ISSN 2074-42:1
ч' научно-практический журнал
Учи я сравнив • ть • ви льн - числа
Опять о • • х го двуг • • и
Пустота, наполненная смыслом

Можно лп поверять чертежам?
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Зрение человека не всегда воспринимает окружающий мир таким, какой он есть.
Существуют сопутствующие явления которые искажают истинную картину. Например,
определите на глаз, параллельны ли отрезки 1-5 (рис. 1)? Проверьте себя с
помощью линейки (эту иллюзию часто называют примером Цёлнера).
Или определите на глаз можно ли подняться по этой лестнице (рис. 2)? Иначе
говоря, Вы видите лестницу сверху или снизу? (Это лестница Шредера).
А какие объемные фигуры изображены на рис. 3? Как они расположены?
Однозначного ответа на вопросы к двум последним рисункам нет. Как видим,
чертежам не всегда можно доверять. Именно поэтому чертеж не может служить
доказательством, хотя и помогает его выполнить. Далеко не всегда «очевидное» (то есть
видное очам глазам) является верным, истинным.
Вот почему необходимы доказательства,
выполняемые с помощью логических рассуждений.

В НОМЕРЕ:
I
ИДУ НА ЭКЗАМЕН
3 Дроздов В.Б.
Алгебраический метод решения геометрических задач
Алгебра фактически является языком геометрии, решение геометрической
задачи всегда предполагает применение алгебры.
к
СОВЕТЫ К УРОКУ
11 Гусев В.А., Гусева Н.6., Сычёва ГВ.
Учимся сравнивать действительные числа
Сравнение действительных чисел — одна из задач, с которыми школьникам
приходится сталкиваться, начиная с младших классов. В этой статье мы
попытаемся систематизировать и обобщить методы сравнения действительных
чисел, записанных в виде дробей, корней, логарифмов, тригонометрических
функций и т.д.
20 Канин ЕС.
Индукция. Метод математической индукции и его эквиваленты
Многолетние наблюдения человечества за природой свидетельствуют о том,
что в январе месяце в средней полосе России наблюдаются пики похолодания.
Они имеют специальные названия: Рождественские (5-10 января), крещенские
(около 19 января), афанасьевские (около 31 января) морозы. Суждение о том,
что в январе месяце «должны быть» 3 вспышки больших холодов, было
сделано на основе обобщения от частных наблюдений к общему заключению, как
говорят, «по индукции».
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
26 Кукушкин 6.Н.
Задачник «Математики для школьников»
Задачник «Математики для школьников» представляет новые задачи и решения
задач, опубликованных в прошлом номере.
Предлагаем сверить свои решения с нашими.

к
АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
35 Рыжик ВМ
Опять об углах. Угол двугранный
Полезно знать простейшие свойства двугранного угла. При этом меня
интересуют двугранные углы, взятые не только сами по себе, но и тогда, когда их
можно рассматривать как части трехгранного угла.
41 Потоскуев Е.В.
О построении сечений многогранников
Существуют определенные методы построения плоских сечений
многогранников. Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие
три метода: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3)
комбинированный метод. Рассмотрим каждый из них на примерах.
НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА
51 Григорьева И.С
Пустота, наполненная смыслом
Как известно, число ноль появилось гораздо позже других чисел. Оно было
порождено не обыденным мышлением, а потребностями самой математики.
Этот пример не единственен: существуют и другие «крайние» понятия, которые
нужны для полноты и законченности теории.
Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»
Рукописи, поступившие в редакцию, ие рецензируются и ив i
Главный редактор
Е.А.Бунимович
Первый заместитель главного редактора
А.И.Верченко
Заместитель главного редактора
А.А.Лаврентьев
Редактор
Е.В.Неискашова
Отдел задач
Б.Н.Кукушкин
Заведующая редакцией
Н.А. Мишвеладзе
Компьютерная верстка
В.Н.Бармин
000 «Школьная Пресса»
Адрес издательства:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3
Телефоны: 619-52-87, 619-83-80
Факс: 619-52-89
Адрес редакции:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3
Телефон: 619-52-87
Факс: 619-52-89
E-mail: lavr@schoolpress.ru
Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации
ПИ № 77-9198 от 14 июня 2001 г.
Формат 84x108 1/16
Тираж 7000 экз. Изд. № 1646. Заказ
Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного
Знамени «Чеховский полиграфический комбинат».
142300, Московская область, г. Чехов,
ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpk.ru. E-mail: marketing@chpk.ru
Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-59
© «Школьная Пресса»,
© «Математика для школьников», 2009, №3
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете, запрещается

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
В.Б.Дроздов
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Алгебра фактически является языком геометрии, решение
геометрической задачи всегда предполагает применение алгебры.
Условимся считать решение
алгебраическим, если в нем не используются
координаты или векторы. Алгебраический
метод удобно применять тогда, когда с
помощью теорем косинусов, синусов,
Пифагора, формул площадей, тригонометрии,
подобия треугольников легко составляется
и приемлемо решается система уравнений.
Отметим, что большинство конкурсных
задач решается именно алгебраическим
методом.
Планиметрия
Задача 1. (МГУ, экономический
факультет, 1964.) В трапеции с основаниями а и
Ъ через точку пересечения диагоналей
проведена прямая, параллельная основаниям.
Найдите отрезок этой прямой, заключенный
между боковыми .сторонами трапеции.
Решение. В условии совсем не заданы
углы, значит, применение теорем
синусов и косинусов невозможно. Пусть точка
О делит искомый отрезок MN на два:
МО = х и NO = у (рис. 1). Замечаем
четыре пары подобных треугольников, которые
и послужат ключом к решению задачи:
АМВО- AABD =>- = —;
Ъ BD
ADON-ADBC.
у = ДО,
a BD'
х АО
ДАМО~ДАВС=>- = ;
а АС
ACON-AACD-
1 = 9°.
Ъ АС'
В записанных равенствах встречаются
еще четыре неизвестных: ВО, DO, АО,
СО, а новые уравнения получить
неоткуда. Но этого и не надо. Если сложить
почленно первое уравнение со вторым, а
третье с четвертым, то получится линейная
система двух уравнений с двумя неизвест-
Ъ а
ными х и у
' х и
La Ъ
Из нее легко находим х = у = -
аЪ
(ра-
а + Ь
венство х = у, верное для произвольной
трапеции, геометрически интересно само
по себе). 2аЬ
Выражение
называется средним
а + Ь
гармоническим величин а и Ь.
Проверьте, что для неравных положительных
величин а и Ъ оно меньше их среднего
геометрического vab.
R а С
г

МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Задача 2. (МИЭТ, 1970.) Дан
треугольник ЛВС, на стороне АС взята точка Е
так, что АЕ : ЕС = а, на стороне АВ взята
точка D так, что AD : DB = Ъ. Проведены
отрезки CD и BE. Найдите отношение
площади получившегося
четырехугольника к площади данного треугольника.
Решение. Хоть решение и
алгебраическое, а без дополнительного построения не
обойтись: в четырехугольнике AEOD
проведем диагональ АО, в результате чего он
разбивается на два треугольника (рис. 2).
Заметим, что проведение диагонали ED
нам ничего не даст, а только загромоздит
чертеж. Далее надо вспомнить или
заметить главное — отрезок, соединяющий
вершину треугольника с какой-либо
точкой противоположной стороны, делит его
площадь в том же отношении, в котором
точка делит сторону. В итоге мы получаем
систему линейных уравнений, в которую
входят обозначенные на рис. 2 площади
пяти треугольников S19 S2, S3, S4, S5 и
площадь S треугольника ABC:
S1+S2+S8=b(S4+S6)
S1+S2+S5=a(S3+S4)
S1+S2+SS+S4+S6=S
Рис. 2
После естественного исключения
неизвестных Sx и S2 получим:
ss =
a+l 5 [b + 1
S4, 04 —
a + b + 1
Дальнейшее ясно:
S1+S2_ a&(a + & + 2)
S
(a + l)(b + l)(a + b + l)
В результате мы сделали даже больше,
чем требовалось: нашли отношения
площадей всех пяти треугольников к площади
треугольника ABC. И никакой
тригонометрии — одна «алгебра площадей»!
Задача 3. (ВВИА им. Н.Е.Жуковского,
1994.) В треугольнике ABC медиана,
биссектриса и высота, опущенные из
вершины С, равны соответственно 6 см, 5 см
и 2 см. Найдите длину стороны АВ.
Решение. Интуиция подсказывает, что
угол В — тупой, ибо высота значительно
меньше биссектрисы (рис. 3). Обозначив
ВН = х, АВ = г/, получим:
ВС = л/4 + х2, АС = ^4 + (х + у)2.
М Е В
Рис. 3
Н
Из треугольника МСН получаем:
У
+ х
+ 4 = 36, откуда х = 4л/2--.
Далее, находим длину отрезка ME:
МЕ = МН - ЕН = 732 - л/21.
По свойству биссектрисы внутреннего
АЕ АС
угла треугольника
= . Поскольку
ЕВ ВС
АЕ = ^+(732-л/21), ЯЕ = ^-(л/32-721),
АС = 4|4+|4>/2+£
то обозначив

ИДУ НА ЭКЗАМЕН ZZZr~~ " "."IZZZZ
2
приходим к уравнению
(у2+а2) + 2уа = (144 + у2) + 1бУ2у
(j/2+a2)-2j/a (144 + j/2)-16V2j/'
После применения свойства пропорции
последует «массовое уничтожение» и
приведение подобных слагаемых. В результате
получим j/ = 4J7-—л/42.
Интересно, что решение «в общем виде»
таково:
АВ = у = 2J(m2 -2h2)-(l2 -2h2)^-^-,
где hy U m — высота, биссектриса,
медиана соответственно.
Мы рассмотрели поучительный
пример весьма громоздких выкладок
(«технические»-то выкладки опущены), где не
надо отступать перед квадратными
корнями!
Задача 4. (МФТИ, 1971.) Окружность,
вписанная в треугольник ABC, делит
медиану ВМ на три равные части. Найдите
отношение ВС : С А : АВ.
Решение. Отрезки, на которые
разбивают стороны треугольника точки касания
вписанной окружности, легко
определяются: BE = BD = р - Ъу АЕ = AF = р - а,
DC = FC = р - с, где р — полупериметр
треугольника (рис. 4). Вычисление
названных отрезков происходит при выводе хоро-
А г
шо известной формулы tg— = .
2 р-а
* Довольно необычно обозначать числовую
величину буквой, но здесь это сделать
желательно, чтобы избежать излишне громоздких
выкладок, таящих угрозу арифметических
ошибок.
"-"""""^^ 5
С F М А
Рис. 4
По теореме о касательной и секущей
(произведение секущей на ее внешнюю
часть равно квадрату касательной) имеем:
BD2=-BM-BM; MF2=-BM-BM,
3 3 3 3
откуда BD2 = MF2.
an? b i ч с~а г>ъ а + с-Ъ
Ho MF = — (p-c) = , BD = .
2 KF 2 2
Следовательно, (a 4- с - b)2 = (c - a)2,
откуда вытекает: b = 2a или b = 2c.
Длина медианы ВМ равна:
BM = -V2(a2+c2)-b2.
Ci
Значит, 9(a + с - bf = 2(2a2 4- 2c2 - b2).
При b = 2a получим, что ВС : CA : АВ =
= 5 : 10: 13. При с = 2a получим, что
ВС : СА : АВ = 13 : 10: 5. Это, в общем,
одно и то же — ведь обозначение вершин
А и С можно поменять.
Задача 5. Определите углы
треугольника, в котором медиана, биссектриса и
высота, выходящие из одной и той же
вершины треугольника, делят соответствующий
угол на четыре равные части.
Решение. Так как в задаче говорится
о равенстве четырех углов, то совершенно
естественно использовать мощный
вычислительный аппарат тригонометрии.
Обозначив высоту CD = h (рис. 5),
легко получим, что AD = DE = htg a,
АС = ——, СВ = —?!—, DF = htg2a. Но
cos a cos 3a
тогда EF = DF - DE = h(tg 2a - tg a) и
AE = 2AD = 2htg a,

МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
ЕВ = EF + FB = EF + AF =
= EF + АЕ + ДО =
2/*tg а 4- 2/*(tg 2а - tg а) = 2/*tg 2а.
С
Рис. 5
По свойству биссектрисы внутреннего угла
АЕ AC tga cos За
= , т.е. —-— = .
С В
треугольника
ЕВ
tg2a
cos a
В получившемся тригонометрическом урав-
нении применим формулы tg2a = 5—
l-tg2a
и cos 3a = 4cos3 a - 3cos а. Уравнение
преобразуется так:
1 - tg2 a = 8cos2 a - 6.
1
Ввиду того, что cos a = -
1 + tg^a

приходим к биквадратному уравнению tg a -
- 6tg a 4- 1 = 0 с положительными
корнями tga = л/з±2л/2 =V2±1. Больший
корень не подходит, ибо тогда a > 45° и
4а > 180°. Таким образом,
a = arctg(V2 -1) = —.
8
~ я Зя я
Следовательно, углы треугольника —, —, —
(легко проверить, что
1 П
1-COS —
. я
sin —
4
^ = V2-1).
Стереометрия
Задача 6. (МГУ, 1961.) В правильный
тетраэдр, ребро которого равно 1,
вписано полушарие так, что три грани тетраэдра
касаются его сферической поверхности, а
четвертая служит ему диаметральной
плоскостью. Определите площадь поверхности
этого полушария.
Решение. Пусть диаметральной
плоскостью полушария является грань
тетраэдра ABC, О — его центр, совпадающий
в силу соображений симметрии с центром
правильного треугольника ABC. Площадь
поверхности полушара, как известно,
равна 2яД2, где R — его радиус. Пусть полу-
шар касается граней тетраэдра ADC, CBD,
ABD в точках М, Р, N соответственно
(рис. 6)*.
Рис. 6
Тогда очевидно, что ОМ = OP = ON = R.
Заметим, что объем тетраэдра ABCD
равен сумме объемов равных тетраэдров
ADCO, BDCOy ABDOy в каждом из
которых высотой является радиус полушара.
Следовательно, —S-DO = 3—SR, где со-
о О
кращающаяся величина S — площадь
любой грани тетраэдра.
DO
Итак, R =
но высота DO
тетраэдра ABCD легко находится по теореме
Пифагора:
DO = Jl-
2 V3
3 2
=ё
* Интересно, что рисовать сам полу шар нет
необходимости.

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
Тогда R
=Ь|и
искомая площадь
2яД2=^.
27
Как видим, ключевым моментом в
решении задачи явилось использование
очевидного свойства аддитивности объема.
Задача 7. (МАИ, 1993.) В правильном
тетраэдре через апофему проведена
плоскость так, что полученное сечение имеет
наименьшую возможную площадь.
Найдите отношение объемов частей, на которые
плоскость разбивает тетраэдр.
Решение. Пусть DF — апофема, точка
Е — подвижная, при этом ЕС = х (0<х<а),
АЕ = а - х, где а — ребро правильного
тетраэдра (рис. 7). Стороны DE и EF
треугольника DEF вычисляются по теореме
косинусов:
DE = yJa2+x2-ax,
а сторона DF =
Рис. 7
Формула Герона S = yjp(p - а)(р - Ь)(р - с)
дает возможность записать площадь
сечения (площадь треугольника DEF) как
функцию от ху чтобы затем исследовать ее.
Здесь возникает главная трудность в
задаче — психологическая. Стоит только
представить громоздкость вычислений, как
возникает соблазн поискать другой способ
решения. А он, будучи весьма
искусственным, не окажется проще. К тому же на
поиски уйдет немалое время.
Здесь рационально записать формулу
Герона в виде
S = -^2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2-a4-b4-c4,
4
затем подставить в нее длины сторон.
После приведения подобных слагаемых полу-
Подкоренное
чим S = -Jllx2-3ax + 3a
8
выражение
принимает
За
— квадратный трехчлен —
наименьшее значение при
х-
22
Очевидно, что отношение объемов
пирамид DECF и DAEFB, имеющих
общую высоту, равно отношению площадей
треугольника EFC и четырехугольника
AEFB, т.е.
1 а За . аГк0
sin 60
2 2 22
a2V3 За2
л
88
sin 60°
= 3:41.
Задача 8. (МГУ, мехмат, 1960.) Шар
вписан в усеченный конус. Докажите, что
площадь поверхности шара меньше
площади боковой поверхности конуса.
Доказательство. Ввиду наличия
бесконечного множества плоскостей
симметрии шара и конуса, проходящих через ось
симметрии конуса, сразу начертим сечение
данной конфигурации тел одной из таких
плоскостей. Оно, очевидно, представляет
собой равнобедренную трапецию, в
которую вписана окружность (рис. 8).

8
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Площадь поверхности шара Sx = 4nR ,
а площадь боковой поверхности усеченного
конуса S2 = п(гг + г2)/, где / — его
образующая. По свойству описанного
четырехугольника / = гх + г2, тогда S2 = п(гг + г2)2.
При проведении высоты трапеции
рассмотрим образовавшийся прямоугольный
треугольник с гипотенузой / и катетами
2R и г2- гг. По теореме Пифагора 4R2 =
= (гг + г2)2 - (г2 - гх)2. Но тогда
S, = я(гх + г2)2 - п(г2 - rf =
= S2 - n(r2 - rxf.
Так как гхФ г2, то неравенство Sx < S2
очевидно.
В заключение отметим несомненную
математическую красоту этой задачи-
теоремы, утверждающей столь интересное
геометрическое свойство вписанного в
усеченный конус шара.
Задача 9. (МГУ, физфак, 1964.) В
параллелепипеде длины диагоналей одной
грани равны а и а19 другой — Ъ и Ьг
и третьей
сие,
Найдите площадь
грани с диагоналями а и аг.
Ni Л
Рис. 9
Решение. Пусть а и ах — диагонали
грани MNPQ, Ъ и Ъх — диагонали
грани MNMXN19 с и сх — диагонали грани
MQMXQX (рис. 9). Обозначим длины ребер
параллелепипеда, исходящих из вершины
М следующим образом: MN = d, MQ = е,
мм, = л
Так как сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов
его сторон, то получаем систему трех
линейных (относительно квадратов
неизвестных ребер) уравнений с тремя
неизвестными d2, e2, f2:
2e2+2d2=a2+al
2e2+2f2=c2+c%
[2d2+2f2=b2+b2.
Сложив почленно первые два уравнения
и сравнив результат с третьим, найдем,
что
4е2 = а2+а\+с2+с\ -Ъ2 -Ъ%.
Ясно, что искомая площадь S грани
MNPQ в 4 раза больше площади
треугольника MOQ, стороны которого равны
а а1
2'Т
е. Площадь треугольника со
сторонами а, &, с легко записывается так
SA = -^4a2b2 -(a2 +b2 -с2)2. Подставляя
а ал
— вместо а, — вместо Ь, е вместо с,
2 2
найдем
4SA
, 2 2
\а а{
(гЛ „2
' а ал
— + —-
v4 4
a'+af+c'+Ci-b'-bi
2Л
= — yJ4a a{ -(f) + bf -с -с{у,
Задача 10. (МГОУ, 2002.) Двугранный
угол при боковом ребре правильной
четырехугольной пирамиды равен а, а радиус
шара, вписанного в эту пирамиду, равен
г. Найдите полную поверхность
пирамиды S.
Решение. С одной стороны, объем
пирамиды V = — a2h, где а и h — сторона
о
основания и высота пирамиды
соответственно. С другой стороны, V = —Sr. По-
о

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
следняя формула становится очевидной,
если соединить центр вписанного шара с
вершинами пирамиды и использовать
свойство аддитивности объема. Следовательно,
S =
a2h
(1)
Запишем площадь равнобедренного
треугольника EDC двумя способами:
1 1 Г~2 ~а*
—1Н = —аЬ. Здесь l = Jh + боковое
2 2 V 2
/ о а I о а
ребро, a L = Ar = Jh +— —апофема
пирамиды; Н — высота треугольника
EDC. Отсюда, Я2=^-^.
4й2+2а2
По определению двугранного угла
ZBFD = а. Применив к треугольнику BFD
теорему косинусов (с учетом полученной
формулы для нахождения Н2), получим:
(aV2)2=2tf2-2tf2coscc,
откуда
cosa = -
а
a2+4h2
(2)
(интересно, что угол a — тупой, так как
cos a < 0).
Запишем полную поверхность
пирамиды как сумму площадей всех ее граней:
S = a2+ayj4h2+a2. (3)
Из уравнений (1)—(3) составим систему:
S =
a2h
cosa = -
а2+4й2
S = a2+aV4/*2+a2.
Приравняв два разных выражения ис-
h
комой площади, найдем: — = 1 +
г
или, с учетом уравнения (2),
h = r
Uh2+a2
1 + J-
cos a
)
Из уравнения (2) следует, что
а2=-
W
1 + -
cosa
Дальнейшее очевидно:
/
4И
S =
1 +
\ COS0C I
1+-
cosa
Отметим математически интересный
факт. В решении задачи мы
приравнивали два разных выражения для объема, два
разных выражения для площади боковой
грани и два разных выражения для
площади полной поверхности пирамиды!
Задачи
для самостоятельного решения
Задача 1. (МГУ, мехмат, 1959.)
Докажите, что если медиана и высота,
проведенные из вершины В треугольника ABC,
делят угол В на три равные части, то
треугольник ABC прямоугольный.
Задача 2. (СГЭА, 1995.) Длины
оснований трапеции равны а и Ь. Найдите
длину отрезка, соединяющего боковые сто-
2 Математика для школьников № 3

