4 Заочный семинар
> Выпускные экзамены
4» Памяти А.Д. Александрова
ISSN 0130-3358
на /чно-теор.- гичсс . и iw одический журнал
Министерство образования
Российской Федерации поздравляет
Ассоциацию учителей математики
с десятилетним юбилеем
За годы своего существования Ассоциация внесла доста-
точно большой вклад в развитие и совершенствование мате-
матического образования России.
Ассоциация учителей математики является одной из самых
активных общественных организаций, объединяющих учи-
телей различных регионов Российской Федерации, успешно
осуществляет работу, направленную на повышение профес-
сионального уровня учителей, совершенствование методиче-
ской работы в школе, решение задач и проблем, стоящих пе-
ред отечественным математическим образованием.
На протяжении всех лет деятельности Ассоциация тесно со-
трудничает с Министерством образования.
Сердечно поздравляем членов Ассоциации и ее руководство
с юбилеем и надеемся, что и впредь деятельность Ассоциации
будет такой же эффективной и плодотворной.
• Министерство образования Российской Федерации • Издательство «Школа-Пресс» •
ЬШЕМЙГЯКА В ШЖОЛЕ
НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ	g
Издается с мая 1934 г.	
2000
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ XXI ВЕКА
2 Аносов Д.В.
Проблемы модернизации школьного курса математики
ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ
7 Пигарев Б.П., Пронина Е.Б.
Экзаменационные работы по алгебре
и началам анализа 1998/99 учебного года
66 Глазков Ю.А.
Централизованное тестирование школьников
ПРОБЛЕМА И СУЖДЕНИЯ
72 Зеркина А.В., Медведева Н.В., Саханевич М.В.,
Ускова Н.Н.
Что мы хотим проверить на выпускном
экзамене?
ЗАДАЧИ'
74
79 Академик А.Д.Александров
Главный редактор
А.И.Верченко
Заместитель главного редактора
Н.А.Курдюмова
Редакторы отделов
А.А.Лаврентьев, И.Л.Кукало
Младший редактор
Н.А.Мишвеладзе
Отдел задач
Л.П.Купцов, С.В.Резниченко,
Д.А.Терешин, С.И.Токарев
Художественный редактор
Б.Ф.Рябов
Технический редактор
О.Ю.Цишевская
Корректор
М.А.Суворова
Заведующая редакцией
З.В.Шепелева
Компьютерная верстка
В.Н.Бармин
Формат 84x108 1/16
Тираж 29 000 экз. Заказ 73-
Издательство ООО
«Школьная Пресса»
Адрес издательства:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, кори. 3.
Телефон 219-83-80
Адрес редакции:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, кори. 3.
Телефон 219-52-87
E-mail: marketing@shkola-press.ru
Журнал зарегистрирован
Государственным комитетом РФ
по печати, per. № 015437
Отпечатано на ордена Трудового Красного
Знамени Чеховском полиграфическом
комбинате. 142300. г. Чехов Московской
области. Тел. (272) 71-336. Факс (272) 62-536
О «Школьная Пресса»,
«Математика в школе», 2000, Ms 1
Рукописи, поступившие в редакцию, ие рецензируются и не возвращаются. Редакция ие несет ответственности за содержание объявлений и рекламы
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ XXI ВЕКА
В прошлом году редакция журнала пригласила читателей принять участие в заочном семинаре «Математика в школе XXI века*.
В рамках этого семинара на страницах журнала планируется опубликовать наиболее интересные и содержательные материалы
даже в том случае, когда мнение редакции будет не совпадать с авторским.
Первому предоставляем слово действительному члену Российской академии наук Дмитрию Викторовичу АНОСОВУ, известному
ученому-математику, председателю Комиссии отделения математики РАН по вопросам школьного образования. 5 октября 1999 г.
Д. В. Аносов выступил на заседании Московского математического общества, посвященном обсуждению проблем и предложений по
модернизации курса математики средней школы. Предлагаем вниманию читателей подготовленный для журнала текст его доклада.
ПРОБЛЕМЫ МОДЕРНИЗАЦИИ
ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
Д.В.АНОСОВ (Москва)	------ ---------
Прежде всего упомяну об организационной сто-
роне деятельности по образованию. В отделении ма-
тематики Российской академии наук действует Ко-
миссия по вопросам школьного образования. Я ее
председатель, Н.П.Долбилин — секретарь, члены ко-
миссии: С.И.Адян, В.А.Васильев, Л.Д.Кудрявцев,
Н.Х.Розов и П.Л. Ульянов'.
Помимо самой комиссии, около нее, я надеюсь,
возникнет некоторый, так сказать, актив, который
будет контактировать с нами.
Чем будет заниматься комиссия?
Во-первых, происходит реформа образования (не
только школьного, но и высшего). Реформа долж-
на была начаться с февраля 1998 г., но дело идет
медленно, пока что больше реформируют правитель-
ство. Реформа предусматривает дальнейшее сокра-
щение программ и часов по естественнонаучным
предметам, включая математику. Не знаю, можем
ли мы сейчас существенно повлиять на принимае-
мые или, тем более, уже принятые решения. Но ведь
каждый из нас был свидетелем нескольких «эпо-
хальных» реформ образования, так что и нынеш-
няя реформа едва ли будет последней (хотя нас и
уверяют, что она подготовлена более продуманно).
Для будущего наши сегодняшние высказывания
окажутся сделанными заблаговременно и, может
быть, лучше услышанными.
Во-вторых, при осуществлении реформы будут
подготовлены новые программы и написаны новые
учебники. Мы должны добиваться определенного
права голоса при принятии этих программ и учеб-
ников. В их оценке (включая, возможно, предложе-
ния об изменениях) и должна, в основном, состо-
ять работа комиссии в будущем.
1 В докладе далее говорилось, с какими соображениями был
связан состав комиссии. Здесь это опущено. (Примеч. авт.)
2
В-третьих, перед комиссией возникнет много но-
вых проблем. Например, сейчас стоит вопрос об ис-
пользовании компьютеров в школе. Тема модная,
посему вокруг нее может делаться много сомнитель-
ного, но известно, что ею занимается и такой весь-
ма уважаемый человек, как Н.Н. Красовский. В ка-
кой степени нашей комиссии стоит уделять этому
внимание? Ведь компьютерами в достаточном ко-
личестве в близком будущем будет обеспечена, ве-
роятно, небольшая часть школ1 2.
Эта проблема аналогична проблеме со специа-
лизированными физико-математическими школа-
ми: несомненно, что их надо поддерживать, но
столь же несомненно, что, по крайней мере в Мос-
кве, они не очень-то нуждаются ни в наших указа-
ниях, ни в унификации. Напротив, хорошо, что они
разные.
Итак, я представился. Теперь о другой комиссии —
комиссии по совершенствованию содержания
школьного образования. В действительности речь
идет об изменениях в содержании образования, яв-
ляющихся частью происходящих или намечаемых
изменений в образовании. Изменения происходят
отчасти из-за объективных процессов, не зависящих
ни от каких педагогических и даже более высоких
органов, а отчасти из-за идущих сверху реформ.
Реформы эти в какой-то мере или связаны со стрем-
лением отреагировать на объективные процессы,
или порождаются просто активностью их инициа-
торов, или проводятся по приказу свыше, неизвес-
тно чем вызванному. Не всегда и не все, но некото-
рые изменения иногда неизбежны, так что комис-
сии действительно есть что делать.
Одно из общих собраний РАН, по предложению
Президента РАО Н.Д.Никандрова, включило в свое
решение пункт о создании такой комиссии «по со-
вершенствованию» совместно с РАО и Министер-
ством образования. Но жизнь внесла некоторые кор-
2 Чтобы ученики школы средних размеров реально могли зна-
комиться с компьютером, надо, как минимум, иметь компьютер-
ный класс примерно с 10 компьютерами. (Без этого получится
нечто вроде обучения плаванию в сухом бассейне.) Другое дело,
что даже один компьютер с принтером позволяет учителям по-
ставить подготовку разнообразных учебных материалов на каче-
ственно новый уровень.
рективы. Фактически созданы две комиссии — ко-
миссия РАН и комиссия МО и РАО, которые, од-
нако, обычно заседают совместно под председатель-
ством заместителя министра образования В.Д.Шад-
рикова.
Выработкой концепции образования по математи-
ке занимается Комиссия под руководством Г. Н.Яков-
лева. Я надеюсь, сегодня они расскажут о своей ра-
боте3. Полагаю, они и сами не ожидают, что плод
их труда сразу же окажется совершенным, это, ско-
рее, будет исходное предложение для обсуждения.
Надо договориться, как и кем будут обсуждаться их
предложения. Я обращаю на это внимание потому,
что при всей нашей так называемой демократии и
гласности решения в области образования прини-
маются более закрытым образом, чем при комму-
нистическом режиме.
Говоря о современном состоянии дел и о перс-
пективах, нельзя обойти историю школьного обра-
зования в нашей стране. Многие из нас учились,
когда действовала система образования, сложивша-
яся в середине 30-х гг. Она отвечала необходимости
готовить большое число инженеров, чего требовала
индустриализация. В 1932 г. в постановлении ЦК
ВКП(б) так и было сказано, что основная задача
школы — готовить молодежь для поступления в тех-
нические вузы. Эта, совершенно четко поставлен-
ная цель, по-видимому, соответствовала тогдашним
потребностям страны. При реорганизации школы
успешно использовался дореволюционный опыт:
учебные программы представляли нечто среднее
между программами гимназий и реальных училищ,
учебный процесс был организован по их образцу,
по математике (кроме тригонометрии) были при-
няты, после некоторой переработки, старые учеб-
ники А.П.Киселева. Сеть школ значительно расши-
рялась по сравнению с дореволюционной. Квали-
фицированных кадров для нее не хватало, особенно
вначале и вне крупных городов, но этот неизбеж-
ный недостаток удачно компенсировался тогдашни-
ми учебниками, по которым способный ученик мог
успешно учиться даже при слабом учителе.
Учебники и задачники по математике долго ос-
тавались стабильными, в них только вносились раз-
личные исправления, благодаря чему эти книги дей-
ствительно были отшлифованы. По другим предме-
там стабильность была меньше, но все же любой
учебник или задачник не только прошел соответ-
ствующую экспертизу, но и выдержал несколько
изданий, в ходе которых устранялись замеченные
погрешности. Конечно, когда в биологии произош-
ла катастрофа, учебники по этому предмету при-
3 На заседании Московскогоматематическогообщества 5.Х.99
этого не произошло. (Прим, авт.)
шлось переписывать, внося туда лысенковскую
лженауку. Судьба пособий по общественным дис-
циплинам по понятным причинам была куда более
тревожной. Все же в ряде случаев они давали до-
вольно много — как фактических сведений, так и
пищи для размышлений, — хоть и под неизбежным
идеологическим соусом.
Очень важной стороной тогдашней системы об-
разования были школьные учебные и технические
кружки. К ним относятся кружки при школах, в
домах пионеров, в вузах, а также олимпиады. К
сожалению, ни тогда, ни теперь значимость этой
работы не доходила и не доходит до начальства, а
учителя ничего не получали и не получают за нее.
Подросткам, у которых еше нет устойчивых инте-
ресов, кружки дают возможность заинтересоваться
тем или иным делом. На прошлой неделе ученик
посетил кружок по математике, на этой — по лите-
ратуре, на следующей пойдет в радиолюбительский
кружок. Глядишь, где-нибудь и останется, а кое-что
в нем самом останется от тех кружков, куда он по-
том перестанет ходить. В средних классах кружки,
возможно, более удачно корректировали чрезмер-
ную стандартизацию образования, чем теперешние
спецклассы и спецшколы. В старших классах —
другое дело, к этому времени уже формируются
устойчивые интересы, наклонности, и тут разделе-
ние образования на потоки, появление спецклассов
и спецшкол не просто уместно, но и необходимо.
Развитие кружковой работы было одним из дости-
жений нашей системы образования. Оно выгодно
отличало ее от различных зарубежных систем. Но
так как учителям за кружковую работу не платят,
они, естественно, предпочитают официальную спе-
циализацию классов и школ.
Позднее возникла противоречивая ситуация. С
одной стороны, общеобразовательное 10-классное
обучение долго не было всеобщим. Например, ког-
да я учился, половина класса ушла после IV года
(главным образом, в ремесленные училища), а по-
ловина оставшихся покинула школу после VII клас-
са, предпочтя учиться в техникумах. Таким жесто-
ким образом корректировалась чрезмерная стандар-
тизация образования. Спустя несколько лет жить
стало лучше и после IV класса ребята уже не ухо-
дили, но после VII класса все-таки избирали для
обучения техникумы. Когда общеобразовательное
10-классное обучение стало всеобщим (этому поче-
му-то придавалось принципиальное значение), то у
части учеников возникли трудности с усвоением ма-
териала старших классов, который, скорее всего, им
и не мог в дальнейшем понадобиться. Выход из по-
ложения был найден с подлинной административ-
ной грацией: раз на экзамен по геометрии прихо-
дится больше всего двоек, надо первым делом от-
менить этот экзамен и уменьшить объем програм-
I*
3
мы. Одно время обязательного экзамена по геомет-
рии не было ни в одном классе, хотя он мог прово-
диться либо по решению школы для всех учеников,
либо по желанию части учеников. Теперь его не то
ввели, не то собираются ввести, к ужасу учителей,
которые уже давно не успевают как следует прора-
батывать геометрические задачи.
С другой стороны, возникновение и развитие
качественно новых областей техники — сюда в пер-
вую очередь относятся радиолокация, атомная энер-
гия, ракеты, — опирались на крупные научные дос-
тижения и новые отрасли науки. От соответствую-
щих специалистов потребовались более обширные
познания в математике, физике и вообще в есте-
ственных науках, а получить их можно только при
условии лучшей подготовки при поступлении в вуз.
Первоначально научные и технические достижения
произвели значительное впечатление и на высокое
начальство, и на широкие круги общества, поэтому
идея о повышении уровня школьного образования
не вызвала особых возражений и отчасти даже встре-
тила поддержку. Были составлены новые програм-
мы и написаны новые учебники. В частности, в
школьную программу по математике были введены
элементы того, что в вузах называют математичес-
ким анализом. К сожалению, вследствие неопыт-
ности инициаторов реформы и их организационной
неумелости это дело фактически оказалось в руках
людей, которые не были ни учеными, ни сколько-
нибудь опытными педагогами и не поддерживали
серьезного контакта ни с теми, ни с другими. В итоге
на свет родились наукообразные учебники, непри-
годные для школы. Как математик, я лучше могу
судить об учебниках по своему предмету, но, судя
по сообщениям печати и беседам с коллегами, с
другими предметами дело обстояло не лучше. На-
пример, в грамматику ввели кое-что из универси-
тетской лингвистики, от чего у школьников не при-
бавилось ни грамотности, ни любви к грамматике.
Все это ухудшило положение и вызвало естествен-
ную реакцию во всем обществе. Единственное, что
можно сказать в утешение, — это то, что аналогич-
ные события произошли и в других странах, вклю-
чая Францию, где, вследствие того же комплекса
причин, была расстроена существовавшая в начале
века превосходная система образования.
В нашей стране были предприняты попытки
улучшить положение. В математике определенную
роль сыграли сменившие друг друга комиссии От-
деления математики АН СССР, возглавлявшиеся
И.М.Виноградовым и Л.С.Понтрягиным. Я не со-
бираюсь обсуждать всю административную деятель-
ность этих людей, которую одни хвалят, а другие
порицают, но их комиссии по школьному образо-
ванию учли промахи предшественников и внима-
тельно вникли в обсуждаемые программы и учеб-
ники, проявляя при этом здоровый консерватизм.
К сожалению, эта работа не была доведена до кон-
ца — И.М.Виноградов и Л.С.Понтрягин умерли,
началась перестройка, затем наступила так называ-
емая демократия, которая в учебных делах более
смахивала на дезорганизацию. Комиссия как-то
незаметно перестала существовать. Все же в то вре-
мя эта комиссия и органы просвещения сделали
довольно много — одобренное ими новое поколе-
ние учебников определенно было лучше предыду-
щего, но по своей методической отработанности они
все-таки не могли идти в сравнение с учебниками
Киселева, задачниками Рыбкина, Шапошникова и
Вальцова или Ларичева. Кроме того, как наследие
прежней реформы остались изменения в препода-
вании математики в младших классах, которых ака-
демические комиссии и не касались. Создается впе-
чатление, что, во-первых, преподавание здесь по-
терпело серьезный методический урон. И, во-вто-
рых, существенное сокращение так называемых
арифметических задач, ликвидация более сложных
задач (которые решаются в несколько шагов и яв-
ляются столько же арифметическими, сколько и
логическими) обеднили развитие учеников млад-
ших классов. А что упущено в раннем возрасте,
непросто наверстать позднее.
В курсах геометрии и алгебры старших классов
вернуться к учебникам А.П.Киселева и соответству-
ющим задачникам невозможно из-за изменения
программ. Во-первых, с геометрией слилась триго-
нометрия. Во-вторых, число часов, отводимых на
алгебру и, так сказать, прежнюю геометрию, умень-
шилось. Это произошло по многим причинам: из-
за появления новых математических предметов, из-
за производственного обучения. Но главной была
следующая причина: по мере того, как обучение
охватывало все больше учащихся, наряду с его пре-
жней целью — подготовка молодежи к поступлению
в технические вузы — появлялась другая — дать об-
разование широкой массе, которая в вузы не пой-
дет. Поэтому надо было кое-что убрать из прежней
программы. Но ведь часто нельзя просто пропус-
тить какие-то параграфы, этого не допускает логи-
ка изложения. Я не говорю уже о том, что введен-
ные в программу элементы математического анали-
за в известных всем учебниках Киселева отсутство-
вали. По этим причинам учебники Киселева были
переизданы только как пособия для учителей. Ви-
дите, какой прогресс — учителя могут повышать
свою квалификацию с помощью книг, по которым
раньше учились школьники!
Всеобщее среднее образование, конечно, повы-
шает общий уровень образованности общества, но
уровень подготовки, даваемый школой, при этом
неизбежно снижается. Ведь теперь не всем нужна
такая подготовка, которая требуется для поступле-
4
ния в технический вуз. В нынешних условиях надо
понять, в чем теперь состоит основная цель школы.
В теперешнем законе об образовании она указана
далеко не столь конкретно, как в решении ЦК
ВКП(б): «обеспечить основы образования и куль-
туры» (я не цитирую дословно, а говорю по памя-
ти, но смысл именно такой). Возможно, в одной
фразе лучше и не скажешь. Тогда пусть это будет не
одна, а пять фраз, да еще и с абзацем поясняющих
и конкретизирующих комментариев; пусть не в за-
коне об образовании, но в каком-то другом норма-
тивном документе, исходящем от высшего законо-
дательного авторитета. Но пусть в конечном счете
эти пять фраз и абзац или что-то иное создадут та-
кую же ясность, как в 1932 г. Без этого попытки
усовершенствовать образование и даже навести ка-
кой-то порядок в нем останутся без точки опоры.
Увы, ясно, что от нынешней Думы мы этого уже не
дождемся. Боюсь, что и у следующей Думы будут
иные заботы. Но я уже сказал, что нынешняя ре-
форма едва ли будет последней, а для будущего наши
сегодняшние высказывания окажутся сделанными
заблаговременно и, может быть, лучше услышан-
ными. Так вот: есть ли у кого-нибудь предложение,
как следовало бы сформулировать в наши дни цель
образования?
Следует обсудить и вопрос о продолжительности
среднего образования.
В связи с вступлением в Совет Европы одно вре-
мя говорилось, что это делает переход к 12-летнему
образованию обязательным. Однако подписанная
затем Лиссабонская декларация делает наши школь-
ные дипломы действительными в европейских стра-
нах и, если я правильно понимаю, независимо от
срока обучения. Так что стоит посмотреть, в чем
реально состоят наши обязательства. В странах За-
падной Европы, давным-давно подписавших соот-
ветствующие соглашения, преспокойно сочетаются
общеобразовательные школы и техникумы, так что
обязательная общеобразовательная школа там на
самом деле получается не 12-летней, а чаще 9-лет-
ней. Только техникумы не всегда называются там
техникумами, они могут считаться одной из ветвей
школы, но бывает, что их даже формально отлича-
ют от школы. Например, так обстоят дела в Гол-
ландии. И никто не уличает Голландию в наруше-
нии своих обязательств и в ущемлении прав своих
граждан.
С чисто образовательной точки зрения 12-летнее
обучение, как мне кажется, не нужно и в некоторых
отношениях даже вредно - оно мало что даст тому,
кто дальше не собирается учиться, и задерживает
развитие тех, кто хочет учиться. Но говорят, что 12-лет-
нее обучение - это способ удержать великовозрас-
тных юнцов под присмотром. Ведь им трудно будет
найти работу сразу по окончании 9-летней школы.
Меня лично этот довод не очень убеждает, потому
что проблему, относящуюся к одной сфере — соци-
альной — хотят решить с помощью другой — сферы
образования. Подобные приемы чаще всего не сра-
батывают.
Остановлюсь теперь на положительных сторонах
нынешней ситуации с математическим образованием.
Ее положительным элементом по сравнению с
системой 30-х — 60-х гг. является известная гиб-
кость. Не говоря уже о «легализации» спецшкол и
спецклассов, в проекте реформы предполагается,
что старшие классы обычной общеобразовательной
школы могут работать по двум вариантам, выбор
между которыми предоставляется учащемуся: «об-
щеобразовательный курс» и «курс А». Название, как
у нас часто бывает, ни о чем не говорит; разница в
том, что в первом варианте больше естественнона-
учного материала. Имеется «базовый уровень» —
минимум требований для получения тройки; име-
ются и требования для других оценок; это сообща-
ется учащимся. Когда я учился, этого не было.
Официально считалось, что и троечник, и отлич-
ник должны знать одно и то же, только один по-
средственно, другой отлично. На самом же деле и
тогда ученикам нередко давали понять, что того-то
на тройку с них не спросят, но они должны выучить
получше то-то. Но это было общепринятым нару-
шением официальных правил. Другой вариант того
же: на Западе на письменных экзаменах по матема-
тике давным-давно давали больше задач, чем нуж-
но даже для пятерки, и сообщали, сколько нужно
набрать баллов для такой-то оценки и сколько бал-
лов засчитывается за каждую задачу. У нас, нако-
нец, к этому тоже пришли или приходят, хотя бы в
иной форме: скажем, говорят, что на тройку доста-
точно решить 5 первых задач из 12, а на пятерку —
любые 10 задач. Раньше, опять-таки неофициаль-
но, признавали, что такая-то задача трудная и тро-
ечнику незачем с ней связываться. Такую диффе-
ренциацию лучше делать открыто.
Гибкость проявляется также в наличии так назы-
ваемой школьной компоненты, т.е. часов, которые
школа заполняет по своему усмотрению. Предос-
тавление свободы школам можно только привет-
ствовать, если не доводить ее до нелепости. Я бе-
зусловно согласен с теми, кто считает, что школь-
ная компонента, по крайней мере в сколько-либо
заметном количестве, должна присутствовать толь-
ко в старших классах и что ее объем должен быть
ограничен, — скажем, 25%.
Упоминавшаяся ранее возможность введения
дополнительных экзаменов или экзаменов по вы-
бору при том, что общеобязательных экзаменов
немного - тоже, видимо, само по себе неплохо. К
сожалению, кружковая работа как раньше зависела
от энтузиазма учителей, так и теперь зависит.
5
Далее, надо учитывать богатый зарубежный опыт,
как положительный, так и отрицательный. С труд-
ностями, аналогичными некоторым из наших, стол-
кнулись все страны, где образование стало всеоб-
щим, и прежде всего США. Там еще в 20-е гг. по-
чувствовали необходимость в каких-то изменениях.
Но, оказавшись в положении первопроходцев, аме-
риканцы нашли далеко не лучшие решения и к тому
же провели их в жизнь с естественной самоуверен-
ностью молодой нации. Честно говоря, вполне удов-
летворительного решения до сих пор не удалось
найти и тем странам, которые столкнулись с этой
проблемой позднее. Однако ведущие европейские
страны, а также Япония и четыре «малых дракона»
действовали по-своему и более успешно. Не учиты-
вая богатый зарубежный опыт (а в РАО определен-
но есть такие поползновения), мы ставим себя в
положение первопроходцев, с той существенной
разницей, что у нас нет и не предвидится тех воз-
можностей, которые позволяют Америке корректи-
ровать неудачные последствия сложившейся там
системы образования.
Но легко сказать: «Надо учитывать зарубежный
опыт». А как это сделать?
До сих пор я ничего не говорил о подготовке учи-
телей. Между прочим, в свое время Отделение ма-
тематики РАН по инициативе С.П.Новикова зани-
малось этим вопросом. Но решение, принятое на-
кануне конца перестройки и пришествия демокра-
тии, осталось листом бумаги. Этот вопрос тоже надо
иметь в виду.
Я повторяю, что сейчас при всей нашей так назы-
ваемой демократии и гласности решения в области
образования принимаются более закрытым образом,
чем при коммунистическом режиме. Последний при-
мер — стандарты по различным дисциплинам, не-
давно утвержденные приказом министра В.М.Филип-
пова. (Мне кажется, это также и пример влияния ми-
нистерской среды на человека, изначально к ней не
принадлежавшего. Ведь В.М.Филиппов был научным
и вузовским работником, ректором Университета
дружбы народов. Кстати, он наш коллега, матема-
тик.) Насколько мне известно, новые стандарты
вызвали резкую критику не только со стороны мате-
матиков. Но нельзя сказать, что по математической
линии совсем не было никаких обсуждений — не-
сколько лет назад тогдашний проект был доложен на
нашей секции образования и вызвал серьезные воз-
ражения. Казалось бы, за несколько лет была воз-
можность подробно обсудить спорные вопросы. Но
этого не произошло — работники министерства со-
общили о проекте и на том сочли обсуждение закон-
ченным, так сказать, поставили галочку в соответ-
ствующей графе. Но тогда, по крайней мере, были
известны авторы проекта — сотрудники лаборатории
математики Института общеобразовательной школы
РАО. А теперь даже не известно, кто авторы утверж-
денного стандарта, то ли те же люди, то ли нет. Та
комиссия РАН, о которой я говорил, этих стандар-
тов не обсуждала — ни сама по себе, ни совместно с
комиссией Министерства образования и РАО. Если
не ошибаюсь, у нее и в плане ничего такого не зна-
чилось. При таком стиле работы Министерства об-
разования нас и впредь ожидают новые сюрпризы, а
изменения будут происходить в полном соответствии
с классическими формулировками второго закона
термодинамики, сколько бы там разные Шрединге-
ры и Пригожины ни уверяли нас, что с открытыми
системами дело может обстоять несколько иначе. С
открытыми — да, но не с закрытыми.
Мы должны добиваться большей гласности в
подготовке решений в области образования. Но и
самим нам надо подумать о процедуре выработки
наших рекомендаций. Быть может, в Министерстве
образования и РАО полагают, что раз есть соответ-
ствующая комиссия академии наук и раз ее сотруд-
ники входят в некоторые органы МО и РАО, то
достаточно время от времени проводить заседания
с их участием. В конце концов, это ведь не их, а
наше дело, как мы будем к этим заседаниям гото-
виться. На самом деле представители РАН смогут
занимать какую-то осмысленную позицию только
после серьезного предварительного обсуждения, а
не тогда, когда они в первый раз услышали о чем-
то или, в лучшем случае, просмотрели незадолго до
этого короткую записку с тезисами.
Я не воображаю себя оракулом, изрекающим не-
пререкаемые истины. Одно несомненно: реформа
образования во всех ее аспектах должна быть пред-
метом широкого и тщательного обсуждения. Во-
просы, касающиеся человека и общества, часто ка-
жутся иллюзорно ясными, решающимися на осно-
вании личного опыта и разума даже одного-един-
ственного человеку Но на самом деле они сложны,
поскольку связаны со многими факторами, различ-
ными целями и т.д., причем эти факторы, не согла-
сующиеся друг с другом цели и т.п. могут даже не
осознаваться.
»
ь
ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ
От редакции. Предлагаемый ниже материал будет дублирован в выпуске 12 Библиотеки журнала «Ма-
тематика в школе», который поступит в продажу в первой половине 2000 года. Материал предоставили
учителя московских школ Б.П.Пигарев и Е.Б.Пронина.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
1998/99 УЧЕБНОГО ГОДА
IX КЛАСС
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять
верно выполненных заданий.
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ
1-99. Работа № 2, II ч. 235, 17, 187.	А-9
I вариант
1.	Решите уравнение Эх2 + 5х — 2 = 0.
2.	Упростите выражение 4с(с — 2) — (с — 4)2.
3.	Решите систему неравенств
2х-1>0
15-Зх>0.
4.	Решите систему уравнений
х + 5у = 7
Зх + 2у = -5.
5.	Постройте графики функций у = х2 — 4 и у =
= —х + 2 и укажите координаты точек пересечения
этих графиков.	_
, „ „	(зД)г
6.	Найдите значение выражения ———.
7.	Из формулы а =----- выразите v.
8.	Грузчики планировали за некоторое время раз-
грузить 160 ящиков. Однако они справились с ра-
ботой на 3 ч раньше срока, так как разгружали в час
на 12 ящиков больше. Сколько ящиков в час они
разгружали?
9.	Упростите выражение
' а-Ь 1	(£-с)2\ а-Ъ
^л-аЬ a2— b2 a + b ) a2+ab
10.	На рис. 1 изображен график функции у =
— —9х4 + Юх2 - 1. Найдите координаты точек А, В
и С.
Рис. 2
Рис. 1
II вариант
1.	Решите уравнение 2Х2 — 7х +3 = 0.
2.	Упростите выражение За(а + 2) — {а + З)2.
3.	Решите систему неравенств
Гб-Зх>0
|5х-3>0.
4.	Решите систему уравнений
|2х-3у = 1
[Зх + у = 7.
5.	Постройте графики функций у = —х2 + 4 и
у = х — 2 и укажите координаты точек пересече-
ния этих графиков.
6.	Найдите значение выражения —=г—.
(2-Д)2
7.	Из формулы а =------ выразите t.
8.	Машинистка должна была напечатать за опре-
деленное время 200 страниц. Печатая в день на 5
страниц больше, она завершила работу на 2 дня
раньше срока. Сколько страниц в день печатала
машинистка?
9.	Упростите выражение
Г 1 2х + у 2х-у	(2х + у)2
^4х2-у2 (у-2х)2 4х2 + 2ху) у2
10.	На рис. 2 изображен график функции у =
= 4х4— 5х2+ 1. Найдите координаты точек К, L и М.
2-99. Работа № 3, II ч. 5, 94, 152.	А-9
I вариант
1.	Решите уравнение Зх2 + 2х — 5 = 0.
а~ а
2.	Упростите —5-------.
л2-1 а + 1
7
3.	Решите неравенство 3(3х - 1) > 2(5х — 7).
4.	а) Постройте график функции у = —2х + 6.
б) Проходит ли график через точку А(—35; 76)?
5.	Решите неравенство х2 -1 < 0.
5 Л-8
й -О
6.	Представьте выражение ----5— в виде степе-
fl
ни и найдите его значение при а = 6.
7.	На турбазе имеются палатки и домики; всего
их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в
палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и
сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70
человек?
8.	Разложите на множители 1 - х2 +2ху - у2.
9.	Решите уравнение —----1= — ------г—••
2-х	х-2 Зх2-12
10.	Сравните 2у/з и —
3-V7
II вариант
1.	Решите уравнение 5Х2 - Зх — 2 = 0.
с2 с
2.	Упростите —---------.
с2-4 с-2
3.	Решите неравенство 5(х + 4) < 2(4х - 5).
4.	а) Постройте график функции у = 2х — 4.
б) Проходит ли график через точку В{—45; —86)?
5.	Решите неравенство х2-9>0.
с7-с"3
6.	Представьте выражение —-— в виде степе-
с
ни и найдите его значение при с = 4.
7.	У причала находились 6 лодок, двухместные и
трехместные. Всего в эти лодки может поместиться
14 человек. Сколько двухместных и сколько трех-
местных лодок было у причала?
8.	Разложите на множители а2 —9Ь2 + 18/>с — 9с2.
п п	1	х + 8	1	.
9.	Решите уравнение---------;---=-------1.
х-3 2х2-18 3-х
10.	Сравните —Л— и 2^/оД
3-99. Работа № 8, II ч. 110, 194, 248. А-9
I вариант
1 х/	15fl2	_
1.	Упростите выражение---------5а.
За-2
2.	Найдите корни уравнения Юх2 + 5х = 0.
3.	Решите систему неравенств
5х+4<0
Зх + 1,5>0.
4.	Вычислите координаты точки пересечения пря-
мых у = Зх - 4 и у = 5х - 10.
5.	По графику функции (рис. 3) определите:
а)	значение у при х = —2;
б)	значения х, при которых у = 0;
в)	промежуток, на котором функция убывает.
6.	Решите неравенство х2+х-6<0.
п	°9
7.	Представьте выражение	г в виде степе-
fl а
Л	1
ни и найдите его значение при а = —.
8.	Решите систему уравнений
х - у = 7
[х2 + у2 = 9 - 2ху.
9.	При каком значении к график функции у = —
проходит через точку A^-5-j2; Vi)? Постройте этот
график.
10.	Два пешехода вышли одновременно навстре-
чу друг другу из пунктов М и N, расстояние между
которыми 25 км. Первый пешеход пришел в N на
2 ч 5 мин раньше, чем второй в М. Найдите ско-
рости пешеходов, если известно, что они встрети-
лись через 2,5 ч после выхода.
II вариант
1 X/	6с2
1.	Упростите выражение-------Зс.
3 + 2с
2.	Найдите корни уравнения 12Х2 + Зх — 0.
3.	Решите систему неравенств
|3-2х<0
|6х-2>0.
4.	Вычислите координаты точки пересечения пря-
мых у = —Зх + 4 и у = 5х - 4.
5.	По графику функции (рис. 4) определите:
а)	значение у при х = 2;
б)	значения х, при которых у = 0;
в)	промежуток, на котором функция возрастает.
6.	Решите неравенство х2 + 4х^- 5^0.
7.	Представьте выражение _д в виде степе-
Л	° а 2
ни и найдите его значение при о = -.
8.	Решите систему уравнений
х + у = 8
х2 + у2 =16 + 2ху.
9.	При каком значении к график функции у = —
проходит через точку Л/(-4-ТЗ; 7з)? Постройте этот
график.
10.	Два велосипедиста выехали одновременно на-
встречу друг другу из пунктов М и N, расстояние
между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 ч,
они продолжили путь с той же скоростью, и первый
прибыл в N на 2 ч 15 мин раньше, чем второй в
М. Найдите скорости велосипедистов.
Ns 4-99. Работа № 12, II ч. 157, 66, 244. А-9
I вариант
1.	Решите уравнение 0,2 —2(х + 1) = 0,4х.
_	(a + b 2b V
2.	Упростите выражение------------- (о + о).
V а а + Ь)
3.	При каких значениях т значения выражения
10/7? + 1 больше значений выражения 8/и — 2?
4.	Вычислите координаты точек пересечения па-
раболы у = х2 — 10 и прямой у = 4х + 11.
5.	На рис. 5 изображен график некоторой функ-
ции. Выпишите те утверждения, которые являются
верными:
а)	если х = —5, то у = 0;
б)	функция убывает на промежутке (—°°; —2];
в)	у > 0 при — 5 < х < 1;
г)	у = 0 при х = 5.
6.	Из формулы периметра прямоугольника Р =
= 2(а + Ь) выразите одну из его сторон.
7.	Упростите выражение 75+710-720.
8.	Найдите область определения функции
у - 72х2 -х +1.
9.	Найдите сумму членов арифметической про-
грессии с тридцатого по сороковой включительно,
если ан = Зп + 5.
10.	Из пункта А в пункт В, расстояние между
которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути
он был задержан на 10 мин, но, увеличив скорость
на 20 км/ч, прибыл в пункт В вовремя. С какой
скоростью автобус проехал первую половину пути?
II вариант
1.	Решите уравнение 0,4х =0,4 — 2(х + 2).
_	(2а а-ЬЛ ,
2.	Упростите выражение ----+----- о.
{a-b b )
3.	При каких значениях у значения выражения
15 + у меньше значений выражения 16 — у?
4.	Вычислите координаты точек пересечения па-
раболы у = х2 — 15 и прямой у =2х + 9.
5.	На рис. 6 изображен график некоторой функ-
ции. Выпишите те утверждения, которые являются
верными:
а)	у > 0 при х < —2;
б)	функция убывает на промежутке (-оо;-2];
в)	если х = —5, то у = 0;
г)	у = —2 при х = —9.
Рис. 6
Рис. 5
6.	Из формулы площади треугольника S = —
выразите его основание.
7.	Упростите выражение 78 - 372 + 7б.
8.	Найдите область определения функции
у = 73х2 -4х + 2.
9.	Найдите сумму членов арифметической про-
грессии с двадцать пятого по тридцать пятый вклю-
чительно, если ап = 4/? + 2.
10.	Лыжник должен был проехать 10 км, чтобы в
2 Математика в школе № I
назначенное время вернуться в туристический ла-
герь. В середине пути он задержался на 15 мин,
однако, увеличив скорость на 10 км/ч, приехал в
лагерь вовремя. Какова была первоначальная ско-
рость лыжника?
№ 5-99. Работа № 18, II ч. 85, 67, 205.	А-9
I вариант
. w	а2-5я	1
1.	Упростите выражение а----------.
а + 1 а-5
2.	Решите уравнение 4х — 5,5 = 5х — 3(2х — 1,5).
3.	Найдите значение выражения у/a-b2 при а =
= 0,4 и /> = 0,2.
4.	Решите систему неравенств
fx —1 <7х + 2
[11х + 13>х + 3.
5.	Вычислите координаты точек, в которых пара-
бола у = —2Х2 + 4х + 6 пересекает ось х.
, „ 11
6.	Представьте выражение —в виде сте-
ле х
пени с основанием х и найдите его значение при
х = —2.
7.	На рис. 7 изображен график движения турис-
тов до места туристического слета. Используя гра-
фик, ответьте на вопросы:
а)	сколько километров прошли туристы за пер-
вые 3 ч?
б)	сколько времени туристы отдыхали?
в)	через сколько часов после привала туристы
дошли до конечного пункта?
II вариант
,,	z лч я + 6	а-6
1.	Упростите выражение (я+4)—5——-------.
а -16 а-4
2.	Решите уравнение 4х — 5(3х + 2,5) = Зх + 9,5.
3.	Найдите значение выражения Jx + y2 при х =
= 0,4 и у = 0,3.
4.	Решите систему неравенств
(З-х <х + 2
[Зх -1 > 1 - 2х.
5.	Вычислите координаты точек, в которых пара-
бола у = —2Х2 + 8х — 6 пересекает ось х.
6.	Представьте выражение —у—в виде сте-
а а
пени с основанием а и найдите его значение при
а = —2.
7.	На рис. 8 изображен график движения турис-
тов от железнодорожной станции до туристическо-
го лагеря. Используя график, ответьте на вопросы:
а)	через сколько часов после выхода туристы про-
шли 11 км?
б)	сколько километров прошли туристы от пер-
вого привала до второго?
в)	сколько километров прошли туристьъот стан-
ции до лагеря?
п „	Зх 28-53х 4х
8.	Решите уравнение ----———- = -------
2х + 5 4х2-25 2х-5
9.	Найдите сумму всех натуральных чисел, крат-
ных 5 и не превосходящих 300.
10.	Решите графически систему уравнений
ху-8 = 0.
2х 15-32х2 Зх
2х-3 4х2-9	2х+3
8. Решите уравнение
9.	Найдите сумму всех натуральных чисел, крат-
ных 3 и не превосходящих 150.
10.	Решите графически систему уравнений
лу+3 = 0
- ,
х2 -у + 2 = 0.
NS 6-99. Работа № 40, II ч. 217, 54, 189. А-9
I вариант
а2 + у2	2а
1.	Упростите выражение-----=-----.
ау-у а-у
2.	Решите уравнение 9г - 6х + 1 = 0.
3.	Решите неравенство 2х — 3(х + 1) > 2 + х.
10
4.	а) Постройте график функции у — — 0,5л"2.
б)	Проходит ли график через точку Л/(8; —32)?
5.	Решите систему уравнений
х-у = 2
х-у2 = 2.
6.	За одно и то же время велосипедист проехал
4 км, а мотоциклист — 10 км. Скорость мотоцикли -
ста на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.
Найдите скорость велосипедиста.
7.	Сравните 7762 и 26.
8.	Велосипедист проехал по дороге, идущей вниз,
от своего дома до почты и затем вернулся домой.
На рис. 9 изображен график зависимости расстоя-
ния от времени движения.
Сколько времени велосипедист находился на
почте?
За сколько времени проезжал велосипедист 1 км
на спуске?
Какова была скорость велосипедиста (в км/ч) на
подъеме?	________
9.	Упростите выражение у(3~2-у[3)2 +3.
10.	При каких значениях а функция у — 2Х2 + ах +
+ 8 принимает только положительные значения?
II вариант
ч/	a2+b2 b
1.	Упростите выражение —-j
2.	Решите уравнение 4.x2 + 4х + 1 = 0.
3.	Решите неравенство 18 — 8(х — 2) < 10 — 4х.
4.	а) Постройте график функции у - 0,5.x2.
б) Проходит ли график через точку D(—12; 72)?
5.	Решите систему уравнений
х2 -у = -1
<
х + у = 1.
6.	За одно и то же время пешеход прошел 5 км, а
велосипедист проехал 15 км. Скорость велосипе-
диста на 12 км/ч больше скорости пешехода. С
какой скоростью шел пешеход?
