МАТЕМАТИНА
В ШКОЛЕ ягб-1977
Научно-методический журнал Москва «Педагогика»
Министерства просвещения СССР Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Новая Конституция и школа
ЭТАПЫ БОЛЬШОГО ПУТИ
К 60-летию развития высшего педагогического образования в СССР
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
К вопросу о формировании научного мировоззрения в процессе
преподавания математики Примерные программы факультативных курсов О некоторых приложениях понятия интеграла в школьном курсе математики
Методы усвоения математических предложений Система дополнительных задач по теме «Векторы» О применении скалярного произведения при решении задач
на многогранники
В помощь начинающему учителю
К изучению пропорций и пропорциональности Элементы игры на уроках Карточки-задания по отысканию различных способов решения задач
Читатели вносят предложения
Одно замечание о приближенных вычислениях Об упражнениях с познавательными функциями К вопросу о совершенствовании раздела «Приближенные вычисления»
Технические средства обучения. Учебное оборудование
Учебное оборудование по геометрии для VII—VIII классов Новый прибор для кабинетов математики
Эксперимент
Из опыта изучения основных алгебраических понятий @ Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1977 !г. . \
Р. С. Черкасов
12 В. А. Мейдер
15
21 М. Б, Балк,
Г. Ф. Пискарез 27 Я. М. Груденов
29 Е. А. Василенко
31 Д. Ф. Изаак
31 Л. Ф. Иичурин
33 А. И. Зимний
35 М. Н. Наконечный
37 М. Е. Зельманзон
38 С. К. Магомедов
40 Р. А. Мусаелян
42 Е. Б. Арутюнян,
Ю. А. Глазков 45 М. Ф. Колпаков,
Г. Г. Левитас
45 Р. Д. Пезмна


В помощь самообразованию учителей
Как измеряют расстояние между функциями Метод подобия при решении планиметрических задач
Проблемы и суждения
Изучение дискретной математики в школе
О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики
математики
51 Е. П. Долженко,
В. А. Скворцов 58 Л. И. Кузнецова,
3. А. Скопец
64 Н. Я. Виленкин,
А. Я. Блох 68 П. М. Эрдниев
Внеклассная работа
XI Всесоюзная олимпиада школьников по математике Об одном виде внеклассной работы в IV—VIII классах Об одном свойстве полиномов деления круга
Задачи
Математический календарь на 1977/78 учебный год
Поздравляем юбиляра
Иван Федорович Тесленко
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
К выходу в свет I тома «Математической энциклопедии» План выпуска литературы на 1978 г.
70 М. И. Башмаков и
74 В. Г. Махров
76 А. А. Егоров,
В. А. Сендеров
77
84 А. И. Бородин
86 Н. Д. Мацько,
С. А. Пономарев
87 В. Н. Молодший
87 Р. А. Хабиб,
Н. И. Шушанский
ХРОНИКА
91
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Главный редактор Р. С. Черкасов. Зам. главного редактора С. А. Пономарев. Члены редакционной коллегии: Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Г. Д. Глейзер, Б. В, Гнеденко, Г. В. Дорофеев, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров,
Г. г. Маслова, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, В. А. Скворцов,
3. А. Скопец, П. В. Стратилатов, 3. С. Сухопина, К. И. Шалимова, С. И. Шварцбурд,
Р. А. Ястребинецкий
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ (представители союзных республик):
Л. М. Алиев (АзССР), X. А. Асадов (ТаджССР), Б. Б. Бераыев (ТССР), И. С. Бро- виков (РСФСР), Б. 17. Бычков (МССР), В. А. Гусев (РСФСР), А. С. Зибертас (ЛитССР), Д. И. Икрамов (УзССР), К. К. Кожаспаев (КазССР), Ю. М. Колягин (РСФСР), Ш. М. Май- лиев (КиргССР), В. Я. Миллере (ЛатССР), К. С. Муравин (РСФСР), 3. И. Моисеева (РСФСР), С. Ф. Рубанов (БССР), Р. В. Саркисян (АрмССР), 3. И. Слепканъ (УССР), А. Э. Тельгмаа (ЭССР), И. Ф. Тесленко (УССР), А. М. Хоштария (ГССР), Р. А. Хабиб
(РСФСР)
Зав. редакцией 3. В. Шепелева. Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор И. В. Сшиакова
Сдано в набор 21.10.77 г. Бумага тип. JSfe 2. Заказ 422 Подписано в печать 25.11.77 г. Печ. л. 6,0. Уел. печ. л. 10,08. Тираж 416 460. Формат 84X108‘/ie. Уч.-изд. Л. 11,07. Цена 45 коп.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совегн Министров СССР по делам издахельечв, полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 8.
Телефон редакции; 283-85-83.
Московская типография J\fo 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 107005, Москва, Б-5, Денисовский пер., д. SO.


Новая Конституция и школа
1977 год является для советского народа годом больших исторических событий: 60-ле- тие Великой Октябрьской социалистической революции и принятие новой Конституции Союза Советских Социалистических Республик. И это очень знаменательно. «Это,— говорил товарищ Л. И. Брежнев в докладе «О проекте Конституции (Основного Закона) Союза Советских Социалистических Республик и итогах его всенародного обсуждения» на сессии Верховного Совета СССР 4 октября 1977 г.,— не просто совпадение во времени двух крупнейших событий в жизни страны. Связь между ними гораздо глубже. Новая Конституция — это, можно сказать, концентрированный итог всего шестидесятилетнего развития Советского государства. Она ярко свидетельствует о том, что идеи, провозглашенные Октябрем, заветы Ленина успешно претворяются в жизнь».
Новая Конституция — это Конституция общества развитого социализма. На этом этапе общественного развития, указывается в Конституции, все полнее раскрываются созидательные силы нового строя, преимущества социалистического образа жизни, трудящиеся все шире пользуются плодами великих революционных завоеваний.
Новая Конституция особенно глубоко выражает волю советского народа, коренные интересы трудящихся.
Конституция СССР закрепляет то положение, что советское общество—«Это—общество, законом жизни которого является забота всех о благе каждого и забота каждого о благе всех.
Это — общество подлинной демократии, политическая система которого обеспечивает эффективное управление всеми общественными делами, все более активное участие трудящихся в государственной жизни, сочетание реальных прав и свобод граждан с их обязанностями и ответственностью перед обществом».
Конституция СССР закрепляет величайшие достижения социалистической демократии, обеспечивает условия для последующего развития социалистической демократии на пути к коммунизму.
Ярким примером преимуществ социалистической демократии является всенародное об¬
суждение проекта Конституции, активность трудящихся, их заинтересованность, глубина суждений и предложений.
Важнейший документ нашего времени рассматривался миллионами людей и на работе, и по месту жительства. Он был в центре внимания всех общественных организаций. В его обсуждении участвовала вся наша партия. Состоялось более 450 тыс. открытых партийных собраний, на которых выступило свыше 3 млн. человек. Активнейшее участие в обсуждении проекта Конституции принимали все Советы депутатов трудящихся.
Формы обсуждения проекта Конституции были самыми разнообразными, но каждая из этих форм демонстрировала всенародный характер обсуждения, высокий уровень активности советских людей, их большую заботу о судьбах социалистической Отчизны.
В ходе всенародного обсуждения поступило около 400 тыс. предложений о поправках к отдельным статьям, направленных на уточнение, улучшение и дополнение формулировок проекта. Все эти предложения и рекомендации были внимательно рассмотрены. Конституционная комиссия доложила сессии Верховного Совета СССР, что всенародное обсуждение дало возможность заметно улучшить проект Конституции, внести в него ряд полезных дополнений, уточнений и поправок. Конституционная комиссия рекомендовала сессии Верховного Совета СССР внести изменения в 110 статей проекта и добавить одну новую статью.
Наибольшее число поступивших поправок касалось такого коренного вопроса, как роль труда при социализме. Предлагалось ярко показать в Конституции характер нашего общества как общества трудящихся. Товарищ Л. И. Брежнев указал на сессии Верховного Совета СССР, что это предложение имеет глубокий смысл. С учетом предложений участников обсуждения в статье 1 Конституции записано, что Советское общенародное государство выражает волю и интересы рабочих, крестьян и интеллигенции, трудящихся всех наций и народностей страны.
В тысячах предложений советских людей отмечалось, что в Конституции следует указать: «Уклонение от общественно полезного
1*
3


труда несовместимо с принципами социалистического общества». Предложение учтено в статье 60 Конституции.
Было принято предложение определить в Конституции не только политическую основу СССР, не только основу нашей экономической системы, но и социальную основу нашего государства.
Принципиальнейшее значение имеет внесение в Конституцию в соответствии с пожеланиями трудящихся положения о том, что Советский Союз стремится к достижению всеобщего и полного разоружения (статья 28).
Исключительно важное значение имеет то, что всенародное обсуждение позволило усовершенствовать ряд положений проекта, направленных на дальнейшее развитие социалистической демократии.
В целом Конституционная комиссия рекомендовала Верховному Совету принять помимо чисто редакционных около 150 поправок и уточнений по проекту Конституции. На самом деле, указывал товарищ Л. И. Брежнев в докладе на сессии Верховного Совета СССР, таким путем «учтены мнения, выраженные во много раз большим числом граждан. Достаточно сказать, что только за одной поправкой к статье об обязанности граждан трудиться стоят десятки тысяч совпадающих по содержанию предложений».
Единодушное одобрение советским народом проекта Конституции — это главный политический итог всенародного обсуждения.
«Именно весь советский народ,— говорил на сессии Верховного Совета СССР товарищ Л. И. Брежнев,— стал подлинным творцом Основного Закона своего государства».
От имени Верховного Совета СССР товарищ Л. И. Брежнев сердечно поблагодарил каждого участника всенародного обсуждения проекта Конституции и пожелал всем им новых успехов в труде на благо нашей великой Родины, дальнейшего, все более активного участия в делах нашего социалистического государства.
Очень активно прошло обсуждение проекта Конституции на сессии Верховного Совета СССР. Выступило 92 депутата, представляющих все слои трудящихся, все союзные и многие автономные республики. Выражая мнение миллионов своих избирателей, депутаты Верховного Совета СССР горячо поддержали проект Конституции. Вместе с тем были внесены некоторые поправки и дополнения, например о необходимости подчеркнуть, что основу личной собственности составляют трудовые доходы; что Советское государство поощряет новаторов, творческое отношение к
труду, что оно организует внедрение в народное хозяйство изобретений и рационализаторских предложений; что колхозы, как и другие землепользователи, обязаны эффективно использовать землю, бережно относиться к ней, повышать ее плодородие и др.
На сессии Верховного Совета СССР был поддержан ряд предложений, касающихся воспитания и образования. Так, было поддержано предложение депутата М. К. Андриевского— директора школы-интерната из Полтавской области — об уточнении статьи 42 — сказать в ней, что запрещение детского труда имеет целыо охрану здоровья детей, но ни в коей мере не исключает трудового обучения и воспитания, которое было и остается нашей важнейшей задачей.
Было учтено и пожелание депутата М. Т. Аматггаевой — учительницы из Казахстана — записать, что духовные ценности должны использоваться для нравственного и эстетического воспитания советских людей.
Новая Конституция закрепила огромные достижения советского общества в деле образования и воспитания молодого поколения. Она предоставила возможности для дальнейшего совершенствования этого важного и благородного дела (статья 25).
Под руководством Коммунистической партии в советской школе проделана большая работа по совершенствованию содержания и повышению эффективности образования и воспитания учащейся молодежи, росту учительских кадров и усилению их педагогического мастерства, укреплению материальной базы школы и т. д.
Высокие достижения советской науки, в том числе педагогической науки, обеспечили высокое качество содержания обучения и воспитания школьников в современных условиях.
Непрерывно расширяются масштабы советской школы. Ярким примером этого могут служить данные народного образования по РСФСР.
В 1935/36 учебном году в IX—X классах школ РСФСР обучалось 109 тыс. юношей и девушек, а в 1975/76 учебном году — 2965 тыс. Рост в 27 раз!
Число учителей в республике выросло с 472 до 1173 тыс.
За 40 лет значительно увеличилось количество воспитанников в дошкольных учреждениях и достигло 6,5 млн. человек.
Об укреплении материальной базы народного образования свидетельствует тот факт, что за 1966—1976 гг. построено школ на 8700 тыс. мест. т. е. половина всех учеников занимается в новых зданиях. За 11 последних
4


лет построено детских дошкольных учрежяе-
ни 11 на 2SG0 ил с. мест.
В школах осуществляется переход на кабинетную систему.
Столь же замечательны успехи развития школы и в других союзных республиках.
Новая Конституция закрепила введение в СССР обязательного всеобщего среднего образования.
Характеризуя проект новой Конституции, товарищ Л. И. Брежнев на майском (1977 г.) Пленуме ЦК КПСС отметил, что, если в Конституции 1936 г. говорилось «в общей форме о праве на образование, то теперь речь идет об обязательном всеобщем среднем образо вании, о широком развитии профессионально- технического и высшего образования».
Новая Конституция определяет новый этап в развитии советской школы. В этой связи большое значение имеет статья 45 Конституции: «Граждане СССР имеют право на образование.
Это право обеспечивается бесплатностью всех видов образования, осуществлением всеобщего обязательного среднего образования молодежи, широким развитием профессионально-технического, среднего специального и высшего образования на основе связи обучения с жизныо, с производством; развитием заочного и вечернего образования; предоставлением государственных стипендий и льгот учащимся и студентам; бесплатной выдачей школьных учебников; возможностью обучения в школе на родном языке; созданием условий для самообразования».
В настоящее время в стране более трех четвертей работников, занятых в народном хозяйстве, имеют высшее или среднее (полное или неполное) образование. Всеми видами обучения охвачено свыше 93 млн. человек.
Конституция СССР отразила глубокую заботу Коммунистической партии и Советского государства о росте творческих сил нашего народа. В статье 20 указано, что государство ставит своей целью расширение реальных возможностей для применения гражданами своих творческих сил, способностей и дарований, для всестороннего развития личности.
Конституция СССР закрепила неразрывную связь всей деятельности советской школы с решением советским народом коренных задач коммунистического строительства.
Принятие новой Конституции вызывает необходимость повышения ответственности всех работников за порученное им дело.
Товарищ Л. И. Брежнев указывал на сессии Верховного Совета СССР на «необходимость значительного улучшения стиля и методов ра¬
боты всех наших государственных органов —
центральных и местных, всех министерств и ведомств, учреждений и организаций.
Особое внимание при этом следует обратить на повышение ответственности и инициативы каждого звена, каждого работника...»
Работники народного образования руководствуются в своей деятельности этими важнейшими указаниями. Повышая свою ответственность, развивая инициативу и творческую активность, они стремятся непрестанно улучшать качество всей учебной работы, совершенствовать трудовое воспитание и профессиональную ориентацию учащихся, усиливать идейнонравственное воспитание школьников.
Работники народного образования СССР видят свой важнейший долг в том, чтобы советская школа внесла еще больший вклад в дело воспитания молодых патриотов, интернационалистов, идейно убежденных строителей коммунизма.
Новая Конституция СССР оказывает сильнейшее воздействие на весь ход мирового общественного развития, на борьбу за мир, социализм и демократию.
В докладе на сессии Верховного Совета СССР товарищ Л. И. Брежнев подверг аргументированной критике попытки буржуазных идеологов и политиков фальсифицировать содержание Советской Конституции, умалить ее значение и наглядно показал несостоятельность измышлений буржуазных фальсификаторов о правах, свободах и обязанностях советских граждан, о Коммунистической партии — авангарде советского народа, его наиболее сознательной, передовой части, неотделимой от народа в целом.
«Вступление в силу новой Конституции,— говорил товарищ Л. И. Брежнев,— означает, что еще больше возрастает ответственность нашей ленинской партии — руководящей и направляющей силы советского общества. Конституционное закрепление этой роли партии не дает никаких привилегий ее членам. Напротив, оно возлагает на них еще большие обязанности. Позвольте мне от имени Центрального Комитета КПСС и всей нашей партии заверить вас, товарищи депутаты, что советские коммунисты, где бы они ни трудились, всегда будут помнить об этом».
Высокий долг работников советской школы— воспитывать учащуюся молодежь в духе беззаветной преданности делу Коммунистической партии.
Новая Конституция СССР воодушевляет советский народ на свершение новых замечательных дел во имя торжества коммунизма.


Уже в ходе всенародного обсуждения проекта Конституции ярко раскрылось огромнейшее влияние этого документа на рост творческой активности трудящихся.
«Миллионы и миллионы тружеников города и деревни,— говорил товарищ Л. И. Брежнев в докладе на сессии Верховного Совета СССР,— поддержали новый Основной Закон и словом и делом. Они сверяли каждую строку проекта с собственной практической работой, с делами своих трудовых коллективов».
Нового размаха достигло в ходе всенародного обсуждения проекта новой Конституции социалистическое соревнование — испытаннейший метод развития творческой активности масс в строительстве коммунизма.
В ходе всенародного обсуждения проекта новой Конституции трудящиеся Советской страны, сочетая политическую и трудовую активность, успешно выполняли и перевыполняли повышенные социалистические обязательства.
Миллионы советских людей послали в адрес внеочередной седьмой сессии Верховного Совета СССР трудовые рапорты.
Высокую творческую активность проявили в славном юбилейном году работники народного образования. Еще шире развернулось движение учителей Москвы под девизом «Каждому школьнику — глубокие и прочные знания», а также почин под лозунгом «Образ¬
цовому коммунистическому городу — образцовые школы».
Понимание и глубокий интерес широких учительских масс вызвало начинание передовых школьных коллективов Волгоградской области, призвавших коллег добиться высокого качества каждого урока, органического единства обучения и воспитания, учебной и внеклассной работы. Движение под девизом «Каждому уроку — отличную подготовку, современные методы, высокое качество» было подхвачено многими школьными коллективами.
Горячо откликнулись работники школ на призыв учителей Московской области и Красноярска: «От творчески работающего учителя — к творческому коллективу».
Педагогические институты страны активно поддержали обращение коллективов МГПИ им. В. И. Ленина и ЛГПИ им. А. И. Герцена развернуть социалистическое соревнование за достойную встречу 60-й годовщины Великого Октября.
Вдохновленные идеями Великого Октября, принятием Конституции развитого социализма, работники народного образования Советской страны удвоили свою энергию в борьбе за выполнение исторических решений XXV съезда КПСС, в благородной работе по обучению и воспитанию молодого поколения строителей коммунизма.
«Воспитывать в человеке устремленность к высоким общественным целям, идейную убежденность, подлинно творческое отношение к труду — это одна из самых первостепенных задач. Здесь проходит очень важный фронт борьбы за коммунизм, и от наших побед на этом фронте будет все больше зависеть и ход экономического строительства, и социально-политическое развитие страны».
(Из доклада Генерального секретаря ЦК КПСС, Председателя Президиума Верховного Совета СССР товарища Л. И. Брежнева «Великий Октябрь и прогресс человечества» на горжес? венном заседании ЦК КПСС, Верховного Совета СССР и Верховного Совета РСФСР 2 ноября 1977 г.)


ЭТАПЫ БОЛЬШОГО ПУТИ
Р. С. ЧЕРКАСОВ
(Москва)
К 60-ЛЕТИЮ РАЗВИТИЯ ВЫСШЕГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СССР
Великая Октябрьская социалистическая революция открыла дорогу к знаниям для всего народа.
С созданием первого в мире социалистического государства все завоевания культуры были поставлены на службу интересам трудящихся. Советскому государству в кратчайшие сроки предстояло решить труднейшую задачу проведения ленинской программы культурной революции в стране, которая до Великого Октября была страной «нолуазиат- ской бескультурности».
Победа революции закрепляется школой. Коммунистическая партия и Советское правительство уже в своих первых решениях и декретах наметили пути развития всенародного просвещения, строительства самой передовой единой трудовой политехнической школы. Одной из важнейших задач в реализации намеченной программы стала проблема подготовки учителя, развития высшего педагогического образования.
В наследство от царского режима Советская власть получила крайне недостаточную сеть учительских семинарий, готовящих учителей начальной школы, 19 учительских институтов, готовящих учителей городских училищ, 2 высших педагогических учебных заведения и 8 университетов, в которых частично велась подготовка учителей средней школы. Сложившаяся в дореволюционной России сеть учебных заведений по подготовке учительских кадров не обеспечивала даже половины потребности в учителях начальной школы, а подготовка учителей в высшей школе была рассчитана на ту систему просвещения, при которой для 90% населения путь к образованию был закрыт. В отдаленных районах страны и национальных окраинах сеть педагогических учебных заведений была ничтожно малой. Ни одного высшего учебного заведения не было на
территориях, вошедших в состав Белорусской, Литовской, Молдавской, Азербайджанской, Армянской, Казахской, Узбекской, Туркменской, Таджикской, Киргизской республик. В сложной обстановке, несмотря на голод, тяжелую борьбу с интервенцией и контрреволюцией, в условиях неимоверных лишений и разрухи в Советской России были найдены возможности и выделены достаточные средства для быстрого развития образования, для подготовки учительских кадров.
В связи со стремительным ростом сети не только начальных, но и средних школ и быстрым ростом потребности в учителях на местах стала проводиться работа по реорганизации учительских институтов в высшие учебные заведения и по созданию новых высших педагогических учебных заведений. Вскоре эта работа приняла централизованный характер. В августе 1919 г. II Всероссийский съезд по народному образованию вынес решение об организации единой сети педагогических учебных заведений — институтов народного образования. Уже к концу 1920 г. в РСФСР имелось, кроме нескольких педагогических институтов, 59 институтов народного образования с различными сроками обучения. В большинстве этих институтов готовились и учителя математики.
Была начата работа по составлению новых программ. Программа курса методики математики, проект которой был предложен И. К. Андроновым в докладе, прочитанном на съезде по подготовке учителей (август 1918 г.), имела разделы: «I. Анализ современной действительной постановки математики в школе;
II. Методология математики и отдельных ее дисциплин: арифметики, геометрии и алгебры;
III. Критико-исторический очерк методических идей по математике; IV. Практический индивидуальный курс методики математики;
V. 	Обзор учебно-задачной литературы по математике и наглядных пособий». С целью оказания практической помощи учителям математики Отдел по реформе школы при Комиссариате народного просвещения приступил к изданию журнала «Математика в школе». Содержание двух изданных номеров этого журнала (№ 1 — июль — август 1918 г., № 2 — сентябрь — октябрь 1918 г.) было посвящено проблеме решения новых задач в области методики преподавания математики.
В редакционной статье, помещенной в первом номере, были намечены основные направления разработки проблем математического образования. Однако начавшаяся интервенция и гражданская война задержали осуществление намеченных планов. Предметом специаль-
7


гюго и обстоятельного рассмотрения эти проблемы стали в начале 1924 г.
В феврале 1924 г. на I Всероссийской конференции по педагогическому образованию были определены направления и содержание подготовки учителя и принят примерный учебный план высшего педагогического учебного заведения. Были разработаны и учебные планы для подготовки учителей математики. На изучение специальных дисциплин этими планами отводилось около 38% учебного времени, однако в целом они были крайне перегружены (недельная нагрузка обязательными занятиями достигала 50 часов).
Учебным планом 1927 г. предусматривалось некоторое увеличение часов на специальные предметы. Преподавание математики начиналось курсами «Энциклопедия элементарной математики» и «Введение в высшую математику». Большое место в учебном плане отводилось курсу элементарной математики. В учебный план входил и небольшой курс методики математики. Специальная математическая подготовка осуществлялась курсами математического анализа, высшей алгебры, теории чисел, теории вероятностей, аналитической геометрии, высшей геометрии.
Учебным планом предусматривалось и проведение педагогической практики студентов, но, в основном, не в школах, а на промышленных предприятиях.
До конца 20-х годов высшее математическое образование не только в педагогических институтах, но и во всех университетах было ориентировано на подготовку учителей математики.
В годы первых пятилеток резко возросла потребность в кадрах преподавателей математики как для средней, так и для высшей школы. В решении вопроса о связи педагогического образования с задачей индустриализации, о путях развития педагогического образования не сразу были найдены правильные ответы. Имела место недооценка роли лекционных курсов, системы экзаменов. После постановления ЦК КПСС «О начальной и средней школе» (август 1931 г.) и ЦИК СССР «Об учебных программах и режиме в высшей школе и техникумах» (сентябрь 1932 г.) была проведена большая работа по совершенствованию высшего педагогического образования. В 1933 г. Наркомпрос РСФСР утвердил новые учебные планы педагогических институтов (эти учебные планы были положены в основу учебных планов и в других союзных республиках). На лекционные занятия этими планами отводилось до 58% учебного времени. Была сокращена миогопредметность, существен¬
но изменилась постановка педагогической практики, повышена роль дисциплин педагогического цикла.
В начале 30-х годов возникла и получила развитие новая форма подготовки учителей математики с высшим образованием на заочных и вечерних отделениях педагогических институтов и университетов.
В 1934 г. впервые были утверждены программы математических дисциплин для педагогических институтов (математический анализ, аналитическая геометрия, основания геометрии, черчение с элементами начертательной геометрии, высшая алгебра, теория вероятностей, элементарная математика, включавшая в то время и разделы теории чисел, оснований арифметики).
В 30-е годы структурно оформился курс методики преподавания математики, включающий разделы общей и частной (специальной) методики.
Новые учебные планы, утвержденные в 1935 г., характеризовались некоторым сокращением часов обязательных занятий, введением зачетов и государственных экзаменов, факультативных курсоз. Предусматривалась подготовка учителя по специальностям: «математика», «математика и физика». На организованном Наркомпросом РСФСР совещании преподавателей математики (март — апрель 1935 г.) в докладе П. С. Александрова «О некоторых направлениях в развитии математики и их значении для преподавания» были намечены пути совершенствования школьного курса математики.
С середины 30-х годов начали издаваться учебники математики, предназначенные для студентов педагогических институтов и для учителей. Были опубликованы «Введение в анализ» (1935), «Дифференциальное исчисление» (1936), «Интегральное исчисление» (1936) И. И. Жегалкина и М. И. Слудской, «Теория рядов» Н. К. Бари (1936), «Дифференциальная геометрия» С. П. Финикова (1936), «Обыкновенные дифференциальные уравнения» М. К. Гребенчи (1937). В эти же годы были изданы пособия по элементарной математике: «Приближенные вычисления»
В. М. Брадиса, «Основы теоретической арифметики» П. Д. Белоновского, «Теория чисел», «Теоретическая арифметика» И. В. Арнольда и др.
В июне 1936 г. СНК СССР и ЦК ВКП (б) приняли постановление «О работе высших учебных заведений и о руководстве высшей школой», в котором было обращено серьезное внимание на совершенствование методой преподавания. Устанавливались следующие фор¬
8


мы учебной работы: 1) лекции, 2) практические занятия, 3) производственная практика. Особо отмечалось, что без серьезной постановки научной работы кафедр «не может осуществляться высшими учебными заведениями подготовка специалистов на уровне требований современной науки.и немыслима подготовка научно-преподавательских кадров и повышение их квалификации». К решению проблем подготовки учителей математики и развития школьного математического образования были привлечены крупные научные силы. Активное участие в работе по совершенствованию подготовки учителей математики приняли ученые-математики II. Н. Лузин, А. Я. Хинчин, П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, Г. М. Фихтенгольц, Д. К. Фаддеев и др.
Развязанная фашистской Германией вторая мироваяч война прервала широко развернувшуюся в нашей стране работу по совершенствованию подготовки учителей математики. Но и в тяжелые годы Великой Отечественной войны эта работа не была приостановлена. В этот период большую роль в развитии высшего педагогического образования сыграли вузы Урала и восточных районов страны, принявшие в свой состав многие педагогические институты, эвакуированные с захваченных врагом и прифронтовых территорий.
В послевоенный период проблема подготовки кадров учителей математики встала с еще большей, чем ранее, остротой. Для удовлетворения возросших нужд школы наряду с педагогическими институтами, готовившими учителей для всех классов средней школы, были созданы учительские институты с двухлетним сроком обучения, в задачу которых входила подготовка учителей для V—VII классов. В 1953/54 учебном году в стране насчитывалось 297 педагогических и учительских институтов. В дальнейшем, после выполнения возложенных на них задач, учительские институты были закрыты. Значительная часть этих институтов была реорганизована в педагогические институты.
В послевоенные годы возобновилась работа по изданию учебных пособий для математических и физико-математических факультетов педвузов. Среди первых изданных пособий были «Курс элементарной геометрии» (ч. I и II) Д. И. Перепелкина (1948—1949), «Курс математического анализа» (ч. I и II) М. К. Гре- бенчи и С. И. Новоселова (1948—1950), «Средства и способы элементарных вычислений» (1947), «Методика преподавания математики» (1949) В. М. Брадиса, «Проективная геометрия» Н. Ф. Четверухина (1953) .
Возобновилась работа по совершенствованию учебных планов и программ.
Учебными планами 1954 г. предусматривалась подготовка учителя математики средней школы (срок обучения 4 года), учителя математики и физики средней школы (срок обучения 5 лет). В первый из этих планов был включен как обязательный курс истории математики. В 1956 г. была издана программа этого курса под названием «История элементарной математики», авторами которой были И. К. Андронов, М. Я. Выгодский, И. Я. Деп- ман, В. Н. Молодший, Ю. А. Юшкевич.
На совещании заведующих кафедрами математики педагогических институтов (1954) были подвергнуты широкому обсуждению возникшие новые вопросы в профессиональной подготовке учителя математики. Наиболее острыми были дискуссии, связанные с местом и ролью в подготовке будущего учителя курса элементарной математики. Автор программы курса профессор В. М. Брадис считал, что этот курс имеет временный характер и, когда специальные математические дисциплины учтут в необходимой мере требование профессиональной подготовки учителя, этот курс будет снят. Другой точки зрения придерживался профессор И. К. Андронов. В своем докладе <? повышении методической подготовки будущие учителей И. К. Андронов настаивал на том, что курс элементарной матехматики должен занять постоянное место в учебном плане и должен быть обеспечен достаточно большим числом учебных часов. Заметим, что время дало другой ответ на этот вопрос, не совпадающий как с первой, так и со второй из этих точек зрения.
В учебные планы 1957 г. по предложению академика А. И. Мальцева был включен новый курс- «Алгоритмы и математические машины». В 1959 г., в число обязательных курсов по специальности «математика и черчение» были включены спецсеминары по педагогическим наукам (методика преподавания математики, педагогика, психология). До этого времени в учебные планы входили спецсеминары только по математике.
С начала 60-х годов в педагогических вузах стала развиваться экспериментальная работа по изысканию путей дальнейшего повышения уровня подготовки учителей математики. Наиболее полной и законченной эта работа была в МГПИ им. В. И. Ленина, ЛГПИ им. А. И. Герцена, Ивановском, Калининском, Владимирском педагогических институтах. В этих институтах составлялись и получали апробацию программы новых учебных дисциплин, создавались экспериментальные учеб¬
9


ные пособия. В 1963 г. по предложению академика П. С. Новикова в учебные планы математических факультетов вошел курс математической логики (проект первой программы этого курса был составлен академиком А. И. Мальцевым и издан под редакцией академика П. С. Новикова в 1958 г.).
В учебном плане 1970 г. был снят курс элементарной математики. Вопросы школьного курса математики вошли в программы соответствующих специальных дисциплин: математического анализа, алгебры, геометрии, теории чисел. Часть курса элементарной математики, не требующая лекционной формы занятий, была выделена в новую дисциплину, вошедшую в учебный план под названием «Практикум по решению задач». Курс истории математики был перенесен в число факультативных. Вместо курса «Алгоритмы и математические машины» в учебные планы вошел курс вычислительной математики и программирования.
Возрастающая роль школы в социалистическом обществе, решение задач, поставленных научно-техническим прогрессом, требовали дальнейшего повышения качества подготовки учителей.
XXIV съезд КПСС определил главные направления подготовки специалистов в высшей и средней специальной школе. В развитие принятых съездом решений ЦК КПСС и Совет Министров СССР приняли постановление «О мерах по дальнейшему совершенствованию высшего образования в стране» (июль 1972 г.). Эти решения и определили содержание всей работы педагогических институтов страны по повышению качества подготовки учителей в ответственный для страны период завершения введения всеобщего среднего образования.
Значительным этапом в решении задачи повышения качества подготовки учителей математики стало введение в 1973 г. новых учебных планов и новых программ. Важной особенностью этих учебных планов и программ явилось то, что общественные, педагогические и математические циклы дисциплин здесь образовали единую согласованную систему, обеспечивающую успешное совместное решение задачи всесторонней подготовки учителя математики советской школы. Новые программы по циклу математических дисциплин не только обеспечивают высокую теоретическую подготовку студентов. Значительно повысилась роль этих дисциплин в методической подготовке будущего учителя. В самих программах и в объяснительной записке к ним специально отмечается, что все математические курсы ориентированы на то, чтобы дать будущему учите¬
лю конкретные знания и навыки для работы по новым программам для средней школы. Важную роль в решении задачи подготовки учителя на уровне требований, предъявляемых современной советской школой, призван выполнить и введенный в учебный план по предложению академика А. Н. Колмогорова новый предмет «Научные основы школьного курса математики».
Программа по методике преподавания математики была составлена заново, исходя из требований нового курса математики средней школы и поставленных перед школой новых задач.
На XXV съезде КПСС была дана высокая оценка итогов работы советской школы и советского учителя. Историческим достижением девятой пятилетки явилось завершение в основном введения всеобщего среднего образования. Велик и неоценим вклад советского учителя в решение этой замечательной задачи. И успешное ее решение в столь короткие сроки стало возможным потому, что в Советской стране делу народного образования, высокой всесторонней подготовке учителя средней школы уделяется постоянное и неослабное внимание.
В решениях XXV съезда КПСС была поставлена задача дальнейшего совершенствования системы народного образования, улучшения подготовки преподавателей, приведение методов обучения в соответствие с требованиями жизни. Одним из важных направлений в совершенствовании методов обучения явилось привитие студентам навыков самостоятельной творческой работы, стремления к постоянному пополнению своих знаний. В педагогических институтах стран т развернулась работа по вовлечению студентов в различные формы учебно-исследовательской и научно-исследовательской работы, по увеличению числа таких дипломных работ, которые являются завершением предшествующей творческой деятельности студента в научном обществе, выполненных ранее учебно-исследовательских, курсовых работ. Защита згдкой дипломной работы должна показать, как глубоко овладел будущий учитель знаниями и насколько успешно в конкретной обстановке эти знания могут служить основой его практических самостоятельных действий.
В 1977 г. учебные планы факультетов, готовящих учителей математики, были усовершенствованы в направлении их разгрузки, создания более благоприятных условий для самостоятельной работы студентов, включения в учебный процесс более широкого перечня факультативных курсов. При этом курсы матема¬
10


тического цикла в учебном плане специальности «математика» (срок обучения 4 года) по- прежнему занимают около 58% от общего числа учебных часов. В новых учебных планах из предмета «Научные основы школьного курса математики» выделены в качестве самостоятельных дисциплин курсы: «Математическая логика», «Числовые системы». Сохранившиеся разделы этого курса вошли в учебный план под новым названием: «Современные основы школьной математики». Этот курс по своему содержанию относится к методическому циклу и занимает промежуточное, связующее положение между курсом методики преподавания математики и специальными математическими дисциплинами. К методическому циклу относятся также практикум по решению задач, спецсеминары по методике преподавания математики. Математический цикл включает предметы: «Математический анализ», «Алгебра и теория чисел», «Геометрия», «Теория вероятностей», «Вычислительная математика и программирование», «Математическая логика», «Числовые системы», курсы и семинары по выбору.
За время обучения в институте студенты проходят двухнедельную практику по измерительным и вычислительным работам, четырехнедельную практику в летних пионерских лагерях и две педагогические практики в школах общей продолжительностью 13 недель. При окончании института проводятся государственные экзамены по научному коммунизму, математике, педагогике с методикой преподавания математики. (Один из двух последних экзаменов может быть заменен защитой дипломной работы.)
На факультетах, готовящих учителей широкого профиля (математика и физика, физика и математика и др.), предусматривается сдача четырех госэкзаменов. Срок обучения на этих факультетах 5 лет.
В десятой пятилетке подготовка учителей математики для средней школы ведется в 200 педагогических институтах и в большинстве из 65 университетов. В подготовке учителей математики в университетах и пединститутах имеются существенные отличия. В университетах готовятся учителя только по одной специальности. Срок обучения в университетах
5 лет. Студенты университетов получают больший объем фундаментальных знаний, имеют более широкие возможности для научных занятий по выбору. В то же время цикл педагогических дисциплин там в значительной мере сокращен. Каждая из этих двух систем подготовки учителя математики средней школы имеет свои преимущества.
Разработка проблемы совершенствования высшего педагогического образования является предметом постоянного внимания научных учреждений, союзных и республиканских министерств просвещения, министерств высшего и среднего специального образования. Основную работу по определению содержания и координации ведущихся исследований, по обмену передовым опытом работы выполняют созданные при Министерстве просвещения СССР научно-методические советы (в составе которых имеется научно-методический совет по математике) и научно-методический совет по проблемам высшего педагогического образования при АПН СССР.
Перед высшими учебными заведениями, готовящими учителей средней школы, открываются широкие перспективы. Сердцевиной всего учебно-воспитательного процесса здесь является подготовка студента к выполнению высокой воспитательной миссии в школе и в обществе. Достижения советского общества в области социальной, в развитии общественных идей, фундаментальных наук, в научно-технической и культурной жизни создают необходимую базу и предпосылки для дальнейшего повышения политического и научного уровня подготовки будущих учителей, для успешного решения задач, поставленных нашей страной перед советским учителем.
Литература
КПСС в резолюциях и решениях съездов, конференций и пленумов ЦК. М., Политиздат, 1970.
Материалы XXIV съезда КПСС. М., Политиздат, 1971.
Материалы XXV съезда КПСС. М., Политиздат, 1976.
Народное образование в СССР. Сборник документов. 1917—1973. М., «Педагогика», 1974.
Паначин Ф. Г. Педагогическое образование в СССР. М., «Педагогика», 1975.
История математического образования в СССР. Киев, «Паукова думка», 1975.
Учебные планы и программы педагогических институтов (1934—1977 гг.).


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В. 	А. МЕЙДЕР (г. Усть-Каменогорск)
К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ НАУЧНОГО МИРОВОЗЗРЕНИЯ в ПРОЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
1
Марксистско-ленинское научно-материали- стическое мировоззрение формируется и совершенствуется на протяжении всей сознательной жизни человека. Но особенно интенсивно этот процесс осуществляется в годы учебы, и нашу учащуюся молодежь отличает стремление к философским знаниям, стремление глубоко освоить ядро марксистско-ленинской философии — диалектический и исторический материализм.
Философия диалектического материализма неотделима от частных наук. Поэтому преподавание каждой частной дисциплины должно быть и закреплением философии, и «работой» философии в пользу этих дисциплин. В статье «Высокий долг советских философов», которую с полным основанием можно назвать программной, газета «Правда» (от 19 сентября 1975 г.) писала: «Взаимозависимость между философией, с одной стороны, всей совокупностью общественных и естественно-технических наук — с другой, в современных условиях становится все большей; соответственно, все большую жизненность демонстрирует ленинская идея союза философов-марксистов с представителями конкретно-научного знания».
2
Важную роль в формировании научного мировоззрения призвана сыграть математика.
У математики, кроме логической строгости, делающей ее мощным педагогическим орудием, кроме ее значения для познания определенных сторон окружающего нас мира и овладения им, есть еще одна не менее важная сторона — проникновение в область наиболее общих вопросов человеческой мысли.
Это ее философское значение признавалось и ценилось уже в глубокой древности. Как свидетельствует история философии, математика первоначально являлась частью философии, с ее помощью древние философы развивали свои воззрения на мир. «Математика есть рукоятка философии»,— учили древнегреческие мыслители.
В более позднее время, в эпоху Возрождения, Галилей отмечал, что философия (природа) написана в грандиозной книге, но понять ее может только тот, кто научится понимать ее язык и знаки, ибо написана она на математическом языке, а ее знаками являются математические формулы.
Хорошо известен пример непосредственного влияния математики на философию: само
появление непротиворечивой системы геометрии Лобачевского показало явную несостоятельность философии Канта о будто бы врожденным у людей истинным представлением свойств пространства, описываемых геометрией Евклида.
Ученые всегда работают на основе определенных философских предпосылок, хотя многие из них и не признают этого. В этом отношении математики не составляют исключения. И как бы некоторые из них ни отгораживались от диалектики, философии, она постоянно присутствует в их исследованиях. Чрезвычайно ярко и точно этот факт выражает академик
А. 	Д. Александров: «Когда говорят: «Диалектика в математике не нужна — я доказываю теоремы без диалектики», то во второй части фиксируют несомненный факт, ибо доказательство следует достаточно формальному пути и иначе не есть математическое доказательство. ...Но... те, кто из ненадобности диалектики в доказательствах заключают, что она вообще ни к чему, упускают из виду, что они могут доказывать свои теоремы только потому, что область понятий, к которой эти теоремы относятся, была когда-то определена и что этот процесс определения новой области науки, формирования принципиально новых понятии вовсе не формальный, но тем не менее имеет свою, хотя и более трудную и глубокую логику. Эта логика — логика изменения понятий в соответствии с задачами познания — и есть диалектика. Поэтому утверждения о ненужности диалектики, философии и прочее есть не
12


более как та же самодовольная некультурность, какую проявляет иной неразвитый «работяга», чванящийся тем, что «все эти теории ему не нужны». Мы можем отметить тот исторический факт, что почти все действительно великие математики были философами-мысли- телями» («Математика в школе», 1972, № 2, с. 7—8). И далее он называет такие имена, как Фалес, Пифагор, Демокрит, Декарт, Лейбниц, Ньютон, Лобачевский, Риман, Кантор, Пуанкаре, Брауэр, Гильберт, Винер.
Наше время, характеризующееся широким развертыванием научно-технической революции, фундаментальными открытиями в области математики, интенсивным процессом математизации научных знаний, усилением борьбы между материализмом и идеализмом на почве математики, требует все большего внимания к вопросам взаимосвязи философии и математики. Основными формами этого союза можно назвать, во-первых, философский анализ и оценку отдельных достижений математики; во-вторых, выяснение роли философии при построении математических теорий; в-третьих, философские основы математики, на которых базируются конкретные математические исследования.
Говоря о взаимосвязи и взаимном влиянии философии и математики, необходимо отметить и их отличительные особенности: диалектико-материалистическая философия есть научное мировоззрение и методология всех наук, математика же представляет собой науку, которая вырабатывает аппарат и частные методы исследования (аксиоматический, теоре- тико-множественный, конструктивный и другие) в самых различных областях научного знания. И если философия акцентирует свое внимание прежде всего на содероштельно-ка- чественных аспектах объектов природы, общества и мышления (познания), то математика — на формально-логических.
3
«Коммунистическое воспитание,— указывал в Отчетном докладе ЦК КПСС XXV съезду Л. И. Брежнев,— предполагает постоянное совершенствование системы народного образования и профессиональной подготовки. Это особенно важно сейчас, в условиях научно- технической революции...
Очевидна, в частности, необходимость дальнейшего серьезного совершенствования всей общеобразовательной системы, и в первую очередь средней школы».
На наш взгляд, одним из важных выводов методики преподавания математики должен быть следующий: преподавание математики
следует постоянно увязывать с ее историческими, философскими и методологическими проблемами. При введении новой программы было особо подчеркнуто, что «математика для нас не простой набор равноправных игр с более или менее сложными, но в общем произвольными системами условий, а наука о тех наиболее общих отношениях реального мира, которые характеризуются безразличием к конкретной природе объектов («количественные» отношения в философском смысле этого термина)» («Математика в школе», 1964, № 6, с. 7).
Что же представляют собой философские аспекты, философские вопросы математики, которые, несомненно, должны находить свое отражение в школьном обучении? Прежде всего, это определение предмета математики в процессе ее исторического развития; происхождение, развитие и роль абстрактных понятий математики; связь математики с общест- веино-исторической деятельностью людей; сущность математизации современного научного знания; борьба материализма с идеализмом на почве математики и много других. В общем случае, к философским вопросам математики относятся такие, которые ставятся относительно математики как науки, как единой развивающейся системы, но для решения которых требуется обращение к категориям и положениям философии.
Основной вопрос философии по отношению к математике может быть интерпретирован следующим образом: возникла ли математика из опыта, наблюдений над вещами окружающего нас материального мира и операциями над ними, или же она независима от всякого опыта и создана единственно силой человеческого духа, «чистым» разумом?
На важность и необходимость введения в школьный курс математики элементов ее «философии» обращалось внимание уже более полувека тому назад. Так, например, на I Всероссийском съезде преподавателей математики (27 декабря 1911 г.) этот аспект был особо подчеркнут. Уже там шла речь о том, что воопрос о философских элементах в преподавании математики должен находиться в тесной связи с аналогичными вопросами других преподаваемых в школе дисциплин, а также с вопросом о философском преподавании вообще.
Если говорить о настоящем времени, то этот вопрос приобретает все большее звучание. Неоднократно он поднимался и на страницах журнала «Математика в школе». В частности, в статьях А. Д. Александрова «Математика и диалектика» (1972, № 1, 2);
13


