Математика. Справочник школьника - Якушево Г.

Автор: Якушево Г.

Теги: математика математический анализ издательство москва справочник школьника

ISBN: 5—88818—001—7

Год: 1995

Похожие

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень.

Методика преподавания математики в 8-летней школе

25 000 уроков математики

Задача для учителя математики. 7-11 классы

Текст

жиииа
Справочник школьника
Филологическое общество «СЛОВО»
Компания «Ключ-С»
ТКО ACT
Центр гуманитарных наук
при факультете журналистики МГУ
им. М.В.Ломоносова
Москва 1995
ББК 16 2 1
М 33
Научная разработка и составление
Г. Якушевой
Издание подготовлено по заказу
Центра гуманитарных наук при факультете
журналистики МГУ им. М.В. Ломоносова
© Филологическое общество «СЛОВО», 1995
Все права на книгу находятся под охраной
издателей Ни одна часть данного издания,
включая название и художественное оформление,
не может перерабатываться, переиздаваться, ксероко-
пироваться, репродуцироваться или множиться каким-либо
иным способом
мж 1602010000
iV1 И"38 (03)—95
95
ISBN 5—88818—001—7
ISBN 5—88818—002—5 (Математика)
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
3
АБАК — счетная доска. Этим простейшим счет-
ным устройством пользовались в Древней Гре-
ции и Риме. Доска разделялась на полоски,
каждой из которых соответствовал определен-
ный разряд чисел. С помощью камешков или
бобов на этих полосках отмечалось количество
единиц каждого разряда. Обыкновенные счеты
являются не чем иным, как абаком. Школьни-
ки начальных классов при обучении счету ис-
пользуют абак, изготовленный из бумаги.
АБЕЛЬ НИЛЬС ХЕНРИК (1802-1829) - нор-
вежский математик. Его научные труды не по-
лучили признание при жизни ученого. Абель
умер от туберкулеза совсем молодым. Совре-
менные студенты изучают абелевы группы, абе-
левы интегралы и многое другое из его насле-
дия.
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА действительного
числа, иначе модуль числа (см. модуль числа).
АБСЦИССА - первая из координат точки на
координатной плоскости. Абсцисса обознача-
ется буквой х латинского алфавита (см. коорди-
наты ^прямоугольные декартовы).
4
МАТЕМАТИКА
АБУ-Л-ВЕФА (940—998) — арабский матема-
тик и астроном из Хорасана. За 300 лет до ев-
ропейских ученых он словесно выразил алгеб-
раическую зависимость между всеми тригоно-
метрическими функциями. Абу-л-Вефа одним
из первых доказал сферическую теорему сину-
сов, пользовался величиной обратной синусу и
косинусу, написал «Книгу о геометрических
построениях».
АКСИОМА, или постулат — первичное, недо-
казуемое утверждение. Способ построения на-
учной теории, при котором в ее основу кладут-
ся аксиомы, из которых выводятся доказатель-
ства теорем, называется аксиоматическим мето-
дом. Сначала аксиоматический метод приме-
нялся только в геометрии. Всем известны ак-
сиомы Евклида, на которых строится евклидова
геометрия, хотя до него были написаны сочи-
нения, в которых излагались аксиоматические
системы математики. Назывались такие сочи-
нения «Началами». Первые «Начала», о кото-
рых дошли до нас сведения, были написаны
Гиппократом Хиосским. Известны «Начала» и
других авторов. Но именно «Начала» Евклида
обладали той логической строгостью, которая
позволила им быть непревзойденными в тече-
ние двадцати с лишним веков. «Начала» Ев-
клида до нашего времени составляют основу
школьного курса геометрии. Но самой извест-
ной аксиомой Евклида был пятый постулат о
единственности прямой, проходящей через
данную точку параллельно данной прямой. Be-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
5
ликие математики многих поколений пытались
доказать этот постулат на основе остальных ак-
сиом Евклида. И лишь в прошлом веке было
выяснено, что это невозможно. Ведущая роль в
этом принадлежит великому русскому матема-
тику Н.И. Лобачевскому (см. Лобачевский Н.И.).
Сейчас аксиоматическим методом строятся все
математические дисциплины.
АЛГЕБРА - математическая наука, объектом
изучения которой являются алгебраические си-
стемы. В средней школе изучается элементар-
ная алгебра, которая включает в себя вопросы
уравнений и неравенств, простейших функций,
понятие числа и другие вопросы.
Алгебра произошла из арифметики. Люди
замечали, что существуют однотипные задачи,
при решении которых используют общие пра-
вила. Постепенно проходил переход от конк-
ретных вычислений к абстрактным понятиям.
Появилась необходимость обозначать неизвест-
ную величину определенным символом.
Наибольшего расцвета алгебра достигла в
Средние века в странах Востока. Само слово
«алгебра» произошло из арабского слова «аль-
джебр», что означает «восстановление». Осно-
вополагающим сочинением по алгебре был
трактат узбекского математика и астронома
аль-Хорезми, жившего в девятом веке. Омар
Хайям писал: «Алгебра есть научное искусст-
во».
Дальнейшее развитие алгебры происходило в
Европе, а потом и в Америке. Невозможно пе-
6
МАТЕМАТИКА
речислить всех ученых, сделавших важнейшие
открытия в алгебре.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - функция, в
которой над аргументом производится конеч-
ное число алгебраических операций (сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в
степень, извлечение корня). Алгебраическими
функциями являются целые, дробно-рацио-
нальные, иррациональные функции (см. функ-
ция: линейная, дробно-линейная, квадратичная,
иррациональная). Показательная, логарифмиче-
ская, тригонометрические функции не являют-
ся алгебраическими.
АЛГОРИТМ - точное предписание о выпол-
нении в определенном порядке некоторой си-
стемы предписаний (операций), позволяющее
решать совокупность задач определенного клас-
са. Простейшими алгоритмами являются пра-
вила, по которым выполняются арифметиче-
ские действия, извлекается квадратный корень
и т.д. (см. квадратный корень, Евклидов алго-
ритм).
Само слово «алгоритм» произошло от имени
известного арабского, а точнее узбекского ма-
тематика аль-Хорезми. Его труды в Средние ве-
ка были очень популярны в Европе. Перевод-
чик, переводящий его книги с арабского на ла-
тинский язык, слово «аль-Хорезми» перевел
как «ал-Горизми». В результате получилось:
«ал-Горизми говорит». Далее получилось слово
«алгоритми», а потом и слово «алгоритм».
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
7
АПОЛЛОНИЙ из Перги — величайший мате-
матик древности, живший в III—II в. до н.э. Он
написал ряд работ по математике и оптике, по-
давляющее большинство которых до нас не
дошло. Самое известное произведение Аполло-
ния Пергского — это «Конические сечения».
Теория конических сечений Аполлония была
положена в основу «Введения» Ферма и «Гео-
метрии» Декарта. Учение Аполлония о кониче-
ских сечениях легло в основу аналитической и
проективной геометрии (см. конические сечения).
АПОФЕМА правильного многоугольника —
радиус вписанной в него окружности.
Апофема правильной пирамиды — высота
боковой грани.
Апофема правильной усеченной пирами-
ды — высота трапеции, являющейся боковой
гранью этой усеченной правильной пирамиды
(см. пирамида, пирамида усеченная).
АР - единица измерения площади. Площадь
квадрата со стороной 10 м. 1 а = 100 кв. м.
Арами измеряют площади садов и огородов^
поэтому ар по-другому называют соткой.
АРАБСКИЕ ЦИФРЫ — десять математических
знаков: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, позволяющие
записывать любое целое число в десятичной
позитивной системе счисления. Арабские циф-
ры пришли в Европу из Индии через арабов.
8________________________________МАТЕМАТИКА
АРГУМЕНТ функции (независимая перемен-
ная) — произвольный элемент из области опре-
деления. Обозначается обычно буквой х латин-
ского алфавита. Зависимость переменной у от
переменной х называется функцией, если каж-
дому значению х соответствует единственное
значение у. При этом используют запись
У = f(x).
АРИАБХАТА (476—ок. 550) — знаменитый ин-
дийский математик и астроном. Его называют
иногда «Коперником Востока». Ариабхате при-
надлежат многие открытия в математике и аст-
рономии. Он занимался тригонометрией, квад-
ратными уравнениями, ему были известны
формулы для общего члена и суммы арифмети-
ческой прогрессии. Ариабхата предполагал, что
Земля вращается вокруг своей оси и вокруг
Солнца. Первый индийский спутник Земли
был назван его именем.
АРИСТОТЕЛЬ (IV в. до н.э.) — крупнейший
философ древности, уделил большое внимание
понятию математической бесконечности.
Взгляды Аристотеля в отношении математи-
ческой бесконечности не были лишены проти-
воречий.
АРИФМЕТИКА — наука о числах и операциях
над ними. Слово арифметика происходит от
греческого слова «арифмос» — число.
Изучение арифметики начинается со свойств
натуральных чисел и арифметических действий
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
9
над ними. Затем переходят к изучению рацио-
нальных и действительных чисел. Еще совсем
недавно учащиеся первых пяти классов начина-
ли математическое образование с учебника
«Арифметика».
Первый печатный учебник математики со-
здал Л.Ф. Магницкий. «Арифметика» Магниц-
кого была издана в 1703 году и стала первым
доступным пособием по математике. В Европе
первые печатные «Арифметики» появились го-
раздо раньше, например, первая немецкая пе-
чатная арифметика была создана учеником Ре-
гиомонтана Ульрихом Вагнером в 1482 году.
Считается, что арифметика как наука сло-
жилась в Древней Греции. У ее истоков прежде
всего стояли Пифагор и пифагорейцы (см. пи-
фагорейская школа). Составной частью арифме-
тики у пифагорейцев было изучение фигурных
чисел (см. числа фигурные), учение о четных и
нечетных числах, решение уравнений
2 2 2
х + у = z в натуральных числах, составление
арифметических таблиц, учение о пропорциях
и др.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ - такая
последовательность, у которой каждый ее член,
начиная со второго, равен предшествующему
члену, сложенному с одним и тем же числом d,
называемым разностью арифметической про-
грессии. Например: натуральный ряд чисел 1,
2, 3, ... является бесконечной арифметической
прогрессией с разностью d = 1, а последова-
тельности нечетных и четных чисел — примеры
10
МАТЕМАТИКА
бесконечных арифметических прогрессий, у
каждой из которых d = 2. Обозначение: (а„) —
арифметическая прогрессия Из определения
арифметической прогрессии следует следующая
формула связи соседних членов арифмети-
ческой прогрессии: o„+I = ап + d.
Зная первый член и разность арифмети-
ческой прогрессии, можно найти любой ее
член по формуле л-го члена арифметической
прогрессии:
ап
Например: пусть («„) — арифметическая
прогрессия, у которой аг = 2 и d = 5. Найдем
«5илш.
а5 = 2 + 5 • (5 -1) = 22;
а10 = 2 + 5(10-1) = 47.
Сумма первых п членов арифметической
прогрессии можно найти по следующим фор-
мулам:
_Ц+«„)л „ _2ax+d(n-\)
iD —-------- ИЛИ —---------------п.
п 2 2
Например: (ап) — арифметическая прогрес-
сия, у которой а, = 6 и d = 2. Найти сумму
первых семи членов прогрессии.
2-6 + 2.(7-1)
7 2
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ- неотрица-
тельное решение уравнения хп = а, п g N.
Другими словами, арифметическим корнем к-й
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
11
степени из неотрицательного числа а называет-
ся неотрицательное число Ь, к-я степень кото-
рого равна а. к >1 — натуральное число (см.
корень).
АРККОСИНУС числа а — это такое число а из
отрезка [0, л], что его косинус равен а.
у = arccos х — функция, обратная по отноше-
нию к косинусу на промежутке [0, я].
Например:

1. arccos
т.к.
2л
COS — =
3
2*
Г V3
2. arccos-----
2
-
”“б"’
т.к. е [0, л] и
И
5л V3
COS 6 “ 2 "
Рассмотрим функцию
у = arccos х. Областью
определения этой функ-
ции является отрезок
(-1,1), областью значе-
ний — отрезок [0, л].
Функция у = arccos х не
является ни четной, ни
нечетной. Значение
функции равно нулю
при х = 1. Функция
у = arccos х убывает на
12
МАТЕМАТИКА
всей области определения, принимает наи-
большее значение п при х = -1, принимает
наименьшее значение 0 при х = 1.
АРККОТАНГЕНС числа а — такое число а из
интервала (0, л), что его котангенс равен а.
у = arcctg х — функция, обратная по отноше-
нию к котангенсу на промежутке (0, л).
Например:
1. arcctg 73 = т.к. е (0, л) и ctg^ = >/3 .
6 6 6
2. arcctg(-l) = , т.к. е (0, л) и
Зл ,
Рассмотрим функцию у = arcctg х. Областью
определения этой функции является множество
всех действительных чисел, а областью значе-
ний — интервал (0, л). Функция не является ни
четной, ни нечетной. Функция убывает на всей
области определения.
Построим график функции у = arcctg х.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
13
АРКСИНУС числа а ~ такое число а из отрез-
л л
2’2
у = arcsinx — функция, обратная по отноше-
_л
~2’2 '
ка
что его синус равен
нию к синусу на промежутке
Например:
t. . • 1 "
2 6
. .1л л
1. arcsin— = —, т.к. — е
2 6 6
2. arcsin -----
2
2
2
Рассмотрим
. л
sin —
определения —
нии — отрезок
7С
а.
7С 7С
2’2
7С
----6
4
. п 1
и sin— = —
6 2
7С 7С
2’2
и
функцию у = arcsin х. Область
отрезок [-1, 1]. Область значе-
у, у . Функция
является не-
“2
arcsin(-x) =
Значение
нулю
четной, т.е.
- arcsin х.
функции равно
при х = 0. Функция воз-
растает на всей области
определения, принимает
л
значение —
2
принимает
п
значение —
2
наибольшее
при
наименьшее
при X = -1.
14
МАТЕМАТИКА
АРКТАНГЕНС числа а — такое число а из ин-
( ТС 7СЛ
2’2/
у = arctg х — функция, обратная по отношению
__________________ ( тс Tc'j
2’2)
тервала
что его тангенс равен а.
к тангенсу на промежутке
Например:
1. arctg-y= = —, т.к.
. тс 1
,вб = л-
2. arctg(-V3) = -у, т.к.
7С Г 7С 7U ।
6 Gr2’2j И
7С [ П Л ]
"3 42’2)И
. ТС) /т
Рассмотрим функцию y = arctgx. Областью
определения этой функции является множество
всех действительных чисел, областью значе-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
15
ний — интервал
п я А
2’2/
Функция является
нечетной, т.е. arctg(-x) = -arctgx. Значение
функции равно нулю при х = 0. Функция воз-
растает на всей области определения.
АРХИМЕД — выдающийся ученый древности.
Он жил и работал в г. Сиракузы на острове
Сицилия. Его отцом был астроном и математик
Фидия. Для усовершенствования своих знаний
он некоторое время работал в Александрии в
сотрудничестве с другими крупнейшими мате-
матиками. Возвратившись в Сиракузы, Архимед
продолжил усиленные научные занятия. В по-
следний период жизни он участвовал в обороне
родного города от римских завоевателей, руко-
водя постройкой сложных технических соору-
жений и изобретая военные орудия. Во время
Штурма и взятия Сиракуз Архимед был убит, а
его библиотека и инструменты разграблены. До
нашего времени дошли десять крупных и
несколько более мелких сочинений по матема-
тике. Архимед в своем трактате «Исчисление
песчинок» — «Псаммит» разработал систему,
которая позволила выразить сколь угодно
большое число, и показал, что натуральный ряд
чисел был бесконечен. Научное наследие Ар-
химеда огромно, в наше столетие, в 1906 году
было найдено его сочинение «Послание к Эра-
тосфену» о механическом методе решения гео-
метрических задач.
16 МАТЕМАТИКА
АРХИТ ТАРЕНТСКИЙ (430-365 г. до н.э.) -
знаменитый древнегреческий математик, астро-
ном и государственный деятель. Он обладал
большим талантом и трудолюбием. Его труды
оказали влияние на Платона и Евклида. Архит
был неутомим: он доказывал теоремы и строил
деревянного летающего голубя, решал задачу об
удвоении куба и мастерил детскую трещотку.
АСИМПТОТЫ графика функции. Пусть
у = f(x) — функция, график которой имеет
бесконечную ветвь, т.е. ветвь, имеющую точки,
принадлежащие графику функции и находя-
щиеся сколь угодно далеко от начала коорди-
нат.
Асимптотой графика функции у = f(x) на-
зывают прямую, обладающую тем свойством,
что расстояние от точки (х;/(х)) до этой пря-
мой стремится к нулю при движении этой точ-
ки вдоль ветви к бесконечности.
Асимптоты бывают двух видов: вертикаль-
ные и наклонные (в частности, горизонталь-
ные).
Рассмотрим гра-
фики функций, име-
ющие вертикальные
асимптоты:
1. вертикальная
асимптота х = 0;
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
1Z
п е Z.
Рассмотрим графики функций, имеющие
наклонные асимптоты:
Наклонная асимптота
(горизонтальная) у = 0.
Наклонная асимптота
у = 2х.
18
МАТЕМАТИКА
Б
У, 1 ' Г
0 i X
БАЗИСНЫЕ ВЕКТОРЫ
(координатные векторы)
прямоугольной системы
координат i 9j — еди-
ничные, перпендикуляр-
ные векторы.
|г |=|J| = 1
ал-БАТТАНИ (ок. 850—929) — арабский мате-
матик и астроном. Его полное имя Аб-Абдаллах
Мухамед бен Джабар ал-Баттани. Труды ал-
Баттани были переведены на латинский язык и
по достоинству оценены европейскими учены-
ми. В своем астрономическом трактате «Усо-
вершенствование Алмагеста» ал-Баттани ис-
пользует все тригонометрические функции: си-
нус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косе-
канс, а также соотношения между ними, снаб-
женные доказательствами.
БЕЗУ ЭТЬЕН (1730—1783) — французский ма-
тематик, член Парижской Академии наук. В
1779 г. был опубликован в Париже его труд
«Общая теория алгебраических уравнений», в
которой содержится теорема, названная в по-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
19
следующем его именем. В теореме доказывает-
ся, что остаток г(х) от деления многочлена
f (х) = апхп + ап_ххя~х +.. .+ахх + а0 на двучлен
х-аравен f(a). Большой популярностью
пользовались на рубеже XVIII—XIX веков
учебные руководства Безу по элементарной ма-
тематике, опубликованные им в шеститомном
«Курсе математики» (1764—1769) и переведен-
ные на многие европейские языки, в том числе
и на русский.
БЕРНУЛЛИ ИОГАНН (1667-1748)- знаме-
нитый швейцарский математик. Его брат Якоб
также был математиком. С 1690 года они явля-
ются ближайшими сотрудниками Лейбница.
Братья Бернулли вместе с Лейбницем первыми
предприняли попытку систематизировать клас-
сификацию дифференциальных уравнений. Ио-
ганн Бернулли много занимался вопросами
функции, применял символы тригонометриче-
ских функций.
В 1742 году издал первый систематический
курс дифференциального и интегрального ис-
числения. Иоганн Бернулли сначала был про-
фессором математики в Гронингене, а после
смерти брата Якоба возглавил кафедру матема-
тики в Базельском университете. Он имел мно-
гочисленных учеников, в том числе троих сы-
новей и Леонарда Эйлера.
БЕРНУЛЛИ ЯКОБ (1654-1705)- швейцар-
ский математик, один из ярких представителей
20
МАТЕМАТИКА
семьи ученых Бернулли. Сначала Якоб Бернул-
ли занижался изучением теологии, позднее ув-
лекся математикой. Был профессором матема-
тики Базельского университета. Якоб Бернулли
сформулировал и частично решил ряд важных
задач математики и механики. В книге «Ариф-
метические приложения о бесконечных рядах и
их конечных суммах», которая была первым
учебником по теории рядов, он доказал расхо-
димость гармонического ряда. Решил также ряд
задач комбинаторики и теории вероятностей,
оказал большое влияние на приложение теории
вероятностей к практике. Его учениками были
брат Иоганн Бернулли, племянник Николай
Бернулли, отец Л.Эйлера и другие.
БЕРТРАН ЖОЗЕФ (1822-1900)- француз-
ский математик. Им был сформулирован по-
стулат, названный его именем: между числами
пи 2п-2 при п>4 лежит не менее одного
простого числа.
Его однофамилец Луи Бертран (1731—1812)
первым в Европе сформулировал теорему о трех
перпендикулярах.
БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ -
одна из форм записи действительного числа
00,0^2^...^... . Например: 3/7=0,428571... .
Бесконечная десятичная дробь, в которой,
начиная с некоторого разряда, цифры повторя-
ются, называется периодической. Например:
0,333...; 2,6777...; 4,0424242... .
Любую обыкновенную дробь можно запи-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА___________________________21
сать в виде либо конечной десятичной дроби,
либо бесконечной периодической дроби.
Чтобы обратить периодическую дробь в
обыкновенную, надо из числа, стоящего до
второго периода, вычесть число, стоящее до
первого периода, и записать эту разность чис-
лителем, а в знаменателе написать цифру 9
столько раз, сколько цифр в периоде, и после
девяток дописать столько нулей, сколько цифр
между запятой и первым периодом.
Например:
„ /лс\ 45-0 5
0, (45) =---= —;
v ' 99 11
, _ 3173-31 _ 3142 _ 1571
’( } - 990 ” 990 ~ 495 ’
БИЛЛИОН — другое название миллиарда,
французский математик Шюке по созвучию с
миллионом обозначил миллион миллионов
словом «биллион», так как приставка «би» на
латинском языке означает «дважды».
БИНОМ - иначе двучлен. Бином Ньютона.
Под биномом Ньютона понимают формулу,
дающую выражение степени (а + Ь)п двучлен
(а + Ь) с любым натуральным показателем п. В
школьной программе рассматривают частные
случаи:
при п = 1 (а + b)1 = а + b,
при п = 2 (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2,
при п = 3 (а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3.
22
МАТЕМАТИКА
БИССЕКТОР — прибор, делящий плоский
угол пополам.
БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА- отрезок
биссектрисы угла треугольника, соединяющий
вершину треугольника с точкой противополож-
ной стороны. Точка пересечения биссектрис
треугольника является центром вписанной в
него окружности (см. замечательные точки).
Отрезки
АА{, ВВХ и
CCi — бис-
сектрисы
ДЛЛС; О —
центр впи-
санной ок-
ружности.
Биссектриса AD треугольника АВС д<ьлит
сторону ВС на отрезки BD и DC, пропорцио-
нальные сторонам АВ и АС.
Биссектриса AD треугольника АВС делит его
на два треугольника ABD и ACD, площади ко-
торых пропорциональны длинам сторон АВ и
АС.
BD АВ.
CD~ АС’
1$&Л£Р _ АВ
S&ADC АС
Отрезок
AD — бис-
сектриса
ДАВС;
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
23
БИССЕКТРИСА УГЛА — луч, исходящий из
вершины угла и делящий его на два равных
угла. Биссектриса утла есть геометрическое
место точек, равноудаленных от сторон угла.
Биссектрисы вертикальных углов составляют
продолжение одна другой. Биссектрисы смеж-
ных углов образуют прямой угол.
А ЕВ
Луч BD — биссектри-
са ZABC
Лучи ОМ и ОЕ —
биссектрисы верти-
кальных углов А О В и
COD
Лучи ОЕ и ОМ —
биссектрисы смеж-
ных углов А ОВ и
ВОС, ZEOM = 90°.
А
МАТЕМАТИКА
24
БЛИЗНЕЦЫ - пара простых чисел, разность
которых равна двум.
Например: 3и5;5и7;11и13;17и19и
т.д.
БОКОВАЯ ГРАНЬ ПРИЗМЫ- параллело-
грамм. Объединение боковых граней называет-
ся боковой поверхностью призмы. Площадь
боковой поверхности призмы вычисляется по
формуле:
4, = Л|44|,
где Рп — периметр перпендикулярного сече-
ния призмы. (ДД) — длина бокового ребра.
Боковыми ребрами называются ребра, не при-
надлежащие основанию призмы.
БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА- фи-
гура, полученная от вращения гипотенузы, если
рассматривать прямой круговой конус как фи-
гуру, полученную при вращении прямоугольно-
го треугольника вокруг оси, содержащей его
катет.
Площадь боковой поверхности конуса вы-
числяется по формуле:
»Уб = itRL,
где R — радиус основания конуса, L — об-
разующая конуса.
БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПРЯМОГО
КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА- фигура, полу-
ченная в результате вращения стороны прямо-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
25
угольника, противоположной стороне, принад-
лежащей оси вращения, если рассматривать
прямой круговой цилиндр как фигуру, полу-
ченную при вращении прямоугольника вокруг
оси, проходящей через одну из его сторон.
Площадь боковой поверхности цилиндра
вычисляется по формуле:
S6 = 2nRH,
где R — радиус основания цилиндра, Н —
высота цилиндра.
БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ПИРАМИДЫ-
сумма площадей треугольников боковых гра-
ней. Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды вычисляется по формуле:
3 = ±П,
где Р — периметр основания пирамиды, Л —
апофема.
БОКОВОЕ РЕБРО ПИРАМИДЫ. Стороны
граней пирамиды называют ребрами пирамиды.
Ребра, принадлежащие основанию пирамиды,
называют ребрами основания, а остальные реб-
ра называют боковыми.
БОКОВЫЕ СТОРОНЫ ТРАПЕЦИИ - непа-
раллельные стороны трапеции. Трапеция назы-
вается равнобедренной, если ее боковые сторо-
ны равны.
26 МАТЕМАТИКА
БОМБЕЛИ (ок. 1530—1572) — итальянский
математик и инженер. В своем сочинении по
алгебре он ввел формальные операции над
мнимыми и комплексными числами. Введение,
хотя и на частных примерах, общих операций с
комплексными числами выдвигает алгебру
Бомбели в ряд основополагающих сочинений в
истории математики мнимых и комплексных
объектов.
БРАГЕ ТИХО (1546—1601) — датский ученый,
занимался математикой и астрономией. В своей
тригонометрической рукописи дал очень удоб-
ные и целесообразные правила для решения
плоских и сферических треугольников по трем
данным элементам. Результаты наблюдений
Тихо Браге дали возможность Кеплеру вывести
знаменитые законы движения планет. Он сумел
первым из европейских ученых улучшить астро-
номические таблицы, созданные в Самарканд-
ской обсерватории. Эти таблицы свыше 200 лет
оставались непревзойденными.
аль-БИРУНИ АБУ РЕЙХАН МУХАММЕД
ИБН АХМЕД (970—ок. 1050) — среднеазиат-
ский ученый. Он занимался математикой, аст-
рономией, физикой, философией, историей,
географией, ботаникой и другими науками. Ро-
дился Бируни в Хорезме, жил и работал в Ин-
дии и Газне. В Газну он был увезен насильно,
попав в плен. Бируни сумел обобщить результа-
ты, которых достигли его предшественники в
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
27
тригонометрии, многие его сочинения посвя-
щены основным понятиям арифметики, геомет-
рии, алгебры.
БХАСКАРА (1114—1185) — знаменитый индий-
ский математик. Занимался вопросами алгебры,
тригонометрии, геометрии и комбинаторики. В
его трудах можно найти одно из старейших на-
глядных доказательств теоремы Пифагора, три-
гонометрические вычисления высокой степени,
число л, практические приемы вычисления
площадей, вычисления некоторых видов соче-
таний и перестановок, непрерывные дроби и
многое другое.
БЮРГИ (1552—1632) — швейцарский часов-
щик и мастер астрономических приборов, лю-
битель математики. И. Бюрги составил первые
таблицы логарифмов. Долгое время он не ре-
шался публиковать таблицы, медлительность
Бюрги стоила ему приоритета. В 1614 году в
Англии Джон Непер, знатный шотландский
земледелец, опубликовал книгу «Описание уди-
вительных таблиц логарифмов». А Бюрги толь-
ко в 1620 году издал свою книгу «Таблицы
арифметической и геометрической прогрессии
с обстоятельным наставлением, как пользовать-
ся ими при всякого рода вычислениях».
28
МАТЕМАТИКА
В
ВАЛЕРИО ЛУКА (1552-1618) - итальянский
ученый, один из первых и талантливейших по-
следователей Архимеда в новое время. В 1604
году он опубликовал свою работу «О центре
тяжести тел», в которой определил центры тя-
жести сегментов и слоев коноидов и сферо-
идов, вычислил объем шара и установил, что к
круглому телу можно приблизиться с помощью
вписанных и описанных ступенчатых тел с лю-
бой степенью точности.
ВАЛЛИС ДЖОН (1616—1703) — английский
математик. В 1656 году опубликовал книгу
«Арифметика бесконечных», в которой первым
изложил предельный переход в арифметической
форме. В 1665 году он пишет о целе-
сообразности введения нулевого, отрицатель-
ных и дробных показателей степеней и совре-
менных символов.
ВЕЙЕРШТРАСС КАРЛ (1815-1897)- вы-
дающийся немецкий математик. Сделал откры-
тия во многих разделах математики. Он первым
сформулировал современное определение пре-
дела, доказал, что совокупность всех комплекс-
ных чисел не может быть расширена за счет
присоединения новых чисел, так, чтобы в рас-
ширенном множестве сохранились все законы
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
29
действий над комплексными числами, им по-
строена теория вещественных чисел и т.д.
Карл Вейерштрасс был профессором Бер-
линского университета. Именно к нему в уче-
ники стремились попасть Софья Васильевна
Ковалевская. После четырех лет занятий с Вей-
ерштрассом и большой настойчивой работы
С.Ковалевская смогла представить три научных
труда Геттингенскому университету, который
присудил ей степень доктора.
ВЕКТОР. Отрезок, для которого указано, какой
из его концов считается началом, а какой —
концом, называется направленным отрезком,
или вектором. Обозначается АВ (а). Длина это-
го отрезка называется длиной вектора. Обозна-
чается |Л5| (|Й|). Вектор, длина которого равна
нулю, называется нулевым. Начало нулевого
вектора совпадает с его концом. Любую точку
плоскости можно считать нулевым вектором.
Противоположными векторами называются
векторы, которые имеют равные длины и про-
тивоположные направления.
Ненулевые векторы называются коллинеар-
ными, если они лежат на одной прямой, либо
на параллельных прямых; нулевой вектор счи-
тается коллинеарным любому вектору.
Коллинеарные векторы, если они одинаково
направлены, называются сонаправленными,
если противоположно направлены, называются
противоположно направленными. Обозначают-
ся а ТТ b; а ТФ b.
30
МАТЕМАТИКА
Векторы называются равными, если они со-
направлены и имеют равные длины, а = b, ес-
ли а ТГ b и |а| = л|.
Три ненулевых вектора называются компла-
нарными, если лучи, задающие их направление,
принадлежат прямым, параллельным некоторой
плоскости.
Над векторами можно проводить следующие
операции: сложение векторов, вычитание век-
торов, умножение вектора на число, скалярное
произведение векторов.
Суммой векторов и b{b{;b2} назы-
вается вектор с = {flj + Z>p я2 + b2}.
Законы сложения векторов:
1. а + b = Ь + а (переместительный закон);
2. (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сочетательный за-
кон).
Если необходимо построить вектор, равный
сумме двух векторов, то пользуются правилом
треугольника или параллелограмма (см. сложе-
ние векторов).
Разностью векторов Ща^а^ и b{b^b2} назы-
вается такой вектор с{с{;с2}, который в сумме с
вектором b дает вектор а, причем координаты
вектора с равны разности соответствующих
координат векторов а и ь , т.е. q = ai - bY;
с2 = а2 - Ь2 (см. координаты вектора).
Произведением вектора а{а1;а2} на число к,
называется вектор Ь{ка1,ка2}.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
31
(распределительные
т.е.
Свойства умножения вектора на число:
1. (kl)a = к(1а) (сочетательный закон);
2. (к + Г)а = ка + 1а ~
3. k(a + b) = ka+kb
законы)
Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению моду-
лей этих векторов на косинус угла между ними,
cos а, где а — угол между
векторами а и b.
Свойства скалярного произведения векторов:
2. а • b = b • а (переместительный закон);
3. (а + Ь) • с - а • с + b • с (распределительный
закон);
4. (ka)b =k(a b) (сочетательный закон).
Зная координаты векторов, скалярное про-
изведение векторов и косинус угла между век-
торами можно найти по формулам:
если 5{Xi;yx} и Л{х2;у2}, тогда
ab = xtx2 + yty2; cos(a; b) =
зд+у2
7X12 + ^12 -л1Х1+У2
ВЕРНАЯ ЦИФРА- понятие теории прибли-
женных вычислений, связанное с десятичной
записью приближенного значения числа. Циф-
ра называется верной, если модуль погреш-
ности не превосходит единицы того разряда, в
котором записана эта цифра.
32
МАТЕМАТИКА
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ. Два угла называют-
ся вертикальными, если стороны одного угла
являются продолжением сторон другого угла.
Вертикальные углы равны.
Z1 и Z3, Z2 и Z4 —
вертикальные углы
Zl = Z3, Z2 = Z4
ВЕРШИНА УГЛА — общее начало лучей, яв-
ляющихся сторонами угла.
ВЕРШИНЫ МНОГОУГОЛЬНИКА- КОНЦЫ
отрезков, являющихся сторонами данного мно-
гоугольника.
В четырехугольнике две вершины, не яв-
ляющиеся соседними, называются противопо-
ложными.
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ЧИСЛА — такие чис-
ла, произведение которых равно единице.
U 1.35
Например: - и 2; - и - .
л* J
ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА- натураль-
ные числа, у которых наибольший общий дели-
тель равен единице.
Например: 8 и 13; 22 и 105.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА___________________33
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И
ОКРУЖНОСТИ.
а) Если расстояние от центра окружности до
прямой меньше радиуса окружности, то прямая
и окружность имеют две общие точки.
б) Если расстояние от центра окружности до
прямой равно радиусу окружности, то прямая и
окружность имеют только одну общую точку,
говорят прямая касается окружности.
в) Если расстояние от центра окружности до
прямой больше радиуса окружности, то прямая
и окружность не имеют общих точек.
Пусть d — расстояние от центра окружности
до прямой a, R— радиус окружности. Изобра-
зим 3 варианта взаимного расположения пря-
мой и окружности:
d> R
ВИЕТ ФРАНСУА (1540-1603) - выдающийся
французский математик. Его называют «отцом
алгебры». Каждому школьнику известно это
имя по знаменитой теореме Виета. В сочинени-
ях Виета подводится своеобразный итог мате-
матики эпохи Возрождения. Главным трудом
его жизни было сочинение по новой алгебре
«Введение в искусство анализа». Виет был пер-
вым европейским математиком, который решал
числовые уравнения приближенным путем. Его
2 Математика
34
МАТЕМАТИКА
научные открытия легли в основу развития но-
вой науки — аналитической геометрии. Виету
принадлежат разложения тригонометрических
функций кратных дуг посредством последова-
тельного применения формул для синуса и ко-
синуса сумм двух углов. Труды Виета привели к
тому, что алгебра сформировалась как наука о
решении уравнений.
ВИЕТА ТЕОРЕМА. Сумма корней приведенно-
го квадратного уравнения равна второму коэф-
фициенту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному чле-
ну. Иначе говоря, если и х2 корни уравне-
ния х2 + рх + q = 0, то х, + х2 = -р и хгх2 = q.
Из теоремы Виета следует, что если и
х2 — корни квадратного уравнения
2 , Л Ь С
ах + Ьх + с = 0, то хг + х2 = —, х,х2 = —.
а а
Ддя нахождения корней квадратного урав-
нения пользуются теоремой, обратной теореме
Виета: если числа тип таковы, что их сумма
равна —р, а произведение равно q, то эти числа
являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0.
Теорема, выражающая связь между коэффи-
циентами квадратного уравнения и его корня-
ми, была сформулирована Виетом в 1591 году.
Она звучала следующим образом: «Если B+D,
умноженное на А минус А2, равно BD, то А
равно В и равно D». Виет гласной буквой А
обозначает неизвестное, а буквами В и D — ко-
эффициенты при неизвестном.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА________________________35
да ВИНЧИ (1452—1519). Гениальный худож-
ник Леонардо да Винчи увлекался математикой
и многими другими науками. В своем трактате
о живописи он сделал систематическое изложе-
ние законов перспективы. Леонардо да Винчи
ввел термин «золотое сечение» (см. золотое се-
чение). Его друг Лука Пачоли написал знамени-
тую книгу «Божественная пропорция», посвя-
щенная золотому сечению, а рисунки в этой
книге сделал Леонардо да Винчи. Одна из гео-
метрических задач названа его именем: «Если
два равных круга пересекаются друг с другом,
то прямая, проходящая через точки их пересе-
чения, будет в любой части своей длины нахо-
дится на одинаковых расстояниях от того и
другого центра. Доказать!»
ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ НАКРЕСТ
ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ. Две прямые а и b пересе-
кает третья прямая с, которая называется секу-
щей, при этом образуются пары углов: 1 и 7, 2
и 8 — внешние накрест лежащие, 3 и 5, 4 и
6 — внутренние накрест лежащие.
36
МАТЕМАТИКА
Если при пересечении двух прямых третьей
прямой внутренние или внешние накрест ле-
жащие углы равны, то эти две прямые парал-
лельны.
ВНЕШНИЙ УГОЛ треугольника — угол,
смежный с каким-нибудь внутренним углом
треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов треугольника, не смеж-
ных с ним.
Аналогично определяется внешний угол вы-
пуклого многоугольника. Сумма внешних углов
выпуклого многоугольника всегда равна 2л, ес-
ли брать по одному углу при каждой вершине.
Z.DAB — внеш-
ний угол &АВС
при вершине А.
ADAB = АВ + АС
ВОЗРАСТАНИЕ ФУНКЦИИ — одна из харак-
теристик функции (см. монотонная ' функция,
функция возрастающая).
ВОЗРАСТАЮЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ — такая прогрессия, у которой
разность больше нуля.
Например: (а„) — арифметическая прогрес-
сия; ап = п + 4 — формула л-го члена.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА___________________3Z
«1 = 5;л2=6;о3=7и т.д.; d = 1.
Такая арифметическая прогрессия является
возрастающей.
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ — такая прогрессия, у которой
знаменатель больше единицы и первый член
положителен. Например: (Ьп) — геометрическая
прогрессия; = 6; q = 2', bn = 6• 2"-1 — форму-
ла n-го члена.
Такая геометрическая прогрессия является
возрастающей.
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-
НОСТЬ - последовательность (хл), у которой
каждый ее член, начиная со второго, больше
предыдущего, т.е. для любого натурального п
выполняется неравенство хл+1 > хл.
Например: последовательность (хл) задана
формулой и-го члена хл = п2 (п — натуральное
число). Xj = 1, х2 = 4, х3 = 9 и т.д.
Последовательность (хл) является возраста-
ющей.
ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ в многоуголь-
ник, если все стороны многоугольника касают-
ся этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окруж-
ность, и притом только одну. Центр вписанной
в треугольник окружности является точкой пе-
ресечения биссектрис внутренних углов тре-
38
МАТЕМАТИКА
угольника. Радиус вписанной в треугольник
окружности вычисляется по формуле: г = —-,
Р
где — площадь треугольника, р — полупе-
риметр.
В любой правильный многоугольник можно
вписать окружность, и притом только одну.
Окружность, вписанная в правильный много-
угольник, касается сторон многоугольника в их
серединах. Центр окружности, вписанной в
правильный многоугольник, совпадает с цен-
тром окружности, описанной около этого мно-
гоугольника. Причем радиусы этих окружно-
стей связаны следующей формулой:
п 180°
г = R cos---, где п — количество сторон мно-
п
гоугольника.
В выпуклый четырехугольник можно впи-
сать окружность тогда и только тогда, когда
суммы противоположных сторон этого четырех-
угольника равны. Поэтому из всех параллелог-
раммов только в ромб можно вписать окруж-
ность.
А2 Аз
Окружность вписана в
шестиугольник
Окружность вписана в
ромб АВ CD.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
39
ВПИСАННЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК- мно-
гоугольник, все вершины которого принадле-
жат окружности, а сама окружность называется
описанной около этого многоугольника.
Около всякого треугольника можно описать
окружность, и только одну. Центр описанной
окружности около треугольника — точка пере-
сечения серединных перпендикуляров к сторо-
нам треугольника. Радиус описанной около
произвольного треугольника окружности вы-
числяется по следующим формулам:
1 а _ 1 Ь \ с .
2 sina 2 sin0 2 siny’
_ abc & _ _________obc___________
45д ’ 4 у/p(p - a)(p - b)(p - с) ’
где a, b, с — стороны треугольника, p — по-
лупериметр, — площадь треугольника, a, 0,
у — углы треугольника, лежащие соответствен-
но против сторон а, Ь, с.
Около любого правильного многоугольника
можно описать окружность, и только одну.
Сторону правильного вписанного многоуголь-
ника можно вычислить по следующим форму-
_ . 180°
лам: a =22? sin----, где п— количество сто-
п
рон правильного многоугольника. В частности:
а3 = 7?а/3; й4 = Ry/2; а6 = R.
У любого четырехугольника, вписанного в
окружность, суммы пар противоположных уг-
40
МАТЕМАТИКА
лов равны 180°. Поэтому из всех параллелог-
раммов только прямоугольники обладают тем
свойством, что вокруг них можно описать ок-
ружность, а из всех трапеций вписанной в ок-
ружность может быть только равнобедренная
трапеция.
Шестиугольник А^А^А^ и прямоуголь-
ник ABCD — многоугольники, вписанные в ок-
ружности.
ВПИСАННЫЙ УГОЛ. Угол, вершина которого
лежит на окружности, а стороны пересекают
окружность, называется вписанным углом.
Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается. Если вписанный угол
опирается на диаметр, он является прямым.
А
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
41
ВРАЩЕНИЕ вокруг оси I на угол ф — отобра-
жение пространства на себя, при котором:
1. точки оси / остаются неподвижны;
2. точка А, не принадлежащая оси I, перехо-
дит в точку Д такую, что А и А1 лежат в плос-
кости а, перпендикулярной оси I, a ZAOAj = ф.
/ — ось вращения, ф — угол вращения.
Точка А при вра-
щении вокруг оси / на
угол ф переходит в
точку А', причем А и
А1 принадлежат плос-
кости а, перпендику-
лярной оси I.
Если угол вращения равен 180 градусам, то
вращение является осевой симметрией относи-
’ тельно оси I.
А_______I ____Ai
^^80°
Точки А и В при
вращении вокруг оси /
на угол 180° переходят
в точки А1 и В19 сим-
метричные точкам А и
В относительно I.
Вращение вокруг оси I на угол ф является
движением, так как сохраняет расстояние меж-
ду точками.
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА -
тождественное преобразование трехчлена, при
42________________________________МАТЕМАТИКА
котором данный трехчлен представляют в виде
суммы квадрата двучлена и некоторого число-
вого или буквенного выражения.
Например: а2 ± lab + b2 = (а + Ь)2; х2 - 8х +
+18 = х2 - 2 • 4х +16 -16 +18 = (х - 4)2 + 2.
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ за
скобки — тождественное преобразование мно-
гочлена, при котором многочлен раскладывает-
ся на множители с помощью распределительно-
го закона умножения относительно сложения и
вычитания.
Например: 19х2 - 5ху = х(19х - 5у);
28л5/>6 - a3b2 +ab = ab(28a4b5 - a2b +1).
ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК. Много-
угольник называется выпуклым, если он лежит
по одну сторону от каждой прямой, проходя-
щей через две соседние вершины.
Сумма углов выпуклого «-угольника равна
(п - 2) • 180°.
ВЫПУКЛЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК - част-
ный случай выпуклого многоугольника. Каждая
диагональ выпуклого четырехугольника разде-
ляет его на два треугольника. Сумма углов вы-
пуклого многоугольника равна 360 градусам.
В школе изучают только выпуклые четы-
рехугольники. Частными случаями выпуклых
четырехугольников являются параллелограмм,
прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция (см.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
43
DDOdB
(см. четырехугольник, параллелограмм, прямо-
угольник, ромб, квадрат, трапеция).
ВЫСОТА КОНУСА -
перпендикуляр, опущен-
ный из вершины конуса
на плоскость основания
(см. конус).
Если конус прямой
круговой, то высотой это-
го конуса является отре-
зок, соединяющий вер-
шину конуса и центр основания. Высотой усе-
ченного конуса является отрезок, соединяющий
центры оснований.
ООХ — высота усечен-
ного конуса.
SO — высота прямого
кругового конуса.
44
МАТЕМАТИКА
ВЫСОТА ПИРАМИДЫ — перпендикуляр,
опущенный из вершины пирамиды на плос-
кость основания (см. пирамида).
Высотой правильной пирамиды является от-
резок, соединяющий вершину пирамиды и
центр многоугольника, являющегося основани-
ем пирамиды.
SO ± а; SO — высота
наклонной пирами-
ды; а — плоскость
основания.
SABCD — правиль-
ная четырехугольная
пирамида SO — вы-
сота пирамиды.
ВЫСОТА ПРИЗМЫ — отрезок перпендику-
лярной прямой между основаниями призмы
(см. призма).
Высотой правильной призмы является отре-
зок, соединяющий центры многоугольников,
являющиеся основаниями призмы.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
45
ОО^^АВСУ,
OO^A&CJ-
ОО{ — высота приз-
мы ABCDA^B^C^D^.
ОО1 — высота правиль-
ной пятиугольной приз-
мы.
ВЫСОТА ТРАПЕЦИИ — перпендикуляр, про-
веденный из любой, точки одного из оснований
к прямой, содержащей другое основание (см.
трапеция).
Высота прямоугольной трапеции равна бо-
ковой стороне, перпендикулярной основаниям.
BE — высота трапеции
ABCD.
СЕ — высота прямо-
угольной трапеции
ABCD.
46
МАТЕМАТИКА
ВЫСОТА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА — перпенди-
куляр, проведенный из любой точки противо-
положной стороны к прямой, содержащей
основание (см. параллелограмм).
— высота па-
раллелограмма
ABCD, опущенная на
сторону AD (основа-
ние).
^2 — высота па-
раллелограмма
ABCD, опущенная на сторону CD (основание).
ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА — перпендикуляр,
проведенный из вершины треугольника к пря-
мой, содержащей противоположную сторону
треугольника. Высоты треугольника или их
продолжения пересекаются в одной точке. Вы-
сота равнобедренного треугольника, проведен-
ная к основанию, является медианой и биссек-
трисой. А высоты равностороннего треугольни-
ка являются медианами и биссектрисами (см.
треугольник, замечательные точки).
У прямоугольного треугольника две высоты
совпадают с его катетами, а третья высота, опу-
щенная из вершины прямого угла на гипотену-
зу, лежит внутри треугольника. Эта высота де-
лит прямоугольный треугольник на два подо-
бных треугольника, каждый из которых подо-
бен данному треугольнику.
В остроугольном треугольнике высоты рас-
полагаются внутри его, а у тупоугольного треу-
гольника высоты, проведенные из вершин ост-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
47
рых углов, лежат вне его (см. треугольник, пря-
моугольный треугольник, равнобедренный треу-
гольник, равносторонний треугольник, замеча-
тельные точки).
К
h2
, hz, A3 — высоты треугольника.
ВЫСОТА УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ - от-
резок перпендикулярной прямой, с концами на
плоскостях основания усеченной пирамиды (см.
усеченная пирамида).
Высотой правильной усеченной пирамиды
является отрезок, соединяющий центры пра-
вильных многоугольников, являющихся осно-
ваниями пирамиды.
ООХ — высота пра-
вильной четырех-
угольной усеченной
пирамиды
ABCDAiBlClDl.
АЕЦА^)
АЕ — высота усечен-
ной пирамиды
ABCDA&CJ^.
48
МАТЕМАТИКА
ВЫСОТА ЦИЛИНДРА — отрезок перпендику-
лярной прямой, с концами на плоскостях осно-
вания цилиндра (см. цилиндр).
Высотой прямого кругового цилиндра явля-
ется отрезок, соединяющий центры окружно-
стей, являющихся основаниями этого цилинд-
клонного цилиндра;
а — плоскость осно-
вания.
О И Ох — центры
оснований прямого кру-
гового цилиндра ;
ООХ — высота.
ВЫСОТА ШАРОВОГО СЕГМЕНТА, полу-
ченного при вращении кругового сегмента
вокруг радиуса, перпендикулярного его
хорде, — отрезок радиуса, принадлежащий
одновременно оси вращения и круговому
сегменту (см. шаровой сегмент).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
49
В
а — плоскость ос-
нования шарового
сегмента; АВ ± а, А —
центр основания;
АВ — высота шарово-
го сегмента
ВЫСОТА ШАРОВОГО СЛОЯ — расстояние
между основаниями шарового слоя (см. шаровой
слой).
А и В — центры
оснований шарового
слоя. АВ — высота
шарового слоя.
ВЫЧИТАНИЕ. Вычесть из числа а число b —
значит найти такое число х, которое в сумме с
числом b дает а, т.е. х + b = а. Число х назы-
вается разностью чисел а и b и обозначается
а - b; число а называется уменьшаемым, число
b — вычитаемым.
ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ.
При вычитании дробей с одинаковыми знаме-
нателями из числителя первой дроби вычитают
числитель второй дроби и оставляют тот же
знаменатель.
50
МАТЕМАТИКА
„ 7 5 2 1
Например:
При вычитании дробей с разными знамена-
телями нужно предварительно привести их к
наименьшему общему знаменателю, затем вы-
честь полученные дроби, используя правило
вычитания дробей с одинаковыми знаменате-
лями.
„ 7 17 2 5
Например: —= — - — = —.
12 6 12 12 12
При вычитании чисел, состоящих из целой
и дробной части (смешанных), из целой части
уменьшаемого вычитают целую часть вычитае-
мого, а из дробной части уменьшаемого вычи-
тают дробную часть вычитаемого.
Например:
Если дробная часть вычитаемого больше
дробной части уменьшаемого, то необходимо
занять единицу из целой части уменьшаемого и
дробную часть уменьшаемого представить в ви-
де неправильной дроби.
„ <1 4 .6 4 .2
Например: 5—- — = 4—- — = 4—.
«Л «Л
При вычитании десятичных дробей необхо-
димо записать числа так, чтобы соответствую-
щие разряды были записаны друг под другом,
запятая под запятой.
_34,5б0
Например: 0,225
34,335
При вычитании рациональных чисел необ-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА________________________51
ходимо учесть следующее: чтобы вычесть из
числа а число Ь, достаточно к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитае-
мому.
Например:
а - b = а + (-Ь);
1,8 - 5 = 1,8 + (-5) = -3,2;
9 - (-15) = 9 +15 = 24;
-13 - 7 = -13 + (-7) = -20.
52
МАТЕМАТИКА
Г
ГАЛУА ЭВАРИСТ (1811-1832) - талантливый
французский математик. Эварист Галуа прожил
короткую, но яркую жизнь, он умер в двадца-
тилетием возрасте. Его теория дала новый ска-
чок в развитии алгебры, в частности аб-
страктной алгебры. Галуа ввел алгебраические
понятия «группа», «подгруппа», «поле», «нор-
мальный делитель». Эварист сделал бы еще
много открытий, если бы его жизнь не оборва-
лась на дуэли.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. Движение
точки, описываемое уравнением у = b sin(at + а),
а> 0, 0 < а < 2л, носит название гармониче-
ского колебания. Величина, совершающая гар-
монические колебания, периодически откло-
няется в обе стороны от нуля на величину|Z>|,
которая называется амплитудой колебания.
2тс
Наименьший период равен, очевидно, —. Об-
а
а
ратная величина — называется частотой коле-
2л
бания. Это число показывает, сколько полных
периодов колебаний происходит в единицу
времени.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД - числовой ряд
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 53
ill 1
1 + — + - +-+ •••, члены которого являются
2 3 п
числами, обратными числам натурального ряда.
ГАУСС КАРЛ ФРИДРИХ (1777-1855) - вы-
дающийся немецкий математик. Его труды глу-
боко повлияли на развитие математической
мысли, которая была неизменной многие сто-
летия. Гаусс занимался основной теоремой ал-
гебры о количестве корней алгебраического
уравнения. Первое доказательство основной
теоремы алгебры было дано Д’Аламбером в
1746 г. Гаусс изложил четыре различных дока-
зательства, первое из которых было приведено
в 1799 году в его докторской диссертации. Хотя
необходимо отметить, что все доказательства не
чисто алгебраические и не вполне строгие. Га-
усс много занимался комплексными числами, в
своей работе «Теория биквадратных вычетов»
он дал геометрическое истолкование комплекс-
ных чисел и действий над ними. Гаусс полнос-
тью разделял взгляды Лобачевского и Бояй на
геометрию, и уже после его смерти выяснилось,
что он пришел к этим выводам до них. Но лю-
бимой задачей Гаусса была задача о построении
правильных многоугольников. Он придавал ей
настолько большое значение, что завещал вы-
гравировать правильный семнадцатиугольник
на своем надгробии, хотя другие его открытия
имеют для науки гораздо большее значение.
ГЕКСАЭДР - шестигранник. Примерами гек-
саэдра являются пятиугольная пирамида, па-
раллелепипед, усеченная четырехугольная пи-
54
МАТЕМАТИКА
рамида, любая четырехугольная призма, пра-
вильным гексаэдром можно считать куб (см.
куб).
В некоторых учебных пособиях гексаэдр на-
зывают эксаэдром (см. параллелепипед, куб).
Примеры гексаэдров:
пятиугольная
пирамида
четырехуголь-
ная призма
куб — пра-
вильный гек-
саэдр
ГЕКТАР - единица измерения площади, при-
меняемая в сельском хозяйстве. Один гектар —
это площадь квадрата со стороной 100 м.
1 га = 10 000 кв.м, 1 га = 100 а.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Число-
вая последовательность, первый член которой
отличен от нуля, а каждый член, начиная со
второго, равен предшествующему члену, умно-
женному на одно и то же не равное нулю чис-
ло, называется геометрической прогрессией.
Это число, на которое умножается каждый по-
следующий член, называется знаменателем
геометрической прогрессии. Обозначения:
(Z>n) — геометрическая прогрессия,* Ьх — пер-
вый член, q — знаменатель геометрической
прогрессии.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_______________________55
Геометрическая прогрессия задается первым
членом Ьх и знаменателем геометрической про-
грессии q или формулой н-го члена bn = bvqn X.
Если q>Q (q 1), то прогрессия является
монотонной последовательностью.
Например: b^=-l, q = 3, то —2, —6, —
18,... — монотонно убывающая последователь-
ность.
Если q = 1, то все члены прогрессии равны
между собой. В этом случае прогрессия являет-
ся постоянной последовательностью.
Формула суммы п первых членов геометри-
ческой прогрессии, если q ф 1:
Если q = 1, то все члены геометрической
прогрессии равны первому члену и Sn = nbv.
Если число членов прогрессии, конечно, то
она называется конечной геометрической про-
грессией; в противном случае она называется
бесконечной геометрической прогрессией.
Общий член бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии стремится к нулю:
lim«„ = 0 при |?| <1.
Л-»оо
Каждый член знакоположительной геомет-
рической прогрессии представляет собой сред-
нее геометрическое его соседних членов. Ис-
ключение представляет первый член, а у ко-
нечной прогрессии и последний член, так как
они имеют только по одному соседнему члену.
У конечной геометрической прогрессии
произведения членов, равноотстоящих от ее
56
МАТЕМАТИКА
концов, равны между собой и равны произве-
дению крайних членов.
Пусть (Ьп) — геометрическая прогрессия со
знаменателем q, где |<у| < 1 и Ь^О. Сумма бес-
конечной геометрической прогрессии, знамена-
тель которой удовлетворяет условию |#| < 1, на-
зывается предел суммы п первых ее членов при
п -» о». Формула суммы данной прогрессии:
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА. В старых
учебниках употребляется термин «геометричес-
кое тело». Под геометрической фигурой пони-
мают всякое множество, конечное или беско-
нечное. Планиметрия изучает геометрические
фигуры на плоскости, а стереометрия — в про-
странстве.
Геометрические фигуры бывают самых раз-
нообразных форм. Часть любой геометрической
фигуры является геометрической фигурой. Объ-
единение нескольких геометрических фигур
есть также геометрическая фигура.
Например, на рисунке показаны фигуры:
треугольник, квадрат, шар, фигура, состоящая
из объединения треугольника и трех четырех-
угольников.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
57
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ- раз-
дел геометрии, изучающий вопросы построения
геометрических фигур. Классическими инстру-
ментами при построении являются циркуль и
линейка. Задачи на построения опираются на
аксиомы конструктивной геометрии, которыми
являются простейшие задачи на построения.
Другими словами, с помощью элементарных
задач решаются более сложные.
Рассмотрим несколько задач на построение.
Задача 1. Разделить отрезок АВ пополам.
Построение: радиу-
сом, большим полови-
ны отрезка АВ, прове-
дем из точек А и В как
из центров пересе-
кающиеся дуги. Через
точки пересечения этих
дуг проведем прямую
КМ. Прямая и отрезок
пересекаются в точке Н,
которая и является се-
рединой отрезка АВ.
Задача 2. Провести
перпендикуляр к дан-
ной прямой АВ через
точку О, находящуюся
на этой прямой.
Построение: отложим
от точки О с помощью
циркуля два равных отрезка ОМ и ОН. Из то-
чек М и Н опишем две пересекающиеся дуги.
Точка К— точка пересечения дуг. Соединим
точки О и К. ОК является искомым перпенди-
куляром.
58
МАТЕМАТИКА
Задача 3. Провести перпендикуляр к данной
прямой АВ через точку С, не принадлежащую
этой прямой.
Построение: из
точки С опишем дугу,
пересекающую пря-
мую АВ. Точки М и
Н — точки пересече-
ния дуги и прямой.
Затем из точек М и Н
провести дуги радиуса
СМ. Соединить точки
пересечения С и Е.
СЕ — искомый пер-
пендикуляр.
Задача 4. Постро-
ить биссектрису угла.
Построение: из
вершины угла про-
вести дугу произволь-
ного радиуса, пересе-
кающую стороны
угла. Из точек пересе-
чения дуги со сторонами угла провести дуги
того же радиуса и соединить полученную точку
пересечения дуг с вершиной угла. Полученный
луч будет искомой биссектрисой.
Задача 5. Построить угол, равный данному
углу А.
Построение: проведем произвольный луч
ОН. Из вершины данного угла проведем дугу
произвольного радиуса, пересекающую стороны
угла в точках В и С. Из точки О проведем дугу
того же радиуса, пересекающую луч в точке Р.
Из точки Р проведем окружность радиуса ВС,
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
59
которая пересечет уже построенную дугу в двух
точках К и Е. Соединим точки К и Е с точкой
О. Получили угол КОН и угол ЕОН, каждый из
которых равен углу ВАС.
Приведем примеры трех классических задач
на построение, над решением которых бились
математики многих поколений, пока не было
доказано, что эти задачи не могут быть решены
с помощью линейки и циркуля.
1. Удвоение куба. Если данный куб имеет
ребро, равное единице длины, то его объем бу-
дет равен кубической единице. Построить ре-
бро куба, объем которого вдвое больше.
2. Трисекция угла. Разделить произвольный
угол на три равных угла.
3. Квадратура круга. Построить квадрат (сто-
рону квадрата), площадь которого равна пло-
щади круга, радиус которого принимается за
единицу длины.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
При решении геометрических задач использу-
ются геометрические преобразования: парал-
лельный перенос, симметрия, подобие. Каждое
отношение эквивалентности понимается в гео-
метрии как существование соответствующего
преобразования, устанавливающего соответ-
ствие между эквивалентными фигурами. По-
SO
МАТЕМАТИКА
этому преобразования составляют основу каж-
дой геометрической теории. Понятие преобра-
зования стоит в одном ряду с понятием функ-
ции, поэтому имеет общематематический ха-
рактер.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОД-
НОЙ состоит в том,
что значение произ-
водной функции
у = fix) в точке
х = а равно угловому
коэффициенту каса-
тельной к графику
функции у = /(х) в
точке х = а (см.
производная).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕ-
ЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Если функция
у = fix) непрерывна на отрезке [a; Z>] и внутри
этого отрезка всюду неотрицательна, то опреде-
ленный
ь
J fix) dx
а
интеграл
представля-
ет собой в декартовой
системе координат
площадь криволи-
нейной трапеции
аАВЬ, ограниченной
графиком подынте-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
61
гральной функции у = fix), осью Ох и двумя
ь
прямыми х = а и х = b: = jf(x)dx (см.
а
интеграл).
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК. Под
этим термином понимается всякое множество
или совокупность точек, обладающих каким-то
общим для них свойством, но неприсущим
остальным точкам, не принадлежащих данному
множеству или совокупности. В последнее вре-
мя этот термин стал реже употребляться.
Примеры.
Геометрическим местом точек, равноудален-
ных от двух данных точек А и В, является пря-
мая, перпендикулярная отрезку АВ и проходя-
А В щая через его середину. Даны точки А и В, прямая / перпендику- лярна отрезку АВ, при- чем АО = ОВ. Прямая 1 — геометрическое место точек, равноуда- ленных от точек. Л и В на плоскости. Если рассматривать
о 1
точки А и В в про-
странстве, то геометрическим местом точек,
равноудаленных от точек А и В, будет плос-
кость, проходящая через середину отрезка АВ и
перпендикулярно прямой АВ.
Геометрическим местом точек, равноудален-
ных от сторон угла, является биссектриса этого
угла.
62
МАТЕМАТИКА
Дан угол АВС,
BD — биссектриса
ЛАСВ. Луч BD — гео-
метрическое место то-
чек, равноудаленных от
лучей ВА и ВС, т.е.
ЕМ1.ВА-, ENA.BC и
ЕМ = EN.
Геометрическое
место точек, удаленных
от данной прямой на расстояние d, представля-
ет собой пару прямых, параллельных данной и
отстоящих от нее на расстояние d.
Дана прямая а, прямые и Z2 параллельны
/ X (1
0 а