7.	Сравните 28 и 7781.
8.	Турист поднялся из лагеря к горному озеру и
затем вернулся обратно в лагерь. На рис. 10 изобра-
жен график зависимости расстояния от времени
движения.
Сколько времени турист провел у озера?
За сколько минут турист проходил 1 км на подъе-
ме?
Какова была скорость туриста (в км/ч) на спус-
ке?	—
9.	Упростите выражение 7(4-~зТ2)2 ~зТ2.
10.	При каких значениях b функция у - —х2 +
+ Ьх — 9 принимает только отрицательные значе-
ния?
№ 7-99. Работа № 41, II ч. 12, 113, 138.	А-9
I вариант
. ч,	3 + 5о2
1.	Упростите выражение За-------.
G + 1
2.	Разложите на множители квадратный трехчлен
х2 — х — 30.
3.	При каких значениях а выражение За + 1
принимает положительные значения?
4.	а) Постройте график функции у =—.
б)	Возрастает или убывает функция при х > 0?
5.	Решите неравенство 4 — х2 < 0.
6.	Лодка за одно и то же время может проплыть
36 км по течению реки или 20 км против течения.
Найдите собственную скорость лодки, если скорость
течения реки 2 км/ч.
7.	Расположите в порядке возрастания числа 4,
Тб и 71з.
2х 1
4х2-у2 у-2х
8.	Упростите выражение
( 2х 4х2
1^2x4- у 4х2 +4ху + у2)
9.	Решите систему уравнений
113
<х + у~8
х + у = 12.
10.	Докажите, что при всех значениях р верно
2	2	* п
неравенство -р +-р-—<и.
II вариант
4с*2 — 2с
1.	Упростите выражение 4с—------.
2 + с
2.	Разложите на множители квадратный трехчлен
х2 + х — 42.
3.	При каких значениях а выражение 7 - 2а при-
нимает отрицательные значения?
2*
11
4.	а) Постройте график функции у = —.
х
б) Возрастает или убывает функция при х > О?
5.	Решите неравенство 16 — х2 > 0.
6.	Моторная лодка за одно и то же время может
проплыть 36 км против течения реки или 48 км
по течению. Найдите собственную скорость лодки,
если скорость течения реки 2 км/ч.
7.	Расположите в порядке возрастания числа
V12, V7 и 3.
8.	Упростите выражение
' a2 a3 Wo а2 У
----------------•------1------
^a + b a2 +b2 + 2ab j {а + Ь Ь2-а2)
9.	Решите систему уравнений
1
<! х у 5
х-у = 4.
10.	Докажите, что не существует таких значений
q, при которых выполняется неравенство
-Зц2 + 2Ч-^>0.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
№ 8-99	А-9-МК
I вариант
1.	Решите уравнение |1 + Зх| — |х — 1| = 2 — х.
_	6х2+х-7
2.	Упростите выражение -------:--- и опре-
13х-10х -3
делите, какие значения оно может принимать.
3.	В геометрической прогрессии первый член
равен V2 , а седьмой V128 . Найдите восьмой член
прогрессии.
4.	Решите уравнение
6 24
(х - 1)(х + 3) (х - 2)(х + 4)
5.	Три гонщика А, В и С, стартовав одновре-
менно, движутся с постоянными скоростями в од-
ном направлении по кольцевому шоссе. В момент
старта гонщик В находится перед гонщиком А на
расстоянии — длины шоссе, а гонщик С — перед
гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А
впервые догнал гонщика В в тот момент, когда
гонщик В закончил свой первый круг, а еще через
10 мин гонщик А впервые догнал гонщика С.
Гонщик В тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем
гонщик С. Сколько времени тратит на круг гон-
щик А?
6.	Решите неравенство
х2 -x(cos2 + cos3) + cos2-cos3<0
и укажите какое-нибудь рациональное число, ему
удовлетворяющее. (Не разрешается использовать
таблицы и микрокалькуляторы.)
II вариант
1. Решите уравнение
+ |3 + 2х| + 2х = 0.
12х2+5х-7
2.	Упростив выражение —5------, определи-
6х -1 lx — 17
те, какие значения оно может принимать.
3.	В геометрической прогрессии первый член
равен д/з, а пятый у/243. Найдите шестой член про-
грессии.
4.	Решите уравнение
2 12
(х + 1)(х-2) (х + 2)(х-3)
5.	Три гонщика стартуют одновременно из одной
точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут
в одном направлении с постоянными скоростями.
Первый гонщик впервые после старта догнал вто-
рого, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально
противоположной старту, а еще через полчаса пос-
ле этого он вторично (не считая момента старта)
обогнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые
догнал третьего через 3 ч после старта. Сколько
кругов в час делает первый гонщик, если второй
проходил круг не менее чем за 20 мин?
6.	Решите неравенство
х2 - x(sin 2 + sin 3) + sin 2 • sin 3 < 0
и укажите какое-либо рациональное число, ему не
удовлетворяющее. (Не разрешается использовать
таблицы и микрокалькуляторы.)
№ 9-99	А-9-МК
I вариант
1.	Упростите выражение
(9х 4 -4х~2 + 4х-1 -1): (Зх-3 - 2х~2 + х1).
2.	Решите неравенство (х - З)2(х - V7 )^х - 2< 0.
(Не разрешается использовать таблицы и микро-
калькуляторы при необходимых сравнениях чисел.)
3.	Вычислите tgx, если 4cos2x + 5sin2x = 2sin2x,
х— угол третьей четверти.
4.	Сумма первых восьми членов геометрической
прогрессии в 8 раз больше ее первого члена, а сумма
первого, девятого и семнадцатого членов равна 9.
Найдите сумму первых двадцати четырех членов этой
прогрессии. (Рассмотрите все возможные случаи.)
5.	Три цистерны одинакового объема начинают
одновременно заполняться водой, причем в первую
цистерну поступает 100 л воды в минуту, во вто-
рую — 60 л, в третью — 80 л. Известно, что в на-
чальный момент времени первая цистерна пуста,
12
вторая и третья частично заполнены и что все три
цистерны заполнятся одновременно. Во сколько раз
количество воды в начальный момент времени во
второй цистерне больше, чем в третьей?
|х| + х-4
6.	Постройте график функции у = —------— и
х-2
укажите для нее: область определения; множество
значений; значения, принимаемые функцией более
чем в одной точке.
II вариант
1.	Упростите выражение
(4Х-4 - х~2 + 6х-1 - 9): (2Х-4 + х} - Зх-2).
2.	Решите неравенство
(х - 4)2(х - V5 )(х - 2^ < 0.
(Не разрешается использовать таблицы и микро-
калькуляторы при необходимых сравнениях чисел.)
3.	Вычислите ctgx, если sin2x = 3-1 Icos2 х, х —
угол третьей четверти.
4.	Сумма первых девяти членов геометрической
прогрессии в 9 раз больше ее первого члена, а сумма
первого, десятого и девятнадцатого членов равна 6.
Найдите сумму первых двадцати семи членов этой
прогрессии. (Рассмотрите все возможные случаи.)
5.	Три цистерны одинакового объема начинают
одновременно заполняться водой, причем в первую
цистерну поступает 120 л воды в минуту, во вто-
рую — 40 л. Известно, что в начальный момент вре-
мени первая цистерна пуста, а объем воды в тре-
тьей цистерне в 2 раза меньше, чем во второй, и что
все три цистерны будут заполнены одновременно.
Сколько литров воды поступает в одну минуту в
третью цистерну?
г п -	1	.	х2-6х + 5
6.	Построите график функции у = ——— и
х-|х-2|
укажите для нее: область определения; значения, при-
нимаемые функцией более чем в двух точках; значе-
ния, принимаемые функцией ровно в трех точках.
2.	Решите двойное неравенство 0 < 1 - 2х - Зх2 < 2.
3.	Решите уравнение
1	|х-1,5|
|х2-5х + 6| х2-5х + 6
4.	Найдите все значения параметра а, для каж-
дого из которых числа х2, 3 — х, а + 2х не явля-
ются последовательными членами арифметической
прогрессии ни при каком х.
5.	Какое из чисел ближе к единице,
2sin29° или 2sin31°?
6.	По двум взаимно перпендикулярным шоссе в
направлении их пересечения одновременно начи-
нают двигаться два автомобиля: один со скоростью
80 км/ч, другой — 60 км/ч. В начальный момент
времени каждый автомобиль находится на расстоя-
нии 100 км от перекрестка. Определите время после
начала движения, через которое расстояние между
автомобилями будет наименьшим. Каково это рас-
стояние?
II вариант
1. Вычислите значение выражения
<	— ( 2Т3	2>
(0,36) 2-1- - (0,008)3
<	X - 7	,
Решите двойное неравенство
(-0,8)2.
-3<1- 3х-х2 <—.
4
3.	Решите уравнение
4...=0.
8-х-х2 |х2 + х-8|
4.	Найдите все значения параметра о, для каж-
дого из которых существует хотя бы одно значение
х такое, что числа 5х + 2, а+х2, 3-х являются
последовательными членами арифметической про-
грессии.
5.	Какое из чисел ближе к единице,
ФИЗИЧЕСКИЕ
И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ1
№ 10-99
А-9-ФМК1
I вариант
1. Вычислите значение выражения
(1,44)2
tg44° или tg46°?
6. Две материальные точки, имеющие в началь-
ный момент времени координаты (1; 3) и (0; -2)
в прямоугольной системе координат (х; у), одно-
временно начинают двигаться в направлении точки
с координатами (Г, —2) с одинаковыми постоян-
ными скоростями, равными 0,5 ед/с, по прямым
х = 1 и у = — 2 соответственно. Через какое время
после начала движения расстояние между матери-
альными точками станет наименьшим? Определи-
те это расстояние.
1 При выполнении работы нельзя пользоваться таблицами и
микрокалькуляторами.
13
XI КЛАСС
Указание. Отметка «5» ставится за любые пять
верно выполненных заданий.
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ
№1-99	А-11
I вариант
1.	Решите уравнение 53х~1 2 - 6 • 53х + 4 • 53х~‘ = -645.
2.	Решите неравенство log2(3x - 2) < 4.
3.	Решите уравнение cos2 х - sin2 х -sin2x - 0.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями	_____ ।	।
у = а/х +1 и у = —х + —.
3	3
5.	Тело движется по закону S(t) = -/3 4 + 6t2 + 5t - 7.
В какой момент времени его ускорение будет равно
6 м/с2? (Расстояние измеряется в метрах, время — в
секундах.)
6.	При каких значениях а неравенство
/~5 ГГ “ а2 + 2а - 3
а/х2 - 10х + 26 > —:--
о2+2о-8
выполняется для всех значений х?
II вариант
1.	Решите уравнение 45х+’ + 5 • 4Sx - 3 • 45х+2 = -624.
2.	Решите неравенство log3(2x-3)<2.
3.	Решите уравнение 2cosx sinx + cos2x = 0.
4.	Найдите плошадь фигуры, ограниченной ли-
ниями	____ ।	।
У~у1х~1 и у = — х—.
2	2
5.	Тело движется по закону 5(/) = /3-3/2 + Г + 9. В
какой момент времени его ускорение будет равно
6 м/с2 ? (Расстояние измеряется в метрах, время — в
секундах.)
6.	При каких значениях а неравенство
а/х2 +8х + 20 <
не имеет решений?
№ 2-99
2q2-4q-3
а2 -2а-8
А-11
I вариант
1. Решите уравнение 2х-6-22-16 = 0.
2. Найдите критические (стационарные) точки и
промежутки возрастания и убывания функции
у = 9 — х + 7 • 1пх.
3. Решите уравнение sin 2х +1 = 2cos2
4. Найдите первообразную функции
х
~2‘
у = 3х2+3(Зх + 1)-0,5,
график которой проходит через точку Л/(5; 130).
5. Решите неравенство
log я2 . (3х “ 5> -	+
а +3	а +3
о2+4	й2+4
6. Решите уравнение
а/х2 +Зх-4 + а/х3 + 12х2 -Их -2 = 0.
II вариант
1.	Решите уравнение 34х - 7 • 32х -18 = 0 .
2.	Найдите критические (стационарные) точки и
промежутки возрастания и убывания функции
у = 7 + х — 5 • 1пх.
3.	Решите уравнение sin2x-2sin2-|- = -l.
4.	Найдите первообразную функции
у = Зх2 - 6 (4х +1)-0,5,
график которой проходит через точку 3/(6; 180).
5.	Решите неравенство
log 2 (2х + 3) < log , (х + 2).
и +3	О +3
о2+2	о2+2
6.	Решите уравнение
а/х3 +8х2 -7х-26 + а/х2 +Зх-10 = 0.
№3-99	А-11
I вариант
1.	Решите уравнение 2 cos2 у -15 cos у - 8 = 0.
2.	Решите уравнение
log3(x3 + х2 — 4х + 2) = log3(x3 — 1).
X	X
3.	Решите неравенство 92 -12 • 32 + 27 < 0 .
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = —х2 + 4х + 3 и у = х2 — 2х + 3.
5.	Известно, что прямая, заданная уравнением
у = —Эх + 2, является касательной к графику фун-
кции у = х* — 7х2 + 2х — 3. Найдите координаты
точки касания.
6.	Для каждого значения а {а > 0; а * 1) найдите
промежутки монотонности, точки экстремумов и
экстремумы функции у = х • logfl х .
II вариант
1.	Решите уравнение 2sin2y+ 19sin-|--10 = 0.
2.	Решите уравнение
log4(x3 + х2 - Зх - 3) = log4(x3 +1).
X	X
3.	Решите неравенство 43 -6-23+ 8<0.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = —х2 - 2х + 5 и у = х2 + 4х + 5.
5.	Известно, что прямая, заданная уравнением
у = — 10х + 1, является касательной к графику фун-
кции у = х3 - 5х2 - Зх - 2. Найдите координаты
точки касания.
14
6.	Для каждого значения а {а > 0; а * 1) найдите
промежутки монотонности, точки экстремумов и
экстремумы функции у = х-ах.
№ 4-99
I вариант
1.	Решите уравнение х - 14х -8 = 0.
2.	Найдите значение выражения
( 1
--------------7----г arccos —
। 2| •-------------^2
logj sin— +--------—
V 6 J it
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями
у = —х2 + 7, у = х2 4- 1, х — —1, х = 1.
4.	Решите неравенство log2 (х2 + Зх) as 2.
>/з
5.	Решите уравнение sin4 х -1 = — • sin 2х - cos4 х.
6.	Представьте число 8 в виде суммы трех поло-
жительных слагаемых так, чтобы сумма кубов двух
первых слагаемых и третьего, умноженного на 9,
была наименьшей, если известно, что первое слага-
емое в два раза больше второго.
II вариант
1.	Решите уравнение х + Зл/х -10 = 0.
2.	Найдите значение выражения
f
------------------- arccos------
ЕГТ
logV cos— 4-----------------------
Д/ V21	3 I	л
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями
у = —х2 + 6, у = х2 + 2, х = —1, х = 1.
4.	Решите неравенство log3(x2 + 8х) * 2.
у/2
5.	Решите уравнение cos4 х +	• sin 2х = 1 - sin4 х.
6.	Представьте число 11 в виде суммы трех поло-
жительных слагаемых так, чтобы сумма кубов двух
первых слагаемых и третьего, умноженного на 21,
была наименьшей, если известно, что второе слага-
емое в три раза меньше первого.
№ 5-99
I вариант
2
3*_2
1.	Решите неравенство ------> 0 .
5-х
Я
3
2.	Вычислите интеграл jsin2xrZx.
3.	Решите систему <
4-5х-3-2* =-4
2-5х 4-3-2' =34.
А-11
4.	Из всех прямоугольников, имеющих периметр
48 см, найдите стороны того, который имеет наи-
большую площадь.
5.	При каких значениях х графики функций
j = log3(x3-5x2+4x) и у = log3(l-x) + log3(4x-x2)
совпадают?
, „	_	_ . _	о—1
6.	При каких а * —3, уравнение 2-sin2x =---
не имеет корней?	а + ^
II вариант
з
2л+2
1.	Решите неравенство --->0.
х + 7
4
2.	Вычислите интеграл J
я
3.	Решите систему *
3-4*-2-3' = -6
4х 4-2-3' = 22.
4.	Из всех прямоугольных треугольников, у кото-
рых сумма катетов равна 16 см, найдите катеты того,
который имеет наибольшую площадь.
5.	При каких значениях х графики функций
У = log7(x3 +х2 -6х) и у = log7(x 4-3)4- log7(x2 -2х)
совпадают?
, —.	—	-	~ Q 4- 5
6.	При каких о*2, уравнение 3-cos3x =----не
имеет корней?	а ~
ГУМАНИТАРНЫЕ КЛАССЫ
№ 6-99
д-11-3-часовая
программа
На выполнение работы отводится 5 астрономи-
ческих часов.
I вариант
1.	Решите уравнение sin2x =—.
2.	Решите неравенство log1 (3 - 2х) > -1.
5
3.	Решите уравнение 4х"2+4*“' =80.
4.	Найдите критические (стационарные) точки
функции Дх) = 2х3 - 9Х2 — 60х + 127.
5.	Найдите первообразную функции Дх) = вх3 - 5,
график которой проходит через точку М(1; 4).
х „	ух2—7x4-12
6.	Решите неравенство ---------
х-2
II вариант
1П	Э
1.	Решите уравнение cos2x = —.
2.	Решите неравенство log ((2 - Зх) > -1.
4
15
3.	Решите уравнение Зх+2 + Зх+3 = 108.
4.	Найдите критические (стационарные) точки
функции /(х) = 2х3 + Зх2 - 72х - 213.
5.	Найдите первообразную функции /(х) = 10х4 +
+ 3, график которой проходит через точку М{\ \ 3).
4 d	>1х2-х-6 ~
6.	Решите неравенство -----—<0.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Ns 7-99
А-11-М К
I вариант
1.	Решите неравенство logx+2(9x2 + 15х-6)<2.
2.	Решите уравнение 8•2м + 7•2х = 30.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
фиком функции у = х2 — 2|х| + 1 и касательными
/ 5	14Л
к нему, проходящими через точку Л —;---.
V 6	3 )
4.	Найдите общие корни многочленов
х4-х2-2х-1 и х4 + 2х3-Зх2-4х-1.
5.	Изобразите на комплексной плоскости множе-
ство всех таких точек что для каждой из них для
любого решения z уравнения |г —3/| = |z — Zol вы-
полняется условие z2 * ti для любого положитель-
ного t е R.
6.	Найдите все такие значения параметра а, для
каждого из которых уравнение cosx = a имеет
наибольшее количество корней на промежутке
( 2л 29л1
. Определите это количество, а для каж-
I 3 ’ 2 .
дого такого а найдите сумму корней данного урав-
нения на рассматриваемом промежутке.
II вариант
1.	Решите неравенство log,_x(2x2 + Зх +1) > 2.
2.	Решите уравнение 15-3W+9-Зх =32.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
фиком функции у = х2 - 31 х | +х и касательными к
/ 5	13А
нему, проходящими через точку л! —;-----.
у 4	2 )
4.	Найдите общие корни многочленов
х4-х2+6х-9 и х4-х3-2х2+9х-9.
5.	Изобразите на комплексной плоскости множе-
ство всех таких точек z0, что для каждой из них
для любого решения z уравнения |z + 4| = |г — г0|
выполняется условие z2 * ti для любого отрицатель-
ного t е R.
6.	Найдите все такие значения параметра а, для
каждого из которых уравнение sinx = o имеет наи-
большее количество корней на промежутке
1 г\ 5 л ]	_
- Юл; — . Определите это количество; для каж-
дого такого а найдите сумму корней данного урав-
нения на рассматриваемом промежутке.
№8-99	А-11-МК
I вариант
1.	Найдите модуль и один из аргументов комп-
лексного числа 1 - cos9 - i sin 9.
2.	Пусть /(x) = V2cos2x + sin3x. Найдите какое-
либо отрицательное число /, для которого выпол-
няется равенство /(/) = f\t).
3.	Исследуйте функцию
g(x) = log0 5^3х + ^9х2 +0,0625^ - 2
на четность и нечетность.
4.	Какова вероятность того, что в числе, случай-
но выбранном из всех четырехзначных чисел, нет
цифры 7?	1
5.	Сравните два числа: [sin—dx и In3, исполь-
1 х
з
зуя геометрическую интерпретацию определенного
интеграла. (Не разрешается использовать таблицы
и микрокалькуляторы.)
6.	Найдите все такие значения параметра а, при
каждом из которых уравнение х5 -5х4 +ах + Ь = 0
для любого значения b имеет ровно один корень.
II вариант
1.	Найдите модуль и один из аргументов комп-
лексного числа
1 - cos 13 +/sin 13.
2.	Пусть g(x) = VL3cosx + sin5x. Найдите какое-
либо положительное число t, для которого выпол-
няется равенство g(t) = -g'(t).
3.	Исследуйте функцию
/(х) = log3 f-J16x2 +9 - 4x^1 -1
на четность и нечетность.
4.	Какова вероятность того, что в числе, случай-
но выбранном из всех четырехзначных чисел, нет
цифры 0?	1
5.	Сравните два числа: [cos—dx и V2, исполь-
1 х
6
зуя геометрическую интерпретацию определенного
интеграла. (Не разрешается использовать таблицы
и микрокалькулятор.)
6.	Найдите все такие значения параметра а, при
каждом из которых уравнение 0,2х5 - ах4 + Зх + b = 0
для любого значения b имеет ровно один корень.
№ 9-99
I вариант
1.	Решите уравнение
А-11-МК
16
logv(3x-2)-2 = log;(3x-2) + log4 --- .
у	Jx\3x-2)
2.	Напишите уравнение касательной к графику
функции у = е2х-х + 3, образующей с осями коор-
динат равнобедренный прямоугольный треугольник.
3.	Изобразите на комплексной плоскости все та-
кие точки Zq, что среди чисел z, удовлетворяющих
уравнению |г + г01= 0,5, есть ровно одно число с мо-
дулем 1.
4.	Найдите общие корни многочленов
х4-х2-6х-9 и х4-Зх3-Зх2+8х + 6.
5.	Решите систему уравнений
2х + у _ .
cos----— = 3smx
2
. 2х + у
sm-----— = cosx.
I 2
6.	На изготовление аквариума объемом 4,8 м3 в
форме прямоугольного параллелепипеда с квадрат-
ным основанием требуются уголки по длине всех
ребер (12 ребер) и стекло на боковые стенки и пол.
Цена уголков — одна условная единица (у. е.) за
погонный метр, цена стекла — 4 у. е. за квадратный
метр. Каковы должны быть размеры аквариума,
чтобы расходы на материал были минимальными?
II вариант
1.	Решите уравнение
log 4(6х2 — 5х)4 =3 + Jlog2(6x-5)-41og I- .
А	V	V х )
2.	Напишите уравнение касательной к графику
функции у = 21пх-х-1, образующей с осями ко-
ординат равнобедренный прямоугольный треуголь-
ник.
3.	Изобразите на комплексной плоскости все та-
кие точки Zo, что среди чисел z, удовлетворяющих
уравнению |#-z01= 1,5, есть ровно одно число с
модулем 2.
4.	Найдите общие корни многочленов
х4-х2 + 2х-1 и х4+Зх3-Зх2-6х + 4.
5.	Решите систему уравнений
2х-у
cos----— = sinx
„ 2
2х — у
sin---— = 5cosx.
I 2
6.	На изготовление открытого контейнера объе-
мом 10 м3 в форме прямоугольного параллелепипе-
да, одна из боковых граней которого - квадрат,
требуются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и
фанера на боковые стенки и пол. Цена уголков -
одна условная единица (у. е.) за погонный метр, цена
фанеры - 4 у. е. за квадратный метр. Каковы долж-
ны быть размеры контейнера, чтобы расходы на
материал были минимальными?
ПРОФИЛЬНЫЕ КЛАССЫ
№ 10-99
А-11-ФМК
I вариант
( • 4	• 5	• 16>1
1.	Вычислите cos arcsin — + arcsin — + arcsm—.
V 5	13	65j
(He разрешается использовать таблицы и микро-
калькуляторы.)
2.	Решите уравнение 5sin3x + 2sinx = 0.
3.	Решите неравенство (
(2х-5)(32*-4)
(3х - 8)(х4 + 4х + 20)
4.	Найдите длину наибольшего отрезка оси абс-
цисс, на котором графики функций
/(х) = 4 -yjx + 5 + 2у/х + 4 иg(x) = ^x + \3-6yjx + 4
совпадают.
5.	Исследуйте функцию у =-----. (Найдите об-
х
ласть определения, множество значений, промежут-
ки монотонности, точки экстремума, экстремумы,
промежутки выпуклости, точки перегиба, асимпто-
ты, нули.) Постройте ее график.
6.	Найдите все такие значения а, при которых
касательная к графику функции у = х4-ах2 + Зх +1,
проведенная в точке графика с абсциссой 1, имеет
с этим графиком ровно одну общую точку.
II вариант
fl 1 2Л
1.	Вычислите ctg arctg— + arctg—+ arctg — . (He
V 3	4	9)
разрешается использовать таблицы и микрокальку-
ляторы.)
2.	Решите уравнение 7cos3x-3cosx = 0.
(2х-3) 27"-9
3.	Решите неравенство ---------------—<0.
(2 х -5)(х4 -2х + 10)
4.	Найдите длину наибольшего отрезка оси абс-
цисс, на котором графики функций
/(х) = 3 -^х-3 + 2у/х-4 и g(x) = Jx-4-jx^4
совпадают.	€х
5.	Исследуйте функцию у =----. (Найдите об-
1 +х
ласть определения, множество значений, промежут-
ки монотонности, точки экстремума, экстремумы,
промежутки выпуклости, асимптоты, нули.) Пост-
ройте ее график.
6.	Найдите все такие значения а, при которых
касательная к графику функции у = х4 + ах2 - 2х - 3,
проведенная в точке графика с абсциссой -1, имеет
с этим графиком ровно одну общую точку.
17
XII КЛАСС
ВЕЧЕРНЯЯ ШКОЛА
№11-99	А-12-ВШ
I вариант
1.	Найдите абсциссы точек графика функции
у = х3 — 2х2 + 2х — 4, в которых угловой коэффици-
ент касательной равен 1.
2.	Решите уравнение 2cos2x + 5sinx +1=0.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = х2 + 2х + 2 и у — —х + 2.
4.	Решите уравнение 2^3х~3 =	.
5.	Найдите область определения функции
у = log3(5+4х - х2) + logx_| 3.
6.	Для всех значений а решите неравенство
х2 -(я + 2)х + 2я < 0 .
II вариант
1.	Найдите абсциссы точек графика функции у =
= х3+х2 — бх + 3, в которых угловой коэффициент
касательной равен —1.
2.	Решите уравнение 2sin2x — 7cosx + 2 = 0.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = —х2 — 2х + 4 и у = х + 4.
4.	Решите уравнение 3V4x-7 =	.
5.	Найдите область определения функции
у = log2(6 + х - х2) + log2_x 5.
6.	Для всех значений а решите неравенство
х2 + (3 - а)х - За < 0 .
№ 12-99
А-12-ВШ
I вариант
1.	Решите неравенство 2х +5х <(V2)12.
2.	Дана функция /(х) = х3-Зх2 + 2x-Vx + 3. Най-
дите /'(I).
3.	Решите уравнение sin 6х + 3sin Зх = 0.
4.	Найдите первообразную функции
/(х) = 5х4 -8х3 +9х2 —
х
график которой проходит через точку М(2; 4,25).
5.	Решите систему уравнений
л/Зх-5 +у = 7
х-4 = у.
6.	Решите неравенство 6 < log2 х + log3 х.
II вариант
2-7	1
1.	Решите неравенство 3х х<—т=—.
ь/3)12
2.	Дана функция /(x)=x3+4jc2-x+7x-1. Най-
дите /'(2).
3.	Решите уравнение sin 8х — 4cos 4х = 0.
4.	Найдите первообразную функции
/(х) = 4х3 - Зх2 + 6х- -
х
график которой проходит через точку М(2; 6,25).
5.	Решите систему уравнений
V4x-7=5-y
[2х-у = 6.
6.	Решите неравенство 15 + 21og2x-log2x>0.
№ 13-99	А-12-ВШ
I вариант
1.	При каких значениях х производная функции
/(х) = х3 -12х + 7 отрицательна?
2.	Решите систему уравнений
492х+>' -7
х+6 = 2у.
3.	Решите уравнение cosx = sin2x.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
2
фиком функции у = х+— и прямыми х= 1, х = 0,5,
- п	х
У = 0.
5.	Решите неравенство logj,x<l.
6.	Найдите наибольшее значение функции
у = х + 2у1з-х на отрезке [—5; 3].
II вариант
1.	При каких значениях х производная функции
/(х) = -х3 + 2х2 - 3 положительна?
2.	Решите систему уравнений
162x-J'=4
х + 2 = 2у.
3.	Решите уравнение sin2x = sinx.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
3
фиком функции у = х + —^ и прямыми х= 1, х— 2,
хл
у = 0.
5.	Решите неравенство log2 х > 4.
6.	Найдите наименьшее значение функции
у = х-6>/х-1 на отрезке [5; 17].
КЛАССЫ ШКОЛ-ЭКСТЕРНАТОВ
I вариант
1.	Решите уравнение cos22x + 5 cos 2х = 2sin22x.
2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
4
фиком функции у = — и прямыми х = 1, х = 2 и
-л	х
У~°-	х-3
3.	Решите неравенство log0 3-<0.
18
4.	Решите систему уравнений
х — у = 16
4х~4у = 2.
5.	Решите уравнение logcosx sinx = 1.
6.	При каких значениях а прямая у = а + xln81
является касательной к графику функции
/(х) = 9Л+2-3x+1-xln81?
II вариант
1.	Решите уравнение
sin2(x/2) — 5sin(x/2) = 2cos2(x/2).
2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
2
фиком функции у — — и прямыми х = 1, х = 4 и
5 — х
3.	Решите неравенство log,--->0.
х-2
4.	Решите систему уравнений
у-х = -7
<Jx +Jy-7.
5.	Решите уравнение logsinA V3cosx = l.
6.	При каких значениях а прямая у = а + xln2
является касательной к графику функции
/(х) = 4х-2х+2+х!п8?
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ = '	' =
IX КЛАСС
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Ns 8-99	А-9-МК
I вариант
1.	Решите уравнение |1 + Зх| - |х -1| = 2 - х.
Решение. Отметим на координатной прямой точ-
ки, в которых выражения, стоящие под знаком мо-
дуля, обращаются в нуль:
1 + Зх = 0	х—1=0
х = —1/3,	х = 1.
Указанные точки разбивают числовую прямую на
три числовых промежутка. Расставим знаки, с ко-
торыми мы будем раскрывать выражения, стоящие
под знаком модуля (рис. 11).
_2
____________5________I________
3нак(1+3х)	~	'	+	**
Знак(х-1) —	—	+
Рис. 11
Прих < -1/3 исходное уравнение принимает вид
—1 — Зх + х — 1 = 2 — х.
Отсюда х = —4. Так как -4е(-оо;-1/3], то х =
= —4 является корнем исходного уравнения.
При -1/3<х<1 данное в условии уравнение
преобразуется в 1+Зх + х— 1 = 2— х. Отсюда х =
= 0,4, 0,4 g [-1/3;!].
При х > 1 уравнение принимает вид
1 + Зх — х+1=2 — х, т.е. х = 0.
Но этот корень посторонний, так как 0 [1; +оо).
Ответ: {—4; 0,4}.
Замечание. Хотим обратить внимание на то,
что учащиеся должны проверять, входит ли полу-
ченный корень преобразованного уравнения в тот
промежуток, в котором раскрывали модули, и толь-
ко после этого записывать ответ. Данное пожела-
ние было бы излишним, если бы нс встречались, к
сожалению, работы учащихся, в которых в ответ,
помимо значений х, выписаны еще и условия, при
которых раскрывали модули.
6х2 + х - 7
2.	Упростите выражение —---j~ и опреде-
лите, какие значения оно может принимать.
Решение. Сначала установим, можно ли раз-
ложить на множители числитель и знаменатель. Для
этого решим квадратные уравнения, воспользовав-
шись в данном случае теоремой Виета:
бх2 + х - 7 = 0,	—10х2 + 13х - 3 = 0,
2 1	7
х +—Х-—х = 0,	х2 - 1,3х + 0,3 = 0,
о о
х = 1, х = —7/6;	х = 1, х = 0,3.
Разложив на множители, упростим полученное
выражение	/	7\
, 2	7	6(х-!) Х+-
6х + х - 7 _	6) _ 6х + 7
13х-10х2-3--10(х-1)(х-0,3)“-10х + 3’	‘
г»	«	г/ ч 6х + 7
Введем функцию /(х) =------, х*1,
-10х + 3
f (х) = -0,6-—----, х * 1.
ЮОх-30
Графиком этой функции является гипербола с вы-
(	1ЗЛ	13
колотой точкой II; —— I, так как /(1) = —Гра-
фик функции построен на рис. 12.
19
Множеством значений этой функции является
объединение числовых промежутков
(	13^ ( 13	>
£(/) = !-°о; -у 1о -у; -0,6 и(-0,6; + а>).
Ответ:, х^1;
-10х + 3
Г 13Л Г 13 А
-со;---М -—; -0,6 Ю(-0,6; + оо).
t 7 J V 7	”
Замечание. Более удачной нам видится сле-
дующая формулировка задания:
«Упростив выражение, постройте график функ-
6х2 + х- 7
ции у =------------ и укажите множество
13х-10х2-3
значений этой функции».
При выполнении данного задания типичная
ошибка состоит в том, что учащиеся, упростив вы-
ражение, выписывают в ответ не множество значе-
ний данного выражения, а множество допустимых
значений х, т.е. область определения. Имея перед
собой наглядную картинку, сделать подобную ошиб-
ку труднее.
3.	В геометрической прогрессии первый член равен
V2, а седьмой V128. Найдите восьмой член прогрессии.
Решение. Найдем знаменатель геометричес-
кой прогрессии, используя формулу л-го члена
b„ ~ bxqn \ где — первый член геометрической
прогрессии, a q — знаменатель: b-, - b{qk.
Подставляя исходные значения, рассмотрим урав-
нение относительно q:
qe=8.
у/2
Отсюда q = -V2 или q = V2.
При q - -V2 получим Л, = 41 (- V2)7, откуда b* = -16.
При <7-5/2 получим 68 =	, откуда b* = 16.
Ответ: bs = —16 или bH = 16.
4.	Решите уравнение
6 24
(x-I)(x + 3) (x-2)(x + 4)	'
Решение. Найдем область допустимых значе-
ний для х. Выражения, стоящие в знаменателях дро-
бей, не должны обращаться в нуль:
х-1^0, х + 3*0, х-2^0, х + 4^0,
х*\,	х^-З, х*2, х + -4.
Следовательно, областью допустимых значений
является R\{—4; —3; 1; 2}.
Решим уравнение методом замены. Преобразуя
знаменатели дробей, установим, что (х — 1 )(х + 3) =
= х2 + 2х - 3 и (х - 2)(х + 4) = х2 + 2х - 3 - 5.
Пусть х2 + 2х — 3 = Г, тогда исходное уравнение
примет вид
6 24
t t-5
Данное уравнение равносильно системе
|б(/-5)-24/ = г(/-5)
[t * 0, t ф 5.
Решив квадратное уравнение I2 + 13/ + 30 = О,
найдем, что t = —3, t = —10.
Вернемся к исходной переменной.
1)	х2 + 2х — 3 = —3, х2 + 2х = 0, х = 0 или х =
= —2. Оба значения х входят в область допусти-
мых значений.
2)	х2 + 2х — 3 = —10, х2 + 2х + 7 = 0. Дискрими-
нант этого уравнения меньше 0, значит, действи-
тельных корней нет.
Ответ: {—2; 0}.
5.	Три гонщика А, В и С, стартовав одновремен-
но, движутся с постоянными скоростями в одном
направлении по кольцевому шоссе. В момент старта
гонщик В находится перед гонщиком А на рассто-
янии 1/3 длины шоссе, а гонщик С перед гонщиком
В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые до-
гнал гонщика В в тот момент, когда гонщик В
закончил свой первый круг, а еще через 10 мин гон-
щик А впервые догнал гонщика С. Гонщик В тра-
тит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик С.
Сколько времени тратит на круг гонщик А ?
Решение. Примем длину кольцевого шоссе за
один оборот. Пусть гонщик А тратит на один обо-
рот х мин, а гонщик В — у мин. Скорость гонщи-
ка А 1/х об/мин. Так как гонщик А впервые
догнал гонщика В в тот момент, когда тот закон-
чил свой первый круг, то до встречи гонщик А за-
тратил х мин
проехать 1/3
щики А и
на круг и еще х/3 мин на то, чтобы
(1 1 х^
оборота	. Так как гон-
13x3/
В стартовали одновременно, то
у-х +—, т.е. у = — х. Итак, гонщик В тратит на
3	4 3
один оборот —х мин. Тогда скорость гонщика В
3	3
равна —х об/мин.
По условию, гонщик С тратит на круг на 2,5 мин
/4 А
больше, чем гонщик В, т.е. —х + 2,5 мин. Зна-
чит, его скорость равна —-------- об/мин.
—х + 2,5
3
шел путь, равный —х + 10 •
Время, за которое гонщик А догнал гонщика С,
/4
равно |—х + 10|мин. За это время гонщик С про-
I
—------- оборотам. За
—х + 2,5
3
это же время, т.е. за I—х + 10 мин, гонщик А
20
прошел
4 in I 1
—x +10 — оборотов, но так как в момент
старта гонщик С находился перед гонщиком А на
2
расстоянии — длины шоссе, то гонщик А прошел
2	3
на — оборота больше, чем гонщик С. Следова-
тельно, имеем
4	4				
— A'+10 з	—х + 10 3	2	,	22,5	4 10	2
		—• —	1+		—	— —I		—	
- х + 2,5 3	X	3’	4х + 7,5	3 х	3’
1	22,5	10 Л
— +---------------= 0.
3 4х + 7,5 х
Учитывая, что х^О и х*-1,875, домножим обе
части последнего уравнения на Зх(4х + 7,5) и запи-
шем
4х2 + 7,5х + 67,5х - 120х - 225 = 0.
Преобразуя, имеем 4х2 — 45х — 225 = 0. Решим
это квадратное уравнение. Его дискриминант D
вычислим следующим образом:
£ = 452 +16• 225 = З4 -52 + 42 -З2 -52 =
= 32-52-(9 + 16) = 32-52-25,
y/~D =3-5-5 = 75 и х= 45±75, т е х_|5 или х = -30/8.
Но —30/8 < 0, поэтому х = —30/8 не подходит по
смыслу задачи. Остается х - 15, т.е. гонщик А
тратит на один оборот 15 мин.
Проверка.
Все сведения, которые можно получить, зная х
и у, сведем в таблицу.
Таблица
Гонщики:	Время одного оборота (мин)	Скорость (об/мин)
А	15	1/15
В	20	1/20
С	22,5	2/45
Подставим в условие задачи найденные величи-
ны.
Через 20 мин после старта:
20—= 1 (оборот) - гонщик В сделал первый
оборот;
1	4
20-— = — (оборот) сделал гонщик А, но так как
при старте он стоял позади гонщика В, то за это
время прошел на — оборота больше;
4/3— 1/3=1 (оборот), 1 = 1 верно.
Еще через 10 мин (т.е. через 30 мин после старта):
30 —= 2 (оборота) сделал гонщик А;
2 4
30 — = — (оборота) сделал гонщик С. С учетом
45 3	2
того, что он стоял на — оборота впереди гонщика
А, получаем
2 2
30-—+у=2 (оборота), 2 = 2 верно.
Проверка показала, что полученные значения
удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 15 мин.
6. Решите неравенство
х2 - x(cos 2 + cos3) + cos 2  cos3 < 0
и укажите какое-нибудь рациональное число, ему удов-
летворяющее. (Не разрешается использовать табли-
цы и микрокалькуляторы.}
Решение. Введем функцию
f (х) = х2 - x(cos 2 + cos 3) + cos 2 • cos3.
Найдем нули данной функции, решив уравнение
л 2 - x(cos 2 + cos 3) + cos 2 • cos 3 = 0.
Оно имеет два корня, так как его дискриминант D
положителен. В самом деле,
Z) = (cos2 + cos3)2 -4cos2-cos3 = (cos2-cos3)2 >0.
По теореме Виета заключаем, что х = cos2 или х =
= cos3. Тогда
х2 - x(cos 2 + cos 3) + cos 2 • cos 3 = (л* - cos 2)(x - cos 3).
Сравним cos2 и cos3, для этого воспользуемся
единичной окружностью (рис. 13) и определением
косинуса. Из рисунка видно, что cos3 < cos2 < 0.
Рис. 13
Отметив на координатной прямой указанные точ-
ки, решим исходное квадратное неравенство мето-
дом интервалов (рис. 14). Выясним, какой знак име-
ет функция f на промежутке (cos2; со). Поскольку
0 принадлежит этому промежутку, проверим знак
функции/в точке х = 0: /(0) = cos3cos2>0. Значит,
знаки функции можно расставить так, как на рис. 14.
Неравенство выполняется на промежутке (cos3; cos2).
Для того чтобы указать какое-нибудь рациональ-
ное число, удовлетворяющее неравенству, вернем-
ся к рассмотрению единичной окружности (рис. 13).
2 л
Установим, что 2 < —г < 3, так как 6 < 2л < 9. Но изве-
2л 31	1
стно, что cos—= -—, поскольку - — число рацио-
нальное, оно может служить искомым примером.