Б. В. Гнеденко «Теория отражения и математика» (1975, № 4); «О воспитании научного мировоззрения на уроках математики» (1977, № 4), «Важные аспекты проблемы качества обучения» (1976, № 1); А. И. Маркушевича «Преподавание в школе естественно-математических наук и формирование научного мировоззрения» (1976, № 2); Н. Ф. Четверухина «О некоторых методологических вопросах в преподавании геометрии» (1955, № 2) и многих других. Вообще, для проведения работы в этом направлении учитель математики вооружен достаточным материалом.
Лучшим временем для введения элементов «философии» математики нужно считать последние годы пребывания учащихся в школе. Широкие возможности действовать в этом направлении предоставляет учителю и факультатив по математике.
Вместе с тем определенные возможности в деле формирования научного мировоззрения имеет и учитель математики младших классов. В частности, он может раскрыть диалектику становления понятия натурального числа, показав, что в его основе лежит взаимнооднозначное соответствие между вещами самой различной природы. На это обстоятельство как раз и указывала советский математик, логик и философ профессор С. А. Яновская, отмечая, что в основе понятия натурального числа лежит не отношение «вещь — число», а отношение «вещь — вещь».
На диалектической основе должны быть раскрыты и такие понятия, как линия, геометрическая фигура, тело. Основополагающие идеи по этим и другим философским вопросам математики учитель может найти в «Математических рукописях» К. Маркса, «Анти- Дюринге» и «Диалектике природы» Ф. Энгельса, «Материализме и эмпириокритицизме» и «Философских тетрадях» В. И. Ленина. Необходимо время от времени напоминать и разъяснять школьникам смысл высказывания Ф. Энгельса: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры» (К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 20, с. 37). Учителю необходимо постоянно обращаться к истории математики, которая на всем пути своего развития подкрепляет материалистические воззрения на происхождение новых понятий и теорий математики из практики общественной жизни, ее внутренних потребностей и практики других наук.
Прослеживая изменение смысла основных первоначальных понятий математики в процессе ее преподавания, легко заметить, что, например, понятие функции для школьника — это в большинстве случаев непрерывная функция, для студента она может иметь различного рода разрывы, состоять из отдельных точек и т. п.; понятие пространства для школьника и начинающего студента в основном евклидово, но в дальнейшем студент знакомится с пространством Лобачевского, рассматривает многомерное пространство Римана и другие. Нетрудно понять, что здесь проявляется закон единства и борьбы противоположностей и закон отрицания отрицания. Развитие понятий математики (а точно так Же и других наук) всегда происходит в борьбе противоположных тенденций. Установившиеся понятия вступают в противоречие с новыми требованиями науки и практики, и оно разрешается путем расширения смысла понятий и самого категориального аппарата. Этот процесс всегда связан с диалектическим отрицанием прежних установившихся представлений.
Итак, перед учителем стоит важная задача—претворять в жизнь требование философского образования учащейся молодежи. Она выражается в том, чтобы 1) школьники уяснили себе диалектический путь познания объективной реальности, указанный В. И. Лениным: «В теорий познания, как и во всех других областях науки, следует рассуждать диалектически, т. е.,* не предполагать готовым и неизменным наше познание, а разбирать, каким образом из незнания является знание, каким образом неполное, неточное знание становится более полным и более точным» {Ленин В. Я. Поли. собр. соч., т. 18, с. 102); 2) утвердить в их сознаний мысль о том, что в мире нет непознаваемых вещей, а есть вещи еще непознанные, что объективные закономерности познаваемы и могут быть выражены математическими уравнениями (формулами);
3) 	учить видеть за общими понятиями математики конкретные образы действительного мира; 4) красной нитью проходила через все обучение мысль о том, что основой возникновения математики (ее понятий, теорий) является материально-практическая деятельность людей, и к ней же возвращаются, в конечном счете, математические знания; 5) убедить школьников и утвердить у них мысль о том, что без математики не Амогут быть решены важнейшие социальные задачи, не могу? быть заложены основы коммунйстического строительства. Прй этом материалы XXV съезда КПСС должны получить самое широкое й глубокое освещение.
14


Темами бесед для учащихся могут быть, например, такие: «Формирование понятия числа, фигуры», «Математика и действительность», «Математизация современного научного знания», «Причины возникновения нового в математике», «Роль диалектических противоречий в развитии математики» и т. п. Особое место среди этих бесед должна занять тема «Место математики в творческой деятельности К. Маркса, Ф. Энгельса, В. И. Ленина».
4
Успех этого дела во многом зависит от учителя, от его идейно-политической и профессиональной подготовленности. Он должен владеть не только глубокими математическими, но и философскими знаниями, а также знаниями философских проблем преподаваемой им дисциплины.
Современный учитель математики должен хорошо представлять структуру математики в целом, знать основные исторические этапы ее развития, уметь определить предмет, объект ее исследования, видеть связь математики с другими науками и практикой. Он должен знать психологию математических открытий и тот путь, который привел к ним.
Знание достижений современной математики — это важнейшее и сильнейшее оружие в руках учителя в его борьбе против идеализма и религии. Широкая пропаганда математических знаний, анализ вытекающих из них диалектико-материалистических выводов должен явиться одним из главных средств борьбы за полное торжество научного марксистско-ленинского мировоззрения, за превращение его в убеждение каждого молодого советского человека.
ПРИМЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ
Утверждено Главным управлением школ Министерства просвещения СССР
Факультативный курс «Избранные вопросы математики»
Объяснительная записка
Факультативный курс «Избранные вопросы математики» призван заменить курс «Дополнительные главы и вопросы к систематическому курсу математики», наиболее распространенный в период перехода на новые программы. Работа с учащимися по этому курсу предусматривается после перехода школы на новые программы.
Удачная в методическом плане структура курса «Дополнительные главы» обеспечивала значительную вариативность материала обучения и возможность выбора начала занятий для учащихся практически с любой темы, что является по существу необходимым условием факультативного обучения. Эти особенности сохранены и в курсе «Избранные вопросы математики».
Введение факультативный занятий в средней общеобразовательной школе предусмотрено постановлением Центрального Комитета КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г. «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной шко¬
лы». Целью введения факультативов является углубление знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развитие разносторонних интересов и способностей учащихся.
Программа курса для каждого класса состоит из ряда независимых тем. Среди них выделены основные, содержание которых непосредственно примыкает к общему курсу математики. Эти темы изучаются в первую очередь. Помимо них учитель имеет возможность выбрать по собственному усмотрению одну из дополнительных тем. Этот принцип соблюдается во всех классах, кроме VII. В VII классе учитель.выбирает для проведения занятий две из предложенных трех тем, а также тему «Решение задач повышенной трудности».
К числу изучаемых вопросов отнесены наиболее важные в математическом плане, углубляющие основные направления общеобразовательного курса математики.
Предполагается, что изучение любой темы сопровождается решением соответствующих задач. Кроме того, основная часть программы предусматривает выделение определенного времени на решение задач повышенной трудности в каждом классе.
Каждая тема обладает известной законченностью, в то же время различные темы связаны между собой и образуют своеобразные теоретические и прикладные линии, пронизывающие факультативный курс: алгебраическую,
геометрическую, логическую, программирования для ЭВМ, вычислительной математики
i5


и т. п. Обучение любому разделу не предполагает изучения предыдущих, близких к нему тем.
Факультативный курс «Избранные вопросы математики» содержит самые разнообразные темы как теоретического, так и прикладного плана. Предполагается, что в процессе занятий будет показана история возникновения и развития ряда изучаемых методов, концепций и идей, их значение для математики и для других наук и областей практической деятельности.
Каждая тема факультатива непосредственно связана с материалом общеобразовательного курса математики. При этом программа предусматривает достижение двоякой цели: во-первых, довести изучаемый материал до того уровня, на котором учащемуся становится ясным его принципиальная математическая важность, до известной степени завершенности; во-вторых, показать непосредственные связи школьной математики с наукой и ее приложениями.
Материал курса не дублирует вузовских программ, но позволяет с более общих позиций взглянуть на школьную математику и усмотреть единство предмета и метода математической науки. Поэтому существенно важно не развивать при обучении те специальные методы, приемы и навыки, которым обучают в вузах, не адаптировать вузовские курсы, но показывать, как из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью.
Существенное место в работе с учащимися должно занять решение задач.
Учебный материал, соответствующий программе, разбросан в разных изданиях. Ниже предлагается достаточно подробный указатель литературы по отдельным темам программы, в целом обеспечивающий возможность преподавания.
В настоящее время издательство «Просвещение» готовит к изданию учебные и методические пособия по факультативному курсу «Избранные вопросы математики». После издания этих пособий будет проведена окончательная корректировка программы.
VII класс
Делимость и простые числа (12 ч)
Свойства и признаки делимости. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Единственность разложения натурального числа на простые множители. Бесконечность множества простых чисел. Сравне¬
ния. Свойства сравнений. Простейшие днофан- товы уравнения. Сведения из истории.
Перемещения и симметрия плоских фигур (12 ч)
Перемещения первого и второго рода. Их представление в виде композиции осевых симметрий. Теорема Шаля.
Системы счислений и арифметические устройства ЭВМ (12 ч)
История возникновения систем счисления. Позиционные системы счисления и их свойства (на примере десятичной системы). Восьмеричная и двоичная системы. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и обратно (на примерах).
Элементарные сведения о выполнении арифметических операций на ЭВМ. Двоичный сумматор.
Решение задач повышенной трудности (11 ч)
VIII класс
Основные теАлы
Элементы математической логики (12 ч)
Высказывания и высказывательные формы. Логические операции. Формулы логики высказываний. Равносильные формулы. Некоторые законы логики. Логическое следование. Связь между логическими операциями и операциями над множествами. Отношения следования и равносильности между высказывательными формами. Кванторы. Сведения из истории.
Множества на координатной плоскости (16 ч)
Линейные преобразования плоскости (в координатной форме; сдвиги и растяжения). Применение линейных преобразований плоскости к построению графиков. Эллипс и гипербола.
Логическое строение геометрии (8 ч)
Система аксиом планиметрии. Логический анализ системы аксиом: непротиворечивость, независимость. Модели планиметрии. Сведения из истории.
Решение задач повышенной трудности (22 ч)
Темы по выбору учителя
Бесконечные множества (12 ч)
Обратимые отображения множества на множество. Отношение эквивалентности множеств. Эквивалентность конечных множеств. Счетные множества. Первое бесконечное «число».
Естественный порядок в Z и Q. Пробелы в Q и их заполнение иррациональными числами. Несчетность множества действительных чисел.
16


Алгоритмы и понятие о работе ЭВМ (12 ч)
Общее представление об алгоритмах. Примеры различных алгоритмов. Формы описания алгоритмов. Блок-схемы.
Краткие сведения об ЭВМ. Основные устройства ЭВМ (на примере учебной модели ЭВМ). Команды машины. Программирование и программы. Составление простейших программ. Сведения из истории.
Приложения теории графов (12 ч)
Задачи, приводящие к графам. Построение и расчет сетевого графика. Транспортные сети. Отыскание максимального потока. Практические задачи, сводящиеся к сетевым задачам о потоках. Сведения из истории. О различных прикладных направлениях теории графов.
IX класс
Основные темы
Элементы теории вероятностей (17 ч)
Вероятность. Непосредственное вычисление вероятностей. Вероятность суммы событий. Условные вероятности. Независимость событий.
Повторение испытаний, схема Бернулли.
Случайные величины и их числовые характеристики. Понятие о законе больших чисел. Сведения из истории.
Изображение пространственных фигур на плоскости (13 ч)
Сохранение параллельности прямых и отношения расстояний при параллельной проекции. Основные построения на проекционном чертеже. Построение сечений многогранников. Условия метрической определенности изображений круглых тел и их сечений. Основные свойства ортогональной проекции. Изображение прямоугольной системы координат.
Решение задач повышенной трудности (25 ч)
Темы по выбору учителя
Бинарные отношения и соответствия (15 ч)
Определение бинарного соответствия. Графики и графы соответствий. Операции над соответствиями. Типы соответствий; функциональные соответствия. Отношение на множестве. Свойства отношений. Отношения эквивалентности и порядка.
Языки программирования (15 ч)
Общие сведения о языках программирования. Алгоритмические языки как средство описания алгоритмов. Элементы алгоритмического языка. Упрощенный вариант конкретного алгоритмического языка (АЛГОЛ-бО, ФОРТРАН и др.). Основные приемы программирования на алгоритмическом языке. Составление программ. Сведения из истории.
X класс
Основные темы
Интеграл и простейшие дифференциальные уравнения (17 ч)
Свойства интеграла. Геометрические и механические применения интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Нахождение координаты по данной скорости и скорости по данному ускорению. Интеграл как предел интегральных сумм. Работа переменной силы. Приемы вычисления интегралов.
Понятие о дифференциальном уравнении. Уравнение показательного роста и гармонических колебаний. Сведения из истории.
Комплексные числа и многочлены (16 ч)
Комплексные числа и операции над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Эйлера. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
Многочлены с комплексными коэффициентами. Основная теорема алгебры (без доказательства). Теорема Безу. Разложение многочлена на линейные множители. Формулы Ви- ета. Сведения из истории.
Решение задач повышенной трудности (25 ч)
Темы по выбору учителя
Векторные пространства и элементы линейного программирования (12 ч)
Векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность векторного пространства. Примеры векторных пространств.
Системы линейных неравенств. Выпуклые множества в векторном пространстве.
Понятие о задачах линейного программирования. Решение задач линейного программирования и его геометрическая иллюстрация. Сведения из истории.
Элементы сферической геометрии (12 ч)
Основные понятия сферической геометрии. Теоремы сферической тригонометрии. Перемещения и конгруэнтность на сфере. Площадь сферического многоугольника. Формула Эйлера.
Приложения сферической геометрии в навигации и астрономии.
Пояснения к отдельным темам и указатель литературы
VII класс
Делимость и простые числа. Эта тема углубляет знания, умения и навыки соответствующих вопросов, изученных учащимися еще в
17


IV—V классах и далее в основном курсе математики не развиваемых. Изучаемый материал сопровождается решением значительного числа задач. Тему полезно пройти в начале учебного года с тем, чтобы она предваряла изучение действий над алгебраическими дробями в основном курсе алгебры VII класса.
Литература
«Дополнительные главы по курсу математики». Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7—8 классов. Сост. К. П. Сикорский. М., «Просвещение», 1974.
Виноградов И. М. Основы теории чисел М., «Наука», 1965.
Башмакова И. Г. Как люди считали в старину и как писали цифры. «Детская энциклопедия», изд. 3-е, т. 2.
Вагутен В. Н. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики.— «Квант», 1972, № 6.
Нечаев В. И. Простейшие неопределенные уравнения. «Детская энциклопедия», изд. 3-е, т. 2.
Егоров А. А. Сравнение по модулю и арифметика остатков.— «Квант», 1970, № 5.
Кудреватое Г. А. Сравнения.— «Квант», 1972, № 9.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М., «Наука», 1966.
Маркушевич А. И. Дополнительные вопросы арифметики целых чисел.— «Математика в школе», 1967, № 4.
Гиндикин С. Г. Малая теорема Ферма.— «Квант», 1972, № 10.
Перемещения и симметрия плоских фигур. Тема углубляет знания учащихся в области геометрии и непосредственно примыкает к материалу общего курса. При изучении этой темы следует обратить особое внимание на наглядность геометрического материала, показать на конкретных примерах роль и значение симметрии в естествознании, и искусстве. Тему рекомендуется изучать в связи с темой о поворотах в курсе геометрии VIII класса.
Литература
«Детская энциклопедия», изд. 3-е, т. 2.
Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. М., «Просвещение», 1972.
Колмогоров А. Н. Паркеты из правильных многоугольников.— «Квант», 1970, № 3.
Болтянский В. Г. и др. Преобразования. Векторы. М., «Просвещение», 1964.
Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. М., «Наука», 1972.
Вейль Г. Симметрия. М., «Наука», 1968.
Система счислений и арифметические устройства ЭВМ. В этой теме учащиеся знакомятся с историей возникновения современных способов записи чисел. На примере десятичной системы счисления устанавливаются свойства позиционных систем счисления. Учащиеся должны иметь представление о позиционных системах счисления с недесятичным основанием, но больше внимания следует уделить двоичной и восьмеричной системам ввиду
18
практической значимости. При переводе чисел из одной системы в другую не следует изучать с учащимися специфические методы, рассматриваемые при обучении программированию. Тема завершается рассказами о выполнении арифметических операций на ЭВМ и изучением устройства и функционирования двоичного сумматора. Изучение темы довольно независимо от основного курса математики. При изучении темы следует обратить внимание учащихся на то, что приобретенные знания окажутся полезными при изучении в дальнейшем вопросов программирования для ЭВМ. Тема имеет профориентационное и политехническое значение.
Литература
«Детская энциклопедия», изд. 2-е, 3-е, т. 2.
Фомин С. В. Системы счисления. Изд. 3-е. М., «Наука», 1975.
Депман И. #. История арифметики. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1965.
Гутер Р. С. Вычислительные машины и системы счисления.— «Квант», 1971, № 9.
Монахов В. М. Системы счисления и арифметические устройства вычислительных машин.— «Математика в школе», 1968, № 3, 4.
Монахов В. М. Программирование. Пособие для учителя. Гл. Ill и IV. М., «Просвещение», 1973.
Бендукидзе А. О двоичной системе счисления.— «Квант», 1976, № 6.
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. П. В. Стратила- тов. М., «Просвещение», 1970.
VIII класс
Элементы математической логики. Изучаемый материал систематизирует логические сведения учащихся восьмилетней школы. Здесь вводятся логические связки, которые получают наглядную теоретико-множественную интерпретацию, и кванторы, употребление которых повышает логическую и математическую культуру учащихся. Материал темы повышает знания и углубляет содержание как алгебры, так и геометрии. Задачи на контактные схемы и применение элементов логики в ЭВМ придают теме профориентационное и политехническое значение.
Литература
Калужнин Л. А. Что такое математическая логика. М., «Наука», 1974.
Столяр А. А. Как мы рассуждаем? Минск, «Народная асвета», 1968.
Эдельман С. Л. Математическая логика. М., «Высшая школа», 1975.
Г рад штейн И. С. Прямая и обратная теоремы. М., «Наука», 1965.
Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. М., «Наука», 1965.


Множества на координатной плоскости. Изучаемые в этой теме вопросы непосредственно примыкают к основному курсу и имеют целью укрепить знания, умения и навыки учащихся строить графики функций, понимать алгебраический язык преобразования плоскостей и фигур. Тема изучается в VIII классе перед изучением показательной и логарифмической функций.
Литература
«Дополнительные главы по курсу математики». Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7—8 классов. Сост. К. П. Сикорский. М., «Просвещение», 1974.
Гсльфанд И. М., Глаголева Е. Г. и др. Метод координат. Изд. 5-е. М., «Наука», 1973.
/ сльфанд И. М., Глаголева Е. Г. и др. Функции и графики. Изд. 5-е. М., «Наука», 1973.
Смогоржевский Л. С. Метод координат. М., ГИТТЛ, 1952.
Шилов Г. Е. Как строить графики. М., Физматгиз, 1959.
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. П. В. Стратила- тов. М., «Просвещение», 1970.
Логическое строение геометрии. Эта сравнительно небольшая тема по числу отведенных на ее изучение часов имеет важное значение, и ее целесообразно изучить в начале четвертой четверти VIII класса. Это придаст знаниям по геометрии большую сознательность и понимание.
Литература
Геометрия. Учебное пособие для 8 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1976.
Бесконечные множества. Тема продолжает линию изучения элементов теории множеств в основном курсе. Здесь учащиеся встречаются с развитием важных понятий математики — соответствий и отношений между множествами. Тема подкрепляет изучение действительных чисел. Ее изучение полезно согласовать с изучением в VII классе рациональных и иррациональных чисел.
Литература
«Детская энциклопедия», изд. 3-е, т. 2.
«Дополнительные главы по курсу математики». Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7—8 классов. Сост. К. П. Сикорский. М., «Просвещение», 1974.
Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М., «Просвещение», 1972.
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. П. В. Стратила- тов. М., «Просвещение», 1970.
Петер Р. Игра с бесконечностью. М., «Просвещение», 1968.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М., «Наука*, 1965.
Алгоритмы и понятие о работе ЭВМ. Содержание продолжает начатую в обязательном курсе тему о программировании для ЭВМ. Включение этой темы преследует цель сообщить выпускникам восьмилетней школы некоторый законченный запас сведений из программирования и научить их составлению простейших программ. Тема имеет профориентационное и политехническое значение.
Литература
Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и машинное решение задач. Изд. 2-е. М., Физматгиз, 1960.
Монахов В. М., Демидович Н. Б. Алгоритмы и программирование.— «Математика в школе», 1976, № 3.
Демидович Н. Б., Монахов В. М. Алгоритмы вычислений.— «Математика в школе», 1976, № 4.
Демидович Н. Б., Монахов В. М. Алгоритмы невычислительных процессов.— «Математика в школе», 1976, №5.
Резниковский П. Т., Монахов В. М. Программирование для одноадресных машин. М., «Просвещение», 1968.
Монахов В. М. Программирование. М., «Просвещение», 1973.
Антипов И. Н. Программирование. М., «Просвещение», 1976.
Приложения теории графов. Эта тема имеет ярко выраженную прикладную направленность. На примере простых, но практически важных задач показывается, как математические методы применяются к решению различных проблем. Изучение темы можно проводить в любое время по усмотрению и выбору учителя в VIII классе.
Литература
О ре О. Графы и их применение. М., «Мир», 1965.
Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М., «Наука», 1974.
Разумов И. М., Белова Л. Д. и др. Сетевые графики в планировании. М., «Высшая школа», 1975.
Березина Л. Ю. Графы помогают решать логические задачи.— «Математика в школе», 1972, № 2.
Березина Л. Ю. О графах с цветными ребрами.— «Квант», 1973, № 8.
Фосс В. Элементы теории графов.— «Квант», 1973, №8.
IX класс
Элементы теории вероятностей. Материал темы непосредственно примыкает к изучению элементов комбинаторики в курсе IX класса. Понятие вероятности дается на основе классического определения, но с обязательным привлечением статистической интерпретации. При нахождении вероятностей следует прибегать к использованию комбинаторных понятий и соотношений. В конце темы учащимся дается понятие о законе больших чисел. Тема имеет политехническое значение.
Литература
«Дополнительные главы по курсу математики 10 класса для факультативных занятий». Сост. 3. А. Скопец. М., «Просвещение», 1970.
19


Гнсденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., «Наука», 1976.
Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. М., «Просвещение», 1975.
Лютикас В. С. Школьнику о теории вероятностей. М., «Просвещение», 1976.
Виленкин Н. ЯГ утер Р. С. и др. Алгебра. Учебное пособие для IX—X классов средней школы с математической специализацией. М., «Просвещение», 1972.
Гнеденко Б. В., Журбенко И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика.— «Математика в школе», 1968, № 2, 3.
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. П. В. Стратила- тов. М., «Просвещение», 1970.
Изображение пространственных фигур на г госкости. Тема непосредственно направлена на повышение знаний, умений и навыков учащихся изображать пространственные фигуры в плоскости и тем самым тесно примыкает к изучению курса стереометрии, устанавливает межпредметную связь между курсом математики и черчения, готовит учащихся к дальнейшему изучению инженерной графики и технических наук, развивает пространственные представления. Тема имеет политехническое и профориентационное значение. Ее изучение возможно во время изучения как первой, так и второй главы курса стереохметрии IX класса.
Литература
Бескин И. М. Изображение пространственных фигур. М., «Наука», 1971.
Четверухин Н. Ф. Изображение фигур в курсе геометрии. М., Учпедгиз, 1958.
Фетисов А. И. Геометрия. Гл. IV. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963.
Бинарные отношения и соответствия. Тема углубляет содержание курса алгебры и начал анализа, представляя основы современного алгебраического подхода к изучению математических объектов. Ее изучение рекомендуется организовать при изучении свойств функций.
Литература
Шрейдер /О. А. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука», 1971.
Языки программирования. В результате изучения этой темы учащиеся приобретают навыки в составлении простейших программ на одном из конкретных алгоритмических языков. Полученные здесь знания и умения могут найти применение в работе выпускников школы. Тема имеет прикладное значение и способствует профориентации учащихся. Изучение темы желательно завершить до начала IV четверти.
Литература
Антипов И. М., Абрамов С. А. Алгоритмический язык АЛ Г ОЛ-60. М., «Просвещение», 1975.
Монахов В. М. О специальном факультативном курсе «Программирование»; Антипов /7. Н. Алгоритмический язык АЛ ГОЛ-60.— «Математика в школе», 1973, № 2.
Антипов И. И. Программирование. М., «Просвещение», 1976.
Г утер Р. С., Резниковский П. Т., Резник С. М. Программирование п вычислительная математика. Вып. I. М., «Наука», 197 Г
X класс
Интеграл и простейшие дифференциальные уравнения. Тема непосредственно углубляет материал начал анализа IX и X классов. При изучении темы следует уделить минимальное внимание различным способам непосредственного интегрирования и р е ш е н и я к о 11 к р е т и ы х типов дифференциальных уравнений. Важно разобраться в геометрической интерпретации уравнений 1-го порядка, показать, как составляются дифференциальные уравнения, отправляясь от наглядных физических и естественнонаучных примеров. Решение ряда важных в прикладном плане дифференциальных уравнений рекомендуется провести подбором, подробно обсудив физический смысл полученных ответов (вынужденные колебания, резонанс). Изучение темы содействует усилению связи в преподавании математики и физики, развивает интерес к обоим предметам и соответствует принципу политехнизма при изучении основ наук.
Литература
Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9 класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1976.
Виленкин Н. Я-, Шварцбурд С. И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. М., «Просвещение», 1973.
Ивашев-Мусатов О. С. Начала математического анализа. М., «Наука», 1970.
«Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий». Сост. П. В. Страти- латов. М., «Просвещение», 1970.
«Детская энциклопедия», изд. 3-е, т. 2.
«Дополнительные главы по курсу математики 10 класса для факультативных занятий». Сост. 3. А. Скопец. М., «Просвещение», 1970.
Натансон И. П. Суммирование бесконечно малых величин. Изд. 3-е, М., Физматгиз, 1960.
«Сборник задач по математике». Под ред. 3. А. Ско- пеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971.
Комплексные числа и многочлены. Содержание этой темы традиционно расширяет и углубляет знания учащихся о числовых системах и о решении алгебраических уравнений. При изучении комплексных чисел следует уделить внимание геометрии комплексной плоскости. Изучение темы целесообразно проводить после изучения дифференциальных уравнений и связывать с повторением разделов о действительных числах или решений уравнений.
20


Литература
Виленкин Н. Я., Г утер Р. С. и др. Алгебра. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. М., «Просвещение», 1972.
Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. Изд. 2-е. М., Физматгиз, I960.
«Сборник задач по математике». Под ред. 3. А. Ско- пеца. Пособие для учащихся (для факультативных занятий в 9—10 классах). М., «Просвещение», 1971.
Векторные пространства и элементы линейного программирования. Тема примыкает к изучению линейных систем в курсе алгебры и начал анализа X класса, представляя изученные там понятия, сведения и методы в более общей единой форме. Тема повышает теоретический уровень подготовки учащихся и вместе с тем имеет прикладное значение, способствует профориентации учащихся. Время изучения — середина учебного года X класса.
Литература
Монахов В. М. Чем занимается теория линейного программирования. «Детская энциклопедия», изд. 3-е, т. 2.
Волков В. А. Элементы линейного программирования. М., «Просвещение», 1975.
Барсов А. С. Что такое линейное программирование. М., Физматгиз, 1959.
Канторович J7. В., Горстко А. 5. Математическое оптимальное программирование в экономике. М., «Знание», 1968.
Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М., «Просвещение», 1966.
Элементы сферической геометрии. Тема примыкает к изучению многогранных углов и перемещений пространства в курсе геометрии IX класса и дает представление о простейшей неевклидовой геометрии. Тема углубляет знания учащихся в стереометрии, а также имеет важное прикладное значение.
Литература
Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2. Стереометрия. М., «Просвещение», 1952.
Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. М., «Наука», 1968.
Сборники задач
Делоне Б. и Житомирский О. Задачник по геометрии. М.—Л., ГИТТЛ, 1952.
Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные математические олимпиады. М., «Просвещение», 1967.
Кюршак И. Венгерские математические олимпиады. М., «Мир», 1976.
Сборник задач московских математических олимпиад. Сост. А. А. Леман. М., «Просвещение», 1965.
Все выпуски «Библиотеки математического кружка». М., «Наука».
Задачник журнала «Квант».
М. Б. БАЛК (г. Смоленск), Г. Ф. ПИСКАРЕВ (с. Прозорово Ярославской обл.)
О НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЯХ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Вводные замечания. В данной заметке мы намерены проиллюстрировать на ряде примеров возможность применения простейших средств интегрального исчисления в тождественных преобразованиях и при доказательстве неравенств. Нам это представляется уместным прежде всего потому, что такие применения не нашли еще заметного отражения в пособиях для учащихся и для учителей средней школы. Между тем такого рода упражнения не только убеждают школьников в полезности аппарата интегрального исчисления, но и стимулируют более сознательное изучение этого аппарата. Само собой разумеется, что учитель, используя такие упражнения в своем преподавании, не должен переоценивать их роль, не должен их фетишизировать, памятуя о том, что интегральное исчисление имеет много значительно более важных приложений.
Ниже приведены материалы, использовавшиеся в работе с учащимися в г. Смоленске (в частности, в школах № 26 и № 7) и в Про¬
зоровской средней школе Ярославской области. Авторы благодарны преподавателям
В. 	И. Володченкову и А. А. Полухину за участие в экспериментальной проверке материалов данной статьи.
Сначала упростим производную. Простейшие применения неопределенного интеграла 1 в тождественных преобразованиях связаны с тем, что каждая функция может рассматриваться как первообразная для ее производной; точнее говоря, если две функции F и / (ради простоты считаем, что они обе непрерывны на некотором отрезке [а\ b] или полуинтервале [а; Ь[) связаны зависимостью
F'{x)=*f{x) (a<x<b), (1)
то они же связаны зависимостью
F(x)=^f(x)dx (2)
(последнее равенство надо понимать в следующем смысле: F(x) —одна из функций, получаемых путем интегрирования функции f(я), т. е. F(x) — одна из первообразных функции f(x)).
Отсюда ясно, что если запись функции F трудно поддается упрощению, то может оказаться полезным сначала рассмотреть ее про-
1 Об этом понятии см. [1], с. 85 (сноска); Г21, гл. VIII; [3], с. 70—78.
21


изводную f(x)=F'(x): если нам удастся упростить запись функции /, то можем надеяться найти затем достаточно простую формулу и для F.
Рассмотрим примеры.
1. Упростите запись функции
F (х) = sin Зх • cos3 х -f cos Зх sin3 х. Решение. Применение обычного аппарата тригонометрии приводит к относительно громоздким выкладкам. Зададимся вопросом: «А не легче ли сначала упростить прозвод- ную?» Получаем:
/ (х) = F'(x) = 3 cos 3.y cos3 х —
— 3 sin Зх cos2 x sin x — 3 sin Зл; sin3 x +
-j- 3 cos 3x sin2 x cos x = 3 cos Зл: cos x —
— 3 sin 3x sin x.
Отсюда находим: / (x) = 3 cos 4x.
Но тогда
F (.*) = ^ / (x) dx — ^ 3 cos Axdx,
F(x) = -^- sin Ax + C,
где С — некоторая константа. Найдем С: С= F (0) = 0.
Итак, F (х) = — sin Ах, или
з
sin Зх cos3 л: + cos Зх sin3 х— — sin Ах.
2. Вычислите сумму
1
{здесь Сп
С1 с2
иУ1 |
2 +Т
г3
-Т-+•••+(-
сп
п+1
биномиальные коэффициенты:
Ck*
п(п— 1)... (n — k + 1) 1-2-...-k
С0 *
■о-
Решение. Подберем сначала функцию S (х) так, чтобы ее значением при каком-то конкретном значении х (например, при х= 1) оказалось число а, т. е. чтобы было 5(1) = а. В качестве S (х) можно взять функцию
С0
S(x)=-j- х-
С1
■х*+-?-х3 сп„
-X4 + . ..
Попытаемся упростить S(x). Нам не видно, как это сделать. Тогда спросим себя: «А не легче ли упростить производную?» Рассмотрим функцию / (л) = S' (х).
/ (х) = С°п- С\х + Clx* - Clx3 +...
... + (-1 )пСп„хп.
Очевидно, что f(x) — ( 1 — х)п. Следовательно,
5(л:) — ^(1 — х)ndx= — ^(1 — x)nd (1 — л'), (1 — x)n+1
S(x) =
+ С,
п -f 1
где С — некоторая константа. При х = 0 получим:
1 1
С=5(0) +
Итак,
п+1 п+1
S(X):
1
п +1
При х— 1 найдем:
Иногда полезно применить тог же прием не один, а несколько раз. Рассмотрим пример. 3. Упростите запись многочлена
F (.*) = (* + а + Ь)г — (х + а — by —
— (х — а + bf — (— х + а + by. Решение. Найдем последовательно /(*) = F'(x) = 3(jc + a + bf - — 3(jc + а — bf — 3 (л: — a -f bf 4- + 3 (— х + а, + b)2,
<р(х) = /' (x) = 6 (x a + b) —6 (x a — b) ~ -6(x — a-\-b) — 6(—x-\-a + b).
Ясно, что cp (л;) = 0. Поэтому / (*) = (<p (x)dx=
t)
= ^0-dx = Ch т. e. f(x)^Ch где Сг =
= const, Cj = /(0) — 24ab, f (x) = 24ab. Теперь обратимся к F (x):
F (л:) = ^ / (л:) dx — ^ 24abdx,
т. e.
F (x) — 24abx + С (С — const).
Понятно, что C=F( 0)=0. Следовательно, F(x) =24 abx.
Сначала вычислим первообразную. Пусть требуется упростить запись некоторой данной функции /. Два равносильных соотношения (1) и (2) показывают, что запись функции f удается упростить, если будем располагать достаточно простой записью для ее первообразной F. Отсюда следует: в тех случаях, когда мы затрудняемся упростить запись заданной функции f, может оказаться полезным сначала рассмотреть (и упростить) ее первообразную F; правдоподобно, что нам затем удастся получить более простую запись функции f, пользуясь тождеством f(x)==F'(x).
22


4. 	Проверьте тождество
tg х + 2tg 2х + 4tg4л: + 8tg8x =
= ctg x — 16 ctg 16л:. (3)
Решение. Обозначим левую часть формулы (3) через f(x). Не видя, как упростить запись функции f(x), спросим себя: «Быть может, проще найти и упростить первообразную?»
F (•*) = S / (*>'dx = S +
. f2sin2jc , . f 4 sin 4л: , , f 8 sin 8л: ,
h \ я— dx + \ -A— dx + \ jr— dx =
1 J cos2x 1 J cos 4л: J cosSx
= — In | cos jc | — In | cos 2л: | — In | cos 4л: | —
— In | cos 8л: | + С =
= — In ] cos x cos 2л: cos Ax cos 8л: | + С — sin 2x sin 4л: sin Sx sin 16л:
= — In
, J-. С —
2sinjt 2 sin 2л- 2 sin 4x 2 sin bx 1 1
— In
sin 16л:
+ c=
| 16sin x
— — In | sin 16x | + In | sin л; | + In 16 + C.
А теперь легко вычислить f (x)\
f (x) = F' (x) = — 16 ctg 16л: + ctg x.
Тем самым тождество (3) доказано.
5. 	Упростите запись функции
? (■*) = tg X + tg (х — -J-) + tg (x + .
Решение. Попытки упрощения функции ф(х) с помощью известных формул тригонометрии приводят к сравнительно громоздким выкладкам. Громоздким оказывается и выражение для <p'(*). Может быть, проще найти первообразную? Получаем:
Ф (х) е= ф (х) dx = — In | cos x | —
— In j cos (x —g-) j — la J cos (x -j- J + C— = — In | cos x cos Qc —j-) cos (x + -g-) | -f- С — — In j cos x ^cos 2x + cos | -f- С =
= — In J -i- (cos 3x -f- cos x) i- cos x | -j- С —
= — In ] cos 3x | — In ■— 4- C.
Поэтому
9 (*) = Ф' (*) = 3 tg 3x.
Итак, мы убедились, что верно тождество:
tg х + tg (х — -J-) + tg (х + -J-) = 3 tg Зх.
Тождественные преобразования с помощью определенного интеграла Задачи, подобные
рассмотренным выше, могут быть решены и с помощью определенного интеграла. Это не представляет собой чего-то неожиданного, если учесть известную формулу Ньютона — Лейбница, которую удобно здесь применить в следующей формулировке:
Две непрерывные на [а; Ь[ функции F и f тогда и только тогда связаны зависимостью
F'(x) = f(x) при х£]а; &[, (1')
когда они же связаны соотношением
X
F (х) = F (a) + \f (t) dt при каждом х € [о; b [.
Отсюда ясно, что если нам нужно упростить запись функции F, то может оказаться полезным сначала упростить запись ее производной f, а затем уже найти F по формуле (2х). Другое простое соображение, которое может оказаться полезным в тождественных преобразованиях, состоит в следующем:
если непрерывные на некотором полуинтервале [а\ b [ функции fug удовлетворяют на этом полуинтервале условию
f (х) — ё (х), то при любом х€[а\ Ь[
X X
^f(t)dt = ^g(t)dt.
а а
Проиллюстрируем применение этих замечаний.
6. 	На частных случаях (п= 1, 2, 3, 4) нетрудно угадать следующую правдоподобную формулу («формула для бинома Ньютона»):
(1 х)п = С® -f- CnX -f- СдХ2 ..
... -f- Сп х?~* -J- СпХр спхп. (А) (здесь с°._ 1, с; = •
Докажите формулу (А), используя известные вам сведения об интеграле.
Решение. При п<=\ формула (А) имеет вид (1 + х)1 = 1 + х и, очевидно, верна. Пусть k — такой номер, что при п — к формула (А) верна:
(1 x)k = С* + Clx -J- С\х^ -f-...
. . . -j- С* хр~1 -(- С%хр С\хк. (В)
Докажем, что при таком условии формула (А.) верна и при n — k-{- 1. Для этой цели проин-
23


тегрируем тождество (В) почленно в пределах то при также имеет место cm pool о до л: toe неравенство'1:
X XX XX
j(l + tydt = Cl\)\-cli + Cl'\jtdt + ... \fit)dt<^g{t)dt.
ООО а а
х х Из теоремы 1 непосредственно следует та-
- Ck~X{tp~ldt+Ck\tkdt, к°й прием проверки истинности неравенств:
J * ’ «? если требуется проверить неравенство
F(x)^G(x) (а<х<&), (5)
о о
О + О * l *—С*/I *+ Cj —1*+... то может оказаться полезным сначала прове-
Л + 1 |о |о Л 2 j о рить аналогичное неравенство для производ¬
ных этих функций f и g (f = F\ g=G')f т. е.
. IP |* . . rk tk+x \x неравенство
T'io + --- + C'^nlo- f(x)<g(x) (a<*<6); (6)
если (6) верно, то верно и неравенство После подстановки пределов интегрирования * *
получим \f(t)dtAg(t)dt. (7)
(1 +x)*+i=:i +i+ic!U + ^cUa + ... - а
А левая и правая части неравенства (7) либо
—"t—1 Срк~ххр + * -» + k С*хк+Х. совпадают соответственно с F (х) и G(x), либо
Р * k +1 отличаются от них на какие-то константы.
иЛ /t. I п\ k + \n\ (k+\)k 7. Пользуясь неравенством
Но (Л + 1)С*=С*+ь —н—С*= о = *. ^ /Л . . ч /Q.
J J smx<x (0<x<oo), (8)
= C*+i, ... проверьте для тех же х истинность неравенств
~TCk Р Г2::...(/>-1) ~Ck+l cosx^i 2 , (У;
(/7=1, 2,..., £ + 1). sinх^лс — , (10)
Отсюда ясно, что (1 можно записать х2 . х*
так: cos л: <! 1 2Г ~4Г • О1)
(1 + x)k+1 = 1 + + CI+ia;2+ ... Решение. Проинтегрируем почленно нера-
Л-ГР vP JL j- rb+'rk+i венство (8) в пределах от 0 до х (0<х<оо).
. . . -г- ^k+ix ... -f- t'k+xx . g силу те0ремы 1 получим:
Итак, из справедливости формулы (А) при х х
n = k следует, что она верна и при n = k+1.
В силу принципа индукции формула верна для J J
всех натуральных п.
Интеграл помогает доказать неравенства. i * i i л- х
интеграл помогает ооказать неравенства. \х i 2U ^ х2
Многие приложения определенного интеграла или cos lo^lT lo’ т* е* C0SA: • * к проверке истинности неравенств опираются
на следующую весьма простую теорему. Неравенство (9) доказано.
Теорема 1. Пуст, фцищш f и S шпре- ГГполГеТ™" <9>' “ С"ЛУ
рывны на некотором полуинтервале [а; Ь\ и теоремы получаем
всюду на [а; Ь[ удовлетворяют неравенству Z Z . . .
f(x) ^g(x). Тогда при х € [а; й[ \cos^>-\^l ^-Pjdt,
оо
X X
\f(t)dt^ig(t)d(. (4) отсюда следует, что неравенство (10) верно.
« « Из соотношения (10) следует:
X X
Если дополнительно известно, что для како- С s*n ^ ^ Г Л L ^з\ ^
го-либо х0 из [а; b [ имеет место строгое ) \ 6 /
неравенство 0 0
2 Разумеется, теорема 1 остается верной при замене J (*о) £ (*^о)* в ее формулировке [а; b [ на [а; Ь].
24


или
, 1 . х2 х4
— cos х + 1 > -g 24 .
Тем самим доказано неравенство (11).
8. 	Проверьте, верны ли неравенства
х — sin х <; 1 — cos х <
<л:>Л2— sin* . (12)
Решение. Нам надо оценить (снизу и сверху) разность sin;e — cos*. Эту разность мы получаем при интегрировании функции cos х + -fsin*. Учитывая, что sin х + cos х = У 2 sin (л + , легко обнаружить, что на отрезке |^0; эта функция удовлетворяет нера¬
венствам
1 •< cos х + sin х < V"2. (13)
Проинтегрируем неравенства (13) в пределах от 0 до х, получим (при 0 < х •< верные (в силу теоремы 1) неравенства
XX X
^ 1 •dt < ^(cos t + sin t) dt <; ^ \r2dt.
Отсюда
t o < (sin t ■
■ cos t
Ю *
COS'
~ +cos*>2 |/
= 2 Y
1
COS JC
COS2 X >2
COS JC =
Применив к неравенству (15) теорему 1, ключаем (при 0-< *•<-£-) :
S(-^7+cos
о о
что равносильно неравенству (14).
10. 	Докажите, что при справедливо неравенство
тс
х< ~2
ln(2sinA:)>-j-jc (ic —л)—-^-те2. (16)
Решение. Сначала установим, что верно
неравенство, которое получится, если почленно продифференцировать выражение (16):
ctgx>-Y~x (-Т<х<-тУ (17)
Оно верно, ибо следует из верного неравенства tga>a (где 0<><C-f-). если поло¬
жить в нем a =—— х; кроме того, ctg -^р>
>Т—Ь Поэтому, интегрируя почленно неравенство (17), получим (при
X X
J ctgtdt> —t)dt,
или иначе: A:-<sin* — cos х 4-1 V^x, откуда следуют неравенства (12).
9. Известно, что при 0 -j-
tgx^-x и sinjc<x.
Верно ли, что для тех же значений х справедливо неравенство
tg х + sin х >• 2х? (14)
Решение. Продифференцируем почленно неравенство (14):
4- cos л >2. (15)
Сначала докажем неравенство (15) (при 0<;
< х < -j-). Воспользуемся тем, что среднее
арифметическое неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел; так
как при имеем 0<cosa:-<1, то
или
In sin t
^>(2 Ь 2 *2)
In sin х — In ~y >> x ^ л-2) —
-(f't-rd)’)-
После очевидных упрощений придем к неравенству (16).
И. П роверьте, верно ли (при х^О) следующее двойное неравенство:
v-2 *.з „2/г 4-1
X — ■
‘ + '
2 п -f 1
<1п(1 4-•*)<*- £ + ir-
х2Л+2 2п + 2
<
+
л2я+1 2п + 1
(18)
Решение. Выясним сначала, не будет ли справедливым аналогичное двойное неравенство для производных (при ;с>0):
1
1 — х 4- х2 —... 4- х2п — х2п+1 < ■ 1 *“ х 4~ х2 •—... 4” х2п.
1 +JC
<
(19)
25


Просуммировав прогрессии, встречающиеся в выражении (19), можем переписать его так:
1-
2/?+2
1
<
\+х2п+1
(х>0).
I + х 1+л:^ \ + х
Последнее двойное неравенство, очевидно, верно. Проинтегрировав его почленно в пределах от 0 до х и воспользовавшись теоремой 1, убедимся в справедливости неравенства (18).
Упражнения 1. Упростите запись функции F (х) = sin Зх • sin3 х + cos Зх cos3 л; —
j-cos2x.
Ответ:
1
cos 6х.
Указание. Сначала вычислить функцию f(x)—F'(x) и упростить ее запись. Затем проинтегрировать / (х).
2. Упростите запись функции
F (х) —2 (sin6 х + cos6 х) —
— 3 (sin4 х + cos4 х) + 1.
Ответ: 0.
3. Проверьте тождество
/^0 г* 1 /~* 2 /~>п п/2 + 1 1
. С/2 , "
— + ~2 +—+...+•
п+1
Сп
сп+1
3 ^ Л + 1
Указание. Рассмотреть сумму С°п Cl
и вычислить ее производную f(x) — S/(x). Затем проинтегрировать /(х).
4. 	Вычислите сумму /^0 1 /^2
2 3^4
1
Ответ: (m + 1)(m + 2)-
Указание. Рассмотреть сумму
S(x) = — x2 g-л:3+... + (—1)" т+2-
и ее производную f(x)— S'(x). Найдя ком-
1
пактную запись для f(x), вычислить ^ f(t)dt
о
(воспользоваться правилом интегрирования по частям; см. [2] или [3]).
5. 	Упростите запись функции
/(*)= tgx + tg(* + -J-) +
+ tg (х + -^j-) + tg (x + -£-) .
Ответ: -4 ctg4x.
26
Указание. Сначала вычислить \/(x)dx* 6. Упростите запись функции
9 (х)
1
sin2 х
+
+
in2(x + ir) sin2(*-_ir)
Ответ:
sin- Зх
Указание. Найти первообразную / (х) для <р(х) и первообразную F (х) для /(х).
7. Доказать, что при 0<]х<< + со
sinx <х ■
Х3 _!_ Х5 "зГ + 1>Г •
Указание. Воспользоваться решением примера 6.
8. 	Доказать, что при 0<х<^-^-
1
In COS X <
х^.
Указание. Предварительно проверить аналогичное неравенство для производных.
9. 	Используя определенный интеграл, проверить неравенство
Sin
Указание. Сначала проверить аналогичное неравенство для производных. Заметим, что оно может быть доказано на основании неравенства sin а О .
10. Доказать, что при 0<х<-^-
COS X + In COS X < 1 — X2.
Указание. Сначала рассмотреть аналогичное неравенство для производных (см. пример 9).
11. Доказать, что при 0<х<-^-
2sin л: > - j- + (.* y') cos х.
Литература
[1] Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10 класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Просвещение», 1976.
[2] Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. М., «Просвещение», 1973.
[3] Ивашев-Мусатов О. С. Начала математического анализа. М., «Наука», 1973.