3 12
прямой а и находятся
на расстоянии d от
прямой а, т.е. ZJI^h
ОА ± ; О В ± Z2 и
О А = OB = d. Прямые
Zj и 12 являются гео-
метрическим местом
точек, равноудаленных от прямой а на плос-
кости.
Если рассматривать прямую а в про-
странстве, то геометрическим местом точек,
равноудаленных от прямой а, являются две
плоскости, параллельные прямой а и находя-
щиеся от нее на одном и том же расстоянии.
Эти плоскости являются параллельными плос-
костями.
Геометрическим местом точек, удаленных от
данной точки О на расстояние R, является
окружность с центром в точке О и радиусом R.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
63
Окружность яв-
ляется геометриче-
ским местом точек,
равноудаленных от
точки на данное рас-
стояние, на плос-
кости.
Если рассматри-
вать точку О в про-
странстве, то геомет-
рическим местом то-
чек, равноудаленных
от точки О на рас-
стояние R, является
сфера с центром в
точке О и радиусом R:
OA = OB = R.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
СРЕДНЕЕ п положи-
тельных чисел
есть ариф-
метический корень п степени из произведения
этих чисел:
-... ап
ГЕОМЕТРИЯ - одна из древнейших частей
математики, изучающая пространственные от-
ношения и формы тел. Из геометрии зароди-
лась математика как наука. В школьном курсе
изучается планиметрия и стереометрия. В пла-
ниметрии рассматриваются свойства фигур на
плоскости, а в стереометрии изучаются
64
МАТЕМАТИКА
свойства фигур в пространстве. Широко из-
вестны термины начертательная геометрия,
аналитическая геометрия, геометрия Лоба-
чевского и другие. Два тысячелетия изучалась и
не вызывала сомнений классическая евклидова
геометрия. Наш русский ученый Лобачевский
совершил революцию в математике, хотя и
умер он непризнанным и почти забытым. Но
именно с его научных открытий начинается эра
неевклидовой геометрии.
Но вернемся к истокам геометрии. Люди с
незапамятных времен использовали геометри-
ческие знания в быту. Отличными геометрами
были древние египтяне и древние вавилоняне.
Геометрической формы были не только быто-
вые предметы, но и культовые. Египетские пи-
рамиды много веков поражают человеческое,
воображение. Но как наука геометрия сложи-
лась в Древней Греции. Античная традиция
единодушно называет Фалеса отцом геометрии.
Он много путешествовал, был в Египте, Лидии
и, возможно, Вавилоне. В своих трудах исполь-
зовал все те знания, которые получил во время
путешествий. Его дело продолжил Пифагор,
который считал Фалеса своим духовным на-
ставником в науке. Пифагор и его ученики сис-
тематизировали геометрические знания в теоре-
тическое учение о свойствах абстрактных гео-
метрических фигур (см. Фалес, Пифагор, Пифа-
горейская школа).
ГЕРОИ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ- греческий
математик, годы его жизни неизвестны. По
предположениям историков он жил в III или I
веке н.э. Он достиг высот не только в матема-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
65
тике, но и в механике. В своем наиболее важ-
ном труде «Метрика» Герои вывел формулу
площади треугольника, которой уже два тыся-
челетия пользуются школьники. Она носит имя
создателя. Наибольший вклад Герои Алексан-
дрийский внес в развитие геометрии, ее прак-
тическое применение. Практические правила
Герона для вычисления площадей применялись
греческими, римскими и средневековыми зем-
лемерами и техниками. Треугольники с цело-
численными сторонами и площадью стали на-
зывать героновыми.
ГЕРОНА ФОРМУЛА.
S = 4р(Р - а)(р - Ь)(Р - с) ,
где а, Ь, с — стороны треугольника, р — по-
лупериметр, 5 — площадь треугольника.
ГИЛЬБЕРТ ДАВИД (1862-1943) - немецкий
математик. Гильберт пересмотрел аксиоматику
Евклида, которая много веков критиковалась,
но не имела альтернативы. В 1899 году
Д. Гильберт издал свой классический труд
«Основания геометрии», в котором он скон-
струировал аксиоматику геометрии так, что ло-
гическая структура геометрии стала совершенно
прозрачной. На основе аксиом Гильберта было
осуществлено дедуктивное построение геомет-
рии. Аксиоматический метод повлиял и на дру-
гие разделы математики: теорию множеств, ал-
гебру, топологию, теорию вероятностей и дру-
гие.
ГИПАТИЯ (370—415) — первая известная в
3 Математика
66
МАТЕМАТИКА
истории женщина-математик. Руководитель
группы александрийских ученых, она была рас-
терзана по наущению христианских священни-
ков. Ее годы жизни совпали с упадком значе-
ния Александрии как главного научного центра
того времени. Библиотека, в которой ученые
работали, была уничтожена. Они пытались вос-
становить работу своей группы в Афинах, но
это привело к тому, что через 100 лет их объ-
единение было запрещено.
ГИПЕРБОЛА — график обратной пропорцио-
к m
нальности у = —. Такое определение рассмат-
х
ривается в школьной программе. А вообще, ги-
перболой называется геометрическое место то-
чек, разность расстояний которых до двух за-
данных точек Fi и F2 есть величина постоян-
ная. Иначе, гипербола — кривая, являющаяся
пересечением кругового конуса плоскостью,
параллельной двум образующим конуса. Если
за оси координат на плоскости взять асимптоты
гиперболы, то уравнение гиперболы примет
к гг
вид: у = —. Тот случаи, который изучается в
х
школе (см. обратная пропорциональность).
Эта гипербола является графиком обратной
пропорциональности (см. обратная пропорцио-
нальность).
Рассмотрим общий случай. Если за ось Ох
принять прямую FiF2, а за ось Оу принять пря-
мую, ей перпендикулярную и проходящую че-
рез середину отрезка FXF2, получим канониче-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
67
ское, или простейшее, уравнение гиперболы:
2 2
х у _ 1
Fx и F2 — фокусы гиперболы
а и b — полуоси гиперболы
\MFX -MF2\ = 2а
Охи Оу — оси симметрии гиперболы
ГИПОТЕНУЗА. Гипотенузой называется сто-
рона прямоугольного треугольника, противо-
лежащая прямому углу, а две другие называют-
ся катетами. Любой из катетов меньше гипоте-
нузы. Длину гипотенузы можно найти по тео-
реме Пифагора, зная длины катетов. В прямо-
угольном треугольнике с углом в 30° катет,
противолежащий этому углу, равен половине
гипотенузы. На середине гипотенузы прямо-
угольного треугольника лежит центр описанной
около этого треугольника окружности (см. пря-
моугольный треугольник).
68
МАТЕМАТИКА
&АВС — прямоугольный
треугольник
Z.C — прямой, ZA = 30°
АВ — гипотенуза
АВ=1СВ
АО=ОВ, О — центр описан-
ной окружности
ГИППАРХ (ок. 189—125 г. до н.э.) — греческий
астроном, который составил таблицу числовых
значений хорд в зависимости от величин стяги-
ваемых ими дуг. Один из первых ученых, кото-
рый занимался вопросами тригонометрии.
ГИППОКРАТ ХИОССКИЙ (V в. до н.э.) -
древнегреческий ученый. Не надо путать его с
греческим врачом Гиппократом. Гиппократом
Хиосским совместно с другими учеными было
создано учение о подобии фигур на основе тео-
рии отношений и пропорции. Его именем на-
званы «гиппократовы луночки» — плоские фи-
гуры, ограниченные дугами двух окружностей,
для которых можно циркулем и линейкой вы-
полнить построение равновеликого прямо-
угольника. В его трудах впервые появляется
доказательство того, что вписанный угол изме-
ряется половиной дуги, на которую он опирает-
ся. Он был одним из самых выдающихся гео-
метров древнего мира. Его теоретические вы-
кладки и доказательства обобщает в своих
«Началах» Евклид.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 69
ГОМОТЕТИЯ - один из видов преобразова-
ния плоскости и пространства. Пусть О неко-
торая точка пространства и к * 0 — действи-
тельное число. Гомотетией с центром О и ко-
эффициентом к называется отображение, пере-
водящее каждую точку М в такую точку М',
что ОМ' = кОМ.
Гомотетия обладает следующими свойства-
ми:
1. При гомотетии с центром О и коэффици-
ентом к все расстояния умножаются на к\, т.е.
если А, В — произвольные точки, А', В' — их
образы, то |Л'2?'| = |Л| • |AS|.
2. Если g — гомотетия с центром О и коэф-
фициентом к, то для любого вектора а справед-
ливо равенство g(a) = ка.
3. При гомотетии любая прямая переходит в
параллельную ей прямую.
4. При гомотетии любая плоскость перехо-
дит в параллельную ей плоскость.
5. При гомотетии сохраняются углы между
векторами, углы между прямыми, угол между
прямой и плоскостью, двугранные углы.
6. Гомотетия с центром О и коэффициентом
А; является подобием с коэффициентом |&|.
7. Всякое подобие h можно представить в
виде композиции гомотетии g и движения f т.е.
h = f °g.
Треугольник АВС гомотетичен треугольнику
ДДС1 относительно О с коэффициентом гомо-
тетии кх > 0.
Треугольник АВС гомотетичен треугольнику
70
МАТЕМАТИКА
А2В2С2 относительно О с коэффициентом го-
мотетии к2 < 0.
Если имеем гомотетию с центром О и ко-
эффициентом к = -1, то такая гомотетия яв-
ляется центральной симметрией с центром О.
Всякая гомотетия является подобием, но не
всякое подобие является гомотетией (см. подо-
бие).
ГРАДУС. Градусом называют такую единицу
измерения плоских углов, которая равна X)
величины прямого угла или Xso величины раз-
вернутого угла. Обозначается 1°.
ГРАДУСНАЯ МЕРА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ -
градусная мера соответствующего центрального
угла. Градусная мера дуги АВ обозначается
и АВ.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
zi
ГРАДУСНАЯ МЕРА УГЛА. Углы измеряются с
помощью транспортира. В соответствии с гра-
дусной мерой угла существует классификация
углов:
от 0° до 90° — острые углы,
90° — прямой угол,
От 90° до 180° — тупые углы,
180° — развернутый угол,
360° — полный угол.
ГРАНИЦА КРУГА — окружность с тем же цен-
тром и радиусом, что и у круга.
ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА данной фигуры — точка
пространства, если любой шар с центром в
этой точке содержит как точки, принадлежащие
фигуре, так и точки, не принадлежащие ей.
Граничные точки области образуют границу
области. Область вместе с ее границей назы-
вается телом. Граница тела называется поверх-
ностью тела.
Например, сфера состоит из граничных то-
чек соответствующего шара, следовательно,
сферу можно определить как границу шара.
Если мы рассмотрим интервал (2, 5), то его
граничными точками являются точки, соответ-
ствующие числам 2 и 5.
Граничные точки множества могут как при-
надлежать множеству, так и не принадлежать.
ГРАНЬ.
Грань двугранного угла. Пара полуплос-
костей с общей границей образуют двугранный
72
МАТЕМАТИКА
угол, сами полуплоскости
называются гранями дву-
гранного угла (см. дву-
гранный угол). На рисунке
плоскости аир— грани
двугранного угла.
Грань трехгранного
угла. Трехгранным углом
(abc) называется фигура,
составленная из трех пло-
ских углов («/>), (be) и
(ас). Эти углы называют-
ся гранями трехгранного
угла. Аналогично опреде-
ляется понятие граней
многогранного угла. На
рисунке плоские углы
ASB, BSC и AS С — грани
трехгранного угла.
Грань многогранника.
Многоугольники, ограни-
чивающие многогранник,
называются гранями мно-
гогранника (см. много-
гранник). На рисунке треу-
гольники SAB; SBC, SCD;
SDA; EAB; ЕВС; ECD;
EDA — грани октаэдра.
Грани пирамиды. Боко-
вые грани — треугольни-
ки, основание — произ-
вольный многоугольник
(см. пирамида). На рисун-
ке треугольники SAB;
SBC; SCD и SDA - боко-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
73
вые грани пирамиды
SABCD, четырехугольник
ABCD — грань, являюща-
яся основанием.
Грани призмы. Боко-
вые грани — параллело-
граммы, основания —
равные многоугольники
(см. двугранный угол, трехгранный угол, много-
гранник, пирамида, призма).
ГРАФИК ФУНКЦИИ. Линия, определяемая
уравнением вида у = /(х), называется графи-
ком функции /(х). Другими словами, графи-
ком функции относительно данной системы
координат называется множество точек плос-
кости, абсциссами которых являются значения
аргумента х, а ординатами — соответствующие
им значения функции у = /(х). График функ-
ции дает наглядное представление о свойствах
функции. График также является одним из
способов задания функции.
График квадратичной функции — парабола
(см. квадратичная функция).
Графиком линейной функции у = ах + b яв-
ляется прямая линия, пересекающая ось Оу в
точке с ординатой b и наклоненная к оси Ох
под углом, тангенс которого равен а (см. линей-
ная функция).
График обратной пропорциональной зави-
симости называется гиперболой. Иногда его
называют равнобочной гиперболой (см. обрат-
ная пропорциональность).
График функции у = sinx называется сину-
74
МАТЕМАТИКА
соидой. Графиком функции y = cosx тоже
служит синусоида, но сдвинутая по оси Ох вле-
во на (см. синус).
График функции у = tgx и функции у = ctgx
называется тангенсоидой (см. тангенс).
С помощью некоторых преобразований
функции можно построить графики более
сложных функций. Для этого используется па-
раллельный перенос, осевая симметрия, цент-
ральная симметрия и т.п.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ.
Чтобы решить графически неравенство вида
f (х) > 0, необходимо построить график функ-
ции у = /(х) и по графику определить те зна-
чения х, для которых неравенство удовлетворя-
ется. Например:
/(х) > 0 при
х е (-оо; я)11
U (6; + <*>)
/(х) > 0 при
X е (-со; а) и
U («; + °°)
/(х) > 0 при
х е + со)
Если неравенство задано в виде f (х) > g(x),
то можно построить графики двух функций
у = /(х) и у = g(x) и по чертежу определить,
для каких значений х первый график распола-
гается выше второго. Множество значений та-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
75
ких х является множеством решений нера-
венства.
Например:
Решить графиче-
ски неравенство
. 2
log, х > —.
X
Ответ: (2; + <»).
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДВУХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
Для этого необходимо в одной системе коорди-
нат построить графики уравнений и найти ко-
ординаты точек пересечения этих графиков.
fax + b,y + c, =0
Например, + + = „.
В первом случае решением системы уравне-
ний будет пара чисел (е; d), во втором случае —
решений нет.
76
МАТЕМАТИКА
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ.
Графическое решение уравнений с одной
переменной вида f(x) = 0. Необходимо по-
строить график функции
у = f(x), абсциссы то-
чек пересечения графика
функции с осью Ох бу-
дут являться корнями
данного уравнения. На-
пример: f(x) =0 —
уравнение, х.,х2 — кор-
ни уравнения
Иногда удобнее раз-
бить функцию на две функции, графики кото-
рых проще графика функции у = fix). Други-
ми словами, представить уравнение вида
/(х) = 0 в виде /(х,) = f(xf). Построить гра-
фики функций у = /(хД
и у = /(х2), найти точ-
ки пересечения графи-
ков. Абсциссы точек
пересечения и будут яв-
ляться корнями данного
уравнения. Например:
72-х = х. х = а — ко-
рень уравнения.
Если графики функций будут касаться, то
уравнение имеет один корень, равный абсциссе
точки касания. Если графики функций не пе-
ресекаются, то уравнение не имеет корней. На-
пример: /(х) = 0 равносильно /(Xj) = /(х2).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
7Z
ГРЕГОРИ ДЖЕЙМС (1638-1675) - выдаю-
щийся английский математик и физик, сопер-
ничал с И. Ньютоном в создании телескопа-ре-
флектора. В его сочинении «Истинная квадра-
тура круга и гиперболы», напечатанном в 1667
году, содержится разложение в ряд функций
tgx и ctgx. Одновременно здесь показывается,
в чем разница между сходящимися и расходя-
щимися рядами, что до него было не вполне
ясно. В 1671 году он дал разложение в ряд фун-
кции arctg х. Это было очень важным достиже-
нием для того времени, когда разрабатывались
основы теории рядов. В вопросе квадратуры
круга Грегори применил метод, созданный им
исходя из метода Архимеда, но при этом он вы-
числяет не длины дуг и площади вписанных в
круг и описанных около него правильных мно-
гоугольников, а площади секторов круга.
ГУНТЕР ЭДМОНД (1581-1626) - англий-
ский ученый, прославился как изобретатель
счетной логарифмической линейки. Линейка
Гунтера не имела движка и состояла из одной
шкалы. Основная профессия ученого была аст-
роном, но его имя тесно связано и с историей
78
МАТЕМАТИКА
математики. Э.Гунтер первым ввел термины
«котангенс», «косеканс».
ГЮЙГЕНС ХРИСТИАН (1629-1695)- гол-
ландский ученый. Развил основные понятия и
общие принципы теории вероятностей. Его
книга «О расчетах в азартной игре», вышедшая
в свет в 1657 году, была первой книгой в мире
по теории вероятностей. Гюйгенс первым из-
ложил теорию цепных дробей. Он доказал, что
числители и знаменатели подходящих дробей —
числа взаимно простые и что подходящие дро-
би являются наилучшим приближением соот-
ветствующего числа. В книге «Маятниковые
часы» Гюйгенс развил теорию эволют и эво-
льент, выразил радиус кривизны в геометри-
ческой форме. В геометрии Гюйгенсу принад-
лежит открытие истинной формы кривой, опи-
сание плоской кривой трактрисы. Христиан
Гюйгенс оказал большое влияние на математи-
ческие воззрения Лейбница.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
79
д
ДАЗЕ ЗАХАРИЙ (1824—1861) — немецкий ма-
тематик-вычислитель, вошел в историю мате-
матики благодаря своим феноменальным спо-
собностям. Он еще в детстве проявил талант к
вычислению в уме; с 1839 года стал публично
выступать как феноменальный счетчик. Заха-
рию Дазе удавалось за шесть минут вычислить
в уме произведение двух двадцатизначных чи-
сел. В 1850 году он опубликовал самую полную
и обширную таблицу натуральных логарифмов.
По предложению К. Гаусса вычислил наимень-
шие делители чисел 7-го, 8-го и частично 9-го
миллионов. Ему удалось вычислить 200 точных
десятичных знаков числа %.
Д’АЛАМБЕР ЖАН (1717-1783)- француз-
ский ученый и просветитель. Он первым дал
определение предела, попытался положить в
основу дифференциального и интегрального
исчисления учение о пределах. Д’Аламбер за-
нимался разработкой теории обыкновенных и
дифференциальных уравнений и систем урав-
нений. В 1746 году Д’Аламбером впервые было
опубликовано доказательство основной теоре-
мы алгебры о корнях уравнения. В работе
«Рассуждения об общей причине ветров», вы-
шедшей в 1749 году, Д’Аламбер вводит понятие
«модуль» и «аргумент» комплексного числа.
Также он занимался геометрическим представ-
80
МАТЕМАТИКА
лением комплексного числа, хотя окончатель-
ное геометрическое истолкование комплексных
чисел было дано позже Гауссбм.
Д’Аламбера можно считать корифеем мате-
матического анализа.
Но прежде чем стать всемирно известным
ученым, членом Парижской, Петербургской,
Берлинской и других академий наук, ему при-
шлось познать все тяготы жизни. Д’Аламбер ро-
дился в Париже, его мать подкинула мальчика на
ступени церкви святого Жана ле Рон, откуда он
получил свое имя. Воспитывался в семье бедно-
го стекольщика, и только позднее его стал мате-
риально поддерживать его отец, офицер де Туш.
ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПРО-
СТРАНСТВА. Определение движения одинако-
во в плоскости и в пространстве. Движением
(перемещением) пространства называется отоб-
ражение пространства на себя, сохраняющее
расстояние между точками. Иначе говоря, если
движение f переводит точки А, В в точки Ах, Д
(это записывается так: А —f-—> Аг,
В —f-—> Д), то АВ = А1В1.
Примеры движений пространства.
1. Тождественное преобразование про-
странства.
2. Центральная симметрия относительно
точки О является движением.
3. Параллельный перенос является движени-
ем.
4. Осевая симметрия является движением.
5. Симметрия относительно плоскости также
относится к числу движений.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 81
6. Поворот пространства вокруг оси / яв-
ляется также движением.
Свойства движения пространства включают
в себя свойства движения плоскости.
Движение переводит отрезок в равный ему
отрезок, угол — в равный ему угол. При дви-
жении точки, лежащие на прямой, переходят в
точки, лежащие на прямой, и сохраняется по-
рядок их взаимного расположения. Движение
пространства переводит плоскость в плоскость,
параллельные плоскости в параллельные плос-
кости, прямую переводит в прямую, параллель-
ные прямые переходят в параллельные прямые,
полуплоскость — в полуплоскость, двугранный
угол — в двугранный угол, ему равный. При
движении взаимно-перпендикулярные прямые
переходят во взаимно-перпендикулярные пря-
мые. Любое движение сохраняет векторные
операции.
Движения разбивают на два рода. Движение
первого рода — такие движения, которые не
меняют ориентацию пространства. Движения,
изменяющие ориентацию на противоположную,
называются движениями второго рода.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. Две различные полуп-
лоскости, имеющие общую прямую, называют-
ся двугранным углом. Общая прямая называет-
ся ребром двугранного угла, а сами полуплос-
кости — его гранями. Если полуплоскости обо-
значены аир, прямая, являющаяся ребром, а,
то двугранный угол обозначается Zaa0. Иногда
обозначают Za, ЛАВ, бывают и другие обозна-
чения.
82
МАТЕМАТИКА
CD1AB
СЕ А. АВ
Z.DCE — линейный
угол двугранного
угла Zouzp.
При пересечении двугранного угла плос-
костью, перпендикулярной его ребру, получает-
ся угол, который называется линейным углом
двугранного угла. За меру двугранного угла
принимают меру соответствующего ему линей-
ного угла. Иногда линейный угол называют
плоским. Градусная мера двугранного угла из-
меняется от 0°до 180°, в отличие от угла между
плоскостями, градусная мера которого изме-
няется от 0° до 90°.
Двугранные углы равны, если их линейные
углы равны.
ДВУЧЛЕН - многочлен, состоящий из двух
членов. Членом многочлена является одночлен.
Например: а + b; х2 + у2.
ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ. Двучленным
уравнением называется уравнение вида
ахп + b = 0. В области действительных чисел
при четных п уравнение уп -1 = 0 имеет два
действительных корня, а уравнение уп + 1 = 0
ни одного. При нечетных п уравнения
у"-1 = 0 и у"+1 = 0 имеют по одному дей-
ствительному корню.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
83
ДЕДЕКИНД РИХАРД (1831-1916)- немец-
кий математик. Основным его сочинением бы-
ла книга, вышедшая в 1872 году, «Непрерыв-
ность и иррациональные числа». Многое сделал
Р. Дедекинд в направлении аксиоматического
построения алгебры. После построения Деде-
киндом вещественных чисел как сечений, про-
изведенных на множестве рациональных чисел,
было констатировано сходство теории Дедекин-
да с общей теорией отношений Евдокса. Одна
из аксиом в аксиоматике Гильберта носит на-
звание «аксиома Дедекинда». Важных результа-
тов добился Р. Дедекинд в области теории
множеств.
ДЕЗАРГ Ж. (1593—1661) — французский мате-
матик, инженер, архитектор. Он впервые разра-
ботал основы математической теории перспек-
тивы. Научные труды Дезарга легли в основу
проективной геометрии. Одна из первых теорем
проективной геометрии была открыта Дезаргом
и носит его имя.
Ж. Дезарг опередил своими трудами время,
долгое время они были в тени, и только в XIX
веке его теория начала возрождаться.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. Множеством
действительных чисел является объединение
множества рациональных и множества ирра-
циональных чисел. Существуют три группы ак-
сиом действительных чисел. Любое действи-
тельное число можно изобразить на координат-
ной прямой так, что каждому действительному
числу соответствует точка на координатной
84
МАТЕМАТИКА
прямой и каждой точке координатной прямой
соответствует действительное число. Действи-
тельные числа иначе называют вещественными
числами.
ДЕЙСТВИЯ С НЕРАВЕНСТВАМИ.
1. Неравенства одинакового смысла можно
почленно складывать. Неравенства противопо-
ложного смысла можно почленно вычитать,
оставляя знак того неравенства, из которого
производится вычитание. Например:
если а > b, с > d, то a + ob + d;
если а > Ь, с> d, то a- d > b - с.
2. Неравенства одинакового смысла с поло-
жительными членами можно почленно умно-
жать. Неравенства противоположного смысла
можно почленно делить, оставляя знак того
неравенства, которое является делимым. На-
пример: если а> b >0; с> d >0, то ас > bd\
а > b
de
3. Обе части неравенства с положительными
членами можно возводить в одну и ту же нату-
ральную степень. Например: если а > b > 0,
к е N, то ак > Ьк.
4. Если к обеим частям неравенства приба-
вить одно и то же произвольное число, то нера-
венство сохранит свой знак. Например: если
а> Ь, то a + p>b + p-, а- р > b - р (р — про-
извольное число).
5. Если обе части неравенства умножить или
разделить на одно и то же положительное чис-
ло, то неравенство сохранит знак. Если обе час-
ти неравенства умножить или разделить на од-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
85
но и то же отрицательное число, то неравенство
поменяет знак на противоположный. Напри-
мер:
если а> Ь, р > 0, то ар > Ьр,
Р Р
если а> Ь, р < 0, то ар < Ьр, —
Р Р
ДЕКАРТ РЕНЕ (1596—1650) — великий фран-
цузский ученый. Декарту принадлежит заслуга
построения аналитической геометрии. Сделал
он это одновременно с Ферма. Декарт был од-
ним из образованнейших людей своего време-
ни. Он увлекался физикой, физиологией, фи-
лософией, математикой и др. Под давлением
церкви Декарту пришлось бежать из Франции в
Нидерланды, а потом в Швецию. В основу
«Геометрии» Декарта положены две идеи: вве-
дение переменной величины и использование
прямолинейных (декартовых) координат. Хотя
аналитическая геометрия Декарта имела много
недостатков, она сыграла огромную роль в
дальнейшем развитии математики.
ДЕЛЕНИЕ. Разделить число а на число Ь —
значит найти такое число х, при умножении
которого на число Ь получается число а, т.е.
а:Ь = х, х-Ь = а.
Деление — действие, обратное действию
умножения.
Деление обыкновенных дробей. Чтобы разде-
лить одну дробь на другую, необходимо дробь,
являющуюся делимым, умножить на дробь, об-
ратную делителю.
86
МАТЕМАТИКА
Например:
5,_2_=5 21 = 15=7j_.
7* 21 "7’2 "2 " 2’
U.4 5 5 25 _ц
2’5" 2 4 8 8'
Деление на десятичную дробь. Чтобы разде-
лить число на десятичную дробь, надо в дели-
мом и делителе перенести запятую вправо на
столько знаков, сколько их после запятой в де-
лителе, а затем выполнить деление получив-
шихся чисел.
Например:
4,5 : 1,25=450 : 125=3,6;
12,831 : 2,73=1283,1 : 273=4,7.
Деление отрицательных чисел. Если а < 0,
b < 0, то а:Ь > 0. Если а < 0, Ъ > 0, то сг.Ь < 0.
Если а > 0, Z> < 0, то а:Ь <0.
Деление окружности. Задача деления окруж-
ности на равные части сводится к тому, что в
эту окружность необходимо вписать правиль-
ный многоугольник. Самыми простыми явля-
ются: деление окружности на четыре равные
части — провести два взаимно перпендикуляр-
ных диаметра; деление окружности на шесть
равных частей,— построить шесть последова-
тельных хорд, равных радиусу. Древнегреческие
математики умели делить окружность циркулем
и линейкой на 3, 4, 5, 15 частей, при этом не-
ограниченно удваивать число делений. Люби-
мой задачей Гаусса была задача по делению
круга на 17 равных частей. На его могиле изоб-
ражен правильный 17-угольник.
Деление отрезка на п равных частей. Дан от-
резок АВ, необходимо его разделить на п рав-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
87
ных частей. Для этого из конца отрезка, до-
пустим А, проведем луч, лучше под острым уг-
лом. Отложим на луче равные отрезки ЛД,
АхА2, ... Ап_1Ап. Соединим Д с В и через
остальные точки деления проведем прямые,
параллельные АпВ. Эти прямые рассекут отре-
Деление с остатком. Чтобы найти делимое
при делении с остатком, надо умножить непол-
ное частное на делитель и к полученному про-
изведению прибавить остаток. Например:
23 : 4=5 (остаток 3),
где 23 — делимое, 4 — делитель, 5 — непол-
ное частное, 3 — остаток,
.23=4 • 5+3.
ДЕЛИТЕЛЬ ЧИСЛА — всякое число Ь, на ко-
торое а делится без остатка, называется делите-
лем числа а. Общим делителем нескольких на-
туральных чисел называется натуральное число,
на которое делится каждое из этих чисел. 1 яв-
ляется общим делителем для всех натуральных
чисел. Наибольшее число из общих делителей
88
МАТЕМАТИКА
называется наибольшим общим делителем. Ес-
ли наибольший общий делитель двух чисел ра-
вен 1, то такие числа называются взаимно про-
стыми (см. взаимно простые числа).
ДЕМОКРИТ (ок. 460—370 г. до н.э.) — грече-
ский ученый из Абдеры. Демокрит разработал
теорию объемов, установил, что объем пирами-
ды равен одной трети объема призмы с тем же
основанием и с той же высотой. Демокрит од-
ним из первых стал использовать правила пер-
спективы. Евклид, создавая свои «Начала», ис-
пользовал труды Демокрита. Он ездил в Египет
и Вавилон для изучения науки Древнего Восто-
ка. В высказываниях Демокрита содержатся
зачатки исчисления бесконечно малых величин.
В историю математики Демокрит вошел как
выдающийся геометр.
ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ — форма записи дей-
ствительного числа в десятичной позитивной
системе счисления. В средней школе дается
упрощенное понятие десятичной дроби. Любое
число, знаменатель дробной части которого
выражается единицей с одним или нескольки-
ми нулями, можно представить в виде десятич-
ной дроби. Или десятичная дробь — частный
случай обыкновенной дроби, если знаменатель
есть целая степень
числа 10.
Например:
1Г0’7;
15
1000
= 0,015;
44
10
4,4.
Если к десятичной дроби справа приписать
один или несколько нулей, то значение дроби
не изменится. Если десятичная дробь оканчи-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
89
вается нулями, то эти нули можно отбросить,
при этом значение дроби не изменится. На-
пример: 4,2=4,200; 0,120=0,12.
Если перенести запятую вправо (влево) на п
знаков, то десятичная дробь увеличится (умень-
шится) в 10" раз.
Чтобы обыкновенную дробь обратить в деся-
тичную, необходимо числитель разделить на
знаменатель. Если процесс деления имеет ко-
нец, то десятичная дробь будет конечной, если
процесс деления бесконечен, то дробь будет
бесконечной. Бесконечная десятичная дробь,
которая, начиная с некоторого разряда, образу-
ется последовательным приписыванием справа
одного и того же числа, называется периоди-
ческой, а повторяющееся число будет ее перио-
дом. Если период начинается сразу после запя-
той, то десятичная дробь называется чистой
периодической, если же между запятой и пе-
риодом есть другие десятичные знаки, то деся-
тичная дробь называется смешанной периоди-
ческой.
Например:
— = 0,3333...= 0,(3) — чистая периодическая
дробь.
19
— = 0,21111...= 0,2(1) — смешанная перио-
дическая дробь.
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ —
позиционная система счисления, в основе ко-
торой лежит число 10. Числа записываются с
помощью десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
90__________________________________МАТЕМАТИКА
Каждая цифра в числе стоит на своей позиции,
поэтому система называется позиционной.
Числа 1, 10, 100, 1000, ... называются разряд-
ными единицами. 1 — единица разряда единиц,
10 — единица разряда десятков, 100 — единица
разряда сотен и т.д. Разряды группируются в
классы, по три разряда в каждом. Классы сле-
дуют в следующем порядке: класс единиц,
класс тысяч, класс миллионов, класс миллиар-
дов, класс триллионов, класс квадриллионов,
класс квинтиллионов и т.д.
Десятичная система — не единственная си-
стема счисления. Широко известны двоичная
система счисления, восьмеричная и др. В
Древнем Вавилоне пользовались шестидесяте-
ричной системой счисления, ее влияние сохра-
нилось до сих пор в делении часа на 60 минут,
окружности на 360 градусов и т.д. Сейчас деся-
тичной системой счисления пользуются почти
все народы, но есть и теперь племена, которые
пользуются пятеричной системой счисления,
для счета им достаточно пальцев одной руки.
Сейчас пятеричной системой счисления поль-
зуются коряки, живущие в Восточной Сибири,
и народы Кампучии — кхмеры.
ДЕСЯТИЧНЫЙ ЛОГАРИФМ. Если основание
логарифма равно 10, то логарифм называется
десятичным. Обозначается: log10 а = 1g а. Целая
часть числа 1g а называется характеристикой
1g а, а дробная часть числа 1g а называется его
мантиссой. Для вычисления десятичных лога-
рифмов пользуются таблицами десятичных ло-
гарифмов. Для вычисления недесятичных лога-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
91
рифмов по таблицам десятичных логарифмов
нужно десятичный логарифм данного числа
разделить на десятичный логарифм данного
основания, т.е. logft а = -Е—.
Igo
Десятичные логарифмы обладают всеми
свойствами логарифмов с основанием, боль-
шим единицы, и плюс следующие свойства:
1. Если число является степенью 10 с нату-
ральным показателем п, то десятичный лога-
рифм его равен показателю степени: 1g 10" = п.
2. Если число является степенью 0,1 с нату-
ральным показателем п, то десятичный лога-
рифм его отрицателен и равен -п: lg(0,l)" = -п.
3. Если число умножить на 10", то его лога-
рифм увеличивается на п: lg(10"7V) =,л + 1g N.
4. Если число разделить на 10", то его лога-
TV
рифм уменьшится на п: 1g = 1g N - п.
Десятичные и натуральные логарифмы свя-
заны следующими равенствами:
In а = = In 10 • 1g а;
1g е
lga = taio = lnal8<’-
ДЕЦИМЕТР - единица измерения длины.
1 дм = 10 см = 100 мм = 0,1 м.
ДИАГОНАЛЬ.
Диагональ многогранника — отрезок, соеди-
няющий две его вершины, не принадлежащие
92
МАТЕМАТИКА
одной грани. Диагонали параллелепипеда йере-
секаются в одной точке и точкой пересечения
делятся пополам. Точка пересечения диагона-
лей параллелепипеда является его центром
симметрии.
Квадрат диагонали прямоугольного паралле-
лепипеда равен сумме квадратов трех его изме-
рений: d2 = а2 + Ь2 + с2 (см. параллелепипед,
прямоугольный параллелепипед).
Диагональю многоугольника называется отре-
зок, соединяющий несоседние вершины много-
угольника. Число диагоналей выпуклого п-
угольника равно: ^п(п - 3).
Диагонали параллелограмма пересекаются и
точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали прямоугольника равны.
Диагонали ромба пересекаются под прямым
углом. Диагонали ромба являются биссектри-
сами его углов (см. многоугольник, параллело-
грамм, прямоугольник, ромб).
Отрезки AC; AD; BD; BE;
СЕ — диагонали много-
угольника ABCDE.
Отрезки АСг; BDX ;
CAt; DBl — диагонали
куба ABCDA^C^.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
S3
ДИАГОНАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ призмы — сече-
ние ее плоскостью, проходящей через два боко-
вых ребра, не принадле-
жащих одной грани (см.
призма).
Если в основании
призмы лежит треуголь-
ник, то в этой призме
диагональное сечение
провести нельзя.
На рисунке четырех-
угольник BDDXB{ — диа-
гональное сечение приз-
мы ABCDEAiBiCxDlEl.
ДИАГРАММА - один из способов наглядного
представления разных числовых данных. Чаще
всего встречаются линейные, столбчатые и кру-
говые диаграммы.
КРОКОДИЛ -----------------------
ВЕРБЛЮД ________________
СОБАКА .
ШИМПАНЗЕ -----------------------------
-----------------1----1---1---1---1---1-----
О 10 20 30 40 50 60 лет
Линейная диаграмма максимального возраста
некоторых животных.
94
МАТЕМАТИКА
Столбчатая диаграмма численности населения
Земли.
Круговая диаграмма пло-
щадей океанов.
1 — Тихий океан.
2 — Северный Ледовитый
океан.
3 — Индийский океан.
4 — Атлантический океан.
ДИАМЕТР КРУГА И ОКРУЖНОСТИ - это
хорда, проходящая через центр круга и окруж-
ности. Диаметр равен двум радиусам. Обозна-
чается D или d: D -2R (см. окружность, круг).
ДИАМЕТР ШАРА- отрезок, соединяющий
две точки шаровой поверхности и проходящий
через центр шара (см. шар).
Диаметрально противоположными точками
называются концы любого диаметра.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
95
Диаметральная плоскость — плоскость, про-
ходящая через центр шара (см. шар).
ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (III век) -
греческий математик. Диофант рассматривал
задачи из неопределенного анализа. Он
отыскивал рациональные решения таких систем
алгебраических уравнений, у которых число
неизвестных превышает число уравнений.
«Арифметика» Диофанта содержит примеры
действий над алгебраическими дробями. При
составлении уравнений Диофант умело выби-
рал неизвестные. В сохранившихся книгах
Диофанта содержится 189 задач с решениями.
Диофант был одним из самых своеобразных
древнегреческих математиков. О его жизни
почти ничего неизвестно. В трудах Диофанта
зарождалась новая алгебра. Но с падением
Римской империи его наследие было забыто на
700 лет. Труды Диофанта имели большое зна-
чение для алгебры и теории чисел.
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ - алгебраиче-
ские уравнения или система таких уравнений с
двумя или большим числом переменных с це-
лыми коэффициентами, для которых
разыскиваются целые или рациональные реше-
ния, при этом число неизвестных в Диофанто-
вом уравнении больше числа уравнений.
ДИРИХЛЕ ЛЕЖЕН (1805-1859) - немецкий
ученый. Он занимался тригонометрическими
рядами. Доказал теорему Ферма для п = 5.
Сформулировал общее определение понятия
96
МАТЕМАТИКА
функции. Его имя часто употребляется в тер-
минах высшей математики: задача Дирихле,
принцип Дирихле, ряды Дирихле, теорема Ди-
рихле, условия Дирихле, функция Дирихле.
ДИСКРИМИНАНТ КВАДРАТНОГО УРАВ-
НЕНИЯ — выражение Ь1 - Аас, которое позво-
ляет определить количество корней квадратного
уравнения. Обозначается D.
Если D > 0, то уравнение имеет два различ-
ных действительных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет один дей-
ствительный корень.
Если D < 0, то уравнение не имеет действи-
тельных корней (см. квадратное уравнение).
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. Дифферен-
циалом dy функции у = f(x) называется про-
изведение производной f'(x) на приращение
Дх независимой переменной: dy - f'(x)bx (см.
производная).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -
уравнения, содержащие искомые функции, их
производные любых порядков и независимые
переменные.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функции — про-
цесс вычисления производной от данной функ-
ции.
Правила дифференцирования:
1. Пусть функция U(x) и V(x) определены на
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
9Z
одном и том же промежутке, тогда:
(U + V)'= U’+ V'.
2. Пусть с — постоянный множитель, тогда:
(cUy = cU’.
3. Пусть U(x) и К(х) определены на одном и
том же промежутке, тогда: (UV)' = U'V + UV'.
4. Если функции U и V имеют в точке х
TZ Л (и\ U'V-UV'
производные и V * 0, то .
5. Пусть у = f (g(x)) — сложная функция,
причем функция и = g(x) дифференцируема в
точке х, а функция у = f(u) дифференцируема
в точке и, тогда функция у = f (g(x)) диффе-
ренцируема в точке х, причем
У’ = -g'(x).
ДЛИНА ВЕКТОРА. Дан вектор АВ, его дли-
ной (модулем) называется длина отрезка АВ.
Обозначается |AS| (|а|). Если мы имеем нуле-
вой вектор 0, то его длина равна нулю, т.е.
б| = 0.
Если на координатной плоскости задан век-
тор а{х; у}, где х, у — координаты вектора а,
то |а| = у/х2 + у2
Если точки A(xi,yl) и В(х2,у2) являются
соответственно началом и концом вектора АВ,
то |дв| = д/(х2 - Xi)2 + (у2 - yj2.
Если вектор p{x\y,z} задан в пространстве,
4 Математика
98 МАТЕМАТИКА
где х, у, z — его координаты, то
l^ = y/x2+y2 +z2.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. Длиной окружности
называется общий предел, к которому стремят-
ся периметры вписанных и описанных пра-
вильных многоугольников при неограниченном
удвоении числа их сторон.
Длина окружности находится по формуле:
С = 2тс7?, где С — длина окружности, А — ра-
диус окружности.
Длина дуги окружности, соответствующая
. nR
центральному углу а, равна / = а.
ДЛИНА ОТРЕЗКА. Измерение отрезков осно-
вано на сравнении их с некоторым отрезком,
принятым за единицу измерения, который на-
зывается масштабным отрезком. Если у нас
есть произвольный отрезок и нам необходимо
измерить его длину, мы должны выяснить,
сколько раз укладывается в этом отрезке мас-
штабный отрезок, например сантиметр.
Также длину отрезка можно определить как
расстояние между его концами. Если точки
^(хрУ1) и В(х2,у2) — концы отрезка АВ, где
хг, у, и х2, у2 — координаты точек А, В на
плоскости, тогда: |А#| = ^(х2 - хг)2 + (у2 - уг)2.
Равные отрезки имеют равные длины. Если
отрезок АВ больше отрезка CD, то длина отрез-
ка АВ больше длины отрезка CD.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
99
ДЛИНА ЛОМАНОЙ равна сумме длин ее зве-
ньев. Звенья ломаной являются отрезками, по-
этому задача по нахождению длины ломаной
сводится к нахождению длины отрезка.
В D
Длина ломаной равна
|АЯ| + |ЯС| + |СР| + \DE\.
ДОДЕКАЭДР —‘ правильный многогранник,
все двенадцать его граней являются правиль-
ными равными пятиугольниками. Додекаэдр
имеет двадцать вершин и тридцать ребер. Для
додекаэдра верны следующие формулы:
К = g3(15+7^_) s = 3й2^5 . (5 + 2л/5)
4 ______________
_ йТз (1 + V5) _ a -J10 • (25 +11 75)
R= 4 ’ Г- 20 ;
где а — ребро, V — объем, S — площадь по-
верхности, R — радиус описанной сферы, г —
радиус вписанной сферы.
100
МАТЕМАТИКА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассуждение, с помощью
которого устанавливается правильность утверж-
дения о свойстве геометрической фигуры, на-
зывается доказательством. Или, доказатель-
ство — цепочка правильных умозаключений,
идущих от исходных для данной теории ак-
сиом, признанных истинными, к доказы-
ваемому утверждению.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО -
один из методов доказательства теоремы. Когда
возникают трудности при доказательстве теоре-
мы или утверждения в задаче, предполагают
противное тому утверждению, которое надо до-
казать. Если в ходе доказательства приходят к
противоречию, значит, верно исходное утверж-
дение.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЛУЧИ - различные
лучи, имеющие общее начало и лежащие на
одной прямой.
ВАС
Лучи АВ и АС — дополнительные лучи.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УГЛЫ. Если угол равен
а, то дополнительный ему угол равен 90 - а.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ. Чтобы
привести дроби к наименьшему общему знаме-
нателю, числитель и знаменатель каждой дроби
умножают на соответствующий дополнитель-
ный множитель. Чтобы вычислить дополни-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
1Л1
тельные множители, необходимо разделить
наименьшее общее кратное знаменателей на
каждый знаменатель. НОК(7;5)=35 Например: 3 7 1 И 5’
5 — дополнительный множитель для дроби
3. 3-5 15. 7’ 7-5 “ 35’
7 — дополнительный множитель для дроби
1 . 1-7 = 7
5’ 5-7 “ 35'
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ. Каждая класси-
ческая теорема состоит из двух частей: из усло-
вия и заключения. Условие обыкновенно начи-
нается со слова «если», а заключение — со сло-
ва «то». Обозначим утверждение после слова
«если» буквой А, а после слова «то» — буквой
В. Тогда А — условие теоремы, В — заключе-
ние. Условие А называется достаточным для вы-
полнения В. Например, для того чтобы выпук-
лый четырехугольник был параллелограммом,
достаточным условием будет, чтобы его диаго-
нали в точке пересечения делились пополам.
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция
ах + b - „
вида у =------ называется дробно-линеинои.
сх + а
а, Ь, с, d— некоторые числа, причем с * 0.
гтч d
Функция определена для всех х, кроме х = —.
с
Графиком дробно-линейной функции является
гипербола.
102
МАТЕМАТИКА
Например:
Графиком функции
2х + 5
у =----- является ги-
X 4-1
пербола с асимптотами
х = -1 и у = 2.
ДРОБЬ. Выражение вида где а и b либо
__ .. о
числа, либо выражения, содержащие буквы.
а — числитель, Ь — знаменатель (Ь 0).
Различают следующие дроби:
1. Обыкновенные дроби — числа вида —,
п
где т и п — натуральные числа. Например:
1- 2_. Л- 23
2’ 15’ 18’ 3 '
2. Десятичные дроби (см. десятичные дроби).
Например: 0,2; 0,(3); 45,7(8).
3. Алгебраические дроби — выражения вида
Р
Q’
где Р и Q —- выражения, содержащие числа
и переменные, причем Q обязательно должно
тт 4х 4-1
содержать переменные. Например: -----------;
7x4-4
45
а2 4- 2а 4-1
Обыкновенная дробь называется правиль-
ной, если ее числитель меньше знаменателя,
дробь называется неправильной, если ее числи-
тель больше или равен знаменателю.
Например:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
103
4
— — правильные дроби,
О
9
— — неправильные дроби.
О
7.
9*
7 .
2’
числитель и знаменатель обыкновен-
6’
4
4’
Если
ной или алгебраической дроби можно разде-
лить на одно и то же число или выражение, то
дробь называется сократимой. Если числитель
и знаменатель дроби — взаимно простые числа,
л ~ 15
то дробь называется несократимой. — — со-
л 15 _
кратимая дробь, — — несократимая дробь.
ДУГА ОКРУЖНОСТИ — часть окружности,
заключенная между двумя точками окружности.
Градусная мера дуги окружности определяется
градусной мерой соответствующего центрально-
го угла. Отметим следующие утверждения, свя-
занные с дугой окружности:
1. Две дуги, принадлежащие окружностям
одного и того же радиуса, равны тогда и только
тогда, если равны их угловые величины.
2. В окружности большему центральному
углу соответствует большая дуга.
3. Равные дуги стягиваются равными хорда-
ми.
4. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит
стягиваемую хордой дугу пополам.
5. Величина вписанного угла равна полови-
не угловой величины дуги, на которую он опи-
рается (см. длина дуги окружности).
104
МАТЕМАТИКА
Б
ЕВДОКС КНИДСКИЙ (ок. 408-355 гг. до
н.э.) — древнегреческий ученый, врач, астро-
ном, механик и математик. Евдокс родился в г.
Книде, на юго-западе Малой Азии. Он был
учеником Архита Тарентского, учился в акаде-
мии Платона, ездил в Египет изучать астроно-
мию у жрецов. Еще при жизни был назван ве-
ликим. Труды Евдокса положили начало гео-
метрической теории отношений. Евклид, созда-
вая «Начала», широко использовал математиче-
ское наследие Евдокса. И «аксиома Архимеда» на
самом деле была сформулирована им. Евдокс
дал полное доказательство теоремы об объеме
пирамиды, теоремы о том, что площади двух
кругов относятся как квадраты их радиусов.
ЕВКЛИД (III в. до н.э.) — выдающийся древ-
негреческий математик. Он жил в Александрии,
но сведений из его жизни известно очень мало,
мы не знаем точно даже даты его рождения и
смерти. Зато каждому школьнику с младших
классов известно его имя. С трудов Евклида
началось дедуктивное строение геометрии: из
аксиом и основных понятий строятся опреде-
ления, доказываются теоремы. Основным его
сочинением являются «Начала». «Началами» в
то время назывались сочинения, где излагались
аксиоматические системы математики. Из-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
105
вестны авторы других «Начал», однако широ-
кую известность и применение получили сочи-
нения Евклида. И сейчас геометрию, изучае-
мую в средней школе, называют Евклидовой.
«Начала» Евклида состоят из 13 книг. В
первой книге изложены определения, аксиомы
и постулаты. У Евклида аксиомы — предложе-
ния, вводящие отношения равенства или нера-
венства величин. Постулаты — утверждения о
возможности построений. Первые шесть книг
посвящены планиметрии. Следующие три кни-
ги содержат некоторый эквивалент теории ра-
циональных чисел, эти книги называют
«арифметическими». Десятая книга содержит
классификацию всех возможных видов биквад-
ратных иррациональностей, способ нахождения
неограниченного числа «пифагоровых троек»
целых чисел. Последние три книги посвящены
стереометрии.
Ученые средневекового Востока считали
основным источником математических знаний
«Начала» Евклида. На протяжении 2000 лет
«Начала» были образцом дедуктивного строе-
ния геометрии. И только в XIX веке математи-
ки остро ощутили, что «Начала» Евклида не
удовлетворяют требованиям современной нау-
ки. И все же этот труд и его автор оставили не-
изгладимый след в истории математики, явля-
ясь много веков фундаментом геометрических
изысканий (см. Евклида алгоритм, евклидова
геометрия, постулат).
ЕВКЛИДА АЛГОРИТМ нахождения наиболь-
106
МАТЕМАТИКА
шего общего делителя. Этот способ удобно
применять для нахождения общего делителя
двух чисел. Берется большее число и делится на
меньшее, затем меньшее число делится на пер-
вый остаток, затем первый остаток делится на
второй, второй — на третий и так далее до тех
пор, пока не получится в остатке нуль, послед-
ний делитель будет наибольшим делителем
данных чисел. Например: НОД(192,264).
2641192 192172 72|48 48|24
192 1 144 2 48 1 48 1 ,
48 24 О
следовательно, 24 — наибольший общий де-
литель 192 и 264.
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ- геометрия ев-
клидова пространства. В средней школе изуча-
ют многие вопросы, которые входят в евклидо-
ву геометрию. В школе изучают двухмерное и
трехмерное евклидовы пространства.
Евклидова геометрия строится аксиоматиче-
ским методом, т.е.:
1. вводятся основные геометрические поня-
тия, принимаемые без определений;
2. формулируются аксиомы геометрии (пред-
ложения, характеризующие свойства основных
понятий и применяемые без доказательств);
3. на основе аксиом и основных геометриче-
ских понятий формулируются остальные гео-
метрические понятия и теоремы.
До девятнадцатого века образцом дедуктив-
ного изложения геометрии служили «Начала»
Евклида. Известные европейские ученые Коши,
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 107
Абель, Гаусс и другие обнаружили логические
недостатки в «Началах» Евклида, которые не
замечали древние ученые. Работа по аксиома-
тизации в современном варианте евклидовой
геометрии была завершена в самом конце де-
вятнадцатого столетия известным немецким ма-
тематиком Д. Гильбертом (1862—1943). В своей
книге «Основная геометрия», опубликованной в
1899 году, он формулирует 21 аксиому евклидо-
вой геометрии и доказывает непротиворечи-
вость этой аксиоматики. В двадцатом столетии
работу над усовершенствованием аксиоматики
евклидовой геометрии продолжили В.Ф. Каган,
Бахман, Биркгоф и другие математики. Наибо-
лее интересная с современной точки зрения ак-
сиоматика была предложена известным немец-
ким математиком Г. Вейлем (1885—1955) (см.
Евклид, постулат, аксиома, Гильберт Давид).
ЕДИНИЦА - натуральное число, 1 принято
рассматривать особо, оно не является ни про-
стым, ни составным.
ЕДИНИЦА МАСШТАБА - расстояние на ко-
ординатной прямой между нулем и единицей.
Прямая (или ось) становится координатной,
если на ней выбрана единица масштаба и точка
О, являющаяся началом отсчета.
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ. Единиц измерения
существует очень много: единицы длины, пло-
щадей и объемов, единицы времени, единицы
веса и т.д.
108
ШГЕМАТИКА
Рассмотрим некоторые из них, которые ши-
роко применяются и которые давно забыты.
1. Аршин — русская единица длины. Рас-
стояние от кисти руки до плеча. У каждого че-
ловека был свой аршин. Позже был введен
«казенный аршин», он был равен 71 сантиметру
12 миллиметрам.
2. Астрономическая единица равна расстоя-
нию Земли от Солнца. Этой единицей измеря-
ют расстояния в Солнечной системе.
3. Ар — единица измерения площадей. 1а —
площадь квадрата со стороной, равной 10 м.
4. Гектар — единица измерения площади.
1 га — площадь квадрата со стороной 100 м.
5. Градус. В математике рассматривают гра-
дус угловой. 1 градус равен %) прямого угла.
6. Грамм — единица веса в метрической си-
стеме мер. 1 г = 0,001 кг.
7. Гран — единица веса, но очень малень-
кая. Ее используют для взвешивания лекарств,
драгоценных металлов, жемчуга. 1 гран равен
65 миллиграммам.
8. Дюйм — мера длины. Первоначально
дюйм был равен ширине большого пальца.
Сейчас дюйм равен 2 сантиметрам 54 милли-
метрам или Уп фута.
9. Золотник — русская единица веса, кото-
рой измерялся вес золотых изделий. Золотник
У% фунта.
10. Карат — единица веса, применяемая при
взвешивании драгоценных камней. Алмаз
больше одного карата считается большим. 1
карат равен 0,2 грамма.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
109
11. Килограмм — основная единица веса.
1 кг = 1000 г.
12. Линия — единица длины, которой изме-
ряли ширину стекла, калибр оружия, сейчас
измеряют часы. 1 линия равна 0,1 дюйма или
2,54 миллиметра.
13. Лье — единица измерения расстояний.
1 лье — 3 морские мили или 5,556 км.
14. Метр — основная единица измерения
длины. 1 м = 100 см = 10 дм = 0,001 км.
15. Миля — единица измерения длины. Во
многих странах были свои мили. Русская миля
равна 7 верстам или 7,5 км.
16. Минута. В математике это градуса.
17. Пуд — мера веса. 1 пуд равен 40 фунтам
или 16 кг 380 г.
18.. Пункт — мера длины, применяемая в
полиграфии. 1 пункт равен 0,376 мм.
19. Сажень — русская мера длины. Это раз-
мах руки первоначально. 1 сажень = 213 см
36 мм = 3 аршина = 7 футов.
20. Узел — единица скорости. Узлами изме-
ряется скорость морских судов. 1 узел равен 1
морской миле в час.
21. Фунт — мера веса. В разных странах раз-
личают свои фунты. Русский фунт равен 409,5
грамма.
22. Ярд — английская мера длины. 1 ярд =
91 см 44 мм — 3 фута.
ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР. Вектор, длина кото-
рого равна единице масштаба, а направление
совпадает с направлением координатной пря-
110
МАТЕМАТИКА
мой, называется единичным вектором или ор-
том. В координатной плоскости рассматривают
два единичных вектора. Обозначают i, j или
ё}, ё2. Любой вектор можно разложить по еди-
ничным (координатным) векторам. Пусть р —
произвольный вектор, р = xi + yj , где х, у —
координаты вектора р. В пространстве рас-
сматривают три координатных вектора ё,, ё2, ё3.
Любой вектор а(ах; а2; а3) можно разложить по
единичным координатным векторам
а = fljCj + а2ё2 + а3е3.
ЕДИНИЧНЫЕ ДРОБИ — дроби, числитель
которых равен единице. Например:
1 1 1 1 ТТ
5’^’Тл’Т?' Единичные дроби — первые дро-
jw А к/ А
би, которые появились в математике.
ЕДИНИЧНЫЙ ОТРЕЗОК (см. единица мас-
штаба).
ЕДИНИЧНАЯ ОКРУЖНОСТЬ - окружность,
радиус которой равен единице. При определе-
нии тригонометрических функций удобно брать
окружность единичного радиуса. Пусть точка
В(х,у) — произвольная точка единичной
окружности, тогда sin а = у; cos а = х;
tga = —; ctga = — (см. синус, косинус, тангенс,
х у
котангенс).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
111
лт/»
ЖЕРГОН ЖОЗЕФ (1771-1859)- француз-
ский математик. Он открыл принцип двойст-
венности в проектной геометрии. Его именем
названо такое математическое понятие, как
точка Жергона. Точка Жергона — точка пересе-
чения прямых, проходящих через вершины тре-
угольника и точки касания его сторон, проти-
волежащих вершинам, с вписанной окружно-
стью.
ЖЕРМЕН СОФЬЯ (1776-1831) - француз-
ский математик. Софья Жермен занималась
геометрией и теорией чисел. За исследование
по теории упругости она получила премию Па-
рижской академии наук. Талантом Софьи Жер-
мен восхищался французский математик Лаг-
ранж. Она обращалась за советом к великому
Гауссу. В годы оккупации французами города
Геттингена, где жил Гаусс, Софья просила
французских военных сохранить ему жизнь. До
конца жизни Гаусс был благодарен и предан
Софье Жермен.
ЖИРАР АЛЬБЕРТ (1595-1632) - бельгийский
математик. Жирар родился во Франции, но бе-
жал в Голландию от преследований католиче-
ской церкви, так как был протестантом. Аль-
112__________________________________МАТЕМАТИКА
берт Жирар внес большой вклад в развитие ал-
гебры. Основным его сочинением была книга
«Новое открытие в алгебре». Жирар, как мно-
гие математики того времени, занимался основ-
ной теоремой алгебры о корнях уравнения. Он
первым сформулировал эту теорему, хотя стро-
гое доказательство впервые дал Гаусс. Жирару
принадлежит вывод формулы площади сфери-
ческого треугольника.
ЖОРДАН КАМИЛ (1838-1922) - француз-
ский математик. Он систематизировал и обоб-
щил понятия теории групп в своем «Трактате о
подстановках и алгебраических уравнениях». С
именем Камила Жордана вошли в математику
такие понятия, как кривая Жордана, мера Жор-
дана, нормальная жорданова форма.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
ИЗ
3
ЗАВИСИМОСТЬ. ЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕН-
НАЯ. Зависимость переменной у от переменной
х называется функцией, если каждому значе-
нию х соответствует единственное значение у.
Переменную х называют независимой перемен-
ной, а у называют зависимой переменной.
ЗАДАЧА геометрическая. Утверждение, которое
необходимо доказать с помощью аксиом и тео-
рем, является задачей на доказательство. Зада-
ча, в которой необходимо найти длину, пло-
щадь и т.п. в геометрической фигуре, называет-
ся вычислительной задачей.
ЗАКОНЫ математические.
Переместительный закон сложения: от пере-
становки слагаемых значение суммы не меняет-
ся. Буквенная запись: а + b = b + а. Закон дей-
ствует для любого количества слагаемых.
Переместительный закон умножения: от пере-
становки множителей значение произведения не
меняется. Буквенная запись: а b = b • а. Закон
действует для любого количества множителей.
Сочетательный закон сложения: чтобы к
сумме двух чисел прибавить третье число, мож-
но к первому числу прибавить сумму второго и
третьего. Буквенная запись: (а + Ь) + с =
а + (Ь + с).
114 МАТЕМАТИКА
Сочетательный закон умножения: чтобы про-
изведение двух множителей умножить на тре-
тий, можно первый множитель умножить на
произведение второго и третьего. Буквенная за-
пись: (а • Ь) • с = а • (Ь • с).
Распределительный закон умножения относи-
тельно сложения: чтобы сумму двух слагаемых
умножить на третье число, можно каждое сла-
гаемое умножить на это число и сложить полу-
ченные произведения. Буквенная запись:
(a+ b)c = ac + bc.
Распределительный закон умножения относи-
тельно вычитания: чтобы разность двух чисел
умножить на третье число, можно уменьшаемое
умножить на это число и вычитаемое умножить
на это число и из первого произведения вы-
честь второе. Буквенная запись: (а - Ь) • с =
а • с - b • с Данные законы действуют как для
чисел, так и для числовых и буквенных выра-
жений.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. Некоторые уравне-
ния удобно решать с помощью замены пере-
менной (введения новой переменной). В ре-
зультате уравнения одного типа можно свести к
другому. Например, уравнение биквадратное
сводится к решению квадратного уравнения:
4х4 - 5х2 +10 = 0. Заменим х2 = у, тогда полу-
чим 4у2 - 5у +10 = 0. Решив второе уравнение,
получим значения х2, а по ним найдем корни
исходного уравнения.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ. С давних времен
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
115
рассматривают четыре точки, связанные с треу-
гольником, которые называют замечательными.
1. Точка пересечения биссектрис. Эта точка
всегда лежит внутри треугольника и является
центром вписанной в треугольник окружности.
Точка пересечения биссектрис равноудалена от
сторон треугольника.
Точка О — точка пе-
ресечения биссектрис
ЛЛ]5 ВВХ и CQ треу-
гольника АВС, О —
центр вписанной в
&АВС окружности.
2. Точка пересечения серединных перпенди-
куляров. Серединным перпендикуляром назы-
вается перпендикуляр, проведенный к середине
стороны треугольника. Точка пересечения сере-
динных перпендикуляров является центром
описанной около треугольника окружности.
Эта точка может лежать как внутри треугольни-
ка, так и вне его и на его сторонах.
LO, МО, КО — сере-
динные перпендикуля-
ры, О — точка их пе-
ресечения. О — центр
описанной окружно-
сти.
3. Точка пересечения высот треугольника.
Эту точку еще называют ортоцентром. Точка
пересечения высот может лежать как внутри
треугольника, так и вне его и на его сторонах.
116
МАТЕМАТИКА
1\, — высо-
ты AASC; О — точка
пересечения высот.
4. Точка пересечения медиан треугольника.
Эта точка всегда лежит внутри треугольника.
Точка пересечения медиан обладает замечатель-
ным свойством, она делит каждую медиану на
отрезки, отношение длин которых равно 2:1,
если считать отрезки от вершин треугольника.
Эту точку также называют центром масс треу-
гольника или центроидом.
£ ААХ, ВВХ, ССХ — медианы
Ci/ \o\Ai ДА5С
ВО = СО = АО = 2
ОВХ ~ ОСХ ~ ОАХ~ 1
ЗАМКНУТАЯ ЛОМАНАЯ. Ломаная называется
замкнутой, если конец ее последнего звена сов-
падает с началом первого звена. Например, че-
тырехугольник является замкнутой ломаной ли-
нией.
ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО- множество,
имеющее границу. Например, отрезок является
замкнутым множеством; планиметрия и стерео-
метрия в средней школе занимается изучением
замкнутых фигур (множеств).
Замкнутым интервалом или сегментом [a, Z>]
называется множество действительных чисел х,
удовлетворяющих неравенству а < х < b, т.е. со-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
117
вокупность всех точек, расположенных между а
и Ь, включая а и Ь. Замкнутой областью назы-
вается открытая область вместе со своей грани-
цей (см. область, интервал, промежуток, грани-
ца, граничная точка).
. У//////Л
О 1 3
[1, 3] — замкнутый
интервал, отрезок —
множество чисел х,
удовлетворяющих не-
равенству 1 < х < 3.
Ф — замкнутая об-
ласть, линия L —
граница области.
ЗВЕНО ЛОМАНОЙ- один из отрезков, из
которых ломаная состоит (см. ломаная).
А2АХ — звенья
замкнутой ломаной
А-^2-^3-^4-^5-^6'^7 *
Отрезки ВХВ2; В2В3;
В354; В4В5 — звенья
незамкнутой лома-
ной ВХВ2В3В4В$.
ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ - условные
символы математических понятий. Большинство
математических знаков общеприняты во всех
странах, но до сих пор в обозначении некоторых
118
МАТЕМАТИКА
математических понятий имеются различия. Та-
кие различия бывают даже в школьных учебни-
ках математики, изданных разными авторами.
Рассмотрим некоторые знаки, которые часто
встречаются в учебниках математики средней
школы.
1. Знак интеграла — J . Причем определен-
ь
ный интеграл обозначают: J f(x) dx, неопреде-
а
ленный интеграл обозначают: J f(x) dx.
2. Знак неравенства. Для строгого неравенст-
ва используют знаки: > — знак больше, < —
знак меньше.
Для нестрогого неравенства используют зна-
ки: > — больше или равно, < — меньше или
равно.
3. Знак приближенного равенства — На-
пример: 15,945 ~ 15,95.
4. Знак числа. Для каждого целого числа
можно определить его знак; если число больше
нуля, то знак равен 1, если число равно нулю,
то его знак равен 0, если число меньше нуля,
то его знак равен —1. Аналогично вводится по-
нятие знака действительного числа. Причем
рассматривают функцию sign а (знак числа):
Г 1, если а > О
sign а = < 0, если а = 0.
[-1, если а < О
5. Знак радикала. Корень w-ой степени обоз-
начают с помощью знака радикала. При этом
символ Va имеет следующие условия:
а) единственное значение корня в случае не-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
Ц9
четного п, причем а — любое действительное
число;
б) арифметический корень л-ой степени из а
в случае четного п, причем а > 0.
в) >/0 = 0 при любом п.
6. Обозначения (знаки) некоторых числовых
множеств.
N — множество натуральных чисел.
Z — множество целых чисел.
Q — множество рациональных чисел.
R — множество действительных чисел.
ЗНАКОВ ПРАВИЛО.
1. Произведение двух отрицательных чисел
есть число положительное.
2. Если один из двух множителей число от-
рицательное, а другое положительное, то произ-
ведение будет отрицательным числом.
1 и 2 правила можно объединить в одно: ес-
ли количество отрицательных множителей чет-
но, то произведение будет числом положитель-
ным, если количество отрицательных множите-
лей нечетно, то произведение будет числом от-
рицательным.
3. Действие вычитание всегда можно заме-
нить сложением, а сложение — вычитанием:
а - b = а + (~Ь); а - (-Ь) = а + Ь.
4. Произведение любого действительного
числа на нуль равно нулю.
ЗНАКОПОСТОЯННЫЙ РЯД — числовой ряд,
в котором все члены либо положительные, ли-
бо отрицательные. Например: гармонический
ряд (см. гармонический ряд).
120
МАТЕМАТИКА
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЙСЯ РЯД — числовой
ряд, в котором положительные и отрицатель-
ные члены чередуются.
tj till
Например: 1- — + '
ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Знаменатель дроби — число или выражение,
которое находится под дробной чертой.
Знаменатель дроби наименьший. При сложе-
нии и вычитании обыкновенных дробей необ-
ходимо привести дроби к наименьшему общему
знаменателю. Наименьшим общим знаменате-
лем нескольких дробей является наименьшее
общее кратное знаменателей этих дробей.
2 „ „ _ „
—. Наименьший общий
На-
1 3
пример: ;
зна-
менатель этих дробей равен 30:
1 6 .
5 " 30’
3_=9_. 2 = 20
10 ” 30 ’ 3 " 30 ’
Знаменатель геометрической прогрессии.
Пусть задана геометрическая прогрессия (/>„):
Ьп * 0 и Zl+1 = bn q; q = .
Ьп
Число q называется знаменателем геометри-
ческой прогрессии (см. геометрическая прогрес-
сия).
ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ числа, записанного в
виде десятичной дроби, называют все цифры
этого числа, кроме нулей, стоящих в начале.
Например: дано число 0,0245 — значащие циф-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 121
ры 2, 4, 5 этого числа. Значащими цифрами
натурального числа являются все цифры этого
числа.
ЗНАЧЕНИЕ.
Значение алгебраического выражения. Если
вместо переменных в алгебраическое выраже-
ние подставить допустимые значения, то полу-
чится числовое выражение, значение которого
и будет называться значением алгебраического.
Например: а + 5Ь — алгебраическое выраже-
ние, при а = 10, b = -1, a + 5Z> = 10-5 = 5;5 —
значение алгебраического выражения.
Значение переменной — то число, которое
подставляется вместо этой переменной.
Значение производной функции у = /(х) в
точке х называется предел отношения прираще-
ния функции к приращению аргумента при
стремлении приращения аргумента к нулю, при
условии, что такой предел существует. Обозна-
чение: / (х) = lim —, где А/ — приращение
дх->° Дх
функции, Ах — приращение аргумента (см.
производная).
Значение функции. Пусть задана функция
у = /(х). Значение у, соответствующее значе-
нию х, называют значением функции. Множе-
ство значений функции — все значения, кото-
рые принимает зависимая переменная.
Значение числового выражения — число, ко-
торое получается в результате выполнения всех
действий в числовом выражении при соблюде-
нии принятого порядка. Например: число 30 —
значение числового выражения 42 + 2 • 7.
122
МАТЕМАТИКА
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ. Золотое сечение отрезка
можно записать в виде пропорции:
а : х = х : (а - х), где а — длина отрезка, х —
длина большей его части. Геометрически «золо-
тое сечение» изображается следующим образом:
Пусть отрезок АВ = а,
необходимо разделить на
две части так, чтобы от-
ношение данного отрез-
ка а к его большей части
х было равно отноше-
нию его большей части х к меньшей а - х.
Построим прямоугольный треугольник АВС
так, чтобы АВ = а был катетом, а катет ВС был
бы равен АС— гипотенуза. На гипотенузе
от точки С отложим отрезок СЕ = %-. Тогда от-
резок АЕ = х, где х = Jf
2 «
+ а —
2
Затем на отрезке АВ отложим отрезок
АВ = х. Точка D разделила отрезок АВ так, что
получилось «золотое сечение», или «золотое де-
ление».
«Золотым сечением» занимались древнегре-
ческие ученые, среди них были Евдокс, Евк-
лид, Папп. В средние века им занимался Лео-
нардо да Винчи, он и ввел термин «золотое се-
чение».
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
123
И
ИБН КОРРА (836—901) — арабский матема-
тик, работавший в Багдаде. Он занимался три-
гонометрией и теорией чисел, пытался доказать
пятый постулат Евклида. В своем трактате
«Книга о часовом инструменте, называемом
солнечными часами» Ибн Корра сформулиро-
вал два правила, каждое из которых равносиль-
но сферической теореме косинусов. Ибн Корра
перевел «Начала» Евклида и написал к ним
комментарии, он ознакомил арабских ученых с
сочинениями Архимеда о правильном семиу-
гольнике.
Полное имя Ибн Корра звучит Абу-ль-Ха-
сан Сабит ас-Саби аль-Харрани ибн Корра. Он
был выходцем из звездопоклонников-сабейцев,
уроженцем месопотамского города Харрана.
Внук Ибн Корры Ибн Синан прославился как
математик, который в середине века применял
аффинные преобразования.
ИБН АЛЬ-ХАЙСАМ (965-1039) - физик, аст-
роном, медик. Он был уроженцем Басры
(Ирак), но большую часть жизни был личным
врачом халифа в Каире. Он, как и многие мате-
матики древности, пытался доказать пятый по-
стулат Евклида. Написал двести работ, среди
которых есть работы по оптике. В те времена
учение о перспективе составляло часть оптики.
124
МАТЕМАТИКА
Ибн аль-Хайсам пытался определить высоту ат-
мосферы с помощью тригонометрических рас-
четов.
ИЗБАВЛЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В
ЗНАМЕНАТЕЛЕ. При преобразовании ирраци-
ональных выражений стараются избавиться от
иррациональности в знаменателе дроби. Для
этого используют свойства радикалов и степе-
ней с рациональными показателями. В каждом
конкретном случае необходим свой подход. На-
пример:
1 Л
2 ’
1 1 + Jx _ 1 + 4х .
1 - Vx (1 - д/х)(1 + yfx) 1 — X *
i = VF
Vx VxV? x
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ. Из-
влечение корня — действие, обратное возведе-
нию в степень.
При извлечении квадратного корня из нату-
рального числа можно число, стоящее под зна-
ком корня, разложить на простые множители,
после этого можно сразу определить, получится
ли натуральное число при извлечении. Напри-
мер: 71^24 = = 25 = 32; л/бОО = V23-52-3 =
Юд/б.
Такой способ извлечения квадратного корня
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
125
из натурального числа не всегда бывает удобен.
Для извлечения квадратного корня из натураль-
ного числа и десятичной дроби с определенной
точностью используют алгоритм извлечения
квадратного корня из числа.
Разберем этот алгоритм на примере вычис-
ления 733489.
1. Разобьем число справа налево на грани
(группы цифр) по две в каждой 3'34'89.
2. Находим наибольшее число, квадрат кото-
рого не превосходит 3. Получаем 1, которую за-
писываем в ответ 733489 = 1... .
3. Возводим 1 в квадрат и вычитаем из числа
3. К полученной разности приписываем вторую
грань. Получаем 234.
73'34'89 = 1...
1
234
4. Удваиваем число, которое было записано
в ответ, в нашем случае 1. Приписываем к по-
лученному числу 2 справа такую наибольшую
цифру, чтобы произведение полученного дву-
значного числа не превосходило 234. В нашем
случае это будет цифра 8:
73’34'89 = 1...
х28 1
8 234
224 224
5. Записываем за цифрой 1 в ответ цифру 8.
Из числа 234 вычитаем число 224 и к получен-
ной разности приписываем последнюю грань.
Получаем 1089.
126
МАТЕМАТИКА
73309 = 18...
х28 1
8 234
224 224
1089
6. Далее повторяем действия в 4 шаге. Удва-
иваем число 18, которое было записано в ответ.
Приписываем справа к полученному числу 36
такую наибольшую цифру, чтобы произведение
полученного трехзначного числа на приписан-
ную цифру не превосходило числа 1089. В на-
шем случае это будет цифра 3. Записываем 3 в
ответ.
73'34'89 = 183...
28 1
234
х363 224
3 1089
1089 1089
О
Алгоритм закончен.
Если подкоренное выражение — десятичная
дробь, то ее целую часть разбивают на грани по
две цифры справа налево, дробную часть — по
две цифры слева направо и извлекают корень
по указанному алгоритму. Например:
72'57,25’7 = 16,03...
х26 1
6 157
156 156
х3203 12570
3 9609
9609 2961
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________12Z
Алгоритм можно продолжить дальше.
При извлечении квадратного корня из при-
ближенного числа в результате следует брать
столько значащих цифр, сколько их имеет чис-
ло под корнем, при этом последняя цифра
квадратного корня будет получаться более на-
дежной, чем последняя цифра подкоренного
числа. Например: ^40,5 « 6,36.
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ. Углы можно измерять с
помощью транспортира. Транспортир в основ-
ном применяется в учебной практике. На мест-
ности используют простейший измерительный
прибор, которым измеряют величину углов,
расположенных в горизонтальной плоскости .
Основные свойства измерения углов можно
выразить в следующей аксиоме: каждый угол
имеет определенную градусную меру, большую
нуля. Развернутый угол равен 180 градусам.
Градусная мера угла равна сумме градусных
мер углов, на которые он разбивается любым
лучом, проходящим между его сторонами.
В школе основным инструментом для изме-
рения углов является транспортир. Он состоит
из полукольца, соединенного с линейкой. По-
лукруглый край транспортира — это половина
окружности, центр которой — точка О в сере-
дине верхнего края линейки. Полуокружность
разделена делениями на 180 равных частей —
градусов делений. Чтобы измерить угол транс-
портиром, нужно приложить верхний край ли-
нейки к одной из сторон угла так, чтобы центр
О совпал с вершиной угла. Число делений меж-
12а
МАТЕМАТИКА
ду сторонами угла показывает градусную меру
угла или его величину.
ИЗОЛИРОВАННАЯ ТОЧКА. Изолированной
точкой множества называется такая точка, у ко-
торой существует окрестность, не содержащая
других точек этого множества.
ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛ-
ЛЕЛЕПИПЕДА. В прямоугольном параллеле-
пипеде всего двенадцать ребер, которые можно
разбить на три группы по четыре в каждой, па-
раллельных между собой. Из одной вершины
выходит по одному ребру из каждой группы.
Эти ребра называются линейными измерения-
ми прямоугольного параллелепипеда.
АВ = a; AD = Ь; АА{ = с
а, Ь, с — измерения пря-
моугольного параллелепи-
педа ABCDAxB]CYDi.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
129
ИКОСАЭДР. Икосаэдром называют многогран-
ник с двадцатью гранями, каждая из которых
является равносторонним треугольником. Ико-
саэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ре-
бер, сходящихся по 5 в каждой вершине. С
икосаэдром связаны следующие формулы:
г = 5д3(3 + д/5). s = 5ai^.
D aJl(5 + V5) л73(3 + 75)
R =-----4-----; Г =-----12----’
где V— объем, S— площадь поверхности,
R — радиус описанной сферы, г — радиус впи-
санной сферы, а — каждое из ребер икосаэдра.
Икосаэдр и его
развертка.
130_______________________________МАТЕМАТИКА
ИНДЕКС — числовой, буквенный или иной
значок, с помощью которого отличают выраже-
ния, обозначаемые одинаковыми буквами. На-
пример: Д,Л2,... Д,; 8ШС; х0; х,; х2.
ИНДУКЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ. Матема-
тическая индукция — один из методов доказа-
тельства математических утверждений. Этот ме-
тод основан на одной из аксиом натуральных
чисел, которая называется аксиомой математи-
ческой индукции. Этот принцип формулируется
так:
.1. Проверяется справедливость некоторого
утверждения при п = р0.
2. Предполагается, что это утверждение вер-
но при п = к, к> р0 и доказывается, что утвер-
ждение верно при п = к + 1.
Например: докажем, что сумма внутренних
углов выпуклого ^-угольника равна п(п - 2).
1. Минимальное число углов — три. Поэто-
му начнем доказательство с п = 3. Получаем,
что для треугольника формула дает л(3 - 2) = л.
Утверждение для п = 3 справедливо.
к-угольник
2. Допустим, что фор-
мула верна при п = к. До-
кажем, что она верна для
любого выпуклого (к +1) -
угольника. Разобьем
(к +1) -угольник диаго-
налью так, что получим к-
угольник и треугольник
(см. рисунок).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________131
Так как формула верна для треугольника, и
^-угольника, получаем л(к - 2) + п = п(к -1).
То же мы получим, если в исходную форму-
лу подставить п = к +1: п(к +1 - 2) = п(к -1).
Метод математической индукции широко
используется в математике при выводе матема-
тических формул.
ИНОХОДЦЕВ ПЕТР БОРИСОВИЧ (1742-
1806) — русский математик, астроном, фило-
лог. Совместно с И. Юдиным перевел на рус-
ский язык сочинение Л. Эйлера «Элементы ал-
гебры», которое вышло в свет в 1768—1769 гг.
под названием «Универсальная арифметика». В
1769 году П.Б. Иноходцев по поручению Эйле-
ра наблюдал в Гурьеве редкое астрономическое
явление — прохождение Венеры по диску Сол-
нца. Определил географические координаты не-
которых городов России. Позднее участвовал в
составлении толкового словаря русского языка.
ИНТЕГРАЛ.
Неопределенный интеграл. Пусть нам дана
функция /(х); если эта функция имеет перво-
образную f’(x), то она имеет бесчисленное
множество первообразных, причем любые две
из них отличаются друг от друга только посто-
янным слагаемым. Неопределенным интегра-
лом от функции /(х) называется выражение
F(x) + С, т.е. совокупность всех первообразных
от данной функции /(х). Обозначение:
i3Z
МАТЕМАТИКА
^f(x)dx = F(x) + C, где функция /(x) называ-
ется подынтегральной функцией, выражение
/(х) dx — подынтегральным выражением,
F(x) — одна из первообразных функции /(х),
С — произвольная постоянная.
Основные правила интегрирования:
1. Постоянный множитель можно вынести
за знак интеграла:
Jkf(x)dx -k^f(x)dx.
2. Интеграл суммы равен сумме интегралов:
| (/(х) чЛ(х)) dx = J f(x)dx + ^h(x)dx.
3. Интеграл дроби, в которой числитель есть
производная знаменателя, равен натуральному
логарифму абсолютной величины знаменателя:
J хЛ/
Несколько формул простейших интегралов:
1. [xndx = ^- + C, (п*-Т)
J п + 1
2- fy = ta|x| + C
3. taxdx = -^— + C, (а > 0)
J Ina
4. | exdx = ex +C
5. J sinx etc = -cosx + C
6. jcosxdr = sinx + C
Обозначение неопределенного интеграла
ввел Л. Эйлер. Одна из основных теорем интег-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
133
рального исчисления устанавливает существо-
вание неопределенного интеграла для любой
непрерывной функции f(x) действительного
переменного.
Определенный интеграл. Введем понятие оп-
ределенного интеграла с помощью формулы
Ньютона—Лейбница. Пусть дана ограниченная
функция у = f(x), определенная на закрытом
интервале Интегралом от а до b функции
f называется приращение первообразной F этой
функции, т.е.
ь
\f(x)dx = F(b)-F(a)
а
Основные правила вычисления определен-
ного интеграла:
1. Постоянный множитель можно вынести
за знак интеграла:
ь ь
J£ f(x)dx = kj f(x)dx, где к — постоянная.
а а
2. Интеграл суммы равен сумме интегралов:
b ь ь
J (/(*) + h(x)) dx = j f (x) dx + j й(х) dx •
a a a
3. Перестановка пределов интеграла приво-
дит к перемене знака:
Ь а
J f(x)dx = -j /(х) dx-
a b
4. Справедлива следующая формула замены
переменной:
ь । кь+р
J f(kx + p)dx = —
а & ка+р
134
МАТЕМАТИКА
5. Имеют место следующие равенства:
а
j/(x)dbc = O,
а
b с b
а а с
Определенный интеграл используют для вы-
числения площадей плоских фигур. Например:
вычислим площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = 1- х и у = 3 - 2х - х2.
$ = $BADC ~ $ВАС
1
SBADC = J (3-2х-х2)йвс = 9
-2
Sbac=}-ABBC = ^
S = 4,5 — площадь за-
штрихованной фигуры.
ИНТЕРВАЛ. Под интервалом принято пони-
мать множество действительных чисел, удовлет-
воряющих неравенству а < х < b. Если числа а
и b принадлежат интервалу, то получаем отре-
зок. Если одно из чисел а и b принадлежит ин-
тервалу, то получаем полуинтервал. Всю число-
вую ось можно рассматривать как бесконечный
интервал. Обозначения:
(а, £>) — интервал;
[а, £>] — отрезок;
[а, Ь) — полуинтервал;
(—°°; + оо) — числовая ось.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
135
Интервалы применяют при исследовании
функции. Например: интервалы знакопостоян-
ства — интервалы, в которых функция положи-
тельна или отрицательна; интервалы возраста-
ния и убывания функции. Интервалы использу-
ют при иллюстрации решений неравенств и си-
стем неравенств с одной переменной.
5 х -3 1 х
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ - выра-
жения числовые и буквенные, содержащие кор-
и 1
ни с натуральным показателем. Например: -у=;
5 у/х-у; yjaja ; x + y/у .
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА - действитель-
ные числа, не являющиеся рациональными.
Или, число, которое можно выразить в форме
бесконечной десятичной непериодической дро-
би, называется иррациональным. Например:
72; 0,1010010001...; Ig2; cos20°; л/З-Л.
ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ. При реше-
нии систем уравнений, содержащих несколько
неизвестных, необходимо переходить к системе
или уравнению, равносильной данной системе,
но с меньшим количеством неизвестных. И так
далее, пока не останется одно неизвестное.
136
МАТЕМАТИКА
Например: решить систему
x + y + z = 2
• 2х + Зу + z = 1
х2 + (у + 2)2 + (z -1)2 =9
Переходим к системе
x=2-y-z
<2(2-y-z) + 3y + z = 1 ,
(2-у- z)2 + (у + 2)2 + (z-1)2 = 9
преобразуем ее и получим:
х = 2 - у - z
< у-z = -3
у2 + Z2 +yz-3z = О
Решим систему из двух последних уравне-
НИЙ; {и-3)Т + г2+(г-3>г-Зг = 0- Преобразу-
ем последнее уравнение и решим его:
Z2 - 4z + 3 = 0, получим zr = 1; Z2 = 3. Из урав-
нения у = z - 3 получим = -2; у2 = 0, а из
уравнения х = 2 - у - z находим xt = 3, х2 = -1.
Получим следующие решения системы:
(3; -2; 1), (-1; 0; 3).
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИ-
НЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕ-
МЕННЫМИ.
Рассмотрим систему двух линейных уравне-
ний с двумя переменными:
(а^х + ^у + Су = 0;
[OjX + b2y + с2 = 0.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
137
1. Если то система имеет единст-
^2 ”2
венное решение.
2. Если — = = —, то система имеет бес-
“2 ^2
конечно много решений.
3. Если — = , то система не имеет
£>2 С2
решений.
Например:
система = q имеет единственное
решение;
система бу- 8Г-% имеет бесконечно
много решений;
си стема - 8у + 3 = О не имеет решений.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ- рассмотре-
ние ее свойств по определенной схеме:
1. область определения функции;
2. производная функции;
3. критические точки;
4. значения функции в критических точках;
5. промежутки возрастания и убывания;
6. экстремумы.
После того, как мы исследовали функцию,
задача построения графика функции сильно уп-
рощается.
Например: исследуем и построим график
функции у = Зх - х3 - 2
138
МАТЕМАТИКА
1. Область определения функции: (-«>; + «>)•
2. Производная: у' = 3 - Зх2.
3. Критические точки: у' = 0 при х = 1 и
х = -1.
4. у(1) = 0,
у(-1) = -4.
5. у' < 0 при х е (-<«;-1), следовательно, на
промежутке (-<*>; -1] функция убывает;
у' > 0 при х е (-1;1), следовательно, на про-
межутке [—1; 1] функция возрастает;
у' < 0 при х е (1; + со), следовательно, на
промежутке [1; + °°) функция убывает.
6. х = -1 — точка
минимума, у = -4 —
минимум функции;
х = 1 — точка макси-
мума, у = 0 — макси-
мум функции.
7. Дополнительные
точки:
если х = 0, то у = -2;
если х = -2, то у = 0.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
139
к
КАВАЛЬЕРИ БОНАВЕНТУРА (1591-1647)-
итальянский математик, ученик Г. Галилея. Ка-
вальери выступал за объединение раздельных
теорий о числах и непрерывных величинах в
одну теорию. Его научные труды легли в основу
математического анализа. Кавальери считают
основоположником метода неделимых как ме-
тода актуально бесконечно малых. Он перенес
идеи бесконечного в геометрию. В математику
под его именем вошел принцип Кавальери: ес-
ли при пересечении двух плоских фигур любой
прямой, параллельной некоторой другой пря-
мой, получаются в сечении равные хорды, то
площади этих фигур равны. Это предложение
было известно еще древнегреческим ученым,
но Кавальери первым его доказал.
В его работах было много недостатков, но
все равно Кавальери вошел в историю матема-
тики как ученый, который дал толчок развитию
теории о бесконечно малых. Его последователя-
ми были Ньютон, Лейбниц, Валис, Ферма, Па-
скаль.
КАНТОР ГЕОРГ (1845-1918) - немецкий ма-
тематик. Кантор разработал основы теории
множеств, занимался исследованием аксиомы
непрерывности. Одна из аксиом непрерывности
прямой линии называется аксиомой Кантора. В
140
МАТЕМАТИКА
теории множеств есть теорема Кантора—Берн-
штейна. Г. Кантор ее сформулировал, немецкий
математик Ф. Бернштейн эту теорему доказал.
В математике известно такое понятие, как кан-
торово множество.
Идеи и открытия встретили сопротивление
со стороны некоторых математиков, которые
придерживались консервативных идей, были
такие, которые считали его гениальным, напри-
мер Гильберт.
КАРДАНО ДЖЕРОЛАМО (1501-1576) -
итальянский математик. Кардано одним из пер-
вых нашел алгоритм алгебраического решения
уравнения третьей степени. Формула, выражаю-
щая корни кубического уравнения, названа
формулой Кардано, хотя до сих пор неясно, кто
первый вывел эту формулу — Дж. Кардано,
Н. Тарталье или С. Ферро. В своей книге «Ве-
ликое искусство» Дж. Кардано также дал меха-
ническое правило решения систем двух линей-
ных уравнений по их коэффициентам.
КАРНО ЛАЗАР (1753-1823)- французский
математик, крупный политический и военный
деятель французской буржуазной революции.
Карно занимался бесконечно малыми, был ре-
шительным сторонником идей Лейбница. В
своей работе «Геометрия положения для тех,
кто готовится к измерению земель» Л. Карно
предвосхитил некоторые идеи проективной гео-
метрии и топологии. Он первым стал употреб-
лять термин «комплексные числа». Память о
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
141
Карно хранится в одной из теорем — теореме
Карно.
КАСАТЕЛЬНАЯ.
Касательная к графику функции f (х) в точке
Л0(х0,/(х0)) — прямая, проходящая через точку
Д, угловой коэффициент которой равен значе-
нию f в точке х0. Уравнение касательной к
графику функции у = /(х) в точке х = х0 име-
ет вид: у = /(х0) + /'(х0)(х-х0) (см. геометри-
ческий смысл производной).
Необходимо заметить, что касательная к гра-
фику функции может пересекать этот график в
другой точке, в отличие от касательной к ок-
ружности, которая имеет с окружностью только
одну общую точку.
Прямая I касается
графика функции
у = / (х) в точке
х = а, и пересекает
его в точке х = Ь.
Касательная к окружности — прямая, имею-
щая с окружностью только одну общую точку.
Их общая точка называется точкой касания
прямой и окружности. Теорема о свойстве ка-
сательной: касательная к окружности перпенди-
кулярна к радиусу, проведенному в точку каса-
ния.
142
МАТЕМАТИКА
Отрезки касательных к окружности, прове-
денные из одной точки, равны и составляют
равные углы с прямой, проходящей через эту
точку и центр окружности.
ОА — радиус; АС = ВС;
/104
Z1 = Z2
Две окружности, имеющие общую точку, ка-
саются в этой точке, если они имеют в этой
точке общую касательную. Различают внутрен-
нее касание, если центры окружностей лежат
по одну сторону от их общей касательной, и
внешнее касание, если центры окружностей ле-
жат по разные стороны от их общей касатель-
ной.
/ — общая касательная
внутреннее касание
внешнее касание
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
143
Касательная к шаровой поверхности. Пря-
мая, проходящая через точку шаровой поверх-
ности перпендикулярно к радиусу, проведенно-
му в эту точку, называется касательной к шаро-
вой поверхности.
Касательная плоскость конуса — плоскость,
проходящая через образующую конуса и пер-
пендикулярная осевому сечению, проведенному
через эту образующую.
Касательная плоскость шаровой поверхно-
сти — плоскость, проходящая через точку ша-
ровой поверхности и перпендикулярная радиу-
су, проведенному в эту точку. Точка, общая для
плоскости касания и шаровой поверхности, на-
зывается точкой касания. Через любую точку
шаровой поверхности проходит бесконечно
много касательных, причем все они лежат в ка-
сательной плоскости шара.
а — касательная плос-
кость шаровой поверх-
ности;
I и к — касательные к
шаровой поверхности.
КАТЕТ. Стороны прямоугольного треугольни-
ка, между которыми лежит прямой угол, назы-
ваются катетами прямоугольного треугольника.
Любой катет в прямоугольном треугольнике
всегда меньше гипотенузы. Катет, лежащий
против угла 30 градусов, равен половине гипо-
тенузы. Если в прямоугольном треугольнике
катеты равны, такой треугольник называется
144
МАТЕМАТИКА
равнобедренным прямоугольным. По теореме
Пифагора сумма квадратов катетов равна квад-
рату гипотенузы (см. прямоугольный треугольник,
гипотенуза, теорема Пифагора).
&АВС — прямо-
угольный,
ZC = 90°,
АС и СВ — катеты
прямоугольного
треугольника АВС.
аль-КАШ И ГИЯС АД-ДИН ДЖЕМШИД
(XIV—XV вв.) — талантливый самаркандский
ученый. Он занимался разработкой методов
приближенного решения алгебраических урав-
нений. В своих трудах аль-Каши первым при-
менил понятие степени с нулевым показателем.
В начале XV века он составил самые точные
тригонометрические таблицы того времени, он
указал в них значения синусов с шагом в один
градус. В своей книге «Об измерении окружно-
сти» аль-Каши нашел для числа к значение, да-
леко превосходящее по точности все ранее из-
вестные. Он одним из первых математиков
Древнего Востока стал применять десятичные
дроби. Аль-Каши — один из наиболее ярких
представителей математической науки на Вос-
токе.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________145
КВАДРАТ. Квадратом называется прямоуголь-
ник с равными сторонами. Или ромб, у которо-
го все углы прямые. Поэтому квадрат обладает
всеми свойствами прямоугольника и ромба:
1. Противоположные стороны равны и па-
раллельны.
2. Все углы прямые.
3. Диагонали квадрата равны, взаимно пер-
пендикулярны, точкой пересечения делятся по-
полам и делят углы квадрата пополам.
4. Точка пересечения диагоналей квадрата
является центром симметрии квадрата, центром
вписанной и описанной окружностей.
5. Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Если сторона квадрата равна а, то диагональ
АВ = ВС = CD =
DA = а
/.А- А.В = ZC =
ZD = 90°
О — центр симметрии
> ^2 ’ ^3 > ^3 ОСИ
симметрии.
КВАДРАТИЧНОЕ СРЕДНЕЕ — число, которое
находится по формуле:
14&
МАТЕМАТИКА
Например:
f22 + з2 +12 _ /4 + 9 + 1 = [14
3 V 3 V 3
КВАДРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО - неравенство
вида: ах2 + Ьх + с > 0 (< 0; > 0; < 0) а 0.
Чтобы решить квадратное неравенство, нуж-
но схематично построить график квадратного
трехчлена; для нас важно, как график будет се-
бя вести по отношению к оси Ох.
Рассмотрим решение неравенства
ах2 + Ьх + с > 0 :
1. Если D < 0, то график квадратного трех-
члена f (х) = ах2 + Ьх +с не пересекает ось Ох.
При а > 0 множество решений неравенства
есть вся числовая прямая, при а < 0 неравенст-
во не имеет решений.
2. Если D > 0, то график квадратного трех-
члена пересекает ось Ох в двух точках и х2.
При а > 0 решением неравенства является объ-
единение интервалов (-oojxJ U (х2;+оо), при
а < 0 решением неравенства является интервал
(Хр х2).
3. Если D = 0, то график квадратного трех-
члена касается оси Ох в точке х = хг. При
а > 0 решением неравенства является объеди-
нение интервалов (-oo;Xj)U (х^+оо), при «<0
неравенство решений не имеет.
Графически это можно представить следую-
щим образом:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
147
1. D<Q
0] х
решение: х е + °°)
2. D > О
решений нет
решение:
xe(-oo;X1)Y (х2; + ~)
3. Z> = 0
решение:
xe(-~;Xj)Y (xj; + ~)
148 МАТЕМАТИКА
Аналогично решаются неравенства:
ах2 + Ьх + с < 0; ах2 +Ьх +с > 0; ах2 + Ьх + с < 0.
Квадратные неравенства можно решать ме-
тодом интервалов (см. метод интервалов).
КВАДРАТНОЕ уравнение — уравнение ви-
да ах2 + Ьх + с = 0 , а * 0.
Корнями квадратного уравнения называются
значения переменной, при которых уравнение
обращается в верное' равенство. Квадратное
уравнение может иметь два, один или ни одно-
го корня. Чтобы определить количество корней
квадратного уравнения, необходимо найти дис-
криминант квадратного уравнения D = Ь2 - 4ас.
Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
Если D = 0, то уравнение имеет один ко-
рень.
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Корни квадратного уравнения можно найти
по формуле:
Если второй коэффициент Ь равен четному
числу, то корни квадратного уравнения можно
„ , , -k±ylk2 - ас
наити по формуле: Ь = 2к, х12 =----------.
’ а
Если первый коэффициент а = 1, то уравне-
ние называется приведенным.
Если Ь = 0 или с = 0, то квадратное уравне-
ние называют неполным. Неполные квадратные
уравнения удобно решать, разложив на множи-
тели левую часть уравнения. Например:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 149
4х2 -1 = 0
1) 4(х - 0,5)(х + 0,5) = 0
хх = 0,5; х2 = -0,5
х2 + Зх = 0
2) х(х + 3) = 0
Xi =0; х2 = -3
С квадратными уравнениями связана теоре-
ма Виета: сумма корней приведенного квадрат-
ного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произве-
дение корней равно свободному члену. Иногда
с помощью теоремы, обратной теореме Виета,
удобно находить корни квадратного уравнения.
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН - многочлен вто-
рой степени с одной переменной ах2 + bx + с,
где х — переменная, а, b — коэффициенты, с —
свободный член, а * 0.
Корнями квадратного трехчлена являются
значения переменной, при которых значение
квадратного трехчлена равно нулю.
Если Xj и х2 — корни квадратного трехчле-
на, то его можно разложить на множители сле-
дующим способом: ах2 + Ьх + с = а(х - xj •
(х-х2).
КВАДРИЛЛИОН. Квадриллионом называется
число 1 000 000 000 000 000 = 1015.
КЕПЛЕР ИОГАНН (1571-1630)- немецкий
математик и астроном, жил в австрийском го-
роде Линце. Кеплер открыл законы движения
150
МАТЕМАТИКА
планет, до него считали, что планеты движутся
по окружности. Он одним из первых стал упот-
реблять знак log, много занимался тригономет-
рией. В книге «Новая стереометрия винных бо-
чек», вышедшей в 1615 году, Кеплер вычисляет
объемы, основываясь на принципе суммирова-
ния неограниченно большого числа беспре-
дельно малых частиц, на которые разбивается
тело. У него впервые встречается общий прин-
цип непрерывности. В своей книге «Оптиче-
ская часть астрономии» Кеплер впервые вводит
понятие и термин «бесконечно удаленная точ-
ка». В математике известно уравнение Кепле-
ра — уравнение вида у - a sin у = х, которое он
рассматривал в связи с задачами небесной ме-
ханики.
КИСЕЛЕВ АНДРЕЙ ПЕТРОВИЧ (1852-
1940) — русский педагог-математик, автор по-
пулярнейших учебников по математике, по ко-
торым обучались несколько поколений школь-
ников в дореволюционной России и в Совет-
ском Союзе.
Андрей Петрович Киселев родился в
г. Мценске Орловской губернии в бедной ме-
щанской семье. Закончил орловскую классиче-
скую гимназию с золотой медалью, а затем по-
ступил на физико-математический факультет
Петербургского университета. После окончания
университета работал преподавателем в гимна-
зиях Воронежа, Курска, Харькова, затем зани-
мался только научной работой, в советский пе-
риод преподавал в военных училищах Вороне-
жа и Ленинграда.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
151
Киселев А.П. издает в 1884 году учебник
«Математический курс арифметики для средних
учебных заведений», в 1888 году учебник «Эле-
ментарная алгебра», в 1893 году учебник «Эле-
ментарная геометрия». Его учебник «Элемен-
тарная геометрия» выдержал около полусотни
изданий. Дедушки, бабушки и некоторые роди-
тели современных школьников постигли азы
геометрии по учебнику Андрея Петровича Ки-
селева.
КЛАСС — термин, имеющий различные значе-
ния. В средней школе понятие класса рассмат-
ривается в десятичной системе счисления:
класс единиц, класс тысяч, класс миллионов,
класс миллиардов, класс триллионов и т.д.
КЛЕЙН ФЕЛИКС (1849-1925)- немецкий
математик, профессор Эрлангенского универ-
ситета. Феликс Клейн положил различные
группы преобразований в классификацию раз-
личных геометрий и соответствующих ветвей
геометрии. Он дал наглядную геометрическую
модель непрерывных дробей иррациональных
чисел, показал, что геометрия Лобачевского не-
противоречива в такой же мере, в какой непро-
тиворечива геометрия Евклида. В математике
известна интерпретация Клейна — отображение
объектов плоскости Лобачевского в объекты ев-
клидовой плоскости.
КЛЕРО АЛЕКСИС КЛОД (1713-1765) - изве-
стный французский математик, состоял членом
152.
МАТЕМАТИКА
академий наук Франции, Англии, Пруссии,
России и других стран. Им создано два замеча-
тельных учебника элементарной математики:
«Элементы геометрии» и «Элементы алгебры».
В «Началах алгебры» Клеро изложение алгебры
носило чисто арифметический характер. Он за-
нимался разработкой теории обыкновенных и
дифференциальных уравнений. В историю ма-
тематики его имя вошло с уравнением Клеро —
обыкновенным дифференциальным уравнением
вида: у = ху’ + <р(у'), где <р — дифференцируе-
мая функция. Клеро пользовался понятием аф-
финного преобразования и частного случая
этого преобразования — сдвига, хотя сам тер-
мин аффинного преобразования он не исполь-
зовал. Он первым стал широко использовать
пространственные координаты х, у, z- Свои от-
крытия Клеро сделал в раннем возрасте. В ис-
тории математики он известен главным обра-
зом благодаря созданию новых понятий в обла-
сти математического анализа.
КОВАЛЕВСКАЯ СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА
(1850—1891) — выдающаяся женщина-матема-
тик. Она родилась в Москве в семье артилле-
рийского генерала В. Корвин-Круковского.
Математические способности Софьи прояви-
лись в раннем возрасте. В России женщины не
имели права учиться в университете, да и во
многих университетах Европы. Ковалевская
стремилась учиться в Берлинском университете,
но ей это запретили. Она смогла убедить не-
мецкого математика Карла Вейерштрасса зани-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_______________________153
маться с ней лично. Под его руководством она
четыре года упорно занималась и смогла полу-
чить ученую степень доктора философии. В
России, куда она вернулась после учебы, Кова-
левская не смогла применить свои знания. По-
этому с 1883 года она работала в Швеции в
должности профессора Стокгольмского универ-
ситета. Самой важной научной работой С. Ко-
валевской было полное решение задачи о вра-
щении тяжелого твердого тела вокруг непод-
вижной точки. За эту работу ей была присужде-
на в 1888 году премия Парижской академии
наук. В 1889 году по предложению передовых
русских ученых Петербургская академия наук
избрала С. Ковалевскую своим членом-коррес-
пондентом. Она была первой женщиной, чьи
научные заслуги были оценены столь высоко.
Научные труды Софьи Ковалевской явились
важным вкладом в мировую науку и не потеря-
ли своей ценности до настоящего времени.
КОЛЕБАНИЯ. Физическая величина, изменя-
ющаяся во времени в соответствии с уравнени-
ем f(t) = A cos (со/ + <р), совершает гармониче-
ское колебание. Величина А называется ампли-
тудой колебания, она характеризует размах ко-
лебания. со — циклическая частота колебания,
Ф — начальная фаза колебания. Графиками гар-
монических колебаний являются синусоиды.
Подробно гармонические колебания изучают в
курсе физики (см. гармонические колебания).
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ- ненулевые
154
МАТЕМАТИКА
векторы, лежащие либо на одной прямой, либо
на параллельных прямых. Нулевой вектор счи-
тается коллинеарным любому вектору. Два не-
нулевых коллинеарных вектора могут быть на-
правлены либо одинаково, либо противополож-
но. Если коллинеарные векторы направлены
одинаково, они называются сонаправленными.
Если коллинеарные векторы противоположно
направлены, они называются противоположно
направленными. Обозначения: a Tt b; а ТФ b.
Если векторы а и b коллинеарны и а * 0,
то существует такое число к, что b = ка (см.
вектор).
КОМБИНАТОРИКА — раздел элементарной
математики, изучающий вопросы, связанные с
подсчетом числа всевозможных комбинаций из
элементов данного конечного множества. Раз-
личают три типа комбинаций: перестановки,
размещения и сочетания.
Перестановки — комбинации, состоящие из
одних и тех же элементов и отличающихся
только порядком их расположения.
Размещения из п элементов по к — комби-
нации, составленные из п данных элементов по
к элементов в каждой.
Два размещения считаются различными, ес-
ли они отличаются либо элементами, либо их
порядком.
Сочетания из п элементов по к — комбина-
ции по к элементов из данных п, отличающие-
ся одна от другой хотя бы одним элементом.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
155
Обозначения: Р(п) — перестановки; —
размещения; С* — сочетания.
Например:
1. Для того, чтобы определить, сколько четы-
рехзначных чисел можно записать с помощью
цифр 1, 2, 3, 4, при условии, что каждая цифра
входит в изображение числа только один раз,
необходимо вычислить Р(4) = 4! = 1- 2- 3- 4 = 24.
Следовательно, таких чисел 24.
2. Если необходимо определить количество
трехзначных чисел, записываемых нечетными
цифрами 1, 3, 5, 7, 9, при условии, что каждая
цифра входит в изображение числа только один
раз, то используют формулу для размещений:
лк п! _
А?=------—. В нашей задаче это
(п-к)!
Следовательно, таких чисел можно записать
60.
3. Если необходимо определить, сколькими
способами можно расположить в ряд 5 черных
и 5 белых шашек, то для этого используется
ж о ^к и! „
формула для сочетании: С„ = ----,ч,, . В на-
(n-k)lkl
г5 10! 67-8910
шеи задаче это Q = —— = = 252.
«Z • «Z • 1 ‘ J ’ I * w/
Следовательно, таких способов 252.
Число размещений и число перестановок
связаны формулой: А£ = Р(п) = п\.
Соотношения между числом размещений,
МАТЕМАТИКА
156______________________________
„к 4
сочетании и перестановок: С„ = -g-.
Необходимо добавить, что бывают переста-
новки с повторениями, размещения с повторе-
ниями и сочетания с повторениями.
КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ - три ненуле-
вых вектора, если лучи, задающие их направле-
ния, принадлежат прямым, параллельным не-
которой плоскости. Если среди трех векторов
имеется хотя бы один нулевой вектор, то такие
векторы также считаются компланарными. Ес-
ли векторы а и b не коллинеарны, то любой
вектор с, компланарный с векторами а и b,
можно представить единственным образом в
виде с = xa + yb.
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО - число вида
Z = а + Ы, где а и b — действительные числа,
i — мнимая единица, определяемая условием
i2 = -1.
Запись комплексного числа z = а + Ы назы-
вается алгебраической формой записи комплек-
сного числа, при этом число а называется дей-
ствительной частью комплексного числа z, а
Ы — его мнимой частью.
Над комплексными числами можно осуще-
ствлять все арифметические операции как над
обычными двучленами, учитывая, что i2 = -1.
1. Сложение комплексных чисел Zi = ах + bxi
и Z2 = а2 + b2i:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА________________________157
Z1 + Z2 =0! + a2) + (bl + b2)i.
2. Вычитание комплексных чисел:
Zi - Z2 = (а, - а2) + (Z>i - b2)i
3. Умножение комплексных чисел:
Z1Z2 = («1«2 - Ьгь2) + (агЬ2 + a2bi)i.
4. Деление комплексных чисел (z2 * 0):
Zj _ + ^1^2 - ;
Z2 а2 + b2 а2 + Л22
Число д/л2 + Ь2 называется модулем комп-
лексного числа z = а + bi: |<| = 7в2 + Ь2
Комплексные числа можно изображать точ-
ками плоскости. Точка с координатами (a; Z>)
служит изображением комплексного числа,
между комплексными числами и точками коор-
динатной плоскости
устанавливается вза-
имно однозначное со-
ответствие. С каждой
точкой А координат-
ной плоскости связан
вектор 04, с началом
в точке О и концом в
точке А, поэтому ком-
плексное число можно
изобразить вектором
ОА с координатами
Z = а + bi; ОА{а, Ь]
(а; ь).
Комплексные числа в данное время не изу-
чают в средней школе, однако знакомство с
ними необходимо.
158
МАТЕМАТИКА
КОМПОЗИЦИЯ ДВИЖЕНИЙ. Композицией
движений называются два движения, выпол-
ненные последовательно. Обозначение: J\°
где /i, /2 — движения.
Например:
1. Композиция двух вращений с одной и той
же осью есть движение.
2. Композиция параллельного переноса и
поворота пространства вокруг оси есть винто-
вое движение.
3. Композиция параллельного переноса на
вектор и симметрии относительно плоскости
есть скользящая симметрия.
4. Композиция симметрии относительно
плоскости и поворота пространства вокруг оси
есть зеркальный поворот.
КОНЕЦ ВЕКТОРА. Вектором называется на-
правленный отрезок АВ, точка А называется
началом вектора, точка В называется концом
вектора АВ.
В — конец вектора АВ.
КОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО — множество, эк-
вивалентное отрезку натурального ряда. Число
элементов конечного множества называется
мощностью конечного множества.
Для конечных множеств справедлива следу-
ющая теорема, которая называется основной
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
159
теоремой о конечных множествах: любое ко-
нечное множество не эквивалентно никакому
его собственному подмножеству. Напомним,
что множества А и В называются эквивалент-
ными, если множество А взаимно однозначно
отображается на множество В.
Рассмотрим пример конечного множества.
Множество, состоящее из делителей числа
36, будет конечным числовым множеством
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Мощность этого
множества равна 9.
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ. Кривые второго
порядка называют иначе коническими сечения-
ми, которые получаются при пересечении ко-
нической поверхности с плоскостями, не про-
ходящими через ее вершину.
1) Если секу-
щая плоскость
пересекает одну
полость круговой
конической по-
верхности и не
параллельна ни
одной из ее обра-
зующих, то сече-
ние будет эллип-
сом или окруж-
ностью.
160
МАТЕМАТИКА
2) Если секущая плоско-
сть параллельна одной из об-
разующих конической повер-
хности, то сечение будет па-
раболой.
3) Если секущая плоско-
сть пересекает обе полости
конической поверхности, то
сечение будет гиперболой.
КОНЦЫ ОТРЕЗКА. Отрезком АВ называется
часть прямой, которая состоит из точек этой
прямой, лежащих между точками А и В. Точки
А и В называются концами отрезка АВ.
А
В
Дан отрезок АВ, точки А и В — концы
отрезка АВ.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_____________________161
КОНЦЫ ИНТЕРВАЛА. Пусть дан интервал
(а; Л), для всех точек х € (л; Ь) выполняется не-
равенство а < х < b. Значения а и b называются
концами интервала (a; Z>), а значения
х е («; Ь) — внутренними точками интервала.
КОНУС — геометрическое тело, ограниченное
конической поверхностью с замкнутой направ-
ляющей и пересекающей ее плоскостью, не
проходящей через вершину конической поверх-
ности.
В средней школе изучают круговые конусы.
Конус называется круговым, если его основа-
ние круг. Отрезки, соединяющие вершину ко-
нуса с точками окружности основания, называ-
ются образующими конуса. Высотой конуса на-
зывается перпендикуляр, опущенный из верши-
ны конуса на плоскость основания.
Круговой конус называется прямым, если
прямая, соединяющая вершину конуса с цент-
ром основания, перпендикулярна плоскости ос-
нования. Прямой круговой конус может быть
определен как фигура, полученная при враще-
нии прямоугольного треугольника вокруг оси,
содержащей его катет.
Рассмотрим фигуры и формулы, связанные с
прямым круговым конусом.
1. Осевое сечение конуса — сечение конуса
плоскостью, проходящей через его ось. Все осе-
вые сечения конуса представляют собой равно-
бедренные треугольники, равные между собой.
2. Сечение конуса плоскостями, параллель-
6 Математика
162
МАТЕМАТИКА
ными плоскости основания конуса, есть круги.
3. Развертка боковой поверхности конуса яв-
ляется круговым сектором, а полная развертка
поверхности конуса представляет собой круго-
вой сектор и круг.
4. С прямым круговым конусом связаны
следующие формулы:
V = nr2h — объем конуса;
5б ок= лг1 — площадь боковой поверхности;
S - izrl + тег2 — площадь полной поверхно-
сти.
SO — высота А;
SA — образующая /;
АО — радиус основания г,
SASB — осевое сечение.
КОНУС УСЕЧЕННЫЙ - часть прямого кру-
гового конуса, ограниченная его основанием и
сечением, параллельным плоскости основания.
Усеченный конус можно получить как фигуру
вращения, вращая равнобедренную трапецию
вокруг ее оси симметрии, или вращая прямо-
угольную трапецию вокруг оси, содержащей бо-
ковую сторону трапеции, перпендикулярную
основаниям. Рассмотрим формулы, связанные с
усеченным конусом:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
153
V = ^nh(Ri + RlR2 + R%) — объем;
S6o = iti(Rx + R2) — площадь боковой повер-
хности
5 = nfjtf + R2 + l(Rx + R2)) — площадь пол-
ной поверхности.
Oi<?2 — высота h;
AxA2 — образующая Z;
ЦД = Rx и O2A2 = R2 -
радиусы оснований;
КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ
ОКРУЖНОСТИ - ок-
ружности, имеющие об-
щий центр и различные
радиусы.
КООРДИНАТА ТОЧКИ
НА ПРЯМОЙ. Прямая, на которой задана на-
чальная точка и единичный отрезок, называет-
ся координатной прямой или числовой осью.
Каждому действительному числу соответствует
точка на числовой оси. Между действительны-
ми числами и точками числовой оси устанавли-
вается взаимно однозначное соответствие. Чис-
ВСЬ) 0(о) Е(1) А(а)
х
164
МАТЕМАТИКА
ло, изображением которого служит данная точ-
ка А числовой оси, называется координатой
этой точки. Обозначается Л(а).
КООРДИНАТНЫЕ ВЕКТОРЫ- единичные
векторы, имеющие направление положитель-
ных координатных полуосей (см. единичные век-
торы).
У, Д-четверть 1-четверть
0 X
Ш-четверть Е-четверть
КООРДИНАТНЫЕ
ЧЕТВЕРТИ. Коор-
динатные оси Ох и
Оу прямоугольной
системы координат
делят координат-
ную плоскость на
четыре части, кото-
рые называются
координатными
четвертями или ко-
ординатными углами. Координатные четверти
имеют определенную нумерацию:
КООРДИНАТЫ прямоугольные декартовы на
плоскости. Возьмем две взаимно перпендику-
лярные координатные прямые Ох и (ty с рав-
ными единичными отрезками. Точка пересече-
ния координатных прямых О называется нача-
лом координат, координатная прямая Ох назы-
вается осью абсцисс, а Оу — осью ординат. Та-
ким образом, мы задали систему координат.
Плоскость, на которой задана система коорди-
нат, называется координатной плоскостью.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
165
Возьмем точку А
координатной плоско-
сти и проведем через
нее прямые 4 и /2,
параллельные коорди-
натным осям. Абсцис-
сой точки А называет-
ся число, которое со-
ответствует точке пе-
ресечения прямой 4 и
оси абсцисс. Ординатой точки А называется
число, которое соответствует точке пересечения
прямой /2 и оси ординат. Упорядоченная пара
(х;у) называется координатами точки А в пря-
моугольной декартовой системе координат.
Аналогично вводятся прямоугольные декар-
товы координаты в пространстве.
Имеем три координатные оси Ох, Оу, Oz,
которые пересекаются в одной точке О и по-
парно перпендикулярны. Плоскости, которые
содержат х и у, х и z, у и z, называются коорди-
натными плоскостями. Координаты точки А
находят, проводя через нее плоскости, парал-
лельные координатным плоскостям. Упорядо-
ченную тройку (x;y;z) называют координатами
точки А в пространстве.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА- коэффициенты
разложения данного вектора по координатным
векторам. Если вектор АВ задан в координат-
ной плоскости с координатными векторами i
и j , то АВ = xi + yj, где х и у — координаты
166
МАТЕМАТИКА
вектора АВ. Аналогично в пространстве для
вектора АВ имеет место разложение
АВ = хег + уе2 + ze3, где ё1} ё2, ё3 — координат-
ные векторы, х, у, z — координаты вектора АВ.
Обозначение: АВ{х; у}; АВ{х; у, z}•
Рассмотрим правила, связанные с координа-
тами векторов:
1. Координаты равных векторов соответст-
венно равны.
2. Каждая координата суммы двух и более
векторов равна сумме соответствующих коорди-
нат этих векторов.
3. Каждая координата разности двух векто-
ров равна разности соответствующих координат
этих векторов.
4. Каждая координата произведения вектора
на число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.
Если известны координаты начала и конца
АВ, то каждая координата вектора АВ равна
разности соответствующих координат его конца
и начала.
Пусть вектор АВ на некоторой плоскости
имеет началом точку Aix^yi) и концом
Л(х2;у2), тогда х2-хг и у2 - yt — координаты
вектора АВ.
Аналогично в пространстве: дан вектор АВ',
и B(x2;y2;z2), тогда х2 -х,, у2 -yt и
z2 - Zi — координаты вектора АВ.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
167
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА.
Пусть в координатной плоскости заданы точки
^(хрУ1) и Точка С является середи-
ной отрезка АВ. Тогда координаты точки
С(х; у) можно найти по формулам:
г _ *1 + *2 . Г_У1+У2
2 ’ 2 '
КОРЕНЬ.
Корень арифметический. Определение — см.
арифметический корень.
Для обозначения арифметического корня
используют знак радикала л/а . Число а являет-
ся подкоренным выражением, причем сама за-
пись у[а подразумевает, что подкоренное выра-
жение неотрицательное число, п — показатель
корня является числом натуральным большим
или равным 2.
Если п = 2, то показатель над знаком ради-
кала не записывается,
квадратным. Например:
72.
Назвать точное зна-
чение квадратного корня
из числа 2 мы не смо-
жем, зато легко постро-
им отрезок, длина кото-
рого равна 72. Для это-
го нужно построить пря-
моугольный треугольник,
катеты которого равны
единице длины.
а корень называется
725=5; 736=6; 73
168
МАТЕМАТИКА
Аналогично можно поступить с другими по-
добными корнями.
Свойства арифметического корня:
1. tfab = >[а‘у/b', a^0’,b>Q;neN;n>2.
2. = aH;bO;neN;/i^2.
3. (tfa? =№; a*0;n,k eN;»^2.
4. yj^/a =пу[а; a>Q;n,k gN;«^2;£>2.
5. ny/akm = y/a*; a>0;m,n,k eN;n>2.
6. Ja* = |a| (например д/(-5)2 = 5).
Корень из действительного числа. Корнем п-
ой степени из числа а называется такое число,
п-я степень которого равна а. Если п — четное
число, то корень из числа а существует при
а > 0.
Если п — нечетное число, то корень из лю-
бого числа а существует. В случае, когда п —
нечетное и а < 0, можно использовать знак ра-
дикала и для неарифметического корня. На-
пример:
5g32 = -V32 = -2; 34^7 =-3; =
Корень квадратного трехчлена (см. квадрат-
ный трехчлен).
Корень квадратного уравнения (см. квадрат-
ное уравнение).
Корень многочлена от одной переменной —
такое значение переменной, при которой значе-
ние многочлена равно 0. Например: дан много-
член х5 - х4 + 2х3 + Зх2 + 12х + 7; при х = 1 по-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА__________________________169
лучаем 1-1 + 2 + 3-12+ 7 = 0, значит, х = 1 яв-
ляется корнем многочлена.
Корень уравнения — значение переменной,
при которой уравнение обращается в верное ра-
венство. Уравнение может иметь конечное или
бесконечное количество корней, а может не
иметь корней вообще. В школе изучаются толь-
ко действительные корни уравнения. Матема-
тики многих поколений искали корни для раз-
личных уравнений, и вместе с их поисками раз-
вивалась алгебра. Рассмотрим примеры корней
для некоторых уравнений:
1) х2 -1 = 0 xt = -1; х2 = 1 — корни урав-
нения.
7С
2) sinx = 1 х = — + 2пк, g Z — корни
уравнения.
3) х2 +1 = 0 — действительных корней нет.
4) 5х + 4 = 0 х = -0,8 — корень уравнения.
Корень посторонний для уравнения. Иногда
при решении уравнений приходится произво-
дить над уравнением алгебраические операции,
в результате могут получиться корни, не являю-
щиеся корнями исходного уравнения. Такие
корни называются посторонними. Поэтому при
решении уравнения необходимо провести про-
верку, подставив полученные корни в исходное
уравнение. Например: решим уравнение
х2 + х - 6 _ Q
х - 2
Перейдем к уравнению х2+х-6 = 0, его
корнями являются х = -3 и х = 2.
170
МАТЕМАТИКА
При х = -3, х - 2 * 0, следовательно, х = -3
является корнем исходного уравнения.
При х = 2, х - 2 = 0, следовательно, х = 2
посторонний корень для исходного уравнения
(см. посторонний корень).
КОСЕКАНС — тригонометрическая функция,
которая задается формулой:
1
cosec а = ——.
sin а
Косеканс угла а определен при всех а, за
исключением а = itn, п е Z.
1. Область определения функции — множе-
ство всех действительных чисел, кроме чисел
х = пп, nel.
2. Область значений функции:
(-oo;-l]Y[l; + oo).
3. Функция cosec х нечетная, т.е.
cosec(-x) = - cosec х.
4. Функция cosec х периодическая с наи-
меньшим положительным периодом 2л.
5. Функция cosec х ни при каком значении
аргумента не обращается в нуль.
6. Функция принимает положительные зна-
чения: cosec х > 0 при х е (2ли; л + 2ли), п е Z.
7. Функция принимает отрицательные зна-
чения: cosec х < 0 при х е (л + 2лн; 2л + 2лп),
п е Z.
8. Функция cosec х возрастает в промежут-
л
ках — + 2лл: л + 2л«
L? )
Z.
л + 2лл;-^ + 2лл ,
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
171
Зя
9. Функция cosec х убывает в промежутках
2пп;
10. Производная (cosec х)' = —.
sin х
7U ЗТС I
— + 2пп и — + 2пп; 2я + 2пп I, п е Z.
2
КОСИНУС.
Косинус острого угла в прямоугольном треу-
гольнике. Косинусом острого угла в прямо-
угольном треу-
гольнике называ-
ется отношение
прилежащего ка-
тета к гипотенузе:
АС
cos а = ——.
АВ
172
МАТЕМАТИКА
Косинус произ-
вольного угла — одна
из основных тригоно-
метрических функ-
ций. Задается следую-
щим образом: возь-
мем окружность про-
извольного радиуса с
центром в начале
прямоугольной декар-
товой системы коор-
динат. ОА — начальный радиус, точка О — на-
чало координат, точка А — точка окружности,
принадлежащая положительной полуоси Ох.
Если мы будем вращать начальный радиус ОА
вокруг точки О против часовой стрелки, то бу-
дем получать положительные углы, если по ча-
совой стрелке — получим отрицательные углы.
Точка А при повороте будет переходить в точку
В с координатами х и у. Косинусом угла а на-
зывается отношение абсциссы точки В к радиу-
су.
Обозначается: cos а = —.
R
Рассмотрим свойства функции у = cosx:
1. Область определения функции — множе-
ство всех действительных чисел.
2. Область значений — отрезок [-1; 1].
3. Функция четная, т.е. cos(-x) = cosx.
4. Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом 2л.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
1Z3
5. Нули функции: cosx = 0 при х = — + itk,
keZ. 6. Принимает положительные значения:
cosx > 0 при х е | -- + 2л£;£ + 2лА:|, keZ. 2 2 )
7. Принимает отрицательные значения:
(л Зл
cosx < 0 при хе — + 2л&;— + 2л& , к е Z.
2 )
8. Возрастает от —1 до 1 при
х е [-л + 2л&; 2л&], к е Z.
9. Убывает от 1 до —1 при х е [2л&; л + 2л£],
fceZ.
10. Принимает наибольшее значение, равное
1, в точках х = 2л&, к е Z.
11. Принимает наименьшее значение, рав-
ное —1, в точках х = л + 2л&, к е Z.
12. Производная (cosx)' = -sinx.
КОСИНУСОИДА — график функции у = cosx.
1Z1
МАТЕМАТИКА
КОТАНГЕНС — одна из основных тригономет-
рических функций. Задается аналогично коси-
нусу (см. косинус произвольного угла). Котанген-
сом угла а называется отношение абсциссы
X
точки В к ее ординате. Обозначение: ctga = —.
У
Рассмотрим свойства функции у = ctgx.
1. Область определения функции — множе-
ство всех действительных чисел, кроме чисел
вида х = -кп, п eZ.
2. Область значений функции — множество
всех действительных чисел.
3. Функция у = ctgx нечетная, т.е.
ctg(-x) = -ctgx.
4. Функция y = ctgx периодическая с наи-
меньшим положительным периодом л.
5. Нули функции:
ctgx = О
при
л
X = — + 101
2
9
п еZ.
6. Принимает положительные значения:
ctgx > 0 при х g I ля; -^ + ял I, п е Z.
\ Л* ✓
7. Принимает отрицательные значения:
ctgx < О при Хб1-^4-лл;л + лл1, п е Z.
ХА ✓
8. Функция у = ctgx убывает в каждом из
промежутков (ля; л + ли), п е Z.
9. Производная (ctgx)' =-.
sin х
10. График функции у = ctgx называется
котангенсоидой.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
175
КОТЕЛЬНИКОВ СЕМЕН КИРИЛЛОВИЧ
(1723—1806) — русский математик. Родился в
Петербурге, в 11 лет поступил в школу Ф. Про-
коповича, знаменитого сподвижника Петра I. В
1738 году, после закрытия школы, был переве-
ден в Александро-Невскую семинарию, затем в
академическую гимназию, а затем из нее — в
академический университет.
С.К. Котельников поражал преподавателей
своими успехами в математике, гидростатике,
гидравлике и других науках. Было решено по-
слать его в Берлин к Л. Эйлеру. Из дипломати-
ческих соображений Котельников некоторое
время обучался в Лейпциге, а с лета 1752 года
176
МАТЕМАТИКА
поселился у Эйлера в его берлинской квартире
и очень быстро завоевал расположение велико-
го ученого.
Семен Кириллович Котельников был пер-
вым из русских математиков, работы которого
имели самостоятельное значение в науке.
КОЭФФИЦИЕНТ.
Коэффициент гомотетии (см. гомотетия).
Коэффициент одночлена — числовой множи-
тель одночлена, записанного в стандартном ви-
де. Например: -15л362с — одночлен, —15 — его
коэффициент (см. одночлен).
Коэффициент подобия (см. подобие). Коэф-
фициент подобия всегда число положительное.
Коэффициент при переменной — числовой
множитель при переменной.
Например: у = 5х +1 — линейная функция,
5 — коэффициент при переменной.
Коэффициент пропорциональности. Пусть за-
дана прямая пропорциональность у = кх (см.
прямая пропорциональность), число к является
коэффициентом прямой пропорциональности.
Если задана обратная пропорциональность
к
у = —, число к является коэффициентом обрат-
ной пропорциональности. Коэффициент про-
порциональности не может быть равен нулю.
Например: у = 7х, 7 — коэффициент прямой
пропорциональности; у = - —, —1— коэффи-
циент обратной пропорциональности.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА___________________Ш
КОШИ ОПОСТЕН ЛУИ (1789-1857) - изве-
стный французский математик. Коши внес
большой вклад в развитие математического
анализа и других математических дисциплин.
Он занимался пределами, комплексными чис-
лами, дифференциальными уравнениями. Мно-
гое из того, что доказал и сформулировал Луи
Опостен Коши, современно и сейчас. Его имя
увековечено в следующих математических по-
нятиях: неравенство Коши—Буняковского, за-
дача Коши, критерий Коши, уравнение Коши-
Римана и др.
КРАЙНИЕ ЧЛЕНЫ ПРОПОРЦИИ. Пусть за-
дана пропорция = (см. пропорция). Члены а
о а
и d называются крайними членами пропорции.
КРАМЕР ГАБРИЭЛЬ (1704-1752)- извест-
ный швейцарский математик, ученик и друг
Иоганна Бернулли. По правилу Крамера реша-
ют системы линейных уравнений. В своей кни-
ге «Введение в анализ алгебраических кривых»
он впервые стал рассматривать ось Оу, как рав-
ноправную оси Ох.
КРАТНОЕ. Число а называется кратным числу
Ь, если делится на b без остатка. Например:
числа 2, 4, 6, 8, 10,... — кратны числу 2; числа
12, 24, 36, 48,... — кратны числу 12.
Каждому числу кратны бесконечно много
чисел.
Наименьшее общее кратное нескольких нату-
178
МАТЕМАТИКА
ральных чисел — это наименьшее число, крат-
ное каждому из них. Например: наименьшее
общее кратное чисел 15 и 25 — число 75, обоз-
начается НОК (15; 25) = 75. НОК (3; 7; 11) =
231.
При сложении и вычитании обыкновенных
дробей эти дроби необходимо привести к наи-
меньшему общему знаменателю. Наименьшим
общим знаменателем является наименьшее об-
щее кратное знаменателей. Наименьшее общее
кратное удобно искать с помощью разложения
этих чисел на простые множители. Например:
3 12 7-25 = 36 + 175 = 211 .
100 12 + 48-25 " 1200 " 1200’
100 = 2 • 2 • 5 • 5;
48 =2-2-2-2-3;
НОК (100;48) = 2-2 -5 -5-2’2’3 = 1200;
12 — дополнительный множитель для дроби
3
100’
25 — дополнительный множитель для дроби
7
48 ‘
КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ. Криволи-
нейной трапецией
называется фигура,
ограниченная графи-
ком неотрицательной
и непрерывной на от-
резке [a; ft] функции
f осью Ох и прямы-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
1Z9
ми х = а и х=Ь.
Площадь криволинейной трапеции находит-
ся по формуле:
ь
Sabcd = ~ ^(а) = J /(*) few- интег-
а
рал).
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (иначе линии
второго порядка). В школе из кривых второго
порядка изучаются окружность, парабола, ги-
пербола, знакомятся с эллипсом (см. конические
сечения, окружность, гипербола, эллипс).
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА. Критическими точ-
ками функции называются точки из области
определения, в которых производная этой фун-
кции равна нулю или не существует. Критиче-
ские точки не должны быть граничными точка-
ми области определения,
Критические точки на-
ходят для того, чтобы
потом среди них опреде-
лить точки экстремума
(см. точки экстремума,
точка максимума и точ-
ка минимума).
КРУГ — геометрическая
фигура, которая состоит
О — центр круга;
R — радиус круга.
из всех точек плоскости,
находящихся на расстоя-
нии не большем данного
180
МАТЕМАТИКА
от данной точки. Данная точка является цент-
ром круга, а данное расстояние является радиу-
сом круга. Окружность с тем же центром и ра-
диусом является границей круга. Иногда круг
определяют как часть плоскости, ограниченную
окружностью вместе с самой окружностью (см.
площадь круга, окружность).
КРУГОВОЙ СЕГМЕНТ — часть круга, отсека-
емая хордой. Хорда разбивает круг на два сег-
мента. Если хорда совпадает с диаметром, то
она разбивает круг на два полукруга (см. сег-
мент круга, площадь кругового сегмента).
Заштрихованные фигуры являются круговы-
ми сегментами.
КРУГОВОЙ СЕКТОР - часть круга, ограни-
ченная двумя его радиусами. Пара радиусов
разбивает круг на два круговых сектора (см.
сектор круга, площадь кругового сектора).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
181
Заштрихованные фигуры являются круговы-
ми секторами.
КУБ — прямоугольный параллелепипед с рав-
ными измерениями (см. прямоугольный паралле-
лепипед). Куб обладает всеми свойствами пря-
моугольного параллелепипеда. Если ребро куба
равно а, то диагональ куба равна лТЗ. Все гра-
ни куба являются равными квадратами. Куб
имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Куб явля-
ется правильным многогранником, другое его
название гексаэдр. С
кубом связаны следую-
щие формулы:
V ~ а3 — объем ку-
ба;
5 = 6а2 — площадь
полной поверхности;
а
г = — — радиус впи-
санной сферы;
182
МАТЕМАТИКА
aV3
R —
— радиус описанной сферы.
Куб имеет один центр симметрии, которым
является точка пересечений диагоналей куба,
имеет девять осей и девять плоскостей симмет-
рии. Осями симметрии куба являются прямые,
либо проходящие через центры противополож-
ных граней, либо проходящие через середины
двух противоположных ребер, не принадлежа-
щих одной грани. Плоскостью симметрии куба
является плоскость, проходящая через любые
две оси симметрии.
ABCDAlBlClDl — куб;
О — центр симметрии
куба, прямые а и b —
оси симметрии куба,
а — плоскость симмет-
рии куба, О = al b;
аса; b с а.
КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА — график степен-
ной функции у = ах3.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
183
КУБИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН- многочлен
третьей степени (см. многочлен).
Например: 5л3 + 4а2 + л - 8; х3 + х - 2.
КУЗАНСКИЙ НИКОЛАЙ (1401-1464) - кар-
динал, был первым из европейских математи-
ков, пытавшихся вернуться к гелиоцентриче-
ской системе, согласно которой Земля обраща-
ется вокруг Солнца. Николай Кузанский был
сыном скромного рыбака из деревни Куза, он с
детства тянулся к знаниям, слушал лекции в
знаменитых тогда университетах Гейдельберга и
Падуи. Его по праву считают предшественни-
ком Николая Коперника. Николай Кузанский
был также астрономом и физиком и выступал
за введение экспериментального метода в науч-
ное исследование природы и в математику. Он
доказал, что познания невозможно достичь на
основе схоластических рассуждений.
аль-КУШЧИ (умер в 1474 году) — видный ма-
тематик и астроном древнего Востока, был уче-
ником Улугбека и ар-Руми. Аль-Кушчи — это
не имя, а прозвище, так как вначале он был
простым сокольничим у Улугбека, а эта при-
дворная должность называлась «кушчи». Позже
аль-Кушчи стал послом Улугбека у китайского
императора. Принимал участие в составлении
«Гурганских таблиц», написал комментарии к
таблицам Улугбека. За достижения в астроно-
мии был назван «Птолемеем своей эпохи».
184
МАТЕМАТИКА
Л
ЛАГРАНЖ ЛУИ ЖОЗЕФ (1736-1813) -
французский ученый, один из крупнейших ма-
тематиков и механиков своего времени, автор
классического труда «Аналитическая механи-
ка». Лагранж был членом Парижской, Берлин-
ской и Петербургской академий наук. Он стал
профессором в артиллерийской школе города
Турина, когда ему было всего 18 лет. Лагранж
занимался теорией обыкновенных и дифферен-
циальных уравнений, квадратичными иррацио-
нальностями, пытался доказать пятый постулат
Евклида, ввел современное обозначение произ-
водной и первым стал использовать термин
«первообразная». Он одним из первых приме-
нил методы пространственной аналитической
геометрии к решению вопросов элементарной
геометрии. С его именем связаны следующие
математические термины: формула Лагранжа,
метод Лагранжа для отыскания относительных
экстремумов функции, теорема Лагранжа о
квадратичных иррациональностях и др.
ЛАМБЕРТ ИОГАНН ГЕНРИХ (1728-1777) -
европейский ученый, работал во многих горо-
дах Европы, сам себя считал швейцарским ма-
тематиком. Ламберт занимался астрономией и
философией. Как математик известен тем, что
доказал иррациональность чисел е и л, доказал,
что если бесконечная десятичная дробь являет-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
1&5
ся периодической, то она представляет рацио-
нальное число. Много сил потратил Ламберт на
попытку доказать пятый постулат Евклида.
ЛАПЛАС ПЬЕР СИМОН (1749-1827) - зна-
менитый французский математик и астроном.
Лаплас внес большой вклад в развитие высшей
математики. Его имя носят теоремы в теории
вероятностей, дифференциальное уравнение
первого порядка, формула для приближенного
вычисления определенных интегралов.
Во время Французской буржуазной револю-
ции Лаплас вместе о другими известными уче-
ными входил в комиссию, которая занималась
работой по созданию новой системы мер.
ЛЕБЕГ АНРИ (1875—1941) — известный фран-
цузский математик. Лебег создал теорию меры,
в которой обобщил понятие площади и объема.
На основе этой теории он разработал новую те-
орию интеграла.
ЛЕЖАНДР АНДРЕ М. (1752-1833) - знаме-
нитый французский математик. Широко изве-
стна его книга «Элементы геометрии», в кото-
рой он рассматривает элементарную геометрию
с позиции алгебры и арифметики. В этой книге
он первым среди европейских математиков до-
казал теорему о трех перпендикулярах. А сейчас
эта теорема известна каждому старшеклассни-
ку. В книге «Элементы геометрии» много дру-
гих замечательных теорем и определений.
Своей настойчивостью в попытке доказать пя-
тый постулат Евклида Лежандр привлек внима-
186
МАТЕМАТИКА
ние к этой проблеме многих ученых того вре-
мени.
ЛЕЙБНИЦ ГОТФРИД ФРИДРИХ (1646-
1716) — великий немецкий ученый, занимался
математикой, физикой, языковедением и други-
ми науками. Его наследие огромно, про него
много написано. Лейбница считают основопо-
ложником математического анализа. Он был
главой одной из крупнейших математических
школ Европы того времени, в которую входили
Лопиталь, братья Бернулли и другие ученые.
Крепкие связи были у Лейбница с Россией.
Он был знаком с русским императором Петром
Первым, которому дал много советов по разви-
тию русской науки и созданию Академии наук.
ЛЕММА — вспомогательная теорема, с по-
мощью которой доказывается следующая теоре-
ма или несколько теорем. Например: перед тео-
ремой о разложении вектора по двум неколли-
неарным векторам доказывается лемма о кол-
линеарных векторах.
ЛИНЕЙКА — инструмент для проведения пря-
мых линий. В теории геометрических построе-
ний используют два основных инструмента: ли-
нейку и циркуль.
ЛИНЕЙКА ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ - счетное
устройство, предназначенное для выполнения
различных вычислений. Сейчас используется
крайне редко и в средней школе больше не
изучается.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
187
ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ двугранного угла (см. дву-
гранный угол).
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА- неравенства
вида: ах> Ь‘, ах < Ь; ах>Ь\ ах < Ь. Если а > 0,
разделив обе части неравенства ах > b на а, по-
b -
лучим х > —. Следовательно, множеством ре-
а
шений этого неравенства является интервал
(b А
-;+°° .
)
а
Если а < 0, то разделив обе части неравенст-
b
ва на а, получим х < —. Следовательно, множе-
а
ством решений этого неравенства является ин-
( Н
тервал .
\ а)
а
Аналогично решаются уравнения вида:
ах < Ь; ах> Ь; ах< Ь.
Например:
5х < 1 -х > 10
1) Л ' х< -10
Х~ 5 ______________
r ^YAYiYlYlYp 1
1 х -10 *
5
188
МАТЕМАТИКА
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения вида
ах + Ъ = О
а — коэффициент при переменной, b — сво-
бодный член.
Если а * 0, то уравнение имеет единствен-
ный корень х = - —. Если а = О и Z> = 0, то
а
корнем уравнения является любое действитель-
ное число.
Если а = 0, b * 0, то уравнение не имеет
корней.
Например:
3
1) 8х - 3 = 0; х = - — корень уравнения.
О
2) Ох - 5 = 0; уравнение не имеет корней.
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ. Функция, заданная
формулой у = кх + b, где к и b — некоторые
действительные числа, называется линейной.
Свойства линейной функции (при условии
к ф 0, b ф 0):
1. Областью определения линейной функции
является множество всех действительных чисел.
2. Множество значений линейной функции
при к * 0 множество всех действительных чи-
сел.
3. При к > 0 функция возрастает, при к < 0
функция убывает.
4. Линейная функция не является ни чет-
ной, ни нечетной.
5. Графиком линейной функции является
прямая. Для построения графика линейной
функции достаточно определить координаты
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
152
двух точек графика и
через них провести
прямую. Удобно брать
точки, у которых либо
абсцисса, либо орди-
ната равны нулю:
Л(-|;0); В(0;Ь).
к
Число к называется
угловым коэффициен-
том прямой. Угловой коэффициент равен тан-
генсу угла наклона прямой к положительному
направлению оси Ох: к = tg а.
Частные случаи линейной функции:
1. Если b = 0, то линейная функция задается
формулой у = кх. Такая функция называется
прямой пропорциональностью. Графиком пря-
мой пропорциональности является прямая,
проходящая через начало координат.
2. Если к = 0, то линейная функция задает-
ся формулой у = b. Такая функция называется
постоянной. Графиком постоянной функции
является прямая, параллельная оси Ох. Если
к = 0 и b = 0, то график постоянной функции
совпадает с осью Ох.
120.
МАТЕМАТИКА
У, у=Ь (Ь>0)
ь у=0
0 у=Ь (Ь<0)