Ответ: (cos3; cos2); —0,5.
21
II вариант
1. Решите уравнение
+13 + 2х| + 2х = 0.
Решение. Отметим на координатной прямой
точки, в которых выражения, стоящие под знаком
модуля, обращаются в нуль:
5 + х/2 = 0 или 3 + 2х = 0,
х = —10,	х = —1,5.
Точки —10 и —1,5 разбивают множество действи-
тельных чисел на три числовых промежутка. Рас-
ставим на координатной прямой знаки, с которыми
мы будем записывать выражения, стоящие под зна-
ком модуля (рис. 15).
___________________-10	-1,5____________(
Знак (5+~^~)	—	+	+	х
Знак (3+2х)	—	~	+
Рис. 15
При х<-10 исходное уравнение принимает вид
-5- —-3-2х + 2х = 0,
2
отсюда х — —16, причем -16е(-оо;-10].
При -10<х<-1,5 исходное уравнение перепи-
шем так:	х
5 + 3-2х + 2х = 0,
2
тогда х = —4 и -4е [-10;-1,5].
При х > —1,5 имеем
х	7	7
5 + — + 3 + 2х + 2х = 0, х =—1—, но -1 — ё[-1,5;+оо).
2	9	9
,7
Следовательно, х - -1— посторонний корень.
Ответ: {—16; —4}.
_	12х2+5х-7
2.	Упростив выражение —=------, определи-
те -Их-17
те, какие значения оно может принимать.
Решение. Разложим на множители выраже-
ния, стоящие в числителе и знаменателе. Для этого
сначала решим квадратные уравнения
12Х2 + 5х - 7 = 0 и бх2 — 11х — 17 = 0.
Каждое из них имеет два корня, поскольку их дис-
криминанты положительны. Один корень первого
уравнения «угадать» легко. Так как 12 — 7 = 5, то
х, = — 1 и тогда по теореме Виета х2 = 7/12. Аналогич-
но решаем и второе уравнение. Поскольку 6 — 17 =
= —11, устанавливаем, что х, = — 1, тогда х2 = 17/6.
Разложив на множители, упростим полученное
выражение
. 12х2+5х-7
6х2 - Их-17
2Х-1
____6__
17
х----
6
=2+-31_
6х-17
После упрощений получилась сумма двух выраже-
ний, которая не может принимать значение 2, так
27
как ------* 0. Учитывая, что в область определе-
6х-17
ния исходного выражения не входит х = — 1, мы
должны отбросить значения преобразованного вы-
ражения при х = —1, т.е. число
2 +
27
-1-6-17
= 2-1— =
23
19
23'
Окончательный вывод такой: данное в условии вы-
ражение может принимать любые значения, кроме
2 и 19/23.
О т в е ту
-со; — ю —; 2 и(2; + оо).
23 J I 23 J
3.	В геометрической прогрессии первый член равен
у[з, а пятый у!243. Найдите шестой член прогрессии.
Решение. Обозначим через Ьх, Ь2, Ьп — члены
данной прогрессии, а через q — ее знаменатель. По
условию 4?>q4 = у!243, тогда q4 = ^243 : 4з, q4 = 9. От-
сюда q = -43 или q-y/з. Так как b6 = qb5 (по оп-
ределению геометрической прогрессии), получим:
при q = -у/з, Ь6 = -4з • у)243, т.е. Ь6 = -27;
при q = у/з, Ьь =у[3-у]243, т.е. Ь6 = 27.
Ответ: Ьь = —27 или Z>6 = 27.
Замечание. Несмотря на очевидную легкость
этого задания некоторые учащиеся допустили ошиб-
ку, не учтя, что знаменатель геометрической про-
грессии принимает два возможных значения и, как
следствие этого, в ответ надо выписать два значе-
ния Ьь. Поскольку мы имеем дело с математически-
ми классами, то этот факт можно объяснить только
нервозностью на экзаменах, а потому советуем пси-
хологически готовить учащихся к выпускным ис-
пытаниям.
4.	Решите уравнение
2___________12
(х + 1)(х-2) (х + 2)(х-3)~
Решение. Найдем область допустимых значе-
ний для х. Выражения, стоящие в знаменателях дро-
бей, не должны обращаться в нуль, т.е. следует ис-
ключить те значения х, при которых имеют место
уравнения
х + 1 = 0, х — 2 = 0, х + 2 = 0, х—3 = 0,
х = —1, х = 2, х =-2,	х = 3.
Следовательно, областью допустимых значений
является R\{—2; -1; 2; 3}.
Приведем исходное уравнение к виду
2 12	=1
х2-х-2 х2-х-6
Далее можно воспользоваться, как и в первом
варианте, методом замены (что более рационально),
22
но мы хотим показать другой способ решения.
Итак, помня об ОДЗ, приведем уравнение к виду
2(х2 — х — 6) — ^(х2 —х — 2) = (х2 — х — 6)(х2 — х — 2).
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, полу-
чим
х4 — 2х3 + Зх2 — 2х = О, х(х3 — 2х2 + Зх — 2) = 0.
Отсюда х = 0 или х3 — 2Х2 + Зх — 2 = 0.
Решим уравнение х3 — 2Х2 + Зх — 2 = 0. Так как
сумма коэффициентов равна нулю (1—2 + 3 — 2 = 0),
заключаем, что х = 1 является корнем данного урав-
нения. Воспользовавшись затем способом группи-
ровки или делением многочлена на многочлен, на-
ходим
(х - IXx2 - х + 2) = 0,
х — 1 = 0 или х2 — х + 2 = 0,
х = 1	D < 0, действительных
корней нет.
Ответ: {1; 0}.
5.	Три гонщика стартуют одновременно из одной
точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в
одном направлении с постоянными скоростями. Пер-
вый гонщик впервые после старта догнал второго,
делая свой пятый круг, в точке, диаметрально про-
тивоположной старту, а еще через полчаса после
этого он вторично (не считая момента старта) обо-
гнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые до-
гнал третьего через 3 ч после старта. Сколько кругов
в час делает первый гонщик, если второй проходил круг
не менее чем за 20 мин ?
Решение. Пусть первый гонщик делает х
кругов в час, второй - у кругов в час, третий — z
_ 111
кругов в час. Тогда — ч, — ч, — ч — время на про-
х у z
хождение одного крута каждым гонщиком соответ-
ственно.
По условию задачи первый гонщик догнал вто-
рого, сделав 4,5 круга, причем из условия следует,
что второй прошел на один круг меньше, т. е. 3,5
л 1	, 1
круга. Следовательно, 4—х = 3—у.
1	2	2 1
За —ч первый гонщик прошел —х кругов. Зна-
чит, он вторично обогнал третьего гонщика, прой-
(Л\ 1 А
дя I 4—+у х I кругов, а третий - на два круга мень-
L1 1 > D
ше, т.е. 2—+—х кругов. Времени у них ушло оди-
наково: k 7
4,5 +0,5х
—-----— ч - время движения первого гонщика
х	до того момента, как он вторично
обогнал третьего;
2,5 + 0,5х
-------ч — время движения третьего гонщика
z-------до того момента, как его вторично
обогнал первый гонщик.
Составляем уравнение
4,5 +0,5х 2,5+0,5х
X	z
Так как второй гонщик впервые догнал третьего
через 3 ч после старта, то Зу — 3z = 1.
Составим систему уравнений:
45 _ 3^5
X у
4,5 +0,5х _ 2,5 +0,5х
х	Z
3y-3z = l
Из второго уравнения системы выразим z через х:
х2 + 5х
Z =----
и, подставив получившееся выражение в третье урав-
нение системы, получим
х2+5х Зу-1 х2+5х 7х-3
	= — , или 	=	.
х+9------------------------3	х + 9-9
Отсюда 2Х2 — 15х + 27 = 0, х = 3 или х = 4,5.
Подставив каждое из найденных значений х в
систему (*), придем к двум системам
По условию, второй гонщик проходит круг не
менее, чем за 20 мин, т.е. должно выполняться не-
равенство — > —, или у < 3. Следовательно, реше-
У 3
ние второй системы не удовлетворяет условию за-
дачи.
Ответ: первый гонщик делает
3 круга в час.
6.	Решите неравенство
х2 -x(sin2 + sin3) + sin2-sin3 <0
и укажите какое-либо рациональное число, ему не
удовлетворяющее. (Не разрешается использовать
таблицы и микрокалькуляторы.)
Решение. Введем функцию
/(х) = х2 -x(sin2 + sin3) + sin2-sin3
и найдем ее нули, решив уравнение
х2 -x(sin2 + sin3) + sin2-sin3 = 0.
Это уравнение имеет два корня, так как его дискри-
минант D положителен. В самом деле,
D = (sin 2 + sin З)2 - 4 sin 2 sin 3 = (sin 2 - sin 3)2 > 0.
По теореме Виета заключаем, что х = sin2 или
х = sin3. Тогда выражение, задающее функциюДх),
можно разложить на множители
х2 - x(sin 2 + sin 3) + sin 2 • sin 3 = (x - sin 2)(x - sin 3).
23
Сравним sin2 и sin3, для этого воспользуемся
единичной окружностью (рис. 16) иопределением
синуса. Из рис. 16 видно, что 0 < sin3 < sin2.
Отметив на числовой прямой указанные точки,
решим исходное квадратное неравенство методом
интервалов (рис. 17).
Рис. 16
Расставим знаки как показано на рис. 17, учиты-
вая, что 0e(-oo;sin3) и /(0) = sin3sin2>0. Таким
образом, исходное неравенство выполняется на
промежутке (sin3; sin2).
Надо указать какое-либо рациональное число, не
удовлетворяющее неравенству. Выберем любое раци-
ональное число из промежутка (-оо; sin 3) о (sin 2; + оо).
Например, 100.
Ответ: (sin3; sin2); 100.
Замечание. Знак «меньше» во втором вари-
анте существенно упростил решение, но зато заста-
вил работать логику. Хотя обычно задачи «с отри-
цанием» вызывают у школьников затруднения.
Важно также обратить внимание учащихся на то,
что аргумент измеряется в радианах. При подготов-
ке к экзаменам полезно включать устные упражне-
ния типа «Сравнить sin5 и sin5°».
№ 9-99	А-9-МК
I вариант
1. Упростите выражение
(9х4 - 4х“* 2 + 4х-1 -1): (Зх3 - 2х~2 + х1).
Решение. I способ. Пусть х'1 = а, тогда вы-
ражение примет вид
9д4 - 4д2 + 4о -1 _ 9q4 -(2о -1)2
За3 - 2а1 +а	а(3а2 -2а + \)
(Зя2-2о + 1)(3о2+2о-1) (Зо2+2«-1) , „ 1
а(3а2 - 2а +1)	а	а
Возвращаясь к исходной переменной, имеем
3 _	3 + 2х-х2
— + 2 - х =-----.
II способ. Приведем данное выражение к виду
9-4х2 +4х3 -х4.3-2х+х2 _ 9-4х2 +4х3 -х4 _
х4	х3 х(х2-2х+3)
9-(2х-х2)2 _ (х2 -2х+3)(-х2 + 2х+3) _ х2 -2х-3
х(х2 - 2х+3)	х(х2 - 2х+3)	х
Замечания
1.	В ответе мы не указали область допустимых
значений для х, поскольку преобразования не при-
вели к ее изменению.
2.	Упрощая выражение, мы использовали способ
группировки и формулы сокращенного умножения
для разложения на множители числителя и знаме-
нателя. В классе было бы полезно показать способ
деления «уголком».
2.	Решите неравенство (х - 3)2(х - 41 )^х - 2 < 0.
(Не разрешается использовать таблицы и микрокаль-
куляторы при необходимых сравнениях чисел.)
Решение. Воспользуемся методом интервалов.
Найдем точки, в которых выражение, стоящее в
левой части неравенства, обращается в нуль.
х-3 = 0, x-V7=0, х-2—= 0,
25
т /V о16
х = 3,	x = V7,	х = 2—.
25
Сравним найденные числа. Сначала сравним 41
и 2—. Легко видеть, что 2—= 2,64 и 7>6,9696 =
25	_____ 25
= (2,64)2. Отсюда 41 > у2,642, т.е. 41 > 2—. Срав-
ним теперь 41 и 3. Ясно, что 7<9, и тогда 41 <3.
Следовательно, по свойствам чисел 2 — < 41 < 3.
Рис. 18
Расставим знаки левой части исходного неравен-
ства, учитывая кратность корней, как это показа-
но на рис. 18. Неравенство выполняется при
Го16 Я
хе 2—л/7
25
и при х = 3.
Ответ:
2—\41 и{3}.
25
Замечание. Сравнение чисел является обя-
зательным этапом решения.
3.	Вычислите tgx, если 4cos2x + 5sin2x = 2sin2x,
х — угол третьей четверти.
Решение. Поскольку 180° < х < 270°, tg х > 0,
cosx * 0. Рассмотрим два способа выкладок.
I способ. Применив формулы двойного аргумен-
та, приведем исходное уравнение к виду
4cos2x — 4sin2x + 10sin х cos х — 2sin2x — 0, или
-6sin2x + 10sin x cos x + 4cos2x = 0.
Для того чтобы найти tg х, разделим обе части
уравнения на —2cos2x и получим
3tg2x - 5tgx -2 = 0.	(1)
24
Отсюда tgx = —1/3 или tgx = 2. Но —1/3 < О,
поэтому tg х = —1/3 не подходит по условию.
Ответ: 2.
II способ. Воспользуемся универсальной подста-
новкой и выразим cos 2х и sin 2х через tg х:
5.	2t£* + 4. i-tg2* = 2
1 + tg2 X	1 + tg2 X	1 + tg2x
После преобразований получаем такое же урав-
нение (1), как и при первом способе решения.
4.	Сумма первых восьми членов геометрической про-
грессии в 8 раз больше ее первого члена, а сумма пер-
вого, девятого и семнадцатого членов равна 9. Най-
дите сумму первых двадцати четырех членов этой
прогрессии. (Рассмотрите все возможные случаи.)
Решение. Используем известные формулы для
геометрической прогрессии, считая что Ьх — первый
член геометрической прогрессии, a q — знаменатель
геометрической прогрессии, причем Ьх * 0, q * 1:
bn = bxqn~x — формула п-го члена;
_ bx(\-qn) .
=-!-------формула суммы п первых членов.
1-9
Сумма первых восьми членов геометрической
прогрессии 08 = -*--- по условию в 8 раз боль-
1-9
ше ее первого члена. Отсюда имеем
М!-98) и 1~98 о
--------= оо., ИЛИ----= 8.
\-q	\-q
Сумму первого, девятого и семнадцатого членов
запишем в виде алгебраического выражения Ьх +
+ bxq* + bxqxb. По условию эта сумма равна 9.
Составим равенство bx + bxq* + bxqxb = 9 и приве-
дем его к виду
М +	+ qxe) = 9.
Обе части последнего равенства умножим на (1 — q*):
*.(1 +q* + q'6 *)(l - qs) = 9(1 - <?).
Используя формулу разности кубов, получим
^(1 - 924) = 9(1 - q*).
(2)
Разделив обе части равенства (2) на (1 — q), при-
дем к равенству
М-924) = 9(1-98)
1-q	1—q
В левой части последнего равенства стоит сумма
первых двадцати четырех членов данной прогрес-
е Д(1-924)	Л о
сии, т.е. 524 =—------, которая равна 9 • 8.
\	О т в е т: 72.
5. Три цистерны одинакового объема начинают
одновременно заполняться водой, причем в первую
цистерну поступает 100 л воды в минуту, во вто-
рую — 60 л, в третью — 80 л. Известно, что в на-
чальный момент времени первая цистерна пуста,
вторая и третья частично заполнены и что все три
цистерны заполнятся одновременно. Во сколько раз
количество воды в начальный момент времени во вто-
рой цистерне больше, чем в третьей?
Решение. Пусть незаполненный объем пер-
вой цистерны равен х л, второй — у л, а третьей —
Z л. Тогда время заполнения первой цистерны рав-
х	У	Z
но-----мин, второй — —мин, а третьей----мин.
100	60	80
По условию все три цистерны заполнятся одновре-
менно, т.е.
х	у	z	х	у	z
-----= — -—, или — = — =
100--60	80	5	3	4
Все цистерны имеют одинаковый объем. Следо-
вательно, объем воды в первбначальный момент
времени во второй цистерне составляет (х — у) л, а
в третьей — (х — г) л. Тогда отношение- пока-
л x~z -
зывает, во сколько раз объем воды в начальный мо-
мент времени во второй цистерне больше, чем в
третьей. Именно это отношение и требуется найти.
Выразим его через ранее полученные соотноше-
ния:
Зх = 5у	(3),
4х = 5z	(4),
4у = 3z	(5).
Из уравнения (3) имеем: Зх —Зу = 2у, 3(х — у) — 2у,
2у
х-у = —.
3
Из уравнения
Из уравнения
Тогда искомое
(4): 4(x-z) = Z, x-z = ^
4
(5):
z 4
отношение вычисляется так:
х-у _ 2у . z _ 8 у _ 8 3_
x-z 3 4 3 z 34
Ответ: в два раза.
IхI+x—4
6. Постройте график функции у = -—'---и ука-
х-2
жите для нее: область определения; множество зна-
чений; значения, принимаемые функцией более чем в
одной точке.
Решение. Представим данную функцию в виде
2 при х > 0, х * 2
У = ]	4	_
>------при х < 0.
х-2
График этой функции представлен на рис. 19. На
промежутке [0;2)и(2;+оо) графиком функции явля-
ется прямая, параллельная оси Ох и проходящая
через точку с координатами (0; 2) с выколотой на
ней точкой (2; 2). На промежутке (-оо;0) графи-
ком является часть гиперболы, причем у(0) = 2, а
4
значение дроби------при х = 0 равно 2. Сле-
х-2
довательно, в точке х = 0 исходная функция непре-
рывна.
3 Математика в школе № I
25
свойству арифметических корней заключаем, что
4$ < 2,24, т.е. V5 < 2—. Аналогично, из того что
25
5 < 16, заключаем: >/5 < V16, т.е. V5 < 4.
V—	6 .
,4
( г э 6 >	,
V5 < 2—<4 разбивают координатную ось на че-
Из рис. 19 видно, что функция определена на
промежутках (-оо;2) и (2;+оо), множество ее значе-
ний — промежуток (0; 2], значение 2 функция прини-
мает при любом неотрицательном х, кроме х = 2.
Ответ: график указанной функции
построен на рис. 19;
область определения функции:
(-оо;2)и(2;+оо);
множество значений: (0; 2];
значение, принимаемое функцией
более чем в одной точке, равно 2.
тыре промежутка. Расставим на них знаки, учиты-
вая кратность корней, как это показано на рис. 20.
Замечание. Потеря х = 4 является ошибкой.
II вариант
1.	Упростите выражение
(to”4 - х"2 + 6х-1 - 9): (2л-4 + х-3 - Зх-2).
Решение. Запишем данное выражение иначе:
4-х2+6х3-9х4 2+х-Зх2 _4-х2+6х3-9х4 _
х4	х4	2+х-Зх2
_ 4-(Зх2-х)2 _ (Зх2-х + 2)(-Зх2+х + 2) _ 2
2+х-Зх2	-Зх +х + 2
Упростив, учтем область допустимых значений
для х. Выражения, стоящие в знаменателях дробей,
не должны обращаться в нуль, т.е. х * 0 и Зх2 — х —
— 2 # 0, х * 1, х * —2/3. Следовательно, областью
допустимых значений является R\{—2/3; 1; 0}.
Ответ: Зх2 — х + 2, при х * —2/3, х * 0, х * 1.
2.	Решите неравенство (х - 4)2 (х - >/5 )^х - 2-^^ < 0.
(Не разрешается использовать таблицы и микрокаль-
куляторы при необходимых сравнениях чисел.)
Решение. Для того чтобы решить неравенство
методом интервалов, нужно отметить на координат-
ной прямой точки, в которых выражение, стоящее
в левой части неравенства, обращается в нуль. Для
этого необходимо сначала решить три уравнения:
х-4 = 0, х->/5=0, х-2—= 0,
25
х = 4, х = >/5, х = 2—
25
и сравнить найденные числа, чтобы верно располо-
жить их на координатной прямой.
6	6
Сравним V5 и 2— следующим образом: 2— =
= 2,24 и (2,24)2 = 5,0176. Поскольку 5 < (2,24)2 по
3.	Вычислите ctgx, если sin2x = 3-llcos2x, х-
угол третьей четверти.
__	Зл
Решение. Поскольку л <х <—, заключаем,
что ctgx > 0, sin х ф 0.
Используя известные формулы, преобразуем ис-
ходное уравнение:
2sinxcos х = 3(cos2x + sin2x) — 1 lcos2x,
—3sin2x + 2sin x cos x + 8cos2x = 0.
Для того чтобы найти ctg х, разделим обе части
. 2
последнего уравнения на sin х и получим
8ctg2x + 2ctg х — 3 = 0.
Далее, ctg х = 0,5, ctg х = —0,75. Но —0,75 < 0,
поэтому ctg х = —0,75 не подходит по условию.
Ответ: 0,5.
4.	Сумма первых девяти членов геометрической
прогрессии в 9 раз больше ее первого члена, а сумма
первого, десятого и девятнадцатого членов равна 6.
Найдите сумму первых двадцати семи членов этой
прогрессии. (Рассмотрите все возможные случаи.)
Решение. Используя известные формулы для
геометрической прогрессии
А — А	С	) А -а В Z7-л 1
1-0
где — первый член геометрической прогрессии,
0 — знаменатель геометрической прогрессии,
получим, что сумма первых девяти членов равна
г. _А(1-Л
э9 ~	;	•
1-0
А по условию указанная сумма в 9 раз больше,
чем т.е.	Q
=9.
1-0	”	1-0
26
Сумму первого, десятого и девятнадцатого чле-
нов запишем как
b, + brf + bxq'*.
По условию эта сумма равна 6. Составим равен-
ство b} + biq> + b{q™ — 6, b,(l + q + q's) = 6. Ум-
ножим обе его части на двучлен 1 — q\ который не
может принимать нулевого значения. Получим
Ь,(1	+ <7,8)(1 - Л = 6(1 - Л.
Выражение, стоящее в левой части последнего
уравнения, преобразуем, используя формулу разно-
сти кубов:
b,(l - q21) = 6(1 - q\
Разделим обе части этого равенства на (1 — qY
b,(l-g27) 6(1-g9)
\~q	\-q
В левой части равенства стоит сумма первых двад-
< *,(1-«й)
цати семи членов этой прогрессии о27=—-------,
которая равна 6-9, т.е. 54.
Ответ: 54.
5.	Три цистерны одинакового объема начинают од-
новременно заполняться водой, причем в первую цис-
терну поступает 120 л воды в минуту, во вторую —
40 л. Известно, что в начальный момент времени пер-
вая цистерна пуста, а объем воды в третьей цистерне
в 2 раза меньше, чем во второй, и что все три цис-
терны будут заполнены одновременно. Сколько литров
воды поступает в одну минуту в третью цистерну?
Решение. Пусть в третью цистерну поступа-
ет в одну минуту у л воды, а объем воды, которая
была там первоначально, равен х л. Тогда в на-
чальный момент объем воды во второй цистерне
равен 2х л, т.е. в два раза больше, чем в третьей.
По условию все три цистерны имеют одинаковый
объем, обозначим его через Ул. Время заполне-
ния первой цистерны равно ——мин, второй цис-
(И-2х)	120 И ~х
терны----------мин, третьей-------мин.
40	у
Известно, что все три цистерны будут заполнены
одновременно, т.е. можно составить равенства
V V-2х V-х
120 “ 40 ” у
V V -2х
Рассмотрим равенство----=-------. По свойству
120	40
пропорции имеем 40 V = 120(К— 2.x), 240.x = 80 И,
3 г = у
тл ‘	V-2х V — x
Из равенства ------=----
40 у
имеем	Л
у(И- 2х) = 40(И-х)	(6).
Воспользовавшись тем, что V = Зх, из равенства
(6) получим ух = 80х, т.е. у = 80.
Ответ: 80 л воды поступает за одну
минуту в третью цистерну.
, _	_	, л.	х2-6х + 5
6.	Построите график функции у =-------------- и
х-1 х - 21
укажите для нее: область определения; значения,
принимаемые функцией более чем в двух точках; зна-
чения, принимаемые функцией ровно в трех точках.
Решение. Представим данную функцию в виде
_ [0,5х2 - Зх + 2,5 при х > 2
v - (
[0,5х-2,5 при х < 2, х 1.
График этой функции представлен на рис. 21.
На промежутке (-оо;1)и(1;2) графиком функции
является прямая, проходящая через точки с коор-
динатами (2; -1,5) и (0; -2,5) с выколотой на ней
точкой (1; —2).
На промежутке |2;+оо) графиком является часть
параболы, ветви которой направлены вверх, коор-
динаты вершины (3; —2), причем, у(2) = —1,5. Сле-
довательно, в точке х = 2 исходная функция непре-
рывна.
По рис. 21 видно: область определения функции:
(-оо;'1)и(1: + оо);
значение, принимаемое функцией в двух точках,
равно —1,5, так как график функции пересекается
с прямой у = —1,5 ровно в двух точках;
значения, принимаемые функцией в трех точках,
принадлежат промежутку (—2; —1,5), поскольку гра-
фик данной функции пересекается с прямой у = а,
где — 2 < а < —1,5 ровно в трех точках.
Ответ: график указанной функции
построен на рис. 21;
область определения функции:
(-оо;'1)и(1; + оо);
значения, принимаемые функ-
цией более чем в двух точках,
те же самые, что и значения,
принимаемые функцией в трех
точках, они принадлежат про-
межутку (—2; —1,5).
Замечание. Условие задачи провоцирует на
то, чтобы указать в ответе у — —1,5 как значение,
принимаемое функцией ровно в двух точках. Но эту
ситуацию, строго говоря, запрещено выносить в
ответ, поскольку в задаче требуется указать значе-
ния, принимаемые функцией более чем в двух точ-
ках.
27
ФИЗИЧЕСКИЕ
И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
№ 10-99	А-9-ФМК
Замечание. При выполнении работы нельзя
пользоваться таблицами и микрокалькулятором.
I вариант
1. Вычислите значение выражения
з
(1,44)2
ч
ч 64J
7
Решение. Выполним вычисления по действиям:
1) (1,44)3/2=(7Й4)3=(1,2)3;
2) (-5/6Г2=(-6/5)2=(1,2)2;
3) (1,2)3 :(1,2)2 =1,2;
4)
5)
Г 61Тз_р25¥з
< 64;	< 64 J
1,2 -0,8 = 0,4;
Г—У
I5;
= 0,8;
4
5
6) 0,4(-12)3 = -0,1-44-З3 =-691,2.
Ответ: —691,2.
2. Решите двойное неравенство 0 < 1 - 2х - Зх2 < 2.
Решение. Данное неравенство равносильно
системе неравенств
Зх2 + 2х -1 < 0
Зх2 + 2х +1 > 0
<=> Зх2 + 2х-1 <0 <=>-1 <х<1.
3
n fi1'
Ответ: -1; —
I 3
3. Решите уравнение	—-----— = —’—-.
|х -5х + 6| х -5х + 6
Решение. Выражение, стоящее в левой части
равенства, принимает только положительные зна-
чения. Для того чтобы равенство было верным, зна-
менатель выражения, стоящего в правой части, дол-
жен быть больше нуля, т.е. должно иметь место
неравенство
х2-5х + 6>0 о (х-3)(х-2)>0.
Отсюда х < 2, х > 3.
На множестве (-со;2)и(3;+оо) исходное уравне-
ние равносильно уравнению |х — 1,51 = 1, которое
имеет два корня х = 0,5, х = 2,5. Второй корень
для исходного уравнения посторонний, так как он
не входит в промежуток (-ос; 2)U(3; +ос).
Ответ: {0,5}.
4. Найдите все значения параметра а, для каж-
дого из которых числа х2, 3 — х, а + 2х не являются
последовательными членами арифметической прогрес-
сии ни при каком х.
Решение. Переформулируем задачу и найдем
все значения параметра а, для каждого из которых
числа х2, 3 — х, а + 2х являются последовательны-
ми членами арифметической прогрессии. Для этого
воспользуемся теоремой об арифметической про-
грессии: последовательность (ап) — арифметичес-
кая прогрессия тогда и только тогда, когда каждый
ее член, кроме первого, равен полусумме двух со-
седних с ним членов. В нашем случае имеем
2(3 — х) = х2 + а + 2х, или х2 + 4х — 6 + я = 0.
Данное квадратное уравнение имеет корни при
— >0, а ” = 4 + 6-а = 10-я. Приходим к неравен-
4	4
ству 10 -а > 0 и устанавливаем, что а <10.
Итак, указанные в условии выражения могут быть
последовательными членами арифметической про-
грессии при а <10.
Следовательно, при а > 10 эти выражения ни
при каких значениях х не являются последователь-
ными членами арифметической прогрессии.
Ответ: а > 10.
5. Какое из чисел ближе к единице:
2sin29° или 2sin31°?
Р е ш е н и е. Сравним разности 2sin 29° -1 и
2sin3T-l. Может оказаться, что эти выражения
имеют разные знаки. Поэтому проведем сравнение
их модулей.
Итак, что больше: |2sin29°-l| или |2sin31° —1|?
Так как 2 > 0, то при делении на 2 знак нера-
венства не изменится1, если будем сравнивать
|sin 29° -1/2| V |sin31° -1/2|.
Воспользуемся тем, что l/2 = sin30°, и запишем
|sin 29° - sin 30е| V |sin 31° - sin 30е|.
По формуле разности синусов имеем
|2sin 0,5° cos 29,5°| V 2sin 0,5° cos30,5°|.
Но cos29,5° > cos30,5° и 2sin 0,5° >0, тогда
12 sin 0.5° cos 29,5° | > |2 sin 0,5е cos 30,5’|,
а следовательно,
|2sin29°-1| >|2sin31°-1|.
Таким образом, разность между 1 и 2sin29° боль-
ше, чем между 1 и 2sin3T, а число 2sin3T ближе к
единице.
Ответ: 2sin31c.
6. По двум взаимно перпендикулярным шоссе в на-
правлении их пересечения одновременно начинают дви-
гаться два автомобиля: один со скоростью 80 км/ч,
1 Во всех случаях, когда знак неравенства неизвестен, будем
употреблять значок «V», который трактуется как разделительное
«или», а также как «либо ... либо» — (Примеч. ред.)
28
другой — 60 км/ч. В начальный момент времени каж-
дый автомобиль находится на расстоянии 100 км от
перекрестка. Определите время после начала движе-
ния, через которое расстояние между автомобилями
будет наименьшим. Каково это расстояние?
Решение. Пусть t ч — время движения ма-
шин, за это время одна машина проезжает 60/ км,
а другая - 80/ км. По условию, обе машины пер-
воначально находятся на расстоянии 100 км от пере-
крестка. Через / ч они будут находиться соответствен-
но на расстояниях (100 — 60/) км и (100 — 80/) км от
перекрестка.
Машины движутся по двум взаимно перпендику-
лярным шоссе, т.е. в каждый фиксированный мо-
мент времени две машины и перекресток находятся
в вершинах прямоугольного треугольника, причем
отрезок, соединяющий машины, является гипоте-
нузой данного прямоугольного треугольника. Зна-
чит, расстояние 5(/) между машинами можно най-
ти, используя теорему Пифагора:
52(/) = (100 - 60/)2 + (100 - 80/)2.
Рассмотрим функцию 52(/), учитывая, что
52(/) = 10000/2 - 28000/ + 20000.
Графиком данной функции является парабола, ветви
которой направлены вверх. Следовательно, свое наи-
меньшее значение она принимает при /, соответству-
ющем вершине данной параболы, при /верш= 1,4, т.е.
/ = 1 ч 24 мин. Подставив найденное значение для
/, найдем расстояние между машинами.
52(1,4) = (100-60-1,4)2 +(100-80-1,4)2,
52(1,4) = (100-84)2 +(100-112)2 = 256+144=400, 5 = 20.
Ответ: расстояние между автомобилями
будет наименьшим через 1ч 24 мин,
оно станет равным 20 км.
II вариант
1. Вычислите значение выражения
'	Г3 2>
-(0,008)3 :(-0,8)2.
~ (	2
(0,36) 2-I-1у
Решение. Выполним вычисления по действиям
1)	(0,36)-,/2 =(7^36)“' = (0,6)-’ =5/3;
2)	(-5/ЗГ3=(-3/5)3;
5-33	9
3)	-±2- = -2_=_о,Зб;
3-53	25
2	2
4)	0,0083 =(0,23)3 = 0,22 = 0,04;
5)	-0,36-0,04 = -0,4;
6)	-0,4:0,64 = -0,625.
Ответ: —0,625.
2.	Решите двойное неравенство
-3< 1-Зх-х2 <—.
4
Решение. Данное неравенство равносильно
системе неравенств г 2 ух 4 < о
х2 + 3х + — >0.
I 4
Решим отдельно каждое неравенство:
о
х2+Зх-4<0,	х2+3х + —>0,
4
з	(зУ
(х-1)(х + 4)<0,	х2 + 2-—х +1 — I >0,
( зУ
хе[-4;1],	1х+—I >0
xeR\|--l
I 2J
Рис. 22
Пересечением найденных множеств является
[-4; -1,5)и(-1,5; 1], как показано на рис. 22.
Ответ: [-4;-1,5)и(-1,5; 1].
3.	Решите уравнение -----т -;—;-----г = 0.
8-х-х |х +х-8|
Решение. Это задание можно решить так же,
как это сделано в аналогичном задании I варианта. На
наш взгляд, предложенный там подход более рацио-
нален. Но мы здесь рассмотрим трудоемкий способ.
Найдем на числовой прямой точки, в которых
выражения, стоящие под знаком модуля, обраща-
ются в нуль:
х2+х-8 = 0,	2х-1 = 0,
-1-Узз -1+Узз
х =------, х =---------, х = 0,5.
2.2
Учитывая, что знаменатель дроби не должен обра-
щаться в нуль, «выколем» из числовой прямой те
значения х, которые являются корнями уравнения
2 . Q А	—1±л/3
х + х — 8 — 0, т.е. точки -----.
u	2
Четыре найденных значения х разбивают число-
вую прямую на четыре числовых промежутка. Рас-
ставим на рис. 23 знаки, с которыми будем выпи-
сывать выражения, стоящие под знаком модуля в
исходном уравнении.
-i-Узз	-1+V&
2*	2
Знак (х+х-8) + ®	® + х*
Знак(2х-() -	+	+
Рис. 23
При х <-------- исходное уравнение принима-
ет вид
29
т. е. -1,5 е
1-2х	4
----±Ц_ +--_— =о,-2х + 5 = 0, х = 2,5.
8-х-х2 8-х-х2
Но 2,5 > 0, поэтому число 2,5 не входит в рас-
сматриваемый промежуток.
-1-7зз
При --------<х<0,5 имеем
—2х + 1	4
-----2----= 0,-2х-3 = 0, х = -1,5.
8-х-х	-х-х+8
Определим, входит ли найденное число в рассмат-
риваемый промежуток. Легко видеть, что
-1->/33	1 + V25	,	_	__
--------<-------= -3 и -3<-1,5<0,5,
2	2
-1-Тзз
- v ; 0,5 .
2
При 0,5<х<
-1 + V33
------- данное в условии уравне-
ние следует переписать так
2х-1	4
------------------= 0 2х-5 = 0, х = 2,5.
-1 + V33
уравнение принимает вид
_	-1+V33 -1+V36	„
Заметим, что-------<---------= 2,5. Таким обра-
2	2
зом, число 2,5 не входит в рассматриваемый проме-
жуток.
При х>
2х-1	4
------- + —-------= 0, 2х + 3 = 0, х = -1,5.
8-х- х -х-х + 8
В силу неравенства
2
заключаем, что число —1,5 не входит в рассматри-
ваемый промежуток.
Ответ: {-1,5}.
4о Найдите все значения параметра а, для каждо-
го из которых существует хотя бы одно значение х
такое, что числа 5х + 2, а + х2, 3 — х являются
последовательными членами арифметической прогрес-
сии.
Решение. Воспользуемся теоремой об ариф-
метической прогрессии:
последовательность (я„), является арифмети-
ческой прогрессией тогда и только тогда, когда
каждый ее член, кроме первого, равен полу-
сумме двух соседних с ним членов, т.е.
2а = а । + а ...	(*)
л и-1 и+Г	\ /
По условию,
= 5х + 2, ап = х2 + а, а„+1 = 3 - х.
В силу равенства (*) запишем
2(х2 + а) = 5х + 2 + 3 — х, х2 — 2х — 2,5 + а = 0.
Квадратное уравнение имеет корни при D/4 а: 0,
но в данном случае D/4 = 1 + 2,5 — а - 3,5 - а.
Ясно, что 3,5 - а > 0 при а < 3,5.
Ответ: при а <3,5 указанные в условии
выражения могут принимать значе-
ния, которые образуют последова-
тельные члены арифметической
прогрессии.
5. Какое из чисел ближе к единице,
tg44° или tg46°?
Р е ш е н и е. I способ. Проведем преобразования
tg44’ = tg(45*-Г)=|^=1
1 + tgl	1+tgl
tg46c = tg(45° + 1°) = —= 1 + ---gl .
l-tgl°	1-tgf
2tgl° 2tgl°
Сравним дроби -------и------.
1 + tgl 1-tgl
Известно, что 0<tgl°<l, тогда
l + tgl° > 1-tgT H0<2tgl° <2.
Таким образом, обе сравниваемые дроби положи-
тельны. Значит, из них больше та, у которой знаме-
натель меньше, т.е.
2tgl° 2tgl°
1 + tgK < 1-tgT
Следовательно, tg44° ближе к единице.
Ответ: tg44°.
II способ. Составим разности tg44°-l ntg46°-l
и сравним их модули. Что больше:
|tg44° —1| или |tg46° —1|?
Поскольку tg45° = 1, запишем
tg44° -tg45° =
_ sin44° cos45° -cos44° sin 45° _ sin Г
cos 44° cos 45°	cos 44° cos 45° ’
tg46°-tg45° =
_ sin 46° cos 45° - cos46° sin 45° _	sin Г
cos 46° cos 45°	cos 46° cos 45°
Функция cosx убывающая, т.е. cos44° >cos46°.
Кроме того, sin Г >0 и cos45° >0. По свойствам не-
равенств заключаем:
sin Г	sin Г
cos 45° cos 44° cos 46° cos 45°
Следовательно, |tg44° -1| < |tg46° -1|.
Значит, число tg 44° ближе к единице, чем число tg 46°.
6. Две материальные точки, имеющие в начальный
момент времени координаты (1; 3) и (0; —2) в прямо-
угольной системе координат (х; у), одновременно на-
чинают двигаться в направлении точки с координа-
30
тами (1; —2) с одинаковыми постоянными скоростя-
ми, равными 0,5 ед/с, по прямым х — 1 и у = —2
соответственно. Через какое время после начала дви-
жения расстояние между материальными точками
станет наименьшим? Определите это расстояние.
Решение. Пусть t (с) время движения мате-
риальных точек, тогда за 0,5 с точка проходит путь,
равный 0,5/ ед.
По условию, точка А двигается по прямой х = 1.
Таким образом, абсцисса точки А не изменяется,
и точка А(1; 3) переходит в точку Л'(1;3-0,5/).
Точка В двигается по прямой у = —2, т.е. орди-
ната данной точки не изменяется. Поэтому точка
В(0; -2) переходит в точку /?'(0,5/;-2).
По известной формуле расстояния между двумя
точками имеем:
| А 'В' |2=(1 - 0,5/)2 + (3 - 0,5/ - (-г))2, или
| Л'Б'|2=(1-0,5/)2 +(5-0,5/)2.
Итак, рассмотрим квадрат расстояния между дву-
мя точками как функцию от времени:
/(/) = (1 - 0,5/)2 +(5 - 0,5/)2, /(/) = 0,5/2 - 6/ + 26.
Графиком данной функции является парабола,
ветви которой направлены вверх. Следовательно,
свое наименьшее значение функция принимает в
точке, служащей абсциссой вершины параболы, т.е.
при / — 6.
Время движения 6 с. Узнаем теперь расстояние
между точками.
| А’В' |2=(1 - 0,5 • 6)2 + (5 - 0,5 • 6)2 = 8, | А'В' | = 2^2.
Ответ: 6 с, 2-^2 ед.
XI КЛАСС
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ
№1-99	А-11
I вариант
1. Решите уравнение 53*”2 - 6 • 53* + 4 • 53*"1 = -645.
Решение. Представим уравнение в следую-
щем виде:
5-2 • 53jf - 6 • 53х + 4 • 5"’  53* = -645.
Сделаем замену / = 53х и перепишем уравнение
относительно новой переменной /:
0,04/ - 6/+0,8/ = -645;
-5,16/ = -645;
/ = 125.
Вернемся к переменной х.
53л = 125; 53а = 53;
Поскольку основания степеней равны и отличны
2.	Решите неравенство log2(3x - 2) < 4.
Решение. Найдем область определения дан-
ного неравенства:
Зх-2>0, х>—.
3
Исходное неравенство можно записать в следую-
щем виде:
log2(3x - 2) < log216.
Так как основание логарифма 2 > 1, то получаем
Зх-2<16, х<6.
2
Отсюда — < х < 6.	2
3	Ответ:—<х<6.
3.	Решите уравнение cos2x-sin2x-sin2x = 0.
Решение. Используя формулу косинуса двой-
ного аргумента, сведем исходное уравнение к одно-
родному уравнению первой степени.
cos 2х — sin 2х = 0.