Я. И. ГРУДЕНОВ
(г. Таганрог)
МЕТОДЫ УСВОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
Изучение математического предложения можно условно подразделить на три этапа:
1) 	введение, когда учащиеся подводятся к его пониманию; 2) усвоение, сводящееся к пониманию каждого слова в изучаемом предложении, запоминанию его и формированию навыков его применения; 3) закрепление, осуществляемое при решении задач. Остановимся только на втором из этих этапов и укажем несколько методов усвоения математических предложений. При этом мы будем учитывать последовательность процессов запоминания и формирования навыков применения определений, аксиом, теорем.
Первый из этих методов характеризуется тем, что учащиеся сначала запоминают математическое предложение и лишь затем применяют его к решению задач. Например, определение нового понятия повторяется 2—3 раза, а потом отрабатывается на упражнениях. При этом одни учащиеся запоминают его до выполнения упражнений, другие — после.
При таком способе работы процессы запоминания и формирования у учащихся навыков применения определений, теорем и т. д. протекают раздельно, поэтому этот метод мы называем раздельным.
Метод, при котором процессы запоминания и формирования навыков протекают одновременно, назовем компактным. (Способ практического осуществления одновременности этих процессов описан ниже.)
Если же на основе математического предложения составляется алгоритм и с его помощью у учащихся вырабатываются необходимые навыки, то такой метод работы можно назвать алгоритмическим. Тогда само математическое предложение запоминается после выполнения соответствующих упражнений. Иногда можно ограничиться только формированием у учащихся необходимых навыков.
Раздельный метод в сравнении с двумя другими более прост в применении и требует меньшей затраты учебного времени. Именно поэтому он оказывается часто наиболее эффективным. Он предпочтителен при изучении легкоусваиваемых математических предложений, формулировки которых учащиеся запоминают после 2—3-кратиого повторения, таковы, например: определение хорды, теорема об умножении степеней с одинаковыми основаниями и т. д.
Целесообразность использования раздельного метода зависит как от содержания изучаемого материала, так и от уровня развития учащихся. Он применяется тем чаще, чем более развиты учащиеся.
Компактный метод оказывается эффективным в тех случаях, когда изучаются более сложные и труднозапоминаемые математические предложения. Чем более сложной и громоздкой является их формулировка, тем целесообразнее его использовать. А в еще более сложных случаях удобно применять алгоритмический метод.
Укажем случаи, когда целесообразно привлечь описанные методы.
Формулировку теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью учащиеся легко запоминают, а затем и применяют к решению задач. Следовательно, раздельный метод в этом случае наиболее быстро приводит к усвоению теоремы.
Формулировку признака скрещивающихся прямых учащиеся не могут запомнить столь же легко и быстро. В процессе решения задач они забывают часть условия теоремы и потому затрудняются применять ее. Значит, при изучении этого материала стоит затратить определенное время на работу более сложным, компактным методом, поскольку последний обеспечивает хорошее усвоение теоремы.
С еше большим трудом учащиеся усваивают определения таких понятий, как предел последовательности и предел функции. Поэтому здесь целесообразно обратиться к алгоритмическому методу.
Остановимся подробнее на компактном методе. Сущность его помогают уяснить наблюдения за учащимися. Приведем пример.
Учащимся IX—X классов в индивидуальном порядке предлагали решить задачу с помощью ранее неизвестного им правила.
Одни учащиеся сначала внимательно прочитывали правило, а в процессе решения задачи неоднократно переводили свой взгляд на листок с правилом. Из последующих бесед выяснилось, что при первом чтении каждый из них мысленно расчленял правило на отдельные указания, которые просматривал в процессе решения.
Некоторые более способные учащиеся, прочитав правило один раз, больше к нему не обращались, но листок с правилом просили не убирать. Они уверенней работали, когда этот листок находился под рукой. Если им предлагалось правило, которое трудно запомнить сразу, то они в процессе решения задачи сверялись с этим правилом.
27


Другие учащиеся не могли решать задачи с помощью нового для них правила. Они решали их лишь после того, как им показывали образец решения, и действовали только по аналогии с этим образцом, не ориентируясь на правило.
Из этих наблюдений можно сделать следующие выводы:
1. У более сильных учащихся старших классов самопроизвольно, без всякого обучения могут формироваться необходимые умения и навыки: а) такие учащиеся могут мысленно расчленять математическое предложение на отдельные части; б) при решении задачи они могут одновременно и просматривать эти части, и выполнять соответствующие операции.
2. Эти умения и навыки у слабых учащихся отсутствуют.
3. Очевидно, метод, соответствующий стилю работы более сильных учащихся, позволяет формировать в сжатые сроки полезные умения и навыки у всех учащихся без исключения.
Таким методом является компактный. Рассмотрим его. Работа в классе при его использовании подразделяется на следующие три этапа:
I этап. Разбиение предложения, подлежа- щего усвоению, на составные части. В определении отделяются друг от друга признаки определяемого понятия. Теорема делится прежде всего на 2 части: условие и заключение, причем в каждой части выделяются составные элементы. Если определение или теорема формулируется в виде правила, то последнее разбивается ка отдельные указания. Для формирования навыков решения задач определенного типа совместно с учащимися составляется список указаний.
II этап. Учитель дает образец работы с подготовленным текстом: читает его по частям и одновременно выполняет упражнение.
III этап. Учащиеся читают по частям текст: определение, теорему или список указаний — и одновременно выполняют упражнения. При этом они руководствуются как подготовленным текстом, так и образцом, который указал учитель.
На третьем этапе коллективная работа сочетается с самостоятельной. Подготовка к самостоятельной работе осуществляется на I и II этапах, так чтобы каждый учащийся класса имел возможность выполнять упражнения при минимальной помощи учителя или совсем без нее.
Перед изучением нового правила целесообразно иногда готовить учащихся к тому, чтобы они могли самостоятельно выполнить каждое указание правила, каждое промежуточное пре¬
образование при решении задач. Так, перед изучением тождества
(а + Ьу = а?+2аЬ + Ь2 (1)
учитель выписывает на доске одночлены:
(—2а), (— Ь2), ■— m-ti
и предлагает записать: квадрат первого одно- члена; произведение второго на третий; удвоенное произведение первого на второй и т. п. Далее доказывают тождество (1) и приступают к работе компактным методом.
I этап. Ученики читают по учебнику словесную формулировку тождества и разделяют текст черточками на отдельные указания:
«Квадрат двучлена || равен сумме трех выражений: || квадрата первого члена,|! удвоенного произведения первого члена на второй ;| и квадрата второго члена».
II этап. Учитель дает образец выполнения упражнения.
III этап. В соответствии с указанным образцом вызванный к доске ученик читает правило по учебнику и, останавливаясь после каждой выделенной части, выполняет соответствующую часть упражнения:
«Квадрат двучлена [ученик убеждается, что дан именно квадрат двучлена (—х2АГ2 ху)2, а не какое-то другое выражение] равен сумме трех выражений: квадрата первого члена
[...= (—х2)2], удвоенного произведения первого члена на второй [. ..-(-2-(—х2) • (2ху)\ и квадрата второго члена [... + (2 ху)2 = =хА—4х3у-\-4х2у2]».
Остальные учащиеся следят за его работой. Некоторые из них шепотом читают правило в процессе выполнения упражнения. К концу урока почти все непроизвольно запоминают правило, а главное, умеют его применять.
Обычно ученики довольно быстро (после
2—4 примеров) приучаются к самостоятельному разбиению правила на отдельные указания, выделению в определении признаков понятия, а в теореме — условия и заключения и в дальнейшем самостоятельно работают с текстом.
Способ разбиения текста на отдельные части, к которому учащиеся приучены при изучении правил, теорем и т. д., усваивается ими как общий метод анализа математических предложений. По существу, школьники обучаются умению составлять для себя программу действий по применению определений, теорем и т. д. Причем внешний элемент этого умения—«разбиение текста учебника»—в дальнейшем становится для них необязательным.
Разумеется, в зависимости от конкретной ситуации на уроке отдельные этапы .метода изменяются или опускаются.
28


Е. А. ВАСИЛЕНКО
(Целиноград)
СИСТЕМА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ»
В процессе изучения темы «Векторы» учащиеся VII класса должны приобрести большое число умений и навыков, связанных как с понятием «вектор», так и с операциями сложения, вычитания и умножения вектора на число. Эти знания, умения и навыки в дальнейшем используются в курсе как математики, так и физики.
Опыт работы показывает, что приобретенные учащимися при прохождении темы «Векторы» навыки в ряде случаев оказываются непрочными, и это при дальнейшем изучении предмета вносит существенные затруднения. Одной из основных причин, которые ведут к сравнительно быстрой утрате приобретенных ими навыков, является недостаточное число задач к каждому пункту этой темы, особенно задач на повторение.
Приведем систему упражнений, дополняющих число задач, включенных в учебное пособие. Разделим их на две группы, каждая из которых формирует определенные умения и навыки. Задачи первой группы предназначены для формирования понятия вектора и способов его задания. В процессе выполнения упражнений второй группы учащиеся овладевают навыком нахождения суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число.
I. 	Вектор и способы его задания
1. 	Запишите векторы, изображенные на рис. 1, направленными отрезками.
2. Постройте различные направленные от-
—>
резки, изображающие равные векторы АВ,
Ъс, ~MN.
3. Назовите пары точек, которыми можно
• > “*—^ —>
задать векторы АС, BD, ВС.
4. Даны точки А, В, С, D. Изобразите и запишите векторы, отображающие точку А на
точку D, точку D на точку С и точку В на точку D.
—>
5. Параллельный перенос а задан парой точек (В, С), принадлежащих отрезку АО так, что \АВ | = | ВС\ = | CD\ Какие еще пары точек, составленные из множества {Л; В; С; D},
—>
задают параллельный перенос а?
6. Точка М — середина отрезка АВ. Запишите все векторы, определяемые парами точек, взятых из множества {А; В\ М}, и кол-
—>
линеарные вектору В А.
7. В окружности с центром О проведен диаметр АВ. а) Запишите векторы, определяемые парами точек, взятых из множества
{Л; В; О}, и коллинеарные вектору ОЛ; б) во
—>
сколько раз длина вектора АВ больше длины  >
вектора О В?
8. Дан параллелограмм ABCD. Запишите вектор, при котором A-+D. На какую точку отобразится при этом векторе точка В?
—>
9. Дан параллелограмм ABCD. Вектор а задан направлением луча АВ и расстоянием
\АВ\, вектор b — направлением луча СВ и
-> —>
расстоянием |£С|. Найдите a(D) и b(D).
10. 	Запишите векторы, отображающие прямую I на себя (рис. 2).
а
-•Ий-
1
т
1
п
7
~w
Рис. 2
11. Дан параллелограмм ABCD. Укажите вектор, отображающий \AD\ на [ВС].
12. Дан параллелограмм ABCD (рис. 3).
Какие векторные равенства можно составить,
используя рисунок?
——>
13. Вектор АВ отображает точку С на Сь О на О]. Запишите это условие в виде векторного равенства.
29


—*
14. 	Вектор а задан парой точек (Л, В), где
А(—2, 3) и 5(1, 0). Укажите две пары точек,
задающих вектор, противоположный векто- ->
РУ а.
16. 	На рис. 4 [АВ] является хордой окружности. Постройте хорду АХВ\ такую, чтобы
векторы АВ и А\ВХ были противоположными.
II. 	Сложёние и вычитание векторов. Умножение вектора на число
1. 	Используя рис. 5, изобразите вектор •> —>
а + Ь.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 6
2. Даны векторы АВ, ВС, AC, AD, DC, BD (рис. 6.). По правилу треугольника составлено
векторное равенство АВ + ВС = АС. Какие еще векторные равенства могут быть составлены по данному рисунку? Запишите их.
3. Дан отрезок АС и £€[ЛС]. Найдите:
АВ + ВС, АС + СВ, СВ + ВА.
4. Дан параллелограмм ABCD и точки М и N такие, что \ АМ\ — \МВ\, \DN | = | NC |.
Найдите: MB + MN, MN+NA, DA + DN.
5. Дан параллелограмм ABCD и [ЛС] О
П [#£>] = О. Найдите: ЛО + СД BO + DA, АВ + СО, CD + АВ.
6. Используя рис. 7, найдите: AM + AN, ~DN + DM.
7. Докажите, что АВ + DA = DB, АВ + -\-~BD = ~AC + CD, BA+~AC = DC + lD,
BD + С В = AD + С A, AC + CD + DK =
= AD + DC + С K.
8. Дан треугольник ABC и точка Ль симметричная точке Л относительно середины D стороны ВС (рис. 8). Докажите, что
АВ -f- AC == CAi -f~ BAi.
9. Дан параллелограмм ABCD. О — точка
^ ——>
пересечения его диагоналей. Найдите: ОВ—ОА,
ОВ — ОС, OD - ОС, ОА- OD, W5 - В А.
10. О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, а точки М, N, Р и К — соответственно середины сторон АВ, ВС, CD и DA. Изобразите на рисунке и запишите следующие векторы: МО—О А, ОС - CP, OK-~ОВ, AC + PD, AN + МК, ЛО — АВ, AN-NC, AK+AN, DK + DN, BN-CN, NK-NC, NK+NC, AK—AN,
AN + DK.
11. О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Найдите х, если
1) АВ = xCD, 2) АС = хАО, 3) ОС = хСА,
4) 	BD = хОВ.
12. Дан треугольник ABC и точки Ви Сj
такие, что АВХ = 2АВ, АСХ = 2АС. Найдите
АС + СВ+~ВВ1 + Cfi.
13. Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC. Найдите: AD + DE — AC, BD-\- + Ъе + ЕС, DE-DB + ЕС, АВ-АС + ВЕ.
30


Д. Ф. ИЗААК
(г. Орск)
О ПРИМЕНЕНИИ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА МНОГОГРАННИКИ
В статье В. М. Клопского, М. И. Ягодовско- го и 3. А. Скопеца («Математика в школе», 1976, № 5) приведены примеры применения скалярного произведения к вычислению расстояния между точками и угла между двумя прямыми. Скалярное произведение можно применять и к нахождению величины угла между прямой и плоскостью и величины двугранного угла, не строя при этом сами углы: угол между прямой и плоскостью и линейный угол двугранного угла. Приведем несколько примеров.
Задача 1. Дан тетраэдр SABC, в котором АСВ= SAC = 90°, (SC) _L (АВ),
Решение. Так как [СВ\±_(АС) и f Л5 ] j_
_1_ (АС), то (AS, СВ) = а и будет величиной двугранного угла АС (см. рис.)
Имеем: ((SC) j_ (АВ)) => (CS ■ АВ = 0) =#■
**(J/S— АС) (АС + СВ) = 0)=Ф(Л5 • АС - — АС2 + AS • СВ — АС • СВ = 0) (0 — 16 +
+ 4 • 8 • cos а — 0 = 0) =Ф (cos а — -у-)=^(а=60о).
Задача 2. Дан тетраэдр SABC, в ко- /\ /\
тором АСВ = SAC = 90°, \ВС\ = а, \АС\=Ь, |5.Д| = ^, |S5| = /. Найти величину двугранного угла АС и величину угла наклона ребра 5Л к плоскости ABC.
Решение. Так как \СВ\±(АС) и [Л5]_1_
/\
> >
_L (АС), то (AS, СВ) = а. и будет величиной двугранного угла АС (см. рис.).
Имеем: SB2 = (SA + АС + CBf = d2 +Ь2+ + a2-2AS-AC-2AS-CB + 2AC-CB, т. e. I2 = d2 + b2 4- a2 — 2ad cos a, откуда a2 + b' + d* — /*
cosa =
2ad
|ЛС| = |.451 = 4, |C5| = двугранного угла AC.
8. 	Найти величину
Пусть р — величина угла наклона ребра S4 к плоскости ABC. Если а^90°, то а=Р; если 90°<а<С180°, то р=180°—а. Из этого следует, что cos р = | cos а |.
Используя полученное значение для cos a, можно получить условие существования тетраэдра:
— 2ad < a2 + b2 + d2 — l2<2ad,
или
(a - df + b2 <I2 <(a 4- df + b2.
В помощь начинающему учителю
Л. Ф. ПИЧУРИН
(г. Томск)
К ИЗУЧЕНИЮ ПРОПОРЦИЙ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Одной из важнейших особенностей современного преподавания математики является подход к школьному курсу как к единой системе идей, которые иллюстрируются достаточ¬
но ярким фактическим материалом, имеющим прикладное значение. Действующая программа в основном позволяет обеспечить реализацию такого подхода. Доказательство этому — несомненные успехи, достигнутые нашей школой в ознакомлении учащихся с идеями теории множеств, геометрических преобразований, векторного пространства, алгебраическйх структур и т. п.
Тем не менее наблюдения за практикой преподавания позволяют сделать вывод, что некоторые разделы школьного курса математики оказываются в известном смысле вне основных линий его развития. Чаще всего это происходит из-за механического переноса тра¬
31


диционных представлений о месте и значении отдельных фактов математики в современный ео курс. Например, многие методические ошибки в изучении пропорций и пропорциональности объясняются именно следованием рекомендациям дореформенной методики.
До недавнего времени пропорции и пропорциональность изучались дважды. На первом этапе (VI класс) цель работы сводилась в основном к изучению нового типа арифметических задач и выработке навыка их решения. На втором (VII—VIII классы) — пропорциональность служила простейшим примером, на основе которого вводилось понятие функции.
Ныне и цели преподавания, и содержание этого раздела стали совершенно иными. После введения учебника «Алгебра 6» (М., 1977) можно вполне отчетливо представить себе и систему связей, и последовательность изложения, и, главное, цели, содержание и методику изучения соответствующих вопросов программы IV—VI классов.
В новом учебнике алгебры понятие функции определяется через отношение, а прямая и обратная пропорциональность — как функции, задаваемые формулами y=kx и у — k/х. При таком подходе определения важнейших понятий существенно упрощаются, в то же время сохраняется достаточно высокий уровень строгости изложения материала. Такое изложение, предъявляя значительные требования к навыкам абстрактного мышления шестиклассников, должно опираться на твердую наглядно-индуктивную базу, построенную еще в IV—V классах.
В неявной форме мысль о прямой пропорциональности высказывается еще в IV классе при изучении масштаба («Математика 4», п. 70). Указывая, что при определенном масштабе каждый отрезок на карте в строго определенное число раз меньше соответствующего отрезка на местности, мы фактически приводим наглядный практический пример отношения между двумя множествами, являющегося прямой пропорциональностью, и знакомимся с конкретным ее коэффициентом — масштабом. Оценив этот пример с позиций перспектив дальнейшего обучения, мы будем неоднократно возвращаться к нему, чтобы в V классе существенно опереться на него при изучении понятия пропорции. Кстати, авторы учебника «Математика 5» как раз и начинают изложение пункта 49 («Пропорции») с примера, близкого тем, которые были изучены в IV классе, а упражнения № 919 и 920 прямо используют понятие масштаба.
Такое же пропедевтическое значение имеют и упражнения на вычисление пути при задан¬
ной скорости, стоимости товара при заданной цене и даже — в определенной степени — на вычисление площади прямоугольного треугольника («Математика 4», п. 73, 74). Они важны не только сами по себе. Тем болёе смысл их вовсе не сводится к заучиванию соответствующих формул. Закрепление этого материала следует вести таким образом, чтобы он мог послужить надежной базой для усвоения мысли о возможности задания формулой функций вообще и прямой пропорциональности в частности («Алгебра 6», п. 10, 12). Не случайно в учебниках IV и VI классов использованы для объяснения почти одинаковые примеры, с той лишь разницей, что в VI классе ставится задача обобщения, а в IV — накопления фактов. Совершенно очевидно, что такая структура учебников определяет характер работы учителя — уроки в VI классе должны строиться как уроки повторения на более высоком уровне того материала, который усвоен в IV и закреплен в V классе. Без такой системы учителю едва ли хватит времени для полноценного обучения.
В V классе понятие пропорции как равенства двух отношений вводится в явном виде. Здесь целесообразно отметить два момента.
Традиция требует обстоятельного изучения свойств пропорций, техники вычислений и т. п. Для сегодняшнего же пятиклассника запись «a:b = c:d» есть частный случай числового равенства, причем случай не настолько уж особый и исключительный. Это, по существу, лишь новая форма записи равенства частного двух чисел. Частное можно писать в виде дроби (это можно сделать всегда), можно писать в виде целого числа (это удается в известном смысле довольно редко), а можно и в виде отношения (это тоже можно сделать всегда, причем далеко не единственным образом). Например, этот факт записывался еще в начале изучения темы «Рациональные числа» на другом языке — в виде основного свойства дроби. Проще говоря, для современного школьника в новой записи равенства двух отношений нет новой информации — это повторение старого материала на новом уровне с добавлением новой терминологии.
Та же старая традиция требует обстоятельного изучения техники отыскания неизвестных членов пропорции, причем, как известно, давно разработаны весьма изящные приемы соответствующих вычислений. Но все это представляло интерес лишь в том случае, когда пропорции изучались до введения уравнений. Теперь же пропорция с неизвестным членом должна представляться учащемуся лишь особым видом уравнения с одной пере¬


менной. Конечно, нельзя не отметить, что так как задачи, приводящие к уравнениям, имеющим вид пропорции, встречаются в практике очень часто, то имеет смысл изучить искусственный прием решения таких уравнений, который использует основное свойство пропорции, запомнить соответствующие правила и выработать определенные навыки. В дальнейшем (VI класс) учитель найдет возможность заметить, что распространенность задач на пропорции связана с тем, что функции, вычисление значений которых производится путем отыскания неизвестных членов пропорции, встречаются довольно часто.
Определение пропорции как равенства двух отношений требует в связи с новой терминологией в учебнике «Алгебра 6» известной осторожности. Обычно термин «отношение» понимают как синоним термина «частное»; именно так и сказано в учебнике V класса: «Частное чисел 5 и 2 называют иначе отношением 5 к 2». Но в курсе алгебры понятию отношение придается большая общность — теперь мы говорим об отношениях между произвольными множествами. Следовательно, хотя всякое частное задает отношение между множеством числителей и множеством знаменателей равных дробей (это следует отметить при введении понятий функции и прямой пропорциональности), далеко не всякое отношение есть частное! Вообще говоря, здесь нет принципиального противоречия, но в VI классе придется разъяснить, каким образом происходит обобщение известного пятиклассникам понятия.
В курсе алгебры VI класса пропорциональность изучается не в качестве самостоятельной темы, а лишь как составная часть главы
о функциях — важнейшей темы школьного курса алгебры. Предполагается, что, повторив некоторые понятия, изученные в IV—V классах (числовые выражения и выражения с переменными, уравнения и неравенства), и познакомившись с понятием отношения, мы начнем систематическое изучение главы «Функция». При этом прямая пропорциональность окажется тем уже известным, понятным и практически важным примером, на котором удастся достаточно убедительно проиллюстрировать новый материал. Этим и определяется своеобразная, если можно так выразиться, «дифференцированная» методика работы учителя при изучении важнейших фактов, встречающихся в первых параграфах главы II учебника «Алгебра 6». Например, задание функций (и отношений вообще) путем перечисления пар — вопрос принципиально новый. Но с заданием прямой пропорциональности с помощью таблиц (те же пары!) мы встречались еще в IV классе. Определение прямой пропорциональности как функции, заданной некоторой формулой,— новое определение, подлежащее твердому усвоению, его нужно выучить. Но формула s = vt (та же прямая пропорциональность!) известна с IV класса. Понятие графика отношения и графика функции — новый и довольно непростой материал. Но с некоторыми графиками мы знакомы еще по V классу. Список подобных ситуаций нетрудно продолжить.
Постоянное обращение к конкретным, наглядным примерам из опыта учащихся и из курса математики IV—V классов должно помочь шестиклассникам овладеть новым материалом, осуществить переход на более высокую ступень абстракции.
А. И. ЗИМНИЙ
(г. Клин)
ЭЛЕМЕНТЫ ИГРЫ НА УРОКАХ
Описанная в статье игра применяется нами для организации устного счета на уроках математики. Она представляет собой лото и состоит из 40 карточек (4 варианта по 10 одинаковых карточек) и картонных кружочков, которыми можно закрывать числа на карточке.
Лото используется по различным темам курса. По выбранной теме мы составляем 27 устных упражнений с несовпадающими ответа¬
ми; из них 15 считаем основными, а 12 — дополнительными. Карточки для учителя изображены на табл. 1, 2, в верхней части которых помещены основные упражнения и ответы к ним (в скобках), в нижней—дополнительные.
Далее составляются карточки лото. Карточка размером 9X20 см изготавливается из чертежной бумаги (можно применять и фотопечать), в ней 3 строки и 5 столбцов. В статье приведены по четыре варианта таких карточек, соответствующих двум карточкам учителя (табл. 1 и 2). Карточки для учащихся заполняются так, чтобы в каждой строке любой из них четыре числа были ответами к основным упражнениям, а пятое — к дополнительному.
2 «Математика и школе», № 6
33


Таблица 1
IV к ji а с С
1, Разделите 65 на- 13 (5)
2. Сумма 17 й 4 (21)
3 Разность 57 и 45 (12)
4’. Частйоё 1200 и 30 (40)
5. Произведение 9 и 4 (36)
6. Во сколько рзЗ 84 больше 21? (4)
7. Разность 29 и 5 (24)
8. Частное 81 И 27 (3)
9. Наибольшее число в множестве оДнб- (9) значных чисел
10.. Сумма 2 и 4 (6)
И. Частное 88 и 11 (8)
12. Произведение 13 и 1 (13)
33, Утроеш.ое произведение 3 и 7 (63)
14. Разность 61 и 38 (23)
15. Произведение 6 и 15 (90)
1. Наименьшее однозначное натуральное (1) число
2. Во сколько раз 7 меньше 14? (2)
3. Сумма 21 и 4 (25)
4. Произведение 1976 и 0 (0)
5. Частное 84 и 12 (7)
6. Разность 38 и 23 (15)
7. Уменьшите 150 в 15 раз (10)
8. Частное 123 и 3 (41)
9* Частное 112 и 8 (14)
10. Во сколько раз 1 р. 20 к. больше б к.? (20)
11. ВО сколько раз 7 мин меньше 1 ч 1/ мин? (il)
12. йо Сколько раз 1 кг 700 г больше 100 Г? (17)
Таблица 2
V класс
1. 0.7+4.5
2. —1.3+3,4
3. 0,3-4
4. j —28,1—11,91
5. (—12)•(—0,3)
6. 10-(—0,7)2
7. (—0.3)-8
8. 4,6—7,8
9. (—З)2
10. (—0,2)-0,3‘ 100
11. —11,34-20
12. |-0,б-0.7|
13. 0,5-0,46
14. — 2,ЬЗ
15. (—2) • (—5) • (—З)2
1. —51,9:3
(—17,3)
2. 0.9+1.4
(2,3)
3. (0.5)г:0,1
(2,5)
4. 0:(—17,04)
(0)
5. 3,5-2
i7>
6. (—0,5)-(—0,3)
(0,15)
7. —5,3-4,7
(-10)
8. 0.51-2
(1.02)
9. —0,05+5
(4,95)
10. —0,07-20
(-1.4)
11. 0,25-2—21
(—20,5)
12. 0,0121:0,11
(0.Н)
21
15
8
24
63
23
6
7
36
13
/1
40
5
10
3
4
9
23
25
12
6
13
24
2
36
5
17
63
40
21
Я
41
21
63
90
4
8
9
0
3
23
24
14
12
13
36
11
9
6
21
12
40
1
3
23
24
20
8
63
4
Карточки лото, соответствующие табл. 1
4,9
9
2,3
8,7
1,3
—6
1*2
90
-1,4
-3,2
—17,3
40
-2,4
0,23
2,1
2,1
— 3,2
7
1
1 '
3,6
8,7
6,2
— 10
1
4,9
-20,5
-6,3
40
-6
1,3
5,2
90
2,6
—2,4
8,7
3,6
я
0,23
0,15
С г)
40
—3,2
1,3
-6
4,95
4,9
8,7
V
—6
0
.
1,02
-6,3
1,2
9
3,6
0,11
1,2
-6,3
5,2
—,4
Карточки лото, соответствующие табл. 2
Перед игрой ученики получают по одной карточке и 13 кружков. Учитель предлагает (например, читает, пишет на доске или использует кодоскоп) 15 основных вопросов (из верхней части карточки учителя). Выполняя упражнения, ученики закрывают на своей карточке те числа, которые совпадают с ответами решенных примеров. При верных вычислениях после выполнения всех основных упражнений из 15 чисел на карточке будет закрыто 12, по 4 в каждой строке.^.После этого учитель предлагает еще один — дополнительный вопрос (из нижней части карточки учителя). Ответ на него есть в незакрытых ячейках у 10 человек, имеющих один и тот же вариант. У тех из них, кто правильно выполнил и это упражнение, оказывается полностью закрытой одна из строк карточки; они сообщают об этом учителю поднятием руки. Игра на этом заканчивается. Учитель просматрнва-
34


ет карточки выигравших и выставляет оценки: 5 —если на карточке не закрыты только две ячейки, 4 — три ячейки, 3 — четыре и пять ячеек. При этом учитель обращает внимание на то, какие именно числа остались незакрытыми. Проверить, правильно ли решены предложенные учащимся примеры, можно с помощью карточек учителя: при верном решении незакрытые числа должны содержаться
среди ответов к дополнительным Тшям
(если какое-либо незакрытое число не окажется Среди ответов нижней части карточки учителя, то ученик сделал ошибку). Описанная игра явЛйётся своеобразной устной самостоятельной работой: в течение 16—20 мйн она позволяет выставить до 10 оценок.
Можно составить также лото, где ответами будут и буквенные выражения.
М. Н. НАКОНЕЧНЫЙ
(г. Гурьев)
КАРТОЧКИ -ЗАДАНИЙ ПО ОТЫСКАНИЮ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
При обучении решению задач различными способами можно использовать карточки, на которых записана задача и указания к ее решению, служащие отправными пунктами к самостоятельной поисковой деятельности учащихся. Эффективность таких карточек отмечал А. И. Мостовой: «Имея под руками раздаточный материал в виде карточек-заданий, учитель может с большей эффективностью провести урок, плодотворно организовать самостоятельную работу каждого учащегося в отдельности сообразно с его индивидуальными способностями»*. Наш многолетний опыт подтверждает это.
Практика показывает, что карточки-задания следует составлять дифференцированно, с учетом индивидуальных способностей школьников. При этом следует иметь в виду, что одно и то же задание может быть оформлено по- разному, для того чтобы оно составляло различные степени трудности. Например: одни
учащиеся получают карточки только с заданиями, другие — с заданиями и со ссылкой на отдельные конкретные суждения — основания для решения, Третьи — с чертежами, четвертые— с чертежами и словесными пояснениями.
Учитель, разрабатывающий такой дидактический материал, должен досконально проанализировать задачи, составить список суждений, на которых основываются способы решений, и дать указания к каждому способу.
Покажем на примере одной задачи, как следует подготовить работу с такими карточками.
1 Мостовой .4. И. Различные способы доказательств в курсе геометрии восьмилетней школы. М., «Просвещение», 1965, с. 49.
2*
Задача. Центром окружности служит вер- шина прямого угла С треугольника ABC, радиусом— катет ВС, Д=40°. Окруохность пересекает стороны АВ и АС в точках D и Е. Определить величину одной из дуг ВО или DE.
Составим список суждений, опираясь на которые были найдены способы решения.
1. Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Все точки окружности с диаметром BF являются вершинами прямоугольных треугольников с гипотенузой BF.
3. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
4. Величина центрального угла равна угловой величине соответствующей ему дуги.
5. Углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны.
6. Сумма углов треугольника равна 180°.
7. Величина каждого острого угла равнобедренного прямоугольного треугольника равна 45°.
8. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с этим внешним.
9. Сумма двух смежных углов равна 180°.
10. При параллельном переносе угол отображается на конгруэнтный ему угол.
11. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам.
12. Дуги, заключенные между параллельными хордами окружности, конгруэнтны.
13. Если две прямые в плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
14. Угол между направлениями, противоположными двум заданным, равен углу между самими этими направлениями.
15. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.
Список суждений можно приложить к карточкам-заданиям или вывесить в классе.
35


Рассмотрим примеры карточек-заданий.
Карточка-задание со ссылкой на суждения, принимаемые в качестве оснований решения.
Примером такого задания служит карточка № 1, в которой все указания даны в виде графических схем. В каждой схеме используемое суждение указывается только один раз, даже если при данном способе доказательства его следует применять неоднократно.
КАРТОЧКА № 1
Задача. ААВС — прямоугольный; С — 90°, С — центр окружности, А = 40°.
Найти DB или DE.
Задание. Решить задачу различными способами.
Указание. При отыскании способов решения воспользоваться приведенными ниже схемами, где в треугольниках указаны номера способов решения, а в кружках — номера суждений, на которых они основываются.
КАРТОЧКА № 2
Указание. При отыскании способов решения руководствоваться рис. 1—7.
©—► у/ ©—
0—►
©-*\
®—►
Карточка-задание, в которой даны пояснительные чертежи.
Здесь задание записано так же, как и в предыдущем случае. Номер способа решения в карточке № i соответствует рисунку в карточке № 2.
В
В
Рис. 6
В
Рис. 7
Карточка-задание, в которой даны чертежи и указания.
Задание такое же, как и в предыдущил карточках.
3ft


1-й способ (рис. 1). Установить, что Л = А
/\
2-й способ (рис. 2). Найги BCD.
3-й способ (рис. 3). Воспользоваться тем, что угол АЕВ — внешний угол треугольника ЕСВ.
4-й способ (рис. 4). Воспользоваться тем, что углы FDB и FDA смежные.
5-й способ (рис. 5). Учесть, что (Л/V) II (DM)
и при параллельном переносе AD угол САВ отображается на угол MDB.
6-й способ (рис. 6). Воспользоваться тем,
что (ЕМ)\\(АВ) и рассмотреть параллельный
—>
перенос АЕ.
7-й способ (рис. 7). Показать, что луч АС противоположно направлен лучу BF, а луч AD — лучу BD.
Каждое задание должно быть посильно учащимся при их достаточном напряжении и предлагаться в отдельных случаях на уроке, или в качестве домашнего задания, или на внеклассных занятиях. В заключение отметим, что длительная работа в таком направлении полезна не только учащимся, но и учителю, так как помогает более подробно и творчески анализировать школьные задачи.
Читатели вносят предложения
М. Е. ЗЕЛЬМАНЗОН
(г. Таганрог)
ОДНО ЗАМЕЧАНИЕ О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
В VIII классе учащиеся изучают практические приемы приближенных вычислений. При этом при умножении и делении им приходится руководствоваться правилами подсчета верных цифр, которые дают рекомендации о сохранении того или иного числа значащих цифр. Однако если в процессе вычислений используются таблицы (например, тригонометрические), то возникают непредусмотренные рекомендациями осложнения.
Обратить внимание на эти трудности необходимо потому, что учащиеся встречаются с ними именно в VIII классе при решении прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем сказанное примером.
Пусть катеты прямоугольного треугольника а и b вычислены приближенно с двумя значащими цифрами а ^5,6; 6 ^6,8. Надо вычислить угол А, противолежащий катету а.
Учащиеся находят tgA:
1^0,82.
Деление до четвертого знака, очевидно, противоречит практическим правилам приближенных вычислений (см. «Алгебра 8», с. 39, правило 3). Затем учащиеся находят величину угла А по четырехзначным таблицам В. М. Бра- диса. При этом они чаще всего считают, что
tgA = 0,8200.
Однако дополнение полученного результата двумя нулями тоже неверно. В таблице тангенсов значению 0,8200 соответствует угол 39°2Г, но четырехзначное значение для tg/З ~0,8200 случайно, и угол сосчитан с завышенной точностью. Приближенное значение tg-Д ~0,82 означает колебания его в пределах от 0,81 до 0,83. Разыскиваем соответствующие граничные значения угла А: 39° и 39°42', т. е.
39° 00' < Л < 39°42'.
Ответ может быть оставлен в таком виде или, если есть необходимость записать угол в соответствии с принципами метода подсчета верных цифр, будем считать, что Д = 39°.
Из разобранного примера ясно, как нужно поступать при приближенных вычислениях по методу подсчета верных цифр при использовании тригонометрических и им подобных таблиц.
37


С. 	К. МАГОМЕДОВ (г. Махачкала)
ОБ УПРАЖНЕНИЯХ
С ПОЗНАВАТЕЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Одной из методических особенностей новых учебников является сокращение числа формулировок, даваемых учащимся для заучивания. При таком подходе теоретические знания школьники приобретают не только при чтении объяснительного текста к пунктам учебников, но и при решении задач с познавательными функциями, что неизбежно приводит к усилению их роли. Упражнения с познавательными функциями являются одним из важнейших аспектов совершенствования методики обучения математике. Задача учителя заключается не только в умелом выделении новой информации из соответствующих упражнений, но и б постоянном накапливании ее. В данной статье мы и остановимся на одной из особенностей упражнений с познавательными функциями — на выявлении и накапливании новой для учащихся учебной информации.
В методическом пособии для учителей «Математика в 4 классе» (М., «Просвещение»,
1975) в конце каждого параграфа выделены вопросы для повторения, что является весьма эффективным новшеством. Такие вопросы, безусловно, способствуют осуществлению контроля за качеством усвоения учебного материала. Авторский коллектив пособия справедливо подчеркивает: «Умение отвечать на эти вопросы обязательно для всех учащихся». Аналогичные вопросы есть и в пособии для учителей «Математика в 5 классе» (М., «Просвещение»,
1976).
На все ли вопросы для повторения ученики IV—V классов найдут ответы в объяснительных текстах соответствующих пунктов стабильных учебников или для некоторых из них они получат ответ в процессе выполнения соответствующих упражнений, т. е. упражнений с познавательными функциями? Чтобы ответить на этот вопрос, пришлось проанализировать новые учебники для IV—V классов и учебные пособия для VI—VIII классов. 3 результате такого анализа было выяснено, что из 102 вопросов для повторения к двенадцати параграфам методического пособия «Математика в 4 классе» ответы только на 80 вопросов учащиеся смогут найти непосредственно в объяснительных текстах учебника, на остальные же 22 вопроса — в результате выполнения соответствующих упражнений (в V классе — соответственно 89 и 15) Примерно такое же положение и в учебных пособиях для VI—VIII клас¬
сов. Сказанное убеждает в том, что упражнения с познавательными функциями должны выполняться с максимальной активностью всех учащихся класса, с обязательным выделением соответствующей новой учебной информации.
Наши наблюдения показывают, что не все учителя математики уделяют должное внимание выявлению и накапливанию новой для учащихся учебной информации через упражнения с познавательными функциями. При этом одни, решая с учащимися познавательные задачи и упражнения, ограничиваются только получением ответа на вопрос задачи, другие совсем пропускают их; и то и другое значительно препятствует повышению качества обучения математике, предупреждению неуспеваемости учащихся. Так, на уроке в IV классе школы № 17 г. Махачкалы при проверке выполнения упражнения 1318, заданного на дом, оказалось, что все ученики класса нашли величину острого угла прямоугольного треугольника по данной величине другого острого угла путем применения утверждения о сумме величин углов любого треугольника: Л+490+900:= 180°. При анализе урока выяснилось, что на предыдущем уроке не была решена задача 1313 с познавательной функцией «Докажите, что сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна 90°». Конечно, если бы учитель предварительно решил с учащимися задачу 1313, выделил новую учебную информацию о том, что сумма величин острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, и закрепил ее путем решения задачи 1314, то задачу 1318 они решили бы более рациональным способом.
Отметим, что в прежних учебниках геометрии такого рода учебная информация излагалась в виде следствия из теоремы, а в новых учебниках она скрыта в упражнениях. Вот почему на упражнения с познавательными функциями следует постоянно обращать внимание учащихся.
Можно привести и другой пример. При анализе контрольной работы К-2 по алгебре, проведенной в начале 1976/77 учебного года в шестых классах некоторых школ г. Махачкалы, мы установили, что 27% писавших ее не справились с заданием: «Какие из чисел множества {—3; —2; —1; 0; 1; 2} являются решениями неравенства х3<*2?» Оказалось, что 90% допущенных ошибок связано с незнанием свойства степени отрицательного числа. Возник вопрос, в каком классе и при изучении какого материала ученики должны были быть вооружены знаниями, умениями и навыками по применению этого свойства. В учебнике V класса при изложении пункта «Степень» в
38


Т а б л и ц а
V класс
Пункт
учебника
Упражнения
Свойства, правила, вытекающие из этих упражнений
Степень
946, 957
Четная степень отрицательного числа положительна, нечетная — отрицательна
объяснительном тексте данное свойство не выделено, а в VI классе 1 глава «Степень с натуральными показателями» изучалась в начале II полугодия, и здесь упомянутое свойство в явной форме не изложено. Дело в том, что первоначальное понятие о свойстве степени отрицательного числа следовало бы ввести в V классе при выполнении упражнений 94(5, 957 к пункту учебника «Степень» и повторить его в начале учебного года в VI классе при выполнении дополнительных упражнений 84, 85 к пункту «Числовые выражения».
Выяснилоось также, что, даже если в свое время при решении упражнений и было выделено свойство степени отрицательного числа, многие ученики все-таки допустили ошибки. В чем же дело? Оказывается, спешно выделенная новая учебная информация, скрытая в познавательных упражнениях, школьниками забывается. Они не имеют возможности повторить ее в объяснительных текстах учебника, поэтому, очевидно, целесообразно накапливание учениками новой учебной информации в специальных тетрадях. Записи в такой тетради можно оформить, например, в виде таблицы (см. выше).
При таком накапливании учебной информации ученики, особенно выпускных классов, могут периодически повторять учебный материал, скрытый в упражнениях с познавательными функциями.
Большие затруднения вызывают у многих учеников даже старших классов задачи, для решения которых используется такая запись многозначного числа: abed — 1000а+100Ь+
+ 10c-\-d. В школьных учебниках этот вопрос освещается скрыто через познавательные упражнения, а ученики на фоне спешного выполнения одного-двух упражнений недостаточно вооружаются знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения этой записи в различных учебных ситуациях. Так, например, при изучении темы «Преобразование суммы и разности многочленов в многочлен стандартного вида» из 152 шестиклассников школы № 38 г. Махачкалы 69 не справились с
1 Имеется в виду учебное пособие «Алгебра
контрольным заданием из дидактических материалов: «Доказать, что разность трехзначного числа и суммы его цифр делится на 9». Если учителя при выполнении упражнения 617 (а—г) «Каждое число вида abc представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность:
a) abc + ach\ б) abc + ас\
в) 	mnk — тп; г) mnk — nkm\>
глубже ознакомили бы учащихся с формой записи многозначных чисел и привили бы навыки ее применения путем решения задачи 618 (на доказательство), то ошибки школьников можно было предупредить.
Тождественные преобразования иррациональных выражений — один из трудных разделов школьного курса математики. При изложении этого вопроса в учебных пособиях по алгебре для VII и VIII классов (под ред. А. И. Маркушевича) основной упор делается на определение арифметического корня. Такие вопросы, как сложение, вычитание, возведение в степень корней, разъясняются на частных примерах без введения понятия подобных корней и теоремы о нахождении арифметического корня из степени, а умножение и деление — как обратное преобразование в записи теорем о корне из произведения и дроби. При таком рассмотрении ключевых тождественных преобразований иррациональных выражений большое внимание следует уделять упражнениям с познавательными функциями. Необходимо не только разобрать их на уроках с выделением соответствующей учебной информации, но и периодически возвращаться к ним в различных учебных ситуациях. Именно такую методическую рекомендацию и дают авторы пособия для учителей «Алгебра в VII классе»: «Практика показывает, что применение тождества (Уя)2 = а вызывает некоторые трудности у учащихся. Научиться сознательному применению этого тождества они смогут лишь при условии систематической и целенаправленной работы учителя на протяжении ряда уроков» (а, 151).
39


Посещенные нами уроки показывают, что в тех классах, где учителя не выполняют упомянутого требования, многие учащиеся VII класса не справляются с тождественными преобразованиями выражений вида: ]/25а5 +
+ 4а У'а? — а2 /а (№ 727(e)); (3 /2 — /6 + + 1)-2/2 (№ 732(b)). Мы считаем, что предупреждению и преодолению этих трудностей в определенной степени способствовало бы введение понятий подобных корней и их приведения (по аналогии с приведением подобных рациональных одночленов). Сложение и вычитание корней в учебном пособии объясняется на примере применения вынесения множителя из-под знака корня:
2 /8 + 3/2- 2 КТ8 = 41/"2 -+-
+ 3/2—6/2 = (4 + 3 — 6) /2 = УХ
где используется распределительный закон умножения, или вынесение общего множителя
за скобки. В качестве второго способа такое
преобразование можно было бы провести путем приведения подобных корней.
В объяснительном тексте учебного пособия для VII класса не рассматривается и вопрос преобразования иррациональных выражений
вида (3/2 —/6+ 1)-2/2. ему посвящены познавательные упражнения 731, 732. Их выполнение целесообразно проводить по аналогии с уже известными семиклассникам тождественными преобразованиями рациональных выражений вида
(а2—7 а+6) -2,5 а.
В заключение хочется подчеркнуть, что умелый методический подход учителя к решению задач и упражнений с познавательными функциями не только предупреждает неуспеваемость учащихся, но и значительно способствует развитию их математического мышления.
Р. Д. МУСАЕЛЯН
(Ереван)
К ВОПРОСУ О СОВЕРШЕНСТВОВАНИИ РАЗДЕЛА «ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ»
Методику обучения приближенным вычислениям по учебным пособиям «Алгебра 7» и «Алгебра 8» можно оценивать по следующим параметрам:
I. Доступность материала.
II. Корректность излагаемой теории.
III. Обоснованность для ученика введения данного закона или правила.
IV. Сформированность умения владеть данным правилом.
V. Универсальность приложения сформированного математического аппарата в самом курсе математики.
VI. Универсальность применения математического аппарата приближенных вычислений при изучении предметов естественно-матема- тического цикла.
Перейдем теперь к конкретному анализу пунктов 26—31 пособия «Алгебра 7» и пунктов 6—10 из «Алгебры 8».
Пункт 26. Точные и приближенные значения величин.
При анализе содержания этого пункта оценка была произведена только по двум параметрам (доступность и обоснованность).
Из-за специфики содержания и характера изложения оценка по другим четырем параметрам не имела смысла. Небольшой объем эго- го пункта и его функциональная несамостоятельность позволяют распределить этот материал по другим пунктам.
Пункт 27. Границы значения величин.
Этот пункт по всем шести параметрам следует оценить положительно. В изложении использован интересный методический прием — описательный эксперимент. С помощью пяти рисунков, на которых последовательно представлен процесс взвешивания, показано, как устанавливается сначала нижняя граница массы груза, затем заменой разновесков на большие— верхняя граница. Дальнейшие замены разновесков повышают нижнюю границу и понижают верхнюю. Такая эволюция значений верхней и нижней границ и экспериментальный характер их установления делают вводимые понятия вполне доступными и хорошо сформированными. Введенные понятия верхней и нижней границы величины находят широкое применение и в курсе математики, и в других естественнонаучных дисциплинах. По этому пункту имеется только одно замечание: видимо, следует более четко объяснить (в учебнике или в книге для учителя), почему в одном случае, когда речь шла об определении массы детали (т г), мы имели дело со строгим неравенством 26<га<27, а в другом, когда было дано значение длины отрезка (а см),— с нестрогим: 5,4^а^5,5.
40