10
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
роны трапеции, параллельного основаниям
и делящего площадь трапеции пополам.
Ответ:
а2+Ь2
Задача 3. (МГУ, экономический
факультет, 1964.) Докажите, что в
равностороннем треугольнике сумма расстояний от
любой точки до трех сторон постоянна.
Задача 4. (МФТИ, 1994.) Внутри
параллелограмма ABCD взята точка К так,
что треугольник CKD равносторонний.
Известно, что расстояния от точки К до
прямых AD, AB и ВС равны
соответственно 3, 6 и 5. Найдите периметр
параллелограмма.
49V3
Ответ: —-—.
Задача 5. (МФТИ, 1994.) Продолжения
медиан AM и ВК треугольника ABC
пересекают описанную около него
окружность в точках Е и F соответственно,
причем АЕ : AM = 2:1, BF : ВК = 3 : 2.
Найдите углы треугольника ABC.
п я
Ответ: —, arctg2, —arctg2.
Задача 6. (МГУ, мехмат, 1961.) В
треугольной пирамиде две грани —
равносторонние треугольники со стороной а, а две
другие грани — равнобедренные
прямоугольные треугольники. Определите радиус
шара, вписанного в пирамиду.
aV2(2-V3)
Ответ: .
Задача 7. (МАИ, 2003.) В конус вписан
шар радиуса г. Найдите площадь полной
поверхности конуса, если плоскость,
касающаяся шара и перпендикулярная к одной
из образующих, не пересекает основание
конуса и удалена от его вершины на
расстояние d.
Ответ: 0 (r + Jr2 +(d + r)2)2.
(d + rf v
Задача 8. (МИФИ, 1995.) Основанием
треугольной пирамиды SABC служит
треугольник ABC, у которого АВ = 7, ВС = 9,
а высота BD имеет длину 3v5.
Определите объем пирамиды, если каждое ее
боковое ребро образует с плоскостью
основания угол величиной а.
Ответ: 84tgoc или 42tgoc.
Задача 9. (МВТУ им. Н.Э.Баумана, 1979.)
Основания параллелепипеда — квадраты
со стороной Ь, а все боковые грани —
ромбы. Одна из вершин верхнего основания
одинаково удалена от всех вершин
нижнего основания. Найдите объем
параллелепипеда. q
Ответ:
V2'
Задача 10. (КПИ, 1979.) В конус, у
которого угол осевого сечения при вершине
равен а, вписан шар радиуса г.
Найдите объем части конуса, расположенной над
шаром.
Ответ:
пг
ъ(
4 а а
cos —cosec—
2 2
(
v
V
. а
-sin—
2
2 +sin—
2
\?&?л ■ " ■ ■ -

СОВЕТЫ К УРОКУ
В.А.Гусев, Н.Б.Гусева, Г.В.Сычёва
УЧИМСЯ СРАВНИВАТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Сравнение действительных чисел — одна из задач, с которыми
школьникам приходится сталкиваться, начиная с младших
классов. В этой статье мы попытаемся систематизировать и
обобщить методы сравнения действительных чисел, записанных в
виде дробей, корней, логарифмов, тригонометрических функций и т.д.
Вспомним некоторые обозначения:
N — множество натуральных чисел,
N = {1; 2; 3; ...};
Z — множество целых чисел,
1л = \...; о; Lt\ 1; U; 1; *L\ o\ •••/>
Q — множество рациональных чисел,
Q = {^
П
\rneZ, neN
При этом N с Z с Q.
Выполняя над рациональными числами
действия сложения, вычитания,
умножения, деления (кроме, конечно, деления на
нуль), мы вновь будем получать
рациональные числа. Рациональных чисел вполне
достаточно для нужд практики, так как они
позволяют осуществлять счет объектов, а
также выполнять измерения, хотя и
приближенно, но с любой степенью точности.
Но для решения некоторых задач
математики, физики и других наук
рациональных чисел уже недостаточно. Напомним,
что всякую обыкновенную дробь можно
записать в виде бесконечной, но обязательно
периодической десятичной дроби и,
наоборот, всякую бесконечную периодическую
десятичную дробь можно записать в виде
обыкновенной дроби.
Например,
13 = 13,(0); \ = 0,25(0);
4
\ = 0,25(0); | = 1,(3);
4 3
^ = 0,58(3); ^ = 2,(692307).
Наоборот,
0,(4) = 0,4+ 0,04+ 0,004 + ...=
0,4
1-0,1 9
5,7(12) = 5,7 + 0,012 + 0,00012 + ... =
в _ 0,012 в _ 12 57 12
= 5,7 + — = 5,7 + = —+-
1-0,01
5655 _141
= 5-
990 10 990
990 198
При этом для определения обыкновенной
дроби, которая соответствует данной
бесконечной периодической десятичной дроби,
используется формула нахождения суммы
членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии b; bq; bq ; ...:
b
s = .
1-q
Но кроме бесконечных периодических
десятичных дробей существуют
бесконечные непериодические десятичные дроби.

12
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Любая бесконечная непериодическая
десятичная дробь называется числом
иррациональным. Например, числа
5,2020020002..., я = 3,14152...,
V2,W, л/ГГ, lg3, In 5, sin 2, tgl5
являются иррациональными.
Сравнение действительных чисел
Й Определение. Говорят, что число а
больше числа Ь, если разность а - Ъ
является положительным числом, а
число а меньше числа Ь, если раз-
CD ность а-Ъ есть число отрицательное.
Рассмотрим некоторые методы
установления отношения «больше» или «меньше»
между числами, записанными в виде
обыкновенных и десятичных дробей, в виде
корней, логарифмов, тригонометрических
функций и т.д. Заметим, что любое
отрицательное число меньше нуля и меньше
любого положительного числа; из двух
отрицательных чисел больше то, у которого
модуль меньше.
I. Сравнение действительных чисел
по определению
В основе этого метода лежит
определение отношений «больше», «меньше»:
0 а > Ъ тогда и только тогда,
когда а - Ъ > 0;
а <Ъ тогда и только тогда,
р-"i когда а - Ъ < 0.
2 5
Пример 1. Сравните — и —.
Решение. Сравним с нулем разность
данных чисел:
2 5 = 14-15= 1 _J^<0
3 7~ 21 21* 21<
о 2 5
Значит, — <—.
3 7
гл 2 5
Ответ: —<—.
3 7
Пример 2. Сравните два числа
7-2
0,7"^ + 0,3 и
10
10
Решение. Сравним с нулем разность
данных чисел:
(0,7"2+0,3)-
'10
(г юг2 «О
10 110
10
' 7 '
7 I 7 J 10 I 10,
'10'
v
10
Ответ: 0,7"2+0,3>|
1 3) 7
Иногда для сравнения двух числовых
выражений бывает полезно одно из
выражений (или сразу оба) предварительно
тождественно преобразовать.
Пример 3. Сравните числовые
выражения 32762 и 3274 • 3278, не вычисляя
их значений.
Решение.
3274 • 3278 = (3276 - 2) • (3276 + 2) =
= 32762 - 4.
г
Ответ: 32762 > 3274 • 3278.
Очевидно, что 32762 > 32762 - 4
Пример 4. Сравните значения числовых
„ V^ + 2
выражении
и 7 + 2>/б.
V6-2
Решение. I способ. В первом
выражении избавимся от иррациональности в
знаменателе:
Уб+ 2 (Уб + 2)(Уб + 2) 6 + 4Уб +4
л/б-2~(>/б-2)(л/б + 2)~ (V6)2-22 "
= 10 + 4Уб = 10 + 4Уб=5 + 2^
6-4 2
Очевидно, что 5+2V6<7 + 2V6.
II способ. Найдем разность этих
числовых выражений и сравним ее с нулем.
Уб + 2 д Уб + 2-7>/б-12 + 14 + 4>/б =
Тб-2 S-2

СОВЕТЫ К VPOKV
13
4-2Уб-2(Уб-2)
л/б-2 " л/б-2
= -2<0.
Ответ:
Уб+2
л/б-2
<7 + 2л/б.
II. Сравнение двух десятичных дробей
путем сравнения разрядных единиц,
входящих в запись числа
В основе применения этого метода
лежит следующее утверждение.
ЙИз двух положительных десятичных
дробей больше та, у которой больше
целая часть;
если целые части равны, то больше
I—J та, в которой больше десятых долей;
если целые части и десятые доли
равны, то больше та дробь, в которой
больше сотых долей и т.д.
Например,
21,345 > 21,278; 0,00715 > 0,00699;
3,001 > 2,999; 10,0004 > 10,000186.
Кроме этого, сравнение двух
десятичных дробей можно выполнять и с помощью
первого метода, т.е. по определению.
Пример 5. Сравните числа 8,123 и
8,02.
Решение. Сравним с нулем разность
данных чисел:
8,123 - 8,02 = 0,103; 0,103 > 0.
Ответ: 8,123 > 8,02.
Если требуется расположить в
порядке возрастания или убывания несколько
чисел, записанных в виде десятичных и
обыкновенных дробей, то можно каждую
обыкновенную дробь представить в виде
десятичной (конечной или бесконечной), а
дальше применить правило сравнения
десятичных дробей. Если уке все дроби
записать в виде обыкновенных дробей, то
можно привести их к общему знаменателю и
ответить на вопрос задачи путем сравнения
числителей полученных дробей.
Пример 6. Расположите в порядке воз-
3 17
растания числа 0,295; —; —; —.
13 8 25
Решение. Запишем все данные числа
в виде десятичных дробей:
0,295; 0,230...; 0,125; 0,28.
Целая часть у всех чисел одна и та же и
равна 0. Сравниваем десятые доли, далее
сотые:
0,125; 0,230...; 0,28; 0,295.
13 7
Ответ: —; —; —; 0,295.
8 13 25
III. Сравнение двух положительных
чисел путем сравнения их отношения
с единицей
Применение этого метода основано на
следующем утверждении:
в
CD
а
если а > 0, Ъ > 0 и — > 1, то а > Ь;
Ь
а
если а > 0, 6 > 0 и — < 1, то o<ft.
Ь
^ 145 5
Пример 7. Сравните числа и —.
v v v 207 9
145 5
Решение. Поскольку >0, — >0,
207 9
составим отношение данных чисел:
145 5 145-9 5-29-9 29 29 ,
207 9 207-5 9-23-5 23 23
Ответ
145 5
>—.
Пример 8. Сравните числа 1,7 и
207 9
34
19
Решение. Очевидно, что оба числа
положительные. Рассмотрим отношение этих
чисел:
1,7
34 17 19 19 19 19
19 ~ 10-34 ~ 10 2 ~ 20' 20
<1.
Ответ: 1,7 <—.
19
2
Пример 9. Сравните — и log5 2.
5

14
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Решение. Так как — >0, log52>0, то
составим отношение этих чисел:
log52 = 51og52 = log532
2/5 2 2
В силу того, что log5 32 > 2, получим
logs 32
2 ' 2
Ответ: log52>—.
IV. Сравнение чисел посредством
сравнения их степеней
При использовании этого метода
основополагающими являются следующие
утверждения.
Для любых а и Ъ справедливо
а>Ъ <^> а2п+1 > Ъ2п+\ п € N.
Для любых неотрицательных а и Ъ
справедливо
а > Ъ <^> ап > bn, n € N.
в
Пример 10. Сравните числа V2 и 1,4.
Решение. Очевидно, что данные числа
положительны. Сравним их квадраты:
(V2)2=2, 1,42=1,96, 2 > 1,96.
Ответ: V2>1,4.
Пример 11. Сравните числа
V7-V6 и V6-V5.
Решение. I способ. Для удобства при
оформлении решения будем использовать
знак сравнения v:
Прибавив к каждому из чисел >/б + >/5,
получим >/7+>/5v2>/6. Оба числа
положительны, сравним их квадраты:
(V7 + V5)2v(2>/6)2; 7 + 2>/35+5v24.
Вычитаем из каждого числа 12:
2>/35vl2 или V35v6.
Возведем в квадрат оба числа: 35 v 36.
Так как 35 < 36, то >/7->/б <>/б->/5.
II способ. Составим отношение двух по-
V7-V6
ложительных чисел —j=—т= и сравним
V6-V5
его с единицей, предварительно
преобразовав полученное выражение:
V7 - Уё = (V7 -Уё)(У7+Уб)(Уё+Уб) =
V6-V5 (V6-V5)(V7+V6)(V6+V5)
= (7-б)(Уб+Уб) = Уб+Уб
" (6-5)(V7 +л/б) " V7 + >/б
Ответ: >/7->/б <>/б->/5.
Пример 12. Сравните числа
^2 и V6-1.
Решение. Сравним кубы данных
чисел.
$2)3v(V6-l)3; 2у(б7б-3-61 + Зл/б1-1);
2v9>/6-19 или 7v3>/6.
Сравним квадраты полученных
положительных чисел: 49 < 54 и, значит,
^2<>/б-1.
Ответ: ^2<>/б-1.
V. Сравнение данных чисел
с промежуточным числом
Идея метода состоит в следующем: мы
пытаемся найти такое число, которое ле-
Йжит между двумя данными числами и
легко с ними сравнивается, после чего
применяем следующее свойство чисел:
если а < с и с < Ъу
СЗ то а <Ъ.
Пример 13. Сравните числа 0,51 и —.
Решение. Замечаем, что — <—, а
7 2
1 3 1
0,51 >— и, значит, — < —<0,51.
2 7 2
3
Ответ: —<0,51.
7

СОВЕТЫ К VPOKV
15
Пример 14. Сравните числа 2V и 6
/g
Решение. Оценим значение 2V :
2Ve < gVe^^ 2^^ = 22'5 = л/2^ = л/32,
2^<л/32, но
Следовательно, 2^
732<6.
<л/32<6.
Ответ: 2vo<6
»/б
Пример 15. Сравните log9 7 и log78.
Решение. Так как log97< 1, a log78> 1,
то log9 7 < 1 < log7 8.
Ответ: log9 7 < log78.
Пример 16. Сравните sin 2 и cos 3.
Решение. Углы, радианная мера
которых равна 2 и 3, находятся во второй
координатной четверти, где косинус
отрицателен, а синус положителен. Поэтому
cos3 < 0 < sin 2.
Ответ: cos3<sin2.
Пример 17. Сравните log053 и sin 4.
Решение. Поскольку sin 4 > -1, а
-2 < log053 < -1 (так как log054 < log0 53 <
< log052), то log053 < -1 < sin 4.
Ответ: log0 5 3 < sin 4.
Пример 18. Сравните числа
log35 и log23.
Решение. При сравнении чисел,
записанных в виде логарифмов, можно
использовать способ «увеличительного
стекла», основанный на том, что умножение
логарифма на число к равносильно
возведению выражения, стоящего под знаком
логарифма, в степень к. Заметим, что оба
числа больше единицы, но меньше двух.
Однако если каждое из чисел удвоить, то
21og3 5 = log3 25, 2 < log3 25 < 3;
21og2 3 = log2 9, 3 < log2 9.
Итак, log325 < 3 < log29, а значит, и
log35 < log23.
Ответ: log35 < log23.
Пример 19. Принадлежит ли отрезку
[Щ\ log25] число 2,1?
Решение. Сравним кубы чисел
и
2,1: $9)3v2,l3; 9 v 9,261; 9 < 9,261.
Итак, ^/9<2,1.
Сравним числа 2,1 и log25. Эти числа
находятся в интервале (2; 3). Умножим
оба числа на 4 и сравним их:
8,4 v 41og2 5; 8,4 v log2 625,
но log2625 > log2512 = 9, т.е. 41og25>9.
Итак, 8,4<9<41og25 и, значит, 8,4 <
< 41og2 5, откуда 2,1 < log2 5. Таким
образом, у/9 < 2,1 < log2 5.
Ответ: принадлежит.
VI. Метод введения функций
В этом случае вводят в рассмотрение
некоторую функцию и исследуют ее на
монотонность (в том числе, с помощью
производной).
Пример 20. Имеет ли смысл выражение
log
(
2009
Я
sin— + cos-
Зя
V
9 5
Решение. Чтобы ответить на
поставленный вопрос, мы должны выяснить, яв-
. я Зя
ляется ли число sin — + cos— положи-
9 5
тельным, для чего сравним его с нулем.
я Зя я
sin—+cos— = sm—-i-cos
9 5 9
. п . п
= sin—sm—.
9 10
я я
!2+То
Рассмотрим функцию у = sin x,
которая на промежутке
*!
возрастает, а
я я . и . п
поскольку — >—, то sin—> sin—.
Итак, 9 10 9 10
. 71 . U ^ .Я ЗЯ _
sin — sm—>0, т.е. sin — -i-cos—>0.
9 10 9 5
Ответ: выражение имеет смысл.

16
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
при
Пример 21. (ЕГЭ-2008 г.; С1).
Сравните значения функции
/(х) = 0,5л:4 + 16* - 114
50
149
х = -1—
51
Решение.
и при х = -1
51
Исследуем данную
функцию на монотонность. Она
дифференцируема на R; f'(x) = 2xs + 16. Функция
у = f'(x) также дифференцируема на R и
обращается в нуль лишь при х = -2. Так
как f'(x) < 0, если х < -2 и f'(x) > 0,
если х > -2, то данная функция / (х)
является убывающей на промежутке
(-©о; -2] и возрастающей на промежутке
4Q 50
[-2;+оо). -1 е[_2; + оо) и -1— е[-2;+оо),
51 51
причем
,49 ,50
-1—>-1—,
51 51
следовательно,
1 Ы) Л 51
Ответ: fU^fU**
51
51
Пример 22. Сравните числа
log1516 и log1617.
Решение. I способ. Рассмотрим
функцию f(x) = log^a; + 1) и исследуем ее на
возрастание и убывание при х > 1, для
чего преобразуем эту функцию, приведя к
логарифму по основанию е:
1п(х + 1)
/(*) = ■
In *
Найдем производную функции / (х):
/'(*> =
In* 1п(* + 1)
Х + 1 X
1п2х
_ х1пд:-л:1п(д: + 1)-1п(л: + 1) _
х(х +1) • In2 х
x-ln 1п(х + 1)
= __j^±l
х(х + 1)Лп2х
Поскольку мы рассматриваем случай,
когда х > 1, то из неравенства 0 < < 1
х х + 1
следует, что In <0.
х + 1
Кроме того, при х > 1 выполняются
неравенства
-1п(х + 1) < 0 и х • (х + 1) • 1п2х > 0,
откуда следует, что производная функции
f (х) отрицательна при х > 1.
Следовательно, функция / (х) убывает на
промежутке (1; +оо) и /(15) > /(16) или
log1516>log1617.
VII. Использование неравенств Коши
В основе применения этого метода
лежат следующие утверждения.
Й1) Для любых неотрицательных
чисел а и Ъ выполняется неравенство
а + Ъ
> у]а Ь, при этом равенство воз-
I—J можно лишь в случае а = Ъ.
2) Для любого а Ф 0 справедливо не-
I 1|
равенство а + —
а\
> 2, при этом
равенство выполняется лишь в случае а = 1.
Применим этот метод для решения
предыдущего примера.
II способ. Итак, надо сравнить два
числа: log1516 и log1617. Прибавим
дому из чисел log1615:
log1516 4- log1615 v log1617 + log1615.
В силу неравенства Коши
log1516 + log1615> 2
(как сумма двух взаимно обратных
положительных чисел, не равных единице), а
log1617 + log1615 = log16(15 • 17) =
= log16255 < log16256 = 2.
Имеем log1516 4- log1615 > 2 > log1617 +
4- log1615 и, следовательно,
log1516> log1617.
III способ. Рассмотрим выражение
/logi617
!log15l6
= 7log16171og1615.