Разделив обе части неравенства на cos2x*0, при-
ведем его к виду
tg2x = 1,
откуда	л
2х = — + nk, k eZ,
4
л пк . _
х =—+—, kgZ.
8 2
Если cos 2х = 0, то sin 2х = ±1 и cos 2х - sin 2х * 0.
~	п пк , „
Ответ: —+—, keZ.
8 2
Замечание. При подготовке к экзаменам
считаем полезным писать: к какому виду относится
данное тригонометрическое уравнение и каким ме-
тодом можно его решить.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
I--7	1	1
у=ух+1 иу =—х+—.
3	3
Решение. Построим графики данных функ-
ций (рис. 24) и найдем абсциссы точек их пересе-
чения.
•х/х +1 = — х ч—;
3	3
9(х + 1) = (х + 1)2;
(х + 1)(х-8) = 0;
х = -1 или х = 8.
31
Искомая площадь 5 может быть получена как
разность площадей двух криволинейных трапеций
ABCD и ACD.
Имеем:	8	3 8
$ABCD =	+ Idx = "т(х + I)2
-1	*
= 18,
S = SABCD - SACD = 18-13,5 = 4,5.
Ответ: 4,5 кв. ед.
5. Тело движется по закону s(t) = -г + 6z2 + 5/ - 7 .
В какой момент времени его ускорение будет равно
6 м/с22 (Расстояние измеряется в метрах, время — в
секундах.)
Решение. Скорость v(t) является производной
от координаты по времени, а ускорение a(t) — это
производная от скорости по времени.
Получаем:
р(г) = 5'(Г) = -3/2 + 12г + 5
a(t) = v,(t) = -6t + l2.
Если а = 6 м/с2, то —6/ + 12 = 6, откуда t = 1.
Ответ: 1с.
6. При каких значениях а неравенство
7х2-10х + 26
> а2 + 2а-3
~ а2+2а-8
выполняется для всех значений х2
и
а2 + 2а — 3
Решение. Сделаем замену Ь = —----------
а2 + 2а-8
рассмотрим неравенство л/х2 -10х + 26 >Ь.
Найдем его область определения. Из определе-
ния арифметического квадратного корня имеем
х2 — 1 Ох + 26 & 0. Дискриминант квадратного
трехчлена меньше нуля, следовательно, трехчлен по-
ложителен при любых значениях х. Таким образом,
областью определения неравенства 7х2 -Юх + 26 > b
является все множество действительных чисел.
Рассмотрим, при каких b это неравенство вы-
полняется для всех х.
Если b < 0, то неравенство верно для любых х.
Пусть b st 0. Возведем обе части неравенства в
квадрат:	.	,	,
X2 — 1ОХ + 26 2 Ь2,
х2 - 10х + 26 - Ь2 2 0.
Трехчлен, стоящий в левой части, неотрицателен
для любых х, если его дискриминант не больше
нуля.
100 - 4(26 - b2) s 0,
f>\l, -Isbsl.
Поскольку мы рассматриваем случай b 2 0, то
0 * b* 1.
Итак, если b 1, то неравенство справедливо для
любых х.
Вернемся к параметру а.
а2 + 2а - 3 <
я2 + 2а-8
а2 + 2а-3-а2 -2о + 8
а2 + 2д-8
----------<0.
(о+4)(я-2)
Используя метод интервалов (рис. 25), получаем
—4 < а < 2.
—о--------о-
-4	2
Рис. 25
Ответ: при — 4 < а < 2.
Замечание. В выражении, стоящем под зна-
ком корня, можно выделить полный квадрат.
х2 - 10х + 26 = х2 - 10х + 25 + 1 = (х - 5)2 + 1 2 1,
а2 + 2а-3 <
я2 + 2л-8~
откуда
II вариант
1.	Решите уравнение 45х+1 + 5 • 45х - 3 • 45х+2 = -624.
Решение. Вынесем множитель 45х за скобки:
45х(4 + 5-3-42) = -624.
Вычислив выражение, стоящее в скобках и раз-
делив на него обе части уравнения, получаем
45х = 16<=> 45х = 42 <=>5х = 2<=>х = 0,4.
Ответ: 0,4.
2.	Решите неравенство log3(2x - 3) < 2 .
Решение. Поскольку основание логарифма
больше 1, то неравенство равносильно системе
2х-3>0
2х-3<9
(х>—1,5
<х> <	<=>-1,5<х<6.
[х<6
Ответ: (—1,5; 6].
3.	Решите уравнение 2 cos х sin х + cos 2х = 0.
Решение. Воспользовавшись формулой сину-
са двойного аргумента, имеем
sin 2х + cos 2х = 0
При sin 2х = 0 левая часть не обращается в ноль
(sin 2х и cos 2х не могут быть равны нулю одновремен-
но), поэтому разделим обе части уравнения на cos 2х.
Получаем
tg 2х + 1 = 0, tg 2х = —1,
71
2х = — + nk, keZ.
4
л nk , „
х- —+—, kgZ.
8	2	,
_	л nk , „
Ответ:-----i--, k е Z.
8	2
32
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Данные линии изображены на рис. 26.
Решая уравнение у/х-\ = ух-у, находим абсцис-
сы точек их пересечения х = 1 и х = 5.
Видно, что на отрезке [1; 5] значения функции
/--7	- .	11
У = у1х-\ не меньше значении функции =
поэтому для искомой площади 5 имеем
2	о 25	5	1	1	, 1
— 8------+ —+-----= 1—
3	4	2	4	2	3
Ответ: 1— кв. ед.
5.	Тело движется по закону 5(/) = г3-ЗГ2+^ + 9.
В какой момент времени его ускорение будет рав-
но 6 л#/с2? {Расстояние измеряется в метрах, время —
в секундах.)
Решение. Ускорение a{t) есть производная от
скорости по времени, а скорость v{t) — это произ-
водная от координаты по времени. Ускорение из-
меняется по закону
a{t) = v'{t) = {3t2 -6t +1)' = 6f -6,
поэтому a = 6м/с2 при t = 2c.
Ответ: 2 c.
6.	При каких значениях а неравенство
Г~г ------ 2а2 -4а-3
V х + 8х + 20 < —----
о2-2о-8
, стоящее
не имеет решений?
Решение. Рассмотрим выражение,
под знаком радикала.
х2 + 8х + 20 = х2 + 8х + 16 + 4 = (х + 4)2 + 4.
Поскольку (х + 4)2 г 0 для любого х, то (х + 4)2 +
+ 4*4.
Следовательно,
7*2 +8х + 20 > V? > 2,
так как функция y = Jt - возрастающая, а значит,
исходное неравенство не имеет решений, если
2а2-4а-3
а2-2а-8 < ’
2а2 -4а-3-2а2 +4а + \6
а2-2а-8
—L<0.
(о+2)(о-4)
С помощью метода интервалов получаем (рис. 27)
-2 < а < 4.
Рис. 27
Ответ: при — 2 < а < 4.
№2-99	А-11
I вариант
1.	Решите уравнение 2х - 6 • V- -16 = 0.
Решение. Введя новую переменную / = 22,
получим квадратное уравнение г2 — 6г — 16 = 0,
корнями которого являются числа —2 и 8. Отсюда
х 22 =-2 или 22 =8.
Уравнение 22 = -2 корней не имеет, так как V- > 0.
Найдем решение второго уравнения.
22=8, 22 =23.
Поскольку основания степеней равны и отличны
от единицы, то — = 3, х = 6.
2	О т в е т: 6.
2.	Найдите критические {стационарные) точки и
промежутки возрастания и убывания функции
у = 9 — х + 71пх.
Решение. Поскольку логарифмическая фун-
кция определена только для положительных значе-
ний х, то областью определения данной функции
является все множество положительных значений
х. На указанном множестве эта функция дифферен-
цируема. Ее производная имеет следующий вид:
7
у(х) = -1+-.
X
Чтобы найти критические точки функции, решим
уравнение /(•*) = 0.
-1+—= 0, х-7 = 0, х = 7.
х
Точка 7 принадлежит промежутку (0; +оо) и раз-
бивает его на две части. Определим знак производ-
ной на каждом промежутке (рис. 28)
Рис. 28
33
Производная положительна на интервале (0; 7),
отрицательна на промежутке (7; +оо), поэтому на
промежутке (0; 7] функция у = 9 — х + 71п х воз-
растает, а на промежутке [7; +оо) убывает.
Ответ: х—1 — критическая точка функ-
ции. Функция возрастает на
(0; 7] и убывает на [7; +оо).
Замечание. Если в качестве промежутков воз-
растания и убывания указаны открытые промежут-
ки (т.е. не были включены точки экстремума), то не
стоит рассматривать это ни как недочет, ни, тем бо-
лее, как ошибку.
3.	Решите уравнение sin2x + l = 2cos2—.
Решение. Используя формулы двойного и по-
ловинного аргументов, получим
2sinxcosx +1 = 1+ cosx;
cosx(2sinx — 1) = 0;
n	1
cosx = 0 или sinx = —;
7Г .	. л v М ТС	
х = — + пк или х = (-!)— +ли, k,neZ.
2	6
Ответ: — + пк, х = (-1)"—+ли, &,neZ.
2	6
4.	Найдите первообразную функции
у = Зх2+3(Зх + 1Г0’5,
график которой проходит через точку Л/(5; 130).
Решение. Все первообразные данной функ-
ции имеют вид
F(x) = х3 + 2(3х + I)0’5 + С,
где С — произвольная константа.
Поскольку график первообразной проходит че-
рез точку М(5; 130), то Г(5) = 130.
130 = 125 + 2(15 + I)0’5 + С.
Решая уравнение относительно С, получим С = —3.
Таким образом, уравнение первообразной, график
которой проходит через точку М(5; 130), выглядит
следующим образом:
F(x) = х3 + 2(3х + I)0’5 - 3.
Ответ: F(x)= х3 + 2(3х + I)0,5 — 3.
5.	Решите неравенство
log , <3х “ 5) -	<х + 8>-
а +3	а +□
о2+4	о2+4
Решение. Рассмотрим выражение, стоящее в
основаниях логарифмов.
Поскольку а2 > 0 при любых а, то ° - -> 0.
а +4
~	„	а2+3 а2 + 4-1 ,	1
С другой стороны, —5 = 5-------= 1 =---, а,
а +4 а +4 а +4
1——<1, так как —J—>0 для любого а.
а2+4	а2+4
Основания логарифмов положительны и меньше 1
при всех а, поэтому
Зх — 5 <; х + 8,
х 6,5.
Зная, что логарифмическая функция определена
на множестве положительных чисел, найдем область
допустимых значений х.
[Зх-5>0	2
<	ох>1-.
|х + 8>0	3
2
Таким образом, 1 — < х < 6,5.
Ответ: при любом а имеем 1—< х < 6,5.
Замечание. В данном неравенстве содержит-
ся две переменные: х и а, поэтому ответ без ука-
зания области значений параметра а является не-
полным.
6.	Решите уравнение
у/х2 + Зх-4 + 7*3 + 12х2-11х-2 = 0.
Решение. Каждое из слагаемых, стоящих в
правой части уравнения, неотрицательно. Сумма двух
неотрицательных выражений равна нулю только в
том случае, когда они одновременно равны нулю.
Найдем те значения х, при которых первое сла-
гаемое равно нулю:
х2 + Зх — 4 = 0,
х = —4 или х = 1.
Отыщем значения х, обращающие в ноль второе
слагаемое.
х3+ 12Х2- Их-2 = 0.
Сложим коэффициенты многочлена
1 + 12 - 11 - 2 = 0,
следовательно, 1 — корень этого уравнения. Выне-
сем х — 1 за скобки и разложим на множители по-
лучающийся квадратный трехчлен:
(х - IXx2 + 13х + 2) = 0;
,	-13 + 716?	-13-
Х = 1 или х =--------- или х =------
2	2
Таким образом, только при х = 1 оба слагаемых
равны нулю одновременно. Значит, 1 является кор-
нем исходного уравнения.
Ответ: 1.
Замечание. Обращаем внимание на то, что
искать корни второго многочлена вовсе не обяза-
тельно. Достаточно проверить, являются ли найден-
ные корни первого многочлена корнями второго.
II вариант
1.	Решите уравнение 34а-7-32л-18 = 0.
Решение. Сделаем замену t = 32л, t > 0 и за-
пишем уравнение в следующем виде:
t2-7/-18 = 0,
t = -2 или / = 9.
Корень —2 не подходит, так как —2 < 0.
Вернемся к переменной х.
3^ = 9; 32х = 32. 2х = 2; х= 1.
Ответ: 1.
2.	Найдите критические (стационарные) точки и
промежутки возрастания и убывания функции
у = 7 + х — 51п х.
Решение. Функция определена и дифферен-
цируема на (0; +оо). Найдем ее производную.
Решив уравнение у' = 0, найдем критические точ-
ки данной функции.
1-2 = 0 о х = 5.
х
В точке 5 производная меняет знак с минуса на
плюс (рис. 29), поэтому исходная функция убывает
на промежутке (0; 5] и возрастает на промежутке
[5; +оо) .
и	3
Рис. 29
Ответ: х = 5 — критическая точка функции.
На промежутке (0; 5] функция убыва-
ет; на промежутке [5; +оо) возрастает.
3.	Решите уравнение sin 2х - 2 sin2 у = -1.
Решение. Применим формулы двойного и по-
ловинного аргумента.
2sin х cos х + cos х = 0,
cos x(2sin x + 1) = 0,
n	•	1
COS X = 0 или sin X = — .
2
7T	7T
x = — + nk или х = (-1)Л+* — 4-лл, k.neZ.
2	6
О т в e t: — + nk, (-1)"+1 — 4-л«, fc,«eZ.
2	6
4.	Найдите первообразную функции
у = Зх2 -6(4х +1)~0,5,
график которой проходит через точку М(6; 180).
Решение. Будем искать первообразную в виде
F(x) = х3 - 3(4х + I)0’5 + С.
График этой функции проходит через точку
Л/(6; 180), если выполняется равенство F(6) = 180,
т.е. 180 = 216 — 3 • 5 + С, откуда С = —21.
Подставляя полученное значение, получим
F(x) = х3 - 3(4х + I)0’5 - 21.
Ответ: F(x) = х3 — 3(4х + I)0,5 — 21.
5. Решите неравенство
logfl2+3 (2х + 3) < logfl2+3 (х + 2).
о2+2	в2+2
Решение. Рассмотрим сначала выражение,
стоящее в основаниях логарифмов.
о2 4-3	1
— = 14- —5-----.
а2 + 2	а2 + 2
так как а2 + 2 > 0 для любых а.
Следовательно, основания логарифмов больше
единицы, и данное неравенство равносильно сис-
теме
|2х + 3<х + 2	1х<-1	, _	.
J	1	<=> -1,5<х<-1.
[2x4-3 >0	[х>-1,5
Ответ: (—1,5; —1] при любых значениях а.
Замечание. В данном неравенстве содержит-
ся две переменные хиа, поэтому ответ без указания
области значений параметра а является неполным.
6. Решите уравнение
4х3 4-8х2 -7х-26 4-4х2 4-Зх-10 = 0.
Решение. Оба слагаемых неотрицательны
(арифметический корень не может быть меньше
нуля). Поэтому найдем, при каких значениях х одно
из них обращается в ноль, и проверим, равна ли
нулю при найденных х исходная сумма.
Второе слагаемое равно нулю, если
х2 + Зх - 10 = 0,
х = —5 или х = 2.
Подставив полученные значения для х в исход-
ное уравнение, убедимся, что только число 2 удов-
летворяет уравнению.
Ответ: 2.
№ 3-99
А-11
I вариант
1.	Решите уравнение 2cos2y-15cos-y-8 = 0.
Решение. Данное уравнение является квад-
X	X
ратным относительно cos у. Обозначим cosy = r,
— 1 s/s 1. Тогда уравнение примет вид
2Z2 - 15/ - 8 = 0.
cos—=
Его корни /1 = -у и t2 — 8, причем /2 не подхо-
дит, так как 8 > 1.
Вернемся к исходной переменной.
л	2’
4л
откуда х = ±—4- 4ли, п g Z.
3	4л
Ответ: ±------н4лл,neZ.
3
2.	Решите уравнение
log3(x3 + х2 — 4х + 2) = log3(x3 — 1).
Решение. Из равенства логарифмов с одина-
ковыми основаниями следует равенство выражений,
стоящих под знаком логарифма.
35
х3 + х2 — 4х + 2 = х3 — 1,
х2 — 4х + 3 = О,
х = 1 или х = 3.
Проверим, удовлетворяют ли полученные числа
области допустимых значений исходного уравнения.
Если х = 1, то выражение log3(l — 1) не имеет
смысла.
Если х = 3, то log3(27 — 1) = log326, log3(27 +9 —
- 12 + 2) = log326.
Ответ: 3.
Найдем производную в точке с абсциссой х0.
У(хо) = 3хо2 -14х0 + 2.
Из условия имеем
Зхц - 14х0 + 2 = -9,
3. Решите неравенство 92 — 12• 32 + 27 < 0.
Решение. Сделав замену З2 = а , получим не-
равенство а2-12а + 27<0,
(а-9)(а-3)<0,
3<а<9.
Возвращаясь к переменной х, имеем
3<32 <32.
Поскольку основание степени больше единицы, то
1<-<2,
2
2<х<4. Ответ: [2; 4].
Зх2-14х0 + 11 =0.
Поскольку 3 - 14 + 11 = 0, то 1 является корнем
п -	Н
уравнения. Второй корень равен —.
..	1 3Ц
Итак, в точках с абсциссами 1 и — касательные
3
к графику функции у(х) имеют угловой коэффи-
циент j'(x0). Найдем ординаты точек касания.
Если х0 =
1, то у0= I3 — 7 ’ I2 4- 2 - 1 -3 = -7.
11
11?
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = —х2 + 4х+3 и j = х2 — 2х + 3.
Решение. Графиками указанных функций яв-
ляются две параболы (рис. 30). Найдем абсциссы
точек их пересечения:
х2 — 2х + 3 =
= —х2 + 4х + 3,
х2 — Зх = 0,
х = 0 или х = 3.
Искомую площадь 5
найдем как разность
площадей двух криволи-
нейных трапеций.
Рис. 30
з	з
5 = j(-x2 +4х +3)dx - j(x2
о	о
3
2х + 3) dx = j(-2x2 + 6х) dx =
о
2х3
-±£-+Зх2
3
= -18+27=9.
Ответ:
9 кв. ед.
5. Известно, что прямая, заданная уравнением
у = —9х + 2, является касательной к графику функ-
ции у = х3 — 7Х2 + 2х — 3. Найдите координаты точки
касания.
Решение. Касательная к графику дифферен-
цируемой в точке х0 функции j(x) — это прямая,
проходящая через точку (х0; у(х0)) и имеющая угло-
вой коэффициент У(х0).
I _ 11	_
+ 2-------3 =
I 3
Если х0 =
= -40—.
27
Проверим, удовлетворяют ли найденные коорди-
наты уравнению данной прямой.
-7 = -91+ 2 - верно.
-7- —
I 3
ЛЛ13 п П о
-40— = -9 — + 2 — неверно.
27	3
Следовательно, прямая, заданная уравнением у =
= —9х + 2, касается графика функции у = х3 — 7х2 +
+ 2х — 3 в точке с координатами (1; —7).
Ответ: (1; —7).
6. Для каждого значения а (а > 0; а * 1) найдите
промежутки монотонности, точки экстремумов и эк-
стремумы функции у = х • logc х.
Решение. Данная функция определена и
дифференцируема на промежутке (0; +«>). Найдем
ее производную:	*
y = logox + -—.
Ina
Для того чтобы отыскать критические точки, ре-
шим уравнение у' = 0.
1
logox + -— = 0;
Ina
log„x = -loga е;
1
х = —.
е
Эта точка разбивает положительную часть число-
Гп 1И1	1
вой прямой на два промежутка 0;— , —; + оо L
к	7
Определим знак производной, если х = е.
ч ,	1	2
y(e) = logfle + -— = -—.
Ina Ina
Знак производной зависит от параметра а.
При 0 < а < 1 У(е)<0. Производная положитель-
но П
на в интервале 0;— и отрицательна на луче
fl А <
—; + со (рис. 31, а), следовательно, на первом про-
36
межутке функция возрастает, на втором убывает.
1	fl) 1 ,	1	1
х =---точка максимума, у — = — • logfl — =----—
е	\е) е ее In а
значение функции в этой точке.
Рис. 31
При а> 1 у'(е) > 0. Производная отрицательна в
(п 1)	f 1	)
интервале 0;— и положительна на луче —; + <»
к	Vе	7
(рис. 31, 6), следовательно, на первом промежутке
функция убывает, на втором возрастает. х = — —
fl) 1 ,	1	1	е
точка минимума, у — = —  logfl — =----— значе-
kej е е	elno
ние функции в этой точке.
Ответ: при 0 < а < 1 на промежутке | 0; — 1
к е)
функция возрастает, на промежутке
убывает; при а > 1 на про-
межутке | 0; - | функция убывает, на
к е)
fl	)
промежутке —; + °° возрастает;
Iе	) ]
Точка экстремума — х = —, экстремум —
]) _1 е
е) elntf
х3 +х2 — Зх—3 = х3 +1
х3 + 1>0.
Решая ее, получаем
г ->	|Г* = 4
х2 - Зх - 4 = 0
х3>-1
|х>-1,
откуда х — 4.
Ответ: 4.
3.	Решите неравенство 43 -6-23+8<0.
Решение. Пусть 23 =а, тогда исходное нера-
венство примет вид
а2 -6с+ 8 <0,
(с-4)(с-2)<0,
2<л<4.
Следовательно,
2<23 <22.
Поскольку у = 2' — возрастающая функция, то
1<-<2,
3
3<х<6.
Ответ: [3; 6].
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у — —х2 — 2х + 5 и j = х2 + 4х + 5.
Решение. Построим графики указанных фун-
кций и заштрихуем полученную фигуру (рис. 32).
Найдем абсциссы точек
пересечения этих графиков.
II вариант
1. Решите уравнение 2sin2—+ 19siny-10 = 0.
Решение. Данное уравнение является квадрат-
ным относительно sin у. Поэтому
. х -19 + 7361+80	. х -19-7361 + 80
sin—=--------------или sin—=---------------,
2	4	2	4
X	X 1
sin —= -10 или sin—=—.
2	2 2
. х
Уравнение sin —= -10 не имеет корней, поскольку
,	. х ,
-1 <sin—< 1.
2 х 1
Уравнение siny = y имеет корни
х = (-1)" — + пп, п е Z.
6
Ответ: (-1)" — + пп, п eZ.
6
2. Решите уравнение
log4(x3 + х2 - Зх -3) = log4(x3 +1).
Решение. Данное уравнение равносильно си-
стеме
х2 + 4х + 5 =
= —х2 — 2х + 5
х2 + Зх = 0
х = 0
или
х = —3
Для искомой площади
5 получаем:
о
S= j(-x2-2х+5-х2-4x-5)dx =
-з
о
.3
0	9г3
= |(-2х2-6х)б/х=---------Зх
-з	к 3
о
= -(18-27) = 9.
-з
Ответ: 9 кв. ед.
5. Известно, что прямая, заданная уравнением
у = — 10х + 1, является касательной к графику фун-
кции у = х3 — 5Х2 — Зх — 2. Найдите координаты
точки касания.
Решение. Функция у(х) = х3 — 5Х2 — Зх — 2
определена и дифференцируема на R.
37
Обратимся к геометрическому смыслу производ-
ной. у'(х0) = к, где к — угловой коэффициент каса-
тельной к графику функции в точке (х0, Х*о))-
Найдем производную в точке с абсциссой х0
У(хо) = 3хо2 -10хо-3.
Угловой коэффициент касательной равен -10,
поэтому абсцисса точки касания удовлетворяет урав-
нению	Зх2-10х-3 = -10,
Зх2-10х2 + 7 = 0
х = 1 или х =—.
3
Найдем ординаты точек касания.
у(1) = 1- 51-31-2 =-9.
Проверим, удовлетворяют ли полученные значе-
ния х и у уравнению данной прямой.
-9 = -10-1 + 1 - верно.
14	7
-23— = -10—+ 1 — неверно.
27	3
Таким образом, прямая, заданная уравнением у =
= — 10х + 1, касается графика функции у = х3 — 5а' —
— Зх — 2 в точке (1; —9).
Ответ: (1; —9).
6. Для каждого значения а (а > 0; а * 1) найдите
промежутки монотонности, точки экстремумов и эк-
стремумы функции у = х • ах.
Решение. Данная функция определена и диф-
ференцируема на R. Ее производная равна
у' = ах +хах Ina.
Решив уравнение у' = 0, найдем критические точки.
a*(l + xlna) = 0,
1 + х1па = 0,
промежутке (-l/lna;+ оо); при а>1 убывает на
первом промежутке и возрастает на втором.
х =-l/lna — точка экстремума, значение функ-
ции в этой точке равно y(-l/lna) =----—•
elna
Ответ: функция при 0 < a < 1 возрастает
на промежутке (-оо;-l/lna) и убы-
вает на промежутке (-l/lna; + oo);
при a > 1 убывает на промежутке
(-оо; -l/lna) и возрастает на проме-
жутке (-l/lna; + oo).
x = -l/lna — точка экстремума,
y(-l/lna) = —-— экстремум.
№ 4-99	Д-11
I вариант
1. Решите уравнение х - 2-Ух -8 = 0.
Решение. Данное уравнение сводится к квад-
ратному методом замены.
Пусть y[x=t, тогда имеем
Z2 — 2/ — 8 = 0,
/12 =1±VT+8 = 1±3.
Вернемся к переменной х.
Уравнение у[х =-2 корней не имеет, так как
Vx >0.
Из уравнения Vx =4 получаем х = 16.
Ответ: 16.
2. Найдите значение выражения
( И
---7---arccos----
1	I 2J
logd sin— +-------
<6/ л
Решение.
. п 1
1) sm—= —
6 2
2)log2f|J = -l; 3)(-1)2 = 1; 4)Л = 1;
1
х =----.
1п<2	2
Рассмотрим знак производной при х =-----.
2	Ina
у (-—) =	1 -2| = -е-2 < 0.
Ina	Ina J
В точке х = —— при 0 < a < 1 производная
Ina
меняет знак с плюса на минус (рис. 33, а), а при
a > 1 — с минуса на плюс (рис. 33, б).
« Г 1
5) arccos I —
2п	2п	2	2 ,2
—; 6)—:л = —; 7)1+— = !—.
3	3	3	3	3
Ответ:
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у — —х2 + 7, у = х2 + 1, х = —1, х = 1.
-l/lna -2/Inc
-2/1па -1/lno
Рис. 33
Следовательно, данная функция при 0 < a < 1
возрастает на промежутке (-ос;-l/lna) и убывает на
Решение. Построим гра-
фики функций у = —х2 + 7, у =
= х2 + 1 и проведем прямые
х = —1, х = 1 (рис. 34).
Линии у = —х2 + 7, х = —1,
х = 1 и у = 0 ограничивают кри-
волинейную трапецию EABD.
Линии j = x2+ 1, х = —1, х =
= 1 и у = 0 ограничивают кри-
волинейную трапецию ETCD.
Рис. 34
3
38
Площадь фигуры ТАВС найдем как разность пло-
щадей указанных криволинейных трапеций.
•	(	Л1
SEABD
= j(-x2+7)Jx =-----+ 7х
1 п fl	2 „I
— + 7- —7 = 14— = 13-;
3	‘
2
3 "3’
.3
$ETCD
1 , ( 1 J Л
= — + 1------1 = 2—.
3
Воспользуемся основным тригонометрическим
тождеством.
2(1 - sin2 2х) - д/з sin 2х - 2 = 0,
sin2x sin2x+—— =0,
2
V3
sin2x = 0 или sin2x =-----,
2
3
1
2
3
3
Отсюда
1	2	2
$ТАВС = ^FAHn~^E1VD ~ ----2—= 10 —.
/ЛоС LAtSU Lik'U	3
2
Ответ: 10— кв.ед.
3
4. Решите неравенство log2(x2 + Зх) < 2.
Решение. Найдем область определения дан-
ного неравенства:
,	х >0
х2 + Зх > 0, х(х + 3) > 0,
Исходное неравенство запишем следующим об-
разом:
log2(x2 + Зх) < log2 4.
Функция у = log21 возрастающая.
Решая его, получим
(х - 1)(х + 4) < О,
Найдем все х, входящие в область определения
неравенства и удовлетворяющие данному неравен-
ству (рис. 35).
х
-4 -3
О 1
Рис. 35
Итак, [-4; —3)U(0; 1] — решение исходного нера-
венства.	Л	г .	,,
Ответ: [—4; —3)U(0; 1].
•уЗ
5. Решите уравнение sin4 х -1 = ~^-sin 2х - cos4 х.
Решение. Перепишем уравнение следующим
образом:
(sin2 х)2 + (cos2 х)2-sin 2х -1 = 0.
4
Понизим его степень, используя формулы поло-
винного аргумента.
(l-cos2x)2 (l+cos2x)2 7з . _	, _
--------—+ ---------------sin2x -1 = 0,
4	4	4
1 - 2cos2x+cos2 2х+1 + 2cos2x+cos2 2х - 4з sin2x -4 = 0,
2COS2 2х - 7з sin2x - 2 = 0.
х = — или х = (-!)'
2
2х = тг& или 2х = (-1)"+1у+ тш, &,weZ,
и+1 тс тел .	_
I —+—, fc,«eZ.
6 2
тсАс . , „.1 тс тсп .
Ответ: х = —, х = (-1) —+—-, k,neZ.
2	6 2
6. Представьте число 8 в виде суммы трех поло-
жительных слагаемых так, чтобы сумма кубов двух
первых слагаемых и третьего, умноженного на 9, была
наименьшей, если известно, что первое слагаемое в
два раза больше второго.
Решение. Пусть х — второе слагаемое, тогда
2х — первое слагаемое, третье же равно 8 — х — 2х. По-
_	8
скольку все слагаемые положительные, то 0 < х < у.
Рассмотрим сумму кубов двух первых слагаемых
и третьего, умноженного на 9, как функцию Дх).
/(х) = х3+(2х)3+9(8-Зх),
/(х) = 9х3-27х + 72.
Найдем наименьшее значение этой функции на
промежутке I 0; -1.
Ее производная равна
Д(х) = 27х2-27.
0; — I производная обращается в
ноль только в точке х = 1. Причем, если х < 1, то
производная отрицательная, а если х > 1, то поло-
жительная. Следовательно, х = 1 — точка миниму-
ма, и в ней функция принимает свое наименьшее
значение на рассматриваемом промежутке.
Итак, второе слагаемое равно 1. Находим осталь-
ные слагаемые: 2 и 5.
О т в е т: 2; 1; 5.
II вариант
1.	Решите уравнение х + 3>/х -10 = 0.
Решение. Сделаем замену t = Jx, t > 0. Имеем
Г2 + 3t - 10 = 0,
t = —5 или 1 = 2.
Однако — 5 < 0, поэтому 4х = 2, х = 4.
О т в е т: 4.
39
Решение.
1О8Л
2
2. Найдите значение выражения
arccos
Т2
+ - = 2-.
6
5л
6л
= '°8Л
2
5
6
------ arccos
л
cos—
3
Ответ: 2—.
6
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = —х2 + 6, у — х2 + 2, х — —1, х = 1.
Решение. Указанные
линии и фигура, ограниченная
ими, изображены на рис. 36
Функции у = —х2 + 6 и у =
= х2 + 2 четные, значит, их
графики симметричны относи-
тельно оси Оу. Линия х = — 1
также симметрична линии х =
= 1 относительно оси ординат.
Поэтому искомая площадь
S равна
-/ о 1
Рис. 36
1	1
5 = 2 J(-х2 + 6 - х2 - 2)dx = 2 J(-2x2 + 4)dx =
о	о
/	2*3 Л
= 2------+ 4х
3
6*.
3
Получаем:
—sin2 2х+sin 2х = 0,
2	2
sin 2х (41 - sin 2х) = 0.
Отсюда
sin 2х - 0 или sin 2х = 41.
Корни первого уравнения--—, к g Z, у второ-
го уравнения корней нет, так как 42 > 1.
Ответ: —, fceZ.
2
6. Представьте число 11 в виде суммы трех поло-
жительных слагаемых так, чтобы сумма кубов двух
первых слагаемых и третьего, умноженного но 21,
была наименьшей, если известно, что второе слагае-
мое в три раза меньше первого.
Решение. Пусть х — второе слагаемое, тогда
Зх — первое слагаемое. Для третьего имеем выраже-
ние 11 — (х + Зх). При этом 0 < х < 11/4.
Введем функцию Дх) — сумму кубов двух первых
слагаемых и третьего, умноженного на 21.
/(х) = х3 + (Зх)3 + 21(11 - 4х\
Д(х) = 28х3-84х + 231.
Найдем ее производную.
Д(х) = 84х2-84.
о	Гп
На промежутке 0; — производная равна нулю
\ 4J
только при х = 1. В этой точке производная меняет
знак с минуса на плюс, поэтому х = 1 — точка минимума.
Итак, искомым представлением числа 11 явля-
ется сумма 3+1+7.
Ответ: 3; 1; 7.
Ответ: 6— кв.ед.
№5-99
I вариант
2
4. Решите неравенство log3(x2 +8х)<2.
Решение. Данное неравенство равносильно
1. Решите неравенство
2
3х-2
5-х
системе
х2+8х>0	Jx(x + 8)>0
х2+8х<9	[(* + 9)(х-1)<О
-9<х<-8
0<х<1.
-9<х<1
Ответ: [—9; — 8)U(0; 1].
V2
5.	Решите уравнение cos4x + -— sin 2х = 1 - sin4 х.
Решение. Вычтем из обеих частей уравнения
выражение l-sin4x, и преобразуем выражение
sin4 х + cos4 х, выделив полный квадрат.
V2
(sin2 х + cos2 х)2 - 2 sin2 х cos2 х -1 + -у- sin 2х = 0.
Решение. 3х-2 > 0 при любых значениях х,
х * 2.
Поэтому данная дробь положительна, если
5-х>0	Г-х>-5	1х<5
х*2	|х5*2	|х^2.
Ответ: х < 2; 2 < х < 5.
Л
I
2.	Вычислите интеграл jsin2xdx.
п
4
Решение. Для нахождения первообразной
воспользуемся правилом: если Г(х) — первообраз-
ная функции Дх), то первообразная функции Д^х)
есть —F(kx). Таким образом
к
40
Jsin 2xdx =—cos2x
n	2
4
Ответ: —.
4
3.	Решите систему
4-5x-3-2'=-4
2-5х+3-2,’=34.
Решение. Пусть 5х = v и 2У = и, где у, и > О,
тогда получим систему линейных уравнений
f4v-3u = -4
[2v + 3w = 34.
Сложив уравнения системы, имеем
6v = 30, v = 5.
Подставим v = 5 в любое из уравнений системы
и получим и = 8.
Вернемся к исходным переменным.
2У = 8, 2У = 23, у = 3.
5х = 5, 5х = 5', х= 1.
Ответ: (1; 3).
Замечание. Применение метода подстановки
в этом примере менее рационально. Однако если уче-
ник воспользовался им, то это не влияет на оценку.
4.	Из всех прямоугольников, имеющих периметр
48 см, найдите стороны того, который имеет наи-
большую площадь.
Решение. Пусть х см — длина прямоугольни-
ка, тогда, зная периметр, выразим его ширину —
(24 — х) см. Площадь прямоугольника равна х(24 —
— х) см2.
Рассмотрим функцию 5(х) = 24х — х2, где 0 < х <
< 24. Выясним, при каких х она достигает наиболь-
шего значения.
Найдем ее производную 5,(х) = 24-2х.
На промежутке 0 < х < 24 есть одна критическая
точка х = 12 — точка максимума. В ней функция
5(х) принимает свое наибольшее значение.
Итак, 12 см — длина искомого прямоугольника,
24 — 12 = 12 (см) — его ширина.
Ответ: 12 см, 12 см.
Замечание. Полезно отметить, что из всех
прямоугольников с одинаковым периметром наи-
большую площадь имеет квадрат.
log3(l — х)+ log3(4x-x2) = log3(l -х) + log3(x(4-x)).
По свойству логарифма, если 1 — х > 0 и х(4 — х) >
> 0,то log3(x(l-x)(4-x)) = log3(l-x) + log3(x(4-x)).
Поэтому графики указанных функций совпадают
при значениях х, удовлетворяющих системе
1-х>0
х(4-х)>0.
fx < 1	Л
Она равносильна системе <!	откуда 0 < х < 1.
|0<х<4,
Ответ: 0 < х < 1.
6. При каких а*-3, уравнение 2sin2x =----- не
''О	а + 3
имеет корней?
Решение. Поскольку -1 < sin 2х < 1 для любо-
го значения х, то -2<2sin2x<2. Следовательно,
уравнение не имеет корней, если
ц-1	~	о-1 э
	< -2 или 	> 2.
67 + 3---------67 + 3
Решим оба неравенства, используя метод интер-
валов.
£j.+2<0 о а~1 + 2а+6<0	~<0 «
67 + 3	67 + 3	67 + 3
<^> — 3<67<~— (рИС. 37,67).
£г1_2>0« а~1-2а-5 6 * *>о « —<о
67 + 3	67 + 3	67 + 3
<^> -7<б7<-3 (рис.37,6).
а)	б)
Рис. 37
Ответ: при —7 < 67 < —3,
II вариант
з
2х+2
1. Решите неравенство ---> 0.
Решение. Поскольку числитель дроби поло-
жителен при любых значениях х, не равных —2, то
дробь положительна, если ее знаменатель положи-
тельный.
х + 7 > 0, х > —7
5. При каких значениях х графики функций
у = log3(х3 - 5х2 + 4х) и у = log3 (1 - х) + log3(4х - х2)
совпадают9.
Решение.
log3(x3 -5х2 + 4x) = log3(x(x-l)(x-4)) =
= log3(x(l-х)(4-х)),
Учитывая х Ф -2, получаем —7 < х < —2, х > —2.
Ответ: (-7;-2)и(-2;+оо).
п
4
2. Вычислите интеграл Jcos 2xdx.
п
6
41
4
в
Решение.
sin2x 4
2
.л . л
sin— sin— .	/7 п /7
2 3 = 1 уЗ_2-уЗ
2
л 2
6
2
4
Ответ:
4
2-43
4
3. Решите систему
3-4х-2-Зу=-6
[4х+2-3'= 22.
Решение. Сделаем замену
где v, и > 0. Получаем систему
J3v-2m = -6
|v4-2m = 22.
Сложим уравнения системы.
4v = 16, v = 4.
Зная v, имеем и — 9.
Вернемся к переменным х и у.
Зу = 9, Зу = З2, у = 2.
4х = 4, х = 1.
Ответ: (1; 2).
4. Из всех прямоугольных треугольников, сумма
катетов которых равна 16 см, найдите катеты того,
который имеет наибольшую площадь.
Решение. Пусть х см — длина одного из ка-
тетов прямоугольного треугольника, тогда длина
другого — (16 — х) см. Отсюда площадь прямоуголь-
ного треугольника равна ух(16-х)см2.
Найдем наибольшее значение функции
х2
5(х) = 8х-— на промежутке (0; 16).
Производная этой функции имеет вид
S'(x) - 8 - х.
На промежутке (0; 16) есть одна критическая точ-
ка х = 8 — точка максимума. 8 см — длина первого
катета, 16 — 8 = 8 (см) — длина второго катета.
Ответ: 8 см и 8 см.
4х = v и
Зу = и,
6. При каких а *2, уравнение 3cos3x =--- не
„ „	о — 2
имеет корней?
Решение. Поскольку |cos3x| < 1 для любого
значения х, то -3<3cos3x <3. Поэтому, если
04-5	_	04-5
----< -3 или----->
а-2-а-2
то уравнение не имеет корней.
04-5 „ л 4о-1 _	1
----<0о — <о<2.
о-2	4
-204-11 п 2о-11
а-2
04-5
а-2
а-2
а-2
Ответ:
л п Н
О <=> 2 <а <—.
2
— 2 Ю 2 — .
4 I 2 J
1
4
ГУМАНИТАРНЫЕ КЛАССЫ
№ 6-99
А-11-3-х часовая
программа
I вариант
1. Решите уравнение sin2x = —.
Решение.	]
sin 2х = —;
л 2
2х = (-!)" — + пп,
. Л Tin „
х = (-1) — +—, weZ.
12 2
Ответ: (-1)" — +—, wgZ.
12 2
2. Решите неравенство log, (3 - 2х) > -1.
5
Решение. Найдем область определения нера-
венства. „
5. При каких значениях х графики функций
у = log7(x3 + х2 -6х) и у = log7(x 4-3)4- log7(x2 - 2х)
совпадают?
Решение.
log7(x3 4-х2 — 6х) = log7(x(x-2)(x + 3)).
х(х-2)>0
то log7(x(x-2)(x + 3)) =
х + 3>0,
= log7(x + 3) + log7(x2 -2х) (по свойству логарифма),
и графики данных функций совпадут.
(—3; 0)0(2; +со) — решение системы (рис. 38).
Если
Данное неравенство можно записать так:
logjQ^xJ^log! 5.
5	5
Поскольку логарифмическая функция с основа-
нием — убывающая, то
3 — 2х 5, хг —1.
Таким образом, исходное неравенство равносиль-
но системе	,
откуда —1 sx< 1,5.
Рис. 38
Ответ: при х из множества (—3; 0)U(2; +оо).
3. Решите уравнение 4х 2 4- 4х 1 = 80.
Решение. Перепишем уравнение в следующем
виде:	дх дх
— + — = 80.
16 4
42
Умножим обе части уравнения на 16.
