ч' нйцч • -практический журна
IM
ЕГ 009: т ен • ов ...... т
Метод • че ин и
Построение сечении многогранников

Математические Фокусы
Магическая шестерка
Фокусник выгладывает цифру 6 из 15 небольших
предметов (подойдет все, что есть под руками: ластики,
кусочки бумаги и т.п.) так, чтобы 12 из них образовывали
кольцо, а другие 3 — хвостик шестерки. Дальше он
предлагает зрителю назвать любое число больше 3 и отсчитать
сверху вниз начиная от первого в хвостике, количество
предметов, равное названному числу (проделаем это с
числом 7 — см. рис. 1).
Затем зрителю предлагается посчитать предметы — по
кольцу шестерки по часовой стрелке начиная с того
предмета, на котором только что остановились. В результате он
останавливается на новом предмете (рис. 2).
Теперь второй зритель называет любое другое число,
большее 3 и выполняет те же манипуляции, что и первый.
И останавливается он там же, где и первый.
Дальнейшие попытки манипуляций с любыми числами
(но обязательно большими 3) приводит нас снова к одному
и тому же предмету. Почему? Зачем фокусник просит
загадать число, обязательно большее 3? Можно ли проделать
этот фокус с другим количеством предметов?
Фокус с калькулятором
Фокусник просит зрителя набрать на калькуляторе
трехзначное число, выбрав три различные цифры на любой
прямой или диагонали калькулятора с традиционным рас-
7 8 9
положением кнопок: 4 5 6 и умножить его на другое,
1 2 3,
набранное на калькуляторе тем же способом (например,
159 • 456). Затем зритель выбрасывает из полученного
результата любую цифру (кроме нуля) и называет оставшиеся
в любом порядке. В итоге фокусник называет
пропущенную цифру.
Как он это делает? (Подсказка, фокус основан на
признаках делимости.)

В НОМЕРЕ:
И.К.Варшавский, М.Я.Гаиашвили, Ю.А.Глазков
ЕГЭ-2009: ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ РАБОТЫ
Предлагаем вам потренироваться в решении двух вариантов контрольных
измерительных материалов (КИМ) ЕГЭ этого года, подготовленных нашими
постоянными авторами.
| Г.В.Дорофеев \
МЕТОД «НАУЧНОГО ТЫКА» В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
Как ни странно, но наименее защищенными от метода «научного тыка»
являются именно самые сложные для учащихся тригонометрические
уравнения. Впрочем, это вполне объяснимо — как правило, они имеют одну или
несколько бесконечных серий корней.
Е.С.Канин
ИНДУКЦИЯ. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
И ЕГО ЭКВИВАЛЕНТЫ
Многолетние наблюдения человечества за природой свидетельствуют о том,
что в январе месяце в средней полосе России наблюдаются пики
похолодания. Они имеют специальные названия: рождественские (5—10 января),
крещенские (около 19 января), афанасьевские (около 31 января) морозы.
Суждение о том, что в январе месяце «должны быть» 3 вспышки больших
холодов, было сделано на основе обобщения от частных наблюдений к
общему заключению, как говорят, «по индукции».
Б.Н.Кукушкин
ЗАДАЧНИК «МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ»
Задачник «Математики для школьников» представляет новые задачи и
решения задач, опубликованных в прошлом номере.
Предлагаем сверить свои решения с нашими.

32 И.К.Варшавский, М.Я.Гаиашвили, Ю.А.Глазков
ЕГЭ-2009: РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
К ТРЕНИРОВОЧНЫМ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫМ РАБОТАМ
Проверьте, правильно ли Вы решили задания для подготовки к Единому
государственному экзамену.
\
43 В. И. Рыжи к
ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ
Термин «двугранный угол» неоднозначен, как и термин «угол между лучами»
на плоскости. Его можно трактовать как меру отклонения одной
полуплоскости от другой (наглядный пример — дверь или форточка; их можно
открыть больше или меньше)...
55 Е.В.Потоскуев
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура,
представляющая собой множество всех точек пространства,
принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом
называется секущей плоскостью...
61 И.Ф.Акулич
КВАДРАТЫ НАПОЛЕОНА
История гласит, что французский император Наполеон Бонапарт весьма
интересовался точными науками (в том числе алгеброй и геометрией).
Поэтому не исключено, что знаменитая задача Наполеона действительно была
изобретена им самим.
Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»
Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы
Главный редактор
Е.А.Бунимович
Первый заместитель главного редактора
А.И.Верченко
Заместитель главного редактора
А.А.Лаврентьев
Редактор
Е.В.Неискашова
Отдел задач
Б.Н.Кукушкин
Заведующая редакцией
Н.А. Мишвеладзе
Компьютерная верстка
В.Н.Бармин
ООО «Школьная Пресса»
Адрес издательства:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3
Телефоны: 619-52-87, 619-83-80
Факс: 619-52-89
Адрес редакции:
127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3
Телефон: 619-52-87
Факс: 619-52-89
E-mail: lavr@schoolpress.ru
Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации
ПИ № 77-9198 от 14 июня 2001 г.
Формат 84 х 108 1/16
№ 1586. Заказ 503
Тираж 7000 экз. Изд.
Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного
Знамени «Чеховский полиграфический комбинат».
142300, Московская область, г. Чехов,
ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpk.ru. E-mail: marketing@chpk.ru
Факс: 8 (49672) 6-25-36, факс: 8 (499) 270-73-59
© «Школьная Пресса»,
© «Математика для школьников», 2009, № 2
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете, запрещается

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
И.К.Варшавский, М.Я.Гаиашвили, Ю.А.Глазков
ЕГЭ-2009: ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ РАБОТЫ
Предлагаем Вам потренироваться в решении двух вариантов
контрольных измерительных материалов (КИМ) ЕГЭ этого года,
подготовленных нашими постоянными авторами.
I вариант
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по
математике дается 4 ч (240 мин). Работа состоит
из трех частей и содержит 26 заданий.
Часть 1 содержит 13 заданий (А1— А10 и В1 —
ВЗ) базового уровня по материалу курса
математики. К каждому заданию А1—А10 приведены 4
варианта ответа, из которых только один верный.
При выполнении этих заданий надо указать
номер верного ответа. К заданиям В1—ВЗ надо дать
краткий ответ.
Часть 2 содержит 10 более сложных заданий
(В4—В11, CI, C2) по материалу курса
математики. К заданиям В4—В11 надо дать краткий ответ,
к заданиям О и С2 — записать решение.
Часть 3 содержит 3 самых сложных задания,
два — алгебраических (СЗ, С5) и одно —
геометрическое (С4). При их выполнении надо записать
обоснованное решение.
Советуем для экономии времени пропускать
задание, которое не удается выполнить сразу, и
переходить к следующему. К выполнению
пропущенных заданий можно вернуться, если у Вас
останется время.
Желаем успеха!
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке
ответов №1 под номером выполняемого задания
поставьте знак "х" в клеточке, номер которой
соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1. Упростите выражение
1) 0,9 2) 2 3) 130'9 4) 13
13
1,8
13°
А2. Вычислите: ^0,0256-81.
1) 1,44 2) 0,0144 3) 0,0012 4) 1,2
A3. Вычислите: log672 + log63.
1)6 2)2 3)3 4)4
А4. На одном из рисунков изображен график
функции у
1)
(\\х
V-V
Укажите номер этого рисунка.
1 у-
III!1
mii°
k
l ! 1 ! ! !
^J 1 1 \ \ *!
2)
:\ ГУ
i j \ i ^
1 ! ! ! о
.... ... .. . . . ^
1 1 j \ 1
им
►:

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
2/2009
3)
\ о
i \ \ *\
4)
! j><
1
МММ»!
1 } j \ | |
А5. Найдите производную функции
h(x) = cosx — 2х3 — 3.
1) h'(x) = —sinx — бх2 — 3 2) h'(x) = sinx — бх2
2
3) A'(x) = sinx—х2-3 4)A'(x) = -sinx-6x2
А6. Найдите множество значений функции
у = 5 + 1пх.
1)(-оо;+оо) 2)(0;+оо) 3)(5;+оо) 4) [5; +<*>)
А7. Скорость распространения звука в воздухе
равна 340 м/с. Современные
самолеты-истребители летают значительно быстрее. Определите по
графику, сколько секунд самолет летел со
сверхзвуковой скоростью 400 м/с и более. (На оси
абсцисс отмечено время полета в секундах, на оси
ординат — скорость в метрах в секунду.)
; \v,
koo
300
200
jioo
10
м/с
60
! 120 1
180 !
240 1
300
t, с
360 I
1) 150 2) 240 3) 330 4) 360
4х
-<0.
А8. Решите неравенство
1) (-оо; -5) и (-5; +оо) 2) (-оо; -5) и [0; +~)
3) (-5; 0] 4) (-оо; -5] и (0; +оо)
л/3
А9. Решите уравнение sinx = 0.
1) ±- + 2тш, п е Z 2) (-1У- + 7Ш, л е Z.
3) (-1)"- + 7Ш, п е Z 4) (-1)"- + 2тш, п е Z
6 3
А10. Решите неравенство 53х+18>125.
1)(-5;+оо) 2)(-оо;-5) 3)(-оо;7) 4) (7;+~)
Ответом на задания В1—В11 должно быть
некоторое целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби. Это число надо
записать в бланк ответов №1 справа от номера
выполняемого задания, начиная с первой
клеточки. Каждую цифру, знак минус
отрицательного числа и запятую в записи десятичной
дроби пишите в отдельной клеточке в
соответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерений писать не нужно.
D1 „ . 24 Зтг -
81. Найдите sin а, если cosa = — и —<а<2л.
25 2
82. На рисунке изображен график функции
У —f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
х0. Найдите значение производной в точке х0.

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
5
: у'
: . , . ; . .
И^ !
х0 \ 0
ill:
-.1.. . 1.
i
|i ;
x\
ВЗ. Для забора вокруг дачного участка (см.
рисунок) нужно приобрести металлическую сетку.
Ширина ворот равна 3 м (для изготовления ворот
сетка не нужна). Цена сетки 100 р. за 1 м2.
Определите стоимость сетки.
30 м
2м
20 м
ЧАСТЬ 2
84. Решите уравнение з* +18 • (л/з)v - 243 = 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то
в бланке ответов запишите их произведение.)
85. Функция y=f(x) определена на
промежутке (— 3; 7). На рисунке изображен график ее
производной. Укажите точку максимума функции
y=f(x) на промежутке (—3; 7).
86. Вычислите значение выражения
10lg3+49log7^T.
87. Функция у =f(x) определена на всей
числовой прямой и является периодической с
периодом 4. На рисунке изображен график этой
функции при — 2 < х < 2. Найдите значение выраже-
/(7)
ния Л-10)-
ДЩ
\ у\ \
jV~j i-
1 \3>
И1
X
88. Найдите все значения я, при каждом из
которых уравнение \а — 1 — \х\\ = 3 имеет ровно
3 корня.
89. Объемы ежемесячной продажи
компьютеров в первом, втором и третьем магазинах
относятся как 7:5:10. В связи с сокращением
торговых площадей планируется уменьшить месячную
продажу компьютеров в первом магазине на 11 %
и во втором — на 15%. На сколько процентов
нужно увеличить месячную продажу компьютеров
в третьем магазине, чтобы суммарный объем
продаваемых за месяц компьютеров не изменился?
В10. Концы отрезка МК лежат на окружностях
двух оснований цилиндра. Угол между прямой МК
и плоскостью основания цилиндра равен 45°,
МК = 5V2, объем цилиндра равен . Найдите
к
площадь боковой поверхности цилиндра.
i B11. Средняя линия равнобедренной трапеции
{ равна 20, а радиус вписанной в нее окружности
1 равен 8. Найдите большее основание трапеции.
\ Для записи ответов на задания С1 и С2 ис-
\ пользуйте бланк ответов № 2. Запишите сна-
\ нала номер выполняемого задания, а затем —
f решение.
I C1. Найдите наибольшее значение функции
\ /(д) = _^_ при \х- 1,25|<0,75.
х2 +х + 1
С2. Найдите все значения
t которых выражения
V3si
sin х
х, при каждом из
sin4x + V3c
1
ctg2x
принимают равные значения.
и
»cos4 х
ctg2x

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
2/2009
ЧАСТЬ 3
Для записи ответов на задания СЗ—С5
используйте бланк ответов № 2. Запишите
сначала номер выполняемого задания, а затем —
обоснованное решение.
СЗ. Найдите все значения х > 2, при каждом
из которых наибольшее из двух чисел
« = log3(x-l) + 51ogx_127-5 и /> = 147-log32(x-l)3
больше 3.
С4. Около правильной пирамиды FABC
описана сфера, центр которой лежит в плоскости
основания ABC пирамиды. Точка М лежит на
ребре АВ так, что AM : MB =1:3. Точка Т
лежит на прямой AF и равноудалена от точек М
и В. Объем пирамиды ТАСМ равен —.
Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды
FABC.
С5. Найдите все значения параметра /?, при
каждом из которых уравнение
X
(Зр-\\)-625°-5х +(4р-21)0,041 +Р+2 = 0
имеет ровно 8р — р2 — \5 различных корней.
II вариант
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1—А10 в бланке
ответов № 1 под номером выполняемого задания
поставьте знак "х" в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами
ответа.
А1. Упростите выражение 140-5
1) 4,5 2) 2 3) 142 4) 1445
144.
А2. Вычислите: i
О
2)
]6_
25
3)
256
625'
256
625
4)
64
625
A3. Вычислите: log5150 — log56.
1)1 2) 2 3) 3 4) 4
А4. На одном из рисунков изображен график
функции у = log05 х. Укажите номер этого
рисунка.
1)
2)
3)
4)
\ У] М/ !
1 1
ММ!0
|i I
! Х\
\\ \ \ У1
\ \ V
ММ1°
^ : : : : : :
} | | |
1 М М М
]1 j | ! *;
м по
* :::::: :
1 М
И ! | | | j |
\ ММ М
lj\J ! ! Х\
i4qi i
! м1—j
\у '
Mill
М °
к : :
А
\ I | х\
А5. Найдите производную функции
п(х) = е* - 5х3 + 2х- 1.
\)h'(x) = ex - 15x2 + 2

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
7
2)И'(х) = е* - \5х2 + 1
3) h'(x) = ex--x2-2x + \
4) h'(x) = xex~[ - 15х2 + 2
А6. Найдите множество значений функции
у = 3 + sinx.
1)[3;+~) 2)(-оо;+оо) 3) [—1; 1] 4) [2; 4]
А7. Судно на подводных крыльях может плыть
со скоростью 75 км/ч. При скорости 25 км/ч
корпус судна поднимается над поверхностью воды
и оно движется, опираясь на подводные крылья.
Определите по графику, сколько часов корабль
плыл на подводных крыльях. (На оси абсцисс
отмечено время движения в часах, на оси орди-
1
40
!зо
20
10
! о
м/с
>\
1
2
3
4 f
t, ч
I 6
1) 4,5 2) 5 3) 5,5 4) 6
А8. Решите неравенство
5х
->0.
7х + 28
1) (_оо; _4) и [0; +оо) 2) (-4; 0]
3) (-оо; -4) и (-4; +оо) 4) (-оо; -4] и [0; +<~)
А9. Решите уравнение cosx — = 0.
1) (-1)"- + 7Ш, neZ 2) ±- + 2тш, neZ
4 6
3) ± —+ 7СЯ, neZ 4) ±- + 2тш, neZ
3 3
A10. Решите неравенство 94х+14 < 81.
1) [-1.25; +oo) 2) (-оо; -1,25]
3) (-оо; -3] 4) [-3; +oo)
Ответом на задания В1—В11 должно быть
некоторое целое число или число, записанное в
виде десятичной дроби. Это число надо
записать в бланк ответов № 1 справа от номера
выполняемого задания, начиная с первой
клеточки. Каждую цифру, знак минус
отрицательного числа и запятую в записи десятичной
дроби пишите в отдельной клеточке в
соответствии с приведенными в бланке образцами.
Единицы измерений писать не нужно.
81. Найдите cos, если sinoc = —, и л<ос< —.
82. На рисунке изображен график функции
У =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
х0. Найдите значение производной в точке х0.
|! | У'
/7 '
/ [
' i
i -
i
i
*oO
* 1 I ■: 1
..1 | J : j j
1 : : : :
hi I *i
ВЗ. Для оклейки стен кладовой (см. рисунок)
нужны обои. Ширина двери равна 0,8 м, высота —
2,5 м. В одном рулоне — 10 м2 обоев. Определите
наименьшее необходимое количество рулонов,
если стены решено оклеить полностью, от пола
до потолка.
Ъ м
Зм
ЧАСТЬ 2
В4. Решите уравнение 6х + 30 • (л/б У -216 = 0.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
;2/200Э
(Если уравнение имеет более одного корня, то
в бланке ответов запишите их произведение.)
В5. Функция у =f(x) определена на
промежутке (- 3; 6). На рисунке изображен график ее
производной. Укажите точку минимума функции
У=/(х) на промежутке (—3; 6).
86. Вычислите значение выражения
15log|54+1000lg3.
87. Функция у—fix) определена на всей
числовой прямой и является периодической с
периодом 4. На рисунке изображен график этой
функции при — 2 < х < 2. Найдите значение выраже-
/(1)
ния
Л-7)
-ДЮ).
88. Найдите все значения я, при каждом из
которых уравнение 14 — \х | + а | = 9 имеет ровно
3 корня.
89. Объемы ежегодного производства конфет в
первом, втором и третьем цехах относятся как
12 : 13 : 10. Планируется уменьшить годовое
производство конфет в первом цехе на 10% и во
втором — на 20%. На сколько процентов нужно
увеличить годовое производство конфет в третьем
цехе, чтобы суммарный объем производимых за
год конфет не изменился?
810. Концы отрезка МК лежат на
окружностях двух оснований цилиндра. Угол между
прямой МК и плоскостью основания цилиндра
равен 60°, МК = 4v3, площадь полной
поверхности цилиндра равна 32л. Найдите периметр
осевого сечения цилиндра.
811. В прямоугольную трапецию вписана
окружность. Точка касания окружности и трапеции
делит одну из ее боковых сторон на отрезки 4 и
16. Найдите большее основание трапеции.
Для записи ответов на задания С1 и С2
используйте бланк ответов № 2. Запишите
сначала номер выполняемого задания, а затем —
решение.
С1. Найдите наибольшее значение функции
/(*) =
JC + 1
при \х + 2,51 < 1.
С2. Найдите все значения х, при каждом из
7cos2x
которых выражения
8tg2x
принимают равные значения.
cos6 х —sin6 x
tg2x
СЗ. Найдите все значения х > 0, при каждом
из которых наибольшее из двух чисел
tf = log2(2x + l) + 41og2A+116-8
и 6 = 38-log2(2x + l)2 больше 2.
С4. Около правильной пирамиды FABC
описана сфера, центр О которой лежит в плоскости
основания ЛВС пирамиды. Точка М лежит на
ребре ЛВ так, что AM : MB =1:3. Точка Т
лежит на прямой AF и равноудалена от точек М
и В. Объем пирамиды ТОСМ равен .
288
Найдите радиус сферы, описанной около
пирамиды FABC.
С5. Найдите все значения параметра /?, при
каждом из которых уравнение
Л'
(0,6/? -1) • 625°'5*+<U5 + {Ар - 3) • 0,008"1 + р + 2 = 0
имеет ровно Ар — р2 — 3 различных корней.