ЛОБАЧЕВСКИЙ НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ
(1792—1856) — великий русский математик.
Многие математики бились над доказательст-
вом пятого постулата Евклида, и только наш
русский ученый сделал гениальное открытие о
независимости пятого постулата от других. На
основании этого Лобачевский доказал, что
можно построить другую геометрию, отличную
от геометрии Евклида. Такая геометрия называ-
ется геометрией Лобачевского.
Родился Николай Иванович Лобачевский
1 декабря 1792 года. Его отец был мелким чи-
новником. Николай рано остался сиротой по-
сле смерти отца. С этого момента жизнь Лоба-
чевского тесно связана с Казанью. После окон-
чания Казанской гимназии он поступил в Ка-
занский университет, в котором затем был про-
фессором и ректором. При жизни заслуги Ло-
бачевского не были по достоинству оценены.
Он опередил время, и когда идеи Лобачевского
получили признание, в геометрии началась но-
вая эра.
Лобачевский сделал много и других замеча-
тельных открытий, но все же основным счита-
ется создание геометрии Лобачевского.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
191
ЛОГАРИФМ. Логарифмом положительного
числа х по основанию а называется показатель
степени, в которую нужно возвести число а,
чтобы получить х
flioga х _ х (a>Q, а ф 1).
Свойства логарифмов:
1. Если а > 1, то для х > 1 loge х > 0 и для
О < х < 1 loga х < 0.
2. Если 0 < а < 1, то для х > 1 loga х < 0 и
для 0 < х < 1 loga х > 0.
3. Если а > 0, а ф 1, то loga 1 = 0.
4. Если а > 0, а ф 1, то loga а = 1.
5. Если Xj = х2, то l°ge *1 = l°ga х2 > « > 0,
а ф 1.
6. Логарифм произведения равен сумме ло-
гарифмов сомножителей:
loga(x1x2) = logax1 + logax2; а > 0, аФ1,
jq > 0, х2 > 0.
7. Логарифм частного равен разности лога-
рифмов делимого и делителя:
loge — = loge*i -logax2; а>0, а ф1, xt>0,
Х2
х2 > 0.
8. Логарифм степени равен логарифму осно-
вания, умноженному на показатель степени:
loga xb = b loga х; а > 0, а ф\, х>0.
9. Формула перехода к новому основанию:
loga х = ; л > 0, а ф1, Ь>0, Ьф1,
log* л
х > 0.
Следствие формулы: loga b • log4 а = 1.
192
МАТЕМАТИКА
10. Значение логарифма не изменится, если
число, от которого берется логарифм, и основа-
ние логарифма возвести в одну и ту же вещест-
венную степень:
loga X = logflt хк.
Приведем примеры вычисления логарифмов
с использованием перечисленных свойств:
1. log5125 • log3 9 = 3 • 2 = 6;
2. log05 0,5 = 1;
3. log2 25 = log2 52 = 2 log2 5;
4. log318 = log3(9 • 2) = log3 9 + log3 2 =
2 + log3 2;
5. log21,25 = log21 = log2 5 - log2 4 =.
log25-2.
ЛОГАРИФМ ДЕСЯТИЧНЫЙ - логарифм,
основание которого равно 10. Обозначение:
log10x = lgx.
Например: 1g 1 = 0; lg 10 = 1; lg 100 = 2;
lg0,l = -1; lg0,01 = -2.
Значения десятичных логарифмов находят
по таблицам десятичных логарифмов. Если не-
обходимо найти значение логарифма по осно-
ванию а, то используют формулу:
ЛОГАРИФМ НАТУРАЛЬНЫЙ- логарифм,
основание которого равно е (см. число е). Обоз-
начение loge х = In х.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
193
Формулы перехода от десятичного логариф-
ма к натуральному и от натурального к десяти-
чному:
1g е = * ~ 0,4343; 1g х ~ 0,4343 In х;
In 10
In 10 = J- « 2,3026; In x « 2,30261g x.
Ige
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ — операция, позво-
ляющая с помощью свойств логарифмов найти
логарифм числа или выражения. Преобразова-
ние, обратное логарифмированию, называется
потенцированием (см. потенцирование).
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА -
неравенства, содержащие переменную под зна-
ком логарифма. Например:
1. lg(2x2 + 4х +10) > lg(x2 - 4х + 3).
Чтобы решить данное неравенство, необхо-
димо перейти к равносильной системе нера-
венств:
2х2 + 4х +10 > 0
« х2 - 4х + 3 > 0
2х2 + 4х +10 > х2 - 4х + 3
Решив эту систему, получим решение данно-
го неравенства: (-°о; - 7) Y (-1; 1) Y (3; + «>).
2. log07 х > 5 равносильно неравенству
log0 7 х > l°So,7 0,75, которое равносильно систе-
ме неравенств:
Jx < о,7! „ли Jx < 0,16807
(х > 0 [х > 0
7 Математика
194
МАТЕМАТИКА
О 0.16807 *
х е (0; 0,16807)
(0; 0,16807) — множество решений данного не-
равенства.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ - урав-
нения, содержащие переменную под знаком ло-
гарифма. Простейшими логарифмическими
уравнениями являются уравнения вида
loge х = b или уравнения, сводящиеся к этому
виду.
При решении логарифмических уравнений
часто переходят к неравносильным уравнениям,
поэтому необходима проверка полученных кор-
ней подстановкой в данное уравнение. Напри-
мер:
1- logo,8 (5 + 2х) = 1
log0>8(5 + 2х) = logo s °’8
5 + 2х = 0,8
2х = -4,2
х = -2,1
При х = -2,1 5 + 2х > 0, следовательно,
х = -2,1 — корень уравнения.
2) lg(x1 2 + 2х - 7) = lg(x -1)
х2+2х-7 = х-1
Корнями этого уравнения являются х = -3 и
х = 2.
Проверка: при х = -3 х2 + 2х - 7 < 0 и
х - 1 < 0, следовательно, х = -3 не является
корнем данного уравнения; при х = 2
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
195
х2 + 2х - 7 > О и х - 1 > 0, следовательно,
х - 2 — корень данного уравнения.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - функ-
ция вида у = loga х, где а > 0, а 1.
Свойства логарифмической функции:
1. Область определения — множество всех
положительных чисел, т.е. интервал (0; + <»).
2. Множество значений (область значе-
ний) — множество всех действительных чисел,
т.е. интервал (-®о; + оо).
3. При а > 1 функция возрастает на всей об-
ласти определения. При 0 < а < 1 функция убы-
вает на всей области определения.
4. Функция не является ни четной, ни не-
четной.
5. Функция у = loga х обратная функция
у = ах.
6. График функции проходит через точку с
координатами (1; 0).
ЛОМАНАЯ — геометрическая фигура, состоя-
щая=4»г^гбчек, соединенных отрезками. Точки
называются вершинами ломаной, а отрезки —
1эа
МАТЕМАТИКА
звеньями ломаной. Длиной ломаной называется
сумма длин ее звеньев.
Ломаная замкнутая — такая ломаная, если
конец ее последнего звена совпадает с началом
первого звена.
Ломаная называется простой, если ее звенья
не пересекаются.
ЛОПИТАЛЬ ГИЛЬОМ ФРАНСУА (1661-
1704) — известный французский математик,
представитель математической школы Лейбни-
ца. Маркиз Лопиталь был скромным и трудо-
любивым человеком. Свою знаменитую книгу
«Анализ бесконечно малых для понимания
кривых линий» он издал анонимно. Эта книга
пользовалась большой популярностью у совре-
менников Лопиталя.
ЛУЧ — часть прямой, состоящая из всех точек
этой прямой, лежащих по одну сторону от дан-
ной ее точки. Эта точка называется началом лу-
ча. Точка делит прямую на два луча, поэтому
луч иногда называют полупрямой. Различные
полупрямые одной и той же прямой с общим
началом называют дополнительными полупря-
мыми или дополнительными лучами. Обозначе-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
12Z
ние: луч ОА или [ОА), где О — начало луча,
можно обозначать луч а.
ЛЯПУНОВ АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ
(1857—1918) — известный русский математик,
ученик П.Л. Чебышева Занимался теорией ве-
роятностей. Центральная предельная теорема в
теории вероятностей названа его именем. Эта
теорема была им доказана в 1901 году.
198
МАТЕМАТИКА
м
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ - квадратные
таблицы натуральных чисел, имеющие одну и
ту же сумму чисел по строкам, столбцам и диа-
гоналям. Квадрат должен состоять из одинако-
вого количества строк и столбцов. Считается,
что придуманы магические квадраты в Китае за
4000—5000 лет до нашей эры. В древнеиндий-
ских книгах такие квадраты упоминаются 2000
лет назад. Магическими квадратами занимались
математики и в более поз-
дний период. На древнем
востоке магическим квад-
ратам приписывали таин-
ственные свойства. Гете в
«Фаусте» упоминает маги-
ческие квадраты в сцене
приготовления колдуньей
омолаживающего зелья.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Древнекитайский ма-
гический квадрат.
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16
Древнеиндийский магический квадрат.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
199
МАГНИЦКИЙ ЛЕОНТИЙ ФИЛИППОВИЧ
(1669—1739) — известный русский просвети-
тель-математик, автор первого печатного учеб-
ника математики в России, изданного в 1703
году. Магницкий был выходцем из тверских
крестьян, благодаря своему таланту и трудолю-
бию сумел добиться уважения и признания со-
временниками. Он имел личные беседы с Пет-
ром Первым. Ломоносов высоко оценил «Мате-
матику» Магницкого. Эта книга имела огром-
ное значение для развития математики в Рос-
сии.
Леонтий Филиппович Магницкий состоял
учителем Навигацкой школы. Он участвовал в
издании первых в России тригонометрических
таблиц.
МАКЛОРЕН КОЛИН (1698-1748)- извест-
ный английский математик, принадлежал к ма-
тематической школе Ньютона, которая сопер-
ничала с математической школой Лейбница. За
свои математические труды был удостоен пре-
мии Парижской академии наук. Его формули-
ровка основйой теоремы алгебры о корнях
уравнения равносильна современной формули-
ровке.
МАКСИМУМ ФУНКЦИИ- значение функ-
ции в точке максимума (см. точка максимума).
Функция может не иметь максимумов, напри-
мер линейная; может иметь один максимум,
например квадратичная функция при а < 0;
может иметь бесконечно много максимумов,
200
МАТЕМАТИКА
например функция синуса и косинуса. Причем
максимум функции не обязательно совпадает с
наибольшим значением функции.
УД
уяшх — максимум
функции
функция /(х) имеет два макси-
мума
МАРКОВ АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ (1856-
1922) — известный русский математик, бли-
жайший ученик и последователь П.Л. Чебыше-
ва Его работы оказали большое влияние на раз-
витие теории вероятностей. А.А. Марков поло-
жил начало теории последовательностей зави-
симых случайных величин. Эти последователь-
ности называют цепями Маркова. Его именем
также названо неравенство, оценивающее про-
изводную многочлена.
МАСКЕРОНИ ЛОРЕНЦО (1750-1800) - из-
вестный итальянский математик. Его именем
названы геометрические построения, выполняе-
мые с помощью одного только циркуля. В
своей книге «Геометрия циркуля», изданной в
1797 году, Маскерони доказал, что всякая зада-
ча на построение с помощью циркуля и линей-
ки может быть выполнена одним циркулем.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА________________201
Прямую он считал построенной, если построе-
ны две точки этой прямой.
МАСШТАБНЫЙ ОТРЕЗОК (см. единица масш-
таба).
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ (см. индук-
ция математическая).
МАТЕМАТИКА — наука о структурах, так оп-
ределяют математику современные ученые. Есть
и другие определения математики. Математика
состоит из нескольких математических дисцип-
лин, каждая из которых определяется как нау-
ка: алгебра, геометрия, математический анализ,
теория вероятностей и др. Если раньше матема-
тика занималась только изучением числа и
формой фигуры, то сейчас основными ее поня-
тиями являются отображение, множество, алго-
ритм и др.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ (см. знаки мате-
матические).
МЕБИУС АВГУСТ ФЕРДИНАНД (1790-
1868) — известный немецкий математик. Меби-
ус прославился своими оригинальными идеями
в геометрии. Лист Мебиуса — поверхность, ко-
торая имеет только одну сторону. Чтобы на-
глядно представить себе эту поверхность, необ-
ходимо взять полоску бумаги и склеить ее кон-
цы, предварительно повернув один из них на
202 МАТЕМАТИКА
180 градусов. У входа в Музей истории и техни-
ки в Вашингтоне медленно вращается на пьеде-
стале стальная лента — лист Мебиуса. В 1967
году, когда в Бразилии состоялся международ-
ный математический конгресс, его устроители
выпустили памятную марку с изображением
листа или ленты Мебиуса.
Профессор Лейпцигского университета Ав-
густ Фердинанд Мебиус внес большой вклад в
развитие аналитической и проективной геомет-
рии, он впервые ввел в проективную геометрию
систему координат.
МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА - отрезок, сое-
диняющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны. Медианы треуголь-
ника пересекаются в одной точке (см. замеча-
тельные точки). Эта точка делит медианы в от-
ношении 2:1, считая от вершин треугольника.
Медиана треугольника делит его на два треу-
гольника, которые имеют равные площади. Три
медианы треугольника делят его на шесть треу-
гольников с равными площадями. Медиана
равнобедренного треугольника, проведенная к
основанию, является биссектрисой и высотой.
В равностороннем треугольнике медианы, вы-
соты и биссектрисы совпадают. Медиану треу-
гольника можно найти по формуле:
та = — yl2b2 + 2с2 - а2, где та — медиана!, про-
веденная к стороне а; а, Ь, с -— стороны треу-
гольника.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
203
BD — медиана ААВС
S&ABD ~ $М)ВС
BD, АЕ, CF — медианы
АА8С
$bA0F
~ $&FOB ~ $\ВОЕ - $ЬЕ0С
S&COD ~ $Ы>0А
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ.
Метод введения новых переменных. Напри-
мер, при решении уравнения
2х2 + 6 - 2л/2х2 -Зх + 2 = Зх +12 удобно ввести
новую переменную у = л/2х2 - Зх + 2 , получим
у2 - 2у - 8 = 0, откуда ух = 4, у2 = -2, следова-
тельно: V2x2 -Зх + 2 = 4; л/2х2 - Зх + 2 = -2.
Из первого уравнения получаем Xj = 3,5;
х2 = -2. Второе уравнение не имеет корней.
Проверим полученные корни подстановкой.
Xj = 3,5; х2 = -2 являются корнями данного
уравнения.
Метод введения новых переменных приме-
няется и при решении систем двух уравнений с
двумя переменными. Например:
1У х 6
[х + у = 5.
204
МАТЕМАТИКА
Удобно обозначить — = Z,
У
первого уравнения получим
2х
Т
тогда — = —. Из
х z
1 13
Z + — = , ИЛИ
Z 6
6z2 - 13z + 6 = 0. Решив это уравнение, полу-
2 3
чим Zi = -; z2 = -.
О А*
~ х 2 х 3
Отсюда — = — или — = —, выразим у через х
у 3 у 2
Зх 2х
и получим у = — или у = —, следовательно,
£
необходимо решить две системы:
_ Зх
<У ~ и <
х + у = 5
Решим полученные системы и получим
Гх = 2 „„„ [х = 3
V = 3 н™ V = 2.
(2; 3); (3; 2) — решения данной системы
уравнений.
Метод доказательства от противного (см. до-
казательства от противного).
Метод доказательства неравенства с по-
мощью оценки знака разности.
Этот метод опирается на следующие утверж-
дения:
если
если
если
если
Метод интервалов. Метод интервалов приме-
няется для решений рациональных неравенств
то
то
то
то
а - b < 0;
а - b > 0;
а - b < 0.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_________________205
вида: Р(х)>0; ^£^>0; Р(х)<0; < 0 и
Q(x) Q(x)
т.п., где Р(х); Q(x) — многочлены, приводимые
к виду Р(х) = (x-XjXx-Xj)... (х- хп), где xi,
х2, ... х„ — корни многочлена.
Рассмотрим метод интервалов на примере:
(х-2)(х + 4)(х-1)>0
х + 3
Отметим на координатной прямой корни
многочленов:
+ - + - +
-- - О о о о ►
-4-3 12
Решением неравенства является объедине-
ние интервалов: (-00; -4)U(-3; 1)U(2; +00).
Метод математической индукции (см. индук-
ция математическая).
Различных методов в математике существует
очень много, перечислить их все невозможно.
Мы привели примеры методов, часто встречаю-
щихся в программе математики средней школы.
МЕТР — международная стандартная единица
измерения длины отрезков. Метр приближенно
равен ооо ооо части земного меридиана. Эталон
метра в виде специального металлического бру-
ска хранится в Международном бюро мер и ве-
сов во Франции. Копии эталона метра хранятся
во многих странах мира.
206
МАТЕМАТИКА
МИЛЛИМЕТР — одна тысячная часть метра.
Обозначается 1 мм.
1 мм = 0,1 см = 0,01 дм = 0,001 м
МИНИМУМ ФУНКЦИИ- значение функ-
ции в точке минимума (см. точка минимума).
Функция может не иметь минимумов, напри-
мер линейная; может иметь один минимум, на-
пример квадратичная при а > 0; может иметь
бесконечно много минимумов, например функ-
ция синусов и косинусов. Причем минимум
функции не обязательно совпадает с наимень-
шим значением функции.
— минимум
функции У(х)
функция f (х) имеет два мини-
мума
МИНУТА в математике — %0 часть градуса.
Сама минута делится на шестьдесят секунд.
Обозначается Г.
МНИМАЯ ЕДИНИЦА z, определяется услови-
ем z2 = -1 (см. комплексное число).
МНОГОГРАННИК - геометрическая фигура
трехмерного пространства, поверхность которой
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
207
состоит из конечного числа плоских много-
угольников. Объединение многоугольников на-
зывается поверхностью многогранника, много-
угольники называются гранями многогранника,
а вершины многоугольников — вершинами
многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если
он весь лежит по одну сторону от плоскости
любой грани. В средней школе изучаются толь-
ко выпуклые многогранники (см. куб, пирамида,
прямоугольный параллелепипед, призма).
Выпуклый многогранник называется пра-
вильным, если все его грани являются правиль-
ными многоугольниками (см. тетраэдр, куб,
октаэдр, икосаэдр, додекаэдр).
невыпуклый многогран-
ник
выпуклый многогранник
правильный тетраэдр
208
МАТЕМАТИКА
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ — геометрическая
фигура трехмерного пространства, представля-
ющая собой объединение плоских углов с об-
щим началом, и каждые два соседних угла име-
ют общую сторону. Общая вершина плоских уг-
лов называется вершиной многогранного угла,
их стороны — ребрами многогранного угла, а
сами углы называются гранями многогранного
S — вершина много-
гранного угла;
SA, SB, SC, SD, SE,
SF — ребра много-
гранного угла;
AASB, ABSC, ZCSD,
/.DSE, ZESF, ZFSA
— грани многогранного
угла.
МНОГОУГОЛЬНИК — часть плоскости, огра-
ниченная простой замкнутой ломаной. Звенья
этой ломаной называются сторонами много-
угольника, а ее вершины — вершинами много-
угольника. Отрезки, соединяющие несоседние
вершины многоугольника, называются диагона-
лями многоугольника.
Выпуклый многоугольник — многоугольник,
содержащий целиком отрезок, соединяющий
две любые точки многоугольника. От количест-
ва углов многоугольника зависит его название.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
209
Три угла — треугольник, четыре — четырех-
угольник, пять — пятиугольник и т.д.
Сумма внутренних углов многоугольника
находится по формуле: п(п - 2).
Сумма внешних углов многоугольника равна
2л, если брать по одному углу при каждой вер-
шине.
Число диагоналей выпуклого многоугольни-
ка можно определить по формуле: ^п(п - 3).
Периметром многоугольника называется
сумма длин всех сторон многоугольника. Обоз-
ABCDE — выпуклый пя-
тиугольник;
А, В, С, D, Е — вершины;
АВ, ВС, CD, DE, ЕА —
стороны;
АВАЕ, ААВС, ABCD,
ACDE, ADEA — углы;
AC, AD, BD, BE, ЕС —
диагонали.
Многоугольник правильный (см. правильные
многоугольники, квадрат, треугольник).
Многоугольник, вписанный в окружность и
многоугольник, описанный около окружности
(см. вписанный и описанный многоугольник).
МНОГОЧЛЕН — сумма одночленов (см. одно-
член). Одночлены, из которых состоит много-
член, называются членами многочлена. Чтобы
210
МАТЕМАТИКА
привести многочлен к стандартному виду, не-
обходимо записать в стандартном виде каждый
его член (см. одночлен). Например: 2а3£ + 5а£>2;
13х5 +6х4-3.
Степенью многочлена стандартного вида на-
зывается наибольшая из степеней входящих в
него одночленов. Например: 15х2 - 19х2у5 + 4;
степень этого многочлена равна 7.
Многочленом с одной переменной называ-
ется многочлен вида: о^х" + аххп~1 + а2х"-2 +
+ ... + ап_'Х + Ь, где а0; aj аг ... ап_х — коэф-
фициенты многочлена, а^х” — старший член,
b — свободный член.
Степенью многочлена является степень
старшего члена.
Корень многочлена (см. корень многочлена).
Сложение многочленов выполняется при
помощи тех же законов, что и сложение дейст-
вительных чисел. Например: (5х2 + х) +
+(3х2 - 4х) = 8х2 - Зх.
Вычитание многочленов выполняется при
помощи тех же законов, что и вычитание дей-
ствительных чисел. Например: (5х2 + х) -
-(Зх2 - 4х) = 5х2 + х - Зх2 + 4х = 2х2 + 5х.
При умножении многочлена на одночлен
или число, необходимо умножить на этот одно-
член или число каждый член многочлена. На-
пример:
1) (5а + 7Ь) • с = 5ас + 7Ьс;
2) (5а + 7Ь) • (-5) = -25а - 35b.
При разложении многочлена на множители
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
211
(см. разложение на множители) используют сле-
дующие способы:
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Например: 5a2Z>4 - Юл/)3 + 15л = 5a(ab* - 2Ь3 + 3).
2. Формулы сокращенного умножения (см.
формулы сокращенного умножения). Например:
1) 4х2 + 4х +1 = (2х +1)2;
2) 16b2 - а2 = (4Ь - а)(4Ь + а).
3. Способ группировки. Например:
х3 - Зх2 + 5х - 15 = (х3 - Зх2) + (5х - 15) =
х2(х- 3) + 5(х - 3) = (х - 3)(х2 + 5)
(х — 3) — общий множитель.
МНОЖЕСТВО - одно из основных понятий
математики. Формально нельзя дать определе-
ние множеству, так же как точке или прямой.
Элементами множества могут быть объекты
произвольной природы. Можно рассматривать
множество чисел, множество точек, множество
отрезков, а можно и множество стульев. Абст-
рактным понятием множества занимается раз-
дел математики — теория множеств. В настоя-
щее время из школьного курса исключены эле-
менты теории множеств. Но каждый школьник
знаком с множеством натуральных, целых, ра-
циональных и действительных чисел (см. нату-
ральное, целое, рациональное, действительное
число).
Множество может быть конечным, напри-
мер множество делителей числа 40. Множество
может быть бесконечным, например множество
точек отрезка. Множество может быть пустым,
212
МАТЕМАТИКА
это такое множество, в котором нет ни одного
элемента.
Область значений функции часто называют
множеством значений функции. Саму функцию
можно рассматривать как отображение множе-
ства X на множество Y, причем каждому эле-
менту множества X ставится в соответствие не
более одного элемента из множества Y.
МНОЖИТЕЛЬ — элемент умножения (произ-
ведения). Например: с = а-Ь\ а и b — множи-
тели; с — произведение.
Если один из множителей равен 0, то произ-
ведение равно 0. а • b с • 0 = 0.
Множитель дополнительный (см. дополни-
тельный множитель).
МОДУЛЬ.
Модуль числа или абсолютная величина
числа есть само это число, если оно не отрица-
тельно, и противоположное число, если число
отрицательное. Обозначение:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
213
|а| = 1 й’ если а - О
I I [-«, если а < О
Свойства модуля:
1. Н^О;
2. |а| = |-а\;
3. |д/>| = |а|-|/>|;
5. |а|2 = а2.
Расстояние между точками на прямой нахо-
дится с помощью модуля. Пусть дана точка А с
координатой а и точка В с координатой Ь, тогда
расстояние между точками А и В находится по
формуле: р = \а - £>|.
Ж-4); Д5) р(Л,5) = |-4-5| = |-9| = 9
А
-♦>
-4
В
5
Расстояние между точками плоскости обоз-
начается с помощью знака модуля и равно:
|АВ| = - Ai)2 + (у2 -У1)2, где А(х1,у1); В(^,у2).
Модуль комплексного числа (см. комплексное
число).
Модуль вектора (абсолютная величина век-
тора) — длина вектора. Обозначается | АВ |. Ес-
ли известны координаты вектора АВ{а,Ь}, то
модуль вектора находится по формуле:
214
МАТЕМАТИКА
| АВ | = л/л2 + b2 •
Если известны координаты начала и конца
вектора АВ, А(а; b)\ В(с; d), то модуль вектора
можно найти по формуле:
| АВ | = <j(c - а)2 + (d - Ь)2.
Модуль единичного вектора (см. единичный
вектор) равен 1, модуль нулевого вектора АА
равен 0.
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция, ко-
торая либо только возрастает, либо только убы-
вает (см. функция возрастающая, функция убыва-
ющая). Функция, только возрастающая или
только убывающая на данном промежутке, на-
зывается монотонной на этом промежутке. На-
пример, линейная функция является монотон-
ной на всей области определения.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
215
н
НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ.
Функция у = f(x) достигает своего наибольше-
го значения на промежутке X, если существует
точка а из этого промежутка, такая, что для
любого х из этого промежутка выполнятся не-
равенство f(x)<f(a). Обозначение: у„а;(0- или
max f(x).
[a,b]
Если функция непрерывна на отрезке, то
она обязательно достигает на этом отрезке наи-
большего и наименьшего значения.
Для того, чтобы найти наибольшее значение
функции f(x) на отрезке [a; Z>], необходимо:
1. Найти критические точки на отрезке [a; Z>]
(см. критические точки).
2. Вычислить значение функции Дх) в кри-
тических точках и на концах отрезка, и затем
выбрать из них наибольшее значение. Напри-
мер: найдем наибольшее значение функции
f (х) = х3 - 1,5х2 - 6х +1 на отрезке [-2; 0].
/'(х) = Зх2 - Зх - 6; Зх2 - Зх - 6 = 0 при
х = -1 и х = 2. -1g [—2;0], а 2 ё [—2; 0]. Нахо-
дим /(-2) = -1; /(-1) = 4,5; /(0) = 1.
Наибольшее значение достигается в точке
х = -1, следовательно, max f (х) = /(-1) = 4,5.
[—2, 0]
216 МАТЕМАТИКА
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ -
наибольшее число из общих делителей числа
(см. делитель числа). Обозначение: НОД(/и, п).
Для нахождения наибольшего общего делителя
двух чисел удобно применять алгоритм Евклида
(см. Евклида алгоритм).
Рассмотрим алгоритм нахождения наиболь-
шего общего делителя с помощью разложения
чисел на простые множители. Сделаем это на
конкретном примере: найдем наибольший об-
щий делитель чисел 210, 150 и 144. Разложим
каждое число на простые множители:
210 = 2 - 3 • 5 - 7;
150 = 2 • 3 - 5 • 5;
144 = 2-2-2-2-3-3.
Выберем общие множители этих чисел, их
произведение будет равно наибольшему общему
делителю НОД(2Ю, 150, 144) = 2-3 = 6.
НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ.
Функция достигает своего наименьшего значе-
ния на промежутке X, если существует точка а
из этого промежутка, такая, что для любого х
из этого промежутка выполняется неравенство
f(x) > f(a). Обозначение: унаим или min/(x).
[а,
Наименьшее значение функции у = f(x) на
отрезке [я; Z>] находится так же, как и наиболь-
шее значение функции (см. наибольшее значение
функции).
Например: найдем наименьшее значение
функции fix)=х3 - 1,5.x2 - 6х+1 на отрезке [-2; 0].
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
217
/'(х) = Зх2 - Зх - 6; Зх2 - Зх - 6 = 0 при
х = —1 и х = 2. -1 е[-2;0], а 2й[-2;0]. Нахо-
дим /(-2) = -1; /(-1) = 4,5; /(0) = 1.
Наименьшее значение достигается в точке
х = -2, следовательно, min /(х) = f (-2) = -1.
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ (см.
кратное).
НАКЛОННАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Пусть на
плоскости дана прямая а и точка А, которая ей
не принадлежит. АВ — перпендикуляр, опущен-
ный из точки А на прямую а. Отрезок АС, сое-
диняющий точку А с произвольной точкой С
прямой а, называется наклонной, проведенной
из точки А на прямую а. Точка С называется
основанием наклонной, а отрезок ВС называет-
ся проекцией наклонной.
А
х. АВ 1а; АС — наклонная;
С — основание наклон-
ах. ной; ВС — проекция на-
_□_________ \ q__клонной.
В С
Любая наклонная, проведенная из точки А к
прямой а, больше перпендикуляра, опущенного
из этой же точки. АС > АВ.
НАКЛОННАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. Наклон-
ной из данной точки А, не лежащей в данной
плоскости а, к плоскости а называется любой
218
МАТЕМАТИКА
отрезок, отличный от перпендикуляра АВ к
этой плоскости, соединяющий точку А с произ-
вольной точкой С плоскости а. Точка С назы-
вается основанием наклонной, отрезок ВС на-
зывается проекцией наклонной АС.
АВ 1а; АС — наклон-
ная; С — основание
наклонной; СВ —
проекция наклонной;
АС > АВ.
Любая наклонная, проведенная из точки к
плоскости, больше перпендикуляра, опущенно-
го из той же точки.
С наклонной связана знаменитая теорема о
трех перпендикулярах: для того, чтобы прямая,
лежащая в плоскости и проходящая через осно-
вание наклонной, была перпендикулярна на-
клонной, необходимо и достаточно, чтобы эта
прямая была перпендикулярна проекции на-
клонной на эту плоскость.
Если а 1 ВС, следовательно, а 1 АС.
Если а 1 АС, следовательно, а 1 ВС.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_____________________219
Первым в Европе сформулировал теорему о
трех перпендикулярах Луи Бертран (1731—
1812).
НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ (см. внешние и
внутренние накрест лежащие углы).
НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА. Если считать, что
каждый луч задает определенное направление,
то направлением вектора АВ является луч АВ.
А------------«-------------_
Луч АВ задает направление вектора АВ.
НАПРАВЛЕНИЕ КООРДИНАТНОЙ ПРЯ-
МОЙ. Координатная прямая делится точкой,
являющейся началом координат, на два луча.
Тот луч, на котором задан единичный отрезок,
называется положительным направлением ко-
ординатной прямой, тогда другой луч называет-
ся отрицательным направлением координатной
прямой.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа, употребляе-
мые для счета. Множество натуральных чи-
сел — 1, 2, 3, ... . Обозначается N={1, 2, 3, ... ,
п, ...}.
Сумма и произведение натуральных чисел
являются натуральными числами. Разность на-
туральных чисел является натуральным числом,
если уменьшаемое больше вычитаемого. Раз-
220______________________________МАТЕМАТИКА
ность натуральных чисел является целым отри-
цательным числом, если уменьшаемое меньше
вычитаемого.
Частное натуральных чисел является нату-
ральным числом, если делимое делится на де-
литель без остатка. Частное натуральных чисел
является дробным положительным числом, ес-
ли делимое делится на делитель с остатком.
Для натуральных чисел определены следую-
щие арифметические действия: сложение, вы-
читание, умножение, деление, возведение в сте-
пень и извлечение корня.
НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ (см. логарифм
натуральный).
НАЧАЛО ВЕКТОРА (см. вектор).
НАЧАЛО КООРДИНАТ (см. координаты пря-
моугольные декартовы).
НАЧАЛО ЛУЧА (см. луч).
НАЧАЛЬНАЯ ФАЗА ГАРМОНИЧЕСКОГО
КОЛЕБАНИЯ. Пусть гармоническое колебание
задается формулой у = b sin(«/ + а) (см. гармо-
нические колебания). Постоянное число а назы-
вают начальной фазой колебания. Более под-
робно с колебаниями знакомятся в курсе фи-
зики.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 221
НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ (см. аргу-
мент функции).
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ. Каждая класси-
ческая теорема состоит из двух частей: из усло-
вия и заключения. Другими словами, из необ-
ходимого и достаточного условия (см. доста-
точное условие). Пусть А — условие теоремы,
В — заключение. В является необходимым ус-
ловием для А Это означает, что В необходимое
условие для А. Рассмотрим такое утверждение:
«Если фигуры равны, то они имеют равные
площади». Равенство площадей является необ-
ходимым условием равенства фигур.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (см. интег-
рал).
НЕПЕР ДЖОН (1550-1617) - известный анг-
лийский математик, шотландский барон. Мате-
матика и астрономия были его увлечениями, а
не профессией. Непер вошел в историю мате-
матики как изобретатель логарифмов, состави-
тель первой таблицы логарифмов, которой он
посвятил 20 лет своей жизни. Параллельно с
ним над составлением таблицы логарифмов ра-
ботал другой любитель математики — И. Бюр-
ги. Непер вывел несколько формул для реше-
ния сферических треугольников, сделал ряд
других математических открытий. Любил зани-
маться составлением математических таблиц,
которые упрощали процесс счета.
222
МАТЕМАТИКА
НЕПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ.
Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 называ-
ется неполным, если:
1. с = 0, а* О, Ь*0, принимает вид
ах2 + Ьх = 0.
2. Ъ=Ъ, а * О, с * О, принимает вид
ах2 + с = 0.
3. а*0, Ь = 0, с = 0, принимает вид
ах2 = 0.
Рассмотрим решение неполных квадратных
уравнений на примерах:
1. 5х2 - 10х = 0; 5х(х - 2) = 0, следовательно,
корнями уравнения являются х = 0 и х = 2.
2. х2 +1 = 0, уравнение не имеет корней, т.к.
х2 > 0, х2 +1 > 0.
х2 - 4 = 0; (х - 2)(х + 2) = 0, корнями урав-
нения являются х = +2.
3. 8х2 =0; 8*0, следовательно, х2 = 0, по-
этому корнем уравнения является х = 0.
НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ — дробь, у которой
числитель больше или равен знаменателю. На-
пример:
5 . 7. 16. 2. 100
3 ’ 2 ’ 16 ’ Г 3 *
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. Понятие та-
кого свойства функции, как непрерывность,
подробно описывается в математическом ана-
лизе.
Функция /(х) непрерывна в точке х0, если
она определена в некоторой окрестности этой
точки и ее предел при стремлении х к х0 равен
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
223
значению функции в этой точке, т.е.
lim /(х) = /(х0).
х->х0
Если функция непрерывна в каждой точке
заданного интервала, то она непрерывна на
этом интервале. Непрерывными функциями яв-
ляются линейная функция, квадратичная функ-
ция и любая рациональная функция на своей
области определения.
Функция обратная пропорциональность не-
прерывна в любой точке из области определе-
ния, а в точке х = 0 имеет разрыв. Функция,
заданная формулой у = Jx , непрерывна в лю-
бой точке х > 0, а в точке х = 0 не является
непрерывной, хотя эта точка принадлежит об-
ласти определения.
Рассмотрим примеры непрерывных функций
и функций, имеющих точки разрыва:
1 Гхпри х >0
' J' ' [х-2 при х < 0*
Функция терпит разрыв
в точке х = 0.
2. /(х) = —. Функция
х
имеет разрыв в точке
х = 0.
224
МАТЕМАТИКА
3. f(x) = х2; f(x) = -x — непрерывные фун-
кции.
НЕРАВЕНСТВА — выражения вида а > b;
а < Ь; а >Ь~ а < Ь, где а и b — числа или вы-
ражения с переменной.
В зависимости от этого неравенства делятся
на числовые или арифметические и неравенст-
ва с одной или несколькими переменными.
Строгие неравенства а > b; а < b, нестрогие
неравенства а > b; а <Ь.
НЕРАВЕНСТВА ЧИСЛОВЫЕ. Например:
5 > 0; V3 <3; |>±
Заметим, что любое положительное число
больше любого отрицательного. Любая непра-
вильная дробь больше правильной дроби.
Рассмотрим основные свойства, касающиеся
всех неравенств:
1. Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а.
2. Если а> b и Ь> с, то а> с\ если а < b и
b < с, то а < с.
3. При сложении неравенств одного знака
получаются неравенства того же знака:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
225
если а> Ь и о d, то а + с > Z> + J;
если а < b и с <d, то а +с < b + d.
4. Если обе части неравенства умножить или
разделить на одну и ту же положительную ве-
личину, то получится неравенство того же зна-
ка:
если а> Ь и с > 0, то ас> Ьс ;
если а < Ь и с > 0, то ас < Ьс.
5. Если обе части неравенства умножить или
разделить на одну и ту же отрицательную вели-
чину, то получится неравенство противополож-
ного знака:
если а> Ь и с < 0, то ас < Ьс;
если а < Ь и с < 0, то ас> Ьс.
6. Почленное вычитание неравенств проти-
воположного знака:
если а < Ьи od, то a-c<b-d;
если а > Ь и с <d, то а - с > b - d.
7. Если к обеим частям неравенства приба-
вить одну и ту же величину, то получится нера-
венство того же знака:
если а > Ь и с — любое, то а +с> Ь + с.
Свойства, касающиеся только числовых не-
равенств:
1. Для любых действительных чисел а и Ъ
выполняется неравенство:
|o + *|s|a| + |4|.
2. Для любых действительных чисел а и Ь
выполняется неравенство:
|a-Z>|>||a|-|ft||.
3. Для любых действительных чисел а и Ъ
выполняется неравенство:
226___________________________________МАТЕМАТИКА
4. Если числа а и b являются действитель-
ными числами одного знака, то выполняется
неравенство:
v + — ^ 2 при а > 0, b > 0 или а < 0, b < 0.
b а
5. Неравенство Коши: среднее арифметиче-’
ское двух неотрицательных чисел больше или
равно их среднего геометрического:
^-^->4аЬ а>0; Ь>0.
2
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
1. Дробно-линейное неравенство — неравен-
ах + b п ах + b п ах + Ь„
---->0; -----<0; ----J-0;
сх + а сх + а сх + а
ство вида:
ах + b
< 0.
сх + d
Рассмотрим решение дробно-линейного не-
равенства на примере.
5х + 8
< 0 — неравенство равносильно сово-
купности двух систем:
5х + 8 > 0
Зх -1 < 0
или
5х + 8 < 0
Зх -1 > 0
или
система не имеет
решений
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА__________________________22Z
Решением данного неравенства является
’_8 П
5’ЗЛ
2. Иррациональное неравенство — неравен-
ство вида: ylf(x) < g(x).
Рассмотрим решение иррационального нера-
венства на примере.
д/х2 - 55х + 250 < х - 14 — данное неравенст-
во равносильно системе неравенств (обе части
первого неравенства возведены в квадрат):
х2 - 55х + 250 < (х -14 )2;
- х2 - 55х + 250 > 0;
х -14 > 0.
Решив каждое неравенство, получим:
х > 2
• х < 5; х > 50 Решением данного неравен-
х > 14
ства является промежуток [50; + оо) (см. системы
неравенств).
3. Квадратное неравенство — неравенство
вида: ах2 + Ьх+с>0; ас2+&с+с<0; аз? + Ьх+с>0;
ах2 + Ьх + с<0 (см. квадратное неравенство).
4. Линейное неравенство — неравенство ви-
да: ах>Ь', ах<Ь; ах>Ь; ах<Ь (см. линейное
неравенство).
5. Логарифмическое неравенство — неравен-
ство вида: logfl х > b:
Бывают более сложные логарифмические
неравенства (см. логарифмическое неравенство).
228
МАТЕМАТИКА
6. Неравенство с модулями — неравенство
вица: |/(х)| > |g(x)|.
Рассмотрим решение таких неравенств на
конкретном примере.
|5х- 1|>|х + 1|, возведем обе части неравен-
ства в квадрат и получим равносильное нера-
венство (5х -1)2 > (х +1)2, решим это неравен-
ство.
Проведем преобразование неравенства.
25х2 - 10х + 1 > х2 + 2х +1
24х2 - 12х > О
2х2 - х > О
х(2х -1) > О
Неравенство равносильно совокупности сис-
тем неравенств:
fx > 0 fx < О
]2х -1 > О или [2х - 1 < 0.
Преобразуем и получим:
fx < 0
х > 0
< . 1 или
Г~2
О 1 .v X
Множеством решений
—
х^О 1 х
данного неравенства
является объединение промежутков: (-<»; 0]U
‘1
_2’ + ~Г
7. Показательное неравенство — неравенство
вида: а/(х) > aq(x).
При решении неравенств такого типа необ-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
222
ходимо учитывать, что при а > 1 показательная
функция возрастает, а при 0 < а < 1 убывает.
Поэтому в случае, когда а > 1, переходят к не-
равенству /(х) > q(x), а в случае 0 < а < 1 пере-
ходят к неравенству /(х) < q(x).
Рассмотрим конкретный пример:
2х
(0,25)х > 2Х+1. Преобразуем неравенство и полу-
X
чим 4~х > 4Х+1, т.к. 4 > 1, следовательно, пере-
ходим к неравенству -х >-----,
х + 1
преобразуем и
получим
х(х + 2)
(х + 1)
< 0. Решив полученное нера-
венство методом интервалов (см. метод интер-
валов), получим х е (-оо; - 2) U (-1; 0). Множест-
вом решений данного неравенства является
объединение интервалов (-«>; - 2) U (-1; 0).
При решении показательных неравенств ви-
да: ах < b, где b — число, удобно использовать
графический способ решения неравенств. По-
строим в одной системе координат графики
функций у = ах и у = b. Найдем точку пересе-
чения графиков
и отметим нуж-
ный нам интер-
вал, на котором
график функ-
ции у = ах на-
ходится под
графиком функ-
ции у = b.
230
МАТЕМАТИКА
Множеством решений неравенства ах < b яв-
ляется интервал (-<*>; х0).
8. Тригонометрическое неравенство — нера-
венство вида: /(х) > а, f(x) <а, f(x)>a,
f(x)< а, где f (х) — одна из тригонометриче-
ских функций. Такие неравенства называются
простейшими тригонометрическими неравенст-
вами. Бывают более сложные тригонометриче-
ские неравенства.
Рассмотрим решение тригонометрических
неравенств на конкретных примерах:
1 о 1
1. Решим неравенство srnx < —.
Для этого построим в одной системе коор-
динат графики функций у = sinx и у = —. От-
л*
метим точки пересечения графиков, очевидно,
что таких точек будет бесконечно много. Выбе-
рем один из интервалов, удовлетворяющий дан-
ному неравенству. Так как период функции си-
нус равен 2л, запишем все интервалы в виде
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
231
2. Решим неравенство tgx > -1.
Для этого построим в одной системе коор-
динат графики у = tgx и у = -1. Найдем точки
пересечения графиков и рассмотрим те проме-
жутки, на которых
точки графика
у = tg х лежат не
ниже точек графика
у = -1. Таких про-
межутков будет бес-
конечно много, вы-
берем один из них
л Л А „
—. Так как
L 4’2j
период функции
у = tgx равен л, мо-
жем записать множество решений данного не-
равенства в виде: -^ + лк < х < ^ + пк, к eZ.
9. Неравенства с двумя переменными (см.
системы неравенств с двумя переменными).
НЕСОКРАТИМАЯ ДРОБЬ - числовая дробь,
у которой числитель и знаменатель имеют наи-
больший общий делитель, равный 1. Например:
1- 21. А
2 ’ 5 ’ 10 ‘
НЕСТРОГИЕ НЕРАВЕНСТВА (см. неравен-
ства).
232
МАТЕМАТИКА
НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ - функция /(х), об-
ладающая двумя свойствами:
1. Ее область определения симметрична от-
носительно нуля.
2. Для любого значения х из области опреде-
ления выполняется равенство:
f(~x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен от-
носительно начала координат.
еры нечетных функций:
1. g(x) = х5. Область
определения функции —
(-оо; + оо) . g(-X) = (-Х)5 =
-х5 = -g(x), следователь-
но, g(x) = х5 — нечетная
функция.
График функции
g(x) = х5 симметричен от-
носительно начала коорди-
нат.
2. /(х) = —. Область
х
определения — (-«>; 0)U
(0; + со) симметрична от-
носительно 0.
/(-*)=-
-X X
следовательно, функция
/(х) = — является нечет-
х
ной функцией.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
233
График функции /(х) = — симметричен от-
X
носительно начала координат.
НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО — число целое, положи-
тельное или отрицательное, которое не делится
на 2. Обычно нечетные числа записывают сле-
дующим образом: 2п + 1 или 2п -1.
Произведение двух нечетных чисел является
нечетным числом, следовательно, и квадрат не-
четного числа — нечетное число.
Приведем примеры нечетных чисел: 1; —21;
101 и т.п.
НУЛИ ФУНКЦИИ /(х) — те значения аргу-
мента, в которых значение функции равно ну-
лю. Для того чтобы найти нули функции, необ-
ходимо решить уравнение /(х) = 0.
Например: дана функция /(х) = Зх2 - 15х;
решим уравнение Зх2 -15х = 0; Зх(х - 5) = 0
при х = 0 и х = 5.
Следовательно, х = 0 и х = 5 нули функции
f (х) = Зх2 - 15х.
НУЛЕВОЙ ВЕКТОР. За нулевой вектор при-
нимают точку. Обозначение АА или ВВ. Мо-
дуль или длина нулевого вектора равна нулю.
Так как начало нулевого вектора совпадает с
его концом, то нулевой вектор не имеет какого-
либо определенного направления. Принято
считать, что направление нулевого вектора сов-
234
МАТЕМАТИКА
падает с направлением любого вектора. Векто-
ром, противоположным нулевому вектору, счи-
тается нулевой вектор. Сумма двух ненулевых
противоположных векторов равна нулю, т.е.
а + (-а) = 0. Произведение любого вектора на
число нуль есть нулевой вектор, д.е. 3 0 = 0.
НЬЮТОН ИСААК (1643-1727) - великий ан-
глийский ученый, сделал выдающиеся откры-
тия в области физики и математики. Ньютон
возглавил одну из основных математических
школ, в которую входили известные ученые то-
го времени. Эта школа соперничала с матема-
тической школой, возглавляемой Г. Лейбницем.
Ньютон и Лейбниц считаются основателями
математического анализа, но Ньютон еще су-
мел создать математическую основу физики.
Основным трудом его жизни было научное со-
чинение «Математические начала натуральной
философии».
Исаак Ньютон родился в семье небогатого
фермера, в местечке Вулсторп, около города
Грантема. Когда ему было 12 лет, его отдали
учиться в Грантемскую школу. В 1661 году
Ньютон поступил в один из колледжей Кемб-
риджского университета и по окончании его
получил ученую степень бакалавра. В 1668 году
Ньютону была присвоена степень магистра, и
затем он возглавил физико-математическую ка-
федру в Кембриджском университете. В 1672
году он был избран членом Лондонского коро-
левского общества, а в 1703 году стал его пре-
зидентом.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
235
О
ОБЛАСТЬ — множество точек или фигура, со-
стоящая из внутренних точек таких, что любые
две ее точки можно соединить ломаной, при-
надлежащей этой фигуре. Область бывает от-
крытой и закрытой. Область называется закры-
той, если она имеет границу. Граница обла-
сти — множество граничных точек. Точка про-
странства называется граничной точкой данной
фигуры, если любой шар с центром в этой точ-
ке содержит как точки, принадлежащие фигуре,
так и точки, не принадлежащие ей. Шар явля-
ется областью, а сфера ее грающей. Окруж-
ность является границей круга. Параллелепипед
является областью, а ее боковая поверхность
его границей.
— замкнутая область,
L — граница области
Ф2 — открытая область
236
МАТЕМАТИКА
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ — множе-
ство значений, которые принимает функция.
Например: областью значений линейной функ-
ции являются все действительные числа, а об-
ластью значений функции у = sin х является
отрезок [-1; 1].
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ -
множество значений, которые принимает неза-
висимая переменная функции или аргумент.
Например: областью определения логарифми-
ческой функции у = logfl х является множество
всех положительных чисел, а областью опреде-
ления квадратичной функции является множе-
ство всех действительных чисел.
ОБРАЗУЮЩАЯ КОНУСА — отрезок, соединя-
ющий вершину конуса с точкой окружности
основания. Если рассматривать конус как фи-
гуру вращения прямоугольного треугольника
вокруг одного из катетов, то гипотенуза являет-
ся образующей конуса (см. конус).
ОБРАЗУЮЩАЯ ЦИЛИНДРА - отрезок, сое-
диняющий точки оснований цилиндра и парал-
лельный оси цилиндра. Если рассматривать ци-
линдр как фигуру вращения прямоугольника
вокруг одной из его сторон, то противополож-
ная сторона этого прямоугольника является об-
разующей цилиндра (см. цилиндр).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
23Z
ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ -
к
функция, заданная формулой у = —, где к —
х
число, отличное от нуля.
к
Рассмотрим свойства функции у = —:
х
1., Область определения — (-оо; 0)11 (0; + оо).
2. Область значений — (-оо; 0)U (0; +оо).
к
3. Функция у = — является нечетной функ-
х
цией.
4. Если к > 0, то на интервале (-оо; 0) функ-
ция убывает и на интервале (0; + оо) функция
убывает.
Если к < 0, то на интервале (-оо; 0) функция
возрастает и на интервале (0; + оо) функция воз-
растает.
5. Функция у = — не имеет нулей.
х
6. Если к > 0, то при х > 0 функция прини-
мает положительные значения, и при х < 0
функция принимает отрицательные значения.
Если к < 0, то при х > 0 функция принима-
ет отрицательные значения, и при х < 0 функ-
ция принимает положительные значения.
7. Графиком обратной пропорциональности
является гипербола, причем при к > 0 ветви
гиперболы расположены в первой и третьей ко-
ординатных четвертях, при к < 0 ветви гипер-
болы расположены во второй и четвертой коор-
динатных четвертях.
238
МАТЕМАТИКА
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА. Каждая теорема состо-
ит из двух частей: из условия и заключения (см.
теорема). Если в теореме условие сделать за-
ключением, а заключение — условием, то мы
получим обратную теорему. Исходная теорема
будет называться прямой теоремой. Если верна
прямая теорема, то обратная может быть невер-
ной. Например: если два угла смежные, то их
сумма равна 180 градусам, но если сумма углов
равна 180 градусам, то углы необязательно дол-
жны быть смежными. Если верны прямая и об-
ратная теоремы, то они называются взаимно
обратными. Приведем пример таких теорем.
Прямая теорема: если диагонали четырехуголь-
ника пересекаются и точкой пересечения делят-
ся пополам, то такой четырехугольник является
параллелограммом. Обратная теорема: если че-
тырехугольник является параллелограммом, то
его диагонали пересекаются и точкой пересече-
ния делятся пополам. Прямую и обратную тео-
рему можно объединить в одно утверждение
следующим образом: четырехугольник является
параллелограммом тогда и только тогда, когда
его диагонали пересекаются и точкой пересече-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
239
ния делятся пополам. Другими словами, свой-
ство диагоналей делить друг друга пополам яв-
ляется необходимым и достаточным условием
того, чтобы четырехугольник был параллелог-
раммом (см. необходимое и достаточное усло-
вие).
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция g называет-
ся обратной к функции /, если область опреде-
ления функции f является областью значений
функции g, а область значений функции f явля-
ется областью определения функции g. Причем
g(y) = х и f(x) = у. Функции /и g называются
взаимно-обратными. Графики взаимно-обрат-
ных функций симметричны относительно пря-
мой у = X.
Рассмотрим примеры взаимно-обратных
функций:
1. На промежутке [0;+°°) функции /(х) = х2
и q(x) = 4х являются взаимно-обратными.
2. Показательная
функция у =а* и
логарифмическая
функция у = logfl х
при а > 0 и а 1 яв-
ляются взаимно-об-
ратными.
3. См. арксинус,
арккосинус, арктан-
генс, арккотангенс.
240
МАТЕМАТИКА
а
ратным числу а * 0. Числа а и------взаимно
а
обратные. Произведение взаимно обратных чи-
сел равно 1. Если «>0, то взаимно обратные
числа связаны следующими неравенством:
а + —>2.
а
Взаимно обратные числа: 5 и —0,2 и —5;
ОБЪЕМ. Понятие объема — довольно сложное
математическое понятие. Мы будем рассматри-
вать объем простых геометрических фигур как
положительную величину, обладающую следую-
щими свойствами:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
241
1. Равные фигуры имеют равные объемы.
2. Если фигура разбита на части, то объем
фигуры равен сумме объемов ее частей.
3. За единицу объема примем куб, ребро ко-
торого равно единице длины. Если ребро куба
равно одному сантиметру, то объем куба равен
одному кубическому сантиметру, если ребро
куба равно одному метру, то объем куба равен
одному кубическому метру, и т.д.
Обозначается: 1 сии3, 1 дм3, 1 м3, причем:
1 м3 = 1000 Эл? = 1000000 м3.
Приведем формулы для вычисления объемов
геометрических фигур, изучаемых в школе:
1. Объем конуса:
V = ^R2H;
3
R — радиус основания,
Н-
высота.
2. Объем усеченного конуса:
V = ^nH(R2+rR + r2); Rn г — радиусы ос-
нований, Н — высота усеченного конуса.
3. Объем куба: V = а3; а — ребро куба.
4. Объем пирамиды: V = 5 8 ~ площадь
основания, Н — высота.
5. Объем призмы: V = SH; S — площадь ос-
нования, Н — высота.
6. Объем прямоугольного параллелепипеда:
V = abc; а, Ь, с — измерения.
7. Объем цилиндра: V = tiR2H ; R — радиус
основания, Н — высота.
242
МАТЕМАТИКА
4
8. Объем шара: V = у> R — радиус шара.
9. Объем шарового сегмента:
(JJ \
R - — I; R — радиус шара, Н —
высота соответствующего шарового сегмента.
ОДНОСТОРОННИЕ УГЛЫ. Пусть две прямые
а и b пересечены третьей прямой с, которая на-
зывается секущей. Углы Z3 и Z6; Z4 и Z5; Z1
и Z8; Z2 и Z7 называются односторонними,
причем Z3 и Z6; Z4 и Z5 — внутренние одно-
сторонние, a Z1 и Z8; Z2 и Z7 — внешние од-
носторонние углы. Если прямые а и b парал-
односторонних углов
лельны, то каждая пара
равна в сумме 180°.
Внутренние односторон-
ние углы: Z3 и Z6; Z4 и
Z5.
Внешние односторонние
углы: Z1 и Z8; Z2 и Z7.
Z3+Z6 = 180°
Z4 + Z5 = 180°
Z2 + Z7 = 180°
Zl + Z8 = 180°
ОДНОЧЛЕН - целое алгебраическое выраже-
ние, представляющее собой произведение чи-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА___________________243
сел, переменных и их степеней. Например:
15а£>; —тп; -0,5с3. Числовой множитель одно-
члена называется коэффициентом одночлена.
Например: 15aZ> — одночлен, 15 — его коэффи-
циент; —тп — одночлен; —1 — его коэффици-
ент; -0,5с3 — одночлен; —0,5 — его коэффици-
ент.
Одночлены называются подобными, если
имеют одинаковые буквенные множители. На-
пример: Sab и —ab; lSx3y и 40х3у.
Если мы имеем выражение, состоящее из
суммы одночленов, в котором имеются подо-
бные одночлены, то сложение подобных одно-
членов называется приведением подобных сла-
гаемых. Например: Sab -ab + 15х3у + 40х3у =
4аЬ + 55х3у.
Степенью одночлена называется сумма по-
казателей степеней входящих в него перемен-
ных. Например: степень одночлена 4aZ> равна 2,
а степень одночлена 55х3у равна 4.
ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ - интервал с цент-
ром в этой точке. Например: интервал
(х0 - s; х0 + е) длины 2е с серединой х0 являет-
ся окрестностью точки х0.
ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ до нужного разряда.
Пользуются следующим правилом:
1. все следующие после этого разряда цифры
заменяют нулями; если эти цифры стоят после
запятой, их просто отбрасывают;
244
МАТЕМАТИКА
2. если первая следующая за этим разрядом
цифра 5, 6, 7, 8, 9, то последнюю оставшуюся
цифру увеличивают на единицу (такое округле-
ние называется округлением с избытком);
3. если первая следующая за этим разрядом
цифра 0, 1, 2, 3, 4, то последнюю оставшуюся
цифру не изменяют (такое округление называ-
ется округлением с недостатком).
Например: округлим число 91 827,3645
до тысячных: 91 827,3645 «91 827,365 (с из-
бытком);
до сотых: 91 827,3645 «91 827,36 (с недостат-
ком);
до десятых: 91 827,3645 «91 827,4 (с избыт-
ком);
до единиц: 91 827,3645 «91 827 (с недостат-
ком);
до десятков: 91 827,3645 «91 830 (с избыт-
ком);
до сотен: 91 827,3645 «91 800 (с недостат-
ком);
до тысяч: 91 827,3645 «92 000 (с избытком);
до десятков тысяч: 91 827,3645 «90 000 (с
недостатком).
ОКРУЖНОСТЬ с центром в точке О и радиу-
сом R — геометрическая фигура, состоящая из
множества точек плоскости, равноудаленных от
точки О на расстояние R. Отрезок, соединяю-
щий две точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности,
называется диаметром. Длина диаметра равна
длине двух радиусов. Длина любой хорды ок-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
245
ружности не превосходит длины диаметра.
Прямая, имеющая только одну общую точку с
окружностью, называется касательной к окруж-
ности (см. касательная).
О —центр окружности;
ОА = R — радиус окруж-
ности; прямая а — каса-
тельная, причем В —
точка касания; CD —
диаметр; NM — хорда.
две точки окружности делят ее на
Любые
две дуги (см. дуга окружности). Угол с верши-
ной в центре окружности называется централь-
ным углом окружности. Центральный угол из-
меряется дугой, на которую он опирается. Угол,
вершина которого лежит на окружности, а сто-
роны пересекают окружность, называется впи-
санным углом. Вписанный угол измеряется по-
ловиной дуги, на которую он опирается.
АЛОВ — центральный
АЛОВ = \jAmB
ЛА В С — вписанный
ААВС = -иАтС
2
246
МАТЕМАТИКА
Угол между хордой и
касательной измеряется
половиной дуги, заклю-
ченной внутри него.
Окружность называ-
ется вписанной в мно-
гоугольник, если все
стороны многоугольни-
ка касаются окружно-
сти. Окружность назы-
вается описанной около многоугольника, если
все вершины многоугольника лежат на окруж-
ности. Окружность можно вписать или описать
около любого треугольника, причем центр впи-
санной в треугольник окружности лежит на пе-
ресечении биссектрис треугольника, а центр
описанной около треугольника окружности ле-
жит на пересечении серединных перпендикуля-
ров (см. замечательные точки). Около любого
правильного многоугольника можно описать
окружность, и в любой правильный много-
угольник можно вписать окружность, причем
центр окружности, описанной около правиль-
ного многоугольника, совпадает с центром ок-
ружности, вписанной в тот же многоугольник.
Сторона правильного многоугольника, радиус
вписанной и описанной окружности связаны
следующими формулами:
пп • 180° _ 180°
ап = 27? sin-, г = 7? cos--,
п п
где ап — сторона правильного многоуголь-
ника, 7? — радиус описанной окружности, г —
радиус вписанной окружности.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
247
Длина окружности находится по формуле
С = 2л7?, где R — радиус окружности.
Уравнение окружности в заданной прямо-
угольной декартовой системе координат:
(х - х0)2 + (у - у0)2 = R2, где (хо,Уо) ~ коорди-
наты центра окружности, R — радиус. Если
центр окружности лежит в начале координат,
то уравнение окружности имеет вид:
х2 + у2 = R2 (см. взаимное расположение прямой
и окружности, вписанный многоугольник, вписан-
ная окружность, вписанный угол, длина окружно-
сти, единичная окружность, касательная к ок-
ружности, концентрические окружности).
Т5] х
(х - х0)2 + (у - у0)2 = R2
ОКТАЭДР — правильный выпуклый много-
гранник, восемь граней которого являются рав-
носторонними треугольниками. Октаэдр имеет
шесть ‘вершин, двенадцать ребер. С октаэдром
связаны следующие формулы:
у _ а Уз
3
— объем;
248
МАТЕМАТИКА
S = 2а2 Л — площадь поверхности;
D “ Ж
R = —-----радиус описанной сферы;
г = —----радиус вписанной сферы.
6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ - предложение, раскрываю-
щее смысл математического понятия. При оп-
ределении любого понятия употребляются дру-
гие понятия, которые должны быть уже извест-
ны. Следовательно, должны быть такие поня-
тия, которые принимают без определения, на-
пример точка или прямая. Такие понятия назы-
ваются неопределяемыми.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (см. интеграл).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
249
ОРДИНАТА (см.координаты прямоугольные де-
картовы).
ОРТЫ (см. единичный вектор).
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ — симметрия относи-
тельно прямой. Точка Ау называется симмет-
ричной точке А относительно прямой /, если
прямая AAt перпендикулярна прямой / и
АОх = ОА, где О — точка пересечения прямой
АА} и прямой I.
Преобразование фи-
гуры F в фигуру F', при
котором каждая точка А
переходит в точку Д,
симметричную относи-
тельно прямой I, назы-
вается преобразованием
симметрии относитель-
А „ 1 ~1 .. А1
" 0 ~1, Bi
Е
но прямой I. Иногда осевую симметрию назы-
вают зеркальным отражением относительно
250
МАТЕМАТИКА
Если при осевой симметрии фигура F пере-
ходит в себя, то эта фигура называется симмет-
ричной относительно прямой I, а прямая / на-
зывается осью симметрии.
Например: квадрат имеет четыре оси сим-
метрии, прямоугольник и ромб — по две оси
симметрии, конус, пирамида, прямоугольный
параллелепипед — по одной оси'симметрии, а
окружность и шар имеют бесконечно много
осей симметрии.
ОСНОВАНИЕ - математический термин, ко-
торый употребляется во многих математических
понятиях.
Основание кругового конуса — окружность
(см. конус).
Основания усеченного конуса — окружности,
лежащие в параллельных плоскостях (см. конус
усеченный).
Основание логарифма loge b — число а (см.
логарифм).
Основание наклонной — конец отрезка, яв-
ляющегося наклонной, принадлежащий прямой
или плоскости, к которым проведена наклон-
ная (см. рисунок).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
251
Основание перпевдикуляра — конец отрезка,
являющегося перпендикуляром, принадлежа-
щий прямой или плоскости, к которым прове-
ден перпендикуляр (см. рисунок).
АВ — перпендикуляр к а;
В — основание перпенди-
куляра;
АС — наклонная к а;
С — основание наклон-
ной.
АВ — перпендикуляр к а;
В — основание перпенди-
куляра;
АС — наклонная к а;
С — основание наклон-
ной.
Основание пирамиды — грань пирамиды, не
проходящая через вершину пирамиды (см. пира-
мида).
Основание усеченной пирамиды — грани пи-
рамиды, лежащие в параллельных плоскостях и
являющиеся подобными многоугольниками (см.
усеченная пирамида).
Основания призмы — два равных много-
угольника, лежащие в параллельных плоскостях
(см. призма).
Основание равнобедренного треугольника —
сторона равнобедренного треугольника, не яв-
ляющаяся боковой стороной равнобедренного
треугольника (см. равнобедренный треугольник).
252
МАТЕМАТИКА
Основание степени аь — число а (см. сте-
пень).
Основания трапеции — параллельные сторо-
ны трапеции (см. трапеция).
Основания кругового цилиндра — окружно-
сти, лежащие в параллельных плоскостях (см.
цилиндр).
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ОБЫКНОВЕННОЙ
ДРОБИ: если числитель и знаменатель дроби
умножить или разделить на одно и то же число,
не равное нулю, то получится равная ей дробь.
„ 25 25:25 1 5 5-3 15
Например:—= — =
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ТОЖДЕСТВА - соотношения между тригоно-
метрическими функциями одного и того же уг-
ла. К ним относятся следующие тождества:
1.
sin2 а + cos2 а = 1;
. sin а
tga =---------;
cos а
cos а
с tga = —--;
sin а
tga - cosa = 1;
1,2 1
1 + tg2 а =-=—;
cos a
1,2 1
1 + ctg a = ,— •
sin a
2.
3.
4.
5.
6.
2
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_____________________253
ОСТАТОК получается при делении целых чи-
сел, если делимое не кратно делителю (см. де-
ление с остатком). Например: 48 : 5 = 9 (оста-
ток 3); 29 : 2 = 14 (остаток 1) (см. деление с ос-
татком).
ОСТРОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК - треу-
гольник, в котором все утлы острые. Любой
равносторонний треугольник является остро-
угольным (см. треугольник).
ОСТРОГРАДСКИЙ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ
(1801—1861) — выдающийся русский матема-
тик, был членом Петербургской, Парижской,
Американской, Римской и других академий на-
ук. Занимался математическим анализом, ал-
геброй, теорией чисел, прикладными науками.
М.В. Остроградский составил замечательные
учебники по высшей и элементарной математи-
ке, вел большую педагогическую деятельность.
Родился М.В. Остроградский в семье поме-
щика Полтавской губернии. С ранних лет про-
явил математические способности, в 16 лет по-
ступил на физико-математический факультет
Харьковского университета. Но не смог полу-
чить диплом этого университета, так как отка-
зывался посещать лекции по богословию. Поэ-
тому продолжил свое образование в Париже,
где обратил на себя внимание великих матема-
тиков того времени. М.В. Остроградский был
одним из тех ученых, которые прославили рус-
скую науку девятнадцатого века.
254
МАТЕМАТИКА
ОСТРЫЙ УГОЛ — угол, градусная мера кото-
рого больше нуля, но меньше девяноста граду-
сов. Если рассматривать острый угол как угол
поворота, то острые углы принадлежат первой
координатной четверти. Следовательно, sin, cos,
tg, ctg острого утла принимают положительные
значения. Наиболее известные острые углы —
30°, 45° и 60°.
sin COS tg ctg
30° j. 2 Л 2 Л 3 л
45° Л 2 Л 2 . 1 1
60° Л 2 2 Л л 3
ОСИ (см. координаты прямоугольные декарто-
вы).
ОСЬ ВРАЩЕНИЯ - прямая, вокруг которой
вращается плоская фигура.В результате получа-
ем фигуру вращения. Например, если вращать
прямоугольный треугольник вокруг’прямой, со-
держащей один из катетов, получим прямой
круговой конус. Если вращать прямоугольную
трапецию вокруг прямой, содержащей боковую
сторону, перпендикулярную основаниям, то по-
лучим усеченный конус. Если вращать прямо-
угольник вокруг прямой, содержащей одну из
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
255
сторон прямоугольника, то получим прямой
Крутовой цилиндр (см. конус, цилиндр).
&АВС — прямо- ABCD — прямо- ABCD — прямо-
угольный угольная трапе- угольник
/ — ось вращения ция / — ось вращения
/ — ось вращения
ОСЬ КОНУСА- прямая, проходящая через
вершину конуса и центр окружности, являю-
щейся основанием кругового конуса. Если ко-
нус прямой круговой, то ось конуса совпадает с
осью симметрии и осью вращения конуса. Се-
чение конуса плоскостью, проходящей через
ось конуса, называется осевым сечением.
256
МАТЕМАТИКА
ОСЬ ЦИЛИНДРА — прямая, проходящая через
центры оснований кругового цилиндра. Если
цилиндр — прямой круговой, то ось цилиндра
совпадает с осью симметрии и осью вращения
конуса. Сечение цилиндра плоскостью, прохо-
дящей через ось цилиндра, называется осевым
сечением.
ОСЬ СИММЕТРИИ (см. осевая симметрия).
ОТКРЫТАЯ ОБЛАСТЬ — область, которая не
содержит граничных точек (см. область).
ОТКРЫТЫЙ ЛУЧ — луч, которому не принад-
лежит его начало (см. луч).
А В
о
Открытый луч А В, A g лучу АВ.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________257
ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ- отношение их
длин. Если отношение отрезков АВ и СЕ равно
отношению отрезков AiBl и С^, то говорят,
что они пропорциональны.
Например: отрезки АВ = 1 см и СЕ = 2 см
пропорциональны отрезкам ДД = 2 см и
С1Е1 = 4 см, т.к. отношение АВ .СЕ равно от-
ношению Afix'.CxEx.
ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ- частное от
деления первого числа на второе. Отношение
дробных чисел всегда можно записать отноше-
нием целых чисел. Например: 5:7— отноше-
ние чисел 5 и 7; —= 3:2 — отношение чисел
2 3
1/2 и 1/3 .
ОТОБРАЖЕНИЕ одного множества на дру-
гое — соответствие, ставящее каждому элементу
из первого множества соответствующий эле-
мент из второго множества. Понятие отображе-
ния является основным понятием математики.
Примером отображения одного множества на
другое, изучаемого в школе, является функция.
Слова «функция» и «отображение» — синони-
мы. Функцией с областью определения D и об-
ластью значений Е называется отображение
множества D на множество Е. Рассмотрим еще
один пример отображения одного множества на
другое. Возьмем множество всех треугольников
и поставим каждому треугольнику в соответст-
вие описанную около него окружность, полу-
9. Математика
258
МАТЕМАТИКА
чим отображение множества треугольников на
множество описанных окружностей.
ОТРЕЗОК — часть прямой, заключенная между
двумя точками этой прямой вместе с этими
точками, которые называются концами отрезка.
Обозначение: [AS], точки А и В — концы от-
резка [АЗ].
А В
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ КООР-
ДИНАТНОЙ ОСИ. Если мы имеем координат-
ную ось (см. координата точки на прямой), то
начальная точка делит прямую на два луча.
Луч, на котором выбран единичный отрезок,
показывает положительное направление коор-
динатной оси, а второй луч — отрицательное
направление координатной оси — называют от-
рицательной полуосью.
________________ О
^4 3 А Т *0 1 х“
"2
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ УГЛЫ - углы вращения
начального радиуса по часовой стрелке (см. угол
поворота, косинус произвольного угла).
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА - числа, проти-
воположные положительным числам. Другими
словами, это числа вида 0 - а, где а — положи-
тельное число. Каждой точке отрицательной
полуоси соответствует отрицательное число (см.
отрицательное направление координатной оси).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
________________252
п
ПАРАБОЛА — график квадратичной функции,
заданной формулой у = ах2 + Ьх + с. Если а > 0,
то ветви параболы направлены вверх. Если
а < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Чтобы построить график квадратичной фун-
кции, необходимо:
1. Найти координаты вершины параболы и
отметить ее в координатной плоскости. Коор-
динаты вершины параболы находятся по следу-
ющим формулам: если точка с координатами
(от; п) — вершина параболы, то от = ——;
2а
-Ъ2 + 4ас
у = ах2 + Ду + с, а > О у = ах2, а < О
2. Построить еще несколько точек, принад-
лежащих параболе. Если имеются нули квадра-
тичной функции, то удобно построить их. Если
260
МАТЕМАТИКА .
квадратичная функция не имеет нулей, то пара-
бола не пересекает ось Ох.
3. Соединить отмеченные точки плавной ли-
нией.
ПАРАБОЛА КУБИЧЕСКАЯ (см. кубическая па-
рабола).
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — призма, основания ко-
торой являются параллелограммами. Паралле-
лепипед имеет шесть граней, каждая из кото-
рых является параллелограммом. Отрезки, сое-
диняющие вершины параллелепипеда, не при-
надлежащие одной грани, называются диагона-
лями параллелепипеда.
Свойства параллелепипеда:
1. противолежащие грани параллелепипеда
попарно равны и параллельны;
2. все диагонали параллелепипеда пересека-
ются в одной точке и делятся ею пополам, точ-
ка пересечения диагоналей параллелепипеда
является центром симметрии параллелепипеда.
7/7C1 ABCDAJ^C^Di — паралле-
д ./ / / лепипед;
/ 4С’ ЛС1’ DB* ~
/ 0^--1-7“Хс диагонали параллелепи-
ДХ \1/ цеда;
АЕ-------ikB q _ ценТр симметрии
параллелепипеда.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ПРЯМОЙ — параллеле-
пипед, у которого боковые ребра перпендику-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
261
лярны основаниям. Прямой параллелепипед
обладает всеми свойствами параллелепипеда.
Боковые грани прямого параллелепипеда явля-
ются прямоугольниками, а основания — парал-
лелограммами.
Прямоугольники АА&В,
ВВДС, CC^D, DD^A
— боковые грани прямого
параллелепипеда
ABCDA^C^; параллело-
граммы ABCD и
— основания прямого па-
раллелепипеда
ABCDA&CJ\.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ -
прямой параллелепипед, основаниями которого
являются прямоугольники. Следовательно, все
грани прямоугольного параллелепипеда — пря-
моугольники. Длины трех ребер прямоугольно-
го параллелепипеда, выходящих из одной вер-
шины, называются линейными размерами и из-
мерениями прямоугольного параллелепипеда.
Обозначаются: а, Ь, с. Все диагонали прямо-
угольного параллелепипеда равны, причем
квадрат диагонали равен сумме квадратов трех
его измерений:
d2 = а2 +Ь2 + с2.
Полная поверхность и объем прямоугольно-
го параллелепипеда находятся по формулам:
S = 2(ab + Ьс + ас): V = abc.
262
МАТЕМАТИКА
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — четырехугольник, у
которого противоположные стороны попарно
параллельны.
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны и противопо-
ложные углы параллелограмма равны.
2. Диагональ параллелограмма делит его на
два равных треугольника.
3. Диагонали параллелограмма делятся точ-
кой пересечения пополам, эта точка является
центром симметрии параллелограмма.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелог-
рамма равна сумме квадратов его сторон:
d2 + d% = 2(а2 + b2), где dx и d2 — диагонали, а
и b — стороны параллелограмма.
Признаки параллелограмма:
1. Если в четырехугольнике две стороны
равны и параллельны, то этот четырехуголь-
ник — параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противополож-
ные стороны попарно равны, то этот четырех-
угольник — параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пере-
секаются и точкой пересечения делятся попо-
лам, то этот четырехугольник — параллелог-
рамм.
ВК и ВМ — высоты
параллелограмма
ABCD, AD и CD —
основания.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_____________________263
Высотой параллелограмма называется пер-
пендикуляр, опущенный из вершины паралле-
лограмма на прямую, содержащую противопо-
ложную сторон.
Площадь параллелограмма можно найти по
следующим формулам:
1) = AD ВК = CD МВ = a ha, где а —
основание, ha — высота, проведенная к основа-
нию.
2) S = aZ>sina, где а и b — соседние сторо-
ны параллелограмма, a — угол между а и Ь.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
ПЛОСКОСТИ - пло-
скости, которые не пере-
секаются. Обозначение:
«||₽-
Признак параллель-
ности двух плоскостей:
если две пересекающиеся
прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым дру-
гой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Если и
причем а и b пересе-
каются, то а 11р.
264
МАТЕМАТИКА
Свойства параллельных плоскостей:
1. Если две парал-
лельные плоскости пе-
ресечены третьей, то
линии их пересечения
параллельны.
Если а 11 р, плос-
кость у пересекает
плоскости а и р по
прямым а и Ь9 то
ф-
2. Отрезки парал-
лельных прямых, за-
ключенные между па-
раллельными плоско-
стями, равны.
Если а11р, а||д, то
AB = CD.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКО-
СТИ. Прямая и плоскость называются парал-
лельными, если они не
имеют общих точек.
Признак параллель-
ности прямой и пло-
скости: если прямая,
не лежащая в данной
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
265
плоскости, параллельна какой-либо прямой,
лежащей в этой плоскости, то она параллельна
данной плоскости.
Если а\ | b , прямая b принадлежит плоскости
а, то а\|а.
Свойства параллельности прямой и плоско-
1. Если плоскость
проведена через пря-
мую, параллельную
другой плоскости, и
пересекает эту плоско-
сть, то линия пересе-
чения плоскостей па-
раллельна данной
прямой.
Если а||а и
2. Если че-
рез каждую из
двух параллель-
ных прямых
проведена про-
извольная пло-
скость и эти
плоскости пе-
ресекаются, то линия их пересечения парал-
лельна каждой из данных прямых.
Пусть а\ | b, плоскости аир проходят через
прямые а и b и пересекаются по прямой с, тог-
да л||с и Z>||c.
266
МАТЕМАТИКА
£
Ь
из двух
прямых
данной
Другая
3. Если одна
параллельных
параллельна
плоскости, то
прямая либо параллель-
на данной плоскости,
либо лежит.в этой пло-
скости.
Пусть а||а и a||Z>, тогда Z>||a.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
ПРЯМЫЕ НА
ПЛОСКОСТИ. Две
прямые на плоско-
сти не имеют об-
щих точек, то они
называются парал-
лельными прямы-
ми. Обозначаются: а\\Ь.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых,
называются параллельными отрезками.
Признаки параллельности двух прямых:
1. Если при пересечении двух прямых тре-
тьей накрест лежащие углы равны, то прямые
параллельны (см. накрест лежащие углы).
2. Если при пересечении двух прямых тре-
тьей соответственные углы равны, то прямые
параллельны (см. соответственные углы).
3. Если при пересечении двух прямых тре-
тьей сумма односторонних углов равна 180 гра-
дусам, то прямые параллельны (см. односторон-
ние углы).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
267
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАН-
СТВЕ. Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной пло-
скости и не пересекаются. Обозначение: «|| b.
Прямые в про-
странстве могут не пе-
ресекаться, но не быть
параллельными. Такие
прямые называются
скрещивающимися
(см. скрещивающиеся
прямые).
«|| Z>, прямые а и с
не имеют общих точек,
но не являются параллельными, т.к. не лежат в
одной плоскости.
Свойства параллельных прямых в простран-
стве:
1. Через любую точку пространства, не ле-
жащую на данной прямой, проходит прямая,
параллельная данной, и притом только одна.
2. Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая пря-
мая пересекает эту плоскость.
3. Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны. Это свойство вы-
полняется и для параллельных прямых в пло-
скости.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС. Параллельный
перенос рассматривается на плоскости и в про-
странстве.
Параллельный перенос на плоскости на век-
268
МАТЕМАТИКА
тор а есть отображение плоскости на себя, при
котором каждая точка М отображается в такую
точку Мх, что вектор ММi равен вектору а.
Свойства параллельного переноса:
1. Параллельный перенос является движени-
ем (см. движение).
2. При параллельном переносе точки смеща-
ются по параллельным прямым на одно и то же
расстояние.
3. При параллельном переносе прямая пере-
ходит в параллельную ей прямую или в себя.
4. Для любых точек А и В существует един-
ственный параллельный перенос, который пе-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА

реводит точку А в точ-
ку В. Причем если
точка А имеет коорди-
наты х и у, то точка В
будет иметь координа-
ты х + а и у + b, где а
и b — постоянные ве-
личины для данного
параллельного пере-
носа.
5. Преобразование, обратное параллельному
переносу, есть параллельный перенос.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В ПРОСТРАН-
СТВЕ. Параллельным переносом на вектор а
называется отображение пространства на себя,
при котором любая точка М переходит в такую
, что ММ\ = а.
Параллельный перенос в пространстве обла-
дает всеми свойствами параллельного переноса
на плоскости плюс еще одно свойство:
При параллельном переносе в пространстве
каждая плоскость переходит либо в себя, либо
в параллельную ей плоскость.
270 МАТЕМАТИКА
ПАСКАЛЬ БЛЕЗ (1623-1662)- знаменитый
французский ученый. Школьникам больше из-
вестен как физик, так как его именем названа
единица измерения давления в системе СИ. Но
Паскаль внес большой вклад в развитие мате-
матики, его по праву считают выдающимся ма-
тематиком своего времени. В трудах Паскаля
были заложены основы проективной геомет-
рии, интегрального исчисления. В «Трактате об
арифметическом треугольнике» и в «Трактате о
числовых порядках» он сделал ряд открытий по
теории вероятностей. Паскаль занимался не
только физикой и математикой, он был писате-
лем и философом.
ПАРАМЕТР - вспомогательная переменная,
входящая в формулы и выражения. В условиях
одной задачи параметры могут рассматриваться
как постоянные числа, а в других как перемен-
ные.
Например, в общей записи квадратного
уравнения ах2 + Ьх + с = 0; а, Ь, с — параметры,
так как в зависимости от того, какие значения
они будут принимать квадратное уравнение мо-
жет стать неполным, а может при а = 0 обра-
титься в линейное уравнение (см. квадратное
уравнение).
Рассмотрим пример решения уравнения с
параметрами: 2«(« - 2)х = а - 2:
1) при а = 0 уравнение принимает вид
Ох = 2, следовательно, не будет иметь корней;
2) при а = 2 уравнение принимает вид
Ох = 0, следовательно, корнем будет являться
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
271
любое действительное число;
3) при а* 0 и а*1 получаем х = ,
2а(а - 2)
следовательно, корень уравнения принимает
1
вид х = —.
2а
ПАЧОЛИ ЛУКА (ок. 1445-1514) - итальян-
ский математик. Работал в знаменитом универ-
ситете города Болонья, сделал ряд открытий в
алгебре. Лука Пачоли дружил с Леонардо да
Винчи, который сделал рисунки в его знамени-
той книге «Божественная пропорция», посвя-
щенной «золотому сечению».
ПАШ М. (1843—1930) — знаменитый немец-
кий математик, один из первых математиков,
положивших начало исследованию аксиомати-
ческого обоснования геометрии. Одна из акси-
ом в аксиоматике Гильберта названа аксиомой
Паша. Она формулируется следующим образом:
пусть А, В, С — три точки, не лежащие на од-
ной прямой, и а — прямая в плоскости АВС, не
проходящая ни через одну из точек А, В, С; ес-
ли при этом прямая а проходит через одну из
точек отрезка АВ, то она должна пройти через
одну из точек отрезка АС или через одну из то-
чек отрезка В С. Эта аксиома относится к акси-
омам порядка.
ПЕАНО ДЖУЗЕППЕ (1858-1932) - знамени-
тый итальянский математик, профессор Турин-
МАТЕМАТИКА
27г
ского университета. Он аксиоматическим мето-
дом построил теорию натуральных чисел в 1891
году. Сейчас аксиомы натурального ряда носят
его имя — аксиомы Пеано. Его именем названа
одна из кривых — кривая Пеано, в школьной
программе эта кривая не изучается.
ПЕРВООБРАЗНАЯ. Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на заданном
промежутке, если для всех х из этого промежут-
ка F'(x) = f(x).
Например: функция F(х) = х5 есть первооб-
разная для функции /(х) = 5х4, так как
Г'(х) = (х5)' = 5х4.
Причем функция F(х) = х5 + 5 также явля-
ется первообразной для функции f (х) = 5х4.
Основное свойство первообразной: если
F(x) — первообразная для функции /(х) на
заданном промежутке, то у функции /(х) бес-
конечно много первообразных, и все эти перво-
образные имеют вид F(х) + С, где С — произ-
вольная постоянная.
Правила вычисления первообразных.
1. Первообразная суммы равна сумме перво-
образных, т.е. если F(х) — первообразная для
/(х), а Н(х) — первообразная для й(х), то
J’(x) + Н(х) — первообразная для f (х) + й(х).
2. Постоянный множитель можно выносить
за знак первообразной, т.е. если F(x) — перво-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_____________________2Z3
образная для /(х) и к— постоянная, то
kF(x) — первообразная для kf (х).
3. Если F(x) — первообразная для /(х) и
к * 0, b — постоянное, то — F(kx + b) — перво-
к
образная для f (кх + Ь).
Таблица первообразных для функций, изуча-
емых в средней школе:
Функция /(х) Первообразная F(x) ДЛЯ /(х)
к кх
х" п е Z, п -1 хлЯ п + 1
1 д/х 2-Ух
sinx -cosx
cosx sinx
j_ X ln[x|
ех ех
ах ах Ina
274__________________________МАТЕМАТИКА
ПЕРЕМЕННАЯ — величина, которая прини-
мает различные значения. Чаще всего обозна-
чается буквами латинского алфавита: х, у, z и
т.д.
Переменная независимая (см. аргумент).
Переменная зависимая (см. зависимая пере-
менная).
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН СЛОЖЕ-
НИЯ. От перестановки слагаемых значение
суммы не меняется. Буквенная запись закона:
а + b = Ь + а.
Например: 5 + 7 = 7 + 5; —0,5 + 8 = 8 +
(-0,5).
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН УМНОЖЕ-
НИЯ. От перестановки множителей значение
произведения не меняется. Буквенная запись
закона: а • b = b • а.
Например: 5 7 = 7-5; -0,5 -8 = 8- (-0,5).
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ плоскости и перемещение
пространства. Так в некоторых учебниках назы-
вается движение (см. движение).
ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ- прямые,
имеющие общую точку. Если две прямые пере-
секаются, то они имеют только одну общую
точку. Через две пересекающиеся прямые мож-
но провести плоскость, и притом только одну.
Прямые, пересекающиеся под прямым уг-
лом, называются перпендикулярными.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
275
а и b — пересе-
кающиеся прямые,
тоска О — точка пере-
сечения прямых.
ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ — пло-
скости, имеющие общую точку. Возможны
лишь два варианта расположения плоскостей —
плоскости, имеющие общую точку, и плоско-
сти, не имеющие ни одной общей точки. В
первом случае плоскости будут пересекаться по
прямой, во втором случае плоскости будут па-
раллельными (см. параллельные плоскости).
аи₽ — пересе-
кающиеся плоскости,
прямая а — линия пе-
ресечения плоскостей
аир.
ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯ-
МАЯ — плоскость и
прямая, имеющие
только одну общую
точку. Через любую
точку плоскости
проходит бесконеч-
но много прямых,
пересекающих пло-
скость.
276
МАТЕМАТИКА
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ - множество,
состоящее из элементов, каждый из которых
принадлежит как одному, так и другому множе-
ству. Обозначение: ЛП5.
На рисунке заштрихо-
ванная область является
пересечением множеств
А и В.
При решении систе-
мы неравенств находят
пересечение числовых
множеств.
Например
х > -4
х < 3
-4 3
[-4; + оо)П(-оо;3)=[-4;3)
ПЕРИМЕТР МНОГОУГОЛЬНИКА- сумма
длин его сторон. Обозначение: Р. При нахожде-
нии периметра правильного многоугольника
достаточно умножить длину стороны на коли-
чество сторон правильного многоугольника.
Например: Р = 4а — формула нахождения
периметра квадрата.
Полупериметр — половина периметра, обоз-
начается р. Полупериметр встречается в некото-
рых формулах, например Герона (см. Герона
формула).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА__________________2ZZ
ПЕРИОД ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ (см. десяти-
чная дробь).
ПЕРИОД ФУНКЦИИ. Функция /(х) называ-
ется периодической с периодом Т, где Т — не-
которое действительное Число, отличное от ну-
ля, если:
1. для любого значения аргумента х из обла-
сти определения функции значение аргумента
х + Т и х - Т также принадлежит области оп-
ределения функции;
2. при любом х из области определения фун-
кции выполняется равенство:
/(х±Т) = /(х).
Обычно под периодом функции понимают
наименьший из всех положительных периодов.
Наиболее яркими примерами периодических
функций, изучаемых в школе, являются триго-
нометрические функции у = sin х, у = cos х,
У = tg*, У = ctgx.
Наименьший положительный период функ-
ций у = sinx и у = cosx равен 2я.
Наименьший положительный период функ-
ций у = tgx и у = ctgx равен л.
Для построения графика периодической
функции с периодом Т достаточно построить
график на отрезке длиной Т и затем получен-
ный график параллельно перенести вправо или
влево вдоль оси Ох нужное количество раз (см.
синус, косинус, тангенс, котангенс).
278 МАТЕМАТИКА
ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДАННОЙ ПРЯМОЙ
ИЗ ДАННОЙ ТОЧКИ — отрезок прямой, пер-
пендикулярной данной прямой, одним концом
которого является данная точка, а вторым —
точка пересечения этих прямых. Второй конец
этого отрезка называется основанием перпен-
дикуляра. Из любой точки, не лежащей на дан-
ной прямой, можно опустить на эту прямую
перпендикуляр, и только один.
> Q
в
(АВ)1а;
отрезок АВ — перпен-
дикуляр к прямой а из
точки А, точка В —
основание перпенди-
куляра АВ.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДАННОЙ ПЛОСКО-
СТИ ИЗ ДАННОЙ ТОЧКИ - отрезок прямой,
перпендикулярный данной плоскости, одним
концом которого является данная точка, а вто-
рым — точка пересечения прямой и плоскости.
Второй конец этого отрезка называется основа-
нием перпендикуляра.
А
(АВ)±а;
отрезок АВ — перпен-
дикуляр к плоскости а
из точки А, точка В —
основание перпенди-
куляра АВ.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
2Z9
Из данной точки к данной плоскости можно
опустить перпендикуляр, и только один, при
условии, что эта точка не принадлежит плоско-
сти. Длина перпендикуляра, опущенного из
данной точки, называется расстоянием от этой
точки до плоскости.
а -| ь
с
d

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ- пря-
мые, пересекающиеся под прямым углом. Обоз-
начение: alb.
Свойства перпендикулярных прямых:
1. Если на плоскости даны точка и прямая,
то существует единственная прямая, проходя-
щая через данную точку и перпендикулярная
данной прямой.
2. Если прямая перпендикулярна одной из
двух или нескольких параллельных прямых, то
она перпендикулярна
любой другой из этих
прямых.
Если прямые Ь, с,
d — параллельные и
alb, то ale и aid.
3. Если в плоско-
сти к данной прямой
проведены две или
несколько перпенди-
кулярных прямых, то
они будут параллель-
ны.
Если bla; cla;
dla, то Z>||c||rf.
а ь 1 с “| d □