СОВЕТЫ К VPOKV
17
Применим неравенство Коши:
>gl617-logl615,10^^^ogl615^
_ log16(1715) _ log16((16+ 1X16-1)) _
log16(162-l)
Так как log16(162 - 1) < 2, то
log16(16^-l) log1617
— < 1 и, значит, —— < 1,
2 Vlogi5l6
откуда следует, что log1516 > log16 17.
Ответ: log1516 > log1617.
Пример 23. Какое из двух чисел ближе
к единице:
2,5-^04 или 0,4-^2^5?
Решение. Заметим, что
2,5-^04 =--Д 0,4-^^5 = --Д
v 2 \б v 5 V2
Данные положительные числа являются
взаимно обратными. Сравним их с единицей:
5 ,2 ,
— 7-vl;
2 \5
U1
2 \5
vl7;
>1
5,2 , ,1
т.е. — -7 — >1, тогда 1>-
2 \5 5 J2 5 \2
1тЙ
2"'\б
тт б _ 2 2 J5 1
Пусть —л— = а, тогда —•71— = —, а > 1,
2 \б 5 Ъ а
О < — < 1. Сравним положительные разно-
а
сти а - 1 и 1- — :
а
(a-l)v| 1-- |,
( 1
а + — |v2.
v а
Так как а > 1, то а + —>2, т.е.
1 а
а-1>1—.
Ответ: 0,4-ТД^.
Рассмотрим еще несколько примеров
сравнения двух чисел.
Пример 24. Сравните значения число-
вых выражении и 0,8.
Решение. I способ. Сравним с нулем
разность данных чисел:
УГ7-1 4 5V17-21
4 5
<2
<0.
2517-2Г
20
425-441
20(5Vl7 + 21) 20(5Vl7 + 21)
/17—1
Следовательно, < 0,8.
4
II способ. Сравним с единицей
отношение данных положительных чисел:
л/17-1.4_5(л/17-1) 5(17-1)
4 'б ~ 16
516
16(V17 + 1)
5
16(Vl7+l) Vl7 + 1
Так как
Vl7>4, Vl7 + 1>5, то
Vl7-1
<1
и, следовательно,
III способ. Сравним
17 + 1
<0,8.
V17-1
4
И 5'
ДЛЯ
чего умножим оба числа на 20:
5Vl7-5vl6, 5Vl7v21.
Возведем в квадрат полученные
положительные числа и сравним их:
25 • 17 v 212, 425 < 441.
/17—1
Таким образом, < 0,8.
/17—1
Ответ: <0,8.
Пример 25. Сравните — и log3 4.
4
Решение. I способ. Сравним разность
этих чисел с нулем.
^-log34 = ^(5-41og34) = i(5-log3256).
4 4 4
3 Математика для школьников № 3

18
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Так как log3256 > log3 243 (log3 243 = 5),
то — (5-log3256)<0 и, следовательно,
5 4
^<log34.
II способ. Сравним с единицей
отношение данных положительных чисел (log3 4 >
> log31 = 0):
log34 _ 41og34 _ log3 256
5
4
>1.
Следовательно, log3 4 > —.
4
III способ.
5
- v log3 4, 5 v 41og3 4, 5 v log3 256,
4
5 = log3 243 < log3 256, 5 < log3 256.
5
Ответ: —<log34.
4
При решении тригонометрических
уравнений иногда приходится сравнивать ра-
дианные меры углов, записанных в долях
числа я, с действительными числами.
Сравнение таких чисел имеет некоторые
особенности.
Покажем на примерах, как можно
выполнить это сравнение.
Пример 26. Укажите все числа вида
п п
х = — + —п, я е Z, принадлежащие про-
6 2
межутку [-1; 3].
-^ х ^ Я Я _
Решение. I способ. х = — + — -п, neZ
6 2
является монотонно возрастающей
функцией п. Отметим на числовой оси отрезок
[-1; 3] и точки, соответствующие числам
данного вида, не выходящие за пределы
этого отрезка (рис. 1).
-10 12 3 4
п
6
2я
3
Рис. 1
„ я я я
я = -1, х = = — <-1;
6 2 3
о о
я я 2я 2я
п = 1, х = — + — = —, —€[-1;3];
6 2 3 3
0 я In In _
п = 2, х = — + я =—, —>3.
6 6 6
Следовательно, указанному отрезку при-
я 2я
надлежат числа —; —.
6 3
II способ. С помощью
тригонометрического круга (рис. 2) покажем
положения подвижного радиуса,
соответствующие данным числам. Заметим, что я > 3,
П л
— <"1. yi
Рис. 2
Следовательно, указанному отрезку при-
я 2я
надлежат числа —; —.
я я
III способ. По условию -1< —+ — я<3,
*» п ч 6 2
П Е Z.
-1 — < — п<3—, <п< ,
6 2 6 я 3 я 3
12
-1<п<1—.
3
Поскольку п может принимать
только целые значения, то числа данного вида
принадлежат отрезку [-1; 3], если п = 0
или п = 1.
я
При я = 0 получаем х = —, при я = 1
2я 6
получаем х = —.
3 л и 2я
Ответ: —; —.
6 3

СОВЕТЫ К VPOKV
19
Пример 27. Сколько чисел вида
X = 71 + 2ПП, П € Z
содержится в отрезке [-ЮОя; ЮОя]?
Решение. По условию -1007i<7i + 27m<
< ЮОя, следовательно, —10171 < 2пп < 9971
и -50,5 < п < 49,5.
Так как п — целое число, то -50 < п < 49.
Отрезок [-50; 49] содержит 50
отрицательных целых чисел, нуль и 49
положительных целых чисел, т.е. всего 100
целых чисел.
Ответ: 100 чисел.
Задания
для самостоятельного решения
1. Сравните без таблиц и калькулятора
числа.
1) л/3 и 1,7.
Ответ:
2) е и л/ё.
Ответ: е >
3) ^/4 + л/2 и 3.
Ответ: 3/i + V2>3.
4) fl9 и 1 + л/З.
Ответ: ^19<1 + >/з.
5) 4^ и 5.
6) 2S и 6.
Ответ: 4^>5.
Ответ: 2^<6.
7) log43 и log32.
8) log35 и log57.
9) log23 и ^7.
Ответ: log43 > log32.
Ответ: log35 > log57.
Ответ: log23 > л/7.
10) log25 и
11) - и log52.
Ответ: log25>-
Ответ: — <log52.
12) lg0,5 и cos 0,5. '
Ответ: lg0,5 < cos0,5.
2. Какое из двух чисел ближе к единице:
-sf? или -*/0^?
5V 3 3 ,—
3/2
Ответ: — ?/1—.
5V 3
3. Принадлежит ли отрезку
число 1,5?
Ответ: принадлежит.
4 ,
3? 1о^З
4. Содержится ли число х--4—п сре-
ди чисел вида х = — + пп, п е Z.
о
Ответ: да (я = -4).
5. Укажите все числа вида х = ±— + тш,
л € Z, принадлежащие промежутку (2; 3).
Ответ: —.
3
71
6. Сколько чисел вида х = — + 2яп, я € Z
имеется на отрезке [-50я; 50я]?
Ответ: 50 чисел.
7. Имеет ли смысл выражение
1 ( • я я4
lo&2010l Sm^~COS^"
Ответ: не имеет.
■4<>>^3l!tJP^^-
3*

20
1 МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Е.С.Канин
ИНДУКЦИЯ. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ИНДУКЦИИ И ЕГО ЭКВИВАЛЕНТЫ
Окончание. Начало см. в № 2 за 2009 г.
Многолетние наблюдения человечества за природой свидетельствуют
о том, что в январе месяце в средней полосе России наблюдаются
пики похолодания. Они имеют специальные названия:
Рождественские (5-10 января), крещенские (около 19 января),
афанасьевские (около 31 января) морозы. Суждение о том, что в
январе месяце «должны быть» 3 вспышки больших холодов, было
сделано на основе обобщения от частных наблюдений к общему
заключению, как говорят, «по индукции».
0
Сначала напомним формулировку
метода математической индукции.
Пусть надо доказать, что некоторое
предложение Р выполняется при
любом натуральном п.
1) Проверим, выполняется ли Р для
I—J /i = l, т.е. установим истинность
Р(1). Если Р(1) истинно, то
2) Предположим, что при п = k
истинно P(k), т.е. предложение Р
истинно для натурального числа k.
3) Установим, истинно ли
предложение Р для следующего
натурального числа п = k + 1, иными словами
проверим истинность импликации
P(k) => P(k + 1).
4) Если из P(k) следует P(k + 1),
то предложение Р является верным
для любого натурального числа.
Применение метода
математической индукции
Метод математической индукции
находит достаточно широкое применение при
решении различных математических задач.
Наиболее часто его используют при
решении задач на суммирование (пример 2),
доказательство различных тождеств
(пример 1), решении и доказательстве
неравенств (пример 3), при решении задач на
делимость, многих геометрических задач
и так далее. Ниже приводятся решения
таких задач.
1. Задачи на делимость
Пример 5. Докажите, что при любом
натуральном значении п число вида 7п +
+ 3/1-1 делится на 9.
Решение. Применим метод
математической индукции.
1) При п = 1 имеем 7 + 3-1 = 9 —
делится на 9.
2) Предположим, что 7* + 3fe - 1
делится на 9 и
3) докажем, что 7k+1 + 3(k + 1) - 1
делится на 9:
7k+1 + 3fe + 2 = 7-7/e + 7-3fe-7 +
+ 7-7-3fe + 3fe + 2 =
= 7(7* + 3k - 1) - 18* + 9.
Каждое из трех слагаемых полученной
суммы делится на 9: 7(7* + 3fe - 1) — по
нашему предположению, 18fe и 9
кратны 9.
4) согласно методу математической
индукции 7п + Зп - 1 делится на 9 при
любых натуральных значениях п.

СОВЕТЫ KVPOKV ZZIIZZZli:
21
Пример 6. Докажите, что при любом на-
туральном значении п число вида 2 +1
делится на Зп+1 и не делится на Зп+2.
Решение. Обозначим Ап =2 + 1.
1) При п = 1 имеем А1 = 23 4- 1 = 9 —
делится на 9 = 3 и не делится на 27.
2) Пусть при п = k Ak=2s +1 делится
на Зл+1, то есть 23Ч1 = 3*+1 • М, где М —
не делится на 3, то есть 23 +1 не
делится на 3*+2.
ofc + l
3) Докажем, что при условии 2) 2 +1
делится на з(/е+1)+1 = 3k+2 и не делится на
3(*+1>+2 = 3*+3. в самом деле,
Aft+1=23 +1 = (23 )3+l =
о« on о oft
= (23 + 1)(23 2-23 +1) =
->/г+1
i3ft42
= зя+1-м-(((2* г+2-2* +1)-з-2* ) =
з/г+1
= Зя+1-М-((2* +1)-3-2^ ) =
>/г+1
j2/e+l
Зя+1-М.(3-3"+1-АГ-3-2* ) =
>/г+2
j2*+l Л/Г 2 оЗл
= 3*+z.Af.(3z* -АГ-2* ).
Ясно, что А^+1 делится на Зл+2, но не
делится на 3k+ .
4) По аксиоме индукции 2 +1 при
любом натуральном значении п делится
на Зп+1 и не делится на Зп+2.
2. Геометрические задачи
Пример 7. Докажите, что сумма
внутренних углов выпуклого n-угольника
вычисляется по формуле
Sn = 180° • (п - 2) (рис. 1).
А,
Решение. 1) Проверим истинность
формулы при п = 3: сумма углов
треугольника, как известно, равна 180°, что и
подтверждается вычислением. В самом деле,
S3 = 180° (3 - 2) = 180°.
2) Предположим, что при п = k
сумма углов выпуклого fe-угольника равна
180° • (k - 2) и докажем, что в этом случае
сумма внутренних углов (k 4- 1)-угольника
Sk+1 = 180° • (k + 1 - 2) = 180° • (k - 1).
3) Возможны различные способы
дальнейшего рассуждения по индукции. Здесь
рассматриваются 2 из них.
3, а) На стороне АхАк построим
треугольник А^А^Ак^х
fe-угольника А1А2..
с вершиной Ak+1 вне
Ak (см. рис. 2, а),
получим (k + 1)-угольник (выпуклый).
Сумма его углов Sk+1 = Sk 4- 180°, где 180° —
сумма углов треугольника A^A^k+l. После
преобразований Sk+1 = 180°(fe - 1), что и
требовалось доказать.
3, б) «Отрежем» от fe-угольника А^...
Ал, соединив точки А\ и A'k+1 сторон со-
и AkAx отрезком
ответственно Ak_ x Ak
A'kA'k+1, треугольник A'kAkA'k+l. Получим
(k 4- 1)-угольник АхА2„А!кА!к+ХУ вычислим
сумму его внутренних углов
Sk+1 = Sk-ZAk + (180° - ZA'kA'k+lAk) +
+ (180° - ZA'k+1A'kAk) =
= S„ + 360° - (ZAk + A'kA'k+1Ak + ZA'k+1A'kAk) =
= S„ + 180°;
Sk+1 = 180°(/г - 2) + 180° = 180°(/г - 1).
4) По аксиоме индукции имеем: сумма
внутренних углов выпуклого п-угольника
вычисляется по формуле Sn = 180° • (п - 2)
для любого п € N.
к-г
а)
б)
Рис. 2

22
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3 /2009
Пример 8. Докажите, что п
произвольных квадратов можно разрезать на части
так, что из полученных частей можно
сложить новый квадрат.
Решение. При п = 1 утверждение
очевидно. Докажем, что из двух квадратов
(п = 2) можно разрезать один так, что из
полученных его частей и второго квадрата
можно сложить третий квадрат.
Пусть даны квадраты ABCD, АВ = ВС =
= CD = DA = х и STKZ, ST = TK = KZ =
= ZS = у и пусть х Ф у (рис. 3).
М
К
1) На каждой стороне квадрата
ABCD отложим от вершины отрезки
х + у
AM = BN = CP = DQ = -
и разрежем
квадрат ABCD по отрезкам MP и NQ на
4 равные части. Ясно, что MP _L NQ, так
как в каждом частном четырехугольнике
(например, OMBN) сумма внутренних
углов равна 360°, сумма тупого и острого
углов равна 180° (они смежные равным
углам: ZBMO = ZCNO, например), а один
угол прямой (это угол данного квадрата).
Эти куски приложим к квадрату STKZ,
как показано на рис. 4.
Полученная фигура является
квадратом, так как
ZA' = ZB' = ZC =
= ZD' = ZMON = 90° и
А'М'+ М'В' = B'N' + N'C =
= С'Р' + P'D' = D'Q'+ Q'A'.
Итак, при п = 2 утверждение задачи
истинно.
2) Предположим, что утверждение
задачи верно при п = k и докажем, что при
этом оно верно и для я = k Л- 1.
3) Пусть даны k Л- 1 квадратов, i?!, i?2,
..., i?fe, ДЛ+1. Для любых двух квадратов из
них верно, как уже доказано, утверждение
задачи. Разрезая один из них и
прикладывая куски его к другому квадрату, получим
квадрат R\ а вместе с оставшимися k - 1
квадратами - всего k квадратов, для
которых доказываемое утверждение верно по
предположению. Таким образом, для k + 1
квадратов утверждение задачи истинно.
4) Поэтому, по аксиоме индукции, п
произвольных квадратов можно разрезать на
части так, что из полученных частей можно
сложить новый квадрат. Задача решена.
3. Другие задачи
Методом математической индукции
могут быть решены многие задачи из
различных разделов математики. Стоит
среди таких задач указать теорему Эйлера о
многогранниках: «Если В — число вершин,
Р — число ребер, Г — число граней
выпуклого многогранника, то В + Г-Р = 2».
Доказывается методом математической
индукции так называемая «малая теорема
Ферма»: «Если р — простое число, и а
не делится на р, то ар~1 - 1 делится на
р». Доказательства этих теорем известны
и опубликованы в литературе. Ниже
приведены решения двух других задач.

СОВЕТЫ К VPOKV
23
Известна задача Фибоначчи (Леонардо
Пизанского) о кроликах (Fibonacci или
Leonardo Pisano, 1180-1240 гг.). Она
формулируется следующим образом.
Пример 9. Некто поместил пару кроликов
в некоем месте, огороженном со всех сторон
стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов
родится при этом в течение года, если
природа кроликов такова, что через месяц пара
кроликов производит другую пару, а
способность к производству кролики приобретают
со второго месяца. Сколько пар кроликов в
один год от одной пары рождается?
Решение. Число пар кроликов по
условию задачи в первые 6 месяцев
записывается в виде последовательности 1; 2; 3;
5; 8; 13. Несложно заметить, что каждый
член последовательности, начиная с
третьего, есть сумма двух предыдущих чисел:
и ,л = и Л- и 1.
Если добавить впереди еще единицу, то
получим последовательность 1;1;2;5;8;13;
... Ее рекуррентное задание иг = 1, и2 = 1,
и ,л — и Л- и л.
Можно ли задать формулу общего
члена последовательности Фибоначчи?
Французский математик Бине Жак Филипп
Мари (Binet Jacques Philippe, 2.2.1786-
12.5.1856) доказал, что для
последовательности Фибоначчи
± |7, . п?\п (л к\п\
и„ =■
V5
1 + V5
d-S
Методом математической индукции это
можно доказать так.
1) Uj = 1, U2 = 1.
2) Предположим, что
иь =
1 (f 1+VS4
^
V4
1-л/5
к\
и докажем, что
»*+! =
V5
(
(l + S
ч/г+1
(\-4ъ
\k+i\
3) По рекуррентной формуле
"*+1 = И* + «*-1 ИЛИ
J_
(' -\* /. г=\Ь\
(l + л/б
(, r^k-\ , n:\k~x^
s
fl + л/б
2
V5
1 ' —— + 1
V
V
\k-lt
'iST'd-S^
V
J
•J
V5
r - r- . /^V*-1 о a: (л /р\*-1^
З + л/5
i+>/5V aSfiS
Ho
3 + V5 1 + 2V5+5 Г1 + >/б1'
и
3-V5 1-2V5+5
2
Поэтому
Uk+1=1E
1-V5l:
'l + Vsf1 fl-Vo^
k+1
что и требовалось доказать.
4)По аксиоме индукции формула общего
члена последовательности Фибоначчи есть
u-"ii
'i+VsY fi-Vs^
j j
Ну а чтобы ответить на вопрос задачи
Фибоначчи, достаточно выписать первые
12 членов последовательности и12 = 144.
Пример 10. Докажите, что любой
квадрат, состоящий из 2П х 2П клеток (я € N)
с одной вырезанной клеткой, можно
разрезать на уголки из трех клеток.

24
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 1= 3/2009
Решение. Применим метод
математической индукции.
1) При п = 1 имеем квадрат 2x2
клеток с одной вырезанной клеткой (рис. 5),
т.е. один уголок. При п = 2 квадрат на
рис. 6 можно разрезать на уголки.
\
Рис. 5
Рис. 6
2) Предположим, что квадрат 2 х 2
клеток с одной вырезанной клеткой
можно разрезать на уголки и докажем, что и
квадрат 2k+1 x 2k+1 клеток с одной
вырезанной клеткой можно также разрезать на
уголки.
3) Разрежем квадрат 2k+1 x 2k+1 на 4
квадрата по 2k x 2k клеток (в самом деле,
2k+i x2k+i = ц2кх2к). Имеющийся среди
них квадрат с одной вырезанной клеткой
по предположению можно разрезать на
уголки. У оставшихся 3 квадратов 2k x 2k
вырежем по одной клетке, прилегающей к
центру квадрата 2k+1 x 2k+1. Эти три
клетки составляют уголок, а каждый из трех
квадратов без клетки можно разрезать на
уголки (по нашему предположению).
Таким образом, квадрат 2k+1 x 2k+1 клеток
удалось разрезать на уголки.
4) По аксиоме индукции квадрат,
состоящий из 2п х 2п клеток с одной
вырезанной клеткой при любом натуральном
п можно разрезать на уголки.
Эквиваленты метода
математической индукции
а Существуют предложения,
эквивалентные (равносильные) аксиоме индукции.
1. Среди натуральных чисел,
обладающих некоторым свойством Р, всег-
CZD да существует наименьшее.
Й2. Принцип обратной индукции
Если: 1) Среди натуральных чисел,
обладающих свойством Р, существу-
__ ют числа как угодно большие;
^"""^ 2) Из предположения, что свойством
Р обладает натуральное число, k Ф 1,
можно заключить, что им должно
обладать и число k - 1, за которым
непосредственно следует число k,
то свойством Р обладают все
натуральные числа.
Можно доказать эквивалентность
принципа наименьшего натурального числа
аксиоме индукции, то есть доказать, что
принцип наименьшего натурального числа
следует из аксиомы индукции и наоборот,
аксиома индукции следует из принципа
наименьшего натурального числа (это и
есть эквивалентность). Аналогично,
доказывается, что принцип обратной индукции
следует из аксиомы индукции, а она, в
свою очередь, следует из принципа
обратной индукции. Но в этой статье автор не
станет приводить такие доказательства.
Оба приведенных эквивалента аксиомы
индукции могут быть применены при
решении задач.
Пример 11. Докажите, что п3 4- Ъп
делится на 6 при любых натуральных
значениях п.
Решение. Применим принцип
обратной индукции.
1) Докажем, что п3 4- Ъп делится на
6 при некоторых как угодно больших
натуральных числах п. Достаточно взять
п = КУ7, где р — какое угодно натуральное
число. Тогда 103р + 5 • Kf = lO^lO2' + 5).
Но Kf четное число, а сумма цифр
102р 4- 5 равна 6, т.е. делится на 3.
Таким образом, при достаточно больших п
существуют числа вида п3 4- 5я, которые
делятся на 6.
2) Докажем, что из делимости на 6
числа k3 4- 5k следует делимость на 6 числа
(k - I)3 + 5(k - 1).