ИДУ НА ЭКЗАМЕН — Э
I Г.В. Дорофеев |
МЕТОД «НАУЧНОГО ТЫКА»
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
Как ни странно, но наименее защищенными от метода «научного тыка»
являются именно самые сложные для учащихся — тригонометрические
уравнения. Впрочем, это вполне объяснимо — как правило, они имеют
одну или несколько бесконечных серий корней.
Для отбрасывания такой серии достаточно
привести хотя бы один пример входящего в нее угла,
не являющегося решением уравнения, либо,
наоборот, пример угла, в нее не входящего, но
являющегося решением уравнения. А для этого
нужно всего лишь знать значения основных
тригонометрических функций от простейших углов и, хотя
бы, немножко знать простейшие свойства этих
функций.
Правда, в тригонометрических уравнениях
имеется одна проблема, возникающая именно при
использовании задач с выбором ответа. Дело в том,
что именно в таких уравнениях ситуация, когда
ответ может быть записан в разных формах,
является вполне обычной, ординарной, а
предлагаемые варианты ответов учитывают, естественно,
только один из способов записи — тот, который
по своему вкусу выбрал составитель задачи.
Поэтому учащийся может уравнение решить
правильно, но не найти полученную запись в
предложенных вариантах.
Несколько лет назад на ЕГЭ предлагалась
такая задача.
Пример 1. Указать наименьший корень
уравнения sin2x - 5sinx + 4 = 0.
Зл к
1. —; 2.0; 3. arcsin4; 4. —
Решение. Пробегая предложенные варианты
ответов, замечаем, что 0 не является корнем
заданного уравнения — sinO = 0, в третьем варианте
выражение arcsin 4 не имеет смысла — под знаком
арксинуса не может стоять число, большее 1, и
для выбора между вариантами 1 и 4, естественно,
начнем с варианта 4 — — «проще», чем —.
Так как sin — = 1, то при подстановке х = — в
левой части уравнения получаем 0, так что
правильный ответ — в варианте 4 (по «теореме
единственности»*).
О т в е т: 4.
Пример 2. Найти все решения уравнения
3 sin2 х + ctg2 х = —— + 2.
sin х
1. - + ш (п е Z); 2. 2пп (п е Z);
3. кп (п е Z); 4. к + 2кп (п е Z).
Решение. Скорее всего, имелось в виду
следующее решение: по одной из основных
тригонометрических формул 1 + ctg2 х = —-—, прибавив
sin х
к обеим частям данного уравнения 1, будем иметь:
3sin2x +—-— = —-— + 3, 3sin2x = 3, sin2* = 1,
sin x sin x
sinx = 1 или sinx = — 1.
А далее «слишком» привыкшие к стандартным
алгоритмам и «слишком» отвыкшие хоть немного
думать самостоятельно могли попасть в весьма
неприятную ситуацию: по формулам решений для
простейших тригонометрических уравнений
к
sinx = 1 при х = (-\)"— + тм,
sinx = — 1 при х = (-1)Л+1— + 7W,
а такого ответа в перечисленных вариантах нет!
* Теорема существования и единственности правильного
ответа утверждает, что среди представленных вариантов
ответов всегда есть верный, при этом верный ответ —
единственный.
1
I
2 Математика для школьников № 2

ю
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/2009
И даже если знать, что для уравнений sinx = 1
и siruc = —1 общая формула решений может быть
записана в более простом, чем в общем случае, виде
х = — + 2тм — для первого и х = — + 2тм — для
второго, то и такого ответа нет — даже если записать
к
эти равенства в «объединенном» виде ± —+ 2тм.
Между тем применение метода «научного тыка»
приводит к решению моментально: при самом
простом значении п = О получаем варианты от-
к
ветов: —, 0, 0, тс, однако 0 и тс не входят в область
определения данного уравнения. Следовательно,
ответы в вариантах 2, 3, 4 — неверные, а
правильный ответ — в варианте 1.
Ответ: 1.
Для «утешения» приверженцев стандартных
рассуждений отметим, что и в первой, зашедшей
в тупик попытке решения можно было бы выйти
из затруднений, если хоть немного любить себя и
беречь свои силы и время: вспомнить «самую
простую» формулу тригонометрии sin2x + cos2jc = 1
и вместо уравнения sin2x = 1 решить уравнение
cos2x = 0, или cosx = 0 и получить правильный
ответ х = — + пп (п е Z) — если, конечно, знает
эту самую простую формулу решений уравнения
cosx= 0 или умеет решать такие уравнения
самым простым способом — по
тригонометрической окружности.
Пример 3. Решить уравнение
1
COS X
2— + COS X = tg2 X.
п
1. - + 2кп (п е Z); 2. 2тм (п е Z);
3. кп (п е Z); 4. к + 2тм (п е Z).
Решение. Стандартное решение этого
уравнения вызовет, как легко видеть, те же
трудности, что и в предыдущем уравнении, а метод
«научного тыка» моментально приводит к нужному
результату.
В самом деле, при п = 0 получаем варианты
—, 0, 0, тс. Но — не входит в область
определения уравнения — при этом значении х тангенс
не имеет смысла, при х = 0 уравнение
превращается в неверное числовое равенство 1 + 1=0, и,
следовательно, в первых трех вариантах ответ
неверный, а правильный ответ — в варианте 4.
Ответ: 4.
Пример 4. Решить уравнение
(tg2x + l)tgx = —
1
COS X
1. — + 2тм (п е Z); 2. кп (п е Z);
к
3. — + пп (п е Z);
к
4. — + тм (п е Z).
4 V
Решение. При п — 0 получаем варианты
к
к л к к
—,0,—,— и замечаем, что — не входит в
2 4 4 2
область определения уравнения — при этом
значении х тангенс не имеет смысла, при х = 0
левая часть уравнения равна 0, а правая — нет,
к
при х = — левая часть положительна, а правая
отрицательна. Следовательно, правильный ответ —
в варианте 3.
Ответ: 3.
Отметим, что «маленькая хитрость» (мы «про-
скочили» через значение х = —) дала нам воз-
4
можность избежать подстановки этого значения
в уравнение, требующей простых, но не слишком
приятных числовых вычислений:
(1 + 1)(-1) = -
1
VI
-2 = -
Г
4
-2 = -
4
Пример 5. Решить уравнение
lOcos х + 3cosx +1=0.
2тс
1. + 2тм (п е Z);
3
2. ±arccos- + 2TW (n e Z);
5
3. к + 2тм (п е Z); 4. Нет решений.
Решение. Приведем сначала стандартное
решение. Заданное уравнение является квадратным
относительно у = cosx и, сделав эту замену
переменной, получаем уравнение

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
11
ЮУ + ЗуН- 1 =0, д2 =
-3±л/9-40
20
т.е. дискриминант уравнения отрицателен, и оно
не имеет решений.
А что нам даст для данного уравнения метод
«научного тыка»?
При я = 0 в первых трех вариантах имеем зна-
2я , 1 _ ( 2кл
чения , ±arccos— и п. Так как cos
3 5
2к 1
= cos— =—,
3 2
то при подстановке х =—
2л
уравнение получаем равенство
11 5 3
Ю-±-3.- + 1 = 0, --- + 1 = 0, 2 = 0,
4 2 2 2
т.е. равенство неверно, и --
2л
не является
корнем уравнения, так что ответ в варианте 1
неверный.
А теперь придется проверять «жуткие» значе-
1
ния х = ±arccos—, но в данном случае
достаточно помнить лишь, что arccos я — это угол,
косинус которого равен а. Поэтому при подстановке
1
х = arccos— в левую часть уравнения получаем
1 1 2 3
10 — + 3-- + 1=- + - + 1*0,
25 5 5 5
1
так что arccos— не является его корнем, т.е. ответ
в варианте 2 также неверный.
Наконец, при х = к получаем
10 — 34-1=0,
т.е. к также не является корнем уравнения, и
ответ в варианте 3 также неверный.
Таким образом, правильный ответ — в
варианте 4.
Ответ: 4.
Мы видим, что решение методом «научного
тыка» оказалось существенно более сложным, чем
решение стандартное, и потребовало больше и
знаний, и сил, и времени. В то же время данное
уравнение только по внешнему виду является
тригонометрическим и потому стандартным образом
решается «чисто алгебраически»: очевидной,
прямо бросающейся в глаза заменой переменной и
применением формулы дискриминанта
квадратного уравнения.
Далее чуть изменим условие решенного
уравнения.
Пример 6. Решить уравнение
10cos2x + 3cosx —1=0.
1. ± — + 2тм (п е Z);
3 V ''
2. ± arccos — + 2тм (п е Z);
1 2л;
3. ±arccos — + 2тм (/ie Z), ± — + 2тм (пе Z);
5 3
4. Нет решений.
Решение. В этом чуть-чуть измененном по
сравнению с предыдущим уравнении при замене
переменной у = cosx мы получаем квадратное
уравнение Юу2 + Зу — 1 =0, дискриминант
которого положителен: D = (—З)2 + 40 = 49, и
-3 + 7 1
поэтому оно имеет два корня: ух = = — и
Уг-
-3-7
20
1
Таким образом, cosx равен - или
и по
формуле решений простейшего уравнения cosx = a
имеем две серии корней:
x = ±arccos — + 2тм (neZ)
5
и х = ±— + 2тм (пе Z),
так что правильный ответ — в варианте 3.
Попробуем теперь применить метод «научного
тыка». При п = 0 в первых трех вариантах получа-
ем значения ±—, ±arccos-,
1 2л
±arccos-, ± —
5 3
, 2л
и проверим, являются ли корнями х = ±—. Так
как cos ±— =— (для вычисления этого ко-
l 3J 2
синуса удобнее, конечно, воспользоваться
тригонометрической окружностью, а не применять
формулы приведения), то при подстановке в
заданное уравнение получим числовое равенство
2*

12
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ IZZZ 2 / 2009
11 5 3
10 —-3 —-1 =0, ----1 = 0, 1-1 = 0,
4 2 2 2
и поскольку это равенство верно, то оба значения
являются корнями уравнения.
Это рассуждение дает возможность отбросить
вариант 4, а для дальнейшего решения придется,
очевидно, разбираться с х = ±arccos—. Но
косинус обоих этих углов равен -, и при
подстановке в уравнение получаем числовое равенство
1 1 2 3
10—+ 3--1=- + --1=0,
25 5 5 5
и поскольку это равенство верно, то оба значения
±arccos— также являются корнями заданного
уравнения.
А полученные значения ±— и ± arccos —
«вместе» входят только в ответ из варианта 3, так
что он и является правильным.
Ответ: 3.
По мнению автора, и в этом уравнении
применение метода «научного тыка» не проще, чем
приведенное в начале стандартное решение — во
всяком случае для тех, кто может догадаться до
очевидной замены переменной, решить квадратное
уравнение, что уже труднее и, главное, умеет
решать простейшие уравнения вида cosx = я, а это
уж «совсем высокое» умение, хотя и входящее в
требования стандарта.
Зато в следующем примере преимущество
метода «научного тыка» несомненны.
Пример 7. Решить уравнение 4sinx + sin2x = 0.
к
1. 2кп (п е Z); 2. — + 2кп (п е Z);
к
3. кп (п е Z); 4. — + кп (п е Z).
Решение. Подставив во все варианты ответов
п = 0, получаем значения 0, —, 0, —, и
поскольку х = 0 — корень заданного уравнения (sinO = 0),
к . к .
а не является его корнем (sin — = 1, sin тс = 0),
то правильные ответы — либо в варианте 1, либо
в варианте 3.
А эти варианты различаются, например, углом
п: он входит в серию кп (п е Z) (при п = 1), но
не входит в серию 2кп (п е Z) (к = 2кп при
п =—, а это число дробное). Поэтому достаточно
проверить, является ли он корнем уравнения:
4sin7i + sin27i = 4-0 + 0 = 0,
т.е. к — корень уравнения, так что правильный
ответ — в варианте 3.
Ответ: 3.
Приведем и стандартное решение. Пользуясь
формулой синуса двойного угла, с помощью
необходимых алгебраических преобразований будем
иметь:
4sinx + sin2x = 0, 4sinx + 2sinxcosx = 0,
sinx(2 + cosx) = 0,
sinx = 0 или 2 + cosx = 0.
Первое уравнение имеет решение пп (п е Z),
а второе не имеет решений — cosx не может
быть равен -2.
Конечно, это решение совсем несложно и
вполне подходит для тех, кто хорошо помнит
формулы, владеет алгебраическими преобразованиями,
и вообще для предпочитающих работать не
столько головой, сколько руками.
Пример 8. Сколько корней имеет уравнение
(sin4x - cos4x) • log2(l - х2) = 0?
1. 1; 2. 2; 3. 3; 4. 4.
Решение. Число х = 0, очевидно, является
корнем заданного уравнения — log21=0, но ни
один из вариантов из-за этого не «отпадает».
Заметим, однако, что левая часть уравнения не
меняется при замене х на —х: в выражении «под
логарифмом» х «стоит» в квадрате, косинус
вообще не меняется, а синус меняет знак, но при
этом его четвертая степень не изменяется. На
«научном» языке это означает, что левая часть
данного уравнения — четная функция, и ее
график симметричен относительно оси ординат.
Мы вовсе не имеем при этом в виду, что нужно
изобразить график именно этой «кошмарной»
функции — нарисуйте график «произвольной»
нечетной функции у = /(х), проходящий через
начало координат (ведь у нас /(0) = 0), и вы уви-

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
13
дите это сами: каждому корню а соответствует
корень -д, поскольку f(-a) =f(a). Но число О
является корнем уравнения, так что оно имеет
нечетное число корней: 0 плюс четное число
других корней.
Другими словами, правильным является ответ
либо в варианте 1, либо в варианте 3. Для того
чтобы их различить, достаточно найти еще один
корень заданного уравнения, а для этого
придется рассмотреть уравнение sin4x - cos4x = 0, или
sin4x= cos4x — из уравнения log2(l - х2) = О
ничего, кроме уже найденного корня х = О, «не
выжмешь».
А уравнение sin4x = cos4x решать вовсе не
нужно — достаточно вспомнить, что синус равен
коте
к
синусу, например, для угла
а значит, и
четвертые степени равны, так что
корень урав-
cos4x.
нения sin х
Здесь нас, однако, подстерегает стандартная, но
тонкая ловушка — а вдруг при
к
х = —
4
не имеет
смысла второй множитель заданного уравнения?
В этом случае, конечно, —
4
не корень уравнения.
Поэтому надо еще проверить, выполняется ли
неравенство 1 -
^2
v4y
>0. Но к = 3,14... < 3, так
что
-< 1 и
< 1, или 1 -
^2
>0.
Таким образом, правильный ответ — в варианте 3.
Ответ: 3.
Впрочем, и стандартное решение идет по
примерно такому же пути. Область определения
заданного уравнения определяется неравенством
1 — х2 > 0, или -1 < х < 1, и надо решить
уравнение sin4x = cos4x на этом интервале. На его
«правой половине» 0 < х < 1 оно равносильно
уравнению sinx = cosx и имеет единственный
коте
рень х = —, а на «левой половине»
уравнению
ный корень х
1 <х< О —
sinx = cosx и также имеет единствен-
—. А поскольку число 0 —
также корень этого уравнения, то всего оно имеет
три корня, так что правильный ответ — в
варианте 3.
Нельзя не указать, однако, что в стандартном
решении имеется один необъяснимо трудный
для учащихся момент — решение неравенства
1 - х2 > 0. Несмотря на все старания учителей,
многие учащиеся переписывают это неравенство
в виде х2 < 1, а это неравенство решают «по
своему» разумению»: извлекают из обеих частей
квадратный корень и получают «неравенство» х < + 1.
Причем вряд ли кто-нибудь из них мог бы
объяснить, что означает эта запись, ответив хотя бы на
вопрос, а верно ли это «неравенство» при х = 0,
т.е. верно ли, что 0 < ±1. Между тем понимать
свое собственное «изобретение» обязан не только
будущий математик, но и будущий футболист или
кинокритик.
Пример 9. Решить уравнение tg Зх = tg 5x.
пк
1. — (п е Z); 2. пп (п е Z);
3. 2/го (п е Z); 4. y + 2wt (n e Z).
Решение. При п = 0 в представленных
вате
риантах ответов получаем набор 0, 0, 0, —, что
позволяет отбросить вариант 4, а при п = 1 —
набор —, тс, 2тс — при этом два последних угла
являются корнями заданного уравнения, а первое
не входит в его область определения: в левой ча-
Зтг
сти оказывается tg—, а он не имеет смысла —
Зтс
угол — лежит на вертикальном диаметре
тригонометрической окружности. Поэтому ответ в
варианте 1 — неверный, и остаются для сравнения
только варианты 2 и 3.
Эти варианты различаются, например, углом
п — он входит в первую серию и не входит во
вторую. Но х = к — корень уравнения, т.е. в
варианте 3 он «потерян», и, следовательно,
правильный ответ — в варианте 2.
Ответ: 2.

14
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
;2/2009
Приведем и стандартное решение. Вполне
естественно перейти к уравнению tg3x — tg5jc = О,
но относительно сложная формула разности
тангенсов
sin(oc-P)
tgoc-tg(3 =
cos a-cos P
даже не входит в стандарт, и для выхода из
положения придется выводить ее самостоятельно:
0 sin a sin В
tga-tgp = £ =
cos a cosp
_sinacosP-cosasinP _ sin(a-P)
cos a-cos P cos a-cos P
отметим, что здесь еще понадобилась формула
разности синусов.
Теперь имеем уравнение
sin 2х _ п
cos3xcos5x
откуда sin2x = 0, т.е. 2х = пк,
Однако было бы грубой ошибкой считать это
ответом к заданному уравнению — ведь дробь
равна 0 в случае, когда ее числитель равен 0, а
знаменатель отличен от О, так что из
полученной серии углов надо еще выбросить углы, при
которых cos3xcos5x = 0.
По тригонометрической окружности видно, что
пк
пк
х = — (пе Z).
углы вида х = -
лежат на горизонтальных
диаметрах — при четных п, и на вертикальных —
при нечетных п. А при умножении и на 3, и на
5 четность целого числа не меняется — четное
остается четным, а нечетное нечетным. Поэтому
^ Зпк _ 5пк
углы Зх = и 5х = лежат на
горизонтальных диаметрах при четных «, ана вертикальных
диаметрах — при нечетных п.
пк
Другими словами, значения

заявляются
корнями заданного уравнения при четных я,
п = 2к (к е Z), т.е. все его решения задаются
формулой х = кк (k е Z).
Заметим еще, что некоторые учащиеся решают
уравнения такого типа с помощью «большой
теории»: тангенсы двух углов равны тогда и только
тогда, когда эти углы отличаются друг от друга на
целое кратное угла к:
tga - tgP = 0 <=> a - Р = пк (п е Z).
Однако это утверждение просто неверно: на-
Зл: к
пример, — и — отличаются на л, но равен-
Зк к
ство tg—= tg—, конечно, верным быть не
может, так как тангенсы этих углов не существуют.
Отметим, что вряд ли кто-нибудь не
согласится с тем, что решение методом «научного тыка»
значительно проще, чем приведенное
стандартное решение.
Пример 10. Решить уравнение
sin2xcos22xsin26xtgxctg3x = 0.
пк (6п±\)к
1. —,—т— ("е z);
4 6
- (2п + \)к (6п±\)к ( „.
2. ^——^—^——1— (п е Z);
4 6
пк (6л±1)я
3. —, (п е Z);
4 6
. (2н + \)к
4. пк, — (п е Z).
4
Решение. При п = 0 в представленных
вариантах получаем наборы значений
0Д*;*,±*;0,±*;0,*
6 4 6 6 6
и при первой же проверке значения х = 0
замечаем, что 0 не входит в область определения
заданного уравнения: если мы не «купимся» на
равенство sin 0 = 0 и у нас хватит терпения дойти
до конца произведения, то обнаружим, что
котангенс 0 не имеет смысла.
А х = 0 входит во все ответы, представленные
в вариантах, кроме варианта 2, а значит, в этом
варианте и задан правильный ответ. Итак,
правильный ответ — в варианте 2.
Ответ: 2.
Стандартное решение мы приводить не будем —
оно длинно и однообразно.
Пример 11. Сколько корней имеет уравнение
(cosxcos3x + sinxsin3x)v-x2 +3x =0?
1.1; 2. 2; 3. 3; 4. 4.
Решение. Подкоренное выражение
обращается в 0 при х = 0 и х = 3, так что два

ИДУ НА ЭКЗАМЕН
15
«алгебраических» корня мы уже имеем, и
остается выбрать между вариантами 3 и 4 — найти
«тригонометрические» корни.
Если знать формулу косинуса разности
cos (а — Р) = cos а cos P + sin а sin P,
то первый множитель можно переписать в виде
cos(-2x) = cos2x и заметить, что косинус равен
О на вертикальных диаметрах
тригонометрической окружности х = -
к
Зя
х = —, а стало быть,
i л " Я Зя
cos 2х = 0 на их «половинах» х = — и х = —,
4 4
т.е. заданное уравнение имеет еще 2 корня, и
правильный ответ — в варианте 4.
Если же этой «слишком умной» формулы не
знать — несмотря на то что она входит в
стандарт, — то придется хорошо потрудиться. «Самое
простое» после 0 «тригонометрическое» число
х = — корнем уравнения не является:
я Зя . я . Зя Л Л л . 1Ч Л
cos—• cos— + sin— sin — = 0 • 0 +1 ■ (-1) * О,
2 2 2 2
а «следующим» простейшим
«тригонометрически
ким» числом является, пожалуй, х =—> и при
этом значении х имеем:
я Зя . я . Зя
cos—cos—+sin—sin—=—
4 4 4 4 2
A
2
\й.й-ь
2 2
и, таким образом, мы нашли еще один корень
заданного уравнения.
Однако радости от этого мало — мы уже знали,
что верный ответ содержится в одном из
вариантов 3 и 4, но в каком именно, мы еще не знаем.
Имеется ли еще хотя бы один корень уравнения?
Какие еще значения х испытывать?
Одно «неплохое» число еще осталось в первой
четверти: х =—,
6
но оно не корень:
я Зя . я . Зя я Л I t l
cos—• cos— + sin — sin — = cos — • 0 + — • 1 =—,
6 6 6 6 6 2 2
а грамотное применение метода «научного тыка»
подсказывает, что стоит испытать значение
Зя
х = конечно, его не назовешь «простым», но
уж больно хорошо все сошлось при проверке х = —.
Надо вычислить выражение
Зя 9я . Зя . 9я
cos—cos— + sin — sin—,
4 4 4 4
9я _ я
а для этого достаточно заметить, что — = 2 я +—,
4 4
а «добавка» к углу 2я не меняет ни его косинуса,
ни его синуса, так что это выражение равно
Зя я . Зя . я Л
cos cos— + sin sin —= 0 —
4 4 4 4
я
мы это уже видели — когда утверждали, что
4
корень уравнения.
Ответ: 4.
В этом примере мы видим, что и применение
метода «научного тыка» проходит проще, если все
же помнить стандартные формулы. Но каждый
выбирает сам.
Пример 12. Решить уравнение
sin2x + sin22x = sin23x + sin24x.
пк (2я + 1)я _
2-T'-Jo-(weZ);
4. fine Z).
Решение. Начнем со стандартного решения.
По формуле синуса половинного угла
2 ос 1 - cos a
~2
и поэтому заданное уравнение можно переписать
в виде
пп
1. — (п е Z);
- пк (2л + 1)я
3. —,- — (п е Z);
5 2
sin — = -
1-cos2jc 1-cos4jc
+ -
1-cos6jc 1-cos8jc
- + -
2 2 2
1 — cos2x + 1 — cos4jc = 1 — cos6jc + 1 — cos8x,
cos2x 4- cos4jc = cos6jc + cos8jc.
Пользуясь формулой суммы косинусов
а - ос + Р ос-Р
cosoc + cosp = 2cos ^-cos -,
2 2
перепишем последнее уравнение в виде
cos3jccosjc = cos7jccosjc,
после чего с помощью очевидных алгебраических
преобразований будем иметь:
(cos3jc — cos7x)cosjc = 0.
А поскольку по формуле разности косинусов
Q п . ос + Р . р-ос
cosoc-cosp = 2sin ^-sin1- ,

16
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
2/200Э
то полученное уравнение можно переписать в виде
sin5jcsin2xcosjc = О,
откуда
sin5x = 0 или sin2x = О или cosx = О,
и мы получаем три серии решений:
х = -
пк
пк
Т'
х =
(2л + 1)я
(п е Z).
5 ' 2 2
Уравнение решено, но варианта с тремя
сериями ответов среди предложенных нет! Вместо того
чтобы паниковать и лихорадочно проверять
выкладки, вспомним, что в тригонометрических
уравнениях ситуация, когда ответ может быть записан
в разных формах, является вполне обычной, и
поэтому надо попытаться во всем спокойно
разобраться.
Прежде всего, полезно изобразить полученные
серии на тригонометрической окружности,
занявшись сначала второй и третьей сериями — они
больше «похожи» друг на друга (на рисунке 1
около точки окружности поставлен номер серии,
в которую входит соответствующий угол). По
этому рисунку моментально замечаем, что третья
серия целиком содержится во второй, так что из
полученного ответа ее можно спокойно выбро-
пк пк
сить и записать его в виде х =—, х =—.
Рис. 1
Рис. 2
Отметим также, что в этом еще легче убедиться
и без «рисования» — на уровне слов: вторая серия
к
состоит из всех целых кратных угла —, тогда как
третья — только из нечетных кратных этого угла.
Больше труда требует рисование первой
серии — уж больно мал угол на
тригонометрической окружности помещается 10 углов этой
серии. Тем не менее, хорошо постаравшись — на
другом изображении этой окружности (рис. 2),
замечаем, что «половина» углов второй серии не
входит в третью серию — на окружности это углы
к
~2
Зтг
Зя к
—, а «полностью» — углы вида — + 2пк
и —- + 2пк (п е Z). Поэтому для получения
окончательного ответа к первой серии эти углы надо
добавить.
Однако и такого ответа в предложенных
вариантах нет, и чтобы отыскать нужный вариант,
придется заметить, что эти углы объединяются в одну
серию— х = — + пк,
или х =
(2л+ 1)л;
(п e Z).
Укажем на, можно сказать, забавную
ситуацию — мы снова пришли к третьей, ранее
выброшенной серии: мы ее выбросили как часть второй
серии, но вторая серия частично входит в
первую, и при «чистке» второй серии оказалось, что
в первую не входит именно выброшенная часть.
Таким образом, окончательный ответ х =—,
(2л+ 1)л
х = (п е Z), так что правильный ответ —
в варианте 3. И только, наконец, можно
вздохнуть спокойно!
Ответ: 3.

