я °.
Определителем системы (4) является вронскиан для
У|(х),У2(х), •••»Уя(х)» вычисленный в точке х0, т. е. ^(xq).
По условию функции у|(х),у2(х), ...>уп(х) образуют фунда-
ментальную систему решений уравнения (I). Следовательно, всюду
в промежутке («,д); WTxMO. В частности, И/(х0)?ьО. А тогда»
как мы знаем, у системы (4) существует, и притом единственное,
решение: Q = С(0, С2 =С20, , С„ = Сп(). Таким образом, выпол-
нен первый пункт определения общего решения уравнения (I).
Подставим С|0, С20.....Ся0 вместо Ct, С2,.... С„ в (2). Получим
У = C|0y,(x) + C20y2(x)+ ... +С,10уя(х).	(5)
Функция (5) есть линейная комбинация, составленная из реше-
ний уравнения (I). Следовательно, она является решением урав-
нения (I). Видим, что выполнен и второй пункт определения
112
общего решения. Значит, функция (2) удовлетворяет определе-
нию общего решения уравнения (I). 4
Следствие. Пусть функции )’|(х). у2(х), ...,уЛ(х) образуют
в промежутке (а,Ь) фундаментальную систему решений уравнения
(I). Пусть у = ф(х) — произвольное решение уравнения (I). Тогда
обязательно существуют числа С^’, С20>, C„Ot, такие, что
Ф(х) = С|(0>У|(х) + С$0)у2(х)+ ... +С1°’ул(х),х€ (а^).
> Составим из решений У](х),у2(х), ...,у„(х) общее решение
(2) уравнения L(y) = Q (т. е. функцию (2)). Продифференцируем
похфункцию (2) (л-1) раз, получим систему (3). В промежутке
(а,Ь) возьмем какую-нибудь точку х0 и вычислим в этой точке
значения решения >’ = <р(х) и производные этого решения до
порядка (л-1) включительно. Обозначим
V(*o) = To,<₽W = Jib l’(x0) = yJ"‘,).	(*>
Подставим числа x0,v0, j'o, ...,Уо’"|) всистему(З). Получим систе-
му (4) относительно Сн С2, .... Сп . Система (4) однозначно разре-
шима. Пусть С|<01, С10), ..., С<0’ — решение системы (4). Составим
функцию
у = <р#(х) =С!“>Л(х) + С*0,^(х)+ ... +С«Ч(х).	(5-)
Функция у = ф,}(х> является решением уравнения (I), удовлетво-
ряющим начальным условиям (*). Но этим же начальным условиям
удовлетворяет и решение у = <р(х) (т. е. то произвольное решение
уравнения (I), о котором говорится в условии следствия).
По теореме существования и единственности решения задачи
Коши существует интервал (а,0), содержащий точку х0 и содержа-
щийся в промежутке (а,£), такой, что ф(х) = ф0(х), хе (а,р).
Можно доказать, что (а,р) ±= (а,£). А тогда будем иметь:
ф(х) = Фо(х), х €(л,/>). Но для Фо(х) справедлива формула (5')-
Следовательно, и дчя функции у = <р(х) справедливо представление
у = ф(х) = Cf0)y|(x) + Cj0)y2(x)+ ... +С<0)л(х),Хё (д,/>). 4
113
§7. Линейные неоднородные уравнения л-го порядка
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное урав-
нение л-го порядка:
Uy) = q(x).	(I)
Уравнение
Цу) = 0	(2)
условимся называть линейным однородным уравнением, соответ-
ствующим линейному неоднородному уравнению (1), если в (I) и
(2) оператор L один и тот же.
Г. Теорема (о составлении общего решения линейного неодно-
родного уравнения). Пусть j(x) — какое-нибудь решение линейно-
го неоднородного уравнения (1) в промежутке (а.Ь) и пусть
?(Х) = С|И(Х) + С2У2<Х) + - + Сп>л(х)
— общее решение линейного однородного уравнения (2), соответ-
ствующего уравнению (I) (у, (х),	...,уя(х) образуют фунда-
ментальную систему решений уравнения (2) в промежутке (o.Zj))-
Тогда функция
у = у (х) + >’(х)	(3)
является общим решением уравнения (I).
Так как _р<х) — решение уравнения (I) в промежутке (а.Ь), то
L(y(x)) = q(x),x<= (a,b).
Так как у(х) — решение уравнения (2) в промежутке (а,Ь), то
L (у(х)) = 0,х 6 (а, Ь).
Имеем
£(F(x) + У(х))= Цу(х))+ L(y(x)) = q(x),x е (а, b).
О,ХЕ(а,Д) sq(x),xe(a,i>)
Значит, функция (3): у = у(х)+ >’(*) является решением урав-
нения (1). Мы докажем, что функция (3) является общим реше-
нием уравнения (I), если покажем, что из (3) можно получить
любое частное решение уравнения (I), удовлетворяющее любым
начальным условиям вида
= Уо. у!,.^ = >4..= Уо"1’-	(4)
114
(В (4) х() — любое из (а,Ь), а уо.Уо’ ...,Уог ~ вообще любые
числа.) Продифференцируем функцию (3) по х последовательно
(л-1) раз. Будем иметь
у= С}у}(х) + С2у2(х) + ... + С„уп(х) + у(х)у
/= С^у'у(х) + С2у2(х) + ... + Спу'„(х) + у(х),
(5)
у<"‘|) = C|J’|<"_,)(x) + C2<^n"l)(jt)4- ... + С„у(„п”(х) + /""1,(Х).
Подставим в (5) начальные условия (4). Получим
Уо = У(*о) + С, у, (Хо) + С2У2Оо> + - + Сяуя(х0),
Уо = У'(*о) + С|Х(х0) + с2уИхь) + ... + о;(х0),
.................................	(6)
Уо"“П = j}O’-D(Xb) + С|у|('’’|’(ль) + С2^я*,)(х0) + ... +Ся^яЧ)(хь).
(6) — линейная система относительно С,, С2,.... С„. Определите-
лем этой системы является вронскиан для У|(х),у2(х), ...,уя(х),
вычисленный в точке х0,т. е. ^(х^.У нас у,(х), у2(х), ...,ул(х)
образуют фундаментальную систему решений уравнения (2) впро-
межутке (ауЬ). Следовательно, всюду в (а, Ь): И^х) / 0. В частно-
сти, И7(хп) * 0. А тогда система (6) имеет, и притом единственное,
решение: С, =С)0, С2=С20, , С„=Ся0.
Подставив С1о, С20..Ся0 вместо С,, С2, ..., С„ в (3), полу-
чим искомое частное решение уравнения (1). 4
2е. Теорема (принцип суперпозиции решений). Пусть линей-
ное неоднородное дифференциальное уравнение ?»-го порядка
имеет вил
Z.(y) = 9i(x) + 92(x)+ ... +g«(x).	(7)
Пусть .
У|(х) есть решение уравнения: L(y) = q\(x),	(7,)
у2(х) есть решение уравнения: L(y) = q2(x)y	(72)
ут(х) есть решение уравнения: L(y) = qm(x) (7m)
(заметим, что в уравнениях (7() - (7W) оператор L один и тот же).
Тогда функция
115
j>(x) = yl(x) + y2(x) + ... + ym(x)	(8)
является решением уравнения (7).
> По условию: L(y\(x))s q^x), xe(a,b)‘, L(y2(x))* q,(x),
xe(a,b); ; L[ym(x)) = qm{x), xe(a,b). Имеем
Цу(х)) = ^(Pi(x) + y2(x) +	+ Л,(*)) =
= ЦУ\(х))+ L(y2(x)) + ... + L(y„(x)) =
*q\(x)+q2(x) + ... +qm(x),xe (a,b).
Отсюда заключаем, что функция (8) является решением уравне-
ния (7). 4
3°. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения
решения у(х) линейного неоднородного уравнения.
Пусть имеется линейное неоднородное уравнение
Uy) = q(x).	(9)
Пусть известна фундаментальная система решений у((х),
_у2(х), ...,у„(х) линейного однородного уравнения £(у) = 0, со-
ответствующего неоднородному уравнению (9). Тогда общее ре-
шение однородного уравнения Цу) = 0 будет таким:
у = С|У|(х) + С2у2(-О+ ••• + Слу„(х),	(10)
где С|, С2, .... Сп — произвольные постоянные.
Станем искать решение у(х) неоднородного уравнения (9) в виде
у(х) = С|(х)у|(х)+С2(х)у2(х>+ ... + С„(х)у„(х), (II)
где С|(х)5 С2(х), ..., Сл(х) — неизвестные функции, которые мы
должны подобрать так, чтобы функция (II) оказалась решением
уравнения (9). (Формула (II) имеет такой же вид, как и общее
решение соответствующего однородного уравнения, только в
(11) С|(х), С2(х), ...,С„(х) - функции.)
О том, что такие функции подобрать можно, утверждает теорема:
Если С|(х), С2(х),...» С„(х) являются функциями, удовлетво-
ряющими системе
С|'(л)У|(х)	+	С2(х)у2(х)	+...+	С'п(х)у„М	=0,
С|'(х)У)(х)	+	С2(х)у2(х)	+...+	С;(х)К(х)	=0,
• . *................................................
оду|”-2,(х) + с;(х)^"-2,(х) +... + с;(х)>‘’-2,(х) = о. (|2)
Ci'Ub>!"”(x) + с;(х)^”‘"(х) +...+с;(х)>’1"‘'’(х) = «(X),
то функция (II) будет решением неоднородного уравнения (9).
116
► Отметим, что система (12)— линейная относительно
Cj'(x), С2(х)..С'(х). Определителем этой системы является врон-
скиан И^х), составленный для функций у(х), у2(х)....у„(х).1ак
как эти функции линейно независимые в промежутке (о,6), то
И^х) не обращается в нуль ни в одной точке из (а,Ь). Поэтому
у системы (12) существует, и притом единственное, решение.
Решая систему (12), мы получим
С('(х) = у,(х), С2(х) = у2(х), ..., С^(х) = уЛ(х),
где V|(x), iy2(x), Vzr(x) “ вполне определенные функции, от-
куда находим
С|(х) = Jvi(x)Jx, C?(x) = Jy2(x)dx..Сл(х) = J y„(x)z/x. (13)
Заметим, что произвольные постоянные, которые получаются при
вычислении интегралов (13), можно считать равными нулю.
Покажем теперь, что функция (11), где в качестве
С|(х), С2(х), ..., С„(х) взяты их выражения из (13), является
решением уравнения (9).
В самом деле, имеем, принимая во внимание (12):
р„(х)-	у = С,(х)У|(х) + С2(х)у2(х) + ... + С„(х)у„(х),
рл.|(х)-	у = С|(х)Х(х) + С,(х)у2(х) + ... -ь С„(х)у;(х) +0,
У' = G(x)X(x) + С2(х)у2(х) + ... + С„(х)ул'(х) +0,
Pi(x)• у(л ° = С|(х)у[" |)(х) + С2(х)у5л ”(х) + ... + Ся(х)у},’,',)(х) +0,
I • У<я) = С|(х)у[”’(х) 4- С2(х)у5я)(х) + ... + Сл(х)у*/”(х) +<Хх),
£(у(х))£С|(х)Л(у1(х)) + С2(х)Л(у2(х))+ ... +Cff(x) £(уЛ(х)) + <Х х).
(14)
У нас функции у,(х),у2(х), ...,ул(х) являются решениями
линейного однородного уравнения £(у) = 0. Поэтому
£(У|(х)) = О, хе (a.h); L(y2(x))s0, xg(o,6); ; L(jn(x)) = 0,
хе (a.b). А тогда из (14) получаем
£(у(х)) = £(С1(х)у|(х)+С2(х)у2(х) + ... + С„(х)у„(х)) а <?(х),
Х€ (о,6).
Значит, функция у(х) = С|(х)У|(х) + С2(х)у2(х) + ... +Сл(х)у„(х)
является решением линейного неоднородного уравнения (9). 4
117
§8.0 комплексных решениях
линейного однородного уравнения
Пусть и(х) и v(x) — вещественные функции вещественного
аргумента х, определенные в промежутке (а, Ь). Тогда функция
f(x) = z/(x) + /V(x), хе (a,b), где /— мнимая единица, называет-
ся комплексной функцией вещественного аргумента х.
!) Функция /(х) называется непрерывной в точке х() е (о,/>),
если в этой точке непрерывны функции м(х) и v(x).
2) Функция f(x) называется дифференцируемой в точке
х0 е (а,Ь), если в этой точке дифференцируемы функции и(х) и
v(x). При этом имеет место формула f'(x0) = и'(х{))+ /У(х^).
3) Справедливы следующие формулы:
e'pt = cos рх + i sin рх, е'^х = cos рх - / sin рх =>
4-	р'Р* _ р-ф*
=> cospx =----------, sin рх =--------
2	2/
(это — так называемые формулы Эйлера).
4) Покажем, что показательная функция А*, где Х. = а + /Р
(а и В — действительные числа), дифференцируется по прежне-
му правилу:
В самом деле, имеем
(еи )'х = (еах+ФЛ )'х = р“* (cospx +• / sin рх) J =
= (tw cos рх + ie™ sin рх)'х = (е™ cos рх)' + /(eav sin рх)'х =
= (ае*** cospx - Pe(U sin рх) + i(aeax sinpx + Pe'В * * * * * 14 cospx) =
=	cospx + / sin рх) + феах( cospx + i sin px) =
= ae^e^ +	= е<а+*)Л(а + /р) =	.
5) Пусть /(x) = u(x) + iv(x) — произвольная комплексная фун-
кция вещественного аргумента, непрерывно дифференцируемая
на промежутке (а,Ь) п раз. Оператор
£(...) = (...)(я) + р1(х)(...)</’-,)+ ... +/>^i(x)(...)4p„(x)(...)
определен для такой функции /(х) и по-прежнему обладает
свойствами линейности:
118
I. i(/(x))= t(u(x)) + /7.(v(x));
2. £(C /(*))• C-£(/(*)).
Если £(/(x))= £(«(x) + /V(x))e 0, xe(a,b), to /(x) = m(x) +
+ /v(x) — решение линейного однородного уравнения Цу) =0.
6) Для комплексных функций вещественного аргумента
/i(x) = и,(х)+	= «2(х) + гт2(л), MV = un(x) + iv„(x)
справедливы признаки линейной зависимости и линейной неза-
висимости, установленные ранее для вещественных функций ве-
щественного аргумента. Если /(х),/2(х)..../п(х)	являются ли-
нейно независимыми решениями уравнения Цу) = 0 в (д,/>), то
говорят, что они образуют фундаментальную систему решений
этого уравнения в промежутке (а,д>.
7) Пусть имеется линейное однородное дифференциальное
уравнение с вещественными коэффициентами:
+ Pi(x)y{n'i} + /ъ(х)у<л‘2> + ... + рл_|(х)/+ рп(х)у = 0
(т. е. £(у) = 0),
где Р](х),р2(.х), ... ,Рц-\(х),рп(х) — вещественные функции аргу-
ментах Пусть /(х) = н(л) +/>(х), где и(х), и(х) — вещественные
функции аргументах, является решением уравнения Цу) = 0, т. е.
£(w(x) + /v(x))sOt хе (о,Ь). Тогда функции и(х) и и(х> (каждая
в отдельности) являются решениями уравнения Цу) = 0.
В самом деле, из тождества L(u(x) + iv(x)) = 0, хе (д,6),
вытекает, что £(u(x)) + i£(v(x)) = 0, хе(д,/>). При наших усло-
виях оба выражения L(u(x)) и L(v(x)) представляют собой
вещественные функции аргумента х. Поэтому последнее тожде-
ство имеет место лишь тогда, когда одновременно L(u(x)) = Or
хе (а,Ь), и L(v(x)) = 0, хе (а,Ь). А это означает, что каждая из
функций и(х) и v(x) является решением уравнения £(>’) = 0. 4
8)Теорема (о комплексной фундаментальной системе реше-
ний линейного однородного уравнения л-го порядка). Пусть
имеется линейное однородное дифференциальное уравнение zr-ro
порядка с вещественными коэффициентами pt(x),P2(x), ...,р„(х):
£(у> = 0.	(I)
119
Пусть уравнение (I) допускает следующую фундаментальную си-
стему решений:
ф|(х)±/ф2(х),
Ф3(х)±/<р4(х),
Ф2/я4| (^)*
(2)
Ф„(х>,
где ф,(х), ф2(х), ..., ф2т(х), ф,,,,, ,(х).ф„(х)	— вещественные
функции вещественного аргумента х. Тогда функции
ф^хкф^х)......Ф2т<^).Ф2л.+1<Х)^ - .фл(*)	(})
образуют фундаментальную систему решений уравнения (I).
Обозначим
Ч|/|(Х) = ф| (х) + /ф2(х),	ф2(л) = ф| (х) - /ф2(х);
Фз<х) = Фз (*) + 'Ч>4 <*>-	ФИЛ) = Фз (*> "' Ч>4 О);
¥2ж-|(*) = Ф2ж l<*)-’-'W*h Ф2жС0 = Ф2ж
Тогда
ф,(х>^,и>^2(Х)	ф;(л>е¥|(.Г)-^(Х):
ф, м = *<*>+*><*).	ф4 (Х> = VHX)-Y4U).
......	........ (4)
, , У2„.|(*)+Ч'гт(х> „ ТыМ-ТцИ
Ф2ля-1 *х> “----’ <₽2т'Х' ~------------------2/---‘
Из функций (3) составим линейную комбинацию и подчиним ее
условию
W|(*) + Y2<M*)+ ••• +Y2w-l<P2M-|(*) + Y2m4>2mW +
+Т2ж4|ф2л1+|и)+ ••• +у„фя(х) вО,хе	(5)
Если принять во внимание соотношения (4), то тождество (5)
примет вид
И ~ 'Y2 ... /г\ । Yl +	... z-v .	. Y2m-1 —	... i .
—z—ViW + —2—V2VM+ ••• +------------2-------V2/»»-iW +
120
+	4. у2т>,ф2т<.,(АГ)-к ... + у„<р„(х) - О,хе (а,Ь).
По УСЛОВИЮ функции У|(л‘). у2(*), ... , V2m(*). Я>2«и(-*). — ,<М*)
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Нотогла
7| - П2 = 0, 7| + /у2 = 0, , у2ж.| - /у2т = О,
Y2M-I + 'Ъж = 0. У2„+| = О, ...,ул = 0 =>
=> Yl = о, Y2 = 0. ..., 7з«-1 = о, 11т = 0, y2w+| = 0,... ,уя = 0.
А тогда из тождества (5) следует, что функции
<Р|(>:),<Р2(аг), ...,ф„(х) —линейно независимые в (а,Ь). 4
§9. Линейные однородные
дифференциальные уравнения л-го порядка
с постоянными коэффициентами
Пусть дано уравнение
L(y) = у(п) +а|У"_|> + а2/я’ъ + ... + а„^у' + апу = 0,	(!)
где О|, а2..а„ — постоянные вещественные числа. Коэффици-
енты уравнения (1), если их рассматривать как функции от х,
определены и непрерывны на промежутке (-«», + «>). Следователь-
но, областью существования и единственности решений уравне-
ния (I) будет:
-оо < X < + °°,
(О) =
-00 < /Я-,) < +00.
Поставим себе задачу: построение фундаментальной системы ре-
шений для уравнения (I).
Станем искать решение уравнения (I) в виде
(2)
где К = а -г ф — комплексное число; х — независимая вещественная
переменная. Подставив (2) в левую часть уравнения (I), получим
121
Це**) = е** (кп + аД” 1 + а2Хл 2 + ... + ля_( 1 + а„).	(3)
Из (3) ясно, что Це**) s 0 тогда и только тогда, когда Л. является
корнем уравнения
Xя + 0|Хл ' + о2ХЛ 2 + ... + оя_|А> + <2Я = 0.	(4)
Многочлен <р(Х) = ХЯ + а|Хл"1 + а2Хл“2 + ... + ая_|Х + «я называют
характеристическим многочленом уравнения (I), а его корни —
характеристическими числами уравнения (I). Заметим, что если
— характеристическое число уравнения (1), то функция е*9* —
решение уравнения (1).
Возможны следующие два случая: I случай — все корни харак-
теристического уравнения (4) — простые; 2 случай — среди кор-
ней характеристического уравнения (4) имеются кратные. Обсу-
дим оба эти случая подробнее.
/ случай. Все корни характеристическою уравнения (4): Х(,
Х2, ...,	— различные числа (вещественные или комплексные). В
этом случае сразу получаем п различных решений уравнения (I):
Ji = ex,Jt, у2 =	..у„ =	.	(5)
Функции (5) — линейно независимые в любом промежутке (это
было показано ранее, см. §5, пример 2). Значит, они образуют
фундаментальную систему решений уравнения Цу) = 0.
а)	Если оказывается, что все корни ХНХ2, ..., Хя — веще-
ственные числа, то все решения (5) вещественные. Функция
у = С|€Х'* + С2е*1Х + ... 4- С„е*"х ,	(6)
где Ср С2, ..., С„ — произвольные постоянные, есть общее реше-
ние уравнения (1). Это следует из георемы о составлении общего
решения линейного однородного дифференциального уравнения
л-го порядка. (Общее решение уравнения (I) получается как ли-
нейная комбинация п вещественных решений этого уравнения.)
б)	Среди корней характеристического уравнения имеются ком-
плексные. Пусть, например,
^1.2=«1±Ф|> ^3,4 = <*2 ±	•••» ^2|я-1.2л» =
=	— Фл»’ ^-2л»ч-1» ^2л»»2» ••• » ^л •
(У нас характеристический многочлен <р(Х) есть полином с веще-
ственными коэффициентами. Поэтому, если Х = а + /'Р есть ко-
рень характеристического уравнения, то и Х = а-ф является
122
корнем этого уравнения. Здесь предполагается, что
^2т+2» •••» К — вещественные корни уравнения
<р(Х) = 0.) Следовательно, уравнение (1) допускает в этом случае
следующую фундаментальную систему решений:
еа'х cosIV ± iea'x sin ptx,
еа*х cosIV ± 1ел'х sin (J2x, •••»е<х"х cosP/n-x ±	sin pwx,
А тогда по теореме о комплексной фундаментальной сиежме
решений (см. §8, пункт 8) заключаем, что функции
еа|Л cosp|X, ей|* sinP|X, еа?* cosp2x, е“зХ sin02x, ...,
еа"х cosp^x, еа~х sin ржл, ex?-,,x, ех?",гХ,..., ех"х
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Под-
черкнем, что все эти решения — вещественные функции веще-
ственного аргумента х
Функция
у = С|в“'А cosptx -j-C|C“|X sinPjX + С2еа'х cosp2x +•
+С2еа’хsinp2x + ... 4-С„,еа’,Л cosP,„x + Cme“"x sin0,„x +
+	+ C3m2ex’-- + ... + <?„/•',	(7)
гле C,, C„ C2, C2, ..., C„. C„, C2„.„ C2m,2.C„ - произволь-
ные постоянные, есть общее решение уравнения (1).
2 случай. Среди корней характеристического уравнения
<р(Х) = 0 имеются кратные. Пусть полный список корней уравне-
ния ф(Х) = 0 такой:
Х| — корень кратности Л| (л( > I),
Х2 — корень кратности п2 («? - О,
— корень кратности пт (пт > I)
(|£т<л; среди чисел А.,, Х2, ..., Хт нет одинаковых, и
«I + п2 +	+ пт = п), Ясно, что функции ех,х, еХзХ, ..., е>яХ — ре-
шения уравнения (I). Так как этих решений меньше, чем п, то
они не образуют фундаментальную систему решений для уравне-
ния (I) (нужно л линейно независимых решений).
123
Попытаемся найти еще (п-т) решений уравнения (I) та-
ких, которые вместе с функциями еХ|\е''-х, ...,ex",t образуют
фундаментальную систему решений уравнения (I).
Рассмотрим один из корней Л|Д2, кратность которо-
го больше или равна двум. Пусть это будет корень X, кратности /г,
( п, > 2 ). В уравнении Цу) =0 сделаем замену, положив
у = иех,х,	(8)
где м(х) — новая неизвестная функция. Будем иметь
°л-2 •
o„-f
у = ие*х
у' = ик,е*‘х + и’ех,х
у’ = мХ2ех,х + 2«\еХ/Х + м'еХл
у" - ик]е^х + 3w'A.;ex'x + Зд'Х,еХ/ДГ + «*еХл
у{п} =	+ ... + </”'Лх
Цу) = ЦиеК х) = еХл [и (X/ +Д<Х;~| -ь ... + ДЯ|Х/ +д„) +
=<НМ
+и'(лА£ 1 + Л|(л-1)Л" 2 + ... + »Я 22Х, +«„() +
+«'(С2\Г2 +С*,|ХГЧ + ... тСзМл-з + Дя-2) + W'+
4	1	V	1	1		z	J .
=<(М
2!
«.’"-"a.) ц,„,ч>""а,)
(л-1)! л!
= 0.
После сокращения на ех,г(* 0) получаем следующее уравнение
относительно функции и(х):
„ +<лми,+(р(Ми=0.
«!	(л-1)!	I!
У нас Х, — корень кратности л, полинома <р(Х). Эго означает, что
<р(Х,) = ф'(Х,)= ...	=0.а ф<".’(М*0.
Поэтому предыдущее уравнение в данном случае принимает вид
124
+г^ы„<«,>=0
л!	(п-1)!	’	(л,)!	,у'
Непосредственно из вида уравнения (9) следует, что функции
W| = I, w? = х,, u„ = х"'_| являются решениями уравнения (9). Но
тогда функции
У| = ех'\у2 = ***'*» ...,д = хя'-|ех<*	(10)
являются решениями уравнения (I): Цу) = 0.
Если провести аналогичное рассмотрение для каждого из корней
1|, Х2, ..., Х„,, то получим следующие п решений уравнения (I):
хек,ж ..., хЛ|"|ек|Л,
е^-х хе^2Х Хп2-^е^зх
еХ-х, хех-х, , хя-_,ех-х.
(II)
Так как Л,(, Х,2, ..., к,„ — различные числа, то эти решения линей-
но независимые в любом промежутке (это было установлено
ранее, см. §5, пример 4). Значит, они образуют фундаментальную
систему решений уравнения £(у) = 0.
а)	Если оказывается, что все корни Х|,Х2> ...,Хт — веще-
ственные числа, то все решения (II)— вещественные функции.
Общее решение уравнения (I) получается в этом случае как
линейная комбинация этих п вещественных решений:
у = -ьСрхг*** + ... +С11)хЯ| ’е*4* +
+ С}2)еХзХ -*-С12)хеХ1Х + ... + С<2)хЯз_|ех,х +
I	i	П1
+.......................................+
+ СГ,Лх + С‘п”х?'"х+ ... + Си>хя"‘|ех-Х.
•	<•	п*
(12)
б)	Среди корней характеристического уравнения имеются ком-
плексные. Пусть, например,
Хи = ct| ±/р, — корень кратности ,
А.22-1,2/ = <*/ ±Ф/ — корень кратности п,,
125
Х2М)-корень кратности л2/*|
— корни вещественные
— корень кратности пт
(У нас характеристический многочлен <р(Х) есть полином с веще-
ственными коэффициентами. Поэтому, если Х = а + /р есть ко-
рень характеристического уравнения кратности Л, то и X = а -/р
является корнем этого уравнения той же кратности к.) Следова-
тельно, уравнение (1) допускает в этом случае следующую фунда-
ментальную систему решении:
e<l'x cos0|X ± iea,x sin Р|Х, хещх cosP|X ± ixea,x sin р|Х,
..., х"1 ’*еа'х cos р|Х ± /хя,-|еа|Х sin р(х,
ев/Л cosp/X ± iea'x sin р2х, хел,х cospzx + ixea,x sin р,х,
..., хп'"'еп'х cosP/X ± ixn'~'ea,x sin Pzx,
ех,,х, хех“х, ..., xlu‘,ex"Jt.
А тогда по теореме о комплексной фундаментальной системе ре-
шений (см. §8. пункт 8) заключаем, что функции
еп,х cosP|X, e'l,x sinptx, хеа,х cosP|X, хеа,х sinPtx,
, хЛ| 'еа,х cosp|X, хЯ|_|еа,х sin Р(х,
eajX cosР/Х, еа,х si n Р,х,xeajX cosp,x, xea'x sin Pzx.
... ,x",-lea'x cosp/X, x"'-lea'x sinPzx,
образуют фундаментальную систему решений уравнения (I). От-
метим, что все решения (13) являются вещественными функция-
ми вещественного аргумента х. Общее решение уравнения (I) в
этом случае будет таким:
126
j = С{|,еа,л cosp|X + Cl(,^“p;sinP|X4-C^l,x^u,x cosp,x+-
+ С^’хеП|Х sin P|X + ... + C'^’x"' ~ ’e0** cosP|X + С^,)хЛ|‘|е®цх sin P(x + ... +
+ Cl/fea,x cosp/X + C}°ea,x sin pzx + C^xe*1* cosppc +
+C^/)xea,x sin P/X + ... + C'nl}xn'~}en,x cos pzx +	хп,~1 ea'x sin p,x +
1	2	*" "2hl
±Clm,e^x + C^'xex"x + ... + c<w,x"-‘lex-x.
I	2	Hm
Здесь
<4I) /41) r'(l) /41) f(D
b| , Vj , H , b2 , .... сл ,
£(l)	qV\ £(.1) £(/)	£»(/) £(/)
fl, ’ ’ * ’ *	I * I ’ 2 ’ 2 * ’ ’ ’ »	* П/ *
— произвольные постоянные. (Общее решение линейного одно-
родного уравнения с постоянными вещественными коэффициен-
тами получается как линейная комбинация п вещественных реше-
ний этою уравнения.)
§10. Построение частною решения
линейного неоднородного уравнения
с постоянными коэффициентами
и с правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянны-
ми коэффициентами:
L(y)=q(x) <=>/я’+д|<у(я-|)+<?2у(я’2>+ ... +^я_|У + ДЛ = <?(х), (I)
где о,, а2,	— постоянные числа. Пусть свободный член ^(х)
уравнения (I) имеет специальный вид:
q(x) = eat ^Pm(x)cosdx+ ^’(x)sindx^,	(2)
где а и b— постоянные числа, а Рт(х) и P/(x) — полиномы
степени т и / соответственно. Тогда для нахождения частного
решения у(х) уравнения (I) можно применить так называемый
метод неопределенных коэффициентов (который сводит нахож-
дение решения у(х) по существу к алгебраическим операциям).
127
Число а + ib будем называть контрольным числом правой части (2).
I.	Рассмотрим сначала случай, когда
</(*> = Рт(х) = 4,xm + b]xmi + ... + bmlx + b„,.
Этот случай получается из общего при а = 0 и Ь =0, так, что
контрольным числом будет a+ib = 0 + /0 = 0. Для этого случая
имеет место теорема.
I.	Если контрольное число 0 не является корнем характери-
стического уравнения ф(Х) =0, т.е, уравнения
Xя + а|Хя-1 + а2Х"-2 + ... +а„_|Х+ая = 0,	(*)
то уравнение (I) имеет частное решение вида
У(х) = Q„,(x) =	+ Л,*'"-' + ... + 44_,х + Ат.
2.	Если контрольное число 0 является корнем кратности к
характеристического уравнения (♦), то уравнение (1) имеет част-
ное решение вида
у(х) = xkQ„(x).
► 1.По условию 0 не является корнем характеристического
уравнения (*). Значит, ап #0. Станем искать частное решение
уравнения (1) в виде:
Х*> = Qm(x) = ЛоХ*" + 4х/п | + 42x*""2 + ... +	+ A„ix + Ат ,
где 4»4>4»	— пока неизвестные коэффициен-
ты. Подставив это выражение для в уравнение
+д1/л-|> +а2/я-2) + ... +ля_2/ + ая_|/ + олу =
= 1\}хт + ^х"1-1 +	+ ... + Ьт.хх + Ьт
и приравняв в получаемом тождестве коэффициенты при одинако-
вых степе няхх в ле вой и правой частях, получим систему уравнений:
хп'
Xя*-2
апЛ) =^,
Ml + ап-\тАЬ = *Н
апЛ2 + ап । (т -1)4 + ап.2т(т - I )4 - th,’
(3)
апАт +ап-1Ат-1 +	~^т-
Отметим, что система (3) совместная и определенная. В самом
деле, так как а„ *0, то из первого уравнения системы (3) нахо-
128
дим Д,. Подставив найденное значение Д во второе уравнение
системы (3), находим Д. Затем из третьего уравнения находим
Л2, и т. д. Наконец, из последнего уравнения системы (3) найдем
Найдя коэффициенты Д,, Д,Л2,	Д,, мы тем самым най-
дем частное решение у(х) уравнения Цу) = Рт(х) .
Замечание. Изложенный способ доказательства является прак-
тическим способом построения решения у(х).
2. По условию 0 является корнем кратности к характеристи-
ческого уравнения (*). Это означает, что в уравнении (*)
= 0. <Vi = 0, апЛ = 0.= 0, но «„.* * 0.
Следовательно, исходное дифференциальное уравнение имело вид
у(п} +а|У<я-,) +o2y<rt-2) + ... + а„_ку(к) = Рт(х). (Г)
Видим, что в уравнение (Г) не входят явно у,/,	Поэто-
му делаем замену: = д(х), где и(х) — новая неизвестная функ-
ция. Относительно функции и(х) уравнение (I') примет вид
t/”-**+а|«(я“|*) + ... + ап_ки = Р„(х).	(Г)
Так как в уравнении (!') ап_к #0, то мы имеем здесь дело со
случаем, уже рассмотренным в пункте I. Следовательно, уравнение
(I') имеет частное решение й(х) вида
и(х) = Дхт + Дх"1 1 + ... + ЛЯ1_|Х + ДЯ.
У нас и(х) = у(к). Поэтому для нахождения решения >(х) уравне-
ния (К) нам следует решить уравнение
у<м(х) = Д)Хт +4хт_| + ... + А„ ,|Л + ЛЖ.
Выражение для у(х) мы получим в результате последовательных
интегрирований к раз. Принимая во внимание, что нам нужно
найти лишь какое-нибудь частное решение у(х) уравнения (Г),
мы можем произвольные постоянные, которые будут появляться
при последовательных интегрированиях, считать равными нулю.
А тогда для у(х) получится следующее выражение:
f(x)= xk(Doxm +Dixm 1 + ... + Dm_,x+ Dm) = xkQm(x). <
11. Рассмотрим теперь случай, когда <?(х) = еа'Рт(х). Этот слу-
чай получается из общего при b = 0 . так что контрольным числом
будет а + ib = а + /О = а . Для этого случая имеет место теорема:
129
1. Если контрольное число а нс является корнем характери-
стического уравнения <р(Х) = 0, т. е. уравнения
X" + Д|ХЛ-1 + ... + a„_jX2 + ая_(Х + ая =0,	(•)
то уравнение L(y) = е0ХРт(х) имеет частное решение у(х) вида
y(x) = eaxQm(x) = eax(A{}xm + А^х”-' + ... + А„_}х + Ат).
2. Если контрольное число а является корнем кратности А
характеристического уравнения (•), то уравнение Цу) = е™ Рт(х)
имеет частное решение у(л) вида
у(х) = xkeaxQm(x) = xkeax(DQx,n + D}xm' + ... + D„_ix + D„).
В уравнении Цу) = еах Рт(х) сделаем замену: у = еЛЛм(х),
где и(х) — новая неизвестная функция. Мы знаем, что
.. ах . ах Г<Р<Я)(о) (Л) ф(Я~,)(а) (я-1>	ф'(<0 .	, .
Це и) = е ———tr ' +-£--------+ ••• + |j +<p(fl)w
(такое выражение для Цеохи) было получено нами в §9 при
построении фундаментальной системы решений однородного
уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами).
Сделав замену и произведя сокращение на еа\ получим отно-
сительно функции и(х) следующее уравнение:
ф(я)(Д)ц<л) , Ф<Я~П(Д) <«-|)	Ф<А>(Д)^1) ^*-l>(g) (fc-l) +
п! (л-1)!	" А! (Л-1)!
+ „. +±1^и' + ф(о)« = Рт(х).
I. Пусть число а не является корнем характеристического урав-
нения (*), т.е. <р(а) * 0. Тогда, по доказанному ранее (см. случай I),
полученное уравнение имеет частное решение й(х) = Qm(x), и,
следовательно, исходное уравнение Цу) = е“хРт(х) имеет частное
решение
y{x) = eaxH(x) = eaxQm(x).
2. Пусть число а является корнем кратности Л характеристичес-
кого уравнения (*). Но тогда
ф(д) = 0, (р'(д) = 0, ...»<р<<!-|)(д) =0, фЦ)(а) * 0,
130
и, следовательно, преобразованное уравнение будет таким:
Ф(я)(°)	, <р<я~п(о) <п-1> .	. ФШ(а) „(*) _ »
л! (л-1)!	к'
А такое уравнение, по доказанному ранее (см. случай I), имеет
частное решение й(х) = xkQm(x). Следовательно, исходное урав-
нение L(y) = eaxPni(x) имеет частное решение
y(x) = eaxH(x} = xkeaxQ„(x).
III. Рассмотрим, наконец, случай, когда q(x) =
= е™ [Pw(x)cos/>x + P/(x)sin2>x], Предполагается, что д*0, Рт(х)
и Р^х) — полиномы с вещественными коэффициентами степе-
ней т и I соответственно и такие, что /^(х) + Р2(х) £ 0 . Предпо-
лагается также, что оператор L имеет вещественные коэффициен-
ты О|, ля . Имеет место теорема.
1.	Если контрольное число a + ib нс является корнем характе-
ристического уравнения ф(Х) = 0, т. е. уравнения
А.” + й\Кп 1 + сь\п 4 ... 4 Qn _| А. 4 в„ = 0,	(*)
то уравнение Цу) = еа* [ P^(x)cosAx + /^(jr)sin Л>х] имеет частное
решение у(х) вида
j(x) = еах [ (х) cos bx +	(х) siп Ьх |,
где 0и(х) и 0м(х) — полиномы с вещественными коэффициен-
тами, а ц = тах{л»,/}. (Хотя бы один из полиномов СЦх), 0и(х)
имеет степень Д.)
2.	Если контрольное число о + /7> является корнем кратности к
характеристического уравнения (*), то уравнение L(y)-
= еал |/,m(x)cos/?x + P,(x)sin Лх] имеет частное решение у(х) вида
у(х) - хкеАХ | QM(x)cos/>x + 0p(x)sin/>x ].
> Преобразуем правую часть уравнения £(у) = е" [ Pm(x)cosbx +
4 /}(x)sinta], воспользовавшись формулами Эйлера:
gibx + g-ibx	gibx _e ~ibx jg-U>x _ ^ibx
cosbx =------------; sin bx  ------=------------.
2	2i	2
Будем иметь
131
q(x) = eav
РП](Х) - iP,(x) ?lbx
_2___
Ф„(Х)
, P^ + iP^x)
2
=Фр(Х)
q(x) = е<‘’+'А)*Фм(х) + е(в '*)лФ0(х) = ет'Фм(х)+с?лФц(х) =>
=> q(x) = ql(x) + q2(x), где <?,(x) = е™'Фр(х),q2(x) = q^x).
Значит, исходное уравнение можно переписать в виде
Цу) = q\(x) + q2(x), где q2(x)=q^x).	(4)
Мы знаем, что если функция у,(х) есть решение уравнения
=	(4|)
а функция vg2(x) есть решение уравнения
L(y) = q2(x),	(42)
то функция у(х) = Y|(x) + у2(х) есть решение уравнения (4).
Рассмотрим уравнение (4,):
Цу) = еггФ|1(х) = е(в*,/’)хФи(х).
(4J есть уравнение, рассмотренное в пункте II. А тогда:
1. Если число у = а + ib не является корнем характеристическо-
го уравнения (*), то уравнение (4,) имеет частное решение вида
У|(л) = е(Л+/5)*ф’(х),
2. Если число у = а 4- ib является корнем кратности к характе-
ристического уравнения (*), то уравнение (4,) имеет частное
решение вида
ц/, (х) = х*е(в+#)*Ф‘(х).
Отметим, что Ф*((х) — полином степени Ц,т. е. той же степе-
ни, что и полином Фм(х). Так как Фи(х) имеет комплексные
коэффициенты, то и Ф’(х) имеет комплексные коэффициенты.
Следовательно, ф’(х) = (/и(х) + /Им(х), где ^ц(х) и ^(х) — по-
линомы с вещественными коэффициентами степени <ц, причем
хотя бы один из них имеет степень ц.
Рассмотрим теперь уравнение (42):
Цу) = е<</А°ЛФм(х).
132
Правая часть этого уравнения комплексно сопряжена с правой
частью уравнен ия (4|). Покажем, что у2(х) = Vi(*) (здесь v2(*) —
решение уравнения (42)). Представим решение Vi(x) в виде
Wi(x) = ipn(x) ч-/Чр12(х), где Уц(х) и у|2(х) — вещественные фун-
кции вещественного аргументах Тогда ф((х> = уц(х)~/Vi2(x).
Так как ц/|(х) есть решение уравнения (4t), то
£(ЧМ*)) = MVn(*) + 'Vu(*))s L(Vh(x)) + /£(V|2(x))5(7|(x).
Перейдем в последнем тождестве к комплексно сопряженным ве-
личинам. Получим
b(Vn(x))-/L(vi2(x)) = ^i(x) « £(Vii(x)-nMl2(x))s02(x) е=>
<=> L(Y|(x))s92(x) => у2(х) = ф|(х).
Так как у((х) — решение уравнения (4J, а v2(x)(= ф|(х)) —
решение уравнения (42), то функция
у(х) = V| (х) + у2(х) = у, (а) + ф, (х) = 2 Re у, (х)
есть решения уравнения (4). Имеем
е<Л+'*>хф’(х) = ea*(cosbx + /sinbx) (VM(x) ч-/Им(х)) =>
=> Re [ е,й+'Л,ЛФ’ (x) ] = e™ ((/M(x)cosbx -^(xjsin bx).
Поэтому:
I) Если (a-t-/b) нс является корнем характеристического урав-
нения (*), то уравнение L(y)-е^ [Pm(x)cosbx+ P;(x)sinbx] име-
ет частное решение
}’(х) = 2с0Л [t/p(x)cosbx - Fp(x)sin bx ] =>
=> y(x) =eax (0M(x)cosbx+QM(x)sinbx).
Здесь CM(x) = 2f/M(x), 0p(x) = -2Ир(х) — полиномы с веществен-
ными коэффициентами,
2) Если a + ib является корнем кратности А характеристического
уравнения (*), то уравнение L(у) = е" [Рт(х)cosbx + Р,(х>sinbx]
имеет частное решение
у(х) = 2хкеах [t/M(x)cosbx - Иц(х)$тЛх] =»
=> j/(x) = хке‘и (0M(x)cosbx +0M(x)sinbx). 4
133
§11	. Уравнение Эйлера
Так называется линейное дифференциальное уравнение вида
(ах + Ь)п у<я| +О| (ах + />)'’“*+ ... + дл_|(ах + д)/ + олу = <7(х),(1)
где а, Ь, аь ...,a„_lta„ — постоянные числа. Видим, что (1) есть
уравнение с переменными коэффициентами специального вида.
Покажем, что уравнение (1) приводится к линейному уравне-
нию с постоянными коэффициентами с помощью замен:
1)	ах + b = е', если ах + b > 0, и 2) ах + b = -е', если ах + b < 0 .
Для определенности рассмотрим случай, когда ах + Ь>0.
В этом случае полагаем
ах + b = е х, = -е => — = ае .
а х,
А тогда
Ух = У, ‘х=У'г-^ => Ух = У&~' ’
Л'? = (УхУх = (Ух), Д => Т'г = (У^е ае 1 => j'2 = (у', - у',)а2е~ъ ;
у’> =<>£>;	=[<у-'	],'<’«' =
= (у” -Зу,' + 2у!)а3е}1.
Видим, что выражение для у* содержит множитель ае~'; выра-
жение для у'2 содержит множитель а2е 2/; выражение для у\
содержит множитель а е . (Множители в скобках представляют
собой линейные комбинации производных от функции у по
переменной /.)
Предположим, что
У{У = (У^} +	+ a2jJ‘"2’ + ...	(♦)
где at,a2, ...1а.А_| — постоянные числа. Тогда
= ак"е ^"' | (у^1’ +	+ ... +	) -
134
- к (у«} 4- 0,^*7° + ... +
= ал+,е-(*+,)г
(yf<**i” + Pi^) + ... ОлХ).
где р|, Р2. •••»Рл ~ постоянные числа.
Переход от к к к + I сделан. Для к = I, 2, 3 соотношение (*)
установлено непосредственно. В силу перехода от к к к + I оно
верно для к = 4,5» ... ji. Следовательно, будем иметь, например:
у<"> =	+ У|>;<".71> + ... +У„-1Л')-
При подстановке найденных выражений для y’x,y'i, ••>У(КУ в
уравнение (I) надлежит умножить у'х на ап^(ах 4- Ь) = ап^е‘; у*2
на а^ах + Ь)2 = ап_2е21 , , У*? на (ах + Ь)п = еп1. При этом
показательные множители исчезнут и мы получим линейное
уравнение с постоянными коэффициентами относительно функ-
ции у(/):
L(y(t))=q(t).
§12	. Примеры и задачи по теме:
“Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка”
Задана 1. Решить уравнение у’ + у - 1у = 0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
X2 +Х-2 = 0 => X) = 1,Х2 =-2.
Фундаментальная система решений: У|(х) = ех, у2(х) = е 2х. Сле-
довательно, общее решение исходного уравнения будет таким:
У = С|У|(х) + С2у2(х) = С,е* +С2е~2х.
Задача 2. Решить уравнение у' — 2у' = 0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
Х2-2Х=0 => X, =0Д2 = 2.
Фундаментальная система решений: у (х> = г*1* =1, у2(х) = ех?* =
= е2х; у = С1у,(х) + С2у2(х) =С,+С2е2'- общее решение исход-
ного уравнения.
135
Задача 3. Решить уравнение у’ - 4у' + 5j = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
Х2-4Х + 5=0 => X, = 2 + /, Х2 =2-/.
Фундаментальная система решений: у((х) = е2х cos х , Уг(х) =
= e2xsinx; у = C|<V|(x) + C2j’2U) = С,е2х cosx + С2е2х sin х — общее
решение исходного уравнения.
Задача 4. Решить уравнение ув + 2р' + 10у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X2 + 2Хч-10 = 0 => X, = -1 -3/, Х2 = -1+3/.
Фундаментальная система решений: У|(х) = e‘cos3x, у2(х) =
= e_Jf sin3x. у = С|У|(х) + С2у2(х) = (\е~х cos3x + С2е"х sin3x — об-
щее решение исходного уравнения.
Задача 5. Решить уравнение у' + 4у=0.
Решение. Характеристическое уравнение X2 + 4 = 0 =* Х| = 2/,
Х2=-2/\ Фундаментальная система решений: y((x)=cos2x,
j2(x) = sin2x. у = С|У|(х) + С2^2(х) = Q cos2x + C3sin2x — общее
решение исходного уравнения.
Задача 6. Решить уравнение у"-Ъу = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
Л3 -8=0 <=> (Х-2)(Х2 +2Х + 4) =0 =>
=> X, = 2, Х2 = -I + г’ТЗ, ХЛ = -I - /-Тз.
Фундаментальная система решений: у((х) = е2х, у-Дх) = е ' cos (х>/з),
_Уз(х) = е~х sin (хЛ);
У = С,У| (х) + С2у2(х) + С3у3(х) =
= С|в2х +C2e"xcos (x\/3) + Cje~xsin (х>/з)
— общее решение исходного уравнения.
Задача 7. Решить уравнение у<4) - у = 0 .
Решение, Характеристическое уравнение Х4-1=0; Х|=-1,
Х2 = I, Хз = -У, Х4=/. Фундаментальная система решений:
Ji(x) = e“*, у2(х)=ех, y3(x) = cosx, y4(x)=sinx.
136
у =	(х) + С2у2 (х) + C3j3(x) + С4у4(х) =
= C,e-X + С2е* + С3 cos х + С4 sin х
— общее решение исходного уравнения.
Задача S. Решить уравнение у’6* + 64 у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X6 + 64 = 0 => X6 = -26 => X = 2г'-к = О, I, 2, 3,4, 5 =>
=> х = V3 ± /, х = ±2/, х =	± /.
Фундаментальная система решений:
ех^ cosx, ех^ sinx, cos2x, sin 2х, е~х^ cosx,?'*4^ sinx.
у = С\ех^ cos х + С2ех^ sin х + С3 cos 2х +
+ С4 sin 2х + С5е~Ху^ cosx + С6е~х^ sin х
— общее решение исходного уравнения.
Задача 9. Решить уравнение у'- 2у' + у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение Л2 -2Х + 1 =0 => Х( =
= Х, =1. Фундаментальная система решений: ех, хех. у~С1ех +
-t-C2xe* — общее решение заданного уравнения.
Задача 10. Решить уравнение 4у" + 4у + у =0 .
Решение. Характеристическое уравнение
4Х2 + 4Х + | =() «> (2X+I)2 =0 => X) =Х2 = -|.
х х	_х _х
Фундаментальная система решений: е 2,хе 2.у = С\е 2 +С2хе 2 —
общее решение заданного уравнения.
Задача 11. Решить уравнение у(>) -6у<4) +9j* = 0 .
Решение. Характеристическое уравнение
X5 - 6Х4 + 9Х3 = 0 « Х3(Х2 - 6Х + 9) = 0 <=>
Х3<Х-3)2 = 0 => X! =Х2 =Х3 =0, Х4 =Х5 =3.
Фундаментальная система решений: I, х,х2, e3x,xe3v.
у = С| + С2х + С3х2 + С4с3* + С5хе3*
— общее решение заданного уравнения.
137
Задача 12. Решить уравнение y(S) - IОу" + 9у' = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X5 - IOX3 + 9Х = 0 <=> Х(Х4 - I0X2 + 9) = О =>
=> X] = 0, Х2 = I. Х3 = -I, Х4 = 3, Х5 = -3.
Фундаментальная система решений:	е3\е"3х.
у = Ct + С2ех + С3ех + С4е*х + С5е3х
—	общее решение заданного уравнения.
Задача 13. Решить уравнение у<4) + 2у'+ у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X4 + 2Х2 + I = 0 <=> (X2 +1)2 = 0 <=>
«=> (X + /)2(Х - О2 = О => Х| = Х2 = /, Х3 = Х4 =
Фундаментальная система решений: cosx, sin х,х cosx, х sin х.
у = С| cosx + С2 sin х + С3х cosx + C4xsin х
—	общее решение заданного уравнения.
Задача 14. Решить уравнение у~ - Зу' + Зу’ - у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X3-ЗХ2+ЗХ-1=0 о <Х-1)3 = 0 =*Х, =Х2 =Х3 = 1.
Фундаментальная система решений: е\хех,х2ех. y = Ctex + С2хех +
+ С3х2ех — общее решение заданного уравнения.
Задача 15. Решить уравнение у~ - у'- у'+ у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X3-X2-Х + 1 =0 <=> (Х-1)(Х2-1) = 0 о (Х-1)2(Х+1)=>
=> Х| = Х2 = I, Х3 = — I.
Фундаментальная система решений: е\хех,ех. у = С1ех +
+ С2хех +С3е х — общее решение заданного уравнения.
Задача 16. Решить уравнение у(4) -5у' + 4у =0.
Решение. Характеристическое уравнение
Х“-5Х2+4 = 0 « (Х2-4)(Х2-1) = 0 =>
=* X, = 2, Х2 = -2, Х3 = 1, Х4 = -1.
138
Фундаментальная система решений: е2\е 2х ,ех ,е х.
у = С\е2х + С2е~2х + С2ех + С4е~*
— общее решение заданного уравнения.
Задача 17. Решить уравнение /5> + 8/*+16/ = 0.
Решение. Характеристическое уравнение
X5 + 8Х3 + 16Х = О <=> Х(Х2 + 4)2 =0 =>
=> X] — 0, Х2 = Х3 = 2/, Х4 = Xj = —2/.
Фундаментальная система решен ий: I, cos2x, sin2x,xcos2x,xsin2x.
у = С| + С2 cos 2х + С3sin 2х + C4xcos 2х + C5xsin 2х
— общее решение заданного уравнения.
Задача 18. Решить уравнение у*- 3/ + 2у = 0 .
Решение. Характеристическое уравнение
Х3-ЗХ + 2=О « (X- 1)(Х2+Х-2) = 0 «
<=> (X - 1)2(Х + 2) = 0 => X, = Х2 = I, Х3 = -2.
Фундаментальная система решений: ех,хех, е~1х. у - С/1 + С2хех +
+ С3е"2* — общее решение заданного уравнения.
Задача 19. Решить уравнение /4| + 4/ + 3у = 0 •
Решение. Характеристическое уравнение
Х4+4Х2+3 = 0 « (Х2 + 1)(Х2 +3) = 0 =>
=> Х| = /, х2 = х3 = <7з, х4 = -рУз .
Фундаментальная система решений: cosx, sinx, cos (х-Уз), sin (хУз).
у = С, cosx+С2 sinх + С3 cos (xV3) + C4sin (WJ)
— общее решение заданного уравнения.
Задача 20. Решить уравнение /- 2/-Зу = е4* 
Решение. Найдем сначала общее решение соответствующего
однородного уравнения /- 2/-Зу = 0 . Имеем
Х2-2Х-3 = 0	(♦)
139
Х| =-l, Х2 =3. Следовательно, общее решение однородного
уравнения будет таким:
у =Cte-x+ С2е3х.
Найдем теперь частное решение заданного неоднородного
уравнения. Для этого выпишем контрольное число a + ib. Для
заданного уравнения: a + ib = 4 +/0 =4. Видим, что контрольное
число не является корнем характеристического уравнения (*).
Значит, заданное уравнение имеет частное решение у(х) вида
y(Jt) = Л*"4*.
Имеем у = 4Ле4*, у" = 16/4е4v. Подставляем выражения для у(х),
у(х), у'(х) в заданное уравнение. Получаем
16Ле4х-8/1е4х-ЗЛе4* =е4х => 5/1 = I => А =
5
Следовательно, у(х) =	. Атогда у = у(х) + у(х) = С,г‘х + С2е3х +
+ -е4х — общее решение заданного уравнения.
Задача 21. Решить уравнение у’ + у = 4хех.
Решение. Найдем сначала общее решение у(х) соответствую-
щего однородного уравнения у' + у = 0. Имеем
А?+ 1=0	(*)
=> Х| = / , Х2 =-С Следовательно, общее решение однородного
уравнения будет таким:
у = С| cosx + C2sinx.
Найдем теперь частное решение у(*) заданного уравнения. Для
заданного уравнения контрольное число а + ib = I + /0 = I . Видим,
что контрольное число не является корнем характеристического
уравнения (*). Значит, заданное уравнение имеет частное решение
у(х) вида у(х) = (Ах + R)e*. Имеем
у'(х) = (Ах + В + А)ех;у”(х) = (тк + В + 2А)ех.
Подставляем выражения для у(х), уг(*) в заданное уравнение.
Получаем
140
(Ax + В + 2A)ex + (Ax + B)e' s 4xex =>
=> 2 Ax + IB + 2/1 s 4x =>
2/4 = 4,
25 + 2/1 = 0
=> A = 2, 5 =-2.
Следовательно, j(*) = (2x - 2)e* . А тогда
у = j(x) + y(x) = C( cosx + C2 sin x + (2x - 2)eA
— общее решение заданного уравнения.
Задача 22. Решить уравнение у’ - у - 2ех -х2.
Решение. Найдем сначала общее решение у(*) соответствую-
щего однородного уравнения у' - у = 0. Имеем
к2-1=0	(*)
=> Х| = I, Х2 = - I . Следовательно, общее решение однородного
уравнения будет таким:
у(х) = С(еА + С2е~х.
I. Рассматриваем уравнение у'-у = 2ех.
Контрольным числом для этого уравнения является
(? + ib = I + /0 = I. Видим, что контрольное число является корнем
кратности к = I характеристического уравнения (*). Значит, рас-
сматриваемое уравнение имеет частное решение
Й(х) = х Аех => у,(х) = (Ах + А)ех, yf = (Ах + 2А)ех.
Подставляем выражения для j|(x) и у,'<х) в уравнение
у' - у = 2ех. Получаем
(Ах +2А)ех - Ахех = 2ех => 2/1 = 2 => А = I.
Таким образом, получили У|(х) = хе‘.
2. Рассматриваем уравнение у' -у = -х2.
Контрольным числом для этого уравнения является
а + ib = 0 + /О = О. Видим, что контрольное число не является
корнем характеристического уравнения (*). Значит, рассматрива-
емое уравнение имеет частное решение у2(х) вида
у2(х) = Ах2 + Вх + С => у'2 ~ 24* + В, у' = 2А.
Подставляем выражения для у2(х) и у2(*) в уравнение
у'-у = -х2. Получаем
141
х21	-л=-1 => л = 1;
2A-Ax2 -Bx-C = -x2 => x |	-5 = 0 => 5=0;
x° | 2/1 -C = 0 => C = 2.
Таким образом, получили у2(х) = х2 + 2.
Частное решение у(х) заданного уравнения будет, следова-
тельно, таким:
у(х) = т,(х)4-у2(х) = хе* + х2 + 2.
А тогда
у = у(х) + у(*) = С(ег + С2е~х + хе* + х2 + 2
— общее решение заданного уравнения.
Задача 23. Решить уравнение у' + у' - 2у = Зле'.
Решение. Найдем сначала общее решение У(х) соответствую-
щего однородного уравнения у' + у’ - 2у = 0 . Имеем
V+X-2 = 0	(*)
=> Х| = I, Х2 = -2 . Следовательно,
У(х) = С}ех + С2е~2л.
Найдем теперь частное решение j(x) заданного уравнения.
Для заданного уравнения контрольное число д+Й» = 1 + /0=1.
Видим, что контрольное число является корнем кратности к = I
характеристического уравнения (*). Значит, заданное уравнение
имеет частное решения у(х) вида
у(х) = х( Ах + В)ех = (Ах2 + Вх)е* =>
=> у’{х) = [/1х2 + (2/1 + В)х +
У*(х) = |/1х2 + (4А + В)х + (2/1 + 2	.
Подставляем выражения для у(х),у'(х),У'(л:) в заданное уравне-
ние. Получаем
|6Лх + (2Л + 3 В) ] ех = Зхех =>• 6 Av + (2 А + ЗВ) = Зх =>
х| 6А =3
х°| 2Лч-35=0
142
Следовательно,
У(х) =
ех. А тогда
у = €\ех +С2е ix +
— общее решение заданного уравнения.
Задача 24. Решить уравнение у’ - 3/ + 2у = sin х.
Решение. Найдем сначала общее решение у(х) соответствую-
щего однородного уравнения у' - Зу' 4- 2у = 0. Имеем
А2 - ЗА + 2 = О
=> Х| = I, А3 = 2. Следовательно,
у(х) = С\СХ + Сге2х.
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения. Для
заданного уравнения контрольное число а + ib = 0 + /I = i. Видим,
что контрольное число не является корнем характеристического
уравнения (*). Значит, заданное уравнение имеет частное реше-
ние у(х) вила
у(х) = A cos х + В sin х =э
=» у =-Asinx + Z?cosx,y' = -/Icosx-5 sinx.
Подставляем в заданное уравнение выражения для у, у.у. Получаем
(А - ЗВ)cosх 4- (ЗА 4- В)sin х = sin х =э
cosjc I Л-35= О,	3	1
=> Л = —, В = —
sinx| ЗА + В = \\	10	10
Следовательно, у(х) =
— cosx4-—sinx. А тогда
10	10
у = у(х) +у(х) =С|вх 4-С2е2< +-icosx 4--^-sinx
— общее решение заданного уравнения.
Задача 25. Решить уравнение у* + у = 4sinx.
Решение. Найдем сначала общее решение у(х) соответствую-
щего однородного уравнения у'4-у = 0. Имеем
А2 4-1=0	(*)
=> А, = i, А2 = -/. Следовательно, у(х) = С, cos х 4- С, sin х.
143
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения. Для
заданного уравнения контрольное число а + # = 0 + /-1 =/. Ви-
дим, что контрольное число является корнем кратности к = I
характеристического уравнения (*). Значит, заданное уравнение
имеет частное решение у(*) вида
у(х) = x(Acosx + 5sinx) =>
=> у = (Л + 5x)cosx + (5 - Ах)sin х,
у' = (2В- Ax)cosx-(2A + 5x)sinx.
Подставляем выражения для у(х),у'(х) в заданное уравнение.
Получаем
_ .	. cosx| 25 = 0
25 cosx - 2 A sin х = 4smx =>
sin х | -2/1 = 4
=> A =-2, 5 = 0.
Следовательно, j(x) = -2xcosx. А тогда
у = y(x) + у(x) = C| cos x + C2 sin x - 2x cos x
— общее решение заданного уравнения.
Задача 26. Решить уравнение у' - 5у' + 4у = 4х2е2х.
Решение. Найдем сначала общее решение у(*) соответствую-
щего однородного уравнения у"-5у' + 4у = 0. Имеем
Х2-5Х + 4 = 0	(*)
=> Х| = I, Х2 = 4. Следовательно, у(х) = Ctex + С2е4х . Найдем те-
перь частное решение у(х) заданного уравнения. Для заданного
уравнения контрольное число a + ib = 2 + /0 = 2 . Видим, что конт-
рол ьноечисло неявляется корнем характеристического уравнения (*).
Значит, заданное уравнение имеет частное решение _р(х) вида
у(х) = (Ах1 + Вх +С)е2х => у' = j 2Лх2 + (2А +2В)х + (В + 2С) | е2х,
у' = [4Ах2 + (8А + 45)х + (2 А + АВ + 4С)] е2х.
Подставляем выражения для у(х), у'(х), у'(х) в заданное уравне-
ние. Получаем
Г-2Лх2 -(24+ 25)х + (2А- 5-2С) ] е2х =4х2е2ж =>
=> -2Ах2 -(2А+2В)х + (2А-В-2С) = 4х2 =*
144
х21 -2 A = 4
-(2Л + 2й) = 0
=> A = -2. В = 2, С = -3 .
A°[
2/4- В -2С=0
Следовательно, у(х) = - (2х2 - 2х + 3). А тогда
у = у(х) + у(х) = С, ех + С2еАх - (2х2 - 2х + 3)
— общее решение заданного уравнения.
Задача 27. Решить уравнение у’ - Зу' + 2у = xcosx .
Решение. Наилем сначала общее решение у(х) соответствую-
щего однородного уравнения у'-3у' + 2у =0. Имеем
Х2-ЗА. + 2 = 0	(*)
=> Xi = I, Х2 = 2 • Следовательно,
у(х) = Ctex + С2е2х.
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения. Для
заданного уравнения контрольное число а + ib = 0 + / • 1 = ii. Ви-
дим, что контрольное число не является корнем характеристичес-
кого уравнения (•). Значит, заданное уравнение имеет частное
решение у(х) вида
у(х)~ (Лх + 5)cosx + (Cx + D)sinx=>
=> у = (Сх+ D + /Qcosx -(Лх + В -С) sinx,
у" = -(Лх + В -2С) cosх - (Сх + D + 2J)sinx.
Подставляем выражения для j(x), у'(х), у\х). Получаем
[(/I -3C)x + (5 + 2C-3/4 -3D)]cosx +
+ [(3/4 + С)х + 3/?-г D - 2/4 — 3C]sin х = xcosx =>
cosx | (А -ЗС)х +(В 4- 2С-ЗА -3D) s х
sinx| (ЗЛ + С)х+(ЗЯ + D-2A-3C) = 0
/4-ЗС = 1,
3/4 + С = О»
В + 2С-ЗА-3D = 0,
ЗВ у D-2A-3C = 0
=> А = 0,1, С = -0,3, В = -0,12, D = -0,34.
145
Следовательно, у(х) = (0,1х - 0,12) cos х - (ОДх + 0,34)sinx. А тогда
у = у(х) + у(х) = С{ек + С2е2х + (0,1х - 0,12) cos х - (ОДх + 0,34) sinx
— общее решение заданного уравнения.
Задача 28. Решить уравнение у' + Зу' -4 у = е	+ хе'х.
Решение. Найдем сначала общее решение у(х) соответствую-
щего однородного уравнения у' + Зу'-4у = 0. Имеем
>,2+ЗХ-4 = 0	(*)
=> 1| = I , Х2 =-4. Следовательно, у(х) = С,ех + С2е'4х.
1. Рассмотрим уравнение у* + 3/ - 4у = е~4х. Найдем частное ре-
шение У|(х) этого уравнения. Контрольным числом рассматривае-
мого уравнения является а + ib = -4 + /0 = -4 . Видим, что конт-
рольное число есть корень характеристического уравнения (*)
кратности к = I. Следовательно, частное решение У|(х) имеет вид
У|(х) = х Ае~4* => yf = (А - 4Ла)г-4х, y' = (16Ах-8Л)е-4х.
Подставляем выражения для у,(х),У|'(х),у'(х) в уравнение:
у' + Зу' - 4у = е 4х. Получаем
-5Ае^х=е~4х =>Л=-|.
Значит, У|(х) = -|-е4х.
2. Рассмотрим уравнение у' + 3у'-4у = хе х. Найдем частное
решение у2(х) этого уравнения. Контрольным числом рассматри-
ваемого уравнения является а + ib = -1 + /0 = -1. Видим, что оно
не является корнем характеристического уравнения (*). Следова-
тельно, у2(х) имеет вид
у2(х) = (Ах + В)е~х =>
=> У2(х) =	+ - Z?)e'x,yJ(x) = (Ах + В-2А)е х.
Подставляем выражения для У2*У2’У2 в уравнение
у' + Зу' - 4у = хе*. Получаем
(-6Лх + А -6В)е'х а хе~х => - вАх+ А - вВ s х =>
146
X I —6/1 = I
x°| /1-65 = 0
6	36
Значит, p2(x) = -[^ + -!-
I о 30
e~x. А тогда