пни: советы к vpokv
25
От редакции. В первой части статьи «Индукция. Метод математической индукции и его
эквиваленты», опубликованной в прошлом номере, была допущена опечатка. На с. 20 в
формулировке обобщенного метода математической индукции следует читать п = k > m,
а не п = k > m, как было напечатано. То есть:
ном значении п число 32п+1 + 2п+2
делится на 7.
3. Докажите, что при всех натуральных
значениях п выполняется неравенство
13 5 2п-1< 1
2 4 6'" 2п л/Зп+Т"
4. Докажите, что при каждом
натуральном значении я, начиная с 4, существует
выпуклый я-угольник, имеющий ровно 3
острых угла.
Указание. Нарисуйте 4-угольник,
имеющий 3 острых угла, и «отрежьте» у него
тупой угол. Получите 5-угольник с тремя
острыми углами.
5. На сколько треугольников может
быть разбит своими непересекающимися
диагоналями произвольный я-угольник
(не обязательно выпуклый)?
Ответ: п - 2.
дукция. Метод математической индукции и его
я номере, была допущена опечатка. На с. 20 в
[тической индукции следует читать п = k > m,
сть:
(k - I)3 + 5(k - 1) =
= ks - 3k2 + 3k - 1 + 5k - 5 =
= ks + bk - 3k(k - 1) - 6.
Последнее выражение делится на 6:
k3 + 5k — по предположению, в
произведении k(k - 1) один из множителей
четный, значит, 3k(k - 1) делится на 6.
3) По принципу обратной индукции
о
п Л- 5п делится на 6 при любых
натуральных значениях п.
Задачи
для самостоятельного решения
1. Выведите формулу п-го слагаемого
,111
суммы 1 + —+ —+ — + ...
5 9 13
1
Ответ: и„ = .
п 4п-3
2. Докажите, что при любом натураль-
0Если: 1) предложение Р верно для
некоторого натурального числа т > 1;
2) из предложения истинности Р для
любого п = k> m следует его истин-
*—' ность для п = k Л- 1, то предложение
Р истинно для всех натуральных
чисел п> т.
Покажем на примере, что
формулировка с опечаткой неверна.
Докажем, что любые п человек —
родственники.
Очевидно, что один человек — сам себе
родственник. База индукции доказана.
Пусть это утверждение верно и для п
человек, т.е. родственниками являются
любые п человек. Докажем теперь, что в
родственных отношениях состоят любые
п + 1 человек. Это можно сделать,
доказав, что любые два из них (назовем их А
и Б) — родственники. Соберем их всех в
одной комнате и выделим среди них еще
одного — С. Затем попросим А выйти. В
комнате осталось п человек, и по
предположению индукции В и С -
родственники. Попросив выйти Б, аналогично
докажем родственные отношения между А и
С. Получается, что у А и Б есть общий
родственник С, что роднит и их друг с
другом. Индуктивный переход доказан.
Наше утверждение доказано для всех п
методом математической индукции.
Итак, мы «доказали» очевидно неверное
утверждение. В чем же ошибка?
Приглядимся к рассуждению: мы использовали
трех человек, значит п + 1 > 3, т.е. п > 2.
Следовательно, индуктивный переход был
доказан для п > 2, в то время как базой
индукции являлось п = 1.
4 Математика для школьников № 3

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Б.Н.Кукушкин
ЗАДАЧНИК
«МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ»
Задачник «Математики для школьников» представляет новые
задачи и решения задач, опубликованных в прошлом номере.
Новые задачи
Задача 63. Всем старшеклассникам
известны* значения тригонометрических
функций некоторых углов:
1 R
sin30° = -, cos30° = —,
2 2
sin45° = cos45° =
л/2
и т.п.
л/2 2
В XIX в. было доказано, что значения
тригонометрических функций можно
выразить с помощью радикалов далеко не
всегда. Например, невозможно выразить
sin 1°, sin 2°, sin 10°, sin 20°.
Невозможно выразить, разумеется, и косинусы этих
углов.
Однако для некоторых углов это все-
таки возможно.
а) Найдите sin 15°, cos 15°, tgl5°.
б) Найдите sin 22,5°, cos 22,5°, tg22,5°.
в) Найдите sin 18°, cos 18°, tg 18°.
г) Найдите значения
тригонометрических функций углов: 36°, 54°, 72°.
д) Найдите sin 3° и cos 3°.
Задача 64. В школьном курсе алгебры
и начал анализа часто встречается задача
о построении графика какой-нибудь
функции. Здесь мы будем рассматривать обрат-
Точнее, должны быть известны.
Рис

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
27
ную задачу: придумайте алгебраическую
запись функции, график которой задан
(рис. 1).
Ответы и решения
Задача 61. В этой задаче мы рассмотрим
вопрос об измерении углов. К сожалению,
не так уж много школьников (и даже
студентов) ориентируются в этом вопросе и
знают, что такое «радианная мера угла».
Кавычки мы поставили потому, что это
словосочетание представляется нам
странным — ведь никто не говорит: «метровая
мера длины», «килограммовая мера
массы». Будем считать интуитивно понятным,
что такое длина кривой линии.
а) Периметром Р фигуры называется
длина ее контура (границы). Например,
периметр квадрата со стороной а равен
4а (Р = 4а). Диаметром d фигуры
называется наибольшее расстояние между
точками этой фигуры. Например, диаметр
того же квадрата равен его диагонали:
d = av2. Нас интересует характеристика
Р ( Рл
X фигуры, равная — \Х = —
d v d J
. Р 4а 4
для квадрата Л = — = —т= = -j=
d aV2 V2
Найдите характеристику X правильных
шестиугольника, треугольника,
восьмиугольника. Убедитесь в том, что
характеристики подобных фигур равны.
б) Все окружности подобны друг другу.
Поэтому характеристика окружности —
вполне определенное число, оно одно и то
же для всех окружностей. Это число
обозначается греческой буквой п* и равно
3,1415926..., т.е. тг = 3,1415926... (мы
написали знак равенства, так как многоточие
подразумевает, что выписаны все цифры
Например,
272-2,8.
* По-гречески окружность — «периферия»,
это слово начинается с буквы я. (Слово
«периферия» есть и в русском языке. Оно Вам
знакомо?)
числа. Обычно помнят три цифры и
пишут приближенное равенство: п ~ 3,14.
Тогда многоточие писать уже не нужно.)
Итак, для окружности — = 71, L = nd или
d
L = 27ГГ. Найдите характеристики
следующих фигур: полкруга; четверти круга;
фигуры, изображенной на рис. 2.
Рис. 2
Рис. 3
в) Вы знаете, что единицей измерения
угла является градус. А что такое градус?
Кое-где можно прочитать: «градус — это
развернутого угла». Это несколько
сомнительное определение — ведь если мы
еще не умеем измерять величину угла, как
1
же мы можем отмерить часть
развернутого угла? Попытайтесь внести ясность в
этот вопрос.
г) При измерении длины пользуются
различными единицами длины: метр, фут,
миля, верста и т.д.
Для измерения углов тоже существуют
различные единицы.
Пусть дан угол (рис. 3). Проведем
окружность радиуса R с центром в
вершине этого угла. Пусть длина дуги этой
окружности, высекаемой данным углом,
равна L Назовем величиной угла а
отношение I к R: а = —.
R
Ответьте на следующие вопросы. Как
изменится величина угла а, если изменить
радиус окружности? Чему равна величина

28
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
развернутого угла? Чему равна величина
прямого угла? Как получить угол,
величина которого равна 1 (он-то и называется
радианом)? Проверьте, что угол, равный
а, равен а радиан.
д) Найдите площадь круга (рис. 4, а),
разрезав его на узкие сектора и считая их
треугольниками (узкий сектор
действительно очень похож на треугольник — его
основание столь мало, что «не успевает»
заметно искривиться.) Аналогичным
образом найдите площадь сектора, а затем и
сегмента.
а)
Рис. 4
е) Пусть величина угла равна а рад.
(рис. 4, б) и в то же время п°. Найдите
формулу, связывающую величины а и п.
ж) Сколько градусов в одном радиане?
Сколько радиан в одном градусе?
з) Угловой скоростью (равномерно
вращающегося колеса, например) называется
отношение угла а, на который
повернулось колесо, ко времени, за которое этот
поворот был совершен: со = — (угловая
скорость — характеристика быстроты
вращения). Введем еще «градусную» угловую
Q = —. Найдите связь между
скорость:
со и Q. Найдите формулу, связывающую
угловую скорость ш со скоростью I? точки
обода колеса радиуса R и формулу,
связывающую «градусную» угловую скорость Q
со скоростью v точки обода колеса
радиуса R. Какая из этих формул проще?
Решение, а) Правильный
шестиугольник (рис. 5, а) состоит из шести
правильных треугольников, поэтому
Р = 6а, d = 2a, X = — = — = 3.
d 2а
В правильном треугольнике (рис. 5, б)
Р = За, d = а, Х = — = — = 3.
d a
Рис. 5
В правильном восьмиугольнике АгА2..Л8
(рис. 5, в) рассмотрим треугольник ОАхА2.
По теореме косинусов
a2=A1A22=i?2+i?2-2i?i?cos45° =
л/2
= 2R2-2R2 — = Д2(2- V2),
откуда а =
Теперь
Р_8а _8Дл/2-У2
~ d ~ 2R ~ 2R
= W2-V2 » 3,06.
Vs
^5
О
R /\
/45° ^
R А
^^i
*7
в)
г)
Рис. 5
Заметим, что длину стороны -AjA2
можно было найти и без использования

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
29
тригонометрии (рис. 5, г). Поскольку
ОК = КА2=-^=, то
л/2 R г л \
KA1=OA1-OK = R--^ = R\ 1--^
v2 v v2
По теореме Пифагора
A1Ai=KA?+KAi=R2
}-ж
.Л.
= i?2fl-V2+|+|l = E2(2-V2),
откуда -AiAo Попытайтесь
самостоятельно найти характеристику X
правильного двенадцатиугольника.
(Ответ: Л = 6>/2-л/з =3(л/б->/2)«ЗД1.)
Теперь о характеристиках подобных
фигур. Пусть фигура Ф' подобна фигуре Ф
с коэффициентом подобия k.
Tor№P' = kP,d' = kdH X'-
Pf kP P
d' kd d
т.е. характеристики подобных фигур равны
б) Для половины круга (рис. 6, а)
. Р 1 + 2R nR + 2R я л . кгг
Х = — = = = — + 1 = 2,57.
d 2R 2R 2
Для четверти круга (рис. 6, б)
nR
К
d
п
1 + 2R
+ 2R
i?V2 R^2
л/2 = 2,52.
-+2 („ \
л/2 U
Рис. 6
Для фигуры, изображенной на рис. 6, в)
х-£-
2/
я
d Ry/2 Ry/2 V2
-2,22.
Можно заметить, что характеристика
окружности равна я, а характеристика
других фигур меньше я. Оказывается,
можно доказать, что характеристика
любой выпуклой фигуры не превосходит я.
Возникает вопрос: может ли
характеристика фигуры, отличной от окружности,
быть равной я? Чтобы ответить на него,
найдите характеристику X фигуры*,
изображенной на рис. 6, г). (Ответ: X = я.)
г)
Рис. 6
в) В школьном курсе планиметрии
изучается алгоритм деления угла с помощью
циркуля и линейки на две равные части.
Применяя этот алгоритм повторно, можно
разделить данный угол на 22, 23, ...
частей. Однако еще в XIX в. было доказано,
что разделить развернутый угол на 180
частей с помощью циркуля и линейки
невозможно.
Но в приведенном в задаче определении
и не идет речь о делении угла с помощью
циркуля и линейки. Не говорится в этом
1
определении и о том, как эту
180
часть
развернутого угла отложить или отмерить
каким-нибудь другим способом. Говорится
1
лишь о том, что градус — это часть
180
(доля) развернутого угла, т.е. что
развернутый угол в 180 раз больше градуса. А
что это значит? Можете ли Вы сказать, во
* Эта фигура называется треугольником Рело.

30
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3 /2009
сколько раз один звук громче другого или
во сколько раз борщ вкуснее котлеты?
Когда мы говорим, что величина у в 2 раза
больше величины х, т.е. у = 2х, то это
значит, что у = х + х. Если мы хотим
сказать, что один угол больше другого в
несколько раз, то сначала надо объявить,
что такое сложение углов и чему равна
величина суммы углов.
Назовем, как обычно, суммой углов
угол, получаемый прикладыванием одного
угла к другому. А как определить величину
угла? Приведем такой пример. Рассмотрим
окружность радиуса 1 с центром в вершине
угла (рис. 7, а) и определим величину угла
АОВ как длину хорды АВ. Вроде бы все
хорошо: чем «больше» угол, тем больше
хорда (в пределах развернутого угла).
Теперь посмотрим на рис. 7, б. Поскольку
АВ = 1, АС = л/3, AD = 2, то получается
ZAOB = 1, ZAOC = л/3, ZAOD = 2. Значит,
сумма трех равных углов ZAOB + ZBOC +
+ ZCOD имеет величину не в три, а в два
раза больше величины каждого из них.
Величина (мера) суммы трех углов оказалась
меньше суммы величин (мер)
составляющих эту сумму углов. Как говорят, такая
мера угла* неаддитивна**. С этим
явлением мы сталкиваемся и в жизни. Например,
килограммовая упаковка товара стоит, как
правило, меньше, чем две
полукилограммовых.
1
с***-—-^д
а)
б)
Рис. 7
* Эту меру угла придумали средневековые
арабы.
**add (англ.) — складывать, прибавлять.
Вернемся к определению градуса. К то-
1
му, что градус — это угол, равный
180
развернутого угла, следует добавить, что
величина какого-нибудь угла
считается равной количеству градусов, которые
укладываются в этом угле.
И последнее — вопрос существования
1
180
развернутого угла. Интуитивно
ясно, что такой угол существует — этим и
ограничимся.
г) Сектор ОА!В' подобен сектору ОАВ
(рис. 8, а). Если коэффициент подобия
равен к, то R' = kR, V = kl и тогда
V kl I
а' = — = -
R' kR R
а.
I
Таким образом, отношение — не из-
R
меняется при изменении радиуса
окружности. Это значит, что отношение ос = —
R
зависит только от угла, а не от
окружности (она играет вспомогательную роль) и
поэтому характеризует угол. Определенная
таким образом величина (мера) угла
аддитивна, так как при прикладывании углов
(рис. 8, б) длины дуг складываются:
и после деления на R получаем
ZAOC = ZAOB + ZBOC.
Найдем величину развернутого угла
< о ч I TlR
(рис. 8, в) а = — = — = я;
R R
тогда величина
прямого угла равна
71
2"'
Рис. 8

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
31
Если величина угла равна 1, то — = 1,
R
т.е. I = R (рис. 8, г). Таким образом,
радиан — это угол, высекающий дугу, длина
которой равна радиусу.
l = nR
l = R
Рис. 8
Сравним угол, равный а, и угол,
равный а радиан. Для первого — = ос, т.е.
R
I = Ra. Второй угол получается
прикладыванием друг к другу а радианов. Каждый
из них высекает дугу длины R, а
вместе — дугу длины оси. Длины дуг
совпали — значит, углы равны.
д) Приведем два рассуждения.
Первое рассуждение. Каждый узкий
сектор практически является
треугольником, высота которого равна R (рис. 9, а).
Поэтому
о ~ Oj + 02 "Ь••• = —L^RН—*^R-Ь... =
1 1 о
= -R(l1+l2+...) = -R2nR = nRz.
Чем уже сектора, тем точнее
приближенное равенство. В пределе оно
становится точным: S = nR2.
Второе рассуждение. Сложим «ломти-
б)
Рис. 9
ки» так, как показано на рис. 9,6 —
получится «прямоугольник», поэтому площадь
круга равна площади прямоугольника,
основание которого равно половине длины
окружности, а высота равна радиусу
круга. Как вы думаете, какое из этих решений
нашел Архимед?
Площадь сектора найдем первым
способом (рис. 9, в)
о ~ oj + 02 +... = —L^RЛ—L^R +... =
R2a
= -R(U +L+...) = -Rl = -RRa =
2 2 2 2
В пределе получим точное равенство
R2a
Площадь сегмента (рис. 9, г):
*^сегм. — *^сект. _ ^АОАВ ~
R2a 1 „2 . R2, . ч
= R sma = —a-sma.
2 2 2
О
R
г)
Рис. 9
е) Найдем долю, которую составляет
наш угол (равный а рад или п°) от
развернутого угла (равного я рад или 180°).
Она равна, с одной стороны, —, с другой —
я
п an
, поэтому — = .
180 я 180
ж) Если угол —
Отсюда — =
я 180
радиан, то a = 1.
180
, п = .
Ответ: 1рад = [—] -57,3°.

32
HZ МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Если угол — градус, то п = 1 и тогда
1 я
ос =
а
я 180
180
я
Ответ: 1° = рад ~0,0175рад.
з) Подставим а = Ш и п = Ш в фор-
ос я (о* Ш
мулу
*:
я 180
со _ £2
^я~180"
я
180
и сократим на
Выведем формулу, связывающую v и
оз. Пусть за время t колесо повернулось
на угол а, точка на ободе прошла дугу
длины I.
т I Ra n a n
Тогда v = - = = R— = i?(0. Итак,
t t t
v = i?(0. Подставим сюда (О из предыдущей
л. (ОЙ Я _ _
формулы — = , т.е. (0 = £2. Полу-
я 180 180
чим I? = i?(0 = R •
а
я
180"
Ответ: и = Лсо, и =
я
180
да
Ясно, что первая формула проще.
Сравнение этих формул и объясняет,
почему физики и математики
предпочитают пользоваться радианной мерой углов:
формулы получаются без «корявого» ко-
я
эффициента
180
Задача 62. Глядя на рис. 10, мы говорим,
что изображен куб. А что же это такое —
А С,
D
Вг
В
Рис. 10
изображение куба? Это его так называемая
параллельная проекция. Представьте себе,
что куб изготовлен из проволоки
(каркасный куб), он висит в пространстве и
освещается солнечным светом, т.е.
параллельными лучами. Тень этого куба, падающая
на какую-либо плоскость и есть
параллельная проекция куба. Когда в задании
сказано: «постройте сечение куба», то это
значит, что в плоскости изображения надо
выполнить построения, которые дают
изображение сечения*.
В пунктах а)-г) требуется построить
сечения куба ABCDAJifiJ)^ проходящие
через точки:
а) А, С и Сг; б) А19 С и середину
ребра АВ;
в) А и середины ребер ССг и С^;
г) середины ребер АА19 ВС и CJ)^
В задачах д), е) дано изображение
тетраэдра и требуется построить
изображение сечения, проходящего через
указанные точки.
д) См. рис. 11.
Рис. 11
Рис. 12
е) См. рис. 12; точка R находится на
обратной (невидимой) стороне тетраэдра.
ж) Дано изображение правильного
октаэдра (рис. 13). Постройте сечение октаэдра
плоскостью, проходящей через середины
указанных ребер (точка R находится на
невидимом ребре).
* Не путать с задачами на построения в
пространстве.

1=11 ПРОВЕРЬ СЕБЯ
33
Рис. 13
Решение. При построении сечений
куба следует пользоваться тем, что плоскость
сечения пересекает параллельные грани по
параллельным прямым.
а), б), в) см. рис. 14, а, б, в.
А С,
л^
В
а)
ь~
В
в)
г)
Рис. 14
г) Рассмотрим вертикальную плоскость,
проходящую через точки Р и Q (рис. 14, г).
Проекции А и N точек Р и Q на
плоскость нижней грани куба тоже лежат в
этой плоскости. Поэтому в плоскости со
лежат прямые PQ и AN, а вместе с ними
и точка М пересечения этих прямых. Мы
построили точку М, которая, во-первых,
лежит на прямой PQ и, следовательно,
принадлежит плоскости сечения, а во-
вторых, лежит в плоскости нижней грани
куба. Другими словами, точка М — одна
из точек пересечения плоскости сечения и
плоскости нижней грани куба. Поскольку
нам известна еще одна такая точка — R,
то MR — прямая, по которой секущая
плоскость пересекает плоскость нижней грани
куба. Проверьте самостоятельно, что MR
пересекает отрезок АВ в его середине U.
Затем проводим QF||PC/, PS \\ RV. В
сечении получается шестиугольник PURVQS,
все вершины которого являются
серединами ребер куба. Проверьте, что этот
шестиугольник — правильный. Попробуйте
доказать, что прямые PS, AD> MR
пересекаются в одной точке.
д) Пусть Т — точка пересечения BD
и QR (рис. 15). Эти прямые лежат в
плоскости грани BCD, поэтому
пересекаются или параллельны. Так как Т е QR, то
Т лежит в плоскости сечения. Но в то же
время Т е BD, поэтому Т лежит в
плоскости грани ABD. Теперь в этой
плоскости мы знаем две точки плоскости
сечения — Р и Ту вследствие чего TPS —
прямая, по которой плоскость сечения
пересекает грань ABD. Мы построили
сечение PQRS. Если бы оказалось QR \\ BD,
то было бы PS || BD (почему?).