СОВЕТЫ К УРОКУ
Е.С.Канин
ИНДУКЦИЯ. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
И ЕГО ЭКВИВАЛЕНТЫ
Многолетние наблюдения человечества за природой свидетельствуют о том,
что в январе месяце в средней полосе России наблюдаются пики
похолодания. Они имеют специальные названия: рождественские
(5-10 января), крещенские (около 19 января), афанасьевские (около
31 января) морозы. Суждение о том, что в январе месяце «должны быть»
3 вспышки больших холодов, было сделано на основе обобщения от частных
наблюдений к общему заключению, как говорят, «по индукции».
Полная и неполная индукция
Индукция (от латинского inductio —
наведение) — умозаключение от частных
фактов к некоторой гипотезе
(общему утверждению).
Умозаключения по индукции нередко
применяются при решении математических задач. В
некоторых случаях рассматривают сначала самый
простой вариант задачной ситуации, решая
задачу для этого варианта. Затем используют
найденный частный вариант для решения задачи в более
общем (хотя и не самом общем) виде, так
постепенно приходят к решению исходной задачи. Для
большей ясности приведем решение следующей
задачи:
Пример 1. Докажите, что сумма расстояний от
любой точки М правильного треугольника до
его сторон постоянна (не зависит от выбора
точки М) и равна длине его высоты А.
Доказательство. На рис. 1 приведена схема
рассуждений по индукции. Простейший частный
случай, при котором задача решается правильно,
тот, когда точка М является вершиной
треугольника. Расстояния от двух сторон равны 0 до
третьей стороны h (см. рис. 1, б). Более общий
В = М
Рис. 1
случай — точка М лежит на одной из сторон
(рис. 1, в). Проведя MN\\AC, получаем
вспомогательный равносторонний треугольник MNB, в
котором М — вершина. Решение ясно из
чертежа. И последний случай — точка М — произволь-
3 Математика для школьников № 2

18
ная точка внутри треугольника ABC (рис. 1, г).
Проведя через точку М А'С || АС, сводим задачу
к предыдущему случаю. План решения очевиден.
Итак, все частные варианты задачной ситуации
рассмотрены, можно делать вывод о том, что
сумма расстояний от любой точки правильного
треугольника до его сторон постоянна и равна длине
его высоты.
Рассмотренное применение индуктивных
рассуждений заключается в переборе всех частных
случаев решаемой задачи. Такое рассуждение
приводит к достоверному результату, а сам метод
рассуждения, заключающийся в переборе всех
возможных частных случаев, называется полной
индукцией. Его можно применять тогда, когда
число частных случаев невелико.
Рассуждения значительно усложняются, если
число частных вариантов достаточно велико или
бесконечно велико. В этих случаях перебрать все
варианты часто не представляются возможными.
Нередко пытаются рассмотреть первые частные
варианты и по итогам их рассмотрения провести
индуктивное умозаключение. Такое заключение
называется неполной индукцией. Верны ли такие
умозаключения?
Исторические ошибки
умозаключений
по неполной индукции
Французский математик Пьер Ферма (Fermat
Pierre, 17.08.1601 — 12.1.1665), рассматривая числа
вида 22" +1, установил, что при п = 0; 1; 2; 3; 4
получаются простые числа. Ферма предположил,
что все числа такого вида — простые. Лишь
спустя столетие Леонард Эйлер (Euler Leonhard,
14.04.1707-7.09.1783) установил, что число
22' +1 = 4294967297=641-6700417 - является
составным. Заключение Ферма по неполной
индукции оказалось ошибочным.
Эйлер же показал, что многочлен х2 + х + 41
при значениях х, равных целым числам от 0 до
39, принимает простые числовые значения, но
при х = 40 значение этого многочлена простым
не является.
Приведенные примеры показывают, что непол-
МАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 2 / 2009
ная индукция не может служить методом
доказательства, так как рассуждения по неполной
индукции не являются достоверными. Но это не
значит, что рассуждения, умозаключения по
неполной индукции не надо применять при
решении различных задач. Такие рассуждения учат и
помогают «догадываться» о результате, часто
приводят к формулировке гипотезы, истинность
которой в дальнейшем должна быть доказана. Здесь
уместно сослаться на Л.Эйлера:
«...мы должны проявлять большую
осторожность, чтобы не принять за истинные такие
свойства чисел, которые мы открыли путем
наблюдения и которые подкрепляются одной лишь
индукцией. В действительности мы должны
пользоваться таким открытием, как возможностью
более точно исследовать эти открытые свойства и
доказать их или опровергнуть; в обоих случаях мы
можем научиться кое-чему полезному».
Аксиома индукции.
Метод математической индукции
Как же избежать ошибок тех видов, которые
были приведены в предыдущем пункте? Как
использовать всё положительное в рассуждении по
индукции и при этом добиться необходимой
строгости заключений. Ответ на этот вопрос дает
аксиоматика множеств натуральных чисел,
сформулированная в 1898 г. итальянским математиком
Пеано (Giuseppe Peano, 27.08.1858-20.04.1932). Не
будем приводить всю систему аксиом,
остановимся лишь на последней, 5-й, аксиоме. Она названа
аксиомой полной индукции и заключается в
следующем.
Если какое-либо утверждение доказано
для 1 и если из допущения, что оно
верно для натурального числа п, вытекает,
что оно верно для следующего за
п натурального числа п + 1, то это
предложение верно для всех натуральных чисел.
Сформулированная аксиома и служит основой
метода математической индукции. А сам метод
заключается в следующем.
МА1

СОВЕТЫ К УРОКУ
19
Пусть надо доказать, что некоторое
предложение Р выполняется при любом
натуральном п.
1) Проверим, выполняется ли Р для
/7=1, т.е. установим истинность Р(1).
Если Р(1) истинно, то
2) Предположим, что при п = к истинно
Р{к), т.е. предложение Р истинно для
натурального числа к.
3) Установим, истинно ли предложение
Р для следующего натурального числа
п = к + 1, иными словами, проверим
истинность импликации Р(к) => Р(к + 1).
4) Если из Р(к) следует Р(/г+1), то
предложение Р является верным для
любого натурального числа.
Итак, метод математической индукции
заключается в том, чтобы доказать теорему Р(\),
предположить, что при п = к истинно Р(к) и
доказать теорему, что из этого предположения следует
Р(к + 1).
Пример 2. Найдите сумму первых «-членов
111 1
последовательности -; —; —;... —г—.
3 15 35 4п2-\
Решение. Заметим, что ап
4nz-\

Обозначим сумму п первых членов Sn. Тогда
1
5,
ги
^i
^3
^4
~3' 2_3 15~
_2 1 _14 + 1_
~?+35~ 35
_3 1 _27 + 1_
~7 + 63~ 63
15 5
15 3
35 7
28 4
63 9
2-2 + Г
3
2-3 + 1'
4
2-4 + 1'
Замечая полученную закономерность в записи
, s2, sy,
54, догадываемся, что
шотезу следует доказать
тематической индукции:
1. При
и — 1 9 —
11 1 Oi —
1 2-1 +
s - п
"" 2я + 1'
. Применим метод
1
1~3'
v_/iy
ма-
2. Предположим, что при п = к Sk =
3. Рассмотрим Sk+{ =Sk +ak+l
с -
2-k + l
2к + \ 4(А: + 1)2-1 2& + 1 (2ik + 3)(2ik + l)
2к2+Ък + \ ^2к(к + \) + (к + \) _
~(2А: + 3)(2А: + 1)~ (2Л + 3)(2Л + 1)
_ (к + 1)(2к + 1) _ к + 1
~ (2к + 3)(2к + \)~ 2(к + 1) + \'
к
Доказали, что из Sk =
2-k + l
следует
$к+\ ~"
к + 1
2(к + \) + \
4. По аксиоме индукции при любых натураль-
е п
ных п S=-
п 2-п + \
Надо отметить, что при решении этой задачи
сначала (для получения гипотезы Sn = )
2п + 1
использовались рассуждения по неполной
индукции, а уж затем применялся ММИ.
Пример 3. Доказать, что при любых п е N и
sin — Ф 0 имеет место тождество
2
1 . па . (п + \)а
sin a + sin 2а +... + sin па = sin sin .
а 2 2
sin
Доказательство.
sin-
па
\) 11^У1 tl 1 F11V1\^^1V1 3111U
верно.
2) Пусть при п = к верно
1
sin a + sin 2а +... + sin ka =
. а
sin —
2
. а
sin —
2
. ka
sin
2
- • ai
sin
11 U,, 4 1
(* + l)a
2
3) Докажем, что при п = к + I
sin a + sin 2a +... + sin ka + sin(k +1 )a =
1 . (* + l)a . (A; + 2)a
• sin sin .
. a
sin —
2

so
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/2009
sin a + sin 2а +... + sin ka + sm(k + 1)а =
1 . ка . (/г + 1)а
•sin sin-
ос 2
: + sin(/r + l)oc =
sin
. (А; + 1)а
= sin- —
( . ка
sin
sin
2 , л (& + 1)а
—+ 2cos- —
а 2
. (*+1)а
sin
. а .
sin— v
2
. (* + 1)а
sin- — г
. ka - . a
sin—+2sin—
2 2
/
ka a . ka . a
w
cos—cos—si
sin—
V
sin-
a
sin-
ka
л
l-2sin2-
2
/roc .
+ cos—sin a
2
-A/
. (* + l)a
sin- — /
sin-
a
sin cos a + sin a • cos—
2 2
sin
(* + l)a
sin-
a
-sin
ka
- + a
1 . (* + l)a . (A: + 2)a
•sin- sin- —,
a
sin —
2
что и требовалось доказать.
4) По аксиоме индукции имеет место
тождество
1 . па . (я + 1)ос
sina + sin2a+... + sin/2a = sin sin
a 2 2
sin-
a
для sin — Ф О и любых натуральных значениях п.
В некоторых случаях при решении задач
применяется обобщение метода математической
индукции, заключающееся в более общей
формулировке первого пункта метода: вместо проверки
истинности предложения для п = 1
рассматривается натуральное число п = т > 1. В этом случае
метод математической индукции будет иметь
следующую формулировку:
1) Если предложение Р верно для
некоторого натурального числа т > 1.
2) Из предложения истинности Р для
некоторого п = к > т следует его
истинность для п = к + 1, то
3) Предложение Р истинно для всех
натуральных чисел п > т.
При т = 1 получается предыдущая
формулировка ММ И.
Пример 4. Решите неравенство 2" > я2, п е N.
Решение. При п = 1 21 > I2, при п = 2
22 = 22, при п = 3 23 < З2, при /i = 4 24 = 42, при
/1 = 5 25 > 52.
Решением неравенства являются натуральные
числа 1 и 5. далее применим метод
математической индукции. Пусть при п = к, к > 5
выполняется неравенство 2к > к2 (при п = 5 оно
выполняется). Докажем, что верно неравенство
2k+l > (к + I)2.
2*+1 = 2 • 2* = 2к + 2", а (* + I)2 = А:2 + 2А: + 1.
Тогда 2к + 2к > £ + 2А: + 1. В самом деле, 2к > к2
(по предположению), а 2* > 2/г + 1 при к > 5.
Следовательно, 2*+1 > (А; + I)2 при к > 5, к е N
и, значит, решением неравенства являются
натуральные числа 1 и я > 5.
(Окончание следует.)

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Б. Н. Ку ку ш ки н —
ЗАДАЧНИК «МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ»
Задачник «Математики для школьников» представляет новые задачи
и решения задач, опубликованных в прошлом номере.
Новые задачи
Задача 61. В этой задаче мы рассмотрим
вопрос об измерении углов. К сожалению, не так уж
много школьников (и даже студентов)
ориентируются в этом вопросе и знают, что такое «ради-
анная мера угла». Кавычки мы поставили потому,
что это словосочетание представляется нам
странным — ведь никто не говорит: «метровая мера
длины», «килограммовая мера массы». Будем
считать интуитивно понятным, что такое длина
кривой линии.
а) Периметром Р фигуры называется длина
ее контура (границы). Например, периметр
квадрата со стороной а равен 4а (Р = 4а).
Диаметром d фигуры называется наибольшее
расстояние между точками этой фигуры. Например,
диаметр того же квадрата равен его диагонали:
d = ay/2. Нас интересует характеристика X
Р Р
фигуры, равная —: Х = — . Например, для квад-
d d
р 4а 4 г
рата Х = — = —= = —= = 2у/2 -2,8. Найдите ха-
d ял/2 V2
рактеристику X для правильных
шестиугольника, треугольника, восьмиугольника. Убедитесь в
том, что характеристики подобных фигур равны.
б) Все окружности подобны друг другу.
Поэтому характеристика окружности — вполне
определенное число, оно одно и то же для всех
окружностей. Это число обозначается греческой буквой
я* и равно 3,1415926..., т.е. к = 3,1415926... (мы
написали знак равенства, так как многоточие
подразумевает, что выписаны все цифры числа.
Обычно помнят три цифры и пишут
приближенное равенство: к ~ 3,14. Тогда многоточие
писать уже не нужно.) Итак, для окружности
— = n,L = nd или L ^ 2кг. Найдите характери-
d
стики следующих фигур: полкруга; четверть
круга; фигуры, изображенной на рис. 1.
0\ч
Рис. 1
в) Вы знаете, что единицей измерения угла
является градус. А что такое градус? Кое-где можно
1
прочитать: «градус — это
180
развернутого угла».
Это несколько сомнительное определение — ведь
если мы еще не умеем измерять величину угла, как
1
же мы можем отмерить —- часть развернутого
угла? Попытайтесь внести ясность в этот вопрос.
г) При измерении длины пользуются
различными единицами длины: метр, фут, миля, верста,
и т.д.
Для измерения углов тоже существуют
различные единицы.
* По-гречески окружность — «периферия», это слово
начинается с буквы я. (Слово «периферия» есть и в русском
языке. Оно Вам знакомо?)

22
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/200Э
Пусть дан угол (рис. 2). Проведем окружность
радиуса R с центром в вершине этого угла. Пусть
длина дуги этой окружности, высекаемой данным
углом, равна /. Назовем величиной угла а
отношение / к R:
Ответьте на следующие вопросы. Как
изменится величина угла а, если изменить радиус
окружности? Чему равна величина развернутого
угла? Чему равна величина прямого угла? Как
получить угол, величина которого равна 1 (он-то
и называется радианом)? Проверьте, что угол,
равный а, равен а радиан.
д) Найдите площадь круга (рис. 3, я), разрезав
его на узкие сектора и считая их треугольниками
(узкий сектор действительно очень похож на
треугольник — его основание столь мало, что «не
успевает» заметно искривиться.) Аналогичным образом
найдите площадь сектора, а затем и сегмента.
а) б)
Рис. 3
е) Пусть величина угла равна а рад. (рис. 3, б),
и в то же время п°. Найдите формулу,
связывающую величины а и п.
ж) Сколько градусов в одном радиане?
Сколько радиан в одном градусе?
з) Угловой скоростью (равномерно
вращающегося колеса, например) называется отношение
угла а, на который повернулось колесо, ко
времени, за которое этот поворот был совершен
со = — (угловая скорость— характеристика быс-
t
троты вращения). Введем еще «градусную»
угловую скорость: Q =—. Найдите связь между со и
Q,. Найдите формулу, связывающую угловую
скорость со со скоростью v точки обода колеса
радиуса R. Найдите формулу, связывающую
«градусную» угловую скорость Q со скоростью v точки
обода колеса радиуса R. Какая из них проще?
Задача 62. Глядя на рис. 4, мы говорим, что
изображен куб. А что же это такое —
изображение куба? Это его так называемая ортогональная
проекция. Представьте себе, что куб изготовлен из
проволоки (каркасный куб), он висит в
пространстве и освещается солнечным светом, т.е.
параллельными лучами. Тень этого куба, падающая на
плоскость, перпендикулярную этим лучам, и есть
ортогональная проекция куба. Когда в задании
сказано: «постройте сечение куба», то это значит, что
в плоскости изображения надо выполнить
построения, которые дают изображение сечения**.
D\ С,
D
Вг
С
А В
Рис. 4
В пунктах а)—г) требуется построить сечения
куба ABCDAXBXCXDX, проходящие через точки:
а) А, С и С,; б) Л,, С и середину ребра АВ\
в) А и середины ребер ССХ и С,/),;
г) середины ребер ААХ, ВС и С,/),.
В задачах д), е) дано изображение тетраэдра и
требуется построить изображение сечения,
проходящего через указанные точки.
Не путать с задачами на построения в пространстве.