Пункт 28. Теоремы о почленном сложении и умножении верных числовых неравенств.
Этот пункт является своего рода подготовительным к введению метода границ и в основном содержит теоретический материал. Поэтому в плане прикладной направленности он несколько выпадает из системы остальных пунктов учебника. В связи с этим оценка по шести параметрам здесь не всегда правомерна. Как показывают результаты контрольных работ, доказательство в общем виде теорем о почленном сложении и умножении верных числовых неравенств учащимся доступно; у них достаточно хорошо сформированы умения пользоваться этими теоремами.
В самом курсе алгебры этот материал используется достаточно часто.
Пункт 29. Применение метода границ для оценки значения суммы, разности, произведения и частного.
Материал этого пункта доступен. Во-первых, удачна его структура. Здесь рассматриваются четыре примера на применение теорем о сложении и умножении неравенств при нахождении верхних и нижних границ суммы, разности, произведения и частного. Примеры для оценки суммы и произведения предельно просты. Что же касается примеров на опенку разности и частного, то здесь имеется одна особенность, связанная с тем, что смена знака у второго неравенства (когда вычитание заменяется сложением) влечет за собой и смену знака самого неравенства. Это естественно приводит к перемене местами верхней и нижней границ. Например, неравенство 1,5<Ь<1,7 заменяется неравенством —1,7<—Ь<. —1,5- Такое перекрестное действие вызывает у учащихся некоторые чисто технические трудности.
В системе упражнений к этому пункту хотелось бы видеть больше задач типа 433: «Можно ли перевезти на трехтонном грузовике 14 плит, каждая массой га кг, где 260^га^270, если не допускается перегрузка свыше 500 кг?». Здесь практическое содержание диктует дискретное множество решений.
Анкетирование учителей показало, что, как правило, умение применять метод границ в отводимое на тему число часов удается довести до уровня уверенного выполнения самых элементарных упражнений на определение границ суммы и произведения (426 а, в; 427 а,
г). В то же время упражнения на определение границ частного вызывают существенные затруднения. Ряд учителей вообще считают, что такие задачи не соответствуют возрастным особенностям учащихся VII класса.
Универсальность применения метода границ в курсе математики весьма незначительна: ни в геометрии, ни в алгебре в дальнейшем к методу границ, как показывает анализ соответствующих учебников, не возвращаются. Объясняется это простой причиной: данный метод трудоемок и не эффективен.
Пункт 30. Погрешность приближения.
Удачная геометрическая иллюстрация примера, данного в этом пункте, предопределяет доступность и обоснованность для ученика вводимого понятия. Хорошая система упражнений к этому пункту способствует формированию достаточного уровня умения во владении понятием погрешности.
К сожалению, в современном школьном курсе физики применяется понятие абсолютной погрешности, не совпадающее с понятием погрешности, вводимым в курсе алгебры. В процессе совершенствования учебников алгебры и физики эта несогласованность должна быть ликвидирована.
Пункт 31. Точность приближения.
Материал этого пункта достаточно сложный и ответственный: от того, как ученик поймет смысл понятия точности, зависит очень многое. На примере последовательного сужения границ ученик подводится к наиболее выгодному выбору приближенного значения величины. Содержание пункта наглядно раскрывает смысл понятия точности приближения.
Перейдем к анализу пунктов 6—10 из пособия «Алгебра 8».
Пункт 6. Относительная погрешность.
Половину содержания пункта составляет повторение материала VII класса. Новым является понятие относительной погрешности. Авторы дают определение относительной погрешности отличное от часто используемого ^о)= . Но именно это отли¬
чие снимает все методические трудности при переходе к границе относительной погрешности.
Система упражнений достаточно представительна и эффективна.
Пункт 7. Запись приближенных значений чисел.
Анализ практики работы школ показал, что материал пункта изложен недостаточно доступно. Даже несмотря на то, что авторы отказались от традиционного введения трех названий: верная, сомнительная и неверная цифры, и ограничились только понятием верной цифры (об остальных говорится, что мы не можем указать, являются ли они верными), усвоение учебного материала вызывает боль¬
41


шие затруднения. На наш взгляд, следовало бы вместо понятия верной цифры использовать другое (в идейном смысле более емкое понятие) — правильная запись приближенного значения числа, т. е. запись числа со всеми верными цифрами. В связи с этим существенно сократился бы текст пункта и система упражнений.
Пункт 8. Слооюение и вычитание прибли- о/сенных значений чисел.
Материал пункта в том виде, как он представлен в учебнике, не несет в себе практически никакой новой для ученика информации по сравнению с VII классом. Теоретическая часть —обобщение метода границ (формула h — ha+hb) —в принципе, изложена просто, корректно, обоснованно. Однако требование сформировать умение пользоваться этой формулой и направленность всей системы упражнений на формирование этого умения делают доступность этого пункта, как, впрочем, и следующего, неудовлетворительной. Создается впечатление, что это требование нельзя считать обязательным, так как в дальнейшем нет практического применения введенной формулы.
Пункт 9. Умножение и деление приближенных значений чисел.
В добавление к сказанному о предыдущем пункте необходимо сказать, что в данном случае сформировать у учащихся умение пользоваться формулой е=8а+вь еще труднее. Фактически эта формула далее нигде не используется.
Пункт 10. Практические приемы приближенных вычислений.
Материал пункта доступен. Использование вероятностного характера правила подсчета
цифр делает его достаточно корректным. Однако обоснованность введения этих правил ученику не очевидна. К этому моменту оказываются недостаточно хорошо сформированными понятия о верном десятичном знаке к верной значащей цифре, что следовало бы сделать в пункте 7. Система упражнений явно неудовлетворительна: упражнений мало, и
они не увязаны ни с геометрией, ни с физикой.
Таким образом, оценивая информацию, полученную в результате выполненного анализа, можно сделать вывод, что одним из путей совершенствования методики обучения приближенным вычислениям может явиться усиление ее прикладной направленности должный учет специфики подачи материала.
В первую очередь необходимо:
1) лучше разработать систему упражнений, формирующую умение применять правила подсчета цифр при решении практических задач. Методический подход к разработке системы упражнений должен учитывать согласование этой системы со структурой формул, наиболее часто используемых в курсе физики, химии;
2) перенести центр тяжести в формировании навыков практического использования приближенных вычислений с пунктов 8 и 9 на пункт
10. 	Тогда пункты 8 и 9 можно существенно сократить, сделав их содержание только иллюстрацией метода границ и началом обоснования правил подсчета цифр;
3) согласовать систему основных понятий приближенных вычислений в курсах алгебры и физики, а также в курсе алгебры и начал анализа.
Техшческне средства обучения. Учебное оборудование
Е. В. АРУТЮНЯН, Ю. А. ГЛАЗКОВ
(Москва)
УЧЕБНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ
ПО ГЕОМЕТРИИ ДШ ¥11—VIII КЛАССОВ
Комплект средств обучения геометрии в VII — VIII классах по новой программе только начинает создаваться. Однако при изучении большинства пунктов действующих пособий по геометрии можно частично использовать оборудование, созданное по старой программе (отдельные таблицы, кадры диафильмов и т. д.). Перечислим эти средства обучения.
Кинофильмы
1. Измерения на местности (1959). Фрагмент 3. Измерение углов на местности. Фрагмент 8. Измерение высоты предмета
при помощи эклиметра.
Фрагмент 10. Мензульная съемка плана участка полярным способом.
2. Стереометрический материал в курсе геометрии (1968).
Часть I. Расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Часть II.
Фрагмент 1. Призма.
42


Фрагмент 2. Пирамида.
Часть III.
Фрагмент 1. Правильные призмы и пирамиды.
Фрагмент 2. Цилиндр.
Фрагмент 3. Конус.
3. Геометрические тела* (1966).
4. Измерение углов на местности (серия ки- нокольцовок) (1969).
Фрагмент 4. Измерение высоты дерева.
Фрагмент 5. Измерение высоты башни.
Фрагмент 8. Съемка плана местности (полярный способ).
5. Конус (1966).
6. Пирамида (1966).
7. Построение окружностей (1, 2, 3 части) (1966).
8. Призма (1966).
9. Цилиндр (1966).
Диафмльмы
1. Векторы на плоскости (1965).
2. Вписание и описание окружности (1959).
3. Выпуклые и невыпуклые фигуры (1973).
4. Геометрические фигуры и их взаимное расположение (1965).
5. Гомотетия (1965).
6. Длина отрезка. Пропорциональность отрезков (1969).
7. Дуги, хорды и зависимость между ними
(1968).
8. Измерения на местности в курсе геометрии восьмилетней школы (1961).
9. Изучайте форму предметов (1964).
10. И. И. Лобачевский (1960).
И. Окружность и круг (1968).
12. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве (1971).
13. Параллельный перенос (1966).
14. Площади многоугольников (1971).
15. Поверхность круглых тел (1970).
16. Поворот. Центральная симметрия
(1973).
17. Подобие и гомотетия (1976).
18. Практическое применение геометрии
(1969).
19. Преобразование графиков функций (1965).
20. Проекции и построения пространственных фигур (1969).
21. Прямоугольный параллелепипед (1966).
22. Стереометрический материал в курсе геометрии (1963).
23. Треугольник и его элементы (1965).
24. Четырехугольники (1977).
Серт диапозитивов
1. 	Векторы (1973).
2с Гомотетия и подобие (1974Х»
3. Задачи на доказательство (1969).
4. Измерение площадей (1970).
5. Метод координат. Простейшие графики
(1974),
6. Многогранники (1970).
7. Многоугольники (1974).
8. Прямоугольный параллелепипед, ч. I (1970).
9. Прямоугольный параллелепипед, ч. II
(1970).
Модели, наборы, приборы
1. Астролябия школьная (завод № 2 «Физ- прибор», г. Киров).
2. Комплект кривых для магнитной доски (Одесская фабрика учебно-наглядных пособий).
3. КохМплект резиновых штемпелей (завод учебно-наглядных пособий, г. Днепропетровск).
4. Комплект стереометрических тел (завод № 5 им. Ф. Э. Дзержинского, г. Щелково).
5. Комплект моделей для лабораторных работ по измерению длин, площадей, объемов в восьмилетней школе (Одесская фабрика учебно-наглядных пособий).
6. Линейка визирная (завод № 6, г. Загорск).
7. Магнитная координатная доска (Одесская фабрика учебно-наглядных пособий).
8. Магнитный прибор «Измерение площадей» (Одесская фабрика учебно-наглядных пособий).
9. Мензула школьная (завод № 2 «Физпрн- бор», г. Киров).
10. Модели подвижные по планиметрии (фабрика «Природа и школа» № 14, г. Москва).
11. Набор геометрических тел (завод «Уч- прибор»,-г. Мукачево),
12. Набор геометрических тел (фабрика «Красная звезда», г. Можга).
13. Набор геометрических тел в развертках (фабрика «Природа и школа» № 14, г. Москва).
14. Набор шарнирных моделей многоугольников (завод № 5 им. Ф. Э. Дзержинского, г. Щелково).
15. Тригонометр (завод № 2 «Фцзприбор», г. Киров).
Серии таблиц
1. Таблицы по геометрии для VII класса (А, Ю. Михайловская, 5. А. Садчиков. М., «Просвещение», 1976).
2. Таблицы по геометрии для восьмилетней школы (С. А. Пономарев. М., «Просвещение», 1965)*
43


3. 	Таблицы по геометрии «Измерительные работы на местности» (И. Ф. Корольков. М., «Учпедгиз», 1960).
Все данные об использовании учебного оборудования сведены в таблицы. Табл. 1 соот¬
ветствует VII классу, табл. 2 — VIII классу. В таблицах указаны номера учебных средств из данного списка. В скобках приведен номер части и фрагмента кинофильма, таблицы, кадра диафильма или диапозитива.
Таблица 1
Номера
пунктов
учебника
Приборы
Таблицы
Диафильмы
Диапозитивы
43-45
10
3(13—18), 24(2—16)
7(2, 9—12), 3(26, 30)
46
1(1, 2)
47—50
10
1 (3)
18(10—15, 21), 24(17—35)
3(28, 31), 7(13—23)
51
5, 7, 8
1 (4), 2(7) л
14(3—12)
4(1-7, 15), 7(30)
52
5, 7, 8, 14
1(4)
14(14, 15)
4(8, 15), 7(30)
53
5, 7, 8, 14
1(4), 2(7]
14(16—26), 23 (24—27)
4(8—11, 15), 7(24—26, 29, 30),
3 (34—36)
54
5, 7, 8, 14
1(4), 2(7)
14 (28—33)
4(11, 15), 7(28, 30)
55
5, 7, 8
1(4), 2(7)
4(1, 4, 11—15), 7(30)
62—68
1 (5-8)
7(3, 4, 15, 17, 19—23),
11 (3, 7, 12—16, 19, 24)
69—70
1 (9, 10)
1(4,6)
1 (1-4)
71—73
1(11)
1 (15, 17, 25, 27—29)
1(5-12), 5(3, 4, 25)
74—75
1(12)
1 (32—34, 38)
1(13—17, 20)
76
1(2, 18, 20)
1(18, 19)
77
13(8, 9, 11, 19)
78
1 (13)
17(2—14)
2(1, 2)
79
1(14)
5(3, 5, 6, 8, 9, 13), 17(15—24)
2(1, 2, 4—12, 20)
80
1(14)
5(16—22, 28, 29), 17(25—28)
2(20)
81
6(13—15, 17, 20, 22—25,
2(3, 13-15)
27, 37, 39)
82
1(14)
5(10), 17(29-34)
2(16—20)
83—84
1(15, 24)
5(30), 17(35)
2(20)
85—90
1 (16—19)
7(27)
91
1(20)
5(32—35, 39—43)
92—93
2(11)
6(29)
94—95
1, 6, 9
2(11), 3(1, 12, 21)
6(40), 8(28, 29)
96
1, 6, 9
1 (21—23), 3(1, 12,24)
8(16, 19,20, 41—43), 17(37—38)
97
5(24, 25), 17(36)
Таблица 2
Номера
Таб¬
Диафильмы
пунктов
Кинофильмы
Приборы
лицы
Диапозитивы
учебника
98
16(7—9, 11)
100
2, 7
19(2, 7, 11)
5(23)
101—106
2, 7, 10, 15
19 (25)
111—117
10, 14
2(13)
3 (3—38)
3(37)
118—119
7, 8
2(9)
11 (33)
120—122
2(1)
12 (2—7, 9, 10, 14), 4(10), 22(3, 9—13)
124
2(11—1,111—1), 8
2(8)
9(21, 23), 20(10), 22(16—22)
6(1), 9(10, 11, 17, 19,20)
125
5
21 (5, 13, 14, 20—23)
9(6. 16)
126
2 (И—2, Ш-1),6
3, 4, 11—13
2(14)
9(29—31), 20(10), 22(31—36, 38)
6 (2—7)
127
2(111—2), 3, 9
3, 4, 11—13
2(10)
4(26,28), 9(10—12), 15(29), 20(16), 22(24—27, 29)
128
2 (Ш—3), 3, 5
3, 4, 11—13
2(10)
4(27), 9(7—9, 13), 15(30),
20(18), 22(39—43)
129
3
3, 4, 11, 12
2(10)
4(5, 6, 26), 9(4-6, 14), 22(44—46, 48)
8(2)
135
10
44


В табл. 1 кинофильмы не указаны, так как они имеются лишь к четырем пунктам пособия «Геометрия 7»: к пункту 62 — фильм 7, к пункту 94— 1 (3, 8), 4 (4, 5), к пункту 96 — 1 (3, 10), 4 (8).
При использовании оборудования, изготовленного по старой программе (выпущено до 1968 г.), необходимо учитывать, что некоторые из этих средств обучения содержат обозначения и термины, не принятые в настоящее время. В каждом конкретном случае учитель при подготовке к уроку должен решить, как использовать данное средство обучения.
НОВЫЙ ПРИБОР
ДЛЯ КАБИНЕТОВ МАТЕМАТИКИ
В соответствии с планом создания новых средств обучения Министерства просвещения СССР в этом году будет выпущена первая партия нового прибора для кабинетов математики восьмилетних и средних школ, который получил название «Полигон логических схем-2. Логические операции». Этот прибор включен в «Типовые перечни учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ», утвержденные при¬
казом министра просвещения СССР от 5 июля 1976 г. № 114, в раздел учебного оборудования по математике для IV—VIII классов под индексом М.2.3.7 (Типовые перечни учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ. Средняя школа. М., «Просвещение», 1977, с. 31).
«Полигон логических схем-2» — современный прибор многоцелевого назначения, который позволяет учителю провести целый ряд демонстраций при объяснении первоначальных представлений математической логики. Он может быть использован и при изучении других разделов школьного курса математики. Подробные методические указания прилагаются к прибору. Это первый из серии приборов, моделирующих работу ЭВМ.
Для приобретения прибора следует своевременно подать заявку на него в магазин наглядных пособий, обслуживающий ту местность, где находится школа. При этом следует учитывать норматив, установленный перечнями—один прибор на восьмилетнюю или среднюю школу с одним комплектом классов.
Ориентировочная цена — 25 руб.
М. Ф. Колпаков, инспектор-методист МП СССР Г. Г. Левитас, и. о. зав. лабораторией математики
НИИ ШОТСО
Эксперимент
Р. Д. ЛЕВИНА
(г. Барнаул)
ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ основных АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
Характерной особенностью школьного курса математики является то, что в нем изучаются на общей теоретико-множественной основе понятия отношения, функции, алгебраической операции. Наиболее яркий тому пример — определение функции на основе понятия об отношении.
В отличие от отношения и функции понятие об алгебраической операции явно не вводится. Однако проведенная автором экспериментальная работа в V—VIII классах ряда школ Алтайского края позволяет заключить, что этот процесс уже в восьмилетней школе может быть доведен до понятийного уровня.
В данной статье рассматриваются некоторые вопросы, связанные с методикой формирования понятий: бинарное отношение и бинарная алгебраическая операция (далее для краткости будем говорить «отношение» и «операция»).
ОТНОШЕНИЕ
Формирование понятия отношения может быть отнесено к V—VI классам и разделено на два этапа.
I. Рассмотрение конкретных примеров отношений, заимствованных из жизни, игровой деятельности учащихся и их математического опыта (V класс).
II. Введение терминологии, связанной с понятием отношения, изучение его свойств (VI класс).
На первом этапе работа начинается с рассмотрения нематематических отношений. Например, всем известна игра «Цепочка городов»: первый из играющих называет какой- либо город, второй должен немедленно назвать другой город, начинающийся с последней буквы ранее названного города, и т. д. Учитель предлагает обозначить точками и соединить стрелками города, входящие во множество


А = {Москва, Ташкент, Омск, Кемерово, Минск, Уфа, Алма-Ата, Баку} и удовлетворяющие принципу этой игры. Ослабим теперь требования игры, разрешив повторять ранее названные города. Тогда учащиеся увидят, что точку, обозначающую город Ташкент, надо соединить саму с собой (стрелка здесь не играет никакой роли, ее можно опустить). Аналогичным свойством обладает и город Алма-Ата. Выполненное задание представлено на рис, Ь
Учитель сообщает, что такие рисунки называют графами.
Теперь вводится понятие упорядоченной пары городов: «На графе стрелка идет от Москвы к Алма-Ате, это мы запишем в виде пары (Москва, Алма-Ата). Порядок городов в паре очень важен. Мы не можем записать пару (Алма-Ата, Москва), так как на графе нет стрелки от Алма-Аты к Москве. Можем ли мы по графу записать пару, у которой на втором месте Минск? (Нет, потому что к нему не подходит стрелка.) Можем ли мы записать пару, у которой на первом месте Ташкент? (Да, это пара (Ташкент, Ташкент),)».
Затем учащиеся получают задание выписать все пары, полученные при построении графа. При этом они замечают, что количество пар равно числу стрелок и петель на графе. Выписанное множество пар на данном этапе не получает никакого названия. Важно, чтобы учащиеся с самого начала каждое отношение связывали с вполне определенным множеством упорядоченных пар элементов исходного множества.
Далее рассматриваем отношения, взятые из жизни (термин «отношение» при этом не употребляется), затем переходим к упражнениям. Укажем некоторые из них.
Упражнения
1. 	В некотором множестве В натуральных чисел рассматривали свойство «х кратно у» и получили граф (рис. 2). В каком множестве могло рассматриваться это свойство?
Указание. Ясно, что множество В определено графом неоднозначно. Оно может быть таким: В={5; 27; 3; 18; 2}.
2. 	В некотором множестве чисел учащиеся рассматривали свойство «а меньше Ь» ц составили граф (рис. 3,а). Не зная чисел, учитель назвал граф неправильным. Почему он сделал такой вывод? Исправьте ошибки.
Учащиеся сразу заявляют, что на графе петель быть не должно. Не должно быть и стрелок, идущих в противоположных направлениях:
C^D.
Но какую из этих стрелок следует оставить? Это легче всего установить на конкретных числах. Далее учащиеся приходят к выводу, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то в данном случае необходимо провести стрелку от первого элемента к третьему. Исправленный граф показан на рис. 3,6.
В упражнениях можно рассмотреть большое число отношений, известных учащимся, например: «а меньше Ь», «а делитель /?», «а противоположно Ь» в числовых множествах; «а конгруэнтна Ь» во множестве геометрических фигур; «а параллельно Ь>> во множестве прямых или отрезков; «а одного цвета с Ь» во множестве предметов школьного обихода. Отметим, что все отношения рассматриваются в конечных множествах.
Таким образом, учащиеся устанавливают связи между парами элементов, используя графы. Такой методический прием позволяет естественно ввести понятия упорядоченной пары, а затем и декартова произведения двух множеств, декартова квадрата множества, необходимые для изучения свойств отношений.
46


Упорядоченная пара элементов, Для введения этого понятия достаточно рассмотреть примеры, акцентирующие внимание учащихся на упорядоченности элементов в паре:
в записи двух дробей -у- и используются одни и те же числа 5 и 7, но дроби различны;
пара чисел (5; 3) является решением уравнения х—у — 2, а пара (3; 5) нет;
пары (1; —2) и (—2; 1) определяют различные точки на координатной плоскости.
В упорядоченной паре (а; Ь) элемент а называют чаще всего первой координатой или первым элементом, Ь — второй координатой или вторым элементом. Если (а; Ь) п (х; у) — две упорядоченные пары, то (а; &) = (*; у) тогда и только тогда, когда и Ь — у.
Декартово произведение двух множеств вводится при рассмотрении примеров. Укажем один из них.
Завтрак состоит цз двух блюд. Первое можно выбрать из множества Х= {сосиски, каша}, второе — из множества У={чай, какао, кофе}. Какие завтраки возможны?
Каждый завтрак — упорядоченная пара, первый элемент которой взят из множества X, второй из множества Y. Все возможные завтраки являются элементами следующего множества: {(сосиски, чай), (сосиски, какао), (сосиски , кофе), (каша, чай), (каша, какао), (каша, кофе)}.
В данном случае мы составляем множество пар, которое имеет специальное название — декартово произведение множеств X и Y,
Оп ре деление. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество X X Y, состоящее из всех упорядоченных пар (х; у), у которых х£Х,
уек.
Таким образом, X X Y — {(х; у) J х € X,
yen.
Часто бывает удобно расположить элементы декартова произведения в таблице. Так, в табл. 1 записаны элементы множества Xy^Y, где Х = {1}, У={0; 2; 4; 6; 8}.
Декартово произведение двух множеств может быть наглядно изображено с помощью
-г (W) 4
] (Г,4)
-+
I
(116)
0;2)
т
S)
Рис. 4
стрелок (рис. 4,а) или графически (рис. 4,6).
Если X=Y, то Х'ХУ — ХхХ. Это произведение называется декартовым квадратом множества X и обозначается через X2.
Упражнения
3. Даны множества Х={5; 6), Y—{a; b; с). Найдите множество размещая его элементы в таблице.
4, Даны множества: А — {2; 5; 7} и В — = {3; 9}. Запишите: а) множёство всех дробей а/b, у которых а£ А, Ь£В\ б) множество правильных дробей ajb, у которых а € А, Ь£В. В обоих случаях установите связь полученных множеств с множеством А X В.
5. Составьте декартов квадрат множества X и дайте его графическое изображение, если: а) Х={-4; -3; -2; -1}, б) Х = {х\-5^
—1}.
6, Запишите множества X и Y, зная графическое изображение множества А'Х^ (рис, 5),
1 х
Введение указанных выше понятий и терминов является началом создания «языка», связанного с понятием отношения. Перед введением термина «отношение» внимание учащихся обращается на то, что ранее при выполнении упражнений мы рассматривали такие свойстза множеств, которые выражались предложениями с двумя переменными. Значения обеих переменных принадлежали рассматриваемому множеству.
&


Определение. Предложение с двумя переменными, принимающими значения из множества А, называется отношением во множестве А.
Учащиеся должны понимать это определение, но не запоминать его.
Далее вводим обозначения: пара значений переменных а и Ь, связанных отношением R, обозначается как a R Ь. Этот шаг воспринимается учащимися естественно,1 так как ранее им были известны такие обозначения: a^b, c\\d, Ф ~Фи и др.
Множество пар значений переменных, связанных отношением R во множестве А, называется графиком отношения R и обозначается G(R). Оно является подмножеством множества А2.
Отношение во множестве А будем считать заданным, если известно, какие папы элементов из А связаны этим отношением. Отношение может быть задано словесно, таблицей, формулой, графом или графиком.
Ознакомление учащихся с понятием отношения на этом этапе может быть завершено рассмотрением свойств отношений, встречавшихся при выполнении упражнений. Например, в упражнении 1 был указан граф (рис. 2), в каждой точке которого есть петля. Переводим этот факт на математический язык: всякое число кратно самому себе. Значит, если в предложение «х кратно у» подставить значение а вместо х и у, то получим истинное высказывание «а кратно а». Вообще, если какое- либо отношение R обладает таким свойством, то это можно записать так: «а R а для любого элемента а». Это свойство отношения называется рефлексивностью. График рефлексивного отношения содержит все пары вида (а; а).
С помощью графов разъясняются свойства симметричности и транзитивности отношений.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ
Построение курса геометрии на базе геометрических преобразований позволило расширить круг операций над объектами нечисловой
природы, изучаемыми в восьмилетней школе: сложение векторов, композиция перемещений и произвольных отображений плоскости и др.
Чтобы эта большая работа по формированию у учащихся представлений об алгебраической операции уже в восьмилетней школе получила некоторую завершенность, необходимо обобщить и привести в систему полученные учащимися знания.
Указанный ниже материал для обобщающих занятий был экспериментально проверен автором на факультативных занятиях в VII— VIII классах.
Для введения понятия алгебраической операции учащимся предлагается вспомнить основные известные им операции (термин «операция» пока употребляется как синоним термина «действие»). При этом выясняется, что в процессе выполнения операции каждой паре элементов ставится в соответствие единственный элемент, т. е. задается функция.
Возникает задача установления области определения и множества значений этой функции.
Под руководством учителя школьники заполняют табл. 2. При этом несколько раз подчеркивается, что каждая из рассматриваемых операций выполняется соответственно над элементами из множества натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, векторов V, всех перемещений плоскости Р. Например, если требуется указать, принадлежит ли результат операции а-\-Ь множеству Z, то при этом предполагается, что Z, b £ Z. Пустым оставляем место в таблице в том случае, если операция для элементов из данного множества вообще не рассматривается. Если результат операции всегда принадлежит множеству, то это отмечается знаком «+», если не всегда принадлежит, то знаком «—».
Так как при сложении каждой паре натуральных чисел мы ставим в соответствие единственное натуральное число, то сложение есть функция с областью определения N2 и
Таблица 2
Название операция
Запись операции в общем виде
Результат операции всегда принадлежит множеств>
Сложение
a -f Ь = с
4-
-f
-f*
Вычитание
а — Ь — d
—
+
•f
Умножение
a*b ** k
-f
4-
+
Деление . . . . •
а: b = m {b ^ 0)
+
Возведение в степень
аь — п
—
—
Композиция
g°f~h
+
+
+
48


множеством значений, содержащимся в N.
Это записываем следующим образом:
N2—>N.
Аналогично:
«—» : V2 V, «•» : Q2 Q.
При последующей работе выясняется, что вычитание есть функция, отображающая множество N2 во множество Z, т. е. «—» : N2->Z.
Определение. Функция с областью определения А2 и множеством значений, содержащимся в множестве А, называется алгебраической операцией, заданной (определенной) на множестве А.
Пользуясь таблицей, учащиеся называют множества, на которых задана та или иная операция. Например, сложение есть алгебраическая операция, заданная на множествах N, Z, Q, V, вычитание — алгебраическая операция, определенная на множествах Z, Q, V, возведение в степень — алгебраическая операция, заданная на множестве N.
Вычитание не является алгебраической операцией, определенной на множестве N, так как не каждой паре из N2 найдется в N соответствующий элемент. Однако вычитание — это соответствие между множествами N2 и N, при котором выполняется такое условие: если некоторая пара из N2 имеет соответствующий элемент в N, то этот элемент единственный. Следовательно, вычитание — функция, область определения которой есть некоторое подмножество множества N2, отличное от самого N2, а множество значений содержится в N.
Аналогично возведение в степень отображает в Z не все множество Z2, а некоторое его подмножество.
Определение. Функция, областью определения которой является подмножество множества А2, отличное от самого А2, а множество значений содержится в А, называется алгебраической операцией, определенной во множестве А.
В дальнейшем при сокращении речи иногда будем говорить просто «операция на множестве» или «операция оо множестве».
Затем учащимся сообщается, что операция может быть обозначена любыми символами:
*. -К О, Д, *, Т и др. Результат операции *. определенной на (во) множестве Л, чаще всего записывается двояко: * (а. Ь) — с или а + Ь = с, где а £ Л, b£As с£ л. Первая запись подчеркивает функциональный характер алгебраической операции, вторая более привычна учащимся.
Закрепление изученных понятий происходит в процессе выполнения упражнений.
Таблица 3
О
X
У
Z
t
X
Z
t
X
У
У
t
X
У
Z
2
X
У
Z
t
t
X
У
t
m
Упражнения
7. Задает ли табл. 3 алгебраическую операцию на множестве М={х; у; z; /}?
8. Почему соответствие, указанное на рис. 6,а, не является операцией?
Рис. 6
9. Дано множество /1={2; 3; G}. Является ли соответствие, показанное на рис. 6Д операцией на этом множестве?
10. Пусть Р — множество прямых плоскости. Задает ли соответствие, сопоставляющее паре прямых их точку пересечения, алгебраическую операцию на множестве Р?
Указание. Точка пересечения, если она есть, не является элементом множества Р.
11. Является ли сложение операцией на множестве Л={0; 2; 4; 6; 8}? Как можно расширить множество А, чтобы сложение было операцией на новом множестве?
12. Является ли композиция отображений плоскости операцией на множестве векторов?
13. Выяснить, каким перемещением является
49


Sm°Sh если: a) б) l П m — О, в) / || m
и 1фт.
14. Каким перемещением является
Rk°Rao„
если: а) Ох=02, б) 0Х=£02.
15. Является ли композиция отображений плоскости операцией: а) на множестве центральных симметрий одного центра; б) различных центров; в) на множестве всех центральных симметрий; г) на множестве гомотетии; д) на множестве подобий?
СВОЙСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Изучение свойств алгебраических операций начиналось с повторения свойств операций над числами. Затем указывалось, что такими же свойствами могут обладать и операции над произвольными элементами, и приводились следующие определения:
Операция определенная на множестве А, называется ассоциативной, если для любых трех элементов а, Ь, с из А является истинным высказывание: (a*b)*c = a*(b*c).
Операция определенная на множестве А, называется коммутативной, если для каждой пары элементов а и b из А является истинным высказывание: а*Ь — Ь*а.
В процессе беседы выясняется, что для положительного ответа ца вопросы, коммутативна ли операция и ассоциативна ли операция, надо провести доказательство в общем виде. Для отрицательного ответа достаточно подобрать такие элементы, для которых соответствующее высказывание будет ложным.
Учащимся известен закон поглощения нуле- —> —> -»
вого вектора: а+0=0+а = а. Можно сказать,
что нулевой вектор не оказывает влияния на результат. Этим же свойством обладает число О при сложении чисел, число 1 при умножении. Такие элементы называются нейтральными относительно соответствующей операции.
Определение. Элемент е называется нейтральным элементом относительно определенной на множестве А операции, *, если для любого элемента а из А истинно высказывание а*е~е*а~а.
Относительно вычитания и деления в множествах N, Z, Q нет нейтральных элементов, так как равенства а—0 = 0—а^-а и fl: 1 = 1 :а—а не являются тождествами на этих множествах.
Изучая отображения плоскости, учащиеся познакомились с обрэтимыми отображениями.
Они узнали, что если выполнить отображение f, а затем обратное ему отображение Н, то каждая точка плоскости перейдет в себя, т. е. композиция взаимно-обратных отображений есть тождественное отображение Е: fс j~l = ==/-1 о f = Е. От этого материала легко перейти к определению элемента, обратного данному.
Определение. Если во множестве А с определенной на нем операцией * существует нейтральный элемент е и для элемента а из А существует такой элемент Ь, что высказывание a*b = b*a = e истинно, то а называется эле- ментом, обратным к Ь (Ь — элементом, обратным к а).
В некоторых случаях вместо термина «обратный» используют термин «противоположный».
Элемент, обратный к а, обычно обозначают через а~К
Взаимно-обратные элементы относительно сложения называются противоположными
друг другу и обозначаются иначе; 5 и —5, а
и —а.
Если на множестве задано несколько операций, то один и тот же элемент может иметь обратный элеглент относительно одной операции и не иметь его относительно другой. Например, во множестве Z число 5 имеет противоположный ему элемент (—5), а относительно умножения в этом множестве для числа 5 нет обратного элемента.
Упражнения
16. Обозначим через Д операцию возведения в степень на множестве натуральных чисел N. Существует ли в N нейтральный элемент относительно этой операции?
17. Покажите, что если существует нейтральней элемент относительно операции, то он единственный.
18. Пусть А и В произвольные точки плоскости И АфВ. Обозначим через А<>В середину отрезка АВ. Если А^В, то АоА=А. Ассоциативна ли эта операция?
19. Коммутативна ли операция возведения в степень, определенная на множестве натуральных чисел?
20. На множестве А — {0; 2; 4; 6; 8;.. .} определена операция: х*у = х + 2у, х € А у Найдите (2*4)*2 и 2* (4*2). Какое заключение можно из этого сделать? Коммутативна ли операция *?
21. Какое из приведенных ниже высказываний ложно, если а и Ъ различные действительные числа: a) (a-f-d)-f-c—а+(Ь+с)\
50


6) a — b = b — а; в) (ab)c~a(bc); г) ab — ba.
22. 	Ниже даны определение некоторой операции © с помощью операций над рациональными числами:
*У .
а) хоу
х + у
б) 	х®у = х{х-Ьу)
В каком случае операция является определенной на множестве рациональных чисел, во множестве рациональных чисел? В каком случае операция коммутативна?
23. 	Опишите свойства операции заданной табл. 4.
Таблица 4
о
k
Р
т
п
к
И
т
Р
к
Р
| т
к
п 1
Р
т
Р
\п
\
1*
т
п
м
1р 1
н
\ *
24. Перечислите известные вам свойства операций нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Какая из них допускает существование нейтрального элемента?
25. Докажите, что в случае ассоциативной операции каждый элемент может иметь единственный обратный себе элемент.
Повторение и закрепление изученного материала осуществлялось при заполнении таблицы 5 (она приводится в сокращенном виде). Если операция, указанная в боковике таблицы, обладает свойством ассоциативности или коммутативности, то учащиеся отмечают это знаком «+», если не обладает, то знаком «—» в соответствующем месте таблицы.
Проведение обобщающих занятий не только позволяет систематизировать представление учащихся об алгебраической операции, но и подготовить их к восприятию таких понятий, как группа, кольцо, поле, векторное пространство.
Таблица 5
Свойства операций
Множество и операция на нем
ассоциативность
коммутативность
нейтральный
элемент
обратный элемент для любого элемента
N, .
+
+
1
—
V, —
—
—
—
V, +
+
0
—►
а
%Э О
о
+
+
>3
II
R?
1
н к
п Q
Н0, °
+
+
Н10 = Е
i помощь самообразованию учителей
Е. П. ДОЛЖЕНКО. В. А. СКВОРЦОВ
(Москва)
КАК ИЗМЕРЯЮТ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
Сейчас, когда в программу курса математики в средней школе включены начала анализа, еще большее место в этом курсе заняло понятие функции. Больше стали заниматься функциями и на факультативных занятиях, и на кружках. В этих условиях естественно ожидать от учителей математики более глубокого
знакомства с основными понятиями современного математического анализа.
В настоящей статье речь пойдет об одном из таких понятий — понятии расстояния между функциями. Материал статьи может быть частично использован для кружковых занятий и бесед со школьниками, но основная задача статья не методическая, а научно-популярная.
Вначале несколько слов о понятии расстояния вообще. Даже в повседневной жизни в слова «расстояние между городами А и В» вкладывают разный смысл в зависимости от


условий конкретной задачи. Летчик это расстояние будет скорее всего измерять вдоль прямой, автомобилист же будет считать расстоянием длину пути из Л в В вдоль шоссейных дорог, которые могут существенно отклоняться от прямолинейного пути.
Вспомним, что обычное расстояние на плоскости между точками А(хъ и В(х2, у2) вычисляется по формуле
d(A, B)=V(X2-Xi)2 + (у2-уi)*: (1)
Это расстояние называется евклидовым.
Хорошо известным примером естественного расстояния, не совпадающего с евклидовым, является понятие расстояния, к которому мы приходим, обсуждая вопрос о кратчайшем пути между двумя пунктами в городе с правильной планировкой. Если говорят, что от вашего дома А до кинотеатра В надо идти «двести метров прямо до поворота, а затем сто пятьдесят метров направо», то математически это означает, что расстояние между точками Л (х\, у\) и В (х2, у2) на координатной плоскости хОу с координатными осями, параллельными двум направлениям улиц города (рис. 1), вычисляется по формуле
5 (А, В) = I х3 — Хх | + | у2 — уг |. (2)
Бывают случаи, когда под расстоянием между точками А(хь и В(х2, у2) удобно понимать наибольшее среди чисел \x2-—Xi\ И \У1 — У\Ъ т. е.
т(А. В) = max {|х, — хг |, \у2 — |}. (3)
Введенное таким способом расстояние часто называют расстоянием Минковского.
Вот пример естественного применения этого понятия. Пусть температурный режим какого- нибудь технологического процесса измеряется двумя термометрами, показания которых обозначим соответственно через х и у, так что температурному режиму соответствует точка А=А(х, у) на плоскости хОу. Пусть известно, что процесс протекает идеально, если первый
52
термометр показывает х0 градусов, а второй — у0 градусов. Если температуры х и у требуется выдерживать с одинаковой точностью, то естественно за величину отклонения температурного режима А(х, у) от идеального Л0= =А(х о, уо) принять максимум величин 1*0 — х\\ и \уо-~у[\, т. е. как раз т(Л0, Л).
Совершенно аналогично формулам (1), (2) и (3) могут быть введены расстояния d(A, В), s(A, В) и /и (Л, В) между точками А(х\, уь Z\) и В(х\, yu Z\) трехмерного пространства.
Если между точками плоскости или точками пространства определено некоторое понятие расстояния р(Л, В), то можно рассматривать «круги» и «шары» в смысле этого расстояния. Так, например, кругом радиуса г с центром в точке Л о в смысле расстояния т на плоскости будет квадрат с центром Л0 и сторонами длины 2г, параллельными координатным осям, а шаром радиуса г с центром в точке Л0 будет куб с центром Л0 и ребрами длины 2г, параллельными координатным осям. Круги и шары относительно расстояния d — обычные круги и шары. Читателю предлагается самому понять, что представляют собой круги и шары в смысле расстояния s.
Мы не будем более подробно говорить о различных способах введения расстояния между точками и о свойствах этих расстояний. Об этом можно прочесть, например, в брошюре [1].
В дальнейшем мы детальнее остановимся на ситуациях, когда расстояние нужно измерять не между отдельными точками, а между множествами точек, например, между кривыми, в частности, между графиками функций. При этом каждая кривая или функция будет рассматриваться как единый объект, как элемент из множества кривых или функций. В этом смысле функцию снова можно называть «точкой», только это будет точка не в привычном для нас трехмерном пространстве, а в абстрактном пространстве функций. Геометрические свойства такого функционального пространства будут существенно зависеть от того, как мы введем расстояние между «точками» этого пространства — функциями.
Начнем снова с конкретных примеров, иллюстрирующих целесообразность разных способов введения расстояний между двумя кривыми. Пусть две кривые изображают на карте две реки, которые предстоит соединить каналом. Будем считать, что его следует строить там, где реки ближе всего подходят друг к другу. Таким образом, при указанном подходе к задаче расстояние 6 между кривыми Lx и L2 целесообразнее всего вычислять так: рассмотреть вычисленные по формуле (1) рас-


Рис. 2 т
стояния между разными точками /1 и В, где А £ Lj и В 6 L2, и взять наименьшее из них, т. е. положить
о (Lh Z9) = mind ( A 5).
(4
На рис. 2 указаны точки Л0 и В0, для которых достигается минимум евклидового расстояния в формуле (4). Отметим, что формулой (4) можно определить расстояние между любыми двумя точечными множествами на плоскости, только в этом общем случае вместо min следует поставить in f. поскольку минимум может не достигаться. Ясно, что если множества L\ и L2 имеют общую точку, то расстояние 6 (L\, L2) (см. (4)) окажется равным нулю. Обратное, вообще говоря, неверно, что можно увидеть, рассмотрев расстояние между осью Ох и графиком функции у=1/х.
Часто, однако, в отличие от рассмотренного случая, кривые приходится считать близкими, если они, так сказать, «в целом близки», т. е. нигде не уходят далеко друг от друга. Эта фраза, конечно, требует уточнения. Мы это сделаем позднее. А пока рассмотрим следующий довольно искусственный пример.
Пусть кривые L\ и Ц (рис. 3) изображают две заасфальтированные дорожки, и пусть эти дорожки надо полить водой с помощью поливочной машины. При этом машина устроена так, что она заливает вокруг себя круг неко¬
торого фиксированного радиуса R с центром в точке, где она стоит. Мы хотим, чтобы радиус действия R машины был таков, что, прой дя вдоль кривой L% машина залила бы и всю дорожку L\. Наименьший такой радиус и будет характеризовать «с точки зрения поливальщика» удаленность кривой Lx от кривой L2. Подумаем, как математически выразить это расстояние.
Рассмотрим фиксированную точку А кривой L|. Чтобы эта точка была залита из точки В кривой L>2, радиус действия машины должен быть не меньше, чем d(A, В). А чтобы она была залита хотя бы из одной точки кривой L2, минимальный радиус действия машины должен быть равен
/?(А L2) = m\nd{A, В).
Этот радиус меняется с изменением точки
А. 	Но нам нужно залить все точки А из L2. Для этого нужно взять максимальный из радиусов R(A, L2), найденных для различных точек А. Его и примем в качестве искомого выражения для удаленности кривой L. от L2, т. е. положим
R(Lh Z,2) = max mlnrf(A В). (5)
A(*L, В{• Li
Таким же образом можно найти наименьший радиус, при котором машина заливает дорожку L2, проходя вдоль дорожки L\. Получим
R(L2, Lt) = m:\xmlnd (А, В)
A£L;
Стоит отметить, что, как правило, R(LU L2) не равно R(L2, L\), т. е. .. введенное расстояние R не симметрично относительно кривых L\ и L2. Проверьте, что именно так обстоит дело для кривых на рис. 3.
Если мы потребуем, чтобы радиус действия машины был таков, что она заливает соседнюю дорожку, по какой бы из двух дорожек она ни шла, то в таком случае минимальным радиусом действия машины будет наибольшая из величин R(LU L2) и R(L2t L{). Величина
D(Lb L2) = max
max min d (A, Z>), ]
I
max mind (А В) I
Belu a^lx )
(6)
Рис. 3
Рис. 4
характеризует уже взаимную удаленность кривых L\ и L2 друг от друга и является расстоянием, симметричным относительно кривых Li и Ц. Нетрудно убедиться, что D(Li, L2) равно нулю тогда и только тогда, когда кривые L\ и L2 полностью совпадают (сравните с расстоянием, введенным по формуле (4)). Если в формуле_ (6) в фигурных скобках заменить max и min на эш и in f, то ее можно будет применять для измерения расстояния
5 3


между любыми двумя множествами на плоскости. Введенное расстояние называется хаус- дорфовым по имени автора этого понятия — немецкого математика Хаусдорфа. Если в формуле (6) заменить d(A, В) на т(А, В) (см. формулу (3)), то получим другое хаусдорфо- во расстояние M(L\, L2) между множествами L\ и L2, которое иногда называют расстоянием Хаусдорфа — Минковского, в отличие от D(LXy L2), называемого также расстоянием Хаусдорфа — Евклида.
Наряду с рассмотренным выше примером применения понятия хаусдорфова расстояния между кривыми укажем еще на два примера из техники, в которых фактически используется это понятие.
Когда на экране двухлучевого электронного осциллографа наблюдатель оценивает близость двух периодических электрических сигналов с одинаковыми периодами (изображаемых в виде светящихся кривых на этом экране), он часто фактически поступает так: ищет на' этих кривых точку, наиболее удаленную от кривой, которой эта точка не принадлежит (точка А (х0, у0) на рис. 4), и это удаление как раз и принимает за величину отклонения сигналов друг от друга. Таким образом, за величину взаимного отклонения сигналов принимается именно хаусдорфово расстояние между кривыми, изображающими эти сигналы. При этом хаусдорфово расстояние может пониматься как расстояние Хаусдорфа — Евклида или как расстояние Хаусдорфа — Минковского. Заметим, что расстояние Минковского между двумя точками на экране практически определять проще, чем евклидово, так как на экране имеется координатная сетка.
Другой пример мы получим, рассмотрев процесс снятия характеристики какого-либо реального прибора. Этот процесс состоит в том, что на вход исследуемого прибора подают сигналы различной величины х, измеряемые некоторым прибором, который мы условно назовем прибором X, а сигналы на выходе прибора — будем обозначать их величины через у— измеряют другим измерительным прибором — прибором У. При этом, когда говорят, что произведено одно измерение, то имеют в виду, что получена одна соответственная пара х, у. В качестве х и у могут выступать напряжение, сила тока, его частота и т. п. После измерений составляют таблицу и по точкам (х, у) строят график зависимости величины у от величины х, т. е. график некоторой функции y=f(x). Однако полученная кривая, как бы тщательно мы ее ни строили, дает лишь приближенное представление об истинной зависимости у от х, так как уже при
самом измерении обеих величин х и у неизбежны погрешности. В самом деле, как прибор Ху так и прибор У дают погрешность, обусловленную классом точности этих приборов. Рассмотрим для определенности случай, когда в качестве приборов X и У взяты вольтметры с классом точности 1% и измерения производятся на шкалах 0—100 вольт. Это означает, что отсчитанное по шкале каждого прибора напряжение и его истинное значение могут отличаться друг от друга не более, чем на 1 % максимального значения на шкале, в нашем случае — на 1 вольт. Тогда при каждом измерении истинная точка (х, у) находится от построенной нами точки графика на расстоянии Минковского, не превышающем одну единицу. Это означает, что истинная точка (х, у) может находиться в любой точке квадрата со стороной в две единицы (здесь и в дальнейшем стороны параллельны координатным осям) и с центром в построенной экспериментальной точке. Аналогично можно утверждать, что построенная экспериментальная точка находится в квадрате со стороной в две единицы и с центром в истинной точке (х, у). Если измерений произведено достаточно много (так что область изменения параметра х — отрезок [а, Ь] —достаточно густо заполнена измеренными значениями х), то, рисуя вокруг каждой экспериментальной точки как вокруг центра квадрат со стороной в две единицы, мы получим на плоскости хОу криволинейную полоску. В этой полоске содержится как график истинной зависимости y = fо(х)> так и график
y=f(x), построенный по экспериментальным точкам. Аналогично, оба эти графика содержатся и в криволинейной полоске, образованной всеми квадратиками со стороной 2 и с центрами на графике функции y = fo(x) (разумеется, построение этой последней полоски производится лишь мысленно, поскольку истинным графиком мы фактически не располагаем). Из сделанных построений и из формулы, аналогичной формуле (6) для расстояния (Lu L2), получаем, что графики функций y=fo(x) и y==f(x) находятся друг от друга на расстоянии Хаусдорфа — Минковского, не превышающем одну единицу. Еще раз подчеркнем, что величина этого расстояния предопределяется классом точности применяемых приборов на используехмых шкалах.
Общий случай, когда абсолютные величины допустимых погрешностей прибора X и прибора У различны, может быть сведен к указанному случаю изменением масштаба по оси Ох или Оу.
Только что рассмотренный пример наводит на мысль о том, что расстояние между функ-
54