y = y(x) + j,(x) + y2(x) = Ctex + C2e3x ~^e'4x -(1 + -LL
□ I о 30 J
— общее решение заданного уравнения.
Задача 29. Решить уравнение у" + 2у' -Зу = х2ех .
Решение. Найдем сначала общее решение у(х) соответствую-
щего однородного уравнения у' + 2 у'-Зу = 0. Имеем
А2+2А-3 = 0	(*)
=> I, - I, Х2 = -3. Следовательно,
у(х) = С|вл + C2e~ix.
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения. Кон-
трольным числом заданного уравнения является a + ib = I+ /0 = I.
Видим, что контрольное число есть корень характеристического
уравнения кратности к = I . Значит, заданное уравнение имеет
частное решение у(х) вида
у(х) = х(Ах2 + Вх + С)ех =>
=» у = [ Ах1 + (В + ЗЛ)х2 + (2В +С)х +С j ех,
у' = | Ах3 + (В + 6/1 )х2 + (6/1 + 45 + С)х + (2В + 2С)] ех.
Подставляем выражения для у,у',у' в заданное уравнение.
Получаем
[|2Ах2 +(6/1 + 85)х + (25 + 4С)]ел = х2ех
=> 12Лх2 + (6/1 + 85)х + (25 + 4С) s х2 =>
х21
=> X I
Х°|
12/1 = 1
6/1 + 85 = 0 • => /4 = — ,5 = -—, С = —.
12	16	32
25 + 4С = 0
147
/ 3	2
X X X
Следовательно, у(х) = — - — + —
12 16 32
ех. А тогда
У = Я*) + Ях) = С\ех + С2е ix
3	„2
12 16 32
V
е
— общее решение заданного уравнения.
Задача 30. Решить уравнение у' - 4у' + 8 у = е2х + sin 2х .
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего
однородного уравнения у’ - 4/ + 8у = 0. Имеем
Х2-4Х + 8 = 0	(’)
=>Л]=2 + 2/, Х3=2-2/. Следовательно, у(х) = С,е2дсо$2х +
+ С2ег* sin 2х.
I. Рассматриваем уравнение у" - 4/ 4-8 у = е2х. Контрольным
числом этого уравнения является a + ib = 2 +/0 = 2 . Видим, что
оно не есть корень характеристического уравнения (•). Значит,
частное решение _р|(лг) уравнения у'-4у' + 8у = е2' имеет вид
>’i(x) = Ае2х => yf = 2Ае2х, у' = 4Ае2х.
Подставляем выражения для у,, у[, jf в уравнение у' - 4у' + 8у = е2х.
Получаем
4/te2' = е2л => .4 = -.
4
Значит, У|(х)=—е2х.
2. Рассматриваем уравнение у' - 4у' + 8у = sin 2х . Контрольным
числом этого уравнения является д + /д = 0 + /2 = 2/. Видим, что
оно не есть корень характеристического уравнения (*). Поэтому
частное решение у2<Л) имеет вид
у2(х) = A cos 2х + В sin 2х
=> у2 = -2,4sin 2х + 2flcos 2х, у2(х) = -44cos2x-4fisin 2х.
Подставляем выражения для У2>УъУ2 в уравнение
у'-4у'+8у = sin2x. Получаем
(4А -86)cos2x + (4В + 8/1)sin 2х э sin 2х =>
148
cos2x| 4/1-85 = 0
sin 2x| 45 + 8/1 = 1
—. 5 = —.
10	20
Следовательно, y2(x) = — cos2x + — sin 2x. А тогда
у = у(х) + й(х) + y2(x) =
= C,e2x cos2x + C2e2x sin 2x + 0,25 г2’ + 0,1 cos2x + 0,05 sin 2x
— общее решение заданного уравнения.
Задача 31. Решить уравнение у' - 9у = е3х cosx .
Решение. Находим общее решение соответствующего однород-
ного уравнения у*-9у = 0. Имеем
X2 - 9 = 0	(*)
=> Х| = 3, Х2 = -3. Следовательно, у(х) = С(г3* + С2г'3’ .
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения. Кон-
трольным числом заданного уравнения является a + ib = З + i. Ви-
дим, что оно нс есть корень характеристического уравнения (*).
Поэтому частное решение J’(x) имеет вид
y(x) = e3x(/1cosx + 5sinx> =>
=> у = [(3/1 + 5)cosx+ (35 - J)sin х]г3х,
у' - [(8/1 + 65)cosx + (85-6/1)sinx]e3x.
Подставляем выражения для у(х), у*(х) в заданное уравнение.
Получаем
[(65 -/1)cosx-(5 + 6/l)sinx]e3x = e3xcosx =>
=i> (65-/1)cosx-(5 + 6/0sin х = cosx =>
cosx| 65 -4 = 1	1	6
sinx| 5 + 64 =0|	~~У7'Ь~37'
-
Следовательно, y(x) = e
6 . I >
— sin x - — cos x . А тогда
у = y(x) + y(x) = C\eix + C2e 3x +e3x^^sinx-jycosx
— общее решение заданного уравнения.
149
Задача 32. Реш ить уравнен ие у' - 2у 4- у = Ьхех.
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего од-
нородного уравнения у'- 2/ + у = 0. Имеем
Х2-2к + 1=О	(*>
= Х2 = I . Следовательно, у(х) = С\е* + С2хех.
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения. Кон-
трольным числом заданного уравнения является а + ib = I + /0 = I.
Видим, что контрольное число является корнем кратности к = 2
характеристического уравнения (*). Поэтому частное решение
j(x) имеет вид
у(х) = х'(Ах + В)ех => у = [ Лх3 + (3/1 + В)х* + 2Вх | ех,
у = | Axi + (6А + В)х2 + (6/1 + 45)х + 2В j ех.
Подставляем выражения для у,у,у' в заданное уравнение.
Получаем
(б/Lv + 2В)ех = 6хех => 6/1х + 2В = 6х =>
Значит, у(х) = х*е\ А тогда у - у(х} + у(х) = С\ех + С2хех + х3е* —
общее решение заданного уравнения.
Задача 33. Реш ить уравнен ие у’ + у = х sin х.
Решение. Находим общее решение соответствующего однород-
ного уравнения y* + j = 0. Имеем
X2 4-1=0	(•>
=? Х| = i, Л2 = . Следовательно, у{х) = С, cosx 4-С2 sinx.
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения. Кон-
трольным числом заданного уравнения является а + ib = 0 + / I = i.
Видим, что контрольное число является корнем характеристиче-
ского уравнения (*) кратности к = I. Поэтому частное решение
j(x) имеет вид
j(x) = х[(/1х + 5)cosx + (Cx+ £>) sin х] =>
=> у' - [Сх‘ 4-(2/1+ 0)х4- в|сохх + [-Лг 4-(2С - В)х+ Z)jsinx.
150
у = ^-/Lr + (4С - В)х + (2 А + 2D) jcos х +
+ [-Сх2 -(4/1 + P)x + (2C-25)]sinx.
Подставляем выражения для у(х),у*(х) в заданное уравнение.
Получаем
[4Сх + (2А + 2Z))]cosx + (-4Лх + (2С - 25)]sinx в xsinx =>
х | 4С = О
cosx I 4Сх + (2А + 2D) = 0	| 2/1 + 2D = О
=> => , > =*
sinx| -4/1х+(2С-25) = х х| -4/1=1
хс | 2С - 2В = О
=> А = -1 В = О, С = О, D = i
4	4
Значит, у(х) = cosx + —sinx. А тогда
4	4
X2	X
у = у(х) + j(x) = С| cosх + С2 sinх - — cosx + —sin х
4	4
— общее решение заданного уравнения.
Задача 34. Решить уравнение у" + 4у + 4у = хе2*.
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего
однородного уравнения у* + 4 у' + 4 у = 0 . Имеем
X2 + 4Х + 4 « (Х+2)2 =0	(*)
=> Х| = Х2 = -2 . Следовательно, у(х) = С(е 2л + С2хе 2х.
Найдем теперь частное решение у(л) заданного уравнения. Кон-
трольным числом заданного уравнения является а + ib = 2 + / 0 = 2.
Видим, что контрольное число не есть корень характеристическо-
го уравнения (*). Поэтому частное решение у(х) имеет вид
у(х) = (Лх + В)е2х
=> у' = [2Ах + (А + 25)] е2х,у" = [4Лх + (4/1 + 45)]е2*.
Подставляем выражения для j(x),y'(x),p'(Jf) в заданное уравне-
ние. Получаем
[16/1х + (8/1 + 165)] ег* s хе2х => 16Лх + (8/1 + 165) = х =>
151
X
16/1 = 1
х°| 8/1 + 165=0
32'
Следовательно, у(х) =
г х I
Тб~32
е2х. А тогда
у = у(х) + у(х) = С|в 21 + С2хе 2х +
16 32
Задача 35. Решить уравнение у'-5у' = Зх2 + sin5x.
Решение. Находим общее решение соответствующего однород-
ного уравнения у"-5у' = 0. Имеем
Х2-5Х = 0
(*)
=> К, =0, Х.2 =5. Следовательно, у (х) = С, + С2е5*.
1. Рассмотрим уравнение у'-5у' = Зх2. Найдем частное реше-
ние j|(x) этого уравнения. Контрольным числом для рассматри-
ваемого уравнения является а + ih = 0 + / 0 = 0. Видим, что конт-
рольное число есть корень характеристического уравнения (*)
кратности к = |. Поэтому частное решение у,(х) имеет вид
ji(х) = х(Лх2 -ь Вх + С) => у, = ЗЯх2 + 2Вх + С,у" = ЬАх + 2В.
Подставляем в уравнение у' —5у' = 3х2. Получаем
-!54х2+(6/1-!05)л + (25-5О = Зх2 =>
х2|	-15/1 = 3
=> х| 6/1-105=0 =>Л = -1 В = —,С =--—.
'	5	25	125
х® | 25-5С = 0
Следовательно, У|(х) = -0,2х3 - 0,12х2 -0,048х-
2. Рассмотрим уравнение у'- 5у'= sin 5х. Найдем частное ре-
шение у2(х) этого уравнения. Контрольным числом для рассмат-
риваемого уравнения является а + /7> =0 + 1-5 = 5/. Видим, что
контрольное число не есть корень характеристического уравнения
(*). Поэтому частное решение у2(х> имеет вид
у2(х) = A cos5x + В sin 5х =>
=> у2(х) = -5/1sin5x+ 5/?cos5x,y2(x) = -25/1cos5x- 25 В sin 5х.
152
Подставляем выражения для в уравнение у’-5у'-= sin5x.
Получаем
-25( А + В) cos 5х + 25( А - В) sin 5х = sin 5х =>
cos5x| - 25<zl + В) = О
sin 5х | 25(Л - В) = I
► => А = 0,02, В = -0,02.
Следовательно, у2(х) = 0,02 cos 5л - 0,02 sin 5х. А тогда
y = y(x)+jj(x) +j2(x) =
= С| + С2е5х - О,2х3 - 0,12х2 - 0,048л + 0,02 cos 5л - 0,02 sin 5л
— общее решение заданного уравнения.
я t ех	ех
Задача 36. Решить уравнение у -2у + у = — (q(x) = — ).
л	х
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего од-
нородного уравнения у"- 2/ + у = 0. Имеем
A?-2X,+ 1 =0
(*)
=> Х|=Х2 = 1. Следовательно, у(х) = С}ех+С2хех (у}(х) = ех,
у2(х) = хех).
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения.
Искать частное решение _р(х) будем методом вариации произ-
вольных постоянных. (Правая часть заданного уравнения q(x) не
является функцией специального вида.) Итак, полагаем
у(л) =С|(х)у|(х) + С2(х)у2(х) => у(х) = С|(х)ех + С2(х)хех.
Функции С|(л) и С2(х) определяем из системы
IC|>(x) + qy2(x) = 0,	<У+С>‘=0,	,
|Ci>i'(x)+c;^(x) = ^x) ~ qv + c^x + i)^ =Х
=> C)'(x)--I, C2(x)=-^ => С)(х)--х, С2(х) = 1п|х|
(произвольные постоянные, которые получаются при этом, счи-
таем равными нулю). Таким образом, получаем j(x) = -xex +
+ х1п|х|-ел. А тогда
у = у(х) + у(х) = С\ех + С2хех - хех + х In |х| ех =>
153
=> у = Ctex + С2хех + хех In |х|
— общее решение заданного уравнения.
Задача 37. Решить уравнение у" + 3/ -г 2у =-(q(x) =-).
е х 1 е+1
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего
однородного уравнения у” + Зу' + 2у = 0. Имеем
Х2+ЗХ + 2 = О	(*)
=> Л] = -I, X, = -2. Следовательно, у(х) = С}е х + С2е 2я (у((х) = е’*,
у2(х) = е"2х).
Найдем теперь частное решение j(x) заданного уравнения.
Станем искать у(х) методом вариации произвольных постоян-
ных, ибо q(x) не является функцией специального вида. Полага-
ем у(х) = С|(х)е“* + С2(х)е~2х. Функции С|(х) и С2(х) определя-
ем из системы
Ci'(x)e~* 4-Сз(х)е‘2х =0,
-С|'(х)е’* -2С'2(х)е~2х = —Ц-
е +1
=> С,(х) = Ч-У-V- =,п <е* + ’)•
г + I	е 4-1
= —(/ — In (/4-1)) = -ех 4-In (ех 4-1).
Таким образом, получаем
у(х) = е~х In (е* -t-l)+e“2x[ln (ех 4-1)-ех].
А тогда
у = У(х)4-у(х) = С|в'* +С2е-2* 4-e-Jf In (е’ 4-1)4-
4-е-2*[in (е* 4- 1)-е*] =>
=> у = Cte~x +C2e~ix -t-(e~x 4-е’21)In (ех 4-1)
— общее решение заданного уравнения.
154
Задача 38. Решить уравнение у* + у =---(</(х) = ——).
sin х sinx
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего од-
нородного уравнения у' + у = 0. Имеем
Х2 + 1 = 0	(*)
=э Л, =1, Х2 =-/. Следовательно, у<х) =С( cosx + C2sinx (У|(х) =
= cosx, у2(х) = sin х).
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения.
Станем искать у(х) методом вариации произвольных постоян-
ных, ибо q(x) не является функцией специального вида. Полага-
ем у(х) = C|(x)cosx + C2(x)sin х. Функции Q(x) и С2(х) опреде-
ляем из системы
С.'(х) cos х + С(х) sinx = О,
,	1	=> C,(x) =-1, C2(x) = -—
-C|(x)sin X 4-C-> (x) COS X =--- sinx
sinx
=> C|(x) =-x, C2(x) = Injsin x|.
Таким образом, получаем y(x) = -xcosx + sinxln|sinx|. А тогда
у = y(x) + y(x) = C| cosx + C2sinx-XCOSX +sinxln|sinx|
— общее решение заданного уравнения.
Задача 39. Решить уравнение y* + 4y = 2tgx (<у(х) = 2 tgх ).
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего од-
нородного уравнения у' + 4у = 0. Имеем
А2+ 4=0	(•)
=> Х| = 2/ , Х2 = -2i. Следовательно, у(х) = С| cos2x + С2 sin 2х
(j’i(x) = cos2x, у2(х) =sin 2х).
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения.
Станем искать у(х) методом вариации произвольных постоян-
ных, ибо q(x) не является функцией специального вида. Полага-
ем у(х) = C|(x)cos2x + C2(x)sin2x. Функции С|(х) и С2(х) опре-
деляем из системы
C|'(x)cos2x + C2(x)sin 2х =0,
-2C|'(x)sin 2х + 2C2(x>cos2x = 2 tg х
155
=> С|' = -2 sin2 х. С2 -
sin х cos 2x
cosx
=> C|(x) = isin 2x -x, C2(x) = -ycos2x + In |cosx|.
Таким образом,
y(x) = -sin2x-x cos2x-l -cos2x -ln|cosx| sin2x.
2
А тогда
у = y(x) + y(^) = Cj cos 2x + C2 sin 2x +
+ —sin 2x - x cos2x - -cos2x - Inlcosxl sin 2x =>
I2 JI2	J
=> у = Cj cos 2x - xcos2x + C2 sin 2x +sin 2xln|cosx|.
Задача 40. Решить уравнение у' + 2/ + = Зе~х Vx +1
е
Решение. Находим общее решение у(х) соответствующего
однородного уравнения у'+ 2у' + у = 0. Имеем
Х2+2Х+1=0	(*)
=> X, = Л,2 = -I. Следовательно, у»(х) = С\е х + С2хе х (у((х) = е~х,
у2(х) = хе‘х).
Найдем теперь частное решение /(х) заданного уравнения.
Станем искать у(х) методом вариации произвольных постоян-
ных, ибо q(x) не является функцией специального вида. Полага-
ем у(х) = С|(х)е“ж+ с2(х)хе *. функции С|(х) и С2(х) определя-
ем из системы
С|'(х)е"х +С2(х)хе'х =0,
-С|'(х)е-Х + С2(х)(1 - х)е'х = Зе~х >/х + I
=> С|'(х) = -3xVx +1, GCx) = 3Vx+ I =>
=> Q(x) = -|(х +1)5/2 + 2(х + l)V2, С2(х) = 2(х + l)V2.
156
Таким образом,
У<х) = е~х
(х + l)s/2 + 2(х +1)^2
А тогда
у = у(х) + >(х) = С|С"Х + С2хе~х + j (х + 1)5/2е'х.
Задача 4t. Решить, уравнение у" + у = 2sec’ х (q(x) = —).
cos х
Решение. Находим общее решение	соответствующего
однородного уравнения >' + j=0. Имеем
А? + I = О	(*>
=» Х| =/, Х2 =-». Следовательно, у(х) = Q cosx + С2sinх
G’i(x) = cosx , y2(x) = sinx).
Найдем теперь частное решение у(х) заданного уравнения.
Станем искать у(х) методом вариации произвольных постоян-
ных, ибо q(x) не является функцией специального вида. Полага-
ем у(х) = С|(х)со$х + С2(х)51пх.Функпии С|(х) и С2(х) опреде-
ляем из системы
С|'(х) cosx + C2(x)sinx = О
.	2
-C|(x)sinx + C2(x)cosx =----г—
cos х
_ sinx .	2
=> C,(x) = -2——, C2(x) =—p-
COS X	COS X
=> C](x) =----b—, C2(x) = 2tgx.
COS X
Таким образом.
j(x) =----— +
cosx
2 sin2 x
cosx
cos 2x
cosx
=> T(X) = -
А тогда
. cos2x
У = y(x) + y(x) = C| cosx + C2 sin X--
cosx
— общее решение заданного уравнения.
157
Задача 42. Решить уравнение х3(/-у) = х2-2 =$ У’~У =
12	,12
=----г. Считаем х * 0 (?(х) =--).
х№	хх3
Решение. Находим общее решение J(x) соответствующего
однородного уравнения у" - у = 0. Имеем
Л2 - 1 = 0
=> Л, = I , Х2 = -I . Следовательно, у(х) = С(ех + С2е'х <У|(х) = ех,
у2(х) = е~х).
Найдем теперь частное решение f(x) заданного уравнения.
Станем искать решение у(х> метолом вариации произвольных
постоянных, ибо ^(х) не является функцией специального вида.
Полагаем у(х) = Q(x)ex + С2(х)е х. Функции С,(х) и С2(х) оп-
ределяем из системы
(?;(х)ех+фх)е’х = 0,
С|'(х)ех -Сз(х)е * = - --4-
X X
Но
158
Поэтому
С| (л) =
е'х ех
—=------. Совершенно аналогично находим
2х2 2х
с е
С2(х) = -—у- —. Таким образом, у(х) =	+ “ТТ
2х2 2х	12лг 2х I I 2х2
— I=-1. А тогда
2х) х
У = У(х) + у(х) = С}ех + Сге х - -.
х
Задача 43. Решить уравнение х2у* - 4ху' + бу = 0 .
Решение. Видим, что заданное уравнение есть уравнение Эй-
лера. Поэтому:
1) Для х > 0 делаем замену: х = е'. Тогда
= е',уя = у; /х = 4 => Z = У^~';
*/
= <К)х = (УхУг f'x = (У^-')',е г = (у' -у,')сЛ
Относительно функции у(1) заданное уравнение принимает вид
у' - у, - 4yj + бу = 0 => у'2 - 5у' + бу = 0.
2)Дзя х < 0 делаем замену:
x--e^>xt- -е1, ух =у!-т = -у,е
xi
y’i = (~У^ ')', Л = (-У’^1 + у',е ' )(-е 1) = ($ -	.
хг
Относительно функции y(t) заданное уравнение будет иметь тот
же вид: у'? - 5уу + бу = 0 . Таким образом, как для х > 0, так и для
х <0 , получили одно и то же линейное уравнение с постоянны-
ми коэффициентами. Найдем общее решение у(/) полученного
уравнения. Имеем
X2 -5Х + 6 = 0
(*)
=> Х| = 2, Х2 = 3. Следовательно, у(/) = Cte2' + С2е3'. Возвращаясь
к прежней независимой переменной х, получим у(х) = С(х2 +С2Х1.
159
Задача 44. Решить уравнение х2у'-ху'~ Зу = 0.
Решение. Замечаем, что заданное уравнение — уравнение Эй-
лера. Поэтому делаем замену: х = е' для х>0 и х = -е' для
х < 0. При такой замене независимой переменной хбудем иметь:
I) для х > 0: у' = у'е', у'г = (у’г - у\)е~21.
2) для х <0: X = -Хе"', у'? = (у,' -у,)е 21.
В обоих случаях относительно функции у(О заданное уравне-
ние принимает вид у'2 -2у,'-Зу = 0. Получили линейное одно-
родное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем об-
щее решение у(г) полученного уравнения. Имеем
12-2Х-3 = 0	(*)
=>	=-1, Х2 =3. Следовательно, у(1) = С\е~' +С2е3/. Возврата-
С
ясь к прежней независимой переменной х, получим у = — + С2х\
х
Задача 45. Решить уравнение № у" + ху" - у = 0.
Решение. Замечаем, что заданное уравнение — уравнение Эй-
лера. Поэтому делаем замену: х = е' для х > 0 и х = -е' для х < 0 ,
При такой замене независимой неременной х будем иметь:
I) для х > 0: у'х = Хе"', У'.> = (у'г - y't)e~2', у'з = Ц' - Зу'г +
+ 2Х)е"3';
2) для х < 0: X = -Хе”', У'х2 = (уД - Х)е~2', У~' =	~ 3Х* +
+ 2Х)е"3'.
В обоих случаях относительно функции y(t) заданное уравне-
ние принимает вид у' -3yfS +3у,' -у = 0. Получили линейное
однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем
общее решение у(/) полученного уравнения. Имеем
А?-ЗХ2+3A.-I =0	(A.-I)3 =0	(*>
=> Х| = Х2 = Хз = I .Следовательно, у(0 = С(е' + С2/е' +С3ге'. Воз-
вращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у =С|Х4С2х1п|х| + С3х1гг |х|.
160
Задача 46. Решить уравнение х2у* = 2у .
Решение. Заданное уравнение для х * 0 равносильно уравне-
нию х3у'-2ху' = 0, которое является уравнением Эйлера. Дела-
ем замену: х = е1 для х > 0 и х = -е1 для х < 0 . Тогда:
I) для х > 0: у'л = у" = (у~ - Зу', + 2/)е"3';
2) для х < 0 : у' = -y'te \ У~> =-(у^ - Зу'2 + 2у')е <
В обоих случаях относительно функции y(t) заданное уравне-
ние принимает вид у' - Зу' = 0. Получили линейное однородное
уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем общее реше-
ние у(/) полученного уравнения. Имеем
V-3X2 =0	12(Х-3) = 0	(*)
=> Х| = Х2 = 0 , К, = 3. Следовательно, у(О = С, + C2t + С3е3'. Воз-
вращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у = С| + С21п|х| + С3х3.
Задача 47. Решить уравнен ие х2у' - ху’ + у = 8х3.
Решение. Замечаем, что заданное уравнение — уравнение Эйле-
ра. При обычной замене независимой переменной х будем иметь:
1) для х>0: у’х =у!еч, у*2 =(у*2 - у')е 21.
2)для х<0: у'х=-У/'е \ y'i = 0$ -y't)e Л
Заданное уравнение относительно функции у(г) принимает
вид у'. - 2у, + у = ±8е3' (знак при х > О и знак ” при л < 0 ).
Получили линейное неоднородное уравнение с постоянными ко-
эффициентами и с правой частью специального вида.
Находим сначала обшее решение y(f) соответствующего од-
нородного уравнения у', - 2у, + у = 0. Имеем
X2-2X + I =0	(Х-1)2 =0	(*)
=» Х| = Z2 = I. Следовательно, у(/) =С,е' +C2te'.
Найдем теперь частное решение у(г) неоднородного уравне-
ния. Контрольным числом рассматриваемого уравнения является
161
a + ib = 3 + iti = 3. Видим, что оно не есть корень характеристиче-
ского уравнения (*). Следовательно, у(г) имеет вид
у(0 = Ае31 => у, = ЗАе3' ,у”г = 9Ае3'.
Подставляя эти выражения для у, К» У? в уравнение
y'i - 2у' + у - ± 8е\ получаем 4Ле3' s ±8е=> А = ±2. Таким об-
разом, у(0 = ±2e3f. А тогда
У( t) - У(J) + У( I) = С, е' + C2te' ± 2eir.
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у(х) = С,х + С2х In |х| + 2х3 — общее решение заданного уравнения.
Задача 48. Решить уравнение х2у* + ху' + 4у - 10х.
Решение. Замечаем, что заданное уравнение — уравнение Эй-
лера. Поэтому делаем замену: х = е1 плн х>0 и х = -е' для
х < 0 . При такой замене независимой переменной хбудем иметь:
1) для х > 0: X =	\ У'г = (У,' - у№’2'.
2)для х<0: Х=-у,е', у'> = 0$ -у,')е'2/.
Относительно функции y(t) заданное уравнение принимает
вид у'-> + 4 у = ±10е' (знак “+” для х > 0 и знак для х < 0).
Получили линейное неоднородное уравнение с постоянными ко-
эффициентами и с правой частью специального вида.
Находим сначала общее решение y(t) соответствующего од-
нородного уравнения у*- + 4у =0. Имеем
X2 + 4 = О	(*)
=> Х| = 2/, Х2 = -2/. Следовательно, у(0 = Ct cos2/ + С2 sin 2t.
Найдем теперь частное решение у(Г) неоднородного уравнения.
Контрольным числом рассматриваемого неоднородного уравнения
является а + ib = I + i'  0 = 1. Видим, что оно не есть корень характе-
ристического уравнения (*). Следовательно, ,у(/) имеет вид
НО = Ае1 =» уД/) = Ae',y'2(f) = Ае'.
Подставляя эти выражения для у и y*i в уравнение
У,' +4у = ±10с’г, получаем 5Ае' s±IOe' => А = ±2. Таким обра-
зом, y(f) = ±2е'. А тогда
162
y(t) = y(t) + y(f) = C) cos 2/ + C2 sin 2/ ± 2e'.
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у(х) = С| cos (2 In |х|) + С2 sin (2 In |х() + 2х
— общее решение заданного уравнения.
Задача 49. Решить уравнение х3у' - 2.xу = 6 In х.
Решение. Из вида уравнения заключаем, что оно определено
для х > 0 . Для х > 0 заданное уравнение равносильно уравнению
х2у'- 2у = которое является уравнением Эйлера. Поэтому
х
делаем замену: х = е1 (=> In х = /). При такой замене будем иметь
у' = у’е, >'г = (у'г -у,)е 21. Относительно функции y(t) задан-
ное уравнение принимает вид у’2 - у, -2у = 6te r. Получили ли-
нейное уравнение с постоянными коэффициентами и с правой
частью специального вида.
Находим сначала общее решение у(г) соответствующего од-
нородного уравнения у*2 - X - 2у = 0, Имеем
А,2-31-2 = 0 -> Xt = 2,к2 =-1.	(*)
Следовательно, y(f) = Cte2' + С2еч.
Найдем теперь частное решение y{t) неоднородного уравне-
ния. Контрольным числом рассматриваемого неоднородного урав-
нения является а + ib = -I + /О = -I. Видим, что контрольное чис-
ло есть корень характеристического уравнения (*) кратности
к = 1. Поэтому у(0 имеет вид
у(0 = t(At + В)е~‘ => у'(г) =	+ (2А - B)t + В |е’г,
X = [Л/2 + (5-4Л)/ + (2Л-2В)]е’'.
Подставляя эти выражения для у,у,,у"? в уравнение И -у,-2у =
- bfe r, получаем
[-6At + (2А - 35)] е ' = 6te 1 => - 6Ar + (2/1 - ЗВ) = 6t=>
fl
("I
-6/1 = 6
2Л-ЗВ =0