Z= ПРОВЕРЬ СЕБЯ
д) См. рис. 5.
Рис. 5
е) См. рис. 6; точка R находится на обратной
(невидимой) стороне тетраэдра.
Рис. 6
ж) Дано изображение правильного октаэдра
(рис. 7). Постройте сечение октаэдра плоскостью,
проходящей через середины указанных ребер
(точка R находится на невидимом ребре).
Рис. 7
Ответы и решения
Задача 59 (продолжение задачи 57).
а) На плоскости даны две точки — А и В.
Проводятся всевозможные окружности с центром
23
в точке у4, а из точки В к этим окружностям
проводятся касательные. Найдите геометрическое
место точек касания.
б) Даны окружность и точка А вне ее. Через
точку А проводятся всевозможные прямые,
пересекающие данную окружность. Найдите
геометрическое место середин получающихся хорд.
Решите эту задачу также и в случае, если точка А
находится внутри или на окружности.
в) Концы отрезка длины 1 скользят по
сторонам фиксированного прямого угла. Найдите
геометрическое место точек (ГМТ) М, где М —
середина отрезка.
г) Даны две точки А и В. Найдите ГМТ М,
для которых AM2 + ВМ2 = а2, где а —
фиксированная длина.
д) Даны две точки А и В. Найдите ГМТ М,
для которых AM2 — ВМ2 = а2.
е) Даны две окружности. Найдите ГМТ Л/,
касательные из которых к данным окружностям
имеют одинаковую длину.
ж) На координатной плоскости даны точки
Л(-1;-1) и В(1; 1). Найдите ГМТ М(х, у)
таких, что AM — ВМ = 2.
з) Дана окружность со и точка А на ней. К
окружности со проводятся всевозможные
касательные, а из точки А проводятся
перпендикуляры AM к этим касательным. Нарисуйте ГМТ М
(эта кривая называется кардиоидой).
Рассмотрим окружность со, с диаметром ОА9
где О — центр окружности со. Докажите, что
если по окружности со, без проскальзывания
катится окружность со2 такого же радиуса, то
траектория любой из точек со2 будет кардиоидой.
Решение, а) Если радиус окружности а с
центром в точке А меньше расстояния АВ (рис.8),
то угол между касательной ВМ и радиусом AM
равен 90°. Это означает, что точка М находится
на окружности со с диаметром АВ. При
увеличении радиуса проводимой окружности а от 0
до АВ точка М пробегает всю верхнюю
половину окружности со. Симметричная ей
относительно прямой АВ точка пробегает нижнюю
половину окружности со. Если радиус окружности а
равен АВ, то точка В оказывается лежащей на

24
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
;2/200Э
этой окружности. Из такой точки можно
провести только одну касательную, и мы получаем
только одну точку М = В (это можно понимать так:
две точки Л/, верхняя и нижняя, двигаясь по
верхней и нижней дугам окружности со,
сливаются в точке В).
Рис. 8
Точка А при данном построении получиться
не может — она соответствует вырожденной
окружности нулевого радиуса (т.е. окружности,
«съежившейся» в точку А). Если же радиус
окружности а больше, чем АВ, то из точки В нельзя
провести касательную к а и новых точек не
получается.
Ответ: геометрическое место точек М —
окружность со с диаметром АВ за
исключением точки А.
Замечание. Сравните эту задачу с задачей 57-6.
б) Пусть О - центр данной окружности а,
М — середина хорды (рис. 9, а). Тогда ОМ ±АМ
и поэтому, как известно, точка М лежит на
окружности со с диаметром ОА. Очевидно, что при
вращении секущей вокруг точки А точка М
пробегает дугу окружности со, находящуюся внутри
а (т.е. без точек М, и М2 пересечения этих
окружностей). Точки Мх и М2 следует исключить
потому, что при проведении прямых ОМ{ и ОМ2
не получается хорд, середины которых нас
интересуют.
Если точка А находится внутри окружности а
(рис. 9, б), то вся окружность со будет искомым
ГМТ, если при этом точка А совпадает с О, то
ГМТ — точка О (окружность, выродившаяся в
точку).
В «гибридном» случае нахождения точки А
на окружности а и ответ получается
«гибридным» — это вся окружность с диаметром ОА за
исключением точки А (рис. 9, в).
Рис. 9
Ответ: если А — вне а, то ГМТ — дуга со,
заключенная внутри а; если А — на
а, то ГМТ — дуга со, заключенная
внутри а, при этом из со
исключается лишь одна точка А; если А —
внутри а и не совпадает с О, то
ГМТ — вся окружность со; если А
совпадает с О, то ГМТ — точка О.
Замечание. Если обозначить ОА = а, то
получившиеся четыре случая задаются неравенствами
а > Л, а = /?, О < а < Л, а = О, где R — радиус
окружности а.
А\
м\-\м
-L-
О В М2
Рис. 10
в) Длина отрезка ОМ (рис. 10) равна половине
длины скользящего отрезка АВ (почему?), по-

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
25
этому точка М перемещается по дуге
окружности с центром О радиуса — АВ. Очевидно, что
точка М может побывать во всех точках этой
дуги (включая точки Л/, и М2).
Ответ: ГМТ — дуга окружности радиуса — АВ
с центром в точке О, включая
граничные точки Мх и М2.
Замечание. На первый взгляд многим кажется,
что ГМТ — линия, выпуклая в другую сторону!
г) Эту задачу удобнее решать, введя
подходящую систему координат. Пусть АВ = с.
Поместим начало координат в точку А, а ось абсцисс
проведем через точку В (рис. И). Тогда условие
AM2 + ВЫ1 = а2 запишется так:
(х2 + у2) + ((х - с)2 + у2) = а2.
М(х;у)
А (0;0)
Рис. 11
Раскроем скобки и приведем подобные
слагаемые:
2х2 - 2сх + 2у2 = а2 - с2.
Поделим на 2 и в левой части уравнения
выделим полный квадрат:
2 2 2 2
2 с ч а -с с
х -сх + — +v = +—,
4 2 4
или
( с\
х —
V ^)
+ у1=±(2а2-с2).
Если я >—=, то ГМТ — окружность радиуса
V2
—42а2 -с2 с центром в середине отрезка АВ;
если а-—=, то ГМТ состоит из одной точ-
V2
ки — середины отрезка АВ;
Q
если а < —=, то ГМТ — пустое множество (т.е.
V2
не существует точек, удовлетворяющих
условию задачи).
д) Снова введем систему координат (см. рис. 11).
Условие задачи запишется уравнением
(х2 + у2) - ((х - с)2 + у2) = а2
или, после упрощений, х = — + -—. Это уравне-
2 2с
ние вертикальной прямой, все точки которой име-
ют абсциссу х = -
2с
Ответ: ГМТ — прямая, перпендикулярная
лучу АВ и отсекающая от него от-
с °2
резок длины — +—, где с = АВ.
2 2с
(При а > с эта прямая проходит
правее точки В.)
е) Пусть радиусы данных окружностей равны
R и г, R > г, их центры имеют координаты
О,(0; 0) и 02(с, 0) (рис. 12)
с2+а2
У ■
т.
f A
\ °х
к V
—-^_ /
/ \
/ \
/ \
/ \
Рис. 12
\\
\ \
\ \
\ \
\ \
ту
ч с
Т2
X
Условие МТХ = МТ2 можно записать так:
ОМ2 - R2 = ОМ2 -г2 am ОМ2- ОМ2 = R2-
г2.
ГМТ таких точек М рассмотрено в пункте д) —
это вертикальная прямая'
х--
c2 + R2-r2
2с
(1)
Она называется радикальной осью данных окружностей.
4 Математика для школьников № 2

26
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/2009
Рассмотрим несколько случаев.
ej) с > R + г (см. рис. 12). В этом случае
x-R =
c2+R2-r2
2с
R =
c2+R2-r2-2Rc
2с
(с-К)2 -г2 (c-R-r)(c-R + r)
2с
Кроме того,
х-с+г=-
c2+R2-r2
2с
2с
-с + Л =
> 0 => х > R.
R2-r2-c2+2rc
R2 -(r-c)2 (R + r-c)(R-r + c)
2с
<0=>х<с-г.
2с 2с
Итак, R < х < с — г, т.е. прямая проходит
между данными окружностями (рис. 13, а).
е2) Окружности пересекаются в двух точках (при
этом с — г < R < с + г). Найдем абсциссу точек
пересечения из системы уравнений
[x2+y2=R2
\(х-с)2+у2=г2.
Вычитая из первого уравнения второе, получим
c2+R2-r2
х--
2с
-, что совпадает с (1). Таким
образом, радикальная ось проходит через точки
пересечения окружностей. Однако искомым ГМТ
является лишь часть этой прямой — нужно
удалить точки, лежащие внутри окружностей, так
как из них вообще нельзя провести касательные
(рис. 13, в).
е3) Окружность меньшего радиуса находится
внутри окружности большего радиуса (рис. 13, д),
при этом с + г < R. В этом случае
D c2+R2-r2 D c2+R2-r2-2cR
-К = : К —
2с
2с
(R-c)2-г2 (R-c-r)(R-c + r)
> о => jc> /г,
2с 2с
т.е. радикальная ось проходит вне окружностей.
е4) Случаи касания окружностей (с = R ± г) и
случай концентрических окружностей (с = 0)
разберите самостоятельно.
Ответ: на рис. 13, а—13, е.
у t
--'
"^N"4h " -
-*^-~ ЛУ ""
Т
v_
а)
У
У-"
X
д)
ГМТ = 0.
е)
Рис. 13

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
2"7
ж) Условие задачи записывается в виде
уравнения (рис. 14, а)
V(x + l)4(>; + l)2-V(x-l)2+(>;-l)2=2.
М(х;у)
Перенесем второй радикал в правую часть и
возведем в квадрат (это приводит к
равносильному уравнению — почему?). После упрощений
останется jc + .y-l = ^/(jc-l)2+0>-l)2.
Правая часть неотрицательна, значит, и левая —
тоже: х + у — 1 > 0. Это условие задает
полуплоскость, лежащую над прямой у = — х + 1. С
учетом этого условия снова возведем в квадрат —
получится 2ху = 1,
Рис. 14, б
1
т.е. у =—. Это — уравнение гиперболы. Гипер-
2х
бола имеет две ветви, но в указанной
полуплоскости располагается только правая ветвь (рис. 14, б).
1
Ответ: правая ветвь гиперболы у =
2х
з) Кривая изображена на рис. 15, а.
Кардиоидой ее назвали потому, что она похожа на
сердце (но, пожалуй, она скорее похожа на сечение
яблока).
Произведем дополнительное построение (оно
вынесено на рис. 15, б)). Отметим точку О, —
середину ОА, и пусть ООх = ОхА = г. Проведем
отрезок Ох021| ОК, Ох02 = ОК = 2г.
Проверьте самостоятельно, что Ох02 является
серединным перпендикуляром отрезка КМ, откуда
следует, что К02 = 02М = г и ZAOx02 = ZOx02M.
Пусть в начале движения окружность со2
касалась окружности со, в точке А. Рассмотрим
произвольное положение окружности со2 (рис. 15<?).
Условие отсутствия проскальзывания состоит в
том, что длины дуг AT и МТ равны, но тогда
равны отмеченные углы (ZAOx02 = ZOx02M) и
возникает ситуация, изображенная на рис. 15 б),
откуда AM _L КМ, а значит, точка М лежит на
кардиоиде.
Рис. 15

28
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 2 / 2009
Кардиоида — одна из самых известных кривых.
Площадь, ограниченная этой кривой, равна 6кг1,
а длина всей кардиоиды равна 16г. Почему-то
кажется удивительным, что формула L = 16г для
длины кардиоиды не содержит числа к (в то
время как формула для площади — содержит, что
представляется «нормальным»).
Кардиоида — алгебраическая кривая
четвертого порядка. Если поместить начало координат в
точку А, то ее уравнение будет:
(х2 + у2 + 2гх)2 = Ф-V + у2).
Попытайтесь доказать, что касательная к
кардиоиде в точке М (см. рис. 15, в)) проходит через
точку N. (Указание. Используйте
кинематические соображения.)
Задача 60. В этой задаче речь пойдет об
отыскании наибольшего или наименьшего значения
функции у = /(х) следующим способом:
равенство у =f(x) рассматриваем как уравнение
относительно неизвестной х с параметром у. Нам
нужно узнать, при каких значениях у уравнение
имеет решение. Иными словами, мы находим
множество E(f) значений функции f(x). Если
это множество имеет наибольший элемент, то он
и является наибольшим значением функции f(x).
Рассмотрим пример: у = х +—, я>0, х>0. Ка-
х
ковы возможные значения этой функции? Реша-
я
ем уравнение у = х + — относительно х: ух =
х
= х2 + я, х2 — ух + я = 0. Это уравнение имеет
решение тогда и только тогда, когда его
дискриминант D = у2 — 4я неотрицателен: у2 > 4а > 0,
откуда у2 > 4а, у>2л[а (при х > 0 и у > 0).
Итак, наименьшее значение Можно
указать и E(y) = [2\ja; + °°). Заметьте, нам даже
не пришлось находить значение аргумента х, при
котором функция принимает это наименьшее
значение. Если нужно, то это легко сделать: надо
«дорешать» квадратное уравнение: х = — = л/я. И
действительно, у(у/а) = V я + -j= = л/я + л/я = 2у[а.
л/я
\ График этой функции изображен на рис. 16.
I Итак, наименьшее значение функции у = х + —
i х
] или х > 0 равно 2-Ja (и достигается при х = 4а),
\ E(y) = [2ja~-+~).
у1
24а
0
х а г
\y=x + Jt ^
1 /
>'
/ 1
л
X
Рис. 16
а) Найдите наибольшее значение функции
у^х— х2 (и проверьте обычным методом).
] б) Найдите наибольшее и наименьшее значе-
х + 1
\ ния функции у = —1—.
\ X +1
| в) Найдите наибольшее и наименьшее значе-
i ния функции у = sinx + 2cosx.
1 г) Найдите наибольшее и наименьшее значе-
* ния функции y = \jx-a -Mx-b, a<b.
: д) Найдите наибольшее и наименьшее значе-
i , 2 -sin a _,
* ния функции у = . К исследованию этой
cos a
функции приводит следующая задача по физике:
i «скорость пловца в 2 раза меньше скорости
течения реки. Пловец стоит на берегу реки в точке А.
Он хочет, переплыв реку, оказаться как можно
ближе к точке В, находящейся напротив точки
: А. Под каким углом к отрезку АВ ему следует
; плыть?»
е) Найдите наибольшее значение функции
\ <у = х(я2-х2), я > 0, при х > 0.
\ Указание. Подберите такую замену х = kt пе-
\ ременной х, чтобы оказалось у = p(3t — 4/3) и
I воспользуйтесь формулой синуса тройного угла (!).
; ж) Найдите наименьшее значение функции
у = х2-\-—, я>0 при х > 0.
X

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
29
Указание. Воспользуйтесь результатом
предыдущей задачи.
з) На горе высоты h стоит пушка (рис. 17).
Скорость v вылета снаряда из ствола пушки от
артиллериста не зависит, но он может менять угол
а наклона ствола к горизонту. Какова
наибольшая дальность хтах выстрела? Каким для этого
должен быть угол а? (в случае h = О эта задача
легко решается и поэтому хорошо известна).
У777777777777777777777777777777Г
Рис. 17
Решение, а) Данную формулу у — х — х2
или х2 — х + у = 0 рассмотрим как уравнение
относительно неизвестной х. Это — квадратное
уравнение. Его дискриминант D = 1 — 4у должен
быть неотрицательным: 1 — 4у > 0, откуда
у < — => ,утах =—. Достигается это наибольшее
значение при х = — (рис. 18).
Ответ: Ута,=У\
2)
V
Рис. 18
б) Решаем уравнение у -
х + 1
V+i
относительно
х: у{х* + 1) = х + 1. Если у = 0, то х = —1. Если
же у Ф О, то получаем квадратное уравнение
ух1 — х + (у — 1) = 0. Его дискриминант 1 — 4у х
х (у — 1) > 0, или Ау1 — 4у — 1 < 0. Множество
решений этого неравенства — отрезок
У2-1.У2 + Г
2 ' 2
Найдите самостоятельно те значения х, при
которых достигаются крайние значения у.
n V2-1 П7 л/2+1 10
Ответ: >/min = —«-0,7, ymax =——-«1,2.
Эскиз графика j/ = —-—
х2 + 1
изображен
Рис. 19
в) Положим а = arctg 2. Тогда
j/ = sin л; + 2cosx = sinx 4- tgacosx =
sin a sin x cos a + cos x sin a
= sinx + cosx = =
cosa cosa
_ sin(x + a)
cos a
и мы получаем уравнение sin(x + a) = у • cos a.
Это уравнение имеет решение лишь в случаях
— 1 <.ycosa< 1 или --
1
<у<
-. Осталось
cos a cos a
найти cos a. Так как — = l + tg2a = l + 22 =5,
cos a
то = V5. Итак, -у[Е<у<у[5.
cos a
Ответ: у . = -J54 v = л/5.
Найдите самостоятельно те значения х, при
которых достигаются эти значения.

зо
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:г/2009
г) Сначала заметим, что
a<b=>x-a>x-b=>2jx-a>ljx-b=>y>0.
Обозначим \jx-a =/?, \jb-x =q. Тогда
\p + q = y
\p3+a3=b-a.
Возведем первое уравнение в куб: р3 + q3 +
+ 3pq(p + q) = У- Подставим р + q и р3 + q3 из
У-(4-е)
системы: b — а + 3pqy = у , откуда до = -
ь
Теперь нам известны р + q идо и мы можем
составить уравнение, корнями которого
являются р и q:
У-(4-е).
r-(p + q)t + pq = 0, т.е. t2-yt + -
Зу
= 0.
Запишем условие его разрешимости Z) > 0:
/_4У-<»-д>ео.
Так как у > 0, то можно домножить на 3>>:
3/ - 4/ + 4(4 - а) > 0, т.е. у3 < 4(4 - в),
откуда, наконец, y<]J4(b-a).
В то же время наименьшего значения данная
функция не имеет, что видно из
преобразованного выражения для у:
у=Ух-а-Цх-Ь=
Ъ-а
\1(х-а)2 +]](х-а)(х-Ь)+^(х-Ь)2 '
Здесь при увеличении х знаменатель делается
как угодно большим, а вся дробь — сколь угодно
малой.
Ответ: утах = lj4(b-a) ymin не существует,
т.е. Е(у) = (0; \JA{b-a)].
Эскиз графика функции у=Ух-а-Ух-Ь
изображен на рис. 20.
Приведем еще один способ решения (первой
части). Возведем равенство y = 3jx-a+tfb-x в
куб, воспользовавшись формулой
(а + Р)3 = а3 + р3 + ЗаР(а + Р)
у3 =х-а + Ь-х + Ъ\1х-а'\1Ь-Х'(Ух-а+\1Ь-х)
и заменим сумму радикалов на у:
у3 = Ь-а + Зул]х-а-УЬ-х,
Рис. 20
а в этой формуле заменим \]х-а на y-yjb-x;
получится уравнение относительно w = 3yjb-x :
у3 = b — а + Зу(у — w)w,
или
3yw2 - 3y2w + у3 - (b - а) = 0.
Уравнение это — квадратное, условие его
разрешимости: D > 0, т.е.
(Зу2)2 - 4 • Зу(у3 -(Ь- а)) > 0,
т.е.
Зу3 - 4У + 4(4 - а) > 0,
откуда У < 4(4 — а) и, наконец, у<]]4(Ь-а).
д) Эта задача «устроена» так же, как задача из
пункта в).
2-sin a _
= у; 2-sinoc = jcosoc;
cos a
sin a + у cos a = 2.
Пусть у = tg (p, фе I четверти.
sincp
Тогля sin а + — cos a = 2;
А cos9
sin a cos ф + cos a sin ф = 2cos ф.
sin (а + ф) = 2cos ф.
Это уравнение относительно а имеет решение
1 к
в случае 2cos ф < 1 или cos ф <—, откуда ф > —,
а тогда <y = tgф>tg— = V3.
В то же время для углов, близких к —,
числитель примерно равен 1, а знаменатель мал; значит,
вся дробь — велика и наибольшего значения нет.
Ответ: ymin =V3, утах не существует,
ад=ь/з;+~).

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
31
е) Подставим х = kt в выражение для у:
у = а2х-х3 =a2kt-k3t3 =
а2к(„ 3 ^
3t-
-кЧ
2,3
3 9
и потребуем, чтобы выполнялось условие —- к = 4.
Получаем к2 = и можно взять к-^=.
Теперь
а
Я'
Зл/З
(3/-4/3).
Если / < 1, то можно положить / = sin (p и
тогда получится
2а3.. . . з ч 2я3 . _
у = —p(3sin(p-4sin (р) =—=rsin3(p.
Зл/З 3V3
Наибольшее значение sin 3(р равно 1, поэто-
Щ У--К (достиг,™ при ,-«).
3V3 V3
В то же время видно, что при больших
значениях х значения у получаются отрицательными
и большими по модулю. Значит,
( 9 3
Е(у) = \-<х>;—р-1 (при х>0).
Ответ: >> =
' Зл/З
2о3
Зл/З'
£(j) =
2а3
не существует,
График функции
'Зл/3_
j/ = х(а2 — х1) изображен на рис. 21.
Рис. 21
ж) Перепишем данное уравнение в виде а =
= ух — х3. Оно похоже на уравнение у = а2х — х3
из пункта е). Чтобы не запутаться, переобозначим
в нем переменные: вместо а напишем /?, а
вместо у напишем q: q = рх — х3. Условие разре-
шимости у < —=■ перепишется виде q < —=■ р2.
3V3 3V3
Поэтому условие разрешимости нашего
уравнения имеет вид а <
/2 >
Зл/З
у\ откуда
Зал/3 ъ
(3aS)
{ 2 )
За3
Ответ: J>mi„=3
a)i
з) Если наклон ствола пушки к горизонту
равен а, то составляющие начальной скорости
снаряда равны: vx = vcosoc, v^ = vsinoc и
уравнения движения снаряда, как известно, имеют вид:
fjc = vcosoc/
л
y = A + vsina-f-
gT
В момент падения снаряда на землю у = 0, т.е.
Zt2
A + vsina/--— = 0. Решаем это уравнение
(отрицательный корень отбрасываем):
/ =—(vsina + <y/v2sin2a + 2gA).
g
Найденное значение / подставляем в
выражение для х\
х =—cosa(vsina + <y/v2sin2a + 2gA).
g
Теперь нужно узнать, при каких значениях х
это уравнение относительно а разрешимо. Дом-
ножим на g, перенесем слагаемое v2 cos a sin a в
левую часть:
gx-v2cosasina = vcosayv2sin2a + 2gA
и возведем получившееся уравнение в квадрат:
(gx — v2cosasina)2 = v2cos2a(v2sin2a + 2gh),
откуда
gV — 2gv2xcosasina — 2v2gAcos2a = 0.
Заменим слагаемое gV на gV(cos2a 4- sin2a),
получится уравнение
gVcos2a + gVsin2a — 2gv2xcosasina —
- 2v2gA cos2a = 0.