4х + 4-4х = 1280;
5-4х = 1280;
4х = 256;
4х = 44;
х = 4.
Ответ: х = 4.
Замечание. Разумеется, если в левой части
сразу вынести за скобки 4х-2, то в решении меньше
вычислений, да и сами вычисления проще. Однако
это решение математически безупречно и нарека-
ний к нему быть не должно.
4.	Найдите критические (стационарные) точки
функции f (х) = 2х3 - 9х2 - 60х + 127.
Решение. Данная функция определена и диф-
ференцируема на R.
Ее производная
/'(х) = 6х2 - 18х - 60.
Найдем критические точки функции, решив урав-
нение f'(x) = 0.
бх2 - 18х - 60 = 0;
х2 - Зх - 10 = 0;
X] = —2, х2 = 5
Ответ: —2; 5.
5.	Найдите первообразную функции f (х) = 8х3 - 5,
график которой проходит через точку М(\\ 4).
Решение. Любая первообразная данной фун-
кции записывается в виде F(x) = 2х4 — 5х + С, где
С — произвольная константа.
Поскольку график первообразной проходит че-
рез точку Д/( 1; 4), то ее координаты удовлетворяют
уравнению F(l) = 4, или 2 — 5 + С = 4.
Решая его, получим С = 7.
Таким образом, уравнение искомой первообраз-
ной имеет вид
F(x) = 2х4 — 5х + 7.
Ответ: Г(х) = 2х4 — 5х + 7.
к d	ух -7х+12
6.	Решите неравенство ----------> 0.
Решение. Найдем область определения дан-
ного неравенства.
х2 -7х + 12>0
х* 2.
Решая квадратное уравнение х2 — 7х + 12 = 0,
получим корни X] = 3 и х2 = 4. Имеем
(х-3)(х-4);>0
х*2;
х<2, 2<х<3, х>4 (рис.39).
Рис. 39
Выражение ух2-7х + 12 неотрицательно при
любом х из области определения. Поэтому дробь
неотрицательна, если знаменатель положительный,
т.е. х > 2.
Отметим область определения неравенства и по-
лученный промежуток на числовой прямой (рис. 40).
Решением неравенства являются все х, такие, что
2 < х s 3, х а 4.
Ответ: 2 < х s 3, х ;» 4.
II вариант
7з
1.	Решите уравнение cos2x = —
Решение.
о
cos2x =—;
2
7t
2х = ±— + 2пп, neZ;
6
7Г
х = ±— + пп, neZ.
12
71
Ответ: х = ±— + лл, «eZ.
12
2.	Решите неравенство log, (2 - Зх) > -1.
Решение.	*
log1(2-3x)^logl 4.
4	4
Поскольку функция у = log! t убывает, то данное
4
неравенство равносильно системе
2
|2-Зх>0 Х<3	_2< <2
[2-Зх<4	|	2^ 3“Х<3’
1	х> —
3	2	2
Ответ: —<х<—.
3	3
3.	Решите уравнение Зх+2 +Зх+3 -108.
Решение. Вынесем за скобки общий множи-
тель Зх+2.
Зх+2(1 + 3) = 108;
Зх+2=27; Зх+2 = 33;
х + 2 = 3; х = 1.
Ответ: х = 1.
4.	Найдите критические (стационарные) точки
функции /(х) = 2х3+3х2-72х-213.
Решение. Данная функция определена и диф-
ференцируема на R.
Производная имеет следующий вид:
f(x) = 6х2 + 6х - 72.
43
Найдем критические точки функции, т.е. корни
уравнения f\x) = 0.
бх2 + бх - 72 = 0;
х*+х - 12 = 0;
х = — 4 или х = 3
Ответ: —4; 3.
5.	Найдите первообразную функции /(х) = 10х4 + 3,
график которой проходит через точку Л/(1; 3).
Решение. Все первообразные функции име-
ют вид	,
F(x) = 2х5 + Зх + С,
где С — произвольная константа.
Координаты точки Л/(1; 3) удовлетворяют этому
уравнению.
3 = 2 + 3 + С.
Значит, С = —2.
Следовательно, F(x) = 2х5 + Зх — 2.
Ответ: F(x) = 2г5 + Зх — 2.
6.	Решите неравенство -------— < 0.
Решение. Данное неравенство равносильно
системе
х2 -х-6>0
х-4<0
Г(х-3)(х + 2)>0
[х <4
х<-2
3<х<4.
Ответ: (—оо; — 2]U[3; 4).
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
№ 7-99
А-11-ЛАК
I вариант
1. Решите неравенство logx+2(9x2 + 15х -6) < 2.
Решение. Неравенство равносильно совокуп-
ности двух систем
0<х+2<1
9х2 + 15х-6>(х + 2)2,	0<9х2 + 15х-6<(х + 2)2.
Первая система равносильна
-2 <х < -1
8х2 + 11х-10>0
и решений не имеет.
Вторая система равносильна
х>—1
< 8х2 + 11х-10<0 <=>
Зх2+5х-2>0
2. Решите уравнение 8 • 2W + 7 • 2х - 30.
Решение. Рассмотрим случай, когда х > 0.
Тогда |х| = х и 8-2w + 7-2*=30<»15-2x=30<=>2x=2.
Отсюда х = 1 > 0 является корнем уравнения.
Пусть теперь х < 0, тогда |х| = —х и
8-2|х| + 7-2* =30	8-2* + 7-2* = 30 <=>
о 7-(2*)2-30-2*+8 = 0.
Решая квадратное уравнение относительно 2х,
получим:
а)	2х = 4 или х = 2 > 0 не может быть корнем
уравнения;
2	2
б)	2х = - или х = log2 — = 1 - log2 7 < 0 (таккак log2 7 > 1)
является корнем уравнения.
Таким образом, уравнение имеет два корня:
1 - log2 7 и 1.
Ответ: 1 - log2 7 и 1.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = х2 - 21 х | +1 и касательными к нему,
л	J 5- 14>1
проходящими через точку А\ ;------.
\ 6	3 )
Решение. Прежде всего убедимся, что точка
А не принадлежит графику данной функции. Дей-
ствительно, у = х2 — 2|х| + 1 = (|х| — I)2 принимает
неотрицательные значения.
Уравнения касательных будем искать в виде у =
= у0 + у'0(х - х0), где х0 — абсцисса точки касания, а
у0 и Уо — значения функции и ее производной при
х = х0.
Рассмотрим кривую графика функции при х>0.
Тогда у = (х -1)2, у’ = 2(х -1) и уравнение касательной
j = (x0 -I)2 + 2(х0 -1)(х-х0) или у = 2х(х0 -1) + 1 -х^.
Подставляя в полученное уравнение координаты
точки А, определяем абсциссу точки касания:
14	5	э ,
-у = -~(х0 - D +1 -х2 « Зх2 + 5х0 -22 = 0,
И	П
откуда х0 = —- или х0 = 2. Отрицательное значе-
ние не подходит, значит, абсцисса точки касания 2
и уравнение касательной у = 2х — 3.
44
Пусть теперь х < 0.
Тогда у = (х + I)2,
у' = 2(х + 1) и уравнение
касательной у = (х0 + I)2 +
+2(х0 + 1)(х — х0) или
у = 2х(х0 + 1) + 1-х2.
Подставляя координаты
точки А, получим х0 = —3
и у = —4х — 8.
Построив график
функции и касательные
к нему (см. рис. 41), вы-
ясняем, что требуемую
площадь можно вычис-
лить как сумму площадей трех фигур.
~б
5] = J(x2 + 2х +1 + 4х + 8)zZx =
-з
Рис. 41
7	1 -'yj
Его корни х -х -1 = 0 <=> х =---
_5
6
-3
5
6 133
= —у (кв.ед.);
З-о
-3
з
о
S2 = j(x2+ 2х +l-2x + 3)dx =
5
6
их2+Зх + 1 = 0<=>х =-----.
2
Сравнивая корни многочленов, видим, что общи-
1-75 1+75
ми являются корни —-— и   .
II способ. Разложим первый многочлен на мно-
жители:
х4 — х2 — 2х — 1 = (х2 — х — IXx2 + х + 1).
Так как речь идет об общих корнях, то разложе-
ние второго многочлена должно содержать один из
множителей первого. Делим второй многочлен на
каждый из множителей первого и убеждаемся, что
х4 + 2г5 — Зх2 — 4х — 1 = (х2 — х — IXx2 + Зх + 1).
Трехчлены х2+х+1их2 + 3х+1не имеют общих
корней, значит, общими корнями являются корни
трехчлена хг — х — 1, т.е. —-—.	1 + 75
Ответ: —--—.
о
.3
6
о -
5	10/	X
5 = з^+Т(квед);
6
5. Изобразите на комплексной плоскости множе-
ство всех таких точек z0, что для каждой из них для
любого решения z уравнения |z-3z|=|z~201 выполня-
2
53 - |(х2 -2x + l-2x + 3)Jx =
о
2
о
(х-2)3
3
2
=—(кв.ед.).
е 133	53	10 8 п 7 z
Таким образом, 5 = —7+—г+—+—= 9— (кв.ед.).
З-б3 З-б3 33	12
ется условие z2 *ti для любого положительного / е R.
Решение. Пусть z0 = *0 + W и Z = х + yi.
Прежде всего отметим, что z0 * 3/, так как в про-
тивном случае решением уравнения |z — 37| = |z — 3Z|
является все множество комплексных чисел.
Далее, исключим из рассмотрения все такие
точки Zq, для которых решения уравнения |г — 3z| =
= |z — Zol удовлетворяют условию г2 = ti, где t дей-
ствительное положительное число. Но
£ = ti<=>(х + yi)2 =ti<^(x2 — у2)+ 2xyi = ti<=>
Ответ: 9— кв.ед.
4. Найдите общие корни многочленов
х4—х2—2х —1 и х4+ 2х3-Зх2-4х-1.
Решение. I способ. Разложим первый много-
член на множители:
х4 — х2 — 2х—1=х4 — (х2 + 2х + 1) =
= х4 — (х + I)2 = (х2 — х — IXx2 + х + 1).
П	2	1 Л 1±>/5
Его корни х -х-1 = 0 сх> х = —-—
2	1 п -1±/7з
И X +х+1=0 <^> х=-------.
2
Разложим второй многочлен на множители:
х4 + 2х3 — Зх2 — 4х — 1 —
= (х4 — х2 — 2х —1) + (2х3 — 2Х2 — 2х) =
— (х2 — х — IXx2 + х + 1) + 2х(х2 — х — 1) =
= (х2 - х - IXx2 + Зх + 1).
А так как |г - 3z| = |z — Zo| - уравнение середин-
ного перпендикуляра к отрезку с концами в точках
3/ и Zq, то мы должны исключить из рассмотрения
все такие точки zi}, для которых серединный пер-
пендикуляр совпадает с прямой у = х или пересе-
кает ее в точке, отличной от начала координат.
Прямая у = х — серединный перпендикуляр к от-
резку, координаты концов которого (3; 0) и (0; 3),
значит следует исключить точку z0 — 3.
Серединные перпендикуляры, не пересекающие
прямую у = х, параллельны ей, т.е. перпендику-
лярны прямой с угловым коэффициентом —1 и про-
ходящей через точки 3z и z0. Уравнение этой пря-
мой у = —х + 3.
45
Если серединные перпендикуляры проходят че-
рез начало координат, то уравнение |г - 3/| = |г — Zol
имеет нулевое решение. Следовательно, |—3/1 = |—zj
или *о+Уо=9.
Таким образом, мно-
жество точек z0, удов-
летворяющих условиям
задачи, представляет со-
бой объединение окруж-
ности х2 + у1 = 9 и пря-
мой х + у = 3, за ис-
ключением точек с коор-
динатами (3; 0) и (0; 3).
Рис. 42
2 А
- j л; 01 корень-а, тогда на [0; 14 л] 7
корней вида а + 2£л и 7 корней вида -а + 2(/с + 1)л
6), на I 14л; 14л+—л
1	2
Пусть на
(к = 0, 1,2
а + 14л. Их сумма
66
- а + ^2 (а + 2Лл) +]Г (- а + 2(к + 1)л)+а +14л = 112л.
к=0	*=0
Ответ: наибольшее количество корней на про-
( 2 29 1
межутке -—л; — л уравнение cosx =а
имеет при 0<а<1; 16 корней; 112л.
один корень
Ответ: см. рис. 42.
6. Найдите все такие значения параметра а, для
каждого из которых уравнение cosx = a имеет наиболь-
шее количество корней на промежутке
Определите это количество, а для каждого такого а
найдите сумму корней данного уравнения на рассмат-
риваемом промежутке.
Решение. Представим заданный промежуток
в виде
( 2	29 ‘
—л; —л
I 3	2
2 29
—л; —л
3	2
2	1	(	1
-у л; 0ju[0; 14л]и1 14л; 14л+—л
1
2
(см. рис. 43) и исследуем количества корней урав-
нения cosx = а на каждом промежутке объединения
II вариант
1. Решите неравенство logt_x(2x2 + Зх +1) > 2.
Решение. Неравенство равносильно совокуп-
ности двух систем
0 <2х2 +Зх + 1 <(1-х)2,
Решая первую систему, получим
2х2 + Зх + 1 >(1 -х)2.
2х2+Зх + 1>0
2х2 +5х<0
2х2 +Зх + 1:
в зависимости от значения параметра а.
Рис. 43
2х2 +Зх + 1 >0,
так как промежутки (0; 1) и [—5; 0] не пересекаются.
Из второй системы получаем
Ответ: (-оо;-5].
Прежде всего исключим из рассмотрения все та-
кие значения а, при которых |g| > 1. Напромежут-
( 2 J) 1
ке (~~3Л’ / ПРИ ~~2<О<^ уравнение имеет только
один корень. При остальных значениях а корней
нет (рис. 43, а). На промежутке [0; 14л] при а = 1
уравнение имеет 8 корней, при а = — 1 — 7 корней,
при— \< а < 1 — 14 корней (рис. 43, б). На проме-
( 1 1
жутке 14л; 14л+—л уравнение имеет один корень
k	J
при 0<а< 1, при остальных значениях а корней
нет (рис. 43, в).
Сопоставляя полученные результаты, приходим
к выводу, что уравнение cosx = d имеет на проме-
( 2 29 ~|
жутке	наибольшее число корней, а
именно4 16, при 0<я<1.
2.	Решите уравнение 15 • 3|х| + 9 • 3х = 32.
4
Решение.Если х>0, то 15-3 +9-3* =32 или 3х =—.
3
Тогда х = log3 4 -1 > 0, так как log3 4 > 1.
В случае х < 0 имеем
15Ух+9-Зх=32«9-(зх)2-32-Зх + 15 = 0.
Решая квадратное уравнение относительно 3х, полу-
чим 3х = ^, или 3х = 3. В первом случае х = log35 — 2 <
< 0, так как log35 < 2. Во втором случае х = 1 > 0 и
решением не может быть.
Ответ: log35-2; log34-l.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = х2-3|х|+х и касательными к нему,
проходящими через точку А\ —;---.
14	2 J
46
Решение. Прежде всего убедимся, принадле-
жит ли точка А графику функции или нет:
2
_5
4
-3--
4
5__55 L3
4~ 16* 2
Значит, точка А графику функции не принадлежит.
Будем выводить уравнения касательных в виде
у = у0 + Уд(х -х0), где х0 — абсцисса точки касания,
а у0 и уд - значения функции и ее производной при
X =Хд.
Если х>0, то у = х2-2х, у' = 2х-2 и уравне-
ние касательной у = (xj - 2х0) + (2х0 - 2)(х - х0) или
у = 2х(х0 — 1)—Хд. Подставляя в это уравнение ко-
ординаты точки А, получим
13	5
----= —(х0 —1) —Хд <=> 2хд +5х0 -18 = 0,
2---' V ' V	и	и	7
откуда х0 = —4,5 или х0 = 2. Так как мы рассмат-
риваем функцию при х > 0, то абсцисса точки каса-
ния х0 = 2 и уравнение касательной у = 2х — 4.
Если же х < 0, то у = х2 + 4х, у' = 2х + 4 и урав-
нение касательной у = (хд+4х0)+(2х0+4)(х-х0)
или у = 2х(х0 +2)-Хд. Подставляя в это уравнение
координаты точки Л, получим
13	5
----= —(х0 + 2)-Хд <=> 2хд+5х0-3 = 0,
откуда х0 = —3 или х0 =
= 0,5. Так как мы рас-
сматриваем функцию
при х < 0, то абсцисса
точки касания х0 = —3 и
уравнение касательной
у = -2х — 9.
На рис. 44 изображе-
на фигура, площадь ко-
торой требуется вычис-
лить.
Рис. 44
2
°	2
5= j(x2+4x)t/x+ J(x2-2x)tZx- J(-2x-9)t/x- j(2x-4)dx=
-3	о
2
4
-3
.2
|2
|0
'х3 э 2
= —+2х
3
5
3
\ ~	7|-3	\	7|о	4
_ ,„ 8 . 25 45 _ __ . _ 25 _ _ 13,	.
=9-18+—4+---------9+27-4+8+—+5=8— (кв.ед).
3	16 4	16	24
о 13
Ответ: 8—кв.ед.
24
4.	Найдите общие корни многочленов
х4 — х2 + бх — 9 и х4 — х3 — 2Х2 + 9х — 9.
Решение. Приравняем данные многочлены и
решим полученное уравнение:
х4 -х2 + 6х-9 = х4 -х3-2х2 +9х-9
л -1-713 -1 + 713
Его корни 0, -------и--------.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что
-1±713
---------корни первого многочлена. Атак как при
2	-1 ± 713
этих значениях многочлены равны, то -
корни и второго многочлена.
Ответ:
2
-1±Лз
2
5.	Изобразите на комплексной плоскости множе-
ство всех таких точек Zq, что для каждой из них для
любого решения z уравнения к + 4| = |z — 2д| выполня-
ется условие z2 * ti для любого отрицательного t е R.
Решение. Положим, z0 = х0 + у0/ и z = х + yi.
Разберем условие: z2 = ti, где t < 0. Оно эквива-
лентно следующему:
(х + yi)2 = ti
х2 - у2 = 0
2ху = t < 0
х-у = 0
х = -у
х — у = 0
х + у = 0
у *0.
При этом условии исходное уравнение примет вид
о(х + 4)2 + х2 = (х - х0)2 +(х + у0)2 <=>
<=> 2(х0 - у0 - 4)х = х2 + у02 -16.
Таким образом, множество точек (х0; у0), удов-
летворяющих условиям задачи, таково, что получен-
ное уравнение либо не имеет решений, либо имеет
нулевое решение. Первый случай имеет место при
х2 + у2 -16 * О и х0 - у0 - 4 = 0,
второй случай — при
X2 + у2 -16 = 0 и х0 -у0 -4 * 0.
Сопоставляя получен-
ные результаты, убежда-
емся в том, что требуемое
множество точек — объе-
динение окружности, за-
данной уравнением х2 +
+у2 = 16, и прямой, задан-
ной уравнением х — у —
— 4=0, за исключением
точек их пересечения —
1 (-4; 0) и (0; 4) (рис. 45).
Рис. 45
Ответ: см. рис. 45.
47
6.	Найдите все такие значения параметра о, для
каждого из которых уравнение sin х = а имеет наиболь-
Г Ш 5 )
шее количество корней на промежутке -Юл; —л I.
Определите это количество, а для каждого такого а
найдите сумму корней данного уравнения на рассмат-
риваемом промежутке.
Решение. Прежде всего отметим, что уравне-
ние sinx = a имеет решение при |о[<1.
Построим схематично график функции у — sin х
5	1
6	2
Проводя прямые у = а, подсчитаем возможные
количества точек пересечения с кривой у = sin х
при хе - Юл; — л . Убеждаемся, что наибольшее их
6 ' 1	(	5
количество 12 при — <а<1 sin—л = — . Пусть при
2	6	2)
этих значениях a arcsina = a. Тогда уравнение
sinx = n имеет 6 корней вида a-2kл и 6 корней
вида л-а-2&л, где к принимает значения 0,1,
2, 3, 4, 5. Найдем их сумму:
5	5
^Г(а - 2кк) +£(п - а - 2к л)=6а - 30л+6л-6а-30л=-54л.
Ы)	Ы)
Ответ: при — < а < 1 уравнение имеет на про-
межутке -10л;-|л| наибольшее ко-
6 )
личество корней; 12 корней; —54л.
NS 8-99
A-ll-MK
I вариант
1.	Найдите модуль и один из аргументов комплек-
сного числа 1 - cos 9 - / sin 9.
Решение. Преобразуем данное комплексное
число z следующим образом:
Z = (1 - cos9) - i • sin 9 = 2 sin2 4,5 - i  2 sin 4,5 - cos4,5 =
= 2sin4,5(sin4,5-i cos4,5) =
л
|	П	)	( It
= 2sin4,5 -cos —+4,5 -/-sin —+ 4,5
I	U	J	12
2
= -2sin4,5 cos —+ 4,5 + /-sin —+4,5 .
I 12 J 12 J
Л . irll
2 ’J/
Получили запись числа в тригонометрической фор-
ме. Отсюда следует, что его модуль равен — 2sin 4,5
Л Л г
и один из аргументов равен —+4,5.
2
Ответ: -2sin4,5;—+4,5.
2
2.	Пусть /(x) = T2cos2x + sin3x. Найдите какое-
либо отрицательное число t, для которого выполня-
ется равенство
Решение. Функция /(х) дифференцируема
при всех значениях х. Ее производная
f\x) = -2V2 sin 2х + 3 cos Зх.
Составим равенство
72 cos2х + sinЗх = -272 sin 2х + 3cosЗх или
72 cos 2х + 272 sin 2х = 3cos3x - sin Зх
преобразуем обе его части, пользуясь формулой
а  cos и + b • sin и = yja2 + Ь2 • cos(tp - и),
а
где <р = arccos—р=	. .
Ja2 + b2
710 • cos(a - 2х) = 7Ю cos(0 + Зх) или
cos(2x - a) = cos(3x + 0).
Одно из решений этого уравнения имеет вид
(Зх + 0) - (2х - a) = 2k л или
х = -(а + 0) + 2£л, где keZ.
3	_
V2	3
Так как а = arccos-7= > 0 и 0 = arccos—7= > 0, то тре-
710	710
10
I	1	3 I
буемое число t = - arccos—7= + arccos-== .
t	V5	710 J
n	-Js Зл/н
Ответ: - arccos-----arccos----
5	10
3.	Исследуйте функцию
g(x) = log0 5^3х + д/9х2 + 0,0625 j - 2
на четность и нечетность.
Решение. Преобразуем выражение, задающее
функцию: 
4
g(x) = log05 3x+ 9x2 +
= logo,51
12x + 7144x2
+ Ho, 5 4 =
Так как 7144x2 + 1 > 7144x2 =| 12x |> -12x для всех
значений x, то областью определения данной фун-
кции является множество действительных чисел, а
значит для каждого х е R и - х е R.
Сравним теперь g(x), g(-x) и -g(x).
g(-x) = logo 5^-12*+7144x2+ lj;
1
12х+7144х2+1
,	-12х+7144х2 + 1 ,	,
“ l°go,5 ,	2	2 7 ~ 1°8о,51
-144х +144х +1
-12x+7144x2
48
Таким образом, g(—x) = —g(x) и, следовательно,
функция g(x) — нечетная на R.
Ответ: данная функция нечетная.
4.	Какова вероятность того, что в числе, случайно
выбранном из всех четырехзначных чисел, нет цифры 7?
Решение. Число всех четырехзначных чисел
равно п = 104 - 103 = 9000.
Число четырехзначных чисел, не содержащих
цифру 7, равно т = 94 — 93 = 5832.
Таким образом, по определению вероятность со-
бытия выбрать число, не содержащее цифру 7, равна
р = /и = 5832 =	8
п 9000
Ответ: 0,648.
2г 1
5.	Сравните два числа'. Isin—dx и 1пЗ, используя
Г х
з
геометрическую интерпретацию определенного интег-
рала. (Не разрешается использовать таблицы и мик-
рокалькуляторы.)
Решение. Функция у = sin— на
опре-
3’2
делена и непрерывна. А так как у < 2 < 3 < к, то она
положительна и возрастает на этом отрезке.
V 1 я	л.
sin—ах численно равен площади фигуры, ог-
1 х
5	• 1	1	1 п
раниченнои линиями у = sin—, х = —, х = — и у = 0.
1	х 3	2
т « 2f • 1 я (1 И • Э 1
Таким образом, Isin—ох<--------sin2<l.
। х ^2 Зу
С другой стороны, In 3 > In е = 1.
2
2	|
Значит, (sin—dx<l<ln3.	1
i х	2г 1
з	Ответ: sin—dx<ln3.
1 х
з
6. Найдите все такие значения параметра а, при
каждом из которых уравнение
х5 -5х4 +ах + Ь = 0
для любого значения b имеет ровно один корень.
Решение. Рассмотрим функцию
Р(х) = х5 -5х4 +ах + Ь.
Эта функция (многочлен нечетной степени с по-
ложительным первым коэффициентом) имеет ров-
но один корень для любого значения Ь, если она
является строго возрастающей, т.е. если Р’(х) = 5х4—
— 20Х3 + а > 0. Выясним, при каких значениях а
выполняется это условие.
Найдем наименьшее значение функции Р\х) =
= 5х4 - 20х3 + а.
Р\х) = 20х3 - 60х = 20х2(х - 3) = 0 при х = 0 или
х = 3. Точка х = 0 имеет четную кратность, значит,
при переходе через нее знак Р”(х) не меняется. При
переходе через точку х = 3 знак Р”(х) меняется с
«—» на «+», значит, х = 3 точка минимума фун-
кции Р\х) и, следовательно, Р'(3) = -135+а ее наи-
меньшее значение. Так как Р’(х) > 0 при всех зна-
чениях х, то Р'(3) = -135+а>0, что выполняется
при а > 135.
Таким образом, при а > 135 Р'(*)>0и Р(х) —
строго возрастающая функция, следовательно, ис-
ходное уравнение имеет ровно один корень для
любого значения Ь.
Ответ: а > 135.
II вариант
1.	Найдите модуль и один из аргументов комплек-
сного числа 1 — cos 13 + i sin 13.
Решение. Комплексное число z — 1 — cos 13 +
+ i sin 13 задано в алгебраической форме, где а = 1 —
— cosl3 и b = sin 13. Поэтому
| z | = у/a2 +b2 = 70~COS13)2 +sin213 =
= Vl-2cosl3 + cos213 + sin213 = -j2(l-cosB) =
= -^4 sin2 6,5 = 21 sin 6,51 = 2 sin 6,5, так как 2л < 6,5 <—л,
то sin6,5>0.
Один из аргументов комплексного числа найдем по
b	sin 13	2sin6,5-cos6,5 х
--------=-------— = ctg6,5 =
l-cosl3
л
формуле tg<p = - — --— -— . 2
a l-cosl3 2sm 6,5
=tgf ~ ~ 6,5 j, откудаср=у - 6,5+к л (к е Z). Т аккак
2
I	9 1
a = l-cosl3>0H =sinl 3> 0 4л<13<—л , то точкам
I	2 J
находится в первой четверти координатной плоско-
сти и аргументы числа z определяются при четных
71
значениях к. В частности, <р =—6,5 один из его
аргументов.	п
Ответ: 2 sin 6,5;-6,5.
2
2.	Пусть g(x) = Vb cosx + sin5х. Найдите какое-
либо положительное число t, для которого выполня-
ется равенство g(t) = -g’(t).
Решение. Функция g(x) определена и диф-
ференцируема при всех действительных значениях
х. Ее производная gf(x) = - Vb sin х + 5 cos 5х.
Составим равенство g(x) = -g’(x):
V13 cos х + sin 5x = Vb sin x - 5 cos 5x <=>
<=> sin5x + 5cos5x = >/Гз sinx-Vb cosx.
На основании формулы
a sin t + b cos t = у/a2 +b2 sin (t + cp),
49
b	a	_
где sin ср = .- и coscp = —j====, преобразуем
4a2+b2	4a2+b2
обе части составленного равенства:
V26 sin(5x+а) = 726 sin(x - р) <=>sin(5x+а) = sin(x - р),
.5 о . 713 л
где а = arcsin-7= и р = arcsin-==—.
726	J26 4
Одно из решений полученного уравнения имеет
вид 5х + а = х-р + 2А:л (fceZ). Откуда
1 .	, п 1	.	5 л , л
х = —(а + Р) + к—= —arcsin—р=----+ к— =
4 н 2	4	426 16	2-
1	5	л
= —arcsin-= + (8А:-1)- {кеХ).
4	V26	2 '
Из этих значений х нужно выбрать какое-либо
1.5л
одно положительное. Так как —arcsin—==<—, то
4	V26 8
достаточно положить в решении, например, к — 2.
Получим t = -—arcsin-Д=+15 •—.
4	5/26	2
Л	1	5	15п
Ответ: —arcsin—?=+---.
4	V26	2
3.	Исследуйте функцию f(x) = log J V1 бх2 + 9 - 4x1 -1
на четность и нечетность.______
Решение. Так как 71 бх2 +9 > 71 бх2 =|4х|>4х
для всех значений х, то область определения данной
функции множество R и для каждого х g R -х е R.
Сравним значения f(x), f{-x) и - f(x) •
f(-x) = log3(716x2 +9 + 4x^ -1.
-	~ log3^716x2 +9 - 4x j +1 =
716x2 +9 +4* +i
16x2 + 9-16x2
, 1 , .
= 1оёз -г—,—--+1 = ,о&
716x2 +9 -4x
= Iog3^716x2 + 9 +4xJ-l.
Таким образом, /(-x) = -/(x), значит данная
функция нечетная.
Ответ: данная функция — нечетная.
4. Какова вероятность того, что в числе, случайно
выбранном из всех четырехзначных чисел, нет цифры О?
Решение. Количество всех четырехзначных
чисел равно п = 104 — 103 = 9000.
Количество четырехзначных чисел, не содержа-
щих цифру 0, равно т = 94 = 6561.
Вероятность события выбрать четырехзначное чис-
ло, не содержащее цифру 0, по определению равна
р _	_ 6561 _ 77Q
Р	,	Ответ: 0,729.
5	|
5. Сравните два числам Jcos—dx и 2, используя гео-
метрическую интерпретацию определенного интегра-
ла. {Не разрешается пользоваться таблицами и мик-
рокалькуляторами .)
Решение. Так как функция cos— непрерыв-
6’5
отрезка существует такая точка х0, что
1 , fl П 1	1	1	,
|cos—dx = l ——- |cos— = —cos—<1.
о 30	Хд
то по теореме о среднем внутри этого
на на
5 6
6	5.
Ответ:
6 1
5г 1
Следовательно, тем более cos—dx < 2.
1 X £
5г Х Л 1
cos—ох < 2.
1 х
б
6. Найдите все такие значения параметра а, при
каждом из которых уравнение 0,2х5 - ах4 + Зх + b = 0
для любого значения b имеет ровно один корень.
Решение. Рассмотрим функцию
/(х) = 0,2х5 -ах4 +3x + Z> = 0.
Эта функция (многочлен нечетной степени с по-
ложительным первым коэффициентом) имеет ров-
но один корень для любого значения Ь, если она
строго возрастает, т.е. если /'(х)>0. Выясним, при
каких значениях а выполняется это условие.
Найдем наименьшее значение функции
f’{x) = x* -4ax3 +3;
f{x) = 4х3 -12ах2 = 4х2(х-За) = 0 при х = 0 или х = За.
Так как х = 0 — точка четной кратности, то при пере-
ходе через нее f{x) знак не меняет. При переходе
через точку х = За f{x) меняет знак с минуса на
плюс, следовательно, это точка минимума функции
f\x) и f{3a) = -27а4+3 ее наименьшее значение. Так
как f\x) должна быть положительной при любом .
4з 4з
значении х, то —27а4 + 3 > 0, если----<а<—-.
4з 4з 3	3
Получили, что при —— < а < — f\x) > 0, т. е. Дх) -
строго возрастающая функция, а значит, уравнение
0,2х5 — ах4 + Зх + b = 0 имеет ровно один корень
для любого значения Ь.	4з 4з
—<а<——.
3	3
3
Ответ:
№ 9-99
А-11-МК
I вариант
1.	Решите уравнение____________________
logx(3x - 2) - 2 = log2(Зх - 2) + log 4f—•
у	^X\3x-2J
Решение. Преобразуем выражение, стоящее
под знаком радикала: log2(3x-2) + 41ogx - - - =
Зх-2
= log((3x-2)+4(1 - log,(Зх- 2))=(log, (Зх - 2) - 2/.
50
Таким образом, исходное уравнение примет вид
log, (Зх - 2) - 2 = |log,(3x -2) - 2|.
Это равенство справедливо тогда и только тогда,
когда logx(3x-2)-2>0 или logx(3x-2)>logxx2, что
равносильно совокупности двух систем
0<х<1	Гх>1
0<(Зх-2)<х2,	[(Зх-2)>х2.
2
Первая система имеет решение — < х < 1, вторая
- 1 <xs2.	3 , ч
Ответ: I 11и(1;2].
2.	Напишите уравнение касательной к графику
функции у = е^ — х + 3, образующей с осями коор-
динат равнобедренный прямоугольный треугольник.
Решение. Данная функция определена и не-
прерывна на R.
Будем искать уравнение касательной в виде
у = j>0 + у'о(х - х0), где х0 — абсцисса точки касания,
а у0 и у£ - значения функции и ее производной в
точке х = х0.
у' = 2е2х-1, у0=е2х°-х0+3, у'=2ех°-1.
Так как касательная к графику функции образует
с осями координат равнобедренный прямоугольный
треугольник, угол между касательной и положитель-
ным направлением оси абсцисс должен быть рав-
ным 45° или 135°.
В первом случае:
у£ =tg45°o 2е2х° -1 = 1 е2х° =1 «> х0 =0.
Во втором случае:
Уо = tg 135° <=> 2е2х° -1 = -1 о е2х° = 0 - решений нет.
Итак: абсцисса точки касания х0 = 0, значение
функции при х0 = 0 у0 = 4, значение производной
при х0 = 0 Уд = 1. Уравнение касательной у = 4 + х.
Ответ: у = х + 4.
3.	Изобразите на комплексной плоскости все та-
кие точки z0, что среди чисел z, удовлетворяющих
уравнению к + г0| = 0,5, есть ровно одно число с
модулем 1.
Р е ш е н и е. |z| = 1 — уравнение окружности с
центром в начале координат и радиусом, равным 1.
k + Sol ~ 0,5, уравнение ок-
ружности с центром в точке —
Zq и радиусом, равным 0,5. По
условию задачи для каждого z0
эти две окружности должны
иметь одну общую точку. Это
возможно в случае, когда рас-
стояние между центрами ок-
ружностей равно либо сумме
их радиусов, либо разности, т.е. когда |—г0| = koi =
= 1,5, либо l-zj = k0| = 0,5 (рис. 47).
Ответ: см. рис. 47.
4.	Найдите общие корни многочленов
х4 — х2 — 6х — 9 и х4 — Зх3 — Зх2 + 8х + 6.
Решение. Разложим первый многочлен на
множители:
х4 — х2 — 6х — 9 = х4 — (х + З)2 =
= (х2 — х — 3)(х2 + х +3).
Так как речь идет об общих корнях, то разложе-
ние второго многочлена может иметь один из мно-
жителей первого. Поочередным делением убежда-
емся, что
х4 - Зх3 - Зх2 + 8х + 6 = (х2 - х - ЗДх2 - 2х - 2).
1±7Гз
Корни —-— общего множителя разложения
многочленов — их общие корни. Других общих кор-
ней нет.	14-Vi~3
Ответ: ——.
5.	Решите систему уравнений
2х + у
cos---— = 3sinx
2
. 2х +у
sm---— = cosx.
I 2
Решение. Возведем в квадрат обе части урав-
нений и сложим их почленно:
1 = 8 sin2 х + 1.
Это уравнение имеет решение х = kit, где k е Z.
Полученные значения х подставим во второе
уравнение системы
(уА
kit + — =cos£n.
2J у
Если к четное, имеем sin —= 1.
2 у
Если к нечетное, имеем -sin—= -1.
2
Таким образом у = л+ 4/л, где I g Z.
Ответ: x = kit, keZ;
у = (41 + 1)л, 16 Z.
6.	На изготовление аквариума объемом 4,8 м3 в
форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным
основанием требуются уголки по длине всех ребер (12
ребер) и стекло на боковые стенки и пол. Цена угол-
ков — одна условная единица (у. е.) за погонный метр,
цена стекла — 4 у. е. за квадратный метр. Каковы
должны быть размеры аквариума, чтобы расходы на
материал были минимальными?
Решение. Пусть хм — размеры основания ак-
4,8
вариума, тогда — м — высота аквариума.
х
На изготовление аквариума требуется
Го Л 4,8Л	( 2 л 4,8^ 2
8х+4—г м уголка и х +4—г м стекла.
V х )	I х )
51
4,8
2
Общая стоимость расходных материалов
| 8х + 4-~ | + 4-| х2 + 4-
= 4х2 +8х+76,8 -+19,2 -L(y.e.).
X	X
Эта сумма должна быть минимальной.
Рассмотрим функцию
у = 4х2 + 8х + 76,8 — + 19,2~.
X	X
По условию задачи х > 0. Для этих значений х
функция определена и дифференцируема. Выясним,
при каких х она принимает наименьшее значение.
у' = 8x + 8-76,8--L-38,4~. у' = 0если
X	X
8х+8 - 76,8 ~ - 38,4 ~ = 0 <=> х4 + х3 - 9,6х - 4,8 = 0 <^>
<=>(х-2)(х3+ 3х2 +6х + 2,4) = 0 <=> х = 2
(прих >0 х3 + Зх2 + 6х + 2,4 > 0). При переходе через
точку х = 2 производная меняет знак с минуса на
плюс, значит это точка минимума, а значение фун-
кции в этой точке наименьшее.
Возвращаясь к условиям задачи, делаем вывод,
что минимальные расходы при изготовлении аква-
риума будут при его размерах 2 м, 2 м, 1,2 м.
Ответ: 2 м, 2 м и 1,2 м.
II вариант
1.	Решите уравнение
6х-5
log*4 (6х2 - 5х)4 =3 + J log2 (6х - 5) - 4 log
Решение. Прежде всего выделим допустимые
5
значения неизвестного: х > —, х * 1.
6
С учетом этих ограничений преобразуем сначала
выражение под знаком радикала:
log2(6х - 5) - 4 (logv(6х — 5) — 1)=(logA (6х - 5) - if.
Теперь преобразуем левую часть уравнения:
log4 х4 • (6х - 5)4 = log х (6х - 5) +1.
Таким образом исходное уравнение примет вид
logx(6x - 5) - 2 = | logx(6x - 5) - 2|.
Это равенство справедливо тогда и только тогда,
когда logx(6x-5)>x2, что равносильно совокупно-
сти двух систем
[5	,
—<х<1	х>1
' 6	4
, с 2	6х-5>х.
6х-5<х ,	1
Решая первую систему, получаем — <х<1,
с	6
втсг
Ответ:
2.	Напишите уравнение касательной к графику
функции у = 21пх-х -1, образующей с осями коорди-
нат равнобедренный треугольник.
Решение. Данная функция определена и диф-
ференцируема при всех х > 0. Напишем уравнение
касательной в виде у = у0 + y'0(x-xQ), где х0 - абс-
цисса точки касания, а >'о и у’о - значения функ-
ции и ее производной в точке х = х0.
Абсциссу х0 будем определять из условия, что
у' равно тангенсу угла наклона касательной к оси
абсцисс. А так как по условию задачи касательная
образует с осями координат равнобедренный треу-
гольник, причем прямоугольный, то угол наклона
может быть равен 45° либо 135°.
Рассмотрим отдельно эти случаи, предваритель-
но вычислив производную данной функции:
У = 2 — 1.
Первый случай: 2—-l = tg45°, откуда х0 = 1.
хо
Таким образом уравнение касательной — у = х — 3.
Второй случай: 2 —-1 = tgl35c - решений нет.
Рис. 48
Ответ: у = х — 3.
3.	Изобразите на комплексной плоскости все та-
кие точки Zq, что среди чисел z, удовлетворяющих
уравнению |zz — z0| = 1,5, есть ровно одно число с
модулем 2.
Решение. Уравне-
ние \zi — z0|= 1,5 равно-
сильно уравнению |г +
+ г0/| — 1,5, которое оп-
ределяет окружность с
центром в точке — zQi и
радиусом, равным 1,5.
Равенство |г| = 2 опре-
деляет окружность с цен-
тром в начале координат
и радиусом, равным 2.
По условию задачи для
каждого z0 эти две ок-
ружности должны иметь ровно одну общую точку
(рис. 48). Это возможно только в том случае, когда
центры окружностей находятся на расстоянии, рав-
ном либо сумме радиусов, либо их разности, т.е.
когда |—z0/| = tai = 3,5, |-zoz| = |Zol = 0,5.
Ответ: см. рис. 48.
4.	Найдите общие корни многочленов
х4 — х2 + 2х — 1 и х4 + Зх3 — Зх2 — 6х + 4.
Решение. Разложим первый многочлен на
множители:
х4 - (X - I)2 = (х2 - X + 1ДХ2 + х - 1).
Так как речь идет об общих корнях, то возможно,
52
что один из множителей полученного разложения
является делителем второго многочлена. Поочеред-
ным делением убеждаемся в том, что
л4 + Зх3 — Зх2 — бх + 4 = (х2 + х — 1 )(х2 + 2х — 4).
Так как х2 + х — 1 является общим множителем
разложений многочленов, его корни —-— будут
общими корнями многочленов.