163
(2 \
г +—t е-'. А тогда
3 у
y(t)=y(t)+y(t) = Cle2' + <?2е_/ -[г2 + |/ V'.
\ •* /
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у(х) = С.х2 + ^ - (In2 х + - In х )-
х	3 )х
— общее решение заданного уравнения.
Задача 50. Решить уравнение х2у* -Зху + Зу = Зх2.
Решение. Замечаем, что данное уравнение — уравнение Эйлера.
Поэтому делаем замену: х = ег для х > 0 и х = -е' для х < 0. При
такой замене независимой переменной х будем иметь:
I) для х > 0 : у'х = у,е~' , у'2 = (у'2 - у )е’2'.
2) для х < 0 : у' = -у,'е’', у'> = (yj - у,')е 2'.
Относительно функции y(f) заданное уравнение принимает
вид у'2 -4у,'+5у = 3е . Получили линейное неоднородное урав-
нение с постоянными коэффициентами и с правой частью специ-
ального вида. Находим сначала обшее решение у(/) соответству-
ющего однородного уравнения у'2 - 4у,' + 5у = 0. Имеем
А.2-41 + 5 = О	(*)
=> Х| = 2 + /, Х2 = 2 -1- Следовательно, у(/) = С(е2' cos/ + С2е21 sin/.
Найдем теперь частное решение у(г) неоднородного уравне-
ния. Характеристическим числом рассматриваемого неоднород-
ного уравнения является a + ib = 2 + /О = 2 . Видим, что конт-
рольное число не есть корень характеристического уравнения (*).
Следовательно, у(/) имеет вид
у(/) = Ае2' => у, = 2Ае2',у*3 - 4Ае21.
Подставляя эти выражения для У.У^у'з в уравнение
у'з -4у, + 5у = Зе2', получаем Ле2' = Зе2' => А=3. Таким обра-
зом, у(/) = Зе2'. А тогда
y(t) = у(/) + у(г) = С}е2/ cos / + С7е2' sin / + Зе2'.
164
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у(х) = С|Х2 cos (ln|x|) + C2x2 sin (1п|х|)+3х2.
Задача 51. Решить уравнение х2у'-Ьу = 5х3 + 8х2.
Решение. Замечаем что заданное уравнение — уравнение Эйле-
ра. Поэтому делаем замену: х = е1 для х > О и х = -е1 для х < 0.
При такой замене независимой переменной х будем иметь:
I)для х>0: у'х =у'еч, y'i = (уг* -у,)е 2г.
2) для х < 0 : у' = -у'е ', y'j = (y/j - у,)е 2'.
Относительно функции у(г) заданное уравнение принимает
вид у'г-у,'-6у = ±5е3'+8е2'. Получили линейное неоднородное
уравнение с постоянными коэффициентами и с правой частью
специального вида. Находим сначала общее решение у(г) соответ-
ствующего однородного уравнения у', - у' - бу = 0. Имеем
Х2-Х-6 = О	(*>
=> Л| = 3 , к2=-2. Следовательно. y(t) = Cte3' + С2е 21. Найдем
теперь частное решение у(/) неоднородного уравнения.
I) Рассмотрим уравнение y'j - у, - бу = ±5е3'. Контрольным
числом этого уравнения является а + ib = 3 + / 0 = 3. Это конт-
рольное число есть корень кратности к = I характеристического
уравнения (*). Следовательно, частное решение у((/) рассматри-
ваемого уравнения имеет вид
J'i (Г) = Ate2' => У|' = (ЗЛГ + А )е3', у" = (9 Al + 6Л)е3'.
Подставляя эти выражения для yi,yj,yf в уравнение
у'г -у/-бу = ±5е3*, получаем 5Ле3' = ±5е3' => Л=±1. Значит,
У|(О = ±/е3'.
2) Рассмотрим уравнение у'з -у', - бу = 8е?/. Контрольным чис-
лом этого уравнения является а + ib = 2 + i 0 = 2. Видим, что оно
не есть корень характеристического уравнения (*). Следовательно,
частное решение у2(0 рассматриваемого уравнения имеет вид
у2(0 = Ае21 => у2 = 2Ае2',у2 - 4Ае21.
165
Подставляя эти выражения для	в уравнение
у,' - У/ - бу = 8е2', получаем -4Ае2г = 8е2' => А = -2. Значит,
у2(/) = -2е2'. А тогда
У(0 = У(0 + У|(О +	= G*3' + cie'2' ± '*3' - 2е2'.
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у(х) = С|Х3 + —1- + х31п|х|- 2х2.
Задача 52. Решить уравнение х2у' - 2у = sin (In х).
Решение. Из вида уравнения заключаем, что оно определено
для х>0 и что оно есть уравнение Эйлера. Поэтому делаем
замену: х = е' (=>/ = 1пх). При такой замене будем иметь
у' = у',? ', у*: =(у,* -у,)е 2/. Относительно функции у(г) задан-
ное уравнение принимает вид - у,' - 2у = sin г. Получили ли-
нейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициента-
ми и с правой частью специального вида. Находим сначала общее
решение у(/) соответствующего однородного уравнения у* - у,-
- 2у = 0 . Имеем
X2 - X - 2 = О
(*)
=> Х| = 2 , Х2 = - I . Следовательно, у(/) = C(e2f + С2е '.
Найдем теперь частное решение у(/) неоднородного уравне-
ния. Контрольным числом рассматриваемого неоднородного урав-
нения является а + ib = 0 + i 1 = /. Видим, что контрольное число
не есть корень характеристического уравнения (*). Поэтому у(0
имеет вид
y(f) = A cos / + Bsin / => y't = - J sin / + В cos/, y': = -A cos / - Bsin /.
Подставляя эти выражения для у, у', у' в уравнение у,'-у,'~
-2y = sin/, получим
-(3/4 + B)cos/+-(/! - ЗВ) sin t = sin / =>
cos /I 3/4 + В = О
.
sin 11 /4 - ЗВ = I
=> А = 0,1, В = -0.3.
Значит, у(г) = 0,1 cos/ - 0,3 sin t. А тогда
166
y(t) = y(t) + у(t) = C|£3' + C2e ' + 0.1 cos / - 03 sin t.
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у(х> = С]Х2 + —- + 0,1 cos(lnx) - 0,3sin (Iп ж).
Задача 53. Решить уравнение (х-2)2у'-3(х- 2),/ + 4у = х.
Решение. Замечаем, что заданное уравнение — уравнение Эй-
лера. Поэтому делаем замену; х - 2 = е', если х > 2, и х - 2 = -е',
если х< 2. При такой замене независимой переменной х будем
иметь:
I)для X >2: у'х = у;е 1, у'2 = (у'2 -yfie21.
2) для х < 2 : у'х = -/е"', у'х> = (у,' - у,')*’2'.
Относительно функции y(t) заданное уравнение принимает
вид у"2 - 4у' + 4у = 2 ± е‘ (знак для х > 2 и знак дли
х< 2). Получили линейное неоднородное уравнение с постоян-
ными коэффициентами и с правой частью специального вида.
Находим сначала общее решение у(0 соответствующего од-
нородного уравнения у'з - 4у' + 4у = 0. Имеем
Х2-4А. + 4 = 0
(*)
=> X, = Х2 = 2. Следовательно, у(/) = С,е2' + C2fe2'.
Найдем теперь частное решение y(t) неоднородного уравнения.
I) Рассмотрим уравнение Ур -4у, + 4у = 2. Контрольным чис-
лом этого уравнен ия является а + ib = 0 + /0 = 0. Вили м, что конт-
рольное число не есть корень характеристического уравнения (*).
Поэтому j|(0 имеет вид У](г) = А =э у[ = 0,у{ = 0- Подставляя
эти выражения для у,,У|',У|' в уравнение у'2 -4у' + 4у = 2, полу-
чим 4 А = 2 => А = . Таким образом, j|(r) = у .
2) Рассмотрим уравнение у' - 4у' + 4у = ±е'. Контрольным
числом этого уравнения является a + ib = I +/0 = I. Видим, что
оно не есть корень характеристического уравнения (*). Поэтому
у2(г) имеет вил
у2(г) = Ае' => у2 = ^‘,У2 = Ае‘.
167
Подставляя эти выражения для У2,Уг,У2 в уравнение
у'2 -4у' +4у = ±е', получим Ае‘ г ±е' => А = ±1. Таким образом,
y2(t) = ±е'. А тогда
J’(/) = y(/) + ^(') + .MO«Cle2' + C2t<r' +-j±Z
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получаем
у(х) = С,(х - 2)г + С2(х - 2)2 In |х - 2| +1 + (х - 2) =>
=> >'(х) = С|(х — 2)г + С2(х - 2)21п|х - 2| + х - ~
— общее решение заданного уравнения.
Задача 54. Решить уравнение (2х + 3)’у" + 3(2х + 3)/-бу = 0 .
Решение. Замечаем, что заданное
уравнение — уравнение Эй-
лера. Поэтому делаем замену:
и 2) 2х + 3 = -е' для
При
3
1)2х + 3 = е' для х > ——
2
такой замене независимой
переменной х будем иметь:
1) для х > —— :
Ух = у; • 2е у'? = (у,' - у,') • 4Г2', у”, = (у' - Зу(' + 2у,') 8е 31;
3
2) для х< -- :
X = -у; • 2е~', у’2 = (у'2 - у!)  4е‘2', Х5 = -(у^ - Зу/; + 2yJ)
Относительно функции y(t) заданное уравнение принимает вид
8у* - 24у'2 + 22у, - бу = 0 <=> 4у’ - 12у'» + I !у/ - Зу - 0.
Получили линейное однородное уравнение с постоянными коэф-
фициентами. Имеем
4X’-I2V + HA-3 = O	(*)
=* X, = 1, Х2 = р i. Следовательно, у(/) = С,е' + С2е^' + Суе2>.
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
168
у(х) = С, |2х + 3| + С2 |2х + 3|V2 + С3 |2х + 3||/2
— общее решение заданного уравнения.
Задача 55. Решить уравнение х2у' - ху' + у =	.
х 1пх
Решение. Из вида уравнения заключаем, что оно определено
для х > 0 . Видим, что заданное уравнение — уравнение Эйлера.
Поэтому делаем замену: х = е' (=> 1пх = /). При такой замене
будем иметь ух = у,е 1,	= О£~Юе'2/. Относительно функ-
ции y(f) заданное уравнение принимает вид у';-2у' + у-
е>
= te 1 + — . Получили линейное неоднородное уравнение с посто-
янными коэфф и и и е нтам и.
Находим сначала общее решение у(1) соответствующего од-
нородного уравнения у", - 2у, + у = 0. Имеем
Х2-2Х + 1 =0 « (к-1)2 =0	(*)
=ь к, = к2 = ।  Следовательно, y(t) = С^' + C2te'.
Найдем теперь частное решение у(/) неоднородного уравнения.
I) Рассмотрим уравнение у’г -2y't + у = 1е '. (Правая часть это-
го уравнения есть функция специального вида.) Конгрольным
числом рассматриваемого неоднородного уравнения является
а + ib = - I +i 0 =-1. Видим, что контрольное число не есть ко-
рень характеристического уравнения. Поэтому ,р|(/) имеет вид
У|(0 = (At + В)е ' => У|' = [-Л/ + (А - 5)]е'/, j»f= [Лг + (5-2/4)] еч.
Подставляя эти выражения для	в уравнение у'г -2у,+
+ y = te~', получаем
|4Л/ + 4(5 - zl)]^' = teJ => 4At + 4(5 - A) = t =>
И 4/4 = 1	|	|
n	=> J = —, 5 = —.
Г01 4(5-/l) = 0	4	4
Таким образом, yt(/) = ^-(Г + l)e '.
169
е'
2) Рассмотрим уравнение у/2 - 2у, + у = —. Правая часть этого
уравнения не является функцией специального вида. Поэтому его
частное решение у2(/) будем искать метолом вариации произ-
вольных постоянных. Полагаем y2(r) = Cl(f)e/ +С2(г)к'- Функции
C|(z) и С2(/) определяем из системы
C;(t)e' +С2(П/е' =0,
С|'(0е'+С2(0(1 + г)е'=у
=» с;(о=-1.с;(о=|
=> C|(O = -r,C2(/) = ln|r|.
Таким образом, у2(/> = -tef +te' In |r|. А тогда
Я0 = У(/)-*-У|(0 + Л(0 = С|? + C2te' +	' 4- ter In |г| — Ге'.
4
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим
у(х) = С|Х + С2х 1пх + —+ х1пл(1п|1пх|- I) =>
=> J(x) =: С|Х + ЛС1пх(С2 + ln|ln.v|)4- - + |ПЛ-.
Глава 4
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
§1. Непосредственное применение ряда Тейлора
Класс дифференциальных уравнений, решения которых вы-
ражаются через элементарные функции или интегрирование ко-
торых приводится к квадратурам, сравнительно невелик. Очень
часто встречаются уравнения, не принадлежащие указанному клас-
су, и тогда приходится прибегать к приближенным методам ин-
тегрирования дифференциальных уравнений и к получению ре-
шений в виде рядов.
Одним из основных среди этих методов является метод полу-
чения решения в виде степенного ряда — ряда Тейлора для этого
решения. Изложим сущность этого метода на уравнении первого
порядка.
Пусть имеется дифференциальное уравнение
У=Дх,у)	(I)
и пусть требуется найти его решение у = ф(х), удовлетворяющее
начальному условию
4«х0= »	(2)
т. е. ф(х0) = р0. Будем предполагать, что искомое решение у = <р(х)
разложимо в ряд Тейлора по степеням (х -х^):
<р(х)=ф(х0>+ ^уу^(х-хь) +
+	+ ... + ф< ^(х-Лю)" + ....	(3)
21	П:
171
Но чтобы написать это разложение решения у = <р(х) в ряд Тейло-
ра (3), нужно знать коэффициенты разложения. Отметим, что их
можно найти с помощью данного дифференциального уравнения
(I) и начального условия (2). В самом деле, в силу начального
условия (2), имеем ф(х0) = у0, где Уо — заданное число.
Если теперь в уравнении (1) положить х = и в соответствии
с этим у = у0, то оно определит значение Уо производной <р'(х)
искомой функции <р(х) при х = х0 (так как функция ф(х) удов-
летворяет уравнению (I)), и мы получим
Уо = ф'(х0) = /(х0.у0).
Продифференцируем по х обе части уравнения (I), помня, что у и
у' являются функциями отх. Будем иметь
У' = А'(х,у) + /;(х,у) /	(4)
Положив теперь в правой части (4) х = Ло ив соответствии с этим
у = у0 , у' = Уо , мы получим в левой части (4)
у'(хь) = ф’(хь) = /r(xb’>b)+	>ь)>6
и т. д. Так последовательно мы определим все коэффициенты в
ряде (3).
Отметим, что если функция fix,у) разложима в ряд по
степеням (х-х0) и (У~Уо) в некотором прямоугольнике
х0 - а < х < х„ + а,
Уо-b < у < Уо + Ь,
Р =
то решение у = ф(х) дифференциального
уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2), пред-
ставимо степенным рядом (3). Этот ряд во всяком случае сходится
при х, удовлетворяющих условию: х0 - Л < х < х0 + Л , где
Л = min
а, —
М
, а М — наибольшее значение |/(х,у)| в прямо-
угольнике (Р) =
х0 - а < х < х0 + а,
Уо-Ь<у <у0 + Ь.
Пример. Найти решение уравнения у' = х + j 2, удовлетворяю-
щее условию у|х=0 = 0 (здесь Хо = 0, у0 = 0).
Ряд Тейлора для искомого решения у = ф(х) будет рядом
Маклореца:
/ X /ЛХ <Р'(0>	ф'(0) 2	Ф<Я)(0) п
Ср(х) = ф(0) + ------X 4 --—X + ... 4  -------------X 4 ...
I! 2!	л!
172
Из начального условия следует, что <р(0) = у0 =0. Из заданного
уравнения находим у'(0) = ф'(0) = /(0,0) = 0 • Дифференцируя по х
обе части заданного уравнения, находим
/ = 1 + 2 у у' => /(0) = (р'(0) = 1.
Дифференцируя еше раз, получаем
у“ = 2(/)2 * + 2уу' => у'(0) = <р*(0) = 0.
Далее,
у*4’ = 6у'у"+ 2уу" => у<4,(0) = ф(4)(0) = 0,
у(5> = 6(у')2 + 8у'у' + 2уу(4) => у<5)(0) = ф(5>(0) =6,
и т. д. Таким образом, находим
х2 6х5
У = ф(х) = - + —
Здесь числа а и b можно брать любыми, так как f(x,y) = х + у2
уже представлена разложенной по степеням х и у при любых х и у.
При этом М = тах|х + х| = а + Ь2 и, следовательно, за сходи-
мость ряда, представляющего решение у = <р(х) при |л| < h
(Л - min
b
а,-------г
а + д*
), можно ручаться.
§2. Метод неопределенных коэффициентов
В некоторых случаях для интегрирования дифференциальных
уравнений более удобным оказывается метод неопределенных ко-
эффициентов. Особенно удобен он в применении к линейным
дифференциальным уравнениям. (В большинстве случаев решения
линейного дифференциального уравнения с переменными коэф-
фициентами порядка выше первого не выражаются через элемен-
тарные функции и квадратуры.) Проиллюстрируем метол неопре-
деленных коэффициентов на уравнении второго порядка вида
/+Р(х)/ + ^(х)у = 0.	(1)
Предположим, что коэффициенты р(х) и <?(х) уравнения (I)
представлены степенными рядами:
Р(*> = £ акхк, q(x) = £ Ькхк.
4=0	4=0
(2)
173
Пусть /?| и R2 — радиусы сходимости рядов (2) соответственно.
Станем искать решение уравнения (I) также в виде степенного ряда:
у(х) = £ стх'“ =>	(3)
zn=0
=> /(*) = S '»/(*) = Z Л»(ги-|)СтХл'-2.
л»=1	т=2
Подставляя выражения для у(х), /(х), у'(х) в уравнение (I) и тре-
буя. чтобы это уравнение удовлетворялось, получим тождество:
£ т(т - \устхт ‘ + £ “кхк £ тстхт' + £ Ькхк £ стхт = 0. (4)
m=2	А=О т=1	А=О т=О
После перемножения и сложения рядов в левой части тожде-
ства (4) мы получим степенной ряд. который должен тождествен-
но равняться нулю. Следовательно, все коэффициенты и свобод-
ный член полученного ряда должны равняться нулю. Приравнивая
нулю эти коэффициенты, получим уравнения:
х° | 2 1 с2 +ab<j +*v0 =0,
х1 | 3 • 2 Cj + 2a0Q + flici + A)<j + ^icn =
x2 | 4 • 3 • c4 + ЗйоГя + 2Д|С2 + fl2q + Д>с2 +	+ /ьс0 = 0,
Если оставить с0 и q произвольными (они будут играть роль
произвольных постоянных), то первое уравнение системы (5)
позволит определить с2» второе затем— с3, следующее— с4
ит. д. Все они выразятся через с0 и q. Подставив найденные
коэффициенты в ряд (3), мы получим решение уравнения (1),
которое содержит две произвольные постоянные и будет общим.
В вычислительном отношении удобно находить сразу не общее, а
два линейно независимых частных решения /|(х) и js(x). опре-
деляемых соответственно начальными условиями
XU = o-
Л|„о=°. Я1„о = 1-	(6)
Выбор начальных условий для у((х) означает, что в ряде
у,(х) = с0 + с,х + с2х2 + ... , для которого X =С| + 2с2х + ... , поло-
жено Q) = 1 и С| = 0. Выбор начальных условий для у2(х) означа-
174
ет, что в ряде у2(х) = с0 + qx + с2х2 + ... , для которого
у2 = q + 2с2х + ..., положено с0 = 0 и q = I.
Отметим, что полученные таким образом yt(x) и >2(х) ли-
нейно независимы, так как их определитель Вронского И^(уну2)
отличен от нуля при х = 0 .
и^.л)! „ Л0) Ч1='
1 !Л"° х(0) j;(0) 01
Общее решение уравнения (I) можно написать теперь в виде
У = C|j|(x) + C2j2(x), где С, и С2 — произвольные постоянные.
Замечание. Выше был показан алгоритм построения ряда (3).
При этом не обсуждалось; будет ли ряд сходиться и для каких хон
будет решением уравнения (I)?
Ответ на эти вопросы дает следующая теорема, которую мы
примем без доказательства.
Пусть ряды (2) имеют радиусы сходимости Я, и R2 соответ-
ственно и пусть R = min{/?|, /?2}. Тогда для хе (-/?,/?) построен-
ный указанным выше способом ряд (3) сходится и его сумма
является решением уравнения (1). (При этом следует подчерк-
нуть, что старший коэффициент в уравнении (1) равен единице.)
Пример. Решить уравнение у* + ху' + у = 0 .
Решение. Здесь р(х) = х , q(x) = I. Ищем решение заданного
уравнения в виде
>’ =
т=0
Тогда у' = ^wcmx'"’1 , У*- т(т -\)стхт 2. Подставляя выра-
<п=1	т~-
жения для у,у\уг в заданное уравнение, получим
£ т(т - \}стхт 2 + х £ тспхт~' + £ W”’ = 0 <=>
т-2	л=1	т-0
<=> У. (к + 2)(А + 1)с*+2х* + У (к + l)qx* = 0 «
4=0	4=0
(Здесь в сумме У т(т -\)с„хт~2 изменен индекс суммирования.
я»=2
Положено т -2 = к . Тогда т = к + 2, /эт - I = Л +1;
значению т = 2 соответствует значение к = 0.)
175
<=> У [(Jk + 2)(Zc + l)q+2 + (£ + l)q ]x* s 0 <=>
4=0
(коэффициенты степенного ряда равны нулю).
Получаем, таким образом, следующую систему уравнений для
определения коэффициентов ск, к =0,1, 2, ... .
(Л + 2)(*+1)с*+2 + (* + 1)с* = 0« (Л + 2)со2+с* =0.	(*)
1) Положим в (*): с0 = I, q = 0; находим
«2 = -|’с>=0’с«=4С2 °F4’fs °0’Сб=_ГГб’ - э
=>	= 0, С2т = ——————
Следовательно,
. . , хг х4 х6
Л(х) = |— + —- —
2) Второе решение, линейно независимое с у((х), найдем,
положив в (*): с0 = 0 , q = 1. Будем иметь
с2 =0,с4 =0,с6 =0, ...,с2т =0,
1 I	I
С’’ 3’С5’3 5,С’’ 3-5 7...........
....
1 • 3  3 • ... (2/71+1/
Следовательно, у2(х) = У -т?	-• А тогда у = С|У((х) + С2у2(х),
ffl=o (2m+1)!!
где С,, С2 — произвольные постоянные, есть общее решение за-
данного уравнения.
Так как ряды для /з(х) и q(x) сходятся при всех конечных
значениях х, то и ряды для ^(х) и у2(х) сходятся при всех
176
конечных х, и суммы этих рядов являются решениями заданного
уравнения при всех конечных х
Замечание. Метод неопределенных коэффициентов, показан-
ный здесь для линейного уравнения, применим и для нелиней-
ных уравнений. Отыскивая решение заданного нелинейного урав-
нения в виде степенного ряда, мы подставляем в это уравнение
вместо у сумму ряда (3) и затем, производя операции, показанные
уравнением, стремимся получить тождественное равенство сте-
пенных рядов, откуда будет следовать равенство коэффициентов
при одинаковых степенях х в этих рядах.
Это ласт нам уравнения для последовательного определения
коэффициентов ряда (3). Так мы получим формально ряд (3).
Если затем будет установлено, что он сходится в некотором
промежутке, то его сумма будет представлять решение заданного
уравнения в этом промежутке.
§3. Уравнение Бесселя.
Его интегрирование с помощью
обобщенного степенного ряда
Г. Уравнением Бесселя называется линейное однородное диф-
ференциальное уравнение вида
х2у’ + ху' + (х2 - р2)у = 0(р >0).	(1)
Поскольку уравнение (I) не изменяется при замене в нем .хна (—*),
то станем рассматривать его лишь для положительных значений х.
Если записать уравнение (I) в виде
то заметим, что коэффициенты этого уравнения не разлагаются в
ряды по положительным степеням*, и поэтому нельзя угверждать,
что можно найти решение уравнения (I) в виде степенного ряда.
Станем искать решение уравнения (I) не в виде степенного ряда,
а в виде так называемого обобщенного степенного ряба. т. е. в виде
у(х) = х^скхк = Sqjc₽+a,	(2)
в котором показатель р и все коэффициенты ск подлежат опреде-
лению. Заметим, что коэффициент с0 можно считать отличным от
нуля, ибо если бы он (и, может быть, несколько следующих за
177
ним) был равен нулю, то, вынеся х в некоторой степени за
скобки, мы добились бы того, чтобы в получившемся степенном
ряде свободный член был отличен от нуля и только бы увеличился
показатель р. Поэтому мы будем определять р, уже считая с0 * 0.
Имеем из (2)
/(*) = £(р + Л)сАх‘>+А’,,/(х)= £ (р + к)(р+к-\)скх^к'2.
4=0	*=0
Подставляя выражения для у,/,/ в уравнение (I), получим
£ (р + к)(р ч- к - l)qxp+* ч- £ (р + к)скхТк +
4=0	4=0
+ X с*хр+£+2 - р2 X qjc₽+1 5 о <=>
4=0	4=0
<=> ХР
X (рч-А)(р + А- I)QXX +
.*=о
+ I (р + к}скхк + £ с*х*+2 - р' £ скхк
АО	4=0	А=0
s0 =>
=> £(рч-Л)(рч-Л -1)сЛх* +
4=0
+ Ё<Р+Л)сАХ* + £сдх*+2 -Р2 Ec4x* - °-
4=0	4=0	4=0
В левой части полученного тождества имеем степенной ряд.
Следовательно, это тождество возможно лишь тогда, когда все
коэффициенты и свободный член степенного ряда равны нулю.
Приравнивая нулю свободный член и коэффициенты при
х,х2,х3, ...,хт, ... , получим равенства:
*°l lp(p-l)+p-p2]Q) =0,
х1 | [(р+1)р + (р + 1)-р2]с, =0.
х21 [(Р + 2>(р+1)+(р + 2)-р2]с2 +9) =0,
хт | [(р + /л)(р + /и - l) + (p + m)-p2]cm +с„_2 =0.
178
Откуда
Ip2 - p2ko =0,
|(p + l)2 -/r]q = О,
[(p + 2)2-рг)е2+с0 =0.	(3)
((p + m)2 -p2]cw +сда_2 =0,
Так как c<( * 0, то из первого уравнения системы (3) получаем
Р? ~ Р‘ = ° => р| = Л р2
Рассмотрим случай, когда р>0 (р*0), и воспользуемся пока
значением р, = р. Подставляя ею во все последующие уравнения
системы (3), находим
с _ Q с ______^0	с _ _	^т-2
1	’ 2	2(2р + 2)... т	т(2р + т)'‘
Изсоо гношения с_ =----— следует: гак как q = 0, то сч = 0,
т(2р + т)
с5 =0 и т.д. Значит, все коэффициенты с нечетными индексами
с2Л+| будут равны нулю.
Полагая последовательно т = 4, 6,2*, ... , найдем
с _ с2 _________________£о________
4	4(2р + 4) 2 4 (2р + 2)(2р + 4) ’
с с4 .________________________£о_____________
6	6(2/74- 6)	2 4 6(2/> + 2)(2р + 4)(2/> + 6)’
2 4 6-...-2А • (2/> + 2) (2р + 4)(2р + 6) ...(2/7+2*)’
Подставляя найденные значения для р и ск в (2), получим
©•	^2к
у(х) = СчХ^ V (— |/----------------------------------------------
Й' 2 4 6 ... 2к (2/> + 2)(2/> + 4)(2/>+6)...(2р + 2*)
(4>
179
Коэффициент с0 при этом остается произвольным. С помощью
признака Даламбера легко показать, что ряд (4) сходится при всех
значениях х. Действительно, имеем для любого значения х:
2 4 6- ... -2А (2р + 2)(2/7 4-4)(2р + 6) ...(2р+2к)
2-4-6- ... (2к -2) (2р + 2}(2р + 4)(2р+6) ,..(2р + 2А -2)
= х lim	1——— = 0.
*-»«• 2А(2р + 2А)
Следовательно, сумма ряда (4) определяет вещественное решение
уравнения Бесселя при всех х, при которых хр — вещественное.
2*. Функции Бесселя первого рода. Если в соотношении
J(X)-COX	2-4 6. ... 2А(2р + 2)(2р + 4)(2р + 6)...(2р + 2А)
положить Cq =	, то получим решение уравнения Бесселя,
которое называется функцией Бесселя первого рода порядка р и обо-
значается символом J р(х). Таким образом,
хр
JP(x) =-----------х
2Т(/>+1)
«	2*
хУ (-1)* (5)
2 4 6- ...  2А (2р + 2)(2p-t-4)(2p + 6)...(2p +2А)
Придадим выражению, стоящему в правой части (5), иную
Хр
форму. Для этого внесем тт—;-------— под знак суммы. Тогда
2' Г(р + I)
знаменатель общего члена получаемого ряда может быть преобра-
зован следующим образом:
2₽Г(/> + 1)-2-4 ... -2А (2р + 2)(2р-ь4)...(2р + 2Л) =
= 2'Т(р+ 1)2* А!- 2* (/> + !)(/>+ 2)...(/> + *) =
= 2^2* А!Г(Р + 1)(р+ 1)(р+ 2)...(/? + к).
180
По основному свойству гамма-функции: Г(р + 1>(р +1) = Г(р + 2),
Г(р + 2) (р + 2) = Г(р + 3), , Г(р + А)(р + А) = Г(р + А + 1). Следо-
вательно, выражение (5) примет вид
»	(—П*	/ jc
Л<*)=£.>г/ - н 7	•	(6)
1	^)к'.Пр+к + \){2 )
Получив два корня р( = р и р2 =-р уравнения р2 - р~ =0, мы
воспользовались пока одним корнем р, = р и построили решение
Jр(х} уравнения Бесселя в форме (6).
Воспользовавшись вторым корнем р2 = -/», мы можем анало-
гичным образом построить второе решение уравнения Бесселя.
Очевидно, оно может быть получено из решения (6) заменой р на
(-р), так как само уравнение Бесселя содержит только р2 и не
меняется от замены р на (~р). Это второе решение уравнения
Бесселя можно, следовательно, записать в виде
j (х)-у	<-»>*
(7)
J.p(x) также называется функцией Бесселя первого рода порядка -р.
У. О составлении обшего решения уравнения Бесселя. Так как
уравнение Бесселя является линейным однородным дифферен-
циальным уравнением второго порядка, то для составления его
общего решения достаточно иметь два линейно независимых
частных решения У|(х) и у2(х), и тогда общее решение можно
написать в виде у = С|У|(х) + С2у2(х), где С, и С2 — произволь-
ные постоянные.
Отметим, что если число р не целое, то решения Jp(x)h
J_p(x) уравнения Бесселя будут линейно независимыми (так как
их отношение не будет постоянной величиной). Поэтому при р не
целом общее решение уравнения Бесселя будет таким:
у = C,Jr(x) + C2J_₽(x).	(8)
Если же р— число целое ( р = Л ), то функции J„(x) и J_„(x) —
линейно зависимые, так как имеет место соотношение
Л„(х)=(-1)я/я(х).	(9)
Действительно, имеем J Лх)= У-----------. Так как
х=0^!Г(-и + к +1)
Г(-л + к -ь I) обращается в бесконечность при к = О, I.п - 1 , то
181

У ---------L2LJ--------
Г(* + 1)Г(-л + * + 1)
. Полагая в этой сумме к = п + т ,
получим
[\2т+л	z yi+ 2т
4	- т
___	_£J____= (-1)" У_____________
Д Г(л + от+1)Г(т + 1)	т!Г(л + т +1)
= (-!)« Jn(x).
Вследствие установленной линейной зависимости Jn(x)
и J~n(x) решение уравнения Бесселя у = C\Jn(x) + C2J_n(x) уже
не будет общим. Для составления общего решения нужно наря-
ду с J„(x) иметь другое решение уравнения Бесселя, линейно
независимое с J„(x).
Рассмотрим при нецелом р функцию:
Y fx>_JrMcospn-J_p(x)	(|0>
р	sin рл
Функция (10) является линейной комбинацией решений уравне-
ния Бесселя и вследствие линейности и однородности этого
уравнения будет сама являться его решением. Это решение (10)
называется функцией Бесселя второго рода порядка р.
При р = п (целом) Уя(х) принимает неопределенный вид,
так как числитель и знаменатель дроби (10) обращаются в нуль.
(Числитель
J„(x)cosnn-J_„(x) = /л(х)(-1)л -(-I)" J„(x) =0,
знаменатель sin me = 0.) Раскрывая неопределенность по правилу
Лопиталя, получим
у , , у , .	I Г Ч,(*)
Г„(х) = lim УЛх) =------
р->п	л
„ Э/ Ах)
-(-)”----£12
др	др
(И)
р=п
Можно показать (на чем мы не останавливаемся), что функция
(11) будет решением уравнения Бесселя при р = п линейно неза-
висимым с Jn(x). Следовательно, общее решение уравнения
Бесселя при р = п (целом) будет таким:
у(х) = С1Ул(х) + С2Гп(х).	(12)
Заметим, что формула .у(х) = С|//,(х) + С3К/,(х) дает общее реше-
ние уравнения Бесселя как при целых, так и при нецелых р.
182
4°. Основные соотношения между функциями Бесселя. Было
получено
•	(-П*	(х У*2*
г - у_______LJ2_____ ± I
V £оЛ!ГО, + Л + 1)[2)	*
J (х)
Составим отношение -£—- и найдем производную по лот этого
хр
отношения. Будем иметь
d (/,(х)1 (у (-D*
dx[ хр f dx{£ok\r(p + k + \)
у (-\)к 2к
*н*?П/> + * + 1)
х2*’1
2^ '
В последней сумме введем новый индекс суммирования т по
формуле к = т 4-1 . Тогда получим
d IУ*))- у (-1)д>12(т + 1)	x2w"‘
t/x( хр J" ~{)(гл+1)'.Г(р + 1 + т + 1) 22л+2+/’
1y»+l+2m
- I
2 )____= _1_у
x^Amir^ + li-m + l) хр Р+' Л
Таким образом.
d(Jp(xp
<13)

Булем называть формулу (13) первым основным соотношением
между функциями Бесселя. Из соотношения (13) находим

=> j;(x>=-jp+i(x)+^jp(x).
(14)
В частности, Jq(x) = -J( (х) .
Выведем теперь второе основное соотношение. Для этого
составляем произведение xpJp(x) и находим производную по х
от этого произведения. Булем иметь
±.{хЧ (х)) = У	=
dx\ pV dxft)kir<p + k+ I) 22*^
183
$	(-!)*	2(к+p)x2kt2p'
*То^!Г(р + А + I) 22Ьр
Так как Г(р + к + I) = (р + /с)Г(р т А.), то
J	°*	/_1\А	( V \2Ai/T-|
А(хр/ (Х))=ХО% .,г, ' , . „ 4
dx' р ' fa к1Г(р -1 + к + 1)( 2 )	р
Таким образом,
^(х^(х)) = л^_,(х).	(15)
Формулу (15) будем называть вторым основным соотношением меж-
ду функциями Бесселя. Из соотношения (15) находим
х',У'(х) + рх'’"|/р(х) = х'’/,.|(х) =»
/;(х) = 7,.,(х)-Ър(х).	(16)
Сопоставляя формулы (14) и (16). получаем соотношение между
тремя последовательными функциями Бесселя.
Jp^(x)= /р_|(х)-^/р(х) =>
=> уЛ<х) =/p_|(x) + /^i(x).	(17)
Формулу (17) будем называть третьим основным соотношением
между функциями Бесселя. Из формул (14) и (16) путем сложения
соответствующих частей этих формул получаем
Jp(x) =	(IS)
Замечание. Для функций Бесселя второго рода могут быть
получены такие же соотношения, как и полученные здесь основ-
ные соотношения для функций Бесселя первого рода.
5°. Случаи вырождения. Функции Бесселя не относятся к классу
элементарных функций. Однако есть случаи, когда они выражают-
ся через элементарные функции (или, как говорят, вырождаются).
Рассмотрим функцию Jy2(x). Пользуясь выражением (5).
получаем
J/2	» t	х2к
j ( у) — Л________ у ( -1 _____________-_________________-
+	2 4 - 2* <1+ 2>(1 *4) ...<1 «-2А) ~
184
1	1 V/ к* Я2**1
тпый' 77^2	° V-' х
2	\ 2 I	=sin х
ибо
Аналогично можно убедиться, что
•/-i/2<x) = cosx. А тогда из формул (13) и (15) следует, что
функции Бесселя с индексом, равным целому числу плюс | , будут
выражаться через элементарные функции.
Действительно, принимая во внимание формулу (13), находим

•/У2(Х) = < 1<х) =
1
1/2 d_
*,/2
sinx
cosx
smx
-cosx
J
Jv,(x) = J j(x) = -x
I +—
sin X cosx
3sinx sin x 2cosx
---7— + ;—
COS X
и т. д. Точно так же, принимая во внимание формулу (15), находим
J зрАх> = J 1 (*) = xI/27-[/ |Z|Z2X>
'	-1-5	tfX[ Xf
I (v\- I	d	y3/2 [2 d (sin X cosx V
185
v-> 12 [cosx 2sinx sinx 3cosx
x
r / s f2~ 17 3 ,3	3sin x
' $/}(*) = J----т-I COSX +------------
* V*x tU ) X
ИТ. Д.
6°. Обобщенное уравнение Бесселя. Обобщенным уравнением
Бесселя называется уравнение
х2/ + ху' + (Л2х2 - р2)у = 0,	(*)
где к — некоторая постоянная, отличная от нуля. Покажем, что
заменой независимой переменной х на новую переменную г по
формуле t = кх это уравнение приводится к обычному уравнению
Бесселя. Действительно, при такой замене имеем
- % -% £ - **	>: 7  к-к^-
Подставляя выражения для у'л,у*г в уравнение (*), получаем
к2х2ур + кху, + (к2х2 - р2)у = 0 => l2yp + ty' + (г2 - р2 )у = 0.
Видим, что получено обычное уравнение Бесселя.
При р не целом общим решением полученного уравнения
будет
У = Ф/0 + С2Л,(/),
и, следовательно, общим решением обобщенного уравнения будет
У = С| J р{кх) + C2J_p(kx).
В случае, когда р - п есть целое положительное число или нуль,
будем иметь соответственно
у = С) УДО + С2Г„(г),у = С|/ДЛх)+С2Г„(Лх).
Заметим, что формула у = С,Jp(kx) + C2Yp(kx) дает общее реше-
ние обобщенного уравнения Бесселя как при целых, так и при не
целых р.
Т. Асимптотические формулы для функций Бесселя. В некото-
рых случаях бывают нужны формулы, приближенно представля-
ющие интересующие нас функции при больших значениях аргу-
мента. с помощью других, более простых функций. Эти формулы
обычно называются асимптотическими.
186
Приведем (без доказательства) асимптотические формулы для
функций Бесселя. Эти формулы при положительных значениях
аргумента х таковы:
. , ,	/2	( pit л -3/1.
Jp(x)=J—cos А'~ "Т +°(х	)
р N пх 1-241
(А > 0),
К(х) = iP-sin (х--^ -- 1+О(х'3/2) (х>0).
р Угсх	2	4 )
Написанные формулы означают, что при больших положительных
значениях аргумента хразность между функцией Jp(x) и функцией
рк л
„ Рп
2	(
J—cos
V гсх (
„ [~2~ . I рп п\	-у2
ей J—sin х — —-----есть величины того же порядка, что х * .
упх	2 4 )
Следовательно, при больших положительных значенияхх функция
и разность между функцией Yp(x) и функци-
Jp(x) ведет себя как функция
а функция
УЛх) — как функция J— sin | х - —	Из этих же асимптоти-
р	Укх 2 4)
ческих формул можно сделать вывод о характере графиков функций
Ур(х), Yp(x): при больших х>0 график Jp(x) близок к графику
соответствующей косинусоиды с амплитудой, уменьшающейся по
закону
график Ур(х) близок к графику соответствующей си-
нусоиды с амплитудой, уменьшающейся по закону
(рис. 4.1).
Из асимптотических формул видно также, что каждая из
функций Jp(x), ¥р(х) имеет бесконечно много вещественных
корней, таких, что расстояние между соседними корнями стре-
мится к л, когда значения корней растут.
Замечание I. Ввиду важной роли, которую играют функции
Бесселя в приложениях, для них составлены таблицы.
Замечание 2. Изложенное в настоящем параграфе следует
рассматривать лишь как введение в изучение теории функций
Бесселя. Подробное изучение многих других замечательных
187
свойств функций Бесселя читательнайдет в “Курсе высшей мате-
матики” В.И. Смирнова (т.П, 194В, с. 141 —146, и т. Ill, ч. 2,
1949, с. 519—564). а также в многочисленной специальной лите-
ратуре о функциях Бесселя.
8°. Примеры и задачи к §3.
у' (	| '
Задача 1. Решить уравнение у + — + I------ у = 0.
Решение. Перепишем заданное уравнение в виде
2 •	'12	• I л
X у +XJ 4- л - - 1у = 0.
Видим, что заданное уравнение является уравнением Бесселя
(р = 7>. Следовательно, общее решение уравнения будет таким:
Задача 2. Решить уравнение х2у' + ху' + 4х"— >’=().
I 4)
Решение. Перепишем заданное уравнение в виде
х2у' + х/ + | 22х2 -- |у = 0.
Видим, что заданное уравнение является обобщенным уравнением
Бесселя ( к = 2 , р = —). Следовательно, общее решение уравнения
будет таким:
У = С| J|y2(2x)+-C2J_|yj(2A).
188
Задача 3. Решить уравнение х2у" + ху’ + 4(х4 - 2)у = 0.
Решение. Положим х2 = t. Тогда
X = Х 4 =Х 2х,у;_. =(/ 2х>; =
= (Х)'х • 2х + X * 2 = 2х(ХХ • t'x + 2/ =>
=> т'-’ = Ур  4х2 + 2у, = Ур • 4г + 2/.
Подставляя выражения для у'х,ухг в заданное уравнение, получаем
ЧУр 4( + 2/) + 2/}’/ + 4(г2 - 2)у = 0 => t2y', +1>< + (г - 2)у = 0.
Видим, что полученное уравнение является уравнением Бесселя
( р - V2 ). Следовательно, общее решение полученного уравнения
будет таким:
У = ^1^72(0+
Возвращаясь к прежней независимой переменной х, получим об-
щее решение заданного уравнения. Оно будет таким:
У = С|/л(х2> + С2/_л(х2).
Задача 4. Пусть дано уравнение Бесселя:
Известно, что функция J„(x) = У----—----- — есть ре-
+ Л + Щ2 )
шение данного уравнения. Доказать, что	функция
Yp(x) = Jp(x)j—-— также является решением этого уравнения.
р(х)
Имеем
Yp(x) = /р(х)[	— =>
' JxJ2p(x) р xJ2p(x)
ч,.. .	sf dx
—т——-------------;---- /р<х)У_(х) + — =>
xJp(x) xJp(x) Jp(x)L p p xj
189
=> jp(x)r;(x) = j;(x)rp(x)4-l =>
(*)
=> Jp(x) = Jp(x)
УрМ ।
Ур(х) хУ/х)
Дифференцируя обе части равенства (*), находим
/Дх)У;(х)+Jp(x)Y'(x) = J'(X)YPW + J'p(x)Y'(x) - А =>
=> J'(x) = Jp(x)
Ур(х) , i_____1
Ур(х) +X2 YP(X)'
У нас Jp(x) — решение данного уравнения Бесселя. Поэтому дол-
жно быть
Jp(x) + -J'(x) +
и х
W = 0.
Подставляя здесь вместо «^(х), >р(х) найденные для них выраже-
ния, получим
<><х)
^). ।
УрЮ X2
Ур(х) х
у;и>
Ул(х)
।
х3Ур(х)
Р~
х2

( п2 у\
у;(х) + -!-у;(х)+ i-Ар уг(х) во=>
х р t х J J
I	( п2 У
=> У'(х) + 1у'(х)+ 1-Г. У/,(х) = 0.
X	X1
/
А это означает, что функция Yp{x) = ^р(х)|—j— является реше-
xJр(х)
нием данного уравнения Бесселя. Отметим, что решения Yp(x) и
Jр(х) линейно независимые, ибо их отношение нс является посто-
янной величиной. 4
190
Задача 5. Ре шить уравнение х/ + у' + ху = 0.
Решение. Видим, что заданное уравнение является частным
случаем уравнения Бесселя, когда /? = 0. Одним из решений
этого уравнения является функция Бесселя первого рола порядка
/7 = 0, т. е. функция J0(x). Вторым решением заданного уравне-
ния, линейно независимым с J0(x), будет
г0оо=м4-£-.
Щ(х)
Имеем
4(х> = 1-
»,о (* !)212 j
Следовательно»
I 1 х2	I	х
—т— = — 1+ — +... = — + — +
xJ0<x)	2	х	2
dx
xJ^(x)
Г0(х) = 70(x)lnx + /0(x)
=> Г0(х) = J0(x) In x -»• £ ckxk,
*0
где c0 =0 , q = 0. Подставив P0(x)
в уравнение, получим
x Jo(x)lnx + 27(,(x)-- J()(x) — + Jo(x)lnx + J0(x)- + xJ0(x)lnx +
X	X J	X
+ £ k(k - l)cAx*_| +	Ax^x*-1 + £ QX*+I = 0 =>
*=2	*=i	a=o
=> Inx |xJn'(x) + /o(x)+xJ0(x)]+2Jo(x)+ £ (£ + 2)(£+l)qt2x*41 +
------------------------------ ьо
+ x (k + !)£*♦!** + x c*JfA+l - 0 =>
A4)	A=0
=> £(* +2)(* + l)cu2x**' +	+1)ca+|Xa + qxA+l =-2Jq(x) =>
Л=0	A=O	*=O
191
*=l	ax *=O (* ') \ 2 f
(q,=O,c,=I)
”	~ (—1\* + *	( *
X^-Jy) 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы х в
левой и правой частях тождества, получим для определения коэф-
фициентов ск следующие уравнения:
q = 0; (2т + 1)2c2«+i +	= 0, т = 1,2, ...;
/_ I \Л»
с, = 0;4<т + 1)2с2„2 +с2, =	~	=0.1.2....
(ГП 4-1)! /И! 2
Из этих уравнений находим, что коэффициенты ck с нечетными
номерами равны нулю, a q с четными номерами равны соответ-
ственно:
‘•о=0-сг=р^=-7:7
22 4<62
2 3’
2
“ ' '	22 42-....(2Л)2
Таким образом, будем иметь
к
2 3
l+i+ +1
У0(х) = J0(x) In Л + £ (-1)**1 -^—2----Л- - X2*
ы 2 -4Z- ... (2к)
Глава 5
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Основные понятия и определения
Г. Нормальными системами обыкновенных дифференциальных
уравнении называются системы вида
ах	••• »Ул )»	
Лу2 г /		
			0)
	•••» Уп>-	
Здесь/»— фиксированное число </ieN, л>1) (л— порядок
системы),
х— вещественная независимая переменная,
>’i(x),j2(x),	— искомые вещественные функции,
/|(Х,У|,У2...Л)»	Ли»У|.У2.....Уп)....Л(л,У|,у2....Уп) -
известные функции, определенные и непрерывные в некоторой
области (D) с R',+ l.
Если ввести в рассмотрение вектор-функнии
	>|<Х)'		'Л(х,уьу2	уп)У
Г(*>«	У2(х)	,№У) =	fz(x,yhy2	уп)
			У/Лх.уъу2	у„\
193
то система (1) запишется и виде
^•»Нх,Г).	(I)
ах
В (I): xeR, Y е R" , Г(х, У) е C(Z>), где (D)cR'hl.
2*. Определение. Решением системы (1) в (а,Ь) называют вся-
<pi(x)
кую вектор-функцию У(х) = ф(х) =
Ф>(х)
хе (а,Ь), обладаю-

ф'2(х)

щую свойствами:
1)	для любого хе (а,Ь) существует ф'(х) =
2)	для любого хе {а,Ь) точка (х,ф(х))е (D);
3)	для любого XG(a,b) ф'(х) = 7(х.ф(х)).
Заметим, что вектор-функция Г(х,ф(х))е С(<с?,Л>) как супер-
позиция непрерывных функций. А тогда из свойства 3) следует,
что ф'(х) е С((о,/>)), то есть любое решение системы (I) в (а,Ь)
непрерывно дифференцируемо.
3’. Задача Коши для системы (1) состоит в следующем: среди
всех решений системы (I) найти такое решение Y = ф(х), которое
удовлетворяет условию
Пх)|^=У0.	(2)
В (2) х^, У, — любые, но такие, что точка (х0,У0)с (D).
4*. Пусть дана система ^- = F(x,F) (I) и дано начальное
ах
условие F(x)|x=Au =	(2). Пусть У =ф(х>, хе /6 =(х0 -8,х0 +S),
и У = ф(х), хе = (х0 -5,Хо +5), — любые два решения задачи
194
(I) — (2). Тогда; если существует интервад = (ха -5,+ б) та-
кой, что <р(л) = ф(х), хе /5, то говорят, что задача (I)— (2)
имеет единственное решение. Точку (x0,Yn)e (D) называют в
этом случае точкой единственности системы (I).
Пусть область (D|)c(D) и пусть каждая точка (х, У)е(£>|)
является точкой единственности системы (I), Тогда (Z>|) называ-
ют областью единственности системы (I).
§2. Некоторые сведения из теории вектор-функций
Напомним некоторые факты из теории вектор-функций, ис-
пользуемые при рассмотрении систем обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.
Г. Пусть R" — л-мерное векторное пространство. Пусть вектор
— любой из R". За норму вектора X принимают по

определению
1-4=да Ы-
2*. Расстояние р(Х,Х) между любыми двумя точками X и X
из R" определяют соотношением
р(ЛЛ)=р-^|.
3’. Пусть Л”’0’— любая фиксированная точка из R".
б — окрестность точки J(0) определяется соотношением
U6(Xi0>) = {А”, ||.¥ - ЛГ(0)| < б}.
Так как ||.¥ -	< 6 <=> |х, - х(/”| < 5, г = 1, п , то заключаем, что
U$(XW) — л-мерный куб с центром в точке Х(0) и ребром 25.
4*. Пусть	— последовательность векторов из R". Пусть
Л'(|> — фиксированная точка в R" . Говорят, что последовательность
195
сходится к Х(0> при £<х>, и пишут lim Ха) = Х'0),
если любому с > 0 отвечает номер К такой, что как только к > К ,
так сейчас же |Х<*)-Х(0,| <£. Отметим, что
| А4 А ‘ - Л’<0>| < е «> |х‘А’ - х<°’| < е» / = I, п. Из этого следует, что схо-
димость в пространстве R" осуществляется покомпонентно, то есть
(lim Л',*) = X’0’) <=> (lim= xjo>,/ = I,я).
\*-и-	/ u-и- '	'	/

5°. Введем в рассмотрение вектор Е(х) =
Здесь

j((x), JM*)..УЛХ) — функции от х, определенные в некото-
ром промежутке {а,Ь). У(х) называется вектор-функ цией скаляр-
ного аргумента х, определенной в
Говорят, что вектор-функция Е(х) непрерывна в точке
л‘о е (а,Ь), если в этой точке непрерывны одновременно функции
- ^Уп(х).
Производная вектор-функции Е(х) в точке х0 е (а,Ь) опреде-

ляется соотношением У'(х«) =
J2<*o)
. Y'(Xq) сушествует, если

существуют одновременно Х(х0),...,л<х0).
ь
Пусть вектор-функция Е(х) определена в |a,Z>|. |У(х)</х
d
определяется соотношением
196
О
a
b
]Y(x)dx =
a
b
a
b
Jy„(x)</x
\a	i
Л	b
jY(x)dx существует, если существуют одновременно |у|(х)гйс,
а	а
ь	ь
|у2(х)Лс, , Jj„(x)dx.
а	а
Отметим, что
В самом деле, имеем
Л
Л
<пш рДх)Жс = |y(|i(x)</x < J|y/o(x)|dx < J||Y(x)||dx.
.1
Г!
Л

ь
и
6°. Рассмотрим вектор-функцию F(x,Y) вида

F(x,Y) =
...Уп\

Здесь п е N , п > 1,
У1
е R". Булем считать, что
хе R , У =
/,(х, у,, ..., у„), / = I. п, определен ы в некоторой области (D) с R"+l.
ЭГ(х,У)
Частные производные вектор-функции F(x,Y)‘. —;------ и
дх
HF(x,Y) ______
-С (/ = !,/») определяются соотношениями:
197
рд)
Эх
dF(x, У) &•
Эх “ dx
<Эх t
p/M
Эу,
»Лх.Г)_ &
-----дУ‘
Л,
(/ = 1, n).
Символами
ЭГ(х.У)
И ЭУ
обозначают соответственно:
dF(x,Y)
Э(х, У)
	Г ЭЛ	Э/.
	Эх	Эу,
Э£(х,У) Э(Х,У)	Э/2 Эх	ЭД Эу|
	ЭД	ЭД
	Эх к	ЭУ|
ЭД	Э/j
fy	^Уп
ЭД	ЭД
дУ1 ’ эуя
ЭД эд
Эу2 ’ ‘ Эу„ >
— матрица Якоби,

ЭЛх.У)	'ЭЛ ЭУ) Э/2 Эу,
ЙУ	
	ЭД
	Эу|
эд	эд
Эу2	Эу„
э/,	э/2
Эу2	дУп
*/'	ЭД
Э/2	Эу„
7°. Теорема о полном приращении вектор-функции.
Пусть
1)	вектор-функция F(x,F)eC(D) ((D) cR"'1);
2)	область (D) выпукла по Y, т.е. для любых двух точек (х,У)
и (х,У) из (D) оказывается, что отрезок, их соединяющий,
лежит в (D);
198
3)	ЭЛ1уУ)еС(В).
dr
Тогда для любых двух точек (х, Y) и (х,У) из (D) справедливо
соотношение
F(x,P) - F(x,Y) =	. (р _ Y)dt. (!)
о °*
> Пусть (х, Y) и (х, Y) — любые две точки из (D). Соединим
их прямолинейным отрезком. Его параметрические уравнения
будут такими:
X = X,
Y = Y + t (f-Y),

В точках этого прямолинейного отрезка будем иметь
F(x, У) = F (х,У + / (1 - У)) = у(/), / е [0,1].
у(/) — векторная функция скалярного аргумента г.
>i(0
у2(^)
;Vi(O = Z(x,p| + /(yi - j|).
+/(.£„-_уя))(/ = 1,л).