32
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
2/2009
(как говорят, уравнение, однородное
относительно cos а и sin а). Поделим каждое слагаемое на
cos2 а и обозначим tg a = z- Получится
уравнение относительно z'.
g2x2 + gVz2 - 2gv2xz - 2v2gh = 0,
т.е.
gxV - 2v2xz + (gx2 - 2v2h) = 0.
Условие его разрешимости D > 0 имеет вид
(2v2x)2 - 4gx2(gx2 - 2v2h) >0.
Сократим на 4х2:
v4 - ix2 + 2v2gh > 0,
т.е.
ix2 < v4 + 2v2gh9
или
x<-Jv2+2gh.
g
Значит, xmax =—д/v2 +2gh. (При A = 0 полу-
8
чается известная формула xmax =—.)
g
Для того чтобы найти а, нужно «дорешать»
квадратное уравнение относительно z в случае
D = 0:
z=-
2v2x+fD 2v2x v2
2gx2 2gx2 gx vn~^ Jv2+2gfi'
g
V V
т.е. tga = —j= , oc = arctg-
^f^2gh
^v2+2gh
Ответ: xmax =—yv2+2gA, достигается
g
v
при oc = arctg-
'ylv2+2gh
И.К.Варшавский, М.Я.Гаиашвили, Ю.А.Глазков
ЕГЭ—2009: РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
К ТРЕНИРОВОЧНЫМ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫМ РАБОТАМ
Проверьте, правильно ли Вы решили задания для подготовки
к Единому государственному экзамену.
Решения заданий I варианта
Задания с выбором ответа
131'8
А1. Упростите выражение тгоу-
1) 0,9 2) 2 3) 130'9 4) 132
Решение. Используя свойство показателей
степеней частного, получаем:
131Г
13
0,9
= 13''*-и'у=13и'у.
0,9
Ответ: 3*.
А2. Вычислите V0»0256"81-
1) 1,44 2) 0,0144 3) 0,0012 4) 1,2
* Номер верного ответа из числа предложенных к заданию.
Решение. Применив свойство корня из
произведения, получим:
^0,0256-81= V0,0256 • i/s\ = 0,4• 3 = 1,2.
Ответ: 4.
A3. Вычислите: log672 + log63.
1)6 2) 2 3) 3 4) 4
Решение. Применив свойство суммы
логарифмов (логарифма произведения), а затем
определение логарифма получим:
log672 + log63 = log6(72 • 3) = log6216 = 3.
Ответ: 3.
A4. На одном из рисунков изображен график
функции у =
v3y
. Укажите номер этого рисунка.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
33
1)
У] } \ \
1
0
iSsii
! х\
2)
\ У'
ММ!0
к
М .
! ! ! ! ■ ►'•
]1 ] |*|
3)
4)
У'
1
0
к
ММ
X]
\ У
|\ 1
[ ! ! 0
к :::::: :
ХргТ'ТЛ 1
h ' ' х
Рис. 19, 20, 21, 22
принимает
vJ/
Решение. Функция у = \
только положительные значения "(график
расположен над осью абсцисс). Из предложенных
четырех графиков этим свойством обладают графики
на рис. 2 и 3. Так как у =
т
v3y
1
:— И 17 =
3 у
т
v3y
= 3,
то искомый график изображен на рис 2.
Ответ: 2.
А5. Найдите производную функции
h(x) = cosx — 2х3 — 3.
1) h\x) = -sin* - бх2 - 3 2) А'(х) = sinx - 6x2
2
3) A'(x) = sinx—x2-3 4) A'(x) = — sinx — бх2
Решение. Найдем производные каждого
члена разности, а затем найдем разность производных:
h\x) = (sinx)'- (2х3)' - (3)' =
= —sinx — 6х2 — 0 = —sinx — бх2.
Ответ: 4.
А6. Найдите множество значений функции
у = 5 + 1пх.
1)(_оо;+оо) 2)(0;+оо) 3)(5;+оо) 4) [5;+~>)
Решение. Множество значений
логарифмической функции — множество всех
действительных чисел. Прибавив число 5 к каждому
действительному числу, получаем это же множество.
Ответ: 1.
А7. Скорость распространения звука в воздухе
равна 340 м/с. Современные
самолеты-истребители летают значительно быстрее. Определите по
графику, сколько секунд самолет летел со
сверхзвуковой скоростью 400 м/с и более. (На оси
абсцисс отмечено время полета в секундах, на оси
ординат — скорость в метрах в секунду.)
; i
400
:300
200
100
: 0
k Км/с
■ ^ У
.-/•• ?••
: бо
; -•
120 ;"
.1 ..;
180 :
\ ■ \
240
300
. . •
*>с >
360
Рис. 23

34
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/2009
1) 150 2) 240 3) 330 4) 360
Решение. Скорости 400 м/с и более
соответствует часть графика, лежащая над
горизонтальной прямой, проходящей через отметку 400 на
оси ординат, а также точки пересечения этой
прямой с графиком. Эта часть графика соответствует
отрезку [90; 330] на оси абсцисс. Итак, 330 — 90 =
= 240.
Ответ: 2.
Ах
А8. Решите неравенство
-<0.
5х + 25
1) (-оо; -5) и (-5; +оо) 2) (-оо; -5) и [0; +~)
3) (-5; 0] 4) (-оо; _5] и (0; +~)
Ах
Решение. Неравенство
Ах
сильно неравенству
5(х + 5)
-<0 равно-
5х + 25
<0, а значит, и
неравенству
х + 5
-<0.
Решим последнее неравенство методом
интервалов.
Функция f(x) =
х + 5
не определена при х = — 5
и обращается в нуль в точке 0. Эти точки
разбивают область определения функции на три
интервала. На рисунке отмечен знак / в каждом из
интервалов. Неравенство нестрогое, поэтому
число 0 (нуль функции) является решением
неравенства. Рассматривая рисунок, устанавливаем,
что f(x) < 0 на промежутке (—5; 0].
± JAW^ M
-5
Рис. 24
Ответ: 3.
л/3
А9. Решите уравнение sinx = 0.
1) ±— + 2ли, пе Z
3
2) (-1)"- + ял, weZ
3) (-1)"- + ял, neZ 4) (-1)"- + 2тш, пе Z
6 3
я
Ре ш е н и е. Уравнение sinx = 0 равно-
. л/3
сильно уравнению sinx = —.
Ответ: 2.
А10. Решите неравенство 53х+18 > 125.
1) (-5; +оо) 2) (-оо; -5) 3) (-оо; 7) 4) (7; +оо)
Решение. Неравенство 53х+18 > 125
равносильно неравенству 53х+18 > 53. Показательная
функция у = d с основанием, большим 1 (а = 5),
монотонно возрастает, значит, неравенство
53х+18 > 53 равносильно неравенству Зх + 18 > 3.
Отсюда получаем: Зх > —15, х > — 5.
Ответ: 1.
Задания с кратким ответом
В1. Найдите sin ос, если cos ос = — и —<ос<2л;.
Р е ш е н и е. По основному
тригонометрическому тождеству получаем:
sin ос = 1-
Г24
25
Зтс
25
1+^
25
25' 25'
/7V
25
Так как —<ос<2л, то sina<0, следователь-
2
7 7-4
но, sin ос = . Итак, sin ос = = -0,28**.
25 25-4
Ответ: -0,28.
В2. На рисунке изображен график функции
у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
х0. Найдите значение производной в точке х0.
М yi
: i '■ • i
\^У 1 |дсо ! 0
а | т [ ; ;
_i i. ...! ;
1 : : : ■ :
!i | ; х\
Рис. 25
Решение. Значение производной у' = f(x)
функции у =f(x) в некоторой точке х0 равно
угловому коэффициенту касательной к графику
функции у =f(x) в его точке с абсциссой х{).
** В соответствии с инструкцией ответ к заданиям типа
В должен быть целым числом или десятичной дробью.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
35
Угловой коэффициент касательной равен
тангенсу угла наклона прямой (касательной) к
положительному направлению оси абсцисс, в данном
случае, тангенсу угла ЛВО.
АО 2
Итак, f'(x0) = tgABO = —^- = - = 0,5
ВО 4
Ответ: 0,5.
ВЗ. Для забора вокруг дачного участка (см.
рисунок) нужно приобрести металлическую сетку.
Ширина ворот равна 3 м (для изготовления
ворот сетка не нужна). Цена сетки 100 руб. за 1 м2.
Определите стоимость сетки.
30 м
2м
20 м
Рис. 26
Решение. Площадь забора без ворот равна
(30 + 20) • 2 • 2 - 3 • 2 = 194 (м2).
Следовательно, на покупку сетки потребуется
194- 100= 19400 (руб.).
Ответ: 19400.
В4. Решите уравнение 3х +18- (ЛГ-243 = 0.
(Если уравнение имеет более одного корня, то
в бланке ответов запишите их произведение.)
Решение.
3х +18-(л/3)х -243=0 «=>((V3)2)X +18(V3)X -243=0 «=>
^>(л/3)2х +18-(л/3)х -243 = 0^>
<=> ((л/3У )2 +18 • (л/3У - 243 = 0.
Получили квадратное уравнение t2 + 18/ - 243 = 0,
где / = (V3 У. Решив квадратное уравнение,
получим: (л/3 У = -27 или (л/3 У = 9. Первое из
полученных уравнений корней не имеет, так как
показательная функция принимает только
положительные значения. Из второго уравнения получаем
(л/3)х=9^3°'5х=32^х = 4.
Ответ: 4.
В5. Функция y=f(x) определена на
промежутке (— 3; 7). На рисунке изображен график ее
производной. Укажите точку максимума функции
У=/(х) на промежутке (-3; 7).
Рис. 27
Решение. График производной пересекает
ось абсцисс в двух точках, значит, производная
дважды меняет знак: в точке х = 4 производная
меняет знак с минуса на плюс, а в точке х = 6
производная меняет знак с плюса на минус,
значит, именно в этой точке функция у =f(x) имеет
максимум.
Ответ: 6.
86. Вычислите значение выражения
10lg3 +491о87Л^
Решение. Используя основное
логарифмическое тождество и свойство логарифма степени,
получаем:
10183 + 491о87>ЛТ =з + 72'1о87(11°,5) =з + 72'0'5'108711 =
= 3 + 71о87И =3 + 11 = 14.
Ответ: 14.
87. Функция у =f(x) определена на всей
числовой прямой и является периодической с
периодом 4. На рисунке изображен график этой
функции при — 2 < х < 2. Найдите значение выраже-
/(7)
ния Д-10)-
ДЮ)
Рис. 28

36
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/2009
Решение. В соответствии с определением
периодической функции получаем:
Л-10)=Л-2-2-4)=Л-2).
По графику находим, что /(—2) = 2.
Аналогично получаем: /(7) =/(-1 -2-4) =/(-1) = -1;
/00) = /(-2 + 3-4) =/(-2) = 2. Следовательно,
д_Ю)—Я9- = 2-—= 2 + 0,5 = 2,5.
/(10) 2
Ответ: 2,5.
В8. Найдите все значения а, при каждом из
которых уравнение | а — 1 — \ х \ | = 3 имеет ровно
3 корня.
Решение. В соответствии с определением
модуля числа только модули чисел 3 и —3 равны
числу 3, следовательно, получаем:
а — 1 — \х\ = 3 или а — 1 — \х\ = —3,
т.е.
\х\ = а- 10 (*)
или
|jc| = a -4. (**).
Уравнение |х| = т имеет или 2 корня (если
т > 0), или 1 корень (если т = 0), или не имеет
корней (если т < 0).
Исходное уравнение имеет ровно 3 корня
тогда и только тогда, когда уравнение (*) имеет 1
корень, а уравнение (**) имеет 2 корня, или
уравнение (**) имеет 1 корень, а уравнение (*) имеет
2 корня:
£1-10 = 0
я-4>0,
я-10>0
а-4 = 0
д = 10
я >4,
о 10
д = 4.
Решение совокупности: а = 10.
Ответ: 10.
В9. Объемы ежемесячной продажи
компьютеров в первом, втором и третьем магазинах
относятся как 7:5:10. В связи с сокращением
торговых площадей планируется уменьшить
месячную продажу компьютеров в первом магазине на
11% и во втором — на 15%. На сколько
процентов нужно увеличить месячную продажу
компьютеров в третьем магазине, чтобы суммарный объем
продаваемых за месяц компьютеров не изменился?
Решение. Обозначим объемы продаж в
первом, втором и третьем магазинах 7х, 5х и 10х
соответственно. Тогда намечаемый объем продаж
в первом и втором магазинах будет 0,89 • 7х и
0,85 -5х соответственно. Пусть требуемый объем
продаж в третьем магазине равен у • \0х.
Получаем уравнение
0,89 • 1х + 0,85 • 5х + у • 10х = 1х + 5х + 10х.
Отсюда Юу = 22 - 0,89 • 7 - 0,85 • 5, т.е. у =
= 1,152. Значит, объем продаж в третьем
магазине надо увеличить на 0,152 прежнего объема, т.е.
на 15,2%.
Ответ: 15,2.
В10. Концы отрезка МК лежат на
окружностях двух оснований цилиндра. Угол между
прямой МК и плоскостью основания цилиндра ра-
вен 45°, МК = 5л/2, объем цилиндра равен .
к
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение. Проведем через образующую
цилиндра ММХ и прямую МК плоскость.
Образующая перпендикулярна плоскости основания
цилиндра, значит, отрезок МХК— проекция прямой
МК, поэтому ZMKMX = 45°. В прямоугольном
треугольнике МКМ{ MMx=MxK = 5jl'M = 5.
Используя формулу объема цилиндра и его задан-
320
ную величину, получим: V = nR2MM{ =5kR2 = .
Отсюда получаем R2 =
Следовательно,
\2
R = -
к>ч
к
S6ok=2kR-MMx=2k
5 = 80.
Ответ: 80.
В11. Средняя линия равнобедренной трапеции
равна 20, а радиус вписанной в нее окружности
равен 8. Найдите большее основание трапеции.
Решение.
1) Пусть точки К, М, Н — точки касания
вписанной окружности с основаниями ВС и AD
трапеции ABCD и боковой стороной АВ
соответственно (AD > ВС). Тогда ОН=ОК=ОМ=8
и ОН LAB, OKI ВС, ОМ IAD.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
37
2) Центр вписанной окружности лежит на
пересечении биссектрис углов трапеции, а
поскольку в равнобедренной трапеции ZB = ZC, то
АВОН = АВОК = АСОК (по катету и острому углу).
Следовательно, ВН = ВК = СК =—, где b = ВС.
Аналогично получаем: АН = AM =—, где а = AD.
Значит, АВ- = 20.
2
3) В трапеции ABCD ZBAD + /ЛВС = 180°, а
АО и i?0 — биссектрисы этих углов,
следовательно, /ЛОВ = 90°. Тогда отрезок ОЯ — высота
прямоугольного треугольника АОВ, проведенная
к гипотенузе АВ. Поэтому ОН2 = АН • 2?#, т.е.
82 = х(20-х), где х = АН. Так как АН>-АВ,
то х > 10. Отсюда получаем, что х = 16, т.е.
Л/) = 2ЛЯ = 32.
Ответ: 32.
Задания с развернутым ответом,
критерии проверки
и оценки их выполнения
Ответы к заданиям групп А и В проверяются
компьютером, решения заданий CI—C5
проверяют эксперты. При проверке эксперты
руководствуются следующими критериями оценки
решений. Решение заданий С1 и С2 оцениваются
двумя баллами, если приведена верная
последовательность всех шагов решения, все
преобразования и вычисления выполнены верно и получен
верный ответ. Если в решении найдена
арифметическая ошибка, оценка снижается на 1 балл.
Любая другая ошибка и отсутствие решения
оценивается 0 баллов.
С1. Найдите наибольшее значение функции
2х
х +х + \
при \х- 1,25| < 0,75.
Решение.
1) |jc— 1,25| < 0,75 ^ -0,75<х- 1,25 < 0,75 <=>
<=> 0,5 <х< 2.
2) /'(х) =
2(х2+х + 1)-(2х+1)-2х
= 2-
1-х2
(х2+х + \)2'
(х2+х + 1)2
f'(x) определена на (—°°; +°°) и f'(x) — 0 при
х= 1, при х = — 1.
-1 € [0,5; 2], 1 е [0,5; 2],
Д0,5) = у, Д1) = |, Д2) = 1
Наибольшее значение функции у = f(x) на
отрезке [0,5; 2] равно —.
Ответ: —.
3
Баллы
2
1
0
Критерии оценки выполнения задания С1
Приведена верная последовательность
всех шагов решения:
1) определен промежуток, на котором
требуется найти наименьшее значение
функции;
2) найдено наибольшее значение
функции.
Все преобразования и вычисления
выполнены верно. Получен верный ответ
Приведена верная последовательность
всех шагов решения. Допущены
описка и/или вычислительная ошибка в
шаге 2), не влияющие на дальнейший
ход решения.
В результате этой описки или ошибки
может быть получен неверный ответ
Все случаи решения, которые не
соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок в 1 и 2 балла
С2. Найдите все значения х, при каждом из кото
л/3 sin4 х sin4jc + v3
рых выражения
cos4 л;
ctg2x
принимают равные значения.
ctg2x

38
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
2/2009
Решение.
л/3 sin4 х sin 4х + V3 cos4 x
1) - = <=»
ctg2x ctg2x
л/3 sin4 x - sin 4x - V3 cos4 jc
ctg2jc
2 sin 2jc cos 2x + V3 cos 2jc л
2) — = 0^
0.
<^>
ctg2jc
(2sin2x + V3)cos2x
= 0^
<=>s
ctg2jc
(2sin2jc + V3) cos 2jc = 0
cos 2jc ф 0 «►
sin 2jc ф 0
2sin2x+V3=0
cos2x*0 ^jc=(-ir1--+—, /i e Z.
sin2x*0
6 2
Ответ: (-1)я+|.- +—, /i e Z.
6 2
Баллы
2
1
0
Критерии оценки выполнения задания С2
Приведена верная последовательность
всех шагов решения:
1) составлено уравнение по условию
задачи;
2) найдены корни полученного
уравнения.
Все преобразования и вычисления
выполнены верно.
Получен верный ответ
Приведена верная последовательность
всех шагов решения.
Допущены вычислительная ошибка или
описка в шаге 2), не влияющие на
правильность дальнейшего хода решения.
В результате этой ошибки или описки
может быть получен неверный ответ
Все случаи решения, которые не
соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок в 1 и 2 балла
СЗ. Найдите все значения jc > 2, при каждом
из которых наибольшее из двух чисел
а = log3(jc- 1) + 5 • logx_,27- 5
и
A = 147-logj(x-l)3
больше 3.
Решение. Так как jc > 2, то log3 (jc — 1) > 0.
Далее решение в пунктах 1—3 проводим с учетом
этого условия.
1) а > 3 » log3(jc - 1) + 5 • logx_,27 - 5 > 3 »
log*(jc-l)-81og3(x-l) + 15 л
<^>—— — >0<^>
log3(x-l)
» (log3 (jc - 1) - 3) • (log3Jc - 5) > 0 «=>
~log3(x-l)>5
log3(x-l)<3.
2) *>3«147-1o^(jc-1)3>3<^91o^(jc-1)<144<^
<=> log3 (jc -1) < 16 <=> 0 < log3 (x -1) < 4.
3) Наибольшее из чисел а и b больше 3
тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них
больше 3, т.е. когда
<=>
а>3
ь>з'
<^>
log3(x-l)>5
0<log3(x-l)<4<
х>244
2<х<82.
Ответ: 2 < х < 82, х > 244.
Баллы
4
3
2
Критерии оценки выполнения задания СЗ
Приведено верное решение,
содержащее в каком-либо порядке и виде
следующие шаги:
1) решение первого неравенства;
2) решение второго неравенства;
3) составление совокупности
указанных двух неравенств и ее решение.
Получен верный ответ
Приведено логически верное решение,
содержащее шаги 1), 2) и 3). Получен ответ.
Допустимы описки и вычислительные
ошибки, не влияющие на правильность
дальнейшего хода решения. В результате
этих ошибок возможен неверный ответ
Верно выполнены шаги 1) и 2) решения,
а шаг 3) либо отсутствует, либо не
доведен до конца, либо выполнен неверно.
Ответ не получен или неверен

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
39
Верно выполнен один из шагов 1) или
2) решения, а остальные шаги либо
отсутствуют, либо не доведены до конца,
либо выполнены неверно.
Ответ не получен или неверен
Все случаи решения, которые не
соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок в 1—4 балла
С4. Около правильной пирамиды FABC
описана сфера, центр которой лежит в плоскости
основания ABC пирамиды. Точка М лежит на
ребре АВ так, что AM : MB =1:3. Точка Т
лежит на прямой AF и равноудалена от точек М
и В. Объем пирамиды ТАСМ равен —.
Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды
FABC.
Решение. Пусть О — центр сферы радиуса
R, описанной около пирамиды FABC. Так как
OA = OB = OC = OF= R, а О е ABC, то точка О
является также центром окружности радиуса R,
описанной около треугольника ABC.
Треугольник ABC — правильный, следовательно,
Сеточка пересечения медиан треугольника ABC,
ав=я4ъ.
Рис. 30
1) FABC — правильная пирамида, поэтому Ю —
высота пирамиды и AFO _L ABC. По условию
Те AF и ТМ= ТВ. Опустим из точки Т
перпендикуляр 777 напрямую АО. Так как AFOLABC,
то ТН _L ABC и, следовательно, ТН — высота
пирамиды ТАСМ, а отрезки НМ и НВ —
проекции равных наклонных ТМ и ТВ. Значит,
НМ = НВ, и поэтому треугольник ВНМ —
равнобедренный с основанием ВМ, а его высота
HP является медианой, т.е. РМ = РВ.
2) Объем V пирамиды ТАСМ, равный
— THSACM, выразим через R. Из условия
ЛМ ] ли Х ли R^ мр 3*УЗ
= — имеем АМ= — АВ = ,МР- .
MB 3 4 4 8
Отсюда АР ■
5Дл/з
В прямоугольном
треугольнике АРН угол А равен 30°, следовательно,
АН- =—. Так как ОА = OF, то прямо-
cos30° 4
угольный треугольник AOF — равнобедренный,
поэтому в прямоугольном треугольнике АТН
угол А равен 45°, следовательно, АН — ТН.
Площадь правильного треугольника ABC равна
= . Площадь треугольника АСМ
равна — площади треугольника ABC, т.е. равна
4
ЗД2л/з ^ л, 1 5R ЗЛ2л/з 5/?3V3 „
Отсюда V- —— = —-—. По
16
3 4 16
64
5/?3Уз 5 з 8 D 2
условию — =—, откуда Я =—= и R = —=.
64 24 Зл/3 л/3
2
Ответ: —т=.
л/3
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С4
Приведена верная последовательность
шагов решения:
1) установлено, что центром сферы,
описанной около пирамиды FABC,
является точка пересечения медиан
треугольника ABC;
2) установлено положение основания
Н высоты 777 пирамиды ТАСМ;
3) площадь основания, высота и объем
пирамиды ТАСМ выражены через
радиус R сферы, описанной около
пирамиды FABC, вычислена искомая
величина R.