Два других множителя в разложениях многочле-
нов общих корней не имеют.	1 + 75
Ответ: —~—.
2
ная единица (у. е.) за погонный метр, цена фанеры —
4 у. е. за квадратный метр. Каковы должны быть
размеры контейнера, чтобы расходы на материал были
минимальными ?
Решение. Пусть размеры боковой квадратной
т .	Ю
грани — хм. Тогда второй размер основания-~-м.
На изготовление контейнера потребуется уголков
Ю\ ,
о 1° 1 л.	(о 10 I 2
8х + — м и фанеры 8х + — м .
5. Решите систему уравнений
2х-у
cos-----= sinx
2
• 2.х-у
sm------- 5 cos x.
I 2
Стоимость материала обойдется в
о 40	2 30К 2 с 120 40 .	.
8х + —г- + 4- 2х +— = 8х +8х +---+ — (у.е.).
v-2	I	v- J	V* V2
30
120 40
2x — у
Решение. Положим t = —-—, тогда система
2
cos Г = sin х
sin г = 5cosx.
Рассмотрим первое уравнение системы
Гл
cos/ = sinx <Х> COS/ = COS------X .
12 J
Его решение запишем в виде совокупности
t = х-+ 2к п, к е Z,
2
t = -х + — + 21 л, / е Z.
L 2
Подставляя полученные значения t во второе
уравнение системы, убеждаемся, что в обоих случаях
_	л
будем иметь cos х = 0 и, следовательно, х = ~+пп,
пе1.
Принимая во внимание, что у = 2(х — 0, получим
примет вид
Рассмотрим функцию
о 2 о 120 40
у = 8х + 8х +-------------+ —у.
х х
По условию задачи х > 0. Для этих значений х
функция определена и дифференцируема. Найдем,
при каких х она принимает наименьшее значение.
П	А	, ,, с 120 80
Производная функции у = 16х + 8х--------у об-
х^ л
ращается в ноль, если
14 О	12^ 8^ А	П 4 -3 1 С 1П — П - 
1бх + 8х-2-----у — 0	2х + х — 15х —10 — 0 <сх>
о (х - 2)(2х3 + 5х2 + 10х + 5) = 0 <=> х = 2
(при х > 0 2х’ + 5Х2 + Юх + 5 > 0).
При переходе через точку х = 2 производная
меняет знак минус на плюс, значит это точка мини-
мума, а значение функции в этой точке наименьшее.
Таким образом, минимальные затраты на изго-
товление контейнера будут при условии, что разме-
ры его основания 2 м и 2,5 м, а высота 2 м.
Ответ: размеры основания 2 м
и 2,5 м, а высота 2 м.
(л _,
х-х +---2 k к
2
у = 2 х + х——-2/л
I 2
у = п-4кп
у = 2 л + 4мл - л - 4/л
NS 10-99
ПРОФИЛЬНЫЕ КЛАССЫ
А-11-ФМК
у = л-4Агл
» у = л + 4тп, mel.
у = л + 4(л-/)л
ТС
Ответ: x =—+nit, neZ;
2
у = л + 4/zzn, /weZ.
6. На изготовление открытого контейнера объе-
мом 10 м3 в форме прямоугольного параллелепипеда,
одна из боковых граней которого — квадрат, требу-
ются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и фанера
на боковые стенки и пол. Цена уголков — одна услов-
I вариант
, „	(	. 4	.5	. 16Л
1. Вычислите cos arcsin—+ arcsin— + arcsin— .
I 5	13	65 J
(He разрешается использовать таблицы и микрокаль-
куляторы.)
Решение. Положим, arcsin —= а, arcsin —= В,
.16	5	13
arcsin—= у и отметим, что углы а, 0, у находятся
65	Z X
In. 71 I
в промежутке I 0; — I.
т .	4 V п 5 .	16 I (4
Тогда sinot=—, smp=—, smy=—, cosa=JI- —
5	13	65 v 15
65
4
5
2
3
”5’
cosp =
|2-—
I “13’
1 Г16
cosy=J1-I—
|2_63
I “65
53
Таким образом,
cos (а+0+у)=cos (а+p)cosy - sin(a+0) siny=
=(cosacos0-sinasin0)cosy-(sinacos0+cosasin0)siny=
ГЗ 12 4 5 Л 63 <4 12 3 5 Л 16 л
=--------------------+-----—=0.
^5 13 5 13J 65 <5 13 5 13J 65
Ответ: 0.
2.	Решите уравнение 5 sin Зх + 2 sin х = 0.
Решение.
sin Зх = sin 2х cos х + sin х cos 2х =
= 2 sin х cos2 х + sin х cos2 х - sin3 х =
= 3 sin х(1 - sin2 х) - sin3 х = 3sin х - 4 sin3 х.
Таким образом, 17sinx-20sin3x = 0. Отсюда:
sinx = 0 и х = кп, где к g Z,
или
и х = (-1)" а resin
+ лл =
= ± arcsin J— + ил, где п е Z.
V 20 ,	’
Ответ: х=кп, raeAreZ,
x=±arcsin
+nit, где wgZ.
3.	Решите неравенство
(2х-5)| 32*-4 I
---------т-----— >0.
(3х-8)(х4+ 4х + 20)
Решение. Прежде всего отметим, что много-
член х4 + 4х + 20 положителен при всех значениях
х. Действительно, его производная 4Х3 + 4 обра-
щается в ноль только при х = — 1. Это единственная
точка минимума, следовательно, значение много-
члена при х = — 1 — наименьшее, оно равно 17.
Таким образом, данное неравенство равносильно
неравенству
(2х-5) 32* -4
------------^>0.
3х-8
Выделим теперь точки, в которых левая часть
неравенства не существует или обращается в ноль.
Не существует при х = 0 и х = log38.
Обращается в ноль при х = 2,5, причем эта точ-
ка кратности 2.
Отметим найденные точки на числовой оси:
0 < log3 8 < log3 9 < 2,5 и применим метод интервалов.
Так как при х = 5 , (	.
(2-5-5) 32^-4
------А------
35-8	35-8
то распределение знаков по интервалам будет вы-
глядеть так (рис. 49):
2,5
Рис. 49
Таким образом, неравенство выполняется при
0 < х < log3 8 и х = 2,5.
Ответ: 0<x<log38, х = 2,5.
4.	Найдите длину наибольшего отрезка оси абсцисс,
на котором графики функций
/(х)=4-т]х+5+2т/х+4 и g(x) = ^х+\3-6>/х+4
совпадают.
Решение. Преобразуем выражения, задающие
функции.
/(х) =4- т1(х + 4) + 2у/х + 4 + \ = 4 - у (1 + у/х + 4^ =
= 4-|1 + 7-х + 4| = 3-д/х + 4, так как 1 + л/х + 4>0
при всех х>-4.
g(x) = -J(x+4)-6a/x+4 + 9 = ^(з-л/х+4)2 = 13 - >/х+41 =
З-л/х+4, если-4<х<5
- 3+V-X+4, если х > 5.
Таким образом, f(x) = g(x) на отрезке [—4; 5],
на этом отрезке, следовательно, совпадают их гра-
фики. Длина отрезка [—4; 5] равна 9.
Ответ: 9.
5.	Исследуйте функцию у =--. {Найдите область
х
определения, множество значений, промежутки мо-
нотонности, точки экстремума, экстремумы, проме-
жутки выпуклости, точки перегиба, асимптоты,
нули.) Постройте ее график.
Решение.
1)	Функция определена при всех х > 0. При этих
значениях х она дифференцируема.
2)	у = 0 при х = 1. Причем, если х < 1, у < 0,
если х > 1, у > 0.
, 1-1пх , _
3)	у =----—; у = 0, если х — е. На промежутке
х
(0; е) функция возрастает, так как для этих значе-
ний х у'>0; на промежутке (е; ос) функция убыва-
ет, так как у'<0. Точка х = е — точка максимума.
4) Так как х — е единственная точка экстремума,
« 1
значение функции в этой точке, равное —, - ее наи-
_	е
большее значение.
„	„ 21пх-3 „ _	5 ,,
5) у =---5—;у = 0, еслих = е2. На промежут-
/ з> Х
ке 0;е2 график функции имеет выпуклость (вы-
пуклость вверх), так как для этих значений х у” < 0;
54
на промежутке
е2;оо - вогнутость (выпуклость
) 1
вниз), так как у">0. Таким образом, х-е1 - точка
перегиба. Значение функции в этой точке равно
3	.	1
—т-, значение производной т.
-	2е
2е2
6)	Для определения возможного существования
асимптот необходимо выяснить поведение функции
на концах области ее определения, т.е. при х ->0 и
х —>00.
v v	. л-
hm у = lim---= -оо, т.е. кривая графика функции
х—>0	X
асимптотически приближается справа к прямой х =
= 0 (к оси ординат).
In X
limy= lim----= 0, т.е. кривая графика функции
х->+х	X
асимптотически приближается сверху к прямой у =
= 0 (к оси абсцисс).
7)	На основе результатов пунктов 4 и 6 делаем
вывод, что множество значений функции — проме-
(	Г
жуток -оо; — .
I	eJ
In X
8)	График функции у =----изображен на рис. 50.
6. Найдите все такие значения а, при которых
касательная к графику функции
у = х4 — ах2 + Зх + 1,
проведенная в точке графика с абсциссой 1, имеет с
этим графиком ровно одну общую точку.
Решение. Функция у = х4 — ах2 + Зх + 1,
заданная многочленом, определена и дифференци-
руема на множестве R.
По условию задачи касательная и график функ-
ции должны иметь ровно одну общую точку, значит
этой точкой может быть только точка касания, сле-
довательно, абсцисса точки касания х0 = 1.
Составим уравнение касательной в виде
у = у0 + у'0(х-х0), где и Уо - значения функции и
ее производной при х0 = 1.
у = х4 -ах2 +Зх + 1, у0=5-а;
у’ = 4х3-2ах + 3, Уо = 7-2а.
Уравнение касательной
у = (7 — 2а)х + а — 2.
Равенство
х4 — ах1 + Зх + 1 = (7 — 2а)х + а — 2
или после преобразований,
х4 — ях2 + (2а — 4)х +3 — о = 0
определяет абсциссы общих точек графика функ-
ции и касательной к нему. По условию задачи это
уравнение должно иметь одно действительное ре-
шение. Но так как рассматриваемое уравнение чет-
вертой степени, это возможно лишь в двух случаях:
либо когда уравнение имеет один действительный
двукратный корень, либо — один четырехкратный
корень. Одно решение нам известно — х = 1. Зна-
чит, 1 — по меньшей мере — двукратный корень, и,
следовательно, многочлен в левой части уравнения
делится на (х — I)2:
х4 — ах2 + (2а — 4)х + 3 — а = (х — l/Cx2 + 2х + 3 — а).
Квадратный трехчлен х2 + 2х + 3 — а, таким
образом, должен иметь либо кратный корень, либо
не иметь действительных корней. Эти условия вы-
полняются, когда его дискриминант неположитель-
ное число, т.е. когда D = 4-4(3-а)<0, что возмож-
но при а < 2. Но если а = 2, трехчлен х2 + 2х + 1
имеет кратный корень —1, что нарушает условие
задачи.
Таким образом, график функции
у = х4 — ях2 + Зх + 1
имеет с касательной к нему в точке с абсциссой 1
равно одну общую точку при всех а < 2.
Ответ: а < 2.
II вариант
Г 1	1	2>
1.	Вычислите ctgl arctg— + arctg— + arctg— I. (He
разрешается использовать таблицы и микрокальку-
ляторы.)
1	1	2
Решение. Положим arctg- = а, arctg- = р, arctg—=у
3	4	9
и преобразуем ctg(a+р+у):
ctg(a + ₽+Y)='^M =
tg(a + p) + tgy
_ 1-tga-tgp-tga-tgy-tgp-tgy
tga+tgp + tgy-tga-tgp-tgy
По определению арктангенса имеем:
1	2
tg р = —, tg у = —. Подставив эти значения, получим, что
4	9
ctg(a + p + y) = 1.
1
tga = 3’
Ответ: 1.
2.	Решите уравнение 7cos3x — 3cosx = 0.
Решение. Так как cos3x = 4cos3x — 3cosx, то
исходное уравнение примет вид
7cos3x — 6cosx = 0.
Л
Откуда cos х = 0 или х = — + кп, где к е Z.
55
cosx = ±.
wmx = ±arccos ±
= ± arccos
+ /л, где leTj.
Л
Ответ: х = —+ кп, keZ;
2
x = ±arccos
eZ.
так как 1 + Vx-4 > 0 при всех х > 4.
g(x) = 7(x-4)-4V^474 = 7(2-V^4)2 =
। i-----t 2-y/x-4, если 4<x<8,
=2-Vx-4 =	____
1	1 -2+Vx-4, если x>8.
Выражения, задающие функции, совпадают на
отрезке [4; 8]. Следовательно, на этом отрезке со-
впадают их графики. Длина его равна 4.
О т в е т: 4.
3.	Решите неравенство
(2х-3) 27* -9
(2х-5)(х4-2х + 10)
Решение. Прежде всего убеждаемся, что мно-
гочлен х4 — 2х + 10 имеет только положительные
значения (для этого достаточно найти его наимень-
шее значение). Поэтому данное неравенство рав-
носильно неравенству , (	.
(2х-3) 27*-9
2х-5
Решаем его методом интервалов. Выражение в
левой части неравенства не существует при х = 0 и
, с ,	3
х = log2 5; обращается в ноль при х = причем это
двукратная точка. Расположим найденные числа в
порядке возрастания:
3
О < — < log2 5 (так как log2 5 > log2 4 = 2).
На крайнем левом промежутке (например при х =
= — 1) выражение в левой части неравенства при-
нимает отрицательные значения. Поэтому знаки
значений этого выражения распределяются так, как
показано на рис. 51.
Рис. 51
Ответ: хе(-оо;0);
X6(log25;co);
х = 1,5.
4.	Найдите длину наибольшего отрезка, на кото-
ром графики функций
/(х) = 3-7х-3 + 2>/х-4 и g(x) = ^х-4>/х=4
совпадают.
Решение. Преобразуем выражения, задающие
функции следующим образом.
/(х) = 3 - 7(x-4) + 2Vx^4 + 1 = 3 - 7(1 + Vx-4)2 =
= 3-|l + Tx^4| = 2-Vx^4,
5.	Исследуйте функцию у =---. {Найдите об-
1 + х
ласть определения, множество значений, промежут-
ки монотонности, точки экстремумов, экстремумы,
промежутки выпуклости, асимптоты, нули.) Пост-
ройте ее график.
ех
Решение. Функция у =---------- определена и
1 + х
дифференцируема (как отношение двух дифферен-
цируемых функций) при всех значениях аргумента,
за исключением х = — 1.
Исследуем функцию на промежутке (-оо;-1).
1)	На этом промежутке функция принимает от-
рицательные значения, значит, график функции
расположен ниже оси абсцисс.
, хех
2)	Ее производная у =---=- принимает отри-
(1+х)
нательные значения, значит, функция убывающая.
ох п	* <1 + х2)ех
3)	Ее вторая производная у =-----=— прини-
(1 + х)
мает отрицательные значения, значит, график фун-
кции имеет выпуклость вверх.
ех
4)	lim у = lim-= 0 - кривая графика функции
асимптотически приближается к прямой у = 0 снизу.
ех
lim у = lim --= -оо — кривая графика функции
л-»-1	х—>—1 J + х
асимптотически приближается к прямой х = — 1 слева.
5)	Множество значений функции (-оо;0).
Исследуем функцию на промежутке (-1;+оо).
1)	На этом промежутке функция принимает по-
ложительные значения, значит, график функции
расположен выше оси абсцисс.
Х€Х
2)	Ее производная у' =---7 обращается в ноль
(1 + х)
при х = 0. Если х < 0, то у’ < 0 — функция убы-
вает; если х > 0, то у' > 0 — функция возрастает.
3)	Точка х = 0 — точка минимума, а значение
функции при х = 0, равное 1, ее наименьшее
значение (только одна экстремальная точка).
„	* (1 + х2)ех
4)	Вторая производная у" = --принимает
(1 + х)3
56
положительные значения, значит, график функции
имеет выпуклость вниз.
..	.. ех
5)	Jim у = Jim у-— = +со — кривая графика асимп-
тотически приближается к прямой х — — 1 справа.
6)	Множество значений функции [1; оо).
Таким образом
график функции
у =----на облас-
1 + х
ти ее определения
состоит из двух
кривых, не пересе-
кающих ось абс-
цисс и не имею-
щих точек переги-
ба. Он изображен
на рис. 52
Ответ: см. рис. 52.
6. Найдите все такие значения а, при которых
касательная к графику функции
у — х4 + tzx2 — 2х — 3,
проведенная в точке графика с абсциссой —1, имеет
с этим графиком ровно одну общую точку.
Решение. По условию задачи график функ-
ции и касательная к нему имеют ровно одну общую
точку — точку касания с абсциссой х0 = — 1.
Составим уравнение касательной в виде
Т = Уо+Х(х-хо),
где у0 = о и Уд = -(2*7 + 6) — значения функции и ее
производной при х0 = — 1:
у = —(2*7 + 6)х — а — 6.
Тогда уравнение
х4 + ох2 — 2х + 3 — —(2а + 6)х — а — 6,
или после преобразования
х4 + ах2 + (2*7 + 4)х + *7 + 3 = 0,
имеет единственный действительный корень х = — 1.
Так как рассматриваемое уравнение четвертой сте-
пени, то это может быть лишь в двух случаях: когда
— 1 имеет кратность два и других действительных
корней нет, либо когда —1 имеет кратность 4. Та-
ким образом, многочлен в левой части уравнения
разлагается на множители:
х4 + ах1 + (2*7 + 4)х + *7 + 3 =
= (х + 1)2(х* - 2х + а + 3).
Дискриминант квадратного трехчлена х2 — 2х + 3 — не-
положительное число, если *?>-2. Но при *7 = —2 крат-
ный корень равен 1, что противоречит условию задачи.
Следовательно, график функции и касательная к
нему имеют ровно одну общую точку при всех <7 > —2.
Ответ: а > —2.
XII КЛАСС
ВЕЧЕРНЯЯ ШКОЛА
№11-99	А-12-ВШ
I вариант
1. Найдите абсциссы точек графика функции у =
= х3 — 2х2 + 2х — 4, в которых угловой коэффициент
касательной равен 1.
Решение. Множеством определения данной
функции является вся числовая прямая, так как
х3 — 2Х2 + 2х — 4 многочлен. Производная данной
функции есть трехчлен Зх2 — 4х + 2. Причем по
условию существует точка, обозначим ее абсциссу
через х0, для которой выполняется равенство
Зх(2 -4х0 + 2=1,
поскольку угловой коэффициент касательной, про-
веденной в данной точке, равен значению произ-
водной в данной точке.
Преобразуя последнее равенство, получаем
3xJ -4х0 + 1 = 0, отсюда х0 = 1 или х0 = 1 /3.
Ответ: абсциссы точек графика функции
у = х3 — 2х2 + 2х — 4, в которых
угловой коэффициент касатель-
ной равен 1, равны 1 и 1/3.
2. Решите уравнение 2cos2x + 5sin х + 1 = 0.
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
2(1 — sin2x) + 5sinx +1=0,
2sin2x — 5sinx —3 = 0.
Мы пришли к квадратному уравнению относи-
тельно sinx. Введя замену sinx = 7, получим 2/2 — St —
— 3 = 0 и тогда / = — или 7 = 3.
2
• 1
Уравнение sinx = -— имеет корни
х = (-1)"+| — + пп, wgZ.
6
Уравнение sin х = 3 не имеет корней, так как 3 > 1.
Ответ: (-1)"+| — + пп, п е Z.
6
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 + 2х + 2 и у — —х + 2.
Решение. График
функции у = х2 + 2х + 2 —
это парабола, направленная
ветвями вверх (так как ко- »	/
эффициент при х2 больше	s /
0). Координаты вершины	/
параболы (—1; 1), ее ось	|
симметрии задается уравне-	।
нием х =-1. График фун- I . х
кции у - —х + 2 - это пря-	° х
мая, проходящая через точ-
ки (0; 2) и (2; 0).	Рис. 53
57
Графики функций изображены на рис. 53. Най-
дем абсциссы точек пересечения этих графиков,
решив уравнение
х2 + 2х + 2 = —.х + 2:
х? + Зх = 0, х = 0, х = —3.
График функции у = -х + 2 на отрезке [-3; 0]
лежит выше графика функции у = х2 +2х + 2, по-
этому плошадь искомой фигуры равна
о	о
|( -х + 2 - х2 - 2х - 2)dx = j(-x2 - 3x)dx =
-3	-3
27 -27Л
2	3 J
13,5-9 = 4,5.
Ответ: 4,5 кв. ед.
4.	Решите уравнение 2'^х~? =
Решение. Найдем область определения дан-
ного уравнения. По определению арифметического
квадратного корня, имеем Зх - 5 0, т.е. х а: 5/3.
Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль,
но 2х"11 *0 для любого х, следовательно, область
определения данного уравнения — это х а 5/3. Пре-
образовав исходное уравнение, получим
2>/зх-5_2~л+* 1
Отсюда л/Зх-5 = -х + 11.
Последнее уравнение равносильно системе
-х + 11>0 Jx < 11
Зх-5 = (-х + 11)2	|х2-25* + 126 = 0-
Решив квадратное уравнение х2 — 25х + 126 = 0,
получим корни х = 7 и х = 18. Из них условиям
х < 11 и ха 5/3 удовлетворяет только х = 7.
Ответ: х = 7.
5.	Найдите область определения функции
у = log3(5+4х - х2) + logx_| 3.
Р е ш е н и е. По определению логарифмической
функции имеем
Гх-1 >0
- -х2 +4х + 5>0
х-1* 1.
Решив квадратное уравнение х2 — 4х — 5 = 0,
получим корни х = — 1 и х = 5. Значит, неравен-
ство —х2 + 4х + 5 > 0 можно привести к виду
(х + 1)(х - 5) < 0
и установить, что -1 < х < 5.
Из неравенства х - 1 > 0 имеем х > 1, а из
условия х-1 ф 1 получаем, что х * 2.
Обобщим полученные результаты (рис. 54). Итак,
область определения данной в условии функции
состоит из промежутков (1; 2) и (2; 5).
1	2	5
Рис. 54
Ответ: —1 < х < 2, 2 < х < 5.
6.	Для всех значений а решите неравенство
х2 ~(а + 2)х + 2а < 0.
Решение. Рассмотрим функцию /(х) = х2 -
-(а + 2)х + 2а. Графиком данной функции является
парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем
дискриминант D трехчлена, задающего функцию /(х):
D = (а + 2)2 - 8а = а1 - 4а + 4 = (а - 2)2.
и ,	„ . а + 2±(а-2)	_
Нули функции дх): х =--------, т.е. х=а, х - 2.
Рассмотрим по рис. 55 возможные случаи распо-
ложения графика функции /(х):
Рис. 55
Первый случай показан на рис. 55, а. При а < 2
решением неравенства является промежуток а < х < 2.
Второй случай можно видеть на рис. 55, б. При
2 < а решением неравенства является промежуток
2 < х < а.
Третий случай — на рис. 55, в. При а = 2 реше-
нием неравенства является х = 2.
Ответ: приа<2 а<х<2;
при а = 2 х = 2;
при а >2 2<х<а.
II вариант
1.	Найдите абсциссы точек графика функции у —
= х3 + х2 — 6х + 3, в которых угловой коэффициент
касательной равен —1.
Решение. Функция определена при любом
действительном значении х. Продифференцируем
данную функцию: у'(х) = Зх2 + 2х - 6. Значение про-
изводной в точке х0 равно Зх„+2х0-6.
Используя геометрический смысл производной
(угловой коэффициент касательной, проведенной в
данной точке, равен значению производной в дан-
ной точке), составим уравнение Зх(, +2х0 -6 = -1.
Преобразуя, имеем
3xq+2x0-5 = 0, х0 = 1 или х =-5/3.
Ответ: абсциссы точек графика функции у =
= х3 + х2 — 6х + 3, в которых угловой
коэффициент касательной равен — 1,
равны 1 и -5/3.
58
2.	Решите уравнение 2sin2x — 7cos х + 2 — 0.
Решение. Используя основное тригонометри-
ческое тождество, приведем исходное уравнение к
виду 2(1 — cos2x) — 7cos х + 2 = 0,
или 2cos2x + 7cos х — 4 = 0.
Получили уравнение, квадратное относительно
cosx, имеющее корни —4 и 0,5. Тогда cosx = —4
или cosx ~ 1/2.
Уравнение cosx = 0,5 имеет корни х = ±— + 2лп,
neZ.	3
Уравнение cosx = —4 не имеет корней, так как
-4 < -1.
_	л _	_
Ответ: х = ±—ь2лл, weZ.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = —х2 — 2х + 4 и у = х + 4.
Решение. Графиком функции у = —х2 — 2х + 4
является парабола, направленная ветвями вниз. Ко-
ординаты вершины параболы (—1; 5), ось симмет-
рии х = — 1. Графиком функции у = х + 4 является
прямая, проходящая через точки (0; 4) и (—4; 0).
Графики функций изображены на рис. 56. Абс-
циссы точек пересечения этих графиков найдем из
уравнения —х2 — 2х + 4 — х + 4:	и
х2 + Зх = 0,	Д /
х = 0,
х = -3.	/Ov
График функции у = х +
+ 4 на отрезке [—3; 0] ле- у \
жит ниже графика функции -4/7 ,_______\
у = —х2 — 2х + 4, поэтому /	° \	*
площадь искомой фигуры
равна	Рис. 56
о	о
|(-х2 - 2х + 4 - х - 4)dx = J(-x2 - 3x)dx =
-3	-3
Зх2 х3) л ( 27 -27Л Ае
=----------= 0 —-----------= 4,5.
2	3 J I 2	3 )
Ответ: 4,5 кв. ед.
4.	Решите уравнение	•
Решение. Найдем область определения дан-
ного уравнения. По определению арифметического
квадратного корня, имеем 4х - 7 > 0, т.е. х > 1,75.
Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль.
Но поскольку З2*-" *0 для любого х, область оп-
ределения данного уравнения ограничивается нера-
венством х>1,75.
Преобразуем исходное уравнение
=3_2л+11, л/4а._7=_2х + п.
Последнее уравнение равносильно системе
-2х + 11>0	1х<5,5
’ 4х - 7 = (-2х +11)2 ° |4х2 -48х +128 = 0.
Решив квадратное уравнение из составленной
системы, получим корни х = 4, х = 8.
Из них условиям х<5,5 и х>1,75 удовлетворяет
только х = 4.
Ответ: х = 4.
5.	Найдите область определения функции
у = log2(6 + х -х2) + log2x 5.
Р е ш е н и е. По определению логарифмической
функции, имеем
6+х-х2 >0
- 2-х>0
2-х* 1.
Решим квадратное уравнение х2 — х — 6 = 0: х =
= —2, х = 3. Тогда неравенство —х2 + х + 6 > 0
примет вид (х + 2)(х — 3) < 0.
Отсюда —2 < х < 3.
Решив неравенство 2 — х > 0, получим х < 2.
Представим все три условия — 2 < х < 3, х < 2 и
х * 1 на рис. 57 и найдем два числовых промежутка
(—2; 1) и (1; 2).
Рис. 57
Ответ: — 2 < х < 1, 1<х<2.
6.	Для всех значений а решите неравенство
х2 + (3 - а)х - За < 0.
Решение. Разложим многочлен в левой час-
ти неравенства на множители. Тогда исходное не-
равенство примет вид (х + 3)(х-я)<0.
Решим это неравенство, используя метод интер-
валов.
Возможны три случая:
1)	если а < —3, то а<х<-3 (рис. 58, а);
2)	если а = —3, то х = 3, (рис. 58, бу
3)	если а > —3, то -3<х<а (рис. 58, в).
Рис. 58
Ответ: при а<-3
при а~-3
при а>-3
а < х < -3;
х = -3;
-3<х<о.
59
Ns 12-99	А-12-ВШ
I вариант
1.	Решите неравенство 2х +5х	.
Решение. Приведем данное неравенство к виду
2 ?+5х < 26.
Так как функция у = 2' возрастающая, из полу-
ченного неравенства следует:
х2 + 5х <; 6, или
х2+5х-6<0.	(*)
Решая квадратное уравнение х2 + 5х — 6 = О, нахо-
дим его корни х = I и х = —6. Теперь из неравен-
ства (*) заключаем, что -6<х<1.
Ответ: [—6; 1].
2.	Дана функция f (х) = х3 -Зх2 + 2х -у/х + 3. Най-
дите /'(1).
Решение. По определению арифметического
квадратного корня имеем, х + 3 > О, т.е. х > -3. Следова-
тельно, данная функция определена и дифференцируема
на промежутке [-3;+оо). Поскольку 1 е[-3;+оо), мо-
жем найти значение производной
у'(х) = Зх2 - 6х + 2--..—-
2-Тх + З
в точке х = 1:
У(1) = 312-61 + 2-4= = -1,25.
2у1+3
Ответ: у'(1) = -1,25.
3.	Решите уравнение sin 6х + 3 sin Зх = 0.
Р е ш е н и е. По формуле двойного аргумента по-
лучим 2 sin Зх cos Зх + 3 sin Зх = 0. Вынесем за скобки
sin Зх и из уравнения sin3x(2cos3x + 3) = 0 составим
два уравнения:
sin3x = 0 или cos3x = -l,5
нет решения, так как
Зх - пк, к eZ,
пк , „
Х =----, Л G Z,
3
-1<cosx<1.
Ответ: —, к е Z.
3
4.	Найдите первообразную функции
/(х) = 5х4 -8х3 +9х2
х
график которой проходит через точку Л/(2; 4,25).
Решение. Для данной функции все ее перво-
образные имеют вид
Г(х) - х5 - 2х4 + Зх3 + 2х"3 + С,
где С — произвольная константа. График первооб-
разной проходит через точку Л/( 2; 4,25), поэтому ко-
ординаты указанной точки удовлетворяют уравне-
нию первообразной, т.е.
4,25 = 25 - 25 +24 +2 • 2 3 + С.
Решив уравнение 4,25 = 24 + 0,25 + С, получим
<7= —20. Таким образом, уравнение первообразной,
график которой проходит через точку Л/(2; 4,25),
имеет вид: Г(х) = х5 - 2х4 + Зх3 + 2х 3 - 20.
Ответ: F(x) = х5 - 2х4 + Зх3 + 2х-3 - 20.
5.	Решите систему уравнений
л/Зх-5 + у = 1
х - 4 = у.
Решение. Воспользуемся методом подстановки:
>/Зх-5+х-4 = 7	(V3x-5 = ll-x
х - 4 = у	|х - 4 = у.
Рассмотрим иррациональное уравнение
73х-5=11-х.	(*)
Возведя обе его части в квадрат и приведя подоб-
ные члены, получим
х2 — 25х + 126 = 0, отсюда х = 7, х = 18.
Поскольку при возведении в квадрат можно при-
обрести посторонние корни, сделаем проверку кор-
ней уравнения (*). ______
Если х = 7, то V3-7-5 = 11-7, 4 = 4 (верно).
Следовательно, х = 7 подходит.
Если х = 18, то 7318-5=11-18, 7 =-7 (не
верно). Следовательно, х = 18 не подходит.
Итак, х = 7 — единственное значение х, удов-
летворяющее данной системе, ему соответствует
единственное значение у = 7 — 4.
Ответ: (7; 3).
6.	Решите неравенство 6 < log2 х + log3 х.
Решение. Областью определения данного не-
равенства является открытый луч (0;+со). Данное
неравенство приведем к виду
log2 х + log3 х -6 > 0
и сведем к квадратному неравенству с помошью
замены log3x = f, тогда Г2+/-6>0.
Решив квадратное уравнение Г + t — 6 = 0, полу-
чим t = — 3 или t = 2. Таким образом, неравенство
t2 +1 - 6 > 0 можно представить как (/ + 3)(t - 2) > 0 и
решить методом интервалов t < -3, t > 2.
Вернувшись к сделанной замене, запишем два
неравенства log3 х < -3, log3 х > 2. Из первого следует,
что 0 < х <	, из второго х > 9, причем и те и другие
значения х принадлежат открытому лучу (0;+со).
Ответ: 0<х<—, х>9.
27
II вариант
2_,	1
1.	Решите неравенство 3х Л <—т=—.
(Л)12
40
Решение. Приведем данное неравенство к виду
у2-7л<3-6
В силу свойств показательной функции, имеем
х2 - 7х < -6, или х2 - 7х+6 < 0. Отсюда (х -1)(х - 6) < 0,
1 <х<6.
Ответ: [ 1; 6].
2.	Дана функция /(х) = х3 + 4х2 - х + ^х-Л. Най-
дите /'(2).
Решение. По определению арифметического
квадратного корня, имеем х -1 > 0, тогда х > 1. Сле-
довательно, данная функция определена и диффе-
ренцируема на промежутке [1;+оо). Ее производная
имеет вид	i
у'(х) = 3х2 + 8х-1 +—т=
Осталось вычислить значение производной при
х = 2, поскольку 2е [1;+оо).
У(2) = 3-22+8-2-1 + /	=27,5.
Ответ: у'{2) = 27,5.
3.	Решите уравнение sin 8х - 4 cos 4х = 0.
Решение. Используя формулу двойного аргу-
мента, имеем
2 sin 4х cos 4х - 4 cos4х = 0, 2 cos 4x(sin 4х - 2) = 0.
Отсюда
cos 4х = 0	или sin 4х = 2
7Г
4х = — + л к, к g Z,
2
л Ttk
х-—+—, кgZ,
8	4
уравнение не имеет
решения,так как
-1 <sinx< 1.
л лА: , „
Ответ: — +—, к g Z.
8	4
4.	Найдите первообразную функции
f(x) = 4х3 - Зх2 + 6х - ^4,
х
график которой проходит через точку Л/(2; 6,25).
Решение. Для данной функции все ее перво-
образные имеют вид
Г(х) = х4 -х3 + Зх2 + 4х-4 + С,
где С — произвольная константа.
График первообразной проходит через точку
Л/(2; 6,25) следовательно, координаты указанной
точки удовлетворяют уравнению Г(2) = 6,25,
6,25 = 24 - 23 + 12 + 4 • 2’4 + С.
Решив уравнение 6,25 = 20 + 0,25 + С, получим
С = —14. Таким образом,
Г(х) = х4 -х3 + 3х2 +4х-4 -14.
Ответ: первообразная функции
f (х) = 4х3 - Зх2 + 6х - -Ц-,
х
график которой проходит че-
рез точку Л/(2; 6,25), имеет вид:
7(х) = х4 - х3 + Зх2 + 4х~4 -14.
5.	Решите систему уравнений
\/4х-7 =5-у
2х - у = 6.
Решение. Применим метод подстановки:
V4x-7 =5-у	|V4x-7 =11-2х
у = 2х-6	[у = 2х-6.
Задание сводится к решению иррационального
уравнения
74х-7 = 11-2х.
Возведем обе его части в квадрат и получим
4х - 7 = (11 - 2х)2,
4Х2 - 48х + 128 = 0, или х2 - 12х + 32 = 0.
Отсюда х = 4, х = 8.
Поскольку при возведении в квадрат есть вероят-
ность приобрести посторонние корни, сделаем про-
верку найденных корней.
Если х = 4, то V4-4-7 =11-8, 3 = 3 (верно).
Следовательно, х = 4 подходит.
Если х = 8, то V4-8-7 =11-16, 5 = —5 (не
верно). Следовательно, х = 8 не подходит.
Итак, в данной системе х = 4, тогда у = 2.
Ответ: (4; 2).
6.	Решите неравенство 15 + 2 log2 х - log2 х > 0.
Решение. Областью определения данного не-
равенства является (0;+оо). Приведем данное нера-
венство к виду
log2 х - 2 log2 х -15 < 0
и сведем к квадратному с помощью замены log2 х = t:
Г2-2/-15<0.	(*)
Решив квадратное уравнение i1 — 2t — 15 = 0, най-
дем t = — 3 или t = 5. Теперь неравенство (*)
можно записать в виде (г + 3)(/ - 5) < 0 и по методу
интервалов установить, что -3<г<5.
Вернемся к сделанной замене. Из неравенств
-3 < log2 х < 5
следует i < х < 32. Найденное множество значений
х принадлежит числовому лучу (0; +<»).
Ответ: — <х<32.
8
№ 13-99	А-12-ВШ
I вариант
1.	При каких значениях х производная функции
/(х) = х3 -12х + 7 отрицательна ?
Решение. Данная функция определена и диф-
ференцируема на R. Найдем ее производную: у'(х) =
= Зх2 — 12 — и решим неравенство У(х)<0:
Зх2 - 12 < 0, (х - 2)(х + 2) < 0, -2 < х < 2.
Ответ: —2 < х < 2.
61
2.	Решите систему уравнений
492х+> = 7
х + 6 = 2у.
Решение. Воспользовавшись свойствами сте-
пени, перепишем первое уравнение данной систе-
мы в виде 74х+2у = 7. Отсюда 4х + 2у = 1, и имеет
место система г,
]4х + 2у = 1
[х = 2у-6.
Решим ее методом подстановки:
|4(2у-6) + 2у = 1 Гу = 2,5 (у = 2,5
[х = 2у-6, |х = 2-2,5-6, |х = -1.
Ответ: (—1; 2,5).
3.	Решите уравнение cosx = sin 2х.
Решение. Разложив на множители правую
часть уравнения, получим
cosx = 2sinxcosx, или cosx-2sinxcosx = 0.
Вынесем общий множитель за скобки (чтобы не
допустить потерю корней):
cosx(l-2sinx) = 0
и рассмотрим два уравнения:
l-2sinx = 0,	или	cosx = 0,
х = (-1)* —+ пк, k&Z или	х = — + Ttn, neZ.
6	2
„	/ Я j	ТГ	1 г~Г
Ответ: (-1) —- + пк, x = — + nn,n,keZ.
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
2
ком функции у = х + —у и прямыми х = 1, х = 0,5, у = 0.
х	2
Решение. График функции у = х + — лежит
х
выше оси абсцисс на промежутке [0,5; 1], так как
при х > 0,5 выполняется неравенство
х+Д->0.
х
Графиком функции х = 0,5 служит прямая, парал-
лельная оси ординат и проходящая через точку с
координатами (0,5; 0). График функции х = 1 —
это прямая, параллельная оси ординат и проходя-
щая через точку с координатами (1; 0). График фун-
кции у = 0 совпадает с осью абсцисс.
Указанные графики ограничивают фигуру, кото-
рая является криволинейной трапецией, поскольку
две ее стороны лежат на параллельных прямых.
Искомая площадь равна
1-2|-|1-4| = 2-.
2
J(x + 2x2)Jx=------2х 1
0,5	V 2
8
3
8’
10,5	4	'	4	'
Ответ: площадь фигуры равна 2,375 кв. ед.
Замечание. Важно отметить, что при реше-
нии задачи график функции Дх) можно не чертить,
достаточно показать, что он лежит выше оси абсцисс.
5.	Решите неравенство log^, х < 1.
Решение. Областью определения неравенства
является х > 0, так как логарифмическая функция
определена только для положительных значений
аргумента.
Представим данное неравенство в виде log^, х -1 < 0
и, разложив на множители левую часть последнего
неравенства, получим
(log0lx-l)(log01x + l)<0.
Рассмотрим функцию /(х) = (log0, х - l)(Iog0, х +1).
Найдем значения х, при которых множители об-
ращаются в нуль:
log01 х = 1 log0jX = —1
х = 0,1	х = 10.
Точками 0,1 и 10 разобьем координатную ось на
три промежутка и определим знак функции Дх) на
каждом из них. Для этого достаточно определить
знак функции в одной точке, например в точке
х = 1, принадлежащей промежутку (0,1; 10):
/(1) = (log011 - l)(log0J 1 +1) =-1 < 0.
Используя метод интервалов, расставим знаки
функции f на каждом из найденных промежутков
(рис. 59).
Рис. 59
Нас интересует промежуток [0,1; 10], который
целиком входит в область определения исходного
неравенства.	„	_,	_
О т в е т: 0,1 <х< 10.
6.	Найдите наибольшее значение функции
у = х + 2-х/З-х
на отрезке [—5; 3].
Решение. Для того чтобы найти наибольшее
значение функции на отрезке, надо найти значения
функции: на концах этого отрезка и в критических
точках, принадлежащих этому отрезку, а затем срав-
нить их между собой.
Данная функция определена и дифференцируема
на указанном отрезке, причем /'(х) = 1 —, —•
у/З-Х
Найдем критические точки функции, решив урав-
нение f'(x) = 0: ,
1—= = 0, >/П = 1,х = 2.
л/З-х
Значения функции в точках —5, 3 и 2 равны:
/(-5) = -5+ 4 Л, /(3) = 3, /<2) = 4.
Сравнив между собой эти значения, установим,
что -5 +4л/2 <3<4. Следовательно, на указанном
отрезке функция принимает свое наибольшее зна-
чение в точке с абсциссой 2.
Ответ: max fix) = 4.
1-5;3]
62
Замечание. При дифференцировании необ-
ходимо использовать формулу дифференцирования
сложной функции.
II вариант
1.	При каких значениях х производная функции
f(x) = -х3 + 2х2 - 3 положительна ?
Решение. Данная функция определена и диф-
ференцируема на R. Найдем производную указан-
ной функции у'(х) = -Зх2 + 4х и решим неравенство
У(х)>0:
Зх2 - 4х < 0, х(3х - 4) < 0, 0 < х < —.
3	4
Ответ: 0 <х <—.
2.	Решите систему уравнений
162х“у=4
х + 2 = 2у.