Отметим, что
I) у(/)е С(|0,1|) как суперпозиция непрерывных функций.
2) \у(/) имеет на [0,1] непрерывную производную

/	"X /»	\
;=1 «У;
Y'(0 =
/=1^7
199
Из выражения для y'(t) видим, что у'(Г)€ С(|0,1|). А тогда для
функции у(7) справедлива формула Ньютона — Лейбница;
I
у(1)-у(0) = JyVM',
о
го ест ь
_ _ ।
уДО-уДО) =/Дх,У)-/Дх,У) =	=
о
/=j^.	(2)
Замечаем, что (2) есть покомпонентная запись формулы (I). Сле-
довательно, формула (1) установлена.
8°. Определение. Говорят, что вектор-функция F(x,Y) удов-
летворяет в области (DjcR"*1 условию Липшица по V. если
существует число L > 0 , такое, что для любых двух точек {х, У) и
(х.У) из (D) справедливо соотношение
|г(х,Р)-Лх,У)|< £ р-у|.
Обозначение: F(x,Y)e Lipr(D).
Определение. Говорят, что вектор-функция F(x, У) удовлет-
воряет в области (D)cR4*1 условию Липшица по У локально,
если для любой точки (x0,F0)e (D) существует окрестность
U(xQ, Уо) <z(D). такая, что
F(x,Y)e Lipy (t/(Xo,Fo)).
Пишут: ЛДх,У)e Lipy(D), локально.
На вопрос, при каких условиях функция F(x,Y) наверняка
удовлетворяет в области (D) условию Липшица по У локально,
ответ дает следующая теорема.
Теорема. Пусть F(x, У) определена и непрерывна в области
(D)cRMl. Пусть	Тогда /Дх,У)с Lipr(D) ло-
а У
кально.
200
Возьмем в области (D) любую точку (Хд,У0). Рассмотрим
окрестность этой точки: (76(х0,У0). Будем считать 6 столь ма-
лым, чтобы было U$(xq,Y0) g (D) (это возможно, ибо (D) —
область). Покажем, что F(x,K)g Lipr ((/6(х0,У0)).
п	dF(x,Y) „ n dF(x,Y) r/r-f ,
По условию ->--^С(Д) => —__16 С({/5(хь,Г0)) =>
о Y	о/
i)f(x J^)	“
—i—-— 6 С [U6(Xq, Yq)j, /, j = I, n => существует число К > 0, та-
кое, что
У
У)
< К в С/6(а-0,У0) для любых ij = 1,л =>
У,
ЭЛ
< К в
£/6(х0, Уо) при любых i, j = I, п.
Очевидно, что (/^(х0,У0) — выпуклая область (в частности,
она выпуклая по У).
Видим, что для Г(х,У) в (/s(x0,F0) выполнены все условия
теоремы о полном приращении вектор-функнии. Поэтому для
любых двух точек (х. У) и (х, У) из иъ(х„,У^) будем иметь
О	" '
(ft =
(Yj-yj)df^п
о
(У-У) (11 =
v
= Jnw
J | = !.Л J=idyj
= М
- обочн.
=> F(x,Y)e Lipj,- ((/6(х0,У())).
201
Итак, показано, что для любой точки (х(|,Уп)е (/>) существует
окрестность [7&(х0,^|) с (D) .такая,что F(x, У) е Lip,- ((/6(х0,У0)) =*
F(x, У) удовлетворяет условию Липшица по Улокально. <4
§3. Существование и единственность решения
задачи Коши нормальной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
Г. Пусть даны система
^- = F(x.Y), f(x.F)eC(D>,	(1)
и начальное условие
Г1 =Г|„(х0,У„)е(Д).	(2)
Будем искать решение задачи (I) — (2) методом последовательных
приближений Пикара.
Положим у0(х) = У0, jcg R (у0(х) — “нулевое” приближе-
ние). Существует интервал (а,,Р|), содержащий точку х0, такой,
что для любого хе (а|,р() будет: точка (x,i|fn(x))e (О). Положим
у((х)= Уо + J Г(х,у0(л)) </л,хе (а(,р().
Так как (х,у0(х)) е (D) для любого xe(at,P|),TO Р(х,у{)(хУ)е
л
е С ((а, ,Р|)) и, следовательно, J F(x,Y0(x})dLx существуете у, (х) —
х0
“первое” приближение).
Имеем
Vi(x) = F(x,y0(x)) => ¥J(x0) = Г(х0,у,)(х0)) = F(x0,r0);
Vi(*o) = Ць
то есть кривая У = у((х) проходит через точку (х0, >□> и такая, что
У'(Хо) = V;(*o) = F(x0,Y0).
Существует интервал (a2,p2L содержащий точку х0, такой,
что точка (х.у,(х))е (D) для любого хе (а2,р2)- Положим
202
у2(х> = У0 + j F(x,Vt(x))dx, xe (a2,P2).
4
Так как (х.у,(х))е (Z>) для любого Хб(а2,р2>» то
X
F(х,у|(х))е С{(а2,02)) и, следовательно, j F (х.х^(х)} dx суше-
но
ствует (у»(х) — “второе” приближение).
Имеем
у'2(х) = F(x,Y|(x)) => Y2U0) = Г(х0,1|Г|(х0)) = F(x0,r0);
V2(x0)= Yo,
тоесть кривая У = у,(х) проходит через точку (х0, Уо) и такая, что
Г(х0) = Y’(*o) = F(x0,r0).
Продолжая этот процесс аналогичным образом дальше, получим
Ya(*) = >o + j ^C^Ya-iC-*»^ хе <«*>₽*)»
-ч
где AeN, к>2\ (аА,рА) — некоторый интервал, содержащий
точку х0 и га кой, что точка (х,уА_|(х))е (/>) для любого хе (аА,Рл)
(Ya(x) — к-с приближение). И здесь кривая Y = yk(x) проходит
через точку (х0,Уо) и такая, что Г(х0) = y1(x0) = ЛхоЛ) •
Лемма (о приближениях Пикара). Пусть числа д>0, Ь >0 —
такие, что параллелепипед
(4) = {U.D. |x-J%|S<r,|l'-y0|s6}c(D).
Пусть М = пых|^(х,У)|, h = min
(м)
b
м
>. Тогда все приближения
Пикара у\(х), к =0, I, 2, ... определены и непрерывны на отрезке
/ = (хо - Л,Хц + 7/) и удовлетворяют неравенству Цтр* (х) - Уо|| <. b ,
хе I. (Это означает, что графики вектор-функций Y =уА(х) ,
хе /, к = О, I, 2,... лежат целиком в (^л).)
Рассмотрим Е = у0(х) (у0(х) = Уо, хе R). Это прибли-
жение определено и непрерывно на всей вешественной оси;
203
следовательно, оно определено и непрерывно на отрезке /. Для
ле/ имеем
Ь>,м-М=|ц-у0|«*.
Допустим, что Y = Уд_|(х) определено и непрерывно на / и удов-
летворяет неравенству
Имеем тогда
Wk(x)=Y0 + j
•<0
Точки (х. Ул-| (*))е (Рць). для любого хе I => Т(х,уЛ_|(х))е С(/)
как суперпозиция непрерывных функций => уА(х)е С(/).
Имеем далее, для хе I
|y*<x)-f;,| =

-Со
*0
М .
X
j dx
= М |х - х0| £ Л/ h < Ь,
с , h
ибо п <-.
М
Видим, что переход от к - I к к сделан. Для y0(x) утверждение
леммы проверено непосредственно. В силу перехода от к - 1 к А,
утверждение леммы будет справедливо для у* (х), где к = I. 2, ... . 4
2°. Теорема Пикара. Пусть имеется система ^Д = Г(х,У).
dx
Пусть F(x, Y)eC(D), (D)c: R"*1. Пусть F(x,Y)e Lipr(D) — ло-
кально. Тогда для любой точки (х0,Е()) е (D) задача (I)— (2)
имеет решение Y = ф(х), хе [х0 - Л,х0 + Л), h = min
чем это решение задачи (I) — (2) единственное.
Ь
а,—
М
, при-
204
Возьмем произвольную точку (х0,У0)е(Р). По условию,
F(x, У)е Lipy(D) — локапьно => существует £/6(х0, Уо), такая, что
^(х0,У0) с(Д), и F(x, Y)e Lipr (£/$(х0,У())). Пусть £> 0 — по-
стоянная Липшица для F(x,К) в t/s(x0,^). Возьмем числа а, Ъ
(о > О, b > 0), такие, что (Pah) с (/s(x0, Уо). Пусть М = птах |F(x, Y)Цt
(•«*)
h = min
h
а,—
М
По лемме, доказанной выше, все приближения
Пикара
у0(х) = У0,уДх) = Уо + ] F(x,yL_i(x})dx(k = \, 2, ...)
определены и непрерывны на отрезке / = [х0 - h,x^ + Л] и удовлет-
воряют условию
^(л)-У0|^^.
I) Покажем, что {у<(х)}Ае> сходится равномерно относитель-
но х на /. Для этого рассмотрим функциональный ряд
To(x)+IVlU)-Vo(*)] + ... +[¥ИХ)-Уы(*)]+	(3)
Замечаем, что 50(х) = у0(х), $|(х)=у,(х) Sk(х) = у*,(х), .
Значит, равномерная сходимость последовательности {у* (x)}AfN .
хе /, равносильна равномерной сходимости ряда (3) на /. Устано-
вим равномерную сходимость ряда (3) на /. Для этого произведем
оценку членов ряда (3). Имеем
Н. w - v»u)|  lh>i и) - М ° If лхл)*р
II 1
j|F(x,n)|<&
*0
< kf |x-x0| < M h =---(Lh)fxe I.
205
Имеем, далее:
foM*)- Vi(*)| = I j (F(x,Vi(x))-F(x,y0(x))) <&p
II’ ।
X
i(x)-y()(x)||dx 2
(•K(^)

<.И|х-х4
*0
ХО| < ML fj2=M_ (Lh)2
2	”2 L 2!
Допустим, что
I Z Ч / ч| м Lk
|YAW-YA-|(A)|<y —
M Lk hk
L kl
(4)
Но тогда
|V*+i(x)-V*(x)| = f (Лх,уА(х))-F(x,i|Q_|(x)))dxl<S
х0
J ||F (x, y* (%)) - F (x,	(x) )| dx
*0
x
J|y*(x)-VA-i(x)|rfx
XO
< Л/ Lktl
~ L k\
j|x-x0|A dx
Xo
Л/ L**' .	<L Л)*+|
sT (*7ij! I*-*’ "т дгпуг
Видим, что переход от к к Л + 1 сделан. Значит, оценка (4)
справедлива на / для любого к е N . Введем в рассмотрение ряд
М (Lh) М (Lh)2
+ Т I! +Т 2!
М (Lh)k
L к\
(5)
,X G I.
Ряд (5) — числовой, положительный, сходящийся. Он является
мажорантным для ряда (3) на / => функциональный ряд (3) сходит-
ся равномерно на /.
Пусть ф(.х), хе / ,— сумма ряда (3). Имеем Sk (х> =t ф(х),
.	к -И*
хе I =>
20Б
=> ¥*(*)=?Ф(х)> хе I.	(6)
Так как С(/), то из (6) => <р(х)е С(1).
2) Покажем, что вектор-функция У = ф(х), хе / , ямяется ре-
шением задачи (I) — (2). Для этого берем к-е приближение Пикара
¥а(х) = Уо + j F(x,v<_l(x))dx, хе/.	(7)
*0
Было показано, что уд(х)={ф(х), хе /. Покажем теперь, что
к —»<«
Г(Х'Ук-М) =1 F(x^(x)), хе /.
к
Возьмем любое е > 0. У нас F(x, У) е C(Pah) => F(x, У) равномер-
но непрерывная в (РаЬ) => взятому е > 0 отвечает 8 > 0 , зависящее
тол ько от е , такое, что для любых двух точек (х,У) и (х,У) из(Рвй),
для которых |х - х| < 8, |Р - у| < 5 , будет |f(x, F) - Г(х, У)| < е. У
нас уд_|(х) =;q>(x), хе / => по числу б >0 (найденному по е)
к
можно указать номер К, такой, что как только к > К , так сейчас же
||Ya -I (*) “ ф(Л'>|| < 5 •> Для всех хе/.
Но тогда при к > К будет
|F(x, Ул-|(х))- Г(х,ф(х»|| < 8, для всех хе /.
Последнее означает, что F(x<Y*-i(x)) =t F(x,tp(x)), хе /. Пе-
к -и»
рейдем в соотношении (7) к пределу при к ^+<«. Получим
ф(х)= Уо + f F(x,<p(x))t/x, хе/.	(8)
х0
Из (8) следует:
1)<р'(х) = Г(х,ф(х)),х€ /;
2)ф(Хо) = Уо.
207
А это означает, что У = <р(х), хе / — решение задачи (I) — (2).
3) Покажем теперь, что это решение — единственное. Рассуж-
даем от противного, а именно предполагаем, что задача (I) — (2)
имеет и другие решения. Возьмем тогда два любых решения
задачи (1) — (2):
Г=ф(х),хе/6; У=ф(х),Х€Л.
По условию F(x, F)g Lipr (D) —локально => точке (xo,Jo) отвеча-
ет окрестность t/(x0,F0) с: (D)f такая, что Г(х,У)е Lip^ (t/(x0,F0)).
Унасфункиии ф(х), ф(х) — непрерывные. Значит, существует 6 >0,
такое, что для любого хе /б будет: точка (х,ф(д)) и точка
(х,ф(х))с С/(х0,У0).Так как Y =ф(х)и У = ф(х) — решения задачи
(D— (2), то
ф'(х) = F (х,ф(х)),хе /6,
ф'(л) = F(x,0(x)),xe /s.
Проинтегрируем оба этих соотношения по отрезку |х0,х], ле/5.
Получаем
ф(х) = ф(хь)+j Г(х,ф(х))Лс,ф(х) = ф(х0)+ j Г(х,ф(х>)д!х,хе /5 =>
Xq	X<j
=> ф(х)-ф(х) = j (f (х,ф(х))-F(x, ф(х)))<Л',хе /6 =>

*0
*
(здесь L — постоянная Л ипшина). Обозначим |ф (х) - Ф(х)| = f(x),
хе /6. Будем иметь:
I) /(х)еС(/6);
2) /(л)
удовлетворяет неравенству:
х е /6.
О < /(л) < L
208
Но тогда по лемме Гроиуола
f(x) = 0, х е /8	=>
ф(х) = ф(х), X € /5 4
Следствие. Пусть F(x, У) е C(D), (Z)> с Rn+I. Пусть	€
ЭУ
gC(D). Тогда для любой точки (x0,Y0)g(D) задача (I)— (2)
имеет единственное решение.
Замечание. Так как ряд (3) на отрезке / мажорируется число-
вым, положительным, сходящимся рядом (5), то, полагая
Ф(х)*= ул(х), хе /, всегда можно оценить погрешность этого
приближения. Именно: норма упомянутой погрешности не пре-
восходит остатка после А-го члена мажорантного ряда (5).
Замечание (о приведении нормального дифференциального
уравнения л-го порядка к нормальной системе п уравнений пер-
вого порядка). Пусть имеется дифференциальное уравнение л-го
порядка вида
у<л) = /(х,у,у',у",..., у01’0).	(9)
Покажем, что оно может быть приведено к нормальной системе п
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
В самом деле, обозначим искомую функцию у(х) через у((х)
и введем в рассмотрение новые функции: y2(x), Уз(х), ••• > Уя(х),
положив: у2(^) = У|(х), Уз(х) = у2(х).	, уп(х) = у;.,(х>. Вейлу
такого выбора новых функций, и принимая во внимание уравне-
ние (9), будем иметь:
-^ = У2 [= A^,ylty2,... ,уп)],
^~ = Уз 1=Л(^УпУз.......УЯ)Ь
^± = Ул	l=Zi-|U,)W2.....У.)]»	(,0)
= /(Х,У|,У2, ... ,У„)	1= /П(Х,У1,У2,.у„)].
Заметим, что если найдено решение /| = <pt(х), у2 = ф2(х), ,
уя = ф„(х) системы (10), то тем самым найдено решение у = ф(х)
уравнения (9). ибо <р(х) = ф|(х).
209
И, наоборот, если найдено решение j = <p(x) уравнения (9),
то тем самым найдено решение У|=Ф|(х), У2=Ф2<Х)» •
Уя=фя(*) системы (10), ибо ф,(х) = <р(х), ф2(х) = <р'(х), ,
Ф„(х) = ф(я‘|>(х). Такое же соответствие имеет место и для задач
Коши. Именно, если yt(x), у2(х),	у„(х) есть решение систе-
мы (10), удовлетворяющее начальным условиям:
^Чх-хЛ^О» ^2|г-г.= ^2О»	•••» -Мх- =ZiO,
•А—А()	»‘А—Aq	• A—AQ
то функция Дх) ( = J|(jc)) будет решением уравнения (9), удов-
летворяющим начальным условиям:
У|„,в=Ло (=Уо). /L,,-.?» <=rt).........
/"’"I «Ло (=Уо"'">.
1х=хо
И, наоборот, если у = у(х) — решение уравнения (9), удовлетво-
ряющее начальным условиям:
Л-хо=>'0’ >’1х-х0=>'о...... /"’"I =4"‘h,
•л-хо	«х-х0	1х=х0	*
то >| = у(х), у2 = у'Сх), , у„ = /я-|,(х) будет решением системы
(10), удовлетворяющим начальным условиям:
<= Ло>- 4.,.= '» <=•'»>......
>!«.,,=4’‘” <-л«>.
Из следствия к теореме о существовании и единственности реше-
ния нормальной системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений вытекает, что:
если I) функция f(x,y,y\ ... ,/'’’11) е C(D), (Z))cR'hI, и
если 2) всюду в (D) существуют непрерывные —...»
оу оу
Э/	,
5 <я-|) , то для любой точки (х0 ,_>’(),Уо,..., у{оп~n) с (Z)) задача Коши
уравнения у<л) =/(x,y,j',...,имеет, и притом единствен-
ное, решение.
210
§4. Общее решение и общий интеграл
нормальной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
Г. Пусть имеется нормальная система обыкновенных диф-
ференциальных уравнений
^ = Лх,У).	(I)
ах
Предполагается, что I) F(x, Y) е C(D), (D) с R',+l , и
2) Г(х,У) е Lipr(D) — локально.
Определение, Семейство вектор-функций
Y - ф(х,С), где С =
(2)
— произвольный постоянный вектор, называется общим решением
системы (I) в области (D), если, во-первых, для любой точки
(х0, Ко) е (D) векторное уравнение
Г0=ф(х0,С)	(3)
имеет единственное решение С = Со =
2
и если, во-вторых,
вектор-функция
Y = <р(х,С„),
>0
л /
(4)
6
является решением системы (1), хотя бы при достаточно малом б.
Ясно, что это решение (4) удовлетворяет начальному условию
и2(х,Г)
х=х0
Определение. Пусть U(x,Y) =
(D) и пусть
2
— произвольный постоянный вектор. Соотношение
л
211
U(x,Y) = C	(5)
называется общим интегралом системы (I) в (D), если, во-первых,
для любой точки (х0,К0) е (D) векторное уравнение
U(x,Y) = U(x0,Y0)	(6)
определяет единственную дифференцируемую вектор-функцию
Г = ф(л), хе/б =(х0-5,х# + 8),	(7)
такую, что ф(л0) = Уо; £/(х,ф(х)) = t/(x0,r0), х е /8, и если, во-
вторых, эта вектор-функция Y = <р (х), х е /8, хотя бы при доста-
точно малом 5 является решением системы (I).
2*. Необходимый признак общего интеграла.
Теорема. Пусть U(x,Y) = С — общий интеграл системы (1) в
области (/)>. Тогда для любого решения Y = ф(х), х е {а, Л) систе-
мы (1), |рафик которого лежит в (D), справедливо тождество
£/(х,ф(х)) = const, хе<о,/>).
Пусть Y = ф(х), х € (а,Ь) — произвольное решение систе-
мы (I), график которого лежит в (D). У нас t/(x,У) € С'(D),
ф(х) е С‘(<й,д>) => 4/(х,ф(х))е С'((а,Ь}).
Мы покажем, что Г/(х.ф(х)) = const. хе(в,й), если устано-
вим, что
-^-С/(х,ф(х))а 0, хе (о,6).
Для этого берем произвольную точку х9е(а,Ь) и находим
ф(х0) = У0. Ясно, что точка (х0,У0) е (D). Рассмотрим теперь
векторное уравнение
£/(х,У) = Г/(х0,У0).
По определению общего интеграла системы (1) это уравнение
определяет единственную дифференцируемую вектор-функцию
Y = ф (х), х е /6, такую, что ф (х0) = Уо, и которая при достаточ-
но малом & является решением системы (I).
Ясно, что для х е /6 будет
Д/(х,ф(х))в Г/(х0.У0),	(8)
Имеем:
I)	У =ф(х), х е(а,Ь),— решение системы (I), такое, что
ф(л0) = Уо;
212
2)	У = ф(х), хе/j,- решение системы (I), такое, что
ф(*о) =
Видим, что оба эти решения удовлетворяют одному и тому же
начальному условию
rL..=r»- О'оЛ) «<*>>.
Так как (D) — областьединственности системы (1),то ф(х) s ф(х),
х е /6, по крайней мере, при достаточно малом 5. А тогда, в силу
(8), £/(х,ф(х)) = Г/<х0,У0), х е 1ь => -j-U(x,4(x)) в О, х € /б => в
частности, — U (х,ф(х)1	=0
dx
JC=X0
У нас точка х0 — любая из (а.Ь)	— промежуток, на
котором определено решение У = ф(х) системы (1)). Поэтому
получаем
-^£/(х,ф(х)) = 0, х е {а,Ь). 4

Следствие, Если
VW
= С — общий
интеграл

системы (I) в (D), то для любого решения Y = <р(х), х е (а.Ь),
системы (I) справедливы тождества
и;(х,ф(х)) = const, xt{a,b} (i = \,n).
Определение. Скалярная функция w(x,У) g C'(D) называется
интегралом системы (I) в (£)), если она тождественно обращается
в постоянную на любом решении системы (I), график которого
лежит в (D).
Замечание. Любая скалярная функция u(x,Y) = const в (D)
есть интеграл системы (1) в (/)) (это — “тривиальные интегра-
лы"; их мы рассматривать не будем).
3е. Критерий интеграла.
Теорема. Скалярная функция u(x,Y) g C'(D) является интег-
ралом системы (I) в (/)) тогда и только тогда, когда справедливо
тождество
213
+ du(x,Y) F(x Y) s 0 B (p)	(9)
dx dY
du(x,Y) ( du du	du
ЭУ	(dy, dy2	dy„)
(S\(x,Y)'
матрица-столбец, так что
du (x,Y)
dY
F(x,Y) =
(/„(x,r)J
fj(x,Y)).
^du(x,Y)
k fy
Необходимость. Дано: u(x,Y) gC'(D) является интегралом
системы (I) в (D). Требуется доказать, что в (£)) имеет место
тождество (9).
Возьмем любую точку (х0,Уо)е(О) и рассмотрим решение
¥ = ф(х), х е /б = (х0 - 8,х0 + 8) системы (I), удовлетворяющее
условию 1'1	= К (=> ф(х0) = Уо). Станем рассматривать функ-
•X—ACq
цию u(x,Y) в точках графика этого решения.
По определению интеграла системы (I), будем иметь
и (х,ф(дг)) s const, хе/5.	(10)
Левая часть тождества (10) дифференцируема по х на /6, так как
м(х,У) е С*(Д), <р(х) е С*(/6). Дифференцируя по х тождество
(10), получим
Эи(х.<р(х>) Эи(х,ф(х))
dx	dY v '	6
Но ф'(х) = F (х,ф (х)), х е /6 (так как Y = ф (х), х е /6, - реше-
ние системы (I)). Поэтому будем иметь
аи(хУ(х)) + аи(ху(х>) f
Эх	dY
Положим в последнем равенстве х = х0 (тогда ф(х0) - Уо). Получим
214
Эи(х0,Г0) aw(x0,r0)
Зх + ~3V---------
У нас точка (х(),У0) — любая, принадлежащая (D). Поэтому
Эа(х,У) <)u(x,Y)	„	__v ,, _
—------+ —-------Л (х, Y) = 0 в (D). Необходимость доказана.
йх ЭУ
Достаточность. Имеет место тождество
- 4- Э“^У) F(x,F) s 0 в (D).	(9)
Эх ЭУ
Требуется доказать, что и(х, У) — интеграл системы (I) в (D).
Берем произвольное решение системы (I) в (£)):
Y = ф(х), х е (а,Ь).
Так как левая часть (9) тождественно равна нулю в (D), то она
равна нулю и на взятом решении, т. е.
йы(х.ф(х)) йы(х.ф(х))
----=;----------+----------F (х, ф (х) = 0, х е (а, b).
йх---------------------й У-'
Так как У = ф(х), хе(А,£),— решение системы (I) в (Р), то
/(х,ф(х>)н ф'(х), х е (а,b). Следовательно, будем иметь
й«(х,<р(х)) йа(х,ф(х))
----- ----+ ——------------ ф (*) 3 0, хе (а, t>) =?
Эх	ЭУ
=>—)) _ о, х е (а,/>) => м(х,ф(х)) = С, xe(fl,/>).
ах
Последнее означает, что и(х,У) — интеграл системы (I) в (D). 4
Замечание. Допустим, что для системы (1) удалось построить
в (D) л интегралов. Тогда можно построить вектор-функцию
Г/(х,У) =
«|(х,УГ
м2(х,У)
Дп(х.У),
и образовать соотношение i/(x,У) = С (*).
Выясним, какими должны быть интефалы w,(x, Y), и2(х, Y),
w (х, К), чтобы соотношение (*) было общим интегралом системы
(I) в (D).
215
4’. Понятие независимости интегралов. Пусть м((х, У), и2(х. У),
... , ик(х, У), к> 1 — интегралы системы (I) в (D). Составим
векторный интеграл
Ы|(Х,УЙ
L/|X|(x,F) =
u2(x,Y)

Составим матрицу Якоби для
этого векторного интеграла
	Г Эи,	ЭК|	ди.	ЭМ]
	дх		ду2	
dtf1*1	Эк 2	Эк?	Эк?	Эи?
Э(х,У) ’	Эх	Эу,	Эу2	fy,
		Эк*	Эк*	^к
	Эх	Эу|	Эу2	дУ„ j
Определение. Интегралы И|(л,У), к2(х,У), , uk(x,Y) систе-
мы (1) в (D) называются независимыми, если для любой точки
(х,У)е(О)
dtf1*1
гаП8Э(х. У)
Справедливо утверждение:
Пусть функции «|(х,У), и2(х,У). ...» uk(xhY) являются
интегралами системы (I) в (D). Тогда rang
(х.У) е (D), где
ЭЛ7|А|
Э(х,У)
= rang
ЭС/1*1
ЭУ ’
	ЭМ|	Эк|	Эи|
	Эу|	Эу2	Эуп
Э1/‘м	Эк?	Э//2	Эк?
ЗУ	Эу|	Эу2	
	Эк*	Эк*	^к
	1 ду|	Эу2	дуп
По условию функции Uj(x,Y) (i = I, А ) являются интегра-
лами системы (I) в (Л). Но тогда справедливы тождества:
216
a«,(x,r)* эидх.у» f(х у)_0 в (£)) (| = |д j
дх dY
диДх,¥)	^duAX'Y) , . v
=> ------- = -£--Т------/у<х, У), для любой точки (х,У) € <D>
"Л‘	7=| dyj
g = uU
Возьмем произвольную точку (х,У) € (D) и закрепим ее. Пре-
дыдущее соотношение означает, что в закрепленной точке пер-
вый столбец матрицы ----— является линейной комбинацией
Э(х,У>
остальных ее столбцов (числа -/|(х,У), -/2(х,У), , -/„(х,У>
выступают в качестве коэффициентов). Из этого и следует спра-
ведливость утверждения. 4
Следствие. Система (I) имеет в области (D) не более чем п
независимых интегралов.
Это следует из того, что
					
		dy.	ду2	^У„	
эг1*1 гапе ЭУ	= rang	Эн 2	Эу2	ди2	< п, при любом к. 4
			^ик		
		1 d/l	Эу2	*Уп j	
к строк; п столбцов
5°. Достаточный признак общего интеграла.
Теорема. Пусть и,(х,У), н2(х,У), , u„(x,Y) — интегралы
(и|(х.УГ
системы (I) в (D). Пусть U(x, У) =
u2(x,Y)
. Тогда если интегра-
(wn(x, Y),
лы «|(х,У), 4/2(х,У), ..., мя(х,У) — независимые в (D), то
соотношение
217
(12)
(В)
интегралы
U(x,Y) = C	(II)
есть общий интеграл системы (1) в (D).
Покажем, что соотношение (II) удовлетворяет определе-
нию общего интеграла. Для этого берем произвольную точку
(х0,У0) е (D) и рассматриваем векторное уравнение
U(xtY) = UM).
Перепишем (12) в виде
U(x,Y)-U(xM=n
=G(x,Y ) (обозначение)
Имеем:
1)	G(x,Y)eC'(D) (так как U(x,Y) е С'(£>)).
2)	6(х0,У0)=О;
3)	det^^ = del^- *0 (так как
ЭУ	ЭУ (х г.
и,(х,У), i = Г~й — независимые в (О)).
Видим, что выполнены условия теоремы об однозначной раз-
решимости векторного уравнения (13) (см. теорию неявных фун-
кций). По этой теореме векторное уравнение (13) определяет
единственную дифференцируемую вектор-функцию
У = <Р (X), х е Z$ = (х0 - 8,х0 + 8),
такую, что <p(xo) = Уо.
Покажем, что вектор-функция У = ф(х), xgZ5, является
решением системы (I), по крайней мере, при достаточно малом б
(6 > 0 >
Так как вектор-функция У = ф (х), х е /6, — неявная, диф-
ференцируемая функция, определяемая уравнением (13), то она
обращает (13) в тождество относительно х на интервале /8, т.е.
С/(х,ф(х))- £/(х0,У0) = 0 , xg Zs. Дифференцируя по хэто тожде-
ство, получим
Э£7(х,ф(х)) Э1/(х,ф(х))
—2 + —xeZ&. (14)
оХ	d 1
У нас U(x,Y) — векторный интеграл системы в (£)). Значит,
каждая его компонента мДх,У) (/ = 1, п) удовлетворяет в (D)
тождеству
218
dUj(xtУ) + Эц,(х, У) у) = о
Эх й У
Эти п скалярных тождеств можно переписать в виде одного
векторного тождества:
М+М.ЛХ,У)ЯОВ(Р).
Эх ЭУ
Так как это тождество имеет место всюду в (D), то, в частности,
оно выполняется налипни У = ф(х), хе /6. Поэтому
)в, хе/б (15)
Возьмем любое х е 1& и закрепим его. Рассмотрим при этом х
линейную систему
р/
Э</(х.,р(х» + Э{/(х.'р(х)) z = o ше z= z2 (16>
Эх	ЭУ
>
Определителем этой системы является det
Э£/(х,ф(х))
ЭУ
. Он отли-
чен от нуля в силу независимости интегралов и((х, У), м2(х, У),
мя(х, У). Следовательно, система (16) имеет единственное ре-
шение. Но, как следует из (14) и (15), эта система имеет своими
решениями векторы
7 = ф'(х) и Z = £(х,ф(х)).
Так как система (16) имеет единственное решение, то получаем,
что для взятого х € /5
ф'(х) = Г(х,ф(х)).
У нас х— любое, принадлежащее /6. Поэтому будем иметь
ф'(х) = Г(х,ф(х)), х е/б . Последнее означает, что У = ф(х),
х е/6, — решение системы (1). 4
Таким образом, показано, что соотношение (II) удовлетворя-
ет определению общего интеграла системы (!) в (D).
Замечание 1. Чтобы составить общий интеграл системы (I) в
(D), нужно найти п независимых интегралов этой системы.
219
Замечание 2. Пусть скалярная функция и(х,У)€С’(О) — ин-
теграл системы (1) в (D), отличный от тривиального (т.е.
u(x.Y)^ const в (D)). Соотношение u(x, У) = С называется пер-
вым интегралом системы (I) в (О). Отметим, что если
С/(х.У) =
'ux(x,Y^
и2(х, У)
= С — общий интеграл системы (I) в (/)), то
и„(х, Y)J
ui(x,Y) = Ci (i = |,л) — первые интегралы системы (I) в (D).
6*. Примеры и задачи к §4.
Задача /. Дана система уравнений:
Т = -г
ах
dz _ z2 - х
dx у
(=Л),
(=/2).
Проверить, будут ли функции: I) и = х2 + 2yz , 2) и = у- xz2
интегралами данной системы.
Решение. Мы знаем (см. критерий интеграла), что функция
u(x,y,z) е С*(£>) будет интегралом данной системы в области
(D) тогда и только тогда, когда справедливо тождество
du(x,y,z)
дх
+ 2«(^.z
ду	dz
z ~~
У нас J\(x,y,z) = -z;	=------“» (0) — множество всех
точек (j’*0). Имеем:
_2
1) 2x +2<(-<)-t-2y-----= 2x-2z2 +2z2 -2x»0;
У
2	2
2) -z + I * (-Z) - 2xz — = -Z - Z - 2xz---------* 0.
У	У
Вывод. Функция и = х2 + 2yz есть интеграл заданной системы
уравнений, а функция и = у - xz2 интегралом заданной системы
не является.
220
Задача 2. Дана система уравнений:
4у __у
dx х
dz _ 2у? - xz
dx x2
(=/i),
(=/2)-
Убедиться, ЧТО функции U|(X,y,S) = ху , u2(x,y>z) = XZ + У2 ЯВЛЯ-
ЮТСЯ интегралами данной системы в области (D) ((D) — множе-
ство всех точек (x,y,z), х * 0), и выяснить, независимы ли в (D)
указанные интегралы.
Решение. Имеем:
-, dUi t)U\ г ди> -	( у	,,	.	.
° ^+^z'+^='+4-7H'y*0MD);
2) *!l+^./1+^/2=j+24.z)+x2A«=z^L^yL-
дх ду dz	V х)	х хх
-ZaO в (D).
Следовательно, функции ut = ху и u2=xz+y2 — интегралы
заданной системы. Чтобы выяснить, независимы ли эти интегра-
лы в (D), составим матрицу:
' dut ЭМ|
йу dz
ди2 ди2
< йу dz
Ранг этой матрицы равен двум; следовательно, интегралы </| = ху ,
и2 = xz + у2 независимы в (D).
Задача 3. Доказать, что функция и (у, z) = У2 + Z2 - 2 In |yz - 1|
вдоль траектории любого решения системы уравнений
dy	2
- = y + z-yz,
dx
dz	2
— = -у - z + y~z
dx
постоянна,
b Решение. Пусть г | — решение заданной системы уравне-
U(x)J
ний. Вдоль траектории этого решения функция
u(y(x),z(x)) = у2(х) + Z2(x) - In (y(x)z(x) - I)2
221
непрерывно дифференцируема. Найдем производную этой
функции:
и(у(х), z(x)) = 2y^+2z^-
2(yz~ z
k dx
(yz -1)2
dx V yz-\) dx
/2 ,dy . 2 'dz
(y z -y- z)— + (yz -y-z)—
dx	dx
2
-----;\()’2Z ~ У - Z)(y + Z ~ yZ2) + (yz2 ~ У ~ Z)(-y ~ Z +
yz - I 1
2
=-------{y2z - у - г)Ь’ + г - yz2 + yz2 - у - г) $ о.
>1-1	'-----------5-------------
Итак, получили: для всех х из промежутка существования решения
имеем: </</(> (-у),^(-у)) а q значит и (y(x),z(xj) = С (const).
dx
§5. Методы интегрирования нормальных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений
Г. Метод исключения Метод исключения является основным
методом инте!рирования нормальной системы. Он сводит задачу
интегрирования данной системы к интегрированию одного или
нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое
из которых представляет собой уравнение относительно одной
неизвестной функции. Сущность метода состоит в следующем.
В системе
dy2	г .	.
1г(^У\'У1'-Уп)'
dyn	г у	х
-jf- = fn(x,yi,y2'... уп)
(I)
222
берем какое-нибудь уравнение, например первое, и дифферен-
цируем его пох. Получим
= ^L + ^L
дх dj’|
э/,
Эу2
д/,
ft,,
Подставляя сюда значения у{, у'2, ...» у' из системы (I), будем
иметь
Э/|(дс.^,у2.....>’„)
>’i -----------------------х----------
дх
¥,(•••)
ду2
Эу,
дуя
ИЛИ