днями можно понимать как расстояние между соответствующими кривыми на плоскости — их графиками. В действительности так нередко и поступают. В частности, все введенные выше виды расстояний между кривыми или множествами могут быть использованы и для измерения расстояния между функциями.
Однако, как известно, график функции есть специфическое множество точек (х, у) на плоскости, у которого роль координат х и у неодинакова. Вспомним, что кривая или вообще множество точек на координатной плоскости является графиком некоторой функции f, т. е. графически задает функцию f, тогда и только тогда, когда перпендикуляр, восставленный из каждой точки х оси Ох пересекает это множество не более, чем в одной точке. При этом множество тех х, для которых пересечение соответствующего перпендикуляра с заданным графиком непусто, образует область определения полученной функции.
В силу отмеченной специфики графика для функций вводят также и специальные понятия расстояния, которые неудобно применять в общем случае плоских множеств. К тому же иногда нужно измерять расстояние между числовыми функциями, областью определения которых являются не числовые множества, а объекты более сложной природы. В этом случае понятие графика существенно усложняется и предыдущие рассуждения могут оказаться вообще неприменимыми.
Наиболее традиционным определением расстояния между двумя непрерывными функциями /1 и /2, заданными на отрезке [а9 Ь]> является определение с помощью формулы
C(fu /2) = max — /2 (•*)!• (7)
1
Такой способ задания расстояния применим и для функций с более сложными областями определения, чем отрезки, и даже для функций нечислового аргумента. Расстояние, введенное по формуле (7), называют равномерной метрикой. Расстояние в математике вообще называют метрикой, если оно обладает некоторыми свойствами. Об этом мы скажем позднее. Равномерной же эта метрика называется потому, что малость расстояния с (fь /2) означает одновременную малость сразу всех разностей \f\(х) — Ы*) i Ь]). Легко
заметить, что это расстояние является симметричным, т. е. c(fь f2) =£(/2, /1), и что оно равно нулю тогда и только тогда, когда функции /: и /2 тождественно равны.
По аналогии с трехмерным пространством в «пространстве» всех непрерывных и определенных на заданном отрезке [а, Ь] функций
f(x) можно ввести с помощью равномерной метрики понятие «шара». А именно: шаром радиуса г с центром в «точке» /0 — т. е. в функции /о — назовем множество всех тех функций которые в смысле расстояния (7) отстоят от заданной функции /о не дальше, чем на г, т. е. всех f, для которых c(f, fo)^r.
Нетрудно геометрически истолковать только что введенные понятия. На каждом перпендикуляре к оси Оху восставленном из точек отрезка [а, 6], возьмем отрезок с концами в точках пересечения этого перпендикуляра с графиками функций f\ и /2 (см. рис. 5). Длину наибольшего из таких отрезков и примем за равномерное расстояние между функциями f 1 и f2. Соответственно шар радиуса г с центром в /о можно получить так: поднимем график функции /о параллельно самому себе как твердое целое вверх на г, а потом опустим вниз тоже на г. Получим на плоскости кривую полоску (см. рис. 6), ширина которой, измерен-
Рис. 5 Рис. б
ная по вертикали, равна 2 г. Все непрерывные функции, графики которых не выходят за пределы этой полоски, и представляют собой рассматриваемый шар радиуса г с центром в /о-
Сравним равномернее расстояние с расстоянием, измеренным с помощью хаусдорфовой метрики. Уже рассмотренный выше пример оценки близости двух сигналов на экране осциллографа показывает, что в некоторых случаях хаусдорфово расстояние имеет преимущество по сравнению с равномерным расстоянием. На рис. 5 видно, что на крутых участках графиков максимальное расстояние между ними по вертикали, которое и дает равномерное расстояние между функциями, может быть довольно велико по сравнению с хаусдорфо- вым расстоянием между графиками этих функций.
Пока что речь шла лишь о непрерывных функциях. Хаусдорфово расстояние предоставляет нам возможность ввести удобную метрику также и во множестве всех ограниченных (в том числе и разрывных) функций, определенных на заданном отрезке [а, Ь]. По причинам, которые станут ясны из сказанного ниже, хаусдорфово расстояние между функция¬
55


ми в этом случае удобно понимать как хаусдорфово расстояние не между самими графиками функций, а между так называемыми дополненными графиками рассматриваемых функций.
Чтобы пояснить смысл понятия «дополненный график», рассмотрим функцию
1 при
signx = ■ 0 при х — О,
— 1 при л: <0.
Графиком этой функции является разрывная кривая (см. рис. 7), которую иногда учащиеся ошибочно изображают так, как показано на рис. 8. Оплошность здесь состоит в том, что эта новая кривая уже не может быть графиком функции, так как точке х=0 здесь соот¬
ветствует не одно значение у, а целый отрезок значений. Но психологическая причина ошибки понятна: хочется, чтобы все графики можно было нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, чтобы они были связными. В последние годы этот неправильный график получил права гражданства в математике под названием «дополненного графика» функции sign х.
7 *-
Ч
7
-7
X
Рис. 7
Рис. 8
Мы здесь приведем точное определение понятия «дополненного графика» не для произвольной функции, а для такой, которая имеет разрывы только первого рода, т. е. у которой в каждой точке х0 существуют левосторонний и правосторонний пределы функции при х—>Xq, т. е. существуют пределы
lim f(x) и lim f (х).
X~>XQ
(JT < лг0> (.*•>*„)
Эти пределы обозначаются соответственно через /(х0 —0) и /(х0+0). Очевидно, что л*0 будет точкой непрерывности л ля функции / (х) тогда и только тогда, когда /(х0+О)= = / (*0 — 0) = / (х0); в точках же разрыва может, в частности, случится, что ни один из пределов / (х0 — 0), / (х0 + 0), не совпадает
С / (Л-0).
Возьмем какую-либо точку л:0£[а. Ь\ и положим
М (а0) = max {/ (х0), / (х0 — 0), / (х0 + 0)}
И
т (*0) = min {/ (.v0), / (,t0 - 0), / (х0 + 0)}.
Если х0 — точка разрыва, то дополним график функции f (х) вертикальным отрезком с концами в точках (х0, т (л'0)) и (х0, М (х0)). В точках непрерывности эта же процедура дополнения оставит график без изменения. Полученное в результате множество точек на плоскости и будет дополненным графиком нашей функции. На рис. 9,а изображен график некоторой разрывной функции, а на рис 9,6 — дополненный график. Подчеркнем, что для непрерывной функции дополненный график совпадает с обычным графиком.
9
! г! П
-i- - 1 | | 1
,-и
1 1 1 1
п.
ш* х
tn
а)
Рис. 9
Из самого определения дополненного графика следует, что каждая прямая, перпендикулярная оси Ох, либо не пересекается с ним, либо пересекается по замкнутому отрезку, который может вырождаться в точку. Однако не всякое множество с таким свойством будет дополненным графиком некоторой функции. Докажите, например, что множество в виде креста, изображенное на рис. 10, не является дополненным графиком ни для одной функции.
Теперь мы можем дать такое определение: хаусдорфовым расстоянием между функциями fi и /2 называется хаусдорфово расстояние (см. формулу (6)) между их дополненными графиками.
Целесообразность использования дополненного графика вместо обычного проявляется там, где нам приходится разрывную функцию приближенно представлять непрерывной. Рас-
56


смотрим снова функцию sign х. Если мы хотим заменить ее непрерывной функцией, которая в некотором смысле близка к ней, то для этого скачок функции sign х естественно «заменить» крутым, но непрерывным подъемом, т. е., например, рассмотреть функцию cp£(x), задаваемую графиком, изображенным на рис. 11. Ясно, что, чем меньше е, тем точнее <р6 (х) приближает sign х. Однако при этом в смысле хаусдорфова расстояния обычный график функции sign х будет далек от графика функции <ре(л:)при любом е (так как ка графике ср£ (х) есть точки, расстояние от которых до графика sign х больше либо равно 7г). В то же время хаусдорфово расстояние между дополненным графиком sign х и графиком (*) будет стремиться к нулю, когда е—^0. Коснемся еще одного способа задания расстояния между функциями — так называемой интегральной метрики или метрики Лебега: ь
I if и /г) = JI /1 (*) - /2 (*) I dx. (8)
а
Из этого определения видно, что геометрически I(fь /2) представляет собой площадь плоской фигуры, образованной графиками функций /1 и /2 и перпендикулярами к (Ох), проведенными из точек х=а, х = Ь (рис. 12). Легко понять, что функции, близкие в смысле равно-
Рис. 12
мерного расстояния, близки и в смысле интегральной метрики, но не наоборот. Нетрудно догадаться, как следует нарисовать графики двух непрерывных функций /* и /2, чтобы /(/ь /2) было меньше наперед заданного малого положительного числа d, в то время как в какой-то точке х0 £\а. Ь\ разность \fi(x)—Ы*)| равнялась бы наперед заданному большому положительному числу D. Однако близость двух функций в смысле интегральной метрики все же гарантирует малость разности \f\(x)—Ы*) | «в большинстве» точек отрезка [а, Ь]; точнее, сравнительно большие отклонения fi{x) от f2(x) если и имеют место, то лишь в точках х£\а< b |, образующих множество сравнительно малой протяженности.
Заметим еще, что из малости интегрального расстояния между двумя функциями, вообще говоря, не следует малость хаусдорфова расстояния между ними. Точно также, если мало хаусдорфово расстояние, то не обязательно мало и интегральное. Читателю предоставляется возможность самому построить соответствующие примеры.
Отметим некоторые общие черты, свойственные различным введенным выше понятиям расстояния.
Мы уже отмечали, что в случае (5) расстояние R{Lb L2) было несимметричным. Это, однако, было исключением. Во всех остальных случаях расстояние между элементами Х\ и Х2 (в общем случае будем обозначать его через р{Хи Х2)) обладало свойством:
р(,уь Х2)=Р(Х2, Хг). (9)
Для применения понятия расстояния очень важным оказывается другое свойство: для любых трех элементов Х\, Х2, Х$
Р(*ь *з) + Р(Хг, Х3). (10)
Это свойство называется неравенством треугольника, потому что в простейшем случае, когда расстояние между точками плоскости задано по формуле (1), это свойство выражает тот факт, что в треугольнике с вершинами в точках Хь Х2, Хг длина одной стороны не превосходит суммы длин двух других сторон. Свойством (10) обладают все введенные выше расстояния, кроме заданного по формуле (4) (проверьте!).
Наконец, отметим еще одно свойство расстояния:
р(Хь Х2)=0 тогда и только тогда, когда Хх = Х2. (И)
Этим свойством обладают все введенные выше расстояния, кроме трех. А именно: оно отсутствует, как уже отмечалось, у расстояния (4), а также у интегральной метрики
57


(рассмотрите расстояние между функцией f,(;e)=0 для всех x€[0; 1] и функцией
10 при
/2 (•*) | j ПрИ Л- __ j
Отсутствует это свойство и у хаусдорфова расстояния, если его рассматривать на семействе всех плоских множеств (например, равно нулю расстояние между некоторым кругом без границы и тем же кругом с границей).
Однако метрика Хаусдорфа обладает свойством (11), если ее рассматривать лишь на классе замкнутых множеств, т. е. множеств, в состав которых входят все их граничные точки. Что касается интегральной метрики, то легко видеть, что она обладает свойством (11) на классе функций, непрерывных на рассматриваемом отрезке [а, Ь], а также и на более широком классе функций, односторонне непрерывных с одной и той же стороны (например, справа) в каждой точке [а, Ь].
Таким образом, наличие свойства (И) расстояния р зависит не только от способа его введения, но и от множества элементов, на котором р рассматривается.
Оказывается, что отмеченных выше свойств (9), (10)| (И) расстояния р достаточно для построения содержательной общей теории множеств, в которых определено расстояние между элементами этих множеств.
Множество М элементов произвольной природы (например, множество точек плоскости,
множество функиттй, множество кривых)„ между каждой парой Хх, Х2 которых определено неотрицательное расстояние р(Хь Х2), обладающее свойствами (9), (10), (11), называется метрическим пространством, а расстояние р — метрикой в этом пространстве.
Понятие метрического пространства является одним из центральных в функциональном анализе, современной теории функций, топологии, математической физике и других математических науках. О свойствах и применениях метрического пространства читатель может узнать из любого учебника по функциональному анализу, например, из книг [2] — [П]- О применениях понятия хаусдорфовой моточки можно прочесть в обзорной статье болгарского математика Б. Сендова [7].
Литература
[1] Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? Популярные лекции по математике. Вып. 38. М., 1963.
[2] By лих Б. 3. Введение в функциональный анализ. М., 1967.
[3] Канторович Л. ВАкилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959.
[4] Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. Мм 1972.
[5] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., 1965.
[6] Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. М., 1961.
[7] С ендов Б. Некоторые вопросы теории приближений Функций и множеств в хаусдорфовой метрике. УМН, т. XXIV, вып. 5, 1969, с. 141-178.
Л. И. КУЗНЕЦОВА (г. Горький), 3- А. СКОПЕЦ (г. Ярославль)
МЕТОД ПОДОБИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Метод геометрических преобразований в применении к решению задач и доказательству теорем, как показывает опыт, более труден, чем, например, координатный или векторный. Это объясняется тем, что в большинстве случаев не удается обнаружить какой-либо алгоритм решения и поэтому каждый раз требуется проявить определенные усилия и творчество для отыскания пути, приводящего к цели. Более глубокое изучение свойств отдельных видов преобразований и их совокупностей позволяет выделить некоторые типы задач, при решении которых эти свойства эффективно используются.
В данной статье мы ограничимся кратким рассмотрением основных теоретических поло¬
жений, касающихся преобразования подобия (первого рода) и приведем решения наиболее характерных задач на применение этих положений. Предлагаемые задачи адресованы учителю для самообразования, для занятий в специальных математических классах, а также для факультативной, внеклассной и индивидуальной работы с учащимися в массовой школе.
*2. Композиция поворота и гомотетии
Различают подобия первого и второго рода. Подобие первого рода сохраняет ориентацию плоскости, подобие второго рода меняет ее.
Две пары точек (А, Ах) и (В, Вх), таких, что \AiBi\=k\AB\, кфОу задают два и только два подобия, при которых точки А и В отображаются на A j и В\ соответственно: одно из подобий первого, а другое — второго рода.
Подобие с коэффициентом кФ 1 независимо от рода всегда имеет, и притом единственную, неподвижную точку — центр. Поэтому подобие
58


может быть задние центром, парой соответственных точек и указанием, рода.
Композиция гомотетии и поворота есть подобие первого рода. Всякое отличное от перемещения подобие первого рода является либо гомотетией, либо может быть представлено композицией положительной гомотетии и поворота на угол, не равный 180°, причем центры гомотетии и поворота совпадают с центром подобия. Следовательно, подобие первого рода характеризуется коэффициентом, центром и углом поворота. Подобие с центром /VI, коэффициентом k и углом поворота гр обозначим символом . Если какой-либо из компо¬
нентов не играет существенной роли в рассматриваемых условиях, то соответствующий индекс в обозначении может быть опущен.
Задача 1. В окружность с центром О вписан четырехугольник ABCD; поворот Ro. <р=^180° отображает его на четырехугольник AiBiCiDi. Доказать, что пары прямых АВ и АХВХ, ВС и ВХСЪ CD и C\DX, DA и DXAX пересекаются в вершинах параллелог рамма.
Р е шени е. Пусть (А В) П (А гВх) = М, (ВС) П П(В1С1)=А\. (CD) П (CXDX)=P, (DA) П (Рис- *)• Ортогональные проекции Е, О, Н% F точки О на прямые, содержащие стороны четырехугольника A BCD, являются серединами сторон и, следовательно, EGHF — параллелограмм. При Ro точка Е отображается на точку S. Имеем:
0£| = |05|, С)ВМ OSM = 90°, ЕО$ -=
откуда следует, что в прямоугольном треуголь-
Рис. 1
нике ЕОМ 1
/\
ЕОМ
X
cos
L и | ОМ | = ( ОЕ | X . Тогда точка М есть образ точки Е
при композиции
Ho°RJ
где k
1
cos
Аналогично можно показать, что точки N, Р и Q являются образами точек G, Н и F при той же композиции, т. е. при подобии первого рода. Отсюда следует, что четырехугольник MNPQ — образ параллелограмма при подобии и, следовательно, также является параллелограммом.
Задача 2. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника ABC, соответственно с образами этих прямых при повороте Ro, ср^=180°, где О — точка, окружности, описанной вокруг треугольника ABC, принадлежат одной прямой.
Указание. Докажите, что 1) каждая из точек пересечения есть образ основания перпендикуляра, проведенного через точку О к соответствующей прямой, при одной и той же композиции гомотетии и поворота, 2) основания перпендикуляров принадлежат одной прямой.
2. 	Угол луча и его образа при подобии
При положительной гомотетии любой луч отображается на сонаправленный с ним луч, а угол луча и его образа при повороте — величина постоянная, равная углу поворота. Следовательно, угол луча и его образа при подобии первого рода также величина постоянная и равна углу поворота подобия.
Задача 3. Дан треугольник ABC, С=90°, [CD] — высота. Доказать, что медианы AM и CN в треугольниках ADC и DBC перпендикулярны.
Решение. Треугольник CDB отображается на треугольник ADC при композиции поворота
Rd и гомотетии Н*Ь, где k — * Тв е- ПРЙ
подобии первого рода с углом поворота 90° (рис. 2). При этом подобии точки С и N ото-
С
Рис. 2
в
59


Сражаются на точки А и М соответственно. Поэтому отрезки CN и AM перпендикулярны.
Задача 4. Дан равнобедренный треугольник А,ВС с основанием АВ; построены высота CD и перпендикуляр DE к стороне ВС (Е£\ВС}). Точка М —середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.
Решение. В треугольнике DBE построим медиану DN (рис, 3); [CM]_L[DN] (см. задачу 3). Но \DN] —средняя линия Л А ВЕ. и поэтому [DN] || [АЕ]. Следовательно, и [СМ]±[АЕ].
*В Рис 3
Задача 5. Даны два одинаково ориентированных квадрата ОАВС и ОАхВ1Сь Найты угол лучей ААХ и ВВХ, ААХ и ССХ,
У к азан к е. Докажите, что \АА {) отображается на \BBi) при подобии с центром О и углом 45°, а [ААХ) — на IСС\) при повороте
Ro°.
3. 	Подобие первого родз и две пересекаш&циеся окружности
Рассмотрим подобие первого рода, отличное от гомотетии и переноса. Пусть М — центр этого подобия; точки А и В, не лежащие с точкой М на одной прямой, отображаются на Ах и Вх соответственно, т. е. выполняются равенства (рис. 4):
/\ /Ч АМАг = ВМВХ
СР и I МАХ\: \ МА I = \MBx\:IMB\ = k.
Из них следует, что Д АМАХ ~ Д ВМВХ
/\ /\ /\ /\
и MAN = MBN, MAXN — MBXN, где N-=
= (ААХ){\(ВВХ). Из точек А и В отрезок MN виден под одним и тем же углом и из точек
Ах и В! отрезок MN виден под одним и тем
же углом. Следовательно, центр М подобия есть вторая точка пересечения окружностей а) и (Dj, проходящих через тонки А В; N и Ль Вх, N соответственно. Окружность о), — образ окружности о> при заданном подобии.
Проведем через точку N произвольную секущую р, р f]w== Р, р п («г -= Рj. Нетрудно
/\ /\ /\ доказать, что МРРХ = МААХ и МРхР-=
/\
= МАХА, откуда следует, что £\МРРХ^ МААХ. Значит, точка Рх есть образ точки Р при композиции поворота и гомотетии Нм, т. е. при заданном подобии.
Таким образом, одну из точек пересечения двух окружностей можно принять за центр подобия первого рода, отображающего одну ок- ружность на другую. Тогда прямые, проходящие через вторую точку, пересекают данные окружности в парах соответстве нных при этом подобии точек.
Задача 6. Окружности ш и (oj пересекаются в двух точках. Прямая, проходящая через одну из точек пересечения, пересекает окружности вторично в точках Л и Ль Доказать, что величина угла касательных, проведенных к окружностям в точках А и Ах соответственно, не зависит от выбора секущей.
Решение. Пусть coflcoi = {S\ М) (рис. 5). Рассмотрим подобие первого рода с центром S, отображающее со на coi. Тогда любая прямая а, проходящая через точку М, пересекает окружности в парах соответственных точек А и Ах. Касательная, проведенная к окружности coi в точке Ах, есть образ касательной, прове-
Рис. 4
60


денной к окружности со в точке А. Но угол луча и его образа при подобии первого рода— величина постоянная. В данном случае она /\
равна OSOь где О и Ох — центры окружностей СО И СО!.
Задача 7. Даны прямые тип, пересе-
/X
кающиеся в точке S, причем (пг, п)~ ср, и прямые а, b такие, что af]b = S. Через точки М и N, принадлежащие прямым тип соответственно, построены к прямым а и b перпендикуляры, пересекающие их в точках А, В и Аъ Вх. Найти угол прямых А В и АХВХ.
Решение. Точки S, В, А, М (рис. 6) принадлежат окружности со, построенной на отрезке SM, как на диаметре; точка Р — ее центр. Точки S, Вх, Ах, N принадлежат окружности со 1 с диаметром SN; точка Q — ее центр.
Окружности со и col имеют общие точки S и О. При подобии первого рода, заданном центром О и парой точек (Р} Q), окружность со отображается на coj. Так как прямые а и Ь проходят через 5 — вторую точку пересечения окружностей, то при этом подобии точки А и В отображаются на точки Ах и В\ соответственно. Следовательно, угол прямых АВ и АХВ\ равен углу ф поворота подобия.
Задача 8. Даны две различные точки А и
В. 	Точка М принадлежит прямой АВ. На отрезках AM и MB построены квадраты в одной полуплоскости с границей (АВ). Около квадратов описаны окружности, пересекающиеся в точке N. Найти множество точек N при различном выборе точек М на прямой АВ.
Указание. Один из квадратов отображается на другой при подобии с углом поворота 90° или при гомотетии. В первом случае N —
центр подобия, точки А и В — соответственные, следовательно, точка N принадлежит множеству точек, из которых отрезок АВ виден под прямым углом. Во втором случае N=M.
4. Два подобия с общим центром
Пусть при подобии первого рода с центром М точки А и С отображаются на точки В и D соответственно, тогда
= = №\,
| МА | | А1С | ’
а следовательно, справедливы равенства
/Ъп \мс\ \md\
С -= в AID 9 и | МА | | мв | .
Но они означают, что точки С и D есть образы точек А и В соответственно при композиции поворота jRm и гомотетии Нкм, т. е. при подобии первого рода с центром М, углом поворота ср и коэффициентом k.
Это свойство находит применение в задачах.
Задача 9. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть (ААХ) и (ССХ) — прямые, содержащие высоты треугольника ABC, (ААХ)[\(ССХ)=Н (рис. 7).
Рис. 7 С
Так как АСНАХ ~AABAi (по двум углам) и одинаково ориентированы, то существует подобие первого рода, при котором Ах—>АХ, Н—>В, С—>А. Тогда существует и подобие первого рода, при котором Ах—>АХ, И—*С, В—у А. При этом подобии лучи АХН и ИВ отображаются на лучи АХС и СА соответственно. Но прямые АХН и АХС перпендикулярны. Значит, и прямые НВ и СА перпендикулярны, т. е. третья высота треугольника проходит через точку Н.
Задача 10. На плоскости даны четыре
61


Рис. 9
Решение. Рассмотрим композицию
II*?, ф п<р
>иР °*кли
Рис.
прямые, пересекшбщиёся попарно в шести различных точках. Доказать, что Четыре окружности, каждая из которых проходит через три из полученных точек, пересекаются в одной точке.
Решение, Пусть А, В, С, D, М й N — точки пересечения данных прямых (рис. 8). Существует единственное подобие первого рода, при котором точки А и В отображаются соответственно на точки D и С; центр этого подобия есть вторая точка пересечения окружностей, проходящих через точки А, В, N и D, С, N. Имеем: О—*0, /1—yD, В~УС. Тогда существует и подобие первого рода, при котором
О—>0, А—>В, D—>С. Центр этого подобия есть вторая точка пересечения окружностей, проходящих через точки A, D, М и В, С, М. Таким образом, все четыре окружности проходят через центр О рассматриваемых подобий.
$. Кс?МПОЗК!ЦМЯ подобий
Композиция двух и более подобий первого рода есть подобие первого рода; его коэффициент равен произведению коэффициентов данных подобий, а угол поворота — сумме углов поворота данных подобий, т. е. Ш» ФоШ»?
— ПЛ/» *+'+.
Задача 11. И а сторонах треугольника ABC вне его построены треугольники
/\
ABM, BCN а САР так, что АМВ— 150°,
\АМ\ = \МВ\, САР — CBN = 30° и АСР^=
= BCN — 45°. Доказать, что треугольник MNP равносторонний.
где ср= 150°, ф = 105°, k =
/2
Г 2. Ко¬
эффициенты и углы поворот;) подобий обусловлены подобием треугольников РАС и N ВС (рис. 9):
/\ /\
A PC = CNB 105°,
\РС\ _ sin 30° _ 1 |лгв|
| РА | sin 45° /2 ' \NC \ ~ '
Складывая углы поворота и перемножая коэффициенты этих подобий, находим, что f — перемещение с углом поворота 360°, т. е. перенос. Но f(B)=B, и поэтому / — тождественное преобразование.
Построим образ точки М при композиции f (рис. 10):
Р9м(М)=М,
Hp*(M) = D,
Им *(£))— М
(так как / — тождественное преобразование, то /(М) — Ж). Если \PD\ = m,_a \DN\ = l, to | PM j ■ m V 2, | MN | = 1Y 2. Треугольники DPM и DNM подобны друг другу и rio-
/\
добны треугольнику С РА. Тогда PDM =
/\ /\ /Ч
=jVD/W =45d, PMD= NMD== 30° и PMN= = 60°. При симметрии с осью DM лучи УИ7’ и DP отображаются соответственно на лучи MN и DN, и поэтому точка Р отображается на точку N. Следовательно, | МР | = | MN \ и треугольник MNP равносторонний.
Решение показывает, что величины 150°, 30° и 45° не столь существенны. Важно выполнение следующих условий:
а) треугольник АВМ равнобедренный;
б) треугольники АСР и BCN подобны;
в) сумма величин углов при вершинах М, Р и N в построенных треугольниках равна 360 .
62


При этих условиях в результате приведенного наше ни я найдем, что | М Р | = | MN |
/\ /\ и PMN — 2РАС.
Задача, аналогичная рассмотренной, пред* лагалась на XVII Международной математической олимпиаде 0 1976 г. и Вызвала у решающих значительные затруднений. По-виДи- мому, применение метода подобия в данной задаче наиболее целесообразно. Другой вариант ее решения дан в журнале «Математика в школе», 1976, № 1, с. 66.
Задача 12. Стороны равностороннего треугольника ABC разделены по обходу его границы в отношении к точками Аь В} и С\. Стороны треугольника АХВХС\ разделены по обходу вершин в отношении точками А2, В2
и С2. Доказать, что треугольники ABC и А2В2С2 гомотетичны.
Решение. Точка О —центр треугольника ABC. При повороте Ro°° точки Л, В и С отображаются соответственно на точки В, С и А (рис. 11), поэтому в силу равенства отношений
с
точки Аъ Bh Ct отображаются на точки Вь Сх и Ль а точки А>, В2 и Со — на точки &2, С2 и Л2, т. е. треугольники А\ВХС\ и А2В9С2 равносторонние и имеют общий центр О. Тогда треугольник АХВХС\ есть образ треугольника ABC при подобии Щ, а треугольник А2В7С2 — образ треугольника AxBxCi при подобии П$. Имеем:
ДАДА-11^ (А ЛВС).
Очевидно, что композиция До°По отлична от
перемещения.
Если учесть, что угол поворота ср подобия П‘5 противоположен углу поворота ф подобия ПQ, то угол поворота композиции этих подобий равен 0°. Отсюда следует: композиция П$оПо есть положительная гомотетия.
Если треугольник А'В'С' не равносторонний, а произвольный, то треугольник А2В2С2, построенный по условию задачи, также гомотетичен данному. Действительно, проведем через сторону А*В* плоскость, не содержащую точку С', построим в ней равносторонний треугольник А'В'С, затем треугольники Аф^Сх и АоВ2С2. При параллельном проектировании Сохраняются параллельность и отношение отрезков параллельных прямых, Поэтому при проектировании параллельно прямой СС' на плоскость А'В'С' гомотетичные треугольники А'ВГС и А2В2С2 проектируются на гомотетичные треугольники А'В'С и А2В2С2.
В заключение заметим, что кажущаяся трудность применения Амегода геометрических преобразований при решении задач объясняется тем, что многие учителя медленно привыкают к специфическим понятиям» характерным для этого метода: композиция преобразований, неподвижная точка, род, способы задания преобразований* инвариантные направления, ин- волютивиость и другие. Если же эти понятия будут систематически изучаться в школе, то для учителей новых поколений они будут такими же обычными, как и многие другие понятия, и не вызовут в процессе преподавания особых затруднений. Между тем ни один из других методов решения задач, применяемых в школе, не является столь же геометричным и непосредственно связанным с рассматриваемыми фигурами и их свойствами. Наконец, применение геометрических преобразований к решению задач не только предполагает глубокие знания теории, но и является источником их расширения и углубления. А это, в свою очередь, служит основой для развития функционального и кинематического мышления на учебном геометрическом материале.
63


Проблемы и суждения
Н. 	Я. ВИЛЕНКИН, А. Я. БЛОХ
(Москва)
ИЗУЧЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
1. 	Использование вычислительной техники приобретает все большее значение в жизни общества. Длительный процесс развития, успехи, достигнутые с ее помощью, позволяют оценить возможности дальнейшего прогресса этой техники.
Вычислительные комплексы, осуществляющие многоцелевую обработку информации, диалог с потребителем, выдачу данных в графической форме, станки и цеха, управляемые ЭВМ, и многое другое — это все реальность текущего дня. На очереди — создание единой системы вычислительной техники, подобной единой системе электроэнергетики. В разработке, создании и дальнейшей эксплуатации такой системы примут непосредственное участие многие сотни тысяч специалистов различного профиля и уровня подготовки. Во много раз большему числу людей придется использовать вычислительные системы при решении производственных задач (по некоторым оценкам, это число к 2000 г. достигнет четверти всех занятых на производстве).
Быстрое развитие вычислительных методов, постоянное расширение областей их применения привели к тому, что рядом с классической математикой, шедшей в основном от приложений к астрономии, механике и другим областям физики, выросли новые области знания, связанные с конструированием и использованием вычислительных машин. К ним относятся комбинаторный анализ, математическая логика, в частности, теория алгоритмов, теория сетей и графов, математическая лингвистика, теория кодирования, многие разделы вычислительной математики (разностные методы) и т. д. Они объединяются обычно под общим названием «дискретная математика». Для дискретной математики характерны использование определенных или определенным образом трансформированных математических структур, специфические области приложения (машинная математика, экономика, исследование операций, лингвистика и т. д.). К области дискретной математики относят также инженерно-логические задачи, возникающие при проектировании систем,— например, органи¬
зацию поиска и хранения информации, разработку проблемно-ориентированных языков, трансляторов и т. д.
Не следует, однако, считать, что дискретная математика полностью отделена от областей математики, существенно использующих представление о непрерывности, таких, как, например, теория дифференциальных уравнений, топология, геометрия. Часто возникает ситуация, когда один и тот же объект в математике изучается и дискретными методами, и методами анализа. Иногда успех в изучении какого-либо вопроса основывается на удачном использовании дискретных понятий, соотнесенных с непрерывным объектом.
Например, многие проблемы математической физики, обычно решаемые с помощью дифференциальных уравнений в частных производных, изучаются сейчас методом конечных элементов, дающим дискретный аналог рассматриваемой задачи. Численное решение уравнений математической физики также происходит в настоящее время на ЭВМ. Одним из известных способов использования дискретных методов при изучении топологических пространств является представление пространства в виде симплициалыюй схемы. Комбинаторные методы широко применяются при изучении вероятностных задач; наряду с непрерывными распределениями в теории вероятностей используются дискретные.
Развитие дискретной математики, ее многообразные связи с другими областями науки и непосредственно с производством, несомненно, повлияют на содержание школьного курса математики. Поэтому идеи и методы дискретной математики необходимо учитывать при выявлении направленности изучения математики в школе. Перед методикой математики возникает в связи с этим важная и неотложная задача, состоящая в разработке комплекса разделов школьного курса математики, ориентированного на ознакомление учащихся с основами устройства и работы ЭВМ и с использованием ЭВМ в различных областях деятельности. К числу сложных вопросов, которые при этом придется решить, следует отнести связь дискретной математики с материалом, являющимся в настоящее время программным.
2. 	Опишем основные цели, которые могут быть поставлены в связи с введением дискретной математики в школьное преподавание.
а) 	Первой из этих целей следует считать усиление прикладной направленности школьного курса математики — ведь связь дискретной математики с использованием ЭВМ, с вычислительной математикой, с приложениями к экономике и гуманитарным дисциплинам де¬
64


лает изучение ее необходимым для большинства специальностей, которые выберут выпускники средней школы.
б) Следующая цель, тесно связанная с предыдущей, но имеющая также и самостоятельное значение,— знакомство с математическим моделированием. Эта цель, несомненно, стоит перед всем преподаванием математики в школе. Однако дискретные модели имеют свои черты, позволяющие выделить их особо. Во-первых, многие практически важные математические модели дискретны или же допускают эффективное изучение на дискретном уровне (линейное программирование, математические модели языков и т. д.). Во-вторых, объекты дискретной математики часто возникают при моделировании математических объектов, например, разностные схемы можно рассматривать как модели дифференциальных уравнений. Поэтому с некоторыми важными чертами понятия модели учащиеся могут познакомиться, не выходя на первых порах за пределы курса математики.
в) Существенна роль дискретной математики в повышении вычислительной культуры учащихся. Сейчас эта культура в значительной степени основана на навыках устного и письменного счета и владении логарифмической линейкой. Но по мере распространения микрокомпьютеров на первый план выйдут вопросы, связанные с организацией вычислений, блок-схемами вычислительных процессов, общим понятием алгоритма.
г) Важной целью изучения дискретной математики надо считать ознакомление учащихся с элементами комбинаторного анализа, приобретающего в настоящее время все большее значение в прикладной математике. С комбинаторикой естественно связываются многие разделы теории вероятностей, которую в школе целесообразно излагать лишь на дискретном уровне.
д) В рамки дискретной математики естественно укладывается также задача повышения логической грамотности учащихся. Действительно, основные логические средства построения школьного курса математики — высказывания, алгебра логики, предикаты, кванторы, аксиоматика и понятие логического вывода — в значительной части принадлежат дискретной математике.
3. 	В современном школьном курсе математики лишь несколько тем непосредственно связаны с дискретной математикой. Некоторые понятия и методы, которые естественно соотнести с дискретной математикой, изучаются в общем потоке математических понятий, они как бы растворены в другом материале.
Опишем кратко объем знаний по дискретной математике, содержащийся в действующих учебниках.
I—III классы. Простейшие задачи комбинаторного характера рассматриваются в системе определения арифметических операций и изучения их свойств. Изучаются, далее, на основе свойств действий алгоритмы их выполнения — без упора на вычленение собственно понятия алгоритма. В геометрическом материале имеются задачи на узнавание знакомых объектов (углов, треугольников и т. д.), на вычленение известных фигур на чертеже.
IV—V классы. Уделяется определенное внимание важному типу дискретных задач — задачам классификации. Имеются задачи комбинаторного характера, изучается отношение делимости. Рассматриваются также задачи на разрезание и перекладывание фигур, а при изучении конечных множеств вводятся операции над множествами. Некоторые правила выполнения арифметических действий формулируются в виде «команд», т. е. в алгоритмической форме.
VI—VIII классы. Алгебраический материал, который можно соотнести с дискретной математикой, сконцентрирован в главах, посвященных приближенным вычислениям. Дается самое первое представление о работе ЭВМ. Изучение понятий отношения и функции происходит первоначально на материале конечных множеств.
В геометрии рассматриваются задачи, связанные с дискретными подгруппами перемещений плоскости, задачи на разбиение и перемещение фигур.
Как в курсе алгебры, так и в курсе геометрии происходит постепенное формирование понятий об аксиоматической теории и логическом выводе; показателен в этом отношении заключительный раздел «Геометрии 8», в котором кратко затрагивается вопрос о моделях системы аксиом.
IX—X классы. В курсе алгебры и начал анализа изучается комбинаторика в традиционном изложении (сочетания, размещения, перестановки), в связи с этим вводится понятие о вероятности, рассматривается понятие о линейном программировании. Разностные методы при изучении дифференцирования и суммирование при изучении интегрирования почти не рассматриваются. В геометрии серия задач дискретного характера рассматривается при изучении первых аксиом стереометрии.
Более подробный анализ положения дискретной математики в современном школьном курсе не может быть здесь проведен. Мы хотели бы еще раз отметить, что, по нашему
3 «Математика в школе», МЬ 6
65


мнению, изучение дискретной математики должно занять в школьном курсе значительно большее место, чем то, какое она занимает сейчас. Это способствовало бы раскрытию больших методических, воспитательных и общеобразовательных возможностей этой области знания.
4. 	Выявление тех понятий и методов дискретной математики, которые можно включить в школьное обучение,— задача исключительной сложности, решение которой будет получено лишь в результате совместной работы методистов-математиков и специалистов соответствующих отраслей математики. Мы попробуем наметить в этой статье предварительный перечень понятий и методов, составленный в соответствии с отмеченными выше целями изучения дискретной математики в школе.
Построение дискретных аналогов математических объектов (задача перевода). Приближенные вычисления. Интерполяция и экстраполяция. Разностные схемы. Суммирование последовательностей. Простейшие численные методы анализа.
Машинная реализация. Представление об ЭВМ и задачах, решаемых на ней. Элементы программирования. Алгоритмические языки. Понятие об информационно-поисковых системах и распознавании образов.
Математическое моделирование. Математическое программирование и задачи оптимизации. Математические модели теоретико-мно- жественного и алгоритмического характера. Математические модели теоретико-вероятностного характера.
Организация вычислений. Блок-схемы и их использование. Работа с таблицами и массивами. Знакомство с работой на настольных вычислительных машинах (в дальнейшем — на микрокомпьютерах).
Комбинаторный анализ и теория вероятностей. Элементы комбинаторики. Простейшие понятия теории вероятностей. Дискретные марковские процессы.
Логика. Логические операции и их свойства. Булева алгебра. Использование алгебры высказываний в поисковых задачах. Некоторые задачи логического конструирования; контактные схемы.
Бинарные отношения и графы. Способы задания отношений. Первые понятия о графах. Операции над отношениями. Основные типы отношений и их свойства (отношения эквивалентности и порядка).
Алгоритмы. Способы задания алгоритмов и конечных автоматов. Двоичные элементы и двоичная арифметика. Понятие о машине Тьюринга.
Элементы общей алгебры. Алгебраические операции и их свойства. Изоморфизм. Гомоморфизм. Моноиды, группы, кольца, поля. Конечные поля.
Элементы вычислительной математики. Рекуррентные последовательности. Решение лилейных рекуррентных уравнений. Последовательные приближения. Простейшие задачи оптимизации вычислительных работ.
5. Нам представляется — в случае, если речь пойдет о широком внедрении вопросов дискретной математики в практику школьного преподавания,— что их основное содержание, объем излагаемых сведений, глубину изложения целесообразно отработать на системе идейно связанных между собой факультативов или специально ориентированных внеклассных занятиях.
Выбор и обоснование такой системы факультативов и внеклассных занятий представляет собой столь же сложную методическую задачу, что и составление перечня понятий, которые на них должны быть изучены. В частности, при решении этой задачи необходимо разработать принципы отбора факультативов, организации их в систему, не говоря уже о конкретной разработке содержания каждого из них.
После того как эта методическая проблема будет решена, можно поставить вопрос о внедрении полученных результатов в практику средней школы. Возможно, что при этом будут затронуты и некоторые традиционные разделы курса математики (за счет некоторого перераспределения материала, частичного изменения его содержания). Одновременно предстоит решить задачу о месте дискретной математики в школах с углубленным изучением дисциплин физико-математического цикла.
6. При организации системы внеклассных занятий и факультативов по дискретной математике может оказаться целесообразным каждый из больших разделов изучать на протяжении нескольких лет так, чтобы в течение одного года было охвачено несколько тем, а по мере продвижения вперед темы принимали иное воплощение. Таким образом, можно было бы организовать факультативы по «спектру» и «гаммам»: «спектр» содержит перечень основных тем, а «гамма» по каждой теме представляет ее в развитии.
Ниже приведен один из возможных вариантов такой системы, который, разумеется, следует рассматривать как черновой набросок, нужный в основном в качестве отправной точки для размышлений. Для более полного пояснения схемы необходимо было бы описать программы по каждой из указанных в ней тем, но в данной статье мы не имеем
66


Схема
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
Задача перевода
Приближенные вычисления
Интерполя¬
ция
Разностные
схемы
Машинная
реализация
Двоичная
арифметика
Роспись формул
Программи¬
рование
Математическое моделирование
Линейное
программиро¬
вание
Теория игр
Организация
вычислений
Примеры алгоритмов
Блок-схемы
Алгоритмы вычислительных процессов
Комбинаторный анализ
Экспериментальная комбинаторика
Комбинато¬
рика
Теория вероятностей
Логика
Логические
задачи
Высказыва¬
ния
Предикаты и кванторы
Аксиоматика
Бинарные отношения и графы
Классифика¬
ция
Графы
Бинарные отношения
Свойства бинарных отношений
Отношение
эквивалент¬
ности
Алгоритмы
Геометрическое конструирование
Алгоритмизация действий
Алгоритмы алгебры многочленов
Кодирование
Конечные автоматы, машины Тьюринга
Логическое
конструиро¬
вание
Общая алгебра
Свойства алгебраических операций
Группы в геометрии
Группы,
кольца
Поля
Вычисления
Счет на настольных машинах
Рекуррентные последовательности
Последовательные приближения
возможности это сделать. В схему включены некоторые вопросы, уже изучаемые в школе, например, бинарные отношения, приближенные вычисления.
Хотя предлагаемая схема начинается с IV класса, авторы убеждены в том, что изучение дискретной математики может и должно быть начато с первых же уроков математики в школе. Именно в начальной школе, по-видимому, можно начинать пропедевтику таких понятий,
как классификация, алгоритм, бинарная арифметика и т. д. Однако лишь эксперименты могут показать, насколько далеко можно пойти в изучении дискретной математики в начальной школе (как и в IV—X классах) и какой эффект при этом может быть получен.
В заключение отметим, что рассматриваемым вопросам посвящена большая литература, в том числе статьи, опубликованные в журнале «Математика в школе».
67


Литература
Абрамов А. А. и др. Упрощенный АЛГОЛ. М., «Наука», 1976.
Биркгоф Г., Барт Т. Современная прикладная алгебра. М., «Мир», 1976.
Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М., ГИТТЛ, 1956.
Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М., «Наука», 1972.
Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. М., Физматгиз, 1962.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. #. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., «Наука», 1976.
Задачник-практикум по математике. Под ред. Н. Я. Виленкина. М., «Просвещение», 1977.
Кемени Дж. и др. Введение в конечную математику. М., «Мир», 1965.
Лютикас В. Школьнику о теории вероятностей. М., «Просвещение», 1976.
О некоторых вопросах современной математики и кибернетики. Сборник статей. В помощь учителю. М., «Просвещение», 1965.
О ре О. Графы и их применение. М., «Мир», 1965. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и вычислительные автоматы. Изд-во «Советское радио», 1974.
Шрейдер /О. Л. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука», 1971.
П. М. ЭРДНИЕВ
(г. Элиста)
О ВЗАИМОСВЯЗИ логики И ПСИХОЛОГИИ В РЕШЕНИИ ВОПРОСОВ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ
Метод открытия и изобретения у всех один и тот же, та же интуиция, ибо при помощи логики никто ничего не открывает.
Акад. В. А. Стеклов.
Методика — это наука психологическая...
Проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской
В последние годы заметно повысился интерес методистов к вопросам обоснования педагогических концепций, теоретического анализа новых методов обучения, доказательности соответствующих рекомендаций.
В этой связи обретает большое значение проблема взаимоотношения формально-логических, с одной стороны, а с другой — психологических и диалектико-логических подходов к вопросам обучения и воспитания.
Вопрос о роли и месте формальной логики и психологии в решении вопросов обучения далеко не простой. Нельзя при этом забывать и того, что «логическое решение формируется обычно после того, как психологически решение уже найдено»
Методологическая функция формальной логики в методике определяется узким разделом теоретического осмысления проблемы обучения— выводом, т. е. обработкой, оформлением результатов мышления 2; изучение же процессуальной стороны, сложной картины движения мысли от исходных элементов к результату, от незнания к знанию — это полностью сфера психологии обучения.
1 Современные проблемы теории познания диалектического материализма, т. I. М., «Мысль», 1970, с. 323.
2 Там же, т. II, с. 194.
68
Логика необходима для упорядочения изучаемого материала; но она бессильна доказать или опровергнуть целесообразность того или иного методического пути изучения отобранного программного материала.
На самом деле, как отмечал проф. Д. Д. Мордухай-Болтовской, при решении конкретных вопросов методики приходится преодолевать антагонизм психологических и логических требований.
Серьезным упущением в подготовке учителя математики является недостаток психологических знаний вообще (по психологии обучения математике — в особенности).
Необходимость усиления внимания будущих учителей к психологическим аспектам обучения отмечается и в некоторых методических публикациях последнего времени.
Предложения о необходимости совместного и одновременного изучения некоторых взаимосвязанных разделов или о внедрении творческих упражнений по конструированию задач носят не столько логический, сколько психологический характер; обладая поэтому силой общности, они достойны того, чтобы найти преемственное отражение в программах по математике для средней школы и даже высшей.
Между тем, как отмечает президент АПН СССР В. Н. Столетов, необходимо выходить за рамки узкой отрасли и вторгаться в другие отрасли науки, дабы прийти к адекватной оценке новых педагогических идей.
В практике обучения математике молчаливо исходят из формулы: «Математика — это решение задач» (подразумевается: чужих, составленных кем-то, но никак не самим школьником).
Решение готовой задачи — это процесс преимущественно аналитический; если же мы желаем этот процесс сделать более содержательным, более диалектичным, то должны обога¬