40
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
2/2009
4
3
2
1
Верно обоснованы ключевые моменты
решения:
а) центр сферы, описанной около
пирамиды FABC, — точка пересечения
медиан основания пирамиды; б)
основание Н высоты ТН пирамиды ТАСМ
лежит на прямой АО, содержащей
медиану треугольника ABC, Все
преобразования и вычисления выполнены
верно. Получен верный ответ
Приведены все шаги решения 1)—3).
Приведены утверждения,
составляющие ключевые моменты а) и б)
решения. Допустимы отсутствие
обосновании ключевых моментов решения или
неточности в обоснованиях*, но не
грубые ошибки.
Допустимы одна описка и/или
негрубая ошибка в вычислениях, не
влияющие на правильность хода решения. В
результате этой описки и/или ошибки
возможен неверный ответ
Приведены шаги решения 1)—3).
Утверждения, составляющие ключевые
моменты а) и б) решения, либо оба
отсутствуют, либо приведено только одно
из них. Но сами ключевые моменты
использованы в решении.
Приведенные в решении обоснования не
содержат грубых ошибок.
Допустимы описки и/или негрубые
ошибки в вычислениях, не влияющие на
правильность хода решения. В
результате этого возможен неверный ответ
Ход решения правильный, но решение
не завершено: указано положение
центра описанной сферы (описано
словесно либо отражено на чертеже).
Найдены некоторые числовые характеристи-
* Неточностью в обоснованиях является замена свойства
на определение или на признак или наоборот, а также
неверные названия теорем или формул.
ки пирамид, например, длина отрезка
АР выражена через радиус R сферы,
описанной около пирамиды FABC.
Приведенные в решении обоснования и
вычисления не содержат грубых ошибок.
Допустимы негрубые ошибки в
преобразованиях и вычислениях, не влияющие
на правильность хода решения
Все случаи решения, которые не
соответствуют вышеуказанным критериям
выставления 1—4 баллов
С5. Найдите все значения параметра /?, при
каждом из которых уравнение
_ х
(3/?-11)625°'5х+(4/?-21). 0,04" 2 +/? + 2 = 0
имеет ровно 8/? — р
Решение.
1) Так как
15 различных корней.
625°'Эх = (54ГЭХ = 5*, 0,04 3 =(5"2)2 =5\
то уравнение равносильно следующему:
(Зр- 11) • 5^ + {Ар- 21) • 5х + р + 2 = 0.
Пусть / = 5х > 0. Тогда получаем уравнение
относительно / с параметром р:
(Зр- 11)/2 + (Ар - 21)/ + /? + 2 = 0. (*)
Если 3/7 — 11 = 0, то получаем линейное
уравнение. Легко проверить, что оно имеет один
корень. Если Зр — 11 Ф 0, то уравнение (*) является
квадратным относительно / с параметром р.
Значит, число различных корней уравнения (*)
не более 2. Так как / = 5х монотонная функция,
то и число п различных корней исходного
уравнения не больше 2.
2) Если п = 2, то по условию Нр — р2 — 15 = 2,
р2 — 8р + 17 = 0, что невозможно, так как D < 0.
Остаются случаи п = 1 и п = 0.
Если п = 1, то 8/? -р2 - 15 = 1, р2 - 8/? + 16 = 0,
р = 4. Тогда уравнение (*) примет вид t2 — 5/ + 6 =
= 0, /, = 2, t2 = 3. Так как / = 5х, то хх = log5 2,
х2 = log53. Поэтому п = 2. Противоречие с
равенством /7=1.
3) Если п = 0, то 8/? - р2 - 15 = 0, р2 - Нр +
+ 15 = 0, р] = 3, р2 = 5.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
АЛ
Пусть р = 3. Тогда уравнение (*) примет вид
-2/2 — 9/ + 5 = 0. Ветви параболы направлены
вниз, ось Оу она пересекает выше точки (0; 0).
Поэтому уравнение (*) имеет ровно один
положительный корень /0 и исходное уравнение
имеет ровно один корень х = log5/0. Значит, п = 1.
Противоречие с равенством п = 0.
Пусть р = 5. Тогда уравнение (*) примет вид
4/2 - / + 7 = 0. Так как это уравнение не имеет
корней, то исходное уравнение не имеет корней.
Значит, р = 5 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 5.
Замечания
A) В шаге 2) не обязательно явно указывать 2
корня исходного уравнения. Допустимо
использование только положительности корней
уравнения (*).
Б) В шагах 2)—3) можно не объяснять, как
найдены корни квадратного уравнения.
B) В шаге 3) можно явно решить квадратное
уравнение относительно / и указать его
положительный корень.
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С5
Приведена верная последовательность
всех шагов решения:
1) тождественные преобразования
показательных выражений и оценка п < 2
числа корней исходного уравнения;
2) разбор случаев п = 2 и п = 1;
3) разбор случая п = 0, проверка того,
что р = 5 удовлетворяет условию.
Обоснованы все моменты решения:
а) в шаге 2) явно указаны два корня
исходного уравнения или же их
существование объяснено ссылкой на
неравенство / > 0;
б) в шаге 2) разбор случаев п = 2 и
п = 1 обоснован свойствами
квадратичной функции и/или явным указанием
ее нулей;
в) в шаге 3) имеется ссылка на условие
/> 0.
4
3
2
1
0
Все преобразования и вычисления
верны. Получен верный ответ
Приведена верная последовательность
всех шагов решения.
В шаге 3) допустимо отсутствие
обоснования в). Обоснованы ключевые
моменты а) и б).
Допустимы 1 описка и/или негрубая
вычислительная ошибка в шаге 3), не
влияющие на правильность
дальнейшего хода решения. В результате
может быть получен неверный ответ
Приведена в целом верная, но,
возможно, неполная последовательность
шагов решения. Верно выполнен шаг 1).
В шаге 2) верно исследован только
один из случаев п = 2 или п = 1. При
их рассмотрении обоснован хотя бы
один из ключевых моментов а), б).
Допустимо, что решение не завершено
Общая идея, ход решения верны.
Верно выполнен шаг 1): исходное
уравнение сведено к квадратному
относительно новой переменной. Получена
оценка п< 2 числа корней исходного
уравнения.
Допустимо, что решение не завершено
Все случаи решения, которые не
соответствуют указанным выше критериям
выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла
Ответы
№ задания
А1
А2
A3
А4
А5
I вариант
3
4
3
2
4
II вариант
4
1
2
3
1

42 ZIZZZZZZIIZZIIIIZZZIIZIZIIIZZZZIZZ: МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 2 / 2009
В8
В9
В10
В11
10
15,2
80
32
5
38
20
24
А6
А7
А8
А9
А10
1
2
3
2
1
4
3
1
4
3
№ задания
С1
С2
СЗ
С4
С5
I вариант
2
3
{ } 6 2'
Л € Z
2 < х < 82,
х> 244
2
5
II вариант
-4
Л 7Ш
8+Т'
п е Z
0 < х < 3,5х >
> 127,5
1
V3"
3
№ задания
BI
В2
ВЗ
В4
В5
В6
В7
I вариант
-0,28
0,5
19400
4
6
14
2,5
II вариант
-0,8
0,8
3
2
5
31
2
Математики шутят
Кто как может
Инженер, физик и математик поселились в отеле. В одно и то же время у каждого в номере возникает пожар.
Инженер тут же выбегает в коридор, хватает со стены пожарный шланг, открывает воду и быстро заливает огонь
в своем номере. Физик мгновенно прикидывает температуру пламени, объем горючих веществ, атмосферное
давление и т.д., затем наливает в стакан нужное количество воды, которой заливает очаг возгорания. Математик
выскакивает в коридор, видит на стене огнетушитель, радостно восклицает «Решение существует!», после чего
спокойно возвращается в номер.
Перезанимался
Студент, обучающийся на факультете Вычислительной математики и кибернетики МГУ, заходит во время
сессии в библиотеку.
— Где библиотекарь? — спрашивает он уборщицу.
— В архиве.
— Разархивируйте, пожалуйста, мне срочно нужна книжка.
Задачка для «чайников»
Математику предлагают решить задачу: «Дана газовая плита, кран с водой и чайник. Требуется вскипятить воду».
— Это легко, — отвечает он, — Сначала наливаем в чайник воду. Потом зажигаем огонь и ставим чайник на плиту.
— Хорошо, теперь новая задача, — говорят ему. — Требуется вскипятить чайник, в котором вода уже налита.
— Ну, это еще проще! Выливаем из чайника воду и сводим задачу к предыдущей.
Так проще
Инженеру и математику предлагают решить одну и ту же задачу: требуется вытащить из доски наполовину
забитый гвоздь.
Инженер просто берет и вытаскивает его.
Математик же забивает гвоздь до конца, а потом решает задачу в общем случае.
(Цит. По книге С.Н.Федын. Математики тоже шутят. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2008)

АКАДЕМИИ
МАТЕМАТИКИ
В.И.Рыжик
ОПЯТЬ ОБ УГЛАХ. УГОЛ ДВУГРАННЫЙ
Предварительные замечания:
1. Статья эта — продолжение статьи [1], с которой желательно
ознакомиться.
2. Если в тексте после некоторого утверждения стоит в скобках
вопросительный знак - [?], то читателю предлагается обосновать это
утверждение.
Знакомство с двугранным углом
Термин «двугранный угол» неоднозначен, как |
и термин «угол между лучами» на плоскости. !
Во-первых, его можно трактовать как меру от- \
клонения одной полуплоскости от другой (нагляд- \
ный пример — дверь или форточка; их можно от- |
крыть больше или меньше). Тогда двугранный |
угол — это величина. Согласно определению она j
равна величине соответствующего линейного угла. \
И теперь уже можно говорить нечто такое: |
«Двугранный угол равен 50°», что означает pa- J
венство 50 градусам его линейного угла. Дву- j
гранный угол — величина находится, как ясно, в
пределах от 0° до 180°. Включать или не вклю- i
чать границы (0° и 180°) — вопрос договоренно- \
сти. Для теории включение границ мало интерес- \
но, а в задачах такое иногда можно допустить.
Во-вторых, двугранный угол можно трактовать
как фигуру. Тогда двугранный угол — это
множество точек. ;
(Такие же две трактовки приняты в планимет- !
рии для угла, образованного двумя лучами с
общей вершиной.)
Двугранный угол как фигуру можно толковать ?
по-разному: и как пару полуплоскостей с общим
ребром, и как часть пространства, ограниченную
этими полуплоскостями (включая их самих).
Двугранный угол, понимаемый во втором смысле,
может быть выпуклым или невыпуклым. Обычно
работают с выпуклым двугранным углом. Впрочем,
возможен и невыпуклый двугранный угол,
например в невыпуклом многограннике (рис. 1).
Рис. 1
Есть одна тонкость: когда грани двугранного
угла (понимаемого во втором смысле) составляют
вместе плоскость, т.е. развернутый двугранный
угол, не стоит отождествлять его с
полупространством. У полупространства никаких ребер нет, а у
двугранного угла ребро есть. (Точно так же
развернутый угол на плоскости, понимаемый как ее
часть, ограниченная двумя лучами с общим
началом, не стоит отождествлять с полуплоскостью.)
Равенство двугранных углов можно определять
двояко (как и равенство углов на плоскости). Чаще
его определяют как равенство их линейных углов.
Возможно другое определение — с помощью дви-

44
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/2009
жения, а именно: двугранные углы равны, если
существует движение, в результате которого они
совмещаются.
Разумеется, эти определения равносильны (как
и аналогичное им для углов на плоскости), что,
однако, доказывается непросто.
Замечание 1 (для знатоков). Равенство углов по
мере и равенство в результате движения не всегда
равносильны. Это проходит для плоских углов и
двугранных. Но уже для многогранных углов этой
равносильности нет.
Линейный угол двугранного угла получается по-
разному. Можно взять любую точку на ребре и
через нее провести плоскость, перпендикулярную
ребру. В пересечении этой плоскости с
двугранным углом и получается линейный угол (рис. 2).
В
а ± {ЛВС), ZABC — линейный угол двугранного угла
Рис. 2
Можно также из данной точки на ребре в
каждой грани двугранного угла провести луч,
перпендикулярный ребру (рис. 3). Наконец, можно из
какой-либо точки одной из граней двугранного
угла провести перпендикуляр к ребру этого угла,
а затем из полученной на ребре точки провести
перпендикуляр к ребру в другой грани (рис. 4).
В
ZABC
ВА ±а, ВС А. а,
линейный угол двугранного угла
Рис. 3
ABA. a, ВС La,
ZABC - линейный угол двугранного угла
Рис. 4
Мера линейного угла не зависит от выбора
начальной точки на ребре, а потому мера
двугранного угла определяется однозначно. Это
доказывается в теоретическом курсе.
После введения линейного угла некоторые
свойства двугранных углов могут быть сведены к
соответствующим свойствам линейных углов.
Например, сравнение двугранных углов по
величине (больше — меньше) сводится к сравнению их
линейных углов; все действия с двугранными
углами сводятся к действиям с их линейными углами.
Двугранный угол как величина
Перейдем к вычислению двугранных углов.
Двугранный угол я буду «привязывать» к
многограннику (так чаще всего и бывает в задачах)
подобно тому, как в задачах планиметрии угол
между лучами мы чаще относим к какому-либо
плоскому многоугольнику.
Замечание 2. Я не буду говорить далее
«величина двугранного угла» или «мера двугранного угла» —
ясно, что при вычислении двугранный угол
рассматривается как его градусная (радианная) мера.
И еще. Задание «Найдите угол» или вопрос
«Чему равен угол?» равносильны заданию
«Найдите тригонометрическую функцию угла» (чаще
всего косинус).
Прежде чем перейти к методам решения задач,
проверьте свое пространственное мышление и
ответьте (по возможности устно), даже не делая
рисунка, на такие вопросы.
1. Какие фигуры могут получиться в
пересечении двух двугранных углов? Можно ли,
например, получить тетраэдр?

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
45
2. Каково наименьшее число двугранных углов,
в пересечении которых можно получить куб,
треугольную призму?
3. Какие элементы симметрии имеет
двугранный угол? Есть ли у него, например, ось
симметрии?
4. Прямой двугранный угол повернули на 90°
вокруг биссектрисы его линейного угла. Какая
фигура получилась в пересечении исходного и
полученного двугранных углов?
5. Имеется прямой двугранный угол. Из точки
на его ребре выходят два луча, причем один из
них: а) перпендикулярен ребру; б) образует с
ребром угол ф Ф 90°. В каких границах лежит угол,
который образует с ребром второй луч?
6. Имеются два расположенных вертикально
пересекающихся зеркала. Требуется найти угол
между ними, если падающий горизонтальный луч
света: а) параллелен плоскости первого зеркала и
отражается от второго по прямой,
перпендикулярной первому зеркалу; б) отражается от обоих
зеркал, причем сначала он параллелен плоскости
первого зеркала, а после двух отражений параллелен
плоскости второго зеркала.
7. Имеются два пересекающихся зеркала. На
первое зеркало направляется луч света под углом
ф. Требуется получить отраженный от второго
зеркала луч, параллельный исходному. Каким
следует выбрать для этого угол между зеркалами?
Решите также обратную задачу.
Вычисление двугранного угла
на основе определения
Основной путь вычисления двугранного угла —
вычисление его линейного угла. Здесь возможны
разные ситуации. Бывает так, что в задаче на
рисунке уже построен линейный угол того
двугранного угла, который мы ищем.
Задача 1. Дан куб ABCDAXBXCXDX. Вычислите
двугранный угол с ребром AD и гранями ADCB
и ADCXBX (рис. 5).
Подсказка. На этом рисунке можно увидеть
линейный угол этого двугранного угла — угол CXDC
или ВХАВ [?].
Рис. 5
Может возникнуть ситуация, когда линейный
угол необходимо построить. При этом возможны
два случая. В первом из них положение вершины
угла выбрать легко, вот как в задаче 2.
Задача 2. Дан правильный тетраэдр DABC.
Вычислите двугранный угол между его гранями
(рис. 6). D
На этом рисунке ребром двугранного угла
является, к примеру, ребро АС тетраэдра.
Линейный угол получится, если в качестве его вершины
взять середину ребра АС [?].
Замечание 3. Мы предполагаем в этом
вычислении, что в правильном тетраэдре (как и в любом
правильном многограннике) все двугранные углы
равны. Разумеется, требуется доказать этот факт.
Во втором случае поиски «удобного»
положения вершины линейного угла не столь просты.
Задача 3. Дана правильная треугольная
пирамида РАВС. Вычислите двугранный угол между
ее боковыми гранями (рис. 7).

46
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZI 2 / 200Э
Рис. 7
На этом рисунке ребром двугранного угла
является, к примеру, боковое ребро PC пирамиды.
Подсказка. Линейный угол получится, если к
ребру PC провести перпендикуляры из вершин
А и В (см. рис.7) [?].
Замечание 4. Мы предполагаем в этом
вычислении, что в правильной треугольной пирамиде
(как и в любой правильной пирамиде) все
двугранные углы между соседними боковыми
гранями равны. Разумеется, требуется доказать этот факт.
Хуже обстоят дела, когда тетраэдр «далек от
правильности».
Задача 4. Дана треугольная пирамида DABC,
в которой противоположные ребра равны
между собой. Пусть их длины таковы: DB = АС = а,
DA = ВС = b, DC = АВ = с. Найдите двугранный
угол между ее гранями с общим ребром DC.
Здесь перпендикуляры АК и BL,
проведенные к ребру DC из вершин А и В, возможно,
«не сходятся», т.е. проекции точек А и В на
ребро DC различны (рис. 8) [?].
Если эту задачу все же пытаться решать,
используя линейный угол, то волокита будет
изрядная. Однако можно действовать иначе и,
возможно, вообще отказаться от работы с линейным
углом.
Вычисление двугранного угла
с помощью «разнесенного»
линейного угла
В задаче 4 после проведения перпендикуляров
из точек А и В мы видим, что отрезки не
«сошлись». Но если вспомнить, что угол между
лучами инвариантен (неизменен) относительно
параллельного переноса любого из них и обоих вместе
(не зависит от того, есть у них общая точка или
нет), то оказывается, что решение задачи можно
продолжить, работая с этими перпендикулярами.
Точнее, можно вычислить угол между
скрещивающимися прямыми АК и BL, используя уже
известные формулы для углов между
скрещивающимися прямыми. О том, как это делается,
можно прочитать в статье [1].
Известна, например, формула, связанная с
тетраэдром. Если мы имеем тетраэдр ABCD, то
cos ZAB,CD =
\(AC2 + BD2)-(AD+BC2
2АВ CD
Рассмотрим тетраэдр ABKL и подсчитаем угол
между прямыми АК и BL по этой формуле,
взяв, к примеру, а = 3, b = 4, с = 5. Когда
проделаете вычисления, вас ждет небольшой
сюрприз [?]. Вы, конечно, захотите себя проверить.
Такая возможность есть, я это сделаю чуть
дальше. Но можно сразу попытаться понять, откуда
берется такой странный результат [?].
Замечание 5. Вычисляя двугранный угол с
помощью угла между скрещивающимися прямыми,
надо иметь в виду одну тонкость. Угол между
прямыми не может быть тупым, а двугранный угол —
может. Поэтому если вы нашли угол между
скрещивающимися прямыми, к примеру 30°, то
искомый двугранный угол, может быть и 150°.
Вывод ясен — при некоторых способах
вычисления двугранного угла его необходимо проверить
«на тупость».
Решите рассмотренным способом задачу 5.