(2>
Полученное соотношение (2) тоже дифференцируем похи подоб-
ным же образом, т.е. используя уравнения системы (I), приходим
к уравнению
У'" = Mx,yi,y2,...,y„).	(3)
После (п - 1) таких шагов мы придем к уравнению
/|Я) = /|л-|(х>Л^2. •••.>'»).	(4>
Рассмотрим теперь систему
X = f\(x,yhy2^...yn),
У\ = /п(х,Л ,№»••• Л).
У\ = Мх,уьуъ...уя),
<
/Г,)= /|л-2(х.РьГ2. - Уп\	(5>
у\п} = /|л-|(х»У|.У2.-^)-
Допустим, что из первых (л-1) уравнений системы (5) удается
найти у2, Уз.....у„, т.е. выразить у2, у3, ..., у„ через
л. >i, х. /г1’
У2 = Ф2(х^гХ.Х' »ХГ1’).
Уз =Фз(А1У|0Он-...У(Г,)).
..................................... (6)
У„ =<pn(x,y,,y{.yj', ...,у<|л’|)).
223
Подставляя эти значения для у2, Уз, , Уп в последнее уравне-
ние системы (5), будем иметь
/Г = /(х.УнК/Г..., УГ°) -	(7)
Получили, таким образом, одно дифференциальное уравнение
л-го порядка относительно одной неизвестной функции. Интег-
рируя это уравнение, получим
у, = Ф1(х,С|,С2,...,Ся)	(8)
(предполагается, что мы умеем находить общее решение уравнения (7)).
Теперь, дифференцируя полученную функцию (8) последова-
тельно (л-1) раз и подставляя значения yt, у", ..., у'" h в
(6), получим
Уз = Ф2(х,С|,С2,..., С„),
Уз ~ Фз(х,С|,С2,..., С„),
/я=Ф„(х,С1,С2,...,Ся),
которые вместе с ранее найденным (= Ф|(х,С[,С2,... ,С„))
составляют общее решение системы (1).
Замечание. В рассматриваемом случае процесс исключения
можно вести и в ином порядке. Так, например, можно выразить
У2, Уз, , Уп через х, /Г, у" ..., у["1 из последних (я-1)
уравнений системы (5) и подставить в первое.
Пример I. Найти общее решение системы
dy, о	,	.
= -Зх - 2/, + Зу2 + 4у3,
dy? <	,
~ = I-7х-6/| + 7у2 + 6у3,	-
ах	(I)
= X + Г) - у2 + у3.
dx
Продифференцируем по х первое уравнение из системы (I):
УГ = -3 - 2у( + Зуз + 4уз.
Подставляя здесь вместо у2, у'3 их выражения из (1), получим
У*=-Пх- |()у| + 11/2 + '4Уз.	(2)
Полученное уравнение (2) дифференцируем по г
у{" = -11-10у; +11/5 + 14^.	(3)
224
И здесь вместо X, у'г, у\ подставляем их выражения из (1).
Получим
У? = -ЗЗх - 32j>| + 33у2 + 40_у3.	(4)
Рассматриваем теперь систему
/I = -Зх - 2у, -I- Зу2 + 4уь
уГ=-11х-10^ + 11у2 + 14у3,	(5)
у'1'= -ЗЗх - 32у, + 33у2 + 4O.v3.
Из первых двух уравнений (5) выражаем у2 и через
Л» Я. К:
У 2 = 2>’f- 1у{ + 6У| + X,
Уз = у(-З^Г+ 11У| - 8у|).
Подставляем найденные значения для у2 и у3 в последнее
уравнение (5). Получим
y7-6yf+ИУ|-6у| = 0.	С)
(7) — линейное однородное уравнение с постоянными коэффици-
ентами. Составляем характеристическое уравнение:
X3 -6Х2-ь 1IX-6 = О => X, = 1, Х2 = 2, Х3 =3.
Следовательно.
Л = С}ех + С2е2х + С2е3х.	(§)
Теперь, дифференцируя (8) два раза и подставляя значения
Ун У" в (6), получаем
У1 = х + С\ех + ЗС3е3х, уз = С2е2х - С^е3х •
Совокупность функций
— общее решение системы (I). 4
225
Пример 2, Найти общее решение системы
у! = У2 + Уз.
(то)
Уз = У\ + Уг-
Дифференцируя по х первое уравнение системы (10),
получим
У\ = У2 + Уз •
Подставив здесь вместо у3» их выражения из (10), будем иметь
У\ = 2-h +(У1 + Уз>-	(20)
Замечаем, что уравнения
X = (J2 + J3>,
У1*= 2 Ji + (у2 + п)
содержат у2 и у3 “одинаковым образом’’ и, следовательно, из
этих уравнений они могут быть исключены сразу. В результате мы
получим уравнение второго порядка для j|:
y"-yj-2yl = 0,	(70)
и в дальнейшем дифференцировании уравнения (20) надобности
нет. Интегрируя уравнение (70), получим
у, = Схе~х + С2е2х .
Найдем теперь у3 из первого уравнения системы (То); у3 = у, - у2
и подставим во второе уравнение этой системы. Будем иметь
У2 = Ji + X " У2 => У2 s ЗС2е2х - Уг => У1 + У 2 = ЗС3е2х.
Мы получили уравнение первого порядка для у2. Решая его,
находим: у2 = С2е2х + С3е~х. Остается найти у3 , для чего можно
использовать, например, второе уравнение системы (То):
Уз = У2 “ Ji = 2С2е2х - С3е~х - Cte~x - С2е2х =>
у3=С2е2х-(С1+С3)₽х. <
Таким образом, в рассматриваемом случае нам пришлось
интегрировать одно уравнение второго порядка и одно первого
порядка. И вообще, следует отметить, что интегрирование нор-
мальной системы порядка л методом исключения может свестись
226
к интегрированию нескольких дифференциальных уравнений,
сумма порядков которых равна п.
Рассмотрим случай, когда метол исключения приводит к ин-
тегрированию л уравнений первого порядка.
Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
~ =/з(х,У|,У2.>’э),
(Т)
Интегрируя первое уравнение системы (1), найдем
У|=Ф|(х,С|).
Подставляя это выражение для у, во второе уравнение системы (Т),
получим уравнение первого порядка для у2:
^ = /2(х,Ф1(х,С^у2).
Интегрируя это уравнение, получим
У2 = Ф2<х,С(,С2>.
Подставляя в третье уравнение системы (Т) вместо и у2 соот-
ветственно Ф|(х,С|) и Ф2(х,С|,С2), получим уравнение первого
порядка для у3:
= /з (*, Ф| (*»С|),	, С2 >,у3),
Проинтегрировав это уравнение, найдем
у3 =Фз(х,С|,С2,С3), и т. д.
Наконец, придем к уравнению первого порядка для уп :
ф- = /я(х,Ф1(х,С1),Ф2(х,С|,С2)...Фя_|(х,С|,С2,..., Ся_|),уя).
dx
227
Проинтегрировав это уравнение, найдем
Совокупность функций Ф|(х,С|), Ф2(х,С|,С2), , Фя(х,С(,С2,..., Сп)
является общим решением системы (I).
2°. Симметрическая форма нормальной системы. Нахождение
интегрируемых комбинаций. Нормальную систему (1) можно запи-
сать в виде равенства отношений:
4Уу _ dy, _ _ dy,, _ dx
Si<x,yby2....у„) f2(x,yt,y2,...,yn)	Л(АУ|,>’2,...,л)	1
(9)
Равенство отношений (9) называется симметрической формой
нормальной системы (I). Такое название объясняется тем, что в
(9) все переменные х, у2, ..., равноправны: любую из
них можно выбрать в качестве независимой. Последнее обстоя-
тельство бывает иногда очень полезным в теории и практике
интегрирования систем.
Мы видели, что задача построения общего решения нормаль-
ной системы порядка п равносильна нахождению п ее независи-
мых интегралов. Общего способа построения интегралов не суще-
ствует, но в отдельных случаях они могут быть сравнительно
просто найдены. Для нахождения инте!ралов системы (9) либо
берут пары отношений, допускающих разделение переменных,
либо используют производные пропорции:
dx _ co0Jx -г ч- <n2dy2 4- ... 4- u>„dy„
I <оо + а),/, + <o2f2 + ... + <о„/я	‘
Здесь ^(x.y,,^....,^),	“
произвольные функции, и их выбирают так, чтобы числитель пра-
вой части был дифференциалом знаменателя, либо числитель был
полным дифференциалом некоторой функции и(х,_У|,.у2....,уя), а
знаменатель был равен нулю, т.е. чтобы одновременно выполнялись
дна условия:
1. (00 + (Bjj + 0),/2 +... + (1)я/я = 0;
2. wQdx 4- COJ//.F, +w2dy2 4-... 4-о>я</уя -du(x,y^y2,...,yn).
Если эти условия оказываются выполненными, то из (10) получа-
ется du = 0, откуда видно, что функция м(х,у|,у2,... ,у„) являет-
ся интегралом данной системы.
228
ПримерЗ. Найти интегралы системы
dx _ dy _ dz
yZ xyjz2 +1
(H)
(11) — система двух дифференциальных уравнений относи-
тельно двух неизвестных функций, записанная в симметрическом
виде. Области, в которых будем искать интегралы системы (II) —
открытые координатные октанты R1 с введенной системой коор-
динат Oxyz •
Zll, dx dy	„
Из первого равенства (II) — = — находим у = С.х, или
XZ yZ
У	г
— = С.. Соотношение — = С, является первым интегралом систе-
х	х
у
мы (11), а функция М|(х,>’) = — — интегралом системы (II).
X
Из (11), воспользовавшись свойством равных отношений,
находим
ydx -г xdy _ dz
^xyz xy-Jz1 +1
=> ^d(x у) = d^Jz2 + 1) =>
[y - Vz2 + I j = 0 => Ui(x,y,Z) = у - 7z2 + I = C2.
Это еще один первый интеграл системы (I I).
И меем
ЭМ|	ди2	1
Эу	ду	_	х
Э«|	ди,	()
dz
Z
Х>/| +Z2
*0
во всех точках каждой из восьми областей, в которых рассматрива-
у ху I ~
ется система (II). Значит, интегралы ut = — , и2 =	- vI + Z —
независимые в каждом из восьми октантов системы координат Oxyz.
Следовательно,
tf(*,y,z)
- общий интеграл системы (II).
229
Пример 4. Найти интегралы системы
dx - lly = iiz - ‘ll	(12)
у + z г + х х + у t
(12) — система трех дифференциальных уравнений относи-
тельно трех неизвестных функций, записанная в симметрическом
виде. Для отыскания интегралов системы (12) будем пользоваться
свойством равных отношений.
Имеем, например,
dx-dy _ df	d(x-y) dr
------  — => 	+ — = 0 => (x - у) t = C|.	(13)
y-x t x—y-----------------------------------t	1
Соотношение (13) является первым интегралом системы (12), а
функция Д| = (х-у)г — интегралом системы (12).
Имеем, далее, из (12)
tf(x-by + z)_<fr x+y+z _
2(х + у + с)" t —=С2>	(14)
Соотношение (14) является еще одним первым интегралом систе-
X + у + z
мы (12), а функция и2 =--,-----интегралом системы (12).
Из (12) находим еще
z-x t X-Z t
Соотношение (15) является первым интегралом системы (12), а
функция Uy = (x-z)/ — интегралом системы (12).
Имеем
dU| Эх Эы2	Э«| Эу Эи2	ЭЫ| dz Эи2		t X	-t x	0 1	= -3 # 0	(/ #0)
Эх	Эу	dz		Г	t2	t2		
Эи3	Эм3	dlUy		t	0	-1		
Эх	Эу	dz						
=> интегралы u^x,y,z,H, u2(x,y,z,r), u}(x,y,z,r) — независи-
мые всюду, где определена система (12). 4
230
§6. Интегрирование линейных и квазилинейных
дифференциальных уравнений
с частными производными первого порядка
I*. Общий вид линейного уравнения с частными производны-
ми первого порядка такой:
"	tin
	*») ’ — + Ь(хьх2.хл) W = /(Х|,Х2,..., хп). (Г)
м.................................dxt
Здесь хьх2, х„ — независимые переменные, и = и(хьх2,..мхя) —
неизвестная функция, а,(хх,х2.....х„) (/ = 1,л>, д(Х|,х2,...,хя),
/(Х|.х2,, х„) — известные, заранее заданные функции. (Неизве-
стная функция //(Х|,х2,...,х„) и все ес частные производные
входят в уравнение (Г) линейно.)
Общий вид квазилинейного дифференциального уравнения с
частными производными первого порядка такой:
Л	Эн
^a.Cx^Xj,... ,хя,м) — = />(х|,х2,...,хя,м).	(2)
м	Эх,
(В уравнение входят линейно лишь частные производные неизве-
стной функции; сама же неизвестная функция и = м(х(,х2,..., хя)
входит в (2) через посредство a((xhx2,..., хл, д) (/ = 1,л) и
b(Х| ,х2,..., хп,и) любым образом.)
1. Рассмотрим сначала уравнение вида
Эд	.Эд
Д|(х|,х2,...,хя) — + д2(х|,х2,...,хя) —+...+
+ дя(хьх2,,х„) — = 0.	(I)
эх„
Предполагается, что д,(Х|,х2..х„)еC(D), / = !,/», и что в (D)
а(в|,в2,...,ая)*(0,0,... ,0). Это — линейное однородное уравне-
ние первого порядка с частными производными.
Построим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний вида
dx\ = <fx2 = = dx„
«i(X|,x2,... ,х„) а2(хьх2,..., хя) дя(Х|,х2........хя)'
231
(3) называется системой обыкновенных дифференциальных урав-
нений, соответствующей уравнению (1>. (3) — система (п -1)
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предполагаем, что (3) задана в области (D) с R" и что (D) —
область единственности для системы (3).
Теорема 1. Пусть ц/|(Х|,х2,..., х„) = С| — первый интеграл
системы (3) в (D). Тогда функция и = у,(Х|,х2,..., х„) — реше-
ние уравнения (I) в (D).
Возьмем в области (D) любую точку (xt ,х2,..., х„). Через
нее проходит интегральная кривая системы (3). Вычислим du вдоль
этой интегральной кривой. Так как и = У] (х(,х2,..., х„) = Q
const
вдоль интегральной кривой системы (3>, то в точках этой кривой
du =	+ --^-rfx-» + ... + -^-dx„ = 0.	(4)
ЭХ| 1 дх2	дх„ "
(В частности, (4) выполняется во взятой точке (х,,х2,..., х„), а
она — любая из (D).)
Из (3) находим, например,
о2(х1,х2,...,х,)	_«„(Х|.х2..х,)
ах2 —------------------dxI,	••• * dxn —	лхI.
Л|(АГ,,АГ2..Д|(Х|,Х2...............................*п)
Подставив эти выражения для dx2, ... , dxn в (4), получим в каж-
дой точке (Х|,х2,..., х„) е (Z))
«|(ЛС|,хг...х„) -^-ч-а2(х|,х2,...,х„) -^- + ...+
</Л|	VA2
=> функция w = у1(Х|,х3,...,хя) — решение уравнения (I) в об-
ласти (D). 4
Теорема 2. Пусть
K|ii(xl,x2,..., х„) =СЬ
\|Г2(Х|,х2,...,хл) =С2,
aatttttt-
ЖЯ-|(*|.*2...*3	= ^-1
есть (л - 1) независимых первых интегралов системы (3). Тогда:
232
I) и = v<Vi.V2» —»V»-i), гле V- произвольная непрерывно
дифференцируемая функция, есть решение уравнения (1) в (£));
2) Любое решение уравнения (I) в (D) представимо в виде
« = У<У|.У2,— »	______
По условию, у,(Х|, х2,..., х„) = С( =	первые
интегралы системы (3) в (£)). Следовательно, по теореме I,
функции
«= V|(X|,X2,....Jf«). « = V2(X|,X2..Хп),
...,	« = УЯ_|(Х|,Х2,...,ХЛ)
являются решениями уравнения (I) в (D) =>
/	х Эу. /	\ Эу^
=> *|(*|.*2...^) -^- + д2^|.^2.......*«>	^“+- +
+ ая(х(,х2,..., х„) •	= 0 в (D)	(5)
(/ =
Пусть и = v(у|,у2....V/j-i)»	где у — произвольная непрерывно
дифференцируемая функция. Имеем
ди	д<|/	ЭУ| Эу		Эу2	Эу + ... + —	Эу„-1
ЭХ|	Эу|	Эх|	Эу2	Эх|		ЭХ|
ди	Эу		Эу	Эу2	+ ... + -*L	1
Эх2	Эу1	Эх,	Эу2	Эх2	Эул-|	Эх2
ди _ Эу	ЭУ| ! Эу	,	+ Эу	Эу„-|
Эх„ Эу(	Эхл Эу2	Эхя	Эул_!	Эхл
А тогда в области (D)
Д|(Х|,х2,..., Х„ )	+ <Ь(Х,,Х,,..., Х„)	..+Ц,(Х},Л2, • •х„) —i
<k|	<и2	дх„
-О
233
a,(X|,x2,...,x„) -^+g,U|,x2,
. (ty2 ,	v <^2
+...+«„(*!,X2.....^)‘-F
dr2	4
=0 (« силу (5)>
4-i
________________________«4__________________________ fA2__________________________________________<*Хп_
тО (в a<ty(5))
=0
=> и = V(V|,V2» -•» V,i-i) — решение уравнения (I) вобласти (D).
2)	Пусть и = v(X|,x2,... ,x„) — любое решение уравнения (I)
в области (D). Покажем, что
и = ф(хьх2.....хл) =
= v(V|(*l»*2. ... ,Х„),у2(Х|,Х2...Х„)....Ч'Я-|(Х|.Х2...*л>).
У нас и = ц/|(Х|,х2,... ,х„), w = v2(xj,х2,...,x„)i „	« =
= Ул-|(хьх2’ — .^л)’и =	••• ,хл) —решенияуравнения (I)
в области (D). Следовательно, в (D):
(6)
(6) рассматриваем как систему уравнений относительно неизвест-
ных Д|, а2, ..., ап. У нас Д|(Х|,х2........х„), я2(Х|,х2......хл), ,
tfrt(X|,x2,..., х„) не обращаются в нуль одновременно ни в одной
точке, принадлежащей (D).
234
Но у системы (6) решения, отличные от чисто нулевого,
существуют лишь тогда,		когда определитель этой системы равен		
нулю, т.е. когда	aV|			
		 —	-	1		
	дх.	дх2	Эхл	
	Ду 2	^2	Ду 2	
				
	ЭХ|	Эх2	Эхл	
					= 0 =>
	ду„-|		Дуя-|	
	Эх ।	Эх2	Эх„	
		ду	Эу	
	—	—	—	
	дХ|	дх2	Эх„	
=> существует зависимость у = у (У|,у2,..., у„_|) • ◄
Замечание. Функцию и = у(у|,у2, ••• » У„-|). , де V — произ-
вольная непрерывно дифференцируемая функция, называют об-
щим решением уравнения (1).
И. Рассмотрим теперь уравнение вида
”	ди
Ха/(х1'х2....хп^и> -Z-- Ь(хьх2,...,хп,и).	(2)
/=1	dx.
Предполагается, что функции о,(хьх2,..., хп,и) (i=\,n) и
b(xhx2t... ,х„,и) eC'(D), (D) с R"*1; а(а,,а2,...,ап) * (0,0,... ,0)
в (D). В (2) Л|, х2, ..., хп — независимые переменные,
а(Х|,х2,..., хп) — неизвестная функция.
Введем в рассмотрение вспомогательное уравнение
.	v dv .	. д»
<М*Ь*2.....ХП’“)	•	+ а2<х1>х2> •• • .	• Т + — +
ох ।	dXj
.	. dv , .	. dv _	(2)
+ a„(xhx2...x„,u) — + b(xbx2,..., x„,u) • — = 0.
oXn	dU
В (2)	X|, x2, ..., хп, и — независимые переменные,
v(x(,x2,..., xn,u) неизвестная функция.
Видим, что (2) — линейное однородное дифференциальное
уравнение с частными производными относительно неизвестной
функции v(xbx2,... ,хп,и). (Уравнение такого вида было рас-
смотрено в пункте I.)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соот-
ветствующая уравнению (2), будет такой:
235
dx} _ dx2 _
Д|(Х|,...,ХЯ,И)	а2(хь...,х„,и) ~
_ dxn = du
<j„(x,, ...,x„,w) Л(Х|...xn,u)'
(3) — система n обыкновенных дифференциальных уравнений,
Предполагается, что (3) задана в области (D) с R”*1 и что (D) —
область единственности для (3).
Пусть	•••. х„,и) = С, — первый интеграл системы
(3) в (D). Тогда (см. теорему 1) функция
V- у|(х|,х2,..., хя, w)
является решением вспомогательного уравнения (2). Следовательно,
/	ч <*v	,	. Эу
«|(Xj,X2, ..., хл,и) • — + О2(Х|,Х2, ..., х„,м) • — +... +
dX।	dXi
/	ч и	4 dv n (3)
+ o„(xbx2....x„,u) — + b(xhx2.......x„,u) — =0 в (D).
dx„	du
Имеет место
Теорема 3. Неявная функция м(х(,х2,..., х„) . определяемая
соотношением
у|(х1,х2,...,хл,и) = 0,
является решением уравнения (2).
Пусть и(Х|,х2,...,хя) — неявная функция, определяемая
соотношением у](Х|,х2,..., хя,и) = 0. Тогда, как известно,
ди _ Эх,	Эи	дх2		ди	_ К
ЭХ| ди	Эх2	Эу, ’ ди	• • • *		dVi ‘ ди
Подставив эти (2), получаем	ди выражения для -—, иХ ।		ди дх2	ди дхп	в уравнение
ЭУ|	Эу,
- a'(Jt.....*«•“> -57 - °^х................“>	
du	du
236

dVi	0\|/|
, Xn,U) -^2-------/>(Х|........X„,U)	
ди	ди
I
^1
ди
V’ /	\	11/	V V I
ХаЛх1’х2,- ,хл,«)--~-+ А(Х|Л2» —,
у = |	</Ху	014
~w—
=0 н (О), в силу (4)
Видим, что неявная функция w(x,,x2,..., х„), определяемая со-
отношением У](л'|,х2,..., ля,к) = 0, действительно является ре-
шением уравнения (2).
Пусть
V|U|,X2. ... ,Х„,«) = С|,
V2(X|,x2....x„,tf) = C2,
уДХцХг,... ,х„,и) = С„
— независимые первые интегралы системы (3). Тогда (см. теоре-
му 2) функция
У= Ч'(У|(*|.-Г2..X„,Z/),Y2(^|.^2>-»x«’W>...Ул(^|^2,...,хп,м)),
где V — произвольная непрерывно дифференцируемая функция,
является решением вспомогательного уравнения (2).
Имеет место
Теорема 4. Неявная функция и (х, ,х2,..., хп), определяемая
соотношением
У('И|^ьх2,-,^^>,Ч/2(х|,Х2,...,х„,м),...,у„(х|,хъ...,х„,м)) = О, (5)
является решением уравнения (2).
Пусть м(Х|,х2,..., хя) — неявная функция, определяемая
соотношением (5): ^(чМ*..........х«л).......чМ*.....,х„,м)) = 0.
U .. ди ди	ди	ди
Наилем ——, -—, ..., -—. Чтобы наити -—, продифферен-
«Х| ох2 дх„	Эх,
пируем по х( обе части (5). Получим
237
Зу	' Эу| t dip,	Эм '	Зу Г Эу2	। Эу2	йм
Зу|	[ ЭХ| ди	Зх,	Зу2 t dxt ди	Эх,
Зу, | Зу„ t Эу„ ди
Эуы ( Эх| ди Эх,
Эу Эу| Эу Эу2
ди _	Эу(	Эх,	Эу,	ЭХ|
Эу	Эу,	Эу	Эу2
Эу|	ди	Э\р,	ди
Эх|
Зу Эу„
Зуя ЗХ| _
Зу Зу„ “
Зу, ди
у Эу Эу 7
^Зуу Эх,
7-|Эу, ди
Совершенно аналогично находим
ди _ _ уд Эу j
дх2
I Зх2
Д Эу Эуу ’
Т-, Эу, ди
ди = УТ| ^У; дх„
Эх„
у Эу Эуу
ди
Подставив эти выражения
ди
ди
для Ч- ’ Ч—
Эх| Эх2
ди
-— в уравнение
Эх„
(2), получаем
у Эу Эу7
z . a*i
^|йуу ди
Л Эу Эу?
Л Эу Зу7
^|3уу ди
— ап(х।'... । хп,w)
Эу Эу?
Л|3у7 дхп
Д Ду Эу7
7Т|Зу7 ди
» у Зу
У Зу Зу? ^йуу
;“|ду7 ди
238
п
п
X
х„,и) •
Эх.
Х"’“> —и
= 0.
= 0 в (D), J=\,n
Эху
dXj
Эш j
—- = 0 для любого
Эи
1,л,так как v = V/(*hx2»..., х„,и) — решения уравнения (2),
j = I,".
Видим, что неявная функция w(xbx2» •••»хп), определяемая со-
отношением (5), действительно является решением уравнения (2). 4
Функцию и (Х| ,х2...х„)	, определяемую соотношением (5),
в котором V — произвольная непрерывно дифференцируемая
функция, называют общим решением уравнения (2).
Пример I. Найти общее решение уравнения
, .Эи .	. Эи _ Эи
<х - Z) • — + (7 - Z) • — + 2z  — = 0.
Эх	ду dZ
► м = и(х,у,г) — неизвестная функция. Заданное уравнение —
линейное однородное. Строим систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, соответствующую заданному уравнению:
dx _ dy _ dz
x-z У-z iz
Пользуясь свойством равных отношений, найдем интегралы этой
системы:
, v dx dy 2dz d(>
I)------------ —r— => —
x-z у -z	x
это первый интеграл системы.
(х + у + 2г)2
z
. <Ц ~ <£z2>I = с2 _ это
х - у Lz Z
2) dx =
х - Z z- у 2z
еще один первый интеграл системы.
Общее решение заданного уравнения будет таким:
и = у
z
<
Здесь у — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. 4
239
Пример 2. Найти общее решение уравнения
dz	dz	,
yz — -xz — = ez.
dx	dy
(I)
~ ► Z = z(x,y) — неизвестная функция. Заданное уравнение
(I) — квазилинейное. Вводим в рассмотрение вспомогательное
уравнение
dv dv , dv
Л У " А7 У + г У
dx dy dz
= 0.
(I)
В (2) x,y, z — независимые переменные, v(x,y,z) — неизвестная
функция. Уравнение (2) — линейное однородное относительно
неизвестной функции v(x,y,z).
Составляем систему обыкновенныхдифференциальных урав-
нений, соответствующую уравнению (2):
dx _ dy _ dz
yz ~ - xz ez
Найдем интегралы системы (3):
dx _ dy xdx _ ydy xdx + у dy _ dz
1	* yz - xz^ xyz -xyz '	0	~ ez
xdx + ydy = d(x2 + уг) = 0 => x2+y2 =C| - первый интег-
рал системы (3).
dx dz D
2	) — = —. Воспользуемся найденным первым интегралом.
yz ez
Будем иметь
, llx = ze Zdz => arcsin -^= + (z +1) e~z = Cj =>
=> arcsin j + (z + l)e z = Ci
J? ~
— это другой первый интеграл системы (3).
240
Общее решение вспомогательного уравнения (2) будеттаким:
г
v=V х2 + у2,(z + 1)€ г + arcsin
2
а значит, общее решение исходного уравнения (1) z = z(x,y)
есть неявная функция, определяемая соотношением
V х2 + y2,(z + 1)е"г
+ a resin
= 0,
Пример 3. Найти общее решение уравнения
.	, ди . .ди . .ди
(y + ?)— + (z + x) — + (x+ >) — = «.	(4)
дх	ду	dz
_ и - u(x,y,z) — неизвестная функция. Заданное уравнение
(4) — линейное неоднородное. Вводим в рассмотрение вспомога-
тельное уравнение
.	. dv ,	. dv . dv dv ..
(У + Z) — + U + x)—+ (х + у)— + и— = 0.	(5)
дх	dy	dz du
(5) — линейное однородное уравнение относительно неизвест-
ной функции v= v(x,y,z,u). Составляем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, соответствующих уравнению (5):
dx _ dy _ dz du
у + z Z + x x + у
Найдем интегралы системы (6):
d(x - у) _ du
(6)
dx dy _ du
' + z Z + x и
du ] d(x-y)
и х - у
d(y - z) _ du
z — y U
du d(y- z)
и у-z
и
и
и{х-у)^Сх;
? dy _ dz _ du_
Z + x x + у и
u(y-z) = C2\
/2ч d(x+y + z)_du x + y + z
3) из (6): -r------ = — => --------- C3.
2(x+y + z) и u2 i
Общее решение вспомогательного уравнения (5) будет таким:
v = v и (x -y),u(y -z),--
\	U‘
241
Значит, общее решение исходного уравнения (4) есть неявная
функция и = и (x,y,z), определяемая соотношением
( , v .	. х+у +z\ п
V м(х - у),и (у - Z),-;-- = 0,
к	и )
где V — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
2°. Понятие о характеристиках. Рассмотрим простейший при-
мер. Пусть требуется найти решение уравнения
^*^=0.	(6)
Эг дх
удовлетворяющее условию
«(х,Г)||=0=/(х),	(7)
где Дх) — известная функция. (6) — (7) — задача Коши.
Обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствую-
щее уравнению (6), будет таким:
dx _ dt
Т " Т’
Решая его, находим х = / + С => х - г = С. Это есть первый
интеграл дифференциального уравнения. Но тогда и = \Дх - t),
где у — произвольная непрерывно дифференцируемая функция,
является общим решением уравнения (6). Для определения функ-
ции V используем условие (7)
V(х - ')|/=0 = f(x) => у(х)=/(х) => у = /.
Следовательно, и = J\x-t) является решением задачи (6) — (7).
Замечание. В рассмотренном примере, исходя лишь изданно-
го уравнения (6) и условия (7), мы можем на оси абсцисс (т.е. при
t = 0) определить формально все частные производные от функ-
ции u(xj) по переменным х и г.
Действительно, из (7) находим —	= /'(х). Затем из (6)
°* г=0
ди
получаем —
/=0
ди
= -f'(x). Потом находим
д2и
дх2
= Г’(х),
dtdx „
1=0
d2U
lit2
1=0
d2U
дхдг
= /"(*)♦ И T. Д.
1=0

242
В таком случае, когда, исходя лишь из (6) и (7), удается
определить формально на линии t = 0 все частные производные
от функции	по переменным хи/, будем говорить, что
задача Коши (6) — (7) поставлена правильно. В противном случае
мы сказали бы, что задача Коши поставлена неправильно.
Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (6) и кривой
(/), заданной уравнением <о(х,/) = 0. Предполагается при этом,
что <о(х,/) € C\D} и что (и>'х)2 + («Р2 * 0 в (D) с. R2.
Упомянутая задача Коши формулируется так: требуется найти
решение уравнения (6), удовлетворяющее условию
4,, = /(Л/>.	(7)
Выясним, когда задача Коши (6) — (7) оказывается постав-
ленной правильно и когда— нет. Иначе, выясним, когда мы
сможем и когда не сможем, исходя лишь из (6) и (7), определить
на (/) формально все интересующие нас частные производные от
функции м(х,/).
Для этого вводим в рассмотрение новые переменные и q
по формулам
£ = <ю(х,/),
П = г
Тогда «(х,/) о и(^.п):
ди _ ди Э£ ди di] _ ди дш
дх~ d^ дх+ dt} dx = d^ dxf
дю	=0
«V
Эи Эл Э^ йи Зц _ йи йш ди_
dt д^ + Эг| Э/ Э£ dt + Эг|
=1
=э7
Уравнение (6) в новых переменных станет таким:
Эш Эо^ ди ди Л
— -ь—-------+ — = 0,
Эх dfJ % Эп
а начальное условие (7) примет вид
= /|(П).
(6)
(7)
243
Из (6) и (7) видим:
1) если — + — st 0 на кривой (/), то задача Коши (6) — (7)
дх dt
поставлена правильно;
2) если —+ — = О на кривой (/), то задача Коши (6) — (7)
Эх dt
поставлена неправильно.
В первом случае кривую (/) называют нехарактеристической
или свободной для уравнения (6), во втором случае — характерис-
тической (или просто характеристикой).
Итак, получили:
Кривая (/), заданная уравнением ы(х,г) = 0, — характеристи-
ческая для уравнения (6), если на (/)
Эи + Э(п
Эх Э/
(3>
(8) — уравнение для характеристик уравнения (6).
Пусть требуется определить семейство характеристик для урав-
нения (6). Для этого берем уравнение (8) и составляем соответ-
ствующее ему обыкновенное дифференциальное уравнение
— - —
1 “Т
=> х - 1 = С — первый интеграл этого уравнения. Утвер-
ждаем, что линии, определяемые соотношением х - t = С, обра-
зуют семейство характеристик для уравнения (6). Действительно,
по теореме 1 предыдущего параграфа, функция ш(х,г) - х -1
является решением уравнения (8). Значит, линии определяемые
соотношением х - / = С, образуют семейство характеристик для
уравнения (6) (рис. 5.1).
Если в качестве кривой (/) взять любую линию из семейства
ди	z
х - t = С , то коэффициент при в уравнении (6) на каждой
такой линии будет равен нулю и, следовательно, мы не сможем,
исходя из (6) и (7), определить на (/) все частные производные
функции и. Значит, задача Коши для уравнения (6) и такой
кривой (/) будет поставлена неправильно.
Замечание. Во всех точках каждой прямой из семейства
x-t = C решение и= f(x-t) задачи (6)— (7) имеет свое, но
одно и то же значение.
244
Рис. 5.1
Станем рассматривать теперь более общие примеры.
1. Пусть имеется уравнение вида
а(хуу) — -^Ь(х,у)^- = с(х,у).	(9)
дх ду
Пусть имеется кривая (/), заданная уравнением w(x,y) = 0. Пред-
полагается, что ш(х,у) е C‘(D) и (ш^)2 + (со' )2 #0в (D)cR2 .
Задача: найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условию
40 = /W,	(Ю)
где /(Л/) — известная функция.
Выясним, когда задача Коши (9)— (10) будет поставленной
правильно и когда — нет, т.е. выясним, когда мы сможем и когда
не сможем, исходя лишь из (9) и (10), определить формально на
(/) все интересующие нас частные производные функции м(х,у) •
Для этого вводим в рассмотрение новые переменные и q
по формулам:
£ = <о(х,у),
П = У-
Тогда и(х,у) -> (4,т|):
Эм _ Эм дм Эг| _ ди дш
дх " Э^ дх + Эп Эх “ дх ’
ди _ ди Э£ + ди От] _ ди ды ди
ду Э^ ду Эр Эу Э£ ду	ЭГ|
245
В новых переменных уравнение (9) станет таким:
(Э<0 ,э<1й ди ,ди
а условие (10) примет вид
"lt.o = 7<п) 
(10)
Из (9) и (10) видим, что:
I) если на (/) коэффициент при не равен нулю, то задача
Коти (9) — (10) поставлена правильно и, следовательно, кривая
(/) — нехарактеристическая;
2) если же на (/) д(х,у)---+ Ь(х,у)---= 0, то задача Коши
дх	ду
(9)— (10) поставлена неправильно и, следовательно, кривая
(/) — характеристическая.
Соотношение
а(х,у) — + Л(х,у) — = 0	(II)
дх	ду
есть уравнение для характеристик уравнения (9).
Пусть требуется определить семейство характеристик для урав-
нения (9).
Для этого берем уравнение (11) и составляем соответствующее
ему обыкновенное дифференциальное уравнение
dx _ dy
а(х,у) b(x,y)
Пусть
V(x,j) = C	(12)
— первый интеграл этого уравнения. Утверждаем, что кривые,
определяемые соотношением (12), образуют семейство характе-
ристик для уравнения (9). Действительно, по теореме I предыду-
щего параграфа, функция со = у(х,>’) является решением уравне-
Эш
ния (II). Следовательно, а(х,у) —- + Ь(х,у) — = 0. Значит,
дх	ду
кривые, определяемые соотношением (12), образуют семейство
характеристик уравнения (9).
246
2. Пусть имеется уравнение вида
бГ|(х„ ..., хя) •	+ ... + ап(х,.х„) ~ = с (Х|,.... х„). (13)
(/А ।	и
В этом случае вместо кривой (/) задается уже поверхность (о).
Пусть <о(Х|,х2,..., х„) = 0 — уравнение поверхности (а). Предпо-
лагается, что
а,(Х|,..., хл) е С’(2))	(/=!,«),
с(Х|,...,х4)еС|(Р),
....йя) * (0,0,... 0) в (/)),
<o(xh...,xj€C'(D),
(ш;,)2 +(m;I)2 + ... + «я)2 *о в (D).
Задача. Найти решение уравнения (13), удовлетворяющее ус-
ловию
и|о=/(Л/),	(14)
где f(M) — известная, заранее заданная функция.
Заметим, что (13)— (14)— задача Коши на поверхности (о).
Выясним, когда задача Коши (13)— (14) будет поставлена пра-
вильно и когда — нет, т.с. выясним, когда мы сможем и когда не
сможем, исходя лишь из (13) и (14), определить (формально) на
(о) все интересующие нас частные производные от функции и.
Для этого вводим в рассмотрение новые переменные U = I, л)
по формулам:
= (й(Х|,Х2,...,Хл),
^2 = х2»
= Х„.
п
Тогда м(Х|,х2,..., х„) <-> и(^|Л2,
Эм _ Эм Э^|	Эм Э^2	Эм Э^л _ Эм Эш
ЭХ| Э^| Эх|	Э^2 Эх(	Э^л Эх, Э1^ ЭХ|
То"	То"
Эм _ Эм Э£| Эм <Х2 Эм Э^з Эм Э^„ Эм Эю Эм
<^ = э^ ахГ + э£Г ’ Эх7 +э^”а^ + ”*+э^ а*7 ” э^ ах7 + э^"
ТГ То"	То"
247
Аналогично
ди _ ди Эсо ди
дГ^д^ +
ди ди ЙСО ди
^Хп ^Si дхп д^п
Уравнение (13) в новых переменных запишется так:
(	Эсо	Эш	(ко) ди	ди	ди
И» ^7 + в2 ЧГ+- + а" ^" + 02^Г + ••• + a"^“ = c•
\ I	ctXj	дхп ) Эц|	^42	дс>„
(15)
Начальное условие (14) в новых переменных станет таким:
“к,.о=/|(^Лз....W.	(16)
Из (15) и (16) видим, что:
I)	если на (о) коэффициент при —- в (15) не равен нулю, то
задача Коши (15)— (16) поставлена правильно и, следовательно,
поверхность (о) — нехарактеристическая;
2)	если на (о)
дм дм	дм _
°' <^ + °г fe+- + o" к=0'
(17)
то задача Коши (15) — (16) поставлена неправильно и, следова-
тельно, поверхность (о> — характеристическая.
Соотношение (17) является уравнением для характеристиче-
ских поверхностей уравнения (13).
Пусть требуется определить семейства характеристических
поверхностей для уравнения (13). Для этого берем уравнение (17)
и составляем систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, соответствующую уравнению (17):
<fr| =	_ = d*n (18)
Л|(Л|...х„) а2(х.......х„) an(Xi.........х„)'
Пусть
уДх^Хз,...,^) =Cj (/ = 1,л-1)	(19)
- независимые первые интегралы системы (18). Утверждаем, что
поверхности, определяемые соотношения ми (19), образуют семей-
ства характеристических поверхностей для уравнения (13).
248
В самом деле, по теореме 1 предыдущего параграфа, функции
= у/(х),х2,..., х„) (/ = I, п - 1) являются решениями уравнения
(17)	. Следовательно,
«I-
Эу,
Эх,
Эу,
Эх2
^- = 0 (/ = 1,л-1).
+ о2 •
Значит, поверхности, определяемые соотношениями (19), образу-
ют семейства характеристических поверхностей для уравнения (13).
Пример 4. Найти решение уравнения 2-Jx —
Эх
удовлетворяющее условию z(x,y)|	= у~.
Заданное уравнение — линейное однородное. Составляем
соответствующее ему обыкновенное дифференциальное уравне-
-у£ = о,
Эу
ние: —= ——, откуда уе™ = С — первый интеграл уравнения.
2vx - У
Значит, z = у(уе^* ], где у — произвольная непрерывно диффе-
ренцируемая функция, есть общее решение заданного уравнения.
В этом примере задача Коти поставлена правильно, так как
функция ш = х-1 не является решением уравнения
-у — = 0 и, следовательно, линия (/), определяемая уравнением
Эу
о = 0 (т.е. уравнением х = I), нехарактеристическая.
Для определения вида функции у используем начальное
условие г(х,у)|х | = у2. Имеем: у(уе''Л1	= у2,т.е. у(уе) = у2
х "х=|
(уе)2	Г J-Т
:	). Значит, у y?WA =-------5— и, следовательно,
г	'	'	е1
у2е2^	2 г(Л-|)
Z(x,y) = <  =yVv 4
е
Пример 5. Найти решение уравнения
Эм	Эм	Эм „
Ат- + у—+ху—= 0,
Эх	Эу	Эг
удовлетворяющее условию м(х,у,г)|. (1 = х2 +у2
249
Заданное уравнение — линейное однородное. Составляем
систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответ-
ствующих заданному уравнению в частных производных:
dx _ dy _ dz
х у ху"
ах ау	у
I) — = —, откуда — = С. — первый интеграл системы;
х	у	х
dx dz	, dz
2) — = — , откуда dx = — или, принимая во внимание, что
_у = С|Х, Ctxdx = dz => z = C|^- + C2 => г = ’Т+<'2
ху
Z - -у = С2 — это еще один первый интеграл системы.
I У	ху ।
Значит, w = ш —, z - — I, где у — произвольная непрерыв-
ных	2 )
но дифференцируемая функция, есть общее решение заданного
уравнения.
В этом примере задача Коши поставлена правильно, так как
функция ш = z не является решением уравнения
Эо)
* Эх
Эю Л
+ А}’— = °,
Эг
и, следовательно, поверхность (о), определяемая уравнением
о) = 0 (т.е. уравнением z = 0), — нехарактеристическая.
Для определения вида функции у используем условие
wU,y,?)|Je0=x2+/.
Имеем	= *2 + У2 , т.е. v[--^ | = *2+У2.
U 2 J.sQ	U 2 )
Поверхность (о) (в нашем случае плоскость z=0) можно
х = х
считать заданной параметрическими уравнениями <у = у, х, у —
Z = 0
параметры.
250
Подставим эти выражения для х, у, z в найденные первые
интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравне-
у	XV
ний, а именно, в соотношения: — = Cj и z —= С2. Получим
У нас ч- <С, ,С2)|..„ = х2 4- / =	- 2С,С2 = -^-(1 + С,2). Итак.
L|	С|
получили: у(С|,С2) = —^(1 + С|2).
ч
у
Подставив теперь здесь вместо С, и С2 соответственно —
ху
и z - — , находим
+ 41 = ^2£(Л2+у2).
х* J ху
Следовательно, u(x,y,z) = (ху - 2z) — + — . 4
кт xj
Пример 6. Найти решение уравнения
< — + (Г -х-) —+ Х = 0,
dX	ду
удовлетворяющее условию z (x,y)|t=jfJ =2х.
Заданное уравнение — квазилинейное. Рассматриваем вспо-
могательное уравнение
dv . j 2.dv	dv л
z — + (Z - х1)— -x— = 0.
дх	dy	dz
Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, соответствующую этому вспомогательному уравнению:
dx _ dy _ dz
z z1 - x2 -x'
251
dx dz	л,
I) — = —— =& xdx + zdz = 0 => z + x - C| — первый ин-
теграл системы;
dx + dz
2)
dy	,	.	(z + x)2
/ Т7--------Г => U + x)d(z + х) = dy => -----
z -х U -х)(г + х) '	' '	' z 2
(г + х)2	„	Л
> => ---------у =С2 — первый интеграл системы.
2	2 (Z + X)2
v=y Z + Х, -———
— у — общее решение вспомогатель-
ного уравнения.
Соотношение
2
1	2 U+Xf	п
V z + х , —-------у = 0, где V — произ-
вольная непрерывно дифференцируемая функция, дает общее
решение исходного уравнения. Последнее соотношение может
_	U+X)2 ,z 2	2, г
быть записано в виде —-----у = f(z + х ), где ] — произволь-
ная непрерывно дифференцируемая функция.
Задача Коши в этом примере поставлена правильно, так как
функция (o = j-x2 не является решением уравнения
Эй) /2 2vdaj	л	/л
Z — + (? -х)-—х— = 0 и, следовательно, линия (/),опрс-
Эл	ду dZ
деляемая уравнением со = 0 (т.е. уравнением у = х~), нехаракте-
ристическая.
Для определения вида функции f используем условие
г(х,у)|	= 2х. Имеем
(Z +-V)2
2
2J
1у=х
Jy=x2
Так как z |v=xi = 2х, то последнее соотношение запишется в пиле
/<5х!) =	- х! = lxJ => /(5х2) = 1 (5х!) .
•j
Значит, f(z2 + х2) = — (z2 + х2), и, следовательно, будем иметь
^(z2 ч-х2) = -у =» (z2 +х2) = 5(xz-y). 4
252
§7. Продолжение решений.
Нелокальные свойства решений
Пусть имеется нормальная система обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
^ = /(х,Г).	(I)
ах
Считаем, что F(x,Y) е C(D) , (D)cR"*1, F(x,Y) е Lipr (D) —
локально. Рассмотрим произвольное решение системы (I)
У=ф(х). хе/ = (а,/>).	(2)
Определение. Если существует решение системы (I)
r=q>i(x), х€/|=(аь6|),	(3)
такое, что
I) / CZ /| , I * /| , и
2) ф|(х) = ф(х), хе/,
то решение (2) называется продолжимым, а решение (3) называет-
ся продолжением решения (2) на промежуток Z,.
Если промежуток /, является расширением промежутка I
лишь вправо, то решение (2) называется продалжимым вправо,
а решение (3) называется продолжением вправо.
Если промежуток /( является расширением промежутка 1
лишь влево, то решение (2) называется продолжимым влево,
а решение (3) называется продолжением влево.
Теорема 1 (о продолжимости решения, определенного на сег-
менте или полусегменте). Пусть	xely — решение
системы (I). Тогда:
I)	если / = [«,/>], то решение Y = ф(х) продолжимо в обе
стороны;
2)	если Г =[а,/>), то решение Y = ф(х) продолжимо влево;
3)	если / = (л,Л], то решение Y = ф(х) продолжимо вправо.
> Пусть для определенности V = ф(х) — решение системы
(I), определенное на /	Покажем, что это решение про-
должимо вправо. Пусть ф(6) = С . По определению решения, точ-
ка (/>.ф(/>)), т.е. точка (Ь,С) е (/>).
Так как точка (b,C) е (D), то существует решение системы (1),
проходящее через эту точку. Пусть таковым решением является
У = ф(х), xe[b-h,b + h], h > 0, ф(£)=С.
253
Рассмотрим функцию
Ф(х), х е / = (а,Ь],
у (х), х е [b,b + Л|.
Отметим, что ф|(х) определена и непрерывна на /| = (а,Ь + Л].
Покажем, что она является решением системы на промежутке
(а,Ь + Л] = /|.
Имеем: I) для любого хе /t точка (х,ф|(х))б (D).
Имеем, далее:
для х € (а,Ь) ф! (аг) = <р'(х) = Г(х,ф(х)) = Г(х,фДх));
для xe(b,b + h] ф!(х) = у'(х) = F(x,y(x))= F(x,q>,(x)).
<р(х) имеет в точке b левостороннюю производную =>ф,(х)
имеет в точке Л левостороннюю производную, причем
ф{(/> - 0) = <?'(Ь - 0) = Г(/>,ф(А)) = F(b,C).
у(х) имеет в точке b правостороннюю производную =>ф|(х)
имеет в точке b правостороннюю производную, причем
Ф1(6 + 0) = у'(Ь+ 0) = F(/\v(7>)) = F(fr,C).
Видим, что существуют ф1(6-0) и ф{(д + 0), причем
Ф|(А - 0) = <р'|(Ь + 0) = F(b,C) => существует ф[(Ь). причем
<₽;(*) = F(b,C) = F(b.qt (4)).
Таким образом, для х е /| существует q>J(x). причем
Ф1(х) = Г(х,ф|(х)).
Вывод, вектор-функция У = cp,(x), хе /( = (а,Л + й], есть ре-
шение системы (I). Это решение определено на промежутке Z,.
который является расширением вправо промежутка /. Так как
<pi(x) = ф (х), хе/, то заключаем, что фДх), х е /(, — продол-
жение вправо решения ф(х), хе/.
Следствие. Решение системы (I), определенное на некотором
сегменте или полусегменте, всегда может быть продолжено на
некоторый интервал.
Для определенности рассмотрим опять решение У = ф(х)
системы (I), определенное на / =(«,/>]. По теореме I это реше-
ние имеет продолжение ф|(х), х е Ц = (a,ht |, где b} = h + h,
Л>0- По теореме I решение ф,(х) имеет продолжение ф,(х),
х е /2 = (а>Ь2], где /ъ = />| + Л|, Л| > 0 .
254
Очевидно, что решение ф2(х)» * е /2, является продолжени-
ем исходного решения ф(х), хе/. Продолжая этот процесс
аналогичным образом, получим бесконечную последовательность
продолжений исходного решения ф(х), хе/:
Ф„(х). хе/м = (л,Ая], Ьп =ЬпЛ + hn |, /»„_| >0 (л=1,2,3,...).
Здесь {b„ }weN — монотонно возрастающая числовая последователь-
ность. Следовательно, Ь„-----> Ь (Ь < +~).
Рассмотрим теперь вектор-функцию:
ф(х) = Ф„(х), хе/я, л = 1,2,3,... .
Эта функция определена на любом /„ и, следовательно, определе-
на на I = (J 1п = (д,Ь}. При этом для любого хе/ существует л,
л»|
такое, что х е (а,Ьп) , и, следовательно,
ф'(х) = ф;,(х) = F(x,<p„(x)) = Г(х,ф(х)).
Это означает, что функция
У = ф(х), х е 7 = (а,Ь)
есть решение системы (I). Ясно, что она — продолжение исходно-
го решения вправо.
Таким образом, любое решение системы (I) мы можем счи-
тать определенным на некотором интервале.
Теорема 2 (об условиях продолжимости решения, заданного
на интервале). Пусть
Y = ф(х), X G / = (а,Ь)	(♦)
— решение системы (1) (считаем, что b Тогда:
I. если решение (*) удовлетворяет условиям:
I) существует lim ф(х) = С ,
Х-+6-0
2) точка (Ь,С) 6 (D),
то решение (*) продолжимо вправо на некоторый интервал
/| = (а, Л,), где > b,
и наоборот.
II. если решение (*) продолжимо вправо на некоторый интер-
вал /( =(о,/>|), где />| > Ь, то существует lim <р(х) = С и точка
(6,С)е(Р).	х->*’0
255
Замечание. В предположении, что а > аналогичные утвер-
ждения имеют место для продолжимости решения (*) влево.
I. Рассмотрим вектор-функцию
x^l=(a,b),
’1<Л>-1С, х-4.
Эта функция определена на промежутке = (а,Л| и, согласно
условию I) теоремы, ф((х) е C(Z|). Покажем, что ф((х), хе /(,
является решением системы (I) на промежутке /,.
Имеем:
1)для х е (<я,д| точка (х,<р,(х)) е (D).
В самом деле, для хе(а,Ь) ф((х) = ф(х), а точка
(х,ф(х))е (D); для х = b точка </>,С) е (D).
Имеем, далее,
2) для х е (а,Ь)
ФИ*) = Ф'(х) = ^(х,ф(х)) = Г[х,ф|(х)).
Устремим в этом равенстве х к Ь - 0. Получим
<р',(х) = £(х,ф(х)) ——»£(/>, С)
'	' х->6-0
=> ф,(х) вточке х = b имеет левостороннюю производную, при-
чем ф'|(/> - 0) = F(b,C).
Видим, таким образом, что ф|(х) — решение системы (I),
определенное на /, = (а,/>]. Ясно, что ф|(х), х е /(, — продолже-
ние решения (*) на промежуток (а,/>|.
По следствию к теореме 1, ф|(х), х е /, , можно продолжить
на некоторый интервал f2=(atb{), где Ь} >Ь. Обозначим это
продолжение через
ф2(х), X е 12.
Ясно, что ф2(х), хе /2,— продолжение решения (*) на /2. Ут-
верждение I теоремы доказано.
II. По условию, решение (*) имеет продолжение вправо: ф((х),
х е /( =	, где b} > Ь => существует lim ф|(х) = ф । (£>). Но тогда
х->ь
lim ср(х)= lim ф,(х) = ф\(b) = С ,т.е. lim ср(х) существует.
x-tb-0	x-»b-0	x-tb-0
256
Имеем, далее: точка (d,С) = (Л,<рj(Z>)) е (£>> как точка графика
решения Y = <p((x) системы (1). Видим, что утверждение II теоре-
мы доказано. 4
Теорема 3 (об условиях существования предела у решения
Ф(х), заданного на интервале). Пусть У = <р(х) — решение систе-
мы (I), определенное на интервале 1 = (а,Ь) (6 <+<»). Пусть
точка xoe(atb). Если вектор-функция F(x.(p(x)), xe|x0^h
ограничена по норме, т.е, если существует М >0, такое, что
If (x,<p(x))l< М, те [xft, b), то существует lim <p(x).
"	11	х->Л-0
У нас <р(х), хе/ — решение системы (I). Следовательно,
справедливо тождество
ф'(х) = Г(х,ф(х)), хе/.
Проинтегрируем это тождество по отрезку [х0, х] с |х0,Л). Получим
ф(х) = ф(х0)+ jF(x,q>(x))dx, xe[x0,6>.	(*)
*0
Возьмем теперь последовательность {хД, — любую, но такую,
что х„ е |х0./>) и х„-b . Рассмотрим соответствующую после-
п—>°°
довательность значений функции
<Л>
Покажем, что она фундаментальная. Для этого возьмем е > 0 —
любое. У нас последовательность	—сходящаяся. (х„-------> b)
=> взятому е > 0 отвечает номер N, такой, что для любых Л|, п2 > N :
рсЛ) - хя,| <	. В тождестве (•) положим сначала х = хЯ|, а затем
х = xflJ. Получим два соотношения. Вычтем из второго соотношения
соответствующие части первого. Будем иметь
хч
- Ф(•*„,) = /F(x,q>(x))t/x =>
х-|
|ф(х„Д ~ф(х„,)|< j|F(x^(x))|rfx < М (х„2 -х,
х.
|< Л/ — = £.
I м
257
Видим, что взятому £ > 0 отвечает номер /V, такой, что для любых
W|, й2 > У |ф (х„2) - <р (хЯ| )| < е . Последнее означает, что
-[ф<хп>} N — фундаментальная. А из фундаментальности следует
существование lim ф (х„).
/1-^00
Итак, для любой последовательности (> I такой, что
хп е (х0,6) и хп---»/>, оказывается, что соответствующая пос-
ледовательность {ф(*л)},|€>1 имеет конечный предел (важно под-
черкнуть, что этот предел не зависит от выбора последовательно-
сти {х„} ( N ). Значит, существует lim ф(х). <
Замечание Обозначим lim ф (х) = С . Следует иметь в виду, что
Х-+5-0
точка (6, С) может принадлежать, а может и не принадлежать (£)).
Следствие. Пусть ф(х), х е I = (а,Ь) (/><+«>),— решение
системы (I). Пусть существует ограниченная замкнутая область
(0|) с (D) такая, что при некотором х0 е (а,Ь) оказывается: точ-
ки (х,<р(х))е (D|) , х с[х0,6). Тогда решение ф(х), хе / = (д,6) ,
продолжимо вправо на /, = (о,6,) ( > b ).
Так как (£>]) — ограниченная замкнутая и (£)() с (D), то
F(x,r) - ограниченная на (D\)  По условию, точки
(х,ф(х))е (Di), хе(х0,6) => Г(х,ф(х)), хе[х0,6) — ограничен-
ная. Тогда ио теореме 3 существует lim <р(х) =С . У нас точки
_	x-tb-0
(х.ср(х)) е (D|), хе[х0,6). Но тогда и предельная точка
(b,C) е (D|) с (D). Видим, что выполнены условия теоремы 2 =>
решение ф(х), хе / = (<г,6), продолжимо на интервал /| вправо. 4
Определение. Пусть
У=Ф(х), хе/ = (о,6),	(2)
— решение системы
^-=F(x,Y).	(I)
ах
Пусть (2> продолжимо на некоторый интервал /* = (а,0), но не
продолжимо ни на какой более широкий промежуток. Тогда /*
называют максимальным интервалом существования решения (2).
258
Если решение (2) продолжимо на / = (я,0), но не продолжи-
мо вправо ни на какой более широкий интервал, то /* называют
максимальным вправо интервалом существования решения (2).
Если решение (2) продолжимо на / = (а,6), но не продол-
жимо влево ни на какой более широкий интервал, то / называ-
ют максимальным влево интервалом существования решения (2).
Теорема 4 (о существовании максимального интервала суще-
ствования решения). Любек решение У = ф(х), хе/, системы
(I) имеет максимальный интервал существования /* =(а,Р).
Из следствия к теореме I следует, что решение У = ф(х)
системы (I) можно считать заданным на некотором интервале
f = (a,b). Докажем сначала, что для У = ф(х)> xe/-(a,h)t
существует интервал существования решения 7‘ — максималь-
ный вправо. Могуг иметь место два случая.
/ случай: I = (я, +~). В этом случае интервал (я, +°°) уже
является максимальным вправо.
2 случай: / = (я,д>, b < +~. В этом случае станем рассматри-
вать промежуток (/>,+«>). Все числа этого промежутка разобьем
на два класса А и В по следующему правилу:
берем произвольное число с из промежутка [/>, + <»); если
решение У = ф(х), хе / = (а,Ь), продолжимо на (я,с), то с от-
правляем в класс 4;
если решение У = ф(х), х е / = (я,д), непродолжимо на (я,с|,
то с отправляем в класс В.
Могут реализоваться следующие возможности:
I)	4=0, т.е. для любого се[/>,+°°) решение У = ф(х),
х е / = (я,/>), непродолжимо на (я,с]. Это означает, что решение
У = ф(х), х е I = (я,Ь), непродолжимо вправо. Значит, (а,Ь) —
является максимальным вправо интервалом существования реше-
ния У = <р(х).
2)	5 = 0, т.е. для любого с с (/>,+<») решение У = ф(х),
хе I =(а,Ь), продолжимо на (а,с]. Это означает, что решение
У = ф(х), х 6 Г = (я,/>), продолжимо на (я,+ «>). Следовательно,
/=(я,+ «) — максимальный вправо интервал существования
решения У = ф (х).
259
3)	Л*0, В*0.Так как любое число се [/>, + <») попадает
либо только в А, либо только в В, и так как С| < с2, если с( —
любое из А, а с2 — любое из В, то существует число р = А | В ,
осуществляющее сечение (/»,+«>). Отметим, что ре В (если бы
было Р <t В„ то Р 6 А , причем 0 = max А => решение Y = ф(х),
хе 1 =(а,Ь) , было бы продолжим© вправо на Ц = (а,Р), а следо-
вательно» по теореме 1 оно было бы продол жимо на промежуток
(а,р + Л], где /| > 0 => р + й <= Л => р нс есть max А).
Таким образом, в случае 3) будем иметь:
для любого се|й,Р) решение У = ф(х), хе/ = (д,д), про-
должим© на (а,с|; значит, оно продолжим© на (а,Р), а
для любого се|р,+ «») решение Е = ф(х), х е I = (а,Ь), не-
продолжимо на (а,с].
Вывод. Решение К = ф(х), хе/ = (а,Ь), продолжим© на
/’ = (а,р) и непродолжимо ни на какой более широкий интервал
вправо.
Совершенно аналогично устанавливается, что для решения
У=ф(х), хе/=(а,Ь), имеется интервал существования
7* =(«,£) — максимальный влево.
Общий вывод. Решение Y = <р(х), хе I = (а,Ь), имеет макси-
мальный интервал существования /" =(а,р).
Теорема 5 (нелокальная теорема единственности). Пусть име-
ется система
^=fU,n.	(I)
дх
Пусть £(х,У)еС(О); Г(х,У) е Lipr(Z>) — локально, (Z))cR"+l.
Тогда любые два решения системы (I), имеющие общую точку,
совпадают на общем промежутке их существовании.
к Пусть У = ф|(Х), Х€ /, =(6,.^). и У =ф2(х),
х е /2 = (д2,/ь), — два решения системы (I) — любые, но такие,
что существует точка х0 е /, П /2 , в которой
<Pi(^o) = ФгС-^о) = >о-
Пусть / = /| П /2 = (а,Ь). Теорема будет доказана, если мы пока-
жем, что
Ф1(х) = Ф|(х), хе/.
260
Будем доказывать это тождество для промежутка Г - [хй,6) (для
промежутка Г = (а,х0| доказательство аналогичное).
От противного. Допустим, что ф2(х)/ fit*)» хе|х0,6). Но
тогда существует число b е|х0,/>), такое, что
I) ф2(х) н<р,(х), Х€|Х0,£],
2) ф2(х) У Ф|(х), х е [х0,6 4-8), для любого 8 > 0.
В точке Ь оба решения определены, причем
Ф2(Л) = ф|(Л) =С.
Тогда точка (b. С) е (D) (это — общая точка графиков наших реше-
ний).
Теперь можем применить локальную теорему единственнос-
ти. Так как решения Y = ф|(х) и У = ф2(х) проходят через точку
(b, С), то существует число 8 > 0, такое, что
ф|(х) = ф2(х), хе (b -5,6 + 6) =>
=> <р2(х) = ф|(х), хе(х0,6 + 8).
А это противоречит тому, что ф2(х) <р((х), х е |х0, b + 5), для
любого б > 0. Значит, предположение, что ф2(х) у Ф|(х), х е [х0, 6),
неверно.
Вывод: <р2(х) = ф1(х), ле[х0.6). 4
Следствие (из теоремы 5). Если решение У = ф(х),
х е / = (а,Ь), продолжимо на интервал /,, то это его продолже-
ние на /| — единственное.
В самом деле, пусть ф|(х) и ф2(х) — любые два продолже-
ния решения У = ф(х), х е / , на промежуток /|. Но тогда оба
эти решения определены на /t и совпадают на /. Значит, по
теореме 5, они совпадают на /|.
Теорема 6 (нелокальная теорема существования решения).
Пусть имеется система
^- = Г(х.У).	(I)
261
ПустьГ(х,У) еС(£>); /(х,Г) € Lipr(D) —локально, где (Д) = {(х,У),
а < х < Ь, |>'| < +«>}. Пусть |F(x, У)|| < р(х) |У| + q(x), (х,У) е (D),
р(х), q(x) е С((а,/?)), p(x)>q(x) > 0 , х е (а,Ь). Тогда любое реше-
ние У = ф(х) системы (I) продолжимо на интервал (а,Ь).
Пусть У =ф(х) — произвольное решение системы (I). Пусть
J = (а,Р) — максимальный интервал существования этого реше-
ния. Покажем, что / = (а,р) = (О).
Допустим, что это нс так. Пусть, например, р < h (« = «)(=>
(а,р) с (а,Ь); (<х,Р) * (а,Ь)). Пусть х0 е(а,Р). Рассмотрим реше-
ние У = <р(х) на промежутке |Хо,Р). Покажем, что решение
У = ф(х) — ограниченное на |х0,р>.
Действительно, у нас ф'(х) = Г(х,ф(х)), хе(х0,Р). Проин-
тегрируем это тождество по промежутку [х0,х] с(х0,р). Получим
ф(х) 5ф(х0)4- |/(г,ф(/))Л, хс|х0,р).
Оценим но норме:
|ф(л)|-	j(/><f) ||9U)||+ ?('))<*, хе[х0.Р).
*0
У нас [х0,р] с (а,Ь). Поэтому />(/), <?(г) е С([х0,р|) => существует
М > 0 такое, что р(/) < М , q(t) £ М , t е [х0,р]. А тогда
|<р(х)||<||ф(х0)|+ М ф-х0)+ М |||ф(/)|р/, х е|х0,р),
-X-const>0	х°
Видим, что = /(х) (обозначение) удовлетворяет на
[х0,Р) условиям леммы Гронуола =>
=» ||<р(А')|| £ <Х-Хо> <	= д./(> х € [х0>р).
= A/|=const
Рассмотрим теперь
(Z?i) =
Хо < X £ р,
||У|<Л/,.
Видим, что (D^ —
ограниченная замкнутая область, такая, что (О,) с (D). Из изло-
262
жен и о го выше следует: существует точка хое(а,р), такая, что
для любого х из промежутка |х0,Р) оказывается: точка
(х.ф(х)) е (Р|). Но тогда по следствию к теореме 3 решение
<р(х), хс(а,Р), продолжимо вправо, а это не так (у нас по
условию промежуток — максимальный вправо интернат
существования решения <р(х)). Значит, наше предположение,
что (а,р) * неверно. Следовательно, (а,р) = (а,Ь), 4
Глава 6
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Некоторые сведения из теории матриц
1)	Матрицу А. имеющую п строк и к столбцов, будем обозна-
чать либо символом А =	| (/=!,«; j = 1, к ; i,j еЮ. —
числа (вещественные или комплексные), либо символом
А = (в|,«2.......в*),	где
(7 = 1.*).
2)	Пусть а — определенное число. Тогда, как известно,
а А = Л а = {а ;
а(А +В) = а-А+аВ (А и В — матрицы одинакового строения).
3)	Пусть А = {(?,,} (/ = 1,л; / = !,*), Я = {*/>} (/ = ТД;
У = 1, /л). По определению считают
А В =
Yau bU
/•I
(/‘ = I, п
j = I, т).
Отметим, что
А В = А  (b^b,,, bm) =(AbhA b2..А •bm).
264
4)	Определение. Нормой матрицы А =	(/ = 1, п ; j = I, к )
называют число тах.|а/у| = ||Л|.
/-П
Легко убедиться, что выполняются соотношения
|Л| > 0 для любой 4, причем (||Л|| = ()) с=> (/1=0);
|а Л|| = |а| PL
м+вии+ш (Лив — мачрицы одинакового строения).
Отметим следующее свойство нормы произведения матриц.
Пусть А = {а|7} (/ = I, л; / = I, А), В = {/уД (I = I, к\ j = 1, т).
Тогда |Л • вЦ < к • |Л|• |в||.
В самом деле, имеем
лт к	к	. Л *
|Л = птах Xя//	£Ы Ы Н И=А И И ◄
/Utj/M	г=Гл^/1	) /=|
/=1,Л»	/-1.Л1
Рассмотрим теперь матрицу
Л (х> = {а/у(х)} (i = iTw ; j = Г7),
в которой a-tJ(x) — функции вещественного аргументах, опреде-
ленные в некотором промежутке / =(д,£). Л(х) называют.мат-
рицей-функцией аргумента х
5)	Говорят, что 4(х) непрерывна в точке х0 е / , если в этой
точке оказываются непрерывными одновременно функции а^(х)
(/ = 1,л; ; = 1, к).
Л(х) непрерывна на промежутке /, если она непрерывна в
каждой точке этого промежутка.
6)	Производная матрицы функции 4(х) определяется соот-
ношением
4Л(х) _
dx dx
( / = I, л ; j = 1, к ).
вЛ(х)	da t Ax')	—
——- существует, если существуют одновременно —— (/ = 1,/г;
dx	dx
7 = П).
Справедливы следующие утверждения.
265
Пусть матрицы-функции А (х) и В(х) одинакового строе-
ния. определенные и дифференцируемые на 7. Тогда
-^(Л(х) + А(х))= = ^^ф^Д, хе/.
dx	dx dx
Пусть А (х) определена и дифференцируема на 7, а — посто-
янное число. Тогда -^-(а А (х)) = а • —	, х е I.
dx	dx
Пусть А (х> = (а|7(х)} (7 = I, л ; 1 = I, к ) определена и диффе-
ренцируема на 7, 5(х) = {б//*)} (/ = 1, к; j = I, т) определена и
дифференцируема на /. Тогда
d / .. , «у v\
d k
ж	I
к
= • £ (4A) • bu(x) + ait(x) - (x)). =
/=1
4 a A t t dB(x) ,
= —----B(x)+A(x) ——, xg7.
dx	dx
Замечание. Пусть Л(х) — квадратная матрица-функция,
определенная и дифференцируемая на /. Тогда
-^-(а2(х)) = А'(х) А(х) + А (х) Л'(х>, х е 7.
dxv >
Следует помнить, что, вообще говоря, — (а 2(хЙ * 2А (х) Л'(х),
dxv 7
ле 7, ибо матрицы Л'(л) и /1(х) часто оказываются ^коммути-
рующими.
Л
7) Пусть Л(х) е С(/), 7 = (о, />). |Л(х)<7х определяется соот-
ношением	а
ь J Л (х) dx =  а	ь		 	 Jatj(x}dx  (7 = 1, л; j = 1, к ). а
В частности, для любого х е [я,7>| имеем
j A (f)di = - jaijiDd!
а	а
(/ = I, л; j = I, А).
Отметим, что
266
A (/) dt = A (x), xe|<7,/>|
Рассмотрим вопрос о норме интеграла. Имеем
inax
<1. п
7 = 1. к
Ь
Jfll7(x)dx
а
S max
»=1. п
j^\.k
Ь
JI Л (x)|dx
0
§2. Линейные системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Простейшие свойства решений
линейных однородных систем
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
-А = ац(х) у, + а|2(л) • у2 + ... + а,„(х> уя + /,(*),.
ах
^p- = a2i(x)>’i + «22<*>- Уг + ... + «2„(x) yrt + /2W,	~
t/x	(I)
dy
= Лл1 <-*) Л +	 У1 +	+ «лл(*) • Уп + Л<Л>
называется линейной, __________	__
Считаем, что atJ(x) (ir j = I, n) и ft(x) (i = 1,л) — некото-
рые вещественные функции отх. определенные и непрерывные в
/ = (а, Ь).
Пусть
У(х) =
У|(х)
У2<х>
7|(*Г
/з(*)
Я||(Х>
«21
а22(х) ... а2п(х)
; Лх) =
;/1(х) =
\УДх)