тить его синтетическим актом познания, т. е. провести школьника через самостоятельное конструирование уравнений, неравенств, функций, высказываний и т. п.
Сочетая решение готовых задач (ныне господствующей формы упражнений) с составлением аналогичных заданий силами учащихся (нашедшим пока скромное место), мы, несомненно, достигаем столь желанного слияния противоположных процессов в мышлении; этот путь обеспечивает действенность, а потому устойчивость знаний.
Заслуживают серьезного внимания работы известных математиков-педагогов, критически относящихся к односторонней формализации математического знания, неумеренному увлечению символикой, ранней аксиоматизации математических знаний и др.
Академик А. Н. Колмогоров указывает, что аппарат формальной логики не занимает центрального положения в психике человека; она есть не более, чем «вспомогательное устройство, запускаемое в ход по мере надобности»3.
В весьма оригинальной уже по названию работе «Логика против педагогики» известный педагог-математик Морис Клайн выражается еще более определенно: «Знание достигается интуитивно, и логическое изложение в лучшем случае является подчиненной и дополнительной помощью при обучении, а в худшем — решительным препятствием» 4.
Отметим далее, что и у некоторых авторов сочинений по методике математики вольно или невольно проявляется стремление свести методику обучения математике к упрощенной формуле: больше математической логики с ее современной символикой.
В нашей литературе наиболее четко эта линия заметна в книгах доктора педагогических наук, профессора А. А. Столяра, в особенности в его работе «Педагогика математики» (Курс лекций. Изд. 2-е, доп. и перераб.).
Основой педагогики математики А. А. Столяр объявляет особую «правдоподобную логику» (с. 20).
Здесь произошла подмена понятий, заимствованных из известной книги Д. Пойа. Но у Пойа нет «правдоподобной логики», ибо он пишет следующее: «Мы закрепляем свои математические знания доказательными рассуждениями, но подкрепляем свои предположения правдоподобными рассуждениями» 5.
6 А. Н. Колмогоров. Жизнь и мышление как особые формы существования материи. М., «Наука», 1964, с. 54.
4 М. Клайн. Логика против педагогики. Математика. Сб. научно-методических статей. Вып. 3. М., «Высшая школа», 1973.
5 Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М., Изд во иностранной литературы, 1957, с. 9.
Очевидно, между «рассуждениями» и «логикой» нельзя ставить знака эквивалентности.
В своей формулировке Пойа ближе к истине: он не отрывает доказательные рассуждения от правдоподобных, лишь во взаимодействии отражающих одну из сторон реального мышления.
Вопрос о методах ознакомления с аксиоматикой, конечно, важный вопрос методики. Но является ли он центральным для судеб математического образования так, как это толкует А. А. Столяр и его последователи?
В системе школьных учебников под ред. А. Н. Колмогорова ознакомление с аксиоматикой вводится без слешки.
Последнее разумно: вопрос не в том, чтобы обязательно искать новую аксиоматику для школьного курса, а в том, чтобы методически освоить принятую программой аксиоматику.
Непростое это дело — так обучать, чтобы доступная строгость сочеталась с интересом при восприятии материала учащимися. (Проблема развития интереса — согласится читатель— проблема уже психологическая!)'
В физиологических исследованиях последних лет обнаружено фундаментальное для педагогики явление, а именно функциональная асимметричность полушарий мозга: если в левом полушарии сосредоточены речевые, формально-логические функции, то в правом полушарии расположены большей частью образные, неречевые компоненты мышления.
Главной проблемой обучения становится обеспечение согласованной работы наглядного (образного) и ненаглядного (символического) компонентов мышления.
Увлечение «символикой ради символики» может привести поистине к казусам.
Пусть речь идет о следующем определении: «Графиком функции y=f(x) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению» (заметим, что буквы х и у в этой фразе употреблены лишь по одному разу).
А вот как А. А. Столяр рекомендует оформлять это определение (с. 247):
г
«Графиком функции х—*у мы назовем множество
г,=м\(х, у)еххг А у=/(*)]».
Мозг не приемлет столь искусственных «строгих строгостей» по причинам прежде всего... физиологическим; в этой фразе сочетание символов х, у повторено ... 4 раза!
Обогащение арсенала методических идей возможно и по каналам неожиданных, так сказать непосредственных, ассоциаций.
63


Пусть читатели позволят мне привести здесь один пример методико-математической утилизации «чужой идеи».
Известный химик академик Н. Н. Семенов обронил как-то чудесную мысль о том, что идея цепного ветвления может оправдаться не только в химии, но и в ... биологии (!).
В одну из своих работ я решился включить специальный параграф под названием «цепное ветвление упражнений».
В нем речь идет о такой цепи заданий, когда, скажем, на одном чертеже строятся графики родственных функций, постепенно усложняющихся, начиная от самой элементарной.
Например: у! = ах; у2 = | ах |; у2 = | ах + b |; у4= I ах + b I + с; у5 = — | ах + b | + с.
Будучи изображены разными цветами на одной координатной плоскости и одновременно воспринимаемые зрительно, эти графики обеспечивают целостность знания.
В этой методике каждый элементарный переход от функции к функции подкрепляется визуальной переработкой информации — некоторым отображением множества точек.
Существует оптимистическое определение задач методики обучения, сформулированное профессором Н. Е. Жуковским: «Математическая истина только тогда должна считаться вполне обработанной, когда она может быть объяснена всякому из публики, желающему ее усвоить».
Решение этой программы вполне достижимо, если разумно опираться на данные психологии, физиологии и диалектики, которые ждут своего часа у входа в науку об обучении.
Внеклассная работа
М. И. Башмаков, Ю. И. Нонин (Ленинград), И. Н. Бернштейн, Н. Б. Васильев, Л. Г. Макар-Лиманов, Т. А. Сарычева (Москва)
XI ВСЕСОЮЗНАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ
Заключительный тур XI Всесоюзной математической олимпиады, посвященной 60-летнему юбилею Великой Октябрьской социалистической революции, проходил в Таллине. В завершающее соревнование вступили команды от 15 братских республик нашей многонациональной Родины, Москвы, Ленинграда и Таллина, школ МПС и ГПУ СА и ВМФ, а также трн победителя олимпиады учащихся ПТУ Ленинграда.
В день открытия олимпиады учащихся приветствовали представители центральных партийных органов Эстонии, Министерства просвещения, профессор Тартуского государственного университета Г. М. Вайнико. Началу праздника предшествовало возложение цветов к памятнику В. И. Ленина от имени всех участников олимпиады.
Как и в прошлые годы, участники решали задачи в течение двух дней. Во второй день десятиклассникам были предложены задачи исследовательского характера. После каждого дня решения задач для участников устраивались разборы решений, встречи с членами жюри, лекции известных математиков.
В этом году жюри подобрало много оригинальных и трудных задач. Почти все они были решены, однако полные решения некоторых из них были даны лишь небольшим количеством участников. Жюри осталось в целом довольно результатами работы школьников, большинство из них получили награды (см. табл.).
Во время пребывания в Таллине школьники приняли участие в Ленинском субботнике, познакомились с мно-
Таблица
Количество награжденных участников
Класс
Число
участни¬
ков
Премии
Похвальные отзывы
I
II
ill
1-й
степени
2-й
степени
VIII
43
5
11
6
8
12
IX
55
5
5
9
9
16
X
54
4
8
9
И
13
говековой историей эстонского народа, его культурой, достопримечательностями, посетили рыболовецкий колхоз-миллионер им. С. М. Кирова. Для ребят были организованы просмотр спектакля «Жизель» в постановке театра оперы и балета «Эстония», встречи с учащимися Таллина, концерты, вечер интернациональной дружбы, экскурсия по лабораториям Таллинского политехнического института.
Состоялись встречи участников олимпиады с профессорами и преподавателями ведущих университетов и институтов страны. Ребята прослушали лекции: «Геометрия Лобачевского и небесная механика», «Симметрия в математике», «Как измеряют расстояние между кривыми», «Теория групп и олимпиадные задачи» и др.
Большая трудоемкая работа по подготовке, организации и проведению олимпиады была осуществлена Эстонским оргкомитетом во главе с председателем
А. 	Ю. Тюкком (зам. министра просвещения ЭССР) и заместителем председателя А. X. Эглоном (зам. заведующего управления школ МП ЭССР), методической комиссией по математике под председательством действительного члена АН СССР профессора МГУ А. Н. Колмогорова и жюри олимпиады под председательством действительного члена АН ЭССР, профессора Таллинского политехнического института А. К. Хумала, при активной помощи заместителя председателя жюри, доктора фи- зико-математических наук доцента ЛГУ М. Я. Башма- кова.
70


Проведенная олимпиада способствовала дальнейшему развитию интереса школьников к математике, имела большое значение в деле интернационального воспитания учащихся.
Приводим список участников олимпиады, получивших первые премии (полный список победителей будет опубликован в журнале «Квант», 1977, № 11).
X класс. Гандельсман Лилия (шк. № 30, Ленинград), Рыбников Григорий (шк. № 42, Москва), Флаасс Дмитрий (шк. № 165, Новосибирск), Чурбанов Андрей (шк. № 18, Москва).
IX класс. Бугаенко Вадим (шк. № 145, Киев), Гальперин Виктор (шк. № 57, Москва), Книжник Вадим (шк. № 2, Москва), Лисничук Лариса (Васильковская шк., УССР), Нейман Владимир (шк. № 45, Ленинград).
VIII класс. Захаревич Илья (шк. № 45, Ленинград), Ляховец Андрей (шк. № 47, Краснодар), Хлебу- тин Сергей (шк. № 6, Пермь), Шахбазян Гаяне (шк. № 45, Ленинград).
Специальными призами ЦК ВЛКСМ, МП СССР, МП ЭССР, промышленных и сельскохозяйственных предприятий Эстонии за успешное выступление на олимпиаде были отмечены: представитель самого отдаленного уголка Советского Союза — Суворова Наталья (VIII кл., шк. № 23, Владивосток),
сельский школьник Воронович Игорь (X кл., Сопоц- кинская шк., БССР), комсомольский активист Агаев Фариз (X кл., Покровская шк., АзССР), участники олимпиады, представившие оригинальное решение задачи: Беспалов Александр (IX кл., шк. № 40, Симферополь), Гальперин Виктор (IX кл., шк. № 57, Москва), Амброладзе Амиран (X кл., ФМШ, Тбилиси), один из представителей каждой союзной республики.
Условия задач 1
X класс Первый день
1. В окружность вписаны треугольники Т\ и Г2, причем вершины треугольника Т2 являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника Т1. Докажите, что в шестиугольнике Т\[)Т2 диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника Т\ и пересекаются в одной точке. (16)
Н. 	Нецветаев
2. Дана бесконечная числовая последовательность а1У я.,,..., ап Известно, что Нш ( ап+х—~кап )—0.
П—>оо \ /
Докажите, что Пт = 0. (18)
П~> оо
А. Егоров
3. В каждой вершине выпуклого многогранника М сходятся три ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу. (32)
В. 	Произволов
1 После условий задач указано число учеников, пред¬
ложивших полные их решения (или решения с неболь¬
шими недочетами), и их авторы.
4. Написан многочлен
х10 + * *9 + * .х:8 * х2 * х + 1.
Двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет^ любую из звездочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звездочек, затем снова первый заменяет одну из звездочек числом и т. д. (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает первый игрок, а если будет хотя бы один корень — выигрывает второй. Может ли второй игрок выиграть при любой игре первого? (3).
Д. и И. Бернштейны
5. На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовем пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар звеньев четно. (12)
Е. Ш у с т и н
Второй день
Условиям задач 6—8 предшествовал такой текст:
«Во второй день олимпиады мы предлагаем вам три трудные задачи. Рекомендуем выбрать одну из них и продвинуться в ее решении возможно дальше. Жюри будет значительно выше оценивать более глубокое исследование одной задачи, чем ответы на легкие вопросы в нескольких задачах.
Желаем успеха!»
6. Мы будем рассматривать многочлены от одного переменного со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена Р и Q коммутируют, если многочлены P(Q(x)) и Q(P(x)) тождественно равны (т. е. после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).
а) Для каждого числа а найдите все многочлены Q степени не выше трех, коммутирующие с многочленом Р(х)=:с2—а. (18)
б) Пусть Р — многочлен степени 2, k — натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени 6, коммутирующего с Р. (И)
в) Найдите все многочлены степеней 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом Р степени 2. (6)
г) Многочлены Q и R коммутируют с одним и тем же многочленом Р степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой. (3)
д) Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов Р2, Рз> Ра, • •Рк, ..где Ръ. — многочлен степени £, в которой любые два многочлена коммутируют, и многочлен Р2 имеет вид Р2(х)=х2— —2. (2)
Э. 	Туркевич
7. Пусть А — 2п-значное число (первая цифра не нуль). Будем называть число А особым, если оно само является точным квадратом, и числа, образованные его первыми п цифрами и его последними п цифрами, также являются точными квадратами; при этом второе число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю.
а) Найдите все двузначные и четырехзначные особые числа. (16)
б) Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число. (2)
в) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел. (0)
г) Докажите, что существует хотя бы одно 30-знач- ное особое число. (0)
А, Лбвин
8. Марсианский алфавит состоит из 10 букв, и любое трехбуквенное слово образует марсианскую фамилию (т. е. на Марсе ровно 1000 различных фамилий). По
71


марсианским законам имя марсианина должно состоять из двух букв и получаться из его фамилии вычеркиванием одной буквы.
а) Докажите, что можно составить список из 50 имен так, чтобы марсианин с любой фамилией мог выбрать себе одно из зтих имен. (15)
б) Докажите, что нельзя составить такой список менее чем из 40 имен. (19)
в) Докажите, что нельзя составить такой список менее чем из 50 имен. (12)
г) В прошлом веке марсиане носили четырехбуквенные фамилии, а двубуквенное имя получалось из фамилии вычеркиванием любых двух букв. Докажите, что в прошлом веке можно было обойтись списком из 34 имен. (12)
д) Найдите минимальный список имен (двубуквенных), который годился бы, если бы фамилии марсиан состояли из k букв. Попробуйте решить эту задачу для
k = 4, 5, 6 и т. д. (1, частично — еще 7 человек).
С. Фомин
IX класс Первый день
1. Задача 1 из X класса. (22)
2. Задача 2 из X класса. (21)
3. Задача 5 из X класса. (22)
4. В некоторой стране из каждого города' в любой другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездки по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута руководствовались следующим принципом: начальный пункт маршрута выбирается произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут еще не проходил, выбирается тот, поездка в который из предыдущего города имеет наименьшую стоимость (если таких городов несколько, то выбирается любой из них); и так до тех пор, пока не будут пройдены все города. При составлении второго маршрута начальный город тоже выбирается произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут еще не проходил, выбирается тот, поездка в который из предыдущего города имеет наибольшую стоимость. Докажите, что общая стоимость проезда по первому маршруту не больше общей стоимости проезда по второму маршру- ту. (0)
А. 	Берзиньш
Второй день
5. Дан лист клетчатой бумаги 100X100 клеток. Проведено несколько несамопересекаюшихся ломаных, идущих по сторонам клеток и не имеющих общих точек. Эти ломаные идут строго внутри квадрата, а концами выходят на его границу. Докажите, что кроме вершин квадрата найдется узел (внутри или на границе), не принадлежащий ни одной ломаной. (18)
С. Фомин
6. Даны натуральные числа хи *2, . - •» хт, У\, уг, .. Уп. Суммы *i-fx2-k. .+Xm и У1+У2+- - -+Уп рав- ны между собой и меньше тп. Докажите, что в равенстве Xi + Х2 + • • • + Хт — У\ + у2 + .•• + Уп МОЖНО ВЫ- черкнуть часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство. (3)
К. Сибирский
7. На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть М — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества М попала не менее чем в один и не более чем в четыре отмеченных квадрата. (4)
А. 	Плоткин
8. 	На столе стоят чашечные весы и п гирь различных масс. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берется любая гиря и добавляется на ту или другую чашку весов).
а) Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевесила левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и т. д.
Этой последовательности результатов взвешиваний сопоставим слово из букв L и R: LRLRLR.... Здесь буква L означает, что перевесила левая чашка, а буква R означает, что перевесила правая чашка.
б) Докажите, что для любого слова длины п из букв L и R можно в таком порядке ставить гири на чашки весов, чтобы это слово соответствовало последовательности результатов взвешиваний. (4)
И. Бернштейн
VIII класс
Первый день
!. Задача 5 из X класса. (16)
2. На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Известно, что если прямая проходит через две или более отмеченные точки, то сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна нулю. Докажите, что все числа равны нулю. (4)
Ф. Вайнштейн
3. Отрезок, соединяющий середины дуг АВ и АС окружности, описанной около треугольника АБС, пересекает стороны АВ и АС в точках К и L. Докажите, что точки Л, К, L и центр О вписанной окружности треугольника ABC — вершины ромба. (18)
Н. 	Нецветаев
4. По окружности расположено несколько черных и белых фишек. Двое по очереди проделывают такую операцию: первый убирает все черные фишки, имеющие белого соседа (хотя бы с одной стороны), а второй после этого убирает все белые фишки, имеющие черного соседа. Так они делают до тех пор, пока не останутся все фишки одного цвета.
а) Пусть вначале было 40 фишек. Может ли случиться, что после того, как каждый сделает два хода, на окружности останется одна фишка? (20)
б) На окружности сначала было 1000 фишек. Через какое наименьшее число ходов на окружности может остаться одна фишка? (14)
А. 	Т о л п ы г о
Второй день
5. За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т. д. После того как последний, седьмой гном разлил всем остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе 3 литра молока. Сколько молока было первоначально в каждой кружке? (9)
В. 	Гутенмахер
6. Задача 7 для X класса с тем же вопросом
а) 	(34) и с таким вопросом б): «Возможны ли шестизначные особые числа? (Докажите, что их нет или приведите пример такого числа.)». (5)
7. Дано множество положительных чисел \а\\ а2; .. ап}. Для каждого его подмножества выпишем сумму входящих в него чисел (рассматриваются суммы из одного, двух, ..., п слагаемых). Докажите, что все выписанные числа можно так разбить на п групп, чтобы
72


в каждой группе отношение наибольшего числа к наименьшему не превосходило 2. (0)
Л. Богат
8. Имеется 1000 билетов с номерами ООО, 001,
999 и 100 ящиков с номерами 00, 01, ..99. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычеркиванием одной из цифр. Докажите, что
а) можно разложить все билеты в 50 ящиков; (6)
б) нельзя разложить все билеты менее чем в 40 ящи- лов; (8)
в) нельзя разложить все билеты менее чем в 50 ящиков. (5)
С. Фомин
Указания и решения
Приводим ответы, указания и краткие решения к отдельным задачам. Решения всех задач будут опубликованы в журнале «Квант».
Отметим, что наибольший интерес у. участников вызвали задачи комбинаторного и логического характера. Почти все десятиклассники пытались решить задачу, связанную с определением предела последовательности (№ 2), а во второй день более половины из них приступили к решению задачи № 8, более трети — задачи № 6 (некоторые решили простые пункты разных задач). Не все участники олимпиады продемонстрировали хорошую технику в обращении с многочленами и в решении традиционной геометрической задачи (про треугольник).
X класс
1. На рис. 1 А, В, С — вершины треугольника Т\ Л, В1, С| — вершины треугольника 7\; О — центр окружности, вписанной в 'Г (точка пересечения прямых AAlf BBt и СС,). Докажем, чю большие диагонали шестиугольника ТПТх проходят через tv же точку О. Для этого достаточно показать, что \ОК] !1 (АС). Из рассмотрения вписанных углов следует, что
/ч /\
ACtBt — BiCfi и [ ACt | = | CjO | (Д ACtO—равнобедренный), поэтому точки А и О симметричны относительно (£,С,). Кроме того, ВАА^ = А^АС. Отсюда следует, что [О/ч ] II (ЛС) и, более того, что AKOL—ромб (задача № 3, VIII класс). Участники предлагали очень
разнообразные, часто довольно длинные решения этих
задач.
2. Для произвольного положительного числа в найдем такой номер N, что при n^N выполняется неравенство J ап+г — “тг ап \ этого неравенства следует, что | ап+х | < | ап | + е. Поэтому для произ¬
вольного натурального k получаем цепочку неравенств:
I aN + k | < \ам -i| + £ < ~\aN+k~<i\ +
11 11
а
TV + ft — 3
+ А е +
■ е -f
+ е< • • • < 2* 1ллН + £(1"{- 2 + “4“ + • • •
••■+ 2*=т)< 75Г1*лг| + 2..
Выберем такое /С, что
2*
1 &N I 2*
< е при k > К• Тогда
при «>#+/( выполнено неравенство |ял|<3е, что и доказывает утверждение задачи.
Некоторые школьники в доказательстве предполагали, что предел последовательности ап существует (хотя при объяснениях условий их специально предостерегали от этой ошибки). Были и такие работы, где содержались нужные выкладки, но логические рассуждения, связанные с определением предела, были записаны чрезвычайно наивно и нечетко.
3. Проведем сферу через одну вершину многогранника и концы трех выходящих из нее ребер. Переходя последовательно от одной вершины к другой — соседней, можно доказать, что все вершины лежат на этой сфере. Жюри требовало логически точного оформления решения этой несложной задачи.
4. Ответ: Второй может обеспечить себе выигрыш.
5. Школьники в большинстве решали эту задачу, рассматривая лучи, получающиеся при продолжении звеньев ломаной за вершины, и разбирая отдельно случаи, когда величина угла при вершине больше jt и меньше л. Наиболее короткое решение, предложенное несколькими участниками, основано на следующем соображении: пару таких лучей, выходящих из одной вершины (стороны угла MAN, рис. 2), ломаная пересекает всегда в четном числе точек.
6. а) Ответ: Если степень Q равна 1, то Q(x)=x; если 2, то Q(x)=P(a:); многочлен Q степени 3, коммутирующий с Р, существует только при а=0 (Q(x)=x3) и а = 2 (Q(x)—x3 — За:).
Рис. 2
73


б) 	Это Р (Р (X)) И Р(Р(Р (X))).
7. а) Ответ: 49 и 1681. Многие школьники приводили число 1681 без обоснования единственности, а нередко такое доказательство опиралось на довольно большой перебор (на самом деле перебора легко избежать: если первые две цифры дают двузначное число а2, то а^4, a (\0a-\-b)2 = \00a2-\-20ab-\-b2 лишь при а = 4, Ь — \ имеет в качестве двух первых цифр а2).
8. Сравните с задачей 8 для VIII класса: она лишь формулировкой отличается от задачи о «марсианских именах» (каждое «имя» — это «ящик», в который можно складывать фамилии). Жюри VIII класса при работе над формулировкой задач сочло, что конкретный «алфавит» из 10 цифр 0, 1, ..9 — более привычный материал для восьмиклассников, чем абстрактный «алфавит» из 10 букв.
IX класс
4. Эта задача, безусловно, самая трудная на олимпиаде. Одно из ее решений позволяет установить такое взаимно-однозначное соответствие между отрезками одного и другого пути, при котором каждый отрезок первого пути не дороже соответствующего отрезка второго.
5. Решение этой достаточно типичной для олимпиад задачи основано на соображениях четности. Удобно записать решение, раскрашивая узлы в ша^м^тном порядке.
6. Этот красивый факт доказывается индукцией (например, по т + п или по величине суммы).
7. Можно взять такую систему квадратов: К\ — наибольший, /Сг — наибольший из пересекающихся с ним,
..., Кп — наибольший из непересекающихся с К и К2,
..., Кп-и - •
8. Эту задачу жюри считало одной из наиболее оригинальных и трудных. Следует отметить, что пункт а), безусловно, облегчил поиск «алгоритма» в общем случае.
VIII класс
2. 	Обозначим сумму всех выписанных чисел через 5. Рассмотрим любую из точек, рядом с которой написано число (а). Проведем через нее всевозможные прямые, проходящие по крайней мере еще через одну отмеченную точку. Сумма чисел вдоль каждой такой прямой равна нулю. Поэтому S = —ап + я, где п — число проведенных прямых. Поскольку по условию п > 1, то
1 — п<0, or == S/( 1 — п). Если S¥= 0, то все числа имеют один и тот же знак, противоположный знаку их суммы. Но это явно приводит к противоречию.
К сожалению, эту сравнительно несложную задачу решили лишь немногие участники.
4. Ответ: а) Да. б) 8. Эту задачу следует решать «с конца»: посмотреть, сколько фишек может быть за ход до того, как осталась одна фишка, потом за ход до этого и т. д. Легко заметить, что если ап — максимальное число фишек, которое может остаться за п ходов до конца, то ап — 2an-i + ап-2- Отсюда мы получаем для задачи а) пример с 41 фишкой, а для задачи
б) 	— оценку «восемь ходов». Однако эти соображения еще недостаточны, поскольку произвольно убирать лишние фишки нельзя. Для построения примеров к задаче достаточно рассмотреть фишки «последнего поколения».
5. Нетрудно догадаться, используя соображение симметрии, что ответом будет арифметическая прогрессия: 6/7, 5/7, 4/7, 3/7, 2/7, 1/7, 0 (но нужно доказать его единственность!). Одно из наиболее коротких решений, придуманных школьниками, основано на таких соображениях. Пусть, когда молоко разливает 1-й, у него 6х, когда 2-й — то у него (у 2-го) 6у молока. Тогда перед ходом 1-го разность количества молока у 1-го и 2-го равна бх—(6у — х) —7х — 6у, после хода 2-го разность станет равной у и не изменится вплоть до следующего хода 1-го. Отсюда 7х — 6у = у, т. е. х — у — все разливают одно и то же количество молока. Дальше уже просто.
6. б) Один из примеров: 225 625.
7. С этой задачей восьмиклассники не справились, хотя существует и очень простое ее решение. Оказывается, в качестве правых концов соответствующих отрезков можно взять числа аи ах+а2, ai+02+Яз, •••» fli+a2+ +...+ап, где а„ а2, ап — данные числа, а^а2^. ^...^ап. В ряде работ были приведены основные идеи другого решения этой задачи.
8. а) Вот пример такой системы: 50 ящиков с номерами из цифр одинаковой четности, б) Нужно отделить 10 ящиков с номерами, состоящими из одинаковых цифр, они должны быть обязательно, и заметить, что оставшиеся неразложенными 720 билетов с номерами, состоящими из попарно различных цифр, можно класть не больше чем по 24 в ящик.
В. 	Г. Махров
(Калужская обл.)
ОБ ОДНОМ ВИДЕ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ В IV—VIII КЛАССАХ
Велика роль внеклассных занятий в деле воспитания у учащихся интереса к математике, повышения их математической культуры. В сельской же школе зачастую отсутствуют параллели по классам и вести внеклассную работу во всех классах, где работает учитель, ему не представляется возможным. В таких условиях особенно целесообразно привлекать учащихся старших классов для ведения внеклассной работы в младших классах. Среди старшеклассников всегда найдется несколько учеников, которые с большим желанием под руководством учители будут вести такую работу. При этом задача учителя состоит в том, чтобы оказать им необходимую методическую помощь в подборе материала и проведении занятий. (Занятия, как правило, ведут два ученика.) В VI—VIII классах с успехом работают ученики IX—X классов, а для работы в 1V-—V классах можно привлекать и восьмиклассников. Такая форма работы интерес¬
на не только руководителям кружка — старшеклассникам, но и его участникам. Несомненную пользу принесет она особенно тем, кто решил дальнейшую свою жизнь связать с педагогической деятельностью.
Для более эффективного проведения кружковых занятий целесообразно иметь печатный или рукописный текст всех задач, которые будут предлагаться на занятиях в течение года, причем текст задач желательно иметь каждому учащемуся — члену кружка, а его руководителю — развернутые решения и соответствующие методические рекомендации.
Кроме решения задач на занятиях кружка можно сделать небольшие сообщения по отдельным темам программы, привести необходимые исторические сведения. Математический вечер также является результатом совместной работы членов кружка и их старших товарищей. В проводимой нами работе использовался материал журналов «Математика в школе» и «Квант», а также некоторые задачи заочной математической школы при МГУ. В указанной литературе всегда можно найти материал для теоретических сообщений и большое количество интересных задач.
Приведем задачи, разобранные на одном из занятий кружка для учащихся V класса.
74


1. Коля, Ваня и Петя собирали грибы. Коля нашел 10 сыроежек и столько белых, сколько подберезовиков нашел Ваня. Ваня нашел лисичек в два раза меньше, чем сыроежек Коля, и 3 подберезовика. Петя нашел только лисички, которых у него большеt чем белых у Коли, но меньше, чем лисичек у Вани. Сколько грибов собрали ребята?
Эта задача в основном на внимание. Ее решение можно найти в журнале «Математика в школе», 1976, № 6, с. 74. Задачи такого типа учат учащихся удерживать в памяти цепочку логических рассуждений и правильно находить моменты перехода от найденной величины к другой, которую нужно найти.
2. В трех одинаковых коробках лежит по два шарика: в одной—два черных, в другой—два белых, в третьей— белый и черный. На каждой коробке есть табличка с цветовым изображением помещенных в ней шариков. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствует табличке. Как, вынув один шарик только из одной коробки, переставить таблички на коробках в соответствии с их содержимым? («Квант», 1976, № 6.)
Решение и методические замечания. На рисунке изобразим три коробки с табличками на каждой из них. Обратим внимание учащихся на то, что только в коробке в) могут быть шарики одного цвета.
ние учащихся на то, что существуют и другие решения этой задачи. Чтобы их найти, достаточно провести следующие рассуждения. Пусть кузнечик совершает х больших прыжков и у малых прыжков, чтобы попасть из точки О в точку А. Тогда кузнечик пропрыгает расстояние \2x-\-7y см. Получим уравнение 12*+7# = 3, 3— \2х
откуда у— j . Это уравнение нужно решить
в целых числах. Вместо х будем подставлять 0, ±1, ±2, ... Условию задачи будут удовлетворять те значения х, при которых мы получим у целым числом. Будем считать, что если х и у получаются отрицательными, то кузнечик прыгает назад, если положительными, то вперед. Легко находим решение: х = 2, у — —3. Далее, например, если х = —16, то у — 27, и т. д. Ограничимся этими решениями, указав на то, что задача имеет множество решений.
5. 	Двенадцативедерная бочка наполнена керосином. Разлить его на две равные части, пользуясь пустыми пятиведерной и восьмиведерной бочками. (Бабин- ская И. Л. Задачи математических олимпиад. М., «Наука», 1975, с. 7.)
Задачи такого типа довольно распространены и с интересом решаются школьниками. Они вырабатывают стройную систему логических рассуждений. Задачу лучше решать с помощью записи результатов на каждом этапе переливания, для приобретения необходимого навыка достаточно решить 4—5 таких задач. Ниже приводится образец возможной записи.
а) б) 6)
Это и есть ключ к решению задачи, но не каждый учащийся может сразу догадаться, что шарик надо вынуть из коробки в). Действительно, если, взяв, например, шарик из коробки а), обнаружим, что он белый, то, не зная, лежат ли там два белых шара или белый и черный, мы не сможем определить, какого цвета шарик остался в коробке: он может быть и черным и белым. Аналогично с коробкой б).
Итак, вынем шарик из коробки в). Пусть это будет черный шарик. Так как, согласно условию задачи, в этой коробке лежат шарики одинакового цвета, то в ней и второй шарик черный. Переставим на эту коробку соответствующую табличку. Понятно теперь, что в коробке б) один шарик белый, а другой черный, в коробке а) оба шарика белые. Если, взяв шарик из коробки в), мы увидим, что он белый, значит, в ней оба шарика белые, а тогда в коробке а) один шарик белый, а другой черный, в коробке б) оба шарика черные. Проведем соответствующую перестановку табличек.
3. Найти произведение
V *2* 3 х **
***8 7
чЬ" vJy* чЪ* nJv /fS /|Ч /уч Х’уч
2 Ж 0 0 4*
При решении этой задачи удобно вместо звездочек изобразить маленькие кружки, в которые по мере определения вписывать соответствующие цифры. Решение задачи приведено в журнале «Математика в школе», 1977, № 5.
4. Кузнечик прыгает по прямой большими и малыми прыжками. Большой прыжок составляет 12 см, малый — 7 см. Как ему попасть из точки О в точку А, находящуюся от нее на расстоянии 3 см?
Решение задачи помещено в журнале «Математика в школе», 1974, № 1, с. 63. Можно обратить внима-
12 л
8 л
5 л
12
4
8
—
4
3
5
9
3
—
9
—
3
1
8
3
1
6
5
6
6
——
Заданиена дом.
1. На трех полках лежат 44 книги. Если 3 книги с третьей полки переложить на вторую, то на первой и третьей полках книг будет поровну, а на второй в два раза больше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке? («Математика в школе», 1976, № 4, с. 72.)
2. Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыоюков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага, а один кошачий прыжок равен по длине 10 мышиным шагам. Догонит ли кошка мышку? («Квант», 1973, № 2, с. 68.)
3. Расшифровать пример на сложение, в котором одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:
озорник зорник о р н и к р н и к ник и к к
5553321
(«Математика в школе», 1976, № 5, с. 86.)
75


4. В бочке не менее 10 литров бензина. Как отлить из нее 6 литров бензина, с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона? (Бабинская И. Л., с. 7.)
5. В настоящее время от катера до парохода 20 км, а от лодки до парохода 11 км (они находятся в следующем порядке по течению реки: катер, лодка, пароход). Если они поплывут по течению, то через час между катером и лодкой станет 1 км, а между пароходом и лодкой — 33 км. Если же они поплывут против течения, то через час между катером и пароходом станет 8 км, а между лодкой и катером—19 км. Сравнить скорости лодки и парохода. («Математика в школе», 1975, № 5, с. 65.)
В заключение рассмотрим задачи, которые желательно решать на занятиях математического кружка, но решение которых вызывает у пятиклассников определенные трудности. Такие задачи детально разбираются в классе на занятиях кружка, в домашние задания их следует включать в том случае, если в течение всего времени, отведенного для решения, учащиеся младших
классов могут получать необходимую помощь от своих старших товарищей или учителя.
1. Директор завода ежедневно приезжает на станцию к 8 ч утра. К этому же времени на станцию приезжает машина и отвозит директора на завод, расположенный в поселке за несколько километров от станции. Однажды директор приехал на станцию в 7 ч утра и пошел по шоссе по направлению к заводу (навстречу машине). Вскоре он встретил машину, сел в нее и приехал на завод на 12 мин раньше, чем обычно. В котором часу директор встретил машину? («Квант», 1974, № 9, с. 68.)
Решение. Директор приехал на завод на 12 мин раньше. За эти 12 мин машина проходит путь, равный двойному расстоянию от станции до места встречи с директором. Тогда на путь от станции до места встречи машине требуется 6 мин. Следовательно, директор встретил машину в 7 ч 54 мин.
2. Сумма цифр числа х равна у, а сумма цифр числа у равна г. Найти х, если x-\-y-\-z = §§.
Решение этой задачи можно найти в журнале «Математика в школе», 1974, № 4, с. 80.
А. 	А. Егоров, В. А. Сендеров (Москва)
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПОЛИНОМОВ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
В заметках [2] и [3] была доказана следующая теорема, дающая отрицательный ответ на вопрос, поставленный Полем Леви в [1] . .
Теорема. Полином деления круга fp(z)=z*}-1+ . .+2+ 1, где р — простое число, нельзя представить в виде произведения полиномов с неотрицательными вещественными коэффициентами.
В предлагаемой заметке дается новое, более короткое доказательство этой теоремы. Основную роль в нашем доказательстве будет играть следующая
Лемма. Пусть р — простое число, ги .. zp — векторы с началом в центре правильного р-угольника и концами в его вершинах. Тогда для любой собственной подсистемы А системы векторов {£/} \ ^ сумма векторов
из А отлична от нуля.
Доказательство леммы. Без ограничения общности можно считать, что центр правильного /^угольника находится в начале координат, а одна из вершин этого /7-угольника — в точке (1; 0). Тогда, надлежащим образом занумеровав векторы рассматриваемой системы, будем иметь Zi =» Zq, где z0 — первообразный корень /?-й степени из единицы. Очевидно, можно также считать, что вектор гршт1 — z%~x не принадлежит А.
Предположим, что утверждение леммы неверно:
2 zt = 0, т. е. 2 го = 0, где Т — некоторое подмно-
/ег /6 т on
жество множества индексов 1,..., р — 2, р. Последнее означает, что число z0 — корень полинома P(z) =
= 2 zi> коэффициенты которого — рациональные чис-
ла (нули и единицы), а степень не выше (р — 2)-й. Но полином fp (z) неприводим над полем рациональных
76
чисел. Так как р — простое число, то степень fP(z] равна р—1. Поэтому он взаимно прост с любым полиномом, коэффициенты которого рациональны, а степень не выше (р — 2)-й, в частности (fP(z), Я(г)) = 1.
Это означает, что для некоторых полиномов с рациональными коэффициентами К (г) и R(z) выполняется тождество
K(z)-fp(z) + R(z)-P(z) -1.
Но, положив в нем г = г0, получим 0=1. Тем самым лемма доказана.
Доказательство теоремы. Предположим, что, вопреки утверждению теоремы,
гр~1 +гр~2+ ... +г + 1 =
— (atzl + дг_1г,_1 + ... + atz + а0) (bkzk +
+ + ... + biZ + b0),
где 0, 6/>0, причем & > 1, /> 1. Очевидно, без ограничения общности можно считать, что ai = =» 1.
Приравнивая коэффициенты при zk, получаем 1 = а0 + "Ь •. а0.
Совершенно так же 1 > Ь0. Но а0Ь0 = 1, значит, а0 = «= £0 = !. Поэтому приравнивание коэффициентов при z дает: 1 = ах -f bu так что хотя бы одно из чисел а, и Ьх отлично от нуля; пусть, например, ах > 0. Но равенство 1 *» 1 + a1bk_l -Ь ... Для коэффициента при zk показывает, что axbk_x =- 0 и, значит, bkmmml^ 0. Однако это противоречит лемме. Тем самым теорема доказана.
Литература
1. Levy P. L’arithmetique des lois de probabilite. С. R., Paris, 204 : 2 (1937), 80—82.
2. Д. А. Райков. Об одном свойстве полиномов деления круга. «Математический сборник», 2(44): 2 (1937), 379—382.
3. Krasner М. et Ranulag В. Sur une propriete des po- lynomes de la division du cercle. C. R., Paris, 204:6
(1937), 397—399.


ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1906. Найти трехзначное число, если его цифры отличны от 0, а сумма всевозможных двузначных чисел, составленных из них, равна этому трехзначному числу.
И. Т. Михалкович (Минская обл., г. п. Красная Слобода)
1907. Найти четырехзначное число, все цифры которого различныt если известно, что числа 5860, 1674, 9432, 3017 содержат по две цифры, принадлежащие искомому числу, однако ни одна из них не стоит в них на том оюе месте, что в искомом числе.
С. Г. Губа (г. Вологда)
1908. Доказать, что сумма
2 + 22 + 23 + ... + 2" + 2100
делится на 3.
Т. А. Ходж Назаров (ТаджССР, с/х «Гулистан»)
1909. В треугольнике АБС точки Р, Q и R— середины сторон. Сколькими способами можно пройти щ точки А в точку В по отрезкам АВ, АС, ВС, PQ, PR и QR, не проходя дважды по одному отрезку?
1910. Что больше: З303 или 2454?
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1911. Существуют ли натуральные числа, которые ровно семью способами можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел?
С. Г. Г у б а
1912. Может ли число вида 2"*~] + 2й + 1 (&£N) делиться на 7?
С. Г. Губа
1913. В параллелограмме ABCD | АС |=| АВ | уг2. Докажите, что у20Л между диагоналями параллелограмма равен углу между его сторонами.
1914. В прямоугольный треугольник ABC (С = = 90°) вписаны два квадрата. Вычислите площадь
их пересечения, если известны катеты треугольника.
С. 	Г. Г у б а
1915. Даны четыре точки А, В, С, D плоскости, никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Через точки С и D проведите параллельные прямые cud, так, чтобы расстояние от А до d было равно расстоянию от В до с.
М. X. Приеде (г. Даугавпилс) ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1916. Известно, что произведение
(10*+ 192у) (Их + 191 у).. .(19л: + 183у),
где х, y£Z, делится на 101. Делится ли это произведение на 1011о?
Д. Ч е р е и и н с к и й (г. Черкассы)
1917. Доказать, что конечная последовательность последовательных составных чисел может быть сколь угодно длинной.
С. И. Майзус (г. Запорожье)
1918. Обязана ли сходиться последовательность (ап), если последовательность (а6п + ап + 1) сходится?
1919. Доказать, что уравнение
In jc = sin*
Г Зтс 7те 1
имеет на отрезке Т'х Р08Н0 °^ин корень.
1920. Какое из двух чисел больше:
з 2
^ arctgxdx или ^ arcigxdx"}
-2 ~з
1921. Дана окружность & и три прямые АВ, ВС, С А, пе ресекающие о> соответственно в точках Сг и С2, Ах и А2у Вг и В2• На этих прямых построены соответственно точки С0, А0у В0 такие,
что С qA ‘С qB — CqCi*CqC2i AqB* AqC — AqA\* A^Azt
T0c-1Tqa = JSi^b2.
Докажите, что точки А0, В0, С0 принадлежат одной прямой.
В. 	А. Жаров (г. Ярославль)
1922. Вычислите угол С при вершине равнобедренного треугольника ABC, если центр его описанной окружности принадлежит прямой, проходящей через проекции вершин А и В на противоположные стороны треугольника.
1923. Постройте сферу, проходящую через две данные точки и касающуюся двух данных плоскостей.
3. 	А. С к о п е ц (г. Ярославль)
1924. Тетраэдр задан плоскими углами при одной из вершин и длинами ребер, выходящих из этой вершины. Выразите через эти данные необходимое и достаточное условие того, чтобы расстояния между серединами каждой пары противоположных ребер тетраэдра были равны между собой.
С. 	Г. Г у б а
1925. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXC\D\ \AD\ : \DC\ =а : b. В каком отношении делит общий перпендикуляр прямых АА\ и В\D отрезки /4/11 и B\D?
Г. Б. К у з н е ц о в а (г. Ярославль)
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Делимость чисел
1926. Сколько решений имеет в натуральных числах уравнение
х\ = ху + X + у ?
С. 	Г. Г у б а
Группы
1927. Может ли в группе существовать ровно два элемента х, отличных от единичного элемента е и таких, что х2 = е?
77