4*7
АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ I
Задача 5. Дана четырехугольная пирамида
PABCD. Ее основанием является прямоугольник
ABCD, в котором АВ = 1, AD = 2. а) Чему равен
двугранный угол между боковыми гранями
пирамиды, если каждое ее боковое ребро равно 1?
б) Чему равен двугранный угол с ребром PD
между боковыми гранями пирамиды, если
боковое ребро РВ = 1 и РВ 1 (ABQ?
Может случиться так, что на рисунке нет ребра
двугранного угла, но есть точка, ему
принадлежащая. Тогда приходится дополнять рисунок этим
ребром, проводя дополнительные построения.
Поясним сказанное на примере следующей задачи.
Задача 6. В правильной четырехугольной
пирамиде высота равна стороне основания. Чему
равен угол между плоскостями противоположных
боковых граней пирамиды?
Подсказка. Постройте прямую, по которой
пересекаются плоскости противоположных граней
этой пирамиды; она будет параллельна прямой,
проходящей через одну из сторон основания
пирамиды [?]. Построенная прямая будет ребром
искомого двугранного угла. Затем постройте его
линейный угол с вершиной в вершине пирамиды,
после чего задача сведется к планиметрической.
Вычисление двугранного угла
по теореме косинусов
для трехгранного угла
В решении геометрических задач иногда
применяют такой прием: помещают данную фигуру в
другую, свойства которой хорошо известны и
могут использоваться в решении (например, около
треугольника описывают окружность). Тогда
данную фигуру можно рассматривать как фрагмент
более сложной фигуры.
Для наших целей двугранный угол можно
рассматривать не сам по себе, а как часть
трехгранного угла. Очень эффективно вычисление
двугранного угла с помощью теоремы косинусов для
трехгранного угла. Напомним ее. Для
трехгранного угла с вершиной Р и ребрами РА, РВ, PC
л cos ос-cos В cosy
В этой формуле А — двугранный угол с ребром
РА, а а, (3, у — плоские углы трехгранного угла,
образованные лучами РВ и PC, PA и PC, PA
и РВ соответственно (рис. 9).
Следствие 1. Если в трехгранном угле есть
прямой двугранный угол (такой трехгранный угол
естественно назвать прямым), то косинус
противолежащего ему плоского угла равен произведению
косинусов двух других его плоских углов:
cosy = cos a cos (3. (2)
Это так называемая формула «трех косинусов»
для трехгранного угла [?]. Верно и обратное
утверждение [?].
Замечание 6 (для знатоков). Соотношение (2)
называют также сферической теоремой
Пифагора. Дело в том, что в сферическом
прямоугольном треугольнике одна дуга большого круга
выражается через две другие дуги: косинус гипотенузы
сферического прямоугольного треугольника равен
произведению косинусов его катетов (рис. 10).
i \ \ i
\ \ ч /
\ С у
N. В У
О — центр сферы, *
АВ, ВС, С А — дуги больших окружностей, /АСВ = 90°
Рис. 10

48
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 2 / 200Э
Тем не менее связь с планиметрической
теоремой Пифагора не вполне просматривается.
Поэтому проделаем такую выкладку. Обе части
равенства (2) возведем в квадрат. Затем каждый
квадрат косинуса выразим из основного
тригонометрического тождества, получим равенство
1 - sin2Y= (1 - sin2oc)(l - sin2(3).
В случае, когда углы измеряются в радианах,
перейдем от углов к длинам соответствующих дуг
больших окружностей, которые обозначим
соответственно с, я, Ь. Получим равенство
1-sin
R
1-sin1
rawr
\Rjj
1-shV
Г hS\
\Rjj
где R — радиус сферы.
с л
При R —> оо дробь "^—^
К
тогда
sin
kR;
U^2
kRj
(аналогично для дробей — и —). В результате
приходим к равенству
1
и^
\Rj
'ал
2\
V
R
,2\
откуда
с2~а2+Ь2-
2а2
ел
R2
Затем отбрасываем последнее бесконечно
малое слагаемое и получаем равенство из теоремы
Пифагора.
Тем самым планиметрическую теорему
Пифагора мы можем считать предельным случаем
сферической теоремы Пифагора.
Следствие 2. Согласно формуле (1) проверка
двугранного угла «на тупость» сводится, к
выяснению того, каков знак разности cos a — cos (3 cos у
[?]. В частности, из равенства (1) следует, что если
в трехгранном угле есть прямой угол, а другие
углы острые, то противолежащий ему
двугранный угол — тупой [?].
С помощью формулы (1) достаточно легко
решаются многие задачи о двугранных углах.
Например, такая.
Задача 7. Чему равен двугранный угол в
правильном октаэдре*?
Решение. Известно, что правильная
четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны,
является частью правильного октаэдра, его
«половиной» (рис. 11).
Р
Рис. 11
Пусть PABCD — такая пирамида. Рассмотрим
трехгранный угол с вершиной А и ребрами АВ,
AD, АР. Найдем двугранный угол с ребром АР
по формуле (1):
А cos ZBAD- cos АВАР cos ZDAP
cos A = =
slnZBAP smZDAP
_ cos90°-cos2 60° _ 1
sin260° ~ ~3'
Полученный результат сразу выдает «тупость»
этого двугранного угла.
Теперь попробуйте сами.
Задача 8. Дана правильная четырехугольная
пирамида. Боковая грань образует с плоскостью
основания угол а. Чему равен двугранный угол,
который образуют соседние боковые грани
пирамиды?
Я покажу несколько решений, причем к
первым двум дам подсказки.
Подсказка (к решению 1). Обычно в таких
«безразмерных» задачах (среди данных нет ни длин,
ни площадей, ни объемов) вводят линейный
параметр (чаще всего длину какого-нибудь отрезка,
* Правильный октаэдр — один из пяти правильных
многогранников (символ воздуха у древних греков). Имеет 8
граней — равных правильных треугольников.

ZZIZ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ ZZZZZZZZZZZ
приняв ее за 1 или 2 — ради удобства при
делении пополам — или, обозначив буквой). Далее
выражают с его помощью данные и искомые углы,
затем находят связь между ними, используя
тригонометрические функции. Остальное — «дело
техники». И в данной задаче такое решение
возможно. Примите, например, ребро основания
равным 2 и действуйте.
Замечание 7 (для знатоков). Фигуры, о
которых говорится в «безразмерных» задачах,
подобны, поэтому выбор параметра «ничего не портит».
Если вводить параметр в общем виде, то в
процессе получения окончательного результата он
«исчезнет». Два и более параметра вводить тоже
можно, не надо этого бояться. Если они окажутся
зависимыми, то потребуется учет возможных
связей между ними, что создаст дополнительные (на
уровне выкладок) хлопоты.
Подсказка (к решению 2). Обозначим высоту
пирамиды буквой И, ребро основания — а,
боковое ребро — Ь. Далее будем искать
всевозможные связи между четырьмя параметрами — тремя
введенными и данным углом а. Для получения
окончательного результата желательно иметь
четыре независимых уравнения. В данном примере
это возможно. Последовательное исключение
параметров приводит к ответу. Проделайте все это
самостоятельно.
Замечание 8. На рисунке, который вы сделаете
и в решении 1, и в решении 2, наверняка
появится линейный угол двугранного угла при боковом
ребре. Здесь надо быть внимательными. Скорее
всего, вы сделаете следующий рисунок (рис. 12, а).
Но обязан ли он быть именно таким? А вдруг он
такой (рис. 12, 6)1
Можно и не вводить дополнительные
метрические параметры. Достаточно воспользоваться
соотношениями между углами, точнее, между
тригонометрическими функциями углов, на
основании теорем косинусов, синусов для трехгранного
угла и их следствий. Вот как это делается.
Решение 3. Пусть PABCD — данная
пирамида. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной А
и ребрами АР, АВ, AD. По формуле (1) для этого
трехгранного угла имеем:
49
б)
Рис. 12
_ cos 90° -cos2 (р 2
COSX = COS Р = - = -Ctg ф, (3)
sin ф
где ф = /.PAD.
Рассмотрим еще один трехгранный угол — с
вершиной А и ребрами АР, AC, AD. По
формуле (1) для этого трехгранного угла имеем:
sin<psin45°
где у = ZPAC.
Согласно формуле (2) имеем: со8ф = COSJ/COS450,
откуда
cosy = у/2 cos (р. (5)
Подставив в равенство (4) полученное в (5)
значение для cosy, получим: ctg9 = cosa.
Подставив полученное значение для ctg9 в
равенство (3), получим:
cosx = —cos2 а.
Обратите внимание на то, что вид рисунка при
таком решении не существен.
Задача 9. В правильной треугольной пирамиде
известны сторона основания а и плоский угол ф
при вершине. Чему равен двугранный угол при
боковом ребре?
Подсказка. Будьте внимательны к условию.
Проведите исследование — всегда ли задача
имеет решение?

50 ... Mi
Задача 10. Дана правильная треугольная
призма ABCAlBlCl с боковым ребром, равным 2.
Точка К— середина ребра ВВ19 точка L —
середина ребра ВС. Чему равен двугранный угол
между плоскостями сечений ALCX и ALK1
Любопытен побочный результат, который
получается с помощью формулы (2). Согласно ей
можно находить угол между прямой и плоскостью. В
самом деле, угол прямой с плоскостью находится в
результате проектирования прямой на плоскость.
Так как проектирование ортогональное, то легко
нарисовать трехгранный угол, в котором два
ребра — это данная прямая АВ и ее проекция АВХ, а
третьим ребром может быть любая прямая данной
плоскости, проходящая через точку А, «удобная»
для вычислений (рис. 13). И угол между прямой и
плоскостью оказывается одним из плоских углов
прямого трехгранного угла.
В
L \ со/
Прямая АВХ — проекция прямой АВ на плоскость со
Рис. 13
Из формулы (2) видим, что угол между прямой
и плоскостью (на рис. 13 это угол ВАВХ)
находится по формуле
cosy tCX
cosoc = L. (6)
cos(3
Что это дает? В иных задачах мы можем теперь
работать только с углами. Отпадает необходимость
вводить линейный параметр, затем находить
длины конкретных отрезков и соответственно длины
их проекций и т.д. Например, в случае
правильного тетраэдра для нахождения угла между ребром и
плоскостью, в которой оно не лежит, мы можем
разделить cos 60° на cos 30° — и ответ готов [?].
Более подробно об угле между прямой и
плоскостью мы поговорим в другой раз.
МАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 2 / 2009
Вычисление двугранного угла
с помощью нормалей
В следующем способе нахождения двугранного
угла используется тот факт, что двугранный угол
равен углу между нормалями к плоскостям его
граней или дополняет его до развернутого угла (рис. 14).
Работать с нормалями бывает существенно
проще, чем с линейным углом или с «разнесенным»
линейным углом, как это было в задаче 4.
Zap = Z«a«p или Zap = 180° - Z«a«p
Рис. 14
Задача 10. Дан куб ABCDAXBXCXDV Вычислите
двугранный угол с ребром BD между
плоскостями сечений AyDB и CyDB.
Подсказка. Известно, что нормалью к
плоскости AXDB является прямая АС{, а нормалью к
плоскости CXDB — прямая АХС (рис. 15).
Д. С,
А и
Рис. 15
Замечание 9. Найденный угол является к тому
же двугранным углом в правильном тетраэдре [?].
Работа с нормалями позволяет чуть ли не
даром получить несколько любопытных результатов.
Сделаем вот что. Из точки А/, лежащей внутри
трехгранного угла с вершиной О и ребрами ОА,

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
51
OB, ОС проведем три нормали: МАХ, МВХ и Л/С,
к граням ОВС, ОЛС и ОЛВ соответственно
(рис. 16). На полученном рисунке можно увидеть
еще один трехгранный угол — с вершиной Л/ и
ребрами Л/Л,, Л/i?,, Л/С,. Такой угол называют
полярным по отношению к данному. Отношение
полярности взаимно, т.е. исходный трехгранный
угол полярен к построенному [?].
С
MB, I (AOQ, МС, 1 (ЛОВ), МЛ, 1 (BOQ
Рис. 16
Ясно, что угол /?,МС, дополняет двугранный
угол с ребром О А до 180°, аналогичная
зависимость верна для углов АХМВХ и АХМСХ [?].
Теперь запишем формулу из теоремы
косинусов для полярного трехгранного угла:
cos Л, =
cos a, - cos (3, cosy,
sin P, sin у,
Заменим каждый косинус в этой формуле,
исходя из соотношения между двугранными углами
трехгранного угла и плоскими углами полярного
угла. Получим:
cos(tc -A)- cos(k - В) cos(k - С)
cos(n-a) = -
откуда
-cosa = -
sin(7i — ^) sin(7r — С)
-cos,4-cosi?cosC
sin В sin С
И, окончательно:
cosa =
cos Л + cos i? cos С
(7)
sin В sin С
Аналогичную формулу можно записать для
косинусов других плоских углов трехгранного угла,
даже не глядя на рисунок, а используя
мнемонику. Сделайте это [?].
Задача 11. Докажите, что если в тетраэдре все
двугранные углы равны, то этот тетраэдр —
правильный.
На основе формулы (7) доказательство
получается моментально [?].
Задача 12. Сколько прямых двугранных углов
может быть в тетраэдре?
Вычисление двугранного угла
с помощью проектирования
Еще один способ вычисления двугранного угла
связан с известным утверждением о площади
проекции фигуры: если фигура, лежащая в
плоскости а, проектируется на плоскость (3, то
площадь проекции равна площади фигуры,
умноженной на косинус угла между этими плоскостями.
Соответствующая формула для косинуса угла:
S
COS(p = ,
(8)
где S — площадь проекции, S0 — площадь
фигуры, ф — двугранный угол между плоскостями a
и Р (рис. 17).
Zap = ф
Рис. 17
Это утверждение интуитивно очевидно. Так как
при проектировании на плоскость Р длины всех
отрезков, лежащих в плоскости а, умножаются
на со8ф, то и с площадью будет то же самое.
С помощью формулы (8) чуть ли не момен-

52
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ ZZZZ 2 / 2009
тально находится двугранный угол в правильном
тетраэдре. В самом деле, любая вершина
правильного тетраэдра проецируется в центр
противоположной грани, а потому проекция любой грани
на плоскость другой является треугольником,
площадь которого составляет треть от площади
грани (рис. 18) [?]. Отсюда получаем, что двугран-
1
ныи угол в правильном тетраэдре равен arccos—.
DABC — правильный тетраэдр.
Треугольник ADXC — проекция треугольника ADC
на плоскость ABC
Рис. 18
Решите теперь задачу 13.
Задача 13. Чему равен двугранный угол при
основании правильной пирамиды, у которой
площадь боковой поверхности в три раза больше
площади основания?
Вычисление двугранного угла
с помощью формулы
объема тетраэдра
Еще один способ нахождения двугранного
угла — довольно экзотический. В нем
используется одна из формул объема тетраэдра, а именно
25^ sin ф (9)
3d
где К—объем тетраэдра, 5, и S2 — площади его
двух смежных граней, d — длина общего ребра
этих граней, (р — двугранный угол между
плоскостями этих граней. Она напоминает одну из
формул площади треугольника, не правда ли?
Попытайтесь доказать равенство (9), это нетрудно
сделать «в лоб».
| Из (9) следует, что
Ш
Sin(D = . (10)
{ Проверьте справедливость этой формулы для
I правильного тетраэдра; прямоугольного тетраэд-
I ра*. Она может успешно применяться, если в ис-
! ходной задаче удается вычленить «удачный» тет-
| раэдр. Решите следующую задачу.
I
I
I Задача 14. Дана правильная треугольная при-
| зма АВСА1В]С1 с равными ребрами. Чему равен
угол между плоскостями грани ВССХВХ и сечения
| АСВХ1
j Вычисление двугранного угла
\ с помощью пространственной
j теоремы косинусов для призмы
| Из курса планиметрии вы, конечно, знаете те-
( орему косинусов: в треугольнике ABC со сторо-
i нами я, Ъ, с
\ А Ь2+с2-а2
I cos^= .
I 2bc
i Замечательно, что для треугольной призмы есть
\ похожее утверждение, а именно: в треугольной
| призме ABCAlBlCl выполняется равенство
cosZA4,= »+1>с *\ (11)
J 2ЗД
I где SaJ Sb, Sc — площади боковых граней
призмы, содержащих стороны а, Ъ и с
треугольника ABC соответственно, ZAAX — двугранный угол
между боковыми гранями с общим ребром AAV
Замечание 10. Если посмотреть на треугольную
! призму сверху (или снизу), мы увидим треуголь-
I ник ее основания. Можно сказать также, что тре-
I угольная призма — это «утолщенный» треуголь-
I ник, а треугольник — это «сплющенная» призма.
! При «утолщении» треугольника его стороны пре-
I вращаются в боковые грани призмы — паралле-
| лограммы определенной площади, а угол тре-
j угольника «становится» двугранным углом между
I боковыми гранями призмы.
* Прямоугольный тетраэдр — это такой тетраэдр, в
котором в одной из вершин сходятся три прямых плоских угла.

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ ZZZZZZZZZI
Но все эти наглядные представления не
избавляют нас от необходимости обоснования
формулы (9). Оно несложно, начать доказательство
можно с проведения плоскости, перпендикулярной
боковому ребру призмы (рис. 19), — для
получения линейного угла [?].
Ах Вх
KLM — перпендикулярное сечение
Рис. 19
Посмотрите, как с помощью формулы (9)
можно решать задачу о нахождении двугранного угла.
Задача 15. Основанием треугольной призмы \
АВСАХВХСХ является равносторонний треугольник \
ABC, а ее боковые грани ААХВХВ и ААХСХС — I
ромбы с острым углом А. Чему равен угол между \
этими гранями, если угол ромба равен (р? jj
Подсказка. Прежде чем применять равенство (9), \
покажите, что грань ВВ,С,С является квадратом. 5
I
I
Задача 16. Основанием четырехугольной при- >
змы ABCDAXBXCXDX является ромб ABCD с углом ]
а при вершине А, боковое ребро ААХ образует !
с ребрами основания один и тот же угол ср. Чему \
равен угол между боковыми гранями призмы? \
К Р L j
/\ у* \\. /\ I
/ \ А \ ^ч / \ *
/ \ /' \ \ / \ £
/ w \ гч '
/ /Л \1"Ус \
A D i
ABKDCL — прямая призма \
Рис. 20 \
\
Вернемся к задаче 6. В правильной четырех- *
угольной пирамиде высота равна стороне основа- \
:м-."||,::;— 53
ния. Чему равен угол между плоскостями ее
противоположных боковых граней?
Подсказка. Достройте эту пирамиду до прямой
призмы (рис. 20).
Замечание 11. Дополнительные построения
чаще всего совершаются в заданной фигуре. Реже
мы рассматриваем данную фигуру как часть
другой фигуры, которую еще надо построить (я об
этом уже упоминал). В стереометрических
задачах иногда рассматривают тетраэдр как часть
параллелепипеда (рис. 21).
Вх С,
Тетраэдр A^ABD —
часть параллелепипеда ABCDA^Bfi^D^
Рис. 21
Я привожу другое решение задачи 6, чтобы
указать на такую возможность. Вы спросите — зачем
это здесь делать, ведь и без такого
дополнительного построения задача решается несложно? Вы
правы, но о приеме достраивания знать полезно.
Вам обязательно попадутся задачи, когда он
сработает.
Совсем уж экзотический способ вычисления
двугранного угла основан на экстремальном
свойстве последнего. Дело обстоит так: линейный угол
двугранного угла — наибольший, если сравнивать
его с углом, лучи которого идут с одной стороны
от плоскости его линейного угла, причем так, что
образуют с соответствующими сторонами
линейного угла равные углы (рис. 22, а); он же —
наименьший, если сравнивать его с углом, лучи
которого идут с разных сторон от плоскости его
линейного угла, причем так, что образуют с
соответствующими сторонами линейного угла равные
углы (рис. 22, б). Эти утверждения несложно
доказать [?].

54
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
;2/2009
/.ВАС — линейный, /.ВАС = max/PAQ
Рис. 22, а
/ВАС - линейный, /ВАС = min /PAQ
Рис. 22, б
Рис. 24
Подсказка (в первом случае). Пусть точка А —
вершина линейного угла ВАС. На его сторонах
АВ и ЛС возьмите точки М и УУ,
равноудаленные от вершины. Затем в гранях двугранного угла
через точки М и N проведите перпендикуляры
к сторонам линейного угла до пересечения со
сторонами угла PAQ, отвечающего условию задачи
(рис. 23). Осталось сравнить углы PAQ и MAN,
которые можно найти по теореме косинусов из
треугольников PAQ и MAN.
(Аналогичное рассуждение можно провести и
во втором случае.)
Я покажу, как отсюда получить величину
двугранного угла в правильном тетраэдре (см. задачу 2).
Подсказка. Будем искать наибольший угол,
отвечающий условию. Пусть точка К — середина
ребра АС. Теперь возьмем на том же ребре точку
L на расстоянии х от точки К (на любом из
отрезков АК, СК). Ясно, что /LDK = /LBK
(рис. 24). Выразим по теореме косинусов углы
DLB и DKB из треугольников DLB и DKB,
приняв ребро тетраэдра АВ = 2. Покажем, что
/DKB > /DLB и равенство получается при х = 0,
т.е. когда точка L совпадает с К. Так как вся эта
выкладка сугубо техническая, я не буду ее
приводить [?].
..~ — ~. Литература ,.« ...♦.,«» .,—~
1. Рыжик В.И.. Об углах между скрещивающимися
прямыми и немного о прочих углах // Математика для
школьников. — 2008. — № 3, 4.
2. Моденов П.С. Задачи по геометрии. — М.: Наука,
1979.
■♦■

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
55
Е.В.Потоскуев
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Построение сечений многогранников
на основе системы аксиом
стереометрии
Сечением многогранника плоскостью
называется геометрическая фигура,
представляющая собой множество всех
точек пространства, принадлежащих
одновременно данным многограннику
и плоскости; плоскость при этом
называется секущей плоскостью.
Поверхность многогранника состоит из ребер-
отрезков и граней — плоских многоугольников.
Так как прямая и плоскость пересекаются в
точке, а две плоскости — по прямой, то сечением
многогранника плоскостью является плоский
многоугольник', вершинами этого
многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости
с ребрами многогранника, а сторонами —
отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его
грани. Это означает, что для построения
искомого сечения данного многогранника плоскостью а
достаточно построить точки ее пересечения с
ребрами многогранника. Затем последовательно
соединить отрезками эти точки, при этом выделить
сплошными линиями видимые и штриховыми —
невидимые стороны полученного
многоугольника — сечения (рис. 1—4).
Секущая плоскость а может быть задана:
тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и не принадлежащей ей точкой; другими
условиями, определяющими ее положение
относительно данного многогранника. Например, на рис.
1 построено сечение четырехугольной пирамиды
PABCD плоскостью а, заданной точками Л/, К
и Я, принадлежащими ребрам соответственно
PC, PD и РВ\ на рис. 2 секущая плоскость
задана точками Л/, N и L, принадлежащими
ребрам соответственно АА19 /?,С, и AD куба
Рис. 3

56
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
2/200Э
k ренние точки соответственно ребер PC, РВ и
I ЛВ (рис. 5, а).
I P
ABCDAXBXCXD{, на рис. 3 секущая плоскость
проходит через вершину А основания ABCD
перпендикулярно ребру PC правильной
четырехугольной пирамиды PABCD, высота РО которой
образует угол в 30° с боковым ребром; на рис. 4
построено сечение куба ABCDAlB]ClDl
плоскостью, проходящей через его центр М
перпендикулярно диагонали АХС.
Эти сечения построены разными методами.
Причем в двух первых случаях точки,
определяющие секущую плоскость, могут быть любыми на
ребрах многогранника, поэтому и секущая
плоскость определена неоднозначно; в каждом из двух
последних случаев секущая плоскость
определяется однозначно метрическими свойствами
многогранника и условиями расположения этой
плоскости относительно данного многогранника. Но
тем не менее во всех четырех случаях сечение
каждого из многогранников строится по
определенным правилам, с учетом аксиом стереометрии,
аффинных и метрических свойств данного
многогранника.
Более того, существуют специальные методы
построения сечений многогранников. Но прежде
чем приступить к рассмотрению некоторых из этих
методов, построим следующие сечения
многогранников, используя лишь аксиомы стереометрии.
Задача 1. Постройте сечение пирамиды РАВС
плоскостью ос = (Л/А7/), где М, К и Н — внут-