34
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
е) Проведем ВР и BQ (рис. 16). Эти
прямые пересекут ребра AD и CD в
точках U и V соответственно. Рассмотрим
вспомогательную плоскость BUV. Эта
плоскость пересекается с плоскостью
сечения по прямой PQ. Пусть Т — точка
пересечения прямых PQ и UV. Точка
Т лежит на прямой PQ, поэтому она
лежит в плоскости сечения. В то же время
Т лежит на прямой UV, и поэтому она
лежит в плоскости грани ACD. Но как
раз на грани ACD и дана третья точка R
сечения. Поэтому TR — прямая
пересечения секущей плоскости и плоскости грани
ACD. Остальные построения очевидны,
сечение — MNKL.
Рис. 16
ж) Отрезок PR пересекает плоскость
ABCD (рис. 17) в точке, лежащей на
отрезке SQ, соединяющем середины ребер
AD и ВС (докажите это самостоятельно).
Поэтому SQ лежит в плоскости сечения.
Далее RV, PU \\ SQ и в сечении
получается шестиугольник, все стороны которого
равны половине ребра исходного октаэдра.
Проверьте самостоятельно, что этот
шестиугольник — правильный.
Это уже второй встретившийся нам
правильный шестиугольник (первый получился
в сечении куба плоскостью, тоже проходящей
через середины ребер — см. рис. 14, г).
Е
->С
Не связаны ли друг с другом эти
сечения? Оказывается, можно так совместить
куб и октаэдр, что они будут иметь общее
шестиугольное сечение. Эта конструкция
изображена на рис. 18, причем куб
изображен сплошным, а октаэдр — каркасным
(т.е. как бы сделанным из проволоки).
Рис. 18
-*>з*$£&~>-

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
В.И.Рыжик
ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ
Продолжение. Начало см. в № 2 за 2009 г.
Двугранный угол
как фигура
Полезно знать простейшие свойства
двугранного угла. Некоторые из них можно
доказать, используя полученные
формулы. При этом меня интересуют двугранные
углы, взятые не только сами по себе, но и
тогда, когда их можно рассматривать как
части трехгранного угла.
Задача 17. Точка находится внутри
двугранного угла. Докажите, что существует
плоскость, в которой лежат эта точка и ее
проекции на грани двугранного угла и на
его ребро.
Задача 18. Имеется двугранный угол.
Проведены биссектор1 этого угла, а также
плоскость, перпендикулярная биссектору.
Эта плоскость пересекает грани угла по
пересекающимся прямым. Тогда эти
прямые пересекают ребро двугранного угла
под равными углами. Докажите.
Проверьте обратное.
Задача 19. Докажите, что каждый
плоский угол трехгранного угла меньше
суммы двух других его плоских углов.
Биссектор двугранного угла — аналог
биссектрисы плоского угла; это полуплоскость,
границей которой является ребро
двугранного угла и которая делит угол пополам.
Задача 20. В трехгранном угле против
большего плоского угла лежит больший
двугранный угол, и наоборот. Докажите.
Задача 21. В трехгранном угле все
плоские углы при вершине — прямые.
Некоторая плоскость пересекает все его грани
по треугольнику. Если она образует с
двумя гранями равные углы, то этот
треугольник — равнобедренный. Докажите. Можно
ли обобщить это утверждение? А что
можно будет доказать, если плоскость
пересекает все грани под равными углами?
1 Задача 22. (Признаки равенства дву-
I гранных углов.) Одноименные (одинако-
| вого вида) двугранные углы равны, если:
| а) плоскости их граней соответственно
| параллельны; б) плоскости их граней со-
1 ответственно перпендикулярны, а ребра
I параллельны. Докажите.
f Задача 23. (Признаки равенства дву-
1 гранных углов, являющихся частями
1 ?
I трехгранных углов .) а) Двугранные углы
I равны, если они лежат против равных пло-
I ских углов трехгранного угла, б) Двугран-
! ные углы соответственно равны, если они
2 Два трехгранных угла называются равными,
если соответственно равны их плоские углы.
Можно также определить равенство
трехгранных углов на основе движения.

36
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ IIIZIII 3/2009
являются частями равных трехгранных
углов и лежат против соответственно
равных плоских углов.
Отдельно я выделю задачи на
построение, связанные с двугранными углами.
Задачи на построение как таковые
обычно встречаются при построении сечений
многогранников. Здесь надо точно
понимать задание. Построение в пространстве
отличается от построения на плоскости.
Построить фигуру в пространстве — значит
доказать существование такой фигуры,
исходя из того, что какие-то построения
считаются выполнимыми на основании
аксиом стереометрии или в результате сведения
задачи к построению на плоскости.
Возможно также доказательство
существования на основании принципа
непрерывности. Его суть такова. Пусть имеется
линия в пространстве. Пусть нас
интересует величина U (длина, угол, площадь,
объем), зависящая от положения
переменной точки X на этой линии. Пусть для
каких-то точек А и В этой линии
(соответствующих различным положениям
точки X) ЩА) < а и ЩВ) > ос, где а —
неотрицательное вещественное число. Тогда в
какой-то точке С этой линии выполняется
равенство U(C) = ос.
Замечание 12. В принципе
непрерывности под U(A) и U(B) понимаются
численные значения величины U.
Замечание 13 (для знатоков). Здесь
неуместно строгое толкование понятия
линии. На интуитивном уровне оно таково:
линия — это след непрерывно
движущейся точки.
Когда существование фигуры доказано,
предполагается исследование, т.е.
выяснение того, сколько решений имеет задача и
всегда ли построение возможно.
Задача 24. Из точки, отмеченной на
ребре двугранного угла, в одной из граней
проведен луч. Постройте в другой грани
этого угла луч: а) перпендикулярный
первому лучу; б) образующий с данным лучом
заданный угол.
Решение, а) Пусть дан двугранный
угол с ребром АВ (дан — означает, что
задана его мера) и известно, что луч ОС с
вершиной О на ребре АВ лежит в одной
из граней и образует с лучом ОА угол а
(пусть для определенности этот угол
будет острым). Нужно найти в другой грани
такой луч OD, что угол COD — прямой
(рис. 1).
СО ±OD
Рис. 1
На этом рисунке мы видим
трехгранный угол с вершиной О и ребрами ОС,
ОА, OD. Для решения задачи достаточно
найти угол х между лучами OD и ОА
[?]. Он без труда находится по формуле (1)
(см. первую часть статьи в № 2 за 2009 г.).
Учитывая, что угол COD — прямой,
получим [?]:
-COSXCOS0C
cos А = = -ctgxctgoc.
sin x sin a
- 1 cosA
Отсюда ctgx = . (Как всегда, наи-
ctgcc
дя тригонометрическую функцию угла, мы
считаем, что найден и сам угол.)
Из последнего равенства ясно, что
задача имеет решение, причем одно, когда
котангенс существует и отличен от нуля. А
имеет ли она решение в других случаях?
Эта задача решается и на основе
принципа непрерывности. В самом деле, будем
поворачивать луч ОС в плоскости ABC

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
37
вокруг точки О от положения ОА до
положения ОВ (см. рис. 1). Пусть вначале
угол между лучом ОС и произвольным
лучом OD другой грани будет меньше 90°,
а затем больше 90°. Значит, при каком-
то положении он будет равен 90°. В этом
решении есть что додумать [?].
Есть и такое решение (как говорят, «на
пальцах»). Построим в плоскости ABC
луч ОК такой, чтобы он образовывал с
лучом ОС прямой угол, а затем начнем
его поворачивать в пространстве вокруг
прямой ОС. Положение, при котором
луч ОК окажется в другой грани нашего
двугранного угла, и будет соответствовать
искомому положению луча OD.
Симпатичное решение, не правда ли? Но опять
же в нем есть что додумать [?].
Задача решена, но где же находится
нужный нам луч? Хотелось бы его, так
сказать, увидеть своими глазами или, как
говорят математики, получить
конструктивное решение задачи. Иными словами,
хочется иметь готовый алгоритм —
последовательность уже известных построений в
пространстве, приводящих к решению. А
такой алгоритм существует. Может быть,
вы найдете его сами?
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями и двугранный
угол в чем-то похожи (хотя бы тем, что оба
называются углами), а в чем-то различны.
Различие в том, что двугранный угол
«двуличен» (то ли величина, то ли фигура), а
угол между плоскостями — только
величина. Различие еще и в том, что двугранный
угол — величина заключен в границах от
0° до 180°, а угол между плоскостями —
в границах от 0° до 90°. (Такие сходство
и различия полностью соответствуют тому,
как обстоят дела на плоскости, когда мы
говорим об угле между прямыми и угле
между двумя лучами с общей вершиной.)
Прежде чем перейти к вычислению угла
между плоскостями, предлагаю несколько
«проверочных» вопросов, в поисках
ответов на которые вы можете потренировать
свое пространственное мышление.
Желательно при этом не делать рисунка.
1. Верно ли утверждение — «Если две
плоскости пересекаются, то биссектраль-
ные плоскости двугранных углов,
образованных ими, взаимно
перпендикулярны»?
2. Верно ли утверждение — «Две
плоскости параллельны тогда и только тогда,
когда есть такая плоскость, которая
пересекает их под равными углами»?
3. Три плоскости расположены так, что
каждые две пересекаются, причем прямые
пересечения параллельны между собой.
Одна из этих плоскостей образует с двумя
другими угол ф. А какой угол образуют
между собой эти две другие плоскости?
4. Две плоскости взаимно
перпендикулярны, а третья плоскость образует с одной
из них угол ф. Можно ли найти угол,
который она образует со второй из данных
плоскостей?
5. Верно ли утверждение — «Если три
плоскости попарно перпендикулярны, а
четвертая плоскость образует с каждой из
них один и тот же угол, то этот угол равен
45°»?
6. Верно ли утверждение —
«Существует плоскость, которая пересекает
плоскости всех граней куба под одним и тем же
углом»?
7. Верно ли утверждение — «Если в
правильной пирамиде угол между
плоскостью боковой грани и плоскостью
основания уменьшается, то уменьшается и угол
между плоскостями смежных боковых
граней»?
8. Две плоскости проходят через центр
симметрии цилиндра и каждая из них
пересекает его основание под углом ф.
Какой угол эти плоскости бразуют между
собой?
I

9. Плоскость проходит через
образующую поверхности равностороннего конуса
(иногда говорят, «является касательной к
поверхности конуса»). Какой угол она
образует с плоскостью основания?
10. Две плоскости проходят через
вершину конуса и каждая из них пересекает его
основание под углом ф. В каких границах
лежит угол между этими плоскостями?
11. В четырехугольной пирамиде PABCD
с квадратным основанием ABCD ребро
РА перпендикулярно основанию и равно
его стороне. Верны ли такие
утверждения: а) угол между плоскостями РАВ и
PAD равен углу BCD; б) угол между
плоскостями РВС и ABC равен углу АСР;
в) угол между плоскостями CAB и РАВ
равен углу РВС; г) угол между
плоскостями РАС и АРВ равен углу между
плоскостями САР и DAP; д) угол между
плоскостями DOP и ОРС равен углу COD
(точка О - центр квадрата ABCD); е) угол
между плоскостями РАС и РАВ равен
45°; ж) угол между плоскостями DAC и
PC В равен 45°?
12. На столе стоит сосуд в форме
равностороннего цилиндра4, наполовину
наполненный водой. На какой максимальный
угол можно наклонить сосуд, но так,
чтобы вода из него не выливалась?
Существует несколько способов
нахождения угла между плоскостями.
Вычисление угла
между плоскостями
с помощью двугранного угла
При пересечении двух плоскостей
образуются четыре двугранных угла и среди
них два различных (по величине) в том
Равносторонний конус - конус, осевым
сечением которого является равносторонний
треугольник.
4 Равносторонний цилиндр - цилиндр, осевым
сечением которого является квадрат.
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 3/2009
| случае, когда плоскости не взаимно пер-
| пендикулярны. Если найден (с помощью
I тригонометрических функций, чаще всего
j косинуса) тупой двугранный угол, то в ка-
! честве угла между плоскостями надо взять
! угол, дополняющий найденный двугран-
1 ный угол до 180°.
I Выделю две ситуации, которые могут
j возникнуть при нахождении угла между
I плоскостями с помощью двугранного угла:
* когда на рисунке есть линия пересечения
I плоскостей и когда ее нет. Вот примеры.
I
| Задача 25. Дан куб ABCDA^C^. Вы-
] числите угол между плоскостями AXDB и
j CXDB.
\ Здесь явно просматривается двугранный
| угол с ребром BD (см. рис. 15 из первой
j части статьи).
I
j Задача 26. Дана правильная четырех-
| угольная пирамида PABCD с вершиной Р.
! Боковая грань образует с плоскостью осно-
j вания угол а. Чему равен угол, который
| образуют между собой плоскости противо-
| положных боковых граней пирамиды?
I Подсказка. Рассмотрите, к примеру,
j плоскости PAD и РВС. Прямая пересече-
! ния этих плоскостей проходит через точку
; Р и параллельна прямым AD и ВС [?].
! Эта прямая будет ребром двугранного угла
= с гранями PAD и РВС. Здесь несложно
построить линейный его угол (см. рис. 20
из первой части статьи).
Кстати, а как обосновать, что такой же
угол образуют плоскости РАВ и PCD1
Бывает так, что линия пересечения
* двух плоскостей не вполне
просматривается. При этом одна общая точка на рисунке
есть, но с прямой пересечения —
проблемы. Вот как в такой задаче.
Задача 27. Чему равен угол между
плоскостями PAD и QCD в правильном
октаэдре PABCDQ (рис. 2)?

39
АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
Q
Рис. 2
Или в такой задаче.
Задача 28. Чему равен угол между
плоскостями двух равных круговых сечений
шара радиуса R, если расстояние между
центрами этих сечений равно d, а сами
сечения имеют одну общую точку?
Или в следующей задаче.
Задача 29. В четырехугольной
пирамиде PABCD основанием является равнобо-
кая трапеция ABCD с углом ф при
большем основании AD, боковые грани РАВ
и PCD перпендикулярны основанию.
Чему равен угол между плоскостями РАВ и
PCD1
Еще более замысловатая ситуация
возникает тогда, когда на рисунке нет ни общей
для плоскостей прямой, ни общих точек.
Задача 30. Чему равен угол между
плоскостями двух круговых сечений шара
радиуса R, если расстояние между центрами
этих сечений равно d, а расстояние между
сечениями равно а?
Задача 31. Дана правильная
треугольная призма ABCA^fi^ у которой все
ребра равны. Проводятся два ее сечения
плоскостями ABL и АлВуК (точки К и L
находятся на ребре СС^) и угол между
плоскостью ABL и плоскостью нижнего
основания призмы равен углу между
плоскостью АуВуК и плоскостью верхнего
основания призмы. В каких границах
заключен угол между плоскостями ABL и
А.В.К?
Подсказка. Ответ вроде бы ясен из
наглядных соображений, но с его
обоснованием возникают некие трудности, так как
необходимо доказать монотонность
искомого угла по мере роста данного. Здесь
надо быть внимательными — как говорилось
ранее, угол между плоскостями не всегда
совпадает с двугранным углом.
Вычисление угла
между плоскостями
с помощью нормалей
Несложно доказать, что угол между
плоскостями равен углу между нормалями
к этим плоскостям. Мы это почти сделали,
говоря о двугранных углах (см. рис. 14 из
первой части статьи). Нормали можно
рисовать в любом «удобном» месте, они не
обязаны иметь общую точку, а потому мы
можем рассматривать угол между
скрещивающимися прямыми. Вернитесь к
задаче 28 о сечениях шара (рис. 3).
Задача 32. Дана треугольная призма
ABCA^fi^ у которой боковые грани —
квадраты. Чему равен угол между
плоскостями, одна из которых проходит через
вершины В, Сг и точку К — середину
ребра АА19 а другая проходит через
вершины С, Ах и точку L — середину ребра
ВВ1 (рис. 4)?
Подсказка. Заметьте, что плоскость
CAXL перпендикулярна прямой АС19 а

40 ~J=:^Z=^^
плоскость ВСХК перпендикулярна
прямой ВгС. Искомый угол равен углу между
скрещивающимися прямыми ВгС и АСХ.
М Д,
Задача 33. В четырехугольной
пирамиде PABCD основанием является ромб
ABCD с углом 60° при вершине А.
Боковое ребро РВ перпендикулярно плоскости
основания. Чему равен угол между
плоскостями PCD и ABC?
Задача 34. В тетраэдре DABC
противоположные ребра попарно равны. АВ = CD =
= 4, ВС =AD = 5, CA = BD = 6. Чему равен
угол между плоскостями ABC и DBC?
Рис. 5
Подсказка. Проведите высоты
треугольников: ААХ в грани ABC и DDX в грани
DBC (рис. 5). Отрезок A1D1 — общий
перпендикуляр скрещивающихся прямых АА1
и DDX. Примените формулу 6V = abhsinф
к тетраэдру DAA1D1 (V — объем тетраэдра,
а — длина ребра АА19 Ъ — длина ребра
DD19 h — расстояние между прямыми ААХ
и DD19 а ф — угол между ними).
АТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ГНИ 3/2009
Вычисление угла между
плоскостями с помощью
параллельного переноса
Известно, что угол между плоскостями
инвариантен относительно параллельного
переноса. Иначе говоря, угол между
плоскостями не меняется, если одну из них
(или даже обе) перенести параллельно в
другое место (рис. 6).
ос IIP,
Zay = ZPy
Рис. 6
Это соображение помогает в решении
некоторых задач. Вот пример.
Задача 35. Дан правильный октаэдр
PABCDQ (см. рис. 2). Чему равен угол
между плоскостями AQD и DCP?
Подсказка. Плоскость AQD
параллельна плоскости СРВ [?]. Осталось
найти угол между плоскостями СРВ и DCP,
что несложно сделать.
Задача 36. Дан правильный тетраэдр.
Чему равен угол между плоскостями,
каждая из которых параллельна двум
скрещивающимся его ребрам?
Подсказка. В качестве таких
плоскостей возьмем плоскости, которые
пересекают тетраэдр по квадрату. Нормалями к
ним буду прямые, проходящие через
середины противоположных ребер (рис. 7).

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
41
К, L, М, N, P, Q-
середины ребер
Рис. 7
Задача 37. Чему равен угол между
плоскостью основания цилиндра и плоскостью
его сечения, пересекающей образующие
под углом ф?
Вычисление угла между
плоскостями с помощью
проектирования
Этот способ такой же, что и при
вычислении двугранного угла с помощью
проектирования (см. первую часть статьи).
Задача 38. АВСА1В1С1 — правильная
треугольная призма с ребром, равным 2.
Точка К — середина ребра ВВ19 точка
L — середина ребра ВС. Чему равен угол
между плоскостями АСАг и ALK?
Подсказка. Спроектируйте треугольник
ALK на плоскость АСАг.
(Окончание следует.)
Е.В.Потоскуев
О ПОСТРОЕНИИ
СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Окончание. Начало civl в № 2 за 2009 г.
Некоторые специальные
методы построения сечений
многогранников
Мы строили плоские сечения
многогранников лишь на основании аксиом и теорем
стереометрии. Вместе с тем существуют
определенные методы построения плоских
сечений многогранников. Наиболее
эффективными в школьном курсе геометрии
являются следующие три метода:
1) метод следов;
2) метод внутреннего проектирования;
3) комбинированный метод.
Рассмотрим каждый из них на
примерах.
1. Метод следов
Й Определение. Прямая, по которой
секущая плоскость а пересекает
плоскость основания многогранника,
^шт^ называется следом плоскости а в
*—' плоскости этого основания.
Из определения следа получаем: в
каждой его точке пересекаются прямые, одна
из которых лежит в секущей плоскости,
другая — в плоскости основания.
Именно это свойство следа используют при
построении плоских сечений многогранников
методом следов. Причем в секущей
плоскости удобно использовать такие прямые,
которые пересекают ребра многогранника.