280
МАТЕМАТИКА
Перпендикулярны-
ми прямыми в про-
странстве называются
прямые, угол между
которыми равен 90
градусам (см. угол
между прямыми). Пер-
в пространстве могут
пендикулярные прямые
не пересекаться, т.е. быть скрещивающимися.
Угол между прямыми а и b равен 90°, следо-
вательно, alb.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМАЯ И ПЛО-
СКОСТЬ. Прямая называется перпендикуляр-
ной к плоскости, если она перпендикулярна
любой прямой этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости:
Если прямая а перпендикулярна каждой из
двух пересекающихся прямых, лежащих в пло-
скости а, то прямая а перпендикулярна плоско-
Если alb; ale,
причем прямые b и с
принадлежат плоско-
сти а, то а±а.
Свойства перпендикулярных прямой и плос-
кости:
1. Если к плоскости проведены две различ-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
281
ные перпендикулярные прямые, то они парал-
лельны.
2. Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая пер-
пендикулярна этой плоскости.
3. Если прямая перпендикулярна одной из
двух параллельных плоскостей, то она перпен-
дикулярна и другой плоскости.
4. Если две плоскости перпендикулярны од-
ной и той же прямой, то они параллельны.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ -
плоскости, угол между которыми равен 90 гра-
дусам (см. угол между плоскостями). Обозначе-
ние: а 10.
Признак перпендикулярности двух плоскос-
тей: если одна из двух плоскостей проходит че-
рез прямую, перпендикулярную к другой пло-
скости, то такие плоскости перпендикулярны.
Если прямая ala
и плоскость 0 прохо-
дит через прямую а, то
aip.
Если две плоскости перпендикулярны, то
прямая, принадлежащая одной плоскости и
перпендикулярная линии пересечения плоско-
стей, перпендикулярна другой плоскости.
282
МАТЕМАТИКА
ПИРАМИДА — многогранник, у которого одна
грань является произвольным многоугольни-
ком, а остальные грани — треугольники, имею-
щие одну общую вершину. Многоугольник на-
зывается основанием, а треугольники — боко-
выми гранями. Общая вершина боковых граней
называется вершиной пирамиды. Высотой пи-
рамиды называется перпендикуляр, опущенный
из вершины пирамиды на плоскость основания.
Площадью полной поверхности пирамиды
является сумма площадей всех граней пирами-
ды, площадью боковой поверхности — сумма
площадей боковых граней.
S SABCD — четырех-
угольная пирамида;
//1\ \ ABCD — основание
// \ пирамиды; SSAB-,
//D ! \ \ АДЯС; Д£0С; Д57Х4-
//--г\-----/С боковые грани пира-
// п* \ / миды; S — вершина
// ° \ / пирамиды; SA; SB; SC;
Ar---------Vg SD — боковые ребра;
SO — высота пирами-
ды.
Пирамида правильная — пирамида, у кото-
рой в основании лежит правильный много-
угольник, а высота, опущенная из вершины пи-
рамиды на плоскость основания, является от-
резком, соединяющим вершину пирамиды с
центром основания.
Свойства правильной пирамиды:
1. Все боковые ребра правильной пирамиды
равны между собой.
2. Все боковые грани являются равными
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
283
между собой равнобедренными треугольника-
ми.
3. Площадь боковой поверхности правиль-
ной пирамиды равна половине произведения
периметра основания на высоту боковой грани,
которая называется апофемой.
S = —Ph, где Р — периметр основания, h —
£
апофема.
Объем любой пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на высоту:
v=\s„H.
Пирамидой, вписанной в конус, является та-
кая пирамида, основание которой есть много-
угольник, вписанный в окружность основания
конуса, а вершиной является вершина конуса.
Боковые ребра такой пирамиды являются обра-
SABCD — пирамида, впи-
санная в конус
SKMNP — пирамида, опи-
санная около конуса
284
МАТЕМАТИКА
Пирамидой, описанной около конуса, явля-
ется такая пирамида, основание которой есть
многоугольник, описанный около основания
конуса, а вершина совпадает с вершиной кону-
са. Плоскости боковых граней такой пирамиды
являются касательными плоскостями конуса.
ПИРАМИДА УСЕЧЕННАЯ — пирамида, кото-
рая получается следующим способом: берется
произвольная пирамида, и через точку бокового
ребра проводится плоскость, параллельная ос-
нованию пирамиды. Данная плоскость раздели-
ла пирамиду на две фигуры: подобную исход-
ной пирамиду и многогранник, который назы-
вается усеченной пирамидой. Основаниями
усеченной пирамиды служат подобные много-
угольники.
Если усеченная пирамида получается из
правильной пирамиды, то она называется пра-
вильной усеченной пирамидой. Боковые грани
правильной усеченной пирамиды являются рав-
ными равнобедренными трапециями. Высота
боковой грани называется апофемой правиль-
ной усеченной пирамиды. Перпендикуляр, опу-
щенный из точки верхнего основания на ниж-
нее, называется высотой усеченной пирами-
ды.
Площадь полной поверхности усеченной пи-
рамиды равна сумме площадей оснований и бо-
ковых граней.
Объем усеченной пирамиды вычисляется по
формуле: V = H{SV + ^SlS2 + S2), где Н — вы-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
285
сота усеченной пирамиды, и S2 — площади
оснований усеченной пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной
усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
S = — (Р + p)h, где Р, р — периметры основа-
ний усеченной правильной пирамиды, h — апо-
фема.
ABCDAXBXC{DX — усе-
ченная правильная
пирамида, ОХО — вы-
сота, ВХЕ — апофема
усеченной пирамиды.
ПИФАГОР САМОССКИЙ J580-500 г. до
н.э.) — великий греческий ученый. Его имя
знакомо каждому школьнику. Если вас попро-
сят назвать одного древнего математика, то аб-
солютное большинство > назовут Пифагора. Его
известность связана с названием теоремы Пи-
фагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта тео-
рема была известна в древнем Вавилоне за 1200
лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него
был известен прямоугольный треугольник со
сторонами 3, 4, 5.
Про жизнь Пифагора почти ничего не изве-
стно, с его именем связано большое количество
легенд. Пифагор руководил школой математи-
ков, которых называли пифагорейцами. Пифа-
286 МАТЕМАТИКА
горейцев связывали не только математические
изыскания, но и определенные жизненные
принципы и философские взгляды. Пифагор
одним из первых стал рассматривать геометрию
не как практическую, а как логическую науку,
на его труды опирался в дальнейшем в своей
работе Евклид и другие математики, ему при-
писывают построение пяти правильных много-
гранников: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэд-
ра, икосаэдра. Пифагор со своими учениками
внес большой вклад в развитие математики.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА. Пифагор орга-
низовал в греческой колонии на юге Аппенин-
ского полуострова религиозно-этическое брат-
ство, типа монашеского ордена, который впо-
следствии назовут пифагорейской школой или
пифагорейским союзом. Члены союза должны
были придерживаться определенных принци-
пов. Во-первых, стремиться к прекрасному и
славному, во-вторых, быть полезными, в-треть-
их, стремиться к высокому наслаждению. Сис-
тема морально-этических правил, завещанная
Пифагором своим ученикам, была собрана в
своеобразный моральный кодекс пифагорей-
цев — «Золотые стихи», которые пользовались
большой популярностью в эпоху античности,
эпоху Средневековья и эпоху Возрождения. В
восемнадцатом и девятнадцатом веках они бы-
ли популярны в России.
Пифагорейская система знаний состояла из
трех разделов: учения о числах — арифметики,
учения о фигурах — геометрии и учения о стро-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
287
ении Вселенной — астрономии. Система обра-
зования, заложенная Пифагором, просущество-
вала много веков.
Членами пифагорейского союза были жите-
лями не только Кротона, но и многих других
городов Великой Греции. В свое общество пи-
фагорейцы принимали и женщин. Союз про-
цветал более двадцати лет, а потом начались
гонения на его членов, многие из учеников бы-
ли убиты. О смерти самого Пифагора ходило
много самых различных легенд. Но учение Пи-
фагора и его учеников продолжало жить. Вели-
кий философ Платон был горячим поклонни-
ком Пифагора, Порфирий, Ямвлих, Прокл, Ги-
патия проповедовали его религию-философию.
В дальнейшем идеи Пифагора развивали Нико-
лай Кузанский (1401—1464), Джероламо Карда-
но (1501—1576), Томмазо Кампанелла (1568—
1639), Джордано Бруно (1548—1600), Владимир
Соловьев (1853—1900) и другие.
ПЛАНИМЕТРИЯ - раздел геометрии, кото-
рый изучает свойства фигур на плоскости. Наи-
более полное и систематическое изложение
планиметрии впервые было дано в «Началах»
Евклида (см. Евклид). Основными геометриче-
скими фигурами на плоскости являются точка
и прямая. Основные геометрические фигуры
вводятся без определений, их свойства выража-
ются в аксиомах планиметрии. Аксиомы — это
предложения, которые принимаются без дока-
зательства, а уже с помощью аксиом доказыва-
ются теоремы планиметрии. В математических
288
МАТЕМАТИКА
пособиях и учебниках используются различные
системы аксиом, но все они эквивалентны.
ПЛОСКОСТЬ - одна из основных фигур сте-
реометрии. Важнейшие свойства плоскости вы-
ражены в следующих аксиомах:
1. Через любые три точки, не лежащие на
прямой, проходит плоскость, и притом только
одна.
2. Если две точки прямой принадлежат пло-
скости, то и все точки прямой принадлежат
плоскости.
Из аксиом и следствий из аксиом следуют
такие способы задания плоскости:
1. Тремя точками.
2. Прямой и не лежащей на ней точкой.
3. Двумя пересекающимися прямыми.
4. Двумя параллельными прямыми.
Обозначение плоскостей: плоскости обозна-
чают обычно греческими буквами а, Р, у, и др.
или тремя латинскими прописными буквами
плоскость а
плоскость АВС
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА___________________289
ПЛОЩАДЬ- мера плоской фигуры по отно-
шению к стандартной фигуре, являющейся
квадратом со стороной, равной единице длины.
Основные свойства площади, принимаемые без
доказательств:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура разбита на части, то ее пло-
щадь равна сумме площадей этих частей.
Другими словами, если необходимо найти
площадь произвольной фигуры, то необходимо
определить, сколько квадратов со стороной,
равной единице длины, она в себя вмещает.
Площади таких фигур, как треугольник,
квадрат, прямоугольник, ромб, параллелог-
рамм, трапеция, круг, находят по формулам
(см. треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб,
параллелограмм, трапеция, круг).
ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ (см.
конус, пирамида, призма, цилиндр).
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАН-
НИКА — сумма площадей его граней (см. мно-
гогранник).
ПОВОРОТ НА ПЛОСКОСТИ - отображение
плоскости на себя, при котором точка А пово-
рачивается вокруг заданной точки О на задан-
ный угол а, так что ОА = ОАГ, где Аг — точка,
в которую переходит точка А.
Поворот является движением, т.е. является
отображением, сохраняющим расстояние.
10 Математика
290
МАТЕМАТИКА
Точка А при повороте
вокруг точки О на
угол а переходит в
точку Л15 а точка В
переходит в точку Blf
причем АВ = AtBt.
Поворот вокруг точки О на угол, равный 180
градусам, является центральной симметрией.
При повороте вокруг точки О на угол 180
градусов точка А переходит в точку At, симмет-
ричную точке А относительно точки О.
ПОВОРОТ ПРОСТРАНСТВА вокруг пря-
мой — вращение вокруг прямой на угол (см.
вращение).
ПОГРЕШНОСТЬ.
Погрешность абсолютная. Пусть а — точное
значение числа, а' — приближенное значение
числа. Абсолютной погрешностью приближен-
ного значения числа называется модуль разно-
сти точного и приближенного значений, т.е.
Например: — точное значение, 0,1 —
приближенное значение
- - 0,1 = — — абсо-
9 90
лютная погрешность.
Погрешность относительная — отношение
абсолютной погрешности к модулю прибли-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
2Я1
женного значения, т.е. ;—г-1.
И
Например: 25,4 —точное значение, 25 —
с 125,4-251
приближенное значение J—L = 0,016 —
относительная погрешность.
ПОДМНОЖЕСТВО — множество, являющееся
частью другого множества.
Например:
1. Множество положительных четных чисел
является подмножеством множества натураль-
ных чисел.
2. Множество обыкновенных дробей являет-
ся подмножеством множества действительных
чисел.
Если В подмножество множества А, то обоз-
начается В с А.
ПОДОБИЕ — отображение плоскости или про-
странства на себя, при котором расстояние
между точками изменяется в одном и том же
отношении к > 0. Другими словами, расстоя-
ние между точками или увеличивается, или
уменьшается в к раз. Число к называется коэф-
фициентом подобия. Если к = 1, то подобие
является движением. Гомотетия является преоб-
разованием подобия, но не всякое подобие яв-
ляется гомотетией (см. гомотетия).
Свойства подобия:
1. При преобразовании подобия прямые пе-
реходят в прямые, отрезки в отрезки, лучи в лу-
292
МАТЕМАТИКА
чи, плоскости в плоскости, углы в равные им
углы.
2. При преобразовании подобия три точки
А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в
точки Alf Blf С19 лежащие на одной прямой в
том же порядке, что и точки А, В, С.
&АВС подобен тре-
угольникам
и ДЛ2ДС2, но гомо-
тетичен только
кАхВхСх. и
ЛА2В2С2 являются
подобными, но не
являются гомотетич-
ными.
Подобные фигуры 4^ и Ф2, если существует
преобразование подобия, переводящее одну фи-
гуру в другую. Если фигура Oj переходит в фи-
гуру Ф2 при преобразовании подобия с коэф-
фициентом к, то фигура Ф2 переходит в фигуру
Ф1
с коэффициентом —.
к
Особое внимание в школьной программе
уделяется подобным треугольникам. Подобные
треугольники — треугольники, у которых соот-
ветствующие углы равны, а соответствующие
стороны пропорциональны.
Обозначение: ДАВС
Если треугольники подобны, то отношение
площадей равно квадрату коэффициента подо-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
223
бия, т.е. если &АВС ю ЛА, В, С,, то ^ЛАВС = к2.
у 1 1 1 о
Признаки подобия треугольников:
Первый признак подобия: если два угла од-
ного треугольника соответственно равны двум
углам другого треугольника, то такие треуголь-
ники подобны.
Второй признак подобия: если две стороны
одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы между
этими сторонами равны, то треугольники подо-
бны.
Третий признак подобия: если три стороны
одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треу-
гольники подобны.
Частные случаи подобия треугольников:
1. Прямоугольные треугольники подобны,
если острый угол одного треугольника равен
острому углу другого треугольника.
2. Прямоугольные треугольники подобны,
если гипотенуза и катет одного треугольника
пропорциональны гипотенузе и катету другого
треугольника.
3. Равнобедренные треугольники подобны,
если у них равны углы между боковыми сторо-
нами.
4. Равнобедренные треугольники подобны,
если угол при основании одного треугольника
равен углу при основании другого треугольни-
ка.
При решении задач удобно использовать та-
кие свойства подобных треугольников:
294.
МАТЕМАТИКА
1. Средняя линия треугольника отсекает тре-
угольник, подобный данному.
2. Отношение периметров подобных треу-
гольников равно коэффициенту подобия.
3. Отношение высот подобных треугольни-
ков, опущенных на соответствующие стороны,
равно отношению соответствующих сторон или
коэффициенту подобия.
ПОКАЗАТЕЛЬ КОРНЯ (см. корень).
ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ (см. степень).
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ- функция,
заданная формулой у = ах, где а > 0, а ф 1.
Свойства показательной функции:
1. Областью определения функции является
множество всех действительных чисел.
2. Областью значений функции является
множество всех положительных действительных
чисел.
3. Показательная функция не является ни
четной, ни нечетной.
4. Производная показательной функции рав-
на (а*)' = ах Ina.
5. Если х = 0, то у = 1 при любом а > 0.
6. При а > 1 функция возрастает на всей об-
ласти определения, причем:
а) если х > 0, то у > 1;
б) если х < 0, то 0 < у < 1.
7. При 0 < а < 1 функция убывает на всей
области определения, причем:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
295
а) если х > 0, то 0 < у < 1;
б) если х < 0, то у > 1.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА (см. нера-
венства).
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (см. уравне-
ния).
ПОЛНЫЙ УГОЛ — угол, градусная мера кото-
рого равна 360°, а радианная мера 2л.
sin360° =0; cos360° =1; tg360° =0; ctg360° -
неопределен.
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ КООР-
ДИНАТНОЙ ОСИ. Если мы имеем координат-
ную ось (см. координата точки на прямой), то
начальная точка делит прямую на два луча.
Луч, на котором выбран единичный отрезок,
показывает положительное направление коор-
динатной оси, этот луч называется положитель-
ной полуосью.
296
МАТЕМАТИКА
О 1 2 3 X
Луч ОХ — положительная полуось.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ УГЛЫ — углы вращения
начального радиуса против часовой стрелки
(см. угол поворота, косинус произвольного угла).
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА- действитель-
ные числа больше нуля. Множество положи-
тельных действительных чисел обозначается
R+. Множество натуральных чисел является
подмножеством положительных действительных
чисел N с R+, т.е. любое натуральное число
является положительным числом. Каждому по-
ложительному действительному числу соответ-
ствует точка на положительной полуоси.
ПОЛУПЛОСКОСТЬ. Пусть прямая а принад-
лежит плоскости а. Эта прямая делит плоскость
на две части. Каждая часть вместе с этой пря-
мой а называется полуплоскостью. Полупло-
скости обозначаются так же, как и плоскости.
Две различные полуплоскости, имеющие об-
щую прямую,
называются
двугранным
углом (см.
двугранный
угол).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
297
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЧИСЛОВАЯ -
множество действительных чисел, конечное или
бесконечное, каждый член которого имеет свой
номер. Каждому натуральному числу поставле-
но в соответствие определенное действительное
число: числу 1 соответствует число а^, числу
2 — число Oj, ..., числу п — число ап и т.д. По-
лучим числовую последовательность а^, ...,
ап, ..., где — первый член последовательно-
сти, Oj — второй член последовательности,
ап — л-й член последовательности. Если после-
довательность имеет конечное число членов, то
она называется конечной, если последователь-
ность имеет бесконечное число членов, то она
называется бесконечной.
Обозначение последовательности: (а„); (х„);
(у„) ит.п.
Последовательность называется возрастаю-
щей, если каждый ее член, начиная со второго,
больше предыдущего, т.е. ап+1 > ап.
Последовательность называется убывающей,
если каждый ее член, начиная со второго,
меньше предыдущего, т.е. ап+1 < ап.
Например: 2, 4, 6, 8,
1 1
следовательность, —; —
,. — возрастающая по-
1 1
—; -... — убывающая
4 5
последовательность.
Способы задания последовательности:
1. Аналитический способ задания последова-
тельности. Задать последовательность аналити-
чески — это значит задать формулу л-го члена.
298
МАТЕМАТИКА
Например: ап = п2 — формула «-го члена,
тогда = 1; «2 = 22 = 4; л3 = З2 = 9 и т.д.
2. Рекуррентный способ задания последова-
тельности: задается первый член последователь-
ности и формула, выражающая любой член по-
следовательности, начиная с некоторого, через
предыдущие.
Например: а, = 3; ал+1 = а2, тогда а* = 9;
«3 = 92 = 81; а4 = 812 = 6561 и т.д.
3. Описательный, или словесный, способ за-
дания последовательности задает описание спо-
соба получения ее членов.
Например: последовательность десятичных
знаков (цифр) в записи числа л: 3, 1, 4, 1, 5,
9, ...
Наиболее яркими примерами последователь-
ностей являются арифметическая и геометриче-
ская прогрессии (см. арифметическая и геомет-
рическая прогрессии).
ПОСТОРОННИЙ КОРЕНЬ - корень уравне-
ния, который получается при переходе к урав-
нению, не равносильному данному. Такие кор-
ни появляются при решении иррациональных,
логарифмических и других уравнений.
Например: lg(x - 5) = lg(2x - 9), переходим к
уравнению х - 5 = 2х - 9, решив второе уравне-
ние, получим х = 4 — этот корень второго
уравнения является посторонним для данного
уравнения, следовательно, данное уравнение не
имеет корней.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
299
ПОСТОЯННАЯ ФУНКЦИЯ — частный случай
линейной функции, заданной формулой
у = кх + b, если к = 0. Поэтому постоянная
функция задается формулой у = b. Графиком
постоянной функции является прямая, парал-
лельная оси Ох.
Например: у = 4 или у = -3.
ПОСТУЛАТ - исходное положение в «Нача-
лах» Евклида. С помощью постулатов Евклида
обосновывают все геометрические построения и
алгоритмические операции. В дальнейшем ма-
тематики не разделяли аксиомы и постулаты.
Общие понятия, принимаемые без доказатель-
ства, стали называть аксиомами. У Евклида бы-
ло пять постулатов:
1. Через две точки можно провести прямую.
2. Отрезок прямой можно продолжить неог-
раниченно.
3. Из всякого центра любым расстоянием
можно описать окружность.
300
МАТЕМАТИКА
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если две прямые, лежащие в одной пло-
скости, пересечены третьей и если сумма внут-
ренних односторонних углов меньше двух пря-
мых, то прямые пересекутся с той стороны, где
это имеет место.
ПОТЕНЦИРОВАНИЕ - действие, обратное
логарифмированию, т.е. нахождение числа по
данному его логарифму. Потенцирование не
является каким-либо особым действием: оно
сводится к возведению основания в степень,
равную логарифму числа.
Например: найти х, если loga х =
2 1
преобразуем равенство,
ис-
пользуя свойства логарифмов.
2 1
loga х = loga b> + loga b3
2 1
logax= loga(Z>3Z>3)
loga x = loga b, следовательно, x = b.
ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРАВИЛО
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА — правила для сложе-
ния векторов (см. вектор).
Найдем сумму векто-
ров а и b с помощью
правила треугольника и
правила параллелограмма:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
Правило
треугольника
________________301
Правило
параллелепипеда
ПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ - обыкновенная
дробь, у которой числитель меньше знаменате-
ля. Например:
1 2 7
77; 7 дР°бь)-
L 1 о
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК - выпук-
лый многогранник, у которого все грани пра-
вильные многоугольники. Например: тетраэдр,
куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр (см. много-
гранник).
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК- вы-
пуклый многоугольник, у которого все углы и
все стороны равны. Например: равносторонний
треугольник и квадрат являются правильными
многоугольниками.
Сумма углов правильного /2-угольника нахо-
дится по формуле: («-2)180°. Около любого
правильного многоугольника можно описать
окружность, и притом только одну.
В любой правильный многоугольник можно
вписать окружность, и притом только одну.
Для правильного многоугольника, вписан-
302_________________________________МАТЕМАТИКА
ной и описанной окружностей имеем следую-
щие формулы:
1) формула для нахождения стороны пра-
180°
вильного «-угольника: ап = 2Rsm----, где R —
п
радиус описанной окружности;
2) формула для нахождения площади пра-
вильного «-угольника: S = ^-Рг, где Р — пери-
АЛ
метр л-угольника, г— радиус вписанной ок-
ружности;
3) формула для нахождения радиуса вписан-
180°
ной окружности: г = R cos----, где R — радиус
«
описанной окружности.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Число х
называется пределом числовой последователь-
ности (х„), если для любого е > 0 при всех до-
статочно больших номерах п выполняется нера-
венство be - Х-1 < е. Обозначается limx, = х.
1 Л| П->оо п
Например:
1) последовательность (хп) задана формулой
1 г 1 л
«-го члена хп = —, тогда Jim— = 0.
« «-»"«
2) последовательность (х„) задана формулой
«-го члена хп =---, тогда шп----= 1.
« +1 л->а’« +1
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Число Ь называется
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА__________________________303
пределом функции f в точке а, если для любого
е > 0 при всех х а, достаточно близких к а,
выполняется неравенство |У(х)- Ь\ < е. Обозна-
чается: lim f(x) = b.
х-+а
Например:
1) Дана функция У(х) = 4х, lim Ух = 4а,
х-+а
если а > 0.
2) Дана функция У(х) = 2х+3, lim(2x + 3) = 5.
х->1
Предел функции у = У (х) при стремлении х
к бесконечности.
Число b называется пределом функции
у = У(х) при стремлении х к -юо, если для лю-
бого е > 0, найдется число А > 0, такое, что
для всех х > А выполняется неравенство
|У(х)- Ь\ < 8. Обозначается: lim У(х) = Ь.
1 1 Х->+со
Число b называется пределом функции
у = У(х) при стремлении х к -оо, если для лю-
бого е > 0, найдется число А > 0, такое, что
для всех х < -А выполняется неравенство
|У(х)— Ь\ < 8. Обозначается: lim У(х) = Ь.
Свойства пределов функции при стремлении
х к бесконечности:
1. Предел суммы. Если НтУ(х)=а,
X—>°О
lim g(x) = b, то lim(y(х) + g(x)) = а + b.
Х->00 Х->00
2. Предел произведения. Если lim У(х) = а,
Х->со
limg(x) = b, то lim(y(x)g(x)) = ab.
X—>со Х->00
3. Вынесение постоянного множителя за
304
МАТЕМАТИКА
знак предела. Если lim f(x) = а, то
lim kf(x) = ка.
4. Предел частного. Если lim f(x) = а,
1- / х / , 1. fix) а
limg(x) = b и b ф 0, то hm .....
b
। 4х ““ 8
Например: вычислить lim——5— --------. Зная,
5х1 +12
г 1 л
что шп—= 0, разделим почленно числитель и
п
2 + М
знаменатель на х2, получим lim------х *
х->°° 12
5+—
х1
применим свойства пределов, получим:
2 + 1-8-1.1
lim--------. х х
5 + 12.11
X X
Г0’4'
ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Имеем оп-
ь
ределенный интеграл j f(x) dx (см. интеграл),
а
Число а называется нижним пределом интегри-
рования, а число b называется верхним пред?
елом интегрирования.
з
Например: J х2 dx; 2 — нижний предел ин-
2
тегрирования; 3 — верхний предел интегриро-
вания.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА______________305
ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА-
некоторая величина, отличная от точного зна-
чения на некоторую величину (см. округление
числа, погрешность абсолютная и относитель-
ная). Обозначение: х » а, где х — точное значе-
ние, а — приближенное значение. Если при-
ближенное значение больше точного значения,
то а — приближенное значение числа х с из-
бытком, если приближенное значение меньше
точного значения, то а — приближенное значе-
ние числа х с недостатком.
Например: 4,9 » 5, 5 — приближенное зна-
чение числа 4,9 с избытком; 5,2 ® 5, 5 — при-
ближенное значение числа 5,2 с недостатком.
ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ
(см. одночлен).
ПРИВЕДЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕ-
НИЕ (см. квадратное уравнение).
ПРИЗМА — многогранник, у которого две гра-
ни — равные л-угольники, лежащие в парал-
лельных плоскостях, а остальные п граней —
параллелограммы. Два л-угольника называются
основаниями призмы, параллелограммы — бо-
ковыми гранями. Стороны боковых граней и
оснований называются ребрами призмы, концы
ребер называются вершинами призмы. Боковы-
ми ребрами называются ребра, не принадлежа-
щие основаниям.
Объединение боковых граней называется бо-
ковой поверхностью призмы, а объединение
306
МАТЕМАТИКА
всех граней называется полной поверхностью
призмы.
Высотой призмы называется перпендикуляр,
опущенный из точки верхнего основания на
плоскость нижнего основания.
Диагональю призмы называется отрезок, со-
единяющий две вершины, не принадлежащие
одной грани.
А1 Di
ABCDA^C^ — четы-
рехугольная призма; ABCD
и А{В{С{В{ — основания
призмы; ; ВВХСХС;
CCiDjP; DDXAXA — боко-
вые грани; ААХ\ ВВХ; ССХ;
DDX — боковые ребра;
ООХ1. плАВС, ОО1 — высота призмы; СД —
диагональ призмы.
Прямой призмой называется призма, у кото-
рой боковые ребра перпендикулярны плоско-
стям оснований.
Правильной призмой называется прямая
призма, у которой в основаниях лежат правиль-
ные многоугольники.
Наклонной призмой называется призма, не
являющаяся прямой.
Перпендикулярным сечением призмы назы-
вается сечение призмы плоскостью, перпенди-
кулярной боковым ребрам.
Диагональным сечением призмы называется
сечение ее плоскостью, проходящей через два
боковых ребра, не принадлежащих одной гра-
ни.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
307
Э ABCDA^C^ — пря-
мая призма, т.к.
AArl. плАВС; АА{СГС —
диагональное сечение.
Площадью полной по-
Q верхности призмы называ-
ется сумма площадей всех
ее граней.
Площадью боковой по-
верхности призмы называется сумма площадей
боковых граней. Площадь боковой поверхности
призмы можно вычислить по формуле:
5б ок= PH у где Р — периметр основания. Н —
высота призмы, или по формуле: S6 ок= РпААг,
где Рп — периметр перпендикулярного сечения,
ААГ — длина бокового ребра.
Объем призмы равен произведению площа-
ди основания на высоту, или произведению
площади перпендикулярного сечения на боко-
вое ребро, т.е. V = Socip или V = Sn*^Ax.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ.
На 2: если число оканчивается четной циф-
рой или нулем.
На 3: если сумма цифр числа делится на 3.
На 4: если две последние цифры числа нули
или образуют число, делящееся на 4.
На 5: если последняя цифра числа 0 или 5.
На 6: если одновременно выполняются при-
знаки делимости на 2 и на 3.
На 7: если разность между числом десятков
и удвоенной цифрой единиц делится на 7.
МАТЕМАТИКА
3Q&
На 8: если три последние цифры числа нули
или образуют число, делящееся на 8.
На 9: если сумма цифр числа! делится на 9.
На 10: если последняя цифра числа нуль.
На 11: если разность между суммой цифр
числа, стоящих на нечетных местах, и суммой
цифр, стоящих на четных местах, делится на
11.
На 25: если последние две цифры числа ну-
ли или образуют число, делящееся на 25.
ПРОГРЕССИИ (см. арифметическая прогрессия,
геометрическая прогрессия).
Г
ПРОЕКЦИЯ НАКЛОННОЙ (см. наклонная).
ПРОЕКЦИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ на плоскость.
Пусть дана плоскость а и прямая Z, пересекаю-
щая данную плоскость. Возьмем точку А про-
странства и проведем через нее прямую, парал-
лельную прямой Z. Эта прямая пересечет пло-
скость а в точке At. Точка Аг является парал-
лельной проекцией точки А. Если нужно полу-
чить параллельную проекцию фигуры Ф, то
нужно найти параллельные проекции точек фи-
гуры Ф на плоскость а.
Проекция перпендикулярная (ортогональ-
ная) — частный случай параллельной проек-
ции. В этом случае прямая Z должна быть пер-
пендикулярна плоскости а.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
309
Точка Д парал-
лельная проекция
точки А на плоскость
а; отрезок ДД па-
раллельная проекция
отрезка АВ на плос-
кость а.
/||(ЛД)
Точка Д перпен-
дикулярная проекция
точки А на плоскость
а; отрезок ДД пер-
пендикулярная про-
екция отрезка АВ на
плоскость а.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (см.
вектор).
ПРОИЗВЕДЕНИЕ СКАЛЯРНОЕ ВЕКТОРОВ
(см. вектор).
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. Для того
чтобы умножить многочлен на многочлен, не-
обходимо каждый член второго многочлена ум-
ножить на каждый член первого многочлена.
Например:
1) (5а + 8£)(3й - b) = 15а2 + 24ab - 5ab - 8Ь2 =
15а2 + 19ab - 8Z>2;
310
МАТЕМАТИКА
2) (x+y+jy)(x-y) = x2 +^+x2y-xy-yt-ху2 =
2 9 2 2
X + х у - ху - у .
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. Произве-
дение одночленов является одночленом (см. од-
ночлен). Умножить одночлен на одночлен — это
значит привести одночлен к стандартному виду.
Например:
1) 5х2у2 • Юлу = 50х3у3;
2) -abc-3a2b3c4 = -За3Ь4с5.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ (см. умножение чи-
сел).
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ /(х) в точке х0.
Производной функции /(х) в точке х0 называ-
1- f(xo+^x)-f(xo) .
ется lim, где Дх = х - хп —
д*->о Дх 0
приращение аргумента, х и х0 — два значения
независимой переменной из области определе-
ния функции разность
/(х0 + Дх)-/(х0) = Д/(х0) называется прираще-
нием функции /(х) в точке х0.
Обозначается производная /'(х) = Jim —
д*->о Дх
Функцию, имеющую производную в точке
х0, называют дифференцируемой в этой точке.
Если функция имеет производную в каждой
точке некоторого промежутка, то говорят, что
она дифференцируема на этом промежутке.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
311
Производная функция /(х), дифференцируе-
мой в промежутке, сама является функцией ар-
гумента х.
Для нахождения производной функции /(х)
пользуются не определением производной, а
правилами и формулами дифференцирования.
Основные правила дифференцирования:
1. Производная суммы равна сумме произ-
водных (и + v)' = и' + V'.
2. Производная произведения равна:
(иг)' = u'v + v'u.
В частности, постоянный множитель можно
выносить за знак производной, т.е. (Си)' = Си'.
3. Производная частного равна:
f
(и\ ufv — uvf
J =-----2—, при условии, ЧТО V Ф 0.
4. Производная сложной функции:
(7Й>(х))) = /'(?(*))•?'(*)•
Основные формулы дифференцирования:
1) (с)' = 0 ;
2) (Ax + Z>)' =
3) (хя У = пхл1;
4) (ех)' = ех-
5) (ах)' = ах ha;
6) (Inx)' = 1;
X
7) (Igx)' = —Ige;
X
312
МАТЕМАТИКА
8) (log. x)'= —;
xlna
9) (sinx)' = cosx;
10) (cosx)'=-sinx;
11) (tgx)' = —
COS X
12) (ctgx)' = —Д—;
sm x
13) (arcsin x)' = -==1=
14) (arccosx)' = —j=i
15) (arctgx)' = —;
1 + x
16) (arcctg x)' = - 1 2;
17) (xx)' = Xх (1 + Inx).
Геометрический смысл производной. Пусть
задана функция у = Дх), которая имеет произ-
водную в точке х = а. Проведем касательную к
графику функции
у = /(х) через точку
Угловой ко-
эффициент или тан-
генс угла наклона
этой касательной бу-
дет равен производ-
ной функции у = Дх)
в точке х = а, т.е.
к = tga = f'(a).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
313
ПРОМЕЖУТОК - множество действительных
чисел, удовлетворяющее одному из неравенств
а<х < Ь, а<. х<. Ь; а<х <Ь\ а < х< Ь.
Если а < х < b, то промежуток (а; Ь) называ-
ется интервалом.
Если а < х < b, то промежуток [a; Z>] называ-
ют отрезком.
Если а < х < Ъ или а < х <, b, то [а; Ь) и
(а; Ь\ — полуоткрытые промежутки.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ПРЯМАЯ И ОБ-
РАТНАЯ (см. прямая пропорциональность, об-
ратная пропорциональность).
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ (см. от-
ношение отрезков).
ПРОПОРЦИЯ - равенство двух отношений,
а с , .
т.е. — = —, где а и а — крайние члены, о и с —
Ъ d
средние члены.
Основное свойство пропорции: произведе-
ние средних членов равно произведению край-
них членов, т.е. ad - cb.
1 3
Например: — = —, следовательно, 16 = 32.
2 6
Свойства пропорции:
1. Каждый крайний член пропорции равен,
произведению средних, деленному на другой
„ „ be . Ьс
крайний член, т.е. а = —; d = —.
d а
314 МАТЕМАТИКА
2. Каждый средний член пропорции равен
произведению крайних, деленному на другой
м , ad ad
средний член, т.е. b = —; с = —.
с b
3. В каждой пропорции можно менять мес-
тами или только средние члены, или только
крайние члены, или те и другие одновременно:
a b d с d b
~ 5 = “ 5 ~ ’
с----------------d-b-а с-а
л - ас
4. Если верна пропорция — = —, то верны
b d
следующие пропорции, которые называются
а + b с + Ь
производными пропорциями: —— = ——;
Л d
а-b с-d ma + nb тс + nd
---Г =----1 ’ ----Г = 7, гДе Р и q - не
а + b c + d pa + qb pc + qd
равны нулю одновременно.
ПРОСТОЕ ЧИСЛО — натуральное число боль-
ше единицы, делителем которого является еди-
ница и само это число.
Например: 2; 3; 5; 7; 11 и т.д.
Задачей нахождения простых "чисел матема-
тики занимались с древних времен. В «Нача-
лах» Евклида содержится доказательство теоре-
мы о том, что простых чисел существует беско-
нечно много. Простыми числами занимались
Леонард Эйлер, Пьер Ферма, Карл Фридрих
Гаусс, но наибольших успехов в этом вопросе
достиг великий русский математик Пафнутий
Львович Чебышев. Сейчас задачей нахождения
простых чисел занимаются с помощью ЭВМ.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________315
ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ (см. вектор).
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ, ПРО-
ТИВОПОЛОЖНЫЕ УГЛЫ (см. четырехуголь-
ник).
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА- действи-
тельные числа, сумма которых равна нулю.
Например: 1 и-1;— 8 и 8 — противополож-
ные числа.
Модули противоположных чисел равны.
Противоположные числа изображаются на ко-
ординатной прямой точками, симметричными
относительно начала координат.

О 1
—у5| = |у5|. —у5 и л/5 — противоположные числа
ПРОЦЕНТ числа — сотая часть этого числа.
Обозначается 1%
Например: 1 см составляет 1% от метра, 1 дм
составляет 10% от метра.
Чтобы найти какой-либо процент от числа,
необходимо это число разделить на 100, этим
мы найдем, сколько приходится на 1%, а затем
умножить получившееся частное на количество
процентов.
Например: найдем 86% от числа 800.
800 : 100 = 8 составляет 1% от числа 800.
8 • 86 = 688 составляет 86% от числа 800.
316
МАТЕМАТИКА
Чтобы найти все число по заданной величи-
не его процента, необходимо эту величину раз-
делить на количество процентов, этим мы най-
дем, сколько приходится на 1%, а затем умно-
жить получившееся частное на 100.
Например: 800 составляет 20% от неизвест-
ного числа. Найдем это число: 800 : 20 = 40 со-
ставляет 1% от неизвестного числа.
40 • 100 = 4000 — искомое число.
ПРЯМАЯ - основная геометрическая фигура
на плоскости. Ее свойства выражаются в аксио-
мах (см. планиметрия).
Обозначение: прямая а, прямая АВ или (АВ)
(см. параллельные прямые, пересекающиеся пря-
мые, перпендикулярные прямые, скрещивающиеся
прямые).
В
ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - фун-
кция, заданная формулой у = кх, где к — дей-
ствительное число, не равное нулю, к — коэф-
фициент пропорциональности.
Рассмотрим свойства прямой пропорцио-
нальности:
1. Область определения — множество всех
действительных чисел.
2. Область значений — множество всех дей-
ствительных чисел.
3. Если х = 0, то у = 0.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
317
4. Если к > 0, то функция возрастает на
всей области определения.
Если к < 0, то функция убывает на всей об-
ласти определения.
5. Графиком прямой пропорциональности
является прямая, проходящая через начало ко-
ординат. Если к > 0, то график функции рас-
положен в первой и третьей координатных чет-
вертях. Если к < 0, то график функции распо-
ложен во второй и четвертой координатных
четвертях.
ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ КОНУС (см. конус).
ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР (см. ци-
линдр).
ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД (см. паралле-
лепипед).
ПРЯМОЙ УГОЛ — угол, равный половине
развернутого угла. Градусная мера прямого утла
318
МАТЕМАТИКА
равна 90°, радианная
мера —
Прямой
угол имеется в прямо-
Z_ А - 90° Угольном треутольни-
□_____________~ ке, в квадрате и пря-
А моугольнике, в пря-
моугольном параллелепипеде и других фигурах.
Перпендикулярные прямые пересекаются под
прямым углом, прямым углом является вписан-
ный угол, опирающийся на диаметр.
Если рассматривать прямой угол как угол
поворота, то sin90° = 1; cos90°=0; tg90° —
неопределен; ctg90° =0.
ПРЯМОУГОЛЬНИК — параллелограмм, у ко-
торого все углы прямые. Прямоугольник обла-
дает всеми свойствами параллелограмма, поэто-
му противоположные стороны прямоугольника
равны и параллельны, а диагонали в точке пе-
ресечения делятся пополам. К этим свойствам
добавляется свойство равенства диагоналей.
Прямоугольник имеет две оси симметрии: пря-
мые, проходящие через точку пересечения диа-
гоналей перпендикулярно противоположным
сторонам. Периметр прямоугольника равен уд-
военной сумме соседних сторон, а площадь
прямоугольника равна произведению соседних
сторон.
Р = 2(а + b); S = ab, где а и b — соседние
стороны прямоугольника.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
319
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИ-
НАТЫ (см. координаты).
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
(см. параллелепипед прямоугольный).
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК - тре-
угольник, в котором один из углов прямой.
Сторона прямоугольного треугольника, лежа-
щая против прямого угла, называется гипотену-
зой, а две другие стороны называются катетами.
Гипотенуза треугольника всегда больше любого
из катетов. Прямоугольный треугольник с рав-
ными катетами называется равнобедренным
прямоугольным треугольником. У такого треу-
гольника утлы при основании равны 45°.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы ра-
вен сумме квадратов катетов (см. Пифагор). И
еще одним замечательным свойством обладает
прямоугольный треугольник: высота, опущен-
ная из вершины прямого угла на гипотенузу,
делит его на два подобных треугольника, каж-
дый из которых подобен данному треугольнику
(см. гипотенуза, катет).
ЛАВ С — прямоугольный; АС = 90°; АВ —
гипотенуза; АС и СВ — катеты;
АВ2 = АС2 + СВ2 (теорема Пифагора); CD —
С высота ЛАВ С;
ЛАСБ ЛСВВ;
s' \ ЛАСО ЛАВС;
\ ЛСВВ ЛАВС\
k D В СВ2 = АВ DB ;
320
МАТЕМАТИКА
AC2 = АВ AD CD2 = AD BD;
_ AC CB _ AB CD
ДАВС — прямо-
угольный равнобед-
ренный;
AC = BC;
ZA = ZB = 45°.
Высота CD, опу-
щенная из вершины
прямого угла, является
медианой и биссект-
рисой ЛАВС и делит
этот треугольник на два прямоугольных равно-
бедренных треугольника ACD и BCD.
Гипотенуза прямо-
угольного треугольни-
ка является диаметром
описанной около этого
треугольника окруж-
ности, центр этой ок-
ружности лежит на се-
редине гипотенузы.
к АВ С — прямо-
угольный, О — центр описанной около &АВС
окружности.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
321
Р
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ. Векторы а и b на-
зываются равными, если они сонаправлены и
имеют равные длины, т.е. а ТГ b и |а| = б| (см.
вектор).
РАВЕНСТВО ОТРЕЗКОВ. Отрезки называются
равными, если их длины равны.
РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Треуголь-
ники называются равными, если их соответст-
вующие стороны и углы равны, т.е.
k АВ С = то АВ = А}ВГ, ВС = В1С1,
АС = , ХА = ХАг, ZB = ZBX, АС = АСг.
При решении задач, если необходимо дока-
зать равенство треугольников, используют при-
знаки равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников:
11 Математика
322
МАТЕМАТИКА
Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум сторо-
нам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны, т.е. если
АВ = АХВХ; АС = АХСХ, ZA = ZAX, то
ЛАВС = ЛАХВХСХ.
Второй признак равенства треугольников:
Если сторона и два прилежащих к ней угла
одного треугольника соответственно равны сто-
роне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны, т.е.
если АС = АХСХ, ZA = ZAX, Z.C = ZQ, то
ЛАВС = ЛАХВХСХ.
Третий признак равенства треугольников:
Если три стороны одного треугольника соот-
ветственно равны трем сторонам другого треу-
гольника, то такие треугольники равны, т.е. ес-
ли АВ = ЛД, ВС = ВХСХ, АС = АХСХ, то
ЛАВС = ЛАХВХСХ.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
323
Частными случаями признаков равенства
треугольников являются признаки равенства
прямоугольных треугольников.
Признак равенства по гипотенузе и острому
углу: если гипотенуза и острый угол одного
прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и острому углу другого треу-
гольника, то такие треугольники равны.
&АВС и
ДЛ1ДС1 — пря-
моугольные,
если АВ = А1В1
и Z4 = , то
МВС = Д4ВД.
Признак равенства по катету и противолежа-
щему углу: если катет и противолежащий ему
угол одного прямоугольного треугольника соот-
ветственно равны катету и противолежащему
углу другого треугольника, то такие треугольни-
ки равны.
324
МАТЕМАТИКА
ЛАВС и Д4ДС[
— прямоуголь-
ные. Если
АС = Afa и
Z.B = ЛВ}, то
ЬАВС = ДДДСр
Признак равенства по гипотенузе и катету:
если гипотенуза и катет одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе
и катету другого треугольника, то такие треу-
гольники равны.
А А1
&АВС и Ду412?1Сг1
— прямоуголь-
ные. Если
АВ = АУВ} и
СВ = СХВХ, то
ААВС = ЛА}В{\.
РАВЕНСТВО УГЛОВ. Углы называются рав-
ными, если равны их величины градусные или
радианные. Следовательно, равны между собой
все прямые, развернутые, полные углы.
Например, в рав-
ностороннем треу-
гольнике три равных
угла, каждый из ко-
торых равен 60°; в
любом правильном
многоугольнике все
внутренние углы
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
225
равны между собой и все внешние углы равны
между собой.
На рисунке А1А2А3А4А5А€ — правильный ше-
стиугольник;
Z4 =120°.
Z^4j — АА2 — АА3 — ЛА4 — АА^ —
РАВЕНСТВО ФИГУР. Фигуры называются
равными, если существует движение, переводя-
щее одну фигуру в другую. Или проще, фигуры
называются равными, если они при наложении
совпадают (см. равенство треугольников, движе-
Трапеции ABCD и А&С^ — равные фигуры.
Кубы ABCDAXBXCXDX и KLMNKXLXMXNX — равные
фигуры.
326
МАТЕМАТИКА
РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ - трапеция,
у которой равны боковые стороны. В некото-
рых пособиях трапецию с равными боковыми
сторонами на-
зывают равно-
бокой. В равно-
бедренной тра-
пеции углы при
основаниях рав-
ны, т.е. ABCD —
равнобедренная трапеция, тогда АА = ZD;
АВ = АС (см. трапеция).
Из всех трапеций только около равнобедрен-
ной трапеции можно описать окружность (см.
четырехугольник).
ABCD — равнобедрен-
ная трапеция, О —
центр описанной око-
ло трапеции ABCD
окружности.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК - тре-
угольник, у которого две стороны равны. Эти
стороны называются боковыми сторонами, а
третья сторона — основанием равнобедренного
треугольника. Углы при основании равнобед-
ренного треугольника равны, эти углы могут
быть только острыми. Медиана в равнобедрен-
ном треугольнике, проведенная к основанию,
является биссектрисой и высотой.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА__________________________327
&АВС — равнобед-
ренный треугольник;
АВ = ВС — боковые
стороны; АС — осно-
вание; BD — медиа-
на, биссектриса, вы-
сота &АВС ; ZA = ZC.
РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. Два нера-
венства называются равносильными, если их
множества решений совпадают.
Например:
1) 5х < 2 и 5х - 2 < О — равносильные нера-
венства;
х — 5
2) неравенства ---->0 и (х - 5)(х + 4) > 0
х + 4
— равносильны.
РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Два уравне-
ния называются равносильными, если корни
первого уравнения являются корнями второго
уравнения.
Например:
1) (х - 6)(х* 1 2 + 9) = 0 и х - 6 = 0 — равно-
сильные уравнения.
2) (х + 1)(х + 4) = 0 и 2х2 + 10х + 8 = 0— рав-
носильные уравнения.
Уравнения, не имеющие корней, считаются
равносильными. Аналогично, системы уравне-
ний, имеющие одни и те же решения, называ-
ются равносильными. Системы уравнений, не
имеющие решений, считаются равносильными.
328
МАТЕМАТИКА
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК - тре-
угольник, у которого все стороны равны. Рав-
носторонний треугольник является правильным
многоугольником. Все углы равностороннего
треугольника равны, каждый равен 60°. Медиа-
ны, высоты и биссектрисы в равностороннем
треугольнике совпадают, их точка пересечения
является центром вписанной и описанной ок-
ружностей. Равносторонний треугольник имеет
три оси симметрии — прямые, на которых ле-
жат биссектрисы, медианы и высоты треуголь-
ника.
ЛАВ С — равно-
сторонний,
АВ = ВС = АС = а;
12, 13 — оси сим-
метрии AzLSC; точ-
ка О — центр впи-
санной и описанной
окружности, причем
А О — радиус опи-
санной около АЛ5 С
окружности, а
ОАХ — радиус вписанной в ЛАВС окружности.
где S — площадь ЛАВ С,
АА} = BBt =СС{ — медианы, биссектрисы, вы-
Л л
соты одновременно, причем ААг = ——;
АА = АВ = ZC = 60°;
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
329
РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА. Радиан - цент-
ральный угол, длина дуги которого равна ради-
усу. Обозначается 1 рад.
1 л 180° 1 „о
1 рад =---, причем 1 рад ~ 57 .
к
10=iioрад-
Полный угол равен 2л радиан.
Развернутый угол равен л радиан.
Переход от градусной меры утла к радиан-
ной осуществляется по формуле:
_ ср л
Фр«й - 18Оо •
А(х:у)
РАДИУС-ВЕКТОР.
Пусть в прямо-
угольной системе
координат задана
точка А с координа-
тами х и у. Вектор
ОА называется ра-
диусом-вектором
точки А, где точка
О — точка начала координат. Координаты точ-
ки и координаты ее радиус-вектора равны, т.е.
координаты вектора ОА равны х и у.
На рисунке ОА — радиус-вектор точки А;
ОА = xi +yj ; ОА{х,у}.
330
МАТЕМАТИКА
д РАДИУС КРУГА -
радиус окружности,
являющейся границей
круга (см. радиус
окружности).
ОА — радиус круга
с центром в точке О.
РАДИУС ОКРУЖНОСТИ- отрезок, соеди-
няющий точку окружности с ее центром. Обо-
значается R, г.
Если окружность описана около какого-
нибудь многоугольника, то ее радиус принято
обозначать R.
Если окружность вписана в какой-либо
многоугольник, то ее радиус принято обозна-
чать г.
Отрезок ОА — ра-
диус окружности с
центром в точке О.
РАДИУС ОСНОВАНИЯ КОНУСА- радиус
круга, являющегося основанием конуса (см.
конус, радиус круга).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
331
РАДИУС ОСНОВАНИЯ ЦИЛИНДРА - ради-
ус круга, являющегося основанием цилиндра
(см. цилиндр, радиус круга).
---------РАДИУС ШАРА -
f--------отрезок, соединяю-
[ _________\ щий центр шара с
Д"'* д точкой сферы, яв-
k q ~~л ляющейся границей
-- у данного шара.
\ / Отрезок ОА — ра-
\-------диус шара с центром
в точке О.
РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ — угол, стороны кото-
рого являются дополнительными лучами (см.
луч, угол).
Градусная мера развернутого угла равна 180
градусам, а радианная мера — л радиан. Если
из вершины развернутого угла провести луч, то
получим смежные углы (см. смежные углы).
АВС
ZАВ С — развернутый угол;
ZABD и Z.DBC — смежные углы.
Если рассматривать развернутый угол как
угол поворота, то:
sin л = 0;
cos л = -1;
tgл = 0;
ctgrc — неопределен.
332
МАТЕМАТИКА
РАЗВЕРТКА объемной фигуры — изображение
ее поверхности.
Рассмотрим примеры разверток некоторых
фигур.
Развертка треугольной
призмы
Развертка конуса
❖
Развертка четырехуголь-
ной пирамиды
Развертка цилиндра
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА. Рассмотрим разло-
жение вектора на плоскости. Если даны два не-
коллинеарных вектора а и Ь, то вектор с
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
333
можно представить в виде с = ха + yb , где х и
у — некоторые числа, которые называются ко-
эффициентами разложения.
а
^ОС - ОА + ОВ, где
ОС -с; ОА = ха;
OB = yb , следователь-
но, с = ха + yb .
Если векторы а и b коллинеарны, причем
а * 0, то вектор b можно представить в виде
b = ка, где к — некоторое число.
и b
Если векторы а
сонаправлены,
то
к =
b
а
Если векторы а и b противоположно на-
правлены, то к = -
b
а
Рассмотрим разложение вектора в простран-
стве. Если вектор р представлен в виде
р = ха + yb + zc, где х, у, z — некоторые числа,
то говорят, что вектор р разложен по векторам
а , b , с. Числа х, у, z называются коэффици-
ентами разложения. Любой вектор можно раз-
ложить по трем данным некомпланарным век-
торам, причем коэффициенты разложения оп-
ределяются единственным образом.
324
МАТЕМАТИКА
OP = р; ОА = ха;
OB = yb; ОС = zc ;
ОР = ОА + ОВ + ОС,
тогда р = ха + yb + zc.
При сложении век-
торов ОА, ОБ и ОС
мы использовали пра-
вило параллелепипеда
(см. вектор, сумма
векторов).
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНО-
ЖИТЕЛИ.
1. Разложение на множители квадратного
трехчлена. Если квадратный трехчлен имеет
корни, то его можно представить в. виде
ах2 + Лх + с = а(х - х^х - х2), где х, и х2 —
корни квадратного трехчлена (см. квадратный
трехчлен).
Например:
1) 9х2 - 10х +1 = 9(х - -)(х -1) = (9х - 1)(х -1);
9
2) Зх2 + 5х - 2 = 3(х - |)(х + 2) = (Зх - 1)(х+2);
3) х2 - х - 30 = (х + 5)(х - 6).
2. Разложить многочлен на множители мож-
но способом вынесения за скобку общего мно-
жителя. Например:
1) 25х2 -10х = 5х(5х -2);
2) ас - Ьс = с(а - Ь).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
335
х
х
Л2

3. Разложить многочлен на множители мож-
но с помощью формул сокращенного умноже-
ния (см. формулы сокращенного умножения)'. На-
пример:
1) х2 -2х + 1 = (х-1)2;
2) х3 -1 = (х - 1)(х2 + х +1);
х2 (х ^\( х А
3)Т-9 = (2-3Ь + 3]-
4. Разложить многочлен на множители мож-
но способом группировки. Например:
1) х3 - Зх2 -15 + 5х = (х3 - Зх2) + (5х -15) =
х2(х - 3) + 5(х - 3) = (х - 3)(х2 + 5);
2) 2аЬ + ЮЛ - За -15 = (2аЬ + ЮЛ) - (За +15) =
2Ь(а + 5) - 3(а + 5) = (а + 5)(2Л - 3).
РАЗНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕС-
СИИ (см. арифметическая прогрессия).
РАЗНОСТЬ
ВЕКТОРОВ.
Разностью
векторов а и
Л называет-
ся такой век-
тор с, что
его сумма с вектором Л равна вектору а, т.е.
с = а - Л, тогда с + Л = а.
РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. Разностью квадратов
33fi
МАТЕМАТИКА
называется формула: а2 -b2 = (а- Ь)(а + Ь) (см.
формулы сокращенного умножения).
РАЗНОСТЬ КОСИНУСОВ. Разностью косину-
сов называется формула:
Л ~ . а + Р . а-Р
cos а - cos Р = -2 sin ——- • sin ———.
н 2 2
РАЗНОСТЬ ЕьУБОВ. Разностью кубов называ-
ется формула: a3 -b3 = (a- b)(a2 +ab + b2) (см.
формулы сокращенного умножения).
РАЗНОСТЬ СИНУСОВ. Разностью синусов
называется формула:
. „ Л . а -Р а + Р
sin а - sin Р = 2 sin-- cos —.
2 2
РАЗНОСТЬ ТАНГЕНСОВ. Разностью танген-
сов называется формула:
. sin(a-p)
tga - tg р =------.
cos a cosp
РАЗНОСТЬ ЧИСЕЛ — результат вычитания
этих чисел. Разностью чисел а и b называется
число х, которое в сумме с числом b равно чис-
лу а, т.е. х = а - b, тогда х + b = а.
РАЗРЯД — место, занимаемое цифрой при на-
писаний В~десятичной системе счисления. Раз-
ряды объединяются в классы по три в каждом.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
337
Например, класс единиц состоит из разряда
единиц, разряда десятков, разряда сотен. В
каждом разряде выделяется разрядная единица.
Например, в разряде единиц разрядной едини-
цей является число 1, в разряде десятков раз-
рядной единицей является число 10, в разряде
сотен разрядной единицей является число 100,
и т.д. (см. законы математические).
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ПРЯМЫМИ - длина перпендикуляра, опу-
щенного из точки первой прямой на другую
прямую.
[А о а || Ь, отрезок АВ —
перпендикуляр между
ь прямыми а и Ь, длина
--------И---------- отрезка АВ — расстоя-
в------------------ние между прямыми а
и Ь.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИ-
МИСЯ ПРЯМЫМИ — расстояние между па-
раллельными плоскостями, содержащими эти
прямые.
а и b — скрещиваю-
щиеся прямые, а||р,
длина отрезка АВ —
расстояние между па-
раллельными плоско-
стями, которое являет-
ся расстоянием между
прямыми а и Ь.
338
МАТЕМАТИКА
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ - длина
отрезка, концы которого являются этими точ-
ками.
Длина отрезка АВ — расстояние между точ-
ками А и В, обозначается \АВ |.
Если точки А и В заданы на координатной
прямой, причем координата точки А равна а, а
координата точки В равна Ь, то расстояние
между точками находится по формуле:
|АВ| = |a-Z>|.
Если точки А и В лежат в плоскости, на ко-
торой задана прямоугольная система коорди-
нат, причем точка А имеет координаты хг и у{,
а точка В имеет координаты х2 и у2, то рассто-
яние между точками А и В находится по фор-
муле: |Л5| = д/(х2 - xj2 + (у2 - yj2 •
Если точки А и В лежат в пространстве, где
задана прямоугольная система координат, при-
чем точка А имеет координаты хг, у19 zit а
точка В имеет координаты х2, у2, z2, то рас-
стояние между точками А и В находится по
формуле: |Л5| = ^(х2 - xj2 + (у2 - ytf + (z2 - Z,)2.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ -
длина перпендикуляра, опущенного из данной
точки на данную прямую.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
332
А
о г~|В
АВ La \ длина перпен-
дикуляра АВ — рас-
стояние от точки А до
прямой а.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКО-
СТИ — длина перпендикуляра, опущенного из
данной точки на данную плоскость.
АВ 1 а; длина перпен-
дикуляра АВ — рас-
стояние от точки А до
плоскости а.
РАССТОЯНИЕ ОТ ПРЯМОЙ ДО ПАРАЛ-
ЛЕЛЬНОЙ ЕЙ ПЛОСКОСТИ - длина пер-
пендикуляра, опущенного из любой точки этой
прямой до плоскости.
А а
а||а; АВ 1а; длина
перпендикуляра АВ —
расстояние между
прямой а и параллель-
ной ей плоскостью.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ПЛОСКОСТЯМИ — длина перпендикуляра,
опущенного из любой точки первой плоскости
на вторую плоскость.
340
МАТЕМАТИКА
а||р; AS_La; АВ 1ft;
длина перпендикуляра
АВ — расстояние меж-
ду параллельными
плоскостями аир.
РАЦИОНАЛЬНАЯ ДРОБЬ - выражение вида
а ,
—, где аи b — многочлены одной или несколь-
b
ких переменных. Например:
ху + 5 . х2 + 5х + 8
х2 + 4 ’ х2 - Зх + 5
Основное свойство алгебраической дроби
аналогично основному свойству обыкновенной
дроби: при любых значениях а, Ь, с, где b ф 0 и
_ а ас
с ф 0, верно равенство — = —.
о Ьс
Например: ^4 = = .
(х + у) (х + у) х + у
Сложение, вычитание, умножение и деление
алгебраических дробей производится так же,
как и сложение, вычитание, умножение и деле-
ние обыкновенных дробей. Например:
5х 15
Зу + у + 1
5х(у +1) +15 • Зу _ 5ху + 5х + 45у
Зу(у + 1) Зу(у + 1)
а +1 За _ За(а + 1) _ За(а +1)
д-2 д + 2 (д-2)(д + 2) а2 -4 ’
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА__________________341
Зх2 -1 х + 5 _ (Зх2 - 1)(8х2 +1) _
х + 5 ' 8х2 +1 (х + 5)(х + 5)
24х4 - 5х2 -1
(х + 5)2
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ - целые и
дробные рациональные выражения.
Целые рациональные выражения — много-
члены и одночлены, дробные рациональные
выражения — рациональные дроби и выраже-
ния, к ним приводящиеся. Например:
(х - у)(х2 - 4) — целое рациональное выра-
жение;
5а -1
а + ---- — дробное рациональное выраже-
За +1
ние.
Целое рациональное выражение имеет
смысл при любых значениях переменных, вхо-
дящих в него. Дробное рациональное выраже-
ние имеет смысл при тех значениях перемен-
ных, которые не обращают знаменатель в выра-
жение, значение которого равно нулю.
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО - число вида —,
п
где т — целое число, п — натуральное число.
Каждое рациональное число может быть пред-
ставлено в виде бесконечной десятичной дроби,
и каждая бесконечная десятичная дробь пред-
ставляет некоторое рациональное число. Сум-
ма, разность, произведение и частное рацио-
342
МАТЕМАТИКА
нальных чисел также являются рациональными
числами. Все целые и дробные числа, как по-
ложительные, так и отрицательные, и число
нуль образуют множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел обозначает-
ся Q.
Примеры рациональных чисел:
5.
7’
-18;
-0,149; 0,(3); 0.
РЕБРО ДВУГРАННОГО УГЛА - общая пря-
мая полуплоскостей, которые являются граня-
ми двугранного угла (см. двугранный угол).
РЕБРО МНОГОГРАННИКА. Ребрами много-
гранника называются стороны многоугольни-
ков, которые являются гранями многогранника
(см. многогранник, куб, пирамида, прямоугольный
параллелепипед, призма, тетраэдр, октаэдр, ико-
саэдр, додекаэдр).
РЕБРО МНОГОГРАННОГО УГЛА. Ребрами
многогранного угла являются стороны плоских
углов, из которых состоит многогранный угол
(см. многогранный угол).
РЕГИОМОНТАН (1436-1476) - ведущий не-
мецкий математик и астроном в пятнадцатом
веке. Его настоящее имя — Иоганн Мюллер.
Региомонтан родился в г. Кенигсберге, обучал-
ся в Лейпцигском, а затем Венском универси-
тете, он много путешествовал в научных целях.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 343
Региомонтан внес большой вклад в развитие
тригонометрии. Форма, в которой он излагал
тригонометрию, в основных чертах сохранилась
неизменной до нашего времени.
РЕКУРРЕНТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПО-
СЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (см. последователь-
ность числовая).
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И УРАВНЕНИЙ.
Решить уравнение — это значит найти корни
уравнения (см. корень уравнения).
Решить неравенство (имеется в виду нера-
венство с переменной) — это значит найти
множество значений переменной, при которых
данное неравенство верно (см. неравенства с пе-
ременной).
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Решением
треугольника называется нахождение его эле-
ментов по каким-нибудь трем элементам, опре-
деляющим треугольник (см. элементы треуголь-
ника).
Решение треугольника по двум сторонам и
углу между ними. Дан треугольник АВС,
ВС = а, АС = b, Z.C - у. Сторону АВ находим
по теореме косинусов: АВ =
Ja2 + b2 - 2ab cos у = с. Также по теореме коси-
нусов находим косинус угла А или угла В. На-
. Ь2 + с2 - а2 п
пример, cos Л =--—-----. По косинусу угла с
2Ьс
помощью таблиц или микрокалькулятора нахо-
344
МАТЕМАТИКА
дим значение угла. Ос-
тавшийся угол находим
по формуле:
АВ = 180°-ЛЛ-ZC.
Например:
Пусть АС = 5 см;
ВС = 7 см; АС = 60°,
тогда
АВ = д/72 + 52 -2-7-5-0,5 = д/39 = 6,2 (см),
с2 . /г ^2 _ 72
cos Л = * « 0,2329,
2 • 5 • 6,2
АА = 76° 36', АВ = 180° - 60° - 76° 36' = 43° 24'.
Решение треугольника по стороне и прилежа-
щим к ней углам. Дан треугольник АВС,
ВС = а, АВ = р, АС = у. Угол А находим по
формуле:
АА = 180°-(у+ Р) = а.
По теореме сину-
сов находим стороны
АВ и АС: АВ = а^- ;
sin а
sin а
Например: Пусть ВС = 4 см; АВ = 40°;
АС = 30°, тогда
АА = 180° -(40° + 30°) =110°,
. D л sin 30° 4 • 0,5 n . z ч
АВ = 4---------=- =-----4- == 2,1 (см),
sin 110° sin 70° v h
. sin40° . sin 40° .
AC = 4---------7Г = 4-------n- = 2,7 (cm).
sin 110° sin 70° ’ v 7
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
345
Решение треугольника по трем сторонам. Дан
треугольник АВС, АВ = с, ВС = а, АС = b. По
теореме косинусов находим косинусы двух лю-
бых углов, а затем по таблицам или с помощью
микрокалькулятора находим значения этих уг-
АС = 180° -(АА. + АВ).
Например,
. Ь2 + с2 - а2
cos Л =---—----;
2Ьс
D a2+c2-b2
cos В =--------.
2ас
Оставшийся угол С
находим по формуле:
Например: Пусть АВ -1 см; ВС = 9 см;
АС - 6 см.
/г 2 _ g2
cos Л = ~ 0,0476, AA ~ 87° 16',
2-6-7
q2 . n2 _ zr2
cos В = —------— » 0,7460, AB = 41° 46',
2-9-7
AC « 180p - (87° 16' + 41° 46') = 50° 58'.
Частным случаем решения треугольников
д является решение прямо-
к угольных треугольников.
а \ Решение прямоугольного
ь \ треугольника по катету и ос-
\ трому углу.
\ 1 случай
~1_______ Дано: ААВС, АС = 90°,
q . В АС = b; АА = а.
346
МАТЕМАТИКА
Найти: АВ; СВ; АВ.
Решение: АВ = 90°-a, CB = biga, АВ =----.
cos а
2 случай
Дано: ЛАВС, АС = 90°, СВ = а, АА = а.
Найти: АВ; АС; АВ.
Решение: АВ = 90°-а, АС=-^~, АВ = а .
tga sin а
Решение прямоугольного
\ треугольника по гипотенузе и
а\ острому углу.
\ с 1 случай
\. Дано: ЛАВС, AC=9tf,
\ АВ = с; АА = а.
_______д Найти: АС; СВ; АВ.
В Решение: АВ = 90° - а,
СВ = asina, АС = acosa.
2 случай
Дано: ЛАВС, АС = 90°, АВ = с; АВ = р.
Найти: АС; СВ; АА.
Решение: АА = 90° - Р, АС = a sin Р,
А СВ = a cos р.
\ Решение прямоугольного
\ треугольника по двум катетам.
\ Дано: t±ABC, АС = 99\
* \ СВ = а,АС = Ь.
\ Найти: АВ, АА, АВ.
□_______\ Решение: АВ = 7«2 +#2 (по
Сов теореме Пифагора).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
347
tgy4 = найти по таблицам значений
о
тангенсов. Z.B = 90° - ZA.
РИМАН БЕРНХАРД (1826-1866) - немецкий
математик, профессор Геттингенского универ-
ситета. Этот выдающийся математик прожил
недолгую жизнь, но сделал много замечатель-
ных открытий в математике. Он развил идеи
Лобачевского и теорию интегралов, положил
начало топологии и начало дифференциальной
многомерной геометрии. Геометрия Римана на-
шла одно из важнейших своих применений в
теории относительности Эйнштейна. Имя Ри-
мана навеки вошло в математику в таких поня-
тиях, как геометрия Римана, интеграл Римана,
сфера Римана, Риманова поверхность.
РИМСКИЕ ЦИФРЫ (см. цифры).
РОМБ — параллелограмм, у которого все сто-
роны равны. Ромб обладает всеми свойствами
параллелограмма и дополнительно к ним сле-
дующими свойствами:
1. Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-
ны.
2. Диагонали ромба являются биссектрисами
его внутренних углов.
3. Прямые, содержащие диагонали ромба,
являются его осями симметрии.
4. В любой ромб можно вписать окружность,
центр этой окружности лежит на пересечении
диагоналей ромба.
348
МАТЕМАТИКА
Площадь ромба можно найти по следующим
формулам:
1) S = ah, где а — сторона ромба, h — высо-
та ромба.
2) S = a2 sin а, где а — сторона ромба, а —
угол между соседними сторонами.
dx и d2 — диагонали ром-
3) S = }-dxd2, где
ABCD — ромб;
АВ = ВС = CD = AD;
AB\\CD-, BC\\AD-, BD
и AC — диагонали;
DB1.AC; /, и l2 —
оси симметрии ромба.
РУМОВСКИЙ СТЕПАН ЯКОВЛЕВИЧ (1734-
1812) — русский математик, астроном. Родился
близ города Владимира, после переезда семьи в
Петербург поступил в Александро-Невскую се-
минарию, где рано проявил интерес к точным
наукам. В 1748 году М.В. Ломоносов отобрал
четырех лучших учеников — и среди них Ру-
мовского — для пополнения академической
гимназии. После этого он поступил в академи-
ческий университет, где также поражал препо-
давателей своими математическими способно-
стями. Его сочинение, представленное для вы-
движения в адъюнкты, было послано в Берлин
на отзыв Эйлера. Он дал работе студента Ру-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
349
мовского блистательный отзыв. Для продолже-
ния образования Румовский был послан в Бер-
лин, где прожил в доме Л. Эйлера два года.
Между учителем и учеником сложились теплые
отношения.
С.Я. Румовский был вице-президентом Пе-
тербургской Академии наук, членом Стокголь-
мской Академии. Он сыграл важную роль в
становлении народного просвещения, был по-
печителем Казанского учебного округа.
С.Я. Румовский способствовал становлению
Лобачевского как ученого.
РЯД ЧИСЛОВОЙ - выражение вида
(\ +«2 +...+ «„ +..., где Oj, flj,... ап... — элементы
числовой последовательности, для которых за-
дан закон, позволяющий определить каждый из
ап по его номеру п. Oj, ап... называются
членами ряда, суммы ; S2 = Oj + «2;
Sn = Oj + a2 +-’-+an называются частичными сум-
мами.
Ряд называется сходящимся, если существу-
ет предел его и-ой частичной суммы при стрем-
лении п к бесконечности, т.е. lim S„ = 5*.
’ »-»«> "
Если такого предела не существует, то ряд
называется расходящимся.
В настоящее время в школе ряды не изуча-
ются, но знакомство с ними полезно.
Примеры числовых рядов:
1) 1- — + +(-1)"-1—+... — знакочере-
2 3 4 п
дующийся сходящийся ряд;
350
МАТЕМАТИКА
2) I2 +22 + 32+...+л2+... — знакопостоянный
сходящийся ряд;
1 1 1 1
3) 1+jr+y+-V-
— знакопостоянный
ряд (см. знакопостоянный ряд, знакочередующий-
ся ряд, последовательность).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
351
С
САККЕРИ ДЖИРОЛАМО (1667-1733) - из-
вестный итальянский математик, монах. Мате-
матиком Джироламо Саккери стал не сразу,
сначала он преподавал грамматику в иезуит-
ской коллегии в Милане, здесь он увлекся ма-
тематикой и стал серьезно ею заниматься. Сак-
кери можно считать предшественником Лоба-
чевского, он предвосхитил неевклидову геомет-
рию. К основным своим открытиям Саккери
пришел при попытке доказательства пятого по-
стулата Евклида.
СЕГМЕНТ КРУГА- часть круга, отсекаемая
хордой. Всякая хорда делит круг на два сегмен-
та. Если хорда совпадает с диаметром, то она
^елит круг на сегменты, которые называются
полукругами.
Заштрихованная
часть круга являет-
ся сегментом. Пло-
щадь этого сегмен-
та вычисляется как
разность площади
сектора, ограни-
ченного радиусами
ОА и ОВ, и площа-
ди треугольника
АОВ.
352
МАТЕМАТИКА
Заштрихованная
часть круга является
сегментом. Пло-
щадь этого сегмента
вычисляется как
сумма площади сек-
тора, ограниченного
радиусами ОК и
ОР, и площади тре-
угольника КОР.
(Берем круговой
сектор с централь-
ным углом, большим 180 градусов).
СЕГМЕНТ ШАРА — часть шара, отсекаемая от
него какой-нибудь плоскостью.Секущая пло-
скость разбивает шар на два шаровых сегмента.
Круг, получившийся в сечении, называется ос-
нованием каждого шарового сегмента. Если
провести диаметр шара, перпендикулярный се-
кущей плоскости, то эта плоскость разобьет ди-
аметр на два отрезка, каждый из которых назы-
вается высотой соответствующего шарового сег-
мента.
А п — секущая плоско-
сть. Заштрихованный
/ КРУГ — основание сег-
/ i ментов. AC la; АВ и
\ [ J ВС — высоты сегмен-
тов.
Объем шарового сегмента вычисляется по
формуле:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
353
, где R — радиус шара, h —
высота сегмента.
СЕКАНС — тригонометрическая функция, ко-
, ” 1
торая задается формулой: sec а =---.
cos а
Секанс угла определен при всех значениях,
Л г,
за исключением: а = — + im. п g Z.
2
Рассмотрим свойства функции у = sec х.
1. Область определения функции — множе-
ство всех действительных чисел, кроме чисел
Л гг
X - 1- ЛЛ, п G Z .
2
2. Область значений
(-оо;- 1]U [!;+«>).
3. Функция у = secx
sec(-x) = secx.
4. Функция у = sec х периодическая
меньшим положительным периодом 2л.
5. Функция у = sec х ни при каком
нии аргумента не обращается в нуль.
6. Принимает положительные
secx > 0 при х g I " + 2лл; + 2лл 1,
X Z* У
7. Принимает отрицательные
secx < 0 при х g (у'+ 2лл; + 2лл],
X Хг Л* У
8. Функция у = secx возрастает в
функции —
четная,
т.е.
с наи-
значе-
значения:
значения:
промежут-
п g Z.
п е Z.
12 Маг», магмы
354
МАТЕМАТИКА
Я
ках 2лп; — + 2пп ;
2 Г
я
— + 2пп; л + 2пп , nel.
U J’
9. Функция у = secx убывает в промежутках
Зя А (Зя
л + 2лп; — + 2пп ; — + 2ли; 2л + 2лп , п е Z.
2* J \
10. Производная (secx)' = SmX
cos x
И. График функции у = secx
СЕКТОР КРУГА — часть круга, ограниченная
двумя его радиусами. Эти радиусы разбивают
круг на два круговых сектора. Дуга, которая ог-
раничивает сектор, называется дугой сектора.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
355
Площадь кругового сек-
тора вычисляется по фор-
муле:
с nR2 D
S = где R— ра-
диус круга, а — величина
соответствующего цент-
рального угла.
СЕКТОР ШАРО-
ВОЙ- геометриче-
ское тело, которое
получается при вра-
щении кругового сек-
тора с углом, мень-
шим 90 градусов,
вокруг прямой, со-
держащей один из ог-
раничивающих круго-
вой сектор радиусов.
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента
и конуса с общим основанием.
Объем шарового сектора вычисляется по
формуле:
2
V = — TtR2h, где R — радиус шара, h — высо-
та соответствующего шарового сегмента.
СЕКУНДА- градусная мера угла, равная Хбоо
градуса, %о минуты.
356
МАТЕМАТИКА
Обозначается: 1".
Связь секунды с радианом:
1" = Рад s 0,000004848 рад.
648000 у г
СЕКУЩАЯ - прямая, имеющая с окружно-
стью или какой-либо другой кривой по мень-
шей мере две общие точки. С окружностью се-
кущая может иметь только две общие точки.
Прямая I — секущая
кривой L
Прямая MN — секущая
окружности
Угол между секущими окружности измеряет-
ся полуразностью заключенных между ними
дуг:
ABAC = ±(„МпК-^МпР), где АВ и АС -
секущие.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
357
Угол между касательной и секущей окруж-
ности измеряется полуразностью отсекаемых
дуг, прилежащих к касательной:
Z.BAC = — (^CmB-^BnD), где АВ — каса-
2
тельная, АС — секущая.
СЕКУЩАЯ ДВУХ ПРЯМЫХ. Прямая с назы-
вается секущей по отношению к прямым а и Ь,
если она пересекает их в двух точках (см. внеш-
ние и внутренние накрест лежащие углы, одно-
сторонние углы, соответственные углы, парал-
лельные прямые на плоскости). При пересечении
прямых а и b секущей с образуются следующие
углы:
внешние накрест ле-
жащие углы: 1 и 7; 2 и
8;
внутренние накрест
лежащие углы: 3 и 5 ;
4 и 6;
внешние односторонние углы: 1 и 8; 2 и 7;
внутренние односторонние углы: 3 и 6; 4 и 5;
соответственные углы: 1 и 5; 4 и 8; 2 и 6 ; 3 и 7.
СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ пространственной
фигуры — плоскость, по обе стороны от кото-
рой имеются точки данной фигуры. Фигура,
которая образуется при пересечении данной
фигуры с секущей плоскостью, называется се-
чением данной фигуры (см. сечение).
358
МАТЕМАТИКА
ABCDAiBiCiDi — па-
раллелепипед;
а — секущая плоско-
сть;
A2B2C2D2 — сечение.
СЕЧЕНИЕ — фигура, которая получается при
пересечении пространственной фигуры секущей
плоскостью (см. секущая плоскость).
При пересечении секущей плоскостью мно-
гогранника образуется некоторый многоуголь-
ник, число сторон которого не может быть
больше числа граней многогранника. Если
многогранник имеет ось симметрии, то сече-
ние, которое проходит через ось симметрии,
называется осевым сечением.
SAB CD — правильная
четырехугольная пира-
мида;
прямая / — ось сим-
метрии пирамиды
SABCD-,
SASC и SSDB — осе-
вые сечения пирами-
ды.
При пересечении прямого кругового конуса
и прямого кругового цилиндра секущей пло-
скостью, перпендикулярной оси цилиндра или
конуса, в сечении получается круг. Если секу-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
259
щая плоскость проходит через ось конуса, то в
сечении получается равнобедренный треуголь-
ник. Если секущая плоскость проходит через
ось цилиндра, то в сечении получается прямо-
угольник. Сечения, содержащие оси конуса и
цилиндра, называются осевыми сечениями.
а — секущая плоскость
SO — ось симметрии
Ша
а — секущая плоскость
ОХО2 — ось цилиндра
ОХО21. а
SO — ось конуса
&SAB — осевое сечение
SA = SB
ОХО2 — ось цилиндра
ABCD — осевое сечение
ABCD — прямоугольник
СИММЕТРИЯ. Различают три вида симмет-
рии: симметрия относительно прямой, симмет-
рия относительно точки, симметрия относи-
тельно плоскости.
360
МАТЕМАТИКА
Симметрия относительно прямой называется
осевой симметрией (см. осевая симметрия).
Симметрия относительно точки называется
центральной симметрией (см. центральная сим-
метрия).
Рассмотрим симметрию относительно пло-
скости. Такую симметрию иногда называют
зеркальной симметрией. Точки А и Д называ-
ют симметричными относительно плоскости а,
если они лежат на прямой, перпендикулярной
плоскости а, расположены по разные стороны
от плоскости а и находятся на равном расстоя-
нии от этой плоскости.
Симметрией относительно плоскости называ-
ется отображение пространства на себя, при ко-
тором каждая точка А переходит в симметрич-
ную ей относительно плоскости точку Ах. Сим-
метрия относительно плоскости является дви-
жением, т.е. сохраняет расстояние между точка-
ми (см. движение).
симметричны
относительно плоскости а.
A4j 1а; ОА = ОАг.
Изображенные конусы
симметричны
относительно плоскости а.
Фигуры Ф и Oj симметричны относительно
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
361
плоскости а, если их точки симметричны отно-
сительно плоскости а.
СИМПСОН ТОМАС (1710-1761)- англий-
ский математик и педагог. Томас Симпсон был
необыкновенно талантлив и трудолюбив. Он не
получил специального математического образо-
вания, но самостоятельно в совершенстве овла-
дел дифференциальным и интегральным исчис-
лением. Именем Томаса Симпсона названы
формулы для вычисления приближенного зна-
чения интегралов и для вычисления объемов
тел с двумя параллельными основаниями, секу-
щими коническую поверхность.
СИМПСОН РОБЕРТ (1687-1768) - шотланд-
ский математик. Занимался изучением и разви-
тием наследия математиков средневекового Во-
стока. Прославился тем, что в честь него назва-
на теорема Симпсона: ортогональные проекции
произвольной точки окружности, описанной
около треугольника, на его стороны лежат на
одной прямой. Эта прямая называется «прямой
Симпсона». Но оказалось, что эту теорему на
самом деле доказал В. Уоллес в 1797 году, через
тридцать лет после смерти Р. Симпсона.
СИНУС.
Синус острого угла в прямоугольном треу-
гольнике. Синусом острого угла в прямоуголь-
ном треугольнике называется отношение про-
тиволежащего катета к гипотенузе.
362
МАТЕМАТИКА
sin а
СВ
АВ
Синус произвольного угла — одна из основ-
ных тригонометрических функций. Задается
функции у = sin х.
аналогично косинусу
(см. косинус произвольно-
го угла).
Синусом угла а назы-
вается отношение орди-
наты точки В к радиусу.
Обозначается:
у
sin а =
R
Рассмотрим свойства
1. Область определения функции — множе-
ство всех действительных чисел.
2. Область значений — отрезок [-1,1].
3. Функция нечетная, т.е. sin(-x) = - sinx.
4. Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом 2л.
5. Нули функции: sinx = 0 при х = пк,
keZ.
6. Принимает положительные значения:
sinx > 0 при х е (2л&, л + 2л£), k е Z.
7. Принимает отрицательные значения:
sinx < 0 при х е (л + 2л£, 2л + 2л&), к е Z.
8. Возрастает от —1 до 1 при
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
зез
+ 2кк, — + 2пк
2 2
keZ.
9. Убывает от 1 до — 1
при
хе -^ + 2пк, — + 2пк
2 2
keZ.
X G
10. Принимает наибольшее значение, равное
1, в точках х = — + 2пк, к е Z.
2
11. Принимает наименьшее значение, рав-
Зя
ное —1, в точках х = — + 2пк, к е Z.
2
12. Производная (sinx)' = cosx.
СИНУСОИДА — график функции у = sinx.
СИСТЕМА КООРДИНАТ - условия, опреде-
ляющие положения точки на прямой, на пло-
скости, в пространстве. Известны аффинные
координаты, декартовы координаты, криволи-
нейные координаты, полярные координаты,
сферические координаты и др. В школе изуча-
ются только прямоугольные декартовы коорди-
наты на плоскости и в пространстве (см. коор-
динаты прямоугольные декартовы, координатные
364
МАТЕМАТИКА
четверти, координаты вектора, координата
точки на прямой).
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - способ обозначе-
ния и наименования натуральных чисел. Мы
уже подробно останавливались на десятичной
системе счисления (см. десятичная система
счисления). Древние люди часто брали за основу
числа 5, 10, 20 — по количеству пальцев руки,
рук или рук и ног вместе. В Древнем Вавилоне
пользовались шестидесятеричной системой
счисления, а некоторые примитивные племена
использовали всего две цифры 1 и 2, больше
двух уже было много.
Сейчас наряду с широко используемой деся-
тичной системой счисления, при работе на
электронно-вычислительных машинах исполь-
зуются двоичные, восьмеричные, шестнадцате-
ричные, смешанные и другие системы счисле-
ния. Например, в двоичной системе счисления
используются две цифры: 0 и 1. Число 19 в
двоичной системе счисления записывается как
10011, а число 22,75 как 10110,11. Существуют
специальные правила перевода чисел из одной
системы счисления в другую.
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕ-
МЕННОЙ. Решить систему нескольких нера-
венств с одной переменной — это значит найти
все общие решения заданных неравенств. Рас-
смотрим несколько систем неравенств и их ре-
шения:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
365
5х + 2 > О,
х - 4 > 2.
к
Преобразуем каждое неравенство и получим
равносильную систему неравенств:
х>-|,
Очевидно, что эта система неравенств рав-
носильна неравенству х > 6, следовательно, ре-
шением данной системы является (6, + оо).
2.
х2 - 55х + 250 < (х -14)2,
< х2 - 55х + 250 > 0,
х -14 > 0.
(Такая система получается при решении не-
равенства у/х2 -55х + 250 < х -14.) Преобразу-
ем каждое неравенство и получим равносиль-
ную систему неравенств:
х > 2,
< х < 5, х > 50,
х > 14,
где х < 5, х > 50 — совокупность неравенств
(см. совокупность неравенств).
Получившаяся система сводится к решению
двух систем неравенств:
х >2, (х > 2,
< х < 5, и < х > 50,
х > 14 х > 14.
ч Ч
366
МАТЕМАТИКА
[х > 2,
Система <! х < 5, не имеет решений. Система
|х > 14
х > 2,
< х > 50, равносильна неравенству х > 50. Сле-
х > 14
довательно, решением данной системы является
[50,+~).
а f(x2 + 1)(х2 + 3)(х2 - 2) > 0,
[х < 3.
Т.к. х2 +1 > 0 и х2 + 3 > 0 при любых значе-
ниях х, то данная система равносильна системе:
1х2-2>0,
[х < 3.
Неравенство х2 - 2 > 0 равносильно сово-
купности неравенств х < -72, х > 72 , поэтому
решением системы является объединение реше-
ний систем:
, х < -72, „ /х > 72,
х < 3 |х < 3.
Система «
равносильна неравенству
„ х > 72,
х < 3
х < -72 , а система
равносильна нера-
венству 72 < х < 3. Следовательно, решением
данной системы является (-00,-72] и [72, 3).
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕ-
МЕННЫМИ. Такая система неравенств состо-
ит из двух или нескольких неравенств с двумя
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
36Z
переменными. Решением неравенства с двумя
переменными называется упорядоченная пара
значений переменных, обращающая неравенст-
во в верное числовое неравенство. Следователь-
но, решением системы неравенств с двумя пе-
ременными называется упорядоченная пара
значений переменных, удовлетворяющая каж-
дому неравенству этой системы. Решения нера-
венства или системы неравенств с двумя пере-
менными изображают геометрически, в виде
некоторого множества точек координатной
плоскости. Например:
1. Найдем множество решений системы:
х + у > О,
2х - у < 0.
Множеством реше-
ний неравенства
х + у > 0 является
множество точек за-
штрихованной полу-
плоскости:
Множеством реше-
ний неравенства
2х - у < 0 является
множество точек за-
штрихованной полу-
плоскости:
Следовательно,
множеством решений
(х + у > 0,
системы |2х Уу < ’0
является множество
точек заштрихованно-
368
МАТЕМАТИКА
го угла, который явля-
ется пересечением рас-
смотренных полупло-
скостей.
СИСТЕМА УРАВНЕ-
НИЙ. Система урав-
нений может состоять
из нескольких уравне-
ний с несколькими
переменными. В школе изучаются системы
уравнений с двумя переменными. Решить сис-
тему с двумя переменными — это значит найти
все пары (х,у), которые удовлетворяют каждо-
му из заданных уравнений. Каждая такая пара
называется решением системы. Система назы-
вается совместной, если она имеет хотя бы од-
но решение, и несовместной, если она не имеет
ни одного решения. Система называется опре-
деленной, если она имеет конечное число ре-
шений, и неопределенной, если она имеет бес-
конечное множество решений. При решении
системы уравнений можно от данной системы
переходить к равносильной системе и так да-
лее, пока решение системы не будет получено
или будет очевидно, что данная система не
имеет решений. Две системы называются рав-
носильными, если они имеют одно и то же
множество решений. Систему уравнений можно
решать графически, для этого строятся в одной
системе координат графики уравнений, из кото-
рых состоит система, находятся координаты об-
щих точек графиков уравнений, которые и яв-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА

ляются решениями данной системы уравнений.
Например:
1) Решить систему
1х + у =9 Графиче_
[х + у = 6
ски.
Так как графики
уравнений не пересе-
каются, следователь-
но, система не имеет
решений.
2) Решить систему
графически.
Точки Л(Х1;я) и
В(х2;у2) ~ точки пе-
ресечения графиков
уравнений, (х^) и
(Х2‘,У2) ~ решения
системы.
Прежде чем ре-
шать систему линей-
ных уравнений, можно определить число ее ре-
шений. Пусть дана система -И1** •
I “г — С ч
1. Если коэффициенты при х и у не пропор-
циональны, то система имеет единственное ре-
л Ьл
шение, т.е. если —L ф —L.
«2 Ь2
Если решать такую систему графически, то гра-
фики уравнений пересекаются в одной точке.
370 МАТЕМАТИКА
2. Если коэффициенты при х и у пропорци-
ональны; а свободные члены не пропорцио-
нальны, то система не имеет решений, т.е.
^2 ^2 ^2
Если решать такую систему графически, то
графики уравнений являются параллельными
прямыми.
3. Если коэффициенты при х и у и свобод-
ные члены пропорциональны, то система имеет
бесконечное множество решений, т.е.
_ ci
^2 ^2
Если решать такую систему графически, то
графики уравнений сольются в одну прямую.
Кроме графического способа решения сис-
тем уравнений используются и другие способы,
а для решения более сложных систем приходит-
ся применять несколько способов.
1. Способ подстановки заключается в том,
что в одном из уравнений выражают одну пере-
менную через другую. Полученное выражение
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА__________________________3Z1
подставляют в другое уравнение, которое после
этого обращается в уравнение с одной перемен-
ной, а затем решают его. Получившиеся значе-
ния этой переменной подставляют в любое
уравнение исходной системы и находят вторую
переменную.
Например: + *У, выразим из вто-
рого уравнения у = 2х и подставим в первое
уравнение, получим квадратное уравнение
х2 - 2х - 8 = 0, решив его, получим х1 = -2;
х2 = 4. Подставим полученные значения во
второе уравнение, получим у2 = -4, у2 = 8.
Следовательно, (-2; - 4); (4; 8) — решения дан-
ной системы.
2. Способ сложения заключается в том, что
если данная система состоит из уравнений, ко-
торые при почленном сложении образуют урав-
нение с одной переменной, то, решив это урав-
нение, мы получим значения одной из пере-
менных. Значения второй переменной находят-
ся как и в способе подстановки.
Например: {ю/
Сложив почленно уравнения, имеем:
2х + 10х = 15 + 9; 12х = 24; х = 2, подставив это
значение во второе уравнение, получим:
10 • 2 - Пу = 9, откуда у = 1.
Решением данной системы является пара
(2; 1).
3. Способ введения новых переменных за-
ключается в том, что вводится новая перемен-
372
МАТЕМАТИКА
нал только в одно уравнение или две новые пе-
ременные сразу для обоих уравнений, далее
уравнение или уравнения решаются относи-
тельно новых переменных, после этого остается
уже решить более простую систему уравнений,
из которой находим искомое решение.
х у 13
Например: <{ у х 6 • Обозначим — = z,
х + у - 5
У 1
тогда — = —.
х z
тт 1 13
Первое уравнение примет вид z + — = —
оно равносильно 6z2 - 13z + 6 = 0. Решив полу-
2 3
лившееся уравнение, имеем Zi - —; Z2 = —. Тог-
3 2
х 2 _ х 3
да — = — либо — = —, другими словами, первое
уравнение распалось на два уравнения, следо-
вательно, имеем две системы:
х 3
х 2
'у 3 и 1 у 2
х + у = 5 [х + j = 5
Решения этих систем являются решениями
данной системы. Решением первой системы яв-
ляется пара (2; 3), а второй — пара (3; 2).
Следовательно, решениями данной системы
х у _ 13
< У + х ~ ~6 являются пары (2; 3) и (3; 2).
х + у = 5
Рассмотренная система является симметрия-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
3Z3
ной системой уравнений, т.к. если вместо х в
уравнениях подставить у, а вместо у подставить
х, то система не изменится.
При решении систем логарифмических, по-
казательных и тригонометрических уравнений
используют различные способы и подходы. На-
пример:
Со*. у> = 12
1. Решить систему _ jg- Если пере-
множить почленно уравнения системы, то по-
лучим: 2Х+У • Зж+> = 216 или 6Х+>=63, это урав-
нение равносильно уравнению х + у = 3. Если
разделить почленно первое уравнение на вто-
2
рое, то получим уравнение: 2х у • Зу х = — или
Т I-
это уравнение равносильно уравне-
нию х - у = 1.
Получили равносильную систему
х + у = 3
х-у = 1 ’
Решив ее, получим пару (2; 1), которая являет-
ся решением исходной системы.
2. Решить систему
дим к равносильной:
flgx + lgy = lg2 п
х +у =5 н
ху = 2
х2 + = 5
< ~ > , умножив по-
7 >°
членно первое уравнение на 2 и прибавив по-
членно ко второму, получим систему
374
МАТЕМАТИКА
(х + у)2 =9
равносильную данной. Решив по-
у > О
лучившуюся систему, получим две пары (1; 2);
(2; 1), которые являются решениями данной
системы.
СКАЛЯР - величина, значение которой опре-
деляется одним числом, без учета направления.
Например: площадь, объем, масса тела — ска-
лярные величины.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТО-
РОВ — число, равное произведению модулей
этих векторов на косинус угла между ними, т.е.
а • b = |Й| • |К • cos ab (см. вектор).
СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ ВЕКТОРА - скаляр-
ное произведение вектора на себя. Скалярный
квадрат вектора равен квадрату его длины, т,ег
а2 = |л|2. Скалярный квадрат вектора является
неотрицательным числом, т.е. а2 > 0, причем
а2 > 0 при 5*0.
СКОБКИ. Основные арифметические действия
упорядочены следующим образом: сначала вы-
полняется возведение в степень, затем умноже-
ние и деление и далее сложение и вычитание.
Если хотят изменить порядок действий, то
употребляют скобки. Различают круглые, квад-
ратные и фигурные скобки.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
375
Обозначаются: (...) — круглые, [...] — квад-
ратные, {...} — фигурные. Если в записи число-
вого выражения присутствуют круглые, квад-
ратные и фигурные скобки, то вначале выпол-
няются действия в круглых скобках, затем в
квадратных и далее в фигурных. Например:
{[(17 + 22) -28)] 2}:29;
1) 22=4;
2) 17 + 4 = 21;
3) 21 - 28 = -7;
4) -7-2 = -14;
5) -14 : 29 = -14/29.
Следовательно:
{[(17 + 22) - 28)] • 2} 29 = -14/29.
Если в записи числового выражения присут-
ствуют только круглые скобки, то в этом случае
в первую очередь выполняются действия во
внутренних скобках. Например:
((15 • 3 + 42) : 61 + 7) • 5 =
((45 + 16) : 61 + 7) • 5 =
(61 : 61 + 7) • 5=8 • 5 = 40.
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ - прямые,
не лежащие в одной плоскости.
Признак скрещивающихся прямых: если од-
на из двух прямых лежит в некоторой плоско-
сти, а другая прямая
пересекает эту плоско-
сть в точке, не лежа-
щей на первой пря-
мой, то такие прямые
являются скрещиваю-
щимися.
376
МАТЕМАТИКА
Через каждую из двух скрещивающихся пря-
мых проходит плоскость, параллельная другой
прямой, и притом только одна.
--------- а и b — скрещиваю-
щиеся прямые, прямая
Ь "7 b принадлежит пло-
/ скости а, прямая а па-
_____/ раллельна плоскости
а.
Углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися па-
раллельными им прямыми. Этот угол не зави-
сит от того, какие пересекающиеся прямые взя-
ты (см. угол между прямыми на плоскости).
а и b — скрещиваю-
q щиеся прямые, ;
b\\bi9 прямые ах и Ьх
пересекаются, угол
между прямыми и
Ь{ равен углу между
прямыми а и Ь.
Общим перпендикуляром двух скрещиваю-
щихся прямых называется отрезок с концами
на этих прямых, являющийся перпендикуляром
к каждой из них. Длина этого перпендикуляра
является расстоянием
между скрещивающи-
мися прямыми. Рас-
стояние между скре-
щивающимися пря-
мыми равно расстоя-
нию между парал-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
377
дельными плоскостями, проходящими через
эти прямые.
а и Ь— скрещивающиеся прямые; а||Р;
АВ — общий перпендикуляр скрещивающихся
прямых а и Ь. Длина отрезка АВ — расстояние
между скрещивающимися прямыми а и Ь.
Наглядно представить скрещивающиеся пря-
мые легко с помощью куба:
Куб ABCDA&C'Di;
ребра АВ и CQ; ВС и
ААХ\ AD и ВВХ и т.д.
лежат на скрещиваю-
щихся прямых.
СЛЕДСТВИЯ - небольшие теоремы, которые
непосредственно следуют из аксиом или тео-
рем. Например:
Теорема: площадь треугольника равна поло-
вине произведения его основания на высоту.
Следствие 1: площадь прямоугольного треу-
гольника равна половине произведения его ка-
тетов.
Следствие 2: если высоты двух треугольни-
ков равны, то их площади относятся как осно-
вания.
СЛЕДСТВИЕ УРАВНЕНИЯ. Пусть мы имеем
два уравнения. Если каждый корень первого
уравнения является корнем второго уравнения,
378
МАТЕМАТИКА
то второе уравнение является следствием перво-
го уравнения. Например: уравнение
х2 + 2х +1 = 9 является следствием уравнения
х +1 = 3, но эти уравнения не являются равно-
сильными.
Если каждое из двух уравнений является
следствием другого, то такие уравнения явля-
ются равносильными (см. равносильные уравне-
ния).
При решении некоторых уравнений прихо-
дится переходить к уравнениям, которые явля-
ются следствием данного уравнения. В резуль-
тате могут появиться посторонние корни (см.
посторонние корни).
СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ - одно из арифметиче-
ских действий. Числа, которые складывают, на-
зываются слагаемыми. Результат сложения на-
зывается суммой. Известны переместительный
и сочетательный законы сложения (см. законы
математические). При сложении действитель-
ного числа с нулем сумма равна этому же дей-
ствительному числу, т.е. а + 0 = а. При сложе-
нии противоположных чисел в сумме получает-
ся нуль, т.е. а + (-а) = 0.
При сложении двух чисел с разными знака-
ми сначала определяют знак суммы,он будет
совпадать со знаком слагаемого, модуль кото-
рого больше. Затем найти разность модулей.
Например: —29 + 7 = —22; —5 + 40 = 35.
Сумма двух или нескольких отрицательных
чисел — число отрицательное, а модуль суммы
равен сумме модулей слагаемых. Например:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_____________________379
(-15) + (-0,3) = -15,3;
(-100) + (-22) = -122.
При сложении обыкновенных дробей с оди-
наковыми знаменателями складывают числите-
ли слагаемых, а знаменатель оставляют тем же.
Например:
1 5 _ 6. _4_ 1Z-21
9 + 9 " 9 ’ 48 + 48 ~ 48
При сложении обыкновенных дробей с раз-
ными знаменателями сначала приводят дроби к
наименьшему общему знаменателю (см. знаме-
натель дроби), а затем складывают как дроби с
одинаковыми знаменателями. Например:
1 1_1-3 1-2 = 3 + 2 _ 5
2 + 3" 2-3 + 3-2“ 6 "6*
Десятичные дроби складывают аналогично
сложению целых чисел, только необходимо
следить, чтобы при записи разряд стоял под
разрядом, запятая под запятой. Например:
+ 0,448
175,0741
175,5221
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (см. правило треу-
гольника и правило параллелограмма).
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — углы, у которых одна
сторона общая, а другие стороны этих углов яв-
ляются дополнительными лучами (см. дополни-
тельные лучи).
Углы DAB и ВАС — смежные углы; луч
АВ — общая сторона; лучи AD и АС — допол-
нительные лучи.
380
МАТЕМАТИКА
Свойства смежных углов:
1. Сумма смежных углов равна 180 градусам.
2. Если один из смежных углов прямой, то и
другой угол является прямым.
3. Если один из смежных углов острый, то
другой является тупым.
Внешний и внутренний углы многоугольни-
ка при одной вершине являются смежными уг-
лами (см. внешний угол треугольника и много-
угольника).
СМЕШАННОЕ ЧИСЛО- число, состоящее
2
из целой и дробной частей. Например: 1—.
Любую неправильную дробь, у которой чис-
литель больше знаменателя, можно представить
в виде смешанного числа. Например:
СОВМЕСТНЫЕ СИСТЕМЫ (см. система
уравнений).
СОВОКУПНОСТЬ УРАВНЕНИЙ И НЕРА-
ВЕНСТВ. Несколько уравнений образуют сово-
купность, если должно удовлетворяться хотя бы
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
381
одно из этих уравнений. Множество решений
совокупности уравнений получается как объе-
динение множеств решений всех уравнений,
входящих в совокупность. Обозначается:
х +1 = О
х2 - 3 = 1 или записывается в строку х +1;
9-х3 =0
х2 - 3; 9 - х3 = 0.
Необходимо различать систему и совокуп-
ность уравнений. Рассмотрим разницу на конк-
ретном примере:
Решением системы <1 _ ' _ q
является пара
3. 3>
.2’ 2)
Решениями совокупности
х + у = 3
х-у = 0
яв-
ляется бесконечное множество пар чисел, сум-
ма которых равна 3 или разность которых рав-
на нулю, например: (1; 2); (2; 2); (4; —1) и т.д.
Аналогично определяется совокупность не-
равенств. Множество решений совокупности
неравенств есть объединение множеств реше-
ний входящих в нее неравенств. Обозначается:
* > 2 о или х > 0; х < -3.
А J
Рассмотрим решение совокупности и систе-
мы, состоящих из одних и тех же неравенств:
система
х > 0
х < -3
не имеет решений, а множест-
во решений совокупности
х > 0
х < -3
— объедине-
ние промежутков (-оо, - 3)U(0, + оо).
382
МАТЕМАТИКА
-3 0 x
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ. Сократить дробь -
это значит разделить числитель и знаменатель
дроби на одно и то же число или выражение.
Например:
45 = 3. 50 _ 1.
60 “ 4 ’ 100 “ 2 ’
а(а- b) _ a- b . (a- b)2 _ 1
а3 а2 ’ (а- Ь)3 а- Ь’
7 9 4 5 '
x'y’z х у z
СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ. При пересече-
нии двух прямых третьей образуются углы, 1 и
5 , 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 из них называются соот-
ветственными (см. секущая двух прямых). Если
соответственные углы равны, то прямые а и b
являются параллельными.
Если Z1 = Z5 или
Z4 = Z8 или Z2 = Z6
или Z3 = Z7, то а|| b.
СОСТАВНОЕ ЧИСЛО — натуральное число,
имеющее больше двух натуральных делителей.
Например: 4; 6; 8; 10 и т.д. — составные числа.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
383
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ НЕСКОЛЬ-
КИХ ЧИСЕЛ — число, которое получается при
делении суммы этих чисел на число слагаемых.
Например:
Найдем среднее арифметическое чисел 3, 7,
8: 3 + 7 + 8 = 6.
СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ (см. геометри-
ческое среднее).
СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПОЛОЖИ-
ТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ хи х2,... хп — число, кото-
рое находится по формуле:
it ____________
Н 1 1 1 '
— + — +...+—
х, х2 хп
Связь между средним геометрическим, сред-
ним гармоническим и средним арифметиче-
ским показана в теореме Коши: среднее гео-
метрическое нескольких неотрицательных ве-
личин всегда не меньше их среднего гармони-
ческого и не больше их среднего арифметиче-
ского, т.е.
П
Л 1 г
— + — +...+ —
*1 х2 хп
1Л2 • • • лп ~ п
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ- отрезок,
соединяющий середины боковых сторон трапе-
ции.
384
МАТЕМАТИКА
Основное свойство средней линии трапеции:
средняя линия трапеции параллельна основа-
ниям и равна их полусумме.
MN — средняя линия
трапеции ABCD.
.2? С + AD
MN =------.
2
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА - отре-
зок, соединяющий середины двух сторон треу-
гольника.
Основное свойство средней линии треуголь-
ника: средняя линия треугольника параллельна
одной из его сторон и равна половине этой
стороны.
В
/ х. MN — средняя линия
f X. треугольника АВС.
м/------Xn MN\\AC,
/ \
а£-------------хс
Средняя линия треугольника отсекает от не-
го треугольник ему подобный, т.е.
AMBN ЛАВС.
СТАНДАРТНЫЙ ВИД МНОГОЧЛЕНА - за-
пись многочлена, в котором приведены подо-
бные слагаемые (см. многочлен).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
385
СТАНДАРТНЫЙ ВИД ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО
ЧИСЛА- запись числа в виде произведения
а • 10"; где 1 < а < 10 и п е Z. п называют по-
рядком числа. Например: 15 = 13 • 10;
0,15 = 1,5-10-1.
СТАРШИЙ ЧЛЕН МНОГОЧЛЕНА- член
многочлена, который имеет наибольшую сте-
пень. Например: дан многочлен
5х7 - 8х6 + х5 + 4, его старший член — 5х7 (см.
многочлен).
СТЕВИН СИМОН (1548-1620)- фламанд-
ский ученый, математик, военный инженер.
Симон Стевин не был по профессии математи-
ком, но его трудолюбие и талант позволили ему
занять достойное место среди выдающихся ев-
ропейских математиков. Он первым в Европе
открыл десятичные дроби. На Востоке десяти-
чные дроби ввел в пятнадцатом веке самаркан-
дский ученый аль-Каши. Симон Стевин зани-
мался степенями, иррациональными числами,
некоторыми вопросами геометрии, он впервые
ввел сложение двух векторов, перпендикуляр-
ных друг другу. Симон Стевин опубликовал
таблицу для вычисления сложных процентов,
которая использовалась в торгово-финансовых
операциях. Издание этих таблиц повлияло на
составление первых логарифмических таблиц
И. Бюрги.
Приведем интересный способ деления отрез-
ка на равные части, который ввел Симон Сте-
вин.
13 Математика
386
МАТЕМАТИКА
Задача: Разделить
отрезок CD на 5 рав-
ных частей (можно
брать любое число).
Решение.
1) Начертим отре-
зок АВ, состоящий
из 5 равных отрез-
ков.
2) Соединим точ-
ки Л и С, В и Д и продолжим прямые АС и BD
до пересечения.
3) Из точки О пересечения прямых АС и BD
проведем четыре луча, проходящие через точки
отрезка АВ, делящие его на равные части. Про-
должим эти лучи до пересечения с отрезком
CD. Точки пересечения разделят отрезок CD на
5 равных частей.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ — функция, заданная форму-
лой у = хп, где п — натуральное число.
Если п = 1, то функция задана формулой
у = х. Такая функция является прямой пропор-
циональностью (см. прямая пропорциональность).
Если п = 2, то функция задана формулой
у = х2. Такая функция является квадратичной
(см. парабола).
Если п является четным числом, то функция
обладает теми же свойствами, что и квадратич-
ная функция. График ее напоминает параболу.
Рассмотрим свойства степенной функции с
четным натуральным показателем.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
Ж
1. Область определения — множество всех
действительных чисел.
2. Область значений — множество всех неот-
рицательных чисел.
3. Функция является четной, т.е.
/(-х) = /(х).
4. Нули функции: у = 0 при х = 0.
5. Функция убывает от -оо до 0 при
х е (-оо, 0).
6. Функция возрастает от 0 до -к» при
х е [0, + °®).
7. Производная вычисляется по формуле:
(х")' = их”"1.
8. График функ-
ции:
Если п = 3, то
функция задана фор-
мулой у = х3. Ее гра-
фиком является куби-
ческая парабола (см.
кубическая парабола).
Если п — нечетное
натуральное число,
причем п * 1, то функция обладает свойствами
з
теми же, что и у = х .
Рассмотрим свойства степенной функции с
нечетным показателем п 1:
1. Область определения — множество всех
действительных чисел.
2. Область значений — множество всех дей-
ствительных чисел.
заа
МАТЕМАТИКА
3. Функция является
нечетной, т.е.
/(-*) = -f(x).
4. Нули функции:
у - 0 при х = 0.
5. Функция возрастает
на всей области определе-
ния.
6. Производная вычис-
ляется по формуле:
(хп)' = пхп~1.
7. График функции:
СТЕПЕННАЯ ФУНК-
ЦИЯ С ЦЕЛЫМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКА-
ЗАТЕЛЕМ — функция, заданная формулой
у = х~п, где п — натуральное число.
Если п = 1, то функция задана формулой
у = —. Такая функция является обратной про-
X
порциональностью (см. обратная пропорциональ-
ность).
Если п — нечетное число, то функция обла-
дает аналогичными свойствами, что и функция
1
У = -•
X
Рассмотрим свойства функции у = х~п, где
п — четное число.
1. Область определения — множество всех
действительных чисел, кроме нуля.
2. Область значений — множество всех по-
ложительных чисел.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
32Э
3. Функция четная, т.е. /(-х) = /(х).
4. Функция убывает на (0, + °°) и возрастает
на (-«>, 0).
5. График функции:
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬ-
НЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ — функция, заданная
формулой у - хр, где р — любое действитель-
ное число.
Свойства степенной функции:
1. Область определения — множество всех
положительных чисел.
2. Область значений — множество всех по-
ложительных чисел.
3. Функция не является ни четной, ни не-
четной.
4. Производная вычисляется по формуле:
(хр)' = рхрЛ.
32Q
МАТЕМАТИКА
5. При р > 0 функция возрастает на всей об-
ласти определения, при р < 0 — убывает на
всей области определения.
Рассмотрим графики нескольких степенных
функций:
СТЕПЕНЬ.
Степень с натуральным показателем п дейст-
вительного числа а — действительное число Ь,
полученное в результате умножения числа а на
себя п раз, т.е. b = а а-а...а.
п
Обозначают: b = ап.
Число а называется основанием степени, а
число п называется показателем степени.
Если а # 0, то а° = 1, причем 0° не опреде-
лен.
Степень с рациональным показателем:
Если а — положительное число, — — дроб-
п
ное число, причем т — целое, п — натураль-
ное, то ап = tfa* .
„ т -
Если------дробное положительное число,
п
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
321
то 0" = 0.
Свойства степени с рациональным показате-
лем:
1. ара3 = ар+3, где а>0, р и s— рацио-
нальные числа.
ар
2. — = ар~3, где а > 0, р и s — рациональ-
ные числа.
3. (ар)3 = а*, где а > 0, р и s — рациональ-
ные числа.
4. (ab)p = арЬр, где л > 0, b>Q, р — рацио-
нальное число.
(а\р ар лап
5. - =—, где а>0, b>Q,p— рацио-
\Ds и*
наивное число.
Например: упростить
1 з
д2.£5 3.2 1 I
^-Г_=й2 4.^5 5 =а^Ь\
а* Ь*
СТЕПЕНЬ МНОГОЧЛЕНА (см. многочлен).
СТЕПЕНЬ ОДНОЧЛЕНА (см. одночлен).
СТЕПЕНЬ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕИЗ-
ВЕСТНОЙ. Пусть дано уравнение вида
+ OjX"-1 + а^х^+л.+а^х + ап = 0.
Число п называется степенью уравнения.
Если п - 1, уравнение является линейным
(см. линейные уравнения).
392
МАТЕМАТИКА
Если п = 2, то уравнение является квадрат-
ным (см. квадратное уравнение).
Если п = 3, то уравнение является кубиче-
ским.
СТЕРЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в кото-
ром изучаются свойства фигур в пространстве.
Основные фигуры стереометрии: точка, прямая
и плоскость (см. точка, прямая, плоскость). Ак-
сиомы стереометрии включают в себя аксиомы
планиметрии и аксиомы, связанные с плоско-
стью. За основу аксиом стереометрии берутся
аксиомы, изложенные Евклидом в его «Нача-
лах» (см. Евклид).
СТОРОНЫ МНОГОУГОЛЬНИКА- отрезки
(см. многоугольник, треугольник, четырехуголь-
ник).
СТОРОНЫ УГЛА — лучи (см. угол).
СУММА ВЕКТОРОВ — вектор, который мож-
но построить с помощью правила треугольника
или параллелограмма (см. правило треугольника
и параллелограмма).
Суммой векторов «{ХруД и Ь{х2,у2} на пло-
скости является вектор с{х1 + х2,у{ + у2}.
Суммой векторов сЦх^у^} и b{x2,y2,z}} в
пространстве является вектор
c{Xj +х2,уг +y2,Zi + z2}.
Для любых векторов а, b , с верны равенства:
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
393
1. a + b = b +а.
2. (а + Ь) + с = а + (b + с).
Сумму трех векто-
ров, непараллельных
одной плоскости,
можно найти по пра-
вилу параллелепипеда.
Для этого от точки от-
кладывают три векто-
ра, равные данным
векторам. Приняв
длины этих векторов
за измерения паралле-
лепипеда, строят па-
раллелепипед. Вектор,
лежащий на диагонали параллелепипеда и рав-
ный ей по длине, является суммой трех данных
векторов.
СУММА КОСИНУСОВ. Суммой косинусов
называется формула:
cosa + cosp = 2cos^-^cos——-.
2 2
СУММА СИНУСОВ. Суммой синусов называ-
, • on- a+P «~Р
ется формула: sin a + sin р = 2 sin-51 • cos —.
£
СУММА ТАНГЕНСОВ. Суммой тангенсов на-
, . * о sin(a + p)
зывается формула: tg a + tg р =--.
cos a cos p
324
МАТЕМАТИКА
СФЕРА - поверхность, состоящая из всех то-
чек пространства, расположенных на данном
расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром сферы,
данное расстояние называется радиусом сферы.
Любой отрезок, соединяющий две точки сферы,
называется ее хордой. Хорда, проходящая через
центр сферы, называется ее диаметром. Диа-
метр сферы равен ее удвоенному радиусу.
Если сфера задана в прямоугольной декарто-
вой системе координат, то ее уравнение имеет
вид: (x-xo)2+(y-yo)2+(z-Zo)2 = R2, где
0(х0>Уо»^о) “ Центр сферы; R — радиус сферы.
Площадь сферы вычисляется по формуле:
S = 4тс/?2.
Сечением сферы плоскостью является ок-
ружность.
Если плоскость и сфера имеют одну общую
точку, то плоскость называется касательной
плоскостью к сфере. Радиус, проведенный в
точку касания, будет перпендикулярен каса-
тельной плоскости.
ОБ — радиус сферы;
О — центр сферы;
АВ — диаметр сферы;
CD — хорда сферы.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
395
Т
ТАБЛИЦЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ. Составле-
нием математических таблиц люди занимались
с древних времен. Многие века таблицы упро-
щали вычисления, были незаменимы во многих
отраслях науки и техники. Сейчас математиче-
ские таблицы не играют такой важной роли,
как прежде. В памяти ЭВМ содержится инфор-
мации гораздо больше, чем может вместить лю-
бая даже самая подробная таблица. Но и сейчас
каждому школьнику знакомы четырехзначные
математические таблицы В.М. Брадиса, кото-
рые помогут вычислить квадрат числа, извлечь
корень, найти недостающие элементы треуголь-
ника и т.д. Существуют и более точные и под-
робные таблицы.
Первые математические таблицы появились
на стыке двух наук — астрономии и математи-
ки. Одной из древнейших таблиц, дошедших до
нас, является таблица хорд через — градуса от
0° до 180°, которая с современной точки зре-
ния представляет собой таблицу синусов для 0°
до 90°. Эту таблицу составил знаменитый древ-
негреческий ученый Клавдий Птолемей (100—
178 гг.). Примечательно то, что таблица Птоле-
мея много веков была единственным пособием
при решении задач о треугольниках. Впоследст-
МАТЕМАТИКА
ЗЭ£
вии многие ученые Востока и Европы занима-
лись составлением и усовершенствованием три-
гонометрических таблиц. Наибольших успехов
в этом достигли ученые древнего Востока. В
Европе над составлением тригонометрических
таблиц работали такие знаменитые ученые, как
Региомонтан (1436—1476), Коперник (1473—
1543), Крюгер (1480—1532) и другие. В России
первые тригонометрические таблицы были из-
даны в 1703 году, в работе над которыми участ-
вовал Л.Ф. Магницкий.
Интересна история создания и усовершенст-
вования логарифмических таблиц. В Европе
таблицы логарифмов первыми составили
И. Бюрги и Д. Непер независимо друг от друга.
Первым успел опубликовать свои таблицы
Д. Непер, а И. Бюрги, посвятив составлению
таблиц восемь лет жизни, решился опублико-
вать их только в 1620 году, через шесть лет по-
сле Д. Непера. Примечательно то, что и Д. Не-
пер, и И. Бюрги не были профессиональными
математиками.
ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА В ПРЯМО-
УГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. Тангенсом
острого угла в прямоугольном треугольнике на-
зывается отношение противолежащего катета к
прилежащему.
В
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
397
ТАНГЕНС ПРОИЗВОЛЬНОГО УГЛА - одна
из основных тригонометрических функций.
Тангенс задается аналогично косинусу (см. ко-
синус произвольного
угла). Тангенсом
угла а называется
отношение ордина-
ты точки В к ее аб-
сциссе. Обознача-
у
ется: tg а = —.
х
Рассмотрим
свойства функции
У = tgx.
1. Область определения функции — множе-
ство всех действительных чисел, кроме чисел
вида х = ^ + кк, к е Z.
2. Область значений — множество всех дей-
ствительных чисел.
3. Функция нечетная, т.е. tg(-x) = -tgx.
4. Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом л.
5. Нули функции: tgx = 0 при х = пк,
keZ.
6. Принимает положительные значения:
( я А
tg х > 0 при хе кк\ — + пк , к е Z.
2 )
отрицательные значения:
П , nr
2 ...’ '"'У
8. Возрастает от -<х> до +<» на промежутках
7. Принимает
tgх < 0 при хе -+ пк; кк , к е Z.
39Я
МАТЕМАТИКА
— + лк', — + лк , к eZ.
I 2 2 )’
9. Производная (tg х)' = —.
cos х
ТАНГЕНСОИДА — график функции у = tg х.
ТАРТАЛЬЯ НИКОЛО (1499-1557) - талант-
ливый итальянский ученый, выходец из бедной
семьи. Он проявил свои выдающиеся математи-
ческие способности в раннем возрасте. Тар-
талья работал преподавателем математики и ме-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________399
ханики в городах Северной Италии, возглавлял
кафедру математики в Вероне. Настоящая его
фамилия была Фонтана, а Тарталья было про-
звищем, что означало «заика». Он сумел на
публичном диспуте победить ученика знамени-
того Ферро Фиоре, после этого Тарталья стал
самым знаменитым математиком Италии. Он
сделал ряд открытий в геометрии и комбинато-
рике, но прославился тем, что одним из первых
открыл формулу для решения общего уравне-
ния третьей степени.
ТЕЙЛОРА МЕТОД- метод, позволяющий
разложить заданную функцию в степенной ряд.
Формула, задающая это разложение, называется
формулой Тейлора, а этот степенной ряд — ря-
дом Тейлора. Брук Тейлор (1685—1731) был
учеником И. Ньютона.
ТЕЛО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ — геометрическая
фигура (см. геометрическая фигура). В стерео-
метрии изучаются пространственные тела или
фигуры, в планиметрии — плоские тела или
фигуры. Если рассматривать тело как часть
пространства, то поверхность тела, отделяющая
его от остального пространства, называется гра-
ницей тела. Например, граница шара есть сфе-
ра.
ТЕОДОЛИТ — прибор, который используется в
геодезии для построения прямых углов.
400 МАТЕМАТИКА
ТЕОРЕМА - математическое предложение,
правильность или истинность которого доказы-
вается с помощью аксиом или других теорем.
Классическая теорема состоит из двух частей:
из условия и заключения. Условие обыкновен-
но начинается со слов «если», а заключение —
со слова «то» (см. необходимое условие, до-
статочное условие, обратная теорема, следст-
вие).
И сейчас существуют теоремы, истинность
которых не могут доказать в течение длительно-
го периода времени, например, теорему Ферма
о решении некоторого уравнения с тремя пере-:
менными в натуральных числах.
Приведем примеры наиболее важных тео-
рем, которые изучаются в школьной программе
по математике.
Теорема Виета: сумма корней приведенного
квадратного уравнения равна второму коэффи-
циенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену,
т.е. если и х2 — корни уравнения
х1 + px + q = 0, то х1 + х2 = -р и XjX2 = q.
Для нахождения корней квадратного уравне-
ния пользуются теоремой, обратной теореме
Виета: если сумма двух чисел равна —р, а про-
изведение равно q, то эти числа являются кор-
нями уравнения х2 + рх + q = 0.
Теорема косинусов: квадрат стороны треу-
гольника равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения этих сто-
рон на косинус угла между ними, т.е.
а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos А;
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
4Q1
b2 = а2 + с2 - 2ас cos В;
с2 = а2 + b2 - 2а5 cos С.
Теорему косинусов на-
зывают обобщенной теоре-
мой Пифагора.
Теорема о биссектрисе
равнобедренного треуголь-
ника: в равнобедренном
треугольнике биссектриса,
проведенная к основанию,
является медианой и вы-
сотой, т.е. если BD — бис-
сектриса угла В, а АС —
основание равнобедренно-
го треугольника АВС, то
BD является высотой и ме-
дианой треугольника АВС.
Теорема о средней ли-
нии трапеции: средняя ли-
ния трапеции параллельна
основаниям и равна их по-
лусумме, т.е. если MN —
средняя линия трапеции
ABCD, то MN\\BC;
MN\\AD и MN =
Теорема о средней
линии треугольника:
средняя линия треу-
гольника параллель-
на одной из его сто-
рон и равна полови-
не этой стороны, т.е.
402
МАТЕМАТИКА
если MN — средняя линия ЛАВС, то Л£¥||ЛС
и MN = -АС.
2
Теорема о трех перпевдикулярах (см. наклон-
ная в пространстве).
Теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов,
т.е. АВ2 = АС2 + СВ2, где
АВ — гипотенуза, а АС и
СВ — катеты прямоуголь-
ного &АВС (см. прямо-
угольный треугольник, Пи-
фагор).
Важными теоремами в
школьной программе являются признаки па-
раллелограмма, параллельности двух прямых,
параллельности двух плоскостей, параллельно-
сти прямой и плоскости, перпендикулярности
Двух плоскостей, подобия треугольников, ра-
венства треугольников (см. параллелограмм, па-
раллельные плоскости, перпендикулярные прямая
и плоскость, подобие, равенство треугольников).
Теорема синусов: сто-
роны треугольника про-
порциональны синусам
противолежащих углов,
т.е.
а _ b _ с
sin A sin В sin С
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
403
Теорема Фалеса: если
параллельные прямые,
пересекающие стороны
угла, отсекают на одной
его стороне равные от-
резки, то они отсекают
равные отрезки и на дру-
гой его стороне, т.е.
^1^1 II ^2^2 II 4Д ? ТО ВХВ2 — В2В3 .
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - математическая
наука, изучающая закономерности случайных
явлений. Теорию вероятностей иногда называ-
ют «наукой о случайном». Как наука теория ве-
роятностей зародилась в семнадцатом веке.
Связано ее появление с потребностями торгов-
ли, страхования и азартных игр. В настоящее
время теория вероятностей нашла свое приме-
нение во многих вопросах науки, техники и че-
ловеческой деятельности. Важный вклад в раз-
витие этой науки внесли такие ученые как Бер-
нулли, Д’Аламбер, Пуассон, Марко, Ляпунов,
Чебышев и другие.
ТЕТРАЭДР — треугольная пирамида или мно-
гогранник, гранями которого являются треу-
гольники. Правильным тетраэдром называется
тетраэдр, у которого гранями являются равно-
сторонние треугольники. Тетраэдр имеет четыре
грани, четыре вершины и шесть ребер.
404
МАТЕМАТИКА
развертка правильного
тетраэдра
SABC — тетраэдр, ABC, ADB,
BDC, CDA — грани, A, D, B,
С — вершины, AD, BD, CD,
AB, ВС, CA — ребра тетраэдра.
Правильный тетраэдр в отличие от других
правильных многогранников не имеет центра
симметрии, но имеет шесть плоскостей симмет-
рии. Каждая из этих плоскостей проходит через
ребро и середину другого ребра, которое явля-
ется скрещивающимся с первым ребром.
SABC — правильный
тетраэдр, АС и SB —
скрещивающиеся ре-
бра, AD = DC.
Плоскость а — пло-
скость симметрии тет-
раэдра SABC.
С
С правильным тетраэдром связаны следую-
щие формулы: 'V =
5 = a2V3; R =
г =
Н =
, где а — ребро; V — объем;
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 405
S — площадь поверхности; 7? — радиус описан-
ной сферы; г — радиус вписанной сферы; Н —
высота (см. пирамида, многогранник).
ТОЖДЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕ-
НИЯ — выражения, содержащие одни и те же
переменные, у которых равны значения при
всех допустимых значениях переменных. На-
пример: 0,5а + 0,5Z> и —--тождественно рав-
2
ные выражения.
Если одно выражение заменить другим, тож-
дественно равным ему, то такое преобразование
называется тождественным преобразованием
выражения.
Например: х2 • 4х5 = 2х2 • х5 = 2х7;
G/5+V2)V5 = 5 + 710;
l-2sinxcosx = 1- sin2x.
ТОЖДЕСТВО - равенство, верное при всех
допустимых значениях входящих в него пере-
менных.
Например: а + b = b + а;
sin2 х + cos2 х = 1;
(а - Z>)2 = а1 - 2ab + Ь2;
1g Л — --- .
cosx
Чтобы доказать тождество, для этого необхо-
димо выполнить тождественные преобразова-
ния над одной из его частей и прийти к другой
части.
406 МАТЕМАТИКА
Например: докажите тождество:
sin2a-2sina ~ „
-------------= 2 sin a. Левая часть:
cosa -1
sin 2a - 2 sin a _ 2 sing cosa-2 sing _
cosa-1 cosa-1
2sina(cosa-l) n ~
--------------- = 2 sin a: правая часть. Тожде-
cosa -1
ство доказано.
ТОРРИЧЕЛЛИ ЭВАНДЖЕЛИСТА (1608-
1647) — известный итальянский ученый, уче-
ник Галилея. Сделал ряд математических от-
крытий, внес весомый вклад в создание интег-
рального исчисления. Торричелли открыл атмос-
ферное давление и изобрел ртутный термометр.
ТОЧКА- одно из основных неопределяемых
понятий геометрии. Обозначается: А, В, С,... .
Точка вместе с прямой и плоскостью является
отправным понятием при изложении геомет-
рии. Связь между основными понятиями пока-
зана в аксиомах. Например, какова бы ни была
прямая, существуют точки принадлежащие пря-
мой и точки не принадлежащие этой прямой.
к Точки А, В, С принад-
.м лежат прямой а.
А в с Точки К, М, N не
——————————— принадлежат прямой
N а.
Или такая аксиома: какова бы ни была пло-
скость, существуют точки ей принадлежащие и
ей не принадлежащие.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
407
Точки А, В, С принад-
лежат плоскости а.
Точки М, К, N не
принадлежат плоско-
сти а.
В аксиомах также утверждается, что две точ-
ки однозначно задают прямую, а три точки, не
лежащие на одной прямой, однозначно задают
плоскость (см. аксиома, планиметрия, стерео-
метрия, Евклид, постулат).
ТОЧКА ВНУТРЕННЯЯ. Внутренней точкой
геометрической фигуры в пространстве называ-
ется такая точка, если существует шар с цент-
ром в этой точке, который целиком принадле-
жит этой фигуре.
Внутренней точкой множества действитель-
ных чисел называется точка данного множества
на числовой оси, для которой существует со-
держащий эту точку открытый промежуток, це-
ликом состоящий из точек множества.
Например, для отрезка [a, Z>] все точки, ему
принадлежащие, кроме точек а и Ь, внутренние.
Точки А и О — внутренние точки изображенного шара.
Точки С и D — внутренние точки изображенного круга.
408
МАТЕМАТИКА
Если рассматривать геометрические фигуры,
то внутренними точками шара являются все его
точки, кроме точек сферы, его ограничиваю-
щей, а внутренними точками круга являются
все его точки, кроме точек окружности, являю-
щейся границей этого круга.
ТОЧКА ГРАНИЧНАЯ. Граничной точкой гео-
метрической фигуры в пространстве называется
такая точка, если любой шар с центром в этой
точке содержит точки, принадлежащие фигуре
и ей не принадлежащие.
Например, вершины параллелепипеда явля-
ются граничными точками, а точка пересечения
диагоналей параллелепипеда является внутрен-
ней точкой.
Точки А, В, С, D —
граничные точки па-
раллелепипеда
ABCDAXBXCXDX.
Все граничные точки
этого параллелепипеда
лежат на гранях этого
параллелепипеда.
Точка О — внутрен-
няя точка.
Внутренними точками параллелепипеда
ABCDA\B)CJ\ являются все его точки, кроме
точек, принадлежащих граням параллелепипеда.
ТОЧКИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ (см. замечатель-
ные точки).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА______________409
ТОЧКА КАСАНИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ (см. ка-
сательная).
ТОЧКА КАСАНИЯ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНО-
СТИ (см. касательная).
ТОЧКА КРИТИЧЕСКАЯ (см. критическая точ-
ка).
ТОЧКА МАКСИМУМА. Точка х0 называется
точкой максимума функции /(х), если найдет-
ся такая окрестность точки х0, что для всех х
из этой окрестности выполняется /(х0) > /(х).
У|
f(xo) -—уТХ х0 ~• точка максимума
/ ! \ функции /(х);
I / • \ /(х0) ~ максимум
\ °/ х° \-------х* функции /(X).
Например:
1. Для квадра-
тичной функции
у = ах2 +Ьх +с
при а < 0 точкой
максимума являет-
b
ся точка хп =--
0 2«
(абсцисса верши-
ны параболы).
410
МАТЕМАТИКА
2. Для функции
у = -| х | точкой мак-
симума является точ-
ка х0 = 0.
х0 = 0 — точка
максимума функции
У = -|*|-
ТОЧКА МИНИМУМА. Точка х0 называется
точкой минимума функции f (х), если найдется
такая окрестность точки х0, что для всех х из
этой окрестности выполняется /(х0) < f (х).
х0 — точка минимума
функции /(х);
/(х0) — минимум
функции /(х).
Например:
1. Для квадра-
тичной функции
у = ах2 +Ьх +с
при а > 0 точкой
минимума являет-
b
ся точка хп =---
0 2а
(абсцисса верши-
ны параболы).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
411
2. Для функции
у = | х | точкой миниму-
ма является точка
х0 =0.
х0 = 0 — точка мини-
мума функции у = | X |.
ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ. Две пря-
мые могут пересекаться только в одной точке,
эта точка называется точкой пересечения пря-
мых, а сами прямые называются пересекающи-
мися.
а и b — пересекающи-
еся прямые;
точка С — точка пере-
сечения прямых а и Ь.
Два отрезка аналогично прямым могут пере-
секаться только в одной точке.
Точка О — точка пе-
ресечения отрезков АВ
и CD.
ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ —
общие точки пересекающихся окружностей. Две
пересекающиеся окружности имеют две точки
пересечения. Если две окружности пересекают-
ся, то отрезок, соединяющий точки пересече-
412
МАТЕМАТИКА
ния, называется общей хордой двух пересекаю-
щихся окружностей. Общая хорда перпендику-
лярна прямой, проходящей через центры пере-
секающихся окружностей, и точкой пересече-
ния делится на два равных отрезка.
Точки А и В — точки
пересечения окружно-
стей, с центрами в
точках и О2.
АВ — общая хорда.
AB-LO^; АС = СВ.
ТОЧКИ СИММЕТРИЧНЫЕ (см. симметрия).
ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА. Точки минимума и
максимума называются точками экстремума
данной функции. Слово «экстремум» произош-
ло от латинского слова «крайний» (см. точка
минимума, точка максимума).
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
Если абсолютная погрешность приближенного
числа не превосходит некоторого числа h, то
говорят, что дано приближенное значение чис-
ла с точностью до h.
Например: число 35,96 — приближенное
значение числа 35,964 с точностью до 0,01 (см.
погрешность, приближенное значение числа).
ТРАНЗИТИВНОСТЬ - свойство отношений
«=»5 «<»5 «<».
Если а = b и b = с, то а = с.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
413
Если а<Ь и b < с, то а < с.
Если а< b и b < с ,то а< с.
ТРАНСПОРТИР (см. измерение углов).
ТРАПЕЦИЯ - выпуклый четырехугольник, у
которого две стороны параллельны, а две дру-
гие не параллельны. Параллельные стороны на-
зываются основаниями, а непараллельные сто-
роны называются боковыми сторонами. Пер-
пендикуляр, опущенный из точки верхнего ос-
нования на нижнее, называется высотой трапе-
ции. Отрезок, соединяющий середины боковых
сторон, называется средней линией трапеции
(см. средняя линия трапеции).
ABCD — трапеция; ВС
и AD — основания; АВ
и CD — боковые сто-
роны;
AD\\BC\ /LS'ffCD;
MN— средняя линия;
СЕ — высота.
Трапеция, у которой равны боковые сторо-
ны называется равнобедренной или равнобо-
кой. Углы при основании равнобедренной тра-
пеции равны.
Свойства равнобедренной трапеции:
1. Углы при основании равны.
2. Диагонали равнобедренной трапеции рав-
ны.
3. Сумма противоположных углов равна 180°.
4. Имеет ось симметрии, которая проходит
через середины оснований.
414
МАТЕМАТИКА
5. Около равнобедренной трапеции можно
описать окружность, центр которой лежит на
пересечении серединных перпендикуляров бо-
ковой стороны и основания.
ABCD — равнобедрен-
ная трапеция; АВ = CD;
I — ось симметрии
ABCD; О — центр
описанной окружно-
сти.
Трапеция называется прямоугольной, если
одна из боковых ее сторон перпендикулярна
основаниям. В прямоугольной трапеции высота
равна боковой стороне, перпендикулярной ос-
нованиям.
ВР----------
\ ABCD — прямоуголь-
\ ная трапеция;
\ AB1.AD; АВ1ВС.
дЬ-------------- D
Площадь любой трапеции равна произведе-
нию полусуммы ее оснований на высоту, т.е.
5,= +
2
ТРАПЕЦИЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ (см. криволи-
нейная трапеция).
ТРЕУГОЛЬНИК — многоугольник с тремя
сторонамйГ или замкнутая ломаная линия из
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________415
трех звеньев. Стороны и углы треугольника на-
зываются его элементами.
Разделяют две классификации треугольни-
ков: по углам и по сторонам.
Классификация треугольников по углам:
1. Остроугольный треугольник — треуголь-
ник, в котором все углы острые.
2. Прямоугольный треугольник — треуголь-
ник, в котором один из углов прямой (см. пря-
моугольный треугольник).
3: Тупоугольный треугольник — треуголь-
ник, в котором один из углов тупой (см. тупоу-
гольный треугольник).
Остроугольный Прямоугольный Тупоугольный
Классификация треугольников по сторонам:
1. Разносторонний треугольник — треуголь-
ник, в котором все стороны имеют различные
длины.
2. Равнобедренный треугольник — треуголь-
ник, в котором две стороны равны (см. равно-
бедренный треугольник).
3. Равносторонний треугольник — треуголь-
ник, в котором все стороны равны (см. равно-
сторонний треугольник).
416
МАТЕМАТИКА
Разносторонний Равносторонний Равнобедренный
Соотношение между сторонами и углами
треугольника:
1. Против большей стороны лежит больший
угол.
2. Против равных сторон лежат равные углы.
3. Квадрат любой стороны треугольника ра-
вен сумме квадратов двух других сторон без уд-
военного произведения этих сторон на косинус
угла между ними (теорема косинусов).
4. Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов (теорема сину-
сов).
Свойства углов треугольника:
1. Сумма углов любого треугольника равна
180°.
2. Внешний угол любого треугольника равен
сумме двух внутренних углов, не смежных с
ним.
3. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны, причем они могут быть толь-
ко острыми.
4. В прямоугольном треугольнике сумма ост-
рых углов равна 90° (см. биссектриса треуголь-
ника, высота треугольника, медиана треугольни-
ка, замечательные точки, вписанный многоуголь-
ник, вписанная окружность, Герона формула, пе-
риметр многоугольника).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
417
Площадь треугольника вычисляется по сле-
дующим формулам:
2
где а — сторона треугольника,
ha — высота, опущенная на эту сторону.
2. Формула Герона:
= 7р(р - а)(р - Ь)(р - с), где а, Ь, с — сто-
роны треугольника, р — полупериметр.
3. 5* = — ab siny, где а, b — стороны треу-
гольника, у — угол между а и Ь.
. „ abc ,
4. 5 = ——, где а, о, с — стороны треуголь-
41?
ника, R — радиус описанной окружности.
5. S = рг, где р — полупериметр, г — радиус
вписанной окружности.
Два треугольника, площади которых равны,
называются равновеликими.
ТРЕХГРАННЫИ УГОЛ — многогранный угол,
у которого три грани (см. многогранный угол).
S
14. Математика
S — вершина трех-
гранного угла;
SA; SB; SC — ребра
трехгранного угла;
ASB; BSC; CSA - гра-
ни трехгранного угла.
418
МАТЕМАТИКА
ТРЕХЧЛЕН — многочлен, состоящий из трех
членов. Например: Sab + ху + с. В школьной
программе изучается квадратный трехчлен (см.
квадратный трехчлен).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
(см. неравенства).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ПРОСТЕЙШИЕ - уравнения вида sinx = а;
cosx = a; tgx = a; ctgx = а.
Рассмотрим решение простейших тригоно-
метрических уравнений:
1. sinx = а, где |а|<1; уравнение имеет
бесконечно много корней вида:
х = (-1)* arcsina + itk, где k eZ (см. арксинус,
синус).
Частные случаи:
a) sinx = 0 при х = пк, где к е Z;
7С
б) sinx = 1 при х = — + 2кк, где к е Z;
2.
в) sinx = -1
Я
при х = — + 2пк, где к е Z.
2
2. cosx = а, | а| < 1; уравнение имеет беско-
нечно много корней вида: х = ± arccos а + 2яА;,
где к g Z (см. арккосинус, косинус).
Частные случаи:
Л
a) cosx = 0 при х = — + кк, где к е Z;
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
412
б) cosx = 1 при х = 2пк, где к g Z;
в) cosx = -1 при х = тс + 2тс£, где к е Z.
3. tgx = a; уравнение имеет бесконечно
много корней вида: х = arctga + лЛ, где к eZ
(см. арктангенс, тангенс).
Частные случаи:
a) tgx = 0 при х = пк, где к е Z;
7С
б) tgx = 1 при х = — + пк, где к е Z;
4
в) tgx = -1 при х = + пк, где к е Z.
4 '
4. ctgx = а; уравнение имеет бесконечно
много корней вида: х = arcctg а + пк, где к е Z
(см. арккотангенс, котангенс).
Частные случаи:
a) ctgx = 0 при х = — + пк, где к g Z;
2
б) ctgx = 1 при х = — + пк, где к е Z;
4
Зл
в) ctgx = -1 при х = — + пк, где к е Z.
4
С помощью простейших тригонометриче-
ских уравнений можно решать более сложные
тригонометрические уравнения. Рассмотрим их
решение на конкретных примерах:
1. Решим уравнение sinx - 3cosx = 0.
Так как sinx и cosx не могут быть равны
нулю одновременно, разделим обе части урав-
нения на cosx и получим равносильное урав-
нение:
tgx - 3 = 0 или tgx = 3.
420
МАТЕМАТИКА
Следовательно решениями данного уравне-
ния являются х = arctg3 + лк, где к е Z.
2. Решим уравнение 6cos2x-5sinx + 5 = 0.
Так как cos2 х = 1 - sin2 х, то получим рав-
носильное уравнение 6(1 - sin2 х) - 5 sinx + 5 = О
или 6sin2x + 5sinx-ll = 0.
Введем новую переменную, обозначив
sinx = y, получим квадратное уравнение
бу2 + 5у -11 = 0. Из квадратного уравнения по-
. 11 ~ .11
лучаем у = 1 или у = ——. Так как sinx = ——
6 6
не имеет решений, получаем sinx = 1, следова-
тельно, х = у + 2л£, где к е Z. Следовательно,
решения данного уравнения х = — + 2лх, где
teZ. 2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ -
тригонометрические тождества, помогающие
при преобразовании тригонометрических выра-
жений, решении тригонометрических уравне-
ний и неравенств.
Основные тригонометрические формулы:
1.
2.
3.
4.
sin2 а + cos2 а = 1;
х sin а
tga =------;
cos а
. cos а
ctga = —----;
sin а
tgacosa = 1;
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
421
5. 1 + tg2 а =
1
cos2 а ’
6. 1 + ctg2 а =
1
• 2
sin а
Формулы приведения:
1. sin(7t + а) = - sina; sin(n: - а) = sina;
вш(2л + а) = sina; зт(2л - a) = - sin a.
2. cos(tc + a) = - cos a; cos(k - a) = - cos a;
cos(2tc + a) = cos a; cos(2tc - a) = cos a.
3. tg(7t + a) = tga; tg(Tt-a) =-tga;
tg(2rc + a) = tga; tg(2?c-a) = -tga.
4. ctg(7c + a) = ctga; ctg(?c - a) = - ctga;
ctg(2u + a) = ctga; ctg(2n: - a) = - ctga.
cosa;
. (3л ) . . (3л )
tgl —+ al = - ctga; tgl — - al = ctga.
\ x- z x jb z
* tga;
422
МАТЕМАТИКА
(Зя ] . . (Зя ।
; — + а = -tga; ctg—-a =tga.
\ J \ J
Формулы сложения:
sin(a + Р) = sinacosp + cosasinp;
sin(a - р) = sin a cos Р - cos a sin Р;
cos(a + Р) = cos a cos р - sin a sin р;
cos(a - Р) = cos a cos р + sin a sin р;
tg(a + |» = -S^L;
1-tga tgр
1 + tga tg р
ctgactgp-1
ctg(a + p) = -2-;
ctg a + ctg p
ctg(a-P)=Ct8aCtg|i + 1.
ctg p - ctg a
Формулы двойного угла:
sin2a = 2sinacosa;
cos 2a = cos2 a - sin2 a;
0 _ 2tga
8 l-tg2a’
ctg2a = ^l.
2 ctg a
Формулы половинного угла:
1 . a
1. sin— = ±..
2 1
n a J.
2. cos— = ±.
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
1 - cos a
2
fl + cosa
2
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
423
- х а , /1-cosa sina 1-cosa
2 V 1 + cosa 1 + cosa sina
. x a , /1 + cosa sina 1 + cosa
4. ctg— = ±J----=--------=-------.
2 V 1-cosa 1-cosa sina
Формулы суммы и разности тригонометри-
ческих функций:
1 • on- a + P a-p
1sin a + sin В = 2 sin---— cos---:
2 2
n • on- a-P a + p
2. sin a - sin В = 2 sin-11 cos--;
2 2
« D _ a + p a-p
3. cos a + cos P = 2 cos-- cos---;
2 2
, on- a + P • a-p
4. cos a - cos P = -2 sin-- sin ——- =
K 2 2
_ . a+p . p-a
2 sin ——— sin i-——:
2 2
с • я- Гк A
5. cos a + sin a = v2 cos — a ;
U J’
6. cos a - sm a = V2 sin — a ;
<4 )
n ♦ о sin(a±p) 7. tga±tgp= r ; cos a cosp
о ♦ . + о sin(₽ ± °0 . 8. ctga±ctgp = . ;
sina sinp
n * * о cos(a-p) 9. tga + ctgP= . HQ;
cos a sm p
1П . * о cos(a + p) 10. tga ctgp = . r .
cos a sinp
424 МАТЕМАТИКА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ -
функции числового аргумента: синус, косинус,
тангенс, котангенс, секанс, косеканс (см. синус,
косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс).
ТРИГОНОМЕТРИЯ — раздел математики,
изучающий свойства тригонометрических фун-
кций и решение треугольников или зависи-
мость между сторонами и углами треугольни-
ков. В школьной программе изучаются только
плоские треугольники, но существуют еще сфе-
рические треугольники. Тригонометрия, зани-
мающаяся сферическими треугольниками, на-
зывается сферической тригонометрией. Причем
нужно заметить, что сферическая тригономет-
рия появилась раньше плоской тригонометрии.
Это связано с тем, что сама наука тригономет-
рия произошла из астрономии, развитие кото-
рой вызвано было необходимостью составления
правильного календаря и умению ориентиро-
ваться на море и суше. Зародилась тригономет-
рия на Древнем Востоке, затем получила свое
развитие в Древней Греции в трудах таких уче-
ных, как Фалес, Эратосфен, Евклид, Архимед,
Аполлоний и другие.
В первом тысячелетии нашей эры происхо-
дит бурный расцвет культуры и науки в странах
арабского халифата, и поэтому основные от-
крытия в тригонометрии принадлежат ученым
этих стран. Туркменский ученый аль-Маразви
первым ввел понятие тангенса и котангенса как
отношений сторон прямоугольного треугольни-
ка и составил таблицы синусов, тангенсов и ко-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
425
тангенсов. А вот синус и косинус ввели в мате-
матику индийские ученые. Основным достиже-
нием арабских ученых является то, что они от-
делили тригонометрию от астрономии.
В Европе тригонометрией занимались мно-
гие ученые, и среди них англичанин Томас
Брадвардин (1290—1349), австриец Георг Пейр-
бах (1423—1461), немец Региомонтан (1436—
1476), поляк Николай Коперник (1473—1543) и
другае.
ТРИЛЛИОЙ--! ООО 000 000 000 = 1012.
ТУПОЙ УГОЛ —угол, который больше прямо-
го угла, но меньше развернутого. Если угол а —
тупой, то 90° < а < 180° или -^ < а < л.
Если один из смежных углов тупой, то дру-
гой угол — острый.
ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК- треу-
гольник, в котором один из углов тупой. Если
тупоугольный треугольник является равнобед-
ренным, то тупой угол лежит против основания
треугольника. Еще одной особенностью тупоу-
гольного треугольника является то, что4 две вы-
соты этого треугольника лежат вне его.
426.
МАТЕМАТИКА
АЛТ? С — тупоуголь-
ный треугольник.
AD, ВР, СЕ — высоты
треугольника &АВС.
ат-ТУ СИ (1201—1274) — азербайджанский аст-
роном и математик, уроженец иранского города
Тус. Его полное имя в одних переводах звучит
как Насирэддин Туси Абу Джафар Мухаммед, а
в других Насир ад-Дин ат-Туси. Этот ученый
был выдающимся государственным деятелем.
Ат-Туси организовал обсерваторию, в которую
приглашались известные ученые из разных
стран. В этом научном центре было создано
много замечательных научных трудов. Ат-Туси
написал много работ по математике, астроно-
мии, минералогии, медицине и логике, которые
оказали влияние на европейских ученых. Имен-
но с его трудов началось отделение тригономет-
рии от астрономии.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
427
УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ - одна из характе-
ристик функции (см. монотонная функция, фун-
кция убывающая).
УБЫВАЮЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРО-
ГРЕССИЯ - такая арифметическая прогрес-
сия, у которой разность отрицательна.
Например: (ди) — арифметическая прогрес-
сия. а1 = 4; d = -2; ап = 4-2(п-1) — формула
и-го члена. Такая арифметическая прогрессия
является убывающей.
УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРО-
ГРЕССИЯ — такая геометрическая прогрессия,
у которой знаменатель по модулю меньше еди-
ницы.
Например: (/>„) — геометрическая прогрес-
1 Г1Г'1
сия. = 5; У = ~j‘> bn = 5 J — формула п-го
члена. Такая геометрическая прогрессия явля-
ется убывающей.
УБЫВАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ -
последовательность (х„), у которой каждый ее
член, начиная со второго, меньше предыдуще-
428
МАТЕМАТИКА
го, т.е. для любого натурального п выполняется
неравенство хи+1 < хп.
Например: последовательность (х„) задана
, 1 ,
формулой л-го члена хп = — (п — натуральное
1
число); х{ = 1; х2 =
х3
и т.д. Последова-
3
тельность (х„) является убывающей.
УГЛОВАЯ ТОЧКА. Такое понятие рассматри-
вается в математическом анализе. В школьной
программе такая точка встречается у функции
у = | х |. Для этой функции угловой точкой яв-
ляется точка с координатами (0; 0).
Точка 0(0; 0) является
угловой точкой для
функции у = | х |.
УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ.
1. Если прямая задана в декартовой прямо-
угольной системе координат уравнением
у = кх + b, то число к называется угловым ко-
эффициентом этой прямой. Угловой коэффи-
циент равен тангенсу угла между прямой и по-
ложительным направлением оси Ох.
Если к > 0, то функция у = кх + b возраста-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
429
ет и угол между графиком этой функции и по-
ложительным направлением оси Ох является
острым.
Если к < 0, то функция у = кх + b убывает и
угол между графиком этой функции и положи-
тельным направлением оси Ох является тупым.
2. Если прямая является касательной к гра-
фику функции fix) в точке 4(х0,/(х0)), то уг-
ловой коэффициент равен значению производ-
ной функции f (х) в точке х0.
Пусть задана функ-
ция f (х). Уравнение
касательной к графику
функции /(х) в точке
х = х0 имеет вид:
У = /(Xo) + /'(^o)(x-^o)-
/'(х0) — угловой коэф-
фициент касательной.
/'(*о) = tga, где a —
угол между касательной
и положительным на-
правлением оси Ох.
430______________________МАТЕМАТИКА
УГЛЫ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ (см. вертикальные уг-
лы).
УГЛЫ ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ НА-
КРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ (см. внешние и внутренние
накрест лежащие углы).
УГЛЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ- углы, сумма
которых равна 90°.
УГЛЫ ОДНОСТОРОННИЕ (см. односторонние
углы).
УГЛЫ РАВНЫЕ — углы, у которых равны гра-
дусные или радианные меры. Если в треуголь-
нике углы равны, то треугольник является рав-
носторонним. Если в выпуклом четырехуголь-
нике углы равны, то четырехугольник является
прямоугольным.
УГЛЫ СМЕЖНЫЕ (см. смежные углы).
УГЛЫ СООТВЕТСТВЕННЫЕ (см. соответст-
венные углы).
УГЛЫ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНА-
МИ — углы, стороны которых лежат на соот-
ветственно параллельных прямых. Углы с па-
раллельными сторонами либо равны, либо их
сумма равна развернутому углу, т.е. градусная
мера в сумме равна 180°.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
431
ВС\\В&; ^NMK + = 180° •
ЛАВС = AAJBfa.
УГЛЫ С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРО-
НАМИ — углы, стороны которых лежат на со-
ответственно перпендикулярных прямых. Углы
с перпендикулярными сторонами либо равны,
либо их сумма равна развернутому углу, т.е.
градусная мера равна 180°.
AKMN + =180°.
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА — углы, заключен-
ные между сторонами треугольника. Эти три
угла треугольника называются внутренними уг-
432
МАТЕМАТИКА
лами. Углы, смежные с внутренними углами
треугольника, называются внешними. При каж-
дой вершине треугольника имеются два внеш-
них утла. Внешний угол треугольника равен
сумме двух внутренних углов, не смежных с
ним.
А
ZABC — внутренний
угол АЛВС;
ZABD и Z.CBE —
внешние углы ДАВС
при вершине В.
Аналогично определяются внутренние и
внешние углы многоугольника. Количество
внутренних углов многоугольника дает ему на-
звание. Если у многоугольника четыре внутрен-
них угла, то он называется четырехугольником,
если пять углов — пятиугольник, если шесть —
шестиугольник и т.д. Сумма углов выпуклого п-
угольника вычисляется по формуле:
а„ = (п - 2) • 180°. Сумма внешних углов вы-
пуклого многоугольника, взятых по одному при
360°.
каждой вершине, равна
ZAED — внутренний
угол пятиугольника
ABCDE-
ЛАЕМ и ADEK -
внешние углы пятиу-
гольника ABCDE при
вершине Е.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
433
УГОЛ — геометрическая фигура, состоящая из
двух лучей с общим началом. Общее начало на-
зывается вершиной угла, а сами лучи или полу-
прямые называются сторонами угла.
>Хз
Точка А — вершина
У^ угла, лучи АВ и АС —
Ух стороны угла.
А С
Обозначается: /А или /ВАС.
Если стороны угла лежат на одной прямой
или являются дополнительными лучами, то та-
кой угол называется развернутым.
А О В
/АОВ — развернутый угол
Если угол равен половине развернутого угла,
то он называется прямым. Если угол меньше
прямого угла, то он называется острым.
Если угол больше прямого, но меньше раз-
вернутого, то он называется тупым.
/АВС прямой
/KNP острый /XYZ тупой
434 -_______________________МАТЕМАТИКА
Угол, равный %о прямого угла или /80 раз-
вернутого угла, называется градусом. Если угол
разбить на углы по одному градусу, то количе-
ство таких углов называется градусной мерой
угла (см. градусная мера угла). Угол можно из-
мерять в радианах (см. радианная мера угла).
УГОЛ, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ (см.
вписанный угол).
УГОЛ ДВУГРАННЫЙ (см. двугранный угол).
УГОЛ ЛИНЕЙНЫЙ ДВУГРАННОГО УГЛА
(см. двугранный угол).
УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ а и b - угол
между равными им векторами с общим нача-
лом, т.е. пусть
а = ОА, b = О В,
тогда угол между
векторами а и b
равен углу между
векторами ОА и
ОВ.
Обозначается: a^b = /ЛОВ.
— Угол между векторами
« ° — может принимать значения
"b* от 0° до 180°. Если угол
' • между векторами равен ну-
лю, то векторы коллинеарны и имеют одинако-
вые направления.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
435
между векторами
равен 180°, то
Если угол
между векторами
равен 90°, то
векторы являют-
ся перпендику-
лярными.
_ Т b’=180°
b
векторы коллине-
арны и имеют противоположные направления.
Косинус угла между ненулевыми векторами
можно найти по формуле:
cos(aA6) =
ab
|а| • b
Причем если и Ь{х2,у2}, то
cos(gA^)=X^W2..........;
7Х12+^12л/Х2 +У2
если a^y^zj и b{x2;y2,z2}, то
cos(5A/>) =
\Х2 + у^у2 + ZjZ2
7xf + у{+ zf у1х22 + у2 + zl
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ -
наименьший двугранный угол, получившийся
при пересечении этих плоскостей.
Угол между двумя плоскостями может при-
нимать значения от 0° до 90°.
Если угол между плоскостями равен нулю,
то эти плоскости совпадают или параллельны.
436
МАТЕМАТИКА
Если угол между плоскостями равен 90°, то
плоскости перпендикулярны.
Угол а — угол между
плоскостями у и р.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоско-
стью — угол между этой прямой и ее проек-
цией на данную плоскость. Угол между прямой
и плоскостью принимает значения от 0° до
90°.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то
считают, что угол между прямой и плоскостью
равен 90°.
Если прямая параллельна плоскости, то счи-
тают, что угол между прямой и плоскостью ра-
вен 0°, либо вообще не рассматривают данный
случай.
А /
/ Прямая АВ пересекает
________/_______ плоскость а в точке О.
/ Прямая CD является
/ с /\ D / проекцией прямой АВ
/ / 0 / на плоскость а.
И-----J----------' ZAOD — угол между
/ прямой АВ и плоско-
В/ стью а.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
437
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ.
1. Угол между пересекающимися прямы-
ми — наименьший угол, получившийся при их
пересечении.
С у/
•—/ Прямые АВ и CD пе-
Р ресекаются в точке О.
О ZAOD — угол между
В/ прямыми АВ и CD,
т.к. ZAOD < ААОС.
Угол между пересекающимися прямыми
больше нуля, но меньше или равен 90°.
Если угол между пересекающимися прямы-
ми равен 90°, то прямые являются перпендику-
лярными.
2. Угол между скрещивающимися прямы-
ми — угол между пересекающимися параллель-
ными им прямыми. Пусть а и b являются скре-
щивающимися прямыми, а прямые ах и Ьх —
пересекающиеся прямые, причем a||tfj и b||^,
то угол между прямыми
«1 и Ьх является углом
а и b — скрещиваю-
щиеся прямые, и
Z>! — пересекающиеся,
причем аЦй! и д||дР
Угол между прямыми
Oj и Ь} является углом
между прямыми а и Ь.
438
МАТЕМАТИКА
УГОЛ МНОГОГРАННЫЙ (см. многогранный
угол).
УГОЛ плоский — часть плоскости, ограни-
ченная двумя различными лучами, исходящими
из одной точки. Два таких луча разбивают пло-
скость на два плоских угла. Общее начало этих
лучей называется вершиной угла, а сами лучи
называются сторонами угла.
Плоские углы
УГОЛ ПОВОРОТА — угол, который получает-
ся при вращении начального радиуса вокруг
точки, являющейся началом координат. Если
вращать начальный радиус против часовой
стрелки, то мы будем получать положительные
утлы. Если вращать начальный радиус по часо-
вой стрелке, то мы будем получать отрицатель-
ные углы.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
432
Угол поворота дает возможность получать
отрицательные углы и углы больше 360°.
Пусть угол а — острый, тогда синус, коси-
нус, тангенс и котангенс угла равны синусу,
косинусу, тангенсу и котангенсу углов
а ± 360°п, где п е N. Следовательно, синус, ко-
синус, тангенс и котангенс любого угла можно
выразить через синус, косинус, тангенс и ко-
тангенс острого угла. Необходимо только
учесть, что тангенс неопределен для углов
^ + пк, где к е Z, а котангенс неопределен для
углов пк, где к е Z.
Например:
sin 405° = sin(360° + 45°) = sin 45°;
cos 800° = cos(2 • 360° +80°) = cos 80°;
tg(-315°) = tg45°;
. 13л . л
ctg—= ctgy-
УГОЛ ТРЕХГРАННЫЙ (см. трехгранный угол).
440
МАТЕМАТИКА
УГОЛ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ - угол с вершиной в
центре окружности. Градусная мера централь-
ного угла равна градусной мере дуги, на кото-
рую он опирается. Градусная мера центрально-
го угла может изменяться от 0а до 360°.
ЛАО В — централь-
ный
ЛАО В=^АтВ.
УГОЛЬНИК — чертежный инструмент, позво-
ляющий строить прямые углы. Как правило,
угольник представляет собой модель либо пря-
моугольного равнобедренного треугольника,
либо модель прямоугольного треугольника с ос-
трыми углами
30° и 60°. Это
позволяет без
труда постро-
ить углы, рав-
ные 30°, 45°,
60°. На одну
из сторон
угольника на-
несены деления, это позволяет использовать
угольник как линейку. С помощью угольника и
линейки удобно выполнять построение парал-
лельных прямых, а точнее отрезков параллель-
ных прямых.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
441
УЛУГБЕК (1394—1449) — выдающийся узбек-
ский астроном, математик и государственный
деятель. Мухаммед Трагай Улугбек, внук хана
Тимура, с 1409 года совместно со своим отцом
Шахруком правил империей Тимуридов, его ре-
зиденцией был Самарканд. Здесь он создал од-
ну из лучших обсерваторий того времени. В
этой обсерватории работали талантливые уче-
ные аль-Каши, аль-Кушчи и другие. В их рас-
поряжении был уникальный 40-метровый мра-
морный секстант, горизонт, круг и другие инст-
рументы. В Самарканде в научной школе Улуг-
бека были составлены знаменитые «Гурганд-
ские зиджи». Зиджи — сборники астрономиче-'
ских и тригонометрических таблиц, сопровож-
даемые пояснениями и доказательствами соот-
ношений между тригонометрическими функци-
ями, они являлись как учебниками, так и спра-
вочниками при решении разнообразных задач:
измерения времени, определения географиче-
ских координат, расположения планет на не-
бесной сфере, вычисления времени восхода и
захода Солнца, Луны и их затмений. По своей
точности «Гургандские зиджи» оставались не-
превзойденными свыше 200 лет. Улугбек по-
строил три высшие школы — медресе: в Самар-
канде, Бухаре и Гидживане. Самарканд того
времени стал центром науки и культуры под
руководством Улугбека.
Самого Улугбека постигла трагическая
участь: он был убит по приказу сына Абдулла-
тифа.
442 МАТЕМАТИКА
УМЕНЬШАЕМОЕ — число или выражение, из
которого вычитают. Если имеем а - b = с, то
а — уменьшаемое (см. вычитание).
Например: 15-7 = 8, 15— уменьшаемое;
5а - а = 4а, 5а — уменьшаемое.
Если необходимо найти неизвестное умень-
шаемое, то к разности прибавляют вычитаемое.
Например: х -10 = -5, где х — неизвестное
уменьшаемое, х = -5 +10 = 5.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (см.
вектор).
УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ.
При умножении десятичных дробей их умножа-
ют как целые числа, не обращая внимание на
запятые, а затем в полученном результате отде-
ляют справа запятой столько десятичных зна-
ков, сколько их содержится в обоих множите-
лях вместе.
Например: 0,5 • 0,3 = 0,15;
-1,2-4 = -4,8;
-2,5-(- 0,5) =1,25.
УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ.
При умножении обыкновенных дробей получа-
ется дробь, числитель которой равен произведе-
нию числителей множителей, а знаменатель ра-
вен произведению знаменателей множителей.
u 1 1 1 7 3 21 7
2 3 6 15 4 60 20’
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________443
-4.2 = __8^. 1 3 7 = 21= J_
9 5 45’ 2 1 1 2 1 2 2’
УМНОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.
Умножение рациональных дробей выполняется
аналогично умножению обыкновенных дробей.
Например:
х 5х _ х • 5х _ 5х2
х +1 х — 1 (х + 1)(х -1) х2 -1
УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ. Умножить число а на
число b — это значит найти сумму b слагаемых,
каждое из которых равно а, т.е.
а • b = а а-а...-а. При умножении чисел дейст-
Ь раз
вительны законы: переместительный, сочета-
тельный, распределительные относительно сло-
жения и вычитания (см. законы математиче-
ские).
При умножении чисел выполняются следую-
щие правила знаков:
1. Произведение четного количества отрица-
тельных чисел есть число положительное.
2. Произведение нечетного количества отри-
цательных чисел есть число отрицательное.
Например:
(-5). (-2) =10;
(-3)-(-0,2). 2-(-10). (-0,1) =1,2;
(-5) (-2) (-1) =-10; -51-2 = -102.
При умножении двух приближенных чисел,
имеющих поровну значащих цифр, в произве-
дении следует сохранить столько значащих
444
МАТЕМАТИКА
цифр, сколько их было в каждом из множите-
лей.
Например: 95,6 • 21,8 = 2084,08 « 20,8 • 102.
При умножении приближенных чисел с раз-
ным числом значащих цифр в результате следу-
ет сохранять столько значащих цифр, сколько
их имеет менее точное данное, причем менее
точным считается то число, у которого меньше
значащих цифр.
Например: 2,143 • 0,45 = 0,96435 « 0,96.
УРАВНЕНИЕ — равенство с переменной или
переменными. При одних значениях перемен-
ной или переменных это равенство становится
верным числовым равенством, а при других
значениях — неверным. Те значения перемен-
ной или переменных, при которых уравнение
обращается в верное равенство, называют кор-
нями уравнения. Решить уравнение — это зна-
чит найти его корни. Если переменная в урав-
нении является неизвестным слагаемым, то для
того, чтобы найти неизвестное слагаемое, нуж-
но от суммы отнять известное слагаемое.
Если переменная в уравнении является не-
известным уменьшаемым, то для того, чтобы
найти неизвестное уменьшаемое, нужно к раз-
ности прибавить вычитаемое.
Если переменная в уравнении является не-
известным вычитаемым, то для того, чтобы
найти неизвестное вычитаемое, нужно из
уменьшаемого вычесть разность.
Если переменная в уравнении является не-
известным множителем, то для того, чтобы
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
445
найти неизвестный множитель, нужно произве-
дение разделить на известный множитель.
Если переменная в уравнении является не-
известным делимым, то для того, чтобы найти
неизвестное делимое, нужно частное умножить
на делитель.
Если переменная в уравнении является не-
известным делителем, то для того, чтобы найти
неизвестный делитель, нужно делимое разде-
лить на частное.
УРАВНЕНИЕ БИКВАДРАТНОЕ - уравнение
вида ах4 + Ьх2 + с = 0; а * 0.
Биквадратное уравнение является частным
случаем уравнения четвертой степени, решение
которого сводится к решению квадратного
уравнения. Заменой х2 = у уравнение приво-
дится к квадратному. Биквадратное уравнение
может иметь максимально четыре корня. Корни
биквадратного уравнения можно найти также
по формуле:
l-b ± yfb2 - 4ас
Х|!л4 -
Причем знаки перед корнями выбираются
независимо друг от друга.
Если биквадратное уравнение имеет корень
Xj, то оно имеет и корень х2 = -х{.
Сумма корней биквадратного уравнения
равна нулю.
Рассмотрим решение биквадратного уравне-
ния на конкретном примере: 2х4 - 9х2 +4 = 0.
446
МАТЕМАТИКА
Обозначим х2 = у, тогда получаем уравне-
ние 2у2 - 9у + 4 = 0.
Решив это уравнение,
1 2 л 2
у2 = —, тогда х = 4 или х
получим ух = 4;
1 п
= —. Следователь-
но, корнями уравнения являются числа: 2; —2;
УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБА-
НИЯ (см. гармонические колебания).
УРАВНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ (см.
дифференциальные уравнения). В школьной про-
грамме дифференциальные уравнения не изуча-
ются.
ме:
УРАВНЕНИЕ ДРОБНОЕ — уравнение вида
Р(х)
——- = 0, где Р(х) и Q(x) — некоторые много-
0(х)
члены. Дробное уравнение равносильно систе-
ГР(х) = О
10(х) во-
рошение дробного уравнения можно разбить
на два этапа:
1. Решить уравнение Р(х) = 0.
2. Проверить условие: Q(x) * 0.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 447
тт х 5 18 „
Например:------------= . После пре-
х - 3 х + 3 х -9
образований уравнение примет вид
— 2х - 3
---=-----= 0, которое равносильно системе
х1 -9
х2 - 2х - 3 = О
х2 - 9 * О
Решив уравнение х2 - 2х - 3 = 0, получим
его корни х = 3 или х = -1. Корень х = 3 яв-
ляется посторонним, т.к. при х = 3 х2 - 9 = 0.
Следовательно, корнем исходного уравнения
является х = -1.
УРАВНЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ — уравне-
ние, в котором переменная содержится под
знаком корня.
Например:
V2x-3 = Vx- 3;
л/х2 +2х + 5 = х - 8.
Основными методами решения иррацио-
нальных уравнений являются следующие:
1. метод возведения обеих частей уравнения
в одну и ту же степень;
2. метод введения новых переменных.
При возведении обеих частей иррациональ-
ного уравнения в четную степень возможно по-
явление посторонних корней. Поэтому при ис-
пользовании этого метода необходимо провести
проверку.
Например:
1. Решим уравнение >/х2 +х -1 = х. Для
448 МАТЕМАТИКА
этого возведем в квадрат обе части уравнения и
получим х2 + х -1 = х2, отсюда х = 1.
Сделаем проверку: если х = 1, то
V12 + 1-1 = 1 — верное равенство. Следователь-
но, х = 1 является корнем данного уравнения.
2. Решим уравнение л/х-6 = >/4-х. Для
этого возведем в квадрат обе части уравнения и
получим х - 6 = 4 - х, отсюда х = 5.
Сделаем проверку: если х = 5, то л/4 - х не
определен, следовательно, х = 5 — посторон-
ний корень.
Данное уравнение не имеет корней.
УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ
ФУНКЦИИ (см. касательная).
УРАВНЕНИЕ КВАДРАТНОЕ (см. квадратное
уравнение).
УРАВНЕНИЕ КУБИЧЕСКОЕ - уравнение ви-
да ах3 + Ьх2 + сх + d = 0.
Для нахождения корней кубического уравне-
ния пользуются формулой Кардано, которая
достаточно сложна и в школьной программе не
изучается.
УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЕ — уравнение вида
ах + b = 0, где а и b — действительные числа.
1. Если а + 0, то уравнение имеет единст-
b
венный корень х = —.
а
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
449
2. Если а = 0, b ф 0, то уравнение не имеет
корней.
3. Если а = 0, Z> = 0, то уравнение имеет
бесконечно много корней, т.е. корнем уравне-
ния является любое действительное число.
Например:
1. 5х -10 = 0; х = 2 — корень уравнения.
2. Ох + 4 = 0, уравнение не имеет корней.
3. 0х + 0 = 0, уравнение имеет бесконечно
много корней, т.е. х — любое действительное
число.
УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЕ С ДВУМЯ ПЕРЕ-
МЕННЫМИ — уравнение вида ах + by = с, где
а, Ь, с — действительные числа.
Пара значений переменных, обращающая
уравнение с двумя переменными в верное ра-
венство, называется решением уравнения.
Уравнения с двумя переменными удобно ре-
шать с помощью графиков. Графиком линейно-
го уравнения с двумя переменными является
прямая, если хотя бы один из коэффициентов
при переменных отличен от нуля.
Если а - b = с - 0, то уравнению удовлетво-
ряет любая пара (х;у), а графиком уравнения
является вся координатная плоскость.
Если а = b = 0, с ф 0, то уравнение не имеет
решений.
Например:
1. 2х-у = 1. Построим график данного
уравнения, для этого достаточно найти две его
точки:
15. Математика
450
МАТЕМАТИКА
X 1 3
X 1 5
Координаты точек
прямой являются ре-
шениями уравнения
2х - у = 1.
2. Уравнение Ох + Оу = 5 не имеет решений.
УРАВНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ (см. ло-
гарифмические уравнения).
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ (см. окруж-
ность).
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ в декартовой сис-
теме координат имеет вид Лх + 5у + Сг + 2) = 0,
А2 + В2 + С2 * 0.
УРАВНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ- уравне-
ние, содержащее переменную в показателе сте-
пени. Показательное уравнение вида
«/(х) _ ag(x), где а > q , д 1, равносильно урав-
нению f (х) = g(x). На этом основан один из
методов решения показательных уравнений.
Например: решим уравнение 2х "2х = 23х“6.
Чтобы решить данное уравнение, необходимо
решить уравнение х2 - 2х = Зх - 6. Решив полу-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
451
ченное уравнение, мы имеем xt =2, х2 = 3.
Эти корни являются корнями исходного урав-
нения: 2х' 2х = 23х 6
Показательные уравнения можно решать с
помощью метода введения новой переменной.
Например: решим уравнение 4Х+1,5 + 2Х+2 = 4.
Преобразуем уравнение 22(х+1,5) + 2х • 22 - 4 = О
или 22х-8 + 2х-4-4 = 0 или 22х-2+ 2Х -1 = 0.
Обозначим 2х = у и получим 2у2 + у -1 = 0.
Решив квадратное уравнение, получим уг = -1;
1
У1 ~ 2
Если = -1, то уравнение 2х = -1 не имеет
решений.
Если у2-—, то, решив уравнение 2х = —,
2 2
получим х = -1. Следовательно, исходное урав-
нение 4Х+1,5 +2Х+2 = 4 имеет один корень х = -1.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ в декартовых коорди-
натах на плоскости имеет вид ах + by + с = 0.
Ьу+с=О
1. Если а = 0, b ф 0,
то прямая параллельна
оси Ох или совпадает
с ней.
452
МАТЕМАТИКА
2. Если а ф 0, b = О,
то прямая параллельна
оси Оу или совпадает
с ней.
3. Если с = 0, то пря-
мая проходит через
начало координат.
У
ах+Ьу+с=0
4. Если а ф 0, b 0,
с 0, то прямая пере-
секает оси координат.
Уравнение прямой мож-
но записать в виде
у = кх + р, число к в этом
уравнении называется угло-
вым коэффициентом, кото-
рый равен тангенсу угла на-
у=кх+р
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
453
клона прямой к положительному направлению
оси Ох.
УРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ - уравнение
вида Р(х) = 0, 777 = 0, где Р(х), Q(x) —
Q(x)
многочлены (см. многочлены). При решении ра-
циональных уравнений в основном использу-
ются два метода:
1. разложение на множители;
2. введение новых переменных (см. уравнение
биквадратное, уравнение дробное, квадратное
уравнение, уравнение линейное).
УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ в прямоугольной декар-
товой системе координат имеет вид
(x-x0)2+(y-y0)2 + (z-z0)2 = R2, где
(x0;y0;z0) — координаты центра сферы, R —
радиус.
Если центр сферы совпадает с началом ко-
ординат, то уравнение сферы имеет вид
х2 + у1 + z2 = R2.
УРАВНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ (см.
тригонометрические уравнения).
УРАВНЕНИЯ РАВНОСИЛЬНЫЕ (см. равно-
сильные уравнения).
УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА (см. пирамида).
454
МАТЕМАТИКА
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС (см. конус усеченный).
УСКОРЕНИЕ. Пусть S = S(t) — закон прямо-
линейного движения. Производная S'(t) выра-
жает скорость движения, а вторая производная
S"(t) — ускорение.
УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧ-
НОЕ (см. достаточное условие, необходимое ус-
ловие).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
455
Ф
ФАКТОРИАЛ — функция, определенная на
множестве целых неотрицательных чисел, зна-
чение которой равно произведению натураль-
ных чисел от 1 до данного натурального числа
п. Обозначается факториал: п\
По определению 0! = 1. О том, что нуль-
факториал должен быть по определению равен
единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в
«Арифметике бесконечных». Само слово «фак-
ториал» образовано от латинского слова «про-
изводящий», знак факториала «!» был введен в
1808 году во французском учебнике Хр. Крам-
па.
Факториал используется в различных фор-
мулах в комбинаторике, в рядах и др.
Например, при определении значения числа
е его разлагают в ряд:
ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ (624-548 гг. до н.э.) -
выдающийся древнегреческий математик и аст-
роном. Он родился в городе Милет на ионий-
ском побережье Малой Азии в семье богатого
торговца-финикийца. Фалес учился в Египте в
школах Мемфиса и Фив. Затем возвратился в
Милет, где основал философскую школу. Ему
456
МАТЕМАТИКА
приписывают многие открытия в различных
разделах математики, но наиболее известна тео-
рема Фалеса, которая изучается в средней шко-
ле.
Евклид, создавая свои «Начала», опирался
на труды Фалеса. Считается, что геометрия в
Греции началась с Фалеса. Сейчас каждый
школьник знает, что диаметр делит круг попо-
лам, что вертикальные углы равны и что диаго-
наль прямоугольника делит его на два равных
прямоугольных треугольника, и все эти утверж-
дения доказал Фалес.
аль-ФАРАБИ АБУ НАСР МУХАММЕД (870—
950) — выдающийся мыслитель, ученый-энцик-
лопедист и математик Древнего Востока. Он
родился в Фараби, ныне Казахстан, учился и
работал в Дамаске, Багдаде и других древних
культурных центрах. Наибольший интерес из
его научного наследия представляют работы по
тригонометрии. Аль-Фараби первым сформули-
ровал теорему синусов для произвольного треу-
гольника, одним из первых доказал теорему си-
нусов для прямоугольного сферического треу-
гольника.
ФАЛЕСА ТЕОРЕМА названа в честь древнегре-
ческого математика Фалеса.
Теорема гласит: если на одной прямой отло-
жить несколько равных отрезков и через их
концы провести параллельные прямые, пересе-
кающие вторую прямую, то они отсекают на
второй прямой отрезки, равные между собой.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
457
Если АхА2 = А2А3 =
Л3Л4 = А4А5 = А5А^ =
А^А7 =... и || А2В21|
А83||ЛД,||4М
ДА||..., то ад =
В2В3 = В3ВА = В4В5 =
^5^6 = =••• •
ФЕРМА ПЬЕР (1601—1665) — выдающийся
математик и юрист. Он родился и жил на юге
Франции, окончил университет в г. Тулузе и
получил профессию юриста. С 1631 года и до
конца своей жизни он занимался в Тулузе юри-
дической деятельностью, был советником мест-
ных органов управления. Математика была его
увлечением. Благодаря этому увлечению юрист
Пьер Ферма получил выдающиеся результаты в
теории чисел, геометрии, методах оперирования
бесконечно малыми, оптике. Его считают со-
здателем аналитической геометрии, в которой
он сделал ряд крупных открытий. В 1629 году
П. Ферма предложил правила нахождения экс-
тремумов многочленов. Он высказал предполо-
жение, что простыми являются все числа вида
22" +1. Его имя заслуженно носит большая
(или великая) теорема Ферма о том, что урав-
нение хп + уп = zn не имеет решений в нату-
ральных числах при натуральном п, большем
двух. Над доказательством этой теоремы уже
третье столетие бьются математики, но доказа-
458
МАТЕМАТИКА
тельство до сих пор не найдено. В 1907 году за
доказательство великой теоремы Ферма была
объявлена премия в 100 тысяч немецких марок,
это вызвало только нездоровый ажиотаж к тео-
реме, но результатов получено не было.
В школьном курсе математики изучается
другая теорема Ферма, о необходимом условии
экстремума: если точка является точкой экс-
тремума функции /ив этой точке существует
производная /', то она равна нулю: /'(хо) = О.
Ферма не печатал свои сочинения, а сооб-
щал о своих достижениях в научной переписке,
при личном общении и дискуссиях со многими
выдающимися учеными. Поэтому подавляющее
число работ Ферма было опубликовано лишь
после его смерти, в 1679 году и позднее.
ФЕРРАРИ ЛУИДЖИ (1522-1565) - итальян-
ский математик. Он был учеником великого
Джероламо Кардано. Феррари прославился тем,
что открыл формулу для решения общего урав-
нения четвертой степени. В практике этими
формулами пользуются мало, так как они явля-
ются достаточно громоздкими.
ФЕРРОНИ ПЬЕТРО (1744-1825) - итальян-
ский математик. Работал в Пизе. Основными
его трудами были работы по теории эллиптиче-
ских интегралов. Опираясь на учения о проек-
циях, Пьетро Феррони в 1805 году получил
плоскую тригонометрию как частный случай
сферической тригонометрии.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 459
ФЕРРО (1465—1526) — итальянский матема-
тик. Сципионе дель Ферро прославился тем,
что одним из первых открыл формулу для ре-
шения уравнения третьей степени. Он был про-
фессором математики в Болонском университе-
те, который славился своими учеными. Ферро
оберегал секрет своего решения уравнения
третьей степени, он доверил эту формулу свое-
му ученику Фиоре. После смерти Ферро Фиоре
решил прославиться, используя доверенную ему
формулу. Но, не обладая математическими спо-
собностями своего учителя, он на публичном
диспуте с выдающимся математиком Николо
Тарталья потерпел полное поражение.
ФИБОНАЧЧИ (ок. 1180-1250) - итальянский
математик. Леонардо Фибоначчи иногда назы-
вают Леонардо Пизанский, так как он жил в
городе Пизе. А «Фибоначчи» означает, что он
был сыном Боначчи. Он был большим знато-
ком всевозможных соотношений между числа-
ми и весьма искусным вычислителем. По обы-
чаям того времени Леонардо Фибоначчи участ-
вовал в математических турнирах, на которых
необходимо было быстро решать трудные мате-
матические задачи. Его способности поражали
всех. Молва о непобедимом Фибоначчи дошла
до государя Римской империи Фридриха II, ко-
торый лично приехал в Пизу, чтобы испытать
его. Император предложил Фибоначчи найти
полный квадрат, остающийся полным квадра-
том как после увеличения его, так и после
уменьшения на 5. Леонардо нашел такое число,
460
МАТЕМАТИКА
л 1681
им оказалась дробь-----.
143
В 1202 году Фибоначчи издал книгу на ла-
тинском языке, которая называлась «Книга об
абаке». В этой книге содержались все знания
того времени по арифметике и алгебре. Это бы-
ла одна из первых книг в Европе, учившая
употреблять десятичную систему счисления. В
своем труде Фибоначчи обобщил знания мате-
матиков стран Востока, Древней Греции и Ев-
ропы. «Книга абака» способствовала распрост-
ранению алгебраических знаний в Италии, Гер-
мании, Франции и других странах, эта книга
более двух столетий была основным источни-
ком математических знаний в Европе.
Известна и другая книга Фибоначчи «Прак-
тическая геометрия». В этой книге впервые
встречается формула для вычисления объема
усеченной пирамиды, но дается она в словес-
ной форме. В этой книге еще много полезных
и интересных фактов, в том числе и доказа-
тельство теоремы Пифагора, которое очень
близко к доказательству, приводимому в
школьных учебниках.
У
ФИБОНАЧЧИ РЯД — ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21,... . Правило образования членов этого
ряда следующие: первые два члена — единицы,
а затем каждый последующий член получается
путем сложения двух непосредственно ему
предшествующих.
Например: 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3;
8 = 3 + 5; 13 = 5 + 8; 21 = 8 +13 и т.д.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
461
Числа ряда Фибоначчи обладают следующи-
ми свойствами:
1. Любой член ряда можно найти по форму-
af-Oj" 1 + V5 1-V5
Ле S” = >[5 ’ ГДе °' = ~~2~* °2 = ^2~'
2. Любая пара соседних чисел ряда удовлет-
воряет одному из уравнений х2 - ху - у2 - ±1,
причем у = sn, a x = s„+1.
3. Сумма первых п членов находится по
формуле: s, + s2+...+$„ = sn+2 - 1.
4. Сумма квадратов чисел ряда выражается
через произведение двух соседних членов того
же ряда, т.е. s2 + s2+...+s2 = snsn+i •
5. Квадрат каждого члена ряда, уменьшен-
ный на произведение предшествующего и по-
следующего членов, дает попеременно то +1, то
-1.
Например: 22 - 1 • 3 = +1; З2 - 2 • 5 = -1;
52 - 3 - 8 = +1 и т.д.
6. В ряду Фибоначчи каждое третье число
четное, каждое четвертое делится на 3, каждое
пятое делится на 5, каждое пятнадцатое делится
на 10.
7. Невозможно построить треугольник, сто-
ронами которого являются числа ряда Фибо-
наччи, при условии, что каждое число ряда не
может быть использовано дважды.
8. Если взять любые четыре последователь-
ных числа ряда Фибоначчи и рассмотреть про-
изведение крайних членов и удвоенное произ-
ведение средних как длины катетов прямо-
угольного треугольника, то длиной его гипоте-
462
МАТЕМАТИКА
нузы будет один из членов этого ряда, т.е.
(SnSn+3^ + (^Sn+lSn+2^ ~ S2n+3 ‘
ФИГУРА ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ (см. геометри-
ческая фигура). Точного определения геометри-
ческой фигуры не существует. Иногда различа-
ют такие понятия, как фигура и тело, а иногда
под этими понятиями понимают одно и тоже.
Во многих учебных пособиях геометрия опреде-
ляется как наука о свойствах геометрических
фигур.
Основными геометрическими фигурами в
геометрии считаются точка, прямая и плоско-
сть, свойства этих фигур формулируются в ак-
сиомах. В планиметрии изучаются свойства
плоских фигур, а в стереометрии — свойства
пространственных фигур.
Например: треугольник, квадрат, окруж-
ность — плоские фигуры; пирамида, конус,
прямоугольный параллелепипед — пространст-
венные фигуры.
ФИГУРА ВРАЩЕНИЯ. Рассмотрим в про-
странстве прямую I и некоторую плоскую фигу-
ру F, которая лежит в одной плоскости с пря-
мой Z. Каждая точка фигуры F будет описывать
вокруг прямой I окружность или лежать на этой
прямой. Объединение всех таких окружностей и
точек фигуры F, лежащих на прямой /, называ-
ется фигурой вращения.
Например: прямой круговой конус является
фигурой вращения, полученной при вращении
прямоугольного треугольника вокруг прямой,
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
463
содержащей один из катетов; прямой круговой
цилиндр является фигурой вращения, получен-
ной при вращении прямоугольника вокруг пря-
мой, содержащей одну из сторон.
ФИГУРА, СИММЕТРИЧНАЯ ОТНОСИ-
ТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ — фигура, обладаю-
щая плоскостью симметрии (см. симметрия).
Например:
1. Шар — фигура, симметричная относи-
тельно любой плоскости, проходящей через его
центр.
2. Прямоугольный параллелепипед — фигу-
ра, симметричная относительно плоскости,
проходящей через середину бокового ребра па-
раллельно основаниям.
а — плоскость симметрии
464
МАТЕМАТИКА
ФИГУРА, СИММЕТРИЧНАЯ ОТНОСИ-
ТЕЛЬНО ПРЯМОЙ — фигура, обладающая
осью симметрии (см. симметрия).
Например:
1. Конус — фигура симметричная относи-
тельно прямой, проходящей через центр осно-
вания и вершину конуса (имеется в виду пря-
мой круговой конус).
2. Квадрат — фигура, симметричная относи-
тельно прямой, проходящей через две его про-
тивоположные вершины.
/ — ось симметрии.
ФИГУРА ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧ-
НАЯ — фигура, обладающая центром симмет-
рии (см. симметрия).
Например: окружность и параллелограмм
являются центрально-симметричными фигура-
ми.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
465
О — центр симметрии.
ФИГУРЫ ГОМОТЕТИЧНЫЕ - фигуры, для
которых существует преобразование гомотетии,
переводящее одну фигуру в другую (см. гомоте-
тия).
Трапеции ABCD
и A^BJCJ)^ — го-
мотетичные
фигуры.
ФИГУРЫ ОСНОВНЫЕ — точка, прямая, пло-
скость.
ФИГУРЫ ПОДОБНЫЕ — фигуры, для кото-
рых существует преобразование подобия, пере-
водящее одну фигуру в другую.
В св 1 Ci
А DAi iDi
Квадраты ABCD
и AiBiClDx —
подобные фигу-
ры.
466
МАТЕМАТИКА
ФИГУРЫ РАВНОВЕЛИКИЕ - фигуры, име-
ющие равные площади.
Например: квадрат ABCD со стороной
АВ = 3 см и прямоугольник MNPK со сторона-
ми MN = 2 см и NP = 4,5 см являются равно-
великими фигурами, так как
abcd = 3 = 9 (см^) и SMNPK = 2 • 4,5 = 9 (см^).
ФИГУРЫ РАВНЫЕ (см. равенство фигур, ра-
венство треугольников, равенство углов).
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.
Пусть точка движется по некоторой прямой ли-
нии, так что ее положение меняется с течением
времени. Рассмотрим эту прямую как числовую
ось, тогда положение точки определяется ее ко-
ординатой, и с течением времени эта координа-
та меняется, являясь тем самым функцией от
времени. Уравнением движения называется за-
пись у = f(t), показывающая, каким образом
меняется координата с течением времени.
Скорость движения с уравнением у = f(t) в
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
467
момент времени t равна значению производной
f'(t} в этот момент времени. В этом состоит
физический смысл производной.
Скорость движения при неравномерном
движении изменяется с течением времени. Ско-
рость изменения скорости называется ускоре-
нием, т.е. f"(t). В этом состоит физический
смысл второй производной.
Один из основоположников дифференциаль-
ного исчисления великий математик, физик и
астроном И. Ньютон положил в основу своего
исчисления понятие скорости движения.
Например: рассмотрим движение с уравне-
нием у = at2 + bt + с.
Скорость при этом движении будет равна:
V = у' = 2at + b.
Ускорение при этом движении равно:
j = V' = у" = 2а.
ФОРМУЛА — буквенное выражение или ра-
венство, показывающее зависимость между ве-
личинами. Формула может указывать зависи-
мость какой-то величины и от нескольких дру-
гих величин.
Рассмотрим формулы, наиболее часто встре-
чающиеся в курсе школьной математики.
ФОРМУЛА ГЕРОНА (см. Герона формула).
ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА- по-
казывает связь между интегралом и первообраз-
468
МАТЕМАТИКА
b
ной: f (x)dx = F(b)~ F(a) (см. первообразная,
а
интеграл).
ФОРМУЛА TV-го ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕ-
СКОЙ ПРОГРЕССИИ (см. арифметическая
прогрессия).
ФОРМУЛА Л-го ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕ-
СКОЙ ПРОГРЕССИИ (см. геометрическая про-
грессия).
ФОРМУЛА РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ
ТОЧКАМИ.
1. На координатной плоскости даны две
точки А^х^у^ и А2(х2;у2), расстояние между
ними можно' найти по формуле
АА2 = 7(Х2 -^1)2 +(^2 "Л)2 •
2. В пространстве заданы две точки
А^;уг;Zi) и А2(х2;у2;z2), расстояние между
ними можно найти по формуле