аН2(х) ... аяп(х))
Тогда система (I) может быть записана в виде
^ = Л(х) r + f(x).
ах
(1)
267
Обозначим А (х)  У + f(x) = F(x,Y). Ясно, что 5\хУ) е C(D). где
(П) =
а < х < Ь,
1П1<+~
Имеем
dF(x, Y)
ЭУ
= Л(х)
**/> е С(С).
О I
Значит, (/)) — область существования и единственности реше-
ний системы (I).
Положим р(х) = maxla(.(x)l, q(x) = тах|/Дх)|. Имеем
л;=1,л|	1	/=1. л
И(х, У )|| = р (х) Y ч- F(х)| < |Л (х) У| + |Г(х)| <
< р(х) • л • |У|| + <?(х) = р(х)-|У| + 4?(х),
где р(х) = р(х) п .
Видим, что выполнены условия нелокальной теоремы суще-
ствования решения. По этой теореме любое решение У = ф(х)
линейной системы (I) продолжили) на интервал (а.Ь).
Справедливо также утверждение: любые два решения линей-
ной системы (I), проходящие через одну и ту же точку, совпадают
на всем интервале (а,Ь) 
Действительно, по указанной выше теореме, любые два реше-
ния системы (1) продолжимы на интервал (а,Ь). Но тогда, по
нелокальной теореме единственности, они совпадают на (а,6).
Если в системе (1) F(x) s 0, х е /, то вместо (I) будем иметь
^ = Л(х)У.	(10)
dx
(10)	называют линейной однородной системой дифференциаль-
ных уравнений. Отметим следующие простейшие свойства реше-
ний системы (10).
1.	У=0, хе/ — решение системы (10) (очевидно).
2.	Если вектор-функции У = ф|(х), хе/. и У = ф2(х),
хе /, — решения линейной однородной системы (10), то век-
тор-функция У = ф|(х) + <р2(х), хе / ,— решение системы (10).
В самом деле, так как У = ф((х), хе/, и У = ф2(х),
хе /, — решения системы (10), то
(х?. - Л (х) ф((х) = 0, хе/,
ах
268
- A (x) <p,(x) = 0. хе/.
dx
Имеем
+ Ф2ОО) - A(x) • (<Pi(x) + 9>(x)) =
Лф|(х) <Лр>(х)	...	. .	...	. .
= “5— +	-----л (x) ФI(х) - А (х) Ф2(х) =
dx dx
( cfo|(x) ...	. .1 (dqh(x) ...	.	.
= H—---------A(x) <pi(x) +	-Л(х) ф2(х) 1 = 0, хе / =>
к ax	J I dx	J
 •. хеI	вО.’хе/
=> Y = ф|(х) + ф2(х)» хе/,— решение системы (10). 4
3.	Если У = ф(х>, хе/,— решение системы (10), а С —
постоянная скалярная величина, то Y =С ср(х), хе /, — реше-
ние системы (10).
Действительно, по условию У =<р(х), хе/,— решение
системы (10) =>	_ а (х) ф(х) = 0, хе /. Имеем
dx
4-	(с <р (х)) - А (х) (С Ф (х)) = С - С А (х) <р(х) =
dx	dx
= С [^l-A(x) ф(х)Ьо, хе/ =>
\ dx	)
 », хе/
=> У = Сф(х), хе/, — решение системы (10). 4
Следствие. Если У=ф((х), хе/; У = ф2(х), хе/; ;
Y = ф„,(х), хе/,— решения линейной однородной системы (10),
а С|,С2,..., Ст — произвольные постоянные числа, то вектор-
функция
У =С, ф,(х) + С2 ф2(х)+.,.+Ст фЛ(х)
— решение системы (10).
Замечание. Если т = п, то вектор-функция
У = С| ф,(х) + С2 ф2(х) + ... + Ся ф„(х), хе/, (2)
будет решением системы (10), зависящим от х и от Сн С2,, С„ .
269
Вопрос: будет ли (2) общим решением системы (10) ?
Ответ: не всегда.
Выясним, какими должны быть решения ф|(х),	, <р„(х)
системы (10>, чтобы вектор-функция (2) была общим решением
этой системы.
§3. Линейная зависимость
и линейная независимость вектор-функции.
Признаки линейной независимости решений
линейной однородной системы
Пусть
ф|(х), ф2(х)................ф„(х)	(Л€1Ч)	(I)
— вектор-функции, определенные на некотором f = (a, h).
Определение. Если существуют числа У|, у2,	среди
которых есть отличные от нуля, такие, что
Yi + У2 Фг(*) + ••• + Ул Ф„(х) 5 0, хе/, (2)
то вектор-функции (1> называются линейно зависимыми на
1 = (а,Ь).
Если же тождество (2) имеет место лишь тогда, когда
у, = у2 = -•• = Ул = О, то вектор-функции (1) называются линейно
независимыми на /.
Пусть вектор-функции (1) являются решениями линейной
однородной системы
= <1„)
Образуем матрицу
Ф (х) = (ф| (х), ф2(х).ф„(х)).	(3)
Ф(х) называют матрицей решений системы (10).
Определитель матрицы Ф(х) обозначают через И'Чх) и назы-
вают вронскианом, составленным для решений системы (10).
Таким образом, по определению,
И^х) = det Ф(х), хе/.
Теорема 1 (необходимый признак линейной зависимости п
решений системы (1«)). Если решения ф|(х), ф2(х), ...» ф„(х),
хе/, системы (10) линейно зависимы на /=(д,£), то их
вронскиан
И'(х) s 0, хе/.
270
По условию, решения (1) системы (10) — линейно зависи-
мые на / = (а.Ь) => существует (постоянный) вектор С -
* О,
такой, что
Ф(х) С = 0, хе/.
(4)
Это означает, что для хе/ линейная алгебраическая система (4)
с матрицей коэффициентов Ф(х) и с неизвестными
С), С2, С„ имеет решение, отличное от чисто нулевого. Но
это возможно лишь тогда, когда det<!>(x) = 0 для х е / . 4
Следствие (достаточный признак линейной независимости п
решений системы (10)). Если существует точка х0 е /, такая, что
ИЧхь^О, то решения ф|(х),	ф„(х), хе /, системы
(10) линейно независимы на /.
Рассуждаем от противного. Допускаем, что решения (I) систе-
мы (10) — линейно зависимые на /. Но тогда по теореме 1 получаем,
что И^х) нО, х е / =s> в частности, И^(х0) = 0 , а это не так.
Теорема 2 (достаточный признак линейной зависимости п реше-
ний системы (10)). Пустьвектор-функнии ф](х), ф2(х),	ф„(х),
хе/,— решения системы (10) . Пусть ^(х) — их вронскиан. Если
существует точка х0 е /, такая, что И/(хо)=О, то решения (1)
системы (10) — линейно зависимые на / = (а,Ь).
Введем в рассмотрение линейную алгебраическую систему
Ф(х0) С =0,
(5)
где Ф(х) — матрица, составленная из решений (I) системы (10),
а С =
неизвестный вектор. По условию,
det Ф(х0) = fK(x0) = 0 =э система (5) имеет ненулевое решение

(С‘о> * 0).
271
Рассмотрим решение системы (10)
Y = С',01  <р,(х) + С'*1  <р2(х) +... + Ci” • <р„(х) = Ф (х) С(0>. (6)
Это решение, в силу (5), удовлетворяет начальному условию
Г1-ж = 0	(7)
(ибо, в силу (5), Ф(х0)С<0) =0). Но начальному условию (7)
удовлетворяет также решение F = 0, х е 7, системы (10). Мы
знаем, что для линейной системы любые два решения, проходя-
щие через одну и зу же точку, совпадают на всем интервале
/ = (<?,/>). Следовательно, будем иметь
Ф (х) С(0) =0, хе/.
Так как С(0’ * 0, то последнее соотношение означает, что реше-
ния ф|(х), ф2(х), •> Фл(х), хе I, системы (10) — линейно за-
висимые на / = (а, Ь).
Следствие (необходимый признак линейной независимости п
решений системы do)). Если решения ф|(х), ф2(х)......ф„(х)	,
х е / , системы (1о) — линейно независимые на /, то
* 0 для х е / .
В самом деле, допустим, что имеется хотя бы одна точка
х0 е / , такая, что ГИхо) = 0. Но тогда по теореме 2 получаем, что
решения ф,(х>, ф2(х),	ф,3(х), хе/,— линейно зависимые
на /, а это не так.
Определение. Пусть ф|(х), ф2(х), ..., ф„(х) , xel=(a,b),-
решения системы (10), Ф(х) — матрица, составленная из этих
решений. Если решения фДх), <р2(х), •••» ф,Дх), Л6 , — линей-
но независимые на /, то матрицу Ф(х) называют фундаментальной
матрицей решений системы (10) (Ф(х) — ф. м. р. с. (1(1)),
Если существует точка х0 е 7, такая, что Ф(х0)=Е’> то
Ф(х) — ф. м. р. с. (!0), нормированная в точке х0. Здесь и всюду в
дальнейшем Е — единичная матрица.
§4. Теорема о составлении общего решения
линейной однородной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
Теорема. Пусть Ф(х) = (ф,(х), ф2(х).ф„(х))	— ф. м. р. с.
^- = A(x)Y.	(1„)
272
Тогда
У = Ф(х) С,	(I)
где С— произвольный постоянный вектор, есть общее решение
системы (10) в (/)) =
а < х < Л,
|Г|| < +~.
I)	Берем произвольную точку (х0,У0) е (£)) и рассматрива-
ем векторное уравнение
Г0 = Ф(х0)С.	(2)
(2)	представляет собой алгебраическую систему линейных урав-
нений относительно компонентов вектора С. Определителем этой
системы является с1еТФ(х0) * 0. Следовательно, (2) однозначно
разрешимо относительно С:
С'о>-Ф-|(х0)Г|).
2)	Подставив в (I) С(0> вместо С, будем иметь
Г = Ф(х)  Ст = С',1” • Ф,(х) + С‘о> ф,(х) +... + CJ” Ф,(х). (3)
Вектор-функция (3) представляет собой линейную комбинацию
решений ф|(х), ф2(х),	Ф„(х)» хе /, системы (10) => (3) —
решение системы (10) на / = (а,Ь). Таким образом, показано, что
(1) удовлетворяет определению общего решения системы (10). 4
Замечание Формула (3) может быть записана в виде
У = Ф(х)Ф '(х0) Го.	(3)
(3)	— общее решение системы (10) в форме Коши. В частности,
если Ф(х0) = Е, то (3) принимает вид
У = Ф(х)У0.
Замечание (об общем виде фундаментальной матрицы реше-
ний системы (10)).
1)	Пусть Ф(х) = (ф,(х), <р2(х).Ф„<х)) — ф. м. р. с. (10). Пусть
С— постоянная, произвольная, неособенная матрица порядка п.
Тогда
Т(х) = Ф(х) С	(4)
— тоже ф. м. р. с. (10).
273
В самом деле, имеем
Ч*(х)=Ф(х)С = Ф(х)(С1,С2,...,Ся) =
= (ф(х) С,,Ф(х)С2.......Ф(х) С„)
=Ч'Нх) =Yj(x)	=Т.’(Х)
Так как Т,(х) = Ф(х)• С(, Т2(х) = Ф(х) (?2, ••• , Т„(х) = Ф(х) Сп
являются решениями системы (10) на / = (а,/>), то
Ф(х) = (Y|(x), у2(х),..., Y„(x)) — матрица решений системы (10).
Имеем, далее,
det Ф(х) = det Ф(х) detC * 0, х е / =>
#0. хе/ *°
=> Т(х) -ф. м. р.с., (10).
2)	Пусть Ф(х) — ф. м. р. с., (10). Пусть ф(х) — любая другая ф.
м. р. с., (10). Тогда обязательно существует неособенная, постоян-
ная матрица С, такая, что
Т(х) = Ф(х) С
(т.е. любая ф. м. р. с., (10) содержится при некоторой неособенной
матрице С в выражении Ф(х) С ).
В самом деле, пусть *F(x) = (у](х), у2(х),.... у„(х)) — произ-
вольная ф. м. р. с. (10) =$ Y = у (х) (У = !,«) — решение системы
(10) - По теореме об общем решении системы (10) заключаем:
существует постоянный вектор С’ • (j - I, п), такой, что
у?(х) = Ф(х)Су (У = 1,л).
Получаем, таким образом,
Т(х) = (Ф(х) С,,Ф(х) С2,..., Ф(х) С„) = Ф(х) • С„
где С = (С,,С2,... ,С„).
Остается показать, что det С * 0. Имеем
Ф(х) = Ф(х) С => С = Ф’,(Х)-Т(Х) =>
det С = det Ф*’(х) det Ф(х) # 0.
#0. xeJ *0. х«/
Отметим, в частности, что если Ф(х0) = Е, то С = Т(хю).
274
§5. Формула Остроградского — Лиувилля
Пусть имеется линейная однородная система обыкновенных
дифференциальных уравнений
^- = Л(х)У.	(10)
ах
Пусть Ф(х) = (ф|(х), фг(л)> •••»<М*)) ~ матрица решений системы
(10) (не обязательно фундаментальная). Пусть И^х) = det Ф(х) —
вронскиан. Тогда

И^х) = ГГ(х0) ехр
. для любого х € (а, Ь)
(х0 € (о,Л) фиксированное, любое).
Имеем
	<PiiW Ч»2|(*)	ф|2<х) Ф22^)	- Фы(х) -. <₽2«W
ИЧх) =	Фп1^) ♦Дх)	Фа2<£) ♦/(*)	... ФлуОР
<Р||(*) Ф|2<дг> ••• ФьД*)
Ф21<*) ФиДО ••• ФтЛ*)
Фи|(*) Ф,,2<*) - <М*)
фц(*) Ф|2<-*> - 9U*)
Ф2|(*) ФгМ - ФъД)
♦ •<	• • •	♦ • •	• • •
Ф«1(*) Ф„2<*) - Фл»(*)
Фц(-ЖГ) <р|2(х) ... ф|„(х)
<?2|(*) Ф22(*) - Ф2п(*)
Фл|(*) Ч>п2<Х) ••• Ф/гп (X)
ф||(*)	<Р|2(*)
<Ь+1.|(*)
Ф/-1.2<х)
ФиОО
Ф/+м(х)
Фп|С*) ФЯ2<*)
ф|«и)
Ф,-1.л(*)
ФлЛ-О
Ф/+1л(*)
ФлЛ-К)
275
У нас вектор-функции <р, (х>, ф2(*)> •••• ФлС*) являются решени-
ями системы (10). Поэтому
Л	л
Ч»лС*> = Sey(*) <МХ)’ Фя(*) = Х%<х> Ф/2<х)»
>=i	>=|
	Фш(^)=	<P;«U). >=l
А тогда	Ж'(Х) =
Ф||(А)
ф|2(*)	-	Ф|«(*)
S/tyOc) Ф7,(х)
J-I
л	п
Ф/эС*) - ^(х)^п(х)
/=|	/=|
/-я
=3
строка
ФЯ|(*)
Фп?(Х) - фт(х)
/ = | у = 1
ф||(х) <р|2(х) ... (р1я(х)
• •♦	• • •
<Ру|(х) <РУ2О) <РулО)
фл|(*) Фл2^) - <PwW
=> W(x) = £ а,7(х) И^х) = W(x) ^Оц(х).
/I	/>|
строка
Видим, что для И^(х) получено обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка. Решая это уравнение с начальным
условием
=И/Ц>) (хое(а,д)),
I А —AQ
1Xf п	I
J \dt ,
XoU»1	j t
x e (a,b). Таким об-
разом, формула Острогралского — Лиувилля установлена. <Ц
276
§6. Теорема о составлении общего решения
линейной неоднородной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
Теорема. Пусть имеется линейная неоднородная система
^• = Л(х)-Г + Г(х).	(1)
ах
Введем в рассмотрение систему
^ = Л(х) У	<10>
dx
((10) — линейная однородная система, соответствующая неодно-
родной системе (I)). Пусть Ф(х) = (ф|(х);ф2(х);... ;ф„(х)) — ф.м.р.
с. (10). (Тогда У = Ф(х) С, где С— произвольный постоянный
вектор, есть общее решение системы (10) в (Z>>.)
Пусть вектор-функция F.(x) = ф(х), х е I, — какое-нибудь
решение неоднородной системы (1). Тогда
У = Ф(х)«С + у(х)	(2)
есть общее решение системы (1) в (Z)>.
1) Берем произвольную точку (х0,У0) € (Z)) и рассматрива-
ем векторное уравнение
Уо = Ф(х0)- С 4-ф(х0) =>
=> Ф(х0) С = Уо -у(х0).	(3)
(3) — алгебраическая система линейных уравнений относительно
компонентов вектора С. Определителем этой системы является
det Ф(х0) * 0. Следовательно, (3) имеет, и притом единственное,
решение С,(,) =Ф ,(х0)-(У0 - у(х0)).
2) Подставим в (2) С’01 вместо С. Получим
У = Ф(x)•C<0, + у(х).	(4)
Убедимся, что (4) является решением системы (I). Имеем
-^Ф(х) С(0> 4- у(х)|-Л(х) |ф(х) С(0) y(x)j =
= ~ [ф (х)  С(а> ] +	- А (х) • [ф (х) • С(0> ] - А (х) • V (X) =
277
s 0, хе/
+ 	- А (х) • V (х> = /7(х), хе/.
dx
- F(x), хс/
Показано, таким образом, что (2) удовлетворяет определению
общего решения системы (I).
§7. Метод вариации произвольных постоянных
для нахождения решения У.(х) = у (х)
линейной неоднородной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть имеется линейная неоднородная система
^- = А(х) У + F(x).	(I)
dx
Тогда
^ = А(х) У	(10)
dx
— линейная однородная система, соответствующая линейной
неоднородной системе (1). Пусть Ф(х) — ф. м. р. с. (10) =>
У = Ф(х) С , где С— произвольный постоянный вектор, — об-
щее решение системы (10) •
Станем искать решение У.(х) = у(х) системы (I) в виде
У.(х) = Ф(х) С(х),	(2)
(С,(хП
где С(х)=
— неизвестная (пока) вектор-функция. Хотим,
<С„(х)у
чтобы вектор-функция (2) была решением системы (I). Но тогда
должно быть справедливо тождество
Ф'(х) • С(х) + Ф(х) • С'{х) г А (х) • Ф(х) • <7(х) + F(x), хе / «
«=> |Ф'(х) - /4(х) • Ф(х)1- С(х) з- Ф (х) • С'(х) s F(x), х е I <=>
।г 0, хе/г
278
е=> Ф(х)- С'(х) = F(x), хе/ « С'(х) = Ф'(x) f(x), хе / <=>
« С(х) = /Ф '(/)•£(/)<//
*0
(произвольный постоянный вектор, который получается в резуль-
тате интегрирования, можно считать равным 0). Здесь точки
х0,х е / = (а,Ь), — любые.
Видим, таким образом, что если в (2) в качестве С(х) брать
X
С(х) = |Ф_,(0- F(t)dt, то вектор-функция
*0	X
У.(х) = Ф(х) • |Ф '(0 F(j)dt, хе/,
х»
будет решением системы (I).
Замечание. Общее решение линейной неоднородной системы
(I) может быть записано, следовательно, в виде
х
Y = Ф(х) С + Ф(х) [Ф-|(0 F(t)dt, хе/. (3)
Хо
Пусть требуется найти решение системы (1), удовлетворяю-
щее начальному условию
= уо (точка (х0,Г0) е (D)).	(4)
Подстановка в (3) начальных данных (4) дает
>о = Ф(х0> С => С = Ф '(х0) • Уо.
Следовательно, решение задачи Коши (1) — (4) может быть запи-
сано в виде
У = Ф(х) Ф ‘(х0) Уо + Ф(х). |Ф‘'(О F(i)dt. (5)
хи
В частном случае, когда Ф (х0) = Е, последняя формула принимает вил
У = Ф(х) Уо + Ф(х)• |Ф *(/)• F(i)di.
Хо
Прежде чем приступать к изложению метода интегрирования
линейных систем с постоянными коэффициентами, продолжим
обзор некоторых сведений из теории матриц, используемых в
дальнейшем.
279
§8. Матричные последовательности и ряды
Пусть имеется последовательность матриц
с)
(в(1) ЛА	(/»/!.«)). Пусть имеется матрица Л={в|у}
(/,/ = Гл).
Определение. Говорят, что последовательность матриц (I) схо-
дится к матрице А при к -»«», и пишут Л,. —----------->А (или
* А -Эоо
Нт ЛА = А ), если |лд - л|----->0.
Итак, по определению
I A l —--> Л 1 <=> I lim A l = А I <=> I 11/1,— л!----»0 I
I *	)	U-*- *	) I" * II 4-»» )’
Мы знаем, что |л к - Л| = maxja}*’ - о/у|. Поэтому


Следовательно,
(ov>T^e«’	=
т.е. сходимость последовательности матриц (I) эквивалентна
одновременной сходимости п числовых последовательностей.
Отметим следующие свойства сходящихся последовательно-
стей матриц,
I)	Если Ак пг--»Л,т° [лА| А^->|л|.
2)	Есл и Л * —--> А , Вк —--> В, то А к + Вк —-> Л + В .
к—>«”>	д —♦««»	А —•«»
3)	Если Л* А , Вк В, то Ак Вк АВ.
Установим, например, свойство 3.
Имеем
АкВк- АВ = АкВк- АкВ+ АкВ- АВ =
= Ак (Вк - В) + (Лк - А) В =>
280
=> I'M, - ЛфК (Вк - B)| + |(A - Л)-в|| <
S« IPJ -|Bt -B|| + ,, р, -Л| ||8| =,
—*И ”—>°	—»о
» рлв4 -	=» Wb—-> АВ. 4
Определение. Пусть N — последовательность матриц»
Выражение
*=1
называется матричным рядом.
Положим
5. =/!„
5j = Я । + Л 2»
S/ — А \ + A j + ... + A j,
(S, — 1-й частичная сумма матричного ряда (2)). Ясно, что
{•S/}/eN — последовательность частичных сумм ряда (2).
Если последовательность {5;}/е% сходится к матрице 5 при
/-»«>, то матричный ряд (2) называется сходящимся, а матрицу
5 называют суммой матричного ряда (2).
Пишут: 5 =	.
Отметим, что S, есть матрица с элементами
1=1
Следовательно, сходимость матричного ряда (2) означает сходи-
мость п2 обычных числовых рядов:
Ха!)1 О\/ = йй).
А=1
281
Справедливо утверждение: пусть имеются два сходящихся мат-
ричных ряда
(I) и (II) f
4 = 1	4 = 1
и пусть А и В — суммы рядов (I) и (II) соответственно. Тогда ряд
(111) £(Ла + BJ тоже сходится и имеет сумму (Л + В).
*=|
В самом деле, пусть 5,”,	5J111’ — l-е частичные суммы
рядов (I), (II) и (III) соответственно. Имеем: 5)llh = (Sjn + *S’JII))
=> $<>•>----+ В). <<
§9. Матричные степенные ряды
Пусть имеется скалярный степенной ряд
i/***.	(I)
*=о
Пусть г — радиус сходимости, f{x) — сумма ряда (I). Пусть А —
произвольная квадратная матрица порядка п. Рассмотрим ряд
(2)
л=о
(А 0 = Е). Ряд (2) называется степенным рядом от матрицы А. Если
ряд сходится, то его сумму уславливаемся обозначать через f(A).
Теорема (об условиях сходимости матричного степенного ряда).
Пусть имеется скалярный степенной ряд (I):
4«0
Пусть г — радиус сходимости, /(х) — сумма этого ряда. Рассмот-
ее
рим ряд (2):	Лк, где А — произвольная квадратная матрица
к=0
порядка п. Пусть Х(, Х2, ..., Х.т — собственные числа матрицы А.
Тогда:
I) если |Ху| < г , для любого j = I, т, то ряд (2) сходится;
282
2) если имеется хотя бы одно /0 такое, что |лу | > г, то ряд
(2) расходится.
I. Рассмотрим сначала случай, когда матрица А имеет вид
( А>
О О
а2 о
о о
о 1
о
где матрица А} (/ = 1,/w) имеет размеры (я, хл,) и £иу =/? =з
/='
оо
А = diag[Л।,Л2.---, ЛЛ]. Нарядусрядом (2): ^акАк рассмотрим
11	А=0
ряды
*=0
(3)
Покажем, что ряд (2) сходится лишь тогда, когда сходится каждый
из рядов (3) (причем, в случае сходимости: если f(A) — сумма
ряда (2), а /(Лу) (у = 17т)— суммы рядов (3), то /(А) =
= diag[/(z(1)./(J,)....../О,)]).	Для этого рассмотрим 1-ю час-
тичную сумму ряда (2). Имеем:
I
=
А=0
I
0	0 ...	О
ао
О ^акА\ 0 ...	О
*=о
••• • • • •••••* •••
о о о ...
<	ы> 7
А*	0	0	...	О
О	А*	0	...	О
о	о	о	...	лк	j
О	О	...	О'
О	St(A2)	0	...	О
k	О	О	О	...	S,(Am) ,
283
Тогда
	' lim 5Д>1|)	0	0	0
	/><- 0	lim ^(Л 2)	0	0
f(A) = lim5/(/l) =	• • •		• • •	• • • • • •
	0	0	0	...
	0	0	0
0	/(Л2)	0	0
• • •	...	...	...
0	0	0	- ЛЛт)
= diag[/(>1l)./(/i2).
II. Допустим, что матрица Л,

и меет вид (j = I, пт):
г Ху О О
I О
о о
о о
о о
— клетка Жордана.
ООО...
о о о ...
X, о
1 Ч)
Покажем, что если |х7| < г, то ряд	сходится, если же
оо
|Х,| > г, то ряд ^акА^ расходится.
л=о
Вычислим матрицу А* (для произвольного к). Для этого
представим ее в виде
= kjE + Е\.
Отметим, что матрица • Е коммутирует с любой матрицей (в
частности, с матрицей Е}). Поэтому сумму kjE+Et можно
возводить в степень по формуле бинома Ньютона. Значит,
284
А/ = (XyE + E,)* = X* • E + X • X*‘‘ • E, +
k(k-\) *_2	2	k(k~\)..A k
+---------кj	£) + ...+-----—-----E, .
Подсчитаем различные степени матрицы
Е|. Имеем
II Uj II СМ — Uj	'	0	0	0	...	О	0	о	Л 0	0	0	...	О	0	0 I	0	0	...	О	0	0 ч	0	0	0	...	1	0	0	,
— имеет две первые нулевые строки и два последних нулевых
столбца,
	'	0	0	...	0	О	О	О'1 0	0	...	0	0	0	0 0	0	...	0	0	0	0 1	0	...	0	0	0	0 0	1	...	0	0	0	0 k	0	0	...	1	0	0	0	,
имеет три первые нулевые строки
и три последних нулевых
столбца, и т. д. А тогда
4/ = (Х/Е + Е|)* =
ч
хх*/1
k.2
2! J
О	О
X*	О
XX*/1 X*
О 1
О
О
»/fy "1а Л ~{пf ~1)
к Л/
ч
(X*)'
I!
(Х*Г
2!
О	0	...	О
X*	0	...	О
(X*/"'’"
285
Имеем
Пусть |ХУ|< г. Тогда ряд “ сходящийся. Пусть /(Ху) —
к-О
сумма этого ряда. Но тогда существует
1ип5ДЛу) = /(Лр =	' /а,) ru,) 1! ) 2!	0 /схр лу 1!	0 0 ДХр ...	0 0 0
		• • •	•  • •  .	а . •
=> ряд ^акА- сходится,
м
Пусть |А.у| > г. Тогда ряд £яДу расходится => ряд
*=о	*=о
расходится.
111. Пусть теперь А — произвольная матрица размера лхл,
J — жорданона форма матрицы А, т.е. J = diagpHJ2>... , Jw|, где
286
Пусть матрица 5 такая, что /1 = 575' (det5 #0, 5— матрица
подобия; матрицы А и J имеют одинаковые собственные числа).
Пусть собственные числа Л»2» матрицы А удовлетворяют
условию |Л7| < г, j = 1, т. Но тогда, по докатанному, сходится ряд
У akJk при любом j = I, т, причем этот ряд имеет своей суммой
4 0
/(Ху)
1!
0
/(Ху)
о ... о "
о ... о
..... /(Ху)
(У = !,/»).
Следовательно, ряд ^akJk сходится и имеет своей суммой мат-
4=о
рицу:
/(7) = diag[/(7l),/(72),...,/(7m)].
Но тогда сходится ряд	и имеет своей суммой
4=0
J\A) = 5/(7)5“’, Допустим теперь, что имеется /0 , такое, что
ев
|\о| > г  Тогда ряд	расходится (по доказанному) => расхо-
4 = 0
ОО	«»
дится ряд ^akJk => расходится ряд ^_akAk, так как матрица А
4=0	4=0
подобна матрице J. 4
287
§10. Экспонента от матрицы
Г
к-0
Рассмотрим скалярный степенной ряд
—.	(I)
к\
Мы знаем, что радиус сходимости ряда (1) г = +« и что сумма
ряда (1) f(x) =	• Рассмотрим матрицу А размером п х п (п > I)
и матричный ряд
— собственные числа матрицы А. Очевидно,
< г, j = I, т. Следовательно, ряд (2) сходится для любой
Пусть Х,ь Х2
что
матрицы А.
Положим, по определению,
*> А к
У —.
«>*!
Найдем поэлементную структуру матрицы е.
Пусть А = SZ?-1,
ма матрицы А;
где
(3)
2».-,/т] — жорданона фор-
0
О
о
о
Л,
О
о
о
о '
о
о
I, т).
0
0
0