42
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
Сначала секущую плоскость зададим
ее следом в плоскости основания призмы
(пирамиды) и точкой, принадлежащей
поверхности призмы (пирамиды).
Задача 5. Построить сечение призмы
ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью а, которая
задана следом I в плоскости ABC
основания призмы и точкой М, принадлежащей
ребру DDX.
Решение. Анализ. Предположим, что
пятиугольник MNPQR — искомое сечение
(рис. 9). Для построения этого плоского
пятиугольника достаточно построить его
вершины N, Р, Q, R (точка М дана) —
точки пересечения секущей плоскости а
с ребрами соответственно СС19 ВВ19 АА19
ЕЕг данной призмы.
Рис. 9
Для построения точки N = ос п ССХ
достаточно построить прямую пересечения
секущей плоскости а с плоскостью грани
CDDfi^ Для этого, в свою очередь,
достаточно построить в плоскости этой грани
еще одну точку, принадлежащую секущей
плоскости а. Как построить такую точку?
Так как прямая / лежит в плоскости
основания призмы, то она может пересекать
плоскость грани CDDXCX лишь в точке, которая
принадлежит прямой CD = (CDDJ n (ABC),
т.е. точка X = I n CD = / n {CDDX)
принадлежит секущей плоскости а. Таким
образом, для построения точки N — ос п ССХ
достаточно построить точку X = I гл CD.
Аналогично, для построения точек
Р= ос п ВВ19 Q = ос п ААХ и Д = ап ЕЕг
достаточно построить соответственно
точки: У=/пБС, Z = lnAB и Т = 1пАЕ.
Отсюда
Построение. Строим (рис. 10):
l.X = lnCD (рис. 10, б);
2. N = MX n ССХ (рис. 10, в);
3. У = I n ВС (рис. 10, г);
4. Р = NY n ВВХ (рис. 10, д);
5. Z = I глАВ (рис. 10, е);
6. Q = PZ n ААг (рис. 10, ж);
7. Г = / п А£ (рис. 10, з);
8. Д = QT n ЕЕг (рис. 10, и).
Пятиугольник MNPQR — искомое
сечение (рис. 10, к).
Доказательство. Так как прямая / —
след секущей плоскости а, то точки
X = I nCD, У = / п ВС, Z = I n AB и
Т = I гл АЕ принадлежат этой плоскости.
Поэтому имеем:
М € ос, X е ос => MX с а,
тогда MX n CCi = JV е а,
значит, N = а п ССХ;
N g ос, У g ос => ЛГУ с а ,
тогда ЛГУ п ББХ = Р е а,
значит, Р = ап ДВХ;
Р g ос, Z g ос =» PZ с а,
тогда PZ n AAX = Qg а,
значит, Q = anAAX;
Q g ос, Г g a => QT с а,
тогда QT n ££х = Д e ос,
значит, i? = a n EE1#
Следовательно, MNPQR — искомое
сечение.
Исследование. След / секущей
плоскости а не пересекает основание призмы,
а точка М секущей плоскости
принадлежит боковому ребру DDX призмы.
Поэтому секущая плоскость а не параллельна
боковым ребрам. Следовательно, точки N,
Р, Q и R пересечения этой плоскости
с боковыми ребрами призмы (или продол-

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
Ex А
жениями этих ребер) всегда существуют. А
поскольку, кроме того, точка М не
принадлежит следу U то определяемая ими
плоскость а единственна. Это означает,
что задача имеет (всегда!) единственное
решение.
Задача 6. Постройте сечение
пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью,
которая задана следом I и внутренней
точкой К ребра РЕ.
Рис. 10

44 ==Z==^^
Решение. Схематически построение
искомого сечения можно изобразить так
(рис. 11):
7\ -> Q -> Т2 -> R -> Т3 -> М -> Т4 -> N.
Пятиугольник MNKQR — искомое
сечение.
«Цепочка» последовательности
построения вершин сечения такова:
1. Тг = I п АЕ; 2. Q = ТХК п РА;
3. T2 = lnAB; 4. Д = T2Q n PB;
5. Т3 = / о ВС; 6. М = Т3Д n PC;
7. Г4 = / n CD; 8. ЛГ = Г4М n PD.
Однако секущая плоскость часто
задается тремя точками, принадлежащими
многограннику.
В таком случае для построения
искомого сечения методом следов сначала строят
след секущей плоскости в плоскости
основания данного многогранника.
Рис. 11
Задача 7. Постройте сечение призмы
ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью а = (MPR),
где М, Р и R являются внутренними
точками соответственно ребер АА19 ССг и
ЕЕг (рис. 12).
Решение. Построим след секущей
плоскости а в плоскости основания ABC
данной призмы. Для построения этого
следа достаточно построить две любые его
точки. Такими точками являются точки
ГЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 11= 3/2009
пересечения плоскости основания данного
многогранника с прямыми, лежащими в
секущей плоскости.
Рис. 12
Прямая MR лежит в секущей
плоскости а = (MPR), a прямая АЕ — в
плоскости ABC основания данной призмы, при
этом эти прямые лежат в одной плоскости
(плоскости грани АЕЕ^А^) и
пересекаются. Точка 7\ = MR n АЕ является одной
из точек следа плоскости а в плоскости
основания призмы. Аналогично, точка
Т2 = PR n СЕ является второй точкой
этого следа. Тогда прямая ТХТ2 = I — след
секущей плоскости в плоскости основания
призмы. Далее осуществляем построения,
аналогичные построениям задачи 5. Строим
точки: 1) Т3 = I п АВ; 2) N = Т3М п ВВХ;
3) Т4 = I n BD; 4) Q = TAN n DDX.
Соединив отрезками последовательно точки
М, N, P, Q и R, получаем
пятиугольник MNPQR — искомое сечение данной
призмы, выделив его невидимые стороны
штриховыми линиями.
Аналогично строится сечение пирамиды
плоскостью, заданной тремя точками.
Замечание. На рис. 1 следом секущей
плоскости в плоскости основания
пирамиды является прямая XY. В задаче 2
(рис. 6) следом секущей плоскости в
плоскости основания пирамиды является
прямая LF, а в задаче 3 (рис. 7) таким следом
служит прямая ТХТ2.
МА1

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
45
Задачи
для самостоятельного решения
Задача 8. Секущая плоскость а
задана тремя точками М, Р, К (рис. 13).
Постройте след секущей плоскости в
плоскости основания треугольной призмы и
треугольной пирамиды, если:
а) точки принадлежат трем боковым
ребрам призмы (пирамиды, рис. 13, а, б);
б) две из них принадлежат боковым
ребрам, а третья — боковой грани (рис. 13, в, г);
в) две из них принадлежат боковым
граням, а третья - боковому ребру (рис. 13, д, ё).
Задача 9. Постройте сечение призмы
ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью а,
заданной следом т в плоскости основания и
точкой R, которая принадлежит ребру
DDX, если след: а) не имеет общих точек с
основанием призмы; б) проходит через
сторону АВ основания призмы; в) пересекает
стороны АЕ и ВС основания призмы.
Задача 10. Постройте сечение пирамиды
PABCDE плоскостью а, заданной следом
т и точкой R, которая принадлежит
ребру РЕ, если след т: а) не имеет общих
точек с основанием пирамиды; б) проходит
через сторону ВС основания; в)
пересекает стороны ВА и ВС основания.
Задача 11. Постройте сечение пирамиды
PABCDE плоскостью, заданной: а)
точками М, N, Q ребер соответственно PC,
РЕ, РА; б) точками, две из которых
принадлежат боковым ребрам, третья —
боковой грани.
Задача 12. Постройте сечение
пятиугольной призмы ABCDEA1B1C1D1E1
плоскостью, которая задана следом т,
проходящим через сторону АВ основания,
и точкой Р, принадлежащей ребру ССХ.
Точку Р выберите так, чтобы в сечении
получился: а) четырехугольник; б)
пятиугольник; в) шестиугольник.
Задача 13. Постройте сечение
пятиугольной пирамиды плоскостью, заданной
тремя точками, две из которых принадле-
е)

46
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3/2009
жат боковым ребрам, а третья
основания.
стороне
Задача 14. На рисунках 14—25 методом
следов постройте сечение куба плоскостью
MRP.
Метод
внутреннего проектирования
В некоторых учебных пособиях метод
построения сечений многогранников,
который мы сейчас будем рассматривать,
называют методом внутреннего
проектирования или методом соответствий, или
методом диагональных сечений. Мы
примем первое название. Сущность этого ме-
М
А~
*R
'
7
р
/
р
Г
i
7
)
м
Рис. 14
Рис. 15
R
РА
/
7
)
м
р
/\
/
Л
<
)
м
Рис. 18
Рис. 19
Д, R с.
Г
/
/
/
/
м
7
V
Ах
А
/Г
\в
А
/
/
/
7
м\
•
р/
D
Рис. 22
М е (ВВ.С,)
Рис. 23
тода рассмотрим на примерах построения
сечений пирамиды и призмы.
Задача 15. Постройте сечение
пирамиды PABCDE плоскостью а = (MFR), если
точки М, F и R являются внутренними
точками ребер соответственно PA, PC и
РЕ (рис. 26, а).
Решение. Плоскость основания
пирамиды обозначим р. Для построения искомого
сечения построим точки пересечения
секущей плоскости а с ребрами пирамиды.
Построим точку пересечения секущей
плоскости с ребром PD данной
пирамиды.
Плоскости APD и СРЕ пересекают
R
'л—
'
7
/
м
/Г
/R
/
С
м
71
/
Рис. 16
\р
Рис. 17
А
/
* •—
/
V
ЛГ~
/м
7
/
м
Рис. 20
А
А\
R
А
5, р
/ \ •м
1
с
f
7
D
Рис. 21
ВА С,
м
в
А*
ГА
р
D
М е (А.В.С,)
Рис. 24
М е (А.В.С,)
Рис. 25

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
47
плоскость Р по прямым
соответственно AD и СЕ, которые пересекаются в
некоторой точке К (рис. 26, в). Прямая
РК = (APD) n (CPE) пересекает прямую
FR с а в некоторой точке Кг: Кг = РК п Ли
(рис. 26, г), при этом J^ e а. Тогда:
М е ос, ^еа => прямая Mli^ с а.
Поэтому точка Q = МКг n PD (рис. 26, 5) есть
точка пересечения ребра PD и секущей
плоскости: Q = an PD. Точка Q —
вершина искомого сечения.
Аналогично строим точку пересечения
плоскости а и ребра РВ. Плоскости ВРЕ
и APD пересекают плоскость Р по
прямым соответственно BE и AD, которые
пересекаются в точке Н (рис. 26, е).
Прямая РН = (ВРЕ) n (APD) пересекает
прямую MQ в точке Н1 (рис. 26, ж).
Тогда прямая RH1 пересекает ребро РВ
в точке N = a n РВ — вершине сечения
(рис. 26, з).
Таким образом, последовательность
EL--
D
D
D
--\D
-\D

48 ZZZ==Z=ZZZ^^
«шагов» построения искомого сечения
такова:
1. К = AD n ЕС; 2. К, = РК n RF;
3. Q = ЛГй^ n PD; 4. Н = BE n AD;
5. НХ = РН n MQ; 6. ЛГ = ДЯХ п РВ.
Пятиугольник MNFQR — искомое
сечение (рис. 26, и).
Динамика построения этого сечения
пирамиды проиллюстрирована на рис. 26.
Задача 16. Постройте сечение призмы
ABCDEA1B1C1D1E1, плоскостью а,
заданной точками М € ВВ19 Р е DD19 Q е ЕЕХ
(рис. 27).
Решение. Обозначим: Р — плоскость
нижнего основания призмы. Для построения
искомого сечения построим точки
пересечения плоскости а = (MPQ) с ребрами призмы.
Построим точку пересечения плоскости
а с ребром ААХ.
Плоскости AXAD и ВЕЕ1 пересекают
плоскость Р по прямым соответственно
AD и BE, которые пересекаются в
некоторой точке К. Так как плоскости AXAD
и ВЕЕХ проходят через параллельные
ребра ААХ и ВВХ призмы и имеют общую
точку К, то прямая КК1 их пересечения
проходит через точку К и параллельна
ребру ВВХ. Точку пересечения этой прямой
с прямой QM (почему они пересекаются?)
обозначим: Кх= КК1 n QM, ККХ \\ ВВХ.
Так как QM с а, то К1 е а.
Рис. 27
ГЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 3/2009
Получили: Р € а, Кх е а => прямая
РК1 с а, при этом РК1 п АА1 = Д. Точка
i? служит точкой пересечения плоскости
а и ребра А4Х (R = а п ААХ), поэтому
является вершиной искомого сечения.
Аналогично строим точку N = а п ССХ.
Таким образом, последовательность
«шагов» построения искомого сечения
такова:
1. К =ADnBE;
2. Кг = ККХ n MQ, ККХ || ВВ,;
3. R = Pli^ nA4x;
4. Н = ЕС п AD;
5. Ях = ЯЯХ п РД, ЯЯХ || ССХ;
6. ЛГ = QH, n ССХ.
Пятиугольник MNPQR — искомое сечение.
Задачи
для самостоятельного решения
Задача 17. Постройте сечение
четырехугольной призмы плоскостью, заданной
тремя точками на ее боковых ребрах.
Задача 18. Постройте сечение
четырехугольной пирамиды плоскостью, заданной
тремя точками на ее боковых ребрах.
Задача 19. Постройте сечение
пятиугольной призмы плоскостью, которая
проходит через три точки, если: а) две из них
принадлежат боковым граням призмы, а
третья — ее боковому ребру, не
принадлежащему этим граням; б) две из них
принадлежат боковым ребрам призмы, а третья —
боковой грани, не содержащей эти ребра.
Задача 20. Постройте сечение пирамиды
PABCDE плоскостью, проходящей через
точки М и К, принадлежащие граням
соответственно АВР и ABC, и
внутреннюю точку бокового ребра РЕ.
Задача 21. Постройте сечение
пятиугольной призмы плоскостью, проходящей
через три точки, две из которых принадле-
МА1

ZZZZ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ ZZZZZZZZZZZZ
жат боковым несмежным граням, а третья
точка совпадает с вершиной нижнего
основания, не принадлежащей этим граням.
Задача 22. Методом внутреннего
проектирования постройте сечение куба
плоскостью MRP (рис. 14-25).
Комбинированный
метод
Сущность комбинированного метода
построения сечений многогранников состоит
в следующем. На некоторых этапах
построения сечения применяется или метод
следов, или метод внутреннего
проектирования, а на других этапах построения
этого же сечения используются изученные
теоремы о параллельности,
перпендикулярности прямых и плоскостей.
Для иллюстрации применения этого
метода рассмотрим следующую задачу.
Задача 23. Постройте сечение
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью а,
заданной точками Р, Q и R, если точка
Р лежит на диагонали АгС19 точка Q —
на ребре ВВ1 и точка R — на ребре DDX
(рис. 28).
Решение, а) Решим эту задачу с
применением метода следов и теорем о
параллельности прямых и плоскостей.
ziizzzrzzzz::zri::zz:z:~;: ::.:: ^zzzzzzz 49
Прежде всего, построим след секущей
плоскости а = (PQR) на плоскости ABC.
Для этого строим точки 7\ = PQ n РХВ (где
РРХ || АА19 Рг € АС) и T2 = RQn BD.
Построив след Т1Т2, замечаем, что точка Р
лежит в плоскости А^С^ которая
параллельна плоскости ABC. Это означает, что
плоскость а пересекает плоскость А1В1С1
по прямой, проходящей через точку Р и
параллельной прямой ТХТ2. Проведем эту
прямую и обозначим через М и Е точки
ее пересечения с ребрами соответственно
АХВХ и A1D1. Получаем: М = а п АХВХ,
Е = a n AXDX. Тогда отрезки ER и QM
являются сторонами искомого сечения.
Далее, так как плоскость ВСС1
параллельна плоскости грани ADD^Al9 то
плоскость а пересекает грань ВСС1В1 по
отрезку QF (F = а п ССХ)У параллельному
прямой ER. Таким образом,
пятиугольник ERFQM — искомое сечение. (Точку
F можно получить, проведя RF \\ MQ.)
б) Решим эту задачу, применяя метод
внутреннего проектирования и теоремы о
параллельности прямых и плоскостей.
Рис. 29
Пусть Н = AC n BD (рис. 29).
Проведя прямую НН1 параллельно ребру ВВХ
(Н1 € RQ), построим точку F: F = РН1 n CCV
Точка F является точкой пересечения
плоскости а с ребром СС19 так как РН1 с а.
Тогда отрезки RF и QF, по которым
плоскость а пересекает соответственно грани
CCJiJ} и ВСС1В1 данного параллелепи-

50
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
3 /2009
педа, являются сторонами его искомого
сечения.
Так как плоскость АВВ1 параллельна
плоскости CDD19 то пересечением
плоскости а и грани АВВХАХ является отрезок
QM (М € AjSj), параллельный отрезку
FR; отрезок QM — сторона сечения.
Далее, точка Е = MP n A1D1 является
точкой пересечения плоскости а и ребра
AXD^ так как MP с а. Поэтому точка
Е — еще одна вершина искомого сечения.
Таким образом, пятиугольник ERFQM —
искомое сечение. (Точку Е можно
построить, проведя прямую RE \\ FQ. Тогда
М = РЕ пА.В,.)
Задачи
для самостоятельного решения
Задача 24. Постройте сечение
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью
PQR, если Р € СС19 Q е DD19 R е АХВХ.
Задачу решите: а) методом следов; б)
методом внутреннего проектирования; в)
комбинированным методом.
Задача 25. Точки Р, Q и R взяты на
поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
следующим образом: точка Р лежит в
грани CCJiJ), точка Q — в грани AAJiJ),
точка R — на ребре ВВХ. Постройте
сечение параллелепипеда плоскостью PQR:
а) методом внутреннего проектирования;
б) комбинированным методом; в) методом
следов.
Задача 26. Точки Р, Q и R взяты на
поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
следующим образом: точка Р лежит в
грани CCJiJ), точка Q — в грани AAJiJ),
точка R — на прямой ВВХ (вне отрезка
ВВХ). Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью PQR: а) методом внутреннего
проектирования; б) комбинированным
методом; в) методом следов.
Задача 27. На ребрах А1В1 и DD1
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты
соответственно точки Р и К, а в гранях
DDfifi и AA^D^D — соответственно
точки Q и fi. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через
точку К параллельно плоскости PQR.
Задача 28. На поверхности
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки Р, Q и
R следующим образом: точка Р лежит на
диагонали C^D, точка Q — на диагонали
A^D, а точка R — на прямой АВ.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью
PQR, если отношения DP : DC19 DQ : DAX
и AR : АВ имеют соответственно
следующие значения: а) 1 : 2, 1:2, 1:2; б) 1 : 2,
1:3, 1:4; в) 1 : 3, 2:3, 2:3.
Литература
1. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия.
10 кл.: Учебник для общеобразовательных
учреждений с углубленным и профильным
изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.
2. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия.
10 кл.: Задачник для общеобразовательных
учреждений с углубленным и профильным
изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.
3. Потоскуев Е.В. Изображение
пространственных фигур на плоскости. Построение
сечений многогранников. Учебное пособие для
студентов физико-математического факультета
педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2004.
От редакции. Внимательные читатели наверняка заметили, что в первой части статьи
«Построение сечений» на рис. 7, з сечение «недостроено» - не хватает точки L = Т3К n PB
и, соответственно, треугольника LQK (недостающей части сечения). Приносим свои
извинения и предлагаем вам самостоятельно построить это сечение правильно.

НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА
И.С.Григорьева
ПУСТОТА, НАПОЛНЕННАЯ СМЫСЛОМ
Как известно, число ноль появилось гораздо позже других
чисел. Оно было порождено не обыденным мышлением, а
потребностями самой математики. Этот пример не единственен:
существуют и другие «крайние» понятия, которые нужны для
полноты и законченности теории. В силу своей непривычности,
они являются образцами той «сложной простоты», о которой мы
говорили в № 2 и 3 за 2008 г.
— Как живешь, Стефан?
— Ничего, развожу овец и коз.
— И сколько у тебя овец?
— Одна.
— А коз?
— Ну, этих поменьше.
«Нулевые» понятия возникли в
человеческом сознании достаточно поздно.
Например, само число «ноль» не существовало на
первых этапах развития математики. Его,
по-видимому, изобрели индусы при создании
позиционной системы записи чисел. Нуля
нет, скажем, в римской системе счисления,
а также в греческой буквенной записи,
перенятой древнерусскими математиками.
И действительно, для чего человек
придумал числа? Во-первых, для счета, а во-
вторых, для нумерации. А что «считает»
0? Ничто. Ясно, что такой объект нет
смысла пересчитывать.
При нумерации также счет идет с 1, а
не с 0: первый, второй, третий и т.д.
Более того, вы не будете
«пересчитывать» и один предмет.
— Соседка, Вы брали у меня два яйца, а вернули одно!
— Ах, извините, обсчиталась!
И даже понятие «первый»
предполагает, что объектов больше одного. Царь
Александр I стал Первым1 только после
того, как появился второй.
Соответственно, число «единица» — не
совсем такое, как другие. Действительно,
при счете предметов мы говорим «раз, два,
три, ...», а не «один, два, три, ...». Даже
грамматически слово «один» в русском
языке имеет другие свойства, чем
остальные числительные. Действительно, оно, в
отличие от остальных, изменяется по ро-
1 Впрочем, есть и исключения: Петр I был
«Первым» еще при жизни. Тем более, что
Петр II и Петр III практически не оставили
следа в истории. По-видимому, в данном
случае прозвище «Первый» означало не номер,
а скорее значимость и величие личности,
которые ощущались уже его современниками.
Как мы видим, слово «первый» имеет далеко
не только количественный смысл!