А1А2 = у1(Х2 - Х1)2 + (У2 - Л)2 + U2 “ *1 )2 •
ФОРМУЛА СУММЫ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕО-
МЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ (см. геомет-
рическая прогрессия).
ФОРМУЛА N ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕ-
СКОЙ ПРОГРЕССИЙ (см. арифметическая
прогрессия).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА________________469
ФОРМУЛА N ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ (см. геометрическая прогрессия).
ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ (см.
производная функции).
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕ-
НИЯ - тождества, позволяющие упрощать
преобразование многочленов.
1. а2 - Ь2 = (а + Ь)(а- Ь) — разность квадра-
тов;
2. (а + b)2 = а2 + 2аЬ + Ь2 — квадрат суммы;
3. (а - b)2 = а2 - 2аЬ + Ь2 — квадрат разности;
4. a3 +b3 = (а + b)(a2 -ab + b2) — сумма ку-
бов;
5. а3 — Ь3 = (a- b)(a2 + ab + b2) — разность
кубов;
6. (а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3 — куб сум-
мы;
7. (а - Ь)3 = а3 - За2Ь + ЗаЬ2 -Ь3 — куб
разности.
ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ (см.
тригонометрические формулы).
ФУНКЦИЯ - зависимость переменной у от
переменной х, если каждому значению х соот-
ветствует единственное значение у. Обозначает-
ся: у = /(х). Переменная х называется незави-
симой переменной или аргументом, а перемен-
470
МАТЕМАТИКА
ная у называется зависимой переменной. Все
значения, которые принимает независимая пе-
ременная, называют областью определения
функции. Все значения, которые принимает за-
висимая переменная, называют множеством
значений функции или областью значений
функции. Обозначают: Df — область определе-
ния функции; Ef — область (множество) зна-
чений функции.
Графиком функции называется множество
всех точек координатной плоскости, абсциссы
которых равны значениям аргумента, а ордина-
ты равны соответствующим значениям функ-
ции.
Функция — одно из важнейших понятий
математики. Рассмотрим примеры и свойства
функций, изучаемых в средней школе.
ФУНКЦИЯ ВОЗРАСТАЮЩАЯ. Функция на-
зывается возрастающей в некотором промежут-
ке, если большему значению аргумента из этого
промежутка соответствует большее значение
функции, т.е. если х2>х1? то
Функция, которая возрастает на всей области
определения, называется просто возрастающей,
например, функция, задаваемая формулой
у = х, является возрастающей. Функция, зада-
ваемая формулой у = х2, на промежутке (-оо; 0]
убывает, а на промежутке [0; + оо) возрастает.
Достаточное условие или достаточный при-
знак возрастания функции:
Если функция f имеет положительную про-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
471
изводную в каждой точке интервала (a;Z>), то
функция возрастает на этом интервале.
Например: рассмотрим функцию
у = х2 - 2х + 3. Данная функция определена на
множестве всех действительных чисел. Найдем
производную этой функции: у' = 2х - 2.
Так как у' > 0 при х > 1, то функция возра-
стает на промежутке (1; + оо). Точку х = 1 мож-
но включить в промежуток возрастания, так
как в этой точке данная функция определена и
непрерывна. Промежуток [1; + оо) — промежуток
возрастания функции у = х2 - 2х + 3.
ФУНКЦИЯ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ В
ТОЧКЕ — функция, имеющая производную в
этой точке (см. производная функции).
ФУНКЦИЯ КВАДРАТИЧНАЯ - функция, за-
даваемая формулой у = ах2 + Ьх + с, где х — не-
зависимая переменная, а, Ь, с— некоторые
числа, причем а * 0. Областью определения
квадратичной функции является множество
всех действительных чисел. Графиком
квадратичной функции является парабола (см.
парабола). Осью симметрии параболы служит
b
прямая х = - —.
ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНАЯ (см. линейные функ-
ции).
472
МАТЕМАТИКА
ФУНКЦИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ (см. лога-
рифмическая функция).
ФУНКЦИЯ МОНОТОННАЯ - функция либо
только возрастающая, либо только убывающая
(см. монотонная функция, функция возрастаю-
щая, функция убывающая).
ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНАЯ. Функция /(х)
называется непрерывной в точке а, если она
определена в некоторой окрестности точки а и
lim/(x) = f(a).
х-*а
Функция /(х), непрерывная в каждой точке
заданного промежутка, называется непрерыв-
ной на всем промежутке.
Например: функции у = х, у = sin х, у = ах
являются непрерывными на всей области опре-
деления.
ФУНКЦИЯ НЕЧЕТНАЯ (см. нечетная функ-
ция).
ФУНКЦИЯ ОБРАТИМАЯ — функция, прини-
мающая каждое свое значение в единственной
точке области определения. Если функция
у = /(х) обратимая, то для любого ее значения
у0 уравнение f (х) = у0 имеет относительно х
единственный корень.
Например: функция, задаваемая формулой
у = х3, является обратимой, а функция,
задаваемая формулой у = х2, — необратима.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
473
ФУНКЦИЯ ОБРАТНАЯ. Функция g
называется обратной к функции f если
функция g в каждой точке х области значений
обратимой функции f принимает такое значе-
ние у, что f(y) = X.
Если функция у = f(x) обратима, то, выра-
зив х из формулы у = /(х) и поменяв затем х и
у местами, получим обратную функцию.
Графики функции f и обратной к ней функ-
ции g симметричны относительно прямой
У = х.
Например:
функции f и g —
взаимно обратны.
Если функция
g является обрат-
ной к функции /
то функция g об-
ратима и обрат-
ной к ней являет-
ся функция / Та-
ким образом,
функции f и g на-
зываются взаимно
обратными.
Теорема об обратной функции: если функ-
ция у = /(х) определена и возрастает (или
убывает) на промежутке X и областью ее значе-
ний является промежуток Y, то у нее существу-
ет обратная функция, причем обратная функ-
ция определена и возрастает (или убывает) на
промежутке Y.
474
МАТЕМАТИКА
ФУНКЦИЯ ОГРАНИЧЕННАЯ - функция
f(x) называется ограниченной сверху, если су-
ществует такое число М, что для всех значений
аргумента из области определения функции вы-
полняется неравенство f(x)< М.
Функция f (х) называется ограниченной
снизу, если существует такое число Р, что для
всех значений из области определения функции
выполняется неравенство /(х) > Р.
Функция, ограниченная сверху и снизу, на-
зывается ограниченной.
Например:
1. Функция у = х2 ограничена снизу числом
О и не ограничена сверху.
2. Функция у = -х2 ограничена сверху чис-
лом 0 и не ограничена снизу.
3. Функция у = sinx ограничена сверху чис-
лом 1 и ограничена снизу числом —1.
4. Функции у = х, у = х3, у = — являются
х
неограниченными функциями.
ФУНКЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ (см. период
функции).
ФУНКЦИЯ ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ (см. интег-
рал).
ФУНКЦИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (см. показа-
тельная функция).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
475
ФУНКЦИЯ ПОСТО-
ЯННАЯ — функция,
задаваемая формулой
у = b, где b — дейст-
вительное число. По-
стоянную функцию
рассматривают как ча-
стный случай линей-
ной функции. Обла-
стью определения по-
У, 1 у=Ь
b у=0
0 X
стоянной функции является множество всех
действительных чисел. Графиком постоянной
функции является прямая, параллельная оси
Ох\ если b = 0, то график постоянной функции
совпадает с осью Ох.
ФУНКЦИЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ.
Функция вида f (х) = р(х), где р(х) — мно-
гочлен, называется целой рациональной функ-
цией.
Функция вида /(х) = ^^, где р(х) и
?(х)
q(x) — многочлены, называется дробно-рацио-
нальной.
Например: f (х) = х3 + 5х2 - 4х + 5 — целая
рациональная функция, а функция
5х9 — 15х7 + 4х
f (х) = —г--z--------дробно-рациональная.
х - Зх + 2х
ФУНКЦИЯ СЛОЖНАЯ. Если у есть функция
от и: у = f (и), где и в свою очередь есть функ-
476
МАТЕМАТИКА
ция от аргумента х и = ф(х), то у называется
сложной функцией от х у = f (<р(х)).
Например: у = Vsinx — сложная функция,
т.к. у = и = sinx.
Производная сложной функции равна про-
изведению ее производной по промежуточному
аргументу на производную этого аргумента по
независимой переменной: (Д(р(х))У = <р'(х)
(см. производная).
Например: найдем производную функции
у = Vsinx. у' = — cosx.
2 v sinx
Следует заметить, что термин «сложная фун-
кция» указывает на способ задания этой функ-
ции, а не на какие-либо ее особые свойства.
Любую функцию при желании можно предста-
вить как сложную функцию. Например, для
функции у = х можно записать у = V? или
у = Ми, и = х , т.е. представить ее как сложную
функцию.
ФУНКЦИЯ СТЕПЕННАЯ (см. степенная функ-
ция).
ФУНКЦИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ (см.
тригонометрическая функция).
ФУНКЦИЯ ЧЕТНАЯ (см. четная функция).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 477
ФУНКЦИЯ ЧИСЛОВАЯ (см. функция). Все
функции, изучаемые в школьном курсе матема-
тики, являются числовыми.
ФУРЬЕ ЖАН БАТИСТ (1768-1830) - выдаю-
щийся французский математик. Сделал ряд яр-
ких открытий в математическом анализе и ма-
тематической физике. Дал четкое определение
понятию функции, доказал, что всякое перио-
дическое движение может быть представлено в
виде суммы простых гармонических колебаний,
ввел обозначение определенного интеграла —
ь
^f(x)dx. С его именем связано много матема-
а
тических понятий, которые не изучаются в
средней школе. «Фурье интеграл» абсолютно
интегрируемой функции широко используется
при решении различных задач математической
физики и в функциональном анализе, «Фурье
метод» — метод решения различных задач, ис-
пользующий разложение функций в ряды и ин-
тегралы Фурье, «Фурье ряд» широко использу-
ется в математической физике и гармоническом
анализе, с именем Фурье связаны и другие ма-
тематические понятия.
478
МАТЕМАТИКА
X
аль-ХАБАШ (764—874) — известный туркмен-
ский математик. Его полное имя — Ахмед аль-
Маразви, но в историю математики он вошел
под именем аль-Хабаш аль-Хасиб, что на араб-
ском языке означает «вычислитель». Родился
аль-Хабаш в одном из древнейших и некогда
цветущем городе Средней Азии Мерве, который
был разрушен до основания монгольскими вои-
нами. Научной работой аль-Хабаш занимался в
Багдаде, древнейшем научном и культурном
центре исламского мира.
Аль-Хабаш первым ввел понятие тангенса и
котангенса как отношений сторон прямоуголь-
ного треугольника и составил таблицы синусов,
тангенсов и котангенсов. Занимаясь гномони-
кой — учением о солнечных часах, он с по-
мощью вертикального шеста по его тени опре-
делял высоту солнца; это позволило составить
ему таблицу, которая есть не что иное, как таб-
лица котангенсов через один градус. Аль-Хабаш
ввел и понятие «косеканс» также в связи с сол-
нечными часами. Долгое время математики
пользовались таблицами аль-Хабаша.
ХАЙЯМ ОМАР (ок. 1048—после 1122) — вели-
кий среднеазиатский поэт, математик, астро-
ном и философ. Омар Хайям был одним из
лучших знатоков математики своего времени.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА______________________479
Ему принадлежат работы по теории параллель-
ных прямых, уравнений третьей степени, лишь
через четыреста лет после его смерти европей-
ские ученые продвинулись в теории таких урав-
нений дальше него. В 1079 году Омар Хайям
составил очень точный календарь. Математиче-
ские расчеты календаря, введенного при жизни
Омара Хайяма в некоторых странах Азии, были
использованы для французского революцион-
ного календаря в самом конце восемнадцатого
века.
Родился Омар Хайям в семье ремесленника
в городе Нишапуре, жил и работал в Самаркан-
де, Исфахане и других городах Средней Азии и
Ирана. В 1074 году он стал придворным астро-
номом и советником султана Мелик-шаха. Бо-
лее двадцати лет Омар Хайям пользовался по-
кровительством богатых вельмож и самого сул-
тана, но с 1092 года полоса успеха и удач за-
кончилась, религиозные фанатики оклеветали
ученого, стараясь предать забвению его имя.
Последние годы жизни Омар Хайям прожил в
нищете и унижении, умер он в родном Ниша-
пуре.
Но потомки по достоинству оценили талант
великого ученого и поэта, его стихи издаются
на многих языках, и интерес к ним растет. Пе-
ру Омара Хайяма принадлежат несколько мате-
матических трактатов, среди них «Трудности
арифметики», не дошедший до нас, «О доказа-
тельствах задач алгебры и алмукабалы», содер-
жащий почти всю совокупность алгебраических
знаний того времени, «Комментарии к трудным
постулатам книги Евклида».
480_____________________________МАТЕМАТИКА
В настоящее время Омар Хайям по праву
оценивается как одна из самых видных фигур в
истории мйровой поэзии и науки.
ХАРАКТЕРИСТИКА ДЕСЯТИЧНОГО ЛОГА-
РИФМА данного числа — целая часть лога-
рифма этого числа.
Характеристика десятичного логарифма чис-
ла, большего единицы, на единицу меньше
числа цифр в целой части числа.
Например: 1g 3,145 = 0,...; 1g 38,29 = 1,...;
1g 829,5 = 2,... .
Характеристика десятичного логарифма по-
ложительного числа, меньшего единицы, равна
взятому со знаком минус числу нулей в данном
числе, предшествующих первой значащей циф-
ре, включая и нуль целых.
Например: 1g 0,3045 = 1,...; 1g 0,0345 = 2,...;
lg0,0025 = 3,... .
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ: после-
довательность является арифметической про-
грессией тогда и только тогда, когда каждый ее
член, кроме первого (и последнего в случае ко-
нечной арифметической прогрессии), равен
среднему арифметическому предыдущего и по-
1 + Я- , 1
следующего членов, т.е. ап = -—.
Например: дана числовая последователь-
ность 2; 9; 16; 23...; т.е. ^=2; а^ = 9; я, = 16;
а4 = 23 и т.д.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
4&1
Найдем ^р = ^ = 9,т.е.
следовательно, данная последовательность яв-
ляется арифметической прогрессией.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ГЕО-
МЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ: последова-
тельность является геометрической прогрессией
тогда и только тогда, когда каждый ее член,
кроме первого (и последнего в случае конечной
геометрической прогрессии), связан с предыду-
щим и последующим членами формулой:
Ь2 = b .Ь
п П~1п+1 •
Например: дана числовая последователь-
ность 3; 12; 48; 192; ..., т.е. ^=3; Z>2 = 12;
b3 = 48; Ь4 = 192 и т.д.
Найдем Ь3 • Ь3 = 3 • 48 = 144 = 122, т.е. Ь3 Ь3 = Ь2,
следовательно, данная последовательность яв-
ляется геометрической прогрессией.
аль-ХОРЕЗМИ (783—830) — выдающийся
средневековый ученый, внесший большой
вклад в развитие математики, астрономии, ма-
тематической географии. Аль-Хорезми — не
фамилия, своеобразное прозвище, полное его
имя — Абу Абдаллах Мухаммед ибн Муса аль-
Хорезми. Предполагают, что родился он в горо-
де Хиве, о его жизни почти ничего не известно.
Научной работой аль-Хорезми в основном за-
нимался в Багдаде. Его труды в течение не-
скольких веков оказывали сильное влияние на
ученых Востока и Запада и долго служили об-
16. Математика
482
МАТЕМАТИКА
разцом при написании учебников по математи-
ке. Он написал сочинение, которое по-арабски
называется «Китаб аль-джебр вальмукабала».
Это сочинение было очень популярно в Евро-
пе, а само слово «аль-джебр», входившее в на-
звание книги, постепенно стало названием нау-
ки — алгебра. Аль-Хорезми был автором девяти
сочинений, из которых до нас дошло только
семь в текстах, принадлежащих аль-Хорезми
либо его средневековым комментаторам. Его
астрономические и тригонометрические табли-
цы, не дошедшие до нас в подлиннике, высоко
ценились астрономами нескольких поколений.
В своем труде «Книга о индийском счете» аль-
Хорезми подробно описал запись чисел, кото-
рые в Европе стали называться арабскими. Он
дал подробные правила, по которым надо было
выполнять арифметические действия. Причем
при вычислениях можно было обходиться без
абака. Некоторые из них были похожи на при-
меняемые сейчас, например, сложение и вычи-
тание столбиком. Правила умножения и деле-
ния были иными. А от самого имени аль-Хо-
резми произошло слово, так широко используе-
мое сейчас,— «алгоритм», (см. алгоритм).
ХОРДА ОКРУЖНОСТИ -
отрезок, соединяющий две
точки окружности. Хорда,
проходящая через центр ок-
ружности, называется диа-
метром.
Отрезок АВ — хорда ок-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
483
ружности, хорда CD является диаметром, т.к.
проходит через центр окружности.
Свойства хорд окружности:
1. Диаметр, делящий хорду пополам, пер-
пендикулярен этой хорде.
2. Равные дуги стягиваются равными хорда-
ми.
3. Равные хорды стягивают пары соответст-
венно равных дуг.
4. Хорды, равноудаленные от центра, равны.
5. Равные хорды равноудалены от центра.
6. Всякий диаметр является осью симметрии
окружности и соответствующего круга. Он де-
лит окружность на две полуокружности и на
два соответствующих полукруга.
7. Из двух неравных хорд окружности боль-
шая хорда расположена ближе к центру окруж-
ности, и, наоборот, из двух неравных хорд
большей будет та, которая расположена ближе
к центру.
8. Если две хорды пересекаются, то произве-
дение отрезков одной хорды равно произведе-
нию отрезков другой хорды (имеются в виду от-
резки, на которые хорда разбивается точкой пе-
ресечения), т.е.
Если АВ и CD — хор-
ды одной окружности,
пересекающиеся в
точке М, то
AM МВ = CM MD.
484
МАТЕМАТИКА
ХОРДА СФЕРЫ — отрезок, соединяющий лю-
бые две точки сферы. Хорда сферы также явля-
ется хордой соответствующего шара. Хорда,
проходящая через центр сферы, называется ди-
аметром сферы.
Отрезок АВ — хорда
сферы; хорда СВ, про-
ходящая через центр
сферы, является диа-
метром сферы.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
485
ц
ван ЦЕЙЛЕН (1540—1610) — голландский ма-
тематик. Лудольф ван Цейлен не сделал вели-
ких открытий, но он вошел в историю матема-
тики благодаря большому терпению и выдерж-
ке в своих научных изысканиях. Лудольф
ван Цейлен сумел получить 35 верных десяти-
чных знаков для числа я. В его честь число л
было названо современниками «Лудольфово
число». Согласно завещанию Лудольфа
ван Цейлена, на его надгробии было высечено
найденное им значение числа л.
ЦЕЛАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (см.
функция рациональная).
ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ.
Всякую неправильную рациональную алгебраи-
ческую дробь ——- можно представить в виде
Q(x)
суммы многочлена и правильной алгебраиче-
ской дроби. Для этого следует найти частное
G(x) и остаток R(x) от деления многочлена
Р(х) на многочлен Q(x) и записать дробь в ви-
Р(х) гч \ ^(х)
де = <?(*) +где —- правильная
Q{x) Q(x) Q(x)
дробь. G(x) — многочлен, который называется
486
МАТЕМАТИКА
целой частью рациональной алгебраической
дроби.
ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИС-
ЛА. Целой частью действительного числа х на-
зывается наибольшее целое число, не превосхо-
дящее х. Обозначается [х]. Нпример: [л] = 3;
[-я] = -4; [0,25] = 0; [25,(3)] = 25.
ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА.
Целой частью рационального числа называется
наибольшее целое число, не превосходящее
данного числа. Обозначается так же, как и це-
лая часть действительного числа.
Например:
= 2;[0,1] = 0; [7] = 7.
Разность между данным числом и его целой
частью называется дробной частью числа.
Обозначается: {х}.
Всякое рациональное число однозначно раз-
лагается на сумму целой и дробной частей.
Например: 3,15 = [3,15] + {3,15} = 3 + 0,15.
С разложением рационального числа на це-
лую и дробную части связано понятие деления
с остатком (см. деление с остатком).
При разложении рационального числа на
сумму целой и дробной части не исключено,
что целая или дробная часть равна нулю.
ЦЕЛОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО - число,
которое является либо натуральным числом,
либо ему противоположным. Множество целых
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА_________________________487
чисел обозначается Z. Z = -3; -2; -1; 0,1; 2; 3;...}
(см. числа целые).
ЦЕНТР ГОМОТЕТИИ (см. гомотетия).
ЦЕНТР КРУГА (см. круг).
ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ (см. окружность).
ЦЕНТР СИММЕТРИИ (см. центральная сим-
метрия).
ЦЕНТР ТРЕУГОЛЬНИКА- центр тяжести
треугольника, являющийся точкой пересечения
медиан (см. замечательные точки).
Отрезки ААХ, ВВХ,
ССХ — медианы треу-
гольника &АВС.
О — центр тяжести
ДА8С.
В равностороннем треугольнике медианы,
высоты и биссектрисы совпадают. Точку их пе-
ресечения называют центром правильного (рав-
ностороннего) треуголь-
ника. Эта точка является
центром вписанной и
описанной окружности
треугольника.
ДЛБС — равносто-
ронний, точка О — точ-
ка пересечения медиан,
488
МАТЕМАТИКА
высот и биссектрис, центр вписанной и опи-
санной окружности.
ЦЕНТР ШАРА (см. шар).
ЦЕНТР ЭЛЛИПСА (см. эллипс).
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ - симметрия
относительно точки, которая задается следую-
щим образом:
1. зададим фикси-
рованную точку О,
которая называется
центром симметрии;
2. произвольной
точке А поставим в
соответствие точку
Ах, принадлежащую
прямой АО, так что ОА = ОА{. Точка А
симметрична точке Л, относительно точки О.
Точки В и В{ симметричны, относительно
точки О.
Пусть F — данная фигура и О — центр сим-
метрии. Преобразование фигуры F в фигуру /j,
при котором каждая ее точка А переходит в
точку А{ фигуры F{, симметричнную относи-
тельно точки О, называется преобразованием
симметрии относительно точки О.
Фигура называется центрально-симметрич-
ной, если существует точка, относительно кото-
рой каждая точка фигуры симметрична некото-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
482
рой точке той же фигуры. Прямая и плоскость
являются простейшими центрально-симметрич-
ными фигурами, имеющими бесконечно много
центров симметрии. Любая точка прямой и
плоскости является центром симметрии этой
прямой и этой плоскости.
Квадрат, параллелограмм, окружность, куб,
шар, сфера являются центрально-симметрич-
ными фигурами. Почти все кристаллы, встреча-
ющиеся в природе, имеют центр симметрии.
Трапеция ABCD и AXBXCXDX симметричны
относительно точки О.
Центральная симметрия с центром О являет-
ся гомотетией с центром О и коэффициентом
к = -1. Центральная симметрия с центром О
является поворотом относительно точки О на
угол поворота, равный 180°.
Точка О — центр симмет- Точка О — центр симмет-
рии параллелограмма рии куба ABCDAXB,CXDX.
ABCD
490
МАТЕМАТИКА
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ (см. угол централь-
ный).
ЦИЛИНДР — тело, ограниченное цилиндриче-
ской поверхностью и- двумя параллельными
плоскостями (см. цилиндрическая поверхность).
Часть цилиндрической поверхности, заклю-
ченная между плоскостями, называется боко-
вой поверхностью цилиндра, а части плоско-
стей, отсекаемые этой поверхностью, называют-
ся основаниями цилиндра. Расстояние между
основаниями есть высота цилиндра. Цилиндр
называется прямым или наклонным, смотря по
тому, перпендикулярны или наклонны к осно-
ваниям его образующие.
Цилиндр наклонный Прямой круговой цилиндр
ААХ - образующая; ООХ - ось цилиндра;
ААХ = О Ох = h, где h - высота цилиндра.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
491
Прямой цилиндр называется круговым, если
его основания — круги. Прямой круговой ци-
линдр можно рассматривать как тело враще-
ния, получаемое вращением прямоугольника
вокруг одной из его сторон. В школьном курсе
математики рассматриваются только прямые
круговые цилиндры, которые для краткости на-
зывают просто цилиндрами.
Сечением цилиндра является прямоуголь-
ник, если секущая плоскость проходит через
ось цилиндра. Такое сечение называется осе-
вым.
Сечение прямого кругового цилиндра секу-
щей плоскостью, параллельной основаниям,
есть круг.
Секущая плоскость а па-
раллельна основаниям ци-
линдра.
ABCD — осевое сечение
цилиндра секущей плоско-
стью а.
Площадь боковой поверхности прямого кру-
гового цилиндра равна произведению длины
окружности основания на высоту цилиндра, т.е.
S6oK=2itrh, где г — радиус основания, h —
высота цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра рав-
на сумме площадей боковой поверхности и
422
МАТЕМАТИКА
двух оснований. Для прямого кругового цилин-
дра имеем следующую формулу:
Sn0J = 2nr(r + h), где г — радиус основания,
h — высота цилиндра.
Объем цилиндра равен произведению пло-
щади основания на высоту. Для прямого круго-
вого цилиндра имеем следующую формулу:
V = itr2h, где г — радиус основания, h —
высота цилиндра.
Два цилиндра называются подобными, если
они получились от вращения подобных прямо-
угольников вокруг сходственных сторон.
Подобные цилиндры, тогда — = —
Л К
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПО-
ВЕРХНОСТЬ - поверх-
ность, производимая движе-
нием прямой АВ, перемеща-
ющейся в пространстве па-
раллельно данному направ-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
493
лению и пересекающей при этом данную ли-
нию МС. Прямая АВ называется образующей
цилиндрической поверхности, а линия МС на-
зывается направляющей цилиндрической по-
верхности.
ЦИФРЫ - знаки, с помощью которых запи-
сывают числа. Записывать числа с помощью
цифр человек начал в глубокой древности. Са-
мой простейшей записью числа была верти-
кальная палочка или зарубка. Наиболее древ-
ними из известных являются вавилонские и
древнеегипетские цифры. Записи чисел древних
народов были громоздкими, а иногда и непо-
нятными. И лишь только с изобретением пози-
ционной системы счисления упростилась и за-
пись чисел, и вычислительная работа.
Интересно само происхождение самого сло-
ва «цифра». Индийские математики вместо от-
сутствующего разряда в числе употребляли кру-
жок. Такой кружок назывался «сунья». На язы-
ке хинди «сунья» значит «пусто», «пустое мес-
то». Арабские математики перевели это слово
по смыслу на свой язык. Вместо слова «сунья»
они стали говорить «сифр», а уж в Европе это
слово зазвучало как «цифра». И долго под циф-
рой понимали единственный значок — 0.
ЦИФРЫ АРАБСКИЕ —математические знаки:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (см. арабские цифры).
Нынешняя форма арабских цифр установи-
лась в пятнадцатом веке, после изобретения
книгопечатания.
494
МАТЕМАТИКА
ЦИФРЫ ВАВИЛОНСКИЕ — одни из древней-
ших цифр, которыми пользовались в Древнем
Вавилоне. Система счета была не десятичная, а
шестидесятиричная. Число шестьдесят играло в
Древнем Вавилоне такую же роль, как сейчас
число десять. Для записи чисел вавилоняне ис-
пользовали всего два знака, два клинышка: вер-
тикальный и горизонтальный.
YYYYVYYYYY YTYY YYYYY
у уу ууу YYYY YY YYY YVY YYYY YYYY < V
123 4 567 8 9 10 60
Например, число 135 в вавилонской записи
выглядело так:
YY<VZ
ЦИФРЫ ВЕРНЫЕ (см. верная цифра).
ЦИФРЫ ЕГИПЕТСКИЕ- одни из древней-
ших цифр, которыми пользовались в Древнем
Египте. Египтяне считали десятками, но специ-
альные значки-цифры у них были только для
разрядов: единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.
Запись чисел египетскими цифрами была гро-
моздкой и неудобной, а действия с такими чис-
лами
1 2
было проводить очень трудно.
Ill
m in пн ни in f
in пн и ill ill ни ill ле ± II
3 4 5 6 7 S 9 10 100 1000 10000
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
495
Например, число 1872 египтяне записывали
так:
к
ееее аала
весе алан
ЦИФРЫ ЗНАЧАЩИЕ (см. значащие цифры).
ЦИФРЫ РИМСКИЕ — математические знаки,
обозначающие числа:
М D С L X V I
1000 500 100 50 10 5 1
Обозначая числа, римляне записывали
столько цифр, чтобы их сумма давала нужное
число.
Например: 8 - УШ; 12 - ХП; 21 - ХХ!.
Но иногда римляне писали меньшую цифру
перед большей. Это означало, что нужно не
складывать, а вычитать.
Например: 4 — IV; 9 — IX; 400 — CD.
Громоздкими римскими цифрами в Европе
пользовались очень долго. И даже когда основ-
ными цифрами стали арабские, римскими циф-
рами пользовались параллельно. До сих пор на
старых московских зданиях сохранились записи
о дате построения здания, выполненные рим-
скими цифрами. В настоящее время эти цифры
перестали употреблять, и их изучением занима-
ются только историки.
ЦИФРЫ СЛАВЯНСКИЕ. В древней Руси циф-
ры записывали с помощью букв славянского
496
МАТЕМАТИКА
алфавита, над которыми ставили
особый значок — титло. Поэтому
цифры выглядели следующим
образом:
Для обозначения больших чи-
сел использовали оригинальный
способ, не встречающийся ни у
одного из известных нам наро-
дов: число единиц любого вы-
сшего разряда обозначалось той
же буквой, что и простые единицы, но окру-
женной для каждого числа соответственным
бордюром.
Р — 100
10 000
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
497
ч
ЧАСТНОЕ ОТ ДЕЛЕНИЯ числа а на число
b — результат деления а на Ь, т.е. частное от де-
ления числа а на число b есть такое число х,
что выполняется равенство Ь-х = а (см. деле-
ние).
ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЯ (см. гармонические ко-
лебания).
ЧЕБЫШЕВ ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ (1821-
1894) — выдающийся русский математик и ме-
ханик, родился в дворянской семье в селе Ока-
тово Калужской губернии. В шестнадцатилет-
нем возрасте П.Л. Чебышев поступил в Мос-
ковский университет на математическое отделе-
ние. После окончания Московского универси-
тета он начинает заниматься педагогической и
научной деятельностью в Петербургском уни-
верситете, в котором он занимал должность
профессора до самой старости.
П.Л. Чебышев был избран членом Петербур-
гской, Пражской, Римской, Стокгольмской и
многих других академий и научных обществ.
Его исследования, получившие мировое при-
знание, относятся к теории приближения функ-
ций многочленами, интегральному исчисле-
нию, теории вероятностей, теории механизмов.
498 МАТЕМАТИКА
П.Л. Чебышев принимал участие в создании
Московского математического общества и в из-
дании первого в России авторитетного матема-
тического журнала «Математический сборник».
Он создал свою математическую школу. Его
последователями и учениками были Е.И. Золо-
тарев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, В.А. Стек-
лов и другие. Чебышев вместе с другими рус-
скими учеными хлопотал о предоставлении ра-
боты в российских университетах Софье Кова-
левской.
Имя П.Л. Чебышева увековечено в таких ма-
тематических понятиях, как закон Чебышева —
одна из форм закона больших чисел, многочле-
ны Чебышева, неравенство Чебышева.
ЧЕВА ДЖОВАННИ (1648-1734) - итальян-
ский геометр, инженер-гидравлик и экономист.
Прославился тем, что в 1678 году опубликовал
работу «О прямых линиях», в которой доказал
одну из важнейших теорем элементарной гео-
метрии, носящую проективный характер. Эта
теорема носит его имя. В теореме Чевы гово-
рится: если прямые, соединяющие вершины
треугольника АВС с точкой К, лежащей в пло-
скости треугольника,
ложные стороны или
их продолжения в
точках Аг, С19 то
справедливо равенст-
ве ВА. СВ. ,
CJB А}С В{А
пересекают противопо-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА______________________422
Прямые КА, КВ, КС называются чевианами.
ЧЕРТЕЖ ФИГУРЫ — изображение фигуры,
выполненное на модели плоскости в той или
иной проекции с соблюдением установленных
обозначений и указанием масштаба. При реше-
нии школьных задач чертежи иногда выполня-
ются без учета всех необходимых требований к
ним. Это существенный недостаток в школьном
образовании. Способами, посредством которых
можно изобразить на плоскости (на ее модели)
любое геометрическое тело таким образом, что-
бы по чертежу можно было составить точное
представление о величине, форме и взаимном
расположении всех частей изображенного тела,
занимается проекционное черчение. Различают
проекции трех родов. Центральная проекция
используется при построении фигур в плани-
метрии. Косоугольная проекция и прямоуголь-
ная проекция являются параллельными проек-
циями (см. проекция параллельная). Примером
чертежей, представляющих собой косоугольные
проекции, служат стереометрические чертежи.
Примером прямоугольных (перпендикулярных
или ортогональных) проекций служат планы и
фасады зданий, исполненные в уменьшенном
масштабе на архитектурных проектах.
ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ - функция /(х), обла-
дающая двумя свойствами:
1. Ее область определения симметрична от-
носительно нуля.
2. Для любого значения х из области опреде-
500
МАТЕМАТИКА
ления выполняется равенство f (-х) = /(х).
График любой четной функции симметри-
чен относительно оси ординат. Рассмотрим
примеры четных функций.
1. /(х) = х2.
Область опреде-
ления функции —
(-с^ + со).
/(-*) = (-Х)2 =
х2 = /(х), следова-
тельно, /(х) = х2 является четной функцией.
График функции /(х) = х2 симметричен от-
носительно оси Оу.
2. /(х) = |х|.
Область определения функции — (-оо; + оо).
/(-х) - |-х| = |х| - /(х), следовательно,
/(х) = |х| являет-
ся четной функ-
цией.
График функ-
ции /(х) = |х|
симметричен от-
носительно оси
Оу.
3. /(х) = cosx.
Область определения функции — (-«>; + °о).
f (—х) = cos(-x) = cos х = /(х), следователь-
но, /(х) = cosx является четной функцией (см.
косинус)..
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
501
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК — многоугольник, име-
ющий четыре стороны и четыре угла. Четырех-
угольник может быть выпуклым и невыпуклым
(см. многоугольник, выпуклый многоугольник, вы-
пуклый четырехугольник).
ABCD — невыпуклый че-
тырехугольник.
KMNL — выпуклый четы-
рехугольник.
В школьном курсе математики изучаются
только выпуклые четырехугольники, которые
для краткости называют просто четырехуголь-
никами.
Стороны четырехугольника, имеющие об-
щую вершину, называются соседними. Стороны
четырехугольника, не имеющие общих вершин,
называются противоположными. Отрезки, сое-
диняющие противоположные вершины, назы-
ваются диагоналями. Четырехугольник имеет
две диагонали. Сумма внутренних углов четы-
рехугольника равна 360°, и сумма внешних уг-
лов равна 360°. Периметром четырехугольника
называется сумма длин его сторон.
502
МАТЕМАТИКА
ABCD — четырех-
угольник; АВ и ВС —
соседние стороны;
АВ и CD — противо-
положные стороны;
j^AC и BD — диагонали;
ZADC — внутренний угол; Z.CDN — внешний
угол; P^cd = АВ + ВС + CD + DA — периметр.
Частными случаями четырехугольников яв-
ляются трапеция, параллелограмм, прямоуголь-
ник, ромб, квадрат (см. трапеция, параллелог-
рамм, прямоугольник, ромб, квадрат).
Четырехугольник, все вершины которого
принадлежат окружности, называется вписан-
ным в эту окружность, а окружность — описан-
ной около этого четырехугольника. Около че-
тырехугольника можно описать окружность тог-
да и только тогда, когда сумма противолежащих
углов этого четырехугольника равна 180°. Сле-
довательно, параллелограмм можно вписать в
окружность, если он является прямоугольником
или квадратом. Трапецию можно вписать в ок-
ружность, если она является равнобедренной.
В _______ Если четырехуголь-
ник ABCD можно
/ \ вписать в окружность,
/ \ ут\ то произведение диа-
/ \ // гоналей этого четы-
\ / / рехугольника равно
\ / сумме произведений
\ / \ I / его противоположных
\ \ / / сторон, т.е. АС DB -
--------\1/ АВ CD + AD ВС.
* "------D
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
503
Четырехугольник, все стороны которого ка-
саются окружности, называется описанным
около окружности, а окружность называется
вписанной в этот четырехугольник. В четырех-
угольник можно вписать окружность тогда и
только тогда, когда суммы противоположных
сторон этого четырехугольника равны. Следова-
тельно, из всех параллелограммов лишь в ромб
и квадрат можно вписать окружность. Центр
окружности, вписанной в ромб или квадрат, ле-
жит в точке пересечения диагоналей ромба или
ABCD — четырех-
угольник, описанный
около окружности,
тогда
АВ + CD = AD + ВС.
ЧИСЛА АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ- действитель-
ные числа, которые являются корнями алгебра-
ических многочленов с целыми коэффициента-
ми. Действительные числа подразделяются на
алгебраические и неалгебраические числа. Не-
алгебраические числа называются трансценден-
тными (см. трансцендентные числа). К алгебра-
ическим числам относятся, например, такие
числа: Л; д/З; 7^5-д/б и т.д.
504 МАТЕМАТИКА
ЧИСЛА ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ- числа,
произведение которых равно единице.
тт С 1
Например: числа 5 и - являются взаимно
_ с 1 1
обратными, т.к. 5 • - = 1.
ЧИСЛА ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ- натураль-
ные числа, наибольший общий делитель кото-
рых равен единице. Два любых простых числа
являются взаимно простыми. Взаимно просты-
ми могут быть числа, каждое из которых явля-
ется составным.
Например: 5и7;75и32 — взаимно про-
стые числа, т.к.
НОД(5; 37) = 1;
НОД(75; 32) = 1.
ЧИСЛА ВЕЩЕСТВЕННЫЕ (см. действитель-
ные числа).
ЧИСЛА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (см. действи-
тельные числа).
ЧИСЛА ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ (см. иррацио-
нальные числа).
ЧИСЛА КОМПЛЕКСНЫЕ (см. комплексное
число).
ЧИСЛА МНИМЫЕ (или чисто мнимые) —
комплексные числа, у которых равна нулю дей-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 505
ствительная часть (см. комплексное число). Обоз-
начается: z = bi.
ЧИСЛА НАТУРАЛЬНЫЕ (см. натуральные чис-
ла).
ЧИСЛА НЕЧЕТНЫЕ (см. нечетное число).
ЧИСЛА ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ (см. отрицатель-
ные числа).
ЧИСЛА ПИФАГОРОВЫ — три натуральных
числа, которыми выражаются длины сторон
прямоугольного треугольника, т.е. они должны
удовлетворять найденному Пифагором соотно-
шению между катетами а и b и гипотенузой с:
а2 +Ь2 = с2.
Например: 3, 4 и 5; 5, 12 и 13; 21, 20 и 29;
15, 8 и 17 — пифагоровы числа.
ЧИСЛА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ (см. проти-
воположные числа).
ЧИСЛА ПРОСТЫЕ (см. простое число).
ЧИСЛА РАЦИОНАЛЬНЫЕ (см. рациональное
число).
ЧИСЛА СМЕШАННЫЕ (см. смешанное число).
ЧИСЛА СОСТАВНЫЕ (см. составное число).
5Q&
МАТЕМАТИКА
ЧИСЛА ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ- действи-
тельные числа, не являющиеся алгебраически-
ми (см. алгебраические числа). Классическими
примерами трансцендентных чисел являются
числа е и л (см. число е, число п). Трансцендент-
ные числа являются иррациональными числа-
ми. Однако не всякое иррациональное число
является трансцендентным числом. Например,
число V3 + 1 является иррациональным, но не
является трансцендентным, так как это число
есть корень уравнения (х -1)3 = 3. Существова-
ние трансцендентных чисел установил в 1844
году французский математик Жозеф Лиувилль.
Число аь трансцендентно, если числа а и b
являются алгебраическими числами, при усло-
вии а*Ъ\ а*1 и b — нерациональное число.
Трансцендентными числами также являются
синусы многих рациональных величин, лога-
рифмы целых чисел. Например, предположение
о том, что трансцендентным числом является
число 1g 2, было высказано Л. Эйлером в во-
семнадцатом веке.
ЧИСЛА ЦЕЛЫЕ- натуральные числа, им
противоположные и нуль. Множество целых
чисел обозначается Z = {.. -3; - 2; -1; 0; 1; 2; 3;...}.
Множество целых чисел является упорядо-
ченным множеством, т.е. для любых двух целых
чисел а и Ь, либо а < b, либо а > b.
Для целых положительных чисел верно не-
равенство: а > 0.
Для целых отрицательных чисел верно нера-
венство: а < 0.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
507
Для целых неотрицательных чисел верно не-
равенство: а > 0.
Для целых неположительных чисел верно
неравенство: а < 0.
Введем арифметические операции с целыми
числами:
1. Модулем или абсолютным значением це-
лого числа а называется число, обозначаемое
|а|, которое вычисляется по правилу
|°| =
а, если а > О
0, если а = О
-а, если а < О
2. Сложение целых чисел. Суммой целых
чисел а и b называется целое число с, которое
вычисляется по правилу:
если а > О и & > 0, то с = а + Ь\
если а<0 и < 0, то с = -(|а| + |Z>|);
если а > 0, a b < 0 и
если а > 0, a b < 0 и
если а > 0, a b < 0 и
если а < 0, a 6 > О и
если а < 0, a Z> > О и
если а < 0, a b >0 и
если а = 0, то с = b;
если b = 0, то с = а.
3. Умножение целых
«| > |Z>|, то c = |a|-|Z>|;
а\ = |Z>|, то с = 0;
а| <|Z>|, то c = -<|Z>|-|a|);
а\ > |д|, то c = -(|a|-|Z>|);
а| = |Z>|, то с = 0;
а| < |Z>|, то с = |Z>| -|а|;
чисел. Произведением
целых чисел а и b называется целое число с,
которое вычисляется по правилу:
если а > О и Z> > 0, то с = а Ь;
если а < 0 и b < 0, то с = |а| • |&|;
508
МАТЕМАТИКА
если а < 0, а £> > 0, то с = -(|я|-|Л|);
если а > 0, а Л < 0, то с = -(|а|-|£>|);
если а = 0 или b = 0, то с = 0.
4. Вычитание целых чисел. Разностью целых
чисел а и b называется целое число с, которое
вычисляется по правилу с = а + (-Ь).
5. Деление целых чисел. Частным от деления
целого числа а на целое число b называется
число с, которое удовлетворяет равенству
с • b = а. Частное от деления целого числа, на
целое число может быть целым числом, а мо-
жет быть дробным.
ЧИСЛА ЧЕТНЫЕ - целые числа, кратные 2.
Обычно обозначаются 2к, к tZ. Четные числа
оканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6, 8, которые
называются четными цифрами.
Например: —2; 44; 1000 и т.д.
ЧИСЛА ФИГУРНЫЕ — натуральные числа
числовых рядов, составленных по особому
принципу. Рассмотрим фигурные числа двух
типов: линейные фигурные числа, или, иначе,
фигурные числа первого порядка, и плоские
фигурные числа, или фигурные числа второго
порядка.
1. Линейными фигурными числами называ-
ются такие числа, которые образуют такие чис-
ловые ряды, в которых разность между каждым
последующим и предыдущем членами равна
одному и тому же числу. Каждый член такого
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
509
ряда можно найти по формуле: ап = 1 + d(n -1),
где d — разность двух соседних членов.
Например: если d = 1, то получаем ряд фи-
гурных чисел 1, 2, 3, 4, 5,...; если d = 2, то по-
лучаем ряд фигурных чисел 1, 3, 5, 7, 9,...; если
d = 3, то получаем ряд фигурных чисел 1, 4, 7,
10, 13,... и т.д.
2. Плоскими фигурными числами называют-
ся такие числа, которые образуют числовые ря-
ды, состоящие из сумм линейных фигурных чи-
сел, следующим образом:
1) Возьмем первый ряд линейных фигурных
чисел 1, 2, 3, 4, 5,... и составим ряд плоских
фигурных чисел, состоящий из сумм:
=1;
S2 = 1 + 2 = 3;
5*3 = 1 + 2 + 3 = 6;
5*4=1 + 2 + 3 + 4 = 10 и т.д.
Получаем ряд — 1; 3; 6; 10; 15;...
Такие числа называются треугольными.
2) Возьмем второй ряд линейных фигурных
чисел 1, 3, 5, 7, 9,... и составим ряд плоских
фигурных чисел, состоящий из сумм:
^ = 1;
S2 = 1 + 3 = 4;
5*3=1 + 3 + 5 = 9;
5*4=1 + 3 + 5 + 9=16 и т.д.
Получаем ряд — 1, 4, 9, 16, 25,...
Такие числа называются квадратными.
3) Возьмем третий ряд линейных фигурных
чисел 1, 4, 7, 10, 13,... и составим ряд плоских
фигурных чисел, состоящий из сумм:
510
МАТЕМАТИКА
^ = 1;
S2 = 1 + 4 = 5;
S3 =1 + 4 + 7 = 12;
54 =1 + 4 + 7 +10 = 22 и т.д.
Получаем ряд — 1, 5, 12, 22,...
Такие числа называются пятиугольными.
Далее идут шестиугольные, семиугольные и
т.п. числа.
Название таких чисел имеет наглядное гео-
метрическое истолкование.
Построим правильные многоугольники со
сторонами, равными 1. Конкретно возьмем
правильный треугольник, квадрат, правильный
пятиугольник и правильный шестиугольник.
Затем будем увеличивать стороны этих много-
угольников в 2, 3, 4 ... раз. Во всех вершинах
получившихся фигур и на их сторонах на рас-
стояниях, равных 1, поместим кружочки. Коли-
чество кружочков в каждом треугольнике обра-
зует ряд треугольных чисел 1, 3, 6, 10,... . Коли-
чество кружочков в каждом квадрате образует
ряд квадратных чисел 1, 4, 9, 16,... . Количество
кружочков в каждом пятиугольнике образует
ряд пятиугольных чисел, а количество кружоч-
ков в каждом шестиугольнике образует ряд ше-
стиугольных чисел. Как вы догадались, этот
процесс бесконечен.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
511
Можно получить фигурные числа третьего и
более высоких порядков. Фигурными числами
занимались математики еще до нашей эры, ин-
тересные зависимости между фигурными чис-
лами открыли математики и нашего тысячеле-
тия, среди них Ферма, Эйлер, Коши.
ЧИСЛИТЕЛЬ ДРОБИ — число, которое запи-
сывается над дробной чертой, если дробь явля-
ется обыкновенной, и выражение, которое за-
писывается над дробной чертой, если дробь яв-
ляется алгебраической (см. дробь).
Например: число 5 является числителем
обыкновенной дроби у,
а выражение Зх + 1 —
числителем алгебраической дроби-----.
5х + 1
Если числитель обыкновенной дроби мень-
ше знаменателя, то дробь называется правиль-
ной.
Если числитель обыкновенной дроби боль-
ше или равен знаменателю, то дробь называет-
ся неправильной.
( 1Y
число е — число, которое равно lim 1 + — .
л->00\ nJ
Число е является трансцендентным числом, его
приближенное значение равно 2,718281...
Логарифмы по основанию е называются на-
туральными, обозначаются 1пх. Число е можно
определить как число, которое является основа-
нием показательной функции, производная ко-
512
МАТЕМАТИКА
торой равна самой функции, т.е. (е*)' = ех.
Свое обозначение число е получило в честь
Л. Эйлера, который предположил, что это чис-
ло трансцендентно. Число е называют «неперо-
вым числом» в честь Дж. Непера, изобретателя
логарифмов и составителя первых логарифми-
ческих таблиц (см. числа трансцендентные, лога-
рифм натуральный).
ЧИСЛО л — число, равное отношению длины
окружности к длине ее диаметра. Число л явля-
ется трансцендентным числом, его приближен-
ное значение равно 3,1415926...
Открывателями числа л можно считать лю-
дей доисторического времени, которые при
плетении корзин заметили, что для того, чтобы
получить корзину нужного диаметра, необходи-
мо брать прутья в три раза длиннее его. Найде-
ны таблички из обожженной глины в Месопо-
тамии, на которых зафиксирован данный факт.
Египтяне почти за две тысячи лет до нашей
эры заметили, что диаметр окружности не со-
держится точно три раза в ее длине. С этого
времени начинается изучение числа л, которое
продолжается и до наших дней.
Изучение числа л шло вместе с поиском ре-
шения задачи о построении квадрата, равнове-
ликого окружности, т.е. о построении с по-
мощью циркуля и линейки отрезка, равного по
длине окружности.
Архимед в третьем тысячелетии до нашей
эры установил следующее значение длины ок-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
513
ружности к ее диаметру:
3,140 < л <3,142.
3—<л<3—, или
17 7
Леонардо Фибоначчи около 1220 года опре-
делил три первых точных десятичных знака
числа л. В шестнадцатом веке Андриан Анто-
нис определил шесть точных десятичных зна-
ков числа л, а Франсуа Виет вычислил первые
девять точных десятичных знаков этого числа.
Но необходимо отметить, что китайским мате-
матикам уже в пятом веке были известны шесть
точных знаков числа л. После Виета в Европе
началась гонка за вычислением точных десяти-
чных знаков числа л. Фламандский математик
Андриан ван Роомен вычисляет 15 точных де-
сятичных знаков числа л. Но математическим
подвигом можно назвать вычисления голланд-
ского математика Лудольфа ван Цейлена, кото-
рый получил 35 точных десятичных знаков чис-
ла л. В его честь число л было названо совре-
менниками «Лудольфово число».
В конце восемнадцатого века немецким ма-
тематиком И. Ламбертом и французским мате-
матиком А. Лежандром было доказано, что чис-
ло л является иррациональным. Профессор
Фрейбургского университета Фердинанд фон
Линдеман в 1882 году доказал трансцендент-
ность числа л. На этом закончился поиск реше-
ния задачи о квадратуре круга, который про-
должался более трех тысяч лет.
ЧИСЛОВАЯ ОСЬ — прямая, на которой задана
начальная точка и единичный отрезок. Число-
514
МАТЕМАТИКА
вую ось называют иногда числовой или коор-
динатной прямой. Числовая ось служит для
изображения действительных чисел. Между
точками числовой оси и действительными чис-
лами существует взаимно однозначное соответ-
ствие, т.е. каждой точке числовой оси соответ-
ствует единственное действительное число, и
каждому действительному числу соответствует
единственная точка на числовой оси. Число,
изображением которого служит точка числовой
оси, называется координатой этой точки.
О______1 х
б А В
Ох — числовая ось; А О — единичный отре-
зок; число х — координата точки В.
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ - по-
следовательность, членами которой являются
числа (см. последовательность числовая, арифме-
тическая прогрессия, геометрическая прогрессия).
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ (см. числовая ось).
ЧИСЛОВОЙ ПРОМЕЖУТОК (см. промежу-
ток).
ЧИСЛОВОЙ РЯД (см. ряд числовой).
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА - множества,
элементами которых являются числа (см. мно-
жество).
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
515
Например, бесконечными числовыми мно-
жествами являются множество натуральных чи-
сел и множество иррациональных чисел, а ко-
нечным числовым множеством является мно-
жество, состоящее из делителей числа 100.
ЧЛЕН МНОГОЧЛЕНА- одночлен, который
является одним из слагаемых алгебраической
суммы, представляющей собой этот многочлен
(см. многочлен, одночлен).
Например: одночлены 4х4 и Зх3 являются
членами многочлена 4х4 + Зх3.
ЧЛЕН ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (см. после-
довательность числовая, арифметическая про- •
грессия, геометрическая прогрессия).
ЧЛЕН РЯДА (см. ряд числовой).
516
МАТЕМАТИКА
ш
ШАЛЬ МИШЕЛЬ (1793-1880)- француз-
ский геометр и историк математики, сделал ряд
открытий в аналитической проективной геомет-
рии. В 1837 году опубликовал наиболее извест-
ную из своих работ «Исторический обзор про-
исхождения и развития методов геометрии».
Его именем названа лемма о трех точках на
прямой, которая известна каждому школьнику,
изучающему геометрию. Лемма Шаля: для лю-
бых трех точек А, В, С числовой прямой имеет
место равенство векторов: АВ + ВС = АС.
ШАР — тело, ограниченное сферой. Шар мож-
но определить как тело, получаемое от враще-
ния полукруга вокруг диаметра, ограничиваю-
щего его. Шар также можно определить как
множество точек трехмерного евклидова про-
странства, координаты которых удовлетворяют
неравенству х2 + у2 + z2 В2, если R — радиус
шара, а его центр совпадает с 0(0; 0).
Если брать за основу первое определение
шара, то его центром является центр сферы,
которой он ограничен. Аналогично, за радиус и
диаметр шара принимаются радиус и диаметр
ограничивающей его сферы.
Центр шара является его центром симмет-
рии. Шар имеет бесконечно много осей и пло-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
517
скостей симметрии. Осью симметрии шара яв-
ляется прямая, проходящая через центр шара, а
плоскостью симметрии шара является плоско-
сть, проходящая через центр шара.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг.
Пусть R, г и d будут числа, выражающие радиус
шара, радиус круга сечения и расстояние от
центра шара до секущей плоскости, тогда име-
ем следующую формулу:
г = ^R2 - d2
Из этой формулы можно сделать следующие
выводы:
1. Наибольший радиус сечения получается
при й? = 0, в этом случае секущая плоскость
проходит через центр шара. Круг, получаемый в
сечении, называется большим кругом. Радиус
большого круга равен радиусу шара, т.е. R = г.
2. Наименьший радиус сечения получается
при d = R. В этом случае сечение вырождается
в точку, т.е. секущая плоскость становится ка-
сательной (см. касательная плоскость шаровой
поверхности).
3. Сечения, равноудаленные от центра шара,
равны.
4. Из двух сечений, неодинаково удаленных
от центра шара, то большее, которое ближе к
центру.
О — центр шара;
ОВ — радиус шара;
АВ — диаметр шара;
а — секущая плоско-
сть, проходящая через
центр шара; О —
518
МАТЕМАТИКА
центр большого круга; а — плоскость симмет-
рии, прямая АВ — ось симметрии.
Площадь поверхности шара равна площади
сферы, которой ограничен шар, и вычисляется
по формуле: SM = 4nR2, где R — радиус шара.
Объем шара вычисляется по формуле:
4
V = — itR3, где R — радиус шара.
Среди всех тел равного объема шар имеет
наименьшую площадь поверхности, а среди
всех тел равной площади поверхности шар име-
ет наибольший объем.
ШАРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ или сфера - гео-
метрическое место точек пространства, равно-
удаленных от одной и той же точки. Иногда
шаровой поверхностью называют множество
граничных точек шара (см. сфера, шар).
ШАРОВОЙ ПОЯС — часть шаровой поверхно-
сти, заключенная между двумя параллельными
секущими плоскостями. Окружности сечений
называются основаниями шарового пояса, а
расстояние между параллельными секущими
плоскостями называется высотой шарового по-
яса.
Площадь поверхности шарового пояса нахо-
дится по формуле: Swn = 2itrH, где Н — высота
шарового пояса, R — радиус соответствующей
шаровой поверхности.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
319
в
\ РР\ — высота шарово-
| го пояса,
I ОА — радиус соответ-
/ ствующей шаровой
'Bi поверхности.
Шаровой пояс можно рассматривать как
фигуру вращения, которая получается при вра-
щении дуги шаровой поверхности, заключен-
ной между двумя параллельными хордами, вок-
руг оси, проходящей через диаметр, перпенди-
кулярный хордам. Шаровой пояс иногда назы-
вают шаровой зоной. Высота шарового пояса
одновременно является и высотой соответству-
ющего шарового слоя (см. шаровой слой).
ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ — часть шара, отсекае-
мая от него какой-нибудь плоскостью. Крут се-
чения называется основанием сегмента. Высо-
той шарового сегмента называется отрезок ра-
диуса шара, перпендикулярного к основанию
сегмента. Шаровой сегмент можно рассматри-
вать как фигуру вращения, которая получается
при вращении кругового сегмента вокруг ради-
уса, перпендикулярного его хорде. Секущая
плоскость делит шар на два шаровых сегмента.
Объем шарового сегмента вычисляется по
формуле: V = nH2(R --Н), где Н— высота
шарового сегмента, R — радиус соответствую-
щего шара.
520
МАТЕМАТИКА
а — секущая плоско-
сть, отсекающая от
шара шаровой сег-
мент; ВС — радиус ос-
нования сегмента;
ОА — радиус, соответ-
ствующего шара; АВ —
высота сегмента,
ШАРОВОЙ СЕКТОР — геометрическое тело,
которое получается при вращении кругового
сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой,
содержащей один из ограничивающих круговой
сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из
шарового сегмента и конуса с общим основа-
нием.
Дуга кругового сектора образует при враще-
нии сегментную поверхность. Объем шарового
2
сектора вычисляется по формуле: V = — пВгН,
где R — радиус шара, Н — высота шарового
сегмента.
Площадь полной поверхности шарового сек-
тора равна площади поверхности шарового сег-
мента и площади боковой поверхности конуса,
следовательно, площадь полной поверхности
шарового сектора вычисляется по формуле:
$ш.е. = ‘У«гл+^м= ^RH + itR^lRH-H1 ,
где R — радиус шара, Н — высота шарового
сегмента.
Тот шаровой сектор, который мы рассматри-
вали и который изучается в школе, называется
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
521
шаровым сектором первого рода. Различают
еще шаровой сектор второго рода.
Шаровым сектором второго рода называется
геометрическое тело, которое получается при
вращении кругового сектора вокруг диаметра,
не пересекающего дугу кругового сектора. Это
тело ограничено боковыми поверхностями двух
конусов и поверхностью шарового пояса. Ша-
ровой сектор первого рода можно считать част-
ным случаем шарового сектора второго рода.
/ — ось вращения;
ОАпВ — круговой сек-
тор, при вращении ко-
торого получается ша-
ровой сектор второго
рода.
ШАРОВОЙ СЛОЙ — часть шара, заключенная
между двумя параллельными секущими плоско-
стями. Круги, получившиеся в сечении шара
этими плоскостями, называются основаниями
шарового слоя, а расстояние между основания-
ми называется высотой шарового слоя. Объем
шарового слоя можно \
найти как разность объе- /С A j
мов двух шаровых сег- / !-------\
ментов, и запоминать от- I ! I
дельную формулу для его I ! I
вычисления нет надобно- \ /
ста. \ Ai А-------"у Bi
522
МАТЕМАТИКА
АВ и ДД — радиусы оснований шарового
слоя; АА} — высота шарового слоя.
ШЕСТИУГОЛЬНИК ПРАВИЛЬНЫЙ - пра-
вильный многоугольник с шестью равными
сторонами и углами. Внутренний угол правиль-
ного шестиугольника равен 120°, внешний угол
равен 60°. Около правильного многоугольника
можно описать только одну окружность. Радиус
описанной окружности равен длине стороны
правильного шестиугольника. В правильной
шестиугольник можно вписать только одну ок-
ружность, причем радиус вписанной окружно-
сти находится по формуле:
где а —
сторона правильного шестиугольника. Центр
вписанной и описанной окружности совпадают,
эта точка является центром симметрии пра-
С правильным
следующие формулы:
вильного шестиуголь-
ника. Радиусы описан-
ной окружности, про-
веденные в вершины
шестиугольника, разби-
вают его на шесть рав-
ных между собой рав-
носторонних треуголь-
ников.
шестиугольником связаны
s6 =^7з=р7з=2А/з,
£ £
где Д — площадь правильного шестиугольни-
ка; а — сторона; R — радиус описанной окруж-
ности; г — радиус вписанной окружности.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА______________________523
ШТЕЙНЕР ЯКОБ (1796-1863) - знаменитый
швейцарский математик, родился в семье кре-
стьянина, был пастухом. В возрасте 19 лет по-
пал в школу знаменитого педагога-демократа
Иоганна Генриха Песталоцци, в которой обу-
чился грамоте и приобщился к науке. Бывший
пастух стал членом Берлинской Академии наук.
Его именем названы геометрические построе-
ния на плоскости, выполняемые с помощью
только одной линейки. Построения Штейнера
носят проективный характер и противопостав-
ляются построениям Маскерони, выполняемым
только одним циркулем. Якоб Штейнер не сде-
лал великих открытий в проективной геомет-
рии, но ему удалось точно определить и систе-
матизировать большинство идей и приемов в
ней.
ШТИФЕЛЬ МИХАИЛ (ок. 1486-1567) - зна-
менитый немецкий математик. Михаил Шти-
фель учился в католическом монастыре, затем
увлекся идеями Лютера и стал сельским проте-
стантским пастором. Изучая библию, старался
лайти в ней математическое истолкование. В
результате своих изысканий предсказал конец
мира на 19 октября 1533 года, который, конеч-
но, не произошел, а Михаил Штифель был за-
ключен в Вюртембергскую тюрьму, из которой
его вызволил сам Лютер.
После этого Штифель полностью посвящает
свою работу математике, в которой он был ге-
ниальным самоучкой. Он опубликовал несколь-
ко научных трудов, и среди них знаменитый —
«Полная арифметика».
524 МАТЕМАТИКА
В 1544 году Штифель первым в Европе
сформулировал правило решения квадратных
уравнений, приведенных к единому канониче-
скому виду. Он занимался изучением арифме-
тической. и геометрической прогрессии, систе-
матически сравнивал действия над членами
обеих сопоставляемых прогрессий и вводил
дробные и отрицательные показатели степени.
Штифель первым из математиков рассматривал
отрицательные числа как числа, меньшие нуля,
и одним из первых ввел знак корня с целым
показателем, круглые скобки и символы для
многих неизвестных. Его идеями пользовался
при изобретении логарифмов Джон Непер.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
525
э
ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД (1707—1783) — выдающийся
математик, родился в Швейцарии, но долгие го-
ды жил и работал в России. Леонард Эйлер ро-
дился в семье священника Пауля Эйлера. В три-
надцатилетнем возрасте Леонард стал студентом
факультета искусств Базельского университета:
отец желал, чтобы он стал священником. Но лю-
бовь к математике, блестящая память и отличная
работоспособность сына изменили эти намерения
и направили Леонарда по иному пути. Его учите-
лем был выдающийся математик Иоганн Бернул-
ли. Сыновья Иоганна Бернулли были приглаше-
ны в Петербург, по их рекомендации туда же был
приглашен Леонард Эйлер на должность адъюнк-
та по физиологии. За первые 14 лет пребывания в
Петербурге он написал более 80 крупных науч-
ных работ, из которых более 50 были опублико-
ваны.
В 1741 году уезжает из России в Берлин, в ко-
тором он жил и работал 25 лет. Но в 1766 году по
приглашению Екатерины II Леонард Эйлер воз-
вращается в Петербург, где плодотворно работал
до конца своих дней.
Громадное научное наследие Эйлера включает
блестящие результаты, относящиеся к математи-
ческому анализу, геометрии, теории чисел, вариа-
ционному исчислению, механике и другим при-
ложениям математики.
526
МАТЕМАТИКА
Труды Эйлера из области математического
анализа оказали огромное влияние на развитие
высшей математики, Эйлер придал современный
вид тригонометрии, дал одно из первых опреде-
лений понятия функции. Его имя увековечено в
таких математических понятиях, как Эйлера ди-
аграммы, Эйлера интегралы, Эйлера метод лома-
ных, Эйлера окружность, Эйлера подстановки,
Эйлера теорема и во многих других.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ - то же са-
мое, что и равносильные уравнения (см. равно-
сильные уравнения).
ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ТОЧКА - точка, в которой
функция имеет экстремум. Экстремальную точку
называют также точкой экстремума (см. точки
экстремума, точка минимума, точка максимума).
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ — значение функции
в точке экстремума. Если точка экстремума явля-
ется точкой максимума, то значение функции в
этой точке называется максимумом функции. Ес-
ли точка экстремума является точкой минимума,
то значение функции в этой точке называется
минимумом функции. Обозначение утах — мак-
симум функции; ymin — минимум функции.
Например: найдем экстремумы функции
у = 2х3 - 9х2 + 12х - 8.
Вычислим производную у* = 6х2 - 18х +12,
у' = 0 при х = 2 и х = 1. у' > О при х е(-оо; 1);
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
527
у' < 0 при х е (1; 2), у' > 0 при х g (2; + оо), сле-
довательно, х = 1 — точка максимума х = 2 —
точка минимума.
Получаем утах = у(1) = -3; уж/я = у(2) = -4.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА- математи-
ка, изучаемая в школьной программе. В нее вхо-
дят арифметика, элементарная алгебра, элемен-
тарная геометрия и начала математического ана-
лиза.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ - функции,
изучаемые в школьной программе (см. функция
квадратичная, логарифмическая функция, показа-
тельная функция, функция постоянная, функция ра-
циональная, функция сложная, степенная функция,
тригонометрические функции).
ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА — объекты, из ко-
торых состоит множество. Элементами множества
могут быть материальные объекты и абстрактные
понятия. Например, элементами числовых мно-
жеств являются числа. Элементами множеств мо-
гут быть точки и геометрические фигуры. Мно-
жество, в котором нет ни одного элемента, назы-
вается пустым множеством (см. множество, чис-
ловые множества).
ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ - центр симмет-
рии, ось симметрии и плоскость симметрии. Фи-
гура может иметь бесконечное множество эле-
ментов симметрии, может иметь конечное мно-
528_________________________________МАТЕМАТИКА
жество элементов симметрии, а может вообще не
иметь элементов симметрии.
Например:
1. Окружность имеет один центр симметрии —
центр этой окружности, бесконечно много осей
симметрии — любая прямая, проходящая через
центр этой окружности.
2. Куб имеет один центр симметрии — точка
пересечения его диагоналей, девять осей симмет-
рии и девять плоскостей симметрии. Каждая ось
симметрии куба проходит либо через середины
двух противоположных граней, либо через сере-
дины двух противоположных ребер, не принадле-
жащих одной грани.
3. Прямоугольная трапеция не имеет ни одно-
го элемента симметрии.
ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА - три стороны
и три угла треугольника. По трем элементам тре-
угольника можно найти остальные элементы, ес-
ли все три элемента не являются углами. Нахож-
дение по каким-нибудь трем элементам, опреде-
ляющим треугольник, остальных элементов назы-
вается решением треугольника. Для решения тре-
угольника необходимы либо две стороны и угол,
либо сторона и два угла, либо три стороны. Для
решения прямоугольного треугольника достаточ-
но знать, чему равны катеты, катет и острый
угол, гипотенуза и острый угол (см. решение треу-
гольников).
ЭЛЛИПС — геометрическое место точек, сумма
расстояний которых до двух заданных точек Fx и
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
529
F2 есть величина постоянная. Точки Fx и F2 на-
зываются фокусами. Расстояние между фокусами
называется фокальным расстоянием.
Если прямую FXF2 принять за ось Ох, а пря-
мую, ей перпендикулярную и проходящую через
середину отрезка FXF2, принять за ось Оу, то по-
лучим каноническое или простейшее уравнение
2 2
X V
эллипса: -^- + ^- = 1 (а>0, Ь>0), где а и b —
а b
АС = 2а — большая
ось; BD = 2Ь — малая
ось; FxF2 = 2с — фо-
кальное расстояние;
FXM и F2M — фокаль-
ные радиусы точки М;
О — центр эллипса;
MFx+MF2=2a.
В школьной программе не изучается уравне-
ние эллипса, но с этой фигурой встречаются уче-
ники старших классов. При изображении цилин-
дра, конуса или шара им приходится рисовать эл-
липс. При параллельном проектировании окруж-
ность изображается эллипсом. Уравнение окруж-
ности является частным случаем канонического
уравнения эллипса при а = b. А сама окружность
есть частный случай эллипса. Эллипс можно рас-
сматривать как коническое сечение. Если пло-
скость пересекает коническую поверхность, пере-
секая все его образующие, то в сечении мы будем
иметь эллипс или его частный случай — окруж-
ность. В сечении прямого кругового цилиндра
530
МАТЕМАТИКА
плоскостью, пересекающей его образующие под
наклоном, получается тоже эллипс.
Каждый может на-
чертить эллипс следу-
ющим образом:
1. взять нерастя-
жимую нить длиной
2а и закрепить ее
концы в точках Fx и
^2;
2. натянув эту нить карандашом, острием ка-
рандаша описать траекторию на бумаге.
Эта траектория будет представлять эллипс.
ЭЛЛИПСОИД - поверхность второго порядка,
заданная в прямоугольной декартовой системе
координат следующим уравнением:
2 2 2
у z
-V + Аг + -у = 1, где a, Z>, с — полуоси эллипсои-
де bl cL
да.
Мы определим эллипсоид проще как аналог
эллипса в пространстве, подобно сфере, про-
странственного аналога окружности.
Эллипсоид имеет центр, три оси и три пло-
скости симметрии. Любое сечение эллипсоида
плоскостью
есть эллипс.
Сфера яв-
ляется част-
ным случаем
эллипсоида.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА____________________531
ЭРАТОСФЕН КИРЕНСКИЙ (ок. 276-194 гг. до
н.э.) — древнегреческий математик, географ, ис-
торик, философ и поэт. Эратосфен родился в Ки-
рене, учился в Александрии и Афинах. Заведовал
александрийской библиотекой. Занимался мате-
матикой, астрономией, хронологией, филосо-
фией, музыкой. Эратосфен заложил основы мате-
матической географии, вычислил наклон эклип-
тики, расстояние до Солнца и Луны; ему принад-
лежит первое измерение дуги меридиана и радиу-
са Земли. Эратосфен был известен как отличный
спортсмен. Он достиг замечательных результатов
в различных областях спорта, за что получил про-
звище «пентатлос», т.е. атлет-пятиборец.
Эратосфен дал один из первых способов по-
иска простых чисел, этот способ так и называется
«Эратосфеново решето».
ЭРАТОСФЕНОВО РЕШЕТО — способ отыска-
ния простых чисел. Если необходимо найти все
простые числа от 2 до N, то для этого выписыва-
ют подряд все целые числа от 2 до N. Затем под-
черкивают первое простое число 2 и зачеркивают
все числа, кратные 2. Подчеркивают число 3 и
зачеркивают все числа, кратные 3. Теперь первое
из оставшихся чисел 5. Подчеркиваем число 5 и
зачеркиваем все числа, кратные 5. Продолжают
этот процесс до тех пор, пока все числа будут ли-
бо подчеркнуты, либо зачеркнуты.
Эратосфен не зачеркивал числа, кратные 2, 3,
5 и т.д., а прокалывал дырочки над ними. Полу-
чалось нечто вроде решета, сквозь отверстия ко-
торого как бы просеивались составные числа, а
532
МАТЕМАТИКА
простые оставались. Вот откуда пошло название
«Эратосфеново решето».
23456789 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35 36 37
ЭРМИТ ШАРЛЬ (1822-1901) - известный
французский математик, член Парижской Акаде-
мии наук с 1856 года. Исследование непрерыв-
ных алгебраических дробей привело его в 1873
году к открытию трансцендентности числа е,
опубликованному в работе «О показательной
функции». Опираясь на исследования Ш. Эрми-
та, немецкий математик Ф. Линдеман доказал
трансцендентность числа л.
Шарль Эрмит был большим поклонником та-
ланта выдающегося русского математика
П.Л. Чебышева, он считал его гордостью русской
науки и одним из величайших математиков Евро-
пы.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
533
ю
ЮНИС ИБН (950—1009) — каирский математик
и астроном. Ибн Юнис родился и жил в Египте,
был членом Каирской Академии Дар-аль-Хикма.
Ибн Юнис составил знаменитые астрономиче-
ские таблицы, вычислил sinl°c точностью до
0,000 000 1, составил таблицы синусов с интерва-
лом 1". Его таблицы тангенсов, следующие с ин-
тервалом 1', еще не изучены. Ибн Юнис первый
указал способы решения треугольников с по-
мощью введения вспомогательных углов.
534
МАТЕМАТИКА
Я
ЯВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, заданная урав-
нением, если данное уравнение разрешено отно-
сительно функции.
Например: функция у = х2 -1 явная, а функ-
ция х2 + уг = 25 — неявная.
ЯЗЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ- формаль-
ные языки, созданные для общения человека с
машиной. Языки программирования делятся на
процедурные (или алгоритмические) и непроце-
дурные (неалгоритмические).
К алгоритмическим языкам относятся такие
известные языки программирования, как Алгол,
Фортран, Бэйсик и другие.
ЯКОБИ КАРЛ ГУСТАВ (1804-1874)- немец-
кий математик, брат знаменитого русского физи-
ка Б. С. Якоби. Карлу Густаву Якоби принадле-
жит ряд фундаментальных работ по теории опре-
делителей, теории матриц. Его именем названы
такие математические понятия, как многочлены
Якоби, символ Якоби, определитель Якоби —
Якобиан.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
535
Приложение
Решение текстовых задач
При решении текстовых задач из школьного
курса математики многие учащиеся испыты-
вают большие затруднения. Если ученик не
усваивает основные методы решения задач в
1—6 классах, то при решении задач на уроках
геометрии, физики и химии он испытывает
аналогичные затруднения.
Процесс решения текстовых задач развивает
у учащихся логическое мышление, учит нахо-
дить выход из проблем реальной жизни, дает
возможность почувствовать уверенность в своих
силах.
Текстовые задачи можно разбить на два
основных класса:
* текстовые арифметические задачи;
* текстовые задачи на составление уравне-
ний.
Причем это разделение довольно условно.
Многие текстовые арифметические задачи мож-
но решить с помощью уравнений, а задачи на
составление уравнений часто решаются по дей-
ствиям.
536
МАТЕМАТИКА
Текстовые арифметические задачи
С текстовыми арифметическими задачами
учащиеся сталкиваются уже в первом классе. В
простейших задачах бывает достаточно произ-
вести одно или два арифметических действия,
чтобы найти искомую величину. В дальнейшем
задачи усложняются. Текст задачи несет опре-
деленное воспитание и познавательное значе-
ние.
Арифметические задачи можно условно раз-
бить на следующие типы задач:
* задачи на арифметические действия;
* задачи на движение;
* задачи на части и проценты;
* задачи с геометрическим содержанием;
* задачи на составление выражений;
* другие задачи.
1. Задачи на арифметические действия
Такие задачи решаются путем последова-
тельного выполнения арифметических действий
с целью нахождения неизвестной величины.
Рассмотрим решения некоторых из них.
7
Задача 1. В одной коробке 6 — кг конфет. Во
4
второй коробке на — кг больше. Сколько ки-
лограммов конфет в двух коробках?
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
537
Решение.
(кг) конфет было во второй
коробке.
э < 7 '11 t о 18 1» 3 . ~ 1 , ч ,
2. 6—+ 6—= 12—= 13—= 13- (кг) конфет
X w/ X w/ X X
было в двух коробках.
Ответ: 13- кг конфет было в двух коробках.
Такую задачу можно решить, составив чис-
ловое выражение и найдя его значение.
Решение.
а 7 4 ) а 7 101 / ч
615 + Т5 +61Г135 (КГ)'
Ответ: 13- кг конфет было в двух коробках.
Задача 2. Царь-колокол и Царь-пушка весят
вместе 230,4 т. Царь-колокол весит на 153,6 т
больше, чем Царь-пушка. Сколько весит Царь-
пушка и сколько весит Царь-колокол?
Решение. 1-й способ.
1. 230,4 -153,6 = 76,8 (т) удвоенный вес Царь-
пушки.
2. 76,8:2 = 38,4 (т) весит Царь-пушка.
3. 38,4 +153,6 = 192 (т) весит Царь-колокол.
538 МАТЕМАТИКА
Ответ: 38,4 т весит Царь-пушка, 192 т весит
Царь-колокол.
Решение. 2-й способ.
1. 230,4 + 153,6 = 384 (т) удвоенный вес Царь-
колокола.
2. 384 :2 = 192 (т) весит Царь-колокол.
3. 230,4 - 192 = 38,4 (т) весит Царь-пушка.
Ответ: 38,4 т весит Царь-пушка, 192 т весит
Царь-колокол.
2. Задачи на движение
При решении задач на движение использу-
ется одна из трех формул:
с с
5 = К = ^-; / =-р
где S — пройденный путь, V — скорость
движения, t — время, затраченное на прохож-
дение данного пути.
Необходимо помнить, что величины должны
быть в одной системе единиц. Часто большую
помощь при решении задач на движение ока-
зывает рисунок, график или таблица.
Рассмотрим решение некоторых задач.
Задача 1. Расстояние между двумя городами
270 км. Автобус проезжает это расстояние с по-
стоянной скоростью за 4 часа. Скорость легко-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА________________________539
вого автомобиля равна 75 км/ч. Скорость какой
машины больше и на сколько?
Решение.
1. 270 :4 = 67,5 (км/ч) — скорость автобуса.
2. 75 - 67,5 = 7,5 (км/ч).
Ответ: скорость легкового автомобиля на 7,5
км/ч больше скорости автобуса.
Задача 2. Два теплохода вышли одновременно
из одного порта и идут в одном направлении.
Первый в каждые 1,5 часа проходит 25,5 км, а
второй — 19,5 км. Через сколько времени пер-
вый теплоход обгонит второй на 16 км?
-» I теплоход
-» II теплоход 16 км
Порт II теплоход I теплоход
Решение. 1-й способ.
1. 25,5:1,5 = 17 (км/ч) — скорость первого теп-
лохода.
2. 19,5:1,5 - 13 (км/ч) — скорость второго теп-
лохода.
3. 17-13 = 4 (км/ч) — разность скоростей.
4. 16 :4 = 4 (ч).
Ответ: первый теплоход обгонит второй на 16
км через 4 часа.
540 МАТЕМАТИКА
Решение. 2-й способ.
1. 25,5 - 19,5 = 6 (км) — на столько увеличи-
вается расстояние между теплоходами через
каждые 1,5 часа.
2. 6 :1,5 = 4 (км) — на столько увеличивается
расстояние между теплоходами через каждый
час.
3. 16 : 4 = 4 (ч).
Ответ: первый теплоход обгонит второй на 16
км через 4 часа.
Задача 3. Поезд в 1 час 20 минут проезжает 80
км. Сколько километров проедет он в сутки
при 10 остановках, каждая по 7,5 мин?
Решение.
1 ч 20 мин =1—ч
3
1. 80 :1-| = 60 (км/ч) — скорость поезда.
2. 7,5-10 = 75 (мин) = 1^- (ч) потратил поезд
на стоянки.
1 3
3. 24 - 1— = 22— (ч) находился поезд в пути за
сутки.
4. 60 -22^ = 1365 (км).
Ответ: поезд за сутки проедет 1365 км.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
541
3. Задачи на части и проценты
Подход к решению задач на части и процен-
ты одинаков. Зная, что процентом называется
одна сотая часть, можно свести задачу на про-
центы к задаче на части. При решении задач на
части и проценты необходимо помнить:
*
*
*
чтобы найти дробь от числа, нужно число
умножить на эту дробь;
чтобы найти число по его дроби, можно
разделить на эту дробь соответствующее
ей число;
процентом называется одна сотая,
1%=йЬ=°’01-
т.е.
Задача 1. Опытное поле занимает 60 га. Зерном
3
всей площади, цветами — —, а
горохом. Какую площадь занимает
2
засеяно —
остальное
горох?
1-й способ, который использует
Решение.
большинство учащихся.
2
1. 60 • — = 24 (га) засеяно зерном.
3
2. 60 • — = 18 (га) засеяно цветами.
3. 24 + 18 = 42 (га) засеяно зерном и цветами.
4. 60 - 42 = 18 (га) засеяно горохом.
Ответ: 18 га.
542_____________________________________МАТЕМАТИКА
Решение. 2-й способ, более рациональный.
2 3 7
1. — + — = — всего поля засеяно зерном и цве-
5 10 10 F
тами.
о 1 7 3
2. 1------ — всего поля засеяно горохом.
10 10
3
3. 60 • — = 18 (га) засеяно горохом.
Ответ: 18 га.
Задача 2. На базу привезли 96 т капусты. 20%
всей капусты отправили в магазин. Сколько
капусты осталось?
Решение.
было на базе капусты 100% 96 т
отвезли в мага- зин 20% ?
осталось на базе ? ?
Расписав таким образом условие задачи, мы
видим, что можно при решении задачи пойти
двумя путями. При решении задачи первым
способом найдем, сколько тонн капусты отвез-
ли в магазин, а затем полученный результат
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
543
вычтем из 96 т капусты, завезенной на базу.
При решении задачи вторым способом мож-
но найти, сколько процентов капусты осталось
на базе, и зная, что 96 т составляют 100%, най-
дем, сколько тонн капусты осталось на базе.
Более рациональным считается второй способ.
Решение. 1-й способ.
1. 96 :100 • 20 = 19,2 (т) капусты отвезли в мага-
зин.
2. 96 - 19,2 = 76,8 (т) капусты осталось на базе.
Ответ: 76,8 т капусты.
Решение. 2-й способ.
1. 100% - 20% = 80% капусты осталось на базе.
2. 96 :100 • 80 = 76,8 (т) капусты осталось на ба-
зе.
Ответ: 76,8 т капусты.
Задача 3. В школе 700 учащихся. Среди них
357 мальчиков. Сколько процентов учащихся
этой школы составляют мальчики?
Решение.
700 учащихся — 100%,
357 учащихся — ?%
1. 700:100.= 7 (уч) - 1%.
544 МАТЕМАТИКА
2. 357 : 7 = 51% учащихся школы составляют
мальчики.
Ответ: 51%.
Задача 4 (для родителей). Найти крепость вина,
если в нем 2 части воды и 3 части спирта.
Решение.
Так как крепость чистого спирта равна 100°,
то на одну часть будет приходиться
100° : 5 = 20° крепости. Вино содержит 3 части
спирта, следовательно, его крепость будет равна
20°-3 = 60°.
Ответ: 60°.
Задача 4 (для детей). Молоко дает 25% сливок,
сливки дают 20% масла. Сколько масла полу-
чится из 240 кг молока?
Решение.
1.240:100 -25 = 60 (кг) сливок получится из
240 кг молока.
2. 60 :100 • 20 = 12 (кг) масла получится из 60 кг
сливок или 240 кг молока.
Ответ: 12 кг масла.
Задача 5. Лоси составляют 30% от общего чис-
ла косуль и лосей, живущих в заповеднике.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
545
Сколько косуль живет в заповеднике, если чис-
ло лосей на 144 меньше числа косуль?
Решение.
Косули и лоси — 100%,
лоси — 30%,
косули — ?%
1. 100% - 30% = 70% составляют косули от об-
щего числа косуль и лосей.
2. 70% - 30% = 40% на столько процентов ко-
суль больше, чем лосей в заповеднике.
3. 144 : 40 • 100 = 144 : 0,4 = 360 (косуль) живет в
заповеднике.
Ответ: 360 косуль.
Задача 6. В июне цена 1 л молока повысилась
на 20%, в июле цена повысилась еще на 30%, а
в августе цена повысилась еще на 50%. На
сколько процентов повысилась цена 1 л молока
за лето?
Решение.
Пусть в мае цена 1 л молока была равна к
рублей.
1. Найдем цену 1 л молока в июне. Так как
20% = 0,2, то цена на молоко в июне повыси-
лась на 0,2А: рублей и стала равна
к + 0,2Л = 1,2Лг (руб).
2. Найдем цену 1 л молока в июле. Так как
30% = 0,3, то цена на молоко в июле повыси-
лась на 1,2£ • 0,3 рублей и стала равна
1,2£ + 1,2Ь0,3 = 1,56£ (руб).
546
МАТЕМАТИКА
3. Найдем цену 1 л молока в августе. Так
как 50% = 0,5, то цена на молоко в августе по-
высилась на 1,56А; • 0,5 рублей и стала равна
i,56k + 1,56£ • 0,5 = 2,34к (руб).
4. Найдем, на сколько рублей повысилась
цена 1 л молока за лето: 2,34А: - к = 1,34А; (руб).
Так как к рублей соответствует 100%, следова-
тельно, 1,34Аг рублей соответствует 134%. На
134% повысилась цена на молоко за лето.
Ответ: 134%.
4. Задачи с геометрическим содержанием
Задача 1. Длина бассейна, имеющего форму
прямоугольного параллелепипеда, 25 м, шири-
на 10 м и глубина 1,8 м. Сколько времени по-
требуется, чтобы заполнить бассейн на 1,5 м,
если ежеминутно в бассейн поступает 2,5 м3
воды?
Решение.
1. 25 • 10 • 1,5 = 375 (м3) — объем части бассейна,
которую нужно заполнить водой.
2. 375 : 2,5 = 150 (мин) = 2,5 (ч).
Ответ: чтобы заполнить бассейн водой на 1,5
м, потребуется 2,5 часа.
Задача 2. На сколько поперечник одного дерева
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 547
больше другого, если первое дерево имеет в об-
22
хвате 176 см, а второе 132 см, считая л = — ?
Решение.
Так как поперечное сечение дерева пред-
ставляет круг, то поперечник равен диаметру
этого круга, а обхват равен длине соответ-
ствующей окружности. Используя формулу
длины окружности С = 2tcR = nd, можно соста-
вить следующее выражение для решения дан-
ной задачи.
22 22 22
176 : 4г - 132 : 4г = (176 - 132): 4г =
7 7 7
(176-132)-7 ,. , ч
1L-----------И (см).
Ответ: поперечник первого дерева больше вто-
рого на 14 см.
5. Задачи на составление буквенного выра-
жения
В таких задачах некоторые данные величины
могут быть выражены буквами. Решение задач
сводится к составлению буквенного выражения.
Задача 1. Из доски нарезали 5 квадратиков со
стороной х см и 3 квадратика со стороной у см.
Какова площадь доски?
548
МАТЕМАТИКА
Решение.
х см2 — площадь каждого из 5 квадратиков,
у см2 — площадь каждого из 3 квадратиков,
5х2 см2 — площадь 5 квадратиков,
Зу2 см2 — площадь 3 квадратиков,
(5х2 + Зу2) см2 — площадь всей доски.
Ответ: (5х2 + Зу2) см2.
Задача 2. Скорость катера в стоячей воде 18 —
3
км/ч, а скорость течения 2- км/ч. Катер про-
шел 1 - ч в стоячей воде и еще t ч против тече-
ния. Составь выражение для вычисления всего
пути, пройденного катером. Вычисли его зна-
чение, если: 1) t = ± ч, 2) t = 1-| ч.
Решение.
1 3
1. 18—-2- (км/ч) — скорость катера против
£ J
течения.
2. 18^- li (км) прошел катер в стоячей воде.
/ 1 3\
3. 118— -2-1 t (км) прошел катер против те-
чения.
Следовательно, 18- • 1 - + (18 -
2 3(2
t (км) —
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИК 549
путь, пройденный катером.
Упростим полученное выражение:
1 1 / 1 3\ 1 9
184-14+ 18^-2^ -/ = 24^ + 15^-•/;
2 3 ( 2 5/ 3 10
если t = ч, то 5’ = 24^ + 15^- ^- = 32(км);
2 3 10 2 60
если t = 1| ч, то 51 = 24^ + 15^ -1| = 45^ (км).
1 9 17
Ответ: S' = 24| + 15^ • t; Sx = 32^ км;
С ЛС 8
S2 = 45 — км.
6. Другие задачи
Рассмотрим задачи, которые можно отнести
к нескольким из перечисленных типов.
Задача 1. (такие задачи относят к задачам на
совместную работу, см. решение задач на со-
ставление уравнений).
Бассейн при одновременном включении 4
кранов заполняется водой за 45 минут. За
сколько минут тот же бассейн может запол-
ниться водой при одновременном включении 6
таких кранов?
Решение.
Так как 4 крана заполняют бассейн за 45
550
МАТЕМАТИКА
минут, следовательно, 1 кран за 45 минут за-
полняет — часть бассейна. Найдем время, не-
4
обходимое для заполнения бассейна одним
краном: 45 • 4 = 180 (мин).
Следовательно, 1 кран за 1 мин заполняет
часть бассейна. Тогда 6 кранов за 1 мин
заполняют ~4~ • 6 = часть бассейна. Очевид-
180 30
но, что для заполнения всего бассейна 6 кра-
нами необходимо 30 мин.
Ответ: 30 мин.
Задача 2. Тупой угол разделили на три части.
Один из образовавшихся углов составляет 40%
тупого угла, второй составляет 20% первого
угла, а третий равен 78°. Вычислите величину
тупого угла.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
5£1
Решение.
ЛАВЕ - 40% от ЛАВС;
ЛЕВЕ - 20% от ЛАВЕ -,
ЛЕВС = 78°.
ЛАВС - 100%.
ЛАВЕ - 40% от ЛАВС.
Так как 20% = |, то
ЛЕВЕ - 40% • | = 8% от ЛАВС;
ЛЕВС - 100% - (40% + 8%) = 52% от ЛАВС;
ЛЕВС = 78°.
Чтобы найти число по его дроби, можно
разделить на эту дробь соответствующее число.
Так как 52% = 0,52, получаем:
ЛАВС = 78° :0,52 = 150°.
Ответ: ЛАВС = 150°.
Текстовые задачи на составление
уравнений
Большая часть текстовых задач в школьном
курсе математики решается путем составления
уравнений или систем уравнений. Поэтому этот
метод должен освоить каждый учащийся. Рас-
смотрим алгоритм решения задач с помощью
уравнений:
552
МАТЕМАТИКА
* обозначить неизвестную величину пере-
менной (при решении задачи с помощью
системы уравнений вводят несколько пе-
ременных);
* выразить через нее другие величины;
* составить уравнение (или систему уравне-
ний), показывающее зависимость неиз-
вестной величины от других величин;
* решить уравнение (или систему уравне-
ний);
* сделать проверку при необходимости;
* выбрать из решений уравнения (или си-
стемы уравнений) те, которые подходят по
смыслу задачи;
* оформить ответ.
Текстовые задачи на составление уравнений
можно условно разбить на следующие типы:
* задачи на движение;
* задачи на совместную работу;
* задачи на смеси и сплавы;
* задачи с геометрическим содержанием;
* другие задачи.
Рассмотрим решения задач перечисленных
выше типов.
1. Задачи на движение
Задача 1. Катер прошел расстояние между при-
станями по течению за 2 ч, а обратно против
течения за 3 ч. Найдите собственную скорость
катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
553
Решение.
Пусть х км/ч — собственная скорость кате-
ра, тогда (х + 2) км/ч — скорость катера по те-
чению; (х - 2) км/ч — скорость катера против
течения.
Так как по течению реки катер прошел рас-
стояние между пристанями за 2 часа, а против
течения — за 3 часа, то расстояние между при-
станями можно выразить двумя выражениями
2(х + 2) и 3(х-2). Приравняв эти выражения,
получим уравнение:
2(х + 2) = 3(х - 2);
2х + 4 = Зх - 6;
х = 10.
Следовательно, собственная скорость катера
равна 10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч.
Задача 2. Из пункта А в пункт В вышел товар-
ный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним вышел пас-
сажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч
больше скорости товарного поезда. Через 15 ч
после своего выхода пассажирский поезд ока-
зался впереди товарного на 300 км. Определите
скорость товарного поезда.
Решение.
Пусть х км/ч - скорость товарного поезда.
Составим таблицу:
554
МАТЕМАТИКА
Товарный поезд Пассажирский поезд
Ит = х км/ч Кп = (х + 3) км/ч
/т=(15 + 3) ч = 15 ч
Sr = 18х км 5П = 15(х + 30) км
Так как пассажирский поезд прошел на 300
км больше, получаем уравнение:
15(х + 30) - 18х = 300.
Решив уравнение, получим х = 50.
Следовательно, скорость товарного поезда 50
км/ч.
Ответ: 50 км/ч.
Задача 3. Расстояние между пунктами А и В
равно 78 км. Из пункта А выезжает велосипе-
дист по направлению В. Через 1 час ему на-
встречу отправляется из В другой велосипедист,
делающий в час на 4 км больше первого.
Встреча произошла на расстоянии 36 км от В.
Сколько времени до встречи ехал каждый из
них и с какой скоростью?
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
555
Решение.
А
—>
I вел.
А8=78 км
I и II вел.
36 км В
II вел.
Пусть х часов ехал первый велосипедист,
тогда (х -1) часов ехал второй велосипедист.
До места встречи первый велосипедист проехал
78 - 36 = 42 (км), второй проехал 36 км. Зна-
42 , 36
чит, скорость первого — км/ч, а второго ----
х х -1
км/ч. По условию задачи скорость второго ве-
лосипедиста больше скорости первого на 4
км/ч, поэтому можем составить следующее
уравнение:
36 42
X - 1 X
г» 14
Решив уравнение, получим х, - - —; х2 = 3.
Условию задачи удовлетворяет только ко-
рень х = 3.
Получили, что первый велосипедист ехал до
встречи 3 часа, второй 3-1 = 2 (ч). Скорость
первого велосипедиста 42 : 3 = 14 (км/ч), ско-
рость второго велосипедиста 14 + 4 = 18 (км/ч).
Ответ: первый велосипедист ехал до встречи 3
часа со скоростью 14 км/ч, а второй — 2 часа
со скоростью 18 км/ч.
556
МАТЕМАТИКА
2. Задачи на совместную работу
В таких задачах фигурируют работа, время и
производительность труда. Объем работы, кото-
рую необходимо выполнить, принимают за
единицу. Если время, необходимое для выпол-
нения этой работы равно /, то производитель-
ж 1
ность труда находится по формуле -.
Задача 1. Двое рабочих, работая вместе, выпол-
няют некоторую работу за 8 часов. Первый из
них, работая отдельно, может выполнить всю
работу на 12 часов скорее, чем второй рабочий,
если этот последний будет работать отдельно.^,
За сколько часов каждый из них, работая от-
дельно, может выполнить работу?
Решение.
Примем объем работы, которую должны вы-
полнить рабочие, за 1.
Пусть первый рабочий выполняет всю рабо-
ту за х часов, работая отдельно, тогда второму
для выполнения этой работы необходимо
(х + 12) часов.
Получаем:
1
----производительность первого рабочего;
х
1
----- — производительность второго рабо-
х +12
чего.
Так как двое рабочих, работая вместе, вы-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
557
полняют всю работу за 8 часов, то за 1 час они
выполняют всей работы. Тогда имеем урав-
8
нение:
1 1 _ 1
х + х + 12 8 '
Решив уравнение, получим х1 = 12; х2 = -8.
Условию задачи удовлетворяет только ко-
рень х = 12.
Следовательно, первый рабочий может вы-
полнить всю работу за 12 часов, а второй за
12 + 12 = 24 (ч).
Ответ: 12 ч, 24 ч.
Задача 2. Двум машинисткам было поручено
выполнить некоторую работу. Вторая из них
приступила к работе на 1 час позднее первой.
Через 3 часа после того, как первая начала ра-
А 9
боту, им оставалось выполнить еще — всей
работы. По окончании работы оказалось, что
каждая машинистка выполнила половину всей
работы. За сколько часов каждая из них в от-
дельности могла бы выполнить всю работу?
Решение.
1 — объем всей работы.
Пусть за х часов выполнит всю работу пер-
вая машинистка и за у часов вторая машинист-
ка, работая отдельно, тогда — — производи-
558
МАТЕМАТИКА
1
тельность первой машинистки и — - произво-
ди
дительность второй. К моменту, когда первая
машинистка проработала 3 часа, а вторая 2 ча-
са, обеими машинистками было выполнено
9 11
1----- — всей работы. Получаем первое
уравнение:
0 1 n 1 11
3 • — + 2 • — = —.
х у 20
По окончании работы каждая машинистка
сделала половину работы. Следовательно, пер-
х у „
вал потратила — часов, а вторая у часов. Так
как первая работала на 1 час дольше, чем вто-
рая, то получаем второе уравнение:
£_У = 1
2 2 ‘
Решим систему уравнений:
k 1 n -1 11
х у 20
-_Z=i
.2 2
Получим два решения:
х = 1 --
11 и Iх" 10
io V = 8 •
I 11
Условию задачи удовлетворяет только второе
решение.
Значит, первая машинистка может выпол-
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 559
нить всю работу за 10 часов, а вторая за 8 ча-
сов.
Ответ: 10 ч, 8 ч.
3. Задачи на смеси и сплавы
Аналогичные задачи учащиеся решают на
уроках химии.
Задача 1. Имеется руда из двух пластов с со-
держанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной»
руды надо взять, чтобы получить при смешива-
нии с «богатой» 20 т руды с содержанием медй
8%?
Решение.
Переведем проценты в дроби:
6% = 0,06; 11% = 0,11; 8% = 0,08.
'Пусть необходимо взять х т «бедной» руды,
которая будет содержать 0,06х т меди. Тогда
«богатой» руды необходимо взять (20 - х) т, ко-
торая будет содержать 0,11 • (20 - х) т меди.
Так как получившиеся 20 т руды будут со-
держать 20 0,08 т меди, то имеем уравнение:
0,06х + 0,11 • (20 - х) = 20 • 0,08.
Решив это уравнение, получим х = 12.
Следовательно, необходимо взять 12 т
«бедной» руды.
Ответ: 12 т.
560
МАТЕМАТИКА
Задача 2. Имеются два сплава золота и серебра;
в одном количество этих металлов находится в
отношении 2:3, а в другом — в отношении
3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава,
чтобы получилось 8 кг нового сплава, в кото-
ром золото и серебро были бы в отношении
5:11?
Решение.
Проанализируем условие задачи. Так как в
первом сплаве золото и серебро находятся в от-
п о 2
ношении 2:3, значит, этот сплав содержит —
золота. Так как во втором сплаве золото и се-
ребро находятся в отношении 3:7, значит, этот
3
сплав содержит — золота. В новом сплаве зо-
лото и серебро должны быть в отношении
5:11, значит, он должен содержать — золота.
16
взяли х кг первого сплава, который
2
— х кг золота. Тогда (8 - х) кг второ-
Пусть
содержит
го сплава
3
содержат — (8 - х) кг золота.
По условию задачи в 8 кг нового сплава
должно содержаться 8 • — = 2.5 (кг) золота.
16
2 3
Получаем уравнение — х + — (8 - х) = 2,5.
Решив уравнение, получим х = 1.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
561
Первого сплава нужно взять 1 кг, а второго
8-1 = 7 (кг).
Ответ: 1 кг, 7 кг.
4. Задачи с геометрическим содержанием
Задача 1. Найти площадь прямоугольника,
длина которого в 4 раза больше, чем ширина, а
площадь численно равна периметру.
Решение.
Пусть х см (можно взять любую единицу
длины) — ширина прямоугольника, тогда 4х
см длина прямоугольника, 2(4х + х) см —
периметр прямоугольника, (4х • х) см2 — пло-
щадь прямоугольника. Так как площадь чис-
ленно равна периметру, получаем следующее
уравнение:
2(4х + х) = 4х • х или 10х = 4х2.
Решив уравнение, получим xt = 0, х2 = 2,5.
Условию задачи удовлетворяет только ко-
рень х = 2,5.
Получаем, что ширина прямоугольника рав-
на 2,5 см. Длина равна 2,5 • 4 = 10 (см), пло-
щадь прямоугольника равна 2,5 10 = 25 (см2).
Ответ: 25 см2.
Задача 2. Бассейн имеет прямоугольную форму.
Одна из его сторон на 6 м больше другой. Во-
круг него проходит дорожка, ширина которой
562________________________________МАТЕМАТИКА
0,5 м. Найти стороны бассейна, если площадь
окружающей его дорожки 15 м2.
Решение.
А