Решение. Приведем систему к виду
44x-2y _
х + 2 = 2у
и воспользуемся тем, что равные степени, имею-
щие равные основания, имеют и равные показате-
ли, т.е.
|4х-2у = 1
[х = 2у - 2,
Отсюда
4(2у-2)-2^ = 1
х = 2у-2.
6у-9 = 0
х = 2 у - 2,
у = 1-
2
п 3 п
х = 2----2,
2
у = 1-.
2
Ответ:
2;
3.	Решите уравнение sin 2х = sin х.
Решение. Воспользовавшись формулой двой-
ного аргумента, перепишем уравнение в виде
2 sin х cos х = sin х, 2 sin х cos x - sin x = 0,
sinx(2cosx-1) = 0.
Отсюда получаем
sinx = 0 или
х = лЛ, k & Z
2cosx-l = 0,
cosx = 1/2
х = ±— + 2ли, л eZ.
3
Л
Ответ: пк, х = +— + 2лт?, п, к е Z.
3
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
,	3	,	_ л
ком функции у = X + —Z- и прямыми X = 1, X = 2, у = 0.
х	3
Решение. График функции у = х + — лежит
выше оси абсцисс на промежутке от х = 1 до х = 2,
так как при х > 1 выполняется неравенство
х + 4->0.
х
Этот график и прямые, заданные уравнениями
х = 1, х = 2, у — 0, образуют криволинейную тра-
пецию.
Искомая площадь равна
L ЗА f 1 ЗА ,5
2— ----------= 2—.
I 8/ <2 2)	8
Ответ: площадь фигуры равна 2,625 кв. ед.
5.	Решите неравенство log2 х > 4.
Р е ш е н и е. I способ. Область определения нера-
венства — это положительная часть числового луча.
Приведя исходное неравенство к виду log2x-4>0,
разложим на множители его левую часть:
(log2 х - 2)(log2 х + 2) > 0.	(*)
Значения х, при которых множители обращают-
ся в нуль, найдем с помощью уравнений:
log2 х = 2,	log2 х = -2,
х = 4,	х = 1/4.
Рис. 60
Используя метод интервалов (рис. 60), устано-
вим, что на числовом луче (0;+оо) неравенству (*)
удовлетворяют следующие значения х: 0<х< 1/4,
х > 4
Ответ: 0 < х < 1/4, х > 4.
II способ. Приведем исходное неравенство к виду
(*), как это сделано в первом способе. Произведе-
ние двух множителей больше нуля, если множите-
ли одинаковых знаков, т.е.
log2x>-2	[log2x<-2
или <
log2 х > 2	[log2 х < 2.
Из первой системы находим log2 х > 2, т.е. х > 4.
Из второй системы получаем неравенство log2 х > -2,
т.е. 0 < х < 1/4.
6.	Найдите наименьшее значение функции
у = х-6у/х~\ на отрезке [5; 17].
Решение. Для того чтобы найти наименьшее
значение функции на отрезке, надо найти значения
функции на концах этого отрезка и в критических
точках, принадлежащих этому отрезку, а затем срав-
нить найденные значения между собой.
Данная функция определена и дифференцируема
при х е [5; 17], причем у'(х) = 1 -
3
63
Найдем критические точки функции, решив урав-
3
нение 1—	=0. Это уравнение равносильно
системе ух~^ -----------
X—1 =3
Отсюда х = 10. Это значение удовлетворяет усло-
вию, так как 10 е [5; 17].
Найдем значение функции в точках 5, 10 и 17:
у(5) = 5-бТГч=-7;
у(10) = 10-6V10-1 = -8;
у(17) = 17-6-717-1 =-7.
Сравнив между собой эти значения, видим, что
—8 < —7. Следовательно, на указанном отрезке фун-
кция принимает свое наименьшее значение в точке
с абсциссой 10.
Ответ: min у(х) = -8.
|5;17]
КЛАССЫ ШКОЛ-ЭКСТЕРНАТОВ
I вариант
1. Решите уравнение cos2 2х + 5cos 2х = 2sin2 2х.
Решение. Преобразуем уравнение к виду
3cos22x + 5cos2x — 2 = 0
и решим полученное квадратное уравнение относи-
тельно cos2x. Учитывая, что |cos2x| -s 1, получим
cos2x = — или х = ±—arccos— + кп, к eZ.
3	2	3
Ответ: ±—arccos—+кл, keZ.
2	3
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
4
ком функции у = — и прямыми X = 1, X = 2 и у — 0.
Решение.
„ 2г4
, 2
2г4
5 = (— rfx = 41n|x| = 4(ln2-lnl) = 41n2 (кв.ед.).
\х 1
Ответ: 4 In 2 кв. ед.
х — 3
3. Решите неравенство log0 3--< 0.
’ 1-х
Решение. Так как основание логарифма мень-
ше единицы, то данное неравенство равносильно не-
равенству х-з х_2 п
----------------->1 или 	<0.
1-х--------------х —1
Решая его методом интервалов, получим 1< х < 2.
Ответ: х G (1; 2).
4. Решите систему уравнений
х-у = 16
Jx-/y = 2.
Решение. Представим первое уравнение в
виде (4х-<Jy)(Jx+ у[у) = 16. Тогда данная система
будет равносильна системе
у[х +у[у =8
решение которой х = 25 и у = 9.
Ответ:х = 25 и у = 9.
5.	Решите уравнение logcosx sinx = 1.
Решение. Данное равенство может иметь ме-
сто при условии:
sinx >0
л
* cosx > 0 <=> 2кп<х < — + 2кп, k&Z,.
2
COSX Ф 1
С учетом этих ограничений, имеем
п _	_
sinx = cosx, или х = — + 2пп, neZ.
4
л
Ответ: —ь 2 л л, п е Z.
4
6.	При каких значениях а прямая у — а + х In 81
является касательной к графику функции
/(х) = 9х+2-Зх+,-х1п81?
Решение. Пусть х0 — абсцисса точки касания.
Тогда должны выполняться два равенства
/(х0) = я + х01п81 и /'(х0) = 1п81.
Рассмотрим второе равенство:
2-32х° 1п3+6-3^ -1пЗ-41пЗ=41пЗ о З2^ +3-3*° -4 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение относи-
тельно 3 х0, будем иметь Зх° =1 или х0 = 0. Под-
ставляя найденное значение абсциссы точки каса-
ния в первое равенство, получим а = 7.
Ответ: а = 7.
II вариант
1.	Решите уравнение
sin2 (х/2) — 5sin (х/2) = 2cos2 (х/2).
Решение. Преобразуем данное уравнение к
виду 3sm —5sm—2 = 0 и решим полученное
2	2	%
квадратное уравнение относительно sin—. Получим
. х 1
sin—= — или
2
х = (-!)* -2arcsin^"j + 2A:n, k е Z.
Ответ: (-1/ •2arcsinf--jj + 2/rn, fceZ.
2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
2
ком функции у — — и прямыми х = 1, х = 4, у = 0.
Решение.
4 2
5= [—dx = 21n|x| =2(ln4-lnl) = 41n2 (кв.ед.).
1
Ответ: 4 In 2 кв. ед.
4
64
1 5~х
3.	Решите неравенство *og3 ——- > U.
Решение. Так как основание логарифма боль-
ше единицы, то данное неравенство равносильно не-
равенству
5-х ,	2х-7 Л
	>1 или 	<0.
х-2-----------х-2
Решая методом интервалов последнее неравенство,
получим 2 < х < 3,5.
4.	Решите систему уравнений
у-х = -7
Jx +у[у =7.
Решение. Представим первое уравнение си-
стемы в виде (у[х -Jy)(4x +Jy) = 7. Тогда данная
система будет равносильна системе
Jx-<Jy = l
Jx +у[у = 7.
Откуда х = 16 и у = 9.
Ответ: х = 16, у = 9.
5.	Решите уравнение logsinx л/з cosx = 1.
Решение. Данное равенство может иметь ме-
сто при условии:
cosx >0
Л
* sinx>0 <=> 2кп<х < — + 2кп, к^Х.
2
sinx* 1
С учетом этих ограничений, имеем
.	7Т _	_
3 cosx = sinх и х = — + 2пп, пеХ.
3
71
Ответ: х = — + 2лл, п&Х.
3
6. При каких значениях а прямая у = а + х In 2
является касательной к графику функции
/(х) = 4к-2х+2+х1п8?
Решение. Пусть х0 — абсцисса точки каса-
ния. Тогда должно выполняться
/(х0) = о + х0 In2 и /'(*0) = 1п2.
Рассмотрим второе равенство:
2-2* 1 2 3 4 5 6*0 •1п2-4-2л° 1п2 + 3-1п2 = 1п2 о
о 22х° -2-2Л()+1=0о 2Х° =1 <=> х0 =0.
Подставляя найденное значение х0 = 0 в первое
равенство, получим а = —3.
Ответ: а = —3.
КОРРЕСПОНДЕНТАМ ЖУРНАЛА
Тем, кто хочет выступать на страницах журнала «Математика в школе», сообщаем требования, которым должны
удовлетворять материалы, представляемые в редакцию.
1. Рукописи статей адресуются в один из отделов журнала.
2. Рукописи представляются в двух экземплярах (первом и втором, третий экземпляр авторы оставляют у себя),
отпечатанных на пишущей машинке или в виде принтерных распечаток стандартным шрифтом с расстоянием меж-
ду строк не менее двух интервалов на одной стороне листа белой бумаги обычного формата. Вместе с рукописью
желательно присылать дискету формата 3,5 дюйма с текстом статьи. Объем рукописи не должен превышать 15
страниц машинописного текста.
К рукописям, содержащим задачи, обязательно прилагать решения всех задач.
3. Рецензии на книги представляются в редакцию с приложением рецензируемых книг (книги по желанию авто-
ров будут возвращены).
4. Все цитаты и ссылки на статьи и книги должны быть тщательно выверены по первоисточникам. В сноске
обязательно указывается, откуда взята цитата: автор и название книги или статьи, издание, в котором эта статья
опубликована, место (город), издательство, год издания и номер страницы.
5. Рисунки и фотографии прилагаются к рукописи на отдельных листах в двух экземплярах. Рисунки (схемы и
чертежи) должны быть выполнены четко и аккуратно на плотной бумаге с применением действующих общеприня-
тых стандартных обозначений. Фотографии, отпечанные на глянцевой бумаге размером не менее 9 х 12, должны
быть подписаны мягким карандашом только на одном экземпляре, второй экземпляр фотографий представляется
обязательно чистым (с обеих сторон), без пометок.
6. Рукопись подписывается автором (если авторов несколько, то необходима подпись каждого из них). После
подписи указываются следующие сведения: фамилия, имя и отчество автора (полностью), место работы, занимае-
мая должность, домашний адрес (с указанием почтового индекса), номер телефона, дата рождения, серия и номер
паспорта, время и место его выдачи.
Материалы, не удовлетворяющие указанным требованиям, к рассмотрению не принимаются.
По материалам, не принятым к опубликованию, переписка не ведется. Рукописи статей и тексты задач не возвра-
щаются.
Редакция вынуждена предупредить, что из-за известных финансовых трудностей предпочтение в опубликовании
(при всех прочих равных условиях) будет отдаваться материалам, авторы которых не претендуют на получение
гонорара (об отказе от гонорара автор должен в письменном виде уведомить редакцию).
Вниманию корреспондентов! При пересылке всех материалов просим не свертывать их в трубочки!
Редакция не дает индивидуальных консультаций по теоретическим вопросам и решению задач.
65
ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ
ТЕСТИРОВАНИЕ ШКОЛЬНИКОВ
Ю.А.ГЛАЗКОВ (Москва) ..............  =
В апреле 1999 г. Центр тестирования выпускни-
ков общеобразовательных учреждений Российской
Федерации наряду с тестированием абитуриентов
вузов (см. «Математика в школе», 1999, № 5) про-
водил тестирование учащихся IX и XI классов по
17 предметам, в том числе по геометрии, алгебре,
алгебре и началам анализа. В тестировании участво-
вали около 95 тыс. школьников и учащихся тех-
никумов в 41 регионе страны, из них по математике —
20373 человека.
В соответствии с приказом Министерства обще-
го и профессионального образования РФ, учебным
заведениям дано право засчитывать результаты
тестирования по геометрии IX и XI классов в ка-
честве оценок за экзамен «по выбору школьника».
Отметим, что централизованное тестирование
школьников проводится с 1997 г., а с октября 1998 г.
осуществляется бесплатное репетиционное тестиро-
вание по сетям Internet (www.vin.kaluga.ru).
Все тесты созданы на основе спецификаций, ут-
вержденных Министерством общего и профессио-
нального образования РФ. В спецификациях были
отражены объекты проверки, выделенные на осно-
ве анализа учебных программ средних общеобразо-
вательных учреждений по математике, проектов
федерального и региональных стандартов образова-
ния, а также действующих школьных учебников.
После рецензирования и экспериментальной про-
верки тесты были доработаны. По каждому предме-
ту была создана 100-балльная шкала оценки и ре-
комендации по переводу этой шкалы в 5-балльную
для зачета в качестве выпускной аттестации.
Тесты по геометрии для IX и XI классов, а также
по алгебре для XI класса были разработаны под
руководством кандидата педагогических наук
Ю.А. Глазкова, а по алгебре и началам анализа — под
руководством доктора физико-математических наук
Ю.М. Неймана.
Все тесты для IX класса и по геометрии для XI
класса состоят из трех частей. Части А и В содер-
жат задания, отражающие обязательный уровень
обучения. В части А собраны задания в закрытой
форме, т.е. с предложенными на выбор ответами.
Учащиеся, выполнив задание, отмечают в специаль-
ном бланке ответов номер верного, по их мнению,
ответа. Часть В содержит задания в открытой фор-
ме, составленные так, чтобы ответом было целое
число (это связано с особенностями компьютерной
обработки результатов). Учащиеся фиксируют в
бланке полученный ответ. Часть С состоит из бо-
лее трудных заданий, решения которых должны со-
держать обоснование утверждений и вычислений.
Эти решения записывались на отдельном листе, а их
полнота и правильность оценивались экспертами, для
чего была составлена специальная инструкция.
Верное решение каждого задания частей А и В
оценивалось одним баллом, неверное — нулем.
Правильное и обоснованное решение задания час-
ти С оценивалось двумя баллами; верное, но без
обоснований — одним баллом; неверное решение
или его отсутствие — нулем. При оценке работы
учащегося по пятибалльной шкале отметка «3»
ставилась, если учащийся выполнил не менее 70%
заданий из частей А и В. Для получения отметки
«4» или «5» было необходимо решить не менее 85%
заданий частей А и В и набрать не менее 3—4
баллов за решение заданий из части С. Эти крите-
рии разрабатывались с учетом рекомендаций по
оценке результатов письменного экзамена по алгеб-
ре за курс IX класса, опубликованных в сборнике
заданий для проведения письменного экзамена по
алгебре за курс основной школы: 9 класс / Л.В. Куз-
нецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.В. Суво-
рова. — М.: Дрофа, 1996.
Отметим, что количество верных ответов, данных
учащимися к заданиям обязательного уровня, со-
ставило: 73% по геометрии IX класса; 70% по ал-
гебре IX класса; 82% по геометрии XI класса (за-
дание ВЗ было более высокого уровня трудности).
В тестах по алгебре и началам анализа не были
выделены задания обязательного уровня, поэтому
критерии оценки были иными: отметка «3» стави-
лась за верное выполнение 30—57% заданий; «4» —
за 60-87% верных ответов. Результаты выше или
ниже указанных оценивались соответственно на «5»
или на «2».
Результаты тестирования распределились следу-
ющим образом (табл. 1).
Таблица 1
	Количество учащихся, получивших указанную отметку (в процентах к числу тестируемых по предмету)			
	«2»	«3»	«4»	«5»
Геометрия IX класс	33	44	16	7
Алгебра IX класс	30	38	16	16
Геометрия XI класс	15	39	27	19
Алгебра и начала анализа XI класс	15	41	38	6
Ниже приведем примеры тестов.
66
ГЕОМЕТРИЯ
IX КЛАСС
Часть А
1.	Внешний угол при основании равнобедренно-
го треугольника равен 98°. Тогда угол при вершине
этого треугольника равен:
1) 8°; 2) 46°; 3) 82°; 4) 16°.
2.	Гипотенуза прямоугольного треугольника 15 м,
один из его катетов — 12 м. Вычислите площадь
этого треугольника.
1) 54 м2; 2) 180 м2; 3) 90 м2; 4) 108 м2.
3.	Треугольник равнобедренный, но не равносто-
ронний. Сколько у него осей симметрии?
1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 0.
4.	Используя данные, указанные на рис. 1, най-
дите длину стороны АС.
1) 6>/3; 2) 3; 3) 12; 4) 2^2 .
5.	СЕ — высота ромба ABCD, LABD — 10° (рис. 2).
Найдите угол ECD.
1) 70°; 2) 80°; 3) 60°; 4) 50°.
6.	ABCD — ромб, ВН ± AD. Используя данные,
указанные на рис. 3, найдите площадь ромба.
1) 15 м2; 2) 20 м2; 3) 25 м2; 4) 27 м2.
7.	Используя данные, указанные на рис. 4, най-
дите градусную меру угла АОС, если О — центр
окружности.
1) 56°; 2) 88°; 3) 144°; 4) 46°.
8.	Окружность с центром С и прямая АК ка-
саются в точке К (рис. 5). Найдите АК, если АС = 10,
а диаметр окружности
1) Ю; 2) 8;
- 12.
Рис. 4
9.	Дан прямоугольник с диагональю 8 м. Найди-
те площадь описанного около него круга.
1) 16л2 м2; 2) 16л м2; 3) 64л2 м2; 4) 64л м2.
10.	Окружность с центром О вписана в треугольник
АВС. Найдите угол АС В, если АВ —AC, LBOC- 130°.
1) 50°; 2) 40°; 3) 30°; 4) 70°.
11.	РКСТ — ромб. Укажите вектор, равный век-
тору ОТ (рис. 6).
1) ОК', 2) ОР ; 3)ТО; 4) КО.
12.	КТРО — параллелограмм (рис. 7). Найдите
сумму векторов ТК и ТР .
1) ТО', 2)ТМ; 3)РК; 4) КР.
Часть В
1.	Вычислите длину медианы равностороннего
треугольника со стороной 2^3 .
2.	Периметр правильного шестиугольника равен
18. Найдите диаметр описанной около него окруж-
ности.
3.	Диагонали прямоугольника ABCD пересека-
ются в точке О, Z-AOB = 60°, АВ = 8. Найдите ди-
агональ АС.
4.	ABCD — трапеция. Используя данные, указан-
ные на рис. 8, найдите длину отрезка MN.
5.	В треугольниках АВР и CDP 2.ВАР — /-PCD,
АР =4, АВ = 6, CD = 9 (рис. 9). Найдите длину
Часть С
1.	Докажите утверждение:
«Два равнобедренных треугольника равны, если
угол при основании и высота, проведенная к осно-
ванию, одного треугольника соответственно равны
углу при основании и высоте, проведенной к осно-
ванию, другого треугольника».
2.	Диагонали трапеции равны и взаимно перпен-
дикулярны. Найдите высоту трапеции, если ее сред-
няя линия равна 6 м. Ответ обоснуйте.
3.	Точка О делит сторону АС треугольника АВС
на отрезки АО = 5 и ОС =15. Найдите сторону ВС,
если АВ = 10, ВО = 12. Ответ обоснуйте.
ГЕОМЕТРИЯ
X! КЛАСС
Часть А
1.	В прямоугольном параллелепипеде АВ = 8, ВС-
= 6, АА{ = 12 (рис. 10). Найдите расстояние от
точки К до вершины Bv
1) 7234; 2) ТН9; 3) 13; 4) 2>/бТ.
67
2.	Высота правильной четырехугольной призмы
равна 3 м, а площадь боковой грани —12 м2. Най-
дите площадь поверхности призмы.
1) 48 м2; 2) 36 м2; 3) 80м2; 4) 78 м2.
3.	Основание прямой призмы — равнобедренный
прямоугольный треугольник с катетом, равным 2>/2 м,
а боковое ребро пирамиды равно гипотенузе осно-
вания. Найдите объем призмы.
1) 32 м2; 2) 16м2; 3) 64 м2; 4) 48 м2.
4.	Боковое ребро правильной треугольной пира-
миды равно 5 м, апофема — 4 м. Найдите пло-
щадь боковой поверхности пирамиды.
1) 72 м2; 2) 36 м2; 3) 144 м2; 4) 30 м2.
5.	Основание пирамиды — прямоугольник со
сторонами 3 м и 4 м (рис. 11). Найдите объем пи-
рамиды, если ее высота равна диагонали основания.
1) 40 м2; 2) 30 м2; 3) 60м2; 4) 20 м2.
Рис. 10
Рис. 12
6.	Осевое сечение цилиндра — квадрат с диагона-
лью, равной 8л/2 м (рис. 12). Найдите площадь бо-
ковой поверхности цилиндра.
1) 64 м2; 2) 64л м2; 3) 32л м2; 4) 32 м2.
7.	Найдите объем тела, полученного вращением
прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ, если
ВС = 2 м, а площадь прямоугольника равна 6 м2.
1) 18л м3; 2) 12л м3; 3) 9л м3; 4) 12 м3.
8.	Найдите объем конуса, высота которого равна
3 м, а образующая — 5 м.
1) 16 м3; 2) 48 м3; 3) 25л м3; 4) 16л м3.
9.	Длина окружности сечения, проходящего че-
рез центр сферы, равна 8л м. Найдите площадь
сферы.
1) 64 м2; 2) 164л м2; 3) 16л м2; 4) 64л м2.
10.	Шар с центром в точке О касается плоскости
в точке А. Точка В лежит в касательной плоскости.
Найдите диаметр шара, если АВ = 40 м, ВО = 41 м.
1) 18 м; 2) 9 м; 3) 36 м; 4) 81 м.
Часть В
1.	Диагональ BJ) прямоугольного параллелепи-
педа ABCDAiB]CyDx наклонена к плоскости ос-
нования под углом 60° (рис. 13). Найдите ее длину,
если стороны основания равны 6 и 8.
2.	Осевое сечение конуса — треугольник с углом
60° и стороной, равной 12 м (рис. 14). Найдите пе-
риметр этого осевого сечения.
3.	Сторона основания правильной треугольной
пирамиды РАВС равна 8, а боковое ребро - 10.
Рис. 14
Рис. 13
Найдите периметр сечения, проходящего через се-
редины ребер АС и ВС параллельно ребру PC.
Часть С
1. Основание пирамиды MABCD — квадрат, ди-
агональ которого равна 2>/2 . Ребро МВ перпен-
дикулярно плоскости основания, а угол между плос-
костями АВС и AMD равен 60°. Найдите AM.
Ответ обоснуйте.
2. Ребра AS и ВС тетраэдра SABC взаимно
перпендикулярны. Точки Е, Н и К — середины
ребер CS, BS и АС соответственно. Докажите, что
ЕН2 + ЕК2 = НК2.
АЛГЕБРА
IX КЛАСС
Часть А
1.	Расположите в порядке возрастания числа
5>/2; 4-УЗ; ^42.
1)5-72; 4л/3; ^42; 2)4-73; 5^2; V42;
3)^42; 4-ТЗ; 5-72; 4)^42; 5^2; 4-Тз.
2.	Упростите выражение (2с — З)2 + 24с.
1) 4с2 — 3; 2) (2с + З)2; 3) 2с2 - 9; 4) 4с2 - 9.
3.	Выражение 2-72 -д/з -4% равно:
1)4л/б; 2)бЛ; 3)8>/3; 4)8л/б.
9R2
4.	Выразите из формулы 5 =—переменную R
(R > 0).	271
1)/f=S 2)Я=^|; 3)R=Ms; 4)R=3g
5.	Выражение	равно:
1)	2) Г3; 3) Г5; 4) t\
9 + 4я2 2а
6.	Выражение —--=---—— равно:
9-4о	3-2о
1)———; 2)—^—; 3)-----—; 4)-^-.
3 + 2д	3-2я	3 + 2я 3-2я
- D	.. [х + Зу = 0
7.	Решением системы уравнении <
является пара чисел:	ру -х = ~*
68
1) (3;-1); 2) (-1; 3); 3) (-2; 6); 4) (6;-2).
[2 — Зх < 2х + 9
8.	Решите систему неравенств <
(4х + 5,2<0.
1)х < —1,4; 2)-1,4<х<-1,3; 3)х <-1,3; 4)х > 1,4.
9.	Неравенство (2х + 6)(х — 2) > 0 выполняется,
если:
1) -3 < х < 2; 2) х < -3; 3) х < -3, х > 2; 4) х > 2.
10.	Катер прошел по течению реки 8 км и вер-
нулся обратно, потратив на весь путь 5 ч. Скорость
течения реки — 3 км/ч. Какова собственная скорость
катера?
Если собственную скорость катера обозначить
буквой х, то можно составить уравнение:
1) 2,5(х + 3) + 2,5(х - 3) = 8; 2) -i_+JL = 5;
х + 3 х-3
3) —+ Л_ = 8;	4)£±1 + Л_2 = 8.
х+3 х-3	5	5
И. Через точку (—1; +1) проходит график функции:
=	1; 2) у = -;3) У = -Ц-;4)>> = 2+х.
х	х-1
12.	Все значения х, при которых квадратичная
функция, заданная графиком (рис. 15), отрицатель-
на, составляют множество:
1) (-оо; -1); 2) (2; +ос); 3) (-оо; -1)U(2; +оо);
4) (-1;2).
13.	На рис. 16 изображен график движения тури-
ста из города А в город В. Определите скорость ту-
риста до привала.
1) 6 км/ч; 2) 2 км/ч;
14.	Больший корень уравнения — =--- равен:
2 х
__	х2-1
15.	Сократите дробь —---.
2х - 2х
1)—; 2) ——; 3)—; 4)—.
2х 2х-2 2х 2х
х3
16.	Значение выражения ~^~х прих = —2 равно:
1)	—2; 2) 2; 3) 6; 4) -6.
17.	Значение выражения
(1,2 • 1062) • (4 • 1038) : (5 • 1045)
равно:
1)	9,6 • 1055; 2) 9,6 • 1054; 3) 9,6 • 10'45; 4) 2,4 • 10'44.
Часть В
1.	Найдите число, 85% которого равны 102.
2.	Найдите отрицательный корень уравнения
5Х2 + 7х — 6 = 0.
3.	В состав лечебного сбора входят мята и зверо-
бой в отношении 3 : 2. Сколько граммов мяты со-
держится в 150 г сбора?
4.	Найдите абсциссу точки пересечения графи-
ков функций у = 5 — 2х и у — Зх + 15.
5.	Решите уравнение 2,5х-29,5 = 4,5-—.
Часть С
1.	Докажите, что выражение д/з — 2л/2 - (зТ2 - 2)
равно 1 - 2V2 .
2.	При каких значениях к уравнение х2 + кх +
+ 9 = 0 имеет два различных корня? Ответ обоснуйте.
3.	Решите графически систему уравнений
у = х2 -4х + 3
7 = 3-2х.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
XI КЛАСС
Часть А
1.	Если А — сумма всех простых чисел из интер-
вала (22; 39), а В - ближайшее к этой сумме чет-
ное число, кратное 9, то наибольший общий дели-
тель А и В равен:
1) 1; 2) 3; 3) 4; 4) 6; 5) 12.
2.	Если А : В = 0,2 : 0,(3), то количество процен-
тов, на которое В больше А, равно:
1) 66,(6); 2) 67; 3) 50; 4) 50,(3); 5) 33,3.
, о	m + Sylm+6 _
3.	Результат упрощения выражения----------3
имеет вид:	т
\)2у[т; 2)у[т; 3)Vw+6; 4)Vw-6; 5) Г^П—.
ут +2
4.	Линейная функция, график которой проходит
через точки (—2; 1) и (1; —2), задается формулой:
1) у = Зх + 5; 2) у = —Зх — 5; 3) у = —х — 1;
4)	у = х + 1;	5) у = 2х +5.
5.	Корень уравнения а2(х — 1) + 4 = 4х(с/ — 1)
отрицателен, если:
1) И > 2; 2) а > -2; 3) а < -2; 4) |п| < 2; 5) а # 2.
6.	Квадратное уравнение, корнями которого яв-
, 1
ляются числа — 1 и — , имеет вид:
1)7х2+6х + 1 =0; 2)-—х2+—х-1 =0; 3)х2-—х+6 = 0;
7	7	7
4)х2+уХ-6 = 0; 5)7х2+6х-1 =0.
69
7.	Разность между наибольшим и наименьшим
1
корнями уравнения —= + —== + —=----= 0 равна:
1) —6; 2) 6; 3) >/з ; 4) -3>/2 ; 5) 3^2 .
8.	Сумма всех целых решений неравенства
7	9	. _
(х-2)(х-3) х-3
равна: 1) -15; 2) -10; 3) -9; 4) -14; 5) -12.
9.	Если х0 — корень уравнения у/х + 2=х-4, то
Зл
равна:
7
5) -j.
2
значение выражения 2х +ц равно:
4	1 Х° +
1)	у; 2) -; 3)2; 4)6; 5)-3.
10.	В арифметической прогрессии одиннадцатый
член равен —27, а разность прогрессии равна —3.
Тогда первый член прогрессии равен:
1) —2; 2) 3; 3) 4; 4) -3; 5) 2.
11.	Пусть Мит— наибольшая и наименьшая
к 1
ординаты графика функции у = — cosx -1 на отрез-
Зл
ке 0;— . Тогда величина М + т
L 2J
1) —2; 2) —3; 3)-4; 4) —;
1 + cos х + cos 2х
12.	Выражение---------------после упрощения
sin 2х + sin х
имеет вид:
_	„ cosx + sinx
1) tg х; 2) —tg х; 3) ctg х; 4) —ctg х; 5)-;— .
cosx-sinx
13.	Число корней уравнения sin 4х + cos 2х = 0
Л Зл
на промежутке 0; —
1) 4; 2) 5; 3) 6; 4) 7; 5) 8.
14.	Область определения функции
у = log,(2-x)+log2--!—
з	х + 3
2) (-3; 0)U(0; 2); 3) (-3; 2);
5)	(-3; 3).
равно:
имеет вид:
1) (0; 2);
4) (-оо; 2);
15. Результат вычисления выражения (г"*2'5 + 1J'
равен: 1) 2; 2) 4; 3) 8; 4) 42 ; 5) 16.
2+х	____
16.	Сумма корней уравнения 25,_дг -V53+х =0 равна:
1)	-1; 2) -5; 3) 6; 4) -6; 5) 5.
17.	Угловой коэффициент касательной, проведен-
2 -
ной к графику функции у = —х2 в точке с абсцис-
сой х = 4, равен:
1)	1; 2) V2; 3)2; 4) >/3; 5)4.
,	25
18.	Значение функции у = 4х+---- в точке мак-
х-2
симума равно:
1)	28; 2) 20; 3) 14; 4) -10; 5) -12.
19.	Сумма наибольшего и наименьшего значений
функции Дх) = 15 - 4х - х2 на отрезке [-4; 2]
равна:
1) 34; 2) 18; 3) 22; 4) 20; 5) 32.
20.	Одна из первообразных функции у = 3(х + I)2
имеет вид:
1) 3(х + I)3; 2) 6(х + 1);	3) 6х;
4)	х2 + Зх; 5) х3 + Зх2 Зх.
-1
21.	Результат вычисления интеграла j(x + l)3Jx
-3
равен:
1) —4; 2) -3; 3) -2; 4) -1; 5) 0.
22.	Площадь криволинейной трапеции, ограни-
ла	л	л	л
ченной линиями у — cos х, у = 0, х = —- и х = —,
6	6
равна:
1)у; 2)1; 3)1; 4)-^; 5)2.
23.	Множество решений неравенства
(х - 2) • |2х + 3| < 0
имеет вид:	z	< 3 А (	3^
1)(-оо;2); 2)l-a>;-|lul-|;2j; 3)1-оо;-|1;
4)[“1;2]; 5^-ос;-|^(2; + оо)‘
Г ( iYi
24.	Значение sin arccosl-—I равно:
2)W3. 3)1; 4)Д 5)M
5	5	5	5	5
25.	Количество целых решений неравенства
4з
tg<p>---, принадлежащих промежутку [0; 2л],
равно:
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
26.	Уравнение касательной, проведенной к гра-
фику функции у = —!— в точке с абсциссой х0 = 3,
х-2
имеет вид:
1) у = —х — 4; 2) у = 2 — 2х; 3) у = 4 — х;
4)	у = х - 2;	5) у = х - 1.
log42
Часть В
1.	Найдите наибольшее целое значение а, при
котором графики функций у = 2ах — 1 и у — (а —
— 6)х2 — 2 не пересекаются.
2.	Найдите число целых решений неравенства
>/Зх-4<3.
3.	Найдите произведение корней уравнения
|2х + 5| = 7.
4.	Найдите наименьшее целое решение неравен-
ства
/ тУг-6х+8 _ *
70
ОТВЕТЫ
Геометрия, IX класс
А: 1.4, 2.1, 3.1, 4.3, 5.1, 6.1, 7.3, 8.2, 9.2, 10.1,
11.4, 12.1.
В: 1. 3; 2. 6; 3. 16; 4. 7; 5. 10.
С: 2. 6; 3. 24.
Геометрия, XI класс
А: 1.3, 2.3, 3.2, 4.2, 5.4, 6.2, 7.2, 8.4, 9.4, 10.1.
В: 1. 20; 2. 36; 3. 18.
С: 1. 4.
Алгебра, IX класс
А: 1.3, 2.2, 3.3, 4.1, 5.3, 6.1, 7.1, 8.2, 9.3, 10.2,
11.4, 12.4, 13.3, 14.2, 15.1, 16.1, 17.2.
В: 1. 120; 2. -2; 3. 90; 4. -2; 5. 12.
С: 2. (-оо; -6)U(6; +оо); 3. (0; 3), (2; -1).
Алгебра и начала анализа, XI класс
А: 1.4, 2.1, 3.2, 4.3, 5.4, 6.5, 7.5, 8.4, 9.3, 10.2,
11.1, 12.3, 13.2, 14.3, 15.2, 16.4, 17.3, 18.5, 19.3,
20.5, 21.1, 22.2, 23.2, 24.5, 25.5, 26.3.
В: 1. 2; 2. 3; 3. -6; 4. 5.
Задания теста по их трудности можно условно
разделить на несколько групп: 1) задания, которые
учащиеся решают уверенно (70—79% верных отве-
тов); 2) задания, с которыми учащиеся справляют-
ся неуверенно (50—69% верных решений); 3) зада-
ния, которые решаются, в основном, верно (более
80% верных решений); 4) трудные задания, кото-
рые могут решить только сильные ученики (10-
50% верных ответов).
Распределение заданий по указанным группам
было следующим (табл. 2-5).
Геометрия IX класс
Таблица2
Количество учащихся, решивших задания верно		
50-69%	70-79%	80% и более
А2; А5; А10; А12; В5	А1; А6; А8; А9; All; Bl; В2; ВЗ	А7; В4
Один или два балла за задания части С получи-
ли соответственно: С1 — 50%; С2 — 10%; СЗ — 15%
учащихся.
Геометрия XI класс
Таблица 3
Количество учащихся, решивших задания верно		
50-69%	70-79%	80% и более
—	А2; АЗ; А4; А5; А7; В2	А7; В4
С заданиями ВЗ, С1 и С2 справились соответ-
ственно: ВЗ - 45%; С1 — 55%; С2 — 45% учащихся.
Алгебра IX класс
Таблица 4
Количество учащихся, решивших задания верно		
50-69%	70-79%	80% и более
А9; А14; А17;	А1; А2; А4; А6; А8; А10;	АЗ; А5; А7;
А22; ВЗ; В4; В5	All; А13; А17; Bl; В2	А12; А15; А16
Один или два балла за задания части С получи-
ли соответственно: С1 — 30%; С2 — 25%; СЗ — 40%
учащихся.
Алгебра и начала анализа XI класс
Табл и ца 5
Количество учащихся, решивших задания верно		
менее 50%	50-69%	70-79%
А1; А2; А5; АП; А13; А23; А25; Bl; В4	А7; А8; А14; А17; А19; А20; А22; А24; В2	АЗ; А4; А9; А10; А12; А15; А16; А18; А21; А26; ВЗ
Самым легким оказалось задание А6 — с ним спра-
вилось более 80% учащихся.
-=========== ЮВИЛКЙ УЧИГКЛЯ УЧИГКЛКЙ	. . .-77-	.
В конце 1999 г. математическая общественность Тирасполя отметила юбилей Зинаиды Ивановны
Турлаковой, которая известна как педагог-математик не только во всей Молдавии, но и за ее преде-
лами.
Зинаида Ивановна родилась в с. Кириетня в 1924 г., а с 1949 г., окончив физико-математический
факультет Кишиневского педагогического института, начала преподавать математику в школе. Через
семь лет она связала свою жизнь с высшей школой, поступив ассистентом на кафедру математики Тирас-
польского пединститута, где через десять лет стала заведовать кафедрой геометрии и элементарной
математики. (В 1964 г. З.И.Турлакова защитила кандидатскую диссертацию по методике преподавания
математики в МГПИ им. В.И.Ленина.)
Зинаида Ивановна Турлакова - автор учебника по методике преподавания математики, других науч-
но-методических публикаций, в том числе и в нашем журнале.
Редакция журнала «Математика в школе» присоединяется к теплым поздрав-
<•	1 -----7*777* лениям, которые адресуют З.И.Турлаковой ее многочисленные ученики.
71
ПРОБЛЕМА И СУЖДЕНИЯ
ЧТО МЫ ХОТИМ ПРОВЕРИТЬ
НА ВЫПУСКНОМ ЭКЗАМЕНЕ?
Мы, учителя математики, члены уфимской го-
родской комиссии по проверке медальных работ, хо-
тели бы опубликовать наши соображения по про-
блеме выпускного экзамена за курс средней шко-
лы, так как вопрос видится нам чрезвычайно серь-
езным, а его замалчивание — во многом опасным.
Не секрет, что преподаваемый нами предмет раз-
делился на три малопересекающиеся части: «школь-
ную», «конкурсную» и «олимпиадную». Было бы
непродуктивно обсуждать сейчас причины и след-
ствия этого свершившегося факта. Поговорим луч-
ше о том, овладение какой из этих частей следует
проверять на выпускном экзамене.
На размышления по данному поводу наталкива-
ют тексты экзаменационных работ по алгебре и
началам анализа, предлагавшиеся учащимся наше-
го региона в 1998/99 учебном году.
Работа для общеобразовательных классов (А-11
№ 1-99) была составлена даже очень щадяще для
ученика. Она не требовала дополнительных к изу-
ченному курсу знаний, а для ее выполнения 5 аст-
рономических часов казались даже избыточными.
Другая ситуация сложилась с математическими
классами. Работа А-11-МК №7-99 вызывает мно-
го серьезных вопросов и замечаний. Главный из них
такой: «Что же мы проводим: итоговую проверку
знаний или конкурс по решению задач в условиях
дефицита времени?»
Цель школьного выпускного экзамена, в отличие
от олимпиады и конкурсного вступительного испы-
тания в вузе, нам видится в проверке усвоения имен-
но того материала, который включен в программу.
Здесь нет места конкурсному отбору. Но мы не уве-
рены, что составители заданий руководствовались
именно такими мотивами.
Задание 1. Решите неравенство
logA+2(9x2 + 15х -6) < 2.
По сути, это конкурсное вступительное задание в
вуз, причем не из числа простых: требуется умение
выделить различные случаи, одолеть довольно мно-
го рутинных однотипных действий, что влечет боль-
шие затраты времени.
Задание 2. Решите уравнение
82w + 7-2*=30.
Его решение также предусматривает разбиение на
два случая, приводящих к уравнениям, существенно
72
различным по способу решения. Затем требуется вы-
полнить проверку, отсекающую посторонние корни.
Задание 3. Найдите площадь фигуры, ограни-
ченной графиком функции у = х2-2|х|+1 и
касательными к нему, проходящими через точ-
ку Л(—5/6; -14/3).
Во-первых, это задание, как и предыдущие, со-
держит знак абсолютной величины, навыки работы
с которым только что проверялись. Во-вторых, не-
мало времени затрачивается на нахождение уравне-
ний касательных, точек касания и, главное, — на гра-
фическую иллюстрацию. Мы не вправе рассчиты-
вать на то, что ученик обойдется без нее, так как
тогда он будет обязан аналитически обосновать
правомерность применения теоремы о вычислении
площади фигуры, ограниченной двумя графиками.
А если в работе не приведено ни рисунка, ни обо-
снования, то при проверке это засчитывается ми-
нимум как недочет. И, наконец, в-третьих, задание
требует очень громоздких и трудоемких вычислений.
Задание 4. Найдите общие корни многочленов
х4-х2-2х-1 и х4+ 2х3-Зх2-4х-1.
Это задание наиболее прозрачно по логике реше-
ния, хотя тоже несколько громоздко в выкладках и
требует применения искусственных приемов разло-
жения на множители. Кроме того, не сказано, идет
ли речь о всех или только о действительных корнях
многочленов, что при наличии общих комплексных
корней могло бы привести к разночтениям в ответах.
Задание 5. Изобразите на комплексной плос-
кости множество всех таких точек z0, что для
каждой из них для любого решения z уравне-
ния [z — 3/| = |z — Zo| выполняется условие
Z2 * ti для любого положительного / g R.