52 IZZTZZ^^^ ZZZHZ
дам (одна, одно) и даже по числам (одни)!
Из этого видно, что оно указывает не на
количество, а скорее на уединенность или
уникальность объекта (ср. «Один дома»).
Задача 1. В английском языке после
числительных (кроме 1) слова стоят во
множественном числе: one book, но two
books, three books, ... В татарском языке,
наоборот, в единственном числе: бер китап,
ике китап, оч китап. А в русском? В каком
числе стоит существительное в
словосочетании «три книги»?
Решение. На первый взгляд кажется,
что «книги» — это множественное число
от слова «книга». Проверим, однако, этот
факт на слове другого склонения
Одна книга
Две книги
Три книги
Четыре книги
Пять книг
Шесть книг
...
Один стул
Два стула
Три стула
Четыре стула
Пять стульев
Шесть стульев
...
Как мы видим, слово «книги» здесь
является родительным падежом
единственного числа, «чего?» — «книги». И только
начиная с 5 согласование
существительных происходит во множественном числе
(но также в родительном падеже).
Рассматривая эту таблицу, можно
сделать интересные наблюдения.
Числительные разбиваются на группы: {1}, {2, 3, 4},
{5, 6, ...}, то есть маленькие числа
«обрабатываются» языком по-другому. Кроме
того, число «два» немного отличается от
последующих: оно изменяется по родам.
Кстати, в русском языке прежде,
кроме единственного и множественного
числа, существовало еще и двойственное.
Оно употреблялось для парных предметов
(глаз, рук, ног и т.п.). В современном рус-
АТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 3/2009
ском языке от тех времен сохранилось
слово «оба», которое как раз обозначает два
объекта.
Это исследование позволяет сделать
предположение: в русском языке сначала
появились числа «один», «два», а потом и
остальные. Конечно, это только гипотеза,
однако она подтверждается исследованием
примитивных языков, в которых
числительные обозначаются как «один», «два»,
«много». Более того, в некоторых
случаях слово «два» происходит от выражения
«один и один».
Числа О и 1 в алгебре
В математике, как и в языке, числа 0
и 1 играют особую роль. Например, при
записи алгебраических выражений можно
написать 2х 4- 3, но не принято писать
2х 4- 0, Ох + 3 или Ijc - 2.2
Задача 2. Вынесите за скобки jc в
выражении х 4- ху.
Решение, х + ху = х(1 4- у).
Эта простая задача вызывает
затруднения у тех, кто только еще начинает
изучать алгебру. Почему? Потому, что при
раскрытии скобок мы получаем: х(1 4- у) =
= х • 1 4- ху, но единицу не пишем. При
обратном преобразовании нужно мысленно
добавить пропущенную единицу.
Как показывает опыт, из-за
пропущенных нулей и единиц страдают и старшие
школьники, и даже некоторые студенты.
Например, затруднение вызывает интеграл
\dx. По сути, это первообразная от
единицы (пропущенной в этой записи!). Но,
даже переписав пример в виде \lcbc, не все
могут его решить. Ведь надо догадаться,
что 1 = л:0. В таблице первообразных этот
интеграл является частным случаем \xndx
2 Заметьте, что для нуля приведены два
исключения, а для единицы — одно. Почему?
Об этом мы еще поговорим в упражнениях.
М

53
ZZZZ НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА ZZZZZZZZ
при п = 0. Как мы видим, в этом
примере причиной трудностей являются 0 и
1, которые не пишутся явно, но
предполагаются.
Особенно много трудностей возникает,
когда мы решаем задачу с параметрами,
где числа зашифрованы буквами.
Например, выражение ах + Ъ по виду —
двучлен. Но при конкретных значениях
коэффициентов оно может стать одночленом:
ах при Ь = 0 или Ь при а = 0.
Как мы видим, нулевые значения
бывают исключениями, для которых нужно
особое исследование.
Задача 3. Сколько решений может быть
у уравнения ах = Ь?
Решение. Если а Ф 0, то х = —, поэто-
а
му решение единственно. Если а = 0, то
уравнение приобретает вид 0 = 6. Если
число Ъ не равно 0, то это равенство
неверно, если же 6 = 0, то равенство
выполняется всегда (т.е. при всех х). Итак,
уравнение может иметь одно, ни одного
или бесконечное число решений.
Задача 4. Обращение в 0 одного из
коэффициентов уменьшает число членов
многочлена. Значит ли это, что при а = Ъ = 0
выражение ах + b станет «нульчленом»?
Решение. И да, и нет. Это выражение
будет просто равно 0, т.е. один-то член
записать придется. Но по свойствам этот
многочлен будет отличаться от других
многочленов нулевой степени. Если у
многочлена Р(х) = 2 корней нет, то у многочлена
Р(х) = 0 их бесконечное количество!
При решении последней задачи мы
учли, что на 0 нельзя делить. Случайно ли
то, что 0 обладает таким свойством? Вопрос
сам по себе бессмыслен: 0 — это
конкретное число, и свойство у него либо есть,
либо нет. Попробуем, однако, добавить в наш
вопрос некоторый смысл.
Групповые свойства О и 1
Ноль и единица являются ключевыми
понятиями не только в «синтаксисе», но и
в смысловой части математики.
Действительно, число 0 тесно связано со
сложением: для любого а имеем 0 4- а = а. Для
умножения такую же роль играет единица:
1 • а = а.
Эти простые свойства можно считать
определением нуля и единицы. Причем
совсем не обязательно считать их числами!
Если мы научились складывать какие-то
объекты, то можем искать среди них нуль
(нулевой элемент). Обозначим его через Э,
чтобы не путать с числом 0.
В качестве примера рассмотрим
геометрические векторы. Их, как известно,
можно складывать, например, по правилу
треугольника. Имеем АВ + ВС = АС. В
каком случае будет выполняться равенство
АВ + в = АВ? Если Э = ЯВ. Значит,
нулевой вектор Э — это вектор нулевой длины.
Складывать можно и другие
математические объекты. Например, строки чисел.
Сложение производится поэлементно:
(1, -2, 3) + (2, 2, 2) = (3, 0, 5).
Можно применять сложение и к более
неожиданным объектам, например, к
движениям плоскости. «Суммой» движений
будем считать их композицию, т.е.
последовательное выполнение.
О композиции отображений говорится
подробнее в [1]. Напомним только, что
обозначается она знаком «о»: запись gof
означает, что сначала применяется /, а потом
g-
Движение переводит одну точку
плоскости в другую. Пусть, например, /
переводит точку А в Al9 a g — точку Ах в А2.
Тогда композиция g of переводит А в А2.
Задача 5. Дана точка О. Поворот с
центром в О на угол а обозначим через Ra.
Чему равна «сумма» двух поворотов? Что

54 ::::;:: ' ■ : : :.:.:.;.
будет играть роль нуля для всех этих
движений?
Решение. Если повернуть плоскость
сначала на угол а, а потом на угол Р, то
в результате она повернется на угол а 4- р.
То есть $ oRa = Ra+$. Значит, «сумме»
поворотов соответствует сумма углов.
Соответственно, роль «нуля» будет играть поворот
на 0°, R°. Этот поворот ничего не двигает,
оставляет все точки на месте. Такое
преобразование называется тождественным:
оно переводит каждую точку в себя.
Задача 6. Покажите, что сумма сдвигов
есть сдвиг.
Решение. Сдвиг, или параллельный
перенос плоскости, определяется некоторым
вектором. Действительно, если при
параллельном переносе А переходит в А19 В —
в Вх и т.д., то все векторы AAl9 BR^, ...
совпадают между собой. Именно этот
общий вектор и задает перенос.
При переносе на вектор а точка А
переходит в точку Ах такую, что ААг = а.
Пусть первый перенос
определяется вектором а, а второй — Ъ. Тогда
ААг = а, Аг А2 = Ъ. Но в этом случае вектор
АА2 = ААг + АгА2 = а + Ь, т.е. является
постоянным, не зависит от выбора точки А.
Итак, «сумма» параллельных переносов
также есть параллельный перенос. Это ело'
жение аналогично уже не сложению чисел,
а сложению векторов.
Заметим, что два поворота R®, Ra
можно совершать в любом порядке, результат
от этого не изменится, В? ° Ra = Ra о R& =
= Ra+*.
То же верно и для двух сдвигов, так как
сумма векторов не зависит от порядка
слагаемых. Но это наблюдение выполняется
не всегда.
Задача 7. Прямые т и /
пересекаются в точке О. Чему равна «сумма» осе-
АТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ == 3/2009
вых симметрии относительно прямых т и /
(сначала т> потом I). Ав другом порядке?
Решение. Выберем произвольную точку
А. После первого отражения она перейдет
в А19 после второго — в А2. Расстояния
ОА, ОАх и ОА2 одинаковы. Угол АОАх
в 2 раза больше, чем угол АОВ, а угол
АхОА2 в 2 раза больше, чем угол АхОС,
поэтому угол АОА2 в два раза больше, чем
угол ВОС.
На рис. 1 мы рассмотрели частный
случай расположения точки А, когда Ах
попадает внутрь угла ВОС.
Рассмотрим другой случай, когда точка
Ах попадает внутрь угла СОВх (рис. 2).
Угол АОАх равен удвоенному углу АОВх,
а угол АхОА2 — удвоенному углу АхОС.
Значит,
ZAOA2 = 2n- 2ZAOBx - 2ZAxOC =
= 2(я - ZAOBx - ZAxOQ =
= 2(я - ZAxOBx - ZAxOC) = 2ZBOC.
Можно проверить, что и в остальных
случаях ZAOA2 = 2ZBOC. Таким образом,
искомая «сумма» есть вращение на угол
2ZBOC.
Впрочем, можно не проверять все
случаи, если воспользоваться общей
теорией движений плоскости. Доказано, что
движение, имеющее неподвижную точку
(в данном случае О) и не меняющее
направление обхода, есть вращение.
Симметрия меняет направление (переворачивает
плоскость «изнанкой»), а две симметрии
возвращают ее на прежнее место. Значит,
М

НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА
55
«сумма» есть вращение вокруг О (на угол
2ZBOC).
Если поменять порядок симметрии, т.е.
отражать сначала от /, а потом от т, то
«суммой» будет вращение на угол 2Z.COB,
т.е. в обратную сторону!
Итак, наша «сумма» зависит от порядка
«слагаемых».
В наиболее общем виде подобные
операции исследуются в математической теории
групп.
0 Определение 1. Пусть в множестве G
задано сложение, т.е. каждой паре
элементов а и Ъ из G сопоставлен
некоторый элемент с из G, назы-
L-J ваемый их суммой, с = а + Ь. Пусть
эта операция удовлетворяет
следующим свойствам:
1. Для любых а, Ь и с выполняется
(а + Ь) + с = а + (Ь + с) —
сочетательный закон, или ассоциативность;
2. Существует элемент Э такой, что
а 4- Э = а для любого а.
3. Для каждого а существует
единственный элемент -а такой, что а 4-
4- (-а) = Э. Он называется
противоположным к а.
Множество G в этом случае
называется группой относительно сложения.
Задача 8. Что играет роль нуля в группе
движений?
Решение. Это тождественное
преобразование, при котором каждая точка
переходит сама в себя. Обозначим его 8.
Тогда для любого преобразования ф имеем
6 о ф = ф о £ = ф.
Несмотря на то, что сложение движений
не перестановочно, тождественное
преобразование Э является нулем и «справа», и
«слева».
Последнее свойство не случайно: в теории групп
доказывается, что ноль в группе всегда один и что
«правый» ноль является также и «левым».
Композицию движений чаще называют
не «сложением», а «умножением». В этом
случае роль нуля играет единица, т.е.
тождественное преобразование можно назвать
единичным. Поэтому мы и обозначили его
символом е, т.е. греческой буквой е. В
такой терминологии вместо
«противоположного» элемента используется термин
«обратный».
Задача 9. Перепишите аксиомы группы
в терминах умножения.
Решение. Определение «группы по
умножению» таково:
Пусть в множестве G задано
умножение, т.е. каждой паре элементов а и Ъ из
G сопоставлен некоторый элемент с из
G, называемый их произведением, с = ab.
Пусть эта операция удовлетворяет
следующим свойствам:
1. Для любых а, Ь и с выполняется
(ab)c = а(Ьс) — сочетательный закон, или
ассоциативность.
2. Существует элемент 8 такой, что
а • 8 = а для любого а.
3. Для каждого а существует
единственный элемент сГх такой, что а • а~х =
= 8. Он называется обратным к а.
Множество G в этом случае называется
группой относительно умножения.
Заметим, что для группы движений
обратным элементом будет обратное
преобразование. Действительно, если
движение ф переводит точку А в точку В,
то обратное движение переводит точку
В в точку А. Применяя их оба одно за
другим, мы переведем А снова в А, то
есть получим тождественное
преобразование 8. Это значит, что обратное
движение и есть ф-1 в смысле третьей аксиомы
группы.
Именно поэтому для движений чаще
используют терминологию «умножения»,
а не «сложения», хотя суть от этого не
меняется.

56 ri:zii;:z^^ iizizizzzzz
Поле
Мы говорили выше, что группа
задается некоторой операцией, которую можно
назвать сложением, а можно и
умножением. В первом случае в группе есть 0 и
противоположный элемент, а во втором те
же объекты называются «единица» и
«обратный элемент».
Однако среди привычных нам чисел
присутствуют и те, и другие: и 0 и 1,
и противоположные, и обратные. Это
значит, что множество чисел является
«двойной группой», или «полем».
Определение 2. Пусть множество Р
является коммутативной группой
относительно сложения, а множество Р\
{0} — группой относительно умноже-
О ния. Два действия связаны
соотношением а(Ь + с) = ab + ас
(распределительный закон, или
дистрибутивность). Тогда оно называется полем.
Заметим, что в группу относительно
умножения мы не включили 0. Почему?
Дело в том, что ноль обычно не имеет
обратного элемента (на 0 нельзя делить!). Но,
может, это верно только в привычном для
нас случае, на числовой прямой? Можно
ли придумать сложение и умножение так,
чтобы 0 имел-таки обратный элемент?
Для решения этого вопроса найдем
некоторые следствия из свойств поля. Будем
обозначать ноль, как и ранее, 0, а
единицу — е. По определению а 4- 9 = а,
а • е = е • а = а. Противоположный элемент
(-а) удовлетворяет свойствам а 4- (-а) = 9.
Обратный элемент будем обозначать а~{,
причем а • а-1 = сГх • а = е.
Первый несколько неожиданный вопрос:
а могут ли два основных элемента
совпадать? То есть можно ли придумать такое
поле, что 0 = е? Предположим, что мы
такое построили. Тогда, в частности, е 4- е = е
(так как это ноль) и а • е = а(е 4- е) = а • е +
4- а • е, т.е. а = а 4- а. Прибавляя к этому
равенству (-а) получим, что 0 = а.
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 3/2009
Но элемент а был выбран произвольно.
Значит, все «поле» состоит из одного
единственного элемента 0. Такой
вырожденный случай мы рассматривать не будем,
так что далее считаем, что 0 Ф е.
Задача 10. Чему равно произведение
а • 0?
Решение. Имеем а = а • е = а(е 4- 0) =
= a-e + a-Q = a + a-Q. Таким образом,
а • 0 = 0 для любого а.
В частности, в силу того, что 0 Ф е,
уравнение х • 0 = е не имеет ни одного
решения. Итак, требование «не делить на
0» является не нашей прихотью, а следует
из других, достаточно естественных
предположений.
Пустое
множество
Мы говорили ранее, что число 0 не
было нужно человеку, так как оно ничего не
считает. Однако в математике есть такой
объект, который имеет 0 элементов.
Это — пустое множество, 0. Можно
ожидать, что оно является таким же важным,
как и число 0.
Собственно, оно и является «нулем»
для некоторого «сложения». А именно,
для объединения множеств.
Действительно, для любого множества А выполняется
Аи 0 = А.
Задача 11. Для множеств можно
определить также операцию пересечения п.
Назовем ее умножением. Что будет единицей
этого умножения?
Решение. Если Е — единица, то А пЕ =
= А для любого А у т.е. А является
общей частью множеств А и Е. Это
означает, что А является подмножеством Е>
А с Е. Таким образом, единицей служит
«самое большое» множество, которое
содержит все остальные. Его называют еще
I универсальным.

57
ZZ= НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА ZZZZZZZI
Заметим, что пустое множество
существует только одно. Нисколько гвоздей =
нисколько табуреток = нисколько звезд = ...
— Чем ты занимался в выходные?
— Ездил ловить карасей.
— И много поймал?
— Ни одного.
— Так откуда же ты знаешь, что ловил именно карасей?
А вот одного, общего для всех задач
универсального множества не существует.
Это было доказано еще Кантором,
создателем теории множеств. Поэтому при
необходимости в каждом случае выбирают свою
«единицу». Например, если
рассматривается задача с числами, универсальным
будет множество R, а если с месяцами —
множество из 12 элементов {январь,
февраль, ..., декабрь}.
Если набор множеств бесконечный, он
может не содержать единицы. Например,
рассмотрим все интервалы вида (-а; а)
(рис. 3). Имеют ли они среди себя
«наибольшее»? Конечно, нет, так как нет
наибольшего среди чисел а. Это набор
множеств без единицы.
-е—е—еч э-э—з—з—
Рис. 3
Можно ли построить для данного
набора универсальное множество? Можно, надо
просто взять объединение всех интервалов.
Имеем \J(-a;a) = R, т.е. Е в данном слу-
а
чае — вся числовая прямая. Конечно, ее
можно записать также в виде (-©о; °°).
Последнее множество по виду похоже на (-а; а).
Но его нельзя считать интервалом такого
вида, так как бесконечность — не число.
Задача 12. Рассмотрим все
подмножества некоторого непустого множества Е.
Будут ли они образовывать группу
а) по сложению (относительно
объединения);
б) по умножению (относительно
пересечения)?
Решение, а) Вообще говоря, нет.
Конечно, объединение множеств ассоциативно
и даже коммутативно. Но
противоположный элемент, вообще говоря, не
существует. Действительно, из условия А и В = 0
следует, что как А, так и В являются
пустыми. Таким образом, противоположный
элемент есть только у «нуля», т.е. у 0.
б) Пересечение ассоциативно и
коммутативно. Роль единицы играет в этом случае
Е. Осталось проверить наличие
противоположного элемента. Пусть для некоторого А
выполняется А п В = Е. Это означает, в
частности, что Е входит в А. Но по
определению универсального множества и А
входит в Е. Значит, А = Е, т.е. обратный
элемент существует только у единицы.
Итак, ни одна из операций не образует
группу. То, что они «ведут себя»
одинаково, не случайно. Действительно, операция
дополнения А = Е \ А переводит
пересечение в объединение и наоборот:
АиВ = АпВ, АпВ = АиВ.
Мы выяснили, что объединение и
пересечение множеств не образуют группу, а
тем более поле. Порождаемая ими
структура называется кольцом. Кольцо с единицей
называется алгеброй множеств.
Множество 0 — один из примеров
чисто математических объектов, в которых
парадоксальным3 образом сочетаются
тривиальность и неочевидность.
3 Парадокс — верное суждение,
противоречащее общепризнанным, традиционным
представлениям.
Софизм — ложное рассуждение, внешне
кажущееся истинным.
Антиномия — внутренне противоречивое
суждение, которое нельзя считать ни
истинным, ни ложным.

58 ::: -——г—— _ ^zzzzz
В обычном мышлении (и языке) нет
необходимости в таком объекте, как пустое
множество: если чего-то нет, то зачем о нем
говорить? Такое понятие, как «ничто»,
относится скорее к области философии, чем
к повседневным представлениям.
И тем не менее в самой пустоте
пустого множества заключен глубокий смысл.
Проверка пустоты конкретного множества
(скажем, множества корней уравнения)
может быть весьма нетривиальной задачей.
Вообще проблема существования
объекта с заданными свойствами — одна из
основных в математике. А ведь это и есть
проверка пустоты (непустоты)!
Частный случай множества —
отношение
В статье [2] было введено понятие
«отношение», которое связывает элементы
множества. Оно само является множеством —
множеством пар. А именно, в отношение
с носителем А входят некоторые из пар
вида (а, Ь)у где я, Ъ — элементы А.
Например, в отношение «меньше»
входят пары (2, 1), (3, 1), (5, 4) и т.д., но не
входят пары (2, 2), (2, 3) и другие, в
которых первый элемент не меньше второго.
Задача 13. Что является нулем и
единицей среди отношений с одним и тем же
носителем?
Решение. Нулем является пустое
отношение, которое не содержит ни одной
пары. Например, отношение «сын» на
множестве женщин. Ведь ни одна женщина не
может быть сыном другой!
Единичным является отношение,
которое содержит все пары. Например,
единичным является отношение «быть
одноклассником» на множестве учеников вашего
класса. Математики называют его
декартовым произведением А х А = А2. Любое
отношение с носителем А входит в А2.
Единичное отношение можно назвать
ГЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ГГГГ7 3/2009
еще тривиальным. Только не стоит
понимать это слово как синоним
примитивности. Например, лозунг французской
революции «Свобода, равенство, братство»
призывает сделать свойство свободы и
отношения равенства и братства
тривиальными4.
Для понимания следующей части текста
советую перечитать статьи [2] и [3] об
отношениях.
Задача 14.
а) Может ли отношение быть и
симметричным, и асимметричным
одновременно?
б) Может ли симметричное отношение
быть полным?
в) Чему равна композиция отношений
«<» и «>», заданных на множестве
чисел?
г) Равенство является
эквивалентностью. Какие классы оно порождает?
Решение.
а) Пусть некоторое отношение является
и симметричным, и асимметричным.
Рассмотрим некоторую пару (6, а),
находящуюся в данном отношении, т.е. такую,
что а р Ь. В силу симметрии выполняется
следствие «бра», а в силу асимметрии —
«неверно бра». Но этого не может быть,
эти высказывания взаимоисключающие.
Значит, никаких пар в искомом
отношении нет, оно пустое.
б) Пусть р — симметричное полное
отношение. Тогда для любых двух неравных
элементов а, Ь в него входит хотя бы
одна из двух пар (а, Ь) и (6, а). Но тогда в
силу симметрии входит и вторая. Значит,
Тривиальность и величие не всегда
противоречат друг другу. Г.К.Честертон говорит в
рассказе «Сапфировый крест»: «Французы
будоражат мир не парадоксами, а общими
местами. Они облекают прописные истины в
плоть и кровь: вспомним их революцию».
МА1

59
IZZZ НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА '. ZI
в отношение входят все пары, кроме, разве
что, дублей (а, а). Такое отношение почти
единичное (если дополнить его
рефлексивностью).
в) Обозначим искомую композицию
через р, т.е. р = «<» о «>». Имеем Ь р а
если существует с такое, что Ъ < с, с > а.
То есть с больше как а, так и Ь.
Конечно, такой элемент существует для любых
чисел а и Ь, так что отношение р —
тривиальное.
г) Как известно, эквивалентность
разбивает носитель А на классы элементов,
эквивалентных друг другу. Точно так же
равенство разбивает на классы элементов,
равных друг другу. Но равным элемент
может быть только самому себе. Значит,
классы эквивалентности отношения «=»
состоят из одного элемента каждый.
Нулевые понятия в логике
— Товарищ старшина, ваше приказание выполнил!
— Да я же ничего не приказывал.
— А я ничего и не делал.
Так все-таки, выполнил солдат приказ
командира или нет? В каком-то смысле,
да: ведь он его не нарушил.
Действительно, сформулируем
утверждение так: если командир приказал, то
подчиненный должен выполнить приказ.
В каком случае это утверждение будет
нарушено? Если командир приказал, а
солдат не сделал. Во всех остальных случаях
импликация5 верна.
Или еще один пример.
5 Т.е. утверждение типа «Если — то».
6 Это утверждение отличается от первого тем,
что в нем есть «переменная величина» —
школьник. То есть для некоторых
школьников его посылка верна, а для некоторых —
нет. Такая конструкция называется в логике
предикатом.
Приказ: «Школьники, победившие во
всероссийской олимпиаде, зачисляются в
вуз по соответствующей специальности без
экзаменов» .
Что можно сказать о вузе, куда ни
один победитель олимпиад не подал
заявление? Выполнил ли такой вуз приказ
министерства? Да, конечно. Ведь никому
же не было отказано в зачислении.
Запишем то же подробнее с помощью
конструкции «если — то».
«Если школьник победил в олимпиаде и
поступает в вуз по той же специальности,
то его необходимо зачислить».
Если абитуриент не удовлетворяет
описанию, его можно зачислять в вуз, а
можно не зачислять — ни то, ни другое не
противоречит приказу.
Перепишем пример со школьниками на
языке теории множеств. Утверждение
приказа имеет вид «Если для jc выполняется
условие А(х), то для него выполняется и
В(х)». Здесь А(х) = «х — победитель
олимпиады и поступает в соответствующий
вуз»; В(х) = «х зачислен в этот вуз».
Обозначим через А множество элементов
jc, для которых выполняется утверждение
А(х) (множество абитуриентов-победителей),
а через В — тех, для которых выполняется
В(х) (В — множество поступивших). Тогда
импликация означает, что все х из А
входят также и в В> т.е. А с: В.
Если в данном вузе нет абитуриентов-
победителей (т.е. А = 0), то, конечно,
будет выполняться А а В. Ведь пустое
множество является подмножеством любого
другого!
В примере со школьниками вывод был
довольно очевидным и не противоречил
нашему здравому смыслу. Но это не всегда так.
В математике бывают определения,
которые касаются не одного объекта, а
их набора. А что, если набор окажется
пустым? Будет ли верно соответствующее
определение?