Имеем
еА = eSJS
Имеем, далее,
A eJ
=
еК'
ех'
еК/
2!
е '
(rtj - I)!
О
ех‘
€Х'
О
О
к,
е '
0
О
О
е’’
j
0
о ... о
о ... о
2!
... О
X,
е J
288
Отметим, что собственными числами матрицы являются числа
ек', е*2, ..., е^а => матрица ел — неособенная для любой матри-
цы А.
§11. Матрица-функция еЛх
Пусть А — произвольная матрица размера л хм (л > 1>, х —
скалярная величина- Тогда Ах — матрица размера л х л =»
—О = V (
X- к I
Л=0 к •
(1)
Найдем поэлементную структуру матрицы е*. Л = 575 *, где
J = diagfJj,J2,...,•/,„]; Jj (7 = 1, л»)— клетка Жордана. Тогда
_ е$/з 1 х _ a s ' _ $eJxS~l, где eJx = diag^',|X>eyH,...,
Найдем поэлементную структуру матрицы eJ,x. Имеем
J!x _ у	_ у л< /А
*=o K- *=oK!
(2>
Составляем частичную сумму ряда (2):
к =0
( кк
акуг
1!
^7^0!
о	о	...	о
Кк	о	...	о
.................
289
^(Х,х)‘
w *>
О
О ... О
I /. ।
\4=0 К‘ )*Ч
^(Х>х)*
^—' к'
к=О
О ... О
а/х)И(л/-|)
Переходя к пределу при /->+«>, получим
eJ,x = lim	=	ekjX	0	... 0 k.x .x-e '	x.x	Л 1!	.	(3)
	x"-	 x,« [ <«>-')! 	 " J	
Итак, ejx Bdiagfe7'*,^2*,...,^-*], где е/>х (J = 1,/и)— матрица
размера «у хяу, имеющая вид (3).
Найдем выражение для производной от матрицы-функции
с4' . Имеем, по определению:
^лх = V — v *
Л ZTo^L
=**
(060111.)
хк = X вкХк
4=0
ММ*
4=0
Видим, что элементами матрицы еЛ' являются степенные ряды =>
de'*
dx
tkWijXk~'
4-1
V* t ^k 4-1
= \k--------x
4- '
4= K •
290
<и j A	<»> j к *1
= У----------xk~l = А У.----------х*"1 = А е4*, х е (-«>, +«>)
£!(*-!)!
§12. Умножение матричных рядов
Пусть имеется матричный ряд
1Ак.	(1)
*=о
Пусть имеется числовой положительный ряд
(2)
к=0
Если |/4д|| < я* (к = О, I, 2,... ). то говорят, что ряд (I) мажориру-
ется рядом (2).
Справедливо утверждение: если матричный ряд (I) мажориру-
ется сходящимся числовым рядом (2), то матричный ряд (I)
сходится.
Рассмотрим /-ю частичную сумму матричного ряда (I):
s,
*=о U=(i
/
представляет собой произвольный элемент матрицы S,
*=о
__ /
(<’,/ = 1, п ).	’ является /-й частичной суммой числового ряда
Л=0
£а<}> (fJ = M).	(3)
*-о
По условию имеем
^«’Ispjlso, (* = 0,1,2,...; /,; = ГЙ).
Видим, что каждый из /г рядов (3) мажорируется сходящимся по-
ложительным числовым рядом (2) => каждый из п2 рядов (З)сходит-
291
I	____
ся, т.е.	>ач ^aiJ ~ определенное число, i,j = I, п ) =&
4 = 0
5, -у——] = A (i,j = I, л) => матричный ряд (I) сходится. 4
Определение. Пустьимеются матричные ряды
1>4	(4)
4=0
И
L	(5)
4=0
( Ak, Bk — квадратные матрицы порядка п). Матричный ряд
(6)
4=0
где
Q = ^0^4 + ^1^4-1 + ••• + Л 4^0,
называется произведением рядов (4) и (5).
Теорема. Если матричные ряды (4) и (5) мажорируются сходя-
щимися положительными числовыми рядами, то их можно пере-
множать, т.е. ряд (6) в этом случае сходится, причем если А, В,
С— суммы рядов (4), (5) и (6) соответственно, то
С= А В.
Пусть матричные ряды (4) и (5) мажорируются соответ-
ственно положительными числовыми рядами
2>.	(4)
4 = 0
И
.	<5)
4=0
Пусть а — сумма ряда (4), Ь— сумма ряда (5). Так как (4) и
(5) — положительные сходящиеся ряды, то их можно почленно
перемножать, т.е. ряд
<я>
Iе*.	(6)
4 0
где ск = а0Ьк +й(/>л_| + ... + акЬц, сходится, а его сумма с выража-
ется через суммы рядов (4) и (5) по формуле
с = а Ь.
292
I)	Покажем сначала, что матричный ряд (6) сходится. Имеем
для любого к = 0.1, 2,...
HG| =	+ ... + /1А Z?o| -
- |Л । Я*_|| + ... + ||Л* #(|| £
^n(aobk +aibk_i + ...+ akbv) = n ск
(здесь п— определенное число). У нас ряд ^ск сходится => ряд
„	fc=o
^пск — сходится. Видим, что матричный ряд (6) мажорируется
*=о
числовым положительным сходящимся рядом =э матрич-
.4	*=°
ныи ряд (о) сходится.
2)	Покажем теперь, что С = А В. Обозначим через 5)41,S*51
и S}6) — 1-е частичные суммы матричных рядов (4), (5) и (6)
соответственно. Имеем
Видим,что
•S/6’ = Iе* =	- л,.
к=0
(7)
Здесь Д, — матрица порядка л;
Л/ — A I fff + А т В/ _ I + ... + AI В\ +A]B/-f-... +А/Bi +... + А / В/
(А/ — сумма всех матриц, стоящих пол диагональю в выражении
для S,'4*
293
Обозначим через S}4', S}5), S}b) l-e частичные суммы число-
вых рядов (4), (5), (6) соответственно. Эти частичные суммы
связаны соотношением
у<‘> = $<«> $<’> -д,,	(8)
где
Д/ — Q^b[ +	••• +	+ il2^i + •••	^1^2 + ••• + ^1^1 •
Перейдем в (8) к пределу при /->«>. Получим с я a b - lim Д,.
/-КХ»
Так как с = ab, то lim Д/ = 0. Имеем
|Л/| <, ||Л|Я/|| + ||л2^/-||| + ••• +p/fil|| + |H2fi/|| + • •• +
+ р/&|+ ... + |Л/Я/| S
< /НдД +02^/-i + ... + лД + а2Ь, +... + atlh + ... +л,/»,) = я-Л/
(??— определенное число)
=> |Д/|----->0 => Д/—---->0.
/—>оо	•
Перейдем теперь к пределу при /->°° в соотношении (7). Полу-
чим lim S,<6) = АВ-0=>С = АВ.4
/-»« '
Следствие. Пусть А и В — квадратные матрицы порядка п. Если
матрицы А и В коммутируют, то ел ев =ел+в.
По определению имеем
= <9)
А=0 к-
еА.В = 5Г(/1+	(П)
А=0	•
1) Покажем, что ряды (9) и (10) можно перемножать. Для этого
достаточно убедиться, что каждый из них мажорируется сходя-
щимся положительным числовым рядом. Имеем при любом к с N
294
kl
k\
k\
Ряд у* "
L-1
*=o K •
— числовой, положительный, сходящийся; его
сумма равна . Он — мажорантный по отношению к матрич-
ному ряду (9).
Совершенно аналогично убеждаемся, что матричный ряд (10)
мажорируется числовым положительным сходящимся рядом
? ("|<
*=о к 
(-И*).
Значит, ряды (9) и (10) можно перемножать. Перемножив
матричные ряды (9) и (10), получим
А в	Л1 5* 1	Л* 1 В' Ак йоЛ
е - е - У ---------+------------+ ... +----------ч------В
/7^ Л! I! (Л-1)!	(Л-1)! I! Л! )'
-------------------------------------------------
(12)
Рассмотрим теперь общий член ряда (11). Так как матрицы А
и В коммутируют, то
= ~гР* + Л4*"1 В1 -ь ~ ^Л*-2 В2 + ... ч- =
Л •	Л  у	X •	J
Видим, что когда матрицы А и В коммутируют, то ряды (I I) и
(12) совпадают. Следовательно, еА еа = еА*в.
Частный случай. Пусть В--А. Так как матрицы А и -А
коммутируют, то еА е~А =	= е[) = Е => (еА)~' = е А .
295
§13. Линейные однородные системы
с постоянными коэффициентами
Пусть имеется система
^ = л.у,
б/Х
(I)

где У(х)=
, А - {я,7} (/,/ = |,л ), fl,7 — постоянные веше-

ственные числа; х е (-<*>,+«>).
Теорема Матрица-функция
Ф(х) s e4*, х е (-<»,+<~),	(2)
является фундаментальной матрицей решений системы (I).
> I) Покажем сначала, что Ф(х) = е* = (ф,(х).ф2(х),.... ф„(х))
является матрицей решений системы (I). В самом деле, имеем
dФ(x) d	.лг л х
—— = —е1 =/1  е L =/1 Ф(.х).	(3)
dx dx
Из (3) следует, что тождественно равны соответствующие элемен-
Л>(х) л .
гы матриц------- и А Ф(х), а следовательно, тождественно рав-
dx
мы соответствующие столбцы этих матриц, т.е.
</ф.(х)	—
---J-- а А ф (X), X €(-«□, +оо) 0 = 1, л).
dx '
Это означает, что Y = ф;(х), х е (-«>, +«>) (j = I, п), — решение
системы (I), а матрица-функция Ф(х) = (ф,(х),ф2(х)..ф„(х)) —
матрица решений системы (I).
2)	Покажем	теперь,	что
Ф(х) = е/,Х = (ф|(х),ф2(х).ф„(х)) — фундаментальная матрица
решений системы (I). Для этого вычислим det Ф(х) в точке х = 0.
Имеем
det Ф (0) = det = del f = I (* 0) =>
296
=> <Pi(jc), фэ(х), .... ф„(х) линейно независимы в (-а>;+«>). Зна-
чит. Ф(х>=₽Лл — ф.м.р.с. (I). <4
Следствие 1. Пусть точка х() — любая из (-«>; + «>). Матрица-
функция ф(х> =	есть ф. м. р. с. (I), нормированная
в точке х = х0.
Действительно, имеем: матрица-функция Ф(х) = е4эс —
ф. м. р. с. (1). Матрица С = е — постоянная, неособая. Следова-
тельно, Ф(х) = Ф(л) С = еАх — ф. м. р. с. (I). Матрицы Ах и
-4х0 коммутируют. Поэтому е** е’Л*° =	= е'10'-*0* =>
Ф(х) = еА{х~Хл) — ф.м.р.с. (I).
Имеем, далее, Ф(х0) =	= Е , т.е. Ф(х) — нормированная в
точ ке х = Х&. 4
Следствие 2. Пусть дана система —— = Л • Y и дано начальное
ах
условие
И,.„ = Г» •	(4)
где х0 — любое из R. — любой из R" . Решение задачи Коши
(1)— (4) дается формулой
г = еЛ(л-х0).уо	(5)
> Матрица-функция еЛ{х~*^ — ф. м. р.с. (1). У(1 — постоянный
вектор. Следовательно, Y = е-Л{х~х°* Уо — решение системы (1>.
Имеем: У(х0) = е® • Уо = £ • Уо = Уо. Видим, что (5> — решение
системы (I), удовлетворяю шее начальному условию (4). 4
Замечание /. Формула (5) называется общим решением систе-
мы (I) в форме Коши.
Замечание 2 (о ipynnax решений системы (I). соответствую-
щих клеткам Жордана нормальной формы матрицы А). Пусть J —
жорданона форма матрицы А:
О '
О
О
J = diagp), J2,
Jm], где Jj = О
О	0	...	О
0	...	О
I	X,	...	О
(J = 1, аи) .
О 0 0 ... 1
297
Пусть 5— неособенная матрица, такая, что
А = SJS*.
Было доказано, что
Ф(х) = еАх = eSJxS = S eJx • S"1
— ф. м. р. с. (I). Но тогда
Ч'(х) = Ф(х) S = S eJx
— тоже ф. м. р. с. (I). Имеем
о
о
Т(х) = 5  eJx
сюлбцоя
JO
«2
стол б и о в
=> из всех решений системы (I), входящих в матрицу (х), группа
решений, соответствующая клетке Жордана Jt, имеет вид
f 0 1
о
(У = I, т}.
О J
Выпишем эти группы решений в явном виде.
298
Для j - I
I	о	о
X	I	О
..2
(Здесь Л| решений)
to 0 0
(5i, S2....S„ — постоянные векторы). Тогда
'	г2	г"'-1 1 х	1
y,U)=	+52 х + 53- — + ♦.. + $„, (Я|ЗУ)7Ге lX=Yi(*)'e ’
Xя'"2	1	1
V2(X) = |^2 + S3  X + ... + S„( • —— I. ех'х = у{(х) ^'х,
¥„,(х) = 5Я| -ех,лг = У|Я|-,)(х) • ем
(6,)
((6|) — первая группа решений).
Д1я у = 2
f 0	0 0
о о
(Здесь nj решений)
о о
о о
I о
х I
О о
О 0 0
299
Тогда
2!
4*2
(62)
((62) — вторая группа решений), и так
Для j = т
далее.
о
о
о
о
о
о
о
о
(Здесь пл решении)
л.
откуда
¥л,*...+Л. ^2(х) = У'тМ Л-Л
(6Л)
¥л, ♦•/»»(•*) ~
0)
о
-1

"'** («2-2)!,
О
О
Л
w2

О
о
о
О
О
О
о
о
о

¥„(*) = <?Х"х
Здесь уш(л) = S,
/	I \ ।
п
т-я группа решении.
300
§14. Линейные неоднородные системы
с постоянными коэффициентами
Пусть имеется система
= A Y + F(x),
dx
(I)
где А =	} (/,/ = I, п ; aif — постоянные вещественные числа);
Их), F(x} — вектор-функции. Считаем, что F(x} е С((а,Ь)}.
В качестве фундаментальной матрицы решений линейной
однородной системы, соответствующей нашей неоднородной си-
стеме, берем матрицу-функцию
Ф(х) = еЛх.	(2)
Общее решение линейной неоднородной системы записывается,
как мы знаем, в виде
У = Ф(х) С + Ф(х) '(t}F(t)dt.	(3)
*0
Поэтому будем иметь
Г +	•)(**)< НОЛ =>
=> У =	+	F(i)di =>
Х0
=> У = еЛх С+/еЛх е-л' Н0Л = еЧг С+ • НОЛ. (4)
*0	*0
Замечание. Если дано начальное условие
(5)
где х0 — любое из (а,Ь), И — любой из R", то решение задачи
Коши (I) — <5) дается формулой
у = еЛ(х-х4> . уо + рл(ж-о . F(t}dl	(6)
*0
301
В самом деле, подставив начальные данные (5) в (4), получим
Уо = еЛлс • С => С = e-/U° • Уо • Подставив это выражение для век^
тора С в (4), получим (6).
Формула (6) называется общим решением линейной неодно-
родной системы (I) в форме Коши.
§15. Примеры и задачи к главе 6
Задана /. Решить систему уравнений: ~ = A Y ,

У = у2(х)
4
Л= I
-4
-2
О'
2
0.
Решение. Из уравнения
4-Х
-4
-2-Х
0
0
2
-к
= 0 со (Х + 2)(Х-2)2 = 0
находим собственные числа матрицы А: Х| = -2 , Х2 = Х3 = 2.
Жорданова форма матрицы А имеет вид
-2
0
0
О о
2 О
1 2
Ищем неособенную матрицу S, такую, что А = S J S ' . Матри-
ца 5 получается такой:
2
3
-I
I 2'
О I
о 1
Проверка', должно быть A S = S J
А 5 =
-4
-2
О'
2
2 I 2
3 0 I
1 О ОД-1 0 I)
-4
-6
2
4 4'
I 2
I 2
302
1 2U~2
0 I о
ОО] (-4 4
2 0 = -6 I
О 1Д о
I 2J (2 I
2
2,
Находим матрицу 5 1. Она получается такой:
Проверка: должно быть S S 1 = Е.
0

О I
О I
0
4
4
0
4
4
0
0
0
Имеем
е
е
0
0
О
е2х
хе2х
О
о
e2t
= е2х
е
0
0
0
Следовательно,
Ф(л) = еАх = S eJx S~l = е2х
2
3
2е4х
Зе~4х
- е
I + 2х 2У
х	I
X	I
1
О
О
О
I
О
О'
О
О
О
I
/
2\(е~4х О
1	О	I
1	0	х
' к
4	4
2
2
о'
О
I
/
_L(?-4*-2x + 1'
2	2
303
Ф(х) — фундаментальная матрица решений заданной системы.
У = Ф(х) С, где С— произвольный постоянный вектор, есть
общее решение заданной системы (в матричной форме). Было
доказано, что
Т(х) = Ф(х) • 5 — тоже ф. м. р- с. Имеем
Ч'(х) = &Л=(«| ?2 J3)
eJ>x О
О eJ'x
I столбец 2 столбца
Имеем, следовательно,
<0
(Г
О
е2л
X
у,(х) = 2л =
2
3
е 2х :
у2(х) = (s2 + s3x)e
А тогда
+ 2x1

-2х
е2*
2х

— общее решение заданной системы (в векторной форме). В ска-
лярной форме общее решение заданной системы запишется так:
304
у,(х) = 2Cte~ix + C2(l + 2х)е3х + 2С3е2х,
y2(x) = ЗС|в‘2х +• C2xe2x -t- C3e2x,
y3(x) = -C,e"2x + C2xe2x + C3e2x.
cl У
Задача 2. Найти решение системы —- = А V + F(x),
dx
У =	У1(х)	, а =	'4 -4 (Г 1 -2 2	»	F(x) =	Т 0	sin х.
			J о о,				
Решение. Так как в заданной системе уравнений матрица А та
же, что и в задаче 1, то используем результаты решения задачи I.
В качестве фундаментальной матрицы решений линейной одно-
родной системы, соответствующей заданной неоднородной сис-
теме, берем матрицу-функцию Ф(х) = еЛх. Общее решение ли-
нейной неоднородной системы записывается в виде
У = Ф (х) С + Ф (х) j Ф"1 (/) - Г(/) dt = С + J еЛ(х-г) Г(/) dt.
Хо	Ха
У нас
fl + 2(х-/))
е*<Х-1
е2(*-П sjn {
Возьмем х0 = О (здесь в качестве х0
можно брать любое число).
Будем иметь

Е(х> = j
в
xe2x
x -1
+ 3 sin x +
е2(хч) sin t dt =
4 cosx
х -1
Следовательно, общее решение заданной линейной неоднород-
ной системы будет таким: Y = У(х) + У.(х), где Y — общее
решение соответствующей однородной системы.
305
Задача 3. Решить систему уравнений:
dY
dx
- А  Y , где
у2(х)
2 Г
3 1
6 4,
Решение. Находим собственные числа матрицы А из уравнения
-4-Х 2
-5	3-Х	1 =0
-15	6	4-Х
(X-!)’=() =э
X) = Х2 = Х3 = I
Жорданова форма матрицы А имеет вид
। о: о'
1 1; о
Ищем неособенную матрицу S, такую, что А = SJS 1. Она полу
чается такой:
5=0
10
5 2'
5 5
15 0,
Проверка', должно быть /1-5 = 5/.
/15 = -5
1-15
2 IW-I
3 I 0
6 4Д 0
5
5
15
/4
15
5 2'
5 5
15 0,
5
5
15
2W1
5 1
0 0W4
ОДО
10=5
0 J [|5
5 2'
5 5
15 0,
0
0
0
Находим матрицу 5 1. Она получается такой:
5Ч
-1 2/5 3/15'
0	0	1/15
Д) 1/5 -1/15,
306
Проверка: должно быть 5 5 1 = Е\
S S 1 =
О
О
5
5
15
Г
5
°,
2/5
О
1/5
3/15 '
1/15
- 1/15,
(У
О
О
О
1 О
О I
о о
/
Имеем
ejx
О О'
1 0 ех,
о 1.
Следовательно,
X
о
Ф(х) = е
5х
15х
15
О
1/5
15
2'
5
О,
3/15 '
1/15
-1/15,
О'
О
1 - 5х
- 5х
- 15х
2/5
О
1/5
2х
6%
1/15 е
-1/15,
х
Зх +1
5
О

О
О
х
О
О
о
о
5
2^
О
О
О
е
е .
Ф(х) — фундаментальная матрица решений заданной системы.
У = Ф(х) • С , где С — произвольный постоянный вектор, естьобщее
решение заданной системы (в матричной форме). Заметим, что
Т(х) = Ф(х) 5 — тоже ф. м. р. с. Имеем
Ч*(х) = S eJx
'F(x) = (5,
О
О О1
1 О
О 1
е
5
(2
где 5, =
О , S2 = 5 , 53 = 5
О
15
/53
Vt(x) = (5! +53х)е
15
5х- Г
5х
15х ,
О
О
О
е,
307
Это — общее решение заданной системы (в векторной форме). Вскаляр-
ной форме общее решение заданной системы запишется так:
У| (х) = С](5х - 1)ех + 5С2е' + 2С3ех,
у2(х) = 5С|Хех + 5С2ех + 5С3ех,
у3(х) = I 5С|А€х + 15С2ех.
Задача 4. Решить систему уравнений — = A Y, где
ах
(-2 4
У(х) =
У1<х) .
/1 = - 1 2
I-2 3
3'
I
3;
Решение. Находим собственные числа матрицы А из уравнения
-2-Х	4	3
-1	2-Х I =0

(Х-1)3=0 => Х|=Х2=Х, = |.
-2	3	3-Х
Находим жорданову форму матрицы А. Она будет такой:
I	0 (Г
I	I	о
10 I I)
Ищем неособенную матрицу 5такую. что А = 5 J S 1 . Она по-
лучается такой:
г-3 1 Г
5 = -2 I 0
10 0 о
308
Проверка: должно быть AS = SJ ;
Л S =
- 2
4
2
3
f-2
-2
О
(-2
О
2
О ,
О
О
о
о
I
О
2
-2
< О
О
О
О
О
1

(убеждаемся, что S’и / найдены правильно). Находим матрицу 5
Она получается такой:
2
(О
О
/
Проверка: должно быть S S 1 = Е;
О
'-3
-2
. О
-2
О
О'
О
о
2
О
о
о
о
о
(убеждаемся, что матрица S' 1 найдена правильно). Имеем
о о
I о
е .
=
2
Следовательно,
О
Ф(х) = е
Jx s~l =
-2
О
х
„2
О
О
о
о
О
О
2
е
= ех
О
2
О
О I
309
X
4 + 2х + |,

Ф(х) — фундаментальная матрица решений заданной системы.
У = Ф(х)С, где С— произвольный постоянный вектор, есть
общее решение заданной системы (в матричной форме). Заметим,
что Ч*(х) = Ф(х) • S = 5  eJx — тоже ф. м. р. с.:
	r I 0 О1		-У		Г		Т
Y(x) = (i| s2 s3)	x I 0	ел, где s'| =	-2	> Ь =	I		0 ,
	<4 * I		<0,		А		<1
откуда
у2(х) =(s2 + s3x)e* =
V;(x) = s3e* =
О ех.
У = С|у|(х) + С2у2(х)+С1у1(х)г=
310
Это — обшее решение заданной системы (в векторной форме).
В скалярной форме общее решение заданной системы имеет вид:
У|(х) = С,
(х2	)
— + х - 3 -ь С2(х + 1)ех + Суе ,
£	I
у2 (х) = С| (х - 2) ех + С2е*,
х2
у3(х) = С, — ех + с2хех 4- Суех.
Задача 5. Решить систему уравнений = A Y. где
ах
Решение. Находим собственные числа матрицы А из уравнения:
5-Х	-6	8
2	-3-Х	6
О -I 3-Х
X, =1,
= 0 (X - I) (X2 - 4Х + 5) = О => Х2 = 2 + /,
Х3 = 2 - i.
Находим жорданову форму матрицы А. Она будет такой:
И о (П
J=02 I
10 "I 2J
(см.: Д.К. Фаддеев. Лекции но алгебре. 1984,с. 343). Ищем неособен-
ную матрицу 5, такую, что А = S J S~]. Она получается такой:
'1
5=2
J
4-2'
3 I
> 2>
Проверка', должно быть AS = SJ ;
10 О'
5 5 ,
0 5,
311
I 4
S J= 2 3
J 1
-2WI 0
I 0 2
2 ДО -I
0\ p 10 O'
1=255
2j [l 0 5,
(убеждаемся, что матрицы 5 и J найдены правильно). Находим
матрицу 5_| . Она получается такой:
2 -2
I 'I
Проверка', должно быть 5 5 1 = Е;
Найдем матрицу eJx. Для этого вычислим сначала матрицу ев' , где
(сх 151
I. Представим матрицу В в виде В = аЕ + р7 , где
-Р а)
г П °) 7 (° П т	г
Е = 1	1,7=1 । I. Гак как матрица at коммутируете мат-
рицей pJ , то

Но eaFjt = е**1' . Поэтому еВх = еш е^х. Найдем матрицу .
По определению матричной экспоненты имеем
+-----+-------+ ... ;
3!	4!
е'х = Е + Jx +
2!
г 0
-I
К° Ц-Н °].
- I о] [ 0 - Ip
312
Таким образом, получаем
J2* =(-!)*£, 72А>| = (-!)* J, к =0,1,2....
Поэтому
.. й] ( cospx
Но тогда ер =
1,- sin Рх
sin рх
cospx
и, следовательно,
е*
= е
.а*ерЛ=[ cospx
е™ sin рх
е** sinpx
е™ cospx,
В нашей задаче а = 2 , р = 1 , В = 2Е + J . Поэтому ея‘ =
' 2х
е cos х
k- е2* sin х
е~ ‘ sin х
2х
е cosxj
. Таким образом, получаем
0
21
е cosx
-e~l sin х
0
e21sin х
e2tcosx
Следовательно,
313
Ф(_х) = ех< =5^5-’ =
rl 4
2 3
J «
-2)(ex
1	0
2 До
0
e2xcosx
-e2xsinx
e2xsinx
e2xcosx
3
5
2 - 2
2ex
4?2xcosx + 2e2x$in x
3e2rcosx - e2xsin x
e2x cosx - 2e2x sin x
4^2xsinx - 2^2xcosx
3e2xsin x + e 2xcosx
e2x sinx 4- 2е2л cosx
7
4
5
3
5
3
5
I
I
-eVe2* 2(cosx+sinx) 2ex -e2x(2cosx4-4sinx) -2ex +e2x(2cosx+6sinx)
-2ex+e2x 2cosx	4el -e2t(3asx +sinx) ~4ex +ebt(4oosx + 2sinx)
-e* +e2x (cosx-sinx) 2ex 4-e2l(sinx-2ccsx) - 2r*+e2'(3oosx-sinx)
Ф(х) = e4* — фундаментальная матрица решений заданной систе-
мы. ¥ = Ф(х) - С , где С — произвольный постоянный вектор, есть
общее решение заданной системы (в матричной форме). Имеем
ВД =
-ех + 2е2х (cos х + sinx)
- 2е* + 2е2л cosx
- ех + е2х (cosx - sin х)
2ех -e2x(2cosx + 4sinx)
4ех -?2x(3cosx +sinx)
2ел +e2v(sinx- 2cosx)
ВД =
У’з(х) =
- 2е* + e2x(2cosx + 6sin х)
- 4е* 4- e2x(4cosx 4- 2sin х)
- 2ех + е2х(3 cosx - sin х)
— линейно независимые решения системы. Следовательно,
У(х) = С|У|(х) 4- С2У2(х) 4- C3F3(x) — общее решение заданной си-
стемы (в векторной форме). В скалярной форме общее решение
заданной системы имеет вид:
314
у((х) = С|[-ел + 2e2x(cosx + sin x)] +
+ C2[2ex -e2x(2cosx +4sinx)] +
+ C3[-2e* + e2x(2 cosx + 6 sin x)|,
p2(x) = C|[-2ex +2e2jrcosx] +
+ C2|4ex - e2x(3cosx + sinx)] +
+ Cj|-4e* e2jt(4cosx + 2 sin x)|,
y$(x) = C| |-ex + e2' (cosx - sin x)J +
+ C2[2ex + e2*(sin x - 2cosx)] +
+ С^\-2ех + e2x(3cosx - sin x)].
Глава 7
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§1. Логарифмы матриц
Определение. Пусть А — квадратная матрица порядка л. Матри-
цу В называют логарифмом матрицы А и пишут В = In А , если
А = е*.
Справедливы следующие утверждения:
I)	если А = diagp।,А2,..., Ля] и если существуют В, = In Aj,
j = l, m, то существует В=1пЛ, причем В = In А =
= diagpn Л|,1п Л2,..., In
2)	если А = 5751 (det S’ * 0) и если существует In Л то
существует In А, причем In Л = S In J S'';
3)	если матрицы А и В коммутируют, т.е. А В = В • А, и если
существуют In А и In 5. то существует In (А В), причем In (А В) =
= In А + In В .
Теорема. Пусть А — неособенная квадратная матрица порядка
п. Тогда В = In А существует.
Пусть J — жорданона форма матрицы А. Тогда А = S • J • S '
(det S * 0). Мы докажем, что In А существует, если покажем, что
существует In У (см. утверждение 2).
316
I. Рассмотрим сначала случай, когда J = diagjXpX^,..., Х„].
Отметим, что Х7 * О (У = I, л), ибо собственные числа матриц А и
/совпадают, а матрица А— неособенная. Следовательно, In Ху
(У = 1,л) существуют, а значит, существует In / (см. утвержде-
ние I), причем
In J = diag[ln Х| ,1п Х2,..., In Хп].
II. Рассмотрим теперь более общий случай, а именно случай,
когда J = diag[J|,/2,..., Jт ], где /7 (У = I, т ) — клетки Жордана.
Мы докажем, что In J существует и что
In J = diag [In J|, In J2,..., In Jm],
если докажем существование
ln/y для любого y = l,w. Имеем
О
О
Ч
ООО
о о '
о о
о о
1
г 1 о о ... о о1
О	I	о	...	о	о
О	О	I	...	о	о
•	•• • ••• ••• •••
,	О	О	О	...	О	I	,
=£', (обозначение)
'	О	О	О	...	О	О'
I	о	о	...	о	о
О	1	о	...	о	о
•	••	• • •	•••	•••	• • •	• • •
ч	О	О	0	...	I	О	,
=Вп (обозначение)
= X . Е„ + Вп = X. Еп I Е„ + — В I.
J	ni J "/I "/	1	"/I
V	f
Отметим, что матрица Ху£„ коммутирует с любой матрицей,
в частности, она коммутируете матрицей Еп + у- Вп .
В„ .Попункту!:
317
ln(X;fw ) существует. Следовательно, существование In Jf будет
доказано, если показать, что существует In I + — Вп
, ибо в
этом случае In J? = In (х,Г„ ) + In Е„
-к. п
Убедимся, что имеет место равенство
In Е.
★г**
х,
_	1 Д1 — 1
2Х2, ЗХ3, 4Х4,
Обозначим через 5
Л’2
(1)
сумму ряда, стоящего в правой части (1).
Равенство (I) будет установлено, если удастся показать, что ряд,
стоящий в правой части (1), сходится
s
и что е
Имеем
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О '
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о '
о
о
о
в"' = 0.
----!---г С '
(^-ох^-1



= .

о
о
о
о
о
о
о
о
О
О
О
О
О
О
о
о
о
о
о
О
318
Следовательно, в ряде (I) член (-!)"' 2------гВ"1 1 — пос-
(Пу-1М7-' ">
ледний, отличный от нулевой матрицы. Значит, ряд, стоящий
в правой части (I), сходится. Принимая во внимание выражения
для	, легко находим, что
О	0	0	...	О	0	01
0	0	0	...	О	0	0
-L	0	0	...	О	0	0
А- .
Имеем, далее,
(»,-!>'[ (л;
+
ибо

= 0 для к = nJt nj + U
319
У матрицы S
чисто нулевые первая строка и последний
столбец; у матрицы
чисто нулевые две первые строки
и два последних столбца, и т. д. У матрицы
уже все
элементы равны нулю. После простых, но трудоемких вычислений
устанавливается, что
Так как
5
= Еп, то получаем
Таким образом, приходим к выводу, что соотношение (I) верно.
Следовательно,
,п|\
к
существует, а значит, существует
In Jj (j = I, m). 4
§2. Линейные однородные системы
обыкновенных дифференциальных
уравнений с периодическими коэффициентами
Пусть имеется система
= А (х) • Y,
dx
(I)
320
У2
<Уп >
где х e R . Y -
/1(х) — матрица-функция размера (яхл),
периодическая с периодом со, т.е. А (х + со) в А (х), х е(— ООэ + 00) .
Отметим, что
А (х + со) = А (х), хе(-«,+°о) <=> о/у(х + со) в а/у(х),
X € (-«, +оо) , ij = 1, П .
Теорема 1. Любая фундаментальная матрица Ф(х) решений
системы (I) представима в виде
Ф(х)=р(х) егЛ,	(2)
где р(х) — периодическая квадратная матрица порядка п с тем же
периодом со, а /?— постоянная квадратная матрица порядка п.
Пусть Ф(х) = (ф|(х),<р2(х),..., ф„(х)) — произвольная ф. м. р.
с. (1) => Каждая вектор-функция Y = <ру(х), j = |,« — решение
системы (1). Покажем, что
Ф(х + со) = (ф((х + со).ф,(х + со),..., Ф„(х + со))
— тоже ф. м. р. с. (I).
В самом деле, так как Y =ф (х) — решение системы (I), то
Ф'(х-ко) в /1 (х + со) фДх-ко), хе (-оо,+оо). у нас Л(х) — пе-
риодическая с периодом со => А(х + со) s Л(х), хе(-~,+«>).
Поэтому предыдущее соотношение запишется в виде
Ф^,(х + со) = 4(х) <р,(х + со), хе(-«>,+«).
Последнее означает, что вектор-функция Y = ф;(х + <о) — ре-
шение системы (I). Таким образом, если мы составим матрицу
Ф(х + со) = (ф!(х + со),ф2(х + со).ф„(х + со)),
тоее столбцы являются решениями системы (1). Значит, Ф(х + со) —
матрица решений системы (I).
321
По условию, ф|(х), <р2(х), •» ф„(х) — линейно независимые
в промежутке (-<*>, + «>) => <р,(дс + со), <р2(х + а>),	ф,((х + со) —
линейно независимые в (-«>, + <~) => Ф(х + со) — ф. м. р. с. (1 >.
Итак, имеем: Ф(х) и Ф(х-ю>) — две фундаментальные матрицы
решений системы (I). Но тогда, как мы знаем, существует неосо-
бенная постоянная матрица С, такая, что Ф(х + о>) = Ф(х) С .
Матрицу С называют матрицей монодромии.
Так как С— неособенная матрица, то существует In С. Введем
в рассмотрение матрицу R = — In С => С - ешК. Положим далее
со
р(х) = Ф(х)елЛ.	(3)
Из (3) находим Ф(х) = р (х) exR. Остается показать теперь,
что матрица р(х) — периодическая с периодом со. Имеем
р(х + со) == Ф<х + со) • е‘(Х4Ш) к = Ф(х) • С • е шЛ ехЛ,
ибо матрицы -со/? и -xR коммутируют.
Так как Ce“w/J = ес,Л = е° = £, то получаем
р (х + со) = Ф (х) е~хЯ (= р (х), х е (-«>,+ ~).
Значит, матрица р(х) — периодическая с периодом ш. 4
Заметим еще, что из (3) следует:
I) матрица р(х) — неособенная, ибо detp(x)#0;
2) матрица р(х) — непрерывно дифференцируемая.
§3. Мультипликаторы
Пусть имеется линейная однородная система
^- = А(х) Y,	(I)
dx
где А (х) — периодическая матрица-функция с периодом со . Пусть
Ф|(Х) — какая-нибудь ф. м. р. с. (1). Выше было показано, что
Ф|(х + со) — тожеф. м.р.с.(1). Нотогда
322
Ф|(л + (О) = Ф,(х)С1	(2)
(С| — матрица монодромии, detC( *0). Пусть Ф(х) — некоторая
другая ф. м. р. с. (I). Тогда и Ф (х + со) — тоже ф. м. р. с. (1), причем
Ф (х + со) = Ф (х) • С	(3)
(С— матрица монодромии, det С * 0).
Найдем связь между матрицами С| и С. У нас Ф|(х) и Ф(х) —
ф. м. р. с. (I). Поэтому существует неособенная постоянная матрица
Т, такая, что
Ф|(х)= Ф(х)Г	(4)
(2)	(4)
=> Ф,(х + со) = Ф(х + со) • Т => Ф (х + со) Т = Ф| (х) С) =>
(4)
=> Ф(х + со) Т = Ф(х) Т С,.
Умножим обе части последнего равенства на матрицу Т"1 справа.
Получим
Ф(х + со) = Ф(х) • Т • С| • Т 1.	(5)
Но, с другой стороны, мы имеем (см. (3))
Ф(х + со) = Ф(х)С.
Так как матрица С— единственная, то из (5) и (3) следует, что
С=Г СрТ’1.	(6)
Последнее означает, что матрицы С и С( — подобные.
Общий вывод: все матрицы монодромии для данной системы (I)
являются подобными.
Известно, что собственные числа подобных матриц одни и те
же. Следовательно, справедливо утверждение: собственные числа
любой из матриц монодромии для данной системы (1) не зависят от
выбора ф. м. р. с. (I).
Определение. Пусть ц2,	— собственные числа мат-
рицы монодромии С. Эти числа называются мультипликаторами
системы (1).
У нас R = —1пС. Пусть Х.,. Х2...Хт — собственные числа
60
матрицы /?. Ясно, что X = — Inp,. Числа X., Х2, ...» кт называ-
' со 7
ются характеристическими показателями системы (I).
323
Заметим, что:
I) если Re Л, <0, то для соответствующего мультипликатора
будет |ну| < 1:
2) есл и Re > 0 , то |ц71 > I.
§4. Структура фундаментальной матрицы решений
линейной однородной системы
с периодическими коэффициентами
Было показано, что ф. м. р. с.
^ = Л(х)Г	(I)
dx
где А (х -t- ш) = А (х), х е (-«>, + <*>), представима в виде
Ф(х) = p(x)exR ,	(2)
В (2) р(х) — периодическая с периодом ш, неособенная, непре-
рывно дифференцируемая квадратная матрица порядка л;
/? = — InC (С — матрица монодромии),
(О
Пусть J — жорданона форма матрицы /?. Значит, существует
матрица 5, такая, что R = S J • 5~* , Имеем
Ф(х) = р(х)ехК = p(x)es/xS = р(х) S ejx  S'1.
Умножив обе части последнего матричного равенства на ^справа,
получим
Ф(х)$ = р(х ) S	= р(х )</'.
а.ф(х )	/>”(*) (обозначение)
Отметим, что Ф(х) = Ф(х) S является ф. м. р. с. (I), а р’(х) —
матрица, обладающая теми же свойствами, что и р(х) (р'(х) —
периодическая с периодом со, неособенная, непрерывно диффе-
ренцируемая).
Итак,
Ф(х) = р’(х)	•	(3)
Если выясним сгруктуру матрицы Ф(х), то тем самым узнаем
структуру ф. м. р. с. (1).
324
Имеем
Каждой клетке Жордана Jу (j = I, т) соответствует группа реше-
ний, входящих в матрицу 1Р(л). Выпишем эти группы решений
в явном виде.
Первая группа (/' = I):
р'(х)
Л
(пссь л, решений)
=р(х)
(	1 о о ... О О
X	1	0 ... 0	0
х^			
(W|-D!	* * •	4 « •	* • * Л	
0	0	0 ... 0	0
0	0	0 ... 0	0
'eJ^
о

¥.(х) =
Р\(х) + р2(х) х + р3(х)~ +... + р (х) - х ].
2!	(М| - 1)! I
V?(x)= р2(х) + рз(х) Х + ...+рЛ|(х>
х"’~2
(и, -2)!
е
V«,(x) = p,f|(x)
Отметим, что />((х), р2(х).р„(х) — периодические вектор-
функции с периодом ы .
Вторая группа решений (j = 2):
325
р'(х)
(X) —-------
(л2-1)!
= Д»1+И*) + РЛ^М • х +
х"1-2	1

Ул|+яг (*) — Аг|+Л« (*) '	’ »
и так далее; /л-я группа решений (у = т\-
Y =Т(х) С = С| у((х) + С2 • у2(х)ч-...+СЯ • уЛ(х) — общее
решение системы (I).
326
Отметим, что:
1) если Re <0 для любого j = I, тч то все решения систе-
мы (I) стремятся к нулю при х —» +<»;
2) если имеется хотя бы одно характеристическое число 1?о,
такое, что ReXyi > 0, то существуют решения системы (I), стре-
мящиеся к бесконечности при х -> + °°.
Замечание. Пусть Ф(х) — ф. м. р. с. (1>, нормированная
в точке х = 0, то есть такая, что Ф(0)= Е. Построим по ней
матрицу монодромии С Мы знаем, что Ф(х + <о) = Ф(х) С. По-
ложив в этом соотношении х = О, получим
Ф (о) = Ф (0) • С => С = Ф(о>).
77
Видим, что в этом случае мультипликаторы системы (1) будут най-
дены, если мы найдем собственные числа матрицы Ф(ю).
По формуле Остроградского — Лиувилля имеем
Jtr A(.t)di
^(x) = det Ф (х) = det Ф (0) -	,
где detФ(0) = I, так как Ф(х) — нормированная в точке х = 0.
Поэтому
J tr A (t]dl
dct<t>((i)) = e°
Мы знаем, что определитель любой матрицы равен произведению
собственных чисел этой матрицы. Следовательно,
jtr Л (r)dl
Р|	=<1е1Ф(<о) = ев
Если прологарифмировать это соотношение, то получим
ш
In и, + 1пц2 + ... + 1пц„ = jlrA(t)dt =>
о
I ®
=> А.| + Х2 + ... +	= — ftr/1 (t)dt.
03 О
327
§5. Приведение линейной однородной системы
С периодическими коэффициентами
к линейной однородной системе
с постоянными коэффициентами
Пусть имеется система
^ = /Цх)У,	(1)
dx
где /4(x)eC(R) и такая, что А (х + со) = А (х), хе(-»,+<»). Мы
знаем, что любая фундаментальная матрица решений Ф(х) сис-
темы (I) представима в виде
Ф(х) = р(х) е**:,	(2)
где р(х) — неособая, периодическая матрица с периодом со;
R — постоянная матрица. Отметим, что поскольку Ф(х) — матри-
ца решений системы (I), то
Ф'(х) = Л(х)Ф(х).	(3)
Произведем в системе (I) замену переменных по формуле
У = р(х) Z,	(4)
где р(х) — матрица из (2). Подставив (4) в (1), получим
р'(х) Z + р(х)  Z' - А (х) р (х)  Z =>
=> p(x)Z’ = [Л(х) • р{х) - р'(х)] Z =>
=>	= р’’(х)[/1(х) р(х)-/(х>] Z.	(5)
Найдем выражение для р'(х). Для этого подставим выражение
для матрицы Ф(х) в виде <2) в соотношение (3). Будем иметь
р'(х)еКк + р(х)- R еКх = А(х) р(х)еКх .
Умножив обе части последнего тождества на ск' справа, полу-
чим р'(х) = А(х) р(х)- р(х)  /?. Подставив полученное выраже-
ние для р'(х) в (5), получим
= р_|(х)[Л(х) р(х)-Л(х)- р(х)+ р(х) /?| Z =>
=> ^ = />-'(х)/,<х)Я Z => Я-Z.	(6)
dx	ах
Так как R — постоянная матрица, то (6) — линейная однородная
система с постоянными коэффициентами.
328
Ciaea «У
ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Постановка задачи об устойчивости. Определения
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
с начальным условием
И,-,=4о.	<2>
описывающая некоторый реальный процесс, неизбежно описы-
вает его лишь приближенно. Дело в том, что система дифферен-
циальных уравнений составляется при некоторых упрощающих
действительные зависимости предположениях, а начальные дан-
ные, являющиеся обычно результатом некоторых измерений, вы-
числяются с погрешностью. Поэтому обычно лишь только те
решения системы (1) могут хотя бы приближенно описывать
изучаемый процесс, которые при t > z0 мало изменяются при
малом изменении правой части системы (I) и при малом измене-
нии начальных данных (2).
Теория устойчивости изучает условия, при которых малые
изменения вектор-функнии F(r, Y) или малые изменения на-
чальных данных приводят лишь к малому изменению решений
при t > tQ . Мы ограничимся здесь рассмотрением только второй
из этих задач.
329
Рассмотрение будем вести при предположениях, что:
I) /(Г,У)€С(С);
2)	/(г, У) € Lipr(<7) — локально; (G) = (т, + «) х (D),
(D) с R", т>-«.
Часто в дальнейшем будем называть независимую перемен-
ную t временем, каждое решение Y(t) системы (I) — движением,
а график этого движения — траекторией.
Пусть У = ф0(Г) = ф0(г, Г0Ло) ~ решение задачи (I) — (2). Будем
считать, что это решение определено для ге(т0,+<»),
т £ т0 < /0 < +«>; 10, £() — любые, но такие, что точка (/0,fc0) е (G).
Было отмечено, что начальные данные вычисляются с неко-
торой погрешностью, а потому вместо (2) будем иметь прибли-
женное начальное условие
Г|,_, =t,rae 6 = 4о + А5: (/оЛ)««7).	(5)
• • “•О
Начальным условием (2) определяется некоторое другое движе-
ние системы (I): У =<р(г) = ф(г, г0Л). Считаем, что и это движение
определено для t е (т0, +<»). Вопрос об устойчивости (неустойчи-
вости) движения У =фо(О, г с (т0, +«), в смысле А. М. Ляпунова
сводится к вопросу о влиянии ошибок в начальных данных на
движение во все последующие моменты времени. Если оказывает-
ся, что малые ошибки в начальных данных обусловливают также
малые ошибки во все последующие моменты, то говорят, что дви-
жение У = ф0(/) = ф0(/, /0,5Й), t 6 (т0, +«>), устойчиво в смысле
А.М. Ляпунова. В противном случае говорят, что это движение
неустойчиво в смысле А.М. Ляпунова.
Рассмотрим два простейших примера.
Пример 1, Дано обыкновенное дифференциальное уравнение
+	+ г	(1*)
at
Оно определено на всей плоскости переменных / и у, причем каж-
дая точка этой плоскости оказывается точкой единственности.
Общим решением уравнения (I*) является функция
у = Се'+1.	(2*)
Из (2*) выделим решение уравнения (I*), удовлетворяющее
начальному условию у|/;10 =	. Таким решением будетфункция
330
у = ф0(Г, 0До) =	' +1» 1 е (-»,+«) • Станем рассматривать это
решение на промежутке |0, +«»).
Выделим теперь из (2*) решение уравнения (I*), удовлетворя-
ющее начальному условию у|; 0=Д, где £=Д0+Д£, Д^*0.
Таким решением будет функция у = <р(/, ОД) =Де~'+ г,
t е <-оо, +оо). И это решение станем рассматривать на промежутке
[О, + «).
Возьмем £ > 0 любое, сколь угодно малое, и рассмотрим раз-
ность <р(/,ОД)-фо(ЛОЛо)* Имеем
Ч> 0.0.4) - Фо(лОЛо> = de" + 0 - (^е-‘ + Г) = (4- 4о)е" =>
=» I <р(г.О,4) - Фо(/.0.4о)| = |4-4o|r"' s|4-4o| лля всех Ге ((),+«>) =>
=> | ф(/, 0, Q - <р0(/, О, £0)| < е для всех г е [0, +оо),
если число \ брать любым, удовлетворяющим условию |£ - £0| < 8 ,
где б = £ .
В этом примере малые ошибки в начальных данных обуслов-
ливают малые ошибки во все последующие моменты времени.
Более того, эти ошибки быстро убывают с увеличением г. Заметим
еще, что
limJipU, 0,£) - <р0('Л ^о>1 = ь - £ок"' = 0
(т. е. решения, близкие по начальным значениям, неограниченно
сближаются с возрастанием t).
Пример 2. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение
^=sin2y.	(3*)
at
Оно определено на всей плоскости переменных i и у; каждая точка
этой плоскости оказывается точкой единственности уравнения (3*).
Уравнение (3*) имеет очевидные решения: у = кк
(Л = 0, ± I,± 2,...). Пусть у * кп (к = 0,± I,± 2,Тогда уравне-
ние (3*) может быть записано в виде
dv
—£— = dt => etgy = -(r + C).	(4*)
sin* у
331
Рассмотрим решение урав-
нения (3*), удовлетворяющее
условию j|/=0 = 0. Этим реше-
нием будет у = фцО. 0.0) а 0.
f G (— 00, + 00). Станем рассмат-
ривать это решение на проме-
жутке [0, + «) (рис. 8.1).
Из (4*) выделим решение уравнения (3*), удовлетворяющее
начальному условию =£,	<0, л). Таким решением будет
функция, определяемая соотношением etgу = etg^ - /, а именно:
У = <р(Л 0»^) = arcctg(ctgJ; - 0 , t е (- 00, + 00) .
И это решение будем рассматривать на промежутке [0, +«.).
Для разности решений имеем
<р(/, 0,£) - <р0(л 0,0) = arcctg(ctg£ - /) =>
=> lim [<р (/, 0,^) - ф0(/, 0, 0)1 = lim arcctgfctg^ - г) = к .
Здесь уже не всякому е > 0 будет отвечать 8 > 0, такое, чтобы из
неравенства |<;-0|<8 следовало бы неравенство |<р(/, 0, £)-
- <р0(/, 0, 0)| < £. Значит, существует е0 > 0, которому не отвечает
никакое 6 > 0 в указанном выше смысле, и, следовательно, для
любого 5 > 0 существуют £ , удовлетворяющее условию - о| < 5,
и 7 е [0, +*>>, такие, что |<р(7,0, £) - <р0(Г, 0, 0)| > е0.
Дадим теперь точные определения устойчивости, неустойчи-
вости и асимптотической устойчивости движения У = ф0(/, /0,£п)»
Ге[/0,+ «х>) системы (1).
Определение 1. Движение Y = ф0(г) = ф()(/,	, / е рю, +<»)
системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если любому
е > 0 отвечает 5 > 0 , такое, что для любого вектора £ , удовлетво-
ряющего условию |£ - £(>| < 8, движение системы (1)
У = ф(0 = <р (/, г0Л) определено на промежутке р0,+«>) и имеет
место неравенство
|ф (моЛ)-то('.'о»М<е для любого Г€р0,+~>).
332
В противном случае движение У = <р0 (г) = <р0 (/, г0, £0) , t £ ||0 •* »,
называется неустойчивым по Ляпунову. Иными словами, движение
У = <Ро(0 = /оЛо) • 1 е К’ + °°)« называется неустойчивым по
Ляпунову, если для любого 5 > 0 существуют вектор |, удовлет-
воряющий условию |j|-£0|<8, и г е [г0, + <~) , такие, что
|ф(Г, Го, £) - ф0<Г, /о,4о)||>£.
Определение 2. Движение У = q>()(/> = <р0(Л 'щ	' е Ро, + °°)»
называется асимптотически устойчивым (по Ляпунову), если
I) <Ро(0 = Фо(/,/<)> £(i) устойчиво (по Ляпунову) и если 2) суще-
ствует 5' > 0, такое, что для любого Е, , удовлетворяющего усло-
вию ||£ - £0| < 5', оказывается
Замечание. Допустим, что существует точка	такая,
что для любого i е (т0, +~) оказывается F(f, Уо) = 0. Тогда систе-
ма (I) допускает движение У = Уо, I е (т<>, +«). Такое движение
называется состоянием покоя. Его траекторией является точка Уо
(точка Уо — точка покоя). Отметим, что вопрос об устойчивости
произвольного движения <р0(/) = <р0(г, г0, £0), t е |/0, +«»), систе-
мы (!) может быть сведен к вопросу об устойчивости состояния
покоя некоторой другой системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений.
Действительно, произведем в системе (I) замену
У = ФоО» /о» £о>+ X •	О)
Получим
+ ^ = F(r, ф„(/, Г0 До) + X) =,
at	at
= ^(/> Фо(Л /©, £(>))
=	=	Г„Л„> + Х)Д„)) = F(i.X) =»
at	обо in.
^ = f(t,X).
at
(4)
333
В силу замены (3) решению У - фа(/,/0,£0) системы (I) соответ-
ствует решение X = 0 системы (4) (движение X а 0, / е (т0, +«>) —
состояние покоя системы (4)), а решению У = ф(г, Zq,£) системы (I)
соответствует решение X = <р(/,/0Д) -фо(МОДО) =
обо lit
системы (4). Ясно, что
T] = V(Mo,ll)|,_, =ФО’/о4)|/жА -Ф(|О^о^о)|,=/ =$-4о.
Покажем, что если решение У = ф0(г, т0, £0), t е р0, + <«), системы
(I): 1) устойчиво, 2) неустойчиво, 3) асимптотически устойчиво, то
и решение X = 0, t € р0, + «>), системы (4) будет соответственно:
1) устойчивым, 2) неустойчивым, 3) асимптотически устойчивым.
I) Пусть решение У = ф0(г, г0Ло)» г * Ро-» + °*’)» системы (I)
устойчиво. Тогда любому е > О отвечает 8 > 0, такое, что для
любого £, удовлетворяющего условию |^-£(||<3, движение
У =ф(/, г0,£) системы (I) определено на промежутке t е |/0, + <*»)
и имеет место неравенство |ф(Л - ФоР. zo> £о>| < е для любо-
го / € [fy, +°°), А это неравенство равносильно тому, что любому
е > 0 отвечает б > 0. такое, что для любого т], удовлетворяющего
условию ||т] - о[| < 3, движение X = у (г. f0. л) системы (4) опреде-
лено на промежутке [г0, +<») и имеет место неравенство
Ь Л) - °|| < е для любого fGp0.+«>). Последнее означает,
что решение X = 0, t е |/0, +«>), системы (4) устойчиво.
2) Пусть решение ¥ = Фо(Мо.£о)» 1 е Ро- + °°), системы (I) не-
устойчиво. Но тогда существует е > 0. такое, что для любого 5 > 0
существуют вектор удовлетворяющий условию ||-§0||<8,
и 7 е |/0, +оо), такие, что будет |ф(7,	" Фо<*’ г0’ 4о)| * е • А это
равносильно тому, что существует е>0, такое, что для любого
5 > 0 существуют вектор fj, удовлетворяющий условию | и - 0| < 5,
и Г е |/0, +оо), такие, что будет | у (7, /0, П) - о| 2 е. Последнее озна-
чает, что решение X еО, /е[/0,+<х>). системы (4) неустойчиво.
334
3)Пусть решение К = ф0(г,/0,£о) • / е|г0, + «•), системы (1)
асимптотически устойчиво. Это означает, что I) решение
У = ф0(/, г0, £0), t е |/0, + ~), устойчиво и что 2) существует 8' > О
такое, что для любого вектора Е,, удовлетворяющего условию
К"М< 5', будет
|| ф (/, /0 Л) - фо(Л ta, So)|| ——* 0.
Но тогда: I) решение Х = 0, Г€р0,+«>), системы (4) устойчиво
и 2) существует 8' > 0 такое, что для любого вектора л, удовлет-
воряющего условию || Л ~ < 8', будет
|у(/, Го,л)-О||
Значит, решение Хм, t е [г0, + <*>), системы (4) асимптотически
устойчиво. 4
§2. Устойчивость линейных систем
Рассмотрим линейную систему
^ = zl(r).r + f(r),	(I)
at
где матрица-функция А (г) и вектор-функция F(t) предполагают-
ся непрерывными на промежутке (т, + «>). Заметим, что в этом
случае область ((7) = (т, +<») х R" и решения системы (1) существу-
ют на всем промежутке (т,+ ~). Покажем, что исследование на
устойчивость произвольного решения У = ф0(г, Го, ^0) системы (I)
сводится к исследованию на устойчивость решения KsO соот-
ветствующей однородной системы