дорожка
В.__________________
бассейн
С
0.5м
----1
D
А 0.5 м
4 - Dj
АВ = х м; ВС = (х + 6) м;
ДД = (х + 0,5 + 0,5) м; Bfa = (х + 6 + 0,5 + 0,5) м;
sabcd = *(* + 6) м2; SAiBiCiDi = (х + 1)(х + 7) м2.
Так как площадь дорожки равна 15 м2, по-
лучаем следующее уравнение:
(х + 1)(х + 7) - х(х + 6) = 15.
Решив уравнение, получим х = 4.
Следовательно, одна сторона бассейна равна
4 м, а другая 4 + 6 = 10 (м).
Ответ: 4 м, 10 м.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
563
5. Другие задачи
Мы уже отмечали, что разделение текстовых
задач на типовые условно. Иногда выделяют в
отдельные типы задачи на планирование, про-
порции, прогрессии, числовые зависимости и
другие.
Рассмотрим решение некоторых задач.
Задача 1. Рыбу разделили на пять кусков в от-
ношении по весу 14 : 12 : 11 :9 : 15, причем
второй кусок весил 112 г. Сколько весила вся
рыба?
Решение.
Пусть х г — вес одной части, тогда 14х г —
вес первого куска, 12х г — вес второго куска,
11х г — вес третьего куска, 9х г — вес четверто-
го куска, 15х г — вес пятого куска, 61х г — вес
всей рыбы.
Так как второй кусок весил 112 г, получаем
уравнение
12х = 112,
28
78 1
Найдем вес рыбы 61 • — = 569- (г).
Ответ: 569- г.
Задача 2. Среднее арифметическое двух чисел
564
МАТЕМАТИКА
равно 7, а разность квадратов 14. Найдите сум-
му квадратов этих чисел.
Решение.
Пусть х — первое число, у — второе число.
Так как среднее арифметическое чисел рав-
но 7, получаем первое уравнение:
Х + У = 7
2
Так как разность квадратов чисел равна 14,
получаем второе уравнение:
х2 - у2 = 14.
Составим систему <
"1Г-7
х2 - у2 =14
Решив систему, получим х = 7,5; у = 6,5.
Найдем сумму квадратов:
7,52 +6,52 = 98,5.
Ответ: 98,5.
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
565
Предметный указатель
Абак 3
Абель Нильс Хенрик 3
Абсолютная величина 3
Абсцисса 3
Абу-л-Вефа 3
Аксиома 4
Алгебра 5
Алгебраическая функция 6
Алгоритм 6
Аполлоний 7
Апофема 7
Ар 7
Арабские цифры 7
Аргумент 8
Ариабхата 8
Аристотель 8
Арифметика 8
Арифметическая прогрессия 9
Арифметический корень 10
Арккосинус 11
Арккотангенс 12
Арксинус 13
Арктангенс 14
Архимед 15
Архит Тарентский 16
Асимптоты 16
Базисные векторы 18
аль-Баттани 18
Безу Этьен 18
Бернулли Иоганн 19
Бернулли Якоб 19
Бертран Жозеф 20
Бесконечная десятичная
дробь 20
Биллион 21
Бином 21
Биссектор 22
Биссектриса треугольника 22
Биссектриса угла 23
Близнецы 24
Боковая грань призмы 24
Боковая поверхность конуса 24
Боковая поверхность пря-
мого кругового цилиндра 24
Боковая поверхность пира-
миды 25
Боковое ребро пирамиды 25
Боковые стороны трапеции 25
Бомбели 26
Браге Тихо 26
аль-Бируни Абу Рейхан Му-
хаммед Ибн Ахмед 26
Бхаскара 27
Бюрги 27
Валерио Лука 28
Валлис Джон 28
Вейерштрасс Карл 28
Вектор 29
Верная цифра 31
Вертикальные углы 32
Вершина угла 32
Вершины многоугольника 32
Взаимно обратные числа 32
Взаимно простые числа 32
Взаимное расположение
прямой и окружности 33
Виет Франсуа 34
Виета теорема 35
да Винчи 36
Внешние и внутренние на-
крест лежащие углы 36
Внешний угол 36
Возрастание функции 37
Возрастающая арифметиче-
ская прогрессия 37
Возрастающая геометриче-
ская прогрессия 37
Возрастающая последова-
тельность 37
Вписанная окружность 37
Вписанный многоугольник 39
Вписанный угол 40
Вращение 41
Выделение квадрата двучле-
на 41
Вынесение общего множи-
теля 42
Выпуклый многоугольник 42
Выпуклый четырехугольник 42
Высота конуса 43
Высота пирамиды 44
Высота призмы 44
566
МАТЕМАТИКА
Высота трапеции 45 Гунтер Эдмонд 77
Высота параллелограмма 46 Гюйгенс Христиан 78
Высота треугольника 47 Дазе Захарий 79
Высота усеченной пирамиды 48 Д’Аламбер Жан 79
Высота цилиндра 48 Движение плоскости и про-
Высота шарового сегмента 49 странства 80
Высота шарового слоя 49 Двугранный угол 81
Вычитание 49 Двучлен 82
Вычитание обыкновенных Двучленное уравнение 82
дробей 52 Дедекинд Рихард 83
Галуа Эварист 52 Дезарг Ж. 83
Гармонические колебания 52 Действительные числа 83
Гармонический ряд 53 Действия с неравенствами 84
Гаусс Карл Фридрих 53 Декарт Рене 85
Гексаэдр 54 Деление 85
Гектар 54 Делитель числа 87
Геометрическая прогрессия 54 Демокрит 88
Геометрическая фигура 56 Десятичная дробь 88
Геометрические построения 57 Десятичная система счисле-
Геометрические преобразо- ния 89
вания 59 Десятичный логарифм 90
Геометрический смысл про- Дециметр 91
изводной 60 Диагональ 91
Геометрический смысл Диагональное сечение 93
определенного интеграла 60 Диаграмма 93
Геометрическое место точек 61 Диаметр круга и окружности 94
Геометрическое среднее 63 Диаметр шара 94
Геометрия 63 Диофант Александрийский 95
Герои Александрийский 64 Диофантовы уравнения 95
Герона формула 65 Дирихле Лежен 95
Гильберт Давид 65 Дискриминант квадратного
Гипатия 65 уравнения 96
Гипербола 66 Дифференциал функции 96
Гипотенуза 67 Дифференциальные уравне-
Гиппарх 68 ния 96
Гиппократ Хиосский 68 Дифференцирование 96
Г омотетия 69 Длина вектора 97
Градус 70 Длина окружности 98
Г радуемая мера дуги окруж- Длина отрезка. 98
ности 70 Длина ломаной 99
Г радуемая мера угла 71 Додекаэдр 99
Граница круга 71 Доказательство 100
Граничная точка 71 Доказательство от противно-
Грань 71 го 100
График функции 73 Дополнительные лучи 100
Графическое решение нера- Дополнительные углы 100
венств 74 Дополнительный множитель 100
Графическое решение си- Достаточное условие 101
стем двух уравнений с двумя Дробно-линейная функция 101
переменными. 75 Дробь 102
Графическое решение урав- Дуга окружности 103
нений и неравенств 76 Евдокс Книдский 104
Грегори Джеймс 77 Евклид 104
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
567
Евклида алгоритм 105
Евклидова геометрия 106
Единица 107
Единица масштаба 107
Единйцы измерения 107
Единичный вектор 109
Единичные дроби 110
Единичный отрезок 110
Единичная окружность 110
Жергон Жозеф 111
Жермен Софья 111
Жирар Альберт 111
Жордан Камил 112
Зависимость. Зависимая пе-
ременная 113
Задача 113
Законы 113
Замена переменных 114
Замечательные точки 114
Замкнутая ломаная 116
Замкнутое множество 116
Звено ломаной 117
Знаки математические 117
Знаков правило 119
Знакопостоянный ряд 119
Знакочередующийся ряд 120
Знаменатель. 120
Значащие цифры 120
Значение 121
Золотое сечение 122
Ибн Корра 123
Ибн аль-Хайсам 123
Избавление от иррацио-
нальности в знаменателе 124
Извлечение квадратного
корня 124
Измерение углов. 127
Изолированная точка 128
Измерения прямоугольного
параллелепипеда 128
Икосаэдр 129
Индекс 130
Индукция математическая 130
Иноходцев Петр Борисович 131
Интеграл 131
Интервал 134
Иррациональные выражения 135
Иррациональные числа 135
Исключение неизвестных 135
Исследование системы двух
линейных уравнений с двумя
переменными 136
Исследование функции 137
Кавальери Бонавентура 139
Кантор Георг 139
Кардано Джероламо 140
Карно Лазар 140
Касательная 141
Катет 143
аль-Каши Гияс ад-Дин
Джемшид 144
Квадрат 145
Квадратичное среднее 145
Квадратное неравенство 146
Квадратное уравнение 148
Квадратный трехчлен 149
Квадриллион 149
Кеплер Иоганн 149
Киселев Андрей Петрович 150
Класс 151
Клейн Феликс 151
Клеро Алексис Клод 151
Ковалевская Софья Васи-
льевна 152
Колебания 153
Коллинеарные векторы 153
Комбинаторика 154
Компланарные векторы 156
Комплексное число 156
Композиция движений 158
Конец вектора 158
Конечное множество 158
Конические сечения 159
Концы отрезка 160
Концы интервала 161
Конус 161
Конус усеченный 162
Концентрические окруж-
ности 163
Координата точки на прямой 163
Координатные векторы 164
Координатные четверти 164
Координаты 164
Координаты вектора 165
Координаты середины от-
резка 167
Корень 167
Косеканс 170
Косинус 171
Косинусоида 173
Котангенс 174
Котельников Семен Кирил-
лович 175
Коэффициент 176
Коши Огюстен Луи 177
Крайние члены пропорции 177
568
МАТЕМАТИКА
Крамер Габриэль 177
Кратное 177
Криволинейная трапеция 178
Кривые второго порядка 179
Критическая точка 179
Круг 4 179
Круговой сегмент 180
Круговой сектор 180
Куб 181
Кубическая парабола 182
Кубический многочлен 183
Кузанский Николай 183
аль-Кушчи 183
Лагранж Луи-Жозеф 1-84
Ламберт Иоганн Генрих 184
Лаплас Пьер Симон 185
Лебег Анри 185
Лежандр Андре М. 185
Лейбниц Готфрид Фридрих 186
Лемма 186
Линейка 186
Линейка логарифмическая 186
Линейный угол 187
Линейные неравенства 187
Линейные уравнения 188
Линейные функции. 188
Лобачевский Николай Ива-
нович 190
Логарифм. 191
Логарифм десятичный 192
Логарифм натуральный 192
Логарифмирование 193
Логарифмические нера-
венства 193
Логарифмические уравнения 194
Логарифмическая функция 195
Ломаная 195
Лопиталь Гильом Франсуа 196
Луч 196
Ляпунов Александр Михай-
лович 197
Магические квадраты 198
Магницкий Леонтий Филип-
пович 198
Маклорен Колин 199
Максимум функции 199
Марков Андрей Андреевич 200
Маскерони Лоренцо 200
Масштабный отрезок 201
Математическая индукция 201
Математика 201
Математические знаки 201
Мебиус Август Фердинанд 201
Медиана треугольника 202
Методы математические 203
Метр 205
Миллиметр 206
Минимум функции 206
Минута 206
Мнимая единица 206
Многогранник 206
Многогранный угол 208
Многоугольник 208
Многочлен 209
Множество 211
Множитель 212
Модуль 212
Монотонная функция 214
Наибольшее значение функ-
ции 215
Наибольший общий делитель215
Наименьшее значение функ-
ции 216
Наименьшее общее кратное 217
Наклонная на плоскости 217
Наклонная в пространстве 217
Накрест лежащие углы 219
Направление вектора 219
Направление координатной
прямой 219
Натуральные числа 219
Натуральный логарифм 220
Начало вектора 220
Начало координат 220
Начало луча 220
Начальная фаза гармониче-
ского колебания 220
Независимая переменная 221
Необходимое условие 221
Неопределенный интеграл 221
Непер Джон 221
Неполное квадратное урав-
нение 222
Неправильная дробь 222
Непрерывность функции 222
Неравенства 224
Неравенства числовые 224
Неравенства с одной пере-
менной 226
Несократимая дробь 231
Нестрогие неравенства 231
Нечетная функция 232
Нечетное число 233
Нули функции 233
Нулевой вектор 233
Ньютон Исаак 234
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
569
Область 235 Параллелепипед прямо-
Область значений функции 235 угольный 261
Область определения функ- f Параллелограмм 262
ции 236 Параллельные плоскости 263
Образующая конуса 236 Параллельность прямой и
Образующая цилиндра Обратная пропорциональ- 236 плоскости Параллельные прямые на 264
ность 236 плоскости 266
Обратная теорема 238 Параллельные прямые в
Обратная функция 239 пространстве 267
Обратное число 240 Параллельный перенос 267
Объем 240 Параллельный перенос в
Односторонние углы 242 пространстве 269
Одночлен 242 Паскаль Блез 270
Окрестность точки 243 Параметр 270
Округление чисел 243 Пачоли Лука 271
Окружность 244 Паш М. 271
Октаэдр 247 Пеано Джузеппе 271
Определение 248 Первообразная 272
Определенный интеграл 248 Переменная 274
Ордината 249 Переместительный закон
Орты 249 сложения 274
Осевая симметрия 249 Переместительный закон
Основание 250 умножения 274
Основное свойство обыкно- Перемещение 274
венной дроби 252 Пересекающиеся прямые 274
Основные тригонометриче- Пересекающиеся плоскости 275
ские тождества 252 Пересекающиеся плоскость
Остаток 253 и прямая 275
Остроугольный треугольник 253 Пересечение множеств 276
Остроградский Михаил Ва- Периметр многоугольника 276
сильевич 253 Период десятичной дроби 277
Острый угол 254 Период функции 277
Оси 254 Перпендикуляр к данной
Ось вращения 254 прямой из данной точки 278
Ось конуса 255 Перпендикуляр к данной
Ось цилиндра 256 плоскости из данной точки 278
Ось симметрии 256 Перпендикулярные прямые 279
Открытая область 256 Перпендикулярные прямая v 1
Открытый луч 256 плоскость 280
Отношение отрезков 257 Перпендикулярные плоскости 281
Отношение двух чисел 257 Пирамида 282
Отображение 257 Пирамида усеченная 284
Отрезок 258 Т!йфагор Самосский 285
Отрицательное направление Пифагорейская школа 286
координатной оси 258 Планиметрия 287
Отрицательные углы 258 Плоскость 288
Отрицательные числа 258 Площадь 289
Парабола 259 Площадь боковой поверх- 289
Парабола кубическая 259 ности
Параллелепипед 260 Площадь поверхности мно- 289 289
Параллелепипед прямой 260 гогранника Поворот на плоскости
570
МАТЕМАТИКА
290
290
291
291
294
294
294
295
295
295
295
296
296
296
297
298
299
299
300
300
301
301
301
302
302
304
305
305
305
305
307
308
308
308
309
309
309
310
310
310
313
313
313
313
Поворот пространства
Погрешность
Подмножество
Подобие
Показатель корня
Показатель степени
Показательная функция
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Полный угол
Положительное направление
координатной оси
Положительные углы
Положительные числа
Полуплоскость
Последовательность число-
вая
Посторонний корень
Постоянная функция
Постулат
Потенцирование
Правило треугольника и
правило параллелограмма
Правильная дробь
Правильный многогранник
Правильный многоугольник
Предел последовательности
Предел функции
Пределы интегрирования
Приближенное значение
числа
Приведение подобных сла-
гаемых
Приведенное квадратное
уравнение
Призма
Признаки делимости чисел
Прогрессии
Проекция наклонной
Проекция параллельная
Произведение вектора на
число
Произведение скалярное
векторов
Произведение многочленов
Произведение одночленов
Произведение чисел
Производная функции
Промежуток
Пропорциональность прямая
и обратная
Пропорциональные отрезки
Пропорция
Простое число 314
Противоположно направлен-
ные векторы 315
Противоположные стороны,
противоположные углы 315
Противоположные числа 315
Процент 315
Прямая 316
Прямая пропорциональность 316
Прямой круговой конус 317
Прямой круговой цилиндр 317
Прямой параллелепипед 317
Прямой угол 317
Прямоугольник 318
Прямоугольные декартовы
координаты 319
Прямоугольный параллеле-
пипед 319
Прямоугольный треугольник 319
Равенство векторов 321
Равенство отрезков 321
Равенство треугольников 321
Равенство углов 324
Равенство фигур 325
Равнобедренная трапеция 326
Равнобедренный треугольник 326
Равносильные неравенства 327
Равносильные уравнения 327
Равносторонний треугольник328
Радианная мера угла 329
Радиус-вектор 329
Радиус круга 330
Радиус окружности 330
Радиус основания конуса 330
Радиус основания цилиндра 331
Радиус шара 331
Развернутый угол 331
Развертка 332
Разложение вектора 332
Разложение многочлена на
множители 334
Разность арифметической
прогрессии 335
Разность векторов 335
Разность квадратов 335
Разность косинусов 336
Разность кубов 336
Разность синусов 336
Разность тангенсов 336
Разность чисел 336
Разряд 336
Расстояние между парал-
лельными прямыми 337
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА 571
Расстояние между скрещи-
вающимися прямыми 337
Расстояние между точками 338
Расстояние от точки до пря-
мой 338
Расстояние от точки до
плоскости 339
Расстояние от прямой до
параллельной ей плоскости 339
Расстояние между парал-
лельными плоскостями 339
Рациональная дробь 340
Рациональные выражения 341
Рациональное число 341
Ребро двугранного угла 342
Ребро многогранника 342
Ребро многогранного угла 342
Региомонтан 342
Рекуррентный способ зада-
ния последовательности 343
Решение неравенств и урав-
нений 343
Решение треугольников 343
Риман Бернхард 347
Римские цифры 347
Ромб 347
Румовский Степан Яковле-
вич 348
Ряд числовой 349
Саккери Джироламо 351
Сегмент круга 351
Сегмент шара 352
Секанс 353
Сектор круга 354
Сектор шаровой 355
Секунда 355
Секущая 356
Секущая двух прямых 357
Секущая плоскость 357
Сечение 358
Симметрия 359
Симпсон Томас 361
Симпсон Роберт 361
Синус 361
Синусоида 363
Система координат 363
Система счисления 364
Системы неравенств с одной
переменной 364
Системы неравенств с двумя
переменными 366
Система уравнений 368
Скаляр 374
Скалярное произведение
ректоров 374
Скалярный квадрат вектора 374
Скобки 374
Скрещивающиеся прямые 375
Следствия 377
Следствие уравнения 377
Сложение чисел 378
Сложение векторов 379
Смежные углы 379
Смешанное число 380
Совместные системы 380
Совокупность уравнений и
неравенств 380
Сокращение дробей 382
Соответственные углы 382
Составное число 382
Среднее арифметическое
нескольких чисел 383
Среднее геометрическое 383
Среднее гармоническое по-
ложительных чисел 383
Средняя линия трапеции 383
Средняя линия треугольника384
Стандартный вид многочле-
на 384
Стандартный вид положи-
тельного числа 385
Старший член многочлена 385
Стевин Симон 385
Степенная функция с нату-
ральным показателем 386
Степенная функция с целым
отрицательным показателем 388
Степенная функция с дей-
ствительным показателем 389
Степень 390
Степень многочлена 391
Степень одночлена 391
Стереометрия 0 392
Стороны многоугольника 392
Стороны угла 392
Сумма векторов 392
Сумма косинусов ' 393
Сумма синусов 393
Сумма тангенсов 393
Сфера 394
Таблицы математические 395
Тангенс острого угла в пря-
моугольном треугольнике 396
Тангенс произвольного угла 397
Тангенсоида 398
Тарталья Николо 398
572
МАТЕМАТИКА
399
399
399
400
403
403
405
405
406
406
407
408
408
409
409
409
409
410
411
411
412
412
412
412
413
413
414
414
417
418
418
418
420
424
424
425
425
425
426
427
427
427
Тейлора метод
Тело геометрическое
Теодолит
Теорема
Теория вероятностей
Тетраэдр
Тождественно равные выра-
жения
Тождество
Торричелли Эванджелиста
Точка
Точка внутренняя
Точка граничная
Точки замечательные
Точка касания окружностей
Точка касания прямой и
окружности
Точка критическая
Точка максимума
Точка минимума
Точка пересечения прямых
Точки пересечения окруж-
ности
Точки симметричные
Точки экстремума
Точность приближенного
числа
Транзитивность
Транспортир
Трапеция
Трапеция криволинейная
Треугольник
Трехгранный угол
Трехчлен
Тригонометрические нера-
венства
Тригонометрические урав-
нения простейшие
Тригонометрические форму-
лы
Тригонометрические функ-
ции
Тригонометрия
Триллион
Тупой угол
Тупоугольный треугольник
ат-Туси
Убывание функции
Убывающая арифметическая
прогрессия
Убывающая геометрическая
прогрессия
Убывающая последователь-
ность 427
Угловая точка 428
Угловой коэффициент пря-
мой 428
Углы вертикальные 430
Углы внешние и внутренние
накрест лежащие 430
Углы дополнительные 430
Углы односторонние 430
Углы равные 430
Углы смежные 430
Углы соответственные 430
Углы с параллельными сто-
ронами 430
Углы с перпендикулярными
сторонами 431
Углы треугольника 431
Угол 433
Угол, вписанный в окруж-
ность 434
Угол двугранный 434
Угол линейный двугранного
угла 434
Угол между векторами 434
Угол между двумя плос-
костями 435
Угол между прямой и плос-
костью 436
Угол между прямыми 437
Угол многогранный 438
Угол плоский 438
Угол поворота 438
Угол трехгранный 439
Угол центральный 440
Угольник 440
Улугбек 441
Уменьшаемое 442
Умножение вектора на число442
Умножение десятичных дро-
бей 442
Умножение обыкновенных
дробей 442
Умножение рациональных
дробей 443
Умножение чисел 443
Уравнение 444
Уравнение биквадратное 445
Уравнение гармонического
колебания 446
Уравнение дифференциаль-
ное 446
Уравнение дробное 446
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
573
Уравнение иррациональное 447
Уравнение касательной к
графику функции 448
Уравнение квадратное 448
Уравнение кубическое 448
Уравнение линейное 448
Уравнение линейное с двумя ч х
переменными 449
Уравнение логарифмическое450
Уравнение окружности 450
Уравнение плоскости 450
Уравнение показательное 450
Уравнение прямой 451
Уравнение рациональное 453
Уравнение сферы 453
Уравнение тригонометриче-
ское 453
Уравнения равносильные 453
Усеченная пирамида 453
Усеченный конус 454
Ускорение 454
Условие необходимое и до-
статочное 454
Факториал 455
Фалес Милетский 455
аль-Фараби Абу Наср Му-
хаммед 456
Фалеса теорема 456
Ферма Пьер 457
Феррари Луиджи 458
Феррони Пьетро 458
Ферро 459
Фибоначчи 459
Фибоначчи ряд 460
Фигура геометрическая 462
Фигура вращения 462
Фигура, симметричная отно-
сительно плоскости 463
Фигура, симметричная отно-
сительно прямой 464
Фигура центрально-
симметричная 464
Фигуры гомотетичные 465
Фигуры основные 465
Фигуры подобные 465
Фигуры равновеликие 466
Фигуры равные 466
Физический смысл произ-
водной 466
Формула 467
Формула Герона 467
Формула Ньютона-
Лейбница 467
Формула n-го члена ариф-
метической прогрессии 468
Формула n-го члена геомет-
рической прогрессии 468
Формула расстояния между
двумя точками 468
Формула суммы бесконеч-
ной геометрической про-
грессии дез
Формула п членов арифме-
тической прогрессии 468
Формула п членов геометри-
ческой прогрессии 469
Формулы дифференцирова-
ния 469
Формулы сокращенного
умножения 469
Формулы тригонометриче-
ские 469
Функция 469
Функция возрастающая 470
Функция, дифференцируе-
мая в точке 471
Функция квадратичная 471
Функция линейная 471
Функция логарифмическая 472
Функция монотонная 472
Функция непрерывная 472
Функция нечетная 472
Функция обратимая 472
Функция обратная 473
Функция ограниченная 474
Функция периодическая 474
Функция подынтегральная 474
Функция показательная 474
Функция постоянная 475
Функция рациональная 475
Функция сложная 475
Функция степенная 476
Функция тригонометриче-
ская 476
Функция четная 476
Функция числовая 477
Фурье Жан Батист 477
аль-Хабаш 478
Хайям Омар 479
Характеристика десятичного
логарифма 480
Характеристическое свой-
ство арифметической про-
грессии 480
574
МАТЕМАТИКА
Характеристическое свой-
ство геометрической про-
грессии 481
аль-Хорезми 481
Хорда окружности 482
Хорда сферы 484
Цейлен ван 485
Целая рациональная функ-
ция 485
Целая часть алгебраической
дроби 485
Целая часть действительно-
го числа 486
Целая часть рационального
числа 486
Целое рациональное число 486
Центр гомотетии 487
Центр круга 487
Центр окружности 487
Центр симметрии 487
Центр треугольника 487
Центр шара 488
Центр эллипса 488
Центральная симметрия 488
Центральный угол 490
Цилиндр 490
Цилиндрическая поверх-
ность 492
Цифры 493
Цифры арабские 493
Цифры вавилонские 494
Цифры верные 494
Цифры египетские 494
Цифры значащие 495
Цифры римские 495
Цифры славянские 495
Частное от деления 497
Частота колебания 497
Чебышев Пафнутий Львович 497
Чева Джованни 498
Чертеж фигуры 499
Четная функция 499
Четырехугольник 501
Числа алгебраические 503
Числа взаимно обратные 504
Числа взаимно простые 504
Числа вещественные 504
Числа действительные 504
Числа иррациональные 504
Числа комплексные 504
Числа мнимые 504
Числа натуральные 505
Числа нечетные 505
Числа отрицательные 505
Числа Пифагоровы 505
Числа противоположные 505
Числа простые 505
Числа рациональные 505
Числа смешанные 505
Числа составные 505
Числа трансцендентные 506
Числа целые 506
Числа четные 508
Числа фигурные 508
Числитель дроби 511
Число© 511
Число л 512
Числовая ось 513
Числовая последователь-
ность 514
Числовая прямая 514
Числовой промежуток 514
Числовой ряд 514
Числовые множества 514
Член многочлена 515
Член последовательности 515
Член ряда 515
Шаль Мишель 516
Шар 516
‘Шаровая поверхность 518
Шаровой пояс 518
Шаровой сегмент 519
Шаровой сектор ' 520
Шаровой слой 521
Шестиугольник правильный 522
Штейнер Якоб 523
Штифель Михаил 523
Эйлер Леонард 525
Эквивалентные уравнения 526
Экстремальная точка 526
Экстремум функции 526
Элементарная математика 527
Элементарные функции 527
Элементы множества 527
Элементы симметрии 527
Элементы треугольника 528
Эллипс 528
Эллипсоид 530
Эратосфен Киренский 531
Эратосфеново решето 531
Эрмит Шарль 532
Юнис Ибн 533
Явная функция 534
Языки программирования 534
Якоби Карл Густав 534
ПРИЛОЖЕНИЕ 535
СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА
МАТЕМАТИКА
Редактор - корректор В. Славкин
Художественный редактор И. Понятых
Технический редактор М. Кременчугская
Обложка Н. Новочихиной
Художественное оформление Л. Брылев
ОТПЕЧАТАНО С ГОТОВОГО ОРИГИНАЛ-МАКЕТА
Тираж 100 000 экз. Заказ № 1909. Цена договорная.
Типография издательства «Пресса». 125865, ГСП, Москва, А-137,
ул. «Правды», 24.
Филологическое общество
"СЛОВО"
Компания "Ключ-С"
пред лагают оптовым покупателям
- Справочник школьника (в 9 тт.)
- Популярную детскую энциклопедию
«Все обо всем» (10 тт.)
- и др. литературу
Филологическое общество "СЛОВО"
тел. (095) 235-59-97
тел. (095) 213-48-43
Компания "Ключ-С"
тел. (095) 242-97-02
(095) 440-01-48
математика
Справочник школьника

Справочник школьника
~ охватывает все аспекты
школьной программы
по каждому из предметов:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
ХИМИЯ
БИОЛОГИЯ
РУССКИЙ язык
ЛИТЕРАТУРА
ИСТОРИЯ
ГЕОГРАФИЯ
ИСТОРИЯ МИРОВОЙ КУЛЬТУРЫ
Справочник предназначен
для учащихся 4-11 классов,
школьных учителей, незаменим
для родителей в качестве
"домашнего репетитора".