Применение векторов
1928. Вычислите величину угла треугольника ABC, если биссектриса этого угла
1) параллельна прямой 0G, где G — центроид треугольника, О центр его описанной окружности;
2) перпендикулярна прямой OG.
Г. Ф. Т р е т ь я к о в а (г. Ярославль) Преобразования
1929. Даны четыре различные осевые симметрии Sa, Sb, Sc, Sd плоскости. Выясните взаимное расположение осей симметрий, если
Sq о Sb ° $с 0 ** Sfj о Sa ° S д °$с•
Л. И. Кузнецова (г. Горький)
1930. Докажите, что формулами
Г x'—xcos ф + r/sin ф + а,
\ y'=xsin ф — г/cos ф + b
задается перемещение второго рода. Выясните, в каком случае они задают переносную симметрию. Составьте уравнение оси этой переносной симметрии и вычислите координаты переноса. (Система координат прямоугольная.)
Т. А. Иванова (г. Горький)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1977 Г.
1806. Несколько шахматистов провели между собой матч-турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим несколько партий. Во сколько кругов прошло это соревнование, если всего было сыграно 224 партии?
Решение. Пусть х — число участников соревнования, у — число кругов. В одном круге каждый шахматист играет (х— 1) партий, а всеми участниками сыгра- х(х — 1)
но 2 партий. Поэтому общее число сыгранных в
х (х—1) у
соревновании партий равно ^ » и следователь¬
но, х(х—1) г/ = 448. Выписав делители числа 448, замечаем, что только два из них отличаются друг от друга на 1, а тогда из полученного равенства легко находим х — 8, у —8. Таким образом, матч-турнир проходил в 8 кругов.
1807. Сто туристов из ста городов путешествуют по этим городам. Каждые два из них знакомятся во время пребывания в городе, чужом для обоих. Какое наименьшее число городов надо посетить каждому, чтобы все они перезнакомились между собой?
Решение. В условии задачи не сказано, ездили ли эти туристы одной группой или же каждый турист мог выбрать произвольный маршрут. В первом варианте условия для полного знакомства, очевидно, достаточно посещения трех городов: в первом городе друг с другом познакомятся все туристы из других городов, а во втором и в третьем с ними познакомится и турист из первого города. Ясно, что посещения двух городов для полного знакомства не хватит (туристы из этих городов друг с другом не познакомятся).
Во втором варианте условия достаточно, чтобы каждый турист посетил два города. В самом деле, в первом городе познакомятся между собой все туристы из
других городов; затем все отправятся во второй город, кроме его жителя, который отправится в третий город, куда приедет и житель первого города после знакомства с туристами, посетившими второй город; там и произойдет их знакомство.
1808. Вершины многоугольника пронумерованы по порядку, и число диагоналей, соединяющих вершины различной четности, в 2 раза больше числа диагоналей, соединяющих четные вершины. Сколько сторон у этого многоугольника?
Решение. Пусть m — число сторон многоугольника, и будем считать сначала, что т = 2п— четное число. Каждая из п нечетных вершин соединена диагональю со всеми четными вершинами, кроме двух соседних с ней, т. е. с п — 2 вершинами. Следовательно, число диагоналей, соединяющих четные вершины, равно п(п — 2). Каждая четная вершина соединена со всеми остальными четными вершинами, и поэтому число диа-
п(п — 1)
гоналеи, соединяющих четные вершины, равно ^ .
Из условия имеем теперь равенство п(п—2) —п(п-—\), которое не выполняется ни при каком /г £ N. Поэтому число сторон данного многоугольника не может быть четным.
Пусть m = 2/1+1. Тогда каждая четная вершина соединена диагоналями со всеми нечетными вершинами, кроме соседних с ней, так что число диагоналей, соединяющих вершины различной четности, равно п(п—1). Число диагоналей, соединяющих четные вершины, рав- п(п — 1)
но 2 » и по условию мы имеем равенство
п(п—1 )=п(п—1), выполняющееся при любом п.
Итак, условию задачи удовлетворяет любой многоугольник с нечетным числом сторон.
1809. Доказать, что число, оканчивающееся двумя одинаковыми цифрами, отличными от 0 и 4, не может быть квадратом натурального числа.
Решение. Известно, что квадрат натурального числа может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6, 9. Принимая во внимание условие задачи, остается доказать, что он не может оканчиваться на 11, 55, 66 и 99.
Если бы число тп2 оканчивалось на 55, то число т делилось бы на 5, а тогда т2 оканчивалось бы, как известно, на 25. Если бы число т2 оканчивалось на 66, то т было бы четным, а тогда т2 делилось бы на 4, но это неверно, так как 66 не делится на 4. Наконец, если бы т2 оканчивалось на 11 или 99, то т было бы нечетным, т. е. m = 2/1+1, а тогда m2 = 4/i2+4/1+1 давало бы при делении на 4 остаток 1, но это также неверно, поскольку 11 и 99 дают при делении на 4 остаток 3. Этим и заканчивается доказательство.
1810. Найти два числа, в записи которых каждая из цифр 1, 2, ..9 входит один раз и сумма которых обладает тем же свойством.
Решение. Приведем пример:
, 123495 678 + 612 395 748 735 891 426
1811. Доказать, что для любых натуральных чисел а и b
д + 6 < НОД (а9Ь) + НО К (а, Ь).
При каких а и Ъ достигается равенство?
Решение. Пусть q — наибольший общий делитель чисел а и b, a m — их наименьшее общее кратное. Тогда ab = qm, и доказываемое равенство может быть переписано в следующем виде:
78


ab
Ч +
или
q2 — + +
(q — a)(q — b)> 0.
Поскольку q^.a и q^b7 то полученное неравенство всегда выполняется; равенство достигается в случае, когда q = а или q = b, т. е. когда одно из чисел а и b делится на другое.
1812. 	Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая MN — их общая касательная (М и N— точки касания). Найти сумму величин углов MAN и MBN. Рассмотреть частный случай, когда окружности касаются, а также обобщение, когда окружности пересекаются и (MN) — их общая секущая.
Решение, а) Пусть окружности (Оь п) и (02, г2) пересекаются в точках Л и В, а прямая MN — их общая касательная (рис. 1,а). Имеем:
/\ /\ /\ /\
AMN = ABM, AN М = ABN.
i^Ak + j(mw ‘
■■ 2MAN
180°.
Отсюда
Но
Хмк + Anm - Авм + Авк.
AMN -f- АNM = 180' Поэтому
■ — Juan = и
^BJii + A^N = /бвй.
180°
l(ibf + MBN = 180°
б) Если окружности (Оt9 г,) и (02, г2) касаются в точке А, то их общая касательная в этой точке пересекает (MN) в точке Q так, что | QM | = | QN | = | фЛ | (рис. 1 уб). Отсюда следует, что треугольник MAN прямоугольный. Но В = Л, поэтому
= £Ш, BAQ = (iMQ,
в) 	Можно предложить различные обобщения. Рассмотрим одно из них. Если (MN) пересекает окружности (О,, гх) и (02> г2) вторично в точках Р и Q, то
MBN + /а& = 180° (рис. 1,в). Действительно, РАВ =
/\
следовательно, MBN +
/\ /\/\ /\ /\ /\
+ PAQ = MBN + РАВ + BAQ = MBN + PNB +
+ tiMQ = 180°.
1813. Дан параллелограмм A BCD. Назвать виды всех перемещений плоскости, при которых отрезок АВ отображается на отрезок CD.
Решение. Всего искомых перемещений 4: два из них первого рода и два — второго. Они таковы: параллельный перенос AD\ ^центральная симметрия Zo, где О — (AC)[)(BD)\ перенЪсная симметрия, ось которой проходит через точку О параллельно (АВ), и переносная симметрия, ось которой проходит через точку О перпендикулярно (АВ).
1814. На плоскости даны две перпендикулярные прямые а и Ъ. Найти множество всех точек плоскости, через каждую из которых можно провести две прямые р и q так, чтобы обе тройки прямых а, Ь, р и a, b, q содержали соответственно стороны равнобедренного треугольника.
Решение. Поскольку в каждом из указанных равнобедренных треугольников две стороны перпендикулярны, то искомые треугольники должны быть равнобедренными и прямоугольными, причем их гипотенузы лежат на прямых р и q. Следовательно, прямые р и q образуют с прямыми а и b углы в 45°. Искомое множество точек — все точки плоскости, за исключением точек прямых ро и qo, являющихся осями симметрии для а и Ъ.
1815. Точки А, В и прямая пг лежат в одной плоскости. Доказать, что равенство композиций ZA°SmoZA и ZB о Sm о ZB есть условие необходимое и достаточное для параллельности прямых АВ и т.
Решение. Достаточность. Пусть z A°Sm°Z А — = ZBoSm°Zв. «Умножим» обе части этого равенства слева на ZA, справа на ZB:
Zji<>ZAoSm0ZAoZB — ZAoZBoSm°ZBoZB. (1)
Так как ZAoZA = Е, ZBoZB=E, ZAoZB — 2ВА, то равенство (1) эквивалентно равенству
—
Smo2BA
—"■V
2BAoSn
Но, как легко доказать, композиция переноса и осе" вой симметрии перестановочна тогда и только тогда, когда (АВ) й т.
Необходимость. Пусть (АВ) 6 т. Тогда справед- —>■ —> —> —>- ливо равенство Smom = moSm, где т «= 2ВА, или Sm°ZAoZB=>ZAoZBoSm- «Умножив» обе части этого равенства слева на ZA, а справа на ZB, получим:
ZA°Sm°ZA = Z BoSm°Z 1816. Решить уравнение
TZX
■■ 4 sin ~
79


Р е ш е н и е. Решив неравенство | вх — 5 | < 4, замечаем что данное уравнение не имеет решений вне 1 3 1 [ 1 51 А
-g-; -у . На отрезке l-g-; -g-l функ-
6х — 5|, или л: -> — 6х + 5, убывает, а функ-
отрезка ция х -
tzX
ция x~>4sin -g- возрастает, так что уравнение имеет
на этом отрезке не более одного корня; подбором находим, что число 1/2 является его единственным корнем на этом отрезке.
На отрезке £-g-; -|-| уравнение имеет корень 3/2.
Для доказательства отсутствия других корней на этом
TtX
отрезке рассмотрим разность 6*—5 — 4 sin-у. Функция X -> 6х —
-4 sin-о- имеет производную
tzX
т
4тс пХ
1Г cos "зГ'
положительную при любом х, и поэтому на отрезке
. -~j она возрастает. Следовательно, 3/2 —
единственная точка, где она обращается в 0.
Таким образом, данное уравнение имеет два корня: 1/2 и 3/2.
1817. Доказать, что 2881 делится на (16!)18 и на (18!)1в.
Решение. Имеем последовательно:
288!=(1 •... • 16)(17 -... .32><33.... -48).. .(273-... -288)= - 161- АЦ- А\1... -АЦв - (16!)18-C^ Cf8....-С&.
Аналогично доказывается и второе утверждение.
1818. Доказать, что число делителей числа
1234... 91011... 13313413-5 не равно 357.
Решение. Если натуральное число а имеет раз-
и
ложение на множители р\' р*'
рпп, где ру, рг,...
р простые числа, то число его делителей равно
\k\ + 1) (*г + 1). • Akn + О- Поэтому число, имеющее
нечетное число делителей, всегда является квадратом натурального числа. Однако данное число не является квадратом натурального числа, поскольку оканчивается на 35, и следовательно, оно не может иметь 357 делителей.
1819. Доказать, что график функции
х ->ах3 + bx2 + сх + d, x£R (афО)
имеет центр симметрии.
Решение. Нетрудно подобрать такие числа аир, чтобы выполнялось тождество
ахг + Ьх2 + сх + d = а (х + + а (х •+ ^г)+ Р-
Отсюда видно, что график данной функции получается из графика функции х—>ах*+ах параллельным переносом
последняя функция нечетна, и
следовательно, ее график имеет центр симметрии, а тог- да и исходный график, конгруэнтный ему, имеет центр симметрии.
1820. Вычислить
4
С dx
\ х* — 6х2 + 7х -+ 2 '
Решение. Функция, стоящая под знаком интеграла, не определена в точке х = 2, и поэтому указанный в условии интеграл с точки зрения школьной программы не имеет смысла. Если же понимать этот интеграл как несобственный, то нетрудно показать, что он расходится.
1821. Доказать единственность пары параллельных плоскостей, которые можно провести через две данные скрещивающиеся прямые.
Решение. Прежде всего заметим, что через прямую, параллельную некоторой плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную этой плоскости. Доказательство можно провести, опираясь на свойство транзитивности параллельности плоскостей.
Пусть а и b — скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку М проведем прямые а\ и Ьь параллельные соответственно прямым а и Ь, и плоскость у = = (аи b\). Согласно сделанному выше замечанию через прямую а проходит единственная плоскость а, а через прямую b — единственная плоскость Р, такие, что а\\у, р||Y- Следовательно, а||р.
Всякая другая плоскость аь проходящая через прямую а, пересекает у по прямой аг. пересекающей прямую Ь\. Плоскость си поэтому пересекает и прямую Ь, а значит, и любую плоскость, проходящую через прямую Ь. Итак, любая плоскость а\фа пересекает каждую плоскость, проходящую через Ъ, поэтому аир — единственная пара параллельных плоскостей, проходящих через а и Ъ.
1822. Дана треугольная усеченная пирамида ABCAiBtCx. Доказать, что плоскости АВСХ, ВС Ах и САВ\ пересекаются в точке М, а плоскости
AiBxC. ВХСХА и СХАХВ— в точке N, причем пря¬
мая MN проходит через центроиды оснований пирамиды.
Решение. Пусть G и Gt—центроиды треугольников ABC и AlBlCi соответственно, [AD\t [££], [С/7], [AXDj], [ВХЕХ], [Ci/ч]-— их медианы (рис. 2).
L —^ —у
Композиция гомотетий HG 2 оHks, где k —
_ k_
(k > 0), есть гомотетия Нм 2 с центром М на пря-
k_ i_
мой GS. При Им 2 «= HG 2 oHks имеем: At->D,
Bt Е, Ct ->F. Следовательно, (^,D)n(B1£)n(Ci/7)** «= М. Но поскольку (AXD) с (ВСАХ), (ВгЕ) с (АСВХ)%
80


(CtF) с (ABCX), то M принадлежит пересечению этих плоскостей.
i_ _1
2,
Аналогично, рассматривая композицию HG
i_
= HN2k, получаем, что N — точка пересечения плоскостей AtBtC, ВгСхА, СгАхВ принадлежит прямой SGt.
Но точки S, G и Gt принадлежат одной прямой, так как H^(GX) = G. Поэтому той же прямой принадлежат точки М и N.
1823. Прямая, содержащая медиану, проведенную через вершину С треугольника ABC, пересекает описанную около него окружность вторично в точке D. Доказать, пользуясь скалярным произведением векторов, что соотношение 2с2 = а2+Ь2 между сторонами треугольника является необходимым и достаточным для того, чтобы центроид треугольника был серединой хорды CD.
Решение. Для любой точки О плоскости и центроида М треугольника ABC выполняется равенство
ОМ = -т£-(ОА -f ОВ+ ОС). Выберем в качестве точки О центр данной окружности (рис. 3). Тогда, для того чтобы точка М была серединой хорды CD, необ-
Решение. Пусть даны три попарно скрещивающиеся прямые а, Ь, с. Через произвольную точку М пространства строим соответственно параллельные им прямые яь Ьи С\.
Если прямые аи Ь\, с^ не лежат в одной плоскости, то построим на них точки Аи Ви Си такие, что |AL4i| = = IMBj| = |MCi|. Тогда плоскости а=(Аи Ви Ci) и (3, где р || а, М £ р, будут искомыми, поскольку отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, конгруэнтны. В этом случае задача имеет бесконечное множество решений.
Если прямые аи Ьи С\ лежат в одной плоскости |х, то искомая плоскость а должна пересечь плоскость fi по прямой т. В свою очередь, прямая т должна пересечь прямые Яь Ьи С\ соответственно в точках Аи В\> Си таких, что |AL4i | = \МВХ | = \МС\ |. Но множество точек плоскости, удаленных от точки М на одно и то же расстояние, есть окружность. Следовательно, в этом случае задача решения не имеет.
Итак, если существует плоскость, которой параллельны все три данные скрещивающиеся прямые, то задача решения не имеет; если такой плоскости не существует, то задача имеет бесчисленное множество решений.
1825. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и конгруэнтны. На его сторонах
• "■ > ——>•
даны точки Р, Q, R, 5, такие, что АР:РВ =
——>■ ——>• —>■ —-у ——
= £Q:QC = CR:RD =DS:SA. Доказать перпендикулярность и конгруэнтность отрезков PR и QS. (Решить задачу тремя способами: применением векторов, координат и преобразований.)
Решение 1 (с применением векторов). Пусть
(AC)C\(BD) = О и АР:РВ*= BQ:QC* = CR: RD=*
DS'.SA = X (рис. 4). Тогда имеем: OR
1 —* ОС +
Рис. 3
ходимо и достаточно, чтобы вектор ОМ был перпендикулярен вектору СМ9 т. е.
ОМ •СМ — О, или
(04 + 0В+ ОС)-(ОА + 0В*—20С) = О, так как
СМ = ОМ— ОС*- 4" (°Л + О В—ЮС).
Поскольку О А2 = ОВ2 === ОС2 — R2, то справедливо
—->>• ——>■ —> ► —^
равенство 20 А • ОВ—О А * ОС — ОВ • ОС =» 0, или
А А А
2 cos 2С— cos 2В — cos 2 А =* 0, откуда следует, что
2 sin2 С — sin2 А + sin2/?.
Применяя теорему синусов, получаем окончательно
2с2 ~а2 + Ь2.
1824. Провести две различные параллельные плоскости, высекающие на трех данных попарно скрещивающихся прямых конгруэнтные отрезки.
ОР
0Q
OS = Следовательно,
1 +Х 1
* 7Г*
0D,
О А +
1 + Х X
1 + *. 1
1 + х
0£> +
1 4“ X X
1 4* X X
1 +х
0В%
О А.
PR = OR — OP = yqrr(°c ~°A) +
+ TTT iOD-OBi - yyy AC + BD,
Рис. 4
Рис. 5
В
р/
s?r
л
6 \
*/
81


QS = OS—OQ =
1 + x AC + 1 + A
Применяя скалярное произведение векторов и учиты-
1 BD.
пая, что согласно условию АС • BD = 0, получим:
задачи АС2 = /Ш2,
—у —>- 1 -f X2 -
PR2 - QS2 = лс2,
Значит, | PR |
X
BD2
AC2 = 0.
(1 + X)*~~ (l+X)*
= IQS I и (ЯЛ) JL (QS).
Решение 2 (с применением координат). Рассмотрим прямоугольную систему координат: (АС) — ось
абсцисс, (BD) — ось ординат (рис. 5). Пусть А (а; 0), В (0; Ь), С (с\ 0), D (0; d). Тогда
f \а b \ /1с
Р\Т+Т' ттг> Rv
hb
d
<?(■
i + х ЯЛ-(т
)•
1 +Л
ы
(с — а);
+ А 1
1 +х)’
Xrf N ; 1
(а — с);
’ 1 + Х
(d-b)),
id-Ь)).
Так как \AC\ = \BD\, то | а — с \ тывая это, можно проверить, что
PR I
I b — d\. Учи-
I QS I и
PR- QS = 0.
Решение 3 (с применением преобразований). Проведем через точки Р и S (рис. 4) прямые, параллельные (AC): (PQ,) В (AC), (SRt) В (АС). Тогда
jQt:Qjc = ВР:РА = DR.RC, DRt:R^ =
——У >- ^ —I—>
= = BQ.QC ,
откуда следует, что (О,/?) II (£Z)), (/?jQ) || (£Ш). Следовательно, SRtQ и PQXR— конгруэнтные и одинаково ориентированные прямоугольные треугольники и поэтому | PR | = | QS |. Но в таком случае существует перемещение первого рода g, при котором треугольник SRiQ отображается на треугольник RQtP:
g (S) = R, gm-Qu g(Q)-P.
Поскольку угол между отрезком RXQ и его образом [QiP] при этом перемещении равен 90°, то g — поворот на 90°. Отсюда следует, что угол между отрезком SQ и его образом — отрезком RP равен 90°.
1826. Доказать, что Xt + х2 4~ >»'4-^я
если lim хп =0, то а
lim 1-±-1— —:—" = 0.
п —>°о
Решение. Пусть г > 0, N -
д > N выполняется
«= max {1^1, | Jtr21,
4- -r2 + ... 4- хп
~ п
неравенство > • • » I Хдг j }. и возьмем М
•такое число, что при
в
\хп I ^ 2 9 а ssa Положим Sn = 2aN
Пусть теперь п > max (N, М), тогда
1с I I + - • - 4- ^туч-1 4- .•> 4- хп
I I ~ п + п
^ 1 -*i I + ■ - * ~Н XN 1 , I *N + 1 1 4" « ■ ■ 4“ 1 Хп I ^ п + п ^
Na е
< ~7Г + "9"
N — п е е
< ~2~ + !Г = |
п ' 2 п
Отсюда и вытекает требуемое утверждение. 1827. Пусть я0 £ R и
1п-1
Доказать, что lim
п —> со \ а
(п€ N). 1
= 3 •
^« + 1 ап Решение. Положим Ъп = а2п\ тогда а и (л Ьп-х V
п bn—j ^1 — g у .
Если последовательность (Ьп) имеет предел Ь, то b = / ^ \2
= 1—-0-) , откуда ^ = 0 или 6 = 12.
Ьо
Пусть < 12; тогда — 1 < 1 — -g- < 1 и
bfJ<b,<\2,
Ьг — (l — g ) ^bt<^ 12,
и по индукции нетрудно показать, что
^л+i <Ьп< 12.
По теореме Вейерштрасса получаем теперь, что (Ьп) сходится, и ее предел, конечно, равен 0, а не 12.
Если Ь0 = 12, то Ьх = Ь0= 12, и вообще Ьп = 12, так что и lim bn = 12.
П—>оо
Наконец, если Ь0 > 12, то (Ьп) возрастает и не является ограниченной — в противном случае се предел был бы равен 0 или 12, что неверно. Поэтому lim bn= -f-oo.
П—> оо
Поскольку
1
1
Ьп + 1
12-Ьп
(6-W21
то
-у, если Ь0 < 12,
limc„=1 0, если 60 = 12,
0, если Ь0 > 12.
Таким образом, утверждение задачи справедливо
при | л01 < 2 >/~3.
1828. Пусть х0 £ R, хфО,
/о (х) = sin х% fn (х) == sin (х). Доказать, что
lim |/F|/„(*)! - /з.
П-> оо
Решение. Ясно, что последовательность (/„ (л*))
82


убывающая, и обычным способом убеждаемся, что ее предел равен 0.
х3
Воспользуемся тем, что sin л: = х — -g- + о (х*)9 и рассмотрим последовательность с ап = fn(x):
а\
ЛЛ + 1 — ап б 4“ 0 (ая)*
Тогда Пш ап = 0 и
Я-Юо
"П ап ( 2
1-~!Г +°\ап)
^f1 +~Г +°(а«)) Х + 0{ап)’
откуда следует, что 1
‘2
ап+1
т. е.
= ТГ' + з
В силу задачи 1826
1 1
Л2
+
9
ал-2
(.т-i) ,
-—-—
т. е. Пт
откуда lim j/п | ап \ = ^3 ,
Л—>оо
что и требовалось доказать.
1829. 	В пространстве даны пять точек А, В, С, D, Е, из которых никакие три не принадлежат одной прямой. Каждой из прямых АВ, ВС, CD, DE, ЕА поставим в соответствие плоскость, проходящую через три остальные точки. Назвать наименьшее число указанных прямых, параллельность которых соответствующим плоскостям обеспечивает принадлежность всех точек одной плоскости.
Решение. Пусть данные точки А, В, С, D, Е не принадлежат одной плоскости. Среди них выделим четыре точки А, В, С, D, которые также не принадлежат одной плоскости. Примем А за начало координат, а —> —>- —>-
А В, ACf AD за базисные векторы. Пусть в этой системе точка Е имеет аффинные координаты а, (3, у.
Запишем уравнения пяти плоскостей и координаты соответствующих им пяти векторов.
(ABC): г-0, DE — (а, р, т—1);
(BCD): x+y + z*=l, АЕ — (а, Р, 7);
((CDE): — f~T* + y + g-it AS-(1,0,0);
(£>£Л): рл; — ау-0, £С=(1, —1,0);
(ЕАВ): 7у —ргг-0, CD=(0, 1, —1).
Условие параллельности плоскости и вектора дают пять уравнений, связывающих а, |3, у:
Y — 1=0, a+p+Y = 0> 1 — Y — Р=0, Р+а=0, у+Р = 0. Нетрудно проверить, что среди зтих уравнений можно выделить три (но не более) уравнения, составляющие систему, имеющую единственное решение, но это решение не удовлетворяет оставшимся двум уравнениям. Такова, например, система
Р + 7 = 0.
7-1 = 0, а + р + 7 = 0.
Итак, в рассматриваемом случае возможны только три параллельности.
Если имеют место четыре параллельности, то предыдущие рассуждения теряют силу, т. е. нельзя выделить из данных пяти точек четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
Таким образом, минимальное число параллельностей, влекущих за собой принадлежность всех точек одной плоскости, равно четырем.
1830. 	На плоскости даны четыре точки А, В, С, D. Рассматривается композиция четырех переносных сим-
—>.
метрий: с осью (АВ) и вектором АВ, с осью (ВС) и вектором ВС, с осью (CD) и вектором CD, с осью (DA)
и вектором DA. При каком расположении данных точек эта композиция есть тождественное преобразование?
Решение. Обозначим данные переносные симметрии соответственно (АВ) ^ , (ВС) ^ , (CD)_* ,
АВ ВС CD
, и пусть их композиция есть тождественное
ФА)^
DA
преобразование.
1. 	Пусть точки А, В и С не принадлежат одной прямой. Тогда, как нетрудно доказать, композиция
(ВС) о(АВ)^ (I)
вс АВ
есть поворот вокруг центра О окружности, описанной
около треугольника ABC, на угол 2 (АВ, ВС).
В самом деле, первая переносная симметрия отображает прямую О А на прямую О В, а вторая — прямую ОВ на прямую ОС. Следовательно, композиция этих двух переносных симметрий отображает (ОА) на (ОС), точку А — на точку С. Кроме того, эта композиция отображает луч АО на луч СО. Поскольку | АО | *=* | СО j, заключаем, что О — неподвижная точка преобразования (1). Отсюда следует, что О — центр
83


поворота, причем АОС = 2(АВ, ВС) = 2а (рис. 6). (Другое доказательство см. в журнале «Математика в школе», 1976, № 3, с. 55.)
Композиция
(DA) ^ о (CD) _> (2)
DA CD
не может быть переносом, так как композиция поворота (1) и переноса (2) не может быть тождественным преобразованием. Поэтому преобразование (2) есть поворот вокруг центра Оi на угол 2(5.
Но композиция поворотов (1) и (2) по условию задачи должна быть тождественным преобразованием, поэтому 0\ = О, так как композиция двух поворотов с различными центрами отлична от тождественного преобразования.
Итак, точки А, В, С, D принадлежат окружности с центром О (необходимое условие). Но композиция поворотов (1) и (2) отображает точку А на ебя, а сумма углов поворота равна 360°. Поэтому рассматриваемая композиция действительно есть тождественное преобразование, т. е. принадлежность точек А, В, С, D одной окружности является и достаточным условием.
2. 	Если точки Л, В и С принадлежат одной прямой, то и точки С, D и А также принадлежат одной прямой. Отсюда непосредственно следует, что точки А, В, С и D принадлежат одной прямой.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 2 ЖУРНАЛА ЗА 1977 Г.
Аляев А. В. (Пензенская обл.)—- 1807—1813, 1815, 1817—1821, 1823—1825. Антонов П. К. (Ульяновская обл.)— 1806—1815, 1817—1819, 1821, 1824, 1826, 1828. Баламетов И. Г. (АзССР, г. Кусары)— 1806, 1808—1820, 1825, 1826. Бовсуновский Н. И. (Житомирская обл.) — 1806, 1807, 1810, 1812, 1813. Ветров К В. (г. Братск) — 1806, 1807, 1809—1815, 1817, 1819, 1821. Владимиров А. С. (Свердловская обл., г. Асбест)— 1807—1815, 1817, 1818, 1820, 1821, 1825. Войнов И. И. (Орловская обл., г. Волхов) — 1806, 1807, 1809, 1811 — 1815, 1817, 1819—1826. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) — 1806, 1809—1819, 1822, 1827, 1829, 1830 Грачикова К. С.
(Московская обл., г. Ожерелье) — 1806, 1807, 1810, 1811,
1813. 	Драганский К. И. (Одесская обл.)— 1806, 1810— 1813, 1815, 1817, 1821, 1825 Екшембсев Г. М (Татарская АССР) — 1806—1815, 1817—1819, 1821 — 1824. Еме- люшин Н. И. (г. Барнаул)—1806—1814, 1817— 1й19.
Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 1307, 1809, 1810,
1812—1814, 1817, 1821, 1822, 1824 Кулиев Д. М.
(АзССР)— 1806, 1809, 1811, 1816, 1817, 1821, 1826. Курганов Т. К. (УзССР, г. Чирчик)— 1806, 1817, 1819, 1821, 1825—1827. Макаров М. Ф. (Орловская обл.)— 1806— 1815, 1817—1819, 1821—1823, 1827. Невзоров А. Л. (г. Кременчуг)— 1807—1812, 1817—1819, 1821. Пове-
лий В. И. (Ровенская обл.)—1811, 1815, 1817, 1819, 1825, 1827, 1828. Попов А. Н. (г. Уфа)— 1806, 1807, 1809, 1810, 1812—1815, 1817, 1821, 1829. Сиддиков Б. (Ферганская обл.)— 1808, 1810, 1811, 1813, 1816, 1818, 1826. Ткачев В. Ф. (Воронежская обл.)— 1806, 1807, 1809— 1815, 1817—1819, 1821, 1822, 1824—1829 Черепнин М. С. (г. Караганда) — 1806, 1809, 1810, 1812—1816, 1820—
1827, 1829. Черкасов С. Н. (Тамбовская обл.)— 1806, 1809, 1812, 1817, 1823.
Математические кружки: 46-й шк. г. Мурманска (рук. В Е. Андреев) —1806—1811, 1817, 1818; 10-й шк. г. Ангарска (рук. В. А. Васильева)— 1806—1818, 1821, 1825— 1827, 1829; Зарнавинской ср. шк. Исмаилинского р-на АзССР (рук. Ф. Г. Кадиров)— 1807, 1810, 1811, 1813, 1815, 1817; 173-й шк. г Киева (рук. Р. П. Ушаков) — 1806—1815, 1817—1819, 1821—1827; 37-й шк. Иштыхан- ского р-на Самаркандской обл. (рук. Р. Шамиев) — 1806, 1809—1811, 1817, 1819, 1823.
Математический календарь на 1977/78 учебный год
Январь
5 января — 150 лет со дня рождения немецкого математика Готт- фрида Фридлей на (1828—1875). Известен ряд его работ, в которых он исследовал некоторые отдельные вопросы по истории математики, в частности вопрос о цифрах у древних народов, труды древних ученых Боэция, Прокла и др.
8 января — 90 лет со дня рождения немецкого математика, иностранного члена АН СССР Рихарда Куранта (1888—1972) (см.: «Математика в школе», 1967, № 6).
13 января — 60 лет со дня рождения советского математика Александра Львовича Б р у д н о. Он родился в г. Подольске Московской области, окончил Московский университет (1941), доктор физико-матема- тических наук (1953), профессор (1969). Работает в Институте электронных машин АН СССР. Его основные труды относятся к теории функций, вычислительной математике и программированию (см.: «История
отечественной математики», т. 4).
17 января — 60 лет со дня рождения советского математика, академика АН Белорусской ССР Евгения
Алексеевича Барбашина (1918— 1969). Он родился в с. Уинске Пермской обл., окончил Уральский (г. Свердловск) университет (1940), доктор физико-математических наук (1951), профессор (1951). В 1941— 1946 гг. работал последовательно в Уральском университете, Политехническом институте, Уральском филиале АН СССР, с 1966 г. работал в институте математики АН БССР. Основные труды Е. А. Барбашина относятся к качественной теории дифференциальных уравнений и их приложениям, вариационному исчислению, топологии и теории автоматического управ¬
84


ления. Известна его книга «Введение в теорию устойчивости» (М., 1967), посвященная теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. В 1972 г. за цикл работ по проблемам устойчивости систем автоматического регулирования был удостоен Государственной премии (посмертно). Награжден орденом Трудового Красного Знамени (см.: «Журнал дифференциальных уравнений», 1967, 3, № 12, 1969, 5, № 9; «Украинский математический журнал», 1969, 21, № 5; «Наука сегодня». М., 1974).
19 января — 70 лет со дня рождения советского математика, лауреата Государственной премии Александра Геннадиевича Куроша (1908—1971) (см,: «Математика в школе», 1971, № 6).
Февраль
2 февраля — 75 лет со дня рождения известного современного математика, по происхождению голландца, Бартела Лендерта ван-дер- Вардена (см.: «Математика в школе», 1972, № 6; БСЭ, изд. 2-е и 3-е).
3 февраля — 80 лет со дня рождения советского математика Павла Самуиловича Урысона (1898— 1924). Он родился в Одессе, окончил Московский университет (1919) и сразу же стал доцентом, а в 1923 г. получил профессуру во 2-м Московском университете (ныне Московский государственный педагогический институт) и работал также в институте математики и механики 1-го Московского университета. Основные труды П. С. Урысона относятся к топологии и функциональному анализу. Он внес огромный вклад в топологию и оказал большое влияние на ее дальнейшее развитие. Им создано в топологии новое направление— теория размерности, доказано несколько важных теорем о топологических пространствах, ставших в настоящее время классическими. В 1921/22 учебном году им был прочитан в Московском университете первый в нашей стране курс тополо¬
гии. П. С. Урысон сыграл важную роль в создании отдельных ветвей функционального анализа. Ему принадлежат также важные исследования в математическом анализе, в теории интегральных уравнений, теории функций комплексного переменного, геометрии (теория выпуклых тел) и др. В общей сложности им опубликовано 40 математических работ и среди них двухтомник «Труды по топологии и другим областям математики» (М.—Л., 1951). Некоторые работы П. С. Урысона были написаны совместно с академиком П. С. Александровым — одним из основателей советской топологической школы.
Во время второй поездки за границу П. С. Урысон погиб, купаясь в бурную погоду в Атлантическом океане у берегов Бретани (Франция). Похоронен там же в местечке Ба (департамент Нижняя Луара) (см.: «Математика 8 школе»,
1964, № 4; БСЭ, изд. 2-е; «Математическое просвещение», вып. 4. М., 1935; «Успехи математических наук», 1950, 5, № 1; 1957, 22, № 4; «Исто- рико-математические исследования», вып. XI. М., 1958; «Квант», 1974, № 8; Лина Нейман. Радость открытия. М., Детгиз, 1972).
6 февраля — 80 лет со дня рождения советского математика и механика Якова Лазаревича Г е р о н и- м у с а (см.: «Математика в школе», 1967, № 6; «Вопросы истории естествознания и техники», вып. 2(43). М., 1973).
12 февраля—125 лет со дня рождения русского математика Ивана Петровича Долбни (1853—1912). В 1875 г., он окончил Петербургский горный институт и свыше 20 лет преподавал математику в средних военных учебных заведениях Оренбурга и Нижнего Новгорода. С 1896 г.— профессор Петербургского горного института. В последние годы жизни был директором этого института. Основные математические работы И. П. Долбни относятся, главным образом, к теории эллиптических функций и теории абелевых интегралов, а также частично к алгебре. И. П. Долбня был выдающимся педагогом, среди его учеников следует отметить
академика Н. М. Крылова (см.: «История отечественной математики», т. 2; А. П. Ю ш к е в и ч. История математики в России. М., 1968).
23 февраля —100 лет со дня рождения немецкого математика Макса Д е н а (1878—1952) (см.: «Математика в школе», 1967, № 6).
23 февраля — 70 лет со дня рождения советского математика и механика, лауреата Государственной премии Феликса Рувимовича Гант- м а х е р а (1908—1964) (см.: «Математика в школе», 1967, № 6).
23 февраля — 70 лет со дня рождения советского математика и механика Николая Николаевича Н а- з аров а (1908—1947). Он родился в Ашхабаде, среднее образование получил дома под руководством отца— преподавателя физики и математики и матери — преподавателя русского языка и литературы. В 12 лет он сдает проф. В. И. Романовскому экзамен по математике за среднюю школу. По его ходатайству способного мальчика зачисляют студентом математического отделения Туркестанского народного университета (ныне Среднеазиатский государственный университет). После окончания университета в 1924 г. учился в аспирантуре Математического института АН СССР в Ленинграде; доктор физико-математических наук
(1938). В 1929—1947 гг. работал в Среднеазиатском университете, а с 1943 г. до конца жизни был директором Института математики и механики АН УзССР. Научные работы Н. Н. Назарова относятся к функциональному анализу, интегро-диффе- ренциальным уравнениям, приближенным и численным методам, механике и многим другим областям математики. Н. Н. Назаров увлекался спортом, принимал участие во многих экспедициях на Памир. В 1947 г. на Памире заболел воспалением легких и умер в Мургабе-Памирском. Был удостоен звания заслуженного деятеля науки УзССР (см.: «Успехи математических наук», 1957, 12, N9 4; «История отечественной математики», т. 3—4).
А. 	И. Бородин (г. Донецк)


Поздравляем юбиляра
ИВАН ФЕДОРОВИЧ ТЕСЛЕНКО (К 70-летию со дня рождения)
В январе 1978 г. исполняется 70 лет со дня рождения ученого, педагога- математика, доктора педагогических наук, профессора Ивана Федоровича Тесленко.
Детство Ивана Федоровича протекало в селе Домоткань Днепропетровской области, где была одна церковно-приходская школа, которую он и окончил в 1918 г. Учительница Е. Т. Горшкова организовала для любознательных ребят группу по изучению математики, физики, биологии, истории и языка. После трех лет обучения в этой группе Иван Федорович сдал экстерном экзаллен за семилетнюю школу. В 1927 г. он окончил Днепродзержинский педагогический техникум и был направлен на работу учителем Бородаев- ской сельской начальной школы. В 1928 г. по призыву ЦК комсомола Украины И. Ф. Тесленко выезжает в Донбасс работать учителем математики, физики и обществоведения в десятилетке Брянского рудника
Луганского округа. Будучи председателем МК работников просвещения и председателем штаба по ликвидации неграмотности, он проводит большую общественно-воспитательную работу среди населения рудника.
В 1934 г. Иван Федорович поступил на физико-математический факультет Харьковского государственного университета, который окончил в 1939 г. Получив диплом с отличием, он был направлен преподавателем математики в Харьковский педагогический институт.
С 1941 по 1945 г. И. Ф. Тесленко работает начальником цеха на Актюбинском заводе ферросплавов (КазССР) и преподавателем математики строительного техникума. В 1945 г. по вызову МП УССР он становится старшим преподавателем, а затем заведующим кафедрой математики Львовского педагогического института.
Большое влияние на формирование научно-педагогических интересов Ивана Федоровича оказали профессора Д. М. Синцов, А. К. Сушке- вич, А. С. Смогоржевский, А. М. Аст- ряб, Л. Я. Гиршвальд. В 1950 г. им была защищена кандидатская диссертация на тему «Метод инверсии в геометрии».
Более двадцати лет И. Ф. Тесленко читал в педагогическом институте и университете лекции по математическому анализу, аналитической и дифференциальной геометрии, основаниям геометрии, проективной и начертательной геометрии, методике и истории математики, вел спецкурс по элементарной математике. В течение многих лет он руководит семинаром учителей математики, систематически выступает с лекциями по наиболее важным вопросам школьного курса математики и принимает активное участие в конференциях и педагогических чтениях у нас и за рубежом.
Одновременно с интенсивной педагогической деятельностью Иван Федорович систематически ведет научные исследования, посвященные вопросам содержания геометрического образования в средней и высшей школе, методики геометрии и профессиональной подготовки учи¬
теля математики в педагогическом институте. Результаты исследований отражены в созданных им учебниках и учебных пособиях для учащихся средней школы, студентов педвузов и учителей математики, а также в многочисленных статьях в республиканских и союзных педагогических журналах. Опубликовано более двухсот его работ.
В 1971 г. Иван Федорович защитил докторскую диссертацию на тему «Педагогические основы обучения геометрии», и в этом же году ему присвоено звание профессора.
В настоящее время И. Ф. Тесленко руководит республиканским координационным советом по проблеме методики математики и черчения, он член редакционного совета журнала «Математика в школе», принимает участие в работе республиканского ежегодного межвузовского сборника «Преподавание математики». Под его руководством защищено 25 кандидатски х диссертаций по методике математики.
Будучи членом комиссии по разработке новой школьной программы по математике для IV—X классов, Иван Федорович руководил ее экспериментальной проверкой в большом числе школ Украины и принимал активное участие в рецензировании и улучшении учебных пособий.
За плодотворную научно-педагогическую работу по обучению и коммунистическому воспитанию подрастающего поколения И. Ф. Тесленко награжден значком «Отличник народного образования» и медалями
А. 	С. Макаренко и Н. К. Крупской.
Большой путь прошел коммунист И. Ф. Тесленко — от учителя сельской начальной школы до ученого- педагога. Его постоянные спутники — душевная щедрость, доброта, скромность, его увлечение — музыка.
Поздравляя Ивана Федоровича со славным юбилеем, пожелаем ему доброго здоровья и новых творческих успехов в благородном труде на ниве просвещения.
Н. Д. Мацько (Киев),
С. 	А. Пономарев (Москва)


КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
В. 	Н. Молодший
(Москва)
К ВЫХОДУ В СВЕТ 1 ТОМА «МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭНЦИКЛОПЕДИИ»
Вышел в свет I том «Математической энциклопедии» *. Главный редактор издания — академик И. М. Виноградов. Все издание должно состоять из пяти томов.
В предисловии указывается: «Математическая энциклопедия — справочное издание по всем разделам математики. Основу энциклопедии составляют обзорные статьи, посвященные важнейшим направлениям математики. Основное требование к статьям такого типа — возможная полнота обзора современного состояния теории при максимальной доступности изложения; эти статьи в целом доступны студентам-математикам старших курсов, аспирантам... и преподавателям математики». Средние и небольшие по размерам статьи предназначены преимущественно для читателей-специалистов. Последний тип ^статей — краткие справки-определения. В конце каждой статьи, как правило, приводится список литературы.
Ниже приводится список тех статей, знакомство с которыми будет полезно преподавателям математики средних школ. В этих статьях разъясняются значительные факты истории математики и некоторые узловые философско-методологические вопросы математики. Небесполезны эти статьи и с методической точки зрения. Если название статьи в данном списке отмечено знаком «*», то это значит, что статья под таким названием имеется в I томе «Философской энциклопедии»2. Изучение одноименных статей в этих двух энциклопедиях поможет преподавателям более глубоко и широко—с математической и марксистско-ленинской точек зрения — проникнуть в сущность анализируемых в них вопросов:
Абак. Абеля теорема. Абсолютная величина. Абсолютная геометрия.
Абстракция * (актуальной бесконечности *, математическая, отождествления *, потенциальной осуществимости *).
1 «Математическая энциклопедия». Т. I, А — Г. М., «Советская энциклопедия», 1977.
2 «Философская энциклопедия». Т. I, А — Дидро. М., «Советская энциклопедия», I960.
Автомат (ряд статей, связанных с этим понятием). Аксиома *. Аксиоматический метод *.
Алгебра. Алгебраическое уравнение. Алгебраическое число. Алгебры основная теорема.
Алгол. Алгол-68.
Алгоритм *.
Бесконечно малых исчисление *. Бесконечность *. Биномиальный ряд. Больцано — Вейерштрасса принцип выбора.
Вектор. Векторная алгебра.
Величина.
Вывод (логический)*. Вывода принцип. Высказываний исчисление.
Вычислительная математика. Вычислительный алгоритм.
Геометрические построения. Геометрия. Гильберта система аксиом.
Гиперкомплексное число. Группа.
В I томе «Математической энциклопедии» опубликовано много статей, посвященных математическому аппарату современного естествознания. Таковы статьи о математических задачах астрономии, астрофизики, аэродинамики, геодезии и гидродинамики, о вариационном принципе классической механики и др.
ПЛАН ВЫПУСКА ЛИТЕРАТУРЫ НА 1978 Г.
Издательство «Просвещение»
Издательство «Просвещение» выпустит в 1978 г. два новых учебных пособия по математике для студентов педагогических институтов.
Иванова Т. П., Пухова Г, В. Программирование и вычислительная математика. Под ред. В. В. Щенникова.
Пособие для студентов физико-математических факультетов написано в соответствии с действующей программой, содержит сведения о вычислительных машинах, методах вычислений, языках и методах программирования.
Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. (Линейная алгебра и полиномы).
Книга является II частью учебного пособия для студентов физико-математических факультетов. В ней освещаются вопросы линейной алгебры и теории многочленов. I часть опубликована в 1974 г.
Для учащихся, как обычно, издается полный комплект учебников и учебных пособий по математике для средней школы.
Как известно, на смену факультативным курсам «Дополнительные главы и вопросы к систематическому курсу математики» приходят факультативные курсы «Избранные вопросы математики». В 1978 г. будет издано пособие для учащихся VII—VIII классов (сост.
С. 	И. Шварцбурд, О. А. Боковнев, В. В. Фирсов).
Для учителей издаются следующие книги:
Антипов И. Н., Шварцбурд Л. С. Символы, обозначения, понятия школьного курса математики.
Книга содержит справочный материал по школьному курсу математики. В ней выделены система символов и обозначений, а также основные понятия курса математики средней школы. Сведения даны в соответствии с действующими учебниками и учебными пособиями по математике.
Книга предназначена учителям, методистам и педагогам, специалистам в области методики математики. Она будет полезна и студентам педагогических институтов.
Монахов В. М., Беляева Э. С., Краснер Я. Я. Методы оптимизации. (Применение математических методов в экономике).
Книга посвящена изложению некоторых идей и методов математического программирования. На многочисленных примерах авторы в доступной форме знакомят читателя с практическим применением современной математики.
87


Глейзер Г. Д., Саакян С. М. Дидактические материалы к зачетам по математике для XI класса вечерней (сменной) общеобразовательной школы.
В пособии даются рекомендации по организации учебного процесса по курсу математики в XI классе вечерней школы. В нем указаны основные требования к знаниям и умениям учащихся, приводятся вопросы и задания для самопроверки, карточки к зачетам, примерные варианты зачетных контрольных работ.
Напомним читателям, что в предыдущие годы были изданы аналогичные материалы для IX и X классов.
Монахов В. М., Демидович Н. Б., Червочкина Л. П. Формирование алгоритмической культуры школьника при обучении математике.
Авторы знакомят с алгоритмической линией в преподавании математики по новой программе. В пособии рассматриваются возможности формирования алгоритмической культуры учащихся на базе школьного курса математики и приводятся основные сведения об алгоритмическом языке и ЭВМ.
Ермолаева Н. А., Маслова Г. Г. Новое в курсе математики средней школы (обзор содержания).
Пособие имеет целью дать читателям представление об объеме математических знаний, умений и навыков, которые получают учащиеся в средней школе. В нем дается краткий анализ программы по математике для средней школы и рассматривается структура этого курса в целом. Специальное внимание уделено раскрытию внутрипредметных и межпредметных связей.
Пособие будет полезно и преподавателям высших учебных заведений.
«Из опыта преподавания математики в школе». Сост.
С. 	Б. Суворова, А. Д. Семушин.
Цель сборника — осветить опыт работы школы по новым программам по математике. В сборник включены статьи, в которых рассматриваются некоторые вопросы общей методики преподавания математики и наиболее трудные для усвоения учащимися вопросы курса математики VI—IX классов.
Калужнин Л. А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики.
Переход школьного курса математики на теоретикомножественные основы с включением элементов математической логики требует нового изложения некоторых вопросов этого курса.
В предлагаемой книге показывается, как многие темы алгебры, геометрии и математического анализа могут рассматриваться с единой точки зрения. Приводятся также исторические сведения о возникновении и развитии теории множеств и математической логики.
Книга будет полезна учителю математики и окажет ему помощь в повышении научного уровня преподавания,
Ковалев М. ПШварцбурд С. И. Электроника помогает считать.
В пособии говорится о системе вычислительных работ при изучении математики и смежных с ней наук в школе и других средних учебных заведениях. Авторы знакомят читателей с содержанием вычислений и методикой использования электронных микрокалькуляторов типа «Электроника БЗ-18» при проведении вычислений.
Леонтьева М. Р. Самостоятельные работы учащихся на уроках алгебры.
Цель пособия — помочь учителю в составлении и проведении самостоятельных работ на уроках алгебры в
VI—VIII классах. В нем рассматриваются различные виды самостоятельных работ обучающего и контролирующего характера, дается методика составления самостоятельных работ и примеры этих работ.
«На путях обновления школьного курса математики». (Сборник статей и материалов). Сост. А. И. Маркуше- вич, Г. Г. Маслова, Р. С. Черкасов.
В сборнике представлены важнейшие статьи и материалы, посвященные проблемам совершенствования школьного математического образования и опубликованные в печати в течение последних 25—30 лет. Цель сборника — дать учителям математики представление о том, как развивалось движение за перестройку школьного курса, как определялись пути преодоления отставания школы от жизни и математической науки.
Читатели найдут в данном пособии не только работы советских математиков и методистов, но и материалы, отражающие сложившиеся тенденции в модернизации математического образования за рубежом.
Пешков К. П., Пышкало А. МРудницкая В. Н. Множество. Отношение. Число. Величина.
В книге содержатся простейшие сведения о двучленных отношениях и дается анализ наиболее важных отношений, встречающихся в курсе математики IV— V классов. Книга предназначена учителям математики IV—V классов, но она может быть полезна и студентам педагогических училищ и педагогических факультетов пединститутов.
«О совершенствовании методов обучения математике». Сост. В. С. Крамор, Р. А. Хабиб.
Переход на новое содержание математического образования вызвал необходимость совершенствования методов обучения математике. В пособии раскрываются направления совершенствования системы преподавания математики в школе, возможности активизации учебнопознавательной деятельности учащихся.
«Преемственность в обучении математике». Сост.
А. 	М. Пышкало.
В пособии рассматриваются многообразные аспекты преемственности в обучении математике — начиная со связи между начальными и средними классами и кончая преемственностью в учебной работе школы и вуза. В статьях сборника нашли отражение и передовой педагогический опыт учителей страны, и научно-исследовательская работа по затронутой теме.
Книга поможет учителям повысить эффективность обучения математике за счет использования внутрипредметных связей.
Семушин А. Д., Кретинин О. С., Семенов Е. Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. (Обучение обобщению и конкретизации).
В пособии раскрываются принципиальные основы и методика обучения обобщению и конкретизации в средней школе. В нем дается система упражнений для обучения учащихся IV—X классов. Для изучения этих вопросов не предусматривается выделения специального времени: обучение обобщению и конкретизации проводится в органической связи с изучением основного курса математики.
Эрдниев П. М. Преподавание математики в средней школе. (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений).
В книге, созданной на основе изданной в 1970 г. «Методики упражнений по математике», представлена многолетняя исследовательская работа автора по обучению математике методом укрупнения дидактических единиц. В этом плане на материале новой программы и действующих учебников математики описаны метод противопоставления, одновременное изучение взаимно-обратных действий или родственных понятий, синтетические упражнения по самостоятельному составлению задач, «деформированные» упражнения, граф-схемы в доказательствах, двойственные формы заданий, матричные упражнения.
Юртаева Г. Т. Лабораторно-графические работы по алгебре и началам анализа.
Пособие содержит материал по организации и проведению лабораторно-графических работ, помогающих со¬
88