Учебник (Виленкин Н.Я. и др.'Алгебра и матема-
тический анализ для 11 кл.) не содержит заданий
такого типа и уровня сложности. Полное его реше-
ние сродни небольшому (объемом 4—5 тетрадных
страниц) научному исследованию, место которому
может быть на областном туре Российской олимпи-
ады или на экзамене по курсу теории функций ком-
плексного переменного на математических факуль-
тетах университетов. Обучить методам решения та-
ких заданий, имея примерно 20 ч на весь раздел
«Комплексные числа», проблема крайне сложная...
Задание 6. Найдите все такие значения пара-
метра а, для каждого из которых уравнение
cosx — а имеет наибольшее количество кор-
ней на промежутке (-2л/3; 29л/2]. Определи-
те это количество, а для каждого такого а най-
дите сумму корней данного уравнения на рас-
сматриваемом промежутке.
Здесь фактически предложены три вопроса, из
которых последний, в общем-то, не связан ни с пер-
вым, ни со вторым и требует нового исследования.
Впрочем, это задание представляется нам наиболее
изящным.
Подведем итоги. Работа содержит всего два зада-
ния базового для математических классов уровня
сложности (№ 2 и № 4), одно чуть более сложное
(№ 1), два очень громоздких и технически трудоем-
ких (№ 3 и № 6) и одно чрезвычайно сложное (№ 5).
Ни одно из них мы, разумеется, не считаем непо-
сильным для ученика, успешно заканчивающего
математический класс, и следует только приветство-
вать наличие таких красивых, интересных заданий.
Однако нам кажется, что для одного варианта экза-
менационной работы их слишком много. Не-
обходимость не только правильно и полностью вы-
полнить хотя бы пять заданий такого уровня слож-
ности за 5 астрономических часов, но аккуратно и
корректно записать их решения, порождает у уче-
ника стрессовую ситуацию. К тому же не следует
забывать, что базовый уровень оценки «3» счита-
ется одинаковым для всех учащихся, и работа дол-
жна, на наш взгляд, содержать 3 задания минималь-
ного уровня сложности, давая возможность силь-
ным учащимся проявить себя, выполнив остальные
задания.
Для нас, членов экзаменационных комиссий,
исключительно большой объем работ создает допол-
нительные сложности при их проверке, которую
надо провести в максимально сжатые сроки.
Более того, в условиях, когда вузы включают в
конкурсный балл школьную оценку по профилиру-
ющему предмету и средний балл аттестата, получа-
ется, что абитуриент, закончивший математический
класс, может быть ущемлен в своих правах по срав-
нению с обучавшимся в общеобразовательном клас-
се. Например, оценка «3» за данную работу вполне
соответствует оценке «5» за обычную. Таким обра-
зом, уровень итоговых оценок в спецклассе неиз-
бежно окажется ниже. Факт же обучения в спец-
классе приемными комиссиями во внимание не
принимается и никаких формальных преимуществ
в конкурсе не дает.
Стало быть, просто способные, но не талантли-
вые ребята и их родители много раз подумают, про-
должать ли обучение в математическом классе, если
в семье планируют дальнейшее обучение в вузе. Нас,
учителей, это очень волнует, так как неразумно
сложные школьные экзаменационные задания в
математических классах фактически ставят под со-
мнение саму возможность сохранить такие классы.
Не будем скрывать, существен и вопрос о целе-
сообразности столь больших затрат учительского
труда при работе в спецклассах в условиях весьма
незначительной дифференциации его оплаты.
Мы призываем коллег из других регионов выска-
зать свое мнение по поставленным проблемам и
были бы признательны составителям заданий за
ответ на страницах журнала.
А.В.ЗЕРКИНА (Уфа, школа № 119) — заслуженный
учитель РБ,
Н.В.МЕДВЕДЕВА (Уфа, школа № 42) - заслуженный
учитель РБ, руководитель методичес-
кого объединения учителей матема-
тики Октябрьского р-на,
М.В.САХАНЕВИЧ (Уфа, школа № 27) - лауреат пре-
мии «Лучшему молодому учителю
математики г. Уфы»,
Н.Н.УСКОВА (Уфа, школа-лицей № 60) — заслужен-
ный учитель РБ, руководитель мето-
дического объединения учителей ма-
тематики Калининского р-на.
КОРРЕСПОНДЕНТАМ ЖУРНАЛА
Редакция напоминает авторам, предлагающим задачи в «Отдел задач»:
1. Задачи нужно присылать вместе с решениями. Задачи, присылаемые без решений, редакция не рассматривает.
Каждая задача должна быть помещена на отдельном листе.
2. Если задача заимствована, то должен быть указан источник, откуда она взята.
Редакция журнала доводит до сведения читателей, участвующих в решении задач, правила, выполнение которых
является обязательным:
1.	Решения следует присылать в редакцию не позднее срока, указанного в предисловии к условиям задач. Реше-
ния, поступившие позже, не рассматриваются.
2.	Решения задач присылаются отдельно от всякой другой корреспонденции. Решения алгебраических и геомет-
рических задач желательно присылать в отдельных конвертах с пометкой соответственно «Алгебра» или «Геомет-
рия».
3.	Решение каждой задачи выполняется на отдельном листе, в конце листа указывается (разборчиво) фамилия,
имя и отчество автора. Решения участников кружка подписываются руководителем, а на конверте указывается
название кружка.
4.	Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой из решенных задач должен быть крупно
выделен.
5.	К решениям прилагаются на отдельном листе номера решенных задач и точный адрес.
73
ЗАДАЧИ
С этого номера журнала отдел «Задачи» делится на два: «Алгебра» и «Геометрия». Задачи отдела «Ал-
гебра» будут публиковаться в журнале нечетных номеров, отдела «Геометрия» — четных номеров.
Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию не позднее 31 марта 2000 г. Просим
указать одну, на Ваш взгляд, лучшую задачу из тех, решения которых публикуются в этом номере. О
правилах оформления решений см. в этом номере журнала на с. 73.
АЛГЕБРА
4469. В автобусе имеются одноместные и двухме-
стные сидения. Кондуктор заметил, что когда в ав-
тобусе сидело 13 человек, то 9 сидений оказались
полностью свободными. В следующий раз сидело
10 человек, а свободных сидений осталось 6. Сколь-
ко сидений в автобусе?
Д.А.Калинин (Кострома)
4470. Возьмем четыре натуральных числа и для
каждых двух из них найдем наибольший общий
делитель. Могут ли найденные шесть чисел оказать-
ся последовательными?
А.В.Шаповалов (Иваново)
4471. Доказать, что среди жителей Брянска брю-
нетов больше, чем блондинов на столько процен-
тов, на сколько процентов это число процентов
больше числа процентов, на которое блондинов
меньше, чем брюнетов.
А.Г.Корянов (Брянск)
4472. Найти пять последовательных целых чисел,
если известно, что какие-то три из них являются
коэффициентами некоторого квадратного трехчле-
на, а остальные два — корнями этого же трехчлена.
А.В.Шаповалов
4473. Все 30 героев телесериала «Тайна Санта-
Барбары» пытаются узнать одну и ту же тайну. В
каждой новой серии происходит хотя бы одно из
событий: либо кто-то из героев узнает тайну,
либо кто-то из них узнает, что кто-то из героев не
знает тайны, либо кто-то из них узнает, что кто-
то из героев знает тайну. Сколько серий может
продолжаться этот сериал?
С.В.Конягин (Москва)
4474. Найти все функции f: R -> R, удовлетво-
ряющие уравнению
Дх2) - Ду2) = (х + у)(Дх) - Ду))
для всех х, у е R.
С.А.Мазаник (Минск, Белоруссия)
4475. Найти все к (к > 2, к g N), такие, что для
любого fc-значногочисла A = ai...ak найдется fc-знач-
ное число Л = 6р.Д, цифры которого удовлетворя-
ют условиям |/х+1 -6,|= 1 при z = 1,..., к -1 и bt * ai
при / = 1,...Д.
С.И.Токарев,
А.В.Шаповалов (Иваново),
В.Е.Шорин (Ярославль)
4476. Таблица Т размера их л клеток (я >2)
заполнена числами. Для каждой клетки подсчитана
сумма чисел во всех граничащих с ней (по сторо-
нам) клетках и записана в соответствующую клетку
таблицы Т такого же размера. Можно ли, располагая
только таблицей Т, найти сумму чисел таблицы Т?
Д.А.Калинин
4477. Решить систему уравнений
*1	х2	Х|р	0!
— +		+ ... + ——	=  "' —
1	2	10	10!
X.	х2	*10	1!
—L+		+ ...+—	~	
2	т	11	11!
	х2	Хю	2!
— +		+ ...+—	
3	4	12	12!
А.К.Толпыго (Киев, Украина)
4478. Рассматриваются все монотонные функции
f: [0;1]-»[0;1], удовлетворяющие условиям /(0) = 0,
/(1) = 1и /(х)<2/| —| для любого хе[0;1]. Найти
множество значений интеграла F(j)= f/(x)dx
о
В.А.Попов (Сыктывкар)
Решения задач по алгебре,
помещенных в № 2, за 1999г.
4396. На столе лежит стопка открыток, причем
все они «смотрят» картинкой вверх. Разрешается
вынуть любую пару соседних открыток, перевернуть
ее (так, что верхняя открытка пары окажется сни-
зу, а нижняя — сверху) и вложить на прежнее место.
Требуется с помощью нескольких таких операций рас-
положить все открытки в обратном порядке, но что-
бы они по-прежнему лежали картинкой вверх. При
каком количестве открыток в стопке это можно
сделать ?
Ответ: при любом нечетном количестве.
Решение. Пусть в результате некоторой пос-
ледовательности операций все открытки оказались
расположенными в обратном порядке (ясно, что это
74
возможно). Докажем, что все они «смотрят» в одну
и ту же сторону: вверх, если п — число открыток —
нечетно, вниз, если п четно.
В самом деле, взаимное расположение произволь-
ной пары открыток А и В стопке («Л выше В»
или «В выше А») могло меняться лишь в ходе
операций именно с этой парой. А поскольку в итоге
оно оказалось противоположным исходному, то
открытки А и В нечетное число раз составляли
пару, участвующую в операции.
Следовательно, для любой открытки число опе-
раций, в которых она была задействована, является
суммой п — 1 нечетных чисел. Эта сумма четна
при нечетном п и нечетна при четном п.
Остается заметить, что картинкой вверх открыт-
ка может лежать в том и только в том случае, если
число операций, в которых она была задействова-
на, четно.
4397. Решить ребус
ДОСКА + ДОСКА = СКЛАД.
Ответ: 40812 + 40812 = 81624,
45912 + 45912 = 91824,
41837 + 41837 = 83674,
46937 + 46937 = 93874.
Решение. Число КА + КА — АД = 10 • К + А +
4- 10 • К + А — 10- А- Д = 20 • К — 8 • А - Д равно
0 или 100. Отсюда следует, в частности, что Д
делится на 4, и, ввиду очевидного неравенства Д < 5,
имеем Д = 4.
Равенству 20- К — 8 • А — 4 = 0 удовлетворят
пары А = 2, К=1 и А = 7, К = 3, а равенству
20- К — 8-А — 4 = 100 — пары А = 2, К = 6 и А = 7,
К = 8.
Заметим также, что С * 8 и потому имеет ме-
сто перенос единицы из третьего разряда справа в
четвертый. Цифра К, будучи последней цифрой
числа О + О + 1, нечетна. Это значит, что пары
А = 2, К — 6 и А = 7, К = 8 можно не рассмат-
ривать.
Для пары А = 2, К = 1 при С = 8 и С = 9
получаем 0 = 0 и 0 = 5 соответственно. Если же
А = 7, К=3, С = 8, то 0=1, а для А =7, К = 3,
С = 9 находим 0 = 6.
4398. Имеется 40 газовых баллонов, значения дав-
ления газа в которых различны и нам неизвестны.
Можно соединять и затем отделять друг от друга
любые баллоны в количестве, не превосходящем задан-
ного натурального числа к; давление в соединяемых
баллонах устанавливается равным среднему арифме-
тическому давлении в них до соединения. При каком
наименьшем к существует способ выравнивания дав-
лений во всех 40 баллонах?
Ответ: при к = 5.
Решение. Покажем, что при к = 5 уравнять
давления во всех 40 баллонах можно.
Занумеруем баллоны числами 1,2,..., 40 и возьмем
группу {1, 2, ..., 10} — баллоны с номерами от 1
до 10. Уравняв давления в баллонах 1, 2, 3, 4 и
5, а затем — в баллонах 6, 7, 8, 9 и 10, соединим
между собой баллоны 1 и 6, 2 и 7, ..., 5 и 10.
Давление во всех 10 баллонах станет одинаковым.
Аналогичные действия проделаем с группой балло-
нов {И, 12, ..., 20}, с группой {21, 22, ..., 30} и с
группой {31, 32,..., 40}. После этого соединим бал-
лоны по четыре, образовав следующие десять групп:
{1,11,21,31}, {2,12,22,32}, ..., {10,20,30,40}.
Ясно, что значение давления во всех баллонах по-
лучим одно и то же.
Если же к < 4, то уравнять давления, вообще
говоря, нельзя. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рим ситуацию, когда в одном из баллонов давление
равно 2, а в каждом из 39 остальных — 1. По-
скольку сумма величин давлений в результате со-
единений не меняется, то после выравнивания дав-
ление в каждом из 40 баллонов должно стать рав-
2 + 39-1 41
ным -------= —.
40	40
Заметим, что если соединяются /<; 4 баллонов,
значения давлений в которых записываются в виде
mi		1 I
где i = 1,..., /, а /и, и п,. - взаимно простые нату-
ni
ральные числа, причем п- не делится на 5, то после
соединения давление в каждом из этих баллонов
т
примет значение —, где т и п взаимно просты,
п
а п некратно 5. (В самом деле:
п
т _ 11 т,
7< п, п, ;
и потому п делит произведение lnv..n„ которое на
5 не делится.) Следовательно, ни в одном из бал-
лонов значение давления не может стать равным
41 _ 41
40 5-8
4399. Доказать, что произведение всех правильных,
включая сократимые, дробей со знаменателями, не
превосходящими 1999, является квадратом рациональ-
ного числа.
Решение. Утверждение задачи следует из ра-
венств	г 1999 /-1 Г. 1999// 1\f	1999 /J
П 7=пп|=п(	-
]<&</<! 999 I 1=2 k=\ 1	1=2
1999 /2000-1	1999
1=2 I 1=2
4400. Собрались п человек, каждые к из которых
имеют ровно одного общего друга среди п — к осталь-
ных. Для каких пар натуральных чисел п и к (п > к)
это возможно?
Ответ: для пар (f+l;f), (2/; 1)
и (2/ + 1; 2), где t G N.
Решение. Если п = к + 1, то пара (w; к),
очевидно, удовлетворяет условию задачи. Докажем,
что при к s 3 выполнение равенства п = к + 1
необходимо.
т.
1999
1000-/
/=2 «
2
/=2
Г
75
Пусть некоторый человек Ах дружит с А2. Для
Ах и А2 найдется, очевидно, общий друг Л3, для
Лр А2 и А3 — общий друг А4, и т.д.; последова-
тельность Ах, Л2, ... продолжим до тех пор, пока
не получим группу из к + 1 людей Л,, Л2,..., Ак+1.
Ясно, что любые двое из этой группы являются друг
другу друзьями.
Предположим, что п ;> к + 2. Тогда есть человек
Ак+2, и он имеет среди Лр Л2,..., Ак+1 не более, чем
одного друга. (В самом деле, если бы Ак+2 дружил,
скажем, с Л( и Л2, то к человек—Л3, Л4,..., Ак+1,
Ак+2 — имели бы двух общих друзей.) Пусть, для
определенности, Ак+2 ни с А„ ни с Л2 не дружит.
Тогда общим другом для Л3, Л4, ..., Ак+1, Ак+2 яв-
ляется некто Ак+3, и получается, что Л(, Л2, Л3,...,
А-i» А+з все ДРУжат с Ак и Ак+1. Противоречие.
Для решения задачи остается отдельно рассмот-
реть случаи к = 1 и к = 2.
Пусть к = 1. Тогда каждый имеет ровно одного
друга, а все собравшиеся разбиваются на пары друзей.
Это возможно тогда и только тогда, когда п четно.
Пусть, наконец, к = 2. Заметим, что в этом слу-
чае у каждого человека четное число друзей. В са-
мом деле, если РА = {5], ..., Вт} — множество всех
друзей человека Л, то Bj (i — \,...,т) имеет ровно
одного общего с Л друга во множестве РА. Этот
общий друг является для Д единственным в РА
другом. Значит, РА разбивается на пары друзей, а
число т четно.
Обозначим через Рв множество всех друзей че-
ловека Д (/ = 1,..., т), а их число. Посколь-
ку Л входит во все эти т множеств, а каждый из
остальных п — 1 собравшихся — ровно в одно, то
т
/=1
четны, то число
Так как числа | Рв. | при / = 1
будучи суммой т
нечетных чисел, четно. Следовательно, п нечетно.
Пара (л; 2) при любом нечетном и г 3 условию
задачи удовлетворяет. Это следует, например, из
возможности равенства т = п — I.
4401. Доказать, что если а, b и с — положитель-
ные числа, меньшие единицы, то
a + b + c + 2abc>ab + bc+ca + 2y[abc.
Решение. Пусть аир — такие числа из ин-
тервала что о = sin2 a, Z> = sin2p. Тогда
Jabc + 7(l-a)(i-^)(l-c) < Jab + 7(1-«)(!-/>) =
= sin a sin р + cos а cos р = cos (а - р) < 1. Следовательно,
1 - Jabc > 7(1-я)(1-6)(1-с),
(1-7gZc)2>(1-o)(1-/?)(1-c),
1 -2-Jabc + abc >i-a-b-c+ab+bc+ca-abc
и a + b + c + 2abc>ab + bc + ca + 2jabc.
4402. Доказать, что бесконечная [возрастающая]*
арифметическая прогрессия, содержащая квадрат
целого числа а и куб целого числа Ь, содержит
шестую степень некоторого целого числа с.
Решение. Ясно, что если имеет место хотя бы
одно из равенств а = 0, b = 0 или а1 = Ь\ то
утверждение задачи верно. Далее будем считать, что
0 < а2 < Ь3. (Если а2 > Ь3, то при достаточно боль-
шом АG N выполняется неравенство а2 < (b + к(а2 —
— Ь3))3; число Ь3 = (Ь+к(а2 -Ь3))3 принадлежит про-
грессии, поскольку (Ь + к(а2 -Ь3))3 =Ь3 +1(а2-Ь3),
где / е N.)
Если b = ап для некоторого п G N, то утверж-
дение задачи справедливо ввиду равенства
(ап2 )6 = а2 + (а2п6 + 1)(аи3 + 1)(/>3 - а2).
Покажем, что общий случай (когда b не делится,
вообще говоря, на а) сводится к рассмотренному.
Будем полагать, что d — наибольший общий дели-
тель чисел а2 и Ь3 — не делится на шестую степень
натурального числа, большего 1. (Если а2 = а2р6,
Ь3 =£3р6, где ах,Ьх и р — натуральные числа, р > 1,
то из справедливости утверждения задачи для про-
грессии а2 +к(Ь3 - а2) следует, очевидно, его спра-
ведливость и для прогрессии а2 + к(Ь3 — а2).)
Ь3 -а2
Числа а и f =------будут при таком предполо-
жу _
жении взаимно простыми. В самом деле, пусть а и
f делятся на некоторое простое число р; так как Ь3 =
= а2 + df, то и b делится на р. Тогда а=ахра,
b = bxp\ где ж?], Ьх, аир- натуральные, причем ах и
Ьх не делятся на р. По крайней мере одно из чисел
— и — на р не делится (поскольку d = НОД^т2, Ь3)),
d d
и потому их разность может быть кратной р только
Ь3	а2
в том случае, если ни —, ни — на р не делятся,
d	d
т.е. 2а = Зр. Но последнее означает, что 2а = Зр =
= бу для некоторого у G N, т.е. d делится на /А
Противоречие.
В силу взаимной простоты чисел а и f, имеем
равенство аи = 1 + fv для некоторых и G N, v G N.
А тогда куб числа ап, где п = Ьи, принадлежит
прогрессии, поскольку (an)3 = b3(au)3 =b3(l + fv)3 =
= b3 +—(3v + 3fv2 + f2v3)(b3-а2).
d
Тем самым общий случай сведен к случаю, когда
b делится на а. Утверждение задачи доказано.
4403. Существует ли бесконечная последователь-
ность положительных чисел хх, х2, ..., удовлетворя-
ющая при всех п > 1 условию х„+2 = ^хп+х - yjx~?
Ответ: не существует.
* В скобках стоит слово, которого нс было при первом предъяв-
лении задачи нашим читателям. — Примеч. ред.
76
Решение. Предположим, что последователь-
ность с указанными свойствами существует. Тогда из
неравенств ^хя+| - ,j~x~ > 0 следует, что хя+| > хп при
всех п 1, т.е. последовательность — возрастающая.
Отсюда ^/хя+| -^х~п >^х7-^хи_] >... > д/х^-yfx[ и
Но неравенство хя+2 > хя+3 противоречит уста-
новленному выше факту возрастания последователь-
ности. Поэтому ответ на вопрос задачи — отрица-
тельный.
4404. Найти все пары натуральных чисел тип,
для которых существуют многочлен Р(х) степени т и
многочлен Q(x) степени п такие, что многочлен P(Q(x))
имеет своими корнями все целые числа от 1 до тп.
Ответ: при т = 1 и любом п,
при п = 1 и любом т,
при п = 2 и любом т.
Решение. Пусть Р(х) и Q(x) — пара много-
членов с указанными свойствами. При т = 1 и п g N
примером такой пары служат многочлены Р(х) = х
и (?(*) = ]7[(*-£), а при meN ии = 1 многочлены
п
P(x) = fl(x-fc) и Q(x) = х. Далее будем полагать,
jt=i
что т > 1, п > 1, а все фигурирующие в рассужде-
ниях числа (в частности коэффициенты и корни
многочленов) — действительные.
Легко показать, что многочлен Р(х) имеет т
корней, а множество чисел 1, 2,..., тп совпадает
с совокупностью корней т уравнений Q(x) = х,.,
где i = 1, ..., т, а хх < х2 < ... < хт — корни много-
члена Р(х).
Пусть Q(x) = о0х" + аххп~' +... + ап. Можно считать,
что aQ > 0 (иначе заменим Q(x) на — Q(x), а Р(х)
на Р(-х)). Согласно теореме Ролля, между любы-
ми двумя соседними корнями каждого из уравне-
ний Q(x) - xt (z = 1, ..., /и) расположен один из
п — 1 корней многочлена Q\x). Так как degQ' = «-l,
то все п — 1 корней простые, a Q(x) имеет п
промежутков монотонности:
(-«>; +00)’
где qx < q2 < ... < qn_x - корни многочлена
В каждом из этих промежутков содержится ров-
но один из корней уравнения 2(х)=х,., /=1, ..., т.
Из того, что Q(x) на промежутке (-оо;^] возрас-
тает, следуют равенства 0(1) = хр Q(2) = х2, ...,
Q(m) = хт. На промежутке [qx; q,\ значения Q(x)
убывают, поэтому Q(m + 1) = хт, Q(m + 2) = хт_х,
..., Q(2m)=xx. А для натуральных х, удовлетворя-
ющих неравенствам 2т +1 < х < тп, выполняются
равенства Q(x) = Q(x — 2т).
Легко видеть, что если число п нечетно, то на
промежутке (-оо; <?„_,] суммы корней уравнений
Q(x) = х,., i = 1, ..., т, совпадают, а промежуток
[<?„_];+°°) нарушает это равенство. Тем самым полу-
чаем противоречие с теоремой Виета, согласно ко-
торой сумма корней уравнения Q(x) = х„ т.е.
-1	ai
уравнения аохп+аххп + ... + ап-х, =0 равна—L и
•	«о
не зависит от z.
Остается рассмотреть случай, когда п четно.
Здесь воспользуемся тем, что, согласно теореме Ви-
ета, при п > 2 не только сумма корней уравнения
Q(x) = х,., но и сумма их попарных произведений
(равная —) не зависит от z. Ввиду тождества
а0	-
п	( п Y	п
-2
/=1	\/=1 J	\<i<J<n
сумма квадратов корней также не зависит от /.
Но, с другой стороны, сумма квадратов корней
уравнения Q(x) — X] больше суммы квадратов кор-
ней уравнения Q(x) = х2. В самом деле, пусть гх <
< г2< ... < гп — корни первого, a s, < s2 < ... < sn —
второго из этих уравнений. Так как — Sj = (—1У
при j= 1, ..., п, то
tri-tf=-’ухо+^>=
7=1	7=1	7=1	>=1
л/2
= X	“ Г2к:-1) “ (S2k ~ S2k-\ )) > 0-
k=\
Это противоречие означает, что при четном п 4
не существует многочленов Р(х) и Q(x) с требуемы-
ми свойствами. И, наконец, для случая, когда п = 2,
т Е N произвольно, укажем тождество
2/и
/>(£?(х))=П(х-*)’где
к=\
Р(х) = 1~[(х + к(2т +1 - к)), Q(x) = х(х - 2т -1).
*=i
Замечания к решениям задач
Задача 4396 во многих письмах решалась при-
мерно одинаково. При нечетном числе открыток
применялось индуктивное рассуждение, а при чет-
ном - отслеживалась «судьба» самой верхней (в
исходном расположении) открытки.
Кружковцы Дагестанского ФМЛ (рук. Ш.Г.Га-
мидов, К.Дж.Ашурбеков, И.М.Челябов) написали, что
задача была бы более интересной, если бы менять
77
местами и переворачивать разрешалось любые две
(не обязательно соседние) открытки. X А.Ю.Эвнин
из Челябинска предложил выяснить, как изменится
ответ, если вынутые две (соседние) открытки раз-
решить вкладывать в любое место стопки.
Задача 4398, несмотря на разнообразие непра-
вильных ответов (в качестве каковых встречались
числа 2, 3, 4, 8, 10 и 20), большинством чита-
телей решена верно. Некоторые заметили, что от-
ветом к аналогичной задаче для п баллонов будет
наибольший простой делитель числа п.
Очевидное обобщение допускает и задача 4399;
справедливость ее утверждения сохраняется при
замене числа 1999 на любое нечетное, большее 1.
Все решения этой задачи, присланные в редакцию,
оказались верными.
А по задаче 4400, напротив, получено наиболь-
шее число ошибочных рассуждений. Одолел же за-
дачу только А.Ю.Эвнин, и решение, публикуемое
нами, подготовлено на основе его письма.
Задача 4401 решалась различными способами
(чаще всего — с использованием неравенства
а + be > 2y]abc ) и, как правило, успешно. Встречались,
правда, ошибки в преобразованиях алгебраических
выражений и та известная ошибка, когда вместо нуж-
ного неравенства доказывается следствие из него.
А.Ю.Эвнин заметил, что условия 0 < a, b > 1,
с < 1 можно заменить на такие: а > 0, 0 < b, с < 1.
Публикуемое нами решение предложил Е. И.Знак
из С.-Петербурга. Он указал также, что если поло-
жить А = {а;Ь;с} и d = min(max(r, 1-f)), то, дей-
г G А
ствуя примерно так, как и в его решении, можно
получить более сильные неравенства:
4d >-Jabc+^(\-a)(i-b)(l-c)
и a+b+c+2abc >\+ab + bc+ca + 2^1 abed.
Решение задачи 4402, которое мы печатаем, —
единственное из присланных в редакцию, оказав-
шееся полным. Его нашел А.Ю.Эвнин. Еще в двух
письмах есть решения для случая, когда а и b —
взаимно простые числа.
Большинство из тех, кто взялся решать задачу
4403, с этим справились, а большинство из справив-
шихся использовали теорему Вейерштрасса о сходи-
мости последовательности. Е.И.Знак установил, что
если строго возрастающая функция tp: R+->R+
удовлетворяет неравенству ср(х) < х при всех доста-
точно больших х, то последовательность {хп}, за-
данная условием хп+2 =<р(хп+1)-(р(хп), не существует.
Правильное решение задачи 4404 имеется в че-
тырех письмах. Их авторы применяли во многом
сходные между собой рассуждения. Мы приводим
решение в том виде, в каком предложил его А.Ю.Эв-
нин. (Надо сказать, что Александр Юрьевич все за-
дачи из второго номера решил блестяще!)
С.И.ЮКАРЕВ (Иваново)
Сводка решений алгебраических
задач по № 2 за 1999 г.
Аксенов А.А. (Мценск) - 4397, 99.
Алипанахов М.А. (Каспийск) — 4396, 97, 99.
Андреева В.А. (Кингисепп) — 4397, 99.
Арутюнян В.Х. (Курганинск) — 4396—99, 4401, 03.
Безденежных Н.П. (Нижний Тагил) — 4397—99,
4401, 03.
Гаевая А.Я. (д. Верхне-Яушево, Башкирия) —
4397, 99.
Дегтянникова И.Н. (с. Четкарино Свердловской
обл.) - 4397.
Засеев И.С. (Владикавказ) — 4399.
ЗнакЕ.И. (С.-Петербург) — 4396—99, 4401, 03, 04.
Каланчина Е.Ф. (с. Аланап Хабаровского края) —
4397-99.
Каплиёв А.В. (Ногинск) — 4396—99.
Кильдяева Л.Г. (п. Чамзинка, Мордовия) — 4397, 99.
Колтуновская Т.Н., Колтуновский О.А. (Южно-
Сахалинск) — 4396—99, 4401, 03, 04.
Куприхина Н.М. (Москва) — 4397, 99, 4403.
Макаров М.Ф. (с. Сп.-Лутовиново Орловской
обл.) - 4396-99.
Михайлова Н.В. (с. Линево Озеро Читинской
обл.) - 4397, 98.
Потлова О.А. (с. Речица Орловской обл.) — 4397, 99.
Саввина О.А., Бороздина Ю.О. (Елец) — 4396, 97,
99, 4401.
Сидоренко Е.Г. (Омск) — 4396—99.
Филыпина И.М. (Подпорожье) — 4396, 97, 99.
Хачатурян А.В. (Москва) — 4396—99, 4401, 03, 04.
Щекотихин А.В. (Орел) - 4396, 97, 99, 4403.
Эвнин А.Ю. (Челябинск) — 4396—99, 4400—04.
Математические кружки:
Дагестанского физ.-мат. лицея (рук. Ш.Г.Гами-
дов, К.Дж.Ашурбеков, И.М.Челябов) — 4396—99,
4403.
Школы № 2 с. Ботлих, Дагестан (рук. У.Д.Тай-
масханов) - 4396-99, 4401, 03.
ФМШ №32 Астрахани (рук. С.С.Тасмуратов)—
4397-99.
78
АКАДЕМИК А. Д. АЛЕКСАНДРОВ
(1912 - 1999)
27 июля прошлого года скончался крупнейший
геометр этого столетия — академик Александр Да-
нилович Александров. Его личность удивительно
многогранна, а сфера интересов чрезвычайно ши-
рока: математик и философ, спортсмен и обще-
ственный деятель, организатор науки и публицист.
В каждой из этих областей он добился выдающихся
результатов.
В 1929 г. Александр Данилович, идя по стопам
отца — учителя физики, — поступил на физический
факультет Ленинградского университета и окончил
его в 1933 г. Здесь он стал учеником и другом заме-
чательного математика и педагога Бориса Никола-
евича Делоне. Благодаря ему Александр Данилович
заинтересовался теорией выпуклых многогранников
и придал ей своими работами 30 — 40-х гг. строй-
ность и завершенность в решении основных про-
блем. Монографию «Выпуклые многогранники»,
вышедшую в 1950 г., Александр Данилович посвя-
тил своему учителю — Борису Николаевичу Делоне.
И в увлечении альпинизмом ученик следовал свое-
му учителю: в 1949 г. А.Д.Александров стал мас-
тером спорта по альпинизму. На Кавказе один из
перевалов назван его именем.
Александр Данилович всегда стремился каждый
вопрос решить в наибольшей общности. Поэтому
естественно, что от изучения выпуклых многогран-
ников он перешел к исследованию общих выпук-
лых тел и их поверхйостей. Докторская диссерта-
ция А.Д.Александрова, которую он защитил в 1937 г.,
посвящена одной из областей теории выпуклых
тел — теории смешанных объемов. В тяжелейшем
военном 1942 г. работы А.Д.Александрова по те-
ории выпуклых поверхностей были удостоены са-
мой высокой государственной научной награды того
времени — Сталинской премии. В 1946 г. его из-
брали членом-корреспондентом АН СССР. В 40-е гг.
он создал и разработал вместе со своими учениками
теорию многообразий ограниченной кривизны, ко-
торая и сейчас остается одной из наиболее развива-
ющихся областей современной геометрии. Матема-
тические интересы Александра Даниловича были
необычайно широки: среди его работ труды по те-
ории меры, по математическим проблемам теории
относительности, несколько циклов исследований
по теории дифференциальных уравнений в частных
производных.
Сын школьных учителей, Александр Данилович
сам был всю свою жизнь Учителем. У него — еще
совсем молодого профессора — уже до войны по-
явились прекрасные ученики, обогатившие геомет-
рию красивыми теоремами. Многие из них погибли
во время войны. Но после войны его легендарный
геометрический семинар на матмехе ЛГУ собрал
новую талантливейшую молодежь. Среди учеников
Александра Даниловича академики А. В.Погорелов
и Ю.Г.Решетняк, десятки профессоров. Сотни гео-
метров у нас в России и во всем мире гордятся сво-
ей принадлежностью к александровской геометри-
ческой школе. Сначала, в 40—50-х гг., это была
ленинградская геометрическая школа, затем она ста-
ла советской школой геометрии «в целом», а сей-
час во всем мире ее зовут русской геометрией. Науч-
ная щедрость руководителя, богатство его идей ста-
ли той почвой, на которой росла эта школа.
В общении с молодежью Александр Данилович был
открыт, дружелюбен, всегда готов к спору и серьезно-
му обсуждению проблем, волнующих молодежь, хотя
зачастую он бывал и задиристым, и ироничным. По-
пулярность «Данилыча» среди студентов и его уче-
ников была необычайной. Многие неосознанно ему
подражали, даже в интонациях, в речи, которая у него
всегда была яркой, волнующей, точной. В студенчес-
ком фольклоре сохранилось немало доброжелатель-
ных историй и песен о «Данилыче». Этот фольк-
лор начал создаваться еще о молодом профессоре и
обогатился затем, когда Александр Данилович в
1952 г. в возрасте 39 лет стал ректором Ленинград-
ского государственного университета.
Трудно себе представить, как ученый, до этого не
занимавший никаких административных постов (он
даже не заведовал кафедрой геометрии), научная
работа которого шла столь интенсивно и плодотвор-
но, решился принять такой огромный груз. Гово-
рят, что его вдохновил пример Н.И.Лобачевского.
И, не снижая научной активности, он уверенно
руководил университетом 12 лет — до 1964 г. Он
говорил: «Университет — это профессора». И, бу-
дучи ректором, прежде всего заботился о научном
творчестве — о семинарах, объединяющих зрелых
ученых и молодежь, о кафедрах. Александр Дани-
лович стремился привлечь к работе в Л ГУ крупней-
ших ученых, поддерживал новые идеи, защищал от
нападок властей научные школы. Уже в 90-е гг. он
был награжден правительственным орденом за зас-
луги в защите генетики.
В 1964 г. А.Д.Александров был избран академи-
ком по Сибирскому отделению АН СССР. Он уехал
в Новосибирск и до 1986 г. работал в Институте
математики СО АН СССР и в Новосибирском уни-
верситете. Именно там с 1979 г. он приступил к
созданию школьного учебника по геометрии. По-
явился авторский коллектив — А.Д.Александров,
А.Л.Вернер, В.И.Рыжик.
79
В начале своей работы над школьными учебни-
ками Александр Данилович написал программную
статью «О геометрии» (Математика в школе, 1980,
№ 3), где сформулировал основные принципы,
которым должны удовлетворять курс геометрии в
средней школе и школьный учебник геометрии.
Основная идея этой статьи: геометрия в своей сущ-
ности есть такое соединение живого воображения и
строгой логики, в котором они взаимно организуют
и направляют друг друга. Поэтому геометрия и дол-
жна быть преподана в соединении наглядности и
логики, как живое пространственное воображение,
пронизанное строгой логикой. А поскольку геомет-
рия возникла из практики и применяется на прак-
тике, то ее преподавание должно идти от практики,
связывать ее с реальными вещами, с другими дис-
циплинами, с искусством, с архитектурой и т.д.
Вся дальнейшая работа над учебниками геомет-
рии авторского коллектива, возглавляемого А.Д.Алек-
сандровым, велась в соответствии с принципами,
сформулированными им в статье «О геометрии».
Сначала появилось несколько изданий учебников
стереометрии для старших классов (начало 80-х гг.),
затем учебник по планиметрии (первое издание —
середина 80-х гг.), учебники для классов с углуб-
ленным изучением математики, для дифференци-
рованного преподавания геометрии. Сейчас среди
различных пособий А.Д.Александрова и его соавто-
ров учитель может выбрать то, которое в наиболь-
шей мере соответствует его педагогическим и мето-
дическим вкусам и установкам.
Работа над школьными учебниками потребовала
решения научных, методических, философских про-
блем. Конечно, прежде всего сами пособия, напи-
санные А.Д.Александровым и его соавторами, дают
варианты решения этих проблем. Но кроме того,
эти проблемы детально были изучены Александром
Даниловичем в его монографии «Основания гео-
метрии» («Наука», 1987), в написанной им вместе
с Н.Ю.Нецветаевым учебнике для вузов «Геомет-
рия» («Наука», 1990), в целой серии статей в жур-
нале «Математика в школе», содержащих анализ
труднейших ключевых понятий - понятий множе-
ства (фигуры), многогранника, вектора.
Предложенное А.Д.Александровым построение
элементарной геометрии сохранило, с одной сторо-
ны, ее евклидовский дух, а с другой - сделало ее
проще, короче, современнее. Будучи великим гео-
метром, Александр Данилович не ограничился в
своей деятельности рамками только геометрии - он
прекрасно понимал всю математику, ее роль в ми-
ровой культуре. Этот широкий взгляд позволил из-
бежать крайностей и преувеличенного внимания к
частностям в написанных им учебниках. И этим он
учил понимать геометрию в целом. Энциклопедист,
в самом широком понимании этого слова, он был
автором важнейших статей о геометрии во многих
энциклопедических словарях, начиная с БСЭ.
В любой своей работе, а в работе над учебниками
для школы — особенно, Александр Данилович был
чрезвычайно добросовестен, требователен к себе.
Такие же требования он предъявлял и к другим,
исправлял их ошибки. Его строгой критики в печа-
ти не избежали ни знаменитый (и любимый им)
ученик А.В.Погорелов, ни соавторы по школьным
учебникам. Истина для него была дороже всего.
В экспериментальной проверке учебников Алек-
сандр Данилович опирался на учителей ленинград-
ских школ. Он много выступал в Ленинграде и перед
учителями, и перед учениками. (Рассказывал не
только о геометрии. Его эрудиция и память были
исключительны: он наизусть читал стихи, цитиро-
вал большие отрывки, начиная от Библии и изрече-
ний Будды.) Как всегда, вокруг него собрался кол-
лектив единомышленников, увлеченных его идея-
ми, понимавших их глубину и новизну, значение
для математического образования в стране. По духу
этот коллектив был похож на его геометрический
семинар в ЛГУ.
Свою увлеченность наукой Александр Данилович
стремился передать молодежи в многочисленных
публикациях в газетах и журналах. Даже заглавия
этих статей говорят о многом: «Вашу руку, колле-
га!», «Пусть будет больше одержимых!», «Дорогу —
увлеченным!», «Поэзия науки», «Ищите истину»,
«Тупость и гений» и многие, многие другие.
А.Д.Александров был депутатом Верховного Сове-
та РСФСР, вице-президентом общества «СССР —
Италия», членом редакций многих журналов, ру-
ководил секцией математики Ученого методичес-
кого совета МО СССР. Он был избран членом не-
скольких иностранных научных обществ. В 1951 г.
Александру Даниловичу присудили Международную
премию им. Н.ИЛобачевского, а в 1992 г. он полу-
чил медаль Л.Эйлера. Среди наград А.Д.Александ-
рова - орден Ленина, четыре ордена Трудового
Красного Знамени, орден Дружбы Народов и орден
Почета, медаль «За оборону Ленинграда».
Александр Данилович никогда не был простым
наблюдателем или только критиком происходяще-
го вокруг него: он всегда активно вмешивался во
взволновавшие его события, искал решение возник-
шей проблемы.
Спасибо Вам, Учитель, за все то, что Вы сделали,
спасибо Вам за уроки жизни.
АЛ.ВЕРНЕР, Л.П.ЕВСТАФЬЕВА,
А.А.ОКУНЕВ, В.И.РЫЖИК
80
УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ И КОРРЕСПОНДЕНТЫ!
Ставим вас в известность, что с января 2000 г.
редакция журнала «Математика в школе» изменила свой адрес.
Ваши письма, обращения и иную корреспонденцию следует направлять
по адресу: 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3.
Телефон - (095) 219-5287
Факс - (095) 219-5289
E-mail: marketing@shkola-press.ru
http://www.shkola-press.ru
Проезд: станция метро "Дмитровская",
далее троллейбусами № 3 или № 29
до остановки "2-ой Гончаровский проезд".
Математика а школе
индексы:.
70557- на гб/ '."’одие
71239 - для организации на полугодие

В СЛЕДУЮЩЕМ НОМЕРЕ
•	Продолжение семинара
«Математика в школ г X ¥1 века»
•	Концепция структуры
и содержания
общего срс днего образования
в двенадцатилетней школе
•	Общие методы
решения уравнений
и неравенств с параметрами