(2)
а именно, покажем, что справедливо утверждение:
Произвольное решение У = фо(/, /0, £0), t с |/0, + «>) линей-
ной неоднородной системы (I): I) устойчиво, 2) неустойчиво,
3) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда решение
335
У = 0, /с|/0,+«>) соответствующей однородной системы (2)
соответственно: I) устойчиво, 2) неустойчиво, 3) асимптотичес-
ки устойчиво.
В системе (I) произведем замену, положив
Y = Фи(Л Дь $о) + % •	(3)
(X— новая искомая вектор-функция). Получим
- А Ю[ф0(Л /0,5„) + Л|+ Л<).
Так как Y = Фо(МоДо)» 1 е|/(ь+оо),— решение системы (I), то
= Л Ю ТоЮ 'оДо) + f<0. ' е 1'0. + -) 
at
Но тогда
^=Л(0Л.	(2)
at
В силу замены (3) решению Y = Фо(МоДо) системы (I) соответ-
ствует решение X = 0 системы (2), а любому другому решению
У = ф (/, г0,£) системы (1) соответствует решение X = у(/, /0, Т|) =
= <р(г, г0Д)-ф<»(Л 'о До) системы (2), причем ф(Мв,П)|/=,п =
= П = 5-5о.
Совершенно аналогично тому, как это было сделано в конце §1,
устанавливается, что если решение У = фо(/, г0Д0), ге|/0, + «>)
системы (1): I) устойчиво, 2) неустойчиво, 3) асимптотически устой-
чиво, то решение X = 0, t с [г0, +-	, системы ( 2 ) соответственно:
1)	устойчиво, 2) неустойчиво, 3) асимптотически устойчиво.
Покажем, что справедливо и обратное утверждение, а именно,
если решение X s 0 , t е[г0,-г<~), системы (2): I) устойчиво, 2)
неустойчиво, 3) асимптотически устойчиво, то решение
У = фо(*»	£о) ♦ { е По. + °°)» системы (I) соответственно: I) устой-
чиво, 2) неустойчиво, 3) асимптотически устойчиво.
Действительно: I) Пусть решение X = 0 , t е [г0, + <»), системы
(2 } устойчиво. Нужно показать, что тогда устойчиво и решение
Y — Фо(^« А>» 4о) ♦ 1 € [/о, + оо), системы (I). Рассуждаем от против-
ного. Допустим, что решение У = <р0(/, г0, ^0), / е [/0, + ~>), систе-
336
мы (I) неустойчиво. Но тогда, как показано выше, будет неустой-
чиво решение ЛаО, t €р0, + <ю), системы (2), а это не так.
2)	Пусть решение Х = 0, t с [г0, +»), системы (2) неустой-
чиво. Нужно показать, что тогда неустойчиво и решение
= То(Л^оЛо)» 1 € Ро» + °»), системы (1). Рассуждаем от против-
ного. Допустим, что решение У =	, г е [т0, + ~), систе-
мы (I) устойчиво. Но тогда, как показано выше, будет устойчи-
вым и решение X = 0 , t е [/0, + «>), системы ( 2 ), а это не так.
3)	Пусть решение X = 0 , г е |г0, + <~), системы ( 2 > асимптоти-
чески устойчиво. Нужно показать, что тогда асимптотически ус-
тойчиво и решение У = q>0(r, г0 До), 1 6 Ро» + •“»). системы (I). Рас-
суждаем от противного. Допустим, что решение V = ф0(г, г0, £0),
г € (70, + °°), системы (I) устойчиво, но не асимптотически (устой-
чивость решения У = <р0(г, г0,^0) системы (1) следует из устойчи-
вости решения X =0 системы (2), см. пункт 1)). Но тогда из
доказательства, проведенного выше, будет следовать лишь устой-
чивость (неасимптотическая) решения X =0, ге|/0,+~), систе-
мы (2 ), а это не так. 4
Важно выяснить теперь, при каких условиях решение X = 0 ,
г с [г0, + <»), линейной однородной системы — = А (г)  X будет:
at
1) устойчивым и 2) асимптотически устойчивым?
Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема. Пусть имеется линейная однородная система
^ = Л(0ТГ.	(2)
at
Пусть Ф0(г) — ф. м. р. с. (2 ), нормированная в некоторой точке
с (т ,+<*>), т.е. Фо(01г_, = • Решение X s 0, t е |г0, + <*>), систе-
мы (2 ):
I) устойчиво лишь тогда, когда Ф0(г) — ограниченная на про-
межутке [г0, +«>);
2) асимптотически устойчиво лишь тогда, когда |ФС)(0|->0.
Докажем утверждение !).
Необходимость. Дано: решение X = 0, t е [/0, + «>), устойчиво.
Требуется доказать, что Фо(О = (ф|(0, Ф»(0, ..., ф„0)) — ограни-
ченная на промежутке [г0,+«>).
337
Рассуждаем от противного, а именно, предполагаем, что
Фо(О не является ограниченной на промежутке [/0, +«). Но тогда
существует по крайней мере одно у0, такое, что решение Ф/о(0
не является ограниченным на промежутке [/□,+«") (Jo — одно из
чисел 1, 2,..., л). Покажем теперь, что неограниченность реше-
ния ФУо(О приводит к тому, что решение X = 0, /е[г0,+«>),
системы (2 ) неустойчиво. Действительно, возьмем произвольное
Eq > 0 и закрепим его. Пусть & > 0 — любое, сколь угодно малое.
Возьмем число Д , удовлетворяющее условию 0 < Д < 5 , и рас-
смотрим решение системы (2): X = <р(/) = <р, (0 Д. Имеем
||ф (')| = Д • ||фУо(/)|. Так как h.<r>l неограниченная на промежут-
ке |/0, +оо) , то и ||ФО)| неограниченная на |/0, -н»). Следователь-
но, существует 7 е[/0, +«>), такое, что ||ф(7)| ^ео-
Имеем, далее, ( = фЮ|,=/о = ф71]('о) д = е/0 А» где е/а — мат-
рица-столбец, у которой все элементы, кроме одного (равного
единице), равны нулю. Поэтому || Ф (/0)|| = ||	• д|| = । •д = д , т. е.
|^| = Д < 5 . Таким образом, получили: существует е0 > 0, такое,
что для любого 5>0 существуют вектор удовлетворяющий
условию ||£ | = ||1 ~ °| < S .
и 7 е [г0, + «>), такие, что
|ф(Л/оЛ)|| = |ф(7,г0Л)-о|^е0.
Последнее означает, что решение X = 0 , / е [/0, + <»), системы ( 2 )
неустойчиво. У нас же, по условию, решение X г 0, / е |/0, + <»),
устойчиво. Получили противоречие. Значит, предположение, что
Ф<»(/) — неограниченная на промежутке |/0,+«»), неверно. 4
Достаточность. Дано: Ф<)(0 = (ф|(0,ф2(').Ф„(0)	— ограни-
ченная на промежутке р0,+°°). Требуется доказать, что решение
X s 0 , / е (/0, + оо), системы ( 2 ) устойчиво.
По условию, Ф0(г) — ограниченная на [/0, +<»). => Существу-
ет число Л/>0, такое, что |Ф0(Г)|< М , ге|г0,+«>). Возьмем
любое е>0 и произвольный вектор IjeR'1. Отметим, что
338
X = Фо(/) £ — решение системы (2), удовлетворяющее началь-
ному условию -V|/=/0 =£ (фо(0 Л’Ф(МоЛ)» f е[г0.+~>)- И меем
||Ф(Л /о. $) - 0| = |ф(Л С| = I <Ы0 • £|| * л •||фо(')|| КК п ‘ м • им.
/ е (/0, + «»).
Отсюда видим, что | <р (/, г0- - 0|| < Е » если |£ - 0| = |£| <	. Та-
g
ким образом, получаем: любому е > 0 отвечает 8 > 0 (б = ——),
пМ
такое, что для любого £, удовлетворяющего условию |£-0|<8,
оказывается || <p (/, /0, £) - о|| < е для любого г g [г0, + °°). Последнее
означает, что решение X = 0. t е(/0,+<»),системь!(2 ) устойчиво. 4
Докажем теперь утверждение 2).
Необходимость. Дано: решение X = 0 , / е [г0, +°°), системы
(2) асимптотически устойчиво. Требуется доказать, что
► По условию, решение XsO. re[z0,+«>), системы (2)
асимптотически устойчиво. Это означает, что решение А = 0,
Zg|z0,+«), устойчиво и что существует б'>0, такое, что для
любого £. удовлетворяющего условию - о| = ||£|| < 8', оказыва-
ется ф (г, г0, ^) - 0| = || ф(г, г0Д)||->0. Мы докажем, что
||Фц(/)|--->0, если покажем, что для любою j = \,п:
|ф/(')|---->0- <у нас фо(О = (ф|(О,Фг(О....Фл(0))-
Возьмем любое решение X = фy(Z), j = I, п , входящее в мат-
рицу Ф0(г), Возьмем Д>0 — любое, но такое, что Д<5', и
рассмотрим решение ф(/) = ф7(г) • Д, ze[Zo, + <x>). Имеем
= Ф(г0) = фД/о)-Д = Д, где е7 — матрица-столбец, у кото-
рой все элементы, кроме одного (равного единице), равны нулю.
Поэтому || ф (/0>|| = Д < , т.е. ||£|| < 6'. А тогда, в силу асимптоти-
ческой устойчивости решения X = 0, t е |г0, +«), будем иметь
|ф(Г)| = |<р (г, г0. ^)|| = ||ф (/, /0, £) - о| ———> 0,
339
т с
|,7(0.д|——,0 «.|ф/ц| Д^—,0 »
со ||cp,(/)||->0 при любом j = 1,л => |Фо(г>| ——>0. 4
Достаточность. Дано: |Ф0(/)|----*0. Требуется доказать, что
решение X н 0, t е [/0, + «>), системы ( 2 ) асимптотически устойчиво.
По условию, |Ф0(г)||----->0. Тогда |Фо(О| — ограниченная
на промежутке [г0, +«»), следовательно, по утверждению I) теоре-
мы, решение X = 0, г е [г0, +«>), системы ( 2 ) устойчиво.
Возьмем произвольный вектор R" и рассмотрим решение
Ф#(0Ч = ф(Л'оД) системы ( 2 ). И меем
|Ф(/. /ft, $) - 0| = |<р(г, /0, $)| = I Ф0(О ЧК п IIфо(')| |М
По условию |Фо(О|------>0. А тогда из предыдущего неравенства
г-»+«
следует, что ||ф (/, ГоЛ) - °|-> 0. Таким образом, получили, что
решение X = 0 , ге[/0,+<«), системы (2) устойчиво и что для
любого \ е R" оказывается |<р(г. t0> £) - 0|-->0 . Это означает^
что решение X = 0, ге[г0,+«>), системы (2) асимптотически
устойчиво.
§3. Устойчивость линейных систем
с постоянными коэффициентами
Пусть имеется линейная система обыкновенных дифференци-
альных уравнений с постоянными коэффициентами
^.= AY + F(t),	(I)
аг
где А — постоянная матрица, а вектор-функция F(l) предполагается
непрерывной на промежутке (т, +«>). В §2 было показано, что иссле-
дование на устойчивость произвольного решения Y = ф0(г, /0, £о),
t с |/0, +<»), системы (I) сводится к исследованию на устойчивость
решения У s 0 соответствующей однородной системы
340
Ответ же на вопросы об устойчивости, асимптотической устойчи-
вости решения Y = 0 системы (2) дает следующая теорема.
Теорема. Пусть имеется линейная однородная система с по-
стоянными коэффициентами (2). Пусть (j = 1, nt) — собствен-
ные числа матрицы А. Тогда:
I. Решение У =0, fe[/0,+«>), системы (2) устойчиво лишь
тогда, когда Re < 0 для любого j = 1, т; при этом каждому ,
у которого ReXy = 0, в канонической форме /магрицы А должны
соответствовать клетки Жордана лишь первого порядка.
II. Решение Y = 0, /ер0.+«>), системы (2) асимптотически
устойчиво лишь тогда, когда ReXy < 0 для любого j = 1, т.
► Мы знаем, что любое решение системы (2) определено на
интервале (-«>; + ~). Поэтому всегда в качестве /0 можно взять
<о=О.
Возьмем фундаментальную матрицу решений системы (2),
нормированную в точке г0 = 0 . Такой матрицей является матрица
ел' . Найдем условия, при которых матрица еА' является ограни-
ченной, и условия, при которых |ел'|-->0.
Пусть J = diagp,, J2,...,	— каноническая форма матрицы
А. Пусть А = SJS 1 (det 5*0}. Тогда
ел = S-eJr S~'.	(3)
Из (3) следует, что матрицы еА1 и ejl одновременно либо ограни-
ченные, либо неограниченные и их нормы одновременно либо
стремятся к нулю, либо не стремятся к нулю при г —> . Поэто-
му можно исследовать лишь матрицу ejl.
Мы знаем, что ejl = diag с71', е72', ..., eJ^ 1, где
ек>г 0	0	... О 0
йЛ'	0	...	0	0
j = 1,^.
.«.-I X,/	,л.-2 X./	.л(-3 Х.г
tJ е ’	t1 е ‘	t ' е ’
k	(пу-2)!	(лу-3)!
341
1)	Пусть Ij	= такие, что ReXy<0. Но тогда при
______
любом к = О, п, - I будет ——---------->0. Следовательно,
J	к\
----->0, а значит, и |еЛ|| ,^,^>0 .
2)	Пусть среди собственных чисел А.) , Х2 ♦ * Хт матрицы А
имеется хотя бы одно Х? такое, что ReXy =0. Это означает, что
либо kj = 0, либо Ху( = ф (р * 0 ). В обоих этих случаях |еЛ''| = I
.* М
для любого / и, следовательно, величина --------- не стремится к
к!
не
стремится к нулю при / —> -н» , причем
нулю при /->+<», причем эта величина будет ограниченной
лишь тогда, когда к = 0. Значит, в обоих этих случаях
I eJ,‘ будет ограниченной
лишь тогда, когда У, (в канонической форме J матрицы А)
является клеткой Жордана лишь первого порядка.
3)	Пусть, наконец, среди собственных чисел X,, Х2, , кт
матрицы А имеется хотя бы одно Ху такое, что Re Ху >0. Но
------ №
тогда при любом к = 0, п. -I величина - будет неограни-
7	к\
ченной на промежутке [/0, -н»). Значит, будет неограниченной на
промежутке [г0, +°°) и |е ' I.
Из анализа случаев, когда
ограниченная, неограни-
ченная и когда
*0, следуют утверждения I и II теоремы.
§4, Устойчивость линейных систем
с периодическими коэффициентами
Пусть имеется линейная однородная система с периодически-
ми коэффициентами
^ = И(,) Г.	(I)
at
где А (/) е C(R) и такая, что A (t + со) = A (t), t е (-°°, + «>). Ранее
было показано, что система (I) преобразованием
342
Г = />(/) Z,	(2)
где p(t) — нс особая, со-периодическая матрица, переводится в
систему
^-= R Z .
dt
(3)
В системе (3) R = — In С — постоянная матрица; С— матрица
о
монодромии системы (I).
Так как (3) — линейная однородная система с постоянными
коэффициентами, то к ней применима теорема, доказанная в §3.
Пусть Цу — собственные числа матрицы С (мультипликаторы
системы (I)); Ау — собственные числа матрицы /?(характеристи-
ческие показатели системы (I)). Так как А.= —1пц.=
7 (О 1
— In I ц .1, и поэтому
(О 7
u> L
In|н J + /argn7 ], то Refy
<0,
= 0,
Re A,
>0,
есл и
если
есл и

Отсюда, принимая во внимание теорему, доказанную в §3, прихо-
дим к заключению, что справедливы утверждения:
I. Решение У зО, /е[/0,+«>), системы (I) устойчиво лишь
тогда, когда |gy| < 1 для любого j = 1, ля; при этом каждому |х?, у
которого |ц7-| = I, в канонической форме матрицы монодромии С
должны соответствовать клетки Жордана лишь первого порядка.
II. Решение Y = 0, Геро»+°°)» системы (1) асимптотически
устойчиво лишь тогда, когда |ц7| < 1 для любого j = l?m.
§5. Нелинейные системы.
Устойчивость ио первому приближению
Пусть имеется нелинейная система обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
^=Лг,Г).	(I)
343
Пусть F(j,Y) е C(G) и	еС(С), где (G) = (т, + ~> х (D),
иг
(D) с R", т 2> -е° .
Г i<,1 было показано, что вопрос об устойчивости произволь-
ною дун жен ия Y = <р0(/, г0, £0), / е [г0,+«), системы (1) заменой
У = <р0(г, /о,^о) + X сводится к вопросу об устойчивости движе-
ния X = 0, Г € |/0, +°°), системы
^-Лг.Х),	(2)
где F(tyX} - F(t, q>0(G 4>» So) +	ФоО’ 'о» So)) и> следователь-
но, F(t,O)= 0, /ер0,+оо).
Одним из основных методов исследования на устойчивость
движения Х = 0, /ер0,+оо), нелинейной системы (2) является
метод исследования на устойчивость но первому приближению.
Этот метод заключается в том, что в окрестности точки X в О
систему (2) представляют в виде
— = A(t)X + f(!,X),
at
(3)
Э/(/,ф0(/,/оДо))	,
где Л(0 = —*-------------- — матрица-функция размера п*.п ,
аХ
f(t, X) е C(G),	€ ^^) ’ /(G °) = ° в области (G) = (т, +*») х (D),
Если в (3) отбросить член f(t,X), имеющий порядок выше
первого относительно |-¥| при 1Л1|-»0, то получим линейную
dX
систему —- = A (t) X , называемую системой первого приближе-
at
ния для системы (3), а следовательно, и системы (2). Если матри-
ца A(t) оказывается постоянной, то система (3) называется ста-
ционарной в первом приближении.
Для стационарной в первом приближении системы (3) следу-
ющая теорема указывает условия применимости метола исследо-
вания по первому приближению.
344
Теорема. Пусть имеется система обыкновенных дифференци-
альных уравнений вида
Х + /(1,Х),	(3)
dt
где А— постоянная матрица размера пхп, f(t,X) — вектор-
функция, такая, что:
1) /(r,X) e C(G), f(t, X) е Lipjr(G) — локально и /(f, 0) = 0
в области ((?) = {/е (-с,+«>),|ЛГ| < о};
2) для любого числа а > 0 существуют число Т(Т > т) и число
А (0 < й < а), такие, что |/(/,Л)| < а |Л"|, для t > Т и |Л^| А .
Тогда, если все собственные числа Ху матрицы А имеют
отрицательные вещественные части; ReX? < 0,то решение X = 0,
/ € (fy» +°°) системы ( 3) асимптотически устойчиво.
> По условию, RcX? <0 для любого	Но тогда
существует число Х>0, такое, что ReX7<-X, для любого
j = I, m. Рассмотрим матрицу еА‘. Существует число к (к > 1),
такое, что |е/1/|| к  е~^ , t > 0.
Возьмем число а > 0 любое, но такое, чтобы было
п • к • <х < X.	(4)
По условию 2) теоремы, взятому числу а > 0 отвечают числа Т
и h (Т > т, 0< й < а ), такие, что в (С) = {г > 7, |-¥|| < Л} будет
|/(г,Х)|<а |ЛГ|
Покажем сначала, что решение X = 0 системы ( 3) будет
устойчивым. Для этого берем произвольное число /0 (/0 > Т) и
берем с > 0 любое, но такое, чтобы было 0 < е < й . Затем берем £
произвольное, но такое, что ||£|| < й.
Рассмотрим решение %=<р(г, г0, £) системы (3). Имеем
9<МоЛ)|,=/ = £. Следовательно,	=1М < Л. Но
тогда существует промежуток такой, что |<р(/, ^Л)|| < к
для любого 1 из промежутка |/0,р) • Убедимся, что взятому числу
с > 0 можно сопоставить число 5 > 0, такое, что для любого
345
удовлетворяющего условию ||£| < 5, будет ||ср(t, /0, £)| < е ,
t е р0> Р). Для этого наряду с системой (3 ) рассматриваем вспо-
могательную линейную систему
x + fit.nt.i'.U),	(5)
at
где /(Л<Р(Л /0, £)) = ^(/) — вектор-функция, зависящая только от/.
Нетрудно понять, что q (/) е С(|/0, Р)) и что система ( 3 ) определена
в области (<7|) = {/0 < t < р, IЛ|| < +« }. В области ((7|) построим
общее решение системы ( 3 ). Оно, как мы знаем, будет таким:
X —
С + р-',<'-*>./(5.я>и,г„Л>)Л
'о
Выделим из него решение, удовлетворяющее начальному условию
Л1 , =£. Получим
’ = *0
X -	.

(5)
*0
Заметим, что решение X = <р(/, /0. системы ( 3 ) также является
решением системы (3 ), удовлетворяющим начальному условию
^|f=/o=£. Следовательно, решение Л’=ф(/, /0. £) совпадает
с решением (5), т. е.
ф(МоЛ) = еЯ(' '0>
+|е-лн-/о)
*0
/($, ф(5,/пД))Л
(6)
Произведем оценку решения X = ф(/,/0,^). Из (6) имеем
11ф(/,/ол)11=|^^»лЬ
еЛ(/-»0) . Ге-Я(л-/0)
'о
/($,ф(5, Го, <
||Ц+
/(*,Ф(МоЛ))^р
346
< п | е	| + J л |ел	• |/(5,<p (5, /0Л))|ds •
У нас |ел<'_'°’| < Xe~u''o); |е'4(/_,)| < Ае"Х('"п, при / > /а > 7,
и tQ <s<t\ |/($,ф($,/(>,£))(<« |ф(*Л»Я» ибо s>T и |<р(5, /0, £)| < h
для 5 е [zy, р>. Поэтому
|q>(7, г0, $)| < л/А||^||е"Х(,",0> + JпкеК(,-*> а | <р(5, Г0Л)|Л •
Го
Умножив обе части последнего равенства на еХ(/-/о), получим
еЛ,/’/и) • ||Ф (t, i0, £)|| *	+ пка  J|ф(л, Го, g)|ds.
*а
Заметим, что X = пк • ||^| = const > 0; ц = пка = const > 0;
е,Л1 ,(b) lcp(/, (q, £)| = м(/> — положительная непрерывная функ-
ция. Видим, что функция «(/) на промежутке [/0, Р) удовлетво-
ряет условиям леммы Гронуола. Поэтому будем иметь
и (/) < Хер, / g [t0, р), или
|ф(М0Л)р('“'0> *«*|М enkai,~^;
отсюда j<р(/, z0, £)| < лЛ|£| е<я*а"Х)(,"'о), г €[z0, р) .Таккак t - г0 > О,
t е |/0, р); пка - X < 0 (см. (4)), то	<	। и следователь-
но, |ф(/, г0Л)|< лХ|£||. Но тогда || ф (/,/(), £)| < е , г е [г0, р), если
брать £ удовлетворяющим условию ||£| < 3, где S =	.
Итак, мы убедились, что любому е > 0 можно поставить
£
в соответствие число б > 0 (8 = —), такое, для любого £. удовлет-
пк
воряютего условию ||^|| < 8, будет |ф(t, t0, £)|| < е, если / е [г0, р) .
347
Пусть вектор любой, но такой, что U|<8 (8= — ).
пк
Пусть ро,0) — максимальный промежуток, на котором решение
X = <р(г, г0, £) системы (3) удовлетворяет неравенству
||ф (/, /0, £)|| < h. Покажем, что р = + <».
Рассуждаем от противного, а именно, предполагаем, что
Р < + оо. Но тогда решение %=<р(/,/0, £), /е|/о,0), обладает
свойством: точки (/, ф(/, /0, £)), t е р), оказываются принад-
лежащими ограниченной замкнутой области (G ), содержащейся
в области (G) ((G )cz(G). Значит, решение А’=ф(/,/0Д),
/е|/0, р), продолжимо вправо, а следовательно, существует
lim ф(/, r0, £) =	. причем точка (0, L) е ((7*) с (</).
»-»0-О	«font
Рассмотрим вектор <р (р, /0, £) = . Из предположения, что про-
межуток р0, Р) — максимальный вправо, на котором решение
X = ф(Г, г0, £) удовлетворяет неравенству || ф(/, /0, ^| < Л, следует, что
Bib*	(*)
(иначе промежуток р0,0) не был бы максимальным вправо в ука-
занном выше смысле). Но, с другой стороны, из неравенства
||ф(Г,Г0Д)|<£	(7)
при t -» 0 - 0 находим
|ф(МЛ)| = К1-е<А-	(**)
Сопоставляя соотношения (*) и (*♦), видим, что пришли к проти-
воречию. Значит, наше предположение, что р<+«, неверно, и,
следовательно, р=+«.
Таким образом, |фОЛЛ)|<£ для / е |/0, +оо), если только
|£|<б, где 8 = —. Последнее означает, что решение X = 0 ,
лк
t g |/0, +«»), системы (3 ) устойчиво.
Покажем теперь, что решение Т = (), /ер0,+оо), системы
(3) асимптотически устойчиво.
348
Для любого £ , удовлетворяющего условию Щ < А, и для всех
Гер0,+«~) была получена следующая оценка решения
X = ф(/,/0Л). 'екоЛ), системы (3):
||<р(/,/0Л)|<лА-|$| е{пкаЛ}и~‘°}.	(8)
£
Так как 8 = —- < е , а £ < А , и так как В =+<*>, то оценка (8)
пк
будет верна для любого £, удовлетворяющего условию ||£| < 8, и
для всех Г€|г0,+«>). Принимая во внимание, что
(пка - К) (t - Iq) < 0 для Гб[/0,+<»), получаем из (8):
|ф гоЛ)|——>0. Следовательно, решение А’^О, t е[г0, +~),
системы (3 ) асимптотически устойчиво.
Замечание. Доказанная теорема дает весьма удобный при-
знак асимптотической устойчивости решений широкого класса
систем дифференциальных уравнений и очень часто применяется
в практических задачах.
Изложенное в настоящей главе следует рассматривать лишь
как скромное введение в изучение начал теории устойчивости
движения, созданной великим русским ученым Александром
Михайловичем Ляпуновым и изложенной им в сочинении «Об-
щая теория устойчивости движения». Особенная значимость этой
теории состоит в том, что мы, часто не умея интегрировать
систему обыкновенных дифференциальных уравнений, тем не
менее можем делать заключения об устойчивости или неустойчи-
вости движения, определяемого этой системой.
§6. Примеры и задачи к главе 8
Задача /. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову
выяснить, устойчивы ли при / >0 решения уравнения
^. = -y + l + t, у\,м = у0.
Решение. Решая заданное уравнение, находим, что всякое его
решение выражается формулой y(t) = у^е'1 + f. Возьмем любые
два решения этого уравнения, удовлетворяющие соответственно
349
условиям: Я|,=о=й>« Я-о=^0’ ^то будут:	+ г
и y(z) = pQe~' + t  А тогда
у(0-у(0 = (Л -Я))*'' => |ЯО-у(/)| = |Яо-Й>к'---------->0.
Вывод: Все решения заданного уравнения асимптотически
устойчивы при t>0.
Задача 2. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову
исследовать на устойчивость при t > I решение уравнения
Т=7'- Н., = о-
Решение. Решая заданное уравнение, находим, что всякое его
решение, удовлетворяющее условию Д ( =	, выражается фор-
мулой y(t) = yota. Следовательно, решение, удовлетворяющее ус-
ловию Д |=0» есть Я(0 3 0, / > I. А тогда
y(t) - y(t) = yota -0 = yor° => |j(O - у(О| = |у0| '°.
Видим, что:
1) если а = 0, то |у(0 - у(/)| = |у0|;
2)если я<0,то |у(/)-у(/)| —>0 при /-»+«>;
3) если а > 0, то |у(г) - у(/)| —> 4- оо При t —> + °о ,
Вывод. Решение y(t) = О, / > I:
а) устойчиво при а £ 0;
Р) асимптотически устойчиво при а < 0;
у) неустойчиво при а > 0.
Задача 3. Исследовать на устойчивость решения системы
(0
dY . v ,	_
—— = А • У, где /1=3
dt
2 -Г
0 -2
-4 0,
Ж
У(0= y2(f) 
Решение. Заданная система есть система с постоянными коэф-
фициентами. Поэтому вопрос об устойчивости решений этой
системы определяется собственными числами ее матрицы А. Соб-
ственные числа матрицы А находим из уравнения
350
-X 2
3 -X
5 -4
- I
-2
-X
= 0
X3 - 9X + 8 = О «
co (X- 1)(X2 + X - 8) = 0 =>
=> X, = I,
J33 _ 1
Видим, что ReXi = 1 > 0, ReX> = Re—2-->0. Выполнение даже
2
одною из этих двух соотношений означает, что решения заданной
системы неустойчивы.
Задача 4. Исследовать на устойчивость решения системы
dY Л „
—— = А У , где А =
dt
г-6 2 Г
-5 11
-15 6 2
У(/) =
>|('Г
Ъ('>
,Уз('К
Решение. Заданная система есть система с постоянными коэф-
фициентами. Следовательно, вопрос об устойчивости решений
этой системы определяется собственными числами ее матрицы А.
Собственные числа матрицы А находим из уравнения
-6-Х	2 I
-5	1-Х	1	=0
-15	6	2-Х
& X3 + ЗХ2 + ЗХ + I = 0 « (Х + 1)3 = 0 =>
=> Х| = — 1, Xj = —I, Xj = —I.
Видим, что ReXx = - I < 0, к = 1, 2, 3. Значит, решения заданной
системы асимптотически устойчивы.
Задача 5. Исследовать на устойчивость решения системы
Г<0 =
>i(O'
У 1(0
351
Решение. Заданная система есть система с постоянными коэф-
фициентами. Следовательно, вопрос об устойчивости решений
этой системы определяется собственными числами ее матрицы А.
Собственные числа матрицы А находим из уравнения
1 - X О
-6 2-Х
4	-1
Х2(Х+1) = 0 =>
=> X] = -1, Х2 =0, Х3 =0.
Находим жордаиову форму J матрицы А. Она будет такой:
Г-С О О'
’б’;о б
< 0 ! । 0,
Видим, что ReX2 = ReX3 = 0 и что собственному числу 0 матрицы
А соответствует клетка Жордана второго порядка. Значит, решения
заданной системы неустойчивы.
Задана 6. Исследовать на устойчивость решения системы
dY , „
—— = А • У , где
dt
fS -6 8'
А = 2 -3 6 ,
.0 -1 3
У(/) =
У2(0
Решение. Заданная система есть система с постоянными коэф-
фициентами. Следовательно, вопрос об устойчивости решений
этой системы определяется собственными числами ее матрицы А.
Собственные числа матрицы А находим из уравнения
5-Х	-6	8
2	-3-Х	6
О -I 3-Х
» (X —1)(Х2 -4Х + 5) = 0 =>
Х| — 1, Х2 — 2 + /, Х3 — 2 — i.
Видим, что Re X, = 1 > 0, Re Х2 = 2 > 0, Re Х3 = 2 > 0. Выполне-
ние даже одного из этих трех соотношений означает, что решения
заданной системы неустойчивы.
352
Задача 7. Найти все вещественные значения параметров а и
0, при которых решения системы уравнений
dt Л ’
ъ(0
асимптотически устойчивы.
Решение. Собственные числа малрицы А находим из уравнения
- I - X	а
-а - I - X
- р	-а
- I - \
» (Х + 1)(Х2 + 2Х + 1 + р2 + 2а2) = О =>
=> Х(=-1, Х2 = -I +zjp2 + 2а2, Х3 =-1-/’7р2 + 2а2 .
Видим, что ReXA = -I (< 0). к = I, 2, 3 при любых вещественных а
и р. Следовательно, решения заданной системы асимптотически
устойчивы при любых вещественных значениях параметров аир.
Задача Исследовать на устойчивость нулевое решение сис-
темы уравнений
dy,
2у) - ln(l + у2) + sin>|,
at
dyj Vi • /	\	2
-j£- = e'1 +sm(y, +y2)-cos y2.
dt
Решение. Линеаризуем заданную систему уравнений в окрест-
ности точки (0,0). Имеем
/| =2у| - In (I +/2) +siny, =
=^-(^-4+4-
+L,_21+zl_
?1 3!	5!

/2 = еу' + sin (.у, + у2) - cos2y2 = е* + sin (j»t и- у2) -1 1 cos 2у2 =>
353
Zl + Zl
I! 2!
+ — + (У1 + Jz) -
2 2
3
2!
Составляем систему уравнений первого приближения. Будем иметь

dt
Таким образом, получили систему = А  Y, где А =
2
. Собственные числа матрицы А находим из уравнения
= О « X2 - 4Х + 5 = О
=> Х| = 2 + i, Х2 = 2 - /.
Имеем: RcA.| = 2 > О, ReX,2 = 2 > 0. Выполнение лаже одного из
этих двух неравенств означает, что решение yt = 0, у2 = 0 задан-
ной системы неустойчиво.
Задача 9. Исследовать на устойчивость все положения равнове-
сия системы уравнений
dy\ ->	з
-1=-2у1+у2ч-у|3,
. dt
^- = -У| -2у2 +3/?.
, dt
Решение. Положения равновесия данной системы определя-
ются из системы
.-2^,у2 + л’Г0	1)7,=0. 2)Л=1. 3) Л-1.
-Л - 2^2+3Л =0	/2= °;	/2=|»	>’2=-!
Получили три положения равновесия. Исследуем вопрос об устой-
чивости каждого из них.
I.	Составляем систему уравнений первою приближения, соот-
ветствующую положению равновесия =0, у2 =0. Это будет
система
354
4У\ л
= -2у| + у2>
dt	dY
-^-=-У]-2у2,	dt
где А =( 2 1 Y(i) =
\ 1 ~
J'i(')']
У2(0/
Собственные числа матрицы А находим из уравнения
-2-Х I
-I -2-Х
= 0 & (X + 2)2 + I = О =>
=ф Х| = -2 + /, Х2 = -2 - /.
Имеем ReXt =-2 (< 0) и ReX2 =-2 (< 0). Значит, положение
равновесия У| = 0. уз = 0 асимптотически устойчиво.
II.	Составляем систему уравнений первого приближения, со-
ответствующую положению равновесия, »’| = I, уг = 1 . Для этого
представим правые части заданной системы уравнений по форму-
ле Тейлора в окрестности положения равновесия yt = 1 , у2 = 1.
Будем иметь
/| =-2у| +У2+У|Л = (У| -1)+(У2 “»)+•••»
fl=~y\~ 2/2 + 3/15 = ,4(/i - 0 - 2(/2 " + ••• •
Значит, система уравнений первого приближения, соответствую-
щая положению равновесия у, = 1, у2 = I, будет такой:
at
= I4(j, - I) - 2(У; - I).
at
Сделаем замену, положив и = у( - I, v = у2 - 1. Относительно
функций и и v полученная система первого приближения будет
иметь вид
du
— =u+v,
dt
dv , .	_
— = 14u - 2 v.
dt
355
Матрица А этой системы такая: А =
числа матрицы А находим из уравнения
1 1 1
14 -2)
. Собственные
I -X I
14 -2-Х
= 0 « Х2+Х-16=О =>
Х| и Х2 — вещественные и имеют разные знаки. Следователь-
но, положение равновесия у, = I , у2 = 1 заданной системы неус-
тойчиво.
III.	Составляем систему уравнений первого приближения, со-
ответствующую положению равновесия = - I , у2 - “I •
Для этого представим правые части заданной системы по
формуле Тейлора в окрестности положения равновесия = -I ,
у2 = - I. Будем иметь
/| = - 2У| + у2 + у? = (У| + I) + (У2 + I) +....
/2 =~У| -2у2 +3у|5 = 14(>| + 1)-2(у2 +1)+ ....
Значит, система уравнений первого приближения, соответствую-
щая положению равновесия yt = - I , у2 = -I, будет такой:
—• = (>1 + I) + (J2 + О.
< d dt
14(>’(+l)-2(y2 + l).
at
Сделаем замену, положив и = + I, v = >>2 + I. Относительно
функций ми v полученная система первого приближения будет
иметь вид
du
-----= и + V,
, dt
dv t л >
— = I4u - 2v.
dt
Матрица А этой системы такая: /1=1 I. Собственные
числа матрицы А находим из уравнения
I -X I
14 -2-Х
Х2+Х-16 = О =>
=э корни Х| и Х2 — вещественные и имеют разные знаки. Следо-
вательно, положение равновесия заданной системы = -I ,
у2=-1 неустойчиво.
356
Задачи 10. Исследовать на устойчивость нулевое решение сис-
темы
“Г =1ё(Уз - У2)“2У|,
at
^• = 79+12Л| -Зе",
Решение. Составим систему уравнений первого приближения,
соответствующую решению =0, у2 ~ 0> Уз = 0 • Для этого
представим правые части заданной системы с помощью формулы
Тейлора в окрестности точки = Q, у2 = Q, у3 = 0. Будем иметь
Z = tg(y3 - у2) - 2У| = ~2У| - У2 + Уз + - ,
fl =79+,2У| -3*'2 = 3[1 + тУ| + ••• ]-Я1 +У2 + •••)»
/з = -ЗУ2.
Система уравнений первого приближения в окрестности точки
У| = 0 . У2 = 01 Уз = 0 будет такой:
-j-*- =-2у, -у2 +у3,
Собственные числа матрицы А находим из уравнения
-2-Х -I
2	-3-Х
I
О
= 0 <=> X3 + 5Х2 + 8Х + 6 = 0 =>
О -3 -X
=> Х| =-3, Х2 =-!+/, Х3 =—1 — 7.
Видим, что ReXA <0 для к = 1,2,3.
Вывод. Нулевое решение заданной системы асимптотически
устойчиво.
357
Литература
Основная
1.	Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния / В. И. Арнольд. М.: МНЦМО, 2012.
2.	Бибиков, Ю. Н. Общин курс обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений : учеб, пособие / Ю. Н. Бибиков. — 2-е изд., пере-
раб. - СПб. : Изд-во СПбГУ, 2005.
3.	Демидович, Б. II. Лекции по математической теории устой-
чивости : учеб, пособие / Б. П. Демидович. — 3-е изд. — СПб. :
Лань, 2008.
4.	Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных диф-
ференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. — 3-е изд., испр. и доп. —
М.: Высшая школа, 1967.
5.	Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений / И. Г. Петровский. — М.: Едиториал
УРСС, 2003.
6.	Понтрягин, Л. С. Обы кновенные дифференциальные уравне-
ния /Л. С. Понтрягин. — 6-е изд. — Ижевск : РХД, 2001.
7.	Самойленко, А. М. Дифференциальные уравнения : при-
меры и задачи : учеб, пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея,
Н. А. Перестюк. — 2-е изд., перераб. — М.: Высшая школа, 1989.
8.	Смирнов, В. И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 2,3 (ч. 2) /
В. И. Смирнов. - М.: Наука, 1974.
9.	Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Сте-
панов. — 11-е изд. — М.: ЛКИ, 2016.
10.	Федорюк, М. В. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния : учебник для вузов / М. В. Федорюк. — 3-е нзд., стереотип. —
СПб.: Лань, 2003.
11.	Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным
уравнениям / А. Ф. Филиппов. — Ижевск : РХД, 2005.
12.	Элъсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариаци-
онное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. — М.: Книга по требованию,
2012.
358
Дополнительная
1.	Ильин, В. А. Основы математического анализа. В 2 ч. Ч. 1 /
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — М.: Физматлит, 2005.
2.	Кудрявцев, Л. Д. Курс .математического анализа : учебник
для бакалавров. В 3 т. Т. 1 / Л. Д. Кудрявцев — 6-е изд., перераб.
и доп. — М.: Юрайт, 2014.
3.	Толстов, Г. П. Курс математического анализа. В 2 т. Т. 1 /
Г. П. Толстов. — М.: Государственное издательство технико-тео-
ретической литературы, 1954.
4.	Фаддеев, Д. К. Лекции по алгебре : учеб, пособие / Д. К. Фад-
деев. — 5-е изд., стереотип. — СПб.: Лань, 2007.
5.	Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления. В 3 т. Т. 3 / Г. М. Фихтенгольц. — М.: Физмат-
лит, 2001.
Наши книги можно приобрести:
Учебным заведениям и библиотекам:
в отделе по работе с вузами
тел.: (495) 744-00-12, e-mail: vuz@urait.ru
Частным лицам:
список магазинов смотрите на сайте urait.ru
в разделе «Частным лицам»
Магазинам и корпоративным клиентам:
в отделе продаж
тел.: (495) 744-00-12, e-mail: sales@urait.ru
Отзывы об издании присылайте в редакцию
e-mail: red@urait.ru
Новые издания и дополнительные материалы доступны
в электронной библиотечной системе «Юрайт»
biblio-online.ru
Учебное издание
Аксенов Анатолий Петрович
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Том 2
Учебник и практикум для академического бакалавриата
Формат 60x5)0 */|6.
Гарнитура «Petersburg*. Печать, цифровая.
Усл. печ. л. 22,44. Тираж 1000. Заказ № 5794, 40 экз.
ООО «Издательство Юрайт»
111123, г. Москва, ул. Плеханова, д. 4а.
Тел.: /495) 744-00-12. E-mail: izdat@iirait.ru. www.urait.ru