вершенствовать осуществление функциональной линии в школе.
Материал данного пособия может быть использован учителем как для рзбош на уроках, так и во внеклассной работе с целью развития у учащихся самостоятельности и активности при усвоении и повторении учебного материала, а также для контроля за усвоением знаний.
Яковлев Г. Я. Числовые последовательности и непрерывные функции.
Автор рассматривает последовательности рациональных и действительных чисел, непрерывность функций. Эти вопросы занимают важное место в работе по новым программам. Книга будет полезна учителям математики старших классов, поможет им повысить свою квалификацию.
Для учащихся издаются следующие книги:
Виленкин Я. Я. Функции в природе и технике. (Серия «Мир знаний»).
В книге рассказывается о различных приложениях элементарных функций, изучаемых в школе, о развитии и применениях дифференциального и интегрального исчислений, о том, как математики ищут оптимальные решения задач.
Книга будет полезна учащимся старших классов, желающим узнать больше об изучаемых в школе функциях.
Сираждинов С. XМатвиевская Г. Я. Абу Райхан Беруни и его математические труды. (Серия «Люди науки»).
Авторы рассказывают о жизни, математическом творчестве Абу Райхана Беруни, великого ученого-энцикло- педиста Средней Азии, тысячелетний юбилей которого недавно отмечался по инициативе ЮНЕСКО во всех странах мира. Беруни определил длину окружности Земли. Им была высказана мысль о возможности вращения Земли вокруг Солнца. Беруни доказал ряд теорем, ныне тесно соприкасающихся со школьным курсом математики.
Открывая перед читателями одну из страниц далекого прошлого нашей многонациональной страны, авторы показывают математическую науку в поисках, в становлении, в обретении зрелости.
С просьбой о приобретении учебных пособий и методической литературы читателям следует обращаться в мес 1 ные книжные магазины и магазины «Книга — почтой».
Р. А. Хабиб
(Москва)
Издательство «Наука»
В 1978 г. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» выпустит ряд книг для преподавателей и студентов пединститутов, для учителей средней школы и старшеклассников.
Свой обзор мы начнем с учебной и справочной литературы.
Четвертым изданием выйдет книга А. В. Погорелова «Аналитическая геометрия». Она содержит краткое изложение основных методов и приемов этой дисциплины и рассчитана на студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов. Автором проделана большая работа над учебником. Изложение материала в нем значительно улучшено. В основной текст включены многочисленные примеры, содержащие важные геометрические факты, которые относились ранее к упражнениям и задачам.
Задачи студенческих олимпиад по математике, проходивших в 1975—1977 гг. в вузах Москвы, задачи московских городских студенческих олимпиад по математике тех же лет, а также ряд задач других студен¬
ческих олимпиад по математике включены в сборник, составленный В. А. Садовничим и А. С. Подколзиным. Наиболее интересные задачи сопровождаются указаниями и решениями. Читатель познакомится с некоторыми теоретическими сведениями, необходимыми для решения задач. По сложности задачи разделены на три группы: в каждой группе отдельно собраны задачи для I курса и задачи для старших курсов педагогических институтов и других вузов. Книга может быть полезна также учителям старших классов средней школы, желающим активно и творчески изучать математику.
Введением в глубокие и интересные разделы метрической теории чисел является книжка А. Я. Хинчина «Цепные дроби». Она написана как учебное руководство и рассчитана на студентов математических и смежных специальностей.
Большую пользу учителям, преподавателям и студентам пединститутов принесет книга французского геометра А. Донеддю «Евклидова планиметрия». Особый интерес для советского читателя представляет раздел, в котором на многочисленных примерах рассматривается система основных понятий современного школьного курса математики.
Совместно с издательством «Тойбнер» (ГДР) подготавливается новое издание известного справочника по математике Я. Я. Бронштейна и /(. А. Семендяева. Его перерабатывал большой коллектив немецких математиков из университета им. Карла Маркса в Лейпциге. В новом издании учтены современные требования, предъявляемые к справочнику, и добавлен материал, отражающий изменения, произошедшие за последние годы.
Переходим к научно-популярным книгам.
Школьникам старших классов, студентам техникумов и втузов адресована книга С. А. Абрамова «Математические построения и программы». В ней изменена традиционная схема изложения предмета, когда вначале сообщаются сведения о строении ячейки памяти, структуре машинной команды, представлении чисел и т. д. Внимание читателя сосредоточивается на алгоритмической стороне математических задач. Как существенный этап решения задачи по программированию выделяется анализ достоинств и недостатков («оценка эффективности») способа построения объекта.
В книге имеется большое количество примеров и задач для самостоятельного решения.
Ряд очерков, связанных с математикой и весьма разнообразных по сюжетам, предлагается читателю в книжке видного английского математика Дж. Литлвуда «Математическая смесь». Здесь и автобиографические заметки, и небольшие исследования по истории математики, и популярное рассмотрение вопросов, которые обычно относят к высшей математике, и интересные задачи, и просто математические шутки. Живое и увлекательное изложение, пронизанное юмором, в соединении с глубокой эрудицией автора делают книгу интересной для всех любителей математики — от школьника до маститого ученого.
Лауреат Ленинской премии академик Л. С. Понтрягин задумал написать четыре небольшие книги под общим названием «Знакомство с высшей математикой». В первой брошюре, вышедшей в 1977 г., рассматривается метод координат и аналитическая геометрия на плоскости. Затрагиваются также вопросы алгебры, дается геометрическое изображение комплексных чисел, и описываются многочлены как комплексные функции комплексного переменного, что дает возможность доказать основную теорему высшей алгебры. Более бегло даются декартовы координаты и аналитическая геометрия в пространстве.
Во второй книге, запланированной к выходу в 1978 г., излагаются некоторые вопросы математического анализа. Ее характерной чертой является одновременное изло¬
89


жение теории функций действительного и комплексного переменного. Третья и четвертая книги выйдут в свет в 1979—1980 гг.
Весь цикл адресован прежде всего школьникам, серьезно интересующимся математикой, но его с большим интересом прочтут и преподаватели школ и вузов, а также все интересующиеся вопросами преподавания математики.
Введением в теорию алгебраических чисел послужит книга М. М. Постникова «Теорема Ферма». Одна из целей этой книги — убедить читателя в глубине и сложности проблематики, связанной с теоремой Ферма, и в полной бесперспективности поисков ее элементарного доказательства. Изложение ведется концентрически. Книгу с интересом прочтут учащиеся старших классов, учителя, студенты и все любители математики.
Функциональные схемы роботов трех поколений (программные, очувствленные, интеллектуальные) рассматриваются в книге А. В. Тимофеева «Роботы и искусственный интеллект». Особое внимание автор уделяет проблеме создания элементов интеллекта роботов. Обсуждаются вопросы применения роботов и систем искусственного интеллекта в промышленности, в космических и подводных исследованиях. Анализируются социально-экономические аспекты роботизации. Книга рассчитана на широкий круг читателей, в первую очередь на учителей и студентов педвузов, интересующихся актуальными проблемами и последними достижениями в области кибернетики и робототехники.
В серии «Библиотечка физико-математической школы» вторым изданием выходит брошюра Н. Б. Васильева и
В. 	Л. Гутенмахера «Прямые и кривые». Авторы рассматривают в ней традиционные задачи школьного курса геометрии на отыскание множеств точек в плоскости и в пространстве, удовлетворяющих метрическим условиям. По ходу решения этих задач прослеживается изменение множеств при изменении параметров, их определяющих; исследуются области значений параметров и критические значения. Во втором издании более подробно изложены методы решения задач, а также выделены те аспекты, которые приводят читателя к идеям современной математики, важным для ее приложений.
Несколько брошюр мы переиздаем в серии «Популярные лекции по математике».
Изучению свойств одного замечательного ряда целых чисел, к которому сводятся многие задачи элементарной математики, посвящена книжка Н. П. Воробьева «Числа Фибоначчи». Она рассчитана на школьников старших классов и полезна в работе школьных математических кружков.
Некоторые основные факты алгебры изложены в брошюре А. О. Гельфонда «Решение уравнений в целых
числах». Многие теоремы, сформулированные в ней, снабжены доказательствами. Книга представит интерес для учащихся старших классов и преподавателей.
В основу брошюры А. И. Маркушевича «Замечательные кривые» положена лекция, прочитанная в свое время автором московским школьникам VII и VIII классов. В новом издании она немного расширена: добавлены сведения об архимедовой спирали и цепной линии. Однако полностью сохранен элементарный характер изложения, больше показывающего, чем доказывающего. Круг читателей брошюры: любители математики, независимо от их возраста, имеющие подготовку в объеме
VII—VIII классов средней школы.
Студентам педагогических институтов и преподавателям старших классов будет весьма полезно познакомиться с книгой И. М. Соболя «Метод Монте-Карло». В ней приведены разнообразные задачи, решаемые этим методом. В третье издание включено описание наиболее распространенных псевдослучайных чисел.
О связи между системами линейных неравенств и выпуклыми многогранниками рассказывается в брошюре
А. 	С. Солодовникова «Системы линейных неравенств». В ней дается метод отыскания всех решений системы с двумя и тремя неизвестными, изучаются вопросы совместности и несовместности, излагается понятие о линейном программировании как об одной из глав теории систем линейных неравенств. Книжка рассчитана на школьников старших классов и всех любителей математики.
И наконец, в серии «Библиотека математического кружка» запланировано выпустить в переводе с английского книгу Г. С. М. Кокетера и С. Л. Трейтцера «Новые встречи с геометрией». Она дает возможность читателю познакомиться с красивейшими результатами и методами геометрии, открытыми как в древности, так и в более позднее время. Здесь содержатся и такие результаты, которые непосредственно примыкают к школьному курсу геометрии (окружность девяти точек, теорема Чевы, содержательная беседа о геометрических преобразованиях), и дальнейшее расширение круга идей, приводящее к инверсивной и проективной геометриям. Содержание книги удачно расширяет и дополняет существующую сейчас у нас в стране школьную программу по геометрии.
Перечисленные выше издания можно предварительно заказать в магазинах книготорга, «Центрокоопкниги» и «Академкниги», распространяющих литературу данной тематики.
Н. И. Шушанский
(Москва)


ХРОНИКА
О РАБОТЕ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СЕМИНАРОВ ПРИ НИИ СиМО АПН СССР
«Основные проблемы преподавания математики в средней школе»
В 1976/77 учебном году на заседаниях семинара, проходивших под руководством и при непосредственном участии действительного члена АПН СССР А. И. Марку- шевича и действительного члена АН УССР Б. В. Гнеденко, были заслушаны и обсуждены доклады, посвященные основным проблемам преподавания математики в средней школе.
Профессор Л. М. Лоповок рассказал о создании и использовании проблемных ситуаций на уроках математики (см.: «Математика в школе», 1977, № 3).
Проблеме обучения решению задач и управления усвоением знаний был посвящен доклад Б. М. Воловина. Он проанализировал, как, исходя из структуры определений и теорем, выявляются типы заданий, достаточных для усвоения формируемых знаний, а также какие средства обучения необходимы для предъявления этих заданий.
Большой интерес слушателей вызвал доклад аспирантки Л. И. Апанасенко. Она показала актуальность обеспечения школы современными средствами обучения в связи с введением новых школьных программ и всеобщего среднего образования. Был освещен вопрос взаимодействия методов обучения со средствами обучения и раскрыто влияние средств обучения на структуру урока алгебры.
Л. Ю. Березина проанализировала особенности языка теории графов и обосновала возможность и целесообразность его использования как методического средства обучения математике. Она наметила пути внедрения языка теории графов в школьный курс математики для развития его прикладного направления. Все положения были проиллюстрированы разнообразными примерами.
С. 	Ю. Либерман остановился на методах отбора учебного материала в соответствии с целями обучения. Докладчик выделил такие цели обучения: формирование марксистско-ленинского мировоззрения; изучение данного предмета; изучение других предметов на основе полученных знаний о данном предмете; подготовка учащихся к практической деятельности.
На заключительном заседании семинара профессор
В. 	Н. Молодший раскрыл роль учебников математики
в формировании марксистско-ленинского мировоззрения учащихся. Был дан широкий анализ учебников математики с точки зрения гносеологических вопросов.
В. 	Н. Молодший подчеркнул, что к этим вопросам нельзя относиться формально. Они принесут пользу только тогда, когда станут составной частью методики преподавания математики. Выступившие в прениях Б. В. Гнеденко и Н. Н. Шоластер подчеркнули исключительную важность освещенных в докладе проблем.
Г. М. Серегин
(Москва)
«Передовые идеи в преподавании математики»
В 1976/77 учебном году было проведено 9 заседаний, на которых обсуждались различные вопросы преподавания математики.
14/Х 1976 г. Н. Б. Шапошникова (г. Тула) сделала сообщение «О преподавании математики в старших классах итальянской средней школы». Итальянскую среднюю школу, представленную лицеями двух типов: классическим и реальным — волнуют проблемы связи изучения математики с практикой. В интересах укрепления этой связи решено в программах, с одной стороны, связывать модернизированный курс математики с окружающей действительностью, с другой — вводить чисто прикладные курсы: финансовую математику, теорию ЭВМ, элементы теоретической механики и др.
Заседание 11/XI 1976 г. было посвящено памяти И. К. Андронова, по чьей инициативе в 1959 г. был образован семинар. В. Н. Шапкина (Москва) сделала доклад о рукописи И. К. Андронова «Трилогия предмета и методы математики», первая часть которой была напечатана в изданиях Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской еще при жизни автора — в 1974 г. Эта работа явилась итогом богатой творческой жизни талантливого исследователя, педагога- математика, большого специалиста в области истории математики И. К. Андронова. Было высказано общее пожелание, чтобы МОПИ им. Н. К. Крупской продолжил публикацию рукописи.
9/XII 1976 г. был заслушан доклад И. Г. Федина (Москва) «Бинарные отношения в школьном курсе математики». Кратко рассмотрев вопросы: декартово произведение двух множеств; бинарное отношение на множестве; функция как частный случай бинарного отношения; виды бинарных отношений (эквивалентность, упорядоченность),— докладчик более подробно остановился на конкретных примерах бинарных отношений из школьного курса алгебры и геометрии. Н. Г. Федин показал, что новая программа содержит хороший пропедевтический материал для того, чтобы на следующей ступени перейти к явному введению терминов этих понятий и их более систематическому изучению. На примере отношения эквивалентности, широко представленного в школьном курсе, докладчик показал возможность выхода в современную алгебру.
Оживленное обсуждение 13/1 1977 г. вызвал доклад старшего научного сотрудника АПН СССР С. В. Кудрявцева «Проблемы повторения при изучении школьного курса математики». Эти проблемы возникли в связи с ослаблением внимания к повторению материала в школе, возникшего ввиду перегрузки при освоении новых программ.
10/11 1977 г. на заседании был заслушан доклад
В. 	А. Васильевой (Москва) «Вопросы связи между предметами естественно-математического цикла в школьном преподавании». Докладчик рассмотрела тему применительно к факультативу «Математика и геофизика» для учащихся IX класса.
91


В ходе обсуждения было высказано общее мнение о том, что проблема межпредметных связей должна решаться не только на факультативах, но и на обязательных занятиях по математике.
10/111 1977 г. Е. И. Щукин (г. Ярославль) в докладе «Некоторые философские вопросы математики и их решение» поделился опытом работы в направлении диалектического подхода в преподавании математики, способствующего более глубокому ее усвоению. Особое внимание на взаимосвязь математики и философии обращается при изучении теории вероятностей, в которой эта связь выражается наиболее полно.
14/1V 1977 г. X. Ш. Шихалиев (г. Махачкала) доложил об экспериментальных исследованиях по перспективам совершенствования школьного курса математики в IV—VII классах. Эксперимент с группой учащихся в 39 человек показал возможность более раннего введения определителей для решения систем уравнений, элементов аналитической геометрии (расстояние между двумя точками на прямой и на плоскости, составление уравнения прямой по двум точкам), векторного пространства (на прямой и на плоскости) (VI кл.) с последующим усилением векторного аппарата в VII классе при изучении треугольников.
На этом же заседании И. Н. Денисюк (Москва) в коротком сообщении поднял вопрос о возможности ознакомления школьников с номографией. Было предложено на одном из последующих заседаний семинара заслу¬
шать методические рекомендации докладчика по знакомству детей с элементами номографии в возможно раннем возрасте.
Лингводидактическим проблемам обучения математике в национальных школах (на примере среднеазиатских языков) было посвящено заседание 12/V 1977 г. Д. И. Икрамов (Ташкент) рассказал слушателям о большой работе, проводимой при Узбекском научно- исследовательском институте педагогических наук по разработке дидактических принципов отбора эквивалентов математических терминов на узбекском языке. На основе этих принципов работниками института составлен словарь по школьной математике с I по X класс на 1500 слов.
Семинар завершил работу 9/VI 1977 г. докладом Л. В. Федоровой (г. Ишим) «Проблемы изучения темы «Пределы» в средней школе». Докладчик остановилась на трудностях изучения и преподавания темы и обосновала необходимость двух уровней формирования понятия предела: наглядно-интуитивного и формально-логического.
В 1977/78 учебном году семинар продолжает работу. Заседания проводятся во второй четверг каждого месяца (в 18 ч) по адресу: Москва, ул. Макаренко, д. 5/16, НИИ СиМО АПН СССР, комн. 28.
И. С. Бровиков, В. Н. Шапкина (Москва)
Н. X. Розов
(Москва)
В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА
[Год 29-й)
На заседании 16 сентября 1976 г. А. Н. Колмогоров и Г. Г. Маслова рассказали о III Международном конгрессе по математическому образованию, проходившем с 16 по 21 августа 1976 г. в г. Карлсруэ (ФРГ). Участников заседания познакомили с итогами работы конгресса, основной целью которого был анализ усилий в области совершенствования математического образования во всех странах мира и выявление тенденций дальнейшего развития математического образования на разных ступенях (см.: «Математика в школе», 1977, № 4).
21 октября 1976 г. А. П. Савин доложил об итогах XVIII Международной математической олимпиады, проходившей с 7 по 21 июля 1976 г. в г. Лиенце (Австрия). Члены секции познакомились с предлагавшимися на олимпиаде задачами и с итогами выступления советской команды. На заседании выступили также участники олимпиады, которые поделились своими впечатлениями об организации соревнования (см.: «Математика в школе», 1977, № 2; «Квант», 1976, № 12).
На распорядительном заседании Московского математического общества, состоявшемся 26 октября 1976 г., было избрано новое Правление общества в следующем составе: А. Н. Колмогоров — президент; В. И. Арнольд, А. А. Марков — вице-президенты; А. Н. Ширяев — секретарь; А. В. Михалев — казначей; В. М. Тихомиров — библиотекарь; О. А. Олейник — редактор «Трудов Московского математического общества»; В. М. Алексеев, Н. В. Ефимов, А. А. Кириллов, С. П. Новиков, Я* Г. Синай, Д. Б. Фукс, И. Р. Шафаревич — члены
правления; Ю. В. Егоров, А. И. Кострикин, А. С. Мищенко, В. /7. Паламодов, Ю. М. Смирнов — члены ревизионной комиссии.
На заседании 18 ноября 1976 г. с докладом «Математика и искусство» выступил И. М. Яглом. Затем с отчетом о работе бюро секции средней школы, избранного 17 января 1974 г., выступил Б. В. Гнеденко. В конце заседания было избрано на следующий двухлетний срок бюро секции средней школы Московского математического общества в составе: Б. В. Гнеденко — председатель; Н. X. Розов, Р. С. Черкасов — заместители председателя; Л. 3. Мудрая — секретарь; Н. М. Бескин, Н. Б. Васильев, П. Б. Ройтман, С. М. Саакян, В. В. Фир- сов, Т. М. Шлыкова — члены бюро.
Заседание 16 декабря 1976 г. было посвящено ознакомлению с требованиями на вступительных экзаменах в вузы по математике в 1977 г. С сообщением о содержании и характерных особенностях новой программы вступительных экзаменов по математике в вузы (см.: «Математика в школе», 1977, № 2; «Квант», 1977, № 2) выступил В. А. Треногин, возглавлявший комиссию Минвуза СССР по разработке этой программы. Развернувшаяся оживленная дискуссия была посвящена совершенствованию отдельных формулировок программы и согласованию уровней требований вузов к поступающим и школы к учащимся.
20 января 1977 г. секция заслушала доклад О. С. Ивашева-Мусатова «Начала анализа в школе». Докладчик подробно рассказал о возможном подходе к теории пределов, исходя из понятия непрерывности функции. Особое внимание было обращено на связь понятия непрерывной функции с задачами приближенных вычислений и оценки их точности.
Наш гость из ГДР доктор Л. Фладе (университет им. Мартина Лютера, г. Галле) на заседании 17 февраля 1977 г. прочел доклад «Самостоятельное изготовление и применение пленок в обучении математике». Речь шла об активизации работы учащихся и повыше¬
92


нии эффективности их обучения с помощью специальных технических средств, в частности об использовании пленок для кодоскопа (полилюкса), которые учитель может без особого труда изготовлять самостоятельно по разработанной методике (см.: «Математика в школе», 1977, Кя 5).
17 марта 1977 г. состоялась встреча членов секции средней школы с математической частью редакционной коллегии юношеского научно-популярного физико-математического журнала «Квант». Зам. главного редактора М. Л. Смолянский познакомил собравшихся с задачами, планами и работой журнала; на многочисленные вопросы отвечали члены редколлегии И. Б. Васильев, Л. Г. Макар-Лиманов, Н. X. Розов. В активном обсуждении журнала «Квант» приняли участие Б. В. Гнеденко, Р. С. Черкасов и многие другие, высказавшие конструктивные предложения и критические замечания.
«Принципы создания и использования учебного обо¬
рудования на современном этапе преподавания математики» — такова тема доклада В. Г. Болтянского, М. Б. Воловича и Г. Г. Левитаса, состоявшегося 21 апреля 1977 г. Авторы подробно остановились на описании принципов создания и изложении методики использования учебного оборудования, предназначенного для объяснения нового материала, для организации самостоятельной работы учащихся, для контроля знаний школьников (см.: «Математика в школе», 1977, Кя 4).
На заключительном в этом учебном году заседании секции 19 мая 1977 г. с сообщением «Некоторые вопросы программирования и использования современных вычислительных машин» выступил В. Я. Шкадов. Затем для членов секции была проведена экскурсия в лабораторию вычислительных методов механико-математического факультета МГУ, где демонстрировалась работа вычислительных машин ЕС-1020 и PD/M1/40.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ОПУБЛИКОВАННЫХ В ЖУРНАЛЕ В 1977 г.
Передовые
Великий Октябрь и народное образование. № 5, с. 3.
Новая Конституция и школа. № 6, с. 3.
По пути развития социалистической демократии. № 4, с. 3.
Пятилегка — дело каждого. № 1, с. 3.
Славному юбилею — достойную встречу  № 2, с. 3.
Столетов В. Н. За действенную связь педагогической науки и школьной практики. № 3, с. 5.
Школьникам — о 60-летии Октября. № 3, с. 3.
Этапы большого пути
Александров П. С. Лузинская математическая школа. № 5, с. 19.
Болгарский Б. В. Кузница первых отрядов советской интеллигенции. № 4, с. 5.
Гнеденко Б. В. Высшее математическое образование за 60 лет Советской власти. № 3, с. 8.
Гнеденко Б. В. О развитии математики в нашей стране за 60 лет Советской власти. № 5, с. 12.
Маркушевич А. И., Маслова Г. Г., Черкасов Р. С. О развитии школьного математического образования в СССР за 60 лет. № 5, с. 7.
Прочухаев В. Г. К истории развития научно-методической работы по математике. № 4, с. 9.
Тесленко И. Ф. Право на образование в действии. № 4, с. 8.
Черкасов Р. С. К 60-летию развития высшего педагогического образования в СССР. № 6, с. 7.
Методический отдел
Балк М. Б., Пискарев Г. Ф. О некоторых приложениях понятия интеграла в школьном курсе математики. № 6, с. 21.
Балк М. Б., Пискарев Г. Ф. О применении производной в тождественных преобразованиях. № 3, с. 21.
Барчунова Ф. М., Ройтман П. Б., Гурова Н. Н. Организация заключительного повторения материала геометрии в X классе. № 1, с. 12.
Белоусов В. Д., Викован И. Н., Спатару Н. X. Об устном экзамене но алгебре в VIII классе. № 1, с. 24.
Богданова Т. А., Лебедев Н. Н. О плоскостях симметрии параллелепипедов. № 4, с. 31.
Василенко Е. А. Система дополнительных задач по теме «Векторы». № 6, с. 29.
Габович И. Г. К решению стереометрических задач. № 2, с. 23.
Гнеденко Б. В. О воспитании научного мировоззрения на уроках математики. № 4, с. 13.
Гожиенко Г. Е. К изучению свойств десятичных логарифмов. № 2, с. 16.
Груденов Я. И. Методы усвоения математических предложений № 6, с. 27.
Ермолаева Н. А., Шульга С. С. Логарифмическая линейка новой конструкции. № 2, с. 33.
Изаак Д. Ф. О применении скалярного произведения при решении задач на многогранники. № 6, с. 31.
К составлению задач и упражнений по материалам развития народного хозяйства СССР. № 1, с. 44; № 2, с. 36.
К составлению задач и упражнений по статистическим данным к 60-летию Великой Октябрьской социалистической революции. № 5, с. 37.
Канин Е. С. К изучению понятия обратной функции в VIII классе. № 2, с. 8.
Колесникова Ф. Ж. Профориентационная работа учителя математики. № 2, с. 31.
Королева М. С., Кузнецов В. В. О решении задач на изображение фигур в стереометрии № 2, с.. 19.
Крупенников А. М. Использование ГОСТов ЕСКД при выполнении чертежей. № 4, с. 26.
Лоповок Л. М. Создание и использование проблемных ситуаций в процессе преподавания. № 3, с. 17.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С. Об учебнике алгебры для VI класса. № 2, с. 5.
Маковей В. Г., Мельник Н. С. Дополнительные задачи на применение теоремы косинусов. № 3, с. 31.
Методические указания и рекомендации по изучению математики в IX—X классах. № 5, с. 23.
Мейдер В. А. К вопросу о формировании научного мировоззрения в процессе преподавания математики. № 6, с. 12.
Моисеева З. И., Глаголева Е. Г., Сорокин Б. В. О некоторых результатах работы девятых классов. № 1, с. 8.
Нагибин Ф. Ф. Геометрические задачи в VI—VIII классах. № 1, с. 27.
Никольская И. Л. Изучение логического следования и логической равносильности в VII классе. № 1, с. 37.
93


Паравян Н. А. О решении двух химических задач алгебраическими методами. № 4, с. 29.
Петров В. А. Об одном приеме, полезном при построении графиков. № 2, с. 15.
Потоцкий М. В. Слово учителя в преподавании математики. № 1, с. 5.
Примерные программы факультативных курсов. № 6, с. 15.
Примерные контрольные работы по алгебре для VI класса. № 3, с. 32.
Семушин А. Д. Политехническое содержание школьного курса математики. № 4, с. 20.
Тейшерскис И. Ю. Об уровне сложности тождественных преобразований в курсе алгебры восьмилетней школы. № 2, с. 17.
Хабиб Р. А. Активизация учебно-познавательной деятельности школьников на уроке. № 1, с. 40.
Халамайзер А. Я. Альтернативно или интегрально? № 1, с. 46.
Халилов У. М. Из опыта изучения взаимно-обратных функций. № 4, с. 31.
Чуканцев С. М. О задачах на реализованные ситуации с ложными данными. № 2, с. 13.
Эппель Б. С. О личной библиотеке учителя математики. № 3, с. 34.
О вступительных экзаменах по математике в вузы и техникумы в 1976 г.
Вайнштейн М. П., Рогов А. Т. Об итогах вступительных экзаменов по математике в техникумы. № 1, с. 59.
Гусев В. А. Абитуриент-77. № 2, с. 37.
Гнеденко Б. В. Естественные факультеты Московского университета. № 1, с. 47.
Гущян Ш. X., Карагебакян Г. А. Армянский государственный педагогический институт им. X. Абовяна. № 1, с. 57.
Джавадов М. Г., Креймер А. Я., Файнштейн С. Б. К очередным вступительным экзаменам в вузы необходимо готовиться. № 1, с. 54.
Моисеева З. И. О вступительных экзаменах в вузы и техникумы. № 2, с. 38.
От редакции. № 1, с. 61.
Программа по математике. № 2, с. 40.
Редозубова О. С. Математический факультет МГПИ им. В. И. Ленина. № 1, с. 51.
Читатели вносят предложения
Будников Е. Г. О существовании предела функции в данной точке. № 3, с. 31.
Галицкий М. Л. О нахождении первообразной, график которой проходит через заданную точку. № 3, с. 30.
Галицкий М. Л. Об определении корня. № 4, с. 33.
Гуменяк А. В. Еще один способ решения неравенств. № 4, с. 34.
Зельманзон М. Е. Одно замечание о приближенных вычислениях. № 6, с. 37.
Клименченко Д. В. В вопросу психологии мышления учащихся при решении задач. № 3, с. 26.
Липкин М. И. О понятии тождества в школьном курсе математики. № 5, с. 47.
Магомедов С. К. Об упражнениях с познавательными функциями. № 6, с. 38.
Мостовой А. И. К изучению признаков параллельности прямых. № 5, с. 46.
Мусаелян Р. А. К вопросу о совершенствовании раздела «Приближенные вычисления». № 6, с. 40.
Сиваковский Б. Я. Из опыта работы с определениями. № 3, с. 29.
Третьякова Г. Ф. О коллинеарности векторов в школьном курсе геометрии. № 5, с. 45.
В помощь самообразованию учителей
Долженко Е. П., Скворцов В. А. Как измеряют расстояние между функциями. № 6, с. 51.
Кузнецова Л. И., Скопец З. А. Метод подобия при решении планиметрических задач. № 6, с. 58.
Примерные учебно-тематический план и программа для курсов повышения квалификации учителей. № 3, с. 55, № 4, с. 53.
В помощь начинающему учителю
Батий Ю. Ю. Один из способов проверки решения вычислительных упражнений в IV—V классах. № 5, с. 42.
Зимний А. И. Элементы игры на уроках. № 6, с. 33.
Михеева Т. Ф. Работа с книгой. № 5, с. 42.
Наконечный М. Н. Карточки-задания по отысканию различных способов решения задач. № 6, с. 35.
Пичурин Л. Ф. К изучению пропорций и пропорциональности. № 6, с. 31.
В помощь преподавателям вечерних (сменных) школ и педучилищ
Глейзер Г, Д., Саакян С. М. О преподавании математики в XI классе вечерней (сменной) школы по новой программе. № 3, с. 38.
Петраков И. С. Примерные самостоятельные и контрольные работы для вторых курсов педучилищ. № 5, с. 51.
Технические средства обучения. Учебное оборудование
Адельт Л. Об использовании кодопозитивов в школах ГДР. № 5, с. 57.
Антонов А. О. Учебное оборудование по математике в V классе. № 5, с. 54.
Арутюнян Е. Б., Глазков Ю. А. Учебное оборудование по геометрии для VII—VIII классов. № 6, с. 42.
Болтянский В. Г., Волович М. Б., Левитас Г. Г. Кабинет математики и проблема учебного оборудования. № 4, с. 35.
Волович М. Б. Новый вариант таблиц по математике для IV класс. № 4, с. 41.
Глазков Ю. А. Учебное оборудование по геометрии в VI классе. № 2. с. 50.
Горбатов К. С. Круг-сигнал. № 1, обложка.
Докшус А. А. Набор для проведения лабораторных работ на вычисление площадей и объемов. № 3, обложка.
Колпаков М. Ф.. Левитас Г. Г. Новый прибор для кабинетов математики. № 6, с. 45.
Константинов А. Н. Прозрачный планшет. № 2, обложка.
Кузнецов С. Н. Индивидуальная координатная плоскость. № 5, с. 44.
Левитас Г. Г. Блокнот для кратковременных записей. № 3, обложка.
Левитас Г. Г. О системном подходе к созданию учебного оборудования по алгебре. № 4, с. 37.
Литература по вопросам создания и методики использования учебного оборудования. № 4, обложка.
Пекаревич Э. В. Прибор для изучения формул приведения. № 5, обложка.
Пекаревич Э. В. Стереометрический прибор. № 5, обложка.
Письменный В. И., Тсваненко В. В. Модель для по- стиоения графиков функций, обратных данным. № 3, обложка.
94


Полянский Л. Д. Магнитофон на уроках математики. № 1, с. 66.
Придатко Н. А. Об аппликациях на вертикальной плоскости. № 1, с. 43.
Придатко Н. А. Стереометрические модели на пенопласте. № 2, обложка.
Русакова Г. А., Троицкий М. В. Опыт использования кодоскопа на уроке математики. № 4, с. 46.
Савельева В. И. Осуществление обратной связи при помощи диапроекторов. № 5, с. 57.
Трейлибс О. В. Индивидуальный чертежный прибор. № 4, обложка.
Фладе Л., Халамайзер А. Я. Некоторые приемы изготовления кодопозитивов. № 5, с. 58.
Хмельницкий М. С. Наш математический кабинет. № 1, с. 62.
Факультативные курсы
Антипов И. Н. Учебная модель ЭВМ. № 2, с. 55.
Высокий Б. Ф. Факультативный курс по изучению понятий логики. № 4, с. 48.
Кадыров И. О дидактических возможностях повышения эффективности факультативных занятий. № 2, с. 59.
Кудреватов Г. А. Теорема о значениях линейной формы. № 2, с. 52.
Поляков Б. М. Из опыта организации самостоятельной работы членов математических факультативов. № 1, с. 71.
Пономаренко В. И. Производственные экскурсии на межшкольных факультативных занятиях по спецкурсу «Программирование». № 5, с. 66.
Рабинович В. Л. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского на основе системы аксиом школьного курса геометрии. № 1, с. 67.
Шоластер Н. Н., Лилишенцева В. П.,  Филатова С. С. Симметрия. № 3, с. 46.
Эксперимент
Волгина В. Ф. Методика изучения комбинаторики на графах. № 1, с. 73.
Карасова И. С., Кривопуск Л. В. Из опыта проведения комплексных семинаров по математике с физикой. № 5, с. 64.
Певина Р. Д. Из опыта изучения основных алгебраических понятий. № 6, с. 45.
Ярославцева Л. Г. О параллельности и перпендикулярности прямых. № 5, с. 60.
Богданова Т. А., Лебедев Н. Н. О координатной записи некоторых перемещений в курсе геометрии VIII класса. № 3, с. 62.
Вайнман Б. Ш. Новое решение старой задачи. № 3, с. 72.
Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М. B3MШ в помощь учителям старших классов. № 1, с. 76.
Егоров А. А., Сендеров В. А. Об одном свойстве полиномов деления круга. № 6, с. 76.
Ивашев-Мусатов О. С. К изучению элементов математического анализа на внеклассных занятиях. № 4, с. 63.
Корикова Т. М. Некоторые геометрические неравенства и их векторное решение. № 3, с. 64.
Кузнецова Л. И. Группы самосовмещений тетраэдров. № 3, с. 68.
Кушнир И. А. Этюд о вписанной полуокружности. № 1, с. 78.
Махров В. Г. Об одном виде внеклассной работы в IV—VII классах. № 6, с. 74.
Магомедбеков П. К., Челябов И. М. Решения задач с помощью принципа Дирихле. № 3, с. 73.
Моисеева З. И., Савин А. П. XVIII Международная математическая олимпиада. № 2, с. 61.
Никулин Н. А. О построениях с помощью линейки и вспомогательной фигуры. № 2, с. 68.
Приеде М. X. О параллельной проекции окружности. № 3, с. 70.
Сефибеков С. Р. Школьный математический уголок. № 4, с. 65.
Сикорский К. П. К статье Б. Ш. Вайнмана. № 3, с. 72.
Скопец З. А. О двух правильных шестиугольниках, связанных с произвольным треугольником. № 5, с. 71.
Тимофеев П. Т. Задачи на движение искусственных спутников. № 2, с. 66.
Яглом И. М. К вопросу об аксиоматическом обосновании плоской флаговой геометрии. № 4, с. 65.
Занимательная страница
Напоминание о тривиальных формулах для устного возведения в квадрат. № 3, с. 85
«Полумагический числовой коврик». № 3, с. 84.
Рекстин Э., Мочалов Л. П. Арифметические ребусы с решениями. № 2, с. 78.
«Числовая магия», № 3, с. 84.
Проблемы и суждения
Вейц Б. Е. Язык школьного курса математики. № 3, с. 42.
Виленкин Н. Я., Блох А. Я. Изучение дискретной математики в школе. № 6, с. 64.
Минковский В. Л., Ветров В. В. О курсе истории математики в педвузах. № 5, с. 70.
Эрдниев П. М. О взаимосвязи логики и психологии в решении вопросов методики математики. № 6, с. 68.
Внеклассная работа
Андреев В. Е. Упражнения, содержащие целую и дробную части числа. № 4, с. 60.
Башмаков М. И., Ионин Ю. И.,  Бернштейн И. Н., Васильев Н. Б., Макар-Лиманов Л. Г., Сарычева Т. А. XI Всесоюзная олимпиада школьников по математике. № 6, с. 70.
Бейсеков Ж. Б., Мостовой А. И. Функциональный подход к доказательству тождеств. № 3, с. 54.
Задачи
№ 1, с. 81; № 2, с. 69; № 3, с. 75; № 4, с. 66; № 5, с. 75; № 6, с. 77.
Из педагогического наследия
Н. 	И. Лобачевского
Александров П. С. Несколько слов по поводу речи Лобачевского «О важнейших предметах воспитания». № 2, с. 45.
Кондратьев А. Т. Новая книга о Лобачевском. № 5, с. 89.
Лобачевский Н. И. О важнейших предметах воспитания. № 2, с. 42.
Минковский В. Л. Новый том научного наследия Н. И. Лобачевского. № 2, с. 86.
Ученые-математики
Башмакова И. Г. Карл Фридрих Гаусс. (К 200-летию со дня рождения). № 2, с. 80.
Юшкевич А. П., Демидов С. С. Бернгард Риман. (К 150-летию со дня рождения). № 4, с. 76.
95


Математический календарь
Математический календарь на 1976/77 учебный год, март — апрель, № 1, с. 89; май — июнь, № 2, с. 79; июль — август, № 3, с. 85; на 1977/78 учебный год, сентябрь  — октябрь, № 4, с. 81; ноябрь — декабрь, № 5, с. 83; январь — февраль, № 6, с. 84.
Маргулис А. Я. Андрей Петрович Киселев. (К 125-летию со дня рождения). № 4, с. 81.
Поздравляем юбиляров
Балк М. Б., Петров В. А. Борис Иванович Аргунов. № 3, с. 87.
Баранова И. В., Барчугова З. Г. Абрам Григорьевич Гольдберг. № 4, с. 84.
Белый Б. Н., Пономарев С. А. Михаил Борисович Гельфанд. № 2, с. 84.
Бескин Н. М., Гуревич Г. Б., Майоров В. М. Абрам Миронович Лопшиц. № 3, с. 86.
Буданцев П. А., Колягин Ю. М. Владимир Яковлевич Саннинский. № 1, с. 91.
Гусев В. А., Фоминых Б. И., Луканкин Г. Л. Ю. М. Колягину — 50 лет. № 4, с. 86.
Кудрявцев С. В. Иван Семенович Бровиков. № 1, с. 90.
Куликов Л. Я., Мишин В. И. Николай Георгиевич Федин. № 4, с. 85.
Лаптев Б. Л., Норден А. П., Юшкевич А. П. Борис Абрамович Розенфельд. № 4, с. 84.
Лаптев Б. Л., Филиппова А. М., Закиров В. З., Газизов Б. Г. Борис Владимирович Болгарский. № 4, с. 83.
Левин В. И.,  Малыгин К. А. Степан Павлович Пуль- кин № 1, с. 89.
Лихтарников Л. М., Семенов Е. М., Соболевский П. Е. Селим Григорьевич Крейн. № 3, с. 88.
Мацько Н. Д., Пономарев С. А. Иван Федорович Тесленко № 6, с. 86.
Пономарев С. А. Борис Анастасьевич Кордемский. № 3, с. 86.
Родионов А. Н., Рыжков В. В. Иван Тимофеевич Бородуля. № 2, с. 85.
Сагателян В. В. Арташес Липаритович Шагинян. № 2, с. 83.
Сикорский К. П. Григорий Аронович Ястребинецкий. № 2, с. 85.
Критика и библиография
Басова Л. А. и др. О новом сборнике задач по геометрическим преобразованиям. № 2, с. 89.
Бевз Г. П. Десять книг «Методики преподавания математики». № 2, с. 77.
Болотин В. А., Виленкин Н. Я., Столяр А. А. О книге «Основные понятия современного школьного курса математики». № 3, с. 92.
Больсен Е. М. Первое в России научное издательство физико-математической литературы. № 1, с. 94.
Бычков Б. П. Вопросы преподавания математики на страницах молдавского журнала «Ынвэцэторул советик». № 5, с. 90.
Громов В. П. О книге «Основные понятия современного школьного курса математики». № 3, с. 95.
Ермолаева Н. А., Маслова Г. Г. Письмо в редакцию. № 1, с. 93.
Людмилов Д. С. Пособие для учителей по курсу алгебры VI класса. № 2, с. 88.
Маркушевич А. И. Встреча с классиками. № 5, с. 85.
Марнянский И. А. Пособие для учителей «Производная и интеграл». № 5, с. 90.
Молодший В. Н. К выходу в свет I тома «Математической энциклопедии». № 6, с. 87.
Стратилатов П. В. Познакомимся с книгой «Математика в восьмилетней школе». № 1, с. 92.
Хабиб Р. А., Чесноков А. С. О задачах в учебниках математики для IV и V классов. № 5, с. 91.
Хабиб Р. А., Шушанский Н. И. Планы выпуска литературы на 1978 г. № 6, с. 87.
За рубежом
Бахит А. X., Монахов В. М. О преподавании программирования за рубежом. № 2, с. 91.
Глазков Ю. А. Тетрадь с печатной основой в зарубежной школе. № 4, с. 94.
Маслова Г. Г. III Международный конгресс по математическому образованию. № 4, с. 87.
Черкасова Е. Р. Проблемы политехнического обучения в школах социалистических стран. № 4, с. 92.
Хроника
Алиев Г. А., Садыхов Н. А., Садыхов С. Н., Гусев В. А. Научная студенческая конференция в Баку. № 5, с. 93.
Антонов Д. А., Галин Э. X. Научно-методическая конференция в г. Уфе. № 3, с. 91.
Байдак В. А., Сергеев В. Н. IV Межвузовский научно-методический семинар. № 2, с. 95.
Бычков Б. П. Научная конференция, посвященная 60-летию Октября. № 5, с. 94.
В Министерстве просвещения СССР. № 3, с. 88.
Ермолаев Н. К. Научно-практическая конференция в Ульяновске. № 1, с. 96.
Михелович Ш. X. Семинар «Преемственность в учебно-воспитательной работе между вузом и школой». № 5, с. 93.
Одинцов П. К. Школа по современным проблемам математики в Новосибирске. № 5, с. 95.
Парфенова В. Н. Научно-методическое зональное совещание в Челябинске. № 5, с. 94.
Петрова Е. С. Зональный семинар в Архангельске. № 2, с. 95.
Раков А. Ф., Руденко В. И. Помощь и сотрудничество. № 5, с. 95.
Розов Н. X. В секции средней школы Московского математического общества. № 6, с. 92.
Серегин Г. М., Бровиков И. С., Шапкина В. Н. О работе научно-методических семинаров при НИИ СиМО АПН СССР. № 6, с. 91.
Телебаева Р. Д., Байсалов Д., Турецкий Е. Н. Республиканские математические олимпиады, посвященные 60-летию Великой Октябрьской революции. № 5, с. 96.
Тесленко И. Ф. Научно-практическая конференция на Украине. № 2, с. 94.
Федорова Л. И., Бровиков И. С., Шапкина В. Н. О работе научно-методических семинаров при НИИ СиМО АПН СССР в 1975/76 учебном году. № 1, с. 95.
Некролог
Бескин Н. М. Семен Исаакович Зетель. № 2, с. 96.


ОТ РЕДАКЦИИ
Статьи, присылаемые в журнал «Математика в школе», должны быть перепечатаны на машинке на одной стороне листа через два интервала или переписаны от руки чернилами разборчивым почерком также на одной стороне листа с большим интервалом между строками. Рекомендуется присылать два экземпляра статьи, в том числе обязательно первый.
Все цитаты и ссылки на статьи и книги следует тщательно выверить. Названия источников цитат или ссылок даются без сокращений с указанием автора, названия книги или статьи, издания, в котором статья опубликована, места и года издания, названия издательства и страниц.
К статьям, содержащим задачи, должны быть обязательно приложены их решения.
Рисунки следует выполнить на отдельных листах и пронумеровать. В тексте даются ссылки на соответствующие номера рисунков.
Фотографии должны быть отпечатаны на глянцевой бумаге хорошего качества и присланы в двух экземплярах без каких-либо надписей.
При пересылке статей просим не свертывать их в трубочки.
В конце статьи необходимо разборчиво указать фамилию, имя, отчество и полный адрес автора.
Лицам, желающим принимать участие в решении задач, следует присылать в редакцию решения не позднее двух месяцев после выхода в свет номера, в котором помещены задачи. Решения, поступившие позже указанного срока, редакцией рассматриваться не будут. В сводку помещаются фамилии читателей, решивших не менее 5 задач.
Редакция журнала доводит до сведения читателей, участвующих в решении задач, правила, выполнение которых является обязательным:
1. Решения задач присылаются отдельно от всякой другой корреспонденции.
2. Решение каждой задачи дается на отдельном листе, в конце листа указывается (разборчиво) фамилия автора.
3. К решениям прилагается на отдельном листе список, содержащий номера каждой из решенных задач и точный адрес.
4. Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой из решаемых задач должен быть крупно выделен.
Редакция напоминает всем лицам, предлагающим задачи в «Отдел задач»:
1. Задачи должны присылаться вместе с решениями. Задачи, присланные без решений, редакцией рассматриваться не будут. Каждая задача должна быть представлена на отдельном листе.
2. Если задача заимствована, то должен быть указан источник, откуда она взята.
3. По задачам, не принятым к напечатанию, переписка с авторами не ведется и текст задач авторам не возвращается.