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ
Решение. 1-й шаг. Точки М и К лежат в
каждой из двух плоскостей а и РВС. Поэтому
по аксиоме пересечения двух плоскостей
плоскость а пересекает плоскость РВС по прямой
МК. Следовательно, отрезок МК — одна из
сторон искомого сечения (рис. 5, б).
2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая
сторона искомого сечения (рис. 5, в).
3-й шаг. Точки Ми Яне лежат
одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС,
поэтому отрезок МН не является стороной сечения
этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в
плоскости грани АВР и пересекаются. Построим
точку Т = КН п АР (рис. 5, г).
Поскольку прямая КН лежит в плоскости а,
то и точка Т лежит в плоскости а. Теперь мы
видим, что плоскости а и АРС имеют общие
точки М и Т. Следовательно, по аксиоме
пересечения двух плоскостей плоскость а и
плоскость АРС пересекаются по прямой МТ,
которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке Я
(рис. 5, д).
4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1,
устанавливаем, что плоскость а пересекает грани АСР и
ABC по отрезкам MR и HR соответственно.
Следовательно, искомое сечение —
четырехугольник MKHR (рис. 5, е).
Задача 2. Постройте сечение пирамиды
MABCD плоскостью а = (КНР), где К, Н и Р —
внутренние точки ребер соответственно MA, MB
и MD (рис. 6, а).
Решение. Первые два шага аналогичны
шагам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате
получим стороны КР и КН (рис. 6, б) искомого
сечения. Построим остальные вершины и
стороны многоугольника — сечения.
3-й шаг. Продолжим отрезок КР до
пересечения с прямой AD в точке /'(рис. 6, в). Так как
прямая КР лежит в секущей плоскости а, то
точка F= КРсл AD = КР n (ABC) является общей
для плоскостей а и ABC.
4-й шаг. Продолжим отрезок КН до
пересечения с прямой АВ в точке L (рис. 6, г). Так как
прямая КН лежит в секущей плоскости а, то

58
точка L = КН пАВ= КН n {ABC) является
общей для плоскостей а и ABC.
Таким образом, точки F и L являются
общими для плоскостей а и ABC. Это означает, что
плоскость а пересекает плоскость ABC
основания пирамиды по прямой FL.
5-й шаг. Проведем прямую FL. Эта прямая
пересекает ребра ВС и DC соответственно в
точках R и Т (рис. 6, д), которые служат
вершинами искомого сечения. Значит, плоскость а
пересекает грань основания ABCD по отрезку RT —
стороне искомого сечения.
6-й шаг. Теперь проводим отрезки RH и РТ
(рис. 6, е), по которым плоскость а пересекает
грани ВМС и MCD данной пирамиды.
Получаем пятиугольник PKHRT — искомое сечение
пирамиды MABCD (рис. 6, ё).
Рассмотрим более сложную задачу.
Задача 3. Постройте сечение пятиугольной
пирамиды PABCDE плоскостью a = (KQR), где
К, Q — внутренние точки ребер соответственно
РА и PC, а точка R лежит внутри грани DPE
(рис. 7, а).
Решение. Прямые QK и АС лежат в одной
плоскости АСР (по аксиоме прямой и
плоскости) и пересекаются в некоторой точке Г,
(рис. 1,6), при этом Тх е ос, так как QK с а.
Прямая PR пересекает DE в некоторой
точке F (рис. 7, в), которая является точкой
пересечения плоскости APR и стороны DE
основания пирамиды. Тогда прямые KR и AF лежат
в одной плоскости APR и пересекаются в
некоторой точке Т2 (рис. 7, г), при этом Т2 е ос, как
точка прямой KR с а (по аксиоме прямой и
плоскости).
Получили: прямая Т{Т2 лежит в секущей
плоскости айв плоскости основания пирамиды (по
аксиоме прямой и плоскости), при этом
прямая пересекает стороны DE и АЕ основания
ABCDE пирамиды соответственно в точках М и
N (рис. 7, д), которые являются точками
пересечения плоскости а с ребрами DE и АЕ
пирамиды и служат вершинами искомого сечения.
Далее, прямая MR лежит в плоскости грани
ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 2 / 200Э
МАЛ

59
DPE и в секущей плоскости а (по аксиоме
прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD
в некоторой точке Н — еще одной вершине
искомого сечения (рис. 7, е).
Далее, построим точку Т3 = 71, Т2 пАВ (рис. 7, ж),
которая, как точка прямой Т{Т2 с а, лежит в
плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости).
Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две
точки Тъ и К секущей плоскости а, значит,
прямая ТЪК — прямая пересечения этих
плоскостей. Прямая ТЪК пересекает ребро РВ в точке
L (рис. 7, з), которая служит очередной
вершиной искомого сечения.
Таким образом, «цепочка» последовательности
построения искомого сечения такова:
1. Тх = QK n АС; 2. F= PR n DE\
3. Т2 = KRn AF\ 4.Af=TlT2n DE\
5. N= TxT2n AE\ 6. H= MRn PD\
7. Тъ = TJ2n AB\ 8. L = ТЪК п РВ.
Шестиугольник MNKLQH — искомое
сечение.
Замечание. Сечение пирамиды на рис. 1 и
сечение куба на рис. 2 построены на основании
лишь аксиом стереометрии.
Вместе с тем сечение многогранника,
имеющего параллельные грани (призма, параллелепипед,
куб), можно строить, используя свойства
параллельных плоскостей.
Например, рассмотрим следующую задачу.
Задача 4. Точки М, Р и R расположены на
ребрах параллелепипеда (рис. 8). Пользуясь
свойствами параллельных прямых и плоскостей,
постройте сечение этого параллелепипеда
плоскостью MPR.
Решение. Пусть точки Л/, Р и R
расположены на ребрах соответственно ДО,, ВВ1 и ССХ
параллелепипеда ABCDAXBXCXDX (рис. 8, а).
Обозначим: (MPR) = ос — секущая плоскость.
Проводим отрезки MR и PR (рис. 8, б), по
которым плоскость а пересекает соответственно
грани CC{D{D и ВВ{СХС данного
параллелепипеда. Отрезки MR и PR — стороны искомого
сечения. Далее используем теоремы о
пересечении двух параллельных плоскостей третьей.

60
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
:2/2009
Рис. 8
Я.
В
/ 1
1
1
1
1
1
1
с
/^^
£
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
г1
чч
/
/
м
D
Н
В Q
г)
Так как грань
ААХВХВ
параллельна грани
CCXDXD, то прямая пересечения плоскости а с
плоскостью грани ААХВХВ должна быть
параллельна прямой MR. Поэтому проводим отрезок
PQ || MR, Qe АВ (рис. 8, в); отрезок PQ —
следующая сторона искомого сечения. Аналогично
так как грань AAXDXD параллельна грани ССХВХВ,
то прямая пересечения плоскости а с
плоскостью грани AAXDXD должна быть параллельна
прямой PR. Поэтому проводим отрезок MH\\PR,
Не AD (рис. 8, <?); отрезок МН — еще одна
сторона искомого сечения. На ребрах АВ и AD
грани ABCD построили точки Q е АВ и Н е AD,
которые являются вершинами искомого сечения.
Проводим отрезок QH (рис. 8, г) и получаем
пятиугольник MRPQH — искомое сечение
параллелепипеда. Штриховыми линиями проводим
невидимые стороны MR, RP и QH этого сечения.
Замечание. При построении сечения куба на
рис. 4 использованы параллельность
противоположных граней куба, а также параллельность
секущей плоскости и плоскости BCXD.
{Окончание следует.)
i^v

НЕОЖИДАННАЯ
МАТЕМАТИКА
И.Ф.Акулич
КВАДРАТЫ НАПОЛЕОНА
История гласит, что французский император Наполеон Бонапарт весьма
интересовался точными науками (в том числе алгеброй и геометрией), и
даже назначил на высокие государственные должности некоторых видных
ученых того времени (потом, правда, пришлось их заменить в силу полной
профессиональной непригодности). Поэтому не исключено, что знаменитая
задача Наполеона действительно была изобретена им самим (хотя вполне
возможно, что ему приписали заслуги кого-то из современников).
Задача Наполеона утверждает следующий нео- \
жиданный и красивый факт. Возьмем произволь- i
ный треугольник. На всех трех его сторонах пост- *
роим правильные треугольники наружу (т.е. так, \
чтобы они не накладывались на исходный
треугольник). Тогда центры этих трех построенных f
треугольников сами будут вершинами правильного \
треугольника. Не менее интересно и то, что если \
все правильные треугольники построить вовнутрь
(чтобы все они, наоборот, накладывались на ис- \
ходный треугольник), то опять-таки их центры ?
будут вершинами правильного треугольника. То J
есть, мы имеем дело сразу с тремя правильными |
треугольниками, которые вполне заслужили зва- t
ние треугольников Наполеона. |
Не составляет труда доказать справедливость те- \
орем из задачи Наполеона. Проще всего это еде- S
лать с помощью системы координат, но есть и дру- !
гие, более изящные способы. Они широко извес- \
тны, так что не будем особенно на них задержи- \
ваться. I
Зададимся лучше вполне естественным вопро- \
сом справедлив ли четырехугольный аналог за- \
дачи Наполеона? По-видимому, он должен фор- |
мулироваться так на стороне произвольного че- '
тырехугольника построены во внешнюю
(вариант внутреннюю) сторону четыре квадрата. Вдруг *
центры этих квадратов являются вершинами \
квадрата? |
Такое предположение выглядит более чем со- ;
мнительно. И действительно — оно неверно. Про- *
стейший контрпример в этом убеждает. Пусть три i
стороны четырехугольника равны между собой. В \
этом случае (рис. 1) если увеличивать четвертую ?
сторону, устремив ее длину к сумме длин
остальных трех, то центры квадратов, построенных на
меньших сторонах, будут лежать, практически на
одной прямой и потому не смогут быть тремя
вершинами одного и того же квадрата.
Рис. 1
Тем не менее, четырехугольная версия задачи
Наполеона все-таки имеет место — для паралле-
лограммов\ Возможно, читателя разочарует этот
факт как-то слабовато он выглядит. Слишком уж
«узко» множество параллелограммов.
Но давайте рассуждать непредвзято.
Параллелограмм, как мы знаем, полностью определяется
двумя смежными сторонами и углом между ними.
Но треугольник тоже однозначно определяется
теми же элементами! То есть произвольный
параллелограмм сродни произвольному
треугольнику—а это совсем немало. Видите — не так уж
убога «квадратная» задача Наполеона. Сверх того,
центры обоих построенных квадратов (их удобно
назвать квадратами Наполеона) совпадают с
центром параллелограмма!

Б2 ZIIZZZZZIZIZIZZIIIZIZIIIZZZZII=IZIZ Mi
Ладно, реклама закончена, вернемся к суровым
будням. Как доказать эту теорему? Без особого
труда!
Это можно сделать, используя ту же
прямоугольную систему координат. И будет это даже
проще, чем для треугольника. Потому что есть
очень удобное место для начала координат центр
параллелограмма (в произвольном треугольнике
такое понятие проблематично), а одну из осей
неплохо пустить вдоль диагонали параллелограмма.
Дальше, надеемся, читатель справится сам, а мы
изложим другое доказательство, которое может
быть выражено словами «разрезать и повернуть».
Итак, пусть на всех сторонах параллелограмма
построены во внешнюю сторону квадраты.
Рассмотрим любые две смежные стороны
параллелепипеда АВ и ВС. Пусть на них
построены квадраты с центрами М и N
соответственно. Ясно, что если центр каждого квадрата
соединить отрезками с двумя ближайшими вершинами
параллелепипеда, то эти отрезки вместе с
соответствующей стороной параллелепипеда
образуют равнобедренный прямоугольный треугольник.
Таким образом, ZAMB = ZBNC = 90°, ZMAB =
= ZMBA = ZNCB = 45°, MA = MB, NB = NC.
Кроме того, обозначим буквой О центр
параллелепипеда. Он, очевидно, лежит на отрезке АС и
делит его пополам, т.е. АО = СО. Пусть ZBAO = а,
ZBCO = (3; тогда ZABC = 180° - а - (3.
Соединим точку О с точками М и N (рис. 2).
А О С
Рис. 2
А теперь проведем разрезы по отрезкам МО и
N0 и повернем треугольники МАО и NCO
соответственно по часовой стрелке и против
часовой стрелки вокруг вершин М и N (рис. 3) до
тех пор, пока сторона МА не совместится со
стороной MB, а сторона NC не совместится со
стороной NB (так как МА = MB и NB = NC, то
такое совмещение произойдет наверняка). То, что
получается после поворота, указано на рис. 4.
ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 2 / 2009
А О С
Рис. 3
А О С
Рис. 4
При этом точка А переместится в точку В, а
точка О при повороте отрезка АО перейдет в
некоторую точку О,. Следовательно, ZOxBM =
= ZOAM = ос + 45°, и ZBMO{ = ZAMO. Также
Z0M?, = Z^A/O, + ZBMO = Z,4M0 + Z£M0 =
= ZL4M£ = 90°.
Точка С тоже переместится в точку В, и
точка О при повороте отрезка СО перейдет в
некоторую точку 02. Следовательно, Z02BN =
= ZOCN = р + 45°, Z£M?2 = ZCM? и ZON02 =
= Z£7V02 + Z^^VO = ZC7VO + Z£7V0 = ZCNB =
= 90°.
Отрезки ВОх и Д02 равны между собой, так
как получаются при повороте равных отрезков АО
и СО. Докажем, что они не просто равны, но и
совпадают. В самом деле, один из концов этих
отрезков (точка В) — общий, и осталось
показать, что отрезки ВОх и В02 лежат на одном
луче, выходящем из точки В. Для этого
достаточно пройтись вокруг точки В против часовой
стрелки и подсчитать угол ОхВ02. Имеем:
ZOxB02 = Z ОхВМ + ZMBA + ZABC +
+ ZNCB + + Z02BN = (а + 45°) + 45° +

ZZZZ НЕОЖИДАННАЯ МАТЕМАТИКА :Z====I=^^ БЗ
+ (180° - а - Р) = 45° + (р + 45°) =
= 360°— полный угол!
Итак, точки О, и 02 совпадают! Таким
образом, на самом деле мы имеем четырехугольник
OMNOx (он же OMN02), у которого два угла
(ОМОх и ZONOX) равны 90° (рис. 5). Поэтому
его можно представить как два прямоугольных
равнобедренных треугольника ОМОх и ОМ?, с
общей гипотенузой 00\. Значит, и катеты их
равны, т.е. ОМ = 07V, и угол M07V составлен из
двух углов, равных 45°, т.е. он равен 90°.
Итого: расстояния от центра параллелограмма
до центров двух соседних «пристроенных»
квадратов, во-первых, равны, и во-вторых, находятся
во взаимно перпендикулярных направлениях
(если смотреть из центра параллелепипеда).
Отсюда моментально следует, что все четыре центра
квадратов сами являются вершинами квадрата.
К сожалению, столь же наглядно
доказательства для случая, когда квадраты построены «вов-
Математики шутят
Пятьдесят на пятьдесят
Проводится опрос прохожих. У первого встречного мужчины спрашивают:
— Какова вероятность встретить на Красной площади динозавра?
Мужчина, подумав, отвечает:
— Одна миллиардная.
Тот же вопрос задают женщине:
— Какова вероятность встретить на Красной площади динозавра?
Не моргнув глазом, она отвечает:
— Одна вторая.
— Как одна вторая?! — удивляются спрашивающие.
— Ну как же, — говорит она, — или встречу, или не встречу.
Подстраховался
В трансагенстве встречаются двое новых русских.
— Лечу в Париж, — сообщает первый. — А ты куда?
— Туда же, — отвечает второй. — Только поездом.
— А чё поездом-то? — удивляется первый. — И долго, и неудобно, в натуре. Или деньги экономишь? Ха-ха-ха!
— Да страшно самолетом-то, террористы кругом. Только и слышишь, как где-нибудь самолет взорвали
конкретно. Так что поездом как-то спокойнее.
— Да чушь все это! — говорит первый. — Я тут спросил у знакомого математика, какова вероятность того, что
в самолете окажется бомба. Он просмотрел статистику, посчитал там что-то, и оказалось — мизер, что-то около
одной десятитысячной. Тогда я его спросил, а какова вероятность, что на борту самолета будут подложены две
бомбы? И, прикинь, она оказалась и того меньше — что-то типа одна миллионная. Так что я теперь вожу с собой
бомбу и летаю себе спокойно...
(Цит. По книге С.Н.Федин. Математики тоже шутят. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2008)
Ох = 02
нутрь» параллелограмма, не имеется. Так что, как
ни крути, придется использовать все тот же метод
координат — а, может, читатели что-нибудь
другое поисоветуют?

БЛАНК ПОДПИСКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
Подписка продлена до 1 июля 2009 г.
Подписная цена составляет 200 руб. (за 2 номера)
Доставка по России осуществляется за счет издательства.
УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ:
1. Заполните бланк. Оплатите подписку через Сбербанк (квитанция прилагается).
2. Пришлите копию квитанции об оплате по адресу:
127254, г. Москва ул. Руставели, д. 10, корп. 3. Издательство «Школьная Пресса».
Тел./факс: (495) 639-73-03,619-52-87. E-mail: marketing@schoolpress.ru
7ч
О)
п
п
■о
7\
го
Qj
Подписка на II полугодие 2009 г.
Укажите индекс, название журнала:
руб.
(в том числе 10% НДС)
Назначение платежа
Дата
Сумма
■о
? -9-
2
ш
s
п о
"а?
S е
° 3
2 £
-I »
О Ф
^2Х
00 сг "v.
2S =
со "о 3
- О 4J
м
А О
о -»
Л) VI
О vo
П\
iv ^ М
NJ -гт VJ
5ооо
о
7ч
QJ
П
П
Ы
ГО
£
Подписка на II полугодие 2009 г.
Укажите индекс, название журнала:
руб.
(в том числе 10% НДС)
Назначение платежа
Дата
Сумма
е
1э
1э
■о
X
■9-
о
■о
ш
s
о
э
S3
н
S
о-
£
S
ф
п о
Ф U
S Е
° §
-I »
О Ф
^2$
2? *
-а 3
7Z О
О vO
п
z: ^
00 О
< о
ел
6БЛАНК ПОДПИСКИ ПО КАТАЛОГУ
«Газеты. Журналы» агентства «Роспечать»
Подписка начинается 1 апреля
и заканчивается 1 июня 2009 г.
Журнал «Математика для школьников» (2 номера)
Подписной индекс 80866, каталожная цена 200 руб.
Внимание! Подписную цену с учетом почтового сбора
вы можете узнать в своем отделении связи

Illllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
Журналы адресованы
школьникам среднего
и старшего возраста,
предлагают материалы,
углубляющие и дополняющие
содержание учебников
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
♦ Публикуют материалы
по наиболее сложным
и важным темам
школьного курса
♦ Дают советы
и рекомендации,
как подготовиться к уроку,
написать реферат,
составить конспект
♦ Оказывают помощь
по осуществлению
проектной деятельности
♦ Знакомят с содержанием
олимпиадных заданий,
с организацией
и проведением ЕГЭ
♦ Информируют о вузах,
условиях приема
и особенностях сдачи
вступительных экзаменов
♦ Рассказывают о современны
научно-технических
достижениях
lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
— Адрес издательства:
ZZ 127254, г. Москва, ул. Руставели, д. 10, к.
= Тел.: U95) 619-52-87,619-52-89,619-83-8
— E-mail: marketing@schoolpress.ru
— Интернет: www.schoolpress.ru
= ^^/кольная %
= са
Издательство
«ШКОЛЬНАЯ ПРЕССА»
представляет
научно-популярные журналы
MRTEMRTHhH
для школьников
Т Т7Г
БИОЛОГИЯ
для школьников
ИСТОРИЯ
И 0БШЕСТВ03НЙНИЕ
Зля школьников
41
X
для школьников
ФИЗИКИ
для школьников
ГЕОГР Я
для школьников
УССКИЙ ЯЗЫК
и ЛИТЕРАТУРА
Ъ(~) 2008
ЛАЯ ШКОЛЬНИКОВ^
Журналы
можно выписать
по каталогу
«Газеты риалы»
а ентства
« ос ечать»
или при брести
виз атепьстве

>ч
Математика для школьников, 2009, № 2,1-64
Подписной индекс: 80866
Подписка осуществляется по каталогу «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать»
Подписка 2009
II полугодие
Уважаемые читатели!
Подписка на II полугодие 2009 года
начинается 1 апреля и продолжается до 1 июня 2009 г.
По каталогу «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать»
можно подписаться по льготной цене
на комплект журналов для школьников:
«Химия для школьников» (2 номера)
«Биология для школьников» (2 номера)
«История и обществознание для школьников» (2 номера)
«Математика для школьников» (2 номера)
«Русский язык и литература для школьников» (4 номера)
«География для школьников» (2 номера)
«Физика для школьников» (2 номера)
Подписной индекс 81496
Каталожная цена комплекта 1380 руб.
Внимание!
Каталожная цена не включает почтовый сбор.
Подписную цену с учетом доставки вы можете узнать
в своем отделении связи.
V
}
А*
№
km ших
6 i6 к а
- е'с
ло •