60 : :г::т: г
Можно ли у лысого
разделить волосы пробором?
Задача 15. Как известно, функция f(x)
называется возрастающей, если для всех
х19 х2 из ее области определения таких, что
х{ > х2> выполняется f(xx) >f(x2). Будет ли
возрастающей функция
/(x^Vjc + V1*?
Решение. Найдем сначала область
определения функции. Корень можно
извлекать только из неотрицательного числа.
Значит, должно выполняться как jc > О,
так и х < 0. Но это возможно, только если
х = 0. Итак, данная функция определена
только в одной точке 0. Получается, что
в ее области определения просто нет чисел,
удовлетворяющих неравенству jc, > jc2. Ну,
а на нет и суда нет — мы договорились
считать, что в этом случае импликация
выполняется.
Итак, эта функция возрастающая.
Впрочем, она же является и убывающей, и
постоянной.
Подобные проблемы возникают и в
математическом анализе, при попытке дать
определение непрерывности и предела
функции. Действительно, и то, и другое
характеризует поведение функции не в
одной точке, а в некоторой окрестности.
Но что, если эта окрестность пуста?
Напомним определение непрерывности
функции (дадим его здесь на
интуитивном уровне). Пусть функция / задана в
точке а. Тогда для всех jc, близких к
а, значения f(x) должны быть близки
к /(a).
Возникает вопрос: а что, если в точке jc
значение функции не определено? Ведь про
него нельзя сказать, близко оно к чему-
нибудь, или нет. Более того, по нашему
соглашению, оно и близко, и не близко. То
есть для такого jc требование
непрерывности выполняется!
Например, функция, приведенная в
задаче 15, непрерывна в точке 0.
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ == 3/2009
Еще хуже обстоит дело с понятием
предела. Дело в том, что для
существования предела в точке а не требуется,
чтобы функция была определена в этой
точке. Поэтому та же функция \[х + у/-х
имеет предел в любой точке числовой
прямой!
Задача 16. Чему равен предел функции
f(x) = y[x + yf-x а) в точке 1; б) в точке 0?
Решение. Число Ъ называется
пределом функции f{x) в точке а, если
значения /(jc) близки к Ь для jc, близких к
а (но не совпадающих с ней). Но данная
функция не имеет никаких значений, ни
в точках, соседних с 1, ни в точках,
соседних с 0! Значит, можно считать, что
эти (несуществующие) значения близки к
произвольному числу Ь.
Итак, пределом данной функции как
в 0, так и в 1 будет любое число. Как
мы видим, при таком подходе не
выполняется даже теорема о единственности
предела!
Это наблюдение, конечно, не
выполняется для «обычных» функций, с которыми
мы работаем в школьном курсе
математического анализа. Однако требование
математической полноты и точности заставляет
принять меры, чтобы обойти это
затруднение.
Самый простой выход — вообще не
рассматривать непрерывность и предел в
изолированных точках. Например, можно в
определении непрерывности потребовать,
чтобы функция была задана в некоторой
окрестности точки а. А для предела — в
«проколотой» окрестности (т.е. во всех
соседних точках, кроме самой а). Правда,
тогда возникает проблема с «концевыми»
точками: будет ли непрерывна функция
f(x) = 4х в точке 0? Ведь она не
определена слева от нуля! В этом случае в
точке 0 существует только предел справа.
I Соответственно, в правом конце области

61
' НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА ZHZZZZ
определения можно искать только
непрерывность (предел) слева7.
Необходимость помнить об этих
ограничениях несколько утяжеляет определения
и доказательства математического
анализа.
Заключение
«Пустые», не содержательные (на
первый взгляд) понятия, такие, как 0, 1, 0
изначально строятся для полноты,
формальной целостности математической
теории. Но они обнаруживают неожиданно
глубокий смысл и широкие связи с
различными математическими структурами.
Можно даже сказать, что интерес к
таким понятиям задает границу между
«математическим» — структурным и
формализованным — и «нематематическим»
мышлением.
Задания
для самостоятельного решения
1. У Марьи Петровны все домашние
животные, кроме одного — кошки, все, кроме
одного — собаки и все, кроме одного —
попугайчики, а остальные — тараканы.
Любит ли Марья Петровна животных?
2. Задача 1 посвящена истории
названий натуральных чисел. А что означало,
по-вашему, старое русское слово полтре-
тъя? Для решения задачи найдите
современное слово, близкое по звучанию. А
откуда произошло слово полтора?
3. При каких а уравнение
(а - 1)х2 + 2ах + а + 2 = О
имеет ровно один корень?
7 Вообще-то, не обязательно требовать,
чтобы функция была задана во всей
окрестности исследуемой точки а. Достаточно того,
что область определения «подбирается» к а
сколь угодно близко. Это интуитивное
представление реализуется в понятии
«предельной точки». Его вводят при серьезном
изложении математического анализа (на
математических и физических факультетах).
4. Сколько точек на прямой надо задать,
чтобы превратить ее в числовую?
5. Мы заметили (см. сноску 2), что
число 0 не пишется в алгебраических
выражениях ни в качестве слагаемого, ни в
качестве сомножителя. А единица — только
в качестве сомножителя. Почему? А как
ведут себя «ноль» и «единица» в кольце
множеств?
6. Что является нулем для множества
строк длины 4?
7. Пусть L — симметрия относительно
прямой /, М — относительно т. Чему
равна композиция LoM, если прямые /
и т параллельны между собой?
8. Пусть L — симметрия относительно
прямой /, М— относительно т.
Покажите, что преобразования L о М и М о L
взаимнообратны, не вычисляя этих
композиций.
9. Композицию можно применить не
только к движениям, но и к любым
преобразованиям множества-носителя А в себя.
Дайте определение «группы относительно
композиции».
10*. При решении задач 5 и 6 мы
видели, что некоторые движения (повороты)
ведут себя, как числа, а некоторые
(параллельные переносы) — как векторы. А
какие еще группы можно представить в виде
групп преобразований?
11. Рассмотрим остатки от деления
натуральных чисел на 5. Заметим, что
остаток суммы (произведения) чисел зависит
только от остатков слагаемых
(сомножителей). Таким образом, операции над
числами порождают операции над остатками.
Покажите, что остатки от деления на 5
образуют поле. Верно ли это для остатков
от деления на 6?
12. Может ли пересечение двух полных
отношений быть пустым?
13. Пусть некоторая эквивалентность
является полным отношением. Какие
классы она порождает?

62 ==zzzz==z ^zz:i:ii:^
Решения
заданий
1. Ясно, что кошек, собак и
попугайчиков у Марьи Петровны поровну (на одного
меньше, чем всех животных). Если их
хотя бы по одному, то по крайней мере все
животных (кошка и собака) — не
попугайчики, что противоречит условию. Значит,
Марья Петровна, скорее всего, не любит
животных, так как дома у нее живет
только таракан, да и то один.
2. В наше время существует слово
полтретьего, которое употребляется для
обозначения времени и означает два с
половиной часа. Если современному полтретьего
соответствует полтретъя, то слову
полвторого — полвтора или, в современном
произношении, полтора. Это слово не
имеет отношения ко времени, а означает
просто число 1—. Соответственно полтретъя
должно обозначать число 2— = 2,5.
3. Найдем дискриминант:
D = 4а2 - 4(а - 1)(а + 2) = -4а + 8.
Корень будет единственным, если
дискриминант равен нулю. Имеем D = О при
а = 2. Однако этот ответ не окончательный!
Дело в том, что предыдущее рассуждение
подходит только для квадратного
уравнения. Наше уравнение будет квадратным,
только если старший коэффициент а - 1
не равен 0. Если же а = 1, уравнение
принимает вид 2х + 4 = 0 и имеет также
единственный корень.
4. Прямая называется числовой, если ее
точки помечены числами. Такую
«разметку» можно сделать с помощью процесса
измерения. Для измерения достаточно иметь
эталон и начало отсчета. Начальную точку
естественно пометить числом 0. Если
отложить от нее эталон один раз, на конце
получим еще одну точку, которой можно
дать название 1. Этих двух точек доста-
ТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 3/2009
точно, чтобы пометить числовыми
значениями все остальные точки прямой.
Обычно на числовой прямой еще ставят
стрелку в направлении возрастания чисел.
Но делать это не обязательно: взаимное
расположение 0 и 1 вполне определяет
это направление.
5. Казалось бы, ноль и единица
равноправны по своим групповым свойствам.
Однако множество чисел — еще и поле, в
котором роль сложения и умножения не
одинакова. А именно, они по разному
участвуют в свойстве дистрибутивности.
Соответственно, ноль имеет не только
групповое свойство (поглощается при сложении),
но и «полевое»: 0 • а = 0.
Для кольца множеств ситуация другая:
объединение и пересечение практически
равноправны по своим свойствам, в
частности существуют «две дистрибутивности»:
А п (В и С) = (An В) и (А п С)
и
Аи(В пС) = (Аи В)п(Аи С).
Соответственно, и для 0 и для Е
существуют по два «свойства поглощения»:
0иА=А; 0 пА = 0;
Е и А = Е; Е n A = А.
6. Нулевая строка, т.е. Э = (0, 0, 0, 0).
7. Рассмотрим на рис. 4 различное
взаимное расположение точек и прямых.
Пусть М переводит точку А в А{,
причем отрезок ААХ пересекает т в точке Ог
Тогда расстояние ААх = 2АОг Аналогично
АХА2 = 2АХ02. Имеем
/i./i.'y /i.^/i.'y /\/\\
Л, = 2АХ02 - 2АОх =
Ч /т = 2(Л,02 - АхОх) =
XV , = 2<9,02.
вх /ч
Рис. 4
МА1

63
ZZZZ НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА IZZZZZZI
Для точки В аналогичное равенство
доказывается еще проще. Разобрав все
возможные случаи, получаем, что
композиция L о М сдвигает исходную точку на
расстояние 20х02. Кроме того, отрезки
АА29 ВВ2, ... перпендикулярны прямым / и
т и направлены все в одну сторону. Итак,
композиция L о М есть сдвиг плоскости на
вектор 20102.
8. Из общей теории отображений (см.
[1]) следует, что (L о М)"1 = М-1 о L"1.
Действительно, если М переводит х в
г/, а! — у в г, то композиция переводит
х сразу в г. Обратное преобразование, т.е.
(L о М)-1 переводит 2 в х, что можно
сделать в два этапа: сначала перевести 2
в у, а. потом у в х. Последний способ и
соответствует записи М-1 о L-1.
Осевая симметрия обратна самой себе,
L"1 = L. Поэтому (L о М)"1 = М"1 о L'1 =
= М о L, что и требовалось доказать.
Заметьте, что в этом рассуждении
объединены оба случая: как пересекающихся, так и
параллельных осей.
9. Композиция преобразований
ассоциативна по определению. Действительно,
пусть / переводит х в г/, g переводит у
в 2, a h — элемент 2 в t. Тогда
композиция h о g of переводит х в t независимо
от расстановки в ней скобок.
Значит, осталось только потребовать
существования Э и противоположного
элемента. Но нулем, как уже было показано,
является тождественное преобразование, а
«противоположным» — обратное. Поэтому
определение группы преобразований
можно сформулировать так.
Набор преобразований носителя А
называется группой относительно
композиции, если он содержит тождественное
преобразование е и вместе с каждым
преобразованием содержит обратное к нему.
Из этого, в частности, следует, что все
преобразования, входящие в группу,
должны быть обратимы (взаимно-однозначны).
10. Любые. Действительно, пусть G —
некоторая группа (по сложению).
Зафиксируем элемент а из G. Тогда равенство
х 4- a = у можно расшифровать так:
каждый элемент х переходит в некоторый
элемент у, равный х 4- а. Это значит, что
а порождает преобразование множества G
в себя. Обозначим его через А.
Пусть элемент Ъ порождает
преобразование Б. Применим последовательно оба
преобразования, А и В. Имеем (х 4- а) +
4- Ъ = х 4- (а 4- Ь). Это равенство верно в
силу ассоциативности. Значит, композиция
преобразований В о А порождена суммой
(а 4- Ъ).
Пока нам не понадобились Э и
противоположный элемент. Достаточно того, что
элементы G можно складывать между
собой и это сложение ассоциативно. В этом
случае G называется полугруппой.
Если же G еще и группа, то в ней
есть Э. Ему соответствует преобразование
jc —> jc 4- Э = jc, т.е. тождественное
преобразование. Но оно и является нулем для
композиции преобразований.
Как действует на элемент группы
противоположный элемент -а? Имеем: если х +
4- (-а) = у, то jc = у 4- а. То есть (-а)
воздействует на элементы группы обратным
образом. Если а переводит у в х, то (-а)
переводит х в у. Итак, преобразования,
порожденные элементами группы, сами
образуют группу относительно композиции.
Кстати, из такого представления
группы можно вывести некоторые ее свойства.
Например, мы доказали выше, что все
преобразования из группы преобразований
обратимы. Это значит, что они
взаимнооднозначны: разные элементы переводят в
разные. То есть элементы х Л- а при
фиксированном а и переменном х
принимают все значения из G, причем ровно по
одному разу.
11. Об остатках мы уже говорили в
статье [3]. Тот факт, что у чисел а и Ь оди-

64 ::::;:::::::::::::::::.:::::::
наковые остатки при делении на р
обозначается а = Ъ (mod/?). Читается: а сравнимо
с Ъ по модулю р. Для остатков, как и для
обычных чисел, выполняется
ассоциативность (сложения и умножения),
коммутативность и дистрибутивность. Осталось
проверить наличие противоположных и
обратных элементов. Построим таблицы
сложения (табл. 1) и умножения (табл. 2)
для остатков. Например, 2 + 3 = 5,
остаток 0. Или 3-3 = 9, остаток 4.
В первой таблице мы видим, что в
каждой строке есть ровно один 0. Это
значит, что для каждого элемента а
существует единственный элемент Ъ
такой, что а + Ъ = 0. Например, 2 + 3 = 0,
значит, 3 = -2. То есть 3 есть элемент,
противоположный к 2.
Во второй таблице то же верно для всех
элементов, кроме 0: в каждой строке есть
1. Значит, у каждого элемента есть
обратный. Например, 2-3 = 1, т.е. 3 является
и обратным к 2. Элемент 4 обратен сам
к себе.
Для остатков при делении на 6 эти
закономерности нарушаются. Если сложение
по-прежнему задает группу, то умножение
уже нет. Действительно, произведение 2 •
а всегда четно, и при делении на 6 дает
четный остаток. Поэтому оно ни при каком
а не равно 1 (табл. 3).
В теории групп доказано, что остатки
при делении на р образуют поле тогда и
Таблица 1
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
МАТЕМАТИКА АЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 3/2009
только тогда, когда р — простое число.
Это «поле по модулю /?».
Раскинулось поле по модулю 5,
Ряды интегралов вставали.
Студент не сумел производную взять,
Ему в деканате сказали [... ]
Гимн студентов физмата
12. Может, если каждое из них
антисимметрично. В каждое из искомых
отношений будет входить ровно одна из пар
(а, Ь) и (by а), аФ b, a дубли (а, а)
можно распределить между ними произвольно.
Пример — отношения «<» и «>» для
чисел; или отношения «<» и «>».
13. Эквивалентность является
симметричным и рефлексивным отношением,
поэтому в силу решения задачи 14, б)
полная эквивалентность есть тривиальное
отношение. Значит, любая пара элементов
связана этим отношением. Поэтому класс
эквивалентности всего один и совпадает со
всем носителем.
Литература
1. Григорьева И.С. Сложная простота
отображений // Математика для школьников. —
2008. — № 3.
2. Григорьева И .С. Такие разные отношения //
Математика для школьников. — 2007. — №4.
3. Григорьева И.С. На что похоже «больше»? //
I Математика для школьников. — 2008. — № 1.
Таблица 2 Таблица 3
*
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1

Шусипельс&во « (сольная Jtfiecca»
nfte с*павлле/п riieofiefHU4ectcuu и на ч,но-ме оаич,еасий fincu,
tU'-.' ■■■■■• й.нивуч • . ютшт&ж^рнт щ** }
• ИТАНИЕ
«Воспитание школьников»
Выходит с 1966 года
Объем 80 с, цв. вкл., формат 70x108/16
Периодичность — 10 номеров в год
i ■■■ ■
О СТАНДАРТЕ ВТОРОГО ПОКОЛЕНИЯ tr^^m.mm.m mm m Jfi, —
Главный редактор —
ШКОЛЬНАЯ ФОРМА- ■ " " ■
МОДНО, СТИЛЬНО И АКТУАЛЬНО ШЖ И ■%
шятшялшит д.п.н. Кузнецова Людмила Владимировна
Главная задача журнала — помощь школе, учреждениям дополнительного образования
и родителям в воспитании детей. Особое внимание уделяется подготовке школьников к
свободному, осмысленному жизненному выбору воспитанию творческой личности
обладающей качествами, необходимыми для достижения успеха в избранной деятельности.
Основные рубрики:
«Директору школы и его заместителю по воспитательной работе», «Классному
руководителю», «Педагогу начальной школы», «Воспитание в учебном процессе», «Педагогу
дополнительного образования», «Школьному психологу» «Для бесед со старшеклассниками» «Путь
к успеху», «Для бесед с родителями», «В детских и молодежных организациях» «Здоровье»,
«Организатору летнего отдыха», «О чем говорят, спорят».
Журнал выходит с цветной вкладкой, что позволяет наглядно представить жизнь
школьного коллектива и систему воспитательной работы учреждения.
Журнал публикует документы Министерства образования и науки РФ, имеющие
непосредственное отношение к воспитательной работе; информирует о новом в науке, в
практике воспитания; знакомит читателей с инновационной деятельностью передовых школ,
с опытно-экспериментальной работой федеральных и региональных экспериментальных
площадок, предлагает эффективно действующие модели самоуправления в классных
сообществах.
Журнал рассказывает о позитивном опыте здоровьесберегающей деятельности
образовательных учреждений страны (повышении работоспособности школьников, улучшении их
физической подготовки и др.), о детских и молодежных общественных организациях России
и ближнего зарубежья, военно-спортивных клубах, поисковых центрах, детских
профильных лагерях — военно-патриотических, краеведческих экологических.
Журнал можно приобрести в издательстве или выписать
по каталогу «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать»
Подписные индексы: 70133, 71236

ч
Математика для школьников, 2009, № 3,1-64
Подписной индекс: 80866
Подписка осуществляется по каталогу «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать»
в /Зениц <5и<5лио*пекц
Уважаемые читатели!
Предлагаем вам приобрести пособие:
ЭХ. Дезорцева
Готовимся к экзамену:
Диктанты за весь курс русского языка
112с, 60x84/1 б, обложка
Пособие содержит познавательные неадаптированные
авторские тексты, объединенные в разделы: «По страницам русской
классики XIX-XX веков» и «Радуга искусств».
Издание позволит успешно подготовиться к экзаменам
повысить грамотность, а также расширить кругозор и получить
эстетическое наслаждение.
Адресовано преподавателям русского языка в школах и
средних специальных учебных заведениях. Также будет полезно
старшеклассникам при подготовке к выпускным экзаменам в школе и
вступительным — в вузы.
Код 8.24, цена 35 руб.
Пособие можно приобрести в издательстве
или заказать по системе «Книга — почтой»
Адрес: 127254 г. Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3
Телефоны: (495) 619-52-87, 619-52-89
E-mail: marketing@schoolpress.ru
Интернет: www.schoolpress.ru
р*"1
tie? *
ш
а е t •
w *£• * •
t %^~
ISSN 2074-4281
772074428097
03
% •*.
^ Г